Уравнения математической физики

a n tihonow a a samarskij .

.

,

.

.

urawneniq matemati~eskoj fiziki 6-e izdanie, isprawlennoe i dopolnennoe

izdatelxstwo moskowskogo uniwersiteta 1999

udk 517.95 t46 bbk 22.161.6

t46

tIHONOW a. n., sAMARSKIJ a. a.

uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI: u^EB. POSOBIE. | 6-E IZD., ISPR. I DOP. | m.: iZD-WO mgu, 1999.

ISBN 5{211{04138{0. w KNIGE (5-E IZD. | 1977 G.) RASSMATRIWA@TSQ ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, PRIWODQ]IE K URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. rASPOLOVENIE MATERIALA SOOTWETSTWUET OSNOWNYM TIPAM URAWNENIJ. iZU^ENIE KAVDOGO TIPA URAWNENIJ NA^INAETSQ S PROSTEJIH FIZI^ESKIH ZADA^, PRIWODQ]IH K URAWNENIQM RASSMATRIWAEMOGO TIPA. oSOBOE WNIMANIE UDELQETSQ MATEMATI^ESKOJ POSTANOWKE ZADA^, STROGOMU IZLOVENI@ REENIQ PROSTEJIH ZADA^ I FIZI^ESKOJ INTERPRETACII REZULXTATOW. w KAVDOJ GLAWE POME]ENY ZADA^I I PRIMERY. w 6-E IZDANIE DOBAWLENO dOPOLNENIE III, POSWQ]ENNOE OBOB]ENNYM REENIQM KRAEWYH ZADA^. kROME TOGO, RASIRENO pRILOVENIE III K GL. III A TAKVE DOBAWLEN x 5 W dOPOLNENIE I, POSWQ]ENNYJ ITERACIONNYM METODAM REENIQ LINEJNYH URAWNENIJ. dLQ STUDENTOW TEHNI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ WUZOW.

udk 517.95 bbk 22.161.6

ISBN 5{211{04138{0


c a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ, 1999.

oglawlenie pREDISLOWIE K ESTOMU IZDANI@ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iZ PREDISLOWIQ K PERWOMU IZDANI@ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 14

glawa I

klassifikaciq differencialxnyh urawnenij s ~astnymi proizwodnymi

x 1. kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 2-GO PORQDKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

zADA^I K GLAWE I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI (15). 2. kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ 2-GO PORQDKA SO MNOGIMI NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI (22). 3. kANONI^ESKIE FORMY LINEJNYH URAWNENIJ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI (24).

1.

g l a w a II

urawneniq giperboli~eskogo tipa

x 1. pROSTEJIE ZADA^I, PRIWODQ]IE K URAWNENIQM GIPERBOLI^ESKOGO TIPA. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ . . . . . . . . . . . . . . .

27

x 2. mETOD RASPROSTRANQ@]IHSQ WOLN . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

1. uRAWNENIE MALYH POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY (27). 2. uRAWNENIE PRODOLXNYH KOLEBANIJ STERVNEJ I STRUN (31). 3. |NERGIQ KOLEBANIJ STRUNY (32). 4. wYWOD URAWNENIQ \LEKTRI^ESKIH KOLEBANIJ W PROWODAH (34). 5. pOPERE^NYE KOLEBANIQ MeMBRANY (35). 6. uRAWNENIQ GIDRODINAMIKI I AKUSTIKI (38). 7. gRANI^NYE I NA^ALXNYE USLOWIQ (43). 8. rEDUKCIQ OB]EJ ZADA^I (48). 9. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ DLQ SLU^AQ MNOGIH PEREMENNYH (49). 10. tEOREMA EDINSTWENNOSTI (50). zADA^I (53).

1. fORMULA dALAMBERA (54). 2. fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ (57). 3. pRIMERY (59). 4. nEODNORODNOE URAWNENIE (62). 5. uSTOJ^IWOSTX REENIJ (64). 6. pOLUOGRANI^ENNAQ PRQMAQ I METOD PRODOLVENIJ (68). 7. zADA^I DLQ OGRANI^ENNOGO OTREZKA (74). 8. dISPERSIQ WOLN (78). 9. iNTEGRALXNOE URAWNENIE KOLEBANIJ (79). 10. rASPROSTRANENIE RAZRYWOW WDOLX HARAKTERISTIK (83). zADA^I (85).

1


oglawlenie

4

x 3. mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

uRAWNENIE SWOBODNYH KOLEBANIJ STRUNY (87). 2. iNTERPRETACIQ REENIQ (93). 3. pREDSTAWLENIE PROIZWOLXNYH KOLEBANIJ W WIDE SUPERPOZICII STOQ^IH WOLN (96). 4. nEODNORODNYE URAWNENIQ (101). 5. oB]AQ PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A (108). 6. kRAEWYE ZADA^I SO STACIONARNYMI NEODNORODNOSTQMI (109). 7. zADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ (111). 8. sOSREDOTO^ENNAQ SILA (116). 9. oB]AQ SHEMA METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH (119). zADA^I (126). x 4. zADA^A S DANNYMI NA HARAKTERISTIKAH . . . . . . . . . . . . . . 1. pOSTANOWKA ZADA^I (128). 2. mETOD POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ DLQ ZADA^I gURSA (129). zADA^I (135). x 5. rEENIE OB]IH LINEJNYH URAWNENIJ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA . 1. sOPRQVENNYE DIFFERENCIALXNYE OPERATORY (135). 2. iNTEGRALXNAQ FORMA REENIQ (136). 3. fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ FUNKCII rIMANA (139). 4. uRAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI (143). zADA^I K GLAWE II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p R I L O V E N I Q K G L A W E II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. o KOLEBANII STRUN MUZYKALXNYH INSTRUMENTOW . . . . . . . . . . . II. o KOLEBANII STERVNEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. kOLEBANIQ NAGRUVENNOJ STRUNY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. pOSTANOWKA ZADA^I (155). 2. sOBSTWENNYE KOLEBANIQ NAGRUVENNOJ STRUNY (156). 3. sTRUNA S GRUZOM NA KONCE (161). 4. pOPRAWKI DLQ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ (161). IV. uRAWNENIQ GAZODINAMIKI I TEORIQ UDARNYH WOLN . . . . . . . . . 1. uRAWNENIQ GAZODINAMIKI. zAKON SOHRANENIQ \NERGII (162). 2. uDARNYE WOLNY. uSLOWIQ DINAMI^ESKOJ SOWMESTNOSTI (165). 3. sLABYE RAZRYWY (170). V. dINAMIKA SORBCII GAZOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. uRAWNENIQ, OPISYWA@]IE PROCESS SORBCII GAZA (174). 2. aSIMPTOTI^ESKOE REENIE (178). VI. fIZI^ESKIE ANALOGII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.

87

128 135 147 148 148 151 155 162 174 185

g l a w a III

urawneniq paraboli~eskogo tipa

x 1. pROSTEJIE ZADA^I, PRIWODQ]IE K URAWNENIQM PARABOLI^ESKOGO TIPA. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

x 2. mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

1. lINEJNAQ ZADA^A O RASPROSTRANENII TEPLA (189). 2. uRAWNENIE DIFFUZII (193). 3. rASPROSTRANENIE TEPLA W PROSTRANSTWE (194). 4. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ (196). 5. pRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ (202). 6. tEOREMA EDINSTWENNOSTI (205). 7. tEOREMA EDINSTWENNOSTI DLQ BESKONE^NOJ PRQMOJ (208). 1. oDNORODNAQ KRAEWAQ ZADA^A (209). 2. fUNKCIQ ISTO^NIKA (213). 3. kRAEWYE ZADA^I S RAZRYWNYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI (215). 4. nEODNORODNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI (222). 5. oB]AQ PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A (225). zADA^I (227).

oglawlenie

x 3. zADA^I NA BESKONE^NOJ PRQMOJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. rASPROSTRANENIE

TEPLA NA BESKONE^NOJ PRQMOJ. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI (228). 2. kRAEWYE ZADA^I DLQ POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ (242). x 4. zADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zADA^I K GLAWE III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p R I L O V E N I Q K G L A W E III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. tEMPERATURNYE WOLNY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. wLIQNIE RADIOAKTIWNOGO RASPADA NA TEMPERATURU ZEMNOJ KORY . III. mETOD PODOBIQ W TEORII TEPLOPROWODNOSTI . . . . . . . . . . . . . 1. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ BESKONE^NOJ PRQMOJ (264). 2. kRAEWYE ZADA^I DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (267). 3. rEVIMY S OBOSTRENIEM. |FFEKT LOKALIZACII TEPLA (274). IV. zADA^A O FAZOWOM PEREHODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V. uRAWNENIE |JNTEJNA | kOLMOGOROWA . . . . . . . . . . . . . . . . VI.
-fUNKCIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. oPREDELENIE
-FUNKCII (286). 2. rAZLOVENIE
-FUNKCII W RQD fURXE (289). 3. pRIMENENIE
-FUNKCII K POSTROENI@ FUNKCII ISTO^NIKA (291).

5 228 250 254 256 256 259 264

277 282 286

g l a w a IV

urawneniq |llipti~eskogo tipa

x 1. zADA^I, PRIWODQ]IE K URAWNENI@ lAPLASA . . . . . . . . . . . .

sTACIONARNOE TEPLOWOE POLE. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ (295). pOTENCIALXNOE TE^ENIE VIDKOSTI. pOTENCIAL STACIONARNOGO TOKA I \LEKTROSTATI^ESKOGO POLQ (296). 3. uRAWNENIE lAPLASA W KRIWOLINEJNOJ SISTEME KOORDINAT (298). 4. nEKOTORYE ^ASTNYE REENIQ URAWNENIQ lAPLASA (301). 5. gARMONI^ESKIE FUNKCII I ANALITI^ESKIE FUNKCII KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO (303). 6. pREOBRAZOWANIE OBRATNYH RADIUSOW-WEKTOROW (305). x 2. oB]IE SWOJSTWA GARMONI^ESKIH FUNKCIJ . . . . . . . . . . . . . 1. fORMULY gRINA. iNTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE REENIQ (307). 2. nEKOTORYE OSNOWNYE SWOJSTWA GARMONI^ESKIH FUNKCIJ (313). 3. eDINSTWENNOSTX I USTOJ^IWOSTX REENIQ PERWOJ WNUTRENNEJ KRAEWOJ ZADA^I (317). 4. zADA^I S RAZRYWNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI (318). 5. iZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI (319). 6. rEGULQRNOSTX GARMONI^ESKOJ FUNKCII TREH PEREMENNYH W BESKONE^NOSTI (321). 7. wNENIE KRAEWYE ZADA^I. eDINSTWENNOSTX REENIQ DWUH- I TREHMERNYH ZADA^ (322). 8. wTORAQ KRAEWAQ ZADA^A. tEOREMA EDINSTWENNOSTI (325). x 3. rEENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ PROSTEJIH OBLASTEJ METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. pERWAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ KRUGA (328). 2. iNTEGRAL pUASSONA (333). 3. sLU^AJ RAZRYWNYH GRANI^NYH ZNA^ENIJ (336).

295

1. 2.

307

328

oglawlenie

6

x 4. fUNKCIQ ISTO^NIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ URAWNENIQ u = 0 I EE OSNOWNYE SWOJSTWA (338). 2. mETOD \LEKTROSTATI^ESKIH IZOBRAVENIJ I FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ SFERY (343). 3. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ KRUGA (346). 4. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ POLUPROSTRANSTWA (347). x 5. tEORIQ POTENCIALA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. oB_EMNYJ POTENCIAL (348). 2. pLOSKAQ ZADA^A. lOGARIFMI^ESKIJ POTENCIAL (351). 3. nESOBSTWENNYE INTEGRALY (353). 4. pERWYE PROIZWODNYE OB_EMNOGO POTENCIALA (360). 5. wTORYE PROIZWODNYE OB_EMNOGO POTENCIALA (363). 6. pOWERHNOSTNYE POTENCIALY (367). 7. pOWERHNOSTI I KRIWYE lQPUNOWA (371). 8. rAZRYW POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ (374). 9. sWOJSTWA POTENCIALA PROSTOGO SLOQ (377). 10. pRIMENENIE POWERHNOSTNYH POTENCIALOW K REENI@ KRAEWYH ZADA^ (380). 11. iNTEGRALXNYE URAWNENIQ, SOOTWETSTWU@]IE KRAEWYM ZADA^AM (386).

338

1.

zADA^I K GLAWE IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p R I L O V E N I Q K G L A W E IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. aSIMPTOTI^ESKOE WYRAVENIE OB_EMNOGO POTENCIALA . . . . . . . . II. zADA^I \LEKTROSTATIKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. oSNOWNAQ ZADA^A \LEKTRORAZWEDKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV. oPREDELENIE WEKTORNYH POLEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V. pRIMENENIE METODA KONFORMNOGO PREOBRAZOWANIQ W \LEKTROSTATIKE VI. pRIMENENIE METODA KONFORMNOGO PREOBRAZOWANIQ W GIDRODINAMIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII. bIGARMONI^ESKOE URAWNENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. eDINSTWENNOSTX REENIQ (423). 2. pREDSTAWLENIE BIGARMONI^ESKIH FUNKCIJ ^EREZ GARMONI^ESKIE FUNKCII (424). 3. rEENIE BIGARMONI^ESKOGO URAWNENIQ DLQ KRUGA (425).

348

391 393 393 396 401 408 412 416 422

glawa V

rasprostranenie woln w prostranstwe

x 1. zADA^A S NA^ALXNYMI USLOWIQMI . . . . . . . . . . . . . . . . . .

uRAWNENIE KOLEBANIJ W PROSTRANSTWE (427). 2. mETOD USREDNENIQ (429). 3. fORMULA pUASSONA (430). 4. mETOD SPUSKA (433). 5. fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ (434). 6. mETOD OTRAVENIQ (436). x 2. iNTEGRALXNAQ FORMULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. wYWOD INTEGRALXNOJ FORMULY (437). 2. sLEDSTWIQ IZ INTEGRALXNOJ FORMULY (441). x 3. kOLEBANIQ OGRANI^ENNYH OB_EMOW . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. oB]AQ SHEMA METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH. sTOQ^IE WOLNY (444). 2. kOLEBANIQ PRQMOUGOLXNOJ MEMBRANY (450). 3. kOLEBANIQ KRUGLOJ MEMBRANY (454).

427

1.

437 444

oglawlenie

7

zADA^I K GLAWE V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pRILOVENIQ K GLAWE V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. pRIWEDENIE URAWNENIJ TEORII UPRUGOSTI K URAWNENIQM KOLEBANIJ II. uRAWNENIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ . . . . . . . . . . . . . . . . .

uRAWNENIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ I GRANI^NYE USLOWIQ (464). pOTENCIALY \LEKTROMAGNITNOGO POLQ (468). 3. |LEKTROMAGNITNOE POLE OSCILLQTORA (470).

460 461 461 464

1. 2.

g l a w a VI

rasprostranenie tepla w prostranstwe

x 1. rASPROSTRANENIE TEPLA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE . . . . 1. fUNKCIQ

TEMPERATURNOGO WLIQNIQ (477). 2. rASPROSTRANENIE TEPLA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE (481). x 2. rASPROSTRANENIE TEPLA W OGRANI^ENNYH TELAH . . . . . . . . . . 1. sHEMA METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH (486). 2. oSTYWANIE KRUGLOGO CILINDRA (489). 3. oPREDELENIE KRITI^ESKIH RAZMEROW (491). x 3. kRAEWYE ZADA^I DLQ OBLASTEJ S PODWIVNYMI GRANICAMI . . . . 1. fORMULA gRINA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI I FUNKCIQ ISTO^NIKA (493). 2. rEENIE KRAEWOJ ZADA^I (498). 3. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ OTREZKA (500). x 4. tEPLOWYE POTENCIALY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. sWOJSTWA TEPLOWYH POTENCIALOW PROSTOGO I DWOJNOGO SLOQ (502). 2. rEENIE KRAEWYH ZADA^ (505). 3. uSLOWIQ LOKALIZACII GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM (507).

zADA^I K GLAWE VI . . . . . . . . . . . . . . . . p R I L O V E N I Q K G L A W E VI . . . . . . . . . I. dIFFUZIQ OBLAKA . . . . . . . . . . . . . . . II. o RAZMAGNI^IWANII CILINDRA S OBMOTKOJ

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

477 486 493 502

. . . .

510 511 511 514

x 1. oSNOWNYE ZADA^I, PRIWODQ]IE K URAWNENI@ v + cv = 0 . . . .

519

g l a w a VII

urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE)

uSTANOWIWIESQ KOLEBANIQ (519). 2. dIFFUZIQ GAZA PRI NALI^II RASPADA I PRI CEPNYH REAKCIQH (520). 3. dIFFUZIQ W DWIVU]EJSQ SREDE (520). 4. pOSTANOWKA WNUTRENNIH KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ 1.

v + cv = 0 (521).

x 2. fUNKCII WLIQNIQ TO^E^NYH ISTO^NIKOW . . . . . . . . . . . . .

fUNKCII WLIQNIQ TO^E^NYH ISTO^NIKOW (522). 2. iNTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE REENIQ (525). 3. pOTENCIALY (528).

1.

522

oglawlenie

8

x 3. zADA^I DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI. pRINCIP IZLU^ENIQ . . .

uRAWNENIE v + cv = ;f W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE (531). pRINCIP PREDELXNOGO POGLO]ENIQ (532). 3. pRINCIP PREDELXNOJ AMPLITUDY (534). 4. uSLOWIQ IZLU^ENIQ (535). x 4. zADA^I MATEMATI^ESKOJ TEORII DIFRAKCII . . . . . . . . . . . 1. pOSTANOWKA ZADA^I (541). 2. eDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I DIFRAKCII (542). 3. dIFRAKCIQ NA SFERE (545). zADA^I K GLAWE VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p R I L O V E N I Q K G L A W E VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. wOLNY W CILINDRI^ESKIH TRUBAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. |LEKTROMAGNITNYE KOLEBANIQ W POLYH REZONATORAH . . . . . . . . 1. sOBSTWENNYE KOLEBANIQ CILINDRI^ESKOGO \NDOWIBRATORA (565). 2. |LEKTROMAGNITNAQ \NERGIQ SOBSTWENNYH KOLEBANIJ (569). 3. wOZBUVDENIE KOLEBANIJ W \NDOWIBRATORE (572). III. sKIN-\FFEKT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV. rASPROSTRANENIE RADIOWOLN NAD POWERHNOSTX@ ZEMLI . . . . . . 1. 2.

531 541 552 554 554 565 574 579

dopolnenie I

metod kone~nyh raznostej

x 1. oSNOWNYE PONQTIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

585

x 2.

597

sETKI I SETO^NYE FUNKCII (586). 2. aPPROKSIMACIQ PROSTEJIH DIFFERENCIALXNYH OPERATOROW (587). 3. rAZNOSTNAQ ZADA^A (593). 4. uSTOJ^IWOSTX (594). rAZNOSTNYE SHEMY DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI . . . . . . 1. sHEMY DLQ URAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI (597). 2. pOGRENOSTX APPROKSIMACII (599). 3. |NERGETI^ESKOE TOVDESTWO (601). 4. uSTOJ^IWOSTX (605). 5. sHODIMOSTX I TO^NOSTX (608). 6. rAZNOSTNYE SHEMY DLQ URAWNENIJ S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI (609). 7. mETOD BALANSA. kONSERWATIWNYE SHEMY (610). 8. dWUHSLOJNYE SHEMY DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI (614). 9. tREHSLOJNYE SHEMY (620). 10. rEENIE SISTEM RAZNOSTNYH URAWNENIJ. mETOD PROGONKI (622). 11. rAZNOSTNYE METODY REENIQ KWAZILINEJNYH URAWNENIJ (624). mETOD KONE^NYH RAZNOSTEJ DLQ REENIQ ZADA^I dIRIHLE . . . 1. rAZNOSTNAQ APPROKSIMACIQ OPERATORA lAPLASA (628). 2. pRINCIP MAKSIMUMA (632). 3. oCENKA REENIQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ (635). 4. sHODIMOSTX REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I dIRIHLE (636). rAZNOSTNYE METODY REENIQ ZADA^ S NESKOLXKIMI PROSTRANSTWENNYMI PEREMENNYMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. mNOGOMERNYE SHEMY (638). 2. |KONOMI^NYE SHEMY (640). iTERACIONNYE METODY REENIQ SETO^NYH URAWNENIJ . . . . . . 1. mODELXNAQ ZADA^A (649). 2. iTERACIONNYE METODY LINEJNOJ ALGEBRY (651). 3. wYBOR ITERACIONNYH PARAMETROW (652). 4. iTERACIONNYE METODY WARIACIONNOGO TIPA (654). 5. dIAGONALXNYJ OPERATOR B (656). 6. pOPEREMENNO-TREUGOLXNYJ ITERACIONNYJ METOD (657). 1.

x 3. x 4. x 5.

628

638 649

oglawlenie

9

d o p o l n e n i e II

specialxnye funkcii wWEDENIE (660). 2. oB]EE URAWNENIE TEORII SPECIALXNYH FUNKCIJ (662). 3. pOWEDENIE REENIJ W OKRESTNOSTI x = a, ESLI k(a) = = 0 (663). 4. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ (665).

1.

~ A S T X I. cILINDRI^ESKIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . x 1. cILINDRI^ESKIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

668 668

x 2. kRAEWYE ZADA^I DLQ URAWNENIQ bESSELQ . . . . . . . . . . . . . . x 3. rAZLI^NYE TIPY CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ . . . . . . . . . . .

678 682

1. sTEPENNYE RQDY (669). 2. rEKURRENTNYE FORMULY (673). 3. fUNKCII POLUCELOGO PORQDKA (674). 4. aSIMPTOTI^ESKIJ PORQDOK CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ (675).

fUNKCII hANKELQ (682). 2. fUNKCII hANKELQ I nEJMANA (684). fUNKCII MNIMOGO ARGUMENTA (686). 4. fUNKCIQ K0 (x) (688). x 4. pREDSTAWLENIE CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ W WIDE KONTURNYH INTEGRALOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. kONTURNYE INTEGRALY (693). 2. fUNKCII hANKELQ (695). 3. nEKOTORYE SWOJSTWA GAMMA-FUNKCII (696). 4. iNTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE FUNKCII bESSELQ (698). 5. iNTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE K
(x) (699). 6. aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ (701). x 5. iNTEGRAL fURXE | bESSELQ I NEKOTORYE INTEGRALY, SODERVA]IE FUNKCII bESSELQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. iNTEGRAL fURXE | bESSELQ (703). 2. nEKOTORYE INTEGRALY, SODERVA]IE FUNKCII bESSELQ (705). 1. 3.

~ A S T X II. sFERI^ESKIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1. pOLINOMY lEVANDRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pROIZWODQ]AQ FUNKCIQ I POLINOMY lEVANDRA (709). 2. rEKURRENTNYE FORMULY (711). 3. uRAWNENIE lEVANDRA (712). 4. oRTOGONALXNOSTX POLINOMOW lEVANDRA (713). 5. nORMA POLINOMOW lEVANDRA (714). 6. nULI POLINOMOW lEVANDRA (715). 7. oGRANI^ENNOSTX POLINOMOW lEVANDRA (715). x 2. pRISOEDINENNYE FUNKCII lEVANDRA . . . . . . . . . . . . . . . 1. pRISOEDINENNYE FUNKCII (716). 2. nORMA PRISOEDINENNYH FUNKCIJ (717). 3. pOLNOTA SISTEMY PRISOEDINENNYH FUNKCIJ (718). x 3. gARMONI^ESKIE POLINOMY I SFERI^ESKIE FUNKCII . . . . . . . 1. gARMONI^ESKIE POLINOMY (720). 2. sFERI^ESKIE FUNKCII (721). 3. oRTOGONALXNOSTX SISTEMY SFERI^ESKIH FUNKCIJ (724). 4. zAMKNUTOSTX SISTEMY SFERI^ESKIH FUNKCIJ (727). 5. rAZLOVENIE PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM (728). x 4. nEKOTORYE PRIMERY PRIMENENIQ SFERI^ESKIH FUNKCIJ . . . . 1. zADA^A dIRIHLE DLQ SFERY (733). 2. pROWODQ]AQ SFERA W POLE TO^E^NOGO ZARQDA (733). 3. pOLQRIZACIQ ARA W ODNORODNOM POLE (734). 4. sOBSTWENNYE KOLEBANIQ SFERY (737). 5. wNENQQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ SFERY (740).

693

703 709 709

1.

716 720

732

oglawlenie

10

~ A S T X III. pOLINOMY ~EBY EWA | |RMITA I ~EBY EWA | ................................... x 1. pOLINOMY ~EBYEWA | |RMITA . . . . . . . . . . . . . . . . . .

lAGERRA

dIFFERENCIALXNAQ FORMULA (742). 2. rEKURRENTNYE FORMULY (743). 3. uRAWNENIE ~EBYEWA | |RMITA (743). 4. nORMA POLINOMOW Hn (x) (744). 5. fUNKCII ~EBYEWA | |RMITA (745). x 2. pOLINOMY ~EBYEWA | lAGERRA . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. dIFFERENCIALXNAQ FORMULA (745). 2. rEKURRENTNYE FORMULY (746). 3. uRAWNENIE ~EBYEWA | lAGERRA (746). 4. oRTOGONALXNOSTX I NORMA POLINOMOW ~EBYEWA | lAGERRA (747). 5. oBOB]ENNYE POLINOMY ~EBYEWA | lAGERRA (747). x 3. pROSTEJIE ZADA^I DLQ URAWNENIQ {REDINGERA . . . . . . . . . 1. uRAWNENIE {REDINGERA (749). 2. gARMONI^ESKIJ OSCILLQTOR (750). 3. rOTATOR (752). 4. dWIVENIE \LEKTRONA W KULONOWOM POLE (753). ~ A S T X IV. fORMULY, TABLICY I GRAFIKI . . . . . . . . . . . . I. oSNOWNYE SWOJSTWA SPECIALXNYH FUNKCIJ . . . . . . . . . . . . . . II. tABLICY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. gRAFIKI SPECIALXNYH FUNKCIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV. rAZLI^NYE ORTOGONALXNYE SISTEMY KOORDINAT . . . . . . . . . .

742 742

1.

745

749 758 758 764 767 769

d o p o l n e n i e III

obob}ennye re{eniq kraewyh zada~

x 1. nEKOTORYE PONQTIQ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA . . . . . . . . . .

777

x 2. oBOB]ENNOE REENIE ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ pUASSONA

782

dOPOLNITELXNAQ LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pREDMETNYJ UKAZATELX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

791 792

wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ OB INTEGRALE lEBEGA, OBOB]ENNOJ ^ASTNOJ PROIZWODNOJ I NEKOTORYH FUNKCIONALXNYH PROSTRANSTWAH (777). 2. fUNKCIONALXNYE PROSTRANSTWA (781).

1.

oPREDELENIE OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE (782). 2. dWA OSNOWNYH NERAWENSTWA (785). 3. eDINSTWENNOSTX I SU]ESTWOWANIE OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE (787).

1.

predislowie k {estomu izdani` pROLO PO^TI 50 LET POSLE WYHODA W SWET 1-GO IZDANIQ \TOJ KNIGI I BOLEE 20 LET POSLE WYHODA 5-GO. kNIGA PROLA ISPYTANIQ WO MNOGIH WYSIH U^EBNYH ZAWEDENIQH W NAEJ STRANE I ZA RUBEVOM, BYLA PEREWEDENA NA 11 INOSTRANNYH QZYKOW, SYGRALA BOLXU@ ROLX W PODGOTOWKE SPECIALISTOW PO PRIKLADNOJ MATEMATIKE. zA POSLEDNIE 50 LET W NAUKE PROIZOLI BOLXIE IZMENENIQ W SWQZI S NEOBHODIMOSTX@ REENIQ TAKIH KRUPNYH NAU^NO-TEHNI^ESKIH PROBLEM, KAK: 1) OWLADENIE QDERNOJ I TERMOQDERNOJ \NERGIEJ 2) SOZDANIE WYSOKOSKOROSTNYH LETATELXNYH APPARATOW (SAMOLETOW, RAKET) 3) IZU^ENIE FIZIKI PLAZMY W SWQZI S PROBLEMOJ UPRAWLQEMOGO TERMOQDERNOGO SINTEZA 4) PROBLEMY RISKA I BEZOPASNOSTI W SWQZI S IZU^ENIEM OKRUVA@]EJ SREDY, SOZDANIEM NOWYH TEHNOLOGIJ, BEZOPASNYH DLQ OKRUVA@]EJ SREDY (\KOLOGI^ESKI ^ISTYH), I DR. wAVNEJEJ ZADA^EJ NAUKI STALA ZADA^A ANALIZA SLOVNYH FIZIKOHIMI^ESKIH PROCESSOW I TEHNI^ESKIH SISTEM I UPRAWLENIE IMI NA OSNOWE ZNANIQ. sOZDANIE WY^ISLITELXNOJ TEHNIKI KOLOSSALXNO RASIRILO I UGLUBILO NAU^NYE ISSLEDOWANIQ, PRIWELO K RAZWITI@ WY^ISLITELXNYH METODOW, POQWLENI@ METODOLOGII MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ I WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA KAK NOWOJ, BOLEE WYSOKOJ STUPENI TEORETI^ESKOGO IZU^ENIQ QWLENIJ. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE OPIRAETSQ NA TRIADU MATEMATI^ESKAQ MODELX | WY^ISLITELXNYJ ALGORITM | PROGRAMMA DLQ KOMPX@TERA. mATEMATI^ESKIE MODELI | ZAMKNUTAQ SISTEMA URAWNENIJ (ALGEBRAI^ESKIH, DIFFERENCIALXNYH, INTEGRALXNYH I DR.) DLQ HARAKTERNYH FUNKCIJ IZU^AEMOJ ZADA^I. oNI OPISYWA@T, KAK PRAWILO, NEKOTORYE ZAKONY PRIRODY (NAPRIMER, ZAKONY SOHRANENIQ \NERGII, MASSY, IMPULXSA I T. D.) I WKL@^A@T INFORMACI@ O SWOJSTWAH SREDY (NAPRIMER, W WIDE KO\FFICIENTOW URAWNENIJ). pROCESSY FIZIKI I TEHNIKI HARAKTERIZU@TSQ BOLXIMI DIAPAZONAMI IZMENENIQ OSNOWNYH TERMODINAMI^ESKIH WELI^IN | TEMPERATURY, SKOROSTI, PLOTNOSTI I T. D. dLQ IH OPISANIQ ISPOLXZU@TSQ LINEJNYE I NELINEJNYE MODELI, TO^NEE, IERARHIQ MODELEJ RAZNOJ SLOVNOSTI

12

predislowie

(POLNOTY). nELINEJNYE MODELI WKL@^A@T W SEBQ NELINEJNYE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ. tAKIE MODELI ISSLEDU@TSQ WSEMI DOSTUPNYMI SREDSTWAMI, KAK ANALITI^ESKIMI, TAK I ^ISLENNYMI. pONQTIE REITX ZADA^U RASIRILOSX: TREBUETSQ NE TOLXKO DATX PRAWILXNU@ MATEMATI^ESKU@ POSTANOWKU ZADA^I I ISSLEDOWATX EE ANALITI^ESKIMI METODAMI (W TOJ MERE, W KAKOJ \TO WOZMOVNO)| DOKAZATX SU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I, NAJTI EE ^ASTNYE I OB]IE REENIQ, NO I DATX ^ISLENNOE REENIE W NUVNOJ OBLASTI IZMENENIQ WHODNYH DANNYH (NA^ALXNYH I KRAEWYH DANNYH, KO\FFICIENTOW URAWNENIJ, PRAWYH ^ASTEJ URAWNENIJ), T. E. PROWESTI WY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT. dLQ PRAKTIKI | NAJTI OPTIMALXNOE (W NEKOTOROM SMYSLE) REENIE, ^TO TREBUET IZU^ENIQ KLASSA ZADA^ S RAZLI^NYMI WHODNYMI DANNYMI. mATEMATI^ESKAQ FIZIKA | NAUKA O MATEMATI^ESKIH MODELQH FIZIKI. oNA NOSIT MEVDISCIPLINARNYJ HARAKTER. oDNI I TE VE MODELI (DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ) MOGUT OPISYWATX PROCESSY RAZNOJ PRIRODY. tAK, NAPRIMER, URAWNENIE PARABOLI^ESKOGO TIPA MOVET OPISYWATX PROCESSY TEPLOPROWODNOSTI, DIFFUZII, FILXTRACII, NAMAGNI^IWANIQ I DR. pO\TOMU MOVNO GOWORITX O BAZOWYH ZADA^AH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO, GIPERBOLI^ESKOGO I \LLIPTI^ESKOGO TIPOW QWLQ@TSQ PRIMERAMI BAZOWYH ZADA^. sLOVNYE FIZI^ESKIE PROCESSY OPISYWA@TSQ MODELQMI, QWLQ@]IMISQ, KAK PRAWILO, OB_EDINENIEM NESKOLXKIH BAZOWYH ZADA^. tIPI^NYE BAZOWYE ZADA^I I RASSMATRIWA@TSQ W DANNOJ KNIGE. mATERIAL \TOJ KNIGI | KLASSI^ESKIJ, USTOQWIJSQ, SOWERENNO NEOBHODIMYJ DLQ SPECIALISTA L@BOGO RANGA PRI IZU^ENII ZADA^ RAZLI^NOJ SLOVNOSTI. mNOGOLETNIE ISPYTANIQ W PEDAGOGI^ESKOJ PRAKTIKE POKAZALI, ^TO ON NE STAREET I QWLQETSQ SOWERENNO NEOBHODIMOJ OSNOWOJ SOWREMENNOGO OBRAZOWANIQ PO SPECIALXNOSTQM mATEMATI^ESKAQ FIZIKA I mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE. lINEJNYE MODELI, KOTORYE DETALXNO IZU^A@TSQ W KNIGE, POPREVNEMU IGRA@T WAVNU@ ROLX PRI REENII ZADA^ L@BOJ SLOVNOSTI. iH IZU^ENIE (MATEMATI^ESKAQ POSTANOWKA ZADA^I, PROBLEMA SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI REENIQ, TIPI^NYE ANALITI^ESKIE METODY ISSLEDOWANIQ, OTYSKANIE ^ASTNYH REENIJ ZADA^) NUVNO DLQ PONIMANIQ FIZI^ESKIH PROCESSOW, A SAMI ^ASTNYE REENIQ ISPOLXZU@TSQ W KA^ESTWE TESTOW DLQ WY^ISLITELXNYH ALGORITMOW. w KA^ESTWE dOPOLNENIQ I W 3-E IZDANIE KNIGI (1966 G.) BYL WWEDEN RAZDEL mETOD KONE^NYH RAZNOSTEJ, W KOTOROM DANY W PROSTEJEJ

FORME SWEDENIQ O METODE KONE^NYH RAZNOSTEJ DLQ REENIQ TIPI^NYH URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI I WWEDENY OSNOWNYE PONQTIQ TEORII RAZNOSTNYH SHEM. bOLEE PODROBNYE SWEDENIQ PO TEORII RAZNOSTNYH SHEM I EE PRIMENENIQM IZLOVENY W CIKLE KNIG: s A M A R S K I J a. a. tEORIQ RAZNOSTNYH SHEM. m.: nAUKA, 1989. s A M A R S K I J a. a. wWEDENIE W ^ISLENNYE METODY. m.: nAUKA, 1987. s A M A R S K I J a. a., g U L I N a. w. uSTOJ^IWOSTX RAZNOSTNYH

predislowie

13

URAWNENIJ. m.: nAUKA, 1973. s A M A R S K I J a. a., g U L I N a. w. ~ISLENNYE METODY. m.: nAUKA, 1989. s A M A R S K I J a. a., a N D R E E W w. b. rAZNOSTNYE METODY REENIQ \LLIPTI^ESKIH URAWNENIJ. m.: nAUKA, 1978. s A M A R S K I J a. a., p O P O W `. p. rAZNOSTNYE SHEMY GAZOWOJ DINAMIKI. m.: nAUKA, 1990. s A M A R S K I J a. a., n I K O L A E W e. s. mETODY REENIQ SETO^NYH URAWNENIJ. m.: nAUKA, 1978. sLEDUET OTMETITX, ^TO \TI KNIGI PO STIL@ I METODOLOGII PRIMYKA@T K NASTOQ]EMU IZDANI@. w RQDE U^EBNYH POSOBIJ, NAPISANNYH NA TU VE TEMU W POSLEDNIE GODY, IZLOVENIE S SAMOGO NA^ALA OSNOWANO NA FORMALIZME OBOB]ENNYH REENIJ. w DANNOJ VE KNIGE OBOB]ENNYE REENIQ WYNESENY W dOPOLNENIE III oBOB]ENNYE REENIQ KRAEWYH ZADA^, I \TO NE ARHAIZM: KNIGA PREDNAZNA^ENA DLQ PRIKLADNIKOW (FIZIKOW, INVENEROW), KOTORYE DOLVNY NE TOLXKO UMETX DOKAZYWATX TEOREMY SU]ESTWOWANIQ, NO I, W PERWU@ O^EREDX, OWLADETX TEHNIKOJ REENIQ ZADA^ S DOWEDENIEM DO OTWETA W WIDE FORMULY ILI WY^ISLITELXNOGO ALGORITMA I ^ISLA. w 6-E IZDANIE KNIGI WNESENY REDAKCIONNYE ISPRAWLENIQ I NEKOTORYE DOPOLNENIQ, IZ KOTORYH OTMETIM RAZDELY, POSWQ]ENNYE KRAEWYM ZADA^AM DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, REVIMAM S OBOSTRENIEM I \FFEKTOM LOKALIZACII TEPLA, OBNARUVENNYM AWTORAMI S SOTRUDNIKAMI. tEORETI^ESKIJ MATERIAL KNIGI uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI ILL@STRIRUETSQ PRIKLADNYMI ZADA^AMI W PRILOVENIQH K KAVDOJ IZ GLAW. kROME TOGO, IMEETSQ sBORNIK ZADA^ PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE (AWTORY | b. m. bUDAK, a. a. sAMARSKIJ, a. n. tIHONOW), 4-E IZDANIE KOTOROGO NAHODITSQ W PE^ATI, GDE SODERVITSQ BOLXOE ^ISLO ZADA^ NA WYWOD URAWNENIJ I GRANI^NYH USLOWIJ, A TAKVE NA PRIMENENIE RAZLI^NYH METODOW REENIQ OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. w ZAKL@^ENIE WYRAVA@ GLUBOKU@ BLAGODARNOSTX w. a. iLXINU I e. i. mOISEEWU ZA NEOCENIMU@ POMO]X PRI NAPISANII dOPOLNENIQ III. w PODGOTOWKE 6-GO IZDANIQ KNIGI PRINIMALI U^ASTIE p. n. wABI]EWI^, w. a. gALAKTIONOW, n. n. kALITKIN, `. l. lEWITAN, a. s. bOLDAREW, n. g. sIROTENKO, e. w. {ILXNIKOW, i. w. aBALAKIN, I OSOBENNO BOLXOJ WKLAD PRINADLEVIT s. w. pOLQKOWU. pRI PODGOTOWKE K PE^ATI PREDESTWU@]IH IZDANIJ KNIGI OKAZALI BOLXU@ POMO]X a. g. sWENIKOW, w. l. aRSENIN, w. w. kRAWCOW, a. f. nIKIFOROW, i. s. gU]IN. wSEM IM WYRAVA@ GLUBOKU@ BLAGODARNOSTX. 1999 G.

a. a. sAMARSKIJ

14

predislowie

iz predislowiq k perwomu izdani`

kRUG WOPROSOW MATEMATI^ESKOJ FIZIKI TESNO SWQZAN S IZU^ENIEM RAZLI^NYH FIZI^ESKIH PROCESSOW. s@DA OTNOSQTSQ QWLENIQ, IZU^AEMYE W GIDRODINAMIKE, TEORII UPRUGOSTI, \LEKTRODINAMIKE I T. D. wOZNIKA@]IE PRI \TOM MATEMATI^ESKIE ZADA^I SODERVAT MNOGO OB]IH \LEMENTOW I SOSTAWLQ@T PREDMET MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. mETOD ISSLEDOWANIQ, HARAKTERIZU@]IJ \TU OTRASLX NAUKI, QWLQETSQ MATEMATI^ESKIM PO SWOEMU SU]ESTWU. oDNAKO POSTANOWKA ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, BUDU^I TESNO SWQZANNOJ S IZU^ENIEM FIZI^ESKIH PROBLEM, IMEET SPECIFI^ESKIE ^ERTY. kRUG WOPROSOW, OTNOSQ]IHSQ K MATEMATI^ESKOJ FIZIKE, ^REZWY^AJNO IROK. w PREDLAGAEMOJ KNIGE RASSMATRIWA@TSQ ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, PRIWODQ]IE K URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. mY STREMILISX POD^INITX WYBOR I IZLOVENIE MATERIALA HARAKTERISTIKE TIPI^NYH FIZI^ESKIH PROCESSOW, W SWQZI S ^EM RASPOLOVENIE MATERIALA SOOTWETSTWUET OSNOWNYM TIPAM URAWNENIJ. iZU^ENIE KAVDOGO TIPA URAWNENIJ NA^INAETSQ S PROSTEJIH FIZI^ESKIH ZADA^, PRIWODQ]IH K URAWNENIQM RASSMATRIWAEMOGO TIPA. oSOBOE WNIMANIE UDELQETSQ MATEMATI^ESKOJ POSTANOWKE ZADA^, STROGOMU IZLOVENI@ REENIQ PROSTEJIH ZADA^ I FIZI^ESKOJ INTERPRETACII POLU^AEMYH REZULXTATOW. w KAVDOJ GLAWE POME]ENY ZADA^I, PRESLEDU@]IE W OSNOWNOM CELX RAZWITIQ TEHNI^ESKIH NAWYKOW. nEKOTORYE ZADA^I SAMI PO SEBE PREDSTAWLQ@T FIZI^ESKIJ INTERES. w KONCE KAVDOJ GLAWY POME]ENY PRILOVENIQ, W KOTORYH DA@TSQ PRIMERY PRIMENENIQ IZLOVENNYH W OSNOWNOM TEKSTE METODOW K REENI@ RAZLI^NYH ZADA^ FIZIKI I TEHNIKI, A TAKVE PRIWODITSQ RQD PRIMEROW, WYHODQ]IH ZA RAMKI ZADA^, RASSMATRIWAEMYH W OSNOWNOM TEKSTE. wYBOR TAKIH PRIMEROW, NESOMNENNO, MOVNO SILXNO WARXIROWATX. kNIGA SODERVIT LIX ^ASTX MATERIALA, WHODQ]EGO W KURS METODOW MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. w KNIGU NE WHODQT TEORIQ INTEGRALXNYH URAWNENIJ I WARIACIONNYE METODY. pRIBLIVENNYE METODY IZLOVENY NEDOSTATO^NO POLNO. w OSNOWU KNIGI BYLI POLOVENY LEKCII, ^ITAWIESQ SWYE DESQTI LET a. n. tIHONOWYM NA FIZI^ESKOM FAKULXTETE mgu. ~ASTI^NO SODERVANIE \TIH LEKCIJ BYLO OTRAVENO W KONSPEKTAH, IZDANNYH W 1948 | 1949 GG. w PREDLAGAEMOJ KNIGE MATERIAL KONSPEKTOW BYL RASIREN I PODWERGNUT KORENNOJ PERERABOTKE. mY RADY WOZMOVNOSTI WYRAZITX BLAGODARNOSTX NAIM U^ENIKAM I TOWARI]AM PO RABOTE a. b. wASILXEWOJ, w. b. gLASKO, w. a. iLXINU, a. w. lUKXQNOWU, o. i. pANY^U, b. l. rOVDESTWENSKOMU, a. g. sWENIKOWU I d. n. ~ETAEWU, BEZ POMO]I KOTORYH MY WRQD LI SMOGLI BY PODGOTOWITX K PE^ATI KNIGU W KOROTKIJ SROK, A TAKVE `. l. rABINOWI^U, PRO^ITAWEMU RUKOPISX I SDELAWEMU RQD CENNYH ZAME^ANIJ. 1951 G. a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

glawa I

klassifikaciq differencialxnyh urawnenij s ~astnymi proizwodnymi mNOGIE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI PRIWODQT K DIFFERENCIALXNYM URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. nAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@TSQ DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ 2-GO PORQDKA. w NASTOQ]EJ GLAWE MY RASSMOTRIM KLASSIFIKACI@ \TIH URAWNENIJ.

x 1. kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ

S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 2-GO PORQDKA 1. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI. dADIM NEOBHODIMYE OPREDELENIQ.

uRAWNENIEM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 2-GO PORQDKA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI x, y NAZYWAETSQ SOOTNOENIE MEVDU NEIZWESTNOJ FUNKCIEJ u (x
y) I EE ^ASTNYMI PROIZWODNYMI DO 2-GO PORQDKA WKL@^ITELXNO1): F (x
y
u
ux
uy
uxx
uxy
uyy ) = 0: aNALOGI^NO ZAPISYWAETSQ URAWNENIE I DLQ BOLXEGO ^ISLA NEZAWISIMYH PEREMENNYH. uRAWNENIE NAZYWAETSQ L I N E J N Y M O T N O S I T E L X N O S T A R I H P R O I Z W O D N Y H, ESLI ONO IMEET WID a11 uxx + 2a12uxy + a22 uyy + F1 (x
y
u
ux
uy ) = 0
(1) GDE a11 , a12 , a22 QWLQ@TSQ FUNKCIQMI x I y. eSLI KO\FFICIENTY a11 , a12 , a22 NE TOLXKO ZAWISQT OT x I y, A QWLQ@TSQ, PODOBNO F1 , FUNKCIQMI x, y, u, ux, uy , TO TAKOE URAWNENIE NAZYWAETSQ K W A Z I L I N E J N Y M. 1)

mY POLXZUEMSQ SLEDU@]IMI OBOZNA^ENIQMI DLQ PROIZWODNYH: @u  u = @u  u = @ 2 u  u = @ 2 u  u = @ 2 u I T. D. ux = @x y @y xx @x2 xy @x @y yy @y 2

16 klassifikaciq differencialxnyh urawnenij gl. I

uRAWNENIE NAZYWAETSQ L I N E J N Y M, ESLI ONO LINEJNO KAK OTNOSITELXNO STARIH PROIZWODNYH uxx, uxy , uyy , TAK I OTNOSITELXNO FUNKCII u I EE PERWYH PROIZWODNYH ux, uy : a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + b1ux + b2 uy + cu + f = 0
(2) GDE a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f | FUNKCII TOLXKO x I y. eSLI KO\FFICIENTY URAWNENIQ (2) NE ZAWISQT OT x I y, TO ONO PREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNOE URAWNENIE S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI. uRAWNENIE NAZYWAETSQ O D N O R O D N Y M, ESLI f (x
y) = 0. s POMO]X@ PREOBRAZOWANIQ PEREMENNYH  = ' (x
y)
 =  (x
y)
DOPUSKA@]EGO OBRATNOE PREOBRAZOWANIE, MY POLU^AEM NOWOE URAWNENIE, \KWIWALENTNOE ISHODNOMU. eSTESTWENNO POSTAWITX WOPROS: KAK WYBRATX  I , ^TOBY URAWNENIE W \TIH PEREMENNYH IMELO NAIBOLEE PROSTU@ FORMU? w \TOM PUNKTE MY DADIM OTWET NA POSTAWLENNYJ WOPROS DLQ URAWNENIJ, LINEJNYH OTNOSITELXNO STARIH PROIZWODNYH WIDA (1) S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI x I y: a11 uxx + 2a12uxy + a22 uyy + F (x
y
u
ux
uy ) = 0: pREOBRAZUQ PROIZWODNYE K NOWYM PEREMENNYM, POLU^AEM 9 ux = u x + u x
> > uy = u y + u y
= 2 2 (3) uxx = u x + 2u x x + u x + u xx + u xx
> uxy = u x y + u (x y + y x ) + u x y + u xy + u xy
>  uyy = u y2 + 2u y y + u y2 + u yy + u yy : pODSTAWLQQ ZNA^ENIQ PROIZWODNYH IZ (3) W URAWNENIE (1), BUDEM IMETX a11 u + 2a12 u + a22 u + F = 0
(4) GDE a11 = a11 x2 + 2a12 x y + a22 y2
a12 = a11 x x + a12 (x y + x y ) + a22 y y
a22 = a11 x2 + 2a12 x y + a22 y2
A FUNKCIQ F NE ZAWISIT OT WTORYH PROIZWODNYH. zAMETIM, ^TO ESLI ISHODNOE URAWNENIE LINEJNO, T. E. F (x
y
u
ux
uy ) = b1 ux + b2 uy + cu + f
TO F IMEET WID F (

u
u
u ) = 1 u + 2 u + u +


x 1]

klassifikaciq urawnenij 2-go porqdka

17

T. E. URAWNENIE OSTAETSQ LINEJNYM1) . wYBEREM PEREMENNYE  I  TAK, ^TOBY KO\FFICIENT a11 BYL RAWEN NUL@. rASSMOTRIM URAWNENIE S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 1-GO PORQDKA a11 zx2 + 2a12 zx zy + a22 zy2 = 0: (5) pUSTX z = ' (x
y) | KAKOE-NIBUDX ^ASTNOE REENIE \TOGO URAWNENIQ. eSLI POLOVITX  = ' (x
y), TO KO\FFICIENT a11 , O^EWIDNO, BUDET RAWEN NUL@. tAKIM OBRAZOM, UPOMQNUTAQ WYE ZADA^A O WYBORE NOWYH NEZAWISIMYH PEREMENNYH SWQZANA S REENIEM URAWNENIQ (5). dOKAVEM SLEDU@]IE LEMMY. 1. eSLI z = ' (x
y) QWLQETSQ ^ASTNYM REENIEM URAWNENIQ a11 zx2 + 2a12 zx zy + a22 zy2 = 0
TO SOOTNOENIE ' (x
y) = C PREDSTAWLQET SOBOJ oB]IJ INTEGRAL OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ a11 dy2 ; 2a12 dx dy + a22 dx2 = 0: (6) 2. eSLI ' (x
y) = C PREDSTAWLQET SOBOJ OB]IJ INTEGRAL OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ a11 dy2 ; 2a12 dx dy + a22 dx2 = 0
TO FUNKCIQ z = ' (x
y) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (5). dOKAVEM PERWU@ LEMMU. pOSKOLXKU FUNKCIQ z = ' (x
y) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (5), TO RAWENSTWO  2   a11 ''x ; 2a12 ; ''x + a22 = 0 (7) y y QWLQETSQ TOVDESTWOM: ONO UDOWLETWORQETSQ DLQ WSEH x, y W TOJ OBLASTI, GDE ZADANO REENIE. sOOTNOENIE ' (x
y) = C QWLQETSQ OB]IM INTEGRALOM URAWNENIQ (6), ESLI FUNKCIQ y, OPREDELENNAQ IZ NEQWNOGO SOOTNOENIQ ' (x
y) = C , UDOWLETWORQET URAWNENI@ (6). pUSTX y = f (x
C ) ESTX \TA FUNKCIQ TOGDA   dy = ; 'x (x
y) (8) dx 'y (x
y) y=f (x C )
GDE KWADRATNYE SKOBKI I INDEKS y = f (x
C ) UKAZYWA@T, ^TO W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (8) PEREMENNAQ y NE QWLQETSQ NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, A IMEET ZNA^ENIE, RAWNOE f (x
C ). oTS@DA SLEDUET, ^TO 1) oTMETIM, ^TO ESLI PREOBRAZOWANIE PEREMENNYH LINEJNO, TO F = F , TAK KAK WTORYE PROIZWODNYE OT  I  W FORMULAH (3) RAWNY NUL@ I F NE POLU^AET DOPOLNITELXNYH SLAGAEMYH OT PREOBRAZOWANIQ WTORYH PROIZWODNYH.

2 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

18 klassifikaciq differencialxnyh urawnenij gl. I

y = f (x
C ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (6), TAK KAK  dy 2 dy + a = a11 dx ; 2a12 dx 22 "  2  'x  # ' x = a11 ; ' ; 2a12 ; ' + a22 = 0
y y y=f (x C ) POSKOLXKU WYRAVENIE W KWADRATNYH SKOBKAH RAWNO NUL@ PRI WSEH ZNA^ENIQH x, y, A NE TOLXKO PRI y = f (x
C ). dOKAVEM WTORU@ LEMMU. pUSTX ' (x
y) = C | OB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ (6). dOKAVEM, ^TO a11 '2x + 2a12 'x 'y + a22 '2y = 0 (70 ) DLQ L@BOJ TO^KI (x
y). pUSTX (x0
y0 ) | KAKAQ-NIBUDX ZADANNAQ TO^KA. eSLI MY DOKAVEM, ^TO W NEJ UDOWLETWORQETSQ RAWENSTWO (70 ), TO OTS@DA W SILU PROIZWOLXNOSTI (x0
y0 ) BUDET SLEDOWATX, ^TO RAWENSTWO (70 ) ESTX TOVDESTWO I FUNKCIQ ' (x
y) QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (70 ). pROWEDEM ^EREZ TO^KU (x0
y0 ) INTEGRALXNU@ KRIWU@ URAWNENIQ (6), POLAGAQ ' (x0
y0 ) = C0 I RASSMATRIWAQ KRIWU@ y = f (x
C0 ). o^EWIDNO, ^TO y0 = f (x0
C0 ). dLQ WSEH TO^EK \TOJ KRIWOJ IMEEM  dy 2 dy + a = a11 dx ; 2a12 dx 22 "  2  'x  # ' x = a11 ; ' ; 2a12 ; ' + a22 = 0: y y y=f (x C0 ) pOLAGAQ W POSLEDNEM RaWENSTWE x = x0 , POLU^AEM a11 '2x (x0
y0 ) + 2a12 'x (x0
y0 ) 'y (x0
y0 ) + a22 '2y (x0
y0 ) = 0
^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX 1) . uRAWNENIE (6) NAZYWAETSQ H A R A K T E R I S T I ^ E S K I M DLQ URAWNENIQ (1), A EGO INTEGRALY | H A R A K TE R I S T I K A M I. pOLAGAQ  = ' (x
y), GDE ' (x
y) = const ESTX OB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ (6), MY OBRA]AEM W NULX KO\FFICIENT PRI u . eSLI  (x
y) = const QWLQETSQ DRUGIM OB]IM INTEGRALOM URAWNENIQ (6), NEZAWISIMYM OT ' (x
y), TO, POLAGAQ  =  (x
y), MY OBRATIM W NULX TAKVE I KO\FFICIENT PRI u . 1)

uSTANOWLENNAQ SWQZX URAWNENIJ (5) I (6) \KWIWALENTNA IZWESTNOJ SWQZI MEVDU LINEJNYM URAWNENIEM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 1-GO PORQDKA I SISTEMOJ OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (SM.: s T e P A N O W w. w. kURS DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. m., 1959. s. 314 s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. t. II. m., 1974. s. 67.). w \TOM MOVNO UBEDITXSQ, RAZLAGAQ LEWU@ ^ASTX URAWNENIQ (5) W PROIZWEDENIE DWUH LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH WYRAVENIJ.

x 1]

klassifikaciq urawnenij 2-go porqdka

uRAWNENIE (6) RASPADAETSQ NA DWA URAWNENIQ: p dy = a12 + a212 ; a11 a22
dx a11

p

dy = a12 ; a212 ; a11 a22 : dx a11 zNAK PODKORENNOGO WYRaVENIQ OPREDELQET TIP URAWNENIQ (1) a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + F = 0: |TO URAWNENIE MY BUDEM NAZYWATX W TO^KE M URAWNENIEM

19 (9) (10)

G I P E R B O L I ^ E S K O G O TIPA, ESLI W TO^KE M a212 ; a11 a22 > 0
P A R A B O L I ^ E S K O G O TIPA, ESLI W TO^KE M a212 ; a11 a22 = 0
\ L L I P T I ^ E S K O G O TIPA, ESLI W TO^KE M a212 ; a11 a22 < 0 1): nETRUDNO UBEDITXSQ W PRAWILXNOSTI SOOTNOENIQ a212 ; a11 a22 = (a212 ; a11 a22 ) D2
D = x y ; x y
IZ KOTOROGO SLEDUET INWARIANTNOSTX TIPA URAWNENIQ PRI PREOBRAZOWANII PEREMENNYH, TAK KAK FUNKCIONALXNYJ OPREDELITELX (QKOBIAN) D PREOBRAZOWANIQ PEREMENNYH OTLI^EN OT NULQ. w RAZLI^NYH TO^KAH OBLASTI OPREDELENIQ URAWNENIE MOVET PRINADLEVATX RAZLI^NYM TIPAM. rASSMOTRIM OBLASTX G, WO WSEH TO^KAH KOTOROJ URAWNENIE IMEET ODIN I TOT VE TIP. ~EREZ KAVDU@ TO^KU OBLASTI G PROHODQT DWE HARAKTERISTIKI, PRI^EM DLQ URAWNENIJ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA HARAKTERISTIKI DEJSTWITELXNY I RAZLI^NY, DLQ URAWNENIJ \LLIPTI^ESKOGO TIPA | KOMPLEKSNY I RAZLI^NY, A DLQ URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA OBE HARAKTERISTIKI DEJSTWITELXNY I SOWPADA@T MEVDU SOBOJ. rAZBEREM KAVDYJ IZ \TIH SLU^AEW W OTDELXNOSTI . 1. dLQ URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA a212 ; a11 a22 > 0 I PRAWYE ^ASTI URAWNENIJ (9) I (10) DEJSTWITELXNY I RAZLI^NY. oB]IE INTEGRALY IH ' (x
y) = C I  (x
y) = C OPREDELQ@T DEJSTWITELXNYE SEMEJSTWA HARAKTERISTIK. pOLAGAQ  = ' (x
y)
 =  (x
y)
(11) PRIWODIM URAWNENIE (4) POSLE DELENIQ NA KO\FFICIENT PRI u K WIDU  u =  (

u
u
u )
GDE  = ; 2aF : 12 1)

2


|TA TERMINOLOGIQ ZAIMSTWOWANA IZ TEORII KRIWYH 2-GO PORQDKA.

20 klassifikaciq differencialxnyh urawnenij gl. I

|TO | TAK NAZYWAEMAQ K A N O N I ^ E S K A Q FORMA URAWNENIJ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA 1) . ~ASTO POLXZU@TSQ WTOROJ KANONI^ESKOJ FORMOJ. pOLOVIM  = + 
 = ; 
T. E. =  +2 
 =  ;2 
GDE I  | NOWYE PEREMENNYE. tOGDA

u = 21 (u + u )
u = 21 (u ; u )
u = 14 (u ; u ): w REZULXTATE URAWNENIE (4) PRIMET WID u ; u = 1 (1 = 4): 2. dLQ URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA a212 ; a11 a22 = 0 URAWNENIQ (9) I (10) SOWPADA@T I MY POLU^AEM ODIN OB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ (6): ' (x
y) = const. pOLOVIM W \TOM SLU^AE  = ' (x
y) I  =  (x
y)
GDE  (x
y) | L@BAQ FUNKCIQ, NEZAWISIMAQ OT '. pRI TAKOM WYBORE PEREMENNYH KO\FFICIENT a11 = a11 x2 + 2a12 x y + a22 y2 = (pa11 x + pa22 y )2 = 0
1)

dLQ TOGO ^TOBY BYLO WOZMOVNO WWEDENIE NOWYH PEREMENNYH  I  ^EREZ FUNKCII ' I , NADO UBEDITXSQ W NEZAWISIMOSTI \TIH FUNKCIJ, DOSTATO^NYM USLOWIEM ^EGO QWLQETSQ OTLI^IE OT NULQ SOOTWETSTWU@]EGO FUNKCIONALXNOGO OPREDELITELQ. pUSTX FUNKCIONALXNYJ OPREDELITELX  'x x   'y y  W NEKOTOROJ TO^KE M OBRA]AETSQ W NULX. tOGDA DOLVNA IMETX MESTO PROPORCIONALXNOSTX STROK, T. E. 'x = x  'y y ^TO, ODNAKO, NEWOZMOVNO, TAK KAK

q

q

'x = ; a12 + a212 ; a11 a22 I x = ; a12 ; a212 ; a11 a22 'y a11 y a11 (a212 ; a11 a22 > 0) (PRI \TOM MY S^ITAEM a11 6= 0, ^TO NE QWLQETSQ OGRANI^ENIEM OB]NOSTI). tEM SAMYM NEZAWISIMOSTX FUNKCIJ ' I  USTANOWLENA.

x 1]

klassifikaciq urawnenij 2-go porqdka

TAK KAK a12 = pa11 pa22  OTS@DA SLEDUET, ^TO a12 = a11 x x + a12 (x y + y x ) + a22 y y =

21

= (pa11 x + pa22 y ) (pa11 x + pa22 y ) = 0: pOSLE DELENIQ URAWNENIQ (4) NA KO\FFICIENT PRI u POLU^IM KANO-

NI^ESKU@ FORMU DLQ URAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA   F u =  (

u
u
u )  = ; a : 22 eSLI W PRAWU@ ^ASTX NE WHODIT u , TO \TO URAWNENIE BUDET OBYKNOWENNYM DIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM, ZAWISQ]IM OT  KAK OT PARAMETRA. 3. dLQ URAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA a212 ; a11 a22 < 0 I PRAWYE ^ASTI URAWNENIJ (9) I (10) KOMPLEKSNY. pUSTX ' (x
y) = C | KOMPLEKSNYJ INTEGRAL URAWNENIQ (9). tOGDA '
(x
y) = C
GDE '
| SOPRQVeNNAQ K ' FUNKCIQ, BUDET PREDSTAWLQTX SOBOJ OB]IJ INTEGRAL SOPRQVENNOGO URAWNENIQ (10). pEREJDEM K KOMPLEKSNYM PEREMENNYM, POLAGAQ  = ' (x
y)
 = '
(x
y): pRI \TOM URAWNENIE \LLIPTI^ESKOGO TIPA PRIWODITSQ K TAKOMU VE WIDU, ^TO I GIPERBOLI^ESKOE. ~TOBY NE IMETX DELA S KOMPLEKSNYMI PEREMENNYMI, WWEDEM NOWYE PEREMENNYE I  , RAWNYE

= ' +2 '
 = ' ;2i'
TAK ^TO  = + i 
 = ; i : w \TOM SLU^AE a11 x2 + 2a12 x y + a22 y2 = = (a11 2x + 2a12 x y + a22 2y ) ; (a11 x2 + 2a12 x y + a22 y2 ) +

T. E.

+ 2i (a11 x x + a12 ( x y + y x ) + a22 y y ) = 0


a11 = a22 I a12 = 0:

22 klassifikaciq differencialxnyh urawnenij gl. I

uRAWNENIE (4) POSLE DELENIQ NA KO\FFICIENT PRI u PRINIMAET WID 1)   u + u =  (

u
u
u )  = ; aF : 22 tAKIM OBRAZOM, W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA WYRAVENIQ a212 ; a11 a22 IME@T MESTO SLEDU@]IE KANONI^ESKIE FORMY URAWNENIQ (1): a212 ; a11 a22 > 0 (GIPERBOLI^ESKIJ TIP) | uxx ; uyy =  ILI uxy = 
a212 ; a11 a22 < 0 (\LLIPTI^ESKIJ TIP) | uxx + uyy = 
a212 ; a11 a22 = 0 (PARABOLI^ESKIJ TIP) | uxx = :

2. kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ 2-GO PORQDKA SO MNOGIMI NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI. rASSMOTRIM LINEJNOE URAWNENIE S DEJSTWITELXNYMI KO\FFICIENTAMI n X n n X X j =1 i=1

aij uxi xj +

i=1

bi uxi + cu + f = 0 (aij = aji )


(12)

GDE a, b, c, f QWLQ@TSQ FUNKCIQMI x1
x2
: : :
xn . wWEDEM NOWYE NEZAWISIMYE PEREMENNYE k , POLAGAQ k = k (x1
x2
: : :
xn ) (k = 1
: : :
n): tOGDA uxi =

GDE

n X k=1

uk ik
uxixj =

n X n X

k=1 l=1

uk l ik jl +

n X

k=1

uk (k )xi xj


k ik = @ @x : i

pODSTAWLQQ WYRAVENIQ DLQ PROIZWODNYH W ISHODNOE URAWNENIE, POLU^IM n X n X k=1 l=1 1)

akl uk l +

n X 

k=1

bk uk + cu + f = 0


pODOBNOE PREOBRAZOWANIE ZAKONNO TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI KO\FFICIENTY URAWNENIQ (1) | ANALITI^ESKIE FUNKCII. dEJSTWITELXNO, ESLI a212 ; ; a11 a22 < 0, TO PRAWYE ^ASTI URAWNENIJ (9) I (10) KOMPLEKSNY, A SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ y DOLVNA IMETX KOMPLEKSNYE ZNA^ENIQ. o REENII \TIH URAWNENIJ MOVNO GOWORITX LIX W TOM SLU^AE, KOGDA KO\FFICIENTY aik (x y) OPREDELENY DLQ KOMPLEKSNYH ZNA^ENIJ y. pRI PRIWEDENII URAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA K KANONI^ESKOJ FORME MY OGRANI^IMSQ SLU^AEM ANALITI^ESKIH KO\FFICIENTOW.

x 1]

klassifikaciq urawnenij 2-go porqdka

GDE akl =

n X n X i=1 j =1

23

X XX aij ik jl
bk = bi ik + aij (k )xi xj : n

n n

i=1

i=1 j =1

rASSMOTRIM KWADRATI^ESKU@ FORMU n X n X i=1 j =1

a0ij yi yj


(13)

KO\FFICIENTY KOTOROJ RAWNY KO\FFICIENTAM aij ISHODNOGO URAWNENIQ W NEKOTOROJ TO^KE M0 (x01
: : :
x0n ). pROIZWEDQ NAD PEREMENNYMI y LINEJNOE PREOBRAZOWANIE yi =

n X

k=1

ik k


POLU^IM DLQ KWADRATI^ESKOJ FORMY NOWOE WYRAVENIE n X n X k=1 l=1

a0kl k l
GDE a0kl =

n X n X i=1 j =1

a0ij ik jl :

tAKIM OBRAZOM, KO\FFICIENTY GLAWNOJ ^ASTI URAWNENIQ IZMENQ@TSQ ANALOGI^NO KO\FFICIENTAM KWADRATI^ESKOJ FORMY PRI LINEJNOM PREoBRAZOWANII. kAK IZWESTNO, WYBOROM SOOTWETSTWU@]EGO LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ MOVNO PRIWESTI MATRICU (a0ij ) KWADRATI^ESKOJ FORMY K DIAGONALXNOMU WIDU, W KOTOROM ja0ii j = 1 LIBO ja0ii j = 0 a0ij = 0 (i 6= j
i
j = 1
2
: : :
n): sOGLASNO Z A K O N U I N E R C I I ^ISLO POLOVITELXNYH, OTRICATELXNYH I RAWNYH NUL@ KO\FFICIENTOW a0ii W KANONI^ESKOM WIDE KWADRATI^NOJ FORMY INWARIANTNO OTNOSITELXNO LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ. nAZOWEM URAWNENIE (12) W TO^KE M0 URAWNENIEM \ L L I P T I ^ E SK O G O TIPA, ESLI WSE n KO\FFICIENTOW a0ii ODNOGO ZNAKA G I P E R B O L I^ E S K O G O TIPA (ILI N O R M 0A L X N O G O G I P E R B O L I ^ E S K O G O TIPA), ESLI n ; 1 KO\FFICIENTOW aii IME@T ODINAKOWYJ ZNAK, A ODIN KO\FFICIENT PROTIWOPOLOVEN IM PO ZNAKU U L X T R A G I P E R B O L I ^ E S K O G O TIPA, ESLI SREDI a0ii IMEETSQ m KO\FFICIENTOW ODNOGO ZNAKA I n ; m KO\FFICIENTOW PROTIWOPOLOVNOGO ZNAKA (m
n ; m > 1) P A R A B O L I^ E S K O G O TIPA, ESLI HOTQ BY ODIN IZ KO\FFICIENTOW a0ii RAWEN NUL@. wYBIRAQ NOWYE NEZAWISIMYE PEREMENNYE i TAK, ^TOBY W TO^KE M0 k 0 ik = @ @xi = ik
GDE 0ik | KO\FFICIENTY PREOBRAZOWANIQ, PRIWODQ]EGO KWADRATI^E-

24 klassifikaciq differencialxnyh urawnenij gl. I

SKU@ (13) K KANONI^ESKOMU WIDU (NAPRIMER, POLAGAQ k = P FORMU 0 xi ), POLU^AEM, ^TO W TO^KE M0 URAWNENIE W ZAWISIMOSTI OT ik TIPA PRIWODITSQ K ODNOJ IZ SLEDU@]IH KANONI^ESKIH FORM: ux1 x1 + ux2x2 + : : : + uxnxn +  = 0 (\LLIPTI^ESKIJ TIP), =

ux1 x1 = m X

i=2

uxixi =

i=1 nX ;m i=1

n X

uxixi +  (GIPERBOLI^ESKIJ TIP), n X

(ULXTRAGIPERBOuxi xi +  (m > 1
n ; m > 1) LI^ESKIJ TIP), i=m+1

(uxixi ) +  = 0 (m > 0) (PARABOLI^ESKIJ TIP).

mY NE OSTANAWLIWAEMSQ PRI \TOM NA BOLEE PODROBNOM DELENII URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA NA URAWNENIQ \LLIPTI^ESKI-PARABOLI^ESKIE, GIPERBOLI^ESKI-PARABOLI^ESKIE I T. D. tAKIM OBRAZOM, ESLI URAWNENIE (12) W NEKOTOROJ TO^KE M PRINADLEVIT K OPREDELENNOMU TIPU, TO EGO MOVNO PRIWESTI K SOOTWETSTWU@]EJ KANONI^ESKOJ FORME W \TOJ TO^KE. rASSMOTRIM PODROBNEE WOPROS O TOM, MOVNO LI PRIWESTI URAWNENIE K KANONI^ESKOJ FORME W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI M , ESLI WO WSEH TO^KAH \TOJ OKRESTNOSTI URAWNENIE PRINADLEVIT K ODNOMU I TOMU VE TIPU. dLQ PRIWEDENIQ URAWNENIQ W NEKOTOROJ OBLASTI K KANONI^ESKOMU WIDU NAM PRILOSX BY FUNKCII i (x1
x2
: : :
xn ) (i = 1
2
: : :
n) POD^INITX DIFFERENCIALXNYM SOOTNOENIQM akl = 0 DLQ k 6= l. ~ISLO \TIH USLOWIJ, RAWNOE n (n ; 1)=2, PREWOSHODIT n | ^ISLO OPREDELQEMYH FUNKCIJ  PRI n > 3. dLQ n = 3 NEDIAGONaLXNYE \LEMENTY MATRICY (aik ), WOOB]E GOWORQ, MOVNO BYLO BY OBRATITX W NULX, NO PRI \TOM DIAGONALXNYE \LEMENTY MOGUT OKAZATXSQ RAZLI^NYMI. sLEDOWATELXNO, PRI n > 3 URAWNENIE NELXZQ PRIWESTI K KANONI^ESKOMU WIDU W OKRESTNOSTI TO^KI M . pRI n = 2 MOVNO OBRATITX W NULX EDINSTWENNYJ NEDIAGONALXNYJ KO\FFICIENT I UDOWLETWORITX USLOWI@ RAWENSTWA DWUH DIAGONALXNYH KO\FFICIENTOW, ^TO I BYLO SDELANO W P. 1. eSLI KO\FFICIENTY URAWNENIQ (12) POSTOQNNY, TO, PRIWEDQ (12) K KANONI^ESKOJ FORME W ODNOJ TO^KE M , MY POLU^IM URAWNENIE, PRIWEDENNOE K KANONI^ESKOJ FORME WO WSEJ OBLASTI OPREDELENIQ URAWNENIQ.

3. kANONI^ESKIE FORMY LINEJNYH URAWNENIJ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI. w SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH

LINEJNOE URAWNENIE 2-GO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI IMEET WID a11 uxx + 2a12uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu + f (x
y) = 0: (14)

x 1]

klassifikaciq urawnenij 2-go porqdka

25

eMU SOOTWETSTWUET HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI. pO\TOMU HARAKTERISTIKI BUDUT PRQMYMI LINIQMI: pa2 ; a a pa2 ; a a a + a ; 12 11 22 11 22 x + C : 12 12 12 y= x + C1
y = 2 a11 a11 s POMO]X@ SOOTWETSTWU@]EGO PREOBRAZOWANIQ PEREMENNYH URAWNENIE (14) PRIWODITSQ K ODNOJ IZ PROSTEJIH FORM: u + u + b1 u + b2 u + cu + f = 0 (\LLIPTI^ESKIJ TIP), (15) 9 > u + b1 u + b2 u + cu + f = 0 = (GIPERBOLI^ESKIJ TIP), (16) ILI >  u ; u + b1 u + b2 u + cu + f = 0 u + b1 u + b2 u + cu + f = 0 (PARABOLI^ESKIJ TIP). (17) dLQ DALXNEJEGO UPRO]ENIQ WWEDEM WMESTO u NOWU@ FUNKCI@ v: u = e+  v
GDE  I  | NE OPREDELENNYE POKA POSTOQNNYE. tOGDA u =e+ (v + v)
u =e+ (v + v)
u =e+ (v + 2v + 2 v)
u =e+ (v + v + v + v)
u =e+ (v + 2v + 2 v):

pODSTAWLQQ WYRAVENIQ DLQ PROIZWODNYH W URAWNENIE (15) I SOKRA]AQ ZATEM NA e+ , POLU^AEM v + v + (b1 + 2) v + (b2 + 2) v + + (2 + 2 + b1  + b2  + c) v + f1 = 0: pARAMETRY  I  WYBIRAEM TAK, ^TOBY DWA KO\FFICIENTA, NAPRIMER PRI PERWYH PROIZWODNYH, OBRATILISX W NULX ( = ;b1 =2  = ;b2 =2). w REZULXTATE POLU^IM v + v + v + f1 = 0
GDE  | POSTOQNNAQ, WYRAVA@]AQSQ ^EREZ c, b1 I b2 , f1 = f e;(+) . pROIZWODQ ANALOGI^NYE OPERACII I DLQ SLU^AEW (16) I (17), PRIHODIM K SLEDU@]IM KANONI^ESKIM FORMAM DLQ URAWNENIJ S POSTOQNNYMI KO-

26 klassifikaciq differencialxnyh urawnenij gl. I

\FFICIENTAMI: v + v + v + f1 = )0 (\LLIPTI^ESKIJ TIP), v + v + f1 = 0 ILI (GIPERBOLI^ESKIJ TIP), v ; v + v + f1 = 0 v + b2v + f1 = 0 (PARABOLI^ESKIJ TIP). kAK BYLO OTME^ENO W P. 2, URAWNENIE S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI W SLU^AE NESKOLXKIH NEZAWISIMYH PEREMENNYH n X n X i=1 j =1

aij uxi xj +

n X i=1

bi uxi + cu + f = 0

PRI POMO]I LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ PEREMENNYH PRIWODITSQ K KANONI^ESKOMU WIDU ODNOWREMENNO DLQ WSEH TO^EK OBLASTI EGO OPREDELENIQ. wWODQ WMESTO u NOWU@ FUNKCI@ v: u = v e1 x1 +2 x2 +:::+n xn I WYBIRAQ NUVNYM SPOSOBOM i , MY MOVEM DALXE UPROSTITX URAWNENIE, ^TO PRIWODIT NAS K KANONI^ESKIM FORMAM, SHODNYM SO SLU^AEM n = 2. zada~i k glawe I 1. nAJTI OBLASTI GIPERBOLI^NOSTI, \LLIPTI^NOSTI I PARABOLI^NOSTI URAWNENIQ uxx + yuyy = 0 I PRIWESTI EGO K KANONI^ESKOMU WIDU W OBLASTI GIPERBOLI^NOSTI. 2. pRIWESTI K KANONI^ESKOMU WIDU URAWNENIQ: A) uxx + xyuyy = 0 B) yuxx ; xuyy + ux + yuy = 0 W) e2x uxx + 2ex+y uxy + e2y uyy = 0 G) uxx + (1 +py)2 uyy = 0 D) xuxx + 2 xy uxy + yuyy ; ux = 0 E) (x ; y) uxx + (xy ; y2 ; x + y) uxy = 0 V) y2uxx ; e2x uyy + ux = 0 Z) sin2 yuxx ; e2x uyy + 3ux ; 5u = 0 I) uxx + 2uxy + 4uyy + 2ux + 3uy = 0. 3. pRIWESTI K KANONI^ESKOMU WIDU I MAKSIMALXNO UPROSTITX URAWNENIE auxx + 2auxy + auyy + bux + cuy + u = 0 a, b, c | POSTOQNNYE. 4. wWEDQ FUNKCI@ v = u ex+y I WYBIRAQ SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM PARAMETRY I , UPROSTITX SLEDU@]IE URAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI: A) uxx + uyy + ux + uy + u = 0 B) uxx = a12 uy + u + ux W) uxx ; a12 uyy = ux + uy + u G) uxy = ux + uy .

g l a w a II

urawneniq giperboli~eskogo tipa uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 2-GO PORQDKA GIPERBOLI^ESKOGO TIPA NAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@TSQ W FIZI^ESKIH ZADA^AH, SWQZANNYH S PROCESSAMI KOLEBANIJ. pROSTEJEE URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOGO TIPA uxx ; uyy = 0 OBY^NO NAZYWA@T U R A W N E N I E M K O L E B A N I J S T R U N Y. w NASTOQ]EJ GLAWE, KAK I W POSLEDU@]IH, MY OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM KLASSA LINEJNYH URAWNENIJ.

x 1. pROSTEJIE ZADA^I, PRIWODQ]IE K URAWNENIQM

GIPERBOLI^ESKOGO TIPA. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ 1. uRAWNENIE MALYH POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY. kA-

VDU@ TO^KU STRUNY DLINY l MOVNO OHARAKTERIZOWATX ZNA^ENIEM EE ABSCISSY x. oPISANIE PROCESSA KOLEBANIQ STRUNY MOVET BYTX PROWEDENO PRI POMO]I ZADANIQ POLOVENIQ TO^EK STRUNY W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI. dLQ OPREDELENIQ POLOVENIQ STRUNY W MOMENT WREMENI t DOSTATO^NO ZADATX KOMPONENTY WEKTORA SME]ENIQ f u1 (x
t)
u2 (x
t)
u3 (x
t) g TO^KI x W MOMENT t . mY RASSMOTRIM NAIBOLEE PROSTU@ ZADA^U O KOLEBANIQH STRUNY. bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO SME]ENIQ STRUNY LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI x
u I ^TO WEKTOR SME]ENIQ u PERPENDIKULQREN W L@BOJ MOMENT K OSI x TOGDA PROCESS KOLEBANIQ MOVNO OPISATX ODNOJ FUNKCIEJ u (x
t), HARAKTERIZU@]EJ WERTIKALXNOE PEREME]ENIE STRUNY. bUDEM RASSMATRIWATX STRUNU KAK GIBKU@ UPRUGU@ NITX. mATErIS. 1 MATI^ESKOE WYRAVENIE PONQTIQ GIBKOSTI ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO NAPRQVENIQ, WOZNIKA@]IE W STRUNE, WSEGDA NAPRAWLENY PO KASATELXNYM K EE MGNOWENNOMU PROFIL@ (RIS. 1). |TO USLOWIE WYRAVAET SOBOJ TO, ^TO STRUNA NE SOPROTIWLQETSQ IZGIBU.

28

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

wELI^INA NATQVENIQ, WOZNIKA@]EGO W STRUNE WSLEDSTWIE UPRUGOSTI, MOVET BYTX WY^ISLENA PO ZAKONU gUKA 1) . bUDEM RASSMATRIWATX MALYE KOLEBANIQ STRUNY I PRENEBREGATX KWADRATOM ux PO SRAWNENI@ S EDINICEJ. pOLXZUQSX \TIM USLOWIEM, PODS^ITAEM UDLINENIE, ISPYTYWAEMOE U^ASTKOM STRUNY (x1
x2 ). dLINA DUGI \TOGO U^ASTKA RAWNA S = 0

Zx2 p

x1

1 + (ux)2 dx  = x2 ; x1 = S:

tAKIM OBRAZOM, W PREDELAH PRINQTOJ NAMI TO^NOSTI UDLINENIQ U^ASTKOW STRUNY W PROCESSE KOLEBANIQ NE PROISHODIT OTS@DA W SILU ZAKONA gUKA SLEDUET, ^TO WELI^INA NATQVENIQ T W KAVDOJ TO^KE NE MENQETSQ SO WREMENEM. pOKAVEM TAKVE, ^TO NATQVENIE NE ZAWISIT I OT x, T. E. T (x) = T0 = const: nAJDEM PROEKCII NATQVENIQ NA OSI x I u (OBOZNA^IM IH Tx I Tu ): Tx (x) = T (x) cos = p T 2  = T (x)
1 + (u x )

Tu (x) = T (x) sin  = T (x) tg = T (x) ux
GDE | UGOL KASATELXNOJ K KRIWOJ u (x
t) S OSX@ x. nA U^ASTOK (x1
x2 ) DEJSTWU@T SILY NATQVENIQ, WNENIE SILY I SILY INERCII. sUMMA PROEKCIJ WSEH SIL NA OSX x DOLVNA BYTX RAWNA NUL@ (MY RASSMATRIWAEM TOLXKO POPERE^NYE KOLEBANIQ). tAK KAK SILY INERCII I WNENIE SILY, PO PREDPOLOVENI@, NAPRAWLENY WDOLX OSI u, TO Tx (x2 ) ; Tx (x1 ) = 0
ILI T (x1 ) = T (x2 ): (1) oTS@DA W SILU PROIZWOLXNOSTI x1 I x2 SLEDUET, ^TO NATQVENIE NE ZAWISIT OT x, T. E. DLQ WSEH ZNA^ENIJ x I t T (x)  T0 : (2) pOSLE SDELANNYH PREDWARITELXNYH ZAME^ANIJ PEREJDEM K WYWODU URAWNENIQ POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY. wOSPOLXZUEMSQ WTORYM ZAKONOM nX@TONA. sOSTAWLQ@]AQ KOLI^ESTWA DWIVENIQ U^ASTKA STRUNY (x1
x2 ) PO OSI u RAWNA

Zx2

x1 1)

ut (
t)  ( ) d


s T R E L K O W C. p. mEHANIKA. M., 1975.

x 1]

prostej{ie zada~i

29

GDE  | LINEJNAQ PLOTNOSTX STRUNY. pRIRAWNQEM IZMENENIE KOLI^ESTWA DWIVENIQ ZA PROMEVUTOK WREMENI t = t2 ; t1

Zx2

x1

 ( ) ut (
t2 ) ; ut (
t1 )] d

IMPULXSU DEJSTWU@]IH SIL, SKLADYWA@]IHSQ IZ NATQVENIQ T0 ux jx=x2 ; T0 uxjx=x1 W TO^KAH x2 I x1 I WNENEJ SILY, KOTORU@ BUDEM S^ITATX NEPRERYWNO RASPREDELENNOJ S PLOTNOSTX@ (NAGRUZKOJ) F (x
t), RASS^ITANNOJ NA EDINICU DLINY. w REZULXTATE POLU^IM URAWNENIE POPERE^NYH KOLEBANIJ \LEMENTA STRUNY W INTEGRALXNOJ FORME

Zx2

x1

ut (
t2 ) ; ut (
t1 )]  ( ) d = =

Zt2 t1

T0 ux (x2
 ) ; ux (x1
 )] d +

Zx2 Zt2 x1 t1

F (
 ) d d: (3)

dLQ PEREHODA K DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ PREDPOLOVIM SU]ESTWOWANIE I NEPRERYWNOSTX WTORYH PROIZWODNYH OT u(x
t) 1) . tOGDA FORMULA (3) POSLE DWUKRATNOGO PRIMENENIQ TEOREMY O SREDNEM PRIMET WID utt (

t
)  (
) t x = f T0 uxx (


t

)] + F (



t


) g t x
GDE 







2 (x1
x2 )
A t

t


t


2 (t1
t2 ): sOKRATIW NA t x I PEREJDQ K PREDELU PRI x2 ! x1 , t2 ! t1 , POLU^IM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY T0 uxx =  utt ; F (x
t): (4) w SLU^AE POSTOQNNOJ PLOTNOSTI  = const \TOMU URAWNENI@ OBY^NO PRIDA@T WID

s ! 2 utt = a uxx + f (x
t) a = T0
(5) 1) dELAQ PREDPOLOVENIE O DWUKRATNOJ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCIJ, MY FAKTI^ESKI USLOWLIWAEMSQ O TOM, ^TO BUDEM RASSMATRIWATX LIX FUNKCII, OBLADA@]IE \TIM SWOJSTWOM. tAKIM OBRAZOM, PODOBNOGO TIPA PREDPOLOVENIE SWQZANO S OGRANI^ENIEM KRUGA IZU^AEMYH FIZI^ESKIH QWLENIJ I NE SODERVIT W SEBE UTWERVDENIQ, ^TO NE SU]ESTWUET FUNKCIJ, UDOWLETWORQ@]IH INTEGRALXNOMU URAWNENI@ KOLEBANIJ I NE IME@]IH WTORYH PROIZWODNYH. tAKIE FUNKCII SU]ESTWU@T I PREDSTAWLQ@T ZNA^ITELXNYJ PRAKTI^ESKIJ INTERES. pODROBNEE SM. OB \TOM x 2, P. 9.

urawneniq giperboli~eskogo tipa

30

gl. II

GDE

f (x
t) = 1 F (x
t) (6) ESTX PLOTNOSTX SILY, OTNESENNAQ K EDINICE MASSY. pRI OTSUTSTWII WNENEJ SILY POLU^IM ODNORODNOE URAWNENIE utt = a2 uxx ILI uxx ; uyy = 0 (y = at)
OPISYWA@]EE SWOBODNYE KOLEBANIQ STRUNY. |TO URAWNENIE QWLQETSQ PROSTEJIM PRIMEROM URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA. eSLI W TO^KE x0 (x1 < x0 < x2 ) PRILOVENA SOSREDOTO^ENNAQ SILA f0 (t) (RIS. 2), TO URAWNENIE (3) ZAPIETSQ TAK:

Zx2

x1

 ( ) ut (
t2 ) ; ut (
t1 )] d ; =

Zt2 t1

Zx2 Zt2

x1 t1

f (
 ) d d =

Zt2

T0 ux (x2
 ) ; ux (x1
 )] d + f0 ( ) d: t1

pOSKOLXKU SKOROSTI TO^EK STRUNY OGRANI^ENY, TO PRI x1 ! x0 I x2 ! ! x0 INTEGRALY W LEWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA STREMQTSQ K NUL@ I RAWENSTWO (3) PRINIMAET WID

Zt2

t1

Zt2

T0 ux (x0 + 0
 ) ; ux (x0 ; 0
 )] d = ; f0 ( ) d: t1

(7)

pOLXZUQSX TEOREMOJ O SREDNEM, SOKRA]AQ OBE ^ASTI RAWENSTWA NA t I PEREHODQ K PREDELU PRI t2 ! t1 , POLU^AEM x0+0 ux (x
t) = ; T1 f0 (t): x0 ;0

0

oTS@DA WIDNO, ^TO W TO^KE PRILOVENIQ SOSREDOTO^ENNOJ SILY PERWYE PROIZWODNYE PRETERPEWA@T RAZRYW I DIFFERENrIS. 2 CIALXNOE URAWNENIE TERQET SMYSL. w \TOJ TO^KE DOLVNY WYPOLNQTXSQ DWA USLOWIQ SOPRQVENIQ: 9 u (x0 + 0
t) = u (x0 ; 0
t)
> =

 ux (x0 + 0
t) ; ux (x0 ; 0
t) = ; T1 f0 (t)
> 0

(8)

x 1]

prostej{ie zada~i

31

PERWOE IZ KOTORYH WYRAVAET NEPRERYWNOSTX STRUNY, WTOROE OPREDELQET WELI^INU IZLOMA STRUNY W TO^KE x0 , ZAWISQ]U@ OT f0 (t) I NATQVENIQ T0 .

2. uRAWNENIE PRODOLXNYH KOLEBANIJ STERVNEJ I STRUN.

uRAWNENIQ PRODOLXNYH KOLEBANIJ DLQ STRUNY, STERVNQ I PRUVINY ZAPISYWA@TSQ ODINAKOWO. rASSMOTRIM STERVENX, RASPOLOVENNYJ NA OTREZKE (0
l) OSI x. pROCESS PRODOLXNYH KOLEBANIJ MOVET BYTX OPISAN ODNOJ FUNKCIEJ u (x
t), PREDSTAWLQ@]EJ W MOMENT t SME]ENIE TO^KI, IMEWEJ W POLOVENII RAWNOWESIQ ABSCISSU x 1) . pRI PRODOLXNYH KOLEBANIQH \TO SME]ENIE PROISHODIT WDOLX STERVNQ. pRI WYWODE URAWNENIQ BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO NATQVENIQ, WOZNIKA@]IE W PROCESSE KOLEBANIQ, SLEDU@T ZAKONU gUKA. pODS^ITAEM OTNOSITELXNOE UDLINENIE \LEMENTA (x
x + x) W MOMENT t. kOORDINATY KONCOW \TOGO \LEMENTA W MOMENT t IME@T ZNA^ENIQ x + u (x
t)
x + x + u (x + x
t)
A OTNOSITELXNOE UDLINENIE RAWNO

x + u (x + x
t) ; u (x
t)] ; x = u (x +  x
t) (0 6  6 1): x x pEREJDQ K PREDELU PRI x ! 0, POLU^IM, ^TO OTNOSITELXNOE UDLINENIE W TO^KE x OPREDELQETSQ FUNKCIEJ ux (x
t). w SILU ZAKONA gUKA NATQVENIE T (x
t) RAWNO

T (x
t) = k (x) ux (x
t)


(9)

GDE k (x) | MODULX `NGA W TO^KE x (k (x) > 0). 1) wYBRANNAQ ZDESX GEOMETRI^ESKAQ PEREMENNAQ

x NAZYWAETSQ PEREMENNOJ lAGRANVA. w PEREMENNYH lAGRANVA KAVDAQ FIZI^ESKAQ TO^KA STERVNQ W TE^ENIE WSEGO PROCESSA HARAKTERIZUETSQ ODNOJ I TOJ VE GEOMETRI^ESKOJ KOORDINATOJ x. fIZI^ESKAQ TO^KA, ZANIMAWAQ W NA^ALXNYJ MOMENT (W SOSTOQNII RAWNOWESIQ) POLOVENIE x, W L@BOJ POSLEDU@]IJ MOMENT t NAHODITSQ W TO^KE S KOORDINATOJ X = x + u (x t). eSLI MY FIKSIRUEM NEKOTORU@ GEOMETRI^ESKU@ TO^KU A S KOORDINATOJ X , TO W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI W \TOJ TO^KE BUDUT NAHODITXSQ RAZLI^NYE FIZI^ESKIE TO^KI (S RAZNYMI LAGRANVEWYMI KOORDINATAMI x). ~ASTO POLXZU@TSQ TAKVE PEREMENNYMI |JLERA X t, GDE X | GEOMETRI^ESKAQ KOORDINATA. eSLI U (X t) | SME]ENIE TO^KI S \JLEROWOJ KOORDINATOJ X , TO LAGRANVEWA KOORDINATA x = X ; U (X t): pRIMER ISPOLXZOWANIQ KOORDINAT |JLERA PRIWEDEN W P. 6.

urawneniq giperboli~eskogo tipa

32

gl. II

pOLXZUQSX TEOREMOJ OB IZMENENII KOLI^ESTWA DWIVENIQ, POLU^AEM INTEGRALXNOE URAWNENIE KOLEBANIJ

Zx2 x1

ut (
t2 ) ; ut (
t1 )]  ( ) d =

Zt2

Zx2 Zt2

t1

x1 t1

= k (x2 ) ux (x2
 ) ; k (x1 ) ux (x1
 )] d +

F (
 ) d d
(10)

GDE F (x
t) | PLOTNOSTX WNENEJ SILY, RASS^ITANNAQ NA EDINICU DLINY. pREDPOLOVIM SU]ESTWOWANIE I NEPRERYWNOSTX WTORYH PROIZWODNYH FUNKCII u (x
t). pRIMENQQ TEOREMU O SREDNEM I SOWERAQ PREDELXNYJ PEREHOD 1) PRI x = x2 ; x1 ! 0 I t = t2 ; t1 ! 0, PRIHODIM K DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ PRODOLXNYH KOLEBANIJ STERVNQ 2) k (x) ux ]x = utt ; F (x
t): (11) eSLI STERVENX ODNORODEN (k (x) = const
 = const), TO \TO URAWNENIE ZAPISYWA@T SLEDU@]IM OBRAZOM:

s ! utt = a2 uxx + f (x
t) a = k
(12) GDE t) f (x
t) = F (x
(13)  ESTX PLOTNOSTX SILY, OTNESENNAQ K EDINICE MASSY. 3. |NERGIQ KOLEBANIJ STRUNY. nAJDEM WYRAVENIE DLQ \NERGII POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY E = K + U , GDE K | KINETI^ESKAQ I U | POTENCIALXNAQ \NERGIQ. |LEMENT STRUNY dx, DWIVU]IJSQ SO SKOROSTX@ v = ut , OBLADAET KINETI^ESKOJ \NERGIEJ 1 mv2 = 1  (x) dx (u )2 t 2 2

(m =  dx):

1) w DALXNEJEM MY BUDEM OPUSKATX PODROBNOSTI, SWQZANNYE S PREDELXNYMI PEREHODAMI, KOTORYE BYLI RAZOBRANY PRI WYWODE URAWNENIQ POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY. 2) uSLOWIE MALOSTI KOLEBANIJ W DANNOM SLU^AE SWQZANO TOLXKO S GRANICEJ PRIMENIMOSTI ZAKONA gUKA. w OB]EM SLU^AE T = k (x ux ) ux , I MY PRIHODIM K KWAZILINEJNOMU URAWNENI@ k (x ux ) ux ]x = utt ; F (x t):

x 1]

prostej{ie zada~i

33

kINETI^ESKAQ \NERGIQ WSEJ STRUNY RAWNA K = 12

Zl 0

 (x) ut (x
t)]2 dx:

(14)

pOTENCIALXNAQ \NERGIQ POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY, IME@]EJ PRI t = t0 FORMU u (x
t0 ) = u0 (x), RAWNA RABOTE, KOTORU@ NADO SOWERITX, ^TOBY STRUNA PERELA IZ POLOVENIQ RAWNOWESIQ W POLOVENIE u0 (x). pUSTX FUNKCIQ u (x
t) DAET PROFILX STRUNY W MOMENT t, PRI^EM u (x
0) = 0
u (x
t0 ) = u0 (x): |LEMENT dx POD DEJSTWIEM RAWNODEJSTWU@]EJ SIL NATQVENIQ    ; T @u  = T uxx dx T @u @x @x x+dx

x

ZA WREMQ dt PROHODIT PUTX ut (x
t) dt. rABOTA, PROIZWODIMAQ WSEJ STRUNOJ ZA WREMQ dt, RAWNA

8Zl 9 8 9 l Zl < = < =  ; T0 ux uxt dx dt = T u u dx dt = T u u 0 xx t 0 x t :0  :  0 0 8 l 9 < 1 d Zl = = :; 2 dt T0 (ux)2 dx + T0 ux ut  dt: 0 0

iNTEGRIRUQ PO t OT 0 DO t0 , POLU^AEM

; 12

Zl

t0 Zt0

 T0 (ux)2 dx 0 0

+

0

l T0 ux ut  dt = 0 l 1Z =

;2

0

T0 ux (x
t0

)]2 dx +

Zt0 0

l

T0 ux ut  dt: 0

nETRUDNO WYQSNITX SMYSL POSLEDNEGO SLAGAEMOGO PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA. dEJSTWITELXNO, T0 ux jx=0 ESTX WELI^INA NATQVENIQ NA KONCE STRUNY x = 0 ut (0
t) dt | PEREME]ENIE \TOGO KONCA, A INTEGRAL

Zt0 0

T0 ux ut jx=0 dt

(15)

PREDSTAWLQET RABOTU, KOTORU@ NADO ZATRATITX NA PEREME]ENIE KONCA x = 0. aNALOGI^NYJ SMYSL IMEET SLAGAEMOE, SOOTWETSTWU@]EE x = l. 3 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

34

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

eSLI KONCY STRUNY ZAKREPLENY, TO RABOTA NA NIH BUDET RAWNA NUL@ (PRI \TOM u (0
t) = 0, ut (0
t) = 0). sLEDOWATELXNO, PRI PEREME]ENII ZAKREPLENNOJ NA KONCAH STRUNY IZ POLOVENIQ RAWNOWESIQ u = 0 W POLOVENIE u0 (x) RABOTA NE ZAWISIT OT SPOSOBA PEREWODA STRUNY W \TO POLOVENIE I RAWNA

; 12

Zl 0

T0 u00 (x)]2 dx


(16)

POTENCIALXNOJ \NERGII STRUNY W MOMENT t = t0 S OBRATNYM ZNAKOM. tAKIM OBRAZOM, POLNAQ \NERGIQ STRUNY RAWNA E = 21

Zl 0

T0 (ux)2 +  (x) (ut )2 ] dx:

(17)

sOWERENNO ANALOGI^NO MOVET BYTX POLU^ENO WYRAVENIE DLQ POTENCIALXNOJ \NERGII PRODOLXNYH KOLEBANIJ STERVNQ. wPRO^EM, EGO MOVNO POLU^ITX TAKVE, ISHODQ IZ FORMULY DLQ POTENCIALXNOJ \NERGII UPRUGOGO STERVNQ  l ; l 2 1 U = 2 k l 0 l0
0 GDE l0 | NA^ALXNAQ DLINA STERVNQ, l | KONE^NAQ DLINA. oTS@DA NEPOSREDSTWENNO SLEDUET U = 12

Zl 0

k (ux )2 dx:

4. wYWOD URAWNENIQ \LEKTRI^ESKIH KOLEBANIJ W PROWODAH.

pROHOVDENIE \LEKTRI^ESKOGO TOKA PO PROWODU S RASPREDELENNYMI PARAMETRAMI HARAKTERIZUETSQ SILOJ TOKA i I NAPRQVENIEM v, KOTORYE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI POLOVENIQ TO^KI x I WREMENI t. pRIMENQQ ZAKON oMA K U^ASTKU DLINOJ dx, MOVNO NAPISATX, ^TO PADENIE NAPRQVENIQ NA \LEMENTE PROWODA dx RAWNQETSQ SUMME \LEKTRODWIVU]IH SIL: ; vx dx = iR dx + itL dx
(18) GDE R I L | SOPROTIWLENIE I KO\FFICIENT SAMOINDUKCII, RASS^ITANNYE NA EDINICU DLINY. kOLI^ESTWO \LEKTRI^ESTWA, PRITEKA@]EE NA \LEMENT PROWODA dx ZA WREMQ dt, i (x
t) ; i (x + dx
t)] dt = ; ix dx dt (19) RAWNO SUMME KOLI^ESTWA \LEKTRI^ESTWA, NEOBHODIMOGO DLQ ZARQDKI \LEMENTA dx, I KOLI^ESTWA, TERQ@]EGOSQ WSLEDSTWIE NESOWERENSTWA IZOLQCII: C v (x
t + dt) ; v (x
t)] dx + G dx  v dt = (Cvt + Gv) dx dt
(20)

x 1]

prostej{ie zada~i

35

GDE C I G | KO\FFICIENTY EMKOSTI I UTE^KI, RASS^ITANNYE NA EDINICU DLINY, PRI^EM WELI^INU POTERX MY S^ITAEM PROPORCIONALXNOJ NAPRQVENI@ W RASSMATRIWAEMOJ TO^KE PROWODA. iZ FORMUL (18) | (20) POLU^AEM SISTEMU ) ix + C vt + G v = 0
(21) vx + L it + R i = 0
NAZYWAEMU@ SISTEMOJ T E L E G R A F N Y H URAWNENIJ 1) . ~TOBY POLU^ITX ODNO URAWNENIE, OPREDELQ@]EE FUNKCI@ i, PRODIFFERENCIRUEM PERWOE RAWENSTWO (21) PO x, WTOROE | PO t, UMNOVIW EGO Na C . pROIZWEDQ WY^ITANIE W PREDPOLOVENII POSTOQNSTWA KO\FFICIENTOW, NAJDEM ixx + G vx ; CL itt ; CR it = 0: zAMENQQ vx EGO ZNA^ENIEM IZ WTOROGO URAWNENIQ (21), POLU^AEM URAWNENIE DLQ SILY TOKA ixx = CL itt + (CR + GL) it + GR i: (22) aNALOGI^NO WYGLQDIT URAWNENIE DLQ NAPRQVENIQ: vxx = CL vtt + (CR + GL) vt + GR v: (23) uRAWNENIE (22) (ILI (23)) NAZYWAETSQ TELEGRAFNYM URAWNENIEM. eSLI MOVNO PRENEBRE^X POTERQMI ^EREZ IZOLQCI@ I ESLI SOPROTIWLENIE O^ENX MALO (G  =R = 0), TO MY PRIHODIM K IZWESTNOMU URAWNENI@ KOLEBANIJ vtt

= a2 v

r

1

!

a = LC : (24) 5. pOPERE^NYE KOLEBANIQ MeMBRANY. mEMBRANOJ NAZYWAETSQ PLOSKAQ PLENKA, NE SOPROTIWLQ@]AQSQ IZGIBU I SDWIGU. rASSMOTRIM MEMBRANU, NATQNUTU@ NA PLOSKIJ KONTUR C . bUDEM IZU^ATX POPERE^NYE KOLEBANIQ MEMBRANY, W KOTORYH SME]ENIE PERPENDIKULQRNO K PLOSKOSTI MEMBRANY. pUSTX ds | \LEMENT DUGI NEKOTOROGO KONTURA, WZQTOGO NA POWERHNOSTI MEMBRANY I PROHODQ]EGO ^EREZ TO^KU M (x
y). nA \TOT \LEMENT DEJSTWUET NATQVENIE, RAWNOE T ds. wEKTOR T WSLEDSTWIE OTSUTSTWIQ SOPROTIWLENIQ IZGIBU I SDWIGU LEVIT W KASATELXNOJ PLOSKOSTI K MGNOWENNOJ POWERHNOSTI MEMBRANY I PERPENDIKULQREN K \LEMENTU ds. mOVNO POKAZATX, ^TO OTSUTSTWIE SOPROTIWLENIQ SDWIGU PRIWODIT K TOMU, ^TO WELI^INA NATQVENIQ NE ZAWISIT OT NAPRAWLENIQ \LEMENTA ds, TAK ^TO WEKTOR NATQVENIQ T = T (x
y
z ) QWLQETSQ FUNKCIEJ x
y I xx

1) |TI URAWNENIQ QWLQ@TSQ PRIBLIVENNYMI W RAMKAH TEORII \LEKTROMAGNITNOGO POLQ, POSKOLXKU ONI NE U^ITYWA@T \LEKTROMAGNITNYH KOLEBANIJ W SREDE, OKRUVA@]EJ PROWOD.

3


urawneniq giperboli~eskogo tipa

36

gl. II

t. |TI SWOJSTWA WEKTORA T SLUVAT MATEMATI^ESKIM WYRAVENIEM OTSUTSTWIQ SOPROTIWLENIQ IZGIBU I SDWIGU. bUDEM IZU^ATX MALYE KOLEBANIQ MEMBRANY, PRENEBREGAQ KWADRATAMI PERWYH PROIZWODNYH ux I uy , GDE FUNKCIQ u (x
y
t) OPREDELQET FORMU MEMBRANY W MoMENT WREMENI t. iZ \TOGO PREDPOLOVENIQ SRAZU VE SLEDUET, ^TO Th (x
y
t) | PROEKCIQ NATQVENIQ rIS. 3 NA PLOSKOSTX (x
y) | RAWNA ABSOL@TNOJ WELI^INE NATQVENIQ . w SAMOM DELE, PRI L@BOJ ORIENTACII DUGI ds UGOL  0 MEVDU WEKTOROM T I PLOSKOSTX@ (x
y) NE PREWOSHODIT UGLa  , OBRAZUEMOGO NORMALX@ K POWERHNOSTI MEMBRANY W TO^KE (x
y) S OSX@ z . pO\TOMU cos  0 > cos  = q

1

1 + u2x + u2y

= 1


T. E. cos  0  = 1, I Th (x
y
z
t) = T cos  0  (25) = T (x
y
z
t): wERTIKALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ NATQVENIQ, O^EWIDNO, RAWNA @u : Tu = T @n wYDELIM NA POWERHNOSTI MEMBRANY \LEMENT PLO]ADI, PROEKCIQ KOTOROGO NA PLOSKOSTX (x
y) QWLQETSQ PRQMOUGOLXNIKOM ABCD SO STORONAMI, PARALLELXNYMI OSQM KOORDINAT (RIS. 3). nA \TOT \LEMENT DEJSTWUET SILA NATQVENIQ, RAWNAQ

T
=

I

ABCD

T ds:

(26)

w SILU OTSUTSTWIQ PEREME]ENIQ WDOLX OSEJ x I y PROEKCII T
NA \TI OSI RAWNY NUL@:

ZC

ZD

B

A

Tx = T (x2
y
t) dy ; T (x1
y
t) dy =


=

Zy2 y1

f T (x2
y
t) ; T (x1
y
t) g dy = 0:

x 1]

prostej{ie zada~i

aNALOGI^NO Ty =


37

Zx2 x1

f T (x
y2
t) ; T (x
y1
t) g dx = 0:

pOLXZUQSX TEOREMOJ O SREDNEM I U^ITYWAQ PROIZWOL W WYBORE PLO]ADI ABCD, POLU^AEM

)

T (x
y1
t) = T (x
y2
t)
T (x1
y
t) = T (x2
y
t)


(27)

T. E. NATQVENIE T NE MENQETSQ PRI IZMENENII x I y I MOVET ZAWISETX LIX OT t . pLO]ADX KAKOGO-LIBO \LEMENTA MEMBRANY W MOMENT WREMENI t RAWNA W NAEM PRIBLIVENII Z Z dx dy Z Z q ZZ 2x + u2y dx dy  1 + u dx dy: (28) = = cos  sLEDOWATELXNO, W PROCESSE KOLEBANIJ NE PROISHODIT RASTQVENIQ, OTKUDA W SILU ZAKONA gUKA WYTEKAET NEZAWISIMOSTX NATQVENIJ OT WREMENI. tAKIM OBRAZOM, MY USTANOWILI, ^TO NATQVENIE NE ZAWISIT OT PEREMENNYH x, y I t: T (x
y
t) = const = T0 : (29) pEREJDEM K WYWODU URAWNENIQ KOLEBANIJ MEMBRANY. wOSPOLXZUEMSQ TEOREMOJ O PRIRA]ENII KOLI^ESTWA DWIVENIQ. pUSTX S1 | PROEKCIQ NA PLOSKOSTX (x
y) NEKOTOROGO U^ASTKA MEMBRANY, A C1 | GRANICA S1 . pRIRAWNIWAQ IZMENENIE KOLI^ESTWA DWIVENIQ IMPULXSU WERTIKALXNYH SOSTAWLQ@]IH SIL NATQVENIQ I WNENIH DEJSTWU@]IH SIL S PLOTNOSTX@ F (x
y
t), POLU^AEM URAWNENIE KOLEBANIJ MEMBRANY W INTEGRALXNOJ FORME

ZZ S

ut (x
y
t2 ) ; ut (x
y
t1 )]  (x
y) dx dy = =

Zt2 Z t1 C1

@u ds dt + Z T0 @n

t2 Z Z

t1 S1

F dx dy dt
(30)

GDE  (x
y) | POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX MEMBRANY, A F (x
y
t) | PLOTNOSTX WNENEJ SILY (NA EDINICU PLO]ADI).

38

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

dLQ PEREHODA K DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ PREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ u (x
y
t) IMEET NEPRERYWNYE WTORYE PROIZWODNYE. s POMO]X@ TEOREMY oSTROGRADSKOGO | gAUSSA 1) KONTURNYJ INTEGRAL PREOBRAZUETSQ W POWERHNOSTNYJ: Z @u Z Z @n ds = (uxx + uyy ) dx dy
C1

S1

WSLEDSTWIE ^EGO INTEGRALXNOE URAWNENIE KOLEBANIJ PRIWODITSQ K WIDU

Zt2 Z Z

t1 S1

futt ; T0 (uxx + uyy ) ; F (x
y
t)g dx dy dt = 0:

pOLXZUQSX TEOREMOJ O SREDNEM, PROIZWOLXNOSTX@ WYBORA S1 I PROMEVUTKA WREMENI (t1
t2 ), DELAEM ZAKL@^ENIE O TOVDESTWENNOM RAWENSTWE NUL@ WYRAVENIQ W FIGURNYH SKOBKAH. tAKIM OBRAZOM, PRIHODIM K DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ KOLEBANIJ MEMBRANY utt = T0 (uxx + uyy ) + F (x
y
t): (31) dLQ ODNORODNOJ MEMBRANY URAWNENIE KOLEBANIJ MOVNO ZAPISATX W WIDE  T0  utt = a2 (uxx + uyy ) + f (x
y
t) a2 = 
(32) GDE f (x
y
t) | PLOTNOSTX SILY, RASS^ITANNAQ NA EDINICU MASSY MEMBRANY. 6. uRAWNENIQ GIDRODINAMIKI I AKUSTIKI. dLQ HARAKTERISTIKI DWIVENIQ VIDKOSTI POLXZU@TSQ FUNKCIQMI v1 (x
y
z
t), v2 (x
y
z
t), v3 (x
y
z
t), PREDSTAWLQ@]IMI KOMPONENTY WEKTORA SKOROSTI v W TO^KE (x
y
z ) W MOMENT t (\JLEROWY PEREMENNYE). wELI^INAMI, HARAKTERIZU@]IMI DWIVENIE VIDKOSTI, QWLQ@TSQ TAKVE PLOTNOSTX  (x
y
z
t), DAWLENIE p (x
y
z
t) I PLOTNOSTX WNENIH DEJSTWU@]IH SIL F (x
y
z
t) (ESLI ONI IME@TSQ), RASS^ITANNAQ NA EDINICU MASSY. rASSMOTRIM NEKOTORYJ OB_EM VIDKOSTI T I PODS^ITAEM DEJSTWU@]IE NA NEGO SILY. pRENEBREGAQ SILAMI TRENIQ, OBUSLOWLENNYMI WQZKOSTX@, T. E. RASSMATRIWAQ IDEALXNU@ VIDKOSTX, POLU^IM DLQ REZULXTIRU@]EJ SIL DAWLENIQ WYRAVENIE W WIDE POWERHNOSTNOGO INTEGRALA

;

ZZ S

p n dS


(33)

GDE S | POWERHNOSTX OB_EMA T , n | EDINI^NYJ WEKTOR WNENEJ NOR1) sM.:

s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. t. II. m., 1974. s. 207 b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. M., 1967.

x 1]

prostej{ie zada~i

MALI. fORMULA oSTROGRADSKOGO | gAUSSA 1) DAET ZZ ZZZ ; p n dS = ; grad p d: S

T

39 (34)

pRI WY^ISLENII USKORENIQ KAKOJ-LIBO TO^KI VIDKOSTI NEOBHODIMO U^ESTX PEREME]ENIE SAMOJ TO^KI. pUSTX x = x (t), y = y (t), z = = z (t) | URAWNENIE TRAEKTORII \TOJ TO^KI. wY^ISLIM PROIZWODNU@ SKOROSTI PO WREMENI: dv = @ v + @ v x_ + @ v y_ + @ v z_ = dt @t @x @y @z = @@tv + @@xv v1 + @@yv v2 + @@zv v3 = @@tv + (vr)v
GDE r = i @x@ + j @y@ + k @z@ : tAKAQ PROIZWODNAQ PO WREMENI, U^ITYWA@]AQ DWIVENIE ^ASTICY SREDY (SUBSTANCII), NAZYWAETSQ S U B S T A N C I O N A L X N O J ILI MATERIALXNOJ. uRAWNENIE DWIVENIQ VIDKOSTI WYRAVAET OBY^NU@ SWQZX MEVDU USKORENIEM I DEJSTWU@]IMI NA NIHZZZ SILAMI ZZZ^ASTIC ZZZ d v  dt d = ; grad p d +  F d
(35) T

T

T

GDE POSLEDNIJ INTEGRAL PREDSTAWLQET SOBOJ RAWNODEJSTWU@]U@ WNENIH SIL, PRILOVENNYH K OB_EMU T . oTS@DA W SILU PROIZWOLXNOSTI OB_EMA T POLU^AEM URAWNENIE DWIVENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI W FORME |JLERA: (36) vt + (vr) v = ; 1 grad p + F: pEREJDEM K WYWODU URAWNENIQ NEPRERYWNOSTI. eSLI WNUTRI T NET NIKAKIH ISTO^NIKOW ILI STOKOW, TO IZMENENIE W EDINICU WREMENI KOLI^ESTWA VIDKOSTI, ZAKL@^ENNOJ WNUTRI T , RAWNO POTOKU ^EREZ GRANICU S d ZZZ  dt = ; Z Z  vn dS: (37) dt T

S

1) w SAMOM DELE, p n = p cos (n x) i + p cos (n y ) j + p cos (n z ) k, i j k | EDINI^NYE WEKTORY W SISTEME KOORDINAT (x y z ),

ZZ S

p cos (n x) dx =

ZZZ T

@p @x d I T. D.

GDE

40

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

pREOBRAZOWANIE POWERHNOSTNOGO INTEGRALA W OB_EMNYJ DAET  ZZZ  @ @t + div v d = 0: T tAK KAK \TO RAWENSTWO SPRAWEDLIWO DLQ SKOLX UGODNO MALYH OB_EMOW, TO OTS@DA SLEDUET U R A W N E N I E N E P R E R Y W N O S T I @ + div(v) = 0
@t ILI @ + v grad  +  div v = 0: (38) @t k URAWNENIQM (36) I (38) SLEDUET PRISOEDINITX TERMODINAMI^ESKOE U R A W N E N I E c O S T O Q N I Q, KOTOROE MY ZDESX WOZXMEM W WIDE p = f (): sLEDOWATELXNO, MY POLU^AEM SISTEMU PQTI URAWNENIJ S PQTX@ NEIZWESTNYMI FUNKCIQMI vx , vy , vz , p I . eSLI BY URAWNENIE SOSTOQNIQ SODERVALO TEMPERATURU, TO NUVNO BYLO BY DOBAWITX E]E URAWNENIE TEPLOPERENOSA (SM. pRILOVENIE IV). tAKIM OBRAZOM, SISTEMA URAWNENIJ @ v + (vr) v = F ; 1 grad p
9 > > @t 

> = > > > 

(39) @ + div(v) = 0
@t p = f () PREDSTAWLQET ZAMKNUTU@ SISTEMU URAWNENIJ GIDRODINAMIKI. pRIMENIM URAWNENIQ GIDRODINAMIKI K PROCESSU RASPROSTRANENIQ ZWUKA W GAZE. sDELAEM SLEDU@]IE DOPU]ENIQ: 1) WNENIE SILY OTSUTSTWU@T 2) PROCESS RASPROSTRANENIQ ZWUKA QWLQETSQ ADIABATI^ESKIM, PO\TOMU URAWNENIEM SOSTOQNIQ SLUVIT ADIABATA pUASSONA    cp  p = 

=c
p0 0 v GDE 0 I p0 | NA^ALXNAQ PLOTNOSTX I NA^ALXNOE DAWLENIE, cp I cv | TEPLOEMKOSTI PRI POSTOQNNOM DAWLENII I POSTOQNNOM OB_EME 3) KOLEBANIQ GAZA MALY, MOVNO PRENEBREGATX WYSIMI STEPENQMI SKOROSTEJ, GRADIENTOW SKOROSTEJ I IZMENENIQ PLOTNOSTI. nAZOWEM K O N D E N S A C I E J GAZA WELI^INU s (x
y
z
t), RAWNU@ OTNOSITELXNOMU IZMENENI@ PLOTNOSTI: s (x
y
z
t) =  ; 0
(40) 0

x 1]

prostej{ie zada~i

41

OTKUDA

 = 0 (1 + s): (41) uRAWNENIQ GIDRODINAMIKI PRI SDELANNYH PREDPOLOVENIQH PRINIMA@T WID 9 vt = ; 1 grad p
> >

= > > 

0

TAK KAK

t + 0 div v = 0
p = p0 (1 + s)  = p0 (1 + s)


1 grad p = 1 (1 ; s + : : :) grad p = 1 grad p + : : :
   0

0

(42)

div v = v grad  +  div v = 0 div v + : : :
GDE TO^KAMI OBOZNA^ENY ^LENY WTOROGO I WYSEGO PORQDKOW MALOSTI. wWEDQ OBOZNA^ENIE a2 = p0=0 , PEREPIEM SISTEMU (42) W SLEDU@]EM WIDE: ) vt = ; a2 grad s
(420 ) st + div v = 0: pRIMENQQ K PERWOMU URAWNENI@ (420 ) OPERATOR DIWERGENCII I MENQQ PORQDOK DIFFERENCIROWANIQ, BUDEM IMETX @ div v = ; a2 div (grad s) = ; a2 r2 s = ; a2 s
div @@tv = @t GDE 2 2 2 r2 =  = @x@ 2 + @y@ 2 + @z@ 2 | O P E R A T O R l A P L A S A. iSPOLXZUQ WTOROE URAWNENIE (420 ), POLU^AEM URAWNENIE KOLEBANIJ (43) s = a12 stt
ILI a2 (sxx + syy + szz ) = stt : oTS@DA I IZ (40) POLU^AEM URAWNENIE DLQ PLOTNOSTI a2 (xx + yy + zz ) = tt : (430 ) uRAWNENIQ (43) I (430) QWLQ@TSQ URAWNENIQMI KOLEBANIJ. wWEDEM TEPERX P O T E N C I A L S K O R O S T E J I POKAVEM, ^TO ON UDOWLETWORQET TOMU VE URAWNENI@ KOLEBANIJ (43), ^TO I KONDENSACIQ.

urawneniq giperboli~eskogo tipa

42

iZ URAWNENIQ SLEDUET

gl. II

vt = ; a2 grad s

0Zt 1 v (x
y
z
t) = v (x
y
z
0) ; a2 grad @ s dtA
0

(44)

GDE v (x
y
z
0) | NA^ALXNOE RASPREDELENIE SKOROSTEJ. eSLI POLE SKOROSTEJ W NA^ALXNYJ MOMENT POTENCIALXNO: vjt=0 = ; grad f (x
y
z)
(45) TO IMEET MESTO SOOTNOENIE

2 Zt 3 v = ; grad 4f (x
y
z) + a2 s dt5 = ; grad U
0

(46)

KOTOROE OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET POTENCIAL SKOROSTEJ U (x
y
z
t). zNANIQ POTENCIALA SKOROSTEJ DOSTATO^NO DLQ OPISANIQ WSEGO PROCESSA DWIVENIQ 1) : v = ; grad U
9 > = s = a12 Ut :

> 

(47)

pODSTAWIW \TI ZNA^ENIQ W URAWNENIE NEPRERYWNOSTI st + div v = 0
POLU^IM URAWNENIE KOLEBANIJ DLQ POTENCIALA a2 (Uxx + Uyy + Uzz ) = Utt
ILI Utt = a2 U: (48) dLQ DAWLENIQ p I SKOROSTI v TAKVE MOVNO POLU^ITX URAWNENIE KOLEBANIJ WIDA (48), NAZYWAEMOE ^ASTO U R A W N E N I E M A K U S T I K I. 1) iZ FORMULY (46) WIDNO, ^TO POTENCIAL U OPREDELEN S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO, QWLQ@]EGOSQ PROIZWOLXNOJ FUNKCIEJ  t. 1iZ URAWNENIQ vt = 2 = ; a grad s I SOOTNOENIQ (46) SLEDUET grad s ; a2 Ut = 0 , T. E. s = = a12 Ut PRI SOOTWETSTWU@]EJ NORMIROWKE POTENCIALA U .

x 1]

prostej{ie zada~i

43

pRI REENII ZADA^ DLQ DWUMERNOGO I ODNOMERNOGO SLU^AEW NADO W @2 + @2 I URAWNENII (48) OPERATOR lAPLASA ZAMENITX OPERATOROM @x 2 @y 2 @ 2 SOOTWETSTWENNO. pOSTOQNNAQ @x2 r p0 a=  0 IMEET RAZMERNOSTX SKOROSTI I, KAK BUDET POKAZANO W x 2, QWLQETSQ SKOROSTX@ RASPROSTRANENIQ ZWUKA. wY^ISLIM SKOROSTX ZWUKA W WOZDUHE PRI NORMALXNOM ATMOSFERNOM DAWLENII2. w \TOM SLU^AE  = 7=5, 0 = 0
001293 G/SM3 , p0 = = 1
033 KG/SM  SLEDOWATELXNO, r 0 a = p 0 = 336 M/S: w SLU^AE KOLEBANIJ GAZA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NA EE GRANICE DOLVNY BYTX ZADANY OPREDELENNYE GRANI^NYE USLOWIQ. eSLI GRANICA PREDSTAWLQET SOBOJ TWERDU@ NEPRONICAEMU@ STENKU, TO NORMALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ SKOROSTI RAWNA NUL@, ^TO PRIWODIT K USLOWIQM   @U  = 0 ILI @s  = 0: (49) @n  @n  7. gRANI^NYE I NA^ALXNYE USLOWIQ. pRI MATEMATI^ESKOM OPISANII FIZI^ESKOGO PROCESSA NADO PREVDE WSEGO POSTAWITX ZADA^U, T. E. SFORMULIROWATX USLOWIQ, DOSTATO^NYE DLQ ODNOZNA^NOGO OPREDELENIQ PROCESSA. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S OBYKNOWENNYMI I, TEM BOLEE, S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI IME@T, WOOB]E GOWORQ, BES^ISLENNOE MNOVESTWO REENIJ. pO\TOMU W TOM SLU^AE, KOGDA FIZI^ESKAQ ZADA^A PRIWODITSQ K URAWNENI@ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI, DLQ ODNOZNA^NOJ HARAKTERISTIKI PROCESSA NEOBHODIMO K URAWNENI@ PRISOEDINITX NEKOTORYE DOPOLNITELXNYE USLOWIQ. w SLU^AE OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 2-GO PORQDKA REENIE MOVET BYTX OPREDELENO NA^ALXNYMI USLOWIQMI, T. E. ZADANIEM ZNA^ENIJ FUNKCII I EE PERWOJ PROIZWODNOJ PRI NA^ALXNOM ZNA^ENII ARGUMENTA (ZADA^A kOI). wSTRE^A@TSQ I DRUGIE FORMY DOPOLNITELXNYH USLOWIJ, KOGDA, NAPRIMER, ZADA@TSQ ZNA^ENIQ FUNKCII W DWUH TO^KAH (ZADA^A O CEPNOJ LINII). dLQ URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WOZMOVNY TAKVE RAZLI^NYE FORMY DOPOLNITELXNYH USLOWIJ. rASSMOTRIM SNA^ALA PROSTEJU@ ZADA^U O POPERE^NYH KOLEBANIQH STRUNY, ZAKREPLENNOJ NA KONCAH. w \TOJ ZADA^E u (x
t) DAET OTKLONENIE STRUNY OT OSI x. eSLI KONCY STRUNY 0 6 x 6 l ZAKREPLENY, TO

44

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

DOLVNY WYPOLNQTXSQ G R A N I ^ N Y E U S L O W I Q u (0
t) = 0
u (l
t) = 0: (50) tAK KAK PROCESS KOLEBANIJ STRUNY ZAWISIT OT EE NA^ALXNOJ FORMY I RASPREDELENIQ SKOROSTEJ, TO SLEDUET ZADATX NA^ALXNYE USLOWIQ: ) u (x
t0 ) = ' (x)
(51) ut (x
t0 ) =  (x): tAKIM OBRAZOM, DOPOLNITELXNYE USLOWIQ SOSTOQT IZ GRANI^NYH I NA^ALXNYH USLOWIJ, GDE ' (x) I  (x) | ZADANNYE FUNKCII TO^KI. w DALXNEJEM MY POKAVEM, ^TO \TI USLOWIQ WPOLNE OPREDELQ@T REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY utt = a2 uxx: (52) eSLI KONCY STRUNY DWIVUTSQ PO ZADANNOMU ZAKONU, TO GRANI^NYE USLOWIQ (50) PRINIMA@T DRUGOJ WID: ) u (0
t) = 1 (t)
(500 ) u (l
t) = 2 (t)
GDE 1 (t) I 2 (t) | ZADANNYE FUNKCII WREMENI t. aNALOGI^NO STAWITSQ ZADA^A DLQ PRODOLXNYH KOLEBANIJ STRUNY ILI PRUVINY. wOZMOVNY I DRUGIE TIPY GRANI^NYH USLOWIJ. rASSMOTRIM, NAPRIMER, ZADA^U O PRODOLXNYH KOLEBANIQH PRUVINY, ODIN KONEC KOTOROJ ZAKREPLEN (TO^KA PODWESA), A DRUGOJ SWOBODEN. zAKON DWIVENIQ SWOBODNOGO KONCA NE ZADAN I ZA^ASTU@ QWLQETSQ ISKOMOJ FUNKCIEJ. w TO^KE PODWESA x = 0 OTKLONENIE u (0
t) = 0 NA SWOBODNOM KONCE x = l NATQVENIE PRUVINY  @u T (l
t) = k @x  (53) x=l RAWNO NUL@ (NET WNENIH SIL), TAK ^TO MATEMATI^ESKAQ FORMULIROWKA USLOWIQ SWOBODNOGO KONCA IMEET WID ux (l
t) = 0: eSLI KONEC x = 0 DWIVETSQ PO OPREDELENNOMU ZAKONU  (t), A PRI x = l ZADANA SILA  (t), TO





u (0
t) =  (t)
ux (l
t) =  (t)  (t) = k1  (t) : tIPI^NYM QWLQETSQ TAKVE USLOWIE UPRUGOGO ZAKREPLENIQ, SKAVEM, DLQ x = l: k ux (l
t) = ; u (l
t)


x 1]

ILI

prostej{ie zada~i

ux (l
t) = ; hu (l
t)



 h = k


45 (54)

PRI KOTOROM KONEC x = l MOVET PEREME]ATXSQ, NO UPRUGAQ SILA ZAKREPLENIQ WYZYWAET NA \TOM KONCE NATQVENIE, STREMQ]EESQ WERNUTX SMESTIWIJSQ KONEC W PREVNEE POLOVENIE. |TA SILA, SOGLASNO ZAKONU gUKA, PROPORCIONALXNA SME]ENI@ u (l
t) KO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI NAZYWAETSQ KO\FFICIENTOM VESTKOSTI ZAKREPLENIQ. eSLI TO^KA (SISTEMA), OTNOSITELXNO KOTOROJ IMEET MESTO UPRUGOE ZAKREPLENIE, PEREME]AETSQ I EE OTKLONENIE OT NA^ALXNOGO POLOVENIQ DAETSQ FUNKCIEJ  (t), TO GRANI^NOE USLOWIE PRINIMAET WID ux (l
t) = ; h u (l
t) ;  (t)]
h = k > 0: (55) uSLOWIE UPRUGOGO ZAKREPLENIQ NA LEWOM KONCE x = 0 IMEET WID ux (0
t) = h u (0
t) ;  (t)]
h > 0 (FORMALXNO MOVNO S^ITATX, ^TO (55) IMEET MESTO I PRI x = 0, NO h < 0). sLEDUET OTMETITX, ^TO W SLU^AE VESTKOGO ZAKREPLENIQ ( WELIKO), KOGDA DAVE NEBOLXIE SDWIGI KONCA WYZYWA@T BOLXIE NATQVENIQ, GRANI^NOE USLOWIE (55) PEREHODIT W USLOWIE u (l
t) =  (t) ( = 1) PRI  (t) =  (t). w SLU^AE MQGKOGO ZAKREPLENIQ ( MALO), PRI KOTOROM BOLXIE SDWIGI KONCA WYZYWA@T SLABYE NATQVENIQ, GRANI^NOE USLOWIE PEREHODIT W USLOWIE SWOBODNOGO KONCA ux (l
t) = 0 ( = 0): w DALXNEJEM MY BUDEM GOWORITX O TREH OSNOWNYH TIPAH GRANI^NYH USLOWIJ: GRANI^NOE USLOWIE 1-GO RODA u (0
t) =  (t) | ZADANNYJ REVIM, GRANI^NOE USLOWIE 2-GO RODA ux (0
t) =  (t) | ZADANNAQ SILA, GRANI^NOE USLOWIE 3-GO RODA ux (0
t) = h u (0
t) ;  (t)] | UPRUGOE ZAKREPLENIE. aNALOGI^NO ZADA@TSQ GRANI^NYE USLOWIQ I NA WTOROM KONCE x = = l. eSLI FUNKCII, ZADAWAEMYE W PRAWOJ ^ASTI ( (t),  (t) ILI  (t)), RAWNY NUL@, TO GRANI^NYE USLOWIQ NAZYWA@TSQ O D N O R O D N Y M I. kOMBINIRUQ RAZLI^NYE PERE^ISLENNYE TIPY GRANI^NYH USLOWIJ, MY POLU^IM ESTX TIPOW PROSTEJIH KRAEWYH ZADA^. bOLEE SLOVNOE GRANI^NOE USLOWIE IMEET MESTO, NAPRIMER, PRI UPRUGOM ZAKREPLENII, NE POD^INQ@]EMSQ ZAKONU gUKA, KOGDA NATQVENIE NA KONCE QWLQETSQ NELINEJNOJ FUNKCIEJ SME]ENIQ u (l
t), TAK ^TO ux (l
t) = k1 F u (l
t)]:

(56)

46

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

|TO GRANI^NOE USLOWIE W OTLI^IE OT RASSMOTRENNYH WYE QWLQETSQ NELINEJNYM. wOZMOVNY, DALEE, SOOTNOENIQ MEVDU SME]ENIQMI I NATQVENIQMI NA RAZNYH KONCAH SISTEMY. nAPRIMER, W ZADA^AH O KOLEBANII KOLXCA, KOGDA x = 0 I x = l PREDSTAWLQ@T ODNU I TU VE FIZI^ESKU@ TO^KU, GRANI^NYE USLOWIQ PRINIMA@T WID u (l
t) = u (0
t) ux (0
t) = ux (l
t)
(57) T. E. SWODQTSQ K TREBOWANIQM NEPRERYWNOSTI u I ux. pROIZWODNYE PO t MOGUT TAKVE WHODITX W GRANI^NYE USLOWIQ. eSLI KONEC PRUVINY ISPYTYWAET SOPROTIWLENIE SREDY, PROPORCIONALXNOE SKOROSTI EGO DWIVENIQ (K KONCU PRUVINY PRIKREPLENA PLASTINKA, PLOSKOSTX KOTOROJ PERPENDIKULQRNA OSI PRUVINY), TO GRANI^NOE USLOWIE PRINIMAET WID k ux (l
t) = ; ut (l
t): (58) eSLI K KONCU x = l PRUVINY PRIKREPLEN GRUZ MASSY m, TO PRI x = l DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE mutt (l
t) = ; k ux (l
t) + mg: (59) dLQ POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY WSE GRANI^NYE USLOWIQ ZAPISYWA@TSQ W TOJ VE FORME S ZAMENOJ k NA T0. w DALXNEJEM MY OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM TREH PROSTEJIH TIPOW GRANI^NYH USLOWIJ, PROWODQ OSNOWNOE IZLOVENIE NA PRIMERE PERWOGO TIPA GRANI^NOGO USLOWIQ I OTME^AQ LIX POPUTNO OSOBENNOSTI, SWQZANNYE SO WTORYM I TRETXIM USLOWIQMI. sFORMULIRUEM P E R W U @ K R A E W U @ Z A D A ^ U DLQ URAWNENIQ (5). nAJTI FUNKCI@ u (x
t)
OPREDELENNU@ W OBLASTI 0 6 x 6 l
t > 0
UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ utt = a2 uxx + f (x
t) DLQ 0 < x < l
t > 0
GRANI^NYM u (0
t) = 1 (t)
(t > 0) 1) (600 ) u (l
t) =  (t) 2

I NA^ALXNYM USLOWIQM u (x
0) = ' (x)
(0 < x < l): (6000 ) ut (x
0) =  (x) aNALOGI^NO STAWITSQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ (11). eSLI NA OBOIH KONCAH BERUTSQ GRANI^NYE USLOWIQ 2-GO ILI 3-GO RODA, TO SOOTWETSTWU@]IE ZADA^I NAZYWA@T W T O R O J ILI T R E T X E J K R A E W Y M I Z A D A ^ A M I. eSLI GRANI^NYE USLOWIQ PRI x = 0 I x = l 1) mY NE OSTANAWLIWAEMSQ NA SLU^AE, KOGDA GRANI^NYE USLOWIQ ZADANY NA OTREZKE 0 6 t 6 t0 .

x 1]

prostej{ie zada~i

47

IME@T RAZLI^NYE TIPY, TO TAKIE KRAEWYE ZADA^I NAZYWA@T SMEANNYMI, NE PROWODQ BOLEE PODROBNOJ IH KLASSIFIKACII. oBRATIMSQ TEPERX K RASSMOTRENI@ PREDELXNYH SLU^AEW POSTAWLENNOJ ZADA^I. wLIQNIE GRANI^NYH USLOWIJ W TO^KE M0 , DOSTATO^NO UDALENNOJ OT GRANICY, NA KOTOROJ ONI ZADANY, SKAZYWAETSQ ^EREZ DOSTATO^NO BOLXOJ PROMEVUTOK WREMENI. eSLI NAS INTERESUET QWLENIE W TE^ENIE MALOGO PROMEVUTKA WREMENI, KOGDA WLIQNIE GRANIC E]E NESU]ESTWENNO, TO WMESTO POLNOJ ZADA^I MOVNO RASSMATRIWATX PREDELXNU@ Z A D A ^ U S N A ^ A L X N Y M I U S L O W I Q M I DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI. nAJTI REENIE UpAWNENIQ utt = a2 uxx + f (x
t) DLQ ; 1 < x < 1
t > 0 S NA^ALXNYMI USLOWIQMI ) u (x
0) = ' (x)
PRI ; 1 < x < 1: (61) ut (x
0) =  (x) |TU ZADA^U ^ASTO NAZYWA@T Z A D A ^ E J k O  I. eSLI VE MY IZU^AEM QWLENIE WBLIZI ODNOJ GRANICY I WLIQNIE GRANI^NOGO REVIMA NA WTOROJ GRANICE NE IMEET SU]ESTWENNOGO ZNA^ENIQ NA PROTQVENII INTERESU@]EGO NAS PROMEVUTKA WREMENI, TO MY PRIHODIM K POSTANOWKE ZADA^I NA POLUOGRANI^ENOJ PRQMOJ 0 6 x < 1, KOGDA POMIMO URAWNENIQ DANY DOPOLNITELXNYE USLOWIQ 9 u (0
t) =  (t)
) t > 0
> = (62) u (x
0) = ' (x)
0 6 x < 1:>  u (x
0) =  (x)
t

hARAKTER QWLENIQ DLQ MOMENTOW WREMENI, DOSTATO^NO UDALENNYH OT NA^ALXNOGO MOMENTA t = 0, WPOLNE OPREDELQETSQ GRANI^NYMI ZNA^ENIQMI, TAK KAK WLIQNIE NA^ALXNYH USLOWIJ BLAGODARQ TRENI@, PRISU]EMU WSQKOJ REALXNOJ SISTEME, S TE^ENIEM WREMENI OSLABEWAET 1) . zADA^I \TOGO TIPA WSTRE^A@TSQ OSOBENNO ^ASTO W SLU^AQH, KOGDA SISTEMA WOZBUVDAETSQ PERIODI^ESKIM GRANI^NYM REVIMOM, DEJSTWU@]IM DLITELXNOE WREMQ. tAKIE ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ (NA USTANOWIWIJSQ REVIM) FORMULIRU@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. nAJTI REENIE IZU^AEMOGO URAWNENIQ DLQ 0 6 x 6 l I t > ;1 PRI GRANI^NYH USLOWIQH ) u (0
t) = 1 (t)
(63) u (l
t) = 2 (t): 1)

uRAWNENIE KOLEBANIJ S U^ETOM TRENIQ, PROPORCIONALXNOGO SKOROSTI, IMEET WID utt = a2 uxx ; ut ( > 0): pODROBNEE O POSTANOWKE ZADA^ BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ PRI = 0 SM. x 3, P. 7.

48

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

aNALOGI^NO STAWITSQ ZADA^A BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ DLQ POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ. w DALXNEJEM MY BUDEM RASSMATRIWATX POMIMO OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^ TAKVE PREDELXNYE ZADA^I: 1) ZADA^I W BESKONE^NOJ OBLASTI, KOGDA ODNA ILI OBE GRANICY NAHODQTSQ W BESKONE^NOSTI 2) ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ (NA USTANOWIWIJSQ REVIM), KOGDA RASSMATRIWAETSQ REENIE, OPREDELENNOE W TE^ENIE BESKONE^NOGO PROMEVUTKA WREMENI. 8. rEDUKCIQ OB]EJ ZADA^I. pRI REENII SLOVNOJ ZADA^I ESTESTWENNO STREMITXSQ SWESTI EE REENIE K REENI@ BOLEE PROSTYH ZADA^. s \TOJ CELX@ PREDSTAWIM REENIE OB]EJ KRAEWOJ ZADA^I W WIDE SUMMY REENIJ RQDA ^ASTNYH KRAEWYH ZADA^. pUSTX ui (x
t) (i = 1
2
: : :
n) | FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE URAWNENIQM @ 2 ui = a2 @ 2ui + f i (x
t) (64) @t2 @x2 PRI 0 < x < l, t > 0 I DOPOLNITELXNYM USLOWIQM 9 ui (0
t) = i1 (t)
> > > = ui (l
t) = i2 (t) > (65) ui (x
0) = 'i (x)
> > @ui (x
0) = i (x):> >  @t o^EWIDNO, ^TO IMEET MESTO SUPERPOZICIQ REENIJ, T. E. FUNKCIQ u(0) (x
t) =

n X i=1

ui (x
t)

(66)

UDOWLETWORQET ANALOGI^NOMU URAWNENI@ S PRAWOJ ^ASTX@ f (0) (x
t) =

n X i=1

f i (x
t)

(67)

I DOPOLNITELXNYM USLOWIQM, PRAWYE ^ASTI KOTORYH SUTX FUNKCII

9 > k (t) (k = 1
2)
> k > i=1 > n = X i (0) ' (x) = ' (x)
> i=1 > n > X > (0) i  (x) =  (x):  X (0) (t) = i n

i=1

(68)

x 1]

prostej{ie zada~i

49

uKAZANNYJ PRINCIP SUPERPOZICII OTNOSITSQ, O^EWIDNO, NE TOLXKO K DANNOJ ZADA^E, NO I K L@BOMU LINEJNOMU URAWNENI@ S LINEJNYMI DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI. |TIM SWOJSTWOM MY W DALXNEJEM NEODNOKRATNO BUDEM POLXZOWATXSQ. rEENIE OB]EJ KRAEWOJ ZADA^I 9 utt = a2 uxx + f (x
t)> > (0 < x < l
t > 0) > > u (0
t) = 1 (t)
= (69) u (l
t) = 2 (t) > > u (x
0) = ' (x)
> > ut (x
0) =  (x)  MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE SUMMY u (x
t) = u1 (x
t) + u2 (x
t) + u3 (x
t) + u4 (x
t)
(70) GDE u1 , u2 , u3, u4 | REENIQ SLEDU@]IH ^ASTNYH KRAEWYH ZADA^: @ 2 ui = a2 @ 2 ui (i = 1
2
3)
@t2 @x2 (0 < x < l
t > 0)
@ 2 u4 = a2 @ 2 u4 + f (x
t) @t2 @x2 u1 (0
t) = 0
u2 (0
t) = 1 (t)
u3 (0
t) = 0
u1 (l
t) = 0
u2 (l
t) = 0
u3(l
t) = 2 (t)
u1 (x
0) = '(x)
u2 (x
0) = 0
u3 (x
0) = 0
u1 t (x
0) = (x)
u2t (x
0) = 0
u3 t (x
0) = 0


9

u4 (0
t) = 0
> > u4 (l
t) = 0
= u4 (x
0) = 0
> > u4 t (x
0) = 0:

(71)

mY OGRANI^IMSQ ZDESX \TOJ FORMALXNOJ REDUKCIEJ DLQ TOGO, ^TOBY HARAKTERIZOWATX ^ASTNYE KRAEWYE ZADA^I, SOSTAWLQ@]IE OSNOWNYE \TAPY PRI REENII OB]EJ ZADA^I. aNALOGI^NAQ REDUKCIQ MOVET BYTX PROIZWEDENA I DLQ PREDELXNYH SLU^AEW OB]EJ KRAEWOJ ZADA^I. 9. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ DLQ SLU^AQ MNOGIH PEREMENNYH. mY PODROBNO RASSMOTRELI POSTANOWKU KRAEWYH ZADA^ DLQ SLU^AQ ODNOJ NEZAWISIMOJ GEOMETRI^ESKOJ PEREMENNOJ x (I WREMENI t). eSLI ^ISLO GEOMETRI^ESKIH PEREMENNYH n > 1 (NAPRIMER, n = 3), TO PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A STAWITSQ SOWERENNO SHODNYM OBRAZOM. tREBUETSQ NAJTI FUNKCI@ u (M
t) = u (x
y
z
t)
OPREDELeNNU@ PRI t > 0 WNUTRI ZADANNOJ OBLASTI T S GRANICEJ 
UDOWLETWoRQ@]U@ PRI t > 0 WNUTRI T URAWNENI@ utt = a2 u + f (M
t) (M (x
y
z ) 2 T
t > 0)
(72) GRANI^NOMU USLOWI@ NA  uj =  (P
t) (P (x
y
z ) 2 
t > 0)
(73) 4 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

50

urawneniq giperboli~eskogo tipa

GDE  (x
y
z
t)

gl. II

FUNKCIQ
ZADANNAQ NA 
I NA^ALXNYM USLOWIQM ) u (M
0) = ' (M )
(M (x
y
z ) 2 T ): (74) ut (M
0) =  (M ) rAZLOVENIE OB]EJ KRAEWOJ ZADA^I NA RQD BOLEE PROSTYH PROISHODIT ANALOGI^NO PREDESTWU@]EMU. oTMETIM, ^TO WOZMOVNA TAKVE POSTANOWKA PREDELXNYH KRAEWYH ZADA^ DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI, POLUPROSTRANSTWA I T. D. 10. tEOREMA EDINSTWENNOSTI. pRI REENII KRAEWYH ZADA^ NADO UBEDITXSQ W TOM, ^TO: 1) DOPOLNITELXNYE USLOWIQ DOSTATO^NY DLQ WYDELENIQ ODNOZNA^NOGO REENIQ \TO DOSTIGAETSQ DOKAZATELXSTWOM T E O R E M Y E D I N S T W E N N O S T I 2) DOPOLNITELXNYE USLOWIQ NE PEREOPREDELQ@T ZADA^U, T. E. SREDI NIH NET NESOWMESTNYH USLOWIJ \TO DOSTIGAETSQ DOKAZATELXSTWOM T E O R E M Y S U ] E S T W O W A N I Q DOKAZATELXSTWO SU]ESTWOWANIQ REENIQ OBY^NO TESNO SWQZANO S METODOM NAHOVDENIQ REENIQ. w NASTOQ]EM PUNKTE NAMI BUDET DOKAZANA SLEDU@]AQ TE O R E M A E D I N S T W E N N O S T I. wOZMOVNO SU]ESTWOWANIE TOLXKO ODNOJ FUNKCII u (x
t)
OPREDELeNNOJ W OBLASTI 0 6 x 6 l
t > 0 I UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@  @u  2u @ @  (x) @t2 = @x k (x) @x + F (x
t) ( (x) > 0
k (x) > 0)
(75) |

0 < x < l
t > 0


NA^ALXNYM I GRANI^NYM USLOWIQM ) u (x
0) = ' (x)
ut (x
0) =  (x)
(76) u (0
t) = 1 (t)
u (l
t) = 2 (t)
ESLI WYPOLNENY USLOWIQ: 1) FUNKCIQ u (x
t) I PROIZWODNYE
WHODQ]IE W URAWNENIE (75)
A TAKVE PROIZWODNAQ uxt NEPRERYWNY NA OTREZKE 0 6 x 6 l PRI t > > 0 2) KO\FFICIENTY  (x) I k (x) NEPRERYWNY NA OTREZKE 0 6 x 6 l. dOPUSTIM, ^TO SU]ESTWUET DWA REENIQ RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I: u1 (x
t)
u2 (x
t)
I RASSMOTRIM RAZNOSTX v (x
t) = u1 (x
t) ; u2 (x
t). fUNKCIQ v (x
t), O^EWIDNO, UDOWLETWORQET ODNORODNOMU URAWNENI@   2 @ k @v  @@t2v = @x (77) @x

x 1]

prostej{ie zada~i

I ODNORODNYM DOPOLNITELXNYM USLOWIQM ) v (x
0) = 0
v (0
t) = 0
vt (x
0) = 0 v (l
t) = 0
A TAKVE USLOWI@ 1 TEOREMY. dOKAVEM, ^TO FUNKCIQ v (x
t) TOVDESTWENNO RAWNA NUL@. rASSMOTRIM FUNKCI@ E (t) = 21

Zl 0

k (vx )2 +  (vt )2 ] dx

51 (78)

(79)

I POKAVEM, ^TO ONA NE ZAWISIT OT t. fIZI^ESKIJ SMYSL FUNKCII E (t) O^EWIDEN: \TO POLNAQ \NERGIQ STRUNY W MOMENT WREMENI t. pRODIFFERENCIRUEM E (t) PO t, WYPOLNQQ PRI \TOM DIFFERENCIROWANIE POD ZNAKOM INTEGRALA 1) : dE (t) = Z (kv v + v v ) dx: x xt t tt dt l

0

iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM PERWOE SLAGAEMOE PRAWOJ ^ASTI, BUDEM IMETX

Zl 0

kvxvxt dx = kvx vt ]l

0

;

Zl 0

vt (kvx )x dx:

(80)

pODSTANOWKA OBRA]AETSQ W NULX W SILU GRANI^NYH USLOWIJ (IZ v (0
t) = 0 SLEDUET vt (0
t) = 0 I ANALOGI^NO DLQ x = l). oTS@DA dE (t) = Z v v ; v (kv ) ] dx = Z v v ; (kv ) ] dx = 0
t tt t x x t tt xx dt l

l

0

0

T. E. E (t) = const. u^ITYWAQ NA^ALXNYE USLOWIQ, POLU^AEM E (t) = const = E (0) = 12

TAK KAK

Zl 0

k (vx )2 +  (vt )2 ]t=0 dx = 0


(81)

v (x
0) = 0
vt (x
0) = 0: 1) dLQ DIFFERENCIROWANIQ POD ZNaKOM INTEGRALA DOSTATO^NO, ^TOBY POLU^AEMOE PRI \TOM PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE BYLO NEPRERYWNO NA OTREZKE 0 6 x 6 l PRI t > 0. |TO TREBOWANIE W NAEM SLU^AE WYPOLNENO, TAK KAK FUNKCIQ v (x t) UDOWLETWORQET USLOWI@ 1 TEOREMY, a  (x) I k (x) | USLOWI@ 2. 4


52

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

pOLXZUQSX FORMULOJ (81) I POLOVITELXNOSTX@ k I , ZAKL@^AEM, ^TO vx (x
t)  0
vt (x
t)  0
OTKUDA I SLEDUET TOVDESTWO v (x
t) = const = C0 : (82) iSHODQ IZ NA^ALXNOGO USLOWIQ, NAHODIM v (x
0) = C0 = 0 TEM SAMYM DOKAZANO, ^TO v (x
t)  0: (83) sLEDOWATELXNO, ESLI SU]ESTWUET DWE FUNKCII: u1 (x
t) I u2 (x
t), UDOWLETWORQ@]IE WSEM USLOWIQM TEOREMY, TO u1 (x
t)  u2 (x
t). dLQ WTOROJ KRAEWOJ ZADA^I FUNKCIQ v = u1 ; u2 UDOWLETWORQET GRANI^NYM USLOWIQM vx (0
t) = 0
vx (l
t) = 0
(84) I PODSTANOWKA W FORMULE (80) TAKVE OBRA]AETSQ W NULX. dALXNEJAQ ^ASTX DOKAZATELXSTWa TEOREMY OSTAETSQ BEZ IZMENENIJ. dLQ TRETXEJ KRAEWOJ ZADA^I DOKAZATELXSTWO TREBUET NEKOTOROGO WIDOIZMENENIQ. rASSMATRIWAQ PO-PREVNEMU DWA REENIQ: u1 I u2 , POLU^AEM DLQ IH RAZNOSTI v (x
t) = u1 ; u2 URAWNENIe (77) I GRANI^NYE USLOWIQ ) vx (0
t) ; h1 v (0
t) = 0 (h1 > 0)
(85) vx (l
t) + h2 v (l
t) = 0 (h2 > 0): pREDSTAWIM PODSTANOWKU W (80) W WIDE @ h v2 (l
t) + h v2 (0
t)]: kvx vt ]l0 = ; k2 @t 2 1 iNTEGRIRUQ dE dt W PREDELAH OT NULQ DO t, POLU^AEM E (t) ; E (0) =

Zt Z l 0 0

vt vtt ; (kvx )x ] dx dt ;

; k2 h2 v2 (l
t) ; v2 (l
0)] + h1 v2 (0
t) ; v2 (0
0)]


OTKUDA W SILU URAWNENIQ I NA^ALXNYH USLOWIJ SLEDUET E (t) = ; k h v2 (l
t) + h v2 (0
t)] 6 0: 2

2

1

(86)

x 1]

prostej{ie zada~i

53

tAK KAK WWIDU NEOTRICATELXNOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII ZNA^ENIQ E (t) > 0, TO E (t)  0
(87) A SLEDOWATELXNO, I v (x
t)  0: (88) iZLOVENNYJ ZDESX METOD DOKAZATELXSTWA TEOREMY EDINSTWENNOSTI, OSNOWANNYJ NA ISPOLXZOWANII WYRAVENIQ POLNOJ \NERGII, IROKO PRIMENQETSQ PRI DOKAZATELXSTWE TEOREM EDINSTWENNOSTI W RAZLI^NYH OBLASTQH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, NAPRIMER W TEORII \LEKTROMAGNITNYH POLEJ, TEORII UPRUGOSTI I GIDRODINAMIKE. dOKAZATELXSTWO EDINSTWENNOSTI DRUGIH KRAEWYH ZADA^ (ZADA^I kOI I ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ) BUDET DANO W DALXNEJEM W SOOTWETSTWU@]EM MESTE.

zADA^I

1. dOKAZATX, ^TO URAWNENIE MALYH KRUTILXNYH KOLEBANIJ STERVNQ IME-

ET WID

r

a = GJ k  GDE  ESTX UGOL POWOROTA SE^ENIQ STERVNQ S ABSCISSOJ x, G | MODULX SDWIGA, J | POLQRNYJ MOMENT INERCII POPERE^NOGO SE^ENIQ, A k | MOMENT INERCII EDINICY DLINY STERVNQ. dATX FIZI^ESKU@ INTERPRETACI@ GRANI^NYH USLOWIJ 1, 2 I 3-GO RODA DLQ \TOGO URAWNENIQ. 2. aBSOL@TNO GIBKAQ ODNORODNAQ NITX ZAKREPLENA NA ODNOM IZ KONCOW I POD DEJSTWIEM SWOEGO WESA NAHODITSQ W WERTIKALXNOM POLOVENII RAWNOWESIQ. wYWESTI URAWNENIE MALYH KOLEBANIJ NITI. 2 @ h (l ; x) @u i  a2 = g oTWET: @@t2u = a2 @x @x GDE u (x t) | SME]ENIE TO^KI, l | DLINA NITI, g | USKORENIE SILY TQVESTI. 3. tQVeLAQ ODNORODNAQ NITX DLINY l, PRIKREPLeNNAQ WERHNIM KONCOM (x = 0) K WERTIKALXNOJ OSI, WRA]AETSQ WOKRUG \TOJ OSI S POSTOQNNOJ UGLOWOJ SKOROSTX@ !. wYWESTI URAWNENIE MALYH KOLEBANIJ NITI OKOLO SWOEGO WERTIKALXNOGO POLOVENIQ RAWNOWESIQ. 2 @ h (l ; x) @u i + !2 u GDE a2 = g: oTWET: @@t2u = a2 @x @x 4. wYWESTI URAWNENIE POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY W SREDE, SOPROTIWLENIE KOTOROJ PROPORCIONALXNO PERWOJ STEPENI SKOROSTI. r oTWET: vtt = a2 vxx ; h2 vt  a2 = T0 : 5. wYWESTI GRANI^NYE USLOWIQ DLQ URAWNENIQ PRODOLXNYH KOLEBANIJ UPRUGOGO STERVNQ (PRUVINY) W SLU^AE, KOGDA WERHNIJ KONEC STERVNQ ZAKREPLEN VeSTKO, A K NIVNEMU PODWEEN GRUZ P , ESLI: tt = a2 xx

54

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

A) ZA POLOVENIE RAWNOWESIQ PRINIMAETSQ NAPRQVENNOE SOSTOQNIE STERVNQ POD DEJSTWIEM NEPODWIVNOGO GRUZA P , PODWEENNOGO K NIVNEMU KONCU (STATI^ESKOE RASTQVENIE) B) ZA POLOVENIE RAWNOWESIQ PRINIMAETSQ NENAPRQVENNOE SOSTOQNIE STERVNQ (NAPRIMER, W NA^ALXNYJ MOMENT IZ-POD GRUZA UBIRAETSQ PODSTAWKA I GRUZ NA^INAET RASTQGIWATX STERVENX). 6. nAPISATX URAWNENIE I USLOWIQ, OPREDELQ@]IE PROCESS KRUTILXNYH KOLEBANIJ STERVNQ, K OBOIM KONCAM KOTOROGO PRIKREPLENY KIWY. oTWET. pRI x = 0, x = l DOLVNY WYPOLNQTXSQ GRANI^NYE USLOWIQ WIDA tt (0 t) = 21 x (0 t) tt (l t) = ; 22 x (l t): 7. w NEKOTOROJ TO^KE x = x0 STRUNY (0 6 x 6 l) PODWEEN GRUZ MASSY M . wYWESTI USLOWIQ SOPRQVENIQ W TO^KE x = x0 . 8. k KONCU x = l UPRUGOGO STERVNQ, UPRUGO ZAKREPLeNNOGO W TO^KE x = 0, PODWEEN GRUZ MASSY M . nAPISATX URAWNENIE I USLOWIQ, OPREDELQ@]IE PRODOLXNYE KOLEBANIQ STERVNQ, PREDPOLAGAQ, ^TO NA NEGO, KROME TOGO, DEJSTWUET WNENQQ SILA. rASSMOTRETX DWA SLU^AQ: A) SILA RASPREDELENA PO STERVN@ S PLOTNOSTX@ F (x t) B) SILA SOSREDOTO^ENA W TO^KE x = x0 I RAWNA F0 (t). 9. rASSMOTRETX PROCESS MALYH KOLEBANIJ IDEALXNOGO GAZA W CILINDRI^ESKOJ TRUBKE. wYWESTI SNA^ALA OSNOWNYE URAWNENIQ GIDRODINAMIKI, A ZATEM, PREDPOLAGAQ PROCESS ADIABATI^ESKIM, DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE: 1) DLQ PLOTNOSTI , 2) DAWLENIQ p, 3) POTENCIALA U SKOROSTI ^ASTIC GAZA, 4) SKOROSTI v, 5) SME]ENIQ u ^ASTIC. pRIWESTI PRIMERY REALIZACII GRANI^NYH USLOWIJ 1, 2 I 3-GO TIPOW DLQ \TIH URAWNENIJ. 10. uSTANOWITX SOOTNOENIQ PODOBIQ MEVDU PROCESSAMI MEHANI^ESKIH, AKUSTI^ESKIH I \LEKTRI^ESKIH KOLEBANIJ (SM. pRILOVENIE VI K GL. II). 11. pRIWESTI PRIMERY GRANI^NYH USLOWIJ 1, 2 I 3-GO RODA DLQ TELEGRAFNYH URAWNENIJ. 12. rASSMOTRETX ZADA^U O PRODOLXNYH KOLEBANIQH NEODNORODNOGO STERVNQ (k = k1 PRI x < x0, k = k2 PRI x > x0 ) I WYWESTI USLOWIQ SOPRQVENIQ W TO^KE STYKA ODNORODNYH ^ASTEJ STERVNQ (PRI x = x0). 13. dATX FIZI^ESKU@ INTERPReTACI@ GRANI^NOGO USLOWIQ ux (0 t) + ut (0 t) = 0: 14. pRIWESTI PRIMER MEHANI^ESKOJ MODELI, DLQ KOTOROJ REALIZOWALOSX BY URAWNENIE utt = a2uxx + but + cu:

x 2. mETOD RASPROSTRANQ@]IHSQ WOLN

1. fORMULA dALAMBERA. iZU^ENIE METODOW POSTROENIQ REENIJ KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIJ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA MY NA^INAEM S ZADA^I S NA^ALXNYMI USLOWIQMI DLQ NEOGRANI^ENNOJ STRUNY: utt ; a2 uxx = 0
(1) ) u (x
0) = ' (x)
(2) ut (x
0) =  (x):

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

55

pREOBRAZUEM \TO URAWNENIE K KANONI^ESKOMU WIDU, SODERVA]EMU SMEANNU@ PROIZWODNU@ (SM. GL. I). uRAWNENIE HARAKTERISTIK dx2 ; a2 dt2 = 0 RASPADAETSQ NA DWA URAWNENIQ: dx ; a dt = 0
dx + a dt = 0
INTEGRALAMI KOTORYH QWLQ@TSQ PRQMYE x ; a t = C1
x + a t = C2 : wWEDQ, KAK OBY^NO, NOWYE PEREMENNYE  = x + a t
 = x ; a t
URAWNENIE KOLEBANIJ STRUNY PREOBRAZUEM K WIDU u = 0: (3) nAJDEM OB]IJ INTEGRAL POSLEDNEGO URAWNENIQ. o^EWIDNO, DLQ WSQKOGO REENIQ URAWNENIQ (3) u (
) = f
()
GDE f
() | NEKOTORAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ TOLXKO PEREMENNOGO . iNTEGRIRUQ \TO RAWENSTWO PO  PRI FIKSIROWANNOM  , POLU^AEM Z u (
) = f
() d + f1 ( ) = f1 ( ) + f2 ()
(4) GDE f1 I f2 QWLQ@TSQ FUNKCIQMI TOLXKO PEREMENNYH  I . oBRATNO, KAKOWY BY NI BYLI DWAVDY DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII f1 I f2 , FUNKCIQ u (
), OPREDELQEMAQ FORMULOJ (4), PREDSTAWLQET SOBOJ REENIE URAWNENIQ (3). tAK KAK WSQKOE REENIE URAWNENIQ (3) MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE (4) PRI SOOTWETSTWU@]EM WYBORE f1 I f2 , TO FORMULA (4) QWLQETSQ OB]IM INTEGRALOM \TOGO URAWNENIQ. sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ u (x
t) = f1 (x + at) + f2 (x ; at) (5) QWLQETSQ OB]IM INTEGRALOM URAWNENIQ (1). dOPUSTIM, ^TO REENIE RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I SU]ESTWUET, TOGDA ONO DAETSQ FORMULOJ (5). oPREDELIM FUNKCII f1 I f2 TAKIM OBRAZOM, ^TOBY UDOWLETWORQLISX NA^ALXNYE USLOWIQ: u (x
0) = f1 (x) + f2 (x) = ' (x)
(6) ut (x
0) = af10 (x) ; af20 (x) =  (x): (7) iNTEGRIRUQ WTOROE RAWENSTWO, POLU^AEM f1 (x) ; f2 (x) = a1

Zx

x0

 ( ) d + C


56

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

GDE x0 I C | POSTOQNNYE. iZ RAWENSTW f1 (x) + f2 (x) = ' (x)
f1 (x) ; f2 (x) = a1

NAHODIM

Zx

x0

 ( ) d + C

9 > f1 (x) = 12 ' (x) + 21a  ( ) d + C2
> > > = x0 > Zx 1 1 C > f2 (x) = 2 ' (x) ; 2a  ( ) d ; 2 : > >  x0 Zx

(8)

tAKIM OBRAZOM, MY OPREDELILI FUNKCII f1 I f2 ^EREZ ZADANNYE FUNKCII ' I , PRI^EM RAWENSTWA (8) DOLVNY IMETX MESTO DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ ARGUMENTA 1) . pODSTAWIW W (5) NAJDENNYE ZNA^ENIQ f1 I f2 , POLU^IM

8 x+at

9

Z
x;at

fORMULU (9), NAZYWAEMU@ FORMULOJ dALAMBERA, MY POLU^ILI, PREDPOLAGAQ SU]ESTWOWANIE REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I. |TA FORMULA DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX REENIQ. w SAMOM DELE, ESLI BY SU]ESTWOWALO WTOROE REENIE ZADA^I (1) | (2), TO ONO BY PREDSTAWLQLOSX FORMULOJ (9) I SOWPADALO S PERWYM REENIEM. nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO FORMULA (9) UDOWLETWORQET (W PREDPOLOVENII DWUKRATNOJ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII ' I ODNOKRATNOJ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII ) URAWNENI@ I NA^ALXNYM USLOWIQM. tAKIM OBRAZOM, IZLOVENNYJ METOD DOKAZYWAET KAK EDINSTWENNOSTX, TAK I SU]ESTWOWANIE REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I. 1) w FORMULE (5) FUNKCII f1 I f2 OPREDELENY NEODNOZNA^NO. eSLI OT f1 OTNQTX, A K f2 PRIBAWITX NEKOTORU@ POSTOQNNU@ C1 , TO u NE IZMENITSQ. w FORMULE (8) POSTOQNNAQ C NE OPREDELQETSQ ^EREZ ' I , ODNAKO MY MOVEM EE OTBROSITX, NE MENQQ ZNA^ENIQ u. pRI SLOVENII f1 I f2 SLAGAEMYE C=2 I ; C=2 WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ.

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

57

2. fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ. fUNKCIQ u (x
t), OPREDELQEMAQ FORMULOJ (9), PREDSTAWLQET PROCESS RASPROSTRANENIQ NA^ALXNOGO OTKLONENIQ I NA^ALXNOJ SKOROSTI. eSLI FIKSIROWATX t = t0 , TO FUNKCIQ u (x
t0 ) DAET PROFILX STRUNY W MOMENT t0  FIKSIRUQ x = x0 , POLU^IM FUNKCI@ u (x0
t), DA@]U@ PROCESS DWIVENIQ TO^KI x = x0 (RIS. 4). pREDPOLOVIM, ^TO NABL@DATELX, NAHODIWIJSQ W TO^KE x = 0 W MOMENT t = 0, DWIVETSQ SO SKOROSTX@ a W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII. wWEDEM SISTEMU KOORDINAT , SWQZANNU@ S NABL@DATELEM, POLAGAQ x0 = x ; at, t0 = t. w \TOJ PODWIVNOJ SISTEME KOORDINAT FUNKCIQ u (x
t) = = f (x ; at) BUDET OPREDELQTXSQ FORMULOJ u = f (x0 ) I NABL@DATELX WSE WREMQ BUDET WIDETX TOT VE PROFILX, ^TO I W NA^ALXNYJ MOMENT. sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ u (x
t) = rIS. 4 = f (x ; at) PREDSTAWLQET NEIZMENNYJ PROFILX f (x), PEREME]A@]IJSQ WPRAWO (W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII OSI x) SO SKOROSTX@ a (RASPROSTRANQ@]U@SQ ILI BEGU]U@ WOLNU). fUNKCIQ f (x + at) PREDSTAWLQET, O^EWIDNO, WOLNU, RASPROSTRANQ@]U@SQ WLEWO (W OTRICATELXNOM NAPRAWLENII OSI x) SO SKOROSTX@ a. tAKIM OBRAZOM, OB]EE REENIE (9) ZADA^I kOI DLQ BESKONE^NOJ STRUNY ESTX SUPERPOZICIQ DWUH WOLN f1 (x + at) + f2 (x ; at), ODNA IZ KOTORYH RASPROSTRANQETSQ WPRAWO SO SKOROSTX@ a, A WTORAQ | WLEWO S TOJ VE SKOROSTX@. pRI \TOM f1 (x + at) = 12 ' (x + at) +  (x + at)


GDE

f2 (x ; at) = 12 ' (x ; at) ;  (x ; at)
 (x) = 21a

Zx x0

 ( ) d :

dLQ WYQSNENIQ HARAKTERA REENIQ (9) UDOBNO POLXZOWATXSQ PLOSKOSTX@ SOSTOQNIJ (x
t), ILI F A Z O W O J P L O S K O S T X @. pRQMYE x ; ; at = const I x + at = const QWLQ@TSQ HARAKTERISTIKAMI URAWNENIQ (1). fUNKCIQ u = f (x ; at) WDOLX HARAKTERISTIKI x ; at = const SOHRANQET POSTOQNNOE ZNA^ENIE, FUNKCIQ u = f (x + at) POSTOQNNA WDOLX HARAKTERISTIKI x + at = const. pREDPOLOVIM, ^TO f (x) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO W INTERWALE (x1
x2 ) I RAWNA NUL@ WNE \TOGO INTERWALA. pROWEDEM HARAKTERISTIKI x ; at = x1 I x ; at = x2 ^EREZ TO^KI (x1
0) I (x2
0) ONI RAZBIWA@T

58

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

POLUPLOSKOSTX (x
t > 0) NA TRI OBLASTI: I, II, I III (RIS. 5, a). fUNKCIQ u = f (x ; at) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO W OBLASTI II, GDE x1 < x ; at < x2 I HARAKTERISTIKI x ; at = x1 I x ; at = x2 PREDSTAWLQ@T PEREDNIJ I ZADNIJ FRONTY RASPROSTRANQ@]EJSQ WPRAWO WOLNY.

rIS. 5

rASSMOTRIM TEPERX NEKOTORU@ FIKSIROWANNU@ TO^KU (x0
t0 ) I PROWEDEM IZ NEE OBE HARAKTERISTIKI x ; at = x0 ; at0 I x + + at = x0 + at0 , KOTORYE PERESEKUT OSX x W TO^KAH x1 = x0 ; at0 , t = = 0 I x2 = x0 + at0 , t = 0. zNA^ENIE FUNKCII u = f1 (x ; at) + + f2 (x + at) W TO^KE (x0
t0 ) RAWNO u (x0
t0 ) = f1 (x1 ) + f2 (x2 ), T. E. OPREDELQETSQ ZNA^ENIQMI FUNKCIJ f1 (x) I f2 (x) W TO^KAH (x1
0) I (x2
0), QWLQ@]IHSQ WERINAMI TREUGOLXNIKA MPQ (RIS. 5, B), OBRAZOWANNOGO DWUMQ HARAKTERISTIKAMI I OSX@ x. |TOT TREUGOLXNIK NAZYWAETSQ H A R A K T E R I S T I ^ E S K I M T R E U G O L X N I K O M TO^KI (x0
t0 ). iZ FORMULY (9) WIDNO, ^TO OTKLONENIE u (x0
t0 ) TO^KI STRUNY W MOMENT t0 ZAWISIT TOLXKO OT ZNA^ENIJ NA^ALXNOGO OTKLONENIQ W WERINAH P (x0 ; at0
0) I Q (x0 + at0
0) HARAKTERISTI^ESKOGO TREUGOLXNIKA MPQ I OT ZNA^ErIS. 6 NIJ NA^ALXNOJ SKOROSTI NA STORONE PQ. |TO STANOWITSQ OSOBENNO QSNYM, ESLI FORMULU (9) ZAPISATX W WIDE Z u (M ) = ' (P ) +2 ' (Q) + 21a  ( ) d : (10) PQ

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

59

nA^ALXNYE DANNYE, ZADANNYE WNE PQ, NE OKAZYWA@T WLIQNIQ NA ZNA^ENIQ u (x
t) W TO^KE M (x0
t0 ). eSLI NA^ALXNYE USLOWIQ ZADANY NE NA WSEJ BESKONE^NOJ PRQMOJ, A NA OTREZKE P1 Q1 , TO ONI ODNOZNA^NO OPREDELQ@T REENIE WNUTRI HARAKTERISTI^ESKOGO TREUGOLXNIKA, OSNOWANIEM KOTOROGO QWLQETSQ OTREZOK P1 Q1. 3. pRIMERY. rEENIE (9) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMY u = = u1 (x
t) + u2 (x
t), GDE u1 (x
t) = 12 ' (x ; at) + ' (x + at)]
u2 (x
t) =  (x + at) ;  (x ; at) = 21a

xZ+at x;at

 ( ) d :

(11) (12)

eSLI NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA NUL@ ((x) = 0), TO OTKLONENIE u = = u1 (x
t) ESTX SUMMA LEWOJ I PRAWOJ BEGU]IH WOLN, PRI^EM NA^ALXNAQ FORMA KAVDOJ WOLNY OPREDELQETSQ FUNKCIEJ 0
5 ' (x), RAWNOJ POLOWINE NA^ALXNOGO OTKLONENIQ. eSLI VE ' (x) = 0, TO u = u2 (x
t) PREDSTAWLQET WOZMU]ENIE STRUNY, SOZDAWAEMOE NA^ALXNOJ SKOROSTX@. p R I M E R 1. rASSMOTRIM RASPROSTRANENIE NA^ALXNOGO OTKLONENIQ, ZADANNOGO W WIDE RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA. tAKOJ NA^ALXNYJ PROFILX MOVNO POLU^ITX, ESLI OTTQNUTX STRUNU W SEREDINE OTREZKA x1
x2 ]. nA RIS. 6 DANY POSLEDOWATELXNYE POLOVENIQ STRUNY ^EREZ PROMEVUTKI WREMENI t = (x2 ; x1 )=(8a). nAGLQDNOE PREDSTAWLENIE O HARAKTERE PROCESSA RASPROSTRANENIQ MOVNO POLU^ITX S POMO]X@ FAZOWOJ PLOSKOSTI (x
t). pROWEDEM HARAKTERISTIKI ^EREZ TO^KI P (x1
0) I Q (x2
0) ONI RAZOBX@T POLUPLOSKOSTX (;1 < x < 1
t > 0) NA ESTX OBLASTEJ (RIS. 7). oTKLONErIS. 7 NIE u1 (x
t) W L@BOJ TO^KE (x
t) DAETSQ FORMULOJ (11). pO\TOMU W OBLASTQH I, III, V OTKLONENIE RAWNO NUL@, TAK KAK HARAKTERISTI^ESKIJ TREUGOLXNIK L@BOJ TO^KI IZ \TIH OBLASTEJ NE IMEET OB]IH TO^EK S OTREZKOM x1
x2 ], NA KOTOROM ZADANY NA^ALXNYE USLOWIQ. w OBLASTI II REENIEM QWLQETSQ PRAWAQ WOLNA u = 0
5 ' (x ; at), W OBLASTI IV | LEWAQ WOLNA u = 0
5 ' (x + at), A W OBLASTI VI REENIE ESTX SUMMA LEWOJ I PRAWOJ WOLN. p R I M E R 2. pUSTX NA^ALXNOE OTKLONENIE ' (x)  0, A NA^ALXNAQ SKOROSTX OTLI^NA OT NULQ TOLXKO NA OTREZKE x1
x2 ], GDE ONA PRINIMAET POSTOQNNOE ZNA^ENIE 0 :  (x) = 0 PRI x1 6 x 6 x2 ,  (x) = 0 PRI x > x2 I x < x1 . w \TOM SLU^AE REENIEM QWLQETSQ FUNKCIQ u2 (x
t).

60

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

wY^ISLIM FUNKCI@  (x), WYBRAW PRI \TOM x0 = 0 (RIS. 8): 8 x > Z 0 PRI x < x1
<  (x) = 21a  ( ) d = > (x ; x1 ) 0 =2a PRI x1 6 x 6 x2
:(x ; x )  =2a PRI x > x : 0

2

1

0

2

(13)

rEENIE u2 (x
t) ESTX RAZNOSTX PRAWOJ I LEWOJ WOLN S PROFILEM  (x). pOSLEDOWATELXNYE POLOVENIQ \TIH WOLN ^EREZ PROMEVUTKI WREMENI t = (x2 ; x1 )=(8a) IZOBRAVENY NA RIS. 9. pROFILX STRUNY DLQ t > > 4t IMEET FORMU TRAPECII, RASIRQ@]EJSQ RAWNOMERNO S TE^ENIEM WREMENI. eSLI  (x) OTLI^NO OT POSTOQNNOJ NA x1
x2 ], TO IZMENITSQ LIX PROFILX  (x). dLQ WYQSNENIQ HARAKTERA REENIQ WOSPOLXZUEMSQ FAZOWOJ PLOSKOrIS. 8 STX@ (x
t) (SM. RIS. 7). nAPIEM WYRAVENIQ DLQ u (x
t) W RAZLI^NYH OBLASTQH FAZOWOJ PLOSKOSTI. w OBLASTI I (x ; at > x2 )  (x + at) =  (x ; at) = const
u (x
t) = 0: w OBLASTI V (x + at < x1 )  (x ; at) =  (x + at) = 0
u (x
t) = 0: w OBLASTI III (x ; at < x1
x + at > x2 )  (x + at) = const = x2 2;a x1 0
 (x ; at) = 0
u (x
t) = x2 2;a x1 0 : w OBLASTI II (x1 < x ; at < x2
x + at > x2 )  (x + at) = x2 2;a x1 0
; x1 0
u (x
t) = x2 ; (x ; at) 0 :  (x ; at) = x ; at 2a 2a w OBLASTI IV (x1 < x + at < x2
x ; at < x1 ) ; x1 0
 (x + at) = x + at 2a ; x1 0:  (x ; at) = 0
u (x
t) = x + at 2a

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

61

w OBLASTI VI (x ; at > x1
x + at < x2 ) ; x1 0
 (x + at) = x + at 2a

; x1 0
u (x
t) = t0:  (x ; at) = x ; at 2a

rIS. 9

p R I M E R 3. rASSMOTRIM ZADA^U O KOLEBANIQH STRUNY POD DEJSTWIEM SOSREDOTO^ENNOGO IMPULXSA. sOOB]AQ W NA^ALXNYJ MOMENT TO^KAM STRUNY (x
x + x) POSTOQNNU@ SKOROSTX 0 (NAPRIMER, UDARQQ STRUNU MOLOTO^KOM), MY PRIKLADYWAEM K \TOMU U^ASTKU IMPULXS I , RAWNYJ IZMENENI@ KOLI^ESTWA DWIVENIQ PRI t = 0, TAK ^TO I = = x0 , GDE  | LINEJNAQ PLOTNOSTX STRUNY. tAKIM OBRAZOM, MY DOLVNY REITX ZADA^U O KOLEBANIQH STRUNY S NULEWYM NA^ALXNYM OT-

62

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

KLONENIEM I NA^ALXNOJ SKOROSTX@  = I0 = = 0 NA INTERWALE (x
x + + x),  = 0 WNE \TOGO INTERWALA ZDESX I0 = I=x | PLOTNOSTX IMPULXSA. aNALIZ REENIQ \TOJ ZADA^I BYL DAN WYE PRI REENII PRIMERA 2. oTKLONENIE, WYZYWAEMOE IMPULXSOM, RASPREDELENNYM NA INTERWALE (x
x + x), PREDSTAWLQET SOBOJ PRI t > x=(2a) TRAPECI@ S NIVNIM OSNOWANIEM 2at + x I WERHNIM | 2at ; x. sOWERAQ PREDELXNYJ PEREHOD PRI x ! 0, I = const, WIDIM, ^TO OTKLONENIQ BUDUT RAWNY NUL@ WNE (x ; at
x + at) I I=(2a) WNUTRI \TOGO INTERWALA. mOVNO USLOWNO GOWORITX, ^TO \TI OTKLONENIQ WYZYWA@TSQ TO^E^NYM IMPULXSOM I . rASSMOTRIM FAZOWU@ PLOSKOSTX

(x
t) I PROWEDEM ^EREZ TO^KU (x0
t0 ) OBE HARAKTERISTIKI: x ; at = x0 ; at0
x + at = x0 + at0 rIS. 10 (RIS. 10). oNI OPREDELQ@T DWA UGLA 1 I 2 , NAZYWAEMYE SO-

OTWETSTWENNO W E R H N I M I N I V N I M H A R A K T E R I S T I ^ E S K I M I U G L A M I DLQ TO^KI (x0
t0 ). dEJSTWIE TO^E^NOGO IMPULXSA W TO^KE (x0
t0 ) WYZYWAET OTKLONENIE, RAWNOE 21a I WNUTRI WERHNEGO HARAKTERISTI^ESKOGO UGLA I NUL@ WNE EGO. 4. nEODNORODNOE URAWNENIE. rASSMOTRIM ZADA^U kOI DLQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ 1 u = u + f (x
t)
;1 < x < 1
t > 0
9 > > a2 tt xx

= > > 

)

u (x
0) = ' (x)
ut (x
0) =  (x)
; 1 < x < 1: pUSTX wf (x
t  ) | REENIE WSPOMOGATELXNOJ ZADA^I kOI 1 a2 (wf )tt = (wf )xx
;1 < x < 1
t > 
9 wf (x
   ) = 0
> = t = 
;1 < x < 1: @wf (x
   ) = f (x
 )
>  @t fORMULA dALAMBERA (9) DAET

wf (x
t  ) = wf (x
t ;   0) = 21a

x+aZ(t; )

x;a (t; )

f (
 ) d:

(14)

(15) (16)

(17)

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

pEREPIEM FORMULU dALAMBERA (9) W WIDE ' u (x
t) = @w @t (x
t 0) + w (x
t 0)
GDE w (x
t 0) = 21a

xZ+at

x;at

w' (x
t 0) = 21a

 ( ) d


63 (18)

xZ+at x;at

' ( ) d

QWLQ@TSQ REENIQMI ZADA^I (15) | (16) PRI  = 0 I f = (x), f = = '(x) SOOTWETSTWENNO, TAK KAK NEPOSREDSTWENNOE DIFFERENCIROWANIE POKAZYWAET, ^TO

@w' (x
t 0) = @ 1 Z ' ( ) d = ' (x + at) + ' (x ; at) : @t @t 2a 2 x;at dOKAVEM, ^TO SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ LEMMA. rEENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ (14) S NULEWYMI NA^ALXNYMI DANNYMI ut (x
0) = 0
u (x
0) = 0 IMEET WID x+at

u (x


t) = a 2

Zt 0

wf (x
t  ) d:

(19)

dIFFERENCIRUQ FUNKCI@ (19) I U^ITYWAQ USLOWIQ (16) DLQ wf (x
t  ), NAHODIM Zt @wf 2 2 ut (x
t) = a wf (x
t t) + a @t (x
t  ) d = 0

= a2

utt (x


t) = a2

Zt @wf

@wf (x
t t) + a2 Z @ 2 wf (x
t  ) d = @t @t2 t

0

=

uxx (x
t) = a2

Zt @ 2wf

a2

0

@t (x
t  ) d
(20)

Z t @ 2 wf 0

2 @t2 (x
t  ) d + a f (x
t)


@x2 (x
t  ) d =

Z t @ 2 wf

@t2 (x
t  ) d: 0 0 oTS@DA WIDNO, ^TO FUNKCIQ (19) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (14). iZ

64

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

FORMUL (19) I (20) SRAZU SLEDUET, ^TO REENIE ZADA^I (14) W SILU (18) I (19) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

Z ' (x
t 0) + w (x
t 0) + a2 w (x
t  ) d: u (x
t) = @w

f @t t

0

(21)

pOLXZUQSX WYRAVENIEM (17) DLQ wf , POLU^AEM u (x
t) = ' (x + at) +2 ' (x ; at) + 21a

xZ+at

x;at

 ( ) d +

Z +a 2

t x+aZ(t; )

0 x;a (t; )

f (
 ) d d: (22)

pRQMAQ PODSTANOWKA (22) W (14) POKAZYWAET, ^TO FUNKCIQ (22) W SAMOM DELE00 QWLQETSQ REENIEM ZADA^I (14), ESLI SU]ESTWU@T PROIZWODNYE ' (x), 0 (x) I @f=@x. iZ FORMULY (17) SLEDUET, ^TO FUNKCIQ wf UDOWLETWORQET URAWNENI@ PRI t =  , ESLI f DIFFERENCIRUEMA PO x, T. E. PREDSTAWLENIE (21) WOZMOVNO PRI TEH VE USLOWIQH, PRI KOTORYH REENIE ZADA^I kOI SU]ESTWUET. fORMULA (21) POKAZYWAET, ^TO REENIE OB]EJ ZADA^I (14) MOVET BYTX SRAZU NAPISANO, ESLI IMEETSQ REENIE WSPOMOGATELXNOJ ZADA^I (15) | (16). aNALOGI^NAQ FORMULA IMEET MESTO I DLQ REENIQ ZADA^I kOI W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE (SM. GL. V). 5. uSTOJ^IWOSTX REENIJ. rEENIE URAWNENIQ (1) ODNOZNA^NO OPREDELENO NA^ALXNYMI USLOWIQMI (2). dOKAVEM, ^TO \TO REENIE MENQETSQ NEPRERYWNO PRI NEPRERYWNOM IZMENENII NA^ALXNYH USLOWIJ. kAKOW BY NI BYL PROMEVUTOK WREMENI 0
t0 ] I KAKOWA BY NI BYLA STEPENX TO^NOSTI "
NAJDETSQ TAKOE ("
t0 )
^TO WSQKIE DWA REENIQ URAWNENIQ (1) u1 (x
t) I u2 (x
t) W TE^ENIE PROMEVUTKA WREMENI t0 BUDUT RAZLI^ATXSQ MENXE ^EM NA ": ju1 (x
t) ; u2 (x
t)j < " (0 6 t 6 t0)
ESLI TOLXKO8 NA^ALXNYE ZNA^ENIQ 8 u (x
0) = ' (x)
> > 2 < u1 (x
0) = '1 (x)
< 2 I > > : @u1 (x
0) = 1 (x) : @u2 (x
0) = 2 (x) @t @t OTLI^A@TSQ DRUG OT DRUGA MENXE ^EM NA : j'1 (x
t) ; '2 (x
t)j <  j1 (x
t) ; 2 (x
t)j < : dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY ^REZWY^AJNO PROSTO. fUNKCII u1 (x
t) I u2 (x
t) SWQZANY SO SWOIMI NA^ALXNYMI ZNA^ENIQMI FORMULOJ (9),

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

65

TAK ^TO ju1 (x
t) ; u2 (x
t)j 6 j'1 (x + at) ;2 '2 (x + at)j +

xZ+at j ' ( x ; at ) ; ' ( x ; at ) j 1 1 2 + + 2a j1 ( ) ; 2 ( )j d
2 x;at

OTKUDA POLU^AEM ju1 (x
t) ; u2 (x
t)j 6 2 + 2 + 21a  2at 6 (1 + t0)
^TO I DOKAZYWAET NAE UTWERVDENIE, ESLI POLOVITX = 1 +" t : 0 wSQKIJ FIZI^ESKI OPREDELENNYJ PROCESS, RAZWIWA@]IJSQ WO WREMENI, DOLVEN HARAKTERIZOWATXSQ FUNKCIQMI, NEPRERYWNO ZAWISQ]IMI OT NA^ALXNYH DANNYH. eSLI BY NE BYLO \TOJ NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI, TO DWA SU]ESTWENNO RAZLI^NYH PROCESSA MOGLI BY SOOTWETSTWOWATX PRAKTI^ESKI ODINAKOWYM SISTEMAM NA^ALXNYH USLOWIJ (RAZLI^IE KOTORYH LEVIT W PREDELAH TO^NOSTI IZMERENIJ). pROCESSY TAKOGO TIPA NELXZQ S^ITATX OPREDELENNYMI (FIZI^ESKI) NA^ALXNYMI USLOWIQMI. iZ PREDYDU]EJ TEOREMY SLEDUET, ^TO PROCESS KOLEBANIJ STRUNY NE TOLXKO MATEMATI^ESKI, NO I FIZI^ESKI OPREDELEN NA^ALXNYMI USLOWIQMI. eSLI REENIE MATEMATI^ESKOJ ZADA^I NEPRERYWNO ZAWISIT OT DOPOLNITELXNYH USLOWIJ (OT NA^ALXNYH, GRANI^NYH DANNYH I OT PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ | OT ISHODNYH DANNYH ZADA^I), TO GOWORQT, ^TO ZADA^A U S T O J ^ I W A. w SWQZI S IZU^ENIEM FIZI^ESKI DETERMINIROWANNYH QWLENIJ WWODITSQ PONQTIE KORREKTNOSTI. gOWORQT, ^TO M A T E M A T I ^ E S K A Q Z A D A ^ A P O S T A W L E N A K O R R E K T N O, ESLI: 1) REENIE ZADA^I SU]ESTWUET, 2) ZADA^A IMEET EDINSTWENNOE REENIE, 3) REENIE ZADA^I NEPRERYWNO ZAWISIT OT ISHODNYH DANNYH (USTOJ^IWO). oTMETIM, ^TO NEKORREKTNO POSTAWLENNYE ZADA^I ^ASTO WSTRE^A@TSQ W PRILOVENIQH I K IH ^ISLU OTNOSQTSQ MNOGIE HOROO IZWESTNYE MATEMATI^ESKIE ZADA^I. pRIWEDEM PRIMER NEKORREKTNO POSTAWLENNOJ ZADA^I, REENIE KOTOROJ NEUSTOJ^IWO. fUNKCIQ u (x
y), QWLQ@]AQSQ REENIEM URAWNENIQ lAPLASA uxx + uyy = 0, ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOIMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI u (x
0) = ' (x), uy (x
0) =  (x) 1) . rASSMOTRIM FUNKCII u(1) (x
y)  0 I u(2) (x
y) = 1 sin x  ch y
1)

|TI USLOWIQ MATEMATI^ESKI ODNOZNA^NO OPREDELQ@T REENIE URAWNENIQ lAPLASA. w SAMOM DELE, ZADANIE uy (x 0) \KWIWALENTNO vx (x 0), GDE 5 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

66

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

UDOWLETWORQ@]IE URAWNENI@ lAPLASA. fUNKCIQ u(2) (x
y) ZAWISIT OT  KAK OT PARAMETRA. nA^ALXNYE ZNA^ENIQ u(1) (x
0) = 0
u(2) (x
0) = ' (x) = 1 sin x
(2) u(1) y (x
0) = 0
uy (x
0) =  (x) = 0 RAZLI^A@TSQ SKOLX UGODNO MALO PRI DOSTATO^NO BOLXIH . oDNAKO PRI \TOM REENIE u(2) (x
y) MOVET STATX SKOLX UGODNO BOLXIM, KAKOWO BY NI BYLO FIKSIROWANNOE ZNA^ENIE y. sLEDOWATELXNO, ZADA^A S NA^ALXNYMI USLOWIQMI DLQ URAWNENIQ lAPLASA QWLQETSQ NEKORREKTNO POSTAWLENNOJ.

eSTESTWENNO WOZNIKAET WOPROS: MOGUT LI NEKORREKTNO POSTAWLENNYE ZADA^I WOOB]E SOOTWETSTWOWATX KAKIM-LIBO ZADA^AM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI? a TAKVE, KAKU@ NAU^NU@ CENNOSTX MOVET PREDSTAWLQTX PRIBLIVENNOE REENIE NEKORREKTNO POSTAWLENNYH ZADA^, POSKOLXKU MALYM OIBKAM W USLOWIQH ZADA^ MOGUT SOOTWETSTWOWATX BOLXIE OIBKI REENIQ? pODOBNYE SOMNENIQ WOZNIKA@T W SWQZI S TEM, ^TO W SKAZANNOM WYE PODRAZUMEWAETSQ, ^TO W KA^ESTWE PRIBLIVENNOGO REENIQ ZADA^I BERETSQ TO^NOE REENIE ZADA^I, SOOTWETSTWU@]EE PRIBLIVENNYM USLOWIQM. pRIWEDEM PRIMER NEKORREKTNO POSTAWLENNOJ ZADA^I, IME@]EJ WAVNOE PRAKTI^ESKOE ZNA^ENIE. rASSMOTRIM ZADA^U O NAHOVDENII PROIZWODNOJ z (x) = df=dx PO RAWNOMERNYM PRIBLIVENNYM ZNA^ENIQM DLQ f (x). pUSTX MERA TO^NOSTI PRI ZADANII f~ (x) I OPREDELENII z~ (x) ZADANA KAK max jf~ (x) ; f (x)j I max jz~ (x) ; z (x)j: o^EWIDNO, ^TO \TA ZADA^A S TO^KI ZRENIQ PRIWEDENNOJ WYE TERMINOLOGII NEUSTOJ^IWA (NEKORREKTNO POSTAWLENA). w SAMOM DELE, ESLI f~ (x) = f (x) + +
cos !x, GDE
> 0 MALO, TO max jf~ (x) ; f (x)j =
TOVE MAL. oDNAKO ESLI MY W KA^ESTWE PRIBLIVENNOGO ZNA^ENIQ z~ (x) WYBRALI BY TO^NU@ PROIZWODNU@ DLQ FUNKCII f~ (x), TO z~0 (x) = f~0 (x) ;
! sin !x I max jz~ (x) ; z (x)j =
!
! PRI FIKSIROWANNOM
I BOLXOM ! MOVET BYTX KAK UGODNO BOLXIM ^ISLOM. oDNAKO HOROO IZWESTNO, ^TO W KA^ESTWE PRIBLIVENNOGO ZNA^ENIQ ~ ~ PROIZWODNOJ BERETSQ RAZNOSTNOE OTNOENIE f (x + hh) ; f (x) , KOTOROE PREDSTAWLQET ISHODNU@ PROIZWODNU@ S KAK UGODNO MALOJ POGRENOSTX@, ESLI TOLXKO h I
=h DOSTATO^NO MALY. pONQTNO PRI \TOM, ^TO DLQ POLU^ENIQ HOROEGO PRIBLIVENIQ DLQ df=dx PO PRIBLIVENNOMU ZNA^ENI@ DLQ f~ (x) POGRENOSTX
DOLVNA BYTX DOSTATO^NO MALA. iTAK, W PRIWEDENNOM PRIMERE, NESMOTRQ NA NEUSTOJ^IWOSTX ZADA^I, MOVNO UKAZATX METOD POLU^ENIQ SKOLX UGODNO TO^NYH PRIBLIVENIJ DLQ ISKOMOGO REENIQ PO DOSTATO^NO TO^NYM PRIBLIVENNYM USLOWIQM ZADA^I. v (x y) | FUNKCIQ, GARMONI^ESKI SOPRQVENNAQ DLQ u (x y). |TIM S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOJ ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ, DEJSTWITELXNOJ ^ASTX@ KOTOROJ QWLQETSQ FUNKCIQ u (x y) (SM. GL. IV, x 1, P. 5).

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

67

pODOBNOE POLOVENIE TIPI^NO DLQ MNOGIH NEKORREKTNO POSTAWLENNYH ZADA^ 1) . nEKORREKTNO POSTAWLENNYE ZADA^I ^ASTO WSTRE^A@TSQ W FIZIKE PRI IZU^ENII OB_EKTOW, NEDOSTUPNYH NEPOSREDSTWENNOMU ISSLEDOWANI@ (IZMERENI@). w \TIH SLU^AQH PRIHODITSQ DELATX ZAKL@^ENIQ O HARAKTERISTIKAH z TAKIH OB_EKTOW PO IH KOSWENNYM (FIZI^ESKI DETERMINIROWANNYM) PROQWLENIQM u , DOSTUPNYM DLQ \KSPERIMENTALXNYH IZMERENIJ I SWQZANNYM S z FUNKCIONALXNOJ ZAWISIMOSTX@ WIDA A z = u. w REZULXTATE MY PRIHODIM K ZADA^E OBRABOTKI NABL@DENIJ, KOTORAQ QWLQETSQ OBRATNOJ ZADA^EJ I SOSTOIT W OPREDELENII HARAKTERISTIK z OB_EKTOW PO DANNYM u \KSPERIMENTA. mNOGIE IZ \TIH ZADA^ QWLQ@TSQ NEKORREKTNO POSTAWLENNYMI. w ^ASTNOSTI, PRIWEDENNAQ WYE ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQ lAPLASA IMEET NEPOSREDSTWENNOE OTNOENIE K OBRATNOJ ZADA^E GRAWIMETRII (OB OPREDELENII FORMY TELA PO SOZDAWAEMOJ IM ANOMALII SILY TQVESTI). pRIWEDENNYJ WYE PRIMER O WY^ISLENII PROIZWODNOJ PO PRIBLIVENNYM ZNA^ENIQM FUNKCII TIPI^EN DLQ MNOGIH \KSPERIMENTOW, GDE IZMERENIQ PROWODQTSQ PO PRINCIPU NAKOPLENIQ. oTMETIM TEPERX SLEDU@]EE OBSTOQTELXSTWO. o^EWIDNO, ^TO FUNKCIQ u (x
t), OPREDELQEMAQ FORMULOJ (9), MOVET BYTX REENIEM URAWNENIQ (1) TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI FUNKCIQ  (x) DIFFERENCIRUEMA, A FUNKCIQ ' (x) DIFFERENCIRUEMA DWAVDY. iZ SKAZANNOGO QSNO, ^TO FUNKCII, IZOBRAVENNYE NA RIS. 11 I 12, NE MOGUT QWLQTXSQ REENIEM URAWNENIQ (1), TAK KAK ONI NE WS@DU DWAVDY DIFFERENCIRUEMY.

rIS. 11

rIS. 12

bOLEE TOGO, MOVNO UTWERVDATX, ^TO REENIQ URAWNENIQ KOLEBANIJ, UDOWLETWORQ@]EGO USLOWIQM (2), NE SU]ESTWUET, ESLI FUNKCII ' (x) I  (x) NE IME@T NUVNYH PROIZWODNYH. dEJSTWITELXNO, POWTORQQ RASSUVDENIQ, PRIWEDIE NAS K FORMULE (9), MY MOVEM UTWERVDATX, ^TO ESLI SU]ESTWUET REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ, TO ONO DOLVNO PREDSTAWLQTXSQ FORMULOJ (9). eSLI VE FUNKCII ' (x),  (x) NE DIFFERENCIRUEMY DOSTATO^NOE ^ISLO RAZ, TO FORMULA (9) OPREDELQET FUNKCI@, NE UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ (1), T. E. NE SU]ESTWUET REENIQ \TOJ ZADA^I. 1) l A W R E N T X E W M. M. o NEKOTORYH NEKORREKTNYH ZADA^AH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. nOWOSIBIRSK, 1962 t I H O N O W a. n. o REENII NEKORREKTNO POSTAWLENNYH ZADA^ I METODE REGULQRIZACII // dan sssr. 1963. t. 151,  3. s. 501|504 t I H O N O W a. n. o REGULQRIZACII NEKORREKTNO POSTAWLENNYH ZADA^ // tAM VE. t. 153,  1. s. 49|52 t I H O N O W a. n. o NELINEJNYH URAWNENIQH PERWOGO RODA // tAM VE. 1965. t. 161,  5. s. 1023|1026.

5


68

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

oDNAKO ESLI NEMNOGO IZMENITX NA^ALXNYE USLOWIQ, ZAMENIW IH DIFFERENCIRUEMYMI FUNKCIQMI ' (x) I  (x), TO \TIM NA^ALXNYM FUNKCIQM UVE BUDET SOOTWETSTWOWATX REENIE URAWNENIQ (1). kROME TOGO, ZAMETIM, ^TO PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY NASTOQ]EGO PUNKTA MY FAKTI^ESKI DOKAZALI, ^TO FUNKCII, OPREDELQEMYE FORMULOJ (9), NEPRERYWNO ZAWISQT OT NA^ALXNYH FUNKCIJ ' (x) I  (x) (NEZAWISIMO OT TOGO, DIFFERENCIRUEMY \TI FUNKCII ILI NET). tAKIM OBRAZOM, ESLI NEKOTORYM FUNKCIQM ' (x),  (x) NE SOOTWETSTWUET REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM (2), TO FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ FORMULOJ (9), QWLQETSQ PREDELOM REENIJ URAWNENIQ KOLEBANIJ S NEMNOGO SGLAVENNYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI. pOLU^ENNYE TAKIM PREDELXNYM PEREHODOM FUNKCII NAZYWA@TSQ O B O B ] E N N Y M I R E  E N I Q M I. pONQTIE OBOB]ENNYH REENIJ, IGRA@]EE BOLXU@ ROLX W FIZIKE, BYLO WWEDENO s. l. sOBOLEWYM 1) . 6. pOLUOGRANI^ENNAQ PRQMAQ I METOD PRODOLVENIJ. rASSMOTRIM ZADA^U O RASPROSTRANENII WOLN NA POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ x > 0. |TA ZADA^A IMEET OSOBENNO WAVNOE ZNA^ENIE PRI IZU^ENII PROCESSOW OTRAVENIQ WOLN OT KONCA I STAWITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. nAJTI REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ a2 uxx = utt PRI 0 < x < 1
t > 0
UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NOMU USLOWI@ u (0
t) =  (t) (ILI ux (0
t) =  (t))
t > 0
I NA^ALXNYM USLOWIQM ) u (x
0) = ' (x)
(0 6 x < 1): ut (x
0) =  (x) rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ ODNORODNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ u (0
t) = 0 (ILI ux (0
t) = 0)
T. E. ZADA^U O RASPROSTRANENII NA^ALXNOGO WOZMU]ENIQ NA STRUNE S ZAKREPLENNYM KONCOM x = 0 (ILI SWOBODNYM KONCOM). oTMETIM SLEDU@]IE DWE LEMMY O SWOJSTWAH REENIJ URAWNENIQ KOLEBANIJ, OPREDELENNYH NA BESKONE^NOJ PRQMOJ. 1. eSLI NA^ALXNYE DANNYE W ZADA^E O RASPROSTRANENII KOLEBANIJ NA NEOGRANI^ENNOJ PRQMOJ (ZADA^A (1) | (2)) QWLQ@TSQ NE^ETNYMI FUNKCIQMI OTNOSITELXNO NEKOTOROJ TO^KI x0
TO SOOTWETSTWU@]EE REENIE W \TOJ TO^KE x0 RAWNO NUL@. 2. eSLI NA^ALXNYE DANNYE W ZADA^E O RASPROSTRANENII KOLEBANIJ NA NEOGRANI^ENNOJ PRQMOJ (ZADA^A (1) | (2)) QWLQ@TSQ ^ETNYMI 1) sM. PODROBNEE: s O B O L E W s. l. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. M., 1992 p E T R O W S K I J i. g. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. m., 1961. sM. TAKVE dOPOLNENIE III.

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

69

FUNKCIQMI OTNOSITELXNO NEKOTOROJ TO^KI x0
TO PROIZWODNAQ PO x SOOTWETSTWU@]EGO REENIQ W \TOJ TO^KE RAWNA NUL@. dOKAVEM LEMMU 1. pRIMEM x0 ZA NA^ALO KOORDINAT, x0 = 0. w \TOM SLU^AE USLOWIQ NE^ETNOSTI NA^ALXNYH DANNYH ZAPIUTSQ W WIDE ' (x) = ; ' (;x)
 (x) = ;  (;x): fUNKCIQ u (x
t), OPREDELQEMAQ FORMULOJ (9), PRI x = 0 I t > 0 RAWNA u (0
t) = ' (at) +2' (;at) + 21a

Zat

;at

 ( ) d = 0


TAK KAK PERWOE SLAGAEMOE RAWNO NUL@ W SILU NE^ETNOSTI ' (x), A WTOROE RAWNO NUL@, POSKOLXKU INTEGRAL OT NE^ETNOJ FUNKCII W PREDELAH, SIMMETRI^NYH OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT, WSEGDA RAWEN NUL@. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ LEMMA 2. uSLOWIQ ^ETNOSTI NA^ALXNYH DANNYH IME@T WID ' (x) = ' (;x)
 (x) =  (;x): zAMETIM, ^TO PROIZWODNAQ ^ETNOJ FUNKCII QWLQETSQ FUNKCIEJ NE^ETNOJ: '0 (x) = ; '0 (;x): iZ FORMULY (9) SLEDUET 0 0 ux (0
t) = ' (at) +2' (;at) + 21a  (at) ;  (;at)] = 0
t > 0
TAK KAK PERWOE SLAGAEMOE RAWNO NUL@ W SILU NE^ETNOSTI '0 (x), A WTOROE | W SILU ^ETNOSTI  (x) 1) . pRIWEDENNOE WYE DOKAZATELXSTWO FAKTI^ESKI OPIRAETSQ NA FORMULU dALAMBERA I NE SWQZANO S DWUKRATNOJ DIFFERENCIRUEMOSTX@ FUNKCII u (x
t). tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO LEMMA 1 WERNA DLQ L@BYH FUNKCIJ, PREDSTAWIMYH FORMULOJ dALAMBERA, A LEMMA 2 | DLQ FUNKCIJ TOGO VE WIDA S DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ ' (x), T. E. DLQ OBOB]ENNYH REENIJ ZADA^I (1) | (2). pRI POMO]I \TIH DWUH LEMM MOVNO REITX SLEDU@]U@ ZADA^U. tREBUETSQ NAJTI REENIE URAWNENIQ (1)
UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM ) u (x
0) = ' (x)
0 < x < 1
(20 ) ut (x
0) =  (x)
1) |TI DWE LEMMY QWLQ@TSQ SLEDSTWIEM TOGO, ^TO ESLI NA^ALXNYE USLOWIQ ^ETNY (ILI NE^ETNY), TO I PRI t > 0 FUNKCIQ u (x t), OPREDELQEMAQ FORMULOJ dALAMBERA, OBLADAET TEM VE SWOJSTWOM (PREDOSTAWLQEM ^ITATEL@ DOKAZATX \TO). gEOMETRI^ESKI O^EWIDNO, ^TO NE^ETNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ I PROIZWODNAQ ^ETNOJ DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII RAWNY NUL@ PRI x = 0.

urawneniq giperboli~eskogo tipa

70

I GRANI^NOMU USLOWI@ (PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A).

gl. II

u (0
t) = 0
t > 0

rASSMOTRIM FUNKCII  (x) I  (x), QWLQ@]IESQ NE^ETNYM PRODOLVENIEM ' (x) I  (x), WHODQ]IH W USLOWIE (20 ): (  (x) = ' (x) DLQ x > 0
; ' (;x) DLQ x < 0  (x ) =

fUNKCIQ

(

 (x) DLQ x > 0


;  (;x) DLQ x < 0:

u (x
t) =  (x + at) +2  (x ; at) + 21a

xZ+at x;at

 ( ) d

OPREDELENA DLQ WSEH x I t > 0. w SILU LEMMY 1 u (0
t) = 0: kROME TOGO, \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET PRI t = 0 I x > 0 SLEDU@]IM NA^ALXNYM USLOWIQM: ) u (x
0) =  (x) = ' (x)
x > 0: ut (x
0) =  (x) =  (x)
tAKIM OBRAZOM, RASSMATRIWAQ POLU^ENNU@ FUNKCI@ u (x
t) TOLXKO DLQ x > 0, t > 0, MY POLU^IM FUNKCI@, UDOWLETWORQ@]U@ WSEM USLOWIQM POSTAWLENNOJ ZADA^I. wOZWRA]AQSX K PREVNIM FUNKCIQM, MOVNO NAPISATX

8 > ' (x + at) + ' (x ; at) + > > > 2 > xZ+at > > 1 >  ( ) d DLQ t < xa
x > 0
+ 2a > < x;at u (x
t) = > ' (x + at) ; ' (at ; x) + > > 2 > > x+at > 1 Z  ( ) d DLQ t > x
x > 0: > > + : 2a a at;x

(23)

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

71

w OBLASTI t < x=a WLIQNIE GRANI^NYH USLOWIJ NE SKAZYWAETSQ, I WYRAVENIE DLQ u (x
t) SOWPADAET S REENIEM (9) DLQ BESKONE^NOJ PRQMOJ. aNALOGI^NO, ESLI PRI x = 0 MY IMEEM SWOBODNYJ KONEC : ux (0
t) = 0
TO, WZQW ^ETNOE PRODOLVENIE FUNKCIJ ' (x) I  (x) (  (x) = ' (x) DLQ x > 0
' (;x) DLQ x < 0

(

 (x) DLQ x > 0
 (;x) DLQ x < 0
POLU^IM REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ  (x) =

u (x
t) =  (x + at) +2  (x ; at) + 21a

ILI

xZ+at

x;at

 ( ) d


8 x+at > ' (x + at) + ' (x ; at) + 1 Z  ( ) d DLQ t < x
> > 2 2a a > > x;at > > < u (x
t) = > ' (x + at) ; ' (at ; x) + 2 > > 8 xZ+at 9 atZ;x > < = > 1 >  ( ) d +  ( ) d DLQ t > xa
+ > :  2a : 0 0

UDOWLETWORQ@]EE W OBLASTI x > 0 NA^ALXNYM USLOWIQM (2) I GRANI^NOMU USLOWI@ ux (0
t) = 0. w DALXNEJEM PRI REENII RAZLI^NYH ZADA^ NAM ^ASTO PRIDETSQ POLXZOWATXSQ METODOM PRODOLVENIQ NA BESKONE^NU@ OBLASTX NA^ALXNYH DANNYH, OPREDELENNYH NA NEKOTOROJ ^ASTI \TOJ OBLASTI. pO\TOMU MY E]E RAZ SFORMULIRUEM POLU^ENNYE REZULXTATY W WIDE SLEDU@]IH DWUH PRAWIL. dLQ REENIQ ZADA^I NA POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ S GRANI^NYM USLOWIEM u (0
t) = 0 NA^ALXNYE DANNYE NADO PRODOLVITX NA WS@ PRQMU@ NE^ETNO. dLQ REENIQ ZADA^I NA POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ S GRANI^NYM USLOWIEM ux (0
t) = 0 NA^ALXNYE DANNYE NADO PRODOLVITX NA WS@ PRQMU@ ^ETNO. rASSMOTRIM DWA PRIMERA. pUSTX NA^ALXNYE DANNYE NA POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ, ZAKREPLENNOJ PRI x = 0, OTLI^NY OT NULQ TOLXKO W

72

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

INTERWALE (a
b), 0 < a < b, W KOTOROM NA^ALXNOE OTKLONENIE, DAWAEMOE FUNKCIEJ ' (x), IZOBRAVAETSQ RAWNOBEDRENNYM TREUGOLXNIKOM, A  (x) = 0. rEENIE \TOJ ZADA^I BUDET POLU^ENO, ESLI NA^ALXNYE DANNYE NE^ETNO PRODOLVITX NA BESKONE^NU@ PRQMU@. pROCESS RASPROSTRANENIQ WOLN IZOBRAVEN NA RIS. 13. wNA^ALE PROCESS PROISHODIT TAK VE, KAK I NA NEOGRANI^ENNOJ PRQMOJ. zADANNOE OTKLONENIE RAZBIWAETSQ NA DWE WOLNY, DWIVU]IESQ W RAZNYE STORONY S POSTOQNNOJ SKOROSTX@, PRI^EM \TO PRODOLVAETSQ DO TEH POR, POKA WOLNA, IDU]AQ NALEWO, NE DOJDET DO TO^KI x = 0 (RIS. 13). w \TOT MOMENT S LEWOJ STORONY ( x 6 0), NA KOTOROJ PROISHODILI ANALOGI^NYE PROCESSY, K TO^KE x = 0 PODHODIT WOLNA S OBRATNOJ FAZOJ. w POSLEDU@]IE MOMENTY PROISHODIT OTRAVENIE WOLNY OT ZAKREPLENNOGO KONCA. rIS. 13 |TO IZOBRAVENO W DETALQH NA RIS. 13. pROFILX OTRAVA@]EJSQ WOLNY UKORA^IWAETSQ, OTKLONENIQ IS^EZA@T, ZATEM OTKLONENIQ POQWLQ@TSQ S OBRATNYM ZNAKOM, I, NAKONEC, OTRAVENNAQ WOLNA POJDET WPRAWO ZA UEDEJ TUDA WOLNOJ S TOJ VE SKOROSTX@. tAKIM OBRAZOM, PRI OTRAVENII WOLNY OT ZAKREPLENNOGO KONCA STRUNY EE OTKLONENIE MENQET ZNAK. rASSMOTRIM WTOROJ PRIMER. pUSTX NA POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ x > 0, ZAKREPLENNOJ PRI x = 0, NA^ALXNOE OTKLONENIE WS@DU RAWNO NUL@, A NA^ALXNAQ SKOROSTX  (x) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO W INTERWALE (x1
x2 ) (0 < x1 < x2 ), PRI^EM ZDESX  (x) = const. pRODOLVIM NE^ETNO NA^ALXNYE DANNYE. oT KAVDOGO INTERWALA (x1
x2 ) I (;x2
;x1 ) RASPROSTRANQ@TSQ OTKLONENIQ, PODOBNYE OTKLONENIQM, IZOBRAVENNYM NA RIS. 14. kAK WIDNO IZ RISUNKA, W NA^ALXNOJ STADII W OBLASTI x > 0 PROCESS IDET TAK VE, KAK I NA BESKONE^NOJ PRQMOJ. zATEM PROISHODIT OTRAVENIE OT ZAKREPLENNOGO KONCA, I, NAKONEC, WOLNA S PROFILEM W WIDE RAWNOBEDRENNOJ TRAPECII S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ DWIVETSQ WPRAWO. iZU^ENIE OTRAVENIQ OT SWOBODNOGO KONCA PROWODITSQ ANALOGI^NO, TOLXKO NA^ALXNYE DANNYE NUVNO PRODOLVATX ^ETNO, TAK ^TO OTRAVENIE WOLNY OT SWOBODNOGO KONCA BUDET PROISHODITX NE S IZMENENNOJ, A S TOJ VE FAZOJ.

x 2]

ILI

metod rasprostranq`}ihsq woln

73

mY RASSMOTRELI ZADA^I S ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI u (0
t) =  (t) = 0

ux (0
t) =  (t) = 0: w OB]EM SLU^AE NEODNORODNYH GRANI^NYH USLOWIJ REENIE PREDSTAWLQETSQ W WIDE SUMMY, KAVDOE SLAGAEMOE KOTOROJ UDOWLETWORQET TOLXKO ODNOMU IZ POSTAWLENNYH USLOWIJ (LIBO GRANI^NOMU, LIBO NA^ALXNOMU). oBRATIMSQ TEPERX K REENI@ URAWNENIQ PRI NULEWYH NA^ALXNYH I ZADANNOM GRANI^NOM USLOWIQH: u (x
0) = 0
ut (x
0) = 0
u (0
t) =  (t)
t > 0: o^EWIDNO, ^TO GRArIS. 14 NI^NYJ REVIM WYZOWET WOLNU, RASPROSTRANQ@]U@SQ WDOLX STRUNY NAPRAWO SO SKOROSTX@ a, ^TO

rIS. 15

PODSKAZYWAET NAM ANALITI^ESKU@ FORMU REENIQ u (x
t) = f (x ; at): oPREDELIM FUNKCI@ f IZ GRANI^NOGO USLOWIQ u (0
t) = f (;at) =  (t)
OTKUDA   f (z ) =  ; za


urawneniq giperboli~eskogo tipa

74

TAK ^TO u (x
t) = 

gl. II

 x ; at   x  ; = t; :

a a oDNAKO \TA FUNKCIQ OPREDELENA LIX W OBLASTI x ; at 6 0, TAK KAK  (t) OPREDELENA DLQ t > 0. nA RIS. 15 \TA OBLASTX IZOBRAVAETSQ ZATRIHOWANNOJ ^ASTX@ FAZOWOJ PLOSKOSTI. ~TOBY NAJTI u (x
t) DLQ WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTOW, PRODOLVIM FUNKCI@  (t) NA OTRICATELXNYE ZNA^ENIQ t, POLAGAQ  (t) = 0 DLQ t < 0. tOGDA FUNKCIQ   u (x
t) =  t ; xa BUDET OPREDELENA DLQ WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTOW I BUDET UDOWLETWORQTX NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIQM. sUMMA \TOJ FUNKCII I FUNKCII (23), OPREDELENNOJ W NA^ALE NASTOQ]EGO PUNKTA, PREDSTAWLQET REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ ODNORODNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ. dLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY

8 > ' (x + at) + ' (x ; at) + > > > 2 > xZ+at > > 1 >  ( ) d DLQ t < xa
+ 2a > < x;at u (x
t) = >   > >  t ; xa + ' (x + at) ;2 ' (at ; x) + > > > xZ+at > 1 > + 2a  ( ) d DLQ t > xa : > : at;x

(24)

aNALOGI^NO MOVET BYTX POSTROENO REENIE WTOROJ KRAEWOJ ZADA^I. o TRETXEJ KRAEWOJ ZADA^E SM. P. 9, S. 83. mY OGRANI^IMSQ ZDESX REENIEM KRAEWOJ ZADA^I DLQ ODNORODNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ. rEENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ SM. W P. 9. 7. zADA^I DLQ OGRANI^ENNOGO OTREZKA. rASSMOTRIM KRAEWYE ZADA^I DLQ OGRANI^ENNOGO OTREZKA (0
l). bUDEM ISKATX REENIE URAWNENIQ utt = a2 uxx
UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM ) u (0
t) = 1 (t)
t > 0
u (0
t) = 2 (t)


x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

75

I NA^ALXNYM USLOWIQM ) u (x
0) = ' (x)
0 6 x 6 l: ut (x
0) =  (x)
rASSMOTRIM PREDWARITELXNO SLU^AJ ODNORODNYH GRANI^NYH USLOWIJ u (0
t) = u (l
t) = 0: bUDEM ISKATX REENIE ZADA^I W \TOM SLU^AE METODOM PRODOLVENIQ, PREDPOLAGAQ WOZMOVNOSTX SLEDU@]EGO PREDSTAWLENIQ: u (x
t) =  (x + at) +2  (x ; at) + 21a

xZ+at

x;at

 ( ) d


GDE  I  | FUNKCII, PODLEVA]IE OPREDELENI@. nA^ALXNYE USLOWIQ ) u (x
0) =  (x) = ' (x)
0 6 x 6 l
ut (x
0) =  (x) =  (x)
OPREDELQ@T ZNA^ENIQ  I  W INTERWALE (0
l).

rIS. 16

~TOBY UDOWLETWORITX NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM, NALOVIM NA FUNKCII  (x) I  (x) TREBOWANIQ NE^ETNOSTI OTNOSITELXNO TO^EK x = 0, x = l:  (x) = ;  (;x)
 (x) = ;  (2l ; x)
 (x) = ;  (;x)
 (x) = ;  (2l ; x):

76

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

sOPOSTAWLQQ \TI RAWENSTWA, POLU^AEM  (x0 ) =  (x0 + 2l) (x0 = ;x) I ANALOGI^NO DLQ (x), T. E.  I  QWLQ@TSQ PERIODI^ESKIMI FUNKCIQMI S PERIODOM 2l. nETRUDNO WIDETX, ^TO USLOWIQ NE^ETNOSTI OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT I USLOWIQ PERIODI^NOSTI OPREDELQ@T PRODOLVENIE  (x) I  (x) NA WSEJ PRQMOJ ;1 < x < 1. pODSTAWLQQ IH W FORMULU (9), POLU^AEM REENIE ZADA^I. nA RIS. 16 SOWME]ENY FAZOWAQ PLOSKOSTX (x
t) I PLOSKOSTX (x
u), W KOTOROJ DANO NA^ALXNOE OTKLONENIE I EGO PRODOLVENIE. nA FAZOWOJ PLOSKOSTI TRIHOWKOJ WYDELENY POLOSY, WNUTRI KOTORYH OTKLONENIE OTLI^NO OT NULQ (SM. RIS. 7). zNAKI PL@S I MINUS, STOQ]IE W \TIH POLOSAH, UKAZYWA@T NA ZNAK (FAZU) OTKLONENIQ (W WIDE RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA). pOLXZUQSX RIS. 16, LEGKO PREDSTAWITX SEBE PROFILX OTKLONENIQ W L@BOJ MOMENT t. tAK, W MOMENT t = 2l=a MY POLU^IM OTKLONENIQ, SOWPADA@]IE S NA^ALXNYMI. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ u (x
t) BUDET PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ t S PERIODOM T = 2l=a (SM. S. 96). rASSMOTRIM TEPERX ZADA^U O RASPROSTRANENII GRANI^NOGO REVIMA. bUDEM ISKATX REENIE URAWNENIQ utt = a2 uxx S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI u (x
0) = ' (x) = 0
ut (x
0) =  (x) = 0 I GRANI^NYMI USLOWIQMI ) u (0
t) =  (t)
t > 0: u (l
t) = 0
iZ REZULXTATOW P. 6 WYTEKAET, ^TO PRI t < l=a REENIEM SLUVIT FUNKCIQ (  x 0
u (x
t) =  t ; a
GDE  (t) =  (t0)

tt > < 0: oDNAKO \TA FUNKCIQ NE UDOWLETWORQET GRANI^NOMU USLOWI@ u (l
t) = 0 PRI t > l=a: rASSMOTRIM OTRAVENNU@ WOLNU, IDU]U@ NALEWO I IME@]U@ PRI x = l OTKLONENIE, RAWNOE (t ; l=a). eE ANALITI^ESKOE WYRAVENIE DAETSQ FORMULOJ      t ; al ; l ;a x =  t ; 2al + xa :

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

77

lEGKO UBEDITXSQ, ^TO RAZNOSTX DWUH WOLN  x   2l x   t ; a ;  t ; a + a ESTX REENIE URAWNENIQ PRI t < 2l=a. pRODOLVAQ \TOT PROCESS DALEE, POLU^IM REENIE W WIDE RQDA  2nl x  X  2nl x  1 1 X u (x
t) =  t ; a ; a ;  t ; a + a
(25) n=1 n=0 SODERVA]EGO (DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO t) TOLXKO KONE^NOE ^ISLO OTLI^NYH OT NULQ ^LENOW, IBO S KAVDYM NOWYM OTRAVENIEM ARGUMENT UMENXAETSQ NA 2l=a, A FUNKCIQ  (t) = 0 DLQ t < 0. wYPOLNENIE GRANI^NYH USLOWIJ PROWERQETSQ NEPOSREDSTWENNO. w SAMOM DELE, POLOVIM x = 0 I WYDELIM IZ PERWOJ SUMMY OTDELXNO PERWOE SLAGAEMOE PRI n = = 0, RAWNOE  (t). oSTALXNYE SLAGAEMYE PERWOJ I WTOROJ SUMM, SOOTWETSTWU@]IE ODINAKOWYM ZNA^ENIQM n, WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ \TO POKAZYWAET, ^TO u (0
t) =  (t). zAMENQQ n NA n ; 1 I IZMENQQ W SWQZI S \TIM PREDELY SUMMIROWANIQ, PREOBRAZUEM PERWU@ SUMMU K WIDU  2nl 2l ; x  1 X  t ; a + a : n=1 pOLAGAQ TEPERX x = l, NEPOSREDSTWENNO UBEVDAEMSQ W TOM, ^TO SLAGAEMYE PERWOJ I WTOROJ SUMM WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ 1) . fORMULA (25) IMEET PROSTOJ FIZI^ESKIJ SMYSL. fUNKCIQ    t ; xa PREDSTAWLQET SOBOJ WOLNU, WOZBUVDAEMU@ GRANI^NYM REVIMOM PRI x = 0, NEZAWISIMO OT WLIQNIQ KONCA x = l, KAK ESLI BY STRUNA BYLA BESKONE^NA (0 < x < 1). sLEDU@]IE SLAGAEMYE PREDSTAWLQ@T SOBOJ POSLEDOWATELXNYE OTRAVENIQ OT ZAKREPLENNOGO KRAQ x = l (WTORAQ SUMMA) I OT KRAQ x = 0 (PERWAQ SUMMA). aNALOGI^NO FUNKCIQ  (2n + 1) l x  X  (2n + 1) l x  1 1 X u (x
t) =  t ; a + a ;  t ; a ; a n=0 n=1 DAET REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI u (x
0) = 0
ut (x
0) = 0 1) nA^ALXNYE USLOWIQ TAKVE PROWERQ@TSQ NEPOSREDSTWENNO, TAK KAK ARGUMENTY WSEH FUNKCIJ OTRICATELXNY PRI t = 0 I WYRAVENIE (25) PRI t = 0 RAWNO NUL@.

78

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

I GRANI^NYMI USLOWIQMI u (0
t) = 0
u (l
t) =  (t): nA DOKAZATELXSTWE EDINSTWENNOSTI REENIQ RASSMOTRENNOJ ZADA^I I NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI REENIQ OT NA^ALXNYH I GRANI^NYH USLOWIJ MY NE OSTANAWLIWAEMSQ. 8. dISPERSIQ WOLN. uRAWNENIE KOLEBANIJ STRUNY utt = a2uxx DOPUSKAET REENIE W WIDE BEGU]EJ WOLNY u = f (x  at) PROIZWOLXNOJ FORMY. oB]EE URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOGO TIPA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI utt ; a2 uxx + b1ut + b2 ux + cu = 0 (26) S POMO]X@ UKAZANNOJ W GL. I PODSTANOWKI u = u ex+t, GDE  = = 0
5 b2=a2 ,  = ;0
5 b1, SWODITSQ K URAWNENI@ utt ; a2 uxx + cu = 0
(27) 2 2 GDE c = c ; (b1 =2) + (b2 =2a) . pOKAVEM, ^TO URAWNENIE (27) NE DOPUSKAET REENIJ W WIDE PROIZWOLXNOJ BEGU]EJ WOLNY2 PRI c 6= 0. w SAMOM DELE, PODSTAWLQQ u = f (x ; at) W (27), NAHODIM a f 00 ; a2 f 00 + cf = 0, OTKUDA W SILU PROIZWOLXNOSTI f SLEDUET c = 0. iMPULXS ILI SIGNAL PROIZWOLXNOJ FORMY MOVET BYTX RAZLOVENIEM W INTEGRAL fURXE PREDSTAWLEN W WIDE SUPERPOZICII GARMONI^ESKIH WOLN WIDA u (x
t) = ei (!t;kx)
GDE ! | ^ASTOTA, k = 2= | WOLNOWOE ^ISLO ( | DLINA WOLNY). sKOROSTX, S KOTOROJ FAZA WOLNY = !t ; kx PEREME]AETSQ W PROSTRANSTWE, NAZYWAETSQ FAZOWOJ SKOROSTX@ WOLNY I RAWNA, O^EWIDNO, v = !=k. eSLI FAZOWAQ SKOROSTX GARMONI^ESKOJ WOLNY ZAWISIT OT ^ASTOTY, TO GOWORQT O DISPERSII WOLN. w \TOM SLU^AE GARMONI^ESKIE SOSTAWLQ@]IE SIGNALA SME]A@TSQ DRUG OTNOSITELXNO DRUGA, W REZULXTATE ^EGO PROFILX SIGNALA ISKAVAETSQ. o^EWIDNO, ^TO ESLI URAWNENIE NE DOPUSKAET REENIJ W WIDE WOLN PROIZWOLXNOJ FORMY, TO FAZOWAQ SKOROSTX GARMONI^ESKOJ WOLNY ZAWISIT OT ^ASTOTY, T. E. IMEET MESTO DISPERSIQ. pOKAVEM, ^TO DLQ URAWNENIQ (27) IMEET MESTO DISPERSIQ PRI c 6= 0. pODSTAWLQQ W (27) u = ei (!t;kx) , POLU^AEM URAWNENIE, SWQZYWA@]EE ! I k: !2 ; a2 k2 + c = 0: oTS@DA SLEDUET, ^TO FAZOWAQ SKOROSTX v = !k = p !2 a ! +c ZAWISIT OT ^ASTOTY. pRI USLOWII c = 0, T. E. DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY utt = a2 uxx, v = a NE ZAWISIT OT ^ASTOTY I DISPERSIQ

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

79

OTSUTSTWUET. uSLOWIE c = 0 NAZYWA@T TAKVE USLOWIEM OTSUTSTWIQ ISKAVENIQ. w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM TELEGRAFNOE URAWNENIE (SM. x 1, P. 4) ixx = CL itt + (CR + LG) it + GR i: pOLAGAQ i = ue;t, GDE  = 0
5 (CR + LG)=(CL), POLU^AEM DLQ u URAWNENIE uxx = CL utt + c u
GDE c = ; (CR ; LG)2 =(4 CL). oTS@DA WIDNO, ^TO PRI CR 6= LG SIGNAL PO KABEL@ RASPROSTRANQETSQ S ISKAVENIEM, TAK KAK IMEET MESTO DISPERSIQ WOLN. uSLOWIE CR = LG
ILI RL = G C
NAZYWAETSQ USLOWIEM OTSUTSTWIQ ISKAVENIQ W LINII. w \TOM SLU^AE TELEGRAFNOE URAWNENIE DOPUSKAET REENIE W WIDE ZATUHA@]EJ WOLNY: 1 i (x
t) = e; t f (x ; at)
 = RL = G C
a = pLC
GDE f | PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ. oTSUTSTWIE ISKAVENIQ WOLN PRI IH RASPROSTRANENII PO KABEL@ IMEET OSOBO WAVNOE ZNA^ENIE DLQ TELEFONNOJ I TELEGRAFNOJ SWQZI NA BOLXIH RASSTOQNIQH.

9. iNTEGRALXNOE URAWNENIE KOLEBANIJ. pRI WYWODE DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ (5) W x 1 MY ISHODILI IZ ZAKONA SOHRANENIQ KOLI^ESTWA DWIVENIQ, KOTORYJ PRIWEL NAS K URAWNENI@ KOLEBANIJ W INTEGRALXNOJ FORME (3). dLQ TOGO ^TOBY OT INTEGRALXNOGO URAWNENIQ PEREJTI K DIFFERENCIALXNOMU, MY PREDPOLOVILI, ^TO FUNKCIQ u (x t) IMEET WTORYE PROIZWODNYE. wSQKOE PREDPOLOVENIE OB OGRANI^ENII KLASSA RASSMATRIWAEMYH FUNKCIJ NEKOTORYM SWOJSTWOM OZNA^AET OTKAZ OT IZU^ENIQ FUNKCIJ, NE OBLADA@]IH PREDPOLAGAEMYM SWOJSTWOM. tAKIM OBRAZOM, PEREHODQ OT INTEGRALXNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ K DIFFERENCIALXNOMU, MY ISKL@^AEM IZ RASSMOTRENIQ PROCESSY KOLEBANIJ, NE UDOWLETWORQ@]IH TREBOWANI@ DWUKRATNOJ DIFFERENCIRUEMOSTI. pOKAVEM, ^TO WS@ TEORI@ MOVNO RAZWITX W KLASSE NEPRERYWNYH KUSO^NO-DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ, ISHODQ IZ INTEGRALXNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ

Zx2 @u 

x1

 @u  

@t t2 ; @t t1  d =

Zt2 

t1



@u  ; k @u  d + k @x @x x1 x2

Zx2Zt2

x1 t1

F d d: (28)

|TOMU URAWNENI@ MOVNO PRIDATX SLEDU@]U@ FORMU. rASSMOTRIM W PLOSKOSTI (x t) OBLASTX G, OGRANI^ENNU@ KUSO^NO-GLADKOJ KRIWOJ C , I POKAVEM,

80

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

^TO DLQ \TOJ OBLASTI IMEET MESTO INTEGRALXNOE SOOTNOENIE Z  @u  ZZ @u  @t dx + k @x dt + F dx dt = 0:

(29)

dLQ ODNORODNOJ SREDY \TA FORMULA PRINIMAET WID Z  @u  ZZ 2 @u dt + dx + a f dx dt = 0 @t @x

(290 )

C

G

C



G



f = F :

eSLI KRIWAQ C QWLQETSQ KONTUROM PRQMOUGOLXNIKA SO STORONAMI, PARALLELXNYMI OSQM KOORDINAT, TO FORMULA (29) SOWPADAET S FORMULOJ (28). eSLI KRIWAQ C SOSTOIT IZ KUSKOW, PARALLELXNYH OSQM, TO OBLASTX G MOVNO PREDSTAWITX KAK SUMMU PRQMOUGOLXNIKOW. sUMMIRUQ KONTURNYE INTEGRALY, SOOTWETSTWU@]IE OTDELXNYM SLAGAEMYM, MY POLU^IM, ^TO SLAGAEMYE, OTNOSQ]IESQ K WNUTRENNIM GRANICAM, WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ, TAK KAK INTEGRIROWANIE PROIZWODITSQ W PROTIWOPOLOVNYH NAPRAWLENIQH, A OSTA@]IESQ SLAGAEMYE DADUT FORMULU (29). pUSTX, DALEE, KRIWAQ C SODERVIT DUGI C , NE PARALLELXNYE OSQM I NE QWLQ@]IESQ LINIQMI RAZRYWA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII. wOZXMEM SETKU rIS. 17 SO STORONAMI, PARALLELXNYMI OSQM KOORDINAT, I RASSMOTRIM Q^EJKI SETKI , PERESEKA@]IESQ
S OBLASTX@ G. oBOZNA
^IM ^EREZ G
SOWOKUPNOSTX \TIH Q^EEK I ^EREZ C | GRANICU OBLASTI G . fORMULA (29) PRIMENIMA K G
. pEREHODQ K PREDELU PRI UMENXA@]IHSQ RAZMERAH SETKI, NETRUDNO UBEDITXSQ W SPRAWEDLIWOSTI FORMULY (29) DLQ PREDELXNOJ KRIWOJ C . w SAMOM DELE, PERWOE SLAGAEMOE FORMULY (29), PRIMENENNOJ K OBLASTI G
, SOSTOIT IZ SLAGAEMYH TIPA

Z

Cn

 (x t) dx ILI

Z

Cn

 (x t) dt

GDE  (x t) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ I Cn | DUGA KONTURA C
, APPROKSIMIRU@]AQ DUGU C (RIS. 17). pUSTX t = tn (x) | URAWNENIE LOMANOJ Cn I t = t (x) | URAWNENIE KRIWOJ C . o^EWIDNO, ^TO tn (x) RAWNOMERNO SHODITSQ K t (x) I lim

n!1

Zb a

 x tn (x)] dx =

Zb a

 x t (x)] dx

^TO I DOKAZYWAET ZAKONNOSTX PREDELXNOGO PEREHODA 1) . 1) pOSKOLXKU dx = 0 NA WERTIKALXNYH ZWENXQH LOMANOJ Cn , TO W \TOJ FORMULE t = tn (x) ESTX URAWNENIE GORIZONTALXNYH ZWENXEW KRIWOJ Cn .

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

81

eSLI KRIWAQ C SODERVIT DUGI, QWLQ@]IESQ LINIQMI RAZRYWA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, TO FORMULA (29) SOHRANQET SILU, ESLI BRATX W KA^ESTWE ZNA^ENIJ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII EE PREDELXNYE ZNA^ENIQ S WNUTRENNEJ STORONY OBLASTI G. tAKIM OBRAZOM, SPRAWEDLIWOSTX INTEGRALXNOJ FORMULY (29) DOKAZANA. rASSMOTRIM SLEDU@]U@ ZADA^U. nAJTI FUNKCI@ u (x t) OPREDELENNU@ I KUSO^NO-GLADKU@ W OBLASTI ; 1 < x < 1 t > 0 UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@

Z  @u

C

 ZZ

2 @u @t dx + a @x dt +

I NA^ALXNYM USLOWIQM

G

f (x t) dx dt = 0

(290 )

u (x 0) = ' (x) ut (x 0) =  (x)

GDE '(x) |KUSO^NO-GLADKAQ FUNKCIQ A FUNKCII (x) I f (x t) KUSO^NONEPRERYWNY. zDESX C | PROIZWOLXNYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR, LEVA]IJ

rIS. 18 rIS. 19 W OBLASTI t > 0. pOKAVEM, ^TO \TA ZADA^A IMEET EDINSTWENNOE REENIE, OPREDELQEMOE FORMULOJ dALAMBERA. dOPUSTIM, ^TO FUNKCIQ u (x t) PREDSTAWLQET REENIE NAEJ ZADA^I. rASSMOTRIM TREUGOLXNIK ABM (RIS. 18), PRIMYKA@]IJ K OSI t = 0, S WERINOJ W TO^KE M (x t), SO STORONAMI, QWLQ@]IMISQ OTREZKAMI HARAKTERISTIK x ; at = const I x + at = const, I PRIMENIM K NEMU FORMULU (290 ). wDOLX OTREZKA AM IMEET MESTO RAWENSTWO dx=dt = a, TAK ^TO @u dx + a2 @u dt = a  @u dt + @u dx = a du: @t @x @t @x wDOLX OTREZKA MB IMEET MESTO RAWENSTWO dx dt = ;a, TAK ^TO @u dx + a2 @u dt = ; a  @u dt + @u dx = ; a du: @t @x @t @x sLEDOWATELXNO, PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE WDOLX HARAKTERISTIK QWLQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM. pROIZWODQ INTEGRIROWANIE WDOLX OTREZKOW BM 6 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

82

urawneniq giperboli~eskogo tipa

I MA, POLU^AEM

gl. II

ZM  @u

B

 2 @u dt = ; a u (M ) ; u (B )] dx + a @t @x

ZA  @u

M



2 @u @t dx + a @x dt = a u (A) ; u (M )]

TAK ^TO FORMULA (290 ) PRINIMAET WID u (M ) = u (B ) +2 u (A) + 21a

ILI u (x t) = ' (x + at) +2 ' (x ; at) + + 21a

ZB @u

ZZ

A

ABM

1 @t dx + 2a

xZ+at

x;at

 () d + 21a

Zt 0

d

f dx dt

x+aZ(t; )

f (  ) d:

x;a (t; )

(30)

tAKIM OBRAZOM, ESLI REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I SU]ESTWUET, TO ONO ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOIMI NA^ALXNYMI ZNA^ENIQMI. w SLU^AE ODNORODNOGO URAWNENIQ (f = 0) \TA FORMULA SOWPADAET S FORMULOJ dALAMBERA. oTS@DA SLEDUET TEOREMA EDINSTWENNOSTI DLQ RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I. s POMO]X@ NEPOSREDSTWENNOJ PODSTANOWKI NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO FUNKCIQ TIPA u (x t) = f1 (x + at) + f2 (x ; at) +

Zt

d

0

x+aZ(t; )

x;a (t; )

f3 (  ) d

GDE f1 I f2 | KUSO^NO-GLADKIE FUNKCII, A f3 | KUSO^NO-NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQET URAWNENI@ (28), A TEM SAMYM I URAWNENI@ (290 ). |TO DOKAZYWAET TEOREMU SU]ESTWOWANIQ. rEENIQ ZADA^, RASSMOTRENNYH W P. 3 W KA^ESTWE PRIMEROW, QWLQ@TSQ KUSO^NO-GLADKIMI FUNKCIQMI I OHWATYWA@TSQ IZLOVENNOJ TEORIEJ. oBRATIMSQ TEPERX K PERWOJ KRAEWOJ ZADA^E NA POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ. bUDEM ISKATX REENIE URAWNENIQ (29) W NEKOTOROJ TO^KE M (x t) DLQ t > x=a (RIS. 19). tAK KAK W OBLASTI t < x=a (POD HARAKTERISTIKOJ x = = at) WLIQNIE GRANI^NOGO REVIMA NE SKAZYWAETSQ, TO REENIE OPREDELQETSQ FORMULOJ (30). pRIMENIM FORMULU (290 ) K ^ETYREHUGOLXNIKU MAA0B , W KOTOROM MA, MB I AA0 | OTREZKI HARAKTERISTIK . wYPOLNQQ INTEGRIROWANIE WDOLX HARAKTERISTIK MA, AA0 I BM , POLU^AEM 2au (M ) = 2au (A) + au (B ) ; au (A ) + 0

ZB @u

A

0

@t dx +

ZZ

MAA B 0

f dx dt:

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

83

pODSTAWIW S@DA KOORDINATY TO^EK M , A, B I A0, BUDEM IMETX   u (x t) = u 0 t ; xa + u (x + at 0) ;2 u (at ; x 0) + + 21a

xZ+at



at;x

@u  dx + 1 @t t=0 2a

Zt

x+aZ(t; )

ILI   u (x t) =  t ; xa + ' (x + at) ;2 ' (at ; x) + + 21a

xZ+at

at;x

 () d + 21a

0

d

jx;a (t; )j

Zt 0

d

f (  ) d

x+aZ(t; )

jx;a (t; )j



f (  ) d

 t > xa :

(31)

iZ (31) NEPOSREDSTWENNO SLEDUET EDINSTWENNOSTX REENIQ RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I. pRI f = 0 \TA FORMULA, KAK NETRUDNO ZAMETITX, SOWPADAET S FORMULOJ (24) x 2, P. 6. aNALOGI^NYM SPOSOBOM IZU^AETSQ I WTORAQ KRAEWAQ ZADA^A, A TAKVE ZADA^I DLQ OGRANI^ENNOGO OTREZKA. pRI IZU^ENII PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I MY WIDELI, ^TO ZADANIQ DWUH NA^ALXNYH USLOWIJ u (x 0) = ' (x) ut (x 0) =  (x) I ODNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ u (0 t) =  (t) DOSTATO^NO DLQ POLNOGO OPREDELENIQ REENIQ. oTS@DA SLEDUET, ^TO DOLVNO SU]ESTWOWATX SOOTNOENIE, SWQZYWA@]EE FUNKCII ', ,  I  , GDE  (t) = = ux (0 t). dIFFERENCIRUQ FORMULU (31) PO x I POLAGAQ x = 0, POLU^AEM  (t) = a1 f  (at) ; 0 (t) ; a'0 (at)] g (32) GDE DLQ PROSTOTY POLOVENO f = 0. pOLXZUQSX FORMULOJ (32), MOVNO, NAPRIMER, TRETX@ KRAEWU@ ZADA^U SWESTI K PERWOJ KRAEWOJ ZADA^E. 10. rASPROSTRANENIE RAZRYWOW WDOLX HARAKTERISTIK. oBRATIMSQ K RASSMOTRENI@ RAZRYWOW PROIZWODNYH REENIJ URAWNENIQ (29). pOKAVEM, ^TO LINIQMI RAZRYWA PROIZWODNYH FUNKCIJ u (x t), UDOWLETWORQ@]IH URAWNENI@ (29), MOGUT BYTX TOLXKO LINII SEMEJSTW HARAKTERISTIK x ; at = const x + at = const: w SAMOM DELE, PUSTX NEKOTORAQ DIFFERENCIRUEMAQ KRIWAQ, OPREDELQEMAQ URAWNENIEM x = x (t) rIS. 20 QWLQETSQ LINIEJ RAZRYWA PROIZWODNYH NEPRERYWNOJ, KUSO^NO-DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII u (x t). pREDPOLOVIM DLQ 6


84

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

OPREDELENNOSTI, ^TO x (t) | WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ. pRIMENIM FORMULU (290 ) K PRQMOUGOLXNIKU ABCD (RIS. 20): Z  @u  Z  @u  2 @u dt + 2 @u dt = 0 dx + a dx + a @t @x @t @x BA+AD

DC +CB

A TAKVE K KRIWOLINEJNYM TREUGOLXNIKAM 1 = BAD I 2 = BDC : Z  @u  Z  @u 0 2 @u  2 @u dt + dx + a @t @x @t x + a @x 1 dt = 0 BA+AD

Z  @u

DB

 Z  @u

2 @u @t dx + a @x dt ;



0 2 @u @t x + a @x dt = 0

2

DB DC +CB GDE SKOBKI ( )12 POKAZYWA@T, ^TO NADO BRATX PREDELXNYE ZNA^ENIQ IZNUTRI

TREUGOLXNIKOW 1 ILI 2 . wY^ITAQ IZ SUMMY POSLEDNIH DWUH RAWENSTW PREDESTWU@]EE, POLU^IM Z n @u   o 0 2 @u ; @u x0 + a2 @u x + a @t @x 1 @t @x 2 dt = 0 DB

ILI, W SILU PROIZWOLXNOJ MALOSTI DUGI DB , h @u i 0 2 h @u i (33) @t x + a @x = 0 GDE, KAK OBY^NO, SKOBKAMI OBOZNA^AETSQ WELI^INA RAZRYWA FUNKCII: f ] = f2 ; f1 : wOZXMEM PROIZWODNU@ PO t OT ZNA^ENIQ FUNKCII u (x t) WDOLX LINII RAZRYWA PROIZWODNYH: d u (x (t) t) =  @u  x0 +  @u  (i = 1 2) dt @x i @t i PRI^EM W KA^ESTWE ZNA^ENIQ PROIZWODNYH MOVNO BRATX PREDELXNYE ZNA^ENIQ KAK IZ 1 , TAK I IZ 2 . rAZNOSTX PRAWYH ^ASTEJ PRI i = 1 I i = 2 DAET h @u i 0 h @u i @t + x @x = 0: sOPOSTAWLQQ \TO RAWENSTWO Sh RAWENSTWOM i h @u i (33) I PREDPOLAGAQ, ^TO PO KRAJ@u NEJ MERE ODIN IZ RAZRYWOW @t , @x OTLI^EN OT NULQ, WIDIM, ^TO \TI RAWENSTWA WOZMOVNY ODNOWREMENNO, ESLI DETERMINANT \TOJ SISTEMY RAWEN NUL@:  0 2   x1 ax0  = (x0)2 ; a2 = 0 ILI x =  at + const:

x 2]

metod rasprostranq`}ihsq woln

85

tAKIM OBRAZOM, LINII RAZRYWA PROIZWODNYH REENIQ URAWNENIQ KOLEBANIJ QWLQ@TSQ HARAKTERISTIKAMI.

zADA^I

1. nA^ERTITX PROFILX STRUNY DLQ RAZLI^NYH MOMENTOW WREMENI W SLEDU@]IH SLU^AQH. I. n E O G R A N I ^ E N N A Q S T R U N A (; 1 < x < 1): A) NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA NUL@ ( (x) = 0), A NA^ALXNYJ PROFILX STRUNY ZADAN W WIDE RIS. 21 B) NA^ALXNOE OTKLONENIE RAWNO NUL@, A NA^ALXNAQ SKOROSTX IMEET POSTOQNNOE ZNA^ENIE ut (x 0) = 0 NA U^ASTKE STRUNY (x1  x2 ) I RAWNA NUL@ WNE \TOGO U^ASTKA W) NA^ALXNYE USLOWIQ IME@T WID ' (x) = 0

8 > > < 0h  (x) = > 2 x (2c ; x) > : 20c

PRI x < c PRI c < x < 2c PRI x > 2c: II. p O L U O G R A N I ^ E N N A Q S T R U N A (0 6 x < 1): G) NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA NUL@ ( (x) = 0), A NA^ALXNOE OTKLONENIE ZADANO W WIDE TREUGOLXNIKA, IZOBRAVENNOGO NA RIS. 21. kONEC STRUNY ZAKREPLEN D) TA VE ZADA^A DLQ STRUNY SO SWOBODNYM KONCOM x = 0 E) NA^ALXNYE USLOWIQ IME@T WID 80 PRI 0 < x < c < ' (x) = 0  (x) = :0 = const PRI c < x < 2c 0 PRI x > 2c KONEC STRUNY x = 0 ZAKREPLEN V) ANALOGI^NAQ ZADA^A DLQ STRUNY SO SWOBODNYM KONCOM x = 0. pROFILX STRUNY DLQ WSEH ZADA^ 1A | V SLEDUET NA^ERTITX DLQ MOMENTOW WREMENI t0 = 0 tk = 8ca k (k = 1 2 : : :  8): oTMETITX DLQ ZADA^ 1A | V NA FAZOWOJ PLOSKOSTI (x t) ZONY, SOOTWETSTWU@]IE RAZLI^NYM STADIQM PROCESSA. rIS. 21 2. nAJTI REENIE ZADA^I 1A DLQ WSEH ZNA^ENIJ PEREMENNYH x I t (FORMULY, WYRAVA@]IE FUNKCI@ u (x t), RAZLI^NY DLQ RAZNYH ZON FAZOWOJ PLOSKOSTI). 3. oPREDELITX OTKLONENIE W NEKOTOROJ TO^KE x0 , t0 , POLXZUQSX FAZOWOJ PLOSKOSTX@ (x t) I PLOSKOSTX@ (x u), W KOTOROJ (RIS. 21) ZADANY NA^ALXNYE OTKLONENIQ ( = 0), KAK DLQ SLU^AQ NEOGRANI^ENNOJ STRUNY, TAK I DLQ SLU^AQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY S ZAKREPLENNYM (ILI SWOBODNYM) KONCOM.

86

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

4. w NA^ALE DLINNOJ CILINDRI^ESKOJ TRUBKI, ZAPOLNENNOJ GAZOM, NAHODITSQ PORENX, DWIVU]IJSQ PO PROIZWOLXNOMU ZAKONU x = f (t) SO SKOROSTX@ v = f 0 (t) < a. nA^ALXNOE SME]ENIE I SKOROSTX ^ASTIC GAZA RAWNY NUL@. nAJTI SME]ENIE GAZA W SE^ENII S ABSCISSOJ x. rASSMOTRETX SLU^AJ DWIVENIQ PORNQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ c < a. ~TO MOVNO SKAZATX O REENII ZADA^I, ESLI NA^INAQ S NEKOTOROGO MOMENTA SKOROSTX PORNQ v > a? (SM. pRILOVENIE IV K GL. II). 5. pUSTX PO NEOGRANI^ENNOJ STRUNE BEVIT WOLNA u(x t) = = f (x ; at). sOSTOQNIE STRUNY W rIS. 22 MOMENT t = 0 PRINQTX ZA NA^ALXNOE I REITX URAWNENIE KOLEBANIJ PRI SOOTWETSTWU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH. sRAWNITX S ZADA^EJ 1A. 6. nEOGRANI^ENNYJ UPRUGIJ STERVENX POLU^EN SOEDINENIEM W TO^KE x = = 0 DWUH STERVNEJ S HARAKTERISTIKAMI p k1  1  a1 = k1 =1 PRI x < 0

p

k2  2  a2 = k2 =2 PRI x > 0: A) pUSTX IZ OBLASTI x < 0 BEVIT WOLNA   u (x t) = f t ; xa  GDE f | ZADANNAQ FUNKCIQ. nAJTI KO\FFICIENTY OTRAVENIQ I PRELOMLENIQ WOLNY PRI PROHOVDENII ^EREZ TO^KU STYKA (x = 0). uSTANOWITX, PRI KAKIH USLOWIQH OTRAVENNAQ WOLNA OTSUTSTWUET. B) rEITX ANALOGI^NU@ ZADA^U, ESLI ZADANO LOKALXNOE NA^ALXNOE OTKLONENIE 8 0 PRI x < x  < 1 u (x 0) = :' (x) PRI x1 < x < x2 < 0 0 PRI x > x2  A NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA NUL@. 7. pUSTX W NEKOTOROJ TO^KE STRUNY x = x0 PODWEEN GRUZ MASSY M I IZ OBLASTI x < 0 BEVIT WOLNA   u (x t) = f t ; xa : nAJTI WYRAVENIQ DLQ PRELOMLENNOJ I OTRAVENNOJ WOLN. 8. pOLUOGRANI^ENNAQ TRUBKA (x > 0), ZAPOLNENNAQ IDEALXNYM GAZOM, IMEET NA ODNOM KONCE, x = 0, SWOBODNO PEREME]A@]IJSQ PORENX MASSY M . w MOMENT WREMENI t = 0 PORN@ PRI POMO]I UDARA SOOB]A@T NA^ALXNU@ SKOROSTX v0 . iSSLEDOWATX PROCESS RASPROSTRANENIQ WOLNY W GAZE, ESLI IZWESTNO, ^TO NA^ALXNYE OTKLONENIQ I NA^ALXNAQ SKOROSTX ^ASTIC GAZA RAWNY NUL@. uKAZANIE. rASSMOTRETX REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ W OBLASTI x > 0. iSPOLXZOWATX GRANI^NOE USLOWIE M utt (0 t) = Sp0 ux (0 t)

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

87

(p0 | NA^ALXNOE DAWLENIE GAZA, S | PLO]ADX POPERE^NOGO SE^ENIQ TRUBKI,  = cp =cv ) I NA^ALXNYE USLOWIQ NA GRANICE u (0 0) = 0, ut (0 0) = v0 . 9. bESKONE^NAQ STRUNA, IME@]AQ W TO^KE x = 0 SOSREDOTO^ENNU@ MASSU M , NAHODITSQ W POLOVENII RAWNOWESIQ. w NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI t = 0 UDAROM MOLOTO^KA MASSE M SOOB]AETSQ NA^ALXNAQ SKOROSTX v0 . dOKAZATX, ^TO W MOMENT WREMENI t > 0 WOZMU]ENNAQ STRUNA IMEET WID, UKAZANNYJ NA RIS. 22, GDE u1 (x t) I u2 (x t) OPREDELQ@TSQ FORMULAMI 8 Mav0 h  2T i PRI x ; at < 0 < 1 ; exp ( x ; at ) (PRQMAQ WOLNA), Ma2 u1 (x t) = : 2T 0 PRI x ; at > 0

8 Mav0 h < 2T 1 ; exp ; 2T 2 (x + at)i Ma u2 (x t) = : 0

PRI x ; at < 0 (OBRATNAQ WOLNA), PRI x ; at > 0.

uKAZANIE. wOSPOLXZOWATXSQ USLOWIEM 2 2 @u2 1 M @@tu21 (0 t) = M @@tu22 (0 t) = T @u @x (0 t) ; T @x (0 t): 10. rEITX ZADA^U O RASPROSTRANENII \LEKTRI^ESKIH KOLEBANIJ W BESKONE^NOM PROWODE PRI USLOWII G R C=L I PRI PROIZWOLXNYH NA^ALXNYH USLOWIQH. 11. nAJTI REENIE INTEGRALXNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY PRI GRANI^NYH USLOWIQH 3-GO RODA (SM. P. 9). 12. nA KONCE x = 0 POLUOGRANI^ENNOGO STERVNQ UKREPLENA MEMBRANA, OKAZYWA@]AQ SOPROTIWLENIE PRODOLXNYM KOLEBANIQM STERVNQ, PROPORCIONALXNOE SKOROSTI ut (0 t). iSSLEDOWATX PROCESS KOLEBANIQ, ESLI ZADANY NA^ALXNYE SME]ENIQ I ut (x 0) =  (x) = 0.

x 3. mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH

1. uRAWNENIE SWOBODNYH KOLEBANIJ STRUNY. m E T O D R A ZD E L E N I Q P E R E M E N N Y H, ILI M E T O D f U R X E, QWLQETSQ ODNIM IZ NAIBOLEE RASPROSTRANENNYH METODOW REENIQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. iZLOVENIE \TOGO METODA MY PROWEDEM DLQ ZADA^I O KOLEBANIQH STRUNY, ZAKREPLENNOJ NA KONCAH. rEENIE UKAZANNOJ ZADA^I MY RASSMOTRIM S IS^ERPYWA@]EJ PODROBNOSTX@ I PRI DALXNEJEM IZLOVENII KURSA BUDEM SSYLATXSQ NA \TOT PARAGRAF, OPUSKAQ POWTORENIQ DOKAZATELXSTW. iTAK, BUDEM ISKATX REENIE URAWNENIQ utt = a2 uxx
(1) UDOWLETWORQ@]EE ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIQM u (0
t) = 0
u (l
t) = 0 (2)

88

urawneniq giperboli~eskogo tipa

I NA^ALXNYM USLOWIQM

gl. II

)

u (x
0) = ' (x)
(3) ut (x
0) =  (x): uRAWNENIE (1) LINEJNO I ODNORODNO, PO\TOMU SUMMA ^ASTNYH REENIJ TAKVE QWLQETSQ REENIEM \TOGO URAWNENIQ. iMEQ DOSTATO^NO BOLXOE ^ISLO ^ASTNYH REENIJ, MOVNO POPYTATXSQ PRI POMO]I SUMMIROWANIQ IH S NEKOTORYMI KO\FFICIENTAMI NAJTI ISKOMOE REENIE. pOSTAWIM O S N O W N U @ W S P O M O G A T E L X N U @ Z A D A ^ U. nAJTI REENIE URAWNENIQ utt = a2 uxx
NE RAWNOE TOVDESTWENNO NUL@
UDOWLETWORQ@]EE ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIQM ) u (0
t) = 0
(4) u (l
t) = 0 I PREDSTAWIMOE W WIDE PROIZWEDENIQ u (x
t) = X (x) T (t)
(5) GDE X (x) | FUNKCIQ TOLXKO PEREMENNOGO x
T (t) | FUNKCIQ TOLXKO PEREMENNOGO t. pODSTAWLQQ PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ (5) W URAWNENIE (1), POLU^IM X 00 T = a12 T 00 X


ILI, POSLE DELENIQ NA XT , X 00 (x) = 1 T 00 (t) : (6) X (x) a2 T (t) ~TOBY FUNKCIQ (5) BYLA REENIEM URAWNENIQ (1), RAWENSTWO (6) DOLVNO UDOWLETWORQTXSQ TOVDESTWENNO, T. E. DLQ WSEH ZNA^ENIJ NEZAWISIMYH PEREMENNYH 0 < x < l, t > 0. pRAWAQ ^ASTX RAWENSTWA (6) QWLQETSQ FUNKCIEJ TOLXKO PEREMENNOGO t, A LEWAQ | TOLXKO x. fIKSIRUQ, NAPRIMER, NEKOTOROE ZNA^ENIE x I MENQQ t (ILI NAOBOROT), POLU^IM, ^TO PRAWAQ I LEWAQ ^ASTI RAWENSTWA (6) PRI IZMENENII SWOIH ARGUMENTOW SOHRANQ@T POSTOQNNOE ZNA^ENIE X 00 (x) = 1 T 00 (t) = ; 
(7) X (x) a2 T (t) GDE  | POSTOQNNAQ, KOTORU@ DLQ UDOBSTWA POSLEDU@]IH WYKLADOK BEREM SO ZNAKOM MINUS, NI^EGO NE PREDPOLAGAQ PRI \TOM O EE ZNAKE.

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

89

iZ SOOTNOENIQ (7) POLU^AEM OBYKNOWENNYE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ DLQ OPREDELENIQ FUNKCIJ X (x) I T (t): X 00 (x) +  X (x) = 0
X (x) 6 0
(8) T 00 (t) + a2  T (t) = 0
T (t) 6 0: gRANI^NYE USLOWIQ (4) DA@T u (0
t) = X (0) T (t) = 0


(9)

u (l
t) = X (l) T (t) = 0: oTS@DA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ X (x) DOLVNA UDOWLETWORQTX DOPOLNITELXNYM USLOWIQM X (0) = X (l) = 0
(10) TAK KAK INA^E MY IMELI BY T (t)  0 I u (x
t)  0
W TO WREMQ KAK ZADA^A SOSTOIT W NAHOVDENII NETRIWIALXNOGO REENIQ. dLQ FUNKCII T (t) W OSNOWNOJ WSPOMOGATELXNOJ ZADA^E NIKAKIH DOPOLNITELXNYH USLOWIJ NET. tAKIM OBRAZOM, W SWQZI S NAHOVDENIEM FUNKCII X (x) MY PRIHODIM K PROSTEJEJ Z A D A ^ E O S O B S T W E N N Y H Z N A ^ E N I Q H. nAJTI TE ZNA^ENIQ PARAMETRA 
PRI KOTORYH SU]ESTWU@T NETRIWIALXNYE REENIQ ZADA^I ) X 00 (x) +  X (x) = 0
(11) X (0) = X (l) = 0
A TAKVE NAJTI \TI REENIQ. tAKIE ZNA^ENIQ PARAMETRA  NAZYWA@TSQ S O B S T W E N N Y M I Z N A ^ E N I Q M I, A SOOTWETSTWU@]IE IM NETRIWIALXNYE REENIQ | S O B S T W E N N Y M I F U N K C I Q M I Z A D A ^ I (11). sFORMULIROWANNU@ TAKIM OBRAZOM ZADA^U ^ASTO NAZYWA@T Z A D A ^ E J { T U R M A | l I U W I L L Q. rASSMOTRIM OTDELXNO SLU^AI, KOGDA PARAMETR  OTRICATELEN, RAWEN NUL@ ILI POLOVITELEN. 1. pRI  < 0 ZADA^A NE IMEET NETRIWIALXNYH REENIJ. dEJSTWITELXNO, OB]EE REENIE URAWNENIQ (8) IMEET WID p p X (x) = C1 e ; x + C2 e; ; x : gRANI^NYE USLOWIQ DA@T X (0) = C1 + C2 = 0
X (l) = C1 e + C2 e; = 0

( = l

p;)


90

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

T. E.

C1 = ; C2 I C1 (e ; e; ) = 0: nO W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE DEJSTWITELXNO I POLOVITELXNO, TAK ^TO e ; e; 6= 0. pO\TOMU C1 = 0
C2 = 0 I, SLEDOWATELXNO, X (x)  0: 2. pRI  = 0 TAKVE NE SU]ESTWUET NETRIWIALXNYH REENIJ. dEJSTWITELXNO, W \TOM SLU^AE OB]EE REENIE URAWNENIQ (8) IMEET WID X (x) = C1 x + C2 : gRANI^NYE USLOWIQ DA@T X (0) = C1 x + C2 ]x=0 = C2 = 0
X (l) = C1 l = 0
T. E. C1 = 0 I C2 = 0 I, SLEDOWATELXNO, X (x)  0: 3. pRI  > 0 OB]EE REENIE URAWNENIQ MOVET BYTX ZAPISANO W WIDE p p X (x) = D1 cos x + D2 sin x: gRANI^NYE USLOWIQ DA@T X (0) = D1 = 0


p

X (l) = D2 sin l = 0: eSLI X (x) NE RAWNO TOVDESTWENNO NUL@, TO D2 6= 0, PO\TOMU p sin l = 0
(12) ILI p = n
l GDE n | L@BOE CELOE ^ISLO. sLEDOWATELXNO, NETRIWIALXNYE REENIQ ZADA^I (11) WOZMOVNY LIX PRI ZNA^ENIQH  2  = n = n l : |TIM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM SOOTWETSTWU@T SOBSTWENNYE FUNKCII Xn (x) = Dn sin n l x


x 3]

metod razdeleniq peremennyh

91

GDE Dn | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ. iTAK, TOLXKO PRI ZNA^ENIQH , RAWNYH  2 n = n (13) l
SU]ESTWU@T NETRIWIALXNYE REENIQ ZADA^I (11) Xn (x) = sin n (14) l x
OPREDELQEMYE S TO^NOSTX@ DO PROIZWOLXNOGO MNOVITELQ, KOTORYJ MY POLOVILI RAWNYM EDINICE. |TIM VE ZNA^ENIQM n SOOTWETSTWU@T REENIQ URAWNENIQ (9) n (15) Tn (t) = An cos n l at + Bn sin l at
GDE An I Bn | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. wOZWRA]AQSX K ZADA^E (1) | (3), ZAKL@^AEM, ^TO FUNKCII  n at sin n x (16) un (x
t) = Xn (x) Tn (t) = An cos n at + B sin n l l l QWLQ@TSQ ^ASTNYMI REENIQMI URAWNENIQ (1), UDOWLETWORQ@]IMI GRANI^NYM USLOWIQM (4) I PREDSTAWIMYMI W WIDE PROIZWEDENIQ (5) DWUH FUNKCIJ, ODNA IZ KOTORYH ZAWISIT TOLXKO OT x, DRUGAQ | OT t. |TI REENIQ MOGUT UDOWLETWORITX NA^ALXNYM USLOWIQM (3) NAEJ ISHODNOJ ZADA^I TOLXKO DLQ ^ASTNYH SLU^AEW NA^ALXNYH FUNKCIJ ' (x) I  (x). oBRATIMSQ K REENI@ ZADA^I (1) | (3) W OB]EM SLU^AE. w SILU LINEJNOSTI I ODNORODNOSTI URAWNENIQ (1) SUMMA ^ASTNYH REENIJ u (x
t) =

1 X

n=1

un (x
t) =

n at sin n x (17) at + B sin An cos n n l l l

1  X

n=1

TAKVE UDOWLETWORQET DANNOMU URAWNENI@ I GRANI^NYM USLOWIQM (2). nA \TOM WOPROSE MY PODROBNEE OSTANOWIMSQ NESKOLXKO POZVE (SM. P. 3 \TOGO PARAGRAFA). nA^ALXNYE USLOWIQ POZWOLQ@T OPREDELITX An I Bn . pOTREBUEM, ^TOBY FUNKCIQ (17) UDOWLETWORQLA USLOWIQM (3):

9

> > u (x
0) = ' (x) = un (x
0) = An sin n x
> = l n=1 n=1 > 1 1 X n (x
0) = X n aB sin n x:> > ut (x
0) =  (x) = @u n l  n=1 l n=1 @t 1 X

1 X

(18)

urawneniq giperboli~eskogo tipa

92

gl. II

iZ TEORII RQDOW fURXE IZWESTNO, ^TO PROIZWOLXNAQ KUSO^NO-NEPRERYWNAQ I KUSO^NO-DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ f (x), ZADANNAQ W PROMEVUTKE 0 6 x 6 l, RAZLAGAETSQ W RQD fURXE 1) 1 X f (x) = bn sin n (19) l x
n=1 GDE Zl 2 (20) bn = l f ( ) sin n l  d: 0 eSLI FUNKCII ' (x) I  (x) UDOWLETWORQ@T USLOWIQM RAZLOVENIQ W RQD fURXE, TO Zl 1 X n 2 ' (x) = 'n sin l x
'n = l ' ( ) sin n l  d
(21) n=1 0

 (x) =

1 X

n=1

n sin n l x


n = 2l

Zl 0

 ( ) sin n l  d:

(22)

sRAWNENIE \TIH RQDOW S FORMULAMI (18) POKAZYWAET, ^TO DLQ WYPOLNENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ NADO POLOVITX l 
An = 'n
Bn = na (23) n 1)

oBY^NO RASSMATRIWA@TSQ PERIODI^ESKIE FUNKCII S PERIODOM 2l 1  X n x  F (x) = a20 + an cos n x + b sin n l l n=1 an = 1l

Z+l

;l

F () cos n l  d

bn = 1l

Z+l

;l

F () sin n l  d:

eSLI FUNKCIQ F (x) NE^ETNA, TO an = 0, TAK ^TO 1 X

F (x) = bn sin n l x n=1

bn = 1l

Z+l

Zl

;l

0

2 F () sin n l  d = l

F () sin n l  d:

eSLI FUNKCIQ F (x) ZADANA TOLXKO W PROMEVUTKE (0 l), TO MY MOVEM PRODOLVITX EE NE^ETNO I WESTI RAZLOVENIE W PROMEVUTKE OT ;l DO +l, ^TO I PRIWODIT NAS K FORMULAM (19) I (20). (sM.: b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. M., 1967.)

