Исследование операций

УДК 65.0. 12.122

Венmцель Е. С. исследова",ие операций. М., .Советское 31 000 экз., и. 1 р. 96 к.

ОГЛАВЛЕНИЕ

радио&, 1972, 552 стр., т

-

науки, зани· Излагаются основы исследовання операций мающейся количественным обоснованием решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. В книге рассматриваются основные понятия и методологичес­ кие принципы исследования операций, математические методы оп· тимизации (линейное, динамическое программирование, теория игр и статистичесIШХ решений). а также методы математического моде­ лирования операций. Большое внимание уделяется прикладной теории марковских случайных процессов (с приложсниями в облас· ти теории массового обслуживания, теории надежности) и матема· тическому описанию процессов, протекающих в сложных,. много элементных системах (метод дннамики средних). Рассматриваются методы статистического моделирования операцнй на ЭЦВМ и ОСНО' вы метода сетевого планирования. Книга содержит ряд новых ма· териалов, разработанных автором в последние годы и нигде ранее не публиковавшихся. Изложение ведется на сравнительно элементарном уровне, впол­ не доступном читателю, зиакомому с обычным вузовским курсом математики и с элементами теории вероятностей. Излагаемые мето­ ды нллюстрируются большнм количеством примеров из разных областей практики. Книга рассчитана на широкий круг читателей - инженеров, экономистов, научных работников и хозяйствеННblХ руководителей, интересуюшихся применением математики к обоснованию опти, мальных решений Рис. 266. табл 119, библ. 29 наим.

!

Предисловие Введени!'

6

1

1. Основные nОНJl7ия исСllедованuя операций

11

1. Операция. Эффективность операции 2. Математическая модель операциИ" .... 3. Общая постановка задачи исследования операций. ДегеРМИIIИрованный случай . . . . . . • . • . • • • . • 4. Общая постановка задачн исследовання операций Опти �Iиза· ция решения в условиях неопределеиности . 5. Оценка операции по нескольким показател ям ...

11 14

2. Лине4Nое nроераммированиг

28

1. 2.

3.

4. 5.

6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14 .

3.

f

.

.

.

.

Д инамическое

npolpaМACupoBaHuг

•

•

•

2. Задача о наборе высоты и скорости летател ьным аппаратом 3. Общая постановка задачи динамического программироваиия. Интерпретация управления в фазовом пространсгве 4. Задачн распределеиия ресурсов. . . 5. Прныер решения задачи распределения ресурсов 6. Другие задачи распределеиия ресурсов . . . 1 Распределение pecypco� со вложением доходов в производство 8 Решение задачи динамического программирования с учетом предыстории процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 9. Задачн динамического программироваJlИЯ, не связаIlные со вре· менем . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . • . • .

.

.

93-72

18 23

Задачи линейного программирования . 28 Основная задача линейного программирования 39 Геометрическая интерпретация основной задачи линейного про· граммирования . . . . . . • . . . . . . . • . . _ . . . . 45 Задача линейного программирования с ограничениями-не ра-_ венствами. Переход от нее к ОЗЛП и обратно.. • • • . . . 55 Симплекс-метод решення задачн лннейного I1рограммирования 59 Табличный алгоритм заыеНhI базисных переменных 63 Отыскание опорного решения основной задачи линейного IIрО' граммирования 71 . . . . . • • . • . . . . . . . . . . Отыскание оптимального решения основной задачи линейного 11 программирования . . . . . . . • • . . . . . • . • Транспортная задача линейного программироваНИ51 8з 81 Нахождение опорного плана. . . . . . . . . . 91 Улучшение плана перевозок. Цикл пересчета Решение транспортной задачи методом потеfщиалов 99 110 Транспортная задача с неправильным балансом . Решение транспортной задачи по критерию вре мени 115

1. Задачи ДI:lнамического ПрОl'Р
3-3-14

16

120 120 124 132

\

142 146

\

154 151 163 172 3

10

З адаЧIl АИIIЭ�1Ического программирования с мультипликаТИБНЫМ критерием

11

"

БесконечношаговоИ

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

175

динамического прorраммирования 177

проuесс

4. Моделирование операции п о схеме ма РICОВСICих сл уча и нь", nро. • • • • • • • • • • • • 181 • цесс ов . . . . • • • 1

2

3

4.

5 6 7

8 9

10

181 МарковскиЙ случайный проuесс с дискретными состояниями Случайн ые проuессы с д искретным и непрерывным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Марковская u епь Марковский проuесс с д искретными состояниями и непрер ы вным Уравнения Колмогорова для вер оятностей состоявременем . . • . 194 . . . . . . . . ниЙ 200 П оток событиЙ П ростейшиЙ поток и его свойства . . 206 Потоки Пальма Потоки Эрланга Пуассон овские потоки событий и �епрерывные марковекие цепи 212 . . . . . . . . . . . 217 П редел ьн ы е вероятности состоянии . . . . . . . . . . . 222 Проuес с «гибели и размно ж ения » . . . . . . . . . . . 227 Циклический процесс Приближенное сведение не-марковских процессов к марковс. . . . . . . . . . . . 232 киы Метод псевдосостояннй

5. Теория массового обс лу ж ивани � 1

2

•

. Задачи теории ыассового об служ ивания К лассифи ка ция систеы ыассового обслуживания

238 238

и их

основ·

240 ные х ара ктеристики 242 Одноканальна я СМО с отказами 4 Многоканаль н ая СМО с отказами 245 248 5 Одноканальная СМО с ожиданием . . 6 Многоканальная СМО с ожнданием . 257 264 7 СМО с ограниченным временем ожидания . . . . . . 268 8 Замкнутые системы мас сового об служ ивания 9 Системы массового обслуживания со «взаимопомощью) межnу . . . . . . . . . . . . . . . . каналами 275 10 Си стема ыассового обслуживания с ошнбками 281 пото­ 11. Системы ыассового обслуживания с не-пуассоновскиыи каыи событий 285

7. мет оn ы учета ндn"нонк:ти 1

2 3

4 5

б

7 8

I/CTpm1rTB

.

366

11роблема оuенки надеЖНОСl и . . Надежность элемента Плотность р аспределения времени безот ка з н ой раб от ы Среднее время безотказной работы . . . . Интенсивность отказов Экспоненциальный зако н надежности Определение надежности системы по надежности ее элем ентов . . • . . • . . . Надежность нерезервированной системы Надежность резервированной системы (<<горячий резерв») . . . Надеж ность резервированной системы (<<холодный» и «облегченный» резерв) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Надежно с ть системы с восстановлением . . . . . . . • Учет зависимости отказов при оценке надежности тех ииче ских устройств . . . . . . . . . . . . . . .

366

rеХНl/чесICU)(

.

367 372 378 382 386 393 400

8. М од ели рова ни" опе ра ци й методом статистических испытаний

409

1 Метод статистических испытаний (Монте-Карло) 2. Единичный жребий . . . . . . . . . 3 Ро зыгрыш значения норыально распределенной случайной ве. , . . . . . . личины . • • . . . • . . 4 Полу чен ие случайного числа R от О до 1 . 5 Приыеры ыоделирования случайных процессов методоы МонтеКарло . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Определение характер истик стационар ного случайного процесса методоы М онте-Карло по одной реализации . 7. Оценка точности характеристик полученных ыето Доы МонтеКарло Необходиыое число реаЛИQаuий

409 413 420 424 426 433 440

3

6. Метод динамики с ре дн их

.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

. . . . . . . . . . . И дея ыетода Область приыениыости Учет зависиыости интенснвностей потоков событий от численностей состояний Принцип квазирегулярности . . . . . . . . . • . . . . • 3 Учет пополнения численностей состояний 4 Метод Ди нами ки средних для систеыы, состоящей из неоднородных элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 5 Предельное поведение срсдних ЧИСЛСНlIостей состояний. 5_ Уравнения динамики б оя (ыодель А) . • • • • • • ' . • 7 Учет пополнен ия сил, упреждающего удара, теыпа ыобилизации и прочих факторов в уравнениях ди намики боя . . . . 8 Модель Б Случай отсутствия пере носа огня. . . . . . . . У Модел 9 ьВ чет деятельности разведки и систеыы управления боем 10 Учет восстановлен ия единиц в ходе б ое вы х действий У 11 равнения ДИНdМИКИ б оя для неоднородных единиц Функции распределения огня . . . . . . У 12 РdВНСНИЯ смешанного т� па . . . . 3 Некотор ы е уточнения метода 1 1 2

динамики 'cpe;H�X' ..

291 291 300 309 314 320 329 333 336 338 343

347

350 357

9. Игровые Meтor]bl обоснования решений

•

•

. 446

•

1 З адач и теории игр и статистических решеиий 2. Предмет теории игр Основные понятня 3

4

5 5 7

8.

9 10 11_ 12. 13 14

. . . . . П латежная матрица Н и жняя и верхняя цена игры Принцип миним акса Решение игры в смешанных стратегиях У прощение игр Игра 2Х 2 Игры 2Хn и mХ2 Р с ш ени с игр т Х n Решение конечных игр методоы чтераций Физ ическая смесь стретегий Элементы теории статнстических решений Критерий, основанный на известных вероятностях условий. 5 00 Критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа . . . . . Планирование экспеР ИЫ С ll та [J услови я х неопределешlOСТИ . 509

10. Метод сетевого планирования 1

446 447 450 454 461 464 466 472 480 489 493 496

•

•

Задача планирования КОVlплекса работ

.

.

.

.

.

.

516

.

516 519 3 Формальная запись (а,1JГОРИТЫ) задачи сетевого планирования 526 . . . . . . 529 4 Оптныизация плана К011Плекса работ 5 Сетевое планирование при случайных вреыенах выполнения работ Пр и ме н ен и е ЭЦВМ 539 При л о ж е н и е (таблиuы ) 543 Л и т е р а ту ра 545 547 n р е д ыет н ы й у к а з а т е ль

2. Сетевой график коыплекса работ. Временной сетевой график.

5

ВВЕДЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга написана на базе лекций по исследованию опе­ раций, читанных автором в течение ряда лет в высших учебных заве­ Дениях, а также на основе опыта научно-исследовательских работ в раз. ных областях. Задачей автора было дать по возможности простое и понятное изло­ жение идей и методов исследования операций, не пользуясь громозд­ ким математическим аппаратом. В отношении математической подго­ товки от читателя требуется только знакомство с обычным втузовским курсом высшей математики, а также владение элементами теории веро­ ятностей . В целях наглядности изложение сопровождается многими примерами. Книга рассчитана на широкий круг читателей - глав­ ным образом, инженеров и научных работников, интересующихся зада­ чами обоснования решений в различных областя.х практики. Автор приносит глубокую благодарность И. Я. Динеру, Л. А. Ов­ чарову и А. Д. Вентцелю, сотрудничество с которыми помогло ему в разработке материалов, изложенных в книге. Книга содержит ряд новых материалов, разработанных автором в последние годы и нигде ранее не публиковавшихся. Москва, 1970

Е. Венmцель

За последние годы наука уделяет все большее внимание вопросам организации и управления; это обусловлено целым рядом причин. Быстрое развитие и усложнение техники; увеличение масштабов и сто­ имостей проводимых мероприятий; широкое внедрение автоматизации в сферу управления - все это приводит к необходимости научного анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. от науки требуются рекомендации по наи­ лучшему (оптимальному) управлению такими процессами. Эти потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые принято объединять под названием «Исследование операций». Под Этим подразумевается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Необходимость принятия решений так же стара, как само челове­ чество. Испокон веку люди, приступая к осуществлению своих меро­ приятий, раздумывали над их возможными последствиями и принима­ ли решения, выбирая тем или другим образом зависящие от них пара­ метры - способы организации мероприятий. Но до поры, до времени решения могли приниматься без специального математического анали­ за, просто на основе опыта и здравого Смысла. Такой способ принятия решений не утратил своего значения и в наше время. Возьмем пример: человек вышел утром из дому, чтобы ехать на работу. По ходу дела ему приходится принять целый ряд решений: брать ли с собой зонтик? В каком месте перейти улицу? Каким видом транспорта воспользоваться? И так далее. Разумеется, все эти решения человек принимает без специальных расчетов, просто опираясь на имеющийся у него опыт и на здравый Смысл. для обоснования таких решений никакая наука не нужна, да вряд ли понадобится и в дальнейшем. Однако возьмем другой пример. допустим, организуется работа ГОРОДСкого транспорта. В нашем распоряжении имеется какое-то ко­ личество транспортных средств. Необходимо принять ряд решений, например: какое количество и каких транспортных средств направить по тому или другому маршруту? Как изменять частоту следования ма­ шип в зависимости от времени суток? Где разместить остановки? И так далее. Эти решения являются гораздо более ответственными, чем реше­ ния предыдущего примера. В силу сложности явления последствия каждого из них не столь ясны; для того, чтобы представить себе эти \

7

последствия, нужно провести расчеты. А главное, от этих решений гораздо больше зависит. В первом !lримере неправильный выбор реше­ ния затронет интересы одного человека; во втором - может отразиться на деловой жизни целого города. Конечно, и во втором примере при выборе решения можно дей­ ствовать интуитивно, опираясь на опыт и здравый смысл. Но решения окажутся гораздо более разумными, если они будут подкреплены количественными, математическими расчетами. Эти предварительные расчеты помогут избежать длительного и дорогостоящего поиска пра­ вильного решения «наощупь». Наиболее сложно обстоит дело с принятием решений, когда речь идет о мероприятиях, опыта в проведении которых еще не существует и, следовательно, здравому смыслу не на что опереться, а интуиция может обмануть. Пусть, например, составляется перспективный план развития системы вооружения на несколько лет вперед. Образцы воо­ ружения, о которых может идти речь, еще не существуют, никакого опыта их боевого применения нет. При планировании приходится опи­ раться на большое количество данных, относящихся не столько к прош­ лому опыту, сколько к предвидимому будущему. Выбранное решение должно по возможности гарантировать нас от ошибок, связанных с не­ точным прогнозированием, и быть достаточно эффективным для широ­ кого круга условий. Для обоснования такого решения приводится в действие сложная система математических расчетов, да иначе и быть не должно: ведь неправильное решение, если оно будет принято, мо­ жет привести к самым тяжелым последствиям. Вообще, чем сложнее организуемое мероприятие, чем больше вкла­ дывается в него материальных средств, чем шире спектр его ВОЗможных последствий, тем менее допустимы так называемые «волевые» решения, не опирающиеся на научный расчет, и тем большее значение получает совокупность научных методов, позволяющих заранее оценить послед­ ствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать те, которые представляются наиболее удачными. Такими математическими расчетами, облегчающими людям при­ нятие правильных решений, и занимается наука «Исследование опе­ раций». Это - сравнительно молодая наука. Ее возникновение обыч­ но относят к годам второй мировой войны, когда в вооруженных силах США и Англии были сформированы специальные научные группы для подготовки решений по способам организации и обеспечения боевых действий [J J. Справедливость требует отметить, что подобными иссле­ дованиями (правда, не под таким названием) занимались и до войны, в частности, в нашей стране, где БЬiJ1И широко развиты математичес­ кие методы оценки эффективности стрельбы, представляющие собой, в современном понимании, часть исследования операций. Зародившись в области преимущественно военных задач, исследо· вание операций с течением времени вышло из этой узкой сферы. В нас­ тоящее время исследование операций - одна из самых быстро разви­ вающихся наук, завоевывающая все более обширные области приме­ нения: ПРОМЫШ.llеllllОСТЬ, сельское хозяйство, торговля, транспорт, :щравоохранение и т. д. Задачи исследования операций, к какой бр/ �

области они ни относились, имеют общие С/ерты, и при их решении применяются сходные методологические приемы. Например, методика количественного исследования, выработанная для анализа процессов образования очередей в системах массового обслуживания (парик­ махерских, ремонтных мастерских и т. д.), может, почти без изменений, быть перенесена на некоторые задачи электронной вычислительной техники, а также задачи, связанные с организацией системы противо­ воздушной обороны (ПВО). Чтобы ближе познакомиться со спецификой задач исследования опера ций и их характерными особенностями, приведем несколько при­ меров таких задач. Пример t. Завод выпускает определенного вида изделия. для обеспечения высокого качества этих изделий организуется система выборочного контроля. Требуется рациональным образом организо­ вать этот контроль, т. е. выбрать: размер контрольной партии; - последовательность контрольных операций; - правила браковки изделий и т. д. так, чтобы обеспечить заданный уровень качества при мини­ мальных расходах. Лример 2. Для реализации определенной массы сезонных това ров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать пара­ метры этой сети: - число точек; - их размещение; - количество персонала ; - продажные цены товаров и т. д. так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффектив­ ность распродажи. Пример 3. Организуется воздушный налет группы самолетов­ бомбардировщиков на промышленный район противника. В нашем распоряжении - определенное количество самолетов с известными летно-таКтическими данными и вооружением. Требуется выбрать параметры налета: - высоту полета; - э шелонирование самолетов в строю; - Точки прицеливания отдельных самолетов и групп; - способ выполнения бомбометания (залпом, серией) и т. д. так, чтобы в результате налета максимально снизить про­ мышленный потенциал района. Пример 4. Организуется снабжение сырьем группы промышлен­ ных предприятий. Возможные поставщики сырья размещены в различ­ ных географических пунктах страны и связаны с группой предприятий различными путями сообщения (с разными тарифами). Требуется ра­ циональным образом разместить заказы на сырье, так, чтобы потреб­ ности Гр уппы предприятий были удовлетворены в заданные сроки и при минимальных затратах на перевозки. {I

1

Пример 5. Сложное техническое устрой с тво время от времени может отказывать (выходить и� строя). для того, чтобы ликвидировать ава рию, необходимо локализовать неисправность (обнаружить ее -при­ чину). Требуется разработать систему T€CTOB, позволяющую с опреде­ ленной, достаточно большой вероятностью локализовать неисправность

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ

за минимальное время. Пример 6. Организуется медицинское обследование группы на­ селения с целью выявления некоторых заболеваний. На обследование выделены определенные 'материальные средства, оборудование и меди­ цинский персонал. Требуется разработать план обследования: - количество пунктов; - их размещение; - последовательность осмотров; - вид и количество анализов и т. д. С тем, чтобы к заданному сроку выявить максимальный процент заболевших. Число примеров можно было бы легко умножить, но и эт�х доста­ точно, чтобы составить представление об отличительных особенностях задач исследования операций. Несмотря на то, что примеры относятся к самым разным областям практики, в них легко просматриваются сходные черты_ В каждом из них идет речь о каком-то м е р о п р и­ я т и и (или системе мероприятий), преследующем определенную Ц е л ь. Заданы некоторые у с л о в и я, характеризующие обстановку мероприятия, изменять которые мы не вправе (например, отпущенные средства). В рамках этой системы условий , требуется принять какое­ то р еш е н и е с тем, чтобы мероприятие в некотором смысле было наиболее выгодным (или наименее убыточным). В соответствии с этими общими чертами вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совоку�ности составляющие методологическую основу исследования операции. " Для решения практических задач исследование операции распо­ лагает целым арсеналом математических средств. К ним отн�ятся: тео­ рия вероятностей с ее новейшими разделами (теория случаи ных про­ цессов, теория информации, теория массового обсл}живания); мате­ матические методы оптимизации, начиная от простеиших способов на­ хождения экстремумов (максимумов и минимумов), знакомых каЖдОМУ инженеру, и кончая современными методами, такими, как линейное программирование, динамическое программирование, принц�п мак­ симума Л . С. Понтрягина и многие другие. Из них в даннои книге, адресованной широкому кругу читателей, освещаются далеко не все, а только простейшие и наиболее распространенные. для понимания текста читатель должен владеть только основами математического анализа и элементами теории вероятностей. В книге содержится много численных примеров, иллюстрирующих излагаемые методы. При выборе условий этих примеров автор исходил из методических соображений, так что этими материалами ни в коем случае нельзя пользоваться как справочными.

1.

ОПЕРАЦИЯ. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОПЕРАЦИИ

Под Е> пе р а Ц и е й мы будем понимать любое мероприятие (или систему действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению определенной цели.

Примеры операций. 1. Система мероприятий, направленная к повышению надежнос-

ти технического устройства. 2. Отражение воздушного налета средствами ПВО. 3. Размещение заказов на производство оборудования. 4. Разведывательный поиск группы самолетов в тылу противника. 5. Запуск группы искусственных спутников Земли для установле­ ния системы телевизионной связи. 6. Система перевозок, обеспечивающая снабжение ряда пунктов определенного вида товарами. Операция всегда является У п р а в л я е м ы м мероприятием, т. е. от нас зависит выбрать тем или другим способом какие-то пара­ метры, характеризующие способ ее организации. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова, включая и выбор технических средств, применяемых в операции. Например, организуя отражение воздушного налета средствами ПВО, мы можем, в зависимости от об­ становки, выбирать тип и свойства применяемых техничеСких средств (ракет, установок) или же, при заданных технических средствах, ре­ шать только задачу рациональной организации самой процедуры отра­ жения на 1ета (распределение целей между установками, количество ракет, наr.равляемых на каЖдУЮ цель и т. д.). Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров мы бу­ дем называть р еш е н и е м. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и нера­ Зумными. О п Т и м а л ь н ы М и называются решения, которые, по тем или иным соображени ям, предпочтительнее других. Основная задача исследования операций-nредварителыtoе коли­

чественное обоснование оптимальных решений.

Зам етим, что само пр и н я т и е р еш е н и я выходит за рамки ИССЛедования операций и относится к компетенции ответственн го ли о ­ ца (или группы лиц), которым предоставлено право окончательного вы­ бора. При этом выборе ответственные за него лица могут учитывать, 11

наряду с рекомендациями, вытекающими из математического расчета, еще ряд соображений (количественного и качественного характера), которые не были учтены расчетом. Таким образом, исследование операций не ставит себе задачей полную автоматизацию принятия решений, полное исключение из это­ го процесса размышляющего, оценивающего, критикующего челове­ ческого сознания. В конечном итоге, решение всегда принимается че­ ловеком (или группой лиц); задача исследования операций - подго­ товить количественные данные и рекомендации, облегчающие челове­ ку принятие решения*). Наряду с основной задачей - обоснованием оптимальных реше­ ний - к области исследования операций относятся и другие задачи, такие как - сравнительная оценка различных вариантов организации опе­ рации; - оценка влияния на результат операции различных параметров (элементов решения и заданных условий ); - исследование так называемыХ «узких мест», то есть элементов управляемой системы, нару шение работы которых особенно сильно сказывается на успехе операции, и т. д. Эти «вспомогательные» задачи исследования операций приобре­ тают особую важность, когда мы рассматриваем данную операцию не изолированно, а как составной элем�нт целой с и с т е м ы операций. Так называемый «системный » подход К задачам исследования операций требует учета взаимной зависимости и обусловленности целого ком­ плекса мероприятий. Разумеется, в принципе всегда можно объеди­ нить систему операций в одну сложну ю �:mерацию более «высокого по­ рядка», но на практике это не всегда удобно (и не всегда желательно), и в ряде случаев целесообразно выделять в качестве «операций» от­ дельные элементы системы, а окончательное решение принимать с уче­ том роли и места данной операции в системе. Итак, рассмотрим отдельную операцию о. Размышляя над ор­ ганизацией операuии, мы стремимся сделать ее наиболее эффективной . Под э Ф Ф е к т и в н о с т ь ю операции разумеется степень ее при­ способленности к выполнению стоящей перед ней задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее. Чтобы судить об эффективности операции и сравнивать между со­ бой по эффективности различно организованные операции, нужно иметь некоторый численный к р и т е р и й о ц е н к и или п о к а­ з а т е л ь э Ф Ф е к т и в н о с т и (в некоторых руководствах пока­ затель эффективности называют «целевой функцией»). Будем в дальнейшем обозначать показатель эффективности буквой W. *) Даже в тех случаях, когда принятие решеиия, казалось бы, полностью авто­

матизировано (например, в процессе автоматического управления пред прия­ тие" или космическим кораблем), роль человека не устраняется, ибо, в конеч­ I-Ю" сч�те, от него заВflСНТ в ыбор алгоритма, по которому осуществляется уп­ равление.

12

Конкретный вцд показателя эффективности W, которым следует пользоваться при численной оценке эффективности, зависит от спе­ uифики рассматриваемой операпии, ее целевой направленности, а так­ же от задачи исследования, которая может быть поставлена в той или другой форме. Многие операции выполняются в у словиях, содержащих элемент слу чайности (например, операции, связанные с колебаниями спроса и предложения, с движением народонаселения, заболеваемостью, смертностью, а также все военные операции). В эТих случаях исход ОlIерации, даже организованной строго определенным образом, не мо­ жет быть точно предсказан, остается случайным. Если это так, то в ка­ честве показателя эффективности W выбирается не просто характерис­ тика исхода операции, а ее среднее значение (математичесю;>е ожида­ ние). Например, если задача операции - ш>лучение максимальной прибыли, то в качестве показателя эффективности берется с р е Д н я я п р и б ы л Ь. В дру гих случаях, когда задачей операции является осуществление вполне определенного события, в качестве показателя эффективности берут в е р о я т н о с т ь этого события (например, ве­ роятность того, что в результате возду шного налета данная группа целей будет поражена). Правильный выбор показателя эффективности - необходимое условие полезности исследования, применяемого для обоснования ре­ шения. Рассмотрим ряд примеров, в каждом из которых показатель эф­ фективности W выбран в соответствии с целевой направленностью опе­ рации. Пример 1. Рассматривается работа П\Jомышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причем проводнтся ряд мер с целью повышення этой реlпабельности. Показатель эффективности - прибыль (или средняя прибыль), I1риносимая предприятием за хозяйственный год. П ример 2. Группа истребителей поднимается в воздух для перехвата оди­ ночного самолета противника. Цель операции - сбить самолет. Показатель эф­ фективности - вероятность поражения (сбития) самолета. Пример 3. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; ее рентабельность определяется количеством машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности - среднее число машин, обслуженных за день (<<сред­ не е» Потому, что фактическое число случайно) . Пример 4. Группа радиолокационных станций в определенном районе ве­ дет наблюдение за воздушным пространство:\!. Задача группы - обнаружить Любой самолет, если он появится в районе. Показатель эффективности - ве­ роятность обнаружения любого самолета, появившегося в районе. Пример 5. Предпринимается ряд мер по повышению надежности электрон· ной цифровой вычислительной машины (ЭЦВМ). Цель о пера Ц IIИ - уменьшит" частоту появления неисправностей (<<сбоев») ЭЦВМ, иди, что равносильно, уве­ Личить средний промежуток времени между сбоями (<<наработку на отказ»). По­ казатель эффектнвности - среднее время безотказной работы ЭЦВМ (илн сред­ нее относительное время исправной работы). П ример 6. Проводится борьба за экономию средств при производстве опре­ деленного вида товаров. Показатель эффекти вн ости - ко личество (или среднее I\оли ч ество) сэкономленных средств.

Во всех рассмотренных примерах показатель эффективности, ка­

I\ОВ бы он ни был, требовалось обратить в максимум (<<чем больше, тем 13

\

лучше»). Вообще, это не об я з а тельно: в исследова и операций часто пользуютс я пока зател ями, которые требуется обр тить не в ма ксиму"., р, в примере 4 можн о а в мини мум (<<чем мен ьше, тем лучше»). На при было бы в к ачеств е пока зателя эффективности ять «вероятность тоге, этот показател ь же­ ЧТО поя вивши йся са молет не будет обнаружеll!t лател ы-ю сделать ка к можно меньше. В примере 5 за показа тел ь эq:. феКТJIВвости можно было бы принять «среднее число сбоев за сутки�. которое желателыю минимизи ровать. Если оценивается кака я-то система , обеспечивающая наведение с на ряда на цель, то в качестве по· казателя эффективности можно выбрать среднее зна чение «промаха» снар яда (расстояни я от траектории до центра цели), которое желательно сдеJIать ка к можно меньше. Наряд средств, выделяемых на выполнен ие какой-либо з.'Здачи, тоже желательно сделать мини мальным, равдо как и стоимость предпринимаемой системы меропри яти й. Таким образом, во многих задачах исследования операци й разумное решение должно обеспечива ть не максимум, а минимум некоторого показателя. Очевидно, что случа й, когда по казатель эффективности W надо обратить в мпнимум, леГJ{О сводится к задаче ма ксимизации (дл� этого достаточно, па п ример, изменить зна к величины W). Поэтому в даль­ нейшем, рассматрпвая в общем виде задачу исследова ния опер аций, мы будем для простоТJ-.; гово рить только о случае, когда W требуется об­ ратить в 111 а к с и м у М. ЧТО касается пра ктических конкретны х за­ дач, то мы будем пользоваться как пока зател ями эффективности, кото­ рые требуется маЕСШ\,lИзировать, так и теми, которые требуется мини­ мизнровать . -

2.

МЛТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ

для IIрименения количественных методов исследования в любой области всегда требуется построить ту или другую математичес кую м о Д е л ь явления. Не составляет исключения и исследова ние опе­ раций. При построенаи математической модели явление (в нашем слу­ чае - операцня) kaKIIM-ТО образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, вли яющих на явление, выделяется сравнителыlо небол ьшое Jюличество важнейших, и полученна я схема описьшаетсн с помощью того или др угого математического аппарата. В рtзуюотпте УСIанавливаlOТСЯ кол ичествен ные связи между услови ями операцJ'П, l,араметрами решени я и исходом операции - показателем эФРеКТIIВНОСТИ (или пока зателями, если их в данной задаче нескол ько). Чем уда чнее подобрана математическая модедь, тем лучше она отражает хс.рактерные черты явлен и я, тем успешнее будет исследова·· ние и полезнее - вытекающие из него рекоменда ции. Общих способов построени я математи ческих моделей не сущест, вует. В каждом конкретном случа е модель строится, исходя из цел�вой направленности операции и задачи научного исследова ния, с учетом т ребуемой точности решения, а та кже точности, с ка кой могут быть и звестны исходные данные. Требовании к моделн противоречивы. С одной стороны, она долж­ на быть достаточно полной, т. е. Е ней должны быть учтР.ны все важ14

�opьo(

существенно зависит исход операции. С дру­ ные фаkТОРЫ, от ГОЙ стороны, модел D\ � OJJ ж на быть достаточно простой для того, чтобы можно было устанощ;IТЬ обоз римые (желател ьно - аналитические) зависимости между вхОдящими в нее параметрами. Модель не должна быть «засорена» множес'!:вом мелких , второстепенных фа кторов - их учет усложняет матемаТИ\Jеский а нализ и делает результаты исследо­ вания трудно обозримыми. Одним словом, искусство составл ять математические модел и ес1ь именно и с к у с с т в о, и опыт в этом деле приобретается постепен но. две опасносТи ссегда подстерегают соста вителя модели: первая утонуть в подробностях (<<из-за деревьев не увидеть леса»); втора я слишком огр убить я вление (<<выплеснуть из ванны вместе с водой и ре­ бен ка»). В сложных случа я х, когда построение модели вызывает наи­ бол ьшее сомнен ие, полезным оказывается своеобра зный «спор моделей», когда одно и то же явление исследуется на нескольких модел я х . Если научные выводы и рекомендации от модел и к модел и меняются мало, это серьезный аргумент в пол ьзу объективности исследования. Хара ктер ным для сложных задач исследовани я опера ций являет­ ся та кже повторное обращение к модели: после того, ка к первый ци кл исследова ний выполнен, возвращаются снова к модели и вносят в нее необходимые коррективы. Построение математической модел и - на иболее важна я и ответ­ ственная часть исследования, требующа я гл убоких зна н и й не только и не стол ько в математике, сколько в существе модел и р уемых явлений. Одна ко, раз созданная уда ч на я модель может найти применение и далеко за пределами того круга явлений, для которого она пер ВО­ на чально создавалась. Та к, например, математические модели массо­ вого обслу�ива ни я наШЩI широкое применение в целом ряде облас­ тей, далеких, с первого взгляда, от массового обслужива ния (надеж­ ность технических устройств, организация а втоматизирован ного про­ изводства , задачи ПВО и др.). Математические модели, первоначаль­ но предназна ченные для описания дина мики развити я биологических популяций, на ходят широкое применение при описа нии боевых дейст­ ви и и наоборот - боевые модели с успехом применяютс я в б иологии. Математические модели, применяемые в настоящее время в зада­ ча х исследова ния операций, можно грубо подраздел ить на два кла сса: ан а л и т иче с к и е и с т а т и с т и ч е с к и� для первых ха ра ктерно уста новление q;ормульных, аналитиче­ С ки х Зависимостей между па ра метрами задачи, записанных в любом В иде: алгебраические уравнени я , обыкновенные дифреренциальные у рав нен и я, уравнения с ча стными производными и т. д. Чтобы та кое а нали тическое описание операци и было возможно, ка к правило, н ужно ПРИ н я ть те или иные допущени я или упрощения. С помощью а налити' ческих моделей yдaeTC� с удовлетвор ительной точность� описать ТОлько сра внительно простые опера ции, где число вза имодеиствующих Элеме нтов не слишком вел ико. В операциях же большого м асштаба, сложных, в которых переплетается действие огромного количества Q-QKTOPOB, в том числе и случа йных, на первый ПJ1а н выходит метод Ста ТИсти ческого моделирования . Он состоит в том, что процесс ра звити я �

��

-

15

\\

е, со всеми операции как бы «копируется» на вычислительно машин в ход опе­ когда з, Всякиfl и. ностям случай сопровождающими его е учи­ влияни его рации вмешивается какой-либо случайный фак ор, я. жреби ие бросан его на напоми , рыша» тывается посредством «розыг я по� удаетс уры процед TaKO� ения повтор о ратног многок В результате ии с любои лучить интересующие нас характеристики ifсхода операц I *). степенью точности то преиму­ Статистические модели имеют перед аналитическими не требуют и ров факто о числ ее щество, что они позволяют учесть больш тического статис :гаты резуль Зато ений. допущ и ений грубых упрощ гру­ Более еl.ИЮ. осмысл и у моделирования труднее поддаются анализ о, иженн прибл лишь явление вают описы и бые аиалитические модел присущие яв­ ают отраж ивее отчетл и дны нагля более ьтаты резул зато получаются лению основные закономерности. Наилучшие результаты моделей: их тическ статис и х ически аналит ении примен при совместном в основ­ аться разобр вчерне простая аналитическая модель позволяет а лю­ ы, контур его е главны ть намети я, ных закономерностях явлени им моде­ тическ статис но получе быть может ние уточне йшее бое дальне лированием. u

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВАННЫЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ. ДЕТЕРМИНИРО СЛУЧАЙ

3.

постановке, Рассмотрим задачу исследования операций в общей ии. операц безотносительно к виду и цели е меро­ Пусть имеется некоторая операция О, т. е. управляемо я выбира , влиять мере то какойв приятие, на исход которого мы можем ть тивнос Эффек метры. пара нас от щие завися ом тем или другим способ ием или пока­ операции характеризуется каким-то численным критер , когда его (случай ум максим в ть обрати зателем W, который требуется отдельно и у дущем преды к ся ум, сводит миним в ть обрати требуется не рассматривается). ая модель Предположим, что тем или иным способом математическ Эффектив­ тель показа ить вычисл яет позвол она ена; постро ии операц пности совоку любой для и, решени ом ности W при любом принят я. операци яется выполн х которы в условий, ы, от Рассмотрим сначала наиболее простой случай: все фактор : группы две на делятся и, операци которых зависит успех ения опе­ - заданные, заранее И3liестные факторы (условия провед можем; не рации) CGI, (Х2, ... , на которые мы влиять которые X Х - зависящие от нас факторы (элементы решения) 1, 2' , нию. мы, в известных пределах, можем выбирать цо своему усмотре Этот случай, в котором факторы, влияющие на исход операции, е либо заранее известны, либо зависят от нас, мы будем называть д ­ т е р м и н и р о в а н н ы М. • • .

*) 16

Подробно о статистическоы моде.n ировании см.

ГЛ.

8.

Заметим, ч� под «заданными условиями» операции CG1, (Х2, '" мо­ гут пониматься H� только обычные числа, но и функции, в частности­ о г р а н и ч е н и я, наложенные на элементы решения. Равным об­ также могут быть не ТОлько числа­ разом, эЛементы реш.ения XI, Х2, ми, но и функциями. Показатель эффективности W зависит от обеих групп факторов: как от заданных условий, так и от элементов решения. Запишем эту зависимость в виде общей символической формулы: • • •

W'

=

W

(CG1,

(Х?,

. . •

; X1, Х2,

• ••

).

(3.1)

Так как математическая модель построена, будем считать, что за­ висимос.:гь (3. 1) нам известна, и для любых (Х], (Х2, ; X1, Х2, ... мы мо­ жем наити W. Тогда задачу исследования операций можно математически сфор­ мулировать так: • • •

найти та кие элем енты решения При заданных условиях а], (Х2, т е р о р 2 т Xl, Х , ... , ко о ы б ащают показа ель W в макс имум. • • •

Перед нами - типично математическая задача, относящаяся к классу так называемых в а р и а Ц и о н н ы х з а Д а ч. Методы решения таких задач подробно разработаны в математике. Простейшие из этих методов (<<задачи на максимум и минимум») хорошо известны каждому инженеру. Для нахождения максимума или минимума (коро­ че, экстремума) функции нужно продифференцировать ее по аргу­ менту (или аргументам, если их несколько), приравнять производные нулю и решить полученную систему уравнений. Однако, этот простой метод в задачах исследования операций имеет ограниченное применение. Причин этому несколько. 1. Когда аргументов XI, Х2, ... МНОГо (а это типично для задач ис­ следования операций), совместное решение системы уравнений, полу­ ченных дифференцированием основной зависимости, зачастую оказы­ вается не проще, а сложнее, чем непосредственный поиск экстремума. 2. В случае, когда на элементы решения XI, Х2, ... наложены огра­ ничения (т. е., область их изменения ограничена), часто экстремум на­ блюдается не в точке, где ПРЩl3водные обращаются в J-Iуль, а н а r р а н и Ц е области возможных решений. Возникает специфическая для исследования операций математическая задача «Поиска экстре­ мума при наличии ограничений», не укладывающаяся в схему класси­ ческих вариационных методов. 3. Наконец, производных, о которых идет речь, может вовсе не существовать, например, если аргументы X1, Х2, . .. изменяются не не­ прерывно, а дискретно, или же сама функция W имеет особенности. Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. Однако для С!lучаев, когда функция и ограничения обладают опреде­ ленными своиствами, современная математика предлагает ряд спе­ циальных методов. Например, если показатель эффективности W зави­ сит от элементов решения Х], Х2, ... Л И Н е й н о и ограничения, на­ ложенные на XI, Х2, "', также имеют вид л и н е й н ы х равенств (или неравенств), максимум функции W находится с помощью специального 17

м м й р о в а а п пара-rа , та к J1MbIВa eMoro л и н е й н о Г о п р о r р ми (на­ свойства ги у др ют а обла кции фун д эти н и я (см . гл . 2) . Если а рат «выпукл ого» пример , выпу клы ИJIИ квадрати чны) , применя ется а по сравне­ или «квадрат ичного)} програ мми рова н и я [2J , более ложный в прием­ ЮЩИЙ I}ЬЗВОЛЯ же все но нием, рова ми програм ейным н и л с нию образом лемые сроки найти р ешение. Если опера ци я (естестве нным ных йствен хоз� , мер (напри пов» «Эта или «шагов)} расчленя ется на р яд ммы пока за­ лет) , а показател ь эфt>eкти вности W выража ется в виде с у ные этапы, для н а хожден и я решен и я , тел ей Wt, дост и гнутых за отдел ь эффе ктивнос ть, может быть п р и менен ную ксималь ма ющего обеспеч ива и я (см . гл . 3) . метод Д и н а м и ч е с к о г о п р о г р а м м и р о в а н енци а л ьными диффер и венным обыкно ется а Если операц ия описыв , предста вляет ем времен со я яющеес ие, мен влен упра а ниями, уравне ьного уп­ собой некотор ую фун кцию x(t) , то для на хождени я оптимал метод танный разрабо ьно специал м полезны ся оказать ра ВJ1ения может Л. С. Понтр я ги на [3J. ном случае Та ким обра зом, в рассмат рива емом детер м и н и р ован математ ической к я сводитс я и решен ьного оптимал я и н ка отыс задача может быть весь­ задаче отыс к а н и я экстрем ума фун кции W; эта задача в кон це концов, но, х), а ргумент а многих при но (особен ма сл ожной о при нал ичии я вляется вычисли тел ьной зада чей, ко торую, особенн до конца . решить иначе или к та ется уда быстродействующих ЭЦВМ, , а не прин ­ Трудности, возни кающие при этом, явл яются ра счетным и •

ципиал ьными.

4.

В ИЯ О Б ЩАЯ П О С ТА Н О В КА З А Д А Ч И И С СЛ Е Д О А Н Я И Е Ш Н Р Я Е И О П Е РА Ц И Й . О П Т И М И З А Ц В У СЛ О В И Я Х Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И

, в предыдущем па раграф е мы рассмот рели самый простой пол­

услови я операции ностью детерми нирова нный случ а й , когда все Т к впол ­ я 2 известн ы , и любо й выбо Р решени Х) , Х , . ПРИ80ДИ (Х) , а 2 ' . W сти ктивно е эфф я ел показат чению зна у не определенном встре­ К сожалению, этот простей ший случай не та к уж часто в с е е н когда , случай н типиче более чаетс я на п р а кт�ке. Гора здо известн ы зара­ , я и операц иться провод будет х которы в я, и в усл о еленности . Напри­ нее, а некотор ые и з н и х содержат элемент неопред чески х услови й, ологи метеор от ь зависет может мер , успех опер а ции и предложения, которы е зара нее неизвестны, ил и от колеба н и й спроса моды, или ж е ми каприза с х связанны , з а р а н ее трудно предвидимых за ра нее н еиз­ го которо я действи ника, против ого разумн от поведен ия . .

' "

веатны. не от В подобн ых случая х эффективность операц ии за висит уже двух, а от трех категори й фа кторов: , котор ые известн ы за ­ 2 - услов ия вы п олнен и я операции cx,l ' сх, , ра нее и и зменены быть не могут; неизвестные услови я ил и фа кторы Y1, У 2, ; элементы р ешен ия х1 , Х 2 , . , котор ые нам предстоит выб рать_ • • •

. . .

. .

18

\

=

' П у с т� ЭФФ

ивность операции характеризуется некоторым пока­ зателем ПJ , зави щим от всех трех груп п фа кторов . Это мы запишем в виде общей фор улы: (4. 1 ) Е сли бы условия У1 , У 2, . . . были известны, мы могли бы за ра н ее по д с ч итать показатель W и выбрать такое решение x1, Х2, . . . , пр и кот о­ ром он ма ксимизи руется. Б еда в том, что па раметры Y1, Y 2 , . нам не­ и звестны, а зна чит, неизвестен и за висящи й от н и х пока зател ь эффе К­ тивности W пр и Лlобом решении . Тем н е мен ее задача выбора решения по-прежнему Стоит перед нами . Е е можно сфо рмул и р овать та к : Пр и зад ан н ых условuях cx,l , сх, 2, . . . , С учетам неuзвесПlJtых фактор ов . н ай ти так ие элемен ты решен ия Xl' Х2 , , котарые no воз­ У1 • у 2 , МОжност и обраш,али бы в максимум показ атель эффективности W. Это - уже друга я, не чисто математическа я задача (недаром в ее формулиров ке сделана оговорка «по возможности») . Наличие неизвест­ ных фа кторов У} У 2, переводит нашу задачу в другую катеГОРИ1Q' она п р евращается в задачу о выборе решения в условиях неоnределен­ насти. дава йте будем честны : неоп ределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возмож­ ности та к же успешно организовать ее, как мы это сделал и бы если бы располагаJ1И бол ьшей информацией. Поэтому любое решен и �, П Р ' l Н я­ тое в услови � х неопределенности, хуже ре шени я , прин ятого во впол fe определеннои ситуаци и. Наше дело - сообщить своем у решен ию в н аи ­ бол ьшей Возможной мере черты разумности . Решение, прин ятое в ус­ лови я х неоп ределенности , но на основе матема тических ра счетов , бу­ дет все же л учше решени я , выбра н ного наобум. Неда ром один из вид­ н ы х з а р убежных специалистов - Т. Л. Саати в книге «Математичес­ кие методы исследова ния операци й» [41 дает своему предмету следую­ щее и роническое определение: «Исследование опер а ци й предста вл яет собо й и скусство давать плох ие ответы на те пра ктические вопросы, на которые да ются еще худшие ответы другими методамИ» . Зада чи о выборе решения в условиях неопределенности встр ечают­ ся нам в жизни на каждом шагу . Пусть, например , мы собрались ехать в отпуск, взяв с собо й чемодан огра ниченного объема, причем вес че­ мода н а не должен превышать того, при котором мы можем носить его б ез посторонней помощи (условия cx,l ' сх, 2 , . . . ). Погода в р а йонах путе­ шеств и я зара нее неизвестна (условия У1, У 2, . . ). Спрашиваетс я , ка­ кие предметы одежды (х}, Х2, ) следует взять с собой ? Эту задачу мы , ра зумеется, реша ем без всякого математического а п па рата , хотя , по-видимому, не без опоры на ка кие-то численные да н­ ны е ( хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в р а йо­ п утешестви я в дан ное время года ) . Одна ко, если н ужно п р и нять алее сер ьез ное и ответствен ное решение (на пример , о хара ктеристи­ ках праектир уемой п лоти ны в ра йоне вазлюжных паводков , или о вы­ б о р е ти па поса дочного устройства дл я посадки на пла нету с неизвест. .

. . .

. .

,

. . .

.

. . .

�ax

19

��

/

\

р ужения д ля н ыми свойствами повер хности, или о выборе обра зца ; неизвестны), борьбы с противни ком, хара ктеристики которого за то выбору решения в обязательном порядке должнь� быть предпосла ны математические расчеты, облегчающи е этот выбор и сообща ющие ему , в доступной мере, черты разумности. Применяемые при этом методы существенно зависят от того, ка· кова природа неизвестных фа кторов Yl , У 2 , ' " И ка кими ориенти ро­ вочными сведения ми о них мы располагаем. На иболее простым и бла гоприятиым для ра счетов явл яется слу­ ча й, когда неизвестные фа кторы Y l, У 2, предста вл я ют собой с л у ­ ч а й н ы е в е л и ч и н ы (или же случа йные фун кци и), о которых имеются статистические да н ные, ха ра ктеризующие их распределение. Пусть, на пример , мы рассматриваем ра БС>ту железнодо рожной сорти ровочной станции , стремясь оптимизи ровать процесс обсл у ж ива ­ ния пр ибывающи х на эту станцию грузовых поездов . Заранее неиз вест­ ны н и точные моменты п рибытия поездов, ни количество ва гонов в каж­ дом поезде, ни адреса , по которым направляются ва гоны. Все эти ха­ ра ктер истики представляют собой с л У ч а й н ы е в е л и ч и н ы, за кон распределения каждой и� которы х (и их совокупности ) может быть определен по имеющимся данным обычными метода ми математи ­ ческой статистики . Аналоги чно, в каждой воеННQЙ операции присутствуют случа й­ ные фа кторы, связан ные с ра ссеи ва нием сна р ядов, со сл уча йностью моментов обнаружен ия целей и т. п. В принци пе все эти фа кто ры могут быть изучены методами теории вероятностей , и для них могут быть по­ лучены за коны распределения (или, по кра йней мере, числовые х а р а к­ теристи ки) . В случае, когда неизвестные фа кторы, фигурир ующие в опера­ явл яются обычными сл учайными вели чинами У}, У 2, ции (или случа йными фу н кци ями), распределение которых, хотя бы ор иен­ ти ров�чно, известно, для оптимизации решен и я может быть применен один из двух приемов: искусственное сведение к детермини рованной схеме; «оптимизация В среднем». Оста новимся более подробно на каждом из эти х приемов. Первый прием сводится к тому, что неопределенная, вероятност­ на я картина явлени я пр иближенно заменяется детерминирова нной. для этого все участвующие в задаче слу ч а й ные фа ктор ы У 1 , У 2 ' приближен но заменяются не случайными (ка к правило, и х математи­ ческими ожида ниями). Этот прием примен яется по преимуществу в грубых, ориентиро­ вочных расчета х , когда диа пазон случа йных изменени й величин Yl, сравнител ьно мал , т. е. они без большой натяжки могут рас­ У 2' сматриваться как не случа йные. Заметим, что тот же прием замены сл уча йных величи н их математическими ожиданиями может успешно обладают боль­ п р име н яться и в сл у ч а я х , когда вел и чи ны У 1 , У 2' шим ра зб росом, но показател ь эффективности W зависит от н и х ли­ нtЙНО (ил и почти линейно) . • • .

-

. • •

-

• . .

• • •

. . .

2Q

\ \

Второй np�M (<<оптимизаци я в среднем») , более сложный, при · мен яется , когда случа й ност ь вел и чи н У] , У 2, весьма с ущественна и за мена каждой из н и х ее математи ческим ожиданием может привес­ ти к бол ьшим ошибка м . Рассмотр им этот сл уча й более подробно . Пусть показатель эф­ фективности W существенно зависит от случайных фа кторов (будем ; допус ­ дЛ я простоты считать их случайными величинами) У 1, У 2 , тим , что на м известно распределение эти х фа кторов, с кажем , плот­ ). Предположим , что операци я выполность распределен и я {(Уl' У2, няется м н о г о р а з, причем условия У], У 2, . . меняются от раза к ра зу случа йным образом. Ка кое решение Хl, Х2, . . . следует выбрать? Очевидно, то, при котором операци я в с р е Д н е м будет наиболее эффективна , т. е. ма темати ческое ожида иие показател я эффектив­ ности W будет максимально. Та ким образом, нужно выбирать та кое решение Х1 , Х2, , п р и котором обращается в ма ксимум матемаТиче­ ское ожида ние пока зател я эффективности: • • .

• . •

. . .

.

' "

W = M [ W] =

=

н s W (а1 , а2 , . . . ; Yl , У2 , . . .

. . .

; Х2 , Х2 . . . ) f ( Yl , У2 ' . . . ) dy} dY2 ' " (4 . 2)

Та кую оптимиза цию мы будем называть «оптимизацией В сред­ нем» . А ка к же с элементом неоп ределенности? Конечно, в ка кой-то ме­ ре он сох раняется . Успешность каждой отдел ьной операции , осущест­ вляемой при сл уча й ных. заранее н еизвестных зна чениях У1• У 2, . , может сильно отл ичаться от ожидаемой с редней , как в большую, так , к сожалению, и в меньшую сторон у . При многократном осуществлении операции эти различ и я , в среднем, сгл аживаются ; одна ко, нередко данный способ оптимиза ни и решен и я , за неи мением лучшего, приме­ н яется и тогда , когда операция осуществляется всего нескол ько раз или да же оди н раз. Тогда надо считаться с воЗможностью непри ят­ ных неожида нностей в каждом отдел ьном сл уча е. Утешением на м мо­ жет служить мысль о том , что «ОIIТи мизация в среднем» все же лучше, чем выбор решен и я без вс яких обосновани й . При мен я я этот прием к многочисленным (хотя бы и различным) операци я м, все же мы в сред­ н ем выи грываем бол ьше, чем если бы совсем не пользовались • р асчетом. для того, чтобы составить себе представление о том, чем мы рис­ ку ем в каждом отдел ьном сл у ч ае, желательно, кроме математи ческо­ г о ожидания показателя эффекти вности , оцени вать та кже и его дис­ пе рсию (или среднее квадратическое отклонение) . Наиболее трудным дл я исследован и я я вляется тот случа й неопре­ деле нности, когда неизвестные фа кторы У 1, У 2, ' " не могут быть изу­ ч ен ы и описаны с помощью статистически х методов: их за коны расп ре­ дел ени я или не могут быть пол учены (соответствующие статистические д а нные отсутств уют) , или , что еще хуже, та ких за конов расп ределения в о в се не су ществ у ет. Это бывает, когда явление, о котором идет речь, н е обл адает свойством статисти ческой устойчи вости . Нап ример, мы . .

21

/

·

знаем , что на Ма рсе возможно наличие ор ганическойh< изни, и н екото­ рые ученые даже считают его весьма вероятным, но1 ,fовершенно невоз­ можно подсчитать :лу вероятность на основе ка к,Их-л ибо статистичес­ ких данных . Другой пример : предположим , что эффективность проек­ тируемого вооруженю'l сильно зависит от того, будет ли предпола гае­ мый противник к моменту начала боевых действий распола гать сред: СТвами защиты , и если да , то ка кими именно? Очевидно, нет ника кои возможности подсчитать вероятности эти х ги потез - самое большее, их можно назначить произвольно, что сил ьно повредит объективности исследования . В подобных случа я х , вместо произвольного и субъективного на­ значения веРОЯТНОС1'ей с дал ьнейшей �юптимизацией в среднем», ре­ комендуется рассмотрет ь в есь диапазон воз можных условий У 1, У 2, . , . И составить представление о том, ка кова эффективность операци и в этом диапазоне и как на нее вл ияют неизвестные условия . При этом зада � а исследования операци й приобретает новые методологические особен­ ности . Действительно, рассмотр им сл учай, когда эффективность опера­ ции W зависит , помимо заданных усло в и й a1 , а 2, . . . и элементов реше­ ния Xl ' Х2 ' , еще и от ряда неизвестных фа кторов У1, У 2, . . . не; тати­ стической природы, о которых ни ка ких определенных сведении нет, а можно делать только предположени я . Попробуем все же решить за· да чу . З а фикс ируем мысл енно параметры Y1 , У 2 , . . . , придадим им вполне определенн ые зна чения Y1 , И переведем тем Yl' Уз У2' самым в категорию заданных условий a l' а 2, . . . . Для этих усло� вий МЫ В принци пе можем решить задачу исследования операции и найти соответствующее оптимальное решение X1 , Х2, ' " Е го элементы, кроме зада н ных у сл ови й al, а 2 , . . . , очевидно, будут зависеть еше и от того, ка кие частные значения мы придали услови ям Y1 , У 2, : • • •

=

=

. • •

• • •

Х1

Х2

= Xl (al '

аз,

= Х 2 (а1, а 2 '

. . . ; Yl' УЗ , ; Yl' У2 ' •• •

•••

); )

• • •

.

Та кое решение, оптимальное дл я данной совокупности условий

Yl' У 2 ' . . . (и только для нее), называется

локально-оnmuмал ьным�

Это

решение, как пра вило, уже не оптимально дл я друг"и х значении Y1, У 2, . . , Совокупность локально-оптимал ьных решении дл я всего диа­ пазона условий Y 1 , У 2, . . , дает нам п редставлен ие о том, как мы Д о л­ ж н ы б ы л и б ы поступа -1ь, есл и б ы н еизвестные у сл овия Y1 , У 2, были нам в точности известны . Поэтому локал ьно-оптимал ьное реше­ ние, на получение которого зачастую тратится много усилий, имеет в случае неопределенности сугубо ограни ченную ценность . Совершен­ но очевидно, что в да нном случае следует предпочесть не решение, строго оптимал ьное для каки х-то определенных услови й, а к о м­ п р о М И С С Н О е р е ш е н и е, которое, не будучи, может быть, стро­ го оптимальным ни дл я каких условий , оказывается п р и е м л е м ы м в целом диапазоне условий. В на стоящее время полноценной' математической «теории компро­ ми с са » еще не сущ ествует, хотя в теории решени й и имеются некоторые по п ытки в этом напра влении (см . , например, § 1 3 гл . 9 настоящеи. кни• • •

22

ги) . Обычно оконц.ательныЙ выбор компромиссного решения осуществ ­ ля ется человеком, который, опира ясь на расчеты, может оценить и со­ поставить сил ьные и слабые стороны каждого варианта решени я в раз· н ых услови я х и на основе этого сделать окончательный выбор . При этом необязательно (хотя иногда и любопытно) знать точный локаль­ ный оптимум дл я каждой совокупности условий Уl' У2, . . . Т а ким об­ разом, классичес кие ва риационные и новейшие оптимизационны е ме­ тоды математики отступа ют в да нном случае на зад н ий план . В последнюю очередь рассмотрим своеобра зный случа й, возни­ кающи й в та к называемых к о Н Ф Л И К Т Н Ы Х с и т у а Ц и я х, когда неизвестные па раметры У1, У 2, ' " зависят не от объективных обстоятельств , а от а ктивно противодействующего нам п р о т и в н и к а . Т акие ситуаци и хара ктерны для боевых действий, отчасти для спортивны х соревнований, в капиталистичес ком обществе - для кон курентной бор ьбы и т. д. При выборе решений в подобных случа я х может оказаться по­ лезным математическ и й аппа рат так называемой т е о р и и и г р математической теории конфликтных ситуаций (см. гл . 1 0) . Модели конфликтных ситуа ций, изучаемые в теории игр , основаны на пред­ положении, что мы имеем дело с разумным и дал ьновидным противни­ ком, всегда выбирающим свое поведение наи худшим для нас (и на илуч­ шим дл я себя) способом. Така я идеал изация конфли ктной ситуации в некоторых случа я х может подсказать нам наименее рискова нное, «перестра ховочное» решение, которое необязател ьно принимать, но во вс я ком сл учае полезно иметь в виду. Наконец, сделаем одно общее замечание. При обоснова нии реше­ ни я в услови я х неопределенности , что бы мы ни делали, элемент не­ определен ности остается . Поэтому неразумно предъявлять к точности та ких решений слиш ком высокие требования . Вместо того, чтобы пос ­ ле ск р упулезных расчетов однозначно указать одно-единственное, в точности оптимал ьное (в ка ком-то смысле) решение, всегда л учше вы­ делить область п р и е м л е м ы х решен ий, которые оказываются несущественно хуже других, какой бы точкой зрени я мы ни пол ьзо ­ вали сь. В предела х этой области могут произвести свой окончател ь­ ный в ыбор ответственные за него л ица . 5.

О Ц Е Н КА О П Е РА Ц И И П О Н Е С КОЛ Ь К И М П О КА 3АТ Е Л Я М

Выше мы рассмотрели задачу исследования операций, где треба­ вал ось так выбрать решение, чтобы максимизировать (или мини м изиро­ ват ь) один-единственный показатель эффективн ости W. На пра кти ке ч асто встречается случай , когда �ктивност ь операции приходится о цен иват ь не по одному, а сразу по н е с к о л ь к и м показателям: W1 , W2 , . . . , W,, ; одни из этих показателей жел ательно сделать бол ьше, д р угие - меньше. Ка к правило, эффективность бол ьших по объему , сложных опе­ р а ци й н е может быть исчерпывающи м образом оха ра тер и зована с по­ к М ощ ь ю одного показател я ; на помощь ему при ходится привлекать и дру­ Ги е, дополнительные. 28

я· Н апр и ме р , п р и оцен ке деятел ьности промышленн ого предп р и : , елей то к ка т яд р показа целый ть ва р ходится учиты тия п и пр ибыль, - полны й объем проду кци и ( <<вал»), - себестои мость и т. д. ­ П р и анализ е боевой операци и , помимо основн ого показателя , ха ­ ожида е математическо , ер рактериз ующего ее эффект ивность (наприм ряд и тывать учи приходится ущерба), ку противни го причиненно ние дополнительных, как то: - собственны е потери , - время выполнен и я операции, - расход боепр и пасов и т. д. Така я множественность показателей эффектив иости , из которых не которые желательн о максимиз и ровать, а др угие - минимизи ровать, характер на для любой скол ь ко-ни­ сложной задачи исследова ния будь s операций. Возникает вопрос: ка к же быть? Прежде всего надо подчер кнуть, .7', . что выдвинуты е требован и я , вообще говор я , несовместимы . Решен ие, об­ ра щающее в ма ксимум один ка кой­ то пок азател ь W1 , ка к правило, не х" . обр ащает ни в ма кси мум, ни в минимум другие показател и W 2' W В , W о Поэтому широко распростра ненная Рис. 1 . 1 формулир овка «достижен ие ма кси­ мального эффекта при минимальныХ затрата х» для научного исследов ания не подходит. Кор ректной я вляется любая из формулиро вок «достижен ие ма ксимально го эффек­ та при задан ных затрата х» или же «достижен ие зада нного эффекта при минимал ьных затратах» . В общем случае не существует решения, которое обращало бы в ма ксимум оди н показатель W1 и одновремен но в ма ксимум ( или мини мум) другой показател ь W2; тем более, та кого решения H� . существует дл я нескол ь ких показател еи . Однако, количеств енныи анализ эффективности может оказаться весьма полезным и в случае нес кольких ПОК8зател ей эффектив ности. Прежде всего, он позвол яет заранее отбросить я в н о н е р а риан­ Ц и о н а л ь н ы е вариа нты решений, уступающ ие лучшим ва там по всем показател ям . Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть анализир уетс я боева я о п ер ация О, оцениваема я по двум показател ям: W вероятность выполнения боевой задачи (<< эффе ктивность» ) ; стои мость израсходованных средств. S Оч енидно , п е рвы й показатель желател ьно обратить в ма ксимум, а второй - в ми н иму м . Предположим дл я простоты, чт() предлаг ается • • • .

-

-

-

. . .

и

=

W1

••

W m+ 1

-

-

24

20

различных вариантов решения; обоз­ на выбор конечное число начим их Х1 , Х2, • • • , Х2О • ДЛЯ каждого из них ИЗ вестны значения обоих показателей W и S . Изобразим дл я наглядности каждый вариант решения в виде точ­ ки на плос кости с координатами W и S (рис. 1 . 1 ) ' ) . Рассматри вая рисунок, мы видим, что некоторые ва рианты реше­ ния «некон курентоспособны» и заранее должны быть отброшены . Дей­ ствительно, те ва рианты, которые имеют над дру гими ва риантами с той же стоимостью S преимущество по эффективности W, должны лежать на п р а в о й г р а н и Ц е области возможны х вариантов . Те же ва­ рианты, которые при равной эффективности обладают меньшей стои­ мостью, должн ы лежать на н и ж н е й г р а н и Ц е области возмож­ ных ва риантов . Какие же ва рианты следует предпочесть при оцен ке эфф ективнос­ ти по двум показателям? Очевидно, те, которые лежат одновременно и н а п р а в о й, и н а н и ж н е й г р а н и Ц е области (см. пунк­ тирную линию на рис. 1 . 1 ) . Действител ьно, дл я каждого из вари антов, не лежащих на этом участке границы , всегда найдется дру гой ва риант, не уступающи й ему по эффекти вности , но зато более дешевый или, наоборот, не уступающи й ему по деш�визне, но зато более эффе ктив­ ный. Та ким образом, из 20 предва р ител ьно выдвинутых ва риа нтов б ольшинство вы падает из соревнова н ия , и нам остается тол ько проана­ лиз и ровать остав ш иес; я четы ре вар и а н т а : Х16, Х17 ' Х 1 9 , )(20' Из них )(l� н аиболее эффекти вный, но за т о сравнительно дорогой ; )(20 с а мый дешевый, но зато не стол ь эффе ктивный. Дело принимающего решение - разобраться в том, ка кой ценой мы согласны оплатить из­ вестное повы ш ен ие эффективности или, наоборот, какой долей эффек­ ти вности мы согласны пожертвовать, чтобы не нести слишком больши х материальных потер ь. Аналоги чны й предвар ител ьный просмотр вариантов (хотя и без такой нагл ядной геометри ческой интер претации) может быть произ­ веден и в случае многих показателей : W1, ПI' 2 ' . . . , W" . Та кая процедура предва рител ьной отбра ковки некон куренто­ способны х вариантов решени я должна всегда предшествовать р ешению зада чи исследования операций с несколькими показател ями . Это, хотя и не сн имает необходимости компромисса , но существенно умень­ ша ет множество реше н и й , в пределах которого осуществл яется выбор . В виду того, что комплексна я оценка операции сразу по нескольким показателя м затр уднительна и требует размышлен и й , на практик е часто пытаются искусственно объединить несколько показ ателей в оди н обобщен ный пока зател ь (или критерий) . Нередко в качестве та кого об о бщенного (составного) критер и я берут дробь; в числителе ставят т е по каз атели lti't, , W т , которые желательно увеличить, а в знаме­ н ат еле, - те, которые желательно умен ьшить:

к н и ге г р афа М

') В

Wm •

(5 . 1 )

•

Wk

р и су н к и п р о н у ме Р О6 а н ы по ГJl э в а м , а

ф ор м ул ы

и табл ицы

-

по

пар а ­

е ста в ят Н а пр имер , если реч ь идет о боевой операци и , в числ ител зада ч и » или такие вели ч и н ы , к а к «вероят ность выполнен и я боевой ход «потери пр о ти в н и ка » ; в знаменател е - «собственные потери», «рас боеп р и п асов » , «время выполнен и я опера ци ю> и т. п . (5. 1 ) явл я етс я , Общим недостатком «соста вных критер иев» типа всегда можно ю показател одному о п вности эффекти ок недостат то, что ость вы­ вероятн ую мал , скомпен с и р овать за счет дру гого ( н а п ример и т. п.). пасов, боепри расхода лого ма чет с за чи полнени я боевой з ада ен ный Львом Критер ии подобного рода на поминаю т в шутку предлож числител ь Толстым «кр итер ий оцен ки человек а» в виде дроби , где е о себе . мнени его ь менател зна а , а человек ства достоин исти нные всерьез, его ринять и есл п Несосто ятел ьность та кого критер и я очевидн а : ени я , момн са без совсем зато но нств, достои то человек , почти без ! ность цен ьшую бол конечно бес иметь будет дроби , а в Часто «соста вные критери и» п р едл а га ются не в виде вности : кти е эфф елей показат ых отдельн суммы» нной виде «взвеше

( 5 .2) ел ьные коэффиц иенты. , ak - положи тел ьные или отрицат где аl ' а2, , которые жел ател ьно х я Положител ьные ста вятся при 1'ех показател ые жел ател ьно ми­ котор , тех и р п льные максими зировать; отрицате (<<веса») СООТ· нимиз ировать . Абсолю тные зна чения коэффиц иентов . елеЙ ветству ют степени важност и показат по сущест· Н етрудно убедитьс я , что составно й критери й вида (5.2) теми же не­ ву ничем не отл ичается от критер и я вида (5. 1 ) и обл адает х показа­ достатк ами (иозмож ность вза имной компенс а ции раз нородны «соста вными» телей) . Поэтому некрити чес кое пол ьзовани е любого вида к непр а в и л ьным кр итер и ями чревато опасностя ми и может при вести «веса» не выби· когда , х я случа ых некотор в ко, Одна . м я рекомендаци ой кр итер и й раются произвол ьно, а подбира ются та к , чтобы составн учить с е го пол ется уда кцию, фун свою нял наилучш им образом выпол ности . цен ной ничен огра ьтаты резул е екоторы и ю помощь В некотор ых случа я х зада ч у с нес кол ькими показател я ми уда ется есл и выдели ть толь­ свести к задаче с одним- еди нственн ым показателем, стр емиться его об-­ ко один ( главный) показател ь эффекти вности W1 и показат ели W 2 ьные л ат вспомог е ные, ()атить в ма кси мум, а на осталь : вида ичения н а огр ые некотор ко ь тол ь наложит W 3, . . . .

. _

W2 � W2 ; ' ' ' ;

Wm � Wт;

WПI+ I � Wm+ I ; . . . ;

Wk � Wk'

х усло­ Эти огранич ен и я , разумеетс я , войдут в компл еI\С заданны ви й СХ1 , 0: 2 , ' " пред­ Н а п р и мер, при оптимиз ации плана р аботы промыщ ленного план мальна, КСl1 а м а был ь ибыл пр чтобы ать, п р и яти я можно потребов выше по асс о рти м енту - выпол нен , а себестоимость проду кци и - не можно потре­ з аданной . При плани рова н и и бомба рди ровоч ного налета б о ват ь , Ч тобы нанесен ный противн ику ущерб был ма ксимале н, но при эт ом с о бст венн ы е п отер и lf стоимост ь о пе р ации не вьцо.ц ил ц за и& ­ в ес тн ые пр едел ы. 26

Пр и та кой постановt<е зада ч и все пока з аtели эффе ктивности , кроме одного, гл авного, переводятся в р а з р яд 3 а Д а н н ы х у с л о в и А о п е р а Ц и и . В а р иа нты решен и я , не у кладывающи еся в заданные гра ницы , сразу же отбрасы ва ются , ка к некон курентос пособные. По­ лученные рекомендаци и , очевидно, будут зависеть от того, ка к выбр а­ ны огра н и чен и я дл я вспомогател ьных по каз ател еЙ . Чтобы определить, нас кол ько это Вл и я ет на окончател ьные рекомендации по выбору реше­ н и я , пол езно прова р ьировать огр а н и ч ения в р а зумных предела х . На конец, возможен еще один путь построения компромиссного решени я , кото рый можно назвать «методом последовател ьных усту':­ пок». Предположи м, что показател и эффе к тивности распол ожены в по­ рЯДке убыва ющей важ ности : сначала основной W1, затем другие, вспо­ дл я пр остоты будем считать , что кажды й м о гател ьные: W 2 , W 3, и з н и х нужно обратить в ма ксимум (есл и это не так, достаточно изме­ нить зна к показател я ) . Процедура построения компРОмиссного реше�ия сводится к сл � ующему. Сн ачала ищется р ешение , обраща ющ ее в ма к симум гл а вн ы и показател ь э фф ектив н ости W1 • З атем назнача ет ­ ся , исходя из пра ктичес к и х сообр ажен и й и точности , с ка кой изв естны исходные данные (а ча сто она бывает небол ьшой) , некотора я «уступка» Д W1 , которую м ы согласны допустить дл я того, чтобы обра тить в мак­ си мум второй показател ь W 2 ' Н а л а гаем на показатель W1 ограничение, ма ксимал ьно Д W1 , где W1 * чтобы он был не мен ьше, чем W1 * возможное зна чен ие W1 , и при этом о гра ничении ищем решение, об ­ р аща Ющее в ма ксимум W 2 . далее с н ова назначается «уст у пка » в п ока ­ заТеле W2, ценой которой можно ма ксим и з и ровать Wз, и т. д. ' Та кой способ построения компромиссного р ешения хорош тем, что здесь сразу видно, ценой ка кой «усту пки» В одном пока зател е при­ обретается выигрыш в другом. За метим , что свобода выбора решен и я , приобретаема я ценой даже нез н�чител ьны х «уступок», может ока з аться существенной, та к ка к в ра ионе ма ксимума обычно эффекти вность решения меняется очен ь слабо. Та к или ина че, при любом способе ф:Jрмализаци и , зада ча кол и­ ч ественного обоснова н и я решения по нескол ьким показателям остает­ ся не до конца определенной, и окон чател ьный выбор решен и я опреде­ л я ется волевым а ктом « кома нди ра» (та к мы условно будем называть от в етственное за выбор лицо) . Дел о исследовател я - предоста вить в ра спор яжение командира достаточ ное кол ичество да нных, позвол я ю­ щ и х ('му всеСторонне оценить преимущества и недостатки каждого ва­ р и а нта решен и я и , опи р а ясь на них, сделать окончательный выбор . • • •

-

-

Таб л и ц а

2

,

ЛИ Н Е11 Н ОЕ ПРОГРАММИ РОВАН ИЕ

П1

ь :.: >. "1 о с:>..

П2 Па

t:

1.

П4

ЗАДА Ч И Л И Н Е й Н О ГО П Р О Г Р АМ М И Р О ВА Н И Я

Во многи х областя х практики возни кают своеобразные задачи оптимизаци и решен и й , для которых ха рактерны следующие черты: - показатель эффекти вности W представляет собой линейную фу н к цию от элементов решения Хl ' Х 2, ; - огр аничительные условия , налагаемые на возможные решения, имеют вид линей ных равенств или неравенств . Та кие задачи прин ято называть задаЧдми линейного nрограмм иро­

1.J

Элемент бел к и

I I I \

ан ан а З1 а4]

I I I I I

угл е в оды

а12 а22 а З2 а42

I I I I I

жиры

а1з а2з аза а4з

Очевидно, обща я стоимость ра циона будет

или короче

• • .

вания * ) .

Приведем несколько примеров задач линейного программирова­ ния из разных областей практики. 1. Задача о пищевом рационе. Имеется четыре вида продуктов пита н и я ; П 1, П 2 , Па, П4•

( 1 . 2)

-

Запишем математически условия (1 . l ) . В одной единице продукта allxl ; в Х2 П1 содержится al1 единиц бел ка , значит, в Xl единицах единица х продукта П 2 содержится а 21Х 2 единиц бел ка и т. д. Общее ко­ л и чество белков , содержа щееся в рационе, не должно быть меньше b1 ; отсюда получаем первое условие-неравенство: ( 1 .3)

Известна стоимость еди ницы каждого продукта :

)

Из эти х п роду ктов необходимо составить пищевой ра цион, который должен содержать:

- белков не менее b 1 еди ниц , - углеводов не менее Ь2 еди ниц, - жи ров не менее Ь з еди ниц.

28

В

рацион .

Слово «прогр а М r. l и р о в а ние» з а и мств о в а н о из з а р убеж н о й л и те р ат у р ы сл у ч ае оз н ачает не 'по и н ое, к а к «пла н и р ова ние»

д а н ном

Эт и условия представл яют собой о ваемые н а решение . Возникает следующа я задача :

г

)

(1 .4)

р а н и ч е н и я, на клады­

Вье6рать такие неотрицаmeльные зн ачения neременных Xl . Х2, Ха,

Х4 , удовлетворяющие линеЙньt..М неравенствам (1 . 4) . при которых ли­ �

неuн.ая фун.кция этих nеремен.ных

L

=

C1X1 + C�Z

+ СзХ з +

С(Х.

обра щалась бы в минимум.

Хl' Х2, ХЗ, Х4

О)

a1l Х1 + а21 Х2 + а31 хз + а4 1 Х4 � bI , a1 2 Х1 + а 22 Х2 + а З2 Ха + а 42 ;(4 => Ь 2 • а1 з Х1 + а zз Х2 + а зз Хз + а 4з Х4 � Ь З'

(1 . 1 )

Единица проду кта П1 содержит al1 единиц бел ков , a1 2 единиц углеводов, а1 з единиц жиров и т. д. Содержание элементов в единице каждого продукта задано таблицей (табл . 1 . 1 ) . Требуется та к составить пищевой рацион , чтобы обеспечить за­ да нные условия (1 . 1 ) при мин имал ьной стоимости рациона . За пишем сформулированные словесно условия задачи в виде мате· матически х формул . Обозначим количества продуктов П1 , ПZ• ПЗ , П4• в ходящи х

Записывая аналоги чные условия дл я углеводов и жиров , получ им, Включая ( 1 . 3) , три условия-не равенства :

и в

Поста вленная задача представл яет собой типи чную зада чу ли ­ " неиного программир овани я . Н е останавли ваясь покуда на способа х ее р ешен и я (об этом реч ь будет идти в дал ьней ш ем) , постави м еще не­ СКО лько подобны х зада ч. 20

ста н

2. З ада ч а о за г рузке станков. Т ка ц ка я фабрика ра сполагает N1 ками ти па 1 и N 2 ста н к а м и ти па 2 . Ста н к и могут производить четы­

ре вида тканей:

Каждый ти п станка может произ водить любой ИЗ видов тк а ней, н о в нео ди на ковом количестве. Ста но к ти па 1 производи т в мес яц аll метров ткани Т 1, ан метров ткан и Т 2 , а 1 з метров тка н и Т 3, аа метров т кани Т4 • Соответствующие числ а для станка типа 2 б удут а 21, а2 2, а2 3, а 24 ' Таким образом, производит ел ьности стан ков при произ­ Бодстве каждого вида ткани з ад а н ы табл . 1 . 2 .

1 2

I I

a1 l

ан

I

I

I

1,

Т,

I

ai 2

а2 2

I

I

а lЗ

а2з

х2 1 , Х2 2 ,

Х

x14; }

2З . Х2 4 •

( 1 .5)

которые мы должны в ы брать та к, ч тобы мес я чная пр ибыл ь была ма к­ симал ьна . Запи шем формулу для в ы ч ислен и я этой прибыл и . Каждый метр ткани Т1 приносит прибыл ь С1 ; ХН метров тка ни Т1 принесут при­ был ь С1ХН ; всего тка нь Т1 принесет пр ибыли С1(Хl l + Х 21) и т. д. Общая прибыль будет равна : L

=

С1 (хн + Х2 1) + С2 ( Ха + Х22 ) + с в (Ха + Х2З ) + С4 (Х14 + х24). (1 .6)

Требуется выбрать такие неотри цательные зна чения переменных ( 1 . 5) , чтобы линейна я фун к ция от них ( 1 . 6) обращалась в м а ксимум . При этом должны выполняться следующие ограничительные усло ви я : 30

}

( 1 .7)

+ Х24 � N 2 •

Та ким образом. сформули рована задача :

а2 4

=

х1з ,

+ х22 + х2 з

ан Ха + а2 4 X2t � Ь 4•

[. ан

Каждый метр ткани Т1 приносит фаб р и ке доход С1 . тка н и Т 2 до ход С 2 , ткани т 3 - доход С З и ткани Т4 - доход С4 • Фабри ке пред­ пис;ан план , со гл а сно которому она обяза н а произвести за месяц: не менее Ь1 метров ткани Т1 • не менее Ь 2 метров ткани Т 2 • н е менее ЬВ метров т к а ни ТВ и не менее Ь 4 метров ткани Т4 , т. е. пла ­ новое з а дание выражаетс я числами Ь1• Ь 2 , Ь в , Ь 4 • Требуется та к распределить загрузку ста н ков производством тка­ ней различного вида . чтобы план был выпол нен и при этом м еся чна я прибыл ь была м а ксимал ьна _ Запи шем условия задачи математичеСКИ . Обозначим Ха - число стан ков тип а 1 , з а нятых производством тк а н и Т1 • Ха - число ста н ков типа 1 , з а нятых производством ткани Т 2 , и вообще Х о - число станков ти па i, зан ятых прои зводст вом т к а н и Tj• Первы й индекс соответствует ' 1 , 2. 3 , 4) . ти п у ста н ка , в т о р о й - виду ткани (i = 1 , 2, j Т а к им обр а зом возн и кают восемь переменных - элементов реше­ ния: Хи . Х1 2 ,

+ X1 2 + X1 3 + ХН -< N 1;

ан ХО + а2 1 Х21 � Ь 1 , Gt2 Ха + а22 Х22 � Ь 2, а1 з Х13 + а26 Х2 З � Ь з •

Вид тк а н и / ,

Хн

Х21

2) З ада н и я по ассортим енту должны быть выпол нены ( или пере­ выполнены) . С учетом данных табл . 1 . 2 эти условия запи шутся в виде неравенств:

.2

Таб л и ц а lип ст а нка

l ) Ресурсы по ста н кам не должны быть превышены, т. е. с ум ма кол и честв ст а н ков ка ждо го т и п а , заняты х п роизводством всех т каней , не дол ж на п р евышат ь н а л и ч ного з а п а са ста н ков ;

I

( 1 .8)

8Ьtбрать такие неотр ицameльные значени я nеременных ХН . Х1 2, " ' , , Х2 4' удовле :;пворяющие линеliным нepaвeHcmвaм (1 . 7) и (1.8) , пр и коmoрых линеиная функция этих nеременных (1.6) обращ алась бы 8 максимум . • • •

3. Задача о распреде лении ресурсов . Имеются какие-то ресурсы (сыр ье, рабоча я сила, оборудова ние) : R1 • Rz •

в

••• ,

Rm

кол и чества х соответственно Ь1 , Ь 2 ,

•••

,

Ьт

единиц. С помощью этих ресурсов могут производ иться това ры : T1, Т2 ,

••• •

Т n•

дл я производства одной единицы това ра Tj н еоб х одимо а j еди ­ р есурса R i (i 1 ,2, . . . . т ; i 1 .2 , n) . Кажда я е�иница р ес у р са R 1 стоит dj рубл ей (i 1 ,2, . . , т) . Кажда я единица тов а ­ р а Т} м ожет быть реал изована по цене С] (j 1 , 2 . . . . , n) . ПО каждому виду товара колич ество произведенных единиц огра­ Нl!ч ивается спросом : известно, что рынок не может поглотить более Чем kj единиц това р а Tj (j 1 .2 • . . . , n) . Спра ш ивается : ка кое l{Qличество единиц ка кого товара н адо n р о11зп е;т и дл я того . чтобы реализовать м а ксимал ь ную п и р был ь ? З а пишем услови я зада чи . Обозначи м ни ц

=

=

=

•

. . .

.

=

•

=

!(Щ! Ич ества товаров Т1 , Т 2 , . . . . ТП • которые мы за плани руем К п рuИЗ­ н а л а га ют на эти величины огр а н ичения :

В Одст ву . Усл о ви я с п роса

( 1 .9) 3)

Ресурсов

al1 Xl + a12 X2 + · . . + al n X n � b J ;

а21

Хl

+

а 2 Х2 + . . 2

. . . .

.

. .

.

+ azn хn � Ь2; . . . .

аm1 Х] + аm2 Х2 + . . . +

Эти

же

j

Задач а сводится к следующему: Вы6рать такие неотрицатеЛЬНble значения neременных XI , Х 2 • . . . , которые удовлетворяют линеUнbl..М неравенствам (1.9) , (1 . 1 О) и 06в максимум линейную функцию этих neре.м.енных (1 . 13)

должно хвати т ь, отсюда возни кают ограничен и я :

аmn хn � Ь m·

��'щают 4.

ац

1

,= 1

Х]

:

C 1 , С2 , . . . . Ст и n

услови я мож но кор о че записать в виде: n

З адача о п еревоэ ках . Имеются т складов:

пун ктов потреблен ия: П1 • П2 . . . . . П n

� b1 ,

(

с м . рис. 2. 1).

( 1 . 1 О) Il

l

a mj XI � bm'

=1

в

В ы рази м прибыл ь L

З

ави с имо сти от элеме нтов ре шени я

Себестоимост ь 5} еди нИЦЫ товара Т, рав на или , короче .

5)

S}

=

ао dl + а2} d2 + . . . + a mj d m, т

=

�

i= 1

а ;} di

Вычислив по этой формул е ва ра, пол учим р яд з на чений:

и = 1 , 2, . . . себ естоимость

, 17 )

( 1 . 1 1)

единицы к аждо го то­

S j:

(j = I . 2 .

qj = Cj - 5j По

ова ров :

...

' n) .

( 1 . 1 2)

это й формуле пол учаем чи стые п риБЫЛIf на единицу дл я всех

т

ql '

Реч ь идет о составлении плана перевозок со складов C1 , С2, . . . , С т пун кты П1 , П 2 , . . . , Пn некоторого това ра . На с клад ах С1, С2 . . . . , С т имеются запасы това ра в кол ичествах

В

Ч и стая п р и б ыл ь qj, пол у чаемая от реали зации одной един ицы 1"овара Tj, равна разнице между ее продажноиu ценоиu С] и с еб естои ­ мостью

Рис. 2. 1

qz, . . ·

,

qn ·

. ... . ат

a1 • а 2 и ед ниц. Пункты потребления П1, П 2 , . . . , П n подали за явки соответственно на Ь 1 • Ь2 .

= ql Х1

n

или , короче,

32

fl

=

2

1=1

qj Xj.

т

21 ai • '2, bj � i= i= 1

+ Ч � Х2 + . . . + Чn Хn,

L

Ь ,.

еди ни ц това ра. Заявки выполнимы, т. е . сумма всех за явок не превос­ Хо д и т сум мы всех имеющихс я за пасов:

Общая чиста я прибыль от р еали з а ци и в с ех то варов будет L

..· ,

(1 . 13

С к лады С1 , . . . . С m связаны с пунктам и пот р ебления П1 , . . . , П " ка кой - то сетью дорог с определенными та рифами на перевозки. С и ос то м ть п е р ево з ки одн о й еди ницы това ра со склада C i в пу н кт П J ра вн а С / ] (i 1 , 2 , . . . , т; j 1 , 2 , . . . , n). 2

=

.:JaK

573

=

3з

Т реб у ется соста вить план перевозок, т . е. у ка з ать, с како го скла · да в как и е п у н кты и ка кое количество тов а р а нужно на правл ять та к, чтобы з ая в кИ были выполнены, а общие расходы на все перевозки были ми ним альнЫ ми . количество единии товара , на правляемое со Обозн ачим Х и П (если с этого склада в этот пункт товары j пункт скл ада С; в . 0) = iJ , я вляютс а X пр на е н Р еше ние (пла н перевозок) состоит из mn чисел

или,

корьце ,

т

Ь

-

1= 1

Х21 , Xz2 , . . .

,

=

( 1 . 1 5)

Ь2,

т

�

i= 1

X1Z ' . . . , Хl n ;

Хн,

X i2

xin = Ьn•

Общ а я стоимость перевозок L будет рав на

Х2 n ;

L = С1l Хп +- С12 Х12 + + C1 1l X1 n + + С21 Х21 + С22 Х 22 + + С2n Х2n + + Стn Хтn ' + + Стl Хт1 + Сm2 Хт2 + ' "

. . .

. . .

. . .

образу ющи х прямоу гол ьную таблицу (матрииу) . Сок р а щенно б удем обозн ачать ее (Х н) . Требуется выбрать та кие неотрицател ьные зна· 1 , 2, . . , n) , чтобы были . т; j чения пер еменных Х и (i = l , 2, выполнены сл едующие услови я : 1 . Емкость складов не должна быть превышена , т . е . общее кол и ­ чество товара , взятое с каждого склада, н е должно превышать имею­ щи хся на нем за пасов : . . .

Х21 + Х22 + . . . + Х2n -< а2 ; . . .

.

.

.

.

.

.

.

Хтl + Хт2 + ' " + Хт n -< ат , НЛИ ,

1

;

11

Xlj � а 1 • � =1

;

"

( 1 . 1 4)

;

j =::2.

2 . З аявки . пода нные п у нктами пот ребления, долж ны быть вы­ полне н ы :

� � Х22 :- :

84

Xl� + Х2 !I

+-

�

+X 2 .

• • •

.

. . .

+ Хmn - Ь n

.

. .

. .

Снова возни кает задача , аналогична я рассмотренным ра н ее: вы­ брать неотрицательнь\е значения переменных (Х а) та к, чтобы при вы­ полнен и и услови й (1 . 1 4) , (1 1 5) линейна я функци я этих переменных ( 1 . 1 6) достигала минимума . Некотора я особенность этой задачи, по сравнению с ранее рас­ смотрен ными , состоит в том, что не все огра ничения, наложен ные на п еременные, являются линейными н е р а в е н с т в а м и; а именно, условия (1 . 1 5) за писаны в виде линейных р а в е н с т в. В да льнейшем мы будем встреча ться с задачами линейного про­ граммирова ния , в которых огра н ичитель ные условия имеют как вид линейных неравенств. та к и равенств. и научимся с легкостью пере­ ходить от одни х к другим и обратно. Заметим, что при некоторой постановке зада чи о перевозках все услови я-огра ничения зада чи становятся равенствами. А именно, есл и су мма всех за явок ра вна сумме всех запасов т

i= J

. + Хтl = Ь 1 ,

(1 . 1 6)

Си X I}'

� Ь} = � i= !

