Синтез законов управления в технических системах

СИНТЕЗ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ Лекции - Тарасова Ольга Викторовна Проектирование систем автоматического управления и его этапы. Проектирование – совокупность всех действий, необходимых для подготовки к запуску в производство любого промышленного изделия, системы или объекта. Проект – совокупность технической документации (текстовой, графической, программной), необходимой для изготовления данного изделия. Действия при проектировании: - расчет технико-экономический (стоит ли выпускать?); - выяснение требований к изделию, систематизация требований в виде документа: «Технические требования» - заказчик; - разработка

документа

«Техническое

задание»

-

исполнитель

(генеральный

разработчик); - разработка объекта проектирования; - моделирование (ММ объекта) изделия, возможно создание физической модели или макета; - чертежи изделия (стадия «Рабочие чертежи»); сопровождение изделия в процессе изготовления и доводки (доработки). Роль этапов синтеза законов управления в общей задаче проектирования САУ. Процесс проектирования разбивается на три стадии: 1) подготовительный этап проектирования - постановка и уяснение задачи - разработка технических требований к изделию - разработка технического задания (25-30% проекта) 2) расчетный (интеллектуальный, аналитический) этап для проектирования САУ - математическое моделирование - математическая формулировка (критериальная стратегия проектирования САУ) - получение математической модели управляющего устройства (закон управления) Синтез – процесс получения закона управления. - выбор варианта закона управления (если законов управления бесконечное или конечное множество) 3) технический этап (для систем АУ – это проектирование на уровне технической документации) - разработка принципиальных схемных решений - разработка монтажных решений - разработка проектной документации.

ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ Работы, связанные с изучением объекта управления, задачи, стоящей перед разработчиком системы, выработкой основных путей ее решения. Подготови

Постановка и уяснение задачи

тельный

Разработка технических требований

этап

Разработка технического задания

Проектирование на уровне математических моделей Математическое моделирование объекта управления Математическая формулировка задачи – разработка критериальной стратегии проектирования управляющего устройства

Расчетный

Синтез вариантов закона управления, допустимых математических моделей устройства управления Выбор варианта закона управления

этап

Синтез УУ

Проектирование на уровне технической документации Разработка принципиальных схемных решений Технический

Разработка монтажных решений

этап

Разработка проектной документации

СИСТЕМА

УПРАВЛЕНИЯ

Рис. 1. Основные этапы проектирования систем управления Расчетные структуры систем автоматического управления

1)

Рис. 2. Блочно-функциональная схема САУ НЧ САУ - неизменяемая часть САУ; УЧ САУ - управляющая часть САУ; КСВО - комплекс средств воздействия на ОУ; КИИС - комплекс информационно-измерительных средств; КСУУ - комплекс средств усиления управляющих сигналов; КСЛУ - комплекс средств локального управления; УВК - управляющий вычислительный комплекс;

U o , Y o - векторы входных воздействий и выходных переменных ОУ; Z , U , Y , V - векторы цели, управления, управляемой переменной,

возмущающих воздействий.

Простейшая одноконтурная САУ:

Рис. 3. Простейшая многоконтурная САУ:

Рис. 4 . МПС – модель в пространстве состояний (наблюдатель или эстиматор)

Задача анализа: оценка качества функционирования системы (точность,

быстродействие, колебательность и т.п.) при заданных ММ ОУ и УУ. Задача синтеза: при данных ММ ОУ, эстиматора состояния и заданной

критериальной стратегии синтеза, найти ММ УУ такую, что совместное решение ее с ММ ОУ и эстиматора в системе даст динамические свойства, отвечающие показателям качества критериальной стратегии. Решать задачу синтеза можно на основе различных идеологических

посылок с использованием различных форм ММ и на основе различных математических методов. Простейшее сочетание этих признаков: 1) параметрический синтез УУ известной структуры; 2) операторные ММ в виде ПФ; 3) операторноалгебраические преобразования.

Пример:

Рис. 5. Критериальная стратегия синтеза:

Пусть к системе предъявляется два требования: 1) точность не хуже, чем 1% от задающего воздействия; 2) значение у должно устанавливаться не медленнее чем за 60 секунд (tp = 60 с). Идеология решения задачи синтеза:

Нужно найти такую ММ УУ, структура и параметры которой обеспечивают реализацию критериальной стратегии. Сделать это можно различными способами. Самый простой в исполнении – задаться структурой ММ УУ и попытаться найти параметры, обеспечивающие Пусть в качестве УУ выступает звено с общей структурой вида: W ( p) = k

Следовательно,

нужно

T1 p + 1 . T2 p + 1

попытаться

найти

обеспечивающие реализацию критериальной стратегии.

его

параметры,

Решение задачи синтеза 1) Найдем общий вид ПФ замкнутой системы по двум важнейшим каналам: np W pc =k⋅

np W pc zy W зс = np 1 + W pc

W зсzε =

1 np 1 + W pc

T1 ⋅ p + 1 10 ⋅ ; T2 ⋅ p + 1 100 ⋅ p + 1

k ⋅10 ⋅ (T1 ⋅ p + 1) (T2 ⋅ p + 1) ⋅ (100 ⋅ p + 1) k ⋅10 ⋅ (T1 ⋅ p + 1) ; = = 10 ⋅ k ⋅ (T1 ⋅ p + 1) ( T2 ⋅ p + 1) ⋅ (100 ⋅ p + 1) + 10 ⋅ k ⋅ (T1 ⋅ p + 1) 1+ (T2 ⋅ p + 1) ⋅ (100 ⋅ p + 1)

=

(T2 ⋅ p + 1) ⋅ (100 ⋅ p + 1) 1 = 10 ⋅ k ⋅ (T1 ⋅ p + 1) (T2 ⋅ p + 1)⋅ (100 ⋅ p + 1) + 10 ⋅ k ⋅ (T1 ⋅ p + 1) 1+ (T2 ⋅ p + 1) ⋅ (100 ⋅ p + 1)

Коэффициент k влияет на точность. W зсzε =

1 np 1 + W pc

Решение задачи второй постановки:

= =

100 ⋅ T2 ⋅ p 2 + (T2 + 100) ⋅ p + 1 = 100 ⋅ T2 ⋅ p 2 + (T2 + 100 + 10 ⋅ k ⋅ T1 ) ⋅ p + 1 + 10 ⋅ k

100 ⋅ T2 ⋅ p 2 + (T2 + 100) ⋅ p + 1 1 ⋅ ; 10 ⋅ k + 1 100 ⋅ T2 ⋅ p 2 + (T2 + 100 + 10 ⋅ k ⋅ T1 ) ⋅ p +1 10 ⋅ k + 1

1 ; 10 ⋅ k + 1 ε ( p ) = W зсzε ⋅ z ( p ); kε =

ε (0) = kε ⋅ z (0); ε ycm = kε ⋅ z ycm ;

В результате k ε =

kε ≤ 0.01 ; 1 ≤ 0; 10 ⋅ k + 1

ε ycm z ycm

- относительная ошибка.

;

1 ≤ 0.1 ⋅ k + 0.01 ⇒ k ≤

0.99 = 9.9. 0.1

Следующий

используя

этап:

W зсzy

найти

необходимые

параметры,

которые

обеспечивают заданное быстродействие. Целесообразно использование W pc . W pc = k ⋅

T1 ⋅ p + 1 10 ; ⋅ T2 ⋅ p + 1 100 ⋅ p + 1

Пусть T1 = 100 , тогда:

W pc =

10 ⋅ k ; T2 ⋅ p + 1

W зсzε =

10 ⋅ k ; T2 ⋅ p + 1 + 10 ⋅ k

T=

T2 , k = 0.99. 100

Полученная ЗС при T1 = 100 будет иметь Tзс = 0.01 ⋅ T2 . Считая, что длительность переходного

T p = 3 ⋅ Tзс ⇒ Tзс =

процесса

для

звена

первого

порядка

60 = 20c ⇒ T2 ⋅ 0.01 = 20 ⇒ T2 = 2000 (при T p = 60c ). 3

Классификация методов синтеза.

Общая характеристика законов управления. Допущение: на входе и выходе величины в одних и тех же единицах измерения.

Рисунок 2. ИИС – информационно-измерительная система (датчик (первичный преобразователь) + вторичный преобразователь + АЦП + ЦАП). СЛУ – система локального управления. УВК – управляющий вычислительный комплекс. Средства воздействия – усилитель + исполнительный механизм + регулирующий орган (заслонка, клапан). САУ как техническая система представляет сложный комплекс взаимодействующих технических устройств, выполняющих различные информационные, энергетические и физико-механические

функции.

При

решении

задачи

синтеза

закона

управления

принимается допущение о том, что все эти устройства, кроме тех, которые связаны с выработкой закона управления, являются заданными. В связи с этим в процессе синтеза ММ этих устройств и их параметры варьированию не подлежат. Поэтому в результате такой постановки задачи синтеза вводится понятие неизменяемой части (НЧ) САУ. И в качестве ММ ОУ в укрупненной типовой схеме САУ рассматривается ММ НЧ. Часто неизменяемую часть системы называют ОУ. Фактически при расчетах можно поступить наоборот: синтезировать закон управления для собственно ОУ, а затем из полученной ММ вычленить ММ технических устройств, обеспечивающих реализацию управления (редкий случай). Замечание: в учебных расчетах ММ технических средств будут опускаться (для

упрощения). Таким образом расчетная схема задачи синтеза приводится к рисунку 1. Простейшая многоконтурная САУ:

Рисунок 3. МПС – модель в пространстве состояний (наблюдатель).

Рисунок 4.

ЭСОУ – эстиматор ОУ (наблюдатель). Классификация методов синтеза ЗУ:

1) По характеру и степени ограничений, накладываемых на структуру ЗУ. Классификация. I. Методы, основывающиеся на волевом выборе ММ, с дальнейшим вычислением

параметров, обеспечивающих реализацию критериальной стратегии синтеза. Это методы параметрического синтеза. Основное место занимают методы параметрического синтеза типовых законов управления (интегральный, пропорциональный, дифференциальный и др. Пропорционально-дифференциальный

используется

только

в

определенных

своих

модификациях). II. Методы синтеза по желаемым или эталонным динамическим характеристикам. Эти

метода также опираются на определенные ограничения структуры проектируемого закона, но ограничения менее строгие.