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

93

^EM POLNOSTX@ OPREDELQETSQ FUNKCIQ (17), DA@]AQ REENIE ISSLEDUEMOJ ZADA^I. mY OPREDELILI REENIE W WIDE BESKONE^NOGO RQDA (17). eSLI RQD (17) RASHODITSQ ILI FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ \TIM RQDOM, NE QWLQETSQ DIFFERENCIRUEMOJ, TO ON, KONE^NO, NE MOVET PREDSTAWLQTX REENIE NAEGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ. w NASTOQ]EM PUNKTE MY OGRANI^IMSQ FORMALXNYM POSTROENIEM REENIQ. wYQSNENIE USLOWIJ, PRI KOTORYH RQD (17) SHODITSQ I PREDSTAWLQET REENIE, BUDET PROWEDENO W P. 3. 2. iNTERPRETACIQ REENIQ. oBRATIMSQ TEPERX K INTERPRETACII POLU^ENNOGO REENIQ. fUNKCI@ un (x
t) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE  n at sin n x = un (x
t) = An cos n at + B sin n l l l GDE

n x
= n cos n a ( t + ) sin n l l

p

(24)

n a = ; arctg Bn : (25) l n An kAVDAQ TO^KA STRUNY x0 SOWERAET GARMONI^ESKIE KOLEBANIQ n x un (x0
t) = n cos n a ( t + ) sin n l l 0 S AMPLITUDOJ n sin n l x0 : dWIVENIE STRUNY TAKOGO TIPA NAZYWAETSQ S T O Q ^ E J W O L N O J. tO^KI x = m nl (m = 1
2
: : :
n ; 1), W KOTORYH sin n l x = 0, W TE^ENIE WSEGO PROCESSA OSTA@TSQ NEPODWIVNYMI I NAZYWA@TSQ U Z L A M I STOQ^EJ WOLNY un (x
t). tO^KI x = 2m2n+ 1 l (m = 0
1
: : :
n ; 1), W KOTORYH sin n l x = 1, SOWERA@T KOLEBANIQ S MAKSIMALXNOJ AMPLITUDOJ n I NAZYWA@TSQ P U ^ N O S T Q M I STOQ^EJ WOLNY. pROFILX STOQ^EJ WOLNY W L@BOJ MOMENT WREMENI PREDSTAWLQET SINUSOIDU un (x
t) = Cn (t) sin n l x
GDE  n  Cn (t) = n cos !n (t + n ) !n = l a : n = A2n + Bn2


urawneniq giperboli~eskogo tipa

94

gl. II

w MOMENTY WREMENI t, PRI KOTORYH cos !n (t + n ) = 1, OTKLONENIQ DOSTIGA@T MAKSIMALXNYH ZNA^ENIJ, A SKOROSTX DWIVENIQ RAWNA NUL@. w MOMENTY WREMENI t, PRI KOTORYH cos !n (t + n ) = 0, OTKLONENIQ RAWNY NUL@, A SKOROSTX DWIVENIQ MAKSIMALXNA. ~ASTOTY KOLEBANIJ WSEH TO^EK STRUNY ODINAKOWY I RAWNY !n = n (26) l a: ~ASTOTY !n NAZYWA@TSQ S O B S T W E N N Y M I ^2A S T O T A M I KOLEBANIJ STRUNY. dLQ POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY a = T= I, SLEDOWATELXNO, s n !n = l T : (27) |NERGIQ n-J STOQ^EJ WOLNY (n-J G A R M O N I K I) DLQ SLU^AQ POPERE^NYH KOLEBANIJ STRUNY RAWNA En = 12

Zl "  @un 2  @un 2#  +T dx = @t

0

@x

2 = 2n

+T

Zl  0

!n2 sin2 !n (t + n ) sin2 n l x+

 n 2



l

cos2 !

n (t + n

) cos2



n x dx = l



 2 2 2 = 2n 2l !n2 sin2 !n (t + n ) + T n l cos !n (t + n )


TAK KAK

Zl 0

sin2

(28)

n x dx = Z cos2 n x dx = l : l l 2 l

0

pOLXZUQSX WYRAVENIEM DLQ n , !n , A TAKVE RAWENSTWOM T = a2 , POLU^AEM 2 2 2 2 (29) E =  n !n l = !2 M An + Bn
n

4 GDE M = l | MASSA STRUNY.

n

4

kOLEBANIQ STRUNY WOSPRINIMA@TSQ NAMI OBY^NO PO ZWUKU, IZDAWAEMOMU STRUNOJ. nE OSTANAWLIWAQSX NA PROCESSE RASPROSTRANENIQ KOLEBANIJ W WOZDUHE I WOSPRIQTIQ ZWUKOWYH KOLEBANIJ NAIM UHOM, MOVNO SKAZATX, ^TO ZWUK STRUNY QWLQETSQ NALOVENIEM PROSTYH TONOW,

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

95

SOOTWETSTWU@]IH STOQ^IM WOLNAM, NA KOTORYE RAZLAGAETSQ KOLEBANIE. |TO RAZLOVENIE ZWUKA NA PROSTYE TONY NE QWLQETSQ OPERACIEJ TOLXKO MATEMATI^ESKOGO HARAKTERA. wYDELENIE PROSTYH TONOW MOVNO PROIZWESTI \KSPERIMENTALXNO PRI POMO]I REZONATOROW. wYSOTA TONA ZAWISIT OT ^ASTOTY KOLEBANIJ, SOOTWETSTWU@]IH \TOMU TONU. sILA TONA OPREDELQETSQ EGO \NERGIEJ I, SLEDOWATELXNO, EGO AMPLITUDOJ. sAMYJ NIZKIJ TON, KOTORYJ MOVET IZDAWATX p STRUNA, OPREDELQETSQ SAMOJ NIZKOJ SOBSTWENNOJ ^ASTOTOJ !1 = =l T= I NAZYWAETSQ O S N O W N Y M T O N O M STRUNY. oSTALXNYE TONY, SOOTWETSTWU@]IE ^ASTOTAM, KRATNYM !1 , NAZYWA@TSQ O B E R T O N A M I. tEMBR ZWUKA ZAWISIT OT PRISUTSTWIQ NARQDU S OSNOWNYM TONOM OBERTONOW I OT RASPREDELENIQ \NERGII PO GARMONIKAM. nIZIJ TON STRUNY I EE TEMBR ZAWISQT OT SPOSOBA WOZBUVDENIQ KOLEBANIJ. dEJSTWITELXNO, SPOSOB WOZBUVDENIQ KOLEBANIJ OPREDELQET NA^ALXNYE USLOWIQ (3) u (x
0) = ' (x) ut (x
0) =  (x)
^EREZ KOTORYE WYRAVA@TSQ KO\FFICIENTY An I Bn . eSLI A1 = B1 = = 0, TO NIZIM TONOM BUDET TON, SOOTWETSTWU@]IJ ^ASTOTE !n , GDE n | NAIMENXEE ^ISLO, DLQ KOTOROGO An I Bn OTLI^NY OT NULQ. oBY^NO STRUNA IZDAET ODIN I TOT VE TON. w SAMOM DELE, PRIWEDEM STRUNU W KOLEBANIE, OTTQGIWAQ EE W ODNU STORONU I OTPUSKAQ BEZ NA^ALXNOJ SKOROSTI. w \TOM SLU^AE ut (x
0) = 0
u (x
0) = ' (x) > 0 I A1 = 2l

TAK KAK

Zl 0

' ( ) sin l  d > 0


sin l  > 0:

sLEDU@]IE KO\FFICIENTY, WOOB]E GOWORQ, ZNA^ITELXNO MENXE A1 , TAK KAK FUNKCIQ sin n l  ZNAKOPEREMENNA PRI n > 2. w ^ASTNOSTI, ESLI ' (x) SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO SEREDINY OTREZKA, TO A2 = 0. tAKIM OBRAZOM, ESLI PRIWESTI STRUNU W KOLEBANIE, OTTQGIWAQ EE W ODNU STORONU (' (x) > 0), TO NIZIM TONOM BUDET OSNOWNOJ TON STRUNY, \NERGIQ KOTOROGO BOLXE \NERGII DRUGIH GARMONIK. pRIWESTI STRUNU W KOLEBANIE MOVNO I DRUGIMI SPOSOBAMI. nAPRIMER, ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNA OTNOSITELXNO SEREDINY STRUNY, TO A1 = 0

96

urawneniq giperboli~eskogo tipa

I NIZIJ TON SOOTWETSTWUET ^ASTOTE ! = !2 = 2l

s

gl. II

T:  eSLI ZWU^A]U@ STRUNU WZQTX TO^NO ZA SEREDINU, TO ZWUK EE REZKO MENQETSQ I ONA ZWU^IT W OKTAWU K SWOEMU TONU. |TOT PRIEM IZMENENIQ TONA ^ASTO PRIMENQETSQ PRI IGRE NA SKRIPKE, GITARE I DRUGIH STRUNNYH INSTRUMENTAH I NOSIT NAZWANIE F L A V O L E T A. s TO^KI ZRENIQ TEORII KOLEBANIQ STRUN \TO QWLENIE SOWERENNO QSNO. w MOMENT PRIKOSNOWENIQ K SEREDINE STRUNY MY GASIM STOQ^IE WOLNY, IME@]IE W \TOJ TO^KE PU^NOSTI, I SOHRANQEM LIX GARMONIKI, IME@]IE W \TOJ TO^KE UZLY. tAKIM OBRAZOM, OSTA@TSQ TOLXKO ^ETNYE GARMONIKI I SAMOJ NIZKOJ ^ASTOTOJ BUDET s 2  !2 = l T : eSLI PRIKOSNUTXSQ K STRUNE NA RASSTOQNII 1=3 EE DLINY OT KRAQ, TO WYSOTA OSNOWNOGO TONA POWYAETSQ WTROE, TAK KAK PRI \TOM SOHRANQ@TSQ LIX GARMONIKI, IME@]IE UZLY W TO^KE x = l=3. fORMULY s r  !1 = l T I 1 = 2! = 2l T
(30) 1 OPREDELQ@]IE SOOTWETSTWENNO ^ASTOTU I PERIOD OSNOWNOGO KOLEBANIQ, OB_QSNQ@T SLEDU@]IE ZAKONY KOLEBANIQ STRUN, OTKRYTYE WPERWYE \KSPERIMENTALXNO (ZAKONY mERSENA). 1. dLQ STRUN ODINAKOWOJ PLOTNOSTI I ODINAKOWOGO NATQVENIQ PERIOD KOLEBANIQ STRUNY PROPORCIONALEN EE DLINE. 2. pRI ZADANNOJ DLINE STRUNY PERIOD MENQETSQ OBRATNO PROPORCIONALXNO KORN@ KWADRATNOMU IZ NATQVENIQ. 3. pRI ZADANNOJ DLINE I NATQVENII PERIOD MENQETSQ PROPORCIONALXNO KORN@ KWADRATNOMU IZ LINEJNOJ PLOTNOSTI STRUNY. |TI PRAWILA LEGKO DEMONSTRIRU@TSQ NA MONOHORDE. w NASTOQ]EM PUNKTE MY RASSMOTRELI STOQ^IE WOLNY, WOZNIKA@]IE PRI KOLEBANII STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI. wOPROS O SU]ESTWOWANII REENIQ WIDA u (x
t) = X (x) T (t) \KWIWALENTEN WOPROSU O SU]ESTWOWANII STOQ^IH WOLN, TAK KAK PROFILI \TOGO REENIQ DLQ RAZLI^NYH MOMENTOW WREMENI PROPORCIONALXNY. 3. pREDSTAWLENIE PROIZWOLXNYH KOLEBANIJ W WIDE SUPERPOZICII STOQ^IH WOLN. w P. 1 MY RASSMOTRELI ZADA^U O SWOBODNYH KOLEBANIQH STRUNY, ZAKREPLENNOJ NA KONCAH, I DOKAZALI SU]ESTWOWANIE ^ASTNYH REENIJ W WIDE STOQ^IH WOLN. tAM VE BYLA DANA FORMALXNAQ SHEMA PREDSTAWLENIQ PROIZWOLXNOGO KOLEBANIQ W WIDE BESKO-

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

97

NE^NOJ SUMMY STOQ^IH WOLN. w NASTOQ]EM PUNKTE DAETSQ OBOSNOWANIE WOZMOVNOSTI PREDSTAWLENIQ PROIZWOLXNOGO REENIQ W WIDE SUPERPOZICII STOQ^IH WOLN. w PERWU@ O^EREDX RASSMOTRIM OBOB]ENIE HOROO IZWESTNOGO DLQ KONE^NYH SUMM PRINCIPA SUPERPOZICII NA SLU^AJ BESKONE^NYH RQDOW. pUSTX L (u) | LINEJNYJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR, TAK ^TO L (u) RAWEN SUMME NEKOTORYH PROIZWODNYH FUNKCII (OBYKNOWENNYH ILI ^ASTNYH) c KO\FFICIENTAMI, QWLQ@]IMISQ FUNKCIQMI NEZAWISIMYH PEREMENNYH. dOKAVEM LEMMU (O B O B ] E N N Y J P R I N C I P S U P E R P O Z I C I I). eSLI FUNKCII ui (i = 1
2
: : :
n
: : :) QWLQ@TSQ ^ASTNYMI REENIQMI LINEJNOGO I ODNORODNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ L (u) = =P 0 (OBYKNOWENNOGO ILI S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI)
TO RQD u = = 1 i=1 Ci ui QWLQETSQ TAKVE REENIEM \TOGO URAWNENIQ
ESLI WY^ISLENIE PROIZWODNYH OT u
FIGURIRU@]IH W URAWNENII L (u) = 0
MOVNO SOWERITX PRI POMO]I PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ RQDA. w SAMOM DELE, ESLI PROIZWODNYE u, FIGURIRU@]IE W URAWNENII L (u) = 0, WY^ISLQ@TSQ PO^LENNYM DIFFERENCIROWANIEM RQDA, TO W SILU LINEJNOSTI URAWNENIQ L (u) = L

X 1 i=1

! X 1

Ci ui =

i=1

Ci L (ui) = 0


TAK KAK SHODQ]IESQ RQDY MOVNO SKLADYWATX PO^LENNO. tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO FUNKCIQ u UDOWLETWORQET URAWNENI@. w KA^ESTWE DOSTATO^NOGO USLOWIQ DLQ WOZMOVNOSTI PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ RQDA MY POSTOQNNO BUDEM POLXZOWATXSQ USLOWIEM RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI RQDA 1 X

i=1

Ci L (ui )


(31)

POLU^AEMOGO POSLE DIFFERENCIROWANIQ 1) . wERNEMSQ TEPERX K NAEJ KRAEWOJ ZADA^E. mY DOLVNY PREVDE WSEGO UBEDITXSQ W NEPRERYWNOSTI FUNKCII u (x
t) =

1 X

n=1

un (x
t) =

1  X

n=1

n at sin n x
An cos n at + B sin n l l l

(32)

IZ ^EGO BUDET SLEDOWATX, ^TO u (x
t) NEPRERYWNO PRIMYKAET K SWOIM NA^ALXNYM I GRANI^NYM ZNA^ENIQM. dLQ \TOGO DOSTATO^NO DOKAZATX 1)

sM.: s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. t. II. M., 1974 b U D A K b. m.,, f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. M., 1967. 7 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

urawneniq giperboli~eskogo tipa

98

gl. II

RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX RQDA DLQ u (x
t), TAK KAK OB]IJ ^LEN \TOGO RQDA | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, A RAWNOMERNO SHODQ]IJSQ RQD NEPRERYWNYH FUNKCIJ OPREDELQET NEPRERYWNU@ FUNKCI@. pOLXZUQSX NERAWENSTWOM jun (x
t)j 6 jAn j + jBnj
ZAKL@^AEM, ^TO RQD 1 X

(jAn j + jBn j)

n=1

(33)

QWLQETSQ MAVORANTNYM DLQ RQDA (32). eSLI MAVORANTNYJ RQD (33) SHODITSQ, TO RQD (32) SHODITSQ RAWNOMERNO, T. E. FUNKCIQ u (x
t) NEPRERYWNA. ~TOBY UBEDITXSQ W TOM, ^TO ut (x
t) NEPRERYWNO PRIMYKAET K SWOIM NA^ALXNYM ZNA^ENIQM, NADO DOKAZATX NEPRERYWNOSTX \TOJ FUNKCII, DLQ ^EGO DOSTATO^NO DOKAZATX RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX RQDA 1 1 X n = X a n ; A sin n at + B cos n at sin n x ut (x
t)  @u n n l l l n=1 @t n=1 l (34)

ILI SHODIMOSTX MAVORANTNOGO RQDA 1 a X (35) l n=1 n (jAn j + jBn j): nAKONEC, ^TOBY UBEDITXSQ W TOM, ^TO FUNKCIQ u (x
t) UDOWLETWORQET URAWNENI@, T. E. PRIMENIM OBOB]ENNYJ PRINCIP SUPERPOZICII, DOSTATO^NO DOKAZATX WOZMOVNOSTX DWUKRATNOGO PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ RQDA DLQ u (x
t), DLQ ^EGO, W SWO@ O^EREDX, DOSTATO^NO DOKAZATX RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX RQDOW n at sin n x
n An cos n at + B sin n l l l n=1 n=1 1 1 2  2 X  X n at sin n x
n2 An cos n at + B sin utt  @@tu2n = ; al n l l l n=1 n=1 KOTORYM S TO^NOSTX@ DO MNOVITELEJ PROPORCIONALXNOSTI SOOTWETSTWUET OB]IJ MAVORANTNYJ RQD uxx 

1 2 X @ un

1   2 X  2

@x2 = ; l

1 X

tAK KAK

n=1

n2 (jAn j + jBn j):

l 
An = 'n
Bn = na n

(36)

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

GDE

Z n 2 ' (x) sin l x dx
n = l  (x) sin n l x dx
0 0 TO NAA ZADA^A SWODITSQ K DOKAZATELXSTWU SHODIMOSTI RQDOW 'n = 2l

Zl

99

l

9 > nk j'n j (k = 0
1
2)
> > = n=1 > 1 X > nk jn j (k = ; 1
0
1):>  1 X

(37)

n=1

s \TOJ CELX@ MY ISPOLXZUEM IZWESTNYE 1) SWOJSTWA RQDOW fURXE. eSLI PERIODI^ESKAQ S PERIODOM 2l FUNKCIQ F (x) IMEET k NEPRERYWNYH PROIZWODNYH, A (k + 1)-Q PROIZWODNAQ EE KUSO^NO-NEPRERYWNA, TO ^ISLOWOJ RQD 1 X

n=1

nk (jan j + jbn j)


(38)

GDE an I bn | KO\FFICIENTY fURXE, SHODITSQ. eSLI RE^X IDET O RAZLOVENII W RQD PO sin nl x FUNKCII f (x), ZADANNOJ TOLXKO W PROMEVUTKE (0
l), TO NADO, ^TOBY PREDESTWU@]IE TREBOWANIQ BYLI WYPOLNENY DLQ FUNKCII F (x), POLU^A@]EJSQ PRI NE^ETNOM PRODOLVENII f (x). w ^ASTNOSTI, DLQ NEPRERYWNOSTI F (x) NEOBHODIMO, ^TOBY f (0) = 0, TAK KAK W PROTIWNOM SLU^AE PRI NE^ETNOM PRODOLVENII POLU^ITSQ RAZRYW W TO^KE x = 0 ANALOGI^NO \TOMU W TO^KE x = l DOLVNO BYTX f (l) = 0, TAK KAK PRODOLVENNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA I PERIODI^NA S PERIODOM 2l. nEPRERYWNOSTX PERWOJ PROIZWODNOJ PRI x = 0, x = = l POLU^AETSQ AWTOMATI^ESKI PRI NE^ETNOM PRODOLVENII. wOOB]E DLQ NEPRERYWNOSTI ^ETNYH PROIZWODNYH PRODOLVENNOJ FUNKCII NADO POTREBOWATX, ^TOBY f (k) (0) = f (k) (l) = 0 (k = 0
2
4
: : :
2n): (39) nEPRERYWNOSTX NE^ETNYH PROIZWODNYH IMEET MESTO BEZ DOPOLNITELXNYH TREBOWANIJ. iTAK, DLQ SHODIMOSTI RQDOW 1 X

n=1 1)

nk j'n j (k = 0
1
2)

sM., NAPRIMER: s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. t. II. M., 1974 b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. M., 1967. 7


100

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

DOSTATO^NO POTREBOWATX, ^TOBY NA^ALXNOE OTKLONENIE ' (x) UDOWLETWORQLO SLEDU@]IM TREBOWANIQM. 1. pROIZWODNYE FUNKCII ' (x) DO 2-GO PORQDKA WKL@^ITELXNO NEPRERYWNY, TRETXQ PROIZWODNAQ KUSO^NO-NEPRERYWNA I, KROME TOGO, ' (0) = ' (l) = 0 '00 (0) = '00 (l) = 0: (40) dLQ SHODIMOSTI RQDOW 1 X

n=1

nk jn j (k = ; 1
0
1)

NA NA^ALXNU@ SKOROSTX  (x) NEOBHODIMO NALOVITX SLEDU@]IE TREBOWANIQ. 2 . fUNKCIQ  (x) NEPRERYWNO-DIFFERENCIRUEMA, IMEET KUSO^NONEPRERYWNU@ WTORU@ PROIZWODNU@ I, KROME TOGO,  (0) =  (l) = 0: (41) tAKIM OBRAZOM, NAMI DOKAZANO, ^TO L@BOE KOLEBANIE u (x
t) PRI NA^ALXNYH FUNKCIQH ' (x) I  (x), UDOWLETWORQ@]IH TREBOWANIQM 1 I 2 , PREDSTAWLQETSQ W WIDE SUPERPOZICII STOQ^IH WOLN. uSLOWIQ 1 I 2 QWLQ@TSQ DOSTATO^NYMI USLOWIQMI, SWQZANNYMI S PRIMENENNYMI ZDESX SPOSOBAMI DOKAZATELXSTWA.

aNALOGI^NAQ ZADA^A BYLA NAMI REENA W x 2, P. 5 METODOM RASPROSTRANQ@]IHSQ WOLN. eE REENIE IMEET WID u (x t) =  (x ; at) +2  (x + at) + 21a

xZ+at

x;at

 ( ) d 

(42)

GDE  I  QWLQ@TSQ NE^ETNYMI OTNOSITELXNO 0 I l PRODOLVENIQMI NA^ALXNYH FUNKCIJ ' (x) I  (x), ZADANNYH NA OTREZKE (0 l). fUNKCII  I , KAK BYLO POKAZANO, PERIODI^NY S PERIODOM 2l I PO\TOMU MOGUT BYTX PREDSTAWLENY RQDAMI 1 1 X X  (x) = 'n sin n x  ( x ) = n sin n l l x n=1 n=1 GDE 'n I n | KO\FFICIENTY fURXE FUNKCIJ ' (x) I  (x). pODSTAWLQQ \TI RQDY W FORMULU (42) I POLXZUQSX TEOREMOJ O SINUSE I KOSINUSE SUMMY I RAZNOSTI, POLU^AEM WYRAVENIE 1  X l  sin n at sin n x at + (43) u (x t) = 'n cos n l na n l l n=1 SOWPADA@]EE S PREDSTAWLENIEM, DAWAEMYM METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH. sLEDOWATELXNO, FORMULA (43) IMEET MESTO PRI TEH VE PREDPOLOVENIQH, ^TO I FORMULA (42) (SM. x 3, P. 1), KOTORAQ BYLA POLU^ENA PRI USLOWII, ^TO FUNKCIQ  (x) NEPRERYWNO-DIFFERENCIRUEMA DWAVDY, A FUNKCIQ  (x) | ODIN RAZ.

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

101

pEREHODQ K FUNKCIQM ' (x) I  (x), MY POMIMO USLOWIJ DIFFERENCIRUEMOSTI DOLVNY POTREBOWATX WYPOLNENIQ USLOWIJ ' (0) = ' (l) = 0  (0) =  (l) = 0 '00 (0) = '00 (l) = 0: (44)   tAKIM OBRAZOM, USLOWIQ 1 I 2 , QWLQ@]IESQ DOSTATO^NYMI DLQ OBOSNOWANIQ METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH, ZAWISQT OT METODA DOKAZATELXSTWA I SODERVAT DOPOLNITELXNYE USLOWIQ PO SRAWNENI@ S USLOWIQMI, OBESPE^IWA@]IMI SU]ESTWOWANIE REENIQ. pRI OBOSNOWANII WOZMOVNOSTI PREDSTAWLENIQ REENIQ KAK REZULXTATA SUPERPOZICII STOQ^IH WOLN MY PRIWELI PERWYJ METOD DOKAZATELXSTWA SHODIMOSTI RQDOW, POSKOLXKU ON NE SWQZAN SO SPECIALXNOJ FORMULOJ (42), PRIMENIMOJ TOLXKO K PROSTEJEMU URAWNENI@ KOLEBANIJ, I BEZ TRUDA MOVET BYTX PERENESEN NA RQD DRUGIH ZADA^, HOTQ \TOT METOD PRED_QWLQET NESKOLXKO POWYENNYE TREBOWANIQ K NA^ALXNYM FUNKCIQM. 4. nEODNORODNYE URAWNENIQ. rASSMOTRIM NEODNORODNOE URAW-

NENIE KOLEBANIJ utt = a2 uxx + f (x
t)
a2 = k
0 < x < l
(45) S NA^ALXNYMI USLOWIQMI ) u (x
0) = ' (x)
0 6 x 6 l
(46) ut (x
0) =  (x)
I ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI ) u (0
t) = 0
t > 0: (47) u (l
t) = 0
bUDEM ISKATX REENIE ZADA^I W WIDE RAZLOVENIQ W RQD fURXE PO x 1 X u (x
t) = un (t) sin n (48) l x
n=1 RASSMATRIWAQ PRI \TOM t KAK PARAMETR. dLQ NAHOVDENIQ u (x
t) NADO OPREDELITX FUNKCI@ un (t). pREDSTAWIM FUNKCI@ f (x
t) I NA^ALXNYE USLOWIQ W WIDE RQDOW fURXE:

9 > n n > f (x
t) = fn (t) sin l x
fn (t) = l f (
t) sin l  d > > > n=1 0 > l > Z 1 = X 2 n n 'n = l ' ( ) sin l  d  > ' (x) = 'n sin l x
> n=1 0 > l > Z 1 X > n 2 n  (x) = n sin l x
n = l  ( ) sin l  d: > >  n=1 0 1 X

l 2Z

(49)

102

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

pODSTAWLQQ PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ (48) W ISHODNOE URAWNENIE (45):   n 2  1 X n 2 sin l x ;a l un (t) ; un (t) + fn (t) = 0
n=1 WIDIM, ^TO ONO BUDET UDOWLETWORENO, ESLI WSE KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ RAWNY NUL@, T. E.  2 2 (50) un (t) + n l a un (t) = fn (t): dLQ OPREDELENIQ un (t) MY POLU^ILI OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI. nA^ALXNYE USLOWIQ DA@T u (x
0) = ' (x) = ut (x
0) =  (x) =

OTKUDA SLEDUET

1 X

un (0) sin n l x=

1 X

n=1

n=1

n=1

n=1

1 X

u_ n (0) sin n l x=

1 X

'n sin n l x
n sin n l x


)

un (0) = 'n
(51) u_ n (0) = n : |TI DOPOLNITELXNYE USLOWIQ POLNOSTX@ OPREDELQ@T REENIE URAWNENIQ (50). fUNKCI@ un (t) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE (II) un (t) = u(I) n (t) + un (t)
GDE u(I) (t) = n

l na

Zt 0

sin n l a (t ;  )  fn ( ) d

(52)

| REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI 1) , I l n n (53) u(II) n (t) = 'n cos l at + na n sin l at 1) w \TOM MOVNO UBEDITXSQ NEPOSREDSTWENNO. fORMULA (52) MOVET BYTX POLU^ENA METODOM WARIACII POSTOQNNYH. sM. TAKVE TEKST, NABRANNYJ MELKIM RIFTOM W KONCE NASTOQ]EGO PUNKTA.

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

103

| REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ S ZADANNYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI. tAKIM OBRAZOM, ISKOMOE REENIE ZAPIETSQ W WIDE Zt n 1 X l u (x
t) = na sin l a (t ;  ) sin n l x  fn ( ) d + n=1 0

1  X



l  sin n at sin n x: (54) 'n cos n at + na n l l l n=1 wTORAQ SUMMA PREDSTAWLQET REENIE ZADA^I O SWOBODNYH KOLEBANIQH STRUNY PRI ZADANNYH NA^ALXNYH USLOWIQH I BYLA NAMI ISSLEDOWANA RANEE DOSTATO^NO PODROBNO. oBRATIMSQ K IZU^ENI@ PERWOJ SUMMY, PREDSTAWLQ@]EJ WYNUVDENNYE KOLEBANIQ STRUNY POD DEJSTWIEM WNENEJ SILY PRI NULEWYH NA^ALXNYH USLOWIQH. pOLXZUQSX WYRAVENIEM (49) DLQ fn (t), NAHODIM u(I) (x
t) = +

Zt Z l ( 2 X 1 l = 0 0

)

n n n l n=1 na sin l a (t ;  ) sin l x sin l  f (
 ) d d = =

GDE

Zt Z l 0 0

G (x

t ;  ) f (
 ) d d


1 X 1

(55)

sin n a (t ;  ) sin n x sin n n l l l : (56) n=1 wYQSNIM FIZI^ESKIJ SMYSL POLU^ENNOGO REENIQ. pUSTX FUNKCIQ f (
 ) OTLI^NA OT NULQ W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI M0 (0
0 ): 0 6  6 0 + 
0 6  6 0 + : fUNKCIQ  f (
 ) PREDSTAWLQET PLOTNOSTX DEJSTWU@]EJ SILY SILA, PRILOVENNAQ K U^ASTKU (0
0 +  ), RAWNA 2 G (x

t ;  ) = a

F ( ) = 

PRI^EM I=

0Z+  0

0Z+ 

f (
 ) d


0

F ( ) d = 

0Z+  0Z+  0

0

f (
 ) d d

104

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

ESTX IMPULXS \TOJ SILY ZA WREMQ  . eSLI PRIMENITX TEOREMU O SREDNEM ZNA^ENII K WYRAVENI@ u (x
t) =

Zt Z l 0 0

G (x

t ;  ) f (
 ) d d = =

BUDEM IMETX

0Z+  0Z+  0

u (x
t) = G (x

t ; )

0

G (x

t ;  ) f (
 ) d d


0Z+  0Z+ 

GDE

0

0

f (
 ) d d


(57)

0 6  6 0 + 
0 6  6 0 + : pEREHODQ W FORMULE (57) K PREDELU PRI  ! 0 I  ! 0, POLU^IM FUNKCI@ u (x
t) = G (x
0
t ; 0 ) I
(58) KOTORU@ MOVNO TRAKTOWATX KAK WLIQNIE MGNOWENNOGO SOSREDOTO^ENNOGO IMPULXSA MO]NOSTI I . eSLI IZWESTNA FUNKCIQ I=  G (x

t ;  ), PREDSTAWLQ@]AQ DEJSTWIE EDINI^NOGO SOSREDOTO^ENNOGO IMPULXSA, TO NEPOSREDSTWENNO QSNO, ^TO DEJSTWIE NEPRERYWNO RASPREDELENNOJ SILY f (x
t) DOLVNO PREDSTAWLQTXSQ FORMULOJ u (x
t) =

Zt Z l 0 0

G (x

t ;  ) f (
 ) d d
(59)

SOWPADA@]EJ S FORMULOJ (55), POLU^ENNOJ WYE. fUNKCIQ WLIQNIQ SOSREDOTO^ENNOGO IMPULXSA DLQ BESKONE^NOJ PRQMOJ BYLA RASSMOrIS. 23 TRENA W PREDYDU]EM PARAGRAFE. nAPOMNIM, ^TO ONA QWLQETSQ KUSO^NO-POSTOQNNOJ FUNKCIEJ, RAWNOJ 21a I WNUTRI WERHNEGO HARAKTERISTI^ESKOGO UGLA DLQ TO^KI (
 ) I NUL@ WNE \TOGO UGLA. fUNKCIQ WLIQNIQ SOSREDOTO^ENNOGO IMPULXSA DLQ ZAKREPLENNOJ STRUNY (0
l) MOVET BYTX POLU^ENA IZ FUNKCII WLIQNIQ DLQ BESKONE^NOJ STRUNY PUTEM NE^ETNOGO PRODOLVENIQ OTNOSITELXNO TO^EK x = 0 I x = l.

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

105

rASSMOTRIM MOMENT WREMENI t, DOSTATO^NO BLIZKIJ K  , KOGDA WLIQNIE OTRAVENIQ OT KONCOW x = 0 I x = l E]E NE SKAZYWAETSQ. dLQ \TOGO MOMENTA FUNKCIQ WLIQNIQ IZOBRAVAETSQ GRAFIKOM, PRIWEDENNYM NA RIS. 23. rAZLOVIM \TU FUNKCI@ (POLAGAQ I = ) W RQD fURXE PO sin n l x KO\FFICIENTY fURXE BUDUT RAWNY +aZ(t; ) Zl 2 n 1 An = l G (

t ;  ) sin l d = al sin n l d = ;a (t; )

0

1 ncos n  ; a (t ;  )] ; cos n  + a (t ;  )]o = = an l l

2 sin n  sin n a (t ;  ): = an l l

oTS@DA POLU^AEM FORMULU

1 X 1

sin n a (t ;  ) sin n x  sin n n l l l 
(60) n=1 KOTORAQ SOWPADAET S FORMULOJ (56), NAJDENNOJ METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH. dLQ ZNA^ENIJ t, PRI KOTORYH NA^INAET SKAZYWATXSQ WLIQNIE ZAKREPLENNYH KRAEW, POSTROENIE FUNKCII WLIQNIQ PRI POMO]I HARAKTERISTIK GROMOZDKO PREDSTAWLENIE VE W FORME RQDA fURXE SOHRANQET SILU I W \TOM SLU^AE. mY OGRANI^IMSQ PRIWEDENNOJ ZDESX FORMALXNOJ SHEMOJ REENIQ, NE WYQSNQQ USLOWIJ PRIMENIMOSTI POLU^ENNOJ FORMULY. rASSMOTRIM NEODNORODNOE LINEJNOE URAWNENIE S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI 2 G (x

t ;  ) = a

L (u) = u(n) + p1 u(n;1) + : : : + pn;1 u(1) + pn u = f (t)  i  u(i) = ddtui I NA^ALXNYMI USLOWIQMI u(i) (0) = 0 (i = 0 1 : : :  n ; 1): eGO REENIE DAETSQ FORMULOJ u (t) =

Zt 0

U (t ;  ) f ( ) d

GDE U (t) | REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ L (U ) = 0

(1
)

(2
) (3
)

106

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

S NA^ALXNYMI USLOWIQMI U (i) (0) = 0 (i = 0 1 : : :  n ; 2) U (n;1) (0) = 1: (4
) w SAMOM DELE, WY^ISLQQ PROIZWODNYE u (t) DIFFERENCIROWANIEM PRAWYH ^ASTEJ PO t, NAHODIM

9 > u(1) (t) = U (1) (t ;  ) f ( ) d + U (0) f (t) (U (0) = 0)> > > > 0 > t Z > (2) (1) (2) (1) u (t) = U (t ;  ) f ( ) d + U (0) f (t) (U (0) = 0)> > > > 0 > = . . . . . . . . . . . . . . . . . . > > > Zt > u(n;1) (t) = U (n;1) (t ;  ) f ( ) d + U (n;2) (0) f (t) (U (n;2) (0) = 0)> > > 0 > > Zt > u(n) (t) = U (n) (t ;  ) f ( ) d + U (n;1) (0) f (t) (U (n;1) (0) = 1):> >  Zt

(5
)

0

pODSTAWLQQ \TI PROIZWODNYE W URAWNENIE (1
), POLU^AEM L (u) =

Zt 0

L U (t ;  )] f ( ) d + f (t) = f (t)

T. E. URAWNENIE UDOWLETWORQETSQ. o^EWIDNO, ^TO NA^ALXNYE USLOWIQ (2
) TAKVE WYPOLNENY. nETRUDNO DATX NAGLQDNU@ FIZI^ESKU@ INTERPRETACI@ FUNKCII U (t) I FORMULY (3
). oBY^NO FUNKCIQ u (t) PREDSTAWLQET SME]ENIE NEKOTOROJ SISTEMY, A f (t) | SILU, DEJSTWU@]U@ NA \TU SISTEMU. pUSTX DLQ t < 0 NAA SISTEMA NAHODILASX W SOSTOQNII POKOQ I EE SME]ENIE SOZDAETSQ FUNKCIEJ f" (t) (> 0), OTLI^NOJ OT NULQ TOLXKO W PROMEVUTKE WREMENI 0 < t < ". iMPULXS \TOJ SILY OBOZNA^IM I=

Zt 0

f" ( ) d:

oBOZNA^IM u" (t) FUNKCI@, SOOTWETSTWU@]U@ f" (t), S^ITAQ " PARAMETROM I POLAGAQ I = 1. nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO PRI " ! 0 SU]ESTWUET "lim u" (t), !0 NE ZAWISQ]IJ OT SPOSOBA WYBORA f" (t), I ^TO \TOT PREDEL RAWEN FUNKCII U (t), OPREDELENNOJ WYE: U (t) = "lim u" (t) !0

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

107

ESLI POLOVITX U (t) = 0 DLQ t < 0. tAKIM OBRAZOM, FUNKCI@ U (t) ESTESTWENNO NAZWATX FUNKCIEJ WLIQNIQ MGNOWENNOGO IMPULXSA. w SAMOM DELE, RASSMATRIWAQ FORMULU (3
) I PRIMENQQ TEOREMU SREDNEGO ZNA^ENIQ, POLU^AEM u" (t) = U (t ; " )


Z" 0

f" ( ) d = U (t ; "
)

(0 6 "
< " < t):

pEREHODQ K PREDELU PRI " ! 0, WIDIM, ^TO SU]ESTWUET PREDEL lim u (t) = "lim U (t ; "
) = U (t) "!0 " !0 ^TO I DOKAZYWAET NAE UTWERVDENIE. pEREJDEM K PREDSTAWLENI@ REENIQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ ^EREZ U (t) | FUNKCI@ WLIQNIQ MGNOWENNOGO IMPULXSA. rAZBIW PROMEVUTOK (0 t) TO^KAMI i NA RAWNYE ^ASTI  = mt  PREDSTAWIM FUNKCI@ f (t) W WIDE f (t) =

GDE

m X i=1

fi (t)

0

t < i I t > i+1  fi (t) = f (t) PRI PRI i 6 t < i+1 :

tOGDA

u (t) =

m X

ui (t) i=1 GDE ui (t) SUTX REENIQ URAWNENIQ L (ui ) = fi S NULEWYMI NA^ALXNYMI DAN-

NYMI. eSLI m DOSTATO^NO WELIKO, TO FUNKCI@ ui (t) MOVNO RASSMATRIWATX KAK FUNKCI@ WLIQNIQ MGNOWENNOGO IMPULXSA INTENSIWNOSTI I = fi (i )  = f (i )  TAK ^TO u (t) =

m X i=1

U (t ; i ) f (i )  ;;;;;;!  !0

T. E. MY PRIHODIM K FORMULE u (t) =

Zt 0

Zt 0

U (t ;  ) f ( ) d

U (t ;  ) f ( ) d

urawneniq giperboli~eskogo tipa

108

gl. II

POKAZYWA@]EJ, ^TO WLIQNIE NEPRERYWNO DEJSTWU@]EJ SILY MOVNO PREDSTAWLQTX SUPERPOZICIEJ WLIQNIJ MGNOWENNYH IMPULXSOW. w RASSMOTRENNOM WYE SLU^AE u(1) n UDOWLETWORQET URAWNENI@ (50) I USLOWIQM un (0) = u_ n (0) = 0. dLQ FUNKCII WLIQNIQ U (t) IMEEM  2 2 _ U + n l a U = 0 U (0) = 0 U (0) = 1 TAK ^TO l sin n at: U (t) = na l
oTS@DA I IZ (3 ) POLU^AEM FORMULU (52): u(1) (t) = n

Zt 0

l U (t ;  ) fn ( ) d = na

Zt 0

sin n l a (t ;  ) fn ( ) d:

pOLU^ENNOE WYE INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE (3
) REENIQ OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ (1
) IMEET, KAK MY UBEDILISX, TOT VE FIZI^ESKIJ SMYSL, ^TO I FORMULA (59), DA@]AQ INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE REENIQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ.

5. oB]AQ PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A. rASSMOTRIM O B ] U @ P E R W U @ K R A E W U @ Z A D A ^ U DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ. nAJTI REENIE URAWNENIQ utt = a2 uxx + f (x
t)
0 < x < l
t > 0
(45) S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI ) u (x
0) = ' (x)
0 6 x 6 l (46) ut (x
0) =  (x)


)

u (0
t) = 1 (t)
t > 0: (47) u (l
t) = 2 (t)
wWEDEM NOWU@ NEIZWESTNU@ FUNKCI@ v (x
t), POLAGAQ u (x
t) = U (x
t) + v (x
t)
TAK ^TO v (x
t) PREDSTAWLQET OTKLONENIE FUNKCII u (x
t) OT NEKOTOROJ IZWESTNOJ FUNKCII U (x
t). |TA FUNKCIQ v (x
t) BUDET OPREDELQTXSQ KAK REENIE URAWNENIQ vtt = a2 vxx + f(x
t)
f (x
t) = f (x
t) ;  Utt ; a2 Uxx ] S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI v (x
0) = ' (x)
' (x) = ' (x) ; U (x
0)
vt (x
0) =  (x)
 (x) =  (x) ; Ut (x
0) v (0
t) = 1 (t)
1 (t) = 1 (t) ; U (0
t)
v (l
t) = 2 (t)
2 (t) = 2 (t) ; U (l
t):

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

109

wYBEREM WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@ U (x
t) TAKIM OBRAZOM, ^TOBY 1 (t) = 0 I 2 (t) = 0 DLQ \TOGO DOSTATO^NO POLOVITX U (x
t) = 1 (t) + xl 2 (t) ; 1 (t)]: tEM SAMYM OB]AQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ FUNKCII u (x
t) SWEDENA K KRAEWOJ ZADA^E DLQ FUNKCII v (x
t) PRI NULEWYH GRANI^NYH USLOWIQH. mETOD REENIQ \TOJ ZADA^I IZLOVEN WYE (SM. P. 4). 6. kRAEWYE ZADA^I SO STACIONARNYMI NEODNORODNOSTQMI. wESXMA WAVNYM KLASSOM ZADA^ QWLQ@TSQ KRAEWYE ZADA^I SO STACIONARNYMI NEODNORODNOSTQMI, KOGDA GRANI^NYE USLOWIQ I PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ NE ZAWISQT OT WREMENI: utt = a2 uxx + f0 (x)
(450 ) u (x
0) = ' (x)
ut (x
0) =  (x)


)

(460 )

)

u (0
t) = u1
u1 = const
(470 ) u (l
t) = u2
u2 = const: w \TOM SLU^AE REENIE ESTESTWENNO ISKATX W WIDE SUMMY u (x
t) = u (x) + v (x
t)
GDE u (x) | STACIONARNOE SOSTOQNIE (STATI^ESKIJ PROGIB) STRUNY, OPREDELQEMOE USLOWIQMI a2 u00 (x) + f0 (x) = 0
u (0) = u1
u (l) = u2
A v (x
t) | OTKLONENIE OT STACIONARNOGO SOSTOQNIQ. nETRUDNO WIDETX, ^TO FUNKCIQ u (x) RAWNA u (x) = u1 + (u2 ; u1 ) xl + xl

Zl 0

d1

w ^ASTNOSTI, ESLI f0 = const, TO

Z1 f0 (2 )

Zx

Z1 f0 (2 )

0

0

0

a2 d2 ; d1

a2 d2 :

u (x) = u1 + (u2 ; u1 ) xl + 2fa02 (lx ; x2 ): fUNKCIQ v (x
t), O^EWIDNO, UDOWLETWORQET ODNORODNOMU URAWNENI@ vtt = a2 vxx

110

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

S ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI v (0
t) = 0
v (l
t) = 0 I NA^ALXNYMI USLOWIQMI v (x
0) = ' (x)
' (x) = ' (x) ; u (x)
vt (x
0) =  (x): tAKIM OBRAZOM, v QWLQETSQ REENIEM PROSTEJEJ KRAEWOJ ZADA^I, RASSMOTRENNOJ NAMI W P. 1 NASTOQ]EGO PARAGRAFA. pRI WYWODE URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY I W RQDE DRUGIH SLU^AEW MY NE PRINIMALI WO WNIMANIE DEJSTWIE SILY TQVESTI. iZ SKAZANNOGO WYE SLEDUET, ^TO WMESTO QWNOGO U^ETA SILY TQVESTI (I WOOB]E SIL, NE ZAWISQ]IH OT WREMENI) DOSTATO^NO SFORMULIROWATX ZADA^U DLQ OTKLONENIQ OT STACIONARNOGO SOSTOQNIQ.

rEIM PROSTEJU@ ZADA^U PODOBNOGO TIPA PRI NULEWYH NA^ALXNYH USLOWIQH: utt = a2 uxx + f0 (x) (4500 ) u (x 0) = 0 ut (x 0) = 0 (4600 ) u (0 t) = u1  u (l t) = u2 : (4700 ) w \TOM SLU^AE DLQ FUNKCII v (x t) POLU^AEM ZADA^U vtt = a2 vxx  v (x 0) = ' (x) = ;u (x) vt (x 0) = 0 v (0 t) = 0 v (l t) = 0: nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO DLQ REENIQ \TOJ ZADA^I NET NEOBHODIMOSTI POLXZOWATXSQ TO^NYM ANALITI^ESKIM WYRAVENIEM DLQ u (x). wYRAVENIE DLQ v (x t) SOGLASNO FORMULE (17) IMEET WID v (x t) =

GDE

1 X

p

p

(An cos a n t + Bn sin a n t) Xn (x)

n=1

p p n  Xn (x) = sin n x

n = l ESTX SOBSTWENNAQ FUNKCIQ SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I: X 00 + X = 0 X (0) = 0 X (l) = 0: iZ NA^ALXNYH USLOWIJ SLEDUET, ^TO Bn = 0

(8) (10)

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

I An = ; 2l

Zl 0

111

u (x) Xn (x) dx:

dLQ WY^ISLENIQ \TOGO INTEGRALA WESXMA UDOBNYM QWLQETSQ SLEDU@]IJ METOD. pOLXZUQSX URAWNENIEM (8), NAHODIM Xn (x) = ; 1 Xn00 (x): n pODSTAWIM \TO WYRAVENIE W FORMULU DLQ An I WYPOLNIM DWUKRATNOE INTEGRIROWANIE PO ^ASTQM: An = l 2 n

Zl 0

u(x) Xn00 (x) dx =

8 9   l l Zl < =   = l 2 uXn0 (x) ; u0 Xn (x) + u00 (x) Xn (x) dx :  n: 0 0 0

oTS@DA, U^ITYWAQ URAWNENIE I GRANI^NYE USLOWIQ DLQ u (x), NAHODIM

2

An = l 2 4u2 Xn0 (l) ; u1 Xn0 (0) ; n

ILI

Zl f 0

3

0 (x) Xn (x) dx5  a2

3 2 l Z 2 4(;1)n u ; u ; f0 (x) X (x) dx5 : An = n 2 1 a2 n 0

w ^ASTNOSTI, DLQ ODNORODNOGO URAWNENIQ (f0 (x) = 0) IMEEM 2 (;1)n u ; u ! : An = n 2 1 |TIM METODOM UDOBNO WY^ISLQTX KO\FFICIENTY fURXE DLQ GRANI^NYH USLOWIJ WTOROGO I TRETXEGO RODA, A TAKVE W SLU^AE KRAEWOJ ZADA^I DLQ NEODNORODNOJ STRUNY d h k (x) dX i +  (x) X = 0 dx dx ESLI IZWESTNY SOBSTWENNYE FUNKCII I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ. 7. zADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ. kAK BYLO POKAZANO WYE,

ZADA^A O KOLEBANII STRUNY PRI ZADANNOM GRANI^NOM REVIME MOVET BYTX SWEDENA K REENI@ NEODNORODNOGO URAWNENIQ S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI. oDNAKO \TOT PRIEM ZA^ASTU@ USLOVNQET REENIE ZADA^I, KOTOROE MOVET BYTX NAJDENO NEPOSREDSTWENNO.

112

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

pRI IZU^ENII WLIQNIQ GRANI^NOGO REVIMA WAVNO NAJTI KAKOENIBUDX ^ASTNOE REENIE (ODNORODNOGO URAWNENIQ), UDOWLETWORQ@]EE ZADANNYM GRANI^NYM USLOWIQM, TAK KAK WY^ISLENIE POPRAWKI NA NA^ALXNYE DANNYE SWODITSQ K REENI@ TOGO VE URAWNENIQ S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI. wESXMA WAVNYM KLASSOM ZADA^ O RASPROSTRANENII GRANI^NOGO REVIMA QWLQ@TSQ ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ. eSLI GRANI^NYJ REVIM DEJSTWUET DOSTATO^NO DOLGO, TO WSLEDSTWIE TRENIQ, PRISU]EGO WSQKOJ REALXNOJ FIZI^ESKOJ SISTEME, WLIQNIE NA^ALXNYH DANNYH S TE^ENIEM WREMENI OSLABEWAET. tAKIM OBRAZOM MY ESTESTWENNO PRIHODIM K Z A D A ^ E B E Z N A ^ A L X N Y H U S L O W I J (I). (I )

8 nAJTI REENIE URAWNENIQ > > > 0)
0 < x < l
t > ;1 PRI ZADANNYH GRANI^NYH USLOWIQH > > u (0
t) = 1 (t)
> : u (l
t) = 2 (t):

(61)

|TU ZADA^U NAZOWEM (I ). sLAGAEMOE ut W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ SOOTWETSTWUET TRENI@, PROPORCIONALXNOMU SKOROSTI. rASSMOTRIM SNA^ALA ZADA^U O RASPROSTRANENII PERIODI^ESKOGO GRANI^NOGO REVIMA: u (l
t) = A cos !t (ILI u (l
t) = B sin !t)
(62) u (0
t) = 0: (63) dLQ DALXNEJEGO NAM UDOBNEE ZAPISATX GRANI^NOE USLOWIE W KOMPLEKSNOJ FORME u (l
t) = A ei!t : (64) eSLI u (x
t) = u(1) (x
t) + i u(2) (x
t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (61) S GRANI^NYMI USLOWIQMI (63) I (64), TO u(1) (x
t) I u(2) (x
t) | EGO DEJSTWITELXNAQ I MNIMAQ ^ASTI | W OTDELXNOSTI UDOWLETWORQ@T TOMU VE URAWNENI@ (W SILU EGO LINEJNOSTI), USLOWI@ (63) I GRANI^NYM USLOWIQM PRI x = l u(1) (l
t) = A cos !t
u(2) (l
t) = A sin !t: iTAK, NAJDEM REENIE ZADA^I 9 utt = a2 uxx ; ut
> = (65) u (0
t) = 0
>  u (l
t) = A ei!t :

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

113

pOLAGAQ

u (x
t) = X (x) ei!t I PODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W URAWNENIE, POLU^AEM DLQ FUNKCII X (x) SLEDU@]U@ ZADA^U:  !2  ! 00 2 2 X + k X = 0 k = a2 ; i a2
(66) X (0) = 0


(67)

X (l) = A: (68) iZ URAWNENIQ (66) I GRANI^NOGO USLOWIQ (67) NAHODIM X (x) = C sin kx: uSLOWIE PRI x = l DAET C = sinAkl
(69) TAK ^TO kx (70) X (x) = A sin sin kl = X1 (x) + i X2 (x)
GDE X1 (x) I X2 (x) | DEJSTWITELXNAQ I MNIMAQ ^ASTI X (x). iSKOMOE REENIE MOVNO PREDSTAWITX W WIDE u (x
t) = X1 (x) + i X2 (x)] ei!t = u(1) (x
t) + i u(2) (x
t)
GDE u(1) (x
t) = X1 (x) cos !t ; X2 (x) sin !t
u(2) (x
t) = X1 (x) sin !t + X2 (x) cos !t: pEREHODQ K PREDELU PRI ! 0, NAHODIM, ^TO ! k = lim k = !0 a I, SOOTWETSTWENNO, !=a  x) u(1) (x
t) = lim u(1) (x
t) = A sin( !0 sin(!=a  l) cos !t
(2) (x
t) = A sin(!=a  x) sin !t: u(2) (x
t) = lim u !0 sin(!=a  l)

8 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

(71) (72) (73)

114

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

rASSMOTRIM SLEDU@]U@ ZADA^U: 8 > < utt = a2uxx
0 < x < l
t > ;1 (I0 ) u (0
t) =  (t)
t > ;1 > : u (l
t) = 12 (t)
KOTORU@ BUDEM NAZYWATX ZADA^EJ (I0 ). o^EWIDNO, ^TO u(1) (x
t) I u(2) (x
t) QWLQ@TSQ REENIQMI ZADA^I (I0 ) PRI GRANI^NYH USLOWIQH u(1) (0
t) = 0
u(1) (l
t) = A cos !t
u(2) (0
t) = 0
u(2) (l
t) = A sin !t: rEENIE ZADA^I PRI = 0 SU]ESTWUET NE WSEGDA. eSLI ^ASTOTA WYNUVDENNYH KOLEBANIJ ! SOWPADAET S SOBSTWENNOJ ^ASTOTOJ !n KOLEBANIJ STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI: ! = !n = n l a


TO ZNAMENATELX W FORMULAH DLQ u(1) (x
t) I u(2) (x
t) OBRA]AETSQ W NULX I REENIQ ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ NE SU]ESTWUET. |TOT FAKT IMEET PROSTOJ FIZI^ESKIJ SMYSL: PRI ! = !n NASTUPAET REZONANS, T. E. NE SU]ESTWUET USTANOWIWEGOSQ REVIMA. aMPLITUDA, NA^INAQ S NEKOTOROGO MOMENTA t = t0 , NEOGRANI^ENNO NARASTAET. pRI NALI^II TRENIQ ( 6= 0) USTANOWIWIJSQ REVIM WOZMOVEN PRI L@BOM ZNA^ENII !, TAK KAK sin kl 6= 0 PRI KOMPLEKSNOM k. pUSTX 1 (t) = 0, A 2 (t) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, PREDSTAWIMAQ W WIDE RQDA 1 X  (t) = A0 + (A cos !nt + B sin !nt)
(74) 2

2

n=1

n

n

GDE ! | NAIMENXAQ ^ASTOTA, An I Bn | KO\FFICIENTY fURXE. tOGDA REENIE ZADA^I DLQ SLU^AQ = 0 PRINIMAET WID 1 X !n=a  x)
u (x
t) = A2l0 x + (An cos !nt + Bn sin !nt) sin( sin( !n=a  l) n=1 ESLI TOLXKO NI ODNA IZ ^ASTOT !n NE SOWPADAET S SOBSTWENNYMI ^ASTOTAMI ZAKREPLENNOJ STRUNY. eSLI VE 2 (t) | NEPERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO, RAZLAGAQ EE W INTEGRAL fURXE, ANALOGI^NYM METODOM MOVNO POLU^ITX REENIE W INTEGRALXNOJ FORME. oTMETIM, ^TO REENIE ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ PRI = = 0 OPREDELENO NEODNOZNA^NO, ESLI TOLXKO NE NAKLADYWATX KAKIH-LIBO

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

115

DOPOLNITELXNYH USLOWIJ. w SAMOM DELE, PRIBAWLQQ K KAKOMU-LIBO REENI@ \TOJ ZADA^I L@BU@ KOMBINACI@ STOQ^IH WOLN X n at sin n x
An cos n at + B sin n l l l GDE An I Bn | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE, WIDIM, ^TO \TA SUMMA BUDET UDOWLETWORQTX TOMU VE URAWNENI@ I TEM VE GRANI^NYM USLOWIQM. ~TOBY POLU^ITX EDINSTWENNOE REENIE ZADA^I (I ) PRI = 0, WWEDEM DOPOLNITELXNOE USLOWIE IS^EZA@]EGO TRENIQ. rEENIE ZADA^I (I0 ) MY NAZYWAEM UDOWLETWORQ@]IM USLOWI@ IS^EZA@]EGO TRENIQ
ESLI ONO QWLQETSQ REENIEM ZADA^I (I ) PRI ! ! 0. aNALOGI^NO REAETSQ ZADA^A, ESLI KONEC x = l ZAKREPLEN, A PRI x = 0 ZADAN GRANI^NYJ REVIM. rEENIE OB]EJ ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ u (0
t) = 1 (t)
u (l
t) = 2 (t) OPREDELQETSQ W WIDE SUMMY DWUH SLAGAEMYH, DLQ KAVDOGO IZ KOTORYH NEODNORODNO LIX ODNO IZ GRANI^NYH USLOWIJ. dOKAVEM EDINSTWENNOSTX OGRANI^ENNOGO REENIQ ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ DLQ URAWNENIQ (61). pRI \TOM MY BUDEM PREDPOLAGATX NEPRERYWNOSTX REENIQ WMESTE S EGO PROIZWODNYMI DO WTOROGO PORQDKA WKL@^ITELXNO W OBLASTI 0 6 x 6 l, ; 1 < t < t0 , ESLI GRANI^NYE ZNA^ENIQ u (0 t) = 1 (t) u (l t) = 2 (t) OPREDELENY W OBLASTI ; 1 < t < t0 . pUSTX u1 (x t) I u2 (x t) | DWA OGRANI^ENNYH REENIQ RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I (I), ju1 j < M ju2 j < M GDE M > 0 | NEKOTOROE ^ISLO. rAZNOSTX \TIH FUNKCIJ v (x t) = u1 (x t) ; u2 (x t) OGRANI^ENA (jvj < 2M ), UDOWLETWORQET URAWNENI@ (61) I ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIQM v (0 t) = 0 v (l t) = 0: kO\FFICIENTY fURXE DLQ FUNKCII v vn (t) = 2l

Zl 0

v (x t) sin n l x dx

O^EWIDNO, UDOWLETWORQ@T URAWNENI@   vn + v_ n + !n2 vn = 0 !n = n a () l  TAK KAK WTORYE PROIZWODNYE FUNKCII v (x t) NEPRERYWNY DLQ 0 6 x 6 l. 8


116

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

oB]EE REENIE URAWNENIQ () IMEET WID vn (t) = An eqn t + Bn eqn t  () GDE qn(1) I qn(2) | KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, RAWNYE r 2 r 2 (1) (2) 2 qn = ; 2 + 4 ; !n  qn = ; 2 ; 4 ; !n2 ( > 0): tAK KAK > 0, TO Re qn(12) < 0. sLEDOWATELXNO REENIE () URAWNENIQ () BUDET OGRANI^ENNYM PRI t ! ; 1 LIX DLQ An = 0 I Bn = 0, T. E. vn (t)  0 DLQ L@BOGO n. tAKIM OBRAZOM, v (x t)  0 I u1 (x t)  u2 (x t): (1)

(2)

8. sOSREDOTO^ENNAQ SILA. rASSMOTRIM ZADA^U O KOLEBANIQH STRUNY POD DEJSTWIEM SOSREDOTO^ENNOJ SILY, PRILOVENNOJ W TO^KE x = x0 . eSLI SILA RASPREDELENA NA NEKOTOROM U^ASTKE (x0 ; "
x0 + + "), TO REENIE NAHODITSQ PO FORMULE (55). sOWERAQ PREDELXNYJ PEREHOD PRI " ! 0, MOVNO POLU^ITX REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I. s DRUGOJ STORONY, PRI WYWODE URAWNENIQ KOLEBANIJ MY WIDELI (SM. (8) IZ x 1, P. 1), ^TO W TO^KE x0 , K KOTOROJ PRILOVENA SOSREDOTO^ENNAQ SILA, PROISHODIT RAZRYW PERWOJ PROIZWODNOJ, A SAMA FUNKCIQ OSTAETSQ NEPRERYWNOJ. rEENIE ZADA^I u (x
t) O KOLEBANIQH STRUNY POD DEJSTWIEM SILY, SOSREDOTO^ENNOJ W TO^KE x0 , MOVNO PREDSTAWITX DWUMQ RAZLI^NYMI FUNKCIQMI: ) u (x
t) = u1 (x
t) PRI 0 6 x 6 x0
(75) u (x
t) = u2 (x
t) PRI x0 6 x 6 l: |TI FUNKCII DOLVNY UDOWLETWORQTX URAWNENI@ utt = a2 uxx PRI x 6= x0
(76) GRANI^NYM I NA^ALXNYM USLOWIQM ) u1 (0
t) = 0
u (x
0) = ' (x)
(77) u2 (l
t) = 0
ut (x
0) =  (x) I USLOWIQM SOPRQVENIQ W TO^KE x = x0 (SM. (8) IZ x 1), SOSTOQ]IM IZ USLOWIQ NEPRERYWNOSTI FUNKCII u (x
t): u1 (x0
t) = u2 (x0
t) (78) I USLOWIQ, SWQZYWA@]EGO WELI^INU RAZRYWA PROIZWODNOJ S SILOJ f (t), SOSREDOTO^ENNOJ W TO^KE x0 :  @u x0 +0 = @u2 (x
t) ; @u1 (x
t) = ; f (t) : (79) @x x0 ;0 @x 0 @x 0 k

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

117

zABOTITXSQ O SOBL@DENII NA^ALXNYH USLOWIJ NET NEOBHODIMOSTI. eSLI MY NAJDEM ^ASTNOE REENIE URAWNENIQ (76), UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM IZ (77), A TAKVE (78) I (79), TO, PRIBAWLQQ K NEMU REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ, MY WSEGDA SMOVEM UDOWLETWORITX ZADANNYM NA^ALXNYM USLOWIQM. rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ f (t) = A cos !t
;1 < t < + 1
I NAJDEM REENIE, UDOWLETWORQ@]EE LIX GRANI^NYM USLOWIQM, PREDPOLAGAQ, ^TO SILA DEJSTWUET WSE WREMQ, NA^INAQ OT t = ;1 (USTANOWIWIJSQ REVIM), T. E. REIM ZADA^U BEZ NA^ALXNYH DANNYH. bUDEM ISKATX REENIE W WIDE u1 (x
t) = X1 (x) cos !t PRI 0 6 x 6 x0
u2 (x
t) = X2 (x) cos !t PRI x0 6 x 6 l: iZ URAWNENIQ (76) SLEDUET 9  2 = X100 + !a X1 = 0 PRI 0 6 x 6 x0
> (80)   2 ! > 00  X2 + a X2 = 0 PRI x0 6 x 6 l: fUNKCII X1 I X2 , KROME TOGO, DOLVNY UDOWLETWORQTX GRANI^NYM USLOWIQM X1 (0) = 0
X2 (l) = 0
(81) WYTEKA@]IM IZ (77), I USLOWIQM SOPRQVENIQ X1 (x0 ) = X2 (x0 )
X10 (x0 ) ; X20 (x0 ) = Ak
(82) WYTEKA@]IM IZ (78) I (79). iZ URAWNENIJ (80) I USLOWIJ (81) NAHODIM X1 (x) = C sin !a x
X2 (x) = D sin !a (l ; x) USLOWIQ SOPRQVENIQ (82) DA@T C sin !a x0 ; D sin !a (l ; x0 ) = 0
C !a cos !a x0 + D !a cos !a (l ; x0 ) = Ak :

118

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

oPREDELQQ OTS@DA KO\FFICIENTY C I D, POLU^AEM 8 > > sin !a (l ; x0 ) ! > Aa > u1 = sin a x cos !t PRI 0 6 x 6 x0
> < k! sin ! l a u (x
t) = > ! > > Aa sin a x0 sin ! (l ; x) cos !t PRI x 6 x 6 l: > u = 2 0 > : k! sin ! l a a aNALOGI^NO ZAPISYWAETSQ REENIE PRI f (t) = A sin !t. iTAK, POLU^ENO REENIE DLQ SLU^AQ f (t) = A cos !t ILI f (t) = = A sin !t. eSLI f (t) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, RAWNAQ 1 X f (t) = 0 + ( cos !nt +  sin !nt) 2

n=1

n

n

(! | NAIMENXAQ ^ASTOTA), TO, O^EWIDNO,

8 !n (l ; x ) >  x  x  X 1 a sin 0 > 1 a 0 0 > sin !nx u1 = k 2 1 ; l + > !n a  > n=1 !n sin l > a > >  > >  ( n cos !nt + n sin !nt)
0 6 x 6 x0 < u(x
t) = > !n x  0x  x  X 1 a sin 0 > 1 !n (l ; x)  a > u = 1 ; + sin 2 k 2 > l n=1 !n sin !n l a > > a > >  > >  ( n cos !nt + n sin !nt)
x0 6 x 6 l: :

(83) 1)

eSLI FUNKCIQ f (t) NEPERIODI^ESKAQ, TO, PREDSTAWLQQ EE W WIDE INTE1)

pERWYE SLAGAEMYE \TIH SUMM SOOTWETSTWU@T STACIONARNOMU PROGIBU, OPREDELQEMOMU PO WELI^INE SILY f (t) = 0 =2 = const, KAK NETRUDNO WIDETX, FUNKCIQMI 8   >   :u2 (x t) = u2 (x) = k1 20 x0 1 ; xl PRI x0 6 x 6 l:

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

119

GRALA fURXE, ANALOGI^NYM METODOM MOVNO POLU^ITX REENIE W INTEGRALXNOJ FORME. eSLI ZNAMENATELX U \TIH FUNKCIJ (83) RAWEN NUL@: sin !nl a = 0


!n = m l a = !m


T. E. ESLI SPEKTR ^ASTOT WOZBUVDA@]EJ SILY SODERVIT ODNU IZ ^ASTOT SOBSTWENNYH KOLEBANIJ (REZONANS), TO USTANOWIWEGOSQ REENIQ NE SU]ESTWUET. eSLI TO^KA PRILOVENIQ SILY x0 QWLQETSQ ODNIM IZ UZLOW STOQ^EJ WOLNY, SOOTWETSTWU@]EJ SWOBODNOMU KOLEBANI@ S ^ASTOTOJ !m , TO sin !am x0 = 0


sin !am (l ; x0 ) = 0:

pRI \TOM ^ISLITELI SOOTWETSTWU@]IH SLAGAEMYH DLQ u OBRA]A@TSQ W NULX I QWLENIE REZONANSA NE IMEET MESTA. eSLI VE TO^KA PRILOVENIQ SILY, DEJSTWU@]EJ S ^ASTOTOJ !m , QWLQETSQ PU^NOSTX@ SOOTWETSTWU@]EJ STOQ^EJ WOLNY S ^ASTOTOJ !m, TO sin !am x0 = 1 I QWLENIE REZONANSA BUDET WYRAVENO NAIBOLEE REZKO. oTS@DA SLEDUET PRAWILO, ^TO DLQ WOZBUVDENIQ REZONANSA STRUNY PRI DEJSTWII NA NEE SOSREDOTO^ENNOJ SILOJ NADO, ^TOBY ^ASTOTA EE ! BYLA RAWNA ODNOJ IZ SOBSTWENNYH ^ASTOT STRUNY, A TO^KA PRILOVENIQ SILY SOWPADALA S ODNOJ IZ PU^NOSTEJ STOQ^EJ WOLNY. 9. oB]AQ SHEMA METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH. mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH PRIMENIM NE TOLXKO DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ ODNORODNOJ STRUNY, NO I DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ NEODNORODNOJ STRUNY. rASSMOTRIM SLEDU@]U@ ZADA^U. nAJTI REENIE URAWNENIQ  @u  2 @ L u] = @x k (x) @x ; q (x) u =  (x) @@tu2
0 < x < l
t > 0
(84) UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM u (0
t) = 0
u (l
t) = 0
t > 0
(85) u (x
0) = ' (x)


ut (x
0) =  (x)


0 6 x 6 l:

(86)

120

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

zDESX k, q I  | NEPRERYWNYE NA OTREZKE 0 6 x 6 l POLOVITELXNYE FUNKCII (k > 0,  > 0, q > 0) 1) . pROWEDEM REENIE \TOJ ZADA^I METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH. dLQ OTYSKANIQ ^ASTNYH REENIJ OBRATIMSQ, KAK I RANXE, K WSPOMOGATELXNOJ ZADA^E O SU]ESTWOWaNII STOQ^IH WOLN. nAJTI NETRIWIALXNOE REENIE URAWNENIQ (84)
UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM u (0
t) = 0
u (l
t) = 0 I PREDSTAWIMOE W WIDE PROIZWEDENIQ u (x
t) = X (x) T (t): pODSTAWLQQ PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ W URAWNENIE I POLXZUQSX GRANI^NYMI USLOWIQMI, POSLE RAZDELENIQ PEREMENNYH POLU^AEM   d k (x) dX ; qX + X = 0
dx dx T 00 + T = 0: dLQ OPREDELENIQ FUNKCII X (x) MY POLU^IM SLEDU@]U@ K R A EW U @ Z A D A ^ U N A S O B S T W E N N Y E Z N A ^ E N I Q 2) . nAJTI TE ZNA^ENIQ PARAMETRA 
PRI KOTORYH SU]ESTWU@T NETRIWIALXNYE REENIQ ZADA^I L X ] + X = 0
(87) X (0) = 0
X (l) = 0
(88) A TAKVE NAJTI \TI REENIQ. tAKIE ZNA^ENIQ PARAMETRA  NAZYWA@TSQ S O B S T W E N N Y M I Z N A ^ E N I Q M I, A SOOTWETSTWU@]IE IM NETRIWIALXNYE REENIQ | S O B S T W E N N Y M I F U N K C I Q M I Z A D A ^ I (87) | (88). sFORMULIRUEM OSNOWNYE SWOJSTWA SOBSTWENNYH FUNKCIJ I SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ KRAEWOJ ZADA^I (87) I (88), NEOBHODIMYE DLQ DALXNEJEGO IZLOVENIQ. 1. sU]ESTWUET S^ETNOE MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ 1 < < 2 < : : : < n : : : , KOTORYM SOOTWETSTWU@T NETRIWIALXNYE REENIQ ZADA^I | SOBSTWENNYE FUNKCII X1 (x)
X2 (x)
: : :
Xn (x)
: : : 1) tOT SLU^AJ, KOGDA k (x) W NEKOTORYH TO^KAH OBRA]AETSQ W NULX, RASSMATRIWAETSQ OTDELXNO (SM. dOPOLNENIE II). 2) pRI  = 0 = const, k = k0 = const MY POLU^AEM KRAEWU@ ZADA^U O SOBSTWENNYH KOLEBANIQH STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI: X 00 + X = 0

ISSLEDOWANNU@ W x 2.

X (0) = 0



  = k0  0

X (l) = 0

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

121

2. pRI q > 0 WSE SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ n POLOVITELXNY. 3. sOBSTWENNYE FUNKCII Xm (x) I Xn (x) PRI m 6= n ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ S WESOM  (x) NA OTREZKE 0 6 x 6 l:

Zl 0

(m 6= n):

Xm (x) Xn (x)  (x) dx = 0

(89)

4. t E O R E M A R A Z L O V I M O S T I w. a. s T E K L O W A. pROIZWOLXNAQ FUNKCIQ F (x), DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ I UDOWLETWORQ@]AQ GRANI^NYM USLOWIQM F (0) = F (l) = 0, RAZLAGAETSQ W RAWNOMERNO I ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ RQD PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM Xn (x):

F (x) =

1 X

n=1

1

Fn Xn (x)
Fn = kX

kX n k

2=

Zl 0

k

n 2

Zl 0

F (x) Xn (x)  (x) dx
(90)

Xn2 (x)  (x) dx:

dOKAZATELXSTWO UTWERVDENIJ 1 I 4 OSNOWYWAETSQ OBY^NO NA TEORII INTEGRALXNYH URAWNENIJ, I MY NE BUDEM ZDESX EGO PRIWODITX. w NASTOQ]EM PUNKTE MY OSTANOWIMSQ NA DOKAZATELXSTWAH SWOJSTW 2 I 3. pREVDE ^EM PEREJTI K DOKAZATELXSTWU \TIH SWOJSTW, WYWEDEM TAK NAZYWAEMU@ FORMULU gRINA. pUSTX u (x) I v (x) | PROIZWOLXNYE FUNKCII, DWAVDY DIFFERENCIRUEMYE NA INTERWALE a < x < b I IME@]IE NEPRERYWNU@ PERWU@ PROIZWODNU@ NA OTREZKE a 6 x 6 b. rASSMOTRIM WYRAVENIE u L v] ; v L u] = u (k v0 )0 ; v (k u0 )0 = k (uv0 ; vu0 )]0 : iNTEGRIRUQ \TO RAWENSTWO PO x OT a DO b, POLU^AEM F O R M U L U gRINA

Zb a

b (u L v] ; v L u]) dx = k (uv ; vu )  : a 0

0

(91)

dOKAVEM SWOJSTWO 3. pUSTX Xm (x) I Xn (x) | DWE SOBSTWENNYE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM m I n . pOLAGAQ W FORMULE (91) u = Xm (x), v = Xn (x) I U^ITYWAQ GRANI^NYE

urawneniq giperboli~eskogo tipa

122

gl. II

USLOWIQ (88), BUDEM IMETX 1)

Zl 0

f Xm L Xn] ; Xn L Xm] g dx = 0

(a = 0
b = l)


OTKUDA, POLXZUQSX URAWNENIEM (87), POLU^AEM (n ; m )

Zl 0

Xm (x) Xn (x)  (x) dx = 0:

tAKIM OBRAZOM, ESLI n 6= m , TO IMEET MESTO USLOWIE

Zl 0

Xm (x) Xn (x)  (x) dx = 0


(92)

WYRAVA@]EE ORTOGONALXNOSTX S WESOM  (x) SOBSTWENNYH FUNKCIJ Xm (x) I Xn (x). dOKAVEM TEPERX, ^TO KAVDOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ SOOTWETSTWUET S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO MNOVITELQ TOLXKO ODNA SOBSTWENNAQ FUNKCIQ 2) ). w SAMOM DELE, WSQKAQ SOBSTWENNAQ FUNKCIQ OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO KAK REENIE DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 2-GO PORQDKA PO ZNA^ENI@ SAMOJ FUNKCII I EE PERWOJ PROIZWODNOJ PRI x = 0. dOPUSTIW SU]ESTWOWANIE DWUH FUNKCIJ X I X , OTWE^A@]IH ODNOMU I TOMU VE ZNA^ENI@  I OBRA]A@]IHSQ W NULX PRI x = 0, I WZQW 1)

pROIZWODNYE Xm0 I Xn0 NEPRERYWNY WS@DU NA OTREZKE 0 6 x 6 l, WKL@^AQ TO^KI x = 0 I x = l, TAK KAK URAWNENIE (87) DAET k (x) Xm (x) = 0

Zx0 x

(q ; m ) Xm dx + C:

oTS@DA I SLEDUET SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ Xm0 PRI x = 0 I x = l. 2) dOKAZYWAEMOE SWOJSTWO PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I OSNOWANO NA TOM, ^TO DWA LINEJNO NEZAWISIMYH REENIQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 2-GO PORQDKA NE MOGUT OBRA]ATXSQ W NULX W ODNOJ I TOJ VE TO^KE. |TO UTWERVDENIE OTNOSITSQ K KRAEWOJ ZADA^E S NULEWYMI GRANI^NYMI0 USLOWIQMI . pRI DRUGIH GRANI^NYH USLOWIQH (NAPRIMER, X (0) = X (l), X (0) = X 0 (l)) MOGUT SU]ESTWOWATX DWE RAZLI^NYE SOBSTWENNYE  FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE x Xn(2) (x) = ODNOMU I TOMU VE SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ Xn(1) (x) = cos 2n l   2n 2 = sin 2n x PRI

=  n = 0  1  2  : : : : n l l

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

FUNKCI@

123

0

X
(x) = X 0 (0) X (x)
X (0) WIDIM, ^TO \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET TOMU VE URAWNENI@ 2-GO PORQDKA (87) I TEM VE NA^ALXNYM USLOWIQM, ^TO I FUNKCIQ X (x): 0 X
(0) = X 0 (0) X (0) = 0
X (0) dX
(0) = X 0 (0) X 0 (0) = X 0 (0): dx X 0 (0) tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO X
(x) = X (x) I ^TO

! 0 (0)  X X (x) = A X (x) A =  0 : X (0) oTMETIM, ^TO W PROCESSE DOKAZATELXSTWA MY U^ITYWALI TREBOWANIE X 0 (0) 6= 0, KOTOROE BEZUSLOWNO WYPOLNQETSQ, TAK KAK REENIE LINEJNOGO URAWNENIQ (87), OPREDELQEMOE NA^ALXNYMI USLOWIQMI X (0) = 0
X 0 (0) = 0
TOVDESTWENNO RAWNO NUL@ I TEM SAMYM NE MOVET BYTX SOBSTWENNOJ FUNKCIEJ (SM. S. 120). w SILU LINEJNOSTI I ODNORODNOSTI URAWNENIQ I KRAEWYH USLOWIJ O^EWIDNO, ^TO ESLI Xn (x) QWLQETSQ SOBSTWENNOJ FUNKCIEJ PRI SOBSTWENNOM ZNA^ENII n , TO FUNKCIQ An Xn (x) (An | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ) TAKVE QWLQETSQ SOBSTWENNOJ FUNKCIEJ DLQ TOGO VE ZNA^ENIQ n . wYE BYLO DOKAZANO, ^TO \TIM WPOLNE IS^ERPYWAETSQ KLASS SOBSTWENNYH FUNKCIJ. sOBSTWENNYE FUNKCII, OTLI^A@]IESQ MNOVITELEM, MY, RAZUMEETSQ, NE S^ITAEM SU]ESTWENNO RAZLI^NYMI. ~TOBY ISKL@^ITX NEOPREDELENNOSTX W WYBORE MNOVITELQ, MOVNO POD^INITX SOBSTWENNYE FUNKCII TREBOWANI@ NORMIROWKI

kXnk

2=

Zl 0

Xn2 (x)  (x) dx = 1:

eSLI NEKOTORAQ FUNKCIQ X^n (x) NE UDOWLETWORQET \TOMU TREBOWANI@, TO EE MOVNO NORMIROWATX, UMNOVAQ NA KO\FFICIENT An : An X^n (x) = Xn (x)


An = ^1 : kXnk

124

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

eSLI POD^INITX SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I (87) | (88) USLOWI@ NORMIROWKI (kXnk = 1), TO ONI OBRAZU@T ORTOGONALXNU@ I NORMIROWANNU@ SISTEMU

(

Zl

6= n
Xm (x) Xn (x)  (x) dx = 01

m m = n:

0

oBRATIMSQ K DOKAZATELXSTWU SWOJSTWA 2. dOKAVEM, ^TO  > 0 PRI q > 0. pUSTX Xn (x) | NORMIROWANNAQ SOBSTWENNAQ FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ n , TAK ^TO L Xn] = ; n  (x) Xn (x): uMNOVAQ OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA Xn (x) I INTEGRIRUQ PO x OT 0 DO l, POLU^AEM n

ILI n = ;

Zl 0

Zl 0

X 2 (x)  (x) dx = n



;

Zl 0

Xn (x) L Xn ] dx




Z d dX n Xn dx k (x) dx dx + q (x) Xn2 (x) dx
l

0

TAK KAK FUNKCIQ Xn (x) PREDPOLAGAETSQ NORMIROWANNOJ. iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM I POLXZUQSX GRANI^NYMI USLOWIQMI (88), POLU^AEM

l Zl Zl 0 2  n = ; XnkXn  + k (x) Xn (x)] dx + q (x) Xn2 (x) dx = 0 0

0

=

OTKUDA I SLEDUET, ^TO

Zl 0

0

k (x) Xn 0

(x)]2 dx +

Zl 0

q (x) Xn2 (x) dx


(93)

n > 0
TAK KAK PO USLOWI@ k (x) > 0 I q (x) > 0. oSTAWLQQ DOKAZATELXSTWO TEOREMY RAZLOVIMOSTI W STORONE, KRATKO OSTANOWIMSQ NA WY^ISLENII KO\FFICIENTOW RAZLOVENIQ. nETRUDNO WIDETX, ^TO 1

Fn = kX

k

n 2

Zl 0

 (x) F (x) Xn (x) dx:

(94)

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

125

w SAMOM DELE, UMNOVAQ OBE ^ASTI RAWENSTWA F (x ) =

1 X

n=1

Fn Xn (x)

NA  (x) Xn (x), INTEGRIRUQ PO x OT 0 DO l I U^ITYWAQ ORTOGONALXNOSTX SOBSTWENNYH FUNKCIJ, POLU^AEM NAPISANNOE WYE WYRAVENIE DLQ KO\FFICIENTOW Fn (K O \ F F I C I E N T O W f U R X E) 1) . wERNEMSQ TEPERX K URAWNENI@ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. dLQ FUNKCII T (t) MY IMEEM URAWNENIE T 00 + n T = 0 (95) BEZ KAKIH-LIBO DOPOLNITELXNYH USLOWIJ. w SILU DOKAZANNOJ POLOVITELXNOSTI n EGO REENIE IMEET WID p p Tn (t) = An cos n t + Bn sin n t
GDE An I Bn | NEOPREDELENNYE KO\FFICIENTY. tAKIM OBRAZOM, WSPOMOGATELXNAQ ZADA^A IMEET BES^ISLENNOE MNOVESTWO REENIJ WIDA p p un (x
t) = Tn (t) Xn (x) = (An cos n t + Bn sin n t) Xn (x): oBRATIMSQ K REENI@ ZADA^I S ZADANNYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI. bUDEM ISKATX REENIE W WIDE u (x
t) =

1 X

n=1

p

p

(An cos n t + Bn sin n t) Xn (x):

(96)

fORMALXNAQ SHEMA UDOWLETWORENIQ NA^ALXNYM USLOWIQM (86) OSNOWYWAETSQ NA TEOREME RAZLOVIMOSTI 4 I PROWODITSQ SOWERENNO TAK VE, KAK I DLQ ODNORODNOJ STRUNY. iZ RAWENSTW u (x
0) = ' (x) = ut (x
0) =  (x) =

NAHODIM, ^TO

1 X

n=1

An Xn (x)


1 X p

n=1

Bn n Xn (x)

Bn = pn
(97) n GDE 'n I n | KO\FFICIENTY fURXE FUNKCIJ ' (x) I  (x) PRI RAZLOVENII PO ORTOGONALXNOJ S WESOM  (x) SISTEME FUNKCIJ f Xn (x) g. An = 'n


1) wOZMOVNOSTX PO^LENNOGO INTEGRIROWANIQ RQDA SLEDUET IZ TEOREMY sTE-

KLOWA O RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI RQDA (90).

126

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

oGRANI^IWAQSX OB]EJ SHEMOJ METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH, MY NE PRIWODIM USLOWIJ PRIMENIMOSTI \TOGO METODA KAK W OTNOENII KO\FFICIENTOW URAWNENIQ, TAK I W OTNOENII NA^ALXNYH FUNKCIJ. oSNOWOPOLAGA@]IE RABOTY PO OBOSNOWANI@ \TOGO METODA PRINADLEVAT w. a. sTEKLOWU 1) .

zADA^I 1. nAJTI FUNKCI@ u (x t), OPREDELQ@]U@ PROCESS KOLEBANIQ STRUNY (0 l), ZAKREPLENNOJ NA KONCAH I WOZBUVDAEMOJ (RIS. 24) OTTQGIWANIEM EE W TO^KE x = c NA WELI^INU h, T. E. u (c 0) = h (SM. pRILOVENIE I). nA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA NUL@. 2. zAKREPLENNAQ NA KONCAH STRUNA W TO^KE x = c OTTQNUTA SILOJ F0 . nAJTI KOLEBANIQ STRUNY, ESLI W NA^ALXNYJ MOMENT SILA PERESTAET DEJSTWOWATX, A NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA NUL@. 3. nAJTI FUNKCI@ u (x t), OPREDELQ@]U@ PROCESS KOLEBANIQ STRUNY (0 l), ZAKREPLENNOJ NA KONCAH I WOZBUVDAEMOJ IMPULXSOM K , RASPREDELENNYM NA OTREZKE (c ;
 c +
): A) RAWNOMERNO, B) PO ZAKONU v0 cos x2;
c  (SM. pRILOVENIE I), ESLI NA^ALXNOE OTKLONENIE RAWNO NUL@. 4. nAJTI FUNKCI@ u (x t), OPREDELQ@]U@ PROCESS KOLEBANIQ STRUNY (0 l), ZAKREPLENNOJ NA KONCAH I WOZBUVDAEMOJ IMPULXSOM K , PRILOVENNYM W TO^KE x = c (SM. pRILOVENIE I). nA^ALXNOE OTKLONENIE RAWNO NUL@.

5. dOKAZATX ADDITIWNOSTX \NERGII OTDELXNYH GARMONIK DLQ PROCESSA KOLEBANIJ PRI GRANI^NYH USLOWIQH u = 0, ux = 0. rASSMOTRETX TAKVE SLU^AJ GRANI^NOGO USLOWIQ rIS. 24 3-GO RODA ux + hu = 0 (WSE RQDY PREDPOLAGATX RAWNOMERNO SHODQ]IMISQ). wY^ISLITX \NERGI@ OTDELXNYH GARMONIK W ZADA^AH 1 | 4. 6. pRUVINA, ZAKREPLENNAQ ODNIM KONCOM W TO^KE x = 0, RASTQNUTA GRUZOM MASSY M , PODWEENNYM W TO^KE x = l. nAJTI KOLEBANIQ PRUVINY, ESLI W MOMENT t = 0 GRUZ PADAET I W DALXNEJEM NA KONEC x = l NE DEJSTWU@T NIKAKIE SILY. 7. oDIN KONEC STERVNQ ZAKREPLEN, A NA WTOROJ DEJSTWUET SILA F0 . nAJTI KOLEBANIQ STERVNQ, ESLI W NA^ALXNYJ MOMENT SILA PERESTAET DEJSTWOWATX. 8. iSSLEDOWATX PROCESS KOLEBANIQ PRUVINY, ODIN KONEC KOTOROJ ZAKREPLEN, A KO WTOROMU KONCU W NA^ALXNYJ MOMENT PODWEIWAETSQ GRUZ MASSY M . nA^ALXNYE USLOWIQ NULEWYE. 9. k ODNORODNOJ STRUNE S ZAKREPLENNYMI KONCAMI x = 0 I x = l W TO^KE x = c PRIKREPLENA MASSA M . nAJTI OTKLONENIE STRUNY u (x t), ESLI:

1) s T E K L O W w. a. zADA^A OB OHLAVDENII NEODNORODNOGO TWERDOGO STERVNQ // sOOB]. hARXK. MAT. O-WA. sER. 2. 1896. t. 5,  1, 2 s T E K L O W w. a. oSNOWNYE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. t. I. pETROGRAD, 1922 i L X I N w. a. o RAZREIMOSTI SMEANNYH ZADA^ DLQ GIPERBOLI^ESKIH I PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ // umn. 1960. t. 15, WYP. 2. s. 97|154.

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

127

A) W NA^ALXNYJ MOMENT W TO^KE x = c STRUNA OTTQNUTA NA WELI^INU h OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ I OTPU]ENA BEZ NA^ALXNOJ SKOROSTI B) NA^ALXNOE OTKLONENIE I NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNY NUL@ (SM. pRILOVENIE III). 10. iSSLEDOWATX PROCESS KOLEBANIQ PRUVINY SO SWOBODNYMI KONCAMI PRI RAWNOMERNOM NA^ALXNOM RASTQVENII (PREDSTAWITX MODELX \TOJ ZADA^I). 11. iSSLEDOWATX PROCESS KOLEBANIQ PRUVINY S UPRUGO ZAKREPLENNYMI KONCAMI PRI ODINAKOWYH KO\FFICIENTAH VESTKOSTI, ESLI NA^ALXNYE USLOWIQ PROIZWOLXNY. rEENIE ISSLEDOWATX PRI MALYH h ( MQGKOE ZAKREPLENIE) I PRI BOLXIH h ( VESTKOE ZAKREPLENIE) I WY^ISLITX SOOTWETSTWU@]IE POPRAWKI K SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM DLQ STRUNY SO SWOBODNYMI I ZAKREPLENNYMI KONCAMI. 12. nAJTI OTKLONENIE u (x t) STRUNY S VESTKO ZAKREPLENNYMI KONCAMI, ESLI KOLEBANIQ PROISHODQT W SREDE, SOPROTIWLENIE KOTOROJ PROPORCIONALXNO SKOROSTI, A NA^ALXNYE USLOWIQ PROIZWOLXNY. 13. iZOLIROWANNYJ \LEKTRI^ESKIJ PROWOD DLINY l S HARAKTERISTIKAMI L, R, C I G = 0 ZARQVEN DO NEKOTOROGO POTENCIALA v0 . w NA^ALXNYJ MOMENT ODIN KONEC PROWODA ZAZEMLQETSQ, A WTOROJ OSTAETSQ WSE WREMQ IZOLIROWANNYM. nAJTI RASPREDELENIE NAPRQVENIQ W PROWODE. 14. sTRUNA S ZAKREPLENNYMI KONCAMI KOLEBLETSQ POD DEJSTWIEM GARMONI^ESKOJ SILY, RASPREDELENNOJ S PLOTNOSTX@ f (x t) =  (x) sin !t. nAJTI OTKLONENIE u (x t) STRUNY PRI PROIZWOLXNYH NA^ALXNYH USLOWIQH. iSSLEDOWATX WOZMOVNOSTX REZONANSA I NAJTI REENIE W SLU^AE REZONANSA. 15. rEITX ZADA^U 14, PREDPOLAGAQ, ^TO KOLEBANIQ PROISHODQT W SREDE, SOPROTIWLENIE W KOTOROJ PROPORCIONALXNO SKOROSTI. nAJTI USTANOWIWIESQ KOLEBANIQ, SOSTAWLQ@]IE GLAWNU@ ^ASTX REENIQ PRI t ! 1. 16. uPRUGIJ STERVENX DLINY l RASPOLOVEN WERTIKALXNO I VESTKO PRIKREPLEN WERHNIM KONCOM K SWOBODNO PADA@]EMU LIFTU, KOTORYJ, DOSTIGNUW SKOROSTI v0 , MGNOWENNO OSTANAWLIWAETSQ. nAJTI KOLEBANIQ STERVNQ, PREDPOLAGAQ EGO NIVNIJ KONEC SWOBODNYM. 17. rEITX URAWNENIE utt = a2 uxx ; b2 u + A PRI NULEWYH NA^ALXNYH USLOWIQH I GRANI^NYH USLOWIQH u (0 t) = 0 u (l t) = B GDE b, A I B | POSTOQNNYE. 18. rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE utt = a2 uxx + A sh x PRI NULEWYH NA^ALXNYH USLOWIQH I GRANI^NYH USLOWIQH u (0 t) = B u (l t) = C GDE A, B I C | POSTOQNNYE. 19. k ODNORODNOJ STRUNE S ZAKREPLENNYMI KONCAMI x = 0 I x = l W TO^KE x = c (0 < c < l) PRILOVENA GARMONI^ESKAQ SILA F (t) = P0 sin !t DEJSTWU@]AQ NA^INAQ S MOMENTA t = 0. nAJTI OTKLONENIE STRUNY u (x t), PREDPOLAGAQ NA^ALXNYE USLOWIQ NULEWYMI.

128

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

20. rEITX ZADA^U O KOLEBANIQH NEODNORODNOGO STERVNQ DLINY l S VESTKO ZAKREPLENNYMI KONCAMI, SOSTAWLENNOGO IZ DWUH ODNORODNYH STERVNEJ, SOEDINENNYH W TO^KE x = c (0 < c < l), ESLI NA^ALXNOE OTKLONENIE IMEET WID 8 > < hc x PRI 0 6 x 6 c u (x 0) = > : l ;h c (l ; x) PRI c 6 x 6 l A NA^ALXNYE SKOROSTI RAWNY NUL@. 21. nAJTI USTANOWIWIESQ KOLEBANIQ PRUVINY, ODIN KONEC KOTOROJ ZAKREPLEN, A NA WTOROJ DEJSTWUET SILA F (t) = A sin !1 t + B sin !2 t: 22. nAJTI USTANOWIWIESQ KOLEBANIQ NEODNORODNOGO STERVNQ, SOSTAWLENNOGO IZ DWUH ODNORODNYH STERVNEJ, SOEDINENNYH W TO^KE x = c, ESLI ODIN KONEC STERVNQ ZAKREPLEN, A WTOROJ DWIVETSQ PO ZAKONU u (l t) = A sin !t:

x 4. zADA^A S DANNYMI NA HARAKTERISTIKAH

1. pOSTANOWKA ZADA^I. rASSMOTRIM RQD ZADA^, QWLQ@]IHSQ RAZWITIEM PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY. dLQ PROSTOTY BUDEM IZU^ATX QWLENIQ WBLIZI ODNOGO KRAQ, S^ITAQ DRUGOJ KRAJ UDALENNYM W BESKONE^NOSTX, T. E. W KA^ESTWE ISHODNOJ ZADA^I WOZXMEM ZADA^U DLQ POLUBESKONE^NOJ PRQMOJ2 . uRAWNENIE KOLEBANIJ STRUNY ut t = a uxx SIMMETRI^NO OTNOSITELXNO PEREMENNYH x I t, ESLI POLOVITX 0 a2 = 1, T. E. IZMENITX MASTAB WREMENI, WWEDQ PEREMENNU@ t = at . oDNAKO DOPOLNITELXNYE USLOWIQ WNOSQT ASIMMETRI@ W MATEMATI^ESKOE TOLKOWANIE x I t: W NA^ALXNYH USLOWIQH (PRI t = 0) ZADA@TSQ DWE FUNKCII u (x
0) I ut (x
0), W TO WREMQ KAK W GRANI^NYH USLOWIQH (PRI x = 0) ZADAETSQ TOLXKO ODNA FUNKCIQ u (0
t). kAK BYLO OTME^ENO W x 2, P. 9, MEVDU FUNKCIQMI I IH NORMALXNYMI PROIZWODNYMI PRI t = 0 I x = 0 SU]ESTWUET SOOTNOENIE ut (0
z ) + ux (0
z ) = ut (z
0) + ux (z
0) (a2 = 1) PRI PROIZWOLXNOM ZNA^ENII z . oTS@DA SLEDUET, ^TO PRI x = 0 I t = 0 NELXZQ NEZAWISIMYM OBRAZOM ZADATX WSE \TI FUNKCII PROIZWOLXNYMI QWLQ@TSQ TOLXKO TRI USLOWIQ, ^TO I UKAZYWAET NA NEWOZMOVNOSTX SIMMETRI^NOJ POSTANOWKI DOPOLNITELXNYH USLOWIJ. dOPOLNITELXNYE USLOWIQ MOGUT ZADAWATXSQ LIBO NA PRQMYH LINIQH x = 0, t = 0 (S ZADA^AMI PODOBNOGO RODA MY IMELI DELO DO SIH POR), LIBO NA NEKOTORYH KRIWYH W FAZOWOJ PLOSKOSTI. nAPRIMER, GRANI^NYE ZNA^ENIQ MOVNO ZADAWATX NA NEKOTOROJ KRIWOJ C1 (x = f1 (t)), 0 0

x 4]

zada~a s dannymi na harakteristikah

129

ODNAKO DLQ RAZREIMOSTI TAKOJ ZADA^I KRIWAQ C1 DOLVNA BYTX DOSTATO^NO GLADKOJ I UDOWLETWORQTX E]E NEKOTORYM DOPOLNITELXNYM USLOWIQM. rASSMOTRIM PROCESS KOLEBANIJ GAZA W TRUBE S PODWIVNOJ GRANICEJ (PODWIVNYM PORNEM). qSNO, ^TO SKOROSTX PEREME]ENIQ GRANICY, DWIVU]EJSQ PO ZAKONU x = f1 (t), NELXZQ S^ITATX PROIZWOLXNOJ: ONA NE DOLVNA PREWOSHODITX SKOROSTX ZWUKA a (f10 (t) < a). gEOMETRI^ESKIM SLEDSTWIEM \TOGO QWLQETSQ TO, ^TO KRIWAQ C1 (x = f1 (t)) DOLVNA BYTX OTDELENA HARAKTERISTIKOJ OT LINII t = 0, NESU]EJ NA^ALXNYE ZNA^ENIQ (RIS. 25). eSLI HOTQ BY W ODNOJ TO^KE LINIQ C1 LEVALA NIVE HARAKTERISTIKI x = at, TO ZNA^ENIE FUNKCII u (x
t) WPOLNE OPREDELQrIS. 25 LOSX BY NA^ALXNYMI USLOWIQMI I NE MOGLO BY ZADAWATXSQ PROIZWOLXNO. fIZI^ESKIJ SMYSL \TOGO SWQZAN S TEM, ^TO PRI DWIVENII GAZA SO SKOROSTQMI, PREWOSHODQ]IMI SKOROSTX ZWUKA, URAWNENIE AKUSTIKI TERQET SILU I NADO POLXZOWATXSQ NELINEJNYMI URAWNENIQMI GAZOWOJ DINAMIKI 1) . nA^ALXNYE USLOWIQ MOVNO ZADAWATX NE TOLXKO NA OSI t = 0, NO I NA NEKOTOROJ0 LINII C2 (t = f2 (x)) , KOTORAQ DOLVNA UDOWLETWORQTX TREBOWANI@ jf2 (x)j < 1=a (PRI \TOM C2 LEVIT W OBLASTI WLIQNIQ NA^ALXNYH DANNYH). zADA^I PODOBNOGO TIPA LEGKO REA@TSQ S POMO]X@ INTEGRALXNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ (SM. x 2, P. 7). nE STAWQ SWOEJ CELX@ DATX POLNYJ PERE^ENX WSEH WOZMOVNYH KRAEWYH ZADA^, RASSMOTRIM BOLEE PODROBNO ZADA^U OPREDELENIQ REENIQ PO DANNYM NA HARAKTERISTIKAH. |TU KRAEWU@ ZADA^U ^ASTO NAZYWA@T Z A D A ^ E J g U R S A. zADA^A S DANNYMI NA HARAKTERISTIKAH PREDSTAWLQET BOLXOJ INTERES S TO^KI ZRENIQ FIZI^ESKIH PRILOVENIJ. oNA WSTRE^AETSQ, NAPRIMER, PRI IZU^ENII PROCESSOW SORBCII I DESORBCII GAZOW (SM. pRILOVENIE V), PROCESSOW SUKI (SM. ZADA^U 1 W KONCE PARAGRAFA) I MNOGIH DRUGIH ZADA^. 2. mETOD POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ DLQ ZADA^I gURSA. rASSMOTRIM PROSTEJU@ ZADA^U S DANNYMI NA HARAKTERISTIKAH 9 uxy = f (x
y)
> = (1) u (x
0) = '1 (x)
> u (0
y) = '2 (y):  1) CM. pRILOVENIE IV, S. 163.

9 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

urawneniq giperboli~eskogo tipa

130

gl. II

dOPOLNITELXNYE USLOWIQ DANY NA PRQMYH x = 0 I y = 0, QWLQ@]IHSQ HARAKTERISTIKAMI URAWNENIQ (1). bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO FUNKCII '1 (x) I '2 (y) DIFFERENCIRUEMY I UDOWLETWORQ@T USLOWI@ SOPRQVENIQ '1 (0) = '2 (0). iNTEGRIRUQ POSLEDOWATELXNO PO x I y URAWNENIE (1), POLU^IM

Zx

uy (x
y) = uy (0
y) + f (
y) d
0

Zy Zx

u (x
y) = u (x
0) + u (0
y) ; u (0
0) + d f (
) d
0

ILI u (x
y) = '1 (x) + '2 (y) ; '1 (0) +

Zy Zx 0 0

0

f (
) d d:

(2)

tAKIM OBRAZOM, DLQ PROSTEJEGO URAWNENIQ, NE SODERVA]EGO PERWYH PROIZWODNYH ux, uy I ISKOMOJ FUNKCII, REENIE PREDSTAWLQETSQ W QWNOJ ANALITI^ESKOJ FORME (2). iZ FORMULY (2) NEPOSREDSTWENNO SLEDUET EDINSTWENNOSTX I SU]ESTWOWANIE REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I. pEREJDEM K REENI@ LINEJNOGO URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA uxy = a (x
y) ux + b (x
y) uy + c (x
y) u + f (x
y) (3) PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH NA HARAKTERISTIKAH x = 0, y = 0 u (x
0) = '1 (x)
(30 ) u (0
y) = '2 (y)
GDE '1 (x) I '2 (y) UDOWLETWORQ@T TREBOWANIQM DIFFERENCIRUEMOSTI I SOPRQVENIQ. kO\FFICIENTY a, b I c BUDEM PREDPOLAGATX NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI x I y. fORMULA (3) POKAZYWAET, ^TO FUNKCIQ u (x
y) UDOWLETWORQET INTEGRODIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ u (x
y) =

Zy Zx 0 0

a (
) u + b (
) u + c (
) u] d d + + '1 (x) + '2 (y) ; '1 (0) +

Zy Zx 0 0

f (
) d d:

(4)

dLQ EGO REENIQ WOSPOLXZUEMSQ METODOM POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVE-

x 4]

zada~a s dannymi na harakteristikah

131

NIJ. wYBEREM W KA^ESTWE NULEWOGO PRIBLIVENIQ FUNKCI@ u0 (x
y) = 0: tOGDA (4) DAET DLQ POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ SLEDU@]IE WYRAVENIQ:

9 > > u1 (x
y) = '1 (x) + '2 (y) ; '1 (0) + f (
) d d
> > > 0 0 > > > : : : : : : : : : : : : : : : : : : : > = y x ZZ > > > un (x
y) = u1 (x
y) + a (
) @u@n;1 + > > 0 0 > >  > @u n ;1  + b (
) @ + c (
) un;1 d d:> Zy Zx

oTMETIM POPUTNO, ^TO

(5)

 9

y

> @un = @u1 + Z a (x
) @un;1 + b (x
) @un;1 + c (x
) u > n ;1 d
> = @x @x @x @ @un = @u1 + @y @y

0

Zx  0



> >

a (
y) @u@n;1 + b (
y) @u@yn;1 + c (
y) un;1 d: > >  (6)

dOKAVEM RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTEJ

fun (x
y)g


 @un

  @un  @x (x
y)
@y (x
y) :

dLQ \TOGO RASSMOTRIM RAZNOSTI zn (x
y) = un+1 (x
y) ; un (x
y) = = 9


Zy Zx  0 0



n;1 + b (
 ) @zn;1 + c (
 ) z (
 ) d d
a (
) @z@ n;1 @

132

urawneniq giperboli~eskogo tipa

@zn (x
y) = @un+1 (x
y) ; @un (x
y) = @x @x @x =

Zy  0



n;1 + b (x
 ) @zn;1 + c (x
 ) z (x
 ) d
a (x
) @z@x n;1 @

@zn (x
y) = @un+1 (x
y) ; @un (x
y) = @y @y @y =

Zx  0

gl. II



n;1 + b (
y ) @zn;1 + c (
y ) z (
y ) d: a (
y) @z@ n;1 @y

pUSTX M | WERHNQQ GRANICA ABSOL@TNYH WELI^IN KO\FFICIENTOW a (x
y), b (x
y), c (x
y) I H | WERHNQQ GRANICA ABSOL@TNYH WELI^IN z0 = u1 (x
y) I EE PROIZWODNYH     jz0j < H
 @z@x0  < H
 @z@y0  < H PRI IZMENENII x I y WNUTRI NEKOTOROGO KWADRATA (0 6 x 6 L
0 6 6 y 6 L). pOSTROIM MAVORANTNYE OCENKI DLQ FUNKCIJ zn , @zn=@x, @zn=@y. o^EWIDNO, ^TO 2 jz j < 3HMxy < 3HM (x + y)
1

2!

 @z   1  < 3HMy < 3HM (x + y)
@x  @z   1  < 3HMx < 3HM (x + y): @y

pREDPOLOVIM, ^TO IME@T MESTO REKURRENTNYE OCENKI n+1 jznj < 3HM nK n;1 (x(n++y)1)!
 @z   n  < 3HM nK n;1 (x + y)n
@x n!  @z   n  < 3HM nK n;1 (x + y)n
@y n!

x 4]

zada~a s dannymi na harakteristikah

133

GDE K > 0 | NEKOTOROE POSTOQNNOE ^ISLO, ZNA^ENIE KOTOROGO UTO^NIM NIVE. pOLXZUQSX \TIMI OCENKAMI I FORMULOJ DLQ (n + 1)-GO PRIBLIVENIQ, POSLE RQDA UPRO]ENIJ, USILIWA@]IH NERAWENSTWO, POLU^AEM  n+2  jzn+1j < 3HM n+1K n;1 (x(n++y)2)! xn ++ y3 + 2 < n+2 )n+2
< 3HM n+1 K n (x(n++y)2)! < K32HM (2KLM (n + 2)!  @z     n+1  < 3HM n+1K n;1 (x + y)n+1 x + y + 2 < @x (n + 1)! n + 2 n+1 )n+1
< 3HM n+1 K n (x(n++y)1)! < 3KH (2KLM (n + 1)!  @z     n+1  < 3HM n+1K n;1 (x + y)n+1 x + y + 2 < @y (n + 1)! n + 2 n+1 )n+1
< 3HM n+1 K n (x(n++y)1)! < 3KH (2KLM (n + 1)! GDE K = L + 2. w PRAWYH ^ASTQH \TIH NERAWENSTW S TO^NOSTX@ DO MNOVITELEJ PROPORCIONALXNOSTI STOQT OB]IE ^LENY RAZLOVENIQ e2KLM . |TI OCENKI POKAZYWA@T, ^TO POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ un = u0 + z1 + : : : + zn;1
@un = @u0 + @z1 + : : : + @zn;1
@x @x @x @x @un = @u0 + @z1 + : : : + @zn;1 @y @y @y @y SHODQTSQ RAWNOMERNO K PREDELXNYM FUNKCIQM, KOTORYE MY OBOZNA^IM u (x
y) = nlim un (x
y)
!1 @un (x
y)
v (x
y) = nlim !1 @x

@un (x
y): w (x
y) = nlim !1 @y

pEREHODQ K PREDELU POD ZNAKOM INTEGRALA W FORMULAH (5) I (6), BUDEM

urawneniq giperboli~eskogo tipa

134

IMETX

gl. II

9 > u(x
y) = u1 (x
y) + a(
) v + b(
) w + c(
) u] d d
> > > > 0 0 > > y > Z = @u v(x
y) = @x1 (x
y) + a(x
) v + b(x
) w + c(x
) u] d
> > 0 > > x Z > @u 1 > w(x
y) = @y (x
y) + a(
y) v + b(
y) w + c(
y) u] d: >  Zy Zx

(7)

0

wYTEKA@]IE OTS@DA RAWENSTWA v = ux
w = uy POZWOLQ@T USTANOWITX, ^TO FUNKCIQ u (x
y) UDOWLETWORQET INTEGRODIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ u (x
y) = '1 (x) + '2 (y) ; '1 (0) + +

Zy Zx 0 0

a (
) u + b (
) u + c (
) u + f (
)] d d


(4)

A TAKVE ISHODNOMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ (3), ^TO PROWERQETSQ NEPOSREDSTWENNO DIFFERENCIROWANIEM (4) PO x I y. fUNKCIQ u = u (x
y), KAK NETRUDNO UBEDITXSQ, UDOWLETWORQET I DOPOLNITELXNYM USLOWIQM. pEREJDEM K DOKAZATELXSTWU EDINSTWENNOSTI REENIQ RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I (3) | (30 ). dOPUSKAQ SU]ESTWOWANIE DWUH REENIJ: u1 (x
y) I u2 (x
y), SRAZU VE POLU^AEM DLQ IH RAZNOSTI U (x
y) = u1 (x
y) ; u2 (x
y) ODNORODNOE INTEGRODIFFERENCIALXNOE URAWNENIE U (x
y) =

Zy Zx 0 0

(a Ux + b Uy + c U ) d d:

oBOZNA^AQ DALEE ^EREZ H1 WERHN@@ GRANX ABSOL@TNYH WELI^IN jU (x
y)j < H1
jUx (x
y)j < H1
jUy (x
y)j < H1 DLQ 0 6 x 6 L, 0 6 y 6 L I POWTORQQ OCENKI, PROWEDENNYE DLQ FUNKCIJ zn (x
y), UBEVDAEMSQ W SPRAWEDLIWOSTI NERAWENSTWA n+2 )n+2 jU j < 3H1M n+1K n (x(n++y)2)! < K3H2M1 (2KLM (n + 2)!

x 5] re{enie linejnyh giperboli~eskih urawnenij 135

PRI L@BOM ZNA^ENII n. oTS@DA SLEDUET U (x
y)  0
ILI u1 (x
y)  u2 (x
y)
^TO I DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I S DANNYMI NA HARAKTERIcTIKAH. eSLI KO\FFICIENTY a, b I c POSTOQNNY, TO URAWNENIE (3) S POMO]X@ PODSTANOWKI u = v ex+y PRIWODITSQ K WIDU vxy + C1 v = f: (8) pRI C1 = 0 MY POLU^AEM ZADA^U DLQ PROSTEJEGO URAWNENIQ (1), REENIE KOTOROJ DAETSQ FORMULOJ (2). eSLI C1 6= 0, TO REENIE ZADA^I DLQ URAWNENIQ (8) TAKVE MOVET BYTX POLU^ENO W QWNOJ ANALITI^ESKOJ FORME METODOM, IZLOVENNYM W

x 5.

zADA^I

1. ~EREZ TRUBU (x > 0), ZAPOLNENNU@ WE]ESTWOM, SODERVA]IM WLAGU, PRODUWAETSQ WOZDUH (SO SKOROSTX@  ). pUSTX v (x t) | KONCENTRACIQ WLAGI W POGLO]AEMOM WE]ESTWE, u (x t) | KONCENTRACIQ SWOBODNYH PAROW. wYWESTI URAWNENIE DLQ FUNKCIJ u (x t) I v (x t), OPISYWA@]IH PROCESS SUKI, ESLI: 1) PROCESS IZOTERMI^ESKIJ I 2) IZOTERMA SUKI IMEET WID u = v, GDE  | POSTOQNNAQ IZOTERMY (SM. TAKVE pRILOVENIE V). 2. pO TRUBE (x > 0) PROPUSKAETSQ SO SKOROSTX@  GORQ^AQ WODA. pUSTX u | TEMPERATURA WODY W TRUBE, v | TEMPERATURA STENOK TRUBY, u0 | TEMPERATURA OKRUVA@]EJ SREDY. wYWESTI URAWNENIQ DLQ u I v, PRENEBREGAQ RASPREDELENIEM TEMPERATURY PO SE^ENI@ TRUBY I STENOK I S^ITAQ, ^TO NA GRANICAH WODA | STENKA I STENKA | SREDA SU]ESTWUET PEREPAD TEMPERATUR I PROISHODIT TEPLOOBMEN PO ZAKONU nX@TONA (SM. GL. III, x 1).

x 5. rEENIE OB]IH LINEJNYH URAWNENIJ

GIPERBOLI^ESKOGO TIPA 1. sOPRQVENNYE DIFFERENCIALXNYE OPERATORY. uSTANO-

WIM NEKOTORYE WSPOMOGATELXNYE FORMULY, NUVNYE NAM DLQ PREDSTAWLENIQ REENIJ KRAEWYH ZADA^ W INTEGRALXNOJ FORME. pUSTX L u] = uxx ; uyy + a (x
y) ux + b (x
y) uy + c (x
y) u (1) (a (x
y), b (x
y), c (x
y) | DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII) | LINEJNYJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR, SOOTWETSTWU@]IJ LINEJNOMU URAWNENI@ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA. uMNOVAQ L u] NA NEKOTORU@ FUNKCI@ v, ZAPIEM OTDELXNYE SLAGAEMYE W WIDE vuxx = (vux )x ; (vx u)x + uvxx
vbuy = (bvu)y ; u (bv)y
vuyy = (vuy )y ; (vy u)y + uvyy
vcu = ucv: vaux = (avu)x ; u (av)x


136

urawneniq giperboli~eskogo tipa

sUMMIRUQ OTDELXNYE SLAGAEMYE, POLU^AEM @K
v L u] = u M v] + @H + @x @y GDE M v] = vxx ; vyy ; (av)x ; (bv)y + cv


H = vux ; vx u + avu = (vu)x ; (2vx ; av) u = = ;(vu)x + (2ux + au) v


K = ;vuy + vy u + bvu = ;(vu)y + (2vy + bv) u = = (uv)y ; (2uy ; bu) v:

gl. II

(2) (3) (4) (40 ) (5)

(50 ) dWA DIFFERENCIALXNYH OPERATORA NAZYWA@TSQ S o P R Q V E N N Y-

M I, ESLI RAZNOSTX

v L u] ; u M v] QWLQETSQ SUMMOJ ^ASTNYH PROIZWODNYH PO x I y OT NEKOTORYH WYRAVENIJ H I K . rASSMATRIWAEMYE NAMI OPERATORY L I M, O^EWIDNO, QWLQ@TSQ SOPRQVENNYMI. eSLI L u] = M u], TO OPERATOR L u] NAZYWAETSQ S A M O S O P R QV E N N Y M. dWOJNOJ INTEGRAL OT RAZNOSTI v L u] ; u M v] PO NEKOTOROJ OBLASTI G, OGRANI^ENNOJ KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM C , RAWEN

ZZ G

Z

(v L u] ; u M v]) d d = (H d ; K d )
C

(6)

GDE u I v | PROIZWOLXNYE DWAVDY DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII (DWUMERNAQ FORMULA gRINA)1) . 2. iNTEGRALXNAQ FORMA REENIQ. wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (6) DLQ REENIQ SLEDU@]EJ ZADA^I. nAJTI REENIE LINEJNOGO URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA L u] = uxx ; uyy + a (x
y) ux + b (x
y) uy + c (x
y) u = ;f (x
y)
(7) UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM NA KRIWOJ C u jC = ' (x)
(70 ) un jC =  (x) 1)

b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. M., 1967.

x 5] re{enie linejnyh giperboli~eskih urawnenij 137 (un | PROIZWODNAQ PO NAPRAWLENI@ NORMALI K KRIWOJ C ), I NAJTI TU OBLASTX
W KOTOROJ REENIE OPREDELQETSQ USLOWIQMI (70 ). kRIWAQ C ZADANA PRI \TOM URAWNENIEM y = f (x)
GDE f (x) | DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ. nALOVIM NA KRIWU@ C USLOWIE, ^TOBY WSQKAQ HARAKTERISTIKA SEMEJSTW y ; x = const I y + rIS. 26 + x = const PERESEKALA KRIWU@ C NE BOLEE ODNOGO RAZA0 (DLQ ^EGO NEOBHODIMO, ^TOBY jf (x)j < 1). fORMULA (6) DLQ KRIWOLINEJNOGO TREUGOLXNIKA MPQ, OGRANI^ENNOGO DUGOJ PQ KRIWOJ C I OTREZKAMI HARAKTERISTIK MP I MQ (RIS. 26), DAET

ZZ

MPQ

(v L u] ; u M v]) d d =

ZM

ZP

ZQ

Q

M

P

= (H d ; K d ) + (H d ; K d ) + (H d ; K d ):

pREOBRAZUEM PERWYE DWA INTEGRALA, WZQTYE WDOLX HARAKTERISTIK MQ I MP . pRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO

9

> d = ; d = ; pds NA QM
> = 2 (ds | \LEMENT DUGI WDOLX QM I MP ) > ds > d = + d = ; p NA MP  2

I POLXZUQSX FORMULAMI (4) I (5), POLU^AEM

ZM

ZM

Q

Q

(H d ; K d ) = ;

d (uv) +

ZM  @v a + b  2 @s ; p v u ds = 2

Q

ZM  @v a + b  = ; (uv)M + (uv)Q + 2 @s ; p v u ds 2 Q

urawneniq giperboli~eskogo tipa

138

gl. II

I, ANALOGI^NO,

ZP

M

ZM  @v b ; a  (H d ; K d ) = ; (uv)M + (uv)P + 2 @s ; p v u ds: 2 P

oTS@DA I IZ FORMULY (6) SLEDUET (uv)M = (uv)P +2 (uv)Q + +

ZM  @v b ; a  ZM  @v a + b  p v u ds + ; @s 2 2 @s ; 2 p2 v u ds +

P

+ 12

Q

ZQ

ZZ

P

MPQ

(H d ; K d ) ; 12

(v L u] ; u M v]) d d:

(8)

|TA FORMULA QWLQETSQ TOVDESTWOM, WERNYM DLQ L@BYH DOSTATO^NO GLADKIH FUNKCIJ u I v. pUSTX u | REENIE POSTAWLENNOJ WYE ZADA^I S NA^ALXNYMI USLOWIQMI, A FUNKCIQ v ZAWISIT OT TO^KI M KAK OT PARAMETRA I UDOWLETWORQET SLEDU@]IM TREBOWANIQM: M v] = v ; v ; (av) ; (bv) + cv = 0 WNUTRI 4 MPQ (9) I 8 > >b;a @v = < 2 p2 v NA HARAKTERISTIKE MP
(90 ) @s > > : b +p a v NA HARAKTERISTIKE MQ
2 2

v (M ) = 1: iZ USLOWIJ NA HARAKTERISTIKAH (90 ) I USLOWIQ (900 ) NAHODIM

8 0Zs 1 > > b ; a A @ > > <exp s0 2 p2 ds NA MP
0Zs 1 v= > b + a > @ A > :exp s0 2 p2 ds NA MQ


(900 )

GDE s0 | ZNA^ENIE s W TO^KE M . kAK MY WIDELI W x 4, URAWNENIE (9) I ZNA^ENIQ FUNKCII v NA HARAKTERISTIKAH MP I MQ POLNOSTX@ OPREDELQ@T EE W OBLASTI MPQ. fUNKCI@ v ^ASTO NAZYWA@T F U N K C I E J r I M A N A.

x 5] re{enie linejnyh giperboli~eskih urawnenij 139

tAKIM OBRAZOM, FORMULA (8) DLQ FUNKCII u, UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ (7), PRINIMAET SLEDU@]IJ OKON^ATELXNYJ WID: u (M ) = (uv)P + (uv)Q + + 12

ZQ P

2

v (u d + u d ) ; u (v d + v d ) + uv (a d ; b d )] + + 12

ZZ

v (M
M 0 ) f (M 0 ) dM (dM = d d): 0

MPQ

0

(10)

|TA FORMULA REAET POSTAWLENNU@ ZADA^U, TAK KAK WYRAVENIQ, STOQ]IE POD ZNAKOM INTEGRALA WDOLX PQ, SODERVAT FUNKCII, IZWESTNYE NA DUGE C . w SAMOM DELE, FUNKCIQ v BYLA OPREDELENA WYE, A FUNKCII u jC = ' (x)
0 (x) ;  (x) f 0 (x) ux jC = us cos(x
s) + un cos(x
n) = ' p
1 + (f 0 (x))2

0 (x) f 0 (x) +  (x) uy jC = us cos(y
s) + un cos(y
n) = ' p 1 + (f 0 (x))2 WY^ISLQ@TSQ PRI POMO]I NA^ALXNYH DANNYH. fORMULA (10) POKAZYWAET, ^TO ESLI NA^ALXNYE DANNYE IZWESTNY NA DUGE PQ, TO ONI POLNOSTX@ OPREDELQ@T FUNKCI@ W HARAKTERISTI^ESKOM  PMQ, ESLI FUNKCIQ f (x
y) IZWESTNA W \TOJ OBLASTI 1) . fORMULA (10), POLU^ENNAQ W PREDPOLOVENII SU]ESTWOWANIQ REENIQ, OPREDELQET EGO ^EREZ NA^ALXNYE DANNYE I PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ (7) I TEM SAMYM, PO SU]ESTWU, DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX REENIQ (SR. S FORMULOJ dALAMBERA, GL. II, x 2, S. 56). mOVNO POKAZATX, ^TO FUNKCIQ u, OPREDELQEMAQ FORMULOJ (10), UDOWLETWORQET USLOWIQM ZADA^I (7) | (70 ). oDNAKO MY NA \TOM DOKAZATELXSTWE NE OSTANAWLIWAEMSQ. 3. fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ FUNKCII rIMANA. wYQSNIM FIZI^ESKIJ SMYSL FUNKCII v (M
M 0 ). dLQ \TOGO NAJDEM REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ L u] = ;2f1 (f = 2f1)

1) eSLI HARAKTERISTIKA PERESEKAET KRIWU@ C W DWUH TO^KAH P I M1 (SM. RIS. 26), TO ZNA^ENIE u (M1 ) NE MOVET ZADAWATXSQ PROIZWOLXNO, A OPREDELQETSQ PO FORMULE (10) S NA^ALXNYMI DANNYMI NA DUGE PQ1 I ZNA^ENIQMI f (x y) W  PM1 Q1.

140

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI NA KRIWOJ C . oBRA]AQSX K FORMULE (10), WIDIM, ^TO ISKOMOE REENIE IMEET WID u (M ) =

ZZ

v (M
M 0 ) f1 (M 0 ) dM :

(11)

0

MPQ

pREDPOLOVIM, ^TO f1 (M ) | LOKALXNAQ FUNKCIQ TO^KI M1 , RAWNAQ NUL@ WS@DU, KROME MALOJ OKRESTNOSTI S" TO^KI M1 , I UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@ NORMIROWKI

ZZ

f1 (M 0 ) dM = 1:

(12)

0

S"

fORMULA (11) W \TOM SLU^AE PRINIMAET WID u " (M ) =

ZZ

v (M
M 0 ) f1 (M 0 ) dM :

(13)

0

S"

pOLXZUQSX TEOREMOJ O SREDNEM ZNA^ENII, MOVNO NAPISATX u" (M ) = v (M
M1
)

ZZ

f1 (M 0 ) dM = v (M
M1
)
0

S"

GDE M1
| NEKOTORAQ TO^KA OBLASTI S" . sTQGIWAQ "-OKRESTNOSTX S" W TO^KU M1 (" ! 0), NAHODIM u (M ) = "lim u" (M ) = v (M
M1): (14) !0 fUNKCIQ f1 , KAK MY WIDELI NA RQDE PRIMEROW, OBY^NO QWLQETSQ PLOTNOSTX@ SILY, A PEREMENNAQ y | WREMENEM. wYRAVENIE

ZZ

f1 (M 0 ) dM =

ZZ

0

S"

S"

f1 (
) d d (15)

PREDSTAWLQET SOBOJ IMPULXS SILY. oTS@DA WWIDU FORMULY (11) ZAKL@^AEM, ^TO v (M
M1) QWLQETSQ FUNKrIS. 27 CIEJ WLIQNIQ EDINI^NOGO IMPULXSA, PRILOVENNOGO W TO^KE M1 . fUNKCIQ v (M
M1) = v (x
y 
) BYLA OPREDELENA KAK FUNKCIQ PARAMETROW M (x
y), UDOWLETWORQ@]AQ PO KOORDINATAM  ,  TO^KI M1 URAWNENI@ M( ) v] = 0 (16) S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI (90 ).

x 5] re{enie linejnyh giperboli~eskih urawnenij 141

rASSMOTRIM FUNKCI@ u = u (M
M1)
QWLQ@]U@SQ FUNKCIEJ PARAMETROW M1 (
) I UDOWLETWORQ@]U@ PO KOORDINATAM x, y TO^KI M URAWNENI@ L(x y) u] = 0 (17)

S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI (RIS. 27)

8 > >b ; a @u = < 2 p2 u NA HARAKTERISTIKE M1 Q1
@s > > b +p a u NA HARAKTERISTIKE M1P1
: 2 2

(18)

u (M1
M1 ) = 1:

iZ \TIH USLOWIJ NAHODIM

8 0Zs 1 > > b ; a @ A > > <exp s0 2 p2 ds NA M1Q1
1 u (M
M1 ) = > 0Zs > b + a @ A > > : exp s0 2 p2 ds NA M1P1


(19)

u (M1
M1 ) = 1: uRAWNENIE (17) I USLOWIQ (18) POLNOSTX@ OPREDELQ@T FUNKCI@ u W ^ETYREHUGOLXNIKE MP1 M1Q1 , OGRANI^ENNOM OTREZKAMI HARAKTERISTIK MP1 , MQ1 I M1 P1 , M1 Q1 . pRIMENQQ FORMULU (6) K ^ETYREHUGOLXNIKU MP1 M1Q1 , POLU^AEM

ZZ MP1 M1 Q1

ZP1

ZM ZQ1 ZM1

M

Q1 M1

(v L u] ; u M v]) d d = (H d ; K d ) +

+

+

P1

=0

(R(
) | PEREMENNAQ TO^KA INTEGRIROWANIQ W MP1 M1 Q1 ). pOLXZUQSX FORMULAMI (4) I (5) DLQ K I H I USLOWIQMI (90 ) NA HARAKTERISTIKAH DLQ FUNKCII v, NETRUDNO WY^ISLITX PERWYE DWA INTEGRALA PRAWOJ

urawneniq giperboli~eskogo tipa

142

^ASTI:

gl. II

ZP1

(H d ; K d ) = ; (uv)M + (uv)P1


M ZM Q1

(H d ; K d ) = ; (uv)M + (uv)Q1


PODOBNO TOMU, KAK \TO BYLO SDELANO PRI WYWODE FORMULY (10). aNALOGI^NO, POLXZUQSX RAWENSTWAMI (40 ), (50 ) I USLOWIQMI (19) DLQ FUNKCII u (M
M1 ) NA HARAKTERISTIKAH, NAHODIM

ZM1

P1

=

(H d ; K d ) =

ZM1

ZM1

P1

P1

; (vu) d ; (uv) d ] + =

ZQ1 M1

ILI

ZM1 P1

v (2u d + 2u d ) + (au d ; bu d )] =

ZM1  @u a + b  d (uv) + 2 @s ; p u v ds = (uv)M1 ; (uv)P1 2 2 P1  ds d = ; d = p

2








(H d ; K d ) = (uv)M1 ; (uv)Q1 d = d = pds : 2

sUMMIRUQ WSE \TI ^ETYRE RAWENSTWA, POLU^AEM 2 (uv)M = 2 (uv)M1


TAK KAK

u (M
M1 ) = v (M
M1)


(20)

(u)M1 = (v)M = 1: tAKIM OBRAZOM, MY WIDIM, ^TO v (M
M1 ) | FUNKCI@ WLIQNIQ EDINI^NOGO IMPULXSA, SOSREDOTO^ENNOGO W TO^KE M1 | MOVNO OPREDELITX KAK

REENIE URAWNENIQ L(x y) v (M
M1)] = 0
M = M (x
y)
M1 = M1 (
)
S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI (18).

x 5] re{enie linejnyh giperboli~eskih urawnenij 143

4. uRAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI. w KA^ESTWE PERWOGO PRIMERA PRIMENENIQ FORMULY (10) RASSMOTRIM ZADA^U S NA^ALXNYMI DANNYMI DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY:   f uyy = uxx + f1 (x
t) y = at
f1 = a2
u (x
0) = ' (x)
  uy (x
0) = 1 (x) 1 = a : w FORMULE (10) DUGA PQ QWLQETSQ OTREZKOM OSI y = 0. oPERATOR L u] = uxx ; uyy QWLQETSQ SAMOSOPRQVENNYM, POSKOLXKU M u] = L u] = uxx ; uyy : tAK KAK a = 0 I b = 0, TO FUNKCIQ v NA HARAKTERISTIKAH MP I MQ RAWNA EDINICE. oTS@DA SLEDUET, ^TO v (M
M 0 )  1 DLQ L@BOJ TO^KI M 0 WNUTRI TREUGOLXNIKA PMQ.

rIS. 28

u^ITYWAQ ZATEM, ^TO W NAEM SLU^AE d = 0 NA PQ
POLU^AEM u (M ) = u (P ) + u (Q) + 1 2

2

ZQ

P

u d + 21

ZZ PMQ

f (
) d d:

zAME^AQ, ^TO P = P (x ; y
0), Q = Q (x + y
0), GDE x I y | KOORDINATY TO^KI M = M (x
y) (RIS. 28), I POLXZUQSX NA^ALXNYMI

144

urawneniq giperboli~eskogo tipa

USLOWIQMI, BUDEM IMETX u (x
y) = ' (x ; y) + ' (x + y) = 2

= 21

xZ+y

1 ( ) d + 12

x;y

gl. II

Zy x+(Zy;) 0 x;(y;)

f1 (
) d d:

wOZWRA]AQSX K PEREMENNYM x I t, POLU^AEM FORMULU dALAMBERA u (x
t) = ' (x ; at) + ' (x + at) + 2

+ 21a

xZ+at

x;at

 ( ) d + 21a

Zt x+aZ(t; ) 0 x;a (t; )

f (
 ) d d


S KOTOROJ MY UVE WSTRE^ALISX W x 2, P. 9 (FORMULA (30)). w KA^ESTWE WTOROGO PRIMERA RASSMOTRIM ZADA^U S NA^ALXNYMI USLOWIQMI DLQ URAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI uxx ; uyy + aux + buy + cu = 0
;1 < x < 1
y > 0 (21) (a, b, c | POSTOQNNYE ^ISLA), u jy=0 = ' (x)
(22) uy jy=0 =  (x): (23) pODSTANOWKA U = u ex+y (24) POZWOLQET PRIWESTI URAWNENIE (21) K BOLEE PROSTOMU WIDU: Uxx ; Uyy + c1 U = 0
c1 = 41 (4c ; a2 + b2 )


S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI U jy=0 = ' (x) eax=2 = '1 (x)






;1 < x < 1


;1 < x < 1


Uy jy=0 =  (x) ; 2b ' (x) eax=2 = 1 (x)


;1 < x < 1


y > 0


(25)

(220 ) (230 )

ESLI TOLXKO WYBRATX PARAMETRY  I  SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM, POLAGAQ  = a2
 = ; 2b : (26)

x 5] re{enie linejnyh giperboli~eskih urawnenij 145

oPREDELENIE FUNKCII U (x
y) PO NA^ALXNYM DANNYM I URAWNENI@ (25) SWODITSQ K POSTROENI@ FUNKCII rIMANA v (x
y 
). fUNKCIQ v DOLVNA UDOWLETWORQTX USLOWIQM vxx ; vyy + c1 v = 0
(27)

)

GDE

v = 1 NA HARAKTERISTIKE MP , v = 1 NA HARAKTERISTIKE MQ (SM. RIS. 28). bUDEM ISKATX v W WIDE v = v (z )


(28) (29)

p

z = (x ;  )2 ; (y ; )2 ILI z 2 = (x ;  )2 ; (y ; )2 : (30) nA HARAKTERISTIKAH MP I MQ PEREMENNAQ z OBRA]AETSQ W NULX, TAK ^TO v (0) = 1. dALEE LEWAQ ^ASTX URAWNENIQ (27) PREOBRAZUETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: vxx ; vyy + c1 v = v00 (z ) (zx2 ; zy2 ) + v0 (z ) (zxx ; zyy ) + c1 v = 0: dIFFERENCIRUQ WYRAVENIE DLQ z 2 DWAVDY, PO x I y, POLU^IM zzx = x ; 
zzy = ; (y ; )
zzxx + zx2 = 1
zzyy + zy2 = ; 1: oTS@DA I IZ FORMULY (30) NAHODIM

zx2 ; zy2 = 1
zxx ; zyy = z1 : uRAWNENIE DLQ v PRINIMAET WID v00 + 1z v0 + c1 v = 0

PRI USLOWII v (0) = 1. rEENIEM \TOGO URAWNENIQ QWLQETSQ FUNKCIQ bESSELQ NULEWOGO PORQDKA (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 1) v (z ) = J0 (pc1 z )
ILI p  v (x
y 
) = J0 c1 (x ;  )2 ; (y ; )2 ] : (31) 10 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

146

urawneniq giperboli~eskogo tipa

gl. II

wOSPOLXZUEMSQ TEPERX DLQ NAHOVDENIQ U (x
y) FORMULOJ (10), KOTORAQ W NAEM SLU^AE PRINIMAET WID

Z U (M ) = U (P ) +2 U (Q) + 21 (v U d ; U v d ) (d = 0): Q

P

(32)

wY^ISLIM PREDWARITELXNO INTEGRAL PO OTREZKU PQ ( = 0):

ZQ P

(v U ; U v ) d =

xZ+y

x;y

p

J0



c1 (x ;  )2 ; y2 ] U (
0) ;



U (
0) pc1 y J00 pc1 (x ;  )2 ; y2 pc (x ; )2 ; y2] ; 1 pOLXZUQSX NA^ALXNYMI USLOWIQMI (220 ), (230), NAHODIM U (x
y) = '1 (x ; y) + '1 (x + y) + 2

+ 12

xZ+y

x;y

J0



d:

(33)



p p

c1 (x ;  )2 ; y2 1 ( ) d +

xZ+y J

p

+ 21 c1 y

p

1

x;y

 p p c1 (x ;  )2 ; y2 p(x ; )2 ; y2 '1 () d


OTKUDA W SILU (24), (22 ) I (230 ) POLU^AEM FORMULU b ; a 2 b y + ' (x + y ) e a + 2 y u (x
y) = ' (x ; y) e ;

(34)

0

;

2

xZ+y





b J pc p(x ;  )2 ; y2 ; ; 21 eby=2 1 2 0 x;y p p  2 ; y2  J c ( x ;  ) 1 1 e;a=2(x;) ' ( ) d + ; pc1 m y p(x ; )2 ; y2 xZ+y   p 1 by= 2 J0 pc1 (x ;  )2 ; y2 e;a=2(x;)  ( ) d
+2e x;y

DA@]U@ REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I.

(35)

zada~i k glawe II

147

rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ a = 0, b = 0 (TOGDA c1 = c), T. E. URAWNENIE uxx ; uyy + cu = 0: iZ FORMULY (35) SRAZU POLU^AEM u(x
y) = '(x ; y) + '(x + y) + 1 2

2

xZ+y

x;y

J0

p p



c (x ;  )2 ; y2 ( ) d +

xZ+y J pc p(x ;  )2 ; y 2  1 p p(x ; )2 ; y2 ' () d: + 21 c y x;y

(36)

pOLAGAQ ZDESX c = 0 I y = at, PRIHODIM K FORMULE dALAMBERA u (x
t) = ' (x ; at) +2 ' (x + at) + 21a

DA@]EJ REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY PRI NA^ALXNYH USLOWIQH

xZ+at

x;at

 ( ) d


(37)

uxx ; a12 utt = 0

u (x
0) = ' (x)
ut (x
0) =  (x)
 (x) = a (x) = auy (y
0): zada~i k glawe II 1. rEITX ZADA^U 1 IZ x 4, PREDPOLAGAQ, ^TO W NA^ALXNYJ MOMENT KONCENTRACIQ WLAGI POSTOQNNA WDOLX WSEJ TRUBY I NA WHOD PODAETSQ POTOK SUHOGO WOZDUHA. 2. rEITX ZADA^U 2 IZ x 4, S^ITAQ, ^TO NA^ALXNAQ TEMPERATURA SISTEMY RAWNA u0 , A TEMPERATURA NA KONCE TRUBY WSE WREMQ PODDERVIWAETSQ RAWNOJ v0 > u0 . 3. rEITX SISTEMU TELEGRAFNYH URAWNENIJ (SM. x 1, (21)) ix + C vt + G v = 0 vx + L it + R i = 0 DLQ BESKONE^NOJ LINII PRI NA^ALXNYH USLOWIQH i (x 0) = ' (x) v (x 0) =  (x): 10


148

priloveniq k glawe II

uKAZANIE. sWESTI SISTEMU URAWNENIJ (x 1 (21)) K URAWNENI@ 2-GO PORQDKA DLQ ODNOJ IZ FUNKCIJ i (x t) ILI v (x t), NAPRIMER ixx = CL itt + (CR + GL) it + GR i S NA^ALXNYMI USLOWIQMI i (x 0) = ' (x),   @i  = ;  1 vx + R i  = ; 1 0 (x) ; R ' (x) =  (x) 0 @t t=0 L L t=0 L L I WOSPOLXZOWATXSQ ZATEM FORMULOJ (35). 4. iSSLEDOWATX REENIE TELEGRAFNOGO URAWNENIQ, POLU^ENNOE (FORMULA (35)) DLQ SLU^AQ MALYH G I R. rASSMOTRETX PREDELXNYJ SLU^AJ G ! 0, R ! 0 I POLU^ITX IZ FORMULY (35) FORMULU dALAMBERA DLQ REENIQ URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY.

priloveniq k glawe II

I. o KOLEBANII STRUN MUZYKALXNYH INSTRUMENTOW kOLEBL@]AQSQ STRUNA WOZBUVDAET KOLEBANIQ WOZDUHA, WOSPRINIMAEMYE UHOM ^ELOWEKA KAK ZWUK, IZDAWAEMYJ STRUNOJ. sILA ZWUKA HARAKTERIZUETSQ \NERGIEJ ILI AMPLITUDOJ KOLEBANIJ, TON | PERIODOM KOLEBANIJ, A TEMBR | SOOTNOENIEM \NERGIJ OSNOWNOGO TONA I OBERTONOW 1) . nE OSTANAWLIWAQSX NA FIZIOLOGI^ESKIH PROCESSAH WOSPRIQTIQ ZWUKA I NA PROCESSE PEREDA^I ZWUKA PO WOZDUHU, MY BUDEM HARAKTERIZOWATX ZWUK STRUNY EE \NERGIEJ, PERIODOM I RASPREDELENIEM \NERGII PO OBERTONAM. w MUZYKALXNYH INSTRUMENTAH OBY^NO WOZBUVDA@TSQ POPERE^NYE rIS. 29 KOLEBANIQ STRUN. rAZLI^A@T TRI TIPA STRUNNYH INSTRUMENTOW: ]IPKOWYE, UDARNYE I SMY^KOWYE. w UDARNYH INSTRUMENTAH (NAPRIMER, ROQLX) KOLEBANIE WOZBUVDAETSQ UDAROM, PRIDA@]IM STRUNE NA^ALXNU@ SKOROSTX BEZ NA^ALXNOGO OTKLONENIQ. w ]IPKOWYH INSTRUMENTAH (NAPRIMER, ARFA, GITARA) KOLEBANIQ WOZBUVDA@TSQ PRIDANIEM STRUNE NEKOTOROGO NA^ALXNOGO OTKLONENIQ BEZ NA^ALXNOJ SKOROSTI. sWOBODNYE KOLEBANIQ STRUNY, WOZBUVDAEMOJ PROIZWOLXNYM SPOSOBOM, MOGUT BYTX PREDSTAWLENY W WIDE (SM. GL. II, x 3) 1  n  X u (x
t) = (an cos !n t + bn sin !n t) sin n x !n = l a : l n=1 1)

r \ L E J d V. w. s. tEORIQ ZWUKA. M., 1955. t. I, GL. VI.

I. o kolebanii strun muzykalxnyh instrumentow 149

w KA^ESTWE UPRAVNENIQ K x 3 BYLA PREDLOVENA ZADA^A 1, LEVA]AQ W OSNOWE PROSTEJEJ TEORII WOZBUVDENIQ STRUN ]IPKOWYH INSTRUMENTOW. rEENIE \TOJ ZADA^I POKAZYWAET, ^TO ESLI NA^ALXNOE OTKLONENIE STRUNY PREDSTAWLENO W WIDE TREUGOLXNIKA S WYSOTOJ h W TO^KE x = c (RIS. 29), TO 2 an = 2 n22chl(l ; c) sin nc (1) l
bn = 0: |NERGIQ n-J GARMONIKI RAWNA 2 2 En = 41 l !n2 a2n = Mh2 2 n2 cl2 a(l ; c)2 sin2 nc l (M = l) (2) I UBYWAET OBRATNO PROPORCIONALXNO n2 . w ZADA^E 4 K x 3 RASSMATRIWAETSQ PROSTEJAQ TEORIQ UDARNOGO WOZBUVDENIQ STRUNY PRI POMO]I SOSREDOTO^ENNOGO W TO^KE c UDARA S IMPULXSOM K . rEENIE \TOJ ZADA^I PREDSTAWLQETSQ W WIDE 1 2K X 1 sin nc sin nx sin ! t ! = n a
(3) u (x
t) = a n n l l l n=1 n 2 (4) En = KM sin2 nc l : tAKIM OBRAZOM, PRI WOZBUVDENII STRUNY UDAROM, SOSREDOTO^ENNYM NA NEBOLXOM INTERWALE DLINY , \NERGII RAZLI^NYH GARMONIK (DLQ KOTORYH MALO PO SRAWNENI@ S RASSTOQNIEM MEVDU UZLAMI) BUDUT MALO RAZLI^ATXSQ MEVDU SOBOJ I TON, IZDAWAEMYJ TAK WOZBUVDENNOJ STRUNOJ, NASY]EN OBERTONAMI. |TO ZAKL@^ENIE LEGKO PROWERQETSQ \KSPERIMENTALXNO. eSLI NATQNUTU@ STRUNU (NA MONOHORDE) UDARITX LEZWIEM NOVA, TO STRUNA ZAZWENIT: ZWUK BUDET NASY]EN OBERTONAMI. w ROQLE STRUNA WOZBUVDAETSQ UDAROM MOLOTO^KA, OBTQNUTOGO KOVEJ. tAKOE WOZBUVDENIE STRUNY MOVNO PREDSTAWITX PRI POMO]I SLEDU@]IH SHEM. 1. sTRUNA WOZBUVDAETSQ ZADANIEM POSTOQNNOJ NA^ALXNOJ SKOROSTI v0 NA INTERWALE (c ;
c + ). |TOT SLU^AJ BUDET SOOTWETSTWOWATX PLOSKOMU VESTKOMU MOLOTO^KU, IME@]EMU IRINU 2 I UDARQ@]EMU W TO^KE c. pROCESS KOLEBANIJ OPISYWAETSQ FUNKCIEJ (SM. ZADA^U 3 IZ

x 3)

u (x
t) = 4v20al

1 X

1 sin nc sin n sin nx sin ! t
n 2 n l l l n=1 I \NERGII OTDELXNYH GARMONIK RAWNY 2 0 sin2 nc  sin2 n : En = 4nMv 2 2 l l

150

priloveniq k glawe II 2. sTRUNA WOZBUVDAETSQ NA^ALXNOJ SKOROSTX@

8 > x;c  > @u (x
0) = @t > : 0 PRI jx ; cj > :

|TOT SLU^AJ SOOTWETSTWUET VESTKOMU WYPUKLOMU MOLOTO^KU IRINY 2 . tAKOJ MOLOTO^EK W CENTRE INTERWALA 2 WOZBUVDAET NAIBOLXU@ NA^ALXNU@ SKOROSTX, ^TO SHEMATI^ESKI MOVET BYTX OPISANO PRIWEDENNOJ WYE FUNKCIEJ. wOZBUVDENNOE TAKIM OBRAZOM KOLEBANIE IMEET WID (SM. ZADA^U 3 IZ x 3) n sin nc cos 1 X1 l l nx sin ! t
u (x
t) = 8v20a sin   n 2 l n=1 n 1 ; 2 n l I \NERGII GARMONIK RAWNY 2 2 1 En = 16vl0 2   h  sin2 ncl : i2  cos2 n l 2 1 ; (2 n=l) 3. mOLOTO^EK, WOZBUVDA@]IJ KOLEBANIQ STRUNY, NE QWLQETSQ IDEALXNO VESTKIM. w \TOM SLU^AE KOLEBANIQ OPREDELQ@TSQ UVE NE NA^ALXNOJ SKOROSTX@, A SILOJ, MENQ@]EJSQ SO WREMENEM. tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K NEODNORODNOMU URAWNENI@ S PRAWOJ ^ASTX@ 8 > : 0
ESLI jx ; cj >
t > : rEENIE \TOGO URAWNENIQ DLQ t >  PREDSTAWLQETSQ W WIDE cos !2n sin nc cos n 1 l l X 1" 0  #" u (x
t) = 16F3 a   2  na 2 #  n=1 n 1 ; 2 n 1; l l    sin nx sin ! t; 2 : n l rASSMOTRENNYE PRIMERY POKAZYWA@T, ^TO IRINA INTERWALA, PO KOTOROMU PROIZWODITSQ UDAR, I PRODOLVITELXNOSTX WREMENI UDARA IME@T WESXMA SU]ESTWENNOE WLIQNIE NA WELI^INU \NERGII WYSOKIH

II. o kolebanii stervnej

151

OBERTONOW. oTMETIM, KROME TOGO, ^TO PRISUTSTWIE MNOVITELQ sin nc l POKAZYWAET, ^TO ESLI CENTR UDARA MOLOTO^KA PRIHODITSQ NA UZEL n-J GARMONIKI, TO \NERGIQ SOOTWETSTWU@]EJ GARMONIKI RAWNA NUL@. nALI^IE WYSOKIH OBERTONOW (NA^INAQ S 7-GO) NARUAET GARMONI^NOSTX ZWUKA I WYZYWAET O]U]ENIE DISSONANSA 1) . nALI^IE NIZKIH OBERTONOW, NAOBOROT, WYZYWAET O]U]ENIE POLNOTY ZWUKA. w ROQLE MESTO UDARA MOLOTO^KA WYBIRA@T BLIZKO OT TO^KI ZAKREPLENIQ STRUNY MEVDU UZLAMI 7-GO I 8-GO OBERTONOW, ^TOBY UMENXITX IH \NERGI@. rEGULIRUQ IRINU MOLOTO^KA I EGO VESTKOSTX, STREMQTSQ UWELI^ITX OTNOSITELXNU@ \NERGI@ NIZKIH (3-GO I 4-GO) OBERTONOW. w STARYH KONSTRUKCIQH ROQLQ, OBLADAWIH BOLEE REZKIM, DAVE DO NEKOTOROJ STEPENI ZWENQ]IM TONOM, POLXZOWALISX UZKIMI I VESTKIMI MOLOTO^KAMI.

II. o KOLEBANII STERVNEJ w KURSAH METODOW MATEMATI^ESKOJ FIZIKI OSNOWNOE MESTO OTWODITSQ URAWNENIQM 2-GO PORQDKA. oDNAKO BOLXOE ^ISLO ZADA^ O KOLEBANIQH STERVNEJ, PLASTIN I T. D. PRIWODIT K URAWNENIQM BOLEE WYSOKOGO PORQDKA. w KA^ESTWE PRIMERA URAWNENIQ 4-GO PORQDKA RASSMOTRIM ZADA^U O SOBSTWENNYH KOLEBANIQH KAMERTONA, \KWIWALENTNU@ ZADA^E O KOLE-

rIS. 30

BANIQH TONKOGO PRQMOUGOLXNOGO STERVNQ, ZAVATOGO ODNIM KONCOM W MASSIWNYE TISKI. oPREDELENIE FORMY I ^ASTOTY KOLEBANIJ KAMERTO1) nAPRIMER, ESLI OSNOWNAQ ^ASTOTA (PERWAQ GARMONIKA) W 440 KOLEBANIJ W SEKUNDU SOOTWETSTWUET NOTE LQ PERWOJ OKTAWY, TO W SEMX RAZ B!OLXAQ ^ASTOTA SOOTWETSTWUET NOTE SOLX ^ETWERTOJ OKTAWY. iNTERWAL LQ | SOLX , TAK NAZYWAEMAQ MALAQ SEPTIMA, IMEET NEPRIQTNYJ DLQ SLUHA, DISSONIRU@]IJ HARAKTER.

152

priloveniq k glawe II

NA SWODITSQ K REENI@ URAWNENIQ POPERE^NYH KOLEBANIJ STERVNQ @ 2 y + a2 @ 4 y = 0: (1) @t2 @x4 k \TOMU URAWNENI@ PRIHODQT WO MNOGIH ZADA^AH O KOLEBANIQH STERVNEJ, PRI RAS^ETE USTOJ^IWOSTI WRA]A@]IHSQ WALOW, A TAKVE PRI IZU^ENII WIBRACII KORABLEJ 1) . pRIWEDEM \LEMENTARNYJ WYWOD URAWrIS. 31 NENIQ (1). rASSMOTRIM PRQMOUGOLXNYJ STERVENX DLINOJ l (0 6 x 6 l), WYSOTOJ h I IRINOJ b (RIS. 30). wYDELIM \LEMENT DLINY dx. pOSLE IZGIBA TORCEWYE SE^ENIQ WYDELENNOGO \LEMENTA STERVNQ, PREDPOLAGAEMYE PLOSKIMI, OBRAZU@T UGOL d'. eSLI DEFORMACII MALY, A DLINA OSI STERVNQ PRI IZGIBE NE MENQETSQ (dl = dx), TO  @y  @y @ 2 y dx: d' = @x  ; @x  = ; @x 2 x x+dx sLOJ MATERIALA, OTSTOQ]IJ OT OSI STERVNQ y = 0 NA RASSTOQNIE , IZMENQET SWO@ DLINU NA WELI^INU  d' (RIS. 31). pO ZAKONU gUKA SILA NATQVENIQ, DEJSTWU@]AQ WDOLX SLOQ, RAWNA @ 2 y  d
= ; E  b dN = E  b d   d' dx @x2 GDE E | MODULX UPRUGOSTI MATERIALA STERVNQ. pOLNYJ IZGIBA@]IJ MOMENT SIL, DEJSTWU@]IH W SE^ENII x, RAWEN @2y b M = ;E @x 2

GDE J =b

Zh=2

;h=2

Zh=2 ;h=2

@ 2 y J
2 d = ;E @x 2

(2)

3

2 d = bh 12

| MOMENT INERCII PRQMOUGOLXNOGO SE^ENIQ OTNOSITELXNO SWOEJ GORIZONTALXNOJ OSI. oBOZNA^IM ^EREZ M (x) MOMENT, DEJSTWU@]IJ NA PRAWU@ ^ASTX STERVNQ W KAVDOM SE^ENII. w SE^ENII x + dx, O^EWIDNO, DEJSTWUET MOMENT SIL, RAWNYJ ;(M + dM ). 1)

sM., NAPRIMER: k R Y L O W a. n. wIBRACIQ SUDOW. spB., 1907 sOBRANIE TRUDOW AKADEMIKA a. n. kRYLOWA. t. X. m. l., 1948.

II. o kolebanii stervnej

153

iZBYTO^NYJ MOMENT ;dM URAWNOWEIWAETSQ MOMENTOM TANGENCIALXNYH SIL dM = F dx: oTS@DA W SILU RAWENSTWA (2) POLU^AEM WELI^INU TANGENCIALXNOJ SILY @3y : F (x
t) = @M = ; EJ (3) @x @x3 pRIRAWNQW DEJSTWU@]U@ NA \LEMENT REZULXTIRU@]U@ SILU @ 4 y dx dx = ; EJ dF = @F @x @x4 PROIZWEDENI@ MASSY \LEMENTA NA USKORENIE 2 S @@ty2 dx
GDE  | PLOTNOSTX STERVNQ, S | PLO]ADX POPERE^NOGO SE^ENIQ (PRI \TOM MY PRENEBREGAEM WRA]ATELXNYM DWIVENIEM PRI IZGIBE), POLU^AEM URAWNENIE POPERE^NYH KOLEBANIJ STERVNQ   @ 2y + a2 @ 4y = 0 a2 = EJ : (1) @t2 @x4 S gRANI^NYMI USLOWIQMI DLQ ZADELANNOGO KONCA x = 0 QWLQ@TSQ NEPODWIVNOSTX STERVNQ I GORIZONTALXNOSTX KASATELXNOJ:   @y  (4) y  = 0
@x  = 0: x=0 x=0 nA SWOBODNOM KONCE DOLVNY RAWNQTXSQ NUL@ IZGIBA@]IJ MOMENT (2) I TANGENCIALXNAQ SILA (3), OTKUDA SLEDUET, ^TO   @ 2y  = 0
@ 3 y  = 0: (5) @x2 x=l @x3 x=l dLQ TOGO ^TOBY POLNOSTX@ OPREDELITX DWIVENIE STERVNQ, NUVNO E]E ZADATX NA^ALXNYE USLOWIQ | NA^ALXNOE OTKLONENIE I NA^ALXNU@ SKOROSTX    y  = f (x) I @y (6) @t t=0 = ' (x) (0 6 x 6 l): t=0 tAKIM OBRAZOM, ZADA^A SWODITSQ K REENI@ URAWNENIQ (1) S GRANI^NYMI USLOWIQMI (4), (5) I S NA^ALXNYMI USLOWIQMI (6). bUDEM REATX ZADA^U METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, POLAGAQ y = Y (x) T (t): (7)

priloveniq k glawe II

154

pODSTAWLQQ PREDLAGAEMU@ FORMU REENIQ W (1), IMEEM T 00 (t) = ; Y (4) (x) = ;: a2 T (t) Y (x) dLQ FUNKCII Y (x) POLU^AEM ZADA^U O SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH Y (4) ; Y = 0
(8)      = 0
d2Y2  = 0
d3Y3  = 0: (9) Y  = 0
dY dx x=0 dx x=l dx x=l x=0 oB]EE REENIE URAWNENIQ (8) PREDSTAWLQETSQ W WIDE p p p p Y (x) = A ch 4  x + B sh 4  x + C cos 4  x + D sin 4  x: iZ USLOWIJ Y (0) = 0, Y 0 (0) = 0 NAHODIM C = ; A, D = ; B . oTS@DA SLEDUET, ^TO  p p   p p  Y (x) = A ch 4  x ; cos 4  x + B sh 4  x ; sin 4  x : uSLOWIQ Y 00 (l) = 0 I Y 000 (l) = 0 DA@T  p p   p p  A ch 4  l + cos 4  l + B sh 4  l + sin 4  l = 0


 p

p 

 p

p 

A sh 4  l ; sin 4  l + B ch 4  l + cos 4  l = 0: |TA ODNORODNAQ SISTEMA IMEET NETRIWIALXNYE REENIQ A I B , ESLI OPREDELITELX SISTEMY RAWEN NUL@. pRIRAWNIWAQ \TOT OPREDELITELX NUL@, POLU^AEM TRANSCENDENTNOE URAWNENIE DLQ WY^ISLENIQ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ : p p p p p p 4 2 sh  l ; sin2 4  l = ch2 4  l + 2 ch 4  l cos 4  l + cos2 4  l: tAK KAK ch2 x ; sh2 x = 1, TO \TO URAWNENIE MOVNO ZAPISATX W WIDE  p  ch   cos  = ;1  = 4  l : (10) kORNI URAWNENIQ (10) BEZ TRUDA WY^ISLQ@TSQ, NAPRIMER, GRAFI^ESKI 1) : 1 1
875
2 4
694
3 7
854
: : : : : :  n 2 (2n ; 1) PRI n > 3: 1)

o WY^ISLENII KORNEJ URAWNENIQ (10) SM.: r \ L E J d V. w. s. tEORIQ ZWUKA. m., 1955. t. I, GL. VIII.

III. kolebaniq nagruvennoj struny

155

pOSLEDNQQ FORMULA DAET ZNA^ENIE n S TO^NOSTX@ DO TREH DESQTI^NYH ZNAKOW, NA^INAQ S n = 3, I S TO^NOSTX@ DO ESTOGO ZNAKA DLQ n > 7. rASSMOTRIM TEPERX ^ASTOTY KOLEBANIJ KAMERTONA. uRAWNENI@ T 00 + a2 n T = 0 UDOWLETWORQ@T TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII Tn (t) = an cos 2n t + bn sin 2n t S ^ASTOTOJ pn pn s EJ 2 s EJ a n = 2 = 2 S = 2ln2 S : ~ASTOTY n SOBSTWENNYH KOLEBANIJ OTNOSQTSQ KAK KWADRATY n . tAK KAK 22 6
267
23 17
548
21 21 TO WTOROJ SOBSTWENNYJ TON WYE OSNOWNOGO TONA BOLEE ^EM NA DWE S POLOWINOJ OKTAWY, T. E. WYE ESTOJ GARMONIKI STRUNY PRI RAWNOM OSNOWNOM TONE, TRETXE VE SOBSTWENNOE KOLEBANIE WYE OSNOWNOGO TONA BOLEE ^EM NA ^ETYRE OKTAWY. nAPRIMER, ESLI KAMERTON IMEET OSNOWNU@ ^ASTOTU W 440 KOLEBANIJ W SEKUNDU (PRINQTYJ STANDART DLQ a0 | NOTY LQ PERWOJ OKTAWY), TO SLEDU@]AQ SOBSTWENNAQ 0000 ^ASTOTA KAMERTONA BUDET RAWNA 2757
5 KOLEBANIQ W SEKUNDU (MEVDU c = 2637
3 I f 0000 = 2794
0 | MEVDU NOTAMI MI I FA ^ETWERTOJ OKTAWY RAWNOMERNO TEMPERIROWANNOJ GAMMY), TRETXQ VE SOBSTWENNAQ ^ASTOTA W 7721
1 KOLEBANIQ W SEKUNDU UVE WYHODIT ZA PREDELY KALY SOBSTWENNO MUZYKALXNYH ZWUKOW. pRI WOZBUVDENII KOLEBANIJ KAMERTONA UDAROM PRISUTSTWUET NE TOLXKO PERWAQ, NO I WYSIE GARMONIKI, ^EM I OB_QSNQETSQ METALLI^ESKIJ ZWUK W NA^ALXNYJ MOMENT. oDNAKO S TE^ENIEM WREMENI WYSIE GARMONIKI BYSTRO ZATUHA@T I KAMERTON IZDAET ^ISTYJ ZWUK OSNOWNOGO TONA.

III. kOLEBANIQ NAGRUVENNOJ STRUNY 1. pOSTANOWKA ZADA^I. rASSMOTRIM ZADA^U O KOLEBANIQH ZA-

KREPLENNOJ NA KONCAH STRUNY (0
l), W NESKOLXKIH TO^KAH KOTOROJ x = xi (i = 1
2
: : :
n) POME]ENY SOSREDOTO^ENNYE MASSY Mi . uSLOWIQ W TO^KE xi MOVNO POLU^ITX DWUMQ SPOSOBAMI. eSLI W TO^KE xi (i = 1
2
: : :
n) PRILOVENA SOSREDOTO^ENNAQ SILA Fi (t), TO DOLVNY WYPOLNQTXSQ SOOTNOENIQ u (xi ; 0
t) = u (xi + 0
t)
(1)

xi+0 k ux  = ; Fi : xi ;0

(2)

priloveniq k glawe II

156

w DANNOM SLU^AE POD Fi SLEDUET PONIMATX SILU INERCII. pODSTAWLQQ W FORMULU (2) Fi = ; Mi utt (xi
t)
POLU^IM

xi+0 Mi utt (xi
t) = k ux  : xi ;0

(3)

wOZMOVEN I DRUGOJ WYWOD USLOWIQ (3). rASPREDELIM MASSU Mi NA U^ASTKE (xi ; "
xi + ") S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ i I WOSPOLXZUEMSQ URAWNENIEM KOLEBANIJ DLQ NEODNORODNOJ STRUNY   @ k @u
x ; " < x < x + "
( + i ) utt = @x (4) i i @x GDE  | PLOTNOSTX STRUNY. pUSTX u" (x
t) | REENIE \TOGO URAWNENIQ. iNTEGRIRUQ URAWNENIE (4) PO x W PREDELAH OT xi ; " DO xi + " I SOWERAQ PREDELXNYJ PEREHOD PRI " ! 0, POLU^IM USLOWIE (3) DLQ FUNKCII u (x
t) = "lim u" (x
t). nA OBOSNOWANII PREDELXNOGO PEREHODA !0 MY NE OSTANAWLIWAEMSQ . sFORMULIRUEM POLNOSTX@ NAU ZADA^U. nAJTI REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ  @u  2u @ @  @t2 = @x k @x
(5) UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM ) u (0
t) = 0
(6) u (l
t) = 0
USLOWIQM SOPRQVENIQ W TO^KAH x = xi u (xi ; 0
t) = u (xi + 0
t)


xi+0 Mi utt (xi
t) = k ux  xi ;0

I NA^ALXNYM USLOWIQM

9 > = (i = 1
2
: : :
n) >  )

(7)

u (x
0) = ' (x)
(8) ut (x
0) =  (x)
GDE ' (x) I  (x) | ZADANNYE FUNKCII. 2. sOBSTWENNYE KOLEBANIQ NAGRUVENNOJ STRUNY. oSTANOWIMSQ PREVDE WSEGO NA ISSLEDOWANII SOBSTWENNYH ^ASTOT I PROFILEJ

III. kolebaniq nagruvennoj struny

157

STOQ^IH WOLN DLQ NAGRUVENNOJ STRUNY. dLQ \TOGO MY DOLVNY NAJTI REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I, PREDSTAWIMOE W WIDE PROIZWEDENIQ u (x
t) = X (x) T (t): (9) pODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W URAWNENIE (5) I POLXZUQSX GRANI^NYMI USLOWIQMI, POLU^IM POSLE RAZDELENIQ PEREMENNYH T 00 + T = 0 (10) I   d k dX + X = (kX 0 )0 + X = 0
9 > = dx dx > X (0) = 0
X (l) = 0: uSLOWIQ SOPRQVENIQ DA@T X (xi ; 0) = X (xi + 0)


xi+0 Mi X (xi ) T = kX  T: xi ;0 00

0

pRINIMAQ WO WNIMANIE URAWNENIE (10), PEREPIEM POSLEDNEE SOOTNOENIE W WIDE

xi+0 kX  = ;Mi X (xi ): xi ;0 0

tAKIM OBRAZOM, DLQ FUNKCII X (x) MY POLU^AEM SLEDU@]U@ ZADA^U NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ: d 0 (11) dx (k X ) + X = 0
k (x) > 0
 (x) > 0
X (0) = 0
X (l) = 0


)

(12)

X (xi ; 0) = X (xi + 0) (i = 1
2
: : :
N )
(13) kX 0 (xi + 0) ; kX 0 (xi ; 0) + Mi X (xi ) = 0: oTLI^ITELXNOJ OSOBENNOSTX@ RASSMATRIWAEMOJ KRAEWOJ ZADA^I QWLQETSQ TO, ^TO PARAMETR  WHODIT NE TOLXKO W URAWNENIE, NO I W DOPOLNITELXNYE USLOWIQ. mY NE BUDEM ZDESX OSTANAWLIWATXSQ NA DOKAZATELXSTWAH SU]ESTWOWANIQ BES^ISLENNOGO MNOVESTWA SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ I SOBSTWENNYH FUNKCIJ, POLOVITELXNOSTI SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ, TEOREMY RAZLOVIMOSTI. |TA KRAEWAQ ZADA^A, TAK VE KAK I ZADA^I OBY^NOGO TIPA, RASSMOTRENNYE NAMI W GL. II, x 3, SWODITSQ K NEKOTOROMU INTEGRALXNOMU

priloveniq k glawe II

158

URAWNENI@, KOTOROE W DANNOM SLU^AE QWLQETSQ N A G R U V E N N Y M INTEGRALXNYM URAWNENIEM I \KWIWALENTNO INTEGRALXNOMU URAWNENI@ W INTEGRALAH sTILTXESA. oSTANOWIMSQ BOLEE PODROBNO NA WYWODE USLOWIQ ORTOGONALXNOSTI SOBSTWENNYH FUNKCIJ X1 (x)
X2 (x)
: : :
KOTOROE W DANNOM SLU^AE OTLI^NO OT USLOWIQ (92) IZ x 3 I NAZYWAETSQ USLOWIEM ORTOGONALXNOSTI S NAGRUZKOJ. kAK BYLO POKAZANO W GL. II, x 3, SOBSTWENNYE FUNKCII DLQ KRAEWOJ ZADA^I   d k dX + X = 0
dx dx X (0) = 0
X (l) = 0 ORTOGONALXNY S WESOM  NA INTERWALE (0
l):

Zl 0

Xm (x) Xn (x)  (x) dx = 0 (m 6= n):

(14)

rASPREDELQQ KAVDU@ MASSU Mi S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ i NA NEKOTOROM INTERWALE xi ; " < x < xi + ", GDE " > 0 | MALOE ^ISLO, MY PRIDEM K ZADA^E O SOBSTWENNYH KOLEBANIQH NEODNORODNOJ STRUNY S PLOTNOSTX@ " (x). pUSTX "n I X"n (x) | SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYE FUNKCII \TOJ ZADA^I, DLQ KOTORYH DOLVNY WYPOLNQTXSQ USLOWIQ ORTOGONALXNOSTI

Zl 0

X"m (x) X"n (x) " (x) dx = 0 (m 6= n):

(15)

wYDELQQ W RAWENSTWE (15) INTEGRALY PO U^ASTKAM (xi ; "
xi + ") I SOWERAQ PREDELXNYJ PEREHOD PRI " ! 0, MY POLU^IM SOOTNOENIE

Zl 0

Xm (x) Xn (x)  (x) dx +

N X i=1

Mi Xm (xi ) Xn (xi ) = 0 (m 6= n)
(16)

NAZYWAEMOE USLOWIEM ORTOGONALXNOSTI S NAGRUZKOJ 1) . mY SNOWA OSTAWLQEM W STORONE WOPROS O WOZMOVNOSTI TAKOGO PEREHODA. 1)

k U R A N T r., g I L X B E R T d. mETODY MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m. l., 1951. t. I, GL. VI.

III. kolebaniq nagruvennoj struny

159

uSLOWIE ORTOGONALXNOSTI (16) MOVET BYTX POLU^ENO I ^ISTO FORMALXNYM PUTEM IZ URAWNENIQ I USLOWIJ (11) | (13). pUSTX Xm (x) I Xn (x) | SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I (11) | (13), SOOTWETSTWU@]IE SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM m I n , UDOWLETWORQ@]IE URAWNENIQM   d k dXm +  X = 0
m m dx dx   d k dXn +  X = 0: n n dx dx uMNOVIM PERWOE URAWNENIE NA Xn (x), WTOROE | NA Xm (x) I WY^TEM IZ PERWOGO REZULXTATA WTOROJ. iNTEGRIRUQ POLU^ENNNOE RAWENSTWO POSLEDOWATELXNO PO U^ASTKAM (0
x1 ) (x1
x2 ) : : :  (xN
l) I SKLADYWAQ, BUDEM IMETX

Zl

(m ; n ) Xm (x) Xn (x)  (x) dx ; 0

N xZi+1 d X 0 0 ; dx  Xm kXn ; Xn kXm ] dx = 0
i=0 xi

(17)

PRI^EM MY POLAGAEM x0 = 0, xN +1 = l. wYPOLNQQ INTEGRIROWANIE W KAVDOM IZ SLAGAEMYH SUMMY I OB_EDINQQ ^LENY, SOOTWETSTWU@]IE PODSTANOWKAM x = xi ; 0 I x = xi + 0, POLU^AEM SUMMU SLAGAEMYH WIDA Ai = ( Xm kXn0 ; Xn kXm0 )x=xi ;0 ; ( Xm kXn0 ; Xn kXm0 )x=xi +0 : pRI \TOM PODSTANOWKI PRI x = 0 I x = l W SILU GRANI^NYH USLOWIJ OBRA]A@TSQ W NULX. dLQ WY^ISLENIQ Ai WOSPOLXZUEMSQ USLOWIQMI SOPRQVENIQ ) Xj (xi ; 0) = Xj (xi + 0)
0 kXj0 (xi + 0) ; kXj0 (xi ; 0) = ; Mi j Xj (xi ) (j = m
n): (13 ) pEREPISYWAQ Ai W WIDE Ai = Xm (xi ) kXn0 (xi ; 0) ; kXn0 (xi + 0)] ; ; Xn (xi ) kXm0 (xi ; 0) ; kXm0 (xi + 0)] I POLXZUQSX FORMULOJ (130 ), NAHODIM Ai = Xm (xi ) Mi n Xn (xi ) ; Xn (xi ) Mi m Xm (xi ) = = Mi Xm (xi ) Xn (xi ) (n ; m ): tEPERX RAWENSTWO (17) MOVNO ZAPISATX W WIDE

8Zl 9 N < = X (m ; n ) : Xm (x) Xn (x)  (x) dx + Mi Xm (xi ) Xn (xi ) = 0: i=1 0

priloveniq k glawe II

160

eSLI m 6= n , TO OTS@DA SRAZU VE SLEDUET USLOWIE ORTOGONALXNOSTI S NAGRUZKOJ (16). nORMA SOBSTWENNYH FUNKCIJ Xn (x) OPREDELQETSQ PO FORMULE

kXnk

2=

Zl 0

Xn2 (x)  (x) dx +

N X i=1

Mi Xn2 (xi ):

(18)

o^EWIDNO, ^TO PRI RAZLOVENII NEKOTOROJ FUNKCII f (x) W RQD: f (x) =

1 X

n=1

fn Xn (x)

KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ BUDUT OPREDELQTXSQ PO FORMULE

Zl

fn =

0

f (x) Xn (x)  (x) dx +

N X i=1

kXnk2

Mi f (xi ) Xn (xi ) :

(19)

zADA^A S NA^ALXNYMI USLOWIQMI, POSTAWLENNAQ W P. 1, REAETSQ PO OBY^NOJ SHEME METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH. aNALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ ZADA^A O KOLEBANII STERVNQ (ILI BALKI) PRI NALI^II SOSREDOTO^ENNYH MASS. zADA^A O KOLEBANIQH STRUNY, NAGRUVENNOJ SOSREDOTO^ENNYMI MASSAMI, NAHODIT IROKOE PRIMENENIE W FIZIKE I TEHNIKE. e]E pUASSON REAL ZADA^U O PRODOLXNOM DWIVENII GRUZA, PODWEENNOGO K UPRUGOJ NITI. a. n. kRYLOW POKAZAL 1) , ^TO K \TOJ ZADA^E SWODITSQ TEORIQ INDIKATORA PAROWOJ MAINY, KRUTILXNYH KOLEBANIJ WALA S MAHOWIKOM NA KONCE, RAZNOGO RODA DROVA]IH KLAPANOW I T. D. dLQ TEORII MNOGIH IZMERITELXNYH PRIBOROW WAVNO IZU^ENIE KRUTILXNYH KOLEBANIJ NITI, K KONCU KOTOROJ PODWEENA MASSA (NAPRIMER, ZERKALXCE). oSOBU@ AKTUALXNOSTX ZADA^A PODOBNOGO TIPA PRIOBRELA W SWQZI S IZU^ENIEM USTOJ^IWOSTI WIBRACIJ KRYLXEW SAMOLETA. dLQ REENIQ \TOJ ZADA^I NEOBHODIMO WY^ISLENIE SOBSTWENNYH ^ASTOT KRYLA (BALKI PEREMENNOGO SE^ENIQ), NAGRUVENNOGO MASSAMI (MOTORY). kROME TOGO, RASSMATRIWAEMAQ ZADA^A WSTRE^AETSQ PRI RAS^ETE SOBSTWENNYH KOLEBANIJ ANTENN, NAGRUVENNYH SOSREDOTO^ENNYMI EMKOSTQMI I SAMOINDUKCIQMI (W SWQZI S \TIM SM. pRILOVENIE VI, POSWQ]ENNOE ANALOGII MEVDU MEHANI^ESKIMI I \LEKTROMAGNITNYMI KOLEBANIQMI). mY NE OSTANAWLIWAEMSQ ZDESX NA PRIBLIVENNYH METODAH NAHOVDENIQ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ I FUNKCIJ ZADA^I, ANALOGI^NYH PRIBLIVENNYM METODAM NAHOVDENIQ SOOTWETSTWU@]IH WELI^IN DLQ NEODNORODNOJ STRUNY. 1)

k R Y L O W a. n. o NEKOTORYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIQH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. l., 1933. gL. VII.

III. kolebaniq nagruvennoj struny

161

3. sTRUNA S GRUZOM NA KONCE. zNA^ITELXNYJ PRAKTI^ESKIJ INTERES PREDSTAWLQET ZADA^A O KOLEBANIQH ODNORODNOJ STRUNY, ODIN KONEC KOTOROJ (x = 0) ZAKREPLEN, A KO WTOROMU KONCU (x = l) PODWEEN GRUZ MASSY M . w \TOM SLU^AE USLOWIE PRI x = l PRINIMAET WID Mutt = ; kux (l
t) I DLQ AMPLITUDY STOQ^IH WOLN POLU^AETSQ URAWNENIE Xn00 + n Xn = 0 S GRANI^NYMI USLOWIQMI Xn (0) = 0
Xn0 (l) = M n Xn (l): oTS@DA NAHODIM p Xn (x) = sin pn x
sin n l GDE n OPREDELQETSQ IZ URAWNENIQ p p ctg n l = M n : (20) uSLOWIE ORTOGONALXNOSTI FUNKCIJ f Xn (x) g PRINIMAET WID

Zl 0

Xn (x) Xm (x)  dx + M Xn (l) Xm (l) = 0:

wY^ISLIM KWADRAT NORMY

Zl

Nn = Xn2 (x)  dx + M Xn2 (l): 0

iSPOLXZUQ URAWNENIE (20), POLU^AEM 2 Nn = l2 + M2 + M2 n l: zADA^A S NA^ALXNYMI DANNYMI REAETSQ OBY^NYM METODOM. 4. pOPRAWKI DLQ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ. wY^ISLIM POPRAWKI DLQ SOBSTWENNYH ^ASTOT W SLU^AE BOLXIH I MALYH NAGRUZOK M . dLQ PROSTOTY RASSMOTRIM TOT SLU^AJ, KOGDA GRUZ PODWEEN K KONCU STRUNY. wOZMOVNY DWA PREDELXNYH SLU^AQ. 1. M = 0. kONEC x = l SWOBODEN. sOBSTWENNYE ZNA^ENIQ OPREDELQ@TSQ IZ FORMULY q 2n + 1  (1) n = 2 l: 11 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

162

priloveniq k glawe II

2. M = 1. kONEC x = l VESTKO ZAKREPLEN: u (l
t) = 0. sOBSTWENNYE ZNA^ENIQ OPREDELQ@TSQ IZ FORMULY q n (2) n = l : nAS BUDET INTERESOWATX SLU^AJ MALYH M (M ! 0) I BOLXIH M (M ! 1). 1 M ! 0. nAJDEM POPRAWKU K SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ (1) n , POLAGAQ p q (1) n = n + "M
(21) GDE " | NEKOTOROE ^ISLO. pODSTAWLQQ (21) W URAWNENIE (20) I PRENEBREGAQ M 2 I BOLEE WYSOKIMI STEPENQMI M , POLU^AEM  2M  (22) n = (1) n 1 ; l
T. E. SOBSTWENNYE ^ASTOTY NAGRUVENNOJ STRUNY PRI M ! 0 WOZRASTA@T, PRIBLIVAQSX K SOBSTWENNYM ^ASTOTAM STRUNY SO SWOBODNYM KONCOM . 2 M ! 1. wYBIRAQ 1=M W KA^ESTWE PARAMETRA MALOSTI, POLOVIM p q (2) 1 n = n + " M : uRAWNENIE (20) DAET "= q : (2) n l pRI \TOM MY PRENEBREGAEM ^LENAMI, SODERVA]IMI 1=M 2 I BOLEE WYSOKIE STEPENI 1=M . tAKIM OBRAZOM, p q (2) 2 n = n + q 1 M
n = (2) (23) n + Ml
(2) n l T. E. PRI UWELI^ENII NAGRUZKI SOBSTWENNYE ^ASTOTY UBYWA@T, RAWNOMERNO PRIBLIVAQSX K SOBSTWENNYM ^ASTOTAM STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI.

IV. uRAWNENIQ GAZODINAMIKI I TEORIQ UDARNYH WOLN 1. uRAWNENIQ GAZODINAMIKI. zAKON SOHRANENIQ \NERGII.

uRAWNENIQ AKUSTIKI (SM. x 1) BYLI POLU^ENY W PREDPOLOVENII MALOSTI SKOROSTEJ DWIVENIQ GAZA I MALYH IZMENENIJ DAWLENIQ, ^TO POZWOLILO LINEARIZOWATX URAWNENIQ GIDRODINAMIKI.

IV. urawneniq gazodinamiki i teoriq udarnyh woln 163

w ZADA^AH, WOZNIKA@]IH PRI IZU^ENII POLETA RAKET I SKOROSTNYH SAMOLETOW, W TEORII BALLISTIKI, WZRYWNYH WOLN I T. P., PRIHODITSQ IMETX DELO S GIDRODINAMI^ESKIMI PROCESSAMI, HARAKTERIZU@]IMISQ BOLXIMI SKOROSTQMI I GRADIENTAMI DAWLENIJ. w \TOM SLU^AE LINEJNOE PRIBLIVENIE AKUSTIKI NEPRIGODNO I NEOBHODIMO POLXZOWATXSQ NELINEJNYMI URAWNENIQMI GIDRODINAMIKI. pOSKOLXKU S TAKOGO RODA DWIVENIQMI NA PRAKTIKE PRIHODITSQ WSTRE^ATXSQ DLQ GAZOW, TO PRINQTO O GIDRODINAMIKE BOLXIH SKOROSTEJ GOWORITX KAK O GAZOWOJ DINAMIKE, ILI G A Z O D I N A M I K E. uRAWNENIQ GAZODINAMIKI W SLU^AE ODNOMERNOGO DWIVENIQ GAZA (W NAPRAWLENII OSI x) IME@T WID @ + @ (v) = 0 (URAWNENIE NEPRERYWNOSTI)
(1) @t @x @v @p  @v (2) @t + v @x = ; @x (URAWNENIE DWIVENIQ)
(URAWNENIE SOSTOQNIQ):

p = f (
T )

(3)

tAKIM OBRAZOM, URAWNENIQ GAZODINAMIKI PREDSTAWLQ@T SOBOJ URAWNENIQ DWIVENIQ IDEALXNOJ SVIMAEMOJ VIDKOSTI PRI OTSUTSTWII WNENIH SIL. pEREJDEM TEPERX K WYWODU ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII. |NERGIQ EDINICY OB_EMA RAWNA v2 + "
(4) 2

GDE PERWYJ ^LEN ESTX KINETI^ESKAQ \NERGIQ, WTOROJ | WNUTRENNQQ \NERGIQ. zDESX ", O^EWIDNO, OBOZNA^AET W N U T R E N N @ @ \ N E R G I @ EDINICY MASSY. dLQ IDEALXNOGO GAZA " = cv T , GDE cv | TEPLOEMKOSTX PRI POSTOQNNOM OB_EME, T | TEMPERATURA. wY^ISLIM IZMENENIE \NERGII W EDINICU WREMENI:     @ v2 + " = @ v2 + @ ("): (5) @t 2 @t 2 @t pROIZWODQ DIFFERENCIROWANIE W PERWOM SLAGAEMOM I POLXZUQSX URAWNENIQMI (1) I (2), POLU^AEM     @ v2 = v2 @ + v @v = ; v2 @ (v) ; v @ v2 ; v @p : (6) @t 2 2 @t @t 2 @x @x 2 @x dLQ PREOBRAZOWANIQ PROIZWODNOJ @ (")=@t OBRATIMSQ K PERWOMU NA^ALU TERMODINAMIKI, WYRAVA@]EMU ZAKON SOHRANENIQ \NERGII: dQ = d" + p d
(7) 11


priloveniq k glawe II

164

GDE dQ | KOLI^ESTWO TEPLA, POLU^AEMOE (ILI OTDAWAEMOE) SISTEMOJ IZWNE,  d | RABOTA, ZATRA^IWAEMAQ PRI IZMENENII OB_EMA NA WELI^INU d ( = 1= | UDELXNYJ OB_EM). eSLI PROCESS ADIABATI^ESKIJ (TEPLOOBMENA SO SREDOJ NET), TO dQ = 0 I d" = ; p d 1 = p2 d: (8) pOLXZUQSX \TIM RAWENSTWOM, BUDEM IMETX (9) d (") = " d +  d" = " d + p d = w d
@ @ @t (") = w @t


GDE

(10)

w = " + p (11) | T E P L O W A Q F U N K C I Q, ILI TEPLOSODERVANIE EDINICY MASSY. pROIZWODNAQ @w=@x W SILU SOOTNOENIJ (9) I (11) UDOWLETWORQET URAWNENI@ @p : = v (12) v @w @x @x u^ITYWAQ RAWENSTWA (2), (5), (6), (10), (12), POLU^AEM ZAKON SOHRANENIQ \NERGII W DIFFERENCIALXNOJ FORME:      @ v2 + " = ; @ v v2 + w : (13) @t 2 @x 2 dLQ WYQSNENIQ FIZI^ESKOGO SMYSLA \TOGO RAWENSTWA PROINTEGRIRUEM EGO PO NEKOTOROMU OB_EMU (x1
x2 ): x2  2 v

@Z @t

x1



 v2

2 + " dx = ; v 2

 x2 + w  : x1

sLEWA STOIT IZMENENIE \NERGII W EDINICU WREMENI NA INTERWALE (x1
x2 ), SPRAWA | POTOK \NERGII, WYTEKA@]EJ W EDINICU WREMENI IZ RASSMATRIWAEMOGO OB_EMA. eSLI \FFEKTOM TEPLOPROWODNOSTI NELXZQ PRENEBRE^X, TO URAWNENIE SOHRANENIQ \NERGII PRINIMAET WID       @ v2 + " = ; @ v v2 + w ; { @T
(14) @t 2 @x 2 @x GDE { | KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI.

IV. urawneniq gazodinamiki i teoriq udarnyh woln 165

2. uDARNYE WOLNY. uSLOWIQ DINAMI^ESKOJ SOWMESTNOSTI.

w SLU^AE BOLXIH SKOROSTEJ WOZMOVNY TAKIE DWIVENIQ, PRI KOTORYH NA NEKOTORYH POWERHNOSTQH, PEREME]A@]IHSQ W PROSTRANSTWE, WOZNIKA@T RAZRYWY NEPRERYWNOSTI W RASPREDELENII GIDRODINAMI^ESKIH WELI^IN (DAWLENIQ, SKOROSTI, PLOTNOSTI I DR.). |TI RAZRYWY PRINQTO NAZYWATX U D A R N Y M I W O L N A M I. nA POWERHNOSTI RAZRYWA (F R O N T E U D A R N O J W O L N Y) DOLVNY WYPOLNQTXSQ USLOWIQ NEPRERYWNOSTI POTOKA WE]ESTWA, \NERGII I KOLI^ESTWA DWIVENIQ (U S L O W I Q g @ G O N I O). pEREJDEM K WYWODU \TIH USLOWIJ. pREOBRAZUEM URAWNENIE (2) K BOLEE UDOBNOMU DLQ NAIH CELEJ WIDU. uMNOVAQ (1) NA v I SKLADYWAQ S (2), POLU^AEM @ @ 2 (20 ) @t (v) = ; @x (p + v ): pEREPIEM TEPERX URAWNENIQ NEPRERYWNOSTI, DWIVENIQ I SOHRANENIQ \NERGII W WIDE @ = ; @ (v)
(10 ) @t @x

@ (v) = ; @ (p + v2 )
(20 ) @t @x      @ v2 + " = ; @ v v2 + w : (13) @t 2 @x 2 rASSMOTRIM NA PLOSKOSTI (x
t) LINI@ x = (t), QWLQ@]U@SQ SLEDOM POWERHNOSTI RAZRYWA NA PLOSKOSTI (x
t). pUSTX AC | NEKOTORAQ DUGA LINII RAZRYWA x = (t), GDE A I C | TO^KI S KOORDINATAMI x1 , t1 I x2 = x1 + x, t2 = t1 + t SOOTWETSTWENNO. pOSTROIM PRQMOUGOLXNIK ABCD SO STORONAMI, PARALLELXNYMI KOORDINATNYM OSQM. zAPIEM ZAKON SOHRANENIQ WE]ESTWA W INTEGRALXNOJ FORME:

Zx2

Zt2

x1

t1

()t2 ; ()t1 ] dx = ; (v)x2 ; (v)x1 ] dt


(15)

GDE SLEWA STOIT IZMENENIE MASSY NA INTERWALE (x1
x2 ) ZA PROMEVUTOK WREMENI (t1
t2 ), A SPRAWA | KOLI^ESTWO WE]ESTWA, WYTEKA@]EGO IZ INTERWALA (x1
x2 ) ZA WREMQ (t1
t2 ). eSLI FUNKCII  I v NEPRERYWNY I DIFFERENCIRUEMY0 WS@DU WNUTRI ABCD, TO URAWNENIE (15) \KWIWALENTNO URAWNENI@ (1 ). w RASSMATRIWAEMOM SLU^AE \TO NE IMEET MESTA. wOSPOLXZUEMSQ TEOREMOJ SREDNEGO ZNA^ENIQ DLQ KAVDOGO SLAGAEMOGO W OTDELXNOSTI: ! ! j t=t2 ; j t=t1 xt = ; (v)j x=x2 ; (v)j x=x1 x=x



x=x



t=t



t=t



priloveniq k glawe II

166

(ZDESX x
, x

, t
, t

| SREDNIE ZNA^ENIQ ARGUMENTOW x I t). pEREHODQ K PREDELU PRI x ! 0 (x2 ! x1 ) I t ! 0 (t2 ! t1 ) I OBOZNA^AQ INDEKSOM 2 ZNA^ENIQ FUNKCIJ WYE KRIWOJ x = (t) (SZADI FRONTA UDARNOJ WOLNY), A INDEKSOM 1 | ZNA^ENIQ FUNKCIJ NIVE \TOJ KRIWOJ (PERED FRONTOM), POLU^AEM (2 ; 1 ) U = ; (v)1 + (v)2
(16)

GDE

x U = d = lim dt t!0 t | SKOROSTX UDARNOJ WOLNY. w SISTEME KOORDINAT, DWIVU]EJSQ WMESTE S UDARNOJ WOLNOJ, u1 = U ; v1
u2 = U ; v2 OBOZNA^A@T SOOTWETSTWENNO SKOROSTI ^ASTIC PERED FRONTOM I SZADI FRONTA UDARNOJ WOLNY. pOLU^ENNOE WYE SOOTNOENIE (16) MOVNO PEREPISATX W WIDE 1 u1 = 2 u2 : (160 ) |TO RAWENSTWO WYRAVAET NEPRERYWNOSTX POTOKA WE]ESTWA ^EREZ FRONT UDARNOJ WOLNY. zAPISYWAQ W INTEGRALXNOJ FORME ZAKON SOHRANENIQ KOLI^ESTWA DWIVENIQ, IMEEM

Zx2

Zt2

x1

t1

(v)t2 ; (v)t1 ] dx = ; (p + v2 )x2 ; (p + v2 )x1 ] dt


GDE SPRAWA STOIT SUMMA IMPULXSA DEJSTWU@]IH SIL (DAWLENIQ) I POTOKA KOLI^ESTWA DWIVENIQ. pEREHODQ K PREDELU PRI x ! 0 I t ! 0, POLU^AEM ZAKON SOHRANENIQ POTOKA KOLI^ESTWA DWIVENIQ NA FRONTE U (v)2 ; (v)1 ] = ; (p + v2 )1 + (p + v2 )2
ILI p1 + 1 u21 = p2 + 2 u22 : (17) aNALOGI^NO POLU^AETSQ URAWNENIE SOHRANENIQ \NERGII NA FRONTE:  v2   v2   v2   v2  + " U ; + " U = ; v +w + v +w
2

2

2

1 1

1

2

1

2 2

KOTOROE POSLE NESLOVNYH PREOBRAZOWANIJ PRINIMAET WID   2 2  u w + u1 =  u w + u2 1 1

1

2

2 2

2

2

2

2

IV. urawneniq gazodinamiki i teoriq udarnyh woln 167

ILI, W SILU USLOWIQ (16),

2 2 w1 + u21 = w2 + u22 : (18) tAKIM OBRAZOM, NA FRONTE UDARNOJ WOLNY DOLVNY WYPOLNQTXSQ URAWNENIQ (U S L O W I Q D I N A M I ^ E S K O J S O W M E S T N O S T I, ILI U S L OW I Q g @ G O N I O)

1 u1 = 2 u2


(160 )

p1 + 1 u21 = p2 + 2 u22


(17)

2 2 w1 + u21 = w2 + u22 : iZ URAWNENIJ (160 ) I (17) WYRAZIM u1 I u2 ^EREZ p I : p2  u2 = 1  p1 ; p2
u21 = 2  p1 ; 2   ; 1 1 ; 2 2 1 2 OTKUDA u21 ; u22 = ; 1 + 2 (p1 ; p2 ):

(18)

1 2

pODSTAWLQQ ZATEM \TO WYRAVENIE W URAWNENIE (18), NAHODIM SOOTNOENIE MEVDU ZNA^ENIQMI \NERGII PO OBE STORONY FRONTA: w1 ; w2 = 21 (1 + 2 ) (p1 ; p2 ) 1 2 I "1 ; "2 = 21 (1 ; 2 ) (p1 + p2 ): 1 2

T. E.

rASSMOTRIM IDEALXNYJ GAZ, DLQ KOTOROGO p = RT  " = cv T  w = cp T = c c;p c RT =  ; 1  p
p

w =  ; 1  p :

v

(19)

pOLXZUQSX FORMULOJ (19), POSLE NESLOVNYH PREOBRAZOWANIJ PRIHODIM K TAK NAZYWAEMOMU URAWNENI@ A D I A B A T Y g @ G O N I O 2 = ( + 1) p2 + ( ; 1) p1
(20) 1 ( ; 1) p2 + ( + 1) p1

168

priloveniq k glawe II

ILI

p2 = ( + 1) 2 ; ( ; 1) 1 : (21) p1 ( + 1) 1 ; ( ; 1) 2 pO \TOJ FORMULE MOVNO OPREDELITX ODNU IZ WELI^IN p1 , 1 , p2 , 2 , ESLI IZWESTNY TRI OSTALXNYE WELI^INY. uDARNAQ WOLNA WSEGDA DWIVETSQ OTNOSITELXNO GAZA OT OBLASTEJ S B#OLXIM DAWLENIEM K OBLASTQM S MENXIM DAWLENIEM: p2 > p1 (T E O R E M A c E M P L E N A). oTS@DA SLEDUET, ^TO PLOTNOSTX GAZA ZA FRONTOM BOLXE PLOTNOSTI PERED FRONTOM. fORMULA (20) WYRAVAET ZAWISIMOSTX MEVDU p2 I 2 PRI ZADANNYH p1 I 1 . fUNKCIQ 2 = 2 (p2 ) PRI ZADANNYH p1 I 1 QWLQETSQ MONOTONNO WOZRASTA@]EJ FUNKCIEJ, STREMQ]EJSQ K KONE^NOMU PREDELU PRI p2 =p1 ! 1 (UDARNAQ WOLNA BOLXOJ AMPLITUDY): 2 =  + 1 : (22) 1  ; 1 |TA FORMULA POKAZYWAET MAKSIMALXNYJ SKA^OK PLOTNOSTI (UPLOTNENIE), KOTORYJ MOVET SU]ESTWOWATX NA FRONTE UDARNOJ WOLNY. dLQ DWUHATOMNOGO GAZA  = 7=5 I MAKSIMALXNOE UPLOTNENIE RAWNO 6: 2 = 6:  1

pOLXZUQSX RAWENSTWAMI (16 ), (17) I (20) I POLAGAQ p1 = 0, NAHODIM s r + 1 p 2
u = ( ; 1)2  p2 : u1 =  2 2 1 2 ( + 1) 1 eSLI UDARNAQ WOLNA DWIVETSQ PO POKOQ]EMUSQ GAZU (v1 = 0), TO SKOROSTX RASPROSTRANENIQ UDARNOJ WOLNY RAWNA r + 1 p 2 U= 2  1
T. E. ONA RASTET PROPORCIONALXNO KWADRATNOMU KORN@ IZ p2 . rASSMOTRIM PROSTEJU@ ZADA^U TEORII UDARNYH WOLN, DOPUSKA@]U@ ANALITI^ESKOE REENIE. w CILINDRI^ESKOJ TRUBE x > 0, NE OGRANI^ENNOJ S ODNOJ STORONY I ZAKRYTOJ PORNEM S DRUGOJ (x = = 0), NAHODITSQ POKOQ]IJSQ GAZ S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ 1 I PRI POSTOQNNOM DAWLENII p1 . w NA^ALXNYJ MOMENT t = 0 PORENX NA^INAET DWIGATXSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ v W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII OSI x. pERED PORNEM WOZNIKAET UDARNAQ WOLNA, KOTORAQ W NA^ALXNYJ MOMENT SOWPADAET S PORNEM, A ZATEM UDALQETSQ OT NEGO SO SKOROSTX@ U > v. mEVDU PORNEM I FRONTOM UDARNOJ WOLNY WOZNIKAET OBLASTX 2, W KOTOROJ GAZ DWIVETSQ SO SKOROSTX@ PORNQ. pERED FRONTOM (OBLASTX 1) GAZ NAHODITSQ W NEWOZMU]ENNOM SOSTOQNII:  = 1 , p = p1 (v = 0). 0

IV. urawneniq gazodinamiki i teoriq udarnyh woln 169

pOLXZUQSX USLOWIQMI NA FRONTE (16), (17) I (18), NETRUDNO OPREDELITX SKOROSTX FRONTA, A TAKVE WELI^INU SKA^KA PLOTNOSTI I DAWLENIQ. wWEDEM BEZRAZMERNYE WELI^INY ! = 1  U~ = aU  v~ = av  p~ = pa22
(23)

2 1 1 1 1 p GDE a1 = p1 =1 | SKOROSTX ZWUKA PERED FRONTOM (W NEWOZMU]ENNOJ

OBLASTI 1). tOGDA URAWNENIQ SOHRANENIQ ZAPIUTSQ W WIDE !U~ = U~ ; v~
ILI U~ = 1 ;v~ !
p~ = 1 +  U~ v~


~2
ILI p~ = 1 +  1 v; !

(25)





(24)

p~! = 1 + ( ; 1) U~ v~ ; 12 v~2 :

(26)

iSKL@^AQ OTS@DA p~ I U~ , POLU^AEM KWADRATNOE URAWNENIE DLQ OPREDELENIQ !: 2!2 ; ! 4 + ( + 1) v~2 ] + 2 + ( ; 1) v~2 ] = 0: (27) tAK KAK PO SMYSLU ! < 1 (2 > 1 ), TO WYBIRAEM MENXIJ KORENX: r 2  + 1 2 ! =1+ v~ ; v~ 1 + ( + 1) v~2 : (28) 2

4 16 iZ URAWNENIJ (24), (25) I (28) NAHODIM r 2 ~U =  + 1 v~ + 1 + ( + 1) v~2
4 16 r 2 p~ = 1 +  (4+ 1) v~2 +  v~ 1 + ( +161) v~2 : wOZWRA]AQSX K PREVNIM WELI^INAM, POLU^AEM s 2 2  + 1 v v 2 1 + 4 a2 + a 1 + (16+a1) 2 v 1 1 1
2 = 1 2 1 + ( ;2a1)2 v 1

U = +1v+a

(

4

s

1

2 1 + (16+a1) 2 v


(29) (30)

(31)

2

s

1

(32)

)

2 ( + 1)2 v2 : p2 = p1 1 +  (4+ 1) va2 + v 1 + 16a21 1 a1

(33)

170

priloveniq k glawe II

tAK KAK SKOROSTX UDARNOJ WOLNY POSTOQNNA, TO DLQ POLOVENIQ FRONTA W MOMENT t BUDEM IMETX s ( ) 2  + 1 (  + 1) 2 x = (t) = 4 v + a1 1 + 16a2 v t: (34) 1 w PREDELXNOM SLU^AE v=a1  1 (UDARNAQ WOLNA BOLXOJ INTENSIWNOSTI) IZ FORMUL (31) | (33) NAHODIM PREDELXNYE SOOTNOENIQ + 1  U =  + 1 v p = p  ( + 1) v2
2 = 1  ; 2 1 1 2 2 a21 POLU^ENNYE NAMI RANEE. eSLI v=a1  1 (WOLNA MALOJ INTENSIWNOSTI), TO MOVNO PRENEBRE^X ^LENAMI v2 =a21 :   2 = 1 1 + av
1  + 1 U = a1 + 4 v
 v  p2 = p1 1 + a : 1 3. sLABYE RAZRYWY. wYE BYLO RASSMOTRENO DWIVENIE UDARNOJ WOLNY, NA FRONTE KOTOROJ WELI^INY , p, v I DR. ISPYTYWA@T SKA^KI. tAKOGO RODA RAZRYWY NAZYWA@TSQ S I L X N Y M I. wOZMOVNY I TAKIE DWIVENIQ, PRI KOTORYH NA NEKOTOROJ POWERHNOSTI ISPYTYWA@T SKA^OK PERWYE PROIZWODNYE WELI^IN , p, v I DR., W TO WREMQ KAK SAMI \TI WELI^INY OSTA@TSQ NEPRERYWNYMI. tAKIE RAZRYWY NAZYWA@TSQ S L A B Y M I. w x 2, P. 10 RASSMOTRENO DWIVENIE RAZRYWOW TAKOGO RODA I USTANOWLENO, ^TO \TI RAZRYWY RASPROSTRANQ@TSQ WDOLX HARAKTERISTIK. pRI \TOM MY ISHODILI IZ URAWNENIQ AKUSTIKI. oDNAKO I DLQ NELINEJNYH ZADA^ GAZODINAMIKI SPRAWEDLIW ANALOGI^NYJ REZULXTAT. nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO POWERHNOSTX SLABOGO RAZRYWA RASPROSTRANQETSQ OTNOSITELXNO GAZA SO SKOROSTX@, RAWNOJ LOKALXNOJ SKOROSTI ZWUKA. w SAMOM DELE, WYDELIM MALU@ OKRESTNOSTX POWERHNOSTI SLABOGO RAZRYWA I WOZXMEM SREDNIE ZNA^ENIQ GIDRODINAMI^ESKIH WELI^IN W \TOJ OKRESTNOSTI. sLABYJ RAZRYW, O^EWIDNO, MOVNO RASSMATRIWATX NA FONE SREDNIH ZNA^ENIJ KAK MALOE WOZMU]ENIE, KOTOROE UDOWLETWORQET URAWNENI@ AKUSTIKI I DOLVNO RASPROSTRANQTXSQ S LOKALXNOJ SKOROSTX@ ZWUKA. w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM ISTE^ENIE GAZA W WAKUUM (WOLNA RAZREVENIQ). pUSTX W NA^ALXNYJ MOMENT t = 0 GAZ, ZAPOLNQ@]IJ POLUPROSTRANSTWO x > 0, POKOITSQ I IMEET POSTOQNNYE ZNA^ENIQ PLOTNOSTI 0 I DAWLENIQ p0 WO WSEJ OBLASTI x > 0. pRI t = 0 WNENEE DAWLENIE,

IV. urawneniq gazodinamiki i teoriq udarnyh woln 171

PRILOVENNOE K PLOSKOSTI x = 0, SNIMAETSQ I GAZ NA^INAET DWIGATXSQ PRI \TOM WOZNIKAET SLABYJ RAZRYW (W O L N A R A Z R E V E N I Q), RASPROSTRANQ@]IJSQ SO SKOROSTX@ ZWUKA a0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII OSI x. nA PEREDNEM FRONTE GAZA x = x1 (t) PRI t = 0 MY IMEEM RAZRYW PLOTNOSTI I DAWLENIQ. oDNAKO \TOT RAZRYW SRAZU VE POSLE NA^ALA DWIVENIQ IS^EZAET. w SAMOM DELE, IZ USLOWIJ NEPRERYWNOSTI POTOKOW WE]ESTWA I KOLI^ESTWA DWIVENIQ PRI x = x1 (t): 0 = ;1 (v1 ; v1; ) = +1 (v1 ; v1+ )
p;1 + ;1 (v1 ; v1; )2 = p+1 + +1 (v1 ; v1+ )2
GDE ;1 , p;1 , v1; | ZNA^ENIQ SLEWA W TO^KE x1 (t), +1 , p+1 , v1+ | ZNA^ENIQ SPRAWA W TO^KE x1 (t), POLU^AEM p+1 = 0 I +1 = 0
TAK KAK ;1 = p;1 = v1; = 0: dLQ ADIABATI^ESKOGO PROCESSA URAWNENIE SOSTOQNIQ IDEALXNOGO GAZA IMEET WID   

p = p0  : (35) 0 rEENIE ZADA^I BUDEM ISKATX W FORME  =  ( ) p = p ( ) v = v ( )
GDE  = x=t: wY^ISLQQ PROIZWODNYE @f = ; 1  df  @f = 1 df
@t t d @x t d GDE f = , v ILI p, I PODSTAWLQQ REZULXTATY W URAWNENIQ (1) I (2), POLU^AEM 9 > d dv = (v ;  ) d = ;  d
> (36) > dv dp > (v ;  )  d = ; d :  uMNOVIM PERWOE URAWNENIE NA (v ;  ) I SLOVIM SO WTORYM: dp (v ;  )2 d d = d ILI dp 2 d = (v ;  ) :

172

oTS@DA IMEEM

priloveniq k glawe II

s

dp =  a
v ;  =  d GDE a | SKOROSTX ZWUKA PRI ADIABATI^ESKOM PROCESSE. pOSKOLXKU MY RASSMATRIWAEM DWIVENIE SLABOGO RAZRYWA W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII OSI x, NADO WYBRATX W PREDYDU]EJ FORMULE ZNAK MINUS, T. E. v ;  = ;a: (37) pODSTAWLQQ \TO REENIE W URAWNENIQ (36), POLU^AEM dv a (38) d = 
ILI, ^TO ODNO I TO VE, dv = 1 : dp a pOLXZUQSX URAWNENIEM SOSTOQNIQ (35), NAHODIM a2 =  p

I POSLE INTEGRIROWANIQ URAWNENIQ (38) POLU^AEM

2   1 2

v =  ;2 1 a0 4  0

;

3 ; 15 :

(39)

iZ POSLEDNEJ FORMULY MOVNO WYRAZITX  ^EREZ v:   ; 1 v 21  = 0 1 + 2 a : (40) 0 zDESX p a0 = p0=0 OBOZNA^AET SKOROSTX ZWUKA PRI v = 0 (W POKOQ]EMSQ GAZE). fORMULU (39) MOVNO TAKVE PEREPISATX W WIDE (41) v =  ;2 1 (a ; a0 ): ;

pODSTAWLQQ WYRAVENIE (40) DLQ  W URAWNENIE SOSTOQNIQ (35), NAHODIM   ; 1 v  21 p = p0 1 + 2  a : (42) 0 ;

IV. urawneniq gazodinamiki i teoriq udarnyh woln 173

iZ URAWNENIJ (41) I (37) POLU^AEM FORMULU   v =  +2 1 xt ; a0
(43) OPREDELQ@]U@ ZAWISIMOSTX v OT x I t. pODSTAWLQQ ZATEM WYRAVENIE (43) DLQ v W FORMULY (40) I (42), POLU^IM ZAWISIMOSTX  I p OT x I t W QWNOJ FORME. wSE WELI^INY OKAZYWA@TSQ ZAWISQ]IMI OT x=t. eSLI IZMERQTX RASSTOQNIQ W EDINICAH, PROPORCIONALXNYH t, TO KARTINA DWIVENIQ NE MENQETSQ. tAKOE DWIVENIE NAZYWAETSQ A W T O M O D E L X N Y M. nAJDEM SKOROSTX DWIVENIQ PEREDNEGO FRONTA v1 (t). pOLAGAQ W RAWENSTWE (42) p = 0, BUDEM IMETX v1 = ;  ;2 1 a0 : (44) oTS@DA SLEDUET, ^TO SKOROSTX ISTE^ENIQ GAZA W PUSTOTU KONE^NA. dLQ DWUHATOMNYH GAZOW  = 7=5 I v1 = ; 5a0: wYRAVENIE (44) DLQ SKOROSTI LEWOGO FRONTA x = x1 (t) MOVNO POLU^ITX TAKVE IZ URAWNENIQ BALANSA WE]ESTWA

Zx2

wWEDQ PEREMENNU@

x1

 dx = 0 x2 = 0 a0 t:

(45)

 = x=t


POLU^IM

Za0 v1

 d = 0 a0 :

pODSTAWLQQ ZATEM WYRAVENIE DLQ  IZ (40) I POLAGAQ ; 1  ; a0 = 
1 +  + 1 a0 BUDEM IMETX

Z2

2 1
  1 d =  ; +1 ;

GDE

1

; 1 v1 ; a0
2 = 1: 1 = 1 +  + 1 a 0

(46)

174

priloveniq k glawe II

pOSLE WY^ISLENIQ INTEGRALA (46) POLU^IM  +1

T. E. OTKUDA I SLEDUET

2

1

;

 +1

; 1

1

;

= 1


1 = 0
v1 = ; 2;a01 :

zADA^A OB ISTE^ENII GAZA W WAKUUM REENA. mY OGRANI^ILISX WYE RASSMOTRENIEM LIX NAIBOLEE PROSTYH ZADA^ GAZODINAMIKI. dLQ BOLEE PODROBNOGO OZNAKOMLENIQ S ZATRONUTYMI ZDESX WOPROSAMI OTSYLAEM ^ITATELQ K SPECIALXNOJ LITERATURE 1) .

V. dINAMIKA SORBCII GAZOW 1. uRAWNENIQ, OPISYWA@]IE PROCESS SORBCII GAZA. rAS-

SMOTRIM ZADA^U O POGLO]ENII (S O R B C I I) GAZA 2) . pUSTX ^EREZ TRUBKU (OSX KOTOROJ MY WYBEREM ZA KOORDINATNU@ OSX x), ZAPOLNENNU@ POGLO]A@]IM WE]ESTWOM (SORBENTOM), PROPUSKAETSQ GAZOWOZDUNAQ SMESX. oBOZNA^IM ^EREZ a (x
t) KOLI^ESTWO GAZA, POGLO]ENNOGO EDINICEJ OB_EMA SORBENTA, A ^EREZ u (x
t) | KONCENTRACI@ GAZA, NAHODQ]EGOSQ W PORAH SORBENTA W SLOE x. nAPIEM URAWNENIE BALANSA WE]ESTWA, PREDPOLAGAQ, ^TO SKOROSTX GAZA  DOSTATO^NO WELIKA I PROCESS DIFFUZII NE IGRAET SU]ESTWENNOJ ROLI W PERENOSE GAZA. rASSMOTRIM SLOJ SORBENTA OT x1 DO x2 W TE^ENIE PROMEVUTKA WREMENI OT t1 DO t2 . o^EWIDNO, DLQ NEGO MOVNO NAPISATX URAWNENIE BALANSA WE]ESTWA ujx1 ; ujx2 ] S t = (a + u)jt2 ; (a + u)jt1 ] S x
(1) KOTOROE POSLE SOKRA]ENIQ NA x t I PEREHODA K PREDELU PRI x ! 0, t ! 0 PRINIMAET WID @u = @ (a + u): (2) ;  @x @t 1) sM.: k O ^ I N n. e., k I B E L X i. a., r O Z E n. w. tEORETI^ESKAQ GIDROMEHANIKA. M., 1963. ~. II, GL. I l A N D A U l. d., l I F  I C e. m. mEHANIKA SPLONYH SRED. M., 1953. gL. VII z E L X D O W I ^ q. b. tEORIQ UDARNYH WOLN I WWEDENIE W GAZODINAMIKU. M. l., 1946 s E D O W l. i. rASPROSTRANENIE SILXNYH WZRYWNYH WOLN // pRIKLADNAQ MATEMATIKA I MEHANIKA. 1946. t. 10, WYP. 2. s. 241|260. 2) t I H O N O W a. n., v U H O W I C K I J a. a., z A B E V I N S K I J q. l. pOGLO]ENIE GAZA IZ TOKA WOZDUHA SLOEM ZERNISTOGO MATERIALA. II // vfh. 1946. t. 20, WYP. 10. s. 1113|1126.

V. dinamika sorbcii gazow

175

lEWAQ ^ASTX \TOGO URAWNENIQ PREDSTAWLQET KOLI^ESTWO GAZA, NAKOPLQ@]EGOSQ ZA S^ET PERENOSA, RASS^ITANNOE NA EDINICU DLINY I WREMENI, PRAWAQ ^ASTX | KOLI^ESTWO GAZA, IZRASHODOWANNOGO NA POWYENIE KONCENTRACII SORBIROWANNOGO GAZA I GAZA, NAHODQ]EGOSQ W PORAH. k \TOMU URAWNENI@ BALANSA SLEDUET PRISOEDINITX URAWNENIE KINETIKI SORBCII @a =  (u ; y)
(3) @t GDE  | TAK NAZYWAEMYJ KINETI^ESKIJ KO\FFICIENT, y | KONCENTRACIQ GAZA, NAHODQ]EGOSQ W RAWNOWESII S SORBIROWANNYM KOLI^ESTWOM GAZA. wELI^INY a I y SWQZANY DRUG S DRUGOM URAWNENIEM a = f (y)
(4) QWLQ@]IMSQ HARAKTERISTIKOJ SORBENTA. kRIWAQ a = f (y) NAZYWAETSQ I Z O T E R M O J S O R B C I I. eSLI f (y) =  (uyu+0 py)
0

TO IZOTERMA NAZYWAETSQ I Z O T E R M O J l E N G M @ R A. nAIBOLEE PROSTOJ WID FUNKCII f SOOTWETSTWUET TAK NAZYWAEMOJ I Z O T E R M E g E N R I, SPRAWEDLIWOJ W OBLASTI MALYH KONCENTRACIJ: a = 1 y


GDE 1= | KO\FFICIENT gENRI. w \TOM SLU^AE MY PRIHODIM K SLEDU@]EJ ZADA^E. nAJTI FUNKCII u (x
t) I a (x
t) IZ URAWNENIJ @u @a ;  @u @x = @t + @t
@a =  (u ; a) @t PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH ) a (x
0) = 0
u (x
0) = 0


(5)

(2) (6) (7)

u (0
t) = u0
(8) GDE u0 | KONCENTRACIQ GAZA NA WHODE. pRENEBREGAQ PROIZWODNOJ @u=@t, PREDSTAWLQ@]EJ RASHOD GAZA NA POWYENIE SWOBODNOJ KONCENTRACII W PORAH SORBENTA, W OTLI^IE OT

176

priloveniq k glawe II

PROIZWODNOJ @a=@t, PREDSTAWLQ@]EJ RASHOD GAZA NA UWELI^ENIE SORBIROWANNOGO KOLI^ESTWA GAZA, POLU^AEM 1) @a
;  @u = (20 ) @x @t @a =  (u ; a)
(6) @t a (x
0) = 0
u (0
t) = u0 : iSKL@^IM FUNKCI@ a (x
t), DIFFERENCIRUQ PERWOE URAWNENIE PO t I ISPOLXZUQ WTOROE URAWNENIE: ; uxt = ut ; at = ut + ux
ILI uxt +  ut + ux = 0: oPREDELIM NA^ALXNOE USLOWIE DLQ u, POLAGAQ W PERWOM URAWNENII t =

= 0:

OTKUDA NAHODIM

; ux (x
0) = u (x
0)


u (0
0) = u0


u (x
0) = u0 e;=
x: zADA^A NAHOVDENIQ FUNKCII u (x
t) SWELASX K INTEGRIROWANI@ URAWNENIQ uxt +  ut + ux = 0 (9) PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH u (x
0) = u0 e;=
x
(10) u (0
t) = u0 : (8) hARAKTERISTIKAMI \TOGO URAWNENIQ QWLQ@TSQ LINII x = const
t = const: dOPOLNITELXNYE USLOWIQ W \TOJ ZADA^E PREDSTAWLQ@T ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII u (x
t) NA HARAKTERISTIKAH. aNALOGI^NO STAWITSQ ZADA1) dLQ SISTEMY URAWNENIJ (20 ) I (6) DOSTATO^NO ODNOGO NA^ALXNOGO USLOWIQ, TAK KAK OSX t = 0 W \TOM SLU^AE STANOWITSQ HARAKTERISTIKOJ. pODROBNEE OB \TOM SM. PRIME^ANIE NA S. 177.

V. dinamika sorbcii gazow

177

^A DLQ FUNKCII a (x
t):

axt +  at + ax = 0


(11)

a (x
0) = 0
(7) a (0
t) = u0 (1 ; e; t): (12) sLEDUET ZAMETITX, ^TO PODOBNAQ ZADA^A WSTRE^AETSQ PRI RASSMOTRENII RQDA DRUGIH WOPROSOW (NAPRIMER, PROCESS SUKI WOZDUNYM POTOKOM, PROGREWANIE TRUBY POTOKOM WODY I T. D.)1) ). 1) pEREHODQ K URAWNENI@ (20 ), MY PRENEBREGAEM ^LENOM ut .

oDNAKO NETRUDNO POKAZATX, ^TO MY PRIDEM K TOMU VE URAWNENI@, ESLI WWEDEM PEREMENNYE  = t ; x  t =  +   = x x =  (RIS. 32), W KOTORYH WREMQ W TO^KE x OTS^ITYWAETSQ OT t0 = x= | MOMENTA PRIHODA W \TU TO^KU POTOKA GAZOWOZDUNOJ SMESI. w SAMOM DELE, @u = @u ; 1 @u  @ = @ @x @  @ @t @ I URAWNENIE (2) PRINIMAET WID @a ;  @u @ = @ 

(200 )

@a (6) @ = (u ; a): nA^ALXNYE USLOWIQ (7) I URAWNENIQ (2) I (6) DA@T  u (x 0) = 0 (70 ) ut (x 0) = 0: w OBLASTI MEVDU PRQMOJ t = 0 I OSX@0  MY POLU^AEM ZADA^U OPREDELENIQ FUNKCII u PO NA^ALXNYM USLOWIQM (7 ) (ZADA^A kOI). o^EWIDNO, ^TO W \TOJ OBLASTI FUNKCIQ u (x t)  0 (A TAKVE a  0). iZ URAWNENIJ (20 ) I (6) WIDNO, ^TO PRI  = 0 FUNKCIQ u (x t) PRETERPEWAET RAZRYW, W TO WREMQ KAK FUNKCIQ a (x t) OSTAETSQ NEPRERYWNOJ. tAKIM OBRAZOM, PRI  = 0 FUNKCIQ u, KAK BYLO POKAZANO0 WYE, OPREDELQETSQ IZ URAWNENIQ (2 ) PRI a (x 0) = 0. oPRErIS. 32 DELQQ, KAK \TO BYLO SDELANO WYE (SM. FORMULY (10) I (12)), ZNA^ENIQ u (x 0) I a (0 t), MY POLU^AEM DLQ FUNKCIJ u (x t) I a (x t) ZADA^I S DANNYMI NA HARAKTERISTIKAH. 12 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

178

priloveniq k glawe II

rEENIE URAWNENIQ (9) MOVET BYTX POLU^ENO W QWNOM WIDE METODOM, IZLOVENNYM W x 5, I DAETSQ FORMULOJ

2 p u (x1
t1 ) = u0 e;x1 4e;t1 I0 (2 x1 t1 ) +

1

x1

3 p e;=x1 I0 (2  ) d 5


xZ1 t1 0

(13)

GDE x1 = x= , t1 = t= | BEZRAZMERNYE PEREMENNYE, I0 | FUNKCIQ bESSELQ PERWOGO RODA NULEWOGO PORQDKA OT MNIMOGO ARGUMENTA. pOLXZUQSX ASIMPTOTI^ESKIMI FORMULAMI DLQ FUNKCII I0 , NETRUDNO POLU^ITX ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE REENIQ PRI BOLXIH ZNA^ENIQH ARGUMENTOW. 2. aSIMPTOTI^ESKOE REENIE. wYE MY IZU^ALI PROCESS SORBCII GAZA, POD^INQ@]EGOSQ IZOTERME SORBCII gENRI, SWQZYWA@]EJ KOLI^ESTWO POGLO]ENNOGO WE]ESTWA a S RAWNOWESNOJ KONCENTRACIEJ y LINEJNOJ ZAWISIMOSTX@ a = 1 y: rASSMOTRIM IZOTERMU SORBCII OB]EGO WIDA a = f (y): eSLI WWESTI BEZRAZMERNYE PEREMENNYE t u y a x1 = x 
t1 = 
u = u0
z = u0
v = u0 
TO SISTEMA (20 ), (6), (7), (8) PRIMET WID 9 @ u = ; @v
> > = @x1 @t1 @v = (u ; z )
> >  @t

(14)

1

v = f1 (z ) = u1 f (zu0) 0 PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH u (0
t1 ) = 1


(15) (16)

v (x1
0) = 0: (17) nAS BUDET INTERESOWATX ASIMPTOTI^ESKOE POWEDENIE FUNKCIJ, PREDSTAWLQ@]IH REENIE SISTEMY (14). oTNOSITELXNO FUNKCII f1 (z ) MY BUDEM PREDPOLAGATX SLEDU@]EE. 1. f1 (z ) | WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ, I f1 (0) = 0.

V. dinamika sorbcii gazow

179

2. f1 (z ) IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ DLQ WSEH ZNA^ENIJ z , 0 6 z 6 1. 3. lU^, IDU]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT W TO^KU (1
f1 (1)), LEVIT NIVE KRIWOJ f1 (z ) W PROMEVUTKE 0 6 z 6 1 (RIS. 33), ^TO, W ^ASTNOSTI, IMEET MESTO DLQ WYPUKLOJ IZOTERMY. wWEDQ OBOZNA^ENIE DLQ OBRATNOJ FUNK-

CII

z = f1;1 (v) = F (v)
BUDEM ISKATX ASIMPTOTI^ESKOE REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I W WIDE RASPROSTRANQ@]EJSQ WOLNY 1) : u~ =  ( )
 = x ; t
(18) v~ = ' ( )
GDE  | SKOROSTX RASPROSTRANENIQ WOLNY, rIS. 33 PODLEVA]AQ OPREDELENI@. |TO OZNA^AET, ^TO NA BOLXIH RASSTOQNIQH (PRI x ! 1) ILI ^EREZ BOLXOJ PROMEVUTOK WREMENI (t ! 1) v (x
t) = v~ = ' (x ; t)
u (x
t) = u~ =  (x ; t): kONCENTRACII u I v DOLVNY PRI x = 1 ILI t = 1 UDOWLETWORQTX USLOWI@ RAWNOWESIQ v = f1 (u)
ILI u = F (v): iZ USLOWIQ (16) TOGDA SLEDUET uj xt==01 =  (;1) = 1
' (;1) = vj xt==01 = f1 (1): (19) iZ USLOWIQ (17) WYTEKAET, ^TO =1 = ' (+ 1) = 0
 (+ 1) = uj x=1 = F (0) = 0: vj xt=0 (20) t=0 uSLOWIQ (19) OZNA^A@T, ^TO PRI t ! 1 ( ! ;1) DOLVNO USTANOWITXSQ WS@DU NASY]ENIE. pODSTAWLQQ PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ W URAWNENIQ (14), POLU^IM 0 ; '0 = 0
(21) ; '0 =  ; F ('): (22) iZ (21) I (20) ZAKL@^AEM, ^TO  ( ) ; ' ( ) = 0: (23) 1)

12


dLQ UPRO]ENIQ ZAPISI WMESTO x1, t1 BUDEM PISATX x, t.

180

priloveniq k glawe II

iZ URAWNENIJ (19) TOGDA SLEDUET, ^TO   (  )  = ' ( )  = f 1(1)
1 =; 1 ILI, W RAZMERNYH WELI^INAH,  =  ua0
a0 = f (u0 ): iZ (22) I (23) NAHODIM

0

;  ' ;d'F (') = d:

(24) (240 ) (25)

pOSLE INTEGRIROWANIQ BUDEM IMETX ! (') =  ; 0
(26) GDE ! (') | KAKOJ-LIBO INTEGRAL LEWOJ ^ASTI, A 0 | POSTOQNNAQ INTEGRIROWANIQ. oTS@DA ISKOMAQ FUNKCIQ ' ( ) OPREDELITSQ S TO^NOSTX@ DO NEIZWESTNOJ POSTOQNNOJ 0 : ' = !;1 ( ; 0 )
(27)  =  !;1 ( ; 0 ): (28) ; 1 wYQSNIM, MOVET LI BYTX OPREDELENA FUNKCIQ ! I BUDUT LI FUNKCII ' I  UDOWLETWORQTX POSTAWLENNYM USLOWIQM PRI  ! + 1 I  ! ;1. pOKAVEM, ^TO PROIZWODNAQ 1 d! = ;  < 0
(29) d' ' ; f1;1 (') T. E.  ; 0 = ! (') | MONOTONNO UBYWA@]AQ FUNKCIQ '. w SAMOM DELE, ZNAMENATELX W (29) RAWEN ' ; f1;1 (') = f 1(1) ' ; f1;1 ('): 1

pERWOE SLAGAEMOE ESTX PRINADLEVA]AQ ORDINATE ' ABSCISSA TO^KI, LEVA]EJ NA LU^E, IDU]EM IZ NA^ALA KOORDINAT W TO^KU (1
f1 (1)) (RIS. 33). tAK KAK MY USLOWILISX, ^TO KRIWAQ ' = f1 (z ) LEVIT WYE \TOGO LU^A, TO f1;1 (') < f 1(1) ' (0 6 ' 6 f1 (1)) 1 I, SLEDOWATELXNO, ' ; f1;1 (') > 0:

V. dinamika sorbcii gazow

181

kROME TOGO,

' ; f1;1 (') = 0 PRI ' = 0 I PRI ' = f1 (1): oTS@DA SLEDUET, ^TO  ; 0 = ! (') = + 1 PRI ' = 0
 ; 0 = ! (') = ;1 PRI ' = f1 (1): dLQ OBRATNOJ FUNKCII POLU^AEM ' = !;1 ( ; 0 ) = f1 (1) PRI  = ;1
' = !;1 ( ; 0 ) = 0 PRI  = + 1: dALEE W SILU RAWENSTWA (29) IMEEM  = ' = f 1(1) ' = 1 PRI  = ;1
1

 = ' = f 1(1) ' = 0 PRI  = + 1: 1

iTAK, WSE USLOWIQ (19) I (20) UDOWLETWORENY I TEM SAMYM DOKAZANO, ^TO SISTEMA URAWNENIJ IMEET REENIE W WIDE RASPROSTRANQ@]EJSQ WOLNY, SODERVA]EJ NEOPREDELENNU@ POSTOQNNU@ 0 . dLQ OPREDELENIQ 0 INTEGRIRUEM PERWOE URAWNENIE PO t W PREDELAH OT 0 DO t0 I PO x W PREDELAH OT 0 DO x0 :

2Zt0 3 2Zx0 3 Zt0 Zx0 4 u (x0
 ) d ; u (0
 ) d 5 + 4 v (x
t0) dx ; v (x
0) dx5 = 0: 0

0

0

0

(30)

pOLU^ENNOE RAWENSTWO WYRAVAET ZAKON SOHRANENIQ WE]ESTWA. pEREHODQ K PREDELU PRI x0 ! 1 I POLXZUQSX NA^ALXNYMI USLOWIQMI DLQ u I v, NAHODIM

Z1 0

Zt0

v (x
t0 ) dx = u (0
 ) d = t0 : 0

dOPUSTIM, ^TO DLQ BOLXIH ZNA^ENIJ t REENIE NAEJ ZADA^I PRIBLIVAETSQ K FUNKCIQM u~ I v~, NAJDENNYM WYE W WIDE RASPROSTRANQ@]IHSQ WOLN. eSLI MY OPREDELIM 0 IZ USLOWIQ

Z1 0

v (x
t0 ) dx ; t0 ! 0 (t0 ! 1)


(31)

priloveniq k glawe II

182

\TO I BUDET TO ZNA^ENIE 0 , KOTOROE SOOTWETSTWUET FUNKCIQM u~ (x
t) I v~ (x
t). pREOBRAZUEM NA INTEGRAL:

Z1 0

Z1

Z1

v~ (x
t0 ) dx = ' (x ; t0 ) dx = !;1 (x ; t0 ; 0 ) dx = 0

=

Z1

;t0 ;0

0

Z1

;1

;1

! ( ) d = ! ( ) d

!

 = x ; t0 ; 0
: 1 = ; t0 ; 0

1

oBOZNA^IM ^EREZ ' ZNA^ENIE ! ( ) PRI  = 0: !;1 (0) = '
: nETRUDNO WIDETX, ^TO ESLI ' = !;1 ( ) | OBRATNAQ FUNKCIQ DLQ  = ;1




= ! ('), TO (RIS. 34)

Z1 1

;1

Z0

;1

rIS. 34

Z1

! ( ) d = ! ( ) d + !;1 ( ) d = 1

0

2 3 ! Z1 (1 ) ' Z = 64; 1 !;1 (1 ) + ! (') d' + ! (') d'75 : ;

'





0

(32)

oTS@DA SLEDUET, ^TO WMESTO PREDELXNOGO RAWENSTWA (31) MOVNO NAPISATX

Z1

;t0 ;0

!;1 ( ) d ; t0 =

8 9 ' (;Zt0 ;0 ) > > < = = >(t0 + 0 ) ' (;t0 ; 0 ) + ! (') d'> ; t0 ! :  0

!0

(t0 ! 1):

(320 )

V. dinamika sorbcii gazow

183

pEREJDEM K PREDELU PRI t0 ! 1. tOGDA ' (;t0 ; 0 ) ! ' (;1) = f1 (1) = 1: (3200 ) ~TOBY WY^ISLITX PREDEL WYRAVENIQ t0 ' (;t0 ; 0 ) ; t0
WOSPOLXZUEMSQ URAWNENIEM (25). rAZLAGAQ f1;1 (') = F (') W RQD WBLIZI TO^KI '0 = f1 (1), POLU^AEM ' ; F (') =  (' ; '0 ) + 1 ; F (') = =  (' ; '0 ) ; F (') ; F ('0 )] =  ; F 0 ('0 )] (' ; '0 ) + : : :
OTKUDA ;   ; F 0 ('0 )]d'(' ; '0 ) + : : : = d
(33) GDE TO^KAMI OBOZNA^ENY ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA OTNOSITELXNO (' ; '0 ). iZ TREBOWANIQ 3 DLQ FUNKCII f1 SLEDUET, ^TO F 0 ('0 ) >  = f 1(1) : 1

iZ URAWNENIQ (33) NAHODIM PORQDOK ROSTA ' PRI  ! ;1: ' = Aek + '0
(34) GDE A I k > 0 | NEKOTORYE POSTOQNNYE. iZ (34) SLEDUET, ^TO lim t ' (;t0 ; 0 ) ; 1] = t lim t0 Ae;k (t0 +0 ) = 0: (32000 ) t0 !1 0 0 !1 sOWERIW W FORMULE (320) PREDELXNYJ PEREHOD PRI t0 ! 1 I PRINIMAQ 00 WO WNIMANIE (32 ) I (32000 ), POLU^AEM 0 = ; f 1(1) 1

fZ1 (1) 0

! (') d':

(35)

tEM SAMYM PROFILI WOLNY fu~
v~g OPREDELENY POLNOSTX@. oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQET SLU^AJ IZOTERMY lENGM@RA. nAJDEM ASIMPTOTI^ESKOE REENIE DLQ PROCESSA SORBCII GAZA, POD^INQ@]EGOSQ IZOTERME lENGM@RA. uRAWNENIE (25) PRIMET WID ;  d' ' = d
(36) ' ; 1 ; p'

priloveniq k glawe II

184

GDE  = 1=f1(1) = 1 + p | SKOROSTX WOLNY. iZ (36) NAHODIM  ; 0 = ! (')
GDE Z ; p') d' + A = ! (') =  ' ;(1' (1 ; p')    1 ln( ; 1 ; p') ; ln ' + A: = ; 1 

o^EWIDNO, ^TO KOGDA ' MENQETSQ OT 0 DO f1 (1), TO ! (') MENQETSQ OT

+ 1 DO

rIS. 35

;1. wYBEREM A TAK, ^TOBY

T. E. ^TOBY

'
= 12 f1 (1)


! ('
) = 0 PRI '
= 12 f1 (1) = 21 1 +1 p :

pRI \TOM USLOWII



 

 1 ln 1 p A=;; 1  2

; ln

1

1 2 1+p



VI. fizi~eskie analogii

I



185



 1 ln 2 (1 ; ') ; ln 2 (1 + p) ' : ! (') =  ; 1  zNA^ENIE 0 OPREDELQETSQ FORMULOJ 0 = ; f 1(1) 1

fZ1 (1) 0

! (') d' = ln 2 ; 1

I NE ZAWISIT OT p = u0 =y, T. E. OT PODAWAEMOJ KONCENTRACII. iSKOMOE ASIMPTOTI^ESKOE REENIE IMEET WID v~ (x
t) = !;1(x ; t ; 0 )
(37) u~ (x
t) = !;1 (x ; t ; 0 )
GDE !;1 ( ) | OBRATNAQ DLQ ! (') FUNKCIQ. nA RIS. 35 PRIWEDENY REZULXTATY ^ISLENNOGO INTEGRIROWANIQ URAWNENIJ (14) DLQ IZOTERMY lENGM@RA METODOM KONE^NYH RAZNOSTEJ. |TI GRAFIKI DANY DLQ ZNA^ENIJ 0 < t 6 t1 = 10. pRI t = t1 REZULXTATY ^ISLENNOGO INTEGRIROWANIQ SOWPADA@T S ASIMPTOTI^ESKIM REENIEM S TO^NOSTX@ DO 1%. dLQ ZNA^ENIJ t > t1 MOVNO POLXZOWATXSQ ASIMPTOTI^ESKIMI FORMULAMI.

VI. fIZI^ESKIE ANALOGII pRI RASSMOTRENII QWLENIJ W RAZLI^NYH OBLASTQH FIZIKI MY ^ASTO OBNARUVIWAEM OB]IE ^ERTY W \TIH QWLENIQH. |TO PRIWODIT K TOMU, ^TO PRI MATEMATI^ESKOJ FORMULIROWKE ZADA^I MY POLU^AEM ODNI I TE VE URAWNENIQ, OPISYWA@]IE RAZLI^NYE FIZI^ESKIE QWLENIQ. pROSTEJIM PRIMEROM MOVET SLUVITX URAWNENIE 2 a ddtx2 + bx = 0
OPISYWA@]EE RAZLI^NYE KOLEBATELXNYE PROCESSY PROSTEJIH SISTEM: MATEMATI^ESKIJ MAQTNIK, KOLEBANIE GRUZA POD DEJSTWIEM SILY UPRUGOSTI PRUVINY, \LEKTRI^ESKIE KOLEBANIQ W PROSTOM KONTURE S INDUKTIWNOSTX@ I EMKOSTX@ I T. D. oB]NOSTX URAWNENIJ DLQ RAZLI^NYH FIZI^ESKIH PROCESSOW POZWOLQET NA OSNOWANII IZU^ENIQ SWOJSTW ODNOGO QWLENIQ DELATX ZAKL@^ENIE O SWOJSTWAH DRUGOGO, MENEE IZU^ENNOGO QWLENIQ. tAK, IZU^ENIE RAZLI^NYH AKUSTI^ESKIH QWLENIJ MOVET BYTX ZNA^ITELXNO OBLEG^ENO PREDWARITELXNYM RASSMOTRENIEM PODOBNYH \LEKTRI^ESKIH SHEM. rASPROSTRANENIE \LEKTRI^ESKIH KOLEBANIJ W SISTEMAH S RASPREDELENNYMI POSTOQNNYMI OPISYWAETSQ, KAK IZWESTNO, TELEGRAFNYMI

186

URAWNENIQMI

priloveniq k glawe II

9

@I = C @V + GV
> > = ; @x @t @I + RI
> >  = L ; @V @x @t

(1)

GDE C , G, L, R | RASPREDELENNYE EMKOSTX, UTE^KA, INDUKTIWNOSTX I SOPROTIWLENIE SISTEMY. eSLI MOVNO PRENEBRE^X SOPROTIWLENIEM I UTE^KOJ TOKA, TO DLQ V I I POLU^A@TSQ OBY^NYE WOLNOWYE URAWNENIQ @ 2 V ; LC @ 2 V = 0
@x2 @t2 2 @ I ; LC @ 2 I = 0
@x2 @t2 A URAWNENIQ (1) PRINIMA@T WID

9

@I = C @V
> > = ; @x @t @I : > >  ; @V = L @x @t

(2)

pRI REENII ZADA^I O RASPROSTRANENII ZWUKA W ODNOM NAPRAWLENII, NAPRIMER PRI IZU^ENII DWIVENIQ WOZDUHA W TRUBAH, MY PRIHODIM K URAWNENIQM 9 > @p @v ; @x =  @t
>= (3) > 1 @p @v > ; @x =  @t


GDE v | SKOROSTX KOLEBL@]IHSQ ^ASTIC,  | PLOTNOSTX, p | DAWLENIE, A  = p0  | KO\FFICIENT UPRUGOSTI WOZDUHA. pODOBIE URAWNENIJ (2) I (3) POZWOLQET USTANOWITX SOOTWETSTWIE MEVDU AKUSTI^ESKIMI I \LEKTRI^ESKIMI WELI^INAMI. rAZNOSTI POTENCIALOW SOOTWETSTWUET DAWLENIE, TOKU | SKOROSTX SME]ENIQ ^ASTIC. iNDUKTIWNOSTI \LEKTRI^ESKOJ CEPI SOOTWETSTWUET PLOTNOSTX, OPREDELQ@]AQ INERCIONNYE SWOJSTWA GAZA, A EMKOSTI \LEKTRI^ESKOJ CEPI SOOTWETSTWUET 1= , T. E. OBRATNAQ WELI^INA KO\FFICIENTA UPRUGOSTI. |TO VE SOOTWETSTWIE MOVNO USTANOWITX I IZ WYRAVENIJ KINETI^ESKOJ I POTENCIALXNOJ \NERGIJ DLQ \LEKTRI^ESKOJ I AKUSTI^ESKOJ SISTEM. wOZWRA]AQSX K URAWNENIQM (1), MY MOVEM WWESTI AKUSTI^ESKIE ANALOGI SOPROTIWLENIQ I UTE^KI. wELI^INU AKUSTI^ESKOGO SOPROTIWLENIQ PRIHODITSQ U^ITYWATX W TEH SLU^AQH, KOGDA PRI RASSMOTRENII

VI. fizi~eskie analogii

187

DWIVENIQ GAZA OKAZYWAETSQ SU]ESTWENNYM TRENIE GAZA O STENKI SOSUDA. pO ANALOGII S \LEKTRI^ESKIM SOPROTIWLENIEM, KOTOROE OPREDELQETSQ KAK OTNOENIE NAPRQVENIQ K TOKU, MOVNO WWESTI I AKUSTI^ESKOE SOPROTIWLENIE, OPREDELQEMOE OTNOENIEM DAWLENIQ K TOKU W SREDE, KOTORYJ PROPORCIONALEN SKOROSTI SME]ENIQ ^ASTIC GAZA, RA = p=uv. w TEH SLU^AQH, KOGDA RASSMATRIWAETSQ DWIVENIE GAZA W PORISTOJ SREDE, PRIHODITSQ WWODITX WELI^INU, ANALOGI^NU@ UTE^KE W \LEKTRI^ESKIH CEPQH. |TA WELI^INA, OBOZNA^AEMAQ ^EREZ P , NAZYWAETSQ PORISTOSTX@ I OPREDELQETSQ ^ASTX@ OB_EMA MATERIALA, KOTORAQ OKAZYWAETSQ ZAPOLNENNOJ WOZDUHOM. mEHANI^ESKIM ANALOGOM TELEGRAFNOGO URAWNENIQ QWLQETSQ URAWNENIE PRODOLXNYH KOLEBANIJ STERVNQ, KOTOROE PODOBNO URAWNENIQM (2) MOVET BYTX ZAPISANO W WIDE @v = 1 @T
; @T =  @v
; @x k @t @x @t GDE T | NATQVENIE STERVNQ, v | SKOROSTX KOLEBL@]IHSQ TO^EK,  | PLOTNOSTX I k | KO\FFICIENT UPRUGOSTI STERVNQ. sRAWNIWAQ \TO URAWNENIE S URAWNENIEM (2), MY MOVEM USTANOWITX PODOBIE MEVDU MEHANI^ESKIMI I \LEKTRI^ESKIMI WELI^INAMI. tAK, USTANOWIW SOOTWETSTWIE MEVDU \LEKTRI^ESKIM NAPRQVENIEM I NATQVENIEM STRUNY, TOKOM I SKOROSTX@ DWIVENIQ ^ASTIC, MY POLU^IM, ^TO OBRATNAQ WELI^INA KO\FFICIENTA UPRUGOSTI SOOTWETSTWUET EMKOSTI, A PLOTNOSTX | INDUKTIWNOSTI. tAKIM OBRAZOM, RASSMOTRENIE PODOBNYH DINAMI^ESKIH ZADA^ PRIWODIT K USTANOWLENI@ SOOTWETSTWIQ MEVDU RQDOM \LEKTRI^ESKIH, AKUSTI^ESKIH I MEHANI^ESKIH WELI^IN. |TO SOOTWETSTWIE MOVNO ILL@STRIROWATX SLEDU@]EJ TABLICEJ 1) : |LEKTRI^ESKAQ SISTEMA aKUSTI^ESKAQ SISTEMA

nAPRQVENIE tOK zARQD

V I e

dAWLENIE sKOROSTX ^ASTIC sME]ENIE

mEHANI^ESKAQ SISTEMA

p nATQVENIE (SILA) T v sKOROSTX SME]ENIQ x_ u sME]ENIE x

 pLOTNOSTX MASSY m iNDUKTIWNOSTX L iNERTNOSTX (PLOTNOSTX) eMKOSTX C aKUSTI^ESKAQ CA = 1 mQGKOSTX CM = k1 EMKOSTX sOPROTIWLENIE R aKUSTI^ESKOE RA mEHANI^ESKOE SOPROTIWLENIE SOPROTIWLENIE RM 1)

sM., NAPRIMER: o L X S O N g. dINAMI^ESKIE ANALOGII. M., 1947.

188

priloveniq k glawe II

rAZWITYE WYE SOOBRAVENIQ POZWOLQ@T W RQDE AKUSTI^ESKIH ZADA^ POLU^ITX NEKOTORYE SWEDENIQ O HARAKTERE QWLENIJ DO REENIQ ZADA^I. tAK, ZADA^A O DWIVENII WOZDUHA W PORAH DLQ PROSTYH GARMONI^ESKIH WOLN PRIWODIT K URAWNENIQM 1) ; i!mu + ru = ; grad p
p + i P! a2 (r ; i!m) p = 0
GDE u | OB_EMNAQ SKOROSTX WOZDUHA ^EREZ PORY, p | DAWLENIE,  | PLOTNOSTX, m | \FFEKTIWNAQ PLOTNOSTX WOZDUHA W PORAH, KOTORAQ MOVET BYTX BOLXE , TAK KAK W PORAH WMESTE S WOZDUHOM MOGUT KOLEBATXSQ I ^ASTICY WE]ESTWA, P | PORISTOSTX, a I ! | SKOROSTX I ^ASTOTA ZWUKA, r | SOPROTIWLENIE POTOKU, KOTOROE HARAKTERIZUET PADENIE DAWLENIQ W MATERIALE. pOLOVIW r = RA , m = LA , P=(a2 ) = CA , MY POLU^IM NAI URAWNENIQ W WIDE LA @u @t + RA u = ; grad p
2 CA LA @@t2p + CA RA @p @t = p: |TI URAWNENIQ WPOLNE PODOBNY URAWNENIQM RASPROSTRANENIQ \LEKTRI^ESKIH KOLEBANIJ W LINII. pO\TOMU MY PO ANALOGII S WOLNOWYM SOPROTIWLENIEM LINII r R + i!L Z = G + i!C MOVEM SRAZU NAPISATX WYRAVENIE DLQ SOPROTIWLENIQ, NAZYWAEMOGO HARAKTERISTI^ESKIM IMPEDANSOM PORISTOGO MATERIALA: s p Z = a  m ;Pir=!
S^ITAQ PRI \TOM G = 0. wYRAVENIE HARAKTERISTI^ESKOGO IMPEDANSA UKAZYWAET NA ZATUHANIE WOLN, RASPROSTRANQ@]IHSQ W PORISTOM MATERIALE. uSTANOWLENNAQ ANALOGIQ MEVDU \LEKTRI^ESKIMI I AKUSTI^ESKIMI QWLENIQMI POZWOLQET ZAMENITX IZU^ENIE RQDA AKUSTI^ESKIH ZADA^ RASSMOTRENIEM \KWIWALENTNYH \LEKTRI^ESKIH SHEM. mETOD PODOBIQ W POSLEDNEE WREMQ NAEL BOLXOE PRIMENENIE W MODELIRU@]IH S^ETNO-REA@]IH USTROJSTWAH, W KOTORYH DLQ REENIQ URAWNENIQ, SOOTWETSTWU@]EGO KAKOMU-LIBO FIZI^ESKOMU PROCESSU, STROITSQ \KWIWALENTNAQ \LEKTRI^ESKAQ SHEMA. 1) sM.: f U R D U E W w. w. |LEKTROAKUSTIKA. M. l., 1948.

g l a w a III

urawneniq paraboli~eskogo tipa uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 2-GO PORQDKA PARABOLI^ESKOGO TIPA NAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@TSQ PRI IZU^ENII PROCESSOW TEPLOPROWODNOSTI I DIFFUZII. pROSTEJEE URAWNENIE PARABOLI^ESKOGO TIPA uxx ; uy = 0 (y = a2 t) OBY^NO NAZYWA@T U R A W N E N I E M T E P L O P R O W O D N O S T I.

x 1. pROSTEJIE ZADA^I, PRIWODQ]IE K URAWNENIQM

PARABOLI^ESKOGO TIPA. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^ 1. lINEJNAQ ZADA^A O RASPROSTRANENII TEPLA. rASSMOTRIM

ODNORODNYJ STERVENX DLINY l, TEPLOIZOLIROWANNYJ S BOKOW I DOSTATO^NO TONKIJ, ^TOBY W L@BOJ MOMENT WREMENI TEMPERATURU WO WSEH TO^KAH POPERE^NOGO SE^ENIQ MOVNO BYLO S^ITATX ODINAKOWOJ. eSLI KONCY STERVNQ PODDERVIWATX PRI POSTOQNNYH TEMPERATURAH u1 I u2, TO, KAK HOROO IZWESTNO, WDOLX STERVNQ USTANAWLIWAETSQ LINEJNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY (RIS. 36) u (x) = u1 + u2 ;l u1 x: (1) pRI \TOM OT BOLEE NAGRETOGO K MENEE NAGRETOMU KONCU STERVNQ BUrIS. 36 DET PERETEKATX TEPLO. kOLI^ESTWO TEPLA, PROTEKA@]EE ^EREZ SE^ENIE STERVNQ PLO]ADI S ZA EDINICU WREMENI, DAETSQ \KSPERIMENTALXNOJ FORMULOJ (2) Q = ;k u2 ;l u1 S = ;k @u @x S
GDE k | KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI, ZAWISQ]IJ OT MATERIALA STERVNQ.

190

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

wELI^INA TEPLOWOGO POTOKA S^ITAETSQ POLOVITELXNOJ, ESLI TEPLO TE^ET W STORONU WOZRASTANIQ x. rASSMOTRIM PROCESS RASPROSTRANENIQ TEPLA W STERVNE. |TOT PROCESS MOVET BYTX OPISAN FUNKCIEJ u (x
t), PREDSTAWLQ@]EJ TEMPERATURU W SE^ENII x W MOMENT WREMENI t. nAJDEM URAWNENIE, KOTOROMU DOLVNA UDOWLETWORQTX FUNKCIQ u (x
t). dLQ \TOGO SFORMULIRUEM FIZI^ESKIE ZAKONOMERNOSTI, OPREDELQ@]IE PROCESSY, SWQZANNYE S RASPROSTRANENIEM TEPLA. 1. z A K O N f U R X E. eSLI TEMPERATURA TELA NERAWNOMERNA, TO W NEM WOZNIKA@T TEPLOWYE POTOKI, NAPRAWLENNYE IZ MEST S BOLEE WYSOKOJ TEMPERATUROJ W MESTA S BOLEE NIZKOJ TEMPERATUROJ. kOLI^ESTWO TEPLA, PROTEKA@]EE ^EREZ SE^ENIE x ZA PROMEVUTOK WREMENI (t
t + dt), RAWNO dQ = qS dt
(3) GDE q = ;k (x) @u (4) @x | PLOTNOSTX TEPLOWOGO POTOKA, RAWNAQ KOLI^ESTWU TEPLA, PROHODQ]EGO ZA EDINICU WREMENI ^EREZ PLO]ADX W 1 SM2 . |TOT ZAKON PREDSTAWLQET OBOB]ENIE FORMULY (2). eMU MOVNO TAKVE PRIDATX INTEGRALXNU@ FORMU:

Zt2 @u Q = ;S k @x (x
t) dt
t1

(5)

GDE Q | KOLI^ESTWO TEPLA, PROTEKA@]EE ZA PROMEVUTOK WREMENI (t1
t2 ) ^EREZ SE^ENIE x. eSLI STERVENX NEODNORODEN, TO k QWLQETSQ FUNKCIEJ x. 2. kOLI^ESTWO TEPLA, KOTOROE NEOBHODIMO SOOB]ITX ODNORODNOMU TELU, ^TOBY POWYSITX EGO TEMPERATURU NA u, RAWNO Q = cm u = cV u
(6) GDE c | UDELXNAQ TEPLOEMKOSTX, m | MASSA TELA,  | EGO PLOTNOSTX, V | OB_EM. eSLI IZMENENIE TEMPERATURY IMEET RAZLI^NU@ WELI^INU NA RAZNYH U^ASTKAH STERVNQ ILI ESLI STERVENX NEODNORODEN, TO

Zx2

Q = cS u (x) dx: x1

(7)

3. wNUTRI STERVNQ MOVET WOZNIKATX ILI POGLO]ATXSQ TEPLO (NAPRIMER, PRI PROHOVDENII TOKA, WSLEDSTWIE HIMI^ESKIH REAKCIJ I T. D.). wYDELENIE TEPLA MOVET BYTX OHARAKTERIZOWANO OB_EMNOJ PLOT-

x 1]

prostej{ie zada~i

191

NOSTX@ TEPLOWYH ISTO^NIKOW F (x
t) W TO^KE x W MOMENT t 1) . w REZULXTATE DEJSTWIQ \TIH ISTO^NIKOW NA U^ASTKE STERVNQ (x
x + dx) ZA PROMEVUTOK WREMENI (t
t + dt) WYDELITSQ KOLI^ESTWO TEPLA dQ = SF (x
t) dx dt
(8) ILI, W INTEGRALXNOJ FORME, Q=S

Zt2 Zx2

t1 x1

F (t
x) dx dt


(9)

GDE Q | KOLI^ESTWO TEPLA, WYDELQ@]EGOSQ NA U^ASTKE STERVNQ (x1
x2 ) ZA PROMEVUTOK WREMENI (t1
t2 ). uRAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI POLU^AETSQ PRI PODS^ETE BALANSA TEPLA NA NEKOTOROM OTREZKE (x1
x2 ) ZA NEKOTORYJ PROMEVUTOK WREMENI (t1
t2 ). pRIMENQQ ZAKON SOHRANENIQ \NERGII I POLXZUQSX FORMULAMI (5), (7) I (9), MOVNO NAPISATX RAWENSTWO   # Zx2 Zt2 Zt2 " @u @u  k @x (x
 ) ; k @x (x
 ) d + F (
 ) d d = x=x2 x=x1

t1

=

Zx2

x1

x1 t1

c u (
t2 ) ; u (
t1 )] d


(10)

KOTOROE I PREDSTAWLQET URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI W INTEGRALXNOJ FORME. ~TOBY POLU^ITX URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI W DIFFERENCIALXNOJ FORME, PREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ u (x
t) IMEET NEPRERYWNYE PROIZWODNYE uxx I ut 2) . TEOREMOJ O SREDNEM,#POLU^AEM RAWENSTWO " pOLXZUQSX   @u (x
 ) @u (x
 ) k @x ; k t + F (x4
t4 ) x t = x=x2 @x x=x1  =t3



= c u (
t2 ) ; u (
t1 )]



=x3

x


(11)

1) eSLI, NAPRIMER, TEPLO WYDELQETSQ W REZULXTATE PROHOVDENIQ \LEKTRI^ESKOGO TOKA SILY I PO STERVN@, SOPROTIWLENIE KOTOROGO NA EDINICU DLINY RAWNO R, TO F = I 2 R=S . 2) tREBUQ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII u (x t), MY, WOOB]E GOWORQ, MOVEM POTERQTX RQD WOZMOVNYH REENIJ, UDOWLETWORQ@]IH INTEGRALXNOMU URAWNENI@, NO NE UDOWLETWORQ@]IH DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@. oDNAKO W SLU^AE URAWNENIJ TEPLOPROWODNOSTI, TREBUQ DIFFERENCIRUEMOSTI REENIQ, MY FAKTI^ESKI NE TERQEM WOZMOVNYH REENIJ, TAK KAK MOVNO DOKAZATX, ^TO ESLI FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ (10), TO ONA OBQZATELXNO DOLVNA BYTX DIFFERENCIRUEMOJ.

192

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

KOTOROE PRI POMO]I TEOREMY O KONE^NYH PRIRA]ENIQH MOVNO PREOBRAZOWATX K WIDU    @u  @ k @u (x
t)  x  t + F ( x
t )  x  t = c @t (x
t) x=x x t
4 4 x=x5 @x @x 3 t=t3

t=t5

(12)

GDE t3 , t4 , t5 I x3 , x4 , x5 | PROMEVUTO^NYE TO^KI INTERWALOW (t1
t2 ) I (x1
x2 ). oTS@DA POSLE SOKRA]ENIQ NA PROIZWEDENIE xt NAHODIM     @ k @u  @u   (13) @x @x  x=x5 + F (x
t) x=x4 = c @t  t=t : t=t3

t=t4

x=x53

wSE \TI RASSUVDENIQ OTNOSQTSQ K PROIZWOLXNYM PROMEVUTKAM (x1
x2 ) I (t1
t2 ). pEREHODQ K PREDELU PRI x1 , x2 ! x I t1 , t2 ! t, POLU^IM URAWNENIE   @ k @u + F (x
t) = c @u
(14) @x @x @t NAZYWAEMOE U R A W N E N I E M T E P L O P R O W O D N O S T I. rASSMOTRIM NEKOTORYE ^ASTNYE SLU^AI. 1. eSLI STERVENX ODNORODEN, TO k, c,  MOVNO S^ITATX POSTOQNNYMI I URAWNENIE (14) OBY^NO ZAPISYWA@T W WIDE ut = a2 uxx + f (x
t)
k
f (x
t) = F (x
t)
a2 = c c 2 GDE a | POSTOQNNAQ, NAZYWAEMAQ K O \ F F I C I E N T O M T E M P E R A TUR O P R O W O D N O S T I. eSLI ISTO^NIKI OTSUTSTWU@T, T. E. F (x
t) = 0, TO URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI PRINIMAET PROSTOJ WID ut = a2 uxx: (140 ) 2. pLOTNOSTX TEPLOWYH ISTO^NIKOW MOVET ZAWISETX OT TEMPERATURY. w SLU^AE TEPLOOBMENA S OKRUVA@]EJ SREDOJ, POD^INQ@]EGOSQ Z A K O N U n X @ T O N A, KOLI^ESTWO TEPLA, TERQEMOGO STERVNEM 1) , RASS^ITANNOE NA EDINICU DLINY I WREMENI, RAWNO F0 = h (u ; )
GDE  (x
t) | TEMPERATURA OKRUVA@]EJ SREDY, h | K O \ F F I C I E N T T E P L O O B M E N A. tAKIM OBRAZOM, PLOTNOSTX TEPLOWYH ISTO^NIKOW W TO^KE x W MOMENT t RAWNA F = F1 (x
t) ; h (u ; )
1) pOSKOLXKU W NAEM PRIBLIVENII NE U^ITYWAETSQ RASPREDELENIE TEMPERATURY PO SE^ENI@, TO DEJSTWIE POWERHNOSTNYH ISTO^NIKOW \KWIWALENTNO DEJSTWI@ OB_EMNYH ISTO^NIKOW TEPLA.

x 1]

prostej{ie zada~i

193

GDE F1 (x
t) | PLOTNOSTX DRUGIH ISTO^NIKOW TEPLA. eSLI STERVENX ODNORODEN, TO URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI S BOKOWYM TEPLOOBMENOM IMEET SLEDU@]IJ WID: ut = a2 uxx ; u + f (x
t)
(15) GDE = ch  f (x
t) =  (x
t) + F1 (cx
t) | IZWESTNAQ FUNKCIQ. 3. kO\FFICIENTY k I c, KAK PRAWILO, QWLQ@TSQ MEDLENNO MENQ@]IMISQ FUNKCIQMI TEMPERATURY. pO\TOMU SDELANNOE WYE PREDPOLOVENIE O POSTOQNSTWE \TIH KO\FFICIENTOW WOZMOVNO LIX PRI USLOWII RASSMOTRENIQ NEBOLXIH INTERWALOW IZMENENIQ TEMPERATURY. iZU^ENIE TEMPERATURNYH PROCESSOW W BOLXOM INTERWALE IZMENENIQ TEMPERATUR PRIWODIT K KWAZILINEJNOMU URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI, KOTOROE DLQ NEODNORODNOJ SREDY   ZAPIETSQ W WIDE @ k (u
x) @u + F (x
t) = C (u
x)  (u
x) @u @x @x @t (SM. pRILOVENIE III). 2. uRAWNENIE DIFFUZII. eSLI SREDA NERAWNOMERNO ZAPOLNENA GAZOM, TO IMEET MESTO DIFFUZIQ EGO IZ MEST S BOLEE WYSOKOJ KONCENTRACIEJ W MESTA S MENXEJ KONCENTRACIEJ. |TO VE QWLENIE IMEET MESTO I W RASTWORAH, ESLI KONCENTRACIQ RASTWORENNOGO WE]ESTWA W OB_EME NEPOSTOQNNA. rASSMOTRIM PROCESS DIFFUZII W POLOJ TRUBKE ILI W TRUBKE, ZAPOLNENNOJ PORISTOJ SREDOJ, PREDPOLAGAQ, ^TO WO WSQKIJ MOMENT WREMENI KONCENTRACIQ GAZA (RASTWORA) PO SE^ENI@ TRUBKI ODINAKOWA. tOGDA PROCESS DIFFUZII MOVET BYTX OPISAN FUNKCIEJ u (x
t), PREDSTAWLQ@]EJ K O N C E N T R A C I @ W SE^ENII x W MOMENT WREMENI t. sOGLASNO Z A K O N U n E R N S T A MASSA GAZA, PROTEKA@]AQ ^EREZ SE^ENIE x ZA PROMEVUTOK WREMENI (t
t + t), RAWNA @u (x
t) S dt = WS dt
dQ = ;D @x W = ;D @u (16) @x
GDE D | KO\FFICIENT DIFFUZII, S | PLO]ADX SE^ENIQ TRUBKI, W (x
t) | PLOTNOSTX DIFFUZIONNOGO POTOKA, RAWNAQ MASSE GAZA, PROTEKA@]EGO ZA EDINICU WREMENI ^EREZ EDINICU PLO]ADI. pO OPREDELENI@ KONCENTRACII, KOLI^ESTWO GAZA W OB_EME V RAWNO Q = uV  OTS@DA POLU^AEM, ^TO IZMENENIE MASSY GAZA NA U^ASTKE TRUBKI (x1
x2 ) PRI IZMENENII KONCENTRACII NA u RAWNO Q =

Zx2

x1

c (x) u  S dx


13 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

194

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

GDE c (x) | K O \ F F I C I E N T P O R I S T O S T I 1) . sOSTAWIM URAWNENIE BALANSA MASSY GAZA NA U^ASTKE (x1
x2 ) ZA PROMEVUTOK WREMENI (t1
t2 ): S

Zt2 

t1



@u D (x2 ) @u @x (x2
 ) ; D (x1 ) @x (x1
 ) d = =S

Zx2

x1

c ( ) u (
t2 ) ; u (
t1 )] d:

oTS@DA (SR. S P. 1) POLU^IM URAWNENIE   @ D @u = c @u
(17) @x @x @t QWLQ@]EESQ U R A W N E N I E M D I F F U Z I I. oNO WPOLNE ANALOGI^NO URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI. pRI WYWODE \TOGO URAWNENIQ MY S^ITALI, ^TO W TRUBKE NET ISTO^NIKOW WE]ESTWA I DIFFUZIQ ^EREZ STENKI TRUBKI OTSUTSTWUET. u^ET \TIH QWLENIJ PRIWODIT K URAWNENIQM, SHODNYM S URAWNENIQMI (14) I (15) (SM. GL. VI, x 2, P. 3). eSLI KO\FFICIENT DIFFUZII POSTOQNEN, TO URAWNENIE DIFFUZII PRINIMAET WID ut = a2 uxx
GDE a2 = D=c. eSLI KO\FFICIENT PORISTOSTI c = 1, A KO\FFICIENT DIFFUZII POSTOQNEN, TO URAWNENIE DIFFUZII IMEET WID ut = D uxx: 3. rASPROSTRANENIE TEPLA W PROSTRANSTWE. pROCESS RASPROSTRANENIQ TEPLA W PROSTRANSTWE MOVET BYTX OHARAKTERIZOWAN TEMPERATUROJ u (x
y
z
t), QWLQ@]EJSQ FUNKCIEJ x, y, z I t. eSLI TEMPERATURA NEPOSTOQNNA, TO WOZNIKA@T TEPLOWYE POTOKI, NAPRAWLENNYE OT MEST S BOLEE WYSOKOJ TEMPERATUROJ K MESTAM S BOLEE NIZKOJ TEMPERATUROJ. pUSTX d | NEKOTORAQ PLO]ADKA W TO^KE P (

 ) S NORMALX@ n. kOLI^ESTWO TEPLA, PROTEKA@]EE ^EREZ d W EDINICU WREMENI, SOGLASNO ZAKONU fURXE RAWNO @u d
Wn d = (W n)d = ;k @n 1)

kO\FFICIENTOM PORISTOSTI NAZYWAETSQ OTNOENIE OB_EMA POR K POLNOMU OB_EMU V0 , RAWNOMU W NAEM SLU^AE S dx.

x 1]

prostej{ie zada~i

195

@u | PROIZWODNAQ PO NAPRAGDE k | KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI, @n WLENI@ NORMALI n K d, RAWNAQ @u = @u cos(n
x) + @u cos(n
y) + @u cos(n
z ) = (grad u
n): @n @x @y @z zAKON fURXE ^ASTO ZAPISYWA@T W FORME W = ;k grad u
GDE W | WEKTOR PLOTNOSTI TEPLOWOGO POTOKA. eSLI SREDA IZOTROPNAQ, TO k ESTX SKALQR. w SLU^AE ANIZOTROPNOJ SREDY k ESTX TENZOR, A WEKTOR TEPLOWOGO POTOKA W PREDSTAWLQET SOBOJ PROIZWEDENIE TENZORA k NA WEKTOR ; grad u. mY BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO IZOTROPNYE SREDY. pEREJDEM K WYWODU URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W PROSTRANSTWE. rASSMOTRIM NEKOTORYJ OB_EM V , OGRANI^ENNYJ POWERHNOSTX@ S . uRAWNENIE BALANSA TEPLA DLQ OB_EMA V ZA WREMQ t = t2 ; t1 IMEET WID

ZZZ V

c u (P
t2 ) ; u (P
t1 )] dVP = =

;

Zt2 Z Z t1

dt

S

1 Zt2 0ZZZ Wn d + dt @ F (P
t) dVP A
t1

V

(18)

GDE P = P (

 ) | TO^KA INTEGRIROWANIQ, dVP = d d d | \LEMENT OB_EMA, c | TEPLOEMKOSTX EDINICY OB_EMA, Wn | NORMALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ PLOTNOSTI TEPLOWOGO POTOKA. |TO URAWNENIE WYRAVAET ZAKON SOHRANENIQ TEPLA W OB_EME V ZA WREMQ t: IZMENENIE KOLI^ESTWA TEPLA W OB_EME V ZA WREMQ t = t2 ; t1 (LEWAQ ^ASTX W (18)) OBUSLOWLENO POTOKOM TEPLA ^EREZ GRANI^NU@ POWERHNOSTX S (PERWOE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (18)), A TAKVE KOLI^ESTWOM TEPLA, WYDELIWIMSQ W OB_EME V ZA WREMQ t W REZULXTATE DEJSTWIQ TEPLOWYH ISTO^NIKOW. ~TOBY PEREJTI OT INTEGRALXNOGO URAWNENIQ BALANSA K DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@, PREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ u (M
t) = = u (x
y
z
t) DWAVDY DIFFERENCIRUEMA PO x, y, z I ODIN RAZ PO t I ^TO \TI PROIZWODNYE NEPRERYWNY W RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI. tOGDA MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ oSTROGRADSKOGO | gAUSSA

ZZ

13


S

Wn d =

ZZZ V

div W dV

urawneniq paraboli~eskogo tipa

196

gl. III

I PREOBRAZOWATX URAWNENIE BALANSA K WIDU ZZZ c u (P
t2 ) ; u (P
t1 )] dVP = V

=

;

Zt2 ZZZ t1

V

div W dVP dt +

Zt2 ZZZ t1

V

F (P
t) dVP dt:

(bUDEM PREDPOLAGATX F (P
t) NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ SWOIH ARGUMENTOW.) pRIMENQQ TEOREMU O SREDNEM I TEOREMU O KONE^NYH PRIRA]ENIQH DLQ FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH, POLU^AEM    @u   c @t  t=t3 t  V = ; div W t=t4 t  V + F  t=t5 t  V
P =P1 P =P2 P =P3 GDE t3 , t4 , t5 | PROMEVUTO^NYE TO^KI NA INTERWALE t, A P1 , P2 , P3 | TO^KI W OB_EME V . fIKSIRUEM NEKOTORU@ TO^KU M (x
y
z ) WNUTRI V I BUDEM STQGIWATX V W \TU TO^KU, A t USTREMLQTX K NUL@. pOSLE SOKRA]ENIQ NA t V I UKAZANNOGO PREDELXNOGO PEREHODA POLU^IM c @u @t (x
y
z
t) = ; div W (x
y
z
t) + F (x
y
z
t): zAMENQQ W PO FORMULE W = ;k grad u, POLU^IM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI cut = div(k grad u) + F
ILI       @ k @u + @ k @u + @ k @u + F: cut = @x @x @y @y @z @z

eSLI SREDA ODNORODNA, TO \TO URAWNENIE OBY^NO ZAPISYWA@T W WIDE F
ut = a2 (uxx + uyy + uzz ) + c

GDE a2 = k=c | KO\FFICIENT TEMPERATUROPROWODNOSTI, ILI  F 2 ut = a u + f f = c
@ 2 + @ 2 + @ 2 | OPERATOR lAPLASA. GDE  = @x 2 @y 2 @z 2 4. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^. dLQ WYDELENIQ EDINSTWENNOGO REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI NEOBHODIMO K URAWNENI@ PRISOEDINITX NA^ALXNYE I GRANI^NYE USLOWIQ.

x 1]

prostej{ie zada~i

197

nA^ALXNOE USLOWIE W OTLI^IE OT URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA SOSTOIT LIX W ZADANII ZNA^ENIJ FUNKCII u (x
t) W NA^ALXNYJ MOMENT t0 . gRANI^NYE USLOWIQ MOGUT BYTX RAZLI^NY W ZAWISIMOSTI OT TEMPERATURNOGO REVIMA NA GRANICAH. rASSMATRIWA@T TRI OSNOWNYH TIPA GRANI^NYH USLOWIJ. 1. nA KONCE STERVNQ x = 0 ZADANA TEMPERATURA u (0
t) =  (t)
GDE  (t) | FUNKCIQ, ZADANNAQ W NEKOTOROM PROMEVUTKE t0 6 t 6 T , ( T | MOMENT WREMENI, DO KOTOROGO IZU^AETSQ PROCESS). 2. nA KONCE x = l ZADANO ZNA^ENIE PROIZWODNOJ @u (l
t) =  (t): @x k \TOMU USLOWI@ MY PRIHODIM, ESLI ZADANA WELI^INA TEPLOWOGO POTOKA Q (l
t), PROTEKA@]EGO ^EREZ TORCEWOE SE^ENIE STERVNQ, @u (l
t)
Q (l
t) = ;k @x @u (l
t) =  (t), GDE  (t) | IZWESTNAQ FUNKCIQ, WYRAVA@]AQSQ OTKUDA @x ^EREZ ZADANNYJ POTOK Q (l
t) FORMULOJ  (t) = ; Q (kl
t) : 3. nA KONCE x = l ZADANO LINEJNOE SOOTNOENIE MEVDU PROIZWODNOJ I FUNKCIEJ @u (l
t) = ; u (l
t) ;  (t)]: @x |TO GRANI^NOE USLOWIE SOOTWETSTWUET TEPLOOBMENU PO ZAKONU nX@TONA NA POWERHNOSTI TELA S OKRUVA@]EJ SREDOJ, TEMPERATURA KOTOROJ  IZWESTNA. pOLXZUQSX DWUMQ WYRAVENIQMI DLQ TEPLOWOGO POTOKA, WYTEKA@]EGO ^EREZ SE^ENIE x = l: Q = h (u ;  ) I Q = ;k @u @x
POLU^AEM MATEMATI^ESKU@ FORMULIROWKU TRETXEGO GRANI^NOGO USLOWIQ W WIDE @u (l
t) = ; u (l
t) ;  (t)]
@x

198

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

GDE  = h=k | KO\FFICIENT TEPLOOBMENA,  (t) | NEKOTORAQ ZADANNAQ FUNKCIQ. dLQ KONCA x = 0 STERVNQ (0
l) TRETXE GRANI^NOE USLOWIE IMEET WID @u (0
t) =  u (0
t) ;  (t)]: @x gRANI^NYE USLOWIQ PRI x = 0 I x = l MOGUT BYTX RAZNYH TIPOW, TAK ^TO ^ISLO RAZLI^NYH ZADA^ WELIKO. pERWAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ OGRANI^ENNOGO STERVNQ SOSTOIT W SLEDU@]EM. nAJTI REENIE u = u (x
t) URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx PRI 0 < x < l
0 < t 6 T
UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM u (x
0) = ' (x)
0 6 x 6 l
u (0
t) = 1 (t)
u (l
t) = 2 (t)
0 6 t 6 T
GDE ' (x)
1 (t) I 2 (t) | ZADANNYE FUNKCII. aNALOGI^NO STAWQTSQ I DRUGIE KRAEWYE ZADA^I S RAZLI^NYMI KOMBINACIQMI KRAEWYH USLOWIJ PRI x = 0 I x = l. wOZMOVNY KRAEWYE USLOWIQ BOLEE SLOVNOGO TIPA, ^EM TE, KOTORYE BYLI RASSMOTRENY WYE. pUSTX NA KONCE x = 0 STERVNQ POME]ENA SOSREDOTO^ENNAQ TEPLOEMKOSTX C1 (NAPRIMER, TELO S BOLXOJ TEPLOPROWODNOSTX@, WSLEDSTWIE ^EGO TEMPERATURU PO WSEMU OB_EMU \TOGO TELA MOVNO S^ITATX POSTOQNNOJ) I PROISHODIT TEPLOOBMEN SO WNENEJ SREDOJ PO ZAKONU nX@TONA. tOGDA KRAEWOE USLOWIE PRI x = 0 (WYRAVA@]EE URAWNENIE TEPLOWOGO BALANSA) BUDET IMETX WID @u C1 @u @t = k @x ; h (u ; u0 )
GDE u0 | TEMPERATURA WNENEJ SREDY. |TO USLOWIE SODERVIT PROIZWODNU@ @u=@t (ILI @ 2 u=@x2, ESLI U^ESTX URAWNENIE ut = a2 uxx). eSLI SREDA NEODNORODNA I KO\FFICIENTY URAWNENIQ QWLQ@TSQ RAZRYWNYMI FUNKCIQMI, TO PROMEVUTOK (0
l), W KOTOROM I]ETSQ REENIE ZADA^I, RAZBIWAETSQ TO^KAMI RAZRYWA KO\FFICIENTOW NA NESKOLXKO ^ASTEJ, WNUTRI KOTORYH FUNKCIQ u UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI, A NA GRANICAH | USLOWIQM SOPRQVENIQ. w PROSTEJEM SLU^AE \TI USLOWIQ ZAKL@^A@TSQ W NEPRERYWNOSTI TEMPERATURY I NEPRERYWNOSTI TEPLOWOGO POTOKA: u(xi ; 0
t) = u(xi + 0
t)
@u k (xi ; 0) @u @x (xi ; 0
t) = k (xi + 0) @x (xi + 0
t)


x 1]

prostej{ie zada~i

199

GDE xi | TO^KI RAZRYWA KO\FFICIENTOW. kROME NAZWANNYH ZDESX ZADA^ ^ASTO WSTRE^A@TSQ IH PREDELXNYE SLU^AI. rASSMOTRIM PROCESS TEPLOPROWODNOSTI W O^ENX DLINNOM STERVNE. w TE^ENIE NEBOLXOGO PROMEVUTKA WREMENI WLIQNIE TEMPERATURNOGO REVIMA, ZADANNOGO NA GRANICE, W CENTRALXNOJ ^ASTI STERVNQ SKAZYWAETSQ WESXMA SLABO, I TEMPERATURA NA \TOM U^ASTKE OPREDELQETSQ W OSNOWNOM LIX NA^ALXNYM RASPREDELENIEM TEMPERATURY. w \TOM SLU^AE TO^NYJ U^ET DLINY STERVNQ NE IMEET ZNA^ENIQ, TAK KAK IZMENENIE DLINY STERVNQ NE OKAVET SU]ESTWENNOGO WLIQNIQ NA TEMPERATURU INTERESU@]EGO NAS U^ASTKA W ZADA^AH PODOBNOGO TIPA OBY^NO S^ITA@T, ^TO STERVENX IMEET BESKONE^NU@ DLINU. tAKIM OBRAZOM, STAWITSQ Z A D A ^ A S N A ^ A L X N Y M I U S L O W I Q M I (Z A D A ^ A k O  I) O R A S P R E D E L E N I I T E M P E R A T U R Y N A B E S K O N E ^ N O J P R Q M O J. nAJTI REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OBLASTI ;1 < < x < 1 I t > t0
UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ u (x
t0 ) = ' (x) (;1 < x < + 1)
GDE ' (x) | ZADANNAQ FUNKCIQ. aNALOGI^NO, ESLI U^ASTOK STERVNQ, TEMPERATURA KOTOROGO NAS INTERESUET, NAHODITSQ WBLIZI ODNOGO KONCA I DALEKO OT DRUGOGO, TO W \TOM SLU^AE TEMPERATURA PRAKTI^ESKI OPREDELQETSQ TEMPERATURNYM REVIMOM BLIZKOGO KONCA I NA^ALXNYMI USLOWIQMI. w ZADA^AH PODOBNOGO TIPA OBY^NO S^ITA@T, ^TO STERVENX POLUBESKONE^EN I KOORDINATA, OTS^ITYWAEMAQ OT KONCA, MENQETSQ W PREDELAH 0 6 x 6 1. pRIWEDEM W KA^ESTWE PRIMERA FORMULIROWKU P E R W O J K R A E W O J Z A D A ^ I D L Q P O L U B E S K O N E ^ N O G O S T E R V N Q. nAJTI REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OBLASTI 0 < x < < 1 I t > t0
UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM u (x
t0 ) = ' (x) (0 < x < 1)
u (0
t) =  (t) (t > t0 )
GDE ' (x) I  (t) | ZADANNYE FUNKCII. pRIWEDENNYE WYE ZADA^I PREDSTAWLQ@T SOBOJ PREDELXNYJ SLU^AJ (W Y R O V D E N I E) OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^. wOZMOVNY PREDELXNYE SLU^AI OSNOWNOJ ZADA^I I DRUGOGO TIPA, KOGDA PRENEBREGA@T TO^NYM U^ETOM NA^ALXNYH USLOWIJ. wLIQNIE NA^ALXNYH USLOWIJ PRI RASPROSTRANENII TEPLA PO STERVN@ OSLABEWAET S TE^ENIEM WREMENI. eSLI INTERESU@]IJ NAS MOMENT DOSTATO^NO UDALEN OT NA^ALXNOGO, TO TEMPERATURA STERVNQ PRAKTI^ESKI OPREDELQETSQ GRANI^NYMI USLOWIQMI, TAK KAK IZMENENIE NA^ALXNYH USLOWIJ NE IZMENILO BY TEMPERATURNOGO SOSTOQNIQ STERVNQ W PREDELAH TO^NOSTI NABL@DENIQ. w \TOM SLU^AE PRAKTI^ESKI MOVNO S^ITATX, ^TO OPYT PRODOLVAETSQ BESKONE^NO, I NA^ALXNYE USLOWIQ TEM SAMYM OTPADA@T. tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K K R A E W Y M Z A D A ^ A M B E Z N A^ A L X N Y H U S L O W I J.

