Высшая математика: Пособие для студентов специальностей ''Теория и методика преподавания иностранных языков и культур'', ''Перевод и переводоведение'', ''Теоретическая и прикладная лингвистика''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

В Ы С Ш АЯ М АТ Е М АТ И К А П о со бие для ст у де нт о в С пеци а ль н о ст и : 022600 -"Т еорияи метод ика препод аванияиност ранны х язы кови культ ур", 022900 -"П еревод и перевод овед ение", 021800 "Т еоретич ескаяи приклад наялингвист ика"

В оронеж – 2003

2

У т верж д ено науч но-метод ич еским советом ф акульт ета, прот окол№ 2 от 2 сент ября2003г.

мат емат ич еского

Сост авит ели: Г. Б. Савч енко, Н .А . Я рцева

П особие под гот овлено на каф ед ре мат емат ич еского мод елирования мат емат ич еского ф акульт ета В оронеж ского госуд арст венного университ ета. Рекоменд уетсядля ст уден т о в 1 кур са дн евн о го о т делен и я фа куль т ет а р о ма н о -гер ма н ско й фи ло ло ги и , о буча ющи хся по специ а ль н о ст ям: 022600 "Т еорияи метод ика препод аванияиност ранны х язы кови культ ур", 022900 "П еревод и перевод овед ение", 021800 -"Т еоретич ескаяи приклад ная лингвист ика"

3 В ведение Н аст оящ еепособиепред назнач ено д ля ст уд ент ов 1 курса ф акульт ета романо-германской ф илологии и сод ерж ит общ ие указания по изуч ению разд елов вы сш ей мат емат ики « А налит ич еская геометрия» , « В ы сш ая алгебра» , « М ат емат ич еский анализ» в об ъеме программы д ля указанной специальност и, а т акж еконт рольны езад ания. П особ ие сод ерж ит необход имы е т еоретич еские свед ения, а т акж е под робны ереш еният ипич ны х примеровпо каж д омуизразд елов.

1. Анал и т ическаягеомет рияна пл оскост и Расст ояние d меж д ут оч ками M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) на плоскост и: d=

( x2 − x1 )2 + ( y1 − y2 )2

= M 1M 2 .

(1)

Д елениеот резка вд анном от нош ении. Д аны т оч ки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) . Говорят , ч т о т ретьяточ ка M ( x; y ) , леж ащ ая на д анной прямой , д елит от резок M 1M 2 в от нош ении λ , если M 1M

( λ - полож ит ельно, если т оч ка M леж ит меж д ут оч ками MM 2 M 1 и M 2 , и от рицат ельно, если т оч ка M леж ит вне от резка M 1M 2 . К оорд инат ы т оч ки M ( x; y ) , д елящ ей от резок M 1 M 2 в от нош ении λ, опред еляю т сяпо ф ормулам: x + λx2 y + λy 2 x= 1 (2) ; y= 1 , (λ ≠ −1) . 1+ λ 1+ λ К оорд инат ы серед ины от резка опред еляю т сяпо ф ормулам: x +x y + y2 x= 1 2;y= 1 . (3) 2 2 П лощ ад ь т реугольника с верш инами A(x1 ; y1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) , C ( x3 ; y 3 ) наход ит сяпо ф ормуле 1 S = x1 ( y 2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y 2 ) . (4) 2 λ =±

О бщ ееуравнениепрямой . У равнениевид а Ax + By + C = 0,

(5)

гд е A, B, C - постоянны е коэ ф ф ициент ы , A 2 + B 2 ≠ 0 ; x и yкоорд инат ы лю бой т оч ки, опред еляет на плоскост и некот орую прямую .

4 У равнение(5) назы ваетсяобщ им уравнением прямой . У равнениепрямой сугловы м коэ ф ф ициент ом. У равнениевид а y = kx + b (6) назы вается уравнением прямой с угловы м коэ ф ф ициент ом. k – угловой коэ ф ф ициент , k = tgα ( α - угол меж д у прямой и полож ит ельны м направлением оси Ox ). У гол меж д упрямы ми. О ст ры й угол ϕ меж д у прямы ми опред еляетсяпо ф ормуле k − k1 tgϕ = 2 , k1k 2 ≠ −1 . 1 + k1k 2 У словиепараллельност и прямы х: k1 = k 2 . У словиеперпенд икулярност и прямы х: 1 k1 = − или k1 k2 = −1 . k2

y = k1 x + b1

и

y = k 2 x + b2

(7)

(8) (9)

У равнение прямой с угловы м коэ ф ф ициент ом k , проход ящ ей ч ере з д анную т оч ку M 0 ( x0 ; y0 ) , имеет вид y − y 0 = k ( x − x0 ), k ≠ 0 . ( 10 ) У равнениепрямой , проход ящ ей ч ерезд вет оч ки. У равнениепрямой , проход ящ ей ч ерезд везад анны ет оч ки, M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ) , имеет вид y − y1 x − x1 = ; x2 ≠ x1 ; y2 ≠ y1 . ( 11 ) y2 − y1 x2 − x1 У гловой коэ ф ф ициент э т ой прямой опред еляетсяпо ф ормуле y − y1 k= 2 . x2 − x1 У равнениепрямой вот резках. У равнениевид а x y + = 1; a ≠ 0; b ≠ 0 ( 12 ) a b назы ваетсяуравнением прямой вот резках. Зд есь a и b - абсцисса и орд инат а т оч ки пересеч енияпрямой с осью Ox и осью Oy соот ветст венно.

5 Н ормальноеуравнениепрямой . У равнениевид а x cosα + y sin α − p = 0 ( 13 ) назы вается нормальным уравнением прямой . Зд есь p - д лина перпенд икуляра, опущ енного из нач ала коорд инат на прямую , α -угол меж д уэ т им перпенд икуляром и полож ит ельны м направлением оси Ox . Ч т обы общ ееуравнениепрямой (1) привест и к нормальномувид у (13), над о все ч лены уравнения (1) умнож ит ь на нормирую щ ий множ ит ель 1 M = . ± A2 + B 2 Д ля M над о взят ь « +» , если C < 0 ; знак« - » , если C > 0 . Расст ояниеот т оч ки д о прямой . Расст ояние d от д анной т оч ки M 0 ( x0 , y0 ) д о прямой Ax + By + C = 0 опред еляетсяпо ф ормуле Ax 0 + By 0 + C . ( 14 ) d= 2 2 A +B О круж ност ь. О круж ност ь – э т о множ ест во т оч ек плоскост и равноуд аленны х от д анной т оч ки C (a; b ) . У равнениеокруж ност и имеет вид ( x − a )2 + ( y − b )2 = R 2 , ( 15 ) C (a; b ) - цент р окруж ност и; R - рад иусокруж ност и.