Рисунок 6. Идеология методов синтеза по желаемым характеристикам состоит в том, что на начальной стадии синтеза задаются эталонные условия. На втором этапе синтеза происходит декомпозиция ММ САУ с вычленением из нее ММ ОУ. Оставшаяся часть – закон управления. III. Методы, которые позволяют на основании ММ ОУ и ММ критериальной

стратегии синтеза сразу получают и структуру и параметры необходимых законов управления. Это группа методов структурно-параметрического синтеза. В основном – методы синтеза оптимальных законов управления. Дополнительный

классификационный

признак,

по

которым

проводится

классификация уровня можно охарактеризовать так:

классификация проведена по избыточности априорной информации, используемой для синтеза. Минимальный уровень информации, необходимой и достаточной для синтеза определяется критериальной стратегией синтеза. Требования к системе со стороны технологии. По умолчанию ММ задана. При решении задач по эталонным или желаемым ММ проектируемой системы, к этой модели добавляется информация о дополнительных,

искусственно вводимых проектировщиком свойств системы, в которых выражается желаемая ММ. Классификация по способу задания ММ критериальной стратегии синтеза. Критериальная стратегия синтеза и ее ММ.

Поскольку критериальная стратегия синтеза – это формализованное представление требований проектировщика к системе, а наивысшей степенью формализации является ее ММ. Требования проектировщика должны быть выражены в виде математических выражений, адекватных этим требованиям. Конкретная величина, характеризующая свойства системы – показатель качества (перерегулирование, время регулирования и т.д.)

Качество системы характеризуется: - набором некоторых показателей качества – локальных характеристик – свойств системы. ММ показателей качества являются функционалы – преобразования, которые любой функции ставят в соответствие ее численную характеристику (интеграл на временном отрезке, максимальное значение, установившееся значение и т.д.). Так как в технике и технологии наиболее распространенным видом требований к функционированию системы являются ограничения (не больше, не меньше, на интервале), то ММ частных составляющих критериальной стратегии являются отношения типа неравенства. Совокупность нескольких показателей качества, образующих более сложные показатели, будем называть критериями качества. Наряду с отношениями типа неравенств могут быть также отношения типа экстремальных требований к функционалу. Q ( x, u , v, t ) →max . min

- предъявление экстремальных требований к системе. Решение

задачи

достижения

экстремальных

значений

показателей

качества,

выраженных функционалом, осуществляется с использованием методов оптимизации. В сложных

системах

критериальная

стратегия

синтеза

может

задаваться

совокупностью показателей качества.

{ }

Q= Q ; i Q( x, u , v, t , {φ }) = Q (⋅) ; i

{ }

(1)

Само множество Q содержит два подмножества: Q огр ⊂ Q  огр экстр =Q Q ∪ Q экстр Q ⊂ Q 

(2)

большой

где Q огр - множество показателей, на которые накладываются отношения типа ограничений и Q экстр должны образовывать полное множество показателей Q .

{

}

Q огр (⋅) = Q j (⋅) : Q j ≥ Q доп ; j

(3)

Q экстр (⋅) = {Qk (⋅) : Qk → extr}. В наиболее общем виде критериальная стратегия синтез задается выражениями 1-3. Изложенная форма критериальной стратегии синтеза характерна для традиционной ТАУ. Исторически сложились методы, ориентирующиеся на ограничительную стратегию синтеза. К началу семидесятых годов появились задачи, в которых формулировалась экстремальная стратегия синтеза. В современной трактовке СЗУ, базирующихся на «синергетической» концепции управления, критериальная стратегия синтеза строится в первую очередь на выборе совокупности инвариантных многообразий проектируемой САУ как динамической системы, в рамках которых

управляемое

движение

системы

считается

предпочтением

(инвариантные

многообразия (ИМ) представляют собой подпространства состояний системы, которое наделено следующим свойством: при попадании в это подпространство и отсутствии внешних воздействий, изображающая точка системы движется в пределах этого подпространства (если это атрактор – притягивающее ИМ)). При движении к каждому многообразию мы предъявляем системе требования и процесс управления делится на этапы: Движения к ИМ и движения по ним. Требования к качеству такого движения называются критериальными тактиками. M ( x ) = {M i ( x )}. M i ( x ) = 0 - необходимо систему привести, например, к такому виду. В критериальной стратегии главный (базовый) уровень составляют показатели качества. Прямые – непосредственно характеризуют поведение системы во времени под влиянием возмущающих или задающих воздействий. К прямым показателям качества относится время регулирования, перерегулирование, декремент затухания, количество колебаний до времени регулирования и т.д. Косвенные – эти показатели качества не могут в точности оценить свойства движения во времени. К ним относятся запасы по модулю и фазе, частота среза. Максимум вещественной частотной характеристики, частота первого пересечения ВЧХ оси частот и др. В критериальную стратегию могут входить как прямые, так и косвенные показатели качества. - Форма математического описания ОУ, проектируемой системы и искомого ЗУ.

- Свойства этого математического описания. - Методы, ориентирующиеся на линейные или линеаризованные ММ. Очень мало методов, ориентирующихся на нелинейные ММ. Методы, ориентирующиеся на линейные и линеаризованные описания.

Эти методы делятся на частотные, операторные, дифференциально-временные методы. Прямое преобразование Фурье можно применить только к линейным моделям. Частотные методы используют в качестве математических моделей те или иные формы частотных характеристик. Критериальная стратегия синтеза - в этом случае используют только косвенные показатели качества. Операторные методы – узкое значение термина, а именно – операторная, алгебраическая запись дифференциальных уравнений, описывающих систему. Наиболее распространенной формой описания динамических свойств является ПФ. Дифференциально-временные методы – основаны на использовании временных методов. Основная форма описания – дифференциальные уравнения, которые являются наиболее общей формой

описания объектов и явлений. Дифференциально-временные

методы делятся на методы, использующие 1) вход-выходные формы ММ, 2) ММ в пространстве состояний. По форме отображения информации они делятся на табличные, графические, графоаналитические. Методы параметрического синтеза законов управления.

Методы параметрического синтеза делятся на: - методы, ориентирующиеся на синтез параметров типовых законов управления; - методы синтеза параметров произвольно выбранных законов. Последние часто относятся к ММ вспомогательных управляющих устройств, называемых корректирующими устройствами. Расчет параметров настройки типовых законов управления методом модальнопараметрических ограничений.

Рисунок 7. Используется понятие расширенных ЧХ, когда в операторных выражениях оператор Лапласа заменяют некоторым выражением p = α (w) + jw ,

(4)

То есть появляется действительная часть, которая в общем случае может быть функцией частоты. Частный случай:

α (w) = −η; ± µw + jw;

(5) (6)

- ограничение на колебательность.

δ   p( jw) = −η + mw  + jw;  w+δ  mi =

αi pi

.

Если в ХП подставить данное выражение, то получим фигуру, описанную на рисунке 7. Пусть задан ХП системы: H ( p, {α i }) = p n + α n −1 p n −1 + α 1 p + α 0 .

(7)

Если в полином H подставить расширенное выражение и приравнять его к нулю, то получим характеристическое выражение 8. H ( jw, {α i }) = 0 .

(8)

Выражение 8 эквивалентно системе двух уравнений, в которых нулю приравнивается действительная и мнимая части характеристического комплекса. Re[H (⋅)] = 0;  Im[H (⋅)] = 0.

(9)

Так как получили систему двух уравнений, то их решение – два каких-либо параметра. Одним из них обязательно должна быть частота, а вторым – один из параметров

варьируемого ХП (7). Параметры ХП замкнутой системы являются функциями параметров ММ объекта, которые заданы, и ММ регулятора, то есть ЗУ, который необходимо найти. Естественно, что при синтезе рассматриваются только те ХП, которые зависят от коэффициентов ЗУ. Таким образом в рассматриваемом методе из системы 9 можно найти только один однозначный параметр ЗУ. Начиная со вторых параметров ЗУ и выше, решение задачи синтеза многовариантно. В случае двухпараметрического закона управления решение вырождается в бесконечное количество пар

w, α j , каждая из которых соответствует некоторому произвольно

фиксированному значению α k . В результате решением задачи синтеза является уже не точка (подпространство нулевого порядка), а линия или кривая (подпространство первого порядка), которая отображает решение в пространстве второго порядка – параметрическое пространство второго порядка. При трех варьируемых параметрах решением является уже подпространство второго порядка (поверхность) в параметрическом пространстве третьего порядка и т.д. Решением же задачи синтеза всегда должна быть точка в параметрическом пространстве любого порядка (координаты точки есть «настройки» системы). Поэтому для коррекции многовариантной задачи прибегают к двум кардинально различным приемам: методу волевого выбора и оптимизационному подходу. Для реализации второго метода формируются дополнительные критерии качества или предпочтительности решения и точка допустимой параметрической области, доставляющей экстремум этому критерию, является решением данной задачи - k и T . Известно, чем больше k , тем больше его статическая и динамическая точность. Чем меньше T , тем выше быстродействие. Чем больше отношение k к T , тем лучше для системы.

Для того, чтобы найти коэффициенты ХП, зависящие от настроечного регулятора, или ЗУ, необходимо записать выражение для характеристической функции системы (знаменатель ПФ ЗС) и находят выражение для ХП, где настроечные коэффициенты ЗУ выступают в качестве

аргумента.

Для

более

чем

двухпараметрических

законов

выбирают

те

коэффициенты ХП, которые называются непрерывно варьируемыми при расчете и те коэффициенты, которые принимают дискретные фиксированные значения. Параметрическая оптимизация структурно заданных ЗУ (в том числе и типовых).

Решение задач параметрического синтеза при использовании ограничительной критериальной стратегии имеет многовариантный характер. В связи с этим возникает задача отыскания конкретного (точечного) решения. Наиболее эффективными методами являются оптимизационные (или методы оптимизации). Для решения поставленной задачи методом

оптимизации,

необходимо

выбрать

критерий

оптимизации

точечного

решения

в

параметрической области и выбрать метод. Дополнительные критерии оптимизации формулируются на основе рассмотренной критериальной

стратегии:

выбираются

показатели

качества,

которые

желательно

дополнительно улучшить на стадии оптимизации параметров системы. Формируется дополнительный критерий качества системы. При выборе показателей качества и критериев оптимизации необходимо избегать ситуаций, при которых задача оптимизации будет приводить к вырожденным решениям, а также исследовать принятые критерии оптимизации на корректность результатов. В случае неодинакового «веса» критериев, как оценочных параметров, использовать весовые коэффициенты. Методы параметрической оптимизации.