200

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

nAJTI REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI DLQ 0 6 x 6 l I

;1 < t
UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM

u (0
t) = 1 (t)
u (l
t) = 2 (t): w ZAWISIMOSTI OT HARAKTERA GRANI^NOGO REVIMA WOZMOVNY I DRUGIE WIDY ZADA^ BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ. wESXMA WAVNOJ QWLQETSQ ZADA^A BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ DLQ POLUBESKONE^NOGO STERVNQ (l = 1), KOGDA TREBUETSQ NAJTI REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI DLQ 0 < x < 1, t > ;1, UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ u (0
t) =  (t)
GDE  (t) | ZADANNAQ FUNKCIQ. nAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@TSQ ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ PRI PERIODI^ESKOM GRANI^NOM REVIME  (t) = A cos !t (SM. pRILOVENIE I K GL. III). eSTESTWENNO S^ITATX, ^TO PO PROESTWII BOLXOGO PROMEVUTKA WREMENI TEMPERATURA STERVNQ PRAKTI^ESKI TAKVE MENQETSQ PO PERIODI^ESKOMU ZAKONU S TOJ VE ^ASTOTOJ. oDNAKO ESLI MY ZAHOTIM TO^NO U^ITYWATX NA^ALXNYE USLOWIQ, TO FORMALXNO NIKOGDA NE POLU^IM PERIODI^ESKOGO REENIQ, TAK KAK WLIQNIE NA^ALXNYH USLOWIJ HOTQ I BUDET OSLABEWATX S TE^ENIEM WREMENI, NO W NULX NE OBRATITSQ U^ITYWATX \TO WLIQNIE WWIDU OIBOK NABL@DENIQ NET NIKAKOGO SMYSLA. rASSMATRIWAQ PERIODI^ESKOE REENIE, MY PRENEBREGAEM WLIQNIEM NA^ALXNYH DANNYH. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^, IZLOVENNAQ WYE, OTNOSITSQ, KONE^NO, NE TOLXKO K URAWNENI@ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI. pOD SLOWAMI URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI MY MOGLI BY PONIMATX L@BOE IZ URAWNENIJ PREDYDU]IH PUNKTOW. pOMIMO PERE^ISLENNYH WYE LINEJNYH KRAEWYH ZADA^ STAWQTSQ TAKVE ZADA^I S NELINEJNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI, NAPRIMER WIDA 4 4 k @u @x (0
t) =  u (0
t) ;  (0
t)]: |TO GRANI^NOE USLOWIE SOOTWETSTWUET IZLU^ENI@ PO Z A K O N U s T EF A N A | b O L X C M A N A S TORCA x = 0 W SREDU S TEMPERATUROJ  (t). oSTANOWIMSQ BOLEE PODROBNO NA POSTANOWKE KRAEWYH ZADA^. rASSMOTRIM PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ OGRANI^ENNOJ OBLASTI. r E  E N I E M P E R W O J K R A E W O J Z A D A ^ I BUDEM NAZYWATX FUNKCI@ u (x
t), OBLADA@]U@ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) u (x
t) OPREDELENA I NEPRERYWNA W ZAMKNUTOJ OBLASTI 0 6 x 6 l
t0 6 t 6 T 

x 1]

prostej{ie zada~i

201

2) u (x
t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI W OTKRYTOJ OBLASTI 0 < x < l
t0 < t < T  3) u (x
t) UDOWLETWORQET NA^ALXNOMU I GRANI^NYM USLOWIQM, T. E. u (x
t0 ) = ' (x)
u (0
t) = 1 (t)
u (l
t) = 2 (t)
GDE ' (x), 1 (t), 2 (t) | NEPRERYWNYE FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM SOPRQVENIQ ' (0) = 1 (t0 ) = u (0
t0 )] I ' (l) = 2 (t0 ) = u (l
t0 )]
NEOBHODIMYM DLQ NEPRERYWNOSTI u (x
t) W ZAMKNUTOJ OBLASTI. rASSMOTRIM PLOSKOSTX FAZOWYH SOSTOQNIJ (x
t) (RIS. 37). w NAEJ ZADA^E I]ETSQ FUNKCIQ u (x
t), OPREDELENNAQ WNUTRI PRQMOUGOLXNIKA ABCD. |TA OBLASTX OPREDELQETSQ SAMOJ POSTANOWKOJ ZADA^I, TAK KAK IZU^AETSQ PROCESS RASPROSTRANENIQ TEPLA W STERVNE 0 6 x 6 l ZA PROMEVUTOK WREMENI t0 6 t 6 T , W TE^ENIE KOTOROGO NAM IZWESTEN TEPLOWOJ REVIM NA KRAQH. pUSTX t0 = 0 MY PREDPOLAGAEM, ^TO u (x
t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TOLXKO PRI 0 < < x < l, 0 < t 6 T , NO NE PRI t = = 0 (STORONA AB ) I NE PRI x = 0, x = l (STORONY AD I BC ), GDE NA^ALXNYMI I GRANI^NYMI USLOWIQMI NEPOSREDSTWENNO ZADA@TSQ ZNA^ENIQ \TOJ FUNKCII. eSLI BY MY POTREBOWALI, ^TOBY URAWNENIE UDOWLETWORQLOSX, NAPRIMER, PRI t = 0, TO \TIM rIS. 37 MY POTREBOWALI BY,00^TOBY SU]ESTWOWALA PROIZWODNAQ ' = uxx (x
0), WHODQ]AQ W URAWNENIE. |TIM TREBOWANIEM MY OGRANI^ILI BY OBLASTX IZU^AEMYH FIZI^ESKIH QWLENIJ, ISKL@^IW IZ RASSMOTRENIQ TE FUNKCII, DLQ KOTORYH \TO TREBOWANIE NE WYPOLNQETSQ. uSLOWIE 3 BEZ PREDPOLOVENIQ NEPRERYWNOSTI u (x
t) W OBLASTI 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T (T. E. W ZAMKNUTOM PRQMOUGOLXNIKE ABCD) ILI KAKOGO-LIBO DRUGOGO USLOWIQ, ZAMENQ@]EGO \TO PREDPOLOVENIE, TERQET SMYSL 1) . dEJSTWITELXNO, RASSMOTRIM FUNKCI@ v (x
t), OPREDELENNU@ SLEDU@]IM OBRAZOM: v (x
t) = C (0 < x < l
0 < t 6 T )
v (x
0) = ' (x) ) (0 6 x 6 l)
v (0
t) = 1 (t)
(0 6 t 6 T )
v (l
t) = 2 (t) 1) nIVE BUDUT RASSMOTRENY KRAEWYE ZADA^I S RAZRYWNYMI GRANI^NYMI I NA^ALXNYMI USLOWIQMI. dLQ \TIH ZADA^ BUDET UTO^NENO, W KAKOM SMYSLE PONIMAETSQ WYPOLNENIE GRANI^NYH USLOWIJ.

202

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

GDE C | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ. fUNKCIQ v (x
t), O^EWIDNO, UDOWLETWORQET USLOWI@ 2, A TAKVE GRANI^NYM USLOWIQM. oDNAKO \TA FUNKCIQ NE PREDSTAWLQET PROCESSA RASPROSTRANENIQ TEPLA W STERVNE PRI NA^ALXNOJ TEMPERATURE ' (x) 6= C I GRANI^NYH TEMPERATURAH  (t) 6= 6= C I 2 (t) 6= C , TAK KAK ONA RAZRYWNA PRI t = 0, x = 0, x = l1. nEPRERYWNOSTX FUNKCII u (x
t) PRI 0 < x < l, 0 < t 6 T SLEDUET IZ TOGO, ^TO \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@. tAKIM OBRAZOM, TREBOWANIE NEPRERYWNOSTI u (x
t) PRI 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T , PO SU]ESTWU, OTNOSITSQ TOLXKO K TEM TO^KAM, GDE ZADA@TSQ GRANI^NYE I NA^ALXNYE ZNA^ENIQ. w DALXNEJEM MY POD WYRAVENIEM REENIE URAWNENIQ, UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM, BUDEM PODRAZUMEWATX FUNKCI@, UDOWLETWORQ@]U@ TREBOWANIQM 1, 2, 3, NE OGOWARIWAQ \TI USLOWIQ KAVDYJ RAZ, ESLI W \TOM NET OSOBOJ NEOBHODIMOSTI. aNALOGI^NO STAWQTSQ I DRUGIE KRAEWYE ZADA^I, W TOM ^ISLE ZADA^I NA BESKONE^NOM STERVNE I ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ. dLQ ZADA^ S NESKOLXKIMI NEZAWISIMYMI GEOMETRI^ESKIMI PEREMENNYMI WSE SKAZANNOE WYE SOHRANQET SILU. w \TIH ZADA^AH PRI t = t0 ZADAETSQ NA^ALXNAQ TEMPERATURA, NA POWERHNOSTI TELA | GRANI^NYE USLOWIQ. mOVNO RASSMATRIWATX TAKVE I ZADA^I DLQ BESKONE^NOJ OBLASTI. w OTNOENII KAVDOJ IZ POSTAWLENNYH ZADA^ WOZNIKA@T SLEDU@]IE WOPROSY (SR. S GL. II, x 2.): 1) EDINSTWENNOSTX REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I, 2) SU]ESTWOWANIE REENIQ, 3) NEPRERYWNAQ ZAWISIMOSTX REENIQ OT DOPOLNITELXNYH USLOWIJ. eSLI POSTAWLENNAQ ZADA^A IMEET NESKOLXKO REENIJ, TO SLOWA REENIE ZADA^I NE IME@T OPREDELENNOGO SMYSLA. pO\TOMU, PREVDE ^EM GOWORITX O REENII ZADA^I, NEOBHODIMO DOKAZATX EGO EDINSTWENNOSTX. dLQ PRAKTIKI NAIBOLEE SU]ESTWENNYM QWLQETSQ WOPROS 2, TAK KAK PRI DOKAZATELXSTWE SU]ESTWOWANIQ REENIQ OBY^NO DAETSQ SPOSOB WY^ISLENIQ REENIQ. kAK BYLO OTME^ENNO RANEE (SM. GL. II, x 2, P. 5), PROCESS NAZYWAETSQ FIZI^ESKI OPREDELENNYM, ESLI PRI MALOM IZMENENII NA^ALXNYH I GRANI^NYH USLOWIJ ZADA^I EE REENIE MENQETSQ MALO. w DALXNEJEM BUDET DOKAZANO, ^TO PROCESS RASPROSTRANENIQ TEPLA FIZI^ESKI OPREDELQETSQ SWOIMI NA^ALXNYMI I GRANI^NYMI USLOWIQMI, T. E. NEBOLXOE IZMENENIE NA^ALXNOGO I GRANI^NYH USLOWIJ MALO IZMENQET SAMO REENIE. 5. pRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. w DALXNEJEM MY BUDEM RASSMATRIWATX URAWNENIE S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI vt = a2 vxx + vx + v: kAK MY WIDELI, \TO URAWNENIE PODSTANOWKOJ 2 v = ex+t  u PRI  = ; 2a2
 =  ; 4a2

x 1]

prostej{ie zada~i

203

PRIWODITSQ K WIDU

ut = a2 uxx: dOKAVEM SLEDU@]EE SWOJSTWO REENIJ \TOGO URAWNENIQ, KOTOROE MY BUDEM NAZYWATX P R I N C I P O M M A K S I M A L X N O G o Z N A ^ E N I Q. eSLI FUNKCIQ u (x
t)
OPREDELENNAQ I NEPRERYWNAQ W ZAMKNUTOJ OBLASTI 0 6 t 6 T I 0 6 x 6 l
UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx (19) W TO^KAH OBLASTI 0 < x < l
0 < t 6 T
TO MAKSIMALXNOE I MINIMALXNOE ZNA^ENIQ FUNKCII u (x
t) DOSTIGA@TSQ ILI W NA^ALXNYJ MOMENT
ILI W TO^KE GRANICY x = 0 LIBO x = l. fUNKCIQ u (x
t) = const, O^EWIDNO, UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI I DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO (MINIMALXNOGO) ZNA^ENIQ W L@BOJ TO^KE. oDNAKO \TO NE PROTIWORE^IT TEOREME, TAK KAK IZ EE USLOWIQ SLEDUET, ^TO ESLI MAKSIMALXNOE (MINIMALXNOE) ZNA^ENIE DOSTIGAETSQ WNUTRI OBLASTI, TO ONO TAKVE (A NE TOLXKO) DOLVNO DOSTIGATXSQ ILI PRI t = 0, ILI PRI x = 0, ILI PRI x = l. fIZI^ESKIJ SMYSL \TOJ TEOREMY O^EWIDEN: ESLI TEMPERATURA NA GRANICE I W NA^ALXNYJ MOMENT NE PREWOSHODIT NEKOTOROGO ZNA^ENIQ M , TO PRI OTSUTSTWII ISTO^NIKOW WNUTRI TELA NE MOVET SOZDAWATXSQ TEMPERATURA, B#oLXAQ M . oSTANOWIMSQ SNA^ALA NA DOKAZATELXSTWE TEOREMY DLQ MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. dOKAZATELXSTWO TEOREMY WEDETSQ OT PROTIWNOGO. oBOZNA^IM ^EREZ M MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE u (x
t) PRI t = 0 (0 6 x 6 l ), ILI PRI x = 0, ILI PRI x = l (0 6 t 6 T ) 1) I DOPUSTIM, ^TO W NEKOTOROJ TO^KE (x0
t0 ) (0 < x0 < l, 0 < t0 6 T ) FUNKCIQ u (x
t) DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, RAWNOGO u (x0
t0 ) = M + ":

1) eSLI NE PREDPOLAGATX NEPRERYWNOSTX u (x t) W ZAMKNUTOJ OBLASTI 0 6 6 x 6 l, 0 6 t 6 T , TO FUNKCIQ u (x t) MOGLA BY NE DOSTIGATX SWOEGO MAKSIMUMA NI W ODNOJ TO^KE I DALXNEJIE RASSUVDENIQ BYLI BY NEPRIMENIMY. w SILU TEOREMY O TOM, ^TO WSQKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ W ZAMKNUTOJ OBLASTI, MY MOVEM BYTX UWERENY, ^TO: 1) FUNKCIQ u (x t) DOSTIGAET MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ NA NIVNEJ ILI BOKOWYH STORONAH PRQMOUGOLXNIKA, KOTOROE MY OBOZNA^ILI ^EREZ M 2) ESLI u (x t) HOTQ BY W ODNOJ TO^KE BOLXE M , TO SU]ESTWUET TO^KA (x0  t0 ), W KOTOROJ u (x t) DOSTIGAET MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, PREWOSHODQ]EGO M :

PRI^EM

u (x0  t0 ) = M + " (" > 0) 0 < x0 < l 0 < t0 6 T:

urawneniq paraboli~eskogo tipa

204

gl. III

sRAWNIM ZNAKI LEWOJ I PRAWOJ ^ASTEJ URAWNENIQ (19) W TO^KE (x0
t0 ). tAK KAK W TO^KE (x0
t0 ) FUNKCIQ DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, TO NEOBHODIMO, ^TOBY

@u (x
t ) = 0 I @ 2 u (x
t ) 6 0 1): (20) @x 0 0 @x2 0 0 dALEE, TAK KAK u (x0
t0 ) DOSTIGAET MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ PRI t = t0 , TO 2) @u (x
t ) > 0: (21) @t 0 0 sRAWNIWAQ ZNAKI PRAWOJ I LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ (19), MY WIDIM, ^TO ONI RAZLI^NY. oDNAKO \TO RASSUVDENIE E]E NE DOKAZYWAET TEOREMY, TAK KAK PRAWAQ I LEWAQ ^ASTI MOGUT BYTX RAWNY NUL@, ^TO NE WLE^ET ZA SOBOJ PROTIWORE^IJ. mY PRIWELI \TO RASSUVDENIE, ^TOBY QSNEE WYDELITX OSNOWNU@ IDE@ DOKAZATELXSTWA. dLQ POLNOGO DOKAZATELXSTWA @ 2 u 6 0 I @u > 0. dLQ \TOGO RASNAJDEM TO^KU (x1
t1 ), W KOTOROJ @x 2 @t SMOTRIM WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@ v (x
t) = u (x
t) + k (t0 ; t)
(22) GDE k | NEKOTOROE POSTOQNNOE ^ISLO. o^EWIDNO, ^TO v (x0
t0 ) = u (x0
t0 ) = M + " I k (t0 ; t) 6 kT: wYBEREM k > 0 TAK, ^TOBY kT BYLO MENXE "=2, T. E. k < "=2T  TOGDA MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE v (x
t) PRI t = 0 ILI PRI x = 0, x = l NE BUDET PREWOSHODITX M + "=2, T. E. v (x
t) 6 M + 2" (PRI t = 0, ILI x = 0, ILI x = l), (23) TAK KAK DLQ \TIH ARGUMENTOW PERWOE SLAGAEMOE FORMULY (22) NE PREWOSHODIT M , A WTOROE NE BOLXE "=2. 1) dEJSTWITELXNO, KAK IZWESTNO IZ ANALIZA, DOSTATO^NYMI USLOWIQMI DLQ TOGO, ^TOBY FUNKCIQ f (x) W TO^KE x0 , LEVA]EJ WNUTRI INTERWALA (0 l),   IMELA LOKALXNYJ MINIMUM, QWLQ@TSQ SLEDU@]IE USLOWIQ: ddxf  = 0,



x=x0

d2 f  dx2 x=x0 > 0. tAKIM OBRAZOM, ESLI f (x) W TO^KE x0 IMEET MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE, TO: 1) f 0 (x0 ) = 0 I 2) NE MOVET BYTX, ^TOBY f 00 (x0 ) > 0, T. E. f 00 (x0 ) 6 0: 2) pRI \TOM QSNO, ^TO ESLI t0 < T , TO @u = 0 ESLI VE t0 = T , TO @u > 0. @t @t

x 1]

prostej{ie zada~i

205

w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII v (x
t) W ZAMKNUTOJ OBLASTI ONA DOLVNA W NEKOTOROJ TO^KE (x1
t1 ) DOSTIGATX SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. o^EWIDNO, ^TO v (x1
t1 ) > v (x0
t0 ) = M + ": pO\TOMU t1 > 0 I 0 < x1 < l, TAK KAK PRI t = 0 ILI x = 0, x = l IMEET MESTO NERAWENSTWO (23). w TO^KE (x1
t1 ), PO ANALOGII S (20) I (21), DOLVNO BYTX vxx (x1
t1 ) 6 0, vt (x1
t1 ) > 0. u^ITYWAQ (22), NAHODIM uxx (x1
t1 ) = vxx (x1
t1 ) 6 0
ut (x1
t1 ) = vt (x1
t1 ) + k > k > 0: oTS@DA SLEDUET, ^TO ut (x1
t1 ) ; a2 uxx (x1
t1 ) > k > 0
T. E. URAWNENIE (19) WO WNUTRENNEJ TO^KE (x1
t1 ) NE UDOWLETWORQETSQ. tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO REENIE u (x
t) URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (19) WNUTRI OBLASTI NE MOVET PRINIMATX ZNA^ENIJ, PREWOSHODQ]IH NAIBOLXEE ZNA^ENIE u (x
t) NA GRANICE (T. E. PRI t = 0, x = 0, x = l). aNALOGI^NO MOVET BYTX DOKAZANA I WTORAQ ^ASTX TEOREMY | O MINIMALXNOM ZNA^ENII. wPRO^EM, \TO NE TREBUET OTDELXNOGO DOKAZATELXSTWA, TAK KAK FUNKCIQ u1 = ;u IMEET MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE TAM, GDE u | MINIMALXNOE. oBRATIMSQ TEPERX K USTANOWLENI@ RQDA SLEDSTWIJ IZ PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. pREVDE WSEGO DOKAVEM TEOREMU EDINSTWENNOSTI DLQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I. 6. tEOREMA EDINSTWENNOSTI. eSLI DWE FUNKCII u1 (x
t) I u2 (x
t)
OPREDELENNYE I NEPRERYWNYE W OBLASTI 0 6 x 6 l
0 6 t 6 6 T
UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx + f (x
t) (DLQ 0 < x < l, t > 0), (24) ODINAKOWYM NA^ALXNYM I GRANI^NYM USLOWIQM u1 (x
0) = u2 (x
0) = ' (x)
u1 (0
t) = u2 (0
t) = 1 (t)
u1 (l
t) = u2 (l
t) = 2 (t)
TO u1 (x
t)  u2 (x
t) 1) . dLQ DOKAZATELXSTWA \TOJ TEOREMY RASSMOTRIM FUNKCI@ v (x
t) = u2 (x
t) ; u1 (x
t): 1)

w x 2, P. 3 \TA TEOREMA BUDET USILENA I TREBOWANIE NEPRERYWNOSTI PRI t = 0 SNQTO.

206

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

pOSKOLXKU FUNKCII u1 (x
t) I u2 (x
t) NEPRERYWNY PRI 0 6 x 6 l
0 6 t 6 T
TO I FUNKCIQ v (x
t), RAWNAQ IH RAZNOSTI, NEPRERYWNA W \TOJ VE OBLASTI. kAK RAZNOSTX DWUH REENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OBLASTI 0 < x < l, t > 0, FUNKCIQ v (x
t) QWLQETSQ REENIEM ODNORODNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W \TOJ OBLASTI. tAKIM OBRAZOM, PRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ PRIMENIM K \TOJ FUNKCII, T. E. ONA DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO I MINIMALXNOGO ZNA^ENIJ ILI PRI t = 0, ILI PRI x = 0, ILI PRI x = l. oDNAKO PO USLOWI@ MY IMEEM v (x
0) = 0
v (0
t) = 0
v (l
t) = 0: pO\TOMU v (x
t)  0
T. E. u1 (x
t)  u2 (x
t): oTS@DA SLEDUET, ^TO REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I EDINSTWENNO. dOKAVEM E]E RQD PRQMYH SLEDSTWIJ IZ PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. pRI \TOM W DALXNEJEM MY BUDEM GOWORITX PROSTO REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI WMESTO BOLEE PODROBNOGO PERE^ISLENIQ SWOJSTW FUNKCIJ, UDOWLETWORQ@]IH, KROME TOGO, NA^ALXNYM I GRANI^NYM USLOWIQM. 1. eSLI DWA REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI u1 (x
t) I u2 (x
t) UDOWLETWORQ@T USLOWIQM u1 (x
0) 6 u2 (x
0)
u1 (0
t) 6 u2 (0
t)
u1 (l
t) 6 u2 (l
t)
TO u1 (x
t) 6 u2 (x
t) DLQ WSEH ZNA^ENIJ 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T . dEJSTWITELXNO, RAZNOSTX v (x
t) = u2 (x
t) ; u1 (x
t) UDOWLETWORQET USLOWIQM, PRI KOTORYH USTANOWLEN PRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, I, KROME TOGO, v (x
0) > 0
v (0
t) > 0
v (l
t) > 0: pO\TOMU v (x
t) > 0 DLQ 0 < x < l
0 < t 6 T
TAK KAK INA^E FUNKCIQ v (x
t) IMELA BY OTRICATELXNOE MINIMALXNOE ZNA^ENIE W OBLASTI 0 < x < l
0 < t 6 T: 2. eSLI TRI REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI u (x
t)
u (x
t) I u (x
t)

x 1]

prostej{ie zada~i

207

UDOWLETWORQ@T USLOWIQM u (x
t) 6 u (x
t) 6 u (x
t) PRI t = 0
x = 0 I x = l
TO \TI VE NERAWENSTWA WYPOLNQ@TSQ TOVDESTWENNO
T: E: DLQ WSEH x
t IZ OBLASTI 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T . |TO UTWERVDENIE DOKAZYWAETSQ PRIMENENIEM SLEDSTWIQ 1 K FUNKCIQM u (x
t)
u (x
t) I u (x
t)
u (x
t): 3. eSLI DLQ DWUH REENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI u1 (x
t) I u2 (x
t) IMEET MESTO NERAWENSTWO ju1 (x
t) ; u2 (x
t)j 6 " DLQ t = 0
x = 0
x = l
TO ONO TOVDESTWENNO
T: E: IMEET MESTO DLQ WSEH x
t IZ OBLASTI 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T . |TO UTWERVDENIE WYTEKAET IZ SLEDSTWIQ 2, ESLI EGO PRIMENITX K REENIQM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI u (x
t) = ;"
u (x
t) = u1 (x
t) ; u2 (x
t)
u (x
t) = ": sLEDSTWIE 3 POZWOLQET USTANOWITX NEPRERYWNU@ ZAWISIMOSTX REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I OT NA^ALXNOGO I GRANI^NYH ZNA^ENIJ. rASSMOTRIM W OBLASTI 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T REENIE u (x
t) URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, SOOTWETSTWU@]EE NA^ALXNOMU I GRANI^NYM USLOWIQM u (x
0) = ' (x)
u (0
t) = 1 (t)
u (l
t) = 2 (t): pUSTX u
(x
t) | REENIE TOGO VE URAWNENIQ, SOOTWETSTWU@]EE
NA^ALXNOMU I GRANI^NYM USLOWIQM, OPREDELQEMYM FUNKCIQMI ' (x), 
1 (t), 
2 (t). eSLI W RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI \TI FUNKCII BLIZKI K FUNKCIQM ' (x), 1 (t), 2 (t): j' (x) ; '
(x)j 6 "
j1 (t) ; 
1 (t)j 6 "
j2 (t) ; 
2 (t)j 6 "
TO u
(x
t) OTLI^AETSQ OT u (x
t) W PREDELAH TOJ VE TO^NOSTI ": ju (x
t) ; u
(x
t)j 6 ": w \TOM I ZAKL@^AETSQ PRINCIP FIZI^ESKOJ OPREDELENNOSTI ZADA^I. mY PODROBNO PROWELI IZU^ENIE WOPROSA O EDINSTWENNOSTI I FIZI^ESKOJ OPREDELENNOSTI ZADA^I NA PRIMERE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ OGRANI^ENNOGO OTREZKA. tEOREMA EDINSTWENNOSTI PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ OGRANI^ENNOJ OBLASTI W PROSTRANSTWE DWUH ILI TREH IZMERENIJ MOVET BYTX DOKAZANA BUKWALXNYM POWTORENIEM PRIWEDENNYH WYE RASSUVDENIJ.

208

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

pODOBNYE VE WOPROSY WOZNIKA@T PRI IZU^ENII DRUGIH ZADA^, CELYJ RQD KOTORYH BYL POSTAWLEN NAMI W PREDESTWU@]IH PUNKTAH. |TI ZADA^I TREBU@T NEKOTOROGO WIDOIZMENENIQ METODA DOKAZATELXSTWA. eDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI (SM. P. 7) ILI ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ IMEET MESTO LIX PRI NALOVENII NEKOTORYH DOPOLNITELXNYH USLOWIJ NA IZU^AEMYE FUNKCII. 7. tEOREMA EDINSTWENNOSTI DLQ BESKONE^NOJ PRQMOJ. pRI REENII ZADA^I NA BESKONE^NOJ PRQMOJ SU]ESTWENNYM QWLQETSQ TREBOWANIE OGRANI^ENNOSTI ISKOMOJ FUNKCII WO WSEJ OBLASTI, T. E. SU]ESTWOWANIE TAKOGO M , ^TO ju (x
t)j < M DLQ WSEH ;1 < x < + 1 I t > 0. eSLI u1 (x
t) I u2 (x
t) | NEPRERYWNYE
OGRANI^ENNYE WO WSEJ OBLASTI IZMENENIQ PEREMENNYH (x
t) FUNKCII
UDOWLETWORQ@]IE URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx (;1 < x < + 1
t > 0) (19) I USLOWI@ u1 (x
0) = u2 (x
0) (;1 < x < 1)
TO u1 (x
t)  u2 (x
t) (;1 < x < 1
t > 0): rASSMOTRIM, KAK OBY^NO, FUNKCI@ v (x
t) = u1 (x
t) ; u2 (x
t): fUNKCIQ v (x
t) NEPRERYWNA, UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI, OGRANI^ENA WO WSEJ OBLASTI: jv (x
t)j 6 ju1 (x
t)j + ju2 (x
t)j < 2M (;1 < x < 1
t > 0) I UDOWLETWORQET USLOWI@ v (x
0) = 0: pRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, KOTORYM MY POLXZOWALISX PRI DOKAZATELXSTWE EDINSTWENNOSTI ZADA^I DLQ OTREZKA, ZDESX NEPRIMENIM, TAK KAK W NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI FUNKCIQ v (x
t) MOVET NIGDE NE DOSTIGATX MAKSIMALXNYH ZNA^ENIJ. ~TOBY WOSPOLXZOWATXSQ \TIM PRINCIPOM, RASSMOTRIM OBLASTX jxj 6 L
GDE L | WSPOMOGATELXNOE ^ISLO, KOTOROE ZATEM BUDEM NEOGRANI^ENNO UWELI^IWATX, I FUNKCI@ 2  V (x
t) = 4LM2 x2 + a2 t : (25)

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

209

fUNKCIQ V (x
t) NEPRERYWNA, UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI, W ^EM NETRUDNO UBEDITXSQ S POMO]X@ DIFFERENCIROWANIQ, I, KROME TOGO, OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: V (x
0) > jv (x
0)j = 0
(26) V (L
t) > 2M > jv (L
t)j: dLQ OGRANI^ENNOJ OBLASTI jxj 6 L, 0 6 t 6 T SPRAWEDLIW PRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. pRIMENQQ SLEDSTWIE 2 IZ PREDYDU]EGO PUNKTA DLQ FUNKCIJ u = ;V (x
t), u = v (x
t) I u = V (x
t) I U^ITYWAQ (26), POLU^AEM 2  2  ; 4LM2 x2 + a2t 6 v (x
t) 6 4LM2 x2 + a2t : fIKSIRUEM NEKOTORYE ZNA^ENIQ (x
t) I, WOSPOLXZOWAWISX PROIZWOLOM WYBORA L, BUDEM EGO NEOGRANI^ENNO UWELI^IWATX. pEREHODQ K PREDELU PRI L ! 1, POLU^AEM v (x
t)  0
^TO I DOKAZYWAET TEOREMU.

x 2. mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH

1. oDNORODNAQ KRAEWAQ ZADA^A. pEREJDEM K REENI@ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI NA OTREZKE: ut = a2 uxx + f (x
t) (0 < x < l
t > 0) (1) S NA^ALXNYM USLOWIEM u (x
0) = ' (x) (0 6 x 6 l) (2) I GRANI^NYMI USLOWIQMI ) u (0
t) = 1 (t)
(t > 0): (3) u (l
t) = 2 (t) iZU^ENIE OB]EJ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I NA^NEM S REENIQ SLEDU@]EJ PROSTEJEJ ZADA^I I. nAJTI NEPRERYWNOE W ZAMKNUTOJ OBLASTI (0 6 x 6 l
0 6 t 6 T ) REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ ut = a2 uxx
0 < x < l
0 < t 6 T
(4) UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@ (2) u (x
0) = ' (x)
0 6 x 6 l
I ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIQM u (0
t) = 0
u (l
t) = 0
0 6 t 6 T: (5) 14 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

210

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

dLQ REENIQ \TOJ ZADA^I RASSMOTRIM SNA^ALA, KAK PRINQTO W METODE RAZDELENIQ PEREMENNYH, OSNOWNU@ WSPOMOGATELXNU@ ZADA^U. nAJTI REENIE URAWNENIQ ut = a2 uxx
NE RAWNOE TOVDESTWENNO NUL@
UDOWLETWORQ@]EE ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIQM u (0
t) = 0
u (l
t) = 0 (5) I PREDSTAWIMOE W WIDE u (x
t) = X (x) T (t)
(6) GDE X (x) | FUNKCIQ TOLXKO PEREMENNOGO x
T (t) | FUNKCIQ TOLXKO PEREMENNOGO t. pODSTAWLQQ PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ (6) W URAWNENIE (4) I PROIZWODQ DELENIE OBEIH ^ASTEJ RAWENSTWA NA a2 XT , POLU^AEM 1 T 0 = X 00 = ;
(7) a2 T X GDE  = const, TAK KAK LEWAQ ^ASTX RAWENSTWA ZAWISIT TOLXKO OT t, A PRAWAQ | TOLXKO OT x. oTS@DA SLEDUET, ^TO X 00 + X = 0
(8) T 0 + a2 T = 0: (80 ) gRANI^NYE USLOWIQ (5) DA@T X (0) = 0
X (l) = 0: (9) tAKIM OBRAZOM, DLQ OPREDELENIQ FUNKCII X (x) MY POLU^ILI ZADA^U O SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH (ZADA^U {TURMA | lIUWILLQ) X 00 + X = 0
X (0) = 0
X (l) = 0
(10) ISSLEDOWANNU@ PRI REENII URAWNENIQ KOLEBANIJ W GL. II, x 3, P. 1. pRI \TOM BYLO POKAZANO, ^TO TOLXKO DLQ ZNA^ENIJ PARAMETRA , RAWNYH  2 n = n (n = 1
2
3
: : :)
(11) l SU]ESTWU@T NETRIWIALXNYE REENIQ URAWNENIQ (8), RAWNYE (12) Xn (x) = sin n l x: |TIM ZNA^ENIQM n SOOTWETSTWU@T REENIQ URAWNENIQ (80 ) Tn (t) = Cn e;a2 n t
(13) GDE Cn | NE OPREDELENNYE POKA KO\FFICIENTY.

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

211

wOZWRA]AQSX K OSNOWNOJ WSPOMOGATELXNOJ ZADA^E, WIDIM, ^TO FUNKCII un (x
t) = Xn (x) Tn (t) = Cn e;a2 n t sin n (14) l x QWLQ@TSQ ^ASTNYMI REENIQMI URAWNENIQ (4), UDOWLETWORQ@]IMI NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM. oBRATIMSQ TEPERX K REENI@ ZADA^I (I). sOSTAWIM FORMALXNO RQD 1 X 2 2 (15) u (x
t) = Cn e; ( nl ) a t sin n l x: n=1 fUNKCIQ u (x
t) UDOWLETWORQET GRANI^NYM USLOWIQM, TAK KAK IM UDOWLETWORQ@T WSE ^LENY RQDA. tREBUQ WYPOLNENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ, POLU^AEM 1 X ' (x) = u (x
0) = Cn sin n (16) l x
n=1 T. E. Cn QWLQ@TSQ KO\FFICIENTAMI fURXE FUNKCII ' (x) PRI RAZLOVENII EE W RQD PO SINUSAM NA INTERWALE (0
l):

Z 2 Cn = 'n = l ' ( ) sin n l  d: l

0

(17)

rASSMOTRIM TEPERX RQD (15) S KO\FFICIENTAMI Cn , OPREDELQEMYMI PO FORMULE (17), I POKAVEM, ^TO \TOT RQD UDOWLETWORQET WSEM USLOWIQM ZADA^I (I). dLQ \TOGO NADO DOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u (x
t), OPREDELQEMAQ RQDOM (15), DIFFERENCIRUEMA, UDOWLETWORQET URAWNENI@ W OBLASTI 0 < x < l, t > 0 I NEPRERYWNA W TO^KAH GRANICY \TOJ OBLASTI (PRI t = 0, x = 0, x = l). tAK KAK URAWNENIE (4) LINEJNO, TO W SILU PRINCIPA SUPERPOZICII RQD, SOSTAWLENNYJ IZ ^ASTNYH REENIJ, TAKVE BUDET REENIEM, ESLI ON SHODITSQ I EGO MOVNO DIFFERENCIROWATX PO^LENNO DWAVDY PO x I ODIN RAZ PO t (SM. LEMMU W GL. II, x 3, P. 3). pOKAVEM, ^TO PRI t > t > 0 (t| L@BOE WSPOMOGATELXNOE ^ISLO) RQDY PROIZWODNYH 1 1 X @un I X @ 2 un 2 n=1 @t n=1 @x SHODQTSQ RAWNOMERNO. w SAMOM DELE,   @u     2  n  = ;Cn a2n2e;( nl )2 a2 t sin n x < jCn j  2 a2n2e;( nl )2 a2 t: @t l l l w DALXNEJEM BUDUT SFORMULIROWANY DOPOLNITELXNYE TREBOWANIQ, KOTORYM DOLVNA UDOWLETWORQTX FUNKCIQ ' (x). pREDPOLOVIM 14


212

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

SNA^ALA, ^TO ' (x) OGRANI^ENA: j' (x)j < M . tOGDA

Zl   jCn j = 2l  ' () sin nl  d < 2M
0

OTKUDA SLEDUET, ^TO  @u   n  < 2M   2 a2n2 e; ( nl )2a2 t DLQ t > t @t l I ANALOGI^NO  @ 2un  < 2M   2 n2 e; ( nl )2 a2t DLQ t > t:  @x2  l wOOB]E  @ k+l u   k nl  < 2M   2k+l  n2k+l  a2k  e; ( nl )2 a2 t DLQ t > t: @t @x l iSSLEDUEM SHODIMOSTX MAVORANTNOGO RQDA P1 n=1 n , GDE 2 2 n n = Nnq e; ( l ) a t : (150 ) pO PRIZNAKU dALAMBERA \TOT RQD SHODITSQ, TAK KAK   q e; ( l )2 a2 (n2 +2n+1) t ( n + 1) n +1   = lim  ; ( l )2a2 n2t = lim n!1  n  n!1 nq e  1 q  2 2 = nlim 1 + n e; ( l ) a (2n+1) t = 0: !1 oTS@DA WYTEKAET WOZMOVNOSTX PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ RQDA (15) L@BOE ^ISLO RAZ W OBLASTI t > t > 0. dALEE, POLXZUQSX PRINCIPOM SUPERPOZICII, ZAKL@^AEM, ^TO FUNKCIQ, OPREDELENNAQ \TIM RQDOM, UDOWLETWORQET URAWNENI@ (4). w SILU PROIZWOLXNOSTI t \TO IMEET MESTO DLQ WSEH t > 0. tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO PRI t > 0 RQD (15) PREDSTAWLQET FUNKCI@, DIFFERENCIRUEMU@ NUVNOE ^ISLO RAZ I UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ (4) 1) . eSLI FUNKCIQ ' (x) NEPRERYWNA
IMEET KUSO^NO-NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ I UDOWLETWORQET USLOWIQM ' (0) = 0 I ' (l) = 0
TO RQD (15)

u (x
t) =

1 X

n=1

Cn e; ( nl ) a t sin n l x 2 2

1) pRI DOKAZATELXSTWE TOGO, ^TO RQD (15) UDOWLETWORQET URAWNENI@ ut = 2 a uxx PRI t > 0, BYLA ISPOLXZOWANA TOLXKO OGRANI^ENNOSTX KO\FFICIENTOW

fURXE Cn , KOTORAQ, W ^ASTNOSTI, BUDET IMETX MESTO DLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ FUNKCII '(x).

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

213

OPREDELQET NEPRERYWNU@ FUNKCI@ PRI t > 0. dEJSTWITELXNO, IZ NERAWENSTWA jun (x
t)j < jCnj (PRI t > 0, 0 6 x 6 l) SRAZU VE SLEDUET RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX RQDA (15) PRI t > 0, 0 6 x 6 6 l, ^TO I DOKAZYWAET SPRAWEDLIWOSTX SDELANNOGO WYE UTWERVDENIQ, ESLI U^ESTX, ^TO DLQ NEPRERYWNOJ I KUSO^NO-GLADKOJ FUNKCII ' (x) RQD IZ MODULEJ KO\FFICIENTOW fURXE SHODITSQ, KOGDA ' (0) = ' (l) = 0 (SM. GL. II, x 3, P. 3). iTAK, ZADA^A NAHOVDENIQ REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ ODNORODNOGO URAWNENIQ S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI I NEPRERYWNYM, KUSO^NO-GLADKIM NA^ALXNYM USLOWIEM REENA POLNOSTX@. 2. fUNKCIQ ISTO^NIKA. pREOBRAZUEM POLU^ENNOE REENIE (15), ZAMENQQ Cn IH ZNA^ENIQMI: 1 X 2 2 u (x
t) = Cn e; ( nl ) a t sin n l x= n=1 =

2 Zl 1 X 42

n=1

l

0

3 2 2 ' ( ) sin n  d 5  e; ( nl ) a t sin n x = l

=

Zl " 2 X 1 0

l n=1

l

2 2 e; ( nl ) a t sin n x

l

#

 sin nl  ' () d:

iZMENENIE PORQDKOW SUMMIROWANIQ I INTEGRIROWANIQ WSEGDA ZAKONNO PRI t > 0 W SILU TOGO, ^TO RQD W SKOBKAH SHODITSQ RAWNOMERNO PO  PRI t > 0 1) . oBOZNA^IM 1 X 2 2 n : G (x

t) = 2l e; ( nl ) a t sin n x  sin (18) l l n=1 pOLXZUQSX FUNKCIEJ G (x

t), MOVNO PREDSTAWITX FUNKCI@ u (x
t) W WIDE

Zl

u (x
t) = G (x

t) ' ( ) d: 0

(19)

fUNKCIQ G (x

t) NAZYWAETSQ F U N K C I E J M G N O W E N N O G O T O ^ E ^N O G O I S T O ^ N I K A ILI, BOLEE PODROBNO, FUNKCIEJ TEMPERATURNOGO WLIQNIQ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA TEPLA. 1)

P

rQD n , GDE n OPREDELQETSQ FORMULOJ (150 ), PRI q = 0 QWLQETSQ MAVORANTNYM DLQ RQDA, STOQ]EGO W SKOBKAH.

urawneniq paraboli~eskogo tipa

214

gl. III

pOKAVEM, ^TO FUNKCIQ ISTO^NIKA G (x

t), RASSMATRIWAEMAQ KAK FUNKCIQ x, PREDSTAWLQET RASPREDELENIE TEMPERATURY W STERVNE 0 6 x 6 l W MOMENT WREMENI t, ESLI TEMPERATURA W NA^ALXNYJ MOMENT t = 0 RAWNA NUL@ I W \TOT MOMENT W TO^KE x =  MGNOWENNO WYDELQETSQ NEKOTOROE KOLI^ESTWO TEPLA (WELI^INU KOTOROGO MY OPREDELIM POZVE), A NA KRAQH STERVNQ WSE WREMQ PODDERVIWAETSQ NULEWAQ TEMPERATURA. wYRAVENIE KOLI^ESTWO TEPLA Q, WYDELQ@]EESQ W TO^KE   OZNA^AET, KAK OBY^NO, ^TO MY IMEEM DELO S TEPLOM, WYDELIWIMSQ NA NEBOLXOM INTERWALE OKOLO IZU^AEMOJ TO^KI  . iZMENENIE TEMPERATURY '" ( ), WYZYWAEMOE POQWLENIEM TEPLA OKOLO TO^KI, BUDET, O^EWIDNO, RAWNO NUL@ WNE INTERWALA ( ; "
 + "), NA KOTOROM WYDELQETSQ TEPLO, A WNUTRI \TOGO INTERWALA '" ( ) MOVNO S^ITATX POLOVITELXNOJ, NEPRERYWNOJ I DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ, DLQ KOTOROJ c

Z+"

;"

'" ( 0 ) d 0 = Q


(20)

TAK KAK LEWAQ ^ASTX \TOGO URAWNENIQ I PREDSTAWLQET KOLI^ESTWO TEPLA, WYZWAWEE IZMENENIE TEMPERATURY NA WELI^INU '" ( ). pROCESS RASPROSTRANENIQ TEPLA W \TOM SLU^AE OPREDELQETSQ FORMULOJ (19):

Zl

u" (x
t) = G (x

t) '" ( ) d: 0

(21)

sOWERIM TEPERX PREDELXNYJ PEREHOD PRI " ! 0. pRINIMAQ WO WNIMANIE NEPRERYWNOSTX G PRI t > 0 I RAWENSTWO (20) I PRIMENQQ TEOREMU SREDNEGO ZNA^ENIQ PRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH x, t, BUDEM IMETX u" (x
t) =

Z+"

 ;"

G (x
 0
t) '" ( 0 ) d 0 = = G (x

t)


Z+"

;"

Q
'" ( 0 ) d 0 = G (x


t) c

(210 )

GDE  | NEKOTORAQ SREDNQQ TO^KA INTERWALA ( ; "
 + "). w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII G (x

t) PO  PRI t > 0 POLU^AEM 1 2 2 Q G(x

t) = Q  2 X ; ( n l ) a t sin n x  sin n : lim u ( x
t ) = " "!0 c c l n=1 e l l


(22)

oTS@DA SLEDUET, ^TO G (x

t) PREDSTAWLQET TEMPERATURU W TO^KE x W MOMENT t, WYZWANNU@ DEJSTWIEM MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

215

MO]NOSTI Q = c, POME]ENNOGO W MOMENT WREMENI t = 0 W TO^KE  PROMEVUTKA (0
l). oTMETIM SLEDU@]EE SWOJSTWO FUNKCII G(x

t): FUNKCIQ G(x

t) > 0 PRI L@BYH x,  I t > 0. dEJSTWITELXNO, RASSMOTRIM NA^ALXNU@ FUNKCI@ '" (x), OBLADA@]U@ PERE^ISLENNYMI SWOJSTWAMI, I SOOTWETSTWU@]EE EJ REENIE (210 ). iZ NEOTRICATELXNOSTI NA^ALXNOGO I GRANI^NYH USLOWIJ W SILU PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ SLEDUET, ^TO u" (x
t) > 0 DLQ WSEH 0 6 x 6 l I t > 0. oTS@DA, WOSPOLXZOWAWISX FORMULOJ (210 ), IMEEM Q > 0 (PRI t > 0). u" (x
t) = G (x


t) c (2100 )

pEREHODQ K PREDELU PRI " ! 0, IZ (210 ) POLU^AEM NERAWENSTWO G (x

t) > 0 PRI 0 6 x
 6 l I t > 0
KOTOROE I NADO BYLO DOKAZATX. |TOT REZULXTAT IMEET PROSTOJ FIZI^ESKIJ SMYSL. oDNAKO USTANOWITX EGO NEPOSREDSTWENNO IZ FORMULY (19) BYLO BY ZATRUDNITELXNO, POSKOLXKU G (x

t) PREDSTAWLQETSQ ZNAKOPEREMENNYM RQDOM. 3. kRAEWYE ZADA^I S RAZRYWNYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI. iZLOVENNAQ WYE TEORIQ OTNOSITSQ K REENIQM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, NEPRERYWNYM W ZAMKNUTOJ OBLASTI 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T . |TI USLOWIQ NEPRERYWNOSTI QWLQ@TSQ WESXMA OGRANI^ITELXNYMI. w SAMOM DELE, RASSMOTRIM PROSTEJU@ ZADA^U OB OSTYWANII RAWNOMERNO NAGRETOGO STERVNQ PRI NULEWOJ TEMPERATURE NA KRAQH. dOPOLNITELXNYE USLOWIQ IME@T WID u (x
0) = u0
u (0
t) = u (l
t) = 0: eSLI u0 6= 0, TO REENIE \TOJ ZADA^I DOLVNO BYTX RAZRYWNYM W TO^KAH (0
0) I (l
0). |TOT PRIMER POKAZYWAET, ^TO POSTAWLENNYE WYE USLOWIQ NEPRERYWNOSTI NA^ALXNOGO ZNA^ENIQ I USLOWIQ SOPRQVENIQ EGO S GRANI^NYMI USLOWIQMI ISKL@^A@T IZ RASSMOTRENIQ PRAKTI^ESKI WAVNYE SLU^AI. oDNAKO FORMULA (19) DAET REENIE KRAEWOJ ZADA^I I W \TOM SLU^AE. w PRILOVENIQH ^ASTO POLXZU@TSQ FORMULAMI, WYHODQ]IMI ZA GRANICY USLOWIJ IH PRIMENIMOSTI, ZA^ASTU@ WOOB]E NE STAWQ WOPROS OB USLOWII PRIMENIMOSTI FORMUL. pOSLEDOWATELXNOE OBOSNOWANIE WSEH FORMUL BYLO BY WESXMA GROMOZDKIM I OTWLEKALO BY WNIMANIE ISSLEDOWATELQ OT KOLI^ESTWENNYH I KA^ESTWENYH STORON QWLENIQ, HARAKTERNYH DLQ FIZI^ESKOJ SU]NOSTI PROCESSA. oDNAKO MY S^ITAEM NUVNYM, PO KRAJNEJ MERE NA PROSTEJIH PRIMERAH, DATX OBOSNOWANIE MATEMATI^ESKOGO APPARATA, DOSTATO^NOE DLQ REENIQ OSNOWNYH ZADA^.

216

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

rASSMOTRIM KRAEWYE ZADA^I S KUSO^NO-NEPRERYWNYMI NA^ALXNYMI FUNKCIQMI, NE PREDPOLAGAQ, ^TO NA^ALXNAQ FUNKCIQ SOPRQVENA S GRANI^NYMI USLOWIQMI. |TOT KLASS DOPOLNITELXNYH USLOWIJ QWLQETSQ DOSTATO^NO OB]IM DLQ POTREBNOSTEJ PRAKTIKI I DOSTATO^NO PROSTYM DLQ IZLOVENIQ TEORII. nAA CELX | DOKAZATX, ^TO TA VE FORMULA (19) DAET REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I. pROWEDEM EE ISSLEDOWANIE W NESKOLXKO \TAPOW. sNA^ALA DOKAVEM SLEDU@]U@ TEOREMU: rEENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx (0 < x < l
t > 0)
(4) NEPRERYWNOE W ZAMKNUTOJ OBLASTI (0 6 x 6 l
0 6 t 6 T ) I UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM u (0
t) = u (l
t) = 0
t > 0
(5) u (x
0) = ' (x)
0 6 x 6 l
(2) GDE ' (x) | PROIZWOLXNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ
OBRA]A@]AQSQ W NULX PRI x = 0
x = l
OPREDELENO ODNOZNA^NO I PREDSTAWLQETSQ FORMULOJ

Zl

u (x
t) = G (x

t) ' ( ) d:

(19)

0

|TA TEOREMA BYLA DOKAZANA WYE W PREDPOLOVENII DOPOLNITELXNOGO USLOWIQ O KUSO^NO-NEPRERYWNOJ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII ' (x). oSWOBODIMSQ OT \TOGO USLOWIQ. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX NEPRERYWNYH KUSO^NO-DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ 'n (x) ('n (0) = = 'n (l) = 0), RAWNOMERNO SHODQ]U@SQ K ' (x). (w KA^ESTWE 'n (x) MOVNO WYBRATX, NAPRIMER, FUNKCII, PREDSTAWIMYE LOMANYMI LINIQMI, SOWPADA@]IMI S ' (x) W TO^KAH lk=n, k = 0
1
2
: : :
n.) fUNKCII un (x
t), OPREDELQEMYE FORMULOJ (19) ^EREZ 'n (x), UDOWLETWORQ@T WSEM USLOWIQM TEOREMY, TAK KAK 'n (x) UDOWLETWORQ@T USLOWI@ KUSO^NOJ DIFFERENCIRUEMOSTI. |TI FUNKCII RAWNOMERNO SHODQTSQ I OPREDELQ@T W PREDELE NEPRERYWNU@ FUNKCI@ u (x
t). w SAMOM DELE, DLQ L@BOGO " MOVNO UKAZATX TAKOE n ("), ^TO j'n1 (x) ; 'n2 (x)j < " (0 6 x 6 l)
ESLI n1
n2 > n (")
TAK KAK \TI FUNKCII PO USLOWI@ SHODQTSQ RAWNOMERNO. oTS@DA W SILU PRINCIPA MAKSIMALXNYH ZNA^ENIJ SLEDUET TAKVE, ^TO jun1 (x
t) ; un2 (x
t)j < " (0 6 x 6 l
0 6 t 6 T )
ESLI n1
n2 > n(")
^TO I DOKAZYWAET RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ un (x
t) K NEKOTOROJ NEPRERYWNOJ FUNKCII u (x
t). eSLI MY, FIKSIROWAW TO^KU (x
t), PEREJDEM K PREDELU POD ZNAKOM INTEGRALA, TO POLU^IM, ^TO FUNKCIQ

Zl

Zl

0

0

u(x
t) = nlim un(x
t) = nlim G(x

t) 'n ( ) d = G(x

t) '( ) d !1 !1

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

217

NEPRERYWNA W ZAMKNUTOJ OBLASTI 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T I UDOWLETWORQET NA^ALXNOMU USLOWI@ (2). w SILU PRIME^ANIQ NA S. 212 NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO ONA TAKVE UDOWLETWORQET URAWNENI@ (4) PRI t > 0. dOKAZATELXSTWO TEOREMY ZAKON^ENO. fORMULA (19) DAET EDINSTWENNOE NEPRERYWNOE REENIE RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I.

oBRATIMSQ K DOKAZATELXSTWU T E O R E M Y E D I N S T W E N N O S T I DLQ SLU^AQ K U S O ^ N O - N E P R E R Y W N O J N A ^ A L X N O J F U N K C I I ' (x), NE PREDPOLAGAQ, ^TO \TA FUNKCIQ SOPRQVENA S GRANI^NYMI USLOWIQMI. fUNKCIQ, NEPRERYWNAQ W OBLASTI t > 0 UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx (4) W OBLASTI 0 < x < l t > 0 NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM u (0 t) = u (l t) = 0 (5) I NA^ALXNOMU USLOWI@ u (x 0) = ' (x) (2) OPREDELENA ODNOZNA^NO ESLI: 1) ONA NEPRERYWNA W TO^KAH NEPRERYWNOSTI FUNKCII ' (x) 2) OGRANI^ENA W ZAMKNUTOJ OBLASTI 0 6 x 6 l 0 6 t 6 t0  GDE t0 | PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. pREDPOLOVIM, ^TO TAKAQ FUNKCIQ SU]ESTWUET. o^EWIDNO, ^TO W SILU PREDESTWU@]EJ TEOREMY ONA MOVET BYTX PREDSTAWLENA W OBLASTI t > t FORMULOJ u (x t) =

Zl 0

G (x  t ; t) ' t () d

(t > t > 0)

(190 )

PRI L@BOM t, GDE t| WSPOMOGATELXNOE ZNA^ENIE, 0 < t 6 t ' t (x) = u (x t): sOWERIM PREDELXNYJ PEREHOD W \TOJ FORMULE PRI t ! 0, SOHRANQQ x I t NEIZMENNYMI. pOKAVEM 1) , ^TO WOZMOVEN PEREHOD POD ZNAKOM INTEGRALA 1) dOKAZYWAEMAQ NIVE TEOREMA QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM TEOREMY lEBEGA O WOZMOVNOSTI PEREHODA K PREDELU POD ZNAKOM INTEGRALA, ESLI POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ Fn (x) PO^TI WS@DU SHODITSQ K PREDELXNOJ SUMMIRUEMOJ FUNKCII F (x) I ESLI \TA POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA SUMMIRUEMOJ FUNKCIEJ. |TO DOKAZATELXSTWO PRIWODITSQ, ^TOBY IZBEVATX POLXZOWANIQ TEORETIKO-MNOVESTWENNYMI PONQTIQMI. eSLI WOSPOLXZOWATXSQ TEORETIKOMNOVESTWENNYMI PONQTIQMI, TO SOWERENNO ANALOGI^NO MOVNO DOKAZATX TEOREMU O TOM, ^TO REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI u (x t), UDOWLETWORQ@]EE NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM, ODNOZNA^NO OPREDELENO: 1) ESLI u (x t) 6 F (x), GDE F (x) | NEKOTORAQ SUMMIRUEMAQ FUNKCIQ, I 2) ESLI PO^TI WS@DU lim u (x t) = ' (x) t!0 GDE ' (x) | ZADANNAQ NA^ALXNAQ SUMMIRUEMAQ FUNKCIQ.

urawneniq paraboli~eskogo tipa

218

gl. III

I, SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ u (x t) PREDSTAWIMA W WIDE INTEGRALA: u (x t) =

Zl 0

G (x  t) ' () d

' () = u ( 0)]

(19)

ODNOZNA^NO EE OPREDELQ@]EGO. pUSTX x1, x2 , : : : , xn | TO^KI RAZRYWA FUNKCII ' (x). pOLAGAQ x0 = = 0 I xn+1 = l (RIS. 38) I BERQ ZAMKNUTYE OTREZKI Ik = f x : xk +
6 x 6 6 xk+1 ;
g (k = 0 1 : : :  n), GDE
| NEKOTOROE FIKSIROWANNOE DOSTATO^NO MALOE ^ISLO, NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ IZ (190 )

rIS. 38 RAWNOMERNO SHODITSQ K PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII IZ (19) NA WSQKOM OTREZKE Ik (k = 0 1 2 : : :  n). nA OTREZKAH Ik = f x : xk ;
6 x 6 xk +
g (k = = 1 2 3 : : :  n), I0 = f x : x0 6 x 6 x0 +
g I In+1 = f x : xn+1 ;
6 x 6 6 xn+1 g PODYNTEGRALXNYE WYRAVENIQ W (19) I (190 ) OGRANI^ENY NEKOTORYM ^ISLOM N PRI L@BOM t (0 6 t 6 t0) W SILU PREDPOLOVENNOJ OGRANI^ENNOSTI FUNKCII u (x t) I W SILU NEPRERYWNOSTI G (x  t) PRI 0 6  6 l, t > 0. pREDSTAWIM RAZNOSTX INTEGRALOW (19) I (190 ) W WIDE SUMMY 2n + 3 INTEGRALOW, WZQTYH PO Ik (k = 0 1 : : :  n) I Ik (k = 0 1 : : :  n + 1). wOZXMEM
6 2n "+ 3 41N : tOGDA

  Z  Ik

 !  G (x  t ; t) ' t () ; G (x  t) ' () d  6 2n "+ 3 : 

mOVNO WYBRATX t NASTOLXKO MALYM, ^TO G (x  t ; t) ' () ; G (x  t) ' () < t < 1l  2n "+ 3 DLQ t 6 t NA Ik (k = 0 1 : : :  n) TAK ^TO

Z

Ik

!

G (x  t ; t) ' t () ; G (x  t) ' () d < < 2n "+ 3 DLQ t 6 t (k = 0 1 : : :  n):

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

219

oTS@DA SLEDUET NERAWENSTWO

 Zl   0

 !  G (x  t ; t) ' t () ; G (x  t) ' () d  < " 

DLQ t 6 t

DOKAZYWA@]EE ZAKONNOSTX PEREHODA K PREDELU PRI t ! 0 POD ZNAKOM INTEGRALA. tAKIM OBRAZOM, ESLI SU]ESTWUET FUNKCIQ u (x t), UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQM TEOREMY, TO ONA PREDSTAWIMA W WIDE (19), ^TO I DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX TAKOJ FUNKCII. dOKAVEM TEPERX, ^TO FORMULA (19) PREDSTAWLQET OGRANI^ENNOE REENIE URAWNENIQ (4), UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM (2) DLQ L@-

BOJ KUSO^NO-NEPRERYWNOJ FUNKCII ' (x)
NEPRERYWNOE WO WSEH TO^KAH NEPRERYWNOSTI ' (x). |TU TEOREMU MY DOKAVEM W DWA PRIEMA. dOKAVEM, ^TO ONA WERNA, ESLI ' (x) | LINEJNAQ FUNKCIQ: ' (x) = cx: (20 ) rIS. 39 rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX WSPOMOGATELXNYH NEPRERYWNYH FUNKCIJ (RIS. 39)

8  1 > > < cx DLQ 0 6 x 6 l 1 ; n
'n (x) = >   > (l ; x) DLQ l 1 ; 1 6 x 6 l
= (n ; 1) c: :

n fUNKCII un (x
t), OPREDELENNYE PRI POMO]I FORMULY (19) DLQ 'n (x), QWLQ@TSQ NEPRERYWNYMI REENIQMI URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI I NA^ALXNYMI USLOWIQMI un (x
0) = 'n (x): tAK KAK 'n (x) 6 'n+1 (x) (0 6 x 6 l)
TO W SILU PRINCIPA MAKSIMALXNYH ZNA^ENIJ un (x
t) 6 un+1 (x
t): fUNKCIQ U0 (x) = cx QWLQETSQ NEPRERYWNYM REENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. w SILU PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ un (x
t) 6 U0 (x)
TAK KAK \TO NERAWENSTWO IMEET MESTO PRI x = 0, x = l I t = 0. tAKIM OBRAZOM, un (x
t) ESTX MONOTONNO NE UBYWA@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX,

220

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

OGRANI^ENNAQ SWERHU FUNKCIEJ U0 (x), OTKUDA SLEDUET, ^TO \TA POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ. nETRUDNO WIDETX, ^TO

Zl

u (x
t) = nlim un (x
t) = nlim G (x

t) 'n ( ) d = !1 !1 0

=

Zl 0

G (x

t) ' ( ) d 6 U0 (x)


TAK KAK PEREHOD K PREDELU POD ZNAKOM INTEGRALA ZAKONEN. w SILU PRIME^ANIQ NA S. 212 \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ I NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM PRI t > 0. dOKAVEM, ^TO \TA FUNKCIQ NEPRERYWNA PRI t = 0 DLQ 0 6 x 6 l. pUSTX x0 < l. wYBEREM n TAK, ^TOBY x0 < l (1 ; 1=n). w \TOM SLU^AE 'n (x0 ) = U0 (x0 ). pRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO un (x
t) 6 u (x
t) 6 U0 (x) I un (x
t) = xlim U0 (x) = ' (x0 )
xlim !x0 !x0 t!0

ZAKL@^AEM, ^TO SU]ESTWUET PREDEL u (x
t) = ' (x0 )
xlim !x0 t!0

NE ZAWISQ]IJ OT SPOSOBA STREMLENIQ x ! x0 I t ! 0. oTS@DA I SLEDUET NEPRERYWNOSTX u (x
t) W TO^KE (x0
0). |TA FUNKCIQ OGRANI^ENA, TAK KAK ONA NE PREWOSHODIT U0 (x). iTAK, DLQ ' (x) = cx TEOREMA DOKAZANA. zAMENIW x NA l ; x, UBEVDAEMSQ W TOM, ^TO TEOREMA WERNA DLQ ' (x) = b (l ; x): (200 ) oTS@DA SLEDUET, ^TO ONA WERNA DLQ L@BOJ FUNKCII TIPA ' (x) = B + Ax
TAK 00KAK PODOBNAQ FUNKCIQ MOVET BYTX POLU^ENA SUMMIROWANIEM (20 ) I (2 ). dALEE, OTS@DA SLEDUET TAKVE, ^TO TEOREMA WERNA DLQ L@BOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII BEZ PREDPOLOVENIQ O TOM, ^TO ' (0) = ' (l) = 0. w SAMOM DELE, L@BU@ FUNKCI@ ' (x) TAKOGO TIPA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE h i ' (x) = ' (0) + xl (' (l) ; ' (0)) +  (x)
GDE SLAGAEMOE W KWADRATNYH SKOBKAH | LINEJNAQ FUNKCIQ, A  (x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, OBRA]A@]AQSQ W NULX NA KONCAH OTREZKA:

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

221

 (0) =  (l) = 0. tAK KAK MY UBEDILISX UVE W TOM, ^TO DLQ KAVDOGO SLAGAEMOGO TEOREMA PRIMENIMA, TO OTS@DA SLEDUET, ^TO TEOREMA WERNA I DLQ ' (x). oBRATIMSQ TEPERX K DOKAZATELXSTWU TEOREMY DLQ PROIZWOLXNOJ KUSO^NO-NEPRERYWNOJ FUNKCII ' (x). fORMULA (19) I W \TOM SLU^AE OPREDELQET REENIE, UDOWLETWORQ@]EE URAWNENI@ I NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM. pUSTX TO^KA x0 | KAKAQ-LIBO TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII ' (x). dOKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO " MOVNO NAJTI ("), TAKOE, ^TO ju (x
t) ; ' (x0 )j < ", ESLI jx ; x0 j < (") I t < ("). w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII ' (x) W TO^KE x0 SU]ESTWUET  ("), TAKOE, ^TO j' (x) ; ' (x )j 6 " DLQ jx ; x j <  (")
0

OTKUDA

2

0

' (x0 ) ; 2" 6 ' (x) 6 ' (x0 ) + 2" DLQ jx ; x0 j <  ("):

(23)

pOSTROIM WSPOMOGATELXNYE NEPRERYWNYE FUNKCII ' (x) I ' (x): ' (x) = ' (x0 ) + 2" DLQ jx ; x0 j <  (")
(A) ' (x) > ' (x) DLQ jx ; x0 j >  (")
' (x) = ' (x0 ) ; 2" DLQ jx ; x0 j <  (")


(B) DLQ jx ; x0 j >  ("): nA INTERWALE jx ; x0 j >  (") FUNKCII ' (x) I ' (x) UDOWLETWORQ@T TOLXKO USLOWIQM (A) I (B), A W OSTALXNOM PROIZWOLXNY. w SILU NERAWENSTW (23) (24) ' (x) 6 ' (x) 6 ' (x): rASSMOTRIM FUNKCII

' (x) 6 ' (x)

Zl

u (x
t) = G (x

t) ' ( ) d
0

Zl

u (x
t) = G (x

t) ' ( ) d: 0

222

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

wWIDU NEPRERYWNOSTI FUNKCIJ ' (x) I ' (x) FUNKCII u (x
t) I u (x
t) NEPRERYWNY W TO^KE x0 , T. E. NAJDETSQ TAKOE ("), ^TO 9 " ju (x
t) ; ' (x)j 6 2
>>= DLQ jx ; x0 j < (")
t < (")
> " > ju (x
t) ; ' (x)j 6 2  OTKUDA 9 > " = u (x
t) 6 ' (x) + 2 = ' (x0 ) + "
> DLQ jx ; x0 j < (")
t < ("): " > u (x
t) > ' (x) ; 2 = ' (x0 ) ; " 

w SILU NEOTRICATELXNOSTI FUNKCII G (x

t) IZ FORMULY (24) SLEDUET, ^TO u (x
t) 6 u (x
t) 6 u (x
t): (25) oTS@DA POLU^AEM NERAWENSTWA ' (x0 ) ; " 6 u (x
t) 6 ' (x0 ) + " DLQ jx ; x0 j < (")
t < (") ILI ju (x
t) ; ' (x0 )j < " DLQ jx ; x0 j < (")
t < (")
^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. oGRANI^ENNOSTX FUNKCII ju (x
t)j SLEDUET IZ (25) I IZ OGRANI^ENNOSTI FUNKCIJ u (x
t) I u (x
t). |TIM TEOREMA DOKAZANA. 4. nEODNORODNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI. rASSMOTRIM NEODNORODNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx + f (x
t) (1) S NA^ALXNYM USLOWIEM u (x
0) = 0 (26) I GRANI^NYMI USLOWIQMI u (0
t) = 0
(5) u (l
t) = 0: bUDEM ISKATX REENIE \TOJ ZADA^I u (x
t) W WIDE RQDA fURXE PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM ZADA^I (11), T. E. PO FUNKCIQM sin nl x: 1 X (27) u (x
t) = un (t) sin n l x
n=1

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

223

S^ITAQ PRI \TOM t PARAMETROM. dLQ NAHOVDENIQ FUNKCII u (x
t) NADO OPREDELITX FUNKCII un (t). pREDSTAWIM FUNKCI@ f (x
t) W WIDE RQDA 1 X f (x
t) = fn (t) sin n l x
n=1 GDE fn (t) = 2l

Zl 0

f (
t) sin n l  d:

(28)

pODSTAWIW PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ W ISHODNOE URAWNENIE (1), BUDEM IMETX  n 2  1 X n 2 sin l x l a un (t) + u_ n (t) ; fn (t) = 0: n=1 |TO URAWNENIE BUDET UDOWLETWORENO, ESLI WSE KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ RAWNY NUL@, T. E.  2 (29) u_ n (t) = ;a2 n l un (t) + fn (t): pOLXZUQSX NA^ALXNYM USLOWIEM DLQ u (x
t) 1 X u (x
0) = un (0) sin n l x = 0
n=1 POLU^AEM NA^ALXNOE USLOWIE DLQ un (t): un (0) = 0: (30) rEAQ OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE (29) S NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIEM (30) 1) , NAHODIM

Zt

2 2 un (t) = e; ( nl ) a (t; ) fn ( ) d:

(31)

0

pODSTAWLQQ WYRAVENIE (31) DLQ un (t) W FORMULU (27), POLU^AEM REENIE ISHODNOJ ZADA^I W WIDE u (x
t) = 1)

2 Zt 1 X 4

n=1 0

2 2 e; ( nl ) a (t; ) fn ( ) d

3 5 sin n x: l

sM. TEKST, NABRANNYJ MELKIM RIFTOM W KONCE P. 4 x 3 GL. II.

(32)

urawneniq paraboli~eskogo tipa

224

gl. III

wOSPOLXZUEMSQ WYRAVENIEM (28) DLQ fn ( ) I PREOBRAZUEM NAJDENNOE REENIE (32): u(x
t) =

Zt Z l ( 2 X 1

l n=1 e

0 0

;

( nl )2 a2 (t; ) sin n x

Zt Z l

=

GDE G (x

t ;  ) = 2l

0 0

1 X

n=1

l

)

 sin nl  f (
 ) d d =

G (x

t ;  ) f (
 ) d d


2 2 n e; ( nl ) a (t; ) sin n l x  sin l 

(33)

(34)

SOWPADAET S FUNKCIEJ ISTO^NIKA, OPREDELQEMOJ FORMULOJ (18). wYQSNIM FIZI^ESKIJ SMYSL POLU^ENNOGO REENIQ (33) u (x
t) =

Zt Z l 0 0

G (x

t ;  ) f (
 ) d d:

pREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ f (
 ) OTLI^NA OT NULQ LIX W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI M0 (0
0 ) 0 6  6 0 + 
0 6  6 0 + : fUNKCIQ F (
 ) = c f (
 ) PREDSTAWLQET PLOTNOSTX TEPLOWYH ISTO^NIKOW. oB]EE KOLI^ESTWO TEPLA, WYDELQ@]EESQ NA OTREZKE (0
l) ZA WSE WREMQ DEJSTWIQ ISTO^NIKA (T. E. ZA  ), RAWNO Q=

0Z+  0Z+  0

0

c f (
 ) d d:

(35)

pRIMENIM TEOREMU O SREDNEM K WYRAVENI@ u (x
t) = =

GDE

Zt Z l 0 0

G (x

t ;  ) f (
 ) d d =

0Z+  0Z+  0

0

Q = u (x
t)
G (x

t ;  ) f (
 ) d d = G (x

t ; ) c 0 <  < 0 + 


0 <  < 0 + :

x 2]

metod razdeleniq peremennyh

pEREJDQ K PREDELU PRI  ! 0 I  ! 0, POLU^IM FUNKCI@ Q G (x

t ;  )
u (x
t) = lim u (x
t) = c 0 0  ! 0  !0

225 (36)

KOTORU@ MOVNO INTERPRETIROWATX KAK FUNKCI@ WLIQNIQ MGNOWENNOGO ISTO^NIKA TEPLA, SOSREDOTO^ENNOGO W TO^KE 0 W MOMENT 0 . eSLI IZWESTNA FUNKCIQ Q=(c)  G (x

t ;  ), PREDSTAWLQ@]AQ DEJSTWIE EDINI^NOGO MGNOWENNOGO SOSREDOTO^ENNOGO ISTO^NIKA, TO DEJSTWIE ISTO^NIKOW, NEPRERYWNO RASPREDELENNYH S PLOTNOSTX@ F (x
t) = c f (x
t), DOLVNO WYRAVATXSQ FORMULOJ (33), KAK \TO NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ FIZI^ESKOGO SMYSLA FUNKCII G (x

t ;  ). iTAK, TEMPERATURNOE WLIQNIE TEPLOWYH ISTO^NIKOW, DEJSTWU@]IH W OBLASTI (0
0 +  )  (0
0 +  ), DAETSQ WYRAVENIEM Q  G (x

t ;  ) f (
 )   c = f (
 )   : eSLI ISTO^NIKI RASPREDELENY NEPRERYWNO, TO, SUMMIRUQ TEPLOWYE WLIQNIQ ISTO^NIKOW, DEJSTWU@]IH WO WSEJ OBLASTI 0 6  6 l, 0 6  6 t, POSLE PREDELXNOGO PEREHODA PRI  ! 0 I  ! 0 POLU^IM u (x
t) =

Zt Z l 0 0

G (x

t ;  ) f (
 ) d d:

tAKIM OBRAZOM, ISHODQ IZ FIZI^ESKOGO SMYSLA FUNKCII ISTO^NIKA G (x

t), MOVNO BYLO BY SRAZU NAPISATX WYRAVENIE (33) DLQ FUNKCII, DA@]EJ REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ. iMEQ FORMU, W KOTOROJ DOLVNO PREDSTAWLQTXSQ REENIE ZADA^I, MOVNO ISSLEDOWATX USLOWIQ PRIMENIMOSTI \TOJ FORMULY W OTNOENII FUNKCII f (
 ). mY NE BUDEM PROWODITX \TOGO ISSLEDOWANIQ. mY RASSMATRIWALI ZDESX NEODNORODNOE URAWNENIE S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI. eSLI NA^ALXNOE USLOWIE OTLI^NO OT NULQ, TO K \TOMU REENI@ SLEDUET PRIBAWITX REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ S ZADANNYM NA^ALXNYM USLOWIEM u (x
0) = ' (x), NAJDENNOE W P. 1. 5. oB]AQ PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A. rASSMOTRIM OB]U@ PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. nAJTI REENIE URAWNENIQ ut = a2 uxx + f (x
t) (1) S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI u (x
0) = ' (x)
(2) u (0
t) = 1 (t)
u (l
t) = 2 (t):

15 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

)

(3)

226

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

wWEDEM NOWU@ NEIZWESTNU@ FUNKCI@ v (x
t): u (x
t) = U (x
t) + v (x
t)
(37) PREDSTAWLQ@]U@ OTKLONENIE OT NEKOTOROJ IZWESTNOJ FUNKCII U (x
t). |TA FUNKCIQ v (x
t) BUDET OPREDELQTXSQ KAK REENIE URAWNENIQ vt ; a2 vxx = f(x
t)
f (x
t) = f (x
t) ; Ut ; a2 Uxx]
S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI v (x
0) = ' (x)
' (x) = ' (x) ; U (x
0) v (0
t) = 1 (t)
1 (t) = 1 (t) ; U (0
t) v (l
t) = 2 (t)
2 (t) = 2 (t) ; U (l
t): wYBEREM WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@ U (x
t) TAK, ^TOBY 1 (t) = 0 I 2 (t) = 0
DLQ ^EGO DOSTATO^NO POLOVITX (SM. GL. II, x 3, P. 5) U (x
t) = 1 (t) + xl 2 (t) ; 1 (t)]:

tAKIM OBRAZOM, NAHOVDENIE FUNKCII u (x
t), DA@]EJ REENIE OB]EJ KRAEWOJ ZADA^I, SWEDENO K NAHOVDENI@ FUNKCII v (x
t), DA@]EJ REENIE KRAEWOJ ZADA^I S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI. mETOD NAHOVDENIQ FUNKCII v (x
t) DAN W P. 4. iZLOVENNAQ WYE FORMALXNAQ SHEMA REENIQ ZADA^ PRI NALI^II NEODNORODNOSTEJ W URAWNENII I GRANI^NYH USLOWIQH NE WSEGDA UDOBNA DLQ PREDSTAWLENIQ ISKOMOJ FUNKCII u (x
t). tRUDNOSTI, WOZNIKA@]IE PRI NAHOVDENII WSPOMOGATELXNOJ FUNKCII v (x
t), ZAWISQT OT FUNKCII U (x
t), OT KOTOROJ I]ETSQ OTKLONENIE. w ^ASTNOSTI, DLQ ZADA^ SO STACIONARNYMI NEODNORODNOSTQMI UDOBNEE WYDELQTX STACIONARNOE REENIE I ISKATX OTKLONENIE OT \TOGO REENIQ (SM. GL. II, x 3, P. 6). rASSMOTRIM, NAPRIMER, ZADA^U DLQ OGRANI^ENNOGO STERVNQ (0
l), KONCY KOTOROGO PODDERVIWA@TSQ PRI POSTOQNNYH TEMPERATURAH u0 I u1 : ut = a2 uxx
u (x
0) = ' (x)
u (0
t) = u0
u (l
t) = u1 : rEENIE BUDEM ISKATX W WIDE SUMMY u (x
t) = u (x) + v (x
t)


x 2]

metod razdeleniq peremennyh

227

GDE u (x) | STACIONARNAQ TEMPERATURA, A v (x
t) | OTKLONENIE OT STACIONARNOJ TEMPERATURY. dLQ FUNKCIJ u (x) I v (x
t) BUDEM IMETX USLOWIQ u00 = 0
vt = a2 vxx  u (0) = u0
v (x
0) = ' (x) ; u (x) = '1 (x) u (l) = u1
v (0
t) = v (l
t) = 0: oTS@DA NAHODIM u (x) = u0 + xl (u1 ; u0 ):

fUNKCI@ v (x
t), OPREDELQEMU@ NA^ALXNYM USLOWIEM I ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI, BEZ TRUDA NAHODIM METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH.

zADA^I 1. wYWESTI URAWNENIE DLQ PROCESSA NAGREWANIQ ODNORODNOJ TONKOJ PROWOLOKI POSTOQNNYM \LEKTRI^ESKIM TOKOM, ESLI NA EE POWERHNOSTI PROISHODIT TEPLOOBMEN S OKRUVA@]EJ SREDOJ. 2. wYWESTI URAWNENIE DIFFUZII W SREDE, RAWNOMERNO DWIVU]EJSQ W NAPRAWLENII OSI x SO SKOROSTX@ w. rASSMOTRETX SLU^AJ ODNOJ NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ. 3. iSHODQ IZ URAWNENIJ mAKSWELLA, PREDPOLAGAQ Ex = Ez = 0, Hz = 0 I PRENEBREGAQ TOKAMI SME]ENIQ, POKAZATX, ^TO W ODNORODNOJ PROWODQ]EJ SREDE SOSTAWLQ@]AQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ Ey UDOWLETWORQET URAWNENI@ @ 2 Ey = 4 @Ey  @z2 c2 @t GDE  | PROWODIMOSTX SREDY, c | SKOROSTX SWETA. wYWESTI URAWNENIQ DLQ Hx. 4. dATX FIZI^ESKOE ISTOLKOWANIE SLEDU@]IH GRANI^NYH USLOWIJ W ZADA^AH TEPLOPROWODNOSTI I DIFFUZII: A) u (0 t) = 0 B) ux (0 t) = 0 W) ux (0 t) ; h u (0 t) = 0 (h > 0): u (l t) + h u (l t) = 0

x

5. rEITX ZADA^U OB OSTYWANII RAWNOMERNO NAGRETOGO ODNORODNOGO STERVNQ PRI NULEWOJ TEMPERATURE NA KONCAH, PREDPOLAGAQ OTSUTSTWIE TEPLOOBMENA NA BOKOWOJ POWERHNOSTI. 6. nA^ALXNAQ TEMPERATURA STERVNQ u (x 0) = u0 = const PRI 0 < x < l. tEMPERATURA KONCOW PODDERVIWAETSQ POSTOQNNOJ: u (0 t) = u1 , u (l t) = u2 PRI 0 < t < 1. nAJTI TEMPERATURU STERVNQ, ESLI TEPLOOBMEN NA BOKOWOJ POWERHNOSTI OTSUTSTWUET. nAJTI STACIONARNU@ TEMPERATURU. 7. rEITX ZADA^U 6 PRI SLEDU@]IH GRANI^NYH USLOWIQH: NA ODNOM KONCE PODDERVIWAETSQ POSTOQNNAQ TEMPERATURA, DRUGOJ KONEC TEPLOIZOLIROWAN.

15


228

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

8. rEITX ZADA^U O NAGREWANII TONKOJ ODNORODNOJ PROWOLOKI POSTOQNNYM \LEKTRI^ESKIM TOKOM, ESLI NA^ALXNAQ TEMPERATURA, GRANI^NAQ TEMPERATURA, A TAKVE TEMPERATURA OKRUVA@]EJ SREDY RAWNY NUL@. 9. cILINDR DLINY l, ZAPOLNENNYJ WOZDUHOM PRI DAWLENII I TEMPERATURE OKRUVA@]EJ SREDY, OTKRYWA@T S ODNOGO KONCA W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI, I IZ OKRUVA@]EJ ATMOSFERY, GDE KONCENTRACIQ NEKOTOROGO GAZA RAWNA u0 , NA^INAETSQ DIFFUZIQ GAZA W CILINDR. nAJTI KOLI^ESTWO GAZA, DIFFUNDIROWAWEGO ZA WREMQ t, ESLI NA^ALXNAQ KONCENTRACIQ GAZA W CILINDRE RAWNA NUL@. 10. rEITX ZADA^U 9 W PREDPOLOVENII, ^TO LEWYJ KONEC CILINDRA ZAKRYT POLUPRONICAEMOJ PEREGORODKOJ. 11. rEITX ZADA^U OB OSTYWANII ODNORODNOGO STERVNQ S TEPLOIZOLIROWANNOJ BOKOWOJ POWERHNOSTX@, ESLI EGO NA^ALXNAQ TEMPERATURA u (x 0) = = ' (x), A NA KONCAH PROISHODIT TEPLOOBMEN SO SREDOJ NULEWOJ TEMPERATURY. rASSMOTRETX ^ASTNYJ SLU^AJ ' (x) = u0 . 12. rEITX ZADA^U 11, PREDPOLAGAQ, ^TO TEMPERATURA OKRUVA@]EJ SREDY RAWNA U0 . 13. rEITX ZADA^U 11, S^ITAQ, ^TO NA BOKOWOJ POWERHNOSTI PROISHODIT TEPLOOBMEN SO SREDOJ, TEMPERATURA KOTOROJ: A) RAWNA NUL@ B) POSTOQNNA I RAWNA u1 . 14. nAJTI USTANOWIWU@SQ TEMPERATURU STERVNQ, PRENEBREGAQ TEPLOOBMENOM NA BOKOWOJ POWERHNOSTI I S^ITAQ, ^TO ODIN KONEC STERVNQ TEPLOIZOLIROWAN, A KO WTOROMU KONCU PODWODITSQ POTOK TEPLA, GARMONI^ESKI MENQ@]IJSQ WO WREMENI. 15. rEITX ZADA^U 14, S^ITAQ, ^TO ODIN KONEC STERVNQ IMEET NULEWU@ TEMPERATURU, A TEMPERATURA WTOROGO KONCA GARMONI^ESKI MENQETSQ WO WREMENI. 16. sTERVENX (0 l) SOSTAWLEN IZ DWUH ODNORODNYH KUSKOW ODINAKOWOGO POPERE^NOGO SE^ENIQ, SOPRIKASA@]IHSQ W TO^KE x = x0 I OBLADA@]IH HARAKTERISTIKAMI a1, k1 I a2, k2 SOOTWETSTWENNO. nAJTI USTANOWIWU@SQ TEMPERATURU W TAKOM STERVNE (TEPLOWYE WOLNY), ESLI ODIN KONEC STERVNQ (x = 0) PODDERVIWAETSQ PRI NULEWOJ TEMPERATURE, A TEMPERATURA WTOROGO MENQETSQ SINUSOIDALXNO WO WREMENI. 17. lEWYJ KONEC SOSTAWNOGO STERVNQ IZ ZADA^I 16 PODDERVIWAETSQ PRI TEMPERATURE, RAWNOJ NUL@, A PRAWYJ | PRI TEMPERATURE u (l t) = u1 , NA^ALXNAQ VE TEMPERATURA STERVNQ RAWNA NUL@. nAJTI TEMPERATURU u (x t) STERVNQ W REGULQRNOM REVIME (PERWYJ ^LEN RAZLOVENIQ). 18. nAJTI TEMPERATURU u (x t) STERVNQ, NA^ALXNAQ TEMPERATURA KOTOROGO RAWNA NUL@, A GRANI^NYE USLOWIQ IME@T WID u (0 t) = A e;t  u (l t) = B GDE A, B I > 0 | POSTOQNNYE.

x 3. zADA^I NA BESKONE^NOJ PRQMOJ

1. rASPROSTRANENIE TEPLA NA BESKONE^NOJ PRQMOJ. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI. rASSMOTRIM NA BES-

KONE^NOJ PRQMOJ ZADA^U S NA^ALXNYMI DANNYMI (ZADA^U kOI).

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

229

nAJTI OGRANI^ENNU@ FUNKCI@ u (x
t)
OPREDELENNU@ W OBLASTI t > 0
UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ TEPLOPROWODNO-

;1 < x < 1
STI

ut = a2 uxx
;1 < x < 1
t > 0
(1) I NA^ALXNOMU USLOWI@ u (x
0) = ' (x)
;1 < x < 1: (2) eSLI ' (x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, TO WYPOLNENIE NA^ALXNOGO USLOWIQ BUDEM PONIMATX W TOM SMYSLE, ^TO FUNKCIQ u (x
t) NEPRERYWNA PRI t = 0, T. E. lim u (x
t) = ' (x0 ): 0 xt! !x0

kAK MY WIDELI W x 1, P. 7, REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOIMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI, ESLI ONO OGRANI^ENO. pO\TOMU W FORMULIROWKU TEOREM WWODITSQ USLOWIE OGRANI^ENNOSTI. dADIM SNA^ALA FORMALXNU@ SHEMU REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I, OSNOWANNU@ NA RAZDELENII PEREMENNYH. bUDEM ISKATX OGRANI^ENNOE NETRIWIALXNOE REENIE URAWNENIQ (1), PREDSTAWIMOE W WIDE PROIZWEDENIQ u (x
t) = X (x) T (t): (3) pODSTAWLQQ WYRAVENIE (3) W (1), POLU^AEM X 00 = T 0 = ;2
X T 2 GDE  | PARAMETR RAZDELENIQ. oTS@DA SLEDUET T 0 + a2 2 T = 0
(4) X 00 + 2 X = 0: (5) rEAQ URAWNENIQ (4) I (5), NAJDEM ^ASTNYE REENIQ URAWNENIQ (1) WIDA u (x
t) = A () e;2 a2 tix
(6) UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ OGRANI^ENNOSTI. zDESX  | L@BOE WE]ESTWENNOE ^ISLO: ;1 <  < 1 PO\TOMU W (6) WOZXMEM ZNAK PL@S I OBRAZUEM FUNKCI@ u (x
t) =

Z1

;1

A () e;a2 2 t+ix d:

(7)

230

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

eSLI PROIZWODNYE, WHODQ]IE W URAWNENIE (1), MOVNO WY^ISLQTX PUTEM DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA (7), TO FUNKCIQ (7), O^EWIDNO, BUDET UDOWLETWORQTX URAWNENI@ (1) KAK SUPERPOZICIQ ^ASTNYH REENIJ \TOGO URAWNENIQ. tREBUQ WYPOLNENIQ NA^ALXNOGO USLOWIQ PRI t = 0, BUDEM IMETX ' (x) =

Z1

A () eix d:

(8)

;1

wOSPOLXZUEMSQ TEPERX FORMULOJ OBRATNOGO PREOBRAZOWANIQ INTEGRALA fURXE A () = 21

Z1

'( ) e;i d:

(9)

;1

pODSTAWLQQ (9) W (7) I MENQQ PORQDOK INTEGRIROWANIQ, POLU^IM u (x
t) = 21

1 Z1 0 Z1 @ ' () e;i dA e;a22 t+ix d = ;1 ;1 1 Z1 0 Z1 2 2 1 @ e;a  t+i (x;) dA ' () d: = 2

;1

(10)

;1

wNUTRENNIJ INTEGRAL W (10) RAWEN 1) 1 2

Z1

e;a2 2 t+i (x;) d =

;1

1 e; x a t p 2 a2 t (

;

4 2

)2

:

(11)

pODSTAWLQQ (11) W (10), PRIHODIM K INTEGRALXNOMU PREDSTAWLENI@ ISKOMOGO REENIQ u (x
t) =

GDE

Z1

G (x

t) ' ( ) d


(12)

1 e; x a t p 2 a2 t

(13)

;1

G(x

t) =

(

;

4 2

)2

:

fUNKCI@ G (x

t), OPREDELQEMU@ FORMULOJ (13), ^ASTO NAZYWA@T F U N D A M E N T A L X N Y M R E  E N I E M U R A W N E N I Q T E P L O P R O W O DN O S T I. 1)

b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. M., 1967.

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

231

nEPOSREDSTWENNOJ PROWERKOJ MOVNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO FUNKCIQ 2 ; (x ) G (x

t ; t0 ) = p Q2 (130 ) e 4a2 (t t0 ) c 2 a (t ; t0 ) PREDSTAWLQET TEMPERATURU W TO^KE x W MOMENT WREMENI t, ESLI W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI t = t0 W TO^KE  WYDELQETSQ KOLI^ESTWO TEPLA Q = c. fUNKCIQ G (x

t ; t0 ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI PO PEREMENNYM (x
t) 1) , ^TO MOVNO PROWERITX NEPOSREDSTWENNYM DIFFERENCIROWANIEM. kOLI^ESTWO TEPLA, NAHODQ]EESQ NA OSI x W MOMENT t > t0 , RAWNO Z1 Z1 ; (x )2 Q c G (x

t ; t0 ) dx = p e 4a2 (t t0 ) p 2dx = 2 a (t ; t0 ) ;1 ;1 ;

;

;

;

= pQ 

TAK KAK

Z1

Z1

e;2 d = Q = c


;1

p

e;2 d = 

;1

!

: = p x2 ; 
d = p 2dx 2 a (t ; t0 ) 2 a (t ; t0 ) taKIM OBRAZOM, KOLI^ESTWO TEPLA NA NAEJ PRQMOJ NE MENQETSQ S TE^ENIEM WREMENI. fUNKCIQ G (x

t ; t0 ) ZAWISIT OT WREMENI TOLXKO ^EREZ ARGUMENT  = a2 (t ; t0 ), TAK ^TO \TU FUNKCI@ MOVNO ZAPISATX 1) w SAMOM DELE, 2 ; (2x ) 1 x ;  4 a ( t t 0)  Gx = ; 2 p  2 e 2 a (t ; t0 )]3=2 ;

;





2 ; (x ) Gxx = 2 p1  ; 21 2 1 3=2 + 2(x ; ) 5=2 e 4a2 (t t0 )  a (t ; t0 )] 4 a (t ; t0 )] 2

;

;



T. E.

Gt = 2 p1  ;



a2 (x ; )2 e; 4a(2x (t)t0 )  a2 + 2 a2 (t ; t0 )]3=2 4 a2 (t ; t0 )]5=2 2

;

;

Gt = a2 Gxx:

232

urawneniq paraboli~eskogo tipa

W WIDE

gl. III

G = 2 p1  p1 e; 4 : (1300 )  nA RIS. 40 IZOBRAVEN GRAFIK FUNKCII G W ZAWISIMOSTI OT x DLQ RAZLI^NYH ZNA^ENIJ . pO^TI WSQ PLO]ADX, OGRANI^ENNAQ \TOJ KRIWOJ, NAHODITSQ NAD PROMEVUTKOM ( ; "
 + ")
GDE " | SKOLX UGODNO MALOE ^ISLO, ESLI TOLXKO  = 2 (t ; t0 ) | DOSTATO^NO MALOE ^ISLO. wELI^INA \TOJ PLO]ADI, UMNOVENNAQ NA c, (x;)2

rIS. 40

RAWNA KOLI^ESTWU TEPLA, PODWEDENNOMU W NA^ALXNYJ MOMENT. tAKIM OBRAZOM, DLQ MALYH ZNA^ENIJ t ; t0 > 0 PO^TI WSE TEPLO SOSREDOTO^ENO W MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI  . iZ SKAZANNOGO WYE SLEDUET, ^TO W MOMENT t0 WSE KOLI^ESTWO TEPLA POME]AETSQ W TO^KE  . rASSMATRIWAQ IZMENENIE TEMPERATURY W FIKSIROWANNOJ TO^KE x = =  + h S TE^ENIEM WREMENI PRI h = 0, T. E. PRI x =  , POLU^IM Gx= = 2 p1  p1 :  tAKIM OBRAZOM, TEMPERATURA W \TOJ TO^KE, GDE WYDELQETSQ TEPLO, DLQ MALYH  NEOGRANI^ENNO WELIKA.

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

233

eSLI x 6=  , T. E. h 6= 0, TO FUNKCIQ G PREDSTAWLQETSQ W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH MNOVITELEJ   2 Gx6= = 2 p1  p1 e; h4 :  wTOROJ SOMNOVITELX MENXE EDINICY: PRI BOLXIH  ON PRIBLIZITELXNO RAWEN 1, PRI MALYH  ON BLIZOK K 0. oTS@DA SLEDUET, ^TO Gx6= Gx= DLQ BOLXIH , Gx6=  Gx= DLQ MALYH . ~EM MENXE h, T. E. ^EM BLIVE x K  , TEM BOLXE WTOROJ MNOVITELX. gRAFIKI FUNKCIJ Gx= I Gx6= PRI h2 < h1 PRIWEDENY NA RIS. 41. nETRUDNO WIDETX, ^TO lim G = 0: !0 x6= rASKRYWAQ NEOPREDELENNOSTX, NAHODIM  1 3 $ h2 h2  h2 1 1 1 ; lim p p e 4 = 2 p lim  =2 42 e 4 = 0: !0 2   !0 2 fORMULA (130) POKAZYWAET, ^TO WO WSQKOJ TO^KE x TEMPERATURA, SOZDAWAEMAQ MGNOWENNYM TO^E^NYM ISTO^NIKOM, DEJSTWU@]IM W NA^ALXNYJ MOMENT t = 0, OTLI^NA OT NULQ DLQ SKOLX UGODNO MALYH MOMENTOW WREMENI. pODOBNYJ FAKT MOVNO BYLO BY INTERPRETIROWATX KAK REZULXTAT BESKONE^NO BYSTROGO RASPROSTRANENIQ TEPLA (BESKONE^NAQ SKOROSTX). oDNAKO \TO PROTIWORE^IT MOLEKULQRNOKINETI^ESKIM PREDSTAWLENIQM O PRIRODE TEPLA. tAKOE PROTIWORE^IE POLU^AETSQ W SWQZI S TEM, ^TO WYE PRI WYWODE URAWNENIQ TEPLOPROWODrIS. 41 NOSTI MY POLXZOWALISX FENOMENOLOGI^ESKIMI PREDSTAWLENIQMI O RASTEKANII TEPLA, NE U^ITYWA@]IMI INERCIONNOSTX PROCESSA DWIVENIQ MOLEKUL. tEPERX WYQSNIM USLOWIQ PRIMENIMOSTI FORMULY (12). dOKAVEM, ^TO FORMULA ;

u (x
t) = 2 p1 

Z1

;1

pa12t e; x a t (

;

4 2

)2

' ( ) d


(120 )

NAZYWAEMAQ I N T E G R A L O M p U A S c O N A, DLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ FUNKCII j' ( )j < M PREDSTAWLQET PRI t > 0 OGRANI^ENNOE REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, NEPRERYWNO PRIMYKA@]EE PRI t = 0 K ' (x) WO WSEH TO^KAH NEPRERYWNOSTI \TOJ FUNKCII. dOKAVEM PREDWARITELXNO LEMMU (O B O B ] E N N Y J P R I N C I P S UP E R P O Z I C I I). pUSTX FUNKCIQ U (x
t
) PO PEREMENNYM (x
t) UDOWLETWORQET LINEJNOMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ L (U ) = 0

urawneniq paraboli~eskogo tipa

234

gl. III

PRI L@BOM FIKSIROWANNOM ZNA^ENII PARAMETRA : tOGDA INTEGRAL Z u (x
t) = U (x
t
) ' ( ) d TAKVE QWLQETSQ REENIEM TOGO VE URAWNENIQ L (u) = 0
ESLI PROIZWODNYE, WHODQ]IE W LINEJNYJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR L(U )
MOVNO WY^ISLQTX PRI POMO]I DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA. dOKAZATELXSTWO LEMMY KRAJNE PROSTO. lINEJNYJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR L (U ) PREDSTAWLQET SUMMU PROIZWODNYH FUNKCII U S NEKOTORYMI KO\FFICIENTAMI, ZAWISQ]IMI OT x I t. dIFFERENCIROWANIE FUNKCII u, PO PREDPOLOVENI@, MOVNO PROIZWODITX POD ZNAKOM INTEGRALA. kO\FFICIENTY TAKVE MOVNO WNESTI POD ZNAK INTEGRALA. oTS@DA SLEDUET, ^TO Z L (u) = L (U (x
t
)) ' ( ) d = 0
T. E. ^TO FUNKCIQ u (x
t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ L (u) = 0. nAPOMNIM DOSTATO^NYE USLOWIQ DIFFERENCIRUEMOSTI POD ZNAKOM INTEGRALA, ZAWISQ]EGO OT PARAMETRA. fUNKCIQ

Zb

F (x) = f (x
) d a

PRI KONE^NYH PREDELAH a I b DIFFERENCIRUEMA POD ZNAKOM INTEGRALA, ESLI @f NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ PEREMENNYH x I W @x (x
) QWLQETSQ 1) OBLASTI IH IZMENENIQ . nETRUDNO WIDETX TAKVE, ^TO FUNKCIQ

Zb

F1 (x) = f (x
) ' ( ) d a

PRI KONE^NYH PREDELAH a I b DIFFERENCIRUEMA POD ZNAKOM INTEGRALA PRI TEH VE USLOWIQH OTNOSITELXNO FUNKCII f (x
) I PROIZWOLXNOJ, OGRANI^ENNOJ (I DAVE ABSOL@TNO INTEGRIRUEMOJ) FUNKCII ' ( ). eSLI PREDELY INTEGRIROWANIQ BESKONE^NY, TO W \TOM SLU^AE TREBUETSQ RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX INTEGRALA, POLU^ENNOGO W REZULXTATE DIFFERENCIROWANIQ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII PO PARAMETRU 2) . |TI VE ZAME^ANIQ OTNOSQTSQ K KRATNYM INTEGRALAM, ZAWISQ]IM OT PARAMETROW. 1)

sM. b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. m.,

2)

sM. TAM VE.

1967.

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

235

dLQ LINEJNYH URAWNENIJ L (u) = 0 IMEET MESTO PRINCIP SUPERPOZICII, ZAKL@^A@]IJSQ W TOM, ^TO FUNKCIQ u (x
t) =

n X i=1

Ci ui (x
t)


PREDSTAWLENNAQ W WIDE SUMMY KONE^NOGO ^ISLA ^ASTNYH REENIJ, QWLQETSQ TAKVE REENIEM URAWNENIQ. eSLI MY IMEEM REENIE u (x
t
), ZAWISQ]EE OT PARAMETRA, TO INTEGRALXNAQ SUMMA X u (x
t
n ) Cn (Cn = ' ( n )  ) (14) TAKVE QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ L (u) = 0. dOKAZANNAQ LEMMA, KAK I LEMMA NA S. 97, USTANAWLIWAET USLOWIQ, PRI KOTORYH PREDEL SUMMY (14), W NAEM SLU^AE RAWNYJ Z u (x
t) = U (x
t
) ' ( ) d
TAKVE QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ L (u) = 0. s \TOJ TO^KI ZRENIQ DOKAZANNU@ LEMMU, KAK I LEMMU NA S. 97, ESTESTWENNO NAZYWATX O B O B ] E N N Y M P R I N C I P O M S U P E R P O0Z I C I I. oBRATIMSQ K IZU^ENI@ INTEGRALA (12 ). dOKAVEM, WO-PERWYH, ^TO ESLI FUNKCIQ ' (x) OGRANI^ENA, j' (x)j < M , TO INTEGRAL (120 ) SHODITSQ I PREDSTAWLQET OGRANI^ENNU@ FUNKCI@. w SAMOM DELE,

ju (x
t)j < M 2 p1 

Z1

;1

pa12t e; x a t (

= M p1

TAK KAK

Z1

;

4 2

)2

Z1

d = ;2

e

d = M

;1





= p; x2
2 at

p

e;2 d = :

;1

dOKAVEM DALEE, ^TO INTEGRAL (120 ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI PRI t > 0. dLQ \TOGO DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO PROIZWODNYE \TOGO INTEGRALA PRI t > 0 MOVNO WY^ISLQTX PRI POMO]I DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA. w SLU^AE KONE^NYH PREDELOW INTEGRIROWANIQ \TO ZAKONNO, TAK KAK WSE PROIZWODNYE FUNKCII 1 e; x a t p 2 a2 t (

;

4 2

)2

PRI t > 0 NEPRERYWNY. dLQ WOZMOVNOSTI DIFFERENCIROWANIQ POD ZNA-

236

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

KOM INTEGRALA PRI BESKONE^NYH PREDELAH DOSTATO^NO UBEDITXSQ W RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA, POLU^ENNOGO POSLE DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA. pROWEDEM \TO ISSLEDOWANIE NA PRIMERE PERWOJ PROIZWODNOJ PO x. iTAK, DLQ DOKAZATELXSTWA DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII (12) PO x, A TAKVE RAWENSTWA 1 @u = Z @ (G (x

t)) ' ( ) d @x @x ;1 DOSTATO^NO UBEDITXSQ W RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA, STOQ]EGO SPRAWA PRI \TOM DLQ USTANOWLENIQ DIFFERENCIRUEMOSTI W TO^KE (x0
t0 ) DOSTATO^NO DOKAZATX RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX INTEGRALA W NEKOTOROJ OBLASTI ZNA^ENIJ PEREMENNYH, SODERVA]EJ ISSLEDUEMYE ZNA^ENIQ (x0
t0 ), NAPRIMER W OBLASTI t1 6 t0 6 t2
jxj 6 x: dOSTATO^NYM USLOWIEM RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA (ANALOGI^NYM PRIZNAKU RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI RQDA) QWLQETSQ SU]ESTWOWANIE POLOVITELXNOJ FUNKCII F ( ), NE ZAWISQ]EJ OT PARAMETROW (x
t), KOTORAQ MAVORIRUET PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@:  @   G (x

t) ' () 6 F ()
 > x
 < ;x
(15) @x I INTEGRAL OT KOTOROJ SHODITSQ:

Z1

x1

F ( ) d < 1


Z

;x1

;1

F ( ) d < 1:

(150 )

wELI^INA x1 OBOZNA^AET NEKOTOROE ^ISLO, NA^INAQ S KOTOROGO WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (15). nAJDEM OCENKU SWERHU DLQ ABSOL@TNOJ WELI^INY PODYNTEGRALXNOGO WYRAVENIQ W FORMULE DLQ @u=@x:   @G 2  (x

t)  j' ()j = p1 j ;2 x3=j2 e; (x4a2t) j' ()j 6 @x 2  2 a t] ( x )2 p 2 jaj2+t1]x3=2 e; 4a2 t2 = F () DLQ  < x (16) 6 2M PRI L@BYH jxj0 6 x I t1 6 t 6 t2 . nETRUDNO UBEDITXSQ W SHODIMOSTI INTEGRALOW (15 ) OT FUNKCII F ( ). iNTEGRAL Z1 Z1 Z1 2 ( x )2 p 2 jaj2+t1]x3=2 e; 4a2t2 d = 2Mp 21a2+t12]x3=2 e; 4a21t2 d1 F ( ) d = 2M x x x ;x ;

;

;

1

1

1

(1 = j j ; x)

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

237

SHODITSQ, TAK KAK POD ZNAKOM INTEGRALA STOIT MNOVITELX TIPA (a + 2 + b) e;c . oTS@DA ZAKL@^AEM, ^TO 1 @u = Z @G (x

t) ' ( ) d: @x @x ;1

aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ WOZMOVNOSTX WY^ISLENIQ WSEH OSTALXNYH PROIZWODNYH POD ZNAKOM INTEGRALA. tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO FUNKCIQ (120 ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI. oBRATIMSQ TEPERX K WYQSNENI@ OSNOWNOGO SWOJSTWA INTEGRALA (120), A IMENNO DOKAVEM, ^TO u (x
t) ! ' (x0 ) PRI t ! 0 I x ! x0 WO WSEH TO^KAH NEPRERYWNOSTI FUNKCII ' (x). iTAK, PUSTX ' (x) NEPRERYWNA W NEKOTOROJ TO^KE x0 . mY DOLVNY DOKAZATX, ^TO lim u (x
t) = ' (x0 )
t!0 x!x0

T. E. KAKOWO BY NI BYLO " > 0, MOVNO UKAZATX TAKOE ("), ^TO ju (x
t) ; ' (x0 )j < "
KOLX SKORO jx ; x0 j < (") I jtj < ("): w SILU PREDPOLAGAEMOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII ' (x) W TO^KE x0 SU]ESTWUET TAKOE  ("), ^TO j' (x) ; ' (x0 )j < 6"
(17) ESLI TOLXKO jx ; x0 j < : rAZBIWAQ PROMEVUTOK INTEGRIROWANIQ NA ^ASTI, PREDSTAWIM u (x
t) W WIDE SUMMY TREH SLAGAEMYH: u (x
t) = 2 p1 

Zx1

;1

2 p12 e; (x4a2t) ' () d + 2 p1  ;

at

1 + 2p 

GDE

Z1

x2

Zx2

x1

: : : d +

: : : d = u1 (x
t) + u2 (x
t) + u3 (x
t)


x1 = x0 ;  I x2 = x0 + :

(18)

238

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

gLAWNOE SLAGAEMOE \TOJ SUMMY u2 MOVNO PREDSTAWITX W WIDE u2 (x
t) = '2 (px0 )

Zx2

x1

pa12t e; x a t (

1 + 2p 

Zx2

x1

;

4 2

)2

d +

pa12t e; x a t (

;

4 2

)2

' ( ) ; ' (x0 )] d = I1 + I2 :

iNTEGRAL I1 WY^ISLQETSQ NEPOSREDSTWENNO: x2 (x )2 ' (x0 ) Z e; 4a2 t

I1 = 2 p

;

pa2 t

x1

d = 'p(x0 )

xp2 x a2 t

2

Z

;

xp1 x a2 t

e;2 d


;

2

GDE

= p; x2
d = pd 2 : (19) 2 at 2 at pRI jx ; x0 j <  WERHNIJ PREDEL POLOVITELEN, A NIVNIJ | OTRICATELEN, I PRI t ! 0 WERHNIJ PREDEL STREMITSQ K + 1, A NIVNIJ K ;1. oTS@DA SLEDUET, ^TO lim I1 = ' (x0 ): 0 xt! !x0

tAKIM OBRAZOM, MOVNO UKAZATX TAKOE 1 , ^TO jI1 ; ' (x0 )j < 6"
(20) ESLI TOLXKO jx ; x0 j < 1 I jtj < 1 : pOKAVEM, ^TO OSTALXNYE INTEGRALY: I2 , u1 I u3 | MALY. oCENIM PREVDE WSEGO INTEGRAL I2 :

jI2 j 6 2 p1 

Zx2

x1

p1a2t e; x a t j' () ; ' (x0 )j d: (

;

4 2

)2

iZ RAWENSTW (18) WIDNO, ^TO PRI x1 <  < x2 IMEET MESTO NERAWENSTWO j ; x0j < :

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

239

pOLXZUQSX NERAWENSTWOM (17), a TAKVE TEM, ^TO

Zx

00

p1



;2

e

x

d < p1



0

PRI L@BYH x I x , POLU^AEM 0

00

Zx2

jI2 j 6 6"  2 p1  p1a2t e

2 ; (x;2) 4a t

x1

Z1

e;2 d = 1

;1

d = 6" 2 p1 

xp2 x a2 t

2

Z

;

xp1 x a2 t ;

e;2 d < 6"
(21)

2

GDE NOWAQ PEREMENNAQ OPREDELQETSQ FORMULOJ (19). oCENIM u3 (x
t):

1

 Z 1 p ju3 (x
t)j = 2  

x2

< pM



2  p12 e; (x4a2t) ' () d  < ;

at

Z1

xp2 x 2 a2 t

e;2 d ! 0 PRI x ! x0
t ! 0


(22)

;

I ANALOGI^NO u1 (x
t):

 Zx1 ;1



2  p12 e; (x4a2t) ' () d  <

 ju1 (x
t)j = 2 p1  

;

at

xp1 x a2 t

Z M < p e;2 d ! 0 PRI x ! x0
t ! 0: ;

2

(23)

;1

sPRAWEDLIWOSTX (22), (23) WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ESLI x ! x0 , TO x2 ; ; x > 0 I x1 ; x < 0, I ESLI t ! 0, TO W POSLEDNIH ^LENAH (22) I (23) NIVNIJ I, SOOTWETSTWENNO, WERHNIJ PREDELY STREMQTSQ K + 1 I ;1. sLEDOWATELXNO, MOVNO UKAZATX TAKOE 2 , ^TO (24) ju3 (x
t)j < 3" I ju1 (x
t)j < 3"
ESLI TOLXKO

jx ; x0 j < 2 I jtj < 2 : pOLXZUQSX USTANOWLENNYMI WYE OCENKAMI (20), (21) I (24), POLU^AEM ju (x
t) ; ' (x0 )j 6 ju1 + I1 ; ' (x0 )] + I2 + u3j 6 6 ju1 j + jI1 ; ' (x0 )j + jI2 j + ju3 j < 3" + 6" + 6" + 3" = "
(25)

urawneniq paraboli~eskogo tipa

240

gl. III

ESLI TOLXKO

jx ; x0 j < I jtj <
GDE RAWNO NAIMENXEMU IZ ^ISEL 1 I 2 . tAKIM OBRAZOM, MY DOKAZALI, ^TO FUNKCIQ u (x
t) = 2 p1 

Z1

;1

p1a2t e; x a t (

;

4 2

)2

' ( ) d

(120 )

OGRANI^ENA, UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI I NA^ALXNOMU USLOWI@. eSLI NA^ALXNOE ZNA^ENIE ZADAETSQ NE PRI t = 0, A PRI t = t0 , TO WYRAVENIE DLQ u (x
t) PRIOBRETAET WID u (x
t) = 2 p1 

Z1

;1

(x;)2 ;t0 )

pa2 (1t ; t ) e; 4a2 (t 0

' ( ) d:

(1200 )

eDINSTWENNOSTX POLU^ENNOGO REENIQ DLQ NEPRERYWNOJ FUNKCII ' (x) SLEDUET IZ TEOREMY, DOKAZANNOJ W x 2, P. 3. eSLI NA^ALXNAQ00 FUNKCIQ ' (x) IMEET KONE^NOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA, TO INTEGRAL (12 ) PREDSTAWLQET OGRANI^ENNOE REENIE URAWNENIQ (1), NEPRERYWNOE WS@DU, KROME TO^EK RAZRYWA FUNKCII ' (x) 1) . rASSMOTRIM W KA^ESTWE PRIMERA SLEDU@]U@ ZADA^U. nAJTI REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI
ESLI NA^ALXNAQ TEMPERATURA (PRI t = t0 = 0) IMEET POSTOQNNYE
NO RAZLI^NYE ZNA^ENIQ DLQ x > 0 I x < 0
A IMENNO: ( x > 0
u (x
0) = ' (x) = TT1 DLQ DLQ x < 0: 2 pOLXZUQSX FORMULOJ (120), POLU^AEM REENIE ZADA^I W WIDE u (x
t) = 2 p1 

Z1

;1

= pT2

pa12t e; x a t

Z0

(

;

4 2

e

;1

= pT2

' ( ) d =

d + pT1 p  2 a2 t

2 ; (x;2) 4a

)2

t

; px

Z

2

;1

a2 t

e

;2

Z1 ; (x 0

d + pT1

2 ;) 4a2 t

e

Z1 ; px 2

pd

2 a2 t

=

e;2 d =

a2 t

1) pOLXZUQSX METODOM, IZLOVENNYM W x 2, P. 3, MOVNO UBEDITXSQ, ^TO FUNK-

CIQ u (x t) PERE^ISLENNYMI USLOWIQMI OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO.

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

p1

Z;z



I

p1

;2

e

d = p1

;1

Z1

 e

;2

;z

Z0



;2

e

Zz

d ; p1

;2

 e 0

Z 2 1 1 d = 2 ; p e; d

z

0

;z

z

0

Z Z d = 12 + p1 e;2 d = 21 + p1 e;2 d 0

(26)

0

;1

w ^ASTNOSTI, ESLI TO

x

p a2 t Z T1 + T2 + T1p; T2 ;2 e d
2  2

=

TAK KAK

241

0



z=

x p 2 a2 t



:

T2 = 0
T1 = 1


u (x
t) = 12 @1 + p2

Zz 0

;2

e

1   x A p d z= : 2 a2 t

pROFILX TEMPERATURY W ZADANNYJ MOMENT t DAETSQ KRIWOJ f (z ) = 21 + p1

Zz 0

e;2 d


GDE z PREDSTAWLQET ABSCISSU TO^KI, W KOTOROJ OPREDELQETSQ TEMPERATURA, ESLI ZA EDINICU DLINY, W ZAWISIMOSTI OT t, PRINIMAETSQ ZNA^Ep 2 NIE 2 a t. pOSTROENIE \TOJ KRIWOJ NE PREDSTAWLQET TRUDA, TAK KAK INTEGRAL  (z ) = p2

Zz

e;2 d


 0 NAZYWAEMYJ OBY^NO I N T E G R A L O M O  I B O K, ^ASTO WSTRE^AETSQ W TEORII WEROQTNOSTEJ I DLQ NEGO SU]ESTWU@T PODROBNYE TABLICY 1) . fORMULA (26) PRI PROIZWOLXNYH T1 I T2 MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE  x  T ; T T + T 1 2 1 2 u (x
t) = 2 + 2  2 pa t : 2 1) sM., NAPRIMER, iS^ISLENIE WEROQTNOSTEJ a. a. mARKOWA (m., 1924), GDE DANY TABLICY \TOGO INTEGRALA S ESTX@ DESQTI^NYMI ZNAKAMI. sM. TAKVE TABL. 1 W dOPOLNENII II, ^. IV. 16 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

242

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

oTS@DA WIDNO, ^TO W TO^KE x = 0 TEMPERATURA WSE WREMQ POSTOQNNA I RAWNA POLUSUMME NA^ALXNYH ZNA^ENIJ SPRAWA I SLEWA, TAK KAK  (0) = = 0. rEENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ ut = a2 uxx + f (x
t) (;1 < x < 1
t > 0) S NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIEM u (x
0) = 0
O^EWIDNO, DOLVNO PREDSTAWLQTXSQ FORMULOJ u (x
t) =

Zt Z1 0

;1

G (x

t ;  ) f (
 ) d d


(27)

KAK TO SLEDUET IZ SMYSLA FUNKCII G (x

 ) (SM. x 2, P. 4). mY NE BUDEM PODROBNEE ZANIMATXSQ IZU^ENIEM \TOJ FORMULY I USLOWIJ PRIMENIMOSTI, KOTORYE NADO NALOVITX NA FUNKCI@ f (x
t). 2. kRAEWYE ZADA^I DLQ POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ. kAK MY UVE OTME^ALI W x 1, P. 4, W TEH SLU^AQH, KOGDA INTERESU@TSQ RASPREDELENIEM TEMPERATURY WBLIZI ODNOGO IZ KONCOW STERVNQ, A WLIQNIE WTOROGO KONCA NESU]ESTWENNO, PRINIMA@T, ^TO WTOROJ KONEC NAHODITSQ W BESKONE^NOSTI. |TO PRIWODIT K ZADA^E OB OPREDELENII REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx
x > 0
t > 0
NA POLUBESKONE^NOJ PRQMOJ x > 0 DLQ ZNA^ENIJ t > 0, UDOWLETWORQ@]EGO NA^ALXNOMU USLOWI@ u (x
0) = ' (x) (x > 0) I GRANI^NOMU USLOWI@, KOTOROE W ZAWISIMOSTI OT ZADANNOGO HARAKTERA GRANI^NOGO REVIMA BERETSQ W ODNOM IZ SLEDU@]IH WIDOW:

ILI

u (0
t) =  (t) (PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A), @u (0
t) =  (t) (WTORAQ KRAEWAQ ZADA^A) @x

@u @x (0
t) =  u (0
t) ;  (t)] (TRETXQ KRAEWAQ ZADA^A). w DALXNEJEM MY OGRANI^IMSQ PODROBNYM ISSLEDOWANIEM TOLXKO P E R W O J K R A E W O J Z A D A ^ I, ZAKL@^A@]EJSQ W OTYSKANII REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH u (x
0) = ' (x)
u (0
t) =  (t): (28)

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

243

dLQ TOGO ^TOBY USLOWIQ ZADA^I OPREDELQLI EDINSTWENNOE REENIE, NEOBHODIMO NALOVITX NEKOTORYE USLOWIQ W BESKONE^NOSTI. pOTREBUEM DOPOLNITELXNO, ^TOBY FUNKCIQ u (x
t) BYLA WS@DU OGRANI^ENA: ju (x
t)j < M DLQ 0 < x < 1 I t > 0
GDE M | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. oTS@DA SLEDUET, ^TO NA^ALXNAQ FUNKCIQ ' (x) DOLVNA TAKVE UDOWLETWORQTX USLOWI@ OGRANI^ENNOSTI: j' (x)j < M: rEENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I MOVNO ZAPISATX W WIDE SUMMY u (x
t) = u1 (x
t) + u2 (x
t)
GDE u1 (x
t) PREDSTAWLQET WLIQNIE TOLXKO NA^ALXNOGO USLOWIQ, A u2 (x
t) | TOLXKO GRANI^NOGO USLOWIQ. |TI FUNKCII MOVNO OPREDELITX KAK REENIQ URAWNENIQ (1), UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM u1 (x
0) = ' (x)
u1 (0
t) = 0 (280 ) I u2 (x
0) = 0
u2 (0
t) =  (t): (2800 ) o^EWIDNO, ^TO SUMMA \TIH FUNKCIJ BUDET UDOWLETWORQTX USLOWIQM (28). dOKAVEM PREDWARITELXNO DWE LEMMY OTNOSITELXNO FUNKCII u (x
t), OPREDELQEMOJ INTEGRALOM pUASSONA: u (x
t) = 2 p1 

Z1

;1

p1a2t e; x a t (

;

4 2

)2

 ( ) d:

(29)

1. eSLI FUNKCIQ  (x) QWLQETSQ NE^ETNOJ
T: E:  (x) = ; (;x)
TO FUNKCIQ (29)

u (x
t) = 2 p1 

Z1

;1

p1a2t e; x a t (

;

4 2

)2

 ( ) d

OBRA]AETSQ W NULX PRI x = 0: u (0
t) = 0: pRI \TOM, KONE^NO, PREDPOLAGAETSQ, ^TO INTEGRAL, OPREDELQ@]IJ FUNKCI@ u (x
t), SHODITSQ, ^TO IMEET MESTO, ESLI  (x) OGRANI^ENA. pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W INTEGRALE u (0
t) = 2 p1  16


Z1

;1

p1a2t e;

2 4a2 t

 ( ) d

244

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

NE^ETNA OTNOSITELXNO  , TAK KAK QWLQETSQ PROIZWEDENIEM NE^ETNOJ FUNKCII NA ^ETNU@. iNTEGRAL VE OT NE^ETNOJ FUNKCII W PREDELAH, SIMMETRI^NYH OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT, RAWNQETSQ NUL@ SLEDOWATELXNO, u (0
t) = 0
^TO I DOKAZYWAET LEMMU 1. 2. eSLI FUNKCIQ  (x) QWLQETSQ ^ETNOJ
T: E:  (x) =  (;x)
TO PROIZWODNAQ FUNKCII u (x
t) IZ FORMULY (29) RAWNA NUL@ PRI x =

= 0:

@u @x (0
t) = 0

DLQ WSEH t > 0. w SAMOM DELE, 1   @u  = ; p1 Z (x ;  ) e; (x4a2t)2  ( ) d  = 0
x=0 @x x=0 2  2 (a2t)3=2 ;1 ;

TAK KAK PRI x = 0 PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, ESLI  ( ) | ^ETNAQ. pEREJDEM TEPERX K POSTROENI@ FUNKCII u1 (x
t), UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQM (280 ). wWEDEM WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@ U (x
t), OPREDELENNU@ NA BESKONE^NOJ PRQMOJ ;1 < x < 1 I UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@, A TAKVE USLOWIQM U (0
t) = 0
U (x
0) = ' (x) DLQ x > 0: |TU FUNKCI@, POLXZUQSX LEMMOJ 1, MOVNO OPREDELITX PRI POMO]I NA^ALXNOJ FUNKCII  (x), SOWPADA@]EJ S ' (x) DLQ x > 0 I QWLQ@]EJSQ NE^ETNYM PRODOLVENIEM ' (x) DLQ x < 0, T. E. (  (x) = ' (x) DLQ x > 0
;' (;x) DLQ x < 0
TAK ^TO U (x
t) = 2 p1 

Z1

;1

p1a2t e; x a t (

;

4 2

)2

 ( ) d:

rASSMATRIWAQ ZNA^ENIQ FUNKCII U (x
t) TOLXKO W INTERESU@]EJ NAS OBLASTI x > 0, POLU^IM u1 (x
t) = U (x
t) PRI x > 0:

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

245

pOLXZUQSX OPREDELENIEM FUNKCII  (x), BUDEM IMETX U (x
t) = 1 = 2p  =

;2

Z0

;1

p1



2 p1a2t e; (x4a2t)  () d + 2 p1  ;

Z1 0

Z1 0

2 pa12t e; (x4+a2t) ' () d + 2 p1 

pa12 t e; x a t (

Z1 0

;

4 2

)2

 ( ) d =

p1a2t e; x a t (

;

4 2

)2

' ( ) d


PRI^EM W PERWOM INTEGRALE SDELANA ZAMENA  0 = ; I ISPOLXZOWANO RAWENSTWO  ( ) = ;' (; ) = ;' ( 0 ): sOEDINQQ OBA INTEGRALA WMESTE, POLU^IM ISKOMU@ FUNKCI@ u1 (x
t) = 2 p1 

Z1 0

p1

a2 t

 ; (x e

2 ; ) 4a2 t

; (x+2)

;e

4a

2

t



' ( ) d

(30)

W WIDE, NE SODERVA]EM WSPOMOGATELXNYH FUNKCIJ. zAMETIM, ^TO PRI x = 0 WYRAVENIE W FIGURNYH SKOBKAH OBRA]AETSQ W NULX I u1 (0
t) = 0. pOLXZUQSX LEMMOJ 2, NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIEM WTOROGO RODA @ u1 (0
t) = 0 I NA^ALXNYM USLOWIEM u (x
0) = ' (x) PREDSTAWLQETSQ 1 W@xWIDE u1 (x
t) = 2 p1 

Z1 0

p1a2t

 ; (x e

2 ;) 4a2 t

+ e;

(x+)2 4a2 t



' ( ) d:

(300 )

pRIMENIM POLU^ENNU@ FORMULU K REENI@ ZADA^I OB OSTYWANII RAWNOMERNO NAGRETOGO STERVNQ, NA GRANICE KOTOROGO PODDERVIWAETSQ POSTOQNNAQ TEMPERATURA, KOTORU@ MY PRIMEM RAWNOJ NUL@. zADA^A SOSTOIT W OPREDELENII REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, UDOWLETWORQ@]EGO USLOWIQM v1 (x
t0 ) = T
v1 (0
t) = 0: u^ITYWAQ, ^TO NA^ALXNOE USLOWIE ZADAETSQ NE PRI t = 0, A PRI t = t0 , WMESTO FORMULY (30) POLU^IM T v1 (x
t) = 2 p 

Z1( ; 0

e

(x;)2 4a2 (t;t0 )

;e

2 ; (2x+)

4a (t;t0 )

)

pa2 (dt ; t ) : 0

(31)

246

urawneniq paraboli~eskogo tipa

rAZBIWAQ INTEGRAL NA DWA SLAGAEMYH I WWODQ PEREMENNYE = p 2; x
1 = p 2+ x
2 a (t ; t0 ) 2 a (t ; t0 ) POLU^AEM

! x v1 (x
t) = T  p 2
2 a (t ; t 0 ) GDE  (z ) = p2



| INTEGRAL OIBOK.

Zz 0

gl. III

(310 )

e;2 d

oBRATIMSQ TEPERX K OTYSKANI@ FUNKCII u2 (x
t), PREDSTAWLQ@]EJ WTORU@ ^ASTX REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I. pUSTX  (t) = 0 = const: fUNKCIQ

! x v (x
t) = 0  p 2 (32) 2 a (t ; t0 ) QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, UDOWLETWORQ@]IM USLOWIQM v (x
t0 ) = 0
v (0
t) = 0: oTS@DA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ !# "

x (33) v (x
t) = 0 ; v (x
t) = 0 1 ;  p 2 2 a (t ; t0 ) I QWLQETSQ ISKOMOJ, TAK KAK ONA UDOWLETWORQET TOMU VE URAWNENI@ I USLOWIQM v (x
t0 ) = 0 (x > 0) I v (0
t) = 0 (t > t0 ): pREDSTAWIM v (x
t) W WIDE v (x
t) = 0 U (x
t ; t0 )
GDE

! Z1 x 2 U (x
t ; t0 ) = 1 ;  p 2 = p e;2 d (34) 2 a (t ; t0 ) x 2

pa

2 (t;t0 )

x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

247

QWLQETSQ REENIEM TOJ VE ZADA^I, ^TO I v (x
t), PRI 0 = 1. pO OPREDELENI@ FUNKCIQ U (x
t ; t0 ) IMEET SMYSL TOLXKO PRI t > t0 . pRODOLVIM OPREDELENIE \TOJ FUNKCII, POLAGAQ U (x
t ; t0 )  0 DLQ t < t0 : o^EWIDNO, ^TO \TO OPREDELENIE SOGLASUETSQ SO ZNA^ENIEM FUNKCII U (x
t) PRI t = 0 I OPREDELENNAQ TAKIM OBRAZOM FUNKCIQ BUDET UDOWLETWORQTX URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI DLQ WSEH t PRI x > 0. gRANI^NOE ZNA^ENIE \TOJ FUNKCII (PRI x = 0) QWLQETSQ STUPEN^ATOJ FUNKCIEJ, RAWNOJ NUL@ PRI t < t0 I RAWNOJ EDINICE PRI t > t0 . fUNKCIQ U (x
t) WESXMA ^ASTO WSTRE^AETSQ W PRILOVENIQH I QWLQETSQ WSPOMOGATELXNYM ZWENOM DLQ NAHOVDENIQ FUNKCII u2 (x
t). rASSMOTRIM WTORU@ WSPOMOGATELXNU@ ZADA^U, ZAKL@^A@]U@SQ W NAHOVDENII REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI SO SLEDU@]IMI NA^ALXNYMI I GRANI^NYMI USLOWIQMI: ( DLQ t0 < t < t1
v (x
t0 ) = 0
v (0
t) =  (t) = 00 DLQ t > t1 : nEPOSREDSTWENNOJ PROWERKOJ NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO





v (x
t) = 0 U (x
t ; t0 ) ; U (x
t ; t1 ) :

wOOB]E, ESLI GRANI^NAQ FUNKCIQ  (t) ZADAETSQ W WIDE STUPEN^ATOJ FUNKCII: 8  DLQ t < t 6 t
> > <01 DLQ t01 < t 6 t12
 (t) = > : : : : : : : : : > :n;1 DLQ tn;1 < t 6 tn
TO, RASSUVDAQ SOWERENNO ANALOGI^NO, POLU^IM, ^TO REENIE KRAEWOJ ZADA^I S PODOBNOJ FUNKCIEJ  (t) MOVET BYTX ZAPISANO SLEDU@]IM OBRAZOM: u (x
t) =

nX ;2 i=0





i U (x
t ; ti ) ; U (x
t ; ti+1 ) + n;1 U (x
t ; tn;1 ):

pOLXZUQSX TEOREMOJ O KONE^NOM PRIRA]ENII, POLU^AEM  nX ;2 u (x
t) = i @U (x
@tt ;  )   + n;1 U (x
t ; tn;1 ) i i=0 DLQ ti 6 i 6 ti+1 :

(35) (36)

urawneniq paraboli~eskogo tipa

248

gl. III

oBRATIMSQ TEPERX K ZADA^E O NAHOVDENIII REENIQ u (x
t) URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIEM I GRANI^NYM USLOWIEM u (0
t) =  (t) (t > 0)
GDE  (t) | PROIZWOLXNAQ KUSO^NO-NEPRERYWNAQ FUNKCIQ. pRIBLIVENNOE REENIE \TOJ ZADA^I LEGKO POLU^ITX W WIDE (36), ESLI FUNKCI@  (t) ZAMENITX KUSO^NO-POSTOQNNOJ FUNKCIEJ. pEREHODQ K PREDELU PRI UMENXENII INTERWALOW POSTOQNSTWA WSPOMOGATELXNOJ FUNKCII, POLU^AEM, ^TO PREDEL SUMMY (36) BUDET RAWEN

Zt @U 0

TAK KAK PRI x > 0

@t (x
t ;  )  ( ) d


lim !0 n;1 U (x
t ; tn;1 ) = 0:

t;tn

;

1

o^EWIDNO, ^TO ISKOMOE REENIE u2 (x
t) WTOROJ ZADA^I DOLVNO BYTX RAWNO u2 (x
t) =

Zt @U 0

@t (x
t ;  )  ( ) d:

(37)

mY NE BUDEM PODROBNO OSTANAWLIWATXSQ NA PRAWOMERNOSTI PREDELXNOGO PEREHODA I WYQSNENII USLOWIJ PRIMENIMOSTI \TOJ FORMULY W OTNOENII FUNKCII  ( ). nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO

0 1 1 Z CC = p1 a2x e; 4xa22t @U (x
t) = @ B ;2 B@ p2 e d A 2  a2t]3=2 @t @t  =

2a2 @G (x


;

px 2 a2 t

=

   1 p1 e; (x4a2t)2 : p G = @ =0 2  a2 t

 0
t) = 2a2 @G 

;

@x tAKIM OBRAZOM, ISKOMOE REENIE W SLU^AE PROIZWOLXNOJ FUNKCII  (t) MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE 2 u2 (x
t) = 2 ap

Zt

x

x2

a2 (t ;  )] t0

; 2 4a (t 3=2 e

;

)

 ( ) d


x 3]

zada~i na beskone~noj prqmoj

ILI u2 (x


t) = 2a2

Zt @G t0

1) @ (x
0
t ;  )  ( ) d :

249

(38)

oTMETIM, ^TO W PROCESSE POLU^ENIQ FORMULY (38) MY NE POLXZOWALISX NIKAKIMI SPECIALXNYMI SWOJSTWAMI URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, KROME EGO LINEJNOSTI. mY NIGDE NE POLXZOWALISX TAKVE ANALITI^ESKOJ FORMOJ FUNKCII U (x
t), DLQ NAS BYLO WAVNO TOLXKO TO, ^TO ONA UDOWLETWORQET GRANI^NYM I NA^ALXNYM USLOWIQM U (0
t) = 1 DLQ t > 0
U (x
0) = 0 DLQ x > 0 ILI ( t > 0
U (0
t) = 10 DLQ DLQ t < 0: o^EWIDNO, ^TO KOGDA MY IMEEM DELO S REENIEM KAKOGO-LIBO LINEJNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ PRI GRANI^NOM USLOWII u (0
t) =  (t) (t > 0)
NULEWYH NA^ALXNYH USLOWIQH I NULEWYH DOPOLNITELXNYH GRANI^NYH USLOWIQH, ESLI TAKIE IME@T MESTO (NAPRIMER, PRI x = l), TO REENIE \TOJ ZADA^I MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE u (x
t) =

Zt @U 0

@t (x
t ;  )  ( ) d


(39)

GDE U (x
t) | REENIE ANALOGI^NOJ KRAEWOJ ZADA^I PRI U (0
t) = 1: sFORMULIROWANNYJ ZDESX PRINCIP, NAZYWAEMYJ P R I N C I P O M d @ G A M E L Q, POKAZYWAET, ^TO OSNOWNU@ TRUDNOSTX PRI REENII KRAEWYH ZADA^ PREDSTAWLQET POSTOQNNOE GRANI^NOE ZNA^ENIE. eSLI KRAEWAQ ZADA^A S POSTOQNNYM GRANI^NYM ZNA^ENIEM REENA, TO REENIE KRAEWOJ ZADA^I S PEREMENNYM GRANI^NYM USLOWIEM WYRAVAETSQ FORMULOJ (39). |TIM PRINCIPOM ^ASTO POLXZU@TSQ PRI REENII MNOGIH KRAEWYH ZADA^, PRIWODQ REENIE TOLXKO DLQ POSTOQNNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ, NE OGOWARIWAQ, ^TO REENIE KRAEWOJ ZADA^I S PEREMENNYM  (t) DAETSQ FORMULOJ (39). 1) |TO PREDSTAWLENIE REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI DANO ZDESX DLQ UDOBSTWA SRAWNENIQ S REENIEM TOJ VE ZADA^I, POLU^ENNYM W GL. VI, x 4 DRUGIM METODOM.

urawneniq paraboli~eskogo tipa

250

gl. III

sUMMA FUNKCIJ

u1 (x
t) + u2 (x
t) DAET REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ POLUBESKONE^NOJ PRQMOJ DLQ ODNORODNOGO URAWNENIQ. pOLXZUQSX FORMULOJ (27) IZ x 3, P. 1 I PRINCIPOM NE^ETNOGO PRODOLVENIQ, NETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ ut = a2 uxx + f (x
t) (0 < x < 1
t > 0) PRI NULEWOM NA^ALXNOM I NULEWOM GRANI^NOM USLOWIQH (u (0
t) = 0) DAETSQ FORMULOJ u3 (x
t) = 1 Z = p 2 

sUMMA

t Z1

0 0

(

)

(x )2 (x+)2 pa2 (1t ;  ) e; 4a2 (t  ) ; e; 4a2 (t  ) f (
 ) d d: (40) ;

;

;

u1 (x
t) + u2 (x
t) + u3 (x
t) = u (x
t) DAET REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I ut = a2 uxx + f (x
t)
u (0
t) =  (t)
u (x
0) = ' (x):

x 4. zADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ

eSLI IZU^AETSQ PROCESS TEPLOPROWODNOSTI W MOMENT, DOSTATO^NO UDALENNYJ OT NA^ALXNOGO, TO WLIQNIE NA^ALXNYH USLOWIJ PRAKTI^ESKI NE SKAZYWAETSQ NA RASPREDELENII TEMPERATURY W MOMENT NABL@DENIQ. w \TOM SLU^AE STAWITSQ ZADA^A OB OTYSKANII REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, UDOWLETWORQ@]EGO GRANI^NYM USLOWIQM ODNOGO IZ TREH TIPOW, ZADANNYM DLQ WSEH t > ;1. eSLI STERVENX OGRANI^EN, TO ZADA@TSQ GRANI^NYE USLOWIQ NA OBOIH KONCAH STERVNQ. dLQ POLUBESKONE^NOGO STERVNQ ZADAETSQ LIX ODNO GRANI^NOE USLOWIE. rASSMOTRIM PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ POLUBESKONE^NOGO STERVNQ. nAJTI OGRANI^ENNOE REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OBLASTI x > 0
UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ u (0
t) =  (t)
(1) GDE  (t) | ZADANNAQ FUNKCIQ: pREDPOLAGAETSQ, ^TO FUNKCII u (x
t) I  (t) OGRANI^ENY WS@DU
T: E: ju (x
t)j < M
j (t)j < M:

x 4]

zada~i bez na~alxnyh uslowij

251

kAK BUDET POKAZANO NIVE (SM. TEKST, NABRANNYJ MELKIM RIFTOM), FUNKCIQ u (x
t) OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. wOZXMEM NAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@]IJSQ SLU^AJ GRANI^NOGO USLOWIQ  (t) = A cos !t: (2) |TA ZADA^A IZU^ALASX E]E fURXE I WPERWYE BYLA PRIMENENA PRI OPREDELENII TEMPERATURNYH KOLEBANIJ PO^WY (SM. pRILOVENIE I). zAPIEM GRANI^NOE USLOWIE W WIDE  (t) = A ei!t : (20 ) iZ LINEJNOSTI URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI SLEDUET, ^TO DEJSTWITELXNAQ I MNIMAQ ^ASTI NEKOTOROGO KOMPLEKSNOGO REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, KAVDAQ W OTDELXNOSTI, UDOWLETWORQ@T TOMU VE URAWNENI@. eSLI NAJDENO REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ (20 ), TO EGO DEJSTWITELXNAQ ^ASTX UDOWLETWORQET USLOWI@ (2), A MNIMAQ | USLOWI@ u (0
t) = 1 (t) = A sin !t: iTAK, RASSMOTRIM ZADA^U ut = a2 uxx
(3) u (0
t) = A ei!t : eE REENIE BUDEM ISKATX W WIDE u (x
t) = A ex+t
(4) GDE I  | NE OPREDELENNYE POKA POSTOQNNYE. pODSTAWLQQ WYRAVENIE (4) W URAWNENIE (3) I GRANI^NOE USLOWIE, NAHODIM

OTKUDA

2 = a12 
 = i!


r

r

r

r

r



p =  a2 =  a!2 i =  a!2 (1p+ i) =  2!a2 + i 2!a2 : 2 dLQ u (x
t) IMEEM  r!  r!  u (x
t) = A exp  2a2 x + i  2a2 x + !t : (5) dEJSTWITELXNAQ ^ASTX \TOGO REENIQ  r!   r!  u (x
t) = A exp  2a2 x cos  2a2 x + !t (6)

252

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI I GRANI^NOMU USLOWI@

(2). fORMULA (6) W ZAWISIMOSTI OT WYBORA ZNAKA OPREDELQET NE ODNU, A DWE FUNKCII. oDNAKO TOLXKO FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ ZNAKU MINUS, UDOWLETWORQET TREBOWANI@ OGRANI^ENNOSTI. tAKIM OBRAZOM,

REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I POLU^AEM W WIDE  r!   r!  u (x
t) = A exp ; 2a2 x cos ; 2a2 x + !t : (7) aNALOGI^NO REAETSQ ZADA^A BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ DLQ OGRANI^ENNOGO OTREZKA 9 ut = a2 uxx
> = (8) u (0
t) = A cos !t
>  u (l
t) = 0: pEREPISYWAQ GRANI^NYE USLOWIQ W WIDE u^ (0
t) = A e;i!t
u^ (l
t) = 0
BUDEM ISKATX REENIE W FORME u^ (x
t) = X (x) e;i!t : (9) pODSTAWIW \TO WYRAVENIE W URAWNENIE (8), POLU^IM DLQ FUNKCII X (x) URAWNENIE X 00 + i! = 0
ILI X 00 +  2 X = 0
a2 X r (10) r! i!  = a2 = 2a2 (1 + i)
I DOPOLNITELXNYE USLOWIQ X (0) = A
X (l) = 0: (11) oTS@DA DLQ FUNKCII X (x) BUDEM IMETX  (l ; x) = X (x) + i X (x)
X (x) = A sin sin (12) 1 2 l GDE X1 I X2 | WE]ESTWENNAQ I MNIMAQ ^ASTI FUNKCII X (x). dLQ FUNKCII u^ (x
t) POLU^AEM WYRAVENIE  (l ; x) e;i!t : u^ (x
t) = A sin sin (13) l wYDELQQ WE]ESTWENNU@ ^ASTX FUNKCII u^ (x
t), NAHODIM REENIE ISHODNOJ ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ W WIDE u (x
t) = X1 (x) cos !t + X2 (x) sin !t: (14)

x 4]

zada~i bez na~alxnyh uslowij

253

mY NE DAEM ZDESX QWNOGO WYRAVENIQ DLQ X1 I X2 , HOTQ \TO I NETRUDNO SDELATX. eSLI GRANI^NAQ FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ KOMBINACI@ GARMONIK RAZNYH ^ASTOT, TO REENIE TAKOJ ZADA^I MOVET BYTX POLU^ENO KAK SUPERPOZICIQ REENIJ, SOOTWETSTWU@]IH OTDELXNYM GARMONIKAM. dOKAVEM EDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ DLQ POLUOGRANI^ENNOJ PRQMOJ. bUDEM ISHODITX IZ FORMULY

Zt

2

u (x t) = 2 ap + 2p1 

Z

t0

x

a2 (t ;  )]

;

3=2 e

(

1

x2 4a2 (t; )

u (0  ) d +

)

(x ) (x+) pa2 (1t ; t ) e; 4a2 (t t0) ; e; 4a2 (t t0) u ( t0) d = 0 0 = I1 + I2 (15) ;

2

2

;

;

(t > t0 )

KOTORAQ PREDSTAWLQET L@BOE OGRANI^ENNOE REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ^EREZ EGO NA^ALXNOE ZNA^ENIE u (x t0 ) I GRANI^NOE u (0 t) =  (t) W OBLASTI x > 0, t > t0 . pOKAVEM, ^TO lim I (x t) = 0 (16) t0 !; 1 2 ESLI TOLXKO ju (x t)j < M PRI L@BOM t. dEJSTWITELXNO,

8 > > < Z1 M jI2 j < p > > :; 2 pa2x(t

Z

1

e;1 d 1 ; 2

t0 )

;

2

pa2x(t

t0 )

;

9 > > = 2 ;2 e d 2 > = >  = pM 2

GDE

2

pa2x(t

Z 0

;

t0 )

e; d  2

p ;x I 2 = p 2+ x : 2 a2 (t ; t0 ) 2 a (t ; t0 ) oTS@DA I SLEDUET RAWENSTWO (16), TAK KAK x I t FIKSIROWANY, A t0 ! ; 1. eSLI W FORMULE (15) FIKSIROWATX x I t I USTREMITX t0 ! ; 1, TO u (x t) 1 =

254

urawneniq paraboli~eskogo tipa

gl. III

BUDET RAWNO PREDELU TOLXKO PERWOGO SLAGAEMOGO I MY POLU^IM FORMULU 2 u (x t) = 2 ap

Zt

;1

x

;

e a2 (t ;  )]3=2

x2 4a2 (t; )

 ( ) d

(17)

DOKAZYWA@]U@, ^TO DWUH RAZLI^NYH REENIJ NAEJ ZADA^I BYTX NE MOVET. mOVNO TAKVE DOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ KUSO^NO-NEPRERYWNOJ FUNKCII  (t) FORMULA (17) PREDSTAWLQET REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I. aNALOGI^NO MOVET BYTX ISSLEDOWANA ZADA^A BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ DLQ OGRANI^ENNOGO OTREZKA (0 6 x 6 l). |TA ZADA^A BEZ USLOWIQ OGRANI^ENNOSTI IMEET MNOGOZNA^NOE REENIE, TAK KAK FUNKCIQ ; n &2 2 un (x t) = C e; l a t sin n l x PRI L@BOM n PREDSTAWLQET REENIE \TOJ ZADA^I S NULEWYMI GRANI^NYMI ZNA^ENIQMI. oDNAKO REENIQ TAKOGO TIPA PRI t ! ; 1 NE OGRANI^ENY I NE SOSTAWLQET TRUDA DOKAZATX EDINSTWENNOSTX OGRANI^ENNOGO REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I. zada~i k glawe III 1. nAJTI FUNKCI@ WLIQNIQ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA TEPLA DLQ: A) POLUOGRANI^ENNOGO STERVNQ PRI GRANI^NYH USLOWIQH 1-GO I 2-GO RODA I PRI OTSUTSTWII TEPLOOBMENA NA BOKOWOJ POWERHNOSTI B) NEOGRANI^ENNOGO STERVNQ PRI NALI^II TEPLOOBMENA NA BOKOWOJ POWERHNOSTI W) POLUOGRANI^ENNOGO STERVNQ PRI NALI^II TEPLOOBMENA NA BOKOWOJ POWERHNOSTI I PRI GRANI^NYH USLOWIQH PERWYH DWUH TIPOW. 2. nAJTI FUNKCI@ WLIQNIQ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA TEPLA DLQ POLUOGRANI^ENNOGO STERVNQ S TEPLOIZOLIROWANNOJ BOKOWOJ POWERHNOSTX@ DLQ TRETXEJ KRAEWOJ ZADA^I (GRANI^NOE USLOWIE WIDA @u @x (0 t) ; h u (0 t) = = f (t)). 3. rEITX URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI DLQ SLU^AEW, OPISANNYH W ZADA^AH 1A | 1W, ESLI: 1) W TO^KE x = 0 DEJSTWUET ISTO^NIK TEPLA Q = Q (t), W ^ASTNOSTI Q = Q0 = const 2) ZADANO NA^ALXNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY u (x 0) = ' (x), W ^ASTNOSTI u PRI 0 < x < l, ' (x) = 00 WNE INTERWALA (0 l) 3) TEPLOWYE ISTO^NIKI RASPREDELENY S PLOTNOSTX@ f (x t) PO WSEMU STERVN@, A NA^ALXNAQ TEMPERATURA RAWNA NUL@ RASSMOTRETX, W ^ASTNOSTI, SLU^AJ f = q0 = const (STACIONARNYE ISTO^NIKI). 4. pOLUOGRANI^ENNYJ STERVENX S TEPLOIZOLIROWANNOJ BOKOWOJ POWERHNOSTX@ BYL RAWNOMERNO NAGRET DO TEMPERATURY u (x 0) = u0 = const (x > 0):

zada~i k glawe III

255

kONEC STERVNQ, NA^INAQ S MOMENTA t = 0, PODDERVIWAETSQ PRI TEMPERATURE, RAWNOJ NUL@: u (0 t) = 0 (t > 0): nAJTI TEMPERATURU STERVNQ u (x t) I, POLXZUQSX TABLICAMI INTEGRALA OIBOK  (z) = p2

Zz 0

e; d  2

POSTROITX GRAFIKI PO x NA INTERWALE 0 6 x 6 l FUNKCII u (x t) PRI t = = l2 =16a2 , t = l2 =2a2 , t = l2 =a2 . uKAZANIE. uDOBNO WWESTI BEZRAZMERNYE PEREMENNYE x0 = x=l  = a2 t=l2  v = u=u0 : 5. kONEC POLUOGRANI^ENNOGO CILINDRA W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI t = 0 OTKRYWA@T W ATMOSFERE, GDE KONCENTRACIQ NEKOTOROGO GAZA RAWNA u0 . nAJTI KONCENTRACI@ GAZA W CILINDRE u (x t) DLQ t > 0 I x > 0, ESLI NA^ALXNAQ KONCENTRACIQ u (x 0) = 0. pOLXZUQSX TABLICAMI INTEGRALA OIBOK, USTANOWITX, ^EREZ KAKOE WREMQ W SLOE, OTSTOQ]EM NA RASSTOQNIE l OT KONCA CILINDRA, KONCENTRACIQ GAZA DOSTIGNET 95% WNENEJ KONCENTRACII. nAJTI ZAKON DWIVENIQ FRONTA POSTOQNNOJ KONCENTRACII. 6. k KONCU POLUOGRANI^ENNOGO STERVNQ, NA^ALXNAQ TEMPERATURA KOTOROGO BYLA RAWNA NUL@, PODWODITSQ TEPLOWOJ POTOK k ux (0 t) = q (t). nAJTI TEMPERATURU u (x t) STERVNQ, ESLI: A) STERVENX TEPLOIZOLIROWAN S BOKOW B) NA BOKOWOJ POWERHNOSTI STERVNQ PROISHODIT TEPLOOBMEN (PO ZAKONU nX@TONA) SO SREDOJ NULEWOJ TEMPERATURY. rASSMOTRETX ^ASTNYJ SLU^AJ q = q0 = const. 7. kONEC POLUOGRANI^ENNOGO STERVNQ PODDERVIWAETSQ PRI POSTOQNNOJ TEMPERATURE u0 NA BOKOWOJ POWERHNOSTI STERVNQ PROISHODIT TEPLOOBMEN SO SREDOJ, POSTOQNNAQ TEMPERATURA KOTOROJ RAWNA u1 . nA^ALXNAQ TEMPERATURA STERVNQ RAWNA NUL@. nAJTI u (x t) | TEMPERATURU STERVNQ. 8. rEITX ZADA^I 6A, 6B, S^ITAQ, ^TO u (x 0) = u0 = const. 9. nAJTI USTANOWIWU@SQ TEMPERATURU WDOLX POLUOGRANI^ENNOGO STERVNQ S TEPLOIZOLIROWANNOJ BOKOWOJ POWERHNOSTX@, NA KONCE KOTOROGO A) ZADANA TEMPERATURA u (0 t) = A cos !t B) ZADAN TEPLOWOJ POTOK Q (t) = B sin !t W) PROISHODIT TEPLOOBMEN PO ZAKONU nX@TONA SO SREDOJ, TEMPERATURA KOTOROJ MENQETSQ PO ZAKONU v (t) = C sin !t. 10. pOLXZUQSX METODOM OTRAVENIQ, POSTROITX FUNKCI@ WLIQNIQ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA DLQ OGRANI^ENNOGO STERVNQ S TEPLOIZOLIROWANNOJ BOKOWOJ POWERHNOSTX@ PRI GRANI^NYH USLOWIQH 1-GO I 2-GO RODA. 11. nEOGRANI^ENNYJ STERVENX SOSTAWLEN IZ DWUH ODNORODNYH STERVNEJ, SOPRIKASA@]IHSQ W TO^KE x = 0 I OBLADA@]IH HARAKTERISTIKAMI a1 , k1 I a2 , k2 SOOTWETSTWENNO. nA^ALXNAQ TEMPERATURA T PRI x < 0 u (x 0) = ' (x) = T1 PRI x > 0: 2 nAJTI TEMPERATURU u (x t) STERVNQ DLQ SLU^AQ, KOGDA BOKOWAQ POWERHNOSTX TEPLOIZOLIROWANA.

256

priloveniq k glawe III

priloveniq k glawe III

I. tEMPERATURNYE WOLNY zADA^A O RASPROSTRANENII TEMPERATURNYH WOLN W PO^WE QWLQETSQ ODNIM IZ PERWYH PRIMEROW PRILOVENIQ MATEMATI^ESKOJ TEORII TEPLOPROWODNOSTI, RAZWITOJ fURXE, K IZU^ENI@ QWLENIJ PRIRODY. tEMPERATURA NA POWERHNOSTI ZEMLI NOSIT, KAK IZWESTNO, QRKO WYRAVENNU@ SUTO^NU@ I GODOWU@ PERIODI^NOSTX. oBRATIMSQ K ZADA^E O RASPROSTRANENII PERIODI^ESKIH TEMPERATURNYH KOLEBANIJ W PO^WE, KOTORU@ BUDEM RASSMATRIWATX KAK ODNORODNOE POLUPROSTRANSTWO 0 6 6 x 6 1. |TA ZADA^A QWLQETSQ HARAKTERNOJ ZADA^EJ BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ, TAK KAK PRI MNOGOKRATNOM POWTORENII TEMPERATURNOGO HODA NA POWERHNOSTI WLIQNIE NA^ALXNOJ TEMPERATURY BUDET MENXE WLIQNIQ DRUGIH FAKTOROW, KOTORYMI MY PRENEBREGAEM (NAPRIMER, NEODNORODNOSTX PO^WY). tAKIM OBRAZOM, PRIHODIM K SLEDU@]EJ ZADA^E 1) . nAJTI OGRANI^ENNOE REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI @u = a2 @ 2 u (0 6 x < 1
;1 < t)
(1) @t @x2 UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ u (0
t) = A cos !t: (2) |TA ZADA^A BYLA RASSMOTRENA W GL. III. eE REENIE IMEET WID (SM. GL. III, x 4, (7))   r !  r ! (3) u (x
t) = A exp ; 2a2 x cos 2a2 x ; !t : nA OSNOWANII POLU^ENNOGO REENIQ MOVNO DATX SLEDU@]U@ HARAKTERISTIKU PROCESSA RASPROSTRANENIQ TEMPERATURNOJ WOLNY W PO^WE. eSLI TEMPERATURA POWERHNOSTI DLITELXNOE WREMQ PERIODI^ESKI MENQETSQ, TO W PO^WE TAKVE USTANAWLIWA@TSQ KOLEBANIQ TEMPERATURY S TEM VE PERIODOM, PRI^EM WERNY SLEDU@]IE UTWERVDENIQ. 1. aMPLITUDA KOLEBANIJ \KSPONENCIALXNO UBYWAET S GLUBINOJ:  r!  A (x) = A exp ; 2a2 x
T. E. ESLI GLUBINY RASTUT W ARIFMETI^ESKOJ PROGRESSII, TO AMPLITUDY UBYWA@T W GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII (PERWYJ ZAKON fURXE). 2. tEMPERATURNYE KOLEBANIQ W PO^WE PROISHODQT SO SDWIGOM FAZY. wREMQ OTSTAWANIQ MAKSIMUMOW (MINIMUMOW) TEMPERATURY W PO^WE OT 1)

k A R S L O U h. s. tEORIQ TEPLOPROWODNOSTI. m. l., 1947. gL. III.

I. temperaturnye wolny

257

SOOTWETSTWU@]IH MOMENTOW NA POWERHNOSTI PROPORCIONALXNO GLUBINE:

r

1 x = 2!a 2

(WTOROJ ZAKON fURXE). 3. gLUBINA PRONIKNOWENIQ TEPLA W PO^WU ZAWISIT OT PERIODA KOLEBANIJ TEMPERATURY NA POWERHNOSTI. oTNOSITELXNOE IZMENENIE TEM-

PERATURNOJ AMPLITUDY RAWNO  r  A (x) = exp ; ! x : A 2a2 |TA FORMULA POKAZYWAET, ^TO ^EM MENXE PERIOD, TEM MENXE GLUBINA PRONIKNOWENIQ TEMPERATURY. dLQ TEMPERATURNYH KOLEBANIJ S PERIODAMI T1 I T2 GLUBINY x1 I x2 , NA KOTORYH PROISHODIT ODINAKOWOE OTNOSITELXNOE IZMENENIE TEMPERATURY, SWQZANY SOOTNOENIEM rT x2 = T2 x1 1 (TRETIJ ZAKON fURXE). tAK, NAPRIMER, SRAWNENIE SUTO^NYH I GODOWYH KOLEBANIJ, DLQ KOTORYH T2 = 365 T1, POKAZYWAET, ^TO p x2 = 365 x1 19
1 x1
T. E. ^TO GLUBINA PRONIKNOWENIQ GODOWYH KOLEBANIJ PRI ODINAKOWOJ AMPLITUDE NA POWERHNOSTI BYLA BY W 19
1 RAZA BOLXE GLUBINY PRONIKNOWENIQ SUTO^NYH KOLEBANIJ. w KA^ESTWE PRIMERA PRIWEDEM REZULXTATY NABL@DENIJ NAD GODOWYMI TEMPERATURNYMI KOLEBANIQMI NA STANCII gO W pRIAMURXE 1) : gLUBINA (M) aMPLITUDY ( C)

1 11,5

2 6,8

3 4,2

4 2,6

|TI DANNYE POKAZYWA@T, ^TO AMPLITUDA GODOWYH KOLEBANIJ NA GLUBINE 4 M UMENXAETSQ DO 13
3% SWOEGO ZNA^ENIQ NA POWERHNOSTI, RAWNOGO 19
5 . nA OSNOWANII \TIH DANNYH MOVNO OPREDELITX KO\FFICIENT TEMPERATUROPROWODNOSTI PO^WY. iSPOLXZUQ FORMULY r! 2 A ( x )
a2 = 2 !x ln A = ; 2a2 x
2 ln (A(x)=A) NAHODIM, ^TO KO\FFICIENT TEMPERATUROPROWODNOSTI PO^WY RAWEN a2 4  10;3 SM2 /S: 1) s U M G I N

m. i., k A ^ U R I N s. p., t O L S T I H I N n. i., t U M E L X w. f. oB]EE MERZLOTOWEDENIE. m. l., 1940. gL. V. 17 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

258

priloveniq k glawe III

wREMQ ZAPAZDYWANIQ MAKSIMALXNOJ TEMPERATURY NA GLUBINE 4 M DOSTIGAET 4 MESQCEW. sLEDUET, ODNAKO, IMETX W WIDU, ^TO IZLOVENNAQ ZDESX TEORIQ OTNOSITSQ K RASPROSTRANENI@ TEPLA W SUHOJ PO^WE ILI GORNYH PORODAH. nALI^IE WLAGI USLOVNQET TEMPERATURNYE QWLENIQ W PO^WE, I PRI ZAMERZANII PROISHODIT WYDELENIE SKRYTOJ TEPLOTY, NE U^ITYWAEMOE \TOJ TEORIEJ. tEMPERATUROPROWODNOSTX QWLQETSQ ODNOJ IZ HARAKTERISTIK TELA, WAVNYH DLQ IZU^ENIQ EGO FIZI^ESKIH SWOJSTW, A TAKVE DLQ RAZLI^NYH TEHNI^ESKIH RAS^ETOW. nA IZU^ENII RASPROSTRANENIQ TEMPERATURNYH WOLN W STERVNQH OSNOWAN ODIN IZ LABORATORNYH METODOW OPREDELENIQ TEMPERATUROPROWODNOSTI 1) . pUSTX NA KONCE DOSTATO^NO DLINNOGO STERVNQ PODDERVIWAETSQ PERIODI^ESKAQ TEMPERATURA  (t). pREDSTAWIW \TU FUNKCI@ W WIDE RQDA fURXE  1  X a 2 n 2 n 0  (t) = 2 + an cos T t + bn sin T t = n=1   1 X = a20 + An cos 2Tn (t ; n0 )
n=1

p

n0 = 2Tn arctg abn
n GDE T | PERIOD, I RASSMOTREW TEMPERATURNYE WOLNY, SOOTWETSTWU@]IE KAVDOMU SLAGAEMOMU, POLU^IM, ^TO TEMPERATURA u (x
t) DLQ L@BOGO x BUDET PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ WREMENI I EE n-Q GARMONIKA RAWNA un (x
t) = an (x) cos 2Tn t + bn (x) sin 2Tn t =  r n  r n  2n t + 2n 0 = An exp ; Ta x cos x ; 2 Ta2 T T n An = a2n + b2n


ILI

p2   r n 2n (x1 ) a ( x ) + b 1 n p2 = exp ; Ta2 (x1 ; x2 ) : 2

an (x2 ) + bn (x2 ) |TA FORMULA POKAZYWAET, ^TO ESLI PROIZWESTI IZMERENIE TEMPERATURY W KAKIH-NIBUDX DWUH TO^KAH x1 I x2 ZA POLNYJ PERIOD, TO, NAHODQ KO\FFICIENTY an (x1 ), bn (x1 ), an (x2 ), bn (x2 ) PRI POMO]I 1)

sPECIALXNYJ FIZI^ESKIJ PRAKTIKUM. m. l., 1945. t. I, ZADA^A 35.

II. wliqnie radioaktiwnogo raspada

259

GARMONI^ESKOGO ANALIZA, MOVNO OPREDELITX KO\FFICIENT TEMPERATUROPROWODNOSTI STERVNQ a2 . pERIODI^ESKIE KOLEBANIQ TEMPERATURY W STERVNE MOVNO WYZWATX, NAPRIMER, SLEDU@]IM OBRAZOM. pOMESTIM ODIN IZ KONCOW STERVNQ W \LEKTRI^ESKU@ PE^X I BUDEM ^EREZ ODINAKOWYE PROMEVUTKI WREMENI WKL@^ATX I WYKL@^ATX TOK. w REZULXTATE TAKOGO PERIODI^ESKOGO NAGREWANIQ W STERVNE ^EREZ NEKOTOROE WREMQ USTANOWQTSQ PERIODI^ESKIE KOLEBANIQ TEMPERATURY. iZMERQQ S POMO]X@ TERMOPAR TEMPERATURY u (x1
t) I u (x2
t) W KAKIH-LIBO DWUH TO^KAH x1 I x2 ZA POLNYJ PERIOD IZMENENIQ GRANI^NOGO REVIMA2 I PODWERGAQ u1 I u2 OPISANNOJ WYE OBRABOTKE, MOVNO OPREDELITX a | KO\FFICIENT TEMPERATUROPROWODNOSTI MATERIALA, IZ KOTOROGO SDELAN STERVENX. eSTESTWENNO, ^TO DLQ PRIMENIMOSTI IZLOVENNOJ WYE TEORII STERVENX DOLVEN BYTX TEPLOIZOLIROWAN S BOKOW, A TAKVE NEOBHODIM KONTROLX TEMPERATURY NA DRUGOM KONCE STERVNQ, ^TOBY IMETX WOZMOVNOSTX POLXZOWATXSQ TEORIEJ TEMPERATURNYH WOLN W POLUBESKONE^NOM STERVNE. dLQ WOZMOVNOSTI ISPOLXZOWANIQ TEORII TEMPERATURNYH WOLN W POLUBESKONE^NOM STERVNE NADO UBEDITXSQ W TOM, ^TO TEMPERATURA NA SWOBODNOM KONCE STERVNQ POSTOQNNA. |TO KONTROLIRUETSQ S POMO]X@ DOPOLNITELXNOJ TERMOPARY.

II. wLIQNIE RADIOAKTIWNOGO RASPADA

NA TEMPERATURU ZEMNOJ KORY

dLQ SUVDENIQ O WNUTRENNEM TEMPERATURNOM SOSTOQNII zEMLI MY IMEEM NEMNOGIE DANNYE, POLU^AEMYE IZ NABL@DENIJ NA EE POWERHNOSTI. oSNOWNYE SWEDENIQ O TERMI^ESKOM POLE ZEMNOJ KORY ZAKL@^A@TSQ W SLEDU@]EM. sUTO^NYE I GODOWYE KOLEBANIQ TEMPERATURY PROISHODQT W SRAWNITELXNO TONKOM POWERHNOSTNOM SLOE (PORQDKA 10{20 M DLQ GODOWYH KOLEBANIJ). nIVE \TOGO SLOQ TEMPERATURA S TE^ENIEM WREMENI MENQETSQ O^ENX MEDLENNO. nABL@DENIQ W AHTAH I SKWAVINAH, OTNOSQ]IESQ K WERHNIM 2{3 KM ZEMNOJ KORY,POKAZYWA@T, ^TO TEMPERATURA S GLUBINOJ POWYAETSQ W SREDNEM NA 3 C NA KAVDYE 100 M. pERWYE POPYTKI DATX TEORETI^ESKOE OB_QSNENIE NABL@DAEMOGO GEOTERMI^ESKOGO GRADIENTA, OTNOSQ]IESQ K KONCU PROLOGO STOLETIQ, WSTRETILI NEPREODOLIMYE TRUDNOSTI 1) . |TI POPYTKI ISHODILI IZ PREDSTAWLENIQ OB OHLAVDENII zEMLI, RASKALENNOJ W PROLOM. nA^ALXNAQ TEMPERATURA, HARAKTERIZU@]AQ \TOT PROCESS OSTYWANIQ, DOLVNA IMETX PORQDOK T0 = 1200 C (TEMPERATURA PLAWLENIQ GORNYH POROD), A POWERHNOSTNAQ TEMPERATURA IMEET PORQDOK 0 C I NE MOGLA ZNA^ITELXNO (BOLXE 100) OTKLONQTXSQ OT \TOJ WELI^INY ZA WESX PERIOD SU]ESTWOWANIQ VIZNI NA zEMLE. pROSTEJAQ KOLI^ESTWENNAQ TEORIQ 1)

17


k A R S L O U h. s. tEORIQ TEPLOPROWODNOSTI. m. l., 1947. gL. III.

260

priloveniq k glawe III

OSTYWANIQ zEMLI PRIWODIT K REENI@ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI @u = a2 @ 2 u @t @z 2 W POLUPROSTRANSTWE 0 < z < 1 PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH I GRANI^NYH USLOWIQH: u (z
0) = T0
u (0
t) = 0: rEENIE \TOJ ZADA^I BYLO RASSMOTRENO W x 3 NASTOQ]EJ GLAWY I DAETSQ FORMULOJ u (z
t) = T0 p2

2

z

Zpa2t 0

e;2 d :

gRADIENT \TOJ FUNKCII PRI z = 0 RAWEN   @u  = Tp0 e; 4za22 t  = Tp0 : z=0 p a2t @z z=0 p a2 t pODSTAWLQQ S@DA IZWESTNYE ZNA^ENIQ GEOTERMI^ESKOGO GRADIENTA @u=@z jz=0 2=  = 3  10;4 k/SM, T0 = 1200 C, A TAKVE ZNA^ENIE a2 = = 0
006 SM /S, SOOTWETSTWU@]EE SREDNEMU \KSPERIMENTALXNO OPREDELQEMOMU KO\FFICIENTU TEMPERATUROPROWODNOSTI GRANITOW I BAZALXTOW, POLU^IM DLQ PRODOLVITELXNOSTI PROCESSA OSTYWANIQ ZNA^ENIQ t 0
85  1015 S 27 000 000 LET. tAKOE PREDSTAWLENIE O WOZRASTE zEMLI NIKAK NE SOGLASOWYWALOSX S GEOLOGI^ESKIMI DANNYMI. pRIBLIVENNYJ HARAKTER RASSMATRIWAEMOJ TEORII (PRENEBREVENIE KRIWIZNOJ zEMLI, NEPOSTOQNSTWO KO\FFICIENTA TEMPERATUROPROWODNOSTI, PRIBLIVENNOSTX ZNA^ENIQ T0 ) NE MOVET, KONE^NO, IZMENITX PORQDKA NAJDENNOGO ZNA^ENIQ DLQ WOZRASTA zEMLI, KOTORYJ PO SOWREMENNYM DANNYM OCENIWAETSQ PRIBLIZITELXNO W 2  109 LET. fIZI^ESKAQ SHEMA TEMPERATURNOGO REVIMA zEMLI PODWERGLASX SU]ESTWENNOMU PERESMOTRU POSLE OTKRYTIQ QWLENIQ R A D I O A K T I W N OG O R A S P A D A. rADIOAKTIWNYE \LEMENTY, RASSEQNNYE W ZEMNOJ KORE, PRI RASPADE WYZYWA@T EE NAGREWANIE, TAK ^TO URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI DOLVNO IMETX WID  A @u = a2 @ 2 u + f f = c
@t @z 2 GDE A | OB_EMNAQ PLOTNOSTX TEPLOWYH ISTO^NIKOW. nA OSNOWANII MNOGO^ISLENNYH IZMERENIJ RADIOAKTIWNOSTI GORNYH POROD I IH TEPLOWYDELENIQ PRINQTO ZNA^ENIE A 1
3  10;12 KAL=(SM3  S): |TO ZNA^ENIE U^ITYWAET TEPLO, WYDELQEMOE URANOM, TORIEM I KALIEM WMESTE S IH PRODUKTAMI RASPADA.

II. wliqnie radioaktiwnogo raspada

261

pREDPOLOVIM, ^TO PLOTNOSTX RADIOAKTIWNYH ISTO^NIKOW WNUTRI ZEMNOGO ARA POSTOQNNA I RAWNA ZNA^ENI@ A, OPREDELENNOMU DLQ WERHNIH SLOEW ZEMNOJ KORY. w \TOM SLU^AE KOLI^ESTWO TEPLA, WYDELQ@]EGOSQ WO WSEM ZEMNOM ARE ZA EDINICU WREMENI, BUDET RAWNO Q = 43 R3 A:

sDELAEM WTOROE PREDPOLOVENIE O TOM, ^TO zEMLQ RADIOAKTIWNYM TEPLOM NE NAGREWAETSQ. w \TOM SLU^AE POTOK TEPLA ^EREZ EDINICU POWERHNOSTI  Q
@u q = k @z  > 4R 2 z=0 GDE k I @u=@z jz=0 SUTX KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI I GEOTERMI^ESKIJ GRADIENT U POWERHNOSTI zEMLI. oTS@DA DLQ @u=@z PRI z = 0 NAHODIM ZNA^ENIE  @u  > AR  ;2 @z z=0 3k = 6
8  10 k/SM
GDE R = 6
3  103 KM | RADIUS zEMLI I k = 0
004 | SREDNEE ZNA^ENIE KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI OSADO^NYH POROD. tAKIM OBRAZOM, GEOTERMI^ESKIJ GRADIENT, WY^ISLENNYJ W PREDPOLOVENII, ^TO RASPREDELENIE RADIOAKTIWNYH \LEMENTOW POSTOQNNO I ^TO zEMLQ NE NAGREWAETSQ BLAGODARQ RADIOAKTIWNOMU RASPADU, NA DWA PORQDKA PREWYAET NABL@DAEMOE ZNA^ENIE GEOTERMI^ESKOGO KO\FFICIENTA  = 3  10;4 k/SM: oTKAVEMSQ OT GIPOTEZY POSTOQNSTWA RASPREDELENIQ RADIOAKTIWNYH \LEMENTOW I PREDPOLOVIM, ^TO RADIOAKTIWNYE \LEMENTY RASPOLOVENY W SLOE MO]NOSTI H U POWERHNOSTI zEMLI. pRENEBREGAQ KRIWIZNOJ zEMLI, POLU^IM DLQ OPREDELENIQ STACIONARNOJ TEMPERATURY URAWNENIE 8 A > @ 2 u = <; k DLQ 0 6 z 6 H
@z 2 > : 0 DLQ z > H S USLOWIQMI

u (0) = 0




@u  @z z!1 = 0:

262

priloveniq k glawe III

o^EWIDNO, ^TO REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I RAWNO

8  > 2 A z > < Hz ; 2
0 6 z 6 H
u (z ) = > k 2 > : Ak H2
z > H


TAK KAK \TA FUNKCIQ NEPRERYWNA WMESTE S PERWOJ PROIZWODNOJ PRI z = H I UDOWLETWORQET USLOWIQM ZADA^I. oPREDELQQ ZNA^ENIE GRADIENTA \TOJ FUNKCII PRI z = 0, RAWNOE  @u  = AH
@z z=0 k I SOPOSTAWLQQ EGO S NABL@DAEMYM ZNA^ENIEM  = 3  10;4 k/SM, NAHODIM, ^TO  6 H = k A = 10 SM = 10 KM: oCENIM WLIQNIE SDELANNOGO PREDPOLOVENIQ O STACIONARNOSTI TEMPERATURY NA POLU^AEMOE ZNA^ENIE GEOTERMI^ESKOGO GRADIENTA. rASSMOTRIM DLQ \TOGO REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI @w = a2 @ 2 w + f
@t @z 2

8A > <
0 6 z 6 H
f = > c :0
z > H


S NULEWYMI NA^ALXNYMI I GRANI^NYMI USLOWIQMI w (z
0) = 0
w (0
t) = 0: rEENIE \TOJ ZADA^I PREDSTAWLQETSQ, KAK MY WIDELI W x 3, INTEGRALOM w (z
t) =

Z1Zt 0 0

G (z

t ;  ) f ( ) d d


GDE G | FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ POLUBESKONE^NOJ PRQMOJ, RAWNAQ

(

)

(z  )2 (z + )2 e; 4a2 (t  ) ; e; 4a2 (t  ) : G (z

t ;  ) = p 21 2 a (t ;  ) ;

;

;

II. wliqnie radioaktiwnogo raspada

263

wY^ISLIM ZNA^ENIE GRADIENTA PRI z = 0, PRINIMAQ WO WNIMANIE ZNA^ENIE FUNKCII f :



@w  = Ap @z z=0 c 2 

ZH Zt

2

pa2 (t ;  )]3 e; 4a2 (t  ) d d ;

0 0

=

H2

4a2Z(t  ) t Ap Z p 1 e; d d 2 (t ;  ) c  a 0 0 t  Z 2  A 1 ; H ;

=

= c p

0

pa2 1 ; e

4a2 

=

d
GDE  = t ; :

tAKIM OBRAZOM, 8 p 9 1  Z <  2 @w  = Ap 2 t ; H e; d =
@z z=0 c  : a a2 2  0 GDE d = ; a2 pd :  = pH 2
0 = pH 2
2 H a2  2 a 2 at wY^ISLIM INTEGRAL Z1 2 Z1 2 d e;2 1 Z1 2 ;02 e ;  ; e 2 = ;   ; 2 e d =  ; 2 e; d
0 0 0 0 0 OTKUDA

8 9 > > 1 p  > >   Z = 2 @w  = A < 2p a t 1 ; e; 4Ha22t + H p2 ; e d : > @z z=0 c a2 >   > > H :  p 2 a2 t

oTMETIM, ^TO



@w  lim t!1 @z 

z=0

= Ak H


(1)

TAK KAK PREDEL PERWOGO SLAGAEMOGO W FIGURNYH SKOBKAH RAWEN NUL@, A PREDEL WTOROGO SLAGAEMOGO RAWEN H . wY^ISLIM OTKLONENIE @w=@z OT EGO PREDELXNOGO ZNA^ENIQ DLQ t = 2  109 LET 6  1016 S: c a2 = k,

264

priloveniq k glawe III

zNA^ENIE 0 MALO: 6 = 2 119 = 0
025: 0 = pH 2 = p 10 ; 3 16 2 a t 2 6  10  6  10 rAZLAGAQ FUNKCII, WHODQ]IE W FORMULU (1), W RQDY, POLU^IM    A A H ; @w  = A H p;1 2 + : : :! + p2    k @z z=0 k  0 0  0 = k H  0
014
T. E. @w=@z jz=0 OTLI^AETSQ OT SWOEGO PREDELXNOGO ZNA^ENIQ NA 1
4%. nETRUDNO BYLO BY WY^ISLITX FUNKCI@ w (z
t) DLQ z > 0 I UBEDITXSQ, ^TO PRI z > H ONA DALEKO E]E NE DOSTIGAET SWOEGO PREDELXNOGO ZNA^ENIQ DLQ t, RAWNOGO WOZRASTU zEMLI 1) (HOTQ, KAK MY WIDIM, GRADIENT U POWERHNOSTI PRAKTI^ESKI RAWEN SWOEMU PREDELXNOMU ZNA^ENI@). pRIWEDENNYE WYE RASSUVDENIQ NOSQT, KONE^NO, LIX OCENO^NYJ HARAKTER. oDNAKO, PRINIMAQ WO WNIMANIE WESXMA BOLXU@ USTOJ^IWOSTX SKOROSTI RADIOAKTIWNOGO RASPADA, NE IZMENQ@]EJSQ POD WOZDEJSTWIEM DOSTUPNYH NAM TEMPERATUR I DAWLENIJ, MY DOLVNY PRIJTI K ZAKL@^ENI@ O TOM, ^TO KONCENTRACIQ RADIOAKTIWNYH \LEMENTOW DOLVNA BYSTRO UBYWATX S GLUBINOJ, ESLI OSNOWYWATXSQ NA ZNA^ENII A DLQ WERHNIH SLOEW ZEMNOJ KORY, USTANOWLENNOM MNOGO^ISLENNYMI IZMERENIQMI. fIZI^ESKOE OB_QSNENIE, POZWOLQ@]EE USTANOWITX ZAKON UBYWANIQ KONCENTRACII RADIOAKTIWNYH \LEMENTOW S GLUBINOJ, DO SIH POR OTSUTSTWUET.

III. mETOD PODOBIQ W TEORII TEPLOPROWODNOSTI

dLQ REENIQ RQDA ZADA^ TEPLOPROWODNOSTI WESXMA POLEZEN M E TO D P O D O B I Q. w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM DWE ZADA^I. 1. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ BESKONE^NOJ PRQMOJ. uRAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI, KAK NETRUDNO WIDETX, OSTAETSQ NEIZMENNYM PRI PREOBRAZOWANII PEREMENNYH x0 = kx
t0 = k2 t
(1) T. E. ESLI MASTABY 2DLINY MENQ@TSQ W k RAZ, TO MASTAB WREMENI SLEDUET IZMENITX W k RAZ. bUDEM ISKATX SNA^ALA REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx (2) S NA^ALXNYM USLOWIEM ( x > 0
u (x
0) = u00 PRI (3) PRI x < 0: 1) t I H O N O W a. n. o WLIQNII RADIOAKTIWNOGO RASPADA NA TEMPERATURU ZEMNOJ KORY // iZW. an sssr. oTD. MATEM. I ESTESTW. NAUK, SER. GEOGR. 1937.  3. C. 431|459.

III. metod podobiq w teorii teploprowodnosti

265

pRI UKAZANNOM WYE IZMENENII MASTABOW NA^ALXNOE USLOWIE (3) OSTAETSQ TAKVE BEZ IZMENENIQ, PO\TOMU DLQ FUNKCII u (x
t) DOLVNO IMETX MESTO RAWENSTWO u (x
t) = u (kx
k2 t) (4) PRI L@BYH ZNA^ENIQH x, t I k. pOLAGAQ 1
k= p (5) 2 t POLU^AEM  x   x 1 p
= u0 f p : (6) u (x
t) = u 2 t 4 2 t tAKIM OBRAZOM, u ZAWISIT TOLXKO OT ARGUMENTA z = xp : (7) 2 t wY^ISLQQ PROIZWODNYE DLQ u IZ FORMULY (6): @ 2 u = u d2 f 1
@x2 0 dz 2 4t @u = ; x  u0 d f = ; u z d f
0 2t dz @t 4t3=2 dz PODSTAWLQQ W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI (2) I SOKRA]AQ NA MNOVITELX u0=4t, POLU^AEM 2 df (8) a2 ddzf2 = ;2z dz PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH f (;1) = 0
f (1) = 1
(9) SOOTWETSTWU@]IH NA^ALXNOMU USLOWI@ DLQ FUNKCII u. iNTEGRIRUQ URAWNENIE (8), BUDEM IMETX 00 a2 ff 0 = ;2z
f 0 = C e;z2 =a2
f =C

Zz

;1

e

;2 =a2

d = C1

Zz=a

;1

e; 2 d:

zDESX NIVNIJ PREDEL WYBRAN TAK, ^TOBY WYPOLNQLOSX PERWOE USLOWIE (9). ~TOBY UDOWLETWORITX WTOROMU USLOWI@ (9), SLEDUET POLOVITX C1 = p1 :

priloveniq k glawe III

266

tAKIM OBRAZOM, u (x
t) = pu0

GDE

2

x

Zpa2t

e

;2

;1



d = u20 1 + 

 (z ) = p2



Zz 0

 x  p
2 a2 t

e;2 d

(INTEGRAL OIBOK). eSLI NA^ALXNOE ZNA^ENIE IMEET WID ( x > x
u (x
0) = u00 PRI PRI x < x


TO



(10)





(11)

u (x
t) = u20 1 +  xp; 2x : (12) 2 at oBRATIMSQ TEPERX K REENI@ WTOROJ WSPOMOGATELXNOJ ZADA^I, GDE NA^ALXNYE ZNA^ENIQ ZADA@TSQ W WIDE 8 > < 0 PRI x2 < x
u (x
0) = >u0 PRI x1 < x < x2
(13) : 0 PRI x < x1 : w \TOM SLU^AE   x ; x1   x ; x2  u 0 u (x
t) = 2  p 2 ;  p 2 : 2 at 2 at nA^ALXNAQ TEMPERATURA u0 SOOTWETSTWUET KOLI^ESTWU TEPLA Q = c (x2 ; x1 ) u0 : eSLI Q = c
TO   x ; x2   x ; x  1 1 u (x
t) = ; x ; x 2  p 2 ;  p 21 : (14) 2 1 2 at 2 at fUNKCIQ WLIQNIQ ISTO^NIKA, SOSREDOTO^ENNOGO W TO^KE, O^EWIDNO, PREDSTAWLQET PREDEL FUNKCII u (x
t) PRI x2 ; x1 ! 0. pREDELXNYJ PEREHOD W FORMULE (14) DAET  1  x ;   @ u (x
t) = ; @ 2  p 2
(15) 2 a t =x1

III. metod podobiq w teorii teploprowodnosti

267

TAK KAK W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (14) STOIT RAZNOSTNOE OTNOENIE, PREDELOM KOTOROGO QWLQETSQ PROIZWODNAQ W (15). pROIZWODQ DIFFERENCIROWANIE, NAHODIM

(x x1 )2 u (x
t) = 2 p1  p12 e; 4a2 t
(16) at T. E. u (x
t) = G (x
x1
t) | FUNKCIQ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA. 2. kRAEWYE ZADA^I DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. rASSMOTRIM KWAZILINEJNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI   @ k (u) @u = c @u (17) @x @x @t ;

S KO\FFICIENTOM TEPLOPROWODNOSTI, ZAWISQ]IM OT TEMPERATURY. nAJDEM REENIE \TOGO URAWNENIQ, UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NOMU I NA^ALXNOMU USLOWIQM u (0
t) = u1
u (x
0) = u2 : (18) w \TOM SLU^AE PREOBRAZOWANIE (1) TAKVE NE MENQET URAWNENIQ (17) I DOPOLNITELXNYH USLOWIJ (18). oTS@DA SLEDUET, ^TO  x   x  u (x
t) = f p = f (z ) z = p : (19) 2 t 2 t pOLXZUQSX \TIM WYRAVENIEM, POLU^AEM DLQ f URAWNENIE   d k (f ) d f = ;2cz d f (20) dz dz dz S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI f (0) = u1
f (1) = u2: (21) fUNKCIQ f , W TEH SLU^AQH KOGDA EE NE UDAETSQ NAJTI ANALITI^ESKI, MOVET BYTX NAJDENA PRI POMO]I ^ISLENNOGO INTEGRIROWANIQ. uRAWNENIE (20) PRI WESXMA OB]IH PREDPOLOVENIQH OTNOSITELXNO FUNKCIJ k I c IMEET EDINSTWENNOE REENIE, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM (21). oDNAKO NA DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA MY NE BUDEM OSTANAWLIWATXSQ. rASSMOTRIM W KA^ESTWE PRIMERA URAWNENIE (17), GDE k (u) = k0 + + k1 u | LINEJNAQ FUNKCIQ, A c | POSTOQNNAQ WELI^INA. iZMENQQ MASTAB WREMENI I KALU ZNA^ENIJ u, POLU^IM DLQ PREOBRAZOWANNOJ FUNKCII URAWNENIE @ (1 + u) @u  = @u @x @x @t S NA^ALXNYMI I GRANI^NYMI USLOWIQMI u (x
0) = 0
u (0
t) = 1:

268

priloveniq k glawe III

pOLAGAQ

u (x
t) = f (z )
z = xp
2 t POLU^AEM DLQ f KRAEWU@ ZADA^U   d (1 + f ) d f = ;2z d f
f (0) = 1
f (1) = 0: (22) dz dz dz nA RIS. 42 PRIWEDENY REZULXTATY ^ISLENNOGO REENIQ ZADA^I (22) DLQ RAZLI^NYH ZNA^ENIJ .

rIS. 42

rASSMOTRIM NEKOTORYE DRUGIE ^ASTNYE REENIQ URAWNENIQ (17). oDNIM IZ NIH QWLQETSQ REENIE TIPA BEGU]EJ WOLNY (SR. S GL. II, x 2). oNO IMEET WID u (x
t) = f (z )
z = x ; D t
(23) GDE D > 0 | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ (SKOROSTX DWIVENIQ WOLNY). w KAVDYJ FIKSIROWANNYJ MOMENT WREMENI PROSTRANSTWENNYJ PROFILX REENIQ (23), OPREDELQEMYJ WIDOM FUNKCII f (z ), OSTAETSQ NEIZMENNYM, PEREME]AQSX SO WREMENEM W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII OSI x SO SKOROSTX@ D (TEPLOWAQ WOLNA NEIZMENNOJ PROSTRANSTWENNOJ STRUKTURY BEVIT W UKAZANNOM NAPRAWLENII S POSTOQNNOJ SKOROSTX@, OTS@DA NAZWANIE BEGU]AQ WOLNA). eSLI POSTOQNNAQ D < 0, TO WOLNA BUDET DWIGATXSQ W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII.

III. metod podobiq w teorii teploprowodnosti

269

pODSTAWLQQ (23) W (17), POLU^AEM DLQ f (z ) OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE   d k (f ) d f = ;Dc d f : (24) dz dz dz iZ (23) SLEDUET, ^TO REENIE u (x
t) OPREDELENO PRI WSEH t > 0 I x > 0 I UDOWLETWORQET DOPOLNITELXNYM USLOWIQM ( u (0
t) = f (;D t)
t > 0
(25) u (x
0) = f (x)
x > 0: pERWOE USLOWIE (25) POKAZYWAET, ^TO GRANI^NOE USLOWIE PRI x = 0 OPREDELQETSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII f (z ) PRI OTRICATELXNYH z , A DLQ ZADANIQ NA^ALXNOJ FUNKCII PRI t = 0 NEOBHODIMO NAJTI f (z ) PRI WSEH z > 0. tAKIM OBRAZOM, DLQ TOGO ^TOBY OPREDELITX REENIE URAWNENIQ (17) W WIDE (23) W OBLASTI t > 0, x > 0, NEOBHODIMO NAJTI FUNKCI@ f (z ), UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ (24) NA WSEJ OSI ;1 < z < < + 1. uRAWNENIE (24) INTEGRIRUETSQ W KWADRATURAH. iSHODQ IZ FIZI^ESKIH SOOBRAVENIJ, BUDEM ISKATX NEPRERYWNOE REENIE \TOGO URAWNENIQ, OBLADA@]EE NEPRERYWNYM TEPLOWYM POTOKOM ;k(f (z ))   @f (z)=@z, ^TO OBESPE^IWAET NEPRERYWNOSTX PO x I t REALXNOGO TEPLOWOGO POTOKA (x
t) W (x
t) = ;k (u (x
t)) @u @x (26)

I QWLQETSQ O^ENX SU]ESTWENNYM (SM. OB \TOM NIVE). iNTEGRIRUQ ODIN RAZ URAWNENIE (24), NAHODIM k (f ) ddzf = ;Dc f + C0
(27) GDE C0 | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ. pREDPOLOVIM DLQ OPREDELENNOSTI, ^TO BEGU]AQ WOLNA NA^ALA SWOE DWIVENIE PO NEWOZMU]ENNOMU (NULEWOMU) FONU TEMPERATURY, T. E. f (z ) ! 0 PRI z ! + 1. tOGDA W SILU APRIORNOJ NEPRERYWNOSTI TEPLOWOGO POTOKA k(f (z ))  @f=@z ! 0 PRI z ! + 1, T. E. C0 = 0, URAWNENIE (27) PRINIMAET WID k (f ) d f = ;Dc (28) f dz I LEGKO INTEGRIRUETSQ. rASSMOTRIM, NAPRIMER, SLU^AJ, KOGDA KO\FFICIENT k (u) QWLQETSQ STEPENNOJ FUNKCIEJ TEMPERATURY: k (u) = k0 u , GDE k0 I  | FIKSIROWANNYE POLOVITELXNYE POSTOQNNYE. tAKAQ ZAWISIMOSTX OT TEMPERATURY HARAKTERNA, W ^ASTNOSTI, DLQ KO\FFICIENTA \LEKTRONNOJ TEPLOPROWODNOSTI W POLNOSTX@ IONIZOWANNOJ PLAZME, PRI \TOM

270

priloveniq k glawe III

 = 5=2. pODSTAWLQQ W URAWNENIE (28) k (f ) = k0 f  , POSLE INTEGRIROWANIQ POLU^AEM DLQ f (z ) SLEDU@]EE WYRAVENIE: 8 1= > Dc > < (;z ) PRI z 6 0
f (z ) = > k0 > : 0 PRI z > 0 (POSTOQNNU@ INTEGRIROWANIQ MY ZDESX TAKVE POLOVILI RAWNOJ NUL@). rEENIE (23) PRINIMAET WID

8   > > > : 0 PRI x > D t
 D2 c 1=

(29)

GDE WWEDENO OBOZNA^ENIE u0 = k . 0 rASSMOTRIM REENIE (29) PODROBNEE. oNO PREDSTAWLQET SOBOJ HARAKTERNYJ I NAGLQDNYJ PRIMER TAK NAZYWAEMOGO OBOB]ENNOGO REENIQ KWAZILINEJNOGO WYROVDA@]EGOSQ PARABOLI^ESKOGO URAWNENIQ. w ^EM EGO OSNOWNYE OSOBENNOSTI? wO-PERWYH, FUNKCIQ (29) QWLQETSQ FINITNOJ 1) PO x W L@BOJ KONE^NYJ MOMENT WREMENI. rEENIQ LINEJNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, KAK IZWESTNO, TAKIM SWOJSTWOM NE OBLADA@T. wO-WTORYH, REENIE (29), WOOB]E GOWORQ, NE IMEET WS@DU NEPRERYWNYH PROIZWODNYH, WHODQ]IH W URAWNENIE (17), ^TO TAKVE NEWERNO W SLU^AE LINEJNOGO URAWNENIQ. nAPRIMER, ESLI  = 1, TO PROIZWODNYE @u=@t I @u=@x IME@T NA PRQMOJ x = D t RAZRYWY 1-GO RODA ESLI VE  = 2, TO W TO^KAH FRONTA TEPLOWOJ WOLNY x = D t WSE PROIZWODNYE: @u=@t, @u=@x I @ 2 u=@x2 | PRETERPEWA@T RAZRYW 2-GO RODA. w TO VE WREMQ WNE MNOVESTWA x = D t REENIE (29) QWLQETSQ DOSTATO^NO GLADKIM. oTMETIM, ^TO, NESMOTRQ NA UKAZANNYE RAZRYWY PROIZWODNYH, TEPLOWOJ POTOK (26) QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ. dEJSTWITELXNO, IZ (29) POLU^AEM 8 +1  > u0 t1= 1 ; x 1= PRI 0 6 x 6 D t
> < k0D Dt (30) W (x
t) = > > : 0 PRI x > D t: oTS@DA W (D t ; 0
t) = 0 = W (D t + 0
t) PRI L@BYH t > 0. 1)

fUNKCIQ g (x) NAZYWAETSQ F I N I T N O J (PO x), ESLI SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A > 0, TAKAQ, ^TO g (x) = 0 PRI WSEH x > A.

III. metod podobiq w teorii teploprowodnosti

271

pERE^ISLENNYE OSOBENNOSTI REENIQ (29) W PERWU@ O^EREDX SWQZANY S TEM, ^TO KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI k (u) = k0 u OBRA]AETSQ W NULX PRI u = 0. pARABOLI^ESKIE URAWNENIQ (17) S KO\FFICIENTAMI k (u), UDOWLETWORQ@]IMI USLOWI@ k (0) = 0, NAZYWA@TSQ W Y R O V D A @ ] I M I S Q. oTLI^ITELXNOJ OSOBENNOSTX@ WYROVDA@]IHSQ URAWNENIJ (17) QWLQETSQ TO, ^TO ONI MOGUT OPISYWATX PROCESSY S KONE^NOJ SKOROSTX@ RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ. dRUGIMI SLOWAMI, IH REENIQ MOGUT BYTX FINITNYMI FUNKCIQMI. dOSTATO^NOE USLOWIE FINITNOSTI PO x REENIQ TIPA BEGU]EJ WOLNY BEZ TRUDA WYWODITSQ IZ URAWNENIQ (28). oNO IMEET WID Z1 k () (31)  d < + 1: 0 dEJSTWITELXNO, PRI WYPOLNENII USLOWIQ (31) URAWNENIE (28) MOVNO PEREPISATX W WIDE OTKUDA POLU^AEM

d dz fZ(z)

fZ(z) 0

k () d = ;Dc


k () d = ;Dc (z ; z )
(32) 0  0 GDE z0 | POSTOQNNAQ INTEGRIROWANIQ. iZ (32) NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TO REENIE f (z ) OBRA]AETSQ W NULX W TO^KE z = z0 , T. E. FUNKCIQ (23) FINITNA. oTMETIM, ^TO PRI WYPOLNENII USLOWIQ (31) FINITNYM PO x QWLQETSQ RASSMOTRENNOE WYE REENIE (19). nERAWENSTWO (31) QWLQETSQ NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KONE^NOSTI SKOROSTI RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ W PROCESSAH, OPISYWAEMYH URAWNENIEM (17). iTAK, IZ USLOWIQ (31) SLEDUET SU]ESTWOWANIE KONE^NOGO FRONTA TEPLOWOJ WOLNY, GDE MOVET TERQTXSQ NEOBHODIMAQ GLADKOSTX REENIQ. |TO, W SWO@ O^EREDX, TREBUET OPREDELENIQ REENIQ W NEKOTOROM OBOB]ENNOM SMYSLE. oBOB]ENNOE REENIE WYROVDA@]EGOSQ URAWNENIQ (17) UDOWLETWORQET NE SAMOMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@, A NEKOTORYM POSTROENNYM NA EGO OSNOWE INTEGRALXNYM2 SOOTNOENIQM , KOTORYE NE SODERVAT PROIZWODNYH @u=@t, @u=@x, @ u=@x2 (PRETERPEWA@]IH, BYTX MOVET, RAZRYWY). sU]ESTWENNO, ODNAKO, TO, ^TO \TI SOOTNOENIQ SPECIALXNYM OBRAZOM U^ITYWA@T NEPRERYWNOSTX TEPLOWOGO POTOKA (26). pEREJDEM TEPERX K ISSLEDOWANI@ DRUGIH ^ASTNYH REENIJ URAWNENIQ (17). pREDWARITELXNO ZAMETIM, ^TO RASSMOTRENNYE WYE REENIQ (19) I (23) WYBRANY W PERWU@ O^EREDX NE SLU^AJNO. oKAZYWAETSQ,

272

priloveniq k glawe III

\TO EDINSTWENNYE TIPY NETRIWIALXNYH AWTOMODELXNYH REENIJ, KOTORYE DOPUSKAET URAWNENIE (17) PRI PROIZWOLXNYH KO\FFICIENTAH k (u). zDESX A W T O M O D E L X N Y M I MY NAZYWAEM TAKIE REENIQ NELINEJNOGO URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH, KONKRETNYJ WID KOTORYH OPREDELQETSQ PUTEM INTEGRIROWANIQ NEKOTORYH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (INOGDA POD AWTOMODELXNYMI PODRAZUMEWA@T BOLEE UZKIJ KLASS TAKIH REENIJ). nALI^IE U RASSMATRIWAEMOJ KRAEWOJ ZADA^I AWTOMODELXNOGO REENIQ SU]ESTWENNO UPRO]AET EE ISSLEDOWANIE. nOWYE TIPY AWTOMODELXNYH REENIJ POQWLQ@TSQ TOLXKO U URAWNENIJ (17) SPECIALXNOGO WIDA. rASSMOTRIM URAWNENIE SO STEPENNOJ NELINEJNOSTX@ (ZDESX I DALEE DLQ PROSTOTY POLAGAEM c = 1)   @ k u @u = @u : (33) @x 0 @x @t pUSTX TEMPERATURA NA GRANICE x = 0 STEPENNYM OBRAZOM ZAWISIT OT WREMENI: u (0
t) = u0 tm
t > 0 m = const > 0: (34) pUSTX, KROME TOGO, u (x
0) = 0
x > 0: (35) kRAEWAQ ZADA^A (33) | (35) DOPUSKAET AWTOMODELXNOE REENIE SLEDU@]EGO WIDA: u (x
t) = u0 tm f (z )
z = 1=2 =2x (1+m)=2
(36) k0 u0 t GDE FUNKCIQ f (z ) OPREDELQETSQ IZ OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ, POLU^A@]EGOSQ POSLE PODSTANOWKI WYRAVENIQ (36) W URAWNENIE (33): d f  d f  + 1 + m z d f ; m f = 0
z > 0: (37) dz dz 2 dz w SILU (34) I (35) FUNKCIQ f (z ) DOLVNA TAKVE UDOWLETWORQTX TAKIM KRAEWYM USLOWIQM: f (0) = 1
f (+ 1) = 0: (38) pOSKOLXKU URAWNENIE (33) QWLQETSQ WYROVDA@]IMSQ I DOPUSKAET KONE^NU@ SKOROSTX RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ, NEOBHODIMO DOPOLNITELXNO POTREBOWATX, ^TOBY TEPLOWOJ POTOK ;f   @f=@z BYL NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ. pRI m 6= 1= ZADA^U (37) | (38) MOVNO REITX LIX ^ISLENNO (W SLU^AE m = 1= REENIE (36) W TO^NOSTI SOWPADAET S BEGU]EJ WOLNOJ (29)). s POMO]X@ ZAMENY  = ln z
' ( ) = z ;2= f (z ) (39)

III. metod podobiq w teorii teploprowodnosti

273

URAWNENIE (37) SWODITSQ K AWTONOMNOMU WIDU (PROWEDITE \TI WYKLADKI) I DOPUSKAET PONIVENIE PORQDKA. tEM SAMYM W NOWYH PEREMENNYH STANOWITSQ WOZMOVNYM EGO ANALIZ NA FAZOWOJ PLOSKOSTI. |TO POZWOLQET DOKAZATX SU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I (37) | (38), A TAKVE OPREDELITX EGO OSNOWNYE SWOJSTWA. nAPRIMER, PRI L@BYH ZNA^ENIQH PARAMETRA m > 0 FUNKCIQ f (z ) QWLQETSQ FINITNOJ: SU]ESTWUET TAKOE z0 = z0 (m
) > 0, ^TO f (z )   0 DLQ WSEH z > z0 I f (z) > 0 PRI 0 6 z 6 z0. pO\TOMU REENIE (36) TAKVE FINITNO PO x I PREDSTAWLQET SOBOJ TEPLOWU@ WOLNU, DWIVU]U@SQ PO NEWOZMU]ENNOMU FONU TEMPERATURY (POSLEDNEE, W ^ASTNOSTI, SWIDETELXSTWUET O TOM, ^TO REENIE u (x
t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (33) W OBOB]ENNOM SMYSLE). iZ WYRAVENIQ (36) DLQ PEREMENNOJ z SLEDUET, ^TO POLOVENIE TO^KI FRONTA WOLNY xF (t), HARAKTERIZU@]EESQ RAWENSTWOM z = z0, OPREDELQETSQ W KAVDYJ MOMENT WREMENI PO FORMULE 2 (1+m)=2 : xF (t) = z0 k01=2 u= (40) 0 t tAKIM OBRAZOM, W OTLI^IE OT RASSMOTRENNYH WYE REENIJ (19) I (23) TEPLOWAQ WOLNA (36) USKORQET SO WREMENEM SWOE DWIVENIE I W PREDELE PRI t ! + 1 NAGREWAET DO BESKONE^NO BOLXIH TEMPERATUR WSE PROSTRANSTWO x > 0. pRI NEZNA^ITELXNYH NARUENIQH KRAEWYH USLOWIJ (34) I (35) OSNOWNYE ZAKONOMERNOSTI PROCESSA NAGREWA, KOTORYE DAET PROSTRANSTWENNO-WREMENNAQ STRUKTURA AWTOMODELXNOGO REENIQ (36), SOHRANQ@TSQ. nAPRIMER, WMESTO (35) MOVNO WZQTX PROIZWOLXNU@ OGRANI^ENNU@ FINITNU@ NA^ALXNU@ FUNKCI@ u (x
0) = u0 (x) > 0
x > 0
I TEM NE MENEE PRI DOSTATO^NO BOLXIH t S WYSOKOJ STEPENX@ TO^NOSTI BUDET WYPOLNQTXSQ RAWENSTWO (40). iNYMI SLOWAMI, AWTOMODELXNOE REENIE (36) QWLQETSQ ASIMPTOTI^ESKI USTOJ^IWYM PRI t ! + 1 OTNOSITELXNO MALYH WOZMU]ENIJ KRAEWYH DANNYH (BOLEE TOGO, USTANOWLENO, ^TO ONO ASIMPTOTI^ESKI USTOJ^IWO PO OTNOENI@ K MALYM OTKLONENIQM KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI k (u) OT STEPENNOJ ZAWISIMOSTI k = k0 u ). i HOTQ W REALXNYH ZADA^AH FIZIKI I TEHNIKI BESKONE^NYH TEMPERATUR DOSTIGNUTX NELXZQ, WSE \TO POZWOLQET GOWORITX OB AWTOMODELXNOM REENII (36) KAK O PROMEVUTO^NOJ ASIMPTOTIKE RASSMATRIWAEMOGO PROCESSA NAGREWA, KOTORAQ WSEGDA REALIZUETSQ PRI NE SLIKOM MALYH I NE O^ENX BOLXIH WREMENAH. uRAWNENIE SO STEPENNOJ NELINEJNOSTX@ IMEET TAKVE AWTOMODELXNOE REENIE DRUGOGO WIDA: u (x
t) = u0 eCt f (z )
z = 1=2 =2 x;1= C t
(41) k0 u0 C 2 e 2 GDE C | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ. mY RASSMOTRIM NIVE SLU^AJ C > > 0. fUNKCIQ f (z ) OPREDELQETSQ IZ KRAEWOJ ZADA^I DLQ OBYKNOWENNOGO 18 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

274

priloveniq k glawe III

DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ   d f  d f +  z d f ; f = 0
z > 0
dz dz 2 dz (42) f (0) = 1
f (+ 1) = 0: kRAEWYE USLOWIQ, POROVDA@]IE DANNOE AWTOMODELXNOE REENIE, OPREDELQ@TSQ WIDOM FUNKCII f (z ). iZ (41) NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TO ONI TAKOWY: u (0
t) = u0 eC t
t > 0


! (43) x u (x
0) = u0 f 1=2 =2 ;1=
x > 0: k0 u0 C 2 rEENIE ZADA^I (42) SU]ESTWUET I EDINSTWENNO, FUNKCIQ f (z ) FINITNA (SLEDOWATELXNO, REENIE (41) QWLQETSQ OBOB]ENNYM). tO^KA FRONTA TEPLOWOJ WOLNY DWIVETSQ SO WREMENEM PO ZAKONU 1  xF (t) = z0 k0=2 u0=2 C ;1=2 e C2 t (ZDESX z0 = z0 () > 0 | DLINA NOSITELQ FUNKCII f (z )). pRI t ! + 1 WOLNA POLNOSTX@ ZAPOLNQET PROSTRANSTWO x > 0. wSE KA^ESTWENNYE ZAKL@^ENIQ, SDELANNYE WYE PO OTNOENI@ K AWTOMODELXNOMU REENI@ (36), SPRAWEDLIWY I W DANNOM SLU^AE. 3. rEVIMY S OBOSTRENIEM. |FFEKT LOKALIZACII TEPLA. w \TOM PUNKTE MY RASSMOTRIM NOWYJ KLASS AWTOMODELXNYH REENIJ URAWNENIQ (33), KOTORYE OBLADA@T CELYM RQDOM OTLI^ITELXNYH OSOBENNOSTEJ. pUSTX TEMPERATURA NA GRANICE x = 0 IZMENQETSQ W REVIME S OBOSTRENIEM: u (0
t) = u0 (T ; t)n
0 6 t < T  T = const > 0: (44) pREDPOLAGAETSQ, ^TO POSTOQNNAQ n < 0, PO\TOMU u (0
t) ! + 1 PRI t ! T ; = T ; 0. r E V I M O M S O B O S T R E N I E M NAZYWAETSQ TAKOJ ZAKON IZMENENIQ NEKOTOROJ WELI^INY, KOTORYJ OBESPE^IWAET EE NEOGRANI^ENNOE WOZRASTANIE W TE^ENIE KONE^NOGO WREMENI (W DANNOM SLU^AE RAWNOGO T < + 1). rEVIMY S OBOSTRENIEM, ANALOGI^NYE (44), ISPOLXZU@TSQ PRI OPISANII MNOGIH SU]ESTWENNO NESTACIONARNYH FIZI^ESKIH PROCESSOW. oKAZYWAETSQ, TAKIM SPECIFI^ESKIM GRANI^NYM USLOWIQM OTWE^A@T REENIQ S O^ENX INTERESNYMI I WESXMA NEOBY^NYMI SWOJSTWAMI. uRAWNENIE SO STEPENNOJ NELINEJNOSTX@ (33) IMEET AWTOMODELXNOE REENIE, UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NOMU REVIMU (44): u (x
t) = u0 (T ; t)n f (z )
z = 1=2 =2 x 1+n : (45) k0 u0 (T ; t) 2

III. metod podobiq w teorii teploprowodnosti

275

pODSTAWLQQ (45) W (33), DLQ FUNKCII f (z ) POLU^AEM ZADA^U   d f  d f ; 1 + n z d f ; n f = 0
z > 0
(46) dz dz 2 dz f (0) = 1
f (+ 1) = 0: (47) sU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I (46) | (47) USTANAWLIWAETSQ PUTEM SWEDENIQ URAWNENIQ (46) S POMO]X@ UKAZANNOJ WYE ZAMENY (39) (SM. RASSUVDENIQ, OTNOSQ]IESQ K ZADA^E (37) | (38)) K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA I POSLEDU@]EGO ANALIZA POLQ EGO INTEGRALXNYH KRIWYH. iZ (45) WYTEKAET, ^TO \TO AWTOMODELXNOE REENIE UDOWLETWORQET KRAEWOJ ZADA^E S GRANI^NYM REVIMOM (44) I NA^ALXNYM USLOWIEM !

x (48) u (x
0) = u0 T n f 1=2 =2 1+n : k0 u0 T 2 sWOJSTWA REENIQ ZADA^I (46) | (47) (KAK, WPRO^EM, I SAMOGO AWTOMODELXNOGO REENIQ (45)) SU]ESTWENNO ZAWISQT OT SOOTNOENIQ MEVDU WELI^INAMI n I . tAK, ESLI n < ;1=, TO FUNKCIQ f (z ) IMEET KONE^NYJ NOSITELX DLINY z0 = z0 (n
) < + 1. wBLIZI TO^KI z = z0 (W LEWOJ EE OKRESTNOSTI) SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE  (1 + n) 1= f (z ) = ; z (z ; z )1=  2

0

0

  n) 1  1 ; 21 3 (1(1 +; n ( z ; z ) + : : : : ) z0 ( + 1) 0

(49)

w SLU^AE n > ;1= REENIE ZADA^I (46) | (47) STROGO POLOVITELXNO PRI L@BYH KONE^NYH z > 0 I QWLQETSQ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ (KAK SLEDUET IZ (49), PRI n < ;1= PROIZWODNYE FUNKCII f (z ) MOGUT IMETX RAZRYW W TO^KE z = z0 ). pRI BOLXIH z WYPOLNQETSQ RAZLOVENIE 2n f (z ) = C z 1+n + : : :
(50) GDE C = C (n
) > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. wELI^INA C , TAK VE KAK I ZNA^ENIE z0 = z0 (n
) W SLU^AE n < ;1=, OPREDELQETSQ W REZULXTATE ^ISLENNOGO REENIQ ZADA^I (46) | (47). nAIBOLEE PROSTYM QWLQETSQ SLU^AJ n = ;1=. zDESX REENIE ZADA^I (46) | (47) WYPISYWAETSQ W QWNOM WIDE: 8 2= > > < 1 ; zz0 PRI 0 6 z 6 z0
(51) f (z ) = > > : 0 PRI z > z0
18


276

priloveniq k glawe III

GDE z0 | DLINA NOSITELQ FINITNOJ FUNKCII (51) | WY^ISLQETSQ PO FORMULE  ( + 2) 1=2 z0 = 2  : tEPERX MY PEREJDEM K SAMOMU WAVNOMU MOMENTU | ANALIZU PROSTRANSTWENNO-WREMENNOJ STRUKTURY AWTOMODELXNOGO REENIQ (45) PRI RAZLI^NYH ZNA^ENIQH n. pUSTX SNA^ALA n = ;1=. tOGDA, KAK SLEDUET IZ (51), FUNKCIQ (45) PREDSTAWLQET SOBOJ WESXMA NEOBY^NU@ TEPLOWU@ WOLNU S OSTANOWIWIMSQ FRONTOM 1) :

8  x 2= > 1= >  1=2 > :0
x > x0 = 2 ( + 2) k0 u0 : ;

(52)

 zDESX TEPLOWYE WOZMU]ENIQ DALEE GLUBINY x = x0 WOOB]E NE PRONIKA@T, NESMOTRQ NA NEOGRANI^ENNYJ ROST TEMPERATURY NA GRANICE x = 0 I WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH OTREZKA 0
x0 ]. rEENIE (52) NAGLQDNO PROQWLQET SWOJSTWO LOKALIZACII (INERCII) TEPLA, KOTOROE W DANNOM SLU^AE HARAKTERIZUETSQ TEM, ^TO W PROSTRANSTWE OBRAZUETSQ OBLASTX S OTLI^NOJ OT NULQ TEMPERATUROJ, NE MENQ@]AQ SWOIH RAZMEROW W TE^ENIE KONE^NOGO WREMENI. wNUTRI OBLASTI LOKALIZACII 0 < x < x0 TEMPERATURA I KOLI^ESTWO POSTUPA@]EJ TUDA \NERGII NEOGRANI^ENNO WOZRASTA@T PRI t ! T ;. wELI^INA x0 NAZYWAETSQ G L U B I N O J L O K A L I Z A C I I. w OB]EM SLU^AE L O K A L I Z O W A N N Y M NAZYWA@T TAKOE REENIE, KOTOROE NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET W TE^ENIE KONE^NOGO WREMENI W OGRANI^ENNOJ ^ASTI PROSTRANSTWA (\TO OPREDELENIE QWLQETSQ NAIBOLEE UNIWERSALXNYM, ONO, W ^ASTNOSTI, NE SODERVIT TREBOWANIQ KONE^NOJ SKOROSTI RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ SM. OB \TOM W GL. VI, x 1). gRANI^NYJ REVIM, OTWE^A@]IJ POKAZATEL@ n = ;1= W (44), NAZYWAETSQ S-REVIMOM. oN RAZDELQET SEMEJSTWO STEPENNYH REVIMOW S OBOSTRENIEM NA DWA KLASSA: W PERWOM IZ NIH n > ;1= (\TO TAK NAZYWAEMYE LS-REVIMY), WO WTOROM | n < ;1= (HS-REVIMY). pRI n > ;1= AWTOMODELXNOE REENIE RASTET DO BESKONE^NOSTI TOLXKO W ODNOJ TO^KE: x = 0, I PRI WSEH x > 0 ONO OGRANI^ENO SWERHU RAWNOMERNO PO t. w SOOTWETSTWII S WWEDENNYM WYE OPREDELENIEM TAKIE REENIQ TAKVE NAZYWA@TSQ LOKALIZOWANNYMI. uKAVEM ODNU WAVNU@ OSOBENNOSTX GRANI^NOGO LS-REVIMA. oBOZNA^IM ^EREZ x\F (t) \FFEKTIWNU@ 1) wPERWYE \TO REENIE BYLO POSTROENO W RABOTE: s A M A R S K I J a. a., s O B O L X i. m. pRIMERY ^ISLENNOGO RAS^ETA TEMPERATURNYH WOLN // vwm I mf. 1963. t. 3, 4. s. 703|719.

IV. zada~a o fazowom perehode

277

GLUBINU (POLUIRINU) PRONIKNOWENIQ TEPLOWOJ WOLNY, KOTORAQ W KAVDYJ FIKSIROWANNYJ MOMENT WREMENI OPREDELQETSQ IZ RAWENSTWA u (x\F (t)
t) = 12 u (0
t) = 12 (T ; t)n : tOGDA, OBOZNA^IW ^EREZ z
EDINSTWENNYJ KORENX URAWNENIQ f (z
) = 12


IZ (45) POLU^IM 1  1+n x\F (t) = z
k0=2 u0=2 (T ; t) 2
0 6 t < T: pOSKOLXKU PRI n > ;1= POKAZATELX (1 + n)=2 POLOVITELEN, GLUBINA PRONIKNOWENIQ WOLNY, NESMOTRQ NA BESKONE^NYJ ROST TEMPERATURY NA GRANICE, SOKRA]AETSQ PRI t ! T ; WPLOTX DO NULQ. tEM SAMYM POSTUPA@]AQ W SREDU \NERGIQ SOSREDOTO^IWAETSQ WO WSE SOKRA]A@]EJSQ ^ASTI PROSTRANSTWA. oTMETIM, ^TO NIKAKIE DRUGIE IZ RANEE RASSMATRIWAWIHSQ AWTOMODELXNYH REENIJ TAKIM SWOJSTWOM NE OBLADALI. w SLU^AE n < ;1= TEPLOWAQ WOLNA QWLQETSQ UVE NE LOKALIZOWANNOJ, A BEGU]EJ WOLNOJ KAK SLEDUET IZ (45), EE FRONT DWIVETSQ PO NULEWOMU FONU TEMPERATURY SO WSE UWELI^IWA@]EJSQ SKOROSTX@ (1 + n < 0) PO ZAKONU 1  1+n xF (t) = z0 k0=2 u0=2 (T ; t) 2
0 6 t < T
I K MOMENTU OBOSTRENIQ t = T UHODIT NA BESKONE^NOE RASSTOQNIE. w REZULXTATE PRI t ! T ; TEMPERATURA NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET WO WSEM PROSTRANSTWE. w \TOM SMYSLE REENIE (45) PRI n < ;1= PRINCIPIALXNO NE OTLI^AETSQ OT AWTOMODELXNYH REENIJ (36) I (41). i TAM I ZDESX TEMPERATURA WS@DU NEOGRANI^ENNO RASTET, TOLXKO W ODNOM SLU^AE ZA KONE^NOE, A W DWUH DRUGIH | ZA BESKONE^NYE WREMENA 1) .

IV. zADA^A O FAZOWOM PEREHODE pRI IZMENENIII TEMPERATURY TELA MOVET PROISHODITX IZMENENIE EGO FIZI^ESKOGO SOSTOQNIQ, W ^ASTNOSTI PRI PEREHODE TEMPERATURY ^EREZ TO^KU PLAWLENIQ | PEREHOD IZ VIDKOJ FAZY W TWERDU@ (ILI OBRATNYJ PEREHOD). nA POWERHNOSTI FAZOWOGO PEREHODA WSE WREMQ SOHRANQETSQ POSTOQNNAQ TEMPERATURA. pRI DWIVENII POWERHNOSTI 1) bOLEE PODROBNU@ INFORMACI@ O REZULXTATAH ISSLEDOWANIQ \FFEKTA LOKALIZACII TEPLA W PROIZWOLXNYH NELINEJNYH SREDAH SM. W RABOTE: g A L A KT I O N O W w. a., k U R D @ M O W s. p., m I H A J L O W a. p., s A M A R S K I J a. a. lOKALIZACIQ TEPLA W NELINEJNYH SREDAH // dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ. 1981. t. 17, 10. s. 1826|1841. sM. TAKVE PRIWEDENNYJ TAM SPISOK LITERATURY.

278

priloveniq k glawe III

FAZOWOGO PEREHODA PROISHODIT WYDELENIE SKRYTOJ TEPLOTY ZATWERDEWANIQ (PLAWLENIQ). sFORMULIRUEM TE DOPOLNITELXNYE USLOWIQ, KOTORYE DOLVNY WYPOLNQTXSQ NA POWERHNOSTI ZATWERDEWANIQ 1) . rASSMOTRIM PLOSKU@ ZADA^U, KOGDA POWERHNOSTX@ RAZDELA QWLQETSQ PLOSKOSTX x =  (t). s MOMENTA WREMENI t DO MOMENTA WREMENI t + t GRANICA x =  PEREMESTITSQ OT TO^KI  = x1 DO TO^KI  = = x2 = x1 +  . pRI \TOM ZATWeRDEWAET MASSA  (ILI RASPLAWLQETSQ, ESLI  < 0) I WYDELQETSQ SOOTWETSTWU@]EE KOLI^ESTWO TEPLA  . dLQ WYPOLNENIQ TEPLOWOGO BALANSA \TO KOLI^ESTWO TEPLA DOLVNO RAWNQTXSQ RAZNOSTI KOLI^ESTW TEPLA, PROEDIH ^EREZ GRANICY  = = x1 I  = x2 , T. E. DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE "   # @u @u 1 2  k1 @x  ; k2 @x  t = 
x1 x2 GDE k1 I k2 | KO\FFICIENTY TEPLOPROWODNOSTI PERWOJ I WTOROJ FAZY, A  | SKRYTAQ TEPLOTA PLAWLENIQ. pEREHODQ K PREDELU PRI t ! 0, MY I POLU^IM DOPOLNITELXNOE USLOWIE NA GRANICE RAZDELA W SLEDU@]EM WIDE:   @u @u 1 2  k1 @x  ; k2 @x  =  d dt : x= x= |TO USLOWIE IMEET MESTO KAK DLQ PROCESSA ZATWERDEWANIQ (KOGDA  > > 0 I d=dt > 0), TAK I DLQ PROCESSA PLAWLENIQ (KOGDA  < 0 I d=dt < 0) NAPRAWLENIE PROCESSA OPREDELQETSQ ZNAKOM LEWOJ ^ASTI. rASSMOTRIM PROCESS ZAMERZANIQ WODY, PRI KOTOROM TEMPERATURA FAZOWOGO PEREHODA RAWNA NUL@. bUDEM RASSMATRIWATX MASSU WODY x > > 0, OGRANI^ENNU@ S ODNOJ STORONY PLOSKOSTX@ x = 0. w NA^ALXNYJ MOMENT t = 0 WODA OBLADAET POSTOQNNOJ TEMPERATUROJ c > 0. eSLI NA POWERHNOSTI x = 0 WSE WREMQ PODDERVIWAETSQ POSTOQNNAQ TEMPERATURA c1 < 0, TO GRANICA PROMERZANIQ x =  BUDET SO WREMENEM PRONIKATX W GLUBX VIDKOSTI. zADA^A O RASPREDELENII TEMPERATURY PRI NALI^II FAZOWOGO PEREHODA I O SKOROSTI DWIVENIQ GRANICY RAZDELA FAZ (NAPRIMER, WNUTRI ZAMERZA@]EJ WODY) SWODITSQ K REENI@ URAWNENIJ

9

@u1 = a2 @ 2 u1 DLQ 0 < x < 
> > = 1 @x2 @t @u2 = a2 @ 2 u2 DLQ  < x < 1> >  2 @x2 @t

1) f R A N K

(1)

f., m I Z E S r. dIFFERENCIALXNYE I INTEGRALXNYE URAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. l. m., 1937. gL. XIII.

IV. zada~a o fazowom perehode

S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI ) u1 = c1 PRI x = 0
u2 = c PRI t = 0 I USLOWIQMI NA GRANICE ZAMERZANIQ u1 = u2 = 0 PRI x = 


  ; k2 @u@x2  =  ddt
x= x=

1 k1 @u @x 

279

(2) (3) (4)

GDE k1 , a21 I k2 , a22 | KO\FFICIENTY TEPLOPROWODNOSTI I TEMPERATUROPROWODNOSTI SOOTWETSTWENNO TWERDOJ I VIDKOJ FAZ. zADA^U (1) | (4) ^ASTO NAZYWA@T Z A D A ^ E J s T E F A N A, ZADA^EJ O FAZOWOM PEREHODE, ILI ZADA^EJ O PROMERZANII. rEENIE ZADA^I BUDEM ISKATX W WIDE  x   x  p
u2 = A2 + B2  2a2 pt
u1 = A1 + B1  2a1 t GDE A1 , B1 , A2 I B2 | POKA NE OPREDELENNYE POSTOQNNYE, A  | INTEGRAL OIBOK  (x) = p2



Zx 0

e;2 d:

uDOWLETWORQQ USLOWIQM (2) I (3), POLU^IM A1 = c1
A2 + B2 = c IZ USLOWIQ (2) I    p = 0
A1 + B1  2a1 t A2 + B2 

   p =0 2a2 t

IZ USLOWIQ (3). pOSLEDNIE USLOWIQ DOLVNY IMETX MESTO DLQ L@BYH ZNA^ENIJ t. |TO WOZMOVNO LIX PRI WYPOLNENII SOOTNOENIQ p  = t
(5) GDE | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. sOOTNOENIE (5) OPREDELQET ZAKON DWIVENIQ GRANICY ZAMERZANIQ.

priloveniq k glawe III

280

dLQ POSTOQNNYH A1 , B1 , A2 I B2 POLU^A@TSQ WYRAVENIQ 9 > c 1 A1 = c1
B1 = ;  
> > >  2a > = 1   (6) > c  2a > c  2 
B2 =   :> A2 = ; >  1 ;  2a 1 ;  2a > 2 2 ~TOBY OPREDELITX POSTOQNNU@ , NADO WOSPOLXZOWATXSQ SOOTNOENIEM (4): ;

2

;

2

k1 c1e 4a21 +  k2 c e 4a22 a1  2 a a2 1 ;  2 a 1

2

p  = ;  2 :

(7)

rEENIE \TOGO TRANSCENDENTNOGO URAWNENIQ I DAET ZNA^ENIE . nALI^IE HOTQ BY ODNOGO REENIQ PRI c1 < 0, c > 0 SLEDUET UVE IZ TOGO 1) , ^TO PRI IZMENENII OT 0 DO + 1 LEWAQ ^ASTX URAWNENIQ IZMENQETSQ OT ;1 DO + 1, A PRAWAQ | OT 0 DO ;1. w SLU^AE ESLI c RAWNO TEMPERATURE PLAWLENIQ (c = 0), WYRAVENIQ (6) I (7) DLQ OPREDELENIQ KO\FFICIENTOW PRINIMA@T BOLEE PROSTOJ WID: A2 = B2 = 0
A1 = c1
B1 = ;

I ;

1

 2a 1

p  = ;  2 :

2 4a2 1

k1 c1e a1  2 a

c1

9 > > > = > > > 

(60 )

(70 )

pOLOVIW =2a1 =  , MOVEM PEREPISATX URAWNENIE (70 ) W TAKOM WIDE: ; 2 p1 e () = ;D 
1)

aSIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE FUNKCII 1 ;  (z) PRI z ! 1 SM. NA S. 758.

IV. zada~a o fazowom perehode

281

GDE POSTOQNNAQ D OPREDELQETSQ WYRAVENIEM a21 < 0: D =  k1 c1 ; 2 e wOSPOLXZOWAWISX GRAFIKOM FUNKCII ' ( ) = p  ( ) , DANNYM NA RIS. 43, LEGKO GRAFI^ESKI OPREDELITX ZNA^ENIE . rEENIE ZADA^I O PROMERZANII MOVET BYTX TAKVE POLU^ENO PRI POMO]I METODA PODOBIQ, PRIWEDENNOGO W pRILOVENII III K \TOJ GLAWE. zADA^A O PROMERZANII QWLQETSQ W NEKOTOROM SMYSLE PREDELXNYM SLU^AEM NELINEJNYH KRAEWYH ZADA^, RASSMOTRENNYH W pRILOVENII III. w SAMOM DELE, KO\FFICIENTY TEPLOPROWODNOSTI I TEPLOEMKOSTI W ZADA^E O PROMERZANII QWLQ@TSQ KUSO^NOPOSTOQNNYMI FUNKCIQMI, I, KROME TOGO, PRI u = 0 TEPLOEMKOSTX IMEET BESKONE^NO BOLXOE ZNA^ENIE. |TOT SLU^AJ MOVNO POLU^ITX KAK PREDELXNYJ PRI " ! 0, KOGDA SKRYTAQ rIS. 43 TEPLOTA WYDELQETSQ NE MGNOWENNO, A NA NEKOTOROM PROMEVUTKE (;"
+"), PRI^EM DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE

Z"

;"

c (u) du = :

oDNAKO \TU ZADA^U MOVNO REITX I NEPOSREDSTWENNO, POLXZUQSX METODOM PODOBIQ. nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO WSE USLOWIQ ZADA^I OSTANUTSQ NEIZMENNYMI, ESLI MASTAB DLINY UWELI^ITX W k RAZ, A MASTAB WREMENIp| W k2 RAZ. |TO ZNA^IT, ^TO REENIE ZADA^I ZAWISIT OT ARGUMENTA x= t, T. E. ^TO  x  u (x
t) = f p : 2 t oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO p DWIVENIE NULEWOJ IZOTERMY BUDET OPISYWATXSQ URAWNENIEM  = t, GDE | ZNA^ENIE ARGUMENTA, PRI KOTOROM f ( ) = 0. dLQ OPREDELENIQ FUNKCII f MY IMEEM SLEDU@]IE

282

priloveniq k glawe III

USLOWIQ: 2 a21 ddzf21 = ;2z ddzf1 DLQ 0 < z <
2 a22 ddzf22 = ;2z ddzf2 DLQ < z < 1
f1 (0) = c1
f2 (1) = c
f1 ( ) = f2 ( ) = 0
k f 0 ( ) ; k f 0 ( ) =  : 1 1

2 2

pO\TOMU FUNKCIQ f (z ) IMEET WID

2

8 z > > f ( z ) = A + B  <1 1 1 2a1
ESLI 0 < z <
f (z ) = >   >f2 (z) = A2 + B2  z
ESLI < z < 1: :

2a2 dLQ OPREDELENIQ POSTOQNNYH A1 , B1 , A2 , B2 MY DOLVNY ISPOLXZOWATX USLOWIQ (2) I (3), IZ KOTORYH WYTEKA@T FORMULY (6). dLQ OPREDELENIQ POLU^AETSQ USLOWIE (7). tAKIM OBRAZOM, ANALITI^ESKAQ ^ASTX REENIQ W OBOIH METODAH ODINAKOWA. iZLOVENNYE ZDESX SOOBRAVENIQ POKAZYWA@T, ^TO ZADA^U O PROMERZANII MOVNO REATX TAKVE I W TEH SLU^AQH, KOGDA SKRYTAQ TEPLOTA WYDELQETSQ NE PRI FIKSIROWANNOJ TEMPERATURE, A NA NEKOTOROM INTERWALE TEMPERATUR. pODOBNYM VE METODOM MOVNO REITX ZADA^U, ESLI IMEETSQ NE ODNA, A NESKOLXKO KRITI^ESKIH TEMPERATUR, ^TO WSTRE^AETSQ PRI FAZOWYH PREWRA]ENIQH W PROCESSE PEREHODA OT ODNOJ KRISTALLI^ESKOJ STRUKTURY K DRUGOJ, NAPRIMER PRI PEREKRISTALLIZACII STALI. nAIBOLEE \FFEKTIWNYM METODOM ^ISLENNOGO REENIQ ZADA^ O FAZOWYH PEREHODAH QWLQETSQ METOD KONE^NYH RAZNOSTEJ, KOTORYJ PRIMENIM

DLQ SLU^AQ DWUH I TREH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH PRI NALI^II NESKOLXKIH FAZOWYH PEREHODOW (SM. dOPOLNENIE I, x 4).

V. uRAWNENIE |JNTEJNA | kOLMOGOROWA mIKROSKOPI^ESKIE ^ASTICY, NAHODQ]IESQ W SREDE W SWOBODNOM, WZWEENNOM SOSTOQNII, SOWERA@T BESPORQDO^NOE DWIVENIE, NAZYWAEMOE BROUNOWSKIM. oBOZNA^IM WEROQTNOSTX DLQ ^ASTICY, WYEDEJ IZ TO^KI M0 W MOMENT t0 , NAHODITXSQ W MOMENT t W MALOJ OKRESTNOSTI  V TO^KI M FUNKCIEJ W (M
t M0
t0 )   V: (1) wEROQTNOSTX ZDESX PONIMAETSQ W TOM SMYSLE, ^TO ESLI W TE^ENIE NEKOTOROGO MALOGO PROMEVUTKA t = t ; t0 IZ TO^KI M0 WYHODIT

V. urawnenie |jn{tejna | kolmogorowa

283

DOSTATO^NO BOLXOE KOLI^ESTWO ^ASTIC N (PRI^EM WZAIMODEJSTWIE MEVDU NIMI PRENEBREVIMO MALO), TO KONCENTRACIQ \TIH ^ASTIC PRI t ! 0 W TO^KE M W MOMENT t BUDET RAWNA W (M
t M0
t0 ). pRI \TOM ZA EDINICU MASSY ^ASTIC PRINIMAETSQ WSQ MASSA WYHODQ]IH IZ TO^KI M0 ^ASTIC. s PODOBNYM VE QWLENIEM MY WSTRE^AEMSQ PRI DIFFUZII GAZA, PROISHODQ]EJ W KAKOJ-LIBO (NAPRIMER, WOZDUNOJ) SREDE. fUNKCIQ W (M
t M0
t0 ) PREDSTAWLQET FUNKCI@ TO^E^NOGO ISTO^NIKA, SOOTWETSTWU@]EGO EDINI^NOJ MASSE. o^EWIDNO, ^TO

Z

W (M
t M0
t0 ) dVM = 1

(t > t0 )

(2)

I ^TO ESLI NA^ALXNAQ KONCENTRACIQ ^ASTIC W NEKOTORYJ MOMENT WREMENI t0 RAWNA ' (M ), TO KONCENTRACIQ u (M
t) \TIH ^ASTIC W MOMENT t > t0 BUDET RAWNA

Z

u (M
t) = W (M
t P
t0 ) ' (P ) dVP


(3)

GDE INTEGRAL BERETSQ PO WSEMU PROSTRANSTWU. iZ POSLEDNEGO RAWENSTWA SLEDUET URAWNENIE 1)

Z

W (M
t M0
t0 ) = W (M
t P
) W (P
 M0
t0 ) dVP


(4)

IME@]EE MESTO DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ t0 <  < t. |TO POSLEDNEE URAWNENIE NAZYWA@T U R A W N E N I E M | J N  T E J N A | k O L M O G O R O W A. pOKAVEM, ^TO PRI OPREDELENNYH USLOWIQH, NALOVENNYH NA FUNKCI@ W (M
t M0
t0 ), REENIE URAWNENIQ |JNTEJNA | kOLMOGOROWA UDOWLETWORQET NEKOTOROMU URAWNENI@ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PARABOLI^ESKOGO TIPA. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA POLOVENIE TO^KI M HARAKTERIZUETSQ ODNOJ KOORDINATOJ x. pREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ W (x
t x0
t0 ) UDOWLETWORQET SLEDU@]IM USLOWIQM. 1.

Z x ;  1 lim = lim  (x ;  ) W (x
t +   
t) dx = A (
t): (5)  !0  eSLI ZA WREMQ  ^ASTICA PEREHODIT IZ POLOVENIQ  W POLOVENIE x, TO (x ;  )= QWLQETSQ SREDNEJ SKOROSTX@ ^ASTICY. tAKIM OBRAZOM, PERWOE USLOWIE OZNA^AET TREBOWANIE SU]ESTWOWANIQ KONE^NOJ SKOROSTI UPORQDO^ENNOGO DWIVENIQ ^ASTICY. 1) l E O N T O W I ^ m. a. sTATISTI^ESKAQ FIZIKA. m. l., 1944. gL. VI k O L M O G O R O W a. n. oB ANALITI^ESKIH METODAH W TEORII WEROQTNOSTEJ // umn. 1938. wYP. 5. s. 5|41.

priloveniq k glawe III

284 2.

(x ;  )2 = lim 1 lim  !0  

Z

(x ;  )2 W (x
t +   
t) dx = 2B (
t): (6)

wELI^INA (x ;  )2 NE ZAWISIT OT NAPRAWLENIQ SME]ENIQ TO^KI x OTNOSITELXNO TO^KI  . sREDNEE ZNA^ENIE KWADRATA OTKLONENIQ ZA WREMQ  Z 2 (x ;  ) = (x ;  )2 W (x
t +   
t) dx OBY^NO RASSMATRIWAETSQ KAK MERA NEUPORQDO^ENNOSTI DWIVENIQ ZA \TOT PROMEVUTOK WREMENI. tREBOWANIE 2 OZNA^AET PREDPOLOVENIE LINEJNOJ ZAWISIMOSTI SREDNEGO KWADRATA OT WREMENI PRI MALYH  . 3.

jx ; j3 = lim 1 Z jx ; j3 W (x
t +   
t) dx = 0: (7) lim  !0   fUNKCIQ W (x
t +   
t), QWLQ@]AQSQ FUNKCIEJ TO^E^NOGO ISTO^NIKA, DLQ MALYH ZNA^ENIJ  DOLVNA BYSTRO UBYWATX, KOGDA jx ;  j ! 1, I WOZRASTATX, KOGDA jx ;  j MALO. dLQ POLU^ENIQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ |JNTEJNA|kOLMOGOROWA UMNOVIM OBE ^ASTI URAWNENIQ (4) NA PROIZWOLXNU@ FUNKCI@  (x), OBRA]A@]U@SQ W NULX WMESTE SO SWOEJ PROIZWODNOJ NA GRANICAH OBLASTI INTEGRIROWANIQ, I PROINTEGRIRUEM PO WSEJ \TOJ OBLASTI:

Z

W (x
t +   x0
t0 )  (x) dx = =

Z

W (
t x0
t0 ) d

Z

W (x
t +   
t)  (x) dx:

rAZLOVIW W PRAWOJ ^ASTI FUNKCI@  (x) W RQD tEJLORA PO x ;  : 00 000
 (x) =  ( ) + 0 ( ) (x ;  ) +  ( ) (x ;  )2 +  ( ) (x ;  )3
2

3!

GDE 
| SREDNEE ZNA^ENIE, ZAKL@^ENNOE MEVDU x I  , I RAZDELIW NA  , POSLE PROSTYH PREOBRAZOWANIJ BUDEM IMETX Z  (x) W (x
t +   x0
t0) ; W (x
t x0
t0 ) dx = Z h  + 00 ( ) (x ;  )2 i d + = W (
t x0
t0 ) 0 ( ) x ;  2 ZZ 1 000 (
) (x ;  )3 W (
t x0
t0 ) W (x
t +   
t) d dx: + 3!  pREDPOLAGAQ, ^TO 000 (x) OGRANI^ENA: j000 (x)j < A


V. urawnenie |jn{tejna | kolmogorowa

I U^ITYWAQ, ^TO

Z

285

W (
t x0
t0 ) d = 1


MY POLU^IM

 1 Z Z  000
3 W (
t x
t ) W (x
t +   
t) d dx  6   (  ) ( x ;  ) 0 0   Z A A jx ;  j3

6  jx ;  j3 W (x
t +   
t) dx =  : iZ USLOWIQ 3 WYTEKAET, ^TO \TO WYRAVENIE PRI  ! 0 STREMITSQ KNUL@ . pO\TOMU, PEREHODQ K PREDELU PRI  ! 0 I ISPOLXZUQ USLOWIQ 1 , 2 , POLU^AEM

Z

 (x) @W (x
@tt x0
t0 ) dx = =

Z

W (
t x0
t0 )  0 ( ) A (
t) + 00 ( ) B (
t) ] d:

pOSLE INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM PRAWOJ ^ASTI, PRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO FUNKCIQ  OBRA]AETSQ W NULX WMESTE SO SWOEJ PROIZWODNOJ NA GRANICE OBLASTI INTEGRIROWANIQ, POLU^IM  Z @ (AW ) ; @ 2 (BW )  dx = 0: +  (x) @W @t @x @x2 tAK KAK \TO SOOTNOENIE DOLVNO IMETX MESTO DLQ PROIZWOLXNOJ FUNKCII  (x), TO DLQ FUNKCII WEROQTNOSTI W (x
t x0
t0 ) MY POLU^AEM D I F F E R E N C I A L X N O E U R A W N E N I E | J N  T E J N A | k O LMOGOROWA @W = ; @ (AW ) + @ 2 (BW ) : (8) @t @x @x2 pOLU^ENNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNENIEM PARABOLI^ESKOGO TIPA, PODOBNYM URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI, I MOVET BYTX ZAPISANO W WIDE   @W = @ B @W + @W +  W
(9) @t @x @x @x GDE = ;A + Bx
 = ;Ax + Bxx = x : iZ URAWNENIQ (9) WIDNO, ^TO WELI^INA B IMEET FIZI^ESKIJ SMYSL KO\FFICIENTA DIFFUZII. eSLI RASSMATRIWAEMYJ PROCESS ODNORODEN W PROSTRANSTWE I WREMENI, T. E. FUNKCIQ W ZAWISIT TOLXKO OT RAZNOSTI  = x ; x0 I  = t ; t0 , TO KO\FFICIENTY A I B NE ZAWISQT OT x

priloveniq k glawe III

286

I t I QWLQ@TSQ POSTOQNNYMI. uRAWNENIE (8) W \TOM SLU^AE QWLQETSQ URAWNENIEM S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI @W = ; A @W + B @ 2 W : (10) @t @x @x2 eSLI FUNKCIQ ZAWISIT TOLXKO OT jx ;  j, T. E. WEROQTNOSTI SME]ENIQ NAPRAWO I NALEWO NA ODINAKOWYE RASSTOQNIQ OT TO^KI  RAWNY, TO O^EWIDNO, ^TO A DOLVNO BYTX RAWNO NUL@. aNALITI^ESKI \TO SLEDUET IZ FORMULY (5) W SILU TOGO, ^TO PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNA. w \TOM SLU^AE URAWNENIE (8) QWLQETSQ PROSTEJIM URAWNENIEM TEPLOPROWODNOSTI @W = B @ 2 W : (11) @t @x2

VI. -fUNKCIQ 1. oPREDELENIE -FUNKCII. nARQDU S NEPRERYWNO RASPREDELEN-

NYMI WELI^INAMI (MASSA, ZARQD, TEPLOWYE ISTO^NIKI, MEHANI^ESKIJ IMPULXS I T. P.) ^ASTO PRIHODITSQ IMETX DELO S SOSREDOTO^ENNYMI WELI^INAMI (TO^E^NAQ MASSA, TO^E^NYJ ZARQD, TO^E^NYJ ISTO^NIK TEPLA, SOSREDOTO^ENNYJ IMPULXS I T. D.). nE SLEDUET ZABYWATX, ^TO \TI PONQTIQ QWLQ@TSQ PREDELXNYMI OBRAZAMI I MOGUT BYTX OHARAKTERIZOWANY PRI POMO]I PONQTIQ OBOB]ENNYH FUNKCIJ 1) . iMEQ WWIDU FIZI^ESKIJ SMYSL ZADA^I, RASSMOTRIM POTENCIAL W TO^KE M (SM. GL. IV, x 5) EDINI^NOJ MASSY, SOSREDOTO^ENNOJ WNUTRI NEKOTOROGO OB_EMA T W OKRESTNOSTI TO^KI M0 . wOZXMEM KAKU@-LIBO POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ f n g (n > 0), KAVDAQ IZ KOTORYH RAWNA NUL@ WNE ARA S"Mn0 RADIUSA "n S CENTROM W TO^KE M0, GDE "n ! 0 PRI n ! 1, I DLQ ZZZKOTORYH, NA^INAQ ZZZS NEKOTOROGO n, n (P ) dP = n (P ) dP = 1: (1) T

S"Mn0

rASSMATRIWAQ POSLEDOWATELXNOSTX ZZZFUNKCIJ n d
un = r T

QWLQ@]IHSQ POTENCIALAMI MASS, RASPREDELENNYH S PLOTNOSTQMI n , I SOWERAQ PREDELXNYJ PEREHOD PRI n ! 1, POLU^AEM (2) lim u = 1 : n!1 n r M0 M

1) pODROBNEE SM.: k U R A N T r. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. m., 1964 g E L X F A N D i. m., { I L O W e. g. oBOB]ENNYE FUNKCII I DEJSTWIQ NAD NIMI. m., 1959. (oBOB]ENNYE FUNKCII wYP. 1).

VI.
-funkciq

287

|TOT REZULXTAT, O^EWIDNO NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI f n g. hOTQ POSLEDOWATELXNOSTX f un g I SHODITSQ K 1=r, ODNAKO POSLEDOWATELXNOSTX f n g NE IMEET PREDELA W KLASSE RASSMATRIWAEMYH KUSO^NO-DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ. pREDELXNYJ OBRAZ, SOOTWETSTWU@]IJ POSLEDOWATELXNOSTI f n g, NAZYWA@T FUNKCIEJ (M
M0 ). oSNOWNYM SWOJSTWOM, OPREDELQ@]IM -FUNKCI@, QWLQETSQ SLEDU@]EE FORMALXNOE OPERATORNOE SOOTNOENIE: ( ZZZ 0 )
ESLI M0 2 T
(M
M0 ) f (M ) dM = f (M (3) 0
ESLI M0 2= T
T

GDE f (M ) | PROIZWOLXNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ TO^KI M . iMEQ W WIDU, ^TO PRI n ! 1 FUNKCII n RAWNOMERNO STREMQTSQ K NUL@ WO WSQKOJ OBLASTI, NE SODERVA]EJ TO^KI M0 , I NEOGRANI^ENNO WOZRASTA@T W OKRESTNOSTI S"Mn0 TO^KI M0 , INOGDA OPREDELQ@T -FUNKCI@ FORMALXNO PRI POMO]I SOOTNOENIJ ( 0 PRI M 6= M0
(M
M0) = 1 (4) PRI M = M0 I ( ZZZ M0 2 T
(M
M0 ) dM = 10 PRI (5) PRI M0 2= T: T

rAWENSTWO (5) QWLQETSQ O^EWIDNYM SLEDSTWIEM FORMULY (3) PRI f  1. pRI RASSMOTRENII POSLEDOWATELXNOSTEJ FUNKCIJ W RAZLI^NYH ZADA^AH PRIHODITSQ IMETX DELO S RAZNYMI OPREDELENIQMI SHODIMOSTI. gOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ f un (x) g = u1 (x)
u2 (x)
: : :
un (x)
: : : (6) S H O D I T S Q R A W N O M E R N O NA INTERWALE (a
b), ESLI DLQ L@BOGO " > > 0 MOVNO UKAZATX TAKOE N , ^TO PRI n, m > N DLQ L@BOGO x IZ (a
b) BUDET WYPOLNQTXSQ USLOWIE jun (x) ; um (x)j < " PRI n
m > N: gOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (6) S H O D I T S Q W S R E D N E M NA INTERWALE (a
b), ESLI DLQ L@BOGO " > 0 MOVNO UKAZATX TAKOE N , ^TO PRI n, m > N

Zb a

jun (x) ; um (x)j2 dx < ":

gOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (6) S H O D I T S Q S L A B O NA INTERWALE (a
b), ESLI DLQ L@BOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f SU]ESTWUET

priloveniq k glawe III

288

PREDEL lim

n!1

Zb a

f (x) un (x) dx:

pRI RASSMOTRENII SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ OBY^NO WWODQT P R E D E L X N Y E \ L E M E N T Y POSLEDOWATELXNOSTEJ. rASSMOTRIM KLASS NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA INTERWALE (a
b). w SLU^AE RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI PREDELXNYJ \LEMENT PRINADLEVIT TOMU VE KLASSU FUNKCIJ, ^TO NE WSEGDA IMEET MESTO DLQ SHODIMOSTI W SREDNEM I SLABOJ SHODIMOSTI. eSLI PREDELXNYJ \LEMENT NE PRINADLEVIT RASSMATRIWAEMOMU KLASSU FUNKCIJ, TO WWODQT PREDELXNYE \LEMENTY, RASIRQQ ISHODNYJ KLASS. pRI \TOM POD RASIRENIEM PONIMAETSQ SOWOKUPNOSTX ISHODNYH I PREDELXNYH \LEMENTOW. s PONQTIEM RASIRENIQ WSTRE^A@TSQ W TEORII DEJSTWITELXNOGO ^ISLA, KOGDA IRRACIONALXNYE ^ISLA WWODQTSQ KAK PREDELXNYE \LEMENTY, OPREDELQEMYE KLASSOM \KWIWALENTNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ. rASSMATRIWAQ PREDELXNYE \LEMENTY W SMYSLE SLABOJ SHODIMOSTI, MY BUDEM GOWORITX, ^TO DWE POSLEDOWATELXNOSTI, f un g I f vn g, IME@T ODIN I TOT VE PREDELXNYJ \LEMENT, ESLI ONI \ K W I W A L E N T N Y, T. E. POSLEDOWATELXNOSTX f un ; vn g SLABO SHODITSQ K NUL@: lim

n!1

Zb a

f (x) un (x) ; vn (x)] dx = 0:

bUDEM NAZYWATX POSLEDOWATELXNOSTX NEOTRICATELXNYH FUNKCIJ

f n g N O R M I R O W A N N O J L O K A L X N O J P O S L E D O W A T E L X N O S T X @ TO^KI x0 , ESLI FUNKCIQ n RAWNA NUL@ WNE INTERWALA (x0 ; "n
x0 + + "n ), GDE "n ! 0 PRI n ! 1, I Zb a

n (x) dx = 1:

o^EWIDNO, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f n g SHODITSQ SLABO. pREDELXNYJ \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI f n g OBY^NO NAZYWA@T - F U N K C I E J TO^KI x0 . w TOM SLU^AE, ESLI PREDELXNYJ W SMYSLE SLABOJ SHODIMOSTI \LEMENT u POSLEDOWATELXNOSTI f un g WYHODIT IZ KLASSA FUNKCIJ un , TO INTEGRAL OT PROIZWEDENIQ NEKOTOROJ FUNKCII f NA \LEMENT u OPREDELQETSQ KAK PREDEL lim

n!1

Zb a

Zb

f (x) un (x) dx = f (x) u (x) dx: a

VI.
-funkciq

289

o^EWIDNO, ^TO DLQ -FUNKCII TO^KI x0 IMEET MESTO RAWENSTWO

Zb a

f (x) (x
x0 ) dx = f (x0 ):

|TO SOOTNOENIE ^ASTO PRINIMA@T ZA OPREDELENIE -FUNKCII. 2. rAZLOVENIE -FUNKCII W RQD fURXE. -fUNKCI@ MOVNO OPREDELITX TAK VE, KAK PREDELXNYJ OBRAZ DRUGIH POSLEDOWATELXNOSTEJ, \KWIWALENTNYH W SMYSLE SLABOJ SHODIMOSTI PRIWEDENNOJ WYE POSLEDOWATELXNOSTI n (x) LOKALXNYH NORMIROWANNYH FUNKCIJ TO^KI x0 . rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ n  X m x + sin m x  sin m x  = n (x
x0 ) = 21l + 1l cos m x  cos l l 0 l l 0 m=1 n X = 21l + 1l cos m l (x ; x0 )
(7) m=1 ILI, W KOMPLEKSNOJ FORME, n  n (x
x0 ) = 1 X eim l (x;x0 )
2l ;n

(70 )

OPREDELENNYH NA INTERWALE (;l
l). o^EWIDNO, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII g (x), RAZLAGAEMOJ W RQD fURXE, IMEET MESTO SLEDU@]EE PREDELXNOE RAWENSTWO: lim

n!1

Zl

;l

n (x
x0 ) g (x) dx = g (x0 )


(8)

KOTOROE POKAZYWAET, ^TO W KLASSE FUNKCIJ f g (x) g, RAZLAGAEMYH W RQDY fURXE, PRIWEDENNAQ WYE POSLEDOWATELXNOSTX n (x
x0 ) \KWIWALENTNA W SMYSLE SLABOJ SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI n (x
x0 ), T. E. ^TO 1 X cos m (9) (x
x0 ) = 21l + 1l l (x ; x0 )
m=1 ESLI \TO RAWENSTWO PONIMATX S TO^KI ZRENIQ SLABOJ SHODIMOSTI. s \TOJ VE TO^KI ZRENIQ IMEET MESTO RAWENSTWO (x
x0 ) =

1 X

n=1

19 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

'n (x) 'n (x0 )


(10)

priloveniq k glawe III

290

GDE f 'n (x) g | POLNAQ ORTOGONALXNAQ I NORMIROWANNAQ SISTEMA FUNKCIJ, OPREDELENNYH NA NEKOTOROM INTERWALE (a
b), A TAKVE RAWENSTWO (x
x0 ) = 21

Z1

;1

eik (x;x0 ) dk = 1

Z1 0

cos k (x ; x0 ) dk:

(11)

pOKAVEM, ^TO PRI WY^ISLENII INTEGRALOW, SODERVA]IH -FUNKCI@, MOVNO POLXZOWATXSQ RQDOM (9), PROIZWODQ PO^LENNOE INTEGRIROWANIE PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII. rASSMOTRIM NEKOTORU@ FUNKCI@ g (x), RAZLOVIMU@ W RQD fURXE, I INTEGRAL

Zl

;l

g (x) (x
x0 ) dx:

pODSTAWLQQ S@DA WMESTO FUNKCII (x
x0 ) EE WYRAVENIE IZ FORMULY (9), WYPOLNIM PO^LENNOE INTEGRIROWANIE RQDA, STOQ]EGO POD ZNAKOM INTEGRALA. w REZULXTATE POLU^IM 1   X m sin m x
g (x) = g20 + gm cos m x + g (110 ) l l m=1 GDE

9 > > g0 = l g (x0 ) dx0
> > > ;l > l > Z = 1 m gm = l g (x0 ) cos l x0 dx0
> > ;l > l > Z > m 1 > gm = l g (x0 ) sin l x0 dx0 : >  ;l l 1Z

(12)

sOPOSTAWLENIE FORMULY (11) S RAWENSTWOM

Zl

;l

(;l < x0 < l)

(x
x0 ) g (x) dx = g (x0 )

POKAZYWAET, ^TO WYPOLNENNOE WYE PO^LENNOE INTEGRIROWANIE RQDA DLQ -FUNKCII PRIWODIT K PRAWILXNOMU REZULXTATU. tAKIM OBRAZOM, W KLASSE FUNKCIJ, RAZLOVIMYH W RQD fURXE, POSLEDOWATELXNOSTX ^ASTI^NYH SUMM k 1 X i nl (x;x ) e 2l n=;k 0

VI.
-funkciq

291

\KWIWALENTNA NORMIROWANNOJ LOKALXNOJ POSLEDOWATELXNOSTI f n g. dRUGIE FORMY PREDSTAWLENIQ -FUNKCII TAKVE OSNOWANY NA ISPOLXZOWANII NEKOTORYH FUNKCIONALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ, \KWIWALENTNYH W SMYSLE SLABOJ SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI f n g. 3. pRIMENENIE -FUNKCII K POSTROENI@ FUNKCII ISTO^NIKA. rASSMOTRIM SLEDU@]U@ ZADA^U: ut = a2 uxx
(13) u (x
0) = ' (x)
(14) u (0
t) = u (l
t) = 0: (15) zADANNOJ FUNKCII ' (x) SOOTWETSTWUET EDINSTWENNOE REENIE ZADA^I u (x
t) = L ' (x)]: dOPUSTIM, ^TO OPERATOR L MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

Zl

u (x
t) = L ' (x)] = G (x

t) ' ( ) d
0

(16)

GDE G (x

t) | QDRO OPERATORA L. dLQ TOGO ^TOBY NAJTI QDRO G (x

t), POLOVIM ' (x) = (x ; x0 ): (140 ) zAMENQQ W FORMULE (16) ' (x) -FUNKCIEJ, POLU^IM u (x
t) = G (x
x0
t)
(17) T. E. G (x
x0
t) QWLQETSQ REENIEM ZADA^I (13) PRI NA^ALXNOM USLOWII (140 ). pREDSTAWIM -FUNKCI@ W WIDE RQDA fURXE: 1 X 2 sin n x sin n x : (x ; x0 ) = l l 0 n=1 l qDRO G, O^EWIDNO, NADO ISKATX W WIDE SUMMY 1 X (18) G (x
x0
t) = An (t) sin nl x
n=1 KAVDOE SLAGAEMOE KOTOROJ DOLVNO UDOWLETWORQTX URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI. oTS@DA SLEDUET, ^TO

; n &2

An (t) = Bn e; l a t : iZ NA^ALXNOGO USLOWIQ SRAZU VE POLU^AEM Bn = 2l sin nl x0 : 19


2

292

priloveniq k glawe III

tAKIM OBRAZOM, MY FORMALXNO POLU^ILI DLQ QDRA G WYRAVENIE ; n &2 2 1 X G (x
x0
t) = 2l e; l a t sin nl x sin nl x0
(19) n=1 SOWPADA@]EE S PREDSTAWLENIEM DLQ FUNKCII ISTO^NIKA, KOTOROE BYLO ISSLEDOWANO W x 3. rEENIE ZADA^I (13) | (15) DAETSQ FORMULOJ (16), GDE G (x
x0
t) | FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ FORMULOJ (19). pODOBNYM VE OBRAZOM MOVNO NAJTI WYRAVENIE DLQ FUNKCII ISTO^NIKA NA NEOGRANI^ENNOJ PRQMOJ. fUNKCIQ G W \TOM SLU^AE BUDET OPREDELQTXSQ USLOWIQMI ut ; a2 uxx = 0 (;1 < x < 1)
(20) u (x
0) = ' (x) = (x ; x0 ): (21) iMEQ W WIDU RAZLOVENIE -FUNKCII W INTEGRAL fURXE

Z1

(x ; x0 ) = 1

BUDEM ISKATX G (x
x0
t) W WIDE G (x
x0
t) = 1

0

Z1 0

cos  (x ; x0 ) d


A (t) cos  (x ; x0 ) d:

iZ URAWNENIQ (20) NAHODIM ;a2 2 t A (t) = A(0) :  e pOLAGAQ t = 0 I SRAWNIWAQ FORMULY (23) I (21), POLU^AEM A(0)  = 1: tAKIM OBRAZOM, G (x
x0
t) = 1

Z1 0

(23)

e;a2 2 t cos  (x ; x0 ) d:

wY^ISLENIE \TOGO INTEGRALA DAET G (x
x0
t) =

(22)

1 e; x ax t p 2 a2 t (

2

; 0) 4 2

:

oTS@DA SLEDUET, ^TO REENIE ZADA^I O RASPROSTRANENII TEPLA NA BESKONE^NOJ PRQMOJ DOLVNO WYRAVATXSQ FORMULOJ u (x
t) =

Z1

;1

G (x

t) ' ( ) d:

(24)

VI.
-funkciq

293

wYQSNENIE GRANICY PRIMENIMOSTI FORMUL, POLU^ENNYH METODOM -FUNKCII, TREBUET SPECIALXNOGO ISSLEDOWANIQ. w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM TEPERX NEODNORODNOE URAWNENIE x
t)
ut = a2 uxx + F (c (25) GDE F (x
t) | PLOTNOSTX RASPREDELENNYH TEPLOWYH ISTO^NOKOW. eSLI W TO^KE x =  W MOMENT t = t0 POME]EN MGNOWENNYJ ISTO^NIK TEPLA MO]NOSTI Q0 , TO F (x
t) = Q0 (x ;  ) (t ; t0 ): (26) nAJDEM REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ (27) ut = a2 uxx + Qc0 (x ;  ) (t ; t0 ) (t0 > 0) PRI NULEWOM NA^ALXNOM USLOWII u (x
0) = 0: u^ITYWAQ INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE (x ;  ) = 1

Z1 0

cos  (x ;  ) d


BUDEM ISKATX FUNKCI@ u (x
t) W WIDE u (x
t) = 1

Z1 0

u (t) cos  (x ;  ) d:

pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W URAWNENIQ (27), POLU^AEM URAWNENIE DLQ u (t): u_  (t) + a2 2 u (t) = Qc0 (t ; t0 ) S NA^ALXNYM USLOWIEM u (0) = 0: kAK IZWESTNO, REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ u_ + 2 u = f (t)
u (0) = 0 IMEET WID

Zt

u (t) = e;2 (t; ) f ( ) d: 0

(28)

priloveniq k glawe III

294

w NAEM SLU^AE

8 > > Zt 2 2 <0 PRI t < t0
Q 0 ; a  ( t ;  ) u (t) = c e ( ; t0 ) d = > > 0 : Q0 e;a22 (t;t0) PRI t > t0: c

(29)

tAKIM OBRAZOM, Z1 2 2 Q 1 0 u (x
t) = c  e;a  (t;t0 ) cos  (x ;  ) d = Qc0 G (x

t ; t0 )
0 GDE (x;)2 ;t0 )

; G (x

t ; t0 ) = p 21 e 4a2 (t 2 a (t ; t )

0

| FUNKCIQ WLIQNIQ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA.

pODOBNYJ METOD POSTROENIQ FUNKCII WLIQNIQ ^ASTO ISPOLXZUETSQ W TEORETI^ESKOJ FIZIKE 1) .

1) sM. PODROBNOE IZLOVENIE TEORII
-FUNKCII I MNOGO^ISLENNYE PRIMERY EE PRIMENENIQ W KNIGE: i W A N E N K O d. d., s O K O L O W a. a. kLASSI^ESKAQ TEORIQ POLQ. (nOWYE PROBLEMY). m. l., 1951. gL. I.

g l a w a IV

urawneniq |llipti~eskogo tipa pRI ISSLEDOWANII STACIONARNYH PROCESSOW RAZLI^NOJ FIZI^ESKOJ PRIRODY (KOLEBANIQ, TEPLOPROWODNOSTX, DIFFUZIQ I DR.) OBY^NO PRIHODQT K URAWNENIQM \LLIPTI^ESKOGO TIPA. nAIBOLEE RASPROSTRANENNYM URAWNENIEM \TOGO TIPA QWLQETSQ U R A W N E N I E l A P L A S A u = 0: fUNKCIQ u NAZYWAETSQ G A R M O N I ^ E S K O J W OBLASTI T , ESLI ONA NEPRERYWNA W \TOJ OBLASTI WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI DO 2-GO PORQDKA I UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA. pRI IZU^ENII SWOJSTW GARMONI^ESKIH FUNKCIJ BYLI RAZRABOTANY RAZLI^NYE MATEMATI^ESKIE METODY, OKAZAWIESQ PLODOTWORNYMI I W PRIMENENII K URAWNENIQM GIPERBOLI^ESKOGO I PARABOLI^ESKOGO TIPOW.

x 1. zADA^I, PRIWODQ]IE K URAWNENI@ lAPLASA

1. sTACIONARNOE TEPLOWOE POLE. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^. rASSMOTRIM STACIONARNOE TEPLOWOE POLE. w GL. III BYLO POKAZANO,

^TO TEMPERATURA NESTACIONARNOGO TEPLOWOGO POLQ UDOWLETWORQET DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI  k ut = a2 u a2 = c : eSLI PROCESS STACIONAREN, TO USTANAWLIWAETSQ RASPREDELENIE TEMPERATURY u (x
y
z ), NE MENQ@]EESQ S TE^ENIEM WREMENI I, SLEDOWATELXNO, UDOWLETWORQ@]EE URAWNENI@ lAPLASA u = 0: (1) pRI NALI^II ISTO^NIKOW TEPLA POLU^AEM URAWNENIE u = ;f
f = Fk
(2) GDE F | PLOTNOSTX TEPLOWYH ISTO^NIKOW, A k | KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI. nEODNORODNOE URAWNENIE lAPLASA (2) ^ASTO NAZYWA@T U R A W N E N I E M p U A S S O N A.