Хт} -< ат· L' =1

. .

l= I /= 1

Требуется та к выбрать план перевозок (X f}) (' 1 , 2 . , т; 1 , 2 , . , n), чтобы стоимость L этих перевозок обратить в минимум.

n

ХН + XZl +

n

� h

=

=

т

Xl

=

.

короче,

"2 Xz} � а2, j= 1

т

L

.

=

Xll + X12 + " , + X ln � al ;

или, гораздо короче,

ai ,

то неизбежно с каждого склада будет вывезено все, что на нем имеет· ся , и неравенства ' ( 1 . 14), та к же ка к (1 . 1 5), превратятся в равенства . Та ка я задача о перевозках называется mрансмрmной зада чей , и ею мы будем специал ьно заниматься в дальнейшем (см. § 9-1 4 дан­ ной гла вы) . 5. Задача о п роизводстве сложного оборудования . Планируется ПРОи зводс тво сложного оборудования, каждый комплект которого со­ Стоит и з n элементов: 2*

35

т

ы З а ка зЫ gэ ПР ОИЗ1ЮДСТВО ЭТи Х 9лемен тов могут бы ть разме щен На : х я ияти едпр ы р п ра з н х

Та ким обр азом, при зада нном плаНе распределен и я за казов, т. е. пр и з адан н ы х Х;} (i = I , . . . , т ; j = I , . . . , n) будет прои з ведено:

-N1 экземпл я ров элемент а Э 1 в т ечение зада нного времен и Т н а пр�д п ри ятии П j можно изго­ , n) . 1, . , т; i 1, ть а u эле м ентов ти па Э/ (i тов и Сдач е подлеж ат тол ько п о л н ы е к о м п л е к т ы обор удова­ , Э1\ ' ни я , с о стоящ ие из набора всех элементов Э1 , Э 2 , =

=

. .

- N2 экземпл я ров элемента Э2

...

- N 1\

эк земпля ров элеме нта Э1\ '

. . .

Т р е б уется р а с п редел ить за казы по предпри яти я м та к, чтоб ы ч ис­ Т , было дл я должны мы , я и оборудован р и н а л зводство ьно л прои я у . П ма к с и ма ка ждо ГО пр ед приятия П, у казать, ка к ую часть имеющегося в его рас­ по р я жен и и времен и оно должно отдать на п роизводство эл ементов

ЛО

пол н ых компл екто� обо р удо ва ни я , из готовленных за время

Эj (i

=

1 , . . . , т; j

==

1,

. . .

, n) .

Обозначим Хо долю времен и Т, котор у ю предПР И flТие П1 будет удел я т ь производств у элеменТа Э j (есл и этот эл емент на данном п ред­ О). п р и яти и вообще не прои зводитс я , Xij ­ П р и планирова н ии мы должны собл юдать следующие огр а н и ч и т ел ь ны е .у слови я : количество времени , которое каждое п редпр и яти е за т р а ч и в а �т на производство всех элементо в, не должно п р евыш ат ь =

Т (а «дол я » - единицы) :

общего ' запаса времени

Xll + X1 2 + " ' + Xl n � 1 ,

Х2 1 + Х22 + .

.

.

.

"'

.

+ .

Х2 n .

.

� 1, .

.

Хm1 + Хm2 + " ' + Хmn � 1 , и ли 11

Z = min NJ •

(1 . 1 9)

;

miп I

м и н и м а л ь н о е

обозна чается

и

з

ч и с е л,

С Т О Я Щ И Х П о д э т и м з н а к о м, для всех возможных ; С учетом ( 1 . 18) усл ови е (1 . 1 9) можно переписать в виде

.

,

Z

� Хl} � 1 ,

j= 1 ·n

(l . l 7)

;=

плектов . Обозна чим Z - ко.1JИЧество полных комплектов оборудовани я , которое можно собрать при данном план е размещения за казов (X, j) ' Имеем:

где зНа ком

I

�1 Хц � 1 ,

Скол ь ко же полных комплектов обор удования можно собрать И3 зти х элементов? Очевидно столько, ка ково м и н и м а л ь н о е из всех чисел N 1 , N 2 , . . . , N 1\ ' действ ител ьно , есл и , например , элементов типа Э1 произведено 1 00 шт. , а элементов типа Э2 - всего 1 0 шт . , то мы никак не сможем собр ать из эти х элементов более 1 0 полнЫх ком­

т

=

miп f

h

;= 1

а о Х о.'

(1 .20)

Та ким обра зом, мы при ходим к следующей математической посга­ новке зада чи: такие Найти зн,ачен,ия nеремен,н,ых XiJ' н,еотрицаmeльн,ые чтобы выn олн,ялucь н,еравен,ства ( 1 . 17) и при эmo,м обращаласЬ в максимум функц ия Этих nеремен,н,ых т

Z = miп z; а и Ха. J

Определ им кол ичество полных КОМ lIлектов оборудова н и я , кото­ рое за время Т поставя т все п р едпр и яти я вместе. Общее кол ичество элементов Э}, которое произвед ут все предпр ия­ ти я вместе, будет равно

NJ

=

а1 } ХН + а2} Х2} +

. . .

Отл и ч и е этой зада ч и от всех ра нее ра ссмотренных состоит в том, что здесь ма ксимизируема я функция Z н е я в л я е т с я л и н е й­ н о й Ф у н к Ц и е й от переменных Х и и , та ким обра зом, зада ча , соб­ ственно, не явл я ется зада чей линейного програ мми рования . Одна ко ее л егко свести к зада ч е л и нейного програ ммирова ния следующими

+ аm} Хm}

р ассужден и ями .

или

Так к а к вел и ч и на т

и=1, 36

...

, n).

'=!

( 1 . 1 8)

NJ

=

}'

1- 1

а tJ ХIJt

то

Z является м и н и м а л ь н о й из всех вели чи н

можно н апис а т ь ря д нера венств 37

т

�

1= 1

ai 1 Хi l

� Z;

т

1

1= 1 т

L

/= \

• • •

ai 2 XI2 � Z;

( 1 .2 1 )

е

• • •

,

Z = О ' Хl l + 0 ' X1 2 +

..

+ О ' Хmn + I · Z .

то задача сведена к обычной задаче линейного программирова ния, пу­ тем введения «лишней» переменной Z, которая в первоначал ьной по­ ста новке зада чи не фигурировала . Задачи такого типа, где требуется обратить в максимум мини­ мал ьное значение какой-то величины (или, наоборот, в минимум - ма к­ симал ьное) , довол ьно часто встречаются на пра кгике и называются «за­ дачами на мин има кс». С та кими задачами мы еще встрети мся в гл . 1 0. Ита к, мы рассмотрели целый ряд задач исследов ания опер аций из самых разных областей практи к и; эти зада чи характериз уются не­ которыми о б щ и м и ч е р т а м и . В каждой из них элементы реше­ ния представл яют собой ряд неотрицательных переменных Xl , Х2 , Требуется та к выбрать значения эти х переменных , чтобы 1 ) выполнялись некоторые огра ничения, имеющие вид линейных ; неравенств или равенств относител ьно переменных X1 , Х2 , 2) некотора я л инейна я функци я L тех же переменных обращалась в ма ксимум (минимум) . Математический аппарат линейного программировани я , к изло­ жению которого мы и приступаем, предназначен специально для реше­ н и я та ких зада ч. Может возни кнуть вопрос: а нужен ли та кой специальный аппа­ рат? Н ел ьзя ли , ка к это принято в математике, просто продифферен­ цировать L по аргументам Xl' Xz , . , при равнять производные нулю и решить полученную систему уравнений? Н ет, оказывается, сделать этого нельз я ! Та к как фун кци я L л и­ н е й н а, производные от нее по всем аргументам п о с т о я н н ы и ни­ Где в нул ь не обращаютс я . Ма ксимум (или минимум) функции L, если он существует, достигается всегда где-то н а г р а н и Ц е обла­ сти возможных значений Xl , Х2 , . . , т. е. там , где начинают действовать о г р а ничени я . Математический а ппа рат линейного программи рования йшие сроки, обследовать и ПОЗВ оляет нам последовательно, в кратча , • • • •

• • •

.

�

.

,

2. ОС Н О В НАЯ ЗАД А Ч А Л И Н Е й Н О ГО П Р О Г РАММ И РО В А Н И Я

a1 n � i n � Z,

Вe.nичину Z можно рассмотреть как н о в у ю н е о т р и ц а ­ л ь н у ю п е р е м е н н у ю и решить следующую задачу . Найти такие неоmрицательные значения nеременных Хн , X1 2 , • • • • Хт n и Z , чтобы они удовлетворяли линейным неравен.ствам ( 1 . 17) и (1 . 21) и при атом вел и чина Z обр ащалшь в м аксимум . Та к как величина Z есть л и н е й н а я Ф у н к ц и я новых пер е­ менных X1l' X1 2' Х тn , Z :

т

г рани цы области возможных реш ений и найти на эти х граница х то решение, которое является оптимальным , т. е. та кую совоку пность зна чени й X1, Х2, при которой линейна я фун кция L обраща е гся в ма ксимум или в минимум.

Выше мы ра ;смотрели различные практические задачи, сводящие­ ся к схеме линеиного программи рова н ия. В одних из этих задач ли­ ней ные ограничения имели вид неравенства , в других - равенств, . в третьих - тех и других . Здесь мы рассмотрим задачу линейного программи рования с огра­ ничениями- равенствами - так называ емую основную задачу линей­ ного nрограммирован.ия (ОЗЛП) . В дальнейшем мы покажем, ка к от задачи с ограничени ями-не­ равенствами можно перейти к ОЗЛП, и обратно. Основна я задача ли нейного програ ммиро вани я ставится следу ю­ щим образом. Имеется ряд neременных

Требуется Найти такие неотрицательные зн ачения атих менных, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнен ий:

al1 Хl + a 1 2 Xz + а 21 Хl + а22 Х2 +

+ а 1 n Хn

.. .. ..

+ а2n Хn

=

=

и, кроме moгo, 06ращали бы

X

в

Ь2;

'

� �l � �m� � � : � � Х:

a l

Ь1;

am

•

ь'm,

)

neр8-

(2. 1 )

_l1 uниMY.м линейную функцию

L = Сl Х1 + Cz X � +

(2.2) + Сn Хn • Очевидно, сл учай, когда л и нейную функцию н ужно обратить не в мин имум, а в максимум, легко сводится к предыдущему, есл и изме· нить знак функци и и рассмогреть вместо нее функци ю

..

[' = - L = - CI XI - C2 X2 -- " ' - Cn xn.

Условимся называть д о п у с совокупность переменных

т

им

ы

м

(2 .3)

решением ОЗЛП любую

ХN � О, Х1 � О, Х2 � О , удовлетворя ющую уравнени ям (2 . 1 ) . О п т и м а л ь н ы м решением будем называть то и з допустимых решений, при котором линейна я фун кци я (2 . 2) обращается в мини­ мум . Основна я задача линейного программирования необязательно Должна иметь решение. Может оказаться , что уравнеНJlЯ (2. 1 ) противо-

. ..

39

речат друг другу ; может оказатьс я , что они имеют решение, н о не в об­ ласти неотрицател ьных значений Хl ' Х2, . . . , Хn ' Т о гда ОЗЛП не имеет до пу сти мых решен и й . На конец, может оказаться , что доп уст и мы е решен и я ОЗЛП существуют, но среди них нет о п т и м а л ьн о г о : фун кц ия L в области допустимых решен и й неограни чена снизу. С примерами та ких особ енносте й ОЗЛП мы поз на комимся в да ль ­ нейшем. Расс мот ри м , прежде всего, вопрос о с уществ о в а н ии Д о п у с т и­ р е ш е н и й озлп. м ы х При решении этог о вопроса мы можем ис к л ючи ть из рассмотрения линейную функцию L, к ото р у ю требуется м и н и ми з и р ов ат ь - на л и чие Д о п у с т и м ы х решени й опр едел яется тол ько уравнени ями (2 . 1 ). Ита к, пусть имеется систем а уравнений (2. 1 ) . Существ уют ли не­ отрицател ьные значен и я Хl , Х2, , ХN, удо влет во р я ющие этой систе­ ме? Этот вопрос ра ссматр иваетс я в спец иал ьн ом разделе математики­ л и нейной алгебре. Приведем вкратце некоторые положения линейной алгебры, не останавл иваясь на дока зательствах соответствующих теор ем * ) М а т р и Ц е й системы л инейных ура внений • • •

Приме р 1 .

)

Дана система трех у р а в нен и й с четырьм я неизвес тными: 2x1 + X 2 - ХЗ + Х 4 = - I ; ХI -Х2 =

2;

х l - 2хз =

З.

Опр едел ить , явл яется л и эта с и стема совмест ной?

Решение. Матрица систем ы: 2

-1 -1

О

О

О

-2

О

Рас ш и р е нная матр и ца: 2

1

-1

-1

О

О

2

О

-2

О

3

-

1

•

al1 Xl + a1 2 X2 + "

..

аm!

на зыв а<.отс я Х! ,

Х2 ,

. • .

, хп :

.•.

а21 X1 + а22 Х2 +

.

...

+ al n Xn

+ а2п хп . . .. .

: bl : -

Ь'}.,

.

..

.

..

Х1

+ аm2 Х2 + . . . + аmп хп

табл ица ,

..

.

с

..

оста в л е н н а я

11 а о

а 12

аl п

а 2 ! а 22

а 2п

из

=

..

Ьm

I

Определ им р а нг первой матр ицы. Он не может быть БОJJ ьше чем 3 (та к как ч и сл о CTP O � р а в но 3) . Сост а в и м ка кой- ни будь о п р едел ител ь, вычер к и в а я нз мат­ р ицы какои-нибудь столбец, например, послед н и й . Пол учим 2

к о э ффи ц иенто в

при

а! п Ь1 а2 п 'Ь 2

а m l аm 2

Этот опреде литель н е р а ве н н улю, з н а ч ит, р а нг матр ицы с истемы р аве н 3 Очев и � но , р а н г р а с ш и р е НIIОЙ матр и цы тоже р а в е и 3, та к к а к из элеме нтов р а сши :' рен н ои матр и цы можно состав ить тот же о предел итель. Из равенства ра нгов мат­ Р И lI следует , что система у р а В llеи и й совмеСТ ll а . П р имер 2 . Исслед ов ать н а совмест ность систему двух урав нен и й с трем я неиз вест иым и Х! , Х2 , х з : 2xI - Х2 + хз = - 4 , 4 хl - 2х2 + 2хз = 1.

Решени е. Расшир еи н а я матр и ца системы :

аmп Ьm

р а н г о м м а т р и Ц ы на з ы вается на ибольши й пор ядок от­ л и ч ного ОТ нуля определител я , кото р ы й можно получить, вычер кивая из матрицы какие-то ст р ок и и ка к ие - то стол бцы . В л ин ей но й ал гебре доказываетс я , что для cOOMecmн.ocтu CUCf11EMbl

линей ных ур аен.ениЙ (2. 1) необходимо и дост аточно, чтобы р анг р и ц ы CUCf11EMbl был раеен рангу ее р асширенной м атрицы. *) 40

Элемеllтар ное изложе н и е Л И llейной алге б р ы см. , на п р и мер ,

-2

·

/ : =� � -� /1 ·

. • • •

О

О

В ычисл я я этот опр едел ител ь по и звест ному п р а в и л у , пол у ч и м: � = 2 . (- 1 ) (- 2) + 1 . 0 · (- 1 ) + 1 . 1 . 0 -

нов :

а 21 а 22

-1

-1

- (- 1 Н- 1 ) · I - 2 . 0 . 0 - (-2) . 1 . 1 = 4 - 1 + 2 = 5 .

р а с ш iI Р е н н о й м а т р и Ц е й системы л и нейных ура вне­ ний называется та же матрица , дополненная столбцом свободных чле­ ан а 12

1

�=

в

(лев а я ее часть - м ат р ица систем ы) . Н а йдем р а нг м а т р и цы системы , составл яя все возмож ные определ ители второго порядк а: -1 �2

�1

мат­

ра боте [5].

�з =

= - 4 + 4 = 0; = 4 -4 = 0;

1 -1 J -2

1

1

2

=

- 2 + 2 = 0.

И3 Итак, все возмож ные опр едел итеJI И второго порядка, составле н ные с исте:Jл еме нтов матр и цы с и стеll Ы р а в н ы н у л ю ; з н а чит, р а нг �то й ы а трицы мы rc 1 < 2. Н аЙj1ем ранг р ас ш и ре н ной мат р и цы. Опр едеJJ Ител ь =

вл я ет собой не что иное, как ч и с л о л и н е й н о н е з а в и ­ с и м ы х у р а в н е н и й среди наложенных ограничений. О чевидно, ранг системы r не может быть бол ьше ч исла ур авне­ ни и т: •

, < т.

2, он не р авен р а н г у матр и цы си· Отсюда р а н г р ас ш и р е нной мат р и ц ы Г р стемы : Г р Ф r 'J ' сл едовател ьно, система у равне н и й несовмест на. чет ы р ьмя Пример 3. Иссл еj10в ат ь на совмест ность систему трех у р авнени и с неизвест н Ы М И : =

_

Хl + Х 2 + ХЗ - Х4 =

2,

3ХI - Х 2 + 3ХЗ + Х 4 =

о

ХI - Х 2 + Хз + .l: 4 = - 1 ,

м ы):

Решеи ие

Расш и р е н ная

матр и ца

системы -1

-1 3

-1

(вместе

с

мат р и цей

систе·

2 -1 О

3

ядка, Н айде м р анг м ат р ицы си стемы. В оэьмем определ ител ь тр етьего пор составленны й из ее элементов, например : �1 =

3

-1

1

-1

3

О чевидно, та кже, что ранг системы не может быть бол ьше общего числа переменных п: ' < п. Действител ьно, ранг матрицы системы определ яется как на иболь­ ший пор ядок определител я , составленного из элементов матр ицы ' та к ка к число ее строк равно т, то r � т; так как число ее сто�бцов равно п, то , � п. Структура задачи л инейного программи рования существенно за· висит от ранга системы ограничен ий (2. 1 ) . � ассмотр им, прежде все го, случай , когда г = п , т . е когда число линеино незаврсимых уравнений, входя щ их в систему (2. 1 ) , равно чис­ лу переменных п. Отбросим «л ишн ие» уравнения , являющиеся линей­ ными комбинациями ДРУГИХ. Система уравнений - огран ичен ий ОЗЛП прин имает вид: ан Х1

+a12 Х2 + . + alj Xj + . + а1n Хn Ь1, а21 X1 + а 2 Х2 + .. + a2i Х ; + ... +а2n хn Ь2, ..

2

'

..

=

=

,

'

a�l �1 � �n2' Х2 + . : � а:; �j � : � �n� �n �n. .

не й ной Известно , что есл и какая-ли бо строка опр едел ител я явл яется л и сл у· комби нацие й д вух дру ги х его строк, то опр едел ител ь р аве н н у л ю. В н ашем ее пол у· чае третья ст рока явл яется л и не й нОЙ комби нацией дву х первы х : чтобы I о. чить , достаточн о сл ожить пер вую стр оку с удвое нной втор о й Поэтому � ь Нетр удно убедитьс я. что тем же сво йством обл адает и любой оп р едел ител но, ь ател Сле.!10в ы систем цы и матр элементов 113 ный составлен , а ядк третьего пор р а нг матр и цы систем ы r с < З. р и мер, Т ак как и меется неравный нулю опр едел ител ь втор ого пор ядка, н а п

Так как ,

=

п,

•

I

то оп ределитель, составленны й из коЭффициен'rОВ. .1.

=

••

( 2 .4)

=

ан а12 aZ1 а22 аn1 аn2 ... аn; ... аnn

равен нулю. Из алгебры известно, что в этом случае система (2. 4) имеет единственное решен ие. Чтобы на йти вел ичину Х · , достато чно в определителе .1. заменит ь i-й столбец - столбцом своб�дных членов и разделить на .1. . Ита к, при r n система уравнен ий-ограничен ий ОЗЛП имеет единственное решение: не

2. го ранг матр и цы системы равен rc С помощью таких же р а ссуждени й убедимся , что и р анг р а с ш и р е н ной мат2. Сл едовател ьно, система у р а в нени й совмест на р ицы р а вен дв ум : rp =

=

З аметим, что три у равнения данного пр имера не являются неза· исимыми : третье можно получить из ДВУХ первых , есл и умнож ить в второе на два и при ба в ить к первому . З начит, третье ур авнение есть п ростое следствие двух первых . Независ имых у равне ний в системе ранг матр ицы системы только два : ЭТО и отражен о тем фа ктом, что гс

=

2.

н ий ОЗЛП совместна , то Итак , есл и система уравн ен ий-огра ниче еют один и тот же ранг . ица мат им р м ат р и ца системы и ее расш иренная и с т е 1\1 ы ; ОН предста� м о с н а Р г я аетс назы в , Этот общи й ранг а

=

n•

Хн Х2, . . . , Х

Е сли в этом решен ии хотя бы одна из вел ичин Х Х r. Х OTp'I' цательна, это значит, что полученное р ешен ие н е Д о п у с т и м о и ' значит, ОЗЛП не лмеет решения . Е сл и все вел ичины Хl ' Х 2, . . . , Х n неотрицател ьны, то на йденное решен ие является Д о п у с т и м ы м . Оно же, очевидно, является­ и о n т и м а л ь н ы м (потому что ДРУГИХ нет) . Оч евидно, это:; трив иал ьный случай не может нас интересовать. Поэтому в дальнеишем мы будем р ассматр ивать только случай, когда

l' 2, ... , n

43

< n, т. е. , когда число независимых уравнений, которым должны удовлетворять переменные Xl , Х2, , ХN , М е н ь ш е ч исл а са м их пере · мен ных . Т огда , если система совместна , у нее существует бесчисленное множество решени й . При этом n - г переменным мы можем придавать произвольные значения (та к называемые с в о б о д н ы е п е р е­ м е н н ы е) , а остал ьные г переменных выр азятс я ч ерез ни х (эти r пер еменных мы будем называть б а з и с н ы м и ) .

r

для которого линейн ая функц ия

L = CI X1 + C
. • •

Пример 4 н ыми :

Рассматр ив ается система дв у х у р а в и е н и й с чет ы р ь м я неизвест2х} - Х2 + Х З - Х 4 =

1, }

-х} + х2 - 2хз + х. = 2.

(2.5)

Ранг эт о й системы р а в е н ' = 2 ( у р а в не н и я л и не й н о иезав исимы). В ыберем в к а ч естве св ободных пер еменных , н а п р и мер , хз и х4 , а в качестве базисных Хl и Х2 ' В ыр азим базисные пер емеи ные через св ободные. Имеем из у р ав ие­

ниii

(2. 5):

2Х1 - Х2

- хl + Х2

= =

1 2

ХЗ

+

+ 2хз

Скл адыв а я эти у р авнени я , п ол у ч и м Х1

=

3

У м и о ж а я второе у р а в и е н и е на Х2

=

.

3. ГЕ О М Е ТР И Ч Е С КА Я И НТ ЕР П Р Е Т А Ц И Я О С Н О В Н О Я ЗАДАЧ И Л И Н Е И Н О ГО П Р О ГР ММ РО А А И В

+ хз.

2 и скл адыв а я с п ер вым. пол у ч и м

n - m = 2. Тогда, ка к мы уже знаем, можно две из n переме нных . скаже м ' Х! и Х2, выбрать в ка честве свободн ых, а остальн ые т сд ел ать б а з ис­ ными и вы разить их через свобод ные. Предп оложи м, что ЭТО сдела но. Полу ч им m = n - 2 ур а внен и й вида :

5 + 3х з - х•.

Т а к и м о б р а зом , б аз и сные пер еме н н ы е Х1 . Х 2 в ы р а ж ены чере з свободные Х з . Х4 Сnободиым г.еременным хз• Х4 м о ж н о пр ида!' ать л ю бые з н а че н и я ; п р и этом мы будем вс егда пол у ч ать сово к у п ность з н а ч е н и и хl . Х 2 ' х8 , х., удовлетвор я ющую с ист е ме ур а в н е н и й ( 2 . 5) Н апр им ер , п олагая хз = Х4 са О, п ол у ч и м Хl = з, Xt= 5; эти з н а ч е ни я удовлетв о р я ют системе (2. 5) . Пол а га я х з = 1 , Х« = 2, пол у ч и м ХI '=-.= 4. Х2 = б; эти з начения также удовл етво р я ют у р а в н е н и я м (2. 5).

Вообще, если р а н г системы уравнений ОЗЛП (т. е. чис � о линейно независимых уравнени й , входящих в систему ограничени и) р авен г, то всегда можн о выразить какие-то г базисных переменных через n - г остальных (свободныi) и , придавая свободным переменным лю­ бые значен ия , получить бесчисленное множество решен и й системы. В дал ьнейше м дл я п ростоты, записывая урав н ения ОЗЛП, мы будем считать их линейно независимыми; при этом р ан г системы г бу ­ дет ра вен числу уравнени й т . Ита к , есл и Число уравнений озлп г= т меньше, чем число пе­ peM€HHЫX П, то систе м а л ин ейных уравнен ий имеет бесчисленное мно­ жество р ешен и й , т . е . совокупностей з н ачен ий Хl ' Х 2, . . . , Х n. , удовлет­ вор яющих уравнен и я м -ограничен и я м (2 :1 ) . Если среди этих ре­ ше н ий нет н и одн ого , дл я кото рого все Xl , Х 2, . . . , Хn неотри цател ь н ы , то это значит, что ОЗЛП н е и м е е т Д о п у с т и м о г о р е ш е­ н и я. Если же существуют какие-то решен ия си с тем ы (2. 1 ) , для которых Bce xl' Х2, . . . , Хn н еотрицател ьны (ко р оче, «неотр ицател ьные решен ия»), то каждое из них допустимо. Возникает задача - на йти среди д опусти­ мых решений о п т и м а л ь н о е, т. е. та кое р ешен ие

Н ИЯ

Рассмотрим случай , когда число переме нных n на два больш е , чем число независимых уравне ний т, котор ым они дощкны удовлетворя т ь :

х• .

- Х4

' + Сn Хn

обраща ется в миниму м. Для того чтобы отчетл ивее предста вить себ е особенности решен ия ОЗЛП и разли чные случа и, которы е могут при этом встретиться , удобно воспол ьзоват ься гео метри ч еской интерпр етацией

Хз = СХ З1

Х! + СХЗ 2 ХZ + �З '

Х4 = СХ41 Х1 + а42 Х2 + �4' .

ХN.

. =

. СХ n 1

.

.

.

.

.

.

.

Х!

+ СХ n.2 Х2 + � n. '

1

(3. 1 )

Дадим задаче л инейно го програ ммирован и я геометр ическу ю ин­ тер претацию. По осям Ох} И ОХ2 будет откладывать значен ных перем енных Xl' Х2 (рис.

ия свобод­

2 . 2) .

r,

Рис. 2.2

Т а к ка к перемен ные XI , Х2 должны быть неотрицатель н ыми, до­ значен ия свободных переменных лежат только выше оси ОХ! и _п ра вее оси ОХ2 ; отметим это штриховкой, обозначаlCщей «допусти­ м у ю сторону» ка ждой координатиой оси . П у с тимые

46

Остал ьные переме нные Х з . X Xl + сх,З2 Х 2 + � З �

Х,,"

=

.

быть

0' \

сх, 41 Xl + сх,42 Х2 + �4 � О , .

.

.

.

.

.

.

.

.

не­

(3. 2)

.

=

Х n = сх, nl Xl + аn2 Х2 + � n � О .

Посмотрим, как изоб разить эти условия геометричес ки . Возьмем одно из них, н а пример . первое: хз

=

свойством: есл и две 1'ОЧ ЮI А и [J при надлежат этой фи г у р е , то и в есь от р ез о к АВ т а кж е принадл ежит ей. Докажем. что ОДР всегда явл я ется вы п у кло й фигурой . ПреДП(l­ лож им проти вное: точки А и В принадлежат ОДР . а к а к а я - то точ ка С между ними не принадлежит (см. рис. 2.4). Тогда между точкой А , п р ина дл еж а щей ОДР . и точ кой С , н е пр инадлежащей ей , неп ременно дол жна п р о ходить какая-то из пр я мы х Xk О : по одн у стор ону этой п р я мо й то ч ки удовлетворяют усл о в и ю Xk � О, по др угу ю - не удов ­ летвор я ют . Пусть эта пр ямая пересекает отрезок А В в к а ко й -то точ­ ке О. Тогда точ к и А и В, л еж а щи е по ра зные сто р о н ы от п р я мо й . не могут одновремен но принадлежать ОДР (дл я нее в с е X/i. н еот ри ­ цател ьны) . что п р от и в ореч ит у сл ов и ю .

сх,З1 Х 1 + сх,З2 Х2 + �з � О.

.:rs =O

xz(x, =O)

r,(xz =Oj

о

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Положим величину Х з равной своему крайнему значен ию - нул ю. Получим уравнение сх, З1 X1 + сх,З2 Х2 + �a

=

О.

Это - уравнен и е прямой. На этой пр я мо й Ха О (см . р и с . 2.2); � ю - это за­ как по ( < Ха другую по . > О а сторону нее одну от Х по О ви сит от коэффиц иентов у р а внен и я ) . Отмети м шт р и хов ко и ту сто р он у пр ямой Ха О . по котор ую Ха > О. Аналоги чным образом построим и все ос тал � н ы е о г р а н и ч и в а ющи : пр ямые: Х4 = О " . Хn = О И отметим у ка ждо и и з них штр иховкои «допустимую сторону». гд е соотв етствующ а я п е р ем е н н а я бо л ь ш е н ул я =

=

•

=

=

Пример 1 Им еет т

Х2,

Ха.

Х4•

Х5 '

5 у р а в не н и ii - о г р а н и ч е н и й : Хt-Х 2

=

2х1 -

Х&.

+ ХЗ

Х2 - Хз - Х ,

=

=

Xl + XZ -Х5 = Xz + X & 2x.-2xz -x6 + 2x7 = =

Она

=

=

=

З адача л и иеii ного п р о г р а м м и р ов а н и я с семью п е р е м е lf Н Ы М И

XI ,

=

u

46

Рис. 2.5

Н а рис. 2 . 3 показа н та кой пример , когда ОД Р с у ществ у ет , т . е. система уравнен и й ОЗЛП и меет неотр и цател ьные решения . Могут быть и сл уча и, когда неотр ицател ьных р ешений систем ы не существуе т. Пр имер такого случая показан на р ис . 2 . 5 . Действи, тел ьно, не существ ует области , лежащей по одн у и ту же (заштр ихо­ ва н н у ю ) сто рону о т вс е х пр ямых : X1 О . Х2 О , Хз О . Х4 = О, Хб О; т. е. услови я неот р ицател ьности переменны х противореч ат др уг др у гу и допустимы х решений ОЗЛП не существует.

•

(рис. 2 . 3 ) . Та ким обр азом, м ы по лу ч или n п р я мы х : две оси координа1 (Х2 О . . . . . Хn = О) . К аж да я из них О) и n - 2 п р ям ых (Х а О Х. е оп реде� я т «допустимую полу плос кость» . лежа щу ю по одн у ее сторону . Ч а сть плоскости х1 Ох2• при н а дле жа ща я однов ременн о в се м этим пол уплос костя м. образует о б л а с т ь Д О П у с т и � ы х р е­ ш е н и й (ОДР ) . Н а рис. 2 . 3 обл асть до п устимых решен ии отм ече н а ред ко й шт ри хо в кой . Н етрудно убедиться . что область допустимы х р еш ени и вс еГДд пр едставл яет со бой в ы п у к л ы й многоу гол ьн и к . Ка к и з в естн о . в ы11 у кл о й q и гу рой ( р в с . 2.4) называется фигура. облада ющая сл еДУЮU: lI 1] =

x,fxz =O)

х,

Х7

4;

-5; -- 4 ,

1

�

5. I

7

(3 . 3)

i

Т р е б у ет ся дат ь ее геометр ичес к у ю и нтер п р ета ци ю " п остр о ит ь ОД Р , если

су ществ у ет.

47

напр имер , Решен не. В ыберем в ка ч естве свободн ых перемени ых, Х выр а з и м через н и х остал ь ные (базисн ые) пе реме нн ые : xs. Х4 ' �6' 6. Х, вого уравнен и я имеем: И

хй

и Х2 З пер -

(3 .4)

ИЗ третьего:

Дадим и этой зада че геометр ическую и нтерпретацию, причем сно­ для сл уча я , ко гда т n - 2 (т. е. Ч исло свободных перемен ныл равн о 2, а ч исло базисных т) . Пр едположим, что свободными переменными опять явл я ются , Хn , выраженные через свободные фор­ Xl, Х2, а баз исными Ха, Х,,-, мул ами (3 .2) Подставим выражен ия (3 .2) в формулу (3. 6), пр иведем подобные члены и выр азим линейную фун кцию L всех n переменных ка к линейную функцию только двух свободных пер еменных: X1 и Х2' Получим: ва

=

о • •

о

И З четвертого : Хб

=

-Х2

(3 . 5 )

+ 5.

е и р аз­ Подставл яя ( 3 . 4) во второе у р ав нение (3. 3) и (3. 5) - в последие реш а я относительн О Х,,- , Х7 . имеем: х,,- = 3Xt - 2х 2 + 1 ; Х7 =

- X l + %х2 + 6 .

�

=О =

где 1'0 - свободный член, которого в первоначальном виде у фун кции L не б ыло ; тепер ь , п р и переходе к пер еменным Xl, Х2 , он мог поя ­

виться .

Геометри ческая и нтер пр ета ция задачи пр едставлен а на р ис. 2 . 6 (пр ямые О, Х4=О, О - оси коорди нат; остал ь ные огра н и чивающие пр ямые х з Х2 О, Х6 О И Х7 О; кор от ко й штр и х овко й помечены Дспустим ые полу. X плос кост и). й , допусКа к видн о из р асполож еи и я прямых и отмеченн ых пол упл оскосте ОДР, ко­ тимые решения для р а с
( 3.7 )

=

=

=

=

IZ /Z, =0/

(,

х,

.�

:.rs -O

-�---""""�""�"?77.""'-::1"77>��� Х6 = 0

i. '=о

,

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Очевидно, линейная функция (3. 7) достигает минимума при тех же зна чениях Х1, Х2 , ЧТО И фун кци я L ' = Y1 X1 + У 2

r, {Iz = O)

Х2

без свободного члена (линейн ая форма) . действительно, и L -"?о' где 1'0 не зависит от Хl и Х 2 • и, очевидно, минимумы той и другой функ­ ЦИ Й , отличающиеся на 1'0' достигаются пр и одн их и тех же значеНII ЯХ =

Xl' Х 2 ·

Найдем эти значен ия, пол ьзуясь геометр ической и нтерп р етацией . Пр идадим L' некоторое постоя нное значение С : L ' = '\'1 Х1 + '\'2 Х2 = С;

Рис. 2.6

Та ким образом, мы рассм отрели вопрос о существова нии об ласти доп устимых р ешений ОЗЛП и (для случая т = n - 2) дали ему гсо­ метрическ ую интерпретацию. Т епер ь возн икает вопрос о нахождении из числа допустимы х о п т и м а л ь н о г о решения , т. е. такого, которое об раща ет в ми­ н имум линейную фун кцию 48

L

=

C1 Xl

+ С2 X� + . . . + Сn Хn '

(3.&

•

пол учим уравнение прямой н а плоскости X10X 2 (р ис. 2. 7 ) . УГЛОВОl! коэф­ фициент этой пр ямой равен - 1'1/1' 2, а отрезок, отсекаемый ею на оси ОХ 2 (начальная ордината), равен С/у 2 ' Очевидно, если мы замен им постоя нную С н а некотор у ю другую C1 , угловой коэффици е нт пря­ мой не изменится; изменится только начальная ордината , и прямая С1 переместится па раллельно самой себе в новое положен ие и (см . рис. 2. 7) . Таким обр азом, различным значениям L! соответствуют разные пр я мые н а плоскости. но все они п ар а ллельны между собой. О чеВlIд" =

49

но, вместо !Зсех этих п р ямы х достаточно изобразить па плоскости одnу О , а затем можно мысленно о с н о в н у Ю п р ям ую , напр имер , L' пер емещать ее па аллел ьно самой себе. Пр и пер емещени и этой пр ямой р в одн у сторону L будет возрастать, в другую - убывать. О на плоскости X1 0X2 ( р и с . 2.8) . Построим основную пр ямую [' Мы знаем, что ее угловой коэффициент ра вен '(./'(2; чтобы построить прямую, проходящую через на чало коорди нат с угловым коэффициен­ том '(1 /Y2' отложим по оси абсцисс отрезок '( 2, а по оси ординат от­ резок -Yl , и через точку А с та кими координатами п роведем п р ямую . Это и будет основная пряма я [' = О. Тепер ь остается тол ько выясн ить, в ка кую сторону (па р аллельно са мой себе)надо двигать эту пр ямую, чтобы величина L' убывал а . В сл учае, показанном на р и с . 2 .8 (оба коэффициента Y l и У 2 полож и -

Ха*

=

=

=

-

-

Рис. 2.9

Рис. 2. 10

Рис. 2. 11

тел ьны) на правление убыва н и я [' вниз и налево (это показано стрел ками , направленными от основной пря мой в сторону убы вания L ' ) . П р и д руги х зна к а х коэффициентов '(1, '( 2 направление убыван и я мен я ется . Случаи разл и чных направлен ий убыва ния показаны на рис . 2 .9, 2 . 1 0 и 2 . 1 1 . Та к им образом , и напр авлен ие ОСНОВНОй пр ямой [ ' О. и на­ пр а вление убыва ния л и н ейной формы L1 определ яются величинами и з на к ами коэ фф ициентов Уl , У 2 п р и свободных пе ременных Х1, Х2 в выражении L'. Дадим тепер ь геометр ическую интерпрета цию нахожден ия о п­ т и м а л ь н о г о решен ия ОЗЛП среди допустимых . Пусть имеется область допустимы х решен ий ОДР (рис. 2. 1 2) и ос­ новная п р я м а я [ ' О; известно (ука за но стрелками) напра вление убыва н и я линейной формы [' . П р и перемещении основной пр ямой в направлении , у казанном стр е л ками , линейная форма [' будет у бывать. Очевидно, на имен ьше­ го значения она дости гнет, когда прямая будет проходить через край­ h ЮЮ точ ку ОДР. наи более удаленную от начала координат в направ­ л ени и стр елок (в нашем случае, точку А ) . Координаты этой точ ки Хl * ' х/ и определ яют оптимал ьное решение ОЗЛ П . Зн а я оптимал ьные зна­ ч е н и я св с бодн ых п е ременных Хl * ' х2* , моЖ но на йти , подст авл я я и х в уравнения (3.2), и оптимальные зна чен и я базисных переменных: -

сх.З1 X 1 * + сх.З2 Х2* + Рз.

Х4* = сх. 41 Х1 * + сх. 42 Х2* + Р4 ' хn * = сх.n1 Х1* + сх. n2 Х2* + Рn ' а та кже оптимальное (минимал ьное) з начение л и н ейной фун кции [ :

L min

=

'\'0 + '\' 1 Х1 * + '\' 2 Х2 * '

Та ким образом , есл и число независимых у р а внений-ограни­ чен и й , которым должны удов­ летвор ять переменные Х} , Х 2 , . . . . хn , н а два меньше, чем число переменных n ( т . е. в ОЗЛП фи­ гур и руют две свободные пере­ менные и любое ч исло базис­ ОЗЛП может ных) , решен ие быть получено п ростым геомет­ р ическим построением. При мер 2. В условиях п р име­ р а 1 на йти опт и м ал ь ное реше н ие О З Л П , обр а щающее в ми н и му м л и н ей н у ю ф у н кцию семи неи з вест­ ных: Рис. 2.12

L = ХI -Х2 + 2Х З -Х4 -3Х5 + Х8 - 2х7 У р ав не ния-огр а н и че н и я -

(3 .9)

те

ж е , что и в пр имер е 1 .

Реш е ние. В п р имер е 1 у р ав н е н и я-огр а ничени я (3 . 3 )

были р а з р еш е н ы о т­ н ос н тел ь но базисн ы х переме н н ых Хз, Х4' ХЬ, ХВ, Х7 ' котор ые б ы л и в ы р а ж е ны ч ерез свободные Xl и Х2:

Х2 +4; х, = 3X I - 2х2 + 1 ; Х 5 = Х! + Х2 +4; ХЗ = -Хl +

=

Х6 =

(3. 10)

-Х 2 + 5,

х, = -x1 + у:!х2 + 6. Подставл я я эт и выр ажен ия в (3.9) и п р иводя по.u.обные чле ны, и меем :

(3. 1 1)

=

60

(3.8)

В осп р о и зве.u. ем о бл а ст ь допу стимых р еш ени й , р анее постр о е н ную на р и с 2 . 6 (см р ис. 2. 1 3) . Отбр асывая своБО)lИЫЙ член в (3. l l ) , и меем: .

L'

=

-5X l - 2x 2 .

Стро и м ос нов ную п рямую L' О . ДЛ Я этого откл ады ваем от резки )' 2 = -2 по о с и абсцисс и -)'1 5 п о оси орди нат, п роводи м через точку В с коорди н а ­ ;гам и (-2, 5) пр яму ю L' о и отмечаем стрел кам и н а п р авление убыв ани я L' . П е р е мещая основ н у ю п р я м у ю п а р аллел ьно само й себе в сто р о н у у быва н и я L' , наименьшее з н аче н и е L мы по л уч им в точке А ( н а и более удал е н но й о т н а ч а =

=

=

51

ла ко орnи нат в напр авлен и и ст р е л о к ) К оор ди наты эт ой т очки Хl * ' Х2 * И д а ют опт и мальное реше н и е ОЗЛП В точке А пересекаются две огра н и чивающие пр я ­ О . П р и р а в н ива я нул ю в ы р а ж е ии я дл я Х6 и Х7 ' пол у чим дв а мые: Хе О и Х, у р авн еии я : .

=

=

-х2 + 5 = О,

- Х 1 + % Х 2 + 6 = 0.

Реша я их совмест н о

,

на йдем Хl *

=

8 , 5; Х2 *

}

=

5.

дости гается не в ОДНОЙ точ ке, а н а в с е й э т о й с т о р о н е. В этом случа е озлп имеет бесч исленное множество оптимал ьных решен ий. 3. озлп может не иметь решен ия даже в случае, когда сущест, вует ОДР (рис. 2 . 1 5) . Это бывает тогда , когда в на правлен ии CTP�OK о ОДР неограниче н а , т . е . в области допустимых р ешении л инеиная фун кция L неограничена снизу . Перемеща я основн у ю пр ямую в на­ правлен и и стрелок, мы будем получать все меньшие и мен ьшие значе­ ния [' , а значит, и L. 4. Решение озлп, мин имизирующее функцию L (оптимальное решение), всегда дости гается в одной из вершин многоу гол ьника до­ пустимых р ешений (если оно достигаетс я на целой стороне, то оно же Хг ! х, =0/

хч = о

Рис. 2.13

П одст а в л яя эт и з н а че н и я в (3 1 1 ). н а йде м оптим ал ьные з наче н и я б а зис ных пер ем е н ных: хз* = О ,5. Xt* = 1 6 5 ; х,* = 1 7 , 5 .

Рис . 2. 14

Рис. 2 15

,

Х7

*

Что к а сается Хе и =

О.

Х7 '

11'0

их о пти мал ь ные зн аче н и я р авны нулю: Хе * = О;

П оnставл я я найденные опти мальные з начени я Xl * iI Х 2 * В л и ней ну ю фуик­ цию (3. 1 1 ) . иайдем м и н и мал ьное значение (опти мум) л и ней ной фу н к ц и и [: [= - 5 . 8, 5 - 2 . 5 - 1 2 = - 64 ,5.

Таким обр а зом, мы на у чил ись решать озлп в частн ом слу чае т n 2 пр и помощи геометрического построения. Несмотря на то, что это построение относится к частному случаю, из него вытекают некоторые общие сооб ражени я , относ я щиеся вообщ е к свойствам решен ия озлп. Отметим подмеченные нами за кономерности дл я сл учая n - m = 2 . 1 . Решение озлп, ес л и оно существует, не может лежать в н у т­ р и области доп у стимых р ешен и й , а только на ее г р а н и u е . 2. Решение озлп может быть и не еди н ствен ным (см . рис. 2 . 1 4) . Действительно, есл и основная пр ямая п а ралл ельна той стороне много­ угол ьни ка допустимых решен ий, где достигается минимум L' , то он =

52

-

достигается и в каждой из вершин, чер ез которые проходит эта сторона) . Р ешен ие, лежащее в одной из вершин ОДР, называется о п о р · н ы м р е ш е н и е м, а сама вершина Q п о р Н О Й т о ч к о й. 5 . Дл я того, чтобы на йти оптимал ьное решение, в прин ципе до­ статочно перебрать все вершины ОДР (опорные точки) и выбрать из н и х ту , где фу н кция L дости гает минимума . 6. Есл и число свободных пер еменных в озлп ра вно 2, а число базисных т и решение озлп существует, то оно всегда дости­ га ется в точке, где по крайне й мер е две из переменных Xl ' Х 2, . . , ХN обраща ются в н ул ь . Действител ьно, в любой опор ной точке пер есе­ ка ются по крайне й мере две из огр аничивающих пр ямых; могут же в н ей пересекаться и более двух (см . рис. 2 . 1 6) . Случа й , когда в оптимальном решении обращаются в нуль н е две, а бол ьше переменных, называется в ы р о ж Д е н н ы м. На рис. 2 . 1 6 покаЗ8 Н вырожденный случа й , когда в точке А , соответствующей оп­ ти мал ьному р�шению, обр ащаются в нуль три переменные: ХЗ' Х5 и Х6 • Рассмотрев подробно геометр ическую и нтер претацию дл я случая n 2, обратимся к случаю, когда ч исло переменных превышает т н а 3 число независимых уравнен ий-огран ичен ий : т n 3. -

-

.

=

-

=

-

53

•

\

В этом случае свободных переменных о казывается уже не две. а тр и (пусть это будут X1 , Х 2 , Х з) , а остальные т n - 3 б азисн ых =

переменных могут быть выражены через свободные:

:

Х4 = а 41 Х1 + а42 Х2 + а4в Хз + � 4 Х5 = а51 Хl + аЬ2 Х2 + абз хз + �5' . . . . . . . . . . . . . . Хn = an1 Х1 + а n 2 Х2 + а n з х з + � n '

(3. 1 2)

•

Т ребуется найти таки е неотр и цательные значен ия X1, Х2, , Хn, которые, удовлетворяя уравнениям (3. 1 2) , одновременно обращали бы в минимум линейную фун кцию этих переменных: • • •

L

= Cl X 1

+ С2 Х 2 +

• • •

(3. 1 3)

+ Сn Х n'

Х,

Рис. 2.16

собой ту вершину ОДР, котор а я находится дал ьше всего от на чала коорди нат , считая по направлению убывани я L' . Может оказаться , как и п р и n - т = 2, что ОЗЛП имеет бесчисл енное множество реше­ ний, л ибо заполняющи х целое ребро, л ибо - целую грань многогран­ н ика допустимых реш ен и й . Оптимальное решение Xl * ' Х 2 * ' Х з * (если оно существует) совпадает с одной из о п о р н ы х т о ч е к, т. е. верши н многогранни ка. в которой по крайней мере тр и переменных X1 , Х 2 Х n обращаются в нул ь. Пол ьзоваться геометрической интер претацией дл я непссредст­ венного отыс кания решени я даже при n - т 3 затр уднительно; при n - т k > 3 это вообще выведет нас за рамки трехмерного п ространства и геометрическа я интерпретац ия потер яет нагл ядность. Од на ко соответствующая терминология может оказаться удобной : мож­ но говор ить об области до пустимых решени й, ка к о некотором «свер х­ многограннике» в п ростр анстве k измерений, ограниченном т « гипер ­ плос костями»; об оптимальном решен ии - ка к об одной из «вершин» этого многогра н н и ка . о каждой «вершине» - ка к об «опорной точке» и т. д . Та кой геометричес кой терминологией мож но, по желанию, пол ь­ зоваться или не пол ьзоваться . Нам геометр ическа я интерпретация по­ надобилась для того, чтобы обосновать следующие свойства р ешен ия ОЗЛП при любых значен ия х Ч исла переменн ых n и числа уравне­ ний т < п: 1 . Опти мал ьное р ешен ие . еС.l1 И оно существует . лежит не вн утри , а н а г р а н и ц е области допустимых решен ий. в одной из о п о р­ н ы х т о ч е к, в каждой из которых по кра йней мере k из перемен­ н ых обращаются в нуль. 2 . для того, чтобы найти оптимал ьное решен ие. нужно. пере ходя от одной опорной точки к другой. двигаться в направлен и и умен ьшения линейной фун кци и [ . котор ую требуется l\Iинимизировать . На эти х принципах и будут основаны методы решен ия ОЗЛ П , ко­ то рые мы изложим в дальнейшем.

Рис. 2. 1 7

Геометр ическую интер претацию этой задачи пр идется строить уже не на плоскости, а в простр анстве (рис. 2. 1 7) . Каждое услов ие Xk О 4, . . , п) геометрически дл я одной из базисных переменных Xk (k изобразится уже не прямой, а п л о с к о с т ь ю. По одну сторону от этой плоскости Xk > О , по другую Xh < О . Координатные плоскости О , Х 2 = О, Х З = О соот­ X 20x� , х 1 Ох з И ХI 0Х2 и зображают условия Xl ветственно. Область допустимых решении. (есл и она существует) пред­ ставл яет собой выпу клый многогранник, ограничен ный этими пло· скостями, т. е. часть пространства, для которой выполнены все услови я :

. . . . .

=

=

=

=

.

=

Xl � O,

X2 � O'

Х З � О,

•••

,

Xn

� O.

Роль «основной прямой» в этом сл учае будет играть ;<основн а я О, где плоскость», уравнение которой [' =

L' = L - ,\,o;

L

=

'\'0 + '\'1 X1 + '\'2 Х2 + ,\,з ХЗ'

При перемещении этой плоскости параллельно самой себе в одну сторону [' будет у бывать, в др угую - возрастать . Точ ка А , в которой достигается оптимал ьное решение (есл и оно существует) , представл яет 54

4. ЗАДА Ч А Л И Н Е Й Н О Г О П Р О Г Р А М М И Р О В А Н И Я С О Г РА Н И Ч Е Н И Я М И - Н Е Р А В Е Н СТ ВА М И . П Е Р ЕХОД ОТ Н Е Е К О З Л П И О Б Р АТ Н О

Н а практике огр а ни чения в задаче л инейного программирования часто задаются не ур а внениями, а неравенствами . Покажем, ка к можно перейти от задач и с огран ичени ями-нера вен­ Ствами к основной задаче линейного программи рования . Пусть имеется задача лине й ного программирования с n пер емен­ н ыми X1 , Х2, . . . , Х т В которой ограничен и я , н а ложенные на перемен­ Ные, имеют вид л инейны х неравенств. В некоторы х из них зна к нера­ венства может быть � , а других < (второй вид сводится к первому простой переменой знака обеи х частей) . Поэтому зададим все огра ни­ Ч('н ия-неравенства в ста нда ртной форме: 11

а} )

Х1 + а12

Х2

а21

Х1

Х2

+ a�2

+ . . . + аl n +

...

+ й2n

х"

ХN

+

l

> О;

Ь}

+ Ь2 � О ;

� � ��т:X� � : �a'тn' � � � � J l

a I

X

. .

2x1 -Х 2+ 3Хз

ХБ - 2Х4 + Хl > - 1 ,

( 4 .1)

о.

b

Б удем считать , что все эти неравснства л инейно независимы (Т. е. н и какое и з н их нел ьзя п редстав ить в виде л инейно й ком бин ации дру­ ги х) . Т ребуется н а йти такую сово \{упность неотрицательных значени й Хl, Х 2, . . . , Х n , котора я удовлетворяла б ы неравенствам (4. 1 ), и , кроме того, обр а щала бы в минимум линейную фун кцию :

Х. и

обр ащающие

Yz "

Ут

=

= .

=

ан Х1 а21 Х1 .

атI

X

+ а12 Х2 + . . . + a1 n Хn + b 1 , + а22 Х2 + . . . + а2 n

.

.

1

.

.

,

�

.

.

.

Хn .

+ ат2 Х 2 + . . . + аmn

+ Ь2,

.

Хn

.

.

+ Ь т,

J

X

.

Как видно, перед нами в чис то м в ид е основна я задача лине йного программирования (ОЗЛП) . У равнения ( 4 . 3) задан ы в форме , уже разрешенной относител ьно базис ных переменных Уl' Y z , . . . , У т , кото­ ры е выражены чер ез свободн ые переменные Х1 , Х2, . . . , Хn ' Общее коли­ чество пер еменных р а вно n + т, из них n «первон а чал ьных» и т «до­ бавочных». Фун кция L выражена тол ько через «первоначальные» пе­ ременные ( коэффициенты при <<добавочных» переменных в ней ра вны нулю) . Т аким образом , задача линей ного программирования с огр а ни­ ч ен иями-неравенствами сведена на ми к основ н ой задаче линейного программирова ния , но с б ол ьшим числом пер еменн ы х , чем первон а­ чал ьно было в задаче. П ример 1 Имеется задача л и не йного п р огр ам мн р ов а н и я с огр а ничения ми· нер авенствами: иайти неотр ицател ь ные зна чеНlIЯ пер емеll Н ЫХ Xl, Х2 . Х В. Х" Ха. удовлетвор яющие услов и я м

ае

О

ми нимум л и не й ную фу нкцию L = xt - 2 Х2 - 3Х з.

]

(4 .5)

- 2х1 + х ;; - 3х з + 6 > О, 3Х 2 - хз - I > о , Xi - 2x4 + х Б + I > 0, xi -

ХБ

>

О.

Вводим допол нител ь ные пер емен ные: У l = - 2Х l + Х 2 -3хз + 6,

(4 . 3)

где Yl , У 2 ' . . . , У т - некоторые новые перем енные, которые мы буд ем называть «добавочными». Согл асно условиям (4 . 1 ), эти добавочн ы е пе­ ременные та к же, ка к и 1 , Х 2' . . . , Х n , должны быть неотрицател ьными. Та ким образом, перед нами возн и кает зада ча л инейного програм­ ми рования в следующей постановке : на йти такие неотрицательн ы е зна ­ чения n + т переменных X1 , Х2, . . . , Хn ; YI , У2' . . , У т , чтобы он и удов' л етвор ял и системе уравнени й (4 . 3) и однов ременно обраща ли в ми н и­ мум линей ную фун кцию этих пер емен ных :

Xi <

(4 .4)

Т ребуется пр ивести эту зздачу к в иду ОЗЛ П. Реш е н ие. П р и в однм нер авенства (4 . 4) к ста нда ртной фор ме.

От поставленной таким образом задач и легко перейти к основной задаче линейного программи рования . Де йствительно, введем обозна ­ чен ия : Уl

в

( 4 .2)

L = CI Xl + C2 X2 + " ' + C" Xn .

б.

<

ХЗ - 3Х 2 < - 1 .

ны х

У2 =

3Х 2 - хз - I ,

Уз =

Xi - 2xt + xb + 1 ,

У4 =

Хi - ХБ'

J

(4. 6)

З адача своднтся к тому, чтобы на йти неотр и цател ь ные значе н и я пе р емен . !ti. Х2 •

Хз, Х4• ХБ;

Уl У2' У з . Yt,

удовлетвор яющие ур а в не ниям (4. 6) и обра щающие в минимум л и не й и у ю фуи к' ци ю (4 . 5).

Мы показали , ка к от задачи л инейного программирован и я с ог ­ раничен иями- неравенствами можно перейти к задаче с огран ичениями­ равенств ами (ОЗЛП) . Всегда возможен и обратн ы й переход - от ОЗЛ П к з адаче с огран ичениями - нер авенствами . Е сли в первом сл уча е мы у в еличив али числ о переменн ы х, то во втором сл учае будем его умень­ шать , устр аня я базисные переменные и оставля я только свобод ные. При мер 2. Имеется за дача л и ней ного п рогр аммир ова н и я с огр а н и че н и ями. раве нствами (ОЗ ЛП): Хl +

Х2 =

1,

Х 2 - 2хз = - 3, Хз -Хt + и

м и нимизи р уемой функцией

ХБ =

1

I

(4 .7)

(4 . 8)

Т р ебуется за писать ее как задачу л и ней ного пр огр а м м и р ова ни я с огр а н и че· Ни я м и · нер авенствами . Ре ш е н и е . Та к как т = 3 , n = 5, n - m = 2, то выберем какие-то две из пе р е м енн ых в качестве свободн ых . З амет им ч о переменн ы е X , т 1 , Х2 в качестве сво · бодны х в ы бир ать нел ьзя, так как они связаны перв ы м иа у р а в и е н и й (4 7) : зна· чени е о дно й из н их пол ностью опр едел яется з н а че нием д р у гой. а свободн ые пере· \lе Н н ые дол ж ны быть lIез а В И С II М ЫМИ По такой ж е пр и ч и не нел ьзя в ка честве 07

свободных в ыбр ать пер еменн ые х 2• Х з (их связывает втор ое у р а в иеиие (4_ 7»_ Выбер ем в качестве свободных перемен н ые Х1 и Х4 Н в ыразим чер ез н и х все остальные:

\

x2 = -Xj + l , ХЗ = - % Х! + 2 , Х & = Y2X l + x4 - 1 .

(4.9)

Так как Х 2 ;;. О , Х з ;;. О , Х& ;;. О , услов и я (4 9) могут быть замеиены нера­ в е нствами: + 1 ;;. о,

-Хl

- %х! + 2 ;;. о .

% Х ! + Х4 - 1 ;;. О.

\

Таким образом, мЫ мож ем по ПРОИЗВОJ!У переходить от озJ1П к задаче л инейного программи рован ия с ограничениям и - неравенствами и обр атно. Есл и в числе огран ичений задач и есть как уравнения , так и неравенства , рекомендуется произвести уни фи ка ц и ю и пер ейти в какой-либо единообразной форме, например оЗлп. П ример 3. Рассматр и в ается з адача л и не й ного программирова ния с пер е· ме Н НЫМII Х1 , Х2, Х з , Х4 И ог р а н и чени ями в и да

\

Х1 + Х 2 = Х З + Х. , Xi - Х 2 + ХЗ -< 1 , Х2 + ХЗ + Х. ;;. 5 .

(4. 1 0)

(4. 12)

М и н II м и з и р уется фу н кция L = ч - 2Х 2 + ХЗ - 3Х 4'

_ 1. х, + 2 = 0 2

к

(4. 13)

Требуется привести зада чу к ОЗ ЛП. Реш е н и е. В ведением доба в о ч н ых п е р емен ных У! . У2 пр иведем услови я «(. 1 2) в иду ОЗЛП: Х! + Х2 - Х З -Х4 = О ,

\

Хi -Х2 + ХЗ + U! = 1 , Х2 + ХЗ + Х 4 - У2 = 5 .

М и ним и з и р уемая функци я остается в виде (4. 1 3).

5. х,

С И М П Л Е КС-М ЕТ ОД Р Е Ш Е Н И Я З АДА Ч И Л И Н Е й Н О Г а П Р О Г РА М М И Р О В А Н И Я

Геометр ическая интерпретация , которой мы пользовал ись при решении задач линейного программирования, перестает быть при­ годной дл я этой цел и при числе свободных переменных n - т > 3, 3. Для на хождени я решения зада­ а затр удн ительна уже п р и n - m чи л инейного п рограммирования в обrцем случае (при произвольном числ е свободных пер еменных) применяются не геометр ические, а вы­ числительные методы. Из ни х наиболее универсальным я вляется так называемый с и м п л е к с -м е т о д. Идея симплекс-метода относительно проста . Пусть в задаче ли­ н ей ного программирования имеется n переменных и т независимых линейных огра ничени й, заданных в форме уравнени й . Мы знаем, что оптимал ьное решен ие (есл и оно существует) достигается в одной из опор ных точек (вершин ОДР ) , где по кр а йн ей мере k n - т из пе­ ременных ра вны н улю. Выберем какие-то k переменных в качестве свободных и выразим через них остальные т базисных переменных . Пусть , например, в качестве свободны х выбраны первые k n - т переменны х Xl' Х 2, . . . , Xk, а остал ьные т выражены через них: =

Рис. 2.18

Пе р е йдем в в ыр аже и и и л и нейной фу нкцни L к свободным пер емениым Xt , X.. I l одст ав л я я в L вместо Х 'I l' X� Н Х в ы р аже н и я (4. 9). пол учим: [ = - Х l + XI - I + %Хl + х. - I L ' = %Х. +Х4'

=

У2 Х l

+х. - 2,

(4 . 1 1)

Таким обр азом, задача сведена к з адаче л и нейного пр огр а м м и р овани я с ор· р а ничени я м и - нер аве нствами . Ее геометр и ческая и нтер прета ци я показа и а на О па раллел ьна той стороне ОДР, где L' ДО­ рис. 2. 1 8. Основн а я п р я м а я [' стигает м и н и мума. Следовател ь но, все точки у частка А В дают оптимал ь ное р ешение. Беря в качестве решеиия , например, координаты точк и А , п ол учим: =

Х l* = О; ма,

51:1

X� * = 1 ;

Х 2 * = 1;

х з* = 2 ;

Х 5* = 0-

Пр и таких з наче ни ях пере ме н ны х л и нейная функци я L дости гает ми ниму' рав ного

=

=

Xk+ [ = <Xk+ 1 , 1 X 1 + --'k+ l . 2 X 2 + " · + <Xk+ l . k Xk + �k+ l , Xk+2 = <Xk+ 2 . 1 Х 1 + <Xk+2 • 2 x2 + .. · + <Xk+2• k Xk + �k+2 , .

.

ХN

.

=

.

.

<Х N , 1

.

.

.

.

Х1

+ <Х n • 2 Х 2 +

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

+ сх. n • h Xk + � n '

.

I

(5 . 1 ) 59

Х1 ,

В озьмем одну из таки х переменных Х, и посмотрим, ДО ка кой степени можно все же увелич ить Х1 , пока переменная Xz не станет от· рицател ьной? Выпишем [-{} уравнение из системы (5. 1):

Попробуем, что будет, еСЛИ положить все свободные п е ременные Х2, . . . , Х" равными нул ю : - , Хl

=

О,

Ха

=

О•

.•. ,

Х"

=

О.

al1 Х 1 + aza Х 2 + . . . + a l " Х" + �l' Здесь свободный член �, ;;;::': О , а коэффи циент Х/

При этом мы полу чим: ... ,

Xz,

• • .

,

(XZ l отрицателен . О , то Х1 мы можем Легко понять, что если мы оставим Х 2 = . . Х" у величивать только до зна чени я , р ав н ого - � /a! l ' а пр и дальне йшем увеличении Х] переменная Х / станет отрицательно й . Выберем ту из перемен н ых Х"+I , , Хn , которая р а н ь ш е в с е х обратится в нул ь при увеличении Хl , т. е. ту, для которой вели­ чина - � /а д меньше всего. Пусть та кая «на иболее угрожаемая» пе­ реме � на я будет ХГ , Тогда имеет смысл «перер а зрешить» систему урав­ нен ии (5 . 1 ) относительно друг и х базисных переменных , выведя из чис­ л а свободны х пере�енных Xl и переведя вместо н ее в гр уппу свободных переменных Хг• Деиствительно , мы х отим пер ейти от опорного решения, зада ваемого равенствами Х 1 = Х2 ... = Х" = 0 , к о п о р ном у решени ю, в котором уже Xl =1= О, а Ха ... Х" Х, О. П ервое опор ное ре­ шен ие мы получили, положив равными нул ю все прежние свобод ные переменные Xl , Х 2, . . . , Х,, ; второе мы получим, если обр а тим в нуль все новые свободные переменные Х 2 ' ' ' ' , Xk , ХГ ' Базисными переменными пр и этом будут Хl ' Xk+l , . . . , ХГ-l ' ХГ+ 1 , . . . , Хn • Предположим, что у равнения тип а (5. 1 ) дл я нового набора базис­ ных и свободных переменных составлены. Тогда можно выразить че­ рез новые свобо1tные переменные и линейную функцию L . Если все коэффициенты при переменных в этой формуле положительн ы, то мы нашли оптимал ьное решение: оно получится, есл и все свободные пере­ мен ные положить равными нулю. Если среди коэффициентов при пере­ :\teHHbIx есть отрицательны е, то процедура улучшения решен ия про­ должается : система вновь переразрешается относител ьно других ба­ зисных переменных, и та к далее, пока не будет найдено оптимальное решение, обра щающее фун кцию L в минимум. Проследим описанную процедуру постепенного улучшения реше­ ния ОЗЛП на кон кретном примере. .

Это решение может быть до п устимым или недопустимым. Он о допустимо, есл и все свободные члены �"+ 1 ' �" + 2 ' . . . , � n неотрица· тел ьны. Предположим, что это условие выполнено. Тогда мы полу ч и­ ли о п о р н о е р е ш е н и е. Но явл я ется ли оно оптимал ьным? Ма­ жет быть да, а может быть и нет. Чтобы проверить это , выразим мини­ миз ируемую линейную фун кцию L через свободные переменные Хl '

=

=

••••

Xk: (5 . 2)

=

_

=

О L 1'0 ' Посмотр им , не мо' Очевидно, что при Х1 = Х2 . . . . = Х" жем ли мы улучшить решение, т. е. уменьшить фун кцию L, у в е л и . ч и в а я какие - н ибудь и з переменных Х1 , Xz , . . . , Kk (уменьша ть и х мы не можем, та к ка к все они равны нулю, а отр и цательные зн а чени я пе­ ременных недопустимы) . Если все коэффицие нты '\'1 , 1'2' . . . , 1''' в фор­ муле (5 . 2) п о л о ж и т е л ь н ы, то, увел ичива я ка кие-то из перемен· ных Хl , Xz, . . , Х" свер х нул я , мы н е м о ж е м уме н ьшить L ; следо­ вательно, на йденное нами опор ное решен ие является о п т и м а л ь­ н ы м . Есл и же среди коэффициентов 1'1 , 1' 2, . . . , 1''' в формуле (5 . 2) есть отр ицательные, то, увел ичивая некоторые из переменн ых Хl ' Х а , . . . , Xk , а имеино - те, коэффициенты при которых отр ицател ьны, мы можем у л у ч ш и т ь решение, т . е. умен ьшить L . Пусть, на пр имер , коэффициент 1'1 в формуле (5 . 2) отр и цателен . Значит , есть смысл увеличить Хl ' т . е . пере йти от данноУО опорного решен ия к другому, где переменная Х 1 не равна нулю, а вместо нее рав­ на нулю какая-то др угая . Ув еличение Х1 «полезно» для линейной фун к" т к 1ЩИ [, делает ее м е ньше. Одна ко ув ел ичивать Хl надо осторожно , а чтобы не стали отр ицател ьными другие переменные Xk+l, X,,+Z, . . . , Хn , выраженные через свободные переменные, в частности , чер ез Х. фор­ мулами (5 . 1 ) . Посмотрим, опасно ли для переменных Х"+l ' Xk+ 2, . . . , Х n увели­ чение Хl , т . е . может ли оно сделать их отр ицательными ? Да , оп асно , есл и коэффициент при Хl в соответствующем уравнении отр и цателен. Если среди уравнений (5 . 1 ) нет уравнения с отрицател ьным коэффи­ ц иентом при Х1 , то в ел ичину Х1 можно ув ел ичив ать бесп редел ьно, а , зна чит, линейная фун кция L не огран ичена сн изу и оптимал ьного ре­ шения ОЗЛП не существует. Допустим , что это не та к и что среди уравнений (5 . 1 ) есть такие, которых коэффициент п р и X1 отр ица телен . для п еременных , стоя щих в жет в левых частя х этих уравн е ний, ув ел ичение Х1 оп а с н о - оно мо сделать и х отрицательными. =

60

=

=

=

=

=

=

j

Прим ер Имеется заl1ача л и не й нФГО прогр аммиров а н и я нер а венствами: - 5Х f - х 2 + 2ХJ '' 2, - Х ! + ХЭ + Х4 ..;: 5 , - 3Х 1 + 5Х 4 ..;; 7 .

о

огр ан ичениями­

(5 .3)

Требуется м и н и м и з и р овать л и ней н у ю функци ю L = 5Хl - 2х з .

j

Р еш е ии е . П р и в одя нера в енства к ста ндар тном у в и ду ( ;;;. 0) и вво.u;я добавочн ые переменн ые Уl . Yz. Уз, ш�р еходим к условиям-р авенства м: Yt = 5x1 + х2 - 2хз + 2, Y2 = X l - хз - х , + 5,

УЗ = 3Хl -5ХI + 7.

(5. 4 ) 61

Ч и с .flо пе ре м е н ных n = 7 на 4 rl рев ышае'f чисJlо у р а внений m == 3. 3н а ч н't. четы р е п е р е м е н н ы х м о г ут быть в ыб р а н ы в ка честве с в обод н ы Х По п р обуем в ыбр ать в ка ч естве свобод н ы х п е р е ме н н ы х Хl ' Х 2 , Х а , Х4 и поло. ж ить их р а в н ы ми нул ю. Пр и э том мы с р а з у пол у ч и м о пор ное р е ш е н и е : Хl = Х2 ===

Ха

Х4

=

=

О; Yl

=

2 ; У2

=

5; У а

=

7.

П р и э т и х з н аче н и я х пер еме и ных L = О. По ем от им ' !lВл яется ли это р е шение оптим ал ьн ым? Нет! Пот о му что в выр а ж ении л и е й н о й фу Н КlI.и и L КОЭфф И lI.и е нт п р и Х а оТР ИlI.ател е н . З на ч и т , увел и­ можно у меньш ить L. чивая х П р обуем увел ичивать Х а. П р ослед и м по у р авнениям (5. 4) , о пасно ли ЭТО Р У г и х пе р е м е н н ы х ? Да , оп асно дл я Yl и У 2 - В оба ЭТ И у р а в н е и и я пер ем ен: в х одит е ОТ Р И lI.ател ь ным КОЭФФИlI.и ентом, з н а ч ит, пр и увел и че н и и Ха соот ветст ю щие пе р ем е н н ы е Yl и У 2 мо г ут стать от р ИlI.ател ь н ы м и . осмот р и м ' к а к а я из э тих пер е м е н н ы х Yl ил и У2 яв л я ется н а и б олее « у г р о ­ ДН О, Уl : о н а жаем ой » к а к а я р ан ь ш е обр ат и тся в нуль пр и у вел и ч е н и и Ха· Оч вной ну лю п р и Ха = 1 , а вел и ч и н а У 2 -ТОЛЬКО п р и Х з = . ст а н е т п эт ому выб и р аем переме нну ю У! и вво д им ее в числ о сво бодных в м есто Х в · Ч тобы « п е р е р а з р е ш ить» систему ( 5 . 4) от нос и тельно Х з' У 2 ' Уз, пос у и м сле �у ю­ аз и с н о И пещим обр а зом. Р аз р е ш и м первое у р а в не ние (5. 4 ) относител ьно ново р е м е н ной Х а:

J

��

��: �

П ол а г а я Xj = Y l

еsIИ

�

�

�g

Это выр ажение подст авим вместо Х з во второе у р ав н е и и е; пол у ч и м

З У 2 = - /2 Х l - l f2 Х2 + 1 f2 У{ - Х4 + 4 •

T�

Что касается третьего у р ав н е н и я , оно, к а к не соде р ж а щее ХЗ , не измен ится. Ита к , мы п р и вел и систе му (5. 4) к в иду :

Х 3 = � / 2 Х). + 1 /2 Х2 - 1 f 2 У 1 + 1 , У 2 = - З /2 ч _ l/ 2 Х2 + 1f2 Уl - Х4 + 4 ,

\

(5 . 5)

У з = 3Х 1 - 5Х 4 + 7

L = - Х 2 + Уl -2.

(5 . 6)

Полож им те пе р ь св ободные перемен н ые р а в ны м и нул ю. Линей н а я Ф У Н К lI.и я

L ста нет р ав н ой -2. Э т о у же л у чше, ч е м п режнее з н а ч е н и е L = О. Н о явл яется ли это е шение опт имал ь ным? Все еще нет, т а к к ак ко э фф ИlI.иент при Х 2 в B�p a ­ же н и и 5. 6) ОТР ИlI.ателе н . И т а к . б удем увел и ч и в ать Х2 • ПОСМОТР И М дл я какои з перемсн н ы х ' ст о я щ и Х в левых ч а ст я х системы (5. 5) , это может быть « о п а с н о . Тол ь к о дл я У2 (в пер в ое ур а в не и и е Х 2 в ходит с пол о ж ител ьным коэф ф ИlI.ие нтом,

r

�

а в т р етье совсем не в х одит) . Ит а к ' об ме няем местами переменные Х2 и У2 - пер в у ю выведем и ч исла свободных а �то р у ю - в в едем . Дл я э того р азрешим второе уравненне ( . 5) ОТ­ носител ьн Х2 и п одставим это Х2 в первое у р ав нение. Пол учим еще оди н вид систе мы (5.4):

�

�

ХЗ = Ч - У 2 -Х4 + 5 ; Х2

=

-3ч - 2У 2 + Yi - 2х4 + 8 ;

Ya = 3Xt - 5Х4 + 7 .

1 J

(5 . 7 )

В ы р а з и м L чер ез новые св ободн ые переменные:

или

[' = 3Хl + 2У2 - Уl + 2x4 - 8 + Yl - 2, l.

62

=

ЗХ1 + 2У 2 -\- 2Х4 - 1 0 .

Х4 = О , пол у ч и м =

-

1 0.

X l* = O,

Х2* = 8;

х: = О;

хз* = 5;

У 1 * = 0;

П р и т а к и х зна чен и я х переме н н ы х л и не й н а я м ал ь ное з н а че н ие:

У 2* = 0;

уз* = 7 -

фу нкц и я L п р и н и м ает м и ни­

L mln = - 10 .

Замет им, что в рассмотрен ном приме ре нам не п ришл ось искат ь опорн ого решен ия: оно сразу же получ илось , когда мы полож или сво­ бодные пер еменн ые равны ми нулю. Это объяс няетс я тем, что в ур ав­ нен и я х (5.4) все свободные члены были н еотри цател ьны и, значи т, пер­ вое же попав шееся решен ие ока залос ь опор ным. Если это окаж ется не так, можн о будет п р и йти к опор ному реше нию с помощ ью та ко й же процедур ы обмена места ми некоторых базис ных и свободны х пере ­ м е н н ы х , перер аз р еша я уравн ения до тех пор , пока свободные член ы не стану т неотр ицател ьными . Как это делае тс я , мы увидим в дальне й­ ш ем (см. § 7) .

6.

ТА Бл и ч А ы и АЛ ГО Р И ТМ ЗАМ Е Н Ы БАЗ И С Н Ы Х " Е Р Е М Е Н Н Ы Х «пер еразр ешен ия »

системы

й -огра нич ен и й ОЗЛП относител ьно новых базис ных пер еменн ых может быть сущест­

L = 5X l - 5X{ -Х2 + Y l - 2,

и ли

=

L

П р оцеду ра

СО свободн ыми пер емен н ы м и Xl , Х2 ' Yl . Х4 И базисным И Х а. У2 ' У з· В ы р а з и м л и нейну ю фу нкци ю L через новые свобо д ные перемен ные..

У2

Я в л яется л и это р е ш е н и е опти м а л ь и ы м ? На этот р аз - да, т а к как коэфф и' ц иенты п р и всех свобод ных переме н ных в в ы р аже н и и ( 5. 8) неотри цател ь ны. И т а к , о пт и м ал ь н ое решен ие О З Л П на йде н о :

:

�

=

(5. 8)

урав нени

венн о упрощена , если ее форма лизов ать и свести к за полне нию ста н­ да ртных табл и ц по опр еделе нной систе ме прави л ( короч е, а л г о­ р и т м у) . Этот ал гор итм мы продемонст рир уем на кон кретн ом п р и ме­ ре (в его справ едливости для любо го общего случа я читател ь сможет убеди ться самостоятельно) . Р ассмотрим систе му пяти урав нений -огран ичен и й :

У! = аl1 Х! + al 2 Х 2 + а1 з хз + а1 4 Х 4 + bl , У2 = а21 Х1 + а22 х2 + а2з хз + а2 4 Х4 + Ь 2 , Уз

=

У4

=

Уь

=

а З l Х! + аЗ2

Xz

+ азз Хз + а З 4 Х4 + Ьз ,

а41 Х! + а42 Х2 + а4з Хз + ан Х4 + абl Х1 + аЬ2 Х2 + а5з хз + а 54

Х4 +

ЬМ Ьь

с ч е ты р ь мя свободными перемен ными : Xl • Х 2, Х з , Х4 • П ус ть на м т р ебу е т ­ ся вывести из числа свободных какую-нибудь переменную, н а п ример Х 2 , и пер евести ее в базисные, а взамен ее ввести в число свободных какую-то базисную переменную, скажем Уз; короче, мы хотим обме­ н ять местами переменные Х2 и Уз. Эту замену мы будем си м вол ически обозначать

Та блица 6.1

Посмотрим, ка кие действи я надо дл я этого осуществить. Вообще, можно было бы дл я каждой новой системы уравнен и й проводить перер азрешение заново, т . е. дл я замены Х 2 <-� У З М Ы взял и бы в третьем уравнении (6. 1 ) член as2X 2, содержащи й Х 2 , ( назовем его «разрешающим члено М» ; р азумеется , предполагаем а З 2 =1= О), перенесл и бы его в левую часть, а Уз - в правую; реш или бы у р авнение относи­ тельно Х2 и подставили бы выр ажение дЛ Я Х2 во все остальные уравне­ ния . Проuеду ра достаточно громоздкая , тр ебующая нап р я женного внимания ; при ее выполнен ии легко ошибиться (особенно п р и большом числе уравнений) . Но так как здесь каждый раз нужно проделывать одни и те же опер ации, то их достаточно выполнить один раз в общем виде и ВЫl3ести правила преобразовани я , которые затем можно при­ мен ять автомати чески . Эти правила, осу ществляющи е «перераз р еше­ ние» системы, удобно реализовать в виде табли чного алгоритма. Чтобы этот алгор итм был проще и легче запоминался , uелесооб­ разно предва рител ьно нескол ько преобразовать систему уравнений (6. 1 ) , предста вив и х правые части ка к р а з н о с т и между свобод­ ными членами и суммой остал ьных:

Уl

=

У2

=

Уз

=

У4 У5

=

=

Ь1 - ( - - ан Xl - а12 Х2 - аl З хз - а14 Х4) , Ь2 - ( - a2 l Xl - а2 2 Х2о -а2з ХЗ а24 XJ), Ь З ( -а З l Х1 - а 2 Xz азз хз - a8 � Х4 ) , Ь4 - ( - а 4] Х1 - а42о Xz - а48 ХЗ - a4� Х4) , ЬЬ - ( - а51 х1 - а52о Xz - а5з X� а 5 4 Х4 ) ·

ХЗ

Х4

а '2

а1з

a l4

а2 ,

а22

а2 з

а24

аз

з

аЗ4

а4з

а44

а 53

ам

С в оБ О Д ,-I Ы Й

al

,

У\

О,

У2

02

Уз

0з

аз ,

а З2

У4

04

а4 1

а 42

У5

05

а5 1

а 52

-

-

-

•

(6 . 1 ) Свобо д н ы й член

-

Ь 1 - (ав Х1 + аа Xz + а l З Хз + ан Х4 ) , У2 Ь 2 -· (аZ1 Х1 + а2о2 Х2 + а2з ХЗ + а24 Х4 ) Уз Ьз (а З1 Х1 + а З 2 Х 2 + аз з Хз + 'ХЗ4 Х4) , У4 Ь4 - (а41 Х1 + а 4 2 Х2 + а4з Х з + а44 х4 ) , У5 = Ь5 - (а:'1 Х1 + а52о Х2 + а5 з Х з + а54 Х4 ) · У1

=

=

=

\

,

-

(6.2)

=

Форму за писи у р а в нени й (6.2) мы будем называть с т а н Д а р Т­ н о й. Очевидно, вместо того, чтобы полностью записывать уравнен и я (6.2), можно ограни читься за полнен ием с т а н Д а р т н о й т а б л и­ ц ы, где указаны тол ько свободные члены и коэффициенты при пер е­ менных . Первый столбеu таблицы мы отведем под свободные чл ены, второй, трети й, четвертый и п ятый - под коэффици енты при пер�' менных Хl ' Х 2, Х з , Х4 В ста нда ртной форме (6.2). Ста нда ртн а я таблиц� ДJI Я системы (6.2) приведена в табл . 6. 1 . Тепер ь пр едставнм себе, что мы хотим произвести замену Х 2о <-+ У81 т . е. перевести переменную Х2 в числ о базисных, а пер емен ную У з -"\ В ЧI!СЛО свободных . Выдел и м в ста нда ртной табл и це р а з р е ш а, ю-' Щ И Й :, .1 е м е н т аз2о (обведем его кр ужком); выделим та кже жирны '

64

•

МИ линиями строку и столбец, в которых стоит разрешающий элемент � u Эту строку и этот столбец мы будем называть разрешающеи с т Р о к о и и р а з р е ш а ю щ и м с т о л б ц о м (см. табл . 6.2) .

Х1

Х2

•

Та ОЛliца б. Z

Х4

Ха

all

а '2

а1

з

al 4

а2 1

а 22

а2

з

а 24

аЗ 1

(9

зз

GlC З 4

04

а4 1

а4 2

а4з

а 44

05

0(5 1

а 52

аs

0( 54

Обозна ча я полу чим:

Т2

Х,

ч ле н

У\

О,

У2

02

Уз

Оз

У4 У5

а

з

хотим в разрешающей строк е Выпол н я я опера цию Х 2 <-+ У З , мы шающе� столб це - перем енную помес тить перем ен ную Уз, а в разре строкои И столбцом) . со ядом р Х (это отмеч ено в табли це будет поста вить в т� блице ужно н ые котор ты, ициен Найдем коэфф ания разрешающ еи стро­ разов после обмена Х 2 � У З ' Начн ем с преоб Х2о, получ им : тельно относи (6.2) е ки . Решая третье у р а внени

2

Х2

= .!l _

(ctЗ1 ctЗ2 аЗ2

Х1

+ _1_ Уз +

(tЭ2

ctЗ4 х,,) ctзз аЗ2 ХЗ + ctЭ2

.

(6 .3)

нты разреш ающе й строк и Т а ким образ ом, преоб разов анные элеме я остал ьных стр о к . дл я и н азова р преоб о н айдены. Соста вим п равил 3

3ак.

ИЗ

65

уравнение (6.2) вместо Хз его выражение После приведения подобных членов получим

этого подставим в пер вое

(6.3) .

Уl

=

(Ьl -� ) [( al 1 - � ) ( ) ) ] ( а 1З - ) ( а 12 ь з

а I 2 (31

-

а 1 2 аз з

+

Хз + a 1 4

а за

_

X1 -

3 а12 ( 4 аЗ 2

аI2

а З2

Х4

Уз +

•

ТаБАuца

Уl

Свободный чл е н

Ь

1-

а н Ьз а 32

I

х,

1% 1 1

аа а Зl -аЗ 2

-

I

I

у,

-�

I

х,

1%1 3 -

а З2

а а азз -I% З 2

6.3

х.

" 14 -

а1 2 аЗ 4 -а 32

--

!/2

Х2

I

У

I

4

а 22 Ь з

ь2_

I1 з>!

Ьз

" З2

b4 _

114 2 Ь з а З2

Cl 2

а 2 2 I1 Зl

1-

Cl З 2 --

�

а Э2

11 4 2 11 3 -1

(Х 41 -

11 32

-

� <1 З2

I

-

I% З 2

-

;

Ys

ь5_

5 11 2 Ь з I1 З 2

<15 1 -

11 5 2 I1Зl -<1З 2

а 42 11 32 <1 &2

-

<1 З 2

,

Cl 2 3-

11 2 2 а --

за

<1 З2

а зз

Cl 2 4 -

Cl 2 2 Cl3 4 --

<1 3 2

ClЗ4

аЗ2

<1 З2

11 4 2 <1 зз <14 З--I1 З2 115 2 <1 з з

<1 &з---

а З2

<1 4 4

<104 -

элемента разрешающего столбца

(

-

)

аI 2 , аЗ 2

стоящего в той же СТРО-

ке, что и преобразуемый элемент. Нетрудно убедиться , что сформул и рова нные правила п реобразо­ ван и я станда ртной таблицы справедливы дл я любого числа уравне­ н ий и свободных перемен ны х и дл я лю б ой замены Х ] +-+ Y I ' Преобразование станда ртной табл ицы п р и замене Хj ...... УI удобно производить, выпол н я я все вспомогател ьные расчеты тут же, в табл и ­ це, дл я чего выдел яется нижн я я часть каждой ячеЙ ки.. Алгоритм преобразования X j ...... У I ста нда ртной таблицы сводит­ ся при этом к следующим операциям . 1 . В ыделить в таблице разрешающий �лемент ао. Вычислить его обратну ю величину л I /a lJ и записать в нижней части той же ячей­ ки (в правом нижнем углу) . 2. Все элементы разрешающей строки (кроме самого а а) умно­ жить на л; резул ьтат за писать в н ижней части той же ячейки. 3. Все элементы разрешающего столбца (кроме самого ао) умно­ жить на -л; результат записать в нижней части той же ячейки. 4 . Подч ер кнуть (ил и выделить иным способом) в раз р ешающей строке все вер х н ие числа (прежние элементы) , за исключением самого раз решающего элемента ячей к и , а в разрешающем столбце все нижние числа (новые элементы), за исключением самого разрешающего элемента . 5. Дл я каждого из элементов, не п р и надлежащих ни к раз решаю­ щей стр о ке, ни к разрешающему столбцу, записать в нижнюю часть ячей ки п р о и з в е Д е н и е в ы Д е л е н н ы х ч и с е л, стоящи х в том же СТО(Iбце и в той же строке, что и данный элемент . =

-

а4 2 <1 34 Cl З 2 --

<1Ъ 2 Cl З 4 -а З2

Рассмотрев табл . 6.3, мы можем так сформулировать алгоритм п реобразования коэффициентов станда ртной таблицы. 1 . Раз р ешающий элемент заменя ется на обратную ему велич ину. 2. Bc� остал ьные элементы раз решающей строки дел ятся на раз­ решающии элемент. 3. Все элементы раз решающего столбца (кроме самого разрешаю­ щего элемента) мен яют знак и дел ятся на разр ешающий элемент. 4 . Каждый из остал ьных элементов подвергается следующему преобразованию: к нему прибавл я ется произведен ие элемента , стояв­ шего в п р е ж н е й р а з р е ш а ю щ е й с т р о к е 11 а т о м ж е м е с т � п о' П О Р я Д к у (т. е. в том же стол бце) , на элемент, стоящии в н О в о м р а з р е ш а ю щ е м с т о л б ц е 11 а с о о т­ в той же строке, что и н а ш в е т с т в у ю щ е м м е с т е (т. е. элемент) . 66

та , стоящего в первой строке и втором столбце табл . 6.3. Н овый элемент равен пр �жнему (ан ) плюс п роизведен ие п Р е ж н е г о элемента раз­ реша ющеи строки а31, стоящего в том же столбце, что ан, и н о в 0го

Нетрудно убедиться , что совершенно аналогичным образом пре­ образовываются все ОС'fальные строки . В резул ьтате мы получим пр еоб­ разованную таблицу (см . табл . 6.3), в которой операци я Х2 ...... Уз уже сове ршена .