Существует

большое

количество

методов

параметрической

оптимизации,

различающихся по эффективности нахождения экстремума, возможности отыскания глобальных

или

локальных

экстремумов

по

чистоте

алгоритма

решения,

по

чувствительности к координатам исходной точки, по уровню априорной информации, необходимой для организации поиска. Рассмотрим возможности методов по отысканию локального экстремума: - метод сеток (решеток, прямого перебора); - все остальные методы. Единственный метод отыскания экстремума

- первый метод – является самым

ресурсоемким. Если ресурсы не ограничены исходной постановкой задачи, то этот метод является предпочтительным. В качестве примера можно рассмотреть результаты метода модально-параметрического разбиения.

Рисунок 8. Последовательно перебирая узлы построенной сетки и отбрасывая те, которые выходят за пределы допустимого качества, выбираем экстремум, оптимальный для данных настроек.

Все остальные методы делятся на регулярные, случайные и (иногда) смешанные. Регулярные методы предпочтительнее при наличии уровня априорной информации о характере области отыскания экстремума. Если область достаточно гладкая (не имеет разрывов), то регулярные методы работают хорошо. Среди регулярных методов наиболее распространены градиентный метод (наискорейшего спуска) и симплекс метод. В случае, если исследуемая область является многоэкстремальной и имеет овражистый характер,

Рисунок 9. то возможности регулярных методов невелики. Для большей вероятности нахождения глобального экстремума используется метод инерционного шарика. Наибольшей эффективностью исследования многоэкстремальных областей обладают методы случайного поиска. В некоторых модификациях он называется методом МонтеКарло. Случайные методы делятся на абсолютно случайные и случайные с элементами регуляризации поиска. Случайный метод похож по принципу действия на метод сеток. Только координаты узлов для проверки выбираются по случайному закону. При этом они тоже могут распределяться по случайному закону. Чаще всего используют закон равномерного распределения р: случайным образом выбирается координата по каждому параметру., а затем исследуются значения критериев оптимизации в данной точке. Если область исследования не прямоугольная, то точки, попавшие в недопустимую область отбрасываются. Количество случайных точек определяется исследователем. Результат зависит от случая и количества локализированные

области

исследования,

опытов. Можно также использовать

если

известно,

что

различные

области

исследования обладают разной вероятностью. Чаще используют алгоритмы случайного поиска с элементами регуляризации. Одна из эффективных модификаций – метод сужения области испытания.

Рисунок 10. В результате последовательных итераций производится локализация области отыскиваемого экстремума.

II. Использование методов динамической самоорганизации в задачах синтеза законов управления. 1.Инвариантные многообразия в переменных состояния динамических систем. Возьмем для начальных исследований одну из простейших систем 2-го порядка. x&1 = x2    x&2 = − a0 x1 − a1 x2 + u

Можно ли найти такие условия, что решение (движение) будет целиком расположено в подпространстве 1-го порядка пространства 2-го порядка, т.е.: x&1 = βx1

Закономерность движения, таким образом, должна зависеть только от одной из координат переменных состояния. x2 = γ 0 + γ 1 x1  x&1 = βx1   x&2 = γ 0 + γ 1 x1

Таким образом: x&1 = γ 0 + γ 1 x1

γ 1 x&1 = −a0 x1 − a1γ 0 − a1γ 1 x1 γ 0 + γ 1 x1 = −

γ0 =

a1

γ1

 + a1γ 1  x1   γ1  a0

γ 0 − 

− a1γ 0

γ1

γ1 = −

⇒γ0 = 0

a0

γ1

= a1

γ 12 + a1γ 1 + a0 = 0 γ 1(1.2 ) = −

a1 a2 ± 1 − a0 2 4

D≥0

Условием

существования

инвариантных

многообразий

является

вещественность корней. Если γ 0 = 0 то x2 = γ 1γ 2 . Таким образом, для динамической системы 2-го порядка существует подпространство 1-го порядка, отвечающее следующим условиям: Изображающая точка в пространстве состояния x = (x1 , x2 ) , оказавшаяся на линии

x2 = γ 1 x1 продолжает свое движение по этой

линии подчиняясь динамическому закону движения 1-го порядка.

Такое подпространство существует только для системы 2-го порядка. При этом таких многообразий в общем случае два, если вещественные корни

различны. Решение системы дифференциальных уравнений, находящееся в рамках такого подпространства размерности (n − 1) в механике носит название 1-го интеграла, а само подпространство, которое, несмотря на то, что движение в нем протекает по динамическим законам, является алгебраической функцией переменных состояния и называется интегральным многообразием данной. Для линейных систем это прямая. Для систем 2-го порядка это линия. Для систем 3-го порядка это поверхность. При этом, в общем случае, в пространстве n -го порядка может существовать множество подпространств порядка ( 0 K n − 1 ), каждое из которых является интегральным многообразием данной динамической системы. У устойчивых динамических систем всегда есть одно или несколько многообразий минимального порядка, в которых может существовать движение данной системы. У асимптотически устойчивой системы минимальный порядок всегда 0. Пример: Построим простейшую систему 2-го порядка:  x&1 = x2   x&2 = − x1

Предположим x1 = sin t x&1 = cos t = x2

x12 + x22 = 1 x12 + x22 − R = 0

x12 − γ 1 x1 = 0

В общем случае: x1 = A sin ωt x&1 = x2 = Aω cos ωt

x&2 = − Aω 2 sin ωt

Исходя из вышеизложенного:  x&1 = x2  2  x&2 = −ω x1

Это есть генератор (осциллятор) 2-го порядка, но мы называем его консервативным звеном. Найти интегральное многообразие динамической системы довольно сложно, особенно если система не линейна (проблема 1-го интеграла). Те интегральные многообразия, которые мы нашли для данных динамических систем «работают» на решение динамической системы только в том случае, если изображающая точка в некоторый момент времени попадает на это многообразие. Если же нет, то движение протекает вне многообразия (в тех примерах, которые рассмотрены!). Отсюда вопросы:

1. Есть ли такие многообразия, к которым изображающие точки притягиваются сами, за счет внутренних динамических свойств динамической системы. 2. Если динамическая система не обладает такими свойствами притягивания, можно ли такие свойства обеспечить системе искусственно. Ответы: 1. Да, такие многообразия могут существовать и называются притягивающими интегральными многообразиями (ПИМ) или аттракторами. 2. Да, такое управление построить можно, т.е. можно назначить динамической системе нужное нам интегральное многообразие или выбрать из имеющегося набора и сделать их притягивающими.

Пример: x&1 = x2    x&2 = −a0 x1 − a1 x2 + u p1 = −5;

p2 = −1

Пусть движение со скоростью определяемой интегральным многообразием x2 = −5 x1 нас устраивает. Требуется

построить

динамическую

систему,

обладающую притягивающими свойствами. x2 + 5 x1 = 0

1. Назначим или построим новую искусственную переменную состояния, которую назовем макропеременной. µ = x2 + 5 x1 (равна 0 на интегральном многообразии) → 0

2. Для придания выбранному многообразию притягивающих свойств добавим к цели управления следующее свойство: оно должно обеспечивать связывание

выбранной

макропеременной

асимптотически

устойчивым

дифференциальным уравнением, т.е. найти такой дифференциальный оператор Tµ& + µ = 0 = Tx&2 + 5Tx&1 + x2 + 5 x1

3.

Tx&2 + T 5 x&1 + x2 + 5 x1 = −Ta0 x1 − Ta1 x2 + Tu + T 5 x2 + x2 + 5 x1 = 0 4. Выбрав постоянную времени, отвечающую динамике, мы обеспечим быстрое притягивание точки к многообразию и в дальнейшем быстрое его движение по этому многообразию. В примере рассмотрен одношаговый вариант управления с выводом

объекта на

присущее ему и отвечающее критериальной стратегии притягивающее многообразие.

В случае высокого порядка пространства состояний объекта задачей управления в такой критериальной стратегии будет последовательный перевод состояний объекта с одного многообразия на другое меньшей размерности, так чтобы обеспечить последовательное понижение размерности подпространств до финишного интегрального многообразия, являющегося целью управления. При этом стратегия управления естественным образом разбивается на ряд тактических задач. Можно ли осуществить такое тактическое разбиение и как это сделать? Алгоритм решения этой задачи не единственен и неоднозначен. Пример: x&1 = x2   x&2 = x3   x&3 = x4   x&4 = −a0 x1 − a1 x2 − a2 x3 − a3 x4 + u

(0)

Во-первых решение будем производить в обратном порядке. 1. Промежуточное решение µ1 = x2 + γ 1 x1 = 0 финишное инвариантное многообразие ( x3 и x4 уже затухли). ⇒

x&1 = γ 1 x1

γ 1 = −α f - должно обеспечить движение к 0 на конечном этапе траектории

с некоторой постоянной времени, которая отвечает тактическому заданию последнего этапа. Будем считать, что поскольку процесс будет протекать в 4 этапа, то последнее движение должно составлять основное время. Будем считать, что это половина времени. 3

1

αа

≈ 0.5t p , t p - полное время регулирования по КС.

γ1 = α f = −

Для

того,

чтобы

b tp

финишное

инвариантное

многообразие

было

притягивающим мы µ1 назначаем макропеременной. 2. Выбираем дифференциальный оператор: T1µ&1 + µ1 = 0

При этом критериальной тактикой движения данного многообразия решается выбором T . 4T1 = 0.25t p T1 = 0.0625t p T1 x&2 + T1α f x&1 + x2 + α f x1 = 0

3. µ 2 = T1 x3 + T1α f x2 + x2 + α f x1 = 0

(*)

Это условие того, что движение будет происходить к выбранному нами критериальному многообразию, определенному выше ( µ1 = x2 + γ 1 x2 ). Полученное условие (*) означает, что для асимптотического движения к µ1 , необходимо, чтобы система обладала и другим многообразия µ 2 .