M ( x; y ) ,

Э ллипс. Э ллипс – э т о множ ест во т оч ек плоскост и M ( x; y ) , сумма расст ояний кот оры х д о д вух т оч ек F1 (− c;0 ) и F2 (c;0 ) ест ь велич ина пост оянная, равная 2a (2a > 2c ) . К анонич еское(прост ей ш ее) уравнениеэ ллипса имеет вид : x2 y2 + =1. ( 16 ) a 2 b2 Зд есь a, b - полуоси э ллипса; F1 и F2 - ф окусы э ллипса, a 2 = c 2 + b 2 . c Ч исло = ε < 1 (т аккак a > c ) назы ваетсяэ ксцент рисит етом э ллипса. a Ф окальны е рад иусы r1 = F1 M и r2 = F2 M опред еляю т ся по ф ормулам: r1 = a + εx; r2 = a − εx.

6 Гипербола. Гипербола – э т о множ ест во т оч ек плоскост и M ( x; y ) , абсолю т ная велич ина разност и расст ояний кот оры х д о д вух т оч ек F1 (− c;0 ) и F2 (c;0 ) ест ь велич ина пост оянная, равная 2 a (2a < 2c) . F1 M − F2 M = 2a . F1 и F2 - ф окусы гиперболы ; r1 = F1 M и r2 = F2 M - ф окальны ерад иусы . К анонич ескоеуравнениегиперболы : x2 y2 − = 1. ( 17 ) a 2 b2 Зд есь a, b - полуоси гиперболы (д ей ст вит ельнаяи мнимаясоот ветст венно) c2 = a2 + b2 . c Ч исло = ε > 1 (т аккак a < c ) – э ксцент рисит ет гиперболы . a Ф окальны ерад иусы опред еляю т сяпо ф ормулам r1 = εx + a ; r2 = εx − a . Гипербола сост оит из д вух ветвей , располож енны х от носит ельно осей коорд инат . Т оч ка O - цент р гиперболы . Т оч ки пересеч ения с осью Ox A1 (− a;0) и A2 (a;0 ) - верш ины гиперболы . Гипербола имеет д веасимпт от ы b y = ± x . Е сли a = b , т о гиперб ола назы ваетсяравност оронней . a Гиперболы

x2 y2 y2 x2 − = 1 − =1 и a 2 b2 b2 a2 назы ваю т сясопряж енны ми. П арабола. П арабола – э т о множ ест во т оч екплоскост и M ( x; y ) , равноуд аленны х от p p  д анной т оч ки F  ,0  , назы ваемой ф окусом, и д анной прямой x=− , 2 2  назы ваемой д ирект рисой . К анонич ескоеуравнениепараболы имеет вэ т ом случ аевид : y 2 = 2 px , FM = r - ф окальны й рад иусопред еляетсяпо ф ормуле p r = x + , ( p > 0) . 2 2. В ысш аяал гебра

7 О пред елит ели. О пред елит елем вт орого поряд ка назы вается ч исло, обознач аемое a11 a12 символом и опред еляемоеравенст вом: a 21 a 22 a11

a12

= a11a 22 − a 21a12 . ( 1) a 21 a22 О пред елит елем т ретьего поряд ка назы вается ч исло, опред еляемое равенст вом: a11 a12 a13 a21 a22 a21 a23 a22 a23 a21 a22 a23 = a11 − a12 + a13 .( 2 ) a31 a32 a31 a33 a32 a33 a31 a32 a33 Сист емы д вух линей ны х уравнений сд вумянеизвест ны ми. Сист ема  a11 x + a12y = b 1 (3)  a 21 x + a22y = b 2 имеет реш ение

x=

гд е ∆ =

b1

a12

b2

a 22

a11

a12

a 21

a 22

a11

a12

a 21

a 22

a11 ,

y=

b1

a 21 b2 , a11 a12 a 21

(4)

a 22

.

Сист ема д вух од нород ны х линей ных уравнений ст ремянеизвест ны ми  a11 x + a12 y + a13 z = 0 (5)  a 21 x + a 22 y + a 23 z = 0 имеет реш ение a12 a13 a11 a13 a11 a12 , y = −t , z=t , x=t a22 a 23 a 21 a23 a 21 a 22 гд е t - произвольноеч исло. Сист ема т рех од нород ных линей ны х уравнений ст ремянеизвест ны ми

8  a11 x + a12 y + a13 z = 0  a 21 x + a 22 y + a 23 z = 0 a x + a y + a z = 0  31 32 33 имеет от лич ны еот нуля реш ения т огд а и т олько т огд а, когд а опред елит ель сист емы a11 a12 a13 ∆ = a 21

a22

a 23 = 0.

a31

a32

a33

(7)

Сист ема т рех линей ны х уравнений сд вумянеизвест ны ми  a11 x + a12 y = b1  (8) a 21 x + a 22 y = b2 a x + a y = b  31 32 3 совмест на, когд а

a11

a12

b1

a 21

a 22

b2 = 0

a31 a32 прот ивореч ивы х уравнений .

