Сибирский математический журнал Май—июнь, 2006. Том 47, № 3
УДК 519.45
СТРОЕНИЕ СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ ГРУПП НАД ЛОКАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ С. Тажетдинов Аннотация: Дается описание субнормальных подгрупп симплектической группы над локальным кольцом с обратимым элементом 2. Дается также описание подгрупп этой группы, нормализуемых специальными конгруэнц-подгруппами. Ключевые слова: субнормальная подгруппа, конгруэнц-подгруппа, симплектическая группа, локальное кольцо, симплектическая трансвекция.
Коммутативное кольцо с единицей, имеющее единственный максимальный идеал, называется локальным кольцом. Пусть R — локальное кольцо с обратимым элементом 2 и V = V (R) — симплектическое пространство над R размерности r = 2m, m ≥ 2, т. е. свободный R-модуль с r свободными порождающими и заданной на нем невырожденной кососимметрической билинейной формой β(x, y). Группа автоморфизмов ρ пространства V , оставляющих форму β(x, y) инвариантной, т. е. удовлетворяющих соотношению β(xρ, yρ) = β(x, y) при всех x, y ∈ V , называется симплектической группой над R и обозначается через Sp(V ). Напомним, что если существует ряд H = H0 E H1 E ... E Hd−1 E Hd = G подгрупп группы G, где Hi−1 E Hi означает, что Hi−1 является нормальной подгруппой Hi , то H называется субнормальной подгруппой группы G. В этом случае пишут H /d G. Наименьшее такое d называется субнормальной глубиной H в G. В настоящей работе мы значительно улучшим описание субнормальных подгрупп группы Sp(V ), данное в [1], а также описание подгрупп этой группы, нормализуемых специальными конгруэнц-подгруппами. Всюду ниже R — локальное кольцо с обратимым элементом 2 и dim V (R)≥4. Приводимые ниже известные определения и сведения имеются в [2–4]. Если β(u, v) = 1, то упорядоченная пара {u, v} элементов пространства V называется гиперболической парой. Если {u, v} — гиперболическая пара, то модуль Ru ⊕ Rv называется гиперболической плоскостью. Пространство V является ортогональной суммой гиперболических плоскостей: V = V1 ⊥ · · · ⊥ Vm , где Vi = Rui ⊕ Rvi , 1 ≤ i ≤ m. При этом база {u1 , v1 , u2 , v2 , . . . , um , vm } называется гиперболической базой пространства V . Пусть I — идеал кольца R, I 6= R. Гомоморфизм локальных колец λI : R → R/I индуцирует гомоморфизм симплектических пространств λ1 : V (R) → V (R/I). c 2006 Тажетдинов С.
(1)
666
С. Тажетдинов
Пространство V (R/I) образовано всеми векторами xλI , x ∈ V (R), причем форма β(xλI , yλI ) задается как β(x, y)λI . Положив V (R/R) равным 0-модулю, распространим (1) и на случай I = R. Гомоморфизм (1) индуцирует сюръективный гомоморфизм симплектических групп πI : Sp(V (R)) → Sp(V (R/I)), при котором λI (ρπI ) = ρλI для ρ ∈ Sp(V (R)). Здесь Sp(V (R/R)) означает единичную группу. Для произвольного идеала I кольца R общая и специальная конгруэнцподгруппы GSp(V, I) и SSp(V, I) определяются следующим образом: GSp(V, I) = (centerSp(V (R/I)))πI−1 ,
SSp(V, I) = (1)πI−1 = Ker πI .
Заметим, что GSp(V, R) = SSp(V, R) = Sp(V ), GSp(V, 0) = centerSp(V ) = {1, −1} и SSp(V, 0) = {1}. Вес J(x) вектора x ∈ V определяется как наименьший идеал J со свойством xλJ = 0. Вес J(ρ) элемента ρ ∈ Sp(V ) определяется как наименьший идеал P J со свойством ρ ∈ GSp(V, J), а вес J(H) подгруппы H — формулой J(H) = J(ρ). ρ∈H
Отметим, что величины β(x, y), J(x) и J(ρ), где x, y ∈ V, ρ ∈ Sp(V ), не зависят от конкретной базы. Если зафиксирована какая-нибудь база {e1 , . . . , er } пространства V , то выполняются следующие утверждения. r r P P 1. Если x = αi ei и y = δi ei , то i=1
i=1 r r X X
αi δj β(ei , ej ).