296

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

rASSMOTRIM NEKOTORYJ OB_EM T , OGRANI^ENNYJ POWERHNOSTX@ . zADA^A O STACIONARNOM RASPREDELENII TEMPERATURY u (x
y
z ) WNUTRI TELA T FORMULIRUETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. nAJTI FUNKCI@ u (x
y
z )
UDOWLETWORQ@]U@ WNUTRI T URAWNENI@ u = ;f (x
y
z ) (2) I GRANI^NOMU USLOWI@
KOTOROE MOVET BYTX WZQTO W ODNOM IZ SLEDU@]IH WIDOW: A) u = f1 NA  (P E R W A Q K R A E W A Q Z A D A ^ A)
@u = f NA  B) @n (W T O R A Q K R A E W A Q Z A D A ^ A)
2 @u + h (u ; f ) = 0 NA  (T R E T X Q K R A E W A Q Z A D A ^ A)
W) @n 3 GDE f1
f2
f3
h | ZADANNYE FUNKCII
@u=@n | PROIZWODNAQ PO WNENEJ NORMALI K POWERHNOSTI  1) . fIZI^ESKIJ SMYSL \TIH GRANI^NYH USLOWIJ O^EWIDEN (SM. GL. III, x 1). pERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ lAPLASA ^ASTO NAZYWA@T Z A D A ^ E J d I R I H L E, A WTORU@ KRAEWU@ ZADA^U | Z A D A ^ E J n E J M A N A. eSLI I]ETSQ REENIE W OBLASTI T0 , WNUTRENNEJ (ILI WNENEJ) PO OTNOENI@ K POWERHNOSTI , TO SOOTWETSTWU@]U@ ZADA^U NAZYWA@T W N U T R E N N E J (ILI W N E  N E J) KRAEWOJ ZADA^EJ. 2. pOTENCIALXNOE TE^ENIE VIDKOSTI. pOTENCIAL STACIONARNOGO TOKA I \LEKTROSTATI^ESKOGO POLQ. w KA^ESTWE WTOROGO PRIMERA RASSMOTRIM POTENCIALXNOE TE^ENIE VIDKOSTI BEZ ISTO^NIKOW. pUSTX WNUTRI NEKOTOROGO OB_EMA T S GRANICEJ  IMEET MESTO STACIONARNOE TE^ENIE NESVIMAEMOJ VIDKOSTI (PLOTNOSTX  = const), HARAKTERIZUEMOE SKOROSTX@ v (x
y
z ). eSLI TE^ENIE VIDKOSTI NE WIHREWOE, TO SKOROSTX v QWLQETSQ POTENCIALXNYM WEKTOROM, T. E. v = ; grad '
(3) GDE ' | SKALQRNAQ FUNKCIQ, NAZYWAEMAQ P O T E N C I A L O M S K O R O ST I. eSLI OTSUTSTWU@T ISTO^NIKI, TO div v = 0: (4) 1)

o^EWIDNO, ^TO STACIONARNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY MOVET USTANOWITXSQ LIX PRI USLOWII RAWENSTWA NUL@ SUMMARNOGO POTOKA TEPLA ^EREZ GRANICU OBLASTI. oTS@DA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ f2 DOLVNA UDOWLETWORQTX DOPOLNITELXNOMU TREBOWANI@ ZZ f2 d = 0:

x 1]

zada~i, priwodq}ie k urawneni` laplasa

297

pODSTAWLQQ S@DA WYRAVENIE (3) DLQ v, POLU^IM div grad ' = 0
ILI ' = 0
(5) T. E. POTENCIAL SKOROSTI UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA. pUSTX W ODNORODNOJ PROWODQ]EJ SREDE IMEETSQ STACIONARNYJ TOK S OB_EMNOJ PLOTNOSTX@ j (x
y
z ). eSLI W SREDE NET OB_EMNYH ISTO^NIKOW TOKA, TO div j = 0: (6) |LEKTRI^ESKOE POLE E OPREDELQETSQ ^EREZ PLOTNOSTX TOKA IZ DIFFERENCIALXNOGO ZAKONA oMA E = j
(7) GDE  | PROWODIMOSTX SREDY. pOSKOLXKU PROCESS STACIONARNYJ, TO \LEKTRI^ESKOE POLE QWLQETSQ BEZWIHREWYM, ILI P o TE N C I A L X N Y M 1) , T. E. SU]ESTWUET TAKAQ SKALQRNAQ FUNKCIQ ' (x
y
z ), DLQ KOTOROJ E = ; grad ' ( j = ; grad ' ): (8) oTS@DA NA OSNOWANII FORMUL (6) I (7) ZAKL@^AEM, ^TO ' = 0
(9) T. E. POTENCIAL \LEKTRI^ESKOGO POLQ STACIONARNOGO TOKA UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA. rASSMOTRIM \LEKTRI^ESKOE POLE STACIONARNYH ZARQDOW. iZ STACIONARNOSTI PROCESSA SLEDUET, ^TO rot E = 0
(10) T. E. POLE QWLQETSQ POTENCIALXNYM I E = ; grad ': (80 ) pUSTX  (x
y
z ) | OB_EMNAQ PLOTNOSTX ZARQDOW, IME@]IHSQ W SREDE, HARAKTERIZUEMOJ DI\LEKTRI^ESKOJ POSTOQNNOJ " = 1. iSHODQ IZ OSNOWNOGO ZAKONA Z\LEKTRODINAMIKI Z ZZZ X En dS = 4 ei = 4  d (11) S

T

(GDE T | NEKOTORYJ OB_EM, S | POWERHNOSTX, EGO OGRANI^IWA@]AQ, P ei | SUMMA WSEH ZARQDOW WNUTRI T ) I POLXZUQSX TEOREMOJ oSTROGRADSKOGO | gAUSSA Z Z ZZZ En dS = div E d
(12) S

1) iZ WTOROGO URAWNENIQ mAKSWELLA

T

 H_ = ; rot E SLEDUET, ^TO rot E = 0. c

298

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

POLU^AEM

div E = 4: pODSTAWIW S@DA WYRAVENIE (8) DLQ E, BUDEM IMETX ' = ;4
(13) T. E. \LEKTROSTATI^ESKIJ POTENCIAL ' UDOWLETWORQET URAWNENI@ pUASSONA. eSLI OB_EMNYH ZARQDOW NET ( = 0), TO POTENCIAL ' DOLVEN

UDOWLETWORQTX URAWNENI@ lAPLASA ' = 0: oSNOWNYE KRAEWYE ZADA^I DLQ RASSMOTRENNYH PROCESSOW OTNOSQTSQ K TREM TIPAM, PRIWEDENNYM WYE. mY NE BUDEM ZDESX OSTANAWLIWATXSQ NA NEKOTORYH DRUGIH KRAEWYH ZADA^AH, HARAKTERNYH DLQ RAZLI^NYH FIZI^ESKIH PROCESSOW. nEKOTORYE IZ \TIH ZADA^ BUDUT PRIWEDENY W PRILOVENIQH. 3. uRAWNENIE lAPLASA W KRIWOLINEJNOJ SISTEME KOORDINAT. wYWEDEM WYRAVENIE DLQ OPERATORA lAPLASA W ORTOGONALXNOJ KRIWOLINEJNOJ SIrIS. 44 STEME KOORDINAT. pUSTX W PROSTRANSTWE WMESTO DEKARTOWYH KOORDINAT x, y, z WWEDENY KRIWOLINEJNYE KOORDINATY q1 , q2 , q3 S POMO]X@ SOOTNOENIJ q1 = f1 (x
y
z )
q2 = f2 (x
y
z )
q3 = f3 (x
y
z )
(14) RAZREAQ KOTORYE OTNOSITELXNO x, y, z , MOVNO NAPISATX x = '1 (q1
q2
q3 )
y = '2 (q1
q2
q3 )
z = '3 (q1
q2
q3 ): (15) pOLAGAQ q1 = C1 , q2 = C2 , q3 = C3 , GDE C1 , C2 , C3 | POSTOQNNYE, POLU^IM TRI SEMEJSTWA KOORDINATNYH POWERHNOSTEJ: f1 (x
y
z ) = C1
f2 (x
y
z ) = C2
f3 (x
y
z ) = C3 : (16) rASSMOTRIM \LEMENT OB_EMA W NOWYH KOORDINATAH, OGRANI^ENNYJ TREMQ PARAMI KOORDINATNYH POWERHNOSTEJ (RIS. 44). wDOLX REBRA AB q2 = const, q3 = const, WDOLX AD q1 = const, q2 = const, WDOLX AC q1 = const, q3 = const. nAPRAWLQ@]IE KOSINUSY KASATELXNOJ K REBRAM AB , AC I AD PROPORCIONALXNY SOOTWETSTWENNO @'1
@'2
@'3  @'1
@'2
@'3  @'1
@'2
@'3 : @q1 @q1 @q1 @q2 @q2 @q2 @q3 @q3 @q3 uSLOWIE ORTOGONALXNOSTI REBER BUDET IMETX WID @'1 @'1 + @'2 @'2 + @'3 @'3 = 0 (i 6= k): (17) @qi @qk @qi @qk @qi @qk

x 1]

zada~i, priwodq}ie k urawneni` laplasa

299

wY^ISLIM \LEMENT DLINY W NOWYH KOORDINATAH:  1 @'1 dq + @'1 dq 2 + ds2 = dx2 + dy2 + dz 2 = @' dq + @q 1 @q 2 @q 3  @'2 1 @'2 2 @'2 3 2 + @q dq1 + @q dq2 + @q dq3 + 1 3  @'32 2 @' @' 3 3 + @q dq1 + @q dq2 + @q dq3 : (18) 1 2 3 rASKRYWAQ SKOBKI I U^ITYWAQ USLOWIQ ORTOGONALXNOSTI (17), POLU^AEM ds2 = H12 dq12 + H22 dq22 + H32 dq32
(19) GDE  @'1 2  @' 2  @' 2 9 2 H1 = @q + @q 2 + @q 3
> > > 1 1 1 >

>  @' 2  @' 2  @' 2 > = 2 3 1 2 H2 = @q + @q + @q
> 2 2 2 >  @' 2  @'2 2  @'3 2 > >  H32 = @q 1 + @q + @q :> 3

3

3

(20)

wDOLX KAVDOGO IZ REBER \LEMENTARNOGO OB_EMA MENQETSQ TOLXKO ODNA KOORDINATA, PO\TOMU DLQ DLINY \TIH REBER SOGLASNO FORMULE (19) BUDEM IMETX ds1 = H1 dq1
ds2 = H2 dq2
ds3 = H3 dq3
(21) TAK ^TO \LEMENT OB_EMA RAWEN dv = ds1 ds2 ds3 = H1 H2 H3 dq1 dq2 dq3 : (22) rASSMOTRIM TEPERX NEKOTOROE WEKTORNOE POLE A (x
y
z ). wY^ISLIM div A, OPREDELQEMU@ IZWESTNOJ FORMULOJ WEKTORNOGO ANALIZA ZZ An dS div A = v lim!0 S v
(23) M M GDE S | POWERHNOSTX, OGRANI^IWA@]AQ NEKOTORYJ OB_EM vM , SODERVA]IJ RASSMATRIWAEMU@ TO^KU M . pRIMENIM \TU FORMULU K \LEMENTU OB_EMA dv, IZOBRAVENNOMU NA RIS. 44. pOLXZUQSX TEOREMOJ O SREDNEM, MOVNO PREDSTAWITX RAZNOSTX POTOKOW WEKTORA A ^EREZ PROTIWOPOLOVNYE GRANI, NAPRIMER ^EREZ PRAWU@ I LEWU@, W WIDE Q1 = A1 ds2 ds3 jq1 +dq1 ; A1 ds2 ds3 jq1 :

urawneniq |llipti~eskogo tipa

300

gl. IV

pRINIMAQ WO WNIMANIE FORMULY (21), POLU^IM





Q1 = H2 H3 A1 jq1 +dq1 ; H2 H3 A1 jq1 dq2 dq3 = = @q@ (H2 H3 A1 ) dq1 dq2 dq3 : (24) 1 aNALOGI^NO WY^ISLQ@TSQ DWE DRUGIE RAZNOSTI POTOKOW ^EREZ PROTIWOPOLOVNYE GRANI: Q2 = @q@ (H3 H1 A2 ) dq1 dq2 dq3
(25) 2 Q3 = @q@ (H1 H2 A3 ) dq1 dq2 dq3 : 3

(26)

RR

pODSTAWLQQ W FORMULU (23) ZNA^ENIE An dS = Q1 + Q2 + Q3 I POLXS ZUQSX FORMULOJ (22), POLU^AEM WYRAVENIE DIWERGENCII W KRIWOLINEJNYH ORTOGONALXNYH KOORDINATAH:   div A = H H1 H @q@ (H2 H3 A1 ) + @q@ (H3 H1 A2 ) + @q@ (H1 H2 A3 ) : 1 2 3 1 2 3 (27)

pREDPOLOVIM, ^TO POLE A POTENCIALXNOE, T. E. A = grad u: (28) tOGDA @u = 1 @u  A = 1 @u  A = 1 @u : (29) A1 = @s 2 H @q 3 H @q 1 H1 @q1 2 2 3 3 pODSTAWIW W (27) WYRAVENIQ (29) DLQ A1 , A2 , A3 , POLU^IM WYRAVENIE DLQ OPERATORA lAPLASA:   H @u  2 3 u = div grad u = H H1 H @q@ HH + 1 2 3 1 1 @q1  3 H1 @u  @  H1 H2 @u  + @q@ HH @q + @q H @q : (30) 2

2

2

3

3

3

tAKIM OBRAZOM, URAWNENIE lAPLASA u = 0 W ORTOGONALXNYH KRIWOLINEJNYH KOORDINATAH q1 , q2 I q3 ZAPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:  @  H2H3 @u  1 H1 H2 H3 @q1 H1 @q1 +     @u + @ H1 H2 @u = 0: (31) + @q@ HH3 H1 @q @q H @q 2

2

2

3

3

3

x 1]

zada~i, priwodq}ie k urawneni` laplasa

301

rASSMOTRIM DWA ^ASTNYH SLU^AQ. 1. s F E R I ^ E S K I E K O O R D I N A T Y. w \TOM SLU^AE q1 = r, q2 = , q3 = ' I FORMULY PREOBRAZOWANIQ (15) PRINIMA@T WID x = r sin  cos '
y = r sin  sin '
z = r cos : wY^ISLIM ds2 : ds2 = (sin  cos ' dr + r cos  cos ' d ; r sin  sin ' d')2 + + (sin  sin ' dr + r cos  sin ' d + r sin  cos ' d')2 + + (cos  dr ; r sin  d)2  POSLE RASKRYTIQ SKOBOK I UPRO]ENIJ NAHODIM ds2 = dr2 + r2 d2 + r2 sin2  d'2
T. E. H1 = 1
H2 = r
H3 = r sin : pODSTAWIW ZNA^ENIQ H1 , H2 , H3 W FORMULU (31), POLU^IM URAWNENIE lAPLASA W SFERI^ESKIH KOORDINATAH: @   @  @u  @  1 @u  1 @u 2 r2 sin  @r r sin  @r + @ sin  @ + @' sin  @' = 0
ILI OKON^ATELXNO     @ r2 @u + 1 @ sin  @u + 1 @ 2 u = 0: r'u = r12 @r @r r2 sin  @ @ r2 sin2  @'2 (32) 2. c I L I N D R I ^ E S K I E K O O R D I N A T Y. w \TOM SLU^AE q1 = , q2 = ', q3 = z I x =  cos '
y =  sin '
z = z


TAK ^TO

H1 = 1
H2 = 
H3 = 1: uRAWNENIE lAPLASA W CILINDRI^ESKIH KOORDINATAH PRINIMAET WID  @u  1 @ 2u @ 2u 1 @ (33) 'z u =  @  @ + 2 @'2 + @z 2 = 0: eSLI ISKOMAQ FUNKCIQ u NE ZAWISIT OT z , TO URAWNENIE (33) UPRO]AETSQ:  @u  1 @ 2u 1 @ ' u =  @  @ + 2 @'2 = 0: (34)

4. nEKOTORYE ^ASTNYE REENIQ URAWNENIQ lAPLASA. bOLXOJ INTERES PREDSTAWLQ@T REENIQ URAWNENIQ lAPLASA, OBLADA@]IE SFERI^ESKOJ ILI CILINDRI^ESKOJ SIMMETRIEJ, T. E. ZAWISQ]IE TOLXKO OT ODNOJ PEREMENNOJ r ILI .

302

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

rEENIE URAWNENIQ lAPLASA u = U (r), OBLADA@]EE SFERI^ESKOJ SIMMETRIEJ, BUDET OPREDELQTXSQ IZ OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ   d r2 dU = 0: dr dr iNTEGRIRUQ \TO URAWNENIE, NAHODIM U = Cr1 + C2
GDE C1 I C2 | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. pOLAGAQ, NAPRIMER, C1 = 1, C2 = 0, POLU^AEM FUNKCI@ (35) U0 = 1r
KOTORU@ ^ASTO NAZYWA@T F U N D A M E N T A L X N Y M R E  E N I E M U R A WN E N I Q l A P L A S A W P R O S T R A N S T W E. aNALOGI^NO, POLAGAQ u = U () I POLXZUQSX URAWNENIEM (33) ILI (34), NAJDEM REENIE, OBLADA@]EE CILINDRI^ESKOJ ILI KRUGOWOJ SIMMETRIEJ (W SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH), W WIDE U () = C1 ln  + C2 : wYBIRAQ C1 = ;1 I C2 = 0, BUDEM IMETX U0 = ln 1 : (36)

fUNKCI@ U0 () ^ASTO NAZYWA@T F U N D A M E N T A L X N Y M R E  E N IE M U R A W N E N I Q l A P L A S A N A P L O S K O S T I (DLQ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH). fUNKCIQ U0 = 1=r UDOWLETWORQET URAWNENI@ u = 0 WS@DU, KROME TO^KI r = 0, GDE ONA OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX. s TO^NOSTX@ DO MNOVITELQ PROPORCIONALXNOSTI ONA SOWPADAET S POLEM TO^E^NOGO ZARQDA e, POME]ENNOGO W NA^ALE KOORDINAT POTENCIAL \TOGO POLQ RAWEN u = re : aNALOGI^NO FUNKCIQ ln(1=) UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA WS@DU, KROME TO^KI  = 0, GDE ONA OBRA]AETSQ W (POLOVITELXNU@) BESKONE^NOSTX, I S TO^NOSTX@ DO MNOVITELQ SOWPADAET S POLEM ZARQVENNOJ LINII (SM. PODROBNEE x 5, P. 2), POTENCIAL KOTOROGO RAWEN u = 2e1 ln 1


x 1]

zada~i, priwodq}ie k urawneni` laplasa

303

GDE e1 | PLOTNOSTX ZARQDA, RASS^ITANNAQ NA EDINICU DLINY. |TI FUNKCII IME@T BOLXOE ZNA^ENIE W TEORII GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. 5. gARMONI^ESKIE FUNKCII I ANALITI^ESKIE FUNKCII KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. wESXMA OB]IM METODOM REENIQ DWUMERNYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA QWLQETSQ METOD, ISPOLXZU@]IJ FUNKCII KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. pUSTX w = f (z ) = u (x
y) + iv (x
y) | NEKOTORAQ FUNKCIQ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO z = x + iy, PRI^EM u I v QWLQ@TSQ WE]ESTWENNYMI FUNKCIQMI PEREMENNYH x I y. nAIBOLXIJ INTERES PREDSTAWLQ@T TAK NAZYWAEMYE A N A L I T I ^ E S K I E FUNKCII, DLQ KOTORYH SU]ESTWUET PROIZWODNAQ dw = lim w = lim f (z + z ) ; f (z ) : dz z!0 z z!0 z pRIRA]ENIE z = x + i y, O^EWIDNO, MOVET STREMITXSQ K NUL@ MNOGIMI SPOSOBAMI. dLQ KAVDOGO IZ SPOSOBOW STREMLENIQ z K NUL@, WOOB]E GOWORQ, MOVET POLU^ITXSQ SWOE ZNA^ENIE PREDELA. oDNAKO0 , ESLI FUNKCIQ w = f (z ) ANALITI^ESKAQ, TO PREDEL lim f=z = f (z ) NE z!0 ZAWISIT OT WYBORA PUTI. nEOBHODIMYMI I DOSTATO^NYMI USLOWIQMI ANALITI^NOSTI FUNKCII QWLQ@TSQ TAK NAZYWAEMYE U S L O W I Q k O  I | r I M A N A ) ux = vy
(37) uy = ;vx : |TI USLOWIQ MOVNO POLU^ITX, NAPRIMER, SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX w = u + iv = f (z ) | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ. wY^ISLQQ PROIZWODNYE wx = ux + ivx = @w@z(z ) zx = dw dz
wy = uy + ivy = @w@z(z ) zy = i dw dz I TREBUQ RAWENSTWA ZNA^ENIJ dw=dz , OPREDELQEMYH IZ \TIH DWUH SOOTNOENIJ, POLU^AEM ux + ivx = vy ; iuy = dw dz
OTKUDA I SLEDU@T USLOWIQ kOI | rIMANA. nA DOKAZATELXSTWE DOSTATO^NOSTI \TIH USLOWIJ MY NE BUDEM OSTANAWLIWATXSQ. w TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO DOKAZYWAETSQ, ^TO FUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ W NEKOTOROJ OBLASTI G PLOSKOSTI z = x + + iy, IMEET W \TOJ OBLASTI PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW I RAZLAGAETSQ

304

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

W STEPENNOJ RQD. w ^ASTNOSTI, DLQ TAKOJ FUNKCII u (x
y) I v (x
y) IME@T NEPRERYWNYE PROIZWODNYE 2-GO PORQDKA PO x I y. dIFFERENCIRUQ PERWOE RAWENSTWO FORMULY (37) PO x, A WTOROE PO y, POLU^AEM uxx + uyy = 0
ILI 2 u = 0: pODOBNYM VE OBRAZOM, MENQQ PORQDOK DIFFERENCIROWANIQ, NAHODIM vxx + vyy = 0
ILI 2 v = 0: tAKIM OBRAZOM, DEJSTWITELXNAQ I MNIMAQ ^ASTI ANALITI^ESKOJ FUNKCII UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ lAPLASA. oBY^NO GOWORQT, ^TO u I v, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ kOI | rIMANA, QWLQ@TSQ S O P R QV E N N Y M I G A R M O N I ^ E S K I M I F U N K C I Q M I. rASSMOTRIM PREOBRAZOWANIE ) x = x (u
v)
u = u (x
y)
(38) y = y (u
v)
v = v (x
y)
WZAIMNO ODNOZNA^NO0 OTOBRAVA@]EE NEKOTORU@ OBLASTX G PLOSKOSTI (x
y) NA OBLASTX G PLOSKOSTI (u
v), TAK ^TO KAVDOJ TO^KE OBLASTI G SOOTWETSTWUET0 OPREDELENNAQ TO^KA OBLASTI G0 I, OBRATNO, KAVDOJ TO^KE OBLASTI G SOOTWETSTWUET OPREDELENNAQ TO^KA OBLASTI G. pUSTX U = U (x
y) | NEKOTORAQ WE]ESTWENNAQ DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ, OPREDELENNAQ WNUTRI OBLASTI G. wYQSNIM, KAK IZMENQETSQ PRI PREOBRAZOWANII (38) OPERATOR lAPLASA FUNKCII U = U (x (u
v)
y (u
v)) = U~ (u
v): wY^ISLIM PROIZWODNYE FUNKCII U : Ux = U~u ux + U~v vx
Uy = U~u uy + U~v vy
Uxx = U~uu u2x + U~vv vx2 + 2U~uv uxvx + U~u uxx + U~v vxx
Uyy = U~uu u2y + U~vv vy2 + 2U~uv uy vy + U~u uyy + U~v vyy : iSPOLXZUQ IH PRI PREOBRAZOWANII OPERATORA lAPLASA, POLU^AEM Uxx + Uyy = U~uu (u2x + u2y ) + U~vv (vx2 + vy2 ) + + 2U~uv (uxvx + uy vy ) + U~u (uxx + uyy ) + U~v (vxx + vyy ): (39) eSLI u I v QWLQ@TSQ SOPRQVENNYMI GARMONI^ESKIMI FUNKCIQMI, TO PREOBRAZOWANIE (38) \KWIWALENTNO PREOBRAZOWANI@, OSU]ESTWLQEMOMU ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ w = f (z ) = u + iv (z = x + iy): (40)

x 1]

zada~i, priwodq}ie k urawneni` laplasa

305

w \TOM SLU^AE W SILU USLOWIJ kOI | rIMANA (37) DLQ FUNKCIJ u I v DOLVNY WYPOLNQTXSQ SOOTNOENIQ u2x + u2y = u2x + vx2 = vy2 + vx2 = jf 0 (z )j2
ux vx + uy vy = 0: sLEDOWATELXNO, S U^ETOM GARMONI^NOSTI u I v FORMULA (39) PRINIMAET WID Uxx + Uyy = (U~uu + U~vv ) jf 0 (z )j2
(41) ILI uv U~ = jf 0 (1z )j2 xy U: (410 )

tAKIM OBRAZOM, W REZULXTATE PREOBRAZOWANIQ (40) GARMONI^ESKAQ W OBLASTI G FUNKCIQ U (x
y) PEREHODIT W FUNKCI@ U~ = U (u
v), GARMONI^ESKU@ W OBLASTI G0 , ESLI TOLXKO jf 0 (z )j2 6= 0. 6. pREOBRAZOWANIE OBRATNYH RADIUSOW-WEKTOROW. pRI IZU^ENII GARMONI^ESKIH FUNKCIJ ^ASTO POLXZU@TSQ PREOBRAZOWANIEM OBRATNYH RADIUSOW-WEKTOROW. p R E O B R A Z O W A N I E M O B R A T N Y H R AD I U S O W - W E K T O R O W W SFERE RADIUSA a NAZYWAETSQ TAKOE PREOBRAZOWANIE , PRI KOTOROM WSQKOJ TO^KE M STAWITSQ W SOOTWETSTWIE TO^KA M 0 , LEVA]AQ NA TOM VE 0LU^E IZ NA^ALA KOORDINAT, ^TO I TO^KA M , RADIUS-WEKTOR KOTOROJ r SWQZAN S RADIUSOM-WEKTOROM r TO^KI M SOOTNOENIEM 2 (42) r0 r = a2
ILI r0 = ar : w DALXNEJEM BUDEM S^ITATX a = 1, ^EGO MOVNO WSEGDA DOBITXSQ IZMENENIEM MASTABA DLINY. pOKAVEM, ^TO GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH u (
') PREOBRAZOWANIEM OBRATNYH RADIUSOW-WEKTOROW PEREWODITSQ W GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ v (0
') = u (
')
GDE  = 10 : (43) w SAMOM DELE, FUNKCIQ u (
'), A TEM SAMYM I FUNKCIQ v(1=
'), KAK FUNKCII PEREMENNYH  I ' UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM  @u  @ 2u @ 2   ' u =  @  @ + @'2 = 0 I   @  @v + @ 2 v = 0: 2  ' v =  @ @ @'2 20 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

306

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

pEREHODQ K PEREMENNYM 0 I ', POLU^AEM @v =  @v @0 = ; 0 @v
 @ @0 @ @0 OTKUDA I SLEDUET, ^TO v (0
') UDOWLETWORQET URAWNENI@  'v = 0, TAK KAK  @v  @ 2v 0 2   ' v = 0 @@ 0 0 @ 0 + @'2 = 0: pEREHODQ K SLU^A@ TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH, POKAVEM, ^TO FUNKCIQ 0

v (r0

') = ru (r

')
GDE r = r10


(44)

UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA r   ' v = 0, ESLI u (r

') | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ SWOIH PEREMENNYH: r  ' u = 0. pREOBRAZOWANIE (44) ^ASTO NAZYWA@T P R E O B R A Z O W A N I E M k E L X W I N A. lEGKO UBEDITXSQ NEPOSREDSTWENNYM DIFFERENCIROWANIEM, ^TO PERWOE SLAGAEMOE W OPERATORE lAPLASA (32) PREOBRAZUETSQ K WIDU   1 @ r2 @u = @ 2 u + 2 @u = 1 @ 2 (ru)
(45) r2 @r @r @r2 r @r r @r2 TAK ^TO   2 ) 1 1 @  @u + 1 @ 2 u = 0
r r  'u = @ @r(ru + sin  2 r sin  @ @ sin2  @'2 ILI     @ 2 v + 1 1 @ sin  @v + 1 @ 2 v = 0: @r2 r2 sin  @ @ sin2  @'2 zAME^AQ, ^TO @v = @v @r0 = ; r0 2 @v
@r @r0 @r @r0 NAHODIM, ^TO v UDOWLETWORQET URAWNENI@ r   'v = 0, TAK KAK  2 @v  2  1 @  @v  1 @ 2v  2 @ 0 r @r0 r0 @r0 + r0 sin  @ sin  @ + 2 @'2 = 0
sin  ILI r0 4 r   ' v = 0: 0

0

0

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

307

x 2. oB]IE SWOJSTWA GARMONI^ESKIH FUNKCIJ

w NASTOQ]EM PARAGRAFE DAETSQ INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE GARMONI^ESKIH FUNKCIJ, QWLQ@]EESQ OSNOWNYM APPARATOM DLQ IZU^ENIQ IH OB]IH SWOJSTW. oDNIM IZ WAVNEJIH SLEDSTWIJ INTEGRALXNOJ FORMULY QWLQETSQ PRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, MNOGOKRATNO ISPOLXZUEMYJ NAMI W DALXNEJEM KAK PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY EDINSTWENNOSTI, TAK I PRI REENII KRAEWYH ZADA^. zDESX TAKVE DAETSQ MATEMATI^ESKAQ POSTANOWKA WNUTRENNIH I WNENIH KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA I DOKAZYWAETSQ EDINSTWENNOSTX I USTOJ^IWOSTX REENIQ \TIH ZADA^. 1. fORMULY gRINA. iNTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE REENIQ. pRI IZU^ENII URAWNENIJ \LLIPTI^ESKOGO TIPA MY ^ASTO BUDEM POLXZOWATXSQ FORMULAMI gRINA, QWLQ@]IMISQ PRQMYM SLEDSTWIEM FORMULY oSTROGRADSKOGO | gAUSSA. fORMULA oSTROGRADSKOGO | gAUSSA W PROSTEJEM SLU^AE IMEET WID 1) ZZ ZZZ @R R cos  d
(1) @z dx dy dz = T



GDE T | NEKOTORYJ OB_EM, OGRANI^ENNYJ DOSTATO^NO GLADKOJ POWERHNOSTX@ , R (x
y
z ) | PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ, NEPRERYWNAQ W OBLASTI T +  I DIFFERENCIRUEMAQ WNUTRI T ,  | UGOL MEVDU WNENEJ NORMALX@ K  I OSX@ z . w SPRAWEDLIWOSTI \TOJ FORMULY NETRUDNO UBEDITXSQ, WYPOLNQQ INTEGRIROWANIE PO z . fORMULU oSTROGRADSKOGO | gAUSSA OBY^NO ZAPISYWA@T W WIDE ZZZ  @P @Q @R  Z Z (P cos + Q cos  + R cos  ) d
(2) @x + @y + @z d = T



GDE d = dx dy dz | \LEMENT OB_EMA, = (d nx),  = (d ny),  = (d nz ) | UGLY WNENEJ NORMALI n K POWERHNOSTI  S KOORDINATNYMI OSQMI, P , Q, R | PROIZWOLXNYE DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII 2) . eSLI P , Q, R RASSMATRIWATX KAK KOMPONENTY NEKOTOROGO WEKTORA A = P i + Q j + R k, TO FORMULU oSTROGRADSKOGO | gAUSSA (2) MOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM: ZZZ ZZ div A d = An d
(20 ) T



1) b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. M., 1967. 2) w DALXNEJEM MY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO K TEM OBLASTQM, S KOTORYMI

MY BUDEM IMETX DELO, PRIMENIMA FORMULA oSTROGRADSKOGO | gAUSSA. tAKIMI POWERHNOSTQMI QWLQ@TSQ, NAPRIMER, POWERHNOSTI S KUSO^NO-NEPRERYWNOJ KRIWIZNOJ, A TAKVE POWERHNOSTI lQPUNOWA (SM. x 5). 20


308

urawneniq |llipti~eskogo tipa

GDE

gl. IV

@Q @R div A = @P @x + @y + @z

I

An = P cos + Q cos  + R cos  | SOSTAWLQ@]AQ WEKTORA A WDOLX WNENEJ NORMALI. pEREJDEM TEPERX K WYWODU FORMUL gRINA. pUSTX u = u (x
y
z ) I v = v (x
y
z ) | FUNKCII, NEPRERYWNYE WMESTE SO SWOIMI PERWYMI PROIZWODNYMI WNUTRI T +  I IME@]IE NEPRERYWNYE WTORYE PROIZWODNYE WNUTRI T . pOLAGAQ @v
Q = u @v
R = u @v P = u @x @y @z

I POLXZUQSX FORMULOJ oSTROGRADSKOGO | gAUSSA (20 ), PRIHODIM K TAK NAZYWAEMOJ P E R W O J F O R M U L E g R I N A: ZZZ Z Z @v ZZZ  @u @v @u @v @u @v  u v d = u @n d ; @x @x + @y @y + @z @z d
T

T



(3)

@ 2 + @ 2 + @ 2 | OPERATOR lAPLASA, @ = cos @ + GDE  = @x 2 @y2 @z 2 @n @x @ @ + cos  @y + cos  @z | PROIZWODNAQ PO NAPRAWLENI@ WNENEJ NORMALI. eSLI U^ESTX SOOTNOENIE @v @u @v @u @v grad u grad v = ru  rv = @u @x @x + @y @y + @z @z
TO FORMULU gRINA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE ZZZ ZZZ Z Z @v u v d = ; ru rv d + u @n d: (30 ) T

T



T

T



mENQQ MESTAMI FUNKCII u I v, BUDEM IMETX ZZZ ZZZ Z Z @u v u d = ; rv ru d + v @n d:

(4)

wY^ITAQ IZ RAWENSTWA (30 ) RAWENSTWO (4), POLU^AEM W T O R U @ F O R M ULU gRINA ZZZ Z Z  @v @u  (u v ; v u) d = u @n ; v @n d: (5) T



x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

309

oBLASTX T MOVET BYTX OGRANI^ENA NESKOLXKIMI POWERHNOSTQMI. fORMULY gRINA PRIMENIMY I W \TOM SLU^AE, PRI^EM POWERHNOSTNYE INTEGRALY SLEDUET BRATX PO WSEM POWERHNOSTQM, OGRANI^IWA@]IM OBLASTX T . dLQ FUNKCIJ u = u (x
y), v = v (x
y) DWUH PEREMENNYH IME@T MESTO ANALOGI^NYE FORMULY gRINA. wTORAQ FORMULA gRINA W OBLASTI S S GRANICEJ C IMEET WID ZZ Z  @v @u  (u 2 v ; v 2 u) dS = u @n ; v @n ds
S C GDE dS = dx dy, ds | \LEMENT DUGI WDOLX C , 2 v = vxx + vyy , @=@n | PROIZWODNAQ PO NAPRAWLENI@ WNENEJ K KONTURU C NORMALI n. kAK MY WIDELI (x 1, P. 4), FUNKCIQ U0 (M ) = R1
GDE p R = (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z ; z0 )2 rIS. 45 | RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI M (x
y
z ) I M0 (x0
y0
z0 ), UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA PRI M 6= M0. pUSTX u (M ) | FUNKCIQ, NEPRERYWNAQ WMESTE S PERWYMI PROIZWODNYMI W OBLASTI T +  I IME@]AQ WTORYE PROIZWODNYE W T . rASSMOTRIM FUNKCI@ v = 1=RMM0 , GDE M0 | NEKOTORAQ WNUTRENNQQ TO^KA OBLASTI T . pOSKOLXKU \TA FUNKCIQ IMEET WNUTRI T RAZRYW NEPRERYWNOSTI W TO^KE M0 (x0
y0
z0 ), TO NEPOSREDSTWENNO PRIMENITX WTORU@ FORMULU gRINA W OBLASTI T K FUNKCIQM u I v NELXZQ. oDNAKO FUNKCIQ v = 1=RMM0 OGRANI^ENA W OBLASTI T ; K" S GRANICEJ  + + " , GDE K" | AR RADIUSA " S CENTROM W TO^KE M0 I POWERHNOSTX@ " (RIS. 45). pRIMENQQ WTORU@ FORMULU gRINA (5) K FUNKCIQM u I v = 1=R W OBLASTI T ; K" , POLU^AEM ZZZ  1 1  u  R ; R u d = T ;K"

=

Z Z  @  1  1 @u  Z Z @  1  Z Z 1 @u u @n R ; R @n d + u @n R d ; R @n d: "



"

(6)

w PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA TOLXKO POSLEDNIE DWA INTEGRALA ZAWISQT OT ". wY^ISLQQ PROIZWODNU@ PO WNENEJ NORMALI K OBLASTI T ; K" NA " , NAJDEM, ^TO     @ 1  = ; @ 1  = 1
@n R  @r R  "2 "

r="

urawneniq |llipti~eskogo tipa

310

OTKUDA

ZZ "

 

@ 1 d = 1 u @n R "2

ZZ "

gl. IV

u d = "12 4"2 u
= 4u



(7)

GDE u | SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCII u (M ) NA POWERHNOSTI " . pREOBRAZUEM TRETIJ INTEGRAL:     Z Z 1 @u 1 Z Z @u d = 1 4"2 @u
= 4" @u
: (8) d = R @n " @n " @n @n


"

"

zDESX (@u=@n) | SREDNEE ZNA^ENIE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ @u=@n NA SFERE " . pODSTAWLQQ WYRAVENIQ (7) I (8) W FORMULU (6) I U^ITYWAQ, ^TO  (1=R) = 0 W T ; K" , BUDEM IMETX  @u 
ZZZ  1  Z Z  @  1  1 @u 
; R u d = u @n R ; R @n d + 4u ; 4" @n :


T ;K"



(9)

uSTREMIM TEPERX RADIUS " K NUL@. tOGDA POLU^IM:
1) "lim u = u (M0), TAK KAK u (M ) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, A !0
u | EE SREDNEE ZNA^ENIE PO SFERE RADIUSA " S CENTROM W TO^KE M0 
= 0, TAK KAK IZ NEPRERYWNOSTI PERWYH PROIZ2) "lim 4 " ( @u=@n ) !0 WODNYH FUNKCII u (M ) WNUTRI T SRAZU VE WYTEKAET OGRANI^ENNOSTX NORMALXNOJ PROIZWODNOJ @u = @u cos + @u cos  + @u cos  @n @x @y @z W OKRESTNOSTI TO^KI M0 3) PO OPREDELENI@ NESOBSTWENNOGO INTEGRALA lim "!0

ZZZ  T ;K"

; R1 u



d =

ZZZ  T

; R1 u



d:

w REZULXTATE UKAZANNOGO PREDELXNOGO PEREHODA " ! 0 MY PRIHODIM K O S N O W N O J I N T E G R A L X N O J F O R M U L E g R I N A  1  1 @u  ZZ  @ 4u (M0) = ; u (P ) @n RM0 P ; RM0 P @n dP ; ZZZ ; RuM(0MM) dM
(10) T

GDE P = P (

 ) | TO^KA S KOORDINATAMI  , ,  , LEVA]AQ NA POWERHNOSTI .

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

311

eSLI TO^KA M0 NAHODITSQ WNE OBLASTI T , TO v = 1=RMM0 NEPRERYWNA I GARMONI^NA WO WSEH TO^KAH OBLASTI T . pO\TOMU SLEWA W FORMULE (10) POLU^IM NULX. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA M0 PRINADLEVIT POWERHNOSTI . pREDPOLOVIM, ^TO  IMEET W M0 KASATELXNU@ PLOSKOSTX S NEPRERYWNYMI UGLOWYMI KO\FFICIENTAMI. sFERA " RADIUSA " S CENTROM W M0 PERESEKAET POWERHNOSTX  I DELIT EE NA DWE ^ASTI: 1 I 2 , ^ASTX 1 LEVIT WNUTRI ARA K" . fORMULU gRINA (5) PRIMENIM K u I v = 1=R W OBLASTI T ; T1 , GDE T1 | OBLASTX, OGRANI^ENNAQ 1 I ^ASTX@ SFERY 0" , LEVA]EJ WNUTRI T . oB]AQ SHEMA RASSUVDENIJ, PRIWEDIH K (9), OSTAETSQ NEIZMENNOJ. pRI \TOM SLEDUET LIX U^ESTX, ^TO INTEGRAL PO 1 + 0" STREMITSQ K 2u (M0 ), I WNESTI SOOTWETSTWU@]IE IZMENENIQ W (7), (8) I (80 ). w REZULXTATE MY PRIHODIM K FORMULE, POLU^A@]EJSQ IZ (10) PRI ZAMENE 4 NA 2. oB_EDINQQ WSE SLU^AI, ZAPIEM OSNOWNU@ FORMULU gRINA W WIDE Z Z  1 @u @  1  d ; &  u (M0) = ( P ) ; u ( P ) P RM0 P @nP @nP RM0 P ZZZ ; RuM(0MM) dM
(100) T

GDE & PRINIMAET SLEDU@]IE ZNA^ENIQ: 8 > <4
ESLI TO^KA M0 LEVIT WNUTRI T , & = >2
ESLI TO^KA M0 LEVIT NA GRANICE , : 0
ESLI TO^KA M0 LEVIT WNE T . oTMETIM, ^TO ESLI TO^KA M0 QWLQETSQ KONI^ESKOJ WERINOJ POWERHNOSTI , TO & = , GDE | WELI^INA TELESNOGO UGLA, OBRAZUEMOGO KASATELXNYMI K  W TO^KE M0 . dLQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII u = 0 I FORMULA (10) PRINIMAET WID  1  Z Z  1 @u 1 @ u (M0 ) = 4 RM0 P @nP (P ) ; u (P ) @nP RM0 P dP (11)

(ZDESX M0 | TO^KA WNUTRI T ). tAKIM OBRAZOM, ZNA^ENIE GARMONI^ESKOJ FUNKCII W L@BOJ WNU-

TRENNEJ TO^KE OBLASTI WYRAVAETSQ ^EREZ ZNA^ENIE \TOJ FUNKCII I EE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ NA POWERHNOSTI OBLASTI. pRI \TOM PREDPOLAGAETSQ NEPRERYWNOSTX FUNKCII u I EE PERWYH PROIZWODNYH WPLOTX DO GRANICY. oTMETIM SRAZU VE, ^TO KAVDYJ IZ INTEGRALOW ZZ ZZ @  1  1  (P ) R dP I @nP RMP  (P ) dP
(12) MP



312

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

GDE  I  | NEPRERYWNYE FUNKCII, QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ WNE POWERHNOSTI . w SAMOM DELE, POSKOLXKU PODYNTEGRALXNYE FUNKCII I WSE IH PROIZWODNYE NEPRERYWNY WNE POWERHNOSTI , TO PROIZWODNYE FUNKCIJ (12) L@BOGO PORQDKA MOVNO WY^ISLQTX PRI POMO]I DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA. tAK KAK, KROME TOGO, FUNKCII 1=RMP I  1  @ 1     @ @ 1 cos  + @ 1 cos  = cos + P P P @nP RMP @ R @ R @ R UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ lAPLASA PO PEREMENNYM M (x
y
z ), TO W SILU OBOB]ENNOGO PRINCIPA SUPERPOZICII (SM. LEMMU NA S. 233), FUNKCII (12) TAKVE UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ lAPLASA PO PEREMENNYM x, y, z . oTS@DA WYTEKAET WAVNOE SLEDSTWIE: WSQKAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ WNUTRI OBLASTI GARMONI^NOSTI DIFFERENCIRUEMA BES^ISLENNOE MNOVESTWO RAZ 1) . oTMETIM TAKVE, ^TO GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ ANALITI^NA (RAZLAGAETSQ W STEPENNOJ RQD) WO WSQKOJ TO^KE M0 OBLASTI T . w \TOM MOVNO UBEDITXSQ S POMO]X@ RASSUVDENIJ, OSNOWANNYH NA TOM VE INTEGRALXNOM PREDSTAWLENII (11). aNALOGI^NYE FORMULY IME@T MESTO I DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH. pUSTX S | NEKOTORAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI (x
y), OGRANI^ENNAQ KONTUROM C , A n | NAPRAWLENIE NORMALI K \TOMU KONTURU, WNENEE PO OTNOENI@ K OBLASTI S . pOLAGAQ WO WTOROJ FORMULE gRINA v = ln (1=RM0 P )
GDE p RM0 P = (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 | RASSTOQNIE OT FIKSIROWANNOJ TO^KI M0 (x0
y0 ) DO TO^KI P (x
y), I PROWODQ RASSUVDENIQ, PODOBNYE TEM, KOTORYE BYLI PROWEDENY DLQ TREHMERNOGO SLU^AQ, POLU^IM OSNOWNU@ FORMULU gRINA NA PLOSKOSTI:  1  Z  1 @u @ &  u (M0) = ln R (P ) ; u (P ) @n ln R dsP ; M0 P @nP P M0 P C

1)

;

ZZ S

u (P ) ln R 1 dsP
M0 P

eSLI DLQ FUNKCII u, GARMONI^ESKOJ WNUTRI T , NE WYPOLNENO USLOWIE NEPRERYWNOSTI EE WMESTE S PERWOJ PROIZWODNOJ NA POWERHNOSTI #, TO TEOREMA WSE VE SOHRANQET SILU, W ^EM MOVNO UBEDITXSQ, OKRUVAQ TO^KU M OBLASTX@, LEVA]EJ WMESTE SO SWOEJ GRANICEJ WNUTRI T .

x 2]

GDE

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

313

8 > <2
ESLI TO^KA M0 LEVIT WNUTRI S , & = > 
ESLI TO^KA M0 LEVIT NA GRANICE C , : 0
ESLI TO^KA M0 LEVIT WNE S .

eSLI u (M ) | GARMONI^ESKAQ WNUTRI S FUNKCIQ I M0 LEVIT WNUTRI S , TO  1  Z  1 @u 1 @ u (M0 ) = 2 ln R (P ) ; u (P ) @n ln R dsP : M0 P @nP P M0 P C

2. nEKOTORYE OSNOWNYE SWOJSTWA GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. uSTANOWIM NESKOLXKO WAVNEJIH SWOJSTW GARMONI^ESKIH FUNK-

CIJ. 1. eSLI v | FUNKCIQ
GARMONI^ESKAQ W OBLASTI T
OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ 
TO Z Z @v (13) @n d = 0
S

GDE S | L@BAQ ZAMKNUTAQ POWERHNOSTX
CELIKOM LEVA]AQ W OBLASTI T. w SAMOM DELE, PODSTAWLQQ W PERWU@ FORMULU gRINA (30 ) KAKU@LIBO GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ v (v = 0) I FUNKCI@ u  1, SRAZU VE POLU^AEM FORMULU (13). iZ FORMULY (13) SLEDUET, ^TO WTORAQ KRAEWAQ ZADA^A @u = f NA  u = 0 W T , @n MOVET IMETX REENIE TOLXKO PRI USLOWII

ZZ

f d = 0:

|TO SWOJSTWO GARMONI^ESKIH FUNKCIJ MOVNO INTERPRETIROWATX KAK USLOWIE OTSUTSTWIQ ISTO^NIKOW WNUTRI OBLASTI T . 2. t E O R E M A O S R E D N E M Z N A ^ E N I I. eSLI FUNKCIQ u (M ) GARMONI^NA W NEKOTOROJ OBLASTI T
A M0 | KAKAQ-NIBUDX TO^KA
LEVA]AQ WNUTRI OBLASTI T
TO IMEET MESTO FORMULA 1 u (M0 ) = 4a 2

ZZ

a

u d


(14)

GDE a | SFERA RADIUSA a S CENTROM W TO^KE M0
CELIKOM LEVA]AQ W OBLASTI T .

314

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

|TA TEOREMA UTWERVDAET, ^TO ZNA^ENIE GARMONI^ESKOJ FUNKCII W NEKOTOROJ TO^KE M0 RAWNO SREDNEMU ZNA^ENI@ \TOJ FUNKCII NA L@BOJ SFERE a S CENTROM W M0 , ESLI SFERA a NE WYHODIT IZ OBLASTI GARMONI^NOSTI FUNKCII u (M ). pRIMENIM FORMULU (11) K ARU Ka S CENTROM W TO^KE M0 I POWERHNOSTX@ a : Z Z  @  1  1 @u  4u (M0) = ; u @n R ; R @n d: a

pRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO     1 = 1 NA  I Z Z @u d = 0
@ 1  = @ 1  = ; 1 a R a @n @n R  a @R R R=a a2 a

(NAPRAWLENIE WNENEJ NORMALI K a SOWPADAET S NAPRAWLENIEM RADIUSA), SRAZU VE POLU^AEM (14) 1) . zAPISYWAQ (14) W WIDE 42 u (M0) =

ZZ

u (P ) dP



I INTEGRIRUQ PO  OT 0 DO a, POLU^AEM ZZZ 1 u (M0) = V u dM
Va = 43 a3
a

Ka

T. E. u (M0) ESTX SREDNEE PO OB_EMU ARA Ka S GRANICEJ a . dLQ SLU^AQ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH IMEET MESTO ANALOGI^NAQ TEOREMA O SREDNEM ZNA^ENII: 1 u (M0) = 2a

Z

Ca

u ds


(15)

1) pRI DOKAZATELXSTWE \TOJ TEOREMY MY POLXZOWALISX RAWENSTWOM (13), PREDPOLAGA@]IM SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH NA POWERHNOSTI SFERY. eSLI FUNKCIQ u (M ), NEPRERYWNAQ W ZAMKNUTOJ OBLASTI T + #, UDOWLETWORQET URAWNENI@ u = 0 TOLXKO DLQ WNUTRENNIH TO^EK T , TO PREDESTWU@]EE ZAKL@^ENIE DLQ SFERY #a0 , KASA@]EJSQ #, BYLO BY NEOBOSNOWANNYM. oDNAKO TEOREMA WERNA DLQ L@BOGO a < a0 , I, PEREHODQ K PREDELU PRI a ! a0 , POLU^AEM

1 u (M0 ) = 4a 2

ZZ

0 a0

u (M ) d:

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

315

GDE Ca | OKRUVNOSTX RADIUSA a S CENTROM W TO^KE M0 , LEVA]AQ W OBLASTI GARMONI^NOSTI u. 3. p R I N C I P M A K S I M A L X N O G O Z N A ^ E N I Q. eSLI FUNKCIQ u (M )
OPREDELENNAQ I NEPRERYWNAQ W ZAMKNUTOJ OBLASTI T + 
UDOWLETWORQET URAWNENI@ u = 0 WNUTRI T
TO MAKSIMALXNOE I MINIMALXNOE ZNA^ENIQ FUNKCII u (M ) DOSTIGA@TSQ NA POWERHNOSTI . dOPUSTIM, ^TO FUNKCIQ u (M ) DOSTIGAET MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ W NEKOTOROJ WNUTRENNEJ TO^KE M0 OBLASTI T , TAK ^TO u0 = u (M0 ) > > u (M ), GDE M | L@BAQ TO^KA OBLASTI T . oKRUVIM TO^KU M0 SFEROJ  RADIUSA , CELIKOM LEVA]EJ WNUTRI OBLASTI T . pOSKOLXKU, PO PREDPOLOVENI@, u (M0) ESTX NAIBOLXEE ZNA^ENIE FUNKCII u (M ) W T + , TO uj 6 u (M0 ). pOLXZUQSX FORMULOJ SREDNEGO ZNA^ENIQ (14) I ZAMENQQ POD INTEGRALOM WS@DU u (M ) ZNA^ENIEM u (M0), POLU^AEM 1 u (M0 ) = 4 2

ZZ

1 u (M ) dM 6 4 2

ZZ

u (M0 ) d = u (M0 ): (16)

eSLI PREDPOLOVITX, ^TO HOTQ BY W ODNOJ TO^KE M SFERY  u (M ) < u (M0 ), TO O^EWIDNO, ^TO WMESTO ZNAKA 6 BUDEM IMETX ZNAK <, A \TO PRIWODIT K PROTIWORE^I@. tAKIM OBRAZOM, NA WSEJ POWERHNOSTI  IMEET MESTO u (M )  u (M0). eSLI m0 | MINIMALXNOE RASSTOQNIE OT M0 DO POWERHNOSTI , TO u (M )  u (M0) DLQ WSEH TO^EK, LEVA]IH WNUTRI m0 . oTS@DA SLEDUET, ^TO W TO^KAH M
, PRINADLEVA]IH OB]EJ ^ASTI m0 I , PO NEPRERYWNOSTI u (M
) = u (M0). |TO I DOKAZYWAET TEOREMU, POSKOLXKU MY UBEDILISX, ^TO MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE u (M0) DOSTIGAETSQ W TO^KAH GRANICY M
. nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO ESLI OBLASTX T SWQZNAQ I MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE DOSTIGAETSQ HOTQ BY W ODNOJ WNUTRENNEJ TO^KE M0 , TO u (M )  u (M0) WO WSEJ OBLASTI. pUSTX M (0) | KAKAQ-LIBO DRUGAQ TO^KA OBLASTI T . sOEDINIM TO^KU M (0) S TO^KOJ M0 LOMANOJ LINIEJ L (RIS. 46), DLINU KOTOROJ OBOZNA^IM l. pUSTX M1 ESTX POSLEDNQQ TO^KA WYHODA LINII L IZ m0 . w \TOJ TO^KE u(M1 ) = u(M0 ). oPIEM IZ NEE SFERU m1 RADIUSA m1 , KASA@]U@SQ , I PUSTX M2 | POSLEDNQQ TO^KA WYHODA L IZ m1  W \TOJ TO^KE u (M2 ) = u (M0 ). pRODOLVAQ PROCESS DALXE, POLU^IM, ^TO NE BOLEE ^EM ^EREZ p = l=(m) rIS. 46 AGOW, GDE (m) | MINIMALXNOE RASSTOQNIE OT L DO , ODNA IZ \TIH SFER ZAHWATIT TO^KU M (0), OTKU-

316

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

DA SLEDUET, ^TO u (M (0)) = u (M0). w SILU PROIZWOLXNOSTI M (0) I NEPRERYWNOSTI u (M ) W ZAMKNUTOJ OBLASTI T +  ZAKL@^AEM, ^TO u (M )  u (M0) WS@DU, WKL@^AQ TO^KI GRANICY. tAKIM OBRAZOM, IZ WSEH GARMONI^ESKIH FUNKCIJ TOLXKO POSTOQNNAQ MOVET DOSTIGATX SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ WO WNUTRENNIH TO^KAH OBLASTI. aNALOGI^NU@ TEOREMU MOVNO DOKAZATX I OTNOSITELXNO MINIMALXNOGO ZNA^ENIQ. s L E D S T W I E 1. eSLI FUNKCII u I U NEPRERYWNY W OBLASTI T + + 
GARMONI^NY W T I ESLI u 6 U NA , TO u 6 U WS@DU WNUTRI T: w SAMOM DELE, FUNKCIQ U ; u NEPRERYWNA W T + , GARMONI^NA W T I U ; u > 0 NA : w SILU PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ U ; u > 0 WS@DU WNUTRI T , OTKUDA I SLEDUET NAE UTWERVDENIE. s L E D S T W I E 2. eSLI FUNKCII u I U NEPRERYWNY W OBLASTI T + + 
GARMONI^NY W T I ESLI juj 6 U NA , TO juj 6 U WS@DU WNUTRI T . iZ USLOWIJ TEOREMY SLEDUET, ^TO TRI GARMONI^ESKIE FUNKCII: ;U , u I U | UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWAM ;U 6 u 6 U NA . pRIMENQQ DWAVDY SLEDSTWIE 1, POLU^AEM, ^TO ;U 6 u 6 U WS@DU WNUTRI T , ILI juj 6 U WS@DU WNUTRI T . s L E D S T W I E 3. dLQ GARMONI^ESKOJ W T I NEPRERYWNOJ W T +  FUNKCII u (M ) WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO juj 6 max jujj WS@DU W T + . dLQ DOKAZATELXSTWA SLEDSTWIQ 3 DOSTATO^NO POLOVITX U = = max jujj I WOSPOLXZOWATXSQ SLEDSTWIEM 2.

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

317

hOTQ IZLOVENIE PROWODILOSX DLQ TREH IZMERENIJ, ODNAKO WSE REZULXTATY PERENOSQTSQ NA SLU^AJ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ L@BOGO ^ISLA PEREMENNYH. 3. eDINSTWENNOSTX I USTOJ^IWOSTX REENIQ PERWOJ WNUTRENNEJ KRAEWOJ ZADA^I. pUSTX DANA OBLASTX T , OGRANI^ENNAQ ZAMKNUTOJ POWERHNOSTX@ , NA KOTOROJ ZADANA NEKOTORAQ FUNKCIQ f . w PROSTEJEM SLU^AE, KOGDA GRANI^NAQ FUNKCIQ f NEPRERYWNA, PERWAQ WNUTRENNQQ KRAEWAQ ZADA^A (WNUTRENNQQ ZADA^A dIRIHLE) DLQ URAWNENIQ lAPLASA OBY^NO STAWITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. tREBUETSQ NAJTI FUNKCI@ u
KOTORAQ : A ) OPREDELENA I NEPRERYWNA W ZAMKNUTOJ OBLASTI T + 
WKL@^AQ GRANICU B ) UDOWLETWORQET WNUTRI OBLASTI T URAWNENI@ u = 0 W ) PRINIMAET NA GRANICE  ZADANNYE ZNA^ENIQ f . w USLOWII B PREDPOLAGAETSQ GARMONI^NOSTX FUNKCII WNUTRI OBLASTI T . tREBOWANIE GARMONI^NOSTI NA GRANICE QWLQETSQ IZLINIM, TAK KAK ONO POWLEKLO BY ZA SOBOJ DOPOLNITELXNYE OGRANI^ENIQ DLQ GRANI^NYH ZNA^ENIJ. uSLOWIE NEPRERYWNOSTI u W ZAMKNUTOJ OBLASTI (ILI KAKOE-LIBO DRUGOE USLOWIE, RAZ_QSNQ@]EE SMYSL TOGO, ^TO FUNKCIQ u PRINIMAET NA GRANICE ZADANNYE ZNA^ENIQ) NEOBHODIMO DLQ EDINSTWENNOSTI. eSLI OTKAZATXSQ OT \TOGO USLOWIQ, TO L@BU@ FUNKCI@, RAWNU@ POSTOQNNOJ C WNUTRI T I ZADANNOJ FUNKCII f NA , MOVNO RASSMATRIWATX KAK REENIE ZADA^I, POSKOLXKU ONA UDOWLETWORQET USLOWIQM B, W. dOKAVEM TEOREMU EDINSTWENNOSTI. pERWAQ WNUTRENNQQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ lAPLASA NE MOVET IMETX DWUH RAZLI^NYH REENIJ. dOPUSTIM, ^TO SU]ESTWU@T DWE RAZLI^NYE FUNKCII u1 I u2 , QWLQ@]IESQ REENIQMI ZADA^I, T. E. FUNKCII, NEPRERYWNYE W ZAMKNUTOJ OBLASTI T + , UDOWLETWORQ@]IE WNUTRI OBLASTI URAWNENI@ lAPLASA I NA POWERHNOSTI  PRINIMA@]IE ODNI I TE VE ZNA^ENIQ f . rAZNOSTX \TIH FUNKCIJ u = u1 ; u2 OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) u = 0 WNUTRI OBLASTI T  2) u NEPRERYWNA W ZAMKNUTOJ OBLASTI T +  3) uj = 0. fUNKCIQ u (M ), TAKIM OBRAZOM, NEPRERYWNA I GARMONI^NA W OBLASTI T I RAWNA NUL@ NA GRANICE. kAK IZWESTNO, WSQKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ W ZAMKNUTOJ OBLASTI DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. uBEDIMSQ W TOM, ^TO u  0. eSLI FUNKCIQ u 6 0 I HOTQ BY W ODNOJ TO^KE u > 0, TO ONA DOLVNA DOSTIGATX POLOVITELXNOGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ WNUTRI OBLASTI, ^TO NEWOZMOVNO. sOWERENNO TAK VE DOKAZYWAETSQ, ^TO FUNKCIQ u NE MOVET PRINIMATX NIGDE WNUTRI T OTRICATELXNYH ZNA^ENIJ. oTS@DA SLEDUET, ^TO u  0:

318

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

pEREJDEM K DOKAZATELXSTWU NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I OT GRANI^NYH DANNYH. nAPOMNIM, ^TO ZADA^A NAZYWAETSQ FIZI^ESKI OPREDELENNOJ, ESLI MALOMU IZMENENI@ USLOWIJ, OPREDELQ@]IH REENIE ZADA^I, W DANNOM SLU^AE GRANI^NYH USLOWIJ, SOOTWETSTWUET MALOE IZMENENIE SAMOGO REENIQ. pUSTX u1 I u2 | NEPRERYWNYE W T +  I GARMONI^ESKIE WNUTRI T FUNKCII, DLQ KOTORYH ju1 ; u2 j 6 " NA . tOGDA \TO VE NERAWENSTWO WYPOLNQETSQ WNUTRI OBLASTI T . |TO UTWERVDENIE NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET IZ SLEDSTWIQ 2 (S. 316) W SILU TOGO, ^TO U  " QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ. tAKIM OBRAZOM, MY DOKAZALI NEPRERYWNU@ ZAWISIMOSTX REENIQ OT GRANI^NYH USLOWIJ I EDINSTWENNOSTX REENIQ PERWOJ WNUTRENNEJ KRAEWOJ ZADA^I. 4. zADA^I S RAZRYWNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI. ~ASTO WSTRE^AETSQ TAKVE PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A S RAZRYWNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI. fUNKCIQ, NEPRERYWNAQ W ZAMKNUTOJ OBLASTI, NE MOVET BYTX REENIEM \TOJ ZADA^I. pO\TOMU TREBUETSQ UTO^NITX POSTANOWKU PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I PRIMENITELXNO K RASSMATRIWAEMOMU SLU^A@. pUSTX NA KRIWOJ C , OGRANI^IWA@]EJ OBLASTX S NA PLOSKOSTI (x
y), ZADANA KUSO^NO-NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f (P ). tREBUETSQ NAJTI FUNKCI@ u (M ): 1) GARMONI^ESKU@ WNUTRI OBLASTI S  2) NEPRERYWNO PRIMYKA@]U@ K GRANI^NYM ZNA^ENIQM W TO^KAH NEPRERYWNOSTI POSLEDNIH 3) OGRANI^ENNU@ W ZAMKNUTOJ OBLASTI S + C . zAMETIM, ^TO DOPOLNITELXNOE TREBOWANIE OGRANI^ENNOSTI FAKTI^ESKI OTNOSITSQ K OKRESTNOSTQM TO^EK RAZRYWA FUNKCII f (P ). dOKAVEM SLEDU@]U@ TEOREMU. rEENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I S KUSO^NO-NEPRERYWNYMI GRANI^NYMI ZNA^ENIQMI EDINSTWENNO. pUSTX u1 I u2 | DWA REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I. rAZNOSTX v = u1 ; u2 1) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ WNUTRI S  2) NEPRERYWNO PRIMYKAET K NULEWYM GRANI^NYM ZNA^ENIQM NA GRANICE, ZA ISKL@^ENIEM TO^EK RAZRYWA f (P ), W KOTORYH ONA MOVET PRETERPEWATX RAZRYW 3) OGRANI^ENA W S + C : jvj < A. pOSTROIM GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ n D X U (M ) = " ln r
i i=1

GDE " | PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE ^ISLO, D | DIAMETR OBLASTI, ri | RASSTOQNIE OT RASSMATRIWAEMOJ TO^KI M DO i-J TO^KI RAZRYWA Pi . fUNKCIQ U (M ) POLOVITELXNA, TAK KAK WSE SLAGAEMYE BOLXE NULQ.

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

319

pOSTROIM W KAVDOJ TO^KE RAZRYWA Pi KRUG Ki RADIUSA , WYBRAW TAK, ^TOBY KAVDOE SLAGAEMOE " ln D ri NA SOOTWETSTWU@]EJ OKRUVNOSTI Ci PREWOSHODILO A, T. E. ^TOBY " ln(D= ) > A. fUNKCIQ v NEPRERYWNA W ZAMKNUTOJ OBLASTI S ; ; Pni=1 Ki = S 0, I jvj 6 U NA GRANICE \TOJ OBLASTI. pO\TOMU W SILU PRINCIPA MAKSIMUMA U QWLQETSQ MAVORANTOJ FUNKCII v: jv (M )j 6 U (M ): fIKSIROWAW PROIZWOLXNU@ TO^KU M IZ OBLASTI S I USTREMLQQ " K NUL@, POLU^AEM lim U (M ) = 0: "!0 sLEDOWATELXNO, v (M ) = 0
TAK KAK v NE ZAWISIT OT ", ILI u1  u2
^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. 5. iZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI. rASSMOTRIM OSOBYE TO^KI GARMONI^ESKOJ FUNKCII. pUSTX P | IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA, LEVA]AQ WNUTRI OBLASTI GARMONI^NOSTI FUNKCII u. pREDSTAWLQ@TSQ WOZMOVNYMI DWA SLU^AQ: 1) GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ OGRANI^ENA W OKRESTNOSTI TO^KI P  2) GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ NE OGRANI^ENA W OKRESTNOSTI TO^KI P . s OSOBYMI TO^KAMI WTOROGO RODA MY UVE WSTRE^ALISX (NAPRIMER, TO^KA 0 FUNKCII ln (1=r)). sLEDU@]AQ TEOREMA POKAZYWAET, ^TO PERWOGO TIPA OSOBYH TO^EK NE SU]ESTWUET. eSLI OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ u (M ) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ WNUTRI OBLASTI S
ZA ISKL@^ENIEM TO^KI P
TO MOVNO TAK OPREDELITX ZNA^ENIE u (P )
^TOBY FUNKCIQ u (M ) BYLA GARMONI^ESKOJ WS@DU WNUTRI S . wOZXMEM KRUG K RADIUSA S CENTROM W TO^KE P , CELIKOM LEVA]IJ WNUTRI S , I RASSMOTRIM WNUTRI NEGO GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ v, SOWPADA@]U@ S FUNKCIEJ u NA OKRUVNOSTI C KRUGA K 1) . sOSTAWIM RAZNOSTX w = u ; v, KOTORAQ: 1) GARMONI^NA WS@DU WNUTRI K , KROME TO^KI P , W KOTOROJ w NE OPREDELENA 2) NEPRERYWNO PRIMYKAET K NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM NA C  1) sU]ESTWOWANIE TAKOJ FUNKCII BUDET USTANOWLENO W x 3, PRI^EM POSTRO-

ENIE EE NE BAZIRUETSQ NA DOKAZYWAEMOJ TEOREME.

320

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

3) OGRANI^ENA W ZAMKNUTOJ OBLASTI K + C (jwj < A). tAK VE, KAK I PRI DOKAZATELXSTWE PREDYDU]EJ TEOREMY (P. 4), POSTROIM NEOTRICATELXNU@ GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ U (M ) = " ln r : zDESX " | PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE ^ISLO, | RADIUS KRUGA K , r | RASSTOQNIE OT RASSMATRIWAEMOJ TO^KI M DO TO^KI RAZRYWA P . pOSTROIM KRUG K S CENTROM W TO^KE P , WYBRAW EGO RADIUS TAK, ^TOBY NA EGO OKRUVNOSTI ZNA^ENIE U PREWOSHODILO A, I RASSMOTRIM OBLASTX K ; K . fUNKCIQ w NEPRERYWNA W ZAMKNUTOJ OBLASTI 6 6 r 6 , I NA GRANICE \TOJ OBLASTI IMEET MESTO NERAWENSTWO jwj 6 U . w SILU PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ NEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ U QWLQETSQ MAVORANTOJ FUNKCII w: jwj 6 U (M ) DLQ 6 r 6 : fIKSIRUQ PROIZWOLXNU@ TO^KU M OBLASTI K , NE SOWPADA@]U@ S P , I SOWERAQ PREDELXNYJ PEREHOD PRI " ! 0, POLU^AEM lim U (M ) = 0: "!0 sLEDOWATELXNO, WS@DU, ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, TO^KI P , w = 0: tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ u WS@DU W OBLASTI S , ZA ISKL@^ENIEM TO^KI P , SOWPADAET S FUNKCIEJ v. pOLAGAQ u (P ) = v (P ), POLU^IM FUNKCI@ u  v, GARMONI^ESKU@ WS@DU WNUTRI OBLASTI S . tEM SAMYM TEOREMA DOKAZANA. aNALOGI^NO PROWODITSQ DOKAZATELXSTWO TEOREMY DLQ SLU^AQ TREH IZMERENIJ, GDE W KA^ESTWE MAVORANTNOJ FUNKCII MOVET BYTX WZQTA FUNKCIQ

1



U (M ) = " r ; 1 :

pRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY \TOGO PUNKTA MY PREDPOLAGALI, ^TO FUNKCIQ u OGRANI^ENA W OKRESTNOSTI TO^KI P . oDNAKO TE VE RASSUVDENIQ OSTA@TSQ W SILE, ESLI PREDPOLOVITX, ^TO FUNKCIQ u W OKRESTNOSTI TO^KI P UDOWLETWORQET NERAWENSTWU 1
ju (M )j < " (r) log rPM

(17)

GDE " (r) | PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ, STREMQ]AQSQ K NUL@ PRI r ! 0, T. E. W OKRESTNOSTI TO^KI P FUNKCIQ u (M ) RASTET MEDLENNEE, ^EM log (1=rPM ). iTAK, ESLI FUNKCIQ u (M ) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ WNUTRI OBLASTI S ZA ISKL@^ENIEM TO^KI P W OKRESTNOSTI KOTOROJ

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

321

ONA RASTET MEDLENNEE
^EM log (1=rMP ) PRI M ! P
TO \TA FUNKCIQ QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ W OKRESTNOSTI TO^KI P
I MOVNO TAK OPREDELITX ZNA^ENIE u (P )
^TO FUNKCIQ u BUDET GARMONI^ESKOJ WO WSEJ OBLASTI S . aNALOGI^NO W SLU^AE TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH POLU^IM: ESLI GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u (M ) W OKRESTNOSTI IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI P RASTET MEDLENNEE
^EM 1=r: 1 ju (M )j < " (r) rMP (" (r) ! 0 PRI r ! 0)
(18) TO ONA OGRANI^ENA W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI I MOVNO TAK OPREDELITX ZNA^ENIE u (P )
^TOBY FUNKCIQ u (M ) BYLA GARMONI^NA I W SAMOJ TO^KE P . 6. rEGULQRNOSTX GARMONI^ESKOJ FUNKCII TREH PEREMENNYH W BESKONE^NOSTI. gARMONI^ESKAQ FUNKCIQ TREH PEREMENNYH u (x
y
z ) NAZYWAETSQ R E G U L Q R N O J W B E S K O N E ^ N O S T I, ESLI   A  @u  A  @u  A      juj < Ar I  @u (19) @x  < r2
 @y  < r2
 @z  < r2 PRI DOSTATO^NO BOLXOM r > r0 . dOKAVEM, ^TO ESLI FUNKCIQ u (x
y
z ) GARMONI^NA WNE NEKOTOROJ ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI  I RAWNOMERNO STREMITSQ K NUL@ NA BESKONE^NOSTI, TO ONA REGULQRNA NA BESKONE^NOSTI. uSLOWIE RAWNOMERNOGO STREMLENIQ K NUL@ NA BESKONE^NOSTI OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET TAKAQ FUNKCIQ "
(r), ^TO ju (M )j < "
(r) ("
(r) ! 0 PRI r ! 1)
(20) GDE r | RADIUS-WEKTOR TO^KI M . sOWERIW PREOBRAZOWANIE kELXWINA v (r0

') = ru (r

')
GDE r0 = 1r
POLU^IM, ^TO FUNKCIQ v GARMONI^NA WS@DU WNUTRI POWERHNOSTI 0 , W KOTORU@ PEREHODIT POWERHNOSTX  PRI PREOBRAZOWANII OBRATNYH RADIUSOW-WEKTOROW, ZA ISKL@^ENIEM NA^ALA KOORDINAT, GDE ONA IMEET IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU. iZ USLOWIQ (20) SLEDUET, ^TO W OKRESTNOSTI NA^ALA KOORDINAT DLQ FUNKCII v IMEET MESTO NERAWENSTWO

GDE

1 1

0 1 r 0 r 0 = " (r ) r 0


jv (r

')j 6 " 0




 

" (r0 ) = "
r10

!0

21 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

PRI r0 ! 0:

322

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

nA OSNOWANII POSLEDNEJ TEOREMY P. 5 FUNKCIQ v (r0

') OGRANI0 0 ^ENA I GARMONI^NA PRI r 6 r0 : jv (r0

')j 6 A PRI r0 6 r00
(21) OTKUDA I SLEDUET, ^TO 0 ju (r

')j = jv (r
r
')j 6 Ar PRI r > r0 = r100 : w SILU GARMONI^NOSTI FUNKCII v PRI r0 = 0 MOVNO NAPISATX:   @u (x
y
z ) = @ 1  v (x0
y0
z 0) = @x @x r  @v @x0 @v @y0 @v @z0  (22) = ; rx3  v + 1r @x 0 @x + @y 0 @x + @z 0 @x
GDE x0 = xr r0
y0 = yr r0
z 0 = zr r0 : oTS@DA, WY^ISLQQ PROIZWODNYE @x0 =@x, @y0 =@x, @z 0 =@x I PRINIMAQ WO WNIMANIE OGRANI^ENNOSTX PERWYH PROIZWODNYH FUNKCII v W OKRESTNOSTI TO^KI r0 = 0, POLU^AEM  @u  A   6 2 PRI r ! 1: @x r aNALOGI^NYE OCENKI IME@T MESTO DLQ PROIZWODNYH @u=@y I @u=@z. 7. wNENIE KRAEWYE ZADA^I. eDINSTWENNOSTX REENIQ DWUH- I TREHMERNYH ZADA^. wNENIE KRAEWYE ZADA^I PO-RAZNOMU STAWQTSQ DLQ TREH I DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH. rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ TREH PEREMENNYH. pUSTX T | OBLASTX, WNENQQ K NEKOTOROJ ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI . p E R W A Q W N E  N Q Q K R A E W A Q Z A D A ^ A (WNENQQ ZADA^A dIRIHLE) SOSTOIT W SLEDU@]EM. tREBUETSQ NAJTI FUNKCI@ u (x
y
z )
UDOWLETWORQ@]U@ USLOWIQM: 1) u = 0 W NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI T  2) u WS@DU NEPRERYWNA
WKL@^AQ POWERHNOSTX  3) uj = f (x
y
z ), GDE f | FUNKCIQ
ZADANNAQ NA POWERHNOSTI  4) u (M ) RAWNOMERNO STREMITSQ K 0 NA BESKONE^NOSTI: u (M ) ! ! 0 PRI M ! 1. pOSLEDNEE USLOWIE QWLQETSQ SU]ESTWENNYM DLQ EDINSTWENNOSTI REENIQ, W ^EM LEGKO UBEDITXSQ NA PROSTOM PRIMERE. pUSTX TREBUETSQ REITX WNEN@@ PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ SFERY SR RADIUSA R S POSTOQNNYM GRANI^NYM USLOWIEM ujSR = const = f0 :

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

323

oPUSKAQ USLOWIE 4, WIDIM, ^TO REENIQMI ZADA^I MOGUT SLUVITX FUNKCII u1 = f0 I u2 = f0 R=r, A TAKVE L@BAQ FUNKCIQ u = u1 + u2
GDE +  = 1: dOKAVEM, ^TO WNENQQ PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ S TREMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI IMEET EDINSTWENNOE REENIE. pREDPOLAGAQ SU]ESTWOWANIE DWUH REENIJ u1 I u2, UDOWLETWORQ@]IH USLOWIQM 1 | 4, WIDIM, ^TO IH RAZNOSTX u = u1 ; u2 PREDSTAWLQET SOBOJ REENIE ZADA^I S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI. pOSKOLXKU USLOWIE 4 WYPOLNENO TAKVE DLQ FUNKCII u, TO
DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 MOVNO UKAZATX TAKOE R , ^TO ju (M )j < " PRI r > R
: eSLI TO^KA M LEVIT WNUTRI OBLASTI T 0 (RIS. 47), ZAKL@^ENNOJ MEVDU POWERHNOSTX@  I SFEROJ Sr (r > R
), TO u (M ) < ", KAK TO SLEDUET IZ PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, PRIMENENNOGO K OBLArIS. 47 STI T 0. w SILU PROIZWOLXNOSTI " ZAKL@^AEM, ^TO 0 u  0 W OBLASTI T , A TAKVE I WO WSEJ OBLASTI T , ^TO I DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX REENIQ WNENEJ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I W PROSTRANSTWE. p E R W A Q W N E  N Q Q K R A E W A Q Z A D A ^ A N A P L O S K O S T I STAWITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. tREBUETSQ NAJTI FUNKCI@ u
UDOWLETWORQ@]U@ USLOWIQM: 1) u = 0 W RASSMATRIWAEMOJ BESKONE^NOJ OBLASTI 
OGRANI^ENNOJ KONTUROM C  2) u WS@DU NEPRERYWNA
WKL@^AQ GRANICU C  3) ujC = f (x
y), GDE f | FUNKCIQ
ZADANNAQ NA C  4) u (M ) OGRANI^ENA W BESKONE^NOSTI
T: E: SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N
^TO ju (M )j 6 N . tREBOWANIE OBRA]ENIQ REENIQ W NULX NA BESKONE^NOSTI I ZDESX OKAZYWAETSQ DOSTATO^NYM, ^TOBY DOKAZATX, ^TO DWUH RAZNYH REENIJ BYTX NE MOVET, NO ONO QWLQETSQ SLIKOM SILXNYM, TAK KAK PRI NEM ZADA^A MOVET OKAZATXSQ WOOB]E NERAZREIMOJ. dOKAVEM, ^TO WNENQQ PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ FUNKCIJ DWUH PEREMENNYH IMEET EDINSTWENNOE REENIE. rIS. 48 dOPUSKAQ SU]ESTWOWANIE DWUH RAZLI^NYH REENIJ u1 I u2 I RASSMATRIWAQ IH RAZNOSTX u = u1 ; u2 , QWLQ@]U@SQ REENIEM PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI, W SILU USLOWIQ 4 BUDEM IMETX juj 6 N = N1 + N2
21


324

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

GDE N1 I N2 TAKOWY, ^TO ju1j 6 N1 , ju2j 6 N2 . oBOZNA^IM ^EREZ 1 OBLASTX, LEVA]U@ WNUTRI C I QWLQ@]U@SQ DOPOLNENIEM K OBLASTI , TAK ^TO  + 1 ESTX WSQ PLOSKOSTX. wOZXMEM TO^KU M0 WNUTRI 1 I OKRUVNOSTX RADIUSA R S CENTROM W TO^KE M0 , LEVA]U@ WNUTRI 1 (RIS. 48). gARMONI^ESKAQ FUNKCIQ ln (1=RMM0 ) NE IMEET OSOBENNOSTEJ W OBLASTI  FUNKCIQ ln (RMM0 =R) POLOVITELXNA WO WSEJ OBLASTI  WKL@^AQ C . pUSTX CR1 | OKRUVNOSTX RADIUSA R1 S CENTROM W M0, SODERVA]AQ CELIKOM KONTUR C , I 0 | OBLASTX, OGRANI^ENNAQ KRIWYMI C I CR1 . fUNKCIQ uR1 , OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM 0 =R) uR1 = N lnln(R(MM (23) R1 =R)
ESTX GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ, RAWNAQ N NA OKRUVNOSTI RADIUSA R1 , POLOVITELXNAQ NA C . iZ PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ SLEDUET, ^TO uR1 QWLQETSQ MAVORANTOJ DLQ MODULQ FUNKCII u (M ) W OBLASTI :

ju (M )j < uR (M ): fIKSIRUEM TO^KU M I BUDEM NEOGRANI^ENNO UWELI^IWATX R1 . WIDNO, ^TO uR (M ) ! 0 PRI R1 ! 1. oTS@DA SLEDUET, ^TO 1

1

o^E-

u (M ) = 0: tEM SAMYM, W SILU PROIZWOLXNOSTI M , EDINSTWENNOSTX REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I DOKAZANA. eDINSTWENNOSTX REENIQ \TOJ ZADA^I MOVNO TAKVE DOKAZATX, POLXZUQSX PREOBRAZOWANIEM OBRATNYH RADIUSOW-WEKTOROW, PEREWODQ]IM OBLASTX, WNEN@@ K KONTURU C , W OBLASTX, WNUTRENN@@ K KONTURU C 0 , W KOTORYJ PEREHODIT KONTUR C . pRI \TOM BESKONE^NO UDALENNAQ TO^KA PEREJDET W IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU, W OKRESTNOSTI KOTOROJ FUNKCIQ v OGRANI^ENA. iZ TEOREMY P. 5 BUDET WYTEKATX GARMONI^NOSTX FUNKCII v W NA^ALE KOORDINAT, A TEM SAMYM I EDINSTWENNOSTX REENIQ. iZ PRIWEDENNYH RASSUVDENIJ SLEDUET, ^TO GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH u (M ), OGRANI^ENNAQ W BESKONE^NOSTI, STREMITSQ K OPREDELENNOMU PREDELU PRI M , STREMQ]EJSQ K BESKONE^NOSTI. rAZLI^IE W POSTANOWKE PERWOJ WNENEJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ DWUH I TREH PEREMENNYH MOVNO POQSNITX NA SLEDU@]EM FIZI^ESKOM PRIMERE. pUSTX DAN AR RADIUSA R, NA POWERHNOSTI KOTOROGO PODDERVIWAETSQ POSTOQNNAQ TEMPERATURA u0 , I TREBUETSQ OPREDELITX STACIONARNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY WO WNENEM PROSTRANSTWE. fUNKCIQ u = = u0 (R=r) PREDSTAWLQET REENIE \TOJ ZADA^I, OBRA]A@]EESQ W NULX NA BESKONE^NOSTI. rASSMOTRIM TEPERX DWUMERNU@ ZADA^U. pUSTX NA OKRUVNOSTI RADIUSA R ZADANO POSTOQNNOE GRANI^NOE ZNA^ENIE: uj = f0 = const:

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

325

w \TOM SLU^AE u  f0 ESTX EDINSTWENNOE OGRANI^ENNOE REENIE ZADA^I I NIKAKOGO REENIQ, OBRA]A@]EGOSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI, NE SU]ESTWUET. mY UVE WSTRE^ALISX S PRINCIPIALXNO RAZLI^NYM HARAKTEROM POWEDENIQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ W BESKONE^NOSTI DLQ DWUH I TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH (NAPRIMER, POWEDENIE 1=r I ln (1=r) NA BESKONE^NOSTI). dLQ PROSTRANSTWENNOJ I PLOSKOJ NEOGRANI^ENNYH OBLASTEJ IMEET MESTO PRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. w \TOM NETRUDNO UBEDITXSQ S POMO]X@ RASSUVDENIJ, ANALOGI^NYH TEM, KOTORYE BYLI ISPOLXZOWANY PRI DOKAZATELXSTWE TEOREM EDINSTWENNOSTI. oTS@DA, W SWO@ O^EREDX, WYTEKAET NEPRERYWNAQ ZAWISIMOSTX REENIQ OT GRANI^NYH USLOWIJ. 8. wTORAQ KRAEWAQ ZADA^A. tEOREMA EDINSTWENNOSTI. rEENIEM WTOROJ KRAEWOJ ZADA^I BUDEM NAZYWATX GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ u
NEPRERYWNU@ W OBLASTI T +  I UDOWLETWORQ@]U@ NA POWERHNOSTI  USLOWI@  @u  = f (M ): @n  dOKAVEM, ^TO REENIE WTOROJ WNUTRENNEJ KRAEWOJ ZADA^I (WNUTRENNEJ ZADA^I nEJMANA) OPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DO PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ. dOKAZATELXSTWO PROWEDEM PRI DOPOLNITELXNOM PREDPOLOVENII, ^TO FUNKCIQ u IMEET NEPRERYWNYE PERWYE PROIZWODNYE W OBLASTI T +  1) . pUSTX u1 I u2 | DWE NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYE W T + +  FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE URAWNENI@ u = 0 W T I USLOWI@ @u=@n j = f (M ) NA . dLQ FUNKCII u = u1 ; u2 BUDEM IMETX



@u  = 0: @n 

pOLAGAQ W PERWOJ FORMULE gRINA (3) v = u I U^ITYWAQ SOOTNOENIQ u = 0 I @u=@n j = 0, POLU^AEM

ZZZ " @u 2  @u 2  @u 2# + + d = 0: T

@x

@y

@z

1) pREDPOLOVENIE OTNOSITELXNO NEPRERYWNOSTI PERWYH PROIZWODNYH W T + # SDELANO DLQ UPRO]ENIQ DOKAZATELXSTWA. dOKAZATELXSTWO EDINSTWENNOSTI PRI NAIBOLEE OB]IH PREDPOLOVENIQH BYLO DANO m. w. kELDYEM I m. a. lAWRENTXEWYM. (sM.: k E L D Y  m. w., l A W R E N T X E W m. a. o EDINSTWENNOSTI ZADA^I nEJMANA // dan sssr. 1937. t. 16,  3. s. 151|152 s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. t. IV. M., 1958.)

326

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

oTS@DA W SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII u I EE PERWYH PROIZWODNYH SLEDUET @u = @u = @u  0
T. e. u  const
@x @y @z ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. iZLOVENNYJ ZDESX METOD DOKAZATELXSTWA PRIMENIM I W SLU^AE NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI DLQ FUNKCIJ, UDOWLETWORQ@]IH TREBOWANIQM REGULQRNOSTI NA BESKONE^NOSTI. pOKAVEM, ^TO W SLU^AE NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI, WNENEJ K ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI, FORMULA gRINA (3) PRIMENIMA DLQ FUNKCIJ, REGULQRNYH NA BESKONE^NOSTI. rASSMOTRIM OBLASTX T , WNEN@@ K ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI. pROWEDEM SFERU R STOLX BOLXOGO RADIUSA, ^TOBY  LEVALA WNUTRI R . oBOZNA^IM TR OBLASTX, OGRANI^ENNU@  I R (RIS. 49). pRIMENIW W OBLASTI TR FORMULU gRINA K DWUM FUNKCIQM u I v, REGULQRNYM W BESKONE^NOSTI, POLU^IM ZZZ u v d = TR

=

;

ZZZ  @u @v @u @v @u @v  + + d + +

rIS. 49

@x @x

TR

@y @y

@z @z

Z Z @v Z Z @v u @n d + u @n d:

R

(24)

oCENIM INTEGRAL PO R , ISPOLXZUQ PRI \TOM SWOJSTWO REGULQRNOSTI FUNKCIJ u I v:

      Z Z @v   Z Z  u @n d  =  u (vx cos + vy cos  + vz cos  ) d  6   R   R   Z Z  2 2 6  RA  3RA2 d  6 3RA3 4R2 = 12A R :  R 

oTS@DA WIDNO, ^TO

lim R!1

Z Z @v u @n d = 0: R

sTOQ]IJ SPRAWA W (24) INTEGRAL PO TR STREMITSQ K INTEGRALU PO WSEJ OBLASTI T PRI R ! 1. |TOT INTEGRAL SU]ESTWUET, TAK KAK PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE W SILU REGULQRNOSTI u I v UBYWAET NA

x 2]

ob}ie swojstwa garmoni~eskih funkcij

327

BESKONE^NOSTI KAK 1=R4. sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET PREDEL lim R!1

ZZZ TR

u v d =

ZZZ T

u v d:

w REZULXTATE MY PRIHODIM K FORMULE ZZZ ZZZ  @u @v @u @v @u @v  Z Z @v u v d = ; u @n d: @x @x + @y @y + @z @z d + T

T



(25)

tEM SAMYM USTANOWLENA PRIMENIMOSTX PERWOJ, A SLEDOWATELXNO, I WTOROJ FORMUL gRINA DLQ NEOGRANI^ENNYH OBLASTEJ K FUNKCIQM, REGULQRNYM NA BESKONE^NOSTI. pOKAVEM TEPERX, ^TO WTORAQ WNENQQ KRAEWAQ ZADA^A (WNENQQ ZADA^A nEJMANA) IMEET EDINSTWENNOE REENIE, REGULQRNOE NA BESKONE^NOSTI. pOLAGAQ W FORMULE (25) v = u = u1 ; u2 I U^ITYWAQ, ^TO u = 0 I @u=@n j = 0, POLU^AEM

ZZZ ; & u2x + u2y + u2z d = 0: T

oTS@DA W SILU NEPRERYWNOSTI PROIZWODNYH FUNKCII u SLEDUET, ^TO ux = 0
uy = 0
uz = 0 I u  const: tAK KAK u = 0 NA BESKONE^NOSTI, TO u  0
T. E. u1  u2
^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. eSTESTWENNO WOZNIKAET WOPROS: MOVNO LI DOKAZATX \TIM VE METODOM EDINSTWENNOSTX REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I? pUSTX u1 I u2 | RAZLI^NYE REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I (WNUTRENNEJ). pRIMENIM FORMULU (3) K FUNKCIQM u = u1 ; u2 I v = u W OBLASTI T , OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ : ZZZ ZZZ ; Z Z @u & 2 2 2 u u d = ; ux + uy + uz d + u @n d: T

T

oTS@DA, PRINIMAQ WO WNIMANIE USLOWIQ u = 0
uj = 0
POLU^AEM

ZZZ ; & u2x + u2y + u2z d = 0 T



328

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

I, SLEDOWATELXNO,

ux = uy = uz = 0 I u  const: nA POWERHNOSTI  FUNKCIQ u RAWNA NUL@, PO\TOMU MY MOVEM UTWERVDATX, ^TO u  0 I u1  u2 : oDNAKO \TO DOKAZATELXSTWO NEKORREKTNO, POSKOLXKU W PROCESSE DOKAZATELXSTWA MY PREDPOLAGALI SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH ISKOMOJ FUNKCII NA POWERHNOSTI , ^TO SAMOJ POSTANOWKOJ ZADA^I NE PREDUSMATRIWAETSQ. dOKAZATELXSTWO EDINSTWENNOSTI, OSNOWANNOE NA PRINCIPE MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, SWOBODNO OT \TOGO NEDOSTATKA.

x 3. rEENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ PROSTEJIH OBLASTEJ METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH

rEENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA MOVET BYTX NAJDENO METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH W SLU^AE NEKOTORYH PROSTEJIH OBLASTEJ (KRUG, PRQMOUGOLXNIK, AR, CILINDR I DR.). pOLU^A@]IESQ PRI \TOM ZADA^I NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ (ZADA^I {TURMA | lIUWILLQ) PRIWODQT K RAZLI^NYM KLASSAM SPECIALXNYH FUNKCIJ. w \TOM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM ZADA^I dIRIHLE (WNUTRENN@@ I WNEN@@), PRI REENII KOTORYH ISPOLXZU@TSQ TOLXKO TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII. pOZVE, PRI IZU^ENII SPECIALXNYH FUNKCIJ, BUDUT RASSMOTRENY ZADA^I dIRIHLE DLQ SFERY I CILINDRA. 1. pERWAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ KRUGA. rEIM PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ KRUGA. nAJTI FUNKCI@ u
UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ u = 0 WNUTRI KRUGA (1) I GRANI^NOMU USLOWI@ u = f NA GRANICE KRUGA
(2) GDE f | ZADANNAQ FUNKCIQ. pREDPOLOVIM SNA^ALA, ^TO FUNKCIQ f NEPRERYWNA I DIFFERENCIRUEMA I REENIE u (M ) NEPRERYWNO W ZAMKNUTOJ OBLASTI W DALXNEJEM MY OSWOBODIMSQ OT USLOWIQ DIFFERENCIRUEMOSTI I DAVE NEPRERYWNOSTI FUNKCII f (SR. S x 2, P. 4). nARQDU S WNUTRENNEJ KRAEWOJ ZADA^EJ BUDEM RASSMATRIWATX TAKVE WNEN@@ KRAEWU@ ZADA^U (SM. x 2, P. 7). wWEDEM POLQRNU@ SISTEMU KOORDINAT (
') S NA^ALOM W CENTRE KRUGA. uRAWNENIE (1) W POLQRNYH KOORDINATAH IMEET WID   @  @u + 1 @ 2 u = 0 u = 1 @ (3) @ 2 @'2

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

329

(SM. FORMULU (34) x 1). bUDEM REATX ZADA^U METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, T. E. BUDEM ISKATX ^ASTNOE REENIE URAWNENIQ (1) WIDA u (
') = R ()  (') 6 0: pODSTAWIW PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ W URAWNENIE (3), POLU^IM   d  dR 00 d d = ;  = 
R  GDE  = const. oTS@DA POLU^AEM DWA URAWNENIQ: 00 +  = 0
 6 0
(4)





d  dR ; R = 0
R 6 0:  d (5) d pERWOE IZ \TIH URAWNENIJ DAET p p  (') = A cos  ' + B sin  ': zAMETIM, ^TO PRI IZMENENII UGLA ' NA WELI^INU 2 ODNOZNA^NAQ FUNKCIQ u (
') DOLVNA WERNUTXSQ K ISHODNOMU ZNA^ENI@: u (
' + 2) = u (
') (USLOWIE PERIODI^NOSTI). oTS@DA SLEDUET, ^TO  (' + 2) =  ('), T. E.  (') QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ UGLA ' S PERIODOM 2. |TO WOZMOVNO, TOLXKO ESLI p = n,FUNKCIEJ GDE n | CELOE ^ISLO, I n (') = An cos n' + Bn sin n': fUNKCI@ R () BUDEM ISKATX W WIDE R () =  . pODSTAWLQQ W URAWNENIE (5) I SOKRA]AQ NA  , NAHODIM n2 = 2
ILI  =  n (n > 0): sLEDOWATELXNO, R () = Cn + D;n
GDE C I D | POSTOQNNYE. dLQ REENIQ WNUTRENNEJ ZADA^I NADO POLOVITX R = Cn ( = n), TAK KAK ESLI D 6= 0, TO FUNKCIQ u = R ()  (') OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX PRI  = 0 I NE QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ WNUTRI KRUGA. dLQ REENIQ WNENEJ ZADA^I, NAOBOROT, NADO BRATX R = D;n ( = ;n), POSKOLXKU REENIE WNENEJ ZADA^I DOLVNO BYTX OGRANI^ENO W BESKONE^NOSTI.

urawneniq |llipti~eskogo tipa

330

gl. IV

iTAK, ^ASTNYE REENIQ NAEJ ZADA^I NAJDENY 1) : un (
') = n (An cos n' + Bn sin n') DLQ  6 a
un (
') = 1n (An cos n' + Bn sin n') DLQ  > a:

sUMMY \TIH REENIJ u (
') = u (
') =

1 X

n=0 1 X

n (An cos n' + Bn sin n') DLQ WNUTRENNEJ ZADA^I, 1

n (An cos n' + Bn sin n') DLQ WNENEJ ZADA^I n=0 

PRI DOSTATO^NO HOROEJ SHODIMOSTI TAKVE BUDUT GARMONI^ESKIMI FUNKCIQMI. dLQ OPREDELENIQ KO\FFICIENTOW An I Bn ISPOLXZUEM GRANI^NOE USLOWIE u (a
') =

1 X

n=0

an (An cos n' + Bn sin n') = f:

(6)

s^ITAQ, ^TO f ZADANA KAK FUNKCIQ UGLA ', WOZXMEM EE RAZLOVENIE W RQD fURXE 1 X 0 f (') = 2 + ( n cos n' + n sin n')


n=1

(7)

1)

wYRAVENIE OPERATORA lAPLASA W POLQRNOJ SISTEME KOORDINAT (3) PRI  = 0 TERQET SMYSL. dOKAVEM, ^TO un = 0 TAKVE PRI  = 0. dLQ DOKAZATELXSTWA \TOGO FAKTA MY UVE NE MOVEM POLXZOWATXSQ POLQRNOJ SISTEMOJ KOORDINAT. pEREJDEM K DEKARTOWOJ SISTEME KOORDINAT. ~ASTNYE REENIQ n cos n' I n sin n' BUDU^I DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ ^ASTQMI FUNKCII



n ein' =  ei'

n

= (x + iy)n 

QWLQ@TSQ MNOGO^LENAMI PO x I y. o^EWIDNO, ^TO MNOGO^LEN, UDOWLETWORQ@]IJ URAWNENI@ u = 0 PRI  > 0, W SILU NEPRERYWNOSTI WTORYH PROIZWODNYH UDOWLETWORQET TAKVE \TOMU URAWNENI@ PRI  = 0.

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

GDE 0 = 1 n = 1 n = 1

Z ;

Z

;

Z

;

331

f () d
f () cos n d (n = 1
2
: : :)
f () sin n d (n = 1
2
: : :):

sRAWNIWAQ RQDY (6) I (7), POLU^AEM A0 = 20
An = ann
Bn = ann DLQ WNUTRENNEJ ZADA^I
A = 0
A = an
B =  an DLQ WNENEJ ZADA^I: 0

2

n

n

n

n

tAKIM OBRAZOM, MY POLU^ILI FORMALXNOE REENIE PERWOJ WNUTRENNEJ ZADA^I DLQ KRUGA W WIDE RQDA 1  n X  ( cos n' +  sin n')
u (
') = 20 + (8) n n a n=1 A REENIE WNENEJ ZADA^I W WIDE RQDA 1  n X a ( cos n' +  sin n'): (9) u (
') = 20 + n n  n=1 ~TOBY UBEDITXSQ W TOM, ^TO POLU^ENNYE FUNKCII DEJSTWITELXNO QWLQ@TSQ ISKOMYMI REENIQMI, NUVNO UBEDITXSQ W PRIMENIMOSTI PRINCIPA SUPERPOZICII, DLQ ^EGO NADO DOKAZATX SHODIMOSTX RQDOW, WOZMOVNOSTX IH PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ, A TAKVE NEPRERYWNOSTX \TIH FUNKCIJ NA GRANICE KRUGA. oBA RQDA MOVNO PREDSTAWITX ODNOJ FORMULOJ: 1 X u (
') = 0 + tn ( cos n' +  sin n')
GDE

2

n=1

n

n

8 > < a 6 1 PRI  6 a (WNUTRENNQQ ZADA^A)
t = >a :  6 1 PRI  > a (WNENQQ ZADA^A)


332

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

n , n | KO\FFICIENTY fURXE FUNKCII f ('). dOKAVEM, ^TO RQDY (8), (9) MOVNO DIFFERENCIROWATX PRI t < 1 L@BOE ^ISLO RAZ. pUSTX un = tn ( n cos n' + n sin n'): wY^ISLIM k-@ PROIZWODNU@ FUNKCII un PO ': @ k un = tn nk h cos n' + k   +  sin n' + k  i : n n @'k 2 2 oTS@DA POLU^AEM OCENKU  @ k u   kn  6 tnnk 2M
@' GDE ^EREZ M OBOZNA^EN MAKSIMUM MODULQ KO\FFICIENTOW fURXE n I n : j n j 6 M
jn j 6 M: (10) fIKSIRUEM NEKOTORYE ZNA^ENIQ 0 < a (DLQ WNUTRENNEJ ZADA^I) ILI 1 = a2 =0 > a (DLQ WNENEJ ZADA^I), PRI \TOM t0 = 0 =a < 1. rASSMATRIWAQ RQD 1 X

n=1

tn nk (j n j + jn j) 6 2M

1 X

n=1

tn0 nk

(t 6 t0 )


WIDIM, ^TO ON SHODITSQ RAWNOMERNO PRI t 6 t0 < 1 DLQ L@BOGO k. pO\TOMU RQDY (8) I (9) MOVNO DIFFERENCIROWATX PO ' W L@BOJ TO^KE WNUTRI (WNE) KRUGA L@BOE ^ISLO RAZ. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO PO PEREMENNOJ  TAKVE MOVNO DIFFERENCIROWATX RQDY (8) I (9) WNUTRI (WNE) KRUGA RADIUSA 0 < a (1 > a) SKOLXKO UGODNO RAZ. w SILU PROIZWOLXNOSTI 0 ZAKL@^AEM, ^TO RQDY (8) I (9) PO^LENNO DIFFERENCIRUEMY WO WSQKOJ WNUTRENNEJ (WNENEJ) TO^KE KRUGA. iZ WOZMOVNOSTI PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ SLEDUET PRIMENIMOSTX PRINCIPA SUPERPOZICII. tAKIM OBRAZOM, DOKAZANO, ^TO FUNKCII (8) I (9) UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ u = 0 1) . pRI \TOM DOKAZATELXSTWE MY POLXZOWALISX TOLXKO TEM SWOJSTWOM FUNKCII f ('), ^TO EE KO\FFICIENTY fURXE OGRANI^ENY (FORMULA (10)). |TO IMEET MESTO DLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ FUNKCII (I DAVE 1) |TO URAWNENIE UDOWLETWORQETSQ TAKVE PRI  = 0 W SAMOM DELE, WYRAVAQ PROIZWODNYE PO DEKARTOWYM KOORDINATAM ^EREZ PROIZWODNYE PO POLQRNYM KOORDINATAM, NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO FUNKCII (8) I (9) PRI t 6 t0 MOVNO DIFFERENCIROWATX PO x I y L@BOE ^ISLO RAZ. w SILU PRIME^ANIQ NA S. 330 OTS@DA SLEDUET, ^TO u = 0 PRI  = 0:

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

333

DLQ L@BOJ ABSOL@TNO INTEGRIRUEMOJ FUNKCII). tAKIM OBRAZOM, RQDY (8) I (9), SOOTWETSTWU@]IE L@BOJ OGRANI^ENNOJ FUNKCII, OPREDELQ@T FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE URAWNENI@ u = 0 DLQ t < 1: |TIM ZAME^ANIEM MY WOSPOLXZUEMSQ POZVE PRI OBOB]ENII REZULXTATOW, POLU^ENNYH W NASTOQ]EM PUNKTE. oBRATIMSQ TEPERX K DOKAZATELXSTWU NEPRERYWNOSTI FUNKCII W ZAMKNUTOJ OBLASTI (t 6 1). o^EWIDNO, ^TO BEZ BOLEE DETALXNYH SWEDENIJ OTNOSITELXNO SWOJSTW FUNKCII f (') \TOGO SDELATX NELXZQ. iZ PREDPOLOVENNOJ NEPRERYWNOSTI I DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII f (') SLEDUET EE RAZLOVIMOSTX W RQD fURXE, A TAKVE SHODIMOSTX RQDA 1 X

n=1

(j n j + jn j) < 1:

(11)

s DRUGOJ STORONY, IMEEM jtn n cos n'j 6 j nj
jtn n sin n'j 6 jnj: pO\TOMU RQDY (8) I (9) SHODQTSQ RAWNOMERNO PRI t 6 1 I, SLEDOWATELXNO, PREDSTAWLQEMYE IMI FUNKCII NEPRERYWNY NA GRANICE KRUGA. iZ FORMULY (11) WIDNO, ^TO FUNKCIQ (9), POLU^ENNAQ DLQ WNENEJ ZADA^I, OGRANI^ENA NA BESKONE^NOSTI. tAKIM OBRAZOM, USTANOWLENO, ^TO RQDY (8) I (9) UDOWLETWORQ@T WSEM USLOWIQM RASSMATRIWAEMYH ZADA^. 2. iNTEGRAL pUASSONA. pREOBRAZUEM TEPERX FORMULY (8) I (9) K BOLEE PROSTOMU WIDU. dLQ OPREDELENNOSTI RASSMOTRIM WNUTRENN@@ ZADA^U, A DLQ WNENEJ NAPIEM REZULXTAT PO ANALOGII. pODSTAWLQQ WYRAVENIQ DLQ KO\FFICIENTOW fURXE W FORMULU (8) I MENQQ PORQDOK SUMMIROWANIQ I INTEGRIROWANIQ, BUDEM IMETX ) Z (1 X 1  n 1  u(
') =  f () 2 + (cos n cos n' + sin n sin n') d = n=1 a ;

= 1

Z

;

(

)

1  n X  cos n (' ; ) d: f () 21 + a n=1

pROIZWEDEM SLEDU@]IE TOVDESTWENNYE PREOBRAZOWANIQ:

1 1 h i X 1 +X 1 1 n n ein ('; ) + e;in ('; ) = t cos n ( ' ;  ) = + t 2 n=1 2 2 n=1 ( X 1 h i) 1 i ( ' ; ) n ;i ('; ) n (t e ) + (t e ) = = 2 1+ n=1

(12)

334

urawneniq |llipti~eskogo tipa





gl. IV

i ('; ) ;i ('; ) = 12 1 + t e i ('; ) + t e ;i ('; ) = 1;te 1;te    2 = 12 1 ; 2t cos1 (;'t; ) + t2 t= a <1 : pODSTAWLQQ POLU^ENNYE REZULXTATY W RAWENSTWO (12), POLU^AEM

u (
') = 21

Z

;

2 2 f () 2 ; 2a acos;(' ; ) + a2 d:

(13)

pOLU^ENNAQ FORMULA, DA@]AQ REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I WNUTRI KRUGA, NAZYWAETSQ I N T E G R A L O M p U A S S O N A, A PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE 2 2 K (
'
a
) = 2 ; 2a acos;(' ; ) + a2 | Q D R O M p U A S S O N A. oTMETIM, ^TO K (
'
a
) > 0 PRI  < a, TAK KAK 2a < a2 + 2 , ESLI  6= a. iNTEGRAL pUASSONA WYWEDEN W PREDPOLOVENII  < a PRI  = a PREDSTAWLENIE (13) TERQET SMYSL. oDNAKO lim u (
') = f ('0 )
!a '!'0

TAK KAK RQD, IZ KOTOROGO POLU^EN INTEGRAL pUASSONA, QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ W ZAMKNUTOJ OBLASTI. fUNKCIQ, OPREDELENNAQ FORMULOJ

8 Z 2 2 > > < 21 f () 2 ; 2a acos;(' ; ) + a2 d PRI  < a
u (
') = > ; > :

(130 )

f (') PRI  = a
UDOWLETWORQET URAWNENI@ u = 0 PRI  < a I NEPRERYWNA W ZAMKNUTOJ OBLASTI WKL@^AQ OKRUVNOSTX  = a. rEENIE WNENEJ KRAEWOJ ZADA^I, O^EWIDNO, IMEET WID

8 Z 2 2 > > < 21 f () 2 ; 2a cos;('a ; ) + a2 d PRI  > a
u (
') = > ; > :

(14)

f (') PRI  = a: w SAMOM NA^ALE MY PREDPOLOVILI, ^TO FUNKCIQ f (') NEPRERYWNA I DIFFERENCIRUEMA, I, POLXZUQSX \TIM, DOKAZALI, ^TO REENIE ZADA^I

x 3]

metod razdeleniq peremennyh

335

MOVNO PREDSTAWITX W WIDE BESKONE^NOGO RQDA. w DALXNEJEM S POMO]X@ TOVDESTWENNYH PREOBRAZOWANIJ MY PERELI OT RQDA K INTEGRALU pUASSONA. dOKAVEM TEPERX, ^TO INTEGRAL pUASSONA DAET REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I I W TOM SLU^AE
KOGDA FUNKCIQ f (') TOLXKO NEPRERYWNA. iNTEGRAL pUASSONA PREDSTAWLQET REENIE URAWNENIQ lAPLASA PRI  < a (t < 1) DLQ PROIZWOLXNOJ OGRANI^ENNOJ FUNKCII f ('). w SAMOM DELE, PRI  < a (t < 1) INTEGRAL pUASSONA TOVDESTWENEN RQDU (8) I, KAK BYLO OTME^ENO NA S. 332, UDOWLETWORQET URAWNENI@ u = 0 PRI PROIZWOLXNOJ OGRANI^ENNOJ FUNKCII f ('). tAKIM OBRAZOM, NAM OSTAETSQ DOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u W NAEM SLU^AE NEPRERYWNO PRIMYKAET K GRANI^NYM ZNA^ENIQM. wYBEREM KAKU@-LIBO POSLEDOWATELXNOSTX NEPRERYWNYH DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ f1 (')
f2 (')
: : :
fk (')
: : :
RAWNOMERNO SHODQ]U@SQ K FUNKCII f (') 1) : lim f (') = f ('): k!1 k pOSLEDOWATELXNOSTI GRANI^NYH FUNKCIJ BUDET SOOTWETSTWOWATX POSLEDOWATELXNOSTX GARMONI^ESKIH FUNKCIJ uk (
'), OPREDELQEMYH PO FORMULE (13) ILI (8). rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI f fk (') g OZNA^AET, ^TO DLQ L@BOGO " > 0 MOVNO UKAZATX TAKOE k0 (") > > 0, ^TO jfk (') ; fk+l (')j < " PRI k > k0 (")
l > 0: dLQ FUNKCIJ uk (r
'), PREDSTAWLQ@]IH REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I, W SILU PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ BUDEM IMETX juk (
') ; uk+l (
')j < " PRI  6 a
k > k0 (")
l > 0: tAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX f uk g SHODITSQ RAWNOMERNO K NEKOTOROJ FUNKCII u = klim uk . pREDELXNAQ FUNKCIQ u (
') NEPRE!1 RYWNA W ZAMKNUTOJ OBLASTI, POSKOLXKU WSE FUNKCII uk , PREDSTAWLQEMYE INTEGRALAMI uk (
') = 21 1)

Z

;

a2 ; 2 2 ; 2a cos (' ; ) + a2 fk () d


mY NE BUDEM OSTANAWLIWATXSQ NA TOM, KAK \TO OSU]ESTWITX. tAKU@ POSLEDOWATELXNOSTX MOVNO WYBRATX MNOGIMI SPOSOBAMI.

336

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

NEPRERYWNY W ZAMKNUTOJ OBLASTI. o^EWIDNO, ^TO u (
') = klim uk (
') = !1

8 Z 2 2 > > < 21 2 ; 2a acos;(' ; ) + a2 f () d PRI  < a
= > ; > :

f (') PRI  = a
TAK KAK POSLEDOWATELXNOSTX f fk g SHODITSQ RAWNOMERNO K f , I PO\TOMU PREDELXNYJ PEREHOD POD ZNAKOM INTEGRALA ZAKONEN. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ u (
') = 21

Z

;

a2 ; 2 2 ; 2a cos (' ; ) + a2 f () d

PRI PROIZWOLXNOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f (') QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ lAPLASA, NEPRERYWNO PRIMYKA@]IM NA GRANICE KRUGA K ZADANNYM ZNA^ENIQM. 3. sLU^AJ RAZRYWNYH GRANI^NYH ZNA^ENIJ. dOKAVEM, ^TO FORMULY (130 ) I (14) DA@T REENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQ PROIZWOLXNOJ KUSO^NO-NEPRERYWNOJ FUNKCII f ('), T. E. ^TO \TO REENIE OGRANI^ENO WO WSEJ OBLASTI I NEPRERYWNO PRIMYKAET K GRANI^NYM ZNA^ENIQM W TO^KAH NEPRERYWNOSTI FUNKCII f ('), QWLQQSX, TAKIM OBRAZOM, EDINSTWENNYM REENIEM, OBLADA@]IM \TIM SWOJSTWOM (SR. S x 2, P. 4). pUSTX '0 | KAKAQ-LIBO TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII f ('). nADO DOKAZATX, ^TO KAKOWO BY NI BYLO " > 0, NAJDETSQ TAKOE ("), ^TO ju (
') ; f ('0 )j < "
ESLI j ; aj < (") I j' ; '0 j < ("): w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII f (') SU]ESTWUET TAKOE 0 ("), ^TO jf (') ; f ('0 )j < 2"
ESLI j' ; '0 j < 0 ("): rASSMOTRIM WSPOMOGATELXNYE NEPRERYWNYE I DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII f(') I f ('), UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM f(') = f (' ) + " DLQ j' ; ' j < (")
0

f(') > f (')

2

0

0

DLQ j' ; '0 j > 0 (")

x 3]

I

metod razdeleniq peremennyh

337

f (') = f ('0 ) ; 2" DLQ j' ; '0 j < 0 (")


f (') 6 f (') DLQ j' ; '0 j > 0 (")
A W OSTALXNOM PROIZWOLXNYE. eSLI PRI POMO]I FORMULY (13) MY OPREDELIM DLQ f I f FUNKCII u (
') I u (
'), TO \TO BUDUT GARMONI^ESKIE FUNKCII, NEPRERYWNO PRIMYKA@]IE K f (') I f ('). w SILU POLOVITELXNOSTI QDRA pUASSONA IMEEM u (
') 6 u (
') 6 u (
')
TAK KAK f (') 6 f (') 6 f('): iZ NEPRERYWNOSTI FUNKCIJ u (
') I u (
') NA GRANICE PRI ' = '0 SLEDUET SU]ESTWOWANIE TAKOGO 1 ("), ^TO ju (
') ; f(' )j 6 " DLQ j ; aj < (")
j' ; ' j < (") 0

I

1

2

0

1

ju (
') ; f ('0 )j 6 2"

DLQ j ; aj < 1 (")
j' ; '0 j < 1 ("): iZ \TIH NERAWENSTW NAHODIM 9 u (
') 6 f('0 ) + 2" = f ('0 ) + "
> = j ; aj < (")
DLQ > j' ; '0j < (")
f ('0 ) ; " = f ('0 ) ; " 6 u (
')  2

GDE = min ( 0
1 ). sOPOSTAWLQQ POLU^ENNYE NERAWENSTWA, ZAKL@^AEM, ^TO f ('0 ) ; " 6 u (
') 6 u (
') 6 u (
') 6 f ('0 ) + "
ILI ju (
') ; f ('0 )j < " DLQ j ; aj < (")
j' ; '0 j < (")
^TO I DOKAZYWAET NEPRERYWNOSTX u (
') W TO^KE (a
'0 ). oGRANI^ENNOSTX u (
') SLEDUET IZ TOGO, ^TO W SILU POLOVITELXNOSTI QDRA pUASSONA

ju (
')j < M 1

Z2 0

a2 ; 2 a2 + 2 ; 2a cos (' ; ) d = M


22 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

338

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

ESLI jf (')j < M . zNA^ENIE VE INTEGRALA 1

Z2

(a2 ; 2 ) d 2 ; 2a cos (' ; ) + a2

 1
 0 TAK KAK W SILU RANEE DOKAZANNOGO LEWAQ ^ASTX PREDSTAWLQET GARMONI^ESKU@ FUNKCI@, NEPRERYWNO PRIMYKA@]U@ K GRANI^NYM ZNA^ENIQM f  1, A TAKAQ FUNKCIQ TOVDESTWENNO RAWNA 1. aNALOGI^NO u (
') > > M1 , ESLI f > M1 , ^TO I DOKAZYWAET OGRANI^ENNOSTX MODULQ FUNKCII u (
'). x 4. fUNKCIQ ISTO^NIKA

mETOD FUNKCII ISTO^NIKA DAET UDOBNYJ APPARAT DLQ ANALITI^ESKOGO PREDSTAWLENIQ REENIQ KRAEWYH ZADA^. w NASTOQ]EM PARAGRAFE BUDUT DANY OPREDELENIE I OSNOWNYE SWOJSTWA FUNKCII ISTO^NIKA DLQ URAWNENIQ lAPLASA, A TAKVE BUDUT POSTROENY FUNKCII ISTO^NIKA DLQ RQDA PROSTEJIH OBLASTEJ (KRUG, SFERA, POLUPROSTRANSTWO). |TO POSTROENIE PROWODITSQ METODOM \LEKTROSTATI^ESKIH IZOBRAVENIJ. 1. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ URAWNENIQ u = 0 I EE OSNOWNYE SWOJSTWA. dLQ WSQKOJ FUNKCII u, NEPRERYWNOJ WMESTE S PERWYMI PROIZWODNYMI W ZAMKNUTOJ OBLASTI T (OGRANI^ENNOJ DOSTATO^NO GLADKOJ POWERHNOSTX@ ) I IME@]EJ WTORYE PROIZWODNYE WNUTRI T , KAK BYLO POKAZANO W x 2, P. 1, IMEET MESTO INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE  1  Z Z  1 @u 1 @ u (M0) = 4 RPM0 @n (P ) ; u (P ) @n RPM0 dP ; ZZZ u ; 41 RMM0 dM : (1) T

eSLI FUNKCIQ u (M ) GARMONI^ESKAQ, TO OB_EMNYJ INTEGRAL RAWEN NUL@ ESLI VE u (M ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ pUASSONA, TO OB_EMNYJ INTEGRAL QWLQETSQ IZWESTNOJ FUNKCIEJ. pUSTX v (M ) | NEKOTORAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ, NEPRERYWNAQ W T +  WMESTE S PERWYMI PROIZWODNYMI, NE IME@]AQ NIGDE OSOBENNOSTEJ. wTORAQ FORMULA gRINA ZZZ Z Z  @v @u  (u v ; v u) d = u @n ; v @n d T DAET Z Z  @u @v  ZZZ 0= v @n ; u @n d ; v u d: (2)

T

x 4]

funkciq isto~nika

sKLADYWAQ (2) I (1), POLU^AEM Z Z  @u @G  ZZZ u (M0) = G @n ; u @n d ; u  G d
GDE

T



G (M
M0 ) = 4R1

MM0

+v

339 (3) (30 )

| FUNKCIQ DWUH TO^EK M0 (x
y
z ) I M (

 ). tO^KA M0 FIKSIROWANA, I PO\TOMU x, y, z IGRA@T ROLX PARAMETROW. fORMULA (3) SODERVIT uj I @u=@n j . mEVDU TEM PRI REENII PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I ZADAETSQ LIX uj , A PRI REENII WTOROJ KRAEWOJ ZADA^I | ZNA^ENIE @u=@n j . fUNKCIQ v WYBIRAETSQ TAKIM OBRAZOM, ^TOBY Gj = 0 DLQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I I @G=@n j = 0 DLQ WTOROJ KRAEWOJ ZADA^I. oPREDELIM FUNKCI@ G (M
P ) PRI POMO]I SLEDU@]IH USLOWIJ. 1. G (M
P ) KAK FUNKCIQ TO^KI P (

 ) PRI FIKSIROWANNOJ TO^KE M (x
y
z ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA G = G + G + G = 0
P 6= M
WO WSEH TO^KAH P OBLASTI T , KROME TO^KI P = M . 2. G (M
P ) PRI SOWPADENII ARGUMENTOW (M = P ) OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX I PREDSTAWIMA W WIDE (30 ), GDE v = v (M
P ) | GARMONI^ESKAQ WS@DU W T FUNKCIQ. 3. G (M
P ) NA GRANICE OBRA]AETSQ W NULX: G (M
P ) = 0
ESLI P 2 : |TOMU USLOWI@ MOVNO UDOWLETWORITX, POTREBOWAW, ^TOBY

1 : vj = ; 4R fUNKCI@ G, OPREDELENNU@ TAKIM OBRAZOM, BUDEM NAZYWATX FUNKCIEJ TO^E^NOGO ISTO^NIKA PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I D L Q U R A W N E N I Q l A P L A S A. fUNKCIQ ISTO^NIKA POZWOLQET DATX QWNOE PREDSTAWLENIE DLQ REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ u = 0. w SAMOM DELE, FORMULA (3) DAET ZZ Z Z @G u (M0) = ; u @G d = ; f @n d (f = uj ): (4) @n



sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO FORMULA (4) POLU^ENA S POMO]X@ FORMULY gRINA, PREDPOLAGA@]EJ WYPOLNENIE OPREDELENNYH USLOWIJ W OTNOENII FUNKCIJ u I G I POWERHNOSTI . w FORMULU (4) WHODIT WYRAVENIE @G=@n, SU]ESTWOWANIE KOTOROGO NA POWERHNOSTI  NE SLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ FUNKCII G. 22


340

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

pRI POLU^ENII FORMULY (4) MY ISHODIM IZ TOGO, ^TO SU]ESTWUET GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u, PRINIMA@]AQ NA POWERHNOSTI  ZNA^ENIE f . tEM SAMYM DAVE DLQ TEH OBLASTEJ, DLQ KOTORYH SU]ESTWUET FUNKCIQ ISTO^NIKA, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQM PRIMENIMOSTI FORMULY gRINA, FORMULA (4) DAET QWNOE PREDSTAWLENIE LIX TEH REENIJ u PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I, KOTORYE UDOWLETWORQ@T USLOWIQM PRIMENIMOSTI FORMULY gRINA (DOKAZYWAQ EDINSTWENNOSTX \TOGO KLASSA REENIJ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I). pODROBNOE ISSLEDOWANIE FORMULY (4), PROWEDENNOE a. m. lQPUNOWYM, POKAZALO, ^TO DLQ IROKOGO KLASSA POWERHNOSTEJ, NAZYWAEMYH POWERHNOSTQMI lQPUNOWA (SM. x 5), ONA PREDSTAWLQET REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I PRI WESXMA OB]IH USLOWIQH. oSTANOWIMSQ E]E RAZ NA OPREDELENII FUNKCII G. fUNKCIQ G OPREDELQETSQ PRI POMO]I FUNKCII v, QWLQ@]EJSQ REENIEM PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ v = 0 S GRANI^NYMI ZNA^ENIQMI

1 : vj = ; 4R mOVET SOZDATXSQ WPE^ATLENIE, ^TO IMEET MESTO PORO^NYJ KRUG. dLQ NAHOVDENIQ FUNKCII u | REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I | NADO NAJTI FUNKCI@ v | REENIE TOJ VE ZADA^I. nA SAMOM DELE PORO^NOGO KRUGA NET, TAK KAK ZNANIE FUNKCII ISTO^NIKA POZWOLQET REITX PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U S PROIZWOLXNYMI GRANI^NYMI ZNA^ENIQMI (uj = = f ), W TO WREMQ KAK DLQ NAHOVDENIQ SAMOJ FUNKCII G DOSTATO^NO REITX KRAEWU@ ZADA^U SO SPECIALXNYMI GRANI^NYMI ZNA^ENIQMI (vj = ;1=(4R)), ^TO, KAK MY UWIDIM NA RQDE PRIMEROW, ZNA^ITELXNO PRO]E. pRI \LEKTROSTATI^ESKOJ INTERPRETACII FUNKCIQ ISTO^NIKA 1 +v G (M
M0 ) = 4R

PREDSTAWLQET POTENCIAL W TO^KE M TO^E^NOGO ZARQDA 1) , POME]ENNOGO W TO^KU M0 WNUTRI ZAZEMLENNOJ PROWODQ]EJ POWERHNOSTI . pERWOE 1) pRI TERMI^ESKOJ INTERPRETACII STACIONARNAQ TEMPERATURA TO^E^NOGO ISTO^NIKA TEPLA INTENSIWNOSTI q OPREDELQETSQ FORMULOJ q 4kr  GDE k | KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ G(M M0 ) QWLQETSQ TEMPERATUROJ W TO^KE M , ESLI TEMPERATURA POWERHNOSTI TELA RAWNA NUL@, A W TO^KE M0 POME]EN TEPLOWOJ ISTO^NIK INTENSIWNOSTI q = k. eSLI RAZMERNOSTX DLINY WYBRANA TAK, ^TO k = 1, TO FUNKCIQ G SOOTWETSTWUET ISTO^NIKU INTENSIWNOSTI, RAWNOJ EDINICE.

x 4]

funkciq isto~nika

341

SLAGAEMOE 1=(4R) ESTX, O^EWIDNO, POTENCIAL TO^E^NOGO ZARQDA W SWOBODNOM PROSTRANSTWE, A WTOROE SLAGAEMOE v OBOZNA^AET POTENCIAL POLQ ZARQDOW, INDUCIROWANNYH NA PROWODQ]EJ POWERHNOSTI . tAKIM OBRAZOM, POSTROENIE FUNKCII ISTO^NIKA SWODITSQ K OPREDELENI@ INDUCIROWANNOGO POLQ. oSTANOWIMSQ NA NEKOTORYH SWOJSTWAH FUNKCII ISTO^NIKA. pRI \TOM MY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO RASSMATRIWAEMYE OBLASTI TAKOWY, ^TO DLQ NIH SU]ESTWU@T FUNKCII ISTO^NIKA, OBLADA@]IE NORMALXNYMI PROIZWODNYMI NA POWERHNOSTI  I UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM PRIMENIMOSTI FORMULY gRINA. 1. fUNKCIQ ISTO^NIKA WS@DU POLOVITELXNA WNUTRI T . w SAMOM DELE, FUNKCIQ G OBRA]AETSQ W NULX NA GRANICE OBLASTI  I POLOVITELXNA rIS. 50 NA POWERHNOSTI DOSTATO^NO MALOJ SFERY, OPISANNOJ WOKRUG POL@SA. oTS@DA SLEDUET, W SILU PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, EE POLOVITELXNOSTX WO WSEJ OBLASTI. zAMETIM TAKVE, ^TO  @G  6 0
@n  ^TO NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET IZ DOKAZANNOJ POLOVITELXNOSTI I USLOWIQ Gj = 0. 2. fUNKCIQ ISTO^NIKA SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO SWOIH ARGUMENTOW M0 (x
y
z ) I M (

 ): G (M
M0 ) = G (M0
M ): 0 00 pUSTX M0 I M0 | NEKOTORYE FIKSIROWANNYE TO^KI W OBLASTI T . pROWEDEM SFERY 1 I 2 RADIUSA " S CENTRAMI W TO^KAH M00 I M000 (RIS. 50). pOLAGAQ u (M ) = G (M
M00 )
v (M ) = G (M
M000 ) I PRIMENQQ FORMULU gRINA ZZZ Z Z  @v @u  (u v ; v u) d = u @n ; v @n d (5) T"

1 + 2 +

K OBLASTI T" , OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI , 1 I 2 , BUDEM IMETX 00 ) 0) @G ( M
M @G ( M
M 0 0 0 00 G (M
M0) ; G (M
M0 ) @n dM + @n

ZZ  1

+

ZZ  2



M0 ) ; G (M
M 00 ) @G (M
M0) d = 0
G (M
M00 ) @G (M
M 0 @n @n 00

0

342

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

TAK KAK LEWAQ ^ASTX URAWNENIQ (5) RAWNA NUL@, POSKOLXKU G = 0, A INTEGRAL PO POWERHNOSTI  RAWEN NUL@ W SILU GRANI^NYH USLOWIJ. pEREHODQ ZATEM K PREDELU PRI " ! 0 I ISPOLXZUQ OSOBENNOSTX FUNKCII ISTO^NIKA, POLU^AEM 1) G (M00
M000 ) = G (M000
M00 )
ILI G (M
M0 ) = G (M0
M ): dOKAZANNAQ SIMMETRIQ FUNKCII ISTO^NIKA QWLQETSQ MATEMATI^ESKIM WYRAVENIEM P R I N C I P A W Z A I M N O S T I W FIZIKE: ISTO^NIK, POME]ENNYJ W TO^KU M0 , PROIZWODIT W TO^KE M TAKOE VE DEJSTWIE, KAKOE PROIZWODIT W TO^KE M0 ISTO^NIK, POME]ENNYJ W TO^KU M . pRINCIP WZAIMNOSTI NOSIT WESXMA OB]IJ HARAKTER I OTNOSITSQ K RAZLI^NYM FIZI^ESKIM POLQM (\LEKTROMAGNITNYM, UPRUGIM I T. D.). oTMETIM, W ^ASTNOSTI, ^TO IZ SWOJSTWA SIMMETRII SLEDUET, ^TO PRI FIKSIROWANNOM M u (M0 ) = G (M
M0), KAK FUNKCIQ PEREMENNYH x, y, z TO^KI M0 , OBLADAET TEM VE SWOJSTWOM, ^TO I FUNKCIQ v (M ) = = G (M
M0) PEREMENNYH  , ,  TO^KI M PRI FIKSIROWANNOM M0 , T. E. M0 G = 0 PRI M 6= M0 , G = 0 PRI M0 2 . fUNKCIQ ISTO^NIKA G (M
M0) DLQ SLU^AQ DWUH IZMERENIJ, O^EWIDNO, BUDET OPREDELQTXSQ SLEDU@]IMI USLOWIQMI. 1. G = 0 WS@DU W RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI S , KROME TO^KI M = = M0 . 2. w TO^KE M = M0 FUNKCIQ G IMEET OSOBENNOSTX WIDA 1 ln 1 : 2 R MM0

3. GjC = 0, GDE C | GRANICA OBLASTI S .

fUNKCIQ ISTO^NIKA W \TOM SLU^AE IMEET WID G (M
M0 ) = 21 ln R 1 + v (M
M0 )
MM0 GDE v | WS@DU NEPRERYWNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ NA GRANICE USLOWI@ vjC = ; 21 ln R 1 : MM0

rEENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA PRI \TOM DAETSQ FORMULOJ Z u (M0) = ; f @G @n ds (f = ujC ): C

1)

lQPUNOWYM USTANOWLENA \TA TEOREMA W PRIMENENII K KLASSU POWERHNOSTEJ, NAZYWAEMYH POWERHNOSTQMI lQPUNOWA.

x 4]

funkciq isto~nika

343

2. mETOD \LEKTROSTATI^ESKIH IZOBRAVENIJ I FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ SFERY. nAIBOLEE RASPROSTRANENNYM METODOM POSTRO-

ENIQ FUNKCII ISTO^NIKA QWLQETSQ M E T O D \ L E K T R O S T A T I ^ E S K I H I Z O B R A V E N I J. iDEQ EGO SOSTOIT W TOM, ^TO PRI POSTROENII FUNKCII ISTO^NIKA G (M
M0 ) = 4R1 + v MM0 INDUCIROWANNOE POLE v PREDSTAWLQETSQ KAK POLE ZARQDOW, RASPOLOVENNYH WNE POWERHNOSTI  I WYBIRAEMYH TAKIM OBRAZOM, ^TOBY WYPOLNQLOSX USLOWIE 1 : vj = ; 4R |TI ZARQDY NAZYWA@TSQ \ L E K T R O STATI^ESKIMI IZOBRAVENIQM I EDINI^NOGO ZARQDA, POME]ENNOGO W TO^KU M0 I SOZDA@]EGO W OTSUTSTWIE POWERHNOSTI  POTENCIAL rIS. 51 1=(4R). wO MNOGIH SLU^AQH WYBOR TAKIH ZARQDOW NE SOSTAWLQET TRUDA. nIVE MY PRIWEDEM PRIMERY POSTROENIQ FUNKCII ISTO^NIKA METODOM \LEKTROSTATI^ESKIH IZOBRAVENIJ. iZ PREDSTAWLENIQ FUNKCIJ ISTO^NIKA, POLU^ENNYH WO WSEH \TIH PRIMERAH, NEPOSREDSTWENNO WIDNA NEPRERYWNOSTX PERWYH PROIZWODNYH FUNKCIJ G NA POWERHNOSTI . w KA^ESTWE PERWOGO PRIMERA RASSMOTRIM FUNKCI@ ISTO^NIKA DLQ SFERY. pUSTX DANA SFERA RADIUSA R S CENTROM W TO^KE O I TREBUETSQ NAJTI DLQ NEE FUNKCI@ ISTO^NIKA. pOMESTIM W TO^KU M0 EDINI^NYJ ZARQD I OTLOVIM NA RADIUSE, PROHODQ]EM ^EREZ TO^KU M0 , TAKOJ OTREZOK OM1 , ^TO 0 1 = R 2
(6) GDE 0 = jOM0 j I 1 = jOM1 j (RIS. 51). pREOBRAZOWANIE (6), STAWQ]EE W SOOTWETSTWIE TO^KE M0 OPREDELENNU@ TO^KU M1 , QWLQETSQ PREOBRAZOWANIEM OBRATNYH RADIUSOW, A SAMA TO^KA M1 NAZYWAETSQ S O P R Q V E N N O J S TO^KOJ M0 . |TO PREOBRAZOWANIE WZAIMNO, I TO^KU M0 MOVNO RASSMATRIWATX KAK SOPRQVENNU@ S TO^KOJ M1 . dOKAVEM, ^TO DLQ WSEH TO^EK P , RASPOLOVENNYH NA SFERE, RASSTOQNIQ DO M0 I M1 PROPORCIONALXNY. dLQ \TOGO RASSMOTRIM TREUGOLXNIKI OPM0 I OPM1 (RIS. 51). oNI PODOBNY, TAK KAK UGOL PRI WERINE O OB]IJ, A PRILEVA]IE K NEMU STORONY PROPORCIONALXNY: 0 = R
ILI jOM0 j = R : R  R jOM j 1

1

344

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

iZ PODOBIQ TREUGOLXNIKOW SLEDUET r0 = 0 = R
(7) r1 R 1 GDE r0 = j;;! M0 P j, r1 = j;;! M1 P j. iZ PROPORCII (7) POLU^AEM r0 = R0 r1 DLQ WSEH TO^EK SFERY. pO\TOMU GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ v = = ;R=0  1=r1 NA SFERE PRINIMAET TO VE ZNA^ENIE, ^TO I FUNKCIQ ;1=r0. oNA PREDSTAWLQET, O^EWIDNO, POTENCIAL ZARQDA WELI^INY ;R=0, POME]ENNOGO W TO^KU M1. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ   G (P
M0) = 41 r1 ; R r1 (8) 0 0 1 I QWLQETSQ ISKOMOJ FUNKCIEJ ISTO^NIKA DLQ SFERY, TAK KAK \TO | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ, IME@]AQ W M0 OSOBENNOSTX 1=(4r0) I OBRA]A@]AQSQ W NULX NA SFERE. rEENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DAETSQ FORMULOJ (4). wY^ISLIM PROIZWODNU@      @G = 1 @ 1 ; R @ 1
(9) @n 4 @n r0 0 @n r1 GDE n | WNENQQ NORMALX, r1 = j;;;! M1 M j (M , WOOB]E GOWORQ, NE LEVIT NA SFERE). pROIZWODNYE OT 1=r0 I 1=r1 PO NAPRAWLENI@ n RAWNY     9 @ 1 = @ 1 @r0 = ; 1 cos (rd >
n )
0 > = @n r0 @r0 r0 @n r02 (10)     > @ 1 = @ 1 @r1 = ; 1 cos (rd > 1
n)
 @n r1 @r1 r1 @n r12 TAK KAK @r0 = cos (rd @r1 = cos (rd (11) 0
n)
1
n): @n @n nETRUDNO NAJTI WELI^INY cos (rd 0
n) I cos (rd 1
n): R2 + r02 ; 20
(110 ) cos (rd 0
n) = 2Rr0 R2 + r12 ; 21 : cos (rd (1100 ) 1
n) = 2Rr1

x 4]

funkciq isto~nika

345

iSPOLXZUQ PROPORCI@ (7), BUDEM IMETX 2 4 R2 + R2 r02 ; R2 2 2 2 0 0 cos (rd = 0 +2r0r; R
1
n)j = 0 0 2R R r 0 2 TAK KAK 1 = R =0 PO OPREDELENI@ TO^KI M1 I r1 = R=0  r0 NA SFERE . pOLXZUQSX FORMULAMI (10), A TAKVE WYRAVENIQMI (9), (110 ), 00 (11 ), NAJDEM    @G  = 1 ; 1 R2 + r02 ; 20 + 20 R 20 + r02 ; R2 = @n  4 r02 2Rr0 R2 r02 0 20 r0 1 R2 ; 20 : = ; 4R r02 tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ u (M0) W SOOTWETSTWII S FORMULOJ (4) RAWNA ZZ 2 2 1 u (M0) = 4R f (P ) R r;3 0 dP : (12) 0

wWEDEM SFERI^ESKU@ SISTEMU KOORDINAT S NA^ALOM W CENTRE SFERY. pUSTX (R

') | KOORDINATY TO^KI P , A (0
0
'0 ) | KOORDINATY TO^KI M0   | UGOL MEVDU RADIUSAMI-WEKTORAMI ;! OP I ;;! OM0 . tOGDA FORMULU (12) MOVNO PEREPISATX W WIDE u (0
0
'0 ) = 4R

GDE

Z2 Z 0 0

f (
')

R2 ; 20 sin  d d'
(R2 ; 2R0 cos  + 20 )3=2

cos  = cos  cos 0 + sin  sin 0 cos (' ; '0 ) 1) :

(120 ) (13)

|TA FORMULA NAZYWAETSQ I N T E G R A L O M p U A S S O N A D L Q S F E R Y. ;;! RAWNY SOOT1) w SAMOM DELE, NAPRAWLQ@]IE KOSINUSY WEKTOROW ;! OP I ; OM 0 WETSTWENNO (sin  cos ' sin  sin ' cos ) I (sin 0 cos '0  sin 0 sin '0  cos 0 ), OT-

KUDA cos  = cos  cos 0 + sin  sin 0 (cos ' cos '0 + sin ' sin '0 ) = = cos  cos 0 + sin  sin 0 cos (' ; '0 ):

346

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

tEM VE METODOM MOVET BYTX POSTROENA FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ OBLASTI, WNENEJ K SFERE: 1 R 1 1 G (M
M1 ) = 4 r ;  r
(14) 1 1 0 GDE r1 = jMM1 j | RASSTOQNIE OT FIKSIROWANNOJ TO^KI M1, LEVA]EJ WNE SFERY, r0 = jMM0 j | RASSTOQNIE OT TO^KI M0 , SOPRQVENNOJ S TO^KOJ M1 , 1 | RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO TO^KI M1, A R | RADIUS SFERY. u^ITYWAQ RAZLI^IE NAPRAWLENIJ NORMALEJ DLQ WNUTRENNEJ I WNENEJ ZADA^, POLU^IM u (1
1
'1 ) = 4R

Z2 Z 0 0

21 ; R2 f (
') sin  d d'
R2 ; 21 R cos  + 21 ]3=2

GDE cos  DAETSQ FORMULOJ (13) (INDEKS 0 NADO ZAMENITX NA 1). 3. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ KRUGA. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ KRUGA MOVET BYTX POLU^ENA TAKIM VE SPOSOBOM, KAK I FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ SFERY. w \TOM SLU^AE EE SLEDUET ISKATX W WIDE

G = 21 ln 1r + v: (15) pOWTORQQ RASSUVDENIE PREDYDU]EGO PUNKTA OT FORMULY (6) DO FORMULY (8), MY NAJDEM FUNKCI@ G W WIDE   G (P
M0) = 21 ln r1 ; ln R r1
(16) 0 0 1 GDE 0 = jOM0 j, r0 = jM0 P j, r1 = jM1 P j, R = jOP j | RADIUS KRUGA (RIS. 52). nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO OPREDELENNAQ TAKIM OBRAZOM GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ OBRA]AETSQ W NULX NA GRANICE: GjC = 0: dLQ REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I NADO WY^ISLITX ZNA^ENIQ @G=@n NA OKRUVNOSTI C . wY^ISLENIQ PROIZWODQTSQ ANALOGI^NO SLU^A@ SFERY I DA@T  @G  = ; 1 R2 ; 20 : @n C 2R r02 rIS. 52 pUSTX (
) | POLQRNYE KOORDINATY TO^KI P , LEVA]EJ NA OKRUVNOSTI, A (0
0 ) | KOORDINATY TO^KI M0, TOGDA r02 = R2 + 20 ; 2R0 cos ( ; 0 ):

x 4]

funkciq isto~nika

pODSTAWLQQ W FORMULU

347

Z

2 2 u (P ) R r;2 0 ds R 0 C \TO WYRAVENIE DLQ r0 I PRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO u (P )jC = f () I ds = R d
PRIHODIM DLQ FUNKCII u (M0 ) K WYRAVENI@

u (0
0 ) = 21

u (0
0 ) = 21

Z2

R2 + 20 0

R2 ; 20 ; 2R0 cos ( ; 0 ) f () d


(17)

NAZYWAEMOMU I N T E G R A L O M p U A S S O N A D L Q K R U G A (SM. S. 334, FORMULU (13)). |TA VE FORMULA S TO^NOSTX@ DO ZNAKA DAET REENIE WNENEJ ZADA^I. 4. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ POLUPROSTRANSTWA. pONQTIE FUNKCII ISTO^NIKA I FORMULA (4) IME@T MESTO I DLQ NEOGRANI^ENNOGO PROSTRANSTWA, ESLI RASSMATRIWATX FUNKCII, REGULQRNYE NA BES-

rIS. 53

KONE^NOSTI (SM. x 2, P. 6). nAJDEM FUNKCI@ ISTO^NIKA DLQ POLUPROSTRANSTWA z > 0. pOMESTIM W TO^KU M0 (x0
y0
z0 ) EDINI^NYJ ZARQD, KOTORYJ SOZDAET W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE POLE, POTENCIAL KOTOROGO OPREDELQETSQ FUNKCIEJ p 1 1
GDE R (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z ; z0 )2 : M 0M = 4 R M0 M

nETRUDNO WIDETX, ^TO INDUCIROWANNOE POLE v QWLQETSQ POLEM OTRICATELXNOGO EDINI^NOGO ZARQDA, POME]ENNOGO W TO^KU M1 (x0
y0
;z0 ), QWLQ@]U@SQ ZERKALXNYM IZOBRAVENIEM TO^KI M0 W PLOSKOSTI z = 0 (RIS. 53). fUNKCIQ G, RAWNAQ 1 ; 1
G (M
M0 ) = 4R 4R 0

1

348

GDE

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

R0 = j;;;! M0 M j = (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z ; z0 )2


p

R1 = j;;;! M1 M j = (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z + z0 )2
OBRA]AETSQ W NULX PRI z = 0 I IMEET NUVNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE M0 . wY^ISLIM @G=@n jz=0 = ;@G=@z jz=0 . o^EWIDNO, ^TO   @G = 1 ; z ; z0 + z + z0 : @z 4 R03 R13 pOLAGAQ z = 0, NAHODIM   @G  = ; @G  = ; z0 : @n z=0 @z z=0 2R03 rEENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DAETSQ FORMULOJ Z Z z0 u (M0 ) = 21 f (P ) dP
3 RM 0P

p

0

GDE 0 | PLOSKOSTX z = 0, f (P ) = ujz=0 , ILI u (x0
y0
z0 ) = 21

Z1 Z1

;1 ;1

(x ;

z0

x0 )2 + (y

; y0)2 + z02] = f (x
y) dx dy: 32

(18)

x 5. tEORIQ POTENCIALA 1 fUNKCIQ R1 = p , PREDSTAWLQ@]AQ 2 (x ;  ) + (y ; )2 + (z ;  )2 POTENCIAL POLQ EDINI^NOJ MASSY (ZARQDA), POME]ENNOJ W TO^KE M0 (

 ), QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ lAPLASA, ZAWISQ]IM OT PARAMETROW  , ,  . iNTEGRALY OT \TOJ FUNKCII PO PARAMETRAM NAZYWA@TSQ P O T E N C I A L A M I I IME@T SU]ESTWENNOE ZNA^ENIE S TO^KI ZRENIQ NEPOSREDSTWENNYH PRILOVENIJ W FIZIKE, A TAKVE I S TO^KI ZRENIQ RAZWITIQ METODOW REENIQ KRAEWYH ZADA^. 1. oB_EMNYJ POTENCIAL. pUSTX W NEKOTOROJ TO^KE M0 (

 ) POME]ENA MASSA m0 . pO ZAKONU WSEMIRNOGO TQGOTENIQ NA MASSU m, POME]ENNU@ W TO^KE M (x
y
z ), DEJSTWUET SILA PRITQVENIQ 0 F = ; mm (1) R2 r


x 5]

teoriq potenciala

349

GDE r = R=R | EDINI^NYJ WEKTOR W NAPRAWLENII ;;;! M0 M (R = ;;;! M0 M ), A  | GRAWITACIONNAQ POSTOQNNAQ. wYBIRAQ SISTEMU EDINIC TAK, ^TOBY  = 1, I POLAGAQ m = 1, POLU^IM F = ; mR20 r:

pROEKCII \TOJ SILY NA KOORDINATNYE OSI BUDUT RAWNY 0 (x ;  )
9 > X = F cos = ; m 3 > R > = m 0 Y = F cos  = ; R3 (y ; )
> > > m 0 Z = F cos  = ; R3 (z ;  )


(2)

GDE ,  I  | UGLY, OBRAZOWANNYE WEKTOROM F S KOORDINATNYMI OSQMI. wWEDEM FUNKCI@ u, NAZYWAEMU@ P O T E N C I A L O M c I L O W O G O P O L Q 1) I OPREDELQEMU@ RAWENSTWOM F = grad u
ILI @u
Y = @u
Z = @u : X = @x @y @z w NAEM SLU^AE u = mR0 :

pOTENCIAL POLQ n MATERIALXNYH TO^EK WSLEDSTWIE PRINCIPA SUPERPOZICII SILOWYH POLEJ BUDET WYRAVATXSQ FORMULOJ n n X X i: u = ui = m R i=1 i=1 i pEREJDEM K SLU^A@ NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ MASSY. pUSTX DANO TELO T S PLOTNOSTX@  (

 ). oPREDELIM POTENCIAL \TOGO TELA W TO^KE M (x
y
z ). dLQ \TOGO RAZOBXEM TELO T NA DOSTATO^NO MELKIE ^ASTI  . sDELAEM ESTESTWENNOE PREDPOLOVENIE, ^TO DEJSTWIE \LEMENTA  \KWIWALENTNO DEJSTWI@ EGO MASSY, SOSREDOTO^ENNOJ W NEKOTOROJ 1) nE SLEDUET SMEIWATX POTENCIAL S POTENCIALXNOJ \NERGIEJ SILOWOGO POLQ. tERMIN POTENCIAL UPOTREBLQETSQ ZDESX W TOM VE SMYSLE, ^TO I S I L O W A Q F U N K C I Q W MEHANIKE.

350

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

SREDNEJ TO^KE 1) OB_EMA   TOGDA DLQ KOMPONENTY SILY, DEJSTWU@]EJ NA TO^KU M , POLU^IM SLEDU@]EE WYRAVENIE: X = ; R3 (x ;  )
GDE R2 = (x ;  )2 + (y ; )2 + (z ;  )2 : iNTEGRIROWANIE PO WSEMU OB_EMU T DAET KOMPONENTU POLNOJ SILY PRITQVENIQ TO^KI M TELOM T : ZZZ x ;  (3) X=;  R3 d: T

pOTENCIAL W TO^KE M BUDET OPREDELQTXSQ FORMULOJ u (M ) =

ZZZ T

 R1 d:

(4)

eSLI TO^KA M LEVIT WNE TELA, TO W \TOM MOVNO UBEDITXSQ NEPOSREDSTWENNO DIFFERENCIROWANIEM POD ZNAKOM INTEGRALA 2) . aNALOGI^NO WY^ISLQ@TSQ I PROIZWODNYE WYSIH PORQDKOW. o^EWIDNO, ^TO POTENCIAL u (M ) WNE TELA T UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA (SM. PODROBNEE S. 361). w DALXNEJEM, NE STREMQSX K POSTROENI@ TEORII W NAIBOLEE OB]IH USLOWIQH, MY BUDEM POLXZOWATXSQ UKAZANNYMI WYE SWOJSTWAMI POTENCIALOW I SFORMULIRUEM RQD TEOREM PRI USLOWII, ^TO  | OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ (PODRAZUMEWAQ EE INTEGRIRUEMOSTX). eSLI TO^KA M LEVIT WNUTRI OBLASTI T , NELXZQ UTWERVDATX, ^TO X = @u=@x, BEZ DOPOLNITELXNOGO ISSLEDOWANIQ, KOTOROE I BUDET DANO NIVE. 1)

bOLEE TO^NO, PRI \TOM PREDPOLAGAETSQ, ^TO DEJSTWIE NEKOTOROGO TELA T MASSY m NA TO^KU, LEVA]U@ WNE WYPUKLOGO OB_EMA T, SODERVA]EGO \TO TELO, MOVNO ZAMENITX DEJSTWIEM NEKOTOROGO \FFEKTIWNOGO CENTRA TOJ VE MASSY m, LEVA]EGO WNUTRI T. 2) dLQ WOZMOVNOSTI DIFFERENCIROWANIQ OPREDELENNOGO INTEGRALA WIDA f (M ) =

Z

T

F (M P ) '(P ) dP

PO PARAMETRU POD ZNAKOM INTEGRALA DOSTATO^NO NEPRERYWNOSTI PROIZWODNOJ FUNKCII F (M P ) PO PARAMETRU I ABSOL@TNOJ INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII ' (P ). oBY^NO \TA TEOREMA FORMULIRUETSQ PRI ' (P )  1. dOKAZATELXSTWO EE DLQ NAEGO SLU^AQ NI^EM NE OTLI^AETSQ OT OBY^NOGO.

x 5]

teoriq potenciala

351

2. pLOSKAQ ZADA^A. lOGARIFMI^ESKIJ POTENCIAL. rASSMOTRIM RASPREDELENIE MASS W PROSTRANSTWE, ZAWISQ]EE LIX OT DWUH KOORDINAT (x
y). w L@BOJ PLOSKOSTI z = = const POTENCIAL, O^EWIDNO, PRINIMAET ODNO I TO VE ZNA^ENIE. pO\TOMU DOSTATO^NO ISSLEDOWATX POTENCIAL TO^KI (x
y), LEVA]EJ W PLOSKOSTI z = 0. oPREDELIM POTENCIAL ODNORODNOJ BESKONE^NOJ PRQMOJ L. nAPRAWIM OSX z WDOLX \TOJ PRQMOJ. pUSTX POGONNAQ PLOTNOSTX (T. E. MASSA EDINICY DLINY) RAWNA . rIS. 54 sILA PRITQVENIQ \LEMENTOM z TO^KI P (x
0) (RIS. 54) I EE SOSTAWLQ@]AQ PO OSI x RAWNY SOOTWETSTWENNO z
F = ; R2z = ; (x2 + z 2) X = F cos = ; z p

oTS@DA

Z1

X = ; x 2 dz 2 3=2 = ;x2 x13 (x + z ) ;1

z



x

: (x2 + z 2)3

Z=2 ;=2

cos d = ; 2x

x = tg :

eSLI P (x
y) | PROIZWOLXNAQ TO^KA, TO SILA PRITQVENIQ TO^KI LINIEJ L BUDET, O^EWIDNO, NAPRAWLENA WDOLX ;! OP I RAWNA PO WELI^INE F = ; 2
GDE p  = x2 + y2 : pOTENCIAL \TOJ SILY NAZYWAETSQ L O G A R I F M I ^ E S K I M P O T E NC I A L O M I RAWEN V = 2 ln 1
W ^EM LEGKO UBEDITXSQ NEPOSREDSTWENNYM DIFFERENCIROWANIEM.

(5)

352

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

lOGARIFMI^ESKIJ POTENCIAL QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ lAPLASA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI, OBLADA@]IM KRUGOWOJ SIMMETRIEJ WOKRUG POL@SA W TO^KE  = = 0, W KOTOROJ ON OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX. tAKIM OBRAZOM, POTENCIAL ODNORODNOJ PRQMOJ DAET PLOSKOE POLE I WYRAVAETSQ FORMULOJ (5). pREDSTAWLENIE POTENCIALA W WIDE INTEGRALA BYLO POLU^ENO NAMI LIX DLQ OGRANI^ENNYH OB_EMOW 1) . oTMETIM, ^TO W OTLI^IE OT OB_EMNOGO rIS. 55 POTENCIALA LOGARIFMI^ESKIJ NE OBRA]AETSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI, A IMEET TAM LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX. wY^ISLIM TEPERX KOMPONENTY SILY PRITQVENIQ TO^KI P (RIS. 55):   x x X = F cos = ;2 2 cos = 
  Y = F sin = ;2 y2 sin = y : eSLI IMEETSQ NESKOLXKO TO^EK (BESKONE^NYH PRQMYH S RASPREDELENNOJ WDOLX NIH MASSOJ), TO W SILU PRINCIPA SUPERPOZICII SILOWYH POLEJ POTENCIALY TO^EK (LINIJ) BUDUT SKLADYWATXSQ. w SLU^AE OBLASTI S S NEPRERYWNO RASPREDELENNOJ PLOTNOSTX@  (
) 2) (RIS. 56) KOMPONENTY SILY PRITQVENIQ TO^KI P WYRAZQTSQ 1) pRI WY^ISLENII POTENCIALA BESKONE^NOJ PRQMOJ NELXZQ BYLO NEPOSREDSTWENNO INTEGRIROWATX POTENCIALY OTDELXNYH \LEMENTOW, TAK KAK W \TOM SLU^AE POLU^AETSQ RASHODQ]IJSQ INTEGRAL. w SAMOM DELE, POTENCIAL \LEMENTA z RAWEN u =  p z : 2 + z2 fORMALXNOE INTEGRIROWANIE DAET RASHODQ]IJSQ INTEGRAL

u=

Z1

 p 2dz 2 :  +z ;1

2) |TO SOOTWETSTWUET W PROSTRANSTWE CILINDRU S OBRAZU@]EJ, PARALLELXNOJ OSI z, I SE^ENIEM S W PLOSKOSTI (x y), c OB_EMNOJ PLOTNOSTX@  ( ), NE ZAWISQ]EJ OT  .

x 5]

teoriq potenciala

DWOJNYMI INTEGRALAMI: X = ;2

ZZ

9 ; >  (
) (x ;  )x2 + d d
> (y ;  )2

> = ZZ >  > d d Y = ;2  (
) (x ;  )y2 ; > 2  + (y ;  ) S

353

(6)

S

I POTENCIAL BUDET RAWEN u (x
y) = 2

ZZ S

 (
) ln

p(x ; )21+ (y ; )2 d d


(7)

^TO NETRUDNO PROWERITX DIFFERENCIROWANIEM DLQ TO^EK, LEVA]IH WNE S . eSLI VE TO^KA P LEVIT W OBLASTI S , TO NEOBHODIMO PROWESTI DOPOLNITELXNOE ISSLEDOWANIE. 3. nESOBSTWENNYE INTEGRALY. pOTENCIALY I KOMPONENTY SILY PRITQVENIQ PREDSTAWLQ@TSQ S POMO]X@ INTEGRALOW, U KOTORYH PODYNTEGRALXNYE FUNKCII OBRA]A@TSQ W BESKONE^NOSTX, ESLI MY RASSMATRIWAEM IH ZNA^ENIQ W TO^KAH, NAHODQ]IHSQ W OBLASTI, SODERVA]EJ PRITQGIWA@]IE MASSY. kAK IZWESTNO, ESLI PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ OBRA]AETSQ W NEKOTOROJ TO^KE OBLASTI INTEGRIROWANIQ W BESKONE^NOSTX, rIS. 56 TO INTEGRAL NELXZQ OPREDELITX KAK PREDEL INTEGRALXNOJ SUMMY. dEJSTWITELXNO, W \TOM SLU^AE INTEGRALXNAQ SUMMA NE IMEET PREDELA, TAK KAK SLAGAEMOE, OTNOSQ]EESQ K \LEMENTARNOMU OB_EMU, SODERVA]EMU OSOBU@ TO^KU, MOVET KAK UGODNO SILXNO MENQTX WELI^INU SUMMY W ZAWISIMOSTI OT WYBORA PROMEVUTO^NOJ TO^KI. iNTEGRALY OT PODOBNYH FUNKCIJ OPREDELQ@TSQ KAK INTEGRALY NESOBSTWENNYE. pUSTX W OBLASTI T ZADANA FUNKCIQ F (x
y
z ), OBRA]A@]AQSQ W BESKONE^NOSTX W NEKOTOROJ TO^KE M0 (x0
y0
z0 ). rASSMOTRIM OPREDELENNYJ INTEGRAL PO OBLASTI T ; K" , GDE K" | NEKOTORAQ OKRESTNOSTX TO^KI M0 DIAMETRA, NE PREWOSHODQ]EGO ". eSLI PRI PROIZWOLXNOM STQGIWANII OBLASTI K"n K TO^KE M0 POSLEDOWATELXNOSTX INTEGRALOW In =

ZZZ

T ;K"n

F d

("n ! 0)

IMEET PREDEL, NE ZAWISQ]IJ OT WYBORA OBLASTEJ K"n , TO \TOT PREDEL NAZYWAETSQ N E S O B S T W E N N Y M I N T E G R A L O M OT FUNKCII 23 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

354

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

F (x
y
z ) PO OBLASTI T I OBOZNA^AETSQ, KAK OBY^NO, ZZZ I= F d: T

eSLI SU]ESTWUET HOTQ BY ODNA POSLEDOWATELXNOSTX OBLASTEJ K "n TAKAQ, ^TO PRI "n ! 0 SU]ESTWUET PREDEL I, A DLQ DRUGIH POSLEDOWATELXNOSTEJ K"n \TOT PREDEL IMEET DRUGIE ZNA^ENIQ ILI DAVE WOOB]E NE SU]ESTWUET, TO PREDEL I NAZYWAETSQ USLOWNO SHODQ]IMSQ NESOBSTWENNYM INTEGRALOM. qSNO, ^TO PRI RASSMOTRENII USLOWNO SHODQ]EGOSQ NESOBSTWENNOGO INTEGRALA I NUVNO UKAZYWATX TU POSLEDOWATELXNOSTX OBLASTEJ K "n , PO KOTOROJ OPREDELQETSQ \TOT INTEGRAL. mY OGRANI^IMSQ ZDESX RASSMOTRENIEM TOGO SLU^AQ, KOGDA PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ IMEET OSOBENNOSTX W IZOLIROWANNOJ TO^KE. iSSLEDUEM SHODIMOSTX INTEGRALOW TIPA ZZZ C (8) R dM
T

GDE C I > 0 | NEKOTORYE POSTOQNNYE, p R = RMM0 = (x0 ;  )2 + (y0 ; )2 + (z0 ;  )2 (M0 | TO^KA OBLASTI T ). nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, MOVNO S^ITATX, ^TO T ESTX AR RADIUSA R S CENTROM W TO^KE M0 . wOZXMEM W KA^ESTWE OBLASTI K"n AR RADIUSA "n S CENTROM W TO^KE M0 I BUDEM ISKATX PpEDEL POSLEDOWATELXNOSTI INTEGRALOW ZZZ C Z2 Z ZR C ZR dr R d = d' sin  d r;2 dr = 2  2C r;2 = T ;K"n

0

0

"n

"n

8  1 R > 3 ; 
ESLI 6= 3
<4C 3 ; r "n => :4C ln r]R
ESLI = 3: "n

pEREHOD K PREDELU PRI "n , STREMQ]EMSQ K NUL@, POKAZYWAET, ^TO PRI < 3 PREDEL SU]ESTWUET, PRI > 3 PREDELA NE SU]ESTWUET. pOKAVEM, ^TO ESLI FUNKCIQ F (x
y
z ) NEOTRICATELXNA I SU]ESTWUET PREDEL INTEGRALOW ZZZ In = F d ("n ! 0)
T ;K "n

GDE K "n | AR RADIUSA "n S CENTROM W TO^KE M0 , TO SU]ESTWUET PREDEL INTEGRALOW In PRI L@BOM WYBORE POSLEDOWATELXNOSTI OBLASTEJ K"n , STQGIWA@]IHSQ K TO^KE M , I ZNA^ENIE \TOGO PREDELA NE

x 5]

teoriq potenciala

355

ZAWISIT OT FORMY OBLASTI K"n . dEJSTWITELXNO, L@BU@ OBLASTX K"n MOVNO ZAKL@^ITX MEVDU DWUMQ SFERAMI K "n I K "n2 , RADIUSY KOTORYH "n1 I "n2 STREMQTSQ K NUL@ WMESTE 1 S "n (RIS. 57). w SILU POLOVITELXNOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII

ZZZ

F d >

T ;K "n

1

ZZZ

T ;K"n

F d >

oTS@DA WIDNO, ^TO lim n!1

ZZZ

T ;K"n

F d = nlim !1

ZZZ

T ;K "n

ZZZ T ;K "n

F d: 2

F d = I


TAK KAK PREDELY KRAJNIH INTEGRALOW SUrIS. 57 ]ESTWU@T I RAWNY \TOMU ^ISLU. tAKIM OBRAZOM, W SLU^AE TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH NESOBSTWENNYJ INTEGRAL ZZZ C (8) R d T

SU]ESTWUET
ESLI < 3, I NE SU]ESTWUET
ESLI > 3. dLQ DRUGOGO ^ISLA NEZAWISIMYH PEREMENNYH KRITI^ESKOE ZNA^ENIE , OPREDELQ@]EE GRANICY SHODIMOSTI INTEGRALOW TIPA (8), RAWNO ^ISLU IZMERENIJ TAK, NAPRIMER, DLQ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH INTEGRAL ZZ C  d

PRI < 2 SHODITSQ, A PRI > 2 RASHODITSQ. oSTANOWIMSQ NA PRIZNAKE SHODIMOSTI NESOBSTWENNYH INTEGRALOW. dOKAVEM, ^TO DLQ SHODIMOSTI NESOBSTWENNOGO INTEGRALA

ZZZ T

F (x
y
z ) dx dy dz

(9)

DOSTATO^NO
^TOBY SU]ESTWOWALA TAKAQ FUNKCIQ F (x
y
z ), DLQ KOTOROJ NESOBSTWENNYJ INTEGRAL PO OBLASTI T SHODITSQ, I ^TOBY IMELO MESTO NERAWENSTWO jF (x
y
z)j < F (x
y
z): (10) rASSMOTRIM NEKOTORU@ POSLEDOWATELXNOSTX OBLASTEJ K" , SODERVA]IH OSOBU@ TO^KU M0 . w SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI INTEGRALOW In OT FUNKCII F DLQ WSQKOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE N ("), 23


356

^TO

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

   ZZZ  jIn1 ; In2 j =  F d  < "
 K"n1 ;K"n2 

KOLX SKORO n1 , n2 > N ("). tAK KAK F QWLQETSQ MAVORANTNOJ FUNKCIEJ DLQ F (x
y
z ), TO MOVNO NAPISATX

  ZZZ  ZZZ  ZZZ jIn1 ; In2 j =  F d  6 jF j d 6 F d < "
K"n1 ;K"n2  K"n1 ;K"n2 K"n1 ;K"n2

(100 ) ESLI n1 , n2 > N ("). wYPOLNENIE USLOWIQ (10 ) W SILU PRIZNAKA SHODIMOSTI kOI QWLQETSQ DOSTATO^NYM DLQ SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNO0

STI

In =

K NEKOTOROMU PREDELU

ZZZ

T ;K"n

I = nlim In = !1

F d

ZZZ T

F d:

nETRUDNO WIDETX, ^TO \TOT PREDEL NE BUDET ZAWISETX OT FORMY OBLASTEJ K"n . tEM SAMYM SU]ESTWOWANIE NESOBSTWENNOGO INTEGRALA (9) DOKAZANO. eSLI VE DLQ NEKOTOROJ FUNKCII F (x
y
z ) MOVNO UKAZATX TAKU@ POLOVITELXNU@ FUNKCI@ F (x
y
z ), ^TO F (x
y
z ) > F , PRI^EM NESOBSTWENNYJ INTEGRAL OT F PO OBLASTI T RASHODITSQ, TO NESOBSTWENNYJ INTEGRAL (9) BUDET, O^EWIDNO, RASHODITXSQ. s L E D S T W I E. eSLI DLQ NEKOTOROJ FUNKCII F (M
P ), OBRA]A@]EJSQ W BESKONE^NOSTX PRI P = M , IMEET MESTO NERAWENSTWO jF (M
P )j < RCMP 
= const < 3
C = const < 1
TO NESOBSTWENNYJ INTEGRAL PO OBLASTI T , SODERVA]EJ TO^KU M ,

ZZZ T

F (M
P ) dP

SHODITSQ. iZ TEORII SOBSTWENNYH INTEGRALOW, ZAWISQ]IH OT PARAMETROW, IZWESTNO, ^TO NEPRERYWNOSTX PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII PO PARAME-

x 5]

teoriq potenciala

357

TRAM I NEZAWISIMYM PEREMENNYM QWLQETSQ DOSTATO^NYM USLOWIEM NEPRERYWNOSTI SAMOGO INTEGRALA KAK FUNKCII PARAMETROW 1) . dLQ NESOBSTWENNYH INTEGRALOW NEPRERYWNOSTX PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII NE IMEET MESTA, I PO\TOMU UKAZANNYJ WYE KRITERIJ NEPRIMENIM. uSTANOWIM KRITERIJ NEPRERYWNOSTI NESOBSTWENNYH INTEGRALOW, ZAWISQ]IH OT PARAMETRA. bUDEM RASSMATRIWATX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

Z

V (M ) = F (P
M ) f (P ) dP


(11)

T

GDE F (P
M ) | FUNKCIQ, OBRA]A@]AQSQ W BESKONE^NOSTX PRI SOWPADENII ARGUMENTOW I NEPRERYWNAQ PO M , A f (P ) | OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ. iNTEGRAL (11) NAZYWAETSQ RAWNOMERNO SHODQ]IMSQ W TO^KE M0 , ESLI DLQ L@BOGO " > 0 MOVNO UKAZATX TAKOE ("), ^TO IMEET MESTO NERAWENSTWO  

 Z   jV (") (M )j =  F (P
M ) f (P ) dP  6 " T   (")

rIS. 58

DLQ L@BOJ TO^KI M , RASSTOQNIE KOTOROJ OT M0 MENXE ("), I DLQ L@BOJ OBLASTI T (") , SODERVA]EJ TO^KU M0 I IME@]EJ DIAMETR d 6 ("). dOKAVEM, ^TO INTEGRAL

Z

V (M ) = F (P
M ) f (P ) dP
T

RAWNOMERNO SHODQ]IJSQ W TO^KE M0 , ESTX NEPRERYWNAQ FUNKCIQ W \TOJ TO^KE M0 . mY DOLVNY DOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO " MOVNO UKAZATX TAKOE ("), ^TO jV (M0) ; V (M )j < " PRI j;;;! MM0 j < ("): wYBEREM WNUTRI OBLASTI T NEKOTORU@ OBLASTX T1, SODERVA]U@ TO^KU M0 (RIS. 58), I RAZOBXEM INTEGRAL NA DWA SLAGAEMYH: V = V1 + V2
1)

b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. m., 1967. s. 442.

358

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

GDE INTEGRAL V1 BERETSQ PO OBLASTI T1 , A V2 | PO OBLASTI T2 = T ; ; T1. w DALXNEJEM MY BOLEE TO^NO OPREDELIM RAZMERY OBLASTI T1 . rASSMOTRIM NERAWENSTWO jV (M0) ; V (M )j 6 jV2 (M0) ; V2 (M )j + jV1 (M0)j + jV1 (M )j I POKAVEM, ^TO KAVDOE IZ SLAGAEMYH, STOQ]IH SPRAWA, MOVNO SDELATX MENXE "=3 PRI DOSTATO^NO MALOM j;;;! M0M j. wYBIRAQ OBLASTX T1 WNU-

TRI SFERY RADIUSA 0 ("=3), BUDEM IMETX   jV1 (M0)j 6 3" I jV1 (M )j 6 3"
ESLI j;;;! M0 M j 6 0 3" : sU]ESTWOWANIE TAKOGO 0 WYTEKAET IZ USLOWIQ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA (11) W TO^KE M0 . wYBOR OBLASTI T1 OPREDELQET OBLASTX T2 . tAK KAK TO^KA M0 LEVIT WNE OBLASTI T2, TO INTEGRAL V2 QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ W \TOJ TO^KE. oTS@DA SLEDUET SU]ESTWOWANIE TAKOGO 00 ("=3), ^TO   jV2 (M0) ; V2 (M )j 6 3" PRI j;;;! M0 M j 6 00 3" : pOLAGAQ h    i (") = min 0 3"
00 3"
POLU^IM jV (M ) ; V (M0)j 6 " PRI j;;;! M0 M j 6
^TO I OZNA^AET NEPRERYWNOSTX RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ INTEGRALA. oTMETIM, ^TO POLU^ENNYE REZULXTATY SPRAWEDLIWY NE TOLXKO DLQ INTEGRALOW PO OB_EMU, NO TAKVE I DLQ INTEGRALOW PO POWERHNOSTQM I LINIQM. |TO OBSTOQTELXSTWO BUDET ISPOLXZOWANO NAMI W DALXNEJEM. rASSMOTRIM POTENCIAL ZZZ  (P ) V (M ) = (12) R dP T

MP

I KOMPONENTY SILY PRITQVENIQ ZZZ  (P ) 9 > X (M ) = ; ( x ;  ) d
P > 3 RMP >

> T > > ZZZ  (P ) = ( y ;  ) d
Y (M ) = ; P 3 RMP > T > > ZZZ  (P ) > > Z (M ) = ; 3 (z ;  ) dP >  RMP T

(13)

x 5]

teoriq potenciala

359

W TO^KAH, LEVA]IH WNUTRI PRITQGIWA@]EGO TELA T . nESOBSTWENNYE INTEGRALY (12) I (13) QWLQ@TSQ SHODQ]IMISQ, ESLI PLOTNOSTX  (M ) OGRANI^ENA: j (M )j < C . dLQ POTENCIALA V (M ) \TO O^EWIDNO, TAK KAK jj < C ( = 1 < 3): R R dLQ KOMPONENT SILY PRITQVENIQ \TO SLEDUET IZ NERAWENSTWA jj jx ; j C R2 R < R ( = 2 < 3)
TAK KAK jx ;  j < R. dLQ ILL@STRACII PONQTIQ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI NESOBSTWENNYH INTEGRALOW POKAVEM, ^TO INTEGRALY (12) I (13) QWLQ@TSQ NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI. dLQ \TOGO NADO DOKAZATX, ^TO INTEGRALY (12) I (13) RAWNOMERNO SHODQTSQ WO WSQKOJ TO^KE M0 . oCENIM MODULX INTEGRALA (12) PO OBLASTI T 1) :

  ZZZ  (P )  ZZZ dP   RMP dP  6 C  T  KM0 RMP 

ZDESX KM0 | AR RADIUSA S CENTROM W TO^KE M0 , SODERVA]IJ OBLASTX T . nEPOSREDSTWENNOE WY^ISLENIE MAVORIRU@]EGO INTEGRALA PO OBLASTI KM0 S CENTROM W TO^KE M0 NEUDOBNO. dLQ EGO WY^ISLENIQ CELESOOBRAZNO PEREJTI K SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT S CENTROM W TO^KE M . o^EWIDNO, ^TO ZZZ dP ZZZ dP 2 C R 6C R = C 8
KM0

MP

K2M

MP

GDE K2M | AR RADIUSA 2 S CENTROM W TO^KE M . eSLI NAM ZADANO NEKOTOROE " > 0, TO WYBRAW r " (") = 8C
MY UBEDIMSQ W RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA V . pOWTORQQ ANALOGI^NOE RASSUVDENIE DLQ INTEGRALA ZZZ X (M ) = ;  (P ) xR3;  dP
T

1)

MP

oTMETIM, ^TO INTEGRAL (12) POLU^AETSQ IZ INTEGRALA (11) PRI F (M P ) = 1=RMP , f (P ) =  (P ).

360

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

POLU^AEM

  ZZZ dP ZZZ  ZZZ dP 6 C   (P ) xR2;  dP  6 C 2 2 RMP MP  T  KM0 RMP M K2

= 8 C 6 "




ESLI

" : 6 (") = 8C

tAKIM OBRAZOM, POTENCIAL V I KOMPONENTY SILY PRITQVENIQ X , Y , Z QWLQ@TSQ NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI WO WSEM PROSTRANSTWE 1) . 4. pERWYE PROIZWODNYE OB_EMNOGO POTENCIALA. fUNKCII, STOQ]IE POD ZNAKAMI INTEGRALOW ZZZ X (M ) = ;  (P ) xR3;  dP
Y (M )
Z (M )
MP T

QWLQ@TSQ PROIZWODNYMI PO SOOTWETSTWU@]IM PEREMENNYM OT FUNKCII, STOQ]EJ POD ZNAKOM INTEGRALA ZZZ  (P ) V (M ) = RMP dP : T

eSLI DLQ FUNKCII V ZAKONNO DIFFERENCIROWANIE POD ZNAKOM INTEGRALA, TO @V @V X = @V (14) @x
Y = @y
Z = @z
T. E. V QWLQETSQ POTENCIALOM POLQ, KOMPONENTY KOTOROGO RAWNY X , Y , Z. eSLI TO^KA M LEVIT WNE OBLASTI T , TO FUNKCIQ ; ; (x ;  ) @ 1 ; xRMP 3 = (x ;  )2 + (y ;  )2 + (z ;  )2 ]3=2 = @x RMP NEPRERYWNA PO OBOIM ARGUMENTAM M (x
y
z ) I P (

 ). sLEDOWATELXNO, W \TOM SLU^AE DIFFERENCIROWANIE POD ZNAKOM INTEGRALA V ZAKONNO. pROIZWODNYE BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MOVNO TAKVE WY^ISLQTX PRI POMO]I DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA WS@DU WNE TELA T . 1)

rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX INTEGRALOW V (M ) I X (M ) DOKAZANA W PREDPOLOVENII OGRANI^ENNOSTI PLOTNOSTI jj < C . sLEDOWATELXNO, \TI INTEGRALY NEPRERYWNY TAKVE I W TO^KAH RAZRYWA FUNKCII , NAPRIMER NA GRANICE OBLASTI, ZAPOLNENNOJ MASSAMI.

x 5]

teoriq potenciala

361

oTS@DA W SILU LEMMY IZ GL. III, x 3 SLEDUET, ^TO POTENCIAL WNE PRITQGIWA@]IH MASS UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA: V = 0 WNE TELA T . dOKAVEM, ^TO WY^ISLENIE PROIZWODNYH POTENCIALA V MOVNO OSU]ESTWLQTX PUTEM DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA I W TOM SLU^AE, KOGDA TO^KA M LEVIT WNUTRI TELA T . pRI DOKAZATELXSTWE MY BUDEM POLXZOWATXSQ TOLXKO OGRANI^ENNOSTX@ FUNKCII  (x
y
z ) (j (x
y
z )j < C ), NE PREDPOLAGAQ EE NEPRERYWNOSTI, OTKUDA BUDET SLEDOWATX, ^TO FUNKCIQ V (x
y
z ) DIFFERENCIRUEMA I W TO^KAH GRANICY, KOTORYE MOVNO RASSMATRIWATX KAK TO^KI RAZRYWA FUNKCII  (x
y
z ), RAWNOJ NUL@ WNE TELA. pOKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO " MOVNO NAJTI TAKOE ("), ^TO  V (x + x
y
z) ; V (x
y
z)   ; X  < "
x ESLI jxj < ("): zAKL@^IM TO^KU M0 W DOSTATO^NO MALYJ AR KM0 , RAZMERY KOTOROGO MY UTO^NIM W DALXNEJEM, I RAZOBXEM V NA DWA SLAGAEMYH: V = V1 + V2
GDE V1 I V2 SOOTWETSTWU@T INTEGRIROWANI@ PO OB_EMU T1 = KM0 I DOPOLNITELXNOMU OB_EMU T2 = T ; KM0 . tOGDA V (x + x
y
z ) ; V (x
y
z ) = x V ( x + x
y
z ) ; V1 (x
y
z ) + V2 (x + x
y
z ) ; V2 (x
y
z ) : 1 = x x pRI L@BYH FIKSIROWANNYH RAZMERAH OBLASTI T1   V2 (x + x
y
z ) ; V2 (x
y
z ) = X = ZZZ (

 ) @ 1 d
lim 2 x!0 x @x R 0

0

0

T2

TAK KAK TO^KA M0 LEVIT WNE OBLASTI T2 . pOLAGAQ X = X + X , OCENIM  V (x + x
y
z1) ; V 2(x
y
z)   6 X ; x  V (x + x
y
z) ; V (x
y
z)  2  + jX1j + 6 X2 ; 2 x   +  V1 (x + x
y
zx) ; V1 (x
y
z ) 

urawneniq |llipti~eskogo tipa

362

gl. IV

I POKAVEM, ^TO KAVDOE IZ SLAGAEMYH MOVNO SDELATX MENXE ^EM "=3. w SAMOM DELE,

   ZZZ x ;   Z Z2 Z r2 sin # d# d' dr jX1j =   R3 d  < C = 4C 0 < 3"
2 r  T1  0 0 0 (15)  x ;   TAK KAK  R  < 1 I jj < C . rASSMOTRIM POSLEDNEE SLAGAEMOE  V (x + x
y
z) ; V (x
y
z)  1  = jS j =  1 x      1 ZZZ  1 1    1 ZZZ R ; R1  =  x  R ; R d  =  x  RR d 
1 1     T1 T1 0

GDE

p

R1 = (x + x) ;  ]2 + (y ; )2 + (z ;  )2
p R = (x ;  )2 + (y ; )2 + (z ;  )2 : sTORONY TREUGOLXNIKA M0 MM1 RAWNY r, r1 I jxj. oTS@DA SLEDUET, ^TO jR ; R1 j 6 jxj: pO\TOMU

8 9 > > ZZZ ZZZ ZZZ d < = 1 d d 6 C +
jS j 6 C > RR1 2: R12 R2 >  T1 T1 T1

TAK KAK DLQ L@BYH ^ISEL a I b ab 6 12 (a2 + b2 ): pRI \TOM ZZZ d ZZZ d ZZZ d 0 0 = 4  I R2 R12 6 R12 = 8
M T1

GDE

K2M 1 | AR RADIUSA 2 0

T1

K2 1 0

S CENTROM W TO^KE M1 . pRI SOOTWETSTWU@]EM WYBORE 0 MOVNO OBESPE^ITX NERAWENSTWO jS j < C2 12 0 = 6C 0 < 3" : (16) 0

x 5]

teoriq potenciala

363

wYBIRAQ 0 IZ USLOWIQ (16), MY UDOWLETWORIM OBOIM NERAWENSTWAM | (15) I (16). fIKSIRUEM OBLASTX T1 = KM0 , A TEM SAMYM I OBLASTX T2 = T ; T1. rAWENSTWO (14) W PRIMENENII K WYBRANNOJ OBLASTI T2 OZNA^AET, ^TO DLQ L@BOGO " MOVNO UKAZATX TAKOE 00 , ^TO  V (x + x
y
z) ; V (x
y
z)  " 2  2 ; X2 < 3
x KOLX SKORO jxj < 00 . wYBIRAQ, NAKONEC, = min  0
00 ], MY POLU^AEM  V (x + x
y
z) ; V (x
y
z)   ; X  < "
ESLI jxj < : x tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO SU]ESTWUET PROIZWODNAQ @V=@x, RAWNAQ @V = X: (17) @x fORMULY @V = Y I @V = Z @y @z NE TREBU@T SPECIALXNOGO DOKAZATELXSTWA. tAKIM OBpAZOM, DOKAZANO, ^TO DIFFERENCIROWANIE POD ZNAKOM INTEGRALA ZAKONNO I ^TO KOMPONENTY SILOWOGO POLQ X , Y , Z QWLQ@TSQ KOMPONENTAMI grad V . 5. wTORYE PROIZWODNYE OB_EMNOGO POTENCIALA. nESOBSTWENNYJ INTEGRAL  1  ZZZ ZZZ  1 (x ; )2  @2  (P ) @x d = ;  R3 ; 3 R5 d (18) P 2 RMP 0

T

T

NE SHODITSQ ABSOL@TNO DLQ WNUTRENNIH TO^EK P TELA T . w \TOM SLU^AE MAVORANTA DLQ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII IMEET WID C R PRI = 3: uSTANOWIM FORMULY, PO KOTORYM WY^ISLQ@TSQ WNUTRI T WTORYE PROIZWODNYE POTENCIALA V , W PREDPOLOVENII NEPRERYWNOSTI I NEPRERYWNOJ DIFFERENCIRUEMOSTI PLOTNOSTI  (x
y
z ) W OKRESTNOSTI ISSLEDUEMYH TO^EK. w ^ASTNOSTI, ISSLEDOWANIE, PROWODIMOE NIVE, NE BUDET PRIMENIMO K GRANI^NYM TO^KAM, GDE, KAK PRAWILO, IMEET MESTO RAZRYW PLOTNOSTI. pREDSTAWIM POTENCIAL V W WIDE SUMMY DWUH SLAGAEMYH: V = V1 + V2


364

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

OTNOSQ]IHSQ K OBLASTQM T1 I T2, GDE T1 = KM0 | AR RADIUSA S CENTROM W RASSMATRIWAEMOJ TO^KE M0 , WNUTRI KOTOROGO FUNKCIQ  DIFFERENCIRUEMA. wTORU@ PROIZWODNU@ OT V2 MOVNO WY^ISLQTX DIFFERENCIROWANIEM POD ZNAKOM INTEGRALA, TAK KAK TO^KA M0 LEVIT WNE OBLASTI T2:     @ 2 V2 = @ @V2 = ZZZ  (

 ) @ 2 1 d: @x2 @x @x @x2 R T2

pERWAQ PROIZWODNAQ V1 PO x RAWNA @V1 = ZZZ  @  1  d = ; ZZZ  @  1  d
(19) @x @x R @ R T1 T1 TAK KAK     @ 1 =; @ 1 : @x R @ R pREOBRAZUEM INTEGRAL (19), POLXZUQSX FORMULOJ oSTROGRADSKOGO | gAUSSA:       @V1 = ; ZZZ  @ 1 d = ; ZZZ @  1 ; 1 @ d = @x @ R @ R R @ T1 T1 ZZ  ZZZ 1 @ =; cos d + R R @ d
M 

T1

0

GDE M 0 | POWERHNOSTX SFERY, OGRANI^IWA@]AQ OB_EM T1 , | UGOL MEVDU WNENEJ NORMALX@ K POWERHNOSTI M 0 I OSX@ x. pERWOE SLAGAEMOE QWLQETSQ DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ W TO^KE M0 , TAK KAK M0 LEVIT WNE M 0 . wTOROE SLAGAEMOE W OKRESTNOSTI TO^KI M0 QWLQETSQ TAKVE DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ, POSKOLXKU FUNKCIQ  IMEET PROIZWODNU@ W T1. oTS@DA SLEDUET, ^TO W TO^KE M0 SU]ESTWUET WTORAQ PROIZWODNAQ FUNKCII V1 . pEREJDEM K EE WY^ISLENI@:       @ @V1 = ; Z Z  @ 1 cos d + ZZZ @ 1 @ d: @x @x @x R @x R @ M 

0

T1

dLQ WTOROGO SLAGAEMOGO W TO^KE M0 IMEET MESTO SLEDU@]AQ OCENKA:

  ZZZ d ZZZ @  1  @   @x R @ d  < C1 R2 = C1 4
 T1  T1

(20)

x 5]

teoriq potenciala

ESLI

 @    < C1 : @

^IM

365

pRIMENIW K POWERHNOSTNOMU INTEGRALU TEOREMU O SREDNEM, POLU-

Z Z cos2 ZZ @ 1 ;  @x R cos d = ;  R2 d = ;
43 : M M 



0

0

zDESX 
| ZNA^ENIE PLOTNOSTI W NEKOTOROJ TO^KE M 0 , 1 x; @ ; @x R = R3 = ; R12 cos I, KROME TOGO, Z Z cos2 1 Z Z 1 (cos2 + cos2  + cos2  ) d = 4 : d = R2 3 R2 3 0 M 

0 M 

pEREHOD K PREDELU PRI 2 ! 0 DAET

3   Z Z @ 2 V1 = lim 66;  @ 1 cos d77 = ; 4  (M ): lim 0 5 !0 @x2 !0 4 @x R 3 0 M 

rAWENSTWO

(21)

@ 2 V = @ 2 V 1 + @ 2 V2 @x2 @x2 @x2 WERNO PRI WSQKOM , I LEWAQ ^ASTX EGO NE ZAWISIT OT , PO\TOMU     @ 2 V = lim @ 2 V1 + @ 2 V2 = ; 4  (M ) + lim ZZZ  @ 2 1 d: !0 @x2 !0 @x2 @x2 3 @x2 R T2

(22)

iZ SU]ESTWOWANIQ WTOROJ PROIZWODNOJ @ 2 V=@x2 , DOKAZANNOGO WYE, SLEDUET SU]ESTWOWANIE ZZZ @ 2  1  ZZZ @ 2  1   @x2 R d: (23) lim  @x2 R d = !0 T2

T

pOSLEDNIJ INTEGRAL POLU^EN PRI SPECIALXNOM SPOSOBE PREDELXNOGO PEREHODA, KOGDA STQGIWAEMYE K TO^KE M0 OBLASTI QWLQ@TSQ ARAMI 1) , ^TO I OTME^AETSQ ^ERTOJ NAD INTEGRALOM W FORMULE (23). iZMENENIE FORMY \TIH OBLASTEJ, WOOB]E GOWORQ, MOVET MENQTX ZNA^ENIE 1)

pREDEL (23) OBY^NO NAZYWA@T G L A W N Y M Z N A ^ E N I E M INTEGRALA.

urawneniq |llipti~eskogo tipa

366

gl. IV

PREDELA INTEGRAL (23) SLEDUET RASSMATRIWATX KAK USLOWNO SHODQ]IJSQ. tAKIM OBRAZOM,   @ 2 V (M ) = ZZZ  @ 2 1 d ; 4  (M ): (24) 0 @x2 0 @x2 R 3 T

oTS@DA WIDNO, ^TO WY^ISLENIE WTORYH PROIZWODNYH POTENCIALA PRI POMO]I FORMALXNOGO DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA PRIWELO BY NAS K NEWERNOMU2REZULXTATU . dLQ PROIZWODNYH @ V=@y2 I @ 2 V=@z 2 POLU^A@TSQ ANALOGI^NYE WYRAVENIQ. pODSTAWLQQ ZNA^ENIQ WSEH TREH PROIZWODNYH W WYRAVENIE DLQ OPERATORA lAPLASA, NAHODIM 2 2 2 V = @@xV2 + @@yV2 + @@zV2 = ZZZ  @ 2  1  @ 2  1  @ 2  1  =  @x2 R + @y2 R + @z 2 R d ; 4 (M0 ) = T

1=R | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ 1) .

= ;4 (M0)


(25)

TAK KAK tAKIM OBRAZOM, OB_EMNYJ POTENCIAL UDOWLETWORQET URAWNENI@ pUASSONA V = ;4 WNUTRI TELA I URAWNENI@ lAPLASA V = 0 WNE TELA. nEODNORODNOE URAWNENIE u = ;f (250 ) PRI USLOWII DIFFERENCIRUEMOSTI f WNUTRI NEKOTOROJ OBLASTI T IMEET ^ASTNOE REENIE ZZZ f d u0 = 41 R : T

oTS@DA SLEDUET, W ^ASTNOSTI, ^TO REENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ (250) MOVNO SWESTI K REENI@ ANALOGI^NOJ 1) fORMULA (25) USTANOWLENA W PREDPOLOVENII DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII , ^TO QWLQETSQ DOSTATO^NYM USLOWIEM I MOVET BYTX ZAMENENO MENEE STESNITELXNYMI USLOWIQMI. oDNAKO USLOWIQ NEPRERYWNOSTI FUNKCII  (M ) DLQ SPRAWEDLIWOSTI (25) NEDOSTATO^NO, TAK KAK SU]ESTWU@T PRIMERY TAKIH NEPRERYWNYH FUNKCIJ  (M ), DLQ KOTORYH OB_EMNYJ POTENCIAL NE IMEET WTORYH PROIZWODNYH.

x 5]

teoriq potenciala

367

KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA v = 0, ESLI ISKOMU@ FUNKCI@ PREDSTAWITX W WIDE SUMMY u = u0 + v. 6. pOWERHNOSTNYE POTENCIALY. kAK POKAZYWAET OSNOWNAQ FORMULA gRINA (SM. x 2) Z Z  1 @u @  1  1 u (M ) = 4 RMP @n ; u @n RMP dP
L@BAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ MOVET BYTX PREDSTAWLENA S POMO]X@ INTEGRALOW, QWLQ@]IHSQ POWERHNOSTNYMI POTENCIALAMI. rASSMOTRIM POLE, SOZDAWAEMOE MASSAMI, RASPREDELENNYMI NA POWERHNOSTI 1) , I OPREDELIM POTENCIAL \TOGO POLQ. pOWERHNOSTNOJ PLOTNOSTX@  (P ) W TO^KE P POWERHNOSTI  NAZYWA@T PREDEL OTrIS. 59 NOENIQ MASSY, NAHODQ]EJSQ NA NEKOTOROM \LEMENTE d POWERHNOSTI , SODERVA]EM TO^KU P , K EGO PLO]ADI PRI STQGIWANII d K TO^KE P . pOTENCIAL \TIH MASS PREDSTAWLQETSQ POWERHNOSTNYM INTEGRALOM Z Z  (P ) (26) V (M ) = R dP


MP

NAZYWAEMYM P O T E N C I A L O M P R O S T O G O S L O Q. dRUGIM TIPOM POWERHNOSTNOGO POTENCIALA QWLQETSQ POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ. pEREJDEM K EGO OPREDELENI@. rASSMOTRIM DIPOLX, OBRAZOWANNYJ DWUMQ MASSAMI: ;m I +m, RASPOLOVENNYMI W TO^KAH P1 I P2 NA RASSTOQNII l (RIS. 59). pROIZWEDENIE m  l = N NAZYWAETSQ M O M E N T O M DIPOLQ. pOTENCIAL DIPOLQ W NEKOTOROJ TO^KE M (x
y
z ) RAWEN 1 1 1 1 m m 1 V = r ; r = m r ; r = N l r ; r
2 1 2 1 2 1 GDE r1 I r2 | RASSTOQNIQ TO^KI M OT TO^EK P1 I P2 . eSLI l MALO PO SRAWNENI@ S RASSTOQNIEM DO TO^KI M (l=r1  1), TO, POLXZUQSX TEOREMOJ O KONE^NYH PRIRA]ENIQH, MOVNO NAPISATX   p V = N dld R1
R = (x ;  )2 + (y ; )2 + (z ;  )2


1) eSLI MASSY S OB_EMNOJ PLOTNOSTX@  RASPOLOVENY W NEKOTOROM SLOE TOL]INY h OKOLO POWERHNOSTI # I POLE IZU^AETSQ NA RASSTOQNIQH, BOLXIH PO SRAWNENI@ S h (h=R 1), TO U^ET TOL]INY POWERHNOSTI, WOOB]E GOWORQ, NE IMEET SMYSLA. pO\TOMU WMESTO OB_EMNOGO POTENCIALA S PLOTNOSTX@  CELESOOBRAZNO RASSMATRIWATX POWERHNOSTNYJ POTENCIAL S POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTX@  = h.

368

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

GDE PROIZWODNAQ BERETSQ PO NAPRAWLENI@ OT OTTALKIWA@]EJ MASSY K PRITQGIWA@]EJ I R | RASSTOQNIE OT TO^KI M (x
y
z ) DO NEKOTOROJ SREDNEJ TO^KI P (

 ) OTREZKA l. wY^ISLIM PROIZWODNU@ PO NAPRAWLENI@ l:   d 1 = 1 cos (rc cos '

l ) = 2 dl R R R2 GDE WEKTOR r NAPRAWLEN OT DIPOLQ K FIKSIROWANNOJ TO^KE M , A ' ESTX UGOL MEVDU WEKTOROM l I WEKTOROM r. tAKIM OBRAZOM, POTENCIAL DIPOLQ RAWEN ' V (M ) = N cos (27) R2
GDE N | MOMENT DIPOLQ. pUSTX NA DWUH POWERHNOSTQH  I 0 (RIS. 60), NAHODQ]IHSQ DRUG OT DRUGA NA MALOM RASSTOQNII , RASPREDELENY MASSY TAKIM OBRAZOM, ^TO MASSA KAVDOGO \LEMENTA POWERHNOSTI 0 RAWNA PO WELI^INE I PROTIWOPOLOVNA PO ZNAKU MASSE SOOTWETSTWU@]EGO \LEMENTA POWERHNOSTI . oBOZNA^IM ^EREZ n OB]U@ NORMALX K POWERHNOSTQM  I 0 , NAPRAWLENNU@ OT OTTALKIWA@]IH MASS K PRITQGIWA@]IM. pEREJDQ K PREDErIS. 60 LU PRI ! 0, POLU^IM DWOJNOJ SLOJ KAK SOWOKUPNOSTX DWUH PROSTYH SLOEW S WZAIMNO PROTIWOPOLOVNYMI PLOTNOSTQMI, NAHODQ]IHSQ DRUG OT DRUGA NA MALOM RASSTOQNII. eSLI  | POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX MOMENTA, TO MOMENT \LEMENTA POWERHNOSTI dP BUDET RAWEN dN =  dP : dLQ POTENCIALA \LEMENTA d W TO^KE M (x
y
z ) BUDEM IMETX   '1  dnd R 1 dP =  (P ) cos 2 dP
RMP P MP GDE '1 | UGOL MEVDU WEKTORAMI n I ;;! PM . nAZOWEM P O T E N C I A L O M D W O J N O G O S L O Q INTEGRAL ZZ d  1  W (M ) = ; dnP RMP  (P ) dP :

(28)

|TO OPREDELENIE, O^EWIDNO, SOOTWETSTWUET SLU^A@, KOGDA WNENQQ STORONA POWERHNOSTI QWLQETSQ OTTALKIWA@]EJ, A WNUTRENNQQ | PRITQGIWA@]EJ.

x 5]

teoriq potenciala

o^EWIDNO, ^TO W=

ZZ

369

cos '  (P ) d
P 2 RMP



GDE ' | UGOL MEVDU WNUTRENNEJ NORMALX@ I NAPRAWLENIEM IZ TO^KI POWERHNOSTI P NA FIKSIROWANNU@ TO^KU M . eSLI POWERHNOSTX NEZAMKNUTAQ, TO MY DOLVNY S^ITATX EE DWUSTORONNEJ, TAK KAK POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ OPREDELQETSQ TOLXKO DLQ TAKIH POWERHNOSTEJ. pOTENCIALY PROSTOGO I DWOJNOGO SLOEW W SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH IME@T WID

Z

V =  (P ) ln R 1 ds
MP C



Z

(29)



Z cos ' d 1 W = ;  (P ) dn ln R ds = R  (P ) ds
(30) P MP MP C C GDE C | NEKOTORAQ KRIWAQ,  | LINEJNAQ PLOTNOSTX PROSTOGO SLOQ,  | PLOTNOSTX MOMENTA LINEJNOGO DWOJNOGO SLOQ, ' | UGOL MEVDU WNUTRENNEJ NORMALX@ K LINII C I NAPRAWLENIEM NA FIKSIROWANNU@ TO^KU. eSLI TO^KA NABL@DENIQ M (x
y
z ) NAHODITSQ WNE POWERHNOSTI (WNE PRITQGIWA@]IH MASS), TO PODYNTEGRALXNYE FUNKCII I IH PROIZWODNYE PO x, y, z L@BOGO PORQDKA W FORMULAH V (M ) = W (M ) = ;

ZZ

ZZ



 (P ) R 1 dP
MP

 (P ) dnd

P



1



RMP dP

NEPRERYWNY PO PEREMENNYM x, y, z . pO\TOMU W TO^KAH, LEVA]IH WNE POWERHNOSTI , PROIZWODNYE POWERHNOSTNYH POTENCIALOW MOVNO WY^ISLQTX PRI POMO]I DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA. oTS@DA W SILU PRINCIPA SUPERPOZICII SLEDUET, ^TO POWERHNOSTNYE POTENCIALY UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ lAPLASA WS@DU WNE PRITQGIWA@]IH MASS. fUNKCII (29) I (30), O^EWIDNO, UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ lAPLASA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI. pOWERHNOSTNYE POTENCIALY W TO^KAH POWERHNOSTI  PREDSTAWLQ@TSQ NESOBSTWENrIS. 61 NYMI INTEGRALAMI. pOKAVEM, ^TO ESLI POWERHNOSTX IMEET NEPRERYWNU@ KRIWIZNU, TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ 24 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

370

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

W TO^KAH \TOJ POWERHNOSTI SU]ESTWUET. pROWEDEM DOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AQ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH: Z cos ' W= R  ds: C

rASSMOTRIM KRIWU@ NA PLOSKOSTI (x
y) I WYBEREM NA^ALO KOORDINAT W TO^KE P , OSX x NAPRAWIM PO KASATELXNOJ, A OSX y | PO NORMALI W \TOJ TO^KE (RIS. 61). uRAWNENIE KRIWOJ W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI P ZAPIETSQ W WIDE y = y (x): kRIWAQ IMEET, PO PREDPOLOVENI@, NEPRERYWNU@ KRIWIZNU, T. E. y (x) IMEET NEPRERYWNU@ WTORU@ PROIZWODNU@. pO\TOMU 2 y (x) = y (0) + xy0 (0) + x y00 (#x) (0 6 # 6 1)
2

OTKUDA WSLEDSTWIE WYBORA KOORDINATNYH OSEJ y (x) = 21 x2 y00 (#x): oTS@DA BUDEM IMETX s  y00 (#x) 2 s  y00 (#x) 2 p2 2 2 4 2 =x 1+x
R = x +y = x +x 2

cos ' = Ry =

I

00 s xy (#x00) 2 2 1 + x2 y (#x)

2

cos ' =

R

iZ WYRAVENIQ KRIWIZNY

y00 (#x)  y00 (#x) 2) : 2 2 1+x 2

(

K=

SLEDUET pO\TOMU

2

y00 (1 + y02 )3=2

y00 (0) = K (P ): cos ' = 1 K (P )
lim jMP j!0 R 2

x 5]

teoriq potenciala

371

^TO DOKAZYWAET NEPRERYWNOSTX (cos ')=R WDOLX DUGI, A TEM SAMYM I SU]ESTWOWANIE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ W TO^KAH KRIWOJ C DLQ OGRANI^ENNOJ FUNKCII  . pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQ W SLU^AE TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH TAKVE SU]ESTWUET W TO^KAH POWERHNOSTI, IME@]EJ KONE^NU@ KRIWIZNU, POTOMU ^TO FUNKCIQ cos ' R2 IMEET INTEGRIRUEMU@ OSOBENNOSTX PORQDKA 1=R. sU]ESTWOWANIE POTENCIALA PROSTOGO SLOQ NE WYZYWAET SOMNENIJ.

7. pOWERHNOSTI I KRIWYE lQPUNOWA. pREDPOLOVENIE O KONE^NOSTI KRIWIZNY OKAZYWAETSQ IZLINIM DLQ SU]ESTWOWANIQ POWERHNOSTNYH POTENCIALOW. pOTENCIALY PROSTOGO I DWOJNOGO SLOEW W TO^KAH POWERHNOSTI # QWLQ@TSQ NESOBSTWENNYMI INTEGRALAMI. pOKAVEM, ^TO \TI INTEGRALY SHODQTSQ DLQ OPREDELENNOGO KLASSA POWERHNOSTEJ, NAZYWAEMYH POWERHNOSTQMI lQPUNOWA, ESLI PLOTNOSTX POTENCIALA OGRANI^ENA: j (P )j < C , GDE C | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. pOWERHNOSTX NAZYWAETSQ P O W E R H N O S T X @ l Q P U N O W A, ESLI WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE USLOWIQ. 1. w KAVDOJ TO^KE POWERHNOSTI # SU]ESTWUET OPREDELENNAQ NORMALX (KASATELXNAQ PLOSKOSTX). 2. sU]ESTWUET TAKOE ^ISLO d > 0, ^TO PRQMYE, PARALLELXNYE NORMALI W 0KAKOJ-LIBO TO^KE P POWERHNOSTI #, PERESEKA@T NE BOLEE ODNOGO RAZA ^ASTX #P POWERHNOSTI #, LEVA]U@ WNUTRI SFERY RADIUSA d S CENTROM P . |TI U^ASTKI POWERHNOSTI #0P NAZYWA@TSQ OKRESTNOSTQMI lQPUNOWA. 3. uGOL  (P P 0 ) = (nPd  nP ), OBRAZOWANNYJ NORMALQMI W TO^KAH P I 0 P , UDOWLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@:  (P P 0 ) < Ar  (31) 0 GDE r | RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI P I P , A | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ I 0 <
6 1. pUSTX P0 | NEKOTORAQ TO^KA POWERHNOSTI #. wYBEREM PRQMOUGOLXNU@ SISTEMU KOORDINAT, POME]AQ NA^ALO KOORDINAT W TO^KU P0 I NAPRAWLQQ OSX z WDOLX WNENEJ NORMALI. pLOSKOSTX (x y) PRI \TOM SOWPADAET S KASATELXNOJ PLOSKOSTX@. w SILU USLOWIQ 2 SU]ESTWUET TAKOE 0 , ^TO URAWNENIE POWERHNOSTI # MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE z = f (x y) 1) (32) DLQ p  = x2 + y 2 < 0 : (33) 0

1) oTMETIM, ^TO ESLI FUNKCIQ f (x y ) IMEET NEPRERYWNYE WTORYE PROIZWODNYE W OKRESTNOSTI TO^KI P0 , TO POWERHNOSTX z = f (x y) UDOWLETWORQET

USLOWIQM lQPUNOWA. tAKIM OBRAZOM, POWERHNOSTI S NEPRERYWNOJ KRIWIZNOJ QWLQ@TSQ POWERHNOSTQMI lQPUNOWA. 24


372

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

oBOZNA^IM ^EREZ #0P0 OKRESTNOSTX TO^KI P0 NA POWERHNOSTI #, OPREDELQEMU@ USLOWIQMI (32) I (33). uSTANOWIM NEKOTORYE OCENKI DLQ FUNKCII f (x y) I EE PROIZWODNYH. iZ SU]ESTWOWANIQ NORMALI W KAVDOJ TO^KE POWERHNOSTI (USLOWIE 1) SLEDUET DIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII f (x y). nAPRAWLQ@]IE KOSINUSY NORMALI (WNENEJ) WYRAVA@TSQ FORMULAMI cos = p zx2 2  cos = p zy2 2  cos  = p 1 2 2 : 1 + zx + zy 1 + zx + zy 1 + zx + zy w SILU WYBORA NAEJ SISTEMY KOORDINAT zx (P0 ) = 0, zy (P0 ) = 0. bUDEM S^ITATX, ^TO POWERHNOSTX #0P0 STOLX MALA (0 STOLX MALO), ^TO 1 > cos  = p

1 > 12 : 2 2 1 + zx + zy

(34)

oBOZNA^IM ^EREZ n0P PROEKCI@ WEKTORA nP NA PLOSKOSTX (x y) I ^EREZ 0 ,

0 | UGLY, OBRAZOWANNYE WEKTOROM n0P S OSQMI x I y. o^EWIDNO, ^TO cos = sin  cos 0  cos = sin  sin 0 : tAK KAK sin  <  , TO W SILU USLOWIQ 3  sin  < ArPP 0 I, SLEDOWATELXNO,     j cos j < ArPP j cos j < ArPP (35) 0 0 cos 1 A TAK KAK zx = cos cos  , zy = cos  , PRI^EM cos  < 2, TO    : jzx j < 2ArPP jzy j < 2ArPP 0 0 pOLXZUQSX FORMULOJ tEJLORA DLQ FUNKCII z = f (x y) W OKRESTNOSTI TO^KI P0 (0 0), BUDEM IMETX z (x y) = z (0 0) + xzx (x y) + yzy (x y) GDE 0 6 x 6 x 0 6 y 6 y: oTS@DA SLEDUET, ^TO 1+ : jz (x y)j < 4ArPP (36) 0 pOLU^ENNYE OCENKI (34), (36) POZWOLQ@T DOKAZATX, ^TO W TO^KAH, LEVA]IH NA POWERHNOSTI #, POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ Z Z cos ' W (M ) = (28) 2  (P ) dP RMP

QWLQETSQ SHODQ]IMSQ NESOBSTWENNYM INTEGpALOM, ESLI # | POWERHNOSTX lQPUNOWA.

x 5]

teoriq potenciala

373

pUSTX M = P0 | TO^KA POWERHNOSTI #. wYBIRAQ SISTEMU KOORDINAT, KAK BYLO UKAZANO WYE, PREDSTAWIM URAWNENIE POWERHNOSTI # W OKRESTNOSTI TO^KI P0 W WIDE z = f (x y): fUNKCIQ f (x y) UDOWLETWORQET USLOWIQM (34) I (36). wY^ISLIM cos ', GDE ' | UGOL MEVDU NAPRAWLENIEM WNUTRENNEJ NORMALI W TO^KE P (   ) I NA;!. nETRUDNO WIDETX, ^TO PRAWLENIEM ; PP   0   j cos 'j =  R cos + R cos + R cos   6 j cos j + j cos j + jR j 6  + AR + 4AR = 6AR 6 ARPP PP0 PP0 PP0 0 I  cos '  (37)  R2  6 6A R21; (0 <
6 1): pREDSTAWIM W W WIDE SUMMY DWUH INTEGRALOW: W = W1 + W2  GDE W1 | INTEGRAL PO POWERHNOSTI #0P0 , SODERVA]EJ OSOBU@ TO^KU P0 , A INTEGRAL W2 BERETSQ PO OSTALXNOJ ^ASTI POWERHNOSTI # ; #0P0 . tAK KAK PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W INTEGRALE W2 NIGDE NE OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX, TO DLQ SHODIMOSTI INTEGRALA W DOSTATO^NO UBEDITXSQ W SHODIMOSTI INTEGRALA W1. pOSKOLXKU d  d d d = d cos  = cos  

p

GDE  = 2 + 2 ,  | POLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI (x y), TO PREOBRAZOWANIE PEREMENNYH W \TOM INTEGRALE DAET W1 =

ZZ

P0 0

cos '  (P ) d = P 2 RPP 0

Z0 Z2 cos ' 0 0

R2

PP0

 (P ) cos1   d d:

dLQ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W SILU OCENOK (34), (36) I (37) IMEEM  cos ' 1   (P ) R2 cos   6 F = 122AC  ;  TAK KAK  < R. tAKOJ WID MAVORANTNOJ FUNKCII F OBESPE^IWAET SHODIMOSTX NESOBSTWENNOGO INTEGRALA W SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH (SM. P. 3). nETRUDNO USTANOWITX, ^TO DLQ POWERHNOSTI lQPUNOWA POTENCIAL PROSTOGO SLOQ ZZ 1 (26) V (M ) = R  (P ) dP

MP

TAKVE SHODITSQ W TO^KAH POWERHNOSTI. sLEDUET OTMETITX, ^TO \TA SHODIMOSTX IMEET MESTO I DLQ POWERHNOSTEJ BOLEE IROKOGO KLASSA.

374

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

w SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH POTENCIALY PROSTOGO I DWOJNOGO SLOEW SHODQTSQ W TO^KAH KRIWOJ (SM. FORMULY (29) I (30)), ESLI \TI POTENCIALY BERUTSQ DLQ KRIWYH lQPUNOWA, OPREDELQEMYH USLOWIQMI, ANALOGI^NYMI USLOWIQM 1 | 3 DLQ POWERHNOSTEJ lQPUNOWA. 8. rAZRYW POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ. pOKAVEM, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ W NEKOTOROJ TO^KE P0 , LEVA]EJ NA POWERHNOSTI , QWLQETSQ RAZRYWNOJ FUNKCIEJ, DLQ KOTOROJ IME@T MESTO SOOTNOENIQ ) WW (P0 ) = W (P0 ) + 2 (P0 )
(38) WN (P0 ) = W (P0 ) ; 2 (P0 )
GDE WW (P0 ) | PREDELXNOE ZNA^ENIE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ PRI PODHODE K TO^KE P0 S WNUTRENNEJ STORONY, A WN (P0 ) | PREDELXNOE ZNA^ENIE S NARUVNOJ STORONY POWERHNOSTI 1) . w SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH SOOTWETSTWU@]IE FORMU-

LY IME@T WID

)

WW (P0 ) = W (P0 ) +  (P0 )
(39) WN (P0 ) = W (P0 ) ;  (P0 ): pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQ DLQ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH WYRAVAETSQ INTEGRALOM Z cos ' W (M ) = R  (P ) dsP : MP C

rASSMOTRIM NEKOTORYJ \LEMENT DUGI ds, KONCAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ TO^KI P I P1 . pROWEDEM ^EREZ TO^KU P DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA MP S CENTROM W TO^KE M DO PERESE^ENIQ EE S OTREZKOM MP1 W TO^KE Q. tOGDA S TO^NOSTX@ DO BESKONE^NO MALYH WYSEGO PORQDKA MOVNO NAPISATX (RIS. 62): ds cos ' = d
d (40) R = d!
^

^

GDE ds =PP1 , d =PQ, d! | UGOL, POD KOTORYM WIDNA DUGA ds IZ TO^KI M . zNAK d! SOWPADAET SO ZNAKOM cos ', TAK ^TO d! > 0, rIS. 62 ESLI ' (UGOL MEVDU WNUTRENNEJ NORMALX@ ;;! W TO^KE P I WEKTOROM PM ) MENXE =2, I d! < 0, ESLI ' > =2.

1) eSLI # | NEZAMKNUTAQ POWERHNOSTX, TO WNUTRENNQQ STORONA MOVET BYTX USLOWNO OPREDELENA SOGLAENIEM O TOM, KAKAQ NORMALX W TO^KE P0 NAZYWAETSQ WNUTRENNEJ I KAKAQ | WNENEJ . sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO W SLU^AE NEZAMKNUTYH POWERHNOSTEJ POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ OPREDELQETSQ TOLXKO DLQ DWUSTORONNIH POWERHNOSTEJ.

x 5]

teoriq potenciala

375

eSLI d! > 0, T. E. ' < =2, TO IZ TO^KI M WIDNA WNUTRENNQQ STORONA KRIWOJ C  PRI d! < 0 (' > =2) IZ TO^KI M WIDNA NARUVNAQ STORONA KRIWOJ. oTS@DA SLEDUET, ^TO UGOL WIDIMOSTI NEKOTOROJ DUGI ^ P1 P2 RAWEN UGLU P1 MP2 , KOTORYJ OPISYWAET LU^ MP , KOGDA TO^KA ^ P PROBEGAET DUGU P1 P2 . rASSMOTRIM POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ W 0 NA ZAMKNUTOJ KRIWOJ C S POSTOQNNOJ8 PLOTNOSTX@  = 0 = const. lU^ MP OPISYWAET UGOL > <2
ESLI TO^KA M LEVIT WNUTRI KRIWOJ C , & = > 
ESLI TO^KA M LEVIT NA KRIWOJ C , : 0
ESLI TO^KA M LEVIT WNE KRIWOJ C , KOGDA TO^KA P PROBEGAET WS@ KRIWU@ C . oTS@DA DLQ POTENCIALA W 0 POLU^AEM 8 > <20
ESLI TO^KA M LEVIT WNUTRI KRIWOJ C , 0 W = 0 & = > 0
ESLI TO^KA M LEVIT NA KRIWOJ C , : 0
ESLI TO^KA M LEVIT WNE KRIWOJ C . tAKIM OBRAZOM, POTENCIAL S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ QWLQETSQ FUNKCIEJ KUSO^NO-POSTOQNNOJ, PRI^EM ) WW0 = WC0 + 0
(41) WN0 = WC0 ; 0
GDE WW0 , WC0 , WN0 | ZNA^ENIQ POTENCIALA WNUTRI, NA I WNE KRIWOJ C . aNALOGI^NO W SLU^AE TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH BUDEM IMETX d cos ' = d!
(42) R2 GDE d! | TELESNYJ UGOL, POD KOTORYM WIDEN \LEMENT d POWERHNOSTI . pUSTX d0 | \LEMENT SFERI^ESKOJ POWERHNOSTI, POLU^A@]IJSQ PRI PERESE^ENII SFERY, OPISANNOJ RADIUSOM MP IZ TO^KI M , S KONUSOM, IME@]IM WERINU W TO^KE M0 I OPIRA@]IMSQ NA \LEMENT POWERHNOSTI d. |LEMENT POWERHNOSTI d = d cos '. oTS@DA I SLEDUET FORMULA (42). zAME^ANIE, SDELANNOE WYE OTNOSITELXNO ZNAKA d!, OSTAETSQ W SILE, ^TO PRIWODIT 8 NAS K FORMULAM > <40
ESLI TO^KA M LEVIT WNUTRI POWERHNOSTI , 0 W = 0 & = >20
ESLI TO^KA M LEVIT NA POWERHNOSTI , : 0
ESLI TO^KA M LEVIT SNARUVI POWERHNOSTI , HARAKTERIZU@]IM KUSO^NOE POSTOQNSTWO FUNKCII W 0 , A TAKVE K FORMULAM ) WW0 = W 0 + 20
(410 ) WN0 = W 0 ; 20


376

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

GDE WW0 , WN00| ZNA^ENIQ POTENCIALA W 0 WNUTRI I SNARUVI POWERHNO0 STI , A W | ZNA^ENIE W NA . rASSMOTRIM TEPERX POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S PEREMENNOJ PLOTNOSTX@ I DOKAVEM, ^TO W TO^KAH NEPRERYWNOSTI0 PLOTNOSTI IME@T MESTO FORMULY, ANALOGI^NYE FORMULAM (41) I (41 ). pUSTX P0 | TO^KA POWERHNOSTI , W KOTOROJ FUNKCIQ  (P ) NEPRERYWNA. wWEDEM POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ W 0 S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ 0 =  (P0 ) I RASSMOTRIM FUNKCI@ ZZ 0 I (M ) = W (M ) ; W (M ) =  (P ) ; 0 ] Rcos2 ' dP : MP

dOKAVEM, ^TO FUNKCIQ I NEPRERYWNA W TO^KE P0 . dLQ \TOGO DOSTATO^NO DOKAZATX RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX INTEGRALA I (M ) W TO^KE P0 . zADADIMSQ NEKOTORYM ^ISLOM " > 0. iZ NEPRERYWNOSTI FUNKCII  (P ) W TO^KE P0 SLEDUET, ^TO DLQ L@BOGO NAPERED ZADANNOGO ^ISLA  > 0 MOVNO NAJTI 1 | OKRESTNOSTX TO^KI P0 NA POWERHNOSTI , TAKU@, ^TO j (P ) ;  (P0 )j < 
ESLI P 2 1 . pREDSTAWIM INTEGRAL I W WIDE SUMMY I = I1 + I2
GDE INTEGRAL I1 BERETSQ PO POWERHNOSTI 1 , A I2 | PO POWERHNOSTI 2 =  ; 1 . iZ OPREDELENIQ 1 SLEDUET OCENKA jI1 j < B
GDE B | POSTOQNNAQ, OPREDELQEMAQ USLOWIEM Z Z j cos 'j dP 6 B (43) 2 RMP

PRI WSEWOZMOVNYH POLOVENIQH TO^KI M , NE ZAWISQ]AQ OT WYBORA POWERHNOSTI 1 . pODROBNEE OTNOSITELXNO \TOJ POSTOQNNOJ BUDET SKAZANO NIVE. wYBIRAQ  = "=B , UBEVDAEMSQ W TOM, ^TO DLQ L@BOGO " > 0 MOVNO NAJTI TAKOE 1 , SODERVA]EE P0 , ^TO jI1 (M )j < " PRI L@BOM POLOVENII TO^KI M . oTS@DA I SLEDUET RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX INTEGRALA I (M ) W TO^KE P0 , A TAKVE EGO NEPRERYWNOSTX W \TOJ TO^KE. eSLI WW (P0 ) I WN (P0 ) | PREDELY POTENCIALA W (M ) PRI M ! ! P0 S WNUTRENNEJ I NARUVNOJ STORON POWERHNOSTI , TO 0 WW (P0 ) = WW (P0 ) + I (P0 ) = W 0 (P0 ) + I (P0 ) + 20 = W (P0 ) + 2 (P0 )

x 5]

teoriq potenciala

377

I, ANALOGI^NO,

WN (P0 ) = W (P0 ) ; 2 (P0 ): sPRAWEDLIWOSTX FORMULY (38) USTANOWLENA. pROWEDENNOE WYE DOKAZATELXSTWO SPRAWEDLIWO DLQ POWERHNOSTEJ, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ OGRANI^ENNOSTI (43). dLQ WYPUKLOJ POWERHNOSTI, KOTORU@ WSQKIJ LU^ IZ TO^KI M PERESEKAET NE BOLEE DWUH RAZ, B 6 8 DLQ POWERHNOSTEJ, SOSTOQ]IH IZ KONE^NOGO ^ISLA WYPUKLYH ^ASTEJ, B TAKVE OGRANI^ENO. tAKIM OBRAZOM, NAE DOKAZATELXSTWO OTNOSITSQ K WESXMA IROKOMU KLASSU POWERHNOSTEJ. wSE PRIWEDENNYE WYE RASSUVDENIQ OSTA@TSQ W SILE I DLQ FUNKCIJ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH. w \TOM SLU^AE FORMULY (41) PRINIMA@T WID (39) WW (P0 ) = W (P0 ) +  (P0 )
WN (P0 ) = W (P0 ) ;  (P0 ): 9. sWOJSTWA POTENCIALA PROSTOGO SLOQ. w OTLI^IE OT POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ POTENCIAL SLOQ (26) Z ZPROSTOGO 1 V (M ) = R  (P ) dP

MP

NEPRERYWEN W TO^KAH POWERHNOSTI . uBEDIMSQ W \TOM DLQ SLU^AQ GLADKOJ POWERHNOSTI . dLQ \TOGO DOSTATO^NO USTANOWITX RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX INTEGRALA V (M ) W TO^KAH POWERHNOSTI . dEJSTWITELXNO, PUSTX P0 | NEKOTORAQ TO^KA POWERHNOSTI . pREDSTAWIM POTENCIAL Z Z 1V W WIDE SUMMYZ Z 1 V= R  (P ) dP + R  (P ) dP = V1 + V2
1

MP

2

MP

GDE 1 | DOSTATO^NO MALAQ ^ASTX POWERHNOSTI , SODERVA]AQSQ W SFERE RADIUSA S CENTROM W TO^KE P0 . wELI^INU MY BOLEE TO^NO OPREDELIM W DALXNEJEM. rASSMOTRIM SISTEMU KOORDINAT S NA^ALOM W TO^KE P0 , OSX z KOTOROJ NAPRAWLENA PO WNENEJ NORMALI W P0 . pUSTX M (x
y
z ) | PROIZWOLXNAQ TO^KA, OTSTOQ]AQ OT P0 (0
0
0) NA RASSTOQNIE MP0 < . oBOZNA^IM ^EREZ 01 PROEKCI@ 1 NA PLOSKOSTX (x
y), A ^EREZ K2M | 0 KRUG RADIUSA 2 S CENTROM W TO^KE M (x
y
0), CELIKOM SODERVA]IJ OBLASTX 01 . pREDPOLAGAQ OGRANI^ENNOSTX FUNKCII : j (P )j < A I PRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO d0 = d d d = cos  cos  I p p R = (x ;  )2 + (y ; )2 + (z ;  )2 > (x ;  )2 + (y ; )2 = 
0

378

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

POLU^AEM Z Z d ZZ 0 jV1 (M )j < A RMP = A cos  p(x ; )2 +d(y ; )2 + (z ;  )2 6

6 2A

Z 1Z 1 0

1 0

p(x ; d)2 d 6 2A + (y ; )2

ZZ

K2M

0

p(x ; d)2 d
+ (y ; )2

ESLI NASTOLXKO MALO, ^TO cos  > 1=2. wWEDEM W PLOSKOSTI (x
y) POLQRNU@ SISTEMU KOORDINAT (
') S NA^ALOM W TO^KE M 0 . tOGDA MOVNO NAPISATX

jV1 (M )j < 2A

ZZ

K2M

2 Z2

0

Z p(x ; d)2 d = 2 A + ( y ;  )2 0

0

 d d' = 8A : 

wYBIRAQ = "=(8A), BUDEM IMETX jV1 (M )j < "
ESLI jMP0 j < . sLEDOWATELXNO, V (M ) RAWNOMERNO SHODITSQ WO WSQKOJ TO^KE P0 2  I QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ W \TOJ TO^KE. oBRATIMSQ TEPERX K IZU^ENI@ POWEDENIQ NORMALXNYH PROIZWODNYH POTENCIALA PROSTOGO SLOQ NA POWERHNOSTI. pOKAVEM, ^TO ONI IME@T NA  RAZRYW TAKOGO VE TIPA, KAK I POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ. wNENQQ I WNUTRENNQQ NORMALXNYE PROIZWODNYE FUNKCII V | dV=dnN I dV=dnW | OPREDELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX P0 | NEKOTORAQ TO^KA . iZ TO^KI P0 PROWEDEM OSX z , KOTORU@ MOVNO NAPRAWITX LIBO WDOLX WNENEJ, LIBO WDOLX WNUTRENNEJ NORMALI. rASSMOTRIM PROIZWODNU@ dV=dz W NEKOTOROJ TO^KE M OSI z . oBOZNA^IM ^EREZ rIS. 63 (dV=dz )W I (dV=dz )N PREDELY PROIZWODNOJ dV=dz PRI STREMLENII TO^KI M K TO^KE P0 S WNUTRENNEJ ILI NARUVNOJ STORONY POWERHNOSTI . eSLI OSX z NAPRAWLENA PO WNENEJ (WNUTRENNEJ) NORMALI, TO \TI ZNA^ENIQ NAZYWA@TSQ WNUTRENNIMI I WNENIMI PREDELXNYMI ZNA^ENIQMI PROIZWODNOJ PO WNENEJ (WNUTRENNEJ) NORMALI W TO^KE P0 1) . ) ; V (P0 ) PRI M ! P RAWEN pREDEL RAZNOSTNOGO OTNOENIQ V (MjMP 0 0j PREDELU IZWNE DLQ PROIZWODNOJ PO WNENEJ NORMALI ILI PREDELU IZNUTRI DLQ PROIZWODNOJ PO WNUTRENNEJ NORMALI, W ZAWISIMOSTI OT TOGO, S KAKOJ STORONY TO^KA M PRIBLIVAETSQ K TO^KE P0 . 1)

x 5]

teoriq potenciala

379

iSSLEDUEM RAZRYWY WNUTRENNEJ NORMALXNOJ PROIZWODNOJ POTENCIALA PROSTOGO SLOQ NA . pROIZWODNAQ dV=dz W TO^KE M OSI z , NAPRAWLENNOJ PO WNUTRENNEJ NORMALI, RAWNA  1  Z Z cos  dV (M ) = Z Z  (P ) @ d = P 2  (P ) dP
(44) dz @n RMP RMP



GDE  | UGOL MEVDU OSX@ z I WEKTOROM ;;! MP . pROWEDEM IZ TO^KI P (RIS. 63) NORMALX PQ I PRQMU@ PN , PARALLELXNU@ OSI z (NORMALI W TO^KE P0 ), I OBOZNA^IM ^EREZ  UGOL NPQ, RAWNYJ UGLU MEVDU NORMALQMI W TO^KAH P I P0 1) . wYRAVENIE DLQ POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ W (M ) SODERVIT MNOVITELX (cos ')=R2 , GDE ' = 6 MPQ. tAK KAK UGOL MPN RAWEN  ; , TO cos( ; ) = cos ' cos  + sin ' sin  cos & = ; cos 
GDE & | DWUGRANNYJ UGOL S REBROM PQ 2) . oTS@DA SLEDUET, ^TO @V (M ) = ; Z Z  cos  cos ' d ; Z Z  sin  cos & sin ' d = @z R2 R2 = ;W1 ; I (M )
(45) GDE W1 (M ) | POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ 1 =  cos , IME@]IJ RAZRYW NA POWERHNOSTI . o^EWIDNO, ^TO INTEGRAL I (M ) QWLQETSQ FUNKCIEJ, NEPRERYWNOJ W TO^KE P0 , TAK KAK I (M ) SHODITSQ RAWNOMERNO W \TOJ TO^KE (SM. PRIME^ANIE NA S. 378). wOZWRA]AQSX K FORMULE (45), WIDIM, ^TO 9  @V  > = @z W = ;W1 (P0 ) ; 21 (P0 ) ; I (P0 )
> (46)  @V  > > @z N = ;W1 (P0 ) + 21 (P0 ) ; I (P0 ):

1) o^EWIDNO, ^TO  I sin  STREMQTSQ K NUL@, KOGDA P ! P0 . eSLI POWERHNOSTX OBLADAET KONE^NOJ KRIWIZNOJ W OKRESTNOSTI TO^KI P0 , T. E. EE URAWNENIE MOVNO PREDSTAWITX W WIDE z = f (x y) GDE f (x y) IMEET WTORYE PROIZWODNYE, TO sin  BUDET DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ x, y I, SLEDOWATELXNO, sin  < Ar (DLQ POWERHNOSTEJ lQPUNOWA sin  < Ar ). 2) eSLI NAPRAWLENIE PQ PRINQTX ZA OSX NOWOJ SFERI^ESKOJ SISTEMY, TO \TA FORMULA SOWPADAET S FORMULOJ (13) NA S. 345.

urawneniq |llipti~eskogo tipa

380

gl. IV

oBOZNA^IM  @V  @z 0 = ;W1 (P0 ) ; I (P0 ) = 3 2 ZZ ZZ sin ' cos '  sin  cos & R2 d5 = 4;  cos  R2 d ;



=

GDE 0 | UGOL MEVDU OSX@ z I WEKTOROM ;;! P0 P . zAME^AQ, ^TO 1 (P0 ) =  (P0 ), NAHODIM

9 > = @nW W = @nW 0 ; 2 (P0 )
>  @V   @V  > = + 2 (P0 )
>   @V  @nW

N

=

P0 Z Z M =cos 0

 R2

P0 P

d


 @V  @nW

(47)

0

TAK KAK PO USLOWI@ OSX z NAPRAWLENA PO WNUTRENNEJ NORMALI. eSLI OSX z NAPRAWITX PO WNENEJ NORMALI, TO ZNAK cos  IZMENITSQ I MY POLU^IM 9  @V   @V  > = @nN W = @nN 0 + 2 (P0 )
> (48)  @V   @V  > > @nN N = @nN 0 ; 2 (P0 ): dLQ SLU^AQ DWUH PEREMENNYH IME@T MESTO ANALOGI^NYE FORMULY S ZAMENOJ 2 NA .

10. pRIMENENIE POWERHNOSTNYH POTENCIALOW K REENI@ KRAEWYH ZADA^. mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH I METOD FUNKCII IS-

TO^NIKA POZWOLQ@T POLU^ITX QWNOE WYRAVENIE DLQ REENIQ KRAEWYH ZADA^ TOLXKO W SLU^AE OBLASTEJ PROSTEJEGO WIDA. sWEDENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA (ILI pUASSONA) PRI POMO]I POWERHNOSTNYH POTENCIALOW K INTEGRALXNYM URAWNENIQM, S ODNOJ STORONY, UDOBNO DLQ TEORETI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ WOPROSA O RAZREIMOSTI I EDINSTWENNOSTI KRAEWYH ZADA^, S DRUGOJ STORONY, DAET WOZMOVNOSTX \FFEKTIWNOGO ^ISLENNOGO REENIQ KRAEWYH ZADA^ DLQ OBLASTEJ SLOVNOJ FORMY. rASSMOTRIM WNUTRENNIE KRAEWYE ZADA^I DLQ NEKOTOROGO KONTURA C .

x 5]

teoriq potenciala

381

nAJTI FUNKCI@ u
GARMONI^ESKU@ W OBLASTI T
OGRANI^ENNOJ KONTUROM C
I UDOWLETWORQ@]U@ NA C GRANI^NYM USLOWIQM ujC = f (PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A) ILI  @u  = f (WTORAQ KRAEWAQ ZADA^A). @n C

aNALOGI^NO STAWQTSQ WNENIE KRAEWYE ZADA^I 1) . bUDEM ISKATX REENIE WNUTRENNEJ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I W WIDE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ: W (M ) =

Z

C

cos '  (P ) ds = ; Z d P R dn MP

C



P

ln R 1

MP



 (P ) dsP :

pRI L@BOM WYBORE  (P ) FUNKCIQ W (M ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA WNUTRI C . fUNKCIQ W (M ) RAZRYWNA NA KONTURE C . dLQ WYPOLNENIQ GRANI^NOGO USLOWIQ, O^EWIDNO, NADO, ^TOBY WW (P0 ) = f (P0 ): pRINIMAQ WO WNIMANIE FORMULY (39), POLU^AEM URAWNENIE DLQ OPREDELENIQ FUNKCII  (P ):  (P0 ) +

Z

C

cos '  (P ) ds = f (P ): P 0 R P0 P

(49)

eSLI OBOZNA^ITX ^EREZ s0 I s DUGI KONTURA C , SOOTWETSTWU@]IE TO^KAM P0 I P , TO URAWNENIE (49) MOVNO PEREPISATX W WIDE

ZL

 (s0 ) + K (s0
s)  (s) ds = f (s0 )
0

GDE L | DLINA KONTURA C I





K (s0
s) = ; dnd ln R 1 = Rcos ' P PP0 PP0

(50)

(51)

1) pRI POSTANOWKE WTOROJ KRAEWOJ ZADA^I, KAK WNUTRENNEJ, TAK I WNENEJ,

W GRANI^NOM USLOWII NORMALX BUDEM S^ITATX WNUTRENNEJ.

urawneniq |llipti~eskogo tipa

382

gl. IV

| QDRO \TOGO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ, QWLQ@]EGOSQ INTEGRALXNYM URAWNENIEM TIPA fREDGOLXMA 2-GO RODA 1) . dLQ WNENEJ ZADA^I POLU^AETSQ ANALOGI^NOE URAWNENIE

; (s0 ) +

ZL 0

K (s0
s)  (s) ds = f (s0 ):

(52)

dLQ WTOROJ KRAEWOJ ZADA^I POLU^A@TSQ URAWNENIQ

; (s0) +

ZL 0

(WNUTRENNQQ ZADA^A), (53)

K1 (s0
s) (s) ds = f (s0 )

ZL

(WNENQQ ZADA^A),

 (s0 ) + K1 (s0
s) (s) ds = f (s0 )

GDE

0





0 2)
K1 (s0
s) = @n@ ln R 1 = cos RPP0 P0 PP0 ESLI EE REENIE ISKATX W WIDE POTENCIALA PROSTOGO SLOQ

(54) (55)

Z

u (M ) = ln R 1  (P ) dsP : MP C wOPROSY, SWQZANNYE S RAZREIMOSTX@ \TIH URAWNENIJ, BUDUT RASSMATRIWATXSQ W P. 11 NASTOQ]EGO PARAGRAFA. rASSMOTRIM KRAEWYE ZADA^I DLQ NEKOTORYH PROSTEJIH OBLASTEJ, DLQ KOTORYH SOOTWETSTWU@]IE INTEGRALXNYE URAWNENIQ LEGKO RAZREIMY. 1) iNTEGRALXNYE URAWNENIQ, SODERVA]IE INTEGRALY S POSTOQNNYMI PREDELAMI, NAZYWA@TSQ U R A W N E N I Q M I f R E D G O L X M A:

Zb

K (x s) ' (s) ds = f (x)

(1-GO RODA),

' (x) + K (x s) ' (s) ds = f (x)

(2-GO RODA).

a

Zb a

2) nETRUDNO WIDETX, ^TO K (s0  s) = K1 (s s0 ). tAKIE QDRA NAZYWA@TSQ S O P R Q V E N N Y M I, A SOOTWETSTWU@]IE IM URAWNENIQ NAZYWA@TSQ S O P R Q V E N N Y M I I N T E G R A L X N Y M I U R A W N E N I Q M I.

x 5]

teoriq potenciala

383

1. p E R W A Q K R A E W A Q Z A D A ^ A D L Q K R U G A. eSLI KONTUR C QWLQETSQ OKRUVNOSTX@ RADIUSA R, TO WNUTRENNQQ NORMALX W TO^KE P NAPRAWLENA PO DIAMETRU I cos ' = 1
RPP0 2R TAK KAK ' ESTX UGOL P0 PP 0 (RIS. 64). iNTEGRALXNOE URAWNENIE DLQ FUNKCII  PRINIMAET WID

 (s0 ) + 1

Z

1  (s) ds = 1 f (s ): 2R  0

C

(56)

nETRUDNO WIDETX, ^TO EGO REENIEM QWLQETSQ FUNKCIQ  (s) = 1 f (s) + A


(57)

GDE A | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ, PODLEVA]AQ OPREDELENI@. pODSTAWLQQ PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ W URAWNENIE (56), IMEEM 1 f (s ) + A + 1  0 

Z

C





1 1 f (s) + A ds = 1 f (s )
2R   0

OTKUDA NAHODIM DLQ POSTOQNNOJ A WYRAVENIE ^EREZ ZADANNU@ FUNKCI@: 1

A = ; 42 R

Z

C

f (s) ds:

tAKIM OBRAZOM,  (s) = 1 f (s) ; 412 R

Z C

f (s) ds

(58)

QWLQETSQ REENIEM INTEGRALXNOGO URAWNENIQ (56). sOOTWETSTWU@]IJ POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ RAWEN W (M ) =

Z

C

2

3

cos '  (P ) ds = Z cos ' 4 1 f (s) ; 1 Z f (s0 ) ds0 5 ds: P R R  42 R MP

C

MP

C

pREOBRAZUEM PRAWU@ ^ASTX PREDYDU]EJ FORMULY, PREDPOLAGAQ, ^TO

urawneniq |llipti~eskogo tipa

384

M LEVIT WNUTRI C : 1Z

W=

C

0 cos ' f (s) ds ; @

RMP

1Z

=

C

1 42 R

Z C

0 cos ' f (s) ds ; @

RMP

1Z f (s0 ) ds0 A C

gl. IV

cos ' RMP ds =

1 A 42 R f (s) ds 2 = C   Z 1 cos ' 1

= 

Z

1

C

RMP

; 2R

f (s) ds:

4 OPM (RIS. 65) WIDNO, ^TO 2 ' ; RMP = 2RRMP cos ' ; RMP K = Rcos ' ; 21R = 2R cos = 2 2RRMP 2RRMP MP 2 2 = 2R R2 + 2 R; 2;R0 cos( ;  )]
0 0 0 iZ

(59)

(60)

TAK KAK

2 ; 2RR 20 = R2 + RMP MP cos ': pODSTAWLQQ WYRAVENIE (60) DLQ K W FORMULU (59), POLU^AEM INTEGRAL pUASSONA

u = W (0
0 ) = 21

Z2

; 20) f () d
; 2R0 cos( ; 0 )

(R2 2 R + 20 0

(61)

DA@]IJ REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ KRUGA.

rIS. 64

rIS. 65

pROWEDENNYE W \TOM PUNKTE RASSUVDENIQ POKAZYWA@T, ^TO PRI L@BOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f FORMULA (61) OPREDELQET GARMONI^ESKU@ FUNKCI@, NEPRERYWNO PRIMYKA@]U@ K GRANI^NYM ZNA^ENIQM f . eSLI FUNKCIQ f KUSO^NO-NEPRERYWNA, TO W SILU SWOJSTWA POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ FUNKCIQ W TAKVE NEPRERYWNA WO WSEH TO^KAH

x 5]

teoriq potenciala

385

NEPRERYWNOSTI f . iZ OGRANI^ENNOSTI FUNKCII f jf j < C SLEDUET OGRANI^ENNOSTX FUNKCII (61):

jW (0
0 )j < C 21 TAK KAK 1 2

Z2 0

Z2 R2 + 20 0

R2 ; 20 R2 + 20 ; 2R0 cos( ; 0 ) d = C


R2 ; 20 1) ; 2R0 cos( ; 0) d = 1 :

(62)

2. p E R W A Q K R A E W A Q Z A D A ^ A D L Q P O L U P R O S T R A N S T W A. nAJTI GARMONI^ESKU@ FUNKCI@, NEPRERYWNU@ WS@DU W OBLASTI z > > 0, PRINIMA@]U@ NA GRANICE z = 0 ZADANNOE ZNA^ENIE f (x
y). bUDEM ISKATX REENIE \TOJ ZADA^I W WIDE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ: Z+Z1 cos ' 2 2 2 2 W (x
y
z ) = R2  (
) d d
R = (x ;  ) + (y ; ) + z : ;1

w DANNOM SLU^AE

cos ' = z

z R2 R3 (x ;  )2 + (y ; )2 + z 2 ]3=2 I QDRO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ 1  cos '  = 0: 2 R2 z=0 tAKIM OBRAZOM, PLOTNOSTX POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ

I ISKOMAQ FUNKCIQ RAWNA

 (P ) = 21 f (P )


Z+Z1

z 3 f (
 ) d d: (x ;  )2 + (y ; )2 + z 2 ] =2 ;1 nETRUDNO p POKAZATX, ^TO u(x
y
z) RAWNOMERNO STREMITSQ K NUL@ PRI R = x2 + y2 + z 2 ! 1, ESLI \TIM SWOJSTWOM OBLADAET FUNKCIQ f . u (x
y
z ) = 21

1)

rAWENSTWO (62) SLEDUET IZ TOGO, ^TO LEWAQ ^ASTX PREDSTAWLQET REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I PRI f = 1. 25 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

386

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

11. iNTEGRALXNYE URAWNENIQ, SOOTWETSTWU@]IE KRAEWYM ZADA^AM. pRI REENII KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA S POMO-

]X@ POTENCIALOW PROSTOGO I DWOJNOGO SLOEW MY PRILI K INTEGRALXNYM URAWNENIQM fREDGOLXMA WTOROGO RODA (50). uSLOWIQ RAZREIMOSTI INTEGRALXNYH URAWNENIJ fREDGOLXMA WTOROGO RODA S NEPRERYWNYM QDROM I OGRANI^ENNOJ (INTEGRIRUEMOJ) PRAWOJ ^ASTX@ SHODNY S USLOWIQMI RAZREIMOSTI SISTEM LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ (K KOTORYM ONI SWODQTSQ, ESLI INTEGRAL ZAMENITX INTEGRALXNOJ SUMMOJ). pERWAQ TEOREMA fREDGOLXMA ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. nEODNORODNOE INTEGRALXNOE URAWNENIE WTOROGO RODA IMEET REENIE, I PRITOM EDINSTWENNOE, ESLI SOOTWETSTWU@]EE ODNORODNOE URAWNENIE IMEET TOLXKO NULEWOE REENIE 1) . dOKAVEM, OPIRAQSX NA SFORMULIROWANNU@ TEOREMU, ^TO INTEGRALXNOE URAWNENIE (50) IMEET EDINSTWENNOE REENIE. oGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM WYPUKLYH KONTUROW, NE SODERVA]IH PRQMOLINEJNYH U^ASTKOW GRANICY. w \TOM SLU^AE QDRO URAWNENIQ (50) K (P0
P ) NEOTRICATELXNO, TAK KAK K (P0
P ) dsP = d!
GDE d! ESTX UGOL WIDIMOSTI DUGI dSP IZ TO^KI P0 . 1) dLQ KRIWYH S OGRANI^ENNOJ KRIWIZNOJ TEORIQ fREDGOLXMA PRIMENIMA NEPOSREDSTWENNO, TAK KAK QDRO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ (50) NEPRERYWNO. tEORIQ fREDGOLXMA PRIMENIMA TAKVE W TOM SLU^AE, KOGDA NEPRERYWNO ODNO IZ P O W T O R N Y H Q D E R:

K (n+1) (P1  P2 ) =

ZZ

K (1) (P1  M ) K (n) (M P2 ) dM 

K (1) (P M ) = K (P M ): dOKAVEM, ^TO ESLI # | POWERHNOSTX lQPUNOWA, TO POWTORNYE QDRA NAEGO URAWNENIQ, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA, NEPRERYWNY. kAK MY WIDELI, DLQ POWERHNOSTEJ lQPUNOWA  cos '  C  r2  < r2; : pOWTORNYE QDRA MOGUT BYTX PREDSTAWLENY W WIDE K1 2 (P1  P2 ) =

ZZ

K1 (P1  M ) K2 (M P2 ) dM :

pOKAVEM, ^TO ESLI jKi j < 2C;ii (ri = Pi M i > 0 i = 1 2) ri

x 5]

teoriq potenciala

387

rASSMOTRIM PREVDE WSEGO PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ WNUTRENNEJ OBLASTI. oDNORODNOE URAWNENIE, SOOTWETSTWU@]EE URAWNENI@ (50), IMEET WID

ZL

 (s0 ) + K (s0
s)  (s) ds = 0: 0

(63)

TO

jK1 2 j < r2;C1 ;2  ESLI 1 + 2 < 2 r = jP1 P2 j: o^EWIDNO, ^TO \TU OCENKU DOSTATO^NO USTANOWITX DLQ SLU^AQ, KOGDA TO^KA P2 LEVIT W OKRESTNOSTI lQPUNOWA #0 TO^KI P1 , PRI^EM WMESTO INTEGRALA PO #0 MOVNO RASSMATRIWATX INTEGRAL PO PROEKCII S0 \TOJ OKRESTNOSTI NA KASATELXNU@ PLOSKOSTX W TO^KE P1 W SILU TOGO, ^TO P M ) > B > 0 1 > r ((P M) (GDE  (P M ) | RASSTOQNIE MEVDU PROEKCIQMI TO^EK P I M NA KASATELXNU@ PLOSKOSTX, B | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ), A TAKVE W SIrIS. 66 LU SWQZI MEVDU \LEMENTOM POWERHNOSTI d I EGO PROEKCIEJ dS : d = dS= cos  , GDE SOGLASNO FORMULE (34) cos  > > 1=2. dLQ PLOSKOJ OBLASTI SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ LEMMA. eSLI jKi j < 2C;ii , TO ri

 Z Z jI j =   S0

  K1 (P1  M ) K2 (M P2 ) dx dy < r2;C1 ;2 : 

oBOZNA^IM ^EREZ R DIAMETR OBLASTI S0 . rAZOBXEM INTEGRAL I NA DWA INTEGRALA: I1 | WZQTYJ PO KRUGU G1 RADIUSA 2r S CENTROM W TO^KE P1  I I2 | RASPROSTRANENNYJ NA OSTAWU@SQ OBLASTX G2 (RIS. 66). tAK KAK DLQ TO^EK M , LEVA]IH W G2 , 2 > rr1 > 32

0 @

25


2

1 r1 6 r2 + r 6 2r2  A r2 6 r1 + r 6 r1 + r21 = 32r1

388

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

kAK MY WIDELI (SM. P. 8), IMEET MESTO RAWENSTWO

ZL 0

K (s0
s) ds = 


POLXZUQSX KOTORYM, ODNORODNOE URAWNENIE (63) MOVNO ZAPISATX W WIDE

ZL 0

 (s0 ) +  (s)] K (s0
s) ds = 0:

(64)

pUSTX P0
(s
0 ) | TO^KA KONTURA C , W KOTOROJ FUNKCIQ j (s)j DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. oTS@DA SLEDUET, ^TO SUMMA  (s
0 ) +  (s) ZNAKOPOSTOQNNA. tOGDA, POLAGAQ W (64) s0 = s
0 I POLXZUQSX TEM, ^TO K (s0
s) > 0, POLU^AEM RAWENSTWO  (s
0 ) +  (s) = 0
TO DLQ INTEGRALA I2 POLU^AEM OCENKU

Z2ZR  8 C3   < < r2;1 ;2  1 jI2 j < 4C1 C2  r dr d' 1 1  : 1 +2;2  r14;1 ;2

1 + 2 < 2

C3 R  1 + 2 > 2: pROIZWODQ W INTEGRALE PO G1 ZAMENU PEREMENNYH x = rx0 , y = ry0 , POLU^AEM 0 2r

 ZZ  jI1 j <  r2;11 ;2  G1 0

  C1 C2 0 0 dx dy  : r10 2;1 r20 2;2 

w POSLEDNEM INTEGRALE, WZQTOM PO KRUGU G01 S RADIUSOM, RAWNYM 2r, r10 ESTX RASSTOQNIE OT CENTRA, r20 | OT SEREDINY RADIUSA, WSLEDSTWIE ^EGO \TOT INTEGRAL SHODITSQ, PRI^EM ON NE ZAWISIT OT POLOVENIQ TO^KI P2 , T. E. OT r. oTS@DA jI1 j < r2;C14;2 : pOLOVIW C3 + C4 = C , POLU^IM ISKOMOE NERAWENSTWO: 8 C <  1 + 2 < 2 jI j < : r2;1 ;2 C R1 +2 ;2  1 + 2 > 2: oTS@DA SLEDUET, ^TO, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA, INTEGRALY, PROIZWODQ]IE POWTORNYE QDRA, OGRANI^ENY I RAWNOMERNO SHODQTSQ, T. E. QWLQ@TSQ NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI SWOIH ARGUMENTOW.

x 5]

teoriq potenciala

389

ILI

 (s) = ; (s
0 )
PROTIWORE^A]EE NEPRERYWNOSTI W TO^KE s
0 , ESLI TOLXKO  (s
0 ) 6= 0. sLEDOWATELXNO, ODNORODNOE URAWNENIE (63) IMEET TOLXKO NULEWOE REENIE, I TEM SAMYM NEODNORODNOE URAWNENIE IMEET EDINSTWENNOE REENIE PRI L@BOJ FUNKCII f 1) . wNENQQ WTORAQ KRAEWAQ ZADA^A, KAK MY WIDELI (SM. P. 10), SWODITSQ K INTEGRALXNOMU URAWNENI@ (54)

ZL

 (s0 ) + K1 (s0
s)  (s) ds = f (s0 )
0

QDRO KOTOROGO K1 (s0
s) QWLQETSQ SOPRQVENNYM PO OTNOENI@ K QDRU K (s0
s), T. E. K1 (s0
s) = K (s
s0 ). wTORAQ TEOREMA fREDGOLXMA SOSTOIT W SLEDU@]EM. ~ISLO LINEJNO NEZAWISIMYH REENIJ NEKOTOROGO ODNORODNOGO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ RAWNO ^ISLU LINEJNO NEZAWISIMYH REENIJ SOPRQVENNOGO URAWNENIQ. iZ \TOJ TEOREMY SLEDUET, ^TO REENIE URAWNENIQ (54) OPREDELENO ODNOZNA^NO. wNENEJ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^E SOOTWETSTWUET URAWNENIE (52)

; (s0 ) +

ZL 0

K (s0
s)  (s) ds = f (s0 ):

oDNORODNOE URAWNENIE (f = 0) SOGLASNO PREDYDU]EMU MOVET BYTX PRIWEDENO K WIDU

ZL 0

 (s0 ) ;  (s)] K (s0
s) ds = 0:

(65)

oBOZNA^IW ^EREZ s
0 TO^KU, W KOTOROJ j (s)j DOSTIGAET MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, POLU^IM IZ (65)  (s
) =  (s): oTS@DA SLEDUET, ^TO TOLXKO  (s) = const = 0 QWLQETSQ REENIEM ODNORODNOGO URAWNENIQ. w SILU WTOROJ TEOREMY fREDGOLXMA SOPRQVENNOE ODNORODNOE URAWNENIE BUDET IMETX EDINSTWENNOE REENIE. 1) pRI NALI^II PRQMOLINEJNYH U^ASTKOW GRANICY RASSUVDENIQ NESKOLXKO

USLOVNQ@TSQ, HOTQ DOWEDENIE IH DO KONCA NE WYZYWAET ZATRUDNENIJ.

390

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

uSLOWIE RAZREIMOSTI NEODNORODNOGO URAWNENIQ DAET TRETXQ TEOREMA fREDGOLXMA. pUSTX NEKOTOROE ODNORODNOE INTEGRALXNOE URAWNENIE

Zb

' (x) = K (x
s) ' (s) ds a

IMEET k LINEJNO NEZAWISIMYH REENIJ 'i (x) (i = 1
2
: : :
k): tOGDA SOPRQVENNOE NEODNORODNOE URAWNENIE

Zb

 (x) = K (s
x)  (s) ds + f (x)

IMEET REENIE
ESLI

Zb a

a

f (x) 'i (x) dx = 0
i = 1
2
: : :
k:

pRIMENQQ TRETX@ TEOREMU fREDGOLXMA K URAWNENI@ (53), SOOTWETSTWU@]EMU WNUTRENNEJ WTOROJ KRAEWOJ ZADA^E, POLU^AEM USLOWIE RAZREIMOSTI \TOJ ZADA^I

ZL 0

f (s) ds = 0


(66)

S KOTORYM MY UVE WSTRE^ALISX W x 1. uSLOWIE RAZREIMOSTI WNENEJ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I IMEET WID

ZL 0

f (s) h (s) ds = 0


(67)

GDE h (s) | REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ, SOOTWETSTWU@]EGO (53). nETRUDNO WYQSNITX FIZI^ESKIJ SMYSL \TOJ FUNKCII. pUSTX CILINDRI^ESKIJ PROWODNIK, IME@]IJ W SE^ENII FORMU S , ZARQVEN DO NEKOTOROGO POTENCIALA V0 . w PROWODNIKE WESX ZARQD NAHODITSQ NA POWERHNOSTI. oBOZNA^IM ^EREZ h (s) PLOTNOSTX POWERHNOSTNYH ZARQDOW. pOTENCIAL, SOZDAWAEMYJ \TIMI POWERHNOSTNYMI ZARQDAMI, QWLQETSQ POTENCIALOM PROSTOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ h (s) I WYRAVAETSQ FORMULOJ (29). nORMALXNYE PROIZWODNYE EGO IZNUTRI RAWNY NUL@, TAK KAK WNUTRI PROWODNIKA V = const. pO\TOMU FUNKCIQ h (s) UDOWLETWORQET ODNORODNOMU URAWNENI@ (53) I PROPORCIONALXNA FUNKCII h (s), OPREDELENNOJ WYE, ^TO I OPREDELQET FIZI^ESKIJ SMYSL \TOJ FUNKCII.

zada~i k glawe IV

391

tAKIM OBRAZOM, INTEGRALXNYE URAWNENIQ, K KOTORYM SWODQTSQ KRAEWYE ZADA^I, RAZREIMY WSEGDA DLQ WNUTRENNEJ PERWOJ I WNENEJ WTOROJ KRAEWYH ZADA^ I RAZREIMY PRI USLOWIQH (66) I (67) DLQ WNUTRENNEJ WTOROJ I WNENEJ PERWOJ KRAEWYH ZADA^ 1) . zada~i k glawe IV 1. nAJTI FUNKCI@ u, GARMONI^ESKU@ WNUTRI KRUGA RADIUSA a I PRINIMA@]U@ NA OKRUVNOSTI C ZNA^ENIQ: A) ujC = A cos ' B) ujC = A + B sin '. 2. rEITX URAWNENIE lAPLASA u = 0 WNUTRI PRQMOUGOLXNIKA 0 6 x 6 6 a, 0 6 y 6 b PRI SLEDU@]IH GRANI^NYH USLOWIQH: ujx=0 = f1 (y) ujy=0 = f2 (x) ujx=a = 0 ujy=b = 0: dOKAZATX, ^TO POLU^A@]IESQ PRI \TOM FORMULY DA@T REENIE ZADA^I DLQ PROIZWOLXNOJ KUSO^NO-NEPRERYWNOJ FUNKCII, ZADANNOJ NA GRANICE. rEITX ZADA^U DLQ ^ASTNOGO SLU^AQ f1 (y) = Ay (b ; y) f2 (x) = B cos 2a x: 3. rEITX URAWNENIE u = 1 DLQ KRUGA RADIUSA a PRI GRANI^NOM USLOWII ujr=a = 0. 4. rEITX URAWNENIE u = Axy DLQ KRUGA RADIUSA a S CENTROM W TO^KE (0 0) PRI GRANI^NOM USLOWII ujr=a = 0. 5. rEITX URAWNENIE u = A + B (x2 ; y 2 ) W KOLXCE a 6  6 b, ESLI  @u  = 0: uj=a = A1  @ =b nA^ALO KOORDINAT NAHODITSQ W CENTRE KOLXCA. 6. pOSTROITX FUNKCI@ ISTO^NIKA DLQ URAWNENIQ lAPLASA (PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A): A) DLQ POLUKRUGA, B) DLQ KOLXCA, W) DLQ SLOQ (0 6 z 6 l). 7. nAJTI GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ WNUTRI KOLXCA a 6  6 b, UDOWLETWORQ@]U@ SLEDU@]IM GRANI^NYM USLOWIQM: uj=a = f1 (') uj=b = f2 ('): 8. nAJTI REENIE URAWNENIQ lAPLASA u = 0 W POLUPLOSKOSTI y > 0 S GRANI^NYM USLOWIEM 0 PRI x < 0 u (x 0) = u PRI x > 0: 0 9. nAJTI FUNKCI@ u ( '), GARMONI^ESKU@ WNUTRI KRUGOWOGO SEKTORA  6 a, 0 6 ' 6 '0 PRI GRANI^NYH USLOWIQH: A) uj'=0 = q1 , uj'='0 = q1 , uj=a = q2 , GDE q1 I q2 | POSTOQNNYE B) uj'=0 = uj'='0 = 0, uj=a = f ('). 1) sM.

PODROBNEE: p E T R O W S K I J i. g. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. m., 1961. x 39.

392

urawneniq |llipti~eskogo tipa

gl. IV

10. mETODOM KONE^NYH RAZNOSTEJ REITX PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ u = 0 WNUTRI PRQMOUGOLXNIKA 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b, PODRAZDELQQ KAVDU@ IZ EGO STORON NA 8 RAWNYH ^ASTEJ, ESLI GRANI^NYE USLOWIQ IME@T WID   ujx=0 = yb 1 ; yb  ujy=b = xa sin a x ujx=a = ujy=0 = 0: sRAWNITX S ANALITI^ESKIM REENIEM (SM. dOPOLNENIE I, x 3). 11. nAJTI OB_EMNYJ POTENCIAL SFERY PRI POSTOQNNOJ PLOTNOSTI  = = 0 . uKAZANIE. rEITX URAWNENIQ u = 0 WNE SFERY I u = 40 WNUTRI SFERY I REENIQ SOPRQGATX NA POWERHNOSTI SFERY. 12. nAJTI POTENCIAL PROSTOGO SLOQ, RASPREDELENNOGO S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@  = 0 NA SFERE. uKAZANIE. iSKATX REENIE URAWNENIQ u = 0 WNE I WNUTRI SFERY I WOSPOLXZOWATXSQ DLQ SOPRQVENIQ USLOWIQMI RAZRYWA PROIZWODNOJ POTENCIALA PROSTOGO SLOQ. 13. rEITX PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ OGRANI^ENNOGO KRUGLOGO CILINDRA ( 6 a, 0 6 z 6 l): A) NA OSNOWANIQH CILINDRA ZADANY NULEWYE GRANI^NYE USLOWIQ (PERWOGO ILI WTOROGO RODA), A NA BOKOWOJ POWERHNOSTI uj=a = f (z) B) NA BOKOWOJ POWERHNOSTI I NA ODNOM IZ OSNOWANIJ CILINDRA ZADANY NULEWYE GRANI^NYE USLOWIQ (PERWOGO I WTOROGO RODA), A NA WTOROM OSNOWANII CILINDRA u = f () NAPRIMER f () = A (1 ; =a). 14. rEITX NEODNORODNOE URAWNENIE u = ;f W NEOGRANI^ENNOJ CILINDRI^ESKOJ OBLASTI PRI NULEWYH GRANI^NYH USLOWIQH (PERWOGO ILI WTOROGO RODA) I POSTROITX FUNKCI@ ISTO^NIKA. 15. nAJTI GARMONI^ESKU@ WNUTRI SFERY FUNKCI@, RAWNU@ u1 NA ODNOJ POLOWINE SFERY I u2 NA WTOROJ POLOWINE SFERY. 16. nAPISATX RAZLOVENIE PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM PLOTNOSTI POWERHNOSTNYH ZARQDOW, INDUCIROWANNYH NA PROWODQ]EJ SFERE TO^E^NYM ZARQDOM. 17. rEITX ZADA^U O POLQRIZACII DI\LEKTRI^ESKOGO ARA W POLE TO^E^NOGO ZARQDA. 18. wY^ISLITX GRAWITACIONNYJ POTENCIAL PLOSKOGO DISKA. sRAWNITX S ASIMPTOTI^ESKIM PREDSTAWLENIEM GRAWITACIONNOGO POTENCIALA NA BOLXIH RASSTOQNIQH. 19. wY^ISLITX MAGNITNYJ POTENCIAL KRUGOWOGO TOKA. 20. rEITX ZADA^U O WOZMU]ENII PLOSKOPARALLELXNOGO \LEKTRI^ESKOGO POLQ IDEALXNO PROWODQ]EJ SFEROJ. rEITX ZADA^U DLQ ABSOL@TNO NEPROWODQ]EJ SFERY.

I. asimptotika obemnogo potenciala

393

priloveniq k glawe IV

I. aSIMPTOTI^ESKOE WYRAVENIE OB_EMNOGO POTENCIALA pRI IZU^ENII OB_EMNOGO POTENCIALA ZZZ  (P ) dP V (M ) = d
GDE d = RMP
T

(1)

NA BOLXIH RASSTOQNIQH OT TELA OBY^NO PRINIMA@T ZNA^ENIQ POTENCIALA RAWNYMI m=R, GDE m | MASSA TELA T , R | RASSTOQNIE OT EGO CENTRA TQVESTI DO TO^KI NABL@DENIQ. uSTANOWIM BOLEE TO^NOE ASIMPTOTI^ESKOE WYRAVENIE DLQ V 1) . pUSTX  | cFERA S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT, CELIKOM SODERVA]AQ TELO T . wNE \TOJ SFERY POTENCIAL BUDET GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ.

rIS. 67 rASSTOQNIE OT TO^KI NABL@DENIQ M (x
y
z ) DO PEREMENNOJ TO^KI WNUTRI TELA M1 (x1
y1
z1 ) (RIS. 67), PO KOTOROJ PROIZWODITSQ INTEGRIROWANIE, RAWNO

q

OTKUDA

d = r2 + r12 ; 2rr1 cos  (r = jOM j
r1 = jOM1 j)
1=1p

1

r 1 + 2 ; 2 
= rr1
 = cos : d

1)

(2)

s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. m., 1981. t. IV, ^. 2.

(3)

priloveniq k glawe IV

394

tAK KAK r1 < r, TO < 1, I PO\TOMU IMEET MESTO RAZLOVENIE (SM. dOPOLNENIE II, ^. II, x 1) 1=1

1 X

n (4) d r n=0 Pn ()
GDE Pn () | POLINOM lEVANDRA n-GO PORQDKA. pODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W FORMULU (1) I U^ITYWAQ, ^TO 1=r NE ZAWISIT OT PEREMENNYH INTEGRIROWANIQ, POLU^AEM

V (M ) = 1r 1 ZZZ

=r

T

ZZZ X 1 T



n=0

 d + r12

n Pn () d = V1 + V2 + V3 + : : : =

ZZZ T

r1 P1 () d + r13

ZZZ T

r12 P2 () d + : : : (5)

pERWYJ ^LEN RAWEN m=r, GDE m | MASSA WSEGO TELA, I DAET NAM PERWOE PRIBLIVENIE DLQ WY^ISLENIQ POTENCIALA PRI BOLXIH r. pEREJDEM K WY^ISLENI@ SLEDU@]IH ^LENOW RAZLOVENIQ (5). pODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE WO WTOROM ^LENE RAWNO 1 + zz1 : P1 () r1 = r1 = r1 cos  = xx1 + yy r wELI^INY x, y, z I r NE ZAWISQT OT PEREMENNYH INTEGRIROWANIQ I MOGUT BYTX WYNESENY ZA ZNAK INTEGRALA. pOSLE \TOGO WTOROJ ^LEN RAZLOVENIQ POTENCIALA PRINIMAET WID ZZZ 1 r1 P1 () d = r13 (M1 x + M2 y + M3 z ) = M r2 r3 (xx + yy + z z)


GDE

T

M1 =

ZZZ T

x1 d = M x
M2 = M3 =

ZZZ T

ZZZ T

y1 d = M y


z1 d = M z

| MOMENTY 1-GO PORQDKA, x, y, z | KOORDINATY CENTRA TQVESTI. tAKIM OBRAZOM, WTOROJ ^LEN UBYWAET KAK 1=r2 . eSLI NA^ALO KOORDINAT POMESTITX W CENTRE TQVESTI ( x = 0, y = 0, z = 0), TO V2 = 0. rASSMOTRIM TRETIJ ^LEN RAZLOVENIQ. pREOBRAZUEM PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE: 2 1 )2 ; r12 r2 = r12 P2 () = r12 3 2; 1 = r12 3 (xx1 + yy21r+2 rzz 2 1 !  = 2r2 3 (x1 x + y1 y + z1 z )2 ; r12 r2 :

I. asimptotika obemnogo potenciala

395

wWODQ OBOZNA^ENIQ Mik =

ZZZ T

xi xk d

(x = x1
y = x2
z = x3 )


PRIHODIM K SLEDU@]EMU WYRAVENI@ DLQ V3 : V3 = r13

ZZZ T

r12 P2 () d =



= 21r5 x2 3M11 ; (M11 + M22 + M33)] + + y2 3M22 ; (M11 + M22 + M33 )] + z 2 3M33 ; (M11 + M22 + M33 )] +



+ 2  3xyM12 + 2  3xzM13 + 2  3yzM23 :

pOLINOM, STOQ]IJ W FIGURNYH SKOBKAH, QWLQETSQ GARMONI^ESKIM POLINOMOM, TAK KAK ON MOVET BYTX ZAPISAN W WIDE



V3 = 21r5 (x2 ; y2 ) M11 ; M22 ] ; (z 2 ; x2 ) M11 ; M33 ] +



+ (y2 ; z 2 ) M22 ; M33] + 6 xyM12 + xzM13 + yzM23]


GDE KAVDOE SLAGAEMOE UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA. kO\FFICIENTY, STOQ]IE W KWADRATNYH SKOBKAH, WYRAVA@TSQ ^EREZ MOMENTY INERCII. mOMENT INERCII TELA T OTNOSITELXNO OSI x , KAK IZWESTNO, RAWEN A=

ZZZ T

 (y12 + z12) d = M22 + M33 :

aNALOGI^NO MOMENTY INERCII OTNOSITELXNO OSEJ y I z RAWNY B = M33 + M11
C = M11 + M22 : oTS@DA SLEDUET, ^TO M11 ; M22 = B ; A
M11 ; M33 = C ; A
M22 ; M33 = C ; B: w REZULXTATE MY PRIHODIM K ASIMPTOTI^ESKOMU WYRAVENI@ DLQ POTENCIALA  m 1 m  V = r + r3 (xx + yy + z z) + 2r5 (x2 ; y2 )(B ; A) + (y2 ; z 2)(C ; B ) +  + (z 2 ; x2 ) (A ; C ) + 6 (xyM12 + yzM23 + zxM31 )
(6)

396

priloveniq k glawe IV

SPRAWEDLIWOMU S TO^NOSTX@ DO ^LENOW PORQDKA 1=r6 . wYRAVENIE (6) UPRO]AETSQ, ESLI POMESTITX NA^ALO KOORDINAT W CENTRE TQVESTI, A OSI KOORDINAT NAPRAWITX PO GLAWNYM OSQM INERCII: m 1  V = r + 2r5 (x2 ; y2 ) (B ; A) + (y2 ; z 2 ) (C ; B ) +  + (z 2 ; x2 ) (A ; C ) : (7) pOLU^ENNOE ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE POTENCIALA POZWOLQET OTWETITX NA RQD WOPROSOW OBRATNOJ ZADA^I TEORII POTENCIALA, ZAKL@^A@]EJSQ W OPREDELENII HARAKTERISTIK TELA PO EGO POTENCIALU (ILI KAKIM-LIBO EGO PROIZWODNYM). w SAMOM DELE, OPREDELQQ KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ (6), MOVNO NAJTI MASSU, KOORDINATY CENTRA TQVESTI I MOMENTY INERCII TELA.