1

Последнее правило может в -первом чтении по казаться не совсем

ПОНЯТJ{ЫМ; покажем, ка к оно при меняетс я , хотя бы на примере элемен­

6.

Пер еписать таблицу, заменив: Х} н а Yi и обратно, - элементы р а з р ешающей строки и столбца - числами, стоящич а с т я х тех же ячеек , ми в н и ж н и х - каждый из остал ьных элементов - суммой чисел, стоя щих в в е р х н е й и н и ж н е й ч а с т и той же ячейки . -

Ilример 1. В системе у р авнени й Уl =

Xt -

2x 1 - x 2 + 1 ,

Уз =

2х 2 - х з - 1 ,

У2

У4 = - ХI прои звестн замену мен ее в вест и У2 3*

ХI _

х 2 + 2х з - 5 ,

=

У 2 ' т. е

-

в ывести и з

хз + 2

1

(6.4)

ч и сл а свобод н ы х пе р е м е н н ы х Хl и вза­ 67

ТаОЛllца 6.

Свобо д н ы й

х 1-

УI

-5

У2

1

-1

УЗ

1

-2

@

1

О

О 1

2

У4

1

-

С во б о д н ы й ч лен

ХЗ

Х2

Х)

член

ТаБЛllца 5, 5

у

-2

О

.7:, -

1

@

I

- :2

-1

Уз

О

r-т -1

2

� � I

- '2

ГО

С В Об од н ь, й

-l

ч ле н

-5

УI l ,x',

IJ

У2

-

=

68

=

=

1

О

У4

1

Х1

- '2

2

- '2

О ГО

IП

I

'2

- '2

I 2

I

I

- '2 о

2

Х2

Х,

п @) LJ . l L<J

,

:;;

-1

Уз

.о

О

о

I

о

о I

1

О

2

Таолцца G. 7 своБодны1 й член 11

У1

-2

х,

-2

• • •

-сп , МЫ пол у чи м ещ е одну стро ­ -Сl ; '\' 2 где '\'1 -с2 ; . . . ; '\'n к у (доба вочн у ю) ста нда ртной табл ицы, которая отличается от остал ь ·

о

1

-2

L = СО + С1 Х1 + С2 Х2 + . . . + С} XJ + ' " + Сn Х n,

может быть п р и менен тот же алгоритм , что и дл я п р еобр азова ния лю· бой стро ки ста нда ртной таблицы. действител ьно, п риводя L к ста н· да ртной форме

-2

Т!10лцца G. б

Таким образом, мы н аучились с помощью табл ич ного алгоритма совершать в у р а вн ен и ях-огра ничени я х любую за мену Х} +-t- У/ . Вспомним, ЧТО В задаче ли н ейного программирова н и я , кроме у рав­ нен и й -огран ичени й , существует еще и линейная фун кция

к оторую нужно минимизировать. Если эта фун кция выражеНI1 через прежние свободные переменные Х1, Х2, . . . , Хn , то, очевидно, после за­ мены Х} <-> Y t ее н ужно выразить через новые свободные переменные Н етрудно убедитьс я , что дл я этого Х1, Х 2, , X j+ l ' Y i ' Xj+ l' . . . , хn •

ХЗ

1

I гт

2

У4

1

Решен ие. З а п и с ы в аем у р а в не н и я ( 6 . 3) в фор ме ста нда р т н ой та бл и цы (с м . табл . 6 . 4) , оста вл я я в н и ж ней ч аст и каждой я чей к и дост ато ч н о свобо дного мест а . В ыдел яем кр у ж ком р а з р е ш а ющи й э л е м е нт - 2 и ж и р ными Л И н и я м и - р аз · р е ш а ющ и е ст року и сто л бец . В ы ч и сляем л = - Ч2' Вспо мог ате л ьн ые з а пис и б удем вести в п р авом н и ж нем у г л у я ч ейк и (см. т а б л . 6 . 5) . З а пол н им , согл асно п у нктам 1 , 2 и 3 а л горитма, н и ж и и е части я ч е е К р азр е· ш аю щ и х стр о к и и с толбц а . В ы дел и м, о к р у ж и в их р а мкой , вер х н и е ч исла р а зр ешающей ст р ок и и н и ж · н и е ч исл а р азрешающег о стол бца ( к р оме самой р а зр е ш а ющей я че й ки) . Далее мы у ж е можем з а п о л н и т ь в се остал ь н ые н и ж н и е части я ч е е к , пере· м нож а я соотв етств у ющие им в ыдел е н ные ч и сл а , сто я щи е в р а зр е ш а ю ще й стр оке и р а з р е ш ающем столбце на тех ж е мест а х , что да н на я я ч е й к а (см. та бл. 6 . 6). З а к а н ч иваем п р еобр а з ов а ни е , дл я чего пере п исываем табл 6. 6, з амеи я я Х1 на У2 ' эл ементы р аз р е ш аю щей ст р оки и стол бца - н и ж н и ми ч и сл а м и тех ж е я ч еек, а остал ь ные элеме нт ы - суммой вер х н и х и н и ж н и х ч и сел (см. т абл . 6 . 7)

1

У2

I

-1

-5

УI

Х2

Х1

УЗ У4

1

-1 5

2

У2 -1 2

Х2

ХЗ

I

-2

2

- 2'

- 2'

1

О

О

-2

1

I

I

I

1

2'

2'

69

rаОЛll ца 6. 8

С вОбо дный

Х.

чл е н ,

,

-1

У2

-3

Уз

О

L

УI

2

,

-1

1

-1

ED

О

1

-3

2

О

Таол (/ ц/Z 0. 10

ХЗ

Х2

-

дл я в ы п ол не н и я з а мены Х1 _ y� В той же т а бл и !!е дел а ем допол н и т ел ь н ые р асчеты (см. т а бл б . 9) Замен ой ХI - Уз табл и ца пр ив одится к виду (табл. б J О)

Сво бо д н ы й -5

2

-2

3

УI

5

-2

1

-3

б

-2

О

-2

О

О

-3

2

х,

НЫХ ТCJл ько тем, что в ней н и когда не выби раетс я разрешающи й эле­ мент.

Yt =

+-+

!

системе у р а в н е н ий

В

X1 - Хз + Хз - l ,

У 2 = у2 Xi Уз =

У2

Хз - 3 ,

3х2 - 2хз

(6.5)

и в ли нейной Фу н к!! и и

Решеии,:. З а пол няем ста ндарт н у ю табл ицу, в вер х ией строке кото р о й по­ мещаем ли неи н у ю ф у н к ц и ю L (см. табл. б . 8) . ТаОЛllца Il. 9

С в обо д н ы й ч лен

L

У, У2 Уз 70

1

-6

-1

-3, О

6

f

6 о

Х, 1 -1

г;�

6) О

ХЗ

Х2 -2 1

2

-1

-2

о

-2 �J

Го

1 о

-3

О о

i

1 2

f

-2 о

ХЗ

Х2

L

Уз П ример 2. Сдел ать за мену Х1

У2

члеи

с помощью таблич ного алгор итма обмена переменных в уравне­ н и я х ОЗЛП можно решить любую зада чу линейного программи рова­ ния ил и же убедитьс я , что она н е имеет решени я . Нахождение р ешени я ка ждой зада чи лин ейного п рограмм и р о в з · ния р аспадается на два эта па: 1 ) отыскание опор ного решени я ; 2) отыскание оптимал ьного решен и я , минимизи р ующего линей­ ную фун кцию L. В п роцессе пер вого этапа попутно выясн я етс я , имеет л и вообще да н н а я задача допустимые (неот р ицател ьные) р ешен и я ; есл и да , то на ходитс я опорное решен и е, дл я которого все с вободные переменные равны н улю, а все базисные - неотрицател ьны. В п р оцессе второго эта па попутно вы ясняетс я , огр а н ичена ли сниз у м инимизи р у ема я фу н кци я L; есл и нет, то оптимал ь.н ого р ешен и я н е существует . Есл и да , т о оно находится после того и л и другого чис­ ла за мен Xj .... У/ . Оба эта па р ешени я ОЗЛП удобно выпол н я ть с помощью описа н ­ ного алгор итма преобразования станда ртных таблиu. 7. ОТЫ С КА Н И Е О П О Р Н О ГО Р Е Ш Е Н И Я О С Н О В Н О Й ЗАДА Ч И Л И Н Е Й Н О ГО П РО ГРАММ И Р О ВА Н И Я

\

Пусть имеется ОЗЛП с ограничен и я м и - р а венствами, записанным и в ста нда ртной форме: Уl

У2 •

Уm

=

= •

=

Ь] - (а н ХI + al2 Xt + bz - (aZ1 •

Ьm

•

-

•

Х1

•

(а'nl

+

4

Х1

•

(J. ! I Х2 •

•

+- a m�

...

+

...

+ a1n Хn)'

+ azn хn)'

•

•

•

Х2

+

...

•

•

•

+ а т " Х,, ) ,

(7. 1 ) 71

р а з р еш енными относител ьно ба з исных п еремен н ы х Уl' У2, . . . . У т, ко­ торые в ы раж е ны через свобод ны е пере м ен н ые Х1 • Х2 , , ХN • В к аждо й вершине ОДР (опор ном решении) по кр а й ней мере n пер емен ных долж­ ны обр ащатьс я в н у л ь . По пробуем получить опорное р ешение, пола г а я в фо рмулах (7. 1 ) все свободные перемен ные ра вными нулю. Имеем:

го

П р имер 1. Найти (есл и оно существует) опор ное решение задачи л и н ей но­ п р ограмми р ова ния с ограниче н иями-р авенств а ми : Yl =

• • •

X1 = Х2

Yl

=

=

. ..

b1; Yz

= Хn = 0 ;

=

Ь2 ;

•••

;

Ут

=

(7 . 2 )

Ь т•

Е с л и все свобод ные члены Ь1• Ь 2 , ' ' ' , Ь т в у р а в нени я х ( 7. 1 ) н еот­ р и цател ьны, это зн а чит, что опор ное р ешение у ж е п о л у ч е н о ; этот сл уч а й нас не интересует. Рассмотрим случа й . когда с р еди сво­ бодных членов b1 , Ь 2 , . . . . Ь т есть отр и цательные. Это значит, что реше­ ние (7. 2) не явл я ется опор ным - оно вообще не допустимо , и опор ное р ешение еще п р едстоит н а йти . Дл я этого мы будем ша г за шагом обме­ н ивать местами базисные и свободные переменные в у равнен и я х (7 . 1 ) до тех п о р , пока н е п р идем к опор ному решен ию или н е убедимс я . что его не существует. Последнее бывает в слу чае. когда система урав не­ ний ( 7 . 1 ) н есовместима с нерЗ венствами

X1 ;;;:, О ,

Xz ;;;:' О .

..

. ,

Хn >-

О,

Yl

>-

О. . .. .

Ут :>

О,

ства) на одном из н и х . Пусть имеется одно из ура внен и й (7. 1 ) с отрицательным свободным ч л еном . Ищем в этой стр оке отр ицатель н ый элемент а и . Е сли такого элемента н ет (все эл ементы IXi; :> О ), это п р из н а к того, что си стема уравнен и й (7. 1 ) н есовместима с неравенствами (7.3) . Действ ит ел ьно. при отсутствии отр и цател ьных элемен т ов в строке вся п равая часть соответств ующего у р а внен и я может быть тол ько отрицател ьной , а это противор ечит условиям н еотрицатель н ости переменных. Предпол ожим, что отр ицател ьный элемент есть . Тогда выби р а ем столбец, в котором он н а ходится , в качестве разр ешающ его . Теперь надо выбрать в этом столбце сам р а з реш а ющий эл емент. Р ассмотр и м все эл ементы да н ного столбца , и меющие один а ковы зна к й со свободным членом. Из н и х выби р ем в качестве р аз решающего тот,

для которого отн оше ние

к

нему свободн ого члена минимальн о .

Та ким об р а з ом , в ы би р а ется р а з р еш а ющий стол бец, р а з реша ющ и й эл емент в нем и, з н а ч и т, ра з р еша юща я стро ка . У б ед и мс я н а п имере , к а к с о вер ша ется п р и б ли ж ен и е к опор н ому р р ешен ию п р и та ком п р а вил е в ы бор а р а з р еш а юще г о эл еме н т а . П о пут ­ но м ы убеди мс я в разум ности этого п р авил а .

72

Уз =

2 - (Х l + Х2} '

У4 =

1 - ( - Х 2 + ХЗ} '

j

(7 .4)

(здесь не приводится л и ней на я фор ма , которую нужно минимизировать, потому что опор ное решение ищется безотносительно к в иду этой фор мы) . Решен ие. З а писываем условия (7. 4) в виде ста нда ртной таблицы (см. табл_ 7. 1 ). Таблиц а 7. f

С во БОДНЫЙ член

ХЗ

Х2

ХI

1

-1

-2

1

У2

-5

-2

1

-1

Уз

2

1

1

О

1

О

-1

1

У)

(7 .3)

т. е. у нее нет неотр и цател ь н ы х р ешен и й . Очев идно, н ужно так обмен ивать места ми б азисные и свободные перемен ные, чтобы эта п р оцеду ра п р и б л и ж а л а нас к гран ице ОДР , а н е удал яла от н ее, т. е . чтобы число отр ицательных свободных членов с каждым шагом убывало, или , есл и число отр ицательных сво­ бодных член ов оста ется прежним, то , по крайней мере, убывали их абсолютные вел ичины. Существует р яд способов выбора р азрешающего элемента дл я п р и­ бл ижен и я к о пор ному р ешению. Остановимся (без стр огого до к азатель­

1 - (- Х1 _ 2Х2 + Х З} '

У2 = -5 - (- 2Хl + Х 2 - Х З} ,

У4

-

I

В табл 7_ 1 имеется отр и цател ьный свободный член -5 в строке У2 стuлбца Сог л а сно прав и л у , в ы би р а ем л ю бо й от р и ца т ел ьный элемент этой ст р о к и , н а ­ пр имер - 2 (в табл. 7 _1 он подчер к нут). Этим м ы в ыбр ал и р а з решающи и столбец Xl ' В качестве «к а-ндидатов» на роль р азрешающего элемента р ассмотр им все те элементы этого столбца , котор ые оди наковы по знаку со своим свободным чле­ ном; это будут - 2 и 1 (нудь в ка честве р а зреш ающего элемента фигур нровать не может). Вычисл яем ДЛ Я каждого И 3 «кандидатов» отношение к нему свободного '1л е н а : Xl '

(-5) 1 (-2)

=

�/2;

2/ 1 = 2 .

Н аименьшее из этих отношений 2; значит, элемент I выби р аем в качестве р азреш ающе го и ме няем местами Хl - У з ( см . т а б л . 7. 2 ) . После выпол нен и я действи й пр и ходи м к табл . 7 . 3. В табл . 7 . 3 по-пр ежнему оди н отр и цател ьный свободн ый член, но по а ссо­ лютной вел и ч и не он уже меньше, чем в табл. 7 . 1 - значит, мы пр ибл иж а емся к ОДР. Попробуем избав иться и от этого члена. В строке У2 имеется только оди н отр и цательный элеме нт - 1 (подчеркнут). З н а 'lИТ, разрешающим столбцом может быть тол ько столбец Хз . Вычисляем дл я всех элементов этого столбц а , имеющих оди н а ков ый знак со своим своБОДНblМ членом, отношенне свободного члена к эле­ менту: 3/ 1 = 31

( � 1) / ( - 1 )= 1 ;

1/1 = 1 . 73

Уз -

,

С во бо д н ы й ч л ен 1

У!

Уз

2

У4

1

-1

2

-5

У2

Х!

-2

-2

г7 I

2

-1

О ГО

о

J

1

Хз

С вОбо дны й чл ен

1

I

1

_Г} Q)

4

J

Х2

О

-1

2

0

I

1

о

У!

3

У2

-I J

Х1

2

О

1

О -

,

о

1

У4

1

-1

2

I

1

О

О

-1

J

2 -2

О 2

-1

зJ 1 -1

Таt5Лl1l{а 7. 3

С В О БОДНЫЙ ч л ен

УI ,

I

У2 Х1

3

1

-1

-1

2

3

2

1

I

I

О

I

У4

С вО бо д н ы й

УI

-1

=

Хз

О

Х1

1

-1

У4

От но ш е н и е дост и га ет м и н имума, р а в ного 1 , дл я д в у х элеме нтов; во эьмем каче-стве р аз р е ш а ющего первый из н и х (- 1 ), стоящий в стр оке У2 и стол б це Ха, в сдел ае м замену ХЗ н У. (см. табл 7 . 4 и 7 . 5).

в табл 7. 5

все

Уз "'"

св о б од ные члены неотр и цательны, и опор ное р ешение

Х2

При мер 2. Н а й т и

=

Уз

=

=

2;

ХЗ

=

1;

x1

=

2; flо

=

У2 =

- 4 - ( - х! + 2х2),

- З - (Х t - Х2 + ХЗ) , - 1 0 - (2хt -Х2 + Л З) , У о = � 2 - ( -Хl +Xz).

Уs =

J

3

�

1

У2

2

3

2

I

-

1

-2

-3

-,

2

1

1

О

О

2

2

1

о.

--

Таt5Лl1I./U 7. fj

С вОб одн ый ч л ен

наА-

(есл и о но су ществует) опор ное р е шение си стемы

У1 =

74

О; Yl

О

-1

Х2

и

дено:

-3

'L е 0 [9

Уз

ч лен

1

-

3

Таt5Лliц а 7. 5

ХЗ

Х2

Уз

Хз

Х2

Уз

X1

Х2

Хз

УI

-4

-1

2

О

У2

-3

1

-1

1

Уз

-10

2

-1

1

-2

8

1

О

(7. 5)

У4

75

ТаОЛllца

С в о бодн ы й чле

Х,

н

У]

-4

У2

-3

Уз

-10

У4

-2

-1

:2

1 -2

I

2

2

�

2

О

-1

-1

1

I

-1

г;Е)

-4

ХЗ

Х2

F

I

-1

О

8.

в п р едыдущем па ра графе мы научились отыскивать опорное ре­ шен и е системы урав н ений ОЗЛП; п р и поиска х этого опорного р еше­ ния мы вовсе не за нимал ись ми н ими з и р у е мой функцией L. Т еперь мы з айм емся опт и м и за ци ей решени я , т. е . отыскан и ем та кого опорно го решен и я , которое обращает в минимум линейную фу н кцию:

О

Решение. За писываем систему уравнений (7 . 5) в виде ста нда ртной т абли­ (см. табл_ 7.6). В ыбир аем строку с .отр ицател ь ным свободным членом, напр и мер, первую. В неи. есть отр ицательныи элемент (- 1 ). В ыбираем столбец Xl в качестве р азре­ шающего. Вычнсляем отношения: цы

(- 4)( - 1 ) = 4;

L

14

(2 У + Х + Х )

= 42З -

-

•

•

=

=

Таt5лц ц а 7 8

С в о бодный ч лен

у,

--

I

1-.

у'} Уз ХI

76

-2 -5 - 14

2

У4 -1

Х2

X�

1

О

О

1

2

I

I

-1

-1

1

-- - -- -- --

О

_

со - (1'1

X1

+ 1'2 Х2 + . . . + Уn Хn) '

Пример 1. Н айти решение зада ч и л и ней ного прогр аммирова н и я с у р авнениями Yt = 2 - ( Х 1 + Х 2 - 2ХВ)'

'

Может л и п р и каких бы то ни было неотр и цательных значениях У Х Х величина Уз быть неотр и цательной? Очевидно неТ' пр и У - Х2 Х З - 40' п2,o.�y-З 4 чим У з - 1 4, а увел ичение У4' Х2• Хз свер х нуля сдел ает Уз еще меньше След о-

=

В § 5 мы уже п родемонстр и ровал и п р и нци п иальну ю сторону м е­ тоди ки оптими з ации решени я . Здес ь мы на п р имер а х покажем , ка к эта оптимиз аци я может быть п р оведена с помощью табличного алго­ р итма за мены Х ! +--> У/.

( - 2) ( - 1 ) = 2.

Последнее отношение мин имал ьно; зиачит, в качестве разрешающего бер ем элемент ( - 1 ) в строке у, и производим замену Xl .... У4 (см. та бл . 7 . 7 и 7. 8). Обр атим в нимание на строку уз в табл. 7 8. В ней свободн ый член от р ица­ телеи, но н е т н и о Д н о г о о т р и Ц а т е л ь н о г о э л е м е н т а (кроме самого свОбодного члена). Соответствующее урав нение имеет в ид: Уз

О Т Ы С КА Н И Е О П Т И МА Л Ь Н О ГО Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч И Л И Н Е Й Н О ГО П РО Г Р А М М И Р О ВА Н И Я

ОС Н О В НО И

О

01

-1

Т а ким образом. мы видим, что нет необходимости специально исследовать систему усл ови й ОЗЛП на совмест н ост ь в области неот­ р ицател ьны х решений: это т вопрос выяс н яется авто м ати чес к и , в п ро­ цессе на хождения опор ного р ешени я .

О

1

2

1

вательно. система (7. 5) несовместима с неравенствами. в ытекающими из неотр и' цатель ности перемен ных, и зада ч а л и неiiного прогр аммирования с условиями· огр аничениями (7 _ 5) д о п у с т и м ы х р е ш е н и й н е и м е е т . О том же св идетельствует и строка У 2 табл . 7. 8. где тоже нет н и одного отр ицател ь ного элемента (кроме самого свободного чле на)

7. 7

,

!

(8. 1 )

L = O - (-Xl + 2х2 + хз) . ·

(8. 2)

У2 = 1 - ( X t -Xz + Хз) , уз = 5 - ( Х2 + Хз) . У4 = 2 - (2ХI - Х 2) .

об ращающее в мин имум линейную функцию Решение. Все свободные члены в (8. 1 ) неотр и цател ьны, значнт, опор ное ре­ шение нал и цо: Я вл яется ли оно онтимальным? Нет, та к как коэффи циенты при X z и Х з в (8 . 2) полож ител ь ны, значит, увеЛИЧ!1 l3 а я эти переменные, мы уме н ьшаем L . Зап и шем (8 _ 1 ) и (8. 2) в виде ста ндартной табл ицы (табл . 8 . 1 ) . Т а к к а к коэффициенты в первой строке п р и Х 2 и Х а положнтеJIЬНЫ , любую из этих перемен ных мож но вывести из числ а свободных. П усть это будет Х з . Ка­ кой из элементов стол бца Х а взять р азрешающим? Этот элемент должен быть п о­ л о ж и т е л ь н ы м_ З начит, у нас есть выбор; 1 в стр оке У2 ил и 1 в строке уз. Выберем тот и х них, дл я которого отношение к нему свободного чле на минималь­ но (обоснов а ние см. в § 5) . 1 ; 5/ 1 5. М и нимал ьное из них 1 . Значит , в ка­ От ношен ия равны 1 / 1 честве р азрешающего нужно взять элемент 1 в столбце хз. стр оке Уа' Проиэ­ веде м замену хз _ У2 (см. табл . 8. 2, 8. 3). =

=

17

1СВОБОДНЫЙ чл н

rаtJЛllqа 8 , , Х1

е

�I

о

�-[J

2

[tE'I о

1

:------i f--2

у,

��

I

2

�СВО БОДНЫЙ i ч пен 71

�: I � �J 2

-

-,

2

1

(2)

1

О

Х2

Х, -1

-1

2

1

� I� 1

-1

2

о

-1

о

-1

о

' г=;

-2

г;

(2)

,

г;-

1 О

Го

Свободный ч л ен

-6

I

хз

i

-2

Уз

�

з

"2

3

, -"2

1

, -2

2

, 2

2

Т2

Х,

4

У]

У4

l

---=LJ

2

2 2

Таt5лццrz 8. �

, - "2 1

- "2

У2

н - , гт гт ® � -l п -1

3

2

-1

1

I

2

О

з

"2 1

-2 _1 2

_1 2 1

- "2

в вер х ней стр оке табл. 8 . 3 есть пол ож ител ь н ы й коэффи ц и е нт пр и Х а . з н а· чи т . Х 2 и адо в ывест и из свободн ых перемен ных . В ыби р аем в к а чест ве р азре ш а ю­ щего тот поло ж ител ь н ы й эл емент стол бца Х2• дл я ко торого отно шение к иему свобод ного чл е н а м и н имал ь но. Н о 8 сто л бце Ха еди нств е н н ы й пол ож ител ь ны й эл емент 2. е го и в ыб и р аем 8 ка честве р аз р е ш а ющего (см. табл . 8 . 4 и 8 . 5) . О к а з ыв а ется , п р о цеду р а е ще не з а ко нче н а : в пер в о й стр о к е табл . 8. 5 имеет ­ ся пол о ж и тел ьный э л еме нт в стол бце Уа . з н а чит. пер е мен ну ю У2 н ужно в ывести из ч и сл а св ободн ы х . В к а ч естве р а зре ш а ющего берем тот и з пол о ж ител ь н ы х эле­ ментов столбца Уа . дл я которог о от ношен ие к нему свобод н ого чле н а м и н и мал ь но. Ср а в н и в а я отноше н и я

6 I 3/2 = 4 ,

3 :1/2 = 6,

в ыби р аем в ка честве р а зр е ш а ющего эл емент 3/2 в ст р о ке Уl и столбце У2 и пр одол­ жаем п р о цеду р у о пт и м и з а ц и и (см. табл . 8. 6 и 8 . 7) . В первой ст р оке табл . 8 . 7 нет н и одного пол ож ител ьного эл емент а ; з н а ч ит, оптимал ь ное р е шение дост и г н у то; оно б у дет:

X1 = Yз = Yt = O ;

Уа = 4 ;

Хз = l ;

Ха = 4 ;

У4 = 6.

•

П р и этих з н а че н и я х перемеН Н bl Х л и н е й н а я ф у нкци я L дост и г ает св оего м и н и м аль­ ного з н а че н и я , р а в ного

Lm1n = - 9.

ТаОЛllца8. J

,

,

-2

1

со

,

1

1 -1

,

Ха

1

2

О

�

,

-1

-1

L

-2

-1

о

Свободный член

1

1

,

2

У4

ХЗ

2

,

1

У

Т2

-,

УЗ -'

Х2

Х,

У2

L

-1

-2

3

-1

У,

4

3

-1

2

Ха

1

1

-1

,

Уз

4

-1

. У4

2

2

0 -1

-1 О

Возникает вопрос: а что если в столбце, содержащем положитель­ ный элемент строки L, не на йдется ни одного положительного элемен­ та , чтобы сделать его разрешающим? Легко убедиться , что в этом слу­ чае фун кция L не ограничена сн изу и ОЗЛП н е имеет оптимал ьного решени я . Действител ьно, в этом сл учае увеличение переменной, соответст­ вующей да нному столбцу, умен ьшает линейную фун кцию L и не мо­ жет сделать ни одной из базисных переменных отри цател ьной, значит, ничто не п р еп ятств ует неограниченному уменьшению функции L. Ита к , сформул и р уем правила на хождени я оптимального решени я ОЗЛП симплекс-методом. 1 . Е сл и все свободные чл ены (не счита я строки L) в симплекс­ табл и це неотр ицател ьны, а в строке L (не счита я свободного члена) нет н и одного положител ьного элемента , то о п т и м а л ь н о е р е­ ш е н и е Д о с т и г н у т о. 79

ТаОЛlLЦCZ 8. 8

ТCZ ОЛll Цll 8. 5 С во б о дн ы й ч л ен

6

УI ХЗ Х2

-2

2

! 2

Ф

3

1 2

1

1

2

1

1

1

Х,

Х2

Х4

Хз

О

-2

1

О

О

О

-1

0

О

О

2

О

1

-1

О

1

о

О

-1

-1

--

Уз

1 2

1

з

У2

-2

2 2

"2

У1

2

2

-2

L

2

-2 2

4

У4

1

3

1

-7

L

Сво60Д,:!ЫЙ чле н

У2

Уз

Х,

ТаО.лш(о 8. 9 С в о б од н ы й член

L

-7 6

УI

3

Хз

J

2 4

1

3

-2

2

- .Q. 6

- "2

UJ §� 2

-2

4

У4 -

Уз

1

2

Х2

В1

1

- 2" 3

2

2

3

5

-6 § 6

s

в

1

2 1

2 1

2

У2

I

-6 1

Э I

-6

I

6

,

6"

С в об од н ы й ч ле н

- I ГФ -1 2

-3

О

L

:1

3

1 2

�П -3

I

� О

о

О

1

Уз

1

о

2

У2

-"2 П .-13

-2

о

�I

У!

Х,

о

1 -1

Х2

Хз

1

О

Б

0 lQJ 1

' г=;О ГО

I

о

-"2 ГI

-1

Х4 О О О

-1

О

�J О

О

О

-1 о

о

-

Та5лц{(а 8. 7 С во бод н ы й член

L

У2 Хз

Х2 У4 80

Х1

Уз

УI

-.Q.

4

.Q. 3

1

3

з

I

1

I

I

4 6

-3

3

-

з 2

-з

3

-3

1

2

1

3 1 3

з

3"

2

1 з

3

Свободный чл е н

1

4

-9

ТllОЛUЦ1l 8JО

Х!

У!

Ха

Х4

о

-1

-1

О

О

Х2

О

-1

1

О

О

У2

2

1

-1

-1

О

1--1

-1

L 1--

Уз

1

--

--

.

О

О

I

-

81

2. Если в строке L есть положительный элемент, а в столбце, соответствующем ему, нет ни одного положител ьного элемента , то ли· нейная функция L не ограничена снизу, и о п т и м а л ь н о г о р е­ ш е н и я н е с у Щ е с т в у е т. 3. Если в этом столбце есть положител ьные эл ементы , то следует произвести замену одной из свободных переменных на одн у из баз ис­ ных, причем в качестве разрешающего надо взять тот элемент это го столбца, для которого отношение к нему соответствующег
П р имер 2. Н а йти р е шение з ада ч и л и не й ного пр огр а м м и р ов а н и я с ус л о в и яYl

У2 Уз

= = =

Х2' -Х 2 +хз+2, ХЗ+Х4 + 1 ,

Xl -

обр а ща ющее в м и н и м у м л и не й н у ю ф у н к ци ю

}

(8 . 3)

Изложенный в предыдущих параграфах симпл екс- метод решени я задачи линейного программи рова ния явл яется универсальным и при­ меним для решения любых та ких задач. Однако существуют некоторые частные типы задач линейного программи рования, которые, в силу не­ которых особенностей своей стр уктуры, допускают решение более простыми методами . К ним относится , в частности, та к называемая т р а н с п о р т н а я з а Д а ч а. Классическая транспортная задача линейного п рогра ммирова­ ния фор мул и р уется следующи м образом . Имеется т пунктов отп равлени я : А 1 • А2, . . . , Аm, в которых со­ средоточены запасы ка кого-то однородного товара (гр уза) в коли­ честве соответственно аl ' а2, 0 0 0 ' аm един иц. Кроме того, имеется n пун ктов назначения : В}О В2, • • • • В n ' подавших зая ки соответственно на Ь 1 , Ь2, . . . , Ь " единиц това р а . Предполагается , что сумма всех за явок равна сумме всех запасов: т

(8. 4) Решение. З а п и с ываем (8. 3) и (8. 4) в в иде станда ртной т а бл и ц Ь!, (см. табл . 8. 8).

Согл а с н о обще м у п р авил у , и щем в столбце Х р а з р е ш а ю щ и и элемент, дл я 2 кот о р ого от ношение к нему свободного члена н еотр и цател ьио и м и и и м а л ь но. Ср а в н и в а я от н о ш е н и я 0 : 1 и 2 : 1 , оста и а в л и в аемся на р азреш ающем элемеите 1 в ст р о ке Уl ' дл я котор ого это отио ш е н ие р ав но и у л ю. П р о изводим з а меи у Х2 "" У! (см. табл . 8 . 9 и 8. 1 0). П р и п е р е х оде от табл . 8.8 к т а бл . 8 . 1 0 , естеств е и н а, не пр оиз о шл о ум е и ь­ ш е н и я л и не й ной фу н кции L ( о н а к а к был а , т а к и остала сь р ав нои н у л ю), ио з а то элементы вер х ней стр о ки стал и все неп оложител ь н ым и , из чего в и д н о , что опти ­ м а л ь ное р еше ние дост и г н уто: м и н и м у м фу нкции р а в е н н у л ю и дост и г а ется п р и Х ] = У] = ХЗ = Х4 = О ; Х2 = О ; У 2 = 2; У з = 1.

Сделаем еще одно, последнее, замечание по поводу та к называе­ мого ((зацикливани я». Мы уже видели , что при наличии «вырождени я» может оказаться, что замена одной из свободных переменных на ба­ зисную и обратно приводит тол ько к перестановке переменных , без уменьшения ли нейной фун кции L. В очень редких случаях может ока­ заться , что последовательное применение правила выбора разрешаю­ щего элемента при водит к тому, что после нескольких замен Х} ...... У; МЫ вновь возвращаемся к тому же набору базисных и свободных пе­ р еменных, с которого начали. Это и называется «заци кл иванием». Пр а ктически для того, чтобы избежать этого, достаточно бывает при повторении взять разрешающи й элемент не так, как он был взят пер ­ вый раз (напр имер , в другом столбце) . При ор ганизации алгор итма линейного программирования на ЭЦВМ в програ мму должно быть введено соответствующее указание. 82

9. Т РА Н С П О РТ Н А Я З АДА Ч А Л И Н Е й Н О ГО П РО Г Р А М М И Р О8А Н И Я

�

;= 1

n

а;

=

� ;= 1

(9. 1 )

bj•

Известна стоимость C/ j пер евозки единицы това ра от каждого пункта отправления А i до каждого пункта назначения В j . Таблица (матрица) стоимостей перевозки CiJj задана:

Cl1 C1 2 C21 С22

C1n С2n

Требуется составить такой план перевозок, при котором все заяв­ ки были бы выпол нены, и при этом общая стоимость всех перевозок была минимальна. При та кой постановке задачи показателем �ективности плана перевозок является с т о и м о с т ь; поэтому поставленlI ую задачу точнее называют транспортной задачей по критерию стоимости. Дадим этой задаче математическую формулировку. Обозначим Хи - кол ичество груза, отп равл яемого из .i- ro пун кта отправления А Е 1 , . . . , т; J в j - й пункт назначения В } (i 1 , . . . , n ) . Неотр ицатель­ ные перемен ные Хн, Хи . . . . , Х m n (число которых, очевидно, равно т Х n) должны удовлетворять следующим условиям: 1 . Суммар ное количество груза, на п р а вляемое из каждого пунк­ та отправления во все пун кты назначения, должно быть ра вно за пасу гр уза в данном пункте. Это даст нам т условий-равенств: =

=

\

.� �22. -: : . : :- .Х2•п .� �2'.

Хн + Х12 + . . . + Хl"

�

X ]

= йl ,

+ Хmп -

Хm1 + Хm2 + ...

ат,

=

или , короче, "

;

� =

I

Xzj = az,

(9 . 2)

2. Сумма р ное количество груза, доставляемое в к аждый пункт назначения изо всех пун ктов отправления, должно быть равно заяв­ ке, пода нной данным пунктом. Это даст n условий-равенств:

ХН + Х21 + ... + Хm1 Х12 + Х22 + . . . + Хm2 ..

•

•

•

I

"

•

•

•

•

•

=

=

•

•

ЬН

Ь2, "

•

Х1 n + Х2П + . .. + Х mп = Ь nJ или, короче, т

�

i=1 т

�

' = 1

X i2

=

I

Хн

+

C12

= m�'(n - l ) - (n - 1 ) (9.3)

X i Yj = Ьп'

Х12 + ... + С1П Х1n +

+ С21 Х 21 + С22 Х2 2 + . . . + С2П Х 2П + ... +

СmП ХmП

г =т + n- 1 ,

k = mn - (m + n - l ) = тn - т - (n - l )

Ь2 ,

+ Сml Хm1 + Сm2 Хm2 + . . . +

=

а , следовательно, можно разр ешить эти уравнения относител ьно т + n - 1 базисных переменных , выразив их 'lерез остал ьные, свобод­ ные. Подсчитаем кол ичество свободных переменных . Оно равно:

3. Сум!\ш рна я СТОИ:vlость всех пер евозок, т. е. сумма величин X /jj, умноженных н а соответствующие стоимости С о, должна быть мини­ мальной: L = Сll

1 , . . . , т; j 1 , . . . , n) , водится по всем комбинациям индексов (l т. е. по всем комбинациям пунктов отправления с пунктами назначения . Фун кция (9 . 4) линейна, ограничения - ра венства (9.2), (9 . 3) та к­ же линейны . Перед нами - типичная задача линейного программи­ рования с ограничени ями- равенствами (ОЗЛП) . Ка к и вся кую другую задачу линейного программирования, ее можно было бы р ешить симплекс-методом, но данная задача имеет некоторые особенности, позволяющие решить ее более просто. Причи­ ной является то, что все коэффuцuенты nри neременных в уравнениях (9 .2) , (9.3) равны единице. Кроме того, имеет значение стр уктура свя­ зей между условиями . Нетр удно убедиться , что не все т + n уравне­ ний нашей задачи являются независимыми. действител ьно, склады­ ва я между собой все уравнения (9 .2) и все уравнения (9 . 3), мы дол ж н ы получить одно и т о ж е , в силу услов и я (9 . 1 ) . Таким обра зом, условия (9.2) , (9.3) связаны одной линейной зависимостью, и фа ктически из эти х уравнений только т + n - 1 , а не т + n являются л инейно независимыми. Значит, ранг системы уравнений (9 . 2) , (9 . 3) ра вен

=

mi п ,

=

=

(т - 1 ) (n - 1 ) .

Мы знаем, что в задаче линейного программи ровани я оптима.льное р ешение дости гается в одной из вершин ОДР , где по крайней мере k переменных обращаются в нул ь. З начит, в на шем случае для опти­ мал ьного плана перевозок по крайней мере (т - 1 ) (n - 1) значений хо должны быть равны н улю. Условимся о терминологии . З начения Xij количества едини ц гру ­ за, направляемых из пун кта А i В пункт В j мы будем называть п е р ев о з к а м и. . Любую совокупность значен ий (Х Н) (ё = 1 , . . . , т; j 1 , . . . , n) будем называть п л а н о м п е р е в о з о к, или просто п л а н о м. План (Х и) будем называть д о п у с т и м ы м, есл и он удовлетво­ ряет условиям (9.2) , (9. 3) (та к называемым «балансовым условиям») : все за явки удовлетвор ены, все запасы исчер паны. Допустимый план будем называть о п о р н ы м, если в нем от­ личны от н уля не более r т + n - 1 ба зисных перевозок Х о , а ос­ тальные перевозки равны нулю. План (хо) будем называть о п т и м а л ь н ы м, если он, среди всех допустимых планов, приводит к наименьшей стоимости всех пере­ возок. Перейдем к изложению методов решени я транспортной задачи (ТЗ) . Эти методы не требуют манипуля ци й с симплекс-табл ицами , =

=

или, гораздо : о роче , L

m.

-= =-

где знак двойной суммы

rz

� �

:= 1

i= 1

т

fj

i= I

I= 1

� �

С и Х/}

=

min,

(9.4)

означает, что сумми рова ние произ­

&5

а сводятся к более просты м операци я м непоср едственно с таблицей, где в оп ределенно м по р ядке записаны все услови я Т З . Такую табл и ­ ц у мы будем называть т р а н с п о р т н о й т а б л и ц е й. В транспортной таблице за писываются - пун кты отправлени я и назначени я , - за пасы, имеющиеся в п унктах отправлен и я , - з а я в к и , поданные пунктами назначения , - стоимости перевозок из каждого пункта отправлени я в каждый пункт назначени я . Стоимости перевозок м ы будем помещать в п р авом вер хнем углу каждой ячейки, с тем чтобы в самой ячейке п р и составлении плана по­ мещать перевозки Xi j' Образец транспортной табл ицы дан в табл . 9. 1 . ТаОЛllца 9. I

I� ПО

А,

А2

В)

В2

,

ВП

СI1

C I2

c 1n

С21

С 22

C2n

Сm l

Ст2

с l IJ п

Запасы аl

1 0.

а, а2

.!

Аm Заявки Ь]

Ь,

Ь2

ЬП

аm "'

n

1=1

)= 1

J:a ,=J: lJ)

Для краткости в дальнейшем будем обозначать пун кты отправ­ лени я - ПО, пун кты назначени я - ПН . В пра вом в\:"рхнем у глу каж­ дой клетки проставлены стоимости перевоз ки единицы това ра (груза) из ПО А! В ПН В j. В правом столбце помещены за пасы товара в каждом ПО, в нижней строке - заявки, поданные каждь:,м ПН. дл я ТЗ сумма запасов равна сумме заявок; общее значение этои суммы . за писывается в правой нижней ячейке табл ицы . Выше мы показали , что ранг системы уравнений-ограничени й ТЗ т + n - 1 , где т - число строк , а n - число столбцов равен r тра нспортной таблицы. Значит, в каждом опорном плане, в ключая оптимал ьны й, будут отличны от нуля не более, чем n + т - 1 пере­ возок. Я чейки (клет к и) табл ицы , в IЮТОРЫХ мы будем записывать эти отл ичные от н ул я перевозки, условимся называть б а з и с н ы м и, а остал ьные (пустые) с в о б о д н ы м и . =

86

Т а ким образом, р ешение ТЗ свелось к следующему . Н а йти та кие начения полож ител ьных пер евозок, которые, будучи проставлен ы в в базисных клетка х транспортной табл ицы, удовлетвор ял и бы следу ю· щи м условия м: - сумма пер евозок в каждой строке табл. ицы должна быть равна ва пасу данного ПО; - сумма пер евозок в каждом столбце должна быть ра вна заявке данного ПН ; - общая стоимость перевозок - минимальна я . В дальнейшем все действия по нахождени ю решения ТЗ будут сво­ диться к преобразованию транспортной таблицы 9 . 1 . Пр и описании эти х преобразований нам удобно будет пол ьзоват ь­ ся нумерацt'ей клет � к табл ицы ( подобной н умераци � � л �ток ша х мат­ ной доск и ) . Клет ко и (А 1 , В j) или , ко р оч е , к летко и ( 1 , J) м ы б у дем называть клетку, сто ящую в i- й строке и j-M стол бце тран спортной таблицы . Напр имер , самая вер х н яя лева я к летка будет обоз начаться ( 1 , 1), стоящая под ней (2, 1 ) и т. д.

Н А ХОЖД Е Н И Е О П О Р Н О ГО П Л А Н А

Решение тра нспортной зада чи , ка к и вся кой задачи л инейного программировани я , начи нается с нахождения опорного р ешени я , и л и , как мы будем говор ить, о п о р н о г о п л а н а . В отличие от общег? сл уча я ОЗЛП с произвольными огр аничени ями и минимизи р уемои функцией, решение ТЗ в с е г Д а с у Щ е с т в у е т . Действител ьно .: из чисто физических сооб ражений ясно, что хоть ка кой-то допусти мы и план существовать должен . Среди допусти мых планов н епрем � нно имеется опти мальный (может быть, н�. оди н ) , потому что линеина я фун кция L - стоимость пер евозок заведомо неотрицательна (ограни ­ чена снизу н улем) . В да нном па раграфе мы покажем, как пост роить опорный план . Для этого существуют разл и ч ные способы, из которых мы оста новимся на простейшем, так называ емом «способе север о-за­ падного угла» . Пояснить его проще всего будет на кон кретном п р и­ мере.

Пример 1. Условия ТЗ ваданы тра нспортной таблицей (см . табл . 1 0. 1). Требуется на йти опор ное решени е ТЗ (построить опор ныи план) . Решение. Пер епишем табл . 1 0. 1 и будем заполнять ее перевозка­ ми постеп енно, начина я с левой вер хней ячейки ( 1 , 1 ) (<<северо-за падно ­ Га угла» таблицы) . Б удем рассуждать п р и этом следующим обр азом. Пункт 81 подал заявку на 18 еди и иц груза . Удовлетвор и м эту заявку за счет запаса 48, и меющегося в пун кте А 1 , и запишем перевоз ку 1 8 в клетке ( 1 , 1 ). После этого заявка пун кта В) удовлетворена , а в пунк­ те А1 осталось еще 30 единиц груза . Удовлетворим за счет них заявку пункта 82 (27 еди ниц) , запи шем 27 в кл етке ( 1 ,2) ; оста вшиеся 3 еди ни­ цы пункта А1 назначим пун кту В з • В состав е заявки пункта В з оста­ л ись неудовлетворенными 39 единиц. Из н их 30 покроем за счет пункта u

87

Т110ЛЦЦCl /1}

-

I� ПО

В2

В,

А,

5

6

9

6

7

8

6

5

8

7

\0

8

7

7

А4 J

а,

8

Аз

b

Зап а с ы

В5

10

А2

З а я вк и

84

Вз

5

4

f

48 30

27

А1

18

42

27

В, 18

Аз А4

88

=

Та t5лсща /0. 3 .

А2

Заявки Ь

-

-

20

12

125

26

Таt5ЛЦЦCl IO. 2

�

=

В

6

А 2, чем его запас будет исчер пан , и еще 9 возьмем из пункта А з . Из оставш и хся 1 8 еди н и ц пун кта А 3 1 2 выдел им п у н кту 84; оста вшиеся 6 еди ниц назна чи м пун кту 8б , что вместе со всеми 20 единицами пунк­ та А4 покроет его за я в ку (см . табл . 1 0. 2 ) . На этом распределение за пасов за кончено: ка ждый пун кт назна­ чения получил груз согласно своей Заявке. ЭТО вы ражается в том, что сумма перевозок в к аждой ст роке равна соответств ующем у запасу, а в столбце - заявке. Таким обра зом, нами сразу же составлен план перевозок, удов­ летворяющи й балансовым услов и я м . Полу ч енное решен и е явл яется н е тол ько допустимым, но и опо р ным р ешением транспортной задачи.

ПО

Клетки та блицы, в которы х стоят нен улевые перевозки , явл яются 8. Ос­ б азисными , и х число удовлетвор яет условию r = т + n - 1 тал ьные клетки-свободные (пустые) , в них стоят нену левые пер евоз­ 1) =; 1 2 . Значит, наш план - опор ­ I )(m ки , и х число равно (п ный и поставленная задача построения опорного плана решена . В озникает воп рос: а является ли этот план опти мал ьным по стои­ мости? Разумеется , нет! Ведь при его построении мы совсем не учи­ тывали стоимостей перевозок Си. Естественно, план не получился оп­ тимал ьны м . Действительно, стоимость этого плана, котор ая на йдется , есл и у множить каждую перевоз ку на соответствующую стоимость, 1 039 . равна 1 8 · 1 0+27 . 8+3 . 5+30 · 8 + 9 . 1 0 + 1 2 · 8 + 6 · 7 + 20 · 8

18

Вз

В2 8

'О

27 6

7

8

7

7

5

27

3

зо 9

5

6

а,

9

8

6

5

10

8

7

12

4

42

Запасы

В5

В4

6

12

6 20

26

48

зо 27

8

20

1 25

� ПО

В, ,о

А,

А2

18

Вз

В2 27

8

6

7

8

7

7

5

Аз

21 12 9

В5

В4 5

6

9

8

6

5

10

12

4

b

J

18

27

42

а, 48 30

7

8

27

6

6

20

А4 З а я вк и

,

Запасы

26

12

8

20 125

Попробуем улу чшить этот пл а н , пер ен еся , н а п р имер, 1 8 единиц из клетки ( 1 , 1 ) в кл етк у (2 , 1 ) и , чтобы не нарушить баланса , перене ­ ся те же 1 8 единиц из клетки (2 ,3) в клетку ( l , 3) . Получим новый пла н , приведенны й в та бл . 1 0.3 . Нет р удно убедиться , что стоимость нового плана равна

9 1 3, т. е. 27 , 8 + 2 1 · 5 + 1 8 · 6 + 1 2 · 8 + 9 · 1 0 + 1 2 · 8 + 6 7 + 20 · 8 на 1 26 единиц меньше стоимости плана, приведенного в табл . 1 0.3. Та ким обр а зом, за счет ци кл ической перестановки 18 еди ниц гру­ ·

=

за из одних клеток в другие нам удалось понизить стоимость плана. На этом способе уме н ьшен и я стоимости в дал ьнейшем и будет основан ал гор итм оптимизации плана пер евозок. Остановимся на одной особенности плана перевозок, которая мо­ жет встретиться ка к при построени и опор ного плана, та к и при его улучшен и и . Реч ь идет о так называ емом «вырожденном» плане, в кото­ ром некоторые из базисных перевозок оказываются ра вными нулю. Рассмотрим кон кретный п ример возни кновени я вырожденного плана.

При мер 2. Дан а тра нс п о ртная таблица (без стоимостей перевозок, так как р ечь идет тол Ько о постр оени и опорного плана ) - см. табл . 1 0.4. 89

Та олица !О *

� ПО

-

8,

8з

82

Б4

Б5

За п а с ы . а,

А,

2

А2

30

0

Ох:та вить опор ный план перевозок. Решение. Примен я я способ северо-за падного угл а , получим табл .

10.5.

Опорный план составлен. Особенностью его является то, что в нем тол ько ш е с т ь, а не в о с е м ь отличных от нул я перевозок. Знач ит, некоторые из баз исных перевозок, которы х должно быть 8, оказались р а вными нулю. т + n - 1 Нетрудно заметить, отчего это произошло: при расп р еделени и ва пасов по пункта м назна чени я в некоторых случа я х остатки оказы­ вались равными нулю и в соответствующую клетку не попадали. Такие случаи «вырожден и я» могут возни кать не ТОЛ ько при со­ ставлении опорного плана , но и при его п р еобразовании , о птимизации . В дальнейшем на м удобно будет в с е г Д а иметь в транспортной таблице т + n - 1 базисн ых клеток, хот я в некоторых и з н и х , может быть, будут стоять и нулевые значен и я пер евозок . для этого можно НИЧТОЖно мало из менить за пасы или заявки , та к чтобы общи й баланс не на р ушился , а лишние, «п ромежуточные» бала нсы уничтожились. достаточно в нужных местах изменить за пасы ил и за явки , на п р и мер, на вел ичину 8 , а после на хождения оптимального решения положить =

25 2 5

Аз А4 За пвки Ь)

.

10

10

20

З

5 2

0

9

0

Тtlолиqtl /0. 5

� ПО

А,

Б,

Б2

10

10

А2

Бз

2

0

А4 Ь)

Б5

Запасы а,

2

10

10

2

0

З

2 5 2

0

ЗО

10

0

25 2

0

95

25

Аз

Запвки

Б4

0

� А,

Б,

Б2

Бз

10

10

•

А2

20-.

Аз

Ь) 90

84

85

I

Запасы

2

аl

0 +. за

10+ .

25-. 2. 1 25�� 20- 2. 20-2. 2 11 11

А4 ЗаRВКИ

=

О.

Покажем, ка к перейти от вырожденного плана к невырожденному на примере та бл . ) 0.5. Изменим сл егка запасы в первой строке и поло­ жим их равными 20 + 8 . Кроме того, в тр етьей строке проставим за­ пасы 25 + 8. Чтобы «свести баланС», в четвертой строке ставим за пасы 20 - 28 (см. табл . 1 0. 6) . Для этой табл ицы строи м опорный план спо· собом северо- западного угл а . В табл. 10.6 уже содержится столько базисных переменных , скол ь­ ко требуется: т + n - 1 = 8. В даЛ ЬН,е йшем, после оптимизации пла. на, можно будет положить 8 О. =

1 1. Таолицtl /0. 6

ПО

8

10

10

20

З5

0

95

УЛ УЧ Ш Е Н И Е П Л А Н А П Е Р Е ВОЗОК. Ц И КЛ П Е Р Е С Ч Е Т А

В предыдущем па ра графе м ы уже бегло позна комились С о спосо· бом ул учшения плана, состоящим в том, что некоторые перевозк и , без нарушения баланса , переносятся из клетки в клетку по некоторому замкнутому циклу. Здесь мы рассмотрим эти цикли ческ и е пер естанов­ ки подробнее. состоящую, на п ример, Возьмем тра нспортную таблицу, из т = 5 строк и n = 6 столбцов (число строк и столбцов несущественно) . Ц и к л о м в транспортной табл ице мы буд ем называть нескол ь ко клеток, соединенных замкнутой лома ной л и нией, которая в Ю:1 ЖДОЙ клетке совер шает поворот на 900. На пр име р , в табл . 1 1 . 1 изображены два цикл а : пер вый с четырь­ мя в ершина м и (2, 1 ), (2,3), (4, 3) , (4 , 1 ) и второй - с восем ью вершина­ ми ( 1 , 4) , ( 1 ,6) , (4 , 6) , (4, 4 ) , (3,4), (3,5), (5,5), (5, 4) . Стрел кам и п ока за но н а п равление обхода цикл а .

91

Нетрудно убедиться, что каждый цикл имеет четное

число вер шин

и , значит, четное число звеньев (стрелок) .

!� ПО

Таолtl ца '1. !

А, А2 Аз А4 АБ За яв к и Ь)

ВБ

В4

Вз

В2

В,

В6

СII

cI 2

С 'З

С '4

С '5

CI6

С2 \

С2

С2

З

С 24

С 25

С26

С З\

С З2

Сзз

С З4

С З5

Сзв

С4 1

С 42

С 4З

С 44

С45

С 46

Сы

СБ2

С 5З

С 54

С 55

С56

Ьз

Ь2

Ь,

r-1-

ЬБ

Ь4

Запасы

Ьб

а,

а, а2 аз а4 аБ n

т

Еа,=ЕЬ) ,=,

1='

Условимся отмечать знаком « + » те верш и ны цикл а , в которых пе­ ревоз ки увел и ч ива ются, а зна ком «-)} - те верш и ны, в котор ых они уменьшаются . Ци кл с отмеченными вершинами будем называть 1 1 . 2 показано два озна ченны х ци кл а : первый «означенным». В табл Цl с четыр ьмя верши нами ( 1 , 1 ) , ( 1 ,2) , (3, 2) и (3, 1 ) и второй Ц 2 С восемью вершинами (3, 4), ( 3, 6) , (5, 6), (5, 3) , (2,3) , (2, 5) , ( 4 , 5) и (4,4). П е р е 11 е с т и (<<перебросит ь») ка кое-то кол и чество единиц гру­ за по означенному ци кл у - это значит у в ел ичить пер евоз ки, стоящие в положител ьных вер ш инах цикл а , на это количество единиц, а пере­ воз ки, Стоящие в отр ицател ь н ы х вершина х - уменьшить на то же ко­ личество. Очевидно, пр и переносе любого ч исла единиц по цикл у рав­ новесие между запаса ми и зая в ками не мен яется : по-прежнему сумма перевозок в каждой строке равна запаса м этой строки, а сумма пере­ возок в каждом столбце - за я в ке этого столбца. Та ким образом, п р и любом ци клическом переносе, оста вл яющем перевоз ки неотр ицател ь­ ными, Д о п у с т и м ы й п л а н о с т а е т с я Д о п у с т и м ы м . Стоимость ж е плана при этом может меняться - увел и чиваться или уменьшаться. Назовем Ц е н о й ц и к л а ув ел ичен и е стоимости перевозок при перемещени и одной единицы груза по озна ченному ци клу . Очев идно, цена ци кла равна ал гебраической сумме стоимостей, стоящи х в вер ­ шинах ци кл а , причем стоимости, стоящие в положител ьных вер шина х, бер утся со зна ком « +», а в отрицател ь ных - со зна ком «-». Н а п р и­ мер, для цикла Цl в табл . 1 1 . 2 цена равна:

Таt5лц цС{ 11.2

� ПО

А,

В,

А4 АБ За я в к и ---.

92

Ь)

С2\

С2

Сз \

СЗ

С 1З С2З

В6

С \4

cI5

c I6

С 24

С 25

С 26

СЗ

С з�

-СJб

С4 5

С 46

За пасы

-

+

С зз

+

С4 \ С5 \

Ь,

С4

2

С52

Ь2

С4З

+

4

С44

Ьз

Ь4

С S5

а2 аз а4

c5€

аБ

+

Ь5

Ь6

СЗ4 - СЗ6 + СБд -СоВ + CZS - C20 + С40 - С44•

аl

+

С5 С Б4 з _ k---1-----

а для цикла Ц2

а1

+

А2 Аз

CI I

C I2

В5

В4

Вз

В2

т

n

1=\

)=1

Ea ,=Eb J

Обозначим цену ци кла Ц через 1'. Пр и перемещении одной едини­ цы гр уза по циклу Ц Стоимость перевозо к увеличивается на величину 1'; п р и перемещени и по нему k единиц груза стои мость пер евозо к уве­ личивается на ky. Очевидно, для ул учшен и я плана имеет смысл перемещать пере­ воз ки тол ько по тем ци клам, цена которых отрицател ьна . Каждый раз, когда нам удастся совершить та кое перемещение, стои мость плана умен ьшается на соответствующую вел и ч и н у k1' . Так как пер евоз ки не могут быть от р ицател ьным и , мы будем пол ь­ зоваться тол ько та кими ци клами , отрицател ьные вершины кото рых лежат в ба зисн ы х клетках табл ицы, где стоят положительные пере­ в оз ки* ) . Есл и ци клов с отрицател ьной ценой в табл ице бол ьше не оста­ л ос ь, это означает, что дал ьнейшее улучшен ие плана невозможно, т. е. оптимальный пл ан достигнут.

*)

в случае в ы р ожде н н я , как м ы у в и д и м далее, может о к а з а т ься полез ным фИК­ пере нос п о ц и кл у , отр и цател ь н а я вер ш и н а котор ого лежит в кл етке с нулевой перевозкой. 93

тивный

плана пер е возок и состоит Метод последовательного улучш ения с отрицател ь ной ценой , по циклы ся ивают отыск це в том, что в табли план улучш ается до тех пор , пока ни м перемещаются перев озки , и не остан ется . же у ценой ци клов с отр ицател ьной ми пер еноса ми, как прави ло, чески цикли ана пл ении улучш При симпл екс- метода : п р и каж­ из ным пол ьз уются прием ом, з аимст вован пер еменн ую на базис ну ю, дную свобо одну яют замеи дом шаге (ци кле) н того освобождают одну взаме т. е . запол няют одну свободную клетк у и исных клето к остается баз число общее этом из базис ных клето к . При н тем, что для не­ удобе 1 . Этот п рием неизм енным и равны м т + n . клы ци е го легче на ходить подходящи дной клетки тр анспор тной Можно доказ ать, что для любой свобо единственн ый) , одна из итом п табл ицы всегда существует цикл (и р , а все остал ьные ­ клетке дной свобо этой в верши н коmор ого лежи т плюс ом в свободной с цикл а, в базисных клетках. Если цена та кого перемещен ием пере­ шить улуч о можн н клетк е, отриц атель на, то пл а во едини ц г р уза k, котор ое можн о воз ок по данном у цикл у. Кол ичест ьным значе нием перев о з ок, стоя­ пер еместить, определя ется мини мал а (если пер еместить бол ьшее чис­ цикл инах верш щих в отр ицател ьных атель ные перевоз ки). ло еди н и ц груза , возни кнут отриц

rС!ОЛl1l1С! " "

ПО � А1

Б1

22

5

А2

дл я тр а нспор т ной з а да ч и , п р и ведеи· П ример 1 . Н а й т и оптим ал ь н Ы й п л а н и о й в табл. 1 1 . З.

Та оли ца ". 3

ПО �

Б1

А]

З а я вки Ь) V ешеи ие.

22

10

6

8

5

6

5

4

8

7

6

7

Соста вл яем

34

ОПО Р Н Ы Й

1

41

план

20 сп особом

� ПО

А1

Аз

31

Зая вки bj

4'8

25

22

7 6 7

23

6

8

5

4

гН +

РЦ 20 7

18

20

41

34

Б1

22 r

Б2

Бз

31

48 38 1 17

7

10

н+9 +� 2 5 6 kJ 8

22

7

34

38

5

а,

8

6

3

Запас ы

Б4

20

4

6

7

20

41

38

31 48 38 117

Таолица !f. O

ПО ��

1 1 7

север о·за падно го

аl

Таолица 11. 5

А2

угла

(таб л . 1 1 . 4) . Сто и м ость этого пл а на р а в н а : 3 · 5 + 1 8 · 6 + 20 · 7 = 796. [ 1 = 22 . 1 0 + 9 · 7 + 25 · 6 + 2 случа е, как и пол а г ается в иевыр ожде н ном ч и сло б а з и с н Ы Х переме н н ы х , 6. = 1 4 р авно г = т + n - 1 = 3 + н им ал ь ноii н я в свобо дную клетк у (2 ,4) с м и П о п р о буе м у л у ч ш ить пл а н , з а бл . 1 1 .4 . Це на ющи й это й к летке , показ а н в та ству оответ с , л к Ци 4. остью стоим + 6 - 5 = -2. этого ц и к л а р а в н а "? = 4 - 7 (чтобы стить м а к с и м ум 2 0 еди н и ц груза По этом у u и к л у м ы м ож ем пе ре\\ с й пла н й 11 е р е в оз к и ) Н ов ы й , у л у ч ш е н н ы о н ь тел uа и отр ) 4 , (3 етке кл в н е п о л у ч ить по ка з а н в табл 1 1 . 5

94

Ь)

аl

7

А2 Аз

В4

Бз

В2

З ап ас ы

За R ВК И

9

в

-

Аз

10

За пас ы

84

Бз

Б2

Б1

А, А2

22

Ь]

5

31 3

22

7 6

7

8

Аз З а ri В К И

10

Б2

34

Бз

3

38 41

6 5

Б4

20

За п а с ы

8 4

7

6 2

0

а,

31 48 38 117 95

rаОЛlща

� ПО

В2

В)

А)

Запасы

Вз

аl

10

5

4

6

4

5

А2 7

40

23

8

з

20

Аз За явки

Ь]

20

20

� А1

В, 20

В2 10

20 -

Ь}

е

7 +

3

40 + &

б

23

Аз За я в к и

+

а.

4

4

6

А2

5

11. 8

За пас ы

Вз

23

- 20 - е

6

20 - е

43

20

83 Та ОЛl/l/а

� ПО

А)

81 20 -

10

е

+

Аз 3 а я вн и Ь)

IIб

+

4

6

А2

б

-

7

20

23

3

-

20

40 + Е 5 6

20- Е

20

аl

4

43

23 20 - е .

Н арти опти м ал ь н ы й п л а н перевозок дЛ Я ТЗ, услов и я котор ой в таб.�. 1 1 . 7 . Решен ие . Ст р о и м о п о р н ы й пла н с пособом севе р о - за п а д н о г о у гл а ; о н полу ­ ч ает с я в ы р о жде н н ы м . Чтобы избеж а ть этого, на р у ш аем б а л а н с з а п а сов н з а я в о к на 8 в п е р в о й и тр етье й стр оках , не н а р у ш а я общего б ал а нса (су м м а з а п а сов р ав н а сумме з а я в о к) . После этого ст р о и м о п о р н ый пл а н та кже с п осо бом севе р о - з а п а д­ нога у г л а (табл . 1 1 . 8) , в нем р о в н о ст ол ь ко ба з и с н ых п е р е м е н н ых , скол ь к о н у ж ­ ио : пять . У л у ч ш аем пл а н п е р евозок п ер е н о с о м 20 - в е д и н и ц г р у з а по ц и кл у , по ка з а н н о м у в т а бл . 1 1 . 8; пол у ч и м и о в ы й , л у ч ш и й пла н (см . т а бл . 1 1 . 9). Пла н, п р и веде н н ы й в табл. 1 0 . 9 , е ще не о п т и м а л е н , т а к ка к ци кл с н ачал ом в свобо д но й кдет ке (2 , 1 ) имеет от р и цател ь н у ю ц е н у :

83

+ 4

- 1О

=

-5.

Переме щаем по это м у циклу 20 еди ни ц г р у з а ; п ол у ч и м т а бл . 1 1 . 1 0. Це н а ци кла , н а ч и н ающег ося в к л е т к е ( 2 , 2) табл . 1 1 . 1 0 , т а кже отр и цател ь н а : 4 - 5 + 4 - 5 = - 2 . О дн а ко , по это м у Il И КЛ У м о ж но пе р е н ести т о л ь к о п е р е­ воз к у , р а в н у ю 8. Т е м не мен ее, сдел а е м это и по л у ч и м нов ы й пл а н ( с м . т а бл . l l . 1 1 ) . В т а бл . 1 1 . 1 1 все Il и кл ы , соответст в у ю щн е с вобод н ы м кл ет к а м , и м е ют не­ отр и цател ь н у ю ц е н у , п оэтом у п л а н , п р и веде н н ы й в т абл . 1 1 . 1 1 , явл я етс я опт и ­ мал ь н ым. П ол а га я в н е м 8 = О, п ол у ч и м о к о нч ател ь н ы й о пт и м а л ь н ы й пл а н (табл 1 1 . 1 2) с м и н и м ал ь ной сто н м остью п е р е в о з о к

". 9

За п а с ы

Вз

В2

П ример 2.

приведе ны

V = 6 - 5

r

20

Стои мость этого п л а н а L 2 = 796 + 20 . (-2) = 756. В нем по- п р еж нем у ш е ст ь базис н ы х клетОк. Дл я д а л ь нейшего у л у ч ш е н и я п л а н а о б р атим в н и ма н и е на с в о бодн у ю клет­ ку ( 2 , I ) со ст о и мостью 5. Ци к л , соотв етств у ю щ и й этой кл етке, показа н в табл . 1 1 . 5 ; цен а его 7 - 6 + 5 - 1 0 = -4 По это м у ци клу перемест и м 22 ед и н и ц ы г р уз а , ч ем уме н ь ш и м ст о и мость пер е в о з о к до L з = 7 56 + 22 · (-4) = 668 (с м. т а бл . 1 1 . 6). П о п р о б у е м дал ьш е у л у ч ш ить э т о т пл а н , подс ч и т ы в а я цены ц и к л о в , начи ­ на ю щи х ся пол ож ител ь н о й вер ш и н о й в свободной. клетке. П р ос м атр и в а ем и мею­ щи е с я свобо дные клетки т абл . 1 1 . 6 и опр е де л яе м це н у ци кл а дл я к а ж дой из н и х . В с е эти це ны ( п р едоставл яе м читател ю п р о в е р и т ь это) и л и поло ж ител ь н ые , ил и нулевые, сл едов ател ь н о , н и ка кое ц и кл и ч еское перене сение пер ев озок не м о жет ул у чшить пла н перевозок . Т а к и м обр азом, п л а н , да н н ы й в табл . 1 1 . 6, я в л яет ся опти мал ь н ы м.

Примененный выш е метод отыска ния оптимального р ешени я тр а нспортной зада чи на зывается р а с п р е Д е л и т е л ь н ы м ; он состоит в непоср едстве н ном отыска нии свободных клеток с от р и ца­ те ЛЬНОЙ ценой цикла и в перенесении пер евозок по этому цикл у .

83

43

ТаОЛl/l(а

ПО

". 7

Lmln=4 0 . 4 + 20 . 6 + 3 . 5 + 20 . 3 = 355 .

За мети м, что пр имененный здес ь метод «л и квида ц и и вырождения » путем в- изменен ия за пасов не Совсем удобен, так к а к требует доп ол ­ нител ьных действий с в-измененными дан н ыми . Проще было бы п ри заполнени и табл . 1 0 .8 не из мен ять з а пасы, а « вообра з ить» их себ е из­ мененНыми и вместо в поста вить в баз исной клетке (3,3) п росто н ул ь . Б азисна я клетка с нулевой перевоз кой тем будет отлич аться от сво, бодной , что В ней нуль п роста влен, а в свободной - нет. Дал ьнейш ие мани пуляции с транспортной таблицей будут совер шенно та кими же, ка к есл и бы в базисных клетка х стояли тол ько пол ожител ьные пер е­ воз ки , с той лишь разницей, что когда одна из отри цательных верш и н цикла окажется в базис ной клетке с нулевой перевоз кой , нужно пере­ носить по этому циклу нулев у ю перевозку (фи ктив ный п еренос) . Если в транспортной та бл ице немного (од н а - две) бази сных п е ремен н ы х об· ращаются в нуль, можно р еком ендовать этот п ростой метод вместо

4

Зак . 5 7 3

97

за пасов (з а я вок) . Р ек о менду ем читател ю самостоятельно решить пример 2 та ким упрощенным способом. Сл еду ет и меть в виду. что п р и большом количестве базисных переменных. обращающихся в нул ь. упрощенный метод становится менее удоб ны м . так ка к легко з а п утатьс я с расста новкой по таблице н улевых базисных перевозок (т. е. ошибочно проставить ба зисные клетки та м. гд е они находиться не мо гут) . 8- изменени й

Та6Лlща !ио

� ПО

В] ,о

А1

А2

20

I

1

5 4

+

7

Аз З а явн и bj

Е -

б

20 - Е

+

t

J

40 3

4 5

б

з

43

20

20

Запасы

Бз

Б2

а,

40 + Е

23

1 2.

20 - Е

Р аспределител ьный метод р ешен и я ТЗ, с кото р ым мы позна ком и ­ лись в п редыдущем па раграфе, обладает одним недостатком : нужно отыскивать ци клы для всех свободных клеток и наход и ть их цены . От ЭТой тр удоемкой р аботы нас и збавл я ет специал ьный метод решен и я ТЗ, который называетс я м е т о Д о м п о т е н ц и а л о в . Этот метод позволяет автоматически выделять ци клы с отр ицател ьной ценой и оп· редел я т ь и х цены. Пуст ь и меется транспортная задача с ба лансов ы ми условиями

83

ТаОлlЩО 11. 11

.� ПО

10

А)

А2

20

б

20- Е

20

запа сы


Вз �

�

7

Аз Зая вни bj

В2

В)

40 + Е

4

3-Е

з

4

5

20

а,

n

�1 Х и = а!

40 + Е

1=

ПО

10

,

А)

А2

20

'--

98

Ь]

20

4

20 20

40 3

4 5 6

3

43

23 20 83

т

L=

а\

40

'= ,

(j = l ,

...

, n),

( 12. 1 )

n

ai

=

� bj• ;- 1

Стоимость пер евозки единицы груза из А , в 8} р а ви а СН ; та бл и ца стоимостей ( Ci l ) задана . Т ребуетс я найти пла н перевозок (Хо) , который удовлетворял бы балансовым у слови ям( 1 2 . 1 ) , и пр и этом стоимость всех перевоэок бы ла м ин и м а л ьна :

запасы


Бз б

6 7

A� Заявки

82

Б,

� xo = b}

т) ;

i=1

20 - Е

Таолица 11.12

�

т

....

�

83

43

(i = 1 .

п р и че м

23

б

Р Е Ш Е Н И Е Т Р А Н С П О РТ Н О Й ЗАДА Ч И М ЕТОДОМ П ОТ Е Н Ц И А Л О В

I

т

n

� � Сн Х/} = ш iп.

( 1 2.2)

1 = 1 1= 1

Иде я м етода пот ен ц и ал ов дл я решени я ТЗ свод итс я к следующе­ м у . Представим себе, что каждый из пунктов отп равлени я A i вносит аа перевоз ку единицы гр уза (все равно. куда) какую-то с у мму ctj; в свою очередь, каждый из пунктов назначения В j та кже вносит за перевозку единицы груза (куда угодно) сумму � } ; эти платежи передаются не­ которому третьему лицу (<<перевозчи к у») . Обоз нач и м

(i = l • и будем называть вел и ч и н у г ру за из А ! в В}.

4*

Со

....

т;

j= I,

...

, n)

( 1 2.3)

шсевдостоимостью» перевозк и еди ницы 99

З амети м , что плаtежй а/, � J не об язаtельно должны б ы ть положJt­ телJ.ными: не исключено, что « перевоз ч и к» сам платит тому или дру­ гому пу н кту какую-то п р емию за перевозку. Обозначим для краткости всю совокупность платежей аl ' . . . , а т , �l' , � n через (ai , � j) . Н е уточняя пок а вопроса , из ка к и х сообра же­ н и й назнача ются эти платежи, докажем прежде все го одно общее по­ ложение или «теорему О платежах» . Она состоит в следующем. Для заданяой совокупности платежей (at, � j) суммарная nсевдо­ стоимость пер евозок • • •

т

n

[= � � 1 = 1 j= 1

Си Хи (ХН)

сохраняет одно u та же

L = С = сопst.

( 12 .4)

в этой формуле вел ичина С зависит тол ько от совокуп ности пла­ тежей (а ! , � j) , но н е з а в и с и т ОТ того, каким и менно допустимым пл аном ( Х а) мы пол ьзуемс я . Докажем это положение. И меем: т

т

n

=

сем

n

n

т

n

� � а; Х и + � � 1 = \ j= 1 i = \ ;= 1

�J Х о .

Пр еобразуем первую из двойных сумм в выражени и а / из-под знака суммы по j: т

n

� �

/= 1 ; = 1

а; Х и =

L=

( 1 2 . 7)

и

т

( 1 2 .5) ,

в

n

� � Си Х U 1= 1 ;= 1

'11

� 1= 1

=

пол учим:

ai ai +

Il

�

;= 1

� } bJ•

( 1 2. 8)

в формуле ( 1 2.8) правая часть не зависит от плана переВuЗ0К (ХI j) , а зависит тол ько от запасов (щ) , заявок ( Ь j) и платежей (ai , � j) . Таким образом, мы доказал и , что с умма рная псевдостоимость лю­ бо го допустимого плана перевоз ок при зада н ных пл а т ежах (a i , � j) о д­ н а и т а ж е и о т п л а н а к п л а н у н е м е н Я е т с я. По сих пор м ы н и к а к н е свя з ывали платежи (а /, � j) и псевдостои­ � мости си а ; + �} С истинными стоимостями перевозок Со. Тепер ь мы установи м между ними связь. Предположим , что план (Хц) невырожденный (число баз исных клеток в таБЛIIце перевозок равно tn + n - 1 ) . Дл я всех эти х клеток Х/ } > О . Определ и м п латежи (aj . � j) та к , чтобы во всех баЗИСНLI Х клет­ ках псевдостоимости был и р а вны стоимостям:

т

( 1 2 .5) ( 1 2 .5) . В ын е­

�

а;

+ �} = Си

п ри

Хц > О ;

что касается свободных клеток (где Х и = О) , то в н и х соотношени е между псевдостоимостями и стоимостями может быть ка кое угодно :

Си < C tj

CjJ > CtJ

иЛи

;= \

Теорема.

Xij

=

О.

а для

(Х о > О)

a l + �J Са Сн, всех свободных клеток (Хо =; О) =

Н о пл а н (Хи) является допусти мым, значит, дл я него выполняется бала нсовое условие:

при

О казывается соотношение между псевдостоимостями и стоимостя­ ми в свободных клетках показывает, является ли план оптимальным, или же он может быть улучшен . докажем следующую теорему .

� X i}.

а;

=

Если для всех базисных клеток плана

n

1= 1

Си

�j = си;

� (al + �}) X i J = � � CjJ Xi} = 1 � 1= 1 /= \ = \ j= 1 т

0 2 . 6)

=

пр и любом aonycmu!ttoM плане перевозок i.ilНачение

[=

Подста вл яя

=

CiJ -< Ci}, та план является оптимальным и н икакими способами улучшен быrm а ; + �}

=

не может .

отк уда

nz

n

� ;� =

/= \

\

а! ХН =

т

� 1=

\

( 1 2 .6)

a i а /.

т

А налогичным обр а зом преобр азуем второе слагаемое в n

tn

�

1=

1

� ; =

\

n

=

1 00

� =1

j

�} Х Н

n

=

�}

т

� 1� ; =1 =

\

т

� 1= 1

�} Хи

( 1 2 .5) :

=

� �j Ь}. j= 1

L=

n

Си Хо . � ;� =]

( 1 2 .9)

l= ]

в сумме ( 1 2.9) отличны от н ул я тол ько слагаемые, соответству­ щи е базисным клеткам, в н и х стоимости равны псевдостои мостя м. По9ТОМУ

=

�

n

X ;j

Доказательство. Обозначим (Хи) - план с соответствующей ему системой платежей (a t, � j) , обладающи й указанным выше свойством (дл я всех базисных кл еток псевдQCТОИМОСТИ ра вны стоимостя м, а для свободных - не пр евосходят и х ) . Оп ределим стоимость этого плана :

( 1 2 .7)

L=

т

n

� � Си ХО · /= ] 1= 1

( 1 2 . 1 0) 101

На основании ранее доказанного, эта сумма (при данной системе платежей) равна некоторой константе С (см. (12.4»: m

n

� � i=1 ;=1

L=

Сохu=С.

(12.11)

Теперь попробуем изменить план (хн), заменив его каким-то другим планом J)' Обозначим стоимость нового плана

(Х!

L' =

т

n

� �

1=1 ;=1

СоХ;/,

Поэтому сумма (она же 12.9):

L'=

т

(12.12)

n

т

Со.

в данной клетке!

(12.15) Тао/!ица

ПО � A1

не может быть меньше, чем сумма (12.11) n

� � СuХ;/?3 1=1 � ,=1 � 1=1 ;=1

CijXij=

т

n

� ;=1 � Cljxij=C=L. (12.13)

i=1

(Ха)

(Xlj)

его стоимость является оптимальным

не может быть уменьшена; значит, план и теорема доказана. Нетрудно показать, что эта теорема справедлива также для ВЫ­ рожденного плана, в котором некоторые из базисных переменных рав­ ны нулю. Действительно, то, что в базисных клетках перевозки строго положительны, для доказательства несущественно: достаточ­ но, чтобы они были неотрицательными. Таким образом, доказано, что признаком оптимальности плана является выполнение двух условий:

(Хн)

В1 С"

В4

В5

12. f В6

С1 5

Сlб

С2 4

С2 5

С 2е

Сзз

СЗ4

С зs

Сзв

c I2

СIЗ

CI�

С22

С2э

СЗ2

+

СЗI

Аз

Вз

В2

С 21

А2

Мы видим, что никаким изменением плана

+

+

А4 А5

С41

С 42

С4з

СМ

С45

С4е

С 51

С52

С5 з

С 54

С5

Сбе

Действительно, рассмотрим какую-то транспортную таблицу, 5, n = 6 (табл. 12.1). например т Не буд� проставлять в этой таблице ни запасов, ни заявок, ни перевозок (они не будут нам нужны), просто отметим (обведем жир­ ной линией) базисные клетки. Возьмем любую свободную клетку, например (1.5), и построим соответствующий ей цикл пересчета, положительная вершина которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные - в базисных. Опре­ =

Со Ctj со -< СО =

для всех базисных клеток; для всех свободных клеток.

(12. 14а) (12.14б)

План, обладающий таким свойством, называется п о т е н ц и а л ь­ н Ы м, а соответствующие ему платежи (а/, � j) - п о т е н Ц и а л а­ м и пунктовАj, В) (i=l, т; j=I, . .. , n). Пользуясь этой терминологией, доказанную выше теорему можно сформулировать так:

Всякий потенциальный план является оптимальным.

Итак, для решения транспортной задачи нам нужно одно - по­ строить потенциальный план. Оказывается, его можно построить мето­ дом последовательных приближений, задаваясь сначала какоЙ-ТО про­ извольной системой платежей, удовлетворяющей условию (12.14 а). При этом в каждой базисной клетке получается сумма платежей, рав102

СIi

(12.12)

где X;j - новые перевозки, отличные от нуля, вообще говоря, в дру­ гих клетках, чем ХU. Некоторые из этих клеток совпадают с прежни­ ми - базисными для плана (Хи) , а другие - со свободными для пла­ В первых - стоимости Ctj по-прежнему равны псевдостои­ на (Хи). мостям, а во вторых - не меньше.. их:

С;} :;;;..

ная СТОимОСТИ перевозок в данной клетке; затем, улучшая план, сле­ дует одновременно менять систему платежей так, что они приближают­ ся к потенциалам. При улучшении плана нам помогает следующее свойство плате­ жей и псевдостоимостей: Какова бы ни была система платежей (ai, �j), удовлетворяющая условию (12.14 а), для каждой свободной клетки цена цикла nере­ счета равна разности между стоимостью Clj и nсевдостоимосmью

•

делим цену этого цикла. Она равна

'\']; =С]5 -СЗ5 + Сзз - С2 з + С22-С12•

НО для всех базисных клеток стоимости равны псевдостоимостям, поэтому '\'15

=

С15 -(аз

+ �H) + (а2 +�2) C�5 -(a1 + �5) С1:> -с15,

t- �5) + (аз + �1) - ( а2

- (а. + В2)

=

=

!О3

т. е. цена цикла, начинающегося в свободной клетке

С:5

(1, 5)

равна раз­

ности стоимости С15 И псевдостоимости в этой клетке. Очевидно, то же будет справедливо и для любой свободной клетки. Таким образом, при пользовании методом потенц иалов для реше­ ния ТЗ отпадает наиболее трудоемкий элемент распределительного метода: поиски циклов с отрицательной ценой. Процедура построения потенциального (оптимального) плана состоит в следующем. В качестве первого приближения к оптимальному плану берется любой допустимый план (хотя бы построенный способом северо-за­ падного угла). В этом плане т + n 1 базисных клеток, где m­ число столбцов транспортной таблицы. для этого число строк, n плана можно определить платежи (a ' � J), так, чтобы в каждой базис­ i ной клетке выполнялось условие: -

3. Подсчитать псевдостоимости === а! + �! для всех свободных клеток. Если окажется, что все они не превышают стоимостей, то план оптимален. 4. Если бы хотя в одной свободной клетке псевдостоимость пре­ вышает стоимость, следует приступить !\ улучшению план.а путем пе­ реброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой (для которой псевдостоимость больше стоимости). 5. После этого заново подсчитываются платежи и псевдостоимос­ ти, и, если план все еще не оптимален, процедура улучшения продол­ жается до тех пор, пока не будет найден оптимальный план.

ё;}

Таt5лц(,«[ /2.2

-

� ПО

(12.16) 1, а число неизвестных равно Уравнений (12.16) всего т + n т + n. Следовательно, одну из этих неизвестных можно задать произвольно (например, равной нулю). После этого из т + n 1 J, а по ним уравнений (12.16) можно найти остальные платежи ai' вычислить псевдостоимости:

А1

-

�

Со =ai+

для каждой свободной клетки. Если оказалось, что все эти псевдостои­ мости не превосходят стоимостей

Заявии

-

(12.18) Один

из

плаlежей можно назначить произвольно, наприыер, положит/:>

равным нулю. 101

Ь)

5

В2 8

13

14

А4

(12.17)

10

9

Аз

�}

то п л а н н е я в л я е т с я о п т и м а л ь н ы м и может быть улучшен переносом перевозок по циклу, соответствую�ему данной свободной клетке. Цена этого цикла равна разности между стоимостью и псевдостоимостью в этой свободной клетке. Итак, мы приходим к следующему правилу (алгоритму) решения транспортной задачи методом потенциалов_ 1. Взять любой опорный план перевозок, в котором отмечены т +n 1 базисных клеток (остальные клетки - свободные). 2. Определить для этого плана платежи (ai' � J) исходя из усло­ вия, чтобы в любой базисной клетке псевдостоимости были равны стои­ мостям:

17

А2

-

то план п о т е н ц и а л е н и, значит, о п т и м а л е н. Если же хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость больше стоимости

В1

17

8 6 7 10

Вз

19

22

41

21

9

В4

4 5 8

6

В5

3

14

14

4 8

Запасы б 8

4

20 24

3 8

u1

25 32 40 20 117

Понятиям «платежей» И и «псевдостоимостей» можно дать нагляд­ ную экономическую интерпретацию. Представим себе, что (а/, j)-реальные платеж�, которые пункты Ai и В) платят за перевозку единицы груза какому-то третьему лиц у (<<перевозчику»). Не будем противопоставлять интересов А и В - пусть они действуют как единая экономическая система. Перевозка единицы груза из пункта А! в пункт В} объективно стоит Cij, а стороны А и В

�

вместе платят за эту перевозку «перевозчику» сумму с;,} ai + �i' Оптимальным будет такой план перевозок, при котором пункты А/, В} не переплачивают «перевозчику» ничего сверх объективной стои­ мости перевозок, т. е. такой план, любое отступление от которого невыгодно для компании А, В оно заставит их платить за перевоз­ ки больше, чем если бы они возили грузы сами. Продемонстрируем применение метода потенциалов для решения ТЗ на конкретном примере. =

-

Пример 1. Решить методом потенциалов ТЗ, заданную в табл. 12.2, где проставлен первый опорный план, составленный по способу севера-западного

угла.

10li

Таблица 12.4 Решеиие. Припис ывае м к табл 12 2

�

добавочную строку ДЛЯ nлат ежеli BJ' справа - добавочный столбец для пла теж е й а! ( см табл. 12.3) Псевдостоимости Си = а; + � J записываем в левом верхнем углу каждой клетки, а стон­ мости - в правом верхнем углу. Однн из платежей, например Ctl, в ыб ира е м про­ извольно , полагая, скажем, Ctl =0 Для каждой базисной клетки псевдостОИМОСТЬ снизу

� j долж на быть равна стоимости Си· Полагая � = О, на ходим из УСЛОВИЯ

ПН

� + �l

а нз условия

� ПО

А1 А2 Аз А4 Заявки

Ь}

Платежи

�}

� + �2

10 8

Б[

108

Б2

1! гh�

9

О + �}

10;

=

О + �2

=

86

Бз

+��._ 6 4 19 13

14

97

75

1412

1010

22

95

89

Б5

64

14

3

4

20

17

21

41

14

24

10

8

6

5

4

8

аl

(%1

25

О

32

-2

40

-1

20

4

Ct 2+�2=Ct2+8=6, -2+�з=4j Ctз+6=5; _1+�.=4j -1+�ь=31 а4+4=8;

П

л

а

PJ

А)

I

т

4

14

89

-5

40

-4

20

В

20

1

117

4

ВВ

8

7

21

Вз

64

15

96

? 5

'4"

1010

96

4

4 З

54 1

26

В4

89

10

85 65 5 32

8

4Э

3

8

4

1

8

+

8 20

17

21

41

14

24

8

8

7

6

5

Pj

О

32

9

87

25

3

8

В2

IX,

4 3

Ю

IOВ

а л

В

24

�

е

т

П

32

14

+

·Ь; .. ·· е т а жи л

+

3

�L

22

,О 10

а,

5

41

11

З

4

19

67

21

6

А4

64 Н

17

Аз

96

с Запа ы

85

17

5 55

А2

117

8

84

81

В9

84

149

жи

ПО

Таблица

жи

/2.5

е с т а З па ы жи л а П IX

й!

1

25

О

32

-3

40

-2

20

3

.-

117

Ct2= �21

Таолица !2.1Ji,

б � з= ;

�

Ctз= -1.

ПО

�.=51

136 =4,

А,

ао=4.