β(x, y) = i=1 j=1
2. Если y =
r P
αi ei , то
i=1
J(x) = id(αi | 1 ≤ i ≤ r). 3. Если (pij ) — матрица элемента ρ ∈ Sp(V ), то J(ρ) = id(ρij , ρii −ρjj | 1 ≤ i, j ≤ r, i 6= j). Вектор u ∈ V называется унимодулярным, если J(u) = R. Для любого унимодулярного вектора u существует гиперболическая база {u, . . . } с первым элементом u. Если u — унимодулярный вектор и α ∈ R, то элемент τu,α ∈ Sp(V ) вида xτu,α = x + αβ(u, x)u называется симплектической трансвекцией. Для z1 , z2 ∈ V таких, что J(z1 ) = R, β(z1 , z2 ) = 0, унитарная трансвекция σz1 ,z2 ∈ Sp(V ) определяется следующим образом: xσz1 ,z2 = x + β(z1 , x)z2 + β(z2 , x)z1 . Отметим, что J(τu,α ) = id(α),
J(σz1 ,z2 ) = J(z2 ),
−1 τu,α = τu,−α ,
τu,α · τu,β = τu,α+β ,
−1
и если ρ ∈ Sp(V ), то ρ τu,α ρ = τup,α . Запись ρ = ρ|Vi ⊥ 1|Vi⊥ означает, что V = Vi ⊥ Vi⊥ , ρ ∈ Sp(V ) и ρ|Vi⊥ = 1. Наконец, если M — максимальный идеал, то R∗ = R \ M — группа обратимых элементов кольца R. Лемма. Если I 6= R и подгруппа H группы Sp(V ) нормализуется подгруппой SSp(V, I), то H ≥ H 0 ≥ SSp(V, J(H 0 )I 5 ), где H 0 = [H, SSp(V, I)] = gr([h, s] | h ∈ H, s ∈ SSp(V, I)),
[h, s] = h−1 s−1 hs.
Доказательство леммы разобьем на предложения 1 и 2, в которых условие леммы предполагается выполненным без оговорок. При этом H 0 также нормализуется подгруппой SSp(V, I) и H 0 ≤ H ∩ SSp(V, I). Под выражением in будем понимать произвольный элемент идеала I n .
Строение субнормальных подгрупп
667
Предложение 1. Пусть {u1 , v1 , . . . , um , vm } — гиперболическая база пространства V . Если ϕ ∈ H 0 и x ∈ V , то τu1 ,δi5 ∈ H 0 , где δ = β(x, xϕ). Доказательство. Пусть x = γ1 u1 + η1 v1 + · · · + γm um + ηm vm . Предположим сначала, что η1 ∈ R∗ . Тогда −η1−1 x, u1 является гиперболической парой. Обозначим a = −η1−1 x, P = Ra⊕Ru1 и перейдем к гиперболической базе {a, u1 , . . . }. (2) Пусть ϕ ∈ H 0 и α1 ∈ I. Тогда в H 0 содержится элемент ϕ1 = [τa,α1 , ϕ] = τa,−α1 · τaϕ,α1 .