и сист ема несод ерж ит попарно

b3

Сист ема т рех уравнений ст ремянеизвест ны ми  a11 x + a12 y + a13 z = b1  a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 a x + a y + a z = b  31 32 33 3 при условии, ч т о a11 a12 a13 ∆ = a 21

a22

(9)

a23 ≠ 0

a 31 a32 a33 имеет ед инст венноереш ение ∆y ∆ ∆ x= x , y= , z= z , ∆ ∆ ∆ гд е b1 a12 a13 a11

( 10 ) b1

a13

a11

a12

b1

∆ x = b2

a 22

a 23 , ∆ y = a 21

b2

a 23 , ∆ z = a 21

a 22

b2 .

b3

a32

a33

b3

a33

a32

b3

a 31

a31

Н есовмест ны еи неопред еленны есист емы . П уст ь опред елит ель сист емы (9) ∆ = 0 . Т огд а возмож ны след ую щ ие случ аи: 1. Э лемент ы д вух ст рок опред елит еля пропорциональны , например:

9 a11 a12 a13 = = = m . Т огд а a 21 a 22 a 23 а) если b1 ≠ mb2 , т о сист ема несовмест на; б) если b1 = mb2 , т о сист ема неопред еленна (если первоеи т ретье уравнениянепрот ивореч ивы ). 2. В опред елит еле ∆ нет строк с пропорциональными э лемент ами. Т огд а сущ ест вую т ч исла C1 и C 2 (от лич ные от нуля), при кот оры х mL1 + nL2 = L3 и а) если mb1 + nb2 ≠ b3 , т о сист ема несовмест на; б) если mb1 + nb2 = b3 , т о сист ема неопред еленна, гд е Li (i = 1,2,3) левы еч аст и уравнения(9). К омплексны еч исла. О пред еление. К омплексным ч ислом назы ваю т ч исла вид а a + ib , гд е a и b - д ей ст вит ельны еч исла, а i 2 = −1 (мнимаяед иница). i 3 = − i; i 4 = 1; i 5 = i и т .д . ( 11 ) Слож ение, вы ч ит ание, умнож ениеи возвед ениевст епень комплексны х ч исел вы полняю т по правилам э т их д ей ст вий над многоч ленами с заменой ст епеней ч исла i по ф ормулам (11). Т ригонометрич ескаяф орма комплексного ч исла. К омплексное ч исло z = a + ib опред еляется парой вещ ест венны х ч исел (a; b ) и поэ т омуизоб раж ается т оч кой M (a; b ) плоскост и или ее рад иусом вект ором r = OM . Д лина э т ого вект ора назы вается мод улем комплексного ч исла r = a 2 + b 2 , а угол ϕ с осью Ox назы вается аргумент ом комплексного ч исла. Т аккак x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , т о z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) . ( 12 ) Д ей ст виянад комплексны ми ч ислами вт ригонометрич еской ф орме. 1)

r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ⋅ r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = r1 ⋅ r2 [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 )]

,

( 13 )

2)

r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r1 = [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 − ϕ 2 )] , ( 14 ) r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) r2

3)

[r (cos ϕ + i sin ϕ )]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) ,

( 15 )

10 ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ  + i sin 4) Wk = n r (cos ϕ + i sin ϕ ) = n r  cos n n  гд еk = 0,1,2,..., (n − 1) .

  ,( 16 ) 

3. М ат емат ический анал из П ред елы . Ч исло A назы вается пред елом ф ункции f (x) при x → a , если д ля лю бого сколь угод но малого ε > 0 най д ется т акое δ > 0 , ч т о при 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − A < ε . П иш ут lim f ( x ) = A . П ракт ич еское x→ a

вы ч ислениепред еловосновы ваетсяна след ую щ их т еоремах: Е сли сущ ест вую т конеч ны епред елы lim f ( x ) и lim g ( x ) , т о x→a

1)

2) 3)

lim[ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x ) ,

x →a

x→ a

x→a

x →a

- 10 lim[ f ( x ) ⋅ g ( x) ] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) ,

x →a

lim x→ a

x→ a

x→ a

f ( x) f ( x ) lim (при lim g ( x ) ≠ 0 ) . = x →a x →a g ( x ) lim g ( x )

1 α

lim (1 + α ) = e ,

α →0

5)

4)

x→a

(3)

aα − 1 = ln a α →0 α

m ( 1+ α ) −1 lim =m

α →0

(4)

lim

α Зд есь α = α (x) - бесконеч но малаяф ункция lim α (x ) = 0 .

(

(2)

x →a

И спользуят акж еслед ую щ иепред елы : sin α ln(1 + α ) = 1, 3) lim =1 , 1) lim α →0 α α →0 α 2)

(1)

.

)

Сравнениебесконеч но малы х. П уст ь α (x) и β (x) бесконеч но малы е при x → a . Е сли α ( x) lim = 1 , т о бесконеч но малы е назы ваю т ся э квивалент ными. П иш ут : x→ a β ( x ) α~β. Т еорема. Е сли от нош ениед вух бесконеч но малы х имеет пред ел, т о

11 э т от предел не изменит ся при замене каж д ой

из бесконеч но малы х α э квивалент ной ей бесконеч но малой , т о ест ь если lim = m,α ~ α 1 , β ~ β 1 , x→ a β то α α lim 1 = lim = m . (5) x →a β x→ a β 1 П олезно использоват ь э квивалент ност ь след ую щ их бесконеч но малы х: если α → 0 , т о sin α ~ α , tgα ~ α , arcsin α ~ α , arctgα ~ α , ln(1 + α ) ~ α ,

aα − 1 ~ α ln a,

(1 + α )m − 1 ~ α ⋅ m.

( 5/ )

Д иф ф еренцированиеф ункций . О пред еление. П роизвод ной от ф ункции назы ваетсяконеч ны й пред ел f ( x + ∆x ) − f ( x) ∆y lim = lim = f / ( x) . ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x

y = f (x)

в т оч ке x (6)

Н ахож д ениепроизвод ной назы ваетсяд иф ф еренцированием ф ункции. О сновныеправила д иф ф еренцирования. П уст ь C = const , u = u(x ), v = v (x ) - д иф ф еренцируемы еф ункции. Т огд а: / / 1) C / = 0; 2) (Cu ) = Cu / ; 3) (u ± v ) = u / ± v / ; /

u / v − uv / u 5)   = ; 4) (uv ) = u v + uv ; v2 v если y = f (u ), u = u(x), т о y / ( x) = y / (u ) ⋅ u / ( x) (правило д иф ф еренцированияслож ной ф ункции). /

/

/

(7)

П роизвод наяст епенно-показат ельной ф ункции.