А2 Аз

Й

А4

=

106

"

�

Та к как не все псевдостоимости в свободн ых клетках табл. 12.3 удовлe"l1o воряют условию (12.17), план, приве ден ны й в табл. 12.3, ие является ОПТималь ­ ным Попробуем улучшить его, переводя в ба зисные одну из своБОдНJIIХ к леток l!J!Я которых Cij > C'j, например, клетку (2, 1) Строим соответствующий это К,lJетке цикл (показан в табл. 12.3). Цена этого цикла 5 - 8 -3. Перенесем по этому циклу 13 единиц груза (больше нельзя, чтобы перевозки в клетке (2,2) не стали отрицательными), уменьшим стоимость плана на 13·30= 39 и переliдем к (l'абл. 12.4. ВЫ'lИсляем для плана табл. 12.4 новые значения платежей, по-прежнему полагая Ct} О. Ви ди м , что в табл. 12.4 все еще есть свободные клетки для которых со >Cij, например (1, 4). Цикл для этой клетки показан в та бл 2.4. Пере· но с четырех е.l1ИНИЦ по этому циклу приводит к плану, пре.l1ставлениому (со свои· =

6

Ь)

П

Продолжая эту процедуру, находим:

+

в З я ни а е т

21

13

А4

8

Запасы Платежи 5

5 з153

Аз

Таблица 12.5

8

43 88

=

'0 В

4

-,

А2

�l = 10,

В2

32

43 54

8;

=

В4

10;

=

10

А,

ё;} = Ctj +

82

8.

i

18 5

6

В,

В2

'О 8

17

9

2'

Вз

6

87

55

64

96

75

'49

108

18 6 20

В4 4

65

В5 5

4 Э

З 2

е

54

4

3

3

8

10

?

24

86

Заявки

17

21

41

14

24

Платежи

8

8

7

6

5

Ь)

l

flJ

Запа ы

е т а жи л П IX

25

О

32

-3

40

-2

20

1

с

8

а,

I

117

107

,

�

,

д

ПО

В2.

6

А]

А2

Заявки Ь)

20

4

6

20

а)

z'"

5

3

Аз

Запасы

Вз

4

з

:ТliоЛ71цС1 12г'"

-

� А)

6

А2 Аз

64 20 .=--

м

75

30

6

bj

+

34

Вз

43

е

63

1

20+е

О

25+е

1

ОС1

3

С

30-2е 30-2е

25

30

6

4

3

Pj

Платежи

а,

2

20

Пл а т е жи

Запасы

54 4 + 2& 25-е

36 1_

7

Заявки

В2

В.)

� .4)

А2 �з Заявки

Ь]

Платежи 108

Р}

3

В,

64 20 :

4 3

В2

35

20

34

43

Ь) Пла т ежи

:2

__

4

3 63 1О-2е

20

25

30

3

4

3

а,

ОС!

20+е

О

25+е

1

30-2е

О

0

+f -1

20

Пла т еж и

8·

•

J

В2

25

Запасы П л атежи

Вз

4 :2 2 20+е 54

4

е

Т-

63 1 з + 1О-2е

з4

20

25

30

2

3

2

/2.10

а,

ocj

20+е

О

25+е

2

30-2е

1

75

Таблццu /Z.I1

:2 3 3

Аз Зая вки

63 35

Р;

А2

Запасы Платежи

{- + , +�� 20+2е

5-е

Заяsки

Ь)

Вз

з

Аз

А)

75

В]

4

А2

ПО

О

:2

А)

�

Таблица 12.9

ПО

ПО

30

Та:t5лцца: /2.8

ПО

�

25

3

25

Табnt.tца

В)

35

е

20

I

64

-е

20 2

82

25

35

!

25

4

Запасы

Вз

4 :2

20+е

2

53

4

63

3

I

lО-е

I

30 2

а,

Платежи OCj

20+ё

О

25+е

1

3 0 -2 е

1

75

ТаолццС1 /2./2

� ПО

В, 6

А)

3

А2 Аз З ая вки bj

В2

20 20

25

4

25

20

5

6

3

Вз

Запасы :2 4

10

30

3

а!

20 25

30 75 , � ..

109

I

k

ми платежами и псевдостоимостями) в табл. 12.5. Этот плаи все еще не птималь­ ный. Перенося по uиклу, соответствующему свободной клетке (4,3),120 едиииц груза, ПQлучаем новыА план (табл 12.6) с новыми платежами и псевдостоимо­ стями. В табл. 12.6 уже все псевдостоимости не превосходят соответствующих стои­ мостей, зиачит, этот план о п т и м а л е н Потенuиалы пунктов найдены и рав· ны соответственно: �l =

�l

=

О;

�2 ""'

8; �2

=

-2; !Х, -3; �s 8; �3 7; �4 6; =

=

=

=

�5

1; =

5.

=

в

мето»,ОМ

потеиuиалов

ТЗ, условия

которой

даны

способ северо-западного угла, получаем вырожден­ ный план. Вводя 8·изменения запасов, получаем опорный плаи с пятью базисны­ ми клетками. Подсчитывая платежи (табл. 12.8), видим, что план не оптималеи. Улучшаем его uиклическим переносом перевозок, и т. д. Проuедура улучшения плана показаиа в табл. 12.8, 12.9, 12.10. 12.11; план, приведенный в после».неЙ таблице, оптимален. Полагая в нем 8 =0, получаем окончательный оптимальный план (табл. 12.12) со стоимостью

Lmln=20.2 + 25.5= 20·3+ 10.3=255. Заметим, что эта стоимость такая же, как стоимость плана, показанного табл. 12.10 при е = О; это и естественио, так как табл. 12.11 получеиа из (J'абл. 12.10 переносом по uиклу фиктивных e-переВОЗ0К; этот перенос не меняет стоимости плаиа, а иужен только /lЛЯ то го, чтобы убедиться, что план оп­ тимален. 8

13. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА С НЕПРАВИЛЬНЫМ БАЛАНСОМ До сих пор мы рассматривали только такую задачу о перевозках,

�

i� 1

а,

n

=

1i

1-1

bJ•

(13.1)

Это - классическая транспортная задача, иначе называемая «тращпортной задачей с правильным балансом». Встречаются такие варианты ТЗ. где условие (13.1) нарушено. В этих услучаях говорят о ТЗ с н е п р а в и л ь Н ы М б а л а н­ е о м. Баланс ТЗ может нарушаться в двух направлениях: 110

заявок:

13 пунктах О1'правления превышает сумму подан­ rn

�

1= 1

ai>

n

�

1=1

bj•

2. Сумма поданных заявок превышает наличные запасы:

2

1=1

Ь} >

m

�

1=1

aj•

Условимся первый случай называть «ТЗ С избытком запасов». а второй - «ТЗ с избытком заявок». Рассмотрим последовательно эти два случая.

1. ТЗ

с

uзбыmко.м. заnаСО8

в пунктах А1• А 2 . ... . А т имеются запасы груза at, а2, .. . , �; пункты В1, В2, ... , Вn подали заявки Ь1, Ь2 •.... Ьщ причем т

�

1=1

aj

>

n

� bJ•

1=1

Требуется найти такой план переВОЗ0К (хо). при котором все заявки будут выполнены. а общая стоимость перевозок минимальна:

L

=

m

n

1=1

i=1

h 2

CUXjJ =min.

Очевидно. при этой постановке задачи некоторые условия-равенст­ ва ТЗ превращаются в условия-неравенс тва. а некоторые - остаются равенствами:

(i = l . (j

В которой сумма запасов равна сумме заявок: т

ных

n

При анализе этих значений нельзя забывать, что одно из них (В на­ О), поэтому потенциалы шем случае �) назначено произвольно (a1 (или равновесные платежи) пунктов достаточно условны. Важно, что их сумма для всех перевозок, отличных от нуля, равна сумме стоимос­ тей. проставленных в соответствующих клетках. Если смот реть на эти платежи не с точки зрения каждого пункта в отдельности, а с точки зрения всей «компании» пунктов (А, В), то безразлично. какой из пунктов платит больше, а какой - меньше. Следующий пример будет посвящен вырожденному случаю.

Пример 2. Решить табл. 12.7. Решеиие. Применяя

\

1. Су мма запасоt!

=

1.

...

...

. т).

\

(13.2)

, n).

Мы умеем решать задачу линейного программирования, В какой бы форме - равенств или неравенств - ни были заданы ее условия. Поставленная задача может быть решена. например, обычным симп­ лекс-методом. Однако, задачу можно решить проще, если искусствен· ным приемом свести ее к ранее рассмотренной ТЗ с правильным

балансом. для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения В), В2 • . . . , Вn• введем еще один. Ф и к т и в н ы й. пункт назначения Вф• которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками:

(13.3) 1 11

в фиктивный и положим стоимости перевозок из всех ПО ными нулю:

ПН/

1

Вф рав-

I

\

(rzОЛlЩ(Z /J.I

� Л)

Таким образом, от правление какого-То количества груза ХjФ из пункта а­ А! в пункт Вф попросту будет означать, что в пункте А; о с т груза. единиц Хjф и лис ь неот правленным и ба­ Введением фиктивного ПН ВФ с его заяВкой ЬФ мы сравнял ланс ТЗ, и теперь ее можно решать как обычную ТЗ с правильным балансом.

А2 Аз Заявки

2.

ТЗ

с

uзбытком заяво"

в пу нктах А1, А2, . . . , Аmимеются запасы груза 11

тЫ 81'

.",

Вn подали заявки b1,

...

aI,

.

. ., m

, Ьn, причем � bj > � j=J

1=1

ат;

пунк-

ai,

т. е.

заявок. имеющихся запасов недостаточно для удовлетворения всех запа· все м которо при зок, перево план такой Требуется составить альной. сы окажутся вывезенными, а стоимость перевозок - миним й ТЗ с Очевидно, эту задачу также можно свести к обычно пункт ный фиктив трение рассмо в ввести если ом, баланс правильным : запасу ющему недоста отправления Аф с запасом аф. равным n

аф

=

111

� а;. � ьj - 1=1

положить.стоимости перевозок из ПО Аф в любой ПН равными нулю: м О (j =1, . . . , n). При этом какая-то часть заявок Хфj на каждо сфj бы как она что , считать будем енной; пункте останется неудовлетвор покрывается за счет фиктивного ПО Аф• ь­ Таким образом, мы свели ТЗ с избытком заявок к ТЗ с правил о «спра­ СЬ аботили з не вовсе мы этом что при , Заметим м. ным балансо на ведливости» удовлетворения заявок, не налагали никаких условий Н н­ нас и П каждый учить пол должен то, какую долю своей заявки тересовали лишь расходы, которые нужно минимизировать. Если поставить задачу по-иному, например, потребовать, чтобы все ;ПН были удовлетворены в равной доле, задача снова сводится к ТЗ с правильным балансом. А именно, нужно поданные заявки «ис· И

=

11

т

править», умножив каждую из них на коэq:фициент k

=

�

i=J

aj:

�

;=\

bj,

после чего решать ТЗ с правильным балансом. Можно также поставить задачу о распределении грузов по пунктам П назначения с учетом сравнительной важности каждого пункта. ри быть е не т мож пункт, каждый этом дол я заявки, которую получает одинаковой, как в только что описанном способе, а различной. В этом случае задача также сводится к ТЗ с правильным балансом. 112

7

6

6

6

5

8

4

б

50 40 20

ЗЗ

21

ТcrОЛUЦll /З.2

� ПО

А)

8\ 5

18

4

А2 4

Аз Заявки

j=)

аl

5

18

Ь)

Запасы

Вз

В2

В)

ПО

Ь) Платежи

Pj

В2 57

21

ВФ

Вз 76

61

66

65

"гП 22 ��18

86

45

50

18

21

З3

5

7

6

20 3

Запасы

П лат е ж и

50

О

а,

О о О

СХ1

40

-1

20

-1

G

8

1

I ТаОЛllца 13 J

� ПО

А\

А;> Аз З а я в ки Ь)

Платежи

fЗ)

В\ 5

5 7

18

21

67

5 5

Вз

В2

87

75

65

+

60

+

-

33

50

11 7

5О

4 5

Запасы Платежи

ВФ

- 20

18

21

33

38

5

7

5

О

О О О

а,

СХ\

50

О

40

О

20

О

G

I

l

разниuа

ТаОЛlщti

� ПО

А1

В1 5

18

5

А2

ЗаЯ8КИ bj Платежи

Р;

57

1

84

75 65

67

2

Аз

Бз

В2

+

20

4 2

60

33 -

50 5 -з

Бф 31

+

7 -

18

21

33

38

5

7

5

О

О

(

13. fI.

О О

tXj

50

О

40

О

20

-3

� А1 А2 Аз Заявки bj Платежи

fij

13

Пример. табл. 13.1. Реwеиие.

114

В! 5

18

56

5

66

э

84

В2

1 20

75 65

Бз 60

33

50

ВФ 32 6

5 -2

43

О

а,

1%j

50

О

40

at-

� 1=1

равна

bJ= 110-72=38.

РЕШЕНИ Е ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ПО КРИТЕРИЮ ВРЕМЕН И у нас была об­

щая стоимость перевозок, и мы стремились эту стоимость минимизи­

ровать. В большинстве CJlучаев практики именно критерий стоимости яв­ ляется главным, определяющим качество (эффективность) плана пере­ возок. Однако в некоторых случаях иа первый план выдвигается не стоимость перевозок L, а время Т, в течен.ие которого все перевозки бу­ дут законЧЕНЫ. Так, например, бывает, когда речь идет о перевозках скоропортящихся продуктов или же о подвозе боеприпасов к месту боевых действий. Наилучшим планом перевозок (Xt') будет считаться тот план, при котором время окончания всех перевозок минимально:

Запасы Платежи

о

�

n

до сих пор критерием оптимальности решения ТЗ

110

О

т

Введением ф икт и вного ПН 8ф с зая вкой ЬФ = 38 сводим задачу к тз с правильным балансом (см. табл. 13.2, 13.3, 13.4, 13.5). План, представле нный в табл. 13.5, я вляется оптимальным, так как во всех свободных клетках псев достоимости не превосходят стоимостей. Сог ласно этому плаиу, из 50 е ди ниu груза, имеющихся в пункте А1, не перево зятся 32, а осталь­ ные 18 направляются в пункт 81; из 40 едиииu, имеющи хс я в пункте А2• 6 ие пе­ ревозятся. 1 отправляется в пункт 8z и 33 - в пункт 8з. Все 20 единиu, имею­ щихся в пункте А з. направляются в пункт 8�.

14_

Тl1tfЛ(ЩtI 1з.5

ПО

запасами и заявками

;=1

Запасы Платежи , й1

t ",ежду ,

-

Такая транспортная задача, где оптимальным считается план с ми­ нималы:lмM временем Т, называется трансnортн.оЙ задаЧЕЙ по крите­ рию времени. Задача ставится следующим образом. Имеется т пунктов отправления A1, ••• , Аm с запасами аl, ... , аm-и n пунктов назначения В), ... , Вп с заявками Ь1, .... Ьп; сумма запасов равна сумме

О -2

20

(14.1 )

T=min.

заявок:

21

18 5

Решить

-

тз

6 с

33 5 избытком

38 О запасов,

110

n

т

L 1= 1

, условия

которой

заiаны

а;

=

�! }= I

bJ•

(14.2)

Заданы времена перевозок t;j из каждого ПО А! в каждый ПН BJ; предполагается, что они н е з а в и с я т от количества перевозимого груза Хн' т. е. количество транспортных средств всегда достаточно для осуществления любого объема перевозок. Запасы aj, заявки Ь J и времена 'о приведены в табл. 14.1, построенной так же, как обычная транспортная таблица, с той разницей, что в правом верхнем углу каж­ дой клетки вместо стоимостей Са стоят времена 'о·

115

ТаОЛllЦCl /1; I

�

81

ПО

А1

82

t 11

t 22

.

·

.

.

.

·

.

·

·

.'

·

·

.

·

·

t1

а!

аl

"

t2 " .

,

Запа с ы

ВП

·

t 12

t 21

А2

·

нейная функция переменных Хи. Эту задачу можно свести к решению Од­ задач линейного программирования, но не одной, а нескольких. ем нстриру продемо а ием, сведен таким ся будем занимать не мы нако, ное расчетный метод, позволяющий непосредственно найти оптималь таб­ решение ТЗ по критерию времени преобразованием транспортной лицы. Этот метод называется «методом запрещенных клетою>. Проще

I

всего будет пояснить его на примере.

Пример. Условия ТЗ по критерию времени (запасы, заявки времена перевозок) даны в табл. 14.2. Требуется найти план перевозок, укладывающийся в минимальное время, и указать Это время.

а2

.

и

.

•

Решение. Начальный план перевозок можно было бы, как мы и де­ лали раньше, составить способом северо-западного угла, но мы видим что при этом получится (за счет клетки (1,1» очень большое время Т= 10. Попытаемся этого избежать, «запретив» себе ставить отличные от нуля перевозки в клетки (1,1) и (4,1), где стоят самые большие вре­ мена в таблице (tH 10 и t4l 11). Перечеркнем в табл. 14.3 эти клет­ ки и составим новый план перевозок так, чтобы в первую очередь за­ нимать клетки с малыми временами.

·

tm2

t т1

Аm Заявни

bJ

·

Ь2

Ь1

.

Требуется выбрать перевозки БОрЯЛИСЬ балансовые условия

(Хи)

·

·

·

·

хu =aj

<:�

�

Ха

(1-1,

,=1 т

'=I

=Ь/

ЬП

.

ат ЕО1=ЕЬ] т

n

'�I

1=1

=

таким образом, чтобы удовлет.

.�

n

tm"

1,

000'

...

т),

,n),

I

(14.3)

Выразим время Т через времена tiJ и перевозки Хо. Так как Бсе перевозки заканчиваются Б момент, когда кончается самая длительная из всех перевозок, то время Т есть максимальное из всех времен t 11,. стоящих в ячеuках, садержащих ненулевые nеревозкu. Запишем ЭТО в виде
Xij>

О

В плане (табл. 14. 3) время окончания всех перевозок равно 8 оно достигается в клетке (3, 2). Попробуем улучшить план, запретив себе для дальнейшего использования все клетки, где время tu � 8, и перечеркнув эти клетки. Перенесем 14 единиц rруза по циклу, ука­ занному в табл. 14.3; этим мы устраним перевозки со временем 8. По­ лучится план, приведенный в табл. 14.4, со временем окончания Т 7 (клетка (3, 3». =

и, кроме того, обращалось в минимум время окончания всех пере­ ВОЗок Т.

Т=тах ti},

(14.4)

Чтобы еще улучшить этот план, нам 'нужно устранить перевозки из клетки (3, 3), запретив, кроме того, перенос Б клетку (1, 5), со­ держащую то же Бремя. 7 из 13 единиц, стоящих в клетке (3, 3), устраняем переносом по циклу, показанному в табл. 14.4. Новый план приведен Б табл. 14.5. ТrzОЛlЩrz

� ПО

А2

i.l�

).ij>

О

=miп.

(14.5)

Поставленная задача н е я в л я е т с я з а Д а ч е й л и н е й­ н о г о п ро г р а м м и р о в а н и я, так как величина Т - не ли116

Аз ,

А4

Заявки Ь)

Вз

В2

ВI

А1

где знак ХН > О показывает, что берется максимальное не из всех t . а т о л ь К О И З т е х, Д л я к о т о р ы х пе р е в о з О Т Л И Ч н ы о т н у л Я. МЫ хотим найти такой план перевозок (Хи) , для которого время Т обращается в минимум:

Т =шах tiJ

=

о,

ю

6

б

6

7

25

б

6

6

6

9

34

4

8

7

8

Q

42

11

4

5

8

9

23

I ,

21

Запасы

В5

В4

f/l.2

37

40

11

15

124 J 17

� ПО

А)

А2 Аз А4 Зая вки

'оолц'Ца

В2

В)

ХХ 2�

5

в

гh+

J�J �4 IX

Ь)

25

23

21

"

13

4

37

6

й)

7

25

6[Х

8

2

8

5

За пасы

В5

В4

Вз

34

5

7Х 5[><Х 15

"

40

42 23 12

15

ТаiJлtща

� по

А) А2

Аз А4 Заявки bj

Вз

�2

В)

5

IXХ 1-х8 14

25

6

5

2

7_г

14

+

1

4

[>( 21

"'-

23 37

4

13 -

I

+

В4

11; '"

Запасы

В5

йl

25

11

3

15

5

42

23

15

11

40

124

Таолuuа /45

ПН ПО

В2

25

А,

в

5

Запасы й,

25

6

4

А2

3

Аз

42

А4

23

Заявки Ь) 118

В5

В4

Вз

21

37

40

тmln

4

Т>< 6Х 4 Т>< Т><л а

ц в клетке (3,3) пу­ Попробуем избавиться от оставшиХСЯ б едини м все возможные обуе испр тем их циклического переноса. для этого ьно или верти­ онтал ориз г еся ающи переносы из этой клетки, начин так как стол­ чен, исклю кально. Горизонтальный перенос в клетку (3,5) перенос льный зонта Гори к. бец 5 не содержит не запрещенных клето умень­ бы лось приш этого для как так чен, в клетку (3,1) также исклю о. шить перевозки в клетке (2,1), что невозможн ться непосредственно, Вертикальный переное, как можно убеди щего время переВОЗ0К. такж е не дает ни одного цикла, уменьшаю план перевозок, данный что Из этого мы делаем заключение, время перевозок равно ное маль мини и в табл. 14.5, оптимален,

l'f 3

11

15

124

,

=

7.

3 ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

1_.

X\I), х\2), "', X�k).

ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Динамическое программирование (иначе, «динамическое планиро­ вание») представляет собой особый математический метод оптимизации решений, специально приспособленный к м н о г о ш а г о в ы м (или многоэтапным) операциям. Представим себе, что исследуемая операция О представляет собой процесс, развивающийся во времени и распадающийся на ря д «шагов» или «этапов». Некоторые операции расчленяются на шаги естественно: например, �ри планировании хозяйственной деятельности группы предприятии естественным шагом является хозяйственный год. В дру­ гих операциях разделение на шаги приходится вводить искусственно; например, процесс вывода ракеты на космическую орбиту можно ус­ ловно разбить на этапы, каждый из которых занимает какой-то вре­ менной отрезок At. Процесс, о котором идет речь, является у п р а в л я е м ы м, т. е. на каждом шаге принимается какое-то р е ш е н и е, от которого зави­ сит успех данного шага и операции в целом. Управление операцией складывается из ряда элементарных, «шаговых» управлений. Рассмотрим пример естественно-многошаговой операции О. Пусть пл�нируется деятельность ГРУПП�I (системы) промышленных предприя­ тии �1' П2, . . . , Пk на некоторыи период времени Т, состоящий из т хозяиственных лет (рис. 3.1). В начале периода на развитие системы предприятий выделяются какие-то основные средства КО, которые должны быть как-то распреде­ лены между предприятиями. В процессе функционирования системы выделенные средства частично расходуются (амортизируются). Кроме того, каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от вложенных средств. В начале каждого хозяйственного года имею­ щиеся средства могут перераспределяться между предприятиями: каждому из них выделяется какая-то доля средств. Ставится вопрос: как нужно в начале каждого го а распределять д о и м с сре ства и чт бы сум арны ед и е м жду пр пр ят ям , u еЮЩ!lе я д о й д ход м от всеи системы пре при тий за весь nериод Т т б ы л максимальным? я д =

f·U ео8 Z-u гоо

�

о 120

Перед нами - типичная задача n и н а м и ч е с R о r о п р о р а м м и р о в а н и я. Рассматривается управляемый процесс - функционирование си стемы предприятий. У п р а в л е н и е процессом состоит в распреде­ лении (и перераспределении) средств. Шагом управления является выделение каких-то средств каждому из предприятий в начале хозя й­ ственного года. Пусть в начале i-ro года предприятиям П1• П2 . ... , Пh выделяются соответственно средства: r

2

i-u eoi! � I

I

i-1

i

Рис. 8.1

Совоку пность этих значений представляет собой не что иное, как управление на i-M шаге:

и!

U

••••

X\k».

(1.1)

=

(и1• и2 •

••• ,

(1.2)

иm).

Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным. Эффективность управления U оценивается тем же показателем W, что и эффективность операции в целом. В нашем при­ мере показатель эффективности (целевая функция) представляет собой суммарный доход от всей системы предприятий за т лет. Он зависит от управления операцией и, т. �. от всей совокупности шаговых управлений:

(1.3)

Возникает вопрос:

как выбрать шаговые управления

обратилась в м,акси.мУМ?

и1 u 2'

..

., Uт

W Поставленная задача называется з а Д а ч е й о п т и м и з а Ц и и у п р а в л е н и я, а управление, при котором показатель W дости­ гает максимума, - о п т и м а л ь н ы м у п р а в л е н и е м. Буд(!м обозначать оптимальное управление (в отличие от управления вообще И) буквой и. Оптимальное управление и многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговЫХ управлений: (1.4)

для moгo, чтобы величина

Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление на каждом шаге и! и= 1, 2, . . . , т) и, значит, оптимальное управление всей операцией и. Заметим, что в нашем примере (управление финансированием си· стемы предприятий) показатель эффективности W представляет собой сумму доходов за все отдельные годы (шаги): т

W=

C-J

Т=m "t

(X�I), XJ2),

Управление U операцией в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений:

т·Й eoi! т-'

=

где

Wj

-

L

'=1

Wi,

доход от все/1 системы предприятий за i-й год.

(1.5) 121

Показатель, обладающи й таким свойством, называется а Д Д и· т и в н ы м. Мы будем пока р ассматривать только задачи с аддитив­ ным показателем . Поставим задачу динамического программирования в общем виде. Пусть имеется операция О с аддитивным показателем эффекти вности ( 1 .5), распадающаяся (естествен но или искусствен но) на т шагов На каждом шаге применя ется какое-то управл ение U i ' Т ребуется на и ти оптимал ьное у п равление .

•

при котором показатель эффективности

обращается в максимум. Поставленн ую задачу можно решать по- разному: или искать ср азу оптимальное управление и, или же строить его постепенно, шаг з а ша­ гом, н а к а ж Д о м э т а п е р а с ч е т а о п т и м и з и р у я т о л ь к о о Д и н ш а г. Обычно второ и. способ оптимизации оказы­ вается проще, чем первый, особен но при большом числе шагов. Такая идея постепенной , пошаговой оптимизации процесса и со­ ставляет суть метода динамического программи рования . С первого взгляда эта идея может показаться довольно тривиаль­ ной . В самом деле, чего, казалось бы, проще: если трудно опТимизи­ ровать операцию в целом, то разбить ее на ряд шагов; каждый та кой шаг будет отдельной, маленькой операцией , оптимизи ровать которую уже нетрудно. Надо выбрать на каждом шаге та кое управлени е, при котором эффективность этого шага ма ксимальна. Не так ли? Оказывается, вовсе не та к! При н ци п ди намического программи­ рования отнюдь не предполага ет, что каждый шаг оптимизируется отдельно, независимо от други х ; что, выби рая шаговое управление, можно забыть обо всех других ш а гах. Напротив, шаговое у правление должно выбираться с у ч е т о м в с е х е г о п о с л е Д с т в и й в б У д У щ е м. Плани рование должно быть дальновидным, с учетом перспективы . Что толку , если мы выберем на данном шаге управление, при котором эффективность э т о г о шага ма ксимал ьна, есл и в даль­ нейшем это помешает н ам пол учить хо рошие результаты других шагов? Нет, выби рая управление на каждом шаге, надо делать это непремен­ но «с оглядкой на будущее», иначе возможны серьезные ошибки. Рассмотрим п ример : пусть планируется работа гру п пы п ромыш­ ленных предприяти й , одни из которых з а н яты выпус ком предметов по­ треблени я , другие же производят для этого машины . Задачей я вляется пол учение за т лет ма ксимального объема вып уска предметов потреб­ лен ия . Пусть плани руются ка п италовложения на первый год. Исходя из узки х интересов да н н ого шага (года) , мы должны был и бы все сред­ ства вложить в I I РОИЗ ВОДСТВО п р едметов потреблени я , пустить и мею1 �2

щиеся машины на полную мощность и добиться к концу года макси­ мал ьного объема п родукции . Но правил ьным ли будет такое решен ие с точки зрения операции в целом? Очевидно, нет. Имея в виду будущее , необходимо выделить какую-то долю средств и на п роизводство машин . При этом объем п родукци и за первый год, естественно, снизится , зато будут созданы услови я , позвол яющи е увел ичивать ее п рои зводство в последующие годы. Таким образом, планируя м.ногошаговую операци ю, жюбходимо вы­ бирать управление на каждом шаге с учетом его будущих noследсmвий на еще предстоящих шагах. Однако из этого пра вила есть и сключение. Среди всех шагов су· ществует один , который может пл ани роваться поп росту, без «огл ядки на б удущее». Какой это шаг? Очевидно, п о с л е Д н и й - после н е­ го других шагов н ет. Этот шаг, единственный из всех , можно плани­ ровать так , чтобы он как таковой принес наибол ьшую выгоду. Сплани­ ровав оптимал ьно этот последн ий шаг, можно к н ему пристраи вать предпоследний, к предпоследнему - пред- предпоследний и т. д. Поэтому процесс динамического п рограммирования разворач и­ вается о т к о н Ц а к н а ч а л у: раньше всех планир уется послед­ н и й , т-й шаг. А как (ого спл ани ровать, если мы не знаем, чем кончил­ Ся предпоследн ий? Очевидно, н у ж н о сДел а т ь р а з н ы е п р е Д п о л о ж е н и я о т о м, Ч е м к о н ч и л с я п р е д­ п о с л е Д н и й (т - 1) -й ш а г, и дл я каждого из н и х на йти та кое уп равление, п ри котором выигрыш (доход) на последнем шаге был бы ма ксимален . Решив эту задачу, мы на йдем у с л о в н о е о п т и­ м а л ь н о е у п р а в' л е н и е на т-м шаге, т. е. то управление, кото­ рое надо п рименить, если (т - 1 )-й шаг закончил ся определ енным образом. Предположим, что эта процедур а выполн ен а и дл я каждого и схода (т - 1 )-го шага мы знаем условное оптимал ьное у правлен ие на т-м шаге и соответствующий ему условный оптимальный выигрыш . Теперь мы можем оптимизи ровать уп равление н а п редпоследнем, (т - 1 )-м шаге. Сдел аем все возможные предположен и я о том, чем кончил ся пред- предпоследний, (т - 2)-й шаг, и дл я каждого из эти х предполо­ жений найдем та кое управление на (т - 1 )-м шаге, чтобы выигрыш за последние два шага (из кото рых посл�дни й уже оптимизи рован) был ма кси мален . Далее оптимизир уется управл ение на (т-2)-м шаге, и т. д. Одн им словом, н а каждом шагу ищется такое у п равление, которое обеспечивает о п т и м а л ь н о е п р о Д о л ж е н и е п р о Ц е с­ с а относител ьно достигн утого в данный момент состоян и я . Этот п р и н­ цип выбора управления называется п р и н Ц и п о м о п т и м а л ь­ н о с т и. Само управл ение, обеспечивающее оптимальное продолже­ ние процесса относител ьно заданного состоян и я , называется у с л о в­ Н ы М о п т и м а л ь н ы м у п р а в л е н и е м на дан ном шаге. Теперь предположим, что условное оп тимал ьн ое управление на каждом шаге н ам известн о : мы знаем, что делать дал ьше, в каком бы состоянии н и был п р оцесс к началу каждого шага . Тогда мы можем н а йти уже н е «условное», а просто о п т и м а л ь н о е управление на каждом шаге. 1 23

действительно, пусть нам известно начал ьное состояние "р оцес са, обоз на ч и м его So . Те пер ь мы уже знаем , что делат ь на перв ом шаге : надо п р и менить усл овное оптимал ьное управление, вы работан н ое на­ ми дл я первого шага, относящееся к состоя нию S o. в результате этого у п равления посл е пер вого шага си стема перейдет в дру гое состоя ние SI ; но для этого состо я н и я мы снова зн аем условное оптимал ьное у п­ равле н ие на втором ша ге и 2 , и т . д . Т а ки м образом мы н а йдем оптимал ь­ ное у прав л ен и е пр оцессом и

=

(и1 , и2,

• • •

,

ит) ,

п р и в одяще е к ма ксимал ьн о возможному выигры ш у W mах. Т а к и м образом , в процессе опти мизации управл ения методом ди ­ н а М И Ч f СКОГО п рограмми рова н ия многошаговой п роцесс «проходится» дважды : - пе рвый раз - от ко нца к начал у , в резул ьтате чего находятся условные оптимальные у п равл ения на каждом шаге и опти м ал ьный в ы и г рыш (тоже условный) на всех шага х , начиная с да н ного и до конца п р оцесса ; - второй раз - от начала к концу , в результате чего находятся ( у ж е не услов ные) оптимальн ы е шаговые у пр авлен и я на всех шагах операци и . Эти общи е пра вил а стан ут более пон ятными на кон кретном при­ мер е .

Б удем изобр ажать сосtояние са молета точ кои S на плос кости VOH (рис. 3.2), где абсцисса - с корость самол ета, а орди ната - его

высота . Очевидно, с уществ у ет множество возможн ых у п равл ен и й - м н о­ жество тр аекторий, по которым можно перевести точку S из So в S
- -

- - - - - - - - - -

- - - - - - - - -

Sr.;

- -- - - -- - - --- - - -

н

Но о

v Рис. 3.2

ИЗ всех эти х тр аекторий н ужно выбрать ту, на которой расход го рю­ чего будет минимал ь ным. Б удем решать з адачу методом динамическо го п рограмми ров а н и � . Vo на nl равных частеи: для этого р азделим интервал скор остей Vro -

2.

Л ЕТАТЕЛ Ь Н Ы М А П П А РАТО М

Одной из простейши х з адач, решаемых методом ди намического програ ммировани я , явля ется зада ча об оптимальном режиме набора высоты и скорости л етател ьным а ппар атом . С этой задачи мы и начнем изложен ие пр актических при емов динамичес кого программи рования, при чем в цел я х методической ясности , условия зада чи будут до кра й ­ ности упрощены . Пусть самолет (или дру гой летател ьный а п па рат) , на ходя щийся н а высоте НО и имеющий скорость Vo, должен быть подн ят н а зада нную высоту Н ю , а с корость его доведен а до заданного значения VФ (бу квой «) мы будем отм ечать к о н е Ц процесса). Известен рас ход горючего, потребный дл я подъема а ппарата с любой высоты Н на JI юб у ю друг ую Н' > Н п р и н еизменной скорости V; иЗвестен та кже рас х од го рючего, потр ебный для у величения ско рости от любого значени я V дО V' > V п р и неизменной высоте Н. Требуется на йти оптимал ьный режим набо ра высоты и ско р ости . при котором общий расход горючего будет ми нимальным. Решение будем строить сл едующим об разом. для пр остоты до­ пустим, что весь процесс набора высоты и скорости раздел ен на ряд по­ следовател ьных ша гов (эта пов) и за каждый ша г са молет ув елич ивает т о л ь к о в ы с о т у или т о л ь к о с к о р о с т ь . 124

�v =

ЗАДА Ч А О Н А Б О Р Е В ЫСОТ Ы И С КО Р ОСТИ а интер вал в ысот

Ню - Но

-

VФ - V о nl

,

на n 2 равн ых частей :

�H =

Н (,) - Н о n2

Но + 5,:j

н Но + If.IJ Н Ho + JIJ H Ho +Z iJ H

{

НО + IJ H IJ H Но

- ­

-s-�,�����--1----+---+---�--� о, I I I

Рис. 3.3

125

Число частей n1 и n 2 принципиал ьного значения не имеет и может быть выбрано исходя из требований к точности решения задачи . Так как за каждый шаг мы можем менять т о л ь к о в ы с о т у или т о л ь к о с к о р о с т ь, то общее число т ша гов будет: т

= n1 + n2•

Нап ример , для случа я , изображен ного на рис. 3 .3, �

=

8,

n2

=

6,

т =

14

.

Любая траектори я , переводящая точ ку S из So 1 4 шагов, или эта пов .

в

S(fJ' состоит из

переместиться в точ ку S (fJ за один шаг, т. е. каковы возможные состоя­ ния самолета после предпоследнего, 13-го шага? Рассмотрим отдельно правый верхний угол нашей прямоугол ьной сетки (рис. 3 . 5) с конечной точкой S (fJ' В эту точк у моЖно за один шаг переместиться из двух соседних точек: 81 и В2, п ричем из каждой ­ только одним способом, так что выбора условного управления на по­ следнем ша ге у нас нет - оно единственно. Если предпоследний шаг прив ел нас в точку 81 ' мы должны дви гаться по гор и зонтали ( н абирать скорость) и тратить 17 еди ниц горючего; если в точку 82 - идти по верти кали (набирать высоту) и тр атить 14 еди ниц. Запишем эти ми ни­ мал ьные (в да нном случае просто неизбежные) расходы в специал ьных кружках, которые поставим в точках 81' 82 (рис. 3.6) . За пись « 1 7» в кру ж к е у 81 озн ачает : « если МЫ пришли в В1, то миним ал ь ный р а сход

?-"---1" Ll1 -4 flI

']

Рис. 8.5 '---.-' ..1 V

v...., v

Рис. 8.4

Чтобы оптимизи ровать управление процессом набора высоты и скорости (т. е. выбрать ту траекторию, на которой расход горючего минимален), надо знать расход н а каждом шаге (горизонтальном ил и вертикальном участке траектории). Предположим, что эти расходы заданы (см. рис. 3.4). На каждом отрезке за писан расход горючего в условных единица х. Любой траектории, переводящей S из So в S(f)' соответствует впол­ не определенный расход горючего, равный сумме ч и сел, написанных на отрезка х . Например , траектория, помечен ная стрел ками на рис. 3.4, дает расход горючего: 1 2 + I I + 1 0 + 8 + 1 1 + 8 + 10 + 1 0 + 1 3 + 15 + 20 + 9 + W + 12 + 14 1 63. Нам нужно из всех траектори й выбрать ту. для которой расход горючего минимален . Можно было бы, конечно, перебрать все возмож­ ные траектории, но их слиш ком много. Гораздо проще будет решить задачу методом динамического прогр аммирован и я . Процесс состоит из 14 шагов; будем оптимизировать каждый шаг, начиная с последнего. Конечное состояние са молета (точ ка S(fJ) нам задано; 1 4- й шаг непре­ менно должен п р и веС1 И нас в эту точку _ Посмотрим, откуда мы можем =

=

1 26

Рис. 8.6

82

горючего, переводящий нас в точку S(fJ' равен 1 7 единицам» . Анало­ гичный смысл имеет запись « 1 4» в кружке у точки 82' Оптимал ьн о е управление, приводящее к этому расходу, помечено в каждом случа е стрелкой , выходящей из кружка . Стрелка указывает то направление, по которому мы должны двигаться из дан ной точки, если в результате предыдущей н ашей деятельности оказались в ней . Таким образом, условное оптимальное управление н а последнем, 1 4-м шаге, на йдено для любого ( 81 или 82) исхода тринадцатого шага. дл я каждого из эти х исходов найден, кроме того, условный минималь­ ный расход горючего, за счет которого можно переместиrься из данной точки в Sю. Перейдем к планированию предпоследнего, 1 3-го шага . Дл я этого рассмотрим все возможные рез ул ьтаты пред-предпоследнего, 1 2-го ша ­ га . После этого шага мы можем оказаться только в одной из точек С1, Сз, Са (рис. 3 . 7). Из каждой такой точки мы должны найти опти­ мальный путь в точку S(fJ и соответствующий этому пути минимальный расход горючего. Если мы оказались в точке С1, то выбора нет: мы должны переме­ 32 еди ницы горючего. щаться по горизонтали и тратить 1 5 + 1 7 Этот расход мы запишем в кружке при точке С1, а оптимальное (в да н­ ном случае еди нствен ное) управление из точки С1 снова пометим стрел кой . для точки С2 выбор есть: из нее можно идти в S(f) либо через 81' либо через 8�. В первом случае мы из расходуем 1 3 + 1 7 30 еди ниц =

=

1 27

горючего, во втором 17 + 1 4 = 3 1 единицу . Зн ачит, оптималь ны й п уть из Cz в Soo начинается верти кальным у ч а стком (отметим это вер­ тикальной стрелкой), а минимальный расход горючего равен 30 (это число мы запишем в круж к е п ри точке С 2). Н аконец, для точки С а п уть в S0 опять единственный : по верти ­ кали . Обходится он в 1 2 + 1 4 = 26 ед ин иц ; эту величину (26) мы и за ­ пи ш ем в кружке при С з, а стрел кой пометим оптимальное упр авлеJ

��

Таким образом , переходя от то чк и к точ ке справа налево и сверху в низ (от конца процесса к его началу) , можно для каждой узловой точки рис 3 4 выбрать условн ое оптимальное управление на следу ю-

. .

следнего. При ЭТом мы строим оптимальную траекторию точки S, пе­ ремещаясь по стрелкам из So в Sw. На р ис 3.8 покаЗан окончательный результат такой процеду ры оптимальная траектория отмечена жирными кружками и дополн итель­ ными стрелкам и Число « 1 39», стоящее у точки S o , оз н а ч а ет минималь­ ный расход горючего W mtn, меньше которого нельзя получить ни на какой траектории . Таким образом, поставленная задача решена , и оптимальное уп­ равление процессом найдено. Оно состоит в следующем: - на первом шаге увелич ивать только скорость, сохран я я неиз­ менной высоту НО, и довести скорость до Vo + 11 V;

.

}f

Hr.;

.

--�20+f8 4!rf6..(fJr'5+'''�12+fS� 17 -;1 S'I f (3 1. 1S 13 12 13 то t7 --+1 7 � '9 �fJ�fО+ f1 +, 'J �f,, fII.

+� Z t� 9 � 8 yп � (5 )' ff+IJ�'s-&-zи-; щ.

'6 + f� �1J4j).'2� '0 t -- ..rI!p. 12�fJ '2 4!r '0 8 у 9 8 t�'О-«!)-12+ 'L 1 -- +fО� 8 8 � fS� fJ� !. " � 9 �8�7 :t.. 9 L,J ;Jp.. ,. --$г f8 ,,} 1. Т, t'i' 10 � . у � -s���''+fО-ф-9 +fj+'�+'7-ф-20� 9

--

8

9

" _ '2 _

� t

_

_

_

77

ь

о

Рис. 3. 7

.

,

ь

ы

,

я

' �8

I I I I

I I I I

I I I I

I I I I

I I I I

А

1 1/

12

I I I I

I I I I

_

I I I ,

V/i) V

о

щем ша ге, т . е . на п р авл е н и е в еду щ ее из данной точки в точку S 0 с м и­ нимальным расходом горючего, и з а п исать в кружке у да нной то ч ки тот мини маль ный р а сход Чтобы на йти в узловой точке оптимальн ое управление, нужно просмотреть два ВОЗМQЖНЫх п ути и з этой ТОЧКИ: направо и вверх, и для каждого из них найти сумму расхода горючего на этом шаге и мини ма льно го расхода горючего на о п ти ма л но м п р о­ долже� ии пути, уже построенном для следующей точ ки , куда ведет данныи путь. Из двух путей (вправо и вверх) выби р ается ТОТ, дЛ Я ко­ торого эта сумма меньше (если суммы равн ы , в б и рается любой путь). В результа т е выполнения такой процедуры, из каждой узл овой точки (см. рис. 3 . 8) проводится СТрелка, у казывающая условное опти­ мальное управление, а в кружке записывается минимальная стоимость перехода из это й точки в Soo (условная м И нимал ьная стоимост ь) . Рано или поздно процесс заканчивается, дойдя до исходной точки S o . Из этой точки как и из любой др у гой, идет стрелка, указывающая , куда надо из нее пер емещат ься , а в кружке зап и сан минимальный рас­ ход горючего. На этом эта п у сл овной о п ти ми з аци и управления за кан­ чивается , и на ч инаетс завершающий эта п безусловной оптим и заци и построение оптимального у п р авления на каждом шаге от пе р вого до nо-

э

:

I I I

_ l _

,1

__

1/0

.

Рис. 8.8

на втором и третьем шагах увели ч ить высоту до Но + 211Н, сохраняя скорость неизменной; - на четвертом пятом и шестом шагах снова наби рать скорость, пока она не станет ра вной Vo + 411 V; - на седьмо м и восьмом шагах набирать высоту и довести ее до Но + 411Н; - на девятом, десятом, одиннадцатом и двенадцатом шагах сн ова набирать скорость и довести ее до заданного конечного значения V00 ; на последних двух шагах (тринадцатом и четырнадцатом) н а ­ бирать высоту до заданного значения Ноо. Нетрудно на ряде примеров убедит ься , что найденное управле ние дей ствител но является оптимальным и на любой другой траекто­ рии расход горючего будет бол ьше (или, по крайней мере, не МЕ н ьше) . Рассмот ренна здесь задача оптимального набора высоты и ско­ рости является п ростейшим п р и ме р ом на котором часто демонстрируют ДеЙствитеЛl>НО . сс новную идею динамического про гр амми р овани

,

-

·

ь

я

5

3ак.

б1�

,

я.

1 29

в нашей упрошен ной постановке зада чи на каждом ша гу нам нужно выбирать тол ько между дву мя у правления ми : «наби рать высот у » и «на­ бирать скорость» . Именно в свя зи с та ким элемен та рно простым набо­ ром управлени й задача очень легко решается до конца . Такая намеренно у прощенная постановка задачи н е в пол н е соот· ветству ет действител ьности . Факти чески л е та тел ьны й а п п а р а т может набир ать (а зачастую и наби рает) высоту и с корость однов ременно. В этом сл учае дл я каждой точки на плоскости VOH точ ка S мо­ жет дви гат ься под любым углом в предел ах некоторого сектора (рис. 3 . 9) , п ричем каждому направлен ию соответств ует свой расход горючего на един ицу длины пройденного пути (разумеется, не ре­ ал ьного пути, а условного - на плоскости VO H). н

Н(А)

Н ач и нается проuесс с nОСJIеднеtо I1Iata (рис. 3. 1 1 ). Г1 режде всего , оп редел я ютс я возможные пол,?жения точ ки на прямой (m- I )-(m- l ), и з к отор ы х она может при и ти в Sro за оди н шаг . Это , очевидно , все положен и я от А до В (та к как выбранная нами роза на правлений предполагает, что скорость и высота в процессе набора убывать не могут) . З ададимся на отрез ке А В рядом ВОзможных положений точки S дл я каждого из ни х построим прямолинейный участок пути к точк� S ш И подсчитаем на ЭТом участке расход горючего. движение по этому н

- - г------f1 SlU

(1 I

�

Роза

50 о

Л ОГ-���__��----�--��v

I I

Vo

V�

Рис. 8.10

v

Рис. 3 9

Чтобы решить та кую задачу ди намическо го программи рован и я . мы должн ы ка к-то установи ть «ша ги» или «эта пы» процесса . Нам здесь уже неудобно будет пользо ваться тем разделен ием на этапы. которое мы выбрали для предыдущей задачи Удобнее будет разбить от р е з о к So Sro на т частей, провести через точки делени я ряд опорных прямых (т) - (т). перпенди кул я р н ых (О) - (О). ( 1 ) - ( 1 ) . . . . , (i) - (i), точ к и с одной и з SoSro, И предположить , что « шаг » состоит из перехода опорн ых прямых на другую (рис. 3 . 1 0) . Если взять опорные прямые достаточно близкими, можно доп устить, что каждый участок траекто­ рии, от одной опорной прямой до следующей, - прямолинеен. Ра­ зумеется , направлен ие каждого такого участка не должно вы х оди т ь за пределы «разрешенн ого сектора» , определя емого «розой на п р авл е­ ни й» HёiI рис. 3 . 1 0. Расход горючего на пря молинейно м у чаСТl{е определяется точ кой , где он начинается , направлени ем у частка и его д.1J ИНОЙ . Схема решения тако й зада чи метод ом ди намическог о программн ­ рования нескол ько сложнее, чем вышео п иса н н а я «СТУ IIенчата я» с х е­ ма, но в принци пе отличается от нее тол ь к о тем , что на каждом ша ге п ри ходится выбирать не между дв у м я направлени ями, а между н е­ с кольким и .

напра 8Лf?Н/I()

участку и будет (вынужденным) оптимальным управлением, в рас ход (н еизбежным) минимальным расходом. Таким образом, условная оп­ ти мизация последнего шага выполнена. Перейдем к предпоследнему шагу . Зададимся рядом точек на отрезке CD прямой (m-2)-(m - 2) .

_

. . .•

1 30

о

5*

(ОJ

(1 J

V Рис. 3. 1 1

131

для ка ждо й из эти х ТQчек

вы я ви М

оптимаJJ ьное у п р а вле н ие т. е. то н аправление да л ьней шего следова н и я , дви га я сь по кото ром ) \IЫ истрати м н а Д в у х п о с л е д н и х ш а г а х м и н и м у м горючего. Чтобы найти это нап ра вление, мы должны дл я каждого из в оз мо жн ы х отрезков , соеди няющих данную точку с пр я мой (т - 1 ) - (т - 1 ), . подсчитать расход горючего и слож и ть его с (уже о п тим и зи р ов а н ным) расходом на последнем шаге. Из всех напр а влен и й в к а чест в е опти­ мального выби рается то , для которого этот сумм а р н ы й р а с х од м ини ­ мал ен. далее переходим к оптимиза ци и (т - 2)-го шага, и т. д. На каж· дом этапе ищется такое направление движен ия из каждой точки , дл я кото р ого расход го рючего на ближайшем шаге плюс ( уже оптимизи ­ рованный) расход горючего на всех оставши хся до конца ш а г а х дости­ га ет мин и мум а . Этот процесс усл о в ной оптимизации п родол жается до тех пор, пока мы не дойдем до первого ш ага начало которого Su уже не надо варьировать - оно известно. Таким образом определ яется минимальный расход горючего на всю операцию, начиная от точки 50' далее, дв й гаясь из ка ждо й точки, начиная от So, по оптима л ьном у п у ти, находим опти мальный р еж им набо ра высоты и ско р ос ти (отмечен на рис. 3. 1 1 точ ками) . Заметим, что описанная методика построен ия оптимал ьной тра· ектории точки S (оптимального управления ) отнюдь не относится тол ь­ ко к сл у ч аю набора высоты и скорост и . По осям могут откладываться не высота и с корост ь , а любые другие величины, например : - декартовы (пол я рные) коорд и наты д в ижуще й ся точки ; - вес и т р и составляющие с корости ракеты ; - количества средств, вкладываемые в разные отрасли п р оиз водства и т. п. Р а в н ы м t. бра з ом, макси м и з и ру емы й (минимизир уемы й ) показатель эффект и в ности W может быть любой природы, напр имер : - ра с ход материальных средств на систему мероп р иятий; - время перемещения из точки So в 5.<0; - доход, при носи мый группой п р едп р и яти й , и т. д. Выбор системы координат, в кото р о й решается задача, и способ член е н и я операции на шаги могу т быть самыми разными ; их кон крет­ ные формы ди ктуются, главным образом, сообра ж ения ми удобства расчетной схемы, а иногда - наглядностью геометр ической интер ­ претации . ,

,

3.

О Б ЩАЯ П О СТА Н О В КА З АДА Ч И Д И Н А М И Ч ЕС К О ГО П Р О Г Р АММ И Р О ВА Н И Я . И Н Т Е Р П Р ЕТА Ц И Я У П Р А ВЛ Е Н И Я В Ф А З О ВОМ П РО СТ РА Н СТ В Е

После того, к а к рассмотрены некоторые конкретные задачи дина­ мического программирования , дадим общую постановку таких задач и сq:ормулируем п ринци пы их решен и я . При ЭТОМ мы будем 'пол ьзо­ в атьс я с бо бщенными , си м в ол ическим и , а не р асч еТН bI М И форм у лами ; 1 32

из них в ы раж а ет ч t о О t Ч е t О З а в и с и т, но Не дает ВОЭМО}h Н ОСТИ ч то - л и б о вычислить . Тем не менее, написание та ки х об· щи х q:ормул о ч ень ПОJlез но дл я у я снени я сути мет ода . Расс м ат р и вается следующа я общая задача . Имеется некоторая фи­ зич е с к ая система S, кото р а я с теч ением времени меняет свое состоя­ н и е , т. е. в с и стеме S проис х одит на КОЙ-ТО п р о Ц е с с . Мы можем у п р а в л я т ь этим процессом, т. е. тем или др угим способом влиять на с остояние системы . Т а ку ю систему S мы б удем наз ывать у п р а в­ л я е м о й с и с т е м о Й , а способ на ш его воздействи я на нее - у п­ р а в л е н и е м и. Напомним, что бу квой U обоз н а ч а ет с я не какая­ то одна величина, а целая совоку пность величи н , Вс'кторов или фу н к­ ии й , х а ра ктеризующих упра вление . Предположим, что с процессом св яза на ка к а я - ro наша заи нтере­ сованность, выражающаяся численно величиной W, ко то р у ю мы б у дем называть «выигрышем». Мы хотим так управлять I1роцессом, чтобы выигрыш был максимален') . Очевидно, выигрыш зависит от у правлен и я : (3 . 1 ) W = W (U) . кажда я

,

Мы хотим найти такое у праВJlение (оптимал ьное) и = и, при котором выигрыш максимален : W тих т ах { W ( И)}.

(3.2)

=

и

З апись та х читается «максимум по и» и означает:

«м

а кс имальн ое

и

из всех значений W(U) при всех в озможных управл ени я х и». То из у правл е ни й , при котором достигается этот максимум, и есть опти маль­ ное управление и . Таким образом , поставлена общая задача оптимизации у п равле­ ния ф изической системой . Одна ко она поставлена еще не полностью. Обычно в таких задачах должны быть учт�ны некоторые условия, на­ кладываемые на н а ч а л ь н о е с о с т о я н и е с и с т е м ы S o и к о н е ч н о е с о с т о я н и е Sю. В простейши х слу ча я х эти состо я н и я могут быть полностью зада­ ны (см . , нап р имер , § 2) . В других слу чая х они могут быть заданы не полностью, а тол ько ограничены какими-то у словиями, т . е. у к а зан ы О б л а с т ь н а ч а л ь н ы х с о с т о я н и й .$0 и обл а сть к о н е ч­ н ы х с о с т о я н и й S(Q ' Наприм ер , в задаче, подобной р а сс м отренной в п р едыдущем па­ ра г рафе , может оказаться , что летательны й аппа рат надо лривести не в точно заданное состояние Sю, а в какую-то область на плоскости VOH ( с кажем , достигн уть высоты, не меньше з ада н ной , имея п р и этом *) Здесь и

дл я кр ат кост и буде м говор и т ь т ол ь к о о м а к с и м и з а ­ W ; п од р а з у м е в а етс я . что « м а кс и м у м» в любом с л у ч а е м ожет б н гь з а м е н е ll на « м и н и м у м» Ц и и

в дал ь н е й ше м

133

ск орость, з акл!{)ченную в определенных пределах) ; начальная ско­ рость Vo также может быть не в точности задана, а ее можно произ­ вол ьно выби рать в некоторых граница х . Тот фа кт, что начальное Состоя ние сисТемы S o входит в область 30' мы будем зап исывать с помощью прин ятого В математи ке «зн ака включения» Е : So Е 8 ' 0 Аналогично, для конечного состояния системы: S�) E S@. Таким образом, общая задача оптимального упр авлени я фор му­ лируется следующим образом:

Из множества возможных управлений и найти такое оптималь­ ное управление и, которое neреводит физическую систему S из нач аль нога состояния So Е 8 в конечное состояние S@ Е S@ т ак. чтобы при 0 этом выигрыш W обращался в максимум .

Дадим процессу управления геометри ческую интерпрета цию. Для этого нам придется несколько расширить наши привычные гео­ метрические представления и ввести пон ятие о так называемом ф а з 0в о м п р о с т р а н с т в е (или пространстве состояний) . Состояние S системы S, которой мы управл я ем, всегда можно описать с помощью того или другого количества числен ных парамет­ ров . Та кими па раметрами могут быть. например : координаты тела и его скорость; количества средств, Вложенных в отрасль п роизводства; численности группировок войск и Т. д. Эти параметры мы будем называть ф а з о в ы м и к о о р Д и­ н а т а м и системы S , а состояние системы изображать точкой 8 с этими координатами в некотором условном ф а з о в о м п р о с т­ р а н с т в е (пространстве состоян и й ) . Размерность этого пространст­ ва зависит от числа фазовых координат. Если состоя ние системы ха. ра ктеризуется о Д н и м параметром � , то фазовое пространство будет I

О

s . у Область 80ЗМОЖН61Х состОЯнци сщ:темы
(фазо80е пространст8о) Рис. 8. 12

о Д н о м е р н ы м и п редставляет собой участок оси абсцисс (рис. 3 . 12). а управление интер претируется законом движени я точки S из исходного состояния So Е 80 в конечное состояние S (f) Е 3 00' Е сли состояние си стемы характер изуется дв у мя параметрами �l и � 2 ( например , ско­ р остью и высотои, как в § 2, Гл . 3) , то фазовое пространство будет дв у 1 34

мерным (плоскость или ее часть), а процесс будет изображаться пере­ мещением точки S из 8 0 Е 80 в S @ Е 3 @ по оп ределенной траектории на фазовой плоскости �lO� 2' Траектория эта и будет изображать уп равление (рис. 3. 1 3). Если состояние системы S характеризуется тремя координатами �1' �2' � з (например , а бсцисса , с корость и ускорение), то фазовым про­ странством будет трехмер ное пространство или его часть, а управляемый процесс изобразится перемещением точ ки 8 по /2 Облает6 Возможных пространственно й ... -- ..... / c-остОIlНl.l(l си стем,,' кривой / /"-- - - - _ ..... ..... (фазоВое (рис. 3. 14). ... ,nроетщlНс· I Если число параметров. " т80) / t" ха рактеризующих состояние , I , , системы, больше трех , то , \ \ \ геометрическая интерпрета­ \ \ , \ ция теряет свою нагл ядность, " I но геометрическа я термино­ ... , " I оставаться продолжает ЛоГия .... - - - - - - - .,.,. , / удобной. В общем сл учае, когда состояние системы S О описывается n па раметрами ... .... _ -

Рис. 8.18

�1' �2' . . . . �n.

мы б удем говорить о точке S в n-мерном фазовом пространстве и о ее перемещении из области 8 в область S@ по та кой траектории. для ко­ 0 торой выи грыш W максимален . Выбор фазовых координат Sl . �2' . . . . определяющих состояние системы, и соответствующей геометрической интерп ретации может быть тем или другим, в зависимости от удобства построения расчетной схе­ мы . В некоторых случаях в качестве одной из фазовых координат, ха­ рактеризующи х состоя ние системы S, бывает удобно выбрать время '. протекшее с н ачала процесса; тогда этапы (шаги) будут нагл ядно видны в фазовом пространстве как перемещения точки 8 с одной из плоСкостей (гипер плоскостей) t сопst на другую (рис. 3. 1 5) . Предположим, что фазовые координаты �] . �2' . . . , определяющие состояние системы S, выбраны. Обща я задача оптими зации управле­ ния в геометрических терминах может быть сформулирована так: =

Найти такое уnравлен,ие и (оnтимальн,ое управление) . nод влия­ нием которого точка 8 фазового пространства neрем.естится из началь­ ной области 3 в конечную область 8@ так, что при этом выигрыш W 0 обратится в максимум .

Поставлен ную общую задачу можно решать различными спосо­ бами - отнюдь не тол ько методом динамического программировани я . Ха ра ктер ным для динамического программи рования является опреде­ л енный методический прием, состоящи й в следующем: процесс пере­ меше н и я точ ки S из 30 в S@ разделяется на нескол ько шагов ( этапов) (см . ри с . 3. 1 6) , и затем проводится пошаговая опти мизация управл ения и выигрыша, 1 35

�j

/

/

;'

"

"

Ir- -I

оtiласть �ОJИОЖНOIХ состояни и систеиы ( фа зоВое щJOсmранс-

---- -

--

I

"

"&}

"

/

"

�z

.....

......

- - - - -- --

Рис

�-

... '"

8Н

Рис. ,1. /5

", "

,/

/

\

j I ,

\

I

I

ЛРО ll ед у р э построения ОПТИМЭ J1ьноtо у п раВJ1ения методом ди­ намич�ского программирон з н и я распадается на две стадии : предвари­ тел ьну ю и о ко н ч а те л ьн у ю . На предва Р И1 ел ьноI'\ стадии опр едел я ется ДJ1Я каждого ш а га у 'с J1 О В Н О е о п т и м а J\ ь Н О е у п р l! В Л ен и е, заВИС ЯЩt'е от состо я н и я S с и стем ы (достигну того в результате предыдущих ша гов) , и у с л о в н ы й о п т и м а л ь 11 Ы Й В ы­ и г р ы ш на всех оставшихся шага х , нач и ная с да нного , также за­ в ися щий от состоя н и я S . Н а окон ча тел ь н о й стади и определяется для каждого ш а га окон ­ чател ьное ( б езу слов н о е) о пт имал ьное у п р а в л е н и е . П р ед в а р и тель на я (УСJ10в н а я ) оптими
W I(S)

( 3 . 3)

условный оnтU.мальныЙ выuгрыш, получаемый на всех последующих ша­ гах, начиная с i-го и до кон ца; он дост и г а етс я при о пти м ал ьном управ­ лении на в с е х эти х ш аГах и равен макси мал ьному в ы и г р ыш у , котоIJыIй можно пол учить на в с ех этих ш а га х вместе, если в их начале система находится в сос т о я н и и S . Корот ко мы б удем называть величину Wi(S) у с л о в н ь! м о n т и м а л ь н ы м в ы и г р ы ш е м. Условимся та кже обозначать

( 3 . 4)

Рис. ,1. /6 1 36

у словное оптимальное упр авл ен и е на i - M ша г е, которое, сов м е стн о с оп­ ти мальным упра влен и ем на в сех ПОСJ1едующих шага х , об ра ща е т выи ­ грыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, в макс и м у м . Ко· р о че будем называть у правление ui(S ) У с л о в н ы м о п т и м а л ь­ н ы М у П Р а в л е н и е м. 1 37

.

П оставим з адачу : определ ить фун кции Wj (S) и Uj(S), т. е. услов­ ный о птимал ьный выи г рыш и у словное оптимал ьное у п ра вле н и е, ПЛ Я всех шагов (i 1 , 2, . . . , т ) . Рассмотрим i - й шаг процесса управлени я . Пусть в р ез ул ьтате i - 1 п редыдущи х шагов система пришла в состояние S, и мы выби раем к а кое-то управл ен ие U i на i-M шаге. Есл и мы его примен и м , то, во­ первы х , пол у ч и м на дан ном i- M шаге какой-то выигрыш Wj; он зависит к ак от состояния системы S , та к и от примененного у п равления И 1 : =

Ш ; = Ш;

(S , Иt ) .

(3 .6)

S ' = <р; ( S , U t) .

Запишем выигрыш, который МЫ пол у ч и м на всех шага х , начин а я если н а i- M шаге будет применено л юбое (вообще гово р я , н е о птимальное) у правление И / , а на всех последующих (от (i + l )-ro д о т - го оптимал ьное у п равление. Этот выиг рыш будет равен выи гры, ш у Wi на данном , i-M шаге, плюс условный о птимал ьный выи грыш на всех последующих шага х , начин а я с (i + 1 ) - го, определ яемый дл я но­ вого состоя н и я системы S' ; обозначим та кой <<Полуоптимал ьный» выи-

i-ro,

грыш через

W(S, И д :

\\7/ (S, Ui) = w / ( S, U/) + W, + , (S'), или , у читывая (3 . 6) ,

Wj ( S , U ; ) = w / ( S, U j) + W / + 1 (
Wт (S)

(3 .5)

Кроме того, мы получим какой-то выи грыш на всех оставшихся ша гах . Соответственно п ринципу оптимальности , б удем считать, что о н м а ксимален . Чтобы н а йти этот выигрыш , мы должны знать состоя ­ н и е системы перед следующим, (i + l )- M шагом . Под вли ян ием у п рав­ лен и я и ! на i- M ш а ге система из состояния S (В котором он а была пе­ р ед этим ша гом) перейдет в ка кое-то но вое состоян ие S ' . Это новое состо я н и е будет зависеть, опять-та к и , от прежнего состоя н и я S и п р и­ мен ен н ого у п равлен и я И j :

с

Формула (3 .8) представляет собой та к н азываемое о с н о в н о е ф у н к ц и о н а л ь н о е у р а в н е н и е д и н а м и ч е с к о г о п р о г р а м м и р о в а н и я ; она позвол я ет определить фу н кцию W ; (S ), есл и известн а следующа я за ней по пор ядку фун кция Wi+l(S) , Что касается функци и W m (S) (условный оптимал ьн ый выигрыш на последн ем шаге) , то она может быть определена очен ь п росто. дей­ ствител ьно, за последним шагом нет н и ка кого др у гого, и нужно по­ просту обратить в ма ксимум выигрыш на последнем шаге:

U J).

( 3 . 7)

Теперь, в соответствии с принципом оптимал ьности , мы должны выбрать такое управление и / И /, при котором вел и ч и н а (3 . 7) мак­ симальна и достигает значен и я :

То упр ав ление п ри кото ром этот максимум достигается , и есть у с л о в н о е о п т и­ м а л ь н о е у п р а в л е н и е н а i- M ш а г е, а сама вел ичина (3. 8)­ у с л о в н ы й о п т й м а л ь н ы й в ы и г р ы ш (на всех шагах, начиная с i-ro и до конца). В у р авнении (3 .8) функции W i (S , Иj) и cp/(S, И д известны . Неиз­ вестными остаются фу н кции W/(S) и Wi+1(S) ; из н их пер в а я выражает­ ся через вто р у ю . 1 88

та х {Ш m

Um

(S , иm)} .

(3 .9)

Ма ксимум в формуле (3 .9) берется не по всем возможным у п равлениям И т н а т-м шаге, а тол ько по тем, которые приводят систему в заданную область конечных состоя н и й

Sю,

т. е. по тем, дл я кото рых

<Рm (S , иm ) Е Sю·

Это всеtда н адо иметь в виду при пользовании формулой (3 . 9) . Т о у правление U т Um( S ), п р и котор ом достигается максимум выи грыша (3 .9), и есть условное оптимал ьное управление на послед­ нем шаге. Тепер ь можно, одно за другим, построить всю цепочку условных оптимальных управлений. Действител ьно, зная W m(S) , можно, по общей фо рмуле (3 .8), пол а гая в н еЙ i + 1 = т, найти фу нкцию W m -l ( S) у п равл ение И m-l( S ); за ­ И соответств ующее условное оптимал ьное те м W m-2(S) И U m - 2 (S ) И та к далее, в плоть до последнего от конца (пер вого ) шага , дл я которого будут н а йдены фу н кции WI (S) и Иl(S ) ' Фу н кция W 1 ( S ) есть условный оптимал ьный выигрыш з а всю опера­ цию, т. е. на всех шагах, начиная с первого и до последнего (если пер­ вый шаг начинается с оп ределен н ого состояния S си с.темы S) . Таким образом, предвар ител ьная оптимизация закончена - най­ дены условный оптимальный выи грыш и условное оптимальное у п рав­ ление для каждого ша га . Теперь перейдем к о второй стадии оптимизации - нахождению без условного (окончател ьного) оптимал ьного у п р авлен и я =

и

=

(3 . 8)

=

=

(иl, И2, . . . , иm) .

Н а чнем в первого шага . Предположим, что исходное состояние

S o нам полностью известно . Подставим это состояние So в фо рмул у для условного оптимального выигрыша Wl(S) . Получим W mах с

=

W 1 ( S o) .

(3 . 1 0)

Оптимал ьное управление на первом шаге найдется одновремен но

(3 . 1 0):

И1 = И1 (So) · далее, зная исходное состо я н и е So и управление состоя ни е Si С ИСТемы после первого шага :

S.1"

=

<р! ( So,

иl)'

Иl ,

можем найти

(3. 1 1 ) 189

Зна я это состояние S; , мож но найти опти мал ьное у правлени е на втором шаге И2 U 2(S;), затем S; (jJ2(S ; , u z) и т . д. Таким об­ раз ом , идя по цепоч к е =

=

. - I -+ Ит ( Sm ' - i ) � Sm. ' So --?- И 1 (80) --?- S .1 -+ И2 ( S" I ) -+ . . . -+ Sm (3. 12)

мы определи м , одно з а другим, все ша говые ОПТи мал ьные у "равления и на йдем состоящее и з н их оптимальное уп равление операцией в це­ лом

и = (и1 ,

И2 ,

•••

,

иm ) ,

а также (если оно не было в точности задано з аранее) конечное состоя· ние систем ы;

SЮ = S� .

( 3 . 1 3)

Раз у меется , это состо я н ие будет принадлежать области Sю, пото, му что мы выби рали у п равление на последнем ша ге именно та к , чтобы это услови е было соблюдено :

S:,

=

ит )

q> (S�_ I ,

Е

симв ол ически х формул очен ь полез н а для организации п роцедуры ди· на м и ч ес кого п р ограмми ровапия . При решени и л юбой задачи дин ами· ческого п рог рамми рова н и я удобно придержи ваться раз навсегда уста­ новленного, станда ртного пор ядка действи й . Этот порядок можно уст анови ть, на п р и мер, в такой форме. 1 . Выбрать способ описания п роцесса, т. е. п а р а метры, х а р а кте­ ри�у ющие состояние системы, фазовое п ространство и способ членения операции на «шаги» . . 2. Записать выи грыш на i-M шаге в зависимости от состоя н и я си· В начале этого ша га и у правлен и я Ui: СТе\1Ы

S

Ш; = Ш;

3. За писать дл я i - ro шага фун кцию, выражающую изменение со­ стояния системы от S к S' под вли я н и ем у правлени я Ul:

4. Записать основное W ,(S) через

щее фу н кци ю

S' = q> / (S, Ид.

фу нкциональное у равнение (3.8), выражаю­ W;+1 (S):

W i (S) = max ! Wi ( S ,

SU).

U,

П редположим тепер ь, что исходное состояние системы известно нам не пол ностью, а тол ько ограничено услови ем:

( S , И;).

5 . Н а йти фун кцию W т посл еднего шага :

(S )

Ut) +W/+ 1 ( q> t (S . Ui») !·

(условный опти мальн ый выиг р ыш) дл я

80 ESo . Тогда

нужно

найти такое

( 3 . 1 7)

(оптимал ьное)

начал ьное состоя н ие

при котором условный оптимальный выи грыш за все шаги ма к­ симален :

S�,

W mаХ

=

тах ES.

S

( 3 . 1 6)

{W1 (S)}.

(3 . 1 4)

(ма ксимум берется тол ько по тем управлениям, которые п риводят си ­

стему в зада н н у ю область конечных состояний SU) и соответствующее ей условное оптимал ьное уп равление на последнем шаге: иm

( S ).

ТО начальное состоя н и е дЛ Я которого этот максимум дости­ га ется , и должно быть выбр а но в ка честве исходного. Далее оптимал ь­ ное у п равлени е строится совершенн о та к же, как и ран ьше, по цепоч­ ке:

6. Зная W m(S) И по.� ьзуясь у равнением ( 3. 1 6) п ри кон к ретн ом Ut), qJ S И;), на йти одну за другой ф у н к ци и в иде ф у н кци й

S•0 -+

и соответствующие им условные оптимал ьные управления :

S�,

ч то

Иl

·

( S О" ) -+ S 1 -+ И 2 (8 'I ) -+ . . . -+ Sm· - 1

-+ Ит

(s'т- I ) -+ Sт' ,

(3. 1 5)

= (U 1 , и2, системы Sю

. . . , иm )

и КОН Е ч н о е состояние 8�n, если оно заранее не было П О Л Н ОСl ью определен о . На ЭТОl\! п роцесс ОП1 им и за ц и и заканчиваетс я . В да нном параграфе мы пол ьзовал ись системой символических формул , которые, разумеетс я , н епригодны дл я н е пос редственного вы· числения по ни м ; в эти х фор м ул а х н е У I<азан н е тол ь ко кон кретный вид ФУН К ЦИ Й wi(S, U i) и (jJi(S, U i ) , но даже и что та кое а ргументы S и и , - числ а , век торы , или же фу н кции и т. п. Тем не менее, система =

i( ,

Wт - I

И да ет оптимал ьное управление операцией в целом: U

1 40

Wi(S,

ит _ 1

( S), Wт - 2 (S) ,

(8),

ит _ 2

(8),

•..

,

.•.•

W1

иl

( S)

(S).

7. Е сли на ч ал ьное состояние 80 задано, найти оптимал ьный выи­ грыш т ах W 1 S o) и далее без условные оптимальные уп р авл ен и я (и , если н адо, конечное состоя ние S;,, ) по цепоч ке:

W

=

(

So -+ U1 (So) -+ S ; -+ ll2 (S�) -- ." -+ S: _ I -+ И m (S� _ I ) -+ S,:,.

8. Если начал ьное состояние условием

8n

не задано,

а л и ш ь огр а н и чено ,41

на йти опти м ал ьное н а ч альн ое состояние W1(8 ) достигает ма ксимума

Wто:ю = тах S Е g".

80 ,

п р и котором вы игр ыш.

{ W1 (8)}

далее, по uер очке, безусловн ы е оптимал ьные управлен и я . В дальн еишем , реша я разл ичны е задачи ди н амического п рограм­ мирован и я , мы будем пр идерживать ся этой последовател ьности дейст­ вий. В закл ючен ие отметим следующее. В п ринuи пе процесс ди н ами ­ ческого п р ограмми рован и я может разворачи ваться ( хотя и не та к ес ­ тествен н о) и в направлени и, обратном тому , которое мы при н ял и : условны е оптимал ьные управлен и я могут отыскиваться в н а п р а в л ен и и о т п ер вого шага к ,посл едн ему , а безусловные от посл едн его к пер­ вом у . Напр имер , в зада ч е о н а боре высоты и с корости , кото р у ю мы р ассматривали в предыдущем п а р аграфе , н и что н е мешает н а м строить процесс не от п р а в ого вер хнего угла к н ижн ему левому , а н аоборот, и р езул ьтат п р и этом получится тот же самый . Это относится к л юбой задаче мноroэта пн ого планирован и я . Можно сн ачал а план и ровать u первы и шаг , при у сл ови и , что он п р и в едет систему в состоя н ие 8 затем u второи , так чтобы выигрыш за два первые ша га (первый - уже, опти ­ мизированны й) был ма ксимален , и т. д. После того, ка к все условные оптимал ьные у правлен и я . и соответствующ ие выигрыши б:удут и з вест­ ны, можно н а ити безуслов ные оптимал ьные у п равлен и я на всех ша га х . Вычисл ительно эта схема ничуть не х уже п р едложен н о й выше, н о в см ысл е удобства и зложения и понима н и я усту пает е й . По этому м ы всюду будем пр идержи ваться вышеизложенн о й схемы: условные о п ­ тимал ьные упра вл ен и я находятся в обратном порядке, от посл едн его ша га к первом у , а безуслов н ы е - в п р я мом пор ядке, от перво го шага к посл еднему .

13JlOжен ные в каждую отрасл ь, П РИ1ЮС ЯТ за ro! определ енный доход , завис ящи й от объем а вложен и й . Есл и �Ibl В Л О Ж И � 1 с редства Х в отрасл ь 1 , то за год получи м д оход, рав н ы й f( Х ) ; п р и это м В Л ОЖ Е Н ­ ные ср едства части чно уменьшаютс я (аморти з и р у ются , тратятс я ) , т а к что к кон цу года от н и х остается ка кая -То часть:

!р (Х) < Х.

И

-

4.

ЗАДАЧ И РА С П Р ЕД ЕЛ Е Н И Я Р Е С У Р С О В

Н а пра кти ке очен ь ч асто встречаются многоэта пные опе р а ци и , с в я з а н н ы е с разу м н ым распределен и ем тех ил и други х р е с у р с о в . Р еч ь м жет идти , н а п ример о распределен и и дене н х с р едств , с ы р ь я , , ? ж ы рабоч еи силы п о предп р и яти я м , отраслям промышленн ости и л и эта п а м отдел ьных р абот или , скажем , о распредел ен и и сн а р ядов по целям, общего веса О, отведенного на техническое устройство, по его отдел ь­ ным агрега там, и т. д. вообще, о распр еде.lJ ении всевозможных ср едств по ка ким-то категор и я м мероп р и яти й . Нач н ем с н аиболее простой, «классичес кой» з адач и р а с п р еделен и я ресу рсов , на которой легко будет п родемонст р и ровать особеН Н QСТИ подобных зада ч . Задача ста в и тся следующим обра з ом . Имеется определенное начал ьное кол ичество с р едств КО (необяза­ тел ьно в денежной форме) которые мы должн ы р а с п р едел ять в теч е­ , н и е т л ет между двумя отрасл ями производства J и 1 1 . Средств а , -

142

А н ал о г и ч н о , средст ва У , вложен н ы е в отр асл ь доход g(Y) и умен ьшаются до

l l , п р и н осят за год

По истечении года , оста в ш и еся от КО средст ва за ново рас преде­ л я ются м ежду отрасл ями 1 и 1 1 . Новых средств и з вне не посту пает, и в п роизводство в кладываются все оста вшиеся в н а л и ч и и средств а ; доход в производство не в кладываетс я , а н а капл и в а ется отдел ыl • . Требуетс я н а й т и та кой способ управлен и я р есу рсами ( к а кие средств а , в какие годы и в ка к у ю отрасл ь в кладывать), п р и кото ром сумма рн ы й доход от обеи х отраслей за т лет будет максимал ьным . Б удем р ешать задачу методом дина мического п рограмм и р о ва н и я , п о разверн утой выше станда ртной схеме. 1 . Система S в дан ном сл учае - две отрасл и со вложенными в н и х ср едствами . О н а характери зуется двумя параметрами Х и У , вы ражаю­ щими количества средств в отрасля х 1 и 1 1 соответствен но . Естеств ен­ н ым «ша гом» (эта пом) пр оцесса я в л я ется хозяйственн ый год. В п роцес­ се управлен и я величины Х и У мен яются в зависимости от дв у х п р и ­ чин : перераспреде.. ен ие средств между отр асл ями в начале каждого года ; умен ьшен ие �rpaTa) средств за год, сказывающееся в кон це каж­ дого года . Упр авл ен ием и ! на i-M ша ге будут кол и честв а ср едств Х i , Yi, в кла­ дываемые в отрасл и 1 и 1 1 на этом шаге. Управлен и е о пера ци ей U со­ стоит из совоку пности всех ша говых управлен и й :

(4. 1) Н а м нужно н айти та кое (оптимал ьное) упр авлен и е

(4 .2) пр и к отором суммарный доход, п р и н осимый обеими отраслями за т лет

W

� Wt,

т

=

1= 1

был м а ксимал ьным:

W = W max'

(4.3 )

2. Состоян и е си стемы перед i-M ша гом характер изуется одним па раметром К кол и ч еством средств , сохран ивши хс я после п р еды­ дущи х i 1 ша гов . Управлен и е и/ на i-M шаге будет состоять в том, -

-

143

ч то мы выделим в отрасл ь 1 средства Х , ; величина У , определится 10матически ; она будет равна оставшимся средствам:


7. Н ачал ьное состояни е /(0 (н а чал ьн ы й за пас с р едств) поэто м \ ма l(симаЛ ЫIЫ Й до ход (опти мальн ый в ы и г р ыш) будет t�ma.,

У; = К -Х;.

Выи грыш (доход) на I - M шаге будет: Wj ( К . Х,) = ' (Xj ) + g (K - Х ;) .

Состоя н ие системы после первого ша га :

к;

=

'Р (X1)

O< X j
(t

(Хд + g (1(

-

Х2 = Х2 ( К ] *) ,

Xj) +

и т . д . п о цепоч ке. Состояние системы посл е

+ W i + 1 ( 'P ( Xt> + 1J.1 (K - Xj») ) ,

( 4 . 7) ему соответствует условное оптимальное управление х m(К ) , при ко­ тором ЭТот максимум дости гается . 6. Зная фун кцию {УI т(К), находим по формуле (4. 6) условные оп­ тимал ьные выигрыши на двух последн их, на трех посл едн и х и т . Д. шагах : т ах

O";X m_ I
=

+ \V т

It (Хm _ 1) + g (К - Хm_ 1 ) +

(<<р (Xm- 1 )

+ 'Ф ( К -

Хm_ J »

};

Wm _ 2 (K) = т а х It (Xm- 2) + g (К - Хm- 2) + О";Хm _ 2 <к' + Wm- I (<

W1 ( К )

�

(4 .8)

I

. !

!

т а х {f (X1) + g (К -х1) +

I

ц.,;Х ,.,;к,

=

; I

+ W2 (<

,

и соответствующие им условные оптимал ьные управления: 1 44

Хт- J (К ), Хт - 2 (К) •

••.•

Хl

(К) .

к;

(4.6)

где знак O< X j
W m - I (к)

+ 'Ф (К О - х1 ) ·

С птимал ьное управлен и е на втором шаге:

4 . Основное ФУНIщиональное управление имеет вид: тах

(К О)·

X1 = x1 (K o) ·

(4 .4)

(4 . 5)

=

W1

()IIТи мзл ьн о е упраВJl ен и lC на первом ш а ге будет;

3. Под влиянием этого управлени я на {-м ш а ге система перейпет из состоян и я К в состояние

W / (к)

=

�aдaHO,

(4 .9)

=

<р (Xi)

+ 1J.1 (к;-

Оптимал ьное у п равлен и е на и

Х;

=

х,

i-M

1

-

i

шагов:

Х.) .

(4. 1 0)

шаге:

(к;_ , ) .

т. д. , вплоть до посл едн его шага, по цепочке:

Н еличина K�n будет предста вл ять собой коли чество средств, ос­ тавш и хся ( пр и оптимальном уп равлении) после последнего шага . Со­ вокупность средств, вложенных по годам в отрасл ь 1 : Х

=

(Х1 , Х2 •

о ' "

Хm)

будет представл ять собой оптимал ьное управлен ие, на р яду с которым имеет смысл рассмотреть У

=

(Yl '

У2 '

••• •

Цт)

=

(КО- X1 ,

к; - Х2 ,

• • •

,

K�_ I

- Хm )

количество средств, вложенных в отрасл ь 1 1 по годам. Дадим процессу раСIJ рt:).сления ресурсов геометрическую интер­ претацию. Из соображений нагл ядности сделаем фазовое п р остранст­ во двумерным, хотя можно было бы огран ичиться и одномерным. Бу­ дем откладывать по оси ОХ средства Х , вкладываемые в отрасль 1 , по оси О У - средства У , вкладываемые в отрасл ь I I . Сумма эти х средств не может быть бол ьше. чем количество н ачальных средств КО, па­ этому фазовое простра нство - это часть плоскости ХОУ, закл ючен­ ная внутри равнобедренного прямоугол ьноro т р е У ГО JI ьн и к а А ОВ с ка­ тетами Ко (рис. 3. 1 7) . Та к ка к в начале процесса распределен и я сумма средств в обеих от раслях равна Ко. то область начал ьны х СОСl 0Я Н И Й '�o есть не что иное, ка к ги потенуза треУГО.1Jbника АВ. На кол и ч ество средств в конце пе­ риода т лет н и ка ки х огран ичений, кроме () � Х " + У", < К о . не накла­ дывается ; ПО9ТОМУ обл астью S конечн ы х состояний системы яв­ л я етс я вес!:. треу гол ь н и к АОВ (KpOM� ги потену,ш) ,

1 45-

Изобразим траекторию точки S в фазовом пространстве (р ис. 3. 18). Представим себе, что в начале каждого года происходит распре­ делен ие (или перераспределен ие) ср едств по отрасл ям, а в течени е го­ да вложенные средства тратятся и образуется доход. Тогда каждое звено траектори и точ ки S в фазовом пространстве будет состоять из двух полузвен ьев : на первом происходит тол ько пер ер аспределение средств и точка S перемещается пар аллельно А В, на втором - средст-

2. Выигрыш на

Ш;

(К , Х / )

=

i'M

шаге:

Х К Х Х l _ е- ; + l _ е- 2 ( - ;) = 2 _ ( е- !

+ е -2 ( К - Х / »).

3. Под вли янием управления Х t (вложен и я средств Х i в отрасль Х i В отрасл ь 1 1 ) система на i-M ша ге перейдет из со· К

1, а У I

=

-

стоян и я К в

К'

у

=

0,75 Х; + 0, 3 (К - X t ) .

4. Основное функционал ьное уравнение:

Условное оптимал ьное управление на i-M шаге - то, при кото, ром дости гается этот максимум . 5 . Условный оптимальный выигрыш на последнем ша ге: Рис. 3. 18

Рис. 3. 17

ва тратятся и точка S перемещается вн из и н алево, ближе к началу координ ат. Искл ючение составл яет только первый шаг, для которого первое полузвено отсутствует: сразу назначаются Х1, У1, и начинает­ ся трата средств . Сумма абсциссы и ординаты последней точки траек­ тори и S(jJ представл яет собой количество средств Кы, которое сохра­ нится к концу периода при дан ном управлении . 5.

т ах

0 < Х, ,;;;

=

к

\ 2 - [е-Х' + е- 2 I К - Х . » ) ! .

н айдем этот максимум. П р и фи ксированном К выражен ие, стоящее в фи гурных с кобках , есть фун кция аргумента Хс" выпуклая ввер х . В 'зависимости о т зна­ чен и я К максимум этой фун кции может дости гаться ,'!Ибо внутри от­ pe:i Ka (О, к) (рис. 3 . 1 9) , либо на левом его конце (рис. 3 . 20) .

П Р И М Е Р Р Е Ш Е Н И Я ЗАДА Ч И Р А С П Р ЕД ЕЛ Е Н И Я Р ЕС У Р С О В

П ример. ПЛанируется деятел ьность двух отраслей производства 5 лет (т 5) . Заданы «фун кци и дохода»:

[ и [ 1 сроком на

=

f (Х)

=

l - e- x ;

g (У)

=

l _ е- 2У

и « фун кции траты»: cr

(Х)

=

0 , 75 Х;

'\J (У)

=

0 , 3 У.

Тр ебуется распределить имеющиеся средства в размере Ко = 2 (условн ы х единиц) между отраслями 1 и 1 1 по годам, исходя из условия максимума дохода . Решен и е. В соответствии с общей с хемой, приведенной в § 4, получаем: 1 . Как в п . 1 общей схемы. 1 46

о

о

Рис. 3.20

Рис. 3. 19

Чтобы найти этот максиму м, ШЬ

л' ;;:5

(К , Хь)

=

продиффер енцир уем

2 - [ е-Х '

выражение

+ е-2 (К - Х ,»)

п р и фи ксированном К п о Хь и приравняем производную нулю ·

дш " = -Х, _ 2 е-2 (К - Х , ) = о. е дХ"

(5. 1 ) 1 47

Н а дан ном (пятом) ш аге н а м еще удастся решить уравнение (5. 1 ) в б у к веНН О�1 вид е , н а дал ьнейш и х шагах та к и е з ада чи п р идется р ешать ч исленн о (граф и ч ес к и ) . Из (5 . 1 ) и меем :

- Xs = ln 2 -2K j- 2X 5 ; Х 5 (2К - I n 2 ) / 3 .