А

чтобы

макропеременной

сделать и

µ 2 аттрактором

связать

дифференциальным оператором.

его

необходимо

и

асимптотически

µ 2 назначить

устойчивым

4. T2 µ& 2 + µ 2 = 0

Подставляя в это уравнение µ 2 и используя уравнение динамики объекта для замены переменных состояния их эквивалентными правыми частями, мы получим новое выражение. При этом критериальной тактикой этого этапа будет µ 2 . 5T = 0.15t p

Чтобы сделать µ 2 аттрактором необходимо, чтобы подсистема отличалась еще одним многообразием µ3 . 5.

И

далее,

для

придания

µ 3 свойств

аттрактора

вводится

дифференциальный оператор: Tµ& 3 + µ3 = 0

6. Tµ& 4 + µ 4 = 0

7. Перенося u в одну сторону, а остальное в другую, получим решение. Таким

образом,

запишем

алгоритм

синтеза

динамики

само

организующего одноходового управления объектом n -го порядка. x& = f ( x, u )

(0)

КС синтеза такого управления разбивается на некоторое количество Q этапов последовательного перехода состояния системы на инвариантные многообразия понижающейся размерности и назначения критериальной тактики выполнения каждого этапа движения. Количество этапов Q и «прыжок» размерности между соседними этапами выбирается неформально, но рекомендуется делать переход не более 2х порядков. Назначается финишное инвариантное многообразие, обеспечивающее переход состояния системы к цели управления. В общем случае это инвариантное многообразие некоторого порядка, обычно не выше второго.

Выбранное инвариантное многообразие записывается в неявной форме. Математическое выражение этой записи назначается макропеременной ( она будет равна нулю только при попадании вектора состояний на данное многообразие). Для

придания

выбранному

инвариантному

многообразию

притягивающих свойств выбирается некоторый дифференциальный оператор (имеет смысл не выше второго порядка), на основании которого можно построить

дифференциальное

уравнение,

решение

которого

является

асимптотически устойчивым. µ f (x)

(1)

R f (µ f ) = 0

(2)

Приводя ДУ (2) к алгебраическому с использованием уравнений динамики управляемого объекта, получаем новое интегральное многообразие.

µ f −1 ( x) = 0

(3)

Которое является условием того, что многообразие (1) является аттрактором. R f −1 ( µ f −1 ) = 0

(4)

Полученное ДУ (4) снова превращаем в алгоритмическое, замещая входящие в него производные соответствующими правыми частями (0). Получаемые алгебраические выражения оказываются выражениями все более высокого порядка и представляют собой математические условия притягивающих свойств, назначаемых инвариантным многообразиям более низкого порядка, поэтому они связаны устойчивыми дифференциальными операторами. Конечным этапом синтеза по данному алгоритму является получение инвариантного многообразия n -го порядка и назначение ему устойчивого дифференциального

оператора

1-го

порядка,

превращение

которого

в

алгебраическое выражение с помощью уравнения (0), позволяет выделить закон управления , как функцию переменных состояния объекта.

Пример: x&1 = x2   x&2 = x3   x&3 = x4   x&4 = −a0 x1 − a1 x2 − a2 x3 − a3 x4 + u

(0)

x&1 = x2  - финишный этап   x&2 = −α 0 x1 − α 2 x2 = x3

Пусть α 0 и α1 выбираются исходя из идеологии желаемых переходных процессов. µ1 ( x ) = x3 + α1 x2 + α 0 x1 = 0 R1 (µ1 ) = µ1′′ + β1µ1′ + β 0 µ1 = 0

Это 2-х этапное решение задачи управления тем же объектом. N& 1 = (ε1 + λ1 N 2 )N1 N& 2 = (ε 2 + λ2 N1 )N 2  λ2 N& 1 − λ1 N& 2 = λ2ε1 N1 − λ1ε 2 N 2  & ε N1 − ε N& 2 = λ ε N − λ ε N ⇒ 1 2 2 2 1 1 1  2N N2 1 

λ2 N& 1 − λ1 N& 2 + ε 2

N& 1 N& − ε1 2 = 0 N1 N2

N 1ε = e λ2N1 = CN 2ε1 e λ1N 2

∆Z = α z Z∆t

∆Z = α z ∆t Z dZ = αz Z dt

∆Z = (α z − α vV )∆t Z dZ = α z Z − α v ZV dt

∆V = − β vV∆t dV = − β vV dt dV = − β 0V + β z ZV dt

 Z& = Z (α z − α vV ) & V = V (β z Z − β v )

dZ Z α z − α vV dZ dV (α z − α vV ) = ⋅ ⇒ ⋅ (β z Z − β v ) = dV V β z Z − β v Z V z

z

v

v

dZ dV = αz ∫ − α v ∫ dV Z V z0 v0 v0

β z ∫ dZ − β v ∫ z0

α z ln | V ||vv −α vV |vv = β z Z | zz − β v ln | Z || zz 0

Z0 Z

0

βv

e

β z ( z − z0 )

0

V = V0

αz

e −α v (v−v0 )

dZ Z α z − α vV = ⋅ dV V β z Z − β v

α z = α vV ⇒

dZ =0 dV

βv = βz Z ⇒

dZ =∞ dV

0

2. Аттрактор Лоренца. Система описывается следующим образом:  z& = α ( y − z )   y& = βz − y − xz  x& = yz − γx + u 

(1)

 z& = α ( y − z )   y& = −δz

(2)

βz − y − xz = −δz µ f = (β + δ )z − y − xz = 0

(3)

Tµ& f + µ f = 0

(4)

T ((β + δ )z& − y& − x&z + xz& ) + (β + δ )z − y − xz = 0 T ((β + δ )α ( y − z ) − (βz − y − xz ) − ( yz − γz + u )z + x(α ( y − z ))) + (β + δ )z − y − xz = 0

Вариант:  z& = α ( y − z )   y& = δz − ξy

Потребуем,

чтобы

финишные

подсистемой 2-го порядка, описанной выше.

свойства

системы

описывались

βz − y − xz = δz − ξy

С целью упрощения инвариантного многообразия и возможности построения его без нелинейностей примем ξ = 1 . µ f = (β − δ − x )z = 0

Выберем вариант, когда β − δ − x = 0 , т.е.: µ f = β −δ − x Tµ& f + µ f = 0 Tx& − β + δ + x = 0 T ( yz − γx + u ) − β + δ + x = 0

Tyz − Tγx + Tu − β + δ + x = 0 u=

β − δ − x + Tyz + Tγx

u=

T

β −δ T

z = ( y& + y )

1

δ

−

x + yz + γx T

⇒ z& = ( y′′ + y′)

1

δ

y′′ + y′ = αδy − αy′ − αy y′′ + (1 + α ) y′ − (αδ − α ) y = 0

α = 10; β = 28; γ = 3

Таким образом, при выбранном значении δ финишное многообразие приобретает параметры: T = K при ξ = K , что обеспечивает некоторое затухание колебаний. При этом финишная точка определяется условием z = y = ? . Если данное условие допустимо с точки зрения управляемой технологии, мы получим максимально простой закон управления, максимально использующий

свойства

объекта,

т.е.

естественно

динамически

самоорганизующееся управление. 3. Аттрактор Ресслера. Аттрактор имеет вид системы дифференциальных уравнений порядка:

3-го

 x&1 = a11 x1 + a12 x2 + a112 x1 x2 = f1 ( x)  x&2 = a21 x1 + a23 x3 = f ( x )   x& = a x + a x + u = f (x, u ) 32 2 33 3 3  3

Синтезируем

управление,

обеспечивающее

асимптотическую

устойчивость

системы.

Потребуем, чтобы на финишном этапе система вырождалась в подсистему 2-го порядка вида: x&1 = f1 ( x)    x&2 = a21 x1 + a23 x3 ( x1 , x2 )

При этом от неизвестной функции x3 = x3 (x1 , x2 ) требуется, чтобы она обеспечивала глобальную устойчивость подсистемы в ее пространстве состояний. Попробуем построить функцию Ляпунова на базе определенно положительной функции:

(

V ( x) = 0.5 α1 x12 + α 2 x22

)

Она будет доказывать устойчивость системы, если: V& ( x ) = α1 x1 x&1 + α 2 x2 x&2 < 0 2 V& ( x ) = α1a11 x12 + α1a12 x1 x2 + α1a112 x112 x2 + α 2 a21 x1 x2 + α 2 a23 x2 x3 ( x1 , x2 )

Заметим, что в выражении присутствует квадратичный член:

α2 = a12 ; α1 = α ; α 2 = a12α α1 x3 ( x1 , x2 ) = β1 x12 + β 2 x2

(

)

2 β1 x1 + β 2 = a32 x2 + a33 β1 x12 + β 2 x2 + u

Данным примером показано, что эффективным аппаратом отыскания инвариантных многообразий динамических подсистем для критериальной стратегии синтеза динамически самоорганизующегося ЗУ является аппарат функции Ляпунова. Идея его использования в данном назначении состоит в следующем: Формируется общий вид синтезируемой подсистемы исходя из принципа сохранения максимального подобия объекта и при этом, некоторое

количество

переменных

подсистемы,

равное

ее

порядку

назначается

переменными состояния данной подсистемы, а остальные рассматриваются как некоторые внешние для этой подсистемы псевдоуправляющие воздействия, и рассматриваются как неизвестные функции переменных состояния подсистемы. Строится общий вид функции Ляпунова на основе переменных состояния подсистемы. При этом, поскольку функция Ляпунова должна быть определенно положительной, наиболее эффективным является использование квадратичных функций. Далее, используя свободу выбора коэффициентов, входящих в функцию Ляпунова (для квадратичной формы это любое положительное вещественное) и свободу выбора структуру псевдоуправлений (и параметров), отыскивается (если

это возможно) условие определенной отрицательности

производной

функции.