(u )

v /

= v ⋅ u v −1 ⋅ u / + u v ⋅ ln u ⋅ v / , гд е u = u ( x), v = v( x) - д иф ф еренцируемы еф ункции.

(8)

Зад ач и среш ением Зад ач а 1. Н ай т и уголмеж д упрямы ми А ) 4x + 2 y − 5 = 0 и 6 x + 3 y + 1 = 0 Б)

3x − y − 2 = 0 и

3x + y − 1 = 0 .

Реш ение. П ривед ем уравнения к вид ууравнений прямы х с угловы м коэ ф ф ициент ом (п. 1 (6)).

12

5 ⇒ k1 = −2 2 1 6 x + 3 y + 1 = 0 ⇒ y = −2 x − ⇒ k 2 = −2 . 3 У гловы е коэ ф ф ициент ы э т их прямы х равны, след оват ельно, прямы е параллельны , ϕ = 0. А ) 4 x + 2 y − 5 = 0 ⇒ y = −2 x +

Б)

3 x + y − 2 = 0 ⇒ y = 3 x − 2 ⇒ k1 = 3

3x + y − 1 = 0 ⇒ y = − 3x + 1 ⇒ k 2 = − 3 . П о ф ормуле(п. 1 (7)) получ им: − 3− 3 −2 3 = tgϕ = = 3; ϕ = 60 o. −2 1− 3 ⋅ 3

Зад ач а 2. Э ксцент рисит ет гиперболы равен 2 . Н ай т и прост ей ш ее уравнениегиперболы , проход ящ ей ч ерезт оч куM 2 ;1 .

(

)

c = 2 или c 2 = 2a 2 . Т ак a 2 2 2 2 2 2 2 2 как c = a + b , т о a + b = 2a или a = b . След оват ельно, гипербола равност оронняя. M 2 ;1 в уравнение (п.1 (17)), 2. П од ст авим коорд инат ы т оч ки Реш ение. 1. Э ксцент рисит ет гиперболы

(

( )

2 − (1) = a 2 или a 2 = 1 . получ им 3. И скомоеуравнениегиперболы имеет вид 2

)

2

Зад ач а 3. Н ай т и всезнач ения

6

x2 − y 2 = 1.

1.

Реш ение. Т ригонометрич ескаяф орма z = 1 имеет вид z = 1 cos 0 o + i sin 0 o

(

)

0 + 2 kπ 0 + 2 kπ   Wk = 6 z = 6 1 cos + i sin = 6 6   2 kπ 2 kπ kπ kπ = cos + i sin = cos + i sin , k = 0,1,2,...5 6 6 3 3 Зад ач а 4. Реш ит ь сист емууравнений 3 x + 2 y − z = 0   x + 2 y + 9 z = 0.  x + y + 2z = 0 

13 Реш ение. И меем 3 2 −1 1 9 1 2 2 9 1 2 9 =3 −2 −1 = −15 + 14 + 1 = 0. 1 2 1 1 1 2 1 1 2 След оват ельно, сист ема имеет реш ения, от лич ны еот нулевого. Реш аем сист емупервы х д вух уравнений . Т ретьеуравнениеявляетсяих след ст вием 3 x + 2 y − z = 0 .  x + 2 y + 9z = 0 П о ф ормулам (п. 2 (5)) получ им x=t

2 −1 2

9

= 20t ; y = −t

3 −1 1

9

= −28t ; z = t

3 2 1 2

= 4t.

sin ( x − 3) . x→ 3 x 2 − 4 x + 3

Зад ач а 5. Н ай т и lim

Реш ение. П ри x → 3 x − 3 → 0 , след оват ельно, sin(x − 3) ~ x − 3 (п. 3 (5 )) . И спользуя (п. 3 (5)) т еоремуоб э квивалент ност и бесконеч но малы х, имеем x−3 1 1 sin ( x − 3) = lim lim 2 = lim = . x→ 3 x − 4 x + 3 x→ 3 ( x − 3)( x − 1) x →3 x − 1 2 /

cos 4 x − cos 2 x . x →0 arcsin 2 3x

Зад ач а 6. Н ай т и lim

Реш ение. П о ф ормулет ригонометрии 4 x + 2x 4x − 2x cos 4 x − cos 2 x = −2 sin sin = −2 sin 3 x sin x. 2 2 2 2 П ри x → 0 sin 3x ~ 3x , sin x ~ x , arcsin 3x ~ 3x т о ест ь (arcsin 3 x ) ~ (3x ) . П оэ т ому cos 4 x − cos 2 x − 2 sin 3 x sin x − 2 ⋅ 3x ⋅ x 2 lim = lim = lim = − . x →0 x →0 x →0 3 arcsin 2 3x arcsin 2 3 x (3 x)2 Зад ач а 7. Н ай т и производ ны еф ункций :

(

1) y = 2 x 3 + 5

(

)

4

2) y = ln x 2 + 5 2

3) y = x x .

)

14 Реш ение. 1. О бознач им 2 x 3 + 5 = u , т огд а y = u 4 . П о д иф ф еренцированияслож ной ф ункции (параграф 3 (7)) имеем

( ) ⋅ (2 x

y/ = u4

(ln(x

2.

/ u

2

+5

3

+5

/

=

))

)

/ x

( )

(

)

x2

/

x2

/

2

⋅ xx

x 2 +1

2

−1

3

= 4u 3 6 x 2 = 24 x 2 2 x 3 + 5 .

2x . x +5 2

3. Зд есь основание и показат ель зависят от ф ормуле(8) получ аем

(x ) = x (x ) = x

правилу

x ;

u = x; v = x 2 . П о

2

⋅ 1 + x x ⋅ ln x ⋅ 2 x

(1 + 2 ln x ) К онт рол ьн ые задания

В ариант 1 1. Н аписат ь уравнение окруж ност и, касаю щ ей ся осей проход ящ ей ч ерезт оч ку A(1;2) 2. Реш ит ь уравнение x 4 + 81 = 0 3. Реш ит ь сист емууравнений  7x − 4 y − z = 3  2 x + 3 y + 4 z = −1  − x + y + 2 z = −2  4. Н ай т и: а) lim n + 1 − n n →∞

(

)

x −1 x→1 x − 1 x −1 в) lim 3 x→1 x − 1 sin x − sin a г) lim x →a x−a x  x  д ) lim  x →∞ x + 1  5. Н ай т и производ ны еф ункций : б ) lim

а)

y=

1 ln x x

коорд инат

и

15 3 x − x3 б ) y = arctg 1 − 3x 2  1 1 в) y = ln1 −  +  x x г)

y = ln sin x tg x − x

д ) y = 2 xtg 2 x + ln cos 2 x − 2 x 2 .