(5 .2) (5. 3)

=

Отсюда следу ет, что есл и К >(lп 2) /2 � 0, 347, 1 0 ма кси мум дости гает­ ся в н утри от резка ( О , к ) в точ ке Хб(Ю (2К - l n 2)/3, есл и же К < (ln 2 ) /2 � 0,347, то максимум дости гается в кон це от рез ка '

б удет пол учено, есл и н а перв ы х т р е х ш а г а х все средства будут вложе � 1 , где траты мин и мал ьны; тогда после трех лет пол у ч и м .

ны в отрасл ь

Ктах

Таким об разом, условное опти мал ьное уп р а влен ие на последн ем (пятом) шаге найден о: есл и мы подошли к этом у шагу с з а п з сом с р едств К > (ln 2)/2, то из эти х средств следу ет выдел ить в отра сл ь 1 дол ю (5 .3); есл и же мы подошл и к пятому шагу с з а п а сом средств , мен ь ш и м , чем (l n2)/2, то все эти средства н адо отдат ь в от р асль 1 1 . Ка к ж е быть , есл и м ы подойдем к п ятому ш а гу с з а п асом средств , в точн ост и ра вн ы м (ln 2)/2? Очевидн о, в этом сл учае оба у п р авлен и я указывают одно и то же, а именно: выдел ять средств в отрасл ь I не н ужно. З а п и шем най­ дeHHO � услов ное оптимальное уп равление на п ятом ша ге в виде фор. мул ы

, (К )

х,

=

{

О

(2К - I n 2 ) / 3

п ри п ри

К � ( I n 2) /2, К > ОП 2)/2.

=

. К т;"

или , подст ав л я я сюда вы ражен и я (5.4) :

к � ( l n 2)/2,

при

К > О П 2)/2.

Та к к а к н а м в дальн ейшем п р идется вычисл ять вел ичин у W5(K) дл я разных зн ачен и й а р гумента, построим ее график в зависи мости от К ( рис . 3. 2 1 ) . Н а том же графи ке, но в др у гом масштабе, изобразим зависимость от К усл овн ого оптимал ьн ого у п р а влени я хо(к) . Втор а я к р и в а я п р ед­ ста вл яет собой ломану ю ли н и ю, котора я до К ОП 2)/2 идет по оси абсцисс, а после этой точки воз растает л и нейно. Построением Э'I ОГО г р афи ка заканчиваются все п роцед у р ы , свя ­ занны е с опти м и з а цией посл едн его ш ага . 6. Переходим к предпоследн ему (четвертому) шагу . Задачу его условной о птимизации будем решать ч ислен но, задаваясь р ядом значен и й К ( кол и чества средств , 6ста вшихся посл е третьего шага) . Чтобы не делать л и шней ра боты , выясн и м , в каки х п р едел а х может iJ2 Х ОД И П - С Я К . Н а йдем с а мое бол ьшое из возможных з н а ч ен и й К . Оно =

14�

0, 844 .

=

К о · О,33 = О, 054 .

На у частке 0,054 ...;- 0 ,844 закл ючен ы все возможныvе з � аче � я К : Н а з н а ч и м на этом уч астке нес кол ько опорных значен и и . К - 0, 1 , идем на х услови н из каждого я дл и 5 0,8 ; 7 0, 0,6; ; 0, ; 0,2; 0,3; 0, 4

:::

Иi"

,

(" Х5

ws

0. 8

1, 2 1,0

0, 1

о 0,2

2 - ( е-х' ( К ) + е-2 (К - х, ( K )J j , п ри

=

(5.4)

На йдем тепер ь условны й оптимал ьный выигрыш (доход) на пятом шаге, который получи тся п р и та ком у п рав.lJен и и :

Wб (К)

К о · О, 753

Н а имен ь шее зн ачен и е К полу читс я , есл и на пер вых трех шагах все ср едства будут вл ожен ы в отра сл ь 1 1 :

=

хб (К) = 0 .

=

O, lf 0, 6

х"

Рис. 3.22

Рис. 3.21

ное оптимал ьное у п равлени е на четвертом шаге xiK) и условный ма к­ симальн ы й доход на дву х последн и х шагах W4(K) . Дл я этого пос ! роим сер ию кривых, изобража ющих «пол уоптимал ьный» выи г рыш W4 на дв у х последн их шагах (п ри любом у п равлен ии на четвертом ш а ге и при оптимал ьн ом - н а пятом ) :

W4 (К . Х 4) где

пер вое

=

W4

(К , Х 4) + W 5 ( О , 7 5 Х4 + 0 , 3 ( К - Х4 ) ) .

сла гаемое w 4 (K , X4) = 2 - l е - х , + е-2 ( К - Х . ) ] ,

а

второе

с л а гаемое W определ яется по графику рис , 5 .3, дл я чего нужно О, 75Х4 + О, 3(К - Х4) · войти в н его & вместо К с а р гу мен том К' Кривые зависн мостИ W4 от Х4 ( п р и зада н н ом К) дЛ Я шестого шага п р едставлен ы на рис . 3 . 2 2. Н а йдем н а каждой из кр и вы х то , ку С ма ксимал ьнои оР.динvатои : и пометим ее к р у ж ком . Орди н ата такои точ ки п р едставляет собои ус­ ловн ый ма ксимал ьный дох од на дву х последн и х шага х W4(K) , а абс ­ цисса - условное оптимаЛ Ь\lое у п равление х4(К). Опр едел и в эти ве· О , 1 ; 0, 2 ; . . . ; 0, 8, построи м ли чины дл я каждого зн ачен и я К графи к и зависимостей W4(IO и Х4( К ) дЛ Я четвертого шага (р ис . 3 . 2 3 ) . =

о

"

=

149

далее переходим к оптимизаци и третьего шага . дл я него ВОзмож­ ные значени я К н а ходятся в предела х от 2 · 0,32 0, 1 8 до 2 ' 0, 752 = 1 , 1 2 . Сн ова зададимся рядом опорны х зн а чений К : К 0,3; 0,5 ; 0 , 7; 0 , 9 ; 1 , 1 и дл я каждого из них Вычисл и м доход на трет ьем шаге в зависи м ости от К и уп равле н и я Хз: wЗ (К , Ха) = 2 [е-Х, + е-2 ( K -X , J ) . З атем прибав им к нему уже Оптимизи рованный доход на дв у х =

'=

=

-

Совершенно аналогично решается задача оптимиза ции _вто рого 0,6 до 2 · 0, 7� 1 ,5: ша га. В а р ьи р у ются значен и я 1< от 2 · 0, 3 0,6; 0,9; 1 , 2; 1 ,5. Определ я ется доход на втором шаге: К =

=

=

W2 (К , Х 2) = 2

-

( е-Х' + e-2 (K-X.J I .

К нему прибавляется у словный максимал ьный доход W з ( К'), опр еде­ ляемый по графи ку рис. 3.25 со входом

К' = О , 75 Х2 + О, 3 ( К - Х2) . Получается вел ичина W 2 , дл я которой снова строятся графики (рис . 3.26) . На каждой кривой находится максимум и строятся две кривые: Х2(К) и W 2 ( К) (рис . 3. 27) .

0,3

,..;

0, 1

Wz

05

Х:

f, 5

3

f 0,0 0,6

Рис. 3.23

0, #

последн и х ш а га х W4, который мы опред ел им по графи ку рис. 3 . 2 1 , в х одя в него вместо К .ар гументом К ' = О , 75 Хз + , 3 ( О Х з), К и пол уч им « полуоптимал ь ныи » вы игр ыш на тр ех посл едних ша гах ( при О птима л ьном управлении н а дву х посл едних и л юбом упра влен и и на третьем шаге) W з (К , Хз) wз (К , Хз) + W4 (0, 75 Ха + 0 , 3 (К - Хз» .

0,2 1

О

о О. .?

'.0

Рис. 3. 26

=

=

1,0 0, 8 0, 6

(К О, Х1 ) + W2 (К ') = 2 - [ е-Х' + е-2 ( K o - X,J] + W2 (К '),

W t (К О , X1)

0, 9 0,2 0,11-

0, 8

Рис. 3.24

;z"J

О

0,11-

0, 8

К

=

Рис. 3.25

для этой функц ии опять постро им графи ки заВиси мостей

= W1

=

а последн и й член на ходится по графи ку рис. 3.27 при входе в него с а р2. X1), где Ко О, 75Х1 + О ,3(Ко гументом К' " Определяя на еди нственной кривой (см. рис. 3.28) ма ксимум, наи­ дем окончател ьное (уже не услов ное) значение максимального дохода за все пять лет:

Wэ

от Ха при фи кси р ован ном К. На каждой из кривых снова отметим м к­ а си м у м ( рис . 3 . 24) . П осл е это го построим на одном гра фи к е (рис. 3.25) две к р и в� е : условное оптим ал ьное упр авл ен ие ХЗ (К) и у словный оп . тима льны и выиг рыш W з(к) .

1 50

Рис. 3.27

Осталось оптимиз ировать один тол ь ко пер вый шаг. Это - уже бол ее л егкая задача, та к ка к начал ьное состояни е системы КО 2 нам известно и, знач ит, не должно ва рьироваться .роэтому для пер вого шага строится тол ько одна крива я зависимости Wt (Ko, Xt) от X1 п р и известном КО (р ис . 3.28) , где

Х]

О

К

О

7:,

-

=

W mах = W1 ( 2) = 4,35

соответствующее ему безусловное оптимальн ое управлени е на первом шаге :

и

Хl

=

1 ,6.

151

6. После того, как процесс пос'''роен и я услов ных опти мал ьных у п р авл ен ий и выи грышей за к ончен, надо провести вторую станию оп­ тим изации, проходя , ша г за шагом, процесс у п р а вл ен и я от п ер вого шага до последн его по цепоч ке: xt

З н ая

Хl

=

-+

К

". I -+

Х2

-+

:t 2

К -+ ХЗ -+ К

'" 3 -+

* 4

Х4 -+ К -+ Х5 -+ К

ющихся средств в конпе каждого расл и ! I ! ' ! следуюuLИt' сумм ы : ,трасnн

... 5.

1 , 6, н аходим за п ас средств после первого шага:

К ; = 0 , 75 Х 1 + 0 , 3 ( К О- X1 )

=

1 ,32.

-

Войдя с этим значен ием Ю в графи к Х2(К) н а р ис. 3. 27, н а ходим о птимал ьное уп равл ен ие на втором ш а ге: Х2 Остаток будет:

К;

z

Z,

Рис. 3.28

=

=

средств

1 ,02.

после

второго

0 , 75 х2 + 0 , 3 (K � - х2)

шага

= 0,86.

1 11

I

ГО11<1

ну жно Год

I

I

' , 60 . . , � ('

I

I

7

1 , 02

l\ 30

I

I

J

0, 62

П, 24

B K J1 a n f:,IR�Hh

I

j

4

0 , 30 0 , 24

гола �1

по

I

I

в

от·

5

о 0 , 30

П р и та ком распределе н ии средств за пять лет будет пол у чен ма к­ си мал ьный доход, равный W тах = 4 ,35 . Остаток средств в конце периода будет равен : 0 , 3 . (),зо ·= 0, 09. у

С этим значен и ем К'2 входим в графи к хз( к) (см . р и с . 3 . 25) и на ходим о птимал ьное у п ра­ вл ен и е на третьем шаге xs =

0 , 62.

Оста ток средств после третьего шага:

К; = О , 7 5 х з + 0, 3 (К ; - Хз) = 0 , 5 4 .

По графи ку рис. 3.23 на ходим оптимал ьное упр авление на четвер ­ том ш а ге Х4 = 0 ,30. Остаток ср едств после четвертого шага : К:

=

0 , 75 Х 4 t 0,3 (К З - Х4)

=

0, 30.

С э тим зн ачен и ем к4 в ходим в гр афик Х5( К) (см . рис. 3 . 2 1 ) и н а ходим о. о п тимаJl ьное управлен и е на последн ем шаге Х; Итак, план ирование за кон чено: найд ено оптимал ьное упр авление, ук азывающее, CKOJ];bKO средств при н ачал ьном их за пасе КО 2 ну ж­ но в кладывать в отрасл ь 1 по годам. Это управление будет:

8

=

=

х =

( 1 , 60 ; 1 , 02; 0,62 ; 0, 30; о) .

Учитывая, что наличиые средства перед началом каждого года известны и равны:

Ко = 2 ;

K � = 1 ,32;

К ; = 0,86; К ; = 0 ,54 ;

К: = 0 ,30,

с р азу же находим и кол ичества средств , вкладываемых в отрасл ь 1 1 п о годам: у 110 1.62

= (0, 40; 0,30; 0, 24 ; 0,24 ; 0, 30) .

Таким образом, МОжно сформул ировать следующие рекоменда ции вложению средств . Из имеющегося в начал е запаса К о 2 и оста=

Рис. 3.29

Н а р ис . 3 . 29 и�юбр ажеНfI ОПТИi\шш,на я тра екто ри п 8 фазовом простра нстве (каждый эта п , Kpo�le пер вого, РJзделен на ПОJJ у эта п ы ) . Из ра ссмотрен н ого п р и мера видно, наскол ько сложной и кро пот­ ливой я вд я ется пош а гова я оптимиза ция ( в р у ч н ую», даже ДJl Я наиболее 9JleMe1lTa pHbIX зада ч (ТОЛ ЬКО две отрасли п роизводств а ; п ростейшие «фун кции дохода » и «фУН I<ШIИ трат») , При скол ько- н ибудь более слож­ ных УСЛОВ I ! Я Х р а з р а БОТl\<J О П Т Н М &JJ b lЮ ГО ! I.� a l l a метоДОМ дина�ичес кого прог ра мми р ова н и я п ра ю и ч ескн нево:н"южн а без п р и влечен и я быстро­ действ у ющих ЭЦВ М .

6. Д Р У Г И Е З АДА Ч И РАС П Р ЕД ЕЛ Е Н И Я Р Е С У Р С О В

З адача распределен и я ресурсов имеет много вар иантов. Н еКОТОРБIе из них сравнительно мало отличаются от простей шей задач и , рассмот­ ренной в §§ 4 и 5, другие н астол ько непохожи на нее по своей словесной формулировке, что иной раз трудно уловить в них общие черты . Здесь и в следующем параграфе мы приведем несколько примеров подобн ы х задач.

он и не т р атят ся , но и не дают кую- то фиктивную втору ю отрасл ь, где дохода : 'ф, (У) = У (i = l , . . . , т ) . с учетом этого условия задача решается совершенно так же, ка к зада­ ча распределени я ресурсов по неоднородным эта пам. Геометрическая интер претация задачи в фазовом простра нстве показана на рис. 3. 30 . у

1. Распределение ресурсов по неоднородны,м этаnа,м

у А

в задаче, рассмотренной в § 4, этапы были однородными в том смысл е, что «фу н кци и дохода» {(Х), g(Y) и «фун кции траты» <р(Х), 'Ф(У) б ыл и одинаковыми дл я всех шагов. Может оказаться, что они мен яют­ ся от шага к шаг у, а имен но дл я i-ro шага они равны: g i (У)

'Фt (У )

}

(i

=

1 , 2.

. .• ,

т).

8 х

в этом случае станда ртная схема решени я задачи почти не меня ет­ ся . Основное фун кционал ьное у р а внение прини мает вид

W , (K) = ш а х

о о;;; х , о;;; к

+ Wi +

1

{f, (Xt> + g , ( K - Хi ) +

(!р ; (Xi) + 'Фt ( К -х,)) I·

Условие оптимизаци и т-го шага будет:

а во всем остал ьном процедура построени я решен ия остан ется н еиз­ менной.

Рис. 3.31

Рис. 8.30

Р ассмотр им ч астный случай задачи о р езервировании ресурсов, когда н а всех этапах

<р, (Х) = О

Имеется всего одна отрасль п рои зводства и некоторый запас средств Ко, который можно вкл адывать в производство не целиком, а ч астично резерви ровать. Если н а i-M шаге в производство вложены средства Х, то они дают доход fj( X ) и уменьшаются до
(i = 1 •

• • • • т), иком (рис. 3 .3 1 ) . Т а к как цел ются т. е. вложен ные средства расходу ый участок тр аек­ изонтальн гор каждый то ком, цел тратятся средства � то р и и доходит до самои оси ординат. П оставлен ная задача сводится к отысканию ма ксиму ма функции m а ргументов ( X1 • Х2, . . . . Хт):

W 2. Зада ч.а о резервировании ресурсов

Ко

где

X1• Xz

•

. • •,

m

=

�

;=1

fi (Xi).

Х т неотр ицател ьны и огра н ичены условием : m

� Xt �Ko.

(6. 1 )

1= I

Есл и доход ,,(Х) (как это естественн о предполагать) предста вл яет н­ собой неуб ывающую фун кцию вложенн ых cpeД�TB Х , то знак нераве расхо­ х их условия к эт в ка так ь, отбросит о можн ) 1 (6. формуле в ства довать средства не до кон ца невыгодно. р е­ Замети м, что некотор ые простейшие задачи резерви ровани я о ческог динами етода су рсов допуска ют элемент арное решени е и без м 1 55

программ и рован и я . К ним п р и надл ежит. на п р имер. просте й ча й . когда «фу н к ц и я дохода» на всех 'на п а х одн а и та же; и средств а рас ход у ютс я пол н ост ь ю:

{/Х!

=

'Р2. ( Х )

...

=

сл у­

= tm (X) = f (X)

1, (X) = f2 ( X ) = . . . 'Р} ( Х )

ший

=

'Рm ( Х)

=

О.

и п р о и з в еден а сначал а усл ов н а я опти м и з а ци я (от КОНЦа к начал у). а пото м - б ез у с ло в н а я ( от н а ч а ла к кон цу ) . СОСТОЯ Iш е с и стемы пе р ед н а ч алом к а жд о го ш а г а п о - п р ежнем у будет ха р а кте р и з о в а т ься С у м мой средств . подл еж а щ и х р а с п р еде.п ен ию . т . е . одн и м ч и слом К . Сл ожнее будет обстоять дел о с у п р а вл ен и е м . У п р а вление н а i-M шаге будет СОСТОЯ Т I, в выдел ен и и с р едств н е в одн у от р а сл ь . а в n от­ расл ей :

Xi( I ) , Х/ 2),

n- I

• • . •

X i ( II ) = K - �

i= t

ху>.

Пр ид е тс я н а ходить ма кси мум ФУ Н Iщии н ескол ьки х перемен н ы х . П р и ч исл е от р а с л е й n > 3 зад а ч а о пт и м из а ц и и становится очен ь громозд­ кой и бе:> помощи ЭВМ в р яд л и может быть решен а . Рис. .зД2

х

:r

7.

Р и с. •1. 83

Нетрудн о убедl l Т ЬС Я . что есл и ФУНКl1И Я до х од а вы п у кла вниз (р и с . 3 . 22 ) . то в ы годнее всего в л о ж и т ь в се с р едств а в ка ко й -то оди н эта п . а в остал ьные н е в кл адывать . Есл и ж е . ф у н кци я дохода вы п у кла вверх ( р и с . 3 . 33) . то ма ксим ум дохода достига ется при р авномерном р аспределен и и средств между эта па ми : Х} Х2 ... Хm Ко/т. =

=

=

=

3. Задач.а распределения ресурсов между тре.Аf.Я и более отраслями Пред положи м . что в услов и я х задачи § 4 р ес у рсы расп редел я ются не между дв у м я отрасл ями (1 и 1 ! ) . а между не с ко л ь к и м и : 1 . 1 1 (n) . п р и чем дл я к а ждо й (j- й ) отрасл и зада н ы : «ф у н к ци я rдохода » !/ п(Х). в ы ражающая доход. п р и н оси мый средствами Z, Х. вложенными на i'M году в j-ю отрасл ь. и «фу н кц и я траты» <р ; < О(Х) < Х . показыв ающа я . н ас кол ь ко у б ы в а ют средств а Х. вложенные н а i ' M году в j - ю отрасл ь . Зада ча отл и ча ется о т р ассмотренной в п у нк, Х те 1 да нного п а ра г р афа тол ько р а з ме р н о стью (числом параметров . о п р едел яющи х состо я ние си стемы) . Н а п р и ме р . дл я трех от р а сл е й 1, 1 1 и 1 1 1 фазовое п р остр а нст в о пока зано н а рис. Рис. 3.34 3 . 34 . дл я сл у ч а я более чем т р ех отр асл ей г еометр и ч еСКа Я и нтер п р етация тер яет н аг л я д нос т ь . но с ущность зада ч и ос. тается та кой же . Состоя ние с ис тем ы будет о пр ед ел я т ь ся уже не пар ой чисел Х, У. а n ЧИСЛOlми •

XI I "

Х( 2 )

•

. • • •

. . . •

Х ( II ) .

обоз нача ющи м и вл ожен и я в к а ж д у ю и з от р а сл ей П р оцесс р а с п р еде . л е н и я с р едств . к а к и в д в у м е р н о м сл уча е мож ет б ы т ь р а з д ел е н на эта пы 1 56

РА С П Р ЕД ЕЛ Е Н И Е Р Е С У Р С О В С О ВJl О Ж Е Н И Е М Д О Х ОДО В В П Р О И 3 В О Д СТ В О

по сих п о р в задача х о р а сп р ед ел ен ии ресу рсов мы рассматри вал и «доход». п р и н ос и мый п редприяти я м и . со в е р ш енно незави с и мо от рас­ еди н иц а х п р едел я емых с р едств ; он даже мог вы ра ж а т ьс я в др у ги х . Теперь х) я бл у р в доход а . х часа · а к е в ело ч в ы с р есу (н а п ри мер . р мы р а ссмотрим сл у ч а й , когда доход в к л а ды в а етс я в произ водство (пол­ н остью ил и частич но) . Разумеется . дл я этого дох од и ср едс т в а дол ж н ы быть п р и в еден ы к единому (ден ежн о м у ) э кв и в а л е н т у . З адача о р а с п р едел ен ии ресу рсов со Вложением доходов в п р о и з ­ в одство может ста в и ться п о - ра з н о м у . в з ав ис имос ти о т того. в клады­ ваетс я до ход пол н остью и л и частично и к а к а я вел и ч и н а максимизи ­

руетс я . Н и ж е п риводится р яд задач , в каждой и з котор ы х идет р ечь о рас­ предел ен и и ресу рсов по двум от р а с л я м п роиз водства со вл ожен и ем х (пол ным ил и частичн ым) доходов в п р о и з в одст в о , п р и разных цел ев ы Фу н кu и я х . 1 . Доход вкладывается в nроuзводство полностью . мак.сuмuзuрует­ ся сумма всех средств (основные плюс доход) после т-го этшю. В этом сл учае в ы и г р ы ш W пр едста вл я ет собой сумму всех с р едст в . со х ра н и в ш и хс я в об е и х от расл я х посл е завер ш ен и я посл едн его эта п а . ь плюс доход. д а н н ы й обеи м и отр асл ями н а последнем эта пе. В е с . м о н д о а н о к ь л о т я с т е а т е р б эт о т в ы и г р ы ш п р и о ча п о с л е Д н е м э т а п е, но он п р едст а в л я ет собой частный с л у й адд ит и в но го п ок аза тел я

эфф е кт и в нос ти .

w=

дл я которого

т

� Wi'

i= l

ра в ны есл и считать. что выи грыши на в с ех эта п ах . кроме посл еднего. нулю 1 57

Так ка к в,е средства (и оснойньtе и Доход) вкл аДьtваются в n р оrtз­ ВОДство н а равных основа н и я х , нет надобности рассматр ивать отдел ьно «фу н кци и дохода» и «фу н кц и и траты», а достаточно ввести дл я каждо й отрасли тол ько по одной фун кци и : для отрасли 1 - фун кцию F i (X) , �оказывающую, с кол ько средств (включая и доход) получится в кон це I -ГО шага в отрасли 1 п р и вложен и и в нее средств Х в начале этого ша­ га . Аналоги чная фун кци я дл я отр а сл и 11 будет Оt(у). Н азовем функци и

Р; (Х) ,

О; (У)

«фун кциями изменения средств» на i-M этапе. Заметим, что вообще воз­ МОжно л юбое из соотношен и й :

Р; ( Х »

Х;

фо рмулой : (7. 1 ) г де К - средс.тва , с которыми мы подошли к последнему шагу . Основное фун кцион ал ьное у р а в нен и е динамического программ и ' ров а н и я будет;

Wi (K ) = о

т ах

"; X i ";K

! WI+ 1 (Fi (X;) + Oi (K - Хi») j ,

(7.2)

где К - средства, с которыми мы подошли к i-MY ш а гу . На последн ем шаге пол учаем условный оптимал ьный выиг рыш , ра вный

Р, (Х) < Х;

(7.3)

у

( ан а логи чн о для 01 (У» . Рассмо тр им фазово е п рост ­ р а н ство, соответств у ющеё да н­ ной задаче (рис. 3.35) . Т а к и м п ростра нством будет уже не треугол ьн и к Ап в ( к а к в зада­ чах без вложен и я доходо в ) , а весь первы й квадра нт ХО У (средс тва могут не тол ько умень­ шатьс я , но и расти ) . Т р а екто­ р и я по-пр ежнем у состоит из р я ­ да звенье в, распад ающи хся на полуз вен ья ; первое пол узвено о (дл я всех этапов , кроме пер во­ го) изобра жает перера спределе­ Рис. �.35 ние средств (точка S движет ся па раллел ьно А В), второе ­ тр ату и пр иоб р етеН R с редств (точ ка S может дви гаться в л юбом на­ правле н и и ) . В отл и ч и е от р а нее рассмотренны х задач, здесь до ход п р иносит ол ько oд o, последнее, звено, которо ! е на рис. 3 .35 в ыдел е­ � но жи рнои стрел кои . В дан н ом сл у чае зн ачение показ ател я W непоср едстве нно видно на черте ж е - это сумма абс ц исс и ордин аты точ ки S ro, изобр а ж ающей ы конечн ое состоя н и е систем ы. Задача оптима л ьного у п равлен и я : вы­ вести точ ку S", на пряму ю А (а)ВЮ, паралл ел ьну ю А В и н аиболее уда­ лен н у ю от начала коорди нат. З н а чен и е выигр ыша дл я любой траекто­ р и и в фазово м простр анстве предст авляет собой кажды й из отрезк ов ' отсека емы й п р я мой А юВю на ося х коорди нат. Постро им схем у решен и я этой задачи методо м динам и ческог о про­ грамми рова н и я , без подроб ных словес ных объясн ен и й (по образцу предыдущи х задач) . На фун кции F (X) и О; (У) пока не будем н а кла­ i дывать н и ка ких ограни чени й . Выигр ыш н а всех шагах , кроме посл едн его, равен нулю, поэтому не будем его з а писыва ть. На посл еднем же шаге он выр ажается 1 58

и условное оптимал ьное управлен и е, п р и котором Этот выигрыш до СТPl гаетс я : хm(К) . далее , п о формуле (7.2) на ходи м все услов ные выигрыши и услов­ ные оптимал ьные у п р а влен и я н а всех шага х , н а ч и н а я с последнего, после чего процесс п р оходит в п р я мом н а п р а влении и определ я ются без услов н ы е оптимальные у правления на ка ждом ша ге. Та кова схема решен и я задачи методом динамического прогр амми ­ рован и я п р и л toбoм виде фун кций и зменен и я средств Fi(X) , Gi(Y) . Одн а ко, если н а эти фун кции н аложить н екоторые (очен ь есгественн ые) ог раничен и я , схема может быть сил ьно у п р ощена _ П р едпол ож и м , что все фун кци и Ft (X) , Gt( Y) предста вл я ют собой неубыв ающие фун кции свои х а р гументов, т. е. п р и увели чении коли ­ чества вложен н ы х средств сумма дохода и оста вшихся ср едств к концу эта па не может умен ьшиться . Покажем, что при этом условный оптима л ь н ы й выигрыш есть неубываЮЩl1Я функция от исхода каждого из предыдущих шагов, т. е. от суммы с р едств в его кон це. Действ ительно, пусть исход ка кого-то, скажем, (i - 1 )-го шага (сумма ср едств в его конце) равен K t-l ' Рассмотр им оптимал ьный выи · грыш п ри этом услов и и как фун кuи ю Kt-1 • Так к а к выигрыш п р и об­ ретается тол ь ко на последнем шаге, то безразл и ч но, рассматривать ли этот выи грыш за все шаги , ил и тол ько за последн ий шаг, или за все ш а ги н а ч и н а я (' i- ro . Выберем последнее: рассмот р и м оптима.IJЬНЫЙ в ы и гр ы ш W за все шаги начиная с i-ro, к а к фу нкцию K j-1 :

Wi (K' _ I ) .

(7. 4)

Н у ж н о доказать, что эта фу н кuи я - н еубыва юща я . доказ ател ь­ ство будем вести методом пол ной и нду кuи и , но не от i к i + 1 , а , наобо­ рот, от i + 1 к i. П р едположим, что доказываемое свойство справедл и­ во дл я i + 1 , т. е.

(7.5)

есть неубывающа я фун кци я своего а р гумента К i (суммы ср едств в конце i - ro шага ) . Докажем , что тогда неубыва ющей фун кuи ей будет » (7. 4) . Действ итеJJ ЬНО, согл асно у р авнен и ю (7. 2) (где K t -l обоз н ачено 1 59

просто к) функция ния

Wt(Kt-l) пр едста вл я ет собо й ма кси му м вы раже­ (7.6)

Пока ж ем , чТо (7 . 6) есть не у б ы ва юща я фу н к ци я от K i-1; тогда будет ясно , что и ее макси мал ьное з начен и е W!( K t-1) с у вел ичением К !-I убывать не может. Зафи кси руем какое-то значение K t-1 • Пусть дл я ЭТО Го значен и я в ы ра ж ение ( 7 .6) дости гает ма кси м ума по X i , р а вного Wi (Kt -1), пр и определенном управлен ии Xi . Пр идадим теперь в ел ич ине К '-I не­ которое положител ьное приращение I1Ki-1 • у нас обр азовалс я не . который избыток средств, который мы можем вложить дополнительно либо в отрасл ь 1, л ибо в отрасл ь 1 1 , л ибо в обе сразу . Так к а к фун кци и Р;(Х), GJY) н е у б ы в а ю гц и е, то от та кого «доба влени я» ср едств ка ждое слагаемое под зна к ом фу н кции (7. 6) может тол ь к о увели чить. ся . а значит, и их сумма может тол ько у вели читься , а не стать мен ь. ше. Что при этом станет с ф ункцией (7. 6) ? Согл асно нашему допущению, фун кция W i+1 - неубыва юща я , з н ачит , при ув ел и чен и и Kt-1 в ы· ражение ( 7 . 6) умен ьшиться не может. Ита к, переход от i + ] к i дока· зан . Покажем тепер ь, что на ше свойство справедливо дл я последнего гn) . Это доказываетс я п р осто. По фоР�lул е ( 7 .3) выи г р ыш шага (i + I на т-м шаге при оптимальн ом управлении п р едста вл яет собой м а кси. мум вы
аженияя =

Рm (Хm) + Gm (К m - I - Хт)

и, естественно, является пеубывающей функцией от Кm- l (это толЬко т) . Та ким об р а . что было доказано дл я л юбого i, а зна ч ит, и дл я i зом, W m (Km- l ) есть неубыва юща я функци я Km- I , а зна чит, согл а сно принципу полной индукции , И любой из выгрышей W / (Kl-1) - неубы­ вающая фун кция , что и требовалось доказать . Из доказан ного вытекают очен ь простые рекомендаци и по опт и ­ мал ьному упр авлен и ю. Действител ьно, есл и окончател ьный оптимал ь­ ный выи грыш есть неубывающа я функция от общей суммы средств, реализуемой на исходе каждого шага, то оптимал ь ное управл ение со­ =

сто ит в том, чтобы в результате каждого шага получать максималь­ ное значение этой суммы средств . З н ачит, управлен и е каждым отдел ь­

ным ша гом можно выбирать исходя из интересов этого отдел ЬНО го шага , не учи тывая остальных. Эта особенность поставленной задачи п р иводит к тому , что процесс планирования сильно упрощается . Нет уже надобности в СЛожной п р о­ цеду ре нахождения условных оп rимал ьных выи г рышей и условных о пти мал ьных управлений - дл я каждого шага, н а чиная с пер во го, сразу на ходитс я безусловное ОПТИ�1альное управление. На пер вом шаге н ужно выбрать то управлен ие X1 , при котором обр ащается в м а ксимум К1 - сум м а средств посл е первого шага : I (JO

к;

=

т ах 1Р1 (Х1) -t- G1 (Ко - Х1» ) .

о ..; Х. < К,

На втором - то управлен ие, при котором обращает ся в ма ксимум величина F2(X z) + a2(K� - Х 2):

к; = тах (F2 ( X2) + G2 (K � - X) I , O .;; X2
и

Т.

д ; дО K;;; - I , М акси мальный выигр ы ш н а т - м шаге будет pal!eH :

Wm =

тах

I Fт ( Хm) + Gт (К� - I - Хт) ) '

О ';; Хm
'Рm(У) .'

Лег ко убедиться , что задача та к поставленн а я , сводится к пр е­ дыдущей . Действител ьно, полагая н а посл еднем ша ге получаем услов и я п . ] . Е стественно, ч то есл и все функции F i ( X ) , Gi(Y) ] , . . . , т) - неубывающи е, да нная задача, ка к и предыдуща я. (i будет вырожденной. 3 . Доход вкладывается в nроuзводство не полностью, а какая-mo =

ЧЩ;111b его отчисляется; максuмuз ируется полн ый отчи сл ен ный д оход н а всех этапах плюс остаток средств посл е т-го э тап а.

Дл я реш ения этой задачи должны быть задан ы «фун кци и дохода»: fi ( Х ) , g, ( У) (i 1 , . . . , т) , =

«функци и траты»: !JJ 1

( X) � Х;

'Pl

(i = 1 , . . . , т),

(У) � Y

и еще , ДОll олнительн о, «ф ункци и отчислений» : (i 1 , • • , т), Г; (D) � D =

6 :,:!ак . 573

о

161

нного на i-M шаге, не nоказы вающи е, какая часть до х ода D , получ � + 1 ) - м шаге, а отч ис(1 щем следую на одство произв в кладыв ается в ля ется . намич еского про�ра м' Намет им схему решен ия зада ч и методом .Ди шага б удем ха РС:1 кте­ [-ГО чалом а н перед ы систем ние Состоя . я и ан миров распредел ению; оно х ащи подлеж , ризова ть кол ичеств ом средств К ения определенотчисл путем шага о дущег преды получ ается из исхода ной дол и дохода . Выигры ш на i-M шаге будет Wt

(К i Xt) = ' ; (fi (Xi) + gi (К - х ;)) .

Управление Х 1 на i-M шаге (вложение ср едств Х I в отрасл ь 1 , а ос­ тал ьных средств - в отрасль I I) пер еводит сист ему из состояния К в новое состоя н ие:

К'

=


+gj (К -Х;) - , ! (fi ( Х i) + gt ( К - х;»). Основ ное фу нкцио наль ное у равнение :

+ W , + I (
(К - Х д + Г; ([; ( Х ;) + g j (К - XJ)) \.

Услов ный оптима льный выигрыш н а т-м шаге:

ния оста ется В остал ьном схема динами ческого програм мирова распределения резадач ных рожден невы для раньше, и как же, той су рсов . ть схемы Рекоме ндуем читател ю в качестве упражн ения наброса в. решени я следующих задач распредел ения ресурсо

8. Р Е Ш Е Н И Е ЗАД А Ч И Д И Н А М И Ч Е С К О ГО П Р О Г РАММ И РО ВА Н И Я С У Ч ЕТОМ П Р ЕД bl СТ О Р И И П Р О ЦЕССА Все задачи динамического пр ограмми рования , которые мы до си х пор рассматривал и , отл ичались следующей особе нностью: «до ход» Wt на каждом i-M шаге и максимал ьный доход W начиная с i-ro шага и далее зависел и тол ько от состоя н и я S системы S пер ед да нным, i-M шагом и от пр имененного управлен и я И/, но н е зависели от того, ка­ ким образом (l{а ким путем) система пришла в состояние S, т. е. в ре­ Зул ьтате ка ких управлений, когда и как это произошло. Другими сло­ вами, задачу оптимизации управления на ка ждом (i-M) ша ге мы реша­ ли С учетом н а с т о я Щ е г о состояния S , но без уч ета п р е д ы с т 0р и и пр оцесса. На п р и мер, решая зада чу распределения ресурсов между двумя (или более) отраслями производства, мы в качестве характеристики состо яния системы перед каждым шагом брал и одну величину - имею­ щиеся в нашем распор яжении средства К ; на м совершенно не было дела до того, к о г Д а и к а к система пришла в это состояние, т. е. ка к рас­ предел ялисъ ср едства между отр а слями на всех предыдущих этапа х . Важно было тол ько количество средств К , с которым м ы пришли к оче­ редному шагу. Во многи х зада чах ди на мического программирова ния эта «неза­ висимость от предыстории» не имеет места . Например , доход на i-M шаге может зависеть не тол ько от количества средств, влож енн ого в каждую отрасл ь на Д а 1i н о М шаге, а еще и от того, какие средст­ ва и на ка ки х шагах вкладывал ись в нее ранее. Т еоретически всегда можно уч есть предысторию пр оцесса с по­ м ощью следующего пр иема : в ключ ить в чи�ло фазовых координат, ха­ ра ктериз ующих состояние S системы S перед данным шагом, все те nараметры из nрошлого, от коmoрых зависит будущее .

Например, если доход на i-M шаге зависит не тол ько от вложенных средств Х ; , но и от ра нее вложенных ср едств Z, можно ха рактер изо­ вать состояние системы перед i-M ша гом не прОСТО и меющимся в на шем распоряжении за пасом средств К , а СОВОК У ПНОСТЬЮ ( К, Z) , где Z ранее вложенные средства .

условия х Не будет ли ка ка я -нибудь из эти х задач при некотор ых вырожденной?

Если существенна не тол ь ко обща я сумма ранее вложенных средств, но и когда именно и сколько средств в кладывалось - в п р ин­ ципе мож но «обогатить» состояние S и этими сведениями I,;Iз прошло­ го. Т а к и м обр азом, теоретически всегда мож но ввести в ч исло па рамет­ ров, х а р а ктеризующи х состояние системы в настоящий момент, сколь­ [{о угодно параметров из «прошлого» . Одна ко, на пра ктике та кое «обо­ га щение» фазового простра нства быстро приводит К н еобозримо слож­ ной с хеме динамического п рограмми рования , настол ько сложной, что са мы й метод перестает быть пригодным. Ведь главная идея динами­ ческого программирования : «вместо того, чmoбbt одиft раз решать сложную задачу, много раз решать сравнительно простую» пер еста ет себя оправдывать, есл и «проста я» зада ча переста ет быть «ПР ОСТОЙ» .

162

6*

а частично; 4 . Доход вкладывается в nроuзводство не полностью,

доход за все т шагов, м,аксимизируется толЬКО полный отчисленный без учета оставшихся средств . 5. Доход вкладывается в nроuзводство не nолност�ю, а частично; е плюс доход) максимизируется CY}'tMapHoe количество средств (основны . су.мм енных отчисл ранее после т-го шага, без учета

163

Поэтому попыlкии решать методом динамическоrо программиро­ вания задачи со сложным влиянием «предысторию> обычно ни к чему хорошему не приводят. Однако, есл и влияние «предысторию> может быть учтено с помощью небольшого числа параметров (одного, дву х, трех) , и ногда уда ется пotтроить сравнительно простую схему динамического программи р о ­ ва ния и решить задачу оптимизации . В качестве примера задачи « с предысторией» рассмотрим з ада ч у о профилактическом ремонте техники . Задача ставится следующим образом . Имеется техническое устройство S, эксплуатируемо е в течение т лет . Эксплуатацион ные расходы зависят от следующих фа кторов: - от «возраста» устройства t , т. е. количества лет, протекшего со времени ввода его в эксплуатацию; - от кол ичества профил актических ремонтов k, про изведенных до момента '; - '0'1' количества лет ., протекшего со времени последнего профи­ ла ктического ремонта ' ) . Предположим , что профила ктический ремонт п роизводится (если производится) мгновенно и в начале года . Естественно предполож ить, что затраты на этот ремонт (стоимость ремонта ) зависят от тех же ар­ гументов 1, k и " что и эксплуатацион ные р асходы. Мы хотим так распределить профилактиче ские ремонты по годам, чтобы сумма общих затрат (эксплуатацио нные расходы плюс расходы на ремоНт, если он производился) достигали минимума . Лоста вленная задача может быть решена методом динамического программирования , если ха рактеризовать состояние системы (техни­ ческого устройства S) к на чал у каждого ша га тремя фазовыми. коорди­ натами: 1 - «возрастом» системы, k - количеством ремонтов в прош­ лом и l' - временем, протекшим с момента последнего ремонта. Чтобы решить задачу опти мизации управления, нужно задать' как экспл уатационные расходы, та к и расходы на ремонт в фун кции от этих фазовых координат. Введем следующие обозначения . - стоимость эксплуатации устройства за год, начинающийся в момент t, если до момента t никакого ремонта не производил ось; Э1(t, 1') - стоимость эксплуатации устройства за ГОД, начинаю­ щийся в момент " если до момента t производился оди н ремонт, и со времени этого ремонта прошло • лет; и вооб ще Э,, (t, -с) - стоимость эксплуатации устройства за один год, начи­ нающийся в момент 1. если до момента t производилось k ремонтов, и со времени последнего из них прошло . лет.

Эо(t)

') Строго говор я , экспл уатационные р а с х оды з а в и сят не тол ько от времени 't, про шедшего после п о с л е Д н е г о р е м о нта , но и от с р о ков п р е ды д у щ и х k р е м о нтов ; но эта завнсимость слаба , и ее м ож н о не Y 'I HTblBaTb.

1 64

Ro(t) - стоимость ремонта , производимого в момент (, если до момента t ника кого ремонта не производилось; R1( t , .) - стоимость ремонта , производимого в моме нт " если до момента t производился один ремонт, и со времени этого р емонта прош­ ло 't лет; и вообще Rk(t, -с) - стоимость р ем онта , производимого в момент " если до момента t производилось k ремонтов, и со времени последнего из них п рошло 't лет. Б удем изображать состояние технического устройства S точкой S в фазовом пространстве; по одной ОСИ мы nудем откладывать «воз­ расТ» устройства - время " по другой - время " протекшее с k момента посл еднего ремонта , по третьей - количество ремонтов k (рис. 3.36) . Та к как при всех условия х 't < t и k < t, то все возможные состояния системы точ ками будут изображаться внутри трехгра н ного угла OA IB. момента t ремонта Если до не было, точка S на ходится на оси 01; если был один ре­ монт - точка S на ходится в плоскости КО' L, параллельной Рис. 3.36 tO. и отстоящей от нее на расстояние 1 , и т. д . Чтобы не пользоваться пространственной картиной, «расслоим» фазовое пространство на неСl<ОЛ ЬКО частей, которые мы будем обозна­ чать:

(О), ( 1 ), (2 ),

" ',

(k),

Часть (О) фа зового пространства представляет собой просто ось 01; часть ( 1) - треугол ьник на плоскости КО' L, часть (2 ) - треуголь­ ник на плоскости, па раллельной tO'C и лежащей от нее на расстоянии 2 и т. д. С увеличением номера пространства размеры треугольников все вр емя уменьшаются. Ча сти фазового простра нства (О), ( 1 ), (2) . . . . , (k), . . . показаны на рис. 3.37. Перед на чалом каждого года у нас есть выбор между двумя уп­ равлени ями: ио - не дел ать ремоита (продолжать экспл уатировать устройст­ во S). ul - сделать ремонт (и после него продолжать эксплуатировать устройство) . Посмотрим, какие перемещения в фазовом пространстве испыта­ ет точка S под действием каждого управления. 165

Пусть точка S н а ходитс я в пр остр а нстве ( О) - на оси о! в точке с ко о рд и н атой t (см. рис. 3.37). Под вл ия н ие м управления ио (п р одол­ жать экспл уатировать) она за год переместится в точку с абсциссой t + 1 на то й же оси . {О}

ние l.j' (сделаем ремонт) , точ к а перемест итс я в прост р ан с тво (2) , в ТО'1ку S С координатами (! + 1 , 1 ) . В ообще, �сли то ч ка S находится про,' гранстве (k) ( k � 1 ) , то

упр а ВJIение U

п е р е м ещает

Б

ее на од ин шаг вправо и в вер х , из точ к и

с коорд� натами (1, Т) В точ к у с коо р д ината ми ( t + 1 , .. + 1), а управ­ лен и е U - в следующее по порядку пространство (k + 1 ) , в т очку с к оо рди н ата м и (t + 1 , 1 ) . За пишем правила пере хода точки S в фазовом пространстве под влиянием управлений ио и 1J1 в в иде «та бл ицы пр еоб р а з ов а ни я» ( см. табл . 8 . 1 , п ервы е пять стол бцо в ) . 8 1

Табли ц а Новое состоян и е

Ис ходное п оложение простр а н -

СТВО

( О) ( 1) .

.

t

(k) .

.

I I I

I

I

,

:У пр а в ле ни е

коорд" н а -

п ростра нстао

ТЫ

(t) (t , '{) .

.

( 1 , '{) . .

UО Ul

I

I I I I

UО Ul

. .

.

uо

Ul

.

.

.

I I

(О )

(1)

(1) (2)

I

.

.

.

(k) (k+ 1 )

I

\

.

. .

I

I ! I

I

I

к оордн н аты

(t -1'- I ) (1+ 1 , 1 ) (1+ 1 , 't+ l ) (t + l , l ) .

.

.

( ( + l , '{+ l ) (1 + 1 , 1) .

.

.

Расх од на Данном шаге , н а ч и нающе мся в м о м е нт t

Э О (t ) Ro ( t ) + Э1 (1 , О) Э1 ( ' , '{) R1 ( t , 't) +Э2 ( t , О) .

.

.

.

.

.

Эk (t , '{) Rk(I, 't) +Эk+1 ( t,0)

.

.

. . .

.

Т а к и м об р аз ом , нам ясно, ка к перемещается точка в фа з ово м п ростра нстве под в лиянием любого у пра в лен и я , т. е. мы з н а ем функ­ цию S' qJ(S , И),

(k )

=

согл а с но кото р о й меняется состоян ие системы под влия н и ем пр име­ ио, и l ). ненного управления U ( и Т епер ь п осмотр и м , к ка кому «в ыиг ры ш у» - р а с ход у W t на дан­ но м ша ге приведет каждое УJI равлен ие. Есл и мы пр имеи им у пра вле­ ние ио, то на данном ша ге м ы б удем иметь тол ько эк с пл уа та ц ионн ые р асходы; если управление и l - расходы на ремонт плюс экспл уата­ ционные на ближайший год, но д р у гие , чем если бы р емонта не было. За пишем эти ра сходы в то й же табл . 8 . 1 в виде добавочиого столбца . Пол ьз у яс ь этой таблицей, мы м ожем теперь дл я любого состоя ­ ния системы S и любого у пр а в л ения ( ио и.1И U I ) , пр и м ененно го в лю­ бой момент " н а йт и ; - куда переместится точ к а S под дейст в ием у п ра вления ; - к какому расходу средств это приведет. После того, ка к та кая таблица соста вл е на , уже нетрудно о р гани ­ зовать самую про ц ед ур у опти мизаци и . Мы начне м , ка к всегда, с по­ сл е днего ша га, п ер ебер ем все возможные состояния системы перед =

Рис. 3.37

Под �л ия н и ем управления иI (сдел ать р емонт) она пер еместит ся в ТОЧ IS у S в пр о стр а нств е ( 1 ) с координатами (' + 1 , 1 ) . Вто ра я коор­ д ин а та .. = 1 , та к как ремонт производится в н а ч але года, т. е. 3[) год до конца очередного шаг� . Теп ер ь пусть точка S за ни ма ет какое-то положение в п ро ­ странстве ( 1 ) . У пра вление ио ( пр одолжать э кспл уатировать) приведет к тому, что как {, так и Т за оди н шаг увеличатся на одну едини цу, т. е. точка S пер ем еститс я вверх и вп ра во (паралле.л ьно Г и п о­ тен у з е тр е у го л ь ник а ) в точ ку с к оо рди н ат а м и (t + 1 , .. + 1) , есл и п р еж н и е коорди н аты был и (/, Т) . Е сли же мы пр именим у п р а вл е· 1 66

167

�тим шагом и дл я каждого из ни х найдем условное оптимальное уп­ равление ( ио или иl) на т-м шаге и условный оптимал ьный выи грыш (ми н имальный расход) на последнем шаге. далее будем оптимизировать (т - l ) -й ша г, так чтобы он, в совокупности с уже оптимизи рован­ ным т-м, дал минимал ьный расход и т. д . Продемонстрируем эту методику на конкретном примере.

R1 ( 1 , _)

(в условных единица х) вы р ажены ф у н кциями: Эо(t) , Э1 (t ) Э2 ( t , ) , Э з(t _), Э4 ( 1 , Т) , Э.(t Т) ( и ндекс - кол ичество предшествующих р емонтов, т - кол и · .

,

.

I - I

Ro ( t )

При мер. Участок желез нодор ожного пути эксплуатир уется в течение m= б лет. Эксплуатационные р асходы з а оди н год, н а ч и н а ющи йся в момент (, ,

\�I

g>У II К ЦИ Я

,

1

2

3 4

,

честв о лет, пр оте кшее с послеДнего ремонта пути). Сто имость ремонта за дана фу и кциями Ro(t), R1(t, Т), R2(t, Т), R з(t, Т), R4(t, т). З начен и я фу и кци й Э и R п р иведены в табл. 8.2 и 8 . З . _

Функ ци я

Э, ( 1 ) Э , ( 1 , <)

I�I

I

I

I�I О 1

3 4

\�I О

1

2 3 Э . (1, �)

) 1

2

Э . ( 1 , ,)

1

Э, ( 1 . , )

о

1 �8

I

\� ! I I '� \ I I I о

I

2,5

- I

I

о

2,2

I I I

I

2

З, I 2

2,4 2,5

-

3

I

4,0

I

3

3 ,8 3,9 4,0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

(J

I

-

I

I

2

-

-

-

-

2,3

-

-

-

-

-

-

I�I (

1,9

-

2 Э, ( 1 , �)

I

u

о

I

-

-

-

-

-

о

-

-

о

-

I

I I

I

-

--

I

-

-

I

I I

2

-

-

2

-

I

1

5 ,0 5, 1 5,1 5,1

I

3

I

I

I

I

4

4

-

3,9

-

-

3

-

-

3

-

I

4

3,5 -

4

-

I I 1

3

I

'� I

R , ( 1 , ,)

5

I

I

6, 3 6 ,4 6,5 6,6 6, 6

R, ( 1 , ,)

6,0 6, 2

I I

I

I

I

5

4,5 . 4,7 5,5

4,5 5

.3 , 8

---

I

l

-

-

-

-

-

-

I I I I

1

-

-

-

I

1 ,4

2

-

-

Q

-

Сост оя н и е системы

П ро -

I

(О)

,

(=5

--

1 ,4 1,5

I

3

I

I

I

I

-

-

I

3

I

-

I I

I

5

3,0

- 2,6 2,9

I

4

5

I

-

I

8 3

2 ,4 2 ,5

1 ,5 1 ,6

-

3

2,3

-

-

I

I I

4

1 ,9 2 ,0 2, 1

1 ,2

I I I I

4

0 ,.8 -

4

-

2,0 2, 1

2,3 5

1,1 1 ,4 Б

1,0

Таблица

авле е

3 , 0 + 6 , 3 =9 , 3

2 , 4 + 5 , 5=7 , 9

М и н и м ал ь-

О п т и м альное упр ни

I

\

ИО

НЫ!! pa� xoд

I

ио

6,6

(1)

(5 , 1 ) (5 , 2) (5 . 3) (5 , 4)

6,4 6,5 6 ,6 6,6

2 , 5+5 , 5� 8 , O 2 , 6+5 , 5= 8 , 1 2 , 9+5 , 5=8 , 4

(2)

(5 , 1 ) (5 , 2) (5 , 3)

5,7 6,0 6,2

2 , 0+4 , 5=6 , 5 2 , 1 +4 , 5= 6 , 6 2 , 3+ 4 , 5=6 , 8

ИО ИО

5,7 6,0 6,2

1 , 1 +4 , 2= 5 , 3 1 , 4 +4 , 2= 5 , 6

ИО ИО

5, 5

(3) (4)

(5 , 1 )

I

4 ,7

5,5

I

(5 , 1 )

1

4,5

1 1 , 0-1-З , 8=4 , 8

(5 , 2)

1

8.4

шестого ш а г а

Расход п р и уп r рав ии И 1

6,6

I

1 ,8

леп

Расход при упр ав ле н и и и'

( К ООРДИ НdТЫ 1 <)

CT PJ. HCTBO

I

1

1 ,2

I

1

I I

2

Усло вная ОПТИМ И за ц и я

5

4 ,2

I

---

I

I

' 5

5,7

1

2

1 ,2

I�I

5,5

4 ,0

I I I I

\� I

( 1 . �)

2

6,6

-

I

R"

8.2 5

4,8 4,9 5,0

2 ,8

I

I

-

-

-

I

I

5, 1

-

-

-

I

2

1

3, 7 3, 8

-

I

I

I

3

I

Та бл u ца

I I

I

ТабllU ца

I

6,4 6,5 6,6 6,6

ИО ИО ИО

ио

.

1

ИО

4,7

1

4 ,5 16 9

Табли ца УСn О В Н d Я оп т и м и з а ц и я п я то, о ш а г а

ПРОСТраИСТ R О

(О)

!

(1)

(2)

(3)

( О)

(1) (2) (О ) (1)

(О)

I

I

Состо я н и е СИстемЫ ( каор Дн ' наты " ,)

P d C XOIl " Р И упра н ' ле н и н ио

1=4

5, Н6 , 6= l l , 7

2 , 3� 5 , O+6 , 4 = 1 3 , 7

(4 , 1 ) (4 , 2) (4 , 3)

5 , 1 ,1>6 , 5 = 1 1 , 6 5 , 1 + 6 , 6= 1 1 , 7 5 , 1 1i 6 , 6= I I , 7

1 , 91Г4 , 81i 5 , 7= 1 2 , 4 2 , O� 4 , 81i 6 , O== 1 2 , 8 2 , I +4 , 81i 6 , 2 = 1 3 , 1

(4 , 1 ) (4 , 2)

!

(4 , 1 )

\

t=3

I

Рас ход " Р И Y n l> a 8 · nеНИН U i

1

4 , 91i 6 , O= 1 0 , 9 5 , 0+ 6 , 2= 1 1 , 2

1

, О пти м а л ь .. ное у п · р а ВJ1 е н и�

I

1 , 5+ 3 , 9+ 4 , 7= 1 0 , 1 I , 61Г3 , 9+ 4 , 7= 1 0 , 2 0 , 8 + 3 , 5+ 4 , 5== 8 , 8

4 , 0+5 , 5=9 , 5

1

ИО

,

Ми ни

!

11,6 11,7 1 1 ,7

ИО

1

И1

(о)

11 ,7

ИО

и1 И1

-

м а n ь ны й рас ход

ИО

1

8.5

1

10, 1 10,2

I

�

I ff / 2 f

8,8

о

У сл о в н а я оптим и з а ц и и чет в е ртого ш а г а

1

(3 , 1 ) (3 , 2)

! I 1 1

(3 , 1 )

1 =2 (2 , 1 ) (= 1

\

1

I

I ! 1

4 , О+ I I , 7= 15 , 7

\ I , 8+з , 81i 1 I , 6= 1 7 , 2 1

ио

3 , 9 1i 1 1 , 7= 1 5 , 6 4 , 01i 1 1 , 7 = 1 5 , 7

1 . 4 +3 , 14- 1 0 , 1 = 1 5 , 2 1 , 51i 3 , 7 1i I O , I = 1 5 , 3

И1

'

1

! 1 , 2 1i 2 , 8+ 8 , 8 = 1 2 , 8 1

3 , 8 1i 1 0 , 2= 1 4 , O

�'сл о в и а я О Л Т I:f. \1 и зацня тр.етьего ш а г а

! I , 4 1i2 , 41Г 1 5 , 2 = 1 9 , оl 2 , 51Г 1 5 , 3 = 1 7 , 8 ! 1 , 2+ 2 , 3+ 1 2 , 8= 1 6 , з !

з , I 1i 1 5 , 7 = 1 8 , 8

�

Усл ов н ая О Т И М li з а ц и я второго lU a t а

! 1 , 21i2 , 2+ 1 6 , 3 = 1 9 , 71

2 , 51i 1 8 , 8 = 2 1 , 3

и1

И1 ио и1 и1

\

15,7

1

!

I !

15, 2 1 5, 3 12,8

(2) 18,8

19,7

I

1=0

1

1

2 ,0+ 1 9 , 7 = 2 1 , 7

-

1

ио

1

21 , 7

Реше ние. Пол ь з у ясь табл и ца м и функци й 8 . 2 и 8 . 3 и та б лицей преобра­ зоВ<\ии я 8 . 1 , р аз вер нем пр оцесс дииами ческого п р огр аммирова ния. Как всеГДа , на чнем с оптимизации последнего ( шестого) шага. Все возможные состоя н и я систе м ы S пер ед этим шагом будут и з обр ажаться точк ами с абсц и ссо й t 5 в п ростр а н ств а х (О), ( 1 ) , (2) , (3) , (4) (см. р ис. 3 . 38). Дл я. шестого ( последне г о ) шага опти мальным будет то у пр авлен ие ( И О ил и И1 ) , пр и ко­ тором р ас ход на последнем шаге ми нимален . Расходы будем вы числ ять согл ас но последнем у столбцу табл . 8 . 1 . Н а р и с 3 38 , кроме состояния системы, м ы бу дем обозна'IЗТЬ еще и оптима л ь ное упр авление: ИО будет обоз начаТI.С Я ст релко й, на пр авлен но й в пр аво (в простр а нстве (О» и вправо и вве р х ( в оста л ьн ых пр о ­ стр а нствах ) . У пр а вле н ие И1 в ыводя щее точку из данной части фазового пр о­ стр анства и переводящее в следу ю UlУ Ю по п ор ядку часть, будем изобр ажать стрел кой , на п р а вленной вправо и вниз У каждой точки в нутр и кр ужка будем з а п и сывать мини м альн ый !) ас х од н а всех оставш и хся шага х , соответствую щ ий дан ному состоя нию системы (услов ны й оптимальны й выигр ыш).

2

f

{зJ 1

,

1 70

I

I

J

I

I

� у � 'У\ � ---L- - - �--� -�- �--J 'f\ 'T{- у - - -

t I

- - -

l

I I

I

---

�I

I I

- --

I

-

1

- -

I

I

1

I

б

t

---г ---т ---т --- l---� --l --

-

� I

I

I

(�)

I

__

.J

=

.

I

�--t--- t--� -�-� --� ---T--� 'f'\ -��� -�--�

16,3

I

1 I

I'

( ---T- --T·- --T-- --г-�-'-"']

Опт и м и з а ц и я п е р в ог о ш а г а

(О )

---r--T---l-- --i-�--� ---�-- - J - ---� -- � l7 5 J " -4jJ

-

- -

�I I

2

- - -

+I I

--

4k � I

-

,

I

-

-

"1I I I

3

t

�[- --r --- T-- -T- --T --� --l g

I I f

I I

2

I I

.1 Рис. 3 . 38

I ! �

I

I

S

I I

6

t

171

Расчеты , связан ные с оптим и зацией, будем оформл ять в ви де табл иц табл . 8.4 и 8. 5 на ст р 1 69 , 1 70) Та ким обр азом, опти м и з а ция з а кончена О н а пр ивела нас к следующим вывода м. Минимальный р асход р ав е н 2 1 , 7 . Достигается он при следую щем оптималь­ ном у п р авлен и и: ( ИО, и1, И 1 , И1, И l, ИО), и т. е. : - на первом году участок ::>ксплуатир уется без ремонта; - в начале втор ого, третьего, четвертого и п ятого годов про изводится ремонт; - на щестом году участок ::>к с пл уатируетс я без ремонта . П р и этом р а сходы достигают ми н имума, р авного 2 1 , 7 условных единиц' ) .

(

(см

,

которые выпускают одну и т у же продукцию. В нашем распоряжении­ какой-то запас средств Ко . который мы можем вложить в гр уппу пред­ пр и ятий (9 . 1 ) с тем, чтобы произвести сверх плана ма ксимальное ко­ личество продукции . Предполож им. что каждое предприятие может освоить только ограниченное количество средств, и

(9 .2) представляют собой максимальные суммы, которые могут освоить соот­ ветственно предприятия (9. 1 ). Если в предпри ятие П/ вложены сред­ ства Х , оно даст !JJ / (X) едини ц допол нительной (сверхплановой) про­ дукции. Требу ется та к распределить имеющиеся средства между предприя­ тиями. чтобы сумма рный объем W дополнительной продукции был мак- ' симальным. Управление средствами состоит в том, что предприятиям выдел яются соответственно средства:

172

из методи ческих сообр ажений

и

т

Х / <.

�

требуется найти оптималь

Ко.

�:� управление.

при котором

т

� ш/ = тах . /� l дополнительная продукция i-ro предприятия. где ш ' Поставленная задача легко решается методом динамического программирования ; «этапом» процесса распределения средств явля­ ется выделение средств i-MY предприятию. Б удем нумеровать этапы (шаги) в порядке номеров предприятий (т. е. в произвольном порядке). Предположим. что средства предприя­ тиям П1, . . Пm-J уже выделены, и к последнему. т-му шагу мы приш­ ли с каким-то запасом средств К . Очевидно. оптимальное управление на последнем шаге состоит в том, чтобы выделить т-му предприятию все оставшиеся средства К, если они не превосходят k т, и ма ксимально возможное количество средств k m" если К � k т, Та ким образом, условное оптимальное у правление на последнем шаге: при т kт п ри х (К ) w=

..

до сих пор мы рассматривали только такие задачи динамическо­ го программирования , где планируема я операция развивалась во вре­ мени и распадалась на ряд шагов (этапов) , следующих друг за другом в естествен ном, временн ом порядке - от первого шага к последнему. Вообще, это не обязательно: разбиение на шаги или «этапи рование» В задачах динамического программирования может быть произведено не по времени , а по любому другому признаку, например, по поряд­ ковому номеру того йли другого объекта. В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется группа предпри ятий (9. 1 ) П1• П2, . . . Пт •

ны

I

-

ЗАДАЧ И ДИ НАМ И Ч Е С КО ГО П РО ГРАММ И РО ВА Н И Я , Н Е С ВЯЗА Н Н Ы Е СО В Р ЕМЕ Н ЕМ

* ) П р и а нализе этого п р и мер а следует иметь в в иду , что численные да н н ые вы б ра

e превосходящи е в сумме имеющегося ка питала Ко:

( �

=

9.

�

­

ни чего общего с р еальностью не им еют.

{К

=

При та ком управлении максимал ьный доход на последнем шаге будет Wт ( К ) =

Шm (К)

=

!JJ m (Хт (К »).

(9.3)

Перейдем к планированию предпоследнего шага - выделению средств на (m - l )-e предприятие. Пусть после т - 2 шагов в нашем распоряжении остались средства К . Мы должны выбрать такое управ­ ление

-

xm -l � k m - l ,

1 )-м шаге плюс уже оптимизированный п р и котором доход н а (т доход на последнем обращается в максимум:

Wm-1 (K) =

тах

{ !JJ m - l (Хm - I ) + Wт ( К - Хm - I) ! ,

O � X m _ 1 � Km_ 1

(9 .4)

и т. д. Основное функционал ьное уравнение динамического программи­ рования будет W; (К)

ш ах l !JJ t (Х;) + W i + I (К -Х;) ) ,

O �X; �ki

=

(9.5)

а В С Я процедура условной и безусловной оптимизации ничем не отли­ чается от той задачи о распределении ресурсов по неоднородным эта­ пам с резервированием, которую мы рассматривали выше, в § 6.

1 73

КОТОРЫ )

Таки м образом , метод дин а мичес ко го програ ММИРОБа и н я, первоначал ьно представлял ся нам ка к специфическ ий метод оп т им заци и процессов, разв �вающихся во вр емени, имеет гораздо более ши � рокое пол е применен ии.

�

)

\

П р им е р . П р едстоит спр оекти р овать многосту пен ч атую кос м и ческую р а ке . пр е дел а х определ е н ного ст артового веса G К а б и н а космон а вта имеет задан­

\

ту в ный вес g И· П р едп ол а гаетс я . что р а кета б удет иметь т сту пеней. Стартовый вес I р а кеты скл адыв ается из весов всех ступеней р а кеты п л юс вес к аб и н ы :

G = Qо + gи. ГДе

Qo

- вес. в ыделе н н ы jj н а все

т

сту пеней. К а ж д а я сту пень имеет какоЙ·то з а п ас гор ючего. П осл е и з р а с х одов а н и я гор ючего отр абота н н а я ступень сбрасыв ается и в ступает в действ ие следующая. Скорость р а кеты в конце а ктив ного уч а стка W складываетс я из т п р и р а . щений ск о рости Wl . W 2 • . • • • Wm• кото р ые она пр и обретает на отдел ь ных участках тр а ектор и и . в резул ьтате р аботы каждой сту п е н и . добавоч н а я скорость w , . при­ дав аем а я р а кете на i-M ш а г е . з а в исит. во- перв ы х . о т в е с а Х " в ы дел е н н ог о н ( а ю сту п е нь , и в о - вторых от того пассивного веса Р. KOTO P bl jj п р и ходится нести этой ' ст у п е н и :

!

10

З А Д А Ч И Д И Н А М И Ч Е С КО ГО П РО Г Р А М М И РО В А Н И Я С М УЛ Ы И П Л И КАТ И В Н Ы М К Р И Т Е Р И Е М

до си х пор МЫ рассматривал и только такие задачи ди намического I про грамми рования , в которых выи грыш (критер ий, или показател ь гах:

эффе

к тивности скл адывался из суммы выиг рышеи Ш ! на отдел ьных ша ­

) W=

Т р ебуется н а йти та кое р а с п р едел е н и е веса Qo по отде л ь н ы м сту пеням. п р и котором скор ость в к онце акти в н ого участк а макси ма ль н а . Решен и е. Рассмот р и м т сту пеней р а кеты к а к т этапов н абор а скор ости Сост о я н и е S системы перед началом каждого шага м ы будем х а р актер и зовать ОДн и м п а р а метром Q - оставш имся весом. п одлеж а щ и м р а с п р едел е н и ю меж.nу ст у п е н ям и У п р авление на ( - м шаге состоит в в ы бор е веса Х ! . отводимого из ос­ тав шегсся веса Q на д а н н у ю . i-ю сту пень. Т а к к а к п р и р а щение скорост и . согл асно формуле (9. 6) . з ав исит от дв у х ар­ гументов - веса сту п е н и и п а ссив ного веса Р . о п р едел и м этот пассивный вео О чевидно. он р а в е н Р = Q - Х !+ gи , и п р и р ащение скор ости будет:

w, = f (Х " Q -Х! + gи) . ни е

П од вл и я н и е м управления

Q'

=

Q

-

Х/

Хt

система перех одит из С осто я н и я Q в состоя­

Ос новное ф у н кц и о н а л ь ное у р а в н е н и е будет иметь в ид:

Wi

(Q) = max {f (Xi , Q -X i + g,) + W / + J (Q - X,)}.

o�X 6Q

J

( l 0. 1 )

Ш"

И ногда возни кают задачи, в которых велиЧI Ш3 W предст а вл яет собой не сумму, а п р о и з в е Д е н и е: т

W = П Ш/ ,

( 1 0.2)

t= I

где W ' - выи грыш на Ё-м шаге ( предпола га ется , что все Wi положиТел ь­ ны) . Та кой показатель ил и к рите р и й эффек'Гивности на з ы ваетс я м у л ь Т И П л и к а т и в н ы м. Нетрудно у беди т ьс я , что люб а я зада ча с мультипл и к а тивны м кри­ терием может быть сведена к зада че с адд итивн ы м критерием . Дл я этого достаточно, напр имер , п рол о га р иф м ировать выр а жение ( 1 0 . 2) и ис ка т ь решение, обращающее в ма ксимум ,JI ог а р ифм величины W. Та к ка к л ога р и фм - воз растающа я фун кция . то ма ксимум лога р ифм:,! СОО1 ветств ует ма ксимуму величин ы W. Од н а ко дл я ре ш ения задач с мул ьтипл и кативным критерием нет пр ямой надобности неп ременно лога рифмировать его. Вся про цедур а динамическ ого програ ммирования может быть дл я этого случ а я по­ строен а непос редственно. В основу ее кладется такой выбор условного оптимал ьн ого управлен и я на каждом ш аге , пр и KOTOPOM обращается u в м а кс и мум выигрыш на в сех оставши хся шага х, равныи произведе н и ю в ы и г ры ш а на да нном шаге и уже оптими з и рова нного выигрыша на всех п оследующих ш ага х Основное функциональное уравнение динамического про грамм и рова ни я дл я этого сл учая будет иметь вид : ­

(9. 7)

.

­

О пт и м а л ь ное у п р авление на i-M ш а ге есть то значение Х, = х . п р и ко­ , тор ом достигаетс я этот ма ксимум . О птим а.� ь ное у п р авле н и е н а т-м ш а ге ( п р и естестве н н ом п р едположен и и. что с у в ел ичен ием вес а . отводимого н а сту пень. пр и р ащение скор ости увел и чи. в ается) , СОСТО Ит в т о м , чтобы отвести на п оследнюю сту пень в е с ь остав ш и йс я вес Q П р и этом на последнем ш а ге б удет п р и обретена скорость:

Wm Щ) = ! (Q. gи)·

(9. 8)

)

(9 .9)

Далее пр оцеду р а n и н а м и ческого п р о г р а мм и р о в а н и я р а звор а чивается обы ч­ ным пор ядком. В резул ьтате н а х одится опт и м а л ь н ы й н а бор весов ступене й. Х

=

(X1•

Х 2 , • • • • Хm .

п р и да ющи й п осл едней ступени (каби не) максима ль ную скорость :

1 74

/=

т. е. был аДДИТИt3еtI.

,

(9. 6)

т

�

W mах = W 1 (Qo) .

W!

(S)

=

ш ах / Ш ; (S, и/) . W, + 1 ( qJ i ( S, и,

u/») I .

( 1 0 .3)

а условие оптимал ьности последнего шага сохранится в том же БИ�е. как п р и аддитивном критери и : W m (S) = шах { wm (S, иm) } . ит

( 1 0 .4)

В ся процедура динамического программирова ния с му л ьти пл и кат и вным критерием ничем не отл ичается от обычной, кроме того, что под зна ком максимума стоит не сумма , а произведен ие. Рассмотрим одну И3 типи ч ны х зада ч ди н ами ч еско го программиро­ вания с мультипли кативным кр итерием ­

.

1 75

Рас пределение средств для пов ы шения надежности т ех н и ческо г о устройства

Имеется техническое устройство S, состоящее ИJ\ т элементов, или узлов Э1 , Э 2 , . . . Эm (см. рис. 3 . 39) . Б езотказная работа каждого ЭЛ емента безусловно необходима для работы устройства S в целом. Элементы могут отказывать (выходить из строя), причем незави­ симо один от другого_ Надежность (вероятность безотказной работы) �ceгo устройства равна произведению надежностей всех элементов:

т

Последовательным применен ием формулы ( 1 0. 7) для i т - 1, 2 , . . , 2 , ка к всегда , на ходим условные оптимальные управления =

-

_

Хm _ [ (К),

и условные оптимальные выи грыши Рm - 1

Р1

( 1 0.5)

/= 1

где Р ! - надежность i-ro элемента . В нашем распоряжении имеются некоторые средства К о (в денеж­ ном, весовом или ином выражении), которые можно употребить н а повышение надежностей элементов. S Количество средств х , вложен'"______л , � � ное в приспособления, повышаю,� . . . � щие надежность i-ro эл емента , до­ водит ее до зна чения Рис. 3.39

=

( 1 0.7)

где Р 1(1{) - условный оптимальный выигрыш, т- е. ма ксимальна я на­ дежность устройства, составленного из всех элементов, начиная с i-ro и до т-го, если после i - 1 - го шага, т. е. после обеспечени� средствами п редыдущих i - 1 элементов, в fIашем распоряжении остались сред­ ства К . Условное оптимальное управление на i-M ша ге Х / ( К ) - то ко­ л ичество средств, при котором достигается этот ма ксимум. Как и во всех задачах распределения ресурсов, где средства рас­ х одуются до конца, а выигрыш - неубывающая функция, оптималь­ ное управление на последнем шаге состоит в том, чтобы выдел ить на этот lll а г все остаВlllи еся средства : ( 1 0.8) При этом достигается условный оптимал ьный выигрыщ равный 1 76

Рт (К ) == 1т (К ).

( 1 0 . 9)

(КО)

ТО упра вление

Рm - 2

(К) ,

•.•

, Р2 (К).

т а х (fl ( Х 1 ) ' Р2 ( К О - Х1) } .

( 1 0 . 1 0)

О < Х , < К.

=

Х1 = Х1

(К о),

пр и котором дости га ется максимум ( 1 0. 1 О) , и есть безусловное опти­ мал ьн ое управление на первом ша ге, а P1 (Ko) - безусловный опт� м а л ьный выигрыш, т. е. ма ксимал ьно достижима я да нными средства­ ми н адежность устройства . Далее оптимально е управление строится по схеме: Хl

( 1 0 . 6)

Все функции мх) - неубывающие. Требуется определить оптимальное распределение средств по эле­ ментам, приводящее к наибольшей надежности устройства в целом . З ада ча решается методом динамического програ ммировання. Пе­ ред нами - задача с мул ыипликативным кр итерием. Выигрыш на ft(Х д , где управление X j - количестВо средств, вло· i-M шаrе Р ! женное в i-й элемент. Основное функциональное уравнение имеет вид:

(К ),

Первый ш а г в данном случае оптимизируется н е условно, а без­ условно, та к как исходное кол и чество средств Ко задано:

т

р = п Pi '

(К) , ... , Х2 (К)

Хm _ 2

•••

11_

*

-+ К 1

*

*

=

-+ Кm- l

К 0 - Х1 -+ Х2 -+ К 2 *

=

*

=

К 1 - Х2 -+ . . .

Km - 2 - Xm - l -+ Xm -+

Б ЕС КО Н Е Ч Н О Ш А ГО В Ы й

*

Кт

=

О.

П РО Ц Е С С Д И Н АМ И Ч ЕС КОГО

П Р О Г РА М М И Р О В А Н И Я

Все задач и динамического програ ммирования, которые мы рас­ сматривали до си х пор , относились К процессам, разделяющимся на конечное ч исло т шагов. Разумеется , все пра ктические зада ч и , свя­ занные с планированием экономr-; ческих и подобных им операци й , от­ носятся к этому классу - план ировать имеет смысл только на конеч­ ный ( п усть даже очен ь бол ьшой) участок времени в перед. Одн а ко, есть задачи, в которых этот участок времен и представля ется заранее не В ПО.1Jне определенным, и нас может интересовать решение задач и оптимал ьного пла нирования безотносительно к тому, н а ка ком именно шаге операция за кончится . В таких сл учаях иногда бывает целесооб­ разно рассмотреть в качестве модели явления некоторый идеализи­ ров а н ны й б е с к о н е ч н о ш а г о в ы й управляемый процесс, К6-­ торый пол учится из р еал ьного при т -+- 00 . Эта модель удобн а тем, что в ней не существует исключител ьного по своей роли «послеДI l его ша­ гю) - все ша ги между собой равнопра вны, процесс � известном смысле о Д н о р о Д е н . Условное оптимальное упраВJiение в та ком процес­ се оказывается н е з а в и с я Щ и м о т н о м е р а ш а г а , а зави­ сящим тол ько от состояния S системы S перед началом шага . Разу­ меется, для этого нужно, чтобы шаги были однородными, т. е. функции, определя ющие доход и изменение состояния системы под действием управления, были для всех шагов одинаковыми. 177

Следует подчеркнуть, что в однорОДНОМ бесконечноша tо1ЮМ про­ цессе одинаковыии для всех шагов оказываются ТОЛ Ь КО у с л о в н ы е оптимал ьные управления ; что касается б е 3 у С Л О В Н О Г О опти, мального управления , то оно, будучи зависимым от состоян и я систе­ мы, дости гнутого к да нному шагу, в общем случае м е н я е т с я о т ш а г а к ш а г у. Заметим , что в отличие от конечношаговы х зада ч , дл я которых оп­ тимальное уп равлен ие всегда существует, бесконечноша говые зада чи могут и не иметь решения . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим зле· мента рный пример . Пусть имеется зада ча распределения ресурсов с резервированием (см . § б) , но с бесконечным числом шагов. Средства Х , вложенны е в производство , дают за год доход f(X ) и расходуются до конца . В на · -(О/Х;

//

/

о

/

/ 1 // 1

: // / / iI I f(Ko!2) / / 1

I

: : f{trv/ 1 1 I I

KO/Z

Рис. 3.41

Рис. 3.40

шем распоряжении имеется исходный запас средств КО, который тре­ буется оптимальным образом расп ределить по годам, так чтобы сум­ ма рный доход был максимален. Существование и вид решения зависит от того, каков вид функции f( X ). Предположим, что эта функция выпукла в.н из (рис. 3.40) . Тогда очевидно, что оптимал ьное решение существует и состоит в том, .чтобы вложить в производство В С е и м е ю Щ и е с я с р е Д с т в а в п е р­ в ы й ж е г о д. действительно, предположим, что мы, например, разделили средства пополам, первую половину вложили в производ· ство на первом году, а вторую - на следуюшем году. Очевидно, это будет невы годно, так как ДЛЯ выпуклой вниз функции {(Х)

2f (К 0/2)
2f (Ко/2) > f (КО),

на три шага - еще больший , и т. д. При увеличении числа шагов , н а которые распределяются средства, доход тол ько воз растает . 1 78

Определ им предел, к которому будет стремиться сумма риый до· ход при неограниченном возрастании числа шагов, в которые вклады­ ваются средства , и значит, при одновременном уменьшении числа средств, вкладываемых на каждом шагу. Предположим сначала, что мы планир уем на т лет и каждый год вкладываем в производство одн у И ту же сумму

d X = Ко/m, к нулю. из рис. 3.42 а затем устремим т к бесконечности, а d X видно, что при достаточно малом dX можно заменить учаС1'()К кривой f( X) участком касательной в начале f(X;' коо рдинат . Тогда доход, пол учаемый за год, будет пр иближенно равен -

f' (О) dX � f' (О) Ко/ т , где f' (О) значение производной фун кции дохода в начале коорди­ нат. При этом суммарный доход за ве сь период т лет будет приближен­ но равен -

ное.

Ко Х

Рис. 3.42 ( 1 1 . 1) W � f' (O) Ko. При т -+ 00 приближенное равенство ( 1 1 . 1 ) превращается в точ­

Та ким образом, мы получили парадоксальный вывод: чем меньше средств мы вкладываем в производство на каждом году, тем бол ьше будет доход; в пределе, при т -+ 00 , получится максимальный до­ ход (1 1 . 1). Если же прямо перей ти к предельному случаю и положить dX О, т. е. не вкладывать в производство никаких средств, то, оче­ видно, и доход будет ра вен нулю. Это пример бесконечношаговой задачи, где о п т и м а л ь н о г о р е ш е н и я н е с у Щ е с т в у е т . При любом конечном т оно су ­ ществует и состоит в том , чтобы вкладывать средства во все этапы по­ р овну, а при бесконечном числе шагов перестает существовать. При постановке и решении бесконечноша говы х задач методом ди ­ намического программировани я всегда необходимо исследовать вопрос о существовании решен ия ' ) . Бесконечношаговая модель в задачах динамического программи· рования в р яде случаев может оказаться проще, че м конечношаговая. Действител ьно, вместо р яда функциональных у равнений , решаемых одн о за другим в обычной процедуре динамического програм м и рова · ния , здесь приходится решать всего только о Д н о функционал ьное у равнение для усл овного оптимального выигрыша, пригодное для любого шага. Запишем это единственное фун кциональное уравнение. Пусть бес­ конеч ношаговый управляемый пр оцесс происходит в физической си =

' ) Условия су ще с твов ани я решения в бесконеч н ошаговы х зад а ча х рас с мотрен ы, на п р и мер , в L I O].

1 79

стеме S; обозначим S - состоя ние этой системы после ка кого-то (лю­ бого) ша га . Под вл и я н ием у п р а влен и я U система S за следующ и й ш а г переходит в новое состоя ние S ' , зависящее о т предыдущего состоя ния S и примененного управлени я И:

S'

S

и

=

ер (S,

4 МОДЕЛИ РО ВАН И Е О ПЕРАЦИй ПО СХЕМЕ МА РКО В С КИХ СЛУЧАй.ных ПР О ЦЕ СС ОВ

И) .

За этот шаг мы полу чаем выи грыш (доход) w, та кже з а висящи й от

И:

w = f (S,

и).

Тогда можно написать основное функционал ьное ур авнение дл я бесконечноша говой зада чи в виде:

W (S)

=

шах u

It (S, И) + W (ер (S, И») \ ,

где W(S) условный ма ксимальный выигрыш , который мож но по­ лучить, у правляя системой , находящейся в состоянии S . В уравнении ( 1 1 . 2) W(S) - единственна я неизвестная фун кци я ; остальные фу н кции (ер , f) являются зада нными . Усл овное оптимал ьное у правление u(S) то упр авлени е, п р и котором достигается максимум ( 1 1 . 2) . В некоторых п р остейши х зада ч а х удается подобрать фун кцию W(S) т а к, чтобы она удовлетворяла у р а внению ( 1 1 . 2) . Общи х методов а нал итичес кого решения функциональных ура внени й не существует. В сл учаях, когда подобрать функцию W(S), удовлетворяющую урав­ нен ию ( 1 1 . 2 ) , не уда ется , пр ибегают к прибл иженному решению этого у равнен и я . Дл я этого может быть применен метод последовател ьных прибл ижен и й , состоящий в сл едующем: решается зада ча динамичес­ кого програ мми рован и я дл я кон ечно го, все воз растающего ч исла ша­ гов т; есл и решен ие существует, то при воз раста н и и т фу н кции W i(S) и u j (S ) , определяющие условный опти мал ьный выигрыш и услов ное опти мальное у п равление дл я ш а гов, достаточно удаленных от конца, стабилизируются , п р и бл ижаясь к соответствующи м фун кци я ми W(S) и u(S) для бесконечн оша гового процесса , в качестве которых они и мо: ' гут быть п рибл иженно взяты. В за ключение отмети м, что бесконечношаговые задачи динами­ ческого программирова ния могут получаться не только за счет н еогра­ ннченноГо увел и ч ения числа ша гов при зада н ной дл ине ка ждого шага, но и за счет неогранич енного у мен ьшен ия дли ны ша га !!.t, когда дис­ кретное поэтапное управление пер еходит в непрерывное. Та кие задачи достаточ но сложны, и мы не будем на НиХ оста навли ваться . -

1.

МА Р КО В С К И й СЛ У Ч А й Н bl й П Р О Ц Е С С С Д И С К Р Е Т Н bl М И С О СТ О Я Н И Я М И

( 1 1 . 2)

Многие операции, которые приходится анализиров ать под угл �м зрени я выбора оптимал ьного решен и я , развиваютс я как с л у ч : и н ы е п р о ц е с с ы, ход и исход которых зависят от р яда сл учаиных фактор ов, сопровождающих эти опера ции . Дл я того, чтобы вычисл ить чи словые пара метры, характериз ую­ щие эффективно сть та ки х операций , нужно построить некоторую ве­ роятностную модель явлен и я , учитывающу ю соп ровождающие его .

сл учай ные факторы . " дл я математичес кого описани я многих операци и , развивающи хся в форме сл учайного п роцесса , может быть с успехом п р и менен матема­ тический а п па рат, раз работанный в теории вероятностей дл я так называемыХ м а р к о в с к и х с л у ч а й н ы х п р о Ц е с с о в . Поясним понятие ма рковского случайного процесса . Пусть имеется н е котора я физическая система S, состоя ние кото­ рой меняется с течением вр емени (под системой S может пон иматься что угодно: техническо е устройство , ремонтна я ма стерская , вычисли­ тельна я машина , железнодо рожный узел и т. д . ) . Если состояние си­ стемы S мен я ется во вр емени слу ча йным, заранее непредсказ у емым образом, мы говорим, что в системе S протекает с л у ч а й н ы й п р 0ц е с с.

При мерами слу чайны х п роцессов могут быть: - процесс функцион ирова н и я ЭЦВМ; " процесс наведения на цель управл я емои ракеты ил и космического летательн ого аппарата ; " процесс обсл уживания клиентов парикмахе рскои или р емонтной мастерско й ; процесс выполнени я плана снабжения группы предприят ий _

_

_

и т. д. Конкретн ое протекани е каждого из таких процессов зависит от ряда сл у чайны х , заранее непредска з уемы х фа кторов, таких как:" поступлен ие заказов на ЭЦВМ и вид эти х заказов ; случаиные выходы ЭЦВМ из стр о я ; сл учайные возмущен ия (помехи) в системе уп равления ра ке_

_

то й ;

J81

- сл учайный ха ра ктер потока заявок (требован ий), поступаю­ ш и х со стороны клиентов ; - сл учайные пер�бои в вы полнени и плана снабжен ия и 1 . Д. Сл учайный процесс, протекающ ий в системе S, называетс я м а р. к о в с к и м п р о Ц е с с о м (или «процессом без последей ствия») , если он облада ет следующи м свойством : для каждого момента времени to вероятность любого сосmoянuя системы в будущем (при t > to) зависит moлько от ее состояния в на­ стоящем (при t= to) и не З(]/Juсит от nwгo, когда u каким образом cucnze­ ма пришла в эnю состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом) . Дру ги ми словами , в м а р ковском сл у ч а йном п роuессе будущее раз­ витие его зави сит только от настоящего состоя ния и не зависит от «пре­ дысто р и и » процесс а .

SI S2 53 54 -

оба узл а р а бот а ют; р аботает; перв ы й узел от к а з а л , вто р о й узел от к а з а л , п е р в ы и р а ботает,. об а уз л а от к азал и . • П р оцесс п р оте к а ю щ и й в системе, состо ит в то м , что о н а сл у ч а и ны м о бр а _ з о м в к а к и е - о моме н т ы в р ем е н и , переходит (перес к а к и в а ет ) И 3 состоюl И Я в со. сто н и е . Всего у системы чет ы р е возмож ных состо я н и я , котор ые мы перен у м е р о. в а л и П е р ед н а м и - п р о ц е с с с Д и с к р е т н ы м и с о с т о я н и я м и ,

BTOPO�

�

�

Кроме п роцессов с дискретными состоя н и я ми существуют случай­ . ные п роцессы с непрерывными состоя ни я м и : для эти х процессов х а р а к­ терен постепенны й , пла вный переход из состоя н и я в со�тоя н и е . Н а ­ п р и мер, процесс изменени я напр я жени я в осветител ьнои сети п ред­ ставл я ет собой слу ч а йн ы й процесс с неп рерывными состо я н и я ми .