этой

Полученные

выражения

псевдоуправления

являются функциями переменных состояния подсистемы, подставляются в правые части ее уравнений и из тождественного равенства правых частей уравнений подсистемы и соответствующих уравнений объекта формируются исполнимые инвариантные многообразия. Ограничением этого подхода является возможность использования его для невысоких порядков, однако, при реализации критериальной стратегии с позиции динамической самоорганизации, подсистемы и не бывают высокого порядка. Рассмотренный подход может быть использован не только для синтеза законов управления уже заданными объектами, но и для синтеза динамических систем, обладающих заданными свойствами и только. Пример: синтез генератора синусоидальных колебаний с нелинейным регулятором параметров цикла.

Поскольку известная схема консервативного звена (пример №) не обладает свойством автоматического поддержания амплитуды колебаний, возьмем его за неизменяемую часть синтезируемой динамической системы. Таким образом, исходная динамическая система, если рассматривать как варьируемый

коэффициент имеет свойство обеспечивать управление

частотой колебаний, но амплитуда остается неуправляемой и зависит от конкретного ее состояния, в которое она попадает в процессе движения как под действием внутренних, так и внешних возмущений. Поэтому:  x&1 = x2 + u1  2  x&2 = −ω x1 + u2

µ = R 2 − x12 − x22 Tµ& + µ = 0

(

)

T − 2 x1 x2 + 2 x2ω 2 x1 − 2 x2u + R 2 − x12 − x22 = 0 2Tx22u + 2Tx12u2 = R 2 − x12 − x22 − 2Tx1 x2 + 2Tx2 x1ω 2 + 2Tx12u2

u=

R 2 − x12 − x22 − 2Tx1 x2 + 2Tx2 x1ω 2 2T

0  α11 α12 L  0    A = α 21 L L ; B =   0   L L α 44    1

В случае произвольной A , необходимо перейти к новому базису (надтреугольной форме), во избежание дифференцирования управления.

4. Динамическая самоорганизация систем при многовходовом управлении.

Синтез законов управления для систем с несколькими входами в общем случае производится аналогично одновходовым системам. Суть данного раздела можно пояснить на простом примере. Пример: Пусть система задана в матрично-векторной форме: 0 0 1 0 0 1 A= 0 0 0  0 − 5 − 2

0 0  0 0 ; B= 0 1   4 1

0 0 1  0

Перейдем к системе дифференциальных уравнений в форме Коши: x&1 = x 2   x& 2 = x 3   x& 3 = x 4 + u1  x& 4 = −5 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 + u2

Возьмем, для примера, случай, когда система финишном этапе описывается простейшей системой 2-го порядка: x&1 = x 2   x& 2 = −α 0 x 1 − α 2 x 2

Макропеременная для первого входа будет иметь вид: µ = x 3 + α1x 2 + α 0 x 2 = 0

Тогда устойчивый дифференциальный оператор запишем в следующем виде: T (x& 3 + α1x& 2 + α 0 x&1 ) + x 3 + α1x 2 + α 0 x 1 = 0 T (x 4 + u1 ) + T α1x 3 + T α 0 x 2 + x 3 + α1x 2 + α 0 x 1 = 0

Откуда уже несложно получить функцию для закона управления. Для получения закона управления по второму входу следует построить макропеременную иным способом.

Процедура нормирования как основа типизации ММ САУ 1) Типизация переходных процессов основывается на однозначной связи параметров решения ДУ, со значениями корней его ХП. 2) Если корни ХП связаны между собой каким-либо алгебраическим соотношением, то это соотношение сохраняется при масштабировании модели как по амплитуде, так и по времени. 3) Нормирование сводится к замене переменных в уравнениях пропорциональными им величинами. I. Амплитудное нормирование y = yн ⋅ x , где

(1)

y - нормируемая переменная; y н коэффициент нормирования; x - нормированная переменная. 1

4) В результате нормирования по амплитуде ММ приобретает единичный безразмерный коэффициент передачи. 5) Нормирование динамических свойств - выбор характерного отрезка tн как единицы измерения времени

t = tн ⋅ τ .

(2)

τ − условное безразмерное время в базовых отрезках t н . 6) Для ДС произвольного порядка нормированный ХП имеет вид

H ( s ) = s n + a nн−1 s n−1 + ... + a1н s + 1

(3)

при полиноме в реальных измерениях H ( p) = a n p n + a n−1 p n−1 + ... + a i p i + ... + a1 p + а 0 по формуле H н ( s ) =

H ( pн ⋅ s ) p = pн ⋅ s , a0 2

(4) (5)

7) Связь между коэффициентами полиномов (3) и (4):

a iн = a i ⋅ pнi ; i = 1Kn − 1 .

(6)

8) Для дифференциального уравнения n -го порядка

an

dny dt n

+ ... + a1

dy + y = ku, dt

(7)

нормирование осуществляется заменой переменной по формуле (2) an tнn

⋅

dnx  t  d    tн 

n

+ ... +

dix

ai

t нi  t  i d    tн 

+K+

a1 dx +x=u tн  t  d    tн 

a и приравниванием n = 1, t н = n an - нормирующий отрезок времени. tн 3

В результате нормированное ДУ примет вид

d nx dτ

n

+ anн−1

d n−1 x dτ

n−1

+... + a1н

dx + x = u, dτ

(8)

где a iн = t н− i ⋅ a i ; i = 1K (n − 1) .

(9)

Таким образом, существует однозначная взаимосвязь

pн = t н−1 .

(10)

Коэффициенты полиномов реального времени при "разнормировании" могут вычисляться по формулам a iн = a i ⋅ pнi ; (а)

a i = t нi ⋅ a iн ; (б)

4

i = 1K (n − 1) .

(3.11)

Типизация качества САУ по характеру переходных процессов

При нормировании все характерные свойства и показатели качества переходного процесса сохраняются. Меняется лишь масштаб развертывания переменных в физических шкалах их измерения и во времени. Обратное преобразование нормированных результатов в реальную физическую область также меняет только количественные характеристики структуры и решения ДУ. Качественный его вид (характер переходных процессов вызванных одинаковыми воздействиями) остается неизменным.

Широко используются теоретически исследованные четыре основных типа переходных процессов (ПП): - апериодический ПП при максимальной степени устойчивости; - колебательный ПП с критическим затуханием; - колебательный ПП с минимальным временем регулирования; - колебательный ПП, соответствующий “идеальному фильтру”.

5

При выделении этих процессов и использовании их для синтеза желаемых ММ использовалась связь качественных показателей переходного процесса с величиной и законом распределения корней характеристического уравнения системы на комплексной плоскости, а также регулярный характер изменения как расположения корней ХП на комплексной плоскости, так и распределения его коэффициентов с повышением порядка для данного вида процесса. 6

Типовые переходные процессы в САУ

Апериодические системы с максимальной степенью устойчивости. Апериодический ПП - все корни ХП ДС есть действительные числа .

Корни нормированного ХП связаны ограничением

n

∏ − si

= 1.

i =1

Рис. 1. Распределение

s max = max{s i }: s max = η > −1 - степень

корней МСУ-типа

устойчивости - η .

Естественный максимум η при кратных значениях корней ХП s i = s j = 1 ∀i , j ∈ {1,2K n}. Поэтому соответствующие ПП - МСУ-процессы. 7

Рис. 2.

(12)

8

Рис. 2. Переходные процессы МСУ-типа

9 Переходные процессы в колебательных системах критического

затухания. Можно показать, что колебательный переходный процесс с критическим затуханием (КЗ-процесс) можно получить если задаться кратным распределением комплексно-сопряженных корней.

Рис. 3. Распределение корней полинома КЗ-типа

10

11

Рис. 4. Переходные процессы КЗ-типа

12

Переходные процессы в системах минимального времени

регулирования. Меньшее, чем у КЗ-типа, относительное время регулирования при некратном распределении комплексных корней. Все комплексные корни (и, при n - нечетном, один вещественный) располагаются на одинаковом расстоянии α n от мнимой оси. Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью ω n и первым членом прогрессии также ω n . При этом существует оптимальное отношение m n = α n ω n , которому соответствует наименьшее безразмерное время регулирования.

Рис. 5. Распределение корней полинома МВР-типа 13

14

Рис. 3.6. Переходные процессы МВР-типа

15

Методика синтеза эталонных дифференциальных уравнений на основе типовых переходных процессов

1) Исходя из заданных показателей качества, осуществляется выбор типа переходного процесса в системе (МСУ-тип, КЗ-тип или МВР-тип). 2) На основе анализа ММ ОУ или НЧ системы выбирается желаемый порядок n ХП ЗС. 3) Для выбранного типа процесса и заданного порядка системы n с помощью н

н

н

таблицы определяются значения коэффициентов а1 , а 2 ,K а n−1 нормированного ХП.

4) По графику переходного процесса и по "трубке" регулирования определяется нормированное время затухания переходного процесса τ p . 16 5) По заданному реальному t p и полученному нормированному τ p вычисляется коэффициент нормирования ММ системы по времени t н . н

6) Нормированные коэффициенты аi пересчитываются в реальные коэффициенты ai , т.е. находится ХП системы в реальном масштабе времени. 7) Формируется правая часть эталонного ДУ проектируемой системы или числитель ее эталонной ПФ. 8) На завершающем этапе рекомендуется по синтезированной эталонной ММ САУ построить переходный процесс в системе и произвести его анализ. В приводимой таблице: 1 - МСУ - тип; 2 - КЗ - тип; 3 - МВР - тип; 4 - ИФ - тип. п - порядок характеристического полинома; тп - тип процесса. Пример:

Необходимо синтезировать ДУ (n = 6), к решению которого предъявляются следующие технологические требования: - порядок астатизма системы ν = −1 ; - величина перерегулирования переходного процесса не более 5%; -

минимальное время регулирования t p = 0,4 ;

-

- трубка регулирования 3%. 1) Согласно требованиям можно выбрать МВР-процесс,

соответствующий порядку желаемого ХП. 2) Порядок ХП, в данном случае, n = 6 задан условиями задачи. 3) Выбранной кривой переходного процесса соответствует ХП вид: S 6 + 3, 726 ⋅ S 5 + 7, 991 ⋅ S 4 + 10, 27 ⋅ S 3 + 8,553 ⋅ S 2 + 4,179 ⋅ S + 1,