1.

2. 3.

4.

В ариант 2 Э ллипс, симметрич ны й от носит ельно осей коорд инат , проход ит ч ере з т оч ки M 2; 3 и B (0;2) . Н аписат ь его уравнениеи най т и расст ояние т оч ки M от ф окуса. Реш ит ь уравнение x5 − 32 = 0 (най т и пят ь корней ) Реш ит ь сист емууравнений − 5 x + y + z = 0   x − 6y + z = 0  x + y − 7z = 0  Н ай т и: 2x + 3 а) lim x → +∞ x + 3 x

(

)

x 2 − 23 x + 1 б ) lim x→1 ( x − 1)2 3

x 2 − 2 x + 6 − x 2 + 2x − 6 x→ 3 x 2 − 4x + 3 cos mx − cos nx г) lim x→ 0 x2 tgπx д ) lim x →−2 x + 2 5. Н ай т и производ ны еф ункций : а) y = cos5 ( 7 x + 9) в) lim

б)

y=3 x+

в)

y = ln 3 (5 x + 1) x y= sin 3 x + 9

г) д)

y = (ctgx )

x +1

x3

16

4. И н т еграл ьное исчисл ение П .1. П ервообразнаяи неопред еленны й инт еграл

f (x) назы вается т акая П ервообразной ф ункцией д ля ф ункции ф ункция F (x ) , производ наякот орой равна д анной ф ункции F / ( x) = f ( x) . О бознач ение

∫

f ( x ) dx = F ( x) + C ,

гд е F / ( x ) = f ( x ) . Ф ункция f ( x ) называется под ы нт егральной ф ункцией , а вы раж ение f ( x)dx - под ы нт егральны м вы раж ением. П .2. Свой ст ва неопред еленного инт еграла о

1 . П роизвод ная неопред еленного инт еграла равна под ы нт егральной ф ункции; д иф ф еренциал от неопред еленного инт еграла равен под ы нт егральномувы раж ению , т .е.

∫

/

∫

   f ( x ) dx  = f ( x ); d f ( x) dx = f ( x) dx .   2о. Н еопред еленны й инт еграл от д иф ф еренциала некот орой ф ункции равен суммеэ т ой ф ункции и произвольной пост оянной , т .е.

∫

dF ( x ) = F ( x ) + C .

3о. П ост оянны й множ ит ель мож но вы нест и изпод знака инт еграла, т .е. если k = const ≠ 0 , т о

∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx

.

4о. Н еопред еленны й инт еграл от алгебраич еской суммы д вух ф ункций равен алгебраич еской суммеинт еграловот э т их ф ункций вот д ельност и П .3. Т аб лица основны х инт егралов 1. 2.

∫ ∫

x n dx =

x n +1 + C , n ≠ −1 ; n +1

dx = ln x + C ; x

17 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dx 2

1+ x dx

= arctgx + C = −arcctgx + C1;

(a ≠ 0 ) ;

= arcsin x + C = − arccos x + C1;

1 − x2

ax a dx = + C, ln a x

(a > 0 ) ;

(0 < a ≠ 1) ;

e x dx = e x + C ;

sin xdx = − cos x + C ; cos xdx = sin x + C ; dx

= tgx + C ;

cos 2 x dx

= −ctgx + C ;

2

sin x dx 2

x −a dx

2

x2 + k dx

=

1 x−a + C, ln 2a x + a

(a ≠ 0 ) ;

= ln x + x 2 + k + C ;

1 x 1 x arctg + C = − arcctg + C1, (a ≠ 0) ; a a a x 2 + a2 a dx x x = arcsin + C = − arccos + C1, (a > 0 ) . a a a2 − x2 =

П .4. Н епосред ст венноеинт егрирование В ы ч ислениеинт егралов с помощ ью непосред ст венного использования т аблицы прост ей ш их инт егралов и основны х свой ст в неопред еленны х инт еграловназы ваетсянепосред ст венны м инт егрированием. П римеры 1.

∫

x 4 − 2x 3 + 3x 2 x

2

dx =

( x 2 − 2 x + 3)dx = x 2 dx − 2 xdx + ∫ ∫ ∫

18

∫

+ 3 dx =

2.

∫

x3 − x 2 + 3x + C 3 2

∫

 1   = 1 −  x2 

 2 1  dx = 1 − +  x2 x4 

∫

∫

dx − 2 x − 2 dx +

∫

x − 4 dx =

1 2 1 x + 2 x −1 − x − 3 + C = x + − +C x 3x 3 3 3.

∫

ctg 2 xdx =

∫

 1   − 1dx =  sin 2 x 

∫

dx sin 2 x

−

∫

dx = −ctgx − x + C

dx cos2 x + sin 2 x dx dx 4. ∫ 2 =∫ =∫ 2 +∫ = 2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos2 x

− ctgx + tgx + C 5.

∫

x 1 cos 2 dx = 2 2

∫

(1 + cos x )dx = 1

2

∫

dx +

1 2

∫

cos xdx =

1 1 = x + sin x + C 2 2 П .5. И нт егрированиепутем под вед енияпод знакд иф ф еренциала Е сли

∫

f ( x ) dx = F ( x) + C и u = ϕ (x) , т о

∫

f (u ) du = F (u ) + C .

Н еобход имо иметь ввид упрост ей ш иепреоб разованияд иф ф еренциала 1. dx = d ( x + b), b = const 1 2. dx = d (ax + b ), a = const ≠ 0 a 1 3. xdx = d x2 + b 2 4. sin xdx = −d (cos x)

(

)

19 5. cos xdx = d (sin x) В общ ем случ ае ϕ / ( x) dx = dϕ ( x ) . П римеры Н ай т и инт егралы 1.