II. zADA^I \LEKTROSTATIKI w ZADA^AH \LEKTROSTATIKI REENIE URAWNENIJ mAKSWELLA SWODITSQ K OTYSKANI@ ODNOJ SKALQRNOJ FUNKCII | POTENCIALA ', SWQZANNOGO S NAPRQVENNOSTX@ POLQ SOOTNOENIEM E = ; grad ': iSPOLXZUQ URAWNENIE mAKSWELLA div E = 4
POLU^AEM ' = ;4: tAKIM OBRAZOM, POTENCIAL UDOWLETWORQET URAWNENI@ pUASSONA W TEH TO^KAH PROSTRANSTWA, GDE NAHODQTSQ \LEKTRI^ESKIE ZARQDY, I URAWNENI@ lAPLASA | W TEH TO^KAH, GDE ZARQDOW NET. 1. o S N O W N O J Z A D A ^ E J \ L E K T R O S T A TI K I QWLQETSQ OTYSKANIE POLQ, SOZDAWAEMOGO SISTEMOJ ZARQDOW NA ZADANNYH PROWODNIKAH. pRI \TOM WOZMOVNY DWE RAZLI^NYE POSTANOWKI \TOJ ZADA^I. A) zADA@TSQ POTENCIALY PROWODNIKOW I TREBUETSQ OPREDELITX POLE WNE PROWODNIKOW I PLOTNOSTX ZARQDOW NA PROWODNIKAH. mATEMATI^ESKAQ FORMULIROWKA ZADA^I SOSTOIT W SLEDU@]EM. tREBUETSQ NAJTI FUNKCI@ '
UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ lAPLASA ' = 0 WS@DU WNE ZADANNOJ SISTEMY PROWODNIKOW
OBRA]A@]U@SQ W NULX NA BESKONE^NOSTI I PRINIMA@]U@ ZADANNYE ZNA^ENIQ 'i NA POWERHNOSTQH PROWODNIKOW Si : 'jSi = 'i
'i = const:

II. zada~i |lektrostatiki

397

tAKIM OBRAZOM, W \TOM SLU^AE MY PRIHODIM K PERWOJ KRAEWOJ ZADA^E DLQ URAWNENIQ lAPLASA. eDINSTWENNOSTX EE REENIQ SLEDUET IZ OB]EJ TEORII. B) wOZMOVNA I OBRATNAQ POSTANOWKA ZADA^I. nA PROWODNIKAH ZADA@TSQ POLNYE ZARQDY. tREBUETSQ OPREDELITX POTENCIALY PROWODNIKOW, RASPREDELENIE ZARQDOW PO IH POWERHNOSTQM I POLE WNE PROWODNIKOW. rEENIE \TOJ ZADA^I SWODITSQ K OTYSKANI@ FUNKCII '
UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ lAPLASA ' = 0 WNE ZADANNOJ SISTEMY PROWODNIKOW, OBRA]A@]EJSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI, PRINIMA@]EJ NA POWERHNOSTQH PROWODNIKOW NEKOTORYE POSTOQNNYE ZNA^ENIQ 'jSi = const I UDOWLETWORQ@]EJ INTEGRALXNOMU SOOTNOENI@ NA POWERHNOSTQH PROWODNIKOW I @' @n d = ;4ei
Si

GDE ei | POLNYJ ZARQD i-GO PROWODNIKA. 2. eDINSTWENNOSTX REENIQ WTOROJ ZADA^I IZ OB]EJ TEORII NE SLEDUET, NO MOVET BYTX LEGKO DOKAZANA. pREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET DWA REENIQ '1 I '2 ZADA^I B. tOGDA IH RAZNOSTX '0 = '1 ; '2 BUDET UDOWLETWORQTX URAWNENI@ '0 = 0 I USLOWIQM I @'0 0 0 ' jSi = const
@n d = 0
' j1 = 0: Si

zAKL@^IM WSE ZADANNYE PROWODNIKI WNUTRX SFERY R DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA R I PRIMENIM K FUNKCII '0 PERWU@ FORMULU gRINA W OBLASTI TR , OGRANI^ENNOJ SFEROJ R I POWERHNOSTQMI PROWODNIKOW Si : Z Z n Z 0 0 X 0 @' (r'0 )2 d = '0 @' d + ' @n @n d: i=1 TR

R

Si

priloveniq k glawe IV

398

w SILU USLOWIJ NA BESKONE^NOSTI 1) I NA POWERHNOSTQH, MY POLU^IM

Z

lim (r'0 )2 d = 0
R!1 TR

OTKUDA, WSLEDSTWIE POLOVITELXNOSTI PODYNTEGRALXNOGO WYRAVENIQ, SLEDUET r'0 = 0
ILI '0 = const
WS@DU W RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI. u^ITYWAQ USLOWIE NA BESKONE^NOSTI '0 j1 = 0, POLU^AEM '0  0
^TO I DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX POSTAWLENNOJ ZADA^I. 3. iZ EDINSTWENNOSTI REENIQ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA SLEDUET, ^TO POTENCIAL UEDINENNOGO PROWODNIKA PRQMO PROPORCIONALEN SOOB]ENNOMU EMU ZARQDU: e ' = C: w SAMOM DELE, ESLI NA UEDINENNYJ PROWODNIK POMESTITX ZARQDY e I e0 = me, TO SOOTWETSTWU@]IE POTENCIALY ' I '0 DOLVNY UDOWLETWORQTX URAWNENIQM ' = 0
'0 = 0 I GRANI^NYM USLOWIQM I 1 I @'0 d = me
; 41 @' d = e
; @n 4 @n S

S

0 0 OTKUDA I SLEDUET, ^TO '0 ; m' = 0, T. E. '' = ee . nA POWERHNOSTI UEDINENNOGO PROWODNIKA POLU^AEM e0 = e = C = const: '0 ' |TU POSTOQNNU@ C NAZYWA@T E M K O S T X @ UEDINENNOGO PROWODNIKA. oNA NE ZAWISIT OT ZARQDA PROWODNIKA, A OPREDELQETSQ FORMOJ I RAZME-

1) iZ USLOWIQ '0 j1 = 0 SLEDUET REGULQRNOSTX FUNKCII '0 NA BESKONE^NOSTI (SM. S. 321), W SILU ^EGO Z @'0 '0 @n d ! 0 PRI R ! 1: R

II. zada~i |lektrostatiki

399

RAMI POSLEDNEGO. tAKIM OBRAZOM, DLQ UEDINENNOGO PROWODNIKA IMEET MESTO SOOTNOENIE I e = C'
C = ; 41 @' @n d: S

eMKOSTX UEDINENNOGO PROWODNIKA ^ISLENNO RAWNA ZARQDU, PRI SOOB]ENII KOTOROGO PROWODNIK PRIOBRETAET POTENCIAL, RAWNYJ 1. eSLI PROWODNIK NE UEDINEN, TO EGO POTENCIAL SU]ESTWENNO ZAWISIT OT FORMY I RASPOLOVENIQ DRUGIH PROWODNIKOW. dLQ SISTEMY PROWODNIKOW IME@T MESTO SOOTNOENIQ e1 = C11 '1 + C12 ('2 ; '1 ) + : : : + C1n ('n ; '1 )
e2 = C21 ('1 ; '2 ) + C22 '2 + : : : + C2n ('n ; '2 )
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : en = Cn1 ('1 ; 'n ) + Cn2 ('2 ; 'n ) + : : : + Cnn 'n
GDE ei I 'i | ZARQD I POTENCIAL i-GO PROWODNIKA. wELI^INA Cik IMEET SMYSL WZAIMNOJ EMKOSTI i-GO PROWODNIKA PO OTNOENI@ K k-MU PROWODNIKU. oNA MOVET BYTX OPREDELENA KAK TOT ZARQD, KOTORYJ DOLVEN BYTX SOOB]EN i-MU PROWODNIKU DLQ TOGO, ^TOBY WSE PROWODNIKI, KROME k-GO, IMELI NULEWOJ POTENCIAL, A k-J PROWODNIK | POTENCIAL 1. 4. lEGKO POKAZATX, ^TO MATRICA KO\FFICIENTOW Cik QWLQETSQ SIMMETRI^NOJ, T. E. IME@T MESTO SOOTNOENIQ Cik = Cki : dLQ OPREDELENNOSTI RASSMOTRIM SLU^AJ DWUH PROWODNIKOW, HOTQ I W SLU^AE n PROWODNIKOW DOKAZATELXSTWO OSTAETSQ TEM VE. pUSTX ZADANY DWA PROWODNIKA a I b. tOGDA OPREDELENIE KO\FFICIENTOW Cab I Cba SWEDETSQ K OPREDELENI@ FUNKCIJ u(1) I u(2) , UDOWLETWORQ@]IH URAWNENIQM u(1) = 0 I u(2) = 0 I GRANI^NYM USLOWIQM u(1) jSa = 0 u(1)jSb = 1 u(1) j1 = 0 I (1) ; 41 @u@n d = e(1) a = Cab  Sa

u(2) jSa = 1 u(2)jSb = 0 u(2) j1 = 0 I (2) ; 41 @u@n d = e(2) b = Cba : Sb

400

priloveniq k glawe IV

oPIEM SFERU R DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA R , ZAKL@^A@]U@ OBA PROWODNIKA a I b, I PRIMENIM FORMULU gRINA K FUNKCIQM u(1) I u(2) W OBLASTI MEVDU POWERHNOSTX@ R I POWERHNOSTQMI PROWODNIKOW Sa I Sb : Z Z  @u(2) (1)  @u (1) (2) (2) (1) (1) (2) (u u ; u u ) d = u @n ; u @n d: TR

R +Sa +Sb

iNTEGRAL W LEWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA RAWEN NUL@. iSPOLXZUQ GRANI^NYE USLOWIQ I USLOWIQ W BESKONE^NOSTI, POLU^AEM Z @u(1) Z @u(2) d ; @n @n d = 0
Sa Sb ILI Cab = Cba
^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. 5. pEREJDEM K KONKRETNYM PRIMERAM. rASSMOTRIM ZADA^U O POLE ZARQVENNOGO ARA. pUSTX NA POWERHNOSTI PROWODQ]EGO ARA RADIUSA a ZADAN POTENCIAL '0 . rEAQ ZADA^U 1, LEGKO POKAZATX, ^TO POLE I PLOTNOSTX ZARQDOW NA POWERHNOSTI ARA W \TOM SLU^AE BUDUT OPREDELQTXSQ WYRAVENIQMI ' = 'r0 a I  = 4'a0 : eSLI WMESTO POTENCIALA NA POWERHNOSTI ARA '0 ZADAN POLNYJ ZARQD e0 , SOOB]ENNYJ ARU, TO e0
' = e0 (r > a): '0 = ea0
 = 4a 2 r pRI \TOM EMKOSTX ARA C = a
T. E. W ABSOL@TNYH EDINICAH EMKOSTX UEDINENNOGO ARA ^ISLENNO RAWNA EGO RADIUSU. w KA^ESTWE SLEDU@]EGO PRIMERA RASSMOTRIM ZADA^U O SFERI^ESKOM KONDENSATORE (SISTEMA DWUH KONCENTRI^ESKIH PROWODQ]IH SFER). pUSTX WNUTRENNIJ AR RADIUSA r1 IMEET ZADANNYJ POTENCIAL V0 , A WNENIJ AR RADIUSA r2 ZAZEMLEN. tOGDA OPREDELENIE POLQ WNUTRI KONDENSATORA SWODITSQ K OTYSKANI@ FUNKCII ', UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ ' = 0 I USLOWIQM 'jr1 = V0
'jr2 = 0:

III. osnownaq zada~a |lektrorazwedki

401

lEGKO POKAZATX, ^TO W \TOM SLU^AE 1 1  r r 1 2 ' = r ; r V0 r ; r
2 1 2 A EMKOSTX SFERI^ESKOGO KONDENSATORA RAWNA C = r r1;r2r : 2 1 bOLEE SLOVNOJ ZADA^EJ QWLQETSQ OPREDELENIE POTENCIALA SFERY W PRISUTSTWII DRUGOJ SFERY, NE KONCENTRI^ESKOJ S DANNOJ. |TA ZADA^A REAETSQ METODOM OTRAVENIJ. aNALITI^ESKOE REENIE DOWOLXNO GROMOZDKO, I MY ZDESX PRIWODITX EGO NE BUDEM 1) . 6. pEREJDEM K DWUMERNYM ZADA^AM. w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM CILINDRI^ESKIJ KONDENSATOR, OBRAZOWANNYJ DWUMQ BESKONE^NO DLINNYMI KOAKSIALXNYMI CILINDRAMI, NA ODNOM IZ KOTORYH RAWNOMERNO RASPREDELEN \LEKTRI^ESKIJ ZARQD. o^EWIDNO, ^TO REENIE ZADA^I ODINAKOWO WO WSEH PLOSKOSTQH, PARALLELXNYH PLOSKOSTI NORMALXNOGO SE^ENIQ CILINDRA. pO\TOMU ZADA^U MOVNO RASSMATRIWATX KAK PLOSKU@ I WMESTO POLNOGO ZARQDA ZADAWATX ZARQD NA EDINICU DLINY {. eSLI WNENIJ CILINDR RADIUSA r2 ZAZEMLEN, A NA WNUTRENNEM | RADIUSA r1 | ZADAN ZARQD {, TO POTENCIAL POLQ W KONDENSATORE OPREDELQETSQ WYRAVENIEM ' = 2{ ln rr
2 A EMKOSTX EDINICY DLINY CILINDRI^ESKOGO KONDENSATORA RAWNA C = 2 ln(r1 =r ) : 2 1

rASSMOTRENNYJ PRIMER POZWOLQET REITX BOLEE SLOVNU@ ZADA^U OPREDELENIQ EMKOSTI PROWODA, RASPOLOVENNOGO NAD PROWODQ]EJ PLOSKOSTX@. pUSTX NAD BESKONE^NOJ PLOSKOSTX@ NA RASSTOQNII l OT NEE NAHODITSQ BESKONE^NO DLINNYJ PROWOD RADIUSA , NA KOTOROM RASPREDELEN ZARQD S PLOTNOSTX@ { (ZARQD NA EDINICU DLINY). qSNO, ^TO I \TA ZADA^A MOVET REATXSQ KAK DWUMERNAQ.

III. oSNOWNAQ ZADA^A \LEKTRORAZWEDKI dLQ IZU^ENIQ NEODNORODNOSTI ZEMNOJ KORY W CELQH RAZWEDKI POLEZNYH ISKOPAEMYH IROKO PRIMENQ@TSQ \LEKTRI^ESKIE METODY. oSNOWNAQ SHEMA \LEKTRORAZWEDKI POSTOQNNYM TOKOM ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. pRI POMO]I ZAZEMLENNYH \LEKTRODOW W ZEML@ PROPUSKAETSQ TOK 1) sM.:

f R A N K f., m I Z E S r. dIFFERENCIALXNYE I INTEGRALXNYE URAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. l. m., 1937. t. II. s. 713. 26 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

402

priloveniq k glawe IV

OT PITA@]EJ BATAREI. nA POWERHNOSTI ZEMLI IZMERQ@TSQ NAPRQVENIQ SOZDANNOGO TAKIM OBRAZOM POLQ POSTOQNNOGO TOKA. pRI POMO]I NABL@DENIJ NA POWERHNOSTI OPREDELQ@T PODZEMNU@ STRUKTURU. mETODY OPREDELENIQ PODZEMNYH STRUKTUR (INTERPRETACIQ NABL@DENIJ) BAZIRU@TSQ NA MATEMATI^ESKOM REENII SOOTWETSTWU@]IH ZADA^. pOTENCIAL POLQ POSTOQNNOGO TOKA W ODNORODNOJ SREDE UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA V = 0 (z > 0) (1) PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII  @V  = 0
(2) @z z=0 KOTOROE OZNA^AET, ^TO WERTIKALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ PLOTNOSTI TOKA (SM. S. 297) NA (DNEWNOJ) POWERHNOSTI z = 0 RAWNA NUL@, TAK KAK POLUPROSTRANSTWO z < 0 (WOZDUH) NEPROWODQ]EE. rASSMOTRIM TO^E^NYJ \LEKTROD NA GRANICE POLUPROSTRANSTWA W TO^KE A. o^EWIDNO, ^TO POTENCIAL POLQ BUDET RAWEN (3) V = 2I R
GDE R | RASSTOQNIE OT ISTO^NIKA A,  | UDELXNOE SOPROTIWLENIE SREDY, A I | SILA TOKA. |TA FUNKCIQ OTLI^AETSQ OT FUNKCII ISTO^NIKA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE KO\FFICIENTOM 2 W SILU USLOWIQ (2). iZMERQQ RAZNOSTX POTENCIALOW W TO^KAH M I N , LEVA]IH NA ODNOJ PRQMOJ S A, PRI POMO]I IZMERITELXNOJ CEPI, POLU^AEM V (M ) ; V (N ) = @V @r r
GDE r | RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI N I M . pREDPOLAGAQ, ^TO TO^KI M I N DOSTATO^NO BLIZKI MEVDU SOBOJ, IMEEM  V (M ) ; V (N )   @V  I   =   = 2
r @r 2r GDE r | RASSTOQNIE TO^KI O (CENTRA PRIEMNOJ CEPI MN ) OT PITA@]EGO \LEKTRODA. sILA TOKA I W PITA@]EJ CEPI IZWESTNA, TAK KAK REGISTRIRUETSQ W TE^ENIE HODA RABOTY. oTS@DA DLQ SOPROTIWLENIQ ODNORODNOGO POLUPROSTRANSTWA POLU^IM 2  @V     = 2r (4) I  @r  :

III. osnownaq zada~a |lektrorazwedki

403

eSLI SREDA NEODNORODNA, TO WELI^INU , OPREDELQEMU@ PO FORMULE (4), NAZYWA@T KAVU]IMSQ SOPROTIWLENIEM I OBOZNA^A@T ^EREZ k  k NE BUDET POSTOQNNOJ WELI^INOJ. rASSMOTRIM ZADA^U O WERTIKALXNOM \LEKTRI^ESKOM ZONDIROWANII, KOGDA SLOI ZEMNOJ KORY ZALEGA@T GORIZONTALXNO I SOPROTIWLENIE IH ZAWISIT TOLXKO OT GLUBINY:  =  (z ): w \TOM SLU^AE KAVU]EESQ SOPROTIWLENIE BUDET FUNKCIEJ RASSTOQNIQ r = jAOj. zADA^A INTERPRETACII REZULXTATOW WERTIKALXNYH \LEKTRI^ESKIH ZONDIROWANIJ ZAKL@^AETSQ W OPREDELENII FUNKCII  (z ), DA@]EJ \LEKTRI^ESKIJ RAZREZ SREDY PO IZWESTNYM ZNA^ENIQM k (r). rASSMOTRIM PODROBNEE ZADA^U O DWUHSLOJNOJ SREDE, KOGDA ODNORODNYJ SLOJ MO]NOSTI l I SOPROTIWLENIQ 0 LEVIT NA ODNORODNOJ SREDE S SOPROTIWLENIEM 1 : ( 0 6 z < l
 (z ) = 0 PRI 1 PRI l < z: o^EWIDNO, ^TO NA NEBOLXIH RASSTOQNIQH r  l KAVU]EESQ SOPROTIWLENIE k RAWNO 0 , TAK KAK WLIQNIE PODSTILA@]EJ SREDY BUDET SKAZYWATXSQ MALO. dLQ BOLXIH RASSTOQNIJ (r  l) k BUDET RAWNO 1 . zADA^A SWODITSQ, TAKIM OBRAZOM, K NAHOVDENI@ REENIQ URAWNENIQ lAPLASA V0 W SLOE 0 < z < l I V1 W POLUPROSTRANSTWE z > l. pRI z = l DOLVNY WYPOLNQTXSQ USLOWIQ NEPRERYWNOSTI POTENCIALA V0 jz=l = V1 jz=l (5) I NEPRERYWNOSTI NORMALXNYH SOSTAWLQ@]IH PLOTNOSTI TOKA   1 @V0  = 1 @V1  : (6) 0 @z z=l 1 @z z=l pRI z = 0 POTENCIAL V0 DOLVEN UDOWLETWORQTX USLOWI@ (2), A W TO^KE A, KOTORU@ MY WYBEREM ZA NA^ALO CILINDRI^ESKIH KOORDINAT (r
'
z ), POTENCIAL V0 DOLVEN IMETX OSOBENNOSTX TIPA (3): V0 = 20I p 21 2 + v0
(7) z +r GDE v0 | OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ. fUNKCIQ V1 DOLVNA BYTX OGRANI^ENNOJ NA BESKONE^NOSTI. fUNKCII v0 I V1 UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ (1), KOTOROE W SILU CILINDRI^ESKOJ SIMMETRII ZADA^I PRIOBRETAET WID @ 2 V + 1 @V + @ 2 V = 0: @r2 r @r @z 2 26


404

priloveniq k glawe IV

mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH DAET DLQ V DWA TIPA REENIJ, OGRANI^ENNYH PRI r = 0: ez J0 (r)
GDE J | FUNKCIQ bESSELQ NULEWOGO PORQDKA (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 1), A0  | PARAMETR RAZDELENIQ. bUDEM ISKATX REENIE W WIDE Z1  I 1 0 p V0 (r
z ) = 2 2 2 + (A0 e;z + B0 ez ) J0 (r) d
r +z 0

Z1

V1 (r
z ) = (A1 e;z + B1 ez ) J0 (r) d
0

GDE A0 , B0 , A1 , B1 | NEKOTORYE POSTOQNNYE. uSLOWIE (2) DAET SWQZX MEVDU A0 I B0 . wY^ISLIM Z1 @V0 = ; 0 I z ;z z @z 2 (z 2 + r2 )3=2 + (;A0 e + B0 e ) J0 (r) d: 0 uSLOWIE (2) PRINIMAET WID

Z1 0

(B0 ; A0 ) J0 (r) d = 0

PRI PROIZWOLXNOM r, OTKUDA

B0 = A0 : iZ USLOWIQ OGRANI^ENNOSTI V1 PRI z ! 1 SLEDUET, ^TO B1 = 0: tAKIM OBRAZOM,

Z1

V1 (r
z ) = A1 e;z J0 (r) d

I

0

Z1

V0 (r
z ) = q e;z + A0 (e;z + ez )] J0 (r) d: 0

pRI \TOM MY WOSPOLXZOWALISX FORMULOJ

pr21+ z2 =

Z1 0

J0 (r) e;z d

(8)

III. osnownaq zada~a |lektrorazwedki

405

(SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 5) I OBOZNA^ILI 20I = q. oSTAWIESQ POSTOQNNYE A0 I A1 OPREDELQ@TSQ IZ USLOWIJ (5) I (6) DLQ z = l, KOTORYE SWODQTSQ K SISTEME ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ A0 (e;2l + 1) ; A1 e;2l = ;q e;2l
1 A (e;2l ; 1) ; 1 A e;2l = ; q e;2l
 0  1  0

OTKUDA NAHODITSQ KO\FFICIENT

1

0

0 ) e A0 = q ( + (1) ;
1 0 ; (1 ; 0 ) e;2l I REENIE V0 DLQ WERHNEGO SLOQ DAETSQ FORMULOJ

0 V0 (r
z ) = I 2 GDE POLOVENO

Z1 0

e

;z

;2l



;2l + 1 ;k ek e;2l (e;z + ez ) J0 (r) d


(9)

1 ; 0 1 + 0 = k: pREOBRAZUEM POLU^ENNOE WYRAVENIE. tAK KAK jkj < 1, TO MOVNO ZAPISATX 1 k e;2l = X n ;2ln 1 ; k e;2l n=1 k  e I 1 Z1 X I 0 V0 (r
z ) = 2 kn e; (2nl+z) J0 (r) d + n=0 0

1 Z X I 0 + 2 kn e; (2nl;z) J0 (r) d: (90 ) n=1 0 oTS@DA, WOSPOLXZOWAWISX FORMULOJ (8), POLU^IM !

X 1 1 X 1 1 I 0 kn p 2 : kn p 2 V0 (r
z ) = 2 2+ r + ( z + 2 nl ) r + (z ; 2nl)2 n=1 n=0 1

(10)

|TO WYRAVENIE DLQ REENIQ (9) MOVET BYTX SRAZU NAPISANO, ESLI REATX ZADA^U METODOM OTRAVENIJ.

406

priloveniq k glawe IV

pOLAGAQ z = 0, POLU^AEM RASPREDELENIE POTENCIALA NA POWERHNOSTI ZEMLI: # " 1 n X I 1 k 0 V0 (r
0) = 2 r + 2 p 2 (11) 2
n=1 r + (2nl) OTKUDA " # 1 kn r @V0 = ; I0 1 + 2 X 2 2 3=
@r 2 r2 n=1 r + (2nl) ] 2 I DLQ k PO FORMULE (4) IMEEM " X # 1 n r3 k k = 0 1 + 2 2 2 3= = n=1 r + (2nl) ] 2 # " X 1 n (=2)3 k = 0 f ( )
(12) = 0 1 + 2 3= n=1 (=2)2 + n2 ] 2 GDE  = r=l, f ( ) OBOZNA^AET WYRAVENIE W KWADRATNYH SKOBKAH. pRI r  l IMEEM k  = 0 : ~TOBY OCENITX POWEDENIE k PRI BOLXIH r, USTREMIM W FORMULE (12) r ! 1 ( ! 1). pREDEL n-GO ^LENA SUMMY BUDET RAWEN kn , OTKUDA SLEDUET, ^TO

X !   1 2k = n lim  =  1 + 2 k =  1 + 0 0 r!1 k 1;k n=1 k =  1 + 0 + (1 ; 0 ) =  : = 0 11 + ; k 0 1 + 0 ; (1 ; 0) 1 sRAWNIWAQ \KSPERIMENTALXNU@ KRIWU@ S KRIWOJ, ZADAWAEMOJ FORMULOJ (12), MY MOVEM OPREDELITX 0 PO ZNA^ENIQM k PRI MALYH ZNA^ENIQH r I 1 | PO ZNA^ENIQM k PRI BOLXIH ZNA^ENIQH r. mO]NOSTX WERHNEGO PROWODQ]EGO SLOQ l OPREDELQETSQ PODBOROM. oNA RAWNA TOMU ZNA^ENI@ l, PRI KOTOROM \MPIRI^ESKAQ KRIWAQ KAK FUNKCIQ  ( ) = =  (r=l) NAIBOLEE BLIZKO PODHODIT K KRIWOJ, WY^ISLQEMOJ PO FORMULE (12). nA TEHNIKE PODBORA, PROIZWODIMOGO S POMO]X@ BILOGARIFMI^ESKIH MASTABOW, MY NE BUDEM OSTANAWLIWATXSQ 1) . w SLU^AE MNOGOSLOJNYH RAZREZOW KRIWYE DLQ k WY^ISLQ@TSQ ANALOGI^NO. hARAKTER \LEKTRI^ESKOGO RAZREZA SREDY OPREDELQETSQ PRI POMO]I PODBORA TEORETI^ESKOJ KRIWOJ, NAIBOLEE TO^NO APPROKSIMIRU@]EJ \MPIRI^ESKU@ KRIWU@. pRI UWELI^ENII ^ISLA SLOEW TEHNIKA 1) sM., NAPRIMER, PREKRASNU@ KNIGU a. i. z A B O R O W S K O G O

WEDKA (m. l., 1963.)

|LEKTRORAZ-

III. osnownaq zada~a |lektrorazwedki

407

INTERPRETACII WESXMA OSLOVNQETSQ, TAK KAK ^ISLO WSPOMOGATELXNYH TEORETI^ESKIH KRIWYH SILXNO RASTET. oTMETIM, ^TO PRI RAZLI^NYH \LEKTRI^ESKIH RAZREZAH 1 (z ) 6= 6= 2 (z) SOOTWETSTWU@]IE KAVU]IESQ SOPROTIWLENIQ TAKVE RAZLI^ NY: (2) (1) k (r) 6= k (r) SLEDOWATELXNO, ZADA^A OB OPREDELENII \LEKTRI^ESKOGO RAZREZA PO KAVU]EMUSQ SOPROTIWLENI@ S MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ IMEET EDINSTWENNOE REENIE 1) . zADA^I, ANALOGI^NYE RASSMOTRENNOJ ZADA^E \LEKTRORAZWEDKI, WSTRE^A@TSQ W RAZLI^NYH OBLASTQH FIZIKI I TEHNIKI. s \LEKTROSTATI^ESKIMI ZADA^AMI MY WSTRE^AEMSQ PRI KONSTRUIROWANII RAZLI^NYH \LEKTRONNYH PRIBOROW, S TEPLOWYMI I GIDRODINAMI^ESKIMI | WO MNOGIH OBLASTQH TEHNIKI (TEPLOOTDA^A ZDANIJ, FILXTRACIQ WODY POD PLOTINOJ I T. D.) 2) . zADA^I OPREDELENIQ MAGNITNOGO POLQ W NEODNORODNOJ SREDE WSTRE^A@TSQ, NAPRIMER, W MAGNITNOJ DEFEKTOSKOPII. dLQ OPREDELENIQ DEFEKTA W DETALI, NAPRIMER NALI^IQ PUSTOT POD POWERHNOSTX@, METALLI^ESKU@ DETALX POME]A@T MEVDU POL@SAMI MAGNITA I IZMERQ@T MAGNITNOE POLE NA POWERHNOSTI DETALI. pO WOZMU]ENI@ MAGNITNOGO POLQ TREBUETSQ OPREDELITX NALI^IE DEFEKTA, A TAKVE, ESLI WOZMOVNO, RAZMERY DEFEKTA, GLUBINU EGO ZALEGANIQ I T. D. dLQ REENIQ ZADA^ ISPOLXZU@TSQ METODY MODELIROWANIQ, OSNOWANNYE NA PODOBII POTENCIALXNYH POLEJ RAZLI^NOJ FIZI^ESKOJ PRIRODY 3) . w SAMOM DELE, RASSMOTRIM POTENCIALXNYE POLQ W NEODNORODNYH SREDAH RAZLI^NOJ FIZI^ESKOJ PRIRODY (NAPRIMER, STACIONARNOE POLE TEMPERATUR, MAGNITNOE POLE W NEODNORODNOJ SREDE, \LEKTROSTATI^ESKOE POLE, POLE SKOROSTEJ VIDKOSTI PRI FILXTRACII). pOTENCIALXNYE FUNKCII \TIH POLEJ u (x
y
z ) W KAVDOJ ODNORODNOJ OBLASTI UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ lAPLASA u = 0. nA GRANICE OBLASTEJ G1 I G2 S RAZLI^NYMI KO\FFICIENTAMI TEPLOPROWODNOSTI, MAGNITNOJ PRONICAEMOSTI I T. D. WYPOLNQETSQ USLOWIE (1) @u(2)
k1 @u = k 2 @n @n GDE k1 I k2 | SOOTWETSTWU@]IE FIZI^ESKIE POSTOQNNYE. 1) t I H O N O W a. n. o EDINSTWENNOSTI REENIQ ZADA^I \LEKTRORAZWEDKI //

dan. 1949. t. 69,  6. s. 797. 2) p A W L O W S K I J n. n. tEORIQ DWIVENIQ GRUNTOWYH WOD POD GIDROTEHNI^ESKIMI SOORUVENIQMI I EE OSNOWNYE PRILOVENIQ. pG., 1922. gL. XIV. 3) l U K X Q N O W a. w. oB \LEKTROLITI^ESKOM MODELIROWANII PROSTRANSTWENNYH ZADA^ // dan. 1950. t. 75,  5. s. 613|615.

408

priloveniq k glawe IV

pUSTX NA GRANICAH RAWNYH GEOMETRI^ESKIH OBLASTEJ ZADANY ^ISLENNO RAWNYE ZNA^ENIQ POTENCIALOW ILI IH NORMALXNYH PROIZWODNYH RAZLI^NYH FIZI^ESKIH POLEJ. pREDPOLOVIM, ^TO FIZI^ESKIE NEODNORODNOSTI \TIH OBLASTEJ GEOMETRI^ESKI RAWNY I ODINAKOWO RASPOLOVENY OTNOENIQ FIZI^ESKIH POSTOQNNYH (TEPLOPROWODNOSTEJ, MAGNITNYH PRONICAEMOSTEJ I T. D.) L@BOJ PARY SOOTWETSTWENNYH NEODNORODNOSTEJ TOVE RAWNY. tOGDA ^ISLENNYE ZNA^ENIQ POTENCIALOW \TIH POLEJ WO WNUTRENNIH SOOTWETSTWENNYH TO^KAH TAKVE RAWNY, POSKOLXKU QWLQ@TSQ REENIEM ODNOJ I TOJ VE MATEMATI^ESKOJ ZADA^I, IME@]EJ EDINSTWENNOE REENIE.

IV. oPREDELENIE WEKTORNYH POLEJ nARQDU SO SKALQRNYMI ZADA^AMI WO MNOGIH WOPROSAH \LEKTRODINAMIKI I GIDRODINAMIKI ^ASTO WSTRE^A@TSQ ZADA^I OB OPREDELENII WEKTORNOGO POLQ PO ZADANNYM ROTORU I DIWERGENCII \TOGO POLQ. dOKAVEM, ^TO WEKTORNOE POLE A ODNOZNA^NO OPREDELENO WNUTRI NEKOTOROJ OBLASTI G, OGRANI^ENNOJ ZAMKNUTOJ POWERHNOSTX@ S , ESLI ZADANY ROTOR I DIWERGENCIQ POLQ WNUTRI G: rot A = B
(1) div A = C
(2) A NA GRANICE S ZADANA NORMALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ WEKTORA A: An jS = f (M ): (3) oTMETIM, ^TO FUNKCII B, C I f NE MOGUT BYTX ZADANY PROIZWOLXNO. dOLVNY WYPOLNQTXSQ SOOTNOENIQ div B = 0
(4)

ZZ S

f (M ) dS =

ZZZ G

C d:

(5)

fUNKCI@ f BUDEM S^ITATX NEPRERYWNOJ NA POWERHNOSTI S , FUNKCII B I C | NEPRERYWNYMI W G WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI I POWERHNOSTX S | TAKOJ, ^TO DLQ NEE RAZREIMA WTORAQ WNUTRENNQQ KRAEWAQ ZADA^A PRI NEPRERYWNYH GRANI^NYH ZNA^ENIQH. pOSTAWLENNU@ ZADA^U BUDEM REATX W NESKOLXKO \TAPOW. nAJDEM WEKTOR A1 , UDOWLETWORQ@]IJ USLOWIQM rot A1 = 0
(6) div A1 = C: (7) iZ SOOTNOENIQ (6) SLEDUET, ^TO A1 = grad ': (8)

IV. opredelenie wektornyh polej

wZQW FUNKCI@ ' W WIDE

' (P ) = ; 41

ZZZ C (Q) dQ
G

RPQ

409 (9)

MY UDOWLETWORIM I URAWNENI@ (7). oPREDELIM TEPERX WEKTOR A2 TAK, ^TOBY rot A2 = B
(10) div A2 = 0: (11) pOLAGAQ A2 = rot 
(12) MY UDOWLETWORIM USLOWI@ (11). pODSTAWIW (12) W (10), POLU^IM grad div  ;  = B: (13) pOTREBUEM, ^TOBY div  = 0: (14) tOGDA URAWNENIE (13) DLQ WEKTORA  PRIMET WID  = ; B: (15) rASSMOTRIM OBLASTX G1 , CELIKOM SODERVA]U@ OBLASTX G I OGRANI^ENNU@ POWERHNOSTX@ S1 . pRODOLVIM WEKTOR B W OBLASTX G1 ; G, POTREBOWAW WYPOLNENIQ USLOWIJ: 1) NORMALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ Bn WEKTORA B NA GRANICE S NEPRERYWNA (SAM WEKTOR B, WOOB]E GOWORQ, RAZRYWEN): Bni = Bne  2) Bn = 0 NA S1  (16) 3) div B = 0 W G1 ; G. (40 ) uKAVEM, KAK OSU]ESTWITX TAKOE PRODOLVENIE B NA OBLASTX G1 ; ; G. pOLOVIM B = grad  W G1 ; G: uSLOWIE div B = 0 DAET  = 0 W G1 ; G: (17) gRANI^NYE USLOWIQ W SILU 1 I 2 IME@T WID @ = B NA S
(170 ) ni @n @ = 0 NA S
(1700 ) 1 @n

priloveniq k glawe IV

410

GDE Bni | PREDELXNOE ZNA^ENIE Bn NA WNUTRENNEJ STORONE S . dLQ FUNKCII  MY POLU^IM WTORU@ KRAEWU@ ZADA^U (17) | (1700 ). nEOBHODIMOE USLOWIE RAZREIMOSTI Z Z @ \TOJZ ZZADA^I Bn dS = 0 @n dS = S +S1

WYPOLNENO, TAK KAKZ Z S

pOLOVIW

S

Bn dS =

 (P ) = 41

ZZZ G

div B d = 0:

ZZZ B (Q) dQ
G1

RPQ

p

P = P (x
y
z )
Q = Q(

 )
RPQ = (x ;  )2 + (y ; )2 + (z ;  )2
MY, O^EWIDNO, UDOWLETWORIM URAWNENI@ (15). nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO USLOWIE (14) TAKVE WYPOLNENO. w SAMOM DELE, WY^ISLIM PROIZWODNYE @x
@y
@z : @x @y @z pREDSTAWLQQ INTEGRAL PO OBLASTI G1 W WIDE SUMMY INTEGRALOW PO G I G1 ; G I U^ITYWAQ SOOTNOENIE     @ ZZZ Bx d = ZZZ B @ 1 d = ; ZZZ B @ 1 d
x @x R x @ R @x R POSLE INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM BUDEM IMETX @ ZZZ Bx d = ZZZ @Bx 1 d ; Z Z B cos dS
xi R @x R @ R G

G

S

@ ZZZ Bx d = ZZZ @Bx 1 d + Z Z B cos dS ; Z Z B cos 1 dS
xe R x R @x R @ R G1 ;G G1 ;G S S1 GDE cos = cos (nd
x)jS , cos 1 = cos (nd
x)jS1 (n | NAPRAWLENIE WNE-

NEJ NORMALI K POWERHNOSTI). dLQ @x =@x POLU^IM @x = 1 ZZZ @Bx 1 d + 1 Z Z Bxe ; Bxi cos dS ; @x 4 @ R 4 R G1

S

; 41

ZZ S1

Bx cosR 1 dS:

IV. opredelenie wektornyh polej

411

aNALOGI^NYE WYRAVENIQ IME@T MESTO DLQ PROIZWODNYH @y I @z : @y @z oTS@DA SLEDUET, ^TO ZZZ div B Z Z Bn Z Z Bne ; Bni 1 1 1 div  = 4 R d ; 4 R dS + 4 R dS: G1

S1

S

w SILU USLOWIJ (4), (40 ) I (16), A TAKVE NEPRERYWNOSTI NORMALXNYH SOSTAWLQ@]IH WEKTORA B NA S (Bni = Bne ), WEKTOR A2 , OPREDELQEMYJ FORMULOJ (12), UDOWLETWORQET URAWNENI@ (10), ESLI WEKTOR  UDOWLETWORQET USLOWIQM (14) I (15). qSNO, ^TO WEKTOR A1 + A2 UDOWLETWORQET USLOWIQM rot (A1 + A2 ) = B
(18) div (A1 + A2 ) = C: (19) ~TOBY NAJTI WEKTOR A, NAM OSTAETSQ UDOWLETWORITX GRANI^NOMU USLOWI@ (3). dLQ \TOGO NAJDEM WEKTOR A3 , UDOWLETWORQ@]IJ USLOWIQM WNUTRI G rot A3 = 0
(20) div A3 = 0


(21)

I USLOWIQM NA S A3n jS = f (M ) ; A1n jS ; A2n jS = f
(M ): (22) qSNO, ^TO FUNKCIQ f
(M ) OPREDELENA ODNOZNA^NO. iZ URAWNENIQ (20) SLEDUET, ^TO A3 = grad : pODSTAWLQQ \TO ZNA^ENIE A3 W URAWNENIE (21), POLU^IM WNUTRI G  = 0: (23) uSLOWIE (22) DAET  @  = f
(M )
(24) @n S T. E. DLQ OPREDELENIQ FUNKCII  MY POLU^IM WTORU@ KRAEWU@ ZADA^U. pO\TOMU WEKTOR A3 OPREDELITSQ ODNOZNA^NO. tAKIM OBRAZOM, DOKAZANO, ^TO ZADA^A (1) | (3) IMEET EDINSTWENNOE REENIE A = A1 + A2 + A3 :

412

priloveniq k glawe IV

V. pRIMENENIE METODA KONFORMNOGO PREOBRAZOWANIQ

W \LEKTROSTATIKE

1. dLQ REENIQ DWUMERNYH \LEKTROSTATI^ESKIH ZADA^ ^ASTO ISPOLXZUETSQ TEORIQ FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. rASSMOTRIM, NAPRIMER, SLEDU@]U@ ZADA^U \LEKTROSTATIKI. nAJTI \LEKTRI^ESKOE POLE NESKOLXKIH ZARQVENNYH PROWODNIKOW, POTENCIALY KOTORYH RAWNY u1
u2
: : : tAKAQ ZADA^A, KAK IZWESTNO (SM. pRILOVENIE II), PRIWODIT K URAWNENI@ u = 0 (1) S GRANI^NYMI USLOWIQMI ujSi = ui
(2) GDE ^EREZ Si OBOZNA^ENA POWERHNOSTX PROWODNIKA S NOMEROM i. eSLI POLE MOVNO S^ITATX PLOSKIM, NE MENQ@]IMSQ, NAPRIMER, WDOLX OSI z , TO URAWNENIE (1) I GRANI^NYE USLOWIQ PRINIMA@T WID @ 2 u + @ 2 u = 0
(3) @x2 @y2 ujCi = ui
(4) GDE Ci | KONTUR, OGRANI^IWA@]IJ OBLASTX Si . bUDEM ISKATX POTENCIAL u KAK MNIMU@ ^ASTX NEKOTOROJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z ) = v (x
y) + iu (x
y) (z = x + iy)
(5) PRI^EM W SILU USLOWIJ kOI | rIMANA vx = uy
vy = ;ux (6) I vx vy + uxuy = 0: (7) iZ GRANI^NOGO USLOWIQ (4) SLEDUET, ^TO FUNKCIQ f (z ) IMEET POSTOQNNU@ MNIMU@ ^ASTX NA KONTURAH Ci , OGRANI^IWA@]IH NAI PROWODNIKI. oBRA]AQSX K USLOWI@ (6), ZAME^AEM, ^TO URAWNENIE v (x
y) = const (8) 1) PREDSTAWLQET SOBOJ URAWNENIE SEMEJSTWA SILOWYH LINIJ , W TO WREMQ KAK URAWNENIE u (x
y) = const (9) 1) w SAMOM DELE, URAWNENIE SILOWYH LINIJ IMEET WID dx=ux = dy=uy . zAMENIW ux I uy SOGLASNO USLOWIQM (6) NA ;vy I vx , POLU^IM vx dx + vy dy = dv = 0 ILI v (x y) = const:

V. konformnoe preobrazowanie w |lektrostatike

413

W SILU USLOWIQ (7) OPREDELQET SEMEJSTWO \KWIPOTENCIALXNYH LINIJ. tAKIM OBRAZOM, DLQ REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I DOSTATO^NO NAJTI KONFORMNOE PREOBRAZOWANIE w = f (z )
PEREWODQ]EE PLOSKOSTX KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO z = x + iy W PLOSKOSTX w = v + iu
PRI KOTOROM GRANICY PROWODNIKOW PEREHODQT W PRQMYE u = const
ILI Im w = const: eSLI IZWESTNA TAKAQ FUNKCIQ w = f (z ), TO ISKOMYJ POTENCIAL NAHODITSQ PO FORMULE u = u (x
y) = Im f (z ): zNAQ POTENCIAL, MOVNO WY^ISLITX \LEKTRI^ESKOE POLE: @u
E = ; @u Ex = ; @x (10) y @y I PLOTNOSTX POWERHNOSTNYH ZARQDOW NA EDINICU DLINY PO OSI z :

s   

2 q @u 2
+  = 41 Ex2 + Ey2 = 41 @u @x @y KOTORAQ W SILU USLOWIJ kOI | rIMANA RAWNA  = 41 jf 0 (z )j: (11) 2. p O L E P O L U B E S K O N E ^ N O G O P L O S K O G O K O N D E N S A T O R A. nAJDEM POLE KONDENSATORA, OBRAZOWANNOGO BESKONE^NO TONKIMI METALLI^ESKIMI PLASTINAMI y = ;d=2 I y = d=2, PROSTIRA@]IMISQ W OBLASTI x < 0. nE OSTANAWLIWAQSX NA WYWODE KONFORMNOGO PREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]EGO OBLASTX, IZOBRAVENNU@ NA RIS. 68, W SLOJ j Im wj 6 , MY PRIMENQEM EGO NEPOSREDSTWENNO K REENI@ UKAZANNOJ ZADA^I 1) .

pREOBRAZOWANIE

z = 2d (w + ew )

1) sM.:

(w = ' + i)

(12)

f R A N K f., m I Z E S r. dIFFERENCIALXNYE I INTEGRALXNYE URAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. l. m., 1937. t. II, GL. XV, x 5.

414

priloveniq k glawe IV

PEREWODIT PLOSKOSTX z = x + iy S DWUMQ RAZREZAMI (y =  d=2, x < 0) W

rIS. 68

rIS. 69

SLOJ jj 6  PLOSKOSTI w = ' + i (RIS. 69). w KA^ESTWE KOMPLEKSNOGO POTENCIALA WYBEREM FUNKCI@ u0 w
(13) 2 GDE ^EREZ u0 OBOZNA^ENA RAZNOSTX POTENCIALOW MEVDU PLASTINAMI KONDENSATORA, TAK ^TO POTENCIAL \LEKTRI^ESKOGO POLQ WYRAVAETSQ FUNKCIEJ u (x
y) = 2u0 
(14) GDE  SWQZANO S x I y SOOTNOENIQMI 9 x = 2d (' + e' cos )
> = (15)

> y = 2d ( + e' sin ):  nA RIS. 70 IZOBRAVENY \KWIPOTENCIALXNYE I SILOWYE LINII POLUBESKONE^NOGO PLOSKOGO KONDENSATORA.

rIS. 70

pEREJDEM K ISSLEDOWANI@ POLQ KONDENSATORA. iZ FORMUL (15) WIDNO, ^TO PRI ' ! ;1 x 2d '
y 2d 


(16)

V. konformnoe preobrazowanie w |lektrostatike

415

T. E. WNUTRI KONDENSATORA, DALEKO OT KRAEW, POLE QWLQETSQ PLOSKIM, A PRI ' ! + 1 p  = x2 + y2 2d e'
 = arctg xy 
(17) T. E. WNE KONDENSATORA, NA BOLXIH RASSTOQNIQH OT EGO KRAEW, \KWIPOTENCIALXNYE LINII QWLQ@TSQ KRUGAMI. eSLI WMESTO w WWESTI KOMPLEKSNYJ POTENCIAL f = 2u0 w
TAK ^TO w = 2u f
0 TO SWQZX MEVDU z I f (z ) ZADAETSQ URAWNENIEM   z = d uf + 21 e2f=u0
0 OTKUDA SLEDUET dz = d 1 + e2f=u0 
df u0 u 0 A PRI f = 2 ('  i) MY POLU^AEM dz = d (1 ; e' )
ILI f 0 (z ) = u0 : df u d (1 ; e') 0

pOLAGAQ u0 = 1, MY POLU^AEM DLQ PLOTNOSTI ZARQDOW  SOGLASNO FORMULE (11) SLEDU@]EE ZNA^ENIE: 0  = jf 4(z )j = 4d j11; e' j : (18) oTS@DA SLEDUET, ^TO PRI ' ! ;1  1=4d
A PRI ' ! + 1  1=4d e'
T. E. W \TOM SLU^AE PLOTNOSTX ZARQDOW UBYWAET NA WNENEJ STORONE PLASTIN KAK 1=. iZ FORMULY (18) WIDNO, ^TO PRI ' = 0 (NA KRA@ KONDENSATORA)  = 1. w SAMOM DELE, KRAJ PLOSKOJ PLASTINY IMEET BESKONE^NU@ KRIWIZNU, I DLQ TOGO ^TOBY ZARQDITX EGO DO NEKOTOROGO POTENCIALA, NEOBHODIMO POMESTITX NA NEGO BESKONE^NYJ ZARQD. kRUG ZADA^, REAEMYH METODOM KONFORMNOGO PREOBRAZOWANIQ, O^ENX IROK. s EGO POMO]X@ MOVET BYTX USPENO REEN WOPROS O

416

priloveniq k glawe IV

WLIQNII KRAQ TOLSTOJ STENKI PLOSKOGO KONDENSATORA, RQD ZADA^, OTNOSQ]IHSQ K WLIQNI@ IZGIBOW W KONDENSATORE I T. P. kONFORMNOE PREOBRAZOWANIE MOVET BYTX TAKVE PRIMENENO K RAS^ETU DINAMI^ESKIH ZADA^. nEDOSTATKOM IZLOVENNOGO METODA QWLQETSQ TO, ^TO KONFORMNOE PREOBRAZOWANIE PRIMENQETSQ W OSNOWNOM LIX K PLOSKIM ZADA^AM, SWODQ]IMSQ K DWUMERNOMU URAWNENI@ 2 u = 0.

VI. pRIMENENIE METODA KONFORMNOGO PREOBRAZOWANIQ

W GIDRODINAMIKE

1. pRI REENII ZADA^ O D W I V E N I I T W E R D O G O T E L A W V I D K O S T I SU]ESTWENNU@ ROLX IGRA@T GRANI^NYE USLOWIQ NA POWERHNOSTI TELA. w SLU^AE IDEALXNOJ VIDKOSTI GRANI^NOE USLOWIE SOSTOIT W TOM, ^TO PROEKCIQ vn SKOROSTI VIDKOSTI NA NAPRAWLENIE NORMALI K POWERHNOSTI TELA DOLVNA RAWNQTXSQ NORMALXNOJ SOSTAWLQ@]EJ SKOROSTI DWIVENIQ TELA. eSLI TELO NEPODWIVNO, TO GRANI^NOE USLOWIE PRINIMAET PROSTOJ WID vn = 0 NA POWERHNOSTI TELA. eSLI RASSMATRIWAEMOE DWIVENIE POTENCIALXNO, T. E. v = grad '
TO GRANI^NYE USLOWIQ PRINIMA@T WID  @'  = 0 W SLU^AE NEPODWIVNOGO TELA, @n S  @'  = u W SLU^AE TELA, DWIVU]EGOSQ SO SKOROSTX@ u. @n S n kAK IZWESTNO IZ GIDRODINAMIKI, POTENCIAL SKOROSTEJ DLQ NESVIMAEMOJ VIDKOSTI UDOWLETWORQET URAWNENI@ ' = 0: tAKIM OBRAZOM, ZADA^A O POTENCIALXNOM OBTEKANII TWERDOGO TELA POTOKOM NESVIMAEMOJ IDEALXNOJ VIDKOSTI SWODITSQ K REENI@ URAWNENIQ lAPLASA ' = 0 S DOPOLNITELXNYM GRANI^NYM USLOWIEM NA POWERHNOSTI OBTEKAEMOGO TELA  @'  = u
n @n  S

VI. konformnoe preobrazowanie w gidrodinamike

417

T. E. K REENI@ WTOROJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA. eSLI RASSMATRIWAEMOE DWIVENIE PLOSKOE, TO REENIE ZADA^I MOVET BYTX POLU^ENO PRI POMO]I TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. w SLU^AE PLOSKOGO DWIVENIQ NESVIMAEMOJ VIDKOSTI URAWNENIE NEPRERYWNOSTI DAET @vx = @ (;vy ) : (1) @x @y zAPIEM URAWNENIQ LINII TOKA dx = dy vx vy W WIDE vx dy ; vy dx = 0 (2) I WWEDEM FUNKCI@  PRI POMO]I SOOTNOENIJ @ vx = @ @y
vy = ; @x :

tOGDA IZ URAWNENIQ (1) SLEDUET, ^TO LEWAQ ^ASTX WYRAVENIQ (2) QWLQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII : vx dy ; vy dx = d: oDNOPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO KRIWYH  (x
y) = C PREDSTAWLQET SOBOJ LINII TOKA NESVIMAEMOJ VIDKOSTI. eSLI SU]ESTWUET POTENCIAL SKOROSTEJ, TO RAWENSTWO rot v = 0 RAWNOSILXNO URAWNENI@  = 0: iZ WYRAVENIJ DLQ vx I vy SLEDUET @' = @
@' = ; @
@x @y @y @x T. E. FUNKCII ' I  UDOWLETWORQ@T USLOWIQM kOI | rIMANA. sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO w (z ) = ' (x
y) + i (x
y) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ. iTAK, WSQKOE POTENCIALXNOE PLOSKOE DWIVENIE VIDKOSTI SOOTWETSTWUET OPREDELENNOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO, I OBRATNO, WSQKAQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ SWQZANA S OPREDELENNOJ KINEMATI^ESKOJ KARTINOJ DWIVENIQ VIDKOSTI (TO^NEE, S DWUMQ KARTINAMI, TAK KAK FUNKCII ' I  MOVNO POMENQTX ROLQMI). 27 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

418

priloveniq k glawe IV

rASSMOTRIM KONKRETNYE PRIMERY PRIMENENIQ TEORII ANALITI^ESKIH FUNKCIJ K REENI@ ZADA^ OB OBTEKANII TEL PLOSKIM POTOKOM VIDKOSTI. 2. o B T E K A N I E K R U G O W O G O C I L I N D R A. pUSTX NA KRUGOWOJ CILINDR RADIUSA r = a NABEGAET PLOSKIJ POTOK VIDKOSTI, IME@]EJ NA BESKONE^NOSTI POSTOQNNU@ SKOROSTX u. w SLU^AE STACIONARNOGO DWIVENIQ ZADA^U MOVNO OBRATITX I RASSMATRIWATX DWIVENIE CILINDRA S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ u OTNOSITELXNO VIDKOSTI. sWQVEM S CILINDROM NEPODWIVNU@ SISTEMU KOORDINAT I NAPRAWIM OSX Ox PARALLELXNO SKOROSTI DWIVENIQ CILINDRA. nA POWERHNOSTI DWIVU]EGOSQ W VIDKOSTI TELA, O^EWIDNO, WYPOLNQETSQ GRANI^NOE USLOWIE @ = u @y
@s @s GDE ds | \LEMENT DUGI NA KONTURE, OGRANI^IWA@]EM TELO. w SLU^AE POSTUPATELXNOGO DWIVENIQ SO SKOROSTX@ u \TO USLOWIE MOVET BYTX PROINTEGRIROWANO NA POWERHNOSTI TELA I MY POLU^IM  = uy + C NA POWERHNOSTI TELA. iTAK, NAA ZADA^A SWELASX K REENI@ URAWNENIQ  = 0 SO SLEDU@]IMI GRANI^NYMI USLOWIQMI: 1)  = uy + C NA POWERHNOSTI CILINDRA, 2) @=@x I @=@y STREMQTSQ K NUL@ NA BESKONE^NOSTI. pOSLEDNEE USLOWIE OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ dw = @ + i @ = v ; iv dz @y @x x y QWLQETSQ WNE KRUGA C ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ, OBRA]A@]EJSQ W NULX W BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KE. |TO POZWOLQET PREDSTAWITX FUNKCI@ w W WIDE w = C1 ln z ; Cz2 ; Cz 23 + : : : pOLOVIW Ck = Ak + iBk
MY OPREDELIM POSTOQNNYE Ak I Bk IZ GRANI^NOGO USLOWIQ  = ua sin  + C
PEREJDQ K POLQRNYM KOORDINATAM z = a ei .

VI. konformnoe preobrazowanie w gidrodinamike

419

dLQ POSTOQNNYH POLU^A@TSQ WYRAVENIQ A1 = 0
A2 = ua2
B2 = 0
A3 = B3 = 0
B1 = ; 2; : oTS@DA 2 w = 2;i ln z ; u az
2

' = 2;  ; u cos  ar


2  = ; 2; ln r + u sin  ar : pERWYJ ^LEN W WYRAVENII DLQ w WYRAVAET CIRKULQCI@ INTENSIWNOSTI ; WOKRUG CILINDRA. w PROSTEJEM SLU^AE OTSUTSTWIQ CIRKULQCII MY POLU^IM 2 w = ;u az : kOMPLEKSNYJ POTENCIAL DLQ POTOKA, OBTEKA@]EGO NEPODWIVNYJ CILINDR I IME@]EGO NA BESKONE^NOSTI SKOROSTX u, ZAPISYWAETSQ W WIDE 2 w = uz + uaz + 2;i ln z: 3. o B T E K A N I E P L A S T I N K I. pOLU^ENNYE REZULXTATY DLQ OBTEKANIQ KRUGOWOGO CILINDRA POZWOLQ@T REATX ZADA^I OB OBTEKANII PROIZWOLXNYH KONTUROW. pRI \TOM PRIMENQETSQ METOD KONFORMNOGO PREOBRAZOWANIQ. rASSMOTRIM EGO PRIMENENIE NA KONKRETNOJ ZADA^E OB OBTEKANII PLASTINKI.

rIS. 71

pUSTX NA BESKONE^NO DLINNU@ PLASTINKU IRINY 2a, RASPOLOVENNU@ NA OSI Ox (RIS. 71), NABEGAET POSTOQNNYJ PLOSKIJ POTOK, IME@]IJ NA BESKONE^NOSTI SKOROSTX S KOMPONENTAMI u I v. pRI POMO]I ANALITI^ESKOJ FUNKCII  z = a2  + 1 = f ( ) 27


420

priloveniq k glawe IV

MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU OBLASTX@ WNE PLASTINKI NA PLOSKOSTI z I OBLASTX@ WNE KRUGA EDINI^NOGO RADIUSA NA PLOSKOSTI  . pRI \TOM TO^KE z = 1 BUDET SOOTWETSTWOWATX TO^KA  = 1, A dz a d = 2 > 0 PRI  = 1: pOSMOTRIM, KAK IZMENITSQ USLOWIE NA BESKONE^NOSTI. dLQ KOMPLEKSNOGO POTENCIALA w (z ) = ' + i MY IMEEM  dw  = u ; iv = v1 dz z =1

| SOPRQVENNOE ZNA^ENIE KOMPLEKSNOJ SKOROSTI.

nAJDEM ZNA^ENIE KOMPLEKSNOJ SKOROSTI FIKTIWNOGO TE^ENIQ NA PLOSKOSTI  : ! dw dz w ( ) = w f ;1 (z )
dw d = dz d
OTKUDA  dw   a = k v  k=2 : 1 d  =1 iTAK, FIKTIWNOE TE^ENIE PREDSTAWLQET SOBOJ OBTEKANIE CILINDRA EDINI^NOGO RADIUSA POTOKOM, IME@]IM NA BESKONE^NOSTI KOMPLEKSNU@ SKOROSTX kv1 . dLQ TAKOGO DWIVENIQ KOMPLEKSNYJ POTENCIAL IMEET WID w ( ) = kv1  + kv1 + 2;i ln : iZ SOOTNOENIQ z = f ( ) SLEDUET pz2 ; a2 1 z ; pz2 ; a2 z +
: = a = a iSPOLXZUQ \TI SOOTNOENIQ, MY POLU^IM DLQ KOMPLEKSNOGO POTENCIALA VIDKOSTI, OBTEKA@]EJ PLASTINKU, WYRAVENIE p 2 2 ; z + pz 2 ; a2 ! w (z ) = uz ; iv z ; a + 2i ln : a w SLU^AE OTSUTSTWIQ CIRKULQCII \TO WYRAVENIE PRINIMAET WID p w (z ) = uz ; iv z 2 ; a2 :

VI. konformnoe preobrazowanie w gidrodinamike

421

iZ POLU^ENNYH SOOTNOENIJ WIDNO, ^TO SKOROSTX NA KONCAH PLASTINKI DOSTIGAET BESKONE^NO BOLXIH ZNA^ENIJ. w REALXNYH USLOWIQH \TO, KONE^NO, NE IMEET MESTA. nAI REZULXTATY OB_QSNQ@TSQ TEM, ^TO MY S^ITAEM VIDKOSTX IDEALXNOJ. pRIMENQQ TEOREMU bERNULLI, MOVNO NAJTI WYRAVENIE DLQ SILY, DEJSTWU@]EJ NA OBTEKAEMOE VIDKOSTX@ TELO. iZU^ENIEM SIL, S KOTORYMI WOZDUH DEJSTWUET NA DWIVU]EESQ W NEM KRYLO SAMOLETA, ZANIMAETSQ A\RODINAMI^ESKAQ TEORIQ KRYLA. w RAZWITII \TOJ TEORII ISKL@^ITELXNAQ ROLX PRINADLEVIT RUSSKIM I SOWETSKIM U^ENYM, W PERWU@ O^EREDX n. e. vUKOWSKOMU I s. a. ~APLYGINU. w PROSTEJEM SLU^AE BESCIRKULQRNOGO OBTEKANIQ CILINDRA PLOSKIM POTOKOM VIDKOSTI MY POLU^AEM PARADOKSALXNYJ REZULXTAT | POTOK NE OKAZYWAET NA CILINDR NIKAKOGO DEJSTWIQ. w SLU^AE NALOVENIQ NA POSTUPATELXNYJ POTOK CIRKULQCII SKOROSTI WOKRUG CILINDRA WOZNIKAET SILA, DEJSTWU@]AQ NA CILINDR PERPENDIKULQRNO K NAPRAWLENI@ SKOROSTI POTOKA W BESKONE^NOSTI. tEORIQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ MOVET BYTX ISPOLXZOWANA LIX W SLU^AE PLOSKOGO DWIVENIQ. w TREHMERNOM SLU^AE PRIHODITSQ PRIBEGATX K DRUGIM METODAM REENIQ ZADA^I OB OBTEKANII VIDKOSTX@ TWERDOGO TELA. w OB]EM SLU^AE REENIE ZADA^I PREDSTAWLQET BOLXIE TRUDNOSTI. rASSMOTRIM PROSTEJIJ SLU^AJ DWIVENIQ ARA W BEZGRANI^NOJ POKOQ]EJSQ VIDKOSTI S POSTOQNNOJ SKOROSTX@. zADA^A ZAKL@^AETSQ W REENII URAWNENIQ ' = 0 WNE ARA S GRANI^NYM USLOWIEM  @'  = u cos  NA POWERHNOSTI ARA @n r=a I @' = @' = @' = 0 W BESKONE^NOSTI. @x @y @z rEENIE I]EM W WIDE  ' = A cos r2 : iSPOLXZUQ GRANI^NOE USLOWIE, POLU^AEM 3 ' = ; ua 2 2r cos 
^TO I DAET REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I. wO WSEH RASSMOTRENNYH SLU^AQH MY S^ITALI VIDKOSTX IDEALXNOJ. dLQ WQZKOJ VIDKOSTI GRANI^NYE USLOWIQ IZMENQ@TSQ. nA POWERHNOSTI TELA DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE PRILIPANIQ, A IMENNO: W TO^KAH TWERDOJ GRANICY SKOROSTX VIDKOSTI PO WELI^INE I NAPRAWLENI@ DOLVNA SOWPADATX SO SKOROSTX@ SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI GRANICY.

422

priloveniq k glawe IV

zADA^I OBTEKANIQ TEL WQZKOJ VIDKOSTX@ PRIWODQT K BOLXIM MATEMATI^ESKIM TRUDNOSTQM. w RAZWITII \TOJ OBLASTI GIDRODINAMIKI BOLXU@ ROLX SYGRALI TEORII POGRANI^NOGO SLOQ.

VII. bIGARMONI^ESKOE URAWNENIE w pRILOVENII II K GL. II BYLO POLU^ENO URAWNENIE POPERE^NYH KOLEBANIJ STERVNQ @ 2 u + a2 @ 4 u = 0: (1) @t2 @x4 zADA^A O KOLEBANII TONKOJ PLASTINKI, SWOBODNOJ OT NAGRUZKI I ZAKREPLENNOJ NA KRAQH, TAKVE PRIWODIT K ANALOGI^NOMU URAWNENI@ 1)   @ 2 u + a2 @ 4 u + @ 4 u + 2 @ 4 u = 0
ILI @ 2 u + a2 u = 0
(2) @t2 @x4 @y4 @x2 @y2 @t2 I GRANI^NYM USLOWIQM @u = 0 NA GRANICE: u = 0 I @n (3) kROME TOGO, FUNKCIQ u DOLVNA UDOWLETWORQTX NA^ALXNYM USLOWIQM @u (x
y
0) =  (x
y): u (x
y
0) = ' (x
y)
(4) @t eSLI NA PLASTINKU DEJSTWUET WNENQQ SILA, RASPREDELENNAQ S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ f (x
y), TO STATI^ESKIJ PROGIB ZAKREPLENNOJ PO KRAQM PLASTINKI BUDET OPREDELQTXSQ IZ URAWNENIQ u = f (5) PRI GRANI^NYH USLOWIQH (3) @u = 0: u = 0 I @n uRAWNENIE u = 0 (50 ) NAZYWAETSQ B I G A R M O N I ^ E S K I M, A EGO REENIQ, IME@]IE PROIZWODNYE DO 4-GO PORQDKA WKL@^ITELXNO, NAZYWA@TSQ B I G A R M O N I ^ E S K IM I F U N K C I Q M I. oSNOWNAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ BIGARMONI^ESKOGO URAWNENIQ STAWITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. nAJTI FUNKCI@ u (x
y)
NEPRERYWNU@ WMESTE S PERWOJ PROIZWODNOJ W ZAMKNUTOJ OBLASTI S + C
IME@]U@ PROIZWODNYE DO 4-GO 1)

s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. m., 1981. t. IV, ^. 2.

VII. bigarmoni~eskoe urawnenie

423

PORQDKA W S
UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ (5) ILI (50 ) WNUTRI S I GRANI^NYM USLOWIQM NA C  @u  ujC = g (s)
(6) @n C = h (s)
GDE g (s) I h (s) | NEPRERYWNYE FUNKCII DUGI s. pRI REENII SFORMULIROWANNOJ WYE ZADA^I (2) | (4) S NA^ALXNYMI USLOWIQMI METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH POLAGA@T, KAK OBY^NO, u (x
y
t) = v (x
y) T (t): (7) pODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W URAWNENIE (2) I RAZDELQQ PEREMENNYE, MY PRIHODIM K ZADA^E OB OTYSKANII SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ URAWNENIQ v ; v = 0 (8) PRI GRANI^NYH USLOWIQH @v = 0 NA C . v = 0
@n (9) 1. eDINSTWENNOSTX REENIQ. dOKAVEM, ^TO BIGARMONI^ESKOE URAWNENIE u = 0 PRI GRANI^NYH USLOWIQH  @u ujC = g (s)
@n  = h (s) (30 ) C IMEET EDINSTWENNOE REENIE. pUSTX SU]ESTWUET DWA REENIQ u1 I u2 . rASSMOTRIM IH RAZNOSTX v = u1 ; u2 : fUNKCIQ v UDOWLETWORQET BIGARMONI^ESKOMU URAWNENI@ (50 ) I ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIQM  @v vjC = 0
@n  = 0: C pRIMENQQ FORMULU gRINA ZZ Z  @' @  ('   ; '  ) dS =  @n ; ' @n ds G

C

K FUNKCIQM ' = v,  = v, POLU^AEM ZZ (v)2 dS = 0
G

424

priloveniq k glawe IV

OTKUDA

v = 0: pRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO vjC = 0, POLU^AEM v  0 I u1  u2 : sLEDOWATELXNO, BIGARMONI^ESKAQ FUNKCIQ ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ GRANI^NYMI USLOWIQMI (30 ).

2. pREDSTAWLENIE BIGARMONI^ESKIH FUNKCIJ ^EREZ GARMONI^ESKIE FUNKCII. dOKAVEM SLEDU@]U@ TEOREMU.

eSLI u1 I u2 | DWE GARMONI^ESKIE W NEKOTOROJ OBLASTI G FUNKCII
TO FUNKCIQ u = xu1 + u2 BIGARMONI^NA W OBLASTI G. dLQ DOKAZATELXSTWA WOSPOLXZUEMSQ TOVDESTWOM  @ @' @   (') = '  +  ' + 2 @' (10) @x @x + @y @y : pOLOVIW ' = x
 = u1
NAJDEM 1  (xu1 ) = 2 @u (11) @x : pRIMENQQ E]E RAZ OPERATOR  I U^ITYWAQ, ^TO u2 = 0, POLU^IM  (xu1 + u2 ) = 0: eSLI OBLASTX G TAKOWA, ^TO KAVDAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ OSI x, PERESEKAET EE GRANICU NE BOLEE ^EM W DWUH TO^KAH, TO IMEET MESTO OBRATNAQ TEOREMA. dLQ KAVDOJ ZADANNOJ W OBLASTI G BIGARMONI^ESKOJ FUNKCII u NAJDUTSQ TAKIE GARMONI^ESKIE FUNKCII u1 I u2
^TO u = xu1 + u2 : dLQ DOKAZATELXSTWA \TOGO UTWERVDENIQ, O^EWIDNO, DOSTATO^NO USTANOWITX WOZMOVNOSTX WYBORA FUNKCII u1 , UDOWLETWORQ@]EJ DWUM USLOWIQM: u1 = 0
(12)  (u ; xu1 ) = 0: iZ USLOWIQ (13) I FORMULY (11) SLEDUET

1 u =  (xu1 ) = 2 @u @x :

(13) (14)

VII. bigarmoni~eskoe urawnenie

425

uRAWNENI@ (14) UDOWLETWORQET FUNKCIQ u1 (x
y) =

tAK KAK

Zx 1

x0

2 u (
y) d:

@ u =  @ u = 1 u = 0
@x 1 @x 1 2 TO u1 ZAWISIT TOLXKO OT y: u1 = v (y): oPREDELIM FUNKCI@ u1 (y) TAK, ^TOBY 2 u1 = @@yu21 = ;v (y)
I POLOVIM u1 = u1 + u1 . |TA FUNKCIQ, O^EWIDNO, BUDET UDOWLETWORQTX OBOIM USLOWIQM (12) I (13). rASSMOTRIM DRUGOJ WID PREDSTAWLENIQ BIGARMONI^ESKIH FUNKCIJ. dOPUSTIM, ^TO NA^ALO KOORDINAT WYBRANO WNUTRI OBLASTI G I ^TO L@BOJ LU^, WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT, PERESEKAET GRANICU OBLASTI G W ODNOJ TO^KE. tOGDA L@BAQ BIGARMONI^ESKAQ W G FUNKCIQ u MOVET BYTX PREDSTAWLENA S POMO]X@ DWUH GARMONI^ESKIH FUNKCIJ u1 I u2 W WIDE u = (r2 ; r02 ) u1 + u2: (15) 2 2 2 zDESX r = x + y , A r0 | ZADANNAQ POSTOQNNAQ. dANNOE UTWERVDENIE DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO PREDYDU]EMU S POMO]X@ TOVDESTWA (10) I SOOTNOENIJ @u1 = @u1 @x + @u1 @y : r2 = 4
@r @x @r @y @r 3. rEENIE BIGARMONI^ESKOGO URAWNENIQ DLQ KRUGA. rASSMOTRIM KRUG RADIUSA r0 S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT I BUDEM ISKATX BIGARMONI^ESKU@ FUNKCI@, UDOWLETWORQ@]U@ PRI r = r0 GRANI^NYM USLOWIQM (6). kAK BYLO UKAZANO WYE, ISKOMU@ FUNKCI@ MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMY (15) u = (r2 ; r02 ) u1 + u2
GDE u1 I u2 | GARMONI^ESKIE FUNKCII. iZ GRANI^NYH USLOWIJ NAHODIM u2jr=r0 = g: (16) oTS@DA WIDNO, ^TO u2 ESTX REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA, I ONO MOVET BYTX PREDSTAWLENO S POMO]X@ INTEGRALA

priloveniq k glawe IV

426

pUASSONA: u2 = 21

Z2 0

(r02 ; r2 ) g d r2 + r02 ; 2rr0 cos ( ; ) :

(17)

iZ WTOROGO GRANI^NOGO USLOWIQ POLU^AEM  @u 2 2r0 u1 + @r  = h: (18) r=r0 nETRUDNO UBEDITXSQ NEPOSREDSTWENNYM DIFFERENCIROWANIEM, ^TO FUNKCIQ 2 (19) 2r0 u1 + rr @u @r 0 UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA I PO\TOMU MOVET BYTX WYRAVENA INTEGRALOM pUASSONA: 2= 1 2r0 u1 + rr @u @r 2 0

Z2 0

(r02 ; r2 ) h d r2 + r02 ; 2rr0 cos ( ; ) :

(20)

pRODIFFERENCIROWAW (17) PO r I PODSTAWIW ZNA^ENIE @u2 =@r W FORMULU (20), NAJDEM u1 . zAMENIW W FORMULE (15) u1 I u2 IH WYRAVENIQMI, POLU^IM

2 Z2

1 (r2 ; r2 )2 4 1 u = 2r 0 2 0

r2 + r02 0

;h d

; 2rr0 cos ( ; ) + Z2 g r0 ; r cos ( ; )] d 3 + r2 + r2 ; 2rr cos ( ; )]2 5 : 0 0 0

glawa V

rasprostranenie woln w prostranstwe w \TOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ ZADA^A S NA^ALXNYMI DANNYMI (ZADA^A kOI) DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ 2 u = a12 @@tu2 ; f
u = u(M
t)
(1) W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE (M = M (x
y
z )) I NA PLOSKOSTI (M = = M (x
y)).

x 1. zADA^A S NA^ALXNYMI USLOWIQMI

1. uRAWNENIE KOLEBANIJ W PROSTRANSTWE. pROSTEJIM URAWNENIEM GIPERBOLI^ESKOGO TIPA QWLQETSQ URAWNENIE KOLEBANIJ (1), KOTOROE W FIZIKE ^ASTO NAZYWA@T URAWNENIEM dALAMBERA. w GL. II BYLO POKAZANO, ^TO URAWNENIE (1) OPISYWAET PROCESS RASPROSTRANENIQ ZWUKA W GAZE, PROCESS KOLEBANIJ MEMBRANY W \TOM SLU^AE (1) IMEET WID 2 u = uxx + uyy = a12 utt ; f (x
y
t):

k URAWNENI@ (1) PRIWODQT TAKVE ZADA^I O RASPROSTRANENII \LEKTROMAGNITNYH POLEJ W NEPROWODQ]EJ SREDE I ZADA^I TEORII UPRUGOSTI (SM. pRILOVENIE I K GL. V). dLQ URAWNENIQ (1) RASSMATRIWA@TSQ ZADA^A S NA^ALXNYMI DANNYMI (ZADA^A kOI) W BESKONE^NOM PROSTRANSTWE I KRAEWYE ZADA^I W OGRANI^ENNOJ OBLASTI. w \TOJ GLAWE MY BUDEM RASSMATRIWATX ZADA^U kOI W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. nAJTI REENIE URAWNENIQ u = a12 utt ; f (M
t)
M = M (x
y
z )
(1) PRI t > 0
;1 < x
y
z < 1


428

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM u(M
0) = '(M )
ut (M
0) = (M ) PRI t = 0
(2) GDE f , ',  | ZADANNYE FUNKCII. rEENIEM URAWNENIQ (1) W NEKOTOROJ OBLASTI PRI t > 0 BUDEM NAZYWATX FUNKCI@ u(M
t), NEPRERYWNU@ WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI, WHODQ]IMI W URAWNENIE (1) WO WSEH TO^KAH RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI I DLQ WSEH t > 0. rASSMOTRIM ^ASTNYE REENIQ ODNORODNOGO URAWNENIQ u = a12 utt


(3)

OBLADA@]IE CENTRALXNOJ SIMMETRIEJ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ TO^KI M0, T. E. REENIQ WIDA u(M
t) = u(r
t)
GDE r = rMM0 | RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI M I M0 . w \TOM SLU^AE URAWNENIE KOLEBANIJ (3) SWODITSQ K ODNOMERNOMU URAWNENI@ DLQ FUNKCII v = ru:

vrr = a12 vtt : (4) w SAMOM DELE, ESLI u = u(r
t), TO OPERATOR lAPLASA W SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT S CENTROM W TO^KE M0 (SM. GL. IV, x 1, P. 3) MOVET BYTX PREOBRAZOWAN K WIDU  @u  1 @ 2 @ 1 u = r2 @r r2 @r = r @r2 (ru)
W ^EM MOVNO UBEDITXSQ DIFFERENCIROWANIEM. pO\TOMU URAWNENIE (3) PRINIMAET WID 1r (ru)rr = a12 utt . wWODQ ZATEM FUNKCI@ v = ru, POLU^AEM DLQ NEE URAWNENIE (4). eSLI FUNKCIQ u(r
t) OGRANI^ENA PRI r = 0, TO FUNKCIQ v = ru OBRA]AETSQ W NULX PRI r = 0, v(0
t) = 0. pO\TOMU ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQ (3) S NA^ALXNYMI DANNYMI u(r
0) = '(r)
ut (r
0) = (r) (5) SWODITSQ K ZADA^E O KOLEBANIQH POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY (0 6 r < 1) S ZAKREPLENNYM KONCOM r = 0: vrr = a12 vtt
v(r
0) = r'(r)
vt (r
0) = r(r)
v(0
t) = 0
RASSMOTRENNOJ W GL. II. oB]EE REENIE URAWNENIQ (4) IMEET WID     v(r
t) = f1 t ; ar + f2 t + ar


(6)

x 1]

zada~a s na~alxnymi uslowiqmi

I, SLEDOWATELXNO,







429



u(r
t) = 1r f1 t ; ar + 1r f2 t + ar
GDE f1 ( ) I f2 ( ) | PROIZWOLXNYE DWAVDY DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII. ~ASTNYE REENIQ URAWNENIQ (3)     u1 = 1r f1 t ; ar I u2 = 1r f2 t + ar NAZYWA@TSQ SFERI^ESKIMI WOLNAMI u1 (r
t) ESTX RASHODQ]AQSQ SFERI^ESKAQ WOLNA, u2 (r
t) | SHODQ]AQSQ W TO^KU r = 0 SFERI^ESKAQ WOLNA, a | SKOROSTX RASPROSTRANENIQ WOLN. w OTLI^IE OT PLOSKIH WOLN f (t   x=a) SFERI^ESKAQ WOLNA UBYWAET OBRATNO PROPORCIONALXNO RASSTOQNI@ OT CENTRA. tAKIM OBRAZOM, OB]EE REENIE URAWNENIQ (3) W SLU^AE CENTRALXNOJ SIMMETRII PREDSTAWLQETSQ W WIDE SUMMY DWUH SFERI^ESKIH WOLN. u^ITYWAQ USLOWIE v(0
t) = 0, NAHODIM 0 = f1 (t) + f2 (t) ILI f2 (t) = = ;f1 (t) = f (t) DLQ WSEH ZNA^ENIJ t, T. E.  r 1  r 1 u(r
t) = r f t + a ; r f t ; a (7) I, W ^ASTNOSTI,

u(0
t) = a2 f 0 (t): (70 ) 2. mETOD USREDNENIQ. rASSMOTRIM W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE ZADA^U kOI ) utt = a2 u = a2 (uxx + uyy + uzz )
;1 < x
y
z < 1
t > 0 (8) u(M
0) = '(M )
ut (M
0) = (M )
M = M (x
y
z ): pREDPOLOVIM, ^TO REENIE \TOJ ZADA^I SU]ESTWUET, I NAJDEM DLQ NEGO INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE. pUSTX M0 (x0
y0
z0 ) | FIKSIROWANNAQ TO^KA. wWEDEM SFERI^ESKU@ SISTEMU KOORDINAT (r

') S NA^ALOM W TO^KE M0 . rASSMOTRIM FUNKCI@ 1 u(r
t) = Mr u] = 4r 2

ZZ Sr

u dS = 41

ZZ Sr

u d&

(dS = r2 d&)
(9)

QWLQ@]U@SQ SREDNIM ZNA^ENIEM u NA SFERE Sr RADIUSA r S CENTROM W TO^KE M0 , d& = sin  d d'. iZ (9) WIDNO, ^TO u(M0
t0 ) = u(0
t0 ): (10)

rasprostranenie woln w prostranstwe

430

gl. V

pOKAVEM, ^TO FUNKCIQ ru(r
t) = v, OBLADA@]AQ SFERI^ESKOJ SIMMETRIEJ OTNOSITELXNO TO^KI M0 , UDOWLETWORQET URAWNENI@ (4). pROINTEGRIRUEM URAWNENIE (8) PO OB_EMU ARA Kr , OGRANI^ENNOGO SFEROJ Sr :

ZZZ

ZZZ u d = a12 utt d:

Kr

Kr

dLQ PREOBRAZOWANIQ LEWOJ ^ASTI POLU^ENNOGO RAWENSTWA ISPOLXZUEM PERWU@ FORMULU gRINA (SM. GL. IV) PRI v = 1, u = u(r
t) I U^TEM, ^TO NORMALX K Sr NAPRAWLENA PO RADIUSU (@u=@n = @u=@r):

ZZZ Kr

1

a2

ZZZ Kr

2Z Z 3 Z Z @u @ 2 2 4 u d&5 = 4r2 @ u
u d = @r r d& = r @r @r Sr

Sr

2

3

(11)

ZZ Z 2 Z 1 @ 4  2 4 5 utt d = a2 @t2  d u d& = a2 utt(
t) 2 d: (12) r

r

Sr

0

0

dIFFERENCIRUQ (11) I (12) PO r I POLAGAQ v = ru, POLU^AEM (4). iZ FORMULY (70 ) SLEDUET, ^TO u(M0
t0 ) = u(0
t0 ) = a2 f 0 (t0 ):

(13)

wYRAZIM f ^EREZ ' I . pOSLE DIFFERENCIROWANIQ u = 1=r  f (t + + r=a) ; f (t ; r=a)] PO r I t NAJDEM (ru)r + 1=a  (ru)t = 2=a  f 0 (t + + r=a) = 2=a  f 0 (t0 ) PRI t = 0 I r = at0 . oTS@DA I IZ (13) I (9) SLEDUET

2

3

ZZ Z Z @u @ 1 1 4 ru d& + a r @t d&5 u(M0
t0 ) = 4 @r Sr

Sr

:

(14)

r=at0  t=0

3. fORMULA pUASSONA. pOLXZUQSX NA^ALXNYMI USLOWIQMI (8) I OPUSKAQ INDEKS 0 PRI M0 , t0 , POLU^AEM IZ (14) FORMULU pUASSONA

2

3

@ t Z Z '(P ) d& + t Z Z (P ) d& 5 u(M
t) = 41 4 @t P P Sat

Sat

(15)

(dSP = (at)2 d&P )


KOTORU@, U^ITYWAQ (9), MOVNO ZAPISATX W WIDE @ tM '] + tM ]
u(M
t) = @t at at

(16)

x 1]

GDE

zada~a s na~alxnymi uslowiqmi

431

ZZ ZZ 1 1 Mat '] = 4 ' d& = 4a2 t2 ' dS:

(17)

M Sat

M Sat

zDESX SatM = Sat | SFERA RADIUSA at S CENTROM W TO^KE M . pUSTX u | REENIE ZADA^I (8) PRI ' = 0, u (M
t) = tMat]: (18) iZ (16) WIDNO, ^TO REENIE ZADA^I (8) MOVNO ZAPISATX W WIDE @ u +u
u(M
t) = @t (19) '

GDE u' = tMat ']1) : (180 ) iZ FORMULY pUASSONA, POLU^ENNOJ W PREDPOLOVENII SU]ESTWOWANIQ REENIQ ZADA^I (8), SLEDUET EDINSTWENNOSTX UKAZANNOGO REENIQ. w SAMOM DELE, PREDPOLAGAQ, ^TO ZADA^A kOI IMEET DWA REENIQ u1 I u2, POLU^IM DLQ IH RAZNOSTI NA^ALXNYE USLOWIQ ' = 0,  = 0. pRIMENQQ K FUNKCII u = u1 ; u2 PREDYDU]IE RASSUVDENIQ, PRIHODIM K FORMULE (15), W KOTOROJ ' = 0,  = 0 I, SLEDOWATELXNO, u  0, ILI u1   u2 . pOKAVEM, ^TO FUNKCIQ u(M
t), OPREDELQEMAQ FORMULOJ pUASSONA, W SAMOM DELE DAET REENIE ZADA^I kOI (8), ESLI '(x
y
z ) NEPRERYWNA WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI DO TRETXEGO PORQDKA, A (x
y
z ) | DO WTOROGO PORQDKA WKL@^ITELXNO. dOKAZATELXSTWO PROWEDEM, PREDPOLAGAQ SNA^ALA, ^TO ' = 0, T. E. u = u . wWEDEM NOWYE PEREMENNYE ,  ,  , POLOVIW  = x + at ,  = y + at ,  = z + at . oTS@DA WIDNO, ^TO ,  ,  | NAPRAWLQ@]IE KOSINUSY RADIUSA-WEKTORA TO^KI P (

 ) SFERY Sat ( = cos(r
x) I 2T. D.).2 tOGDA INTEGRAL PO Sat PREOBRAZUETSQ W INTEGRAL PO SFERE S 1 ( +  +  2 = 1) EDINI^NOGO RADIUSA, PRI^EM dS1 = d&1 = dS=a2 t2 , A POD ZNAKOM INTEGRALA (15) BUDET (x + at
y + at
z + at ) = (

 ): nETRUDNO ZAMETITX, ^TO ZZ t u = 4 (

 ) dS1
(20) S1

ZZ t ( +  +  ) dS1 = u = (u )xx + (u )yy + (u )zz = 4 S1

1)

sR. (19) S FORMULOJ dALAMBERA.

rasprostranenie woln w prostranstwe

432

ZZ t  d&
= 4 Sat

gl. V

(21)

TAK KAK xx =  I T. D. pRI DIFFERENCIROWANII PO t POD ZNAKOM INTEGRALA (20) POLU^IM @ = a ( +   +   ) = a @
   @t @r Z Z @ 2 Z Z @ u v at 1

(u )t = t + t
v = 4 @r dS1 = 4a @r dS: (22) S1

Sat

dIFFERENCIRUQ (22) PO t, NAJDEM (t(u )t )t = t(u )tt + (u )t = (u )t +

+ vt , T. E.

(u )tt = 1t vt :

pERWAQ FORMULA gRINA DAET

(23)

Z Z @ ZZZ Z ZZ 1 1 1 2  d = 4a  d  dS
(24) v = 4a @r dS = 4a Sat

Kat

at

0

S

GDE Kat | AR RADIUSA at, S | SFERA RADIUSA  S CENTROM W TO^KE M (x
y
z ). wY^ISLIM PROIZWODNU@, POLXZUQSX PRI \TOM RAWENSTWOM

(21):

2 t2 Z Z a vt = 4  dS = a2 tu :

Sat

oTS@DA I IZ (23) SLEDUET (u )tt = a2 u , T. E. u UDOWLETWORQET URAWNENI@ (8). nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO FUNKCIQ @u'=@t TAKVE UDOWLETWORQET URAWNENI@ (8), ESLI IMEET PROIZWODNYE DO TRETXEGO PORQDKA WKL@^ITELXNO. pOKAVEM, ^TO u , OPREDELQEMAQ FORMULOJ (20), UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM. fORMULY (20), (22) DA@T u (M
0) = 0, tlim u =t = !0 = (M ), tlim v=t = 0, TAK KAK FUNKCIQ  NEPRERYWNA I WSE INTEGRALY !0 OGRANI^ENY. pO\TOMU, SOGLASNO (22), (u )t = 1=t  u + 1=t  v0 ! (M ) PRI t ! 0 I, ANALOGI^NO, u' ! 0 PRI t ! 0. iZ FORMULY (18 ) DLQ u' WIDNO, ^TO (u' )tt = 0 PRI t = 0 I, SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ (16) UDOWLETWORQET USLOWIQM (8). tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO FORMULA pUASSONA (16) OPREDELQET REENIE ZADA^I kOI (8). iZ FORMULY (16) NEPOSREDSTWENNO WIDNA NEPRERYWNAQ ZAWISIMOSTX REENIQ ZADA^I kOI OT NA^ALXNYH DANNYH.

x 1]

zada~a s na~alxnymi uslowiqmi

433

4. mETOD SPUSKA. pOLU^ENNAQ W PREDYDU]EM PUNKTE FORMULA

(19) DAET REENIE W PROSTRANSTWE (x
y
z ) ODNORODNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ S NA^ALXNYMI USLOWIQMI, QWLQ@]IMISQ, WOOB]E GOWORQ, PROIZWOLXNYMI FUNKCIQMI PEREMENNYH x, y I z . eSLI NA^ALXNYE FUNKCII ' I  NE ZAWISQT OT z , TO, O^EWIDNO, I FUNKCIQ u, DAWAEMAQ FORMULOJ (19), TAKVE NE BUDET ZAWISETX OT PEREMENNOGO z . sLEDOWATELXNO, \TA

FUNKCIQ BUDET UDOWLETWORQTX URAWNENI@ uxx + uyy ; a12 utt = 0 I NA^ALXNYM USLOWIQM u(x
y
0) = '(x
y)
ut(x
y
0) = (x
y): tAKIM OBRAZOM, FORMULA, DA@]AQ REENIE PROSTRANSTWENNOJ ZADA^I, POZWOLQET TAKVE REITX ZADA^U DLQ PLOSKOSTI. w FORMULE (15) INTEGRIROWANIE PROISHODIT PO SFERE SatM . w SILU NEZAWISIMOSTI NA^ALXNYH DANNYH OT z INTEGRIROWANIE PO WERHNEJ POLUSFERE MOVNOM ZAMENITX INTEGRIROWANIEM PO KRUGU at , POLU^A@]EMUSQ PRI PERESE^ENII SFERY SatM S PLOSKOSTX@ (x
y) (RIS. 72). |LEMENT POWERHNOSTI dS SWQZAN S \LEMENTOM PLOSKOSTI d SOOTNOENIEM d = dS cos 
GDE p(at)2 ; 2 = cos  = atp (at)2 ; (x ;  )2 ; (y ; )2 = : rIS. 72 at tO VE OTNOSITSQ K INTEGRIROWANI@ PO NIVNEJ POLUSFERE SLEDOWATELXNO, INTEGRAL PO KRUGU SLEDUET WZQTX DWAVDY. w REZULXTATE MY PRIHODIM K FORMULE

2 1 6@ ZZ p '(
) d d u(M
t) = u(x
y
t) = 2a 4 @t 2 ; (x ;  )2 ; (y ;  )2 + ( at ) M at 3 ZZ p(at)2 ;((
x ;)d)2 d; (y ; )2 75
+ M at

(25)

W KOTOROJ INTEGRIROWANIE PROIZWODITSQ PO WNUTRENNOSTI KRUGA RADIUSA at S CENTROM W TO^KE (x
y). 28 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

434

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

aNALOGI^NO, ESLI NA^ALXNYE FUNKCII ' I  ZAWISQT TOLXKO OT ODNOGO PEREMENNOGO x, TO FORMULA (19) POZWOLQET NAJTI FUNKCI@ u(x
t), QWLQ@]U@SQ REENIEM URAWNENIQ uxx ; a12 utt = 0 S NA^ALXNYMI DANNYMI u(x
0) = '(x)
ut (x
0) = (x): dLQ \TOGO WWEDEM SFERI^ESKU@ SISTEMU KOORDINAT, NAPRAWIW POLQRNU@ OSX PO OSI x. |LEMENT POWERHNOSTI dS WYRAZITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: dS = r2 sin  d d' = ;r d' d
TAK KAK  = x + r cos 
d = ;r sin  d: iNTEGRIRUQ W FORMULE pUASSONA (15) PO UGLU ', POLU^IM 2 xZ+at 3 xZ+at 1 @ u(x
t) = 2a 4 @t '( ) d + ( ) d 5 : x;at x;at wYPOLNQQ W PERWOM INTEGRALE DIFFERENCIROWANIE PO t, PRIHODIM K IZWESTNOJ IZ GL. II, x 2 FORMULE dALAMBERA xZ+at u(x
t) = '(x + at) +2 '(x ; at) + 21a ( ) d: (26) x;at uRAWNENIQ KOLEBANIJ S TREMQ, DWUMQ I ODNIM PROSTRANSTWENNYM ARGUMENTOM ^ASTO NAZYWA@T SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI SFERI^ESKIH, CILINDRI^ESKIH I PLOSKIH WOLN. |TA TERMINOLOGIQ WPOLNE SOOTWETSTWUET PRIMENENNOMU WYE METODU, NAZYWAEMOMU METODOM SPUSKA, POSKOLXKU PRI REENII URAWNENIQ KOLEBANIJ NA PLOSKOSTI I NA PRQMOJ MY ISHODILI IZ PROSTRANSTWENNOJ ZADA^I, KAK BY SPUSKAQSX K MENXEMU ^ISLU PEREMENNYH. pOLU^ENNYE REENIQ DLQ DWUH I ODNOGO PEREMENNOGO NOSQT HARAKTER CILINDRI^ESKIH I PLOSKIH WOLN. mETOD SPUSKA PRIMENIM NE TOLXKO K URAWNENI@ KOLEBANIJ, NO I K DRUGIM TIPAM URAWNENIJ I POZWOLQET W RQDE SLU^AEW IZ FORMULY, OPREDELQ@]EJ REENIE URAWNENIQ DLQ MNOGIH PEREMENNYH, IZWLE^X REENIE ZADA^I DLQ URAWNENIQ S MENXIM ^ISLOM NEZAWISIMYH PEREMENNYH. 5. fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ. fORMULY (15) I (25) DA@T WOZMOVNOSTX WYQSNITX FIZI^ESKU@ KARTINU RASPROSTRANENIQ SFERI^ESKIH I CILINDRI^ESKIH WOLN. nA^NEM SO SLU^AQ TREH PEREMENNYH, DLQ KOTOROGO FIZI^ESKIJ HARAKTER PROCESSA RASPROSTRANENIQ SU]ESTWENNO OTLI^AETSQ, KAK MY UWIDIM IZ DALXNEJEGO, OT SLU^AQ DWUH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH.

x 1]

zada~a s na~alxnymi uslowiqmi

435

oGRANI^IMSQ IZU^ENIEM RASPROSTRANENIQ LOKALXNOGO WOZMU]ENIQ, KOGDA NA^ALXNOE SOSTOQNIE (FUNKCII ' > 0 I  > 0) OTLI^NO OT NULQ TOLXKO W NEKOTOROJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI T0. rASSMOTRIM SNA^ALA IZMENENIE SOSTOQNIQ u(M0
t) W TO^KE M0 , LEVA]EJ WNE OBLASTI T0 (RIS. 73). sOSTOQNIE u W TO^KE M0 W MOMENT WREMENI t OPREDELQETSQ W SILU (15) NA^ALXNYM SOSTOQNIEM W TO^KAH, LEVA]IH NA SFERE SatM0 RADIUSA at S CENTROM W M0. fUNKCIQ u(M0
t) OTLI^NA OT NU LQ TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI SFERA SatM0 PERESEKAET OBLASTX NA^ALXNYH ZNA^ENIJ T0. pUSTX d I D | RASSTOQNIQ OT TO^KI M0 DO BLIVAJEJ I NAIBOLEE UDALENNOJ TO^EK OBLASTI T0 (RIS. 73). o^EWIDNO, ESLI t DOSTATO^NO MALO (t < t1 = = d=a), TO SFERA SatM0 NE PERESEKAETSQ S rIS. 73 OBLASTX@ T0 , POWERHNOSTNYE INTEGRALY W FORMULE (15) RAWNY NUL@: DO TO^KI M0 WOZMU]ENIE E]EM NE DOLO. nA^INAQ S MOMENTA t1 = d=a DO MOMENTA t2 = D=a SFERA Sat 0 (t1 < t < < t2 ) BUDET PERESEKATX OBLASTX T0 POWERHNOSTNYE INTEGRALY W FORMULE (15), WOOB]E GOWORQ, OTLI^NY OT NULQ: TO^KA M0 NAHODITSQ W WOZBUVDENNOM SOSTOQNII. pRI DALXNEJEM UWELI^ENII t SFERA SatM0 BUDET SODERVATX OBLASTX T0 WNUTRI SEBQ, POWERHNOSTNYE INTEGRALY RAWNY NUL@: WOZMU]ENIE PROLO TO^KU M0 . tAKIM OBRAZOM, PRI RASPROSTRANENII LOKALXNOGO WOZMU]ENIQ W TREHMERNOM PROSTRANSTWE QWLENIE POSLEDEJSTWIQ OTSUTSTWUET. rASSMOTRIM TEPERX MGNOWENNU@ PROSTRANSTWENNU@ KARTINU WOZMU]ENIQ u(M
t0 ) W NEKOTORYJ MOMENT t0 . tO^KI M , NAHODQ]IESQ W WOZBUVDENrIS. 74 NOM SOSTOQNII , HARAKTERIZU@TSQ TEM, M ^TO SFERY Sat0 PERESEKA@T OBLASTX NA^ALXNYH WOZMU]ENIJ T0. iNYMI SLOWAMI, \TO OZNA^AET, ^TO GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK W , W KOTORYH WOZMU]ENIE OTLI^NO OT NULQ, SOSTOIT IZ TO^EK M , NAHODQ]IHSQ NA SFERAH SatP 0 RADIUSA at0 S CENTRAMI W TO^KAH P OBLASTI T0 . oGIBA@]IE SEMEJSTWA SFER SatP BUDUT GRANICAMI OBLASTI W . wNENQQ OGIBA@]AQ NAZYWAETSQ P E R E D0 N I M FRONTOM, WNUTRENNQQ | Z A D N I M FRONTOM RASPROSTRANQ@]EJSQ WOLNY. nA RIS. 74 IZOBRAVENY PEREDNIJ I ZADNIJ FRONTY WOLNY (1 I 2) DLQ TOGO SLU^AQ, KOGDA OBLASTX T0 QWLQETSQ SFEROJ RADIUSA R0 . tAKIM OBRAZOM, NA^ALXNOE WOZMU]ENIE, LOKALIZOWANNOE W PROSTRANSTWE, WYZYWAET W KAVDOJ TO^KE M0 PROSTRANSTWA DEJSTWIE, LO28


436

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

KALIZOWANNOE WO WREMENI PRI \TOM IMEET MESTO RASPROSTRANENIE WOLNY S REZKO O^ER^ENNYMI PEREDNIM I ZADNIM FRONTAMI (P R I N C I P g @ J G E N S A). pEREJDEM K SLU^A@ DWUH PEREMENNYH. pUSTX NA^ALXNOE WOZMU]ENIE ZADANO W OBLASTI S0 NA PLOSKOSTI (x
y). rASSMOTRIM IZMENENIE SOSTOQNIQ u(M0
t) W TO^KE M0 , LEVA]EJ WNE S0 . sOSTOQNIE u(M0
t) W TO^KE M0 W MOMENT t OPREDELQETSQ SOGLASNO (25) NA^ALXNYMI ZNA^ENIQMI W TO^KAH P , PRINADLEVA]IH KRUGU Mat00 RADIUSA at0 S CENTROM W M0 . dLQ MOMENTOW WREMENI t < t1 = d=a (d | RASSTOQNIE OT M0 DO BLIVAJEJ TO^KI OBLASTI S0 ) FUNKCIQ u(M0
t) = 0: DO TO^KI M0 WOZMU]ENIE E]E NE DOLO. eSLI t > t1 , TO u(M0
t) 6= 0. |TO ZNA^IT, ^TO, NA^INAQ S MOMENTA t = t1 , W TO^KE M0 WOZNIKAET WOZMU]ENIE, KOTOROE SNA^ALA, WOOB]E GOWORQ, WOZRASTAET, A ZATEM, NA^INAQ S NEKOTOROGO MOMENTA, POSTEPENNO UBYWAET DO NULQ (PRI t ! 1). w \TOM QWLENII POSLEDEJSTWIQ I ZAKL@^AETSQ OTLI^IE PLOSKOGO SLU^AQ OT PROSTRANSTWENNOGO. wLIQNIE NA^ALXNYH WOZMU]ENIJ, LOKALIZOWANNYH NA PLOSKOSTI, NE LOKALIZOWANO WO WREMENI I HARAKTERIZUETSQ DLITELXNO PRODOLVA@]IMSQ POSLEDEJSTWIEM. pRINCIP g@JGENSA NE IMEET MESTA. mGNOWENNAQ KARTINA WOZMU]ENIJ NA PLOSKOSTI IMEET REZKO O^ER^ENNYJ PEREDNIJ FRONT, NO NE IMEET ZADNEGO FRONTA. zADA^U DLQ DWUH IZMERENIJ MOVNO RASSMATRIWATX KAK PROSTRANSTWENNU@ ZADA^U, KOGDA NA^ALXNYE WOZMU]ENIQ ZADANY W BESKONE^NOM CILINDRE I NE ZAWISQT OT TRETXEJ KOORDINATY. pOLXZUQSX \TOJ SHEMOJ, LEGKO SEBE PREDSTAWITX PROCESS POSLEDEJSTWIQ. 6. mETOD OTRAVENIQ. zADA^A S NA^ALXNYMI USLOWIQMI DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ W SLU^AE OBLASTEJ, OGRANI^ENNYH PLOSKOSTQMI, MOVET BYTX REENA METODOM OTRAVENIJ. rASSMOTRIM ZADA^U DLQ POLUPROSTRANSTWA z > 0. nAJTI REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ u = a12 utt


UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM ) u(x
y
z
0)='(x
y
z )
(z > 0) ut(x
y
z
0)=(x
y
z ) I GRANI^NOMU USLOWI@   @u  = 0: u  = 0 ILI @z z=0 z=0 rEENIE \TOJ ZADA^I DAETSQ FORMULOJ (15), ESLI NA^ALXNYE USLOWIQ PRODOLVITX NA WSE PROSTRANSTWO NE^ETNO PO z (PRI ujz=0 = 0): '(x
y
z ) = ;'(x
y
;z ) (x
y
z ) = ;(x
y
;z )

x 2]

integralxnaq formula

437

ILI ^ETNO (PRI @u=@z jz=0 = 0): '(x
y
z ) = '(x
y
;z ) (x
y
z ) = (x
y
;z ): uBEDIMSQ, ^TO PRI NE^ETNOM PO PEREMENNOJ z PRODOLVENII FUNKCIJ ' I  GRANI^NOE USLOWIE ujz=0 = 0 WYPOLNQETSQ AWTOMATI^ESKI. w SAMOM DELE,

2 3 Z Z Z Z 1 6@ u(P
t) = u(x
y
0
t) = 4a 4 @t '(
at
 ) ds + (
at
 ) ds75 = 0
P P Sat

Sat

TAK KAK POWERHNOSTNYE INTEGRALY PO SFERAM S CENTRAMI W TO^KAH PLOSKOSTI z = 0 RAWNY NUL@ PRI NE^ETNYH FUNKCIQH ' I . aNALOGI^NO MOVET BYTX REENA ZADA^A DLQ PLOSKOGO SLOQ 0 6 z 6 l PRI GRANI^NYH USLOWIQH PERWOGO I WTOROGO RODA u = 0 PRI z = 0 I z = l ILI @u = 0 PRI z = 0 I z = l @z I SOOTWETSTWU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH. fORMULA (15) SRAZU VE DAET REENIE ZADA^I, ESLI NA^ALXNYE USLOWIQ PRODOLVITX NE^ETNO (ILI ^ETNO) OTNOSITELXNO PLOSKOSTEJ z = 0 I z = l. oPREDELQEMYE TAKIM OBRAZOM NA^ALXNYE FUNKCII ' I  BUDUT PERIODI^ESKIMI PO PEREMENNOMU z S PERIODOM 2l (SR. GL. II, x 2, P. 7). eSLI W SLOE 0 < z < l NA^ALXNYE FUNKCII ' I  QWLQ@TSQ LOKALXNYMI, OTLI^NYMI OT NULQ W OBLASTI T0, TO PRODOLVENNYE FUNKCII BUDUT OTLI^NY OT NULQ W RQDE OBLASTEJ Tn, POLU^A@]IHSQ IZ T0 PRI POMO]I ZERKALXNYH IZOBRAVENIJ. fUNKCIQ u(M
t) DLQ WSQKOGO M I t PREDSTAWLQETSQ KAK SUMMA KONE^NOGO ^ISLA SLAGAEMYH, OPREDELQEMYH WOZMU]ENIQMI W Tn (SR. S GL. II, x 2, P. 7). fIZI^ESKIJ SMYSL \TOGO ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO ZA KONE^NYJ PROMEVUTOK WREMENI PROISHODIT KONE^NOE ^ISLO OTRAVENIJ OT STENOK z = 0 I z = l. aNALOGI^NO MOVET BYTX REENA ZADA^A DLQ PARALLELEPIPEDA.

x 2. iNTEGRALXNAQ FORMULA

1. wYWOD INTEGRALXNOJ FORMULY. pRI REENII URAWNENIQ

KOLEBANIJ STRUNY

uxx ; a12 utt = ;f METODOM RASPROSTRANQ@]IHSQ WOLN MY IROKO POLXZOWALISX PONQTIEM H A R A K T E R I S T I ^ E S K O G O U G L A. pEREHODQ K REENI@ URAWNENIQ KOLEBANIJ NA PLOSKOSTI ILI W PROSTRANSTWE u ; a12 utt = ;f
(1)

438

rasprostranenie woln w prostranstwe

RASSMOTRIM POWERHNOSTX

gl. V

1r

a MM0 = jt ; t0 j
NAZYWAEMU@ H A R A K T E R I S T I ^ E S K I M K O N U S O M DLQ TO^KI M0 I MOMENTA t0 . sOWOKUPNOSTX TO^EK FAZOWOGO PROSTRANSTWA (M
t), W KO-

rIS. 75

TORYE PRIHODIT SIGNAL, RASPROSTRANQ@]IJSQ SO SKOROSTX@ a I WYEDIJ IZ TO^KI M0 W MOMENT t0 , OPREDELQETSQ URAWNENIEM 1 a rMM0 = t ; t0 (t > t0 ) I QWLQETSQ WERHNEJ POLOSTX@ HARAKTERISTI^ESKOGO KONUSA TO^KI M0 . aNALOGI^NO SIGNAL, WYEDIJ IZ TO^KI M W MOMENT t, PRIHODIT W TO^KU M0 W MOMENT t0 , ESLI 1r a MM0 = t0 ; t (t < t0 ): gEOMETRI^ESKOE MESTO TAKIH TO^EK (M
t) OBRAZUET NIVN@@ POLOSTX HARAKTERISTI^ESKOGO KONUSA (RIS. 75). dLQ OPREDELENIQ W TO^KE (M0
t0 ) FUNKCII u(M
t), PREDSTAWLQ@]EJ REENIE URAWNENIQ (1), WWEDEM WMESTO WREMENI t LOKALXNOE WREMQ t
TO^KI M0 , POLAGAQ   0 t
= t ; t0 ; rMM a I OSTAWLQQ PRI \TOM NEIZMENNYMI GEOMETRI^ESKIE KOORDINATY. pOLXZUQSX SFERI^ESKOJ SISTEMOJ KOORDINAT (r

'), SWQZANNOJ S TO^KOJ M0 , MY PRIHODIM K NOWOJ SISTEME PEREMENNYH   r
= r

= 
'
= '
t
= t ; t0 ; ar :

x 2]

integralxnaq formula

439

uSTANOWIM URAWNENIE, KOTOROMU UDOWLETWORQET FUNKCIQ   u(r

'
t) = u r



'

t
+ t0 ; ar = U (r



'

t
): oPERATOR lAPLASA W SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT IMEET WID  @u  2 u 2 @u 1 @ @ @2u : u = @r2 + r @r + r2 sin  @ sin  @ + 2 1 2 @' r sin  2 wYRAZIM PROIZWODNYE FUNKCII u ^EREZ PROIZWODNYE FUNKCII U : ur = Ur + a1 Ut




urr = Ur r + a2 Ur t + a12 Ut t
u = U  u = U 
u' = U'  u'' = U' '
ut = Ut  utt = Ut t : uRAWNENIE (1) PEREHODIT W URAWNENIE U = ; ar2
@r@
(r
Ut ) ; F (r



'

t
)
(2) GDE F (r



'

t
) = f (r

'
t): pUSTX TO^KA M0(x0
y0
z0 ) PRINADLEVIT NEKOTOROMU TELU T , OGRANI^ENNOMU POWERHNOSTX@ S .
rASSMATRIWAQ (2) KAK NEODNORODNOE URAWNENIE lAPLASA, W KOTOROM t IGRAET ROLX PARAMETRA, WOSPOLXZUEMSQ OSNOWNOJ FORMULOJ gRINA (SM. GL. IV). pRIMENIM EE K OBLASTI T , POLAGAQ PRI \TOM t
= 01) :   Z Z  1 @U @ 1 dS + 4U (M0
0) = ; U r
@n @n r




 

 















 



S

+

ZZZ T





@ r
@U d + ZZZ F d: @t
r
ar
2 @r
2

T

tO^KA M0 QWLQETSQ OSOBOJ TO^KOJ SFERI^ESKOJ SISTEMY KOORDINAT. pO\TOMU OB_EMNYE INTEGRALY ESTESTWENNO RASSMATRIWATX KAK PREDELY PRI " ! 0 SOOTWETSTWU@]IH INTEGRALOW, WZQTYH PO OB_EMU T ; T" , GDE 1)

w SILU PRINQTOGO W GL. IV USLOWIQ ZNAKI W FORMULE SOOTWETSTWU@T WNENEJ NORMALI.

440

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

T" | AR RADIUSA " S CENTROM W TO^KE M0 . pREOBRAZUEM OB_EMNYJ INTEGRAL: ZZZ 2 @  @U 
I" = ar
2 @r
r @t
d = T ;T"

=

ZZZ

T ;T"

2 @

a @r


 @U  r
sin 
dr
d
d'
: @t


iNTEGRIRUQ PO PEREMENNOMU r
, POLU^IM Z Z 2 @U Z Z 2 @U
) dS ; d I" = cos( n
r ar
@t
ar
@t
dS
S S" TAK KAK dSn = dS cos(n
dr
) = r
2 sin 
d
d'
: wTOROE SLAGAEMOE W I" STREMITSQ K NUL@ PRI " ! 0, TAK KAK PLO]ADX POWERHNOSTI S" RAWNA 4"2 . tAKIM OBRAZOM, PREDEL I" PRI " ! 0 RAWEN ZZZ 2 @  @U  Z Z 2 @U dr

1) I0 = r d = @t
ar
@t
dn dS
ar
2 @r
T S TAK KAK
cos(n
dr
) = dr dn
^TO DAET 1 Z Z  1 @U @ 4U (M0
0) = r
@n ; U @n r
+ S



ZZZ F
@U dr 2 + ar
@t
dn dS + r
d:

wERNEMSQ K STARYM PEREMENNYM I FUNKCII u: 
 u(M
t) = U (M
t
) t = t + t0 ; rMa0 M
TAK ^TO U (M0
0) = u(M0
t0 )
A TAKVE @u @U 1 @U dr @n = @n + a @t
dn : 1)

T

pRI \TOM PREOBRAZOWANII MY POLXZUEMSQ TEM, ^TO d = (r
)2 d$ dr, INTEGRIRUEM PO r
I ZATEM ZAMENQEM d$ = dS=(r
)2 .

x 2]

integralxnaq formula

441

w REZULXTATE DLQ FUNKCII u(M0
t0 ) POLU^AEM SLEDU@]U@ I N T E GR A L X N U @ F O R M U L U: u(M0
t0 ) = 41

     Z Z  1  @u  @ 1 + 1 @u dr dS + ;  u ] M r @n @n r ar @t dn S

ZZZ f ] + 41 r dM
T

(3)

^ASTO NAZYWAEMU@ FORMULOJ kIRHGOFA1). zDESX KWADRATNYE SKOBKI POKAZYWA@T, ^TO ZNA^ENIE FUNKCIJ NADO BRATX DLQ t
= 0, T. E. PRI t = t0 ; rM0 M =a, TAK ^TO f ] = f (M
t ; rMM0 =a). 2. sLEDSTWIQ IZ INTEGRALXNOJ FORMULY. fORMULA (3) NAHODIT SWOE PRIMENENIE PRI REENII CELOGO RQDA ZADA^. w KA^ESTWE PERWOGO PRIMERA RASSMOTRIM ZADA^U S NA^ALXNYMI DANNYMI. nAJTI REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ u ; a12 utt = 0

W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE, ESLI ZADANY NA^ALXNYE USLOWIQ ujt=0 = '(x
y
z )
ut jt=0 = (x
y
z ):

nIVNQQ POLOSTX HARAKTERISTI^ESKOGO KONUSA r = a(t0 ; t) TO^KI (M0
t0 ) PERESEKAETSQ S MNOGOOBRAZIEM t = 0 PO SFERE SatM00 (r = at0 ) RADIUSA at0 S CENTROM W TO^KE M0 . wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (3), POLAGAQ W NEJ S = SatM00 . dLQ L@BOJ FUNKCII v(M
t) ZNA^ENIE v] NA SFERE SatM00 IMEET WID   v] = v M
t0 ; rMa0 M = v(M
0)
TAK KAK rMM0 = at0 : 1) fORMULA kIRHGOFA BYLA OBOB]ENA s. l. sOBOLEWYM DLQ URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA S ^ETNYM ^ISLOM PEREMENNYH. pRI POMO]I \TOJ FORMULY kIRHGOFA | sOBOLEWA MOVET BYTX POSTROENO REENIE ZADA^I S NA^ALXNYMI USLOWIQMI DLQ UKAZANNOGO URAWNENIQ (s O B O L E W s. l. oB ODNOM OBOB]ENII FORMULY kIRHGOFA // dan sssr. 1933. t. 1,  6. s. 256{262.)

442

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

pO\TOMU, ESLI TO^KA M LEVIT NA SFERE SatM00 , TO u]S = u(M
0) = '(M )
 @u  @u @t S = @t (M
0) = (M )
 @u  @u @' @n S = @r (M
0) = @r (M ): dALEE       1 @u ; u] @ 1 = 1 @' ; ' @ 1 = 1 @ (r'): r @n @n r r @r @r r r2 @r pODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W (3), NAHODIM  ZZ 1 @ 1 1 u(M0
t0 ) = 4 r2 @r (r') + ar  dS = M Sat00

2 3 Z Z Z Z 6 @ r' d& + 1 r d&77 = 41 64 @r 5 a SrM0

SrM0


r=at0

OTKUDA, OPUSKAQ INDEKSY 0 PRI M0 I t0 , POLU^AEM FORMULU pUASSONA

2 3 Z Z Z Z 1 6@ (P ) dS + (P ) dS 7 u(M
t) = 4a 4 @t 'rMP rMP 5

(SM. (15) IZ x 1).

M Sat

M Sat

(rMP = at) (4)

w KA^ESTWE WTOROGO PRIMERA RASSMOTRIM TEPERX REENIE NEODNORODNOGO WOLNOWOGO URAWNENIQ S NULEWYMI NA^ALXNYMI DANNYMI. wYBIRAQ PO-PREVNEMU S = SatM00 , UBEVDAEMSQ W TOM, ^TO POWERHNOSTNYJ INTEGRAL W (3) OBRA]AETSQ W NULX, WSLEDSTWIE ^EGO POLU^AEM ZZZ f ] u(M0
t0 ) = 41 (5) r dM
M Tat00

GDE TatM00 | AR RADIUSA at0 S CENTROM W M0 . iSSLEDUEM PODROBNEE TOT SLU^AJ, KOGDA PRAWAQ ^ASTX QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ WREMENI f (M
t) = f0(M ) ei!t


x 2]

integralxnaq formula

443

GDE ! | ZADANNAQ ^ASTOTA KOLEBANIJ. iZ (5) NAHODIM ZZZ  !  ;ikr 1 i!t 0 u(M0
t0 ) = e 4 f0 (M ) e r dM k = a
r = rMM0 : TatM00

(6)

pUSTX f0 (M ) | LOKALXNAQ FUNKCIQ, T. E. FUNKCIQ, OTLI^NAQ OT NULQ TOLXKO WNUTRI NEKOTOROJ OBLASTI T . eSLI M0 LEVIT WNE OBLASTI T I RASSTOQNIE OT M0 DO BLIVAJEJ TO^KI OBLASTI T RAWNO d, TO INTEGRAL PO Tat0 RAWEN NUL@ DLQ t0 < d=a. dLQ TAKIH ZNA^ENIJ WOZMU]ENIE NE USPEWAET DOJTI DO TO^KI M0 . eSLI RASSTOQNIE OT M0 DO NAIBOLEE UDALENNOJ TO^KI OBLASTI T RAWNO D, TO DLQ MOMENTOW t0 > D=a INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI POSTOQNEN I SWODITSQ K INTEGRALU, RASPROSTRANENNOMU PO WSEJ OBLASTI T . tAKIM OBRAZOM, WO WSQKOJ TO^KE M0 , NA^INAQ S MOMENTA t0 = D=a, IME@T MESTO PERIODI^ESKIE KOLEBANIQ S AMPLITUDOJ ZZZ ;ikrMM0 v(M0 ) = 41 f0 (M ) e r dM
(7) TAK ^TO

T

MM0

u(M0
t0 ) = v(M0 ) ei!t0 : pRQMAQ PODSTANOWKA WYRAVENIQ (6) DLQ u (PRI t0 > D=a) W URAWNENIE KOLEBANIJ POKAZYWAET, ^TO FUNKCIQ v(M ) DOLVNA UDOWLETWORQTX URAWNENI@ v + k2 v = ;f0 (M ) (k > !=a)
(8) KOTOROE MY BUDEM W DALXNEJEM NAZYWATX W O L N O W Y M U R A W N E N IE M (SM. GL. VII). oNO ^ASTO TAKVE NAZYWAETSQ URAWNENIEM gELXMGOLXCA. rASSMOTRIM FORMULU (3) DLQ SLU^AQ USTANOWIWIHSQ KOLEBANIJ, KOGDA u(M
t) = v(M ) ei!t
GDE v(M ) | AMPLITUDA KOLEBANIJ, UDOWLETWORQ@]AQ WOLNOWOMU URAWNENI@ (8). w \TOM SLU^AE IMEEM   0 i (!t;kr)
u] = u M
t ; rMM a = v(M ) e

 @u  @v i (!t;kr)
@n = @n e   1 @u

i (!t;kr)
a @t = ikv(M ) e

f ] = f0 (M ) ei (!t;kr) :

444

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W FORMULU (3), PRIHODIM K INTEGRALXNOJ FORMULE DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ (8): Z Z  e;ikr @v @  e;ikr  v(M0 ) = 41 dSM + r @n ; v @n r S

ZZZ ;ikr 1 + 4 f0 (M ) e r dM T

(r = rMM0 )


(9)

KOTORAQ ^ASTO TAKVE NAZYWAETSQ FORMULOJ kIRHGOFA. pRI k = 0 (! = 0 | STATI^ESKIJ SLU^AJ) FORMULA (9) PEREHODIT W OSNOWNU@ FORMULU gRINA (GL. IV, x 2) DLQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ lAPLASA.

x 3. kOLEBANIQ OGRANI^ENNYH OB_EMOW

1. oB]AQ SHEMA METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH. sTOQ^IE WOLNY. zADA^A O KOLEBANII OGRANI^ENNYH OB_EMOW SOSTOIT W SLEDU-

@]EM. nAJTI REENIE URAWNENIQ div(k grad u) ; q(M ) u = (M ) utt
k > 0
q > 0
(1) GDE  @u  @  @u  @  @u  @ div(k grad u) = @x k @x + @y k @y + @z k @z
M = M (x
y
z ), WNUTRI NEKOTOROGO OB_EMA T , OGRANI^ENNOGO ZAMKNUTOJ POWERHNOSTX@ , UDOWLETWORQ@]EE DOPOLNITELXNYM USLOWIQM u(M
0) = '(M )
ut (M
0) = (M ) W T + 
(2)

uj = 0 DLQ t > 0: (3) w SLU^AE ODNORODNOJ SREDY (k = const,  = const) DLQ q = 0 URAWNENIE (1) PRINIMAET WID   u = a12 utt a2 = k : s ZADA^AMI PODOBNOGO TIPA MY WSTRE^AEMSQ PRI IZU^ENII PROCESSA KOLEBANIJ MEMBRANY (SLU^AJ DWUH NEZAWISIMYH GEOMETRI^ESKIH PEREMENNYH), AKUSTI^ESKIH KOLEBANIJ GAZA, \LEKTROMAGNITNYH PROCESSOW W NEPROWODQ]IH SREDAH. oSOBOE ZNA^ENIE IME@T ZADA^I, SWQZANNYE S GENERACIEJ \LEKTROMAGNITNYH KOLEBANIJ W ZAMKNUTYH POLYH REZONATORAH (\NDOWIBRATORY, KLISTRONY, MAGNETRONY I T. D.).

x 3]

kolebaniq ograni~ennyh obemow

445

zAMETIM, ^TO ODNORODNOSTX GRANI^NOGO USLOWIQ (3) NE SWQZANA S OGRANI^ENIEM OB]NOSTI. w SAMOM DELE, SLU^AJ uj = 
(30 ) (GDE  | PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ TO^KI P POWERHNOSTI  I WREMENI t) LEGKO SWODITSQ K SLU^A@ ODNORODNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ METODOM, KOTORYJ IZLOVEN W GL. II, x 3 DLQ ODNOGO PEREMENNOGO I ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO RASSMATRIWAETSQ OTKLONENIE OT ZADANNOJ FUNKCII. aNALOGI^NO STAWQTSQ WTORAQ I TRETXQ KRAEWYE ZADA^I. bUDEM ISKATX REENIE u(M
t) ODNORODNOGO URAWNENIQ (1) S USLOWIQMI (2) I (3) METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH. w DALXNEJEM MY OGRANI^IMSQ IZLOVENIEM FORMALXNOJ SHEMY REENIQ. s \TOJ CELX@ RASSMOTRIM OSNOWNU@ WSPOMOGATELXNU@ ZADA^U (SR. GL. II, x 3). nAJTI NETRIWIALXNOE REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ div(k grad u) ; qu = utt W T , t > 0 (k > 0,  > 0, q > 0), (10 ) UDOWLETWORQ@]EE ODNORODNOMU GRANI^NOMU USLOWI@ uj = 0
(3) PREDSTAWIMOE W WIDE PROIZWEDENIQ u(M
t) = v(M ) T (t): (4) pODSTAWLQQ PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ (4) W (1) I RAZDELQQ, KAK OBY^NO, PEREMENNYE, PRIHODIM K SLEDU@]IM URAWNENIQM DLQ FUNKCIJ v(M ) I T (t):

9 div(k grad v) ; qv + v = 0
v 6 0=  vj = 0

(5)

T 00 + T = 0: (6) dLQ v(M ) POLU^AEM ZADA^U NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ (ZADA^U {TURMA | lIUWILLQ). nAJTI TE ZNA^ENIQ PARAMETRA , PRI KOTORYH SU]ESTWU@T NETRIWIALXNYE REENIQ ZADA^I

9 div(k grad v) ; qv + v = 0 (k > 0, q > 0
 > 0),=  vj = 0


(5)

A TAKVE NAJTI \TI REENIQ. tAKIE ZNA^ENIQ PARAMETRA  NAZYWA@TSQ S O B S T W E N N Y M I Z N A ^ E N I Q M I, A SOOTWETSTWU@]IE IM NETRIWIALXNYE REENIQ | S O B S T W E N N Y M I F U N K C I Q M I Z A D A ^ I (5). oSTANOWIMSQ PODROBNEE NA \TOJ ZADA^E, ANALOGI^NOJ OSNOWNOJ ZADA^E IZ GL. II, x 3. w NAEM SLU^AE URAWNENIE DLQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ PREDSTAWLQET SOBOJ URAWNENIE S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI, WSLEDSTWIE

446

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

^EGO TRUDNO RASS^ITYWATX NA POLU^ENIE QWNOGO PREDSTAWLENIQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ DLQ PROIZWOLXNOJ OBLASTI T . w DALXNEJEM (PP. 2 I 3) BUDUT RASSMOTRENY PRIMERY OBLASTEJ T , DLQ KOTORYH QWNOE PREDSTAWLENIE WOZMOVNO, HOTQ I TREBUET WWEDENIQ NOWOGO KLASSA SPECIALXNYH FUNKCIJ. zDESX MY RASSMOTRIM OB]IE SWOJSTWA SOBSTWENNYH FUNKCIJ I SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ I PRIWEDEM FORMALXNU@ SHEMU METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH. pERE^ISLIM \TI SWOJSTWA. 1. sU]ESTWUET S^ETNOE MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ 1 6 2 6 6 : : : 6 n 6 : : : , KOTORYM SOOTWETSTWU@T SOBSTWENNYE FUNKCII v1 (x
y
z )
v2 (x
y
z )
: : :
vn (x
y
z )
: : : sOBSTWENNYE ZNA^ENIQ n S WOZRASTANIEM NOMERA n NEOGRANI^ENNO WOZRASTA@T n ! 1 PRI n ! 1. 2. pRI q > 0 WSE SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ  POLOVITELXNY: n > 0: 3. sOBSTWENNYE FUNKCII fvn g ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ S WESOM (x
y
z ) W OBLASTI T : Z vm (M ) vn (M ) (M ) dM = 0 (m 6= n)
(7) T

M = M (x
y
z ) dM = dx dy dz: 4. t E O R E M A R A Z L O V I M O S T I. pROIZWOLXNAQ FUNKCIQ F (M ),

DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ I UDOWLETWORQ@]AQ GRANI^NOMU USLOWI@ F = 0 NA 
RAZLAGAETSQ W RAWNOMERNO I ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ RQD PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM fvn (M )g: F (M ) =

1 X

n=1

F n v n (M )


GDE Fn | KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ. dOKAZATELXSTWO SWOJSTW 1 I 4 OSNOWYWAETSQ OBY^NO NA TEORII INTEGRALXNYH URAWNENIJ. pEREJDEM K DOKAZATELXSTWU SWOJSTW 2 I 3, NE TREBU@]EMU SPECIALXNOGO MATEMATI^ESKOGO APPARATA. dOKAVEM ORTOGONALXNOSTX SOBSTWENNYH FUNKCIJ fvn g (SWOJSTWO 3). pUSTX vn (M ) I vm (M ) | DWE SOBSTWENNYE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM n I m :       @ k @vm + @ k @vm + @ k @vm ; qv +  v = 0
m m m @x @x @y @y @z @z       @ k @vn + @ k @vn + @ k @vn ; qv +  v = 0
n n n @x @x @y @y @z @z

x 3]

kolebaniq ograni~ennyh obemow

447

PRI^EM vm = 0 I vn = 0 NA S . uMNOVAQ PERWOE URAWNENIE NA vn (M ) I WY^ITAQ IZ NEGO WTOROE URAWNENIE, UMNOVENNOE NA vm (M ), NAHODIM

ZZZ T

fvn div(k grad vm) ; vm div(k grad vn)g d +

+ ( m ;  n )

ZZZ T

vn vm  d = 0:

oTS@DA POSLE PREOBRAZOWANIJ, ANALOGI^NYH TEM, KOTORYE ISPOLXZU@TSQ PRI WYWODE WTOROJ FORMULY gRINA1) , POLU^AEM  Z Z  @vm ZZZ n d + ( ;  ) vn k @ ; vm k @v vm vn  d = 0: m n @ T



w SILU GRANI^NYH USLOWIJ vm = 0 I vn = 0 NA  (m ; n )

ZZZ T

vm vn  d = 0


OTKUDA I SLEDUET, ^TO PRI m 6= n

ZZZ T

vm vn  d = 0

(m 6= n)


T. E. SOBSTWENNYE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE RAZNYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM, ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ S WESOM (M ). pRI IZU^ENII ANALOGI^NOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ ODNOGO NEZAWISIMOGO PEREMENNOGO X 00 + X = 0
X (0) = 0
X (l ) = 0 BYLO DOKAZANO, ^TO KAVDOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ SOOTWETSTWUET ODNA NORMIROWANNAQ SOBSTWENNAQ FUNKCIQ. dLQ DWUH I TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH \TO OBSTOQTELXSTWO NE IMEET MESTA. kAK WIDNO IZ PRIMEROW SOBSTWENNYH FUNKCIJ PRQMOUGOLXNIKA I KRUGA, RASSMOTRENNYH NIVE (PP. 2 I 3), ODNOMU I TOMU VE SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ MOVET SOOTWETSTWOWATX NESKOLXKO SOBSTWENNYH FUNKCIJ. oDNAKO KAVDOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@, KAK \TO SLEDUET IZ TEORII INTEGRALXNYH 1) w \TU FORMULU WHODQT NORMALXNYE PROIZWODNYE SOBSTWENNYH FUNKCIJ NA POWERHNOSTI #. oBOSNOWANIE \TOJ FORMULY DLQ POWERHNOSTEJ TIPA lQPUNOWA SM.: s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. t. IV. m., 1981.

rasprostranenie woln w prostranstwe

448

gl. V

URAWNENIJ, MOVET SOOTWETSTWOWATX LIX KONE^NOE ^ISLO SOBSTWENNYH FUNKCIJ, LINEJNO NEZAWISIMYH MEVDU SOBOJ. pUSTX NEKOTOROMU ZNA^ENI@ n SOOTWETSTWUETSISTEMA LINEJNO NEZAWISIMYH FUNKCIJ vn(1) , vn(2) , : : : , vn(m) . o^EWIDNO, ^TO L@BAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ \TIH FUNKCIJ vn =

m X i=1

i vn(i)

TAKVE QWLQETSQ SOBSTWENNOJ FUNKCIEJ DLQ TOGO VE SOBSTWENNOGO ZNA^ENIQ n . pOLXZUQSX IZWESTNYM PRIEMOM O R T O G O N A L I Z A C I I 1) , MOVNO POSTROITX FUNKCII vn(1)
: : :
vn(m) , QWLQ@]IESQ LINEJNYMI KOMBINACIQMI ISHODNYH FUNKCIJ I ORTOGONALXNYE MEVDU SOBOJ. tAKIM OBRAZOM, ESLI SOBSTWENNYE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE NEKOTOROMU n , NE ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ, TO MY MOVEM ORTOGONALIZIROWATX IH I POLU^ITX NOWU@ SISTEMU SOBSTWENNYH FUNKCIJ, ORTOGONALXNYH MEVDU SOBOJ I SOOTWETSTWU@]IH TOMU VE n . sOWOKUPNOSTX TAKIH SISTEM SOBSTWENNYH FUNKCIJ DLQ RAZNYH n OBRAZUET ORTOGONALXNU@ SISTEMU SOBSTWENNYH FUNKCIJ RASSMATRIWAEMOJ KRAEWOJ ZADA^I div(k grad v) ; qv + v = 0
v = 0 NA : ~ISLO

2ZZZ 31=2 kvnk = 4 vn2  d 5 T

NAZYWAETSQ N O R M O J SOBSTWENNOJ FUNKCII. uMNOVAQ KAVDU@ FUNKCI@ vn NA 1=kvnk, POLU^IM SISTEMU SOBSTWENNYH FUNKCIJ, NORMIROWANNYH K EDINICE. dLQ DOKAZATELXSTWA POLOVITELXNOSTI SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ (SWOJSTWO 2) DOSTATO^NO WOSPOLXZOWATXSQ PERWOJ FORMULOJ gRINA: ZZZ ZZZ Z Z @vn (k grad vn )2 d = ; vn div(k grad vn ) d + vn k @n d = T

T

=;

ZZZ T



qv2 d n

+ n

ZZZ T

vn2  d:

oTS@DA WIDNO, ^TO PRI q > 0 SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ n POLOVITELXNY. 1)

sM., NAPRIMER: s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. t. IV. m.,

1981.

x 3]

kolebaniq ograni~ennyh obemow

449

w DALXNEJEM MY BUDEM POLXZOWATXSQ TEOREMOJ RAZLOVIMOSTI

(SWOJSTWO 4), OTSYLAQ ZA DOKAZATELXSTWOM K SOOTWETSTWU@]EMU RAZDELU INTEGRALXNYH URAWNENIJ. pUSTX

F (M ) =

1 X

n=1

Fn vn (M ):

oTS@DA OBY^NYM SPOSOBOM, ISPOLXZUQ USLOWIE ORTOGONALXNOSTI (7), NAHODIM KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ: ZZZ F (M ) vn (M )  d T ZZZ Fn = : (8) vn2  d T

wERNEMSQ TEPERX K URAWNENI@ W ^ASTNYH PROIZWODNYH. rEENIE URAWNENIQ Tn00 + n Tn = 0 IMEET WID p p Tn (t) = An cos n t + Bn sin n t
TAK ^TO REENIEM NAEJ OSNOWNOJ WSPOMOGATELXNOJ ZADA^I BUDET PROIZWEDENIE p p un (M
t) = Tn (t) vn (M ) = (An cos n t + Bn sin n t) vn (M ): oB]EE REENIE ISHODNOJ ZADA^I S NA^ALXNYMI DANNYMI ESTESTWENNO ISKATX W WIDE SUMMY: u(M
t) =

1 X

n=1

un (M
t) =

1 X

n=1

p

p

(An cos n t + Bn sin n t) vn (M ): (9)

uDOWLETWORQQ NA^ALXNYM USLOWIQM (2) u(M
0) = '(M ) = ut (M
0) = (M ) =

1 X

n=1 1

An vn (M )


X p

n=1

Bn n vn (M )

I POLXZUQSX TEOREMOJ RAZLOVIMOSTI 4, NAHODIM p An = 'n
Bn n = n
GDE 'n I n | KO\FFICIENTY fURXE FUNKCIJ '(M ) I (M ) W IH RAZLOVENII PO ORTOGONALXNOJ S WESOM (M ) SISTEME FUNKCIJ vn (M ). tEM SAMYM FORMALXNOE POSTROENIE REENIQ ISHODNOJ ZADA^I ZAKON^ENO. 29 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

450

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ POLU^ENNOGO REENIQ WPOLNE ANALOGI^NA SLU^A@ ODNOGO PEREMENNOGO. ~ASTNYE REENIQ p p un (M
t) = (An cos n t + Bn sin n t) vn (M ) PREDSTAWLQ@T SOBOJ S T O Q ^ I E W O L N Y, KOTORYE MOGUT SU]ESTWOWATX WNUTRI OGRANI^ENNOGO OB_EMA T . pROFILI STOQ^IH WOLN, OPREDELQEMYE FUNKCIEJ vn (M ), DLQ RAZNYH MOMENTOW WREMENI OTLI^A@TSQ LIX MNOVITELEM PROPORCIONALXNOSTI. lINII ILI POWERHNOSTI (SOOTWETSTWENNO DLQ DWUH ILI TREH PEREMENNYH), WDOLX KOTORYH vn (M ) = 0, NAZYWA@TSQ U Z L O W Y M I L I N I Q M I (POWERHNOSTQMI) STOQ^EJ WOLNY vn (M ). tO^KI, W KOTORYH vn (M ) DOSTIGAET OTNOSITELXNYH MAKSIMUMOW ILI MINIMUMOW, NAZYWA@TSQ P U ^ N O S T Q M I \TOJ STOQ^EJ WOLNY1) . oB]EE REENIE PREDSTAWLQETSQ W WIDE BESKONE^NOJ SUMMY TAKIH STOQ^IH WOLN. wOZMOVNOSTX PREDSTAWLENIQ OB]EGO REENIQ W WIDE SUMMY SLAGAEMYH PODOBNOGO TIPA I OZNA^AET WOZMOVNOSTX PREDSTAWLENIQ PROIZWOLXNOGO KOLEBANIQ W WIDE SUPERPOZICII STOQ^IH WOLN2) . tAKIM OBRAZOM, ZADA^A O KOLEBANII MEMBRAN ILI OB_EMOW SWODITSQ, PO SU]ESTWU, K NAHOVDENI@ SOOTWETSTWU@]IH SOBSTWENNYH FUNKCIJ. w PP. 2 I 3 MY RASSMOTRIM KOLEBANIQ PRQMOUGOLXNOJ I KRUGLOJ MEMBRAN, OBRA]AQ PRI \TOM GLAWNOE WNIMANIE NA POSTROENIE SOBSTWENNYH FUNKCIJ. kAK UVE OTME^ALOSX WYE, NAHOVDENIE SOBSTWENNYH FUNKCIJ W QWNOJ ANALITI^ESKOJ FORME SOPRQVENO S BOLXIMI TRUDNOSTQMI DLQ OBLASTEJ BOLEE SLOVNOJ FORMY. w SLU^AE PROIZWOLXNYH OBLASTEJ DLQ POSTROENIQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY PRIBLIVENNYE METODY. sU]ESTWU@T RAZLI^NYE PRIBLIVENNYE METODY, OSNOWANNYE NA ISPOLXZOWANII INTEGRALXNYH URAWNENIJ, WARIACIONNYH PRINCIPOW, KONE^NYH RAZNOSTEJ. 2. kOLEBANIQ PRQMOUGOLXNOJ MEMBRANY. pROCESS KOLEBANIJ PLOSKOJ ODNORODNOJ MEMBRANY, KAK BYLO POKAZANO W GL. II, x 1, OPISYWAETSQ URAWNENIEM KOLEBANIJ utt = a2 u: (10) pUSTX W PLOSKOSTI (x
y) RASPOLOVENA PRQMOUGOLXNAQ MEMBRANA SO STORONAMI b1 I b2 , ZAKREPLENNAQ PO KRAQM I WOZBUVDAEMAQ S POMO]X@ 1)

eSLI WOZBUDITX KOLEBANIQ MEMBRANY, POSYPANNOJ PESKOM, TO PESOK IZ PU^NOSTEJ BUDET SBRASYWATXSQ K UZLOWYM LINIQM, OBRAZUQ PRI \TOM TAK NAZYWAEMYE HLADNIEWY FIGURY, WOSPROIZWODQ]IE UZLOWYE LINII SOBSTWENNYH FUNKCIJ. 2) oBOSNOWANI@ METODA RAZDELENIQ DLQ SLU^AQ MNOGIH PEREMENNYH POSWQ]ENY RABOTY o. a. l A D Y V E N S K O J (o SHODIMOSTI RQDOW fURXE, OPREDELQ@]IH REENIE SMEANNOJ ZADA^I DLQ GIPERBOLI^ESKIH URAWNENIJ // dan sssr. 1952. t. 85,  3. s. 481{484) I w. a. i L X I N A (o RAZREIMOSTI SMEANNYH ZADA^ DLQ GIPERBOLI^ESKIH I PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ // umn. 1960. t. 15, WYP. 2. s. 97{154).

x 3]

kolebaniq ograni~ennyh obemow

451

NA^ALXNOGO OTKLONENIQ I NA^ALXNOJ SKOROSTI. dLQ NAHOVDENIQ FUNKCII u(x
y
t), HARAKTERIZU@]EJ OTKLONENIE MEMBRANY OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ, MY DOLVNY REITX URAWNENIE KOLEBANIJ   @ 2 u = a2 @ 2 u + @ 2 u (100 ) @t2 @x2 @y2 PRI ZADANNYH NA^ALXNYH USLOWIQH 9 u(x
y
0) = '(x
y)
= (11) @u (x
y
0) = (x
y)  @t I GRANI^NYH USLOWIQH u(0
y
t) = 0
u(b1
y
t) = 0
(12) u(x
0
t) = 0
u(x
b2
t) = 0: (13) mY I]EM, KAK OBY^NO, REENIE METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, POLAGAQ u(x
y
t) = v(x
y) T (t): (14) pODSTAWLQQ (14) W (10) I RAZDELQQ PEREMENNYE, POLU^AEM DLQ FUNKCII T (t) URAWNENIE T 00 + a2 T = 0
(15) A DLQ FUNKCII v(x
y) | SLEDU@]U@ KRAEWU@ ZADA^U: 9 vxx + vyy + v = 0> = (16) v(0
y) = 0
v(b1
y) = 0>  v(x
0) = 0
v(x
b2 ) = 0: tAKIM OBRAZOM, SAMA ZADA^A DLQ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ SOSTOIT W REENII ODNORODNOGO URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH PRI ODNORODNYH GRANI^NYH USLOWIQH. bUDEM I \TU ZADA^U REATX METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, POLAGAQ v(x
y) = X (x) Y (y): pROWODQ RAZDELENIE PEREMENNYH, POLU^AEM SLEDU@]IE ODNOMERNYE ZADA^I NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ: ) X 00 + X = 0
(17) X (0) = 0
X (b1) = 0

)

29


Y 00 + Y = 0
Y (0) = 0
Y (b2 ) = 0


(18)

rasprostranenie woln w prostranstwe

452

gl. V

GDE  I  | POSTOQNNYE RAZDELENIQ PEREMENNYH, SWQZANNYE SOOTNOENIEM  +  = . pRI \TOM GRANI^NYE USLOWIQ DLQ X (x) I Y (y) WYTEKA@T IZ SOOTWETSTWU@]IH USLOWIJ DLQ FUNKCII v. nAPRIMER, IZ v(0
y) = X (0) Y (y) = 0 SLEDUET X (0) = 0, TAK KAK Y (y) 6= 0 (MY I]EM NETRIWIALXNYE REENIQ). s REENIEM ZADA^, PODOBNYH (17) I (18), MY UVE WSTRE^ALISX PRI IZU^ENII KOLEBANIJ STRUNY. rEENIQ URAWNENIJ (17) I (18) IME@T WID m Xn (x) = sin n b x
Ym (y) = sin b y 1

 n 2

n = b 1 sOBSTWENNYM ZNA^ENIQM

 m =

 m 2 b2

2

:

 n 2  m 2 nm = b + b
1 2

TAKIM OBRAZOM, SOOTWETSTWU@T SOBSTWENNYE FUNKCII m vnm = Anm sin n b1 x sin b2 y
GDE Anm | NEKOTORYJ POSTOQNNYJ MNOVITELX. wYBEREM EGO TAK, ^TOBY NORMA FUNKCII vnm S WESOM 1 BYLA RAWNA EDINICE:

Zb1 Zb2 0 0

oTS@DA

v2

nm

dx dy = A2

nm

Zb1 0

sin2

n x dx Z sin2 m y dy = 1: b1 b2

r

b2

0

Anm = b 4b : 1 2 oRTOGONALXNOSTX FUNKCIJ fvnm g O^EWIDNA I NE NUVDAETSQ W DOKAZATELXSTWE. sLEDOWATELXNO, FUNKCII r vnm (x
y) = b 4b sin n x sin m (19) b b2 y 1 2 1 OBRAZU@T ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU SOBSTWENNYH FUNKCIJ PRQMOUGOLXNOJ MEMBRANY. ~ISLO SOBSTWENNYH FUNKCIJ, PRINADLEVA]IH nm (KRATNOSTX nm ), ZAWISIT OT KOLI^ESTWA CELO^ISLENNYH REENIJ n I m URAWNENIQ  n 2  m 2 b1 + b2 = nm :

x 3]

kolebaniq ograni~ennyh obemow

453

nAJDENNAQ SISTEMA SOBSTWENNYH FUNKCIJ vnm TAKOWA, ^TO L@BAQ FUNKCIQ F (x
y), DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ I UDOWLETWORQ@]AQ GRANI^NOMU USLOWI@, MOVET BYTX RAZLOVENA W ABSOL@TNO I RAWNOMERNO SHODQ]IJSQ RQD PO vnm . |TO UTWERVDENIE MOVNO OBOSNOWATX, SOSLAWISX NA TEORI@ KRATNYH RQDOW fURXE. pOKAVEM, ^TO SISTEMA (19) SODERVIT WSE SOBSTWENNYE FUNKCII NAEJ ZADA^I O SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH. pREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET SOBSTWENNAQ FUNKCIQ u0 , PRINADLEVA]AQ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 0 . tAK KAK FUNKCIQ u0 ORTOGONALXNA WSEM SOBSTWENNYM FUNKCIQM, PRINADLEVA]IM DRUGIM ZNA^ENIQM , TO W EE RAZLOVENII PO SISTEME (19) OSTANETSQ LIX KONE^NOE ^ISLO ^LENOW, SOOTWETSTWU@]IH SOBSTWENNYM FUNKCIQM, PRINADLEVA]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ nm = 0 . pO\TOMU u0 QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ LIX TEH FUNKCIJ (19), KOTORYE SOOTWETSTWU@T nm = 0 . tAKIM OBRAZOM, WSE FUNKCII PRQMOUGOLXNOJ MEMBRANY DA@TSQ FORMULOJ (19).

rIS. 76

wOZWRA]AQSX K ISHODNOJ ZADA^E DLQ URAWNENIQ (10), MY WIDIM, ^TO ^ASTNYE REENIQ

p

p

unm = vnm (x
y) (Bnm cos nm at + B nm sin nm at) PREDSTAWLQ@T SOBOJ STOQ^IE WOLNY, PROFILX KOTORYH OPREDELQETSQ SOBSTWENNYMI FUNKCIQMI vnm . gEOMETRI^ESKIE MESTA TO^EK WNUTRI PRQMOUGOLXNIKA, W KOTORYH SOBSTWENNYE FUNKCII OBRA]A@TSQ W NULX, NAZYWA@TSQ U Z L O W Y M I L I N I Q M I. rASSMOTRIM DLQ PROSTOTY KWADRAT SO STORONOJ b (b1 = b2 ). uZLOWYE LINII FUNKCII m vnm = 2b sin n b x sin b y QWLQ@TSQ PRQMYMI, PARALLELXNYMI OSQM KOORDINAT (RIS. 76, A). pRI KRATNYH SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH LINEJNAQ KOMBINACIQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ TAKVE BUDET SOBSTWENNOJ FUNKCIEJ. eE UZLOWYE LINII MOGUT IMETX WESXMA SLOVNU@ FORMU (RIS. 76, B).

rasprostranenie woln w prostranstwe

454

gl. V

iSKOMOE REENIE URAWNENIQ (10) PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH

(11) | (13) IMEET WID

u(x
y
t) =

1 X 1 X

p p (Bnm cos nm at + B nm sin nm at) vnm (x
y)


m=1 n=1

GDE vnm OPREDELQETSQ FORMULOJ (19), A KO\FFICIENTY Bnm I B nm RAWNY Bnm =

Zb1 Zb2 0 0

'(x
y) vnm (x
y) dx dy = =

B nm = p 1

r

4

r

a2 nm b1 b2

4

b1b2

Zb1 Zb2 0 0

Zb1 Zb2 0 0

m y dx dy
'(x
y) sin n x sin b b 1

2

m (x
y) sin n b x sin b y dx dy: 1

2

3. kOLEBANIQ KRUGLOJ MEMBRANY. pRI IZU^ENII KOLEBANIJ KRUGLOJ MEMBRANY POLEZNO PEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM. tOGDA URAWNENIE KOLEBANIJ ZAPIETSQ W WIDE   1 @ r @u + 1 @ 2 u = 1 @ 2 u : (20) r @r @r r2 @2 a2 @t2 bUDEM ISKATX REENIE \TOGO URAWNENIQ PRI ZADANNYH NA^ALXNYH USLOWIQH ) u(r

0) = f1 (r
)
(21) ut(r

0) = f2 (r
) I GRANI^NOM USLOWII u(r0

t) = 0 (22) (ZAKREPLENNAQ PO KRAQM MEMBRANA RADIUSA r0 ). kAK I W SLU^AE PRQMOUGOLXNOJ MEMBRANY, MY PRIBEGAEM K RAZDELENI@ PEREMENNYH. pOLOVIW u(r

t) = v(r
) T (t)
MY POLU^IM URAWNENIE DLQ T (t): T 00 + a2 T = 0
KOTOROE IMEET REENIE p p T = C1 cos a2  t + C2 sin a2  t


x 3]

kolebaniq ograni~ennyh obemow

455

I SLEDU@]U@ ZADA^U NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ DLQ FUNKCII v(r
):   1 @ r @v + 1 @ 2 v + v = 0 (0 < r < r )
9 > 0 > r @r @r r2 @2 > > jv(0
)j < 1 (USLOWIE OGRANI^ENNOSTI), = > > v(r0
) = 0 (GRANI^NOE USLOWIE), > > v(r
) = v(r
 + 2) (USLOWIE PERIODI^NOSTI).  fUNKCIQ v DOLVNA BYTX ODNOZNA^NOJ I DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ TO^KI POSKOLXKU VE  QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ KOORDINATOJ, TO DLQ ODNOZNA^NOSTI v MY DOLVNY POTREBOWATX, ^TOBY WYPOLNQLOSX USLOWIE PERIODI^NOSTI S PERIODOM 2, T. E. v(r
 + 2) = v(r
). pOLOVIM v(r
) = R(r) ((): pODSTAWLQQ PREDPOLAGAEMU@ FORMU REENIQ W NAE URAWNENIE I PROIZWODQ DELENIE NA R(, POLU^AEM  dR  d r dr r dr (00 + r2 = 0: + R ( oTS@DA PRIHODIM K URAWNENIQM (00 + 2 ( = 0
(() = (( + 2)
(0 () = (0 ( + 2)
    1 d r dR +  ; 2 R = 0
r dr dr r2 R(r0 ) = 0
j R(0) j < 1: nETRIWIALXNYE PERIODI^ESKIE REENIQ DLQ (() SU]ESTWU@T LIX PRI 2 = n2 (n | CELOE ^ISLO) I IME@T WID (n() = D1n cos n + D2n sin n: oTMETIM, ^TO SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ n2 PRINADLEVAT DWE LINEJNO NEZAWISIMYE SOBSTWENNYE FUNKCII cos n I sin n. dLQ OPREDELENIQ FUNKCII R(r) MY IMEEM URAWNENIE   d2 R + 1 dR +  ; n2 R = 0 (23) dr2 r dr r2 S ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI R(r0 ) = 0
(24) j R(0) j < 1:

456

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

tAKIM OBRAZOM, DLQ OPREDELENIQ FUNKCII R(r) MY DOLVNY REITX ZADA^U O SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH. wTOROE USLOWIE, NALAGAEMOE NA FUNKCI@ R(r), PREDSTAWLQ@]EE USLOWIE OGRANI^ENNOSTI PRI r = 0, SWQZANO S TEM, ^TO r = 0 QWLQETSQ OSOBOJ TO^KOJ URAWNENIQ DLQ OSOBYH VE TO^EK W KA^ESTWE GRANI^NOGO USLOWIQ DOSTATO^NO WYSTAWITX TREBOWANIE OGRANI^ENNOSTI (SM. dOPOLNENIE II, ^. I). wWODQ NOWU@ PEREMENNU@ p x = r I OBOZNA^AQ x R(r) = R p = y(x)
 POLU^AEM DLQ OPREDELENIQ FUNKCII y(x) URAWNENIE CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ n-GO PORQDKA (SM. dOPOLNENIE II, ^. I)   d2 y + 1 dy + 1 ; n2 y = 0 (25) dx2 x dx x2 S DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI

p

y(x0 ) = 0 (x0 =  r0 )
(26) j y(0) j < 1: oB]EE REENIE URAWNENIQ CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ IMEET WID y(x) = d1 Jn (x) + d2 Nn (x)
(27) GDE Jn (x) | FUNKCIQ bESSELQ, Nn | FUNKCIQ nEJMANA n-GO PORQDKA (SM. dOPOLNENIE II, ^. I). iZ WTOROGO USLOWIQ SLEDUET, ^TO d2 = 0. pERWOE USLOWIE DAET p p Jn (  r0 ) = 0
ILI Jn () = 0 ( =  r0 ): (28) eSLI (mn) | m-J KORENX URAWNENIQ Jn () = 0, TO

!2

(n) nm = rm : (29) 0 |TOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ PRINADLEVIT SOBSTWENNAQ FUNKCIQ

(n) ! p (30) Rnm = y(  r) = Jn rm r : 0 oTMETIM SLEDU@]IE SWOJSTWA SOBSTWENNYH FUNKCIJ (30) (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 2).

x 3]

kolebaniq ograni~ennyh obemow

457

1. sOBSTWENNYE FUNKCII R(r), PRINADLEVA]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM , ORTOGONALXNY S WESOM r:

Zr0

ILI

0

(m1 6= m2 )

rRnm1 (r) Rnm2 (r) dr = 0

Zr0 0

!

!

(n) (n) rJn rm1 r Jn rm2 r dr = 0: 0 0

(31)

2. kWADRAT NORMY \TIH FUNKCIJ RAWEN

Zr0 0

!

(mn) r dr = r02 hJ 0 ((n) )i2 : n r0 2 n m

rJ 2

w ^ASTNOSTI, KWADRAT NORMY FUNKCII J0

(310 )

!

(0) m r0 r RAWEN

!#2 Zr0 " (0) i2 2 h m ) : r J0 r r dr = r20 J1 ((0) m 0 0

(32)

3. wSQKAQ NEPRERYWNAQ W INTERWALE (0
r0 ) FUNKCIQ f (r), IME@]AQ KUSO^NO-NEPRERYWNYE PERWU@ I WTORU@ PROIZWODNYE I UDOWLETWORQ@]AQ GRANI^NYM USLOWIQM ZADA^I, MOVET BYTX RAZLOVENA W ABSOL@TNO I RAWNOMERNO SHODQ]IJSQ RQD:

(n) ! 1 X f (r) = fm Jn rm r
(33) 0 m=1 PRI^EM KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ OPREDELQ@TSQ FORMULOJ

Zr0

fm =

0

!

(n) rf (r) Jn rm r dr 0 : h 2 r0 J 0 ((n) )i2

2

(34)

n m

wOZWRA]AQSX K ZADA^E O SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH DLQ KRUGLOJ MEMBRANY, POLU^IM DLQ SOBSTWENNOGO ZNA^ENIQ

(n) !2 nm = rm 0

rasprostranenie woln w prostranstwe

458

gl. V

DWE SOBSTWENNYE FUNKCII

(n) !

(n) !  m vnm = Jn r r cos n
vnm = Jn rm r sin n: (35) 0 0 sOSTAWIW IH LINEJNU@ KOMBINACI@, POLU^IM

(n) ! vnm (r
) = Jn rm r (Anm cos n + Bnm sin n): (36) 0 wY^ISLIM NORMU SOBSTWENNOJ FUNKCII vnm  POPUTNO POLU^ITSQ DOKAZATELXSTWO ORTOGONALXNOSTI SOBSTWENNYH FUNKCIJ, WYTEKA@]EE TAKVE IZ OB]EJ TEORII. dLQ UPRO]ENIQ WY^ISLENIJ OGRANI^IMSQ SOBSTWENNYMI FUNKCIQMI vnm :

Z2Zr0 0 0

vn1 m1 vn2 m2 r dr d = =

Zr0 0

Jn1

!

!

(mn11 ) r J (mn22 ) r r dr Z cos n  cos n  d = n2 1 2 r0 r0 2

0

80 PRI n1 6= n2
> > > > 0 PRI n1 = n2
m1 6= m2
> <2h = > r0 J 0 ((n) )i2  PRI n = n = n 6= 0 I m = m = m
(37) 1 2 1 2 > 2 n m > > > : r02 hJ00 ((mn))i2 2 PRI n1 = n2 = 0 I m1 = m2 = m: 2

aNALOGI^NYE USLOWIQ IME@T MESTO DLQ FUNKCII

(n) ! vnm = Jn rm r sin n: 0 wYRAVENIE DLQ KWADRATA NORMY MOVNO ZAPISATX W WIDE ZZ h i2 2 v2 d = r0 " J 0 ((n) ) (d = r dr d)
GDE



nm

2

n

(

n m

n = 0
"n = 21 PRI PRI n 6= 0:

(38)

x 3]

kolebaniq ograni~ennyh obemow

459

iZ OB]EJ TEORII SLEDUET UTWERVDENIE. wSQKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ F (r
) S NEPRERYWNYMI PERWYMI I WTORYMI PROIZWODNYMI, UDOWLETWORQ@]AQ GRANI^NYM USLOWIQM ZADA^I, MOVET BYTX RAZLOVENA W ABSOL@TNO I RAWNOMERNO SHODQ]IJSQ RQD X F (r
) = (Anm vnm (r
) + Bnm vnm (r
)) (39) nm

PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM ZADA^I O SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH DLQ KRUGA. kO\FFICIENTY RAZLOVENIQ WY^ISLQ@TSQ PO FORMULAM

Z2Zr0

Anm =

0 0

9

!

(n) > F (r
) Jn rm r cos n r dr d > > > 0 >
> > r02 " hJ 0 ((n) )i2 >

= >

(n) ! Z2Zr0 >  m F (r
) Jn r r sin n r dr d > > > 0 0 0 > Bnm = :> > r02 " hJ 0 ((n) )i2  n n m 2 n n m

(40)

2

oTMETIM, ^TO FUNKCIQ

v0m (r
) = J0

(0) m r0 r

!

NE ZAWISIT OT . eSLI ZADANNAQ FUNKCIQ F ZAWISIT TOLXKO OT r, F = F (r), TO RQD, PREDSTAWLQ@]IJ RAZLOVENIE F PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM, BUDET SODERVATX LIX FUNKCII v0m :

(0) ! 1 X F (r) = A0m J0 rm r
(41) 0 m=1 GDE

Zr0

A0m =

0

F (r) J0

!

(0) m r0 r r dr

r02 J 2 ((0) ) 2

1

m

:

wSE OSTALXNYE KO\FFICIENTY Anm I Bnm RAWNY NUL@.

(42)

460

rasprostranenie woln w prostranstwe

gl. V

wOZWRA]AQSX K ISHODNOJ ZADA^E KOLEBANIQ MEMBRANY PRI ZADANNOM NA^ALXNOM OTKLONENII I NA^ALXNOJ SKOROSTI, MOVEM NAPISATX EE REENIE W WIDE

1 (n) (n) ! X a a m u(r

t) = vnm (r
) Anm cos r t + Bnm sin rm t + 0 0 nm=0

1 X

!

(n) (n) + vnm (r
) Cnm cos arm t + Dnm sin arm t : 0 0 nm=0 kO\FFICIENTY Anm , Bnm, Cnm , Dnm OPREDELQ@TSQ IZ NA^ALXNYH USLOWIJ

u(r

0) = ut(r

0) =

PO FORMULAM Anm =

1 X

1 X

(n)

(Bnm vnm + Dnmvnm) arm = f2 (r
) 0

nm=0

Z2Zr0 0 0

Z2Zr0 Cnm =

(Anm vnm + Cnm vnm ) = f1(r
)


nm=0

0 0

f1 (r
) Jn

p



nm r cos n r dr d

r02 " hJ 0 (p r )i2 2 n n nm 0 f2(r
) Jn

p






nm r sin n r dr d

r02 " hJ 0 (p r )i2 2 n n nm 0

:

p

aNALOGI^NYE FORMULY IME@T MESTO DLQ a nm Bnm I, SOOTWETp STWENNO, DLQ a nm Dnm. zada~i k glawe V 1. rEITX ZADA^U S NA^ALXNYMI DANNYMI DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ utt = a2 u W PROSTRANSTWE, PREDPOLAGAQ, ^TO NA^ALXNAQ SKOROSTX WS@DU RAWNA NUL@, A NA^ALXNYE OTKLONENIQ ujt=0 = ' IME@T WID 1 WNUTRI EDINI^NOJ SFERY, A) ' = 0 WNE EDINI^NOJ SFERY

I. priwedenie urawnenij teorii uprugosti

ILI B)

461

8
2. rEITX ZADA^U O KOLEBANII POLUPROSTRANSTWA z > 0 PRI ODNORODNOM GRANI^NOM USLOWII PERWOGO ILI WTOROGO RODA, ESLI ZADANY: A) LOKALXNOE WOZMU]ENIE, T. E. NA^ALXNAQ SKOROSTX I NA^ALXNOE OTKLONENIE W NEKOTOROJ OBLASTI T0 B) SOSREDOTO^ENNAQ SILA, DEJSTWU@]AQ PO PROIZWOLXNOMU ZAKONU. 3. rEITX ZADA^U 2 DLQ SLOQ ;l 6 z 6 l. 4. rEITX URAWNENIE KOLEBANIJ W OBLASTI, PREDSTAWLQ@]EJ SOBOJ KLIN, UGOL RASTWORA KOTOROGO RAWEN =2 I WOOB]E =n (n | CELOE ^ISLO), ESLI ZADANY ODNORODNYE GRANI^NYE USLOWIQ PERWOGO ILI WTOROGO RODA, A TAKVE NA^ALXNAQ SKOROSTX I NA^ALXNOE OTKLONENIE. 5. wYWESTI ANALOG INTEGRALXNOJ FORMULY (3) IZ x 2 DLQ URAWNENIQ utt = a2 u + cu GDE c = const: rASSMOTRETX SLU^AJ c < 0 I NAJTI REENIE ZADA^I S NA^ALXNYMI DANNYMI DLQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ. dATX FIZI^ESKU@ INTERPRETACI@ POLU^ENNYH REZULXTATOW. 6. nAJTI FUNKCI@ u( ' t), HARAKTERIZU@]U@ KOLEBANIQ MEMBRANY POD DEJSTWIEM IMPULXSA K , SOSREDOTO^ENNOGO A) W CENTRE KRUGLOJ MEMBRANY, B) W PROIZWOLXNOJ TO^KE KRUGLOJ MEMBRANY, W) W PROIZWOLXNOJ TO^KE PRQMOUGOLXNOJ MEMBRANY. 7. nAJTI SOBSTWENNYE ^ASTOTY I SOBSTWENNYE FUNKCII MEMBRAN, IME@]IH FORMU: A) POLUKRUGA, B) KOLXCA, W) KRUGOWOGO SEKTORA, G) KOLXCEWOGO SEKTORA. rASSMOTRETX PERWU@ I WTORU@ KRAEWYE ZADA^I. 8. nAJTI USTANOWIWIESQ KOLEBANIQ KRUGLOJ MEMBRANY (MEMBRANY MIKROFONA) POD DEJSTWIEM PERIODI^ESKOJ SILY, RASPREDELENNOJ PO MEMBRANE S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ f = A sin !t. rEITX TU VE ZADA^U, ESLI f = A(1 ; ; r2 =c2 ) sin !t, GDE c | RADIUS MEMBRANY. 9. wYWESTI URAWNENIE RASPROSTRANENIQ ZWUKA W SREDE, DWIVU]EJSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@. pREOBRAZOWATX POLU^ENNOE URAWNENIE, PEREJTI K SISTEME KOORDINAT, DWIVU]EJSQ WMESTE SO SREDOJ.

priloveniq k glawe V

I. pRIWEDENIE URAWNENIJ TEORII UPRUGOSTI

K URAWNENIQM KOLEBANIJ

tEORIQ UPRUGOSTI STAWIT SWOEJ CELX@ IZU^ENIE WOZNIKA@]IH W UPRUGIH TELAH DEFORMACIJ I DWIVENIJ PRI POMO]I MATEMATI^ESKIH

462

priloveniq k glawe V

METODOW. wOZNIKA@]IE POD DEJSTWIEM WNENIH SIL DEFORMACII I DWIVENIQ MOVNO HARAKTERIZOWATX S POMO]X@ W E K T O R A S M E ] E N I J u, PROEKCII KOTOROGO NA KOORDINATNYE OSI x, y, z BUDEM OBOZNA^ATX u(x
y
z
t), v(x
y
z
t), w(x
y
z
t). |TI SME]ENIQ WOZNIKA@T W UPRUGOM TELE POD DEJSTWIEM WNUTRENNIH SIL (N A P R Q V E N I J), KOTORYE OBRAZU@T SIMMETRI^ESKIJ TENZOR NAPRQVENIJ 0 1 x xy xz B@ yx y yz CA
zx zy z GDE x , xy , xz | SOSTAWLQ@]IE SILY (NAPRQVENIQ), DEJSTWU@]EJ NA EDINICU PLO]ADI POWERHNOSTNOGO \LEMENTA, PERPENDIKULQRNOGO K OSI x ANALOGI^NO yx , y , yz I zx , zy , z | KOMPONENTY NAPRQVENIJ, DEJSTWU@]IH NA EDINICU PLO]ADI POWERHNOSTNYH \LEMENTOW, PERPENDIKULQRNYH K OSQM y I z . kOMPONENTY x , y , z NAZYWA@T N O R M A L X N Y M I N A P R Q V E N I Q M I, A xy , xz I T. D. NAZYWA@T S K A L Y W A @ ] I M I N A P R Q V E N I Q M I. rASSMATRIWAQ \LEMENT OB_EMA I SOSTAWLQQ DLQ NEGO URAWNENIE DWIVENIQ, POLU^AEM 9 2 u @x @xy @xz > @  @t2 = @x + @y + @z + X
> > > = 2 @ @ @ @ v yx y yz (1)  @t2 = @x + @y + @z + Y
> > > 2 z + Z
>   @@tw2 = @@xzx + @@yzy + @ @z GDE  | OB_EMNAQ PLOTNOSTX W TO^KE (x
y
z ), X , Y , Z | SOSTAWLQ@]IE WNENIH OB_EMNYH SIL. sWQZX NAPRQVENIJ, WOZNIKA@]IH PRI DEFORMACII, S EE HARAKTERISTIKAMI DAETSQ ZAKONOM gUKA, KOTORYJ ZAPISYWAETSQ W SLEDU@]EM WIDE: 9    > x = 2G "x + m ; 2
xy = Gxy
> > >   =  (2) y = 2G "y + m ; 2
yz = Gyz
> >   >  z = 2G "z + m ; 2
zx = Gzx : > pRI \TOM WELI^INY 9 @u @v @w > = "x = @x
"y = @y
"z = @z
(3) @v
 = @v + @w
 = @w + @u >  xy = @u + yz @z @y zx @x @z @y @x

I. priwedenie urawnenij teorii uprugosti

463

OBRAZU@T SIMMETRI^ESKIJ TENZOR DEFORMACIJ 0 1 "x xy xz B@ yx "y yz CA : zx zy "z w FORMULAH (2) MY POLXZUEMSQ SLEDU@]IMI OBOZNA^ENIQMI: G | M O D U L X S D W I G A, m | KO\FFICIENT, HARAKTERIZU@]IJ S V A T I E TELA W POPERE^NOM NAPRAWLENII PRI EGO UDLINENII W PRODOLXNOM NA@u + @v + @w . PRAWLENII,  = div u = @x @y @z k URAWNENIQM (1) I (2) SLEDUET E]E PRISOEDINITX GRANI^NYE USLOWIQ (NA GRANICE ZADANY, NAPRIMER, SME]ENIQ u, v, w LIBO POWERHNOSTNYE SILY I T. D.), NA KOTORYH MY ZDESX NE BUDEM OSTANAWLIWATXSQ. uRAWNENIQ (1) I (2) OBRAZU@T POLNU@ SISTEMU DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH DLQ NAPRQVENIJ I DEFORMACIJ. pODSTAWLQQ WYRAVENIQ DLQ NAPRQVENIJ IZ (2) W URAWNENIQ DWIVENIQ (1) I U^ITYWAQ SOOTNOENIQ (3), POLU^AEM SISTEMU URAWNENIJ DLQ SME]ENIJ:   9 2u @ m @ >  @t2 = G u + m ; 2 @x + X
> > >   = 2 @ v m @ (4)  @t2 = G v + m ; 2 @y + Y
> >   2 > >  + Z:  @@tw2 = G w + mm; 2 @ @z ~ASTO WWODQT WMESTO POSTOQNNYH G I m TAK NAZYWAEMYE P O S TO Q NN Y E l A M \  I , SWQZANNYE S NIMI SOOTNOENIQMI  = G
 = m 2; 2 G: |TO POZWOLQET ZAPISATX PREDYDU]U@ SISTEMU URAWNENIJ W WIDE ODNOGO WEKTORNOGO URAWNENIQ 2  @@tu2 = ( + 2) grad div u ;  rot rot u + F
(5) GDE u | WEKTOR SME]ENIQ S SOSTAWLQ@]IMI u, v I w, F | WEKTOR OB_EMNYH SIL S SOSTAWLQ@]IMI X , Y , Z . uRAWNENIE (5) OBY^NO NAZYWA@T URAWNENIEM lAM\. pOKAVEM, ^TO URAWNENIQ (5) MOGUT BYTX SWEDENY K WOLNOWYM URAWNENIQM DLQ SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM WYBRANNYH FUNKCIJ1) . 1) s O B O L E W s. l. nEKOTORYE WOPROSY TEORII RASPROSTRANENIQ KOLEBANIJ. m. l., 1930 f R A N K f., m I Z E S r. dIFFERENCIALXNYE I INTEGRALXNYE URAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m. l., 1937. gL. XII.

464

priloveniq k glawe V

pROIZWOLXNYJ WEKTOR F WSEGDA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMY F = grad U + rot L
GDE U | SKALQRNYJ, A L | WEKTORNYJ POTENCIAL. pOLOVIM u = grad  + rot A
GDE 2 2  @@t2 = ( + 2)  + U
 @@tA2 =  A + L: nETRUDNO UBEDITXSQ PRQMOJ PODSTANOWKOJ, ^TO OPREDELENNYJ TAKIM OBRAZOM WEKTOR u DEJSTWITELXNO UDOWLETWORQET URAWNENIQM UPRUGOSTI (4). eSLI OB_EMNYE SILY OTSUTSTWU@T, TO DLQ POTENCIALOW  I A MY POLU^AEM ODNORODNYE URAWNENIQ KOLEBANIJ 2 2  @@t2 = ( + 2) 
 @@tA2 =  A: uRAWNENIE KOLEBANIJ DLQ WEKTORNOGO POTENCIALA A W NEKOTORYH SLU^AQH (NAPRIMER, W DEKARTOWOJ SISTEME KOORDINAT) RASPADAETSQ NA TRI SKALQRNYH URAWNENIQ. oDNAKO WOPROS O PRIWEDENII URAWNENIJ UPRUGOSTI K OTDELXNYM SKALQRNYM URAWNENIQM KOLEBANIJ NE MOVET BYTX RASSMOTREN DO KONCA BEZ PRIWLE^ENIQ GRANI^NYH USLOWIJ, KOTORYE MOGUT SWQZYWATX RAZNYE KOMPONENTY, A W \TOM SLU^AE WOZNIKA@T ZNA^ITELXNYE TRUDNOSTI DLQ POLNOGO RAS]EPLENIQ URAWNENIJ.

II. uRAWNENIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ 1. uRAWNENIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ I GRANI^NYE USLOWIQ. |LEKTROMAGNITNOE POLE HARAKTERIZUETSQ WEKTORAMI E I H NAPRQVENNOSTEJ \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ I WEKTORAMI D I B \LEKTRI^ESKOJ I MAGNITNOJ INDUKCII. pOLNAQ SISTEMA URAWNENIJ

mAKSWELLA, SWQZYWA@]IH \TI WELI^INY, IMEET WID rot H = 1c @@tD + 4c j + 4c j(e)
rot E = ; 1c @@tB
div B = 0
div D = 4


(1) (2) (3) (4)

II. urawneniq |lektromagnitnogo polq

465

GDE j | OB_EMNAQ PLOTNOSTX TOKOW PROWODIMOSTI, j(e) | PLOTNOSTX TOKOW, PROISHODQ]IH OT DEJSTWIQ STORONNIH |ds,  | OB_EMNAQ PLOTNOSTX ZARQDOW, c | SKOROSTX SWETA W PUSTOTE. w DALXNEJEM MY ^ASTO BUDEM S^ITATX j(e) = 0. k \TIM URAWNENIQM SLEDUET PRISOEDINITX TAK NAZYWAEMYE MATERIALXNYE URAWNENIQ POLQ D = "E
(5) B = H
(6) j = E
(7) GDE " | DI\LEKTRI^ESKAQ POSTOQNNAQ,  | MAGNITNAQ PRONICAEMOSTX,  | PROWODIMOSTX SREDY. w DALXNEJEM MY BUDEM PREDPOLAGATX SREDU ODNORODNOJ I IZOTROPNOJ. w \TOM SLU^AE " = const,  = const,  = const. mY ^ASTO BUDEM RASSMATRIWATX \LEKTROMAGNITNYE PROCESSY W PUSTOTE, GDE " =  = 1,  = 0, PRI USLOWII OTSUTSTWIQ ZARQDOW I TOKOW. w \TOM SLU^AE URAWNENIQ mAKSWELLA UPRO]A@TSQ: rot H = 1c @@tE
div H = 0


div E = 0: rot E = ; 1c @@tH
uRAWNENIQ (1) I (4) SOWMESTNY, TAK KAK MEVDU  I j IMEETSQ SOOTNO-

ENIE

@ + div j = 0
@t WYRAVA@]EE ZAKON SOHRANENIQ \LEKTRI^ESKOGO ZARQDA. zAKONY \LEKTROMAGNITNOGO POLQ, WYRAVENNYE W DIFFERENCIALXNOJ FORME URAWNENIQMI (1) | (4), MOGUT BYTX WYRAVENY W INTEGRALXNOJ FORME: ZZ I in d
(10 ) Hs ds = 4c

I

C

GDE

C

d ZZ

Es ds = ; 1c dt





Bn d = ; 1c ddt


(20 )

(8) i = jSM + j = 41 @@tD + j 1 @ D | TOK SME]ENIQ). iNTEGRIROWANIE PRO-

| POLNYJ TOK (jSM = 4 @t IZWODITSQ PORRKONTURU C I PO POWERHNOSTI , OPIRA@]EJSQ NA \TOT KONTUR  = Bn d | POTOK INDUKCII, PRONIZYWA@]IJ KONTUR C .

30 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

priloveniq k glawe V

466

oBOZNA^IW ^EREZ T NEKOTORYJ ZAMKNUTYJ OB_EM, A ^EREZ  | OGRANI^IWA@]U@ EGO POWERHNOSTX, BUDEM IMETX WMESTO (3) I (4) ZZ Bn d = 0
(30 )

ZZ



Dn d = 4

ZZZ T

 d = 4e


(40 )

GDE e | POLNYJ ZARQD WNUTRI OB_EMA T . uRAWNENIQ (10 ) | (40 ) IME@T PROSTOJ FIZI^ESKIJ SMYSL I QWLQ@TSQ MATEMATI^ESKIM WYRAVENIEM OPYTNYH FAKTOW, POSLUVIWIH OSNOWANIEM DLQ WYWODA URAWNENIJ mAKSWELLA. tAK, URAWNENIE (100 ) QWLQETSQ OBOB]ENIEM IZWESTNOGO ZAKONA bIO I sAWARA, URAWNENIE (2 ) WYRAVAET ZAKON \LEKTROMAGNITNOJ INDUKCII fARADEQ, URAWNENIE (40 )0 MOVET BYTX NEPOSREDSTWENNO WYWEDENO IZ ZAKONA kULONA, URAWNENIE (3 ) QWLQETSQ SLEDSTWIEM ZAMKNUTOSTI SILOWYH LINIJ MAGNITNOGO POLQ. eSLI SREDA NEODNORODNA, TO K URAWNENI@ mAKSWELLA SLEDUET PRISOEDINITX USLOWIQ SOPRQVENIQ. nA GRANICE RAZDELA DWUH RAZNYH SRED 1 I 2 DOLVNY WYPOLNQTXSQ SLEDU@]IE USLOWIQ: Es(1) = Es(2) (9) (NEPRERYWNOSTX TANGENCIALXNYH SOSTAWLQ@]IH WEKTORA E), Hs(1) = Hs(2) (10) (NEPRERYWNOSTX TANGENCIALXNYH SOSTAWLQ@]IH WEKTORA H), A TAKVE Bn(1)1 = Bn(2)2 (11) (NEPRERYWNOSTX NORMALXNYH SOSTAWLQ@]IH WEKTORA B), Dn(1)1 ; Dn(2)2 = 4
ILI "1 En(1)1 ; "2 En(2)2 = 4
(12) GDE n1 I n2 | NORMALI K POWERHNOSTI RAZDELA DWUH SRED, PRI^EM n1 NAPRAWLENA WNUTRX PERWOJ SREDY, A n2 | WNUTRX WTOROJ SREDY,  | POWERHNOSTNAQ0 PLOTNOSTX ZARQDOW. |TI USLOWIQ LEGKO POLU^A@TSQ IZ URAWNENIJ (1 ) | (40 ). uRAWNENIQ mAKSWELLA WMESTE S GRANI^NYMI USLOWIQMI POZWOLQ@T ODNOZNA^NO NAJTI \LEKTROMAGNITNOE POLE W PROSTRANSTWE PO ZADANNOMU NA^ALXNOMU SOSTOQNI@ POLQ. pRI \TOM DLQ ODNOZNA^NOGO OPREDELENIQ POLQ DOSTATO^NO ISPOLXZOWATX USLOWIQ (9) I (10) NEPRERYWNOSTI TANGENCIALXNYH SOSTAWLQ@]IH POLQ. eSLI \LEKTROMAGNITNYJ PROCESS QWLQETSQ STATI^ESKIM, T. E. NE MENQETSQ WO WREMENI, TO URAWNENIQ mAKSWELLA PRINIMA@T WID rot E = 0
rot H = 4c E + 4c j(e)
div "E = 4


div H = 0:

II. urawneniq |lektromagnitnogo polq

467

eSLI, KROME TOGO, SREDA NE OBLADAET PROWODIMOSTX@, T. E.  = 0, TO MY POLU^AEM DWE NEZAWISIMYE SISTEMY URAWNENIJ DLQ \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ: ) rot E = 0
(URAWNENIQ \LEKTROSTATIKI), div "E = 4 9 rot H= 4c j(e)
=  (URAWNENIQ MAGNITOSTATIKI). div H=0 uRAWNENIQ \LEKTROSTATIKI BYLI RASSMOTRENY NAMI W GL. IV I W PRILOVENIQH K GL. IV. w SLU^AE ODNORODNOJ SREDY NETRUDNO POLU^ITX URAWNENIQ DLQ KAVDOGO IZ WEKTOROW E I H W OTDELXNOSTI. pREDPOLOVIM, ^TO  = 0,

j(e) = 0.

pRIMENQQ K URAWNENI@ (1) OPERACI@ rot, IMEEM @ rot E + 4  rot E
rot rot H = "c @t c OTKUDA W SILU URAWNENIQ (2) I SOOTNOENIQ rot rot H = grad div H ; ; H POLU^IM @ 2 H ; 4 @ H grad div H ; H = ; " 2 c @t2 c2 @t ILI  c2  2 H 4 @ H @ 1 a2 = "
(13) H = a2 @t2 + c2 @t TAK KAK div H = 0: aNALOGI^NO WYWODITSQ URAWNENIE DLQ E 2 @E : E = a12 @@tE2 + 4 (14) 2 c @t w ^ASTNOSTI, KOMPONENTY Ex , Ey , Ez I Hx , Hy , Hz WEKTOROW E I H, UDOWLETWORQ@]IH URAWNENIQM (13) I (14), BUDUT UDOWLETWORQTX ANALOGI^NOMU URAWNENI@ 2 @u u = a12 @@tu2 + 4 (15) c2 @t
GDE u | ODNA IZ PERE^ISLENNYH KOMPONENT. hARAKTER PROCESSA OPREDELQETSQ SWOJSTWAMI SREDY. eSLI SREDA NEPROWODQ]AQ ( = 0), TO MY POLU^AEM OBY^NOE URAWNENIE KOLEBANIJ 2 u = a12 @@tu2
(16) 30


468

priloveniq k glawe V

T. E. \LEKTROMAGNITNYE PROCESSY RASPROSTRANQ@TSQ W NEPROWODQ]EJ SREDE BEZ ZATUHANIQ SO SKOROSTX@ a = c=p", I W ^ASTNOSTI W PUSTOTE SO SKOROSTX@ SWETA c. eSLI SREDA OBLADAET BOLXOJ PROWODIMOSTX@ I MOVNO PRENEBRE^X TOKAMI SME]ENIQ PO SRAWNENI@ S TOKAMI PROWODIMOSTI, TO BUDEM IMETX URAWNENIE PARABOLI^ESKOGO TIPA @u : u = 4 (17) 2 c @t w OB]EM SLU^AE, KOGDA TOKI PROWODIMOSTI I TOKI SME]ENIQ ODNOGO PORQDKA, URAWNENIE (15) QWLQETSQ URAWNENIEM GIPERBOLI^ESKOGO TIPA, OPISYWA@]IM PROCESSY RASPROSTRANENIQ S ZATUHANIEM, WYZYWAEMYM DISSIPACIEJ \NERGII WSLEDSTWIE PROWODIMOSTI. dLQ USTANOWIWIHSQ PROCESSOW, NAPRIMER W ZADA^AH DIFRAKCII u = v(x
y
z ) ei!t
MY PRIHODIM K URAWNENI@ \LLIPTI^ESKOGO TIPA v + (k2 ; iq2 ) v = 0
(18) GDE 2 (19) k2 = !a2
q2 = 4! c2 : sTATI^ESKIE POLQ, KAK BYLO UVE OTME^ENO W GL. IV, OPISYWA@TSQ URAWNENIEM lAPLASA. 2. pOTENCIALY \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. dLQ OPREDELENIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ MY DOLVNY NAJTI ESTX WELI^IN, QWLQ@]IHSQ SOSTAWLQ@]IMI WEKTOROW E I H. w RQDE SLU^AEW, ODNAKO, MOVNO SWESTI \TU ZADA^U K OTYSKANI@ ^ETYREH, A INOGDA I MENXEGO ^ISLA WELI^IN. s \TOJ CELX@ WWODQT POTENCIALY POLQ | WEKTORNYJ A, SKALQRNYJ ' | SLEDU@]IM OBRAZOM. rASSMOTRIM URAWNENIE mAKSWELLA W ODNORODNOJ SREDE, NAPRIMER W PUSTOTE. iZ URAWNENIQ (3) div H = 0

SLEDUET, ^TO WEKTOR H SOLENOIDALEN I POTOMU MOVET BYTX PREDSTAWLEN S POMO]X@ DRUGOGO WEKTORA, A, W WIDE H = rot A: (20) pODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W URAWNENIE (2) rot E = ; 1c @@tH
POLU^AEM   rot E + 1c @@tA = 0


II. urawneniq |lektromagnitnogo polq

469

T. E. WEKTOR E + 1c @@tA QWLQETSQ POTENCIALXNYM I POTOMU MOVET BYTX PREDSTAWLEN W WIDE GRADIENTA NEKOTOROJ SKALQRNOJ FUNKCII ': OTKUDA SLEDUET

E + 1c @@tA = ; grad '
E = ; grad ' ; 1c @@tA :

(21)

wWEDENNYE TAKIM OBRAZOM WEKTORNYJ POTENCIAL A I SKALQRNYJ POTENCIAL ' OPREDELENY NE ODNOZNA^NO. w SAMOM DELE, IZ FORMUL (20) I (21) WIDNO, ^TO MY POLU^IM ODNI I TE VE POLQ, ESLI ZAMENIM A I ' POTENCIALAMI A0 = A + grad F
'0 = ' ; 1c @F @t
GDE F | PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ. ~TOBY USTRANITX \TU NEOPREDELENNOSTX, NALAGA@T NA POTENCIALY A I ' DOPOLNITELXNOE USLOWIE (22) div A + 1c @' @t = 0
NAZYWAEMOE ^ASTO U S L O W I E M l O R E N C A. pOKAVEM, ^TO PRI WYPOLNENII \TOGO USLOWIQ POTENCIALY A I ' UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM 2 ' ; c12 @@t'2 = ;4
(23) 2 4 A ; c12 @@tA (24) 2 = ; c j
GDE  I j | PLOTNOSTI ZADANNYH ZARQDOW I TOKOW. pODSTAWLQQ WYRAVENIQ (20) I (21) W URAWNENIE (1) rot H = 1c @@tE + 4c j I POLXZUQSX WEKTORNYM TOVDESTWOM rot rot A = grad div A ; A
BUDEM IMETX   2 1 @' 4 grad div A + c @t ; A = ; c12 @@tA 2 + c j
OTKUDA W SILU USLOWIQ (22) I SLEDUET URAWNENIE (24). pODSTAWLQQ ZATEM WYRAVENIE (21) W ^ETWERTOE URAWNENIE mAKSWELLA div E = 4

470

priloveniq k glawe V

I U^ITYWAQ USLOWIE (22), POLU^AEM URAWNENIE (23) DLQ '. w SLU^AE ODNORODNOJ PROWODQ]EJ SREDY ( 6= 0) POTENCIALY WWODQTSQ S POMO]X@ SOOTNOENIJ B = rot A
E = ; grad ' ; 1c @@tA : (25) A I ' SWQZANY MEVDU SOBOJ SOOTNOENIEM @' 4 div A + " (26) c @t + c ' = 0 I UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM @ 2 A ; 4 @ A = ; 4 j
(27) A ; " c2 @t2 c2 @t c @ 2 ' ; 4 @' = ; 4
' ; " (28) c2 @t2 c2 @t " K KOTORYM OTNOSITSQ WSE SKAZANNOE WYE PO POWODU URAWNENIJ (23) I (24). eSLI SWOBODNYH ZARQDOW NET (  0), TO POTENCIAL ' = 0 I WEKTORY POLQ WYRAVA@TSQ ^EREZ ODIN WEKTOR-POTENCIAL A, UDOWLETWORQ@]IJ DOPOLNITELXNOMU USLOWI@ div A = 0: w RQDE SLU^AEW \LEKTROMAGNITNYE POLQ MOVNO OPISYWATX S POMO]X@ WEKTORNOGO POTENCIALA, U KOTOROGO OTLI^NA OT NULQ LIX ODNA KOMPONENTA. nEKOTORYE IZ PRIMEROW BUDUT RASSMOTRENY W DALXNEJEM (SM. TAKVE pRILOVENIE I K GL. VII). 3. |LEKTROMAGNITNOE POLE OSCILLQTORA. 1. w TEORII IZLU^ENIQ \LEKTROMAGNITNYH WOLN ^ASTO POLXZU@TSQ PONQTIEM OSCILLQTORA ILI WIBRATORA. |TO PONQTIE TESNO SWQZANO S PREDSTAWLENIEM O LINEJNYH TOKAH. oSCILLQTOR PREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNYJ TOK BESKONE^NO MALOJ DLINY. rASSMOTRIM PRQMOLINEJNYJ TOK L, SILA KOTOROGO MENQETSQ WO WREMENI. w PROSTEJEJ MODELI PREDPOLAGAETSQ, ^TO SILA TOKA NEIZMENNA PO DLINE PROWODNIKA. tOK, POSTOQNNYJ PO DLINE PROWODNIKA, SWQZAN S NALI^IEM NA EGO KONCAH ZARQDOW, MENQ@]IHSQ WO WREMENI. pO ANALOGII S \LEKTROSTATI^ESKIM DIPOLEM, PREDSTAWLQ@]IM SOWOKUPNOSTX DWUH ZARQDOW +e I ;e, OSCILLQTOR MOVNO HARAKTERIZOWATX MOMENTOM p(t) = e(t) l: (29) sILA TOKA W OSCILLQTORE, O^EWIDNO, RAWNA J (t) = e_(t)


II. urawneniq |lektromagnitnogo polq

471

TAK ^TO

dp = J (t) l: (30) dt pROIZWEDENIE J (t)l = J0 (t) NAZYWA@T MOMENTOM TOKA. 2. nAJDEM \LEKTRI^ESKOE POLE, WOZBUVDAEMOE OSCILLQTOROM S MOMENTOM p = p0f (t) (31) W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE, PREDPOLAGAQ, ^TO  = 0, " = 1,  = 1 (WAKUUM). rASSMOTRIM ZADA^U O WOZBUVDENII \LEKTROMAGNITNOGO POLQ PRQMOLINEJNYM TOKOM L, PREDELXNYM SLU^AEM KOTOROGO QWLQETSQ OSCILLQTOR. wNE TOKA L \LEKTROMAGNITNOE POLE OPREDELQETSQ IZ URAWNENIJ mAKSWELLA 9 rot H = 1c @@tE
div H = 0
> = rot E = ; 1 @ H


> div E = 0: 

(32)

c @t nA LINII TOKA L WEKTORY POLQ H I E DOLVNY IMETX OSOBENNOSTX, HARAKTERIZU@]U@SQ TEM, ^TO CIRKULQCIQ PO BESKONE^NO MALOJ OKRUVNOSTI K" , OHWATYWA@]EJ LINI@ TOKA L, IMEET SLEDU@]EE ZNA^ENIE: I lim Hs ds = 4c J
(33) "!0 K"

GDE J = J (t) | SILA TOKA. iZ \TOGO USLOWIQ SLEDUET, ^TO SOSTAWLQ@]AQ Hs NA TOKE IMEET OSOBENNOSTX TIPA Hs 2cJ
(34)

GDE  = jM0 P j (M0 | TO^KA NA LINII L, P | TO^KA NA K" (PRI  = ")). dLQ ODNOZNA^NOGO OPREDELENIQ POLQ NADO DOBAWITX NA^ALXNYE USLOWIQ, KOTORYE MY PREDPOLAGAEM NULEWYMI. dLQ REENIQ \TOJ ZADA^I CELESOOBRAZNO WWESTI POTENCIALY A I ', ^EREZ KOTORYE, KAK MY WIDELI (SM. S. 468), POLQ WYRAVA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: 9 H = rot A
> = (35)  E = ; 1c @@tA ; grad '
> ;!

priloveniq k glawe V

472

PRI^EM

div A + 1c @' @t = 0:

(36)

wEKTORNYJ POTENCIAL WNE TOKA L UDOWLETWORQET ODNORODNOMU URAWNENI@ KOLEBANIJ 2 A ; c12 @@tA2 = 0: (37) wWEDEM DEKARTOWU SISTEMU KOORDINAT, NAPRAWIW OSX z WDOLX TOKA L. pOLOVIM A = A(x
y
z) z0
GDE z0 | EDINI^NYJ WEKTOR OSI z . fUNKCIQ A(x
y
z ), O^EWIDNO, UDOWLETWORQET WNE LINII TOKA L ODNORODNOMU URAWNENI@ KOLEBANIJ 2 A ; c12 @@tA2 = 0: (38) ~TOBY WYQSNITX OSOBENNOSTX WEKTORA A NA TOKE, WOSPOLXZUEMSQ USLOWIEM (34). iZ URAWNENIQ (35) SLEDUET, ^TO Hs = @A @ : pOLXZUQSX DALEE USLOWIEM (34), NAHODIM, ^TO FUNKCIQ A(x
y
z ) DOLVNA W TO^KAH LINII L IMETX OSOBENNOSTX WIDA A 2cJ ln : (39) bUDEM ISKATX POTENCIAL A W WIDE

Z

A(P
t) = A1 (P
M
t) dlM L

(P = P (x
y
z ))


(40)

GDE A0 (P
M
t) = A1 (P
M
t) dlM | WEKTOR-POTENCIAL \LEMENTARNOGO TOKA OSCILLQTORA, MOMENT KOTOROGO RAWEN J0 = J dl. dLQ TOGO ^TOBY POTENCIAL A IMEL NUVNU@ OSOBENNOSTX, FUNKCIQ A0 (P
M
t) DOLVNA IMETX OSOBENNOSTX WIDA J0 (t) : (41) A0 (P
M
t) cR PM w SAMOM DELE, PREDPOLAGAQ, ^TO A0 IMEET UKAZANNU@ OSOBENNOSTX, I WY^ISLQQ PO FORMULE (40) ZNA^ENIE A WBLIZI TOKA L (0 < z < l), POLU-

II. urawneniq |lektromagnitnogo polq

^AEM A J

Zl 0

1 d = J cR c MP

Zl 0

p2 +d(z ;  )2

473

=

p



h il p z ; l + p2 + (z ; l)2 = = Jc ln z ;  + 2 + (z ;  )2  = Jc ln z + 2 + z 2 0 (l ; z ) = Jc ln



2



;1 + 1 + 2 (l ; z)2 + : : :

p = 2cJ ln  + : : :
z + 2 + z 2 GDE TO^KAMI OBOZNA^ENY ^LENY, NE OBRA]A@]IESQ W BESKONE^NOSTX PRI  = 0. 3. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ A0 (P
M
t) DOLVNA UDOWLETWORQTX PO PEREMENNYM P (x
y
z ), t URAWNENI@ KOLEBANIJ 2 A0 ; c12 @@tA20 = 0 (42) WS@DU, KROME TO^KI M , A W \TOJ TO^KE ONA DOLVNA IMETX OSOBENNOSTX WIDA J0 (t) : A0 cR (43) MP nA^ALXNYE USLOWIQ W SILU SKAZANNOGO WYE | NULEWYE. rEENIE \TOJ ZADA^I, KAK MY WIDELI W GL. V, PREDSTAWLQETSQ W WIDE ZAPAZDYWA@]EGO POTENCIALA ; RMP =c) : A0 (M
P
t) = J0 (t cR (44) MP kAK BYLO OTME^ENO WYE, MOMENT TOKA RAWEN  J0(t) = J (t) dl = ddtp = p0 f (t): (45) tAKIM OBRAZOM, WEKTOR-POTENCIAL OSCILLQTORA MOVNO TAKVE PREDSTAWITX W WIDE A0 = p0 f (t ; r=c) : 

(46) cr ~ASTO WMESTO WEKTORA-POTENCIALA POLXZU@TSQ POLQRIZACIONNYM POTENCIALOM, ILI WEKTOROM gERCA , POLAGAQ A = 1c @@t : (47)

priloveniq k glawe V

474

wEKTOR  TAKVE UDOWLETWORQET URAWNENI@ 2  ; c12 @@t (48) 2 =0 I SWQZAN SO SKALQRNYM POTENCIALOM SOOTNOENIEM ' = ; div : (49) wEKTORY POLQ E I H WYRAVA@TSQ ^EREZ POLQRIZACIONNYJ POTENCIAL S POMO]X@ FORMUL 2 E = grad div  ; c12 @@t2 = rot rot 
(50)

H = 1c rot @@t :

(51) u^ITYWAQ SOOTNOENIE (46), POLU^AEM SLEDU@-

]EE WYRAVENIE POLQRIZACIONNOGO POTENCIALA DLQ OSCILLQTORA: 0 = p0f (tr; r=c)
ILI 0 = p(t ;r r=c) :

rIS. 77

(52) 4. dLQ WY^ISLENIQ POLEJ E I H PEREJDEM K SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT (r
#
'), W NA^ALE KOORDINAT KOTOROJ POMESTIM OSCILLQTOR I NAPRAWIM OSX z (# = 0) WDOLX WEKTORA p0 (RIS. 77). oBOZNA^IM ^EREZ ir , i#, i' EDINI^NYE WEKTORY SFERI^ESKOJ SISTEMY KOORDINAT. wEKTOR 0 , PARALLELXNYJ WEKTORU p, MOVET BYTX PREDSTAWLEN W

WIDE

0 = )0 cos #ir ; )0 sin #i#
)0 = j0 j:

)

(53)

pODSTAWLQQ WYRAVENIE (53) W FORMULY (50) I (51), POLXZUQSX WYRAVENIEM DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA rot F W SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT @  @F# i + 1 (sin #F ) ; rot F = r sin ' # @# @' r









1 @Fr ; @ (rF ) i + 1 @ (rF ) ; @Fr i r sin # @' @r ' # r @r # @# ' I U^ITYWAQ, ^TO )0 = )0 (r
t), POLU^AEM 9 > E = ; 2 cos # @ )0
+1

> = @r   @ r @ )0
E = 0
> >  E# = sinr # @r ' @r r

r

(54)

II. urawneniq |lektromagnitnogo polq

9 > = 2  H' = ; sin # 1 @ )0 :> Hr = 0


H# = 0


475 (55)

c @r @t iZ URAWNENIJ (54) I (55) SLEDUET, ^TO \LEKTRI^ESKOE I MAGNITNOE POLQ OSCILLQTORA WZAIMNO PERPENDIKULQRNY. 5. rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA MOMENT DIPOLQ PERIODI^ESKI ZAWISIT OT WREMENI: p(t) = p0 e;i!t : w \TOM SLU^AE FORMULY (54) I (55) DA@T  1 ik  9 > Er = 2 cos # r2 ; r )0
> > > >  1 ik  =   ! 2 E# = sin # r2 ; r ; k )0 k = c
> (56) >



GDE



H' = ik sin # ik ; 1r )0
ikr

)0 = p0 e r e;i!t :

> > > 

(57)

iSHODQ IZ FORMUL (56), LEGKO USTANOWITX OSOBENNOSTI STROENIQ POLQ OSCILLQTORA. nA RASSTOQNIQH, MALYH PO SRAWNENI@ S DLINOJ WOLNY  = = 2=k (kr  1), W FORMULAH (56) MOVNO OGRANI^ITXSQ ODNIM ^LENOM. pOLU^A@]IESQ PRI \TOM FORMULY DLQ NAPRQVENNOSTI \LEKTRI^ESKOGO POLQ SOOTWETSTWU@T POL@ STATI^ESKOGO DIPOLQ, \LEKTRI^ESKIJ MOMENT KOTOROGO p RAWEN MGNOWENNOMU ZNA^ENI@ MOMENTA OSCILLQTORA p(t). dLQ NAPRQVENNOSTI MAGNITNOGO POLQ POLU^AETSQ WYRAVENIE, SOOTWETSTWU@]EE ZAKONU bIO I sAWARA. nA BOLXIH RASSTOQNIQH OT DIPOLQ R   (kr  1) W FORMULE (56) MOVNO PRENEBRE^X WSEMI ^LENAMI BOLEE WYSOKOGO PORQDKA ^EM 1=r. pRI \TOM POLU^IM Er = 0
E# = H' = ;k2 sin #)0
(58) T. E. POLE STANOWITSQ POPERE^NYM OTNOSITELXNO NAPRAWLENIQ RASPROSTRANENIQ. tAKIE UDALENNYE OBLASTI POLQ, GDE POLE IZLU^ENIQ STANOWITSQ POPERE^NYM, NAZYWA@TSQ W O L N O W O J Z O N O J OSCILLQTORA. ~TOBY PODS^ITATX POTOK \NERGII ^EREZ POWERHNOSTX SFERY RADIUSA R S CENTROM W OSCILLQTORE, NADO WY^ISLITX WEKTOR uMOWA | pOJNTINGA S = 4c j EH] j = 4c EH I PROINTEGRIROWATX \TO WYRAVENIE PO SFERE.

priloveniq k glawe V

476

iZ FORMUL (57) I (58) SLEDUET, ^TO W WOLNOWOJ ZONE WE]ESTWENNAQ ^ASTX WEKTOROW H' I E# OPREDELQETSQ WYRAVENIEM  r 2 # H' = E# = ; ! csin p cos ! t; c
0 2r OTKUDA   2# 2 4 2! t; r : S = p40 ! sin cos r2 c3 c pOTOK \NERGII ^EREZ SFERU RADIUSA R ZA WREMQ ODNOGO POLNOGO PERIODA T = 2=! BUDET OPREDELQTXSQ WYRAVENIEM

Z Z  = T1 dt T

ILI

0

 Z2

0 0

SR2 sin # d# d' =





2p20 !4 1 Z cos2 ! t ; R dt 3c3 T c T

0

2 4

 = p30c!3 :

|NERGIQ, IZLU^AEMAQ GARMONI^ESKIM OSCILLQTOROM, PROPORCIONALXNA ^ETWERTOJ STEPENI ^ASTOTY:   !4
ILI   14
GDE  | DLINA WOLNY.

g l a w a VI

rasprostranenie tepla w prostranstwe x 1. rASPROSTRANENIE TEPLA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE 1. fUNKCIQ TEMPERATURNOGO WLIQNIQ. w GL. III BYLO POKA-

ZANO, ^TO PROCESS RASPROSTRANENIQ TEPLA W ODNORODNOM IZOTROPNOM PROSTRANSTWE OPREDELQETSQ URAWNENIEM TEPLOPROWODNOSTI  k ut = a2 u a2 = c
(1) GDE u(M
t) | TEMPERATURA TO^KI M (x
y
z ) W MOMENT t,2 | PLOTNOSTX, c | KO\FFICIENT UDELXNOJ TEPLOEMKOSTI, k = const I a = k=(c) | KO\FFICIENTY TEPLOPROWODNOSTI I TEMPERATUROPROWODNOSTI. uRAWNENIE (1) DOPUSKAET TAKVE DIFFUZIONNOE ISTOLKOWANIE. w \TOM SLU^AE u | KONCENTRACIQ DIFFUNDIRU@]EGO WE]ESTWA, a2 = D | KO\FFICIENT DIFFUZII. rASSMOTRIM W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE SLEDU@]U@ ZADA^U. nAJTI REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI  k f ut = a2 u + c a2 = c
;1 < x
y
z < 1
t > 0 (2) (f | PLOTNOSTX TEPLOWYH ISTO^NIKOW) PRI NA^ALXNOM USLOWII u(x
y
z
0) = '(x
y
z ): (3) rEENIE \TOJ ZADA^I MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE SUMMY u = u1 + u2
GDE u1 | REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ (1) S NEODNORODNYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI, u2 | REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ (2) S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI. pRI IZU^ENII SOOTWETSTWU@]IH ODNOMERNYH ZADA^ MY WIDELI, ^TO DLQ IH REENIQ DOSTATO^NO OPREDELITX FUNKCI@ ISTO^NIKA. pOSTROIM FUNKCI@ ISTO^NIKA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE.

478

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

pREDWARITELXNO DOKAVEM SLEDU@]U@ LEMMU, KOTORAQ BUDET NAMI ISPOLXZOWANA W DALXNEJEM. eSLI REENIE URAWNENIQ u ; 1=a2  ut = 0 ZAWISIT TOLXKO OT r I t, TO FUNKCIQ v = ru UDOWLETWORQET URAWNENI@ @ 2 v = 1 @v : (4) @r2 a2 @t w SAMOM DELE, ZAPISYWAQ OPERATOR lAPLASA W SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT, WIDIM, ^TO FUNKCIQ u = u(r
t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ @ 2 u + 2 @u ; 1 @u = 0
ILI 1 @ 2 (ru) ; 1 @u = 0 @r2 r @r a2 @t r @r2 a2 @t POLAGAQ ZATEM ru = v, POLU^AEM DLQ v URAWNENIE (4) (SR. S GL. V, x 1, P. 1). pUSTX W NA^ALE KOORDINAT POME]EN NEPRERYWNO DEJSTWU@]IJ TEPLOWOJ ISTO^NIK POSTOQNNOJ MO]NOSTI q, A W OSTALXNOM PROSTRANSTWE NA^ALXNAQ TEMPERATURA RAWNA NUL@: u(r
0) = 0 PRI r 6= 0: o^EWIDNO, ^TO W \TOM SLU^AE TEMPERATURA u QWLQETSQ FUNKCIEJ TOLXKO r I t. nALI^IE TEPLOWOGO ISTO^NIKA PRI r = 0 OZNA^AET, ^TO TEPLOWOJ POTOK W EDINICU WREMENI ^EREZ SFERU S" S CENTROM W r = 0 I RADIUSOM " PRI " ! 0 RAWEN q, T. E.

2 ZZ 3 @u d5 = q: lim 4; k @n "!0 S"

tAK KAK NORMALXNAQ PROIZWODNAQ @u=@n = @u=@r W SILU SIMMETRII POSTOQNNA NA POWERHNOSTI S" , TO  2   4 r ;k @u r=" ! q PRI " ! 0
@r ^TO OZNA^AET NALI^IE U PROIZWODNOJ @u=@r PRI r = 0 OSOBENNOSTI WIDA ;q=(4kr2 ). sLEDOWATELXNO, SAMA FUNKCIQ PRI r = 0 DOLVNA IMETX OSOBENNOSTX WIDA q
u  4kr TAK ^TO PROIZWEDENIE ru = v OSTAETSQ OGRANI^ENNYM PRI r = 0.

x 1]

neograni~ennoe prostranstwo

fUNKCIQ v, OPREDELQEMAQ USLOWIQMI 9 @ 2 v = 1 @v
> > @r2 a2 @t > = q v(0
t) = 4k = v0
> > WYRAVAETSQ FORMULOJ



v(r
t) = v0 1 ; 

v(r
0) = 0


479

(5)

> > 

1  r  1 p2 Z e;2 d p = q 4k  r 2 a2 t p 2

a2 t

(SM. FORMULU (33) IZ GL. III, x 3). sLEDOWATELXNO, REENIE ZADA^I O RASPROSTRANENII TEPLA PRI NEPRERYWNO DEJSTWU@]EM ISTO^NIKE MO]NOSTI q, POME]ENNOM W NA^ALE KOORDINAT (r = 0), IMEET WID 1 1 p2 u(r
t) = qU (r
t) = q 4k r 

Z1

pr 2 a2 t

e;2 d


(6)

GDE U (r
t) | TEMPERATURA, SOOTWETSTWU@]AQ EDINI^NOMU ISTO^NIKU (q = 1). ~TOBY PEREJTI K SLU^A@ MGNOWENNOGO ISTO^NIKA, RASSMOTRIM ISTO^NIK MO]NOSTI q, POME]ENNYJ W TO^KU (

 ) I NEPRERYWNO DEJSTWU@]IJ W TE^ENIE PROMEVUTKA WREMENI  . tAKOJ ISTO^NIK \KWIWALENTEN DWUM ISTO^NIKAM MO]NOSTI: +q I ;q, PERWYJ IZ NIH WKL@^AETSQ PRI t = 0, WTOROJ | PRI t =  . rASPREDELENIE TEMPERATUR PRI \TOM WYRAVAETSQ FORMULOJ u (r
t) = q U (r
t) ; U (r
t ;  )]: zA PROMEVUTOK WREMENI  WYDELQETSQ KOLI^ESTWO TEPLA Q = q , PO\TOMU u (r
t) = Q U (r
t) ; U (r
t ;  )]: pEREHODQ K PREDELU PRI  ! 0 I S^ITAQ Q POSTOQNNYM, NAHODIM @U = Q p2 e; 4ra22 t pr u0 (r
t) = lim u ( r
t ) = Q a2
 2 2 3 !0 @t 4kr  4a a t ILI Q G(x
y
z
t 

 )
u0 (r
t) = c

480

rasprostranenie tepla w prostranstwe

GDE G(x
y
z
t 

 ) =



p1

3

2 a2 t

e;

(x;)2 +(y ; )2 +(z ; )2 4a2 t

gl. VI

:

(7)

fUNKCIQ G(x
y
z
t 

 ) ESTX F U N K C I Q T E M P E R A TU R N O G O W L I Q N I Q MGNOWENNOGO ISTO^NIKA TEPLA. oNA PREDSTAWLQET SOBOJ TEMPERATURU W TO^KE x, y, z W MOMENT WREMENI t, WYZYWAEMU@ TO^E^NYM ISTO^NIKOM MO]NOSTI Q = c, POME]ENNYM W MOMENT t = 0 W TO^KU (

 ). nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO 1 ZZZ

G(x
y
z
t 

 ) d d d = 1:

(8)

;1

w SAMOM DELE, TROJNOJ INTEGRAL (8) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ TREH INTEGRALOW, KAVDYJ IZ KOTORYH RAWEN EDINICE:

Z1

;1

p1

2 a2 t

2 ; (x;2)

e

4a

t

d = p1



Z1

e;2 d = 1

;1





= p; x2 : 2 at

iZ FORMULY (7) WIDNO, ^TO FUNKCIQ WLIQNIQ G OBLADAET S W O JSTWOM SIMMETRII G(x
y
z
t 

 ) = G(


t x
y
z )
QWLQ@]IMSQ WYRAVENIEM PRINCIPA WZAIMNOSTI: DEJSTWIE W TO^KE (x
y
z ) ISTO^NIKA, NAHODQ]EGOSQ W TO^KE (

 ), RAWNO DEJSTWI@ W TO^KE (

 ) TAKOGO VE ISTO^NIKA, POME]ENNOGO W TO^KU (x
y
z ). oDNAKO OTNOSITELXNO PEREMENNOJ t TAKAQ SIMMETRIQ NE IMEET MESTA, ^TO QWLQETSQ WYRAVENIEM NEOBRATIMOSTI TEPLOWYH PROCESSOW WO WREMENI. oPREDELIM WID FUNKCII WLIQNIQ G W SLU^AE DWUH IZMERENIJ. pUSTX NA PRQMOJ, PARALLELXNOJ OSI z I PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU (
), RASPOLOVEN BESKONE^NYJ LINEJNYJ ISTO^NIK OBOZNA^IM ^EREZ Q = = const MO]NOSTX ISTO^NIKA, OTNESENNU@ K EDINICE DLINY. fUNKCIQ WLIQNIQ G2 TAKOGO ISTO^NIKA NE BUDET ZAWISETX OT z I WPOLNE HARAKTERIZUETSQ SWOIMI ZNA^ENIQMI W PLOSKOSTI (x
y). wY^ISLIM FUNKCI@ G2 . pUSTX NA \LEMENTE d WYDELQETSQ KOLI^ESTWO TEPLA dQ = Q d
TOGDA RASPREDELENIE TEMPERATURY W PROSTRANSTWE DAETSQ INTEGRALOM u =

Z1 Q d

;1

c G(x
y
z
t 

 ):

x 1]

neograni~ennoe prostranstwo

wY^ISLQQ INTEGRAL

Z1

;1

; (z;2 )

e

POLU^AEM

4a

2

t

Z1 p 2 d = 2 a t e;

2

p d = 2 a2 t

;1

481





= p; z2
2 at

Q G
u = c 2

GDE G2 (x
y
t 
) =



1 p 2 a2 t

2

e;

(x;)2 +(y ; )2 4a2 t

:

(80 )

sOPOSTAWLQQ \TU FUNKCI@ S FORMULOJ (7), WIDIM IH SHODSTWO PO STRUKTURE. aNALOGI^NYM SPOSOBOM MOVNO POLU^ITX WYRAVENIE DLQ FUNKCII ISTO^NIKA W ODNOMERNOM SLU^AE. rASSMATRIWAQ BESKONE^NYJ PLOSKIJ ISTO^NIK S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ Q , POLU^AEM Z1 Z1 Q d d Q G (x
t  )
u = G ( x
y
z
t  

 ) = c c 1 ;1 ;1 GDE

G1 (x
t  ) = p1 2 e; 4a2 t 2 a t | FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ ODNOGO IZMERENIQ. w GL. III BYLI DANY GRAFIKI, HARAKTERIZU@]IE POWEDENIE FUNKCII WLIQNIQ G(x
t  ). kA^ESTWENNAQ HARAKTERISTIKA FUNKCII ISTO^NIKA, DANNAQ TAM VE, IMEET MESTO I DLQ PROSTRANSTWENNOGO SLU^AQ. 2. rASPROSTRANENIE TEPLA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. iSPOLXZUEM TEPERX FUNKCI@ ISTO^NIKA, POLU^ENNU@ W PREDYDU]EM PUNKTE, DLQ REENIQ ZADA^I O RASPROSTRANENII NA^ALXNOJ TEMPERATURY W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. pUSTX TREBUETSQ NAJTI REENIE URAWNENIQ ut = a2 u
;1 < x
y
z < 1
t > 0
(1) UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@ u(x
y
z
0) = '(x
y
z ): (3) nA^ALXNOE TEMPERATURNOE SOSTOQNIE, O^EWIDNO, MOVNO PREDSTAWITX KAK REZULXTAT SUPERPOZICII DEJSTWIQ MGNOWENNYH ISTO^NIKOW, SOZDA@]IH NA^ALXNU@ TEMPERATURU. rASSMOTRIM \LEMENT OB_EMA d d d , SODERVA]IJ TO^KU (

 ). dLQ SOZDANIQ NA^ALXNOJ TEMPERATURY '(

 ) NEOBHODIMO W OB_EME d d d POMESTITX KOLI^ESTWO TEPLA dQ = c'(

 ) d d d . (x;)2

31 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

482

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

|TO SOSREDOTO^ENNOE KOLI^ESTWO TEPLA SOZDAST W TO^KE (x
y
z ) W MOMENT t TEMPERATURU dQ G(x
y
z
t 

 ) = G(x
y
z
t 

 ) '(

 ) d d d: (9) c w SILU PRINCIPA SUPERPOZICII REENIE NAEJ ZADA^I MOVET BYTX POLU^ENO INTEGRIROWANIEM (9) PO WSEMU PROSTRANSTWU: u(x
y
z
t) =

1 ZZZ

G(x
y
z
t 

 ) '(

 ) d d d:

(10)

;1

fORMULA (10) POLU^ENA NAMI W REZULXTATE NAWODQ]IH RASSUVDENIJ, NE OPREDELQ@]IH GRANICY EE PRIMENIMOSTI I NE IME@]IH DOKAZATELXNOJ SILY. dOKAVEM SLEDU@]EE UTWERVDENIE. eSLI FUNKCIQ ' KUSO^NO-NEPRERYWNA I OGRANI^ENA, j'j < A, TO FUNKCIQ u, OPREDELQEMAQ WYRAVENIEM u(x
y
z
t) =



p1

2 a2 t

1 3 ZZZ

e;

(x;)2 +(y ; )2 +(z ; )2 4a2 t

'(

 ) d d d


;1

(100 ) 1) OGRANI^ENA WO WSEM PROSTRANSTWE : juj < A 2) QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI PRI t > 0 3) PRI t = 0 NEPRERYWNA W TO^KAH NEPRERYWNOSTI FUNKCII ' I UDOWLETWORQET USLOWI@ u(x
y
z
0) =0 '(x
y
z ). dLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO (10 ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (1), WOSPOLXZUEMSQ IZWESTNOJ LEMMOJ (SM. GL. III, x 3). pUSTX U (x
y
z
t  ) PRI L@BOM ZNA^ENII PARAMETRA  QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ L(u) = 0, GDE L(u) | LINEJNYJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR. tOGDA FUNKCIQ

Z

u(x
y
z
t) = U (x
y
z
t  ) '( ) d

TAKVE BUDET REENIEM URAWNENIQ L(u) = 0, ESLI PROIZWODNYE FUNKCII u, WHODQ]IE W OPERATOR L(u), MOVNO WY^ISLQTX DIFFERENCIROWANIEM POD ZNAKOM INTEGRALA. w NAEM SLU^AE U = G UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI PRI L@BYH  , ,  I t > 0. kAK IZWESTNO, DIFFERENCIROWANIE PO PARAMETRU POD ZNAKOM NESOBSTWENNOGO INTEGRALA WOZMOVNO, ESLI: 1) PROIZWODNAQ PO PARAMETRU OT PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII NEPRERYWNA I 2) INTEGRAL, POLU^ENNYJ POSLE FORMALXNOGO DIFFERENCIROWANIQ, RAWNOMERNO SHODITSQ.

x 1]

neograni~ennoe prostranstwo

483

pROIZWEDQ FORMALXNOE DIFFERENCIROWANIE INTEGRALA (100 ) PO x, POLU^IM 1   ; (x )2 +(y )2+(z )2 ZZZ x ;  4a2 t ; 2a2t e '(

 ) d d d: (11) ;

;

;

;1

pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA PRI t > t > 0, A NALI^IE MNO(x )2 +(y )2 +(z  )2 4a2 t VITELQ e; OBESPE^IWAET RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX, ESLI ' OGRANI^ENO: j'j < A. aNALOGI^NYE REZULXTATY MY POLU^IM PRI POWTORNOM DIFFERENCIROWANII PO x I PRI DIFFERENCIROWANII PO t TO VE OTNOSITSQ I K DIFFERENCIROWANI@ PO y I z . tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ G UDOWLETWORQET WSEM USLOWIQM LEMMY PRI t > 0. sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ u PRI t > 0 UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI . oGRANI^ENNOSTX FUNKCII u, OPREDELQEMOJ FORMULOJ (100 ), KOTORU@ MY PEREPIEM W WIDE ;

;

;

u(M
t) =

1 ZZZ

G(M
M 0
t) '(M 0 ) dM
0

;1

M = M (x
y
z )
M 0 = M 0 (

 )
USTANAWLIWAETSQ NEPOSREDSTWENNO, ESLI PRINQTX WO WNIMANIE RAWENSTWO (8):

juj < A

1 ZZZ

G d = A:

(12)

;1

pEREJDEM K DOKAZATELXSTWU NEPRERYWNOSTI u(x
y
z
t) PRI t = 0. rASSMOTRIM TO^KU M0 (x0
y0
z0 ), QWLQ@]U@SQ TO^KOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII ', I DOKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE (") > 0, ^TO ju(M
t) ; '(M0)j < " PRI j;;;! MM0 j < (") I t < ("): (13) pOSTROIM WSPOMOGATELXNU@ OBLASTX T1 , SODERVA]U@ TO^KU M0  EE RAZMERY BUDUT OPREDELENY NIVE OSTALXNU@ ^ASTX PROSTRANSTWA OBOZNA^IM ^EREZ T2. pRINIMAQ WO WNIMANIE RAWENSTWA u(M
t) = '(M0 ) = 31


ZZZ

G(M
M 0
t) '(M 0 ) dM +

ZZZ

0

T1

ZZZ

G(M
M 0
t) '(M 0 ) dM
0

T2

G(M
M 0
t) '(M0 ) dM + '(M0 )

ZZZ

0

T1

G(M
M 0
t) dM
0

T2

rasprostranenie tepla w prostranstwe

484

gl. VI

A TAKVE POLOVITELXNOSTX FUNKCII G(M
M 0
t), BUDEM IMETX ju(M
t) ; '(M0)j 6 J1 + J2
GDE ZZZ J1 = G(M
M 0
t) j'(M 0 ) ; '(M0 )j dM
0

T1

J2 = 2A

ZZZ

G(M
M 0
t) dM :

(15) (16)

0

T2

(14)

iZ NEPRERYWNOSTI FUNKCII ' W FIKSIROWANNOJ TO^KE M0 SLEDUET: KAKOWO BY NI BYLO  > 0, NAJDETSQ TAKOE 0 () > 0, ^TO 0 ! j'(M 0 ) ; '(M0 )j < 
ESLI j;M;;; M0 j < 0 (): sLEDOWATELXNO, ESLI DIAMETR OBLASTI T1 NE PREWOSHODIT 0 ("=3), TO 1 ZZZ ZZZ " " J < G d < G d = " : (17) 1

3

M

T1

3

0

;1

3

oSTANOWIMSQ TEPERX PODROBNO NA WYBORE OBLASTI T1 . w KA^ESTWE T1 MY MOVEM WYBRATX SFERU S CENTROM W TO^KE M (x
y
z ), ^TO UDOBNO DLQ OCENKI INTEGRALA J2 . oCENKA (17) INTEGRALA J1 SOHRANQET SILU, ESLI RADIUS \TOJ SFERY WYBRATX RAWNYM   0 = 21 0 3"

I ESLI j;;;! MM0 j < 0 . pEREHODQ K SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT S CENTROM W TO^KE M , POLU^AEM

ZZZ T1

G d = 4

= p4

 TAK KAK

2



3 Z0

p1

2 a2 t

0

r2

e; 4a2 t r2 dr =

0

Zpa2 t 0

Z1 0

2 e;a2 d

;;! p4

2 e;2 d =

t!0



Z1 0

2 e;2 d = 1





=

p

Z ; 12 e;2  + 21 e;2 d = 4 : 1

0

1

0

r p 2 a2 t






x 1]

neograni~ennoe prostranstwo

tAKIM OBRAZOM,

ZZZ T2

G d = 1 ;

ZZZ T1

G d ! 0

PRI

485

t ! 0


T. E. DLQ WSQKOGO " > 0 MOVNO UKAZATX TAKOE 00 ("), ^TO ZZZ G d < 3"A
T2 I, SLEDOWATELXNO, J2 < 23"
(18) ESLI TOLXKO t < 00 ("). wYBIRAQ IZ ^ISEL 1=2  0 ("=3) I 00 (") NAIMENXEE I OBOZNA^AQ EGO ^EREZ ("), BUDEM IMETX NERAWENSTWO ju(M
t) ; '(M0)j < " PRI j;;;! MM0 j < (") I t < (")
(13) KOTOROE I DOKAZYWAET NEPRERYWNOSTX u(M
t) PRI t = 0 WO WSQKOJ TO^KE M0 NEPRERYWNOSTI FUNKCII '(M ). pEREJDEM TEPERX K REENI@ NEODNORODNOGO URAWNENIQ f
;1 < x
y
z < 1
t > 0
ut = a2 u + c PRI NULEWOM NA^ALXNOM USLOWII u(x
y
z
0) = 0. rASSMOTRIM TO^KU (

 ) W MOMENT WREMENI  < t. kOLI^ESTWO TEPLA, WYDELQ@]EGOSQ W \LEMENTE d d d ZA WREMQ d I RAWNOE dQ = f d d d d
OBESPE^IWAET W TO^KE (x
y
z ) W MOMENT WREMENI t TEMPERATURU 1

c G(x
y
z
t 


 ) f (


 ) d d d d: pOLXZUQSX PRINCIPOM SUPERPOZICII, MY MOVEM NAPISATX REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I W WIDE u(x
y
z
t) =

1 Zt ZZZ

0

;1

1

c G(x
y
z
t 


 ) f (


 ) d d d d: (19)

nA DOKAZATELXSTWE SPRAWEDLIWOSTI \TOJ FORMULY I WYQSNENII USLOWIJ EE PRIMENIMOSTI MY NE OSTANAWLIWAEMSQ. zADA^I DLQ POLUPROSTRANSTWA S ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI PERWOGO I WTOROGO RODA REA@TSQ METODOM OTRAVENIQ.

486

rasprostranenie tepla w prostranstwe

x 2. rASPROSTRANENIE TEPLA W OGRANI^ENNYH TELAH

gl. VI

1. sHEMA METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH. rANEE MY RASSMATRIWALI RASPROSTRANENIE TEPLA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. pRI IZU^ENII RASPROSTRANENIQ TEPLA W OGRANI^ENNOM TELE NEOBHODIMO K URAWNENI@ I NA^ALXNOMU USLOWI@ DOBAWITX USLOWIQ NA GRANICE TELA, KOTORYE W PROSTEJIH SLU^AQH QWLQ@TSQ GRANI^NYMI USLOWIQMI PERWOGO, WTOROGO ILI TRETXEGO RODA. rASSMOTRIM PROSTEJU@ ZADA^U S ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIEM PERWOGO RODA. nAJTI REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 u WNUTRI T PRI t > 0 (1) S NA^ALXNYM USLOWIEM u(x
y
z
0) = '(x
y
z ) I GRANI^NYM USLOWIEM u j = 0
GDE  | GRANICA OBLASTI T. rEENIE \TOJ ZADA^I MOVET BYTX POLU^ENO OBY^NYM METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, IZLOVENNYM PRIMENITELXNO K URAWNENI@ utt = = a2 u W GL. V, x 3 PRIMENQETSQ \TOT METOD K NAEJ ZADA^E SOWERENNO ANALOGI^NO. rASSMOTRIM WSPOMOGATELXNU@ ZADA^U. nAJTI NETRIWIALXNOE REENIE URAWNENIQ ut ; a2 u = 0 W T PRI t > 0
(2) UDOWLETWORQ@]EE ODNORODNOMU GRANI^NOMU USLOWI@ u j = 0 I PREDSTAWIMOE W WIDE PROIZWEDENIQ u(M
t) = v(M ) T (t) 6 0: rAZDELQQ PEREMENNYE OBY^NYM SPOSOBOM, PRIHODIM K SLEDU@]IM USLOWIQM, OPREDELQ@]IM FUNKCII v(M ) I T (t): ) v + v = 0 W T
v(M ) 6 0
(3) v = 0 NA  I T 0 + a2 T = 0: (4) dLQ FUNKCII v POLU^AEM ZADA^U NA OTYSKANIE SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ, S KOTOROJ MY WSTRE^ALISX PRI RASSMOTRENII KOLEBANIJ OGRANI^ENNYH OBXEMOW (SM. GL. V, x 3, P. 1).

x 2] rasprostranenie tepla w ograni~ennyh telah 487

pUSTX 1 , 2 , : : : , n , : : : | SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ, A v1 , v2 , : : : : : : , vn , : : : | SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I (3). fUNKCII fvn g OBRAZU@T ORTOGONALXNU@ SISTEMU. sOOTWETSTWU@]IE FUNKCII Tn (t) IME@T WID Tn (t) = Cn e;a2 n t
I WSPOMOGATELXNAQ ZADA^A IMEET NETRIWIALXNOE REENIE un(M
t) = Cn vn (M ) e;a2 n t : (5) oB]EE REENIE ISHODNOJ ZADA^I MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE u(M
t) =

1 X

n=1

Cn e;a2 n t vn (M ):

uDOWLETWORQQ NA^ALXNOMU USLOWI@ u(M
0) = '(M ) =

NAHODIM KO\FFICIENTY

GDE

Z

Cn = T

1 X

n=1

Cn vn (M )


'(M 0 ) vn (M 0 ) dM

0

T

(7)

0




kvnk2

2Z 31=2 kvnk = 4 vn2 (M 0) dM 5

(6)

| NORMA FUNKCII vn :

fUNKCIQ (6) I PREDSTAWLQET REENIE ZADA^I. uRAWNENIE  F 2 (8) ut ; a u = f (M
t) f = c PRI ODNORODNYH GRANI^NOM I NA^ALXNOM USLOWIQH MOVET BYTX TAKVE REENO METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH. pOLAGAQ, KAK OBY^NO, u(M
t) =

1 X

n=1

Tn (t) vn (M )

(9)

I RAZLAGAQ FUNKCI@ f (M
t) PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM vn (M ): f (M
t) =

1 X

n=1

fn (t) vn (M )


fn (t) = kv1k2 n

Z

f (M 0
t) vn (M 0 ) dM
0

T

(10)

488

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

POLU^AEM DLQ OPREDELENIQ Tn (t) URAWNENIE Tn0 + a2 n Tn = fn (t) (11) S NA^ALXNYM USLOWIEM Tn(0) = 0, ESLI u(M
0) = 0, REENIE KOTOROGO IMEET WID

Zt

Tn (t) = e;a2 n (t; ) fn ( ) d:

oTS@DA POLU^AEM u(M
t) =

Zt Z ( X 1 0 T

(12)

0

n=1

e

;a2 n (t; )

)

vn (M ) vn (M 0 ) f (M 0
 ) d d: M kvnk2 0

(13)

wYRAVENIE W FIGURNYH SKOBKAH, O^EWIDNO, SOOTWETSTWUET FUNKCII WLIQNIQ MGNOWENNOGO ISTO^NIKA MO]NOSTI Q = c, POME]ENNOGO W TO^KU M 0 W MOMENT  : 1 0 X G(M
t
M 0
 ) = vn (Mkv) vkn2(M ) e;a2 n (t; ): (14) n n=1 rEENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I u DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S NEODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI u j =  LEGKO PRIWODITSQ K REENI@ u NEODNORODNOGO URAWNENIQ S ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI u j = 0, ESLI POLOVITX u = u + 
(15) GDE  | PROIZWOLXNAQ (DOSTATO^NO GLADKAQ) FUNKCIQ, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ  NA  (SM. GL. III, x 2). wESXMA ^ASTO WSTRE^A@]IJSQ SLU^AJ POSTOQNNYH GRANI^NYH ZNA^ENIJ, 0 = const, PRIWODITSQ K ZADA^E S ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI, ESLI WWESTI FUNKCI@ u = u + 0 ( = const = 0 )
PREDSTAWLQ@]U@ OTKLONENIE OT STACIONARNOGO REENIQ. tAKIM OBRAZOM, OSNOWNAQ TRUDNOSTX PRI REENII ZADA^ O RASPROSTRANENII TEPLA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI SOSTOIT W NAHOVDENII SOBSTWENNYH FUNKCIJ I SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ DLQ DANNOJ OBLASTI. fORMA REENIQ (6), POLU^ENNAQ METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, UDOBNA DLQ ISSLEDOWANIQ DOSTATO^NO RAZWITOJ STADII PROCESSA PRI BOLXIH t. w SAMOM DELE, SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ n DLQ L@BOJ OBLASTI BYSTRO WOZRASTA@T S NOMEROM n. pO\TOMU PRI t > 0 RQD BYSTRO SHODITSQ I, NA^INAQ S NEKOTOROGO MOMENTA, PERWYJ OTLI^NYJ OT NULQ ^LEN PREOBLADAET NAD SUMMOJ OSTALXNYH ^LENOW: u(M
t) C1 v1 (M ) e;a2 1 t : (16)

x 2] rasprostranenie tepla w ograni~ennyh telah 489

|TO SOOTWETSTWUET TOMU FIZI^ESKOMU FAKTU, ^TO NEZAWISIMO OT NA^ALXNOGO RASPREDELENIQ, NA^INAQ S NEKOTOROGO MOMENTA, W TELE USTANAWLIWAETSQ REGULQRNYJ TEMPERATURNYJ REVIM, PRI KOTOROM PROFILX TEMPERATURY NE MENQETSQ WO WREMENI I AMPLITUDA UBYWAET PO \KSPONENTE S WOZRASTANIEM WREMENI. |TOT FAKT POLOVEN W OSNOWU NESTACIONARNYH METODOW OPREDELENIQ KO\FFICIENTA TEMPERATUROPROWODNOSTI. w SAMOM DELE, IZMERQQ TEMPERATURU TELA W PROIZWOLXNOJ TO^KE M0 , NAHODIM, ^TO ln ju(M0
t)j ;a2 1 t + ln jC1 v1 (M )j: (17) gRAFIK \TOJ FUNKCII IZOBRAVAETSQ, NA^INAQ S NEKOTOROGO MOMENTA WREMENI, PRQMOJ LINIEJ S UGLOWYM KO\FFICIENTOM ;a2 1 . zNAQ WELI^INU 1 , ZAWISQ]U@ OT FORMY OBLASTI, MOVNO NAJTI KO\FFICIENT TEMPERATUROPROWODNOSTI. 2. oSTYWANIE KRUGLOGO CILINDRA. rASSMOTRIM ZADA^U OB OSTYWANII BESKONE^NO DLINNOGO CILINDRA RADIUSA r0 , IME@]EGO NEKOTORU@ NA^ALXNU@ TEMPERATURU, ESLI NA EGO POWERHNOSTI PODDERVIWAETSQ TEMPERATURA, RAWNAQ NUL@. pREDPOLOVIM, ^TO NA^ALXNAQ TEMPERATURA NE ZAWISIT OT z (OSX z NAPRAWLENA WDOLX OSI CILINDRA). tOGDA, O^EWIDNO, W DALXNEJEM TEMPERATURA TAKVE NE ZAWISIT OT z I MENQETSQ TOLXKO W POPERE^NOM SE^ENII S CILINDRA. wYBIRAQ W \TOM SE^ENII POLQRNU@ SISTEMU KOORDINAT S POL@SOM, NAHODQ]IMSQ W CENTRE KRUGA S , MY PRIHODIM K ZADA^E OB OPREDELENII FUNKCII u(r
'
t), UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ @ 2 u + 1 @u + 1 @ 2u = 1 @u
(18) @r2 r @r r2 @'2 a2 @t NA^ALXNOMU USLOWI@ u(r
'
0) = (r
') (19) I GRANI^NOMU USLOWI@ u(r0
'
t) = 0: (20) kAK MY WIDELI, REENIE ZADA^I TAKOGO TIPA MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE u=

1 X

n=1

Cn e;a2 n t vn (M )


(21)

GDE SUMMIROWANIE RASPROSTRANQETSQ NA WSE SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I: @ 2 v + 1 @v + 1 @ 2 v + v = 0
v 6 0
9 > = @r2 r @r r2 @'2 (22) >  v(r0
') = 0:

490

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

|TA ZADA^A NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ BYLA ISSLEDOWANA NAMI PRI IZU^ENII KOLEBANIJ KRUGLOJ MEMBRANY (SM. GL. V, x 3). kAVDOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@

(n) !2 mn = rm (23) 0 SOOTWETSTWU@T DWE SOBSTWENNYE FUNKCII

(n) !

(n) !  m vnm = Jn r r cos n' I vnm = Jn rm r sin n'
(24) 0 0 KWADRATY NORMY KOTORYH RAWNY 1
n 6= 0 i2 2h  " r n 0 2 2 0 ( n ) kvnmk = kvnmk =  2 Jn m
"n = 2
n = 0
(25) GDE (mn) | m-J KORENX URAWNENIQ Jn () = 0: pOLXZUQSX WYRAVENIQMI DLQ v I , POLU^AEM u(r
'
t) =

XX 1

1

(Cnm cos n' + C nm sin n') Jn

n=0 m=1

(26)

(n) m

! ;a2 rm(n) 2t

r0 r e

0




(27)

GDE KO\FFICIENTY Cnm I C nm OPREDELQ@TSQ NA^ALXNOJ FUNKCIEJ 9

(n) ! Zr0 Z2 >  m (r
') Jn r r cos n' r d' dr > > > 0 > 0 0 > Cnm =
> r02 " hJ 0 (n) i2 >

> > = ( n )  m (r
') Jn r r sin n' r d' dr > > 0 > 0 0  C nm =
> > r02 " hJ 0 (n) i2 > n > n m 1
n 6= 0 2 > >  "n = 2
n = 0: Zr0 Z2

2 n n

m

!

(28)

eSLI NA^ALXNAQ TEMPERATURA  ZAWISIT TOLXKO OT r, TO DWOJNOJ RQD (27) ZAMENQETSQ ODNOKRATNYM RQDOM u(r
t) =

X 1

m=1

Cm J0

(0) m

!

a

r0 r e

; 2

 (0) 2

m r0

t




(29)

x 2] rasprostranenie tepla w ograni~ennyh telah 491

GDE

Zr0

2 (r) J0

Cm =

0

r02

!

(0) m r0 r r dr

h  (0) i2 J1 m

(J1 = ;J00 )


(30)

A (0) m | m-J KORENX URAWNENIQ J0 () = 0. oSTANOWIMSQ PODROBNEE NA ZADA^E OB OSTYWANII RAWNOMERNO NAGRETOGO CILINDRA PRI NULEWOJ TEMERATURE NA POWERHNOSTI. eSLI NA^ALXNAQ TEMPERATURA u(r
0) =  = u0
TO ! Zr0 (0) m 2u0 J0 r r r dr 0 (300 ) Cm = 0 h  (0) i2 = (0) 2u0 (0) 
2 m J1 m r0 J1 m TAK KAK J0 ( ) =  J1 ( )]0 . tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM    2  r  1 2J0 (0) X m  ; (0) u(r
t) = a2 t : (31) m    e  =
 = (0) (0) u0 r0 r02 m=1 m J1 m w TABLICAH CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ (SM. S. 766, TABL  (0).3) DA@TSQ (0) ^ISLENNYE ZNA^ENIQ KAK DLQ KORNEJ m , TAK I DLQ J1 m . nAPRIMER,  (0) (0)

2
40
J 1 0
52
1 1

 

(0) J1 (0) 2 5
52
2 0
34: rQD (31) SHODITSQ BYSTRO, I PRI BOLXIH t MOVNO OGRANI^ITXSQ PERWYM ^LENOM \TOGO RQDA. w ^ASTNOSTI, NA OSI CILINDRA   a2 t  2 u(r
t)  ;(240)2  ;576  e

1
60 e  = r2 : (32) u0 r=0 2
40  0
52 0 3. oPREDELENIE KRITI^ESKIH RAZMEROW. pROCESS DIFFUZII NEUSTOJ^IWOGO GAZA, SKOROSTX RASPADA KOTOROGO PROPORCIONALXNA KONCENTRACII, PRIWODIT K URAWNENI@ ut = a2 u + u ( < 0): (33)

492

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

bOLXOJ INTERES PREDSTAWLQ@T PROCESSY DIFFUZII PRI NALI^II C E P N Y H R E A K C I J. cEPNYE REAKCII HARAKTERIZU@TSQ TEM, ^TO ^ASTICY DIFFUNDIRU@]EGO WE]ESTWA, WSTUPAQ W REAKCI@ S OKRUVA@]EJ SREDOJ, RAZMNOVA@TSQ. tAK, NAPRIMER, PRI STOLKNOWENII NEJTRONOW S AKTIWNYMI QDRAMI URANA PROISHODIT REAKCIQ DELENIQ QDER, SOPROWOVDA@]AQSQ POQWLENIEM NOWYH NEJTRONOW, ^ISLO KOTORYH BOLXE EDINICY. |TI NEJTRONY W SWO@ O^EREDX WSTUPA@T W REAKCI@ S DRUGIMI AKTIWNYMI QDRAMI, WYZYWAQ IH DELENIE S WYDELENIEM NOWYH NEJTRONOW, I T. D. tAKIM OBRAZOM PROISHODIT PROCESS RAZMNOVENIQ NEJTRONOW, NOSQ]IJ HARAKTER CEPNOJ REAKCII. rASSMATRIWAQ OPISANNYJ PROCESS W DIFFUZIONNOM PRIBLIVENII, MY PRIHODIM K SLEDU@]EMU URAWNENI@: ut = a2 u + u ( > 0)
(330 ) TAK KAK CEPNAQ REAKCIQ \KWIWALENTNA NALI^I@ ISTO^NIKOW DIFFUNDIRU@]EGO WE]ESTWA (NEJTRONOW), PROPORCIONALXNYH KONCENTRACII (PLOTNOSTI NEJTRONOW). rASSMOTRIM SLEDU@]U@ ZADA^U. nAJTI REENIE URAWNENIQ (33) ut = a2 u + u WNUTRI T
UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@ u(M
0) = '(M ) (34) I GRANI^NOMU USLOWI@ u j = 0: (35) s POMO]X@ PODSTANOWKI u(M
t) = u(M
t) et (36) URAWNENIE (33) PEREHODIT W URAWNENIE (1) NA^ALXNYE I GRANI^NYE USLOWIQ PRI \TOM OSTA@TSQ NEIZMENNYMI. tAKIM OBRAZOM, ISKOMAQ FUNKCIQ u IMEET WID u(M
t) =

1 X

n=1

Cn e(;a2 n ) t vn (M )


(37)

GDE Cn OPREDELQ@TSQ NA^ALXNOJ FUNKCIEJ PO FORMULE (10). w SLU^AE  < 0 (DIFFUZIQ S RASPADOM) POKAZATELI RQDA (37) MENXE SOOTWETSTWU@]IH POKAZATELEJ RQDA (6). |TO OZNA^AET, ^TO PRI NALI^II RASPADA UBYWANIE KONCENTRACII PROISHODIT BYSTREE PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM ^ISTOJ DIFFUZII ( = 0). w SLU^AE  > 0 (DIFFUZIQ S RAZMNOVENIEM), ESLI HOTQ BY ODIN IZ POKAZATELEJ  ; a2  > 0, T. E.  > a2 1 , TO S TE^ENIEM WREMENI BUDET PROISHODITX, WOOB]E GOWORQ (C1 6= 0), NARASTANIE KONCENTRACII PO \KSPONENCIALXNOMU ZAKONU (CEPNAQ REAKCIQ). wELI^INA  QWLQETSQ HARAKTERISTIKOJ WE]ESTWA (KO\FFICIENT

x 3] zada~i dlq oblastej s podwivnymi granicami 493

RAZMNOVENIQ), A 1 SU]ESTWENNO ZAWISIT OT FORMY I RAZMEROW OBLASTI. bUDEM GOWORITX, ^TO NEKOTORAQ OBLASTX TKR IMEET PRI ZADANNOM  K R I T I ^ E S K I E R A Z M E R Y, ESLI 1 = =a2 . oPREDELIM KRITI^ESKIE RAZMERY DLQ BESKONE^NOGO SLOQ, CILINDRA I SFERY. 1. b E S K O N E ^ N Y J S L O J 0 6 x 6 l. s^ITAQ ZADA^U ODNOMERNOJ, IMEEM (SM. GL. II, x 3)  2 2 : n = n I  = 1 l l2 kRITI^ESKAQ TOL]INA SLOQ lKR, NA^INAQ S KOTOROJ BUDET PROISHODITX PROCESS LAWINNOGO NARASTANIQ KONCENTRACII u, OPREDELQETSQ IZ USLOWIQ (38) lKR = pa 3
p14 a ( > 0):

2. b E S K O N E ^ N Y J C I L I N D R. s^ITAQ ZADA^U PLOSKOJ, WIDIM, ^TO NAIMENXEE ZNA^ENIE  SOOTWETSTWUET SOBSTWENNOJ FUNKCII, OBLADA@]EJ RADIALXNOJ SIMMETRIEJ, I RAWNO

(0) !2 (0) 1 = r1 ((0) 1 2
4048): 0 oTS@DA DLQ KRITI^ESKOGO DIAMETRA POLU^AEM FORMULU (0)
80 a : dKR = 2p1 a 4p (39)  3. s F E R A. nAIMENXEE ZNA^ENIE  SOOTWETSTWUET SOBSTWENNOJ FUNKCII, OBLADA@]EJ SFERI^ESKOJ SIMMETRIEJ, I RAWNO  2 1 = R
OTKUDA DLQ KRITI^ESKOGO DIAMETRA DKR POLU^AEM FORMULU
28 a : (40) DKR = 2pa 6p 

x 3. kRAEWYE ZADA^I DLQ OBLASTEJ S PODWIVNYMI GRANICAMI

1. fORMULA gRINA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI I FUNKCIQ ISTO^NIKA. dLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI MOVNO STAWITX KRAEWYE

ZADA^I DLQ OBLASTEJ S GRANICAMI, PEREME]A@]IMISQ SO WREMENEM. dLQ PROSTOTY BUDEM RASSMATRIWATX \TU ZADA^U DLQ URAWNENIQ S ODNOJ GEOMETRI^ESKOJ PEREMENNOJ L(u) = a2 uxx ; ut = 0 (1)

494

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

HOTQ WSE IZLOVENNOE NIVE MOVET BYTX PERENESENO NA SLU^AJ MNOGIH PEREMENNYH. rASSMOTRIM OBLASTX BAEF (RIS. 78), OGRANI^ENNU@ HARAKTERISTIKAMI AB I EF (t = const) I KRIWYMI, OPREDELQEMYMI URAWNENIQMI x = 1 (t) (DLQ AE ) I x = 2 (t) (DLQ BF ): pERWAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ \TOJ OBLASTI SOrIS. 78 STOIT W OPREDELENII REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (1), UDOWLETWORQ@]EGO NA^ALXNOMU I GRANI^NYM USLOWIQM  u = '(x) NA AB (2) u jx=1 (t) = 1 (t) u jx=2 (t) = 2 (t): iZ PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TO \TA ZADA^A NE MOVET IMETX BOLEE ODNOGO NEPRERYWNOGO REENIQ. aNALOGI^NO MOGUT BYTX POSTAWLENY I DRUGIE KRAEWYE ZADA^I. uSTANOWIM FORMULU gRINA DLQ URAWNENIQ (1) I INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE REENIJ \TOJ ZADA^I. rASSMOTRIM OPERATOR @ 2 v + @v (3) M(v) = a2 @x 2 @t INTEGRIRUQ WYRAVENIE L(') ; 'M() = a2 ('x ; 'x )x ; (')t PO NEKOTOROJ OBLASTI PABQ (RIS. 78), GDE '(x t) I (x t) | PROIZWOLXNYE, DOSTATO^NOE ^ISLO RAZ DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII, I POLXZUQSX FORMULOJ gRINA, POLU^AEM ZZ Ih  @  dti  L(') ; 'M()] dx dt = ' dx + a2  @' ; ' @x @x GDE PRAWYJ INTEGRAL BERETSQ PO ZAMKNUTOMU KONTURU PABQ. eSLI L(') = 0 I M() = 0, TO, PREOBRAZUQ PRAWU@ ^ASTX, POLU^AEM Z Z Z h  @  dti ; ; ' ' dx = ' dx + ' dx + a2  @' @x @x

PQ

AB

BQ

;

Z h

AP

 @  dti : ' dx + a2  @' ; ' @x @x

(4)

pUSTX '(x t) = u(x t) | KAKOE-LIBO REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI L(u) = 0, A  = G0 (x t   ) | FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ \TOGO URAWNENIQ NA NEOGRANI^ENNOJ PRQMOJ, RAWNAQ G0 (x t   ) =

p

1

2 a2 (t ;  )

e

2 ; (x2;) 4a (t; )



(5)

x 3] zada~i dlq oblastej s podwivnymi granicami 495 ^ASTO NAZYWAEMAQ F U N D A M E N T A L X N Y M R E  E N I E M U R A W N E N I Q T E P L O P R O W O D N O S T I. fUNKCIQ G0 (x t   ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ L(G0 ) = 0 PO PEREMENNYM x, t I SOPRQVENNOMU URAWNENI@ M(G0 ) = 0 PO PEREMENNYM ,  . pUSTX M (x t) | NEKOTORAQ FIKSIROWANNAQ TO^KA WNUTRI OBLASTI BAEF , W KOTOROJ MY HOTIM OPREDELITX ZNA^ENIE FUNKCII u(x t), A M1 | TO^KA S KOORDINATAMI (x t + h), GDE h > 0. pROWODQ ^EREZ TO^KU M HARAKTERISTIKU PQ, ZAMENQQ W FORMULE (4) x NA , t NA  I PRIMENQQ (4) ZATEM K OBLASTI ABQP (RIS. 78) I FUNKCIQM ' = u(  ) I (  ) = G0 (x t + h   ) (6) BUDEM IMETX

Z

PQ

(x;)2

e;p 4a2 h u( t) d = 2 a2 h =

Z 

PABQ

u(  ) G0

(x t + h   ) d + a2



 

@G0 G0 @u @ ; u @ d :

(7)

pEREHODQ K PREDELU PRI h ! 0 I U^ITYWAQ NEPRERYWNOSTX PO h FUNKCII G0 (x t + h   ) I @G0 =@ NA PABQ, A TAKVE RAWENSTWO lim

Z

(x;)2

e;p 4a2 h u( t) d = u(x t) 2 a2h

h!0 PQ

(8)

(SM. GL. III, x 3.), ESLI (x t) LEVIT NA OTREZKE PQ, POLU^AEM OSNOWNU@ INTEGRALXNU@ FORMULU  @u @G  Z Z 2 u(x t) = u(  ) G0 (x t   ) d + a G0 @ ; u @0 d (9) PABQ

BQ+PA

DA@]U@ PREDSTAWLENIE PROIZWOLXNYH REENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. pEREPIEM EE E]E RAZ BOLEE PODROBNO: u(x t) =

Z

PABQ

2 ; (x2;) 4a (t; )

e p u(  ) d + a2 2 a2 (t ;  )

Z

BQ+PA

; a2

Z

BQ+PA

2 ; (x2;) 4a (t; )

e @u d ; p 2 a2 (t ;  ) @

0 (x )2 1 ; 2 4a (t  ) C @ e B u(  ) @ @ p 2 A d: 2 a (t ;  ) ;

;

(90 )

|TA FORMULA NE DAET REENIJ KRAEWYH ZADA^, TAK KAK DLQ WY^ISLENIQ PRAWOJ ^ASTI NADO ZNATX ZNA^ENIQ NE TOLXKO u, NO I @u=@ WDOLX DUG AE I BF .

496

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

pRI POMO]I PREOBRAZOWANIQ, PODOBNOGO TOMU, KOTOROE BYLO WYPOLNENO DLQ URAWNENIQ lAPLASA PRI WWEDENII FUNKCII ISTO^NIKA, MOVNO ISKL@^ITX IZ \TOJ FORMULY @u=@. pUSTX v | KAKOE-LIBO REENIE SOPRQVENNOGO URAWNENIQ M(v) = 0, OBRA]A@]EESQ W NULX NA PQ, I u | REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI L(u) = 0. pRIMENIW FORMULU (4) K FUNKCIQM v I u DLQ OBLASTI PABQ, POLU^IM    Z  @v d : 0= u(  ) v(  ) d + a2 v @u ; u (10) @ @ PABQ

wY^ITAQ IZ (9) RAWENSTWO (10), BUDEM IMETX u(x t) =

GDE

Z 

PABQ

u(  ) G(x t   ) d + a2



 

@G G @u @ ; u @ d 

G(x t   ) = G0 (x t   ) ; v: eSLI FUNKCI@ v WYBRATX TAK, ^TOBY G = 0 NA PA I BQ TO POLU^IM INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE DLQ u(x t) W WIDE Z Z Z 2 u @G d: u(x t) = u(  ) G(x t   ) d + a2 u @G d ; a @ @ AB

AP

BQ

(11) (12)

(13)

fORMULA (13) DAET REENIE KRAEWOJ ZADA^I (1) | (2), W USLOWIQH KOTOROJ ZADA@TSQ ZNA^ENIQ FUNKCII u NA AP I BQ, A TAKVE NA PRQMOJ AB . oSTANOWIMSQ PODROBNEE NA RASSMOTRENII FUNKCII G. oNA OPREDELQETSQ PRI POMO]I PREDSTAWLENIQ (12), GDE FUNKCIQ v(  ) HARAKTERIZUETSQ SLEDU@]IMI USLOWIQMI: 1) v(  ) OPREDELENA W OBLASTI PABQ I DLQ  < t UDOWLETWORQET SOPRQVENNOMU URAWNENI@ M(v) = 0 2) v = 0 NA PQ, T. E. PRI  = t 3) v(  ) = ;G0 (x t   ) NA PA I QB . w SILU \TIH USLOWIJ FUNKCIQ v ZAWISIT OT PARAMETROW x, t, TAK ^TO v = v(x t   ), I DLQ EE OPREDELENIQ NADO REITX KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ M(v) = 0, KOTORAQ \KWIWALENTNA REENI@ KRAEWOJ ZADA^I TIPA (2) DLQ URAWNENIQ L(u) = 0, W ^EM LEGKO UBEDITXSQ IZMENENIEM ZNAKA U  . tAKIM OBRAZOM, PRI PREDSTAWLENII FUNKCII u(x t) S POMO]X@ FORMULY (11), DA@]EJ REENIE KRAEWOJ ZADA^I (2), OSNOWNAQ TRUDNOSTX ZAKL@^AETSQ W NAHOVDENII FUNKCII v(x t   ). rASSMOTRIM FUNKCI@ v(x t   ), OPREDELQEMU@ USLOWIQMI: 1) v(x t   ) OPREDELENA W OBLASTI PABQ DLQ t >  I KAK FUNKCIQ PEREMENNYH x, t UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI L(v) = 0 2) v = 0 NA AB , T. E. PRI t =  3) v = ;G0 NA AP I BQ. dOKAVEM, ^TO v(x t   ) = v(x t   ).

x 3] zada~i dlq oblastej s podwivnymi granicami 497 rASSMOTRIM FUNKCI@ G (x t   ) = G0 + v. o^EWIDNO, ^TO DLQ L@BOGO REENIQ u URAWNENIQ M(u) = 0 IMEET MESTO FORMULA, ANALOGI^NAQ (9): Z  0 @ u  dt u(  ) = uG0 dx + a2 u @G ; G (900 ) 0 @x @x BQPA

A TAKVE FORMULA, ANALOGI^NAQ (13): u(  ) =

Z

PQ

uG dx + a2

Z

BQ

Z G  0 dt: u @@xG dt ; a2 u @@x AP

(130 )

|TI FORMULY MOGUT BYTX POLU^ENY IZ FORMUL (9) I (13) IZMENENIEM ZNAKA U  , TAK KAK PRI \TOM URAWNENIE M = 0 PEREHODIT W URAWNENIE L = 0. pRIMENQQ FORMULU (13) K OBLASTI PQSR (RIS. 79), GDE RS | OTREZOK PRQMOJ, SOOTWETSTWU@]IJ ORDINATE , (t >  >  ), I K NEPRERYWNOMU W \TOJ OBLASTI REENI@ u(x t) = G (x t  ) URAWNENIQ L(u) = 0, POLU^IM G (x t   ) =

Z

RS

G (x0     ) G(x t x0  ) dx0

TAK KAK INTEGRALY PO RP I SQ W SILU 0USLOWIQ 3 RAWNY NUL@. pRIMENQQ ANALOGI^NO FORMULU (13 ) K OBLASTI ARSB I NEPRERYWNOMU W \TOJ OBLASTI REENI@ u(  ) = G(x t   ) URAWNENIQ M(u) = 0, POLU^AEM G(x t   ) =

Z

RS

G(x t x0  ) G (x0    ) dx0

TAK KAK INTEGRALY PO BS I AR RAWNY NUL@. sRAWNENIE \TIH FORMUL POKAZYWAET, ^TO G(x t   )  G (x t   ): iZ \TOGO RAWENSTWA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ G, RASSMATRIWAEMAQ KAK FUNKCIQ x, t, IMEET PRI t =  I x =  OSOBENNOSTX, HARAKTERNU@ DLQ FUNKCII ISTO^NIKA, RAWNA NUL@ PRI t =  I x = 6 , UDOWLETWORQET URAWNENI@ Lxt(G) = 0 WNUTRI APQB I OBRA]AETSQ W NULX NA AP I BQ. tAKU@ FUNKCI@ rIS. 79 ESTESTWENNO NAZWATX F U N K C I E J W L I Q N I Q T O ^ E ^ N O G O I S T O ^ N I K A DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OBLASTI APQB . iTAK, L@BOE REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI MOVET BYTX PREDSTAWLENO FORMULOJ (13) PRI POMO]I FUNKCII ISTO^NIKA. eSLI ZADANO NEODNORODNOE URAWNENIE L(u) = f (x t), TO W FORMULE (13) K PRAWOJ ^ASTI SLEDUET PRIBAWITX SLAGAEMOE

ZZ S

G(x t   ) f (  ) d d:

32 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

498

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

2. rEENIE KRAEWOJ ZADA^I. pOLU^ENNAQ WYE FORMULA (13) DAET REENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQ OGRANI^ENNOGO OTREZKA S PODWIVNYMI KONCAMI. eSLI VE KONCY OTREZKA AB NEPODWIVNY, TO DUGI AE I BF ZAMENQ@TSQ OTREZKAMI PRQMYH, PARALLELXNYH OSI t. oBLASTX S W \TOM SLU^AE IMEET WID PRQMOUGOLXNIKA SO STORONAMI, PARALLELXNYMI KOORDINATNYM OSQM. iZ OB]EJ FORMULY (11) MOVNO PREDELXNYM PEREHODOM POLU^ITX FORMULU pUASSONA, DA@]U@ REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S ZADANNYM NA^ALXNYM USLOWIEM NA BESKONE^NOJ PRQMOJ. pREDPOLOVIM, ^TO W ^ASTI POLOSY, OGRANI^ENNOJ DWUMQ HARAKTERISTIKAMI t = 0 I t =
, PROHODQ]IMI ^EREZ TO^KI A I E (RIS. 80), FUNKCII u I ux UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWAM ju(x t)j e;Kx2 < N (A) I  @u  ;Kx2 e < N  @x  rIS. 80 GDE K > 0 I N > 0 | NEKOTORYE ^ISLA. zAMENIM DUGU BQ OTREZKOM PRQMOJ x = l, GDE l | POLOVITELXNOE ^ISLO, KOTOROE W DALXNEJEM BUDEM NEOGRANI^ENNO UWELI^IWATX. pRI \TOM MY BUDEM ISHODITX IZ FORMULY (9), KOTORU@ PEREPIEM W WIDE

u(x t) =

Z

Z

PABQ

2 ; (x2;) 4a (t; )

e p 2 a2 (t ;  )





x; u(  ) d + a2 @u @ d ; u(  ) 2 (t ;  ) d :

rASSMOTRIM INTEGRAL PO OTREZKU BQ 2 ;l) ; (x 4a2 (t; )

#

"  

e x;l p a2 @u @ =l ; u(l  ) 2 (t ;  ) d = 2 a2 (t ;  ) BQ

Zt  @u 

2 ; (x;l)

Zt

2 ; (x;l)

e 4a2 (t  ) d ; u(l  ) e p4a2 (t  ) (x ; l) d = p = a2 @ 4 a2 (t ;  ) (t ;  ) =l 2 a2 (t ;  ) 0 0 = I1 + I2 I POKAVEM, ^TO ON STREMITSQ K NUL@ PRI l ! 1. oCENIM INTEGRAL I1 PRI BOLXIH ZNA^ENIQH l: 2 2 l2 p 2 eKl ; 16a2  jI1 j 6 Na 2 a

;

Zt 0

ptdt; 

;



 ESLI x < 2l I (t ;  ) <
:

o^EWIDNO, ^TO jI1 j ! 0 PRI l ! 1, TAK KAK K | FIKSIROWANNOE ^ISLO, A
MOVET BYTX WYBRANO KAK UGODNO MALYM ^ISLOM, NAPRIMER TAK, ^TO K < 16a12
:

x 3] zada~i dlq oblastej s podwivnymi granicami 499 aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO jI2 j ! 0 PRI l ! 1. eSLI DLQ FUNKCII u(x t) I EE PROIZWODNOJ @u=@x NERAWENSTWA (A) WYPOLNQ@TSQ TAKVE PRI OTRICATELXNYH x, TO MOVNO PRINQTX ZA KRIWU@ AE OTREZOK PRQMOJ x = ;l I, POWTORQQ IZLOVENNYE WYE RASSUVDENIQ, UBEDITXSQ W TOM, ^TO PRI PREDELXNOM PEREHODE INTEGRAL PO PA W FORMULE (9) STREMITSQ K NUL@. w REZULXTATE MY PRIHODIM K IZWESTNOJ NAM IZ GL. III, x 3 FORMULE pUASSONA1) u(x t) = p1 2 2 a

Z+1 e; (x4a2t)2 ;

p

t

;1

u( 0) d:

rASSMATRIWAQ POLUBESKONE^NU@ OBLASTX I PREDPOLAGAQ, ^TO DLQ FUNKCII ISTO^NIKA G(x t   ) WYPOLNENY NERAWENSTWA (A), S POMO]X@ ANALOGI^NYH RASSUVDENIJ NAHODIM u(x t) = ;

Z

PA

GDE



 a2 ( ) @G @ 

=xA

d +

Z1

xA

'() G(x t  0) d

(14)

(t) = u(xA  t) I '(x) = u(x 0): kAK NETRUDNO UBEDITXSQ, FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ POLUBESKONE^NOJ PRQMOJ x > 0 MOVET BYTX POLU^ENA METODOM OTRAVENIQ I RAWNA

"

1

2 ; (x2;) 4a (t; )

2 ; (x2+) 4a (t; )

#

p ;e  e 2 a2 (t ;  ) TAK KAK ONA PREDSTAWIMA W WIDE (12), UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI PO PEREMENNYM x, t I OBRA]AETSQ W NULX PRI x = 0: G(0 t   ) = 0: G(x t   ) =

wY^ISLIM PROIZWODNU@  2 ; 2x @G  = x 4a (t e p @ =0 2  a2 (t ;  )]3=2 I, PODSTAWIW EE ZNA^ENIE W (14), POLU^IM FORMULU

;

u(x t) = 2 p1 

Z1 0

"

#

(x )2 (x+)2 p12 e; 4a2 t ; e; 4a2 t '() d + at ;

+ 2 p1  1)

)

Zt

2 ; 2x a2 x 4a (t e a2 (t ;  )]3=2

;

0

)

( ) d

(15)

pRIWEDENNYE RASSUVDENIQ NELXZQ RASSMATRIWATX KAK WYWOD \TOJ FORMULY, TAK KAK MY OSNOWYWALISX NA NEJ PRI WYWODE FORMULY (9). 32


500

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

KOTORAQ OPREDELQET FUNKCI@ u(x t), UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ ut = a2 uxx (0 < x < 1 t > 0) I DOPOLNITELXNYM USLOWIQM u(x 0) = '(x) (0 < x < 1): u(0 t) = (t) 3. fUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ OTREZKA. rEENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI NA OGRANI^ENNOM OTREZKE 0 < x < l DAETSQ FORMULOJ (11), KOTORAQ POSLE ZAMENY DUG PA I BQ OTREZKAMI PRQMYH I SDWIGA NA^ALA KOORDINAT W TO^KU A PRINIMAET WID G(x t   ) = = a2

GDE

Zt @G  Zt @G  Zl 2   @ =0 1 ( ) d ; a @ =l 2 ( ) d + G(x t  0) '() d 0

0

0

1 (t) = u(0 t) 2 (t) = u(l t) '(x) = u(x 0): fUNKCIQ ISTO^NIKA G(x t   ) DLQ OTREZKA MOVET BYTX POSTROENA METODOM OTRAVENIQ. pOME]AQ POLOVITELXNYE ISTO^NIKI W TO^KAH 2nl +  I OTRICATELXNYE ISTO^NIKI W TO^KAH 2nl ; , PREDSTAWIM FUNKCI@ ISTO^NIKA S POMO]X@ RQDA u(x t) =

GDE

1 X

n=;1

G0 (x t 2nl +   ) ; G0 (x t 2nl ;   )]

G0 (x t   ) =

(16)

(x;)2

; p 1 e 4a2 (t 2 a2 (t ;  )

;

)

| FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ NEOGRANI^ENNOJ PRQMOJ. sHODIMOSTX RQDA, A TAKVE WYPOLNENIE GRANI^NYH USLOWIJ G jx=0 = 0 I G jx=l = 0 USTANAWLIWAETSQ BEZ TRUDA. w GL. III, x 2 BYLA POLU^ENA INAQ FORMA PREDSTAWLENIQ FUNKCII ISTO^NIKA: 1 X n2 2 2 G(x t   ) = 2l e; l2 a (t; ) sin n x sin n (17) l l : n=1

dOKAVEM \KWIWALENTNOSTX OBOIH PREDSTAWLENIJ. fORMULU (17) MOVNO RASSMATRIWATX KAK RAZLOVENIE FUNKCII G(x t   ) W RQD fURXE PO SINUSAM NA OTREZKE (0 l): 1 X G(x t   ) = Gn (x t  ) sin n (18) l : n=1

x 3] zada~i dlq oblastej s podwivnymi granicami 501 (16):

wY^ISLIM KO\FFICIENTY fURXE Gn FUNKCII G, OPREDELQEMOJ RQDOM

Gn = 2l

Zl 0

G(x t   ) sin n l  d =

8 1
9

Zl

= ; G0 (x t 2nl ; 2   ) sin nl 2 d2  : 0

wWEDQ NOWYE PEREMENNYE INTEGRIROWANIQ 0 = 2nl + 1 I 00 = 2nl ; 2  POLU^IM

8 (2n+1) l 1 > < Z X 2 Gn = l G0 (x t 0   ) sin n 0 d0 + l > : n=;1 2nl Z2nl

9 > = 00 00  d  + G0 (x t 00   ) sin n l >  (2n;1) l

OTKUDA SLEDUET, ^TO Gn = 2l

Z+1

;1

G0 (x t   ) sin n l  d = = 2l

wWEDEM PEREMENNU@

=

tOGDA d =

d p 2 2 a (t ;  )

Z+1

(x;)2

; 2 1 4a (t p e 2 a2 (t ;  )

;

;1

)

sin n l  d:

p ; x : 2 a2 (t ;  ) p

n 2 sin n l  = sin l (x + 2 a (t ;  ) ) =

p

p

2n 2 n 2n 2 = sin n l x cos l a (t ;  ) + cos l x sin l a (t ;  )

rasprostranenie tepla w prostranstwe

502

1 Gn = 2l sin n l x p

gl. VI

Z+1 ;1

p2 2 e; cos 2n l a (t ;  ) d + 1 + 2l cos n l x p

Z+1 ;1

p2 2 e; sin 2n l a (t ;  ) d :

wTOROJ INTEGRAL RAWEN NUL@, TAK KAK POD INTEGRALOM STOIT NE^ETNAQ OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT FUNKCIQ. pERWYJ INTEGRAL QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM INTEGRALA

Z+1

e; cos d 

I (  ) =

2

;1

RAWNOGO

q 2 I (  ) =  e; 4 2 : p2 w NAEM SLU^AE = 1, = 2n l a (t ;  ), TAK ^TO p

I =  e;

I

2 n2 a2 (t; ) l2

2 n2 2 Gn = 2l e; l2 a (t; ) sin n l x: pODSTAWLQQ NAJDENNOE WYRAVENIE DLQ KO\FFICIENTOW fURXE Gn W FORMULU (18), SRAZU VE POLU^AEM WTOROE PREDSTAWLENIE (17) DLQ FUNKCII ISTO^NIKA G. tEM SAMYM \KWIWALENTNOSTX DWUH RAZNYH PREDSTAWLENIJ (16) I (17) DOKAZANA.

x 4. tEPLOWYE POTENCIALY 1.

sWOJSTWA TEPLOWYH POTENCIALOW PROSTOGO I DWOJNOGO SLOQ.

kAK MY WIDELI, WSQKOE REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE (SM. RIS. 79) Z Z Z Z  @u @G  u(x t) = G0 u d ; G0 u d + G0 u d + a2 G0 @ ; u @0 d: AB

AP

BQ

BQ+PA

zAJMEMSQ IZU^ENIEM OTDELXNYH SLAGAEMYH \TOJ SUMMY I DOKAVEM W PERWU@ O^EREDX, ^TO KAVDOE IZ NIH W OTDELXNOSTI UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI. dEJSTWITELXNO, PERWOE SLAGAEMOE QWLQETSQ INTEGRALOM pUASSONA, DLQ KOTOROGO \TO UVE BYLO DOKAZANO.

x 4]

teplowye potencialy

503

dOKAVEM, ^TO DLQ WNUTRENNIH TO^EK OBLASTI PABQ URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI UDOWLETWORQ@T INTEGRALY

Z

V

= a2

W

= 2a2

AP

2 G0  d = 2 ap

Z

AP

Zt 0

x;1 ( )]2 ; )

pa2 (1t ;  ) e; 4a2 (t

@G0  d = 1p @ 2a 

Zt x ;  ( ) 1

(t ;  )3=2

0

 ( ) d

2 ; x;21 ( )]

e

4a (t; )

( = 1 ( ))

( ) d:

fUNKCII V I W NAZYWA@TSQ TEPLOWYMI POTENCIALAMI (PROSTOGO SLOQ I DWOJNOGO SLOQ SOOTWETSTWENNO). pROIZWODNYE FUNKCIJ V I W WY^ISLQ@TSQ PRI POMO]I DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA, TAK KAK PODSTANOWKA, WHODQ]AQ PRI DIFFERENCIROWANII PO t, RAWNA NUL@. nAPRIMER,

 

x 1 ( )]2 ; 1 1  2 (t  ) 4 a G0 (x t 1 ( )  ) ( ) = 2 p p 2 ( ) = 0 e a ( t ;  )  =t  =t ;

;

W SILU TOGO, ^TO x 6= 1 (t). tAKIM OBRAZOM, DIFFERENCIROWANIE PO PARAMETRAM x, t BUDET OTNOSITXSQ K FUNKCII G0 , KOTORAQ QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. iZU^ENIE OSTALXNYH SLAGAEMYH PROHODIT ANALOGI^NO. rASSMOTRIM TEPERX POWEDENIE FUNKCIJ V , W NA KRIWOJ AP (x = 1 (t)). o^EWIDNO, ^TO INTEGRAL V NEPRERYWEN PRI PEREHODE TO^KI (x t) ^EREZ KRIWU@ AP , TAK KAK ON SHODITSQ RAWNOMERNO (SM. GL. IV, x 5). dOKAVEM, ^TO W PRETERPEWAET RAZRYW PRI PEREHODE ^EREZ KRIWU@ AP , PRI^EM W jx=1 (t)+0 = W jx=1 (t) + (t) W jx=1 (t);0 = W jx=1 (t) ; (t): |TO DOKAZATELXSTWO BUDET PROWEDENO W PREDPOLOVENII DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCIJ 1 (t) I (t). rASSMOTRIM SNA^ALA W PRI POSTOQNNOJ PLOTNOSTI (t) = 0 : W 0 (x t) =

1p

2a 

I WSPOMOGATELXNYJ INTEGRAL V~ 0 (x t) =

Z t x ;  ( ) 1

t0

1 2a p

(t ;  )3=2

Zt 20 ( ) t0

e

pt1;  e;

2 ; x;21 ( )] 4a (t; )

x;1 ( )]2 4a2 (t; )

0 d

0 d

QWLQ@]IJSQ, W SILU SDELANNOGO WYE ZAME^ANIQ, NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ W TO^KAH DUGI AP .

rasprostranenie tepla w prostranstwe

504

rAZNOSTX W 0 ; V~ 0 WY^ISLQETSQ NEPOSREDSTWENNO: W 0(x t) ; V~ 0 (x t) = 2a1p

Zt

t0

x;1 ( )]2 4a2 (t; )

Z0

= 0 p2

 x ;  ( )

;2

px a21((tt0t) )

8 > <+1 0 = > 0 :;1

;

0

e

x ; 1 ( )  = p 2 a2 (t ;  )

d

0

ESLI x > 1 (t), ESLI x = 1 (t) = x0 , ESLI x < 1 (t).

pRI x ! x0  0 MY POLU^AEM 0 0  0 t) ; W (x0  t)] ; V~ (x0  0 t) ; V~ (x0  t)] =

= 0 p2

w SILU NEPRERYWNOSTI V~ IMEEM V~ (x0  0 t) ; V~ (x0  t) = 0: tAKIM OBRAZOM, W 0(x0  0 t) = W 0 (x0 t)  0 : eSLI (t) NE POSTOQNNA, TO W (xt) = W 0 (x t) ; (x t) GDE

Zt

!