Рассмотр им п р и мер . Пусть система S предста вл я ет собой техни­ ческое устройств о, кото рое уже п роработа ло некоторое врем я , соот­ ветственн ым образом « и зносилос ы> И п р и шло В некоторо е состояни е, х а р а ктеризующееся определе нной степенью и зношенности S . Н а с и н­ тересует, ка к будет ра ботать система в будущем . Ясно, что, по кра йней мере в первом п риближен и и , ха рактери сти ки р а боты системы в буду­ щем (частота отказов, потребность в ремонте) за висят от состояни я устройст ва в н а с т о я Щ и й м о м е н т и не зависят от того, к о г Д а и к а к устройство дости гло своего настоящего состо яния. Н а п р а кт и ке часто встречаются сл уча й ные п роцессы, которые, с той или другой степенью п р и ближени я , можно считать м а р ков­ скими . Тео р и я м а р ковски х сл у ч а йных п роцессов явл я ется в н а стоящее время очен ь обши рным разделом теори и вероятностей с ш и р о к и м сп ект­ ром разл ичных п риложен и й - от описа н и я физичес к и х я влений ти пз диффузи и или п е р емеш и вани я ши хты во время пла вки в домен ной печи до процессов образова н и я очередей или распрост ранени я мутаций ге­ нов в биологич еской -попул я ци и . Нас будут и нтересов ать, гла в ным об­ разом, п р именен и я теории ма р ковски х случайн ых процессо в к построе­ н и ю математи чески х моделей опер а ций, ход и исход кото рых сущест­ венно зависит от сл уча йных фа кторов. Марковс ки е сл учайные п роцессы дел ятся на классы по некоторы м п ризна ка м , в зависи мости от того, ка к и в какие моменты вр емени си­ стема S может менять свои состоя ни я . Случа йный п роцесс называет ся п р о ц е с с о м с Д и с к р е т­ н ы м и с о с т о я н и я м и, если возможн ые состоян и я системы :

S1' S2 ' S з, . . . мож но перечисл ить (перенум еровать) одно з а др угим, а сам процесс состоит в том, что время от времени си стема S скачком (мгнов енно) переска кивает из одного состоя н и я в другое. . П ример 1. Т ех н и че с к ое устр о й ств о S с о сто ит и з двух узлов: 1 и Н , каждый из кото р ы х может в х о де р а боты у стр о й ст в а от к а з ать (выйти и з ст р о я ) . В оз­ мож н ы сл е д у ю щ и е сост о я н и я С ист е м ы: 1 82

Рис. 4.2

Рис. 4.1

в данной главе мы будем рассматривать тол ько случа й ные про­ цессы с ди ск ретными состо я ния м и . П р и а нализе сл уча й ны х процессов с дискр :г ными состоя ни ями . очень У40бно пользов аться геометрическои с � емои - та к называ емым . г р а ф о м с о с т о я н и и. Г р аф состо я н и и геометрически и зобра ­ жает возможные состояни я системы и ее возможные переходы из со­ сто я н и я в состояние. Пусть и меется система

S с дискретными состояниями : SI , S 2' . . . , S n ·

Мы будем изображать каждое состо я н и е пр ямоу гол ьни ком, а воз­ м ожные переходы (<< перес коки») из состо я н и я в состояние - стрел ­ ка ми , соеди н я ющи ми эти п р я моу гольни ки ( р и с . 4 . 1 ) . За мети м, что стрелками отмечаются толь ко непосредст � енные переходы из состо я н и я в состояние; есл и система может переити из состоя н и я SI В SЗ только через S 2' то стрел ками отмечаются тол ько

S2

-+

П ример 2. С и сте м а S

-

пер еходы

SI

-+

S2

И

S з, но не SI

-+

Sз'

а втома щ и н а , котор а я может находиться из п яти возмож ных со сто я н и й : 5 1 - испр а в н а , р а б отает; S 2 - ие испр а в н а , ожидает осм отр а ;

в

одном

1 83

S

8

-

осматр ив а етс я; р ем о н ти р у етс я ; - с п и са н а . Г р аф СОсто я н и й с и стемы показа н н а р ис . 4 . 2 . П ример 3 . Пост р о и ть г р аф состо я н и й в УСJl О В И Я Х п р и м е р а I ( п р ед пола­ гаетс я , что р е м о нт узлов в х оде п р оцесса не п р о и зводитс я ) . Реш еll ие. Г р аф состо я н и й п р едст а в л е н н а Р ИС . , 4 . 3 . Отмет и м , ч т о н ;, г р афе не п о каза н возможный пе р еход, И3 состо я н и я SI иепоср едств е н но в S •• котор ы й осуществ нтс я , есл и с т р О Г О О Д Н О В Р е м е н н о в ы йдут ИЗ строя оба узл а . В о зм ожностью та кого событ и я м ы пренебр е гае м .

S4 S5

-

s,

'

5,

ваться. Возможные состо я н и я систе мы: S I - об а узл а р а бота ют; Sz - пе р в ы й узел восста н а В Л fl в аетс я , втор о й р !! БОТ1!е-г; S 8 - пер в ы й узел р а бо т а ет , вто р о й в осста н а в л и в а е т с я ; S4 - о б а узл а восста навл и в а ютс я Г р а ф состо я н и й с истемы по каза н на р ис . 4 . 4 П ример 5. В усл о в и я х п р и ме р а 4 к а жды й узел п е р ед г е м , к а к и а ч ать во с­ ста н а вл и в а ться, подв е р г а етс я осмотр у с цел ь ю л окал и з а ц и и н е и с п р а в ност и . Состо я н и я с истемы б у дем дл я удобства н у меровать н е одн и м , а дв у м я и нде кса м и ; пер в ы й будет озн а чать состоя н и я пер вого уз л а : \ I - р а ботает, 2 - осма тр и в аетс я , 3 - восста н а вл ив а етСЯ; втор о й - те ж е состо я н и я дл я второ го у з л а , т а к что , н а п р и мер , S Z 3 б у де т о з н а· чать: пер в ый узел осм атр и в а ется, в т о р о й - восстанавл и в ается , и т. д. Возмож ные состо я н и я с и стемы S б удут: SlI - о б а узл а р а бот а ют , S12 - п е р в ы й узе л р а ботает , в т о р ой осм атр иваетс я , . . S 8 3 - оба уз л а в осстан а в л и в а ю тс я (всег о 9 состо я ни й ) . Г р а ф состо я н и й показ а н на р ис. 4. 5.

2. Рис. 4.3

Рис. 4.4

П ри мер 4. Система S, как и в п р и ме р е 1 . пр едставл яет собой тех н и чес кое уст р о йство . сост о я щее из дв у х уз л ов : 1 и 1 1 ; кажды й и з н и к может в ка к о й -то мо ме нт врем е н и от!<азать . Отка з а в ш и й узел немедл е н но н а ч и н а ет восста н а в л и.

СЛ У Ч А Й Н Ы Е П РО Ц Е С С Ы С Д И С К Р ЕТ Н Ы М И Н Е П Р Е Р Ы В Н b I М В Р Е М Е Н ЕМ. МАР КО В С КА Я Ц Е П Ь

Способы математи ческоГо описания марковского случайного про­ цесса , протекающего в системе с дискретными состояниями, зависят от того, [3 какие моменты времени - заранее известные или сл у чай­ н ые - могут происходить переходы (<< пер ес коки » ) системы из состоя­ ния в состояние. Случайный процесс называется п р о Ц е с G о М С ;� И С К Р е т­ н ы м в р е м е н е м, есл и переходы системы из состояния в состоя ние возможны только в строго С>l1ределенные, за ранее фи кси рованные мо­ менты времени : t1 , t2, в п ромежутки времени между этими момен­ тами система S сох ран я ет свое состояние_ Случайный процесс называ ется п р о Ц е с с о м с н е п р е р ы в­ Н ы м в р е м е н е м, если переход системы из состояния в состояние воз можен в любой, наперед неи звестный , сл уча йный момент t . Рассмотрим п режде всего ма р ковский сл учайный п роцесс с дискр ет­ ными состоя ни я ми и дискретным временем . П усть и меетс я физическая система S. которая может находиться в состоя ни я х: . • • •

•

Sl' S2' . . . , Sn ,

причем переходы (<<перескоки») системы из состо я н и я в состояние воз можн ы тот. ко в моменты:

t1, t2,

184

Рис. '4.5

•••,

tk,

•••

•

Б удем называть эти моменты «ша га ми» или «эта пами» п р оцесса и рассматривать случа йный п роцесс, происходящий в системе S, ка к , k, . . . (номера шага) . Фr нкци ю целочислен ного аргумента : 1 , 2, . . •

Сл у ч а й ный п роиес с , происходящи й в системе, состоит в том, что в по следовател ь ны е моменты в ремен и '1 ' ' 2 ' ' 3 ' . . . , система S ока зы­ ваетс я в тех или др у гих состо я н и я х , ведя себ я , н а пр и мер, следую­ щим об разом:

Обозна чи м вероятности ЭТи х событи й :

Pl ( l ) = P ( SI ( l » ;

- вероятности посл е пер вого ша r:а , Рl

ил и же

SI -+ S2 -+ S1 -+ S2 -+ SЗ -+ S4 � S1 -+ в общем сл учае

'1 '

t2,

(2)

=

Р ( Sl ( 2 »

;

Р2 (2)

=

Р (S2 ( 2 » ; . . . ; Р n

(2)

=

- вероятности п осле вто рого шага ; и вообще после ...

•

си стема может не тол ь ко ме­ н ять состоян ие, но и оставаться в п режнем, на пример : в моменты

p2 ( 1 ) = P (S2 ( 1 » ; ... ; pn ( l ) = P (Sf/ ( l »

• • •

S 1 -+ S1 - S2 - SЗ - SЗ - SS - S4 - S1 -

Pl ( k ) = P ( S1 ( k » ;

Р ( Sn ( 2 »

k-ro

шага:

Pz {k) = P (S2 ( k» ; .. . ; pn (k) = P (S n ( k » .

Легко видеть , ч то д ля каждого н оме ра шага

(2 . 1 ) (2.2)

k

Pl (k) + Р2 (k) + . . . + Рn (k) 1, та к к а к это - вероя т ности несовместных событи й, образующи х пол­ н ую г р у п п у. =

••.

$,

...

f-u

,-11 шаг

Шllг

,' -

,J-u шаг I

,

--

Рис. 4.6

Условимся обозначать S j(k) событие, с остоя щее в том, что после ша гов система на ходитс я в состо я н и и Sj . При любом k событи я

SI Щ , S2 ( k) ,

'О.'

�-:::-:7· :_":::_�-�-�-�-�_:-:_�_:::O:::--::-�- и k­

Sj (ll) , . . . , Sn ( k )

образуют полную гру п пу и н есовместны . Процесс , п рои сходящи й в системе, можно п редста вить ка к посл е­ довател ьность (цепочку) событи й , н а п р и м ер :

SI ( O ) , S2 ( 1 ) , SI ( 2 ) , S2 ( 3 ) ' Sз ( 4) , ' " Такая случа й на я последовательность событи й на зыва ется м а р ­ к о в с к о й ц е п ь ю, если дл я каждого ша га вероя тность пер ех ода из л юбого состоя н и я S j в любое S j н е з а в и с и т о т т о г о, к о г д а и к а к с и с т е м а п р и ш л а в с о с т о я н и е St. М ы будем опи сывать ма рковс кую цеп ь с по м ощь ю та к называ е­ мы х в е р о я т н о с т е й с о с т о я н и Й . Пусть в любой момент времени (п осле любого, k - ro шага ) система S может быть в одном из со­ с тоя ни и:

SI ' S 2 ' . . . , S N , Т . е.

осуществится одно

из

полной г р у п п ы несовместных событи й :

S1 (k) , S2 ( k) , . . . , Sn ( k ) .

Рис. 4.7

шаг

Будем на зывать вероятн ости

Р1 ( k) , Р2 ( k),

....

Рn (k)

в е р о я т н о с т я м и с о с т о я н и й; поста ви м задачу: н а йти ВЕ­ роя тности состо я н и й системы дл я л юбого k . Изоб ра зи м состо я н и я системы в виде г р афа (ри с . 4.6), где ст рел ка­ ми у к а за ны возможные переходы системы и з состоя н и я в состоя ние 3 а о Д и н ш а г. Случа й ный п р о цессс (ма рковскую цеп ь) можно п редста вить себе так, ка к будто точ ка , изоб р ажающа я систему S, сл уча йным образом перемеща етс я (бл уждает) по гра фу состоя ни й, п ереска кива я и з сост оя ­ н и я в состо я н ие в м оменты '1 ' 12 ' а и ногда (в общем случае) и з адер­ жив а ясь ка кое-то число шагов в одном и том же состо я н и и . На п р имер , последова тел ьность пер е ходов ' О . '

S1 - SЗ -+ S2 - S2 -+ S3 - S& -+ S6 - S2

_

можно и зобразить на графе состоя ний ка к последовател ьность различ­ н ы х положен и й точ ки (см . пункти р ные стр ел ки , и зображ а ющи е п е ре­ ходы из состоя н и я в состоя ние н а рис . 4.7) . «З адержка» си с гемы в <, о ' стоян ии S 2 на третьем шаге изоб ражена стрелкой , выходящей из со­ сто ян и я S I '! В него же воз вра щающеЙся . 187

дл я любого шага (момента времен и 1 ' 12, 1

,

fh ,

или номера

1 . 2 . . . . . k , . . . ) существ уют какие-то вероятности перехода системы . • .

• • •

из

любого состоя ни я в л юбое другое (некото рые из них рапны нулю, если непос редственный переход за оди н шаг невозм ожен) , а та кже вероят­ ность задерж ки системы в да н ном состо я н и и . Б удем называ ть эти вероятн ости п е р е х о Д н ы м и в е р 0я т н о с т я м и ма рковск ой цеп и . Ма рковска я цепь называ ется о Д н о р о Д н о Й , если переходные вероят ности не завися т от номера шага . В п ротивн ом сл учае ма р ков­ ская цепь называется н е о Д н о р о Д н о й .

Отсюда следует, что сумма членов, стоящих в каждой строке матР и цы ( 2 .3) должна быть равна еди нице, та к как, в ка ком бы состо я н и и

( k)

•

5 (1')

систем а ни была перед k -M шагом , события 5 (Ik) , 5 2 несовмест, n ны и образуют полную груп пу . При рассмотрен и и м а р ковски х цепей часто бывает удобно пользо­ ваться графом состо я н и й , на котором у стрелок п рост авлены Соответ­ ств ующие пер еходные вероятности (см. p�c. 4.8) . Та коиu граф мы будем называть «размечен ным графом состоянии». Замети м, что на рис. 4.8 проставлены не все переходные вероят­ ности , а только те и з них , которые не равны нулю и м е н я ю т состоя ­ ние си стемы, т. е . P i j п р и i =1= j; «вероятности задер ж ки» Р 1l, Р 22 , п роставл ять на графе излишне, та к ка к кажда я из н и х � о п о л­ п ереходпы х вероятностеи , соот­ е Д и н и Ц ы сумму н я е т Д о вет}:тв ующи х всем стрел{{ам, исходящим из данного состоя н и я . Наприм ер, для графа рис. 4 . 8 •

. . . •

• • •

Рl1

Р22 Р зз Р44 Р55 Р6 6

Рис. 4.8

Рассмотрим сначала однородную ма рковскую цепь. Пусть система S имее т n В озможных состоя ни й 5 1' 5 2 ' . . . , 5n • П редпол ожим , ч То для к а ждого состоя н и я нам известна вероятность перехода в любое другое СОСТо я ние за один ша г (в том числе и вероятность задержки в да нном соСто я ни и) . Обозначим Ри вероятность перехода за один ш а г из соСтоя. НИЯ 5 1 В СоСто яние 5 j ; Р а будет вероятность задержки системы в со­ Стоя нии 5 1 . За п ишем перех одные вероятност и P I 1 в виде п р я моугол ь­ ной табл и цы (матрицы ) :

Р jl

PI2

Рn l

Р n2

(2 .3) Р nl

Рn n

Некоторые из переходных вероя тностей Р i J могут быть равны ну­ л ю : это означа ет, что за один ша г переход системы из i-ro СоСто я н и я в j-e невоз можен . По главн ой диаго нали матри цы перех одных вероятностей стоя т вероят ности Ри того, что систем а не выйдет из состоя н и я S /, а оста нется в нем. Пол ьзуяс ь введенн ыми в ш ы е событи ями S \k) . 5 �k) , . . . S �k ) пере­ , , ходны е вероя тност и Р Еl можно з а пи сать как услов ные вероя тност и: 1 88

Р и = Р (SJ ( k) / S / ( k- I » .

=

=

=

= =

=

1 -- (Р 1 2 + РlЗ)'

1 - (Р2 з + Р24), l - (Рзz + Рз 5 ) ,

1 - (Р4З + Р45 + Р46)' . l - P5 6 '

l -P62 •

Е сли из состояния 5 1 не исходит ни одной стрел ки (переход из не­ го ни в какое другое состо я н ие невозможен) , соответствующая вероят­ ность задер ж ки Р ; ; равна еди н ице. Имея в распор яжении размеченный г раф состоя ни й (ил и , что рав­ носи л ьно, матрицу переходных вероятностей) и зн� я начальное состоя­ ние системы , можно на йти вероятности состоянии

Р1 (k) . Р2 ( k) , . . . , Рn (k)

после любого (k-ro) шага . Покажем. как это делаетс я . Предположим, что в начал ьный момент (п еред пер вым ша гом) си­ стема находится в к а ком-то оп ределенном состоянии, на п ример, 5 т . Тогда , дл я начал ьного момента ( О) будем и меть:

Pl (О)

=

О;

Р2 (О)

=

О;

...

;

Рт

(О)

=

1 ; ... ;

Рn

(О)

=

О,

т. е. вероятности всех состояни й равны нулю, кроме вероятности на­ чал ьного СОСТОЩ l И я 5 т, которая равна единице. Найдем вероятности состо я н и й после первого шага . Мы з н а ем , что перед первым ша гом си стема за ведомо находится в состоянии 5 т . З начит. за первый шаг она пер ейдет в состояния 5 1 , 5 2 , . . . , S т, . . . , S n С вероятностями Рт1, Рт2 , . . . , Ртт • . . . , Ртn • з а п исан ными в т-й строке матрицы переходных вероя тностей. Таким обра зом, вероятности состо я н и й после первого шага будут:

Pl ( I ) = Pm1 ;

P2 ( l ) ....- Pm2;

..

. ..,

Рт ( 1 ) = Ртm;

..

·;

pn ( 1 ) = Pm n · (2.4) 1 89

Н а йдем вероятности состоян ий после второго ш а га: Pl

Будем

(2 ),

( 2 ), . . . ,

Р2

Р!

... •

(2),

Рn

(2).

и х по форм уле полной ве роятности, с ги потезамю посл е п ерво го ш ага си стем а была в состоя н ии SI ; п осл е п ерво го шага систем а была в состоя нии S 2;

выч и слять

"

ПОСЛе первого ш ага система была в состоя н ии S ,;

а четыр ь м я в ыстрел а м и в мо' П ример 1 . По некотор ой цел и ведетс я стрельб ме нты в р еме ни 11' 12' t 8, 14' ВО;lмо ж н ы е сост о я н и я цел и (систем ы S) : SI - цел ь невредима ; S _ D.ел ь незнач ител ь нО повреж де н а ; t повреж дени я ; s _ цель пол учи л а су ществе нн ые ( н и р овать). пол ностью пор ажена не может фу нкцио _ цель Р азме ч е н ныЙ г р а ф сост о я н и й систе мы пока з а н иа ИС � (· · ·ов р ежден а) . Оп­ ии 1 н В начал ь н ый момент цел ь нахоДИТ СЯ в состоя и ов после чет ы рех в ыстрел редел ить веро ятност и сост о я н и й цел и Решение. Из гр афа СОСТО Я Н И Й и мее м :

s:

:�

'

Р 12 - о . 4'

- о t 2 tР1 3-

Pt." = O, 1

, Р Н = 1 - (Р 1 t + Р13 + Р14) = 0 3.

и

п осл е пе рво го ш ага систем а была в состо я нии S n . Вероятности гипотез известны (с м . (2 .4» ; у словн ые вероятности п ер ехода в состоя ни е S I п р и ка ждо й ги потез е тоже и зв естны и з аписа ны в ма т р ице переходных в ероятностей По фо рмуле полной вероя тн ости получ и м:

.

Рl (2) = Рl ( 1 ) Р1l + Р2 ( 1 ) Р21 + . . . + Рn ( 1 ) Рn1 ; Р2 (2) Pl ( 1 ) P12 + Р2 ( 1 ) Р 22 + + Рn ( 1 ) Рn2; . , , . . . . . . =

Pt

?!

Рn

·

,

•

•

•

•

.

.

.

.

•

.

•

2 2 + +P ( ) n � � � �; , P� ( � ) �1 i, +: P Y.) � 1 : ". . .

(2 ) = Pl ( 1 ) P1n + Ps ( 1 ) Р2n + , . . + Рn (1 ) Рnn '

или, гораздо короче, РI

n

(2 ) =

L

(= 1

pJ ( I ) PJi

(! = 1 , . .. , n).

1j I

(2 .5)

Рис. 4.9 Ана логи чно на хоДи м :

Р и = О; Рз l = О;

(2.6)

P 4f = 0;

..

n

Р! (3) и

вообще после k-ro шага: Р, (k)

n

=

=

�

i= 1

Рl (2 ) Ри,

� Р} (k - l ) Р};

1= 1

(2 . 7)

(2 .8)

Ита к, веро ятност и состояниЙ P ! (k ) п осл е k - ro шага определяются рекуррентной формул ой (2 . 8) через вероятности Состоян и й после (k - l ) -ro ш а га ; те, в свою очеред ь- ч ерез вероятности состояний после (k - 2 )-го ш а га , и т. д. 190

U Pij \l =

Pz4 = 0,2:

Р34 = О ,7\

Р• • = 1 .

0,3 О

0 ,4

0,2

0, 1

О

О

О

0,3

0,7

0,4

О

0,4 О

0,2 1

S" ' мом е нТ цел ь S н а х одитСЯ в состо я н и и Так как в н а ч а л ь н ыи

Рl (О)

=

то

1.

и з пер в о й перво го шага (выстрела) бер утся Вер-о ятности состо я н и й после строк и м атр и цы:

pl( l )

=

0 , 3; Р 2( 1)

=

0 , 4; р з ( l )

Веро ятно стИ состо я нИ Й

(i = l , . . . , n) .

Рzз = О, 4; Р8з = О ,3; Р4е = 0;

вероя т ностей имеет В И.!1: Т а к и м обр азом, матр ица перех одных

В форму л е (2 .6) суммирование р а с п ространяется формально на в с е с о с т о я н и я SI, . , S n ; фа кти ч ес ки у ч итывать на до тол ь ко те из них, для которых переходные вероятности Р ji отличны ОТ н уля,

то есть те состояния , из котор ы х может соверши ть с я переход в состоя­ н и е S t ( или з адерж ка в н ем) . Та ким об р аз ом, в ероятности состояний после второго шага и з­ вестны. Оч евидно , после третьего ша га они определ яются аналогично:

Р22 = О ,4; Рзz = О; Р42 = 0;

=

0,2; Р4 ( 1 )

=

0, 1 .

посл е втор ого шага :

0 , 09; Р! (2) = р! ( 1 ) Рl1 = 0, 3 . 0,3 = Р2 (2) = Рl

= О , 28; ( 1 ) Р12 + Р2 ( 1 ) Р22 = 0,З . О,4 + 0 , 4 . 0,4 0, 4 . 0, 4 + 0 , 2 . 0, 3 = 0 , 28; 1 ) Р 1З + Р 8 (1) Р2З + Р2 ( 1 ) P 8� = 0 ,3 · 0, 2 +

Рз (2) = Р! ( Р, (2)

Р44 Р4 Р! ( 1 ) Р 14 + Р2 ( 1 ) Р 24 + Рз ( 1 ) Р 34 + ( 1 ) 35. , = 0 1 = 0.3 . 0. 1 + 0, 4 . 0 ,2 + 0, 2 . 0,7 + 0, 1 .

=

=

191

0,3

В е ро ятностн состоя н и й п осле т ретьего шага :

Р1 (3)

=

Р 1 ( 2 ) Р l1 = 0 , 09 . 0,3

= 0 ,027 ;

Р2 (3) = Рl ( 2 ) Р12 + Р2 ( 2 ) P2z = O, 09 . 0,4 + 0 ,28 . 0, 4 Рз (3 )

=

Р1 ( 2 ) РIЗ +

=

Il p �J > 1

0 , 1 4 8;

О =

Р2 (2 ) Р2 З + Рз (2) Рзз =

= 0,09 . 0,2 + 0 , 2 8 . 0,4 + 0, 28 · 0, 3 = 0 , 2 14 ; Р4 (3)

=

Рl (2) Р1 4 + Pz (2 ) Р24 + Рз (2 ) РЗ4 + Ре (2 ) р 4 f

= 0, 09 .0 , 1 + 0,28 . 0 , 2 + 0,28 . 0,7 + 0, 35 · 1

=

I Plr) I! =

=

0 , 61 1 .

0,4

0,2

0,2 0,7

О

0,4

0,4

О

О

О

0,3

0, 1

1

О

0,1

0,4

0,3

о

0,2

0,5

0,3

0,2

0,8

О

О

О

О

О

0,2

1

В е р о ятност и со сто я н и й после четвертu го ша га:

Р ! (4 )

Р2 (4) Рз

(4)

=

=

=

Pf2 + Р2 ( 3) Р 22 = 0 ,27 · 0.4 + 0, 1 48 . 0 , 4 Р1 ( 3 ) Р 1 3 + Р2 ( 3 ) Р2з + Рз (3) Рзз = Р ! ( 3)

= 0 , 027 · 0,2 + 0 , 1 4 8 · 0 , 4 + 0 , 2 1 4 . 0 , 3 Р4 (4 )

=

=

=

� p�T ) !!

0 , 0700;

О, 1 288;

Рl ( 3) Р1 4 + Р2 (3) Р24 + Рз (3 ) Р З4 + Р4 (3) Р44

= 0 , 027 . 0, 1 + 0. 1 48 . 0 ,2 + 0 ,2 1 4 . 0, 7 + 0 , 6 1 1 · \

р з( 4)

- цель пuл у ч и л а с у ществ е н н ы е п u в р е ж д е н н я : - цел ь пuр а же н а пuл ност ь ю : Р 4( 4 ) :::;; 0, 793.

=

Реше н н е.

0, 793 1 .

z

0, 1 29;

М ы расс мотрели о Д н о р о Д н у ю ма р ковскую цепь, дл я кото­ рой вероят н ости пер ех ода от ш ага к шагу не мен я ютс я . н е о Д н о р о Д н у ю ма р· Р ассмот р и м те п ер ь общи й сл уча й ковску ю ц еп ь , дл я которой вероятности перехода P i j меня ются от ша г а

k -M

вер оятност ь л ер е х ода системы из сос тоя н ия ша ге , то есть у слов н у ю вероятност ь =

р

,

I

(!.

=

1,

. . .

, n),

РЗ (2 )

0, 9

О

О

0, 1

О

П р и м е р 2. П р онз вuд итс я т р и в ы ст р ел а п о це л и , к о тор а я м ож е т б ы т ь в тех ж е ч е т ы р е х с о ст о я н и я х S 1 ' S 2 ' S a . S4 . ч т о и В п р едыд у щем п р и ме р е н о вер о ят ­ , нос т и пе р е х од а д л я т р е х п о сл едов а те л ь н ы х в ы с т р ел о в р а з л и ч н ы н за д а н ы т р е м я

рз ( l ) = 0 , 2 ;

=

1

Р4 ( I ) = 0, 1 ;

=

= р] ( 1 ) p \�) + Р2 ( 1 ) p ��) -ф Р з ( 1 ) p��) = 0, 3 . 0, 3 + 0, 4 . 0. 5 + 0 ,2 · 0 ,2

Р, (2 ) = P1 ( 1 )

=

=

0 , 20;

=

0 , 33;

p\�) + Р2 ( 1 ) p��) + Рз( I )Р ��) Р, + ( 1 ) p��) = 0 , 3 · 0,2 +

+ 0. 4 . 0,3 + 0,2 . 0,8 + 0, 1 . 1 = 0,44 ; Р1 (3 ) = P 1

Ps ( 3)

=

(2)

P1 (2)

p\�) = 0, 03 · 0 ,05

z

0 , 002;

p\�) + Р2 (2) p��) = 0, 03 · 0 . 3 + 0. 20 · 0 , 1

=

0 , 029;

� � = � � pW + � � pW + � � pW =

(2.9)

кото ра я отли ч ается от ан а л оги ч н ой фо рм улы (2 .8) дл я одно родно й цепи Ма р кова тол ько т ем, ч то в ней фи г у р и р уют вероятности п ер ехода , за ­ висящие от номера ша га k . В ы ч исл ен и я по формуле (2 .9) н и ч ут ь не сложнее , ч ем в сл у ч ае однородн ой цепи .

= 0 , 3 . 0,4 + 0 ,20 · 0,6 + 0, 33 · 0, 1 •

Р 4 ( 3) = P 1 ( 2 )

=

p\�) + Р2 ( 2 ) p��) + р 3 ( 2)

О , 1 65;

p��) + Р

= 0 , 03 . 0 ,25 + 0,20 . 0, 3 + 0, 33 · 0 ,9 + 0,44 . 1 Ита к , в ероятн ост и состоя н и й после тр е х

матр и ца м и : 1 1)2

О

=

(S�k) / sf k- I » ) .

(k) (k) = " ,L, pj (k - 1 ) p ji

0,3

О

p\�) 0 , 3 · 0 , 1 0 , 03 ; Р2 (2) = Pl ( 1 ) p\�) + Р2 ( 1 ) P�� 0, 3 · 0, 4 + 0, 4 . 0, 2

P1 (2) = Р l (1)

Пред п оложи м , ч то на м зад а ны мат р ицы в ер оятностей перехо да на ка ждом ш а ге. Тогд а в ер о ятност ь то г о , что сис тема S посл е k ш агов б удет на х одиться в состоя н и и S t , вы разится фо р м у л о й :

Р!

=

Р2 ( I ) = 0 . 4 ;

Pi ( l ) = 0 , 3;

-

p! �)

0 , 25

0,6

Имее м :

-

p�1)

0, 4

0,1

О

в нача л ь н ы й момент цель н а х одится в состо я н и и S1' Н а й т и вероя тности со· стоя н и й после т р е х выстрелов.

=

Т а к им о б р а зо м , н а м и п uл у че н ы ве р о ятности всех и с х одов обстрел а ц е л и (четы р е х в ы ст р ел u в ) : - цел ь не повр ежде н а : Р 1 (4 ) z 0.008; - цел ь п ол у ч и л а ие з н а ч и т ел ь н ые пов р е жде н и я : pz(4) z 0,070;

к ш агу . О боз н а ч и м S t в состо я н и е S j н а

0, 3

0 , 05

Р! (3) рн = 0 , 008 1 ;

p l (3) Z O,002; 7 a!l�. 15 1 3

Р 2 (3) = 0,029;

4

(2) p ��)

z

=

0 , 804 .

в ыстр е л ов :

рз (з) = 0, 1 65;

P4 (3) z O , 804 .

1 1/ 3

3.

МА Р К О В С К И й П Р О Ц Е С С С Д И С К Р ЕТ Н Ы М И С О СТ О Я Н И Я М И И Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы М В Р Е М Е Н ЕМ.

Об о з нач им P i (f) - вероятность того, что в момент t система S будет на х одиться в состо я н и и S I (i 1 , . . . , n ) . Очевидно , дл я л юбого мо­ мента t сумма вероят ностей состо я н и и равна еди н и це: =

У РА В Н Е Н И Я КОЛ М О Г О Р О В А ДЛ Я В Е Р О Я Т Н О СТ Е й С О С Т О Я Н И Й

n

В п р едыдущем п а р а графе мы рассматривали ма рковскую цепь, т. е. сл учайный п роцесс, п р отекающий в системе, которая слу ч а й ным об разом может пе реходить из состо я н и я в состоя н и е только в некоторые заранее оп редел енные, фи кси рова нные моменты времен и . На пра кти ке з н а ч и тельно чаще встречаются ситуа ци и , когда переходы системы из состояни я в состо я н и е п роисходят не в фи ксиро­ ва н ные, а в случайные моменты времени , которые зара нее указать не· воз можно - переход может осуществитьс я , вообще говор я , в любой момен т . Н а п ример , выход из строя (отказ) любого элемента аппарату ры может п�о изойти в любой момент в ремен и ; окончание ремонта (восста­ нов ление) этого элемента также может произойти в за р а нее не з афикси­ рова нный момент и т. д . дл я описа н и я та ки х п роцессов в р яде случаев может быть с успе­ хом п рименена схема мар ковского сл учай ного п роцесса с диск ретны· м и состоя ни я м и и непрерывным в р емен ем, который мы будем для кр ат­ к ости называть н е n р е р ы в н о й ц е п ь ю М а р к о в а .

• •

.

.

•

.

•

.

•

.

•

.

.

•

Рис. 4.10

: {j

Покажем, ка к выра жаются вероя тности состояний для П Р Оllесса . П усть имеется ряд дискретных состоя нии:

Р!

i= !

(t)

=

(3. 1)

1,

та к как событи я , состоящие в том, что в момент t система на ходится в состо я н и ях S1' S 2 ' " ' , Sn, несовместны и образуют полную гр у п п у . Поста вим задачу - определить дл я любого t вероя тности состо я н и й : LJ t Р1 ( t ), Р2 ( t ) , . . . , Р n (t) .

а

t t +.1 t Дл я того , чтобы на йти эти веО роя тности , необ ходимо знать х а р ак­ Рис. 4. 1 1 тер исти ки п роцесса , аналоги ч ные переходным вероятностям дл я м а р ковской цепи. В слу ч а е П РОllесса с неп рерыв ным в р еменем н а м не п ри ­ дется задавать определен ные, отл и чные о т н ул я , п е реходные вероят­ ности Р е/; вероятность пер ехода (перескока) систе1\IЫ и з состо я н и я в со­ стоя н и е т о ч н о в момент t будет равна н улю (та к же как вероятность любого отдел ьного з начения неп р ерывной сл уча й ной вел и ч и н ы) . В мес­ то перехо дных вероятностей Р i J м ы введем в рассмот рение n л о ТН О С Т И В е р о я т н о с т е й п е р е х о Д а Лij. Пусть система S в момент t н а х одится в состо я н и и S i ' Р а ссмотрим элемента р ный промежуток в р емени Ы, п р и мыка ющи й к моменту t ( р и с . 4. 1 1 ) . Назовем п л о т н о с т ь ю в е р о я т н о с т и п е р е х оД а Л i j п редел от н ошен и я вероятности перехода системы за в р ем я д ! из состоя Ния S I В Состоя н и е S j к дл ине промежутка дt:

.

ЛiJ = l lm

М -.. О

где

Р i .i(д t)

Ри (М) М

---

(3.2)

-

вероятность того, что система , находивша яся в момент в состоя н ие S j ( плот­ ность веро ятностей перехода определ яется. только дл я i=l=i). Из формулы (3.2) следует, что при малом !1t веро ятность перехода р I j(!1t) (с точностью до бесконечно малых высши х пор ядков) равна

t в состоя н и и S ! , за в ремя !1t пер ейдет из него

та ко го

SI I S2 ' . . . ' Sn; пер еход (перескок) системы S из состо я н и я в состоя н и е может осуществ­ ля ться в л юбой момент времен и . Граф состоян и й системы предста влен на р и с . 4. 1 0. 1 94

�

Лi j!1t:

Если в::е плотности вероя тностей Г!ерехода Ли не зависят от t (т. е. от того в ка кой момент начинается элемента рный участок Ы) , мар­ ковс ки п роцесс называется о Д н о р о Д н ы м ; если эти плотн ости пр едставл я ют собой каки е-то функции времени Ли(t), процесс назы­ ва ется н е о Д н о р о Д н ы м . Пр и пол ьзовани и сокращенным назва-

Й

7*

1 95

нием « н епрерывная ма рковска я uепь» мЫ также будем различать одно­ родны е и неоднородные uепи . Предположи м, что нам известны плотности вероятностей пере­ хода A i J для всех па р состояни й S i , S j .

или

- в момент i система была с соСТоя н и и S 3 , а за в ремя 111 перешла из него в S} . Вероятность первого вари анта найдем как произведение вероят­ ности Р1 и) того, что в момент t система была в состоянии S1 ' на услов­ ную вероятность того, что, будучи в состояни и SI' система за время АI не перейдет из него в S 2' Эта условная вероятность (с точностью до бесконечно малых высших порядков) равна 1 ABAt. Аналогично, вероятность второго варианта равна вероятности то­ го, что в момент t система была в состоянии 8 5' умноженной н а услов­ ную вероятность перехода за в ремя М в состоя ние S 1 : -

Sn

РЗ (t) 1031 М_

Применя я правило сложения вероятностей, получим:

Рис. 4. 12

Р1 (! + М)

Построим граф состояний системы S и против каждой стрелки п р о­ ставим соответствующую плотность вероятности перехода (рис. 4 . 1 2). Такой граф, с проста вленными у стрелок плотностями вероятнос­ тей перехода , мы будем называть р а з м е ч е н ,{ ы М Г р а ф о м с о­ с т о я н и й. Оказывается, зная размеченный граф состояний, можно определ ить вероятности состоя н и й : Р l (/) ,

Рис. 4.18

Р2 (t) ,

. . .

, Рn (/)

Пусть система S имеет четы ре возможных состоя ния:

S1 > S2' S 3 ' 84;

раз меченный граф состояний системы показан н а рис. 4. 1 3. Поста вим себе зада ч у : на йти одну из вероятностей СОстояний, на­ пример , P1 ( t ) . Эт о есть вероя "Гность того, что в момент 1 система будет на ходиться в состоянии S1' Придадим t малое при ращение М и на йдем вероятность того, что в момент t + I1t система будет на ходиться в состоянии S1' Ка к это событи е может п роизойти? Очевидно, двумя способами: - в момент t система уже была в состоя нии S 1 ' а за в р ем я I1t не вышла из этого состоян и я 1 96

Р1 (t) ( 1 - А12 М) + Р3 ( t ) А З1 М .

Раск роем скобки в правой части, перенесем P1(t) в левую и разде­ лим обе части равенства на М; получим: Рl (t + б t ) - Р1 (t ) l1t

-

_

-

А 12 Р1

( t ) + A з1 Р 3 (t)

•

Теперь устремим М к нулю и перейдем к пределу: liт

м -+ о

( 3 . 3)

как функци и времен и . А именно, эти вероят­ ности удовлетворяют оп ределенного вида диффер ен u и а л ьн ы м у р а в­ н е н и я м , так называемым у р а в н е­ К о л м о г о р о в а. Реша я эти ни я м уравнени я , мы получим вероятности (3.3). Продемонстрируем методику вывода уравнений Колмогорова дл я вероятностей состояний на конкретном при мере.

=

Рl ( t + бt ) - Рl ( t ) t:.. t

-

- А 12 Р1 и) + А 31 рS (t)

Лева я часть есть не что иное, ка к п р о и з

Рl (1)2

в

о

Д

н

•

а

я фу н кци и

(3.4)

Таким образом, выведено д и Ф Ф е р е н Ц и а л ь н о е у р а в е н и е, которому должн а удовлетворять фун кци я Pl ( t) . Аналогич­ ные дифференциальные уравнен и я могут быть выведены и для остал ь­ ны х вероятностей состоя ни я ; P 2 ( t) , рз( t) , P 4(t) . Рассмотрим второе состояние S2 и на йдем P 2 (t + М) вероят­ ность того, что в момент (t + М) система S будет на ходиться в состоя­ нии S 2 ' Это событие может п роизойти следующими способами : - в момент t система уже была в состоянии S 2' а за время I1t н е пер ешла из него ни в 8 3, ни В S4; или - в момент t система была в состоя нии �1' а за время At перешл а из него в 8 2; или - в момент t система была в состоянии S4 ' а за в ремя 111 перешла из него в S 2 ' Вер о я тность первого варианта выч исляется та к: P2(t) умножается на условную вероятность того, что систеr-.18 за !1! не перейдет ни в S 8 . ни В S 4 ' Так ка к события, состоящие в переходе за в ремя М из S2 В SЗ -

н

-

1 97

и ИЗ S 2 В S4 ' несовместны, то вероятность того, что осу ществится оди н и з эти х переходов, равна сумме и х веро ятностей, т. е . Л 2 3 I1 t + ')' 24 11 ! (с точностью до бесконечно малых высших порядков) . В ероя т ность то­ го, что не осуществится ни оди н и х этих перех одов, ра в на 1 - л 2 з l1 t ­

- Л 24М. Отс юда вероятность первого варианта : Р 2 ( t ) ( 1 - л2з М - Л24 М).

Прибавл я я сюда вероятности второго и третьего вар и а нтов , лучим :

по­

Р2 (! + М) = Р2 (1 ) ( l - л2з М - Л2 4 М) + + Рl

(t) "'12 М + Р4 ( 1) "'42 М .

Перенося P 2(t) в левую часть, дел я н а М и переходя дифференциальное уравнение для P 2(t) : dP2 ( t )

-- =

dt

к

п р едел у , получи м

� � � P4 (t). - Л2З Р2 (t ) - ''' 2 4 Р2 ( t ) + ''' 1 2 Рl ( t ) + "'42

(3. 5)

Рассуждая а налогично для состояний S s , S. , получим в рез ульта ­ те систему ди фференци альных у равнений , соста вленных по типу (3 . 4) и (3 .5) . Отброси м в них для краткости а ргу мент t у ф у н кци й Р l, Р 2' Р З , Р4 И перепи шем эту систему в виде: d pl dt

-

�

d 2

=

� - "' 1 2

Р l + "'З 1 РЗ' �

=

- л2з Р2 - Л24 Р 2 + Л12 Рl + Л4 2 Р4'

dt

=

_

dt

=

_

dрз d p4

Эти уравн ени я дл я ми К: олмогорова .

в

(3 .6)

ЛЗ1 Рз - ЛМ Рз + Л2 з Р2'

и подстав и ть в остал ь ные ура внени я . Тогда специ аJI ЫЮГО ура Gнен и я дл я вероятности Р4 можно и не писать . Одна ко в далыl йш(;у! н а м б удет удоб нее пользоватьс я полной системой урав н ени й ти па (3. 6) . Обратим внимание на стру к тур у у ра внени й (3. 6) . В се они построе­ ны по в полне определенному правилу, которое мо ж н о с фо р мули роват ь следующим образом.

В левой части каждого уравнения стоит произвадная вероятности состояния, а правая часть содержuт столько членов, СКОЛЬКО стрелок связано С данным состоянием . Есл и стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «м инус»; если в состояниезнак «плюс» . Каждый член равен проuзв.едению плотност и вероятности пер ехада, соответс­ твующей данной стрелке, УJ.mоженнОЙ на ве­ роятность того состоян ия, из которого ис­ кади т стрелка.

Это п равило соста влени я дИф�еренциальных у равн е ний дл я вероятностеи со­ стояний явл я ется общим и спра ведли в о для любой неп рерывной мар ковской цепи; с его помощью мож но совер ш енно механически , без вся ких рассужден и й , записывать диффе­ ренци ал ьные уравнения дл я вероя тностей со ­ стояний неп осредств енно по ра з меченно му графу состояни й .

5", Рис. 4. 14

П ри мер, Раз меченный граф состо я н и й систем ы S и меет В И д, П О К а з а н н ы й 4 . 1 4 Н а п и с а ть с истему диффер енциал ьных уравнени й К олмого рова н а р ис и н а ча л ь ные усл ов и я дл я р е ш е н и я этой с и ст е м ы , есл и и з в ест но, что в на ч ал ь н ы й момент система н а ходится в состо я н и и S 1 ' Решение. С исте м а у р а в н е н и й К О ЛМОl'о р о ва имеl:'l ВИЩ

Л42 Р4 + Л24 Р2 + Л ;! 4 РЗ '

е роятностей состо яний и называ ютс я урав нени я ­

Интегри рование этой системы уравнений даст н ам искомые вероят­ ности состояний как фу н к ции времени . Н ачал ьные услови я берутся в з ависимос т и от того , ка ково было начальное состоя ние системы S. Например , если в начал ьн ый момент времени ( пр и t О) система S н аходилась в состоя н и и S1' то надо п рин я ть начальн ы е услови я : =

п ри t = 0

pl = l ,

Р2 = РЗ = Р4 = 0'

З а метим, что всех четырех у равнений дл я Pl, Р 2 ' Р з , Р4 мо ж но было бы и не писать; действител ьно, Pt + Р2 + Рз + Р4 1 дл я всех t, и любую и з вероя т ностей р] , Р 2, Р з , P � мож н о вы разить через три ос­ т а л ь н ы е . Н апример Р4 можн о в ы р азить через Рз , Р 2, Р з В в иде =

1 98

Нача л ь н ы е ус л ов н я .

1 99

4.

П ОТ О К С О Б Ы Т И й . П РО СТ Е й Ш И й П ОТО К И Е Г О С В О й СТ В Д

При рассмотрении случайны х п роuессов, п ротекающих в системах с дискретными состояниями и непрерывным в рем енем, часто п ри ходи т­ ся встречаться с та к называемыми « потоками событи й » . П о т О к о м с о б ы т и й называется последовател ьность одно­ родных событий , следующи х одно за другим в какие- то , вообще гоБО­ ря , случайные моменты времени. Примерами могут быть: - поток вызовов на телефонной станции ; - поток включений приборов в бытовой электросети ; - поток грузовых составов, поступающи х на железнодорож ную станцию; - поток неисправностей (сбоев) вычислител ьной машины ; - поток выстрелов, направл я емых на цел ь, и т. д . _

о

•

•

•

.

. .. t

Р ис. 4.15

При рассмотр ении п роцессов, протекающи х в системе с дискрет­ ными состояниям и и непрерывным временем , часто бывает удобно представл ять себе п роuесс так, ка к будто переходы системы из состоя· ния В состояние п роисходят под действием ка ки х-то п о т о к о в с о­ б ы т и й ( п оток вызовов, поток неисп равностей , поток за явок на об­ сл уживание, поток посетителей и т. д. ) Поэтому имеет смысл рассмот­ реть подробнее потоки событи й и и х свойства . Б удем изоб ражать поток событи й ПОС.ТJедовател ьностью точек на оси времени ot (рис . 4 . 1 5 ) . Пользуясь таки м изображением, не надо за­ бывать, что положени е каждой точки на оси абсцисс сл уча йно. Поток событи й на зывается р е г у л я р н ы м, если событи я сле­ дуют одно за други м через строго определенные промежутки времени . Та кой поток сравни тельно редко встречается на п рактике, но представ­ ляет определенный интерес ка к предел ьный случай . П р и исследовании операций чаще при ходится встречаться с пото, ками событий, для которых и моменты наступлен и я событий и проме­ жутки времени между ними случайны. В данном па раграфе мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особо Простыми свойствами. Для этого введем р яд опреде­ лений. 1. Поток событий называется с т а Ц и о н а р н ы м, если вероят­ ность попада ния того или и ного числа событий на участок вр емени дл и ной . (рис. 4 . 1 5 ) зависит только от Д л и н ы участка и не зави­ сит от того, г Д е именно на оси о! расположен этот участок. 200

2. Поток событий называется rJ о т О к о м б е з n о а л е Д е й­ с т в и я , если для любых непересекающи хся участков времени число

событий, попадающи х на оди н из них , не зависит от того сколько со­ бытий попало на другой (или другие, если рассматрив � ется больше дв ух участков ) . 3. Поток событий называется о р Д и н а р н ы м, если вероятность попадания на элемента рны й участок двух или более событий пренебре­ жи мо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события . Рассмотрим подробнее эти три свойства потоков и посмотрим, ка­ ким физическим услови ям они соответствуют и за счет чего могут на­ рушаться. С т а Ц и о н а р н о с т ь потока означает его однородность по времени : вероятностные ха рактеристики такого потока не должны ме­ няться в зависи мОСТи от времени . В частности, та к называемая и н т е н· с и В н о с т ь (или «плотность») потока событий - среднее число собы­ тий в единицу в ремени - дл я стациона рного потока должна оставать­ Ся постоя нной . Это, разумеется, не значит, что факти ческое число собы­ u ПОЯ13л яющи хся В еди ницу в ремен и, постоянно - нет, поток может ти и, иметь местные сгущения и раз режени я . В ажно, что для ста ционарного потока эти сгущени я и р азрежени я не носят закономерного хара ктера, а среднее число событии , попадающи х на еди ничный участок времени, остается постоянным для всего рассматри ваемого периода . На практи ке часто встречаются потоки событи й , которые (по край­ неиu мере, на огра ниченном участке времени) могут рассматриваться как стациона рные. Н ап ример , поток вызовов, поступающи х на теле­ фонную станцию, скажем , на и нтервале от 1 2 до 1 3 часов может счи­ таться стационарным. Тот же поток в течени е целых суток уже не будет стациона рным (ночью интенсивность потока ВЫЗОЕ ОВ гораздо меньше чем днем) . Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физи : чески х п роцессов , которые мы называем «стациона рными » - в действи­ тельности они стаци она рны тол ько на ограниченном участке времени, а расп ространение этого участка до бесконечности - лишь удобный прием, применяемы й в целях упрощения . О т с у т с т в и е п о с л е Д е й с т в и я в потоке означает, что события , образующие поток, появляются в последовательные моменты времени н е з а в и с и м о друг от др уга. Например, поток пасса жи­ ров, в ходящи х на станцию метро, можно считать потоком без после­ действи я , потому что при чины, обуслови вшие при ход отдел ьного пас­ сажира именно в данный момент, а не в другой, ка к п равило, не свя­ заны с аналоги чными причи нами для други х пассажиров . Если та кая зависимость появл я ется , услови е отсутстви я последейств и я оказы­ вается на р ушенным. Рассмотри м, нап р имер, поток грузовых поездов , идущих по же­ лезнодорожноиu ветке. Если, по услови ям безопасности, они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал в ремени '0 , то между С,?БЫТи ями в потоке имеется зависи мость, и условие отсутствия последеиствия нарушается . Если интервал '0 мал по сравнению со средним интервалом между поездами т. та кое нарушение несуществен­ но, но есл и интервал то сравним с " его при ходится учитывать. 20 1

отоке потока означает, что события в п н а рН о с т ь п о о Д и н о ч к е, а не п арами , тро й ка ми и т. д. Н апри ме р , поток клие н то в , на правляющи х ся в п арикм ахе рс кую , практически , можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клие нтов истре­ ата[{ ПОТОК . а к ра б и и ц а т гис е р р направляющихся в ЗАГС дЛЯ бителей по б омбардир овщ ику , находящемуся над вражеской террито ­ ­ рией, ординарен, если они атакуют цель поодиноч ке , и не ордина Орд и

при ход ят

они идут в атаку парами или тройк ам и . Если в неординарном потоке события про и с х од ят тол ько пар ами , толь к о трой ками и т. д., ТО можно е го рассма трив ать ка к орди на рный шоток пар», «поток троек» и т. д. Н е с к ол ько сложнее обстоит дело, е сли число событий, образующих «пакет» (гру ппу одновременно при­ ходящих событий) слу ча йно . Тогда приходится наряду с потоком п аке тов рассмат ривать слу чай ную величину Х - число событи й в па·

ре н,

если

кете, и математическая модель потока становится более слож н ой : о Н

о

t,

t;

tJ

•

•

Х; •

t,

•

л

представляет собой не только последовательность моментов появления пакетов, но и последовательность слу ча йны х величин - чисел собы­ тий в каждом па ке те ( рис. 4.16), где XJ, Х2, • • • , Xi, '" - з н ач ения , прин я тые сл уча йной величиной Х в первом, втором и т. д. пакетах. П риме р неординарного потока событий со случайным числ о м событи й в па кете - поток товарных вагонов, прибывающих на сортировочну ю станцию (<< па ке том» яв ляется пое зд) .

Р асс мотр и м поток событий, обладающий всеми

тре мя свойствами: стаuионарный, без последействия, ординарный. Такой поток назы­ в ает с я пр о с т е й ш и м (или стаuион арн ым пуассоновским) потоком. Н азв а н ие «просте йш и й» связано с тем, что математическое описание со­ бытий, свя з анных с простейшими потоками, оказывается наибол ее простым. Отметим, между прочим, что ( самый пр остой» , н а пе рв ый вз гля д , регулярн ый поток со строго постоянными интервалами между

события ми отнюдь не является «простеЙШИ�I}) в вышеназванном смыс­ ле cJJOBa: он обл адает я рко выраженньш посл едействием, так как мо­ ме нты поя вления событий связаны ыежду собой жесткой функцио­ нальной зависимостью. Именно из-за этого посл едействия анал из про­ цсссов, свя занных с регулярньши потоками, о каз ы в ае тся, как пр авш:ю, труднее," а не л егч е по с равнению с простеЙшими.

Простейший поток и грает среди других потоков особую рол ь . А им енно , можно доказать, что при суперпозиции (в заи м ном н аложе · нии) достаточно большого числа ПОТОIЮВ, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны ) , образуется су мма рны й

=

тогда как для простейшего потока л

=

л (t),

сопst.

П уассоно вски й поток событий (как стационарный, так и неста· uионарный) тесно связан с известным р а с п р е Д е л е н и е м П у а с­ А именн о, число событий потока, попадающ их на л юбой е о н а. участок, распrедел ено п о з акону Пу ассон а .

t

Рис. 4.16

202

поток, который можно счита ть простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков склад ыв а ется ' ) . Если поток с обытий не имее т посл едействия , ординарен, но не п у а с с о­ с таu и онаре н , он называется н е с т а u и о н а р н ы м н о в с к и м п о т о к о м. В таком потоке интенсивность л (среднее число событий в единицу вре ме ни) зависит от времени:

Рис. 4.17

Поясним, что это означает. Р асс мо трим на оси Ot, где наблюдается Поток с обытий, не который участок времени длины т (см. рис. 4.17), начинающийся в моме нт 10 и з аканчива ющи йся в моме н т 10 + т. Не­ трудно д о к аз ать (до казате л ь ств о дается во всех курсах те о р ии ве­ р оят но стей) , что вероятность попадания на этот участо" ровно т со­

бытий выражается формулой: Рm

а

=

а'"

-е-а

rn/

(т =0, 1, ... ) ,

( 4.1)

- среднее число событий, приходя щееся на участок т. для стаuионарного (простейшего) пуассоновского потока величи­ н а а ра вн а ин тенсивн ости потока , умноженн о й на плину и нтерв ал а : где

a=A:t'.

т. е. не зависит от того, г Д е на оси Ot взят участок 1:. для нестаuио­ на рного пуассоновского потока величина а выр а жаетс я формулой: а

S л и) dl,

10+' =

tо

и, зн ачит , зависит от того, в какой точ ке 10 начинае тся участок 1:. Р асс м отр им на оси О! простейший поток событий с и нтенсивность ю л ( рис. 4.18). Нас будет интересовать интервал времени Т ме жду со*) Для этого допоm1Ителыю тр еб у ется , чтоGы складываемые пото к и были сравни­ мы по интенсивности, т. е., чтобы ср е д и них не б ы л о, скажем, одного, прев ос ­ :ходящего по ннте нс ив ност н сумму всех остальных.

203

седними событиями в этом потоке. Очевидно, Т есть величина случай­ ная; найдем ее закон распределения. Сначала найдем функцию pac� пределения:

Дисперсию ве.'IИЧИНЫ

Т

найдем через второй начальный момент:

00

Dt

F (t)=P(T
=

S

о

00

{2{ (t) dt-mt2

=

S л,t2е-М dt-�,

о

л

откуда, снова интегрируя по частям, получим: 1

е. вероятность того, что ве.'Iичина Т примет значение, меньшее, чем '. Отложим от начала интерва.'Iа Т (точки to) отрезок t и найдем вероят­ ность того, что интерва.'I Т будет меньше '. Для этого нужно, чтобы на участок длины t, примыкающий к точке {о, попало х о т я б ы о д н о с о б ы т и е п о т о к а. Вычислим вероятность этого F(t) через вероятность ПРОТИВОПО.'Iожного события (на участок t не попадет ни одного события потока):

т.

Dt=л2

(4.5)

•

ИЗВ.'Iекая корень квадратный из дисперсии, найдем среднее квад­ ратическое отклонение случайной величины Т: (4.6)

F (t) = l-Po•

-.1о

tO� Tt

••

•

_-

Итак, для показате.'IЬНОГО рас­ преде.'Iения математическое ожида-

.. ��

Рис. 4.18

Вероятность РО найдем по фОРМУ.'Iе (1.4), полагая

т

=

t

О:

Рис. 4.19

=

l-e-1>./

(t> О).

(4.2)

(t>0).

-

mt

=

00

00

о

о

S tf (t) dt =л S 'е-1>.! dt.

Интегрируя по частям, ПО.'IУЧИМ: 1

mt=T' 204

(4.4)

t

G;)

•

ее

)1

4.20

-

(4.3)

Закон распределения с плотностью (4.3) называется п о к а з ат е л ь н ы м (или экспоненциальным). График его имеет вид, пред­ ставленный на рнс. 4.19. Величина л называется п а р а м е т р о м показательного закона. Показательный закон распределения, как мы увидим дальше, иг­ рает большу.') роль в теории марковских случайных процессов. ма­ Найдем числовые характеристики случайной величины Т тематическое ожидание (среднее значение) mt и днсперсию D t• Имеем:

Рис.

L1t

ними событиями в nросmeйшем потоке распределен по nоказamельному закону; его среднее значение и среднее квадратическое отклонение равны l/л, где л интенсивность nоmoка.

Чтобы найти плотность распределения f(t) случайной величины Т, продифференцируем выражение (4.2) по t:

f (t) =ле-Лt

• •

ние и среднее квадратичеСlюе ОТК.'Iонение р а в н ы друг другу и о б­ Р а т н ы п а р а м е т р у Л. Таким образом, исследуя структуру простейшего потока собы­ тий, мы пришли к заключению: промежуток времени Т между сосед­

откуда функция распределения величины Т будет: F (t)

о

•

,

Для нестационарного пуассоновского потока закон распределе­ ния промежутка Т уже не будет показательным; вид этого закона будет зависеть, во-первых, от того, где на оси Ot раСПО.'Iожено первое из со­ бытий, И, во-вторых, от вида зависимости л(t), характеризующей пере­ менную интенсивность потока. Однако если л(t) меняется сравннтель­ но медленно и его изменение за время между двумя событиями невели­ ко, тозакон распределения промежутка времени между событиями мож­ но приближенно считать показательным (4.3), полагая в этой фОРМУ.'Iе величину л равной среднему значению л(t) на том участке, который нас интересует. В заключение данного параграфа выведем выражение для так на­ зываемого «элемента вероятности появления события». Рассмотрим на оси Ot простейший поток событий с интенсивностью л и элементарный участок !1t, прилежащий в точке t (рис. 4.20). Найдем вероятность того, что на участке М появится какое-то событие потока, т. е. участок не будет «пуст». Так как поток ордина­ рен, вероятностью появления на участке !1t более чем одного собы­ тия можно пренебречь. Обозначим Ро(М) вероятность того, что на 205

t

участке М не будет события, а Р1(!1Е) - вероятность того, что появится одно событие. В силу ординарности по то ка

Рl (М)

�

а вероятность Ро(М) вычисляем

на н ем

l-Ро(I1t), по формуле (4.1):

Ро(l1t) =�e-a =e-Q =e-лМ, 01

о т к у да

Рl (М) <:::::: l_e-Mt•

ток восстаНОВ"'Iенпй», так как отказ и во сстановлени е происходят в один и тот жt мо мент ) представляет собой nOTol, Пальма. Если к тому же срок работы элемента распределен по показательному закону, поток Пальма превращается в простейший (стаuионарный пуассоновский) поток. другой пример: группа самолетов идет в боевом порядке «колон­ на» (рис. 4.22) с одинаковой для всех самолетов скоростью V. Каждый из ннх, кроме ведущего, обязан выдерживать строй, т. е. держаться на "

Разлагая е-ЛЫ в ряд по степеням л!1 t и пре небрег ая ве личи. нами высшего порядка малости, по луч им :

P1 Отсюда

о

"z

'з

т. е. вероятность появления на элементарном уч а ст ке времени !1t K!:l' I<ОГО-ТО события потока приближенно равна л!1t, где л - интенсивность потока. Эту вероятность мы будем называть «элементом вероятности появления событию>. Очевидно, такая же формула будет справедлива и для нестацио­ нарного пуассоновского потока, с той разниuей, что величину л нуж­ но брать равной ее значению в той точке t, к которой примыкает учас­ ток М:

Поток событий называется n о т о к о м П а л ь м а (или потоком с ограниченным последействием), если промежутки времени между последовательными событиями:

Т], Т2, ... , Т;, ... представляют собой независимые, одинаково распределенные случай· ные величины (рис. 4.21). Простейший поток есть частный случай потока Пальма: в нем рас­ стояния T1, Т2, ... , Т" '" представляют собой случайные величины, распределенные по одному и тому же показательному закону; их неза­ висимость следует из того, что простейший поТок есть поток без после­ действия, и расстояние по времени между любыми двумя событиями не зависит от того, каковы расстояния между другими. Рассмотрим пример потока Пальма. Некоторый элемент техничес­ кого устройства (например, радиолампа) работает непрерывно до СВое­ го отказа (выхода из строя), после чего он мгновенно заменяет ся новым. Срок работы элемента случаен. Если отдельные экземпляры элементов выходят из строя независимо друг от др уга , то поток отказов (или «по206

t

L1 Т L2 вел ичины т1 = v; -у; ... независимы. 3 а2 мет им, что тот же поток н е б уд ет потоком Пальма, если самолеты стре­ мятся выдержать заданное расстояние не от со седа , а от ведущего всю

"

так как случаиные

=

колонну.

,

ПОТОКИ ПАЛЬМА. ПОТОКИ ЭРЛАНГА

.,

вэданном расстоянии от впереди идущего. Это расстояние, измеряемое дальномером, в ы держив ае т ся с ошибками. Моменты пересечения са­ молетами заданного рубежа при этих условиях образуют поток Пальма,

�_._�_. )� ,, 5.

""

Рис. 4.21

(М) <:::::: 1-(l-ЛМ). (4.7)

-

��

I 1<

L,

I I �j<

L.

z

I I

>1<

-

L.

-�_._�. з

Рис. 4.22

I l ' >11(

L.

ц

I I :-1

t ,

I

Рубеж

.

1 (

, •

Многие потоки событий, встречающиеся на пра кти ке , хотя и не являются в то чн остн потокаыи Пальма, но могут быть ими приближен­ но заменены. Важными для практики образцами потоков Пальм а являются так называемые п о т о к и Э р л а н г а. Эти пото к и образуются в ре з ул ь ­ тате « п р о сеивания» простейших потоков. Рассмотрим на оси 01 про стейши й поток событий (рис. 4.23) и со ­ храниы в нем не все точки, а галько каждую вторую; остальные выбро­ сим (на ри с . 4.23 со хра н е н ны е точки показаны жирными). В резул ьта ­ те такой операции «прореживания» или «просеивания» образуется сно­ ва поток событ ий ; он на зы вае тся п о т о к о мЭр л а н г а в т о р 0пор я Д к а. г о

(;

Рис. 4.23

>;; 207

Вообще, n о т о к о м Эр л а н г а k-r о по р я Д к а Э" назы вается поток, получающийся, если в простейщем потоке сохранить каждую k-ю точку, а остальные выбросить. Например, на рис. 4.24 показано образование потока Эрланга 4-го порядка Э4 (три точки простейшего потока выбрасываются а чет· вертая сохраняется). Очевидно, простейший поток представляет собой частный случай потока Эрланга а именно поток Эрланга l-го порядка Э1. Итервал времени Т между соседними событиями в потоке Эрлан­ га k-ro порядка представляет собой сумму k независимых случайных величнн - расстояний между событиями в исходном простейшем по-­ токе: ­

,

,

T=T1+T2+ ... +Tk

i?

k

L

1=1

Те•

I

Очевидно, при k деление :

=

1 получается обычное показательное распре

(t> О).

·

(5.2)

Найдем характеристики закона Эрланга k-ro порядка : его мате­ матнческое ожидание m/k) и днсперсию Dt(k). Случайная величина Т, распределенная по закону Эрланга k-ro порядка, получается сло­ жением k независимых случайных величин;

где каждая из величин Т! расп р еделена по показательному закону (5.2) с математичес кнм ожиданием 1/1.. и дисперсией 1/1..2 (см. формулы

�

о.е Рис. 4.24

Каждая из этих случайных величин распределена по показ ательному за кону: /1 (t) =Ае-М (! > О). Т между соседними событиями в пото-­ ия интервала распределен акон З ке Эk называется законом Эрланга k-ro порядка. Найдем выражение для плотности распределения этого закона; обозначим ее f,.(t). для этого рассмотрим на оси (рис 4.25) простейщий поток с интенсивностью Л, в котором события разделены интервалами Т1, Т2, . , И найдем элемент вероятности t,,(t)dt-вероятность того, что .

. .

интервал Т

=

k

1:, Tt

1= 1

окажется

в пределах элементарного участка

(t, t + dt). для этого, во-первых, на участок длиной t должно попасть ровно 1 точек простейшего потока; вероятность этого события, соглас­ k но ф ормуле (4.1), равна -

ak-1

а Pk-1 = (k-l)1 е-

=

('Лt)k-l

(k-l)1

(k-l)!

откуда

Извлекая из последнего выражения квадратный корень, найдем среднее квадратическое отклоненне: (Jt
=

Yk. 'Л

Таким образом, мы нашли математическое ожидание, дисперсию и средне е квадратическое отклонение интервала между соседними со­ бытиями в потоке Эрланга k-ro порядка:

уГ (Jt (k)= __

'Л '

(5.4)

Заметим, что как закон распределения t,,(t), так и все его характе· ристики выражены не через интенсивность самого потока Эрланга Э", а через интенсивность л порождающего его простейшего потока, кото, рый подвергался прореживанию. П редставляет интерес выразить их через интенсивность (среднее число событий в едини uу времени) самого потока Э р ланга Э". Обозначим А" интенсивность потока Эk• Оче­ видно -

(t> О). 208

(5.3)

'л

'Ля '

-

м атематич ес ких ожидан и й

mt(k) =� '

Dt (k) =.!:...

е-М.

Кроме того, последняя (k-я) точка должна попасть на элементар­ ный участок (t, t + dt) вероятность этого рав н а "лdt (см. формулу (4. 7». Перемножая эти вероятности , получим : k fh (t) dt (Лt) - I е-М л d t ' =

(4.4) и (4.5». Применяя теоремы сложения и ди спе р сий, имее м

(5.1)

209

так как из исходного простейшеro потока о интенсивностью')., берет ся толыю k-я часть. ПодстаВJlЯЯ выражение А через ЛЯ в фо рмуле (5.1), IIQЛУ4LIМ

f в. (t)

=

или

e-kАk

kЛя (kЛh t)k-I (k-l)f

[,

Пр и мер. В результате статистической обработки интервалов времени межnу событиями в некотором потоке получены следующие характеристики: значение и нтервала mt = 2 мин, _ с ре дн е е отклонени е интер вала (Jt = 0,9 мин. _ среднее квадратическос Требуется подобрать пот ок Эрланга, обладающий пр»бл»зительно теми же характеристиками, найти его инте нс и вность А » порядок k. Решение. Интенс»вность А есть вел»чина, обратная среднему »нтервалу между событиями: Л= I/mt= 1/2=0,Б (собjмин)

(t > О).

Из формулы (Б.8) наход»м порядок потока Эрланга k:

(5.5)

k-

Математическое ожидание, дисперсия н среднее квадратичtское ОТlшонение этого закона будут: 1 . m(п)- _ t - Лh '

D(k) I

- _ '_. -- kЛlt2 '

(5.6)

Тепер ь предположим, что, сохраняя неизменной потока Ая:

интенсивность

ЛЯ =Л =lConst,

мы будем менять только порядок

k закона Эрланга. Его математичес­ кое ожидание останется постоянным: , mt= - ,

Л

•

(5.7)

а дисперсия и среднее квадратическое отклонение будут меняться:

' · )=-D( t k kЛ 2 '

а (k) t

_'_

- ';kЛ

(5.8)

Из формул (5.8) видн о , что при k -)- 00 и дисперсия, и среднее квадратическое отклонение с т р е м н т с я к н у л ю. А что это зна.­ чит? Это значит, что при k -)- 00 поток Эрлангазаданной UHnWHcU8Hocmu Л неограниЧЕННО приближается " регулярному потоку с постоянным интервалом .между событиями: T=const

,

л

=-.

Это свойствО потоков ЭР.'Iанга удобно в практических примене­ k, получать пото­

ниF.х: оно дает возможность, задаваясь различными

ки, оБJiадающие различным последействием - от полного отсутствия последействия (" 1) до жесткой функциона.'IЬНОЙ связи между мо­ =

ментвми ПОЯВJlения событий (k 00 ) . Таким обраЗОl\1, порядок потока ЭРJiанга k может С.'Iужить в какой-то степени «мерой последействия». В целях упрощения часто бывает удобно пр иближен но заменить реал ьны й поток событий - потоком Эрланга с тем же последействием. Это д.елают, согласовывая характеристики реального потока - мате­ матическое ожидание и дисперсию интервала между событиями - с те· ми же характеристиками заменяющего потока Эрланга. =

210

Выбирая в качестве число. получаем k

(

-I а! Л

k

Б.

)2 ( =

1 ---

')2

0,9.0,5

б л»ж а й ш ее

целое

z4,9.

f/t}

Итак, данный поток можно пр и бл иже нно порядка с Б-го заменить потоком Эрланга плотностью вида: =

Рис. 4.26

или

t

Вид кр и вой распределения (Б.9) ПОК8зан на рис. 4.26

Особое внимание, уделяемое здесь потокам Э рланга по сравнению с д ругими потоками Пальма (с произвольным законом распределения интервала времени между соседними событиями) объясняется тем, что при помощи этих ПОТОКОВ можно сводить не-марковские процессы к ма рковским. Как это делается, мы увидим дальше, в § 1 О, 11 настоящей главы, а также в § 6 гл. 5. Потоки Эрл анга весьма удобны для приближенного представле­ ния потоков Пальма любоГо вида, так как потоки Эрланга различных порядков образуют целую гамму, дающую постепенный переход от про­ стейшего потока (полное отсутствие последействия) к потоку с регу­ л я рны ми интервалами (полное, жесткое последействие). Возможности приближенного представлl:'НИЯ любых по токов Пальма потоками типа Эрланга еще более расширяются, если воспользоваться «обобщенными законами Эрлан га» , которые получаются при сложении нескольких слу­ чайных величин, распределенных по показательным законам с разными параметрами (см., например, [8]), а также «смешанными обобщенными законами Эрланга», которые получаются, если сложить несколько обобщенных законов Эрланга с коэффициентами (<<весами»), образую­ щими в сумме единицу.

211

6.

ПУАССОНОВСКИЕ ПОТОКИ СОБЫТИЯ И НЕПРЕРЫВНЫЕ МАрковеКИЕ ЦЕПИ

Рассмотрим некоторую физическую систему S с дискретными со­ стояниями Sl' S2' . . .• Sn, которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий. например. вызовы на теле­ фонной станции, выходы нз строя (отказы) элементов аппаратуры, вы­ стрелы. направленные по цели и т. д. Будем себе это представлять так. будто события. переводящие си­ стему из состояния в состояние. представляют собой какие-то п о т о к и с о б ы т и й (потоки вызовов. потоки отказов. потоки выстрелов и т. д.). Пусть система S с графом состояний. показанным на рис. 4.27. в момент t находится в состоянии S I И может перейти из него в состоя­ ние S j под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с ин­ тенсивностью Лi{ как только появляется первое событие этого потока. система мгновенно переходит (перескакивает) из SI в S}. Как мы знаем. вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени М (элемент вероятности перехода) равна ЛijМ. Таким образом. плотность вероятности перехода ЛiJ в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное. как и н т е н с и в н о с т ь п о т о к а с о б ы­ т и Й. переводящеro систему по соответствующей стрелке. Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние. пуассоновские (стационарные или нестационарные­ безразлично), то процесс. протекающий в системе. будет марковским. Действительно, пуассоновский поток обладает отсутствием последей­ ствия. поэтому, при заданном состоянии системы в данный момент, ее переходы в другие состояния в будущем обусловлены только появле­ нием каких-то событий в пуассоновских потоках, а вероятности появ­ ления этих событий не зависят от «предысторию) процесса. В дальнейшем, рассматривая марковские процессы в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывные марковские цепи), нам удобно будет во всех случаях рассматривать переходы системы из состояния в состояние как происходящие под вли­ янием каких-то п о т о к о в с о б ы т и й, хотя бы в действительности эти события были единичными. Например. работающее техническое устройство мы будем рассматривать как находящееся под действием п о т о к а о т к а з о в, хотя фактически оно может отказать т о л ь­ К О О Д И Н р а з. Действительно. если устройство отказывает в тот момент, когда приходит первое событие потока. то совершенно все рав­ но -- продолжается после этого поток отказов или же прекращает­ ся: судьба устройства от этого уже не зависит. Для нас же будет удобнее иметь дело именно с п о т о к а м и событий. Итак. рассматривается система S, в которой переходы из состоя­ ния в состояние пронсходят под действием пуассоновских потоков со­ бытий с определенными интенсивностями. Проставим эти интенсив­ ности (плотности вероятностей переходов) на графе состояний систе­ мы у соотвe:rcтвующих стрелок. Получим размеченный граф состоя212

пий (рис. 4.27); по которому, пользуясь правилом. сформулированным в � 3. можно сразу записать дифференциальные уравнения Колмо­ горова для вероятностей состояний. Пр им ер 1. Техиическая система S состоит из двух узлов: 1 и 11; каждыll из иих независимо от npyroro может отказывать (выходить из строя). Поток от­ казов первого узла - пуассоновский, с интенсивностью "'J; второго - также пуассоновский, G интенсивнО СТЬЮ Ап. Каждый узел сразу после отказа на­ чииает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстаНО)jлени � (оконча­ ний ремоита ремонтируемого узла) для обоих узлов - пуассоновскии с интен­ сивностью л.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Рис. 4.27

•

•

•

Рис. 4.28

Составить граф состояний системы и написать уравнении Колмогорова для вероятностей состояний. Определить, при каких начальных условиях иужно решать эти уравнения, если в начальный момент (t =0) система р аботает исправно. Решенне. Состояния системы: 811 - оба узла исправны, 521 первый узел ремонтируется, второй исправен, первый узел исправен, второй ремонтируется, 512 оба узла ремонтируются. 522 Размечеиный граф состояний системы показан на рис. 4.28. Интенсивности потоков событий иа рис. 4.28 проставлены из следующих сообра жений. Если система S находится в состоянии 511' то иа иее действуют два потока событий: поток иеисправностей узла 1 с интенсивностью А], переводящий ее в состояиие 521' и поток неисправностей узла II с интенсивностью "'п, пере­ · ВО)l.ящиЙ ее в S12. Пусть rгеперь система находится в состоянии S21 (узел 1 ремон­ ;гируется, узел II-исправеи). Из этого состояиия система может, во,;-первых, вер­ . потока восстановлении с интенсив­ иуться в 5 11 (это происходит под деиствием ностью 1..); во-вторых, - перейти в состояиие S22 (когда ремонт узла 1 еще ие закончеи, а узел 11
-

-

213

Sз - постановщнк помех и один

p fj di= - (л] + 1011) PII +ЛР21 +ЛРI2' d

S, -

di= - ( А + Л l l) Р21 +1.1 PlI + АР 22 ! dp2J

(6.1)

dp12

di= �-(Л+)'l) Р12+ЛI/ Рl1+ЛР22' -;u= - 2 ЛР22 +1.11 Р21 +А1 P12' dP22

S1 So -

леты це,lЫ;

постановщиК помех и

леты целы ; поста н овщиК

цел;

помех

два 11

бомба рд и р ов щ и к сбиты, остальные само'

БЩl Бардировщи ка сбиты, остальные са мо'

три б о мб арди ровщика сбиты, один самолет

все сам олеты сБ ит ы
.

Состоя ния мы отличаем друг от друга по ч и с л у сохран ивших ся бом­ бардиРОВЩИКОВ, а не по тому, к а к о й им ен но из н их сохрани.'!СЯ, та к как все бомб а р дировщ ики по УСЛОВИЯМ задачи равноцеНIJЫ - атакуются с один ако ­ вой интеисивностью и пора жа ются с один аковой вероятность ю . Граф СОСТОЯНИЙ системы показаll на рис. 430. Чтобы р а змет ит ь этот граф , определим интенсивности потоКов событий, переводя щих систему из состояния в состояние. Из сос тоя ния Sfi в S4 систему пе р еводит п о т о к н о р а ж а ю щ и х (или « у спе ш н ы х ») а т а к, т. е. те х атак, которые приводят к п оражению пост а и ов щик а (р азу меет с я , если он рань ш е н е б ы л пора жен). Иитенсивность

Рис. 4.30

Рис 4.29

З аметим, что, пользу я сь усл ов ием

Рl1 + Р21 + Р12 + Р22

=

1,

ура вн ений на одно. П е'й ст в ительно , любую из через остальные и под с та вить в ура вн е н ия (6.1), а уравнение, с одер жа щее в ле вой части п р о и з в одн у ю �той в е­ р оятности - отбр осить . Заметим, кроме того, что уравнения (6.1) сп р а'ведл и в ы как дл я постоянных интенсивностей пуассоновских потоков 101' Ан, л, так и дл я переменных:

можно было бы у меньш ить " ll' 21, P12' ве роятностеи

Р

Р

число

Р22

можно выразить

Пример 2. Группа в соста ве пяти самолет ов в строю « колонна» (рис. 4.29) сов ер ш ае т налет на тер рит ор ию п ротивника . Передн ий самолет (ведущий) я в ляе тся постановщиком поме х; до те х пор, пока он не Сбит, иду щ и е за ним самолеты не м огут быть о бнару ж ен ы и атак ован ы средствами ПВО противника. Атакам подвергается только постановщик помех. Поток атак - пу ассонов ск ий с ннт ен сивнос тью л ( ат ак/ ч а с) . В результате атаки п оста новщик поме х пора : жается с ве роя тност ыо р. Если поста новщик помех пора ж ен (сбит) , то следующие за ним с ам олет ы обна р ужива ются и п одверга ю тся атакам ПВО; на каждый из них (до тех пор, по­ ка он не поражен) на п ра вляется пу ас соновски й поток атак с инт енси внос тью Л' ка жд ой атакой самолет поражается с в ероятн остью р. Когда самолет п ор аж ен атаки по нему прекращаются, но на другие самолеты не п ере носятся. Н а пис а ть ур ав нения Колм огорова для вер оятносте й состояний систе­ мы и указать начальные усл овия . Решение. Будем н у меровать состояния системы соотве тсгвенно числу со­ хр анившихся с амолетов в гр уп пе :

:

S5 - все самолеты целы; S4 - постановщик помех сб ит, оста л ь ны е сам олет ы

214

це лы;

потока атак равна Л, но не все они - п ораж а ющие : к а жд ая из них оказывается п ора жаю ще й только с вероя тность ю р. Очевидно, интенсивность потока пора­ жающих атак равна Ар; эта ин тен с и вн ость и прост� влен а в ка чест ве Л54 у перв ой слева стрелки на графе (рис. 4.30). З айм ем ся следую щей стрелкой и найдем интенсивность Л43• Систем а нахо­ дится в сос тоянии S4' т. е., целы и могут быть атакованы четыре сам ол ет а . О н а пе ре й дет в состояние S 3 за время М, если за это время какой,нибудь из са моле ­ тов ( все равно, какой) бу де т сбит. Найдем ве роят н ость противоположного собы­ тия - за время I1t ни ОДИН самолет не бу д ет сб ит :

(I-ЛрМ) (l �ApM) (l-лр М) О-Ар М)

=

(I-лр 111)4:::::; 1-4л р 111.

З десь от бро ш ены члены высшего поря дка малости относитель но 111. Вычитая эту вероятн ост ь из единицы, получим вероятность п ерехода из S4 в S 3 за вре мя I1t (элемент вероятности перехода): 4лрМ, откуда

Заметим, что и нтенсивность этого по' что и п рос та вле н о у второй слева стрелки. тока событий просто равна сумме и нт ен сив и ос те й потоков поражающнх атак, Рассуждая на гля дно , можно получить направ.lениых н а отдельные самолеты са­ этот вывод следующим образо м : система S в с ост ояни и S4 сос то ит из чет ыре х молетов; на каждый 113 н их дей ствует ПОТОI< поража ющи х атак с интенс ив н ос т ь ю лр; з н а ч ит на систему в целом де й с твуе т суммарный поток поражающих атак с ИlIТенсивностьЮ 4Лр. С помощью аналог ич ны х ра с су жд ений проста�ляются интенсивности по' токов с об ыт ий У остальных стр елок.

215

Ур авиения Колм о tорова для вероя тностей СОСТОЯний имеJ011 ВИl!1 dp"

di= -ЛРР6.

dP.

di= -4лрр,+ ЛРР&,

dрз di= -зл.рр з+ 4ЛРРа,

dpz =

-;u dpl

dt

-2л.РР2+ ЗЛРРз, -ЛРРt + 2ЛРР2'

=

dpo

di=

МБ1 только вы п и с ы в а л и уравнения для вероятностей состояний, но не за­ нимались р е ш е н и е м этих уравнений. По этому поводу можно заметить следующее. Уравнения для ве­ роятностей состояний представляют собой линейные дифференциаль­ ные уравнения с постоянными или переменными коэффициентами­ в зависимости от того, постоянны или переменны интенсивности ЛiJ потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Система нескольких линейных дифференциальных уравнений тако­ ко типа только в редких случ аях может быть проинтегрирована в квад­ ратурах: обычно та кую систему приходится решать численно - либо вручную, либо на аналоговой вычислительной машине (АВМ), либо, наконец, на ЭЦВМ. Все эти способы решения систем дифференциаль­ ных уравнений затруднений не доставляют; поэтому самое существен­ ное - уметь записать систему уравнений и сформулировать для нее начальные условия, чем мы и ограничились здесь.

Отметим, что в данном параграфе

дnфpeренциальные

ЛРРt.

= О)

Так как в начальный момент (при t условия будут!

все самолеты

-целы. начальные

7. Пусть Рис. 4.91

Пример 3. Условия те же, ч то и в примере 2, но интенсивность л. относи'l!­ ся К О б щ е м у потоку атак, направляемому иа всю группу. до тех пор. пока постановщик помех цел, все эти атакн иаправляются на него; когда он сбит, ата­ ки распределяются равномерно между оставшимися самолетами, так что на один самолет приходится в среднем л/k (атак/час), где k -число сохранившихся само­ ле тов. Составить граф состояний, разметить его и записать уравнения Кол­ могорова для вер оятиостей состояний. Решение. Размеченный г раф состояний покаэан на рис. 4.31. Уравнения Колмогороваl

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИй имеется физическая система S с дискретными состояниями:

S1'

S2'"'' Sn'

В которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным

временем (непрерывная цепь Маркова). Г раф состояний показан на

рис . 4.32.

dP5 dt =�ЛРР 51

dp& dt = d

ps dt

-

= -

dP2

dt = dpl

-

ЛРР.

-+ ЛРРъ,

ЛРРз

+ ЛРР••

Рис. 4.92

ЛРР2 -+ ЛРРз,

Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводя­ щи х систему из состояния в состояние, n о с т о я н н ы:

dt = - ЛРРl + ЛРР2, dp o dt

218

Начальные условия-те

=

же,

ЛIJ =const,

л.РРl'

что и в

П риме р е

2.

другими словами, все потоки событий - простейшие (стационарные пуассоновские) потоки. Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнення при задан217

ных начальных условиях, мы получим вероятности состояний, как функции времени, т. е. n функций: Рl

(t). Р2 (t),

... I

при любом t дающих в сумме единицу: I!

L

;=1

Р;

и)

=

Рn (t).

Очевидно, предельные вероятности состояний, так же как предельные, в CY�IMe должны давать единицу: "

L

i=1

1.

и

до·

Pi=l.

Таким образом, при t-+ 00 в системе S устанавливается не который р е Д е л ь н ы й с т а ц и о н а р н ы й р е ж и м: он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний осу­ ществляется с некоторой постоянной вероятностью. Каков смысл этой вероятности? Она представляет собой не что иное, как с р е д­ нее о т н о с и т ел ь н о е в р е м я пр е б ы в ани я си­ с т е м ы в д а н н о м с о с т о я н и и. Например, если у системы S три возможных состояния: S1' S2 и S 3, причем их предельные вероят­ ности равны 0,2, 0,3 и 0,5, это означает, что после перехода к устано­ вившемуся режиму система S в среднем две десятых времени будет находиться в состоянии SI' три десятых - в состоянии S2 И ПОЛОВи­ ну времени - в состоянии S з. Возникает вопрос: как вычислить пре­ дельные вероятности состояний Р1, Р2' . . . , Рn? Оказывается, для этого в системе уравнений Колмогорова, описывающих вер<;)Ятности состояний, I-lУЖI-lО положить все левые час­ n

Поставим теперь следующий вопрос: что будет происходить с сис­ темой S при f -+ оо? Будут ли функции Pl(t), P2(t), . .. , рnи) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются п р е Д е л ь н ы м и (или «финальными») веРОЯТJlОСТЯМИ состояний. Можно доказать следующее общее положение. Если число состоя­ ний системы S конечно и из каждого состОЯния можно пере йти (за nw или UI-lО: число шагов) в каждое другое, то предель ные вероятности со­ стоянии сущеСf118уют и не зависЯт от начального состОЯl-lия системы.

ти (nроизводl-lые) равными НУЛЮ.

Действительно, в предельном (установившемся) режиме все вероят­ ности состояний постоянны, значит, их производные равны нулю. Если все левые части уравнений Колмогорова для вероятностей состояний положить равными нулю, �o система дифференциальных уравнений превратится в с и с т е м у л и н е й н ы х а л г е б­ р а и ч е с к и х у р а в н е н и й. Совместно с условием n

Рис. 4.33

� Pi=l

На рис. 4.33 показан граф состояний, удовлетворяющий постав. ленному условию: из любого состояния система может рано или позд­ но пер:йти в любое другое. Напротив, для системы, граф состояний которои показан на рис. 4.34, условие не выполнено. Очевидно, что если начальное состояние такой системы S1, то, например, состояние S6 при t -+ 00 может быть достигнуто, а если начальное состояние S 2 не может. Предположим, что поставленное условие выполнено, и предель­ ные вероятности существуют:

Pi (t) = Р; 1-+00 Нт

(i=l, 2 .

...

' n).

(7.1)

Предельные вероятности мы будем обозначать теми же буквами Р1' Р2' . . . , Рn, что И сами веРО51ТНОСТИ состояний, разумея под ними на этот раз не переменные величины (функций времени), а постоянн ые числа. 218

(7.2)

"=!

Рис. 4.34

(так называемым «нормировочным ус.lОвием») эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности Пример

Р1' Р2 '

''' I

Рn'

S4' размеченный гра ф которых дан на рис. 4.35 (у каждой стрелки поставлено

1. Физическая система S имеет возможные состояния: Sl. S2' SЗ.