∫

(2 x + 3)2 dx

Н а основании преобразования2 д иф ф еренциала имеем dx =

∫

(2 x + 3) dx = 1 2 1 = (2 x + 3)2 + C 6

2.

∫

2

x + 4dx =

∫(

∫

1 (2 x + 3)2 (2 x + 3) d (2 x + 3) = +C = 2 3

x + 4)

2

1 2

3 2 2 d (x + 4 ) = (x + 4 ) + C = 3

2 = ( x + 4) x + 4 + C 3

3.

∫

4.

∫

5.

∫

tgxdx =

6.

∫

x x  x x cos dx = 4 cos d   = 4 sin + C 4 4 4 4

7.

∫ 1 + 4 x ∫ 1 + (2 x)

dx = ax + b xdx x2 + 1

=

∫

1 d ( ax + b) 1 a = ax + b a

1 2

∫

∫

(

d x2 + 2 x2 + 2

∫

d ( ax + b) 1 = ln ax + b + C ax + b 2

) = 1 d (x 2 + 2) = 1 ln(x 2 + 2)+ C 2

∫

x2 + 2

2

∫

sin x d (cos x ) dx = − = − ln cos x + C cos x cos x

∫

dx

2

=

1

2

dx =

1 2

∫

d (2 x)

1 = arctg 2 x + C 1 + (2 x)2 2

1 d (2 x + 3) 2

20 П .6. М етод под ст ановки И нт егрирование путем введ ения под ст ановки) основано на ф ормуле

∫

f ( x ) dx =

∫

новой

1.

∫ xe

x2

(метод

f [ϕ (t )]ϕ / (t ) dt ,

гд е x = ϕ (t ) - д иф ф еренцируемаяф ункцияпеременной П римеры .

переменной

t.

Н ай т и инт еграл

dx

dt , под ст авляяполуч енны е 2 знач ениявпод ы нт егральноевы раж ение, получ им 2 dt 1 1 1 2 xe x dx = e t = et dt = e t + C = e x + C . 2 2 2 2 Э т от примермож но реш ит ь и по-д ругому(см.п.5) 2 2 1 2 1 1 2 xe x dx = e x d x 2 = ex d x2 = ex + C 2 2 2 П олож им x 2 = t , т огд а 2 xdx = dt ,

2.

∫

∫

∫

∫

∫

( )

xdx =

∫ ()

∫ x x − 2dx

Ч т обы избавит ьсяот корня, полож им x−2 =t В озвод явквад рат э т о равенст во, най д ем x : x = t 2 + 2, dx = 2tdt . П од ст авляя получ енны е равенст ва в под ы нт егральное вы раж ение, получ им

∫

x x − 2dx =

( t 2 + 2 )⋅ t ⋅ 2tdt = (2t 4 + 4t 2 )dt = ∫ ∫

∫

∫

∫

cos x dx 1 + 4 sin x

5

3

2 2 t5 t3 2 4 = 2 t 4 dt + 4 t 2 dt = 2 + 4 + C = ( x − 2 ) + ( x − 2 ) + C 5 3 5 3

3.

П олож им

1 + 4 sin x = t , от куд а 1 + 4 sin x = t 2 , 4 cos xdx = 2tdt ,

21

1 cos xdx = tdt . 2 След оват ельно,

∫ 4.

cos x 1 + 4 sin x

∫

dx =

∫

1 tdt 1 2 = t 2

∫

1 1 dt = t + C = 1 + 4 sin x + C . 2 2

ln 7 x dx x

1 dx = dt, след оват ельно, x ln 7 x t8 ln8 x dx = t 7 dt = + C = +C . x 8 8

П олож им ln x = t ,

∫ 5.

∫

∫

dx sin x cos x

Разд елим ч ислит ель и знаменат ель на cos 2 x , получ им 1 1 2 2 1 = cos x = cos x . sin x cos x sin x cos x tgx cos2 x П олож им tgx = t , т огд а Т аким образом,

dx cos 2 x

= dt .

dx

∫

dx = sin x cos x

∫

cos 2 x = tgx

∫

dt = ln t + C = ln tgx + C . t

∫

dx sin x x П олагая = t , получ аем 2

6.

∫

dx = sin x

∫

dx = x x 2 sin cos 2 2

∫

 x d  2 = x x sin cos 2 2

∫

dt x = ln tgt + C = ln tg + C . sin t cos t 2

22 Т ригонометрич ескиепод ст ановки 1) Е сли инт еграл сод ерж ит рад икал a 2 − x 2 , т о полагаю т x = a sin t , от сю д а a 2 − x 2 = a cos t . x 2 − a 2 , т о полагаю т x =

2) Е сли инт еграл сод ерж ит рад икал от сю д а

a , cos t

x 2 − a 2 = atgt . 3) Е сли инт еграл сод ерж ит рад икал от сю д а

x 2 + a2 =

П ример. Н ай т и

∫

x2 + 1 x2

a . cos t

dx .

П олож им x = tgx , след оват ельно, dx =

∫

x2 + 1 dx = ∫ x2

x 2 + a 2 , т о полагаю т x = atgt ,

dt

cos 2 t tg 2t + 1 dt cos2 t dt ⋅ = ⋅ = tg 2t cos2 t ∫ cos t sin 2 t cos2 t

sin 2 t + cos2 t cos t dt dt =∫ 2 =∫ + ∫ 2 dt = dt = ∫ 2 sin t cos t sin t cos t cos t sin t 1 1 1 d (sin t ) = ln tgt + +∫ = ln tgt + − +C = 2 cos t cos t sin t sin t = ln tgt + 1 + tg 2 t −

1 + tg 2t + C = ln x + x 2 + 1 − tgt

.

x2 + 1 +C x

П .7. И нт егрированиепо ч аст ям Е сли u = ϕ (x) и v = ψ (x) - д иф ф еренцируемы еф ункции, т о

∫

udv = uv −

∫

vdu .

( 7.1.)