W 0(x

2 (x t) = 2 ap



21 ( )  d = ;p t; 0 (t ;  )3=2 1

;

2

GDE

;

e

gl. VI

Z1 0

e; d = 0 : 2

x ; 1 ( ) e; x4a2(1t()]) (t) ; ( )] d: a2 (t ;  )]3=2 2

;

;

t0

w SILU SDELANNYH PREDPOLOVENIJ O DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII (t) \TOT INTEGRAL IMEET TAKU@ VE OSOBENNOSTX PRI  = t, KAK I V , SHODITSQ RAWNOMERNO I QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ NA KRIWOJ AP . tAKIM OBRAZOM, PREDEL W (x t) PRI x = x0  0 RAWEN W (x0  0 t) = W 0 (x0 t)   ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

x 4]

teplowye potencialy 505 nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO PROIZWODNAQ @V @x (x t), PODOBNO W (x t), RAZRYWNA PRI x = x0 . |TA PROIZWODNAQ RAWNA @V = ; 1p 1 @x 2a  2

Z t x ;  ( ) 1

e (t ;  )3=2

0

; x;21 ( )]

2

4a (t; )

 ( ) d

I RAWNA ;W (xt) S PLOTNOSTX@ oTS@DA SLEDUET, ^TO GDE INTEGRAL

(t) =  (2t) :

@V (x  0 t) = @V (x  t)   (t)  @x 0 @x 0 2

@V (x  t) = ; 1p 1 @x 0 2a  2

Zt x ;  ( ) ; x0 1 ( )]2 0 1 e 4a2 (t  )  ( ) d ;

0

(t ;  ) =

32

;

RAWEN POLUSUMME PROIZWODNYH V W TO^KE x0 SPRAWA I SLEWA: 1 h @V (x + 0 t) + @V (x ; 0 t)i : 2 @x 0 @x 0 oTMETIM, ^TO FUNKCIQ V (x t) W SAMOJ TO^KE x0 NE IMEET PROIZWODNOJ. nA \TOM MY ZAKAN^IWAEM ISSLEDOWANIE POTENCIALOW WDOLX AP . sWOJSTWA POTENCIALOW WDOLX KRIWOJ BQ SOWERENNO ANALOGI^NY. 2. rEENIE KRAEWYH ZADA^. tEPLOWYE POTENCIALY QWLQ@TSQ UDOBNYM ANALITI^ESKIM APPARATOM DLQ REENIQ KRAEWYH ZADA^. rASSMOTRIM SNA^ALA PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ POLUOGRANI^ENNOJ OBLASTI x > (t). nAJTI REENIE URAWNENIQ ut = a2 uxx PRI x > 1 (t) t > t0  UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM u(x t0 ) = '(x) x > 1 (t0 ) u1 (t) t] = (t) t > t0 : bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX, ^TO '(x) = 0, TAK KAK, WZQW RAZNOSTX MEVDU u(x t) I PROIZWOLXNYM REENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI v(x t), UDOWLETWORQ@]IM TOMU VE NA^ALXNOMU USLOWI@, POLU^IM NOWU@ FUNKCI@, DLQ KOTOROJ '(x) = 0, A GRANI^NOE ZNA^ENIE PO-PREVNEMU BUDET IZWESTNO. pREDPOLAGAQ, ^TO PRIWEDENIE K NULEWOMU NA^ALXNOMU USLOWI@ UVE SDELANO, PREDSTAWIM REENIE W WIDE u(x t) = 2a12 W (x t) =

Zt @G

t0

0 @ (x t 1 ( )  ) ( ) d =

506

rasprostranenie tepla w prostranstwe = 4 p1 

Zt

gl. VI

x ; 1 (t) e; x4a2(1t()]) ( ) d: a2 (t ;  )]3=2 2

;

;

t0

|TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ PRI x > 1 (t), OGRANI^ENA W BESKONE^NOSTI I IMEET NULEWOE NA^ALXNOE ZNA^ENIE PRI L@BOM WYBORE (t). pRI x = 1 (t) ONA RAZRYWNA, I EE PREDELXNOE ZNA^ENIE PRI x = 1 (t) + 0 DOLVNO BYTX RAWNO (t): (t) + p1 2a2 4 

Zt  (t) ;  ( )

t0

1 1 a2 (t ;  )]3=2

;

e

1 (t);1 ( )]2 4a2 (t; )

( ) d = (t):

|TO SOOTNOENIE QWLQETSQ INTEGRALXNYM URAWNENIEM TIPA wOLXTERRA WTOROGO RODA DLQ NAHOVDENIQ FUNKCII ( ), OPREDELQ@]EJ ISKOMOE REENIE u(x t). sU]ESTWOWANIE REENIQ WSEGDA IMEET MESTO W SILU OB]EJ TEORII, ESLI KRIWAQ x = 1 (t) OPREDELQETSQ DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ. |TO URAWNENIE OSOBENNO PROSTO, ESLI GRANICA NAEJ OBLASTI NEPODWIVNA: 1 (t) = x0. w \TOM SLU^AE INTEGRAL OBRA]AETSQ W NULX I (t) = 2a2 (t) TAK ^TO ISKOMOE REENIE IMEET WID u(x t) = 2a1p

Zt x ; x 0 0

(t ;  )

;

3=2 e

(x;x0 )2 4a2 (t; )

( ) d:

s \TOJ FORMULOJ MY UVE WSTRE^ALISX DWAVDY (SM. GL. III, x 3 I GL. VI, x 3, P. 2), ODNAKO TOLXKO ZDESX DANO DOKAZATELXSTWO TOGO, ^TO \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ I DOPOLNITELXNYM USLOWIQM. wTORAQ I TRETXQ KRAEWYE ZADA^I REA@TSQ ANALOGI^NO PRI POMO]I POTENCIALA. rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U DLQ OGRANI^ENNOJ OBLASTI, BERQ DOPOLNITELXNYE USLOWIQ W WIDE u(x 0) = '(x) 1 (0) < x < 2 (0) u1 (t) t] = 1 (t) u2 (t) t] = 2 (t) (t > 0): s^ITAQ, ^TO NA^ALXNOE ZNA^ENIE PRIWEDENO K NUL@: '(x) = 0, PREDSTAWIM REENIE W WIDE u(x t) = 2a12 (W1 + W2 ) = =

Zt @G

Zt @G

0

0

0 @ (x t 1 ( )  ) 1 ( ) d +

0 @ (x t 2 ( )  ) 2 ( ) d:

|TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ I NULEWOMU NA^ALXNOMU USLOWI@ PRI L@BOM WYBORE FUNKCIJ 1 (t) I 2 (t). oNA RAZRYWNA PRI x = 1 (t) I x = 2 (t), I EE PREDELXNYE ZNA^ENIQ PRI x = 1 (t) + 0 I x = 2 (t) ; 0 DOLVNY BYTX

x 4]

teplowye potencialy

507

RAWNY 1 (t) I 2 (t), ^TO DAET SISTEMU URAWNENIJ 1 (t) + p1 2a2 4 

Zt  (t) ;  ( ) 1 1 a2 (t ;  )]3=2

0

+ 4 p1 

; 22a(2t) + 4 p1 

;

e

Zt  (t) ;  ( ) 0

1 2 a2 (t ;  )]3=2

Zt  (t) ;  ( ) 0

2 1 a2 (t ;  )]3=2

+ 4 p1 

1 (t);1 ( )]2 4a2 (t; )

;

e

2 ; 1 (t)2;2 ( )] 4a (t; )

e

2 (t);1 ( )]2 4a2 (t; )

Zt  (t) ;  ( ) 0

1 ( ) d +

2 2 a2 (t ;  )]3=2

e

;

2 ( ) d = 1 (t)

1 ( ) d +

2 (t);2 ( )]2 4a2 (t; )

2 ( ) d = 2 (t):

|TA SISTEMA QWLQETSQ SISTEMOJ INTEGRALXNYH URAWNENIJ TIPA wOLXTERRA, WSEGDA IME@]EJ REENIE. 3. uSLOWIQ LOKALIZACII GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM1) .

w \TOM PUNKTE TEPLOWYE POTENCIALY ISPOLXZU@TSQ DLQ ISSLEDOWANIQ DOWOLXNO TONKOGO (I WESXMA NEOBY^NOGO) SWOJSTWA LOKALIZACII REENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx: (1) rASSMOTRIM DLQ (1) PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI x > 0, 0 6 t < < T (T | FIKSIROWANNAQ POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ) S ZADANNYM PRI x = 0 GRANI^NYM REVIMOM S OBOSTRENIEM u(0 t) = (t) 0 6 t < T (2) (t) ! +1 PRI t ! T ; T ; = T ; 0: bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI POLOVIM u(x 0)  0. nAPOMNIM (SM. pRILOVENIE III K GL. III), ^TO REENIE ZADA^I NAZYWAETSQ LOKALIZOWANNYM (ILI, DRUGIMI SLOWAMI, W ZADA^E (1) | (2) SU]ESTWUET LOKALIZACIQ TEPLA), ESLI REENIE NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET PRI t ! T ; W KONE^NOJ PO SWOIM RAZMERAM ^ASTI PROSTRANSTWA (NAPRIMER, PRI WSEH 0 6 6 x < x0 < +1 I, BYTX MOVET, W TO^KE x = x0), NESMOTRQ NA BESKONE^NYJ ROST REENIQ NA GRANICE. ~ASTX PROSTRANSTWA 0 < x < x0 , GDE u(x t) ! +1 PRI t ! T ; , BUDEM TOGDA NAZYWATX O B L A S T X @ L O K A L I Z A C I I, A WELI^INU x0 < +1 | G L U B I N O J L O K A L I Z A C I I. eSLI VE u(x t) ! +1 PRI t ! T ; WO WSEM PROSTRANSTWE x > 0, TO LOKALIZACIQ W ZADA^E OTSUTSTWUET. 1) sM.: s A M A R S K I J a. a. o NOWYH METODAH ISSLEDOWANIQ ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ // tR. mAT. IN-TA IM. w. a. sTEKLOWA an sssr. 1981. t. 158. s. 153{162. tAM VE DAN SPISOK LITERATURY.

508

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

eSTESTWENNO, NALI^IE LOKALIZACII TEPLA ILI EE OTSUTSTWIE OPREDELQETSQ WIDOM KRAEWOGO USLOWIQ (2) (POD^ERKNEM, ^TO SWOJSTWO LOKALIZACII MOGUT PROQWLQTX TOLXKO GRANI^NYE REVIMY S OBOSTRENIEM). dLQ WYQSNENIQ USLOWIJ LOKALIZACII WOSPOLXZUEMSQ INTEGRALXNYM PREDSTAWLENIEM REENIQ ZADA^I (1) | (2) W WIDE TEPLOWOGO POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ. oN IMEET WID u(x t) = 2a1p

Zt

x e; 4a2x(2t (t ;  )3=2

;

0

 ) ( ) d:

(3)

pEREHODQ W (3) K PREDELU PRI t ! T ;, POLU^IM WYRAVENIQ DLQ PREDELXNYH ZNA^ENIJ REENIQ W MOMENT WREMENI t = T : 1p

u(x T ) = 2a 

ZT 0

x e; 4a2 x(T2 (T ;  )3=2

 ) ( ) d:

(4)

;

nAPOMNIM, ^TO, PO PREDPOLOVENI@, (t) ! +1 PRI t ! T ;. pO\TOMU INTEGRAL W (4) QWLQETSQ NESOBSTWENNYM. w TEH TO^KAH x > 0, GDE INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (4) RASHODITSQ, REENIE NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET PRI t ! ! T ;. nAPROTIW, WO WSEH TO^KAH x > 0, GDE u(x T ) < +1, REENIE u(x t) OGRANI^ENO SWERHU (NAPRIMER, WELI^INOJ u(x T )) W TE^ENIE WSEGO WREMENI. wID PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W (4) UKAZYWAET NA TO, ^TO NAIBOLEE INTERESNYM QWLQETSQ ANALIZ SEMEJSTWA \KSPONENCIALXNYH GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM WIDA n (t) = u0 (T ; t)
eb0 (T ;t)  0 6 t < T: (5) zDESX n < 0,  , u0 > 0, b0 > 0 | FIKSIROWANNYE POSTOQNNYE. pODSTAWIW (5) W (4), POLU^IM SLEDU@]EE WYRAVENIE: u(x T ) = 2aup0 

ZT 0

2 ; 2x x 4a (T e (T ;  )3=2;


)

;

n

 eb0 (T ; ) d

(6)

KOTOROE PODWERGNEM DALXNEJEMU ISSLEDOWANI@. pOKAVEM, ^TO SWOJSTWA REENIQ RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I (1) | (2), (5) SU]ESTWENNO ZAWISQT OT WELI^INY PARAMETRA n < 0. iMENNO, WOZMOVNO TRI SLU^AQ. A) pUSTX n = ;1. tOGDA (6) PRIWODITSQ K TAKOMU WIDU: u(x T ) = 2aup0 

GDE WWEDENO OBOZNA^ENIE

ZT

x0 x x 4a2 (T  ) d 3=2;
e (T ;  ) 2; 2 ;

0

p

(7)

x0 = 2a b0 : (8) iZ (7) NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TO REENIE ZADA^I QWLQETSQ LOKALIZOWANNYM I WELI^INA x0 W (8) OPREDELQET GLUBINU LOKALIZACII: PRI WSEH

x 4]

teplowye potencialy

509

0 6 x < x0 INTEGRAL W (7) RASHODITSQ (T. E. u(x t) ! +1 PRI t ! T ; ), A DLQ L@BYH x > x0 REENIE OGRANI^ENO SWERHU PREDELXNYM RASPREDELENIEM +1 2
  x0 2 
;1=2 Z u x 0 u(x T ) = 22
a2
p 1 ; x e; 
;1=2 d < +1

(70 )

x2 x20 4a2 T ;

2 2 (WYRAVENIE (70 ) POLU^AETSQ IZ (7) ZAMENOJ 4ax2 (T; ;x0 ) =  POD ZNAKOM INTEGRALA). tAKIM OBRAZOM, SRAWNITELXNO PROSTOJ NEPOSREDSTWENNYJ ANALIZ TEPLOWOGO POTENCIALA POKAZYWAET, ^TO RASSMATRIWAEMYJ PROCESS DIFFUZII TEPLA PROQWLQET NEOBY^NOE SWOJSTWO TEPLOWOJ INERCII : NAKAPLIWA@]EESQ W KONE^NOJ PO SWOIM RAZMERAM OBLASTI 0 < x < x0 NEOGRANI^ENNO BOLXOE KOLI^ESTWO \NERGII PRAKTI^ESKI NE RASTEKAETSQ W OKRUVA@]EE PROSTRANSTWO K MOMENTU WREMENI t = T . s POMO]X@ TEPLOWOGO POTENCIALA MOVNO OPREDELITX TAKVE DRUGIE, BOLEE TONKIE SWOJSTWA REENIQ ZADA^I, NAPRIMER HARAKTER NARASTANIQ REENIQ W GRANI^NOJ TO^KE OBLASTI LOKALIZACII x = x0. oKAZYWAETSQ, ON SU]ESTWENNO ZAWISIT OT WELI^INY PARAMETRA  W REVIME S OBOSTRENIEM (5). pOLAGAQ W (7) x = x0 , POLU^AEM, ^TO W SLU^AE  > 1=2 FUNKCIQ u(x0  t) OGRA-

NI^ENA SWERHU WELI^INOJ

r


;1=2 u(x0  T ) = u0 b0 T; 1=2 < +1:

eSLI VE  6 1=2, TO u(x0  T ) = +1, T. E. W \TOJ TO^KE REENIE NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET PRI t ! T ;. wY^ISLIM PROIZWODNU@ ux (x T ) W TO^KE x = x+0. dIFFERENCIRUQ WYRAVENIE (7), POLU^AEM, ^TO PRI  > 3=2 ONA KONE^NA I OPREDELQETSQ PO FORMULE ux (x+0  T ) = ; 2aup0  T
;3=2



2b0 T  ; 3=2 ;  ; 1=2



1=2 (ESLI  6 3=2, TO ux (x+0 T ) = ;1). oTMETIM, ^TO PRI T > 2b0  ; ; 3=2 PROIZWODNAQ ux (x+0 T ) POLOVITELXNA, T. E. PREDELXNOE RASPREDELENIE u(x T ) W OBLASTI x > x0 NOSIT NEMONOTONNYJ HARAKTER. |TO SWQZANO S WOZNIKA@]EJ W \TOM SLU^AE NEMONOTONNOSTX@ GRANI^NOGO REVIMA (5) (PROWERXTE \TOT FAKT). gRANI^NYE REVIMY S OBOSTRENIEM, POROVDA@]IE LOKALIZOWANNYE REENIQ S GLUBINOJ LOKALIZACII, OTLI^NOJ OT NULQ, NAZYWA@TSQ S - R E V I M A M I (SR. pRILOVENIE III K GL. III). B) pUSTX ;1 < n < 0. tOGDA INTEGRAL W (6) SHODITSQ PRI L@BYH ZNA^ENIQH x > 0 (DOKAVITE \TO), T. E. REENIE RASTET DO BESKONE^NOSTI TOLXKO W GRANI^NOJ TO^KE x = 0. tEM SAMYM W ZADA^E SU]ESTWUET LOKALIZACIQ TEP-

510

rasprostranenie tepla w prostranstwe

gl. VI

LA, PRI^EM PO OPREDELENI@ GLUBINA LOKALIZACII x0 = 0. tAKIE GRANI^NYE REVIMY S OBOSTRENIEM MY NAZYWAEM L S - R E V I M A M I (OTMETIM, ^TO LSREVIMY S OBOSTRENIEM STEPENNOGO WIDA REALIZU@TSQ TAKVE W SLU^AE n = 0,  < 0). W) pUSTX TEPERX n < ;1 W (5). tOGDA, NAOBOROT, INTEGRAL W (6) RASHODITSQ PRI WSEH x > 0 (DOKAVITE). |TO OZNA^AET, ^TO REENIE NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET PRI t ! T ; WO WSEM PROSTRANSTWE I LOKALIZACIQ W ZADA^E OTSUTSTWUET. tAKIE REVIMY S OBOSTRENIEM NAZYWA@TSQ H S - R E V I M A M I. zada~i k glawe VI 1. sFERA RADIUSA R0 W NA^ALXNYJ MOMENT ZAPOLNENA GAZOM KONCENTRACII u0 WNE SFERY KONCENTRACIQ RAWNA NUL@. nAJTI FUNKCI@ u, HARAKTERIZU@]U@ PROCESS DIFFUZII GAZA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. rEITX TU VE ZADA^U DLQ POLUPROSTRANSTWA PRI NALI^II GAZONEPRONICAEMOJ GRANICY z = 0. 2. rEITX ZADA^U O NAGREWANII SFERY RADIUSA R0 , ESLI NA^ALXNAQ TEMPERATURA RAWNA NUL@, A NA GRANICE PODDERVIWAETSQ POSTOQNNAQ TEMPERATURA. 3. nAJTI TEMPERATURU ARA, NA POWERHNOSTI KOTOROGO PROISHODIT TEPLOOBMEN SO SREDOJ NULEWOJ TEMPERATURY, ESLI NA^ALXNAQ TEMPERATURA POSTOQNNA I RAWNA u0 . 4. oDNORODNOE TWERDOE TELO OGRANI^ENO DWUMQ KONCENTRI^ESKIMI SFERAMI S RADIUSAMI a I 2a. wNUTRENNQQ POWERHNOSTX TELA TEPLOIZOLIROWANA, A NA WNENEJ POWERHNOSTI PROISHODIT TEPLOOBMEN SO SREDOJ NULEWOJ TEMPERATURY. nAJTI RASPREDELENIE TEMPERATURY W TELE W MOMENT t, ESLI NA^ALXNAQ TEMPERATURA TELA RAWNA u0 . 5. wYWESTI URAWNENIE DIFFUZII W SREDE, DWIVU]EJSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@. nAPISATX WYRAVENIE DLQ FUNKCII TO^E^NOGO ISTO^NIKA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. 6. rASSMOTRETX STACIONARNU@ ZADA^U DIFFUZII W PODWIVNOJ SREDE, S^ITAQ SKOROSTX DWIVENIQ POSTOQNNOJ I PRENEBREGAQ DIFFUZIEJ WDOLX NAPRAWLENIQ DWIVENIQ SREDY (ZADA^A O GAZOWOJ ATAKE). nAPISATX FUNKCI@ ISTO^NIKA DLQ POLUPROSTRANSTWA, S^ITAQ, ^TO PLOSKOSTX z = 0 GAZONEPRONICAEMA. 7. pOSTROITX FUNKCI@ TEPLOWOGO ISTO^NIKA DLQ SLOQ, OGRANI^ENNOGO PLOSKOSTQMI z = 0 I z = l, A TAKVE DLQ KLINA S RASTWOROM =n (n | CELOE ^ISLO) PRI NULEWYH GRANI^NYH USLOWIQH. rEENIE ISSLEDOWATX. 8. nAJTI FUNKCI@ WLIQNIQ MGNOWENNOGO ISTO^NIKA TEPLA MO]NOSTI Q, RAWNOMERNO RASPREDELENNOGO NA POWERHNOSTI SFERY RADIUSA a. 9. rEITX ZADA^U O NAGREWANII BESKONE^NOGO CILINDRA, NA^ALXNAQ TEMPERATURA KOTOROGO RAWNA NUL@, A NA POWERHNOSTI PODDERVIWAETSQ POSTOQNNAQ TEMPERATURA. pOLXZUQSX TABLICAMI FUNKCIJ bESSELQ, NAJTI PROFILX TEMPERATURY (WZQW NA RADIUSE DESQTX TO^EK) I SREDN@@ TEMPERATURU PO SE^ENI@ DLQ BOLXIH MOMENTOW WREMENI. pOSTROITX SOOTWETSTWU@]IE GRAFIKI. 10. rASSMOTRETX ZADA^U O NAMAGNI^IWANII BESKONE^NOGO CILINDRA POSTOQNNYM MAGNITNYM POLEM, PARALLELXNYM OSI CILINDRA. pOLXZUQSX TABLICAMI BESSELEWYH FUNKCIJ, PODS^ITATX WELI^INU POTOKA INDUKCII ^EREZ POPERE^NOE SE^ENIE CILINDRA. 11. pOSTROITX FUNKCI@ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA TEPLA DLQ BESKONE^NOJ CILINDRI^ESKOJ OBLASTI PROIZWOLXNOGO SE^ENIQ PRI GRANI^NYH

I. diffuziq oblaka

511

USLOWIQH PERWOGO RODA. rASSMOTRETX ^ASTNYJ SLU^AJ POPERE^NOGO SE^ENIQ KRUGLOJ FORMY. uKAZANIE. pREDSTAWITX REENIE W WIDE u(M z t) =

1 X

n=1

un (z t) n (M )

GDE n (M ) | SOBSTWENNAQ FUNKCIQ POPERE^NOGO SE^ENIQ CILINDRA.

priloveniq k glawe VI

I. dIFFUZIQ OBLAKA rASSMOTRIM PROCESS DIFFUZII GAZOWOGO OBLAKA, OBRAZU@]EGOSQ PRI RAZRYWE SNARQDA. pRI RAZRYWE SNARQDA WYDELQETSQ NEKOTOROE KOLI^ESTWO DYMA Q, KOTORYJ RASPROSTRANQETSQ WO WSE STORONY, OBRAZUQ OBLAKO. oBLAKO SNA^ALA RASTET, ZATEM ONO SWETLEET PO KRAQM, EGO TEMNAQ NEPROZRA^NAQ ^ASTX UMENXAETSQ, WSE OBLAKO SWETLEET, NA^INAET TAQTX I, NAKONEC, IS^EZAET. |TA KARTINA OSOBENNO OT^ETLIWO WIDNA W QSNYJ DENX NA FONE GOLUBOGO NEBA. pROCESS RASPROSTRANENIQ DYMOWOGO OBLAKA MOVNO TRAKTOWATX KAK PROCESS DIFFUZII DYMA OT MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA MO]NOSTI Q W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. tAKOJ PROCESS DIFFUZII NOSIT NE MOLEKULQRNYJ, A TURBULENTNYJ HARAKTER EMU SOOTWETSTWUET NEKOTORYJ \FFEKTIWNYJ KO\FFICIENT TURBULENTNOJ DIFFUZII D. mY NE U^ITYWAEM ZDESX NA^ALXNYJ RAZBROS DYMA, A TAKVE PRAKTI^ESKI SOWERENNO NESU]ESTWENNOE WLIQNIE ZEMLI. w \TIH PREDPOLOVENIQH KONCENTRACIQ DYMA DAETSQ FORMULOJ u(x
y
z
t) = Q



1 p 2 Dt

3

e;

x2 +y2 +z2 4Dt

(D = a2 )


ESLI NA^ALO KOORDINAT POMESTITX W TO^KU RAZRYWA SNARQDA. oSTANOWIMSQ NA WOPROSE O WIDIMOSTI OBLAKA. wREMQ, ZA KOTOROE OBLAKO POLNOSTX@ RASTAET, ZAWISIT OT POGLO]ENIQ SWETA W ATMOSFERE I OT POROGA ^UWSTWITELXNOSTI IZMERITELXNOGO PRIBORA (GLAZ, FOTOPLENKA I T. D.). kAK IZWESTNO, INTENSIWNOSTX SWETA, PROHODQ]EGO ^EREZ ODNORODNYE SLOI GAZA, PRIBLIVENNO RAWNA I = I0 e;l
GDE I0 | PERWONA^ALXNAQ INTENSIWNOSTX SWETA, = 0 u | KO\FFICIENT POGLO]ENIQ, PROPORCIONALXNYJ KONCENTRACII POGLO]A@]EGO GAZA ( 0 = const, u | KONCENTRACIQ GAZA W SLOE), l | TOL]INA SLOQ.

priloveniq k glawe VI

512

eSLI IMEETSQ DWA SLOQ TOL]INY l1 I l2 S RAZNYMI KONCENTRACIQMI GAZA u1 I u2 , TO I = I0 e;0 u1 l1 e;0 u2 l2 = I0 e;0 (u1 l1 +u2 l2 ) : oTS@DA QSNO, ^TO INTENSIWNOSTX SWETA, PROHODQ]EGO ^EREZ OBLAKO S NEPRERYWNO MENQ@]EJSQ KONCENTRACIEJ DYMA, BUDET OPREDELQTXSQ FORMULOJ  Z  I = I0 exp ; 0 u dl : wIDIMOSTX R OBLAKA OPREDELQETSQ OTNOENIEM I=I0 , ZAWISQ]IM OT WELI^INY u dl. pUSTX | POROG ^UWSTWITELXNOSTI INSTRUMENTA NABL@DENIQ TOGDA PRI I0 ; I <
ILI I > 1 ;
I0 I0 OBLAKO STANOWITSQ NEWIDIMYM PRI I I0 ; I > 1 ;
ILI I0 I0 <
OBLAKO KAVETSQ SOWERENNO NEPROZRA^NYM. eSLI < II < 1 ;
0 TO OBLAKO KAVETSQ NABL@DATEL@ ^ASTI^NO PROZRA^NYM. sTEPENX PROZRA^NOSTI ZAWISIT OT WELI^INY OTNOENIQ   I = exp ; Z u dl
0 I 0

R

T. E. OT WELI^INY INTEGRALA u dl. nAPRAWIM TEPERX OSX z PO LU^U ZRENIQ I BUDEM S^ITATX, ^TO NABL@DATELX NAHODITSQ W BESKONE^NOSTI. pRI \TOM OBLAKO PROEKTIRUETSQ NA PLOSKOSTX (x
y). dLQ OCENKI WIDIMOSTI RAZLI^NYH U^ASTKOW OBLAKA, SOOTWETSTWU@]IH TO^KAM (x
y), WY^ISLIM INTEGRAL

Z

u dl =

Z1

;1

u(x
y
z
t) dz = Q



1 p 2 Dt

3 Z1

e;

;1

=Q

eSLI KOLI^ESTWO DYMA PO LU^U ZRENIQ MAL#O: Z u dl <
0

x2 +y2 +z2 4Dt



dz =

p1 2 Dt

2

e;

x2 +y 2 4Dt :

I. diffuziq oblaka

513

TO I=I0 > 1 ; I SOOTWETSTWU@]IJ U^ASTOK POLNOSTX@ PROZRA^EN. eSLI KOLI^ESTWO DYMA PO LU^U ZRENIQ WELIKO: Z u dl > 
0

TO I=I0 < e = , T. E. PRI NADLEVA]EM WYBORE  = ln(1= ) SOOTWETSTWU@]IJ U^ASTOK OBLAKA SOWERENNO NEPROZRA^EN. pRI 6 Z u dl <  0 0 USLOWIE Z 0 u dl =
ILI ;

0 Q



1 p 2 Dt

2

2

e; 4Dt =

(2 = x2 + y2 )


OPREDELQET GRANICU OBLAKA, ZA PREDELAMI KOTOROJ ONO STANOWITSQ NE-

rIS. 81 WIDIMYM. rADIUS OBLAKA, O^EWIDNO, RAWEN (RIS. 81)

=2

s

4Dt : ;Dt ln Q 0

pRI MALYH ZNA^ENIQH t RADIUS OBLAKA  MAL I RASTET WMESTE S t PRI 0 Q t = t0 = 4e D  DOSTIGAET MAKSIMUMA: r p 0Q
max = 2 Dt0 = e PRI t > t0 RADIUS OBLAKA  UMENXAETSQ I PRI 0 t1 = Q 4D OBRA]AETSQ W NULX (OBLAKO IS^EZAET). 33 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

514

priloveniq k glawe VI

nABL@DAQ PROCESS RASPLYWANIQ OBLAKA, MOVNO OPREDELITX KO\FFICIENT TURBULENTNOJ DIFFUZII D W SWOBODNOJ ATMOSFERE (NAPRIMER, IZ FORMULY DLQ t1 ILI DLQ t0 ).

II. o RAZMAGNI^IWANII CILINDRA S OBMOTKOJ rASSMOTRIM ZADA^U O RAZMAGNI^IWANII CILINDRA S OBMOTKOJ. tAKAQ ZADA^A WOZNIKAET W SWQZI S TEORIEJ BALLISTI^ESKOGO GALXWANOMETRA1). pRI WKL@^ENII ILI WYKL@^ENII MAGNITNOGO POLQ W OBMOTKE WOZNIKAET INDUKCIONNYJ TOK. pRI TO^NOJ POSTANOWKE ZADA^I NUVNO U^ITYWATX OBRATNOE WOZDEJSTWIE \TOGO TOKA NA POLE WNUTRI CILINDRA. oDNAKO TORMOZQ]EE DEJSTWIE OBMOTKI OBY^NO NE U^ITYWAETSQ I ZADA^U REA@T S UPRO]ENNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI. pOZNAKOMIMSQ, PREVDE WSEGO, S TAKOJ UPRO]ENNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I. rASSMOTRIM BESKONE^NYJ CILINDR RADIUSA R, NA POWERHNOSTI KOTOROGO NAMOTANA PROWODQ]AQ OBMOTKA. cILINDR NAHODITSQ W ODNORODNOM MAGNITNOM POLE H0 , PARALLELXNOM OSI CILINDRA Oz . w MOMENT t = 0 POLE WYKL@^AETSQ. wNUTRI CILINDRA, O^EWIDNO, BUDET UDOWLETWORQTXSQ URAWNENIE H = a12 @H (H = Hz )
(1) @t GDE c2 : a2 = 4 w SILU OSEWOJ SIMMETRII POLQ Hz = H (r
t) I URAWNENIE (1) MOVET BYTX PEREPISANO W WIDE @ 2 H + 1 @H = 1 @H : (10 ) @r2 r @r a2 @t eSLI PRENEBRE^X WLIQNIEM INDUKCIONNOGO TOKA W OBMOTKE NA PROCESS RAZMAGNI^IWANIQ CILINDRA, GRANI^NOE USLOWIE NA EGO POWERHNOSTI BUDET IMETX WID H (R
t) = 0 (t > 0): (2) pRI t = 0 H (r
0) = H0 : (20 ) 1) w W E D E N S K I J b. a. tOKI fUKO PRI APERIODI^ESKIH PROCESSAH W VELEZE POWERHNOSTNYJ \FFEKT // vURN. rUS. FIZ.-HIM. O-WA. 1923. t. 55,  1{3. s. 1{12.

II. o razmagni~iwanii cilindra s obmotkoj

515

rEENIE URAWNENIQ (10 ) PRI GRANI^NOM USLOWII (2) BEZ TRUDA POLU^AETSQ METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH (SM. S. 490): H (r
t) =

1 X

(0) J

k=1 k

2 (0) !2 3 k a2 t5 J (0) r  : 4  exp ; 0 k (0)

2H0 1

R

k

R

(3)

zDESX J0 I J1 | FUNKCII bESSELQ NULEWOGO I PERWOGO PORQDKA, (0) k | k-J KORENX URAWNENIQ J0 () = 0: (4) 2 tAK KAK a WESXMA WELIKO, TO DLQ DOSTATO^NO BOLXIH t MOVNO OGRANI^ITXSQ W FORMULE (3) PERWYM ^LENOM (REGULQRNYJ REVIM):  r a2 H (r
t)  (5) = 1
60  H0 e;577 R2 t J0 2
4 R : oTS@DA DLQ POTOKA INDUKCII POLU^AEM

Z 2 a2 4 (t) = 2 H (r
t) r dr  = 2 0 e;1 R2 t
R

(6)

1

0

GDE 0 | NA^ALXNYJ POTOK (PRI t = 0), 1 = (0) 1 . fORMULOJ (6) POLXZU@TSQ DLQ PRAKTI^ESKIH RAS^ETOW PRI IZMERENIQH S POMO]X@ BALLISTI^ESKOGO GALXWANOMETRA. ~TOBY OPREDELITX OBLASTX PRIMENIMOSTI \TOJ FORMULY, SLEDUET REITX UKAZANNU@ WYE ZADA^U, U^ITYWAQ TORMOZQ]EE DEJSTWIE OBMOTKI1). |LEKTRODWIVU]AQ SILA INDUKCII W KONTURE (WITKE) L, KAK IZWESTNO, RAWNA

E

IND =

I L

El dl:

pREOBRAZUEM KONTURNYJ INTEGRAL, ISPOLXZUQ DLQ \TOJ CELI TEOREMU sTOKSA, WTOROE URAWNENIE mAKSWELLA I URAWNENIE (1): ZZ ZZ EIND = rotz E dS = ; c @H @t dS = S S ZZ I @H c c = ; 4 H dS = ; 4 @ dl
S

1)

33


|TA ZADA^A BYLA REENA w. n. nIKITINOJ.

L

516

ILI

priloveniq k glawe VI

dH (R
t): = ; cR (7) 2 d zDESX S | POPERE^NOE SE^ENIE CILINDRA, L | KONTUR, OGRANI^IWA@]IJ S ,  | NORMALX K KONTURU L.

E

IND

gRANI^NYE USLOWIQ NA POWERHNOSTI CILINDRA ZAPIUTSQ W WIDE USLOWIQ SKA^KA POLQ H (R ; 0
t) ; H (R + 0
t) = 4c nJ
GDE J | INDUKCIONNYJ TOK W OBMOTKE, n | ^ISLO WITKOW NA EDINICU DLINY CILINDRA. oTS@DA, U^ITYWAQ, ^TO H (R + 0
t) = 0, J = EIND l


GDE  | LINEJNOE SOPROTIWLENIE OBMOTKI, l | DLINA ODNOGO WITKA, POLU^AEM (8) H (R
t) = H (R ; 0
t) = 4c n EIND l : sOPOSTAWLQQ SOOTNOENIQ (7) I (8), OKON^ATELXNO PRIHODIM K GRANI^NOMU USLOWI@ n H (R
t) = 0: H (R
t) +  r tAKIM OBRAZOM, MY DOLVNY REITX URAWNENIE (9) Hrr + 1r Hr = a12 Ht PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH H (r
0) = H0
 n H (R
t) + Hr (R
t) = 0 =  : rEENIE BUDEM ISKATX METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, POLAGAQ H (r
t) = X (r) T (t): dLQ FUNKCIJ X (r) I T (t) POLU^IM USLOWIQ X 00 + 1r X 0 + 2 X = 0 X (R) + X (R) = 0 0

(X (0) < 1)


T 0 + 2 a2 T = 0


(10) (11)

II. o razmagni~iwanii cilindra s obmotkoj

517

GDE 2 | PARAMETR RAZDELENIQ. iZ WTOROGO URAWNENIQ SRAZU VE NAHODIM T (t) = e;a2 2 t : ~ASTNYMI REENIQMI URAWNENIQ (10) QWLQ@TSQ FUNKCII J0 (r) I N0 (r) (SM. dOPOLNENIE II, ^. I), ODNAKO USLOWI@ OGRANI^ENNOSTI PRI r = 0 UDOWLETWORQET LIX J0 (r). pO\TOMU X (r) = AJ0 (r): gRANI^NOE USLOWIE PRI r = R DAET URAWNENIE DLQ OPREDELENIQ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ (R) = 0
J0 (R) + dJ0dR ILI J0 (y) ; yJ1 (y) = 0
(12) GDE  = =R
y = R: kORNI \TOGO URAWNENIQ MOGUT BYTX NAJDENY LIBO GRAFI^ESKI, LIBO RAZLOVENIEM FUNKCIJ bESSELQ W RQD PO STEPENQM y = R. oBOZNA^IM ^EREZ yk KORNI URAWNENIQ (12), TAK ^TO k = yk =R: oB]EE REENIE NAEJ ZADA^I BUDET IMETX WID 1   X H (r
t) = Ak J0 yk Rr e;(yk =R)2 a2 t : (13) k=1 kO\FFICIENTY Ak NAHODIM IZ NA^ALXNOGO USLOWIQ

ZR

  H0 J0 r yRk r dr

Ak = 0 ZR 0

  J02 r yRk r dr

= y J 22 (Hy0 J) 1+(yJk2)(y )] : k 0 k 1 k

(14)

~LENY RQDA (13) BYSTRO UBYWA@T, TAK KAK a2 = c2 =4 WELIKO ( 1013 | 1014 ). pO\TOMU S DOSTATO^NOJ STEPENX@ TO^NOSTI MOVNO

OGRANI^ITXSQ PERWYM ^LENOM 2H J (y ) J (y r=R) 2 a2 H (r
t)  = y 0J 12 (y1 ) +0 J 21(y )] e;y1 R2 t
1 0 1 1 1

(15)

518

priloveniq k glawe VI

^TO PRIWODIT K SLEDU@]EMU WYRAVENI@ DLQ POTOKA: 2 a2 4J 2(y ) (t)  (16) = 0 y2 J 2 (y 1) +1J 2 (y )] e;y1 R2 t
1 0 1 1 1 GDE 0 = NH0 R2 (N | POLNOE ^ISLO WITKOW W OBMOTKE). rAS^ETY PRIWODQT K SLEDU@]IM FORMULAM POTOKA DLQ RAZLI^NYH ZNA^ENIJ PARAMETRA  : 8 > <0
804 0e;;437596  PRI  = 0
1
2 (t) = >0
872 0e PRI  = 0
2
 = Ra 2 t
:0
912  e;335  PRI  = 0
3
0

POZWOLQ@]IM PROSLEDITX ZA TORMOZQ]IM DEJSTWIEM TOKA NA SPADANIE POLQ W CILINDRE. s UWELI^ENIEM  , T. E. S UWELI^ENIEM TOKA W OBMOTKE, SKOROSTX UBYWANIQ POTOKA UMENXAETSQ. pRI  = 0 ESTESTWENNO PRIHODIM K WYRAVENI@ (6) DLQ POTOKA, QWLQ@]EMUSQ, TAKIM OBRAZOM, NULEWYM PRIBLIVENIEM. w TEORII BALLISTI^ESKOGO GALXWANOMETRA WAVNO ZNATX WREMQ  SPADANIQ POTOKA OT 0 DO ZNA^ENIJ, OPREDELQEMYH ^UWSTWITELXNOSTX@ GALXWANOMETRA, KOTOROE HARAKTERIZUET INERCIONNOSTX PRIBORA. pUSTX  | OTNOSITELXNAQ ^UWSTWITELXNOSTX GALXWANOMETRA, T. E. GALXWANOMETR MOVET REGISTRIROWATX LIX ZNA^ENIQ  >  0 . wELI^INU  , O^EWIDNO, MOVNO NAJTI, POLAGAQ  =  0 W MOMENT t =  W FORMULE (t) = a0 e;bt : iZ SRAWNENIQ POLNOGO REENIQ (16) S GRUBYM REENIEM (6) WIDNO, ^TO KO\FFICIENT W FORMULE (6) ZAWYEN. |TO OZNA^AET ZAWYENNOE ZNA^ENIE ^UWSTWITELXNOSTI PRIBORA PRI ODNOM I TOM VE ZNA^ENII  . pRIWEDENNAQ NIVE TABLICA SODERVIT ZNA^ENIQ  DLQ RAZLI^NYH  , W TOM ^ISLE I DLQ  = 0, PRI  = 10;3. R, a2 =R2  ( = 0)  ( = 01)  ( = 02)  ( = 03)

SM

vELEZO  = 500  = 105 (oM  SM);1 1 1,59 0,71 aLXSIFER  = 2000  = 13  104 (oM  SM);1 1 5,12 0,217

0,888

1,15

1,28

0,272

0,330

0,405

g l a w a VII

urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE)

x 1. oSNOWNYE ZADA^I, PRIWODQ]IE

K URAWNENI@ v + cv = 0 1. uSTANOWIWIESQ KOLEBANIQ. wESXMA IROKIJ KLASS WOPRO-

SOW, SWQZANNYH S U S T A N O W I W  I M I S Q K O L E B A N I Q M I (MEHANI^ESKIMI, AKUSTI^ESKIMI, \LEKTROMAGNITNYMI I T. D.), PRIWODIT K TAK NAZYWAEMOMU W O L N O W O M U U R A W N E N I @ v + k2 v = 0 (k2 = c > 0): (1) rASSMOTRIM W KA^ESTWE PRIMERA MEMBRANU S , ZAKREPLENNU@ PO GRANICE C I KOLEBL@]U@SQ POD DEJSTWIEM PERIODI^ESKIH WO WREMENI SIL. sOOTWETSTWU@]EE URAWNENIE IMEET WID 2 u = a12 utt ; F0 (x
y) cos !t:

(2)

2 u = a12 utt ; F0 (x
y) ei!t :

(3)

pRI IZU^ENII PERIODI^ESKIH PROCESSOW UDOBNO POLXZOWATXSQ KOMPLEKSNYMI FUNKCIQMI, ZAMENQQ (2) URAWNENIEM fUNKCIQ u, O^EWIDNO, QWLQETSQ WE]ESTWENNOJ ^ASTX@ FUNKCII u IZ (3). bUDEM ISKATX USTANOWIWIESQ KOLEBANIQ, IME@]IE WID u = v ei!t : (4) dLQ AMPLITUDY USTANOWIWIHSQ KOLEBANIJ v POLU^AEM SLEDU@]EE URAWNENIE:  ! (5) 2 v + k2 v = ;F0 (x
y) k= a
K KOTOROMU NADO DOBAWITX GRANI^NOE USLOWIE v jC = 0: (6)

520 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

eSLI KONTUR MEMBRANY C NE ZAKREPLEN, A SOWERAET PERIODI^ESKIE KOLEBANIQ S TOJ VE ^ASTOTOJ !, u jC = f0 ei!t
(60 ) TO DLQ FUNKCII v NA KONTURE C IMEET MESTO NEODNORODNOE GRANI^NOE USLOWIE v jC = f0 : (600 ) kAK BYLO UVE OTME^ENO WYE, ZADA^I OB USTANOWIWIHSQ KOLEBANIQH HARAKTERNY TAKVE DLQ AKUSTIKI I TEORII \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. kROME TOGO, ^ASTO WSTRE^A@TSQ ZADA^I OB USTANOWIWIHSQ KOLEBANIQH W NEODNORODNOJ SREDE, W ^ASTNOSTI W KUSO^NO-ODNORODNOJ SREDE (KOGDA, NAPRIMER, W PROSTRANSTWE IME@TSQ OTDELXNYE OBLASTI, NARUA@]IE ODNORODNOSTX). k \TOMU KRUGU WOPROSOW OTNOSQTSQ ZADA^I TEORII DIFRAKCII, NA KOTORYH MY OSTANOWIMSQ NIVE. 2. dIFFUZIQ GAZA PRI NALI^II RASPADA I PRI CEPNYH REAKCIQH. pRI DIFFUZII NEKOTORYH GAZOW (NAPRIMER, \MANACII RADIQ) PROISHODIT REAKCIQ RASPADA MOLEKUL DIFFUNDIRU@]EGO GAZA. sKOROSTX REAKCII RASPADA OBY^NO PRINIMA@T PROPORCIONALXNOJ KONCENTRACII GAZA. pRI NAPISANII URAWNENIQ DIFFUZII \TO \KWIWALENTNO NALI^I@ OTRICATELXNYH ISTO^NIKOW GAZA. w SLU^AE STACIONARNOGO PROCESSA DIFFUZII MY PRIHODIM K URAWNENI@ D v + cv = 0 (c < 0)
(7) GDE D | KO\FFICIENT DIFFUZII. kAK BYLO UKAZANO W GL. VI, x 2, P. 3, BOLXOJ INTERES PREDSTAWLQET SLU^AJ c > 0, SOOTWETSTWU@]IJ DIFFUZII PRI NALI^II CEPNYH REAKCIJ, WEDU]IH K RAZMNOVENI@ DIFFUNDIRU@]IH ^ASTIC. w STACIONARNOM SLU^AE MY POLU^AEM PRI \TOM URAWNENIE v + cv = 0 (c > 0)
TAK KAK CEPNAQ REAKCIQ \KWIWALENTNA NALI^I@ ISTO^NIKOW DIFFUNDIRU@]EGO WE]ESTWA, PROPORCIONALXNYH KONCENTRACII v(x
y
z ). 3. dIFFUZIQ W DWIVU]EJSQ SREDE. w GL. IV BYLA RASSMOTRENA ZADA^A O DIFFUZII GAZA W NEPODWIVNOJ SREDE. rASSMOTRIM ZADA^U O DIFFUZII GAZA W ZADANNOM STACIONARNOM POTOKE, SKOROSTX KOTOROGO W TO^KE M (x
y
z ) IMEET KOMPONENTY #1 (x
y
z ), #2 (x
y
z ), #3 (x
y
z ). kOLI^ESTWO GAZA, PROTEKA@]EGO ^EREZ \LEMENTARNU@ PLO]ADKU d W TO^KE M (x
y
z ), RAWNO dQ = ;Dn grad u d + u #n d
GDE u(x
y
z ) | KONCENTRACIQ GAZA W EDINICE OB_eMA, n | EDINI^NYJ WEKTOR, NORMALXNYJ K PLO]ADKE d, D | KO\FFICIENT DIFFUZII W TO^KE (x
y
z ), #(x
y
z ) | WEKTOR SKOROSTI POTOKA. sOSTAWLQQ URAWNENIE SOHRANENIQ WE]ESTWA DLQ NEKOTOROGO OB_eMA T S GRANICEJ , POLU^AEM Z ;Dn grad u + u##n] d = 0:

x 1]

zada~i, priwodq}ie k urawneni` v + cv = 0

521

pREOBRAZUEM POWERHNOSTNYJ INTEGRAL W OB_eMNYJ, POLXZUQSX FORMULOJ oSTROGRADSKOGO | gAUSSA: Z div(D grad u) ; div(u##)] d = 0: T

oTS@DA W SILU PROIZWOLXNOSTI OB_EMA T WYTEKAET URAWNENIE DIFFUZII W ZADANNOM POTOKE div(D grad u) ; div(u##) = 0
(8) ILI, W SKALQRNOJ FORME,       @ D @u + @ D @u + @ D @u ; @x @x @y @y @z @z ; @x@ (u#1) ; @y@ (u#2) ; @z@ (u#3) = 0: (80) k TAKOMU VE URAWNENI@ PRIWODIT ZADA^A O RASPROSTRANENII TEPLA W DWIVU]EJSQ SREDE. rASSMOTRIM SLEDU@]IJ PRIMER. pUSTX W POLUPROSTRANSTWE z > 0 IMEETSQ WOZDUNYJ POTOK S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ u0 , NAPRAWLENNOJ PO OSI x. s^ITAQ KO\FFICIENT DIFFUZII POSTOQNNYM, POLU^AEM IZ (8) URAWNENIE @u = 0
D u ; u0 @x QWLQ@]EESQ PROSTEJIM WARIANTOM U R A W N E N I Q G A Z O W O J A T A K I. pOLAGAQ u = v ex I WYBIRAQ ZATEM  = u0=2D
POLU^IM DLQ FUNKCII v(x
y
z ) URAWNENIE 2 v + cv = 0
GDE c = ; 4uD0 < 0:

4. pOSTANOWKA WNUTRENNIH KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ

v + cv = 0. kAK BYLO POKAZANO W GL. I W SWQZI S IZU^ENIEM KANONI^ESKIH FORM URAWNENIJ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI, WSQKOE URAWNE-

NIE \LLIPTI^ESKOGO TIPA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI MOVET BYTX PRIWEDENO K WIDU v + cv = 0: (9) sWOJSTWA REENIQ URAWNENIQ (9) SU]ESTWENNO ZAWISQT OT ZNAKA KO\FFICIENTA c, ^TO FIZI^ESKI O^EWIDNO, ESLI IMETX W WIDU DIFFUZIONNU@ INTERPRETACI@ \TOGO URAWNENIQ.

522 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

oSTANOWIMSQ NA WOPROSE EDINSTWENNOSTI REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ (9). dLQ URAWNENIQ v + cv = 0 PRI c < 0 IMEET MESTO PRINCIP MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ W SLEDU@]EJ FORME. rEENIE v(M ) URAWNENIQ v + cv = 0 (c < 0), OPREDELENNOE WNUTRI NEKOTOROJ OBLASTI T S GRANICEJ , NE MOVET DOSTIGATX WO WNUTRENNIH TO^KAH OBLASTI T POLOVITELXNYH MAKSIMALXNYH (I OTRICATELXNYH MINIMALXNYH) ZNA^ENIJ. w SAMOM DELE, DOPUSTIM, ^TO W NEKOTOROJ TO^KE M0 , LEVA]EJ WNUTRI T , FUNKCIQ v(M ) DOSTIGAET POLOVITELXNOGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ (v(M0 ) > 0)). tOGDA W TO^KE M0 @ 2 v 6 0
@ 2 v 6 0
@ 2 v 6 0 @x2 @y2 @z 2 I, SLEDOWATELXNO, v 6 0, ^TO NAHODITSQ W PROTIWORE^II S OTRICATELXNOSTX@ KO\FFICIENTA c I POLOVITELXNOSTX@ v(M0 )1) . iZ PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ AWTOMATI^ESKI SLEDUET EDINSTWENNOSTX REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ (9). mOVET SU]ESTWOWATX TOLXKO ODNO REENIE URAWNENIQ v + cv = = 0 (c 6 0), OPREDELENNOE I NEPRERYWNOE W ZAMKNUTOJ OBLASTI T + , PRINIMA@]EE NA GRANICE  ZADANNYE ZNA^ENIQ v j = f: dEJSTWITELXNO, DOPUSKAQ SU]ESTWOWANIE DWUH RAZLI^NYH REENIJ v1 I v2 , RASSMATRIWAQ IH RAZNOSTX v1 ; v2 I PROWODQ RASSUVDENIQ SPOSOBOM, IZLOVENNYM WYE (SM. GL. III I IV), MY PRIHODIM K PROTIWORE^I@ S PRINCIPOM MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. eSLI c = 0, TO MY POLU^AEM PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ lAPLASA, EDINSTWENNOSTX REENIQ KOTOROJ BYLA DOKAZANA. eSLI c > 0, TO EDINSTWENNOSTX MOVET NE IMETX MESTA. rASSMATRIWAQ W GL. V ZADA^U O SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH KRAEWOJ ZADA^I v + v = 0
v j = 0
MY UBEDILISX NA PRIMERAH W SU]ESTWOWANII NETRIWIALXNYH REENIJ (SOBSTWENNYH FUNKCIJ) PRI  > 0. o^EWIDNO, ^TO WOPROS O MNOVESTWENNOSTI ILI EDINSTWENNOSTI REENIQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I \KWIWALENTEN WOPROSU O TOM, SOWPADAET LI  S ODNIM IZ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ n W RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI T .

x 2. fUNKCII WLIQNIQ TO^E^NYH ISTO^NIKOW

1. fUNKCII WLIQNIQ TO^E^NYH ISTO^NIKOW. tEORIQ POTENCIALOW, RAZWITAQ W GL. IV DLQ URAWNENIQ lAPLASA, MOVET BYTX RASPROSTRANENA I NA URAWNENIE v + cv = 0. dLQ POSTROENIQ FUNKCIJ WLIQNIQ 1)

sR. S DOKAZATELXSTWOM PRINCIPA MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI.

x 2]

funkcii wliqniq to~e~nyh isto~nikow

523

TO^E^NOGO ISTO^NIKA RASSMOTRIM REENIE v0 , ZAWISQ]EE TOLXKO OT r. oPERATOR lAPLASA DLQ FUNKCII v0 (r) W SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT IMEET WID   1 d r2 dv0 = 1 d2 (rv0 )
r2 dr dr r dr2 ^TO PRIWODIT K OBYKNOWENNOMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ d2 w + cw = 0 (w = v r): 0 dr2 wWODQ OBOZNA^ENIE c = k2 DLQ c > 0 I c = ;{2 DLQ c < 0, POLU^AEM d2 w + k2 w = 0 (c > 0)
(1) dr2 d2 w ; {2 w = 0 (c < 0): (10 ) dr2 iZ URAWNENIQ (1) NAHODIM w = C1 eikr + C2 e;ikr (2) I, SOOTWETSTWENNO, ikr ;ikr v0 = C1 e r + C2 e r : (3) w SLU^AE WE]ESTWENNOGO k POLU^AEM DWA LINEJNO NEZAWISIMYH REENIQ eikr =r I e;ikr =r, KOTORYM SOOTWETSTWU@T WE]ESTWENNYE LINEJNO NEZAWISIMYE REENIQ cos kr I sinrkr : r pRI c < 0 (c = ;{2 ), POLXZUQSX URAWNENIEM (10 ), POLU^AEM DWA DEJSTWITELXNYH LINEJNO NEZAWISIMYH REENIQ e;{ r I e{ r ({ > 0): (4) r r fUNKCII eikr e{ r (c < 0) ( c > 0) I r r PRI r = 0 TERPQT RAZRYW NEPRERYWNOSTI, OBRA]AQSX W BESKONE^NOSTX KAK 1=r. tAKOJ VE HARAKTER OSOBENNOSTI IMELA FUNKCIQ ISTO^NIKA DLQ URAWNENIQ lAPLASA (c = 0), PROPoRCIONALXNAQ 1=r. rASSMOTRIM POWEDENIE \TIH FUNKCIJ NA BESKONE^NOSTI. sLU^AJ c < 0 SOOTWETSTWUET PROCESSU, SOPROWOVDA@]EMUSQ POGLO]ENIEM (SM.

524 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

URAWNENIE DIFFUZII (7) IZ x 1). oDNO IZ REENIJ e;{r =r \KSPONENCIALXNO STREMITSQ K NUL@ NA BESKONE^NOSTI, ^TO W TERMINAH ZADA^I DIFFUZII OZNA^AET UBYWANIE KONCENTRACII, WYZYWAEMOE POGLO]ENIEM. |TO2 UBYWANIE PROISHODIT TEM SILXNEE, ^EM BOLXE KO\FFICIENT jcj = { , HARAKTERIZU@]IJ INTENSIWNOSTX POGLO]ENIQ. wTOROE REENIE \KSPONENCIALXNO WOZRASTAET NA BESKONE^NOSTI I FIZI^ESKOGO SMYSLA DLQ ZADA^I W NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI NE IMEET (EGO MOVNO BYLO BY INTERPRETIROWATX KAK NALI^IE ISTO^NIKA W BESKONE^NOSTI). sLU^AJ c = k2 > 0 SOOTWETSTWUET USTANOWIWIMSQ WOLNOWYM PROCESSAM (SM. x 1, P. 1). fUNKCIQ v PREDSTAWLQET AMPLITUDU FUNKCII u(M
t) = v(M ) ei!t
UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ KOLEBANIJ (x 1). oDNO IZ GLAWNYH REENIJ URAWNENIQ (1) ;ikr v0 (r) = e r SOOTWETSTWUET PROCESSU KOLEBANIJ i (!t;kr) u0 (r
t) = e r
KOTORYJ IMEET HARAKTER SFERI^ESKOJ WOLNY, R A S H O D Q ] E J S Q OT ISTO^NIKA W TO^KE r = 0. wTOROE REENIE ikr v0 (r) = e r SOOTWETSTWUET PROCESSU KOLEBANIJ i (!t+kr) u0 (r
t) = e r
IME@]EMU HARAKTER SFERI^ESKOJ WOLNY, PRIHODQ]EJ IZ BESKONE^NOSTI W TO^KU r = 0 (S H O D Q ] I E S Q WOLNY). o^EWIDNO, ^TO \TO REENIE PRI IZU^ENII PROCESSOW, WOZBUVDAEMYH TO^E^NYM ISTO^NIKOM W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE, PRQMOGO FIZI^ESKOGO SMYSLA NE IMEET. oTMETIM, ^TO FUNKCI@ v(M ) MOVNO RASSMATRIWATX KAK AMPLITUDU KOLEBANIJ TIPA ei!t ILI e;i!t . mY BRALI WREMENNOJ FAKTOR PERWOGO TIPA. wO WTOROM SLU^AE RASHODQ]AQSQ WOLNA IMEET WID ;i (!t;kr) u0 (r
t) = e r
T. E. EJ SOOTWETSTWUET WTOROE REENIE ikr v0 (r) = e r :

x 2]

funkcii wliqniq to~e~nyh isto~nikow

525

pERWOE VE REENIE

;ikr v0 (r) = e r PRI \TOM FIZI^ESKOGO SMYSLA NE IMEET. 2. iNTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE REENIQ. dLQ URAWNENIQ (9) IZ x 1 PRI c 6= 0 MOVNO NAPISATX FORMULY, ANALOGI^NYE FORMULAM gRINA, KOTORYE BYLI USTANOWLENY DLQ URAWNENIQ lAPLASA. wWODQ OBOZNA^ENIE L(u) = u + cu
(5) SRAZU VE POLU^AEM FORMULU Z Z  @v @u  (uL(v) ; vL(u)) d = u @ ; v @ d
(6)

T



QWLQ@]U@SQ ANALOGOM I PRQMYM SLEDSTWIEM WTOROJ FORMULY gRINA

(SM. GL. IV, x 2). pODSTAWLQQ S@DA WMESTO v ODNU IZ FUNKCIJ TO^E^NOGO ISTO^NIKA, NAPRIMER e;{R =R, I POWTORQQ DOSLOWNO WSE RASSUVDENIQ GL. IV, x 2, PRIHODIM K ANALOGU OSNOWNOJ FORMULY gRINA Z  @  e;{R  e;{R @u  1 u(M0) = ; 4 u @ R ; R @ dM +

Z ;{ R + 41 f (M ) e R dM

(R = RMM0 )


T

GDE u(M ) | REENIE 2NEODNORODNOGO URAWNENIQ L(u) = ;f (M ). dLQ SLU^AQ c = k IMEET MESTO ANALOGI^NAQ FORMULA Z  @  e;ikR  e;ikR @u  u(M0) = ; 41 u @ R ; R @ dM + Z ;ikR + 41 f (M ) e R dM
T

(7)

(70 )

KOTORAQ BYLA POLU^ENA W GL. V KAK SLEDSTWIE FORMULY kIRHGOFA. wWEDEM PONQTIE FUNKCII ISTO^NIKA URAWNENIQ L(u) = 0 DLQ ZADANNOJ OBLASTI T S GRANICEJ . pUSTX v(M ) | REENIE URAWNENIQ L(v) = 0, REGULQRNOE WS@DU W T . fORMULA (6) DAET Z  @v @u  Z 0 = ; u @ ; v @ d + fv d: (8)

T

526 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

sKLADYWAQ (8) S RAWENSTWOM (7), POLU^AEM Z  @  e;{R   e;{R  @u  u(M0) = ; u @ 4R + v ; 4R + v @ dM +

+

Z  e;{R  + v f (M ) dM

T

4R

(R = RMM0 ):

(9)

|TA FORMULA SPRAWEDLIWA DLQ PROIZWOLXNOGO REENIQ v(M ) URAWNENIQ v ; {2 v = 0, REGULQRNOGO W OBLASTI T . pOLXZUQSX PROIZWOLOM WYBORA FUNKCII v, POLU^AEM Z Z 0
M ) d + G(M
M ) f (M ) d
(10) u(M0 ) = ; u(M ) @G(M M 0 M @ GDE



T

;{ R

G(M0
M ) = e4R + v (11) | FUNKCIQ ISTO^NIKA, OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) G(M
M0 ) OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX PRI M = M0 KAK 1=(4R), ^TO SLEDUET IZ FORMULY (11) 2) G(M
M0 ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ L(u) = 0 WS@DU W T , KROME TO^KI M0  3) G(P
M0 ) = 0 W TO^KAH P , LEVA]IH NA GRANICE . wOPROS O SU]ESTWOWANII FUNKCII ISTO^NIKA SWQZAN S WOPROSOM O SU]ESTWOWANII FUNKCII v, UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ L(v) = 0 W T I GRANI^NOMU USLOWI@ ;{ R v = ; e4R NA : o^EWIDNO, ^TO FUNKCIQ G(M
M0 ) ODNOZNA^NO OPREDELENA DLQ L@BOJ OBLASTI, DOPUSKA@]EJ EDINSTWENNOE REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I. w ^ASTNOSTI, PRI c = ;{2 < 0 \TA FUNKCIQ OPREDELENA DLQ L@BOJ OBLASTI. w PROSTEJIH SLU^AQH FUNKCI@ ISTO^NIKA MOVNO NAJTI W QWNOJ FORME, POLXZUQSX METODOM, ANALOGI^NYM METODU \LEKTROSTATI^ESKIH IZOBRAVENIJ1). tAK, NAPRIMER, DLQ POLUPROSTRANSTWA z > 0 FUNKCIQ ISTO^NIKA IMEET WID ;{ R1 ;{ R (12) G(M
M0 ) = e4R ; e4R
1 1) dLQ SFERY METOD \LEKTROSTATI^ESKIH IZOBRAVENIJ NEPRIMENIM PRI c= 6 0.

x 2]

funkcii wliqniq to~e~nyh isto~nikow

p

527

R = RMM0 = (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z ; z0 )2
p R1 = RMM1 = (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z + z0 )2
GDE M1 (x0
y0
;z0) | IZOBRAVENIE TO^KI M0 (x0
y0
z0 ) OTNOSITELXNO PLOSKOSTI z = 0. mY NE OSTANAWLIWAEMSQ ZDESX NA WOPROSE O PRIMENIMOSTI PREDYDU]IH FORMUL DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI, ^TO, WPRO^EM, BEZ TRUDA MOVET BYTX USTANOWLENO W SLU^AE c < 0. zADA^I DLQ NEOGRANI^ENNOGO PROSTRANSTWA PRI c > 0 SWQZANY S PRINCIPOM IZLU^ENIQ I BUDUT RASSMOTRENY W SLEDU@]EM PARAGRAFE. dLQ FUNKCII ISTO^NIKA G(M
M0 ), OPREDELENNOJ DLQ PROIZWOLXNOJ OBLASTI T , IMEET MESTO P R I N C I P W Z A I M N O S T I, WYRAVAEMYJ RAWENSTWOM G(M
M0 ) = G(M0
M ): dOKAZATELXSTWO \TOGO SWOJSTWA QWLQETSQ BUKWALXNYM POWTORENIEM SOOTWETSTWU@]EGO DOKAZATELXSTWA DLQ SLU^AQ URAWNENIQ lAPLASA (GL. IV, x 4). w SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH URAWNENIE DLQ FUNKCII v0 (r) IMEET WID   1 d r dv0 + k2 v = 0
ILI d2 v0 + 1 dv0 + k2 v = 0
0 0 r dr dr dr2 r dr T. E. QWLQETSQ U R A W N E N I E M b E S S E L Q N U L E W O G O P O R Q D K A, OB]EE REENIE KOTOROGO MOVET BYTX ZAPISANO SLEDU@]IM OBRAZOM (SM. dOPOLNENIE II): v0 (r) = C1 H0(1) (kr) + C2 H0(2) (kr)
GDE H0(1) (kr) I H0(2) (kr) | F U N K C I I h A N K E L Q N U L E W O G O P O R Q DK A P E R W O G O I W T O R O G O R O D A. fUNKCII H0(1) (kr) I H0(2) (kr) PRI r = 0 IME@T LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX: H0(1) () = ;2i ln 1 + : : :
( = kr)
1 2 i (2) H0 () =  ln  + : : :
GDE TO^KAMI OBOZNA^ENY SLAGAEMYE, OSTA@]IESQ KONE^NYMI PRI  = 0. nA BESKONE^NOSTI (PRI  ! 1) POWEDENIE FUNKCIJ hANKELQ OPREDELQETSQ ASIMPTOTI^ESKIMI FORMULAMI H0(1) () =

r2 r

 e

i (;=4) + : : :


2 e;i (;=4) + : : :
H0(2) () = 

528 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

GDE TO^KAMI OBOZNA^ENY ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI OTNOSITELXNO 1=. tAKIM OBRAZOM, URAWNENIE 2 v + k2 v = 0 IMEET DWA FUNDAMENTALXNYH REENIQ: ( (1) H (kr)
v0 (r) = 0(2) H0 (kr)
IME@]IH LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX I SOOTWETSTWU@]IH FUNKCIQM eikr =r I e;ikr =r DLQ PROSTRANSTWA. wYBOR TOJ ILI INOJ FUNDAMENTALXNOJ FUNKCII ZAWISIT OT WIDA USLOWIJ IZLU^ENIQ NA BESKONE^NOSTI (SM. x 3, P. 4). eSLI WREMENNAQ ZAWISIMOcTX BERETSQ W WIDE ei!t , TO FUNKCIQ H0(2) (kr) OPREDELQET RASHODQ]U@SQ CILINDRI^ESKU@ WOLNU. pRI WREMENNOJ ZAWISIMOSTI e;i!t RASHODQ]U@SQ WOLNU OPREDELQET FUNKCIQ H0(1) (kr). pRI c = ;{2 < 0 URAWNENIE L(u) = 0 PRINIMAET WID d2 v0 + 1 dv0 ; {2 v = 0 0 dr2 r dr I EGO LINEJNO NEZAWISIMYMI REENIQMI QWLQ@TSQ CILINDRI^ESKIE FUNKCII MNIMOGO ARGUMENTA I0 ({r) I K0 ({r): pERWAQ IZ \TIH FUNKCIJ, I0 ({r), OGRANI^ENA PRI r = 0 I \KSPONENCIALXNO WOZRASTAET PRI r ! 1 FUNKCIQ K0 ({r) IMEET W TO^KE r = 0 LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX K0 () = ln 1 + : : : I TEM SAMYM QWLQETSQ ISKOMYM FUNDAMENTALXNYM REENIEM. nA BESKONE^NOSTI ONA UBYWAET PO ZAKONU r K0 () = 2 e; + : : : mY NE OSTANAWLIWAEMSQ PODROBNO NA FORMULAH gRINA I PONQTII FUNKCII ISTO^NIKA G W SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH, TAK KAK IZLOVENIE \TOGO BYLO BY POWTORENIEM PREDYDU]EGO. 3. pOTENCIALY. w GL. IV BYLI RASSMOTRENY POTENCIALY DLQ URAWNENIQ u = 0. tAKOGO2 VE TIPA POTENCIALY MOGUT BYTX POSTROENY I DLQ URAWNENIQ u ; { u = 0. bUDEM NAZYWATX O B _ E M N Y M P O T E N C I A L O M (DLQ URAWNENIQ u ; {2 u = 0) INTEGRAL Z ;{ R V (M ) = (P ) e R dP
(13) T

x 2]

funkcii wliqniq to~e~nyh isto~nikow

p

529

R = RMP = (x ;  )2 + (y ; )2 + (z ;  )2
dP = d d d
GDE (P ) | PLOTNOSTX POTENCIALA. sFORMULIRUEM KRATKO OSNOWNYE SWOJSTWA OB_EMNOGO POTENCIALA, DOKAZATELXSTWO KOTORYH PROWODITSQ ANALOGI^NO TOMU, KAK \TO SDELANO W GL. IV. 1. wNE OBLASTI T FUNKCIQ V (M ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ V ; {2 V = 0: 2. wNUTRI OBLASTI T INTEGRAL (13) SHODITSQ, SHODQTSQ TAKVE INTEGRALY, POLU^A@]IESQ PRI POMO]I FORMALXNOGO DIFFERENCIROWANIQ V (M ) POD ZNAKOM INTEGRALA:   Z @ e;{R d d d I T. D. (

 ) @x R T

3. fUNKCIQ V (x
y
z ) DIFFERENCIRUEMA, I EE PERWYE PROIZWODNYE MOVNO WY^ISLQTX DIFFERENCIROWANIEM POD ZNAKOM INTEGRALA:   @V = Z (

 ) @ e;{R d d d I T. D. @x @x R T

dIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII V (x
y
z ) DOKAZYWAETSQ W PREDPOLOVENII TOLXKO OGRANI^ENNOSTI FUNKCII . oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET DIFFERENCIRUEMOSTX V I W TO^KAH POWERHNOSTI , OGRANI^IWA@]EJ OBLASTX T , GDE, KAK PRAWILO, IMEET MESTO RAZRYW PLOTNOSTI (M ). 4. wO WNUTRENNIH TO^KAH OBLASTI T , W OKRESTNOSTI KOTORYH PLOTNOSTX  DIFFERENCIRUEMA, WTORYE PROIZWODNYE OB_EMNOGO POTENCIALA V SU]ESTWU@T I POTENCIAL V UDOWLETWORQET URAWNENI@ V ; {2 V = ;4(M ): 5. pERWYE PROIZWODNYE OB_EMNOGO POTENCIALA PREDSTAWLQ@TSQ RAWNOMERNO SHODQ]IMISQ INTEGRALAMI W PREDPOLOVENII RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI . pO\TOMU PERWYE PROIZWODNYE QWLQ@TSQ NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI WO WSEM PROSTRANSTWE WKL@^AQ TO^KI POWERHNOSTI . oB_EMNYE POTENCIALY POZWOLQ@T PREDSTAWITX REENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ u ; {2 u = ;f W WIDE SUMMY u(M ) = V (M ) + u1 (M )
GDE V (M ) | OB_EMNYJ POTENCIAL S PLOTNOSTX@  = f=4, u21 (M ) | REENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQ ODNORODNOGO URAWNENIQ u1 ; { u1 = 0. pEREJDEM K OBZORU SWOJSTW POTENCIALOW PROSTOGO I DWOJNOGO SLOQ. nAZOWEM P O T E N C I A L O M D W O J N O G O S L O Q INTEGRAL  e;{R  Z @ W (M ) = (P ) @ (14) R dP (R = RMP )
P

34 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

530 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

GDE (P ) | POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX POTENCIALA W . pERE^ISLIM OSNOWNYE SWOJSTWA POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ, OTSYLAQ ZA IH DOKAZATELXSTWOM K GL. IV, x 5. 1. wNE POWERHNOSTI  POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ WS@DU UDOWLETWORQET ODNORODNOMU URAWNENI@ W ; {2 W = 0. 2. pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQ SHODITSQ W TO^KAH GRANICY, ESLI  PRINADLEVIT KLASSU POWERHNOSTEJ lQPUNOWA. 3. fUNKCIQ W RAZRYWNA W TO^KAH POWERHNOSTI , I IME@T MESTO SOOTNOENIQ WW (M0 ) = W (M0 ) + 2(M0 )
WN (M0 ) = W (M0 ) ; 2(M0 ): zDESX WW (M0 ) | PREDELXNOE ZNA^ENIE FUNKCII W (M ) PRI STREMLENII M K M0 IZNUTRI OBLASTI T , WN (M0 ) | PREDELXNOE ZNA^ENIE W (M ) PRI STREMLENII M K M0 SNARUVI T . p O T E N C I A L P R O S T O G O S L O Q, OPREDELQEMYJ POWERHNOSTNYM INTEGRALOM Z ;{ R V (M ) = (P ) e R dP (R = RMP )
(15)

OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI. 1. wNE POWERHNOSTI  POTENCIAL PROSTOGO SLOQ WS@DU UDOWLETWORQET ODNORODNOMU URAWNENI@ V ; {2 V = 0. 2. iNTEGRAL RAWNOMERNO SHODITSQ NA  I OPREDELQET FUNKCI@ V (M ), NEPRERYWNU@ WO WSEM PROSTRANSTWE. 3. nORMALXNYE PROIZWODNYE POTENCIALA PROSTOGO SLOQ DLQ POWERHNOSTEJ KLASSA lQPUNOWA UDOWLETWORQ@T SOOTNOENIQM (SR. S (48) IZ GL. IV, x 5)  @V  @ W = U0 + 2(M0 )


 @V  @

GDE

N

 @V 

= U0 ; 2(M0)


 @V 

@ W I @ N | PREDELXNYE ZNA^ENIQ DLQ NORMALXNOJ PROIZWODNOJ SOOTWETSTWENNO IZNUTRI I IZWNE  W TO^KE M0 NA POWERHNOSTI  ( | WNENQQ NORMALX),  e;{R  Z @ U0 (M0 ) = (P ) @ R dP (R = RM0 P ):

x 3]

neograni~ennaq oblastx. princip izlu~eniq

531

pOWERHNOSTNYE POTENCIALY POZWOLQ@T DLQ WESXMA IROKOGO KLASSA POWERHNOSTEJ (NAPRIMER, POWERHNOSTEJ KLASSA lQPUNOWA) SWODITX KRAEWYE ZADA^I K INTEGRALXNYM URAWNENIQM. rASSMOTRIM PERWU@ WNUTRENN@@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ u ; {2 u = 0 PRI GRANI^NOM ZNA^ENII uj = f . pREDPOLOVIM, ^TO ISKOMU@ FUNKCI@ MOVNO PREDSTAWITX W WIDE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ  ;{R  Z u(M ) = W (M ) = (P ) @@ e R dP
(14) P

KOTORYJ, KAK BYLO OTME^ENO WYE, UDOWLETWORQET WNUTRI T ODNORODNOMU URAWNENI@ u ; {2 u = 0. tREBUQ WYPOLNENIQ GRANI^NOGO USLOWIQ uj = f , PRIHODIM K SLEDU@]EMU INTEGRALXNOMU URAWNENI@ DLQ OPREDELENIQ FUNKCII :  ;{R  Z 2(M ) + (P ) @@ e R dP = f (M )
P

KOTOROE QWLQETSQ LINEJNYM INTEGRALXNYM URAWNENIEM fREDGOLXMA WTOROGO RODA. nA WOPROSAH SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI REENIQ \TOGO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ MY ZDESX NE OSTANAWLIWAEMSQ. dLQ URAWNENIQ u ; {2 u = 0, TAK VE KAK I DLQ URAWNENIQ lAPLASA, PRIMENI#M METOD KONE^NYH RAZNOSTEJ.

x 3. zADA^I DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI.

pRINCIP IZLU^ENIQ 1. uRAWNENIE v + c v = ;f W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. rASSMOTRIM REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ

v + cv = ;f (1) W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. dLQ PROSTOTY IZLOVENIQ BUDEM S^ITATX, ^TO f OTLI^NA OT NULQ WNUTRI NEKOTOROJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI (LOKALXNAQ FUNKCIQ). hARAKTER REENIQ \TOGO URAWNENIQ SU]ESTWENNO ZAWISIT OT ZNAKA KO\FFICIENTA c. oSTANOWIMSQ SNA^ALA NA SLU^AE c = ;{2 < 0. rEENIE URAWNENIQ 2 v ; { v = ;f MOVNO PREDSTAWITX W FORME OB_EMNYH POTENCIALOW

Z Z ;{ R {R v1 (M ) = f (P ) e4R dP I v2 (M ) = f (P ) 4eR dP (R = RMP ): T

T

tAKIM OBRAZOM, REENIE URAWNENIQ (1) BEZ DOPOLNITELXNYH USLOWIJ W BESKONE^NOSTI OPREDELENO NEODNOZNA^NO. bUDEM ISKATX PO ANALOGII S WNENEJ ZADA^EJ DLQ URAWNENIQ lAPLASA REENIE URAWNENIQ (1), OBRA]A@]EESQ W NULX NA BESKONE^NOSTI. |TOMU USLOWI@ UDOWLETWORQET FUNKCIQ v1 (M ) I NE UDOWLETWORQET FUNKCIQ v2 (M ). 34


532 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

dOKAVEM SLEDU@]U@ TEOREMU EDINSTWENNOSTI. uRAWNENIE v ; {2 v = ;f NE MOVET IMETX BOLEE ODNOGO REENIQ, OBRA]A@]EGOSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI1) . dOPUSTIM, ^TO SU]ESTWUET DWA RAZLI^NYH REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I v(M ) I v(M ), I RASSMOTRIM IH RAZNOSTX w = v ; v. pO PREDPOLOVENI@, NAJDETSQ TAKAQ TO^KA M0 , ^TO w(M0 ) = A 6= 0. dLQ OPREDELENNOSTI BUDEM S^ITATX A > 0. w SILU TOGO, ^TO w(M ) ! 0 W BESKONE^NOSTI, MOVNO UKAZATX TAKOE R0 , ^TO PRI r > R0 FUNKCIQ w < A=2. oTS@DA SLEDUET, ^TO TO^KA M0 LEVIT WNUTRI TR0 | ARA RADIUSA R0 | I ^TO FUNKCIQ w(M ) DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ WNUTRI TR0 . tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K PROTIWORE^I@ S PRINCIPOM MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, IME@]IM MESTO DLQ NAEGO URAWNENIQ (SM. x 1, P. 4). tEOREMA EDINSTWENNOSTI DOKAZANA. rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ c = k2 > 0. fUNKCII Z Z ;ikR ikR e v1 (M ) = f (P ) 4R dP I v2 (M ) = f (P ) 4eR dP (R = RMP ) T

T

PO-PREVNEMU QWLQ@TSQ REENIQMI URAWNENIQ (1). oDNAKO W \TOM SLU^AE OBE FUNKCII UBYWA@T NA BESKONE^NOSTI. oTS@DA WYTEKAET NEOBHODIMOSTX WWEDENIQ DOPOLNITELXNYH USLOWIJ NA BESKONE^NOSTI, ODNOZNA^NO OPREDELQ@]IH REENIE URAWNENIQ (1). |TI USLOWIQ BUDUT RAZOBRANY W PP. 2 | 4 NASTOQ]EGO PARAGRAFA. 2. pRINCIP PREDELXNOGO POGLO]ENIQ. zADA^A O WYNUVDENNYH KOLEBANIQH S ZATUHANIEM PRIWODIT K URAWNENI@ u = a12 utt + ut ; F (M
t) ( > 0): (2) bUDEM S^ITATX, ^TO FUNKCIQ F (M
t) QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ PO WREMENI, T. E. F (M
t) = f (M ) ei!t . w \TOM SLU^AE URAWNENIE (2) IMEET PERIODI^ESKOE REENIE WIDA u(M
t) = v(M ) ei!t : (3) fUNKCIQ v(M ), O^EWIDNO, UDOWLETWORQET URAWNENI@ v + q2 v = ;f (M )
(4) GDE q2 = k2 ; i! QWLQETSQ KOMPLEKSNOJ WELI^INOJ, k = !=a. 1)

pOD TERMINOM FUNKCIQ, OBRA]A@]AQSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI MY PONIMAEM SLEDU@]EE: KAKOWO BY NI BYLO ", NAJDETSQ TAKOE r("), ^TO DLQ L@BOJ TO^KI M (r # '), DLQ KOTOROJ r > r("), WERNO ju(M )j < ", T. E. MY PREDPOLAGAEM RAWNOMERNOE STREMLENIE K NUL@ PRI r ! 1.

x 3]

neograni~ennaq oblastx. princip izlu~eniq

533

bUDEM NAZYWATX URAWNENIE (4) S KOMPLEKSNYM ZNA^ENIEM KO\FFI2 URAWNENIEM S KOMPLEKSNYM POGLO]ENIEM 1-GO CIENTA q (Im q2 < 0) I L I 2 - G O (Im q2 > 0) T I P A W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA MNIMOJ ^ASTI q2 , ^TO SOOTWETSTWUET WREMENNOJ ZAWISIMOSTI ei!t (1-GO TIPA) ILI e;i!t (2-GO TIPA). fUNDAMENTALXNYE REENIQ \TOGO URAWNENIQ, ZAWISQ]IE TOLXKO OT r, IME@T WID ;iqr iqr v0 (r) = e r I v0 (r) = e r
GDE r 2 q =  !a ; i! =

8s p 9 < k4 + 2 !2 + k2 s pk4 + 2!2 ; k2 = = : ;i  = q0 ; iq1: 2 2

(5)

zNAKI KORNEJ WYBEREM TAK, ^TOBY q1 > 0. sLEDOWATELXNO, ;iq0 r iq0 r v0 (r) = e r e;q1 r
v0 (r) = e r eq1 r : uSLOWI@ OGRANI^ENNOSTI NA BESKONE^NOSTI UDOWLETWORQET TOLXKO FUNKCIQ v0 (r) FUNKCIQ v0 (r) NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET PRI r ! 1 I POTOMU NE IMEET PRQMOGO FIZI^ESKOGO SMYSLA. oB_EMNYJ POTENCIAL Z ;iq0 R v(M ) = f (P ) e4R e;q1 R dP (R = RMP ) (6) T

PREDSTAWLQET EDINSTWENNOE REENIE URAWNENIQ (4), OBRA]A@]EESQ W NULX NA BESKONE^NOSTI. pREDEL v(M ) PRI  ! 0 RAWEN Z e;ikR d (R = RMP )
v(M ) = lim v  ( M ) = f ( P ) !0 4R P T

TAK KAK PRI  ! 0 IMEEM q0 ! k I q1 ! 0. pRI WYBRANNOJ NAMI WREMENNOJ ZAWISIMOSTI ei!t WELI^INA q0 > 0, TAK KAK ZNAK q0 SWQZAN SO ZNAKOM q1 SOOTNOENIEM 2q0 q1 = !. eSLI ZAWISIMOSTX OT WREMENI WZQTA W WIDE e;i!t (Im q2 > 0), TO POLOVITELXNOMU ZNA^ENI@ q1 SOOTWETSTWUET q0 < 0 I PREDEL q0 PRI  ! 0 RAWEN ;k. tAKIM OBRAZOM, DOPOLNITELXNYM USLOWIEM, POZWOLQ@]IM WYDELITX REENIE WOLNOWOGO URAWNENIQ v + k2 v = ;f


534 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

SOOTWETSTWU@]EE RASHODQ]IMSQ WOLNAM, QWLQETSQ TREBOWANIE, ^TOBY FUNKCIQ v(M ) BYLA PREDELOM OGRANI^ENNOGO REENIQ WOLNOWOGO URAWNENIQ S KOMPLEKSNYM POGLO]ENIEM PERWOGO RODA PRI STREMLENII K NUL@ KO\FFICIENTA POGLO]ENIQ1). 3. pRINCIP PREDELXNOJ AMPLITUDY. s WOLNOWYM URAWNENIEM v + k2 v = ;f (7) ^A]E WSEGO PRIHODITSQ WSTRE^ATXSQ PRI IZU^ENII USTANOWIWIHSQ KOLEBANIJ, WOZBUVDAEMYH PERIODI^ESKIMI SILAMI (SM. x 1, P. 1). rASSMOTRIM URAWNENIE KOLEBANIJ S PERIODI^ESKOJ PRAWOJ ^ASTX@ u ; a12 utt = ;F (F = fei!t ): (8) dLQ OPREDELENNOSTI REENIQ K URAWNENI@ SLEDUET DOBAWITX NEKOTORYE NA^ALXNYE USLOWIQ, NAPRIMER NULEWYE: ) u(M
0) = 0
(9) ut (M
0) = 0: fUNKCIQ u(M
t) W NA^ALXNOJ STADII PROCESSA NE BUDET STROGO PERIODI^ESKOJ. oDNAKO S TE^ENIEM WREMENI W SISTEME BUDUT USTANAWLIWATXSQ PERIODI^ESKIE KOLEBANIQ S ^ASTOTOJ WYNUVDA@]EJ SILY, T. E. REENIE u(M
t) PRIMET WID u(M
t) = v(M ) ei!t
(10) GDE v(M ) PREDSTAWLQET PREDELXNU@ AMPLITUDU KOLEBANIJ, T. E. v(M ) = = tlim ue;i!t, I UDOWLETWORQET URAWNENI@ !1  ! v + k2 v = ;f k= a : tREBOWANIE, ^TOBY v(M ) BYLO PREDELXNOJ AMPLITUDOJ KOLEBANIJ S NULEWYMI NA^ALXNYMI DANNYMI, I PREDSTAWLQET TO DOPOLNITELXNOE USLOWIE, KOTOROE NADO PRISOEDINITX K WOLNOWOMU URAWNENI@ DLQ WYDELENIQ EDINSTWENNOGO REENIQ. tAKIM OBRAZOM, PRIHODIM K SLEDU@]EJ ZADA^E . nAJTI REENIE WOLNOWOGO URAWNENIQ v + k2 v = ;f , QWLQ@]EESQ PREDELXNOJ AMPLITUDOJ DLQ REENIQ URAWNENIQ KOLEBANIJ u ; a12 utt = ;f (M ) ei!t (80 ) S NA^ALXNYMI USLOWIQMI (9) ) u(M
0) = 0
ut (M
0) = 0: 1) sM.: s W E  N I K O W a. g. pRINCIP IZLU^ENIQ // dan sssr. 1950. t. 73,

 5. s. 917{920.

x 3]

neograni~ennaq oblastx. princip izlu~eniq

535

pREDSTAWIM PREDELXNU@ AMPLITUDU W QWNOJ FORME. dLQ \TOGO NAJDEM REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ (80 ) S NULEWYMI NA^ALXNYMI DANNYMI, POLXZUQSX FORMULOJ Z f (P ) ei! (t;R=a) 1 u(M
t) = 4 dP (R = RMP )
R M Tat

POLU^ENNOJ W GL. V (x 2, (6)). zDESX TatM | AR RADIUSA at S CENTROM W TO^KE M . pUSTX f (P ) | LOKALXNAQ FUNKCIQ, OTLI^NAQ OT NULQ TOLXKO WNUTRI NEKOTOROJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI T0. tOGDA DLQ PREDELXNOJ AMPLITUDY v(M ) POLU^IM WYRAVENIE Z e;ikR 1 ;i!t v(M ) = tlim u(M
t) e = tlim !1 !1 4 R f (P ) dP = Tat

Z ;ikR 1 = 4 f (P ) e R dP T0

(R = RMP ):

(11)

tAKIM OBRAZOM, PREDELXNAQ AMPLITUDA PREDSTAWLQETSQ OB_EMNYM POTENCIALOM, OPREDELQEMYM GLAWNYM REENIEM e;ikR =R, KOTOROE SOOTWETSTWUET RASHODQ]IMSQ WOLNAM ei (!t;kR) =R. pRINCIP PREDELXNOJ AMPLITUDY PRIWODIT MATEMATI^ESKI K TOMU VE REZULXTATU, ^TO I PRINCIP PREDELXNOGO POGLO]ENIQ. |TO I ESTESTWENNO, TAK KAK OBA \TI PRINCIPA WYDELQ@T REENIE, SOOTWETSTWU@]EE RASHODQ]IMSQ WOLNAM. 4. uSLOWIQ IZLU^ENIQ. w PREDESTWU@]IH PUNKTAH BYLI RASSMOTRENY OB]IE FIZI^ESKIE OSNOWANIQ, POZWOLQ@]IE NAJTI REENIE WOLNOWOGO URAWNENIQ, SOOTWETSTWU@]EE RASHODQ]IMSQ WOLNAM. oDNAKO TAKOJ PUTX TREBOWAL OBRA]ENIQ K REENIQM WSPOMOGATELXNYH ZADA^. uSTANOWIM TEPERX ANALITI^ESKOE USLOWIE, HARAKTERIZU@]EE RASHODQ]U@SQ WOLNU I WYRAVENNOE NEPOSREDSTWENNO W TERMINAH IZU^AEMOGO REENIQ WOLNOWOGO URAWNENIQ. pLOSKIE  , RASPROSTRANQ@]IESQ WDOLX OSI x, IME@T WID:  WOLNY x | PRQMAQ WOLNA (IDU]AQ W POLOVITELXu = f t ; a NOM NAPRAWLENII OSI x)  x u = f t + a | OBRATNAQ WOLNA (IDU]AQ W OTRICATELXNOM NAPRAWLENII OSI x). pRQMAQ WOLNA HARAKTERIZUETSQ SOOTNOENIEM @ u + 1 @ u = 0
@x a @t

536 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

OBRATNAQ WOLNA | SOOTNOENIEM @ u ; 1 @ u = 01) : @x a @t dLQ USTANOWIWEGOSQ REVIMA u = v(x) ei!t \TI SOOTNOENIQ PRINIMA@T WID @ v + ikv = 0 DLQ PRQMOJ WOLNY, 9 > =  ! @x (12) k= a @ v ; ikv = 0 DLQ OBRATNOJ WOLNY.>  @x pEREJDEM TEPERX K SLU^A@ SFERI^ESKIH WOLN. eSLI SFERI^ESKAQ WOLNA WOZBUVDAETSQ ISTO^NIKAMI, RASPOLOVENNYMI W OGRANI^ENNOJ ^ASTI PROSTRANSTWA, TO NA BOLXIH RASSTOQNIQH OT ISTO^NIKOW SFERI^ESKAQ WOLNA PODOBNA PLOSKOJ WOLNE, AMPLITUDA KOTOROJ UBYWAET KAK 1=r. oTS@DA ESTESTWENNO S^ITATX, ^TO RASHODQ]AQSQ SFERI^ESKAQ WOLNA DOLVNA UDOWLETWORQTX SOOTNOENI@2)   @u + 1 @u = o 1  (13) @r a @t r ANALOGI^NO DLQ SHODQ]EJSQ SFERI^ESKOJ WOLNY:   @u ; 1 @u = o 1 : (14) @r a @t r dLQ AMPLITUDY USTANOWIWIHSQ KOLEBANIJ \TI USLOWIQ PRINIMA@T WID @v + ikv = o  1  DLQ RASHODQ]IHSQ SFERI^ESKIH WOLN, (15) @r r   @v ; ikv = o 1 DLQ SHODQ]IHSQ SFERI^ESKIH WOLN. (16) @r r

sOOTNOENIQ (15) I (16) MY POLU^ILI, PREDPOLAGAQ, ^TO NA BOLXIH RASSTOQNIQH WSQKAQ RASHODQ]AQSQ WOLNA PODOBNA PLOSKOJ WOLNE, AMPLITUDA KOTOROJ UBYWAET KAK 1=r. uBEDIMSQ W PRAWILXNOSTI \TOGO UTWERVDENIQ. 1) nAPISANNYE SOOTNOENIQ PREDSTAWLQ@T URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 1-GO PORQDKA, REENIQ KOTORYH IME@T WID PRQMOJ I OBRATNOJ WOLNY. 2) w DALXNEJEM MY POLXZUEMSQ DWUMQ OBOZNA^ENIQMI: O( ) | WELI^INA, UBYWA@]AQ, KAK  PRI  ! 0, o() | WELI^INA BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI, ^EM  PRI  ! 0.

x 3]

neograni~ennaq oblastx. princip izlu~eniq

537

1. w SLU^AE TO^E^NOGO ISTO^NIKA, NAHODQ]EGOSQ W NA^ALE KOORDINAT, \TO UTWERVDENIE SOWERENNO O^EWIDNO, POSKOLXKU SAMA WOLNA IMEET WID i (!t;kr) u(r
t) = e r = v0 (r) ei!t
TAK ^TO   @v0 + ikv = o 1 : 0 @r r 2. pUSTX SFERI^ESKAQ WOLNA WOZBUVDAETSQ TO^E^NYM ISTO^NIKOM,

rIS. 82 NAHODQ]IMSQ W NEKOTOROJ TO^KE M0 . aMPLITUDA SFERI^ESKOJ WOLNY

RAWNA

;ikR

v 0 (M ) = e R


GDE R | RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI M I M0 , RAWNOE (RIS. 82)

q

R = r2 + 20 ; 2r0 cos #: wY^ISLIM PROIZWODNU@:   @R = r ; 0 cos # 1 + O 1 : @r R r w SILU P. 1 @v0 + ikv = o  1  : 0 @R R pROWERIM SPRAWEDLIWOSTX FORMULY (15)   L(v0 ) = @v@r0 + ikv0 = o 1r : w SAMOM DELE,      @v0 = @v0 @R = @v0 1 + O 1 = @v0 + o 1
@r @R @r @R r @R r

(150 )

538 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

TAK KAK

 

 

@v0  O 1 = o 1 : @R r r oTS@DA I IZ P. 1 SLEDUET     L(v0 ) = @v@r0 + ikv0 + o 1r = o 1r
^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. 3. pOKAVEM, ^TO OB_EMNYJ POTENCIAL Z ;ikR v(M ) = f (P ) e4R dP (R = RMP ) T

UDOWLETWORQET USLOWI@ (15). o^EWIDNO, ^TO  e;ikR  1 1 Z Z L(v) = f (P ) L 4R dP = f (P ) o r dP = o r : T

T

fORMULA (11) PREDSTAWLQET AMPLITUDU RASHODQ]EJSQ WOLNY, WOZBUVDAEMOJ ISTO^NIKAMI, PROIZWOLXNO RASPREDELENNYMI WNUTRI OGRANI^ENNOJ ^ASTI PROSTRANSTWA T . mY WIDELI, ^TO FUNKCIQ v(M ) UDOWLETWORQET WOLNOWOMU URAWNENI@ v + k2 v = ;f (M ) I STREMITSQ K NUL@ KAK 1=r NA BESKONE^NOSTI KROME TOGO, KAK BYLO POKAZANO, DLQ NEE NA BESKONE^NOSTI WYPOLNQETSQ SOOTNOENIE   @v + ikv = o 1
@r r QWLQ@]EESQ NEOBHODIMYM DOPOLNITELXNYM USLOWIEM. pOKAVEM, ^TO SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE UTWERVDENIE. sU]ESTWUET EDINSTWENNOE REENIE WOLNOWOGO URAWNENIQ v + k2 v = ;f (M )
GDE f (M ) | LOKALXNAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]EE NA BESKONE^NOSTI USLOWIQM 1 9 v=O r
> > = 1) ( )   @v + ikv = o 1 :> >  @r r 1) i. n. wEKUA POKAZANO, ^TO PERWOE IZ PRIWEDENNYH ZDESX DWUH USLOWIJ QWLQETSQ SLEDSTWIEM WTOROGO SM.: w E K U A i. n. o METAGARMONI^ESKIH FUNKCIQH // tR. tBIL. mAT. IN-TA. 1943. t. 12. s. 105{174.

x 3]

neograni~ennaq oblastx. princip izlu~eniq

539

dOPUSKAQ SU]ESTWOWANIE DWUH RAZLI^NYH REENIJ v1 I v2 , POLU^AEM, ^TO IH RAZNOSTX w = v1 ; v2 UDOWLETWORQET ODNORODNOMU URAWNENI@ I USLOWIQM ( ). pUSTX R | SFERA RADIUSA R, KOTORYJ MY W DALXNEJEM USTREMIM W BESKONE^NOSTX. pOLXZUQSX OSNOWNOJ FORMULOJ gRINA DLQ FUNKCIJ w(M ) I ;ikR v0 (M ) = e4R , BUDEM IMETX W TO^KE M0 , LEVA]EJ WNUTRI , Z  @w @v0  w(M0 ) = v0 @r ; w @r d: R

uSLOWIQ ( ) DLQ v0 (r) I w(M ) DA@T   1    1  @v @w 0 v0 @r ; w @r = v0 ;ikw + o r ; w ;ikv0 + o r =

1

= v0 o r

pO\TOMU w(M0 ) =

;wo

1

1

r = o r2 :

Z 1 R

o r2 d ! 0 PRI R ! 1


OTKUDA I SLEDUET, W SILU PROIZWOLXNOSTI TO^KI M0 , EDINSTWENNOSTX REENIQ NAEJ ZADA^I. uSLOWIQ ( )

 

9 v = O 1r
> > =  

@v + ikv = o 1 > >  @r r ^ASTO NAZYWA@T U S L O W I Q M I I Z L U ^ E N I Q ILI USLOWIQMI zOMMERFELXDA. sLEDUET OTMETITX, ^TO DLQ NEOGRANI^ENNYH OBLASTEJ, NE SOWPADA@]IH SO WSEM PROSTRANSTWOM, USLOWIQ NA BESKONE^NOSTI MOGUT IMETX FORMU, OTLI^NU@ OT USLOWIJ zOMMERFELXDA. tAKIM OBRAZOM, SOOTNOENIQ ( ) PREDSTAWLQ@T ANALITI^ESKU@ FORMU USLOWIJ IZLU^ENIQ DLQ NEOGRANI^ENNOGO PROSTRANSTWA I NE OSNOWANY NA FIZI^ESKOM PRINCIPE, KOTORYJ POZWOLIL BY SFORMULIROWATX \TI USLOWIQ DLQ OBLASTEJ BOLEE SLOVNOJ FORMY. uSLOWIQ IZLU^ENIQ, POLU^A@]IESQ PRI WWEDENII W WOLNOWOE URAWNENIE BESKONE^NO MALOGO KOMPLEKSNOGO POGLO]ENIQ, WPERWYE BYLI IS-

540 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

POLXZOWANY w. s. iGNATOWSKIM1). pRINCIP WWEDENIQ BESKONE^NO MALOGO KOMPLEKSNOGO POGLO]ENIQ LEGKO PRIMENIM DLQ NEOGRANI^ENNYH OBLASTEJ RAZLI^NOJ FORMY I DLQ BOLEE SLOVNYH ZADA^. dLQ ZADA^ NA PLOSKOSTI, SWQZANNYH S URAWNENIEM 2 v + k2 v = 0
(17) USLOWIQ IZLU^ENIQ NA BESKONE^NOSTI PRINIMA@T WID

 

9 > v = O p1r
> = (18)  @v  > p > r @r + ikv = 0: rlim !1 pROSTEJIMI REENIQMI \TOGO URAWNENIQ QWLQ@TSQ FUNKCII hANKELQ NULEWOGO PORQDKA H0(1) (kr) I H0(2) (kr) (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 3). iZ ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL H (1) (kr) =


H (2)(kr) =


r

r



 

2 i (kr;
=2;=4) 1 + O 1 kr e r






 

2 ;i (kr;
=2;=4) 1 + O 1 kr e r

I REKURRENTNYH SOOTNOENIJ dH0(1) = ;H (1) (x)
dH0(2) = ;H (2)(x) 1 1 dx dx WIDNO, ^TO USLOWIQM IZLU^ENIQ UDOWLETWORQET LIX FUNKCIQ H0(2) (kr). tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ H0(2) (kr) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (17), USLOWIQM IZLU^ENIQ (18) I IMEET LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX PRI r = 0. pO\TOMU FUNKCIQ H0(2) (kr), KAK UVE OTME^ALOSX W x 2, IGRAET ROLX FUNKCII TO^E^NOGO ISTO^NIKA DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ (7) W SLU^AE DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH. rEENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ 2 v + k2 v = ;f WYRAVAETSQ FORMULOJ Z Z (2) H0 (kRMP ) f (P ) dP
v(M ) = ; 4i S

GDE S | OBLASTX, W KOTOROJ FUNKCIQ f OTLI^NA OT NULQ. 1) I g n a t o w s k y W. v. Re&exion elektromagnetischer Wellen an einen Draht

// Ann. Physik. 1905. Bd 18, H. 3. S. 495{522.

x 4]

zada~i matemati~eskoj teorii difrakcii

541

x 4. zADA^I MATEMATI^ESKOJ TEORII DIFRAKCII

1. pOSTANOWKA ZADA^I. rASPROSTRANENIE WOLNOWYH PROCESSOW

(\LEKTROMAGNITNYH, UPRUGIH, AKUSTI^ESKIH I T. D.) SOPROWOVDAETSQ CELYM RQDOM TIPI^NYH QWLENIJ (DIFRAKCIQ, PRELOMLENIE, OTRAVENIE I T. D.). rEENIE ZADA^, SWQZANNYH S \TIMI QWLENIQMI, PROWODITSQ NEPOSREDSTWENNO ILI IMEET MNOGO OB]EGO S REENIEM WOLNOWOGO URAW-

NENIQ W NEODNORODNOJ SREDE       @ p @v + @ p @v + @ p @v + !2 v = ;f (p > 0)
(1) @x @x @y @y @z @z GDE p I  | PARAMETRY SREDY. nAIBOLXIJ INTERES S TO^KI ZRENIQ FIZI^ESKIH PRILOVENIJ PREDSTAWLQET SLU^AJ KUSO^NO-POSTOQNNYH PARAMETROW p I . sOOTWETSTWU@]AQ MATEMATI^ESKAQ ZADA^A SOSTOIT W SLEDU@]EM. w NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE IMEETSQ RQD OGRANI^ENNYH OBLASTEJ Ti S POSTOQNNYMI PARAMETRAMI pi I i  ^ASTX PROSTRANSTWA T0 , WNENQQ PO OTNOENI@ K OBLASTQM Ti , TAKVE ODNORODNA (p0 = const, 0 = const). wOLNOWOE URAWNENIE WNUTRI KAVDOJ OBLASTI Ti PRINIMAET OBY^NYJ WID vi + ki2 vi = ;fi W Ti (i = 0
1
: : :
n)
(2) GDE ui | ZNA^ENIE ISKOMOJ FUNKCII u WNUTRI Ti , 2  ki2 = ip!
fi = pf i i W OBLASTI Ti . nA POWERHNOSTQH i , OGRANI^IWA@]IH OBLASTI Ti 1) , DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ ZAMENQ@TSQ USLOWIQMI SOPRQVENIQ 9 vi = v0 NA i
> = (3) i = p @v0 NA  (i = 1
2
: : :
n):>  pi @v 0 i @n @n nA BESKONE^NOSTI FUNKCIQ v0 , QWLQ@]AQSQ REENIEM WOLNOWOGO URAWNENIQ v + k02 v = ;f0 W T0 , DOLVNA UDOWLETWORQTX USLOWIQM IZLU^ENIQ

 

9 v0 (M )=O 1r
> > =  

@v0 + ikv =o 1 : > >  0 @r r 1)

(4)

pRI \TOM MY RASSMATRIWAEM DLQ PROSTOTY TOT SLU^AJ, KOGDA NEODNORODNOSTI Ti IME@T OB]U@ GRANICU TOLXKO S OKRUVA@]EJ SREDOJ.

542 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

nIVE BUDET POKAZANA DOSTATO^NOSTX USLOWIJ SOPRQVENIQ I USLOWIJ IZLU^ENIQ DLQ ODNOZNA^NOGO OPREDELENIQ FUNKCII v WO WSEM PROSTRANSTWE. pOSTAWLENNAQ WYE ZADA^A QWLQETSQ PROSTEJEJ ZADA^EJ M A T E M A T I ^ E S K O J T E O R I I D I F R A K C I I.

2. eDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I DIFRAKCII. dOKAVEM, ^TO ZADA^A MATEMATI^ESKOJ TEORII DIFRAKCII, SFORMULIROWANNAQ W P. 1, IMEET EDINSTWENNOE REENIE. dLQ UPRO]ENIQ ZAPISI BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO ODNORODNOSTX SREDY NARUAETSQ TOLXKO ODNIM TELOM T1 , OGRANI^ENNYM ZAMKNUTOJ POWERHNOSTX@ #1 , WNE KOTOROJ RASPOLOVENA OBLASTX T0 . pRI \TOM MY NE DELAEM PREDPOLOVENIQ OB ODNOSWQZNOSTI OBLASTI T1 . dOKAVEM SLEDU@]U@ TEOREMU. mOVET SU]ESTWAWATX TOLXKO ODNA FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ : A) URAWNENIQM L0 (v0 ) = v0 + k02 v0 = ;f0 W T0 ) 0

L1 (v1 ) = v1 + k12 v1 = ;f1 W T1 B) USLOWIQM SOPRQVENIQ NA POWERHNOSTI #1

(2 )

9 v1 = v0 = (3) 1 = p @v0  p1 @v 0 @ @ W) USLOWIQM IZLU^ENIQ NA BESKONE^NOSTI (4) 9 v0 = O 1r  > = @v0 + ikv = o  1  : >  0 @r r dOPUSKAQ SU]ESTWOWANIE DWUH RAZLI^NYH REENIJ v = fv1  v0 g I v = fv1  v0 g POLU^AEM, ^TO IH RAZNOSTX w = fw1  w0 g GDE w1 = v1 ; v1  w0 = v0 ; v0  UDOWLETWORQET ODNORODNYM URAWNENIQM I PREVNIM DOPOLNITELXNYM USLOWIQM: L0 (w0 ) = 0 W T0  L1 (w1 ) = 0 W T1  (2
) @w0 1 w1 = w0  p1 @w @ = p0 @ NA #1    0 + ikw = o 1 w0 = O 1r  @w 0 @r r PRI r ! 1:

(3
) (4
)

x 4]

zada~i matemati~eskoj teorii difrakcii

543

dLQ FUNKCIJ w0
, w1
, KOMPLEKSNO SOPRQVENNYH K FUNKCIQM w0 I w1 , O^EWIDNO, BUDUT UDOWLETWORQTXSQ ODNORODNYE URAWNENIQ (2
), USLOWIQ (3
) I USLOWIQ IZLU^ENIQ   @w0
1
w0
= O 1r  ; ikw = o (4

) 0 @r r : pUSTX #R | SFERA DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA R, OHWATYWA@]AQ OBLASTX T1 , I TR | OBLASTX, OGRANI^ENNAQ POWERHNOSTQMI #1 I #R . pRIMENQQ FORMULU gRINA K FUNKCIQM w1 , w1
W OBLASTI T1 I w0 , w0
W OBLASTI TR , POLU^AEM  Z Z  @w
; !
&

@w1 1 w1 L1 w1 ; w1 L1 (w1 ) d = w1 @ ; w1 @ d = 0 1 1

Z TR

T1

1

; &

!

w0 L0 w0
; w0
L0 (w0 ) d = =

Z




0 ; w0
@w0 d + w0 @w @0 @0

Z




@w0 0 w0 @w @ ; w0 @ d = 0


0 0 R GDE  0 | NORMALX, WNENQQ K OBLASTI TR ,  1 | NORMALX, WNENQQ K OBLASTI T1 . o^EWIDNO, @=@0 = ;@=@1 NA #1 . uMNOVAQ PERWOE RAWENSTWO
NA p1, WTOROE | NA p0, SKLADYWAQ IH I POLX 1

ZUQSX USLOWIQMI SOPRQVENIQ (3 ), NAHODIM  Z  @w
0 d = 0: w0 @r0 ; w0
@w @r R

wYRAVAQ IZ USLOWIJ IZLU^ENIQ PROIZWODNYE @w0
= ikw
+ o  1   @w0 = ;ikw + o  1   0 0 @r r @r r PRIHODIM K SLEDU@]EMU RAWENSTWU: 2ik

Z

R

w0 w0
d +

Zh

R

   i w0 o R1 ; w0
o R1 d = 0:

wTOROJ INTEGRAL PRI R ! 1 STREMITSQ K NUL@, PO\TOMU

Z

R

w0 w0 d =


Z

R

jRw0 j2 d$ ! 0 R ! 1

w dOPOLNENII II, ^. II, x 4 POKAZANO, ^TO FUNKCIQ Vm (r  ') = m(2) Ym( ')

(d$ = sin  d d'):

(5)

544 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

GDE  (2) () =

r2

(2)  Hm+1=2 () ( = k0 r) I Ym( ') | SFERI^ESKAQ FUNKCIQ m-GO PORQDKA, UDOWLETWORQET WOLNOWOMU URAWNENI@ L0 (Vm) = Vm + k02 Vm = 0 I USLOWI@ IZLU^ENIQ @Vm + ik Vm = o  1  : 0 @r r pRIMENIM FORMULU gRINA W OBLASTI TR K FUNKCIQM w0 I Vm :

m

0=

Z

TR

w0 L(Vm ) ; Vm L(w0 )] d =

=

Z 1



@w0 m w0 @V @ ; Vm @ d +

Z



@w0 m w0 @V @ ; Vm @ d = I1 + IR :

R

wTOROE SLAGAEMOE IR W SILU USLOWIJ IZLU^ENIQ STREMITSQ K NUL@ PRI R ! ! 1 (SM. TEOREMU IZ x 3, P. 4). tAK KAK PERWYJ INTEGRAL I1 NE ZAWISIT OT R, TO OTS@DA WYTEKAET, ^TO I1 = 0 I, SLEDOWATELXNO, IR = 0 PRI L@BOM R, T. E.   dm(2)(k0 r)  dr 

Z



r=R R

eSLI OBOZNA^ITX

w0 Ym

 Z  m  r=R

( ') d$ ;  (2) 

R

Z R

@w0 Ym ( ') d$ = 0: @r

w0 Ym ( ') d$ = m (k0 R)

TO MOVNO NAPISATX m(2) (k0 R) m (k0 R) ; 0m (k0 R) m(2) (k0 R) = 0 OTKUDA NAHODIM m (k0 R) = am m(2) (k0 R) GDE am | POSTOQNNYJ MNOVITELX. uSLOWIE ZAMKNUTOSTI SFERI^ESKIH FUNKCIJ 0

Z

I FORMULA (5) DA@T

R

jRw0 j2 d$ =

1 X

m=0

R2 2m (k0 R)

R m (k0 R) ! 0 PRI R ! 1:

(6)

x 4]

zada~i matemati~eskoj teorii difrakcii

545

oDNAKO SOGLASNO ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULE ; m+1 & m(2) () 1 e;i ; 2  

PROIZWEDENIE rm(2) (k0 r) OSTAETSQ PO MODUL@ BOLXE NEKOTOROGO POLOVITELXNOGO ^ISLA PRI BOLXIH ZNA^ENIQH r SLEDOWATELXNO, am = 0, T. E. m (k0 R)   0 OTS@DA W SILU URAWNENIQ ZAMKNUTOSTI (6) WYTEKAET, ^TO w0 = 0 NA SFERE #r0 . tAKIM OBRAZOM, ESLI SFERA #r0 NEKOTOROGO RADIUSA r0 OHWATYWAET OBLASTX T1 , TO WNE \TOJ SFERY FUNKCIQ w  0. oTS@DA W SILU ANALITI^NOSTI1) REENIQ URAWNENIQ L = 0 ZAKL@^AEM, ^TO FUNKCIQ w0  0 WS@DU W OBLASTI T0 . dALEE IZ USLOWIJ SOPRQVENIQ SLEDUET, ^TO NA POWERHNOSTI #1 1 w1 = 0 I @w (7) @ = 0: oSNOWNAQ FORMULA gRINA, PRIMENENNAQ W OBLASTI T1 K FUNKCII w1 , POKAZYWAET, ^TO   Z  e;ik1 R @w (P ) @ e;ik1 R d = 0 (8) 1 w1 (M ) = 41 ; w ( P ) 1 R @1 @1 R 1

(GDE R = RMP ) W L@BOJ TO^KE M OBLASTI T1 . iTAK, MY UBEDILISX, ^TO w(M )  0 WO WSEM PROSTRANSTWE \TO I DOKAZYWAET TEOREMU EDINSTWENNOSTI. 3. dIFRAKCIQ NA SFERE. 1. pRAKTI^ESKI WAVNYM KLASSOM REENIJ URAWNENIQ KOLEBANIJ u ; a12 utt = 0 QWLQ@TSQ PLOSKIE WOLNY. pLOSKOJ WOLNOJ, RASPROSTRANQ@]EJSQ W KAKOMNIBUDX ZADANNOM NAPRAWLENII, NAZYWAETSQ REENIE, ZAWISQ]EE OT WREMENI I OT ODNOJ PROSTRANSTWENNOJ KOORDINATY, OTS^ITYWAEMOJ W NAPRAWLENII RASPROSTRANENIQ. nAPRIMER, PLOSKAQ WOLNA, RASPROSTRANQ@]AQSQ WDOLX OSI x, UDOWLETWORQET URAWNENI@ S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI uxx ; a12 utt = 0

I IMEET WID

  u(x t) = f t ; xa : w SLU^AE USTANOWIWEGOSQ REVIMA, KOGDA ZAWISIMOSTX OT WREMENI OPREDELQETSQ MNOVITELEM ei!t , PLOSKAQ WOLNA IMEET WID u(x t) = Aei (!t;kx)  (9) GDE k = !=a | WOLNOWOE ^ISLO, jAj | AMPLITUDA.

1) aNALITI^NOSTX FUNKCII w W OBLASTI T1 SLEDUET IZ FORMULY (7) x 2 DLQ KOMPLEKSNOGO ZNA^ENIQ { = ik I DLQ POWERHNOSTI #, CELIKOM LEVA]EJ WNUTRI T1 .

35 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

546 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

pLOSKAQ WOLNA, RASPROSTRANQ@]AQSQ W NAPRAWLENII l, GDE l = = (lx  ly  lz ) | EDINI^NYJ WEKTOR, MOVET BYTX ZAPISANA SLEDU@]IM OBRAZOM: u(x y z t) = Aei !t;k (xlx +yly +zlz )] = Aei !t;klr]: (10)

fUNKCII

v(x) = Ae;ikx  v(x y z) = Ae;iklr  (11) QWLQ@]IESQ REENIQMI WOLNOWOGO URAWNENIQ v + k2 v = 0 (12) OBY^NO TAKVE NAZYWA@TSQ P L O S K I M I W O L N A M I. w MATEMATI^ESKOJ TEORII DIFRAKCII OBY^NO IZU^A@TSQ WOZMU]ENIQ POLQ W ODNORODNOJ SREDE, SOZDAWAEMYE NALI^IEM WKL@^ENIJ Ti , NARUA@]IH ODNORODNOSTX SREDY. pUSTX v(M ) | POLE W ODNORODNOJ SREDE, SOZDAWAEMOE ZADANNYMI ISTO^NIKAMI, KOTORYE MY S^ITAEM RASPOLOVENNYMI WNE OBLASTI Ti (i = 1 : : :  n) W ^ASTNOSTI, \TO MOGUT BYTX DOSTATO^NO UDALENNYE ISTO^NIKI, WYZYWA@]IE POQWLENIE PLOSKIH WOLN: v(x y z) = Ae;iklr : (13) dEJSTWITELXNOE POLE v0 , IME@]EE MESTO W OBLASTI T0 PRI NALI^II NEODNORODNOSTEJ, MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMY v0 (M ) = w0 (M ) + v0 (M ) GDE v0 (M ) | PADA@]AQ WOLNA , w0 (M ) | DIFRAGIROWANNAQ, ILI OTRAVENNAQ, WOLNA, PREDSTAWLQ@]AQ WOZMU]ENIE WNENEGO POLQ v NEODNORODNOSTQMI Ti . bUDEM ISKATX W OBLASTI T0 DIFRAGIROWANNOE POLE w0 (M ), A WNUTRI Ti | PRELOMLENNOE POLE vi . uSTANOWIM USLOWIQ, OPREDELQ@]IE ISKOMYE FUNKCII w0 I vi (i = 1 2 : : :  n): A) FUNKCII w0 I vi UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM w0 + k02 w0 = 0 W T0  (14) vi + ki2 vi = 0 W Ti (i = 1 2 : : :  n) B) NA GRANICAH RAZDELA #i OBLASTEJ Ti I T0 WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE USLOWIQ SOPRQVENIQ: vi = w0 + v0 NA #i  (15) GDE v0 | ZADANNAQ FUNKCIQ, @w0 i pi @v (16) @ = p0 @ + fi NA #i  GDE fi = p0  @ v0 =@ | ZADANNAQ FUNKCIQ W) OTRAVENNAQ WOLNA w0 (M ) NA BESKONE^NOSTI WEDET SEBQ, KAK RASHODQ]AQSQ SFERI^ESKAQ WOLNA, T. E. UDOWLETWORQET USLOWI@ IZLU^ENIQ  w0 (M ) = O 1r  @w0 + ikw = o  1  : 0 @r r

x 4]

zada~i matemati~eskoj teorii difrakcii

547

2. rASSMOTRIM BOLEE PODROBNO DIFRAKCI@ PLOSKOJ WOLNY NA SFERE1) . pUSTX W NAPRAWLENII OSI z IZ BESKONE^NOSTI PADAET PLOSKAQ WOLNA

v0 = Ae;ikz (17) NA AR RADIUSA R S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT. i]EM OTRAVENNOE I PRELOMLENNOE POLQ W WIDE RAZLOVENIQ PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM v0 I f = p0   @ v0 =@r, WHODQ]IE W PRAWYE ^ASTI USLOWIJ SOPRQVENIQ, RAZLOVIM PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM. pOLOVIM z = r cos  TOGDA MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ SLEDU@]IM RAZLOVENIEM PLOSKOJ WOLNY PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM: e;ikr cos  =

GDE

1 X

m=0

(2m + 1) (;i)m m (kr) Pm (cos )

m (kr) =

q

(18)

 2kr Jm+1=2 (kr)

(Jm+1=2 (kr) | FUNKCIQ bESSELQ PERWOGO RODA (m + 1=2)-GO PORQDKA), Pm (cos ) | POLINOM lEVANDRA m-GO PORQDKA. w SAMOM DELE, SLEWA STOIT REENIE WOLNOWOGO URAWNENIQ, ZAWISQ]EE TOLXKO OT z. wSQKOE REENIE WOLNOWOGO URAWNENIQ MOVET BYTX PREDSTAWLENO KAK SUMMA PROIZWEDENIJ SFERI^ESKIH FUNKCIJ NA m (kr). pOSKOLXKU W NAEM SLU^AE LEWAQ ^ASTX (18) OBLADAET ZONALXNOJ SIMMETRIEJ, TO

e;ikr cos  =

1 X

m=0

Cm m (kr) Pm (cos )

(19)

GDE Cm | NEOPREDELENNYE POKA KO\FFICIENTY. pOLXZUQSX ORTOGONALXNOSTX@ POLINOMoW lEVANDRA I IH NORMOJ (SM. dOPOLNENIE II, ^. II), POLU^AEM Cm m () = 2m2+ 1

Z1

;1

e;i Pm () d

(20)

( = kr

 = cos ) : nAJDEM PERWYJ ^LEN ASIMPTOTI^ESKOGO PREDSTAWLENIQ DLQ INTEGRALA, STOQ]EGO W PRAWOJ ^ASTI SRAWNENIE EGO S PERWYM ^LENOM ASIMPTOTI^ESKOGO RAZLOVENIQ FUNKCII m () POZWOLIT NAM OPREDELITX KO\FFICIENT Cm . pROINTEGRIRUEM m RAZ PO ^ASTQM, INTEGRIRUQ KAVDYJ RAZ e;i I DIFFERENCIRUQ Pm (). w REZULXTATE POLU^IM RAZLOVENIE INTEGRALA PO STEPENQM 1)

aNALOGI^NYE METODY ^ASTO ISPOLXZU@TSQ W KWANTOWOJ MEHANIKE W ZADA^AH O RASSEQNII ^ASTIC. 35


548 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII 1=. sOHRANQQ TOLXKO PERWYJ ^LEN RAZLOVENIQ, BUDEM IMETX

Z+1

;1

h i+1 e;i Pm () d  = ;1i e;i Pm () = ;1

    = ;1i e;i Pm (1) ; ei Pm (;1) = ;1i e;i ; (;1)m ei =   = ;1i e;i ; e;im ei =

i ;im=2 h = e ;i e;i (;m=2) ; ei (;m=2) = 2 (;i)m sin( ;m=2) : s DRUGOJ STORONY, KAK IZWESTNO (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 1), m ()  = sin( ;m=2) : sRAWNIWAQ \TI WYRAVENIQ, NAHODIM IZ (20) Cm = (2m + 1) (;i)m  (21) ^TO I DOKAZYWAET FORMULU (18). iZ (17) SLEDUET 9 > = v0 jr=R = am Pm (cos ) m=0 > am = A (2m + 1) (;i)m m (k0 R)  1  X p0 @@rv0  = bm Pm (cos ) r=R 1 X

9 > = m=0 > bm = Ak0 p0 (2m + 1) (;i)m m0 (k0 R): 

(22)

(23)

oTRAVENNOE I PRELOMLENNOE POLQ QWLQ@TSQ REENIQMI WOLNOWOGO URAWNENIQ I, TAK VE KAK I PADA@]EE POLE, OBLADA@T ZONALXNOJ SIMMETRIEJ. pO\TOMU FUNKCII v1 I w0 MY I]EM W WIDE v1 = w0 =

1 X

m=0

m m (k1 r) Pm (cos )

(24)

m m(k0 r) Pm (cos )

(25)

1 X

m=0

m () =

r

(2)

2 Hm+1=2 ():

(26)

x 4]

zada~i matemati~eskoj teorii difrakcii

549

pEREJDEM TEPERX K OPREDELENI@ KO\FFICIENTOW RAZLOVENIQ m I m . pOLXZUQSX USLOWIEM SOPRQVENIQ I SRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI Pm (cos ), POLU^AEM m m (k1 R) ; m m (k0 R) = am = A (2m + 1) (;i)m m (k0 R) p1 k1 m m0 (k1 R) ; p0 k0 m m0 (k0 R) = bm = Ak0p0 (2m + 1) (;i)m m0 (k0 R) OTKUDA ! p0 k0 m (k0 R) m0 (k0 R) ; m (k0 R) m0 (k0 R) m m = A (2m + 1) (;i) p k  (k R)  0 (k R) ; p k 0 (k R)  (k R)  m 0 0 0 m 1 m 0 1 1 m 1 (27) 0 0 R) ; p0 k0 m (k0 R) m (k1 R) :

m = A (2m + 1) (;i)m pp1 kk1 m ((kk0 RR))m0 ((kk1 R 0 (k R) m (k R) m 0 0 1 1 0 m 0 ) ; p1 k1 m (28) 3. rASSMOTRIM W KA^ESTWE PRIMERA ZADA^U O RASSEQNII ZWUKA TWERDYM SFERI^ESKIM PREPQTSTWIEM. pUSTX NA ABSOL@TNO TWERDU@ I NEPODWIVNU@ SFERU RADIUSA R S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT PADAET PLOSKAQ ZWUKOWAQ WOLNA, RASPROSTRANQ@]AQSQ W NAPRAWLENII OSI z. zWUKOWOE DAWLENIE p(x y z t), KAK BYLO USTANOWLENO W GL. II, x 1, UDOWLETWORQET URAWNENI@ KOLEBANIJ @ 2 p = a2 p a2 =  p0  0 @t2 GDE a | SKOROSTX ZWUKA,  | POKAZATELX ADIABATY, p0 I 0 | DAWLENIE I PLOTNOSTX SREDY W NEWOZMU]ENNOM SOSTOQNII. dAWLENIE W PADA@]EJ WOLNE DAETSQ FUNKCIEJ  ! p0 = Ae;i (!t;kz) k= a  GDE A | POSTOQNNAQ. rASSMATRIWAQ USTANOWIWIJSQ PROCESS p(x y z t) = p(x y z) e;i!t  POLU^AEM DLQ p(x y z) WOLNOWOE URAWNENIE p + k2 p = 0: nA POWERHNOSTI SFERY SR W SILU EE ABSOL@TNOJ TWERDOSTI DOLVNA RAWNQTXSQ NUL@ NORMALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ SKOROSTI u. pROEKCIQ SKOROSTI NA NAPRAWLENIE NORMALI n SWQZANA S DAWLENIEM SLEDU@]IM URAWNENIEM: @un = ; 1 @p  @t  @n KOTOROE W STACIONARNOM SLU^AE DAET 1 @p : un = i! @n oTS@DA POLU^AEM GRANI^NOE USLOWIE @p  = 0: @n SR

550 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

pOLAGAQ p = p0 + w, GDE w(x y z) | DAWLENIE RASSEQNNOJ WOLNY, POLU^AEM DLQ OPREDELENIQ w SLEDU@]IE USLOWIQ: A) FUNKCIQ w(x y z) UDOWLETWORQET WOLNOWOMU URAWNENI@ w + k2 w = 0 B) NA POWERHNOSTI SFERY SR WYPOLNQETSQ GRANI^NOE USLOWIE @w  = ; @ p0  @n @n SR

SR

W) RASSEQNNAQ WOLNA w WEDET SEBQ NA BESKONE^NOSTI KAK RASHODQ]AQSQ SFERI^ESKAQ WOLNA, T. E. UDOWLETWORQET USLOWI@ IZLU^ENIQ PRI r ! 1:  w(M ) = O 1r 

@w + ikw = o  1  : @r r nETRUDNO WIDETX, ^TO \TA ZADA^A QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM RASSMOTRENNOJ WYE ZADA^I DIFRAKCII I SOOTWETSTWUET ZNA^ENI@ PARAMETRA p1 = = 0. pOLAGAQ W FORMULE (28) p1 = 0, IZ (28) I (25) POLU^AEM 0

m = ;A (2m + 1) (;i)m  0m((kk0RR)) (29) m 0 I 1 0 X (30) w = ;A (2m + 1) (;i)m  0m((kk0RR)) m (k0 r) Pm (cos ): m 0 m=0 eSLI DLINA WOLNY WELIKA PO SRAWNENI@ S RAZMERAMI ARA, T. E. k0 R 1, TO W FORMULE (29) MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ RAZLOVENIQMI FUNKCIJ m (kR) I m (kR) W RQDY, KOTORYE SLEDU@T IZ RAZLOVENIJ FUNKCIJ Jm+1=2 (kR) I Hm(2)+1=2 (kR) PO STEPENQM MALOGO ARGUMENTA kR (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 1 I 3): q   (kR=2)1=2 (kR=2)5=2  q  (kR=2)3=2  0 (kR)  ;   ( kR ) = 2kR = 1 ;(3=2) ;(5=2) 2kR ;(5=2) 

q q  (kR=2);1=2 ;3= = ;i  (kR=2) 2 :   ( kR ) 0 (kR)  = i 2kR 1 ;(1=2) 2kR ;(;1=2) tAK KAK p p p p ;(1=2) =  ;(3=2) = 2  ;(5=2) = 43  ;(;1=2) = ;2  TO POLU^AEM 2 1 (kR)  0 (kR)  = kR = 1 ; (kR6 )  3  i  1 (kR)  0 (kR)  = kR = (kRi )2 

x 4]

zada~i matemati~eskoj teorii difrakcii

OTKUDA SLEDUET

00 (kR)  = ; kR 3 

00 (kR)  = ; (kRi )2 

DIM

551

10 (kR)  = 31 

2i : 10 (kR)  = ; (kR )3

pODSTAWLQQ W FORMULU (29) NAJDENNYE WYRAVENIQ DLQ m0 I m0 , NAHO 0 = i A3 (kR)3 

1 = ; A2 (kR)3:

nETRUDNO WIDETX, ^TO SLEDU@]IE KO\FFICIENTY PROPORCIONALXNY (kR)5 , PO\TOMU PRI RASSEQNII DLINNYH WOLN (kR 1) WOZMU]ENIE w PRIBLIVENNO PREDSTAWLQETSQ DWUMQ PERWYMI ^LENAMI RQDA (30): ) w = 0 0 (kr) + 1 1 (kr) cos  (31) P0 (cos ) = 1 P1 (cos ) = cos ] : nA BOLXIH RASSTOQNIQH OT WOZMU]A@]EJ SFERY (kr 1) W TAK NAZYWAEMOJ DALXNEJ , ILI WOLNOWOJ , ZONE DLQ FUNKCIJ 0 (kr) I 1(kr) IMEEM ASIMPTOTI^ESKIE PREDSTAWLENIQ 1 e;ikr  0 (kr)  1 (kr)  (32) = kri e;ikr  = ; kr KOTORYE WYTEKA@T IZ ASIMPTOTI^ESKIH PREDSTAWLENIJ FUNKCIJ hANKELQ. pODSTAWIW W FORMULU (31) WYRAVENIQ (32) DLQ 0 (kr) I 1(kr) I ZAMENIW

0 I 1 IH PRIBLIVENNYMI ZNA^ENIQMI, POLU^IM  2 3   ; Ak R 1 ; 3 cos  e;ikr : (33) w= 3r 2 oBRATIMSQ TEPERX K WY^ISLENI@ INTENSIWNOSTI RASSEQNNOJ WOLNY \TA WELI^INA OPREDELQETSQ KAK SREDNEE ZNA^ENIE POTOKA \NERGII (WEKTORA uMOWA), RAWNOGO PROIZWEDENI@ IZBYTO^NOGO ZWUKOWOGO DAWLENIQ w NA SKOROSTX u, PRI^EM POD w I u SLEDUET PONIMATX DEJSTWITELXNYE ^ASTI SOOTWETSTWU@]IH WYRAVENIJ. w NAEM SLU^AE  w = w0 cos(!t ; kr) (34) u = u0 cos(!t ; kr) GDE w0 I u0 | SOOTWETSTWU@]IE AMPLITUDY. wY^ISLIM INTENSIWNOSTX ZWUKA I W WOLNOWOJ ZONE, SOHRANQQ PRI \TOM GLAWNYE ^LENY ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ: I = u0Tw0

ZT 0

cos2 (!t ; kr) dt = u02w0

iZ URAWNENIQ DWIVENIQ

@u = ; 1 @w @t  @r





T = 2! | PERIOD :

552 urawneniq |llipti~eskogo tipa (PRODOLVENIE) gl. VII

I FORMUL (34) NAHODIM tAKIM OBRAZOM,

u0 = wa0 :

2 2 2 4 6  I = 2wa0 = A18karR2 1 ; 32 cos  : oBOZNA^AQ MO]NOSTX, RASSEQNNU@ SFEROJ W KONUS d, ^EREZ 2r2 #() sin  d BUDEM IMETX 2 2 4 6  #() = A18kaR 1 ; 32 cos  : pOLQRNAQ DIAGRAMMA INTENSIWNOSTI RASSEQNNOGO AROM ZWUKA PRIWEDE-

rIS. 83 NA NA RIS. 83 (MASTABY NE SOBL@DENY). eSLI cos  = + 23   = 48 100  TO W NAPRAWLENII  = RASSEQNIE OTSUTSTWUET. zada~i k glawe VII 1. nAJTI FUNKCI@ WLIQNIQ STACIONARNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA GAZA, PREDPOLAGAQ, ^TO GAZ RASPADAETSQ W PROCESSE DIFFUZII. rEITX ZADA^U DLQ DIFFUZII W PROSTRANSTWE I NA PLOSKOSTI. 2. rEITX ZADA^U 1 W POLUPLOSKOSTI y > 0, S^ITAQ, ^TO PRI y = 0 KONCENTRACIQ RAWNA NUL@. 3. A) rEITX WNUTRENN@@ I WNEN@@ ZADA^I DLQ URAWNENIQ u ; {2 u = 0

zada~i k glawe VII

553

ESLI NA SFERE r = r0 ZADANO GRANI^NOE USLOWIE u jr=r0 = A cos . w SLU^AE WNENEJ ZADA^I SFORMULIROWATX USLOWIQ NA BESKONE^NOSTI, OBESPE^IWA@]IE EDINSTWENNOSTX REENIQ. rASSMOTRETX ANALOGI^NYE ZADA^I, PREDPOLAGAQ, ^TO u jr=r0 = F (): B) rEITX ANALOGI^NYE ZADA^I DLQ URAWNENIQ S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI, KOGDA GRANI^NYE USLOWIQ ZADANY NA OKRUVNOSTI RADIUSA r0 I IME@T WID u jr=r0 = A cos ' I, SOOTWETSTWENNO, u jr=r0 = F ('): 4. rEITX ZADA^I 3A I B DLQ URAWNENIQ u + k2 u = 0: w SLU^AE WNUTRENNEJ ZADA^I ISSLEDOWATX WOPROS O TOM, PRI KAKIH ZNA^ENIQH r0 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE REENIE (k S^ITATX ZADANNYM). sFORMULIROWATX USLOWIQ, GARANTIRU@]IE EDINSTWENNOSTX REENIQ KAK DLQ DWUH, TAK I DLQ TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH. 5. nA GLUBINE h POD POWERHNOSTX@ ZEMLI NAHODITSQ SREDA, W KOTOROJ S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ RASPREDELENO RADIOAKTIWNOE WE]ESTWO. nAJTI KONCENTRACI@ \MANACII, S^ITAQ, ^TO KONCENTRACIQ EE NA POWERHNOSTI RAWNA NUL@. 6. nAJTI SOBSTWENNYE ^ASTOTY MEMBRANY, IME@]EJ FORMU KOLXCA, RADIUSY KOTOROGO RAWNY a I b (a < b), S^ITAQ, ^TO v jr=a = 0 I v jr=b = 0. pOKAZATX, ^TO PREDEL PERWOGO SOBSTWENNOGO ZNA^ENIQ PRI a ! 0 RAWEN PERWOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ KRUGLOJ MEMBRANY RADIUSA b S ZAKREPLENNOJ GRANICEJ. 7. nAJTI SOBSTWENNYE KOLEBANIQ I SOBSTWENNYE ^ASTOTY DLQ \NDOWIBRATORA CILINDRI^ESKOJ FORMY, S^ITAQ EGO STENKI IDEALXNO PROWODQ]IMI. rASSMOTRETX TU VE ZADA^U W AKUSTI^ESKOJ INTERPRETACII. uKAZANIE. w SLU^AE \LEKTROMAGNITNYH KOLEBANIJ WWESTI POLQRIZACIONNYJ POTENCIAL (SM. pRILOVENIE I K GL. VII). 8. oPREDELITX \LEKTROMAGNITNOE POLE TO^E^NOGO DIPOLQ W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE, S^ITAQ, ^TO WELI^INY POLQ PROPORCIONALXNY ei!t . iSSLEDOWATX ASIMPTOTI^ESKOE POWEDENIE REENIQ NA BOLXIH RASSTOQNIQH (W WOLNOWOJ ZONE). rEITX TU VE ZADA^U DLQ DIPOLQ, NAHODQ]EGOSQ NAD IDEALXNO PROWODQ]EJ POWERHNOSTX@ (WERTIKALXNYJ DIPOLX). uKAZANIE. wWESTI POLQRIZACIONNYJ POTENCIAL. 9. pOSTAWITX ZADA^U O RASPROSTRANENII \LEKTROMAGNITNYH WOLN WNUTRI BESKONE^NOGO CILINDRI^ESKOGO RADIOWOLNOWODA PROIZWOLXNOGO SE^ENIQ S IDEALXNO PROWODQ]IMI STENKAMI. rASSMOTRETX WOLNU \LEKTRI^ESKOGO TIPA, RASPROSTRANQ@]U@SQ WDOLX KRUGLOGO CILINDRI^ESKOGO WOLNOWODA I IME@]U@ NAIBOLXU@ DLINU. nAJTI POLE, WY^ISLITX POTOK \NERGII ^EREZ SE^ENIE, PERPENDIKULQRNOE K OSNOWANI@ (SM. pRILOVENIE I K GL. VII). 10. rEITX NEODNORODNOE URAWNENIE u + k2 u = ;f W NEOGRANI^ENNOJ CILINDRI^ESKOJ OBLASTI KRUGLOGO SE^ENIQ, NA POWERHNOSTI KOTOROJ IME@T MESTO ODNORODNYE GRANI^NYE USLOWIQ 1-GO ILI 2-GO RODA, I POSTROITX FUNKCI@ ISTO^NIKA (SM. pRILOVENIE II K GL. VII).

554

priloveniq k glawe VII

11. pOSTROITX FUNKCI@ ISTO^NIKA W SLU^AE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ u + k2 u = 0 A) W POLUPROSTRANSTWE z > 0 B) NA POLUPLOSKOSTI y > 0 W) WNUTRI SLOQ ;l 6 z 6 l. 12. rEITX ZADA^U O DIFRAKCII PLOSKOJ \LEKTROMAGNITNOJ WOLNY NA BESKONE^NOM IDEALXNO PROWODQ]EM CILINDRE. rEITX \TU VE ZADA^U W AKUSTI^ESKOJ INTERPRETACII. 13. nAJTI SOBSTWENNYE \LEKTROMAGNITNYE KOLEBANIQ SFERI^ESKOGO \NDOWIBRATORA S IDEALXNO PROWODQ]IMI STENKAMI. rASSMOTRETX SLU^AI KOLEBANIJ TIPA TE I TM (SM. pRILOVENIE II K GL. VII). 14. nAJTI SOBSTWENNYE \LEKTROMAGNITNYE KOLEBANIQ \NDOWIBRATORA, PREDSTAWLQ@]EGO SOBOJ OBLASTX, ZAKL@^ENNU@ MEVDU DWUMQ KOAKSIALXNYMI CILINDRI^ESKIMI POWERHNOSTQMI I DWUMQ PLOSKOSTQMI, PERPENDIKULQRNYMI K OSI CILINDROW. uKAZANIE. dLQ POLQRIZACIONNOGO POTENCIALA (nm WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ, ANALOGI^NOJ FORMULE (14) IZ pRILOVENIQ II K GL. VII.

priloveniq k glawe VII

I. wOLNY W CILINDRI^ESKIH TRUBAH 1. pRI KONSTRUIROWANII RAZLI^NOGO RODA RADIOUSTANOWOK PRIHODITSQ REATX WAVNU@ ZADA^U O PEREDA^E \LEKTROMAGNITNOJ \NERGII OT PEREDAT^IKA K PEREDA@]EJ ANTENNE ILI, NAOBOROT, OT ANTENNY K PRIEMNIKU. wOPROSY TRANSLQCII \LEKTROMAGNITNOJ \NERGII WSTRE^A@TSQ TAKVE W RQDE DRUGIH PRAKTI^ESKIH ZADA^ SOWREMENNOJ RADIOTEHNIKI. dO POSLEDNEGO WREMENI \TA ZADA^A UDOWLETWORITELXNO REALASX S POMO]X@ DWUHPROWODNOJ LINII, PREDSTAWLQ@]EJ SOBOJ DWA METALLI^ESKIH PROWODA, MEVDU KOTORYMI RASPROSTRANQETSQ \LEKTROMAGNITNAQ WOLNA. nO OKAZYWAETSQ, ^TO NARQDU S NEDOSTATKAMI, SWOJSTWENNYMI WOOB]E PEREDA@]IM LINIQM, TAKAQ DWUHPROWODNAQ LINIQ IZLU^AET \LEKTROMAGNITNU@ \NERGI@, PRI^EM \TO IZLU^ENIE UWELI^IWAETSQ S POWYENIEM ^ASTOTY RADIOWOLN. pO\TOMU TAKOJ WID PEREDA@]EJ LINII STANOWITSQ MALOUDOBNYM W OBLASTI ULXTRAKOROTKIH RADIOWOLN. w POSLEDNIE GODY W TEHNIKE ULXTRAKOROTKIH (SANTIMETROWYH I DECIMETROWYH) RADIOWOLN DLQ PEREDA^I \NERGII PRIMENQ@TSQ SOWERENNO DRUGIE PEREDA@]IE USTROJSTWA | POLYE METALLI^ESKIE TRUBY (R A D I O W O L N O W O D Y), WNUTRI KOTORYH PROISHODIT RASPROSTRANENIE RADIOWOLN. tAKIE PEREDA@]IE USTROJSTWA, OBLADAQ MALYMI POTERQMI, QWLQ@TSQ O^ENX UDOBNYMI LINIQMI PEREDA^1). 1) w W E D E N S K I J b. a.,

~. I.

a R E N B E R G a. g. rADIOWOLNOWODY. m. l., 1946.

I. wolny w cilindri~eskih trubah

555

mATEMATI^ESKAQ TEORIQ RASPROSTRANENIQ RADIOWOLN PO TRUBAM BYLA ZALOVENA E]E r\LEEM, IZU^AWIM RASPROSTRANENIE AKUSTI^ESKIH WOLN W TRUBAH. iNTENSIWNOE RAZWITIE TEORIQ RADIOWOLNOWODOW POLU^ILA W POSLEDNIE GODY, OSOBENNO W RABOTAH SOWETSKIH U^ENYH. w NASTOQ]EE WREMQ SWOJSTWA KRUGLOGO, PRQMOUGOLXNOGO I DRUGIH TIPOW WOLNOWODOW IZU^ENY DOSTATO^NO HOROO. rASSMOTRIM SNA^ALA SWOJSTWA RADIOWOLNOWODOW PROIZWOLXNOGO POPERE^NOGO SE^ENIQ, A ZATEM PROILL@STRIRUEM IH RQDOM KONKRETNYH PRIMEROW. iTAK, RASSMOTRIM CILINDRI^ESKU@ TRUBU, NEOGRANI^ENNO PROSTIRA@]U@SQ WDOLX OSI z . bUDEM PREDPOLAGATX STENKI TRUBY IDEALXNO PROWODQ]IMI. oBOZNA^IM  | POWERHNOSTX, S | POPERE^NOE SE^ENIE TRUBY I C | KONTUR, OGRANI^IWA@]IJ \TO SE^ENIE. pREDPOLOVIM, ^TO: 1) HARAKTERISTIKI SREDY, ZAPOLNQ@]EJ TAKOJ WOLNOWOD, " I  RAWNY 1,  = 0 2) WNUTRI WOLNOWODA OTSUTSTWU@T ISTO^NIKI POLQ 3) POLQ PERIODI^ESKI MENQ@TSQ PO ZAKONU e;i!t . uRAWNENIQ mAKSWELLA W \TOM SLU^AE PRINIMA@T WID 9 rot H = ;ikE
> > > rot E = ikH
> =  ! k= c : (1) div H = 0
> > div E = 0

> > > 

pOSKOLXKU STENKI WOLNOWODA QWLQ@TSQ IDEALXNO PROWODQ]IMI, TANGENCIALXNAQ KOMPONENTA Et NA STENKE WOLNOWODA RAWNA NUL@: Et j = 0: (2) pOKAVEM, ^TO WNUTRI WOLNOWODA MOGUT RASPROSTRANQTXSQ BEGU]IE \LEKTROMAGNITNYE WOLNY. bUDEM ISKATX REENIE URAWNENIJ (1) W WIDE E = grad div  + k2
) (3) H = ;ik rot 
GDE  | POLQRIZACIONNYJ POTENCIAL. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA WEKTOR  IMEET LIX ODNU KOMPONENTU, NAPRAWLENNU@ WDOLX OSI z (Hz = = 0). w \TOM SLU^AE URAWNENIQ (1) POSLE PODSTANOWKI W NIH WYRAVENIJ (3) DADUT 2 ) + k2 ) = 0
ILI 2 ) + @@z)2 + k2 ) = 0 (4) ( = )iz ): uSLOWIE (2) BUDET WYPOLNENO, ESLI POTREBOWATX, ^TOBY ) j = 0: (5)

556

i]EM REENIE W WIDE

priloveniq k glawe VII )(M
z ) = (M ) f (z )


(6) GDE M | TO^KA, LEVA]AQ W POPERE^NOM SE^ENII S . pODSTAWLQQ (6) W (4), PRIHODIM K WYWODU, ^TO (M ) QWLQETSQ SOBSTWENNOJ FUNKCIEJ ZADA^I O KOLEBANIQH MEMBRANY, ZAKREPLENNOJ PO KONTURU, T. E. ) 2  +  = 0 WNUTRI S
(7)  jC = 0:

@ 2 + @ 2 | DWUMERNYJ OPERATOR lAPLASA. zDESX 2 = @x 2 @y 2 oBOZNA^IM ^EREZ fn g I fn g SISTEMU SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ I SOBSTWENNYH FUNKCIJ \TOJ ZADA^I. ~ASTNOE REENIE ZADA^I (4) IMEET WID )n (M
z ) = n (M ) fn(z )
GDE FUNKCIQ fn(z ) OPREDELQETSQ IZ URAWNENIQ fn00 + (k2 ; n ) fn = 0: (8) oB]EE REENIE URAWNENIQ (8) DAETSQ FORMULOJ  p2  fn (z ) = An ei n z + Bn e;i n z n = k ; n : (9) nETRUDNO WIDETX, ^TO PERWYJ ^LEN W FORMULE (9) SOOTWETSTWUET WOLNE, BEGU]EJ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII OSI z , WTOROJ VE ^LEN | WOLNE, BEGU]EJ W OBRATNOM NAPRAWLENII. rASSMATRIWAQ LIX WOLNU, BEGU]U@ W ODNOM NAPRAWLENII, POLOVIM fn (z ) = An ei n z
TOGDA POLU^IM REENIE W WIDE )n (M
z ) = An n (M ) ei n z
(10) GDE An | POSTOQNNAQ, OPREDELQEMAQ IZ USLOWIJ WOZBUVDENIQ POLEJ. pODSTAWLQQ WYRAVENIE (10) W FORMULY (3) I WOSSTANAWLIWAQ MNOVITELX e;i!t , NAHODIM SOSTAWLQ@]IE POLQ W WIDE Fn (M ) ei ( n z;!t)
(11) GDE Fn | FUNKCIQ, WYRAVA@]AQSQ ^EREZ SOBSTWENNU@ FUNKCI@ MEMBRANY n (M2 ) ILI EE PROIZWODNYE. eSLI k > n , TO n WE]ESTWENNO I WYRAVENIE (11) PREDSTAWLQET SOBOJ BEGU]U@ WOLNU, RASPROSTRANQ@]U@SQ WDOLX OSI z S FAZOWOJ SKOROSTX@ v = p 2! = p c 2 > c: k ; n 1 ; n =k

I. wolny w cilindri~eskih trubah

557

gRUPPOWAQ SKOROSTX WOLNY, O^EWIDNO, RAWNA 2 p u = cv = c 1 ; n =k2 < c
T. E. W PUSTOM WOLNOWODE IMEET MESTO DISPERSIQ. eSLI k2 < n , TO n = i{n ({n > 0) I WMESTO WYRAVENIQ (11) POLU^AEM ZATUHA@]U@ WOLNU Fn (M ) e;i!t;{n z
(12) RASPROSTRANQ@]U@SQ WDOLX OSI z W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII. tAK KAK SOBSTWENNYE ^ASTOTY n MEMBRANY NEOGRANI^ENNO WOZRASTA@T S UWELI^ENIEM NOMERA n, TO, KAKOWA BY NI BYLA ^ASTOTA !, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA n = N BUDEM IMETX k2 < n : sLEDOWATELXNO, W WOLNOWODE MOVET RASPROSTRANQTXSQ LIX KONE^NOE ^ISLO BEGU]IH WOLN. eSLI k2 < 1 , TO W WOLNOWODE NE MOVET SU]ESTWOWATX NI ODNOJ BEGU]EJ WOLNY. dLQ TOGO ^TOBY W WOLNOWODE ZADANNOJ FORMY I RAZMEROW MOGLA RASPROSTRANQTXSQ HOTQ BY ODNA BEGU]AQ WOLNA, DOLVNO, O^EWIDNO, WYPOLNQTXSQ USLOWIE 1 < k2
ILI * < p2
1 GDE * | DLINA WOLNY, RASPROSTRANQ@]EJSQ W TRUBE. dLQ WOLNOWODA PRQMOUGOLXNOGO SE^ENIQ SO STORONAMI a I b IMEEM  m2 n2  m = 1
2
: : : 2 n = mn =  a2 + b2 (13) n = 1
2
: : :
I, SLEDOWATELXNO, BEGU]AQ WOLNA MOVET SU]ESTWOWATX LIX PRI USLOWII

r

k >  a12 + b12
ILI * < 2

,r

1 1 (14) a2 + b2 : rEENIQMI URAWNENIJ mAKSWELLA MOGUT BYTX TAKVE POLQ S RAWNOJ NUL@ z -SOSTAWLQ@]EJ \LEKTRI^ESKOGO POLQ Ez = 0: (15) wWODQ WEKTOR ^ = )^ iz I POLAGAQ E^ = ik rot ^
H^ = grad div ^ + k2^ (16) (E^z = 0)


priloveniq k glawe VII

558

UBEVDAEMSQ, ^TO FUNKCIQ )^ (M
z ) DOLVNA OPREDELQTXSQ IZ URAWNENIQ 2^ )^ + k2 )^ = 0
ILI 2 )^ + @@z)2 + k2 )^ = 0
(17) I GRANI^NOGO USLOWIQ @ )^ = 0 NA : (18) @ pOWTORQQ PRIWEDENNYE WYE RASSUVDENIQ, NAJDEM REENIQ \TOJ ZADA^I:



)^ n = A^n ^n (M ) ei ^n z

q



^n = k2 ; ^n


(19)

KOTORYM SOOTWETSTWU@T REENIQ URAWNENIQ mAKSWELLA WIDA F^n (M ) ei (^ n z;!t) : zDESX ^n (M ) I ^n OZNA^A@T SOBSTWENNYE FUNKCII I SOBSTWENNYE ^ASTOTY MEMBRANY S SO SWOBODNOJ GRANICEJ: 2 ^n + ^n ^n = 0 W S
@ ^n = 0 NA C: @ tAKIM OBRAZOM, W WOLNOWODE MOGUT SU]ESTWOWATX \LEKTROMAGNITNYE POLQ DWUH TIPOW: fE
Hg I fE^
H^ g, OPREDELQEMYE PO FORMULAM (3) I (16). pRINQTA SLEDU@]AQ TERMINOLOGIQ: GOWORQT OB \LEKTRI^ESKIH WOLNAH (ILI WOLNAH TIPA TM ), ESLI Hz = 0, ILI O MAGNITNYH WOLNAH (TIPA TE ), ESLI Ez = 0. mY UBEDILISX, ^TO W WOLNOWODE MOGUT SU]ESTWOWATX WOLNY TE I TM. mOVNO POKAZATX1), ^TO L@BOE POLE W WOLNOWODE PREDSTAWIMO W WIDE SUMMY POLEJ TE I TM. oTS@DA SLEDUET, ^TO PROIZWOLXNOE POLE W WOLNOWODE MOVNO OPREDELITX, ESLI IZWESTNY DWE SKALQRNYE FUNKCII: )(M
z ) I )^ (M
z ). 2. nAJDEM WELI^INU \NERGII, UNOSIMOJ BEGU]EJ WOLNOJ, NAPRIMER, TIPA TM. dLQ \TOGO WY^ISLIM WELI^INU POTOKA WEKTORA uMOWA | pOJNTINGA ^EREZ SE^ENIE S : ZZ c Wz = 8 EH
]z dS
(20) S

GDE H | WEKTOR, KOMPLEKSNO SOPRQVENNYJ WEKTORU H, S | PERPENDIKULQRNOE SE^ENIE WOLNOWODA.


1)

t I H O N O W a. n., s A M A R S K I J a. a. k TEORII WOZBUVDENIQ RADIOWOLNOWODOW // wESTN. mOSK. UN-TA. 1948.  7. s. 39{60.

I. wolny w cilindri~eskih trubah

559

wWEDEM PRQMOUGOLXNU@ SISTEMU KOORDINAT x, y, z . tOGDA ZZ c Wz = 8 (Ex Hy
; Ey Hx
) dx dy: S

(21)

wYRAZIM SOSTAWLQ@]IE POLQ ^EREZ POLQRIZACIONNYJ POTENCIAL ) PO FORMULAM @2)
@2)
Ex = @x E = y @z @y @z )

H
= ;ik @ )
Hx
= ik @@y y @x I PODSTAWIM IH ZNA^ENIQ W RAWENSTWO (21): Z Z  @ 2) @ )
@ 2) @ )
 Wz = ; 8c ik (22) @x @z @x + @y @z @y dx dy: S

fUNKCIQ ) I SOPRQVENNAQ EJ FUNKCIQ )
SOGLASNO (10) PREDSTAWIMY W WIDE )(M
z ) = An n (M ) ei n z
)
(M
z ) = A
n n (M ) e;i n z


GDE n | SOBSTWENNAQ FUNKCIQ ZAKREPLENNOJ MEMBRANY (n jC = 0). oTS@DA SLEDUET, ^TO WMESTO (22) MOVNO NAPISATX Z Z " @n 2  @n 2# ck Wz = 8 n jAn j2 dx dy = @x + @y S ZZ = 8ck n jAn j2 (rn )2 dS:

ZZ S

pRIMENQQ PERWU@ FORMULU gRINA

(rn

)2 dS

=;

ZZ S

S

Z

ZZ @ n n 2 n dS + n @ dS = n n2 dS = n
C

S

POLU^AEM WYRAVENIE DLQ POTOKA \NERGII BEGU]EJ WOLNY NOMERA n: Wz = 8ck jAn j2 n n : (23) eSLI ODNOWREMENNO RASPROSTRANQETSQ NESKOLXKO WOLN, TO Wz BUDET RAWNO SUMME SLAGAEMYH WIDA (23).

priloveniq k glawe VII

560

pEREJDEM TEPERX K ZADA^E O WOZBUVDENII \LEKTROMAGNITNYH POLEJ W WOLNOWODE ZADANNYMI TOKAMI1). 3. pUSTX W NEKOTOROM OB_EME V0 WNUTRI WOLNOWODA  ZADANY TOKI j (M
z ) e;i!t, MENQ@]IESQ WO WREMENI PO GARMONI^ESKOMU ZAKONU. nAJDEM POLQ, WOZBUVDAEMYE \TIMI TOKAMI. w SILU PRINCIPA SUPERPOZICII POLEJ DOSTATO^NO, O^EWIDNO, REITX ZADA^U O WOZBUVDENII WOLNOWODA \LEMENTARNYM DIPOLEM PROIZWOLXNOJ ORIENTACII. ~TOBY DATX PREDSTAWLENIE O METODE REENIQ POSTAWLENNOJ WYE OB]EJ ZADA^I, RASSMOTRIM BOLEE;PROSTOJ SLU^AJ WOZBUVDENIQ WOLNOWODA LINEJNYM TOKOM I = I0 (z ) e i!t, ZADANNYM NA OTREZKE L, PARALLELXNOM OSI z . dLQ OPREDELENIQ \LEKTROMAGNITNYH POLEJ, WOZBUVDENNYH W WOLNOWODE, NADO ISPOLXZOWATX: 1) URAWNENIQ mAKSWELLA (1) 2) GRANI^NYE USLOWIQ Etang = 0 NA  3) USLOWIE IZLU^ENIQ W WIDE TREBOWANIQ OTSUTSTWIQ WOLN, PRIHODQ]IH IZ BESKONE^NOSTI 4) USLOWIE WOZBUVDENIQ, KOTOROE MY BEREM W WIDE (SM. GL. V, pRILOVENIE II, P. 3) I Hs ds = 4c I0
ILI Hs 2cI0
(24) K"

GDE K" | OKRUVNOSTX RADIUSA " (" ! 0), OHWATYWA@]AQ LINI@ L,  = = j;;;! MM0j, GDE M0 | TO^KA NA TOKE, M | TO^KA NA OKRUVNOSTI K" . iNYMI SLOWAMI, \LEKTROMAGNITNOE POLE NA TOKE DOLVNO IMETX OSOBENNOSTX OPREDELENNOGO TIPA. pEREJDEM K POTENCIALU ), WOSPOLXZOWAWISX DLQ \TOGO FORMULAMI (3). pUSTX (M0
 ) | PROIZWOLXNAQ TO^KA NA TOKE. wWEDEM CILINDRI^ESKU@ SISTEMU KOORDINAT , ', z S CENTROM W TO^KE (M0
 ) I WY^ISLIM Hs , POLXZUQSX URAWNENIEM (3): Hs = ik @@) : oTS@DA I IZ (24) SLEDUET, ^TO W TO^KE (M0
 ) FUNKCIQ ) DOLVNA IMETX LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX: I0 ln 1 : ) ; 2ikc (25)  1) s A M A R S K I J a. a., t I H O N O W a. n. o WOZBUVDENII RADIOWOLNOWODOW. I // vtf. 1947. t. 17,  11. s. 1283{1296 II // tAM VE.  12. s. 1431{

1440.

I. wolny w cilindri~eskih trubah

561

tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ )(M
z ) DOLVNA UDOWLETWORQTX WOLNOWOMU URAWNENI@ (4), GRANI^NOMU USLOWI@ ) = 0 NA , USLOWI@ IZLU^ENIQ I USLOWI@ WOZBUVDENIQ (25). bUDEM ISKATX REENIE \TOJ ZADA^I W WIDE Z ) = K )0 (M
M0  z
 ) I0 ( ) d
(26) L

GDE )0 (M
M0  z
 ) | FUNKCIQ ISTO^NIKA, OPREDELQEMAQ KAK REENIE URAWNENIQ )0 + k2 )0 = 0 PO PEREMENNYM (M
z ) I (M0
 ), UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NOMU USLOWI@ )0 = 0 NA 
ikr USLOWI@ IZLU^ENIQ I IME@]EE OSOBENNOSTX TIPA 41 e r PRI SOWPADENII ARGUMENTOW, T. E. PREDSTAWIMOE W WIDE SUMMY ikr )0 (M
M0  z
 ) = e4r + v(M
M0  z
 )





p

MM0 j
r = 2 + (z ;  )2
 = j;;;!

GDE v | REGULQRNAQ FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ IZ WOLNOWOGO URAWNENIQ I GRANI^NOGO USLOWIQ: ikr v = ; e4r NA : nETRUDNO WIDETX, ^TO FUNKCIQ )(M
z ), OPREDELQEMAQ PO FORMULE (26), BUDET IMETX LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX I USLOWIE WOZBUVDENIQ WYPOLNITSQ, ESLI POLOVITX NORMIRU@]IJ MNOVITELX 4 : K = ; ikc oTS@DA SLEDUET, ^TO 4 Z ) (M
M  z
 ) I ( ) d: )(M
z ) = ; ikc 0 0 0 L

w ^ASTNOSTI, DLQ \LEMENTA TOKA DLINY l 4 I  l  ) : )(M
z ) = ; ikc 0 0 sLEDOWATELXNO, )0 IMEET FIZI^ESKIJ SMYSL P O L Q R I Z A C I O N N O G O P O T E N C I A L A, SOOTWETSTWU@]EGO WOZBUVDENI@ \LEMENTOM TOKA, POME]ENNYM W TO^KE (M0
 ) PARALLELXNO OSI WOLNOWODA. 36 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

priloveniq k glawe VII

562

tAKIM OBRAZOM, ZADA^A OPREDELENIQ POLQ W WOLNOWODE POLNOSTX@ SWEDENA K POSTROENI@2FUNKCII ISTO^NIKA )0 PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ u + k u = 0 WNUTRI BESKONE^NOGO CILINDRA. dLQ POSTROENIQ FUNKCII ISTO^NIKA MOVET BYTX PRIMENEN METOD, IZLOVENNYJ W GL. VI, x 2. rASSMOTRIM NEODNORODNOE URAWNENIE u + k2 u = ;f (M
z )
(27) GDE f (M
z ) | ZADANNAQ FUNKCIQ, S GRANI^NYM USLOWIEM u j = 0: bUDEM ISKATX FUNKCI@ u(M
z ) W WIDE RQDA u(M
z ) =

1 X

n=1

un (z ) n (M )


(28)

GDE n (M ) | NORMIROWANNYE SOBSTWENNYE FUNKCII MEMBRANY S , 2 n + n n = 0
n jC = 0: (7) rAZLAGAQ f (M
z ) W RQD f (M
z ) =

1 X

n=1

fn (z ) n (M )


fn (z ) =

ZZ

f (M 0
z ) n (M 0 ) dM
0

S

(29)

I PODSTAWLQQ WYRAVENIQ (28) I (29) W URAWNENIE (27), POLU^AEM p u00n (z ) ; p2n un (z ) = ;fn (z )
pn = n ; k2 : (30) rEENIE \TOGO URAWNENIQ, KAK NETRUDNO ZAMETITX, PREDSTAWLQETSQ FORMULOJ un(z ) =

Z1 e;pn jz;j

;1

2pn

fn( ) d


(31)

KOTORAQ W SILU FORMULY (29) MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE

Z Z Z1 e;pn jz;j 0 0 un (z ) = 2pn f (M
 ) n (M ) dM d: 0

S

(310 )

;1

pODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W FORMULU (28) I MENQQ PORQDOK SUMMIROWANIQ I INTEGRIROWANIQ, BUDEM IMETX u(M
z ) =

ZZZ

)0 (M
M 0
z ;  ) f (M 0
 ) dM d
0

T

(32)

I. wolny w cilindri~eskih trubah

GDE )0 (M
M 0
z ;  ) =

1 X n (M ) n (M 0 )

2pn

n=1

e;pn jz; j :

563 (33)

rQD DLQ )0 (M
M 0
z ;  ) PRI z 6=  RAWNOMERNO I ABSOL@TNO SHODITSQ 1) I PRISUTSTWIQ \KSPONENCIW SILU OCENOK DLQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ 0 ALXNOGO MNOVITELQ. fUNKCIQ )(M
M
z ;  ) W TO^KE (M = M 0
z =  ) IMEET OSOBENNOSTX TIPA 1=r. nA DOKAZATELXSTWE POSLEDNEGO UTWERVDENIQ MY NE OSTANAWLIWAEMSQ2). iZ SKAZANNOGO WYE SLEDUET, ^TO G(M
M 0
z ;  ) = )0 (M
M 0
z ;  )
T. E. FUNKCIQ ISTO^NIKA )0 IMEET WID 1 0 X )0 (M
M 0
z ;  ) = n (M2)pn (M ) e;pn jz; j : n n=1 iZ FORMULY (33) WYTEKAET, ^TO POLE W \TOM SLU^AE PREDSTAWITSQ W WIDE SUPERPOZICII WOLN WIDA (11) I (12). kAK BYLO ZAME^ENO NA S. 557, RQD (33) BUDET SOSTOQTX IZ KONE^NOGO ^ISLA SLAGAEMYH WIDA   p Bn n (M ) ei n jz; j (BEGU]IE WOLNY) n = k2 ; n
pn = ;in 1) dLQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ n (M ) IMEET MESTO RAWNOMERNAQ OCENKA jn (M )j 6 A n , GDE A | POSTOQNNAQ, NE ZAWISQ]AQ NI OT TO^KI M , NI OT INDEKSA n. w SAMOM DELERR, KRAEWAQ ZADA^A (7) RAWNOSILXNA INTEGRALXNOMU URAWNENI@ n (M ) = n G(M M 0 ) n (M 0 ) dM , GDE G(M M 0 ) | FUNKS CIQ ISTO^NIKA DLQ URAWNENIQ lAPLASA 2 u = 0 PRI GRANI^NOM USLOWII u jC = 0. iZ \TOGO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ W SILU NERAWENSTWA kOI | bUNQKOWSKOGO WYTEKAET 0

v ZZ u u jn j 6 j n j t

TAK KAK

ZZ S

S

G2 (M M 0 ) dM

2 (M 0 ) d n

M = 1

ZZ

0

ZZ

0

n2 (M 0 ) dM 6 A j n j 0

S

G2 (M M 0 ) dM 6 A2 : 0

S

aNALOGI^NYM METODOM POLU^A@TSQ OCENKI DLQ PROIZWODNYH  @n  2  @n  2  @x  6 B n  @y  6 B n: 2)

sM.: s A M A R S K I J a. a., t I H O N O W a. n. o WOZBUVDENII RADIOWOLNOWODOW. I // vtf. 1947. t. 17,  11. s. 1283{1296. 36


564

priloveniq k glawe VII

I IZ BESKONE^NOGO ^ISLA SLAGAEMYH WIDA Bn0 n (M ) e;pn jz; j (ZATUHA@]IE WOLNY), GDE 0 p Bn0 = n2(pM )
pn = n ; k2
n > k2 : n dLQ OPREDELENIQ POLEJ NADO WOSPOLXZOWATXSQ FORMULAMI (26) I (3). zADA^A O WOZBUVDENII WOLNOWODA \LEMENTOM MAGNITNOGO TOKA, PARALLELXNYM OSI z (BESKONE^NO MALAQ PETLQ S \LEKTRI^ESKIM TOKOM W PLOSKOSTI Sz= ), PRIWODIT NAS KO WTOROJ FUNKCII ISTO^NIKA )^ 0 (M
M 0  z ;  ) =

1 ^ X n (M ) ^n (M 0 )

n=1

2^pn

e;p^n jz; j


p

p^n = n ; k2


UDOWLETWORQ@]EJ GRANI^NOMU USLOWI@ @ )^ 0 =@ = 0 NA . pRI \TOM 4 kl)^ (kl | MOMENT \LEMENTA MAGNITNOGO TOKA). Hz = 0 )^ = ; ikc 0 aNALOGI^NYM METODOM MOVNO REITX ZADA^U O WOZBUVDENII PROIZWOLXNO ORIENTIROWANNYM DIPOLEM (\LEMENTOM TOKA), NAJDQ OSOBENNOSTI POLEJ W \TOM SLU^AE. sOOTWETSTWU@]IE FUNKCII ) BUDUT OPREDELQTXSQ PO FORMULE, ANALOGI^NOJ FORMULE (33). w SLU^AE POWERHNOSTNYH I OB_EMNYH TOKOW FUNKCII ) DA@TSQ POWERHNOSTNYMI I OB_EMNYMI INTEGRALAMI (PO ANALOGII S (26)). dALXNEJEE WY^ISLENIE POLEJ PROIZWODITSQ PO FORMULAM (3). tEM SAMYM ZADA^A O WOZBUVDENII L@BOGO CILINDRI^ESKOGO WOLNOWODA PROIZWOLXNYMI ZADANNYMI TOKAMI REAETSQ POLNOSTX@. ~TOBY ISPOLXZOWATX OB]IE FORMULY DLQ WOLNOWODA OPREDELENNOGO SE^ENIQ, DOSTATO^NO NAJTI SOBSTWENNYE KOLEBANIQ MEMBRANY, IME@]EJ FORMU PERPENDIKULQRNOGO SE^ENIQ WOLNOWODA. pRIWEDEM WYRAVENIQ DLQ ORTONORMIROWANNYH SOBSTWENNYH FUNKCIJ PRQMOUGOLXNOJ MEMBRANY SO STORONAMI a I b: r 4 sin m x sin n y n (M ) = nm (x
y) = ab a b

r

n ^n (M ) = ^nm (x
y) = "mab"n cos m a x cos b y ("j = 2
j 6= 0 "0 = 1)

 2 2 mn = 2 ma2 + nb2 :

II. |lektromagnitnye kolebaniq w rezonatorah

565

dLQ KRUGLOJ MEMBRANY RADIUSA a IMEEM

r

"n Jn (mn r=a) cos n'
n (M ) = mn (r
') = a 2 jJn0 (mn )j sin

r

"n p ^mn Jn (^mn r=a) cos n'
^n (M ) = ^mn (r
') = a 2 ^2 ; n2 jJn (^ mn )j sin mn GDE mn | KORENX URAWNENIQ Jn () = 0 mn = 2mn =a2 , ^mn | KORENX URAWNENIQ Jn0 () = 0 ^mn = ^2mn =a2 .

II. |LEKTROMAGNITNYE KOLEBANIQ W POLYH REZONATORAH w POSLEDNIE GODY W RADIOTEHNIKE POLU^ILI IROKOE RASPROSTRANENIE O B _ E M N Y E R E Z O N A T O R Y, ILI \ N D O W I B R A T O R Y, PREDSTAWLQ@]IE SOBOJ METALLI^ESKIE POLOSTI, ZAPOLNENNYE DI\LEKTRIKOM (W ^ASTNOSTI, WOZDUHOM). w \NDOWIBRATORAH MOGUT SU]ESTWOWATX STACIONARNYE \LEKTROMAGNITNYE POLQ (STOQ^IE WOLNY), NAZYWAEMYE SOBSTWENNYMI \LEKTROMAGNITNYMI KOLEBANIQMI. w RADIOTEHNIKE ULXTRAKOROTKIH WOLN PRIMENQ@TSQ \NDOWIBRATORY WESXMA SLOVNOJ FORMY. oB]AQ PROBLEMA OPREDELENIQ SOBSTWENNYH KOLEBANIJ \NDOWIBRATOROW PROIZWOLXNOJ FORMY ^REZWY^AJNO SLOVNA, ODNAKO DLQ \NDOWIBRATOROW PROSTEJEJ FORMY REENIE POLU^AETSQ W QWNOM WIDE. tAK KAK STENKI IZGOTOWLQ@TSQ IZ HOROO PROWODQ]EGO METALLA, TO PRI RAS^ETE SOBSTWENNYH KOLEBANIJ OBY^NO PREDPOLAGA@T STENKI IDEALXNO PROWODQ]IMI. pOPRAWKI NA KONE^NU@ PROWODIMOSTX MOVNO POLU^ITX, ISPOLXZUQ GRANI^NYE USLOWIQ lEONTOWI^A. w DALXNEJEM MY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO STENKI \NDOWIBRATORA QWLQ@TSQ IDEALXNO;i!t PROWODQ]IMI I WSE WELI^INY POLQ MENQ@TSQ WO WREMENI PO ZAKONU e . nE STAWQ SWOEJ CELX@ DATX IS^ERPYWA@]EE IZLOVENIE TEORII \NDOWIBRATOROW, OSTANOWIMSQ NA NEKOTORYH OB]IH WOPROSAH TEORII \TIH KOLEBATELXNYH SISTEM.

1. sOBSTWENNYE KOLEBANIQ CILINDRI^ESKOGO \NDOWIBRATORA. pROBLEMA OPREDELENIQ SOBSTWENNYH \LEKTROMAGNITNYH KOLE-

BANIJ SOSTOIT W NAHOVDENII NETRIWIALXNYH REENIJ URAWNENIJ mAKSWELLA1), TO^NEE, W OPREDELENII SOBSTWENNYH ^ASTOT !, PRI KOTORYH SISTEMA ODNORODNYH URAWNENIJ mAKSWELLA S ODNORODNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI IMEET NETRIWIALXNYE REENIQ, A TAKVE SAMIH NETRIWIALXNYH REENIJ. 1)

mNOVITELX e;i!t WS@DU OPUSKAEM.

566

priloveniq k glawe VII

uRAWNENIQ mAKSWELLA W \TOM SLU^AE IME@T WID rot H = ;ikE
9 > > =  ! rot E = ;ikH
> k= c div E = 0
> > div H = 0

> 

(1)

WNUTRI POLOSTI T , NA POWERHNOSTI KOTOROJ  WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ Et = 0 (2) ILI @H
= 0 (3) @ OBA \TI USLOWIQ, KAK NETRUDNO POKAZATX, \KWIWALENTNY. pRIWEDEM RAS^ET SOBSTWENNYH KOLEBANIJ DLQ \NDOWIBRATORA, PREDSTAWLQ@]EGO OTREZOK CILINDRI^ESKOGO WOLNOWODA PROIZWOLXNOGO SE^ENIQ, OGRANI^ENNYJ DWUMQ BOKOWYMI STENKAMI z = l (OSX z PARALLELXNA OBRAZU@]EJ CILINDRA). tAK VE KAK I W CILINDRI^ESKOM WOLNOWODE, W RASSMATRIWAEMOM \NDOWIBRATORE WOZMOVNY KOLEBANIQ I \LEKTRI^ESKOGO (Hz = 0), I MAGNITNOGO (Ez = 0) TIPA. dLQ WOLN \LEKTRI^ESKOGO TIPA POLOVIM E = grad div  + k2
) (4) H = ;ik rot 
GDE  = )iz (iz | EDINI^NYJ WEKTOR, NAPRAWLENNYJ PO OSI z ) | POLQRIZACIONNYJ WEKTOR-POTENCIAL, U KOTOROGO OTLI^NA OT NULQ LIX SOSTAWLQ@]AQ PO OSI z . iZ FORMUL (4) SRAZU WIDNO, ^TO W \TOM SLU^AE Hz = 0. fUNKCIQ ), KAK OBY^NO, UDOWLETWORQET WOLNOWOMU URAWNENI@ ) + k2 ) = 0: (5) wYBEREM NA POWERHNOSTI  LOKALXNU@ PRQMOUGOLXNU@ SISTEMU KOORDINAT (s

iz ), GDE  | EDINI^NYJ WEKTOR, NAPRAWLENNYJ PO NORMALI K POWERHNOSTI, A s | PO KASATELXNOJ K KONTURU C , OGRANI^IWA@]EMU PERPENDIKULQRNOE SE^ENIE S CILINDRI^ESKOGO \NDOWIBRATORA. w SILU GRANI^NYH USLOWIJ (2) IMEEM 9 2 )  @ > Es j = @s @z  = 0
> = (6)  @2)  > > 2  Ez j = @z 2 + k )  = 0:

II. |lektromagnitnye kolebaniq w rezonatorah

567

oBA \TI RAWENSTWA BUDUT UDOWLETWORENY, ESLI POTREBOWATX, ^TOBY ) j = 0: (7) pRI z = l IZ (2) POLU^AEM USLOWIQ  @ 2 )  Es jz=l = @s @z z=l = 0
 @ 2 )  E
jz=l = @ @z z=l = 0
DLQ WYPOLNENIQ KOTORYH DOSTATO^NO POLOVITX  @ )  (8) @z z=l = 0: tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^E. nAJTI NETRIWIALXNYE REENIQ WOLNOWOGO URAWNENIQ 2 2 ) + @@z)2 + k2 ) = 0 (60 ) S ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI (7), (8) ) j = 0




@ )  @z z=l = 0:

kAK I W SLU^AE CILINDRI^ESKOGO WOLNOWODA (SM. S. 556), REENIE I]EM W WIDE )(M
z ) = (M ) f (z ): (9) pODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W URAWNENIE (60 ) I ISPOLXZUQ USLOWIE (7), POLU^AEM DLQ FUNKCII (M ) ZADA^U O SOBSTWENNYH KOLEBANIQH ZAKREPLENNOJ MEMBRANY: 2  +  = 0 W S
(10)  = 0 NA C: (11) dLQ OPREDELENIQ FUNKCII f (z ) POSLE RAZDELENIQ PEREMENNYH POLU^AEM URAWNENIE f 00 + (k2 ; ) f = 0 (12) S GRANI^NYM USLOWIEM f 0 (l) = 0
(13) WYTEKA@]IM IZ USLOWIQ (8).

568

priloveniq k glawe VII

sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO ZDESX, W OTLI^IE OT ZADA^I DLQ WOLNOWODOW, k2 NE QWLQETSQ ZADANNOJ WELI^INOJ, A WHODIT2 W URAWNENIE W KA^ESTWE PARAMETRA. mY DOLVNY NAJTI TE ZNA^ENIQ k , PRI KOTORYH ZADA^A (6) | (8) DOPUSKAET NETRIWIALXNOE REENIE. rEAQ URAWNENIE (12) S USLOWIQMI (13), NAHODIM SOBSTWENNYE FUNKCII fm (z ) = Am cos m 2l (l ; z )
SOOTWETSTWU@]IE SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM  2 m = m (m = 0
1
: : :)
2l GDE m = km2 ; : kRAEWAQ ZADA^A (10) | (11) DAET SPEKTR SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ fng S SOOTWETSTWU@]EJ SISTEMOJ NORMIROWANNYH SOBSTWENNYH FUNKCIJ fn(M )g. oTS@DA WYTEKAET, ^TO W \NDOWIBRATORE MOGUT SU]ESTWOWATX TOLXKO TAKIE KOLEBANIQ, SOBSTWENNYE ILI REZONANSNYE ^ASTOTY KOTORYH RAWNY p !mn = c n + m : |TIM ^ASTOTAM SOOTWETSTWUET SISTEMA SOBSTWENNYH FUNKCIJ )nm (M
z ) = Anm n (M ) cos m (14) 2l (l ; z )
ILI )nm (M
z ) = Anm n (M ) fm (z )
(140 ) GDE r"  2
m 6= 0  m m fm (z ) = 2l cos 2l (l ; z ) "m = 1
m = 0 | NORMIROWANNYE K EDINICE FUNKCII. rEENIE OPREDELENO S TO^NOSTX@ DO AMPLITUDNOGO MNOVITELQ Anm , KOTORYJ NAHODITSQ IZ USLOWIJ WOZBUVDENIQ KOLEBANIJ DANNOGO TIPA. eSLI SOBSTWENNYE FUNKCII MEMBRANY n (M ) IZWESTNY, TO PO FORMULAM (14) I (4) MOVNO WY^ISLITX KOMPONENTY POLQ. eSLI POPERE^NOE SE^ENIE S \NDOWIBRATORA PREDSTAWLQET SOBOJ PRQMOUGOLXNIK SO STORONAMI a I b, TO BUDEM IMETX r 4 sin p x sin q y (p
q = 1
2
3
: : :)
n (M ) = pq (x
y) = ab a b  p2 q 2  n = pq = 2 a2 + b2
r "m sin p x sin q y cos m (l ; z ): )nm = Ampq 2abl a b 2l

II. |lektromagnitnye kolebaniq w rezonatorah

569

w \TOM SLU^AE NAIMENXEJ SOBSTWENNOJ ^ASTOTE

r

p =c 

1 1 !011 11 = c a2 + b2 SOOTWETSTWUET MAKSIMALXNO DOPUSTIMAQ DLINA WOLNY

,r

1 1 a2 + b2 : w ^ASTNOSTI, PRI b = a NAIBOLXAQ DLINA WOLNY p *0 = a 2 RAWNA DIAGONALI KWADRATA, POLU^A@]EGOSQ W PERPENDIKULQRNOM SE^ENII. sLEDOWATELXNO, W TAKOM \NDOWIBRATORE WOZMOVNY LIX SOBSTWENNYE KOLEBANIQ S ^ASTOTOJ ! > !011 ILI DLINOJ WOLNY * 6 *0: sOWERENNO ANALOGI^NO NAHODQTSQ SOBSTWENNYE KOLEBANIQ MAGNITNOGO TIPA (Ez = 0). w \TOM SLU^AE POLAGAEM E = ik rot ^
*0 = 2

GDE

H = grad div ^ + k2 ^
^ = )^ iz :

dLQ OPREDELENIQ )^ (M
z ) POLU^AEM URAWNENIE (60 ) S GRANI^NYMI USLOWIQMI (70 ) )^ jz=l = 0




REAQ KOTORYE NAHODIM

@ )^  = 0
@ 

(80 )

)^ nm = A^nm ^m (M ) sin m (15) 2l (l ; z ): w \TOM SLU^AE POD ^n (M ) SLEDUET PONIMATX SOBSTWENNYE FUNKCII MEM^ = 0 NA C . BRANY S PRI GRANI^NOM USLOWII @ =@

2. |LEKTROMAGNITNAQ \NERGIQ SOBSTWENNYH KOLEBANIJ.

wY^ISLIM \NERGI@ \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ W STOQ^EJ WOLNE W CILINDRI^ESKOM \NDOWIBRATORE.

priloveniq k glawe VII

570

dLQ PROSTOTY OGRANI^IMSQ SLU^AEM WOLNY \LEKTRI^ESKOGO TIPA. u^ITYWAQ W FORMULAH (4) ZAWISIMOSTX E I H OT WREMENI PO ZAKONU e;i!t I BERQ TOLXKO DEJSTWITELXNU@ ^ASTX, POLU^AEM 9 @ 2) cos !t
> Ex = @z > > @x > > = 2 @ ) cos !t
Ey = @z (16) @y > >  @2)  >  Ez = @z 2 + k2 ) cos !t>

9 Hx = ;k @@y) sin !t
> >

> = @ ) Hy = k @x sin !t
> > >  H = 0:

(17)

z

dLQ WY^ISLENIQ \NERGII \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ WOSPOLXZUEMSQ IZWESTNYMI FORMULAMI: ZZZ E\L(t) = 8c E2 d
(18) T

E (t) = 8c M

ZZZ T

H2 d


(19)

GDE INTEGRIROWANIE PROIZWODITSQ PO OB_EMU T \NDOWIBRATORA. pODSTAWLQQ W FORMULU (18) WYRAVENIQ (16) I POLXZUQSX FORMULOJ (140), BUDEM IMETX1)

E

\L

(t) =

8Z Z " 2  2# Zl < @ @ 2 !t 0 2 cos : S @x + @y d;l f (z)] dz + 8

A2 c

+ 1)

iNDEKSY m, n MY WREMENNO OPUSKAEM.

ZZ S

9 = 2 d (f 00 + k2 f )2 dz  : ;l Zl

II. |lektromagnitnye kolebaniq w rezonatorah

pROIZWEDQ NESLOVNYE WY^ISLENIQ, POLU^IM

Zl

;l

f

0

j;l ;

(z )]2 dz = ff 0 l

Zl ;l

(f

00

Zl

;l

ff

00

dz = (k2

+ k2 f )2 dz = 2

TAK KAK W SILU NORMIROWKI FUNKCIJ f

Zl

;l

; )

Zl ;l

Zl ;l

571

f 2 dz = k2 ; 
(190 )

f 2 dz = 2


f 2 dz = 1:

(20)

(21)

dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALOW PO S WOSPOLXZUEMSQ PERWOJ FORMULOJ gRINA, URAWNENIEM DLQ FUNKCII n , GRANI^NYMI USLOWIQMI I USLOWIEM NORMIROWKI: Z Z " @ 2  @ 2# ZZ + dx dy = (r2 )2 d = @x @y S

=;

ZZ S

S

Z ZZ  2  d +  @ ds =  2 d = 
@ C

S

(22)

GDE r2 | OPERATOR NABLA W PLOSKOSTI S , 2 | DWUMERNYJ OPERATOR lAPLASA. w REZULXTATE POLU^AEM WYRAVENIE DLQ \NERGII \LEKTRI^ESKOGO POLQ 2 (23) E\L(t) = A8c k2 cos2 !t: dLQ \NERGII MAGNITNOGO POLQ W SILU FORMUL (17), (19) I (140 ) IMEEM " # Zl 2 ck 2 Z Z  @ 2  @ 2 A EM(t) = 8 dx dy f 2 dz sin2 !t
@x + @y S

;l

OTKUDA, U^ITYWAQ RAWENSTWA (21) I (22), NAHODIM 2 2 EM(t) = A8ck  sin2 !t: (24) pOLNAQ \NERGIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ, O^EWIDNO, NE MENQETSQ WO WREMENI: 2 2 E = E\L(t) + EM(t) = A8ck : (25)

572

priloveniq k glawe VII

iZ FORMUL (23) I (24) WIDNO, ^TO W STOQ^EJ WOLNE PROISHODIT WZAIMNOE PREWRA]ENIE \LEKTRI^ESKOJ \NERGII W MAGNITNU@ I OBRATNO, PRI^EM SREDNQQ ZA PERIOD \NERGIQ \LEKTRI^ESKOGO POLQ 2 2 E\L = 12 A8ck  = 12 E (26) RAWNA SREDNEJ \NERGII MAGNITNOGO POLQ 2 2 EM = 21 A8ck  = 12 E : (27) 3. wOZBUVDENIE KOLEBANIJ W \NDOWIBRATORE. dLQ WOZBUVDENIQ POLQ W \NDOWIBRATORE WNENIM ISTO^NIKOM NADO WWESTI ^EREZ ]ELX W EGO OBOLO^KE \LEMENT SWQZI. tAKIM \LEMENTOM SWQZI MOVET BYTX LIBO WITOK, LIBO STERVENX, DEJSTWU@]IJ KAK MALENXKAQ ANTENNA. dLQ TOGO ^TOBY \LEMENT SWQZI NE WOZMU]AL POLQ W \NDOWIBRATORE, NEOBHODIMO, ^TOBY EGO RAZMERY BYLI MNOGO MENXE DLINY WOLNY. wOZMOVNY I DRUGIE SPOSOBY WOZBUVDENIQ \NDOWIBRATORA, NAPRIMER PU^KOM \LEKTRONOW, PRONIZYWA@]IM POLOSTX \NDOWIBRATORA (^EREZ OTWERSTIQ W EGO STENKAH). rEENIE ZADA^I O WOZBUVDENII \NDOWIBRATORA ANTENNOJ, POME]ENNOJ WNUTRX, ILI, W PREDELXNOM SLU^AE, \LEMENTARNYM DIPOLEM TREBUET U^ETA KONE^NOJ PROWODIMOSTI STENOK, INA^E USTANOWIWIJSQ PROCESS NEWOZMOVEN. u^ET KONE^NOJ PROWODIMOSTI STENOK MOVET BYTX PROIZWEDEN S POMO]X@ U S L O W I J l E O N T O W I ^ A. mY RASSMOTRIM ZDESX ZADA^U O WOZBUVDENII SFERI^ESKOGO \NDOWIBRATORA DIPOLEM, DOPUSKA@]U@ PROSTOE ANALITI^ESKOE REENIE1) . pUSTX W CENTRE SFERY RADIUSA r0 POME]EN DIPOLX, KOLEBL@]IJSQ S ^ASTOTOJ ! I AMPLITUDOJ 1 I NAPRAWLENNYJ WDOLX OSI z . tREBUETSQ NAJTI POLE WNUTRI SFERY, U^ITYWAQ KONE^NU@ PROWODIMOSTX STENOK. w \TOM SLU^AE POLQ E I H MOVNO WYRAZITX ^EREZ FUNKCI@ U :  9 i @ sin  @U
> Er =  sin >  @ @ > > >   = i @ @U (28) E = ;  @  @
> > > > @U >  H' = @ : oSTALXNYE KOMPONENTY E' , Hr , H RAWNY NUL@. tAK KAK DIPOLX NAPRAWLEN PO OSI z ( = 0), TO POLQ, O^EWIDNO, NE DOLVNY ZAWISETX OT UGLA '. 1) sM.: r Y T O W s. m. wOZBUVDENIE POLOGO SFERI^ESKOGO REZONATORA RASPO-

LOVENNYM W EGO CENTRE DIPOLEM // dan sssr. 1946. t. 51,  2. s. 107{110.

II. |lektromagnitnye kolebaniq w rezonatorah

573

fUNKCIQ U UDOWLETWORQET URAWNENI@     1 @ 2 @U + 1 @ sin  @U + U = 0
(29) 2 @ @ 2 sin  @ @ GDE  = kr, PRI^EM U IMEET PRI  ! 0 OSOBENNOSTX WIDA ieikr = ik2 ei : (30) r2 2 nA POWERHNOSTI SFERY ( = 0 ) DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE lEONTOWI^A E = aH'
(31) GDE r   c (32) a = kd 2i d = p2! | \FFEKTIWNAQ GLUBINA SKIN-SLOQ. iZ SOOTNOENIJ (31) I (28) WYTEKAET GRANI^NOE USLOWIE DLQ FUNKCII U : @  @ (U ) ; i0 aU =0 = 0
ILI    + (1 ; i0a) U  = 0: (33) 0 @U @ =0

=0

rEENIEM URAWNENIQ (29), IME@]IM OSOBENNOSTX (30), O^EWIDNO, QWLQETSQ FUNKCIQ r  h (1) i 2 U = ;k 2 H3=2 () + CJ3=2 () P1 (cos )


GDE P1 (cos ) | POLINOM lEVANDRA 1-GO PORQDKA, H3(1) =2 | FUNKCIQ hANKELQ 1-GO RODA, J3=2 | FUNKCIQ bESSELQ, P1 (cos ) = cos 
r 2  sin  r 2 1   (1) i H3=2 () =  e i ; 1
J3=2 () =   ; cos  : pOSTOQNNAQ C OPREDELQETSQ IZ GRANI^NOGO USLOWIQ (33):   1 ; 12 ; i + a i1 ; 1 0  : C = ;ei0  cos   01  0 0 i  + 1 ; 2 sin 0 ; ia sin 0 ; cos 0 0 0 0

574

priloveniq k glawe VII

pOLU^ENNOE REENIE MOVNO ISPOLXZOWATX DLQ OPREDELENIQ WELI^INY POTERX W STENKAH. mO]NOSTX, POGLO]AEMAQ W STENKAH, Z !d Q = 16 jH' j2 220 sin  d 0 WY^ISLQETSQ NEPOSREDSTWENNO I RAWNA 4 Q = !k6 d jB ;1iaAj2
GDE  1 sin  cos  0 0 A =  ; cos 0
B =  + 1 ; 2 sin 0 : 0 0 0 eSLI DIPOLX RASPOLOVEN NE W CENTRE SFERY, TO RAS^ET POLEJ SILXNO USLOVNQETSQ, ODNAKO REENIE MOVET BYTX POLU^ENO W WIDE RQDOW.

III. sKIN-\FFEKT

pEREMENNYJ TOK W OTLI^IE OT POSTOQNNOGO NE RASPREDELQETSQ RAWNOMERNO PO SE^ENI@ PROWODNIKA, A IMEET B#OLXU@ PLOTNOSTX U EGO POWERHNOSTI. |TO QWLENIE NAZYWA@T S K I N - \ F F E K T O M (OT ANGL. skin | KOVA)1) . rASSMOTRIM DLQ PROSTOTY BESKONE^NYJ ODNORODNYJ CILINDRI^ESKIJ PROWOD ( = const,  = const), PO KOTOROMU TE^ET PEREMENNYJ TOK. bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO POLNYJ TOK I = I0 ei!t , PROTEKA@]IJ ^EREZ SE^ENIE PROWODA, IZWESTEN. pRENEBREGAQ TOKAMI SME]ENIQ PO SRAWNENI@ S TOKOM PROWODIMOSTI2) I S^ITAQ PROCESS USTANOWIWIMSQ, T. E. ZAWISQ]IM OT WREMENI PO ZAKONU ei!t , POLU^IM POSLE SOKRA]ENIQ NA MNOVITELX ei!t URAWNENIQ mAKSWELLA W WIDE rot H = 4 (1) c E
rot E = ;ikH
div E = 0


(2) (3)

div H = 0
(4) 1) t A M M i. e. oSNOWY TEORII \LEKTRI^ESTWA. m., 1976. 2) oTMETIM, ^TO WNUTRI PROWODNIKOW, W ^ASTNOSTI WNUTRI METALLOW, PLOTNOSTX TOKOW SME]ENIQ NI^TOVNO MALA PO SRAWNENI@ S PLOTNOSTX@ TOKOW PROWODIMOSTI: jSM j = E . w NAEM SLU^AE POSLEDNEE USLOWIE \KWIWALENTNO TREBOWANI@ "! . wWIDU TOGO ^TO DLQ TWERDYH METALLOW PROWODIMOSTX  1017 ABS. ED., TOKAMI SME]ENIQ MOVNO PRENEBRE^X DLQ WSEH ^ASTOT, UPOTREBLQEMYH W TEHNIKE.

III. skin-|ffekt

575

GDE k = !=c. uRAWNENIQ (3) I (4) W DANNOM SLU^AE, O^EWIDNO, SLEDU@T IZ URAWNENIJ (1) I (2). wWEDEM CILINDRI^ESKU@ SISTEMU KOORDINAT (r
z
') TAK, ^TOBY OSX z SOWPADALA S OSX@ PROWODA. tOGDA W SILU OSEWOJ SIMMETRII TOKA WSE WELI^INY MOVNO S^ITATX ZAWISQ]IMI TOLXKO OT PEREMENNOJ r. tAK KAK W NAEM SLU^AE WEKTOR E NAPRAWLEN WDOLX OSI z , TO IZ URAWNENIJ (1) I (2) BUDEM IMETX 1 d (rH ) = 4 E
(10 ) r dr ' c z d E = ikH : (20 ) ' dr z iSKL@^AQ OTS@DA H', NAJDEM   1 d r dEz = i 4k E : (5) z r dr dr c wWEDEM GRANI^NOE USLOWIE NA POWERHNOSTI PROWODA PRI r = R. dLQ \TOGO WOSPOLXZUEMSQ TEM, ^TO NAM IZWESTEN POLNYJ TOK I0 , PROTEKA@]IJ PO CILINDRU. zAPIEM PERWOE URAWNENIE mAKSWELLA (1) W INTEGRALXNOJ FORME: I Hs ds = 4c I0
C

GDE C | KONTUR, OHWATYWA@]IJ PROWOD, Hs | TANGENCIALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ WEKTORA H NA C . eSLI W KA^ESTWE TAKOGO KONTURA WZQTX OKRUVNOSTX r = R, TO POLU^IM

Z2

ILI

0

4 I
H' (R) d' = cR 0

I0 : H' (R) = 2cR

oTS@DA, POLXZUQSX SOOTNOENIEM (20 ), NAHODIM  dEz  = 2ik I : dr r=R cR 0 tAKIM OBRAZOM, MY DOLVNY REITX URAWNENIE bESSELQ  4!   p 2 Ez00 (r) + 1r Ez0 (r) + ;i Ez (r) = 0 2 = c2

(6) (7) (50 )

576

priloveniq k glawe VII

PRI GRANI^NOM USLOWII

ik I Ez0 (R) = 2cR 0

I USLOWII OGRANI^ENNOSTI PRI r = 0 jEz (0)j < 1: oB]EE REENIE URAWNENIQ (50 ) IMEET WID

 p    ;i + BN0 r p;i


AJ0 r

(70 ) (8) (9)

GDE J0 I N0 | FUNKCII bESSELQ 1-GO I 2-GO RODA (SM. dOPOLNENIE II, ^. I), A I B | POSTOQNNYE, PODLEVA]IE OPREDELENI@. fUNKCIQ N0 IMEET LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX PRI r = 0. pO\TOMU W SILU USLOWIQ (8) B = 0 I, SLEDOWATELXNO,

 p  ;i :

Ez (r) = AJ0 r

(10)

kO\FFICIENT A OPREDELIM IZ GRANI^NOGO USLOWIQ (7): p;i kI0 2 ; p &: A= (11) cRJ1 R ;i oTS@DA DLQ PLOTNOSTI TOKA j = Ez POLU^AEM p;i  p  I 0 ; & p J0 r ;i : (12) j (r) = 2RJ1 R ;i w PRAWOJ ^ASTI \TOJ FORMULY STOQT FUNKCII bESSELQ OT KOMPLEKSNOGO ARGUMENTA p x ;i = 1p; i x: 2

oBY^NO POLXZU@TSQ DLQ \TIH FUNKCIJ SLEDU@]IMI OBOZNA^ENIQMI:  p  J0 x ;i = ber0 x + i bei0 x


 p  ;i = ber1 x + i bei1 x:

J1 x

nETRUDNO NAJTI WYRAVENIQ DLQ WE]ESTWENNYH FUNKCIJ ber x I bei x,

III. skin-|ffekt

577

POLXZUQSX RAZLOVENIEM FUNKCIJ bESSELQ W RQD. nAPRIMER,  p   p J0 x ;i = J0 xi i = =1;

 x 4  x 6  x 8 ( ; 1) i ( ; 1) 2 2 2 i + 2 ;::: = + ; (1!)2 (2!)2 (3!)2 (4!)2

 x 2

8  x 4  x 8 9 8  x 2  x 6 9 > > > < 2 = > < 2 = 2 2 = >1 ; (2!)2 + (4!)2 ; : : :> + i > (1!)2 ; (3!)2 + : : :>
:  :  OTKUDA POLU^AEM

 x 4  x 8

2 + 2 ber0 x = 1 ; (2!) 2 (4!)2

 x 2  x 6

2 bei0 x = (1!) 2

2 ; (3!) 2

; :::


+:::

nETRUDNO UBEDITXSQ PODOBNYM VE OBRAZOM, ^TO 8  x 3  x 5  x 7 9 > > = <x 2 1 2 2 p + ; ; + : : : ber1 x = >
> 2 1! 2! 2! 3! 3! 4!

 : 8  x 3  x 5  x 7 9 > > < = 1 x 2 2 2 bei1 x = p >; 2 + 1! 2! + 2! 3! ; 3! 4! ; : : :> : 2:  2

(13) (14)

(15)

(16)

w PRILOVENIQH WSTRE^A@TSQ TAKVE PROIZWODNYE ber00 x
bei00 x
PRI^EM  p  p (17) J1 x ;i = ;i (bei00 x ; i ber00 x): pOLXZUQSX WWEDENNYMI FUNKCIQMI, WYRAVENIE (12) DLQ TOKA MOVNO ZAPISATX W WIDE 0 ber0 r + i bei0 r
j (r) = 2IR bei00 R ; i ber00 R 37 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

priloveniq k glawe VII

578

ILI  0 0 0 (ber0 r bei0 R ; bei0 r ber0 R) + j (r) = 2IR (bei0 R)2 + (ber0 R)2 0

0



0 0 0 R + ber0 r ber0 R) : (18) + i (bei0 r bei (bei00 R)2 + (ber00 R)2 wY^ISLQQ ABSOL@TNU@ WELI^INU \TOGO WYRAVENIQ, POLU^IM s I (ber0 r)2 + (bei0 r)2 : 0 jj (r)j = 2R (ber (19) 0 0 0 R)2 + (bei0 R)2 wELI^INOJ, HARAKTERIZU@]EJ RASPREDELENIE TOKA PO SE^ENI@, QWLQET-

SQ OTNOENIE

jj (r)j jj (R)j =

s

(ber0 r)2 + (bei0 r)2 : (ber0 R)2 + (bei0 R)2

(20)

pROIZWEDEM RAS^ET RASPREDELENIQ TOKA PO SE^ENI@ DLQ DWUH ^ASTOT: !1 = 314 gC (50 PERIODOW W SEKUNDU), !2 = 314  104 gC (5  105 PERIODOW W SEKUNDU). wSE IZLOVENNYE WYE WYKLADKI BYLI PROIZWEDENY W GAUSSOWOJ SIMMETRI^NOJ SISTEME. pO\TOMU2 PRI PEREHODE K SISTEME sgs| SLEDUET U^ESTX, ^TO sgs| = GAUSS =c . wSE OSTALXNYE WELI^INY, WHODQ]IE W FORMULY (12), (18) | (20), W OBEIH SISTEMAH (GAUSSOWOJ I sgs|) SOWPADA@T. pO\TOMU W SISTEME sgs| 2 = 4!: 5 dLQ MEDI  = 57  10 sgs|, PO\TOMU 1 = 0
4444 (DLQ !1 ), 2 = 44
44 (DLQ !2 ). wY^ISLIM OTNOENIE MODULEJ TOKOW (20) DLQ NIZKOJ ^ASTOTY !1 = 314 DLQ DWUH ZNA^ENIJ r: r = 0 I r = 0
5 R. pRI \TOM R POLOVIM RAWNYM EDINICE. iMEQ W WIDU1) , ^TO ber0 0 = 1
bei0 0 = 0
ber0 0
222 = 1 ; 0
000036 + : : : = 0
999964
bei0 0
222 = 0
0123 ; 0
000002 + : : : = 0
012300
ber0 0
444 = 1 ; 0
00061 + : : : = 0
99939
bei0 0
444 = 0
493 ; 0
0003 + : : : = 0
4930
NAJDEM   j (0)  = 0
9994
j (0
5 R)  = 0
9999
j (R )  j (R)  R=1

1)

R=1

sM. TAKVE: q N K E e., | M D E f., l E  f. sPECIALXNYE FUNKCII, FORMULY, GRAFIKI, TABLICY. m., 1977.

IV. rasprostranenie radiowoln nad powerhnostx` 579

T. E. PRI NEBOLXOJ ^ASTOTE TOK RASPREDELQETSQ PO SE^ENI@ PRIBLIZITELXNO RAWNOMERNO (SKIN-\FFEKT OTSUTSTWUET). 4 rASSMOTRIM TEPERX WTOROJ SLU^AJ: !2 = 314  10 . tAK KAK ZNA^ENIE WELIKO, TO DLQ RAS^ETA UDOBNEE ISHODITX NE IZ RAZLOVENIJ FUNKCIJ ber I bei W RQDY, A IZ ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL

 p  ;i = p21 r er=p2;i (r=p2;=8)


J0 r

 p  1 eR=p2;i (R=p2;=8)
;i = p2 R

J0 R

OTKUDA POLU^AEM, ZADAWAQSX ZNA^ENIQMI r = 0
9 R R = 1, r  j (0
9 R)   = 1 e; 4401=p2 0
047:  j (R) R=1 0
9 |TOT REZULXTAT SWIDETELXSTWUET O ^REZWY^AJNO BYSTROM UMENXENII PLOTNOSTI TOKA PO MERE UGLUBLENIQ WNUTRX PROWODNIKA PRI WYSOKIH ^ASTOTAH. oTMETIM W ZAKL@^ENIE, ^TO SKIN-\FFEKTOM IROKO POLXZU@TSQ NA PRAKTIKE DLQ ZAKALKI METALLOW.

IV. rASPROSTRANENIE RADIOWOLN NAD POWERHNOSTX@ ZEMLI pROBLEMY, SWQZANNYE S RASPROSTRANENIEM RADIOWOLN KAK W SWOBODNOM PROSTRANSTWE, TAK I PRI NALI^II POWERHNOSTEJ RAZDELA, IME@T OGROMNOE TEORETI^ESKOE I PRAKTI^ESKOE ZNA^ENIE. |TIM WOPROSAM POSWQ]ENO ^REZWY^AJNO BOLXOE KOLI^ESTWO RABOT SOWETSKIH I INOSTRANNYH AWTOROW. mY RASSMOTRIM ZADA^U O WLIQNII ZEMLI NA RASPROSTRANENIE RADIOWOLN, IZLU^AEMYH WERTIKALXNYM DIPOLEM. pRI \TOM ZEML@ BUDEM S^ITATX PLOSKOJ1). pUSTX NAD POWERHNOSTX@ ZEMLI NA RASSTOQNII h W TO^KE P0 NAHODITSQ DIPOLX, IZrIS. 84 LU^A@]IJ PERIODI^ESKIE KOLEBANIQ ^ASTOTY !. pRIMEM PLOSKOSTX ZEMLI ZA PLOSKOSTX z = 0 I NAPRAWIM OSX z PO OSI DIPOLQ (RIS. 84). pOLOVIM, ^TO W ATMOSFERE (z > 0) "0 = 0 = 1, 0 = 0. pREDPOLOVIM DALEE, ^TO ZEMLQ (z < 0) HARAKTERIZUETSQ DI\LEKTRI^ESKOJ POSTOQNNOJ ", PROWODIMOSTX@ , A MAGNITNAQ PRONICAEMOSTX  MOVET BYTX PRINQTA RAWNOJ EDINICE " I  BUDEM S^ITATX POSTOQNNYMI. 1)

|TA ZADA^A BYLA WPERWYE REENA zOMMERFELXDOM W 1909 G. pERWONA^ALXNOE REENIE SODERVALO OIBKU, KOTORAQ BYLA ISPRAWLENA w. a. fOKOM. 37


580

priloveniq k glawe VII

nAA ZADA^A ZAKL@^AETSQ W OTYSKANII NAPRQVENNOSTI POLQ, SOZDAWAEMOGO DIPOLEM. pROCESS RASPROSTRANENIQ \LEKTROMAGNITNYH WOLN OPISYWAETSQ URAWNENIEM mAKSWELLA. kAK BYLO POKAZANO W pRILOVENII II K GL. V, REENIE URAWNENIJ mAKSWELLA MOVET BYTX SWEDENO K REENI@ WOLNOWOGO URAWNENIQ DLQ POLQRIZACIONNOGO POTENCIALA 1) :  + k2  = 0
(1) GDE 8 !2 > z > 0 >k02 = c2
< k2 = > > :kZ2 = "!2 + 2i4!
z < 0: c

pOTENCIAL  SWQZAN S NAPRQVENNOSTQMI POLQ SOOTNOENIQMI E = k2 + grad div 
9 > = (2) 2  H = ;i kk0 rot : > w NAEM SLU^AE WEKTOR  NAPRAWLEN PARALLELXNO IZLU^A@]EMU DIPOL@:  = (0
0
)z ) )z = )z (r
z): (3) pOLOVIW n2 = " + i 4 !
POLU^IM kZ2 = n2 k02 : sOOTNOENIQ (2) I (3) DA@T @ @ )0
H = ;ik @ )0
E = H = 0 PRI z > 0
(4) Er = @r ' 0 @r ' r @z @ @ )Z
Er = @r @z 1)

2 )Z H' = ; ikk Z @@r
E' = Hr = 0 PRI z < 0: (5) 0

tAK KAK RASSMATRIWAETSQ USTANOWIWIJSQ PROCESS, TO WREMENNOJ MNOVITELX e;i!t MOVNO OPUSTITX.

IV. rasprostranenie radiowoln nad powerhnostx` 581

~TOBY POLU^ITX GRANI^NYE USLOWIQ PRI z = 0, WOSPOLXZUEMSQ USLOWIEM NEPRERYWNOSTI TANGENCIALXNYH SOSTAWLQ@]IH NAPRQVENNOSTEJ POLEJ. |TI USLOWIQ, KAK POKAZYWA@T FORMULY (4) I (5), BUDUT WYPOLNENY, ESLI POLOVITX @ )0 = @ )Z  ) = n2 ) PRI z = 0: (6) 0 Z @z @z bUDEM ISKATX REENIE URAWNENIQ (1) PRI GRANI^NYH USLOWIQH (6) W WIDE SUPERPOZICII ^ASTNYH REENIJ WIDA J0 (r) ez (k2 = 2 ; 2 ): dLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI WMESTO DISKRETNOGO SPEKTRA SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ  POLU^AETSQ NEPRERYWNYJ SPEKTR. pO\TOMU REENIE ) MOVNO ISKATX W WIDE )=

Z1 0

F () J0 (r) ez d

(7)

ZNAK U  DOLVEN BYTX WYBRAN TAKIM OBRAZOM, ^TOBY OBESPE^IWALASX SHODIMOSTX INTEGRALA (7). oSTA@]AQSQ POKA NE OPREDELENNOJ FUNKCIQ F () PREDSTAWLQET SOBOJ AMPLITUDNYJ MNOVITELX OTDELXNYH KOLEBANIJ. wOSPOLXZUEMSQ INTEGRALXNYM PREDSTAWLENIEM POTENCIALA (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 5) eikR = Z J (r) e; jz;hj  d 0 R  1



0

p

p

(8)



 = 2 ; k2
R = r2 + (z ; h)2 :

GDE

rASSMOTRIM DWE RAZLI^NYE OBLASTI. A) w O Z D U H (z > 0). pOLE W \TOJ OBLASTI IMEET WID )0 = )PERW + )WTOR
ikR

)PERW = e R

(9)

| POTENCIAL POLQ PERWI^NOGO WOZBUVDENIQ, SOZDAWAEMOGO SAMIM DIPOLEM, A )WTOR | POTENCIAL POLQ WTORI^NOGO WOZBUVDENIQ, SOZDAWAEMOGO WOZNIKA@]IMI W ZEMLE TOKAMI.

priloveniq k glawe VII

582

iSPOLXZUQ PREDSTAWLENIQ (7), (8) I (9), MY MOVEM ZAPISATX

9 > > > > = 0 > Z1 > ; (z+h) )WTOR = F () J0 (r) e d
> >  Z1

)PERW = J0 (r) e; jz;hj  d


(10)

0

GDE F () | POKA ^TO NE OPREDELENNAQ FUNKCIQ. B) z E M L Q (z < 0). w \TOJ OBLASTI IMEET MESTO TOLXKO WTORI^NOE WOZBUVDENIE, KOTOROE MY MOVEM ZAPISATX W WIDE )Z =

Z1 0

FZ () J0 (r) eZ z;h d


(11)

GDE 2Z = kZ2 ; 2 . tAK KAK z < 0, TO ZNAK POKAZATELQ \KSPONENTY OBESPE^IT SHODIMOSTX INTEGRALA. dLQ OPREDELENIQ FUNKCIJ F () I FZ () WOSPOLXZUEMSQ GRANI^NYMI USLOWIQMI (6), KOTORYE DA@T

9 > J0 (r) e  ; F () ; Z FZ ()] d = 0
> > > = 0 > Z1 > d ;h 2 J0 (r) e  + F () ; n FZ ()]  = 0:> >  Z1

;h

(12)

0

uSLOWIQ (12) BUDUT WYPOLNENY, ESLI MY POLOVIM F () + Z FZ () = 
) F () ; n2 FZ () = ;:

(13)

rEAQ SISTEMU URAWNENIJ (13), NAJDEM F () I FZ () W WIDE  9 2   Z F () =  1 ; n2  + 
> > = Z (14) > 2  >  FZ () = n2  +  : Z

IV. rasprostranenie radiowoln nad powerhnostx` 583

pODSTAWLQQ WYRAVENIQ (14) W FORMULY (10) I (11), POLU^IM SLEDU@]IE WYRAVENIQ DLQ POLQRIZACIONNOGO POTENCIALA POLQ WERTIKALXNOGO DIPOLQ:

Z1

9

Z > ; jz;hj  d ; (z+h)  d > )0 = J0 (r) e + J ( r ) e ; 0   > > 1

> > > > Z1 = ; 2 J0(r) e; (z+h) n2+Z Z d
> (15) > 0 > > > Z1 >  d  z ;h > )Z = 2 J0 (r) e : >  n2  + Z 0 p oBOZNA^AQ ^EREZ R = r2p+ (z ; h)2 RASSTOQNIE OT TO^KI NABL@DENIQ DO DIPOLQ, ^EREZ R0 = r2 + (z + h)2 | RASSTOQNIE OT TO^KI 0

0

Z

NABL@DENIQ DO ZERKALXNOGO OTRAVENIQ DIPOLQ W PLOSKOSTI z = 0 I POLXZUQSX PREDSTAWLENIEM (8), PEREPIEM WYRAVENIE DLQ FUNKCII )0 W WIDE ikR ikR )0 = e R + e R0

0

;2

Z1 0

J0 (r) e; (z+h) n2 +Z   d : Z

(150 )

rASSMOTRIM NEKOTORYE PREDELXNYE SLU^AI. 1. i D E A L X N O P R O W O D Q ] A Q Z E M L Q. w \TOM SLU^AE  ! 1, A SLEDOWATELXNO, jkZ j I jnj ! 1. pRI \TOM FORMULY (15) I (150 ) DA@T ikR ikR )0 = e R + e R0  )Z = 0: |TOT VE REZULXTAT LEGKO POLU^ITX NEPOSREDSTWENNO, REAQ ZADA^U METODOM OTRAVENIJ. 2. d I P O L X W O D N O R O D N O J S R E D E. w \TOM SLU^AE k0 = kZ  n = = 1  = Z . fORMULY (15) I (150) DA@T 0

)0 = ) Z =

Z1 0

ikR

J0 (r) e; jz;hj  d = e R


T. E. IMEET MESTO ODNO PERWI^NOE WOZBUVDENIE, KAK I DOLVNO BYTX. pOLU^ENNYE INTEGRALXNYE WYRAVENIQ (15) QWLQ@TSQ WESXMA SLOVNYMI DLQ ISSLEDOWANIQ I PRAKTI^ESKOGO PRIMENENIQ. pODYNTEGRALXNYE WYRAVENIQ IME@T TO^KI WETWLENIQ I POL@SY. zOMMERFELXDOM BYL PREDLOVEN METOD PRIBLIVENNOGO WY^ISLENIQ \TIH INTEGRALOW PUTEM

priloveniq k glawe VII

584

DEFORMACII KONTURA INTEGRIROWANIQ1). pRI \TOM IM BYLA POLU^ENA SLEDU@]AQ PRIBLIVENNAQ FORMULA DLQ POLQ WBLIZI POWERHNOSTI ZEMLI: )0 = 2

0 1 p  Z B@1 + i p e; ; 2 p e; e2 d CA
r 0

eik0 r

(16)

GDE WELI^INA  | TAK NAZYWAEMOE ^ISLENNOE RASSTOQNIE | SWQZANA S POL@SOM p PODYNTEGRALXNOGO WYRAVENIQ (15) SOOTNOENIEM  = i (k0 ; p) r: fORMULA (16) SOWPADAET S FORMULAMI, POLU^ENNYMI SOWERENNO INYM PUTEM RQDOM DRUGIH AWTOROW (wEJLX, wAN-DER-pOLX, fOK).

1) f R A N K

f., m I Z E S r. dIFFERENCIALXNYE I INTEGRALXNYE URAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m. l., 1937. t. II.

dopolnenie I

metod kone~nyh raznostej1)

x 1. oSNOWNYE PONQTIQ

mY POZNAKOMILISX S ANALITI^ESKIMI METODAMI REENIQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. oDNAKO QWNOE PREDSTAWLENIE REENIQ W WIDE RQDA ILI INTEGRALA NE WSEGDA WOZMOVNO. rASSMOTRIM, NAPRIMER, URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI   @ k(x
t) @u : c(x
t) @u = (1) @t @x @x mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH PRIMENIM TOLXKO W SLU^AE c(x
t) = = c1 (x) c2 (t), k(x
t) = k1 (x) k2 (t). oDNAKO ^ASTO WSTRE^A@TSQ ZADA^I, KOGDA KO\FFICIENTY TEPLOEMKOSTI I TEPLOPROWODNOSTI NEPREDSTAWIMY W TAKOM WIDE ILI DAVE ZAWISQT OT TEMPERATURY (KWAZILINEJNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI). pREDSTAWLENIE REENIJ NELINEJNYH URAWNENIJ W ANALITI^ESKOJ FORME WOZMOVNO W ISKL@^ITELXNYH SLU^AQH. uNIWERSALXNYMI METODAMI PRIBLIVENNOGO REENIQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, PRIMENIMYMI DLQ IROKOGO KLASSA URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, QWLQ@TSQ ^ISLENNYE METODY, SREDI KOTORYH WYDELIM METOD KONE^NYH RAZNOSTEJ (ILI METOD SETOK). mETOD KONE^NYH RAZNOSTEJ SOSTOIT W SLEDU@]EM. oBLASTX NEPRERYWNOGO IZMENENIQ ARGUMENTOW (NAPRIMER, x I t) ZAMENQETSQ KONE^NYM (DISKRETNYM) MNOVESTWOM TO^EK (UZLOW), NAZYWAEMYM SETKOJ WMESTO FUNKCIJ NEPRERYWNOGO ARGUMENTA RASSMATRIWA@TSQ FUNKCII DISKRETNOGO ARGUMENTA, OPREDELENNYE W UZLAH SETKI I NAZYWAEMYE SETO^NYMI FUNKCIQMI. pROIZWODNYE, WHODQ]IE W DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE, ZAMENQ@TSQ (APPROKSIMIRU@TSQ) PRI POMO]I SOOTWETSTWU@]IH RAZNOSTNYH OTNOENIJ DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE PRI \TOM ZAMENQETSQ SISTEMOJ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ (RAZNOSTNYMI URAWNENIQMI). 1)

sM.: s A M A R S K I J a. a. tEORIQ RAZNOSTNYH SHEM. m., 1989. tAM VE DAN SPISOK LITERATURY.

586

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

HA^ALXNYE I KRAEWYE USLOWIQ TOVE ZAMENQ@TSQ RAZNOSTNYMI NA^ALXNYMI I KRAEWYMI USLOWIQMI DLQ SETO^NOJ FUNKCII. eSTESTWENNO TREBOWATX, ^TOBY POLU^ENNAQ TAKIM OBRAZOM RAZNOSTNAQ KRAEWAQ ZADA^A BYLA RAZREIMA I EE REENIE PRI UWELI^ENII ^ISLA N UZLOW SETKI PRIBLIVALOSX (SHODILOSX) K REENI@ ISHODNOJ ZADA^I DLQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ. HIVE PONQTIQ APPROKSIMACII, SHODIMOSTI, TO^NOSTI I USTOJ^IWOSTI ILL@STRIRU@TSQ NA PROSTEJIH PRIMERAH. 1. sETKI I SETO^NYE FUNKCII. rASSMOTRIM PROSTEJIE PRIMERY SETOK. pUSTX OBLASTX IZMENENIQ ARGUMENTA x ESTX OTREZOK 0 6 x 6 l. rAZOBXEM \TOT OTREZOK TO^KAMI xi = ih (i = 0
1
2
: : :
N  h > 0) NA N RAWNYH ^ASTEJ DLINY h = l=N KAVDAQ. mNOVESTWO TO^EK xi = ih, i = = 0
1
2
: : :
N , NAZYWAETSQ RAZNOSTNOJ SETKOJ NA OTREZKE 0 6 x 6 l I OBOZNA^AETSQ !h = fxi = ih, i = 0
1
: : :
N g, A ^ISLO h | RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI (UZLAMI) SETKI ! h | NAZYWAETSQ AGOM SETKI. oTREZOK 0
l] MOVNO RAZBITX NA N ^ASTEJ, WWEDQ PROIZWOLXNYE TO^KI 0 < x1 < x2 < : : : < xN ;1 < l. tOGDA POLU^IM SETKU !h = fxi , i = = 0
1
: : :
N , x0 = 0, xN = lg S AGOM hi = xi ; xi;1 , KOTORYJ ZAWISIT OT NOMERA i UZLA xi . eSLI hi 6= hi+1 HOTQ BY DLQ ODNOGO NOMERA i, TO SETKA !h = ! h
NAZYWAETSQ NERAWNOMERNOJ. eSLI hi = const = h = l=N DLQ WSEH i = 1
2
: : :
N , TO MY POLU^AEM POSTROENNU@ WYE RAWNOMERNU@ SETKU. fUNKCI@ yi = y(xi ) DISKRETNOGO ARGUMENTA xi , i = 0
1
: : :
N , NAZYWA@T SETO^NOJ FUNKCIEJ, OPREDELENNOJ NA SETKE !h . wSQKOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f (x) MOVNO POSTAWITX W SOOTWETSTWIE SETO^NU@ FUNKCI@ fih , POLAGAQ, NAPRIMER, fih = f (xi ). wPRO^EM, W NEKOTORYH SLU^AQH UDOBNEE USTANAWLIWATX \TO SOOTWETSTWIE DRUGIMI SPOSOBAMI. pUSTX OBLASTX IZMENENIQ ARGUMENTOW (x
t) ESTX PRQMOUGOLXNIK d = (0 6 x 6 1, 0 6 t 6 T ). pOSTROIM NA OTREZKE 0 6 x 6 1 SETKU ! h = = fxi = ih, i = 0
1
: : :
N g S AGOM h = 1=N I NA OTREZKE 0 6 t 6 T SETKU ! = ftj = j , j = 0
1
: : :
N0 g S AGOM  = T=N0. mNOVESTWO UZLOW (xi
tj ) S KOORDINATAMI xi = ih I tj = j NAZOWEM SETKOJ W PRQMOUGOLXNIKE d I OBOZNA^IM !h = f(xi = ih, tj = j ), i = 0
1
: : :
N , j = 0
1
: : :
N0 g. |TA SETKA RAWNOMERNA PO KAVDOMU IZ PEREMENNYH x I t. eSLI HOTQ BY ODNA IZ SETOK !h ILI !  NERAWNOMERNA, TO SETKA !h NAZYWAETSQ NERAWNOMERNOJ. sETKA ! h , O^EWIDNO, SOSTOIT IZ TO^EK PERESE^ENIQ PRQMYH x = xi , i = 0
1
: : :
N , I PRQMYH t = tj , j = 0
1
: : :
N0 . pUSTX y | SETO^NAQ FUNKCIQ, ZADANNAQ NA ! h . bUDEM OBOZNA^ATX j yi = y(xi
tj ) ZNA^ENIE SETO^NOJ FUNKCII y W UZLE (xi
tj ) SETKI ! h . HEPRERYWNOJ FUNKCII u(x
t), GDE (x
t) | TO^KA IZ d , BUDEM STAWITX W SOOTWETSTWIE SETO^NU@ FUNKCI@ uji = ujih = u(xi
tj ). wOZMOVNY I DRUGIE SPOSOBY TAKOGO SOOTWETSTWIQ, NA KOTORYH MY ZDESX NE OSTANAWLIWAEMSQ.

x 1]

osnownye ponqtiq

587

2. aPPROKSIMACIQ PROSTEJIH DIFFERENCIALXNYH OPERATOROW. oPERATOR Lh, PREOBRAZU@]IJ SETO^NU@ FUNKCI@ y W SETO^NU@

FUNKCI@ Y = Lh y, NAZYWA@T SETO^NYM ILI RAZNOSTNYM OPERATOROM. dIFFERENCIALXNYJ OPERATOR L, ZADANNYJ W KLASSE FUNKCIJ NEPRERYWNOGO ARGUMENTA, MOVET BYTX PRIBLIVENNO ZAMENEN (APPROKSIMIROWAN) RAZNOSTNYM OPERATOROM Lh, ZADANNYM NA SETO^NYH FUNKCIQH. dLQ \TOGO KAVDAQ IZ PROIZWODNYH ZAMENQETSQ RAZNOSTNYM OTNOENIEM (OTS@DA I NAZWANIE RAZNOSTNYJ OPERATOR), SODERVA]IM ZNA^ENIQ SETO^NOJ FUNKCII W NESKOLXKIH UZLAH SETKI. pOSMOTRIM, KAK \TO DELAETSQ DLQ PERWYH I WTORYH PROIZWODNYH FUNKCII ODNOGO PEREMENNOGO. pUSTX ! h = fxi = ihg | SETKA S AGOM h NA OTREZKE 0 6 x 6 1. rASSMOTRIM PERWU@ PROIZWODNU@ Lv = v0 FUNKCII v(x). zAMENITX EE RAZNOSTNYM WYRAVENIEM MOVNO BES^ISLENNYM MNOVESTWOM SPOSOBOW. pROSTEJIMI QWLQ@TSQ ZAMENY Lv  vi ;hvi;1 = L;h vi | LEWAQ RAZNOSTNAQ PROIZWODNAQ, ILI LEWOE RAZNOSTNOE OTNOENIE, Lv  vi+1h; vi = L+h vi | PRAWAQ RAZNOSTNAQ PROIZWODNAQ, L0h vi = vi+1 2;h vi;1 | CENTRALXNAQ RAZNOSTNAQ PROIZWODNAQ. zDESX vi = v(xi ), ZNAK  OZNA^AET SOOTWETSTWIE ILI APPROKSIMACI@. pRI ZAMENE Lv = v0 RAZNOSTNYM WYRAVENIEM Lh vi DOPUSKAETSQ POGRENOSTX Lh vi ; (Lv)i = ih , NAZYWAEMAQ POGRENOSTX@ APPROKSIMACII OPERATORA L RAZNOSTNYM OPERATOROM Lh. eSTESTWENNO TREBOWATX, ^TOBY PRI STREMLENII hK NUL@ \TA POGRENOSTX STREMILASX K NUL@. dLQ OCENKI ih NADO PREDPOLOVITX, ^TO v(x) | GLADKAQ FUNKCIQ. bUDEM GOWORITX, ^TO v(x) PRINADLEVIT KLASSU (PROSTRANSTWU) C (m) 0
1] (v(x) 2 C (m) 0
1]) FUNKCIJ, ZADANNYH NA OTREZKE 0 6 x 6 1, ESLI v(x) IMEET m NEPRERYWNYH NA OTREZKE 0 6 x 6 1 PROIZWODNYH. pRI m = 0 POLU^AEM KLASS C (0) 0
1] NEPRERYWNYH PRI 0 6 x 6 1 FUNKCIJ. pUSTX v(x) 2 C (m) 0
1], GDE m > 2. rAZLOVIM v(x) W RQD tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^KI x = xi : vi1 = vi  hvi0 + O(h2 ) I WY^ISLIM ih = L;h vi ; vi0 = O(h), ih = L+h vi ; vi0 = O(h). bUDEM GOWORITX, ^TO RAZNOSTNYJ OPERATOR Lh : 1) APPROKSIMIRUET DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR L NA SETKE !h , ESLI WYRAVENIE h j = max jLh vi ; (Lv )i j (GDE v (x) | DOSTATO^NO max j  GLADKAQ FUNK! h i ! h CIQ) STREMITSQ K NUL@ PRI h ! 0 2) APPROKSIMIRUET L S PORQDKOM

588

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

n > 0, ESLI max jh j = O(hn ) (ILI max jhj 6 Mhn, GDE M | POLOVI! h i ! h i TELXNAQ POSTOQNNAQ, NE ZAWISQ]AQ OT h). oBRA]AQSX K FORMULAM DLQ Lh , WIDIM, ^TO L;h vi I L+h vi APPROKSIMIRU@T Lv = v0 S 1-M PORQDKOM PRI v 2 C (m) , GDE m > 2. uWELI^ENIE m NE MENQET PORQDKA APPROKSIMACII . wYRAVENIE DLQ L;h vi SODERVIT ZNA^ENIQ v W DWUH UZLAH x = xi I x = xi;1 SETKI. gOWORQT, ^TO OPERATOR L;h QWLQETSQ DWUHTO^E^NYM, ILI OPERATOROM 1-GO PORQDKA. mNOVESTWO UZLOW, ZNA^ENIQ SETO^NOJ FUNKCII W KOTORYH WHODQT W WYRAVENIE Lh vi , NAZYWA@T ABLONOM OPERATORA Lh W TO^KE xi . o^EWIDNO, ^TO ABLON OPERATORA L;h SOSTOIT IZ DWUH UZLOW | xi I xi;1 , A ABLON L+h | IZ UZLOW xi I xi+1 . wOZXMEM, NAPRIMER, TREHTO^E^NYJ OPERATOR, OPREDELENNYJ NA ABLONE xi;1 , xi , xi+1 : L(h) vi = L+h vi + (1 ; ) L;h vi = vi+1 + (1 ; 2)hvi ; (1 ; ) vi;1
(2) GDE  | PROIZWOLXNOE ^ISLO. w ^ASTNOSTI, PRI  = 1=2 POLU^AEM CENTRALXNU@ RAZNOSTNU@ PROIZWODNU@ L0hvi = vi+1 2;h vi;1 , KOTORAQ, KAK NETRUDNO POKAZATX, PRI v(x) 2 C (3) 0
1] APPROKSIMIRUET v0 (x) SO 2-M PORQDKOM. w DALXNEJEM BUDEM POLXZOWATXSQ OBOZNA^ENIQMI vxi = vi ;hvi;1
vxi = vi+1h; vi
(3)

vxi = vi+1 2;h vi;1 = 12 (vxi + vxi ): w TEH SLU^AQH, KOGDA NOMER i UZLA NE IMEET ZNA^ENIQ, BUDEM EGO OPUSKATX I PISATX vx , vx , vx . rASSMOTRIM TEPERX WTORU@ PROIZWODNU@ Lv = v00 . HA DWUHTO^E^NOM ABLONE, O^EWIDNO, EE APPROKSIMIROWATX NELXZQ. wYBEREM TREHTO^E^NYJ ABLON, SOSTOQ]IJ IZ UZLOW xi;1 , xi , xi+1 , I RASSMOTRIM RAZNOSTNYJ OPERATOR Lh vi = vxxi = h1 (vxi ; vxi ) = vi+1 ; 2hv2i + vi;1 : (4) eSLI v 2 C (m) 0
1], m > 4, TO MOVNO NAPISATX 3 4 2 (5) v = v  hv0 + h v00  h v000 + h v(IV) + o(h4 ): 



i1

i

6 i 24 i oTS@DA SLEDUET (INDEKS i OPUSKAEM), ^TO i

2 i

2 vxx ; v00 = h12 v(IV) + o(h2 )


(6)

x 1]

osnownye ponqtiq

589

T. E. vxx APPROKSIMIRUET v00 SO 2-M PORQDKOM. dLQ APPROKSIMACII ^ETWERTOJ PROIZWODNOJ Lv = v(IV) WYBEREM PQTITO^E^NYJ ABLON, SOSTOQ]IJ IZ UZLOW xi + kh (k = 0
1
2), I POLOVIM Lh vi = vxxxxi = vi;2 ; 4vi;1 + 6hv4i ; 4vi+1 + vi+2 : (7)

w \TOM SLU^AE vxxxx ; v(IV) = O(h2 ) DLQ v(x) 2 C (6) . HA PQTITO^E^NOM ABLONE (xi + kh), k = 0
1
2, MOVNO DOBITXSQ APPROKSIMACII O(h4 ) DLQ v00 , ESLI v 2 C (6) . w SAMOM DELE, IZ (6) I (7) SLEDUET, ^TO OPERATOR 2 L v = v ; h v = v00 + O(h4 ) (8) h

xx

12 xxxx IMEET 4-J PORQDOK APPROKSIMACII. HA PRAKTIKE APPROKSIMACIQ PROIZWODNYH NA MNOGOTO^E^NYH ABLONAH ISPOLXZUETSQ REDKO, TAK KAK PRI UWELI^ENII ABLONA OBY^NO

UWELI^IWAETSQ OB_EM WY^ISLITELXNOJ RABOTY I UHUDA@TSQ KA^ESTWA POLU^A@]IHSQ RAZNOSTNYH OPERATOROW (W SMYSLE USTOJ^IWOSTI). e]E RAZ OTMETIM, ^TO PORQDOK APPROKSIMACII RAZNOSTNOGO OPERATORA Lh ZAWISIT OT PORQDKA m DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII v(x). mY WEZDE FAKTI^ESKI GOWORILI O MAKSIMALXNOM PORQDKE APPROKSIMACII, KOTORYJ NE MENQETSQ PRI UWELI^ENII NOMERA m KLASSA C (m) , S^ITAQ, ^TO v(x) | L@BAQ FUNKCIQ IZ C (m) . o^EWIDNO, ^TO PRI SPECIALXNOM WYBORE v(x) PORQDOK APPROKSIMACII MOVET POWYSITXSQ. eSLI, NAPRIMER, v(x) = u(x) ESTX REENIE URAWNENIQ u00 = x, TO u(IV) = 0 I uxx = u00 , 00 T. E. vxx APPROKSIMIRUET v TO^NO PRI v = u. rASSMOTRIM BOLEE SLOVNYJ OPERATOR @2u
Lu = @u ; (9) @t @x2 GDE u = u(x
t) | FUNKCIQ DWUH ARGUMENTOW x I t, MENQ@]IHSQ W OBLASTI d = (0 6 x 6 1
0 6 t 6 T ). wWEDEM SETKU ! h = f(xi = ih
tj = j )
i = 0
1
: : :
N
j = 0
1
: : :
N0 g S AGAMI h = 1=N I  = T=N0 . pROIZWEDEM ZAMENU  @u j+1 uj+1 ; uj  @ 2u j uj ; 2uj + uj j +1 i;1 i i+1 = uj : i i = uti
xxi @t i   @x2 i  h2 w REZULXTATE POLU^IM RAZNOSTNYJ OPERATOR j +1 j uj ; 2uj + uj Lh uji +1 = ui ; ui ; i;1 h2i i+1
(10)

590

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

KOTORYJ MOVNO ZAPISATX W WIDE Lh u = ut ; u+xx , GDE u+ = uji , u = uji +1 . |TOT OPERATOR OPREDELEN NA ABLONE, SOSTOQ]EM IZ ^ETYREH TO^EK: (xi
tj+1 ), (xi
tj ), (xi;1
tj ), (xi+1
tj ) (RIS. 85, W). oPERATOR Lh OPREDELEN NE WO WSEH UZLAH !h , A TOLXKO PRI 0 < i < N I j > 0, T. E. W TEH UZLAH, W KOTORYH ABLON SOSTOIT TOLXKO IZ UZLOW SETKI !h . uZLY (xi
tj ), 0 < i < N
j > 0, NAZOWEM WNUTRENNIMI I OBOZNA^IM !h = = f(xi
tj ), 0 < i < N , 0 < j 6 N0 g MNOVESTWO WSEH WNUTRENNIH UZLOW. tAKIM OBRAZOM, OPERATOR Lh OPREDELEN NA !h , T. E. WO WNUTRENNIH UZLAH. w OSTALXNYH UZLAH, NAZYWAEMYH GRANI^NYMI, DOLVNY BYTX ZA-

rIS. 85 DANY KRAEWYE I NA^ALXNYE USLOWIQ. oPERATOR Lh IMEET 1-J PORQDOK APPROKSIMACII PO  I 2-J PO h: max jLh uji ; (Lu)ji j = O(h2 +  )
(11) ! h

TAK KAK uxx = u + O(h2 ), ut = u+_ + O( ) (u+_ = (@u=@t)j ). zDESX TRIHI OZNA^A@T DIFFERENCIROWANIE PO x, TO^KA | DIFFERENCIROWANIE PO t. rASSMOTRIM OPERATOR j +1 j uj +1 ; 2uj +1 + uj +1 i+1
ILI L u = u ; u
Lh uji +1 = ui ; ui ; i;1 hi2 h xx t (12) OPREDELENNYJ NA ^ETYREHTO^E^NOM ABLONE (xi;1
tj+1 ), (xi
tj+1 ), (xi+1
tj+1 ), (xi
tj ) (RIS. 85, B ). oN APPROKSIMIRUET Lu S TEM VE PORQDKOM, ^TO I OPERATOR (10). w x 2 BUDET RASSMOTRENO ODNOPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO RAZNOSTNYH OPERATOROW, APPROKSIMIRU@]IH OPERATOR (9). |TO SEMEJSTWO SODERVIT OPERATORY (10) I (12). dO SIH POR MY OCENIWALI WELI^INU POGRENOSTI APPROKSIMACII  = Lhv ; Lv DLQ OPERATORA Lh (ILI Lh ) KAK max jj, T. E. PO NORME1) ! 00

h

1)

kAVDOJ SETO^NOJ FUNKCII y STAWITSQ W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE NEOTRICATELXNOE ^ISLO kyk, NAZYWAEMOE NORMOJ I PREDSTAWLQ@]EE SOBOJ ANALOG RASSTOQNIQ OT NA^ALA KOORDINAT W OBY^NOJ GEOMETRII. nORMA UDOWLETWORQET TREBOWANIQM: 1) kyk = 0 TOLXKO PRI y(x)  0 2) kcyk = jcj  kyk, c = const 3) ky + zk 6 kyk + kzk (NERAWENSTWO TREUGOLXNIKA) (SM.: k A N T O R O W I ^ l. w., a K I L O W g. p. fUNKCIONALXNYJ ANALIZ W NORMIROWANNYH PROSTRANSTWAH. m., 1984).

x 1] (W NORME)

osnownye ponqtiq

591

kk0 = xmax j(x)j: 2!h

(13)

dLQ OCENKI WELI^INY SETO^NOJ FUNKCII  MOVNO ISPOLXZOWATX I DRUGIE NORMY, NAPRIMER

NX;1

!1=2

kk2 = hi2
kk1 = X h ji j I T. D. (14) i=1 i=1 pUSTX kk | NEKOTORAQ NORMA DLQ FUNKCIJ , ZADANNYH NA SETKE !h. w DALXNEJEM BUDEM GOWORITX, ^TO RAZNOSTNYJ OPERATOR Lh: 1) APPROKSIMIRUET DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR L PO NORME k  k, ESLI kk = kLhv ; Lvk ! 0 PRI h ! 0 2) APPROKSIMIRUET L S PORQDKOM n > 0 (Lh nIMEET n-J PORQDOK APPROKSIMACII), ESLI kk = O(hn ), ILI kk 6 Mh , GDE M = const > 0 NE ZAWISIT OT h. N ;1

eSLI v | DOSTATO^NO GLADKAQ FUNKCIQ, A !h | RAWNOMERNAQ SETKA, TO WSE RASSMOTRENNYE WYE RAZNOSTNYE OPERATORY IME@T ODIN I TOT VE PORQDOK APPROKSIMACII W L@BOJ IZ NORM (13), (14). iNA^E OBSTOIT DELO W SLU^AE NERAWNOMERNOJ SETKI. pUSTX ! h = fxi , i = 0
1
: : :
N , x0 = 0
xN = 1g | NERAWNOMERNAQ SETKA S AGAMI hi = xi ; xi;001 , i = 1
2
: : :
N , NA OTREZKE 0 6 x 6 1. rASSMOTRIM OPERATOR Lv = v . eMU POSTAWIM W SOOTWETSTWIE RAZNOSTNYJ OPERATOR  ; vi vi ; vi;1  Lh vi = h1 vi+1
(15) hi+1 ; hi i GDE hi = (hi + hi+1 )=2, OPREDELENNYJ NA TREHTO^E^NOM ABLONE (xi;1
xi
xi+1 ). wY^ISLIM POGRENOSTX APPROKSIMACII i = Lh vi ; Lvi . pREDPOLAGAQ, ^TO v(x) 2 C (4) 0
1] I POLXZUQSX RAZLOVENIQMI h2 v = v + h v0 + i+1 v00 + 1 h3 v000 + O(h4 )
i+1

NAHODIM

i

i+1 i

2

i

6 i+1 i

i+1

vi;1 = vi ; hi vi0 + 12 h2i vi00 ; 61 h3i vi000 + O(h4i )
i = hi+13; hi vi000 + O(h2i + h2i+1 ):

oTS@DA WIDNO, ^TO kks = O(h0 ), h0 = max hi , GDE k  ks PRI s = = 0
1
2 | L@BAQ IZ NORM (13), (14). oTS@DA SLEDUET, ^TO Lh IMEET 1-J PORQDOK APPROKSIMACII W NORMAH k  k0, k  k1, k  k2.

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

592

pOKAVEM, ^TO PRI NADLEVA]EM WYBORE NORMY, A IMENNO

2 N ;1 i !2 31=2 X X kk3 = 4 hi hk k 5
i=1

k=1

OPERATOR (15) IMEET W \TOJ NORME 2-J PORQDOK APPROKSIMACII: kk3 = kLhv ; Lvk3 = O(h20 ): 2 2 tAK KAK vi000 = vi000+1 + O(hi+1 ), TO (hi+1 ; hi ) vi000 = hhi+1+ ;h hi vi000 = i i+1 1 2 000 2 000 2 = 2h (hi+1 vi+1 ; hi vi ) + O(hi+1 ) I PO\TOMU i PREDSTAWITSQ W WIDE i



i = i + i



i
= O(h2i + h2i+1 )


i = h1 (i+1 ; i )


i = 16 h2i vi000 = O(h2i ):



i

 wY^ISLQQ Pik=1 hk k = Pik=1 (k+1 ; k ) = i+1 ; 1 I U^ITYWAQ,

^TO jj = O(h20 ), POLU^AEM kk3 = O(h20 ) I, SLEDOWATELXNO, kk3 6 k k3 + k
k3 6 Mh20
GDE M = const > 0 NE ZAWISIT OT SETKI, T. E. (15) IMEET 2-J PORQDOK APPROKSIMACII W NORME k  k3 NA L@BOJ NERAWNOMERNOJ SETKE ! h. |TOT REZULXTAT SOHRANQET SILU I DLQ NORM 

2N ;1 N ;1 !2 31=2 kk3 = 4 X hi X hk k 5


i=1

k =i

Xi   kk3 = hi  hk k  : i=1 k=1 NX ;1



oTMETIM, ^TO kk3 6 kks , s = 0
1
2. w DALXNEJEM BUDEM POLXZOWATXSQ OBOZNA^ENIQMI ; vi
vx^i = vi+1 ; vi
vxi = vi ;hvi;1
vxi = vi+1 h h i

i+1

i

 vi+1 ; vi vi ; vi;1  ; :

(16) 1 1 vxx^i = h (vxi ; vxi ) = h hi+1 hi i i eSLI SETKA !h NERAWNOMERNA, TO PRI APPROKSIMACII OPERATORA (9) ISPOLXZUETSQ OPERATOR (15), TAK ^TO WMESTO (10) I (12) BUDEM IMETX RAZNOSTNYE OPERATORY Lh u = ut ; u+xx^ , Lh u = ut ; uxx^ . w \TOM SLU^AE WMESTO (11) POLU^IM OCENKU max kLh u ; Luk3 = O(h20 +  )
(17) ! GDE MAKSIMUM BERETSQ PO j = 1
2
: : :
N0 .

x 1]

osnownye ponqtiq

593

sETKA ! TAKVE MOVET BYTXNERAWNOMERNOJ S AGOM j = tj ;  j +1 j +1 u ; uj = @u j+1 + ; tj;1 , j = 1
2
: : :
N0. pRI \TOM @u  @t j+1 @t + O(j+1 ) TOGDA W (17)  = max j . 16j 6N0 3. rAZNOSTNAQ ZADA^A. dO SIH POR MY ZANIMALISX APPROKSIMACIEJ PROSTEJIH DIFFERENCIALXNYH OPERATOROW RAZNOSTNYMI OPERATORAMI. oBY^NO TREBUETSQ REITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE Lu = ;f S NEKOTORYMI DOPOLNITELXNYMI (NA^ALXNYMI, KRAEWYMI) USLOWIQMI. pO\TOMU KROME POSTROENIQ RAZNOSTNOGO OPERATORA NUVNO APPROKSIMIROWATX NA SETKE PRAWU@ ^ASTX I DOPOLNITELXNYE USLOWIQ, POSLE ^EGO MOVNO POSTAWITX RAZNOSTNU@ ZADA^U, T. E. NAPISATX RAZNOSTNYE (ALGEBRAI^ESKIE) URAWNENIQ I DOPOLNITELXNYE USLOWIQ NA SETKE. pOLU^A@]U@SQ TAKIM OBRAZOM SISTEMU RAZNOSTNYH URAWNENIJ I DOPOLNITELXNYH USLOWIJ NAZYWA@T R A Z N O S T N O J S H E M O J. rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW POSTANOWKI RAZNOSTNOJ ZADA^I. p R I M E R 1. zADA^E kOI DLQ URAWNENIQ 1-GO PORQDKA u0 (x) = f (x)
x > 0
u(0) = u0
(18) NA RAWNOMERNOJ SETKE SOOTWETSTWUET RAZNOSTNAQ KRAEWAQ ZADA^A yi+1 ; yi = h'i
y0 = u0 ('i = fi(h) = f (xi ))
POLU^AEMAQ PRI ZAMENE OPERATORA u0 RAZNOSTNYM OPERATOROM Lh u = ux : p R I M E R 2. kRAEWOJ ZADA^E DLQ URAWNENIQ 2-GO PORQDKA u00 = ;f (x)
0 < x < 1
u(0) = 1
u(1) = 2
(19) NA RAWNOMERNOJ SETKE SOOTWETSTWUET KRAEWAQ ZADA^A yi+1 ; 2yi + yi;1 = ;h2'i
y0 = 1
yN = 2 ('i = f (xi ))
POLU^AEMAQ PRI ZAMENE OPERATORA u00 RAZNOSTNYM OPERATOROM uxx . p R I M E R 3. kRAEWOJ ZADA^E DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI @u = @ 2 u + f (x
t)
0 < x < 1
0 < t < T
(20) @t @x2 u(x
0) = u0 (x)
0 6 x 6 1
(21) u(0
t) = 1 (t)
u(1
t) = 2 (t)
0 6 t 6 T
(22) NA RAWNOMERNOJ SETKE !h = fxi = ih, tj = j (i = 0
1
: : :
N , j = = 0
1
: : :
N0 )g SOOTWETSTWUET RAZNOSTNAQ KRAEWAQ ZADA^A yij+1 ; yij =  (yij;1 ; 2yij + yij+1 ) + 'ji +1
0 < i < N
j > 0 (23)     = h2
'ji +1 = f (xi
tj )
yi0 = u0(xi ) y0j = 1 (tj )
yNj = 2 (tj )
(24) 38 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

594

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

POLU^AEMAQ PRI ZAMENE OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI RAZNOSTNYM OPERATOROM (10). oPREDELIM yij+1 : yij+1 = (1 ; 2 ) yij +  (yij;1 + yij+1 ) + 'ji +1 : (25) eSLI yij IZWESTNO, TO PO \TOJ FORMULE MOVNO OPREDELITX yij+1 WO WSEH UZLAH i = 1
2
: : :
N ; 1 (NA SLOE j + 1). tAK KAK PRI j = 0 ZADANO NA^ALXNOE USLOWIE yi0 = u(xi ), TO FORMULA (25) POZWOLQET OPREDELITX OT SLOQ K SLO@ ZNA^ENIQ yij+1 WO WSEH UZLAH SETKI !h , ISPOLXZUQ PRI \TOM KRAEWYE USLOWIQ (24). sHEMA (23) NAZYWAETSQ QWNOJ. pUSTX Lh OPREDELQETSQ FORMULOJ (12). tOGDA URAWNENIE PRINIMAET WID j +1 j y j +1 ; 2y j +1 + y j +1 i+1 + 'j +1 : (26) yt = yxx + ' ILI yi ; yi = i;1 hi2 i dLQ OPREDELENIQ yij+1 NA NOWOM SLOE j + 1 POLU^AEM SISTEMU ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ +1 = ;y j ; 'j +1
yij;+11 ; (1 + 2 ) yij+1 + yij+1 0 < i < N: (27) i i tAKAQ SHEMA NAZYWAETSQ NEQWNOJ ILI SHEMOJ S OPEREVENIEM. 4. uSTOJ^IWOSTX. pOSLE TOGO KAK RAZNOSTNAQ SHEMA NAPISANA, T. E. SFORMULIROWANY RAZNOSTNOE URAWNENIE I WSE DOPOLNITELXNYE USLOWIQ, WOZNIKAET PREVDE WSEGO WOPROS O RAZREIMOSTI POLU^ENNOJ ALGEBRAI^ESKOJ SISTEMY URAWNENIJ. eSLI \TA SISTEMA NERAZREIMA, TO TAKU@ SHEMU SLEDUET PRIZNATX NEPRIGODNOJ. pUSTX RAZNOSTNAQ ZADA^A RAZREIMA. tOGDA ESTESTWENNO TREBOWATX, ^TOBY PRI NEOGRANI^ENNOM SGU]ENII SETKI REENIE RAZNOSTNOJ ZADA^I STREMILOSX K REENI@ ISHODNOJ ZADA^I DLQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ (SHEMA SHODILASX). w \TIH RASSUVDENIQH MY PREDPOLAGAEM, ^TO RAZNOSTNAQ ZADA^A REAETSQ TO^NO I REENIE MOVET BYTX NAJDENO S L@BYM ^ISLOM ZNAKOW. pRAKTI^ESKI VE WSE WY^ISLENIQ WEDUTSQ S KONE^NYM ^ISLOM ZNAKOW I NA KAVDOM \TAPE WY^ISLENIJ DOPUSKA@TSQ OIBKI OKRUGLENIQ. eSLI MALYE OIBKI OKRUGLENIQ, DOPUSKAEMYE NA PROMEVUTO^NYH \TAPAH WY^ISLITELXNOGO PROCESSA, PRI SGU]ENII SETKI PRIWODQT K BOLXIM ISKAVENIQM REENIQ, TO TAKU@ SHEMU NAZYWA@T NEUSTOJ^IWOJ. oNA NEPRIGODNA DLQ PRAKTIKI. oIBKI WY^ISLENIJ MOVNO RASSMATRIWATX KAK WOZMU]ENIE NA^ALXNYH DANNYH ILI PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ. oTS@DA SLEDUET, ^TO OT SHEMY NADO TREBOWATX, ^TOBY REENIE RAZNOSTNOJ ZADA^I MALO MENQLOSX PRI MALOM IZMENENII WHODNYH DANNYH ZADA^I (PRAWOJ ^ASTI, KRAEWYH I NA^ALXNYH USLOWIJ), ILI, INYMI SLOWAMI, ^TOBY REENIE NEPRERYWNO ZAWISELO OT WHODNYH DANNYH PRI SGU]ENII SETKI. eSLI \TO TREBOWANIE WYPOLNQETSQ, TO SHEMA NAZYWAETSQ USTOJ^IWOJ, W PROTIWNOM SLU^AE SHEMA NEUSTOJ^IWA. HIVE PRIWODQTSQ PRIMERY NEUSTOJ^IWYH I USTOJ^IWYH SHEM.

x 1]

osnownye ponqtiq

595

p R I M E R 4. uSTOJ^IWAQ SHEMA. rASSMOTRIM ZADA^U kOI DLQ URAWNENIQ u0 = ; u
x > 0
u(0) = u0
> 0
(28) ; x IME@]U@ REENIEM u(x) = u0 e , I ZAMENIM EE RAZNOSTNOJ SHEMOJ yi ; yi;1 = ; y
i = 1
2
: : :
y = u : i 0 0 h iZ RAZNOSTNYH URAWNENIJ POLU^AEM yi (1 + h) = yi;1 ILI yi = syi;1 = = si y0 , GDE s = 1 +1 h < 1. pREOBRAZUEM WYRAVENIE DLQ s: ln s = ; ln(1 + h) = ; h + O(h2 ) = ;h ( + O(h))


s = e;h (+O(h)) : rASSMOTRIM KAKU@-LIBO TO^KU x. dLQ PROSTOTY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO \TA TO^KA QWLQETSQ UZLOM POSLEDOWATELXNOSTI SETOK ! h PRI h ! 0. nOMERA i, SOOTWETSTWU@]IE \TOJ TO^KE DLQ SETKI ! h, RAWNY i = x=h. o^EWIDNO, ^TO yi = si y0 = y0 e;h (+O(h)) x=h = y0 e;x+O(h) = y0 e;x + O(h)]
OTKUDA I SLEDUET SHODIMOSTX RAZNOSTNOJ SHEMY. oTS@DA WIDNO, ^TO PRI MALOM IZMENENII NA^ALXNOGO ZNA^ENIQ y0 REENIE yi RAZNOSTNOJ ZADA^I TAKVE MENQETSQ MALO (NEPRERYWNO ZAWISIT OT y0 ). p R I M E R 5. nEUSTOJ^IWAQ SHEMA. rASSMOTRIM TU VE ZADA^U (28), ^TO I W PRIMERE 4. aPPROKSIMIRUEM URAWNENIE u0 = ; u RAZNOSTNOJ SHEMOJ  yi ;hyi;1 + (1 ; ) yi+1h; yi + yi = 0
i = 1
2
: : :
(29) GDE  | PROIZWOLXNYJ PARAMETR, NE RAWNYJ EDINICE. tAK KAK SHEMA TREHTO^E^NAQ, TO NA^ALXNYE ZNA^ENIQ NADO ZADAWATX NE TOLXKO W TO^KE x = 0, NO I W TO^KE x1 = h: y0 = u0 , y1 = u0. iZ (29) SLEDUET ( ; 1) yi+1 ; (2 ; 1) + h] yi + yi;1 = 0: (30) bUDEM ISKATX ^ASTNYE REENIQ \TOGO URAWNENIQ W WIDE yi = si . dLQ s IZ (30) POLU^IM KWADRATNOE URAWNENIE ( ; 1) s2 ; (2 ; 1 + h) s +  = 0
(31) DISKRIMINANT KOTOROGO RAWEN  = (2 ; 1 + h)2 ; 4 ( ; 1) = 1 + 2 (2 ; 1) h + 2 h2


ILI

38


596

p

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

TAK ^TO  = 1 + (2 ; 1) h + O(h2 ). oTS@DA NAHODIM WYRAVENIQ DLQ KORNEJ s1 I s2 URAWNENIQ (31):  (1 + h + O(h2 ))
s = 1 ; h + O(h2 ): s1 =  ; 2 1 oB]EE REENIE URAWNENIQ (30) IMEET WID yi = Asi1 + Bsi2
(32) GDE POSTOQNNYE A I B OPREDELQ@TSQ IZ2 NA^ALXNYH USLOWIJ PRI i = 0 I i = 1. u^ITYWAQ, ^TO ln(1  h + O(h )) = h ( + O(h)), NAHODIM  eh (+O(h))
s = e;h (+O(h)) : s1 =  ; 2 1 pUSTX x | FIKSIROWANNAQ TO^KA, QWLQ@]AQSQ UZLOM SETKI !h , TAK ^TO x = ih. iZ (32) SLEDUET   x=h yi = A  ; ex (+O(h)) + Be;x (+O(h)) : 1 oTS@DA WIDNO, ^TO POWEDENIE REENIQ ZAWISIT OT ZNA^ENIQ PARAMETRA . eSLI  > 1, TO  ; 1 > 1 I PERWOE SLAGAEMOE PRI L@BOM ZNA^ENII A 6= 0 NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET PRI h ! 0. kO\FFICIENT A ZAWISIT OT y0 , y1 . eSLI PRI NEKOTOROM WYBORE NA^ALXNYH ZNA^ENIJ A = 0, TO PRI SKOLX UGODNO MALOM WOZMU]ENII NA^ALXNYH DANNYH, HOTQ BY ZA S^ET OIBKI OKRUGLENIQ, MY POLU^IM A 6= 0 I SOOTWETSTWU@]EE REENIE BUDET NEOGRANI^ENNO WOZRASTATX PRI h ! 0. tAKIM OBRAZOM, PRI  > 1 SHEMA (29) NEUSTOJ^IWA I NEPRIGODNA DLQ WY^ISLENIJ1) . pRIWEDENNYE WYE PRIMERY POKAZYWA@T, ^TO ESLI SHEMA USTOJ^IWA, TO MALYE IZMENENIQ NA^ALXNYH DANNYH ILI PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ PRIWODQT K MALYM IZMENENIQM REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I ESLI VE SHEMA NEUSTOJ^IWA, TO MALYE IZMENENIQ NA^ALXNYH DANNYH I PRAWOJ ^ASTI MOGUT PRIWODITX NA DOSTATO^NO MELKOJ SETKE K SKOLX UGODNO BOLXIM IZMENENIQM REENIQ. pO\TOMU NEUSTOJ^IWAQ SHEMA RASHODITSQ. pUSTX I]ETSQ REENIE yh NEKOTOROJ RAZNOSTNOJ ZADA^I S AGOM h NA SETKE !h, UDOWLETWORQ@]EE RAZNOSTNOMU URAWNENI@ S ZADANNOJ PRAWOJ ^ASTX@ ' I DOPOLNITELXNYMI SOOTNOENIQMI (NAPRIMER, NA^ALXNYM, KRAEWYM USLOWIQMI), ZADANNYMI W GRANI^NYH UZLAH SETKI. pRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ I IZWESTNYE FUNKCII, SODERVA]IESQ W DOPOLNITELXNYH USLOWIQH, NAZYWA@T WHODNYMI DANNYMI. rEENIE RAZNOSTNOJ ZADA^I ZAWISIT OT WHODNYH DANNYH I OT PARAMETRA h | AGA SETKI. mENQQ h, MY POLU^AEM POSLEDOWATELXNOSTX fyh g REENIJ RAZNOSTNOJ ZADA^I. 1)

pRI  = 05 SHEMA (29) TAKVE NEUSTOJ^IWA.

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

597

gOWORQT, ^TO RAZNOSTNAQ ZADA^A P O S T A W L E N A K O R R E K TN O (RAZNOSTNAQ SHEMA KORREKTNA), ESLI EE REENIE yh PRI L@BOM DOSTA-

TO^NO MALOM h 6 h0 1) SU]ESTWUET DLQ PROIZWOLXNYH WHODNYH DANNYH 2) NEPRERYWNO ZAWISIT OT WHODNYH DANNYH, PRI^EM \TA ZAWISIMOSTX RAWNOMERNA OTNOSITELXNO AGA h. sWOJSTWO NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I OT WHODNYH DANNYH NAZYWAETSQ TAKVE U S T O J ^ I W O S T X @ RAZNOSTNOJ ZADA^I (SHEMY). rEENIE RAZNOSTNOJ ZADA^I yh RASSMATRIWAETSQ NE PRI ODNOM FIKSIROWANNOM ZNA^ENII h, A PRI L@BYH h 6 h0 , T. E. NA L@BYH POSLEDOWATELXNOSTQH DOSTATO^NO MELKIH SETOK. rAWNOMERNAQ PO h NEPRERYWNAQ ZAWISIMOSTX yh OT WHODNYH DANNYH OZNA^AET, ^TO SWOJSTWO NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI SOHRANQETSQ PRI h ! 0. iNYMI SLOWAMI, ESLI REENIE OCENIWATX PO NORME k  k(1) , A WHODNYE DANNYE, NAPRIMER PRAWU@ ^ASTX ', PO NORME k  k(2) , TO USTOJ^IWOSTX (RAWNOMERNAQ PO h) SHEMY PO PRAWOJ ^ASTI OZNA^AET SU]ESTWOWANIE TAKOJ POSTOQNNOJ M > 0, NE ZAWISQ]EJ OT h, ^TO kyhk(1) 6 M k'k(2) PRI L@BYH h 6 h0: dANNOE WYE OPREDELENIE KORREKTNOSTI RAZNOSTNOJ SHEMY ANALOGI^NO OPREDELENI@ KORREKTNOSTI ZADA^I DLQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ, S KOTORYM MY NEODNOKRATNO WSTRE^ALISX W KURSE. rAZLI^IE MEVDU \TIMI OPREDELENIQMI SOSTOIT W TREBOWANII RAWNOMERNOJ PO h USTOJ^IWOSTI REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I.

x 2. rAZNOSTNYE SHEMY DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI

1. sHEMY DLQ URAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI.

rASSMOTRIM PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. nAJTI NEPRERYWNU@ W PRQMOUGOLXNIKE d (0 6 x 6 1, 0 6 t 6 T ) FUNKCI@ u = u(x
t), UDOWLETWORQ@]U@ USLOWIQM 9 @u = @ 2 u + f (x
t)
0 < x < 1
0 < t 6 T
> = @t @x2 > (1) u(x
0) = u0 (x)
u(0
t) = u1 (t)
u(1
t) = u2(t): wWEDEM W d OPISANNU@ W x 1 SETKU ! h = !h  !  = f(xi = ih, tj = = j ), i = 0
1
: : :
N , j = 0
1
: : :
N0 g S AGAMI h = 1=N ,  = T=N0 . pROWEDQ ZAMENU  @ 2u  ui;1 ; 2ui + ui+1
 ( u ) = x  x i 2 @x h2 i

 @u j+1 uj+1 ; uj  = uj+1
@t



t

f '

598

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

I WWEDQ PROIZWOLXNYJ WE]ESTWENNYJ PARAMETR  (WES WERHNEGO SLOQ t = tj+1 ), POLU^IM ODNOPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO SHEM yij+1 ; yij = * (yj+1 + (1 ; ) yj ) + 'j+1
i i i  (2) j = 0
1
: : :
N0 ; 1
i = 1
2
: : :
N ; 1
GDE *yh = yxxi . sHEMA (2) OPREDELENA NA ESTITO^E^NOM ABLONE, SOSTOQ]EM IZ UZLOW (xi+s
tj+k ) (s = ;1
0
1 k = 0
1), RASPOLOVENNYH NA DWUH SLOQH t = tj I t = tj+1 (SM. RIS. 85, A). pO\TOMU SHEMU (2) ^ASTO NAZYWA@T DWUHSLOJNOJ ESTITO^E^NOJ SHEMOJ ILI SHEMOJ S WESAMI. pOSKOLXKU W (2) WHODIT PROIZWOLXNYJ PARAMETR , TO FAKTI^ESKI MY RASSMATRIWAEM NE ODNU SHEMU, A ODNOPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO SHEM. w DALXNEJEM BUDET POKAZANO, ^TO S POMO]X@ PARAMETRA  MOVNO UPRAWLQTX USTOJ^IWOSTX@ I TO^NOSTX@ SHEMY (2). tAK KAK SHEMA (2) PIETSQ ODINAKOWO WO WSEH WNUTRENNIH (PRI 1 < i < N , j > 0) UZLAH (xi
tj ) SETKI ! h , TO INDEKSY i, j MOVNO OPUSTITX I POLXZOWATXSQ BEZYNDEKSNYMI OBOZNA^ENIQMI, POLAGAQ y = yij+1
y+ = yij
yt = y ; y+
' = 'ji +1 : w \TIH OBOZNA^ENIQH SHEMU (2) PEREPIEM W WIDE yt = * (y + (1 ; ) y+) + '
(x
t) 2 !h : (3) pRISOEDINQQ S@DA NA^ALXNYE I KRAEWYE USLOWIQ y(x
0) = u0(x)
x 2 !h
(4) y(0
t) = u1 (t)
y(1
t) = u2 (t)
t 2 ! 
POLU^AEM RAZNOSTNU@ ZADA^U (3) | (4), SOOTWETSTWU@]U@ ZADA^E (1). tREBUETSQ NAJTI SETO^NU@ FUNKCI@ y(x
t), OPREDELENNU@ DLQ (x
t) 2 !h I UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ (3) WO WNUTRENNIH UZLAH !h = f(xi
tj ), 0 < i < N , 0 < j 6 N0 g I USLOWIQM (4) W GRANI^NYH UZLAH h = f(xi
tj ), i = 0, 0 6 j 6 N0  i = N , 0 6 j 6 N0 j = 0, 0 6 i 6 N g SETKI !h . dLQ OPREDELENIQ y = yj+1 IZ (3) I (4) POLU^AEM ZADA^U yi;1 ; (1 + 2 ) yi + yi+1 = ;Fi
0 < i < N
y0 = u1
yN = u2
Fi = (1 ; 2 (1 ; )) y+i + (1 ; )  (+yi;1 + y+i+1 ) + 'i
 = h2 : zNA^ENIQ y+ = yij I, SLEDOWATELXNO, Fi NA NIVNEM SLOE (PRI t = = tj ) IZWESTNY. s^ET IDET OT SLOQ j K SLO@ j + 1, NA^INAQ c j = 0, PRI KOTOROM ZADANO y0 = u0 (x).