численное знзчени," соответствующей интенсивност и) . Вычнслить предельные ве­ роятности СОСТОЯНИЙ: Рl. pz. Рз. Р4' Решение. Пишем уравнения Колмогорова для вероятностей состоян ий;

dPl

--

dt

dp>

-

=

=

dt

dрз

-

=

d p�

=

dt

-

dt

-5Рl -

pz

-

3рз

-

2p�

+ Рз,

+ 2Рl

+ 2рз.

+ 3Р1 +

(7.3)

2Р4'

+ Р2' 219

-

Полагая леВЫе чаСти равным!! нулю, получим систему алгебраических уравие­ ний ltЛя пре�ельных вероятностей состояний: О

5Рl + Рз,

0=- Р2 + 2Р1

-+ 2Ра, 0= -ЗРЗ+ЗРl+2р., =

0= -2р,+ Ps.

\

(7.4)

Уравнеиия (7.4) - так иазываемые однородиые уравнеиия (без свободного члена). Как известиО из алгебры, эти уравнения определяют величины Р1' Р2е Р а, Р. только с точностью до постоянного множителя. К счастью, у нас есть нор­ мировочное условие: ( 7 5) 1, Pl + Р2 + Рз + Р.

.

=

которое, совместно ные вероятиости.

О

уравнениями (7.4), »;ает возможность найти все неизвеC'J1o

-

Заметим,
)

"'2J pz

,

"'21 Ра + "'З1 Рв =("'12 + "'13) Р1' "'i:! Рl + "'аз Р2 + "'4З Р. = "'з! Рз, =

"'4З р,.

(7.7)

Чтобы в дальнейшем сразу же писать такие уравнения, полезно Запом­ нить следующее миемоническое правило: «ч тб втекает, тб и вытекает», то есть

для каждого сосnwяния су,\/,,\/,а членов, со о тве тс твующ их вхо дящи'\/' стрелка,\/" рав­ на су'\/''\/'е членов, соответствующих выходящи'\/'; каждый члеи равен интенсивнос­

Рис. 4.87

Рис. 4.96

Рис. 4.95

Действительио, выразим из (7.4) все неизвестные вероятности через о»;иу них, например, через Pl' ИЗ первого уравнения: Рз

=

5Рl'

По»;ставляя во второе уравнение, получим: Р2

=

2Р1

+

2рз

=

из

2Р1 + 10Р1

=

ти потока событий, переводящего систему по данной cTp€l[lKe, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка. В дальнейшем мы во всех случаях будем пользоваться именно этим кратчай­ шим способом записи уравнений для предельных вероятностей. Пример 3. Н?писать алгебраические уравнения для предельны х вероят­ иостей состояний системы S, граф состояний которой дан на рис. 4.37. Решить 9ТИ уравнения. Решеиие. Пишем алгебраические уравнения для предельных вероятно­ стей состояний; Лз1 Рз="'iij. Р!.

12Р1'

1..12 Р1 = "'2З Р2,

"'23 Р2= "'З1 РЗ·

Четвертое уравнение дает: Р4

=

'/2Р2

=

6Р1'

В

(7.9)

нормировочное условие Выразим

24Р1 = 1,

1 Рl = /24.

Рз =5Р1 =5/2"

Ра=1/а,

(7.8)

Нормировочное условиеl

Подставляя все эти выражения вместо Р2' Рз, р, (7.5), получим Отсюда

)

с

помощью первых двух уравнений (7.8) pz и Рз через Р 1:

1 Р2= 12Pi = /2'

1/,.

Р4=6Р1 =

(7.10)

Таким образом, предельные вероятности состояний получены, они равиЫl

--

Р1 =1/24.

Рз=Ь/ 2 ••

1 р,= / ,.

(7.6)

Это значит, что в предеЛЬНО�I, установившемся режиме система S буJl.С11 проводить в состоянии 51 В среднем одну двадцать четвертую часть времени, половину времеии, в состоянии 5з - пять »;вa�цaTЬ четвертых в состоянии 52 О»;tIУ четверть времеии. и в состоянии S, 220

ПодстаВIIМ их в нормировочное условие (7.9)1 "'12 "'12 Р l+ � Р1 + -:;-- PI=l, "" 1 28 221

So S1

Далее,

из

(7

1 0)

-

все три узла испра вны; один -узел отка зал (восста навливается), два исправны; S 2 - два узл а восста навливаются, один исправен; 8з - ВСе трй узл а восста навливаются . Граф состоян � й показан на рис. 4 .39. Из графа видно, что про­ цесс, протекающи и в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».

о ткуда

получим

�

-

А2 з -: Р2 = ----=-л. л

l+�+� Л 2З

8.

АЗ I

Рис. 4.89

П Р О Ц Е С С « Г И Б ЕЛ И И РА З М Н О Ж Е Н И Я »

в предыдущем па ра графе мы убедились, что зная размечен ный

граф состояний системы, можно сразу на писать ал гебра ические уравне­ ния для предельных вероятностей состояни й . Таким образом, есл и две неп рерывные цепи М а р кова имеют оди на ковые графы состояний и раз­ личаются тол ь ко зн ачениями интенсивностей Л i j, то нет надобности на-

Схема гибели и размножения очен ь часто встреча ется в самых раз­ нообразных пра ктических задачах ; поэтому имеет смысл заранее ра с­ смотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему а л гебра ических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встреча ясь с кон­ кретными процессами, протекающими по та кой схеме, не решать зада­ чу каждыи" раз заново, а пользоваться уже готовым решением. Ита к, рассмотрим сл учайный процесс гибели и размножен ия с гра ­ фом состоя н и й , представленным на рис. 4 . 40 >" . .

Рис. 4.38

ходить предел ьные вероятности состоя н ий для каждого из графов в от­ дел ьности : достаточно составить и решить в бу квенном виде у ра внения дл я одного из н их, а затем подставить вместо Ли соответствующи е зна­ чения . дл я многих часто встречающи хся форм графов линейные урав' н ения л егко решаются в бу квенном виде. В дан ном параграфе мы позна комимся с одной очень типичной схемой непрерывных ма рковских цепей - так н азываемой «схемой гибел и и размножения»'>. Мар ковская н епрерывна я цепь называется «процессом гибел и и размножен ия», если ее граф состояний имеет вид, представленн ый на рис. 4 . 38 , т. е. все состояния можно вытянуть в одн у цепоч ку, в кото­ рой каждо е из средн и х состояний (8 2 ' . . . , 8n- 1 ) связано прямой и об­ ратной связью с каждым из соседн их состояний, а кра йние состояния (8 1' 8 n ) - тол ько С одним соседним состоянием .

Пример 1 . Техническое устройство состоит из трех одинако вых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать) ; от казав­ ший узел немедленно н ачинает восстанавлива ться . Состояния систе­ мы н умеруем по числ у н еисправных узлов: '

л о от б и ол о ­ ) Пр о и сх о ж де н ие тер м и н а «сх ема г и бел и и р а з м но ж е н и я » в е дет н а ч а е н е н и я ч ис л ен ­ г и чес ки х з а д а ч , г де подоб ной сх е м о й описывает с я пр оцесс изм н о ст и о п л я и и .

п у ц

222

1I.�3

:�, . A�:I::· , ��"

... � ... ?�k,k- f

II.k+f,1< А.П-f,п-z

II.n,n- t

Sn

'

I

Рис. 4.40

Напишем алгебраические уравнения дл я вероятностей состояний. для первого состояния 8] имеем :

(8. 1 )

щи м

дл я второго состояния 8 2 суммы членов, соответствующих и выходящим стрел кам, равны:

I3ХЦ!i.я ­

Л2 3 Р2 + Л21 Р2 = "12 Р] + Л З2 Р3'

Но, В силу (8 . 1 ) , можно сократить справа и слева равные друг дру_ гу члены Л1 2Р1 и Л 21Р 2; пол учим :

Л2 3 Р2 и

=

ЛЗ 2 Рз'

далее, совершенно аналогично,

•

•

t

•

•

•

223

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответ · ствующие стоящим друг над другом стрел кам, равны между собой:

где k принимает все зна чения от 2 до n. , Рn Итак, предел ьные вероятности состояний P l , Р 2 , схеме гибели и размножения удовл етворяют уравнениям: .. .

1.,12 Р1

Л23 Р2

"'34 Р ,

=

"'21

= "

=

(8.2) В

...

=

"1 2 -+ Р1 + " Р1

любой

" 23 " 1 2 + "32 " 21 Р1 -_

+ .., +

"n- l . 'Аn •

откуда

РI

'

л'48 Р4'

...

'

21

Р2 '

8 2 Р8

Ита к , все вероятности Рl Р2' , Рn выражены через одну из ни х: Подста ви м ЭТИ выражен ия в нор м и ровочное условие : Рl + Р 2 + + + Рn 1 . П олучим :

Рl '

=

(8.3)

.

1 + " 12 + " 23 " 1 2 + " 21 " " 32 21

n- l

"

+ "k- 1 , k k-2 .

"k

.

k- l

"n-2 . n- l . . .

"

12

"n- l . n-2 . . . "21

,

"

"k- l . k-2

k- l

. . .

_} Pl -

"1 2 " 21

Рl +

•

-� " �--�----�о----------------. . . . "1 2 "n- l . n ' " "1 2

--------------- о

. .

n

.. .

о

+ k- l k "k-2 . k- l

"'k. k- l "'k-

1.

k- 2 "

' ''' 2 1

+

. .

.

+

"n . n- l ' "

Остальны е вероятности вы ража ются через Рl : лn_ l .

и

n Pn-1

= Лn . n- I

"1 2 Р2 = � Pl ' 21 " 23 "12 РЗ = � Рl ' 82 2 1

Рn

нормировоч ному условию: Рl + Р2 + " ' + Рn

= 1.

(8.4)

Б удем решать эту систему следующи м образом: из первого урав­ нения (7.3) выразим Р 2: Р2 из

вто рого,

С

"и

= т- Р1I "'2i

" 21

(8.8)

)

(8 .9)

(8.5)

у четом (8.5), полу чим:

(8.6) Т а ким образом , з адача «гибел и и р а змножения» решена в общем виде : найдены предельные вероятности состояний .

из третьего, с учетом (8.6) :

и

П р и мер 2. Н айти предел ь н ые ве р о ятности состоя н и й дл я п р о цесс а гибе.л и р а змножени я , г р аф которого по к а з а н н а р и с . 4 . 4 1 .

и вообще

(8 . 7) Эта формула справедл ива для л юбого k от 2 до n . Обратим внимание на ее стру кту ру. В числ ителе стоит пр оизведе­ ние всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) Лi j, стоя­ щих у стрелок, направленных с л е в а н а п р а в о, с начала и вплоть до той , которая идет в состояние Sh; в знаменателе - произв е­ дение всех и итенсивностей Л iJ> стоящих у стрелок, идущих с п р а в а н а л е в о, опять-та ки, с начала и вплоть до стрелки, иСходящей из состояния S". При k = n в числ ителе будет стоять произведение интен­ сивностеи Лt J, ('тоящих У в с е х стрелок, идущи х слева нап ра во, а в зна менателе - у в е е х стрелок, иду щю� справа нnлеВQ. 224

Рис. 4.41 Реш е н н е

По форм у л а м (8 . 8) и (8. 9) н м еем : -------

2

1

1

2

5

= - ,

1 + - + - -t+ 2 3 3 1

2

1

P4 = -Z ' Б - 5 ' 8 ��K

573

При мер 3. Пр ибор состоит из трех узлов; поток отказов - простейши й, срер.нее время безот казной р аботы к аждого узл а р а в но 76. Отказа в ши й узел ср а­ зу же начи нает ремо нтиров атьс я ; среднее вр ем я ремонта (восста новл ен и я ) узл а рав но Тр; за к он р а сп р е дел е н и я этого в р емен и п ок аЗ8тел ь н ы й (поток восста. новл е н и й - простеЙ ш н Й ) . Н айти ср еднюю п роиз в одител ь ность пр и бор а , если пр и трех р а бот а ю щ и х узл а х она р а в на 1 0 0 % , п р и дв ух - 50 % , а пр и одном и ме нее - п р и бор вообще не р аботает. Решение. Пер ечень состо я н ий с и стем ы и гр аф состоя н и й уже п р ив одились в пр и ме р е 1 д а нно го пар а графа. Р азмети м этот гр аф, т. е. простав и м у к аждой ст рел ки соотв етст в уюшу ю и нтенси в ност ь "'ij (см . р и с. 4 . 42) . Т ак как пото к от к азов каж дого узла - простей ш и й , то пр омежуто к вре­ мен и между отк аза м и в ЭТОм пото ке распр едел ен п о показательному з акону с па­ paMeTp�)М ,), "" I//б,

гд

е (б - среднее время бе зотк азно й

3адад имс я кон к р етными з на че Н И Я М I l

fб = 10 ( час) ;?р

=

5 ( час ) .

Тогда

�P = 0,5 trj

и

РО Сре.ll Н Я Я п р онзводител ь ность Пр и бор а в уст а нов и в ш емс я р е ж и м е :

100 % Ри + 50 % Р l 9.

работы узла .

=

(80027 600) 27 -ф-

%

=

5\ .9%

ном ина ла •

Ц И К Л И Ч ЕС К И й П Р О Ц ЕС С-

Ма р ковский случа йный процесс, п ротекающий в системе, назы­ ва ется u и J( л и ч е с к и м, если сос тояния связаны между собой в кольцо (цикл) с одноСторонними переходами (см. р ис. 4 . 43 н а СТр. 228) . На п�ш ем ал гебра ические уравнения дл я предельных вероятностей Состоянии:

"'23 Р2 "'34 РЗ

Рис. 4.42 По стр елкам в п р а в о си стему пере в одят о т к а з ы. Есл и с и стема на­ х одится в состоя н и и 80, то р аботают тр и узл а; к ажды й из ни х подвергае тся потоку от к а з о в с и нтенси в ностью 1 /16; знач ит, поток от к а зов, дейст в у ющий на всю систему, в т р и раз а более и нте нс и ве н: Лоl = 3/tб Есл и си стема и ак одИ1 СЯ в состо я н и и 8 1 ' то р абот а ют два узл а ; общи й поток отк азов и м еет и нтенси в ность: "'1 2 = 2ftб А н а .�огич но 1..2 3 = 1ttб По стрел к а м в л е в о систему переводят р е м о н т ы (восста нов л е ни я ) . Ср ед нее врем я восста нов л е н и я узл а р ав но Тр, з н а ч ит, и нтенси в н ость поток а во(!· ста новле н и й , действующего н а оди н восстан а вл н ваем ы й у зел , р а в на !l = 1/1;, на дв а узла - 2//р• на тр и у зла - 3/� Эти з н аче н и я "'10, 1..21, "'3 2 И п р ост а вле ны на р ис. 8 . 5 у стрел ок , веду щи х влево. Пользуясь пол учен н ым выше общи м р ешен ием зада ч и ги бел и и р а зм ноже­ ния, имее м (ставя Ро в место Рl): Ро I

+3

( �t ) ( т:Т )2 �

3

ф

=

=

�2 Рl '

11.23 Р2'

(9. 1 ) л.n- l , n Pn- I = Лn ,

I

Рn.

Лn • I Рn = �2 Р l'

плюс норми рово ч ное условие:

Рl + Р2 + . . . + Рn

=

1.

И З у равнений (9. 1 ) , отбросив последнее, выразим все вероят­ Р! . . . . . РП через Рl:

ности

( 7:t )3

"'1 2 Р2 = Рl .

3

л'i л'1 2 л' 2 РЗ = - Р2 = -Р l = - Рl ' "'23

"'.14

"'23

"'2 3

"'3 4

о

"' 34

:\.И Р4 = , Рl ' "'4 ,

-

228

Рз =

( ;;)

3

Ро ,

В*

227

(9.2) ,

Подставляя эти в ы р ажения в

Р 1 + Л 12 (

� + � + ...

\ "'23

отк уда Р1

I

полу чим:

+ "12

"'З�

(

I

1

�)

+

-:;- + -:;- + "' 2 3 "' � �

"' nl

'"

Р1

=

1 + ;;:nl

)

Подставив эти выражения в формулы об разований получим:

1,

(9.2).

"1 2

Рn = � Рl ' nl

Формулы (9.2) , вы ражающие п редел ьные вероятности состо яний дл я ци кл ического процесса , можно привести к бол ее удобному и на· гл ядному виду , есл и перейти от интенсивностей Ли к средн и м в реме-

нам 7; п ребыва ния си стемы ( подр яд) в состоя нии S i (i

Рис. 4.43

=

1,

....

n) .

ДJl Я всех i

( в с и л у цикличности)

228

Лn , 1

=

=

�.

1 , 2,

...

(9.3)

т . е . nредеЛ Ы-lые вероя тности состояний в цикли ческой схеме оmнОСЯtrl(;я как средн ие epeAleHa пребывания системы nодряд в каждом из

состояни й . Поимер

1 . Э ле кт р о нн а я цифров а я в ы ч исл ител ь ная ма ш и н а может на х о· одн о м из следу ю ш и х состо я н и й : S1 - и спр а в н а , р а б от ает ! S2 - не и с п р а в н а , ост а новлена; ведется по и с к неиспр а в ност щ S 3 - неис п р а в ность л о к ал изов а н а ; в едется р емонт ; 8 - p e),lOHT з а к о н ч е н ; ведется подготов ка к п у с к у м а ш и ны. 4 В се пото ки со бы ти й - п р о сте Й ш и f' . С р еднее в р е м я безот казной р абот ы ЭЦВ М (п одр я д) р а в но 0, 5 (суто к) Для р е монта м а ш и н у п р и х од ится ост а н а в л н , вать в ср е д н е м I 1 a 6 ч а со в . П о и с к н е и с п р а в ност и дл и тс я 9 ср еднем 0 , 5 ч а с а . П ос­ ле о к о н ч а н и я р е м о нта м а ш и н а готов итс я к п у с к у в ср е днем 1 ч а с . Н а йт и п ре· дел ь н ые веР ОЯ I' I!ОСТ И состо я н и й . д и т ь с я 'Б

Рис. 4.44

действител ьно, пусть из состо я н ия S j , как это имеет место в ци к' л ичес кой схеме , ис х одит тол ько одна стр ел ка (рис. 4 . 44) . П усть систе­ ма S на х одится в состоянии S t . На йдем математическое ожидание вре· мени Т/ , которое она еще проб удет в этом состоя н и и . Т а к ка к процесс­ ма рковски й , за кон распределения в р емени Т; не зависит от того, скол ь­ ко времени система у ж е п р о б ы л а в состоянии S i ; знач ит, он та · кой же, каким был бы, если бы система т о л ь к о ч т о п р и ш л а в состояние S i ' т. е. , представляет собой не что иное, ка к показатель· ный з а кон распределения промежутка времени Т между соседними с о быти ями в п ростей ш ем « пото ке у х одов » систем ы из состо я ни я S t . Па ра метр эт.го за кона ра вен Лi . Н- 1 , а среднее в р емя п ребывания сиI ст ем ы в состоя н и и S i ( есл и о н а в нем у же на х од итс я ) р авно tl = л-- ' 1 . ,+ 1

�;

, n),

или, ко роче :

(k = 1 ,

=

n p e·

,

(9.2)

Отсюда " 1 . 1 + 1

посл е элеменtа рньtх

...

, n

-

1 . дл я

t =

n

пол у ч и м

Рис. 4.45 Реше н ие. Гр а ф состо я ни й име ет в и д ц и к л и ческой схемы (рис. 4 . 4 5) . О п р едел и м ср еднее в р е м я п р еб ы в а ци я Э Ц В М подр яд в ка ждом сост о я н и и :

откуда , по

11 = 1/2' i, = 1/�8' 1з = 1/4' /4 = 1/24 ( суто к ) , фор мул ам (9. 3):

Р1 и л и , в де с я т и ч и ых дробя х ,

Рl = О , 6 1 5;

Pt = O , 026;

рз = О , 308i

Pa = O , 051 .

229

Таким об разом, если проца:с СВОДИТСЯ к ПРОС'l'ОМу щtкJ'l ИЧескому с односторон ними переходами , предел ь н ы е вероятности состояний на х одятся очень просто: из соотношения средн их времен пребывани я (под ряд) в каждом из состояни й . Во многих сл у ча я х практики приходится иметь дело С в е т в я­ Щ и м С я Ц и к л и ч е С к и м п р о Ц е с с о м, где граф состояни й в отдел ьных узлах об р а з у ет разветвлени я .

Р2

п р осте Й ш и е) . Ср е дн ее в р ем я испр а в ной р а боты м а ш и н ы подр яд р а в н о

МИ

-

tз ,

ср е д не е

п од г ото в к и

врем я

- 1;,

ремонта

ЭЦВМ к пуску - t;. Неисправность ЭЦВМ может

4,

t1

9"

�

/2

Рl = Р2 =

бр и г адой

-=-

t2 I

I

tз

Рз

-=-

Р5

1

t5

/з

-=-

1 - 9' --- Р 2 12 -=-

9'tз

Р« =

( 1 - 9' ) /4 t,

специ ал и сто в - t;, ср ед нее в р емя

1

t4 1

-=-

tJ

Рис. 4.46

Отсюда

Рз =

Рз. I

(4

Р4 Р4 ' 1

= -=-

Р4

[5

Р. ,

(9.5)

Из у р а в не н и й (9. 4 ) одно, к а к мы з н а е м , можно отбр осить ; отбр осим с а м ое слож ное - четвертое, а из ост ал ь ных в ыр а з и м Р 2 , Р з, Р4 ' Р5 ч ере з Р1:

-

( 1 - 9' ) [1

-

(1 + t� + .'?f)(з + ( l - 9" ) (4 + 7"

СреД Н !I Я д о л я э р е м е н и , кото р у ю систе ма пр оводит (в уста н ов и в шемся р е· в состо я и и и S4 ( р емонт б р и гадой с пеци ал и стов) р а в н а Р4 ' З н а ч и т , за ч ас система проводит в этом со с т о я н и и в ср еднем Р 4 ч а сов . У м ножа я эт у в ел и ч и н у на 24k , ПОЛ У Ч И М средн и й р ас х од ср едств на опл ату бр и гады спе ци а л и сто в за сут к и : С = 24 k p,. О б р ати м в ни м а н и е на стр у ктур у в е р о я т ностей Pl, Р 2 , . . . , Р5 В схеме ветв я · щегося ци кла . О н и , та к ж е к а к и в с л у ч ае п р остого ц и к л а , пр едстав л я ют собой от н о ш е н и я ср едн и х в р ем е н пр е б ы в а н и я ( подр яд) в состо я н и я х к с у мме всех т а к и х в р е м е н , с той р а з н и цей , что дл я состо я н и я , лежащего на «ветке», это ср еднее в р е­ м я м и ож и т с я на в е р о я т н о ст ь перехода по да Н 1IОЙ « в ет к е » (9' И Л И I - ff') Пол ь ­ з у я с ь э т и м п р а в и л о м , мож но с р а зу п и сать пр е�ел ь н ы е в е Р О Яl ности с о сто я н и й дл я 'л юбой в етв я щеЙ С !l ц и кл и qеСI\Ой схемы жиме

Рl ,

=

11 + 12 + fPtз + ( I - fP ) t4 + tб

(5

(9.4)

плюс нормировоч н ое услов и е:

280

9'iз

ср е д нее

Р 2'

= -=-

+ -==

Pl '

ср е д нее в р е м я р емонта м ест н ы м и ср е дств а·

б ы т ь л и к в и ди р о в а н а мест н ыми средст в а ми с вер о я т ност ь ю 9" , а с вер о я тно с т ь ю 1 - ЕР т р ебует вызо в а бр и гады спе ц и а лис­ тов . Т р у д бр и гады о п л а ч и ва ется в р а з мере k (р уб/ ч ас) . Т р еб уется н а й т и пр едел ь н ые вер оятности состоя н и й и о п р еде л ить с р едни А р асх од, и ду щий на о п л ат у р абот ы р емонт ной бр и г а ды в е ди н и цу в р еме и и ( в сут­ ки ) . Ре ш е ние. Ст р ои м р а з м еч е н н ы й гр аф состоя н и й (р ис. 4 . 46) . Е с л и и з состо я . н и я в ых одит тол ько о д н а стр ел к а , то и нтенси в ност ь п ото к а событ и й , сто я щаи У э т о li стрел ки , р а в н а еди н и це, дел е н ной на ср еднее в рем я п р ебыв ани я ( п одр яд) в этом сост о я н и и . Е сл и из состоя н и я в ых одят не одна стрел к а , а две, то общая и нте нси в но СТ ь , р а в н а я еди ни це , делен ной иа среднее в р е м я пребы в а н и я ( п о др я д) в д а н но м состоя н и и , ум нож ается дл я ка ждой стр ел к и на в е р о я тность того, ч то переход совер ш ится и м е н н о по этой ст р е л ке . У р а в не н и я дл я п р еде л ь н ы х вер оятн остей состо я н и й и меют в ид: -=-

7 1

--- Р2 = Рз = (2 [?

Приме р 2 . ЭЦВ М может н а х одиться в следу ющи х состо я н и я х : S 1 - ис п р а в и а , р а б от а ет ; S 2 - неисп р а в н а , остановл е н а ; в едется пои с к неи с пр а в ности; Sз - не и спр а в ность оказалась нез на чител ь ной и уст р а няется мест ными средст в а м и ; S 4 - н еис п р а в иост ь ок а з а л ась с ер ье зной и устр а н я ется бр и г а до й с пециа­ л и стов; S5 - подготов ка к п у с к у Процесс, пр оте к а ю щ и й в с нстеме - м а р ков е к и й ( в с е пото к и событ и й ­ в р ем я поиска неиспр а в носте й

tй

=

)

1 0.

П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е С В ЕД Е Н И Е Н Е- МА Р КО В С К И Х П Р О Ц Е С С О В К МА Р КО В С К И М. М ЕТОД « П С Е ВДО С О СТ О Я Н И И »

На пра кти ке мы почти ни когда не имеем дела с ма р ковскими про­ цессами в чистом виде : реальные процессы почти всегда обладают тем ил и др угим последействие м. дл я марковского процесса время пре­ бывания системы подряд в каком-либо состоян ии распредел ено по по­ казател ьному з а кону; н а самом дел е это далеко не всегда бывает та к. На пример, если поток событи й , переводящи й систему из состояния в состояние есть поток отказов какого-то узл а , то бол ее естественно предположить, что оставшееся время безотказной работы узл а з а в и­ с и т о т т о г о, с к о л ь К О В Р е м е н и у з е л у ж е р а б о­ состоянии пред­ т а л . При этом время пребывания узл а в рабочем не по показа­ енную распредел , у н величи учайную сл ста вл яет собой тел ьному , а по ка кому-то иному за кону . Возникает вопрос о том, мож­ но ли прибл ижен но замен ять не-пуассоновск ие потоки - пуа ссоновс­ кими и к ка ким ошибкам в предел ьных вероятностях состоя ни й мо­ жет привести подобна я замена . Дл я этого необходимо уметь хотя бы приближен но исследовать сл уча йные процессы , протека ющи е в систе­ мах с последействие м. Рассмотрим некотору ю физическую систему S, в которо й проте· кает сл учайный процесс, направл я емый ка кими-то не-п уассоновскими потоками событий . Если мы попробуем дл я этоrо процесса на писать уравнения, выражающие вероятности состояний как функции време­ ни, мы увидим, что в общем сл учае это нам не удастся . действител ь­ но, дл я ма рковской системы мы вычисл ял и вероятность того, что в мо­ мент t + !J. t система будет в состоянии S i, учитывая только то, в к а · к о м с о с т о я н и и си стема был а в момент t, и не учитывая, с к о л ь­ В Р е м е н и она была в этом состоянии. дл я не-ма р ковской си­ К О стемы этот прием уже непри годен : вычисл я я вероятность перехода из одного состоя н и я в дру гое за время !J. t, мы должны будем учитывать, скол ько времени система у ж е п р о в е л а в да нном состоянии. Это приводит, вместо обыкновенных дифференциал ьных у равнен и й , к у рав­ нениям с частными п роизводными , то есть к гораздо более сл ожному математическому аппарату , с помощью которого тол ько в редких сл учаях можно пол учить нужные резул ьтаты. Возникает вопрос: а нел ьзя л и свести искусственно (хотя бы при­ ближенно) не-мар ковски й процесс к ма р ковскому? О казывается , в некоторых сл учаях это возможно: а именно, если число состоян и й системы не очень велико, а отлича ющиеся от про­ стейши х потоки событи й, участвующие в зада че, предста вл яют собой (точно или приближенно) пото ки Эрланга . Тогда , вводя в схему воз­ можных состояний системы некоторые фи ктивные «псевдосостояни я», удается свести не-ма р ковский процесс к марковскому и описать его с помощью обыкновенных дифферен циальных уравнени й, которые при t - 00 переходят в ал гебраические ура внен и я дл я предел ьных вероятностей состояни й . Поясн им идею метода «псевдосостояни й» на кон кретном приме р е.

П ример 1 . Рассматривается система S - техническое устройст­ в о, которое может выходить из строя под вл и я нием простейшего пото­ ка неиспра вностей с интенсивностью Л . Отказавшее устройство немед­ л енно начинает восстанавли ваться . Время восстановления (ремонта) Т распределен о не по показател ьному за кону (ка к н адо было бы для того, чтобы процесс был ма рковским) , а по за кон у Эрла нга 3-го порядка :

Iз (t)

=

1-1

(l-It)

2

2

e - !Lf

и > О).

(10. 1)

!ребуется СВести данный не-ма рковский процесс к марковскому и на и ти дл я него предел ьные вероятности состо я н и й . Решение. Случайная вел ичина Т - в ремя весста новл ени я - рас­ пр еде � ена по за кону Эрланга и, зна чит, представл яет собой сумму трех сл уча и ных вел ичин Т1 , Т2, ТЗ, распределенных по показател ьному за­ кону (см . § 5 гл . 4) с па раметром j..t : ( 1 0. 2 )

Истинных состояний системы всего два: S 1 - устройство исправно ; S 2 - устро й ство восста навл ивается . Граф этих состояний показан на рис.4 .47 (он относится к цикли­ ческой схеме) . Одна ко в виду того, что переход по стрелке 8 2 _ S1 проис ходит под вли янием не пр остейшего, а эрланговского потока событи й , про­ цесс, п роисходящи и в системе, мар ковским не явл я ется , и для него мы не м�жем на писать ни дифференциал ьных, ни алгебраи ческих у рав­ нени и . Чтобы искусственно свести это процесс к мар ковскому, введем в цепоч ку состояний, вместо одного состояния 8 2' три последовател ь­ ных «псевдосостояния». 8� 1 ) - ремонт начинается; 8 �2 ) - ремонт продолжается ; S �3) - ремонт за канчивается, т. е. раздел им ремонт на три этапа или «фазы», причем время пребыва­ ния системы в каждой и з фаз будем считать расп редел енн ым по показател ьному за кону (1 0.2) . Граф состояний будет иметь вид пока­ занный на рис. 4 . 48, где рол ь одного состояния 82 будут игр �ть три псевдосостояния 8 � 1 ) , S ъ2) и 8 �3) . Процесс, протека ющи й в та кой системе, уже будет ма р ковским. Обознач и м p�l ), p�2). р�3 ) - предельные веро ятности п ребы в ан и я системы в псевдосостояни я х 8Р), S�2). S�3); тогда

Обозначая

233

I\южем сразу на писать (как дл я обычной циклическо й схемы) предель­ ные вероятности состоян и й : Р l

t1

=

p( l )

2

р

2

=

=

71 + t2 +t2 +t2

[1

р( 3 ) =

[1 +

р( 2 ) ?

=

?

p 2( I ) + р(22) +

t2

р(3) 2

=

/1

+

I

зi; •

3� , _

t{

з72

+

_

•

Зt2

Заметим, что вел ичина 3� п р едста в л я ет собой не что иное, ка к среднее время восста новлени я ( р емонт а ) - оно равно сумме средних вр емен п р е быва н и я системы в каждой фазе ремонта .

Рис . 4 .47

Рис. 4.48

П е р еход я в форм у лах дл я Рl. Р 2 от средних времен {1. /2 к интен­ 1 Iл, � l / f.t , получим: сив н ост ям потоков, по формулам � Рз 3 Л/ ( /1 + 3Iс) . Рl f.t/(f.t + зл). ( 10.3) =

=

=

Та ким об р азом , получен вывод: дл я на шего элемента рного приме­ ра ве р оятиость пр ебы вания в к а ждом из двух состояний, ка к и для марковского цикл а , ра вна относительному ср еднему времени пребы­ вания подр яд в ка ждом из состоян ий. Следу ющи й пример будет нескол ько сложнее. Пример 2. Те хн и ч еское устройство S состо ит из д в ух одинаковых узл ов. каждый из кото р ых может выходить из строя (отка зыв ат ь) под вл иян ием простейшеro потока неис пр ав н остей с и нте н си вн остью л,. Отказ ав ш и й узел немедл енно начинает ремонтироваться. Время р е мо н та Т р ас п ред елен о по з а ко н у Эр л а н га второго порядка : =

1 2 (t )

=

/1 2 te - Ilt

(t > О).

Тр ебуется найти предел ьные вероятности состояний системы. Решение. Исти н ны х состояний системы тр и (нумеруем их по числу отказавши х у злов) . So - оба узл а ра бота ют; 81 - один узел работает, др у гой ремонтируется ; S 2 - оба узла ремонти р уются . Раздел им условно ремонт на две фа зы : ремонт начинается и ремонт за канчивается . 234

Пл ительность каждой 4'азы будем считать р ас п р ед елен н о й по показа­ тел ьному з а кон у ( 1 0.2) . Проuесс, происходящи й в системе, пр и водит­ ся к ма р ковскому, есл и ввести та ки е псевдосостояния ; S � l ) - один узел р а б отает , дру гой начинает р емон ти р ов атьс я ; S�2) - один узел р абота ет, д р у гой конча ет ремонтироваться ; S � I . 1 ) - оба узл а н ач и н ают р а мон ти р о ват ься ; S � I . 2 ) - один узел н ач ина ет ремонти роватьс я , а дру гой кончает; S �2. 2 ) - оба узла кончают р емо ит и р ов а т ьс я . Граф состояний системы с псевдосостояниями показан на р ис. 4.49. На ст рел ка х , ведущих из S � I . l ) в S � ' · 2 ) И ИЗ SJ 2· 2) В S� 2 ) , на п и с а н о 2/1 . а не f.t, п отом у что п е р е йти в следующую фа з у р емо нта (о кон ча н ие ремо нт а ) может любой из двух узлов .

Рис. 4.49

У р а в нения для предельных вер оятн остей состояний имеют вид:

2лро

+ /tP �I .

2) = ( Л + /1) р\1), /tP(1 l ) + 2 /1 РЧ ' 2 ) (л + /1 ) р \2) . лр \ l ) 2IlP � I . l ), 2 /tP(2" 1 ) + лр\2) = 2/tP�" 2), =

=

( 1 0. 4)

= 2/1P �2 . 2 ) ,

= 2Лро·

Из т ретье го . п ятого и шестого у рав нен ий ( 1 0 .4 ) имеем:

p � l . () = .!:. p (1 l ) ,

Р(22 .

р\2 )

211

2)

1

= _

2л

2

= -

JI.

p 2( I . 2 )

Ро.

•

( 1 0.5)

235

что дает возможность уменьшить число неизвестных: подставл яя ( 1 0 . 5) в оставшиеся три уравнения ( 1 0. 4) , пол учим : 2лро + ftР (J , 2 ) = (Л + /-1 ) р\ I ) ,

ftP(j I ) + Il P (21 . 2 )

=

(1", + fl)

2 ;\

Р О'

/.1

( 1 0.6)

2;\2 лр\ I ) + - Ро = 2 ftР �I , 2 ) . м

Из эти х тре х уравнений с тремя неизвестн ыми Ро , р р ) , p � ! . 2) можно по п роизвол у отбросить любое, например, последнее, и доба­ вить нормировочное условие: р + р\ l ) + р\2 ) + p�I , 1) + p � l , 2 ) + p�2 , 2) 1, о =

или, с учетом ( 1 0 . 5),

(

1 +

)

21.. �I

Ро

2

+

(

)

1 + � p( l ) + � р<2 1 . 2) 2!!. I 2

=

1,

( 1 0.7)

( �) p( l ) - � 1 +

fJ.

fJ.

1

Ро

( 1 0.8)

и подставим это выражен ие во второе уравнение; получим:

[

:

/..

(л + 2/-t) p \ l ) = 2Л + или, после сок ращен ия на ( л + 2/.1):

]

(л + /-t ) Ро,

2л р \ I ) = - ро '

( 1 0.9)

М

Подставля я это в ( 1 0 .8) , выразим и вероятность p�l .

p �I , 2 ) подстави м

откуда

Ро =

( 1 0.9)

I

2/.. 2 =fJ.2

и

po '

( 1 0 . 1 0)

1 + 4 /.. /�L + 4 /..2 //J2

=

2)

че рез Ро: ( 1 0. 1 0)

в

норми рово чное · усло·

/J2

[12 + 4/.. [! + 4 1.. 2

( 1 0. 1 1 )

После это го н айде �1 все остал ьные предел ьные вероятности : из ( 1 0 . 9) , ( 1 0 . 1 0)

p(1 l )

236

=

t

р (22 . 2)

_

P� 1 . 1 )

/..2

).,2

...._ .,__

_ _

2Л !t __ f\2 + 4 Л�1 + 4 "- 2 '

__

p( l . 2 ) 2

=

2,,2

/.1 2 + 'I t.! \, -/- 4 /.. 2

--:-:-

lI ' + 4 лр + 4 ;\2 '

= _ __ _

- м2 + 4 ;\ /.I + 4 Л?

После того, как н айдены ве роятности псевдосостояний, можно найти и вероятности состоя ний :

Ро

_

-

/.12 . 2 + 4 ;\/1 + 4 ;\ 2 ' /.1

Р

2

=

Р 1 - Р(1 1, ) + Р() 2 ) _

_

p�l . l ) + p� l . 2 ) + p�2 . 2) = --:-

4 /../1 . /.1 2 + 4 /..м + 4 ;\2 ' 4/.. 2 ---:--:-

_ _

[, 2 + 4 Л /J + 4/.. 2

Н а п ример, при Л 1 , fl = 4 (в стаuпонар ном режиме) вероятность того, что оба узла работа ют, равна Р о 1 6/25 0, 64 ; вероятность того , что оди н узел ремонти руется р] .8/25 0,32; вероятность то­ го, что оба узла ремонти руются Р 2 = 1 / 25 = 0 , 04 . =

=

р( 1 , 2 ) =

Тепе рь и е ( 1 0 .7):

2Л /1

м2 + 4 /.. /.1 + 4 ;\2

=

Решим дв а первых урав нени я ( 1 0 . 6) вместе с у равне l l ие м ( 1 0. 7). Вы раз им из п е рвого у рав нени я p�I , 2) ч ере з ро и р \ I ) :

в

из ( 1 0.5):

=

=

Заметим, что метод псевдосостояний допуска ет сравн ител ьно простое решен ие задачи тол ько в самых простых сл уча ях, когда чис­ ло состо яний исходной системы невел и ко . Одн а ко, иногда удается примен ить этот метод и к задачам, где числ о состояний не очен ь мало; во вся ком сл учае, пол уч ить есл и не бу квенное, то численное прибл и­ женное решен ие соответствующей системы л и н ейных алгебраических ура внений. В озможности метода псевдососто ян ий существенно расши р яются , есл и пол ьзоваться в качестве потоков событий н е одними тол ько эрл ан­ говскими -потоками в чистом виде, а и обобщенными эрла н говскими и смеш аННЫJII И обобщенными эрл а н говскими распредел ениями, о кото­ рых 'у помнналось в коние § 5 .

5 ТЕ О Р И Я МА ССОВОГО О БСЛУ )КИВА НИ Я

1.

З АД А Ч И Т Е О Р И И М А С СО В О ГО О Б С Л УЖ В И А Н ИЯ

При исследова нии операций очень часто пр и ходится ста лкивать­ ся с анализом работы своеобразных систем , называемых с и с т е м а· м и м а с с о в о г о о б с л у ж и в а н и ·я (СМО) . Примера ми та ких систем могут сл ужить: телефонные стан ции , ремонтные мастерские, бил етные кассы , спра воч ные бюро , ма га з ины , парикмахерские и т. п. Каждая СМО состоит из ка кого-то числа обслуживающих единиц, которые мы будем называть к а н а л а м и обсл уживания . В качестве «каналов» могут фи гури ровать: линии свя з и , рабочие точки , приборы, железнодо рожные пути, лифты , автомашины и т. д. Системы массового обслуживания могут быть однока нал ьными или многока нальн ыми . Каждая СМО предназначена дл я обсл уживани я (выпол нения) ка кого-то п о т о к а з а я в о к (или «требовани й»), поступающих на СМО в какие-то, вообще говоря, случа йные моменты времен и . Об­ служивание поступившей заявки продолжается некоторое (вообще го­ вор я , случа йное) время , посл е чего канал освобождается и готов к при­ нятию следующей за я вки . Случа йный ха рактер потока заявок пр и во­ дит к тому, что в ка кие-то промежутки времени на входе СМО ска пл и­ ва ется излишне большое числ о заявок (они либо образуют очередь, либо покидают СМО необслуженными ) ; в другие же периоды СМО будет работать с недогруз кой ил и вообще проста ивать . Каждая система массового обслуживан и я , в зависимости от числа каналов и их производител ьности , а также от хара ктера потока заявок, обл адает ка кой -то п р о n у с к н о й с п о с о б н о с т ь 10, позво­ ляющей ей более или менее успешно справл яться с потоком заявок. Предмет теории массового обсл ужива ния установление зависимо­ сти между характером потока заявок, числом каналов, их nроuзводи­ тельностью, правилами работы СМ О и успешностью (эффективностью) обслуживания. В качестве ха ра ктеристи к эффективности обсл ужива ния, в зави­ симости от уСЛОВий задачи и целей исследован и я , могут примен яться разл ичные вели чины и функции, например: - среднее кол ичество заявок, которое может обсл ужить СМО в еди ницу времени; - средни й п роцент заявок, получающих отказ и покидающих СМО необсл уженныи; ; -

238

- JЗероятнос1'Ь того, что поступившая за явка немедленно буде1 принята к обсл уживанию; - средн ее время ожидани я в очереди ; - за кон распределен ия времени ожида н и я ; - среднее количество заявок, находящи хся в очереди ; - закон распределения числа заявок в очереди ; - средни й доход, приноси мый СМО в единицу времени и т. д. Сл у ч а йный ха рактер потока з а явок, а в общем слу чае и дл итель­ nости обслуживания приводит к тому, ЧТО В системе массового обсл ужи­ вания будет происходить ка кой-то с л у ч а й н ы й п р о Ц е с с. Чтобы дать рекомендации по рационал ьной орган изаци и этого процес­ са и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить сл у­ ча йный процесс , протекающий в системе, описать его математически . Этим и зани м ается теория массового обслуживани я . Заметим, что за посл едние годы область применения математи­ ческих методов теории массового обсл уживания непрерывно расши­ ряется и все бол ьше выходит за пределы задач, связанных с «обсл ужи­ вающими орга низаци ями» в буквал ьном смысле слова . Ка к своеоб раз­ ные системы массового обслуживания могут рассматр иваться: элект­ ронные цифровые вычислител ьные ма шины; системы сбора и обработки инфо рмации ; а втоматизированные производствен ные цехи , поточные лини и ; транспортные системы ; системы противовоздушной обороны и т. п . Близкими к задачам теории массового обсл уживания я вляются многие задачи, возникающие при анал изе надежности технических устро йств . Математический анализ работы СМО очень облегчается, есл и сл у­ чайный процесс, протекающий в системе, является мар ковским. Тогда уда ется сравнител ьно просто о писать работу СМО с помощью а п па ра­ та обыкновенных дифференциал ьных (в предельном случае - л иней­ ных алгебраических) уравнений и выразить в явном виде основные хара ктеристи ки эффективности обслуживани я через параметры СМО и потока заявок. Мы знаем, что дл я того, чтобы процесс, протекающий в системе, был марковским, нужно, чтобы все потоки событий, переводящи е си­ стему из состояния в состояние, были пуассоновскими (потоками без последействия ) . Дл я СМО потоки соб ы ти й - это потоки за явок, по­ токи «обслуживаний» за явок и т. д. Есл и эти потоки не являются пуас­ соновскими, математическое описа ние процессов , происходящих в СМО, становитс я несравненно более сложным и требует более громозд­ кого аппа рата , доведение которого до я вных, аналитических формул удается тол ько в редки х, простейших сл уча я х . Однако, все же а п парат «ма рковской» теории массового обсл ужива ния может пригодиться и в том сл у чае, когда процесс, протекающий в СМО, отл и чен от марков­ ского - с его помощью хара ктеристи ки эффективности СМО могут быть оценены приближен но. Следует за метить, что чем сложнее СМО, чем бол ьше в ней ка налов обсл у живания, тем точнее оказываются прибли­ женные формулы, пол ученные с помощью ма рковской теории . Следует также з аметить, что в ряде слу чаев дл я принятия обоснованных ре239

шени й по управлению работой СМО вовсе и не требуется точного зна­ ния всех ее ха ра ктеристи к - зачастую достаточ но и пр ибл иженного, сриенти ровочно го. В насто я щ ей главе будут изложены эл ементы теор и и массового обсл у живани я , главным образом в той простейшей форме, которую они приобретают в рамка х ма р ковской теории . дл я бол ее подробного оз­ н а комлени я с теорией массового обслужива ния в ее современной, раз­ в ито� форме, читатель может обратиться к специальным монографиям, н а пример, [ 1 4] , [ 1 2 ] , [20] . 2.

КЛ А С С И Ф И КА Ц И Я С И СТ Е М МАС С О В О Г О

О Б СЛ УЖ И ВА Н И Я

И И Х О С Н О В Н Ы Е ХА РА КТ Е Р И СТ И К И

Системы массового обсл ужива ния вообще могут быть дву х ти пов. 1 . Си стемы с отказами. В та ких системах за я в ка , поступи вшая в момент, когда все ка налы зан яты, пол учает «отказ», по кидает СМО и в дал ьнейшем процессе обсл уживания не участвует. 2. Си стемы с ож и дан и ем (с очередью) . В та ких системах заявка, поступ и вшая в момент, когда все каналы за няты, становится в очередь и ожидает, пока не освободится оди н из каналов . Ка к тол ько ос!юбо­ дится канал, прин имается к обслуживанию одн а из заявок, стоящих в очереди . Обсл ужи ва н ие в системе с ожиданием может быть «упорядоченным» (за явки обслуживаются в порядке посту пления) и «неупорядоченным» (заявки обслуживаются в случай ном пор ядке) . Кроме того, в н екото­ рых СМО применяется та к называемое «обслуживание с п р иоритетом», когда некоторые зая вки обслуживаются в первую очередь, предпочти­ тел ьно перед другими. Системы с очередью дел ятся на системы с неограниченным ожида­ н ием и СИстемы с ограниченным ожидан ием . В система х с неограниченным ожидани ем каждая за я вка , посту­ пи вша я в момент, когда нет свободных каналов, ста новится в очередь и «тер пеливо» ждет освобождени я канал а , который примет ее к обслу­ живанию. Любая за я в ка , посту пивша я в СМО, рано или поздно будет обсл ужена . В система х с огра ниченным ожи дан ием н а пребывание заявки в оче­ реди накл адываются те или другие огра ничени я . Эти огра ничен и я мо­ гут касатьс я длины очереди (числа з а я вок, одновременно на ходящи х­ ся в очереди) , времени пребыва ния заявки в очереди (после ка кого­ то срока пребыва ни я в очереди за я в ка покидает очередь и у ходит), общего времен и п ребывания за явки в СМО и т. д. В зависимости от типа СМО, при оцен ке ее эффективности могут п р и мен яться те или другие величины (показател и эффективности ) . Н а п ример, дЛ Я СМО с отказами одной и? важнейших ха ра ктеристи к ее проду ктивности является 'l'a K называема я а б с о л ю т н а я п р о­ п у с к н а я с п о с о б н о с т ь - среднее число за я вок , которое l\�ОЖ�Т обслужить CI{CTeMa за еди н и цу времени. 240

На р яду с а бсолютной, часто рассматривается о т н о с и т е л ь­ н а я п р о п у с к н а я с п о с о б н о с т ь СМО - средн яя дол я поступивш и х заявок, обс.lуживаема я системой (отношение среднего числа за я вок, обслуж и ва емых системой в еди ницу времени, к средне­ му числ у посту пающих за это время заявок) . Помимо абсолютной и относител ьной пропускной спосоБJЮС'J ей , при а н а л и зе СМО с отказами нас могут, в зависимости от задачп ис­ следо в а ни я , интересовать и другие хара ктеристи ки , например: - среднее числ о зан ятых каналов, - среднее относител ьное время п ростоя системы в целом и отдел ьного канала и т. д. П ерейдем к рассмотрению характер истик СМО с ожиданием. Очевидно, дЛЯ СМО с неогран иченным ожиданием ка к абсол ют· на я , так и относител ьн а я пропускна я способность тер яют С l\IЫСЛ , та к как кажда я поступивша я заявка рано или поздно будет 05слу же­ на . Зато для та кой СМО весьма важными ха ра ктеристиками явл я ются : среднее числ о заявок в очереди, - среднее число заявок в системе (в очереди и под обслужи ванием) , - среднее время ожидания за явки в очереди , - с р еднее время пребыван и я заявки в системе (в очереди и под обсл уживанием), и другие характеристи ки ожидания . ДЛ Я СМО с ограниченным ожиданием Иli1'ерес представл яют обе группы ха ра ктеристи к: ка к абсол ютн а я и относительн ая пропускная способности , та к и хара ктеристики ожида ни я . Для анал иза процесса , протекающего в СМО, существенно знать ос· новные па раметры системы: число каналов п, интенсивность потока заявок Л, производител ьность каждого Ka HaJIa (среднее число зая· вок /L , обсл уживаемое каналом в единицу времени), условия обра з о. ва ния очереди (ограничени я , есл и они есть) . В зависимости от этих параметров мы II будем в да льнейшем вы­ ражать ха ра ктеристики эффективности раб01 Ы СМО. Зара нее условимся (чтобы не оговар ивать это вся кий р а з отдел ь­ но), что мы будем счи тат ь все потоки событии , переводящи е СМО из состояния в состояние, пуассоновскими . В тех редки х сл уча я х, когда мы будем ра ссматри вать не-ма рковские системы массового обсл ужи­ в а н и я , мы будем кажды й раз огова ривать это специал ьно. Н а помн им, что в сл учае, когда пуассоновский поток стациона рен ( простейший поток) , интервал времен и Т между событиями в этом по­ токе есть случайная величина , распредел енная по показател ьному за­ кону: (2. 1 ) f (t) Ле- 'J...I (t > О). =

где л - интенсивность пото ка событий. В сл учае, когда и з ка кого -то состо ян и я S I систему выводят сра з у нескол ько простейших потоков, величина Т - в ремя пребывания си­ стемы (подр яд) в да нном состоянии есть случа йн ая величина, распре­ дел енная по закону (2 . 1 ) , где л - суммарна я интенсивность всех по· токов событий, выводящих систему из данного состояния . 241

3.

О Д Н О КА НАJt Ь Н А Я С М О С ОТ КАЗА М "

Рассмотр им простейшую и з всех зада ч теор ии массового обслу­ жива н ия - задачу о функцион ирова нии одноканал ьной СМО с отка ­ зами. Пусть. система массового обслужива ния состоит тол ько из одного канала (n 1) и на нее поступа ет пуассоновский поток заявок с ин­ тенсивностью Л, зависящей , в общем случае, от времени:

а в

первое подставим вместо Р1 его выра жение (1 cl Ро dt

=

- Ро):

- "Ро + �' ( 1 - Ро), , �

ил и (3 . 5)

=

л

=

Л (t).

(3 . 1 )

З а явка , заставша я канал занятым, пол учает отказ и покида ет си­ стему . Обслужив а ние заявки продолжается в течение сл уча йного времени т об' распределенн ого по показател ьному за кону с параметром f-t :

( t > О).

(3. 2 )

ИЗ этого следует, что «поток об­ служиван ий» - простейш ий, с ин­ тенсивн остыо f-t. Чтобы предста в ить Рис. 5. / себе реал ьно этот поток, вообра з им один непрерыв но занятый канал он будет BыдaBa T � обсл уженны е заявки потоком с интенси вностыо J-t . Т ребуется наити : 1 ) абсолютную пропу скную способность СМО (А) ; 2 ) относител ьную пр опускн ую способность СМО (q) . Рассмотр им единственн ый канал обсл уживан ия как физиче скую систем у S, котора я может на ходиться в одном из двух состоя ний: S o - свободен , SI - занят. Граф состоя ний системы показа н на рис. 5. 1 . Из Состоя ния So в SI систем у, очевидно, переводит ПОТОк за явок с интенс ивностью л; из SI И So - «п оток обслуж иваний» с интенс ив­ ность ю f-t . Обозна чим вероятности СОстоя ни й РоЩ и Рlи) . Очевид но дл я лю' � �� '

Ро ( t ) + Рl (t)

=

1.

(3 .3)

�ставим дИ,9хРе ренциал ьные уравнен ия Колмогор ова для вероят­ Ностеи состоя нии соглас но правил у, данном у в § 3 гл . 4. Имеем:

Это у равнение ест ествен но решать при нача л ьных условиях: 1 , P l (O) = О ро (О) =

(в начальный момент канал свободен) . Л инейное д и фф ер енциальное уравн ение (3 . 5) с одной неизвестной ф ун кци е й Ро легко может быть решено не тол ько для простейшего по­ const), но и для РО, Р, тока з аявок (л f случа я, к огда интенсивн ость этого меняется потока со временем Л(t» . Не оста навливаясь на (л последнем случае, пр иведем реше­ ние уравнения ( 3 . 5) только для случа я л = const: =

=

Ро

=

J-t_ + _ _ Л _ е - Р . + I1) '}.. + � '}.. + �

1.

(3 . 6)

t

Зависимость вел и чины Ро от Рис. 5.2 времен и имеет вид, изображен ный О) канал заведомо свободен на рис. 5.2. В начальный момент ( при t (РО( О) 1 ) . С увеличением i вероятность Ро умен ьшается и в пределе ( пр и t -+ 00 ) равна '}.. fl В еличина Pl (t), дополняющая РоЩ до еди­ =

=

�

•

ницы, изменяется ка к показано на том же рис. 5.2. Нетр удно убедитьс я, что для одноканал ьной СМО с отказами ве­ р оятНQCть Ро есть не что иное, как относительная nроnускная способ­ ность q. действительно, Ро есть вер оятность того, что в момент t ка нал сво ­ боден, иначе вероятность того, что за явка , пр ишедшая в момент t, будет обсл ужена. А значит, для данного момента вр емени t среднее от­ ношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также ра в­ Ро· но Ро : q В пределе, при t -+ 00, когда процесс обслужива н ия уже уста но­ вится , предельное значение относител ьной пропуск ной способности будет равно: =

(3 . 7)

( 3 .4 ) Из дву х уравнений (3 . 4) одно является лишним , так ка к Ро и P l свя ­ заны сООтношен ием (3 . 3) . Учитыва я это, отбросим второе уравнение, 242

З ная относительну ю пропускную способность q, легко на йти аб­ солютную А . ОНИ связаны очевидным соотношением: А

=

щ.

(3.8)

243

В пределе, пр и t 00 , а бсолю тна я п ропускн ая способность тоже уста нови тся и будет равн з

_

А=

( 3 .9)

Л�I-'- '

З на я относител ьную про пускну ю способност ь си стемы q (в ероят­ Т Ь того, что приш едша я в моме нт t за явка будет обсл ужен а ) ' легко ти в е р о я т н о с т ь о т к а з а :

:�

РОТК

=

l -q.

(3 . 10)

В еро я н ость отказа Р отк есть не что иное, как с р ед н я я До н е о сл у ж е н н ы х з а я в о к с р ед и п о д а н н ы х. пр едел е, при t 00 ,

ЛВ Я

�

_

РОТЕ

=

l

I-t _

_ _

л + 11

= _Л_ . л. + 11

(3. 1 1 )

а я СМО с отка зами представл я ет с обой одну теле· фонну���е:� юО. д��:::: льнвызов , пр и ш едший в мом ент когд н получает отк а з . И нт енсивнос т ь поток � вызов ов Л 0 , 8 (выз�в �: :ям�����): раз г ов ор а tоб = 1 , 5 мин· Все п отоки с об ыти й - п р о-· ;fee:�:=. ПьО:р�Лд:лИиТ:: ЬпНрОеСдТеЬльные ( при ( .-. 00) 1 ) относи тельно й пропу скной способ ности q 'значен ия' 2) абсол ютной пропу скной спосо бности А ' ' 3) вероят ности отказа Р отк. сg��: ИJ� ���:и �:��)�ю пр.о пускн ую способ ность СМ О с номи нальн ой, ка­ тор ая ры следовал и бы оди н за ;��;мР ��� О ��� е�Ль�:аС.Я в точн ости 1 , 5 м ин, и разгово­ Реш е ние. О пр едел яем пара метр 1-'- потока обслу ж иваний:

М Н О ГО КА Н А Л Ь Н А Я С М О С ОТК А З А М И

4.

Рассмотр им n-канальн у ю СМО с отказам и . Будем нумеровать со­ стояния системы по числ у занятых каналов ( или , что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой) . Состояния будут: So все каналы свободны, SI зан я т ровно один канал , остал ьные свободны, . . Sh - заняты ровно k каналов, остал ьные свободны, . S n - за няты все n каналов . Граф состояний СМО представлен на рис. 5.3. Разметим граф, т . е . проставим у стрелок и нтенсивнОСти соответствующих потоков событи й . По стрел кам с л е в а н а п р а в о систему пер еводит оди н и тот же .

.

[

-

.

.

5,

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1-'-=

1 ;'1:06 = 1 / 1 . 5 = 0 . 667.

По ф ормул е (3.6) получ аем относи тельну ю пропу скную способ ность СМ : О 0 , 66 7 q= 0, 8 + 0 , 667

0

::= , 455 .

Т м а около :t% п��.fу ���,щ:х ���:::�: в ш емся р еж и м е с и сте ма б удет об слу ж ива:гь П о форму л е ( 3 . 9) н ах од им абсол ютную пропуск ную с п особносты А = Лq = О , 8 . 0 , 4 55 ::= 0 , 3 64 ,

т.

е. лви ни я спосо б на ос уществит ь в среднем 0,36 р аз г овор а в м и нут у. 4 ероятност ь отказ а: Рот к = l - q = 0 , 545 ,

значит около 55% поступ ивших вызовов будет полу чать отказ Н о м ина л ьна я п р опус к ная способность канала: А ном

=

1

-::::;-

, об

<=

0, 6 67

(разгово ра ми нуту), в

что почти вдвое больше , еская пропус кная способ у ае а учетом СJI У'ЩJlIIО ГО характерфактич а потока заявок и случай ности �OpCeTЬ, мя меlIИПОЛо бСчЛ УЖIf-

с

чем

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

� t:dL._s_z..� ....l : . �I s, 1;:1; : �:I I S,


Рис. 5.8

=

•

.

.

поток поток за яВок с интенс ивноСТЬЮ л . Если система на ходится в со· стоянии Sh (занято k каналов) и пришла нова я заявка , система пере­ х од ит (пер ескакивает) в состо яние S k+ l . Определим интенсив НОСТИ потоков событий, переводящи х систе· му по стрелкам с п р а в а н а л е в о. П усть система на ходится в состоя нии S 1 (за н ят один канал) . Тог да, как тол ько законч ится обслуживание заявки, зан имающей этот ка на л , система перейдет в So; знач ит, поток событий, пе р еводящий систему по стрел ке S 1 5o, имеет интенсивностЬ f.t. Очевидно, если обсл уживанием занято два канала, а не один, поток обслуживани й, переводящИ Й систему п о ст р ел ке S 2 - 51' будет вдвое интенсивнее (2/А ) ; если зан ято k каналов - в k раз интенсивнее (k f.t) . Проставим соответствующие интенсивностИ у стрелок, ведущих справа налево . Из р ис. 5 . 3 видно, что проиесс, протекающи й в СМО, предста вляет собой частный случай п р о u е с с а r и б е л и и р а з м н о ж е . н и я, рассмотренного нами в § 8 гл . 4 . Пол ьзу ясь общими правил ам и, можно составить у равнения Колм огорова дл я вероятностей состояний: _

�

dpo

=

dt dPl dt

=

. . .

•

•

•

- ЛРо + f.t Рl ' - (л + f.t) Рl + 1.,1 Ро + 2 f.tPl' . . . . . . . . . . . . •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

(4 . 1 ) •

•

•

•

t

•

•

U II J l Н Я .

24 4

24 5

Уравнения (4 . 1 ) называ ются у р а в н е н и я м н Э р л а н г а. Естественными начал ьными УСЛОВ И Я МИ дЛя их решения являются: Ре (О) = 1 ;

Рl (О ) = Р2 (О) = . , . = Р n (О) = О

(в начал ьный момент система свободна ) . Интегри рование системы уравнений (4 . 1 ) в а налитическом виде довол ьно сложно; на практике такие системы дифференци ал ьных уравнений обычно решаются численно, на АВМ или ЭЦВМ. Такое решение да ет нам все вероятности состояний Ре (t ) ,

Р] (t),

...

, P/i и),

...

, Рn (t)

ка к функции времен и . Естественно, нас бол ьше всего будут интересовать п р е Д е л Ь­ н ы е в е р о я т н о с т и с о с т о я н и й Ре, PI, . . . , Р,{! . . . , Р n , ха ра к­ теризующие установившийс я режим работы СМО (при t -+ (0 ) . Для на хождения предел ьных вероятностей воспол ьзуемся уже готовы м ре­ шением зада чи, полученным для схемы гибели и размножения в § 8 гл . 4 . Согласно этому р ешению, Р" Ро

=

=

2

лk

р. ' f.1 . . 1

k

р

Ро = 1

(Л/р )k k'-

-

Ро ,

(k = 1 , 2,

Л/р. (Л/ f.1 ) 2 (Л/ f.1) n +1 1- + 2 ' - + . . . n'-

-

...

, n) ;

I

(4 .2)

РО

=

(k = I , 2 .

...

, n );

р2.---р --. рпn 1 + + 2I + ' ' ' + � 11

-

-

=

[

1 +

f + �; + . . . + �� г I

1.-

р

]

( 4 . 3)

Формулы (4.3) называ ются ф о р м у JJ а м и Э р л а н г а . Они выражают пр едельные вероятности всех состояний системы в зависи­ мости от параметров Л, f.t и n (л интенсивность потока '� аявок, f.t интенсивность обслуживан ия, n число каналов СМО) . Зная все вероятности состояни й

=

рn Рn = -;;J РО·

(4 4 ) .

к обслу жива нию (OH � Ве оятность того, что заяв ка будет прин ята няет Р ОТН дО еди допол q) ь бност спосо ая же �тн сител ьная проп ускн ницы:

�

(4 .5)

q = l - pn·

Абсолютн ая проп ускн ая способност ь: А = лq л ( 1 - Рn) '

(4 . 6)

=

отказ ами явля ется средОдн ой из важн ых ха рактеристи к СМО с совпа дает со средн им оно е случа нее числ о заняты х K a H aJIOB (в данном ачим это средн ее Обозн . ) еме сист в ХСЯ числ ом заявок, на ходя щи

чис ло k. венно через вероятности Вели чин у 7i мож но вычи слить непос редст уле : Ро' Р], . . . , Рn по фо р м

(4 .7)

етной случа йной вел ичины , прика к мате мати ческ ое ожидание диск Р тн остями Ро, Pl ' . . . , Р n ' Одна ко вероя с n 1 ЯО Н а я е чи � е В Ь; Р � З Н й у т б солю тную проп ускн ую сп в ит ел ьнО, А есть не что ин � к ых­ емиваем з а еди обслуж заявокв, средн число у ж ивает днееобсл ксс еал оди за чится де­ полу лов кана тЫХ заня О числ еднее � ср к, ; заяво ени f.tни ицу време единврем в н ицу лени ем А .на ft : л ( J - Рn) А k u

:��;�� :; к:: :н��:�rд� ��

��� �;�: �

:::::Т:= � �;��

�: �: fн

_

= = f.1

�

-

илИ ,

пере ходя

к

обоз наче нию л/ f.t

=р

•

.

(4 .8)

k = р О - Рn) '

0,8, (л. предыд щег о пар аграфа по вт о ряю тс я у сл ов и я пр име ра СМО ( n у 1 ) ра р т рива а ехся т т е ссм f.1 = 0 ,667) , однако в м е сто о д но к а н �ль ��� ч е нО до т р ех Найти в е р оят ное· ли ве В С Л Л Ч И О И т ка н ал ьн а я (� 3), у юС и от н��� тель н уа � впр о п ус к ну ю с п особност и , в ер оят' ти состоя ни и , абсолютн чи Д ее сл о за н ятЫ Х к а н л о . аза и сре н ность Ротк е шеиие. Пр и в е де нн а я и н т е нс и в Н ОСТЬ поток а П р имер.

=

U

=

=

е

з а я вОК:

-

-

ОТ Н

'

и будем называть вел ичину р «приведенной интенсивностью» потока заявок. Физический смысл ее та ков : вел ичина р представл яет собой среднее число заявок , п р и ходящи х в СМО за ср еднее время обсл ужи­ вания одной заявки . С учетом этого обозначения. ФОРМУЛЫ (4 .2) примут вид:

ph = Тr PO'

•

k = O . po + 1 ' Рl + . . . + n Рn

В эти х формула х интенсивность потока заявок л и интенсивность потока обслуживани й (ДЛ Я одного канала) f.t не фигу рируют по отдел ь­ ности, а в ходят тол ько своим отношением Л/f.t . Обозна чим это отноше­ ние

р"

тел ьную можно нанти ха р актер истик и эффек тивности СМО: относи ь А �обност спс ную к пропус тную пропускну ю способ ность q, абсолю и вероятность отказа Р ОП" дит в момент, Действи тел ьно , за явка получ ает отказ , есл и прихо вна а р этого сть оятно Вер няты. за когда все n канал ов

П о форм ула м Э р л а н га

р = л. /J1 = о , 8/0 , 667 = 1 . 2 . (4 3)

1 P1 = L 1

получ аем :

ро = I , 2 ро ,

247

Р2 Рз

p�

= 21 р3

=

Ро Рl

=

S" ро = о , 72 Ро ,

=

З! 1

+

1 , 2. 0,312

1 ,2

=

Рз :::::: 0 , 288. 0 , 3 1 2

0 , 090 .

Р2

=

=

.

л. q = О , 8 . 0 , 9 1 0 = О , 728.

k= р ( l - рз) = 1 , 2 . 0 , 9 1

=

1 , 09 ,

Рl =:= (Л/ f.t ) РО, Р2 (I, / f.t ) 2 Ро' =

Р" .

(Л/ f.t) " Р о'

=

.

.

Рm +

Рассмо т р и м сначал а просте йшую из всех о з можн ы х СМО с ожи­ дан и ем - однока нал ьную систему (n = t ) , на к оторую поступ ает поток sаявок с интенс и в ност ь ю л ; интенс ивност ь обслуж ивания /1 (т. е. в ср еднем непрер ывно заняты й канал будет ыд а ать /1 обсл ужен­ н ы х з а я во к в ед ин ицу ( времен и) . З а я в к а , посту пивша я в момент , когда канал занят , станов ится в очеред ь и ож идает обслуж и а н и я . ·

.

1 =

.

.

.

(5. 1 )

.

(Л/ f.t) m + I Ро' 1

в

в

г,------л

.

роятностей состоян и й :

О Д Н О КА Н АЛ Ь Н АЯ С М О С О Ж И Д А Н И Е М

О"ереа"

.

ов

п р и у ста нов ив шемся р еж и м е р а б оты СМО в ср еднем будет з а н я т оди н с не­ бол ь ш и м к а н а л из трех - ост а л ь ные дв а будут п р оста и в ат ь . Это й це ной добы­ в а ет с я ср а в н ител ь н о в ы с ок и й у р овень эфф ект и в ности обсл у ж и в а н и я - около 9 1 % всех пост у п и в ш и х вызовов будет обсл у ж е н о

5.

.

•

Ср еднее ч и сл о з а н ятых к а н а л о в :

,. . е .

1 за я вок стоит в очереди, .

пер е х од и т в след у ющее состо я н ие) , сп рава же налево - поток «ос вобожден ий» занятого канала, и меющи Й интенсивность f.t ( как тол ько будет обслу жена очер едн а я з а я в к а , канал л ибо освободится , либо умен ьшится число заявок в очер еди ) . Изобр аженная на рис . 5 . 4 схема п р едставляет собои схему гибел и и ра змнож ения . Пол ьз у ясь общим р ешением, данным дл я схемы ги­ бели и размн ожения в § 8 гл . 4 , на п ишем выр ажен и я пр едел ьных ве-

0 , 72 . 0 , 3 1 2::::. 0 , 2241

От носител ь н а я и абсол ют н а я пр о п у с к н ые с п особност и р а в н ы : =

.

л

0 , 3 1 2;

Роти = рз = О , 090 . А

-

.

; � �a�a� ;а н ят , т заявок стоят в очеред и . m+ г р а ф состо я н и й СМО показан на рис. 5 . 4 . ИнтенсиВности поток событи й пер еводящи х в систему по стрел к а м сл ева направо, все р а в ны л а сп рава налево - f.t . Де й ст в ите ьно , по ст р ел кам слева направо C�CTeMY пер еводит поток за я вок (как тол ько пр идет заявка , с истем �

В Ы 'lИ сляем вер о ят н ость отказ а :

q = 1 - рз = О , 9 1 0 ;

.

s

+- 0 , 72 +' 0 , 2 88

0 , 374;

=

канал занят, k .

ро = О , 288 Ро ,

-

-

в

Вводя обозначение Л /!-t

=

р,

пе р еп иш ем

фор мул

ы

(5 . 1 )

в виде:

в

нет

Рl = РРо' Р2 р 2 Р о '

,

� -S-2--'� : :� I�: ::: �I 1 "

....

=

'щ . .

Пр едполож и м , сначал а , что кол ичество мест в очереди огра н ич е­ но числом т, т . е. есл и за явка пришл а в момент , когда в очеред и уже стоят т з а я вок , она окидает систему необс л уж енно Й . В дал ьней­ шем , устрем ив т к бескон ечности , мы получи м хара ктерист и к и одно­ канал ьной СМО без о г ра н ичен и й по дл ине очер еди . Б удем н у мер овать состоян ия СМО по ч исл у за явок, на ходящи хся в системе (как обсл ужи ва емы х , та к и ожидающи х обслу ж и в а н и я) : So - канал свободен, S l - канал за н ят , очеред и нет , 5 - канал занят, одна заявка стоит в очеред и, 2

(5.2)

Рm + 1 = рm + I Ро '

Рис. 5.4

1

п

248

За метим что в знаменат ел е последней фо р мул ы (5. 2) стоит геом ет­ рическая пр гресс и я с первым члеНом 1 и з н а м енател ем р; суммир у я эту прогрессию, н а х од и м :

�

I -p

1

PO = \I _pm + 2)/(1 _р)

=

l _ pm + 2

(5 .3) 219

Т аким об ра зом,

Вынесем в эl'ом в ыр ажени и р2 Ро за скобки:

формулы (5 . 2) окончател ьно пр имут вищ l -p

Ро = Pl

Р2

;:

I - р т -/- 2

РРо'

=

=р

Рт -/- 1

2

РО'

=

(5.4)

=

р

2

р т -/- 1 Ро'

=

В ыведем формулу для суммы, стоящей в скобка х (этой формуло й часто пол ь зов аться в дальнейшем) . Очевидно , рассматр ивае­ будем мы мая сумма предста вляет собой не что и н ое, ка к произв одную по Р суммы

2 �=p+p +

k.

Очев идно, за я в ка пол учает отка з тол ько в случае, когда канал за­ нят и все т мест в очер еди - тоже: m -/- l ( l _ p ) I рт -/- 2

(5.5)

-

�' Lp

q

=

I - Рот!<

=

1-

-

_

1 _ (m + l ) рт - р +

I

( l - р)

l - р т+ 2

(5. 6)

'

.

1 + 2p +

...

г = М [ R) .

-

= 1 . p2 po + 2 . p3 po +

. . .

. . .

+ (k - l ) . р,, +

+

.

. + р т,

. . .

+ m , рГn -/- l

=

(k - l ) . pk po + . . + m . pm -/- l рО' .

(5.7�

(5.9)

-/-

I

-

_

l _ рт ( rn + l - rnр) .

( I _p ) 2

+ (k - l ) pk - 2 + . . . + mp m -

1

=

1 _pm ( m + l _ mp)

( J _ p) 2

•

(5 1 0) •

Подстав ляя его в (5.8), получим : 2

= р Ро

l - pm ( m + l - mp)

( I _ р) 2

•

У чи ты вая в ы ражен и е для Ро из ( 5 . 4), и мее м:

-

С вер оятностью Р 2 в оч ереди стоит од н а за я в к а , с вероятностью Р з две заявки, вообще с вероятностью Р " в оче реди стоят k 1 за я вок , на· конец, с вероятностью Р -/- ! В очереди стоят т заяво к . Ср еднее ч исло т за я вок в очереди получим, умнож а я число зая вок в очереди на соот­ в етств ующу ю вероятность и складывая р езул ьтаты :

r = 1 · pz + 2 · ps +

.

Итак, вы ра жен ие дл я суммы, стоящей в. скобка х в пра в о й ч асти (5.8) , найдено:

r

q ходящи хся в очереди ; определим = на На йдем среднее число r заявок, А ожида н и е дискр етной случа йной ве· эту величину как математическое личины R числа заявок, на ходящи хся в очереди : -

l+

( m + l ) fJm + 1 + p _ pm + 1 _ ( I _p)2

l _ ( m + l ) pт + rn р m ( l _ p )2

-

А бсолютна я п р опус кна я способность :

Л

-

t l - (m + l ) р''' ) ( l - р) + ( р _ р m + l ) _ ( \ _р) 2

_ -

Н а х одим относ ительную п р опускную способность: рт +

+ pk

Прод иффе ренци р уем (5.9) п о р:

=

Poth = P m -/- l =

.•.

L=

=

p

(5 .8)

а для этого вы ражен и я мы можем воспол ьзоваться фор мулой суммы геометр ической прогресси и :

Обр а тим внимание на то, что формула (5.3) с пр аведлива только пр и р =1= 1 (пр и р 1 она да ет неоп ределенность в ида 0/0) . Но сумму геометрической прогресси и со знаменателем р = 1 на йти еще п р още чем по формуле (5.3): она р авна т + 2, и в этом сл учае Ро I /(m + 2) . За метим , что тот же р езул ьтат мы могл и бы получить бол ее сложным способом, раскрыва я неопредел енность (5.3) по пр а­ вил у Лопитал я . Определим ха р а ктеристики СМО: вероятность отка за Р ОТН ' от­ нос ител ьную пропус к н у ю способность q, абсол ютну ю п ропускную спо· собность А, с р еднюю дл ину очереди Г, среднее число заявок, связа нн ы х

с системой

Ро 1 1 + 2р + . . , + (k _ l )pk- 2 + . . . + mр т - 1 1.

г=р

и ли , око нчате льно , r

=

2 ( I - p) l l -pm (m + l - m p) ] ( l _ pm -/- 2 ) ( I _ p) 2 р2 [ 1 - рm (/11 + 1 - !пр)]

( l _ pт + 2) ( 1

__

р)

{5. l 1 )

Т а к им об разом, мы вы в ел и в ыра жение для сред него ч и сла за я во к , х обсл ужива н ия в очеред и . В ыведем тепер ь фор мул у дд я жидающи о Й средн его числа 7i за явок , связанны х с систем О (как стоящи х в оче­ Б удем р еш ать зада ч у реди , так и на ходя щи хся под обслуживан ием) . от л о чи заяво м общее с р об и ом: рассм к К, свя з а н ных раз след ующим сто ';! · с системой , как с умму двух случа йных веJlИЧИ Н : ч исл а за явок , : ием о луживан под бс ихся находящ щи х в оче р еди , и ч и сла заявок, 251

где R

ние

м.

-

числ о заявок

в

очереди , Q

-

ч исло gаявок под об сл ужим­

ка н е сТа нов ится в очередь (и н е обслуживается) время ожида н и я буд€:т:

По теореме сложения математически х ожида н и й

to",

где r - с р еднее число заявок в очереди , (j) - среднее ч исло за явок под обслуживанием . В ел и ч ин у r м ы тол ько что нашл и ; н айдем величину Ш. Так ка к канал у нас оди н , то сл учайная величина Q может принимать тол ько два значен и я : О ил и 1 . Значение О он а п р и н и мает , если канал свобо­ ден ; вероятн ость этого ра вна

Ро =

l -р

=

Рl

1

-

�

+

Р2

l

8Jf{

=

1 Ро Р -

�

=

+ РО Р

2

+

+

2

-

J!2.1! ( 1 + 2р +

�

...

I.t

...

...

средй ее

т

+ P k - + . . . + Р", -. � � k

+ РО р" ,

+ kpk - I

.••

k

-

+

I.t

о ••

, Рт, п ол у чаем : +

...

т + РО р "' -

+ mpm - l ) .

f.L

=

Преоб разуем сумму в скобк а х , пол ь з у я с ь формулой (5 . 1 0):

tf:»H

-

Отсюда находим математическое ожида ние числа за явок, н а ходящи хс я под обсл ужи в анием :

�

Подст авля я сюда в ы р ажен и я для Рl'

1 _ рт + 2

Значение 1 она принимает, если ка н ал занят; вероятность этого ра вна

2

-

Поэтому

=

Ро Р

-;

l _ рт (m +

ил и . вы р аж ая Ро через р:

tО;Н

l

=

р ( - р) � I.t 1_ m+2 p

1-

О -р)'

m р)

I - pm ( m + l - mp) _ р [ 1 - рm (m + l - m р) ] ( l _р) 2 � O _ pm + 2 ) o _ p) '

(5 . 1 3)

С р а вн и ва я это в ы р ажени е с форму лой (5 . 1 1) , з амечаем , ч то (

Таким

обра зом, с р еднее ч исло з а явок , свя за н н ы х с СМО, будет _

k

r+ _

=

р

_ m+2 р

-'---'--�

l _ pm + 2 '

(5. 1 2 )

где величина r определ яется по формуле ( 5 . 1 1 ) . Выведем вы ражение еще для одной существен ной хара ктеристик и СМО с ожи�а н ием : с р еднего в р емен и ожида н и я з а я в ки в очереди . Обо­

значим его lож. Пусть за я в к а проходит в систем у в ка кой-то

времени . С вероятностью РО канал обсл ужива-н ия не будет за н ят, и ей не придется стоять в очереди (время ожида н и я равно нулю) . С вероят, н остью Pl она п р идет в систему во время обсл у ж и ва н и я к а кой-то заяв­ к и , но перед ней не будет очереди , и за явка будет ждать начала своего обсл �живания в течение времен и l //A (среднее в ремя обсл ужива ния

момент

однои � а яв к и) . С вер оятн остью Р 2 в очереди перед рассматр иваемо й за явкои будет стоять еще одна , и время ожи да н и я в с р еднем будет равно 2/ J.t , и т . д . В ообще, с вероятностью Pk пр и ш ед ш а я з а Я l3 ка заста нет в системе k за явок и будет ждать в с реднем k/ J.t един и ц времени ; здесь k может бы ть любым цел ым ч ислом до т. Что же касается k = т + 1 , т. е. сл учая , когда внов ь при ходяща я з аявка за стает ка н ал обсл ужи­ вания занятым и еще т з а я вок в очереди ( в ероятн ость этого Рт+ 1 ), то в р ем я ожида н и я в этом случае та кже р авно нулю, потому что заяв-

252

5 . 1 4)

среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, де· ленному на интенсивность потока заявок. Выведем еще фор мул у для с р еднего в ремени пр ебы в а н и я за явк и

т . е.

в систем е. Обозначим Теист сл учайную величину - в р ем я пр ебыва­ ния з а яв к и в СМО. Эта сл у ч а й ная величина с кладывается из дву х сла · га емых (тоже сл у ч а йн ы х ) :

Теист

=

T!)iН + 8 ,

где Т ж - в р емя ожидан и я за я в ки в очереди, е - с л у ч а й н а я вели­ о чина , р а в н а я времен и об служ и ва н и я Т06 , ес ли за явка обсл уживает­ с я , и н улю, если он а н е обслуживаетс я (получает отк аз) . По теореме сложен и я математически х ожидан и й :

[сиет = м [Те ист \

но, в на ш и х

да находи м :

=

М [ Т ОН.1 + м [ 8 ) ,

обоз на че н и я х , М [ Т
[СИG'II

=

То ж, а М ( 8 ) = qToo = q/J.t. Отс ю , tож + q/ J.t, и ли , с у четом ф о р му л ы (5. 4 ), =

(5 . 1 5)

П р и мер 1. А втоз а п р а в о ч н а я ст а н ци я (А ЗС) пр едст а в л я ет собой СМО с од· н и м к а н а л о м обсл у ж и в а н и я (одной кол о н ко й ) . Площадка п р и ст а нц и и до п у · скает п р е б ы в а н и е в о че р ед и на з а п р а в ку не более трех м а ш и н однов р ем е н н о (т = 3), Е сл и в о ч е р еди у ж е н а х одится ['ри м а ш и н ы, о ч ер ед на я м а ш и н а .

253

пр ибыв ш а я к ста и ци и , в очер едь не ста новиl'С Я , а проезжает м и мо. ПОТОIIi м а ш и н , пр и бы в а ющи х дл я з а п р а в к и , и меет и итенсив ность ').. = 1 ( м а ш и н а в м и · н у т у ) . П р оцесс з а п р а в к и п р одол ж а етс я в ср еднем 1 , 25 м и н . О п р едел ить: - в е р о ят ность от ка з а ; - от носител ь н у ю и а бсол ют н у ю пр о п ускну ю способ ности CMG>; - ср еднее число м а ш и н, о ж ида ю щ и х запр а в к и ; - ср еднее ч исл о м а ш и н , н а х одя щи хся н а А зе ( в кл юч а я и обсл у ж и в а е м у ю) ; - среднее время ожида н и я м а ш и н ы в очер еди ; - ср еднее врем я п р ебыв а н и я м а ш и н ы на АЗС ( в кл юч а я обсл у ж и ва ни е). Решен ие. Н а х одим п р и в еде н н у ю и нтенс и в н ость пото ка з а явок:

ft =

=

')../11

=

1 /0 , 8

=

О чедеdu.

нет

л '----__ г ----' f'"

1 , 25 .

it

(5. 4);

По фор м у л а м

Pu =

Р2

р

l j l , 25 = 0 , 8:

геометри ческой п р огресси и . Эта сумма с ход и тся тол ько, когда п р огрес­ rия б е с к о н е ч н о у б ы в а ю щ а я, т . е. п р и р < 1 . Можн о со­ вер шенно строго дока зать, что р < 1 есть условие, при котором в СМО с ожида н и ем существует п р едел ьный уста новившийся р ежим; п р и р :> 1 та кого режима не существует, и очередь при t -+ 00 р а стет до бес конеч н ости .

=

1 - 1 , 25

'------' Ji

z O , 1 2 2 , P I = I , 25 . 0 , 1 22 "", 0 , 1 52 , 1 - 3 , 05 1 , 25 . 0 , 1 22 z 0 , 1 9 1 , Рз 1 , 25 . 0 , 1 2 2 � 0 , 238,

Р4 = 1 , 25 . 0 , 1 22 "", 0 , 297.

r

1 , 252 [ 1 - 1 , 2 53 (3 + 1 - 3 , 75 ) ] ( 1 - 1 , 256) ( 1 - 1 , 25)

"'" 1 , 56 ,

Предполож им, что

0> =

1 , 25 - 1 , 255 1 - 1 , 255

�

РО

Pl

Р2

Pk

0 , 88,

k=r + ro � 2 , 44. -

-

в

очереди, по фор му л е

(5. 1 4 ) р ав но

r

/ож = _ = l , S6 ( м и н) . д.

Пр и б а в л я я к этой вел и ч и не М [ 8 ] = q/11 = 0 , 703/0, 8 иее в р емя, котор ое маш и н а пр ов оди т на А ЗС:

/СИОТ = 1 , 5 6 + 0 , 88 = 2 , 44

z

0,88, пол у ч и м cpeJl·

(ми и).

З а метим, что при этом знаменател ь в посл едн ей фо р муле (5. 2) соб о й сумму б е с к о н е ч н о г о ч и с л а ч л е н о в

представляет

254

.. .

1 - р,

=

=

( 1 - р), 2 р (l - р),

Р

=

=

(5 . 1 6)

p k ( 1 - р),

П р и отсутствии огра ничений по длине очереди каждая заявка , в систему , будет обсл ужена, поэтому q = 1 , А Лq л.. Ср еднее число заявок в очереди получим из (5. 1 1 ) пр и т -+ 00 :

пр и шедш а я

=

р2 Г = -- . I- p

Среднее число зая вок равно

в

системе по формуле

=

( 5 . 1 7)

_

до с и х пор мы рассматривал и работу однока н ал ь'н ой СМО с ожи· дан и ем п р и ограниченном числе т мест в очеред и . Тепер ь снимем это ограничение, т. е. уст р еми м т к бесконечности . При этом число возможных состояний системы станет бесконеч н ым , и граф состояни й примет вид , показанный на р ис. 5. 5. Попытаемся пол у чить вероятности состояний СМО с неогр а н ичен­ ной очередью путем п р едел ьного перехода (п ри т _ (0) из фор м ул

(5. 4).

jL

р = л /� < 1 ,

п ол у ч а е м ср еднее ч и с л о м а ш и н , св я за н ны х с АЗС1

Ср еднее в р е м я ож ида н и я ма ш и ны

Ji

S"

т. е. что предел ьный режим существует . Устремим в форму л а х (5 . 4) т к 00 и выведем формулы дл я предельных вероя тностей состояний В СМО б ез огра ничений по дл ине очер еди . П ол у ч им :

е. среднее число м а ш и н , ожида ющи х в очереди на з а п р а в к у , р а в но 1 , 56. П р и ба вл я я к этой вел и ч и не ср еднее Ч И СJIO м а ш и н , иа х одя щи х с я под 00сл у ж и в а н ием

т.

�)!. ...

Рис. 5.5

=

Ве р о ят н ость отказа Р О Н z 0, 297. Т СМО q = 1 - Р О Н = 0,703. с п особ н ость п р о п ус к н а я От носи тел ь на я Т Абсол ют н а я п р о п у с к на я способ ность СМО А = 'J..q = 0, 703 ( м а ш и н ы в м и н . ) Ср еднее ч и сло м а ш и н в о ч е р е д и н а х о д и м по фор муле (5. 1 1 )

... . ..