Э т а ф ормула применяется в случ ае, когд а под ы нт егральная ф ункция пред ст авляет произвед ениеалгебраич еской и т рансценд ент ной ф ункции. В кач ест ве u обы ч но вы б ирается ф ункция, кот орая упрощ ается

23 д иф ф еренцированием, в кач ест ве dv - ост авш аяся ч аст ь под ы нт егрального вы раж ения, сод ерж ащ ая dx , из кот орой мож но опред елит ь v путем инт егрирования. П римеры . 1. Н ай т и

∫

x ln xdx .

П олагая u = ln x, dv = xdx , имеем du =

dx , v= x

О т сю д а

∫ 2. Н ай т и

x ln xdx =

x2 ln x − 2

∫

∫

xdx =

x2 . 2

x 2 dx x 2 x2 ⋅ = ln x − +C . 2 x 2 4

∫ xsin xdx

П олагаем x = u , sin dx = dv , от сю д а, du = dx, v = − cos x , получ им

∫

x sin xdx = x ( − cos x ) −

3. Н ай т и И меем

∫

∫

= −e x cos x + След оват ельно,

О т куд а

( − cos x ) dx = − x cos x + sin x + C .

e x sin xdx

∫ ∫

e x sin xdx =

∫

∫

e x d ( − cos x ) = −e x cos x +

∫

e x cos xdx =

e x d (sin x) = − e x cos x + e x sin x −

∫

∫

. e x sin xdx

e x sin xdx = e x sin x − e x cos x − e x sin xdx .

∫ ∫

2 e x sin xdx = e x (sin x − cos x ) + C ex e sin xdx = (sin x − cos x ) + C 2 x

.

24 П .8. П рост ей ш иеинт егралы , сод ерж ащ иеквад рат ны й т рехч лен о

1 . И нт егралвид а

∫ px + qx + r dx

2

путем д ополненияквад рат ного т рехч лена д о полного квад рат а по ф ормуле

[

]

px 2 + qx + r = p ( x + k )2 ± a 2 свод ит сякод номуизд вух инт егралов du 1 u = arctg + C , ( 8.1. ) a u 2 + a2 a du 1 u−a ln ( 8.2. ) = +C , u 2 − a 2 2a u + a гд е u = x + k .

∫ ∫

о

2 . И нт еграл

∫ px + qx + r dx mx + n 2

свод ит сякинт егралувид а (8.1) или (8.2) и инт егралу

∫

udu u 2 ± a2

=

∫

d u2 ± a2

=

1 2

∫

П римеры . 1.

∫

=

dx 2x 2 − 5x + 7

1 2

∫

(

1 2

5  d x −  4  2

u 2 ± a2

∫

6x + 5 2

x + 4x + 9

2

( 8.3. )

dx = 5 25   7 25   2  x − 2⋅ x +  + −  4 16   2 16  

=

5 31  x−  + 4  16  2 4x − 5 = arctg +C 31 31 2.

) = 1 ln u 2 ± a2 + C .

1 1 ⋅ arctg 2 31 4

5 4 +C = 31 4

x−

dx

x 2 + 4 x + 9 = ( x + 2 )2 + 5 . В ы д елим в знаменат еле полны й квад рат Сд елаем под ст ановку x + 2 = t , от куд а x = t − 2, dx = dt , поэ т ому

25

∫

∫( ∫

6x + 5 x2

+ 4x + 9

∫

2tdt

=

6x + 5 x+2

)2

+5

(

dt

dx =

∫

6 (t − 2 ) + 5 t2

)

+5

dt =

∫

6t − 7 t2 + 5

dt =

7 t =3 −7 = 3 ln t 2 + 5 − arctg +C 5 5 t2 + 5 t2 + 5 В озвращ аясь к переменной x , получ аем 7 6x + 5 x+2 dx = 3 ln x 2 + 4 x + 9 − arctg +C. 5 5 x 2 + 4x + 9

(

∫

3о. И нт еграл

∫

)

dx px 2 + qx + r

свод ит сякод номуизинт егралов: du u = arcsin + C , a a2 − u2 du = ln u + u 2 + a + C . u2 + a о 4 . И нт егралвид а

∫ ∫

∫

( 8.4. ) ( 8.5. )

px 2 + qx + r dx

свод ит сякод номуизд вух инт егралов u 2 k u 2 + k du = u + k + ln u + u 2 + k + C , 2 2

∫ ∫

2 u 2 u 2 a a − u du = a −u + arcsin + C . 2 2 a 2

2

5о. И нт егралвид а

∫

mx + n

∫

dx

( 8.6. ) ( 8.7. )

px 2 + qx + r свод ит сякразобранны м вы ш еинт егралам. П римеры . 3.

∫

dx 2 + 3x − 2 x 2

=

1 2

25  3 2 −  x −  16  4

=

1 4x − 3 arcsin +C 5 2

.

26 4.

∫

x +3 2

x + 2x + 2

dx =

1 2

∫

2x + 2 x2 + 2x + 2

∫

dx + 2

dx

)2

(x + 1

+1

=

= x 2 + 2 x + 2 + 2 ln  x + 1 + x 2 + 2 x + 2  + C   5.

∫

1 − 2 x − x 2 dx =

+ arcsin

∫

2 − (1 + x )2 d (1 + x ) =

1+ x 1 − 2x − x 2 + 2

1+ x +C 2

6о. И нт егралы вид а

∫

dx

( mx + n ) px 2 + qx + r 1 спомощ ью обрат ной под ст ановки = t привод ят ся к инт егралам вид а mx + n 5о. П ример 6.