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

599

pRI  = 0 POLU^AEM QWNU@ SHEMU (SM. x 1, P. 2). dLQ NEE yi = Fi , T. E. ZNA^ENIQ y OPREDELQ@TSQ NEZAWISIMO W KAVDOM UZLE SETKI !h . pRI  6= 0 DLQ OPREDELENIQ y POLU^AEM SISTEMU ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ PORQDKA N ; 1 (TAKIE SHEMY NAZYWA@TSQ NEQWNYMI). mETOD REENIQ \TOJ SISTEMY, U^ITYWA@]IJ SPECIALXNYJ WID (TREHDIAGONALXNOSTX EE MATRICY, U KOTOROJ OTLI^NY OT NULQ TOLXKO \LEMENTY, STOQ]IE WDOLX GLAWNOJ DIAGONALI I DWUH SOSEDNIH S NEJ DIAGONALEJ), UKAZAN W P. 10. 2. pOGRENOSTX APPROKSIMACII. pUSTX y = y(x
t) | REENIE ZADA^I (3) | (4), u = u(x
t) | REENIE ISHODNOJ ZADA^I (1). rASSMOTRIM RAZNOSTX zij+1 = yij+1 ; u(xi
tj+1 ), ILI z = y ; u, I PODSTAWIM y = z + u W URAWNENIE (3). pREDPOLAGAQ u = u(x
t) ZADANNOJ FUNKCIEJ, NAJDEM ) zt = * (z + (1 ; ) z+) + 
(x
t) 2 !h
(5) z (x
0) = 0
z (0
t) = z (1
t) = 0
GDE  = * (u + (1 ; ) u+) + ' ; ut (6) PREDSTAWLQET SOBOJ POGRENOSTX, S KOTOROJ REENIE u = u(x
t) URAWNENIQ (1) UDOWLETWORQET RAZNOSTNOMU URAWNENI@ (3). sETO^NAQ FUNKCIQ  = (x
t
u h

), OPREDELQEMAQ FORMULOJ (6), NAZYWAETSQ P O G R E  N O S T X @ A P P R O K S I M A C I I DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ (1) RAZNOSTNYM URAWNENIEM (3) W KLASSE REENIJ u = u(x
t) URAWNENIQ (1) (ILI POGRENOSTX@ APPROKSIMACII DLQ SHEMY (3) NA REENII URAWNENIQ (1)). dLQ OCENKI WELI^INY FUNKCII  MY BUDEM POLXZOWATXSQ RAZLI^NYMI NORMAMI (PRI FIKSIROWANNOM t 2 ! ), NAPRIMER kk0 = 1max j j
(7)
kk2 = A TAKVE NORMAMI

max kk0
!

NX ;1 i=1

hi2

!1=2

max kk2 !




(8)

I T. D. (9) bUDEM GOWORITX, ^TO SHEMA (3) IMEET PO NORME kk m-J PORQDOK APPROKSIMACII PO h I n-J | PO  NA REENII u = u(x
t) (APPROKSIMIRUET URAWNENIE (1) S PORQDKOM (m
n)) ILI PROSTO IMEET APPROKSIMACI@ O(hm ) + O( n ), ESLI kk 6 M (hm +  n ) (m > 0
n > 0)
(10) GDE M | POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ, NE ZAWISQ]AQ OT h I  , A k  k | NEKOTORAQ NORMA (NAPRIMER, (7) ILI (8)). 



600

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

dLQ OCENKI PORQDKA  PO h I  RAZLOVIM u = u(x
t) W OKRESTNOSTI TO^KI (xi
t = tj+1=2 = tj + 0
5  ) PO STEPENQM h I  . bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO u(x
t) IMEET NUVNOE PO HODU IZLOVENIQ ^ISLO PROIZWODNYH. oBOZNA^IW u_ = @u=@t, u0 = @u=@x I T. D., u = u(xi
tj+1 ), u = u(xi
tj+1=2 ), POLU^IM 2 *u = u00 + h12 u(IV) + : : : (cM. x 1, P. 2), 2 2 u = u + 0
5  u_ + 8 u + O( 3 )
u+ = u ; 0
5  u_ + 8 u + O( 3 )


ut = u_ + O( 2 ): pOLXZUQSX RAZLOVENIQMI DLQ u, u+, *u, NAHODIM u + (1 ; ) u+ = u + ( ; 0
5)  u_ + O( 2 )
* (u + (1 ; ) u+) = u00 + (1 ; ) u+00 + O(h2 ) = = u00 + ( ; 0
5)  u_00 + O(h2 +  2 ): pODSTAWLQQ POLU^ENNYE WYRAVENIQ W (6), BUDEM IMETX  = u00 ; u_ + ( ; 0
5)  u_00 + ' + O(h2 +  2 ): tAK KAK u ESTX REENIE URAWNENIQ (1), TO u00 ; u_ = ;f I  = ' ; f + ( ; 0
5)  u_ 00 + O(h2 +  2 ) 1) : wYBIRAQ ' TAK, ^TOBY ' = f + O(h2 +  2 ), NAPRIMER ' = f, ESLI f 2 C (0) , POLU^AEM  = ( ; 0
5)  u_ 00 + O(h2 +  2 ): (11) ( mn )  oBOZNA^IM ^EREZ C (d) KLASS FUNKCIJ, IME@]IH m PROIZWODNYH PO x I n PROIZWODNYH PO t, NEPRERYWNYH W d . iZ PREDYDU]EGO QSNO, ^TO kk0 = O(h2 +  ) PRI  6= 0
5 I u 2 C (42)
(12) 2 2 (4  3) kk0 = O(h +  ) PRI  = 0
5 I u 2 C : (13) wYBIRAQ PARAMETR  RAWNYM h2  = 
= 21 ; 12 (14)  I PRAWU@ ^ASTX 2 2 ' = f + h12 @@xf2
(15) 1) tAK KAK u00 + f ; u_ = 0, TO (6) MOVNO BYLO BY SRAZU ZAPISATX W WIDE  = ) (u + (1 ; ) u*) ; u00 ] + (' ; f) ; (ut ; u_).

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

601

POLU^IM SHEMU POWYENNOGO PORQDKA APPROKSIMACII  = O(h4 +  2 ), ESLI u 2 C (63) , f 2 C (21) 1) . 3. |NERGETI^ESKOE TOVDESTWO. ~TOBY WYQSNITX, PRI KAKIH ZNA^ENIQH  SHEMA (2) USTOJ^IWA PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI, NAJDEM OCENKU REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I (3) | (4) S ODNORODNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI (u1 = u2  0) ^EREZ ' I u0. dLQ \TOGO ISPOLXZUEM METOD INTEGRALXNYH ILI \NERGETI^ESKIH SOOTNOENIJ, KOTORYJ BEZ SU]ESTWENNYH IZMENENIJ PERENOSITSQ NA SLU^AJ URAWNENIJ S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI. nAM PONADOBITSQ NEBOLXOE ^ISLO PREDWARITELXNYH SWEDENIJ. pUSTX v(x) = vi , z (x) = = zi | PROIZWOLXNYE FUNKCII, ZADANNYE NA SETKE ! h = fxi = ihg. iME@T MESTO SLEDU@]IE FORMULY. 1. fORMULA RAZNOSTNOGO DIFFERENCIROWANIQ PROIZWEDENIQ (vz )xi = vi zxi + vxi zi+1 : (16) w SAMOM DELE, vi zxi + vxi zi+1 = vi (zi+1 ; zi ) + (vi+1 ; vi ) zi+1 ]=h = = (vi+1 zi+1 ; vi zi )=h = (vz )xi . fORMULA (16) QWLQETSQ RAZNOSTNYM ANALOGOM FORMULY DIFFERENCIROWANIQ PROIZWEDENIQ (uv)0 = u0 v + uv0 . 2. fORMULA SUMMIROWANIQ PO ^ASTQM (v
zx) = ;(z
vx ] + (vz )N ; v0 z1
(17) GDE (v
w) =

NX ;1 i=1

vi wi h


(v
w] =

N X i=1

vi wi h


(18)

QWLQ@]AQSQ RAZNOSTNYM ANALOGOM FORMULY INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM. wYRAZIM IZ (16) vi zxi = (vz )xi ; vxi zi+1 I PREOBRAZUEM SUMMU (v
zx): (v
zx) =

NX ;1 i=1

vi zxi h =

NX ;1

NX ;1

i=1

i=1

(vz )i+1 ; (vz )i ] ;

= (vz )N ; v1 z1 ;

N X i=2

vxi zi+1 h =

vxi zi h

(vxi = vxi+1 ):

zATEM, U^ITYWAQ, ^TO v1 = v0 + (v1 ; v0 ) = v0 + hvx1 , POLU^IM (v
zx ) = (vz )N ; (v0 + hvx1 ) z1 ;

N X i=2

zi vxi h = (vz )N ; v0 z1 ; (z
vx ]:

1) k PP. 1, 2 SM.: s A M A R S K I J a. a., g U L I N a. w. uSTOJ^IWOSTX RAZNOSTNYH SHEM. m., 1973 s A U L X E W w. k. iNTEGRIROWANIE PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ METODOM SETOK. m., 1960.

602

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

3. pERWAQ RAZNOSTNAQ FORMULA gRINA (v
(ayx )x ) = ;(ayx
vx ] + ayx v jN ; v0 a1 yx j1 : (19) w SAMOM DELE, POLAGAQ W (17) z = ayx , SRAZU POLU^IM (19). iZ (19), W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO (v
(ayx )x ) = ;(ayx
vx ]
(y
(ayx )x ) = ;(a
(yx )2 ]


ESLI y = v = 0 PRI i = 0
N  (20) ESLI y0 = yN = 0: (21) fORMULA (19) QWLQETSQ RAZNOSTNYM ANALOGOM FORMULY gRINA

Z1 0

1 Z1

u (kw0 )0 dx = kuw0 0 ; ku0 w0 dx: 0

4. wTORAQ RAZNOSTNAQ FORMULA gRINA (v
(ayx )x ) ; (y
(avx )x ) = aN (vyx ; yvx )N ; a1 (vyx ; yvx )0 (22) POLU^AETSQ IZ WYRAVENIQ (19), ESLI W NEM POMENQTX MESTAMI y I v I WY^ESTX IZ (19) POLU^ENNOE RAWENSTWO.

GDE

nAM PONADOBITSQ TAKVE NERAWENSTWO j(y
z)ij 6 p(y
y)i (z
z)i
(y
z )i =

Xi k=1

yk zk h


(23)

i = 2
3
: : :
N:

(24)

rASSMOTRIM SUMMU (y + z
y + z )i = (y
y)i + 2 (y
z )i + 2 (z
z )i > 0
GDE  | L@BOE WE]ESTWENNOE ^ISLO. eSLI (z
z )i 6= 0, TO (y + z
y + z )i > 0 PRI L@BYH ZNA^ENIQH  TOLXKO PRI USLOWII, ^TO DISKRIMINANT KWADRATNOGO TREH^LENA (y
z )i ]2 ; (y
y)i  (z
z )i 6 0. oTS@DA I SLEDUET (23). w ^ASTNOSTI, PRI i = N POLU^AEM NERAWENSTWO kOI | bUNQKOWSKOGO j(y
z)j 6 kyk  kzk
(25) GDE ( , ) | SKALQRNOE PROIZWEDENIE W PROSTRANSTWE SETO^NYH FUNKCIJ | DAETSQ FORMULOJ (18), A kyk | NORMA SETO^NOJ FUNKCII y = yi | RAWNA

kyk =

p

(y
y) =

NX;1 !1=2 i=1

yi2 h

:

(26)

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

603

dOKAVEM SLEDU@]IE NERAWENSTWA:

kzk 6 12 kzx]


ESLI z0 = zN = 0


(27)

kzk0 6 21 kzx]
ESLI z0 = zN = 0
GDE kz k0 = 0max jz j, kzk DAETSQ FORMULOJ (26), A
(28)

k

zx ] = (zx
zx ] = = 12

X N i=1

zx2i h

!1=2

:

 2  2 zAME^AQ, ^TO zi2 = Pik=1 zxk h = PNk=i+1 zxk h , PREDSTAWIM zi2 W WIDE z 2 = (1 i

; xi )

Xi

k=1

!2

zxk h + xi

X N

k=i+1

!2

zxk h :

pRIMENIW NERAWENSTWO (23) DLQ KAVDOJ IZ SUMM, NAPRIMER

Xi

POLU^IM z2 6 x i

k=1

i (1

!2 Xi

zxk h

; xi )

Xi k=1

6

k=1

(zxk

(zxk )2 h 

)2 h +

N X k=i+1

Xi k=1

12 h = xi

(zxk

)2 h

!

Xi

k=1

(zxk )2 h


= xi (1 ; xi ) kzx ] 2 : (29)

tAK KAK 0max x (1 ; x) = 1=4, TO OTS@DA SLEDUET, ^TO kz k0 6 kzx ] =2. 6x61 uMNOVIW (29) NA h I PROSUMMIROWAW PO i =P1
2
: : :
N ; 1, BUDEM IMETX kz k2 6 kzx ] 2 =4, ILI kz k 6 kzx ] =2, TAK KAK Ni=1;1 ih = (N ; 1) h < < 1. pUSTX *v = (avx )x , a > c1 > 0. iZ (21) I (27) SLEDUET OCENKA ;(*v
v) = ;((avx )x
v) > 4c1 kvk2: (30) 2 2 w SAMOM DELE, ;(*v
v) = (a
(vx ) ] > c1 kvx ] W SILU (21). pOLXZUQSX ZATEM NERAWENSTWOM (27), POLU^AEM (30). uKAVEM E]E ODNO NERAWENSTWO: 2 jabj 6 c0 a2 + c1 b2
0

(31)

604

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

GDE a I b | ZADANNYE ^ISLA, c0 | PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. w SAMOM DELE,  p   p  2 2 jabj = 2 (a c0 ) pbc  6 (a c0 )2 + pbc
0 0 TAK KAK 2 ja1b1 j 6 a21 + b21 PRI L@BYH a1 I b1 . pEREJDEM TEPERX K IZU^ENI@ WOPROSA OB USTOJ^IWOSTI SHEMY (3) PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI. nAPIEM \NERGETI^ESKOE TOVDESTWO, SOOTWETSTWU@]EE URAWNENI@ S ODNORODNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI zt = *z () + 
z0 = zN = 0
z (x
0) = z0 (x)
(32) GDE z () = z + (1 ; ) z+: uMNOVIM URAWNENIE NA 2zti h = 2 (zi ; z+i ) h I PROSUMMIRUEM PO i = 1
2
: : :
N ; 1: 2 kztk2 = 2 (*z ()
zt) + 2 (
zt)
*z = zxx: (33) pREDSTAWLQQ z () W WIDE z () = 0
5 (z + z+) + ( ; 0
5) (z ; z+) = 0
5 (z + z+) + ( ; 0
5) zt I POLXZUQSX PERWOJ FORMULOJ gRINA (20) DLQ a = 1, y = zt = z ; z+, v = z + z+ I a = 1, y = v = zt, IMEEM1) 2 (*z ()
zt) = ;2 ( ; 0
5)  2 (zxt
zxt] ; (zx + z+x
zx ; z+x ] = = ;2 ( ; 0
5)  2 kzxt] 2 ; kzx] 2 + kz+x ] 2 : pODSTAWIW \TO WYRAVENIE W (33), POLU^IM \NERGETI^ESKOE TOVDESTWO 2 kztk2 + ( ; 0
5)  kzxt] 2 ] + kzx ] 2 = kz+x ] 2 + 2 (
zt): (34) oTMETIM, ^TO IMEET MESTO SLEDU@]EE NERAWENSTWO: (35) kv ] 2 6 4 kvk2
ESLI v = v = 0: x

h2 w SAMOM DELE, SUMMIRUQ NERAWENSTWO

0

N

vx2i = h12 (vi ; vi;1 )2 6 h22 (vi2 + vi2;1 )

PO i = 1
2
: : :
N , PRIHODIM K (35).

1) () (z + z*) z ; z*) = ;(zx + z*x  zx ; z*x ], ()z z) = ;(z  z ]. xt xt t t

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

605

4. uSTOJ^IWOSTX. kAK BYLO UKAZANO W x 1, P. 4, USTOJ^IWOSTX SHEMY OZNA^AET NEPRERYWNU@ ZAWISIMOSTX REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I OT WHODNYH DANNYH (OT NA^ALXNYH DANNYH, OT PRAWOJ ^ASTI I OT KRAEWYH USLOWIJ W DANNOM SLU^AE). wYQSNIM, PRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA  SHEMA (3) USTOJ^IWA PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI. dLQ \TOGO RASSMOTRIM ZADA^U (32) S ODNORODNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI. uTO^NIM PONQTIE USTOJ^IWOSTI. pUSTX REENIE ZADA^I (32) OCENIWAETSQ PO NORME kz k(1) (NAPRIMER, kz k(1) = kz k0, kz k(1) = kzx ] ), A PRAWAQ ^ASTX  | PO NORME kk(2) (NAPRIMER, kk(2) = kk0, kk(2) = kk2). bUDEM GOWORITX, ^TO SHEMA (32) (ILI (3) | (4)) USTOJ^IWA PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI, ESLI PRI DOSTATO^NO MALYH h 6 6 h0 I  6 0 IMEET MESTO NERAWENSTWO max (36) t2!  kz (x
t)k(1) 6 M1 kz (x
0)k(1) + M2 max t2!  k (x
t)k(2)
GDE M1 , M2 | POLOVITELXNYE POSTOQNNYE, NE ZAWISQ]IE OT h I  . dLQ USTOJ^IWOSTI SHEMY (32) DOSTATO^NO, ^TOBY WYPOLNQLOSX ODNO IZ USLOWIJ: kzk(1) 6 (1 + c1 ) kz+k(1) + c2 kk(2) (37) ILI kzk2(1) 6 (1 + c1 ) kz+k2(1) + c2  kk2(2)
(38) GDE c1 , c2 | POLOVITELXNYE POSTOQNNYE, NE ZAWISQ]IE OT h I  . w SAMOM DELE, PUSTX WYPOLNENO USLOWIE (37). zAPIEM EGO W WIDE kzj k(1) 6 (1 + c1 ) kzj;1k(1) + c2  kj k(2)
(39) j = 1
2
: : : iSKL@^AQ IZ (39) POSLEDOWATELXNO kz j;1 k(1) , kz j;2 k(1) , : : : I U^ITYWAQ, ^TO (1 + c1  )k 6 ec1 tj PRI k 6 j , POLU^AEM

k k

z j (1) 6 ec1tj

"

kz(x
0)k(1) + c2

j X

k=1

k

k

k (2)

#

:

(40)

oTS@DA SLEDUET (36) PRI M1 = ec1 T , M2 = c2 M1 T . pREDPOLAGAQ, ^TO WYPOLNENO (38), ANALOGI^NYMI RASSUVDENIQMI PRIHODIM K NERAWEN 2. w STWU WIDA (40), W KOTOROM SLEDUET ZAMENITX k k WYRAVENIQMI k  k p REZULXTATE SNOWA POLU^IM (36) S M1 = e 21 c1 T , M2 = c2 T M1 . pOLXZUQSX TOVDESTWOM (34) DLQ SHEMY (32), MY USTANOWIM NERAWENSTWO WIDA (36), IZ KOTOROGO I BUDET SLEDOWATX W SILU SKAZANNOGO WYE USTOJ^IWOSTX SHEMY (3). ~TOBY WYQSNITX WOPROS OB USTOJ^IWOSTI PO NA^ALXNYM DANNYM, RASSMOTRIM ZADA^U (32) PRI  = 0 I POLOVIM kz k(1) = kzx ] .

606

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

tOVDESTWO (34) PRI  = 0 IMEET WID 2 kztk2 + ( ; 0
5)  kzxt] 2 ] + kzx ] 2 = kz+x ] 2 : (41) pUSTX  > 0
5. tOGDA WYRAVENIE W KWADRATNYH SKOBKAH NEOTRICATELXNO I kzx] 2 6 kz+x] 2
ILI kzxj] 6 kzxj;1] 6 kzx0] : oTS@DA W SILU NA^ALXNOGO USLOWIQ z 0 = z0 (x) SLEDUET, ^TO kzj k(1) 6 kz0k(1)
GDE kzk(1) = kzx] : (42) pUSTX  < 0
5, TAK ^TO  ; 0
5 < 0. oBOZNA^AQ zt = v I POLXZUQSX (35), NAHODIM

kvk2 + ( ; 0
5)  kvx] 2 > kvk2 ; (0
5 ; )   h42 kvk2 =   4 = 1 ; (0
5 ; )   h2 kvk2 > 0 PRI

1 ; (0
5 ; )   h42 > 0


T. E. PRI  > 0 = 1=2 ; h2 =(4 ). pRI \TOM USLOWII WYRAVENIE W KWADRATNYH SKOBKAH W (34) NEOTRICATELXNO I MY SNOWA PRIHODIM K (42). tAKIM OBRAZOM, SHEMA (32) (I SHEMA (3)) USTOJ^IWA PO NA^ALXNYM DANNYM W NORME kz k(1) = kzx ] , ESLI WYPOLNENO USLOWIE 2  > 12 ; 4h = 0 : (43) rASSMOTRIM ^ASTNYE SLU^AI. eSLI  > 1=2, TO USLOWIE (43) WSEGDA WYPOLNENO I SHEMA (32) USTOJ^IWA PRI L@BYH h I  . dLQ QWNOJ SHEMY  = 0 I USLOWIE (43) DAET (44)  = h2 6 12
ILI  6 21 h2
T. E. QWNAQ SHEMA USLOWNO USTOJ^IWA (USTOJ^IWA PRI USLOWII (44), SWQZYWA@]EM  I h). mOVNO POKAZATX, ^TO PRI  > 1=2+ c1   , 0 6 < 1, QWNAQ SHEMA NEUSTOJ^IWA, T. E. USLOWIE  < 1=2 + c1  QWLQETSQ NEOBHODIMYM DLQ USTOJ^IWOSTI QWNOJ SHEMY (c1 = const > 0 | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ, NE ZAWISQ]AQ OT h I  ). iZ (43) WIDNO, ^TO SHEMA POWYENNOGO PORQDKA TO^NOSTI ( = 
= = 1=2 ; h2 =(12 )) BEZUSLOWNO (PRI L@BYH h I  ) USTOJ^IWA, TAK KAK 
> 0 . pEREJDEM K OCENKE USTOJ^IWOSTI SHEMY (32) PO PRAWOJ ^ASTI. bUDEM ISHODITX IZ TOVDESTWA (34). iMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

607

rAZNOSTNAQ SHEMA (32) USTOJ^IWA PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI PRI  > 21


TAK ^TO DLQ REENIQ z ZADA^I (32) WERNA OCENKA

!1=2

j k kz0x] + p12 X  kk k2 k=1 pOLXZUQSX NERAWENSTWAMI (26) I (31), IMEEM

zxj ] 6

2 (
zt) 6 c0  kztk2 + c kk2:

:

(45) (46)

0

eSLI  > 1=2, TO MY POLU^AEM IZ (34) NERAWENSTWO 2 kztk2 + kzx ] 2 6 kz+x ] 2 + c0  kztk2 + c kk2: 0

wYBIRAQ ZATEM c0 = 2, BUDEM IMETX oTS@DA SRAZU SLEDUET

kzx] 2 6 kz+x] 2 + 12  kk2:

kzxj] 2 6 kz0x] 2 + 21 X  kk k2:

tAK KAK DOKAZANA.

a2 + b2

6 (a + b)2

j

k=1

PRI a > 0, b > 0, TO TEM SAMYM TEOREMA

z A M E ^ A N I E. nESKOLXKO IZMENQQ RASSUVDENIQ, MOVNO POKAZATX, ^TO TEOREMA WERNA PRI  > " = 12 ; 1 4; " h2 , GDE 0 < " 6 1 W (45) SLEDUET WMESTO p p 2 NAPISATX 2". sRAWNENIE S (36) POKAZYWAET, ^TO kzk(1) 6 kzx ] , kk(2) = p = kk, M1 = 1, M2 = T=(2"). nETRUDNO POLU^ITX OCENKU (36) S kzk(1) = kzk, kk(2) = kk PRI  > 1=2. oGRANI^IMSQ DOKAZATELXSTWOM USTOJ^IWOSTI PO NA^ALXNYM DANNYM. pOLOVIM W URAWNENII (32)  = 0, UMNOVIM EGO NA 2zi() h I PROSUMMIRUEM PO i = 1 2 : : :  N ; 1. pOLXZUQSX FORMULOJ gRINA (20) I TOVDESTWOM 2 (z()  zt) = (z + z* z ; z*) + 2 ( ; 05) kztk2 = kzk2 ; kz*k2 + + 2 ( ; 05) kztk2 , POLU^IM kzk2 + 2 2 ( ; 05) kztk2 + 2 kzx() ] 2 = kz*k2 . oTS@DA PRI  > 05 SLEDUET kzk2 6 kz*k2 I kzj k 6 kz0 k. |TA OCENKA SPRAWEDLIWA I PRI  > 0 . oDNAKO MY NE IMEEM WOZMOVNOSTI OSTANAWLIWATXSQ NA DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA.

608

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

mY DOKAZALI USTOJ^IWOSTX SHEMY (32) W NORMAH kzx ] I kz k, QWLQ@R 1=2 R 1=2 ]IHSQ RAZNOSTNYMI ANALOGAMI NORM 01(@u=@x)2 dx I 01 u2 dx . pOLXZUQSX RAZNOSTNYM ANALOGOM PRINCIPA MAKSIMUMA, MOVNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO ^ISTO NEQWNAQ SHEMA USTOJ^IWA W RAWNOMERNOJ METRIKE, T. E. kzk0 6 kz0k0 PRI  = 1 ( = 0): (47) oKAZYWAETSQ, ^TO DLQ RASSMATRIWAEMOJ ODNOMERNOJ PARABOLI^ESKOJ ZADA^I SIMMETRI^NAQ ESTITO^E^NAQ SHEMA S  = 0
5 TAKVE RAWNOMERNO USTOJ^IWA PRI L@BYH h I  : kzk0 6 M kz0k0 PRI  = 0
5: (48) rASSMOTRIM QWNU@ SHEMU ( = 0). zAPIEM EE W WIDE yi = (1 ; 2 ) y+i +  (+yi;1 + y+i+1 ) + 'i : eSLI  6 1=2, TO jyi j 6 (1 ; 2 ) jy+i j +  (jy+i;1 j + jy+i+1 j) +  j'i j 6 ky+k0 + +  k'k0 , TAK KAK 1 ; 2 > 0. oTS@DA SLEDUET kyk0 6 ky+k0 +  k'k0 PRI  6 1=2 I

kyj k0 6 ky0k0 + X  k'j k0
(49) j =1 GDE, NAPOMNIM, kyk0 = max jyj. tAKIM OBRAZOM, QWNAQ SHEMA USTOJ^IWA ! h j

0

0

W RAWNOMERNOJ NORME PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI, ESLI WYPOLNENO USLOWIE  6 1=2. 5. sHODIMOSTX I TO^NOSTX. bUDEM GOWORITX, ^TO: 1) REENIE ZADA^I (3) | (4) SHODITSQ K REENI@ u = u(x
t) ZADA^I (1) (SHEMA (3) | (4) SHODITSQ) PRI h ! 0 I  ! 0, ESLI max kyj ; 06tj 6T j ; u k(1) ! 0 PRI h ! 0 I  ! 0 2) SHEMA (3) | (4) SHODITSQ SO SKOROSTX@ O(hm +  n ), m > 0, n > 0, ILI IMEET TO^NOSTX O(hm +  n ) (PORQDKA m PO h I PORQDKA n PO  ), ESLI PRI DOSTATO^NO MALYH h 6 h0 I  6 0 max kyj ; uj k(1) 6 M (hm +  n )
06t 6T j

GDE M = SOnst > 0 NE ZAWISIT OT h I  . hARAKTERISTIKOJ TO^NOSTI SHEMY (3) | (4) QWLQETSQ kz k(1) = ky ; ; uk(1), GDE k  k(1) | ODNA IZ WWEDENNYH WYE NORM. fUNKCIQ z = = z (xi
tj+1 ) QWLQETSQ REENIEM ZADA^I (5). tAK KAK z (x
0) = 0, TO IZ (45) DLQ z SLEDUET OCENKA zxj ] 6 1 2

k

p

X j k=1

k

k

k 2

!1=2

PRI

 > 12 :

(50)

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

609

u^ITYWAQ NERAWENSTWO (28), POLU^AEM pT j kz k0 6 2 p2 max kk k = M2 max kk k: (51) !  !  oTS@DA SLEDUET TEOREMA. iZ USTOJ^IWOSTI PO PRAWOJ ^ASTI I APPROKSIMACII SHEMY (3) SLEDUET EE RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX, PRI^EM PORQDOK EE TO^NOSTI SOWPADAET S PORQDKOM APPROKSIMACII 1). iNYMI SLOWAMI, ESLI SHEMA (3) USTOJ^IWA PO PRAWOJ ^ASTI, T. E.  > 1=2, I WYPOLNENY USLOWIQ, PRI KOTORYH SHEMA (3) IMEET MAKSIMALXNYJ PORQDOK APPROKSIMACII mNA REENII u = u(x
t) (SM. (12), (13)), TO ONA IMEET TO^NOSTX O( + h2 ), GDE m = 2 PRI  = 0
5, m = 1 PRI  6= 0
5: kyj ; uj k0 6 M (h2 +  m) PRI  6= 

(52) GDE M = const > 0 NE ZAWISIT OT h I  . iZ P. 2 SLEDUET, ^TO OCENKA (52) IMEET MESTO, ESLI u 2 C (42) , ' = f PRI  6= 0
5, u 2 C (43) , ' = f = f j+1=2 PRI  = 0
5. iZ NERAWENSTWA (49) SLEDUET, ^TO DLQ QWNOJ SHEMY kyj ; uj k0 6 6 M (h2 +  ), ESLI u 2 C (42) . z A M E ^ A N I E. w SILU ZAME^ANIQ K TEOREME W P. 4 SHEMA (3) PRI  = = 1=2 ; h2 =(12 ) IMEET DLQ u 2 C (63) , f 2 C (21) TO^NOSTX O(h4 +  2 ), ESLI ' OPREDELQETSQ PO FORMULE (15). 6. rAZNOSTNYE SHEMY DLQ URAWNENIJ S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI. pEREJDEM TEPERX K IZU^ENI@ RAZNOSTNYH SHEM DLQ ^ISLENNOGO REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (DIFFUZII) S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI  @u  @u @ c @t = @x k @x ; qu + f
k > 0
c > 0
(53) GDE c = c(x
t), k = k(x
t), q = q(x
t), f = f (x
t) | ZADANNYE FUNKCII x I t. eSLI, NAPRIMER, KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI k = k(x
t
u) ZAWISIT OT TEMPERATURY u, TO URAWNENIE (53) NAZYWAETSQ KWAZILINEJNYM. kWAZILINEJNYE URAWNENIQ DOPUSKA@T ANALITI^ESKIE REENIQ TOLXKO W ISKL@^ITELXNYH SLU^AQH. rAZWITIE WY^ISLITELXNOJ TEHNIKI I PRIMENENIE METODA KONE^NYH RAZNOSTEJ SDELALI WOZMOVNYM REENIE LINEJNYH I KWAZILINEJNYH URAWNENIJ S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI. pRI \TOM WYQWILASX NEOBHODIMOSTX RAZWIWATX METODY, PRIGODNYE DLQ REENIQ PO ODNIM I TEM VE PROGRAMMAM URAWNENIJ KAK S NEPRERYWNYMI, TAK I S RAZRYWNYMI KO\FFICIENTAMI. zADA^I S RAZRYWNYMI KO\FFICIENTAMI WSTRE^A@TSQ O^ENX ^ASTO W FIZIKE I TEHNIKE. dOSTATO^NO, NAPRIMER, UKAZATX ZADA^I O DIFFUZII 1) sM.:

r Q B E N X K I J w. s., f I L I P P O W a. f. oB USTOJ^IWOSTI RAZNOSTNYH URAWNENIJ. m., 1956. 39 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

610

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

NEJTRONOW I O TERMI^ESKOM REVIME W GETEROGENNOM REAKTORE, SOSTOQ]EM IZ BOLXOGO ^ISLA ZON S RAZNYMI FIZI^ESKIMI SWOJSTWAMI, ZADA^I O DWIVENII GRANIC FAZOWYH PEREHODOW (SM. pRILOVENIE IV K GL. III,) I T. D. dLQ REENIQ ZADA^ S RAZRYWNYMI KO\FFICIENTAMI PRIMENQ@T SHEMY SKWOZNOGO S^ETA, NE ISPOLXZU@]IE INFORMACII O POLOVENII TO^EK RAZRYWA. pRI \TOM WO WSEH UZLAH SETKI I DLQ L@BYH KO\FFICIENTOW PIUTSQ ODNI I TE VE FORMULY (BEZ KAKOGO-LIBO IZMENENIQ FORMUL W OKRESTNOSTI RAZRYWOW). tREBOWANIQ SHODIMOSTI I TO^NOSTI SHEM SKWOZNOGO S^ETA NAKLADYWA@T OGRANI^ENIQ NA WID \TIH SHEM. sHEMY, SHODQ]IESQ W SLU^AE RAZRYWNYH KO\FFICIENTOW, MOVNO POLU^ITX PRI POMO]I METODA BALANSA, ILI INTEGROINTERPOLQCIONNOGO METODA. 7. mETOD BALANSA. kONSERWATIWNYE SHEMY. fIZI^ESKIE PROCESSY, S KOTORYMI MY POZNAKOMILISX W KURSE, HARAKTERIZU@TSQ INTEGRALXNYMI URAWNENIQMI SOHRANENIQ (KOLI^ESTWA TEPLA, KOLI^ESTWA DWIVENIQ, \NERGII I T. D.). tAK, NAPRIMER, ZAKON SOHRANENIQ TEPLA (URAWNENIE BALANSA) NA OTREZKE x1
x2 ] ZA WREMQ t = t2 ; t1 IMEET WID

Zx2

x1

Zt2

Zx2 Zt2

t1

x1 t1

c u(x
t2 ) ; u(x
t1 )] dx = W (x1
t) ; W (x2
t)] dt +

f (x
t) dx dt


GDE u(x
t) | TEMPERATURA, c | TEPLOEMKOSTX EDINICY DLINY, f (x
t) | PLOTNOSTX ISTO^NIKOW TEPLA, W (x
t) = ;k(x
t) @u @x (x
t) | TEPLOWOJ POTOK (k(x
t) | KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI  @u  ). eSLI SU]ESTWU@T @ @u NEPRERYWNYE PROIZWODNYE @t I @x k @x , TO IZ URAWNENIQ BALANSA SLEDUET DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI   @ @u @u c @t = @x k(x
t) @x + f (x
t): eSTESTWENNO PRI NAPISANII RAZNOSTNYH URAWNENIJ, PRIBLIVENNO OPISYWA@]IH TOT ILI INOJ PROCESS, ISHODITX IZ URAWNENIQ BALANSA. pUSTX DANA SETKA (xi = ih, tj = j ). dLQ KAVDOJ \LEMENTARNOJ Q^EJKI (PRQMOUGOLXNIKA) \TOJ SETKI PIETSQ URAWNENIE BALANSA, KOTOROE SODERVIT INTEGRALY OT FUNKCII I EE PROIZWODNYH (POTOKI W SLU^AE URAWNENIQ BALANSA TEPLA) WDOLX GRANICY Q^EJKI. dLQ IH WY^ISLENIQ NEOBHODIMY PREDPOLOVENIQ O PROFILE FUNKCIJ. w ZAWISIMOSTI OT WYBORA LOKALXNOJ INTERPOLQCII KAK PO x, TAK I PO t MY POLU^IM RAZLI^NYE SHEMY. wOPROS O WYBORE INTERPOLQCIJ POD^INEN TREBOWANIQM USTOJ^IWOSTI, TO^NOSTI I PROSTOTY REALIZACII (W ^ASTNOSTI, TREBOWANI@ MINIMUMA ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ, KOTORYE NADO PROIZWESTI DLQ POLU^ENIQ REENIQ). pROILL@STRIRUEM M E T O D B A L A N S A (I N T E G R O I N T E R P O L Q C I O N N Y J M E T O D) PRIMERAMI.

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

611

sNA^ALA RASSMOTRIM STACIONARNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI   d k(x) du ; q(x) u = ;f (x)
0 < x < 1
k > 0
q > 0 dx dx (54) ZDESX q(x) u | MO]NOSTX STOKOW TEPLA (PRI q 6 0 | ISTO^NIKOW), PROPORCIONALXNAQ TEMPERATURE u(x). wYBEREM NA OTREZKE 0 6 x 6 1 SETKU ! h = fxi = ih, i = 0
1
: : :
N g S AGOM h. nAPIEM URAWNENIE BALANSA TEPLA NA OTREZKE xi;1=2 6 x 6 6 xi+1=2 , xi;1=2 = (xi;1 + xi )=2 = xi;1 + h=2: Wi;1=2 ; Wi+1=2 ;

xi+1=2

Z

xi 1=2

q(x) u(x) dx +

xi+1=2

Z

xi 1=2

;

f (x) dx = 0


(55)

;

GDE W (x) = ;k(x) du=dx | POTOK TEPLA. ~TOBY POLU^ITX SHEMU, ZAMENIM PERWYJ INTEGRAL I W RAZNOSTNYMI WYRAVENIQMI. wOZXMEM PROSTEJU@ APPROKSIMACI@ (u = const = ui PRI xi;1=2 6 x 6 xi+1=2 ): xi+1=2

Z

xi 1=2

di = h1

q(x) u(x) dx hdi ui


;

xi+1=2

Z

xi 1=2

q(x) dx:

(56)

;

pROINTEGRIRUEM RAWENSTWO du=dx = ;W=k NA OTREZKE xi;1 6 x 6 xi : ui;1 ; ui =

Zxi W k dx:

xi

1

;

tAK KAK W WHODIT W (55) W POLUCELYH TO^KAH xi1=2 TO, POLAGAQ W = = const = Wi;1=2 PRI xi;1 6 x 6 xi , BUDEM IMETX ui;1 ; ui = Wi;1=2

ILI

Zxi dx k(x)


xi

1

;

Wi;1=2 = ;ai ui ;hui;1 = ;ai uxi


0 xi 1;1 Z dx C 1 B ai = @ h k(x) A :

39


xi

1

;

(57) (570 )

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

612

R

oTMETIM, ^TO xxii 1 dx=k(x) ESTX TEPLOWOE SOPROTIWLENIE OTREZKA xi;1
xi ]. zAMENQQ INTEGRAL, WHODQ]IJ W (570), PO ODNOJ IZ FORMUL ;

Zxi dx 1  1 1  h k(x) 2 ki;1 + ki
x

Zxi dx 1 h k(x) ki;1=2
x 1

i

;

1

i

1

1

;

POLU^AEM ai = ki;1=2 , ai = k2ki;+1 kki I T. D. |TI KO\FFICIENTY OTLI^Ai;1 i @TSQ DRUG OT DRUGA NA WELI^INU O(h2 ). pODSTAWLQQ W (55) WYRAVENIQ (56) I (57) I OBOZNA^AQ ISKOMU@ FUNKCI@ yi , POLU^AEM RAZNOSTNU@ SHEMU, WYRAVA@]U@ ZAKON SOHRANENIQ TEPLA NA SETKE (KONSERWATIWNU@ SHEMU):   1 ai+1 (yi+1 ; yi ) ; ai (yi ; yi;1 ) ; d y = ;'
(58) i i i h h h GDE di = h1

xi+1=2

Z

xi 1=2

q(x) dx


'i = h1

;

xi+1=2

Z

xi 1=2

f (x) dx


(59)

;

KOTORU@ MOVNO NAPISATX W WIDE (ayx )x ; dy = ;': (580 ) mETOD BALANSA, TAKIM OBRAZOM, POZWOLQET POLU^ATX SHEMY, KO\FFICIENTY KOTORYH WO WSEH UZLAH SETKI WY^ISLQ@TSQ PO ODNIM I TEM VE FORMULAM KAK SREDNIE ZNA^ENIQ KO\FFICIENTOW DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ W OKRESTNOSTI UZLA SETKI. sAMI SHEMY (58) PIUTSQ ODINAKOWO WO WSEH UZLAH SETKI I DLQ L@BYH k(x), q(x), f (x). tAKIE SHEMY NAZYWA@TSQ O D N O R O D N Y M I. dLQ PRAKTI^ESKIH CELEJ CELESOOBRAZNO NAHODITX KO\FFICIENTY SHEMY a, d, ' PO BOLEE PROSTYM FORMULAM, ISPOLXZUQ ZNA^ENIQ k, q, f W OTDELXNYH TO^KAH. pRI \TOM a, d, ' OPREDELQ@TSQ KAK SREDNIE ZNA^ENIQ k, q, f W ODNOJ ILI NESKOLXKIH TO^KAH, T. E. a(x) =

n2 X

j =n1

cj k(x + sj h)


;1 6 sj 6 0


n2 X

j =n1

cj = 1
cj > 0
(60)

I ANALOGI^NO DLQ d, '. sOWOKUPNOSTX TO^EK fsj hg NAZYWAETSQ K O \ FF I C I E N T N Y M  A B L O N O M. oBY^NO ISPOLXZU@T ABLONY IZ ODNOJ ILI IZ DWUH TO^EK, POLAGAQ, NAPRIMER, ai = ki;1=2
di = qi
'i = fi
(61)

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

613

ESLI k, q, f NEPRERYWNY. eSLI k, q, f RAZRYWNY, TO W \TIH FORMULAH SLEDUET BRATX POLUSUMMU PREDELXNYH ZNA^ENIJ SLEWA I SPRAWA1). sHEMA (58) IMEET 2-J PORQDOK APPROKSIMACII, ESLI ai + ai+1 = k + O(h2 )
ai+1 ; ai = k0 + O(h2 )
i i 2 h (62) di = qi + O(h2 )
'i = fi + O(h2 ): w SAMOM DELE, POGRENOSTX APPROKSIMACII DLQ SHEMY (58) NA REENII u = u(x) URAWNENIQ (54) RAWNA

i = (*u ; du + ')i = h12 ai+1 (ui+1 ; ui ) ; ai (ui ; ui;1 )] ; di ui + 'i : pODSTAWLQQ S@DA 3 2 u = u  hu0 + h u00  h u000 + O(h4 ) i1

i

2 i 6 i I U^ITYWAQ, ^TO ((ku0 )0 ; qu + f )i = 0, POLU^AEM a + a  a ; a  i = i+12 i ; ki u00i + i+1h i ; ki0 u0i ; (di ; qi ) ui + ('i ; fi ): oTS@DA WIDNO, ^TO  = O(h2 ), ESLI WYPOLNENY USLOWIQ (62). nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO KO\FFICIENTY a, d, ', NAPISANNYE WYE, UDOWLETWORQ@T \TIM USLOWIQM. tAKIM OBRAZOM, METOD BALANSA PRIWODIT K ODNORODNYM SHEMAM 2-GO PORQDKA APPROKSIMACII. |TI SHEMY SHODQTSQ W KLASSE KUSO^NONEPRERYWNYH KO\FFICIENTOW I IME@T PO KRAJNEJ MERE 1-J PORQDOK TO^NOSTI (SHEMA (58) S KO\FFICIENTAMI (570 ), (59) | 2-J PORQDOK). rAZNOSTNYE SHEMY DLQ URAWNENIQ (54) MOVNO PISATX, ISHODQ IZ TREBOWANIQ 2-GO PORQDKA APPROKSIMACII. oDNAKO INOGDA OKAZYWAETSQ, ^TO SHEMA PORQDKA O(h2 ) RASHODITSQ W KLASSE RAZRYWNYH KO\FFICIENTOW. pRIMEROM MOVET SLUVITX SHEMA *yi = ki yi;1 ; 2hy2i + yi+1 + ki+1 2;h ki;1 yi+1 2;h yi;1 ; qi yi = ;fi
(63) SOOTWETSTWU@]AQ URAWNENI@ (ku0 )0 ; qu = ku00 + k0 u0 ; qu = ;f . iMEETSQ PRIMER2) (PRI q = 0, f = 0, u(0) = 1, u(1) = 0), POKAZYWA@]IJ, ^TO REENIE URAWNENIQ (63) PRI h ! 0 STREMITSQ K FUNKCII u(x), NE QWLQ@]EJSQ REENIEM ISHODNOJ ZADA^I. eSLI WOPROS O SHODIMO1)

i

t I H O N O W a. H., s A M A R S K I J a. a. oB ODNORODNYH RAZNOSTNYH SHEMAH // vwm I mf. 1961. t. 1,  1. s. 5{63. 2) sM. TAM VE.

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

614

STI SHEMY WYQSNQTX PUTEM SGU]ENIQ SETOK (^TO ^ASTO DELAETSQ NA PRAKTIKE), TO MOVNO PRIJTI K OIBO^NOMU WYWODU O EE SHODIMOSTI (ONA SHODITSQ, NO NE K REENI@ ISHODNOJ ZADA^I).

8. dWUHSLOJNYE SHEMY DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI.

rIS. 86 oBRATIMSQ TEPERX K NESTACIONARNOMU URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI (53). dLQ PROSTOTY POLOVIM c = 1, q = 0. nAPIEM URAWNENIE BALANSA DLQ PRQMOUGOLXNIKA (xi;1=2 6 x 6 6 xi+1=2 , tj 6 t 6 tj+1 ) (RIS. 86): xi+1=2

Z

xi 1=2

u(x
tj+1 ) ; u(x
tj )] dx =

;

=

tZj +1 tj

W (xi;1=2
t) ; W (xi+1=2
t)] dt +

xi+1=2 tj +1 Z Z

xi 1=2 tj

f (x
t) dx dt


(64)

;

GDE W = ;k @u=@x. wOZXMEM PROSTEJIE FORMULY: xi+1=2

Z

xi 1=2

u(x
tj+1 ) ; u(x
tj )] dx h u(xi
tj+1 ) ; u(xi
tj )]


(65)

;

tZj +1 tj

W (xi+1=2
t) ; W (xi;1=2
t)] dt



h

i

h

i

Wij++11=2 ; Wij;+11=2 +  (1 ; ) Wij+1=2 ; Wij;1=2
(66) GDE  | PROIZWOLXNOE ^ISLO. pOLXZUQSX DLQ Wi;1=2 FORMULOJ (57) I PODSTAWLQQ (65), (66) W (64), POLU^AEM DWUHSLOJNU@ KONSERWATIWNU@ SHEMU yj+1 ; yj =  (*y)j+1 + (1 ; ) (*y)j + 'j+1
*y = (ay )
(67) x x i i i  'ji +1 = h1

tZj +1 xZi+1=2 tj xi 1=2 ;

f (x
t) dx dt


(68)

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

615

GDE a WY^ISLQETSQ (PRI FIKSIROWANNOM t) PO FORMULAM PREDYDU]EGO  @u  @ PUNKTA, TAK ^TO *u = @x k @x + O(h2 ). dLQ ' MOVNO POLXZOWATXSQ I DRUGIMI FORMULAMI, \KWIWALENTNYMI (68) S TO^NOSTX@ DO O(h2 +  2 ). eSLI f | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, TO POLAGAEM 'ji +1 = fij+1=2 . pO ANALOGII S P. 3 UBEVDAEMSQ W TOM, ^TO SHEMA (67) IMEET APPROKSIMACI@ O(h2 + ( ; 1=2)  +  2 ). eSLI ZAMENITX  (*y)ji +1 + (1 ; ; ) (*y)ji WYRAVENIEM *j+1=2 (yj+1 + (1 ; ) yj ) = (aj+1=2 (yxj+1 + (1 ; ) yxj ))x
TO POLU^IM SHEMU TOGO VE PORQDKA TO^NOSTI: yj+1 ; yj = *j+1=2 (yj+1 + (1 ; ) yj ) + 'j+1
 ILI yt = * (y + (1 ; ) y+) + ': (69) tAK KAK URAWNENIE BALANSA MOVET BYTX NAPISANO DLQ L@BOJ OBLASTI G NA PLOSKOSTI (x
t), OGRANI^ENNOJ KRIWOJ ;: Z ZZ (cu dx + W dt) = f (x
t) dx dt
;

G

TO EGO MOVNO ISPOLXZOWATX DLQ POLU^ENIQ KONSERWATIWNYH RAZNOSTNYH SHEM W SLU^AE TEPLOWYH ZADA^ S PODWIVNYMI WNUTRENNIMI I WNENIMI GRANICAMI NA PROIZWOLXNYH NERAWNOMERNYH SETKAH. aNALOGI^NO MOVNO POLU^ITX KONSERWATIWNYE SHEMY DLQ URAWNENIJ GAZODINAMIKI, UPRUGOSTI I T. D. wO WSEH SLU^AQH NEOBHODIMO U POLU^ENNYH RAZNOSTNYH SHEM PROWERQTX PORQDOK APPROKSIMACII, USTOJ^IWOSTX, SHODIMOSTX I DRUGIE SWOJSTWA, TAK KAK \TI KA^ESTWA SHEMY NE SLEDU@T IZ EE KONSERWATIWNOSTI. mETOD BALANSA, ILI INTEGROINTERPOLQCIONNYJ METOD (SM. SSYLKU NA S. 613), IROKO PRIMENQETSQ NA PRAKTIKE1). pOLU^A@]IESQ PRI \TOM SHEMY SKWOZNOGO S^ETA SHODQTSQ W KLASSE RAZRYWNYH KO\FFICIENTOW. rASSMOTRIM TEPERX PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OBLASTI (0 6 x 6 1, 0 6 t 6 T ):  9 @u = Lu + f (x
t)
0 < x < 1
t > 0
Lu = @ k @u
> @t @x @x > >

= > > > 

(70) u(0
t) = 1 (t)
u(1
t) = 2 (t)
u(x
0) = u0 (x)
0 < c1 6 k(x
t) 6 c2
1) sM., NAPRIMER: s A M A R S K I J a. a., p O P O W `. p. rAZNOSTNYE METODY REENIQ ZADA^ GAZOWOJ DINAMIKI. m., 1992 m A R ^ U K g. i. ~ISLENNYE METODY RAS^ETA QDERNYH REAKTOROW. m., 1958.

616

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

GDE c1 , c2 | POSTOQNNYE. dLQ EE REENIQ NA SETKE !h (SM. x 1, P. 1) WOSPOLXZUEMSQ DWUHSLOJNOJ SHEMOJ (69), POLU^ENNOJ METODOM BALANSA: 9 yt = * (y + (1 ; ) y+) + '
0 < x = ih < 1
t = j > 0
> = (71) y(0
t) = 1 (t)
y(1
t) = 2 (t)
t 2 !
>  y(x
0) = u0 (x)
x 2 !h
GDE *y = (a (x
tj+1=2 ) yx )x ESTX OPERATOR 2-GO PORQDKA APPROKSIMACII PO h. dLQ OPREDELENIQ y = yij+1 IZ (71) POLU^AEM KRAEWU@ ZADA^U ) Ai+1 yi+1 ; Ci yi + Ai yi;1 = ;Fi
0 < i < N
(72) y0 = 1
yN = 2
GDE Ai = =h2  ai , Ci = Ai + Ai+1 + 1, A Fi WYRAVAETSQ ^EREZ yj . oCENIM POGRENOSTX APPROKSIMACII SHEMY (71). pUSTX y(x
t) | REENIE ZADA^I (71), A u = u(x
t) | REENIE ISHODNOJ ZADA^I (70). pODSTAWLQQ W (71) yj = z j + uj , POLU^IM DLQ RAZNOSTI z = y ; u USLOWIQ zt = * (z + (1 ; ) z+) + 
z0 = zN = 0
z (x
0) = 0
(73) GDE  = * (u + (1 ; ) u+) + ' ; ut | POGRENOSTX APPROKSIMACII DLQ SHEMY (71) NA REENII u = u(x
t) URAWNENIQ (70). u^ITYWAQ, ^TO *u = = Lu + O(h2 ), ' = f j+1=2 , ut = (@u=@t)j+1=2 + O( 2 ), u + (1 ; ) u+ = (u + + ( ; 0
5)  u_ )j+1=2 + O( 2 ), POLU^AEM  = ( ; 1=2)  (Lu_ )j+1=2 + O( 2 + + h2 ), ESLI u(x
t) I k(x
t) | DOSTATO^NO GLADKIE FUNKCII (u 2 C (43) , k 2 C (30) ). oTS@DA WIDNO, ^TO SIMMETRI^NAQ SHEMA ( = 0
5) IMEET 2-J PORQDOK APPROKSIMACII PO h I  . pEREJDEM K ISSLEDOWANI@ USTOJ^IWOSTI SHEMY (71) PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI. tAK KAK z + (1 ; ) z+ = 0
5 (z + z+) + ( ; ; 0
5) zt, TO (73) MOVNO ZAPISATX W WIDE zt ; ( ; 0
5)  *zt ; 0
5 * (z + z+) = 
z0 = zN = 0: (74) bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO z (x
0) = z0(x)
(75)

0 < c1 6 a 6 c2
jatj 6 c3
ILI ja ; a+j 6 c3 : (76) dEJSTWUQ TAK VE, KAK W P. 3, NAPIEM \NERGETI^ESKOE TOVDESTWO DLQ ZADA^I (74) | (76), ANALOGI^NOE TOVDESTWU (33): 2 kztk2 ; 2 2 ( ; 0
5) (*zt
zt) ; (* (z + z+)
z ; z+) = 2 (
zt): (77)

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

617

w SILU FORMULY gRINA (19) IMEEM2 ;(*2v
v) = (a
vx2 ], ;(* (z + z+)
z ; z+) = (a (zx + z+x)
zx ; z+x ] = (a
zx] ; (a
z+x]. pREDSTAWLQQ ZATEM a W WIDE a = a+ + (a ; a+) = a+ + at I POLXZUQSX USLOWIEM jatj 6 c3 , BUDEM IMETX a 6 (1 + c4 ) a+, c4 = c3 =c1, (a
z+x2 ] 6 (1 + c4  ) (+a
z+x2 ]. pODSTAWIM \TU OCENKU W (77): h ; !i ; ! ; ! 2 kztk2 + ( ; 1=2)  a
zx2t + a
zx2 6 (1 + c4  ) a+
z+x2 + 2 (
zt): (78)

iSSLEDUEM SNA^ALA USTOJ^IWOSTX SHEMY (74) PO NA^ALXNYM DANNYM. dLQ \TOGO POLOVIM W (78)  = 0. pOKAVEM, ^TO WYRAVENIE W KWADRATNYH SKOBKAH NEOTRICATELXNO PRI  > 0
5 ; h2 =(4c2  ). pRI  > > 0
5 \TO O^EWIDNO. pUSTX  < 0
5. pO ANALOGII S P. 4 NAHODIM kvk2 ; (0
5 ; )  (a
vx2 ] > kvk2 ; (0
5 ; )c2  kvx k2 >  > 1 ; (0
5 ; ) 4hc22 kvk2 > 0 PRI 1 ; (0
5 ; ) 4c2 h;2 > 0 (ZDESX v = zt). pO\TOMU IZ (78) SLEDUET   kzk2 6 (1 + c  ) kz+k2 6 1 + c4 2 kz+k2
GDE kzk2 = (a
z2 ]
(1)

4

(1)

kzj k(1) 6 (1 + 0
5 c4 ) kzj;1k(1) 6

(1)

2



1 + c42

j

x

(1)

(79)

kz0k(1) 6 e05 c tj kz0k(1): 4

(80)

tAKIM OBRAZOM DOKAZANA SLEDU@]AQ TEOREMA. rAZNOSTNAQ SHEMAp(71) (ILI (74)) USTOJ^IWA PO NA^ALXNYM DANNYM W NORME kz k(1) = (a
zx2 ] PRI 2  > 21 ; 4hc  : (81) 2 w \TOM SLU^AE DLQ REENIQ ZADA^I (74) | (76) PRI  = 0 SPRAWEDLIWA OCENKA kzj k(1) 6 M1 kz0k(1)
GDE M1 = e05 c4 T : (82) iZ (81) SLEDUET, ^TO QWNAQ SHEMA ( = 0) zt = *+z USTOJ^IWA PRI  6 h2 =2c2, T. E. AG PO WREMENI DLQ USTOJ^IWOSTI QWNOJ SHEMY DOLVEN BYTX TEM MENXE, ^EM BOLXE MAKSIMUM KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI. pO\TOMU QWNYE SHEMY NECELESOOBRAZNO ISPOLXZOWATX DLQ URAWNENIJ S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI. dOKAVEM TEOREMU. dLQ REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I (74) | (76) PRI  > 0
5 SPRAWEDLIWA OCENKA max (83) !  kz k(1) 6 M1 kz0 k(1) + M2 max !  k k


618

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

GDE

q

kzk(1) =

(a
zx2 ]:

oBRATIMSQ K NERAWENSTWU (78): 2 kztk2 + (a
zx2 ] 6 (1 + c4  ) (+a
z+x2 ] + 2 (
zt) PRI  > 21 : pODSTAWLQQ S@DA OCENKU (46), POLU^AEM (PRI c0 = 2) (a
zx2 ] 6 (1 + c4  ) (+a
z+x2 ] + 2 kk2: rEIW \TO NERAWENSTWO (PO ANALOGII S P. 4): " # j X  j 2 0 2 k 2 kz k 6 M kz k + k k
M 0 = ec4T
(1)

1

0 (1)

2 k=1

(84) (85)

1

PRIHODIM K OCENKE (83). 2 eSLI U^ESTX, ^TO (a
zx ] > c1 kzx k2 > 4c1 kz k20, TO IZ (83) DLQ REENIQ ZADA^I (73) POLU^IM max kzk0 6 M max kk
(86) !  !  GDE s 0 1 M= M kzk0 = max jzj: !h 8c1
tEM SAMYM DOKAZANA SLEDU@]AQ TEOREMA. eSLI SHEMA (71) USTOJ^IWA (PRI  > 0
5) I APPROKSIMIRUET URAWNENIE (70), TO ONA SHODITSQ, PRI^EM PORQDOK EE TO^NOSTI SOWPADAET S PORQDKOM APPROKSIMACII.

pUSTX SETKA ! h NERAWNOMERNA, ! h
= fxi , i = 0 1 : : :  N g, EE AG hi = = xi ; xi;1 ZAWISIT OT i. tOGDA W (71) WMESTO )y SLEDUET PODSTAWITX WYRAVENIE (SR. S (15) IZ x 1, P. 2)   ; yi ; a yi ; yi;1  h = 1 (h + h ): )yi = (ayx )x^i = h1 ai+1 yi+1 i i 2 i i+1 hi+1 hi i (87) pOGRENOSTX APPROKSIMACII DLQ ) MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE i = )ui ; Lui = h1 (i+1 ; i ) + O(h2i + h2i+1 ) i

GDE  = O(h2i ), T. E. kk0 = O(h0 ), kk2 = O(h0 ). oDNAKO, KAK BYLO POKAZANO W P. 2, DLQ kk3 WERNA OCENKA 2N ;1 i !2 31=2 X X kk3 = 4 hi hk k 5 = O(h20 ) GDE h0 = max hi : i=1 k=1 sHEMA MOVET BYTX POLU^ENA METODOM BALANSA.

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

619

eSLI KO\FFICIENT k(x t) IMEET RAZRYW 1-GO RODA NA LINII x = const (NEPODWIVNYJ RAZRYW) ILI x = (t) (DWIVU]IJSQ RAZRYW), TO SHEMA (71) POPREVNEMU SHODITSQ, ODNAKO PORQDOK EE TO^NOSTI, WOOB]E GOWORQ, PONIVAETSQ. w SLU^AE NEPODWIVNOGO RAZRYWA (PRI x = const) CELESOOBRAZNO WYBIRATX SETKU TAK, ^TOBY TO^KA RAZRYWA x = const BYLA UZLOM SETKI !h . |TO PRIWODIT K NERAWNOMERNYM SETKAM. oDNAKO PORQDOK TO^NOSTI (2-J PO h) SHEMY (71) NA TAKOJ SETKE SOHRANQETSQ I W SLU^AE RAZRYWNOGO k. oCENKA PORQDKA TO^NOSTI W SLU^AE RAZRYWNYH KO\FFICIENTOW I NERAWNOMERNOJ SETKI ZNA^ITELXNO USLOVNQETSQ. pRI \TOM SPRAWEDLIWA OCENKA WIDA (86), ODNAKO W PRAWOJ ^ASTI (86) WMESTO kk STOIT NORMA SPECIALXNOGO WIDA kk3 , UKAZANNAQ WYE.

dO SIH POR MY RASSMATRIWALI KRAEWYE USLOWIQ 1-GO RODA. oNI UDOWLETWORQ@TSQ NA SETKE !h TO^NO, I PO\TOMU TO^NOSTX RAZNOSTNOJ SHEMY OPREDELQETSQ PORQDKOM APPROKSIMACII URAWNENIQ. kRAEWYE USLOWIQ 3-GO RODA APPROKSIMIRU@TSQ PRIBLIVENNO. eSTESTWENNO TREBOWATX, ^TOBY PORQDOK IH APPROKSIMACII SOWPADAL S PORQDKOM APPROKSIMACII DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ. pRIWEDEM RAZNOSTNYE KRAEWYE USLOWIQ 3-GO RODA BEZ WYWODA1). rASSMOTRIM SNA^ALA KRAEWU@ ZADA^U (ku0 )0 ; qu = ;f (x)
0 < x < 1 k(x) > 0
q(x) > 0 (88) 0 0 k(0) u (0) = 1 u(0) ; 1  ;k(1) u (1) = 2 u(1) ; 2
GDE 1 > 0, 2 > 0. uRAWNENIE ZAMENQETSQ SHEMOJ (58), A USLOWIQ PRI x = 0, x = 1 | RAZNOSTNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI 3-GO RODA a1 yx0 = ~1 y0 ; ~1
;aN yxN = ~2 yN ; ~2
(89) GDE a1 = a(h), aN = a(xN ) = a(1), ~1 = 1 + 0
5 hq(0), ~2 = 2 + 0
5 hq(1), ~1 = 1 + 0
5 hf (0), ~2 = 2 + 0
5 hf (1). |TI USLOWIQ APPROKSIMIRU@T USLOWIQ (88) NA REENII u = u(x) ZADA^I (88) S PORQDKOM O(h2 ). rAZREAQ (89) OTNOSITELXNO y0 I yN , POLU^AEM DRUGU@ ZAPISX KRAEWYH USLOWIJ 3-GO RODA: y0 = {1 y1 + 1
yN = {2 yN ;1 + 2
(90) GDE {1 = a1 =(a1 + h~1 ), {2 = aN =(aN + h~2 ), 1 = h~1 =(a1 + h~1 ), 2 = = h~2 =(aN + h~2 ): oBRATIMSQ TEPERX K TRETXEJ KRAEWOJ ZADA^E DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (70). pUSTX PRI x = 0, x = 1 ZADANY USLOWIQ 9 > k @u =  ( t ) u ;  ( t ) PRI x = 0
1 1 = @x (91)

>  ;k @u =  ( t ) u ;  ( t ) PRI x = 1 : 2 2 @x 1) sM.: s A M A R S K I J a. a. oDNORODNYE RAZNOSTNYE SHEMY DLQ NELINEJNYH URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA // vwm I mf. 1962. t. 2,  1. s. 25{ 56. uSLOWIQ (89) I (92) MOGUT BYTX POLU^ENY METODOM BALANSA.

620

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

rAZNOSTNYE KRAEWYE USLOWIQ 3-GO RODA W \TOM SLU^AE IME@T WID 9 a1 (yx0 + (1 ; ) y+x0 ) = 0
5 hyt0 + 1 (y0 + (1 ; ) y+0 ) ; ~1
> > = ~1 = 1 + 0
5 hf (0
t)
;aN (yxN + (1 ; ) y+xN ) = 0
5 hytN + 2 (yN + (1 ; ) y+N ) ; ~2
>> ~2 = 2 + 0
5 hf (1
t)


(92)

GDE a1 , aN , 1 , 2 , ~1 , ~2 BERUTSQ W MOMENT t = tj+05 ,  | PARAMETR, WHODQ]IJ W URAWNENIE (71). oNI IME@T TOT VE PORQDOK APPROKSIMACII O(h2 + ( ; 0
5)  +  2 ) NA REENII u = u(x
t) (URAWNENIQ (70) S USLOWIQMI (91)), ^TO I SHEMA (71). u^ITYWAQ, ^TO y+ = yj IZWESTNY DLQ WSEH i = 0
1
: : :
N , NETRUDNO PRIWESTI (92) K S^ETNOMU WIDU (90). wYRAVENIQ DLQ {1 , {2 , 1 I 2 NE WYPISYWAEM . w REZULXTATE DLQ OPREDELENIQ y = yj+1 POLU^IM RAZNOSTNOE URAWNENIE (72) S KRAEWYMI USLOWIQMI (90).

9. tREHSLOJNYE SHEMY. pOMIMO DWUHSLOJNYH SHEM, RASSMOTRENNYH W P. 8, DLQ ^ISLENNOGO REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (70) ISPOLXZU@TSQ TREHSLOJNYE SHEMY, SWQZYWA@]IE ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII y DLQ TREH MOMENTOW WREMENI t = tj+1 , tj , tj;1 (NA TREH SLOQH)1) . ~ASTO PRIMENQ@TSQ TREHSLOJNYE SIMMETRI^NYE SHEMY j y +1 ; yj;1 = ) (yj+1 + (1 ; 2) yj + yj;1 ) + 'j ('j = f j ) (93) 2 GDE )y = (a(x tj ) yx )x. oNI IME@T POGRENOSTX APPROKSIMACII O(h2 +  2 ) PRI L@BOM . dLQ TREHSLOJNOJ SHEMY (93) POMIMO y(x 0) NEOBHODIMO ZADAWATX ZNA^ENIE y(x  ) PRI t =  . |TO MOVNO SDELATX DWUMQ SPOSOBAMI: 1) ISPOLXZUQ 2 FORMULU u(x  ) = u(x 0) +  @u (70), POLU^ITX @t (x 0) + O( ) I URAWNENIE 0 0 y(x  ) = u0 (x) +  Lu + f ]t=0 = u0 (x) +  (k(x 0) u0 ) + f (x 0)] 2) ISPOLXZOWATX DLQ OPREDELENIQ y(x  ) DWUHSLOJNU@ SHEMU 2-GO PORQDKA TO^NOSTI: yt = 05 ) (y + y*) + ' PRI t =  . iTAK, PUSTX ZADANY NA^ALXNYE USLOWIQ y(x 0) = u0 (x) y(x  ) = u0 (x) x 2 ! h : (94) pRI x = 0, x = 1 STAWQTSQ KRAEWYE USLOWIQ, NAPRIMER, 1-GO RODA. pOKAVEM, ^TO SHEMA (93) USTOJ^IWA PO NA^ALXNYM USLOWIQM I PO PRAWOJ ^ASTI PRI  > 1=4: (95) dLQ \TOGO RASSMOTRIM ODNORODNYE GRANI^NYE USLOWIQ y0 = 0, yN = 0. wWEDEM OBOZNA^ENIQ y = yj+1 , y* = yj , y* = yj;1 I PEREPIEM SHEMU (93) W WIDE y ; y* = )y() + ' y() = y + (1 ; 2) y* + y*: (96) 2 1) sM.: r I H T M A J E R r. d. rAZNOSTNYE METODY REENIQ KRAEWYH ZADA^. m., 1972.

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

621

uMNOVIM URAWNENIE (96) NA 2yi() h, PROSUMMIRUEM PO i = 1 2 : : :  N ; 1 I U^TEM TOVDESTWA (y ; y*) y() = h   i h   i = 21 (y2 + y*2) +  ; 21 (y ; y*)2 ; 12 (*y2 + y*2 ) +  ; 21 (*y ; y*)2  1 (y2 + y*2 ) = 1 (y + y*)2 + 1 (y ; y*)2 : 2 4 4

w REZULXTATE BUDEM IMETX

  2 

kyk2(1) + 2 a yx() GDE





= ky*k2(1) + 2 ' y() 





kyk2(1) = 14 ky + y*k2 +  ; 14 ky ; y*k2 

kyk2(1) > 41 ky ; y*k2 pOLXZUQSX ZATEM NERAWENSTWAMI 2 (' y() ) 6 c

0

ky() k2 +

 2 c0 k'k 

  2 () a yx

I WYBIRAQ c0 = 8c1 , POLU^AEM kyk2(1) 6 ky*k2(1) + 8c k'k2 : 1 oTS@DA SLEDUET OCENKA

j

(98)

 > 14 :

PRI

X k2 kyj k(1) 6 ky( )k(1) + p81c  k' k 1 k=1

(97)

!1=2

> 4c1 ky() k2 (99)

(100) PRI  > 14 : |TA OCENKA POZWOLQET DOKAZATX SHODIMOSTX SHEMY (93) | (94) SO SKOROSTX@ O(h2 +  2 ) PRI  > 1=4. uKAVEM E]E ODNU TREHSLOJNU@ SHEMU: ) 3 (yj+1 ; yj ) ; 1 (yj ; yj;1 ) = )yj+1 + 'j+1  j +1 = f j +1  ' 2 2 (101) ;; & & )y = a x tj+1 yx x : oNA BEZUSLOWNO USTOJ^IWA I IMEET TO^NOSTX O(h2 +  2). dLQ OPREDELENIQ yj+1 IZ (101) POLU^AEM ZADA^U (72) c j j ;1 Ai = h12 ai  Ci = Ai + Ai+1 + 23  Fi = 'i + 4yi ; yi  KOTORAQ REAETSQ METODOM PROGONKI (cM. P. 10).

622

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

dLQ URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA @ 2 u = Lu + f Lu = @ k(x t) @u   (102) @x @x @t2 u(0 t) = u1 (t) u(1 t) = u2 (t) u(x 0) = u0 (x) @u @t (x 0) = u0 (x) (103) RAZNOSTNYE SHEMY DOLVNY SODERVATX NE MENEE TREH SLOEW. sIMMETRI^NYE SHEMY yj+1 ; 2yj + yj;1 = )j (yj+1 + (1 ; 2) yj + yj;1 ) + f j (104) 2 IME@T APPROKSIMACI@ O(h2 +  2 ) I USTOJ^IWY PRI 2  > 14 ; 4h2 c : 2 w ^ASTNOSTI, QWNAQ SHEMA ( = 0) USLOWNO USTOJ^IWA PRI  6 phc : 2 hOTQ WSE USTOJ^IWYE SHEMY (104) IME@T ODIN I TOT VE PORQDOK TO^NOSTI, NO NA REALXNYH SETKAH, KAK POKAZYWA@T ^ISLENNYE \KSPERIMENTY, TO^NOSTX SHEMY UWELI^IWAETSQ S UMENXENIEM . pO\TOMU MOVNO REKOMENDOWATX POLXZOWATXSQ BEZUSLOWNO USTOJ^IWYMI SHEMAMI PRI  = 1=4.

10. rEENIE SISTEM RAZNOSTNYH URAWNENIJ. mETOD PROGONKI. nEQWNYE SHEMY DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI PRIWODQT K SISTEME ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ DLQ ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII yij+1 NA NOWOM SLOE t = tj+1 . |TA SISTEMA URAWNENIJ IMEET WID Ai yi;1 ; Ci yi + Bi yi+1 = ;Fi
0 < i < N
(105) GDE Fi | ZADANNAQ FUNKCIQ. dLQ URAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI Ai = 
Bi = 
Ci = 1 + 2
 = h2 : dLQ URAWNENIQ S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI Ai = ai
Bi = ai+1 = Ai+1
Ci = Ai + Ai+1 + 1: w SLU^AE NERAWNOMERNOJ SETKI Ai = hahi 
Bi = hahi+1 
Ci = Ai + Bi + 1: i i

i i+1

kRAEWYE USLOWIQ 1-GO I 3-GO RODA, RASSMOTRENNYE NAMI W x 1 I 2, MOVNO ZAPISATX W WIDE y0 = {1 y1 + 1
yN = {2 yN ;1 + 2 : (106)

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

623

pRI {1 = 0, {2 = 0 OTS@DA SLEDU@T USLOWIQ 1-GO RODA y0 = 1 , yN = 2 . iTAK, RASSMOTRIM URAWNENIE (105) S KRAEWYMI USLOWIQMI (106) I PREDPOLOVIM, ^TO ) Ai > 0
Bi > 0
Ci > Ai + Bi
ILI Ci = Ai + Bi + Di
Di > 0
(107) 0 6 { < 1
= 1
2: pRI \TIH USLOWIQH, KAK BUDET POKAZANO NIVE, ZADA^A (105) | (106) RAZREIMA. dLQ NAHOVDENIQ EE REENIQ MOVNO PRIMENQTX OBY^NYE METODY LINEJNOJ ALGEBRY. w METODE PROGONKI, ILI METODE FAKTORIZACII1), U^ITYWAETSQ SPECIALXNYJ WID MATRICY SISTEMY URAWNENIJ (105): ONA TREHDIAGONALXNA. bUDEM ISKATX REENIE ZADA^I (105) | (106) W WIDE yi = i+1 yi+1 + i+1
i = 0
1
2
: : :
N ; 1
(108) GDE i I i | NEIZWESTNYE POKA FUNKCII. pODSTAWLQQ yi;1 = i yi + i W (105), ISKL@^IM yi;1 I POLU^IM (Ai i ; Ci ) yi + Bi yi+1 + (Ai i + Fi ) = = 0, POSLE ^EGO PRI POMO]I (108) ISKL@^IM yi : (Ai i ; Ci ) i+1 + Bi ] yi+1 + (Ai i ; Ci ) i+1 + (Ai i + Fi )] = 0: uRAWNENIE (105) BUDET UDOWLETWORENO, ESLI WYRAVENIQ W KWADRATNYH SKOBKAH RAWNY NUL@. iZ \TIH DWUH RAWENSTW NAHODIM REKURRENTNYE FORMULY DLQ OPREDELENIQ i+1 I i+1 : + Fi
i+1 = C ;BAi
i+1 = CAi ;i A i = 1
2
: : :
N ; 1: i i i i i i (109) sRAWNIWAQ FORMULU y0 = 1 y1 + 1 S KRAEWYM USLOWIEM (106) PRI i = 0, NAHODIM 1 = {1
1 = 1 : (110) rEAQ (109) S NA^ALXNYMI USLOWIQMI (110), NAJDEM i , i , i = = 1
2
: : :
N . ~TOBY POLXZOWATXSQ FORMULOJ (108) NA^INAQ S i = N ; 1, NADO ZNATX yN . oPREDELIM yN ^EREZ N I N IZ KRAEWOGO USLOWIQ (106) PRI i = = N . iSKL@^AQ yN ;1 IZ FORMUL yN = {2 yN ;1 + 2 , yN ;1 = N yN + N , NAHODIM yN = 12;+{{2 N (111) 2 N PRI USLOWII, ^TO 1 ; {2 N 6= 0. 1) sM.:

s A M A R S K I J a. a., n I K O L A E W e. s. mETODY REENIQ SETO^NYH URAWNENIJ. m., 1978 m A R ^ U K g. i. ~ISLENNYE METODY RAS^ETA QDERNYH REAKTOROW. m., 1958 g O D U N O W s. k., r Q B E N X K I J w. s. rAZNOSTNYE SHEMY. wWEDENIE W TEORI@. m., 1977.

624

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

pOKAVEM, ^TO IZ USLOWIJ (107) SLEDUET 0 6 i < 1 DLQ WSEH i = = 1
2
: : :
N . iZ FORMULY i+1 = Bi =Bi + Ai (1 ; i ) + Di ] WIDNO, ^TO 0 < i+1 < 1, ESLI 0 6 i < 1, I, SLEDOWATELXNO, 0 6 i < 1 DLQ i = 1
2
: : :
N , TAK KAK 1 = {1 < 1. tAKIM OBRAZOM, 1 ; {2 N > 0 PRI 0 6 {2 < 1 I FORMULA (111) IMEET SMYSL. rEENIE ZADA^I (105) | (106) SOSTOIT IZ DWUH \TAPOW: 1) PO NA^ALXNYM DANNYM (110) I FORMULAM (109) POSLEDOWATELXNO OPREDELQ@TSQ i , ZATEM i DLQ i = 1
2
: : :
N (S^ET IDET SLEWA NAPRAWO | OT i K i + 1) 2) IZ (111) NAHODITSQ yN I ZATEM PO FORMULE (108) POSLEDOWATELXNO (SPRAWA NALEWO | OT i + 1 K i) OPREDELQ@TSQ yN ;1 , yN ;2, : : : : : : , y1 , y0 . s^ET PO FORMULAM (108) USTOJ^IW, TAK KAK 0 6 i < 1. oTMETIM TAKVE WARIANT FORMUL PROGONKI:

i = C ;ABi 
i = 1
2
: : :
N ; 1
N = {2  (112) i i i+1 i i+1 + Fi i = B (113) Ci ; Bi i+1
i = 1
2
: : :
N ; 1
N = 2  yi+1 = i+1 yi + i+1
i = 1
2
: : :
N ; 1
y0 = 11 ;+{{11 : (114) 1 1 pORQDOK S^ETA: 1) PO FORMULAM (112) I (113) POSLEDOWATELXNO OT i + 1 K i (SPRAWA NALEWO) OPREDELQETSQ SNA^ALA i , ZATEM i DLQ i = N ; ; 1
N ; 2
: : :
1
0 2) PO FORMULAM (114) POSLEDOWATELXNO OT i K i + 1 (SLEWA NAPRAWO) NAHODQTSQ y1, y2 , : : : , yN . nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO ^ISLO ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ, PROIZWODIMYH PRI REENII ZADA^I (105) | (106), PROPORCIONALXNO ^ISLU URAWNENIJ.

11. rAZNOSTNYE METODY REENIQ KWAZILINEJNYH URAWNENIJ. pRI IZU^ENII WYSOKOTEMPERATURNYH PROCESSOW NEOBHODIMO U^I-

TYWATX ZAWISIMOSTX KO\FFICIENTOW TEPLOEMKOSTI I TEPLOPROWODNOSTI OT TEMPERATURY. mO]NOSTX TEPLOWYH ISTO^NIKOW TAKVE MOVET ZAWISETX OT TEMPERATURY, ESLI, NAPRIMER, TEPLO WYDELQETSQ W REZULXTATE HIMI^ESKOJ REAKCII. w REZULXTATE MY POLU^AEM DLQ OPISANIQ PROCESSA RASPROSTRANENIQ TEPLA KWAZILINEJNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI  @u  @u @ c(u) @t = @x k(u) @x + f (u)
c(u) > 0
k(u) > 0: (115) w OB]EM SLU^AE c = c(x
t
u), k = k(x
t
u), f = f (x
t
u). w NEODNORODNOJ SREDE k I c MOGUT BYTX RAZRYWNYMI FUNKCIQMI ARGUMENTOW x I u (DLQ RAZNYH WE]ESTW ZAWISIMOSTX k, c OT TEMPERATURY RAZLI^NA). uRAWNENIE WIDA (115) WSTRE^AETSQ TAKVE PRI IZU^ENII PRONIKNOWENIQ MAGNITNOGO POLQ W SREDU, KO\FFICIENT MAGNITNOJ WOSPRIIM^IWOSTI KOTOROJ ZAWISIT OT MAGNITNOGO POLQ.

x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

625

uRAWNENIE (115) ZAMENOJ ISKOMOJ FUNKCII PRIWODITSQ K ODNOMU IZ WIDOW:   @u = @ k(u) @u
(116) @t @x @x @'(u) = @ 2 u + f (u): (117) @t @x2 R w SAMOM DELE, WWEDQ, NAPRIMER, FUNKCI@ v = 0u c(u) du, POLU^IM DLQ NEE URAWNENIE (116). w NASTOQ]EE WREMQ METOD KONE^NYH RAZNOSTEJ POZWOLQET \FFEKTIWNO NAJTI REENIE KWAZILINEJNYH URAWNENIJ. rASSMOTRIM PROSTEJIE DWUHSLOJNYE SHEMY DLQ URAWNENIQ (115). oNI MOGUT BYTX POLU^ENY METODOM BALANSA PO ANALOGII S P. 7, ESLI U^ESTX, ^TO W = ;k(u) @u=@x. dLQ KWAZILINEJNYH URAWNENIJ ISPOLXZOWANIE QWNYH SHEM NECELESOOBRAZNO, ESLI k(u) QWLQETSQ BYSTROMENQ@]EJSQ (NAPRIMER, STEPENNOJ) FUNKCIEJ, TAK KAK USLOWIE USTOJ^IWOSTI h2  6 2 max k(u) TREBUET O^ENX MELKOGO AGA  PO WREMENI. pO\TOMU PRIMENQ@TSQ NEQWNYE SHEMY | LINEJNYE I NELINEJNYE OTNOSITELXNO yj+1 . w SLU^AE NELINEJNYH SHEM PRIMENQ@TSQ ITERACIONNYE METODY DLQ NAHOVDENIQ yj+1 . rASSMOTRIM NEKOTORYE NEQWNYE SHEMY. A) nEQWNYE SHEMY S POGRENOSTX@ APPROKSIMACII O(h2 +  ): yij+1 ; yij = 1 ha (yj ) yj+1 ; yj+1  ; i+1 i  h2 i+1  i ; ai(yj ) yij+1 ; yij;+11 + f (yij )
(118) yij+1 ; yij = 1 ha (yj+1 ) yj+1 ; yj+1  ; i+1 i  h2 i+1  i ; ai(yj+1 ) yij+1 ; yij;+11 + f (yij+1 )
GDE y + y  a (y) = k i;1 i : i

2

(119) (120)

pRI x = 0, x = 1 STAWQTSQ KRAEWYE USLOWIQ, NAPRIMER y0 = u1 , yN = u2 . 40 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

626

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

pERWAQ SHEMA LINEJNA OTNOSITELXNO yij+1 | ZNA^ENIQ y NA NOWOM SLOE t = tj+1 . rEENIE RAZNOSTNOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ yij+1 NAHODITSQ METODOM PROGONKI (SM. P. 10). wTORAQ SHEMA (119) NELINEJNA OTNOSITELXNO yij+1 . dLQ REENIQ POLU^A@]EJSQ SISTEMY NELINEJNYH URAWNENIJ PRIMENQ@TSQ ITERAyi W CIONNYE METODY. nAPIEM URAWNENIE DLQ OPREDELENIQ ITERACIJs+1 SLU^AE PROSTEJEGO ITERACIONNOGO METODA: s s+1 s s+1 s s+1 s (121) Ai yi;1 ; C i yi + Ai+1 yi+1 = ;F i
GDE s s s s s s  s Ai = h2 ai (y)
C i =Ai +Ai+1 + 1
F i = yij + f (y i )
s = 0
1
2
: : : | NOMER ITERACII. w KA^ESTWE NULEWOGO PRIBLIVENIQ OBY^NO BERUT ZNA^ENIE yij S PREDYDU]EGO SLOQ, POLAGAQ y0 i = yij  INOGDA PRIMENQ@T \KSTRAPOLQCI@ S ISPOLXZOWANIEM yij;1 (ESLI yij KAK FUNKCIQ j MONOTONNA). rEENIE URAWNENIJ (121) OTNOSITELXNOsy+1i S KRAEWYMI USLOWIQMI PRI i = 0, i = = N 1-GO ILI 3-GO RODA NAHODITSQ METODOM PROGONKI (SM. P. 10). dLQ OKON^ANIQ ITERACIJ ISPOLXZUETSQ USLOWIE 16max js+1y ; ys i j < " ILI VE i6N ;1 i ZADAETSQ OPREDELENNOE ^ISLO ITERACIJ. oBY^NO UVE DWE-TRI ITERACII ZAMETNO POWYA@T TO^NOSTX. iTERACIONNYE SHEMY (119) POZWOLQ@T DLQ OBESPE^ENIQ ZADANNOJ TO^NOSTI ISPOLXZOWATX BOLEE KRUPNYJ AG PO WREMENI PO SRAWNENI@ S BEZYTERACIONNYMI SHEMAMI (118), ^TO ^ASTO PRIWODIT K ZNA^ITELXNOMU UMENXENI@ OB_EMA WY^ISLITELXNOJ RABOTY. B) sIMMETRI^NAQ ESTITO^E^NAQ SHEMA O(h2 +  2 ):

! yij+1 ; yij = 1 h(ay )j+1 + (ay )j i + f yij+1 + yij
(122) x xi x xi  2 2 y + y  GDE ai = k i;12 i . |TO NELINEJNAQ SHEMA, I DLQ OPREDELENIQ yij+1 NUVNY ITERACII. w SLU^AE SLABOJ KWAZILINEJNOSTI, KOGDA k NE ZAWISIT OT u, A PRAWAQ ^ASTX f (u) NELINEJNA, MOVNO STROITX BEZYTERACIONNYE SHEMY 2-GO PORQDKA APPROKSIMACII. nAPIEM TAKU@ SHEMU (PRI k = const = 1): yj+1 ; yj = 0
5 * (yj+1 + yj ) + f (y)
y ; yj = *y + f (yj )
0
5   (123) *y = yxx


x 2]

shemy dlq urawneniq teploprowodnosti

627

GDE y | PROMEVUTO^NOE ZNA^ENIE. sNA^ALA PRIMENQETSQ S AGOM 0
5  I PRAWOJ ^ASTX@ f (yj ) ^ISTO NEQWNAQ SHEMA, ZATEM S AGOM  I PRAWOJ ^ASTX@ f (y) | SIMMETRI^NAQ ESTITO^E^NAQ SHEMA. w REZULXTATE POLU^AETSQ SHEMA 2-GO PORQDKA APPROKSIMACII PO h I  . iNOGDA DLQ REENIQ KWAZILINEJNYH URAWNENIJ ISPOLXZU@TSQ SIMMETRI^NYE TREHSLOJNYE SHEMY (93) W \TOM SLU^AE k(u) I f (u) BERUTSQ NA AGE j . oDNAKO PREDPO^TENIQ ZASLUVIWAET NELINEJNAQ SHEMA, ANALOGI^NAQ SHEME (101). p R I M E R. pRIWEDEM REZULXTATY ^ISLENNYH RAS^ETOW PO SHEME (119) DLQ SLU^AQ k(u) = {0 u , {0 > 0
 > 0, f = 0. uRAWNENIE @u @t =   @ { u @u IMEET REENIQ, PROIZWODNYE KOTORYH W TO^KAH, = @x 0 @x @u NEPRERYWEN, T. E. SU]ESTWUET GDE u = 0, RAZRYWNY, A POTOK {0 u @x FRONT TEMPERATURY, KOTORYJ RASPROSTRANQETSQ S KONE^NOJ SKOROSTX@ (RIS. 87). pRIMEROM TAKOGO REENIQ QWLQETSQ FUNKCIQ

(

!

1= ;1 u(x
t) = c{0 (ct ; x)
x 6 ct
0
x > ct


GDE c | SKOROSTX TEMPERATURNOJ WOLNY. |TA FUNKCIQ QWLQETSQ REENIEM ZADA^I   @u = @ { u @u
@t @x 0 @x x > 0


t > 0


u(x
0) = 0
u(0
t) = u0 t1=
GDE

 2 1= u0 = c : { 0

rIS. 87 dLQ \TOGO PRIMERA PO SHEME (119) BYLI PROWEDENY RAS^ETY S PARAMETRAMI  = 2, {0 = 0
5, c = 5, h = 0
2 (^ISLO TO^EK N = 50) I AGOM  = 2  10;4. tO^NOE REENIE I REZULXTATY RAS^ETA NANESENY NA RIS. 87. wS@DU, KROME NESKOLXKIH BLIVAJIH K FRONTU UZLOW, OTKLONENIE SOS^ITANNOGO REENIQ OT TO^NOGO NE PREWOSHODIT 0
02. ~I40


628

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

SLO ITERACIJ  6 3 (" = 10;3). sPLONAQ LINIQ NA RIS. 87 | TO^NOE REENIE, KRUVKI | RAS^ETNYE TO^KI1). oTMETIM, ^TO SHEMA (122) NE UDOWLETWORQET PRINCIPU MAKSIMUMA (NEMONOTONNA) I PO\TOMU PRI RAS^ETE TEMPERATURNOJ WOLNY DAET HUDIE REZULXTATY PO SRAWNENI@ S MONOTONNOJ SHEMOJ (119).

x 3. mETOD KONE^NYH RAZNOSTEJ

DLQ REENIQ ZADA^I dIRIHLE 1. rAZNOSTNAQ APPROKSIMACIQ OPERATORA lAPLASA. pUSTX

NA PLOSKOSTI (x1
x2 ) ZADANA OBLASTX G, OGRANI^ENNAQ ZAMKNUTOJ KRIWOJ ;. rASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLE (SM. GL. IV) 2 2 u = @@xu2 + @@xu2 = ;f (x) W G
uj; = (x1
x2 ): (1) 1 2 dLQ REENIQ ZADA^I (1) METODOM KONE^NYH RAZNOSTEJ NADO W OBLASTI G + ; WWESTI SETKU I APPROKSIMIROWATX NA \TOJ SETKE URAWNENIE I KRAEWOE USLOWIE. nA^NEM S APPROKSIMACII OPERATORA lAPLASA. zAMENIM WTORYE PROIZWODNYE @ 2 u=@x21 , @ 2 u=@x22 RAZNOSTNYMI WYRAVENIQMI: @ 2 u  u(x1 + h1
x2 ) ; 2u(x1
x2 ) + u(x1 ; h1
x2 ) = u = * u
x1 x1 1 @x21 h21

@ 2 u  u(x1
x2 + h2 ) ; 2u(x1
x2 ) + u(x1
x2 ; h2 ) = u = * u
x2 x2 2 @x22 h22 GDE h | AG PO x , = 1
2. oPERATOR lAPLASA u ZAMENIM RAZNOSTNYM OPERATOROM *u = ux1 x1 + ux2 x2
(2) KOTORYJ OPREDELEN NA PQTITO^E^NOM ABLONE (KREST), SOSTOQ]EM IZ TO^EK (x1
x2 ), (x1 ; h1
x2 ), (x1 + h1
x2 ), (x1
x2 ; h2 ), (x1
x2 + h2 ). oN IZOBRAVEN NA RIS. 88, A. wY^ISLIM POGRENOSTX APPROKSIMACII DLQ OPERATORA *. tAK KAK (SM. x 1, P. 2) @ 2 u + h2 @ 4 u + O(h4 )
= 1
2
ux x = @x  2 12 @x4 TO 2 2 @2
*u ; u = h121 L21 u + h122 L22 u + O(h41 + h42 )
L = @x 2 1) sM.:

s A M A R S K I J a. a., s O B O L X i. m. pRIMERY ^ISLENNOGO RAS^ETA TEMPERATURNYH WOLN // vwm I mf. 1963. t. 3,  4. s. 702{719.

x 3] metod kone~nyh raznostej dlq zada~i dirihle 629

I, SLEDOWATELXNO,

*v ; v = O(jhj2 )


jhj2 = h21 + h22


GDE v | L@BAQ FUNKCIQ, IME@]AQ NE MENEE ^ETYREH PROIZWODNYH PO

rIS. 88

x1 I x2 (v 2 C (m) , m > 4). tAKIM OBRAZOM, OPERATOR * APPROKSIMIRUET OPERATOR lAPLASA SO 2-M PORQDKOM. nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO OPERATOR 2 2 *0 v = *v + h1 + h2 * * v
(3) 12

1 2

OPREDELENNYJ NA DEWQTITO^E^NOM ABLONE (Q]IK) (RIS. 88, B ), IMEET NA REENII u = u(x) URAWNENIQ u = 0 4-J PORQDOK APPROKSIMACII (*0 u ; u = O(jhj4 ) PRI u 2 C (m) , m > 6) I 6-J PORQDOK (*0 u ; u = = O(jhj6 ) PRI u 2 C (m) , m > 8) NA KWADRATNOJ SETKE, T. E. PRI h1 = = h2 = h. nAPIEM PODROBNEE WYRAVENIE DLQ * W SLU^AE h1 = h2 = h (NA KWADRATNOJ SETKE): *y = yx1 x1 + yx2 x2 = y1 + y2 + yh32+ y4 ; 4y0 : rAZREAQ URAWNENIE *y = 0 OTNOSITELXNO y0 , POLU^IM y0 = 41 (y1 + y2 + y3 + y4 ):

630

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

zNA^ENIE y W CENTRE ABLONA ESTX SREDNEE ARIFMETI^ESKOE ZNA^ENIJ W OSTALXNYH UZLAH ABLONA. |TA FORMULA QWLQETSQ RAZNOSTNYM ANALOGOM FORMULY SREDNEGO ZNA^ENIQ DLQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII. uRAWNENIE pUASSONA u = = ;f (x1
x2 ) ZAMENQETSQ SHEMOJ *y = ;'(x)
(4) '(x) = '(x1
x2 ) = f (x1
x2 ):

pEREJDEM TEPERX K POSTROENI@ RAZNOSTNOGO ANALOGA ZADA^I dIRIHLE (1) W OBLASTI G + + ;. pROWEDEM DWA SEMEJSTWA PARALLELXNYH PRQMYH x1 = i1 h1 , x2 = i2h2 , i1 , i2 = 0
1
: : : (BUrIS. 89 DEM S^ITATX, ^TO NA^ALO KOORDINAT (0
0) LEVIT WNUTRI G). tO^KI (i1 h1
i2h2 ) NAZOWEM UZLAMI. uZLY x = (i1 h1
i2 h2 ) I x0 = (i01 h1
i02 h2 ) NAZOWEM SOSEDNIMI, ESLI ONI LEVAT NA PRQMOJ, PARALLELXNOJ LIBO OSI x1 , LIBO OSI x02 I OTSTOQT DRUG OT DRUGA NA RASSTOQNIE AGA (h1 ILI h2 ), TAK ^TO ji1 ; i1 j + ji02 ; i2j = 1. uZEL x = (i1 h1
i2h2 ) NAZYWAETSQ REGULQRNYM, ESLI EGO SOSEDNIE UZLY ((i1  1) h1
i2 h2 ), (i1 h1
(i2  1) h2 ), OBRAZU@]IE PQTITO^E^NYJ ABLON KREST, NAHODQTSQ LIBO WNUTRI OBLASTI G, LIBO NA EE GRANICE. eSLI HOTQ BY ODIN IZ \TIH ^ETYREH SOSEDNIH UZLOW NE PRINADLEVIT G + ;, TO UZEL x = x
NAZOWEM NEREGULQRNYM. oBOZNA^IM
! h MNOVESTWO WSEH REGULQRNYH UZLOW, !h | MNOVESTWO WSEH NEREGULQRNYH UZLOW. tO^KI PERESE^ENIQ PRQMYH x1 = i1 h1 , x2 = i2 h2 S GRANICEJ ; NAZOWEM GRANI^NYMI UZLAMI. mNOVESTWO WSEH GRANI^NYH UZLOW NAZOWEM GRANICEJ SETKI I OBOZNA^IM h . tAKIM OBRAZOM, OBLASTI G + ; STAWITSQ W SOOTWETSTWIE SETKA ! h (G + ;), T. E. MNOVESTWO TO^EK x 2 ! h , GDE !h = ! h + !h
+ h (RIS. 89). bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO SETKA OBLArIS. 90 DAET SWOJSTWOM SWQZNOSTI, T. E. L@BYE DWA WNUTRENNIH UZLA MOVNO SOEDINITX LOMANOJ, CELIKOM LEVA]EJ WNUTRI G I SOSTOQ]EJ IZ ZWENXEW, SOEDINQ@]IH UZLY SETKI I PARALLELXNYH LIBO Ox1 , LIBO Ox2 .

x 3] metod kone~nyh raznostej dlq zada~i dirihle 631

w REGULQRNYH UZLAH PIEM RAZNOSTNOE URAWNENIE (4), ISPOLXZUQ PQTITO^E^NYJ ABLON KREST S AGAMI h1 I h2 . w GRANI^NYH UZLAH x 2 h ZADAEM ZNA^ENIE ISKOMOJ FUNKCII y = (x)
x 2 h : (5) w NEREGULQRNYH UZLAH MOGUT BYTX NAPISANY RAZLI^NYE USLOWIQ. 1. iNTERPOLQCIQ NULEWOGO PORQDKA. zNA^ENIE y(x) j!h POLAGAETSQ RAWNYM (x) W BLIVAJEM UZLE x GRANICY h : y(x) = (x) PRI x 2 !h
: (6) 2. iNTERPOLQCIQ 1-GO PORQDKA. zNA^ENIE y(x) j!h OPREDELQETSQ PRI POMO]I LINEJNOJ INTERPOLQCII. nAPRIMER, DLQ SLU^AQ, IZOBRAVENNOGO NA RIS. 90, ZNA^ENIE y0 W UZLE 0 OPREDELQETSQ PO FORMULE 



1



1 1 1 h1 + h1; y0 = h1 y1 + h1; y3


(7)

KOTORU@ MOVNO ZAPISATX W WIDE

*1 y = 0


GDE *1 y = yx1 x^1 | APPROKSIMACIQ OPERATORA L1 u = @ 2 u=@x21 NA NERAWNOMERNOJ SETKE (SM. x 1, P. 2).

rIS. 91 3 iNTERPOLQCIQ 2-GO PORQDKA. w UZLE x 2 !h
PIETSQ PQTITO^E^NAQ SHEMA NA NEREGULQRNOM ABLONE (NA NERAWNOMERNOJ SETKE) *
y = yx1 x^1 + yx2 x^2 = ;': (8) nEREGULQRNYJ ABLON IZOBRAVEN NA RIS. 91, A I 88, W. uZEL 3 QWLQETSQ GRANI^NYM, 1, 2, 4 | WNUTRENNIMI h1; | RASSTOQNIE MEVDU UZ y ; y. pUSTX 1 y ; LAMI 3 I 0. tOGDA *1 y = h 1 h 0 ; 0h y3 = yx1 x^1 , h1 = h1 +2 h1; 1

1

1;

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej (SM. x 1, P. 2), *2 y = h12 (y2 ; 2y0 + y4 ) = yx2 x2 , *y = *1 y + *2 y. wTO2 ROJ SLU^AJ IZOBRAVEN NA RIS. 91, B I 88, G. uZLY 2 I 3 NAHODQTSQ NA GRANICE, h2+ | RASSTOQNIE MEVDU UZLAMI 2 I 0. w \TOM SLU^AE  y1 ; y0 y0 ; y3  1 *1y = h h1 ; h1; = yx1 x^1
1 632

*2y = h1

 y2 ; y0 y0 ; y4  ; = yx x^


2 2 h2+ h2 GDE h2 = 0
5 (
h2 + h2+ ). mY BUDEM RASSMATRIWATX 3-J SPOSOB ZADANIQ USLOWIJ NA !h . kAK BUDET POKAZANO NIVE, ON QWLQETSQ NAIBOLEE TO^NYM. sFORMULIRUEM TEPERX RAZNOSTNU@ KRAEWU@ ZADA^U, SOOTWETSTWU@]U@ ZADA^E (1):

2

*y + ' = 0
*
y + ' = 0
y = 


x 2 ! h
x 2 !h

x 2 h :

(9) (10) (11)

wOZNIKA@T DWA WOPROSA: 1) O RAZREIMOSTI ZADA^I, T. E. O SU]ESTWOWANII REENIQ SISTEMY ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ (9) | (11) 2) O SHODIMOSTI I TO^NOSTI SHEMY (9) | (11). oTWETY NA \TI WOPROSY MY POLU^IM NIVE PRI POMO]I PRINCIPA MAKSIMUMA. ~TOBY OCENITX POGRENOSTX, S KOTOROJ MY OPREDELQEM REENIE ZADA^I (1) IZ URAWNENIJ (9) | (11), NUVNO OCENITX RAZNOSTX y(x) ; ; u(x) = z(x), GDE y(x) | REENIE ZADA^I (9) | (11), u(x) | REENIE ZADA^I (1), WZQTOE W UZLAH SETKI ! h. pODSTAWLQQ y = z + u W (9) | (11), POLU^IM

9

*z = ;
 = *u + '
x 2 ! h
> = *
z = ;


= *
u + '
x 2 !h

> z = 0
x 2 h : 

(12)

iZ
WYESKAZANNOGO SLEDUET, ^TO
 = *u + ' = O(jhj2 ), ESLI ' = f (x),  = O(jhj) DLQ USLOWIQ (8),  = O(1) DLQ USLOWIQ (7). ~TOBY OCENITX REENIE ZADA^I (9) | (11) ^EREZ PRAWU@ ^ASTX, NAM PONADOBITSQ PRINCIP MAKSIMUMA. 2. pRINCIP MAKSIMUMA. rASSMOTRIM ZADA^U (9) | (11). rAZREIM URAWNENIE (9) OTNOSITELXNO y0 (SM. RIS. 88, A):





2 h12 + h12 y0 = h12 (y1 + y3 ) + h12 (y2 + y4 ) + '0
1 2 1 2

x 2 !h : (13)

x 3] metod kone~nyh raznostej dlq zada~i dirihle 633

pUSTX 0 | NEREGULQRNYJ UZEL (SM. RIS. 88, W). tOGDA IZ URAWNENIQ *
y + ' = 0 SLEDUET     1 y1 ; y0 ; y0 ; y3 + 1 y2 ; y0 ; y0 ; y4 = ;'
0 h1 h1 h1; h2 h2 h2



1



+ h12 y0 = h 1h y1 + h12 (y2 + y4 ) + '~0


2 hh (14) 1 1; 1 1 2 2 GDE '~0 = '0 + h h1 (3), h1; | RASSTOQNIE MEVDU UZLOM 0 I GRANI^1 1; NYM UZLOM 3, h 1 = 0
5 (h1; + h1 ). iZ (13) I (14) WIDNO, ^TO OBE FORMULY MOGUT BYTX ZAPISANY W WIDE A(x) y(x) = P2{ (x) B (x
 ) y( ) + F (x) DLQ WSEH x 2 !h = ! h + !h
, GDE SUMMIROWANIE PROWODITSQ PO WSEM UZLAM ABLONA S CENTROM W UZLE x, ISKL@^AQ SAM UZEL x. kO\FFICIENTY A(x) I B (x
 ) UDOWLETWORQ@T USLOWIQM A(x) > 0, B (x
 ) > 0, 0

X

2{ (x) 0

B (x
 ) = A(x) PRI x 2 ! h :

eSLI y j h = 0, TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ KO\FFICIENTOW B (x
 ) W POGRANI^NOJ ZONE !h
MOVNO FORMALXNO POLOVITX RAWNYM NUL@, P TAK ^TO  B (x
 ) = A(x) ; D(x), D(x) > 0. eSLI, NAPRIMER, UZEL 3 (SM. RIS. 91, A) NAHODITSQ NA h , TO D(x) = D(0) = h h1 > h12 , TAK KAK 1 1; 1 h1 = 0
5 (h1; + h1 ) 6 h1 . eSLI VE DWA UZLA 2 I 3 (SM. RIS. 91, B ) QWLQ@TSQ GRANI^NYMI, TO D(x) = D(0)
> 1=h21 + 1=h22, B (0
2) = B (0
3) = 0. tAKIM OBRAZOM, PRI y j h = 0 W !h WSEGDA WYPOLNENO USLOWIE D(x) > h12


GDE h = max(h1
h2):

(15)

iTAK, RASSMOTRIM ZADA^U: TREBUETSQ NAJTI FUNKCI@ y(x), OPREDELENNU@ NA !h = !h + h I UDOWLETWORQ@]U@ W !h URAWNENI@ X 9 A(x) y(x) = B (x
 ) y( ) + F (x)
x 2 !h
> > 2{ (x) 0

A(x) > 0
B (x
 ) > 0


> = X > B (x
 ) 6 A(x):>  2{ (x)

(16)

0

sPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ TEOREMA (P R I N C I P M A K S I M U M A). eSLI F (x) 6 0 WS@DU W !h, TO REENIE ZADA^I (16) (NE RAWNOE POSTOQNNOJ) NE MOVET PRINIMATX NAIBOLXEGO POLOVITELXNOGO ZNA^ENIQ WO WNUTRENNIH UZLAH SETKI !h. eSLI VE y(x) 6 const I F (x) > 0

634

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

W !h , TO y(x) NE MOVET PRINIMATX WNUTRI !h NAIMENXEGO OTRICATELXNOGO ZNA^ENIQ. d O K A Z A T E L X S TW O. pUSTX F (x) 6 0 WO WSEH WNUTRENNIH UZLAH. dOPUSTIM, ^TO y(x) PRINIMAET POLOVITELXNOE MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE W NEKOTOROM WNUTRENNEM UZLE. tAK KAK y(x) 6 const, TO SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA x 2 !h, W KOTOROJ y(x) = max y(x) = M0 > 0, A W SOSEDNEM UZLE  2 {0 (x) IMEEM y() < M0 . uRAWNENIE (16) W UZLE x PEREPIEM W WIDE

2 3 X 4A(x) ; B(x
)5 y(x) + X B(x
) (y(x) ; y()) = F (x): 



(17)

tAK KAK P B (x
 ) (y(x) ; y( )) > B (x
) (y(x) ; y()) > 0, TO IZ (17) I (16) SLEDUET F (x) > 0, ^TO PROTIWORE^IT USLOWI@ F (x) 6 0. pERWAQ ^ASTX TEOREMY DOKAZANA. wTORAQ ^ASTX DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO. s L E D S T W I E 1. eSLI F (x) > 0, x 2 !h I y j h > 0, TO REENIE ZADA^I (16) NEOTRICATELXNO: y(x) > 0 WS@DU W !h . w SAMOM DELE, PUSTX HOTQ BY W ODNOM UZLE x 2 !h FUNKCIQ y(x) OTRICATELXNA TOGDA ONA DOLVNA PRINIMATX OTRICATELXNOE NAIMENXEE ZNA^ENIE WO WNUTRENNEM UZLE. |TO NEWOZMOVNO W SILU PRINCIPA MAKSIMUMA (ESLI TOLXKO y(x) 6 const). s L E D S T W I E 2. eSLI F (x) 6 0, x 2 !h I y j h 6 0, TO y(x) 6 0 DLQ WSEH x 2 !h . s L E D S T W I E 3. oDNORODNOE URAWNENIE A(x) y(x) =

X

2{ (x)

B (x
 ) y( )

(18)

0

PRI ODNORODNOM GRANI^NOM USLOWII y j h = 0 IMEET TOLXKO TRIWIALXNOE REENIE. w SAMOM DELE, PRI F  0 SLEDSTWIQ 1 I 2 DA@T SOOTWETSTWENNO y(x) > 0, y(x) 6 0, T. E. y(x)  0. tAKIM OBRAZOM, RAZNOSTNAQ ZADA^A (16) IMEET EDINSTWENNOE REENIE. s L E D S T W I E 4. dLQ REENIQ ODNORODNOGO URAWNENIQ (18) WERNA OCENKA kyk0 6 kyk0
(19) GDE kyk0 = xmax jy(x)j, kyk0 = xmax jy(x)j (REENIE URAWNENIQ (18) PRI2! h 2 h NIMAET NAIBOLXEE I NAIMENXEE ZNA^ENIQ NA GRANICE h ). iMEET MESTO SLEDU@]AQ T E O R E M A S R A W N E N I Q.

x 3] metod kone~nyh raznostej dlq zada~i dirihle 635

pUSTX y(x) | REENIE URAWNENIQ (16), A y(x) | REENIE TOGO VE URAWNENIQ S PRAWOJ ^ASTX@ F (x) > 0 I GRANI^NYM ZNA^ENIEM y j h > > 0. eSLI WYPOLNENY USLOWIQ jF (x)j 6 F (x) PRI x 2 !h , jy(x)j 6 y(x) PRI x 2 h , TO jy(x)j 6 y(x) DLQ WSEH x 2 ! h. sLEDSTWIE 1 SRAZU DAET y(x) > 0 WS@DU W ! h. fUNKCII u = y + y, v = = y ; y UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ (16) S PRAWYMI ^ASTQMI Fu = F + F , Fv = F ; F I GRANI^NYMI ZNA^ENIQMI u = y + y j , v = y ; y j . tAK KAK PO USLOWI@ Fu > 0, u j > 0 I Fv > 0, v j > 0, TO W SILU SLEDSTWIQ 1 u > 0 ILI y > ;y, v > 0 ILI y 6 y, T. E. jyj 6 y PRI x 2 !h. 3. oCENKA REENIQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ. rASSMOTRIM NEODNORODNOE URAWNENIE X A(x) y(x) = B (x
 ) y( ) + F (x)
x 2 !h
(20) 

S ODNORODNYM GRANI^NYM USLOWIEM y j = 0: pUSTX WYPOLNENY USLOWIQ X B (x
 ) > 0
B (x
 ) = A(x) ; D(x)


D(x) > > 0

(21)

DLQ WSEH x 2 !h : tOGDA DLQ REENIQ ZADA^I (20), (21) WERNA OCENKA kyk0 6 kF k0 : (22) w SILU TEOREMY SRAWNENIQ jyj 6 y, GDE y | REENIE ZADA^I (20) S PRAWOJ ^ASTX@ F = jF j. pUSTX y(x) PRINIMAET NAIBOLXEE ZNA^ENIE W UZLE x. tAK KAK y(x) > 0, TO X A(x) y(x) = B (x
 ) y( ) + jF (x)j 6 (A(x) ; D(x)) y(x) + jF (x)j


(( F (( j F ( x ) j 6( ( y(x) 6

(kk0 = max jj): ! h D(x) ( D (0 u^ITYWAQ, ^TO kyk0 6 y(x) I D > , POLU^AEM (22). zAMETIM, ^TO FAKTI^ESKI NAMI POLU^ENA OCENKA (( F (x) (( kyk0 6 (( D(x) (( : 0 pREDPOLOVIM, ^TO D(x) > > 0 PRI x 2 !h

D(x) > 0 PRI x 2 ! h
(23) 

F (x) = 0 PRI x 2 !h
F (x) = F PRI x 2 !h: (24)

636

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

tOGDA DLQ REENIQ ZADA^I (20), (23), (24) WERNA OCENKA

kyk0 6 1 kF
k0:

(25)

w SAMOM DELE, y(x) > 0 W SILU PRINCIPA MAKSIMUMA I NE MOVET ! h , W KOTORYH F (x) = 0. IMETX NAIBOLXEGO ZNA^ENIQ W UZLAH x 2 pREDPOLAGAQ, ^TO x 2 !h
ESTX TO^KA, W KOTOROJ DOSTIGAETSQ MAKSIMUM, POLU^IM OCENKU (25). nAIBOLXIE TRUDNOSTI PRI OCENKE REENIQ ZADA^I (21) WOZNIKA@T W SLU^AE D(x)  0 PRI x 2 !h. tOGDA STROITSQ MAVORANTNAQ FUNKCIQ y(x) > kyk0, UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ (20) S PRAWOJ ^ASTX@ F (x) > jF (x)j. iTAK, ESLI WYPOLNENO USLOWIE D(x) > > 0, x 2 !h , TO DLQ REENIQ ZADA^I (20) | (21) WERNA OCENKA kyk0 6 kyk0 + kF k0
(26) WYRAVA@]AQ NEPRERYWNU@ ZAWISIMOSTX REENIQ OT GRANI^NYH DANNYH I OT PRAWOJ ^ASTI. 4. sHODIMOSTX REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I dIRIHLE. ~TOBY USTANOWITX SHODIMOSTX I PORQDOK TO^NOSTI SHEMY (9) | (11), MY DOLVNY OCENITX REENIE ZADA^I (12). pOGRENOSTX APPROKSIMACII W REGULQRNYH UZLAH  = (*u + ') ; ; (Lu + f ) = O(jhj2 ), ESLI u 2 C (4) , I W NEREGULQRNYH UZLAH  = 
= = O(jhj). tAK KAK k
k0 = O(jhj), TO DLQ OCENKI z SLEDUET RASSMOTRETX OTDELXNO WKLAD W z POGRENOSTI APPROKSIMACII W NEREGULQRNYH UZLAH. pREDSTAWIM z W WIDE SUMMY z = z + z
, GDE z I z
| REENIQ ZADA^ (      *z = ;
x 2 !h
z j h = 0
 = 
x 2 !
h
(27) 0
x 2 !h 

(

 *z
= ;

x 2 !h
z
j h = 0

= 0
x 2 !h


x 2 ! :

h

(28)

tAK KAK z j h = 0, TO D(x) > 1=h2 = > 0 PRI x 2 !h
I D(x) > 0 PRI x 2 ! h . pOLXZUQSX (25), POLU^AEM kz
k0 6 h2 k
k0: (29)  dLQ OCENKI z WOSPOLXZUEMSQ TEOREMOJ SRAWNENIQ. pOSTROIM MAVORANTNU@ FUNKCI@ U (x) = K (R2 ; r2 )
r2 = x21 + x22


x 3] metod kone~nyh raznostej dlq zada~i dirihle 637

GDE R | RADIUS KRUGA S CENTROM W TO^KE (0
0) 2 G, SODERVA]EGO OBLASTX G, K = const > 0. wY^ISLIM RAZNOSTNYE PROIZWODNYE 2 2 2 *1 r2 = (r2 )x1 x1 = (x21 )x1 x1 = (x1 + h1 ) ; 2hx21 + (x1 ; h1 ) = 2
1  2 *2 r = 2 PRI x 2 !h . w NEREGULQRNYH UZLAH TAKVE IMEEM *1 r2 = 2. tAKIM OBRAZOM, *U = ;K *r2 = ;4K PRI x 2 !h = ! h + !h
:  wYBEREM K TAK, ^TOBY kk0 6 4K . dLQ \TOGO DOSTATO^NO POLOVITX   K = kk0=4. u^ITYWAQ, ^TO U > 0 PRI x 2 h , U 6 KR2 = R2 kk0 =4, I POLXZUQSX TEOREMOJ SRAWNENIQ, NAHODIM kzk0 6 kU k0 6 41 R2 k k: (30)

oB_EDINQQ NERAWENSTWA (29) I (30) I U^ITYWAQ, ^TO kz k0 6 kzk0 + kz
k0 , POLU^AEM kzk0 6 h2 k
k0 + 14 R2 k k0: (31) tEM SAMYM DOKAZANA SLEDU@]AQ TEOREMA. dLQ REENIQ ZADA^I (12) IMEET MESTO OCENKA (31). iZ (31) WIDNO, ^TO ESLI u 2 C (2) (G ), T. E. REENIE ZADA^I IMEET NEPRERYWNYE W ZAMKNUTOJ OBLASTI G = G + ; WTORYE PROIZWODNYE, TAK  ^TO kk0 = (jhj), k
k0 = (jhj), GDE (jhj) ! 0 PRI jhj ! 0, TO SHEMA (9) | (11) SHODITSQ: kzk0 = ky ; uk0 = (jhj): (32) (4) eSLI u 2 C (G), TO SPRAWEDLIWY OCENKI  @ su    (33) k k0 6 M124 jhj2
k
k0 6 32 M3h
GDE Ms = max G  @xs  ( = 1
2, s = 3
4). pRIMENQQ NERAWENSTWO (31), WIDIM, ^TO DLQ REENIQ ZADA^I (12) WERNA OCENKA 2 kzk = ky ; uk 6 2 M h3 + M4R jhj2
0

0

3

3

48

T. E. SHEMA (9) | (11) RAWNOMERNO SHODITSQ SO SKOROSTX@ O(jhj2 ) (IMEET 2-J PORQDOK TO^NOSTI). zAMETIM, ^TO ESLI y NA !h
ZADAWATX PRI POMO]I LINEJNOJ INTERPOLQCII (SM. (7)), TO 
= O(1) I OCENKA (31) DAET ky ; uk0 = O(jhj2 )
(34)

638

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

T. E. I W \TOM SLU^AE SHEMA (9) IMEET 2-J PORQDOK TO^NOSTI. dLQ OPREDELENIQ REENIQ RAZNOSTNOJ ZADA^I dIRIHLE (9) | (11) MY POLU^AEM SISTEMU LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ BOLXOGO PORQDKA, RAWNOGO ^ISLU WNUTRENNIH UZLOW SETKI. pRI TO^NOM REENII \TOJ SISTEMY IZWESTNYMI METODAMI LINEJNOJ ALGEBRY TREBUETSQ BOLXOE ^ISLO ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ I BOLXOJ OB_EM OPERATIWNOJ PAMQTI MAINY. pO\TOMU SISTEMU URAWNENIJ REA@T ITERACIONNYMI METODAMI, U^ITYWA@]IMI SPECIALXNYJ WID MATRICY SISTEMY. nIVE (W x 5) IZLAGA@TSQ ITERACIONNYE METODY REENIQ SETO^NYH URAWNENIJ.

x 4. rAZNOSTNYE METODY REENIQ ZADA^

S NESKOLXKIMI PROSTRANSTWENNYMI PEREMENNYMI 1. mNOGOMERNYE SHEMY. w x 2 MY RASSMATRIWALI RAZNOSTNYE

SHEMY DLQ REENIQ ZADA^I dIRIHLE W SLU^AE DWUH IZMERENIJ (x1
x2 ). pRI NAPISANII RAZNOSTNYH SHEM DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI @u = u + f (1) @t PERWYM AGOM QWLQETSQ APPROKSIMACIQ OPERATORA lAPLASA. pUSTX *y = *1 y + *2 y
* y = yx x
= 1
2
(2) | PQTITO^E^NYJ OPERATOR NA !h S AGAMI h1 I h2 . kAK W x 2, P. 2, DWUHSLOJNYE SHEMY DLQ (1) WOZXMEM W WIDE yj+1 ; yj = * (yj+1 + (1 ; ) yj ) + '
(3)  yj+1 = yij1+1i2 = y(i1 h1
i2h2
tj+1 ): pUSTX G | OBLASTX NA PLOSKOSTI (x1
x2 ), OGRANI^ENNAQ KRIWOJ ;. wWEDEM W G = G + ; SETKU !h , OPISANNU@ W x 3. bUDEM RASSMATRIWATX ZADA^U @u = u + f (x
t)
x 2 G
0 < t 6 T
9 = @t (4)  u(x
0) = u0(x)
u j; = (x
t): eJ POSTAWIM W SOOTWETSTWIE RAZNOSTNU@ SHEMU (3) S KRAEWYMI USLOWIQMI y j h = 
y(x
0) = u0(x): (5) pO ANALOGII S x 2 USTANAWLIWAETSQ, ^TO SHEMA (3) USTOJ^IWA PRI 2  > 21 ; 8h (ESLI h1 = h2 = h):

x 4] raznostnye metody re{eniq mnogomernyh zada~ 639

oTS@DA SLEDUET, ^TO QWNAQ SHEMA ( = 0) yj+1 ; yj = *yj + 'j+1
ILI yj+1 = yj +  (*yj + 'j+1 )
(6)  USLOWNO USTOJ^IWA PRI  6 h2 =4 (W ODNOMERNOM SLU^AE PRI  6 h2 =2, SM. x 2). nEQWNYE SHEMY BEZUSLOWNO USTOJ^IWY PRI  > 1=2. w SLU^AE TREH IZMERENIJ, KOGDA x = (x1
x2
x3 ), W (3) NUVNO PODSTAWITX *y = *1 y + *2y + *3y
* y = yx x
= 1
2
3: uSLOWIE USTOJ^IWOSTI IMEET WID h2  > 12 ; 12 (PRI h1 = h2 = h3 = h):  qWNAQ SHEMA ( = 0) USTOJ^IWA PRI  6 h2 =6. pORQDOK APPROKSIMACII  =2 (*u + ' ; ut) ; (Lu + f2 ; @u=@t)j+1=2 ZAWISIT OTPp:  2= O(jhj2 + 2 +  ) PRI  = 0
5,  = O(jhj +  ) PRI  6= 0
5 (jhj = =1 h , p = 2
3) DLQ L@BOGO ^ISLA IZMERENIJ. kRAEWYE USLOWIQ NA h STAWQTSQ TAK VE, KAK I W x 3 DLQ ZADA^I dIRIHLE. w NEREGULQRNYH UZLAH !h
OPERATOR * (*  ) PIETSQ NA NERAWNOMERNOJ SETKE. dLQ SHEMY S OPEREVENIEM ( = 1) SPRAWEDLIW PRINCIP MAKSIMUMA. oNA RAWNOMERNO SHODITSQ SO SKOROSTX@ O(jhj2 + +  ). HE SOSTAWLQET TRUDA NAPISANIE (PO ANALOGII S x 2 I 3) SHEM POWYENNOGO PORQDKA O(jhj44 + 22 ) APPROKSIMACII NAPRIMER, PRI p = 2 (x = (x1
x2 )) SHEMA O(jhj +  ) IMEET WID yt = *1 (1 y + (1 ; 1 ) y+) + *2 (2 y + (1 ; 2 ) y+) (f = 0)
h2
= 1
2 (G | PRQMOUGOLXNIK).  = 21 ; 12  w SLU^AE URAWNENIJ S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI DLQ POLU^ENIQ SHEM MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ METODOM BALANSA NA SETKE !h. pUSTX, NAPRIMER, DANO URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI @u = Lu + f (x
t)
x = (x
: : :
x )
L = L + L + : : : + L
9 1 p 1 2 p> > = @t (7)   > @ @u >  L u = @x k (x
t) @x
= 1
2
: : :
p:   pUSTX p = 2. wOZXMEM OB_EM ((i ; 1=2) h 6 x1 6 (i1 + 1=2) h1 , (i2 ; ; 1=2) h2 6 x2 6 (i2 + 1=2) h2, tj 6 1t 6 tj+1 ) 1I NAPIEM DLQ NEGO URAWNENIE BALANSA TEPLA ZZ (uj+1 ; uj ) dx1 dx2 = g

640

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej =

tZj +1Z tj C

(W1 dx2 + W2 dx1 ) +

Z Z tZj+1 g

tj

f (x
t) dx1 dx2


GDE g = ((i1 ; 1=2) h1 6 x1 6 (i1 + 1=2) h1 , (i2 ; 1=2) h2 6 x2 6 (i2 + + 1=2) h2 ) | PRQMOUGOLXNIK, C | EGO GRANICA, W = ;k @u=@x | TEPLOWOJ POTOK PO NAPRAWLENI@ OSI Ox . zAMENQQ INTEGRALY I POTOKI RAZNOSTNYMI WYRAVENIQMI, TAK VE KAK W x 2, P. 8, PRIHODIM K SHEME WIDA ILI GDE

yj+1 ; yj = * (tj+1=2 ) (yj+1 + (1 ; ) yj ) + 'j+1
 yj+1 ; yj =  (*y)j+1 + (1 ; ) (*y)j + 'j+1


(8) (9)

* = *1 + *2


* y = (a yx )x
(10) T. E. * ESTX ANALOG RAZNOSTNOGO OPERATORA *y = (ayx )x , APPROKSIMIRU@]EGO Lu = (ku0 )0 (SM. x 2, P. 7). kO\FFICIENT a OPREDELQETSQ IZ WYRAVENIJ WIDA (61) IZ x 2, NAPRIMER  1   a1 = (a1 )i1 i2 = k1 i1 ; 2 h1
i2 h2
t










a2 = (a2 )i1 i2 = k2 i1 h1
i2 ; 12 h2
t I T. D. dLQ ' = 'j+1 MOVNO WZQTX FORMULU 'j+1 = f (i1 h1
i2 h2
tj+1=2 ). eSLI KO\FFICIENTY k IME@T RAZRYWY PRI x = const, = 1
2, TO

PROSTEJEE WYRAVENIE DLQ a ZAPIETSQ W WIDE a1 = 41 k1 (i1 h1 ; 0
i2h2 ; 0
t) + k1 (i1 h1 ; 0
i2h2 + 0
t) +

+ k1 (i1 h1 + 0
i2 h2 + 0
t) + k1 (i1 h1 + 0
i2 h2 ; 0
t)] I ANALOGI^NO DLQ a2 . dLQ POLU^ENNYH SHEM (8) SPRAWEDLIWY REZULXTATY x 2, P. 8. 2. |KONOMI^NYE SHEMY. pRI REENII METODOM SETOK MNOGO-

MERNYH URAWNENIJ BOLXOE ZNA^ENIE IMEET OB_EM WY^ISLITELXNOJ RABOTY, T. E. ^ISLO ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ DLQ REENIQ ZADA^I S TREBUEMOJ TO^NOSTX@. pOSMOTRIM S \TOJ TO^KI ZRENIQ NA SHEMY, POLU^ENNYE W PREDYDU]EM PUNKTE. pUSTX G | KWADRAT (0 6 x1 6 1, 0 6 x2 6 1), !h = f(i1h
i2 h), i1 , i2 = 0
1
: : :
N g | SETKA S AGOM h. oNA IMEET (N ; 1)2 = O(1=h2 ) WNUTRENNIH UZLOW. rASSMOTRIM QWNU@ SHEMU (6) I NEQWNU@ SHEMU (3)

x 4] raznostnye metody re{eniq mnogomernyh zada~ 641

PRI  = 1. oBE SHEMY IME@Tj+1 ODIN I TOT VE PORQDOK TO^NOSTI. ~ISLO Q DEJSTWIJ DLQ OPREDELENIQ y WO WSEH UZLAH !h NA NOWOM SLOE t = tj+1 PO SHEME (6) PROPORCIONALXNO ^ISLU (N ; 1)2 UZLOW SETKI !h , T. E. 1 Q = O h2 :

w SLU^AE NEQWNOJ SHEMY (3) PRI  = 1 DLQ OPREDELENIQ yj+1 NUVNO 2 REITX SISTEMU (N ; 1) URAWNENIJ. dLQ \TOGO TREBUETSQ ZNA^ITELXNO BOLXE WY^ISLITELXNOJ RABOTY, ^EM DLQ QWNOJ SHEMY. s DRUGOJ STORONY, NEQWNAQ SHEMA ( = 1) USTOJ^IWA PRI L@BYH  I h, A QWNAQ SHEMA USTOJ^IWA LIX PRI  6 h2 =4. wOZNIKAET WOPROS: NELXZQ LI NAJTI TAKIE SHEMY, KOTORYE SO^ETALI BY LU^IE KA^ESTWA QWNOJ (OB_EM RABOTY Q = O(1=h2 )) I NEQWNOJ (BEZUSLOWNAQ USTOJ^IWOSTX) SHEM? tAKIE SHEMY NAZYWA@T \KONOMI^NYMI. bYLO PREDLOVENO MNOGO \KONOMI^NYH SHEM DLQ RAZLI^NYH ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI1) . |KONOMI^NYE SHEMY POZWOLILI NAJTI ^ISLENNOE REENIE RQDA SLOVNEJIH ZADA^ FIZIKI I TEHNIKI, W OTNOENII KOTORYH E]E NESKOLXKO LET NAZAD BYLI SOMNENIQ W WOZMOVNOSTI IH PRIBLIVENNOGO REENIQ DAVE S ISPOLXZOWANIEM SAMYH SOWERENNYH BYSTRODEJSTWU@]IH WY^ISLITELXNYH MAIN. w SLU^AE ODNOGO PROSTRANSTWENNOGO PEREMENNOGO NEQWNYE SHEMY PRIWODQT, KAK MY WIDELI W x 2, K SISTEME URAWNENIJ (105), KOTORYE REA@TSQ METODOM PROGONKI. pRI \TOM DLQ NAHOVDENIQ yj+1 TREBUETSQ O(1=h) OPERACIJ. rASSMOTRIM SETKU !h S AGOM h = 1=N W KWADRATE G (0 6 x1 6 1, 0 6 x2 6 1). sETKU MOVNO PREDSTAWITX KAK SOWOKUPNOSTX UZLOW, RASPOLOVENNYH NA STROKAH i2 = 0
1
2
: : :
N , ILI KAK SOWOKUPNOSTX UZLOW, RASPOLOVENNYH NA STOLBCAH i1 = 0
1
2
: : :
N . wSEGO IMEETSQ (N + 1) STROK I (N + 1) STOLBCOW. ~ISLO UZLOW W KAVDOJ STROKE (STOLBCE) RAWNO N + 1. eSLI NA KAVDOJ STROKE (STOLBCE) REATX ZADA^U WIDA (105) IZ x 2 METODOM PROGONKI PRI FIKSIROWANNOM i2 (i1 ), TO DLQ NAHOVDENIQ REENIQ NA WSEH STROKAH (STOLBCAH), T. E. WO WSEH UZLAH SETKI, POTREBUETSQ ^ISLO DEJSTWIJ O(1=h2 ), PROPORCIONALXNOE ^ISLU UZLOW ! h . oSNOWNAQ IDEQ \KONOMI^NYH METODOW I SOSTOIT W POSLEDOWATELXNOM REENII ODNOMERNYH ZADA^ WIDA (105) IZ x 2 WDOLX STROK I WDOLX STOLBCOW. 1) P e a c e m a n D. W., R a c h f o r d H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic di+erential equations // SIAM J. 1955. Vol. 3,  1. P. 28{41 D o u g l a s J. On numerical integration of uxx + uyy = ut implicit methods // Ibid. P. 42{65 q N E N K O H. H. oB ODNOM RAZNOSTNOM METODE S^ETA MNOGOMERNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI // dan sssr. 1959. t. 125,  6. s. 1207{ 1210 d X Q K O N O W e. g. rAZNOSTNYE SHEMY S RAS]EPLQ@]IMSQ OPERATOROM DLQ MNOGOMERNYH NESTACIONARNYH ZADA^ // vwm I mf. 1962. t. 2,  4. s. 549{568 s A M A R S K I J a. a. oB ODNOM \KONOMI^NOM RAZNOSTNOM METODE REENIQ MNOGOMERNOGO PARABOLI^ESKOGO URAWNENIQ W PROIZWOLXNOJ OBLASTI // tAM VE.  5. s. 787{811. 41 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

642

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

nAIBOLEE ^ETKO WYRAVAET \TU IDE@ PRODOLXNO-POPERE^NAQ SHEMA

(NEQWNYJ METOD PEREMENNYH NAPRAWLENIJ):

yj+1=2 ; yj = * yj+1=2 + * yj + f j+1=2
1 2 0
5 

(11)

yj+1 ; yj+1=2 = * yj+1 + * yj+1=2 + f j+1=2 : (12) 2 1 0
5  pEREHOD OT SLOQ j K SLO@ j + 1 SOWERAETSQ W DWA \TAPA S AGAMI 0
5  : SNA^ALA REAETSQ URAWNENIE (11), NEQWNOE PO NAPRAWLENI@ x1 I QWNOE PO x2 , ZATEM URAWNENIE (12), QWNOE PO x1 I NEQWNOE PO x2 . zNA^ENIE yj+1=2 QWLQETSQ PROMEVUTO^NYM. sFORMULIRUEM KRAEWYE I NA^ALXNYE USLOWIQ DLQ SHEMY (11) | (12) W SLU^AE, KOGDA G = f0 6 x1
x2 6 1g | KWADRAT, !h = = f(i1 h1
i2h2 )g | SETKA S AGAMI h1 , h2 . eSLI KRAEWYE USLOWIQ W (4) NE ZAWISQT OT t, T. E.  = (x), TO POLAGAEM yj+1=2 j h = yj+1 j h = (x) j h . eSLI VE  = (x
t) ZAWISIT OT t, TO DLQ PROMEVUTO^NOGO ZNA^ENIQ yj+1=2 KRAEWYE USLOWIQ PRI i1 = 0
N1 ZADA@TSQ PO FORMULE yj+1=2 = 21 (j+1 + j ) ; 14  *2 (j+1 ; j ) =  PRI i1 = 0
N1
(13)

A DLQ yj+1 STAWQTSQ OBY^NYE USLOWIQ yj+1 = j+1 PRI i2 = 0
N2 : (14) pRISOEDINQQ S@DA NA^ALXNOE USLOWIE y0 = u0 (x) PRI j = 0
(15) POLU^AEM RAZNOSTNU@ ZADA^U (11) | (15), SOOTWETSTWU@]U@ ZADA^E (4). pRODOLXNO-POPERE^NAQ SHEMA (11) | (12) BEZUSLOWNO USTOJ^IWA (PRI L@BYH  I h) I IMEET TO^NOSTX O( 2 + h2 ). pODSTAWIM W (11) | (12) WMESTO *1 y I *2 y IH WYRAVENIQ *1 y = (*1 y)i1 i2 = h12 (yi1 ;1 ; 2yi1 + yi1 +1 )
1

*2 y = (*2 y)i1 i2 = h12 (yi2 ;1 ; 2yi2 + yi2 +1 ) 2

x 4] raznostnye metody re{eniq mnogomernyh zada~ 643 (PIEM TOLXKO TOT INDEKS (i1 ILI i2 ), KOTORYJ MENQETSQ). tOGDA DLQ yj+1=2 = y I yj+1 = y POLU^IM KRAEWYE ZADA^I 1

I

9

0
5 1 yij1+;=12 ; (1 + 1 ) yij1+ =2 + 0
5 1yij1++1=2 = ;Fij1+ =2
> > > = i1 = 1
2
: : :
N1 ; 1 (0 < i2 < N2 )
1 1 > y0j+i2=2 =  jx1 =0
yNj+1 i=22 =  jx1 =1
1 = =h21
> > 1=2 1=2  j + j j j j + Fi1 = 0
5 2 (yi2 ;1 + yi2 +1 ) + (1 ; 2 ) yi2 + 0
5 f 1

1

1

(16)

9

j +1 j +1 j +1 > 0
5 2yij2+1 > ;1 ; (1 + 2 ) yi2 + 0
5 2 yi2 +1 = ;Fi2
> = i2 = 1
2
: : :
N2 ; 1 (0 < i1 < N1 )
> yij1+10 = j+1 jx2 =0
yij1+1N2 = j+1 jx2 =1
2 = =h22
> > 1 1 1 1=2  j + = j + = j + = 2 2 2 j +1 j + F = 0
5 1 (yi1 ;1 + yi1 +1 ) + (1 ; 1 ) yi1 + 0
5 f :

(17)

zDESX  OPREDELQETSQ PO FORMULE (13). pUSTX yj I, SLEDOWATELXNO, F j+1=2 IZWESTNY. fIKSIRUEM i2 = 1 I NA \TOJ STROKE PO FORMULAM PROGONKI REAEM KRAEWU@ ZADA^U (16). pOLAGAQ ZATEM i2 = 2
: : :
N2 ; 1, POSLEDOWATELXNO NAHODIM yj+1=2 WO WSEH UZLAH !h . pOSLE \TOGO WY^ISLQEM F j+1=2 I WDOLX STOLBCOW i1 = 1
2
: : :
Nj1+1; 1 REAEM KRAEWYE ZADA^I (17). w REZULXTATE POLU^AEM ZNA^ENIE y NA NOWOM SLOE. pRI PEREHODE OT SLOQ j + 1 K SLO@ j + 2 PROCEDURA S^ETA POWTORQETSQ. iZ SKAZANNOGO WYE QSNO, ^TO PRI PEREHODE OT SLOQ j K SLO@ j + + 1 ZATRA^IWAETSQ O(1=h2 ) ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ. ~TOBY NAJTI yj0 PRI t0 = j20  PO NA^ALXNYM DANNYM, TREBUETSQ, O^EWIDNO, O(1=h2 ) j0 = = O(1=(h  )) OPERACIJ, T. E. ^ISLO OPERACIJ PROPORCIONALXNO ^ISLU ISPOLXZOWANNYH UZLOW PROSTRANSTWENNO-WREMENNOJ SETKI !h = = f(i1 h1
i2 h2
j )g. w SLU^AE URAWNENIQ (7) S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI W (11) | (12) SLEDUET PODSTAWITX, SOGLASNO (67) IZ x 2, WYRAVENIQ * y = = (a (x
tj+05 ) yx )x , = 1
2, L u ; * u = O(h2 ). oPERATORY *1 I *2 DEJSTWU@T TOLXKO WDOLX STROK I STOLBCOW SOOTWETSTWENNO. pO\TOMU SHEMOJ (11) | (12) MOVNO POLXZOWATXSQ I DLQ PROIZWOLXNOJ OBLASTI, POLAGAQ, NAPRIMER,  = 0
5 (j + j+1 ). eSLI G | OBLASTX, SOSTAWLENNAQ IZ PRQMOUGOLXNIKOW, TO PRI  = 0
5 (j + j+1 ) ; 0
25 L2 (j+1 ; j ) PRODOLXNO-POPERE^NAQ SHEMA IMEET TO^NOSTX O( 2 + jhj2 ). sHEMU (11) | (12) MOVNO FORMALXNO OBOB]ITX NA SLU^AJ TREH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH x1 , x2 , x3 , NO TAK POSTROENNAQ SHEMA BUDET, WOOB]E GOWORQ, NEUSTOJ^IWA. 41


644

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

uNIWERSALXNYM METODOM, PRIGODNYM DLQ REENIQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S PEREMENNYMI I DAVE RAZRYWNYMI KO\FFICIENTAMI W PROIZWOLXNOJ OBLASTI G L@BOGO ^ISLA IZMERENIJ, QWLQETSQ LOKALXNOODNOMERNYJ METOD. w OSNOWE EGO LEVIT PONQTIE SUMMARNOJ APPROKSIMACII SHEMY. pUSTX DANO URAWNENIE (7). bUDEM ISKATX EGO PRIBLIVENNOE REENIE vj+1 PRI t = tj+1 , POSLEDOWATELXNO (PRI = 1
2
: : :
p) REAQ ODNOMERNYE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI p X @v() = L v + f
t 6 t 6 t
f = f
= 1
2
: : :
p
  j j +1 (  ) @t =1 (18)

j = v j I ESTESTWENNYMI KRAES USLOWIQMI v(j) = v(j+1;1) , = 2
: : :
p, v(1)

WYMI USLOWIQMI. rEENIEM \TOJ ZADA^I, KOTORU@ MY USLOWNO ZAPIEM W WIDE L1 ! L2 ! : : : ! Lp , QWLQETSQ vj+1 = v(jp+1) . zNAQ v0 = u0 (x), NAHODIM vj+1 . kAVDOE IZ URAWNENIJ NOMERA ZAMENIM DWUHSLOJNOJ ESTITO^E^NOJ SHEMOJ S WESOM  (PRI \TOM @v() =@t (v(j+1) ; v(j) )= , L  * , f  ' ) WIDA h j+1 i v(j+1) ; v(j) j +' : = *  v + (1 ;  ) v     () ()  u^ITYWAQ, ^TO v(j) = v(j+1;1) , ZAMENQQ v NA y I OPUSKAQ INDEKS j + + 1, POLU^AEM POSLEDOWATELXNOSTX SHEM DLQ ODNOMERNYH URAWNENIJ TEPLOPROWODNOSTI (ODNOMERNYH SHEM), KOTORU@ MY NAZOWEM LOKALXNOODNOMERNOJ SHEMOJ I USLOWNO ZAPIEM W WIDE *(11 ) ! *(22 ) ! : : : ! ! (1)*(pp). (1)nAPIEM LOKALXNO -ODNOMERNU@ SHEMU DLQ SLU^AQ  = 1 (1) (*1 ! *2 ! : : : ! *p ): y() ; y(;1) = * y() + '
(x
t) 2 !h
 (19)

= 1
2
: : :
p
y(0) = yj
y(p) = yj+1 : zDESX * y = (a (x
t
) yx )x , ' = '
(x
t
), GDE t
| L@BOE ZNA^ENIE t NA OTREZKE tj 6 t 6 tj+1 , NAPRIMER t = tj+1 . pRAWYE ^ASTI ' WYBIRA@TSQ TAK, ^TO '1 + '2 + : : : + 'p = f (x
t
) + O(jhj2 +  ), NAPRIMER '1 = '2 = : : : = 'p;1 = 0, 'p = f . sFORMULIRUEM KRAEWYE USLOWIQ DLQ y() . pUSTX G | p-MERNAQ OBLASTX W PROSTRANSTWE x = (x1
: : :
xp ), ; | EE GRANICA. pOSTROIM PO ANALOGII S x 3, P. 2 W G + ; SETKU ! h. wOZXMEM L@BU@ TO^KU x 2 ! h I PROWEDEM ^EREZ NEE PRQMU@ C , PARALLELXNU@ OSI Ox . rASSMOTRIM TOT PROSTEJIJ SLU^AJ, KOGDA C PERESEKAET ; W DWUH TO^KAH: P; I

x 4] raznostnye metody re{eniq mnogomernyh zada~ 645

P+ . mNOVESTWO WSEH TO^EK P; I P+ OBOZNA^IM h , = 1
2
 : : :
p. eSLI G = G0 = f0 6 x 6 l , = 1
2g | PRQMOUGOLXNIK, TO h SOSTOIT IZ UZLOW (i1 h1  i2h2 ), LEVA]IH NA STORONAH x = 0 (i = 0) I x = l (i = = N ), = 1
2. kRAEWYE USLOWIQ DLQ y() , O^EWIDNO, ZADA@TSQ TOLXKO NA h : y() = (x
t
) PRI x 2 h
= 1
2
: : :
p: (20) w NA^ALXNYJ MOMENT t = 0 ZADANO USLOWIE y(x
0) = u0 (x): (21) j uSLOWIQ (19) | (21) ODNOZNA^NO OPREDELQ@T y PRI WSEH j = = 1
2
: : : I x 2 !h. dLQ NAHOVDENIQ y() MY POLU^AEM URAWNENIE y() ;  * y() = F = y(;1) + ' S KRAEWYMI USLOWIQMI (20). |TA RAZNOSTNAQ ZADA^A REAETSQ METODOM PROGONKI PO PEREMENNYM x1 I x2 . sHEMA (19) APPROKSIMIRUET URAWNENIE (7) W SUMMARNOM SMYSLE: POGRENOSTX APPROKSIMACII  DLQ LOKALXNO-ODNOMERNOJ SHEMY ESTX SUMMA POGRENOSTEJ APPROKSIMACII  NA REENII u = u(x
t) DLQ ODNOMERNYH SHEM (19) NOMERA : =

p X

=1

 = O(jhj2 +  )
HOTQ WSE  = O(1).

(22)

sHEMA (19) BEZUSLOWNO USTOJ^IWA I RAWNOMERNO SHODITSQ: max jyj ; uj j = O(jhj2 +  ): (23) !h w SLU^AE DWUH IZMERENIJ (p = 2) SHEMA (19) IMEET WID 1 1 j+1 j j +1  (y(1) ; y ) = *1 y(1) + '1
 (y ; y(1) ) = *2y + '2
TAK KAK y(0) = yj , y(2) = yj+1 . w SHEME (19) NE WSE NAPRAWLENIQ RAWNOPRAWNY. sIMMETRIZOWANNAQ LOKALXNO-ODNOMERNAQ SHEMA (1) (1) (1) (1) (1) 0
5 *(1) 1 ! 0
5 *2 ! : : : ! 0
5 *p ! 0
5 *p ! : : : ! 0
5 *2 ! 0
5 *1
KAK POKAZYWA@T ^ISLENNYE \KSPERIMENTY, OBLADAET BOLXEJ TO^NOSTX@ PO SRAWNENI@ SO SHEMOJ (19) S AGOM 0
5  . mOVNO POSTROITX RQD SIMMETRI^NYH SHEM, IME@]IH WTOROJ PORQDOK TO^NOSTI PO  . oKAZYWAETSQ, ^TO SHEMA (11) | (12) TAKVE QWLQETSQ SIMMETRI^NOJ LOKALXNO-ODNOMERNOJ SHEMOJ WIDA (1) (0) (1) 0
5 *(0) 2 ! 0
5 *1 ! 0
5 *1 ! 0
5 *2 S '1 = 0, '2 = 0
5 f, '3 = 0
5 f, '4 = 0. w \TOM MOVNO UBEDITXSQ, ESLI ISKL@^ITX y(1) I y(3) (SLOVIW 1-E I 2-E, 3-E I 4-E URAWNENIQ) I OBOZNA^ITX y(2) = yj+1=2 .

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

646

nAPIEM ODNU IZ SIMMETRI^NYH LOKALXNO-ODNOMERNYH SHEM S  = = O(jhj2 +  2 ) DLQ TREH IZMERENIJ (p = 3, x = (x1
x2
x3 )):

(05) (05) (05) (1) 0
5 *(0) (24) 1 ! 0
5 *2 ! *3 ! 0
5 *2 ! 0
5 *1 : |TA SHEMA, IZU^ENNAQ i. w. fRQZINOWYM, QWLQETSQ OBOB]ENIEM SHEMY (11) | (12) NA TREHMERNYJ SLU^AJ. nETRUDNO NAPISATX LOKALXNO-ODNOMERNU@ SHEMU DLQ KWAZILINEJ-

NOGO URAWNENIQ





p @u = X @ @u @t =1 @x k (u) @x + f (u):

(25)

dOSTATO^NO ZAMENITX KAVDU@ IZ ODNOMERNYH SHEM (19) L@BOJ IZ SHEM, RASSMOTRENNYH W x 2, P. 12, DLQ ODNOMERNYH URAWNENIJ:   p X @u = @ k (u) @u + f (u)
f (u) = f (u): (26)   @t @x @x =1 tAK, NAPRIMER, DLQ DWUMERNOGO SLU^AQ p = 2 DOSTATO^NO W (19) ZAMENITX *1 y(1) I *2 yj+1 (yj+1 = y(2) PRI p = 2) WYRAVENIQMI *1 y(1) = (a1 (y(1) ) y(1) x1 )x^1
*2 yj+1 = (a2 (yj+1 ) yxj+1 ^2
2 )x     (27) a (y) = k yi1 ;1 + y
a (y) = k yi2 ;1 + y 1

1

2 2 2 2 I POLOVITX '1 = 0, '2 = f (y(1)). HA RAWNOMERNOJ SETKE * y ( = 1
2), O^EWIDNO, IMEET WID * y = h12 (a (y))i +1 (yi +1 ; y) ; a (y) (y ; yi ;1 )] : (28)



dLQ OPREDELENIQ y(1) I yj+1 POLU^AEM NELINEJNYE TREHTO^E^NYE ZADA^I, KOTORYE REA@TSQ PO ANALOGII S x 2, P. 12 METODOM ITERACIJ S ISPOLXZOWANIEM FORMUL PROGONKI DLQ KAVDOJ ITERACII. eSLI W (27) POLOVITX a1 = a1 (yj ) I a2 = a2 (y(1) ), TO POLU^IM DLQ OPREDELENIQ y(1) I yj+1 LINEJNYE KRAEWYE ZADA^I, KOTORYE REA@TSQ SRAZU PUTEM PROGONKI PO PEREMENNYM x1 I x2 SOOTWETSTWENNO. pRIWEDEM DWA PRIMERA. p R I M E R 1. rAS^ET DWUMERNOJ TEMPERATURNOJ WOLNY. rASSMOTRIM DWUMERNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI     @u = @ k (u) @u + @ k (u) @u
k (u) = { u
= 1
2
  @t @x1 1 @x1 @x2 2 @x2 (29)

x 4] raznostnye metody re{eniq mnogomernyh zada~ 647

S PARAMETRAMI 1 = 4, {1 = 4, 2 = 2, {2 = 0
25 I DLQ RAS^ETA ISPOLXZUEM TO^NOE REENIE

8 q p > <0
5 ;1 + 1 + 16 (t ; x1 ; 2x2 ) PRI t > x1 + 2x2
u(x1
x2
t) = > : 0 PRI t 6 x1 + 2x2 :

(30)

sETKA GRUBAQ: h1 = h2 = 1 ^ISLO UZLOW N1  N2 = 30  20 = 600. iZ TO^NOGO REENIQ WZQTY NA^ALXNYE ZNA^ENIQ, T. E. u(x1
x2
0)  0, I KRAEWYE USLOWIQ NA PRQMYH x1 = 0, x1 = 30, x2 = 0 I x2 = 20.

rIS. 92

rAS^ETY PROWODILISX PO LOKALXNO-ODNOMERNOJ SHEME (19) S OPERATORAMI *1 I *2 , OPREDELQEMYMI FORMULAMI (27), S AGOM PO WREMENI: A)  = 0
2 B)  = 1
0 W)  = 2
0. nEKOTORYE REZULXTATY PRI t = 30 NANESENY NA RIS. 92, GDE KRESTIKAMI OBOZNA^ENY REZULXTATY WARIANTA W, TO^KAMI | WARIANTA A, SPLONYE LINII | \TO ANALITI^ESKOE REENIE1) . p R I M E R 2. rAS^ET ZADA^I O FAZOWOM PEREHODE (ZADA^I sTEFANA). pREDPOLOVIM, ^TO IMEETSQ DWE FAZY 1, 2 S KO\FFICIENTAMI TEPLOEMKOSTI c1 (u), c2 (u) I TEPLOPROWODNOSTI k1 (u), k2 (u). w KAVDOJ IZ FAZ TEMPERATURA u(x
t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI





p X @ k (u) @u + f (x
t)
cs (u) @u = @t =1 @x s @x

x = (x1
: : :
xp )
1)

sM. SSYLKU NA S. 628.

p = 1
2
3


s = 1
2


(31)

648

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

GDE f (x
t) | PLOTNOSTX TEPLOWYH ISTO^NIKOW. HA GRANICE RAZDELA FAZ TEMPERATURA u(x
t) POSTOQNNA I RAWNA TEMPERATURE u
IH FAZOWOGO PEREHODA, TEPLOWYE POTOKI RAZRYWNY I IH RAZNOSTX RAWNA v, GDE  | TEPLOTA FAZOWOGO PEREHODA, v | SKOROSTX FRONTA GRANICY FAZ. w ODNOMERNOM SLU^AE USLOWIQ NA GRANICE x =  (t) RAZDELA FAZ IME@T WID   @u  d
 u( + 0
t) = u( ; 0
t) = u

k1 @u ; k =  2  @x x=+0 @x x=;0 dt ESLI u < u
W FAZE 1 I u > u
W FAZE 2. wWODQ -FUNKCI@ dIRAKA, ZAPIEM URAWNENIE (31) W WIDE  @u  p X @
@u k(u) @x + f
(c(u) +  (u ; u )) @t =  =1 @x

 c
u < u

c(u) = 1

(32) (33)

 k
u < u

k(u) = 1

c2
u > u
 k2
u > u
: uSLOWIQ NA GRANICE FAZ (W ^ASTNOSTI, USLOWIQ (32) PRI p = 1) SLEDU@T IZ URAWNENIQ (33). dLQ REENIQ ZADA^I sTEFANA PRIMENQETSQ METOD SGLAVIWANIQ : FUNKCIQ PRIBLIVENNO ZAMENQETSQ -OBRAZNOJ FUNKCIEJ (u ; u

), OTLI^NOJ OT NULQ TOLXKO NA INTERWALE (u
; 
u
+ ) I UDOWLETWORQ@]EJ USLOWI@ NORMIROWKI uZ+ 

u ;

(u ; u

) du = 1:



wWODQ \FFEKTIWNU@ TEPLOEMKOSTX c~(u) = c(u) +  (u ; u

) I \FFEKTIWNYJ KO\FFICIENT k~(u), SOWPADA@]IJ S k1 (u) PRI u < u
; 
I S k2 (u) PRI u > u + , MY POLU^AEM DLQ OPREDELENIQ u KWAZILINEJNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI  @u  p X @u @ c~(u) @t = @x k~(u) @x + f (34)  =1  S SOOTWETSTWU@]IMI KRAEWYMI USLOWIQMI NA GRANICE ; OBLASTI G, W KOTOROJ I]ETSQ REENIE.
oTMETIM, ^TO (u ; u
) WYBIRAETSQ TAKIM OBRAZOM, ^TOBY c~(u) WBLIZI u = u
IMELO NAIBOLEE PROSTOJ WID: STUPENXKI, PARABOLY I T. D.

x 5]

iteracionnye metody

649

tAK KAK RAZMAZYWANIE PROWODITSQ PO TEMPERATURE, TO ONO PRIMENIMO DLQ L@BOGO ^ISLA IZMERENIJ I L@BOGO ^ISLA FAZ. dLQ REENIQ URAWNENIQ (34) PRIMENQETSQ LOKALXNO-ODNOMERNAQ SHEMA (19), (27).

rIS. 93

rIS. 94

bYLI POLU^ENY ^ISLENNYE REENIQ SLEDU@]IH ZADA^, IME@]IH TO^NYE ANALITI^ESKIE REENIQ1): 1) ZADA^I S KOSYM PLOSKIM FRONTOM (RIS. 93) 2) OSESIMMETRI^ESKOJ ZADA^I, W KOTOROJ GRANICA FAZ ESTX OKRUVNOSTX (RIS. 94). rEENIE \TIH ZADA^ PROWODILOSX W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT. rEZULXTATY RAS^ETA POKAZANY NA RIS. 93 I 94. sPLONYE LINII |
GRANICY RAZDELA FAZ, KRESTIKI | RAS^ETNYE TO^KI, W KOTORYH u = u .

x 5. iTERACIONNYE METODY REENIQ SETO^NYH URAWNENIJ 1. mODELXNAQ ZADA^A. kRATKO OBSUDIM WOZMOVNOSTI NAHOVDENIQ PRIBLIVENNOGO REENIQ SETO^NYH \LLIPTI^ESKIH ZADA^2) ITERACIONNYMI METODAMI. w KA^ESTWE MODELXNOJ RASSMATRIWAETSQ ZADA^A 1)

s A M A R S K I J a. a., m O I S E E N K O b. d. |KONOMI^NAQ SHEMA SKWOZNOGO S^ETA DLQ MNOGOMERNOJ ZADA^I sTEFANA // vwm I mf. 1965. t. 5,  5. s. 816{827. sM. TAKVE: b U D A K b. m., s O L O W X E W A e. H., u S P E N S K I J a. b. rAZNOSTNYJ METOD SO SGLAVIWANIEM KO\FFICIENTOW DLQ REENIQ ZADA^ sTEFANA // tAM VE. s. 828{840. 2) bOLEE POLNOE I WSESTORONNEE OBSUVDENIE PROBLEM REENIQ SETO^NYH URAWNENIJ PROWODITSQ W KNIGE: s A M A R S K I J a. a., n I K O L A E W e. s. mETODY REENIQ SETO^NYH URAWNENIJ. m., 1978.

650

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

dIRIHLE DLQ URAWNENIQ pUASSONA W PRQMOUGOLXNIKE G = fx j x =

= (x1
x2 )
0 6 x 6 l
= 1
2g: 2

2

u = @@xu2 + @@xu2 = ;'(x) W G, 1

2

u(x)j; = (x):

(1)

w OBLASTI G WWEDEM RAWNOMERNU@ PRQMOUGOLXNU@ SETKU S AGAMI h1 I h2 , I PUSTX (SM. x 2) !h | MNOVESTWO WNUTRENNIH, A h | MNOVESTWO GRANI^NYH UZLOW. dIFFERENCIALXNOJ ZADA^E (1) STAWITSQ W SOOTWETSTWIE RAZNOSTNAQ ZADA^A *y = ;'(x)
x 2 !h
(2) y(x) = (x)
x 2 h
(3) GDE *y =

2 X

=1

* y


* y = yx x :

(4)

iSSLEDOWANIE SHODIMOSTI ITERACIONNYH PROCESSOW PROWODITSQ W PROSTRANSTWE SETO^NYH FUNKCIJ H , ZADANNYH NA !h = !h + h I RAWNYH NUL@ NA h . dLQ \TOGO W RAZNOSTNOJ ZADA^E (2) | (4) ISKL@^A@TSQ S U^ETOM (3) GRANI^NYE UZLY. dLQ TOGO ^TOBY ZAPISATX RAZNOSTNU@ ZADA^U (2) | (4) W WIDE OPERATORNOGO URAWNENIQ 1-GO RODA Ay = f
(5) OBOZNA^IM Ay = ;*y
y 2 H: (6) w PRIWEDENNOJ ZAPISI UVE y(x) = 0, x 2 h , T. E. W GRANI^NYH UZLAH \TA SETO^NAQ FUNKCIQ NE SOWPADAET S RAZNOSTNYM REENIEM. nEODNORODNOSTX GRANI^NOGO USLOWIQ U^ITYWAETSQ DOPOLNITELXNOJ NEODNORODNOSTX@ PRAWOJ ^ASTI RAZNOSTNOGO URAWNENIQ (2). pRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ (5) OTLI^NA OT PRAWOJ ^ASTI RAZNOSTNOGO URAWNENIQ (2) LIX W PRIGRANI^NYH UZLAH. nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO f = ' + '1 h;1 2 + '2 h;2 2 , GDE 8 > < (0
x2)
x1 = h1
'1 (x) = > 0
2h1 6 x1 6 l1 ; 2h1
: (l1
x2 )
x1 = l1 ; h1

8 > < (x1
0)
'2 (x) = > 0
: (x1
l2)


x2 = h2
2h2 6 x2 6 l2 ; 2h2
x2 = l2 ; h2 :

x 5]

iteracionnye metody

651

aNALOGI^NAQ PROCEDURA PRIMENQETSQ I DLQ RAZNOSTNYH ZADA^ S DRUGIMI TIPAMI NEODNORODNYH GRANI^NYH USLOWIJ. nA OSNOWE REZULXTATOW x 2 USTANAWLIWAETSQ SAMOSOPRQVENNOSTX I POLOVITELXNOSTX OPERATORA A ((Ay
v) = (y
Av), (Ay
y) > 0) W SETO^NOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H , W KOTOROM X p (y
v) = y(x) v(x) h1 h2
kyk = (y
y): x2!h

nA OSNOWANII RASSMOTRENIQ ODNOMERNYH OPERATOROW (SM. x 2, P. 3) IMEEM OCENKI RAZNOSTNOGO OPERATORA A SNIZU I SWERHU SLEDU@]EGO WIDA: {1 E 6 A 6 {2 E
(7) GDE (SR. S (27) I (35) W x 2) 4 4 {1 = 2 + 2
l1 l2

4 4 {2 = 2 + 2
h1 h2

(8)

A E | TOVDESTWENNYJ OPERATOR. 2. iTERACIONNYE METODY LINEJNOJ ALGEBRY. bUDEM RASSMATRIWATX WOPROSY ITERACIONNOGO REENIQ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ (5), KOGDA A | LINEJNYJ OPERATOR, DEJSTWU@]IJ W KONE^NOMERNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H , f | ZADANNYJ \LEMENT H , A y NEOBHODIMO NAJTI. iTERACIONNYJ METOD OSNOWAN NA TOM, ^TO, NA^INAQ S NEKOTOROGO NA^ALXNOGO PRIBLIVENIQ y0 2 H , POSLEDOWATELXNO OPREDELQ@TSQ PRIBLIVENNYE REENIQ URAWNENIQ (5) y1 , y2 , : : : , yk , : : : , GDE k | NOMER ITERACII. zNA^ENIQ yk+1 OPREDELQ@TSQ PO RANEE NAJDENNYM yk , yk;1 , : : : eSLI PRI WY^ISLENII yk+1 ISPOLXZU@TSQ TOLXKO ZNA^ENIQ NA PREDYDU]EJ ITERACII yk , TO ITERACIONNYJ METOD NAZYWAETSQ ODNOAGOWYM (DWUHSLOJNYM). sOOTWETSTWENNO PRI ISPOLXZOWANII yk I yk;1 ITERACIONNYJ METOD NAZYWAETSQ DWUHAGOWYM (TREHSLOJNYM). l@BOJ ODNOAGOWYJ ITERACIONNYJ METOD MOVNO ZAPISATX W WIDE Bk yk+1 = Ck yk + k+1 f
(9) GDE Bk , Ck | LINEJNYE OPERATORY, A k+1 | ^ISLOWYE PARAMETRY. rEENIE URAWNENIQ (5) DOLVNO UDOWLETWORQTX (9), T. E. Bk y = Ck y + + k+1 f . s U^ETOM URAWNENIQ (5) MOVNO POLOVITX Bk ; Ck = k+1 A. wYRAVAQ Ck ^EREZ A I Bk , ZAPIEM (9) W WIDE ; yk + Ayk = f
k = 0
1
: : : Bk yk+1 (10) k+1 |TO ESTX KANONI^ESKAQ FORMA DWUHSLOJNOGO ITERACIONNOGO METODA. pRI ZADANNOM y0 WSE POSLEDU@]IE PRIBLIVENIQ NAHODQT PO (10). dLQ HARAKTERISTIKI TO^NOSTI PRIBLIVENNOGO REENIQ ESTESTWENNO WWESTI POGRENOSTX zk = yk ; y. iTERACIONNYJ METOD SHODITSQ W \NERGETI^ESKOM PROSTRANSTWE HD , POROVDENNOM SAMOSOPRQVENNYM I

652

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

POLOVITELXNO OPREDELENNYM W H OPERATOROM D (SKALQRNOE PROIZWEDENIE W HD ESTX (y
v)D = (Dy
v)), ESLI kzk kD ! 0 PRI k ! 1. w KA^ESTWE MERY SHODIMOSTI ITERACIJ PRINIMA@T OTNOSITELXNU@ POGRENOSTX ", TAK ^TO kyn ; ykD 6 " ky0 ; ykD : (11) w SILU TOGO ^TO SAMO TO^NOE REENIE y NEIZWESTNO, OCENKA TO^NOSTI PRIBLIVENNOGO REENIQ PROWODITSQ PO NEWQZKE rk = Ayk ; f = Ayk ; ; Ay, KOTORAQ MOVET BYTX WY^ISLENA NEPOSREDSTWENNO . nAPRIMER, ITERACIONNYJ PROCESS PROWODITSQ DO WYPOLNENIQ OCENKI krn k 6 " kr0k: (12) iSPOLXZOWANIE KRITERIQ SHODIMOSTI (12) SOOTWETSTWUET WYBORU D = = A
A W (11). mINIMALXNOE ^ISLO ITERACIJ, KOTOROE GARANTIRUET TO^NOSTX " (WYPOLNENIE (11) ILI (12)), OBOZNA^IM n0 ("). pRI POSTROENII ITERACIONNOGO METODA MY DOLVNY STREMITXSQ K MINIMIZACII WY^ISLITELXNOJ RABOTY PO NAHOVDENI@ PRIBLIVENNOGO REENIQ ZADA^I (5) S ZADANNOJ TO^NOSTX@. pUSTX Qk | ^ISLO ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ DLQ NAHOVDENIQ PRIBLIVENIQ yk I PUSTX DELAETSQ n > n0 (P ") ITERACIJ. tOGDA OB]IE ZATRATY OCENIWA@TSQ WELI^INOJ Q(") = nk=1 Qk . pRIMENITELXNO K DWUHSLOJNOMU ITERACIONNOMU METODU (10) MINIMIZACIQ Q(") MOVET DOSTIGATXSQ ZA S^ET WYBORA OPERATOROW Bk I ITERACIONNYH PARAMETROW k+1 . oBY^NO OPERATORY Bk ZADA@TSQ IZ KAKIH-LIBO SOOBRAVENIJ, A OPTIMIZACIQ ITERACIONNOGO METODA (10) OSU]ESTWLQETSQ ZA S^ET WYBORA ITERACIONNYH PARAMETROW. 3. wYBOR ITERACIONNYH PARAMETROW. w TEORII ITERACIONNYH METODOW DLQ WYBORA ITERACIONNYH PARAMETROW POLU^ILI RASPROSTRANENIE DWA PODHODA. pERWYJ IZ NIH SWQZAN S ISPOLXZOWANIEM APRIORNOJ INFORMACII OB OPERATORAH ITERACIONNOJ SHEMY (Bk I A W (10)). pRI WTOROM PODHODE (ITERACIONNYE METODY WARIACIONNOGO TIPA) ITERACIONNYE PARAMETRY OPREDELQ@TSQ NA KAVDOJ ITERACII IZ MINIMUMA NEKOTORYH FUNKCIONALOW I QWNO NE ISPOLXZUETSQ APRIORNAQ INFORMACIQ OB OPERATORAH. bUDEM RASSMATRIWATX W KA^ESTWE OSNOWNOJ ZADA^U (5), KOGDA OPERATOR A SAMOSOPRQVEN I POLOVITELXNO OPREDELEN (A = A
> 0) W KONE^NOMERNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H . rASSMATRIWAETSQ ITERACIONNYJ PROCESS ; yk + Ayk = f
k = 0
1
: : :
B yk+1 (13) k+1 T. E. W OTLI^IE OT OB]EGO SLU^AQ (10) OPERATOR Bk S^ITAETSQ POSTOQNNYM (NE IZMENQETSQ W PROCESSE ITERACIJ). mETOD PROSTOJ ITERACII SOOTWETSTWUET ISPOLXZOWANI@ W (13) POSTOQNNOGO ITERACIONNOGO PARAMETRA k   , T. E. RASSMATRIWAETSQ ITERACIONNYJ PROCESS B yk+1; yk + Ayk = f
k = 0
1
: : :
(14)

x 5]

iteracionnye metody

653

W PREDPOLOVENII, ^TO A = A
> 0
B = B
> 0: (15) iTERACIONNYJ METOD (14) NAZYWAETSQ STACIONARNYM. pUSTX APRIORNAQ INFORMACIQ OB OPERATORAH B I A ZADANA W WIDE DWUHSTORONNEGO OPERATORNOGO NERAWENSTWA 1 B 6 A 6 2 B
1 > 0
(16) T. E. OPERATORY B I A \NERGETI^ESKI \KWIWALENTNY. iMEET MESTO SLEDU@]EE UTWERVDENIE. iTERACIONNYJ METOD (14) | (16) SHODITSQ W HD , D = A, B PRI 0 <  < 2=1. oPTIMALXNYM ZNA^ENIEM ITERACIONNOGO PARAMETRA QWLQETSQ  = 0 = 2=(1 + 2 ), A DLQ ^ISLA ITERACIJ n, NEOBHODIMYH DLQ DOSTIVENIQ TO^NOSTI ", SPRAWEDLIWA OCENKA n > n0 (") = lnln"
(17) 0 GDE ; 
 = 1 : 0 = 11 +  2 zAMETIM, ^TO W (17) n0 ("), WOOB]E GOWORQ, NECELOE I n | MINIMALXNOE CELOE, PRI KOTOROM WYPOLNENO n > n0 ("). sFORMULIROWANNOE UTWERVDENIE UKAZYWAET PUTX OPTIMIZACII SHODIMOSTI ITERACIONNOGO PROCESSA (14) | (15) ZA S^ET WYBORA OPERATORA B W SOOTWETSTWII S (16), T. E. OPERATOR B DOLVEN BYTX BLIZOK OPERATORU A PO \NERGII. w \TOM SMYSLE NAIBOLEE BLAGOPRIQTNAQ SITUACIQ SOOTWETSTWUET, KONE^NO, WYBORU B = A I 0 = 1, n = 1 (PRQMOJ METOD). oPTIMALXNYJ NABOR ITERACIONNYH PARAMETROW W (13) SWQZAN S KORNQMI POLINOMOW ~EBYEWA, PO\TOMU TAKOJ ITERACIONNYJ METOD NAZYWAETSQ ^EBYEWSKIM ITERACIONNYM METODOM (ILI METODOM rI^ARDSONA). oPREDELIM MNOVESTWO Mn SLEDU@]IM OBRAZOM:     (18) Mn = ; cos 2i2;n 1 
i = 1
2
: : :
n : dLQ ITERACIONNYH PARAMETROW k ISPOLXZUETSQ FORMULA k = 1 +0 
k 2 Mn
k = 1
2
: : :
n: (19) 0 k ~EBYEWSKIJ ITERACIONNYJ METOD (13), (15), (16), (18), (19) SHODITSQ W HD , D = A, B , I DLQ ^ISLA ITERACIJ n, NEOBHODIMYH DLQ DOSTIVENIQ TO^NOSTI ", SPRAWEDLIWA OCENKA n > n0 (") = ln(2";1)= ln(;1 1 )
(20) GDE 1=2 1 = 1 ;  1=2
 = 1 : 1+ 2

654

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

zAMETIM, ^TO W ^EBYEWSKOM METODE (SM. (18), (19)) RAS^ET ITERACIONNYH PARAMETROW OSU]ESTWLQETSQ PO ZADANNOMU OB]EMU ^ISLU ITERACIJ n. eSTESTWENNO, ^TO WYROVDENNYJ SLU^AJ n = 1 SOOTWETSTWUET RASSMOTRENNOMU WYE METODU PROSTOJ ITERACII. pRAKTI^ESKAQ REALIZACIQ ^EBYEWSKOGO ITERACIONNOGO METODA SWQZANA S PROBLEMOJ WY^ISLITELXNOJ USTOJ^IWOSTI, KOTORAQ POROVDENA TEM, ^TO NORMA OPERATORA PEREHODA NA OTDELXNYH ITERACIQH BOLXE EDINICY I MOVET PROISHODITX ROST LOKALXNOJ POGRENOSTI DO AWOSTA. pROBLEMA WY^ISLITELXNOJ USTOJ^IWOSTI REAETSQ SPECIALXNYM UPORQDO^IWANIEM ITERACIONNYH PARAMETROW (WYBOROM k IZ MNOVESTWA Mn). dLQ WY^ISLENIQ OPTIMALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ ITERACIONNYH PARAMETROW k PO ZADANNOMU ^ISLU ITERACIJ n PREDLOVENY RAZLI^NYE ALGORITMY. 4. iTERACIONNYE METODY WARIACIONNOGO TIPA. wYE RASSMATRIWALISX ITERACIONNYE METODY REENIQ ZADA^I (5) W USLOWIQH, KOGDA ZADANA APRIORNAQ INFORMACIQ OB OPERATORAH B I A W WIDE KONSTANT (SM. (16)) \NERGETI^ESKOJ \KWIWALENTNOSTI 1 I 2 . ~EREZ \TI POSTOQNNYE OPREDELQ@TSQ OPTIMALXNYE ZNA^ENIQ ITERACIONNYH PARAMETROW. pOLU^ENIE \TIH POSTOQNNYH MOVET OKAZATXSQ SLOVNOJ ZADA^EJ, PO\TOMU ESTX SMYSL PYTATXSQ STROITX ITERACIONNYE METODY, DLQ KOTORYH ITERACIONNYE PARAMETRY WY^ISLQ@TSQ BEZ TAKOJ APRIORNOJ INFORMACII. |TOT KLASS METODOW IZWESTEN KAK ITERACIONNYE METODY WARIACIONNOGO TIPA. nA^NEM S RASSMOTRENIQ DWUHSLOJNOGO ITERACIONNOGO METODA (13) W PREDPOLOVENIQH (15). oBOZNA^AQ NEWQZKU rk = Ayk ; f I POPRAWKU wk = B ;1 rk , RAS^ETNU@ FORMULU DLQ ITERACIONNYH PARAMETROW MOVNO PREDSTAWITX W WIDE Dwk
zk ) : k+1 = ((Dw (21) k
wk ) iTERACIONNYJ PROCESS (13) ZAPIETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: yk+1 = yk ; k+1 wk
k = 0
1
: : : kONKRETIZACIQ ITERACIONNOGO METODA DOSTIGAETSQ ZA S^ET WYBORA D = D
> 0. |TOT WYBOR DOLVEN BYTX POD^INEN, W ^ASTNOSTI, USLOWI@ WOZMOVNOSTI WY^ISLENIQ ITERACIONNYH PARAMETROW. w FORMULU (21) WHODIT NEWY^ISLQEMAQ WELI^INA zk , I PO\TOMU WYBOR D = B ZDESX NE PROHODIT. wTORAQ OTME^ENNAQ WYE WOZMOVNOSTX | D = A | PRIWODIT NAS K METODU SKOREJEGO SPUSKA, KOGDA (wk
rk ) : (22) k+1 = (Aw
w ) k

k

sREDI DRUGIH WOZMOVNOSTEJ WYBORA D OTMETIM D = AB ;1 A | METOD MINIMALXNYH POPRAWOK. dWUHSLOJNYJ ITERACIONNYJ METOD WARIACIONNOGO TIPA SHODITSQ NE MEDLENNEE METODA PROSTOJ ITERACII. sFORMULIRUEM SOOTWETSTWU@]IJ REZULXTAT PRIMENITELXNO K METODU SKOREJEGO SPUSKA W WIDE SLEDU@]EJ TEOREMY.

x 5]

iteracionnye metody

655

iTERACIONNYJ METOD (13), (15), (16), (22) SHODITSQ W HA , I DLQ ^ISLA ITERACIJ n, NEOBHODIMYH DLQ DOSTIVENIQ TO^NOSTI ", SPRAWEDLIWA OCENKA (17). w WY^ISLITELXNOJ PRAKTIKE NAIBOLXEE RASPROSTRANENIE POLU^ILI TREHSLOJNYE ITERACIONNYE METODY WARIACIONNOGO TIPA. pO SKOROSTI SHODIMOSTI ONI NE HUVE ITERACIONNOGO METODA S ^EBYEWSKIM NABOROM ITERACIONNYH PARAMETROW. w TREHSLOJNOM (DWUHAGOWOM) ITERACIONNOM METODE NOWOE PRIBLIVENIE NAHODITSQ PO DWUM PREDYDU]IM. dLQ REALIZACII METODA TREBU@TSQ DWA NA^ALXNYH PRIBLIVENIQ y0 , y1 . oBY^NO y0 ZADAETSQ PROIZWOLXNO, A y1 NAHODITSQ PO DWUHSLOJNOMU ITERACIONNOMU METODU. tREHSLOJNYJ METOD ZAPISYWAETSQ W SLEDU@]EJ KANONI^ESKOJ FORME TREHSLOJNOGO ITERACIONNOGO METODA: Byk+1 = k+1 (B ; k+1 A) yk + (1 ; k+1 ) Byk;1 + k+1 k+1 f
(23) k = 1
2
: : :
By1 = (B ; 1 A) y0 + 1 f
GDE k+1 I k+1 | ITERACIONNYE PARAMETRY. wY^ISLENIQ PO (23) OSNOWANY NA PREDSTAWLENII yk+1 = k+1 yk + (1 ; k+1 ) yk;1 ; k+1 k+1 wk
(24) GDE wk = B ;1 rk . rEALIZACIQ TREHSLOJNOGO ITERACIONNOGO METODA ^ASTO SWQZANA S ISPOLXZOWANIEM PREDSTAWLENIQ yk+1 = yk + k pk
k = 0
1
: : :
(25) p0 = w0
pk = wk + k pk;1
k = 1
2
: : : sOPOSTAWLQQ (24) I (25), USTANAWLIWAEM SWQZX PARAMETROW k I k S PARAMETRAMI k I k : k = ; k+1 k+1
k = ( k+1 ; 1) k k : k+1 k+1 s ISPOLXZOWANIEM WWEDENNYH OBOZNA^ENIJ RAS^ETNYE FORMULY ITERACIONNOGO METODA SOPRQVENNYH NAPRAWLENIJ DA@T Dwk
zk )
k+1 = ((Dw k = 0
1
: : :
k
wk )



(Dwk
zk ) 1 k+1 = 1 ; k+1 (Dw k k;1
zk;1 ) k

;1


k = 1
2
: : :
1 = 1: (26)

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

656

w SLU^AE D = A, KAK SLEDUET IZ (26), ITERACIONNYE PARAMETRY RASS^ITYWA@TSQ PO FORMULAM (wk
rk )
k+1 = (Aw k = 0
1
: : :
k
wk ) (27)





;1
k = 1
2
: : :
1 = 1: k+1 = 1 ; k+1 (w(wk

rrk ) ) 1 k k;1 k;1 k rAS^ET ITERACIONNYH PARAMETROW TREHSLOJNOGO ITERACIONNOGO METODA (23) W SOOTWETSTWII S (27) OPREDELQET METOD SOPRQVENNYH GRADIENTOW, KOTORYJ NAIBOLEE IROKO ISPOLXZUETSQ W WY^ISLITELXNOJ PRAKTIKE. mETOD SOPRQVENNYH GRADIENTOW (23), (27) PRI WYPOLNENII (15), (16) SHODITSQ W HA , I DLQ ^ISLA ITERACIJ n, NEOBHODIMYH DLQ DOSTIVENIQ TO^NOSTI ", SPRAWEDLIWA OCENKA (20). 5. dIAGONALXNYJ OPERATOR B . pROSTEJIJ KLASS ITERACIONNYH METODOW SWQZAN S WYBOROM DIAGONALXNOGO OPERATORA B . w \TOM SLU^AE B = b(x) E (28) I RAS^ET NOWOGO ITERACIONNOGO PRIBLIVENIQ PROWODITSQ PO QWNYM FORMULAM. k \TOMU KLASSU METODOW PRINADLEVIT I ITERACIONNYJ METOD qKOBI, KOTORYJ SOOTWETSTWUET WYBORU W KA^ESTWE B DIAGONALXNOJ ^ASTI OPERATORA A I k =  = 1. zADA^A OPTIMALXNOGO WYBORA B W KLASSE OPERATOROW (28) REENA. oTNOENIE
 = 1 =2 W DWUHSTORONNEM OPERATORNOM NERAWENSTWE (16) DLQ A = A > 0 BUDET MAKSIMALXNYM, ESLI W KA^ESTWE B WYBRATX DIAGONALXNU@ ^ASTX OPERATORA A. i W \TOM SMYSLE METOD qKOBI QWLQETSQ OPTIMALXNYM. pRI b(x) = 2 (h;1 2 + h;2 2 ) (29) S U^ETOM (7), (8) IMEEM  = 1 = O(jhj2 )
jhj2 = h21 + h22 : 2 dLQ ^ISLA ITERACIJ METODA PROSTOJ ITERACII S OPTIMALXNYM ZNA^ENIEM  = 0 = 2=(1 + 2 ) I METODA SKOREJEGO SPUSKA PRI WYBORE B SOGLASNO (28), (29) SPRAWEDLIWA OCENKA





(30) n0 (") = O jh1j2 ln 1" : tEM SAMYM, ^ISLO ITERACIJ PROPORCIONALXNO OB]EMU ^ISLU UZLOW (NEIZWESTNYH).

x 5]

iteracionnye metody

657

dLQ ^EBYEWSKOGO ITERACIONNOGO METODA I METODA SOPRQVENNYH GRADIENTOW WMESTO (30) IMEEM SLEDU@]U@ OCENKU:

1



n0 (") = O jhj ln 1" :

(31)

pO SRAWNENI@ S METODOM PROSTOJ ITERACII METOD S ^EBYEWSKIM NABOROM ITERACIONNYH PARAMETROW SHODITSQ ZNA^ITELXNO BYSTREE. 6. pOPEREMENNO-TREUGOLXNYJ ITERACIONNYJ METOD. rASSMOTRIM ZADA^U (5) W USLOWIQH, KOGDA SAMOSOPRQVENNYJ I POLOVITELXNYJ OPERATOR A PREDSTAWLQETSQ W WIDE A = A1 + A2
A1 = A
2 : (32) pUSTX OPERATOR D SOOTWETSTWUET DIAGONALXNOJ ^ASTI
A, L | NIVNEJ TREUGOLXNOJ MATRICE. tOGDA W SILU A = L + D + L DLQ OPERATOROW A , = 1
2, IZ RAZLOVENIQ (32) POLU^IM A1 = 21 D + L
A2 = 12 D + L
: (33) s U^ETOM WYBORA Dy = d(x) E
d(x) = 2 (h;1 2 + h;2 2): (34) dLQ OPERATOROW A , = 1
2, RAZLOVENIQ (32), (33) IMEEM SLEDU@]IE PREDSTAWLENIQ NA MNOVESTWE SETO^NYH FUNKCIJ, OBRA]A@]IHSQ W NULX NA h : A1 y = h1 yx1 + h1 yx2
A2 y = ; h1 yx1 ; h1 yx2 : (35) 1 2 1 2 oPERATOR B W POPEREMENNO-TREUGOLXNOM ITERACIONNOM METODE QWLQETSQ FAKTORIZOWANNYM I WYBIRAETSQ W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH TREUGOLXNYH I DIAGONALXNOJ MATRIC: B = (D + !A1 ) D;1 (D + !A2 )
(36) GDE ! | ^ISLOWOJ PARAMETR. sKOROSTX SHODIMOSTI ITERACIONNOGO METODA (13), (15), (36) OPREDELQETSQ POSTOQNNYMI \NERGETI^ESKOJ \KWIWALENTNOSTI 1 , 2 W DWUHSTORONNEM NERAWENSTWE (16). nAJDEM \TI POSTOQNNYE PRI APRIORNOJ INFORMACII W WIDE NERAWENSTW (37) 1 D 6 A
A1 D;1 A2 6 42 A
1 > 0: dLQ OPERATORA B IMEEM B = (D + !A1 ) D;1 (D + !A2 ) = D + ! (A1 + A2 ) + !2 A1 D;1 A2 : (38) pRINIMAQ WO WNIMANIE (37), POLU^IM   B 6 1 + ! + !2 42 A: 1 42 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

658

dopolnenie I. metod kone~nyh raznostej

tEM SAMYM DLQ 1 IMEET MESTO WYRAVENIE 1 = 1 + ! + 1!2 =4 : 1 2

(39)

dLQ POLU^ENIQ POSTOQNNOJ 2 PREDSTAWIM OPERATOR B NA OSNOWANII (38) W SLEDU@]EM WIDE: B = D ; ! (A1 + A2 ) + !2 A1 D;1 A2 + 2! (A1 + A2 ) = = (D ; !A1 ) D;1 (D ; !A2 ) + 2!A: tAK KAK OPERATOR D POLOVITELEN, TO OTS@DA POLU^AEM (By
y) > > 2! (Ay
y), T. E. A 6 2 B , GDE (40) 2 = 21! : sEJ^AS MY MOVEM WYBRATX PARAMETR ! W (36) ISHODQ IZ USLOWIQ MAKSIMUMA  =  (!) = 1 =2 . s U^ETOM (39), (40) POLU^IM  (!) = 1 = 1 + ! 2+! !12 =4 : 2

1 2

mAKSIMUM  (!) DOSTIGAETSQ PRI ! = !0 = 2 ( 1 2 );1=2
(41) I ON RAWEN 1=2  =  (!0 ) = 2 1=2
 = 1 : (42) 1+ 2 nA OSNOWANII POLU^ENNYH OCENOK MOVNO SFORMULIROWATX SOOTWETSTWU@]IJ REZULXTAT O SHODIMOSTI POPEREMENNO-TREUGOLXNOGO ITERACIONNOGO METODA PRI OPTIMALXNOM WYBORE PARAMETRA !. pOPEREMENNO-TREUGOLXNYJ ITERACIONNYJ METOD (13), (32), (36), (37), (41) S ^EBY EWSKIM NABOROM ITERACIONNYH PARAMETROW SHODITSQ W HA I HB , PRI^EM DLQ ^ISLA ITERACIJ SPRAWEDLIWA OCENKA n > > n0 (") = ln(2";1)= ln(;1 1 ), GDE 1=2 1 = 1 ;  1=2 1+ ( OPREDELQETSQ SOGLASNO (42)). u^ITYWAQ MALOSTX , DLQ ^ISLA ITERACIJ MOVNO POLU^ITX BOLEE PROSTOE WYRAVENIE: p (43) n0 (") = ln(2";1 )= (2 2 1=4 )
 = 1 = 2 : pOPEREMENNO-TREUGOLXNYJ METOD MOVET REALIZOWYWATXSQ I W WARIANTE METODA SOPRQVENNYH GRADIENTOW. i W \TOM SLU^AE ^ISLO ITERACIJ HARAKTERIZUETSQ OCENKOJ (43).

x 5]

iteracionnye metody

659

nAJDEM TEPERX POSTOQNNYE 1 I 2 W NERAWENSTWAH (37). nA OSNOWE WYBORA (34) I OCENKI (7) | (8) IMEEM 1 = O(jhj2 ). pRINIMAQ WO WNIMANIE (34), (35), POLU^AEM 2 h2 2 (A1 D;1 A2 y
y) = 2 (hh21+ 2 (A2 y
A2 y ): 1 h2 ) dLQ PRAWOJ ^ASTI IMEEM (A2 y
A2 y) = h12 (yx21
1) ; h 2h (yx1
yx2 ) + h12 (yx22
1): 1 2

1

pRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO



2



; h12h2 (yx1
yx2 ) = ;2 h12 yx1
h11 yx2 6 h122 (yx21
1) + h121 (yx22
1)


POLU^AEM





(A2 y
A2 y) 6 h12 + h12 (Ay
y): 1 2 tEM SAMYM PRIHODIM K NERAWENSTWU (A1 D;1 A2 y
y) 6 0
5 (Ay
y). sOPOSTAWLQQ SO WTORYM NERAWENSTWOM (37), IMEEM 2 = 2.

s U^ETOM \TOGO DLQ ^EBYEWSKOGO ITERACIONNOGO METODA WERNA OCENKA ^ISLA ITERACIJ n0 (") = O





1 ln 1 : jhj1=2 "

(44)

tAKIM OBRAZOM, ^ISLO ITERACIJ PROPORCIONALXNO KORN@ KWADRATNOMU IZ ^ISLA UZLOW PO ODNOMU NAPRAWLENI@ (W NAEJ DWUMERNOJ ZADA^E | KORN@ ^ETWERTOJ STEPENI IZ OB]EGO ^ISLA UZLOW). oCENKA (44) POKAZYWAET, ^TO RASSMOTRENNYJ METOD ZNA^ITELXNO PREDPO^TITELXNEE RASSMOTRENNYH RANEE DRUGIH ITERACIONNYH METODOW. pARAMETR ! W POPEREMENNO-TREUGOLXNOM METODE (13), (36) MOVNO WKL@^ITX W OPERATOR D I ISPOLXZOWATX (13) S B = (D + A1 ) D;1 (D + + A2 ). oPTIMIZACIQ ITERACIONNOGO METODA DOSTIGAETSQ TOLXKO ZA S^ET WYBORA OPERATORA D. |TO OSOBENNO WAVNO PRI RASSMOTRENII ZADA^ S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI. zASLUVIWAET WNIMANIQ POPEREMENNOTREUGOLXNYJ ITERACIONNYJ METOD W FORME B = (D + L) D;1 (D + L
): (45) eSLI W KA^ESTWE D WZQTX D, GDE  | POSTOQNNAQ, A D | DIAGONALXNAQ ^ASTX A, TO WYBOR (45), KAK I W SLU^AE TREUGOLXNYH ITERACIONNYH METODOW, \KWIWALENTEN RANEE RASSMOTRENNOMU WYBORU. kONE^NO, ESLI D 6= D, TO \KWIWALENTNOSTI MEVDU \TIMI WARIANTAMI POPEREMENNOTREUGOLXNOGO ITERACIONNOGO METODA UVE NET. 42


d o p o l n e n i e II

specialxnye funkcii 1. wWEDENIE. mETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH DLQ URAWNENIJ S

^ASTNYMI PROIZWODNYMI PRIWODIT K ZADA^E {TURMA | lIUWILLQ. dLQ URAWNENIJ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI I GRANI^NYMI USLOWIQMI 1-GO RODA, KOTORYE RASSMATRIWA@TSQ W GL. II, III, V, MY POLU^AEM ZADA^U NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ, ILI ZADA^U {TURMA | lIUWILLQ. nAJTI ZNA^ENIQ , PRI KOTORYH ODNORODNOE URAWNENIE v + v = = 0 W OBLASTI T S ODNORODNYM USLOWIEM vj = 0 NA GRANICE  IMEET NETRIWIALXNYE REENIQ v(P ) 6 0 (S O B S T W E N N Y E F U N K C I I). eSLI T | OTREZOK 0 6 x 6 l, PRQMOUGOLXNIK (0 6 x 6 l1 , 0 6 y 6 l2 ) ILI PARALLELEPIPED (0 6 x 6 l1 , 0 6 y 6 l2 , 0 6 z 6 l3 ), TO SOBSTWENNYE FUNKCII vn (P ) WYRAVA@TSQ ^EREZ TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII. eSLI T | KRUG, CILINDR ILI AR, TO DLQ NAHOVDENIQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ WWODQTSQ NOWYE SPECIALXNYE FUNKCII | CILINDRI^ESKIE I SFERI^ESKIE. rASSMOTRIM OTDELXNYE SLU^AI. 1. k R U G 0 6 r 6 r0 . w POLQRNYH KOORDINATAH (r
') ZADA^A {TURMA | lIUWILLQ IMEET WID   @ r @v + 1 @ 2 v + v = 0
0 < r < r
2 v + v = 1r @r 0 @r r2 @'2 (1) v jr=r0 = 0
v 6 0: fUNKCI@ v I]EM W WIDE v(r
') = R(r)('). pODSTAWIM v = R W URAWNENIE I RAZDELIM PEREMENNYE: r(rR0 )0 + r2 R = ; 00 = 
GDE  = const: R  oTS@DA SLEDUET, ^TO 00 +  = 0
1 (rR0 )0 +  ;   R = 0
R(r0 ) = 0: r r2 w SILU ODNOZNA^NOSTI REENIQ FUNKCIQ (') DOLVNA BYTX PERIODI^ESKOJ, T. E. (' + 2) = ('). |TO USLOWIE DAET  = n2 , GDE n |

p

wwedenie

661

CELOE ^ISLO. pOLAGAQ x =  r, PRIHODIM K URAWNENI@ CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ, ILI URAWNENI@ bESSELQ n-GO PORQDKA:       1 d x dy + 1 ; n2 y = 0
ILI y00 + 1 y0 + 1 ; n2 y = 0
x dx dx x2 x x2

(2) p PRI^EM R(r) = y(  r). pRI n = 0 POLU^AEM URAWNENIE bESSELQ NULE-

WOGO PORQDKA   1 d x dy + y = 0
ILI y00 + x1 y0 + y = 0
x dx dx KOTOROE SOOTWETSTWUET SLU^A@ REENIJ ZADA^I (1), OBLADA@]IH OSEWOJ SIMMETRIEJ. rEENIQ URAWNENIQ (2) NAZYWA@T C I L I N D R I ^ E S K I M I F U N KC I Q M I. k URAWNENI@ (2) PRIWODQT TAKVE ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA I WOLNOWOGO URAWNENIQ W SLU^AE, KOGDA OBLASTX T ESTX KRUGOWOJ CILINDR. 2. { A R 0 6 r 6 r0 . rASSMOTRIM ZADA^U {TURMA | lIUWILLQ v + v = 0
0 < r < r0
vjr=r0 = 0: (3) w SFERI^ESKIH KOORDINATAH  @v  1 1 @ v = r2 @r r2 @r + r2 'v
(4)  @v  1 @ 2v @ 1 'v = sin  @ sin  @ + 2 @'2 : sin  pOLOVIM v = R(r)w(
') I PROWEDEM RAZDELENIE PEREMENNYH: (r2 R0 )0 + r2 R = ; 'w = 
R w OTKUDA SLEDUET 'w + w = 0
(5) 1 (r2 R0 )0 +  ;   R = 0
R(r0 ) = 0: (6) r2 r2 p pODSTANOWKA x =  r, y = R=px PRIWODIT (6) K URAWNENI@ bESSELQ  2 y00 + x1 y0 + 1 ; x 2 y = 0
 2 =  ; 14 : dLQ FUNKCII w(
'), OPREDELENNOJ NA SFERE, MY POLU^ILI URAWNENIE (5), KOTOROE IMEET OGRANI^ENNOE REENIE (S F E R I ^ E S K I E F U N K C I I) TOLXKO PRI  = n(n + 1). tAKIM OBRAZOM, PRI RAZDELENII

662

dopolnenie II. specialxnye funkcii

PEREMENNYH DLQ OPERATORA lAPLASA W SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT MY PRIHODIM K SFERI^ESKIM FUNKCIQM. w ^ASTNOM SLU^AE, KOGDA w = = w() NE ZAWISIT OT ', URAWNENIE (5) PRINIMAET WID   d ;1 ; s2 & dw + w = 0
GDE s = cos 
;1 6 s 6 1: (7) ds ds |TO URAWNENIE lEVANDRA, IME@]EE TOLXKO PRI  = n(n + 1) OGRANI^ENNOE REENIE (P O L I N O M Y l E V A N D R A). sFERI^ESKIE FUNKCII WYRAVA@TSQ ^EREZ PROIZWODNYE POLINOMOW lEVANDRA I TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII. w KWANTOWOJ MEHANIKE ^ASTO WSTRE^A@TSQ POLINOMY ~EBYEWA | |RMITA I ~EBYEWA | lAGERRA. 2. oB]EE URAWNENIE TEORII SPECIALXNYH FUNKCIJ. uRAWNENIQ DLQ PROSTEJIH SPECIALXNYH FUNKCIJ MOGUT BYTX ZAPISANY W WIDE Ly + (x)y = 0
a < x < b
(x) > 0
  (8) d k(x) dy ; q(x)y
k(x) > 0
q(x) > 0: Ly = dx dx pROSTEJAQ KRAEWAQ ZADA^A y00 + y = 0, y(0) = y(l) = 0, SOOTWETSTWU@]AQ a = 0, b = l, q = 0, k =  = const, OPREDELQET TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII. rASSMOTRIM URAWNENIQ DLQ DRUGIH SPECIALXNYH FUNKCIJ. 1. uRAWNENIE bESSELQ (2), ILI (xy0 )0 + (x ; n2 =x) y = 0, SOOTWETSTWUET k(x) = x, (x) =2 x, q(x) = n2 =x, a = 0, b = r0 . 2. pRI k(x) = 1 ; x ,  = 1, q = 0, a = ;1, b = 1 POLU^AEM URAWNENIE lEVANDRA (1 ; x2 ) y0 ]0 + y = 0: (9) 3. uRAWNENIE PRISOEDINENNYH FUNKCIJ lEVANDRA 2 (1 ; x2 ) y0 ]0 ; 1 m (10) ; x2 y + y = 0 2 SOOTWETSTWUET k(x) = 1 ; x2 , q(x) = 1 m ; x2 ,  = 1, a = ;1, b = 1. 4. uRAWNENIE ~EBYEWA | |RMITA 2 2 (e;x y0 )0 + e;x y = 0
ILI y00 ; 2xy0 + y = 0
(11) SOOTWETSTWUET k(x) = e;x2 , q(x) = 0, (x) = e;x2 , a = ;1, b = 1. 5. uRAWNENIE ~EBYEWA | lAGERRA (xe;x y0 )0 + e;x y = 0
ILI y00 + (1 ; x)y0 + y = 0
(12) SOOTWETSTWUET k(x) = xe;x, q = 0,  = e;x, a = 0, b = 1.

wwedenie

663

hARAKTERNOJ OSOBENNOSTX@ UKAZANNYH URAWNENIJ QWLQETSQ OBRA]ENIE W NULX KO\FFICIENTA k(x) PO KRAJNEJ MERE NA ODNOM IZ KONCOW INTERWALA (a
b). |TO SWOJSTWO k(x), KAK BUDET POKAZANO NIVE, IGRAET WAVNU@ ROLX DLQ POSTANOWKI KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ (8). rASSMOTRIM POWEDENIE REENIJ URAWNENIQ (8) WBLIZI OSOBOJ TO^KI, W KOTOROJ k(x) OBRA]AETSQ W NULX. 3. pOWEDENIE REENIJ W OKRESTNOSTI x = a, ESLI k(a) = 0. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA a KONE^NO. eSLI W URAWNENII (8) q(x) ; (x) ZAMENITX FUNKCIEJ q(x), TO WSE REZULXTATY, POLU^ENNYE NIVE DLQ URAWNENIQ Ly = (k(x)y0 )0 ; q(x)y = 0
k(x) > 0 PRI a < x < b
(80 ) BUDUT SPRAWEDLIWY I DLQ URAWNENIQ (8). l E M M A 1. pUSTX y1 (x) I y2 (x) | DWA LINEJNO NEZAWISIMYH REENIQ URAWNENIQ (80 )
KO\FFICIENT KOTOROGO k(x) IMEET WID k(x) = (x ; a) '(x)
'(a) 6= 0
(13) GDE '(x) > 0 | NEPRERYWNAQ NA (a
b) FUNKCIQ. eSLI y1 (x) | OGRANI^ENNOE REENIE, PREDSTAWIMOE W WIDE y1 (x) = (x ; a)n u(x)
n > 0
(14) GDE u(x) | NEPRERYWNAQ NA (a
b) FUNKCIQ I u(a) 6= 0
TO WTOROE REENIE y2 (x) PRI x ! a QWLQETSQ NEOGRANI^ENNYM. zAMETIM, ^TO y2 (x) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KWADRATURY ^EREZ LINEJNO NEZAWISIMOE REENIE y1 (x). w SAMOM DELE, IZ RAWENSTWA 0 = = y2 Ly1 ; y1 Ly2 = k(y2 y10 ; y1 y20 )]0 SLEDUET, ^TO WRONSKIAN FUNKCIJ y1 (x) I y2 (x) RAWEN y1 y20 ; y2 y10 = C=k(x), GDE C 26= 0, TAK KAK y1 (x0) I y2 (x) LINEJNO NEZAWISIMY. pOSLE DELENIQ NA y1 POLU^IM (y2 =y1 ) = = C=ky12 . iNTEGRIRUQ \TO URAWNENIE OT x0 DO x, POLU^IM

2 Zx C d y2 (x) = y1 (x) 4 2 x0

k( ) y1 ( )

3 + C1 5


C1 = const:

w SILU LINEJNOJ NEZAWISIMOSTI y1 (x) I y2 (x) MOVNO S^ITATX C1 = = 0. kROME TOGO, MOVNO POLOVITX C = 1, TAK KAK REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ OPREDELENO S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO MNOVITELQ. w

REZULXTATE BUDEM IMETX

y2 (x) = y1 (x)

Zx x0

d k( ) y12 ( )


PRI^EM x0 WYBEREM TAK, ^TOBY y1 ( ) NE OBRA]ALOSX W NULX NA INTERWALE a < < x0 .

664

dopolnenie II. specialxnye funkcii

pODSTAWLQQ WMESTO k(x) I y1 (x) IH WYRAVENIQ I POLXZUQSX TEOREMOJ O SREDNEM, NAHODIM (ZAMENQQ y2 NA y2 ) Zx d n y2 (x) = (x ; a) u(x) ( ; a)2n+1 '( ) u2 ( ) = x0

n = (x ;a(x)
u) (x)

=

x0

d ( ; a)2n+1 =

8 ;1 x >  (x ; a)n u(x) < 2n( ; a)2n x0 PRI n > 0
(x
) > : ln( ; a)jxx PRI n = 0


GDE (x) = '(x)u2 (x), GDE

Zx

(15)

0

x 2 (x
x0 ). pREDSTAWIM y2 (x) W WIDE y2 (x) = f1 (x) + f2 (x
x0 )



8 > < ; 2n(x 1; a)n PRI n > 0
u ( x ) f1 (x) = (x
) > : ln(x ; a) PRI n = 0 8 > < 2n(x0 1; a)2n PRI n > 0
n u ( x )( x ; a ) f2 (x
x0 ) = (x
) > : ; ln(x0 ; a) PRI n = 0:

oTS@DA WIDNO, ^TO FUNKCIQ f2 (x
x0 ) PRI x ! a OSTAETSQ OGRANI^ENNOJ, A jf1 (x)j ! 1 PRI x ! a LIBO KAK (x ; a);n , LIBO KAK j ln(x ; a)j. fAKTI^ESKI DOKAZANA SLEDU@]AQ LEMMA. l E M M A 2. pUSTX WYPOLNENY USLOWIQ LEMMY 1. eSLI y1 (a) 6= 0
T. E. n = 0
TO y2 (x) IMEET PRI x = a LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX : y2 (x)  ln(x ; a) PRI y1 (a) 6= 0 (n = 0): eSLI y1 (x) IMEET PRI x = a NULX n-GO PORQDKA : y1 (x) = (x ; a)n u(x)
n > 0
TO y2(x) IMEET PRI x = a POL@S PORQDKA n: y2 (x)  (x ; a);n
ESLI y1 (x)  (x ; a)n
n > 0: l E M M A 3. pUSTX WYPOLNENY USLOWIQ LEMMY 1 I KO\FFICIENT q(x) LIBO OGRANI^EN, LIBO STREMITSQ K 1 PRI x ! a
TAK ^TO q(x) = (xq0;(xa))
 > 0
q0 (a) 6= 0


wwedenie

665

GDE q0 (x) | NEPRERYWNAQ NA a
b] FUNKCIQ. tOGDA DLQ OGRANI^ENNOGO REENIQ y1 (x) WIDA (14) WYPOLNQETSQ USLOWIE 1 lim k(x) dy (16) x!a dx (x) = 0
ESLI, KROME TOGO, IMEET MESTO NERAWENSTWO n >  ; 1: w SAMOM DELE, FIKSIRUEM NEKOTOROE ZNA^ENIE x1 , a < x1 < b, I PROINTEGRIRUEM (80 ) OT x DO x1 , a < x < x1 : k(x)y1 (x) = k(x1 )y1 (x1 ) ; 0

0

Zx1 x

q( ) y1 ( ) d = Q(x):

pODSTAWIW S@DA WYRAVENIQ DLQ y1 (x) I q(x), NAJDEM Q(x) = k(x1 )y1 (x1 ) ; 0

Zx1 q0( ) u( ) x

( ; a);n d
n > 0:

oTS@DA WIDNO, ^TO Q(x) | NEPRERYWNAQ NA OTREZKE a 6 x 6 x1 FUNKCIQ, ESLI  ; n < 1, ILI n >  ; 1. pEREHODQ K PREDELU PRI x ! a, WIDIM, ^TO SU]ESTWUET PREDEL xlim Q(x) = Q(a) I, SLEDOWATELXNO, !a lim k(x)y1 (x) = Q(a): x!a pOKAVEM, ^TO Q(a) = 0. dLQ \TOGO WYRAZIM y1 (x) ^EREZ Q(x): y1 (x) = y1 (x1 ) ;

Zx1 Q( )

Zx1

x

x

k( ) d = y1(x1 ) ;

Q( ) ( ; a) '( ) d :

oTS@DA WIDNO, ^TO y1 (x) MOVET BYTX OGRANI^ENA W TO^KE x = a LIX PRI USLOWII Q(a) = 0, OTKUDA I SLEDUET (16). 4. pOSTANOWKA KRAEWYH ZADA^. pEREJDEM K POSTANOWKE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ Ly + y = 0 I Ly = 0 (17) W PROMEVUTKE (a
b), NA ODNOM ILI OBOIH KONCAH KOTOROGO k(x) OBRA]AETSQ W NULX. eSLI k(a) = 0 I WYPOLNENO USLOWIE (13), TO PRI x = a MY BUDEM TREBOWATX OGRANI^ENNOSTI WIDA (14) REENIQ URAWNENIJ (17). pRI \TOM NE TREBUETSQ, ^TOBY REENIE y(x) PRI x = a PRINIMALO ZADANNOE ZNA^ENIE. oB]EE REENIE URAWNENIJ (17) ESTX y(x) = Ay1 (x) + By2 (x), GDE y1 I y2 | L@BYE LINEJNO NEZAWISIMYE REENIQ URAWNENIQ (17), A I B | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. eSLI y1 (x) UDOWLETWORQET USLOWI@

666

dopolnenie II. specialxnye funkcii

OGRANI^ENNOSTI (14) PRI x = a, TO y2 (x) PRI x ! a OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX (LEMMA 1). pO\TOMU IZ TREBOWANIQ OGRANI^ENNOSTI (14), KOTOROE MY BUDEM ZAPISYWATX FORMALXNO W WIDE jy(a)j < 1 (18) I NAZYWATX ESTESTWENNYM USLOWIEM OGRANI^ENNOSTI (POSKOLXKU ONO QWLQETSQ SLEDSTWIEM STRUKTURY OPERATORA L), SRAZU SLEDUET B = 0. w REZULXTATE MY PRIHODIM K SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^E. nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYE FUNKCII y(x) 6 0 URAWNENIQ (ky0 )0 ; qy + y = 0
k(x) > 0
a < x < b
(19) GDE k(x) IMEET WID (13), PRI USLOWII OGRANI^ENNOSTI (14) ILI (18) I OBY^NOM USLOWII, NAPRIMER 1-GO RODA : y(b) = 0 PRI x = b: (20) eSLI k(a) = 0 ILI k(b) = 0 (NAPRIMER, DLQ URAWNENIQ lEVANDRA), TO NA OBOIH KONCAH INTERWALA (a
b) STAWITSQ USLOWIE OGRANI^ENNOSTI, TAK ^TO y1(x) = (x ; a)n1 (b ; x)n2 u(x), GDE n1 > 0, n2 > 0, u(a) 6= 0, u(b) 6= 0, u(x) | NEPRERYWNAQ NA (a
b) FUNKCIQ \TO USLOWIE FORMALXNO ZAPISYWAEM W WIDE jy(a)j < 1
jy(b)j < 1: (200 ) eSLI INTERWAL (a
b) BESKONE^EN, KAK, NAPRIMER, a = ;1, b = 1 DLQ URAWNENIQ ~EBYEWA | |RMITA ILI a = 0, b = 1 DLQ URAWNENIQ ~EBYEWA | lAGERRA, TO PRI a = ;1 ILI PRI b = 1 W \TOM SLU^AE USLOWIE OGRANI^ENNOSTI (18) ZAMENQETSQ BOLEE SLABYM TREBOWANIEM: REENIE NA BESKONE^NOSTI NE DOLVNO WOZRASTATX SILXNEE, ^EM KONE^NAQ STEPENX x. sFORMULIRUEM OB]IE SWOJSTWA SOBSTWENNYH FUNKCIJ I SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ POSTAWLENNOJ KRAEWOJ ZADA^I (18) | (20). 1. sU]ESTWUET BES^ISLENNOE MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ 1 < 2 < 3 < : : : < n < : : : , KOTORYM SOOTWETSTWU@T SOBSTWENNYE FUNKCII y1 (x), y2(x), : : : , yn (x), : : : 2. pRI q > 0 WSE SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ NEOTRICATELXNY: n > 0: 3. sOBSTWENNYE FUNKCII yn (x) I ym (x), SOOTWETSTWU@]IE RAZNYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM n I m , ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ S WESOM (x): (yn
ym ) =

Zb a

yn (x)ym (x)(x) dx = 0:

4. iMEET MESTO TEOREMA RAZLOVIMOSTI: FUNKCIQ f (x) RAZLAGAETSQ W ABSOL@TNO I RAWNOMERNO SHODQ]IJSQ RQD PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM

wwedenie

yn (x) DANNOJ ZADA^I f (x) =

1 X

n=1

fn yn (x)


667

fn = ((yf

yyn ))
n n

ESLI : 1) f (x) IMEET PRI a < x < b NEPRERYWNU@ PERWU@ I KUSO^NONEPRERYWNU@ WTORU@ PROIZWODNYE  2) f (x) UDOWLETWORQET GRANI^NYM USLOWIQM ZADA^I  PRI \TOM, ESLI k(a) = 0
TO jf (a)j < 1 PRI 0 6 q(a) < 1
f (a) = 0 PRI q(x) ;;! 1: x!a sWOJSTWA 2 I 3 DOKAZYWA@TSQ, KAK I W GL. II, x 3, S POMO]X@ FORMUL gRINA. pRI \TOM ISPOLXZUETSQ OGRANI^ENNOSTX W TO^KE x = 0a FUNKCII yn (x), A TAKVE SLEDU@]EE IZ LEMMY 3 RAWENSTWO xlim k(x) yn (x) = 0, W !a SILU ^EGO PODSTANOWKI W FORMULAH gRINA PRI x = a OBRA]A@TSQ W NULX. dOKAZATELXSTWO SWOJSTW 1 I 4 OBY^NO PROWODITSQ S POMO]X@ TEORII INTEGRALXNYH URAWNENIJ. dLQ TOGO ^TOBY 1 I 4 IMELI MESTO, DOSTATO^NO, ^TOBY k(x) BYLA NEPRERYWNOJ, A q(x) | LIBO NEPRERYWNOJ, LIBO IMELA WID q1 (x)=(x ; a), GDE q1 (x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ. dLQ IZU^AEMYH NIVE KLASSOW SPECIALXNYH FUNKCIJ \TI USLOWIQ WYPOLNENY. kRAEWAQ ZADA^A (19) | (20) \KWIWALENTNA INTEGRALXNOMU URAWNENI@ '(x) =

Zb

K (x ) '() d

a p p GDE K (x ) = G(x ) (x)(), '(x) = (x) y(x), A G(x ) | FUNKCIQ gRI-

NA DLQ OPERATORA L. w SLU^AE k(a) = 0, k(b) 6= 0, y(b) = 0 FUNKCIQ gRINA OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. 1. G(x ) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ x PRI FIKSIROWANNOM , a 6  6 b. 2. pERWAQ PROIZWODNAQ dG=dx ISPYTYWAET SKA^OK PRI x = : x=+0 k(x) dG ( x  ) x=;0 = k() G0( + 0 ) ; G0( ; 0 )! = ;1: dx 3. Lx G(x ) = 0 WO WSEH TO^KAH a < x < b, KROME x = . 4. G(x ) UDOWLETWORQET GRANI^NYM USLOWIQM jG(a )j < 1 G(b ) = 0: iZ OPREDELENIQ G(x ) SLEDUET, ^TO G(x ) > 0 PRI x  2 (a b), G(x ) = = G( x) (SIMMETRIQ). pEREJDEM K IZU^ENI@ KONKRETNYH SPECIALXNYH FUNKCIJ: CILINDRI^ESKIH I SFERI^ESKIH FUNKCIJ, A TAKVE POLINOMOW ~EBYEWA | |RMITA I ~EBYEWA | lAGERRA.

668

dopolnenie II. specialxnye funkcii ~astx

~. I

I

cilindri~eskie funkcii

x 1. cILINDRI^ESKIE FUNKCII pRI REENII MNOGIH ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI PRIHODQT K OBYKNOWENNOMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@   d2 y + 1 dy + 1 ; n2 y = 0
dx2 x dx x2 ILI (1)     1 d x dy + 1 ; n2 y = 0
x dx dx x2 NAZYWAEMOMU U R A W N E N I E M C I L I N D R I ^ E S K I H F U N K C I J n - G O P O R Q D K A. |TO URAWNENIE ^ASTO NAZYWA@T TAKVE U R A W N E N I E M b E S S E L Q n - G O P O R Q D K A. hARAKTERNYMI ZADA^AMI (SM. GL. V, VI I VII), PRIWODQ]IMI K CILINDRI^ESKIM FUNKCIQM, QWLQ@TSQ KRAEWYE ZADA^I DLQ URAWNENIQ u + k 2 u = 0 (2) WNE ILI WNUTRI KRUGA (WNE ILI WNUTRI CILINDRA W SLU^AE TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH). wWEDQ POLQRNYE KOORDINATY, PREOBRAZUEM URAWNENIE (2) K WIDU   1 @ r @u + 1 @ 2 u + k2 u = 0: (3) r @r @r r2 @'2 pOLAGAQ u = R(r) (') I RAZDELQQ W (3) PEREMENNYE, POLU^AEM     1 d r dR + k2 ;  R = 0 r dr dr r2 I 00 +  = 0: uSLOWIE PERIODI^NOSTI DLQ (') DAET  = n2 , GDE n | CELOE ^ISLO. pOLAGAQ ZATEM x = kr, PRIHODIM K URAWNENI@ CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ     1 d x dy + 1 ; n2 y = 0
R(r) = y(kr)
x dx dx x2 ILI  2 y00 + x1 y0 + 1 ; nx2 y = 0:

x 1]

cilindri~eskie funkcii

669

w SLU^AE REENIJ WOLNOWOGO URAWNENIQ (2), OBLADA@]IH RADIALXNOJ (CILINDRI^ESKOJ) SIMMETRIEJ, MY POLU^IM URAWNENIE bESSELQ NULEWOGO PORQDKA   1 d x dy + y = 0
ILI y00 + x1 y0 + y = 0: x dx dx 1. sTEPENNYE RQDY. uRAWNENIE bESSELQ  -GO PORQDKA  2  1 0 00 (1) y + x y + 1 ; x2 y = 0
ILI x2 y00 + xy0 + (x2 ;  2 )y = 0 (10 ) ( | PROIZWOLXNOE DEJSTWITELXNOE ILI KOMPLEKSNOE ^ISLO, DEJSTWITELXNU@ ^ASTX KOTOROGO MY MOVEM S^ITATX NEOTRICATELXNOJ) IMEET OSOBU@ TO^KU PRI x = 0. pO\TOMU REENIE y(x) SLEDUET ISKATX W WIDE STEPENNOGO RQDA1) y(x) = x (a0 + a1 x + a2 x2 + : : : + ak xk + : : :)
(4) NA^INA@]EGOSQ S x , GDE  | HARAKTERISTI^ESKIJ POKAZATELX, PODLEVA]IJ OPREDELENI@. pODSTAWLQQ RQD (4) W URAWNENIE (10 ) I PRIRAWNIWAQ NUL@ KO\FFICIENTY PRI x , x+1 , : : : , x+k , POLU^AEM URAWNENIE DLQ OPREDELENIQ  I SISTEMU URAWNENIJ DLQ OPREDELENIQ KO\FFICIENTOW ak : 9 a0 (2 ;  2 ) = 0
> > a1 ( + 1)2 ;  2 ] = 0
> > a2 ( + 2)2 ;  2 ] + a0 = 0
> = (5) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :> > > ak ( + k)2 ;  2 ] + ak;2 = 0> >  (k = 2
3
: : :): tAK KAK MY MOVEM PREDPOLOVITX, ^TO a0 6= 0, TO IZ PERWOGO URAWNENIQ (5) SLEDUET, ^TO 2 ;  2 = 0
ILI  = : (6) pEREPIEM k-E URAWNENIE (5) (k > 1) W WIDE ( + k +  )( + k ;  )ak + ak;2 = 0: (7) 1) sM.: s T E P A N O W w. w. kURS DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. m., 1959 | L X S G O L X C l. |. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ I WARIACIONNOE IS^ISLENIE. m., 1969.

670

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

oSTAWIM POKA W STORONE TOT SLU^AJ, KOGDA  +  ILI  ;  (I SOOTWETSTWENNO ;2 ILI 2 ) RAWNO OTRICATELXNOMU CELOMU ^ISLU. tOGDA IZ WTOROGO URAWNENIQ (5), W SILU (6), BUDEM IMETX a1 = 0: (8) uRAWNENIE (7) DAET REKURRENTNU@ FORMULU DLQ OPREDELENIQ ak ^EREZ ak;2 : ak = ; ( + k + ak)(;2 + k ;  ) : (9)

oTS@DA I IZ (8) ZAKL@^AEM, ^TO WSE NE^ETNYE KO\FFICIENTY RAWNY NUL@. eSLI  WE]ESTWENNO, TO PRI  = ; REENIE OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX W TO^KE x = 0. oSTANOWIMSQ NA SLU^AE  =  . iZ (9) SLEDUET, ^TO KAVDYJ ^ETNYJ KO\FFICIENT MOVET BYTX WYRAVEN ^EREZ PREDYDU]IJ: a2m = ;a2m;2 22m(m1 +  ) :

(10)

pOSLEDOWATELXNOE PRIMENENIE \TOJ FORMULY POZWOLQET NAJTI WYRAVENIE a2m ^EREZ a0 : a2m = (;1)m 22m m!( + 1)(a0+ 2) : : : ( + m) : (11) wOSPOLXZUEMSQ SWOJSTWOM GAMMA-FUNKCII ;(s)1) ;(s + 1) = s;(s) = : : : = s(s ; 1) : : : (s ; n);(s ; n): eSLI s | CELOE ^ISLO, TO ;(s + 1) = s!: kO\FFICIENT a0 DO SIH POR OSTAWALSQ PROIZWOLXNYM. eSLI  6= ;n, GDE n > 0 | CELOE ^ISLO, TO, POLAGAQ a0 = 2
;(1 + 1)

(12)

1 a2k = (;1)k 22k+
;(k + 1);( k +  + 1) :

(13)

a0 = 2;
;(;1  + 1)


(120 )

I ISPOLXZUQ OTME^ENNOE WYE SWOJSTWO GAMMA-FUNKCIJ, POLU^AEM eSLI VE  = ; ,  6= n, GDE n > 0 | CELOE ^ISLO, TO, POLAGAQ 1)

b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. m., 1967.

x 1]

BUDEM IMETX

cilindri~eskie funkcii

671

1 a2k = (;1)k 22k;
;(k + 1);( k ;  + 1) :

(14)

rQD (3), SOOTWETSTWU@]IJ  =  > 0, S KO\FFICIENTAMI (12) I (13) 1  2k+
X J
(x) = (;1)k ;(k + 1);(1k +  + 1) x2 (15) k=0 NAZYWAETSQ F U N K C I E J b E S S E L Q 1 - G O R O D A  - G O P O R Q D K A. rQD 1  x 2k;
X (;1)k J;
(x) = ;(k + 1);(
(16) k ;  + 1) 2 k=0 SOOTWETSTWU@]IJ  = ; , PREDSTAWLQET WTOROE REENIE URAWNENIQ (1), LINEJNO NEZAWISIMOE OT J
(x). rQDY (15) I (16), O^EWIDNO, SHODQTSQ NA WSEJ PLOSKOSTI x.

rASSMOTRIM TEPERX TOT SLU^AJ, KOGDA  RAWNO POLOWINE CELOGO ^ISLA. pUSTX  2 = (n + 1=2)2 , GDE n > 0 | CELOE ^ISLO. pOLAGAQ W FORMULAH (5)  = n + 1=2, POLU^AEM 2(n + 1)a1 = 0 k(k + 2n + 1)ak + ak;2 = 0 (k > 1) TAK ^TO a1 = 0 ak = ; k(k +ak2;n2 + 1) : pOSLEDOWATELXNO PRIMENQQ \TU FORMULU, NAHODIM (;1)k a0 a2k = 2  4 : : : (2k)(2n + 3)(2 n + 5) : : : (2n + 2k + 1) : pOLAGAQ ZDESX  = n + 1=2 , POLU^AEM FORMULU (11). pOLOVIW DALEE a0 = n+1=2 1  2 ;(n + 3=2) POLU^IM FORMULU (13). pUSTX  = ;n ; 12  TOGDA URAWNENIQ (5) DLQ ak PRINIMA@T WID a1  1(;2n) = 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : k(k ; 1 ; 2n)ak + ak;2 = 0:

dopolnenie II. specialxnye funkcii

672

~. I

pO-PREVNEMU WSE KO\FFICIENTY a1, a3 , : : : , a2n;1 RAWNY NUL@, NO DLQ a2n+1 POLU^AEM URAWNENIE 0  a2n+1 + a2n;1 = 0, KOTOROE UDOWLETWORQETSQ PRI L@BOM ZNA^ENII a2n+1 . pRI k > n KO\FFICIENT a2k+1 OPREDELQETSQ RAWENSTWOM k;n a2k+1 = (2n + 3)(2n(;+1)5) : : : a22n4+1: : : (2k ; 2n) : pOLAGAQ a2n+1 = 0, a0 = 1=2;n;1=2 ;(1=2 ; n)], POLU^AEM FORMULU (14). tAKIM OBRAZOM, PRI  = (n + 1=2) NE TREBUETSQ NIKAKOGO IZMENENIQ W OPREDELENII FUNKCII J
(x). fORMULY (15) I (16) OSTA@TSQ W SILE. oTMETIM, ^TO FORMULA (16) OPREDELQET J;
(x) LIX DLQ NECELYH ZNA^ENIJ  , POSKOLXKU OPREDELENIE a0 PO FORMULE (12) PRI CELYH OTRICATELXNYH  = ;n LIENO SMYSLA. pRODOLVIM PO NEPRERYWNOSTI (16) NA CELYE ZNA^ENIQ  = n. pOSKOLXKU ;(k ; n + 1) = 1 DLQ k 6 k0 = n ; 1, SUMMIROWANIE W (16) FAKTI^ESKI NA^INAETSQ SO ZNA^ENIJ k = k0 + 1 = n. iZMENQQ W (16) INDEKS SUMMIROWANIQ k = n + k0 ,

POLU^AEM

J;n (x) = (;1)n

1 X

k =0 0

 x 2k +n (;1)k = (;1)n Jn (x)
;(k0 + n + 1);(k0 + 1) 2 0

0

TAK KAK SUMMIROWANIE NA^INAETSQ S k0 = 0. wYPIEM W KA^ESTWE PRIMERA RQDY DLQ FUNKCIJ bESSELQ 1-GO RODA NULEWOGO (n = 0) I 1-GO (n = 1) PORQDKOW:  2  4  6 J (x) = 1 ; x + 1 x ; 1 x + : : :
0

2 (2!)2 2 (3!)2 2  3  5 J1 (x) = x2 ; 2!1 x2 + 2!13! x2 ; : : : fUNKCII J0 (x) I J1 (x) NAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@TSQ W PRILOVENIQH, I DLQ NIH IME@TSQ PODROBNYE TABLICY1). nA S. 767 PRIWODQTSQ GRAFIKI J0 (x) I J1 (x). fUNKCII Jn (x) I J;n (x) (n | CELOE ^ISLO), KAK MY WIDELI, LINEJNO ZAWISIMY: J;n (x) = (;1)n Jn (x): dLQ NECELYH ZNA^ENIJ  FUNKCII J
(x) I J;
(x) LINEJNO NEZAWISIMY. w SAMOM DELE, J
(x) IMEET NULX, A J;
(x) | POL@S  -GO PORQDKA 1) wO WSEH TABLICAH SPECIALXNYH FUNKCIJ WSEGDA IME@TSQ TABLICY DLQ BESSELEWYH FUNKCIJ 1-GO RODA (SM., NAPRIMER, KNIGU e. q N K E, f. | M D E, f. l E  A sPECIALXNYE FUNKCII, FORMULY, GRAFIKI, TABLICY (m., 1977), GDE J0 (x) I J1 (x) DANY S PQTX@ ZNAKAMI DLQ ZNA^ENIJ x W INTERWALE OT 0 DO

14,9).

x 1]

cilindri~eskie funkcii

673

W TO^KE x = 0. tAKIM OBRAZOM, ESLI  | NECELOE ^ISLO, TO WSQKOE REENIE y
(x) URAWNENIQ bESSELQ (1) MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII FUNKCIJ J
(x) I J;
(x): y
(x) = C1 J
(x) + C2 J;
(x): eSLI I]ETSQ OGRANI^ENNOE REENIE URAWNENIQ (1), TO C2 = 0 I y
(x) = C1 J
(x) PRI Re  > 0: 2. rEKURRENTNYE FORMULY. uSTANOWIM SLEDU@]IE SOOTNOENIQ, SU]ESTWU@]IE MEVDU FUNKCIQMI bESSELQ 1-GO RODA RAZLI^NYH PORQDKOW:   d J
(x) = ; J
+1 (x)
(17) dx x
x
d (x
J (x)) = x
J (x): (18)

;1 dx |TI FORMULY PROWERQ@TSQ NEPOSREDSTWENNYM DIFFERENCIROWANIEM RQDOW DLQ BESSELEWYH FUNKCIJ. pOKAVEM, NAPRIMER, SPRAWEDLIWOSTX SOOTNOENIQ (17): 1  x 2k;1 2k  J
(x)  1 X 1 d x
dx x
= x
2
(;1)k k2! ;(2k +  + 1) = k=1

=

 2k+(
;1) (;1)k ;(k) ;(k1+  + 1) x2 : k=1 1 X

w POSLEDNEJ SUMME k MENQETSQ OT 1 DO 1. wWEDEM NOWYJ INDEKS SUMMIROWANIQ l = k ; 1, KOTORYJ BUDET MENQTXSQ OT 0 DO 1. tOGDA BUDEM IMETX  J
(x)  d
x dx x
= 1  2l+(
+1) X = ;J
+1 (x)
= ; (;1)l ;(l + 1);l +1 ( + 1) + 1] x2 l=0

^TO I DOKAZYWAET FORMULU (17). sPRAWEDLIWOSTX FORMULY (18) DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO. oTMETIM DWA WAVNYH ^ASTNYH SLU^AQ REKURRENTNYH FORMUL. pRI  = 0 IZ (17) SLEDUET J00 (x) = ;J1 (x): (19) 43 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

674

dopolnenie II. specialxnye funkcii

dLQ SLU^AQ  = 1 FORMULA (18) DAET xJ1 (x)] = xJ0 (x)
0

ILI

xJ1 (x) =

Zx 0

J0 ( ) d:

~. I

(20)

uSTANOWIM REKURRENTNYE FORMULY, SWQZYWA@]IE J
(x), J
+1 (x) I J
;1 (x). pROIZWODQ DIFFERENCIROWANIE W (17) I (18), POLU^AEM J
(x) ; J 0 (x) = J (x)
(170 )
+1
x J
(x) + J 0 (x) = J (x): (180 )
;1
x sKLADYWAQ I WY^ITAQ (170 ) I (180 ), NAHODIM REKURRENTNYE FORMULY 9 2  = J
+1 (x) + J
;1 (x) = x J
(x)
>

> J
+1 (x) ; J
;1 (x) = ;2J
(x):  0

(21)

s POMO]X@ FORMULY (21) MOVNO WY^ISLQTX J
+1 (x), ESLI IZWESTNY J
(x) I J
;1 (x): J
+1 (x) = ;J
;1 (x) + 2Jx
(x) : (210 ) 3. fUNKCII POLUCELOGO PORQDKA. nAJDEM WYRAVENIQ DLQ FUNKCIJ J1=2 (x) I J;1=2 (x): 1  x 1=2+2m X (;1)m J1=2 (x) =
(22) m=0 m! ; (3=2 + m) 2

 x ;1=2+2m (;1)m : m=0 m! ; (1=2 + m) 2 pOLXZUQSX SWOJSTWOM GAMMA-FUNKCII, NAHODIM     (2m + 1) ; 1
9 > ; 23 + m = 1  3  5 2: m: :+1 = 2 > J;1=2 (x) =

1

GDE

1 X



  > > 

m ; 1) ; 1
; 2 + m = 1  3 : : :2(2 m 2

 

p ; 21 = :

(23)

(24)

x 1]

cilindri~eskie funkcii

675

pODSTAWLQQ (24) W FORMULY (22) I (23), POLU^AEM

r

1 X (;1)m x2m+1
J1=2 (x) = x m=0 (2m + 1)! r X 2 1 (;1)m 2m

2

(25)

J;1=2 (x) = x x : (26) m=0 (2m)! nETRUDNO WIDETX, ^TO SUMMA W (25) PREDSTAWLQET SOBOJ RAZLOVENIE sin x, A SUMMA W (26) | RAZLOVENIE cos x PO STEPENQM x. tAKIM OBRAZOM, J1=2 (x) I J;1=2 (x) WYRAVA@TSQ ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII:

r

2 sin x
J1=2 (x) = x

(27)

r

2 cos x: J;1=2 (x) = x (28) rASSMOTRIM FUNKCII Jn+1=2 (x), GDE n | CELOE ^ISLO. iZ (210 ) SLEDUET r   2 sin x 1 J3=2 (x) = x J1=2 (x) ; J;1=2 (x) = x ; cos x + x =

r   2

r  2

J5=2 (x) = x



   = x sin x ; 2 + x1 cos x ; 2


; sin x + x3 r

2

 



   sin x ; 2 + x1 cos x ; 2 





=



3 + cos(x ; )  3 : x2 x

x sin(x ; ) 1 ; pRIMENQQ POSLEDOWATELXNO FORMULU (210), NAJDEM r    1  n   1  2 n Jn+1=2 (x) = x sin x ; 2 Pn x + cos x ; 2 Qn x
=

(29)

GDE Pn (1=x) | MNOGO^LEN STEPENI n OTNOSITELXNO 1=x, A Qn (1=x) | MNOGO^LEN STEPENI n ; 1. oTMETIM, ^TO Pn (0) = 1, A Qn (0) = 0. 4. aSIMPTOTI^ESKIJ PORQDOK CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ. rEENIQ URAWNENIQ bESSELQ OBY^NO NAZYWA@T CILINDRI^ESKIMI FUNKCIQMI. w P. 1 BYLA OPREDELENA ODNA IZ CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ | FUNKCIQ bESSELQ. 43


676

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

oSNOWNYM SWOJSTWOM CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ QWLQETSQ IH POWEDENIE PRI x ! 0 I x ! 1 (ASIMPTOTI^ESKOE POWEDENIE). nIVE BUDET POKAZANO, ^TO L@BAQ CILINDRI^ESKAQ FUNKCIQ ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOEJ ASIMPTOTIKOJ PRI x ! 1, TO^NEE, GLAWNYM ^LENOM ASIMPTOTI^ESKOGO RAZLOVENIQ. dOKAVEM, ^TO L@BAQ WE]ESTWENNAQ CILINDRI^ESKAQ FUNKCIQ PRI BOLXIH x PREDSTAWIMA W WIDE   y
(x) = 1 sin(xp+x 1 ) + O 13=2
(30) x GDE 1 6= 0, 1 | NEKOTORYE POSTOQNNYE, O(1=x3=2 ) OZNA^AET ^LENY PORQDKA NE NIVE 1=x3=2 . pOLAGAQ y = vp(xx)
(31) WY^ISLQQ PROIZWODNYE y0 = ;0
5x;3=2 v + x;1=2 v0 , y00 = x;1=2 v00 ; ; x;3=2v0 + 0
75x;5=2v I PODSTAWLQQ IH W URAWNENIE bESSELQ, POLU^AEM URAWNENIE  2  v00 + 1 ;  ;x21=4 v = 0
(32) QWLQ@]EESQ ^ASTNYM SLU^AEM URAWNENIQ v00 + (1 + (x)) v = 0
(33) GDE 1 (x) = O x2 : (34) pOLOVIM v =  sin(x + )
v0 =  cos(x + )
(35) GDE  (x) I (x) | NEKOTORYE 0FUNKCII x, PRI^EM  (x) NE RAWNA NUL@ NI W ODNOJ TO^KE, INA^E v I v ODNOWREMENNO OBRA]ALISX BY W NULX I v(x) BYLO BY TOVDESTWENNO RAWNO NUL@. pOLXZUQSX (35) I (33), BUDEM IMETX v0 =  cos(x + ) =  0 sin(x + ) +  ( 0 + 1) cos(x + )
v00 =  0 cos(x + ) ;  ( 0 + 1) sin(x + ) = ;(1 + ) sin(x + ): oTS@DA NAHODIM   (36) 0 =  sin2 (x + ) = O x12


 

 0 = ; 0 1  tg(x + ) = ; sin(x + ) cos(x + ) = O x2 :

(37)

x 1]

cilindri~eskie funkcii

677

pOKAVEM, ^TO SU]ESTWU@T PREDELXNYE ZNA^ENIQ  I PRI x ! 1. w SAMOM DELE, (x) = (a) ;

Za x

0 (s) ds


OTKUDA W SILU (36) SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET PREDEL alim (a) = 1 I !1

 

(x) = 1 + O x1 :

aNALOGI^NO NAHODIM IZ (37)



 

 (x) = 1 1 + O x1

(38)




(39)

PRI^EM 1 6= 0. tAKIM OBRAZOM, WSQKOE REENIE URAWNENIQ (33) I, SLEDOWATELXNO, URAWNENIQ (32) PRI x ! 1 IMEET WID

1

v(x) = 1 sin(x + 1 ) + O x : (40) tEM SAMYM USTANOWLENA SPRAWEDLIWOSTX ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULY (30) DLQ L@BOJ CILINDRI^ESKOJ FUNKCII y
(x). pOKAVEM, ^TO NE MOVET SU]ESTWOWATX DWUH RAZLI^NYH CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ S ODINAKOWOJ ASIMPTOTIKOJ. w SAMOM DELE, PUSTX y
(x) I y
(x) | DWE RAZLI^NYE CILINDRI^ESKIE FUNKCII, DLQ KOTORYH 1 = 1
1 = 1 : (41) rAZNOSTX \TIH FUNKCIJ y~
(x) = y
(x) ; y
(x) 6 0 TAKVE QWLQETSQ CILINDRI^ESKOJ FUNKCIEJ, IME@]EJ W SILU (41) SLEDU@]U@ ASIMPTOTIKU: y~
(x) = O

1 x3=2

:

oDNAKO \TO PROTIWORE^IT FORMULE (30) DLQ L@BOJ CILINDRI^ESKOJ FUNKCII y~
(x). sLEDOWATELXNO, y~
(x)  0 I y
(x)  y
(x). rEENIEM URAWNENIQ bESSELQ MOVET BYTX I KOMPLEKSNAQ FUNKCIQ Z
(x) = Z
(x) + iZ
(x), GDE Z
(x) I Z
(x) | WE]ESTWENNYE CILINDRI^ESKIE FUNKCII. iZ WYESKAZANNOGO SLEDUET, ^TO KOMPLEKSNAQ CILINDRI^ESKAQ FUNKCIQ TAKVE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOEJ ASIMPTOTIKOJ PRI x ! 1.

678

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

zNA^ENIQ POSTOQNNYH 1 I 1 OPREDELQ@TSQ S POMO]X@ DOPOLNITELXNYH ISSLEDOWANIJ, KOTORYE DA@T

r

1 = 2 DLQ WSEH : w x 1, P. 3 DLQ  = n + 1=2 BYLA POLU^ENA FORMULA (29), IZ KOTOROJ SLEDUET, ^TO r  n   1  2 Jn+1=2 (x) = x sin x ; 2 + O 3=2 : (42) x w x 4 BUDET DAN WYWOD ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULY DLQ FUNKCII J
(x): r     1  2 J
(x) = x cos x ; 2  ; 4 + O 3=2
(43) x GDE  | L@BOE NEOTRICATELXNOE ^ISLO ( > 0). fORMULA (43) IMEET MESTO I PRI PROIZWOLXNOM  , TAK ^TO r     1  2 J;
(x) = x cos x + 2  ; 4 + O 3=2 : (44) x

x 2. kRAEWYE ZADA^I DLQ URAWNENIQ bESSELQ

pROSTEJAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ bESSELQ NA OTREZKE

0
r0 ] SWQZANA S ZADA^EJ O SOBSTWENNYH KOLEBANIQH KRUGLOJ MEMBRA-

NY

2 v + v = 0






@ r @v + 1 @ 2 v
2 v = 1r @r @r r2 @'2

(1)

v(r
')jr=r0 = 0
jv(r
')j < 1
v(r
') 6 0: (2) pOLAGAQ v(r
') = R(r)(') I RAZDELQQ PEREMENNYE (SM. wWEDENIE), POLU^AEM 00 +   = 0
(3)





1 d r dR +  ;   R = 0
R(r0 ) = 0: (4) r dr dr r2 uSLOWIE PERIODI^NOSTI DLQ (') DAET  = n2 , GDE n | CELOE ^ISLO. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ R(r) DOLVNA OPREDELQTXSQ IZ URAWNENIQ bES-

SELQ

LR] + rR = 0



LR] = drd

 dR  n2  r dr ; r R

(5)

x 2]

kraewye zada~i dlq urawneniq besselq

679

PRI GRANI^NOM USLOWII

R(r0 ) = 0 (6) I ESTESTWENNOM GRANI^NOM USLOWII OGRANI^ENNOSTI W TO^KE r = 0 jR(0)j < 1: (7) pOLAGAQ 9 p > x = r
= x> (8) y(x) = R(r) = R p
  PRIHODIM K URAWNENI@     1 d x dy + 1 ; n2 y = 0
y(x) 6 0
(9) x dx dx x2 PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH p  y  r0 = 0
(10)

oTS@DA NAHODIM

jy(0)j < 1:

(11)

y(x) = AJn (x):  p w SILU GRANI^NOGO USLOWIQ y r0  = 0 IMEEM



(12)

p

Jn () = 0  = r0  : (13) |TO TRANSCENDENTNOE URAWNENIE IMEET BES^ISLENNOE MNOVESTWO WE]ESTWENNYH KORNEJ (1n) , (2n) , : : : , (mn) , : : : ,1) , T. E. URAWNENIE (1) IMEET BES^ISLENNOE MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ

(n) !2 ( n ) (m = 1
2
: : :)
(14) m = rm 0 KOTORYM SOOTWETSTWU@T SOBSTWENNYE FUNKCII

(n) ! R(r) = AJn rm r (15) 0 KRAEWOJ ZADA^I (5) | (7). 1) nA S. 766 DANA TABLICA KORNEJ URAWNENIQ J0 () = 0, W ^ASTNOSTI PERWYJ KORENX (0) 1 24048.

dopolnenie II. specialxnye funkcii

680

~. I

iZ SPOSOBA POSTROENIQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ WIDNO, ^TO WSQKOE NETRIWIALXNOE REENIE RASSMATRIWAEMOJ KRAEWOJ ZADA^I DAETSQ FORMULOJ (15). iZ OB]EJ TEORII URAWNENIJ WIDA Ly] + y = 0, RASSMOTRENNYH WYE (SM. wWEDENIE), SLEDUET ORTOGONALXNOSTX SISTEMY SOBSTWENNYH FUNKCIJ ( (n) !) Jn rm r 0 S WESOM r: Zr0 (mn) ! (mn) ! Jn r 1 r Jn r 2 r r dr = 0 PRI m1 6= m2 : (16) 0 0 0

wY^ISLIM NORMU SOBSTWENNYH FUNKCIJ R1 (r) = Jn ( 1 r), GDE 1 = = (mn) =r0 . pOPUTNO BUDET POLU^ENO USLOWIE ORTOGONALXNOSTI (16). dLQ \TOGO RASSMOTRIM FUNKCI@ R2 (r) = Jn ( 2 r), GDE 2 | PROIZWOLXNYJ PARAMETR. fUNKCII R1 (r) I R2 (r) UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM



 





 



d r dR1 + 2 r ; n2 R = 0
1 dr dr r 1 d r dR2 + 2 r ; n2 R = 0
2 dr dr r 2 PRI^EM R1 (r0 ) = 0, A R2 (r) UVE NE UDOWLETWORQET \TOMU GRANI^NOMU USLOWI@. wY^ITAQ IZ PERWOGO URAWNENIQ WTOROE, PREDWARITELXNO UMNOVIW IH SOOTWETSTWENNO NA R2 (r) I R1 (r), I INTEGRIRUQ ZATEM PO r W PREDELAH OT 0 DO r0 , BUDEM IMETX

r ; 2 ; 2& Zr0 rR (r)R (r) dr + r (R R0 ; R R0 )] 0 = 0
1 2 2 1 1 2  1 2 0 0

OTKUDA NAHODIM

Zr0 0

r0 Jn ( 1 r0 ) 2 Jn ( 2 r0 ) = R1 R2 r dr = ; r0 Jn ( 2 r0 ) 1 Jn ( 1 r 02) ; ; 2 0

0

1

2

0 = ; r0 Jn ( 2 r20 ); 1 J2n ( 1 r0 ) :

1

2

(17)

x 2]

kraewye zada~i dlq urawneniq besselq

681

pEREHODQ K PREDELU PRI 2 ! 1 I RASKRYWAQ NEOPREDELENNOSTX W PRAWOJ ^ASTI, POLU^AEM WYRAVENIE DLQ KWADRATA NORMY

kR1k kJn( 1r)k 2=

ILI

2

=

Zr0 0

2 rR12 (r) dr = r20 Jn0 ( 1 r0 )]2


Zr0 (mn) ! i2 2 h  Jn2 r r r dr = r20 Jn0 (mn) : 0 0

w ^ASTNOSTI, KWADRAT NORMY FUNKCII J0

(18)

!

(0) m r0 r RAWEN

! Zr0 (0)  2  m 2 J0 r r r dr = r20 J12 (0) m : 0 0

(n) (n) eSLI POLOVITX 2 = rm2 6= 1 = rm1 , TO IZ FORMULY (17) SRAZU 0 0 SLEDUET USLOWIE (16) ORTOGONALXNOSTI FUNKCIJ bESSELQ. (0) oTMETIM, ^TO IME@TSQ TABLICY  (0) NULEJ m FUNKCII J0 () I SOOTWETSTWU@]IH IM ZNA^ENIJ J1 m (SM. S. 766). pRIWEDEM NESKOLXKO (0) (0) (0) (0) PERWYH ZNA^ENIJ (0) m : 1 2
4048, 2 5
5201, 3 8
6537, 4

11
7915. iZ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULY (42) x 2 SLEDUET, ^TO S WOZRASTANI) ; (n) DOLVNA STREMITXSQ K  . EM NOMERA m NULQ (mn) RAZNOSTX (mn+1 m |TO MOVNO PROSLEDITX DAVE DLQ NESKOLXKIH PERWYH ZNA^ENIJ (0) m (NA(0) 3
1336, (0) ; (0) 3
1378, (0) ; (0) 3
1405 I PRIMER, (0) ;  3 2 4 3 7 6 T. D.). w SILU OB]IH SWOJSTW SOBSTWENNYH FUNKCIJ KRAEWYH ZADA^ (SM. S. 666) IMEET MESTO TEOREMA RAZLOVIMOSTI. wSQKAQ DWAVDY DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ f (r), OGRANI^ENNAQ PRI r = 0 I OBRA]A@]AQSQ W NULX PRI r = r0 , MOVET BYTX RAZLOVENA W ABSOL@TNO I RAWNOMERNO SHODQ]IJSQ RQD 1 X

!

(n) f (r) = Am Jn rm r
0 m=1

dopolnenie II. specialxnye funkcii

682

GDE

Zr0

~. I

!

(n) f (r)Jn rm r r dr 0 i 2 h  2 = r0 J 0 (n) 2 : Am = 0
k J k n n m kJnk2 2 wTORAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ bESSELQ L(R) + rR = 0
R(r) 6 0
R0 (r0 ) = 0
jR(0)j < 1 REAETSQ ANALOGI^NO. sOBSTWENNYE FUNKCII I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ TAKVE BUDUT WYRAVATXSQ FORMULAMI (15) I (14), GDE POD (mn) SLEDUET PONIMATX KORENX NOMERA m URAWNENIQ Jn0 () = 0: sOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ S WESOM r (SM. (16)) I IME@T KWADRAT NORMY, RAWNYJ

3 2 Zr0 (mn)r !   2 2 Jn2 r r dr = r20 641 ;  n(n) 2 75 Jn2 (mn) : 0

m aNALOGI^NO REAETSQ I TRETXQ KRAEWAQ ZADA^A. w \TOM SLU^AE DLQ OPREDELENIQ (mn) POLU^AETSQ URAWNENIE WIDA Jn0 () = hJn (): 0

x 3. rAZLI^NYE TIPY CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ

1. fUNKCII hANKELQ. nARQDU S FUNKCIQMI bESSELQ 1-GO RODA J
(x) BOLXOE ZNA^ENIE DLQ PRILOVENIJ IME@T DRUGIE SPECIALXNYE WIDY REENIJ URAWNENIQ bESSELQ. k IH ^ISLU OTNOSQTSQ PREVDE WSEGO F U N K C I I h A N K E L Q 1 - G O I 2 - G O R O D A: H
(1)(x) I H
(2) (x), QWLQ@]IESQ KOMPLEKSNO-SOPRQVENNYMI REENIQMI URAWNENIQ bESSELQ. s TO^KI ZRENIQ FIZI^ESKIH PRILOVENIJ OSNOWNOJ HARAKTERISTIKOJ FUNKCIJ hANKELQ QWLQETSQ ASIMPTOTI^ESKOE POWEDENIE PRI BOLXIH ZNA^ENIQH ARGUMENTA. pO\TOMU MY OPREDELIM FUNKCII hANKELQ KAK CILINDRI^ESKIE FUNKCII, OBLADA@]IE SLEDU@]EJ ASIMPTOTIKOJ:

r

2 ei (x;
=2;=4) + : : :
H
(1) (x) = x

H (2) (x) =


r

2

;i (x;
=2;=4)

x e

+ :::


(1) (2)

x 3]

razli~nye tipy cilindri~eskih funkcij

683

GDE TO^KAMI OBOZNA^ENY ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI OTNOSITELXNO 1=x. uSLOWIQ (1), (2), W SILU x 1, P. 4, OPREDELQ@T H
(1) (x) I H
(2) (x) ODNOZNA^NO. rAZDELQQ DEJSTWITELXNU@ I MNIMU@ ^ASTI, PREDSTAWIM FUNKCII hANKELQ W WIDE H
(1) (x) = J
(x) + iN
(x)
(3) GDE FUNKCII

H
(2) (x) = J
(x) ; iN
(x)


(4)

h i J
(x) = 12 H
(1) (x) + H
(2) (x)


(30 )

h i N
(x) = 21i H
(1) (x) ; H
(2) (x) IME@T ASIMPTOTI^ESKIJ HARAKTER: r 2 cos x ;   ;   + : : :
J
(x) = x 2 4 r

(40 ) (5)

2 sin x ;   ;   + : : :
N
(x) = x (6) 2 4 ^TO SLEDUET IZ FORMUL (1) I (2). kAK BUDET POKAZANO NIVE (SM. x 4, P. 4), WWEDENNAQ ZDESX FUNKCIQ J
(x) QWLQETSQ FUNKCIEJ bESSELQ 1-GO RODA, RASSMOTRENNOJ W x 1. mNIMAQ ^ASTX N
(x) FUNKCII hANKELQ NAZYWAETSQ F U N K C I E J n E J M A N A ILI C I L I N D R I ^ E S K O J F U N K C I E J 2 - G O R O D A  - G O P O R Q D K A. fORMULY (3) I (4) USTANAWLIWA@T SWQZX MEVDU FUNKCIQMI hANKELQ, bESSELQ I nEJMANA, ANALOGI^NU@ SWQZI MEVDU POKAZATELXNOJ FUNKCIEJ MNIMOGO ARGUMENTA, SINUSOM I KOSINUSOM (FORMULA |JLERA). aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY (1), (2), (5) I (6) POD^ERKIWA@T \TU ANALOGI@. pRI IZU^ENII REENIJ URAWNENIQ KOLEBANIJ utt = a2 (uxx + uyy ) MY WIDELI, ^TO AMPLITUDA v(x
y) USTANOWIWIHSQ KOLEBANIJ u(x
y
t) = v(x
y)ei!t UDOWLETWORQET WOLNOWOMU URAWNENI@  !2  vxx + vyy + k2 v = v + k2 v = 0 k2 = a2 :

684

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

eSLI REENIE WOLNOWOGO URAWNENIQ OBLADAET RADIALXNOJ SIMMETRIEJ: v(x
y) = v(r), TO, KAK BYLO OTME^ENO W x 1, FUNKCIQ v(kr) UDOWLETWORQET URAWNENI@ bESSELQ NULEWOGO PORQDKA. tAKIM OBRAZOM, FUNKCII H0(1) (kr)ei!t

=

r

2 ei (!t+kr) p1 + : : : kr

H0(2) (kr)ei!t

=

r

i

p



i = ei=4


(7)

2 ei (!t;kr) pi + : : :

(8) kr QWLQ@TSQ REENIQMI URAWNENIQ KOLEBANIJ, IME@]IMI HARAKTER CILINDRI^ESKIH WOLN. fUNKCIQ H0(2) (kr)ei!t SOOTWETSTWUET RASHODQ]IMSQ CILINDRI^ESKIM WOLNAM, A FUNKCIQ H0(1) (kr)ei!t | SHODQ]IMSQ CILINDRI^ESKIM WOLNAM1) . wTORYM WAVNYM SWOJSTWOM CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ QWLQETSQ IH POWEDENIE PRI x ! 0. w SILU LEMMY 1 IZ wWEDENIQ FUNKCII H
(12) I N
PRI x ! 0 OBRA]A@TSQ W BESKONE^NOSTX (TAK KAK J
(0) KONE^NO), TO^NEE, H0(1) (x), H0(2) (x), N0 (x)  ln(1=x), TAK KAK J0 (0) = 1 6= 0 H
(1) (x), H
(2) (x), N
(x)  1=x
PRI  > 0, POTOMU ^TO J
(x)  x
PRI x ! 0. fUNKCII hANKELQ I nEJMANA NULEWOGO PORQDKA QWLQ@TSQ FUNDAMENTALXNYMI REENIQMI URAWNENIQ 2 v + k2 v = 0, POSKOLXKU ONI IMEp @T NUVNU@ LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX PRI r = x2 + y2 ! 0 (SM. GL. VII). pRIWEDEM (BEZ DOKAZATELXSTWA) TO^NYE WYRAVENIQ DLQ GLAWNYH ^LENOW RAZLOVENIQ \TIH FUNKCIJ W OKRESTNOSTI TO^KI x = 0: N0 (x) = ; 2 ln x1 + : : :
H0(1) (x) = ; 2i ln x1 + : : :


H0(2)(x) = 2i ln x1 + : : : 2. fUNKCII hANKELQ I nEJMANA. kAK BYLO OTME^ENO W P. 1, WSQKOE REENIE URAWNENIQ bESSELQ NECELOGO PORQDKA  WYRAVAETSQ ^EREZ FUNKCII J
I J;
. uSTANOWIM SWQZX MEVDU FUNKCIQMI H
(1), H
(2) , N
I J
, J;
. tAK KAK WSQKOE REENIE URAWNENIQ bESSELQ PRI NECELOM  MOVNO PREDSTAWITX W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII FUNKCIJ J
(x) I J;
(x), TO H
(1) (x) = C1 J
(x) + C2 J;
(x)
(9) 1) eSLI WZQTX WREMENNOJ MNOVITELX e;i!t , TO RASHODQ]IMSQ WOLNAM SOOTWETSTWUET H0(1) (kr)e;i!t, A SHODQ]IMSQ | H0(2) (kr)e;i!t .

x 3]

razli~nye tipy cilindri~eskih funkcij

685

GDE C1 I C2 | POSTOQNNYE, PODLEVA]IE OPREDELENI@. dLQ GLAWNYH ^LENOW ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ, O^EWIDNO, IMEET MESTO ANALOGI^NOE RAWENSTWO: r r 2 ei (x;
=2;=4) = C 2 cos x ;   ;   + 1 x x 2 4 r 2 cos x +   ;   : (10) +C2 x 2 4 pREOBRAZUEM ARGUMENT WTOROGO SLAGAEMOGO K WIDU (x ; =2 ; ; =4):  h  i cos x + 2  ; 4 = cos x ; 2  ; 4 +  =

    = cos x ; 2  ; 4 cos  ; sin x ; 2  ; 4 sin : p sOKRA]AQ OBE ^ASTI RAWENSTWA (10) NA 2=x I POLXZUQSX FORMULOJ |JLERA DLQ LEWOJ ^ASTI, POLU^AEM     cos x ; 2  ; 4 + i sin x ; 2  ; 4 =

    = (C1 + C2 cos  ) cos x ; 2  ; 4 ; C2 sin  sin x ; 2  ; 4


OTKUDA ILI

C1 + C2 cos  = 1


;C2 sin  = i
9

> C2 = i sin1 
= ; i sin  = ;C2e;i
:> C1 = ; cos i sin  pODSTAWLQQ (11) W (9), NAHODIM

!

aNALOGI^NO

H
(1) (x) = ; i sin1  J
(x)e;i
; J;
(x) :

!