(3)
Пусть aϕ = εa + δ1 u1 + y, где y ∈ P ⊥ . Поскольку ϕ ∈ SSp(V, I), имеем ε = 1 + γ, γ ∈ I, δ1 ∈ I и J(y) ⊆ I. Далее, пусть σ = σu1 ,ε−1 y . Тогда J(σ) = J(y) ⊆ I, поэтому σ ∈ SSp(V, I). Следовательно, в H 0 содержится элемент ϕ2 = σ −1 ϕ1 σ = σ −1 · τa,−α1 σ · σ −1 · τaϕ,α1 · σ = τaσ,−α1 · τ(aϕ)σ,α1 = τa−ε−1 y,−α1 · τεa+δ1 u1 ,α1 . Имеем aϕ2 = (1 − α1 δ1 ε)a − α1 δ12 u1 . Пусть теперь τ = τa,α2 , где α2 ∈ I. Тогда ϕ3 = [τ, ϕ2 ] ∈ H 0 и ϕ3 |P ⊥1|P ⊥ . Ограничившись элементами ρ ∈ Sp(V ) вида ρ = ρ|P ⊥1|P ⊥ и перейдя к матрицам в базе (2), мы фактически имеем дело с двумерными матрицами. Согласно [2, с. 237] Sp(P ) = SL2 (R) и SSp(P, I) = KI , где KI = {σ ∈ SL2 (R) | σπI = 1}. Далее, ϕ3 ∈ H 0 и ∗ ∗ ϕ3 |P = , α1 α2 δ1 ε1 ∗ где ε1 ∈ R∗ . Из включения (20) работы [5] следует, что t12 (α1 α2 δ1 i3 ) ∈ H 0 , где t12 — элементарная трансвекция. Ввиду произвольности элементов α1 , α2 ∈ I отсюда получаем t12 (δ1 i5 ) ∈ H 0 или с учетом базы τu1 ,δ1 i5 ∈ H 0 , где δ1 = β(a, aϕ) = β(−η1−1 x, (−η1−1 x)ϕ) = η1−2 β(x, xϕ) = η1−2 δ. Таким образом, τu1 ,δi5 ∈ H 0 ,
δ = β(x, xϕ).
(4)
Доказательство в случае η1 ∈ R∗ завершено. Пусть теперь η1 ∈ M . Рассмотрим векторы x + v1 , x − v1 и v1 . Вторые компоненты этих векторов, т. е. элементы η1 + 1, η1 − 1 и 1, принадлежат R∗ . Заменяя в предыдущих рассуждениях вектор x поочередно векторами x+v1 , x− v1 и v1 , вместо (4) соответственно получим τu1 ,δ2 i5 ∈ H 0 , 0
τu1 ,δ3 i5 ∈ H ,
δ2 = β(x + v1 , (x + v1 )ϕ), δ3 = β(x − v1 , (x − v1 )ϕ), 0
τu1 ,δ4 i5 ∈ H ,
(5)
δ4 = β(v1 , v1 ϕ).
Поскольку 2δ = 2β(x, xϕ) = δ2 + δ3 − 2δ4 , имеем τu1 ,2δi5 = τu1 ,δ2 i5 · τu1 ,δ3 i5 · τu1 ,−2δ4 i5 . Отсюда ввиду (5) τu1 ,2δi5 ∈ H 0 . Поскольку 2 ∈ R∗ , это дает τu1 ,δi5 ∈ H 0 , где δ(x, xϕ). Предложение 1 доказано.
668
С. Тажетдинов
Предложение 2. Справедливы включения H ≥ H 0 ≥ SSp(V, J(H 0 )I 5 ). Доказательство. Поскольку H 0 ≤ SSp(V, I), то J(H 0 ) ⊆ I ⊆ M . Поэтому J(ϕ) ⊆ M для всех ϕ ∈ H 0 . Согласно [2, c. 238] имеем J(ϕ)=id(β(x, xϕ) | x ∈ V, J(x) = R). Ввиду произвольности вектора x в предложении 1 отсюда получим τu1 ,η ∈ H 0 , где η — произвольный элемент идеала J(ϕ) · I 5 . Далее, так как элемент ϕ ∈ H 0 был произвольным, заключаем, что τu1 ,η ∈ H 0 для всех η ∈ J(H 0 ) · I 5 . Вспомнив теперь, что u1 с самого начала также был произвольным унимодулярным вектором (для любого унимодулярного вектора u1 существует гиперболическая база {u1 , . . . }), и учтя тот факт, что идеал J(H 0 ) · I 5 от перемены базы не зависит, получим τu,η ∈ H 0 для всех u ∈ V, J(u) = R и η ∈ J(H 0 ) · I 5 . Согласно [2, теорема 2] имеем SSp(V, J(H 0 ) · I 5 ) = gr(τu,η | u ∈ V, J(u) = R, η ∈ J(H 0 ) · I 5 ) ≤ H 0 . Предложение 2 доказано. Теорема 1. Если подгруппа H группы Sp(V ) нормализуется подгруппой SSp(V, I), то H ≥ H 0 ≥ SSp(V, J(H) · I 6 ), где H 0 = [H, SSp(V, I)]. Доказательство. Если I 6= R, то в силу [1, лемма 1] имеем J(H 0 ) ⊇ J(H) · I. Утверждение теоремы следует теперь из доказанной выше леммы. Пусть теперь I = R. Тогда H и H 0 являются нормальными подгруппами группы Sp(V ). Из [1, лемма 3] вытекает, что H 0 ≥ SSp(V, J(H 0 )). Далее, поскольку H нормальна в Sp(V ), согласно лемме 1 из [6] (которая справедлива для всех колец стабильного ранга 1 с обратимым элементом 2) имеем J(H 0 ) = J(H). Таким образом, H 0 = [H, Sp(V )] ≥ SSp(V, J(H)). Теорема доказана. Теорема 2. Если H /d Sp(V ), то SSp(V, J f (d) ) ≤ H ≤ G Sp(V, J), где J = J(H) и f (d) = 15 (6d − 1). Доказательство теоремы ввиду теоремы 1 ничем не отличается от доказательства теоремы из [1]. В работе [1] аналогичное описание получено со значительно худшей функ1 (11d − 1). цией f (d) = 10 Следствие. Подгруппа H субнормальна в группе Sp(V ) тогда и только тогда, когда SSp(V, J n ) ≤ H ≤ G Sp(V, J) для некоторого идеала J кольца R и некоторого целого числа n ≥ 1. Наименьшее такое n и субнормальная глубина d подгруппы H связаны соотношением d − 1 ≤ n ≤ 51 (6d − 1). Доказательство следствия ввиду теоремы 2 ничем не отличается от доказательства следствия 1 из [1]. Отметим, что в описаниях субнормальных подгрупп симплектических групп функция f (d) = 15 (6d − 1) является в настоящее время наилучшей. В [7] она получена для бесконечномерных симплектических групп. Заметим также, что для общих линейных групп наилучшей такой функцией является функция f (d) = 14 (5d − 1) (см. [8]). Наконец, если dimV (R) = 2, то группа Sp(V (R)) совпадает со специальной линейной группой SL2 (R). Субнормальные подгруппы этой группы над локальными кольцами описаны в [5].
Строение субнормальных подгрупп
669
ЛИТЕРАТУРА 1. Тажетдинов С. Субнормальное строение симплектических групп над локальными кольцами // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 2. С. 289–298. 2. Klingenberg W. Symplectic groups over local rings // Amer. J. Math.. 1963. V. 85, N 2. P. 232–240. 3. McDonald B. R. Geometric algebra over local rings. New York: Marcel Dekker, Inc., 1976. 4. Kirkwood B., McDonald B. R. The symplectic group over a ring with one in its stable range // Pacific J. Math.. 1981. V. 92, N 1. P. 111–125. 5. Тажетдинов С. Субнормальное строение двумерных линейных групп над кольцами, близкими к полям // Алгебра и логика. 1985. Т. 24, № 4. С. 414–425. 6. Тажетдинов С. Субнормальное строение симплектических групп над (2, 3)-полными кольцами // Сиб. мат. журн.. 1993. Т. 34, № 6. С. 165–169. 7. Arrell D. G. The subnormal subgroup structure of the infinite symplectic group // Proc. Edinburgh Math. Soc.. 1982. V. 25, N 3. P. 209–216. 8. Тажетдинов С. Субнормальное строение двумерных линейных групп над полными кольцами // Мат. заметки. 2002. Т. 71, № 6. С. 924–930. Статья поступила 3 ноября 2004 г. Тажетдинов Сагалатдин Каракалпакский гос. университет им. Бердаха, математический факультет, ул. Ч. Абдирова, 1, Нукус 742012, Узбекистан
[email protected]