коэффициенты которого выбраны из таблицы. 4) По рис. 3.7,б для заданной трубки регулирования (3%) графическим построением определяется нормированное время регулирования τ p = 9,2 . 5) По заданным желаемому и нормированному значениям времени регулирования вычисляется коэффициент нормирования эталонного для проектируемой системы процесса по времени tн =

tp

τp

=

0,4 = 0,0435 . 9,2

6) Значения коэффициентов эталонной ММ ai вычисляются по формуле (3.11 б). a1 = t н ⋅ а1н = 0,0435 ⋅ 4179 , , , a2 = t н2 ⋅ а2н = 189 , ⋅10 −3 ⋅ 8,553 = 0,016, = 0182 a3 = t н3 ⋅ а3н = 8,23 ⋅10 −5 ⋅10,27 = 8,45 ⋅10 −4 , a4 = t н4 ⋅ а4н = 3,58 ⋅10 −6 ⋅ 7,991 = 2,86 ⋅10 −5 a5 = t н5 ⋅ а5н = 156 , ⋅10 −7 ⋅ 3,726 = 5,8 ⋅10 −7 , a6 = t н6 ⋅ а6н = 6,775 ⋅10 −9 ⋅1 = 6,775 ⋅10 −9

Таким образом, ХП системы в реальном времени будет иметь вид:

Н ( р) = 6,775⋅10−9 p6 + 5,8 ⋅10−7 p5 + 2,86⋅10−5 p4 + 8,45⋅10−4 p3 + 0,016p2 + 0,182p + 1. 19

7) Числитель эталонной ПФ проектируемой замкнутой системы для обеспечения астатизма первого порядка равен 1 [3.5]. Поэтому ее эталонная ПФ будет иметь вид W ( p) =

1 H ( p)

8) Для проверки правильности преобразований на рис. 3.10 построен график переходного процесса в системе, который показывает, что она удовлетворяет критериальной Рис. 3.10. Переходный процесс МВР - типа

стратегии. При этом характер протекания переходного процесса

полностью соответствует типовому для минимального времени регулирования (см. рис. 3.7 б). 20

Методология синтеза ПФ УУ по эталонной ММ САУ Если построена ПФ замкнутой системы и выбрана последовательная структура включения УУ, то ее ПФ по каналу задания будет иметь вид

W

э зс

( p) =

W рсэ ( p )

1 + W рсэ ( p )

(13)

,

э ( p ) - эталонные ПФ замкнутой и разомкнутой систем, где W зсэ ( p ) , W рс

откуда э ( p) = W рс

Но

W зсэ ( p ) 1 − W зсэ

( p)

.

(14) э ( p ) = W рег ( p ) ⋅ Wоб ( p ) , W рс

(15)

W рег ( p ) =

откуда

э ( p) W рс

W об ( p ) ⋅

(

э 1 − W рс

( p ))

.

(16)

21 Таким образом, эталонная ПФ последовательного устройства управления является реализуемой дробно-рациональной функции. Эталонная ПФ ЗС также должна быть реализуемой дробно-рациональной функцией W зсэ. ( p) =

M ( p) N ( p)

(17)

Тогда ПФ разомкнутой системы запишется W

э рс

( p) =

M ( p) M ( p) = , N ( p) − M ( p) G ( p)

(18)

где G ( p) - полином-знаменатель разомкнутой системы. Здесь N ( p), M ( p) - полные полиномы канонического вида, т.е.

N ( p) = a n ⋅ p n + a n−1 ⋅ p n−1 +K+ a1 ⋅ p + 1;

(19)

M ( p) = bm ⋅ p m + a m −1 ⋅ p m −1 +K+ a1 ⋅ p + 1 ,

(20)

где m ≤ n .

22 Фактическая структура ПФ РС (15) м.б. развернута в следующем виде: W

э рс

( p) =

A( p) Q ( p) , ⋅ B ( p) R ( p)

где A( p),B ( p),Q ( p), R( p) - полиномы общего вида. Тогда математическая структура замкнутой системы, раскрывающая свернутую запись (17), будет иметь вид

(21)

э ( p) = W рс

A( p ) ⋅ Q ( p) . B ( p) ⋅ R( p) + A( p) ⋅ Q ( p )

(22)

В формуле (21) dim( A ) ≤ dim( B ) , а dim( Q ) ≤ dim( R ) ( dim(•) порядок полинома). Из (22) естественные ограничения на порядок системы

n n = dim( B ) + dim( R ) ≥ dim( B ) .

(23)

Более мягкое, чем (23) ограничение n ≥ dim( B ) − dim( A ) .

(24)

23 Параметры полинома N ( p) выбираются по рассмотренной методике. Полином M ( p) влияет только на качество вынужденных переходных процессов в САУ по каналу внешнего управления и в методике не учитывается. 1) при канонической форме полиномов знаменатель ПФ РС, согласно (18), не имеет свободного члена, и форма (19), (20) полиномов W зсэ . ( p) обеспечивает системе астатизм не менее первого порядка; 2) если, кроме того, выполняется условие b1 = a1, то порядок астатизма системы будет равен двум. В общем случае, при соблюдении условий

∀i ≤ ν − 1⇒bi = ai ,

(25)

система приобретает порядок астатизма равный v. Таким образом, формируя полином M ( p) в соответствии с условиями (3.24), можно формировать желаемый порядок астатизма проектируемой САУ. 24

Возможно, также, заданием этого полинома формировать статические замкнутые системы. Для этого необходимо выбирать b0 = 1 − δ , где δ - допустимая установившаяся относительная ошибка

управления выходной переменной. Причем по очевидным условиям точности воспроизведения задания δ << 1. Тогда замкнутая система будет, в соответствии с (3.16), иметь коэффициент передачи k зс = b0 = 1 − δ < 1,

(3.25)

т.е. не полностью (с установившейся ошибкой) воспроизводить задающие воздействия ограниченной амплитуды. Разомкнутая система и регулятор при этом, согласно (3.17) и (3.14), будут иметь коэффициенты передачи k рс =

1

δ

>> 1, k рег =

1 , δ ⋅ k об

(3.26)

где k об - коэффициент передачи ОУ. Кроме требуемого порядка астатизма, система должна отвечать определенным условиям по перерегулированию [3.7]. С методикой выбора параметров полинома M ( p) для решения этой задачи можно познакомиться в монографии [3.2, стр.53]. Таким образом, видно, что основной задачей, которую необходимо решить при операторном подходе к синтезу по эталонным характеристикам это нахождение W зсэ ( p ) . В общем случае, синтезировать эталонную ММ замкнутой системы можно в различных формах: в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций или частотных характеристик. Поскольку основные

показатели

качества

замкнутой

системы

оцениваются

по

переходному процессу, который является решением ДУ системы, наиболее удобно синтезировать эталонную ММ в виде вход-выходного ДУ, а к ПФ, при необходимости, переходить через преобразование Лапласа. Также возможно получение эталонных графических и аналитических ЧХ, от которых легко

перейти к операторной форме записи, но это - более громоздкий и неточный путь, которым в настоящее время практически не пользуются.

3.1. Синтез ЗУ по эталонным ММ САУ методом отождествления высших производных Наряду с операторными в инженерной практике используются методы синтеза ЗУ, ориентированные на дифференциальную форму описания. Распространение получил подход [3.9], который по сути используемой процедуры можно назвать методом отождествления высших производных (ОВП). Он позволяет проектировать как линейные, так и нелинейные ЗУ, прост в использовании и его можно эффективно применять в задачах синтеза на инженерном уровне. В соответствии с принятой в [3.9] постановкой задачи считается, что ММ объекта управления задается вход-выходным ДУ такого вида, при котором оно разрешается относительно высшей производной, т.е.

({

})

({ })

({ })

y об ( n ) + Φ об y об (i ) = Φ об u ( i ) + Φ об v (i ) ; y u v

i = 1, (n − 1) ,

(3.27)

где (i ) - символы производных переменных; {.} - их множества; Φ ⋅об (⋅) аддитивные, возможно, нелинейные дифференциальные операторы; y об , u , v - выходная переменная, входные управляющее и возмущающее воздействия для ОУ. Рассматриваемая методика синтеза предполагает, что проектировщик имеет возможность каким-либо образом построить эталонные ДУ проектируемой системы. Будем считать, что такое уравнение можно выбрать таким образом, чтобы его структура была аналогична по форме структуре ММ объекта (3.27). Тогда оно должно иметь вид y зс (n ) + Φ

зc y

({ y

зс

(i)

}) = Φ ({z }) + Φ ({v }). зc z

(i)

зc v

(i)

(3.28)

где Φ с (⋅) - операторы ММ проектируемой замкнутой системы, структура которых считается заданной.

Тогда, приравнивая (отождествляя) высшие производные выходных переменных в уравнениях (3.27) и (3.28), можно получить аналитическое выражение для ЗУ, который обеспечит управляемому объекту заданные свойства Φ

об u

({u })+ = Φ ({z }) + [Φ ({y (i)

зc z

(i)

об y

”‡

(i )

}) − Φ ({y })] + ({v })]. + [Φ ({v }) − Φ (i)

зc y

–

зc v

(i)

об v

(i)

(3.29)

Необходимость формирования ЗУ в виде (3.29) проверяется его подстановкой в (3.27). Достаточность же обеспечивается некоторыми дополнительными свойствами оператора Φ об u ( u) . В построенной системе (см. рис. 1.3) y об ≡ y зс , т.е. выходные переменные объекта являются одновременно и выходными переменными системы. Полагая оператор Φ оu б обратимым, можно получить выражение, непосредственно задающее закон формирования управляющего воздействие на входе объекта

{

[

] [

]}

−1 об зc зc об u = ( Φ об Φ зс u ) z ( z ) + Φ y ( y ) − Φ y ( y ) + Φ v (v ) − Φ v (v ) =

[

−1 = ( Φ об Φ zрег ( z ) + Φ u )

рег y

]

( y ) + Φ vрег ( v ) .

(3.31)

В (3.31) обозначения множеств опущены для лаконичности записи. Таким образом, синтезированный ЗУ оказывается функцией, выражающей зависимость управляющего воздействия u от цели управления z , выходной переменной y и действующего измеряемого возмущения v , а также от операторов, формирующих структуру ММ объекта и системы. Непосредственная подстановка (3.31) в (3.27), как и для формы (3.29), дает выражение (3.28), т.е. уравнение желаемой системы. Это подтверждает правомерность (необходимость) полученного результата. Его достаточность определяется корректной обратимостью об оператора Φ u , т.е. обязательным условием его взаимной однозначности.