(11)

(12)

(13) H
(2) (x) = i sin1  J
(x)ei
; J;
(x) : pOLXZUQSX FORMULOJ (40 ), OPREDELQ@]EJ N
(x), POLU^AEM IZ (12) I (13) N
(x) = J
(x) cossin; J;
(x) : (14)

dopolnenie II. specialxnye funkcii

686

~. I

fORMULY (12), (13) I (14) POLU^ENY NAMI DLQ NECELYH ZNA^ENIJ  . dLQ CELOGO ZNA^ENIQ  = n FUNKCII hANKELQ I nEJMANA MOGUT BYTX OPREDELENY IZ (12), (13) I (14) S POMO]X@ PREDELXNOGO PEREHODA PRI  ! n. pEREHODQ W \TIH FORMULAH K PREDELU PRI  ! n I RASKRYWAQ NEOPREDELENNOSTX PO IZWESTNOMU PRAWILU, BUDEM IMETX  @J
  @J;
  1 (1) n Hn (x) = Jn (x) + i  @ ; (;1) @
(120 )
=n
=n H (2) (x) = J

n

n

(x) ; i 1



Nn (x) = 1

 @J


@
=n ;

;

( 1)n

 @J


; (;1)n
=n

 @J;
  @


=n




(130 )

 @J;
 

(140 ) @ @
=n : pOLXZUQSX PREDSTAWLENIEM FUNKCIJ J
I J;
W WIDE STEPENNYH RQDOW, MOVNO POLU^ITX ANALOGI^NYE PREDSTAWLENIQ DLQ N
(x), A TAKVE H
(1) (x) I H
(2) (x). fORMULY (12) I (13) MOVNO RASSMATRIWATX KAK ANALITI^ESKOE OPREDELENIE FUNKCIJ hANKELQ. sU]ESTWU@T, ODNAKO, I DRUGIE SPOSOBY WWEDENIQ FUNKCIJ hANKELQ. w x 6 BUDET DANO PREDSTAWLENIE FUNKCIJ hANKELQ W WIDE KONTURNYH INTEGRALOW. eSLI  = n + 1=2, TO FUNKCII hANKELQ I nEJMANA WYRAVA@TSQ W KONE^NOM WIDE ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII. w ^ASTNOSTI, PRI  = 1=2 IMEEM r r 2 2 sin x ;  
N1=2 (x) = ;J;1=2 (x) = ; x cos x = x 2

H (1) (x) = J =

12

= (x) + iN1=2 (x) =

12

H (2) (x) = J =

12

= (x)

12

; iN = (x) = 12

r h  2

  + i sin x ;  i = cos x ; x 2 2

r h  2

=

r

2 i (x;=2)


x e

  ; i sin x ;  i = cos x ; x 2 2

r

2 e;i (x;=2) : = x

3. fUNKCII MNIMOGO ARGUMENTA. cILINDRI^ESKIE FUNKCII MOVNO RASSMATRIWATX NE TOLXKO PRI DEJSTWITELXNYH, NO I PRI KOMPLEKSNYH ZNA^ENIQH ARGUMENTA. w NASTOQ]EM PUNKTE MY RASSMOTRIM CILINDRI^ESKIE FUNKCII 1-GO RODA OT ^ISTO MNIMOGO ARGUMENTA.

x 3]

razli~nye tipy cilindri~eskih funkcij

687

pODSTAWLQQ W RQD, OPREDELQ@]IJ J
(x), ZNA^ENIE ix WMESTO x, POLU^AEM 1  x 2k+

X (;1)k i2k J
(ix) = i
= i I
(x)
(15) k=0 ;(k + 1);(k +  + 1) 2 GDE 1  2k+
X I
(x) = ;(k + 1);(1k +  + 1) x2 (16) k=0 | WE]ESTWENNAQ FUNKCIQ, SWQZANNAQ S J
(ix) SOOTNOENIEM I
(x) = i;
J
(ix)
ILI I
(x) = e;
i=2 J
(ix): w ^ASTNOSTI, PRI  = 0  2  4  6 I (x) = J (ix) = 1 + x + 1 x + 1 x + : : : (17) 0

0

2

(2!)2 2

(3!)2 2

iZ RQDA (16) WIDNO, ^TO I
(x) QWLQ@TSQ MONOTONNO WOZRASTA@]IMI FUNKCIQMI, IME@]IMI PRI x = 0 NULX  -GO PORQDKA. pOLXZUQSX ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULOJ (5), POLU^IM, ^TO DLQ I
(x) DOLVNA IMETX MESTO ASIMPTOTI^ESKAQ FORMULA I
(x)

r

1 ex

(18) 2x PRI BOLXIH ZNA^ENIQH ARGUMENTA x. aNALOGI^NO WWODITSQ I;
(x). fUNKCII I
I I;
PRI NECELOM  LINEJNO NEZAWISIMY, TAK KAK W TO^KE x = 0 PRI  > 0 FUNKCIQ I
(x) IMEET NULX  -GO PORQDKA, A I;
(x) | POL@S x;
. eSLI  = n | CELOE ^ISLO, TO I;n (x) = In (x). cILINDRI^ESKIE FUNKCII MNIMOGO ARGUMENTA QWLQ@TSQ REENI-

QMI URAWNENIQ





2 y + x1 y0 ; 1 + x2 y = 0
00

(19)

I, W ^ASTNOSTI, FUNKCIQ I0 (x) UDOWLETWORQET URAWNENI@

y00 + x1 y0 ; y = 0: (20) nARQDU S FUNKCIEJ I
(x) RASSMATRIWA@T FUNKCI@ mAKDONALXDA K
(x), OPREDELQEMU@ S POMO]X@ FUNKCII hANKELQ ^ISTO MNIMOGO ARGUMENTA K
(x) = 21 ie
i=2 H
(1) (ix):

(21)

688

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

K
(x) QWLQETSQ WE]ESTWENNOJ FUNKCIEJ x. w SAMOM DELE, FORMULY (12) I (13) DA@T K
(x) = 2 sin  I;
(x) ; I
(x)] PRI  6= n


 @I;


n Kn(x) = (;21)

 @I
 

(22) @
=n ; @
=n : pOLXZUQSX ASIMPTOTI^ESKIM WYRAVENIEM DLQ H
(1), NAHODIM r K
(x) = 2x e;x + : : : (23) fORMULY (23) I (18) POKAZYWA@T, ^TO K
(x) \KSPONENCIALXNO UBYWA@T, A I
(x) \KSPONENCIALXNO WOZRASTA@T PRI x ! 1. oTS@DA SLEDUET LINEJNAQ NEZAWISIMOSTX \TIH FUNKCIJ, A TAKVE WOZMOVNOSTX PREDSTAWLENIQ L@BOGO REENIQ URAWNENIQ (19) W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII y = AI
(x) + BK
(x): w ^ASTNOSTI, ESLI y OGRANI^ENO NA BESKONE^NOSTI, TO A = 0 I y = = BK
(x) ESLI VE y OGRANI^ENO PRI x = 0, TO B = 0 I y = AI
(x). iZ LINEJNOJ NEZAWISIMOSTI I
I K
SLEDUET, ^TO K
(x) IMEET W TO^KE x = 0 POL@S  -GO PORQDKA (K
(x)  x;
) PRI  6= 0 I LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX PRI  = 0. w P. 4 POKAZANO, ^TO

K0 (x) = ln x1 + : : : PRI x ! 0: nA RIS. 107 (S. 768) DANY GRAFIKI I0 (x) I K0 (x). w OTLI^IE OT J
(x) I N
(x) FUNKCII I
(x) I K
(x) QWLQ@TSQ MONOTONNYMI (I
(x) WOZRASTAET, A K
(x) UBYWAET S ROSTOM x). nAIBOLEE WAVNOE ZNA^ENIE IMEET FUNKCIQ K (x) = i H (1)(ix): 0

2 0 4. fUNKCIQ K0 (x). pOKAVEM, ^TO DLQ FUNKCII K0 (x) SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE: K0 (x) =

Z1 0

e;x ch  d

(x > 0):

(24)

nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO INTEGRAL F (x) =

Z1 0

e;x ch  d

(240 )

x 3]

razli~nye tipy cilindri~eskih funkcij

UDOWLETWORQET URAWNENI@ L(y) = y00 + x1 y0 ; y = 0: w SAMOM DELE,

L(F ) =

Z1 0

689 (25)

  e;x ch  ch2  ; x1 ch  ; 1 d = =

Z1 0

e

;x ch 

sh2  d ; 1

x

Z1 0

e;x ch  ch  d = S1 ; S2 :

iNTEGRIRUQ WTOROE SLAGAEMOE PO ^ASTQM, POLU^AEM Z1 1 Z1 ;x ch  2 1 sh  ;x ch  ;x ch   S2 = x e ch  d = x e sh  d = S1  0 + e 0 0 OTKUDA I SLEDUET L(F ) = 0: pOLAGAQ ch  = , PREOBRAZUEM INTEGRAL (240 ) DLQ F (x) K WIDU

Z1

;x

pe 2

d:  ; 1 1 pOLXZUQSX \TOJ FORMULOJ, MOVNO WYQSNITX HARAKTER POWEDENIQ FUNKCII F (x) PRI x ! 1. pROIZWODQ E]E RAZ ZAMENU PEREMENNOJ x ( ; 1) =  POLU^AEM F (x) =

;x F (x) = epx

pRI x ! 1 lim F1 (x) =

Z1 0

;

r e 

;x

e  d = px F1 (x):

 x +2

Z1 e;

Z1

0

0

p2 d = p2 2

p 2 e;t dt = p 2

p

(t = ):

sLEDOWATELXNO, PRI BOLXIH ZNA^ENIQH x p F1 (x) = p (1 + ") 2 GDE " ! 0 PRI x ! 1. oTS@DA POLU^AEM ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU q F (x) = 2x e;x + : : :  44 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

(26)

dopolnenie II. specialxnye funkcii

690

~. I

GDE TO^KAMI OTME^ENY ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI. wWEDENNAQ S POMO]X@ INTEGRALA (240 ) FUNKCIQ F (x) QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (25), OGRANI^ENNYM NA BESKONE^NOSTI, PO\TOMU F (x) = BK0 (x): sRAWNENIE ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL DLQ K0 (x) I F (x) POKAZYWAET, ^TO B = 1 I, SLEDOWATELXNO, K0 (x) =

Z1 0

e;x ch  d

(x > 0):

(24)

wYQSNIM HARAKTER FUNKCII K0 (x) PRI x ! 0. pREDSTAWIM INTEGRAL K0 (x) = F (x) =

W WIDE K0 (x) =

Z1 x

Z1 1

;

p e2

; x2

;x

pe 2

 ;1

d

d

(x = ):

rAZBIWAQ \TOT INTEGRAL NA TRI ^ASTI:

ZA

ZA ;e; ; 1& d Z1

e; d  p

2 ; x2

2 ; x2 x x A GDE A | NEKOTORAQ WSPOMOGATELXNAQ POSTOQNNAQ, WIDIM, ^TO PERWOE SLAGAEMOE RAWNO p 2 2 A ; x = ; ln x + : : :  A + ln x A WTOROE I TRETXE SLAGAEMYE OGRANI^ENY PRI x ! 0. oTS@DA SLEDUET, ^TO (27) K0 (x) = ; ln x + : : : = ln x1 + : : :  GDE TO^KI OZNA^A@T SLAGAEMYE, OSTA@]IESQ KONE^NYMI PRI x = 0. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ K0 (x) QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (25), IME@]IM LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX W TO^KE x = 0 I \KSPONENCIALXNO UBYWA@]IM PRI x ! 1. sLEDU@]AQ ZADA^A DAET FIZI^ESKU@ INTERPRETACI@ FUNKCII K0 (x). pUSTX W NA^ALE KOORDINAT DEJSTWUET STACIONARNYJ ISTO^NIK NEUSTOJ^IWOGO GAZA MO]NOSTI Q0 . sTACIONARNYJ PROCESS DIFFUZII SOPROWOVDAETSQ RASPADOM GAZA I OPISYWAETSQ URAWNENIEM K0 (x) =

p 2d 2 +

;x

p

+

@ r @u  + 1 @ 2 u ; {2 u = 0 u ; {2 u = 1r @r @r r2 @'2 2  { = 2  D

(28)

x 3]

razli~nye tipy cilindri~eskih funkcij

691

GDE | KO\FFICIENT RASPADA, D | KO\FFICIENT DIFFUZII. fUNKCIQ ISTO^NIKA \TOGO URAWNENIQ OBLADAET KRUGOWOJ SIMMETRIEJ I, SLEDOWATELXNO, UDOWLETWORQET URAWNENI@ 1 d x du  ; u = 0 (x = {r) x dx dx KROME TOGO, FUNKCIQ ISTO^NIKA IMEET LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX W NA^ALE KOORDINAT I OGRANI^ENA NA BESKONE^NOSTI. oTS@DA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ ISTO^NIKA PROPORCIONALXNA K0 ({r): G = AK0({r): (29) dLQ OPREDELENIQ MNOVITELQ A WOSPOLXZUEMSQ USLOWIEM DLQ ISTO^NIKA Z  @u  lim ;D @r ds = Q0  (30) "!0 K"

GDE INTEGRAL SLEWA WYRAVAET DIFFUZIONNYJ POTOK ^EREZ OKRUVNOSTX K" RADIUSA " S CENTROM W ISTO^NIKE. pODSTAWLQQ W \TO USLOWIE WMESTO u FUNKCI@ G = AK0 ({r) I U^ITYWAQ LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX FUNKCII K0 (x) PRI x = 0, POLU^AEM

oTS@DA I

8 Z < lim ; "!0 : K

"

9

n  = 1 o = 2AD = Q : D @@rG ds = "lim D 2 "A 0 !0 " 0 A = 2QD

0 K ({ r): (31) G = 2QD 0 iNTEGRALXNU@ FORMULU (24) DLQ K0 (x) MOVNO POLU^ITX, ISHODQ IZ PROSTYH FIZI^ESKIH SOOBRAVENIJ. rASSMOTRIM NESTACIONARNU@ ZADA^U DIFFUZII GAZA S RASPADOM. pUSTX W NA^ALE KOORDINAT NAHODITSQ ISTO^NIK POSTOQNNOJ MO]NOSTI Q0 , DEJSTWU@]IJ NA^INAQ S MOMENTA t = 0. bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO W NA^ALXNYJ MOMENT t = 0 KONCENTRACIQ GAZA WS@DU RAWNA NUL@. kONCENTRACIQ u(x y t) DOLVNA UDOWLETWORQTX URAWNENI@ D u ; u = ut (32) I SOOTWETSTWU@]IM DOPOLNITELXNYM USLOWIQM. uRAWNENIE (32) PRI POMO]I PODSTANOWKI u = u~e;t PREOBRAZUETSQ W OBY^NOE URAWNENIE DIFFUZII D ~u = u~t  44


692

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

DLQ KOTOROGO FUNKCIQ WLIQNIQ TO^E^NOGO ISTO^NIKA IMEET WID G~ =

r2 1 2 e; 4D (t  ) 2 D (t ;  )

p

(D = a2):

;

tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ WLIQNIQ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA DLQ URAWNENIQ (32) RAWNA r2 G=  p Q 2 e; 4D (t  ) ;(t; ): 2 D (t ;  ) fUNKCIQ WLIQNIQ ISTO^NIKA MO]NOSTI Q0, NEPRERYWNO DEJSTWU@]EGO OT t = 0 DO MOMENTA t, DAETSQ FORMULOJ ;

G = Q0

Zt

2 1 ; 4D r(t  ) ; (t; ) d: e 4D (t ;  ) ;

0

wWODQ NOWU@ PEREMENNU@

 = t ; 

POLU^AEM 0 G = 4QD

Zt 0

e; 4D ; d : r2

fUNKCIQ ISTO^NIKA, SOOTWETSTWU@]AQ STACIONARNOJ ZADA^E, MOVET BYTX NAJDENA PREDELXNYM PEREHODOM PRI t ! 1 W PREDYDU]EJ FORMULE: 0 G = tlim G = 4QD !1

Z1 0

e; 4D  ; d : r2

1

pREOBRAZUEM \TOT INTEGRAL PRI POMO]I PODSTANOWKI  = Ce (GDE C | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ): 0 G = 4QD

Z1 ;h 4DC r2 e e

 +Ce

;

i

d:

;1

tREBUQ, ^TOBY WYPOLNQLOSX RAWENSTWO r2 = C 4DC NAHODIM r r2 = C = r = {r C = 2pr D I 4DC 2 D 2



 {2 = : D

x 4]

predstawlenie w wide konturnyh integralow

693

oTS@DA SLEDUET, ^TO STACIONARNAQ FUNKCIQ ISTO^NIKA IMEET WID Z1 Z1 0 0 0 K ({ r): G = 4QD e;{r ch  d = 2QD e;{r ch  d = 2QD 0 0

;1

tAKIM OBRAZOM, RASSMOTRENNAQ ZDESX ZADA^A PRIWODIT K INTEGRALXNOMU PREDSTAWLENI@ (24) DLQ FUNKCII K0 (x).

x 4. pREDSTAWLENIE CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ

W WIDE KONTURNYH INTEGRALOW 1. 2kONTURNYE INTEGRALY . rASSMOTRIM URAWNENIE KOLEBANIJ 2

utt = a (uxx + uyy ) = a 2 u I BUDEM ISKATX EGO REENIE W WIDE u(x
y
t) = v(x
y)ei!t  DLQ v(x
y) POLU^IM URAWNENIE 2 v + k2 v = 0 (k = !=a). eGO ^ASTNYMI REENIQMI QWLQ@TSQ FUNKCII v = eikx I v = eiky | AMPLITUDY PLOSKIH WOLN u = ei(!tkx) I u = ei(!tky) , RASPROSTRANQ@]IHSQ SOOTWETSTWENNO WDOLX OSI x I WDOLX OSI y. pLOSKAQ WOLNA, RASPROSTRANQ@]AQSQ W NAPRAWLENII l, O^EWIDNO, IMEET WID v = e;ik(lr) = e;ik(x cos '+y sin ') = e;ikr cos(';)
x = r cos
y = r sin
l = (cos '
sin '): eSLI = =2, TO NA OSI y AMPLITUDA WOLNY, PADA@]EJ POD UGLOM ' K OSI x, RAWNA v = e;ikr sin ' : (1) bUDEM ISKATX REENIE Z
(x) URAWNENIQ bESSELQ L(y) = x2 y00 + xy0 + (x2 ;  2 )y = 0 (2) W WIDE SUPERPOZICII PLOSKIH WOLN WIDA (1), S^ITAQ PRI \TOM ' = '1 + + i'2 KOMPLEKSNYMI Z I OBOZNA^AQ kr = xZ. pOLOVIM Z
(x) = K (x
')
(') d' = e;ix sin ' 
(') d'
(3) C

C

GDE C | NEKOTORYJ KONTUR NA PLOSKOSTI ' = '1 + i'2 , K (x
') = = e;ix sin ' , 
(') | NE OPREDELENNYJ POKA FAZOWYJ MNOVITELX. wYBEREM C TAK, ^TOBY INTEGRAL (3) SHODILSQ, A 
(') TAK, ^TOBY \TOT INTEGRAL UDOWLETWORQL URAWNENI@ bESSELQ. nAJDEM SNA^ALA 
('), PREDPOLAGAQ, ^TO INTEGRAL (3) SHODITSQ I EGO MOVNO DIFFERENCIROWATX POD ZNAKOM INTEGRALA. wY^ISLIM L(K ). zAME^AQ, ^TO K' = ;ix cos 'K , K'' = ix sin 'K ; x2 cos2 'K , Kx = ;i sin 'K , Kxx = ; sin2 'K , POLU^IM x2 Kxx + xKx + x2 K = K (x2 cos2 ' ; ix sin ') = ;K'', L(K ) = = ;( 2 K + K'') I, SLEDOWATELXNO, Z L(Z
) = ; (K'' +  2 K )
(') d': C

694

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

pROINTEGRIRUEM PO ^ASTQM, S^ITAQ, ^TO PODSTANOWKI OBRA]A@TSQ W

rIS. 95

NULX (NA BESKONE^NOSTI, ESLI KONTUR UHODIT W BESKONE^NOSTX): Z Z @  @K @ 
 L(Z
) = ; f00
+  2 
gK d' ; @' 
@' ; K @' d' = C

C

=;

Z

C

f00
+  2
gK d':

dLQ TOGO ^TOBY L(Z
) = 0, DOSTATO^NO, ^TOBY 00
+  2 
= 0: R wYBEREM 
= ei
' . tOGDA Z
(x) = C e;ix sin '+i
' d'. dLQ SHODIMOSTI \TOGO INTEGRALA DOSTATO^NO, ^TOBY Re(ix sin ') = Re(ix sin('1 + i'2 )) = ;x cos '1 sh '2 > 0 (' = '1 + i'2 ): |TO USLOWIE WYPOLNENO PRI x > 0, ESLI LIBO '2 < 0
; 2 + 2k < '1 < 2 + 2k
(4)

LIBO '2 > 0
2 + 2k < '1 < 32 + 2k k = 1
2
: : : nA RIS. 95 OBLASTI, PO KOTORYM DOLVEN PROHODITX KONTUR, ZATRIHOWANY. w KA^ESTWE KONTURA C MOVNO WZQTX L@BOJ KONTUR, ASIMPTOTI^ESKIE WETWI KOTOROGO LEVAT W ZATRIHOWANNYH OBLASTQH.

x 4]

predstawlenie w wide konturnyh integralow

695

2. fUNKCII hANKELQ. wYBEREM DWA KONTURA: C1 | KONTUR, SOSTOQ]IJ IZ LU^A (;i1
0), OTREZKA (0
;) I LU^A (;
; + i1), A KONTUR C2 = (i1 + 
) + (
0) + (0
;i1) (RIS. 96). sOOTWETSTWU@]IE INTEGRALY (3) OPREDELQ@T CILINDRI^ESKIE FUNKCII Z H
(k) (x) = ; 1 e;ix sin '+i
' d'
k = 1
2: (5) Ck

w P. 4 BUDET POKAZANO, ^TO OPREDELENNYE PRI POMO]I KONTURNYH INTEGRALOW (5) FUNKCII H
(k) (x) SOWPADA@T S FUNKCIQMI hANKELQ, KOTORYE BYLI WWEDENY W x 2. dLQ \TOGO DOSTATO^NO BUDET UBEDITXSQ W TOM, ^TO FUNKCII (5) IME@T ASIMPTOTIKU H (1) (x) =


r

2 ei + : : :
H (2) (x) =
x

r


= x ; 2  ; 4 :

2 e;i + : : :
x

(6)

pOLXZUQSX OPREDELENIEM (5) FUNKCIJ hANKELQ H
(12) (x), MOVNO POLU^ITX DLQ NIH REKURRENTNYE FORMULY H
(k+1) + H
(k;)1 = 2x H
(k)
H
(k+1) ; H
(k;)1 = ;2H
(k) 0 (x)
k = 1
2: wYWEDEM PERWU@ FORMULU. zAME^AQ, ^TO 
+1 + 
;1 = 2 cos '
, 
= = ei
' , I INTEGRIRUQ PO ^ASTQM, NAHODIM H
(k+1) (x) + H
(k;)1 (x) = = ; 2

Z

Ck

= ; 2

x

e;ix sin '+i
' cos ' d' =

Z Ck

e;ix sin '+i
' d' = = 2x H
(k) (x):

iZ (5) I FORMULY J
(x) = (H
(1) + + H
(2) )=2 MOVNO POLU^ITX PREDSTAWLENIE W WIDE KONTURNOGO INrIS. 96 TEGRALA DLQ FUNKCII bESSELQ J
(x), POLAGAQ Z   J
(x) = 21 H
(1) (x) + H
(2) (x) = ; 1 e;ix sin '+i
' d'
C0

(7)

696

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

GDE C0 = C1 + C2 | KONTUR, SOSTOQ]IJ IZ LU^A ( + i1
), OTREZKA (
;) I LU^A (;
; + i1). nAPRAWLENIE OBHODA UKAZANO NA RIS. 96. ~TOBY UBEDITXSQ W TOM, ^TO INTEGRAL (7) W SAMOM DELE DAET FUNKCI@, SOWPADA@]U@ S WWEDENNOJ W x 1 FUNKCIEJ bESSELQ, NADO POKAZATX, ^TO ON RAZLAGAETSQ W STEPENNOJ RQD (15) IZ x 1. dLQ \TOGO NAM PONADOBQTSQ NEKOTORYE SWOJSTWA GAMMA-FUNKCII. 3. nEKOTORYE SWOJSTWA GAMMA-FUNKCII. gAMMA-FUNKCIQ ;(s), KAK IZWESTNO, ESTX INTEGRAL ;(s) =

Z1 0

e;xxs;1 dx


(8)

GDE s, WOOB]E GOWORQ, KOMPLEKSNYJ ARGUMENT, PRI^EM Re s > 0. pOMIMO \LEMENTARNYH SWOJSTW1) 1 p ;(1) = 1
; 2 = 
;(s + 1) = s;(s) I T. D.
NAM PONADOBITSQ SWOJSTWO ;(s);(1 ; s) = sins : (9) w SAMOM DELE, ;(s);(1 ; s) =

Z1Z1 0 0

e;(x+t)xs;1 t;s dx dt:

bUDEM RASSMATRIWATX \TOT INTEGRAL KAK DWOJNOJ INTEGRAL I PROIZWEDEM ZAMENU PEREMENNYH, POLAGAQ  = x + t,  = x=t. wY^ISLQQ x t ; ; tx = ;(1 + )=t, POLU^IM dx dt = ; 1 +t  d d I ;(s);(1 ; s) =

Z1Z1 0 0

;

e

s;1

d d 1+ =

Z1 s;1 d 0

1+ :

iNTEGRAL, STOQ]IJ SPRAWA, WY^ISLQETSQ PRI POMO]I WY^ETOW I RAWEN =sin s 2) . dLQ GAMMA-FUNKCII IMEET MESTO PREDSTAWLENIE W WIDE KONTURNOGO INTEGRALA (INTEGRALA rIMANA | hANKELQ) ; & Z ;(s) = ei2s ; 1 ;1 e;''s;1 d'
(10)

1) 2)

b U D A K b. m., f O M I N s. w. kRATNYE INTEGRALY I RQDY. m., 1967. l A W R E N T X E W m. a., { A B A T b. w. mETODY TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. m., 1973.

x 4]

predstawlenie w wide konturnyh integralow

697

GDE  | L@BOJ KONTUR (NA PLOSKOSTI KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO ' = '1 + i'2 ) UKAZANNOGO NA RIS. 97 WIDA \TOT KONTUR IDET IZ +1, OBHODIT WOKRUG TO^KI ' = 0 I WOZWRA]AETSQ OPQTX NA +1. pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ f (') = e;' 's;1 = e;'e(s;1) ln ' KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO ' IMEET TO^KU WETWLENIQ ' = 0. pROWEDEM RAZREZ WDOLX POLOVITELXNOJ ^ASTI WE]ESTWENNOJ OSI, POLAGAQ arg ' = = 0 NA WERHNEM BEREGU RAZREZA I arg ' = 2 NA NIVNEM BEREGU RAZREZA. w SILU TEOREMY kOrIS. 97 I KONTURR MOVNO BEZ IZMENENIQ WELI^INY INTEGRALA f (') d' PROIZWOLXNO DEFORMIROWATX, SOHRANQQ OBHOD WOKRUG TO^KI ' = 0 I UDERVIWAQ KONCY KONTURA NA +1. wYBEREM W KA^ESTWE  KONTUR, SOSTOQ]IJ IZ LU^A (+1
") NA WERHNEM BEREGU RAZREZA, OKRUVNOSTI C" S CENTROM ' = 0 I RADIUSOM " I LU^A ("
+1) WDOLX NIVNEGO BEREGA. tOGDA f (') = e;'+(s;1) ln ' NA WERHNEM BEREGU I f (') = e(s;1)2i;'+(s;1) ln ' NA NIVNEM BEREGU, GDE ln ' PRINIMAET WE]ESTWENNYE ZNA^ENIQ, TAK ^TO

Z

e;' 's;1 d' = =

Z"

;x

e

xs;1 dx + e(s;1) 2i

1

Z1 "

e;xxs;1 dx +

Z C"

e;''s;1 d':

(11)

pOKAVEM, ^TO INTEGRAL PO C" STREMITSQ K NUL@ PRI " ! 0, ESLI Re s > 0. w SAMOM DELE, je;'j NA C" OGRANI^EN:

j's;1 j = e(s ;1) ln j'j;s arg ' = "s ;1e;s arg '
0

I

1

0

 Z   e;''s;1 d'  6 A2"s0 e;s1 arg ' ! 0   C"

1

PRI

s = s0 + is1
" ! 0 (s0 > 0):

pO\TOMU PREDELXNYJ PEREHOD W (11) PRIWODIT K (10). fORMULA (10) OPREDELQET SPRAWA OT MNIMOJ OSI ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ ;(s). w SILU ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ FORMULA (10) SPRAWEDLIWA NA WSEJ PLOSKOSTI I ;(s) PREDSTAWLQETSQ W WIDE ^ASTNOGO DWUH CELYH FUNKCIJ. pRI s = ;n (n > 0) FUNKCIQ ;(s) IMEET POL@SA. sPRAWEDLIWA FORMULA 1 eis Z e;' ';s;1 d': = (12) ;(s + 1) 2i

698

dopolnenie II. specialxnye funkcii

oNA SLEDUET IZ (9) I (10). w SAMOM DELE, 1 sin (s + 1) ;(;s) = ; sin s ;(;s) = = ;(s + 1)   ;is is = 2ie (e;2;ise ; 1)

Z

;' ;s;1

e '

is d' = e2i

Z

~. I

e;'';s;1 d':

4. iNTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE FUNKCII bESSELQ. pOKA1Z

VEM TEPERX, ^TO FUNKCIQ

J
(x) = ; 

i1 + 

(13)

IZ x 1. dLQ \TOGO PREOBRAZUEM KONTUR C0 x e;i(';) (x > 0). iZ TABLICY 2   0 ; ; + i1 2

RAZLAGAETSQ W RQD (15) (SM. S. 696), POLAGAQ  = '

C0

e;ix sin '+i
' d'

x x ei=2 x ei x ei2  1 1 2 2 2 2 WIDNO, ^TO C0 PREOBRAZUETSQ W KONTUR  , POKAZANNYJ NA RIS. 98 I SOSTOQ]IJ IZ LU^A (+1
x=2), OKRUVNOSTI C
RADIUSA 0
5x I LU^A (0
5x
+1). wY^ISLQQ x  x2 ; & ix x 2  i' ; i' i ; i ;ix sin ' = ; 2i e ; e = ; 2 2 e ; x e = 4 ; 
PREOBRAZUEM INTEGRAL (13) K WIDU  
  Z x2 i d : (14) J
(x) = ; 2i e;+ 4 2x ei
d d' =  

; & rAZLOVIM exp x2 =4 W STEPENNOJ RQD I PODSTAWIM W (14): Z 1 (0
5x)2k+
i X J
(x) = ; 2

k=0

i
;(k + 1) e



e; ;(k+
+1) d:

pOLXZUQSX ZATEM FORMULOJ (12) DLQ 1=;(k +  + 1), POLU^IM 1  2k+
X J
(x) = (;1)k ;(k + 1) ;(1 + k + 1) x2 : k=0

x 4]

predstawlenie w wide konturnyh integralow

699

tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ (13) ESTX FUNKCIQ bESSELQ J
(x), WWEDENNAQ W x 1, P. 1. pREOBRAZUEM INTEGRAL (13), RAZBIW EGO NA TRI ^ASTI: PO OSI '1 (OT ; DO ) I PO BESKONE^NYM WETWQM. dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA PO WETWQM ( + i1) WWEDEM rIS. 98 NOWU@ PEREMENNU@, POLAGAQ SOOTWETSTWENNO ' = i  . w REZULXTATE POLU^AEM DLQ FUNKCII bESSELQ  -GO PORQDKA SLEDU@]EE INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE: Z Z1 sin  1 ;ix sin '+i
' d' ;  e;x sh ;
 d: (15) J
(x) = 2 e ;

eSLI  = n | CELOE ^ISLO, TO sin  = 0 I Jn (x) = 21

Z

;

0

e;ix sin '+in' d':

(16)

oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO DLQ PLOSKOJ WOLNY e;ix sin ' IMEET MESTO RAZLOVENIE W RQD fURXE e;ix sin ' =

1 X

n=;1

Jn (x)e;in'


TAK KAK (16) ESTX FORMULA DLQ KO\FFICIENTA fURXE \TOGO RAZLOVENIQ. pOLAGAQ ' =  + =2 I U^ITYWAQ, ^TO W SILU PERIODI^NOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W (16) INTEGRIROWANIE MOVNO PROIZWODITX PO L@BOMU PROMEVUTKU DLINOJ 2, POLU^AEM WTORU@ INTEGRALXNU@ FORMULU n Z i Jn (x) = 2 e;ix cos +in d
(17) ; KOTORAQ SOOTWETSTWUET SLEDU@]EMU RAZLOVENI@ PLOSKOJ WOLNY: e;ix cos ' =

1 X

n=;1

w ^ASTNOSTI, PRI n = 0 IMEEM

J0 (x) = 21

(;i)n Jn (x)e;in' :

Z ;

e;ix cos d:

(18)

5. iNTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE K
(x). pOKAVEM, ^TO DLQ FUNKCII mAKDONALXDA K
(x), OPREDELQEMOJ PO FORMULE (SM. x 3) K
(x) = 21 ie
i=2 H
(1) (ix)
(19)

700

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

SPRAWEDLIWO INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE K
(x) = 21

Z1

e;x ch ;
 d


x > 0:

(20)

;1

oTS@DA WIDNO, ^TO K
(x) | WE]ESTWENNAQ MONOTONNO UBYWA@]AQ POLOVITELXNAQ FUNKCIQ. pRI  = 0 FORMULA (20) DAET K0 (x) =

Z1 0

e;x ch  d:

(21)

dLQ DOKAZATELXSTWA (20) OBRATIMSQ K (19) I PREDSTAWLENI@ (5) DLQ FUNKCII H
(1). pUSTX C1 | KONTUR (RIS. 99), U KOTOROGO WERTI-

rIS. 99 KALXNYE ^ASTI PUTI C1 WMESTO ; I 0 IME@T ABSCISSY ; ;  I  ( < 0) W ^ASTNOSTI, C10 = C1 . w SILU TEOREMY kOI ZAMENA C1 W (5) KONTUROM C1 NE WLIQET NA ZNA^ENIE INTEGRALA, ESLI PRI BOLXIH j'2 j WYPOLNENO USLOWIE SHODIMOSTI INTEGRALA Re(;ix sin ') < 0, GDE x = x1 + ix2 , ' = '1 + i'2 . w SILU (19) NAS INTERESUET FUNKCIQ hANKELQ H
(1) (ix) ^ISTO MNIMOGO ARGUMENTA. uSLOWIE SHODIMOSTI PRI x1 = 0, x = ix2 , ' =  IMEET WID x2 sin '1 ch '2 < 0 ILI x2 sin  < 0. mY WYBEREM KONTUR C1;=2 PRI  = ;=2. zAMENIM x2 NA x I WWEDEM

x 4]

predstawlenie w wide konturnyh integralow

701

NOWU@ PEREMENNU@ INTEGRIROWANIQ  , POLOVIW ' = ;=2 + i  TOGDA d' = i d , sin ' = cos i = ch  I INTEGRAL (5) PO C1 PRIMET WID H (1) (ix) =


1 e;
i=2 i

oTS@DA I IZ (19) SLEDUET (20).

Z1

e;x ch ;
 d:

;1

6. aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ. pOLXZUQSX METODOM PEREWALA1), POKAVEM, ^TO DLQ FUNKCIJ

H
(12)(x), OPREDELQEMYH PRI POMO]I KONTURNYH INTEGRALOW (5), SPRAWEDLIWY PRI BOLXIH ZNA^ENIQH WE]ESTWENNOGO ARGUMENTA x > 0 SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY:

r

1 9 >
>
x x3=2 = x > 0: r  1 > > 2 H (2) (x) =
 e;i (x;
=2;=4) + O H (1) (x) =

2 ei (x;
=2;=4) + O

(22)




x x3=2 oTS@DA W SILU x 1, P. 4 BUDET SLEDOWATX, ^TO FUNKCII (5) TOVDESTWENNO SOWPADA@T S FUNKCIQMI hANKELQ, WWEDENNYMI W x 3 PRI POMO]I FORMUL (12), (13). iZ FORMUL H
(1) = J
+ iN
, H
(2) = J
; iN
I (22) SLEDU@T ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ FUNKCIJ bESSELQ J
(x) I FUNKCIJ nEJMANA N
(x): r   2 cos x ;   ;   + O 1
J
(x) = x (23) 2 4 x3=2

r

 

2 sin x ;   ;   + O 1 : N
(x) = x (24) 2 4 x3=2 nAPOMNIM, ^TO W P. 4 MY DOKAZALI TOVDESTWENNOSTX FUNKCIJ J
(x), WWEDENNYH PRI POMO]I KONTURNYH INTEGRALOW, S FUNKCIQMI J
(x), WWEDENNYMI W x 1 PRI POMO]I RQDOW. pRI WYWODE ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL (22) MY BUDEM POLXZOWATXSQ KONTURNYMI INTEGRALAMI (5). rASSUVDENIQ DOSTATO^NO PROWESTI DLQ H
(1) (x). pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ e;ix sin '+i
'
x > 0
W FORMULE (5) NE IMEET OSOBENNOSTEJ W KONE^NOJ ^ASTI PLOSKOSTI KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO '. 1)

l A W R E N T X E W m. a., { A B A T b. w. mETODY TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. m., 1973.

702

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. I

pO\TOMU W SILU TEOREMY kOI KONTUR INTEGRIROWANIQ W KONE^NOJ PLOSKOSTI MOVNO PROIZWOLXNO DEFORMIROWATX PRI USLOWII, ^TO ASIMPTOTY WETWEJ KONTURA, UHODQ]IH W BESKONE^NOSTX, LEVAT W TEH VE ZATRIHOWANNYH POLOSAH PLOSKOSTI ', ^TO I DLQ KONTURA C1 . eSLI WYBRANNYJ KONTUR C1 CELIKOM LEVIT W ZATRIHOWANNOJ OBLASTI (RIS. 100), TO WO WSEH TO^KAH, GDE sin ' 6= 6= 0, PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ \KSPONENCIALXNO STREMITSQ K NUL@ PRI x ! 1, TAK KAK Im sin ' < 0. eSLI OTDELXNYE ^ASTI KONTURA PROHODQT PO NEZATRIHOWANNOJ OBLASTI, TO NA \TIH ^ASTQH W PODYNTEGRALXNOM WYRAVENII PROISHODQT SLOVNYE INTERFERENCIONNYE QWLENIQ. dLQ WYQSNENIQ ASIMPTOTI^ESKOGO POWEDENIQ FUNKCII H
(1) (x) PRI BOLXIH ZNA^ENIQH ARGUMENTA x CELESOOBRAZNO KONTUR C1 WYBRATX TAK, ^TOBY ON CELIKOM LEVAL W ZArIS. 100 TRIHOWANNOJ OBLASTI. tAKOJ KONTUR, O^EWIDNO, PROJDET ^EREZ TO^KU ;=2, W KOTOROJ DEJSTWITELXNAQ ^ASTX Re(;i sin ') = cos '1 sh '2 OBRA]AETSQ W NULX. pRI x ! 1 PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI NE STREMITSQ RAWNOMERNO K NUL@, PO\TOMU GLAWNOJ ^ASTX@ INTEGRALA PO C1 PRI x ! 1 QWLQETSQ INTEGRAL PO MALOJ DUGE, SODERVA]EJ TO^KU ' = ;=2. pO\TOMU C1 SLEDUET WYBRATX TAK, ^TOBY NA NEM MNOVITELX e;ix sin ' UBYWAL NAIBOLEE BYSTRO PRI UDALENII OT TO^KI ' = ;=2. rASSMOTRIM TOPOGRAFI@ FUNKCII e;ix sin ' W OKRESTNOSTI ' = ;=2. pOLOVIM ' = ;=2 + sei . dLQ MALYH ZNA^ENIJ s NAJDEM



2



;i sin ' = i cos(sei ) = i 1 ; s2 e2i + : : :

=





2 2 = s2 sin 2 + i 1 ; s2 cos 2 + : : :

dLQ DEJSTWITELXNOJ ^ASTI Re(;i sin ') = 1=2  s2 sin 2 TO^KA s = 0 QWLQETSQ SEDLOWOJ TO^KOJ: W ZATRIHOWANNYH POLOSAH \TA FUNKCIQ OTRICATELXNA, W NEZATRIHOWANNYH OBLASTQH | POLOVITELXNA, A PRI s = = 0 (' = ;=2) OBRA]AETSQ W NULX. nAPRAWLENIE  = 0 = ;=4, O^EWIDNO, BUDET NAPRAWLENIEM NAIBYSTREJEGO SPUSKA (UBYWANIQ) DLQ FUNKCII s2 =2  sin 2. oTS@DA SLEDUET, ^TO I DLQ MODULQ FUNKCII e;ix sin ' TO^KA s = 0 QWLQETSQ SEDLOWOJ, A 0 = ;=4 SOOTWETSTWUET NAPRAWLENI@ BYSTREJEGO SPUSKA. wYBEREM KONTUR C1 TAK, ^TOBY ON SODERVAL PRQMOLINEJNYJ OTREZOK C1" (;" < s < "), PROHODQ]IJ ^EREZ TO^KU s = 0 (' = ;=2) POD

x 5]

integral furxe | besselq

703

UGLOM 0 = ;=4, A EGO WETWI, UHODQ]IE W BESKONE^NOSTX, CELIKOM LEVALI W ZATRIHOWANNYH OBLASTQH (RIS. 100). pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W (5) \KSPONENCIALXNO UBYWAET PRI UDALENII OT TO^KI s = 0. pO\TOMU S TO^NOSTX@ DO \KSPONENCIALXNO UBYWA@]EGO SLAGAEMOGO MOVNO NAPISATX H (1) (x) =


;1



Z

C1

;ix sin '+i
'

e

1

d' 

Z"

;"

ex (;s2 =2+i);i
=2 ds e;i=4


TAK KAK WDOLX C1" ' = ;=2 + se;i=4 , d' = e;i=4 ds, ;i sin '

;s2=2 + i, ei
'

e;i
=2p, A s IZMENQETSQ OT " DO ;". wWEDEM OBOp p ZNA^ENIQ  = s x=2, d = x=2 ds, = x=2. tOGDA H (1) (x)


1



r

2 ei (x;
=2;=4)

x

Z"

;"

e;2 d:

R R 1 e;2 d = p. oTS@eSLI x ! 11) , T. E. ! 1, TO ;"" e;2 d ! ;1

DA NAHODIM PERWYJ ^LEN ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULY (22). sLEDU@]IE ^LENY RAZLOVENIQ MOVNO POLU^ITX, ESLI WZQTX ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI OTNOSITELXNO s. oCENKA O(1=x3=2 ) DLQ OSTATO^NYH ^LENOW W (22) SLEDUET IZ x 1, P. 4. oTMETIM, ^TO IZLOVENNYJ WYE METOD PEREWALA, ILI METOD SEDLOWOJ TO^KI, PRIMENIM DLQ POLU^ENIQ ASIMPTOTI^ESKOGO RAZLOVENIQ RQDA DRUGIH FUNKCIJ, PREDSTAWIMYH W WIDE KONTURNYH INTEGRALOW, A TAKVE DLQ H
(12) (x) PRI  x ! 1.

x 5. iNTEGRAL fURXE | bESSELQ I NEKOTORYE INTEGRALY,

SODERVA]IE FUNKCII bESSELQ 1. iNTEGRAL fURXE | bESSELQ. nAJDEM RAZLOVENIE ZADANNOJ FUNKCII f (r) W INTEGRAL PO FUNKCIQM bESSELQ. iNTEGRAL fURXE DLQ FUNKCII f (x) I, SOOTWETSTWENNO, DLQ FUNKCII DWUH PEREMENNYH f (x
y),

1) oIBKA, DOPUSKAEMAQ PRI ZAMENE KONE^NYH PREDELOW BESKONE^NYMI, IMEET \KSPONENCIALXNYJ HARAKTER UBYWANIQ, TAK KAK

Z1 z

e; d e;z =2z: 2

2

dopolnenie II. specialxnye funkcii

704

KAK IZWESTNO, IMEET WID f (x) = 21 f (x
y) = (21 )2

Z1 Z1 ;1 ;1

Z1

d

;1

d d

0

Z1

f ( ) ei(x;) d


~. I

(1)

;1

Z1 Z1

f (
) ei(x;)+i (y;) d d: (2) 0

;1 ;1

wWEDQ POLQRNYE KOORDINATY S POMO]X@ SOOTNOENIJ x = r cos '
 =  cos 
 =  cos 
y = r sin '  =  sin  0 =  sin 
POLU^IM D(
) = 
D(
0 ) = 
D(
) D(
) x + 0 y = r cos( ; ')
 + 0  =  cos( ; ): pREDPOLAGAQ, ^TO f (x
y) IMEET WID f (x
y) = f (r)ein'
(3) GDE n | CELOE ^ISLO, I PREOBRAZOWYWAQ S POMO]X@ NAPISANNYH WYE SOOTNOENIJ INTEGRAL fURXE (2), NAHODIM f (r)ein' =

Z1 Z1 0 0

f () d d  21

Z

;

 21

eir cos(;')+in(;') d  ein' 

Z ;

e;i cos( ;)+in( ;) d:

(4)

wOSPOLXZUEMSQ FORMULAMI (SM. (16), (17) IZ x 4, P. 4) Jn (z ) = 21 Jn (z ) = 21

Z

;

Z ;

eiz cos +in e;in=2 d e;iz cos  +in ein=2 d0 0

0



  = ' ; 2


(5)

( =  + 0 ) :

(6)

x 5]

integral furxe | besselq

705

tAK KAK PODYNTEGRALXNYE WYRAVENIQ W (5) I (6) QWLQ@TSQ PERIODI^ESKIMI FUNKCIQMI  I 0 I INTEGRIROWATX PO\TOMU MOVNO PO L@BOMU PROMEVUTKU DLINOJ 2, TO MOVNO NAPISATX 1 2 1 2

Z

(7)

e;iz cos( ;0 )+in( ;0 ) d0 = Jn (z ) e;in=2


(8)

;

Z ;

eiz cos(;0)+in(;0 ) d = Jn (z ) ein=2
0

0

0

0

GDE 0 I 00 | PROIZWOLXNYE ^ISLA. pODSTAWLQQ (7) I (8) W (4) I SOKRA]AQ OBE ^ASTI NA ein' , POLU^AEM I N T E G R A L f U R X E | b E S S E L Q f (r) =

ILI f (r) =

Z1 0

Z1 Z1 0 0

f () Jn () Jn (r)  d  d


'() Jn (r)  d


GDE

'() =

Z1 0

(9)

f () Jn ()  d:

dLQ TOGO ^TOBY RAZLOVENIE W INTEGRAL fURXE | bESSELQ BYLO WOZMOVNO, DOSTATO^NO POTREBOWATX, ^TOBY DLQ FUNKCII f (r), OPREDELENNOJ W PROMEVUTKE (0
1), WYPOLNQLISX SLEDU@]IE USLOWIQ: 1) f (r) NEPRERYWNA W PROMEVUTKE (0
1) 2) f (r) IMEET KONE^NOE ^ISLO MAKSIMUMOW I MINIMUMOW WO WSQKOM KONE^NOM PROMEVUTKE 3) SU]ESTWUET INTEGRAL

Z1 0

 jf ()j d:

nA DOKAZATELXSTWE \TOGO MY NE OSTANAWLIWAEMSQ. 2. nEKOTORYE INTEGRALY, SODERVA]IE FUNKCII bESSELQ. w RAZLI^NYH PRILOVENIQH ^ASTO WSTRE^A@TSQ OPREDELENNYE INTEGRALY, SODERVA]IE BESSELEWY FUNKCII. k ^ISLU NAIBOLEE RASPROSTRANENNYH INTEGRALOW \TOGO TIPA PRINADLEVIT INTEGRAL B1 =

Z1 0

e;z J0 () d =

45 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

p21+ z2

(z > 0):

(10)

dopolnenie II. specialxnye funkcii

706

~. I

dLQ DOKAZATELXSTWA \TOJ FORMULY ZAMENIM FUNKCI@ J0 EE INTEGRALXNYM WYRAVENIEM ((16) IZ x 4) I ZATEM IZMENIM PORQDOK INTEGRIROWANIQ: B1 =

Z1 0

;z

e

= 21

J0 () d = 21

Z ;

d'

Z

Z1 0

z d' 2 z + 2 sin2 ' ; TAK KAK = 21

e

Z1 0

;z

e

;(z+i sin ')

;

i 2

d

Z

;

e;i sin ' d' =

d = 21

Z ;

Z  sin ' d' ;

d' z + i sin ' = = 1

z 2 + 2 sin2 '

Z 0

z d'


z 2 + 2 sin2 '

Z

sin ' d' 2 + 2 sin2 ' = 0 z ; W SILU NE^ETNOSTI PODYNTEGRALXNOGO WYRAVENIQ r 2 2. pOLAGAQ SNA^ALA tg ' =  , A ZATEM z z+2   = , POLU^AEM

B1 = 1

Z 0

= 2z

z d' = 2z 2 2 2 z +  sin '

Z1 0

Z=2 0

d'

z 2 + 2 sin2 '

d 2 z 2(1 +  2 ) + 2  2 =  pz 2 + 2

=

Z1 d 0

1 + 2 =

pz21+ 2 

TEM SAMYM FORMULA (10) DOKAZANA. pOLXZUQSX (10), SRAZU VE NAHODIM

Z1 0

J1 ()e;z d = 1 1 ;

z

!

pz2 + 2 :

(11)

pOLAGAQ W FORMULAH (10) I (11) z = ia I RAZDELQQ DEJSTWITELXNU@ I

x 5]

integral furxe | besselq

707

MNIMU@ ^ASTI, POLU^AEM RQD SLEDSTWIJ:

9 > J0 () cos a d = p 2 2
> > >  ; a > 0 > > > Z1 > > J0 () sin a d = 0
> > = 0 > Z1 > 1 > J1 () cos a d = 
> > > 0 > > > Z1 > a > p J1 () sin a d = > 2 2    ; a 0

Z1

1

PRI

9 > > J0 () cos a d = 0
> > > 0 > > > Z1 > 1 > J0 () sin a d = p 2 2
> a ;  > = 0 !>

Z1 > 1 a J1 () cos a d =  1 ; p 2 2
> > a ; > > 0 > > > Z1 > > J1 () sin a d = 0 >  0 Z1

 > a

PRI

(12)

a > : (13)

dOKAVEM WTORU@ INTEGRALXNU@ FORMULU B2 =

Z1 0

 
2 J
()e;t2 
+1 d = 21t 2t e; 4t :

(14)

pODSTAWIM W \TU FORMULU WMESTO J
STEPENNOJ RQD I PROIZWEDEM PO^LENNOE INTEGRIROWANIE (t > 0 !): 1   2k+
Z1 2k+2
+1 ;t2 k X ( ; 1) B2 = ;(k + 1) ;(k +  + 1) 2  e d: k=0 45


0

dopolnenie II. specialxnye funkcii

708

~. I

wY^ISLQQ WSPOMOGATELXNYJ INTEGRAL

Z1 0

Z1

1

2k+2
+1 e;t2 d =

2tk+
+1

0

POLU^AEM

e;  k+
d = 2tk+1
+1 ;(k +  + 1)


 

1  
X (;1)k 2 k = 1   
e; 42t
B2 = 21t 2t 4t 2t 2t k=0 k ! ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. oTMETIM, ^TO WY^ISLENIE B1 MOVNO PROWESTI ANALOGI^NO, RAZLAGAQ BESSELEWU FUNKCI@ W RQD I PROIZWODQ ZATEM PO^LENNOE INTEGRIROWANIE.

rASSMOTRIM INTEGRAL C=

Z1 0

p

; 2 ;k2 jzj e J0 () p 2 2  d:  ;k

(15)

nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO ON QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ   @2 + @2 + @2 : v + k2 v = 0  = @x 2 @y2 @z 2 fUNKCIQ  p 2 2 ikr r =  +z v0 = e r TAKVE UDOWLETWORQET WOLNOWOMU URAWNENI@ (r > 0) @ 2 (rv ) + k2 v = ;k2 eikr + k2 v = 0: v0 + k2 v0 = 1r @r 0 0 0 2 r rAZLOVIM FUNKCI@ v0 () = eik = W INTEGRAL fURXE | bESSELQ: eik = 

GDE

Z1 0

F () =

F ()J0 () d


Z1 0

eik J0 () d:

(16)

(17)

x 1]

polinomy levandra

709

dLQ WY^ISLENIQ FUNKCII F () WOSPOLXZUEMSQ FORMULAMI (12): F () =

Z1 0

J0 ()(cos k + i sin k) d =

tAKIM OBRAZOM,

8 1 > > < p 2 ; k 2
=> > : pk2 i; 2 = p21; k2
1 eik Z  d  =

T. E. FUNKCIQ

0

J0 () p 2 2
 ;k

ESLI

 > k


ESLI

k > : (18)

p

ik 2 +z2 v0 = ep 2 2  +z SOWPADAET S INTEGRALOM C (
z ) PRI z = 0. iTAK, OBE FUNKCII v0 (
z ) I C (
z ) QWLQ@TSQ REENIQMI WOLNOWOGO URAWNENIQ, SOWPADA@T PRI z = 0 I IME@T W TO^KE z = 0,  = 0 ODINAKOWU@ OSOBENNOSTX. oTS@DA SLEDUET, ^TO ONI TOVDESTWENNO RAWNY DRUG DRUGU, T. E. p p Z1 ik 2 +z2 ; 2 ;k2 jzj e e (19) J0 () p 2 2  d = p 2 2 :  ; k  + z 0 pOLU^ENNAQ FORMULA IROKO PRIMENQLASX a. zOMMERFELXDOM W FIZI^ESKIH ISSLEDOWANIQH I ^ASTO NAZYWAETSQ FORMULOJ zOMMERFELXDA.

~astx

II

sferi~eskie funkcii

sFERI^ESKIE FUNKCII BYLI WWEDENY W SWQZI S IZU^ENIEM REENIJ URAWNENIJ lAPLASA, I W ^ASTNOSTI S TEORIEJ POTENCIALA. w x 1 MY RASSMATRIWAEM POLINOMY lEVANDRA, KOTORYE ISPOLXZU@TSQ ZATEM DLQ POSTROENIQ AROWYH I SFERI^ESKIH FUNKCIJ W x 2. sFERI^ESKIE FUNKCII QWLQ@TSQ WESXMA MO]NYM APPARATOM DLQ REENIQ MNOGIH ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI.

x 1. pOLINOMY lEVANDRA

1. pROIZWODQ]AQ FUNKCIQ I POLINOMY lEVANDRA. pOLINOMY lEVANDRA TESNO SWQZANY S FUNDAMENTALXNYM REENIEM URAWNENIQ

710

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

lAPLASA 1=R, GDE R | RASSTOQNIE TO^KI M OT FIKSIROWANNOJ TO^KI

rIS. 101

M0. pUSTX r I r0 | RADIUSY-WEKTORY TO^EK M I M0 , A  | UGOL MEVDU NIMI (RIS. 101). o^EWIDNO, MOVNO NAPISATX

8 1 1 > p > < r0 1 + 2 ; 2x DLQ r < r0
1 =p 1 = R r02 + r2 ; 2rr0 cos  > 1 1 > : r p1 + 2 ; 2x DLQ r > r0


(1)

GDE x = cos  (;1 6 x 6 1) I  = r=r0 < 1 ILI  = r0 =r < 1 (W OBOIH SLU^AQH  MENXE EDINICY). fUNKCIQ (
x) = p 12 (0 <  < 1
;1 6 x 6 1) (2) 1 +  ; 2x NAZYWAETSQ P R O I Z W O D Q ] E J F U N K C I E J POLINOMOW lEVANDRA. rAZLOVIM FUNKCI@ (
x) W RQD PO STEPENQM : (
x) =

1 X

n=0

Pn (x)n :

(3)

kO\FFICIENTY Pn (x) RAZLOVENIQ (3) QWLQ@TSQ POLINOMAMI n-J STEPENI I NAZYWA@TSQ POLINOMAMI lEVANDRA. w SILU TEOREMY kOI IZ FORMULY (3) SLEDUET, ^TO Z n  (4) Pn (x) = n1! @@n  = 21i ( n
+1x) d
=0 C

GDE C | L@BOJ ZAMKNUTYJ KONTUR W PLOSKOSTI KOMPLEKSNOGO PEREp MENNOGO  =  + i, SODERVA]EJ TO^KU  = 0. pOLAGAQ 1 ; 2x +  2 = = 1 ; z , NAHODIM  = 2(z ; x)=(z 2 ; 1), d = 2(1 ; z ) dz=(z 2 ; 1), (
x) d = 2 dz=(z 2 ; 1). fORMULA (4) PRIMET WID 1 Z (z 2 ; 1)n dz
Pn (x) = 2n+1 (5) i (z ; x)n+1 C1

x 1]

polinomy levandra

711

GDE C1 | L@BOJ KONTUR, OKRUVA@]IJ TO^KU z = x. u^ITYWAQ, ^TO 1 Z (z 2 ; 1)n dz = (x2 ; 1)n
2i z;x C1

I POLXZUQSX FORMULOJ DLQ PROIZWODNOJ dn Z (z 2 ; 1)n dz = n! Z (z 2 ; 1)n dz
dxn z;x (z ; x)n+1 C1

C1

POLU^AEM IZ (5) FORMULU DLQ Pn (x): dn (x2 ; 1)n ]: Pn (x) = 2n1n! dx (6) n iZ FORMULY (6) NEPOSREDSTWENNO WIDNO, ^TO: 1) Pn (x) ESTX POLINOM STEPENI n 2) Pn (x) SODERVIT TOLXKO STEPENI x TOJ ^ETNOSTI, ^TO I NOMER n, TAK ^TO Pn (;x) = (;1)n Pn (x): (7) pOLAGAQ x = 1, NAHODIM 1 X (
1) = 1 ;1  = 1 +  + : : : + n + : : : = Pn (1) n


n=0

T. E. Pn (1) = 1, I W SILU (7) Pn (;1) = (;1)n : (70 ) fORMULA (6) NAZYWAETSQ D I F F E R E N C I A L X N O J F O R M U L O J D L Q P O L I N O M O W l E V A N D R A ILI F O R M U L O J r O D R I G A. zAMETIM, ^TO IZ (1) I (3) SLEDUET RAZLOVENIE POTENCIALA 8 1 X 1  n r P (cos ) PRI r < r
> > n 0 > r r 1 = < 0 n=0 0 (8) R > 1 X 1  n r0 P (cos ) PRI r > r : > n 0 :r n=0 r 2. rEKURRENTNYE FORMULY. dIFFERENCIRUQ (
x) PO  I x, POLU^AEM DWA TOVDESTWA: (1 ; 2x + 2 )  ; (x ; )  = 0
(9) (10) (1 ; 2x + 2 ) x ;  = 0: zAPIEM LEWU@ ^ASTX FORMULY (9) W WIDE STEPENNOGO RQDA OTNOSITELXn NO , PODSTAWIW W NEE RQD (3) DLQ  I RQD  = P1 n=0 (n + 1)Pn+1 (x)  .

712

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

kO\FFICIENT PRI n POLU^ENNOGO RQDA, W SILU (9), RAWEN NUL@ PRI WSEH x: (n + 1) Pn+1 (x) ; x(2n + 1) Pn (x) + nPn;1 (x) = 0: (11) |TO TOVDESTWO ESTX REKURRENTNAQ FORMULA, SWQZYWA@]AQ TRI POSLEDOWATELXNYH POLINOMA. oNA POZWOLQET NAJTI POSLEDOWATELXNO WSE Pn (x) (n > 1), ESLI U^ESTX, ^TO (6) DAET P0 (x) = 1
P1 (x) = x: tAK, NAPRIMER, POLAGAQ W (11) n = 1, NAHODIM P2 (x) = 1=2  (3x2 ; 1). wYWEDEM E]E DWE REKURRENTNYE FORMULY: nPn (x) ; xPn0 (x) + Pn0 ;1 (x) = 0
ILI Pn0 ;1 (x) = xPn0 (x) ; nPn (x)
(12)

Pn0 (x) ; xPn0 ;1 (x) ; nPn;1 (x) = 0: (13) iSKL@^IW IZ (9) I (10) , POLU^IM TOVDESTWO  ; (x ; )x = = 0, IZ KOTOROGO SRAZU SLEDUET (12), ESLI W LEWU@ ^ASTX \TOGO TOVDESTWA PODSTAWITX RQD (3) I PRIRAWNQTX NUL@ KO\FFICIENT PRI n . dIFFE0 0 RENCIRUQ ZATEM (11) PO x I ISKL@^AQ Pn;1 = xPn ; nPn , POLU^AEM Pn0 +1 ; xPn0 ; (n + 1)Pn = 0 ILI (13) POSLE ZAMENY n + 1 NA n. 3. uRAWNENIE lEVANDRA. nAJDEM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE , REENIEM KOTOROGO QWLQETSQ Pn (x). dLQ \TOGO ISKL@^IM Pn;1 I Pn0 ;1 IZ (12) I (13). sNA^ALA PODSTAWIM Pn0 ;1 IZ (12) W (13): Pn0 ; xPn0 ;1 ; nPn;1 = (1 ; x2 )Pn0 + nxPn ; nPn;1 = 0
ZATEM PRODIFFERENCIRUEM POLU^ENNOE TOVDESTWO PO x I E]E RAZ PRIMENIM FORMULU (12) DLQ Pn0 ;1 : (1 ; x2 )Pn0 ]0 + nxPn0 + nPn ; nPn0 ;1 = = (1 ; x2 )Pn0 ]0 + nxPn0 + nPn ; (nxPn0 ; n2 Pn ) = 0:

w REZULXTATE PRIHODIM K URAWNENI@ (1 ; x2 )Pn0 ]0 + n(n + 1)Pn = 0: (14) tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO POLINOMY lEVANDRA Pn (x) QWLQ@TSQ SOBSTWENNYMI FUNKCIQMI, SOOTWETSTWU@]IMI SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM n = n(n + 1), SLEDU@]EJ ZADA^I. nAJTI TAKIE ZNA^ENIQ , DLQ KOTORYH NA OTREZKE ;1 6 x 6 1 SU]ESTWU@T NETRIWIALXNYE REENIQ URAWNENIQ lEVANDRA   d (1 ; x2 ) dy + y = 0
;1 < x < 1
(15) dx dx

x 1]

polinomy levandra

713

OGRANI^ENNYE PRI x = 1 I UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ NORMIROWKI y(1) = 1. 4. oRTOGONALXNOSTX POLINOMOW lEVANDRA. uRAWNENIE lEVANDRA (15) QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM (PRI q = 0,  = 1, k(x) = 1 ; x2 ) RASSMOTRENNOGO WO wWEDENII URAWNENIQ (k(x) y0 )0 ; q(x) y + (x) y = 0: (16) pO\TOMU K NEMU PRIMENIMA OB]AQ TEORIQ DLQ URAWNENIQ (16). iZ \TOJ TEORII SLEDUET: 1) POLINOMY lEVANDRA RAZNYH PORQDKOW ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ:

Z1

;1

PRI

Pn (x) Pm (x) dx = 0

m 6= n

2) WTOROE LINEJNO NEZAWISIMOE REENIE URAWNENIQ lEVANDRA PRI  = n(n + 1) OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX PRI x = 1 KAK ln(1  x). sISTEMA ORTOGONALXNYH POLINOMOW, KAK IZWESTNO, QWLQETSQ POLNOJ1). pO\TOMU URAWNENIE lEVANDRA NE IMEET NETRIWIALXNYH OGRANI^ENNYH REENIJ NI PRI KAKOM  6= n(n + 1). w SAMOM DELE, ESLI BY 1) sISTEMA ORTOGONALXNYH FUNKCIJ f'n g NAZYWAETSQ P O L N O J , ESLI NE SU]ESTWUET NEPRERYWNOJ FUNKCII, NE RAWNOJ TOVDESTWENNO NUL@ I ORTOGONALXNOJ KO WSEM FUNKCIQM DANNOJ SISTEMY. sISTEMA ORTOGONALXNYH FUNKCIJ f'n g NAZYWAETSQ Z A M K N U T O J W PROMEVUTKE (a b), ESLI L@BU@ NEPRERYWNU@ FUNKCI@ MOVNO APPROKSIMIROWATX W SREDNEM S L@BOJ STEPENX@ TO^NOSTI PRI POMO]I LINEJNOJ KOMBINACII FUNKCIJ f'n g. iNYMI SLOWAMI, KAKOWO BY NI BYLO " > 0, WSEGDA MOVNO UKAZATX TAKU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ FUNKCIJ Sn = c1 '1 + : : : + cn 'n  ^TO

Zb a

f (x) ; Sn (x)]2 dx < ":

dLQ ZAMKNUTOJ SISTEMY FUNKCIJ f'n g IMEET MESTO SOOTNOENIE

Zb

X f 2 (x) dx = Nn fn2  n=1 a 1

R

GDE fn | KO\FFICIENTY fURXE FUNKCII f (x) (fn = (1=Nn ) ab f () 'n () d). pOLNOTA ESTX SLEDSTWIE ZAMKNUTOSTI. pUSTX DANA NEKOTORAQ ZAMKNUTAQ SISTEMA ORTOGONALXNYH FUNKCIJ f'n (x)g. dOPUSTIM, ^TO SU]ESTWUET

dopolnenie II. specialxnye funkcii

714

~. II

SU]ESTWOWALO REENIE y(x) DLQ  6= n(n + 1), TO ONO BYLO BY ORTOGONALXNO KO WSEM Pn (x). oTS@DA, W SILU POLNOTY SISTEMY ORTOGONALXNYH POLINOMOW fPn (x)g, SLEDUET, ^TO y(x)  0. tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO MY NALI WSE OGRANI^ENNYE NETRIWIALXNYE REENIQ URAWNENIQ lEVANDRA. 5. nORMA POLINOMOW lEVANDRA. wY^ISLIM NORMU POLINOMOW Pn (x)

0 Z1 11=2 kPnk = @ Pn2(x) dxA : ;1

pRIMENIM REKURRENTNU@ FORMULU (11) DWAVDY: SNA^ALA WYRAZIM IZ NEE (PREDWARITELXNO ZAMENIW W (11) n + 1 NA n) Pn ^EREZ Pn;1 I Pn;2 , A ZATEM xPn ^EREZ Pn+1 I Pn;1 . u^ITYWAQ ORTOGONALXNOSTX POLINOMOW Pn , Pn;1 , Pn;2 , POLU^IM

kPnk

2=

1

n

Z1

;1

Pn (x)f(2n ; 1) xPn;1 (x) ; (n ; 1)Pn;2 g dx = = 2n ; 1

n

Z1 ;1

1 2 (xPn ) Pn;1 dx = 22nn ; + 1 kPn;1 k :

NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f (x) 6 0, ORTOGONALXNAQ KO WSEM 'n (x). tOGDA W SILU ZAMKNUTOSTI SISTEMY FUNKCIJ f'n g DOLVNO IMETX MESTO RAWENSTWO

Zb a

f 2 (x) dx =

1 X

n=1

Nn fn2 = 0

TAK KAK fn = 0 PO PREDPOLOVENI@. oTS@DA SLEDUET f  0, ^TO PROTIWORE^IT SDELANNOMU DOPU]ENI@, T. E. SISTEMA f'n (x)g QWLQETSQ POLNOJ. zAMKNUTOSTX I, TEM SAMYM, POLNOTA SISTEMY ORTOGONALXNYH POLINOMOW fPn (x)g QWLQETSQ SLEDSTWIEM T E O R E M Y w E J E R  T R A S S A O WOZMOVNOSTI RAWNOMERNOJ APPROKSIMACII NEPRERYWNOJ FUNKCII PRI POMO]I POLINOMOW: KAKOWA BY NI BYLA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f (x), ZADANNAQ W PROMEVUTKE (a b), I KAKOWO BY NI BYLO " > 0, SU]ESTWUET TAKOJ POLINOM Qn(x), ^TO jf (x) ; Qn (x)j < ": (A) w SAMOM DELE, PREDSTAWLQQ POLINOM Qn(x) W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII ORTOGONALXNYH POLINOMOW fPn (x)g I POLXZUQSX NERAWENSTWOM (A), MY POLU^IM USLOWIE ZAMKNUTOSTI SISTEMY ORTOGONALXNYH POLINOMOW.

x 1]

polinomy levandra

715

pOSLEDOWATELXNOE PRIMENENIE \TOJ FORMULY DAET kPn k2 = 2n 1+ 1 kP0k2. pODSTAWIW S@DA kP0k2 = k1k2 = 2, NAHODIM tAKIM OBRAZOM,

kPnk2 = 2n2+ 1

r

I kPn k = 2n 2+ 1 :



(17)

8 0
m 6= n
> < Pm (x) Pn (x) dx = > 2 (18) :
m = n: ;1 2n + 1 6. nULI POLINOMOW lEVANDRA. s POMO]X@ FORMULY rODRIGA Z1

(6) MOVNO DOKAZATX SLEDU@]U@ TEOREMU. pOLINOM lEVANDRA Pn (x) IMEET n NULEJ, RASPOLOVENNYH NA INTERWALE ;1 < x < 1, A EGO PROIZWODNAQ k-GO PORQDKA (k 6 n) IMEET n ; k NULEJ WNUTRI INTERWALA (;1
1) I NE OBRA]AETSQ W NULX NA EGO KONCAH. dEJSTWITELXNO, FUNKCIQ ! = (x2 ; 1)0n OBRA]AETSQ W NULX NA KONCAH INTERWALA (;1
1). eE PROIZWODNAQ ! (x) OBRA]AETSQ W NULX PRI x = 1 I x = ;1 I PO TEOREME O NULE PROIZWODNOJ IMEET HOTQ BY ODIN NULX WNUTRI INTERWALA (;1
1). wTORAQ PROIZWODNAQ !00 (x) IMEET PO KRAJNEJ MERE DWA NULQ WNUTRI IN-

TERWALA I OBRA]AETSQ W NULX NA EGO KONCAH (RIS. 102). pRODOLVAQ RASSUVDENIQ, PRIHODIM K ZAKL@^ENI@, ^TO n-Q PROIZWODNAQ !(n) (x) IMEET PO KRAJNEJ MERE n NULEJ NA INTERWALE (;1
1) ILI, TO^NEE, ROWNO n NUrIS. 102 LEJ, TAK KAK ONA ESTX POLINOM n-J STEPENI. pERWAQ ^ASTX UTWERVDENIQ DOKAZANA. pROIZWODNAQ Pn0 (x) PO TOJ VE TEOREME DOLVNA IMETX PO KRAJNEJ MERE (n ; 1) NULEJ WNUTRI (;1
1), NO ONA ESTX POLINOM (n ; 1)-J STEPENI I POTOMU IMEET ROWNO (n ; 1) NULEJ WNUTRI INTERWALA. dALEE ZAKL@^AEM, ^TO dk =dxk Pn (x) IMEET (n ; k) NULEJ WNUTRI INTERWALA (;1
1). 7. oGRANI^ENNOSTX POLINOMOW lEVANDRA. pOKAVEM, ^TO POLINOMY lEVANDRA Pn (x) RAWNOMERNO OGRANI^ENY DLQ WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA ;1 6 x 6 1: jPn (x)j 6 1: dLQ \TOGO NAM PONADOBITSQ INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE Pn (x) = 21

Z2 0

p

x + i 1 ; x2 sin ']n d':

(19)

716

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

wYWEDEM FORMULU (19).p wOZXMEM W (5) W KA^ESTWE KONTURA C1 OKRUVNOSTX RADIUSA pR = 1 ; x2 (jxj
x 2. pRISOEDINENNYE FUNKCII lEVANDRA

1. pRISOEDINENNYE FUNKCII. rASSMOTRIM SLEDU@]U@ ZADA^U. nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYE FUNKCII URAWNENIQ    m2  d dy

2 ;1 < x < 1
(1) dx (1 ; x ) dx +  ; 1 ; x2 y = 0
PRI USLOWII OGRANI^ENNOSTI jy(1)j < 1: (2) uRAWNENIE (1) QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM URAWNENIQ (8), RASSMOTRENNOGO WO wWEDENII, PRI k(x) = 1 ; x2 , q(x) =2 m2 =(1 ; x2 ),  = 1, a = ;1, b = 1. tAK KAK KO\FFICIENT k(x) = 1 ; x OBRA]AETSQ W NULX NA OBOIH KONCAH OTREZKA ;1 6 x 6 1, TO ESTESTWENNOE USLOWIE OGRANI^ENNOSTI STAWITSQ PRI x = ;1 I x = 1. w SILU LEMMY 2 IZ wWEDENIQ REENIE y(x) ZADA^I (1) DOLVNO PRI x = 1 IMETX NULI PORQDKA  , GDE  = m=2. oTS@DA SLEDUET, ^TO REENIE ZADA^I (1) ESTESTWENNO ISKATX W WIDE y(x) = (1 ; x2 )m=2 v(x)
v(1) 6= 0: (3) pODSTAWIW (3) W URAWNENIE (1), NAJDEM (1 ; x2 )v00 ; 2(m + 1)v0 +  ; m(m + 1)]v = 0: (4) m m |TO VE URAWNENIE POLU^AETSQ DLQ PROIZWODNOJ d z=dx REENIQ URAWNENIQ lEVANDRA (15) IZ x 1, ESLI EGO PRODIFFERENCIROWATX m RAZ. nETRIWIALXNOE OGRANI^ENNOE REENIE z = Pn (x) URAWNENIQ lEVANDRA SU]ESTWUET LIX PRI  = n(n + 1), GDE n | CELOE POLOVITELXNOE ^ISLO. oTS@DA SLEDUET, ^TO m (5) v(x) = ddxPmn
 = n(n + 1) ESTX REENIE URAWNENIQ (1), A FUNKCIQ m Pn(m)(x) = (1 ; x2 )m=2 ddxPmn (6)

x 2]

prisoedinennye funkcii levandra

717

ESTX SOBSTWENNAQ FUNKCIQ ZADA^I (1) | (2), SOOTWETSTWU@]AQ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ n = n(n + 1)
n = 1
2
: : : (7) ( m ) fUNKCIQ Pn (x) NAZYWAETSQ PRISOEDINENNOJ FUNKCIEJ lEVANDRA mGO PORQDKA. o^EWIDNO, ^TO Pn(0) (x) = Pn (x), Pn(m) (x) 6 0 LIX PRI m 6 6 n: 2. nORMA PRISOEDINENNYH FUNKCIJ. sOGLASNO OB]EJ TEOREME NA S. 666 PRISOEDINENNYE FUNKCII Pn(m) OBRAZU@T ORTOGONALXNU@ SISTEMU. wY^ISLIM NORMU kPn(m)k PRISOEDINENNYH FUNKCIJ. pOPUTNO BUDET DOKAZANA IH ORTOGONALXNOSTX. uMNOVIM URAWNENIE (4) NA (1 ; ; x2)m I U^TEM (5). pOSLE ZAMENY m + 1 NA m POLU^IM  m d (1 ; x2 )m d Pn = ; ; m(m ; 1)] (1 ; x2 )m;1 dm;1 Pn : (8) dx dxm dxm;1 wWEDEM OBOZNA^ENIE Z1 Z1 m m ( m ) m ( m ) Lnk = Pn (x) Pk (x) dx = (1 ; x2 )m ddxPmn ddxPmk dx: ;1 ;1 iNTEGRIROWANIE PO ^ASTQM DAET 1  dm;1 P dm Pn k 2 m m ; Lnk = dxm;1 dxm (1 ; x ) ;1

Z1 dm;1 Pk d  m Pn  d 2 m ; dxm;1 dx (1 ; x ) dxm dx: ;1

pODSTANOWKA OBRA]AETSQ W NULX, A INTEGRAL W SILU (8) I (7) PREOBRAZUETSQ K WIDU Lmnk = n(n + 1) ; m(m ; 1)]Lmnk;1 = (n + m) (n ; m + 1)Lmnk;1: iZ \TOJ REKURRENTNOJ FORMULY SLEDUET Lmnk = (n + m) (n + m ; 1) : : : (n + 1)n : : : (n ; m + 1)L0nk = + m)! L(0) : = (n +n!m)! (n ;n!m)! L0nk = ((nn ; m)! nk wYRAVENIE DLQ L0nk DAETSQ FORMULOJ (18) IZ x 1, TAK KAK Pn(0) = = Pn : w REZULXTATE POLU^AEM 80 PRI k 6= n
> Z1 < ( m ) ( m ) Pn (x) Pk (x) dx = > 2 (n + m)! (9) : 2n + 1 (n ; m)! PRI k = n
;1

718

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

T. E. PRISOEDINENNYE FUNKCII ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ I KWADRAT NORMY PRISOEDINENNOJ FUNKCII Pn(m) RAWEN kPn(m)k2 = 2n 2+ 1 ((nn +; mm)!)! : (10) 3. pOLNOTA SISTEMY PRISOEDINENNYH FUNKCIJ. dOKAVEM, ^TO SISTEMA PRISOEDINENNYH FUNKCIJ fPn(m)(x)g POLNOSTX@ IS^ERPYWAET WSE OGRANI^ENNYE REENIQ URAWNENIQ (1). w SAMOM DELE, PRI  = n(n + 1) REENIE, LINEJNO NEZAWISIMOE S ( m ) Pn (x), OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX PRI x = 1. oGRANI^ENNOE VE REENIE PRI  6= n(n + 1) DOLVNO BYTX ORTOGONALXNO KO WSEM Pn(m) (x). dLQ TOGO ^TOBY UBEDITXSQ, ^TO NE SU]ESTWUET OGRANI^ENNYH REENIJ URAWNENIQ (1), OTLI^NYH OT Pn(m) (x), DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO SISTEMA PRISOEDINENNYH FUNKCIJ Pn(m) (x) POLNA, T. E. ^TO NE SU]ESTWUET NIKAKOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII, NE RAWNOJ TOVDESTWENNO NUL@, KOTORAQ BYLA BY ORTOGONALXNA KO WSEM FUNKCIQM SISTEMY. l E M M A. l@BAQ FUNKCIQ f (x), NEPRERYWNAQ NA OTREZKE ;1
1] I OBRA]A@]AQSQ W NULX NA EGO KONCAH PRI x = 1 I x = ;1, MOVET BYTX RAWNOMERNO APPROKSIMIROWANA S L@BOJ STEPENX@ TO^NOSTI LINEJNOJ KOMBINACIEJ IZ PRISOEDINENNYH FUNKCIJ L@BOGO PORQDKA m. zAMETIM PREVDE WSEGO, ^TO PROIZWODNYE POLINOMOW lEVANDRA dm =dxm  Pn (x) QWLQ@TSQ POLINOMAMI STEPENI n ; m. pOSKOLXKU L@BOJ POLINOM PO STEPENQM x MOVET BYTX PREDSTAWLEN W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII \TIH POLINOMOW, TO W SILU TEOREMY wEJERTRASSA L@BAQ FUNKCIQ f(x), NEPRERYWNAQ NA OTREZKE ;1
1], MOVET BYTX RAWNOMERNO APPROKSIMIROWANA S L@BOJ STEPENX@ TO^NOSTI PRI POMO]I LINEJNOJ KOMBINACII dm =dxm  Pn (x):   n0 m d f(x) ; X cn dxm Pn (x) < "
ESLI n0 > N ("):  n=m uMNOVAQ \TO NERAWENSTWO NA (1 ; x2 )m=2 , POLU^AEM, ^TO

GDE

  n0 f1(x) ; X ( m ) cn Pn (x) < "
 n=m

ESLI

n0 > N (")


f1(x) = f(x) (1 ; x2 )m=2
(11) T. E. L@BAQ FUNKCIQ f (x), PREDSTAWLENNAQ W WIDE (11), GDE f(x) | FUNKCIQ, NEPRERYWNAQ NA OTREZKE ;1
1], MOVET BYTX RAWNOMERNO APPROKSIMIROWANA S L@BOJ STEPENX@ TO^NOSTI LINEJNOJ KOMBINACIEJ PRISOEDINENNYH FUNKCIJ.

x 2]

prisoedinennye funkcii levandra

719

bUDEM GOWORITX, ^TO FUNKCIQ f1 (x) PRINADLEVIT KLASSU H1 , ESLI ONA NEPRERYWNA NA OTREZKE ;1
1] I TOVDESTWENNO RAWNA NUL@ W MALYH OKRESTNOSTQH TO^EK x = ;1 I x = 1: f1 (x) = 0 PRI j1 ; j 6 jxj 6 1: tAK KAK DLQ KAVDOJ FUNKCII f1(x) KLASSA H1 FUNKCIQ f(x) = (1 ;f1x(2x))m=2 QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA ;1
1], TO TEM SAMYM LEMMA DOKAZANA DLQ FUNKCIJ KLASSA H1 . rASSMOTRIM NEKOTORU@ FUNKCI@ f (x), NEPRERYWNU@ NA OTREZKE ;1
1], OBRA]A@]U@SQ W NULX NA KONCAH. o^EWIDNO, ^TO \TU FUNKCI@ MOVNO RAWNOMERNO APPROKSIMIROWATX PRI POMO]I FUNKCII f1(x) IZ KLASSA H1 S TO^NOSTX@ DO "=2: jf (x) ; f1(x)j < 2" : aPPROKSIMIRUQ f1 (x) LINEJNOJ KOMBINACIEJ IZ PRISOEDINENNYH FUNKCIJ S TO^NOSTX@ DO "=2: n0  X X X  (x) = c P (m) (x)
f (x) ; (x)  < "
1

2

1

POLU^AEM NERAWENSTWO

1

n=m

n n

jf (x) ; X1(x)j < "


KOTOROE I DOKAZYWAET LEMMU. s POMO]X@ \TOJ LEMMY LEGKO DOKAZYWAETSQ ZAMKNUTOSTX SISTEMY PRISOEDINENNYH FUNKCIJ, A TEM SAMYM I EE POLNOTA. nAPOMNIM, ^TO SISTEMA FUNKCIJ f'n (x)g NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ NA NEKOTOROM OTREZKE a
b], ESLI L@BU@ FUNKCI@ F (x), NEPRERYWNU@ NA a
b], MOVNO APPROKSIMIROWATX W SREDNEM S L@BOJ STEPENX@ TO^NOSTI PRI POMO]I LINEJNOJ KOMBINACII \TIH FUNKCIJ:

Zb " a

F (x) ;

n0 X

n=1

#2

cn 'n (x) dx < "


ESLI

n0 > N ("):

o^EWIDNO, ^TO WSQKU@ FUNKCI@, NEPRERYWNU@ NA OTREZKE ;1
1], MOVNO APPROKSIMIROWATX W SREDNEM S L@BOJ STEPENX@ TO^NOSTI PRI POMO]I FUNKCII f (x), NEPRERYWNOJ NA ;1
1] I OBRA]A@]EJSQ W NULX PRI x = 1:

Z1

;1

F (x) ; f (x)]2 dx < "0 :

dopolnenie II. specialxnye funkcii

720

~. II

bERQ LINEJNU@ KOMBINACI@ PRISOEDINENNYH FUNKCIJ, RAWNOMERNO APPROKSIMIRU@]IH FUNKCI@ f (x): jf (x) ; X1(x)j < "00
I POLXZUQSX NERAWENSTWOM (a + b)2 6 2 (a2 + b2 )
POLU^AEM

Z1 h

;1

F ( x) ;

X i2 1

Z1

dx 6 2 F (x) ; ;1

f (x)]2 dx + 2

Z1 h

;1

f (x) ;

X i2 1

dx < "

(ESLI 2"0 + 4("00 )2 6 ")
^TO DOKAZYWAET ZAMKNUTOSTX, A TEM SAMYM I POLNOTU SISTEMY PRISOEDINENNYH FUNKCIJ.

x 3. gARMONI^ESKIE POLINOMY I SFERI^ESKIE FUNKCII

1. gARMONI^ESKIE POLINOMY. g A R M O N I ^ E S K I M P O L I N OM O M NAZYWAETSQ ODNORODNYJ POLINOM, UDOWLETWORQ@]IJ URAWNENI@ lAPLASA u = uxx + uyy + uzz = 0: (1) nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO PERWYE DWA ODNORODNYH GARMONI^ESKIH POLINOMA IME@T WID u1(x
y
z ) = Ax + By + Cz
u2 (x
y
z ) = Ax2 + By2 ; (A + B )z 2 + Cxy + Dxz + Eyz
GDE A, B , C , D, E | PROIZWOLXNYE KO\FFICIENTY. oPREDELIM ^ISLO LINEJNO NEZAWISIMYH ODNORODNYH GARMONI^ESKIH POLINOMOW STEPENI n: X un = pqr xp yq z r : (2) p+q+r=n

cELAQ ODNORODNAQ FUNKCIQ STEPENI n IMEET (n + 1)(n + 2)=2 KO\FFICIENTOW. dEJSTWITELXNO, PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA (2) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE 00n z n + ( 10n;1 x + 01n;1 y)z n;1 + : : : + +( n;101 xn;1 + n;211 xn;2 y + : : : + 0n;11 yn;1 )z + +( n00 xn + n;110 xn;1 y + : : : + 0n0 yn )z 0 :

x 3] garmoni~eskie polinomy i sferi~eskie funkcii 721

pRI z n IMEETSQ ODIN KO\FFICIENT , PRI z n;1 | DWA, : : : , PRI z IMEEM 0 n KO\FFICIENTOW, A PRI z ^ISLO KO\FFICIENTOW RAWNQETSQ n + 1, TAK ^TO OB]EE ^ISLO KO\FFICIENTOW RAWNO 1 + 2 + : : : + n + (n + 1) = (n + 1)(2 n + 2) : (3) uRAWNENIE (1) NALAGAET NA KO\FFICIENTY n(n ; 1)=2 LINEJNYH ODNORODNYH SOOTNOENIJ, TAK KAK un | ODNORODNAQ FUNKCIQ STEPENI n ; 2. tAKIM OBRAZOM, POLINOM DOLVEN IMETX NE MENEE ^EM (n + 1)(n + + 2)=2 ; (n ; 1)n=2 = (2n + 1) NEZAWISIMYH KO\FFICIENTOW. eSLI BY UKAZANNYE (n ; 1)n=2 SOOTNOENIJ OKAZALISX LINEJNO ZAWISIMYMI, TO ^ISLO NEZAWISIMYH KO\FFICIENTOW BYLO BY BOLXE 2n + 1. pOKAVEM, ^TO TOLXKO (2n + 1) KO\FFICIENTOW LINEJNO NEZAWISIMY. kO\FFICIENTY pqr ODNORODNOGO POLINOMA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE n pqr = p! q1! r! @xp@@yuqn@z r : eSLI un | GARMONI^ESKIJ POLINOM, TO pqr PRI r > 2 MOVNO WYRAZITX ^EREZ KO\FFICIENTY pq0 I pq1 , ^ISLO KOTORYH W TO^NOSTI RAWNO 2n + 1. dEJSTWITELXNO,  @ 2 un  @ n;2 pqr = p! q1! r! @xp @y q @z r;2 @z 2 =  @ 2un @ 2un  @ n;2 = p! q1! r! @xp @y q @z r;2 ; @x2 ; @y 2 = = 1 p+2qr;2 + 2 pq+2r;2 : pOSTUPAQ ANALOGI^NO S KO\FFICIENTAMI p+2qr;2 I pq+2r;2 , MY W KONCE KONCOW WYRAZIM pqr ^EREZ KO\FFICIENTY TIPA pq0 (p + q = = n) I pq1 (p + q + 1 = n). ~ISLO KO\FFICIENTOW WIDA pq0 RAWNO n + 1, A pq1 RAWNO n. tAKIM OBRAZOM, OB]EE ^ISLO LINEJNO NEZAWISIMYH KO\FFICIENTOW I, SLEDOWATELXNO, NEZAWISIMYH GARMONI^ESKIH POLINOMOW n-J STEPENI W TO^NOSTI RAWNO 2n + 1. oDNORODNYE GARMONI^ESKIE POLINOMY NAZYWA@TSQ  A R O W Y M I F U N K C I Q M I. 2. sFERI^ESKIE FUNKCII. sFERI^ESKIE FUNKCII PRO]E WSEGO MOGUT BYTX WWEDENY PRI REENII URAWNENIQ lAPLASA DLQ AROWOJ OBLASTI METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH. bUDEM ISKATX REENIE URAWNENIQ lAPLASA W PEREMENNYH (r

'):  @u  1 @  @u  1 @ @ 2u = 0
(1) u = r2 @r r2 @r + r2 sin  @ sin  @ + 2 1 2 @' r sin  2 POLAGAQ u(r

') = R(r) Y (
'): 46 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

722

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

dLQ OPREDELENIQ R(r) POLU^AEM URAWNENIE |JLERA r2 R00 + 2rR0 ; R = 0
(4) A DLQ OPREDELENIQ Y (
') | URAWNENIE   @ sin  @Y + 1 @ 2 Y + Y = 0 (5) 'Y + Y = sin1  @ @ sin2  @'2 S DOPOLNITELXNYM USLOWIEM OGRANI^ENNOSTI FUNKCII Y NA WSEJ SFERE. w ^ASTNOSTI, FUNKCIQ Y (
') UDOWLETWORQET USLOWIQM ) Y (
' + 2) = Y (
')
(50 ) jY (0
')j < 1
jY (
')j < 1: oGRANI^ENNYE REENIQ URAWNENIQ (5), OBLADA@]IE NEPRERYWNYMI DO 2-GO PORQDKA PROIZWODNYMI, NAZYWA@TSQ S F E R I ^ E S K I M I F U N K C I Q M I. rEENIE ZADA^I DLQ Y (
') I]EM TAKVE METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, POLAGAQ Y (
') = (()('): fUNKCIQ (') UDOWLETWORQET URAWNENI@ 00 +  = 0 I USLOWI@ PERIODI^NOSTI (' + 2) = ('): zADA^A DLQ (') IMEET REENIE LIX PRI CELOM  = m2 , I LINEJNO NEZAWISIMYMI REENIQMI QWLQ@TSQ FUNKCII cos m' I sin m'. fUNKCIQ (() OPREDELQETSQ IZ URAWNENIQ     1 d sin  d( +  ;  ( = 0 sin  d d sin2  I USLOWIJ OGRANI^ENNOSTI PRI  = 0 I  = . wWODQ PEREMENNU@ t = cos  I OBOZNA^AQ X (t)jt=cos  = X (cos ) = ((), POLU^AEM DLQ X (t) URAWNENIE PRISOEDINENNYH FUNKCIJ     d (1 ; t2 ) dX +  ; m2 X = 0 (;1 < t < 1): (6) dt dt 1 ; t2 uRAWNENIE (6), KAK MY UVE WIDELI W x 2, DOPUSKAET OGRANI^ENNYE REENIQ LIX PRI  = n(n + 1): X (t)jt=cos  = Pn(m)(t)jt=cos  = Pn(m)(cos ) = (()
GDE m 6 n.

x 3] garmoni~eskie polinomy i sferi~eskie funkcii 723

wYPIEM POLU^ENNU@ SISTEMU SFERI^ESKIH FUNKCIJ n-GO PORQDKA. uSLOWIMSQ PRIPISYWATX OTRICATELXNYJ WERHNIJ INDEKS TEM FUNKCIQM, KOTORYE SODERVAT cos k', I POLOVITELXNYJ | TEM FUNKCIQM, KOTORYE SODERVAT sin k'. tOGDA BUDEM IMETX 9 > m = 0: Yn(0) (
') = Pn (cos )
> ( ;1) (1) (1) (1) > m = 1: Yn (
') = Pn (cos ) cos '
Yn (
') = Pn (cos ) sin '
> = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . > m = k: Yn(;k) (
') = Pn(k) (cos ) cos k'
Yn(k) (
') = Pn(k) (cos ) sin k'> > >  (k = 1
2
: : :
n): (7) ( m ) ~ISLO RAZLI^NYH SFERI^ESKIH FUNKCIJ n-GO PORQDKA Yn RAWNO 2n + + 1. lINEJNAQ KOMBINACIQ \TIH (2n + 1) SFERI^ESKIH FUNKCIJ (7)

Yn (
') =

ILI

n X

(Anm cos m' + Bnm sin m')Pn(m) (cos )


m=0

Yn (
') =

GDE Cmn =

n X m=;n

(7
)

Cmn Yn(m) (
')


( Anm PRI m 6 0,

Bnm PRI m > 0, QWLQETSQ TAKVE SFERI^ESKOJ FUNKCIEJ I NAZYWAETSQ S F E R I ^ E S K O J G A R M O N I K O J. fUNKCII Yn(0) = Pn (cos ) NE ZAWISQT OT ' I NAZYWA@TSQ Z O N A L X N Y M I. tAK KAK Pn (t) W SILU LEMMY IZ x 1, P. 6 IMEET ROWNO n NULEJ WNUTRI PROMEVUTKA (;1
1), TO SFERA RAZDELQETSQ NA (n + 1) IROTNYH ZON, WNUTRI KOTORYH ZONALXNAQ FUNKCIQ SOHRANQET ZNAK. rASSMOTRIM POWEDENIE FUNKCII  k  sin k'
Yn(k) = sink  dtd k Pn (t) t=cos  cos k' NA SFERE. tAK KAK sin  OBRA]AETSQ W NULX rIS. 103 NA POL@SAH, sin k' ILI cos k' OBRA]A@TSQ W NULX NA 2k MERIDIANAH, A dk =dtk  Pn (t) W SILU TOJ VE LEMMY | NA (n ; k) IROTAH, TO WSQ SFERA RAZBIWAETSQ NA KLETKI, W KOTORYH 46


724

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

Yn(k) SOHRANQET POSTOQNNYJ ZNAK (RIS. 103). fUNKCII Yn( k) (PRI k > > 0) NAZYWA@TSQ T E S S E R A L X N Y M I. wERNEMSQ TEPERX K OTYSKANI@ FUNKCII R. bUDEM ISKATX FUNKCI@ R(r) W WIDE R = r : pODSTAWIW ISKOMU@ FORMU REENIQ W URAWNENIE (4), POLU^IM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE DLQ OPREDELENIQ : ( + 1) ; n(n + 1) = 0
OTKUDA NAHODIM DWA ZNA^ENIQ :  = n I  = ;(n + 1): sLEDOWATELXNO, ^ASTNYMI REENIQMI URAWNENIQ lAPLASA QWLQ@TSQ FUNKCII rn Yn(k) (
')
(70 ) r;(n+1) Yn(k) (
')
(700 ) PERWAQ IZ KOTORYH, O^EWIDNO, SOOTWETSTWUET REENI@ WNUTRENNIH ZADA^, A WTORAQ | WNENIH ZADA^ (SM. x 4, P. 1). pOKAVEM, ^TO NAJDENNYE REENIQ URAWNENIQ lAPLASA QWLQ@TSQ ODNORODNYMI POLINOMAMI n-J STEPENI. oB]IJ ^LEN, NAPRIMER, W FORMULE (70 ) MOVNO ZAPISATX TAK: v = rn sink  cos k' cosn;k;2q 
GDE q IZMENQETSQ OT 0 DO (n ; k)=2. fUNKCI@ v MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ TREH POLINOMOW: v = u1  u2  u3
GDE u1 = rk sink  cos k' = Rer sin ei' ]k = Re(x + iy)k ]
u2 = rn;k;2q cosn;k;2q  = z n;k;2q
u3 = r2q = (x2 + y2 + z 2)q :

oTS@DA QSNO, ^TO FUNKCIQ rn Yn(k) (
') ESTX ODNORODNYJ GARMONI^ESKIJ POLINOM STEPENI k + n ; k ; 2q + 2q = n. o^EWIDNO, ^TO SFERI^ESKIE FUNKCII QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI AROWYH FUNKCIJ (70 ) I (700 ) NA SFERE RADIUSA EDINICA. 3. oRTOGONALXNOSTX SISTEMY SFERI^ESKIH FUNKCIJ. dOKAVEM, ^TO SFERI^ESKIE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE RAZLI^NYM ZNA^ENIQM , ORTOGONALXNY NA POWERHNOSTI SFERY . pUSTX Y1 I Y2 UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM ' Y1 + 1 Y1 = 0
'Y2 + 2 Y2 = 0
(5)

x 3] garmoni~eskie polinomy i sferi~eskie funkcii 725

GDE





@ sin  @ + 1 @ 2 : ' = sin1  @ @ sin2  @'2 nETRUDNO WIDETX, ^TO IMEET MESTO FORMULA ZZ Z Z  @Y1 @Y2 1 @Y1 @Y2  Y2 'Y1 d& = ; @ @ + sin2  @'  @' d&



(8)

(d& = sin  d d')


LEGKO POLU^AEMAQ INTEGRIROWANIEM PO ^ASTQM. nA POWERHNOSTI SFERY @  1 @u 1 @A @u ' div A = sin  @ (sin A ) + @'
grad u = @ i + sin  @' i'
TAK ^TO 'u = div grad u I FORMULU (8) MOVNO ZAPISATX W WIDE ZZ ZZ Y2 Y1 d& = ; grad Y1  grad Y2  d&:



mENQQ MESTAMI W FORMULE (8) FUNKCII Y1 I Y2 I WY^ITAQ POLU^ENNU@ FORMULU IZ FORMULY (8), BUDEM IMETX ZZ J = fY2 'Y1 ; Y1 'Y2 g d& = 0: (9)

fORMULY (8) I (9) QWLQ@TSQ FORMULAMI gRINA DLQ OPERATORA SFERI^ESKIH FUNKCIJ. iZ FORMULY (9) LEGKO SLEDUET ORTOGONALXNOSTX FUNKCIJ Y1 I Y2 . w SAMOM DELE, POLXZUQSX URAWNENIQMI (5), POLU^IM IZ FORMULY (9) ZZ J = (2 ; 1 ) Y 1 Y 2 d & = 0
OTKUDA PRI 1 6= 2 ILI



ZZ

Z2 Z 0 0

Y1 Y2 d& = 0


Y1 (
') Y2 (
') sin  d d' = 0:

dopolnenie II. specialxnye funkcii

726

~. II

tEM SAMYM DOKAZANA ORTOGONALXNOSTX SFERI^ESKIH FUNKCIJ, SOOTWETSTWU@]IH RAZNYM . wYE MY POLU^ILI DLQ  = n(n + 1) SISTEMU (2n + 1) SFERI^ESKIH FUNKCIJ n-GO PORQDKA. dOKAVEM, ^TO I \TI SFERI^ESKIE FUNKCII ORTOGONALXNY MEVDU SOBOJ NA SFERE. pUSTX Yn(k1 ) I Yn(k2 ) | DWE SFERI^ESKIE FUNKCII. iNTEGRIRUQ IH PROIZWEDENIE I POLXZUQSX FORMULOJ (9) IZ x 2, POLU^IM

ZZ

Y (k1 ) Y (k2 ) d& = n

n

=

Z2 0

Z2 Z 0 0

Yn(k1 ) (
') Yn(k2 ) (
') sin  d d' =

cos k1 ' cos k2 ' d' =

Z2 0

Z 0

Pn(k1 ) (cos ) Pn(k2 ) (cos ) sin  d =

cos k1 ' cos k2 ' d'

Z+1 ;1

Pn(k1 ) (t) Pn(k2 ) (t) dt =

8 9 0 PRI k1 6= k2
> > > > > < 2 (n + k)! PRI k1 = k2 = k 6= 0
> = = > 2n + 1 (n ; k)! > > > > > 2 : 2   PRI k1 = k2 = 0


(80 )

2n + 1 T. E. SFERI^ESKIE FUNKCII, OPREDELQEMYE FORMULOJ (7), OBRAZU@T ORTOGONALXNU@ SISTEMU W OBLASTI 0 6  6 , 0 6 ' 6 2 I IME@T KWADRAT NORMY, RAWNYJ

kn k

Y (k) 2 =

Z2 Z h 0 0

i2 k)! 00 Yn(k) (
') sin  d d' = 2n 2+ 1 "k ((nn + ; k)!
(8 )

GDE "0 = 2, "k = 1 PRI k > 0. pREDPOLAGAQ WOZMOVNOSTX RAZLOVENIQ PROIZWOLXNOJ FUNKCII f (
') W RQD PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM (WOZMOVNOSTX TAKOGO RAZLOVENIQ DLQ DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII BUDET PODROBNO OBOSNOWANA NIVE, W P. 5), DOPUSKA@]IJ PO^LENNOE INTEGRIROWANIE, POLU^IM f (
') =

1 X n X

n=0 m=0

(Anm cos m' + Bnm sin m') Pn(m) (cos )


x 3] garmoni~eskie polinomy i sferi~eskie funkcii 727

GDE Anm I Bnm | KO\FFICIENTY fURXE, OPREDELQEMYE FORMULAMI

9 > f (
') Pn(m) (cos ) cos m' sin  d d' > > > > 0 0 > Anm =
( m ) > 2 = kYn k > Z2 Z > ( m ) f (
') Pn (cos ) sin m' sin  d d' > > > > >
Bnm = 0 0  ( m ) kYn k2 ( 2 PRI m = 0, Z2 Z

kYn(m)k2 = 22n"+m1 ((nn ;+ mm)!)!


(90 )

"m =

1 PRI m > 0. oB]EE REENIE WNUTRENNEJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE 1  n X r Y (
'): u(r

') = n a n=0 dLQ WNENEJ KRAEWOJ ZADA^I OB]EE REENIE PREDSTAWIMO W WIDE 1  n+1 X a u(r

') = Yn (
'): n=0 r zDESX

Yn (
') =

1 X

f nm cos m' + nm sin m'g Pn(m)(cos )

m=0

| SFERI^ESKAQ GARMONIKA.

4. zAMKNUTOSTX SISTEMY SFERI^ESKIH FUNKCIJ. dOKAVEM ZAMKNUTOSTX SISTEMY SFERI^ESKIH FUNKCIJ, OPREDELQEMYH FORMULOJ (7). dOKAVEM SNA^ALA, ^TO L@BAQ FUNKCIQ f (
'), IME@]AQ NEPRERYWNYE WTORYE PROIZWODNYE, MOVET BYTX RAWNOMERNO APPROKSIMIROWANA NEKOTORYM POLINOMOM IZ SFERI^ESKIH FUNKCIJ. rASSMOTRIM RAZLOVENIE TAKOJ FUNKCII W RQD fURXE f (
') =

1 X

Am () cos m' + Bm () sin m']:

m=0

iSPOLXZUQ OGRANI^ENNOSTX WTOROJ PROIZWODNOJ, LEGKO OCENITX KO\FFICIENTY Am I Bm \TOGO RAZLOVENIQ: jAmj < mM2  jBmj < mM2


728

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

GDE

M = max jf''j: oTS@DA SLEDUET, ^TO DLQ OSTATO^NOGO ^LENA RQDA fURXE IMEET MESTO RAWNOMERNAQ OCENKA

 X  1 1 < "0
f ; m0 Am () cos m' + Bm() sin m'] = jRm0 j < 2M X 2  m=0  m m=m0

(10)

GDE "0 > 0 | L@BOE NAPERED ZADANNOE ^ISLO. nA OSNOWANII x 2, P. 3 KO\FFICIENTY fURXE Am () I Bm (), QWLQ@]IESQ NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI , OBRA]A@]IMISQ W NULX PRI , RAWNOM 0 I , MOGUT BYTX RAWNOMERNO APPROKSIMIROWANY LINEJNYMI KOMBINACIQMI PRISOEDINENNYH FUNKCIJ m-GO PORQDKA:   n Am() ; X  < "0
( m ) a P (cos  ) k k   2m0 + 1 k=0

  n "0 : Bm() ; X (m) (cos ) < b P  k k   2m0 + 1 k=0

(11)

tOGDA IZ NERAWENSTW (10) I (11) BUDET SLEDOWATX

  m0 X n f (
') ; X ( m ) ( m ) ak Pk (cos ) cos m' + bk Pk (cos ) sin m'] < 2"0
 m=0 k=0

(12)

^TO I DOKAZYWAET WOZMOVNOSTX RAWNOMERNOJ APPROKSIMACII L@BOJ DWAVDY DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII f (
') POLINOMOM IZ SFERI^ESKIH FUNKCIJ. oTS@DA SLEDUET, ^TO I L@BU@ NEPRERYWNU@ FUNKCI@ MOVNO RAWNOMERNO APPROKSIMIROWATX POLINOMOM SFERI^ESKIH FUNKCIJ, A \TO DOKAZYWAET ZAMKNUTOSTX SISTEMY FUNKCIJ, OPREDELQEMYH FORMULOJ (7). iZ ZAMKNUTOSTI \TOJ SISTEMY WYTEKAET EE POLNOTA. tAKIM OBRAZOM, DOKAZANO, ^TO URAWNENIE SFERI^ESKIH FUNKCIJ NE IMEET OGRANI^ENNYH REENIJ PRI  6= n(n + 1) I ^TO WSQKAQ SFERI^ESKAQ FUNKCIQ n-GO PORQDKA (PRI  = n(n + 1)) PREDSTAWIMA FORMULOJ (7
). 5. rAZLOVENIE PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM. sFERI^ESKIE FUNKCII QWLQ@TSQ SOBSTWENNYMI FUNKCIQMI URAWNENIQ   1 @ sin  @u + 1 @ 2 u + u = 0
ILI  u + u = 0
(13) ' sin  @ @ sin2  @'2 NA POWERHNOSTI SFERY  (0 6 ' 6 2
0 6  6 ) PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH OGRANI^ENNOSTI.

x 3] garmoni~eskie polinomy i sferi~eskie funkcii 729

dLQ OBOSNOWANIQ RAZLOVIMOSTI PROIZWOLXNOJ DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII f (
') W RQD PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM PEREJDEM K SOOTWETSTWU@]EMU INTEGRALXNOMU URAWNENI@. s \TOJ CELX@ POSTROIM FUNKCI@ ISTO^NIKA URAWNENIQ   @ sin  @u + 1 @ 2 u = 0
'u = sin1  @ (14) @ sin2  @'2 UDOWLETWORQ@]U@ USLOWI@ OGRANI^ENNOSTI REENIQ PRI  = 0, . kAK BYLO OTME^ENO WYE, 'u = (div grad u)' (15) NA POWERHNOSTI SFERY. uRAWNENIE (14) MOVNO RASSMATRIWATX KAK URAWNENIE STACIONARNOGO RASPREDELENIQ TEMPERATURY ILI STACIONARNOGO \LEKTRI^ESKOGO TOKA NA POWERHNOSTI SFERY. s \TOJ TO^KI ZRENIQ PONQTNO, ^TO NEWOZMOVNO POSTROITX REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ ' u = 0 (16) S OSOBENNOSTX@ W ODNOJ TOLXKO TO^KE, TAK KAK DLQ WOZMOVNOSTI SU]ESTWOWANIQ STACIONARNOJ TEMPERATURY NEOBHODIMO, ^TOBY SUMMA ISTO^NIKOW I STOKOW RAWNQLASX NUL@. wWEDEM OBOB]ENNU@ FUNKCI@ ISTO^NIKA, KOTORAQ W NAEM SLU^AE DOLVNA BYTX REENIEM URAWNENIQ 'u = q (q = 1=4)
(17) REGULQRNYM WS@DU, KROME POL@SA  = 0, GDE ONA DOLVNA IMETX LOGARIFMI^ESKU@ OSOBENNOSTX. pRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ (17) OZNA^AET PLOTNOSTX OTRICATELXNYH ISTO^NIKOW (STOKOW) TEPLA, RAWNOMERNO RASPREDELENNYH PO POWERHNOSTI SFERY, TAK ^TO

ZZ

q d = 1:

(18)

pREDPOLAGAQ, ^TO ISKOMAQ FUNKCIQ ISTO^NIKA u QWLQETSQ FUNKCIEJ TOLXKO ODNOGO PEREMENNOGO , POLU^AEM DLQ NEE OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE, REAQ KOTOROE, NAHODIM u = ;q ln sin  + c ln tg  : (19) 2

tREBUQ, ^TOBY u IMELO OSOBENNOSTX TOLXKO PRI  = 0, POLU^AEM c = ;q I u = ;2q ln sin 2 ; q ln 2:

730

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

tAK KAK u1 = const QWLQETSQ REENIEM ODNORODNOGO URAWNENIQ, TO FUNKCIQ ISTO^NIKA G OPREDELENA S TO^NOSTX@ DO PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ. pO\TOMU MY MOVEM NAPISATX G = ; 21 ln sin 2 : (20) eSLI ISTO^NIK NAHODITSQ W NEKOTOROJ TO^KE M0 , TO FUNKCIQ ISTO^NIKA IMEET WID 0 G(M
M0 ) = ; 21 ln sin MM (21) 2


GDE MM0 | UGLOWOE RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI M0 (0
'0 ) I M (
')1) . pEREJDEM TEPERX K REENI@ NEODNORODNOGO URAWNENIQ   @ sin  @u + 1 @ 2 u = ;F (
'): (22) 'u = sin1  @ @ sin2  @'2 |TO URAWNENIE MOVET IMETX REGULQRNOE WS@DU NA  REENIE TOLXKO PRI WYPOLNENII USLOWIQ

ZZ

F d = 0


(23)

OZNA^A@]EGO, ^TO SUMMA ISTO^NIKOW I STOKOW DOLVNA BYTX RAWNA NUL@. eGO LEGKO POLU^ITX IZ FORMUL gRINA DLQ OPERATORA ', USTANOWLENNYH W P. 3. pOKAVEM, ^TO WSQKOE REENIE URAWNENIQ (22), UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ (23), PREDSTAWIMO W WIDE u(M ) =

ZZ

G(M
P ) F (P ) dp + A


GDE A | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ, A G(M
P ) | FUNKCIQ ISTO^NIKA, OPREDELQEMAQ FORMULOJ (21). pUSTX M | NEKOTORAQ FIKSIROWANNAQ TO^KA SFERY, W KOTORU@ MY POME]AEM SEWERNYJ POL@S ( = 0), A M1 | DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNAQ EJ TO^KA. tO^KI M I M1 QWLQ@TSQ OSOBYMI TO^KAMI URAWNENIQ (22). pO\TOMU POSTROIM NA  W \TIH TO^KAH MALYE KRUVKI K"M I K"M1 I RASSMOTRIM INTEGRAL I= 1)

ZZ

1 = ;K"M ;K"M1

(u G ; G u) d:

uGOL  OPREDELQETSQ IZ FORMULY cos  = cos  cos 0 + sin  sin 0 cos(' ; '0 ):

x 3] garmoni~eskie polinomy i sferi~eskie funkcii 731

pODSTAWLQQ W PRAWU@ ^ASTX WYRAVENIQ DLQ u I G, IMEEM

Z2 Z;"  @  @G  @  @u  I= u @ sin  @ ; G @ sin  @ d d' + 0 " +

Z;" 0

d sin 

Z2  @ 2G @ 2u  u @'2 ; G @'2 d': 0

u^ITYWAQ, ^TO W KWADRATNYH SKOBKAH STOQT TO^NYE PROIZWODNYE OT WYRAVENIJ   @u I u @G ; G @u = v
; G sin  u @G @ @ @' @' 2  PRI^EM vj0 = 0, POLU^AEM POSLE INTEGRIROWANIQ I=

Z2  0

 @G @u ;" sin  u @ ; G @ d': "

dALEE, ZAME^AQ, ^TO @G = ; 1 @ ln sin  = ; 1 ctg 
@ 2 @ 2 4 2 BUDEM IMETX I = 21

Z2     ;" sin cos ctg  u d' ; 0

2

2

2

"

2

; 21 4sin  ln sin 2 oTS@DA WIDNO, ^TO sLEDOWATELXNO,

lim I = u(M ) "!0 1

u(M ) =

GDE

ZZ

Z2 @u 3;" d'5 = I1 + I2 : 0

@

I "lim I2 = 0: !0

G(M
P ) F (P ) dP + A


A = 41

"

ZZ

u d

(24)

dopolnenie II. specialxnye funkcii

732

~. II

| POSTOQNNAQ. rEENIE NAEJ ZADA^I OPREDELENORRS TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ. tO REENIE, DLQ KOTOROGO u d = 0, OPREDELQETSQ FORMULOJ

u(M ) =

ZZ

G(M
P ) F (P ) dP :

pRIMENQQ (24) K URAWNENI@ SFERI^ESKIH FUNKCIJ 'u = ;u, PRIHODIM K SLEDU@]EMU ZAKL@^ENI@. sFERI^ESKIE FUNKCII, OPREDELQEMYE FORMULOJ (7), PREDSTAWLQ@T SOWOKUPNOSTX WSEH LINEJNO NEZAWISIMYH SOBSTWENNYH FUNKCIJ INTEGRALXNOGO URAWNENIQ ZZ u(M ) =  G(M
P ) u(P ) dP

S SIMMETRI^ESKIM QDROM G(M
P ), OPREDELQEMYM FORMULOJ (21). k \TOMU URAWNENI@ PRIMENIMA OB]AQ TEORIQ INTEGRALXNYH URAWNENIJ S SIMMETRI^ESKIM QDROM. oTS@DA SLEDUET, ^TO PROIZWOLXNAQ DWAVDY DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ f (
') MOVET BYTX RAZLOVENA W RAWNOMERNO I ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ RQD PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM: f (
') =

1 X

n=0

Yn (
') =

GDE Yn (
') =

n X m=0

1 X n X

n=0 m=0

(Anm cos m' + Bnm sin m')Pn(m) (cos )


(Anm cos m' + Bnm sin m') Pn(m) (cos )


(25) (26)

Anm I Bnm | KO\FFICIENTY fURXE.

x 4. nEKOTORYE PRIMERY

PRIMENENIQ SFERI^ESKIH FUNKCIJ rASSMOTRIM NESKOLXKO TIPI^NYH ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, TREBU@]IH PRIMENENIQ SFERI^ESKIH FUNKCIJ. nAPOMNIM, ^TO OB]EE REENIE URAWNENIQ lAPLASA W SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT (r

') IMEET WID  1  X n Y (
')
u(r

') = An rn + rBn+1 n n=0 GDE Yn (
') | SFERI^ESKAQ GARMONIKA, T. E. LINEJNAQ KOMBINACIQ WSEH (2n + 1) SFERI^ESKIH FUNKCIJ. eSLI REENIE I]ETSQ W OBLASTI r < a (WNUTRENNQQ ZADA^A), TO Bn = 0 DLQ ZADA^I W OBLASTI r > a (WNENEJ

x 4]

primery primeneniq sferi~eskih funkcij

733

ZADA^I) SLEDUET POLOVITX An = 0 I, NAKONEC, W SLU^AE OBLASTI a < < r < b, NE SODERVA]EJ NI r = 0, NI r = 1, W REENIE, WOOB]E GOWORQ, WHODQT SLAGAEMYE S rn I 1=rn+1 . 1. zADA^A dIRIHLE DLQ SFERY. pUSTX DANA SFERA RADIUSA a. pOMESTIM W CENTR \TOJ SFERY NA^ALO SFERI^ESKOJ SISTEMY KOORDINAT (r

') I RASSMOTRIM DWE ZADA^I dIRIHLE: u = 0 PRI r < a
ujr=a = f (
') (WNUTRENNQQ ZADA^A), (1) u = 0 PRI r > a
ujr=a = f (
') (WNENQQ ZADA^A), (10 ) GDE f = f (
') | ZADANNAQ FUNKCIQ NA POWERHNOSTI SFERY. rAZLOVIM f (
') W RQD PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM:

f (
') =

1 X

n=0

Yn (
')


n X

fAnm cos m' + Bnm sin m'g Pn(m)(cos )
m=0 GDE Anm I Bnm WY^ISLQ@TSQ PO FORMULAM (90 ) IZ x 3. Yn (
') =

rEENIE WNUTRENNEJ ZADA^I I]EM W WIDE 1  n X r Y (
') PRI r 6 a: u(r

') = n n=0 a pOLXZUQSX GRANI^NYM USLOWIEM PRI r = a I U^ITYWAQ RAZLOVENIE DLQ f (
'), NAHODIM Yn (
') = Yn (
'): aNALOGI^NO NAHODIM REENIE WNENEJ ZADA^I (2): 1  n+1 X a u(r

') = Yn (
') PRI r > a: n=0 r

2. pROWODQ]AQ SFERA W POLE TO^E^NOGO ZARQDA. nAJDEM \LEKTROSTATI^ESKOE POLE TO^E^NOGO ZARQDA e W TO^KE P W PRISUTSTWII IDEALXNO PROWODQ]EJ SFERY RADIUSA a. bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO SFERA ZAZEMLENA, T. E. EE POTENCIAL RAWEN NUL@. pOMESTIM NA^ALO SFERI^ESKOJ SISTEMY KOORDINAT (r

') W CENTR O SFERY, A POLQRNU@ OSX ( = 0) PROWEDEM ^EREZ TO^KU P  OP = r0 > a. |LEKTROSTATI^ESKOE POLE E = ; grad u. pOTENCIAL u = u(M ) (M = = M (r

')) UDOWLETWORQET URAWNENI@ lAPLASA WS@DU WNE SFERY, KROME TO^KI M = P , W KOTOROJ IMEET OSOBENNOSTX WIDA e=RMP = u0 , GDE

734

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

u0 | POTENCIAL ZARQDA e W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE (W OTSUTSTWIE SFERY). nA POWERHNOSTI SFERY POTENCIAL ujr=a = 0. rEENIE ZADA^I ESTESTWENNO ISKATX W WIDE q u(M ) = Re + v(M )
R = RMP = r02 + r2 ; 2rr0 cos 
GDE v ESTX REENIE WNENEJ ZADA^I dIRIHLE v = 0 PRI r > a
9 > =  (2)  >  vjr=a = ; Re  : r =a w DANNOM SLU^AE f IZ (1) IMEET WID f () = ;e=R jr=a : wOSPOLXZUEMSQ RAZLOVENIEM 1=R W RQD PRI r < r0 (SM. x 1, P. 1): 1  n 1= 1 X r (3) R r0 n=0 r0 Pn (cos )
r < r0 : rEENIE WNENEJ ZADA^I dIRIHLE (2) I]ETSQ W WIDE v=

1  n+1 X a

n=0

r

Yn (
'):

iZ (2) I (3) NAHODIM Yn = = ;ean r0;(n+1) Pn (cos ). tAKIM OBRAZOM, POTENCIAL u = u(r
) NAJDEN: u = u(r
) = 1 X a2n+1 P (cos ): = Re ; e n +1 n+1 n n=0 r r0 rIS. 104 3. pOLQRIZACIQ ARA W ODNORODNOM POLE. pUSTX W \LEKTROSTATI^ESKOE POLE W ODNORODNOJ IZOTROPNOJ SREDE S DI\LEKTRI^ESKOJ POSTOQNNOJ "1 POME]EN AR RADIUSA a IZ DI\LEKTRIKA S POSTOQNNOJ "2 (RIS. 104). bUDEM ISKATX POTENCIAL SOZDAWEGOSQ POLQ W WIDE SUMMY ( u0 + v1 WNE ARA
u = uu1 = = 2 u0 + v2 WNUTRI ARA
GDE u0 | POTENCIAL NEWOZMU]ENNOGO (W OTSUTSTWIE DI\LEKTRI^ESKOGO ARA) POLQ, A v | WOZMU]ENIE, WYZYWAEMOE POME]ENNYM W POLE AROM. pOTENCIAL u UDOWLETWORQET URAWNENI@ u = 0

x 4]

primery primeneniq sferi~eskih funkcij

735

PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH u1 = u2 NA S
@u2 1 "1 @u @n = "2 @n NA S
GDE S | GRANICA ARA, u1 I u2 | ZNA^ENIQ FUNKCII u WNE I WNUTRI ARA. oTS@DA SLEDUET, ^TO POTENCIAL v BUDET OPREDELQTXSQ USLOWIQMI v = 0
NA

v1 = v2

S


(4)

1 ; " @v2 = ;(" ; " ) @u0 NA S
"1 @v 1 2 @n @n 2 @n TAK KAK DLQ FUNKCII u0 IMEEM u0 = 0


(u0 )1 = (u0 )2

 @u 

 @u 

NA

(40 )

S


0 @n 1 = @n 2 NA S: w PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (40 ) STOIT IZWESTNAQ FUNKCIQ  I ', KOTORU@ MY RAZLOVIM PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM:  1 @u0  = X @n S n=0 Yn (
'): pOLAGAQ 1  n+1 1  n X X a r Y n (
') v1 = Y v = 2 n n=0 r n=0 a I POLXZUQSX GRANI^NYMI USLOWIQMI (4) I (40 ), POLU^AEM Yn = Y n I 1 1  a n+1    r n;1   X X n ; ( n + 1) Yn  ; "2 a a Yn  = "1 r r n=0 n=0 r=a r=a 0

= ;("1 ; "2 )

1 X

n=0

Yn


736

OTKUDA

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

Yn = Yn " ((n"1+;1)"2+) a" n : (400 ) 1 2 rASSMOTRIM TEPERX ^ASTNYJ SLU^AJ. {AR POME]EN W ODNORODNOM PARALLELXNOM WNENEM POLE E0 , NAPRAWLENNOM WDOLX OSI z . pOTENCIAL \TOGO POLQ RAWEN u0 = ;E0 z = ;E0 r cos 
TAK ^TO   @u0  = @u0  = ;E cos  = Y (): 0 1 @n S @r r=a fORMULA (400 ) DAET Yn = 0 PRI n 6= 1
Y1 = ;E0 cos  ("21" ;+"2") a : 1 2 dLQ POTENCIALA WOZMU]ENNOGO POLQ IMEEM  "1 ; "2  a 3 u1 = ;E0 z 1 + 2" + " r WNE ARA (r > a)
1 2 u2 = ;E0 z 2" 3"+1 " WNUTRI ARA (r < a)
1 2 OTKUDA SLEDUET, ^TO  " ; " 2 a3  @u 1 E1 = ; @z = 1 ; 2"1 + "2 r3 E0
1 2 3"1 2 E2 = ; @u @z = 2"1 + "2 E0
T. E. POLE WNUTRI ARA PARALLELXNO I ODNORODNO. eSLI "2 > "1 , TO \KWIPOTENCIALXNYE POWERHNOSTI, OSTAWAQSX PLOSKOSTQMI, PERPENDIKULQRNYMI K NAPRAWLENI@ POLQ, BUDUT RASPOLOVENY REVE, ^EM W NEWOZMU]ENNOM POLE. sILOWYE LINII, QWLQ@]IESQ ORTOGONALXNYMI TRAEKTORIQMI \KWIPOTENCIALXNYH POWERHNOSTEJ, BUDUT WTQGIWATXSQ W AR S BOLXEJ DI\LEKTRI^ESKOJ POSTOQNNOJ. w SLU^AE "1 > "2 KARTINA BUDET OBRATNOJ. |TIM VE METODOM MOVNO POLU^ITX REENIE ZADA^I O POLQRIZACII ARA W PRISUTSTWII TO^E^NOGO ISTO^NIKA, ESLI WOSPOLXZOWATXSQ RAZLOVENIEM 1=R PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM (SM. x 1). sLEDUET OTMETITX, ^TO ANALOGI^NYE ZADA^I WSTRE^A@TSQ PRI IZU^ENII MAGNITNYH I TERMI^ESKIH POLEJ, A TAKVE POLQ STACIONARNOGO

x 4]

primery primeneniq sferi~eskih funkcij

737

\LEKTRI^ESKOGO TOKA PRI NALI^II SFERI^ESKOGO WKL@^ENIQ, FIZI^ESKIE HARAKTERISTIKI KOTOROGO OTLI^NY OT HARAKTERISTIK SREDY. dLQ TERMI^ESKOJ ZADA^I W GRANI^NOE USLOWIE (3) WMESTO "1 I "2 BUDUT WHODITX KO\FFICIENTY TEPLOPROWODNOSTI k1 I k2 , DLQ MAGNITNOJ ZADA^I | MAGNITNYE PRONICAEMOSTI 1 I 2 , A DLQ ZADA^I, SWQZANNOJ S POLEM \LEKTRI^ESKOGO TOKA | PROWODIMOSTI 1 I 2 . 4. sOBSTWENNYE KOLEBANIQ SFERY. rASSMOTRIM ZADA^U O SOBSTWENNYH KOLEBANIQH SFERY RADIUSA r0 S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI 1-GO RODA. |TA ZADA^A SWODITSQ K OTYSKANI@ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ I SOBSTWENNYH FUNKCIJ URAWNENIQ v + v = 0 (5) S GRANI^NYM USLOWIEM NA POWERHNOSTI SFERY v = 0: (6) pOME]AQ NA^ALO SFERI^ESKOJ SISTEMY KOORDINAT W CENTR SFERY, PEREPIEM URAWNENIE (5) W WIDE   1 @ r2 @v + 1  v + v = 0
(50 ) r2 @r @r r2 ' GDE  @v  1 @ 2v 1 @ 'v = sin  @ sin  @ + 2 @'2 : sin  rEENIE BUDEM ISKATX METODOM RAZDELENIQ PEREMENNYH, POLAGAQ v(r

') = R(r) Y (
'): (60 ) pOSLE PODSTANOWKI \TOGO WYRAVENIQ W URAWNENIE (5) POLU^IM   d r2 dR dr dr + r2 + 'Y = 0
(7) R Y OTKUDA SLEDUET 'Y + Y = 0
(8)





1 d r2 dR +  ;   R = 0: (9) r2 dr dr r2 rEAQ URAWNENIE (8) PRI ESTESTWENNYH USLOWIQH OGRANI^ENNOSTI W PO-

L@SAH SFERY

jY j=0  < 1

(10) I USLOWII PERIODI^NOSTI PO ' Y (
' + 2) = Y (
'), POLU^AEM SOB-

STWENNYE ZNA^ENIQ

 = n(n + 1)


47 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

(11)

738

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

KAVDOMU IZ KOTORYH SOOTWETSTWUET (2n + 1) SFERI^ESKIH FUNKCIJ: 9 > Yn(0) (
')=Pn (cos )
= ( ;j ) ( j ) (12) Yn (
')=Pn (cos ) cos j'
> ( j ) ( j )  Yn (
')=Pn (cos ) sin j' (j = 1
2
: : :
n): oBRATIMSQ TEPERX K URAWNENI@ (9). u^ITYWAQ RAWENSTWO (11), GRANI^NYE USLOWIQ PRI r = r0 I ESTESTWENNOE USLOWIE OGRANI^ENNOSTI PRI r = 0, POLU^AEM DLQ FUNKCII R(r) SLEDU@]U@ ZADA^U NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ:     1 d r2 dR +  ; n(n + 1) R = 0
(90 ) r2 dr dr r2 R(r0 ) = 0


s POMO]X@ PODSTANOWKI

jR(0)j < 1: R(r) = yp(rr)

(13) (14) (15)

\TO URAWNENIE PRIWODITSQ K URAWNENI@ bESSELQ PORQDKA (n + 1=2):  (n + 1=2)2  1 00 0 y + r y +  ; r2 y = 0
(16) OB]EE REENIE KOTOROGO IMEET WID (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 1) p  p  (17) y(r) = AJn+1=2  r + BNn+1=2  r : iZ USLOWIQ OGRANI^ENNOSTI (14) SLEDUET, ^TO B = 0: gRANI^NOE USLOWIE (13) DAET p  AJn+1=2  r0 = 0: tAK KAK MY I]EM NETRIWIALXNYE REENIQ URAWNENIQ, TO A 6= 0 I, SLEDOWATELXNO, p  Jn+1=2  r0 = 0: oBOZNA^IW 1(n)
2(n)
: : :
m(n) KORNI TRANSCENDENTNOGO URAWNENIQ Jn+1=2 ( ) = 0
(18)

x 4]

primery primeneniq sferi~eskih funkcij

NAHODIM SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ

739

!2

(n) mn = rm : (19) 0 kAVDOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ mn SOOTWETSTWUET (2n + 1) SOBSTWENNYH FUNKCIJ. wWEDEM OBOZNA^ENIE r (20) n (x) = 2x Jn+1=2 (x): tOGDA SOBSTWENNYE FUNKCII URAWNENIQ (5) PRI GRANI^NOM USLOWII (6) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

(n) ! vnmj (r

') = n rm r Yn(j) (
') 0 (21)

(n = 0
1
: : :  m = 1
2
: : :  j = ;n
: : :
;1
0
1
: : :
n):

rASSMOTRIM TEPERX PERWU@ WNUTRENN@@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ v + k2 v = 0 (22) PRI GRANI^NOM USLOWII v = f (
') (23) NA POWERHNOSTI SFERY RADIUSA r0 . iZ PREDESTWU@]EGO IZLOVENIQ QSNO, ^TO REENIE \TOJ ZADA^I PREDSTAWLQETSQ W WIDE 1 X n X kr) Y (j) (
')
v(r

') = fnj n((kr (24) n 0) n n=0 j =;n GDE fnj | KO\FFICIENTY n (j) o RAZLOVENIQ FUNKCII f (
') PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM Yn (
') : f (
') =

1 X n X

n=0 j =;n

fnj Yn(j) (
'):

(25)

eSLI k2 SOWPADAET S ODNIM IZ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ

(n0 ) !2 2 k = m0 n0 = mr 0
0 TO KRAEWAQ ZADA^A (22) | (23) IMEET REENIE NE DLQ WSQKOJ FUNKCII f (
'). fORMULA (24) POKAZYWAET, ^TO NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM 47


740

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. II

USLOWIEM RAZREIMOSTI NAEJ KRAEWOJ ZADA^I W \TOM SLU^AE QWLQETSQ OBRA]ENIE W NULX KO\FFICIENTOW fn0 j : fn0 j = 0
ILI

Z Z2 0 0

f (
') Yn(0j) (
') sin  d d' = 0:

eSLI \TI USLOWIQ WYPOLNENY, TO REENIE OPREDELQETSQ FORMULOJ (24), W KOTOROJ SLAGAEMYE, SOOTWETSTWU@]IE n = n0 , OTSUTSTWU@T. oDNAKO PRI \TOM REENIE OPREDELENO NEODNOZNA^NO, TAK KAK K NEMU WSEGDA MOVNO PRIBAWITX L@BU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ SOBSTWENNYH FUNKCIJ, SOOTWETSTWU@]IH k2 = m0 n0 . 5. wNENQQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ SFERY. rASSMOTRIM WNEN@@ PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ SFERY (SM. GL. VII, x 3) v + k2 v = 0 (k2 > 0)
vjr=r0 = f (
')


 

v = O 1r

 @v

PRI



r ! 1


lim r @r + ikv = 0 (USLOWIE IZLU^ENIQ). kAK BYLO POKAZANO W GL. VII, x 3, \TA ZADA^A IMEET EDINSTWENNOE REENIE. rAZLOVIM ISKOMU@ FUNKCI@ I FUNKCI@ f (
') W RQDY PO SFERI^ESKIM FUNKCIQM: r!1

v(r

') =

1 X n X

n=0 j =;n

f (
') =

Rn (r) Yn(j) (
')


1 X n X

n=0 j =;n

fnj Yn(j) (
'):

kO\FFICIENTY RAZLOVENIQ Rn (r), O^EWIDNO, BUDUT UDOWLETWORQTX URAWNENI@   1) R = 0
Rn00 + 1r Rn0 + k2 ; n(nr+ n 2 GRANI^NOMU USLOWI@ Rn (r0 ) = fn

x 4]

primery primeneniq sferi~eskih funkcij

741

I USLOWIQM IZLU^ENIQ PRI r ! 1 1 Rn (r) = O r
rlim r (Rn0 + ikRn ) = 0: !1 oB]EE REENIE \TOGO URAWNENIQ IMEET WID (SM. P. 4 I dOPOLNENIE II, ^. I, x 3) Rn (r) = An n(1) (kr) + Bn n(2) (kr)
GDE r n(1) () = 2 Hn(1)+1=2 ()


r n(2) () = 2 Hn(2)+1=2 () ( = kr): u^ITYWAQ ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ FUNKCIJ hANKELQ Hn(1) () I Hn(2)() (SM. dOPOLNENIE II, ^. I, x 3): r

2 ei ;n=2;=4] + : : :
Hn(1) () = 

r

2 e;i ;n=2;=4] + : : : Hn(2) () =  (TO^KAMI OBOZNA^ENY ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI OTNOSITELXNO 1=), POLU^AEM DLQ FUNKCIJ n(1) I n(2) SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY: i kr;n=2;=4] n(1) (kr) = e + :::
r ;i kr;n=2;=4] n(2) (kr) = e +::: r oTS@DA WIDNO, ^TO USLOWI@ IZLU^ENIQ UDOWLETWORQET LIX FUNKCIQ n(2) . pO\TOMU An = 0: pOLXZUQSX GRANI^NYM USLOWIEM PRI r = r0 , NAHODIM Bnj = (2)fnj : n (kr0 ) tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM FUNKCI@ v(r

') W WIDE 1 X n f  (2) (kr) X nj n (j ) v(r

') = (2) (kr ) Yn (
')
 0 n=0 j =;n n

742

dopolnenie II. specialxnye funkcii

GDE

Z Z2 fnj =

0 0

f (
') Yn(j) (
') sin  d d'

kYn(j) k2

~. III




( (( (j) ((2 Z Z2h (j)i2 2 " ( n + j )! 0
j Yn sin  d d' = 2n + 1 (n ; j )!
"j = 21

jj = (Yn ( = > 0
0 0

| KWADRAT NORMY SFERI^ESKOJ FUNKCII Yn(j) (
'). ~astx

III

polinomy ~eby{ ewa | |rmita

i ~eby{ewa | lagerra

x 1. pOLINOMY ~EBYEWA | |RMITA

1. dIFFERENCIALXNAQ FORMULA. pOLINOMY ~EBYEWA | |RMITA Hn (x) OPREDELIM PO ANALOGII S POLINOMAMI lEVANDRA PRI POMO]I PROIZWODQ]EJ FUNKCII (
x), POLAGAQ 1 n X 2 (
x) = e2x; = Hn (x) n! : (1) n=0 oTS@DA W SILU TEOREMY kOI SLEDUET Z Z ;(x;)2 n (
x)  @ Hn (x) = @n  = 2ni! ( n
+1x) d = ex2 2ni! e  n+1 d
=0 C

C

(2)

GDE C | ZAMKNUTYJ KONTUR W PLOSKOSTI KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO  , OHWATYWA@]IJ TO^KU  = 0. wWODQ NOWU@ PEREMENNU@ INTEGRIROWANIQ z = x ;  , PREOBRAZUEM (2) K WIDU Z ;z 2 Hn (x) = (;1)nex2 2ni! (z ;e x)n+1 dz = C1

8 9 > > Z 2 < = n ; z 2 1 d e n x = (;1) e > 2i dxn z ; x dz >
:  C1

(3)

x 1]

polinomy ~eby{e wa | |rmita

743

GDE C1 | KONTUR, OHWATYWA@]IJ TO^KU z = x. w SILU TEOREMY kOI WYRAVENIE W FIGURNYH SKOBKAH RAWNO dn (e;x2 )=dxn . w REZULXTATE POLU^AEM IZ (3) DIFFERENCIALXNU@ FORMULU dn e;x2  : Hn (x) = (;1)n ex2 dx (4) n |TA FORMULA POKAZYWAET, ^TO Hn (x) ESTX POLINOM STEPENI n, PRI^EM Hn (;x) = (;1)n Hn (x): (5) 2 iZ (4) NAHODIM H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, H2 (x) = 4x ; 2 I T. D. 2. rEKURRENTNYE FORMULY. dIFFERENCIRUQ PROIZWODQ]U@ FUNKCI@ PO  I x, NAHODIM x ; 2 = 0
 ; 2 (x ; )  = 0: (6) w KAVDOE IZ TOVDESTW (6) PODSTAWIM RQD (1) DLQ (
x). sOBIRAQ ^LENY PRI n I PRIRAWNIWAQ IH K NUL@, POLU^AEM DWE REKURRENTNYE FORMULY: Hn0 (x) = 2nHn;1(x)
(7) Hn+1 (x) ; 2xHn (x) + 2nHn;1(x) = 0: (8) fORMULA (8) POZWOLQET POSLEDOWATELXNO OPREDELQTX Hn DLQ WSEH n, ZNAQ, ^TO H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x. tAK, NAPRIMER, H2 (x) = 2xH1 ; 2H0 = = 4x2 ; 2, H3 = 2xH2 ; 4H1 = 8x3 ; 12x I T. D. 3. uRAWNENIE ~EBYEWA | |RMITA. nAJDEM URAWNENIE, KOTOROMU UDOWLETWORQET Hn (x). dLQ \TOGO ISPOLXZUEM REKURRENTNYE FORMULY (7) I (8). sNA^ALA S POMO]X@ (7) ISKL@^IM IZ (8) 2nHn;1 : Hn+1 ; 2xHn + Hn0 = 0 \TO URAWNENIE PRODIFFERENCIRUEM PO x: Hn0 +1 ; 2xHn0 ; 2Hn + Hn00 = 0 I PODSTAWIM S@DA Hn0 +1 = 2(n + 1)Hn IZ (7). w REZULXTATE POLU^IM   d e;x2 dHn + 2ne;x2 H = 0: Hn00 ; 2xHn0 + 2nHn = 0
ILI dx n dx (9) oTS@DA WIDNO, ^TO POLINOM ~EBYEWA | |RMITA QWLQETSQ SOBSTWENNOJ FUNKCIEJ, SOOTWETSTWU@]EJ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@  = 2n, SLEDU@]EJ ZADA^I (ZADA^A {TURMA | lIUWILLQ). nAJTI TE ZNA^ENIQ , PRI KOTORYH URAWNENIE ~EBY EWA | |RMITA 2 2 (e;x y0 )0 + e;x y = 0
;1 < x < 1
(10) IMEET NETRIWIALXNOE REENIE, WOZRASTA@]EE PRI x ! 1 NE BYSTREE, ^EM KONE^NAQ STEPENX x.

744

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. III

rEENIE \TOJ nZADA^I MOVNO BYLO BY ISKATX W WIDE STEPENNOGO RQDA y = P1 n=0 an x . pODSTAWIW \TOT RQD W URAWNENIE (10), POLU^IM DLQ KO\FFICIENTOW REKURRENTNU@ FORMULU n; a : an+2 = (n +22) (11) (n + 1) n iZ FORMULY (11) WIDNO, ^TO PRI  = 2n WSE KO\FFICIENTY ak = 0 DLQ k > n I RQD OBRYWAETSQ. tOLXKO PRI  = 2n MOVET BYTX WYPOLNENO USLOWIE NA BESKONE^NOSTI. pOLU^A@]IESQ POLINOMYnOPREDELENY S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO MNOVITELQ. wYBIRAQ an = 2 , POLU^AEM POLINOMY Hn (x). 4. nORMA POLINOMOW Hn(x). dOKAVEM (NE OBRA]AQSX K OB]EJ TEORII), ^TO POLINOMY ~EBYEWA | |RMITA OBRAZU@T ORTOGONALXNU@ S WESOM e;x2 NA BESKONE^NOJ PRQMOJ ;1 < x < 1 SISTEMU FUNKCIJ, I WY^ISLIM IH NORMU (S WESOM (x) = e;x2 ): rASSMOTRIM WYRAVENIE Lmn =

Z1

kHnk =

Hm (x) Hn (x) e

;x2

q

p

2nn! :

;

dx = ( 1)n

;1

Z1 ;1

(12)

dn e;x2  dx: Hm (x) dx n

pOLOVIM DLQ OPREDELENNOSTI, ^TO m 6 n. iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM I POLXZUQSX FORMULOJ (7), A TAKVE TEM, ^TO NA BESKONE^NOSTI OBRA]AETSQ W NULX PROIZWEDENIE POLINOMA NA e;x2 , POLU^AEM Z1 dn;1 e;x2  dx = n ; 1 Lmn = (;1) 2m Hm;1 dx n;1 ;1

;

= ( 1)n;m 2m m!

Z1 dn;m  2  ;x dx
dxn;m e

;1

TAK KAK H0 = 1. oTS@DA WIDNO, ^TO n;m;1  2  1 d n ; m m Lmn = (;1) 2 m! dxn;m;1 e;x  = 0 ;1 eSLI m = n, TO Lmn = 2n n!

Z1

;1

p

PRI

e;x2 dx = 2n n!  = kHnk2 :

m < n:

polinomy ~eby{e wa | lagerra

x 2]

tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO

Z1

;1

745

(

6= n
Hm (x) Hn (x) e x dx = 2nn0!
p
m m = n: ; 2

sISTEMA POLINOMOW ~EBYEWA | |RMITA QWLQETSQ POLNOJ (NA DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA MY NE OSTANAWLIWAEMSQ), I, SLEDOWATELXNO, MY NALI WSE REENIQ ZADA^I (10), T. E.  6= 2n NE MOVET BYTX SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM. 5. fUNKCII ~EBYEWA | |RMITA. w PRILOVENIQH (SM. S. 751) ^ASTO POLXZU@TSQ FUNKCIQMI ~EBYEWA | |RMITA n (x)
n (x) = hn (x) e;x2 =2
hn (x) = kH Hn (x)k OBRAZU@]IMI ORTOGONALXNU@ I NORMIROWANNU@ S WESOM (x) = 1 SISTEMU NA BESKONE^NOM INTERWALE ;1 < x < 1:  0
m 6= n
Z1 n (x) m (x) dx = 1
m = n: ;1

|TI FUNKCII OBRA]A@TSQ W NULX PRI x ! 1 I UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ n00 + ( ; x2 ) n = 0 PRI  = 2n + 1:

x 2. pOLINOMY ~EBYEWA | lAGERRA

1. dIFFERENCIALXNAQ FORMULA. pOLINOMY ~EBYEWA | lAGERRA Ln(x) MY OPREDELIM PRI POMO]I PROIZWODQ]EJ FUNKCII x

(
x) = 1 ;1  e; 1 : (1) rAZLAGAQ EE W STEPENNOJ RQD 1 n   X 1 @ n (
x) = Ln(x) 
Ln (x) = n! @n 
(2) =0 n=0 I POLXZUQSX TEOREMOJ kOI, NAHODIM Z (
x) 1 Ln(x) = 2i  n+1 d
;

C

GDE C | KONTUR, OHWATYWA@]IJ TO^KU  = 0. wWEDEM NOWU@ PEREMENNU@ INTEGRIROWANIQ z , POLOVIW  = 1 ; x=z , d = x dz=z 2 TOGDA Z n ;z Ln (x) = ex 21i (z z; ex)n+1 dz
(3) C1

746

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. III

GDE C1 | KONTUR, OHWATYWA@]IJ TO^KU z = x. fORMULA (3) DAET dn (xn e;x ): Ln(x) = n1! ex dx (4) n oTS@DA ZAKL@^AEM, ^TO Ln (x) ESTX MNOGO^LEN STEPENI n. w ^ASTNOSTI, IMEEM L0 (x) = 1, L1 (x) = 1 ; x. 2. rEKURRENTNYE FORMULY. dIFFERENCIRUQ (
x) PO  I x, POLU^AEM DWA TOVDESTWA: (1 ; )2  ; (1 ;  ; x) = 0
(5) (1 ; )x +  = 0: (6) n pODSTAWIM W (5) I (6) RQD (2) I PRIRAWNQEM KO\FFICIENTY PRI  +1 NUL@ \TO DAET REKURRENTNYE FORMULY (n + 1)Ln+1 ; (2n + 1 ; x)Ln + nLn;1 = 0
(7)

L0n+1 ; L0n + Ln = 0: (8) fORMULA (7) USTANAWLIWAET SWQZX MEVDU POLINOMAMI Ln+1 , Ln , Ln;1 I POZWOLQET POSLEDOWATELXNO OPREDELITX WSE Ln , NAPRIMER

L2 (x) = 12 (3 ; x)L1 ; L0 ] = 21 x2 ; 2x + 1: wYWEDEM E]E ODNU REKURRENTNU@ FORMULU xL0n + (n + 1 ; x)Ln ; (n + 1)Ln+1 = 0: (9) dLQ \TOGO ZAMENIM W (7) n NA n + 1 I PRODIFFERENCIRUEM PO x: (n + 2)L0n+2 ; (2n + 3 ; x)L0n+1 + Ln+1 + (n + 1)L0n = 0 DWAVDY PRIMENIW FORMULU (8), ISKL@^IM OTS@DA L0n+2 I L0n+1 I W REZULXTATE POLU^IM (9). 3. uRAWNENIE ~EBYEWA | lAGERRA. nAJDEM URAWNENIE, REENIEM KOTOROGO QWLQETSQ Ln(x). dIFFERENCIRUQ (9) PO x, POLU^IM xL00n + (n + 2 ; x)L0n ; Ln ; (n + 1)L0n+1 = 0, POSLE ^EGO ISKL@^IM L0n+1 PRI POMO]I (8). w REZULXTATE PRIHODIM K URAWNENI@ DLQ Ln  dLn  d 00 0 xLn + (1 ; x)Ln + nLn = 0
ILI dx xe;x dx + ne;xLn = 0
(10)

KOTOROE NAZYWAETSQ U R A W N E N I E M ~ E B Y  EW A | l A G E R R A. tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO Ln(x) ESTX SOBSTWENNAQ FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@  = n SLEDU@]EJ ZADA^I. nAJTI ZNA^ENIQ , PRI KOTORYH URAWNENIE (xe;x y0 )0 + e;xy = 0
0 < x < 1
(11)

polinomy ~eby{e wa | lagerra

x 2]

747

IMEET W OBLASTI 0 < x < 1 NETRIWIALXNOE REENIE, OGRANI^ENNOE PRI x = 0 I WOZRASTA@]EE PRI x ! 1 NE BYSTREE, ^EM KONE^NAQ STEPENX x. zAMETIM, ^TO URAWNENIE (10) DLQ Ln (x) MOVNO POLU^ITX, ESLI PRODIFFERENCIROWATX (n + 2) RAZ FUNKCI@ z = xn e;x I WOSPOLXZOWATXSQ DIFFERENCIALXNOJ FORMULOJ (4). 4. oRTOGONALXNOSTX I NORMA POLINOMOW ~EBYEWA | lAGERRA. dOKAVEM ORTOGONALXNOSTX I NORMIROWANNOSTX S WESOM e;x POLINOMOW Ln(x), ISHODQ IZ FORMULY (4). rASSMOTRIM INTEGRAL Z1 Z1 dn ;xn e;x& dx: Jmn = Lm(x) Ln (x) e;x dx = n1! Lm (x) dx n 0

0

pUSTX m 6 n. iNTEGRIRUQ m RAZ PO ^ASTQM I U^ITYWAQ, ^TO IZ-ZA NALI^IQ MNOVITELQ WIDA xk e;x (k > 0) WSE PODSTANOWKI OBRA]A@TSQ W NULX, POLU^AEM Z1 dmLm dn;m ; 1 n e;x & dx: m x (12) Jmn = (;1) n! m n ; m dx dx 0 eSLI m < n, TO, INTEGRIRUQ E]E RAZ, NAHODIM Jmn = 0, TAK KAK dm+1 L = 0. w SLU^AE m = n IMEEM dxm+1 m dn Ln = (;1)n dxn I n Z1 ( ; 1) Jnn = n! (;1)n xn e;x dx = ;(nn+! 1) = 1 = kLn k2: (13) 0 iTAK, POLINOMY ~EBY EWA | lAGERRA OBRAZU@T ORTONORMIROWANNU@ S WESOM e;x SISTEMU FUNKCIJ:  Z1 6= n
Lm (x) Ln (x) e;x dx = 01

m (14) m = n: 0

5. oBOB]ENNYE POLINOMY ~EBYEWA | lAGERRA. pRI IZU-

^ENII DWIVENIQ \LEKTRONA W POLE KULONOWYH SIL, A TAKVE W DRUGIH ZADA^AH SOWREMENNOJ FIZIKI NARQDU S POLINOMAMIsLn (x) WSTRE^A@TSQ OBOB]ENNYE POLINOMY ~EBYEWA | lAGERRA Ln (x). tEORI@ \TIH POLINOMOW MOVNO POSTROITX PO ANALOGII S PP. 1 | 4, ISHODQ IZ PROIZWODQ]EJ FUNKCII x

s > ;1
(15) s (
x) = (1 ; 1)s+1 e; 1
;

748

dopolnenie II. specialxnye funkcii

I RAZLAGAQ EE W RQD PO STEPENQM : 1 X

~. III



n s  Lsn (x) = n1! @@n (
x) : =0 n=0 pOWTORQQ RASSUVDENIQ, PROWEDENNYE DLQ s = 0 W P. 1, NAHODIM Z s Z n+s ;z Lsn (x) = 21i  (n
+1x) d = x;s ex 21i (zz ; xe)n+1 dz:

s (
x) =

C

Lsn(x) n 

C1

oTS@DA SLEDUET, ^TO dn ;xn+s e;x&
Lsn (x) = n1! x;s ex dx (16) n T. E. Lsn(x) DEJSTWITELXNO QWLQETSQ MNOGO^LENOM n-J STEPENI. w ^ASTNOSTI, Ls0 (x) = 1, Ls1(x) = n1++s s;;x x. wWODQ FUNKCI@ z = x e I DIFFERENCIRUQ EE (n + 2) RAZ PO x, 00 + (x + 1 ; s)u0 + (n + NAHODIM DLQ FUNKCII u = dn z=dxn URAWNENIE xu + 1)u = 0. wY^ISLIM PROIZWODNYE DLQ Lsn (x) = 1=n!  x;s ex u I U^TEM PRI \TOM URAWNENIE DLQ u TOGDA POLU^IM URAWNENIE x (Lsn)00 ; (x ; s ; 1) (Lsn )0 + nLsn = 0
(17) s KOTOROMU UDOWLETWORQ@T OBOB]ENNYE POLINOMY Ln (x). tEM SAMYM DOKAZANO, ^TO OBOB]ENNYE POLINOMY ~EBYEWA | lAGERRA QWLQ@TSQ SOBSTWENNYMI FUNKCIQMI, SOOTWETSTWU@]IMI SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM n = n + s +2 1 SLEDU@]EJ ZADA^I. nAJTI ZNA^ENIQ , PRI KOTORYH URAWNENIE   xy00 + (s + 1 ; x) y0 +  ; s +2 1 y = 0
ILI   (xs+1 e;xy0 )0 + xs e;x  ; s +2 1 y = 0
(18) IMEET W OBLASTI 0 6 x < 1 NETRIWIALXNOE REENIE, OGRANI^ENNOE PRI x = 0 I WOZRASTA@]EE PRI x ! 1 NE BYSTREE KONE^NOJ STEPENI x. iSHODQ IZ DIFFERENCIALXNOJ FORMULY (16) I PROWODQs RASSUVDENIQ PO ANALOGII S P. 4, NETRUDNO DOKAZATX, ^TO POLINOMY Ln OBRAZU@T ORTOGONALXNU@ S WESOM e;xxs SISTEMU FUNKCIJ: 8 0
m 6= n (s > ;1)
> Z1 < s s ; x s Ln (x) Lm (x) e x dx = > ;(n + s + 1) :
m = n: 0 n!

x 3] prostej{ie zada~i dlq urawneniq {re dingera 749

pOLINOMAM ~EBYEWA | lAGERRA Lsn (x) SOOTWETSTWU@T ORTOGONALXNYE I NORMIROWANNYE S WESOM (x) = 1 FUNKCII ns (x) = xs=2 e;x=2 lns (x)
GDE klns k = 1
KOTORYE QWLQ@TSQ REENIQMI URAWNENIQ  2 (x0 )0 +  ; x4 ; 4sx  = 0 (19) PRI GRANI^NYH USLOWIQH j(0)j < 1, xlim (x) = 0, SOOTWETSTWU@]IMI !1 SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM n = n + s +2 1 : iZ FORMULY (18) WIDNO, ^TO L0n(x) = Ln (x) DLQ n , RAWNOGO n + + 1=2 (ESLI W URAWNENII (18)  ZAMENITX NA  + 1=2, TO PRI s = 0 ONO SOWPADET S URAWNENIEM ~EBYEWA | lAGERRA (10)). w ZAKL@^ENIE OTMETIM, ^TO ORTOGONALXNYE SISTEMY POLINOMOW fLn(x)g I fLsn(x)g QWLQ@TSQ POLNYMI (NA DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA NE OSTANAWLIWAEMSQ). tEM SAMYM MY NALI WSE SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^ (10) I (18).

x 3. pROSTEJIE ZADA^I DLQ URAWNENIQ {REDINGERA1)

1. uRAWNENIE {REDINGERA. w KWANTOWOJ MEHANIKE POWEDENIE ^ASTICY, NAHODQ]EJSQ W POLE POTENCIALXNYH SIL, OPISYWAETSQ URAWNENIEM {REDINGERA h2  + U (x
y
z
t) 
ih @ = ; (1) @t 2 p GDE h = 1
05  10;27 \RG  S | POSTOQNNAQ pLANKA, i = ;1,  | MASSA ^ASTICY, U | EE POTENCIALXNAQ \NERGIQ W SILOWOM POLE,  = = (x
y
z
t) | WOLNOWAQ FUNKCIQ. eSLI SILY NE ZAWISQT OT WREMENI, T. E. U = U (x
y
z ), TO WOZMOVNY STACIONARNYE SOSTOQNIQ S ZADANNYM ZNA^ENIEM \NERGII, T. E. SU]ESTWU@T REENIQ WIDA  = 0 (x
y
z ) e; iEh t
(2) 1) rASSMATRIWAEMYE ZDESX ZADA^I DLQ URAWNENIQ {REDINGERA DA@T PRIMERY PRIMENENIQ POLINOMOW ~EBYEWA | |RMITA I ~EBYEWA | lAGERRA. pRIWEDENNOE NIVE IZLOVENIE NE PRETENDUET NA POLNOE OSWE]ENIE WOPROSOW, SWQZANNYH S URAWNENIEM {REDINGERA. pO UNIWERSITETSKOJ PROGRAMME KWANTOWAQ MEHANIKA IZU^AETSQ POSLE KURSA MATEMATI^ESKOJ FIZIKI.

750

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. III

GDE E | OB]AQ \NERGIQ ^ASTICY. pODSTAWLQQ \TO WYRAVENIE W URAWNENIE (1), PRIHODIM KO WTOROMU URAWNENI@ {REDINGERA 0 + 22 (E ; U ) 0 = 0
(3) h W KOTOROM E IGRAET ROLX SOBSTWENNOGO ZNA^ENIQ, PODLEVA]EGO OPREDELENI@. w DALXNEJEM WMESTO 0 MY BUDEM PISATX :  + 22 (E ; U )  = 0: (4) h w SLU^AE OTSUTSTWIQ SILOWOGO POLQ (U = 0) URAWNENIE (4) PRINIMAET WID  + 2E  = 0: (5) h2 nETRUDNO ZAMETITX SHODSTWO \TOGO URAWNENIQ S WOLNOWYM URAWNENIEM KLASSI^ESKOJ FIZIKI  + k2  = 0
(6) GDE k = !=c = 2= | WOLNOWOE ^ISLO,  | DLINA WOLNY. oDNAKO \TO SHODSTWO QWLQETSQ ^ISTO WNENIM I FORMALXNYM W SILU RAZLI^IQ FIZI^ESKOGO SMYSLA FUNKCIJ, WHODQ]IH W URAWNENIQ (5) I (6). w URAWNENII {REDINGERA NEPOSREDSTWENNYJ FIZI^ESKIJ SMYSL IMEET NE SAMA FUNKCIQ , A ZNA^ENIE 2jj2 , KOTOROE ISTOLKOWYWAETSQ W STATISTI^ESKOM DUHE: WYRAVENIE jj dx dy dz OZNA^AET WEROQTNOSTX PREBYWANIQ ^ASTICY WNUTRI \LEMENTARNOGO OB_EMA dx dy dz W TO^KE (x
y
z ) PROSTRANSTWA. w SWQZI S \TIM NORMIROWKA SOBSTWENNYH FUNKCIJ K EDINICE, KOTOROJ MY NEODNOKRATNO POLXZOWALISX RANEE W CELQH MATEMATI^ESKOJ PROSTOTY, TEPERX PRIOBRETAET FUNDAMENTALXNOE ZNA^ENIE. uSLOWIE NORMIROWKI ZZZ jj2 dx dy dz = 1 (7) OZNA^AET, ^TO ^ASTICA NAHODITSQ W KAKOM-LIBO MESTE PROSTRANSTWA I PO\TOMU WEROQTNOSTX NAJTI ^ASTICU GDE-NIBUDX W PROSTRANSTWE RAWNA EDINICE (DOSTOWERNOE SOBYTIE). rASSMOTRIM NEKOTORYE PROSTEJIE ZADA^I DLQ URAWNENIQ {REDINGERA. 2. gARMONI^ESKIJ OSCILLQTOR. uRAWNENIE {REDINGERA DLQ GARMONI^ESKOGO OSCILLQTORA PRINIMAET WID h2 d2  + (E ; U )  = 0
2 dx2 2 GDE U = !2 0 x2 (!0 | SOBSTWENNAQ ^ASTOTA (CIKLI^ESKAQ) OSCILLQTORA). nAA ZADA^A BUDET SOSTOQTX W OTYSKANII STACIONARNYH SOSTOQ-

x 3] prostej{ie zada~i dlq urawneniq {re dingera 751

NIJ, T. E. SPEKTRA SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ \NERGII E I SOOTWETSTWU@]IH SOBSTWENNYH FUNKCIJ  IZ URAWNENIQ  !2  2  00  + 2 E ; 2 0 x2  = 0 (8) h PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII NORMIROWKI

Z1

;1

jj2 dx = 1:

(9)

wWEDQ OBOZNA^ENIQ s 2 E  = h!
x0 = !h
 = xx
(10) 0 0 0 DLQ FUNKCII  = ( ) POSLE O^EWIDNYH PREOBRAZOWANIJ POLU^IM URAWNENIE d2  + ( ;  2 ) = 0 (11) d 2 S DOPOLNITELXNYM USLOWIEM NORMIROWKI

Z1

;1

jj2 d = x10 :

rEENIEM \TOJ ZADA^I, W SILU x 1, P. 5, BUDUT FUNKCII ;2 =2 H ( ) e 1 n
n ( ) = px p n p 0 2 n!  SOOTWETSTWU@]IE SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM n = 2n + 1: wOZWRA]AQSX K ISHODNYM OBOZNA^ENIQM, NAHODIM ; &2  x  ; 12 xx 0 e Hn x 1 p n (x) = px p 0
0 2nn! 



En = h!0 n + 12



(n = 0
1
2
: : :):

w KLASSI^ESKOJ MEHANIKE \NERGIQ OSCILLQTORA 2 2 E = 2px + !2 0 x2


(12)

(13) (14)

752

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. III

GDE px | IMPULXS ^ASTICY, MOVET PRINIMATX NEPRERYWNYJ RQD ZNA^ENIJ. s TO^KI ZRENIQ KWANTOWOJ MEHANIKI \NERGIQ OSCILLQTORA, KAK POKAZYWAET FORMULA (14), MOVET PRINIMATX LIX DISKRETNYJ RQD ZNA^ENIJ En . w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO \NERGIQ KWANTUETSQ. ~ISLO n, OPREDELQ@]EE NOMER KWANTOWOGO UROWNQ, NAZYWA@T GLAWNYM KWANTOWYM ^ISLOM. w NIZEM KWANTOWOM SOSTOQNII PRI n = 0 \NERGIQ OSCILLQTORA OTLI^NA OT NULQ I RAWNA E0 = 12 h!: 3. rOTATOR. nAJDEM SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ \NERGII ROTATORA SO SWOBODNOJ OSX@, T. E. ^ASTICY, WRA]A@]EJSQ NA ODNOM I TOM VE RASSTOQNII WOKRUG NEPODWIVNOGO CENTRA. pOTENCIALXNAQ \NERGIQ U ROTATORA SOHRANQET ODNO I TO VE ZNA^ENIE WO WSEH POLOVENIQH ^ASTICY, I EE MOVNO POLOVITX RAWNOJ NUL@: U = 0. w SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT (r

') S NA^ALOM KOORDINAT W NEPODWIVNOM CENTRE URAWNENIE {REDINGERA DLQ ROTATORA  + 22 E = 0 h MOVNO ZAPISATX W WIDE   1 @ sin  @ + 1 @ 2 + 2 E = 0: (15) r2 sin  @ @ r2 sin2  @'2 h2 pRI \TOM ISPOLXZUETSQ USLOWIE @ = 0: @r wWODQ WMESTO MASSY  MOMENT INERCII I = r2
POLU^AEM   1 @ sin  @ + 1 @ 2  +  = 0
sin  @ @ sin2  @'2 ILI ' +  = 0
(16) GDE (17)  = 2I2 E: h tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K KRAEWOJ ZADA^E NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ DLQ URAWNENIQ ' +  = 0 (16)

x 3] prostej{ie zada~i dlq urawneniq {re dingera 753

PRI ESTESTWENNOM GRANI^NOM USLOWII OGRANI^ENNOSTI W TO^KAH  = 0 I  =  I USLOWII NORMIROWKI

Z Z2 0 0

jj2 sin  d d' = 1:

(18)

rEENIQMI \TOJ ZADA^I, KAK MY ZNAEM, QWLQ@TSQ NORMIROWANNYE SFERI^ESKIE FUNKCII s    m = 0

lm (
') = (22l"+1)(l(l+;mm)!)! Yl(m) (
') "m = 21 PRI PRI m 6= 0 m Y (m) (
') = P (m) (cos ) l

l

(

cos m'
sin m'

(m = 0
1
: : :
l)
(19)

SOOTWETSTWU@]IE SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM  = l(l + 1): (20) zAMENQQ  EGO ZNA^ENIEM SOGLASNO FORMULE (17), POLU^AEM FORMULU DLQ KWANTOWANNYH ZNA^ENIJ \NERGII ROTATORA 2 (21) Elm = l(l + 1) 2hI
l = 0
1
2
: : : 4. dWIVENIE \LEKTRONA W KULONOWOM POLE. oDNOJ IZ PROSTEJIH ZADA^ ATOMNOJ MEHANIKI QWLQETSQ ZADA^A O DWIVENII \LEKTRONA W KULONOWOM POLE QDRA, IME@]AQ BOLXOJ PRAKTI^ESKIJ INTERES, TAK KAK REENIE EE DAET NE TOLXKO TEORI@ SPEKTRA WODORODA, NO I PRIBLIVENNU@ TEORI@ SPEKTROW ATOMOW S ODNIM WALENTNYM \LEKTRONOM (WODORODOPODOBNYH ATOMOW), NAPRIMER ATOMA NATRIQ. w ATOME WODORODA \LEKTRON NAHODITSQ W KULONOWOM \LEKTROSTATI^ESKOM POLE QDRA (PROTONA), TAK ^TO POTENCIALXNAQ \NERGIQ U (x
y
z ) RAWNA 2 U = ; er
(22) GDE r ESTX RASSTOQNIE \LEKTRONA OT QDRA, ;e | ZARQD \LEKTRONA, +e | ZARQD QDRA. uRAWNENIE {REDINGERA W \TOM SLU^AE IMEET WID  e2  2   + 2 E + r  = 0: (23) h nAA ZADA^A SOSTOIT W OTYSKANII TAKIH ZNA^ENIJ E , DLQ KOTORYH URAWNENIE (23) DOPUSKAET REENIE, NEPRERYWNOE WO WSEM PROSTRANSTWE 48 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

754

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. III

I UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ NORMIROWKI 1 ZZZ ;1

j(x
y
z)j2 dx dy dz = 1:

(24)

zAPIEM URAWNENIE (23) W SFERI^ESKOJ SISTEME KOORDINAT S NA^ALOM W QDRE, KOTOROE PREDPOLAGAETSQ NEPODWIVNYM:     1 @ r2 @ + 1   + 2 E + e2  = 0
(25) r2 @r @r r2 ' r h2 I BUDEM ISKATX REENIE W WIDE (r

') = (r) Yl(m) (
'): (26) pRINIMAQ WO WNIMANIE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE DLQ SFERI^ESKIH FUNKCIJ Yl(m) (
') 'Yl(m) (
') + l(l + 1)Yl(m) (
') = 0
POLU^AEM     d2  + 2 d + 2 E + e2 ; l(l + 1)  = 0: (27) dr2 r dr r r2 h2 wWEDEM W KA^ESTWE EDINICY DLINY WELI^INU a = h2 =e2
W KA^ESTWE EDINICY \NERGII | WELI^INU 4 2 E0 = e2 = ea : h pOLAGAQ  = r=a
" = E=E0 (" < 0)
(28) PEREPIEM URAWNENIE (27) W WIDE   d2  + 2 d + 2" + 2 ; l(l + 1)  = 0: (29) d2  d  2 s POMO]X@ PODSTANOWKI  = p1 y (30) URAWNENIE (29) PRIWODITSQ K WIDU  d2 y + 1 dy + 2" + 2 d2  d 

2

; 4s2



y = 0


(31)

x 3] prostej{ie zada~i dlq urawneniq {re dingera 755

GDE

s = 2l + 1: wWEDQ W KA^ESTWE NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ WELI^INU p x =  ;8"
POLU^IM WMESTO (31) URAWNENIE  2 xy00 + y0 ; x4 + 4sx y + y = 0
ILI     d x dy ; x + s2 y + y = 0
dx dx 4 4x GDE

p;1 2"
SOWPADA@]EE S RASSMOTRENNYM NAMI W x 2 URAWNENIEM (19). =

(32) (33) (330 ) (34)

nAJDENNYE TAM SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ OKAZALISX RAWNYMI  =n + s+1
r

2

A SOBSTWENNYE FUNKCII (OPREDELENNYE S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO MNOVITELQs) WYRAVALISX ^EREZ OBOB]ENNYE POLINOMY ~EBYEWA | lAGERRA Lnr : ynr (x) = xs=2 e;x=2Lsnr (x)
(35) GDE Lsnr (x) OPREDELQ@TSQ FORMULOJ (16) x 2. u^ITYWAQ, ^TO s = 2l + 1
POLU^AEM  = nr + l + 1 = n (n = 1
2
: : :): (36) cELOE ^ISLO n NAZYWAETSQ GLAWNYM KWANTOWYM ^ISLOM, nr | RADIALXNYM KWANTOWYM ^ISLOM, l | AZIMUTALXNYM KWANTOWYM ^ISLOM. zAMENQQ  EGO WYRAVENIEM SOGLASNO FORMULAM (34) I (28), POLU^AEM KWANTOWANNYE ZNA^ENIQ \NERGII 4 En = ; e2 2 : (37) 2h n oNI ZAWISQT TOLXKO OT GLAWNOGO KWANTOWOGO ^ISLA n. 48


756

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. III

pOLOVIM E RAWNYM \NERGII KWANTA, E = ;h! = ;h , GDE  =

= !=2 | ^ASTOTA. tOGDA BUDEM IMETX

4  = e = nR2
2 2 2h n h

(38)

4 4 GDE R = e2 = e 3 | TAK NAZYWAEMAQ POSTOQNNAQ rIDBERGA. 2h h 4h nAJDEM ^ASTOTY SPEKTRALXNYH LINIJ. nABL@DAEMAQ W SPEKTRALXNOJ LINII ^ASTOTA nn1 SOOTWETSTWUET PEREHODU IZ SOSTOQNIQ S \NERGIEJ En W SOSTOQNIE S \NERGIEJ En1 . ~ASTOTA nn1 KWANTA, IZLU^AEMOGO PRI TAKOM KWANTOWOM PEREHODE, RAWNA

1



1 n2 :

nn1 = R n2 ; (39) 1 pOLAGAQ n1 = 1 I n = 2
3
: : : , MY POLU^IM RQD LINIJ, SOSTAWLQ@]IH TAK NAZYWAEMU@ SERI@ lAJMANA:



nn1 = R 1 ;



1 n2 :

dALEE, ZNA^ENIQ n1 = 2, n = 3
4
: : : DA@T SERI@ bALXMERA



nn1 = R 212

; n12






ZNA^ENIQ n1 = 3, n = 4
5
: : : | SERI@ pAENA

1



1 n2 :

nn1 = R 32 ; pEREJDEM TEPERX K OPREDELENI@ SOBSTWENNYH FUNKCIJ WODORODNOGO ATOMA. dLQ \TOGO W SILU FORMULY (26) NAM DOSTATO^NO NAJTI RADIALXNYE FUNKCII (). pOLXZUQSX FORMULAMI (35), (32), (30), (34), (36), MOVEM NAPISATX

 2 l

;=n

L2l+1

 2 

nl () = An n e (40) n;l;1 n
GDE An | NORMIROWO^NYJ MNOVITELX, OPREDELQEMYJ IZ USLOWIQ

Z1 0

2 2nl () d = 1:

(41)

x 3] prostej{ie zada~i dlq urawneniq {re dingera 757

wY^ISLQQ An , POLU^AEM SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ NORMIROWANNYH RADIALXNYH FUNKCIJ:  2 3=2 s (n ; l ; 1)!  2 l  2  2 l +1 ; =n nl () = n 2n  (n + l)! n e Ln;l;1 n : (42) w SILU FORMUL (26) I (19) NORMIROWANNYE SOBSTWENNYE FUNKCII IME@T WID s mnl = (22l"+1)(l(l+;mm)!)! Yl(m) (
') nl ()
m GDE nl () OPREDELQETSQ FORMULOJ (42). ~ISLO m (m = 0
1
2
: : :
l) NAZYWAETSQ MAGNITNYM KWANTOWYM ^ISLOM. tAK KAK nr WSEGDA NEOTRICATELXNO (nr = 0
1
2
: : :), TO PRI DANNOM n W SILU FORMULY n = nr + l + 1 KWANTOWOE ^ISLO l NE MOVET BYTX BOLXE n ; 1 (l = 0
1
2
: : :
n ; ; 1). pO\TOMU PRI OPREDELENNOM ZNA^ENII GLAWNOGO KWANTOWOGO ^ISLA n ^ISLO l MOVET PRINIMATX n ZNA^ENIJ: l = 0
1
: : :
n ; 1, A KAVDOMU ZNA^ENI@ l SOOTWETSTWUET (2l + 1) ZNA^ENIJ m. oTS@DA SLEDUET, ^TO ZADANNOMU ZNA^ENI@ \NERGII En , T. E. ZADANNOMU ZNA^ENI@ n, SOOTWETSTWUET nX ;1 l=0

(2l + 1) = 1 + 3 + 5 + : : : + (2n ; 1) = n2

RAZLI^NYH SOBSTWENNYH FUNKCIJ. tAKIM OBRAZOM, KAVDYJ UROWENX \NERGII IMEET WYROVDENIE KRATNOSTI n2 . nAJDENNYJ NAMI DISKRETNYJ SPEKTR OTRICATELXNYH SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ \NERGII En SOSTOIT IZ BESKONE^NOGO MNOVESTWA ^ISEL S TO^KOJ SGU]ENIQ W NULE. wTOROJ OTLI^ITELXNOJ ^ERTOJ RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ {REDINGERA QWLQETSQ NALI^IE NEPRERYWNOGO SPEKTRA POLOVITELXNYH SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ (WSQKOE POLOVITELXNOE ^ISLO E QWLQETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM URAWNENIQ (23)). w \TOM SLU^AE \LEKTRON UVE NE SWQZAN S QDROM, NO WSE E]E NAHODITSQ W EGO POLE (IONIZIROWANNYJ ATOM WODORODA). nA DOKAZATELXSTWE SU]ESTWOWANIQ SPLONOGO SPEKTRA MY NE OSTANAWLIWAEMSQ, OTSYLAQ ^ITATELQ K SPECIALXNOJ LITERATURE1). 1) sM., NAPRIMER: f O K w. a. nA^ALA KWANTOWOJ MEHANIKI. m., 1976 k U R A N T r., g I L X B E R T d. mETODY MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m. l., 1951. t. I, GL. V.

758

dopolnenie II. specialxnye funkcii ~astx

~. IV

IV

formuly, tablicy i grafiki nIVE PRIWODQTSQ TABLICY NEKOTORYH SPECIALXNYH FUNKCIJ, S KOTORYMI MY WSTRE^ALISX PRI REENII KRAEWYH ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. tABLICY SOPROWOVDA@TSQ PERE^NEM PROSTEJIH SWOJSTW SPECIALXNYH FUNKCIJ.

I. oSNOWNYE SWOJSTWA SPECIALXNYH FUNKCIJ 1. i N T E G R A L O  I B O K 1. iNTEGRAL OIBOK: (z ) = p2

Zz 0

e;2 d :

2. rAZLOVENIE PRI MALYH z :   5 3 (z ) = p2 z ; 1!z 3 + 2!z 5 ; : : : :  3. aSIMPTOTI^ESKAQ FORMULA PRI BOLXIH z : 1 e;z (z )  = 1 ; p z

2



1;

1 + 34 (2z 2) (2z )4

;



45 6 +::: : (2z )6

2. c I L I N D R I ^ E S K I E F U N K C I I

rQDY aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY 1. fUNKCII bESSELQ r  x 
1 2 cos x ;  ;  J
(x) = 2 ;( + 1) ; : : : J
(x) = x 2 2. fUNKCII nEJMANA r  x  2 2 sin x ;  N0 (x) =  J0 (x) ln 2 + C + N0 (x) = x  2 + 2 x2 + : : : (C = 0
577215664901532 ESTX POSTOQNNAQ |JLERA)

 + ::: 4

 + ::: 4

I. osnownye swojstwa specialxnyh funkcij

rQDY

aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY N1 (x)  =

2 + N1 (x) = ; x

  + 2 J1 (x) ln x2 + C + : : :


= ;

 2 n 1 Nn (x) = ;  x (n ; 1)! + : : :

=

3. fUNKCII hANKELQ

H (1) (x) = J




(x) + iN
(x)


; iN
(x)

H (2) (x) =


(x)




r

H (1) (x) =

H (2) (x) = J

r

Nn (x)  =

(n > 1)








4. fUNKCII MNIMOGO ARGUMENTA



2 cos x ;   + : : :
x 4

2 sin x ; n ;   + : : : x 2 4

r r

2 i (x;
=2;=4) + : : :


x e 2

;i (x;
=2;=4)

x e

r

I
(x) = ( i)
J
(ix) =

I
(x)  =

K0(x) = 2 iH0(1) (ix) =

K0(x)  =

r

= ; ln x2 + C I0 (x) + x2 + : : :
K1(x) = ; 2 H1(1) (ix) = x1 + : : :


K1(x)  =

r

Kn(x) = 2 ein=2 Hn(1) (ix) =

Kn(x)  =

;



759

 
= x2 ;( 1+ 1) + : : :


 2

 2 n ( n ; 1)! = 2 x +:::

+:::

1 ex + : : :
2x

;x 2x e + : : :


;x 2x e + : : :


r

;x 2x e + : : :

760

dopolnenie II. specialxnye funkcii 5. rEKURRENTNYE FORMULY:



~. IV



d x
Z (x)] = x
Z (x)
d Z
(x) = ; Z
+1 (x)


;1 dx dx x
x
Z
;1 (x) + Z
+1 (x) = 2x Z
(x)
GDE Z
(x) | L@BAQ CILINDRI^ESKAQ FUNKCIQ WE]ESTWENNOGO ARGUMENTA. ~ASTNYE SLU^AI: J0 (x) = ;J1(x)
0

d xJ (x)] = xJ (x)
0 dx 1

Zx 0

J1 (x) dx = 1 ; J0 (x)


Zx 0

xJ0 (x) dx = xJ1 (x):

dLQ FUNKCIJ MNIMOGO ARGUMENTA: I
;1 (x) ; I
+1 (x) = 2x I
(x)
K
;1 (x) ; K
+1 (x) = ; 2x K
(x)
d I (x)
I
;1 (x) + I
+1 (x) = 2 dx


d K (x)
K
;1 (x) + K
+1 (x) = ;2 dx


I00 (x) = I1 (x)
K00 (x) = ;K1 (x): 6. oPREDELITELX wRONSKOGO DLQ CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ: 2
J
(x)N
0 (x) ; N
(x)J
0 (x) = x 4i
H
(1) (x)H
(2) 0 (x) ; H
(2) (x)H
(1) 0 (x) = ; x

I
(x)K
0 (x) ; K
(x)I
0 (x) = ; x1 :

I. osnownye swojstwa specialxnyh funkcij

761

7. iNTEGRALXNYE FORMULY:

Jn (x) = 21

Z

;

e;ix sin '+in' d' =

n = (;2i)

Z ;

; Z eix cos ' cos n' d'


n eix cos '+in' d' = ( i)



H
(12)(x) = ; 1

Z C12

0

e;ix sin '+i
' d'


GDE KONTURY INTEGRIROWANIQ C1 I C2 IZOBRAVENY NA RIS. 96 (S. 695) K
(x) = ; 12

Z1

e;x ch ;
 d:

;1

8. fUNKCII POLUCELOGO PORQDKA:

r

2 sin x
J1=2 (x) = x

r

2 cos x
J;1=2 (x) = x

r   2 sin x ; cos x
J3=2 (x) = x x r  

2 J;3=2 (x) = x

; cosx x ; sin x




Nn+1=2 (x) = (;1)n;1 J;n;1=2 (x): 3. p O L I N O M Y l E V A N D R A 1. pROIZWODQ]AQ FUNKCIQ:

p1 + 12 ; 2x

=

1 X

n=0

n Pn (x)


0 <  < 1


;1 6 x 6 1:

762

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. IV

2. rEKURRENTNAQ FORMULA:

(n + 1)Pn+1 (x) ; x(2n + 1)Pn (x) + nPn;1 (x) = 0: 3. fORMULA rODRIGA:

dn (x2 ; 1)n ]: Pn (x) = 2n1n! dx n 4. uRAWNENIE POLINOMOW lEVANDRA:   d (1 ; x2 ) dy + n(n + 1)y = 0: dx dx 5. iNTEGRALXNAQ FORMULA: Pn (x) = 21

Z2  0

n

p

x + i 1 ; x2 cos '

6. kWADRAT NORMY:

kPnk

2=

Z+1 ;1

;1 6 x 6 1:

d'


Pn2 (x) dx = 2n 2+ 1 :

7. pERWYE PQTX POLINOMOW:

P0 (x) = 1


P1 (x) = x


P3 (x) = 12 (5x3 ; 3x)


P2 (x) = 12 (3x2 ; 1)


P4 (x) = 18 (35x4 ; 30x2 + 3):

4. p R I S O E D I N E N N Y E F U N K C I I 1. uRAWNENIE PRISOEDINENNYH FUNKCIJ:



 



d (1 ; x2 ) dy + n(n + 1) ; m2 y = 0: dx dx 1 ; x2 2. dIFFERENCIALXNAQ FORMULA:

dm P (x) = (1 ; x2 )m=2 1 dn+m (x2 ; 1)n ! : Pn(m)(x) = (1 ; x2 )m=2 dx m n 2nn! dxn+m

I. osnownye swojstwa specialxnyh funkcij

3. kWADRAT NORMY:

k

k

P (m) 2 = n

Z+1 h ;1

i2 m)! : Pn(m)(x) dx = 2n 2+ 1 ((nn + ; m)!

5. p O L I N O M Y ~ E B Y  EW A | | R M I T A 1. pROIZWODQ]AQ FUNKCIQ:

e2tx;t2 =

1 X

n=0

n Hn (x) tn! :

2. rEKURRENTNYE FORMULY:

Hn0 (x) = 2nHn;1(x)
Hn+1 (x) ; 2xHn (x) + 2nHn;1(x) = 0: 3. dIFFERENCIALXNAQ FORMULA: dn e;x2 : Hn (x) = (;1)n ex2 dx n 4. kWADRAT NORMY:

kHnk

2=

Z1

p

Hn2 (x)e;x2 dx = 2n n! :

;1

6. p O L I N O M Y ~ E B Y  E W A | l A G E R R A 1. pROIZWODQ]AQ FUNKCIQ: xtt

e; 1

1 X

n 1 ; t = n=0 Ln (x)t : ;

2. dIFFERENCIALXNAQ FORMULA:

dn (e;x xn ): Ln(x) = n1! ex dx n 3. kWADRAT NORMY:

kLn(x)k2 = 1:

763

dopolnenie II. specialxnye funkcii

764

~. IV

II. tABLICY iNTEGRAL OIBOK (x) = p2

Rz e;2 d  0

tABLICA 1 0 6 z 6 28

z

(z )

z

(z )

z

(z )

z

(z )

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39

0,0000 0,0113 0,0226 0,0338 0,0451 0,0564 0,0676 0,0789 0,0901 0,1013 0,1125 0,1236 0,1348 0,1459 0,1569 0,1680 0,1790 0,1900 0,2009 0,2118 0,2227 0,2335 0,2443 0,2550 0,2657 0,2763 0,2869 0,2974 0,3079 0,3183 0,3286 0,3389 0,3491 0,3593 0,3694 0,3794 0,3893 0,3992 0,4090 0,4187

0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,4284 0,4380 0,4475 0,4569 0,4662 0,4755 0,4847 0,4937 0,5027 0,5117 0,5205 0,5292 0,5379 0,5465 0,5549 0,5633 0,5716 0,5798 0,5879 0,5959 0,6039 0,6117 0,6194 0,6270 0,6346 0,6420 0,6494 0,6566 0,6633 0,6708 0,6778 0,6847 0,6914 0,6981 0,7047 0,7112 0,7175 0,7238 0,7300 0,7361

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19

0,7421 0,7480 0,7538 0,7595 0,7651 0,7707 0,7761 0,7814 0,7867 0,7918 0,7969 0,8019 0,8068 0,8116 0,8163 0,8209 0,8254 0,8299 0,8342 0,8385 0,8427 0,8468 0,8508 0,8548 0,8586 0,8624 0,8661 0,8698 0,8733 0,8768 0,8802 0,8835 0,8868 0,8900 0,8931 0,8961 0,8991 0,9020 0,9048 0,9076

1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8

0,9103 0,9130 0,9155 0,9181 0,9205 0,9229 0,9252 0,9275 0,9297 0,9319 0,9340 0,9361 0,9381 0,9400 0,9419 0,9438 0,9456 0,9473 0,9490 0,9507 0,9523 0,9539 0,9554 0,9569 0,9583 0,9597 0,9611 0,9624 0,9637 0,9649 0,9661 0,9661 0,9763 0,9838 0,9891 0,9928 0,9953 0,9970 0,9981 0,9989 0,9993 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999

II. tablicy

765

tABLICA 2

zNA^ENIQ FUNKCIJ bESSELQ NULEWOGO I 1-GO PORQDKA OT x = 0 DO x = 1200 x

J0 (x)

J1 (x)

x

J0 (x)

J1 (x)

x

J0 (x)

J1 (x)

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90

+1,000 +0,997 +0,990 +0,977 +0,960 +0,938 +0,912 +0,881 +0,846 +0,808 +0,765 +0,720 +0,671 +0,620 +0,567 +0,512 +0,455 +0,398 +0,340 +0,282 +0,224 +0,167 +0,110 +0,056 +0,002 ;0,048 ;0,097 ;0,142 ;0,185 ;0,224 ;0,260 ;0,292 ;0,320 ;0,344 ;0,364 ;0,380 ;0,392 ;0,399 ;0,403 ;0,402

+0,000 +0,050 +0,099 +0,148 +0,196 +0,242 +0,288 +0,329 +0,369 +0,406 +0,440 +0,471 +0,498 +0,522 +0,542 +0,558 +0,570 +0,578 +0,582 +0,581 +0,577 +0,568 +0,556 +0,540 +0,520 +0,497 +0,471 +0,442 +0,410 +0,375 +0,339 +0,301 +0,261 +0,221 +0,179 +0,137 +0,095 +0,054 +0,013 ;0,027

4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00 5,10 5,20 5,30 5,40 5,50 5,60 5,70 5,80 5,90 6,00 6,10 6,20 6,30 6,40 6,50 6,60 6,70 6,80 6,90 7,00 7,10 7,20 7,30 7,40 7,50 7,60 7,70 7,80 7,90

;0,397 ;0,389 ;0,377 ;0,361 ;0,342 ;0,321 ;0,296 ;0,269 ;0,240 ;0,210 ;0,178 ;0,144 ;0,110 ;0,076 ;0,041 ;0,007

;0,066 ;0,103 ;0,139 ;0,172 ;0,203 ;0,231 ;0,257 ;0,279 ;0,298 ;0,315 ;0,328 ;0,337 ;0,343 ;0,346 ;0,345 ;0,341 ;0,334 ;0,324 ;0,311 ;0,295 ;0,277 ;0,256 ;0,233 ;0,208 ;0,182 ;0,154 ;0,125 ;0,095 ;0,065 ;0,035 ;0,005

8,00 8,10 8,20 8,30 8,40 8,50 8,60 8,70 8,80 8,90 9,00 9,10 9,20 9,30 9,40 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,00 10,10 10,20 10,30 10,40 10,50 10,60 10,70 10,80 10,90 11,00 11,10 11,20 11,30 11,40 11,50 11,60 11,70 11,80 11,90 12,00

+0,172 +0,148 +0,122 +0,096 +0,069 +0,042 +0,015 ;0,013 ;0,039 ;0,065 ;0,090 ;0,114 ;0,137 ;0,158 ;0,177 ;0,194 ;0,209 ;0,222 ;0,232 ;0,240 ;0,246 ;0,249 ;0,250 ;0,248 ;0,243 ;0,237 ;0,228 ;0,216 ;0,203 ;0,188 ;0,171 ;0,153 ;0,133 ;0,112 ;0,090 ;0,068 ;0,045 ;0,021 +0,002 +0,025 +0,048

+0,235 +0,248 +0,258 +0,266 +0,271 +0,273 +0,273 +0,270 +0,264 +0,256 +0,245 +0,232 +0,217 +0,200 +0,182 +0,161 +0,140 +0,117 +0,093 +0,068 +0,043 +0,018 ;0,007 ;0,031 ;0,055 ;0,079 ;0,101 ;0,122 ;0,142 ;0,160 ;0,177 ;0,191 ;0,204 ;0,214 ;0,222 ;0,228 ;0,232 ;0,233 ;0,232 ;0,229 ;0,223

+0,027 +0,060 +0,092 +0,122 +0,151 +0,177 +0,202 +0,224 +0,243 +0,260 +0,274 +0,285 +0,293 +0,298 +0,300 +0,299 +0,295 +0,288 +0,279 +0,266 +0,252 +0,235 +0,215 +0,194

+0,025 +0,054 +0,083 +0,110 +0,135 +0,159 +0,181 +0,201 +0,219

dopolnenie II. specialxnye funkcii

766

~. IV

tABLICA 3

pOSLEDOWATELXNYE KORNI URAWNENIQ J0 (n) = 0 I SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQ jJ1 (n )j n

n

jJ1(n )j

n

n

jJ1(n )j

1 2 3 4 5

2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309

0,5191 0,3403 0,2715 0,2325 0,2065

6 7 8 9 10

18,0711 21,2116 24,3525 27,4935 30,6346

0,1877 0,1733 0,1617 0,1522 0,1442

zNA^ENIQ FUNKCIJ K0 (x) I K1(x)

tABLICA 4

x

K0 (x)

K1 (x)

x

K0 (x)

K1 (x)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

2,4271 1,7527 1,3725 1,1145 0,9244 0,7775 0,6605 0,5653 0,4867 0,4210 0,3656 0,3185 0,2782 0,2437 0,2138 0,1880 0,1655 0,1459 0,1288 0,1139 0,1008 0,0893 0,0791 0,0702 0,0623 0,0554 0,0492 0,0438 0,0390 0,0347

9,8538 4,7760 3,0560 2,1844 1,6564 1,3028 1,0503 0,8618 0,7165 0,6019 0,5098 0,4346 0,3725 0,3208 0,2774 0,2406 0,2094 0,1826 0,1597 0,1399 0,1227 0,1079 0,0950 0,0837 0,0739 0,0653 0,0577 0,0511 0,0453 0,0402

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0

0,0310 0,0276 0,0246 0,0220 0,0196 0,0175 0,0156 0,0140 0,0125 0,0112 0,0098 0,0089 0,0080 0,0071 0,0064 0,0057 0,0051 0,0046 0,0041 0,0037 0,0033 0,0030 0,0027 0,0024 0,0021 0,0019 0,0017 0,0015 0,0014 0,0012

0,0356 0,0316 0,0281 0,0250 0,0222 0,0198 0,0176 0,0157 0,0140 0,0125 0,0111 0,0099 0,0089 0,0079 0,0071 0,0063 0,0056 0,0051 0,0045 0,0040 0,0036 0,0032 0,0029 0,0026 0,0023 0,0021 0,0019 0,0017 0,0015 0,0013

III. grafiki specialxnyh funkcij

III. gRAFIKI SPECIALXNYH FUNKCIJ

rIS. 105. gRAFIKI FUNKCIJ bESSELQ J0 (x), J1 (x) I J2 (x)

rIS. 106. gRAFIKI FUNKCIJ nEJMANA N0 (x) I N1 (x)

767

768

dopolnenie II. specialxnye funkcii

~. IV

rIS. 107. gRAFIKI CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ MNIMOGO ARGUMENTA I0 (x), I1 (x), I2 (x), K0 (x), K1 (x)

rIS. 108. gRAFIKI POLINOMOW lEVANDRA

IV. razli~nye ortogonalxnye sistemy koordinat 769

IV. rAZLI^NYE ORTOGONALXNYE SISTEMY KOORDINAT pUSTX x, y, z | DEKARTOWY KOORDINATY NEKOTOROJ TO^KI, A x1 , x2 , x3 | KRIWOLINEJNYE ORTOGONALXNYE KOORDINATY \TOJ TO^KI. kWADRAT \LEMENTA DLINY WYRAVAETSQ FORMULOJ ds2 = dx2 + dy2 + dz 2 = h21 dx21 + h22 dx22 + h23 dx23
GDE

s 2  2  2 @x + @y + @z hi =

(i = 1
2
3) @xi @xi @xi | METRI^ESKIE KO\FFICIENTY, ILI KO\FFICIENTY lAM\. oRTOGONALXNAQ KOORDINATNAQ SISTEMA POLNOSTX@ HARAKTERIZUETSQ TREMQ METRI^ESKIMI KO\FFICIENTAMI h1 , h2 , h3 . pRIWEDEM OB]EE WYRAVENIE DLQ OPERATOROW grad, div, rot,  W ORTOGONALXNOJ KRIWOLINEJNOJ SISTEME KOORDINAT: grad u =



3 X

1 du i
h dx j

j =1 j

j



div A = h h1 h @x@ (h2 h3 A1 ) + @x@ (h3 h1 A2 ) + @x@ (h1 h2 A3 )
1 2 3 1 2 3

 h1i1 h2i2 h3i3    
 1 @ @ @ rot A = h h h   @x @x @x 1 2 3   1 2 3  h1 A1 h2 A2 h3 A3

u =  @  h2h3 @u  @  h3h1 @u  @  h1h2 @u  1 = h h h @x h1 @x1 + @x2 h2 @x2 + @x3 h3 @x3
1 2 3 1 GDE i1 , i2 , i3 | EDINI^NYE BAZISNYE WEKTORY, A = (A1
A2
A3 ) | PROIZWOLXNYJ WEKTOR, u | SKALQR. 1. p R Q M O U G O L X N Y E K O O R D I N A T Y: x1 = x
x2 = y
x3 = z
h1 = 1
h2 = 1
h3 = 1


@u @u grad u = @u @x i + @y j + @z k


49 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

@Ay @Az x div A = @A @x + @y + @z


770

dopolnenie II. specialxnye funkcii

 i  @ rot A =  @x   Ax

j @ @y Ay

k   @  =  @Az ; @Ay  i + : : :
@z  @y @z  Az 

~. IV

u = uxx + uyy + uzz


GDE i, j I k | NAPRAWLQ@]IE EDINI^NYE WEKTORY OSEJ x, y, z . 2. c I L I N D R I ^ E S K I E K O O R D I N A T Y x1 = r
x2 = '
x3 = z SWQZANY S PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI URAWNENIQMI x = r cos '
y = r sin '
z = z: kOORDINATNYE POWERHNOSTI: r = const | CILINDRY, ' = const | PLOSKOSTI, z = const | PLOSKOSTI. mETRI^ESKIE KO\FFICIENTY RAWNY h1 = 1
h2 = r
h3 = 1
TAK ^TO 1 @u @u grad u = @u @r i1 + r @' i2 + @z i3
@ (rA ) + 1 @A2 + @A3
div A = 1r @r 1 r @' @z rot A=   @A1 @A3   1 @  1 @A @A 1 @A 3 2 1 = r @' ; @z i1 + @z ; @r i2 + r @r (rA2 ) ; r @' i3






@ r @u + 1 @ 2 u + @ 2 u : u = 1r @r @r r2 @'2 @z 2

3. s F E R I ^ E S K I E K O O R D I N A T Y x1 = r
x2 = 


x3 = ' SWQZANY S PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI FORMULAMI x = r sin  cos '
y = r sin  sin '
z = r cos : kOORDINATNYE POWERHNOSTI: KONCENTRI^ESKIE SFERY r = const, PLOSKOSTI ' = const, KONUSY  = const. mETRI^ESKIE KO\FFICIENTY RAWNY h1 = 1
h2 = r
h3 = r sin 


IV. razli~nye ortogonalxnye sistemy koordinat 771

TAK ^TO

1 @u i + 1 @u i
grad u = @u i + 1 @r r @ 2 r sin  @' 3

@ (r2 A ) + 1 @ (sin A ) + 1 @A3
div A = r12 @r 1 2 r sin  @ r sin  @'



1 @ @A2 rot A = r sin  @ (sin A3 ) ; @'



1 @A1 r sin  @'

+1





;



i1 +







@ 1 @ @A1 @r (rA3 ) i2 + r @r (rA2 ) ; @ i3






@ r2 @u + 1 @ sin  @u + 1 @ 2 u : u = r12 @r @r r2 sin  @ @ r2 sin2  @'2 4. | L L I P T I ^ E S K I E K O O R D I N A T Y x1 = 
x2 = 
x3 = z

OPREDELQ@TSQ S POMO]X@ FORMUL PREOBRAZOWANIQ p x = c
y = c (2 ; 1)(1 ; 2 )
z = z
GDE c | MASTABNYJ MNOVITELX. mETRI^ESKIE KO\FFICIENTY RAWNY s2 2 r2 2  ;  h1 = c 2 ; 1
h2 = c 1 ;;2
h3 = 1: kOORDINATNYE POWERHNOSTI:  = const | CILINDRY \LLIPTI^ESKOGO SE^ENIQ S FOKUSAMI W TO^KAH x = c, y = 0  = const | SEMEJSTWO KONFOKALXNYH GIPERBOLI^ESKIH CILINDROW z = const | PLOSKOSTI. 5. p A R A B O L I ^ E S K I E K O O R D I N A T Y. eSLI r,  | POLQRNYE KOORDINATY TO^KI NA PLOSKOSTI, TO PARABOLI^ESKIE KOORDINATY MOGUT BYTX WWEDENY S POMO]X@ FORMUL p p x1 =  = 2r sin 2
x2 =  = 2r cos 2
x3 = z: kOORDINATNYE POWERHNOSTI  = const I  = const PREDSTAWLQ@T SOBOJ PERESEKA@]IESQ PARABOLI^ESKIE CILINDRY S OBRAZU@]IMI, PARALLELXNYMI OSI z . sWQZX S DEKARTOWYMI KOORDINATAMI DA@T FORMULY x = 12 (2 ; 2 )
y = 
z = z:

p

49


mETRI^ESKIE KO\FFICIENTY RAWNY h1 = h2 = 2 + 2 , h3 = 1.

dopolnenie II. specialxnye funkcii

772

~. IV

6. | L L I P S O I D A L X N Y E K O O R D I N A T Y. wWODQTSQ S POMO]X@ URAWNENIJ (a > b > c): x2 + y2 + z 2 = 1 ( > ;c2 ) (URAWNENIE \LLIPSOIDA), a2 +  b2 +  c2 + 

x2 2 a +

(URAWNENIE 2 2 + b2y+  + c2 z+  = 1 (;c2 >  > ;b2) POLOSTNOGO BOLOIDA),

ODNOGIPER-

URAWNENIE DWUHx2 + y2 + z 2 = 1 (;b2 >  > ;a2) (POLOSTNOGO GIPERa2 +  b2 +  c2 +  BOLOIDA). kAVDOJ TO^KE (x
y
z ) SOOTWETSTWUET TOLXKO ODNA SISTEMA ZNA^ENIJ , ,  . pARAMETRY x1 = , x2 = , x3 =  I NAZYWA@TSQ \LLIPSOIDALXNYMI KOORDINATAMI. kOORDINATY x, y, z WYRAVA@TSQ QWNO ^EREZ , ,  : x=

s

s

( + a2 ) ( + a2 ) ( + a2 )
y =  ( + b2 ) ( + b2 ) ( + b2 )
(b2 ; a2 ) (c2 ; a2 ) (c2 ; b2 ) (a2 ; b2 )

s

2 ) ( + c2 ) ( + c2 ) z =  ( +(ac2 ; c2 ) (b2 ; c2 ) : kO\FFICIENTY lAM\ RAWNY

h1 = 21

GDE

s

( ; ) ( ;  )
R2 ()

h3 = 12

s

h2 = 12

s

( ;  ) ( ; )
R2 ()

( ; ) ( ; )
R2 ( )

p

R(s) = (s + a2 ) (s + b2 ) (s + c2 ) (s = 

 ): oPERATOR lAPLASA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE    @ R() @u + u = ( ; ) ( ;4  ) ( ;  ) ( ;  ) R() @ @







@ R() @u + ( ; ) R( ) @ R( ) @u + ( ; ) R() @ @ @ @



:

IV. razli~nye ortogonalxnye sistemy koordinat 773

~ASTNOE REENIE URAWNENIQ lAPLASA, ZAWISQ]EE TOLXKO OT , U =

= U (), DAETSQ FORMULOJ

U =A

Z d

R() + B
GDE A I B | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. 7. w Y R O V D E N N Y E \ L L I P S O I D A L X N Y E K O O R D I N A T Y. A) wYROVDENNYE \LLIPSOIDALXNYE KOORDINATY (

') DLQ WYTQNUTOGO \LLIPSOIDA WRA]ENIQ OPREDELQ@TSQ PRI POMO]I FORMUL x = c sh sin  cos '
y = c sh sin  sin '
z = c ch cos 
GDE c | MASTABNYJ MNOVITELX, 0 6 < 1, 0 6  6 , ; < ' 6 . kOORDINATNYE POWERHNOSTI: WYTQNUTYE \LLIPSOIDY WRA]ENIQ = const, DWUHPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY WRA]ENIQ  = const I PLOSKOSTI ' = const. kWADRAT \LEMENTA DLINY DAETSQ WYRAVENIEM ds2 = c2 (sh2 + sin2  ) (d 2 + d 2 ) + c2 sh2 sin2  d'2
OTKUDA DLQ METRI^ESKIH KO\FFICIENTOW POLU^A@TSQ ZNA^ENIQ

q

h1 = h2 = c sh2 + sin2 
h3 = h' = c sh sin : uRAWNENIE lAPLASA IMEET WID  1 @  @u  1 @  @u  u = 2 2 1 2 sh @ + sin  @ sin  @ + c (sh + sin  ) sh @







@ 2 u = 0: 1 + 1 2 2 sh sin  @'2 B) sISTEMA WYROVDENNYH \LLIPSOIDALXNYH KOORDINAT (

') DLQ SPL@SNUTOGO \LLIPSOIDA WRA]ENIQ OPREDELQETSQ S POMO]X@ RA+

WENSTW x = c ch sin  cos '
y = c ch sin  sin '
z = c sh cos 
0 6 < 1
0 6  6 
; < ' 6 : kOORDINATNYE POWERHNOSTI: SPL@SNUTYE \LLIPSOIDY WRA]ENIQ = const, ODNOPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY WRA]ENIQ  = const I PLOSKOSTI ' = const, PROHODQ]IE ^EREZ OSX z . kWADRAT LINEJNOGO \LEMENTA I OPERATOR lAPLASA W RASSMATRIWAEMOJ SISTEME KOORDINAT IME@T WID ds2 = c2 (ch2 ; sin2  ) (d 2 + d 2 ) + c2 ch2 sin2  d'2
 1 @  @u  1 @  @u  1 u = 2 2 ch @ + sin  @ sin  @ + c (ch ; sin2  ) ch @

774

dopolnenie II. specialxnye funkcii



1 sin2 

; ch12

~. IV

 @2u 

@'2 : 8. t O R O I D A L X N Y E K O O R D I N A T Y. sISTEMA TOROIDALXNYH KOORDINAT (

') OPREDELQETSQ PRI POMO]I FORMUL c sh cos '
y = c sh sin '
z = c sin 
x = ch ; cos  ch ; cos  ch ; cos  GDE c | MASTABNYJ MNOVITELX, 0 6 < 1, ; <  6 , ; < ' 6 . kOORDINATNYE POWERHNOSTI SUTX TORY = const:  2  p 2 2 = x +y
( ; c cth )2 + z 2 = shc SFERY  = const:  c 2 2 2 (z ; c ctg  ) +  = sin 
PLOSKOSTI ' = const. wYRAVENIE DLQ KWADRATA LINEJNOGO \LEMENTA IMEET WID 2 ds2 = (ch ;c cos  )2 d 2 + d 2 + sh2 d'2 ]
METRI^ESKIE KO\FFICIENTY RAWNY h = h = ch ;c cos 
h' = ch c sh ; cos 
I OPERATOR lAPLASA DAETSQ SLEDU@]IM WYRAVENIEM:  sh @u  @  sh @u  @ u = @ ch ; cos  @ + @ ch ; cos  @ + 1 @2u : + (ch ; cos  ) sh @'2 uDOBNO WWODITX WMESTO u NOWU@ FUNKCI@ v S POMO]X@ SOOTNOENIQ p u = 2 ch ; 2 cos   v
PRI \TOM URAWNENIE u = 0 PRIWODITSQ K URAWNENI@ +

v + v + v cth + 41 v + 12 v'' = 0: sh 9. b I P O L Q R N Y E K O O R D I N A T Y. A) bIPOLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI. pEREMENNYE x1 =
x2 = 
x3 = z

IV. razli~nye ortogonalxnye sistemy koordinat 775

NAZYWA@TSQ BIPOLQRNYMI KOORDINATAMI, ESLI IME@T MESTO RAWENSTWA sh
 x = ch a ; y = ch a sin cos  ; cos 
z = z: mETRI^ESKIE KO\FFICIENTY RAWNY h1 = h2 = ch ;a cos  , h3 = 1. B) bISFERI^ESKIE KOORDINATY x1 = , x2 =  , x3 = ' OPREDELQ@TSQ PRI POMO]I FORMUL c sin cos '
y = c sin sin '
z = c sh 
x = ch  ; cos ch  ; cos ch  ; cos GDE c | POSTOQNNYJ MNOVITELX, 0 6 <  , ;1 <  < 1, ; < ' 6 . |TI FORMULY MOVNO PREDSTAWITX W KOMPAKTNOJ FORME:  p 2 2 = x +y : z + i = c i ctg + i 2

kOORDINATNYE POWERHNOSTI SUTX WERETENOOBRAZNYE POWERHNOSTI WRA]ENIQ = const:  2 ( ; c ctg )2 + z 2 = sinc
SFERY  = const:  c 2 2 2  + (z ; c ctg  ) = sh 
PLOSKOSTI ' = const. wYRAVENIE DLQ KWADRATA LINEJNOGO \LEMENTA W BISFERI^ESKIH KOORDINATAH IMEET WID 2 ds2 = (ch  ;c cos )2 d 2 + d 2 + sin2 d'2 ]
OTKUDA SLEDUET
h1 = h2 = ch  ;c cos
h3 = ch c sin ; cos I URAWNENIE lAPLASA PRINIMAET WID  sin @u  @ @ ch  ; cos @ +  sin @u  @ @ 2 u = 0: + @ ch  ; cos @ + sin (ch 1 ; cos ) @' 2 pRI REENII URAWNENIQ lAPLASA UDOBNA PODSTANOWKA p u = 2 ch  ; 2 cos  v:

dopolnenie II. specialxnye funkcii

776

~. IV

tOGDA DLQ FUNKCII v POLU^AETSQ URAWNENIE v + v + v ctg ; 14 v + 12 v'' = 0: sin 10. s F E R O I D A L X N Y E K O O R D I N A T Y. A) wYTQNUTYE SFEROIDALXNYE KOORDINATY: x1 = 
x2 = 
x3 = '


p

p

x = c
y = c (2 ; 1)(1 ; 2 ) cos '
z = c (2 ; 1)(1 ; 2 ) sin '
 > 1
;1 6  6 1
0 6 ' 6 2


r

s

2 2 2 2 p h1 = c 2;;1
h2 = c 1 ;;2
h3 = c (2 ; 1)(1 ; 2 ): B) sPL@SNUTYE SFEROIDALXNYE KOORDINATY: x1 = 
x2 = 
x3 = '


p

x = c sin '
y = c (2 ; 1)(1 ; 2 )
z = c cos ': pOWERHNOSTI  = const | SPL@SNUTYE SFEROIDY,  = const | ODNOPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY. mETRI^ESKIE KO\FFICIENTY RAWNY s2 2 r2 2  ;  h1 = c 2 ; 1
h2 = c 1 ;;2
h3 = c: 11. p A R A B O L O I D N Y E K O O R D I N A T Y. pEREMENNYE x1 = 
x2 = 
x3 = '
OPREDELQEMYE SOOTNOENIQMI

x =  cos '
y =  sin '
z = 12 (2 ; 2 )
NAZYWA@TSQ PARABOLOIDNYMI p KOORDINATAMI. mETRI^ESKIE KO\FFICIENTY RAWNY h1 = h2 = 2 + 2 , h3 = . kOORDINATNYE POWERHNOSTI  = const,  = const QWLQ@TSQ PARABOLOIDAMI WRA]ENIQ WOKRUG OSI SIMMETRII Oz .

d o p o l n e n i e III

obob}ennye re{eniq kraewyh zada~ w PREDYDU]IH GLAWAH KNIGI RASSMATRIWALISX W OSNOWNOM KLASSI^ESKIE REENIQ KRAEWYH ZADA^, T. E. REENIQ, IME@]IE WSE NEPRERYWNYE PROIZWODNYE NUVNOGO PORQDKA I UDOWLETWORQ@]IE URAWNENI@, GRANI^NYM I NA^ALXNYM USLOWIQM W KAVDOJ TO^KE RASSMATRIWAEMYH MNOVESTW. rASSMOTRENIE TAKIH REENIJ NAKLADYWAET SU]ESTWENNYE OGRANI^ENIQ NA ISHODNYE DANNYE ZADA^I. wMESTE S TEM PRI WYWODE OSNOWNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (SM., NAPRIMER, GL. II, x 2, P. 9) BYLO POKAZANO, ^TO ESLI ISHODITX NE IZ DIFFERENCIALXNYH, A IZ INTEGRALXNYH URAWNENIJ, TO KLASS REENIJ, A ZNA^IT, I KLASS ISHODNYH KRAEWYH ZADA^ MOVNO SU]ESTWENNO RASIRITX. tAKIE REENIQ NAZYWA@T OBOB]ENNYMI. w ZAWISIMOSTI OT RASSMATRIWAEMYH INTEGRALXNYH URAWNENIJ POLU^A@T RAZLI^NYE KLASSY OBOB]ENNYH REENIJ. iZU^IM WOPROS OB OPREDELENII, SU]ESTWOWANII I EDINSTWENNOSTI W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NEKOTOROGO OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE IZ KLASSA FUNKCIJ sOBOLEWA DLQ URAWNENIQ pUASSONA u = f . dLQ REENIQ \TOGO WOPROSA OKAZYWAETSQ NEDOSTATO^NO PONQTIQ INTEGRALA W SMYSLE rIMANA I TREBUETSQ BOLEE OB]EE OPREDELENIE INTEGRALA (W SMYSLE lEBEGA). kROME TOGO, NAM PONADOBITSQ PONQTIE OBOB]ENNOJ ^ASTNOJ PROIZWODNOJ OT FUNKCII MNOGIH PEREMENNYH. pO\TOMU IZLOVENI@ TEORII OBOB]ENNYH REENIJ ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ pUASSONA BUDET PREDESTWOWATX KRATKOE IZLOVENIE PONQTIJ INTEGRALA lEBEGA, OBOB]ENNYH ^ASTNYH PROIZWODNYH I NEKOTORYH FUNKCIONALXNYH PROSTRANSTW1).

x 1. nEKOTORYE PONQTIQ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA

1. wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ OB INTEGRALE lEBEGA, OBOB]ENNOJ ^ASTNOJ PROIZWODNOJ I NEKOTORYH FUNKCIONALXNYH PROSTRANSTWAH. pUSTX G | PROIZWOLXNAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX W N

N -MERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE E (N | NEKOTOROE NATURALXNOE 1) bOLEE PODROBNO IZLOVENIE \TIH PONQTIJ SM. W KN.: s O B O L E W s. l. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m., 1992. lEKCIQ 6 s M I R N O W w. i. kURS WYSEJ MATEMATIKI. t. V. m., 1981.

778 dopolnenie III. obob}ennye re{eniq kraewyh zada~

^ISLO), A f (x) = f (x1
x2
: : :
xN ) | PROIZWOLXNAQ, ZADANNAQ W \TOJ OBLASTI NEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ. oBOZNA^IM ^EREZ F PROIZWOLXNOE ZAMKNUTOE PODMNOVESTWO TO^EK OBLASTI G, NA KOTOROM FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA. tOGDA SU]ESTWUET INTEGRAL rIMANA

ZZ

Z

: : : f (x1
x2
: : :
xN ) dx1 dx2 : : : dxN


F

KOTORYJ MY KRATKO BUDEM OBOZNA^ATX SIMWOLOM

Z

F

f (x) dx:

(1)

nAZOWEM W N U T R E N N I M I N T E G R A L O M OT NEOTRICATELXNOJ FUNKCII f (x) PO OBLASTI G TO^NU@ WERHN@@ GRANX (ESLI ONA SU]ESTWUET) INTEGRALOW rIMANA (1) PO WSEM PRINADLEVA]IM OBLASTI G ZAMKNUTYM MNOVESTWAM F , NA KOTORYH f (x) NEPRERYWNA, T. E. WELI^INU

0Z 1 sup @ f (x) dxA : F G F

(2)

wNUTRENNIJ INTEGRAL OT NEOTRICATELXNOJ FUNKCII f (x) PO OBLASTI G BUDEM OBOZNA^ATX SIMWOLOM

Z

WN. f (x) dx: iTAK, PO OPREDELENI@ WN.

Z

G

G

(3)

0Z 1 f (x) dx = sup @ f (x) dxA : F G F

qSNO, ^TO ESLI f (x)  M = const > 0 W OBLASTI G, TO DLQ TAKOJ FUNKCII SU]ESTWUET TO^NAQ WERHNQQ GRANX (2), A POTOMU SU]ESTWUET WNUTRENNIJ INTEGRAL (3), RAWNYJ M mes G, GDE mes G | N -MERNYJ OB_EM OBLASTI G. dALEE, NETRUDNO WIDETX, ^TO ESLI DLQ FUNKCII f (x) SU]ESTWUET WNUTRENNIJ INTEGRAL PO OBLASTI G, A M > 0 | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ, TO I DLQ FUNKCII f (x) + M SU]ESTWUET WNUTRENNIJ INTEGRAL PO OBLASTI G. nEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ f (x) = f (x1
x2
: : :
xN ) NAZYWAETSQ I N T E G R I R U E M O J P O l E B E G U W OBLASTI G, ESLI DLQ \TOJ FUNKCII SU]ESTWUET PO OBLASTI G WNUTRENNIJ INTEGRAL (3) I DLQ L@BOJ

x 1] nekotorye ponqtiq funkcionalxnogo analiza 779

POSTOQNNOJ M > 0 SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

Z

Z

Z

G

G

G

WN. f (x) + M ] dx = WN. f (x) dx + WN. M dx:

(4)

pRI \TOM WNUTRENNIJ INTEGRAL (3) NAZYWAETSQ I N T E G R A L O M l E B EG A OT FUNKCII f (x) PO OBLASTI G I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM

Z

G

f (x) dx:

(5)

pROIZWOLXNAQ ZADANNAQ W OBLASTI G FUNKCIQ f (x), PRINIMA@]AQ W \TOJ OBLASTI ZNA^ENIQ L@BYH ZNAKOW, NAZYWAETSQ I N T E G R IR U E M O J P O l E B EG U W OBLASTI G, ESLI KAVDAQ IZ DWUH NEOTRICATELXNYH FUNKCIJ f + (x) = jf (x)j 2+ f (x) I f ; (x) = jf (x)j 2; f (x) INTEGRIRUEMA PO lEBEGU W OBLASTI G. pRI \TOM RAZNOSTX INTEGRALOW lEBEGA OT UKAZANNYH NEOTRICATELXNYH FUNKCIJ

Z

G

f + (x) dx

;

Z

G

f ; (x) dx

NAZYWAETSQ I N T E G R A L O M l E B E G A OT FUNKCII f (x) PO OBLASTI G I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM (5). fUNKCI@ f (x) NAZYWA@T I Z M E R I M O J W OBLASTI G, ESLI DLQ L@BOGO " > 0 U OBLASTI G SU]ESTWUET ZAMKNUTOE PODMNOVESTWO F" , NA KOTOROM FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA I MERA mes F" 1) KOTOROGO OTLI^AETSQ OT MERY mes G OBLASTI G MENXE, ^EM NA " 2) . oKAZYWAETSQ, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f (x), OBLADA@]AQ W OGRANI^ENNOJ OBLASTI G WNUTRENNIM INTEGRALOM (3), BYLA INTEGRIRUEMA W \TOJ OBLASTI PO lEBEGU, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA QWLQLASX IZMERIMOJ W \TOJ OBLASTI. dOSTATO^NOSTX \TOGO USLOWIQ DOKAZYWAETSQ SOWSEM PROSTO. w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM PRI N = 1 NA INTERWALE G = = (0
1) TAK NAZYWAEMU@ FUNKCI@ dIRIHLE ( 1
ESLI x IRRACIONALXNO, f (x) = 0
ESLI x RACIONALXNO. 1) 2)

R

mERU mes F" MOVNO OPREDELITX KAK INTEGRAL F" 1 dx. |TO OPREDELENIE IZMERIMOJ FUNKCII PRINADLEVIT WYDA@]EMUSQ MATEMATIKU, SOZDATEL@ MOSKOWSKOJ MATEMATI^ESKOJ KOLY nIKOLA@ nIKOLAEWI^U lUZINU (1883 | 1950).

780 dopolnenie III. obob}ennye re{eniq kraewyh zada~

hOROO IZWESTNO, ^TO \TA FUNKCIQ NE INTEGRIRUEMA PO rIMANU NA SEGMENTE 0
1]. ~TOBY UBEDITXSQ, ^TO ONA INTEGRIRUEMA NA G = (0
1) PO lEBEGU, FIKSIRUEM PROIZWOLXNOE DOSTATO^NO MALOE " > 0 I PRONUMERUEM WSE RACIONALXNYE TO^KI, LEVA]IE NA SEGMENTE "=4
1 ; "=4]. nA ZAMKNUTOM MNOVESTWE F" , POLU^A@]EMSQ WY^ITANIEM IZ "=4
1 ; "=4] SIMMETRI^NOJ "=8-OKRESTNOSTI PERWOJ RACIONALXNOJ TO^KI, SIMMETRI^NOJ "=16-OKRESTNOSTI WTOROJ RACIONALXNOJ R TO^KI I T. D., FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA I RAWNA EDINICE. pO\TOMU F" f (x) dx SU]ESTWUET I EGO ZNA^ENIE LEVIT W INTERWALE (1 ; "
1 ; "=2). tAK KAK " PROIZWOLXNO, OTS@DA SLEDUET, ^TO WNUTRENNIJ INTEGRAL (3), RAWNYJ TO^NOJ WERHNEJ GRANI (2), SU]ESTWUET I RAWEN 1. o^EWIDNO TAKVE WYPOLNENIE RAWENSTWA (4). k PONQTI@ INTEGRALA lEBEGA MOVNO PRIJTI I IZ DRUGIH SOOBRAVENIJ. rASSMOTRIM MNOVESTWO WSEH NEPRERYWNYH W OGRANI^ENNOJ OBLASTI G FUNKCIJ f (x) I WWEDEM DLQ KAVDOJ IZ \TIH FUNKCIJ NORMU, POLOVIW EE RAWNOJ

Z

kf k = jf (x)j dx
G

(6)

T. E. PREWRATIM \TO MNOVESTWO W NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO. nAPOMNIM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f fn g \LEMENTOW PROIZWOLXNOGO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ F U N D A M E N T A L X N O J, ESLI PRI NEZAWISIMOM STREMLENII DWUH NOMEROW m I n K BESKONE^NOSTI SU]ESTWUET PREDEL lim kfm ; fn k = 0: m !1 n!1

pROIZWOLXNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ P O LN Y M, ESLI DLQ L@BOJ FUNDAMENTALXNOJ POSLEDOWATELXNOSTI f fn g \TOGO PROSTRANSTWA SU]ESTWUET \LEMENT \TOGO PROSTRANSTWA f , K KOTOROMU SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX f fn g PO NORME, T. E. W SMYSLE SOOTNOENIQ kfn ; f k = 0: (7) nlim !1 lEGKO UBEDITXSQ, ^TO NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO WSEH NEPRERYWNYH W OBLASTI G FUNKCIJ S NORMOJ (6) NE QWLQETSQ POLNYM (IBO FUNDAMENTALXNAQ W SMYSLE NORMY (6) POSLEDOWATELXNOSTX NEPRERYWNYH W G FUNKCIJ, WOOB]E GOWORQ, NE SHODITSQ W SMYSLE (7) K NEPRERYWNOJ W OBLASTI G FUNKCII f (x)). w SILU TEOREMY hAUSDORFA L@BOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO MOVET BYTX RASIRENO DO POLNOGO. eSTESTWENNO WOZNIKAET IDEQ | RASIRITX UKAZANNOE PROSTRANSTWO S NORMOJ (6), POPOLNIW EGO NOWYMI \LEMENTAMI, TAK, ^TOBY RASIRENNOE PROSTRANSTWO STALO POLNYM. iNTEGRIRUEMOSTI PO rIMANU DLQ TAKOGO RASIRENIQ NEDOSTATO^NO: ESLI RASIRITX PROSTRANSTWO WSEH

x 1] nekotorye ponqtiq funkcionalxnogo analiza 781

NEPRERYWNYH W OBLASTI G FUNKCIJ S NORMOJ (6), POPOLNIW EGO WSEMI FUNKCIQMI, ABSOL@TNO INTEGRIRUEMYMI W OBLASTI G PO rIMANU, RASIRENNOE PROSTRANSTWO BUDET PRODOLVATX OSTAWATXSQ NEPOLNYM. tOLXKO DOPOLNIW UKAZANNOE PROSTRANSTWO WSEMI FUNKCIQMI, INTEGRIRUEMYMI W OBLASTI G PO lEBEGU, MY PREWRATIM EGO W POLNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO S NORMOJ (6). tAKOE PROSTRANSTWO PRINQTO OBOZNA^ATX SIMWOLOM L1 (G). tAKIM OBRAZOM, INTEGRAL lEBEGA SOWERENNO ESTESTWENNO WOZNIKAET PRI RASIRENII MNOVESTWA WSEH NEPRERYWNYH W OBLASTI G FUNKCIJ S NORMOJ (6) DO POLNOGO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA. 2. fUNKCIONALXNYE PROSTRANSTWA. w PRILOVENIQH KROME PROSTRANSTWA L1 (G) BOLXU@ ROLX IGRAET DRUGOE PROSTRANSTWO, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ OPREDELENNYE W OBLASTI G FUNKCII, KWADRATY KOTORYH PRINADLEVAT L1 (G). |TO PROSTRANSTWO QWLQETSQ POLNYM W SMYSLE NORMY

0Z 11=2 kf k = @ jf (x)j2 dxA
G

I EGO PRINQTO OBOZNA^ATX SIMWOLOM L2 (G). dLQ WWEDENIQ OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE NAM PONADOBITSQ E]E 1ODNO POLNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, OBOZNA^AEMOE SIMWOLOM W2 (G) I POLU^AEMOE POPOLNENIEM MNOVESTWA WSEH FUNKCIJ f (x), IME@]IH W OBLASTI G NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE 1-GO PORQDKA I NORMU, OPREDELQEMU@ RAWENSTWOM

8Z " 91 N  @f (x) 2 # = =2 < X kf k = : jf (x)j2 +  @xk  dx : k=1 G

(8)

oKAZYWAETSQ, TAKOE POPOLNENIE BUDET SOSTOQTX IZ FUNKCIJ, IME@]IH W OBLASTI G PRINADLEVA]IE L2 (G) ^ASTNYE PROIZWODNYE 1-GO PORQDKA W NEKOTOROM OBOB]ENNOM SMYSLE1) . dLQ WWEDENIQ OBOB]ENNYH ^ASTNYH PROIZWODNYH OBOZNA^IM ^EREZ  (1) C (G) MNOVESTWO WSEH FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W OBLASTI G, IME@]IH W \TOJ OBLASTI NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE 1-GO PORQDKA I OTLI^NYH OT NULQ TOLXKO NA NEKOTOROM KOMPAKTE OTKRYTOJ OBLASTI G (T. E. RAWNYH NUL@ W NEKOTOROJ POGRANI^NOJ POLOSE OBLASTI G). tOGDA, ESLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA W OBLASTI G I IMEET NEPRERYWNU@ W \TOJ OBLASTI ^ASTNU@ PROIZWODNU@ @f=@xk , TO W SILU 1) wPERWYE PONQTIE ^ASTNYH PROIZWODNYH W OBOB]ENNOM SMYSLE BYLO WWE-

DENO s. l. sOBOLEWYM.

782 dopolnenie III. obob}ennye re{eniq kraewyh zada~

FORMULY oSTROGRADSKOGO | gAUSSA DLQ L@BOJ FUNKCII ' (x) IZ MNO VESTWA C (1) (G) SPRAWEDLIWO TOVDESTWO Z Z @f (x) @' ( x ) f (x) @x dx = ; @x ' (x) dx: k k G

G

|TO TOVDESTWO LEVIT W OSNOWE OPREDELENIQ OBOB]ENNOJ ^ASTNOJ PROIZWODNOJ. eSLI SU]ESTWUET INTEGRIRUEMAQ W OBLASTI G PO lEBEGU FUNKCIQ g (x), TAKAQ, ^TO DLQ DANNOJ INTEGRIRUEMOJ PO lEBEGU FUNKCII  f (x) I DLQ L@BOJ FUNKCII ' (x) IZ MNOVESTWA C (1) (G) SPRAWEDLIWO TOVDESTWO Z Z @' ( x ) f (x) @x dx = ; g (x) ' (x) dx
k G

G

TO FUNKCIQ g (x) NAZYWAETSQ O B O B ] E N N O J ^ A S T N O J P R O I Z W O D N O J FUNKCII f (x) PO PEREMENNOJ xk I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM @f=@xk . pROSTRANSTWOM W21 (G) NAZYWAETSQ POLNOE W SMYSLE NORMY (8) PROSTRANSTWO, POLU^AEMOE POPOLNENIEM MNOVESTWA WSEH FUNKCIJ f (x), NEPRERYWNYH W OBLASTI G I IME@]IH W \TOJ OBLASTI NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE 11-GO PORQDKA. pROSTRANSTWO W2 (G) SOSTOIT IZ WSEH PRINADLEVA]IH KLASSU L2 (G) FUNKCIJ f (x), IME@]IH PRINADLEVA]IE KLASSU L2 (G) OBOB]ENNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE 1-GO PORQDKA. kROME W21 (G) NAM PONADOBITSQ EGO PODPROSTRANSTWO, OBOZNA^AE MOE SIMWOLOM W 12 (G) I POLU^AEMOE POPOLNENIEM PO TOJ VE NORME (8)  MNOVESTWA WSEH FUNKCIJ IZ KLASSA C (1) (G), RAWNYH NUL@ W POGRANI^NYH POLOSAH OBLASTI G.

x 2. oBOB]ENNOE REENIE ZADA^I dIRIHLE

DLQ URAWNENIQ pUASSONA 1. oPREDELENIE OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE.

pUSTX G | PROIZWOLXNAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX W N -MERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE E N , OT GRANICY ; KOTOROJ NE TREBUETSQ NIKAKOJ GLADKOSTI. w \TOJ OBLASTI MY RASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLE (T. E. PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U) DLQ URAWNENIQ pUASSONA: ( u = ;f (W OBLASTI G), (1) u j; = ':

x 2]

obob}ennoe re{enie zada~i dirihle

783

pRI \TOM f (x) | ZADANNAQ FUNKCIQ IZ KLASSA L2 (G), A ' (x) | ZADANNAQ WO WSEJ OBLASTI G + ; FUNKCIQ, PRINADLEVA]AQ PROSTRANSTWU W21 (G) I IME@]AQ NA GRANICE ; OBLASTI G SLED, SOWPADA@]IJ SO ZNA^ENIEM REENIQ u (x) (TAKU@ FUNKCI@ ' (x) NAZYWA@T D O P U S T I M O J). dADIM DWA OPREDELENIQ OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE (1). dLQ SOKRA]ENIQ ZAPISI WWEDEM W RASSMOTRENIE SLEDU@]IE DWA FUNKCIONALA , PERWYJ IZ KOTORYH OPREDELEN NA L@BOJ PARE FUNKCIJ IZ KLASSA W21 (G), A WTOROJ | NA L@BOJ PARE FUNKCIJ IZ KLASSA L2 (G): ZX N @u @ E (u
) = dx
(2) k=1 @xk @xk G

Z

H (f
) = f (x)  (x) dx:

(3)

G

o P R E D E L E N I E 1. nAZOWEM O B O B ] E N N Y M R E  E N I E M ZADA^I dIRIHLE (1) FUNKCI@ u (x), UDOWLETWORQ@]U@ SLEDU@]IM DWUM TREBOWANIQM:  1) u (x) ; ' (x) 2 W 12 (G)  2) DLQ L@BOJ FUNKCII  (x) IZ KLASSA W 12 (G) FUNKCIQ u (x) UDOWLETWORQET INTEGRALXNOMU TOVDESTWU ZX Z N @u @ dx ; f (x)  (x) dx = 0: (4) k=1 @xk @xk G

G

s POMO]X@ OBOZNA^ENIJ (2) I (3) TOVDESTWO (4) MOVNO ZAPISATX W WIDE E (u
) ; H (f
) = 0: (5) o P R E D E L E N I E 2. nAZOWEM O B O B ] E N N Y M R E  E N I E M ZADA^I dIRIHLE (1) FUNKCI@ u (x), KOTORAQ DOSTAWLQET MINIMUM FUNKCIONALU1) ZX Z N  @v 2 E (v
v) ; 2 H (f
v) = dx ; 2 f (x) v (x) dx (6) k=1 @xk G

G

W KLASSE WSEH FUNKCIJ v (x), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@  v (x) ; ' (x) 2 W 12 (G): 1)

(7)

fUNKCIONAL (6) PRINQTO NAZYWATX I N T E G R A L O M d I R I H L E ILI O SN O W N Y M \ N E R G E T I ^ E S K I M F U N K C I O N A L O M.

784 dopolnenie III. obob}ennye re{eniq kraewyh zada~ 

z A M E ^ A N I E. tAK KAK PROSTRANSTWO W 12 (G) QWLQETSQ PODPROSTRANSTWOM W21 (G), TO OBOB]ENNOE REENIE (I PO OPREDELENI@ 1, I PO OPREDELENI@ 2) PRINADLEVIT PROSTRANSTWU W21 (G). t E O R E M A (O B \ K W I W A L E N T N O S T I D W U H O P R E D E L E N I J O BO B ] E N N O G O R E  E N I Q). dWA OPREDELENIQ OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE (1) \KWIWALENTNY . d O K A Z A T E L X S TW O. 1 . sNA^ALA DOKAVEM, ^TO ESLI u (x) | OBOB]ENNOE REENIE ZADA^I (1) PO OPREDELENI@ 1, TO \TA VE FUNKCIQ QWLQETSQ OBOB]ENNYM REENIEM ZADA^I (1) I PO OPREDELENI@ 2. zAMETIM, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII u (x) IZ KLASSA W21 (G) I L@BOJ  FUNKCII  (x) IZ KLASSA W 12 (G) SPRAWEDLIWO TOVDESTWO E (u + 
u + ) ; 2 H (f
u + ) =     = E (u
u) ; 2 H (f
u) + 2 E (u
) ; H (f
) + E (
): (8) tAK KAK DLQ u (x) SPRAWEDLIWO TOVDESTWO (5) I E (
) > 0, TO IZ (8) POLU^IM NERAWENSTWO E (u + 
u + ) ; 2 H (f
u + ) > E (u
u) ; 2 H (f
u): (9) l@BU@ FUNKCI@ v (x), UDOWLETWORQ@]U@ USLOWI@ (7), W SILU  TOGO, ^TO u (x) ; ' (x) 2 W 12 (G), MOVNO PREDSTAWITX W WIDE v (x) =  = u (x) +  (x), GDE  (x) | NEKOTORAQ FUNKCIQ IZ W 12 (G). pO\TOMU DLQ L@BOJ FUNKCII v (x), UDOWLETWORQ@]EJ USLOWI@ (7), POLU^IM IZ (9) E (v
v) ; 2 H (f
v) > E (u
u) ; 2 H (f
u)
A \TO I OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ u (x) DOSTAWLQET MINIMUM FUNKCIONALU (6) W KLASSE WSEH FUNKCIJ v (x), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ (7), T. E. u (x) QWLQETSQ OBOB]ENNYM REENIEM ZADA^I (1) PO OPREDELENI@ 2. 2 . dOKAVEM TEPERX OBRATNOE UTWERVDENIE, T. E. DOKAVEM, ^TO ESLI u (x) QWLQETSQ OBOB]ENNYM REENIEM ZADA^I (1) PO OPREDELENI@ 2, TO \TA VE FUNKCIQ u (x) QWLQETSQ OBOB]ENNYM REENIEM ZADA^I (1) I PO OPREDELENI@ 1. tAK KAK TOVDESTWO (8) SPRAWEDLIWO DLQ u (x) 2 W21 (G) I DLQ L@ BOJ FUNKCII  (x) IZ KLASSA W 12 (G), TO W \TOM TOVDESTWE MOVNO ZAMENITX  (x) NA "  (x), GDE  (x) | SNOWA L@BAQ FUNKCIQ IZ KLASSA  W 12 (G), A " | L@BOE WE]ESTWENNOE ^ISLO. pRI \TOM TOVDESTWO (8) PRINIMAET WID



E (u + " 
u + " ) ; 2 H (f
u + " )



 

;



E (u
u) ; 2 H (f
u) =



= 2" E (u
) ; H (f
) + "2 E (
):

(10)

x 2]

obob}ennoe re{enie zada~i dirihle

785

tAK KAK W SILU OPREDELENIQ 2 u (x) DOSTAWLQET MINIMUM FUNKCIONALU (6), TO LEWAQ ^ASTX (10) NEOTRICATELXNA. pO\TOMU DLQ L@BOGO  WE]ESTWENNOGO ^ISLA " I L@BOJ FUNKCII  (x) IZ KLASSA W 12 (G)





2" E (u
) ; H (f
) + "2 E (
) > 0:

(11)

nAM DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO u (x) UDOWLETWORQET TOVDESTWU (5), T. E. DOKAZATX, ^TO WYRAVENIE W KWADRATNYH SKOBKAH W (11) OBRA]AETSQ  W NULX DLQ L@BOJ FUNKCII  (x) IZ KLASSA W 12 (G). pREDPOLOVIM, ^TO  DLQ NEKOTOROJ FUNKCII  (x) IZ KLASSA W 12 (G) UKAZANNOE WYRAVENIE W (11) OTLI^NO OT NULQ. tOGDA, WZQW DLQ \TOJ FUNKCII  (x) ^ISLO " PROTIWOPOLOVNYM PO ZNAKU WELI^INE E (u
) ; H (f
) I RAWNYM PO MODUL@

j"j =

    E (u
) ; H (f
) 


E (
) MY POLU^IM, ^TO WELI^INA, STOQ]AQ W LEWOJ ^ASTI (11), STROGO OTRICATELXNA, A \TO PROTIWORE^IT NERAWENSTWU (11). pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET, ^TO WYRAVENIE W KWADRATNYH SKOBKAH W (11) RAWNO  NUL@ DLQ L@BOJ FUNKCII  (x) IZ KLASSA W 12 (G), T. E. SPRAWEDLIWO TOVDESTWO (5), I u (x) QWLQETSQ OBOB]ENNYM REENIEM ZADA^I (1) PO OPREDELENI@ 1. tEOREMA DOKAZANA. 2. dWA OSNOWNYH NERAWENSTWA. 1. n E R A W E N S T W O p U A N K A R E. pUSTX G | PROIZWOLXNAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX W E N : tOGDA DLQ WSEH FUNKCIJ  (x) IZ KLASSA  W 12 (G) NAJDETSQ POSTOQNNAQ 
TAKAQ, ^TO DLQ WELI^IN, OPREDELQEMYH SOOTNOENIQMI (2) I (3), SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO H (
) 6  E (
)
(12) NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM pUANKARE. d O K A Z A T E L X S TW O. dOSTATO^NO DOKAZATX NERAWENSTWO (12) DLQ  L@BOJ FUNKCII  (x) IZ KLASSA C (1) (G) (T. E. DLQ L@BOJ FUNKCII, IME@]EJ W OBLASTI G NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE 1-GO PORQDKA I RAWNOJ NUL@ WS@DU W NEKOTOROJ POGRANI^NOJ POLOSE OBLASTI G),   IBO PROSTRANSTWO W 12 (G) POLU^AETSQ POPOLNENIEM C (1) (G) PO NORME (8) IZ x 1.  rASSMOTRIM L@BU@ FUNKCI@  (x) IZ KLASSA C (1) (G) I PRODOLVIM \TU FUNKCI@ NULEM NA NEKOTORYJ KWADRAT SO STORONOJ 2 : ; 6 xk 6 , k = 1
2
: : :
N , WNUTRI KOTOROGO SODERVITSQ RASSMATRIWAEMAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX G. tOGDA PO FORMULE nX@TONA | 50 a. n. tIHONOW, a. a. sAMARSKIJ

786 dopolnenie III. obob}ennye re{eniq kraewyh zada~

lEJBNICA  (y) =  (y1
y2
: : :
yN ) = =

Zyk @ (y1
y2
: : :
yk;1
xk
yk+1
: : :
yN ) @xk

;

dxk

I POTOMU W SILU NERAWENSTWA kOI | bUNQKOWSKOGO 2 (y) 6 2

Z  @ 2   dxk : @xk

;

tEM BOLEE SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

Z " X N  @ 2 #   dxk
2 (y) 6 2 k=1 @xk ;

INTEGRIROWANIE KOTOROGO PO KOORDINATAM y1
y2
: : :
yN W PREDELAH OT ; DO PO KAVDOJ IZ2 \TIH KOORDINAT DAET NERAWENSTWO pUANKARE (12) S POSTOQNNOJ  = 4 . 2. o C E N K A S N I Z U O S N O W N O G O F U N K C I O N A L A (6). nAA CELX | DOKAZATX, ^TO W KLASSE WSEH FUNKCIJ v (x), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ (7), FUNKCIONAL (6) OGRANI^EN SNIZU POSTOQNNOJ, ZAWISQ]EJ LIX OT OBLASTI G I OT ZADANNYH FUNKCIJ f (x) I ' (x). l@BU@ FUNKCI@ v (x), UDOWLETWORQ@]U@ USLOWI@ (7), MOVNO PREDSTAWITX W WIDE v (x) = ' (x) +  (x), GDE  (x) | NEKOTORAQ FUNK CIQ IZ W 12 (G). tAKIM OBRAZOM, E (v
v) ; 2 H (f
v) = E (' + 
' + ) ; 2 H (f
' + ) = = E ('
') + 2 E ('
) + E (
) ; 2 H (f
') ; 2 H (f
): (13) tEPERX ZAMETIM, ^TO E ('
') + 2 E ('
) + E (
) = ;E ('
') + 12 E (
) +





+ 2 E ('
') + 2 E ('
) + 12 E (
) = ;E ('
') + 21 E (
) + p  p   + E 2 ' + p
2 ' + p > ;E ('
') + 21 E (
): (14) 2 2 nAKONEC, OCENIM SWERHU j2 H (f
)j, POLXZUQSX NERAWENSTWOM pUANKARE (12) I NERAWENSTWOM 2 jAjjB j 6 A2 + B 2 PRI A = f  2 p , B =

x 2]

obob}ennoe re{enie zada~i dirihle

787

 . w REZULXTATE POLU^IM = 2p 

Z

j2 H (f
)j 6 2 jf (x)jj (x)j dx 6 6 4

Z G

G

Z

jf (x)j2 dx + 41 j (x)j2 dx 6 4 H (f
f ) + 41 E (
): G

(15)

sOPOSTAWLQQ RAWENSTWO (13) I NERAWENSTWA (14), (15), OKON^ATELXNO POLU^IM E (v
v) ; 2 H (f
v) > ;E ('
') ; 4 H (f
f ) ; 2 H (f
') + 14 E (
):

(16)

tAK KAK E (
) > 0, OGRANI^ENNOSTX OSNOWNOGO FUNKCIONALA (6) SNIZU DOKAZANA.

3. eDINSTWENNOSTX I SU]ESTWOWANIE OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE.

t E O R E M A (O E D I N S T W E N N O S T I O B O B ] E N N O G O R E  E N I Q Z A D A ^ I d I R I H L E). mOVET SU]ESTWOWATX TOLXKO ODNO OBOB]ENNOE REENIE ZADA^I dIRIHLE (1). d O K A Z A T E L X S TW O. eSLI BY SU]ESTWOWALO DWA OBOB]ENNYH REENIQ ZADA^I dIRIHLE (1) u1 (x) I u2 (x), TO IH RAZNOSTX  (x) =  = u1 (x) ; u2 (x) PRINADLEVALA BY KLASSU W 12 (G). zAPISAW S UKAZANNOJ FUNKCIEJ  (x) TOVDESTWO (5) SNA^ALA DLQ u1 (x), A ZATEM DLQ u2 (x), MY POLU^ILI BY RAWENSTWA E (u1
u1 ; u2) ; H (f
u1 ; u2 ) = 0
E (u2
u1 ; u2 ) ; H (f
u1 ; u2 ) = 0
RAZNOSTX KOTORYH PRIWELA BY K SOOTNOENI@ E (u1 ; u2
u1 ; u2 ) = 0: (17) iZ (17) W SILU NERAWENSTWA pUANKARE (12) SLEDOWALO BY, ^TO I H (u1 ; u2
u1 ; u2 ) = 0: (18) sOOTNOENIQ (17) I (18) W SILU OPREDELENIQ (8) IZ x 1 NORMY PROSTRANSTWA W21 (G) OZNA^ALI BY, ^TO RAZNOSTX u1 (x) ; u2 (x) QWLQETSQ NULEWYM \LEMENTOM PROSTRANSTWA W21 (G), T. E. OZNA^ALI BY SOWPADENIE \LEMENTOW u1 (x) I u2 (x). tEOREMA DOKAZANA. tEOREME SU]ESTWOWANIQ OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I dIRIHLE (1) PREDPOLEM OPREDELENIE M I N I M I Z I R U @ ] E J P O S L E D O W A T E L XN O S T I I DOKAZATELXSTWO WSPOMOGATELXNOGO UTWERVDENIQ. tAK KAK W SILU NERAWENSTWA (16) OSNOWNOJ FUNKCIONAL (6) OGRANI^EN SNIZU W KLASSE WSEH FUNKCIJ, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ (7), TO U 50


788 dopolnenie III. obob}ennye re{eniq kraewyh zada~

FUNKCIONALA (6) SU]ESTWUET W UKAZANNOM KLASSE TO^NAQ NIVNQQ GRANX, KOTORU@ MY OBOZNA^IM ^EREZ d:  d = inf E (v
v) ; 2 H (f
v) : (19) v;' 2 W 12 (G) 

pO OPREDELENI@ TO^NOJ NIVNEJ GRANI, SU]ESTWU@T POSLEDOWATELXNO STI fvn (x)g FUNKCIJ, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ vn (x) ; '(x) 2 W 12 (G), DLQ KOTORYH ^ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI dn = E (vn
vn ) ; 2 H (f
vn ) (20) SHODQTSQ K TO^NOJ NIVNEJ GRANI d. kAVDU@ TAKU@ POSLEDOWATELXNOSTX f vn (x) g NAZOWEM M I N I M IZ I R U @ ] E J. wAVNOE DLQ NAS SWOJSTWO L@BOJ MINIMIZIRU@]EJ POSLEDOWATELXNOSTI WYQSNQET SLEDU@]AQ LEMMA. l E M M A. eSLI f vn (x) g | L@BAQ MINIMIZIRU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX, f n (x) g | POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ IZ KLASSA  W 12 (G)
DLQ KOTORYH E (n
n ) 6 M = const
(21) TO ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX an = E (vn
n ) ; H (f
n ) (22) QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ. d O K A Z A T E L X S TW O. pOLOVIM n = dn ; d, GDE f dn g | ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX, OPREDELQEMAQ SOOTNOENIEM (20), A d | TO^NAQ NIVNQQ GRANX (19). tOGDA W SILU TOGO, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f vn (x) g QWLQETSQ MINIMIZIRU@]EJ, MOVNO UTWERVDATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f n g QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ PRI n > 0 DLQ WSEH NOMEROW n. dLQ L@BOGO OTLI^NOGO OT NULQ " I L@BOGO NOMERA n SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO E (vn + " n
vn + " n ) ; 2 H (f
vn + " n ) > d
KOTOROE MOVET BYTX PEREPISANO W WIDE



E (vn
vn ) ; 2 H (f
vn )



; d + 2"





E (vn
n ) ; H (f
n ) +

+ "2 E (n
n ) > 0: pOSLEDNEE NERAWENSTWO S POMO]X@ OBOZNA^ENIJ (20) I (22), W SWO@ O^EREDX, MOVET BYTX PEREPISANO W WIDE dn ; d + 2" an + "2 E (n
n ) > 0


ILI

n + 2" an + "2 E (n
n ) > 0:

x 2]

obob}ennoe re{enie zada~i dirihle

789

w SILU (21) TEM BOLEE SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO n + 2" an + "2 M > 0: (23) tEPERX, U^ITYWAQ, ^TO n > 0 I ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f n g QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ, DLQ L@BOGO OTLI^NOGO OT NULQ " FIKSIRUEM NASTOLXKO BOLXOJ NOMER N , ^TO PRI n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO 0 6 n < "2 M: sOPOSTAWLQQ \TO NERAWENSTWO S (23), MY POLU^AEM, ^TO 2" an + 2 "2 M > > 0. tEPERX, ESLI DLQ KAVDOGO NOMERA n WZQTX ZNAK " PROTIWOPOLOVNYM ZNAKU an , TO MY POLU^IM , ^TO PROIZWEDENIE 2" an NEPOLOVITELXNO I, SLEDOWATELXNO, 2 "2 M > 2 j"jjanj, OTKUDA jan j 6 j"j M (DLQ WSEH n > N ). lEMMA DOKAZANA. t E O R E M A (O S U ] E S T W O W A N I I O B O B ] E N N O G O R E  E N I Q Z A D A ^ I d I R I H L E). eSLI G | PROIZWOLXNAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX W PROSTRANSTWE E N
' (x) | PROIZWOLXNAQ DOPUSTIMAQ FUNKCIQ, f (x) | PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ IZ KLASSA L2 (G)
TO SU]ESTWUET (I PRITOM EDINSTWENNOE ) OBOB]ENNOE REENIE ZADA^I dIRIHLE (1). d O K A Z A T E L X S TW O. pREVDE WSEGO DOKAVEM, ^TO L@BAQ MINIMIZIRU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX f vn (x) g QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ W SMYSLE NORMY (8) IZ x 1. zAMETIM, ^TO ESLI f vn (x) g | MINIMIZIRU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX, TO, POLOVIW vn (x) = ' (x) + n (x) I WZQW W (16) TAKOE vn (x) WMESTO v (x), MY POLU^IM, ^TO LEWAQ ^ASTX (16) BUDET SHODQ]EJSQ, A POTOMU I OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTX@. pRI \TOM IZ (16) MY POLU^IM, ^TO I POSLEDOWATELXNOSTX f E (n
n ) g QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ. tAKIM OBRAZOM, W SILU TRIWIALXNOGO NERAWENSTWA E (vn
vn ) = E (' + n
' + n ) 6 2 E ('
') + 2 E (n
n ) I POSLEDOWATELXNOSTX E (vn
vn ) QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ. oTS@DA, W SWO@ O^EREDX, WYTEKAET OGRANI^ENNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI E (v ; ; vm
vn; vm) PRI WSEH n I WSEH m. u^ITYWAQ, ^TO, KROME TOGO, vnn ; ; vm 2 W 12 (G) DLQ L@BYH NOMEROW m I n, MY POLU^IM, ^TO RAZNOSTX (vn ; vm ) PRI FIKSIROWANNOM m MOVNO WZQTX W KA^ESTWE n (x) W LEMME, A PRI FIKSIROWANNOM n \TU VE RAZNOSTX MOVNO WZQTX W KA^ESTWE m (x) W LEMME. mY POLU^IM PRI \TOM, ^TO W SILU LEMMY   lim E (vn
vn ; vm ) ; H (f
vn ; vm ) = 0
n!1





lim E (vm
vn ; vm ) ; H (f
vn ; vm ) = 0: m!1 iZ POSLEDNIH DWUH SOOTNOENIJ WYTEKAET, ^TO lim E (vn ; vm
vn ; vm ) = 0
m !1 n!1

(24)

790 dopolnenie III. obob}ennye re{eniq kraewyh zada~

A IZ (24) I IZ NERAWENSTWA pUANKARE (12) | ^TO I lim H (vn ; vm
vn ; vm ) = 0: m !1 n!1

(25)

iZ (24) I (25) SLEDUET, ^TO MINIMIZIRU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX f vn (x) g QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ W SMYSLE NORMY (8) IZ x 1. nO TOGDA IZ POLNOTY PROSTRANSTWA W21 (G) WYTEKAET, ^TO SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT v (x) \TOGO PROSTRANSTWA, ^TO lim kv ; vk = 0: (26) n!1 n oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO v (x) I QWLQETSQ OBOB]ENNYM REENIEM ZADA^I dIRIHLE (1). pREVDE WSEGO ZAMETIM, ^TO v (x) UDOWLETWORQET USLOWI@ (7), IBO  vn (x) ; ' (x) 2 W 12 (G) DLQ KAVDOGO NOMERA n, A k(vn ; ') ; (v ; ')k = = kvn ; vk ! 0 PRI n ! 1.  oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ  (x) IZ KLASSA W 12 (G) FUNKCIQ v (x) UDOWLETWORQET TOVDESTWU (5), T. E. E (v
) ; H (f
) = 0: (27)  w SILU LEMMY DLQ L@BOJ FUNKCII  (x) IZ KLASSA W 12 (G) E (vn
) ; H (f
) ! 0 PRI n ! 1: (28) dALEE, IZ NERAWENSTWA kOI | bUNQKOWSKOGO jE (v ; vn
)j 6 pE (v ; vn
v ; vn )  pE (
)  I IZ (26) SLEDUET, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII  (x) IZ W 12 (G) E (v ; vn
) ! 0 PRI n ! 1: (29) iZ (28) I (29) WYTEKAET TOVDESTWO (27). tEOREMA DOKAZANA.

dopolnitelxnaq literatura 1. a R N O L X D w. i. mATEMATI^ESKIE METODY KLASSI^ESKOJ MEHANIKI. m.: nAUKA, 1989. 2. b I C A D Z E a. w. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1982. 3. w L A D I M I R O W w. s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1988. 4. d V E F R I S g., s W I R L S b. mETODY MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: mIR, 1969. 5. e G O R O W `. w., { U B I N m. a. lINEJNYE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI // sOWREMENNYE PROBLEMY MATEMATIKI. fUNDAMENTALXNYE NAPRAWLENIQ / winiti. 1987. t. 30. (iTOGI NAUKI I TEHNIKI). 6. k O N D R A T X E W a. p., r O V D E S T W E N S K I J b. l. oBYKNOWENNYE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ I OSNOWY WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ. m.: nAUKA, 1986. 7. k O  E L E W a. i. rEGULQRNOSTX REENIJ \LLIPTI^ESKIH URAWNENIJ I SISTEM. m.: nAUKA, 1986. 8. k R U V K O W s. n. nELINEJNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1970. 9. k R Y L O W n. w. nELINEJNYE \LLIPTI^ESKIE I PARABOLI^ESKIE URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA. m.: nAUKA, 1985. 10. l A W R E N T X E W m. a., { A B A T b. w. mETODY TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. m.: nAUKA, 1987. 11. l A D Y V E N S K A Q o. a. kRAEWYE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1973. 12. l A D Y V E N S K A Q o. a., s O L O N N I K O W w. a., u R A L X C E W A n. n. lINEJNYE I KWAZILINEJNYE URAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA. m.: nAUKA, 1967. 13. m I H A J L O W w. t. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH. m.: nAUKA, 1983. 14. m I H L I N s. g. lINEJNYE URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH. m.: wYS. K., 1977. 15. r O V D E S T W E N S K I J b. l., q N E N K O n. n. sISTEMY KWAZILINEJNYH URAWNENIJ I IH PRILOVENIQ K GAZOWOJ DINAMIKE. m.: nAUKA, 1978. 16. s W E  N I K O W a. g., b O G O L @ B O W a. n., k R A W C O W w. w. lEKCII PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1993. 17. s O B O L E W s. l. nEKOTORYE PRIMENENIQ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. m.: nAUKA, 1988. 18. f R I D M A N a. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PARABOLI^ESKOGO TIPA. m.: mIR, 1968. 19. { I  M A R E W i. a. wWEDENIE W TEORI@ \LLIPTI^ESKIH URAWNENIJ. m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1979.

predmetnyj ukazatelx aWTOMODELXNOE DWIVENIE 173

aDIABATA g@GONIO 167 | pUASSONA 40 aDIABATI^ESKIJ PROCESS 40, 164, 171 aPPROKSIMACIQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA RAZNOSTNYM 587 | | | | PO NORME 591 | | | | S PORQDKOM n 587, 591 | SUMMARNAQ 644

bROUNOWSKOE DWIVENIE 282 wEKTOR gERCA 473

SME]ENIQ 462 wEKTORNYJ POTENCIAL 464, 468 wOLNA BEGU]AQ 57 | GARMONI^ESKAQ 78 | ZATUHA@]AQ 79 | MAGNITNAQ (TIPA T M ) 558 | OTRAVENNAQ 72, 76 | PLOSKAQ 434, 545 | RAZREVENIQ 171 | RASPROSTRANQ@]AQSQ 57, 179, 181 | STOQ^AQ 93, 156, 450 | SFERI^ESKAQ 429, 434 | | RASHODQ]AQSQ 429, 524 | | SHODQ]AQSQ 429, 524 | TEMPERATURNAQ 256 | TEPLOWAQ 273, 276 | UDARNAQ 165, 168 | CILINDRI^ESKAQ 434 | \LEKTRI^ESKAQ (TIPA T E ) 558 wOLNOWAQ ZONA OSCILLQTORA 475 wOLNOWOE URAWNENIE 443, 519 | ^ISLO 78 |

gAZOWAQ DINAMIKA 163

gAMMA-FUNKCIQ 696 gARMONIKA 94, 149, 155 | SFERI^ESKAQ 723 gLAWNOE ZNA^ENIE INTEGRALA 365 gRANI^NOE USLOWIE 2-GO RODA 45 | | NELINEJNOE 46, 200 | | 1-GO RODA 45 | | 3-GO RODA 45 gRANI^NYE USLOWIQ 44, 45, 153, 196

gRANI^NYE USLOWIQ ODNORODNYE 45 fUNKCIQ 286, 288 dISPERSIQ WOLN 78 dIFRAKCIQ 541 | NA SFERE 545 | PLOSKOJ WOLNY NA SFERE 547 dIFFUZIQ 189, 193, 283, 295, 511 | W DWIVU]EJSQ SREDE 520 | PRI NALI^II RASPADA I CEPNYH REAKCIJ 491, 520 dLINA WOLNY 78


-

eMKOSTX UEDINENNOGO PROWODNIKA 398 zADA^A BEZ NA^ALXNYH USLOWIJ (NA

USTANOWIWIJSQ REVIM) 47, 111, 199, 250 | GRAWIMETRII OBRATNAQ 67 | gURSA 129 | dIRIHLE 296, 782 | | WNENQQ 322, 323 | | WNUTRENNQQ 317 | | DLQ SFERY 733 | | RAZNOSTNAQ 632 | DIFRAKCII 542 | kOI 43, 47, 199, 228, 427 | KRAEWAQ 45 | | WNENQQ 296, 322, 381 | | | WTORAQ 327 | | | PERWAQ 323 | | WNUTRENNQQ 296, 380 | | | WTORAQ 325 | | | PERWAQ 317 | | WTORAQ 46, 296, 325, 381 | | DLQ URAWNENIQ bESSELQ 678 | | PERWAQ 46, 49, 198, 199, 296, 381, 782 | | | DLQ KRUGA 328, 383 | | | DLQ POLUPROSTRANSTWA 385 | | RAZNOSTNAQ 586 | | S KUSO^NO-NEPRERYWNYMI NA^ALXNYMI DANNYMI 216 | | S RAZRYWNYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI 318, 336 | | | | KO\FFICIENTAMI 609

predmetnyj ukazatelx zADA^A KRAEWAQ S RAZRYWNYMI NA^ALXNYMI DANNYMI 215 | | SMEANNAQ 47 | | SO STACIONARNYMI NEODNORODNOSTQMI 109, 226 | | TRETXQ 46, 296 | nEJMANA 296 | | WNENQQ 327 | | WNUTRENNQQ 325 | O DWIVENII TWERDOGO TELA W VIDKOSTI 416 | | | \LEKTRONA W KULONOWOM POLE QDRA 753 | | KOLEBANII OGRANI^ENNYH OB_EMOW 444 | | | TONKOJ PLASTINKI 422 | | PROMERZANII 279 | | RAZMAGNI^IWANII CILINDRA S OBMOTKOJ 514 | | RASPROSTRANENII GRANI^NOGO REVIMA 76 | | | NA^ALXNOGO WOZMU]ENIQ 68 | | | TEPLA W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE 477, 481 | | SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH 89, 120, 154, 210, 423, 445, 660 | | FAZOWOM PEREHODE 277, 279 | OB OPREDELENII WEKTORNOGO POLQ PO ZADANNYM ROTORU I DIWERGENCII 408 | | OSTYWANII RAWNOMERNO NAGRETOGO CILINDRA 489 | OBRABOTKI NABL@DENIJ 67 | POSTAWLENNAQ KORREKTNO 65 | RAZNOSTNAQ, POSTAWLENNAQ KORREKTNO 597 | | USTOJ^IWAQ 597 | S NA^ALXNYMI USLOWIQMI 47, 199, 228, 427 | | | | DLQ URAWNENIQ lAPLASA 66 | sTEFANA 279 | USTOJ^IWAQ 65 | {TURMA | lIUWILLQ 89, 210, 445, 660 | \LEKTROSTATIKI OSNOWNAQ 396 zAKON gUKA 462 | INERCII 23 | nERNSTA 193 | nX@TONA 192 | SOHRANENIQ \NERGII 163 | sTEFANA | bOLXCMANA 200 | fURXE 190, 194 | | WTOROJ 256 | | PERWYJ 257 | | TRETIJ 257 zAKONY mERSENA 96 zAKREPLENIE VESTKOE 45 | MQGKOE 45 | UPRUGOE 44

iZOTERMA gENRI 175 |

lENGM@RA 175, 183

793

iZOTERMA SORBCII 175 iNTEGRAL WNUTRENNIJ 778 | dIRIHLE 783 | lEBEGA 779 | NESOBSTWENNYJ 353 | OIBOK 241, 246, 758, 764 | pUASSONA 233, 334 | | DLQ KRUGA 347 | | DLQ SFERY 345 | rIMANA 778 | rIMANA | hANKELQ 696 | fURXE | bESSELQ 705

kWANTOWOE ^ISLO AZIMUTALXNOE 755 GLAWNOE 752, 755 MAGNITNOE 757 RADIALXNOE 755 kONDENSACIQ GAZA 40 kOORDINATY BIPOLQRNYE 774 | BISFERI^ESKIE 775 | KRIWOLINEJNYE 298, 769 | PARABOLI^ESKIE 771 | PARABOLOIDNYE 776 | PRQMOUGOLXNYE 769 | SFERI^ESKIE 301, 770 | SFEROIDALXNYE 776 | TOROIDALXNYE 774 | CILINDRI^ESKIE 301, 770 | \LLIPSOIDALXNYE 772 | | WYROVDENNYE 773 | \LLIPTI^ESKIE 771 kO\FFICIENT DIFFUZII 193 | VESTKOSTI ZAKREPLENIQ 45 | KINETI^ESKIJ 175 | PORISTOSTI 194 | TEMPERATUROPROWODNOSTI 192, 258 | | PO^WY 257 | TEPLOOBMENA 192 | TEPLOPROWODNOSTI 189 kO\FFICIENTY lAM\ 769 | METRI^ESKIE 769 | fURXE 125 kRAEWYE USLOWIQ RAZNOSTNYE 586 kRIWAQ lQPUNOWA 371 kRITI^ESKIE RAZMERY 493 || || ||

196,

lOKALIZACIQ REENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI 276, 507

mETOD BALANSA 610 | | | | | | |

INTEGRALXNYH SOOTNOENIJ 601 INTEGROINTERPOLQCIONNYJ 610 ITERACIONNYJ 651 | DWUHSLOJNYJ 651 | | W KANONI^ESKOJ FORME 651 | DWUHAGOWYJ 651, 655 | ODNOAGOWYJ 651

794

predmetnyj ukazatelx

mETOD ITERACIONNYJ POPEREMENNOTREUGOLXNYJ 657 | | STACIONARNYJ 653 | | TREHSLOJNYJ 651, 655 | | | W KANONI^ESKOJ FORME 655 | | ^EBYEWSKIJ 653 | KONE^NYH RAZNOSTEJ 282, 585 | KONFORMNOGO PREOBRAZOWANIQ 412, 415, 419 | LOKALXNO-ODNOMERNYJ 644 | MINIMALXNYH POPRAWOK 654 | OTRAVENIQ 436 | PEREWALA 701 | PEREMENNYH NAPRAWLENIJ NEQWNYJ 642 | PODOBIQ 185, 264, 281 | POPEREMENNO-TREUGOLXNYJ 657 | POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ 129 | PROGONKI 623 | PRODOLVENIQ 68, 71 | PROSTOJ ITERACII 652 | PRQMOJ 653 | RAZDELENIQ PEREMENNYH 87, 119, 153, 209, 229, 328, 423, 445 | RASPROSTRANQ@]IHSQ WOLN 54 | rI^ARDSONA 653 | SGLAVIWANIQ DLQ REENIQ ZADA^I sTEFANA 648 | SEDLOWOJ TO^KI 703 | SETOK 585 | SKOREJEGO SPUSKA 654 | SOPRQVENNYH GRADIENTOW 656 | | NAPRAWLENIJ 655 | SPUSKA 433, 434 | USREDNENIQ 429 | FAKTORIZACII 623 | fURXE 87 | \LEKTROSTATI^ESKIH IZOBRAVENIJ 343 | \NERGETI^ESKIH SOOTNOENIJ 601 | qKOBI 656 mODULX SDWIGA 463 mOMENT DIPOLQ 367 | TOKA 471

nAPRQVENIQ 462

NORMALXNYE 462 SKALYWA@]IE 462 nA^ALXNYE USLOWIQ 43, 44, 197 | | RAZNOSTNYE 586 nEWQZKA 652 nERAWENSTWO pUANKARE 785 nORMA 780 | POLINOMOW lEVANDRA 714 | | ~EBYEWA | lAGERRA 747, 763 | | ~EBYEWA | |RMITA 747, 763 | PRISOEDINENNYH FUNKCIJ lEVANDRA 717, 763 | SETO^NOJ FUNKCII 591 | SOBSTWENNOJ FUNKCII 160, 161, 448, | |

680

nULI POLINOMOW lEVANDRA 715

oBERTON 95, 148

oBOB]ENNOE REENIE 68, 270, 271, 777, 783 oBTEKANIE KRUGOWOGO CILINDRA 418 | PLASTINKI 419 oKRESTNOSTX lQPUNOWA 371 oPERATOR lAPLASA 41, 196 | | RAZNOSTNYJ 628 | RAZNOSTNYJ 587 | | DWUHTO^E^NYJ 588 | | 1-GO PORQDKA 588 | | TREHTO^E^NYJ 588 | SAMOSOPRQVENNYJ 136 | SETO^NYJ 587 oPERATORY SOPRQVENNYE 136 | \NERGETI^ESKI \KWIWALENTNYE 653 oRTOGONALXNOSTX POLINOMOW lEVANDRA 713 | | ~EBYEWA | lAGERRA 747 | | ~EBYEWA | |RMITA 744 | PRISOEDINENNYH FUNKCIJ lEVANDRA 717 | S NAGRUZKOJ 158 | SOBSTWENNYH FUNKCIJ 121, 124, 158, 161, 446, 666, 680 | SFERI^ESKIH FUNKCIJ 724 oSNOWNOJ TON 95, 148, 155 | \NERGETI^ESKIJ FUNKCIONAL 783

pEREMENNAQ lAGRANVA 31

|JLERA 31, 38 pOWERHNOSTX lQPUNOWA 371 pOGRENOSTX APPROKSIMACII DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA RAZNOSTNYM 587 | | | URAWNENIQ RAZNOSTNYM 599 | | SHEMY NA REENII URAWNENIQ 599 | ITERACIONNOGO METODA 651 | OTNOSITELXNAQ 652 pOLE POTENCIALXNOE 297 | \LEKTRI^ESKOE POLUBESKONE^NOGO PLOSKOGO KONDENSATORA 413 | \LEKTROMAGNITNOE OSCILLQTORA 470 pOLINOMY GARMONI^ESKIE 720 | lEVANDRA 662, 709, 761, 768 | ~EBYEWA | lAGERRA 745, 763 | | | OBOB]ENNYE 747 | ~EBYEWA | |RMITA 742, 763 pORISTOSTX 187 pORQDOK APPROKSIMACII DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA RAZNOSTNYM 587, 591 | | RAZNOSTNOJ SHEMY 599 pOSLEDOWATELXNOSTI \KWIWALENTNYE 288 pOSLEDOWATELXNOSTX MINIMIZIRU@]AQ 787 | NORMIROWANNAQ LOKALXNAQ 288 |

predmetnyj ukazatelx pOSLEDOWATELXNOSTX FUNDAMENTALXNAQ 780 pOSTOQNNAQ pLANKA 749 | rIDBERGA 756 | |JLERA 758 pOSTOQNNYE lAM\ 463 pOTENCIAL 348 | WEKTORNYJ 464, 468 | DWOJNOGO SLOQ 368, 371, 374, 529 | LOGARIFMI^ESKIJ 351 | OB_EMNYJ 348, 360, 363, 393, 528 | POWERHNOSTNYJ 367, 371, 380 | POLQRIZACIONNYJ 473 | PROSTOGO SLOQ 367, 371, 377, 530 | SILOWOGO POLQ 349 | SKALQRNYJ 464, 468 | SKOROSTEJ 41, 296 pOTENCIALY TEPLOWYE 503 | \LEKTROMAGNITNOGO POLQ 468 pOTENCIALXNOE TE^ENIE VIDKOSTI 296 pREDELXNYJ \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI 288 pREOBRAZOWANIE kELXWINA 306 | OBRATNYH RADIUSOW-WEKTOROW 305 | PEREMENNYH 16, 25 pRINCIP WZAIMNOSTI 342, 480, 527 | g@JGENSA 436 | d@GAMELQ 249 | MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ 203, 315, 325, 522 | MAKSIMUMA 633 | PREDELXNOGO POGLO]ENIQ 532 | PREDELXNOJ AMPLITUDY 534 | SUPERPOZICII 48, 211, 235 | | OBOB]ENNYJ 97, 233 pROBLEMA WY^ISLITELXNOJ USTOJ^IWOSTI ^EBYEWSKOGO ITERACIONNOGO METODA 654 pROIZWODNAQ RAZNOSTNAQ LEWAQ 587 | | PRAWAQ 587 | | CENTRALXNAQ 587 | SUBSTANCIONALXNAQ 39 | ^ASTNAQ OBOB]ENNAQ 782 pROSTRANSTWO NORMIROWANNOE 780 | | POLNOE 780 | | | L1 (G) 781 | | | L2 (G) 781 | | | W21 (G) 781, 782

pU^NOSTX STOQ^EJ WOLNY 93, 450

rAZNOSTNAQ SHEMA 593 | | | | | | | | |

| BEZYTERACIONNAQ 626 | DWUHSLOJNAQ ESTITO^E^NAQ 598 | ITERACIONNAQ 626 | KONSERWATIWNAQ 612 | LOKALXNO-ODNOMERNAQ 644 | | SIMMETRIZOWANNAQ 645 | NEUSTOJ^IWAQ 594 | NEQWNAQ 594, 599, 622 | ODNORODNAQ 612

795

rAZNOSTNAQ SHEMA POWYENNOGO PORQDKA APPROKSIMACII DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI 601 | | PRODOLXNO-POPERE^NAQ 642 | | S WESAMI 598 | | S OPEREVENIEM 594 | | SIMMETRI^NAQ ESTITO^E^NAQ DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI 626 | | SKWOZNOGO S^ETA 610 | | TREHSLOJNAQ 620 | | | SIMMETRI^NAQ 620 | | USTOJ^IWAQ 594, 596, 605 | | | PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI 605 | | \KONOMI^NAQ 641 | | QWNAQ 594, 599 rAZNOSTNOE OTNOENIE 587 | URAWNENIE 585, 593 rAZRYW SILXNYJ 170 | SLABYJ 83, 170 rEVIM S OBOSTRENIEM 274, 508 rEZONANS 114, 119 rEKURRENTNYE FORMULY DLQ POLINOMOW lEVANDRA 711, 762 | | | | ~EBYEWA | lAGERRA 746 | | | | ~EBYEWA | |RMITA 743, 763 rEENIE AWTOMODELXNOE 272, 274 | LOKALIZOWANNOE 276, 507 | OBOB]ENNOE 68, 270, 271, 777, 783 | PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I 200 | TIPA BEGU]EJ WOLNY 268 | FUNDAMENTALXNOE URAWNENIQ lAPLASA W PROSTRANSTWE 302 | | | | NA PLOSKOSTI 302 | | | TEPLOPROWODNOSTI 230, 495 rQD fURXE 92, 99

sERIQ bALXMERA 756

lAJMANA 756 pAENA 756 sETKA 585 | W PRQMOUGOLXNIKE 586 | NA OTREZKE 586 | NERAWNOMERNAQ 586 | RAWNOMERNAQ 586 | SWQZNAQ 630 sISTEMA ORTOGONALXNYH FUNKCIJ 713 | | | ZAMKNUTAQ 713, 719 | | | POLNAQ 713 sKALQRNYJ POTENCIAL 464, 468 sKIN-\FFEKT 574 sKOROSTX WOLNY GRUPPOWAQ 557 | | FAZOWAQ 78 | RASPROSTRANENIQ ZWUKA 43 sOBSTWENNAQ FUNKCIQ 89, 90, 120, 445, 563, 660, 666, 679 | ^ASTOTA 94, 157, 161 sOBSTWENNOE ZNA^ENIE 89, 90, 120, 161, | |

445, 666, 679

796

predmetnyj ukazatelx

sOBSTWENNYE FUNKCII KRUGLOJ MEMBRANY 565 | | PRQMOUGOLXNOJ MEMBRANY 564 | \LEKTROMAGNITNYE KOLEBANIQ 565 sOPRQVENNYE TO^KI 343 sORBCIQ 174 sUPERPOZICIQ 48 sFERI^ESKAQ GARMONIKA 723 CHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ W SREDNEM 287 | | | RAWNOMERNAQ 287 | | | SLABAQ 287 | RAZNOSTNOJ SHEMY 594, 608

tEMBR 95, 148

tENZOR DEFORMACIJ SIMMETRI^ESKIJ 463 | NAPRQVENIJ SIMMETRI^ESKIJ 462 tEOREMA wEJERTRASSA 714 | EDINSTWENNOSTI 50, 205, 208, 217, 317, 318, 327, 532, 787 | O SREDNEM ZNA^ENII 313 | RAZLOVIMOSTI 121, 446, 666, 681 | SRAWNENIQ 634 | SU]ESTWOWANIQ 50, 789 | fREDGOLXMA WTORAQ 389 | | PERWAQ 386 | | TRETXQ 390 | cEMPLENA 168 tEORIQ UPRUGOSTI 461 tEPLOWYE POTENCIALY 503 tEPLOSODERVANIE 164 tON 95, 148 | OSNOWNOJ 95, 148, 155 tO^NOSTX RAZNOSTNOJ SHEMY 608

uZEL SETKI 585, 630

WNUTRENNIJ 590 GRANI^NYJ 590, 630 NEREGULQRNYJ 630 REGULQRNYJ 630 STOQ^EJ WOLNY 93 uZLOWAQ LINIQ (POWERHNOSTX) STOQ^EJ WOLNY 450 uZLY SETKI SOSEDNIE 630 uRAWNENIE AKUSTIKI 42 | bESSELQ 661, 662, 668 | BIGARMONI^ESKOE 422 | WOLNOWOE 443, 519 | GAZOWOJ ATAKI 521 | gELXMGOLXCA 443 | GIPERBOLI^ESKOGO TIPA 19, 22, 23, 25, 27 | | | KANONI^ESKAQ FORMA 20, 22, 24, 26 | | | | | WTORAQ 20 | dALAMBERA 427 | DWIVENIQ 163 | | | | |

| | | |

uRAWNENIE DWIVENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI W FORME |JLERA 39 | DIFFERENCIALXNOE S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 2-GO PORQDKA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI 15 | | | | | | | SO MNOGIMI NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI 22 | DIFFUZII 194 | INTEGRALXNOE NAGRUVENNOE 158 | | fREDGOLXMA 2-GO RODA 382, 386 | | | 1-GO RODA 382 | KWAZILINEJNOE 15 | KINETIKI SORBCII 175 | KOLEBANIJ 27, 31, 42, 427 | | INTEGRALXNOE 29, 32, 37, 79 | | MEMBRANY 38 | | STRUNY 27, 78, 128 | lAM\ 463 | lAPLASA 65, 295, 301 | lEVANDRA 662, 712, 762 | LINEJNOE 16, 24 | | OTNOSITELXNO STARIH PROIZWODNYH 15, 16 | NEPRERYWNOSTI 40, 163 | NORMALXNOGO GIPERBOLI^ESKOGO TIPA 23 | ODNORODNOE 16 | PARABOLI^ESKOGO TIPA 19, 20, 22, 23, 25, 189 | | | WYROVDA@]EESQ 271 | | | KANONI^ESKAQ FORMA 21, 22, 24, 26 | POPERE^NYH KOLEBANIJ STERVNQ 152, 153 | PRISOEDINENNYH FUNKCIJ lEVANDRA 662, 762 | pUASSONA 295 | RAZNOSTNOE 585, 593 | S KOMPLEKSNYM POGLO]ENIEM 1-GO I 2-GO TIPA 533 | cOSTOQNIQ 40, 163, 171 | TELEGRAFNOE 35, 79 | TEPLOPROWODNOSTI 189, 192, 196, 295, 477, 597 | | W INTEGRALXNOJ FORME 191 | | KWAZILINEJNOE 193, 267, 624 | | NEODNORODNOE 222 | ULXTRAGIPERBOLI^ESKOGO TIPA 23 | | | KANONI^ESKAQ FORMA 24 | fREDGOLXMA 2-GO RODA 382, 386 | | 1-GO RODA 382 | HARAKTERISTI^ESKOE 18, 25, 55 | CILINDRI^ESKIH FUNKCIJ 661, 668 | ~EBYEWA | lAGERRA 662, 746 | ~EBYEWA | |RMITA 662, 743 | {REDINGERA 749 | | WTOROE 750 | | DLQ GARMONI^ESKOGO OSCILLQTORA 750 | | | DWIVENIQ \LEKTRONA W KULONOWOM POLE 753 | | | ROTATORA 752

predmetnyj ukazatelx uRAWNENIE |JLERA 722 | |JNTEJNA | kOLMOGOROWA 283 | | | DIFFERENCIALXNOE 285 | \LLIPTI^ESKOGO TIPA 19, 21, 22, 23, 25, 295, 519 | | | KANONI^ESKAQ FORMA 22, 24, 26 uRAWNENIQ GAZOWOJ DINAMIKI 163 | GIDRODINAMIKI 40, 41 | INTEGRALXNYE SOPRQVENNYE 382 | MAGNITOSTATIKI 467 | mAKSWELLA 464 | POLQ MATERIALXNYE 465 | TELEGRAFNYE 35, 185 | \LEKTROMAGNITNOGO POLQ 464 | \LEKTROSTATIKI 467 uSLOWIE WOZBUVDENIQ 560 | IS^EZA@]EGO TRENIQ 115 | lEONTOWI^A 572 | lORENCA 469 | NORMIROWKI 123, 140, 713, 750 | OGRANI^ENNOSTI 229, 455, 666 | OTSUTSTWIQ ISKAVENIQ 79 | PERIODI^NOSTI 455 | PRILIPANIQ 421 | SWOBODNOGO KONCA 44, 71 | UPRUGOGO ZAKREPLENIQ 44 uSLOWIQ g@GONIO 165, 167 | DINAMI^ESKOJ SOWMESTNOSTI 167 | zOMMERFELXDA 539 | IZLU^ENIQ 539 | kOI | rIMANA 303 | SOPRQVENIQ 30, 116, 156, 198 | | DLQ URAWNENIJ mAKSWELLA 466 uSTOJ^IWOSTX RAZNOSTNOJ SHEMY 594, 596, 605 | | | BEZUSLOWNAQ 606 | | | PO NA^ALXNYM DANNYM I PO PRAWOJ ^ASTI 605 | | | USLOWNAQ 606 | QWNOJ RAZNOSTNOJ SHEMY 606

fAZOWAQ PLOSKOSTX 57

fLAVOLET 96 fORMULA gRINA 121 | | WTORAQ 308 | | DWUMERNAQ 136 | | OSNOWNAQ INTEGRALXNAQ 310 | | | | NA PLOSKOSTI 312 | | PERWAQ 308 | | RAZNOSTNAQ WTORAQ 602 | | | PERWAQ 602 | dALAMBERA 54, 56, 144 | DIFFERENCIALXNAQ DLQ POLINOMOW lEVANDRA 711 | zOMMERFELXDA 709 | INTEGRALXNAQ DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ 444 | | | URAWNENIQ KOLEBANIJ 437, 441 | kIRHGOFA 441, 444 | oSTROGRADSKOGO | gAUSSA 307 | pUASSONA 430

797

fORMULA RAZNOSTNOGO DIFFERENCIROWANIQ PROIZWEDENIQ 601 | rODRIGA 711, 762 | SUMMIROWANIQ PO ^ASTQM 601 fORMULY PROGONKI 623, 624 fRONT RASPROSTRANQ@]EJSQ WOLNY ZADNIJ 58, 435, 436 | | | PEREDNIJ 58, 435, 436 | TEPLOWOJ WOLNY 271 | UDARNOJ WOLNY 165, 167 fUNKCII bESSELQ 671, 695, 699, 758, 765, 766, 767 | | OT KOMPLEKSNOGO ARGUMENTA 576 | | POLUCELOGO PORQDKA 674, 761 | GARMONI^ESKIE SOPRQVENNYE 304 | ZONALXNYE 723 | lEVANDRA PRISOEDINENNYE 717, 762 | mAKDONALXDA 687, 699, 759, 766, 768 | nEJMANA 683, 684, 758, 767 | SFERI^ESKIE 660, 661, 722 | TESSERALXNYE 724 | hANKELQ (1-GO I 2-GO RODA) 682, 684, 695, 759 | CILINDRI^ESKIE 660, 661, 668, 675, 758 | | 2-GO RODA 683 | | MNIMOGO ARGUMENTA 686, 759, 768 | ~EBYEWA | |RMITA 745 | AROWYE 721 fUNKCIQ ANALITI^ESKAQ 303 | BIGARMONI^ESKAQ 422 | WLIQNIQ MGNOWENNOGO IMPULXSA 107 | | SOSREDOTO^ENNOGO IMPULXSA 104, 140 | | TO^E^NOGO ISTO^NIKA 497, 522 | GARMONI^ESKAQ 295, 303, 305, 307 | | REGULQRNAQ NA BESKONE^NOSTI 321 | gRINA 667 | dIRIHLE 779 | DOPUSTIMAQ 783 | IZMERIMAQ 779 | INTEGRIRUEMAQ PO lEBEGU 778, 779 | ISTO^NIKA 213, 225, 228, 291, 338, 477, 497, 500, 525 | MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA 213 | OBOB]ENNAQ 286 | PROIZWODQ]AQ OBOB]ENNYH POLINOMOW ~EBYEWA | lAGERRA 747 | | POLINOMOW lEVANDRA 710, 761 | | | ~EBYEWA | lAGERRA 745, 763 | | | ~EBYEWA | |RMITA 742, 763 | rIMANA 138, 139, 145 | SETO^NAQ 585 | SOBSTWENNAQ 89, 90, 120, 445, 563, 660, 666, 679 | TEMPERATURNOGO WLIQNIQ 213, 225, 480, 497 | TEPLOWAQ 164 | TO^E^NOGO ISTO^NIKA PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA 339 | FINITNAQ 270

798

predmetnyj ukazatelx

hARAKTERISTIKA 18, 19, 25, 57, 83, 129, {ABLON DEWQTITO^E^NYJ Q]IK 629 176

hARAKTERISTI^ESKIJ KONUS 438 | TREUGOLXNIK 58 | UGOL 62, 437 | | WERHNIJ 62 | | NIVNIJ 62

cEPNYE REAKCII 492 ~ASTOTA 78, 155 | |

SOBSTWENNAQ 94, 157, 161 SOBSTWENNAQ OSCILLQTORA 750

{ABLON DWUHTO^E^NYJ 588

| KO\FFICIENTNYJ 612 | PQTITO^E^NYJ 589 | | KREST 628 | RAZNOSTNOGO OPERATORA 588 | TREHTO^E^NYJ 588 | ESTITO^E^NYJ 598 {AG SETKI 586

|NERGETI^ESKOE TOVDESTWO 604 qDRA POWTORNYE 386

SOPRQVENNYE 382 qDRO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ 382 | OPERATORA 291 | pUASSONA 334 |

u^EBNOE IZDANIE

tIHONOW aNDREJ nIKOLAEWI^, sAMARSKIJ aLEKSANDR aNDREEWI^ urawneniq matemati~eskoj fiziki

zAW. REDAKCIEJ i. i. }EHURA hUDOVESTWENNYJ REDAKTOR `. m. dOBRQNSKAQ kORREKTOR t. w. wLASTOWSKAQ kOMPX@TERNAQ WERSTKA s. w. pOLQKOW, a. s. bOLDAREW

iZD. LIC.  040414 OT 18.04.97 pODPISANO W PE^ATX fORMAT 60  90=16. bUMAGA OFS.  1. gARNITURA Computer Modern. oFSETNAQ PE^ATX. uSL. PE^. L. . u^.-IZD. L. . tIRAV . zAKAZ  . iZD. . 6811. oRDENA zNAK pO^ETA IZDATELXSTWO mOSKOWSKOGO UNIWERSITETA. 103009, mOSKWA, UL. b. nIKITSKAQ, 5/7. oTPE^ATANO W