Н ай т и

∫(

dx

x + 1) x 2 + 1 1 dt И меем П олагаем x + 1 = , dx = − t t2

∫(

dx x + 1) x 2 + 1

=−

=−

1 2

∫

=

∫

−

1  1 t −  + 4  2

(

t2 2

1 1   − 1 + 1 t t 

dt 2

dt

=−

=−

∫

dt 1 − 2t + 2t 2

. 1 1 1 ln t − + t 2 − t + + C = 2 2 2

)

1 − x + 2 x2 + 1 1 ln +C x +1 2

П .9. И нт егрированиет ригонометрич еских ф ункций о

1 . И нт егралы вид а

=

27

∫

sin ax cos bxdx,

∫

sin ax sin bxdx,

∫

cos ax cos bxdx

наход ят сяспомощ ью т ригонометрич еских ф ункций 1 sin a sin b = [cos( a − b ) − cos( a + b) ] 2 1 cos a cos b = [cos( a − b) + cos( a + b )] . 2 1 sin a cos b = [sin( a − b) + sin( a + b) ] 2 2о. И нт егралы вид а I m, n =

∫

sin m x cos n xdx ,

гд еm и n - ч етны еч исла наход ят сяспомощ ью ф ормулпониж енияст епени 1 1 1 sin 2 x = (1 − cos 2 x ), cos 2 x = (1 + cos 2 x), sin x cos x = sin 2 x . 2 2 2 Е сли хот ябы од но изч исел m или n - неч етное, т о полагаю т (пуст ь m = 2k + 1) I m, n =

∫(

∫

∫

sin 2k +1 x cos n xdx = − sin 2k x cos n d (cos x ) = 2

)

1 2

k

.

= − 1 − cos x cos xd (cos x ) n

П римеры . 1.

∫

sin 9 x sin xdx =

∫

2.

∫

cos 2 3 x sin 4 3 xdx =

=

∫

[cos 8 x − cos10 x]dx =

∫

(cos 3x sin 3 x )2 sin 2 3 xdx =

sin 2 6 x 1 − cos 6 x 1 ⋅ dx = 4 2 8

∫

( sin 2 6 x − sin 2 6 x cos 6 x )dx = ∫

1  1 − cos12 x  − sin 2 6 x cos 6 x dx =  8  2  1  x sin 12 x 1  =  − − sin 3 6 x  + C 8 2 24 18  =

1 1 sin 8 x − sin 10 x + C . 16 20

.

3.

∫

sin 10 x cos3 xdx =

=

(

)

sin 10 x 1 − sin 2 x d (sin x ) =

. sin11 x sin13 x − +C 11 13

3о. Е сли ч етност и, т о I m, n =

=

∫

28

∫

m = − µ , n = −ν

∫

dx sin µ x cosν x

=

∫

- целы еот рицат ельныеч исла од инаковой 1 sin µ x cosν − 2 x

ν −2 µ 2  2 1 + 1  1 + tg 2 x d (tgx ) =  tg 2 x 

(

)

∫

d (tgx) =

(1 + tg 2 x )

µ +ν −1 2

.

d (tgx) µx tg   В ч аст ност и, к э т омуслуч аю свод ят сяинт егралы π  x  d  d x +  1 dx dx 2 2  и . = µ −1 = ν π µ x µ x  ν sin µ x 2 cos x sin cos sin  x +  2 µ 2  П римеры .

∫

∫

4.

∫

5.

∫

dx cos 4 x dx sin 3 x

=

=

∫ 1 23

∫

1 cos 2 x

∫

d (tgx ) =

∫

1 ( 1 + tg 2 x )d (tgx ) = tgx + tg 3 x + C . ∫ 3

∫

dx 1 x dx = tg − 3 ⋅ = x x 8 x 2 3 3 6 sin cos cos 2 2 2

2

 2 x   1 + tg  1 dx 2  x 2 x  x 2 = ∫ ⋅ = ∫ tg − 3 + + tg d  tg  = . x x 8 8 2 tg x 2  2 tg 3 cos2  2 2  2   2 x tg 1 1 x 2  + C. = − + 2 ln tg + 4 2tg 2 x 2 2      2 о

4 . И нт егралы вид а

29

∫

R (sin x cos x ) dx ,

гд е R - рациональнаяф ункцияот sin x и cos x , привод ят сяк инт егралам от x рациональны х ф ункций новой переменной спомощ ью под ст ановки tg = t , 2 при э т ом sin x =

2t 1+ t2

, cos x =

1 − t2 1+ t2

, dx =

2dt 1+ t2

.

R (− sin x, cos x) = R (sin x, cos x) , т о целесообразно применит ь Е сли под ст ановку tgx = t , при э т ом sin x =

t 1+ t

2

, cos x =

1 1+ t

2

,

x = arctgt, dx =

dt 1 + t2

.

П римеры .

∫

dx 3 + sin x + cos x Зд есь под ы нт егральная ф ункция является рациональной ф ункцией от x sin x и cos x . П рименяем под ст ановку tg = t 2 dx 2t 1+ t2 2 dt 1 = ⋅ = ⋅ = 2 2 2 3 + sin x + cos x 2t 1−t 1+t 2 t + t + 2 1 + t2 3+ + 1 + t2 1 + t 2  1 1 d t +  t+ dt dt 2 2  2 + C =. = = = = arctg 2 2 2 2  7 7 t +t+2 1 7  1 7  t +  +   t + +   2  2  2 4  2    6.

∫

∫

∫

=

∫

∫

)

∫

2 2t + 1 2 arctg arctg +C = 7 7 7 7.

∫(

2tg

x +1 2 +C 7

dx

5 cos 2 x + 9 sin 2 x П од ы нт егральная ф ункция неменяется от замены sin x на (− sin x) , cos x на (− cos x) , т о ест ь R (− sin x, cos x) ≡ R(sin x, cos x) . П рименим

30 под ст ановку tgx = t :

∫

dx 5 cos 2 x + 9 sin 2 x

=

∫

1+ t2

⋅

dt

5 + 9t 2 1 + t 2

=

∫

dt 5 + 9t 2

=

1 3

∫(

d (3t )

5

)2 + (3t )2

= .

1 1 3t 1 3tgx = ⋅ arctg +C= arctg +C 3 5 5 3 5 3

И спол ьзуемаял и т ерат ура 1. Баврин И .И . В ы сш аямат емат ика./И .И . Баврин. – М .: Academia, 2000. – 611с. 2. Ш ипач евВ .С. В ы сш аямат емат ика./В .С.Ш ипач ев. – М .: В ы сш . ш к., 2001. – 479с. 3. Ш ипач евВ .С. Сборникзад ач по вы сш ей мат емат ике./ В .С.Ш ипач ев – М .: В ы сш . ш к., 1993. – 192с.

31

Сост авит ели: Савч енко Галина Борисовна Я рцева Н ат алияА лексеевна Ред акт ор Т ихомирова О .А .