Практически важным и наиболее распространенным на практике является частный случай уравнения (3.27), когда дифференциальные

операторы Φ(•) содержат только линейные составляющие. В этом случае и ММ проектируемой замкнутой системы чаще всего задается в классе линейных операторов. Кроме того, выбором эталонных линейных операторов, задающих желаемые свойства системы в (3.28), можно ограничиться и при синтезе управления нелинейным объектом. Это приведет, в соответствии со структурой (3.30), к появлению в ЗУ нелинейных составляющих, которые скомпенсируют нелинейность динамики ОУ и обеспечат линейность поведения САУ в целом. В полностью линейном варианте уравнения управляемого объекта и проектируемой системы принимают в операторной форме следующий вид:   q  n n−1  r i i  p + ∑ a i ⋅ p  ⋅ y ( p) =  ∑ bi ⋅ p  ⋅ u( p) +  ∑ e i ⋅ p i  ⋅ v ( p) ; i =0    i =0    i =0

(3.32)

 q   s  n n −1 i i  p + ∑ c i ⋅ p  ⋅ y ( p ) =  ∑ d i ⋅ p  ⋅ z ( p ) +  ∑ f i ⋅ p i  ⋅ v ( p ) , i =0   i =0    i =0 

(3.33)

где ai , bi , ei - коэффициенты в операторах левой и правой частей ММ объекта управления при y, u, v соответственно для приведенной формы записи характеристического полинома; ci , d i , f i - аналогичные коэффициенты в уравнении системы (константы di формируют оператор воздействия на выход задания z); r , n , q и s, n , q - порядки соответствующих операторов. Тогда выражение для закона управления задается выражением r  s   n −1 u ( p ) = ( ∑ b i ⋅ p i ) −1   ∑ d i ⋅ p i  ⋅ z ( p ) +  ∑ a i ⋅ p i − i =0   i =0  i = 0

 q + ∑ fi ⋅ pi − i =0

q

∑ ei

i =0

n −1

∑ ci

i =0

 ⋅ p i  ⋅ y ( p) + 

r   s   ⋅ p i  ⋅ v ( p )  = ( ∑ b i ⋅ p i ) −1   ∑ d i ⋅ p i  ⋅ z ( p ) + i =0    i = 0 

  q   n −1  +  ∑ h i ⋅ p i  ⋅ y ( p ) +  ∑ g i ⋅ p i  ⋅ v ( p ) .  i =0   i =0  

(3.34)

Для иллюстрации изложенного подхода ниже приводится пример синтеза ЗУ объектом, описываемым уравнением

y (3) + a 2 ⋅ y (2 ) + (a10 − a1v ⋅ v ) ⋅ y (1) + a 01 ⋅ y (1) ⋅ y + y 3 = = b1 ⋅ u (1) + b0 ⋅ u .

. (3.35)

Несмотря на нелинейность (3.35), от проектируемой системы можно потребовать линейных (фактически "псевдолинейных") свойств. Для этого необходимо задаться линейным эталонным уравнением вида

y ( 3 ) + γ 2 ⋅ y ( 2 ) + γ 1 ⋅ y (1) + γ 0 ⋅ y = γ 0 ⋅ z ,

(3.36)

гарантирующим в установившемся режиме y = z . Выбором параметров

γ 0 , γ 1 , γ 2 обеспечивается требуемое качество управления (быстродействие, колебательность, перерегулирование и т.п.). Для уравнений (3.35), (3.36) высшей производной является y (3) . Сопоставляя эти выражения с (3.27), (3.28), можно принять обозначения вида (2 ) + (a − a ⋅ v ) ⋅ y (1) + a ⋅ y (1) ⋅ y + y 3 ; Φ об (u) = b ⋅ u (1) + b ⋅ u ; Φ об у = a2 ⋅ y 10 1v 01 u 1 0 ( 2) Φ зc + γ 1 ⋅ y (1) + γ 0 ⋅ y ; Φ зc y ( y) = γ 2 ⋅ y z (z) = γ 0 ⋅ z

Тогда, используя (3.30), можно получить выражение, описывающее математическую структуру управляющего воздействия b1 ⋅ u (1) + b0 ⋅ u =

(

)

= γ 0 z + (a 2 − γ 2 ) ⋅ y ( 2) + (a 01 ⋅ y − a1v ⋅ v + a10 − γ 1 ) ⋅ y (1) + y 2 − γ 0 ⋅ y = = γ 0 ⋅ ε + (a 2 − γ 2 ) ⋅ y ( 2) + (a 01 ⋅ y − a1v ⋅ v + a10 − γ 1 ) ⋅ y (1) + y 3

(3.37)

Для реализации полученного ЗУ составляется схема формирования ММ САУ по структуре, аналогичная изображенной на рис. 1.3. В результате она приобретает вид, изображенный на рис. 2.2.

Рис. 2.1. Структура математической модели САУ

Отличительными особенностями рассмотренной методики являются несколько существенных моментов: во-первых, результатом синтеза является замкнутая система; во-вторых, при наличии в ММ ОУ измеряемых возмущений в результате синтеза получается система, теоретически к ним инвариантная или квазиинвариантная (т.е., в общем случае, результат синтеза дает комбинированную систему регулирования); в-третьих, соответствующим выбором желаемого уравнения системы можно в результате синтеза получить систему теоретически сколь угодно высокого порядка астатизма. Перечисленные особенности являются достоинствами данного метода. Однако для него характерны также серьезные недостатки: во-первых, результат синтеза - ЗУ - содержит высшие производные, в общем случае, вплоть до ( n − 1) -й, что делает его физически нереализуемым. Приближенная реализация с использованием динамических наблюдателей значительно увеличивает сложность системы; во-вторых, инвариантность

дифференциальные системы

к

операторы,

возмущению,

также,

обеспечивающие обычно,

физически

нереализуемы и возможно построение лишь квазиинвариантной системы;

в-третьих, астатизм, гарантируемый видом желаемого ДУ является, фактически, псевдоастатизмом. Наличие неконтролируемых возмущений, неадекватность математической модели объекта, ошибка в реализации параметров настройки ЗУ приводят к потере системой астатических свойств и появлению не устраняемой ошибки регулирования; в-четвертых, еще одним существенным недостатком данного метода синтеза является его “отстраненность” от методики выбора желаемых математических моделей системы. В результате, в большинстве случаев, неоправданно усложняется закон управления. По структуре результата, полученного в примере, видно, что если в желаемом уравнении можно выбрать γ 1 = а1 , закон управления упростится. Это показывает, что при синтезе желаемой ММ необходимо иметь возможность выбора структуры и параметров модели из некоторой допустимой области, так как это дает проектировщику шанс структурного упрощения ЗУ.

Связь МВ и «вход-выходной» форм представления ММ. Понятие и способы построения передаточных матриц, алгоритм Леверье-Фадеева. Алгоритмы построения МВ ММ по ПФ ДС.

3. ВЗАИМОСВЯЗЬ МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫХ и вход-выходных ММ ДС

3.1. Матричная передаточная функция (передаточная матрица) Выходную векторную переменную y в уравнениях (МВ ММа) можно выразить через входную переменную u , воспользовавшись преобразованиями Лапласа: Y ( s ) = C ′(a − sI n ) −1 BU ( s ) . Тогда матрица WМ ( s )

WМ ( s ) = C ⋅ ( A − s ⋅ I n ) −1 ⋅ B

(ПМ ДС-n)

будет представлять собой передаточную матрицу системы. Преобразование возможно и единственно, если матрица A − sI n неособая. Элементы матрицы

WМ (s ) представляют собой передаточные функции Wij ( s ) от входа uj к выходу y j . Матрицу WМ (s ) называют еще матричной передаточной функцией (МПФ) многомерной системы. Если система имеет только один вход u(t ) и только один выход y(t ), то матрицы B и C в уравнениях (ПМ ДС) превращаются в столбец и строку соответственно, которые обозначим через b и c соответственно. Поэтому для одномерной системы (ПМ ДС) принимает вид

WМ ( s ) =

Y ( s) = c ⋅ (s ⋅ I − A)−1 ⋅ b. U (s)

(ПМ ДС-1)

Из формул (ПМ ДС-n), (ПМ ДС-1) видно, что для определения передаточной функции системы по уравнениям состояния (МВ ММ) требуется обращение

характеристической

матрицы

(s ⋅ I − A).

В

случае

высокой

размерности матрицы A это может представлять определенные трудности. Один из способов решения сформулированной задачи основан на так называемом алгоритме Леверье-Фадеева. Пусть

(s ⋅ I − A)−1 = H −1 ( s) ⋅ R( s), где

H ( s ) = s n + a n−1 s n−1 + ... + a1 s + a 0 ; R( s ) = s n−1 I + s n−2 R1 + ... + Rn −1 . Тогда ai и Ri можно вычислить по следующим рекуррентным формулам: A1 = A → a n−1 = −spur A1 → R1 = A1 + a n−1 ⋅ I ; 1 A2 = A ⋅ R1 → a n−2 = − spur A2 → R2 = A2 + a n−2 ⋅ I ; 2 .................................................................. An−1 = A ⋅ Rn−2 → a1 = −

1 spur An−1 → Rn−1 = An−1 + a1 ⋅ I ; n −1

1 An = A ⋅ Rn−1 → a0 = − spurAn → Rn = 0. n Таким образом, WМ ( s ) =

1 n−1 ⋅ ∑ C ⋅ Ri ⋅ B ⋅ s n−1−i . H ( s ) i =0

Пример. Рассмотрим ЛДС, описываемую векторным уравнением:

 0 −1 0   4 2 1 2 1  x& = − 1 − 2 − 2 ⋅ x + 1 3 ⋅ u ; y =  ⋅x.     3 1 2    1 2 1  0 0  Имеем  0 −1 0  1 0 0  2 − 1 0  A1 = A ⇒ a 2 = 2 ⇒ R1 = − 1 − 2 − 2 + 2 ⋅ 0 1 0 = − 1 0 − 2 ;        1     0 2  0 0 0 0 1   1 1 A2 = AR1 = − 2   2 1 R2 = A2 + (−1) 0  0

0 1 −1 0 1 0

2 0 ⇒ a1 = −1 ⇒  0 0 2 0  0   0 = −2 0 0 ;    1  2 − 1 − 1

2 0 0 2+2+2 A3 = AR2 = 0 2 0 ⇒ a 0 = − = −2 ⇒ R3 = A3 − 2 ⋅ I = 0.   3 0 0 2 Следовательно,

[

]

1 C ⋅ I ⋅ B ⋅ s 2 + C ⋅ R1 ⋅ B ⋅ s + C ⋅ R2 ⋅ B = H (s)

WM ( s ) =

1 1 2 1   = 3 ⋅  ⋅ 0 s + 2s 2 − s − 2 3 1 2  0  2 − 1 0   4 2 1 2 1   1 ⋅ − 1 0 − 2  ⋅ 1 3  ⋅ s +  +     3 1 2  3   0 2  2 1  1 1

0 0  4 1 0  ⋅ 1   0 1 2 0 2 1  ⋅ −2 1 2   2

2 3 ⋅ s 2 +  1  0 2   4 2 0 0  ⋅ 1 3  ,      − 1 − 1 2 1

или

WМ ( s ) =

 8 9  2 − 1 − 3  − 7 − 6  s s ⋅ + ⋅ +     29 7   14 2  . s 3 − 2 s 2 − s − 2 17 11     1

Таким образом, элементы передаточной матрицы представляют собой следующие ПФ W11 ( s ) = W21 ( s ) =

8s 2 − s − 7 s 3 + 2s 2 − s − 2 17 s 2 + 29 s + 14 s 3 + 2s 2 − s − 2

;. W12 ( s ) = ; W22 ( s ) =

9 s 2 − 3s − 6 s 3 + 2s 2 − s − 2 11s 2 + 7 s + 2 s 3 + 2s 2 − s − 2

; ,

а выражение для МПФ системы примет вид  8s 2 − s − 7  3 2 WM ( s ) =  s +2 2 s − s − 2 17 s + 29s + 14  3  s + 2s 2 − s − 2

9 s 2 − 3s − 6   s 3 + 2s 2 − s − 2  . 11s 2 + 7 s + 2   s 3 + 2s 2 − s − 2 

3.2. Приведение уравнений вход – выход к уравнениям переменных состояния в нормальной форме

Решение обратной задачи - определение уравнений состояния по заданной передаточной функции, в особенности для многомерных систем, также, в ряде случаев, связано с существенными трудностями. Начать следует с рассмотрения частных случаев в порядке возрастания сложности.

Одномерная ММ с нулевы порядком числителя. Линейное уравнение для одной переменной без операторов дифференцирования в правой части, с одним воздействием (а n p n + a n−1 p n−1 + ... + a 0 ) ⋅ y = k ⋅ u

(ВВ ММ-1)

приводится к форме, часто называемой “нормальной”, т.к. она характерна тем, что сама переменная y и ее n − 1 производная принимаются за переменные состояния, а n -я производная выражается из уравнения (ВВ ММ-1) через них:   1  x& n = (k ⋅ u − a n−1 ⋅ x n − ... − a 0 ⋅ x1 ), an   y = x1 . x& i = xi +1 , i = 1, n − 1,

(СДУ-ФК)

Если возможно отобразить переменные состояния в нормальной форме в пространстве состояний, то это пространство называется фазовым, а сами

координаты – фазовыми координатами. В фазовой плоскости, на которую отображено таким образом движение ИТ в ПС, координаты представляют фазы этого движения, отсюда и произошло название, которое затем было расширено на многомерные пространства. Матрица A нормальной системы равна:

 0  0 A=  ...  − a 0 К

нормальной

1

0

0 ... − a1

1 ... − a2

форме

могут

0  ... 0  . ... ...   ... − a n−1  ...

приводиться

(ССМ)

также

уравнения

нестационарных и нелинейных систем, которые разрешаются относительно старшей производной y ( n ) = f (t , y, y ′,..., y ( n−1) ),

(ВВ-ДУ)

где f - функция, определенная на некотором открытом множестве. Уравнения аналогичным предыдущему образом приводятся к виду dxi  = xi +1 , i = 1,2,..., n − 1, dt  dx n  = f (t , x1 , x 2 ,..., x n ),  . dt  y = x1 .   

(ФК-ДУ)

Одномерная ММ с ненулевым порядком числителя m < n . Уравнения односвязных систем с операторами в правой части имеют вид (а n p n + a n−1 p n−1 + ... + a 0 ) ⋅ y = (bm p m + bm−1 p m−1 + ... + b0 ) ⋅ u , m < n,

(ОУ-ДС)

и также приводятся к фазовым переменным следующим образом. Необходимо представить операторные выражения в виде

y bm p m + ... + b0

=

u a n p n + ... + a 0

=x

(ФЗПС)

и, затем, перейти к операторным уравнениям состояния и наблюдения (a n p n + ... + a0 ) ⋅ x = u ;

(УС)

y = (bm p m + ... + b0 ) ⋅ x .

(УН)

Обозначая, далее,

dxi = xi +1 ; i = 1,2,..., n − 1, dt

Сопров. часть ДУ

dx n 1 = (u − a n−1 x n − ... − a 0 x1 ), dt a0

Строка коэфф.

y = b0 x m +1 + b1 x m + ... + bm x1 .

(УН)

можно получить

причем

Многовходовая ММ с произвольным порядком числителя. Даваемый ниже

способ интересен тем, что позволяет преобразовывать при некоторых дополнениях и уравнения с переменными коэффициентами, как это будет показано далее. Приведем уравнение к виду

( p n + a n−1 p n−1 + ... + a0 ) ⋅ y = (bn p n + bn−1 p n−1 + ... + b0 ) ⋅ u .

(ОУ ДС)

Переменные состояния будем искать в форме:

y = x1 + k 0 ⋅ u ;

(УН)

x& i = xi +1 + k i ⋅ u , i = 1, 2 , K, n − 1

Ур-я связи ПС

x n = −a n−1 x n − a n−2 x n−1 − ... − a 0 x1 + k n u.}

Строка коэфф.

Матрица A здесь также сопровождающая типа (ССМ). Неизвестные коэффициенты ki находятся путем следующих преобразований:

py = px1 + k 0 pu = x2 + k1u + k 0 pu .

p 2 y = px 2 + k1 pu + k 0 p 2 u = x3 + k 2 u + k1 pu + k 0 p 2 u , .................................................................................. p n y = px n + k n−1 pu + ... + k 0 p n u = −a n−1 x n − ... − a 0 x1 + k n u + k n−1 pu + ... + k 0 p n u. Подставляя в последнее уравнения значения

x1 = y − k 0 u , x 2 = py − k1u − k 0 pu , ................................ x n = p n−1 y − k n−1u − k n−2 pu − ... − k 0 p n−1u , можно получить, после приведения подобных членов уравнения,

[k .

( p n + a n−1 p n−1 + ... + a0 ) ⋅ y = 0p

n

]

+ (k1 + a n−1k 0 ) p n−1 + (k 2 + a n−1k1 + a n−2 k 0 ) p n−2 + ... + (k n + a n−1k n−1 + ... + a0 k 0 ) ⋅ u Сравнивая коэффициенты этого уравнения с коэффициентами уравнения

(ОУ ДС), получим рекуррентные формулы для коэффициентов (1.56)

k 0 = bn ,

  k1 = bn−1 − a n−1k 0 ,  k 2 = bn−2 − a n−1k1 − a n−2 k 0 ,  .................................   .................................  i −1  k i = bn−i − ∑ a n−i + j k j .  j =0  Очевидно,

способ

применим

и

для

случаев

m < n,

при

этом

соответствующие коэффициенты b0 , b1 ,... полагаются равными нулю. Можно привести к фазовым переменным также уравнения системы с несколькими воздействиями, составленные для одной переменной y .

Приведение ММ к каноническим формам. Пусть дан односвязный ОУ с ПФ M (s) . Н ( s) Пусть корни ХП Н (s ) - простые, si , i = 1,2,...n . Разлагая W (s ) на W ( s) =

множители и представляя в виде Y ( s ) = обозначая

n  M ( si ) M ( s) ⋅ U ( s) =  ∑  ⋅ U (s) , H ( s) i =1 H ′( si ) ⋅ ( s − si ) 

n M ( si ) U ( s) = bi и полагая Y ( s ) = ∑ bi X i ( s) , где X i ( s ) = , можно, s − si H ′( si ) i =1

переходя к оригиналам, получить x& i = si xi + u.; .i = 1,..., n ;  n  y = ∑ bi xi ,  i =1 

(ДФ1ММ)

Матрица системы (КФ ММ) диагональная 0 ...  s1 0 s2 ...  A =  ... ... ... ...   0 .... .... s n −1  0 ... 0 ...

0 0  ...  .,  0 s n 

поэтому ее элементами являются корни характеристического уравнения. Диагональ матрицы, упрощающая вычисления, и непосредственная связь коэффициентов с корнями – основные преимущества формы. Другой n

вид

Y ( s ) = ∑ X i ( s ) , где i =1

канонической X i (s) =

формы

получается

из

разложения

bi U ( s ) . Тогда система ДУ, сохраняя Д-форму, s − si

принимает вид    i =1 x& i = si xi + bi u.; .i = 1,..., n. n

y = ∑ xi ,

(ДФ2ММ)

Жорданова каноническая форма. Пусть теперь полином Н (s ) имеет кратные корни Н ( s ) = ( s − s1 ) k1 ( s − s 2 ) k2 ...( s − s r ) kr . Матрица A имеет в этом случае каноническую жорданову форму 0  J k1 ( s1 )  0 J k2 ( s 2 ) A=  ... ...  0  0

 ... 0  , ... ...   ... J k r ( s r ) ...

0

каждый диагональный элемент которой – жорданова матрица вида  s i δ i1 0 0 s δ i i2  J ki ( s i ) =  ... ... ...  0 0 0  0 0 0

0  ... 0 0   ... ... ...  ,  ... s i δ iki  ... 0 s i 

...

0

где δ ij , j = 1,2,..., k i , принимают значения 0 или 1.