(5. 1 2) пр и

т -+

00 будет

(5. 1 8 ) Средн ее в ремя ожида н и я при т _ 00 :

t

1 ОЖ - 11

-

или,

в

70,.,

та кже пол учим иа

р --

1_ р '

фор м ул ы (5. 1 4) (5 . 1 9)

д р у гой фор ме:

(5.20) 25 5

С р еднее в ремя пр ебывания за я в ки в СМО р а вно с р ед нем у рем е в ­ ни ожидан и я плюс ср еднее в ремя обсл у жива ни я {ОБОJ' = 11ft:

tси = _I... . _ p _ + ...!.. = _ I ._ I _. ст

'"

1

_

Р

,..,

'"

I

_

ср еднее вр е м я ож ид а и и я в п а р ке п р и бытия о п р едел яем, р а зл и ч ные ги п отез ы о ч исле соста вов , н а х одящи х с я в с и стеме :

Р

П ример 2. Н а ж ел ез н одор о ж н у ю СОРТИ Р О В О 'lН у ю гор ку п р и бы в а ют соста ­ вы с и нтенси в н ость ю л = 2 (сост а в а в ча с) . Ср ед нее вр емя, в те ч ен и е котор ого горка обр а б атывает соста в , р а в н о 0, 4 часа . Сост а в ы , п р ибыв ш и е в моме нт, КОГ.!1а гор ка з а н я т а , ста нов ятся в о чер едь и ожидают в п а р ке п р и быти я , где и м е ютс я т р и за п а с н ы х пути , на ка ждом из котор ых может ож идать оди н состав Состав , п р и б ы в ш и й в моме нт, когда все т р и запас н ых п у т и в п а р ке пр и быти я з а няты, ста новится в очер едь н а в н е ш н и й путь. Все потоки событ и й - пр осте Й ш ие. Н а йти : - с р еднее число составов, ожида ющи х очер еди ( ка к в п а р ке п р и быти я так и в не его) ; - среднее в р е м я ожида н и я соста в а в п а р ке п р и б ы т и я и н а в н е ш н и х путя х ; - среднее в р емя н а х ожде н и я состав а на сор т и р ов о ч н о й с т а н ци и { в кл ю ч а я ожида н и е и обсл у ж и в а н н е ) ; - в е р оятность т о г о , что пр и б ы в ш и й сост а в з а й м ет место н а в не ш н и х путя х Решен ие. В н а ше м сл учае '}., = 2 , J.t = 1 / 0 4 = 2 , 5 , '}.,I ,.., = р = 2/2 , 5 = = 0,8 < 1 , и СМО в ср еднем « с п р а в л яет ся » С п осту п а ющ и м на нее потоком з а я в ок Ср еднее ч исл о сост а в о в , ожида ю щ и х очереди ( ка к в п а р ке п р ибыт и я , т а к и в не его) , н а йдем по ф ор м у л е (5 1 7 ) : ,

,

.

1

==

Г=

0 , 82

---

1

= -

,..,

1 -

0 8 .

'

Ср еднее ч и сло соста вов, о ж и да ющ и х очер еди на в не ш н и х п утя х , п одс ч и ­ т аем так: с вер о ят ностью Р ь в не п а р ка п р и быти я б удет ожидать оди н соста в , с ве­ с в е р о я тность ю P k (k > 5) - (k - 4 ) р оятност ью Р - два сост а в а и т д. , 6 сост а в а . Среднее ч исло сост а в о в , ожида ющи х в не п а р к а , будет:

r' = l p � + 2 p6 +

+

. . .

. . .

+ ( k - 4) Рп + . . . = l ( l - р ) р ' + 2 ( I - р ) р6 +

" + (k - 4 ) ( l - p) р +

.

. .

Фор м ул у дл я бес конеч ной сум м ы ходо м ( п р и т 00 ) из ф о р м ул ы (5. 1 0) :

= ( l - р) р ' [ 1 + 2р + 3р2 + в

.

.

1.

. . .

Дл я Р = 0 , 8 , пр и б ыт и я р а в но

-.

(5 .2�

г' = ( 1 - р) р5 Подставл я я с ю да

р

=

1 ( l _p)2

---

=

р5

--

1 -р

? = I , б4 .

Верояти ость того , что пр ибыв а ющи й состав з а й мет место н а в неш них п у­ т я х , о п редел яетс я еще п р о ще: о н а р а в н а вер о я т н ости того, что дл и н а о ч е р еди будет не ме н ь ше т р е х т . е ,

Р4 + РЬ + Р 6 + ' " = ( 1 - р ) р4 + ( I - р ) р5 + ( l - p) р6 + . = ( l - p) р4 ( 1 + р + р 2 +

. . .

) = р4 = 0 , 84 "" 0 ! 4 1 .

. .

=

=

"'

[ p + p� + p 3J =

1 р _ р4

-

_ _

,..,

1 -р

•

0,2

;::;:о

47 ( ми н ) .

Ч то же к а сается ср еднего в р емени ожида н и я н а внеш н и х путя х , то о н о

1 2 3 - Р + - Р5 + - Р6 + . J.t

fJ.

Т. е.

.

,..,

( l _ p) p4 J.t

1 .

= -

,..,

2 3 ( l - р) р4 + _ ( l - р) р' + - ( l - p) р6 + ,.., ,..,

1 1 + 2р + 3р 2 +

. . .

I J = ( - P ) p4 ,..,

дл я н а ш и х Ч ИСJJ е н н ы х да н н ых ,

0 , 4 . 0 , 4 1 /0 , 2 = 0 , 82 ( ч а с )

z

1_

_ _

( l _ р) 2

=

. . .

=

_L

J.t l - p '

49 ( ми н )

Ср еднее в р е м я пребыв а н и я сост а в а н а сор т и р ов о ч ной ста н ц и и

.аз ние и обсл у ж и в а н ие) будет р а в н о :

( с ч и т а я о ж и­

tсист = 0 , 82 + 0 , 78 + 0 , 4 = 2 ( ч ас ) .

М Н О ГО КА НА Л Ь Н АЯ С М О С О Ж И Д А Н И ЕМ

Рассмотрим n-канал ьную С МО с ожиданием, на которую поступает поток за явок с интенсивностью л; И НТсНСИВН 1СТЬ обсл уживания (д л я одного канала) 11; числ о мест в очереди m. Состояни я системы будем н умер овать по числ у за явок , связанны х с системо й : :с

0 , 8 , пол у ч и м :

1 = -

0 , 78 ( ч а с )

0 , 8-0, 41

равчо

t

.

.])

2 , 5 , п о л у ч аем , что ср еднее в р е м я Ож и да н и я в п а р ке

=

0, 4

6.

Отсюда

,..,

. .

[р ( l - p) + 2р 2 ( l - р) + 3рЗ ] =

r

+

скоб к а х пол у ч а ем п р е.!1ел ь н ы м пере­

.

- l р _ р 2 + 2р2 _ 2р 3 + 3 р ЗJ ,..,

=

=

= З 2.

3

2

- j l - р ( l - p ) + 2 р 2 ( 1 - P) + 3 [р З ( 1 - р н р4 ( l - p) + J.t

.

_

- Р! + - Р 2 + - [ Р З + Р 4 + Р 5 + . · j = ,.., !t ,.., 1

(5 .2 1 )

р ассматр и в ая

j 80

jI

о

- все ка нал ы свободн ы , 8 1 - з а н я т оди н кан ал , остал ьные свободн ы .

>� : � : � �� � : � :o�T:a �b��le: � � �� � :

8k -

НЯ Ы

В б

н ло ,

Н .

8 n - з а нят ы вс е n к ана ло в , 8n + 1 - з а н ят ы все n к а налов ; одна за я вка ст О ит в о череди ,

t

8 n + г - з аня ты все

n

к а н алов ,

r

за явок сто ят в оче реди ,

8n + m - заня ты все n к ана лов , т за я вок с тоят в о че ред и.. 9 Зак 5 7 �

257

Гр аф состояни й приведен на рис. 5 . б . У каждой ст рел ки простав­ лены соответствующие интенсивности потоков событий . Действител ь­ но, по ст релкам слева нап раво систему пер еводит всегда оди н и тот же поток заявок с интенсивностью л; по CTpeJIKaM справа нал ево систему пе ревод ит поток обслуживаний, интенсивность которого равна /-1, ум­ н оженно му на число зан ятых ка налов .

Таким образом, вСе вероятности состо ян ий найдены. На йдем н екоторые хара кт еристики эффекти вности обслужи па ния . Посту пившая заявка получает отказ , есл и зан яты все n к анал о в и все т мест в очеред и : РОТЕ

n m р +

= Р,, + m = --;п-, Рп· 11 n

(6.2)

Относител ьная проп ускна я способность, ка к всегда , дополняет вероятность отказа до единицы ' Рис. 5.6

Граф на рис. 5 . 6 представляет собой схему гибел и и размножен ия, дл я которой решение в общем виде уже пол учено. Напишем вы раже­ н ия дл я пр ед ел ьных веро я тностей состоян и й , сразу же обозначая Л//-1 = р : •

Рn + 1

--,пn

р

=

Ро =

l-

,, + l

1

Рn + 2

РО , Р

+ i! +

р

р =

,, + 2

2n n'

-

Рn

"

Ро' р ,,

р"

2

•

рn

=,

n.

РО '

Рn + m +1

р

n+ m

-;:;:;--, Ро . n

=

n

]

n+ m - 1

n+2

21 + . . . + -;r + --;;J +

р р � + ... + �

или, суммиру я геомет ричес кую прогресс ию со знаменателем р /n подчер кнутые члены): Ро =

Pl Р2

Рn

р

pll

1 + - + - + ... + n' 21 l'

р/ n _ ( р / n ) m +

1

]

-

р

)

,, + m

(б .3)

РО .

nm · n ,

--

Найдем среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средн им числом заявок, находящи хся в системе. Дл я СМО с очер едью с р еднее число зан ятых каналов н е совпадает со с р ед· ним ч ислом заявок, находящихс я в системе: последня я вел ичина от· личается от первой на средн ее чи сло за я вок, находящихся в очереди . Со хра ним обозначение 7i дл я ср еднего числа заявок, связа нных с си­ стемой , а среднее число занятых каналов обозначим z. Кажды й за ня· тый канал обслуживает в среднем /-1 заявок в единицу времени ; вся же СМО обслуживает в ср еднем А за явок в единицу времени . Дел я одно на дру гое, пол учим: 'А. А Z=- = �t Il

1

l - р/n

(

= Лq = л 1 -

А

или

(

)

" +m 1- р Ро . nm · n , --

р

=

11 Ро'

(б.4)

2

р

= 21 Р о

'

n

=

Рn + l

Рn + 2

258

[

р2

Абсол ютна я пр опу скна я способность СМО будет равна:

Р -;;! Ро '

(6 . 1 )

Г = l · pn + 1

р"

= � Po, =

p:

2

t- r

n ·n

Ро'

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредствен ­ н о, ка к математическое ожидание дискретной сл учайно й вел ичин ы , ум нож а я любое во з можное числ о заявок на веро ятность то го , что имен ­ но это число за я вок будет в очер еди , и с кл адыва я рез ул ь таты:

n +m

Р +m.Ро = nm . n' -

j

+ 2 ' Рn + 2 +

' "

pn+l p [ О

__

n · n'

+ m ' Рп + m ry

Введем обозначение р/n Р

Г=9*

n+

п · n'

I

--

Р

1 +2=

х

+3

=

1·

р

n+

n·

I

n 2 р +

ро + 2 · п 2 · n, n'

--

( р )2 + . 1/

-

--

ро +

( p )m-I ]

. .

+m n

.

. . ·

+

(6.5)

и пе репишем ( 6 . 5) в виде:

ро [ l + 2х + 3х2 + .

. .

+ mxm - 1 J .

(6.6) 259

З а ме ти м , ЧТО вы р аже н ие

в скобка х есть н е что и н ое , ка к уже вы­ численная н ами в п р едыдущем парагра фе сумма (5 . 1 0) , г де вместо р поставлено х. П ол ьзуясь этой формулой и подста вляя рез ул ьт а т в

(6. 6) , получим:

"Г = рn + 1 ро n · n!

1 - (m + 1 ) % + m% ( 1 - %) 2

ты х к ан ал ов

г, получим с р еднее

п ускн ую способност ь :

(6. 1 1)

(6. 7)

rи

числ о за я во к , с в я за нных с системой :

Складыва я средн ее число заявок в очереди

Среднее в р ем я пребыва н и я за явки в системе, так же, ка к и д�я однокана л ьн ой СМО, отл и ч аетс я от средн его вр емени ожидан и я на среднее в р емя обслуж и ва ни я , у множенное н а относ и те льну ю п ро·

среднее число заня·

П р и мер 1. Автоз а пр а в о ч н а я ст а нц и я (А ЗС) с дв ум я кол о н к а м и (n = 2) прецна з н а ч е н а дл я обсл у ж и в а н и я ма ш и н . Поток м а ш и н , п р и б ы в а ю щ и х на АЗ С, и меет и нтенсив ность ').. = 2 (м а ш и ны в м и н уту) ; среднее в р ем я обсл уж и в а н и я одной м а ш и ны

tQб = I / f! = 2

(6.8)

Тепер ь на йдем среднее в р емя ожида н и я з а я в к и в оч ереди : {ОЖ ' Сде­ л а ем ряд ги потез о том , в како м состоя н и и заста нет систему вновь п р и­ ш едша я заяв ка и с кол ько времени ей придется ж дать обсл у жи ва н и я Если заявка застанет не все каналы з а н ят ы м и , ей вообще н е п р и­ дется ждать (соответств у ющие члены в математи ч ес ко м ожидании от­ б р оси м ка к равные нулю) . Если за я в ка придет в момент, ко гда заня­ ТЬ! вс е n каналов а очереди нет, ей п р идетс я ждать в ср едн е м врем я, равное 1 /nf! (потому что поток освобождений n каналов имеет интен с ивность n f!) . Если з аявка з аста нет все кан ал ы за нятыми и од ну заяв ­ к у п еред собой в очереди ей п р идетс я в среднем ждать в рем я 2/nf! (по l /nf! на каждую в переди стоящу ю з а явк у ) и т . д . Есл и заявка застанет в оч ереди r заявок ей пр идется ждать в среднем время r/nf! . Есл и вновь п р и шедша я заяв ка з а ста нет в очер еди уже т за явок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслуживатьс я) . С р еднее время ожида н и я на йдем , умножа я каждое из этих з начений на соответствующую в ероятность : 1 2 т .

Пл ощадка у А ЗС может в местить о чер едь н е более т = 3 (м а ш и н ) . М а ш и н а , п р и быв ш а я в момен т , к о гда все тр и места в очереди з а н я т ы . покидает АЗ С ( по ­ л у ч ает отказ). Н а йти х а р а ктер и ст и ки СМО; -- в е р оят н ость отк а з а , -- от н ос и тел ь и у ю и абсол ют н у ю п р о п у с к н у ю с п особ ности , -- ср еднее ч и сло з а н ят ы х колонок,

,

-- среднее число м а ш и н в очер еди ,

,

__

­

,

(мин ) .

J{

с р еднее в р е м я ожи да ни я и пребыв а н и я м а ш и ны н а А зе .

р/n = 2.

Реш еи ие.

=

Имеем;

По фор м ул а м

n

=

2,

т =

3,

л.

=

2,

/1. = 1 ПОб

=

0,5,

1> = 4 ,

(6 . 1 ) н а х одим :

,

­

tож =

n"" 1

= -

- Рn +

[ I>n n !!

n

,

-

РО +

рn Ро

n · n!

-

= --

�t

r

n !!

Рn + 1 +

+

' "

, Ро + n·n

2р n + l

-

2р

n

. . .

-

n !!

+

Рn + т - I

mрn + m

n

3р2

m- 1

·n

n

1 25

Вероятность отка з а :

=

-)

mp m -

n2

1 - = 0 ' 008 .

pO = ----4----42----4-2--2 -2-4 1 + - +2+2 1 -2 1

,

От носител ь н а я п р о п у с к н а я с п особност ь :

1 ....

J

1 + - + - + . . . + ---т=т- .

q = ] - Ро"Ги = О , 488.

Так же, как и в с л уча е одноканал ьной СМО с ожида н ием, заме­ ч а ем , что это выражение отлича ется от выра ж е ния для средней дл и ны очер еди ( 6 . 5) тол ь ко множителем \ /pf! l /л , т . е. =

Абсол ют н а я п р оп у с к н а я способность: А = q л. = 0,976 ( м аш и н ы в м и н ут у ) .

Среднее ч и с л о з а н ятых к а н алов (кол о нок) :

(6. 9) Подстав ля я сюда вы р ажение для

tОЖ = 260

Рn Ро щш!

(т. е. обе к ол о н к и почти все в р е м я з а н яты ) . т,

Ср еднее ч и сл о ма ш И Н в очер еди н а ходим по � о р м уле

найдем :

�.

] _ ( m + l ) %m + m%m + ( 1 - %) 2

43

1 -4 . 23 + 3 . 24

2 · 2 · 1 25

( I - 2)�

Г = ---

_

(6. 1 0)

=

(6.7 ) :

16

- 17 = 2 18 125

'

26 \

Среднее время ожида ния в очер еди - по формуле (6.9),

tu ж =rj'л = 2 , 1 8/2 = 1 , 0 \:J

Так как кажда я gа я вка рано или поздно будет обс л ужена, то ха · рактеристики пропускной с пособности СМО равны'

(мин) .

ро

О, q 1 , А I"q = л. ти Среднее число за явок в очереди пол учим при т -+ 00 из (6. 7) : рn + I Ро , r = (6. 1 3) n . nl ( 1 _ 1')2

Среднее в рем я пребыванн я м а ш и н ы на Азе (вкл ю ч а я время обслvжив а н и я),

Теист

t�ж + qtОб = 1 , 09 + 0 , 976 = 2 , 07

=

(мин) .

Выше мы р ассмотре ли n- канальн ую СМО с ожида нием, когда в оче­ реди одновременно могут на ходиться не более т заявок. Та к же, ка к и в п редыдущем пара графе, посмотри м, что будет, если дл ина очереди не ограничена ка ки м-то числом т, а может быть сколь угодно большой. Граф состоян и й в этом случае -- бескон�ч' ный (см. рис. 5 . 7) . . Вероятности состояний получ им ИЗ формул (6. 1 ) п редельным не· реходом ( п р и т -+ 00 ) . Заметим, что сумма соответств ующей геомет-

___ �::'. � '::.�'.: :�::: � �)i � � нет A�____________�

�____________

О"ереоu

Рис. 5.7

р ической прогрессии сходится при х = р/n < 1 и расходится П р fl � 1 ; соответственно, установившийся режим будет сущесТВОВClть при х < 1 , а п р и х :> 1 очередь будет бесконечно воз растать. до' пустим, что х < I и устремим в фо рмулах (6. 1 ) величину т к беско' нечности . Получим выр ажения дл я предельных вероятностей состоя­ ний : 2 n р р р 1 рn+ I Р О I + lr + 21 + + -;,- + nl (n _ р)

х

r

=

Р

-

I

о ••

]-

о' 1 .- -р 1: Р

Р,.

Рn + '

Рn + 2

Рn + г

262

р

= -;;r

р

"+ 1 nl

Ро•

n ·n'

Ро '

n

р ,, + 2

-

=2

рn + г n' · nl

= --

=

ж

=

р " Рn

n /.t n l ( l -x)2

( 6 . 1 4)

Ср еднее число занятых каналов z найдется по- прежнему через аб­ солютную про пускную способность: г=

А /.t

л = - = р, /.t

(6. 15)

а среднее числ о за явок, св язанных с емо - ка к среднее число за явок в очереди плюс среднее ч исло з а я вок, находящи хся под обсл ужива· нием (среднее число занятыХ каналов) : (6. 1 6) Пример 2. А вто з а п р а в о ч н а я ста н ц и я с дву м я коло н к а м и (n = 2) обсл у ж и ­ в а ет поток м а ш и н с и нт е н с и в ностью 'А = 0,8 ( м а ш и н в м и н уту) . Ср еднее время обсл у ж и в а н и я одной м аш и ны -

tоб =

1

/.t

= 2 (мии) .

в д а н ном р а йоне нет др у г о й АЗС, так что очер едь ма ши н пер ед АЗС может р асти п р а кти ческ и нео г р а н иче н н о . Н а йти х а р а l(тер и сти ки СМО.

р

Имеем : n = л = 0,8, �L = IПоб = 0, 5, р = 1 , 6 , х = / n = Поскольку х < 1 , очередь не р астет без г р а н и ч но и и меет с м ысл г о в о р нть О п р едел ь ном стаци о н а р ном р еж и ме р а боты СМО. ПО фор мулам (6. 1 1 ) на ходи м вероятности состо я н и й :

2,

Решение

(6. 1 2)

=

среднее время ожидания - из (6. 1 0) :

tо

=

Ро'

= --

а

=

0, 8

4 09 - 1 Ро = 1 + 1 , 6 + 1 , 28 + ' z O, I I l , 2 ·И ,4

(

РI

=

l , 6ро

-

1 ' 6"

Р3 = -

2. 2!

z

Ро

J

0 , 1 78 ,

z

О, 1 14 ,

Среднее число з а нятых ка нал ов н а йде м , р а здел и в абсол ют н у ю пр о п у с к н у ю способ ность СМО А 'А 0 , 8 на и нтенсив ность обсл уж и в а н и я /.t = 0 , 5 : =

=

z= O , 8jO , 5 = 1 , 6 . Ро,

Вер о ятн ость ОТСУ ТС I В и я очереди У Азе будет:

РО + Рl + Р2

Z

0 , 43 1 . 28�

Ср еднее ч исл о ма ш и н в очер еди :

1 , 63 · 0 , 1 1 1

_

r

2 . 2 . 0 , 422

Среднее ч исло машин на А ЗС:

;;j

SI -- з анят од и н к а н ал,

S2 - зан яты два к а н ала,

з я ь Sn + 1 - заняты все

Ср ед нее время ожида н и я в очереди: r

и

С М О С О Г Р А Н И Ч Е Н Н Ы М В Р ЕМ Е Н ЕМ ОЖ ИДА Н И Я

до сих пор мы рассматривали СМО с ожида нием, ограничен н ым тол ь ко дл и ной очереди (числом т за явок. одновременно находящихся в очереди) . В такой СМО заявка, раз ставшая в очередь, уже не по­ кидает ее и <<Тер пеливо» дожидается обслуж иван и я . На п р актике не­ редко встречаются СМО другого типа, в которых за явка, подождав некоторое время , может уйти из очереди (так называемые «нетер пели­ вые» з а я в к и ) . ОчереiJu нет

1 .

5"

::: (k" ))Io

n)lo

5n

n)lo ' �

Sn+ f

n)lo +U n)lo ' '' �

Рl Р2

n)lo .(,.. 1N

Р

Рассмотр им СМО подобного т и п а , оставаясь в рамках мар ковской схемы . Предположим , что и м еется n-канал ьн а я СМО с ожиданием, в ко­ торой число мест в очереди не огран ичено, но в р емя пребыв а н и я за яв­ ки в очеред!! ограничено некото рым сл учайным сроком ТQ Ч со средним

264

=

очереди ,

РО '

(л./ft)2

'2-

(Л//Л)n

= ---

n'

Р n+ 2

Ро,

Ро '

(л./ft )1I л.

n ' ( n ft + v )

=

(Л/ft)1I

=

РО ' 1..2

Ро,

( n /L + V) ( n/L + 2v )

In-

1.. '

(л./ft)1I Рn + , = -n' (n ft + v) ( n ft + 2v)

I

- . _ -

t оч

Если этот поток п уассоновски й , то пр оцесс , п ротекающий в СМО, будет м а Р КОDСКИ М . На йдем дл я него вероятности состояний. Б у дем снова н у меровать состояния системы по числ у заявок, связан ныlx с си· стемой - ка к обслуж иваемых, так и СТQЯЩИХ в очереДl:l :

n

Л /ft

=1 '-

рn + I

зн а чением toq, таки м обр азо м , на к ажду ю заяв ку , стоящу ю в оч ер еди, действует как бы «поток уходов» с интенсиl3НОСТЬЮ =

в

.

Граф состояний системы показан на рис. 5 . 8 . Раз мети м этот граф, т. е . проставим у стрелок соответству ющие интенсивн ости . Снова , как и ран ьше, у всех стрелок, ведущих слев а н а п р а во , будет стоять интенсивность потока заявок 'А. дл я состо я н ий без очереди у стрелок, ведущи х из ни х справа нал ево, будет, как и ран ь­ ше, стоять суммарная и нтенr и вность потока обсл уживаний всех заня­ u тых кан алов . Чт о кас ается состоянии с очередью, то у стрелок, веду ­ ш и х и з ни х сп ра в а налево будет стоять сумма р н а я интенсивность по­ ток а обслу живан и й всех n каналов n/-t , плюс соответствующая интен­ сивност ь потока у ходов из очереди . Е сл и в очер еди стоят r заявок, то суммарн а я интенси вность потока у ходов будет равна rv . Ка к видно и з графа , перед нами о п ять схема гибели и размноже· ния ; пр имен я я общ ие выражени я дл я п р едел ьных вероятностей соСтоя­ н и й в этой схеме, н а пишем:

Рис. 5.8

v

•

д.

--'Аl.. ---' �� ' (�::: ""� --�-_-.:t-_ � �_�---Ё-�--�-- � F :::-L:Jk)lo

•

Sn + , - з а н яты все n к а н алов, r заявок стоит в очереди,

(м ин) .

Ср еднее вр емя пребыв а н и я м а ш и н ы на АЗС,

_ _

•

кан алов, одна заявка стоит

............. . .

tож = т "'" 0 , 89

7.

So -- все каналы свободны ,

� t �n � �� � ; �c� 'nn' K'a �a��B:

k = r + z z O , 7 1 + 1 , 6 = 2 , 31

-

1

!-<

�

= 0 ,71 .

Ро +

=

{I

1..2

л. + /ft + (л /ft)2 + 21

11

(nJ.1 + v) (nJ-t + 2v)

+

...

+

..

.+

.

. . ( n ft + ,v)

[

Ро.

л. (л./ft)n + (Л /ft)1I _ + nft + v n! nl 1.. '

( n ft + v) (nJ.1 + 2v) . . . (n ft + rv)

_

+

...

]}

-

I

•

20 5

На каждую из этих заявок действует «ПОТО К уходов» С интенсив ностью v . Значит, из среднего числа r заявок в очереди в средн ем бу­ деl уходить, не дождавшись обслужива н и я , vr за явок в еди ницу вре­ мени ; всего в еди ницу времени в среднем будет обсл ужено

или, вводя обоз н ачения:

А

в8 ЯВОК.

Рn

"

=

р -;;1

Рn + 1

=

(7 . 1 ) р" .

р , "

п.

р

n + 1-'Q Ро'

= -;;1 (п + В) ( n + 2�)

Pn + r

р, = -

р"

"

п

р'

Относител ьная пропускна я способность СМО будет v А - vr А = -q = -Т А - = l - ""i"

г.

(7.4)

Ср еднее число занятых каналов z по-прежнему получим, дел я аб­ солютную пропускную способность на f.L: A - vr А = -/-t- = P - �Г. г = 11 (7.5)

В

Р

о'

Отметим не к оторые особен ности рассмотренной СМО с «нетерпе­ л и выми» аа явками по сравнению с ранее рассмотренной СМО с «тер­ пеливыми» зая в ками. Если длина очер еди не ограничена заранее ника ким числом и за­ явки «терпели вы» (не у ходят из очереди) , то стационарный предел ь­ ный режим существует тол ь к о в слу чае р < n ( при р >-- n соответствую­ щая бес конечная геометрическая прогрессия расходится , что физ ичес· ки соответству ет неограниченному росту оч е реди при t � (0 ) . На про­ т ив, в СМО с «нетер пеливыми» заявками , у ходящими ра но ил и поздно из очереди , установившийся режим обслуживания при t � 00 дости­ гаетс я в с е г Д а, неза висимо от приведенной интенсивности потока заявок р . Это следует из того , что р яд в знаменателе первой фо рмулы (7. 1 ) сходится при любых положител ьных значениях р и � . Дл я СМО с «нетер пеливыми» заявками понятие «вероятность от­ ка за» не имеет смысла - кажда я заявка становится в очередь , но мо­ жет и не дождаться обслужи вания, у йдя раньше вр емени . Относительную пропускную способность q та кой СМО можно под­ считать следующим образом . Очевидно, обсл ужены будут все заявки. кроме тех , которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, ка кое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для iTOfO вычислим среднее число заявок в очереди: 1188

(7.3)

Г = - - -,

РО'

(n + �) { n + 2�) . . (n + г�)

л - vr

Это позвол яет вычислить среднее число заявок в очер еди r. не сум­ миру я бесконечного рида (7.2) . Действител ьно. из (7.5) получи м: р z

р2

Рn + 2

=

(7 .2)

В

(7 _6)

а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти ка к математическое ожидание сл учайной величины Z, принимающей зна чени я 0. 1 , 2 , - . . . n с вероятностями Р . Pl. Р 2• . . . . [ 1 - (Ро + Рl + о + . . . + Pn - I )1:

г= О · ро + I ' Pl + 2 ' Р2 + . .. + n . [ l - (рО + Рl + . . , + Pn - I )] Pl + 2Р2 + - . . n [ l - (po + Pl + . . . + Рn - &

=

(7. 7)

+

=

Мы не будем выводить формул дл я среднего времени ожида ния в очереди , так ка к для этого требуются сравнительно сложные вы­ кладки . Заметим, что, в отличие ОТ формул §§ 5. 6, где суммы большого (ил и бесконечного) числа сл аг� емых «свертываются» п р и помощи формул дл я суммы геометри ческои прогрессии , в формуле (7. 1 ) фигурирует сумма бесконечного ряда , не явл яющегося прогрессиеЙ. Однако эта сум­ ма вычисляется приближенно. п р ичем достаточно легко. так ка к члены ряда быстро убывают с увеличением их номер а . В качестве прибли­ женного зна чения для бесконечной суммы берется сумма конечного ЧИСЛ а f - 1 членов, а остаток оценивается следующим обр азом : ' р' + 1 пl �

[

р

(n + �) (n + 2�) . . . (n + '�)

< -;;J рп

[

р'

� 2·В· ... . =

E. l пl

r

+

(n + �) ( n + 2�) . . . (n + (Г + 1 ) B) + " ·

р' + 1

В + В · 2 В · . . . · (г + 1 ) В

( р / В) ' гl

(p/B I ' + 1

+ (г+ 1 ) 1 + ... .

J

+ ...

J

J

<

=

(7. 8) 26 7

Можно доказать, что бесконечная сумма в квадратных скобках м еньше, чем

�

( p )T

(7. 8 )

еМ'\, и выражение

мен ьше, чем

� ( p!�)' eP/II• rl

n!

в заключение заметим, что есл и в формул а х (7. 1) перейти к преде· лу п р и v -+ О (или, что то же, при � -+ О), то пр и р < n пол учатся формулы (6 . 1 0) предыдущего пара графа , т. е. «нетерпел ивые» заявки станут «тер пели выми». 8.

ЗА М К Н УТ Ы Е С И СТ Е М Ы МАСС О В О ГО О Б СЛ УЖИ ВА Н И Я

до сих пор мы рассм атр ивал и такие системы массового обслужи, вания, где заявки п риходил и откуда,то и з в н е и_ интенсивность па­ тока з аявок не за висела от состояния самой системы. В настоящем пара графе мы рассмотрим системы массового обслуживания другого ти па - такие, в которых и нтенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самой СМО . Такие системы массового обслужи­ вани я называ ются з а м к н у т ы м и . В качестве примера замкнутой СМО рассмотрим следующую си­ стему. Рабочий-наладчик обсл уживает n станков. Каждый станок мо­ жет в любой момент выйти из строя и потребовать обсл уживания со стороны наладчик а . Интенсивность потока неисправностей каждого ста нка равна А . Вышедши й из строя станок останавливается . Если в этот момент рабочий свободен, он берется за налад ку станка; на это он тратит среднее время

-

too =

1

-,

f!

где f.t - интенсивность потока обсл уживани й (нал адок) . Если в момент выхода стан к а из строя рабочий занят, станок ста­ новится в очередь на обслуживание и ждет, пока рабочий не освобо­ дится . Требуется на йти вероятности состоя ний данной системы и ее характер истик и : - вероятность того, что рабочий не будет занят, - вероятность наличия очереди, - среднее число станков, ожидающих очереди на ремонт и т. д. Перед нами - своеобразн а я система массового обслужива н и я , где источниками за явок являются станки, имеющиеся в ограни ч енном количестве и подающие или не подающие заявки в зависимости от своего состоян и я : при выходе станка из строя он перестает быть источником новых заявок. Следовательно , интенсивность общего потока заявок, с которым приходится иметь дело рабочему, зависит от того, скол ько имеется неисправных стан ков , т. е. сколько заявок связано с процес­ сом обслуживания (непосредственно обслуживается и ли стоит в оче­ р едн) . :<:68

Х а рактерным дл я замкнутой системы массового обсл уживания явл я ется наличие о г р а н и ч е н н о г о ч и с л а и с т о ч н и к о в з а я в о к. В сущности , люба я СМО имеет дело тол ько с ограничен н ы м чис­ ЛО м источни ков з а я вок, но в р яде случаев число этих источн и ков та к вел и к о , что можно пренебречь вл и янием состояния са мой СМО на по­ ток заяво к . Н а п р имер , поТок вызовов на АТС к р у п ного города исходит. в СУЩНоС1и , от огра ниченного числ а абонентов, но это число та к вел и ­ ко , что пра ктически можно считать интенсивност ь потока заявок не­ з ав исимой от состоян ий самой АТС (скол ько каналов занято в д а нны й момент) . В замкнутой же системе массового обслуживания источни ки за яв о к , н а р яду с ка нал ами обслужива н ия , рассматр иваются как эл е­ менты СМО. Р ассмотрим сформули рованную выше задачу о ра бочем- нал адчи ке в р а мках общей схемы ма рковских проuессов . Си стема , включающа я рабочего и n станков, имеет ряд состо я н и й , котор ые мы будем нумеровать по ч исл у неисп равных станков (ста н ков , связанных с обсл уживанием) : So - все ста н к и исправны ( рабочий свободен) , S J - оди н станок неисправен, рабочий занят его наладко й , S 2 - два станка неисправны , один налаживается , друго й ож идает очереди , все n станков неиспр авны, один налаживается, n - 1 стоят в очереди. Гр аф состоян и й приведен на р ис. 5.9. И нтенсивности потоков событи й, переводящи х систему из состояни я в состоя ние, проставлены у СТ Р е Л О К . Из состояния So в SJ систему переводит поток неиспра внос ­ те й в сех работающих станков; его интенсивность равна ПА . И з состоя­ систему переводит поток неисправностей уже не N , а n- 1 ни я 5 1 В 5 2 станко в (работают всего n - 1 ) и т. д. ЧТО касается интенсивностей потоков событи й , переводящих систему по стрелкам справа налево, то он и все одина ковы - работает все время один рабочий с интенсив­ ностью обслуживания f.t. Пользуясь, как обычно, общим решением задачи о предел ьных в е роятностя х состоя ний дл я схемы гибел и и размножен и я (§ 8 гл . 4), на пишем предел ьные вероятности состоя ний: •

5п

•

-

•

•

•

•

•

а

•

•

•

•

•

•

•

•

•

n'А Pl = - РО' J.I. Р2

=

Рп = РО

=

n (n - l ) ",2 РО' f! 2

n (n - l ) (n - 2) f!п

...

1 "'n

Ро' 1

7-:--;;:-.,-,-...,---;---:.,--;;;-,... ,..,..., ---.,-----�.. .

1 + n ( 'A /f!) + n (n - I ) ('А/J.I. ) 2 +

+ n (n - l ) . . . I . ('A//A)n ·

269

В водя , как мулы в виде:

и

раньш е , обозначения л/ft

Ро = I + np + n (n _ l) p2 + P l = n р Ро' Р2

=

n (n

-

.

.

=

р,

, + n (n - l)

. . .

l . pn

'.1

1 ) р2 Ро '

рn = n ( n - l )

. .

.

исправностей с интенсивностью л; в нашей СМО в среднем работает w станков ; порождаемый ими средн и й поток неисправност�й будет n иметь среднюю интенси вность ( n w) л ; все эти неисправности устра ­ н я ются рабочи м, следопател ьно,

перепишем эти фор­

-

-

(8. 1 )

1 Рn РО'

Ита к , вероятности состояний СМО на йдены. В силу своеобр азия замкнутой СМО, характеристи ки ее эфф ек ­ тивности б удут отл ичны от тех , которые мы применяли ранее дЛЯ СМО с неограниченным кол ичеством источни ков заявок.

sп

... �

. ..

.#

Рис. 5.9

Роль «абсол ютной пропус кной способности» в данном сл учае бу. дет играть с р е Д н е е к о л и ч е с т в о н е и с п р а в н о с т l' Й, устраняемых рабочим в единицу времени . Выч исл им эту хара ктери­ стику . Рабочий за нят наладкой станка с вероятностью Рэан

=

(8.2)

1 - Ро .

Е сли он занят, он обсл уживает ft стан ков (л иквиди р у ет ft неис­ правностей) в единицу времени; значит, абсолютная пропускная спо. собность системы А

=

( 1 - Ро) "".

(8 .3)

=

l - Рэан

Ро ·

(8.4)

ВЫЧИСЛИIIJ С Р е Д н е е ч и с л о н е и с п р а в н ы х с т а н к о в, иначе - среднее число стан ков, связанных с процессом обсл уживания . Обозначим это среднее число rю. Вообще говоря, величи н у w мож, но Вычислить непосредственно, по формуле =

=

или

-

но п роще будет найти е е через абсол ютну ю Пропускную способность А . Действител ьно, кажды й работающий станок порождает поток не. 270

( l - po) ft ,

(8.5)

I - po ['

-­

Определ им теперь среднее число ста нков г, ожидающих наладки в оч еред и . Б удем рассуждать следующи м образом : общее число стан­ ков W, связа нны х с обсл уживан ием, складывается из числа стан к ов R, стоящи х в очереди, плюс ч исло стан ков Q, непосредствен но на ходящих­ ся под обсл ужива нием: Ч исло стан ков Q , находящи хся под обсл уживанием, равно еди н и­ це , есл и рабо чий занят , и нулю , есл и 011 свободен , т. е. среднее значе­ ние Q равно веро ятности того, что р а бочи й занят:

ffi

=

1 - Ро.

Вычита я эту величину из среднего числа w станков, связа нных обслужива н и ем (неисп р а вны х), пол учим ср еднее число станков, ожи­ дающих обслужива ния в очереди : с

n-

I

-

Ро

--

р

«

- ( l - ро) = n - l - ро)

(

1 + р ,

1)

.

(8.6)

Останови мся еще на одной ха ра ктеристи ке эффекти вности СМ О: на п р о и з в о Д и т е л ь н о с т и гр у п пы ста н ков, обсл ужи ваемых рабочим. Зная среднее число неисправных ста нков w и произ водител ьность 1 исправного станка за еди н и цу времени , можно оценить среднюю по· терю L п роизводител ьности г р у п п ы стан ков в единицу времени за счет неисправн остей :

L = WI.

.

iю = I ' Pl + 2 ' Р2 + . . . + n ' Рn '

=

w =n-

r =

Относительную проп ускную способность для замкнутой СМО мы не выч исляем, так ка к каждая заявка, в конце концов, будет обслуже­ на: q 1. В ероятность того, что рабочий не будет занят: Рсво6

л

( n - iю)

откуда

П р и мер 1 . Р а б о ч и й обсл у ж и в а ет гр у п п у из т р е х ст а н ко в . К а ж д ы й ста н о к ост а н а в л и в ается в с р еднем 2 р а з а в ч а с П р о цесс н а л а д к и з а н и м а ет у р а боч е г о , в с р ед нем . 1 0 м и н у т О п р едел ить х а р а кте р и ст и ки з а м к н утой СМО: вер о ятность з а н я то ст и р або чего ; ег о а бсолютн у ю п р о п у с к н у ю с пособность А ; с р ед нее кол и­ ч еств о не и с п р а в н ы х ст а н ков ; среднюю относ ител ь н у ю п отер ю п р о и зводител ь· ности [' р у п п ы ст а н ков за счет н е и с п р а в ностей Ре шен ие. Имеем . n = 3 , л = 2 ,

. 11 = - = - = 6 , р = л./I1 = J /3 ' 'об 1 /6 1

1

?71

ПО фор мулам (8 . 1 )

_

1 . 2. 3

n

В е р о я тность за нятости р а бо ч е го :

Рm

Рзан = I - Ро = О . 654 . Абсол ютная пропус к н а я способность р а бочего (ср еднее числ о ностей , котор ое он л и к в иди р у ет в час) :

ненс п р ав,

=

Рm +

А = 0 , 654 . 6 = 3 , 94 .

ш=3Ср ед н я я

от носител ь н а я

0 , 654 1/3

--

= 1 , 04 .

Рn

пр ои зв одитель ности

потер я

г р у п пы

ста нков

З3

Рассмотрим теперь более общий пр имер замкнутой СМО : бригада и з т рабочих обслуживает n станков (т < n). Перечисл им состояния системы:

�

;

�

�

I

S o- Bce стан ки р аботают, рабочие не за н яты , Sl - 0ДИН ст а нок ост а новился . один р абочи й занят. S 2 - дв а ста нка остановил и с ь , два рабочи х заняты,

�

'

�

S .�� 'c;a��o� �ст � н��и � ис � . '�e ' або��е з �� я �� • . Sm + I - m + ] станок остановился, т из них налажива ются , один ·

.

-

11

станков ост а н овилис ь . n - m ждут оче реди . все

{l
, --1t-n-.:t-·-I--I(�-·-'J9

" "

So

Р

З/

2р

т

из

них

S2

3)l

".

. "

т

Sm

тоР

Sm+ l

••• m,IJ" т

SN

F.r�

Рис. 5 . /0

Гр аф состояний сисТемы показан на р ис . 5. 1 О (интенсивности по­ токов событий проставлены у стрелок) . Пр имен я я общее реше н и е для схемы гибели и размножения , находим предел ьные вероятности со· стоя ний : n Р1 = -1-

272

Р2 =

л

-; PO' �

n (n- l) I .

2

Ро =

л

2

Ро.

.

1

.

. . .

л

2

( �) n

.

.

..

. т · тn - m

n (n

�

..

.

Il

n (n

�+ f.L

1

I

1 ·2 . .

.

.

n (n - l )

1 .2

1

. . .

/.!

m+ 2

РО'

.

..

Ро '

( !:.-)2 ( ) (.!:.-fJ )n]_

. �

m

..

Ро.

Ро.

-:;- I )

Il

+

. . .

+

� m + n ( n - I ) . . . (n-т)

1 ) . (n - т + 1)

+

[

...

/.!

т

"

=

l + � р + n (n - l ) р2 + 11

+ n (n - l )

..�\n -

21

т + 1)

1 ·2 I .

•. .

m·m

+

.-.:....:.----.:.!...:.� .. -_.!...

тl т

Р

2

n

= Тt =

Рз = .

..

.

ви ду :

+

+ n (n - l ) . . . l . . .

ml m

n

-

т

pl1 lj - I ,

3 n (n - l ) ( n - 2) Р РО. 31 .

.

.

.

�

.

.

_

n (n

- 1)

. .

ml

-

.

.

.

(8.7) .

. (n - т) т

Р

m

=

т' т2

n-m n .

Р Ро·

ро,

рm +

n (n - I ) . . . ( n - m - I )

_ n (n - I ) . . 1 тI т

Рn -

+

•

n (n - I ) р2 Ро. 21

тl

Р + m

f.L

РРо .

n (n - I ) . . . (n - m + l )

Рт

.•.

к

(�)т+l

рm +

+ n (n - I ) . . . (n - т) рm + 1

Рm + 2

( -; )

.

.

л

lII тn · р . п риведем форму лы Об о з на ч ая . к ак все гда , Л/ f.L

Рl

�. �Г" 1'��I

I .2

+

налаживаются,

нет

.

.

[

( -fJ, )m ( - )m + 1 ( -Л )

(n - m + l ) Пl

. .

..

-

.

1 ·2 . m·m

- n (n - I )

+

ждет очереди ,

Sn

.

.

. .

Ро.

1 .2 .. . т·т /.! n (n - I ) . (n - m - l )

Ро = l + ...::..

счет неис п р ав носте й Win 0 , 347, т . е. за счет неисп р а в ностей г р у п п а ста н ков тер я ет о к о л о 3 5 % п р о и з в о дител ь ност н .

=

.

.

n (n - l ) . . . (n - m)

I =

Рm + 2 = .

Il

(11 - 2) 1 ·2 · 3 .

(n - I )

Среднее чнсл о неиспр авных ста нков находим по фо р муле (8. 5) : _

(� )8

n (n - 1 ) (n - 2)

РЗ -

I

р

о

.

р m + 2 ро •

J

278

чих:

С И В С И С Т Е М Ы М А С С О В О ГО О Б Л УЖ И А Н Я М И А С О « ВЗ А И М О П О М О Щ Ь Ю » М ЕЖД У КА Н АЛ

9.

Через эти вероятности выражается среднее число z зан ятых nабоt'

Z = O ' PO + 1 ' Pl + 2 ' P2 +

...

+ m ' (Pm + Pm + l +

' "

+ Рn)

=

= Рl + 2Р2 + . . . + (m - l ) Рm - l + m ( 1 - Ро - Рl - . . . - Рm _ I ) .

(8. В)

Ч ерез z вы раж � етс я , в с в о ю О'lередь, среднее число ста н ков, оБСл у. ж и ваемых бри гадои в един ицу времени (абсол ютная п ропускна я с по­ собность) :

А = Z f1 .

(8.9)

а та кже среднее число неи с п р а вных ста н ков: z ' /-t W=n-л- = n -

ько та к и е СМО, в кагор ых каж­ до сих пор мы рассм атри вали тол ко одн и м кана лом ; незан ятые ь тол аться да я з а я в ка может обсл ужив н ятом у в обсл ужив а нии . кана лы не могу т «помогать » за : встреча ются систе мы массо вого Вооб ще, это не всегда быва ет так может одно врем енно обсл у­ явка за же та и обсл у жива ни я , где одна , один и тот же вышедший мер . Нап ри жива ться двум я и боле е кана лами и х сраз у . Та кая «вза имо­ абоч р два ать ужив из строя стано к могу т обсл ив имет ь м есто как в откр ытых , так помо щь» между кана лами может замкну тых СМО.

рМ

ftЩ

z ' р

- - --- - - - -

-�--

(В. 1 0)

Отсюда же н а х одится и с р едн я я потеря П РОИЗводител ьности груп. пы ста н ков в еди н ицу в ремени за сче'J неиснра вностей : н ужно у множить среднее число неисп равных стан ков одного ста н ка в еди н ицу вр емени .

w

на производител ьность I

ПРИМ ( еР 2. д ва р а бо ч и х о бсл у ж ив а ют г р у п п у из шести ста нк о в Ост а н ов к и каждого р а б ота ющего ) ста н к а сл у ч а ютс я , в с р ед н е м , через к а ждые П О л ч а с а . П р о ц е сс н а л а д к и з а н и м а ет у р а б оч ег о в с р.е д н е м 1 0 м и н ут О п р е д ел и т ь х а р а к те р и стик и за м к н утой СМО : - с р еднее ч и сл о з а н я т ы х р а бо ч и х ,

а бс о л ю т н у ю п р О П у с к н у ю с п особность , - с р еднее к о л и ч ест в о н е и с п р а в н ы х ст а н к о в

-

Решение.

мул ам ( 8 . 7 )

n= 6, m = 2 , л = 2,

Име ем :

1

+ 6 ·5· 4·3· 2 1 · 2 . 23

3

1 ·2

1

6.5 . 4 .3 . 2. 1

. --;- +

I I = I /-t

t'"

6 . 5 . 4 _1_

Po = ( I + �.�+6.5 . __I

32 + J · 2 · 2 33

1 . 2 . 24

.

1

36

06 -

- 1 /3 . П о ф о р " /J.t6, р- ",

6 . 5 . 4 .3

1

+ [:2.22 . з;- +

)-1

1

=

6 , 54 9 ::::: \' , 1

53

,

Рl ::;:;; 6/ 1 · 1 /3 . 0 , 1 5 3 ::::: 0 , 306 . l Pl + 2

( l - pu -p1)

=

1 . 0 , 1 53 2 54 1 + ·0,

�

1 , 23 5 .

По ф о р м ул е (8. 9 ) н а х о д и м а бсо л ют н ую п р О п у с к н у ю с П о с о б н о сть

А П о фор муле

274

(8

=

1 , 235 . 6 = 7 , 4 1 .

1 0) нах о д и м с реднее ч и сл о 1Jеи с п р а в н ы х

W = 6 - 7 , 4 1 /2 = 2 , 295 .

между канал ами не­ П р и ра ссмотр ении СМО со вза имопомощью : ор а факт обходимо учит ыват ь два когда над ним 1 . Нас кол ь ко убыстр яется обсл уж ивание заявки , ов? канал раб отает не один , а ср а з у неско лько ескол ь­ 2. Каков а «дисци пл и н а взаИМБ ПОМОЩИ» , т . е . когда и ка к н ? заявки же той и н и е одной ко ка налов берут н а себя обсл ужива ь, ложит предпо венно Естест . с вопро й Р ассмот рим сна чала первы оди н канал , а нескол ь­ е н ет работа вки я а з нием ужива обсл что есл и над ива�и й не будет убы­ ко ( k ) ка налов , интенс ивност ь потока обслуж некото р у ю неубы ­ собой влять а k предст будет е. . т , вать с у в ел ичение м ачим эту фу нк­ Обозн k работа ющи х канал ов. ваю щу ю функц ию числ а 5. 1 1 . рис. на н показа (k) f1 ци ю f1(k) . Возмо жны й в ид фун кции одновр еменн о числа е ени увелич ое ниченн неогра что Очевидн о, увел ичени ю у льном циона п ропор работающ и х канал ов не всегда ведет к п р и некото ­ что жить, едполо р п веннее естест ; скоро сти обслуж ива ния е числа з а ­ ичени увел k k.y,p дал ьней шее ро м кри ти ч еском з начен ии ния. ужива обсл ти сивнос интен ает н ятых к анало в у ж е не повыш помощ ью взаимо о с СМО работу ать изиров роанал п дл я того, чтобы f.,t(k ) . и кци н фу ид в задать между канал ами , н ужно, прежде всего, фу н кци я когда , й случа будет я овани исслед Са мым п ростым дл я k а при k > kир оста­ kJ.{p, -< и р п k ьно ционал ропор п k f1( ) воз р астает f! (см . р и с . 5 . 1 2) . Если при этом ется посто янной и равно й f1 тax = ky,p помогать др у г др угу , не п ревос­ могут ые котор n, ов общее число канал =

отсюда среднее число з а н яты х р аб о ч и х : Z=

Рис. 5. 12

Рис. 5. 1 /

с т а н ков

ходит

k ир:

ТО можно считать интенсивность обслужи вания заявки несколь кими

ка н ал а м и П Ропорцион альной числу ка налов . Останови мся теперь на втором вопросе: ДИСципли не взаимопомощи . Самый простой сл у ч а й этой Дис циплины мы обоз начим условно «все как один». Это означает, что при поя влении одной заявки ее начинают обсл уживать все n каналов сразу и остаются зан ятыми , пока не закон­ чится обсл уживание этой заявки; затем все каналы переклю чаются на обсл уживание другой заявки (если она есть) или ждут ее поя вления , если ее нет, и т . д. Очевидно , в этом сл учае все n кан алов работаю т как оди н , СМО ста новится одноканал ьной, но с более ВЫСокой интенсив­ ностью обслужив ания. Возни кает вопрос: выгодно или невыгодно вводить такую взаимо­ помощь между канала ми? Ответ на этот вопрос зависит от того, ка­ кова интенси вность потока заявок, ка ков вид функции 1L(k) , каков тип СМО (с отказами , с очередью) , какая величина выби рается в качеств е х а р а ктеристики эффективности обсл уживан и я . П рнм ер 1 . Имеется т р е х к а н а л ь н а я СМО с отк а з ам и : и и тенсив ность ПаТО Ка 4 ( з а я в к и в м и нуту) , среднее вр ем я обсл уживан и я OДHO� заявкн

заявок А

=

ОДн н м к а налом / об = 0, 5 ( м и н ) , ф у н кци я ft(k) = k/-l. С п р а ш и в аетс я , ВЫГ Одно Л И С точ к и зрения п р о пуск ной с пособности СМО в вод ить вза и мопомощь между ка­ н а л а м и по т и п у «все к а к один»? В ы г од но ЛИ это с то чки з р е н и я уменьшен и я сред. него вр емени п р ебыва н и я з а я в к и в с и стеме? Реш ен ие. а . Б ез вза имопомо щи. n = 3 , А = 4, /-1 = 1 /0, 5 = 2 , Р = Л//1 = 2. По фор м у л а м Э р л а нга (см . § 4) имеем:

Ро =

2

1

22

l + u + 21 +

РОТН = Рз =

3 2

3/

3

= 19 :::::

23

зr

РО =

4

3

З 19

Р о=

3

I

1 + 2/3 = 5 : q

')

J = 0,6 � =5

А = Лq = 4 . 0 , 6 = 2 , 4 . Сред нее в р ем я п р ебыв а н и я з а я в ки в СМО :

tсист

=

Рl · l /:�/-I

Среднее время п р ебыв а н и я

=

2/5 · 6 = 0 , 0667 ( м и н ) .

о б с л У ж е н н о й

з а явки в СМО:

II = 0 , 1 67 (мин) . ОО ) = 1 /З r t(спет

к один» про· Таким образом , при наличи и вза имопомощи «все ка ется уве­ объясня Это илась. уменьш заметно СМО пускная способность каналы заняты личен ием вероятности отказа : за то время , пока все обсл уживанием одной заявки, могут прийти другие заявки, и, естестпребыв а н ия венно ' получ ить отка з . Что каса ется среднего в р емени лось. Е ели , заявки в СМО , то оно , как и следова ло ожидать , уменьши шению ному всемер ко ся стремим мы иям, по каким-т о соображ ен если пре ыва ни е в ем ени которое заявка проводит в емо (наприм ер, на умень­ вРемо пасно дл я з а я в к и ) , может оказаться, что, несмотря объедин ить три выгодно будет же все , и ост способн ной пропуск шение ка нала в оди н . как о� и н» Рассмот рим теперь вл ияние взаимопомощи типа «все случаи на абот емо с ожидани ем. Возьмем дл я п ростоты только ощи на огр нич ной очереди . Естеств енно, вли я н и я вз аимопом при лю ых как так будет, не случае этом в СМО ость способн ю п скн вопро лов я х обсл ужены будут все пр ишедши е з а я вки . В о никает дли среднюю . я ожидани ки исти ктер хара на влиянии взаимоп омощи я пребыва ни я в смо . ее врем средн , я и н ожида время среднее ди очере ну б ­ в с ил формул (6 . 1 3) , (6. 1 4) § 6 дл я обслужива ния ез. взаимо будет очереди в явок за исло ч помощи среднее

YMeH�

�

He�

0 , 1 581

60

� lн К � �

"'" 0 , 2 1 .

Относител ь на я п р о п у с к н а я способность СМО;

�

Абсол ютная про п у с к н а я способнос ть:

= л q ::::: 4 · 0 , 79 = 3 , 1 6 .

' = n·

Ср еднее в ремя п р ебыва н и я з а я в ки в СМО н а й дется , к а к вер оятность то г о, чт о за яв к а будет п р и н ята к обсл у ж ив а ни ю , умноже н н а я на ср еднее вр емя об­ служ и в а н и я :

рn + ' Ро n!

(I - х)

(9. 1 )

2 '

среднее время ожида ни я :

(9.2)

lС l'Iст = 0 , 79 . 0 , 5 = 0 , 395 (м ин) .

Не н ужно з а быват ь , что это сред н ее в р ем я ОТН()сится ко в С е м .з а я в кам _ ка к Обсл уженным, так и нео бсл уженным Н а с же может И llтер есовать с р еднее в р емя, которое п р обудет в Системе о б с л у ж е н н а я за я в к а . Это в р емя р ав, но:

278

а ср еднее время п ребыва ния в систем е:

- t-ОЖ + 1 / f! , -tсист где

б. Со в з а и мопомощ ью. J.t * = 3/-1 = 6,

р*=

�

у

q = l - РоТR � О , 79 .

А

= I -

л

2

-=J.L

*

3

;

(9 .3) x = �. n

(9 . 4 ) 271

;� И же пр именяетс я

стем

Л вза имопомощь т и п а «все ка к один» ' то сиудет работать к а к Однока н а л ь н ая с па р аметр ами р*

= Л//J> *

=

Л/П/J> = p/ n

и ее хар актеристи ки о п редел ятся

= Х

формула ми (5 . 1 4), (5. 1 5) § 5:

г=� · I -x tож = J-. =

(9 .6 )

�

nlJ- I - x '

-

t-сиет

( 9 .5)

tO;I,

1 -

+

n lJ-

( 9. 7 )

-= --

n lJ- ( l - x )

v П р име р 2. Имеется т р ех к а н а л ь н а я с неогр а н и че ннои о ч е р едь ю; инт е н сив н ость потока з а яв о к А. = 4 ( з а я в ки В ми н . ) , ср еднее в р ем я оБСл у ж ив а ния т = 0 , 5 (м и н ) Ф у н к ц и я IJ-(k) = klJ- (k > 3) . В blro.!lHo л и , имея в вилу: - среднюю дл и н у о ч е р ед и , - ср ед нее в ре м я Ож ида н и я обсл уж и в а ния - ср еднее в р ем я п р еб ы в а н и я з а я в к и II в водить вза и м о п омощь между ка н а л а м и типа «все к а к оди н»? Р еш ен ие. а, Б е з в з а и м о п о м о щ и .

СМО

об

ир

СМО

2, р n = 3 , А. = 4, IJ1/0,5 По фо р м у л а м (9. 1 ) - (9 . 4) им еем =

�=

=

A./f.L = 2 '

2!

х <=

24 1 + - + - + - + --2

1/

2/

24 . 1 /9

-

1

22

=

8

3/

р/п

=

2/3.

1

9;

3/ (3 � 2)

; ( 1 /3) 2 = 9 = 0 , 889 (ОЖ = Г(А. 2( 9 = 0 , 222;

г

= 3 . 3/

=

б. Со ПО

Теист = ТОЖ + 706 = 2/9 + 1 /2 = 0 , 722. взаим опомощью п* =

J,

1J-* = 31J- = 6,

/" = 4 ,

формулам (9.5) - (9 . 7)

р*= A./IJ-* = x = 2/3 .

наход и м :

-

'=

(2/3)2

1/3

=

4

-:1

= 1 , 333;

=

278

с оmказа.мll

числ у за явок , на ход ящи хся Б удем н умеро вать состоя н и я СМО по : Я Н1J з в и в состо я н и и сбсл у ж

S/< - k за явок обслуж ива ю тс я

1/ 3 + 1 /6 = 0 , 500.

Таким образом, с р едн я я дли н а оч ереди и сре нее в р емя о и ж да н и я Д в о ч е р еди в сл у ч а е вза и м оп омощи б о л ь ш е' но среднее врем я п р ебыва н ия заявки в с ист ем е м е ь ш е. Из рассмот р енн ы х примеров видно, что вза имо помо ь ? налами ти па «все ка к оди н » , к а к п равило, не с п осо б ст в у п н эффеКТИ I:lНОС И о бс л у ж и в а н и я : в рем я п р ебы ва н и я з а я в к и в СМО � шаетс я , но ",ато у х удшаются д р у г и е х а ра ктеристи ки обсл ужи ания . _

1. СМО

So - CMO свободн а , к а н ал а ми . S I - одна з а я вк а обс лу ж и в а етс я всеми n а н ал ам и , к и n всем я с т ю а в и ж лу к бс о и в я S2 - две з а

i I 2 /3 {ож = - - = - = о ' 333 \ 6 1(3 3

fеис1, = loж + tОб

н у о б сл у ж и в а н и я та к , чтобы Поэ т ому желат ельно измен ить дисuи пли п р и н и мать к об с л у ж и в а н ию вза и �.ОПОМ ОЩЬ межд у канал а м и н е м е ш а л а по ка все канал ы з а н яты . , я ем р в а з СЯ 'I Я новые з а я в ки , есл и они ПОЯ В ощью » сл еду ющи й тип мопом и вза й о н р е м о н в а р « но услов Н а зовеАI когда все каналы сво­ т, момен в вз а и м о п о м ощ и . Есл и за я в к а п р и ходит JI ужи ва н и е ; есл и , в м о­ С Б о ее за я маютс и н и р п лов а бодны , то все n ка н од н а , ча сть к а н а п о в пере­ мент обсл у ж и ван и я з а я вк и , п р и ходит еще а обсл у ж и в а ю тся эти две к по , и есл ; е и кл юча етс я на ее обсл у ж и в а н екл ючаетс я на ее обсл у ­ пер налов ка сть а ч , а одн еще ходит и р за я в к и , п а н я тыми все n кан а л о в ; з тся окажу ж и ва н ие и т . д. , д о т е х по р , пока н е отказ (в СМО с отказа ­ ет а ч у пол а к в я а з я шедша и р есл и это так, в н о в ь п ем) . и н ожида ми ) и л и с та но в и тся в оч еред ь ( в СМО с пол учает отказ или явка за ощи мопом и а П р и та кой дисuи пл и н е вз ее о бсл у жить . ности возмож нет гда ко , тогда ько тол ь д е р е оч ста новитс я в х м и н и мал ен: я и в о л ус х эти в Что к ас аетс я « п р осто я» канал ов, то он р а бот а ю т . ы л а н а к все , вка я за одна бы хотя есл и в с истем е и меется и и новой з а я в к и ч а с т ь В ы ше м ы у п ом я н у л и , что п р и п о я вл ен ч а етс я на о БСJI у ж ива ние ю кл е р е п и ся з а н я т ы х ка налов освобождает з а в и сит от вида Ф у н к uии Это часть? я ка Ка , ки в я а з ей вновь п р ибывш мости , ка к пока зано на зависи f.t(k) , Если она имеет вид л и н е й но й канал ов выдел ить часть ю у к а к , о н в а р е с в то р ис . 5 . 1 2, и kи р > П, бы в с е канал ы ь ш и явки , л на об сл у ж и в а н и е в н о в ь посту п и в w е й з а в а н и й при л ю­ и ж у обсл ь т нос ив с ен т н и был и за няты (тогда сумма р на я . Можн о до ка ­ nf.t) равна т е д бу вкам я а з по лов а кан и и ен бом р а сп р едел на р ис . 5 . l 1 , о н аза к по к а к , у х зат ь, что есл и крива я f.t(k) в ы п у кла квер б о л е е м о ж н о к а к м ка в я а з по алы н а к то нужно расп редел ять р а в н о м е р н о. и « р а в н ом е р н о й » вза и мо­ Рассм отр и м р а боту п - ка нальн ой СМО пр . и м а канал помощ и м ежду

Sn - п

всеми n к а н а л ами ,

заяво ;, обс луж и в а ю тс я всем и n каналами .

.;

� �::�� � MeH� �

� Л· л �л � $0

пр

$, _

l1.Jl

$z

'" пр ... nJl

Рис. б. l3

$k

n� •· •. •. ЛJl

Sn

279

здесь тот же, что для n!l и о г ра н и ч ен н о й я п����л е Н5 Я х�р а ктер и �о р � у § , п одст а вл я я

Мы в и дим, что граф состояний (с м. рис. 5 . 1 3) одноканал ьной СМО Р 0 и з водит ел ь но ст ь ю I-t *

очер едью , и м ею щей n С� ж м стик с и ст ем ы мы мо е

в ни х

х

=

Л/I-t *

=

=

I

BO���� ��������

л/n!l вместо

р

=

Л//1 :

хn ( 1 �x) Ротн = l _ хn + 1 I _ �n q= 1 хn + 1

't

'

;

(9. 9)

1 - хn А = Лq = л. l _ xn + 1

(9. 1 0)

к

�

�

z

=

А /[1

стоит т заяво к.

Граф состоя н и й

СМО

п р и в еден на

рис.

5. 1 4.

Рис. 5. 14

и

Реше н и е Без в з а и м опомощи Из п р им е р а 1 и м еем: q = о . 79 . 'А -

-n

(9.8)

•

Пример 3. В усл о в и я х пр имер а 1 с р а в н ить от н о с те л ь н ую и а бсол ю т н у ю п р о п ус к н у ю способност и СМО а та к же с р е д н ее чис л о з а н я т ы х а нал о в : а) п р и отсутств и и в з а им п омо щ и , в) п р и н ал и ч и и р а в номер ной вз а им о п омощи меж д у к а на л ами.

_

а з а я во к обслу жи вают ся всеми n к а н ал а м и , одна заявк , ди е сто и т в очер . ' ' в �Ч� Р �ДI1 'н� л �� и � � а /; и �� �с Я' ��Т� У��В Об�Л . � о я� ' а Sn + �..:... � � Sn + I

того же в ида , что и н а рис . 5. 1 3, но С уве· Мы о пя ть пол учи ли граф н у ж н о восп ол ьзов ать' состо я н и й . З н ачит , нам л ичен ным на т числ ом п р о из в одител ь ностью с СМО й ьн о одн о ка н а л ся фо р м у л а ми § 5 дл я т - 1 . По л у ч и м; nl-t и числ о м мест в очереди n + !.t * =

Р ОТК

х. n + m ( l - х ) . 1 ' 1 _ x. n + m +

(9. 1 1 ) (9. 1 2)

3 , 1 6. Ср еднее число за н ятых ка налов

1 , 58 .

=

б. С р а в н омер н о й в за имопом ощью.

(9. 1 3)

х. = л./[1n = 4 /2 · 3 = 2/3 . По фо р мул е

(9.9) 1 - (2/3) b

_

q-

1 - ( 2/3) 4

;:::; 0 , 887:

А = 4q

z

3 ,51;

Z= 3 , 5 1 /2 z

�

с

очередью

Р ассмотрим СМО с- о е и ма и ма л ьн ым числом за я во к в оч екс реди m . П ред п ол ож и м ��� �:жду ка н алам и и меется « ра вн ом ер н а я» С krr � (k) lI 7 r' и r Остаяния системы опять буде м н умевз а И МОПОМОlРЬ

ровать по числ у заяво к , находящихся в

СМО:

So - с и стем а свобод н а ,

�1- одн а

з аявка обсл у живает с я всеми n к а н ал а м и ' 2 - Две заявки обслу ж ив а ю тс я всеми n к а н а л ам и '

•

•

I

очереди

�a�B�� Обс�у�и�а��с'я ' �C�M� � к анал ам и

очереди

•

•

•

н ет,

Sn -'n '

нет,

•

'

'

.

.

.

•

.

.

,

р но

По фор му л а м q

н

(9 . 1 1 ) - (9 . 1 3)

57 1 _ (2 / 3)3 = = o , 88, 4 65 ) \ _ (2/3

АЛ Я

n = 3,

р/n = 2/3 1. = 4 , [1 = 2 , р = 2 , х =

А = л.q = 3 , 52 .

счи тат ь <:редн ее чис ло лю самоСТОЯТ ель но под П р едоста вл я ем чит ате дне е вре м я п ребы в а ­ сре и я еднее врем я ожи да ни п р и на­ зая воК в оче р ед и , с р а 4 и у бед ит ьс я , ч то их вар иан тов при мер ктер и ­ а ар ния в систем е дл я обо все ми х ала ОЩИ между кан поМ взаимо ой ерн ном в а р . и ии влени лич ра ко в жел ате л ьно м для нас нап по­ имо вза стики СМО меня ЮТС Я тол ь кой та иза uия з абыват ь, что орг ан Не следует, одн а ко, ма тви щес осу О СМ х . и далеко не дл я все мощи между ка н а ла м

10.

�бс�у� и � а � �с� ��M� • � .каналам и,

•

Sk - k з аявок

б. С

имее м ;

о

т

к

1 , 76.

Та ким обра зом за счет им ен ени я ра з у мно ор га н изов ан но й в 3 а · п � ус к ная сп особ н ост ь СМО нес кол ько ИМ ОПОМОЩИ между а н а л а ми повыси л ась. Соотв етстве нн о ' у:�пичилась и ср едн я я зан ятость канаов . л

2. СМО

л ь ную а бсол ютн УЮ и отно сите и ях п р име ра 1 с р ав н и т ь а л и ч И Я р а в­ н и и П р име р 4. В ус лов щ о м п о и м а я отсу ст в н я в з особ ност И дл я сл у ч а п р о п у с н ы е сп ется дв а м е ст а (т = 2). И , ес л и в о ч е р е д и име МОЩ О оП м и ; А z 3 , 1 6. а з в й о н р е н ом н ме р а 1 им еем q � 0,79 р п ИЗ . ОЩИ пом Реш ен ие. а. Б е з в з а имо ЩЬЮ омО ав мер о И в з а и моп

ГО О БС Л УЖ И ВА Н И Я с и СТ ЕМ А М д. ССО ВО С О Ш И БКА М И

и сл уча ями , п р и ход итс я встречаться с та ким Ин огда н а п рак т ике аетс я не жив у л обс О, ю в СМ т а я к об сл у ж ива н и дру гим и когда з а я в ка , п р ин я ; 1 =F Р ЬЮ Т С о я Ц т о е р в ст'Е1Ю , а с некото р о Й с nощюй достовер но 1 28

слова ми , могут иметь место о ш и б к и в обсл уживании , резул ьт а том которых явл я ется то , что н екоторые з а явки , прошедшие СМО и я кобы юбсл уженны е» , в действител ьности остаются н еобсл уженными из -за «бра ка» в работе СМО . Примерами СМО с ошибка м и могут бы т ь: с п р а вочные бюро, иногда вьща ющие неправильные сп рав ки и указа ния ; кор р екто р , могущий п ропустить ошибку или неверно ее исп ра вить; тел ефонна я ста н ц и я , иногда соедин я юща я а бонента не с тем номером; система ПВО, дЛ Я которой «обсл ужи ванием» я вл я ется обстрел цел и , ка к известно, не всегда конча ющийся ее пора жением и т. д . В разомкнутой СМО с ошибка ми появлен и е ошибки в обслужива­ нии п р а ктически не сказываетс я на потоке заявок: число источников за я во к та к вел ико, что интенсивность потока з а я вок вследствие ошибО'lереаu

нет

(n-k+ljА.

_______ А '-..___....

52

rЛ-2)� . � 5 r/)-k).� . P.J1-

• . .

� рр

r

• . .

�

� P.J1-

Рис. 5. 15

ки п р а ктически н е мен я ется . Поэтому дл я р а зомкнутых систем ма ссо­ вого обслуживания учет ошибок в обсл ужи ва н и и сводится тол ько к то ­ му, что относительная пропускн а я способность системы умен ьшается: он а умножа ется н а Р < 1 , где Р - вероятн ость безошибочного обслу­ живани я . Соответственно, умножа ется на Р и абсол ютна я пропускна я способность. Что каса ется остал ьных хара ктер исти к СМО , та к и х , на­ п р и мер , ка к врем я ожида н и я , число за я в о к в очереди и т. д . , то на н и х ошибки в обсл ужива нии не сказыв а ются . Д р у гое дело - дл я замкну­ той системы м а ссового обслуж и в а н и я , когда з а я в ка , обслужен н а я с ошибкой , внов ь становится в очередь на 0бслужива ние, и , следова­ тельно, увеличивает з а г рузку СМО. В качестве п р и м ера замкнутой СМО с ошибками р а ссмотрим одно­ го р а бочего , обсл ужива ющего n ста нков . Интен сивность потока неис­ п р а вностей одного работающего ста н ка р а вна ,}" с р еднее в р емя об­ служива н и я (н ал адки) ста нка 1 If! ; с вероятностью Р обсл у ж и ­ в а ни е за канчива ется удачно, и ста нок н а ч и н а ет снова работать; с ве­ роятностью J -- Р обсл уживание оказыва ется неуда чным , и стано к снова ста н овится в очеред ь н а обсл ужи в а ние. Требуется о п р едел ить п р едел ьные вероятности состояни й . Б удем н умеровать состо я н и я СМО по числ у неисправных ста н!юв : So - все ста н ки и справны, S1 - один ста н ок н еисправен, налаживается , очереди нет, S2 - два ста н кз н е и с п р а в н ы , оди н н а JI ажива етс я , д р у гой ждет в очер еди ,

t:б

=

Sk

k ста н ков неиспра вны, один налйживаетс я , k

- t ждут в оче· реди , Sn - все n стан ков неисп равны, один налажи вается , n - ] ждут очер еди , Граф состояний системы пока зан на рис . 5 . 1 5. Нали чие ошибок в обсл уживании сказыв а ется в том , что у стр елок, идущи х сп рава н а­ л ево, стоит не интенсивность о бсл ужив а н и я f! , а и н т енси в н ость « успеш ­ ного обсл уживани я » P f! , где Р - в еро я тность тог о , что обсл ужива ние будет выполнено успешно. Действ ител ьно, пусть, н а п р и мер, система , на ходится в состоя н и и Sh (один станок налаживается , k - 1 ждут оче­ реди ) . В ер о ятность того, что за в р емя D.t будет за кончено обсл ужива ­ ние, р а вна f! D.t ; но 91'0 обслуживание лишь с вероятностью р будет ус п ешным и переведет систему из состо я н и я Sh В Sk- 1 ; С вероятностью же 1 - Р оно будет неуспешным и з а я в ка снова вер н етс я в очередь , сл едовател ьно , система опят ь ост анется в состо я нии S h' З на чит , и н ­ тенсивность потока ус п ешных обсл уживаний будет равна P f! , что и от­ мечено на рис. 5. 1 5. Полученный граф н ичем не отл ича ется от того, который п р иведен на р ис. 5.9, с той разни цей , что вместо f! на н ем стоит f! * = p f!. З нач ит, хара ктер истики СМО с ошибка м и могут быть вычис­ лен ы по формул а м § 8 , с заменой f! на p f!· -

При мер 1 . Рабоч и й оБCJI ужи в ает г р у п п у из т р е х станков. Оста новки р а бо­ rа ю ще г о ста нка сл у ч а ются в среднем два р аза в час Процесс нал адки отним ает у р абочего в с р еднем 1 0 м н нут, п р и чем не исправ ность устр а н яетс я с ве р о ят­ ност ь ю 2/3 ( и ост аеrся неустр а н е н ной с вер оят ностью 1 /3. ) . О п р едел ить х а р а кте­ рист и к и этой з а м к нутой СМО: вероятность з а н ятости р абочего, абсол ютиую пр опуск ную способность ; ср еднее коли чество н е и сп р ав н ы х ст а нков Решение . для n = 3 , 11. = 2 , !-L = I /Тоб = 6 , = Л/!-L� = 1 / 2 по форм у л а ).! (8 . 1 ) н а ходим

ро =

1

р = 2/3 ,

1 + З . 1 / 2 + З . 2 . 1 /22 + 3 . 2 . 1 . 1 /23

!-L* = p!-L = 4 ,

� 0,21 1 .

р* =

В е р о я тность зан ятости рабочего !

Рэан = l - pn � 0 . 789.

M�

с пособ н ость

�бсолют н а я пр () пу с к и а я р абоч и м в ч а с ) :

(числ о

не и спр а в иостей,

A = () , 789 · 4 -:::::: ::J , 1 6 .

() , 789

Среднее число неиспр а в н ы х ст а н к о в н а х о д И м п о фо р м уле

устр а няе­

(8. 5),

w = 3 - -- = 1 , 4 2 . 1 (2

_

Оригинал ьный сл уча й СМО с ош ибками представл я ет та ка я си· стема массового обсл уживани я , в кото рой х а р а ктер обслуживания зависит от дл ины очереди : при увеличении этой длины обсл уживающи й ка нал начинает «спешитЬ» - В связи с этим уменьшается в р емя обсл у­ живания , но увеличивается вероятн ость ошибки . Разумеется , т а к а я обстановка создается тол ько та м , где « ка налом обсл ужив а н ия» явл я ­ ется живой ч еловек . Рассмотрим пример та кой СМО. Воз ьмем за мкн утую однока н а л ь­ ную СМО с n источ н и ками за я ВОК (рабоч его , обсл уживающего n ста н-

283

ков) . Пусть пр и отсутствии очереди (в нормал ьных условиях) среднее а з н а чит и нтенси вность потока обслу­ живаний равна f-t(0) При нал ичии в очереди ожидающи х на­ л адки ста нков рабочий начинает торопиться , и интенсивность потока обсл ужив а н и й увел ичивается . Обозначим интенсивно сть потока обслу­ жив а н ий при наличии в очереди , стан ков через f-t(r). Однов ременно с увел и ч ением темпа обсл ужи в а н и я (в связи с увеличение м числа стан­ ков , ож ида ющи х в очереди) увели ч и в а ется и· вероятность ошибки ; при отсутствии очереди (в нормал ьных условиях) она равна р(О) , а при нал ичии в очереди , станков - р(') , Очевидно, нужно перемножит ь дл я каждого , интенси вность обслужи вания и вероятность ошибки и вве­ сти одну <<п риведенну ю» интенсивность обсл уж ивания : в ремя обслужи в а н и я равно

1/(;б'

=

f-t * ( ,)

=

Очереt3l1 нет

1 1.

(Об'

f-t (,) . Р (,)

л__---'

---..

(г = О, . . . , n - l ).

(Л-Z/3.

52

Вс е рассмотренные до си х пор задач и теории массового обсл ужи · вани я относились тол ько к сл учаю, когда процесс, п ротекающи й в СМО , . представл я ет собой непрерывную м а р ковскую цепь ( ма р ковски и п р о­ у гими др , еменем) р в ным непрерыв и и м я и н я состо цесс с дискретными словами когда все потоки событи й, переводящие систему из состо я н и я в состо н и е (потоки за я вок, обсл уживаний, уходов и т. д . ) являются пуассоновским и . Дл я получения п р едел ьных ха ра ктеристи к системы в установившемся ста циона р ном режиме требовалось, чтобы эти пото­ ки был и не тол ько пуассоновски ми , но и простейшими (с посто я н ными интенсивностями ) .

�

f(t )

� *(2)

��. � � .. . �

�

"(k- fj

jI.

*(k)

)l

f!t /

.JL

!n-k+ f);{

...

С И СТ Е М Ы М А С С О В О Г О 0 6 СЛ УЖ И В А Н И Я

С Н Е- П УА С С О Н О В С I( И М И П ОТ О I(АМ И СО Б Ы Т И й

*(/J- f)

Рис . 5 . 16

Граф состо я н и й СМО представлен на рис . 5.16 (нумера ци я состоя­ н и й - та же, что и выше) . П римен я я общие формулы дл я предельных вероятностей в схеме гибел и и р азмножения, пол у ч им :

Рl pz Рз

Ph

nл =

n (n - l ) л'

n =

Ро'

n ( n - l ) . . . (n - k + l ) лk =

� * ( 0 ) 1J.* ( 1 ) . . .

Ро ,

IJ." ( k - l )

n (n - I ) . . . l · "'n

n ( n - l ) "'" ( IJ.* ( O ) � * ( 1 ) �" O ) + n (n - l ) . . . (n - k + J ) ", k �*

(О) [1 * ( 1 ) . . . j.t* ( k - 1 ) n (n - l ) . . . I . Лn

н * (О) [1* { I ) . . '

�l* (n -

J)

( 1 0. 1 )

Ро ,

� * (O ) j.t* ( l ) . . . !1" (n - l )

= [1 + � +

+ 284

(О) j.t* ( 1 ) �t* (2)

�

�

Ро'

(n - l ) (n - 2) лЗ

j.t *

что поток и событ и й , дейст ­ Н а п р а кти ке очень часто оказы ва ется, з а метно отлича ются от ия, живан у обсл ого стеме массов си в ющи е в . обслу живан ий. Деист­ у остеЙш и Х . Особен но это относи тся к поток ал в р емени между вител ьно мы знаем что в просте йшем потоке интерв з ател ьному за кону двумя с седним и с бытия ми р а с п р еделе н по пока

�

Ро'

= j.t * (О) !1* ( 1 )

Рn = Ро

j.t * ( 0 )

Рис. 5. 18

Рис. 5. /7

t

+

J

+ ...

-1

... + .

+

f (t) = f-L е - I1t

(t > О) .

B�:C�

ива н и я з а я в ки (см . рис . 5 . 1 7) . Очевид но , что в р емя Т об обслуж н а п ротив , гор Д кону; а з кому та по не обязат ел ьно распредел я ется делени я вре�ени распре кон за когда учай, сл ется я л в я бол ее типичн ым оятн еишее наивер его и обсл ужива ни я I(t) отл ичен от показа тел ьноГО, . 8) 1 5. рис. . (см зн а Ч efi и е не равно нулю и об сл ужива ния В сл чае когда за кОН распредел ени я времен методы описан ия е тренны рассмо нее ра по азател ьного, все отл ичен го воря, неп р и · строго , Я яТС станов СМО, в щих отекаю процес со в п р х нейны и � ифференци аль­ годными . 'в частн ости , н ел ьз я за писать н и ;? х ал г е� раи ­ инеины л ни и , и н состоя ностей ных уравне н и й дл я вероят атичес ки и а п ­ Матем . стеЙ еРОЯТJю в ьных предел я дл ений н в а чески х ым; аналит ическ па рат и ледова н и я станов ится гора здо бол ее сложн тол ько дл я сам ть получи ется уда СМО к ти фор мулы дл я ха р а ктерис п росты х сл у ч а ев . полученн ы х в это й Приведем (без дока зател ьства) н екотор ые из . ьтатов езул р области

oi

It

�

:�

285

1. СМО

с

оmказа.мu

Пусть на п- к а н ал ьную систему массового обслужив а н и я с отказа· ми посту па ет простей ший поток з а я вок с и нтенсив ност ью Л, а в р емя обслужива н и я имеет п р о и з в о л ь н о е р а с п р е Д е л е н и е с математи чески м ожида н ием

Фор мул ы ( 1 1 . 3) , ( 1 1 . 4) обычно называ ю тс я фо р мула ми П оля ч е­ ка - Х и нчина [20] . З амети м , что дл я показател ьного расп р едел ени я

f (t)

1

S

= - =

/-.1

о

tf

(t) dt .

Ph Ро

pk

= Тr

(k = 0,

Ро'

. . .

1!

'

-

, п) ,

( 1 1 .2) н е

р +р2 + + рn ' 1+ . . .

2!

с

(Об

=

( 1 + и2) 2 (I - р ) ,

р2

=

1.

( 1 1 . 4)

(У!

об

= 0, v = O,

И

=

и

1 / ".,.

( 1 1 .3), ( 1 1 .4) да ют .

формулы

t

ОЖ

2

=

( 1 1 .5 )

( I -p)

2л.

р2 ( l - р) ,

( 1 1 6) .

т. е . ка к средн ее ч исло з а я вок в очереди , та к и среднее в ремя ожида ­

ни я пр и стро го постоя нном в р емени обслужи в а н и я вдвое меньш е , ч ем пр и слу ч а й ном в ремени обсл ужива н и я , распределенно м по п оказа ­ тел ьному з а кону .

<1 tоб'

•

=

1 /1-1 1 /1-1

;

r

н азывается к о э Ф Ф и u и е н т о м в а р и а ц и и вр емени о бсл у ­ живани я (этот к оэффициент пока зыв а ет, наскол ько вели к разброс в р емени обсл ужив а н и я относител ьно его среднего з на ч ения) . доказано (см . н а пр . , [20] ), что дл я однока нал ьной СМО с п р ос­ теишим потоком за явок и п роизвол ьно р а с п р еделен ным вр еменем об­ сл уж и ва н и я с р еднее число за явок, на ходя щи хся в очереди , в ы р ажает. ся формулои:

r

l-p

10б

=

В ел ич ина

р'

--

ожиданием

1 / /-1- и ср едн и м кв адратическ и м от клонением

=

tоб

1./

Пусть имеется одноканал ь н а я система массового обслу живания с неогра ниченной очер едью (п 1 , т 00 ) ; на в ход ее посту п а ет п ро ­ стейши й поток з а явок с интенсивностью л; закон ' рас п р едел ени я в р е· мени обсл у жив а н и я f(t) - про и звол ьн ый , с математичес к им ожиданием =

а�О б

=

Р ассм отр и м кр а й н и й слу ч а й , когда в р емя о БCJl у жива н и я вообще с л у ч а й н о и равно своему математическому ожида н и ю :

То гда

2. Одноканальная СМО

(t > О)

В этом случа е фо рмулы ( 1 1 .3) и ( 1 1 . 4) прев р ащаются в ранее вы­ в еде н н ы е нами форму лы (5. 1 7) и (5.20) (см. § 5) : г=

1

=

v

( 1 1 . 1)

Д ока зано (с м . 1 1 6]), что в это м сл учае форм у лы Э р л а н га дл я ве­ роятн остей состоя н и й оста ются с п р а ведл ивыми , а и менно

".,e - /J.!

коэфф и ци ен т в а риаци и

""

-tоб

=

П ример 1 . Л от о к желез нодорожн ых составов, пост у п а ющ и х н а сор т и р овоч­ н у ю ст а н u и ю дл я обр а б отк и , - п р о сте й ш и й пото к с и нт е и с и в ност ью Л. = 2 ( с о ­ ст а в а в ч а с) . Ср еднее в р е м я , затр а ч и в а е м ое н а о бр а б о т к у одного сос тав а , р а в но

20 (м ин); его среднее к в а д р а т и чес к о е откл о нени е (J t о б = 8 ( м ин) . О п р е ­ = дел и т ь среднее Ч И С JIO с ост а в о в , ожидающих обр а ботк и и среднее вр ем я ож ида · н и я о б р а бот к и в очер еди , а т а кже ср еднее ч исло сост а в о в , с в я з а н н ых с обсл у ­ ж и в а н и ем на со рти р о в оч н о й ст а н u и и . Решение. П е р е х о дя к одно й и то й же ед и н и uе и з м е р е н и я в р емен и (час) и меем ;

taб

1 1 1-1 = - = - = 3 tсб 1 /3

( 1 1 .3)

где р tJ/-I- , v - коэффициент в а р и ации вр емен и обсл ужив а н и я . ЧТО касается среднего в ремени ожида н и я в очередц , то оно выр ажаетс я фо рмул ой :

К оэфф и u и е нт за г р у з к и

(состава в час) .

ста Н U И II ( п р и веде н н а я

и нте н с и в ность

пото к а

з а яв о к) :

=

286

Коэффи uиеН1 u а Р ll а u и и (J р е м е н и обсл у ж и в а н и я :

267

По фо р мулам обр аботк и

( 1 1 . 3)

( 1 1 . 4)

и

н ах оди м среднее чн сл о сост аво в ,

ОЖИАающих .

r

в СМО , пер в а я �бслу жи в а етс я стоит в о ч ер еди , я втора (пе р ва я фаза) ,

8 2 , 1 - две з а я в кИ на ходятс я

сл жи вается за я вки на ходятся в СМО ; пер ва я об у (втор а я фаза) , втора я стоит в оче р еди ',

8 2 , 2 - две

и ср едн ее в р е м я ожи д а н и я обр а ботк и:

8 k , , - k за явок н а ходятся Ср ед н ее ч и сло сост а вов , св я за н ных с сор т и р ово ч н ой ст а н ци е й , р а в но сред­ нем у ч и сл у сост а вов в очер еди " пл ю с среднее ч и сл о со ста вов под обсл уж ив а нием; посл е д нее ж е р а в но ве роятиости з а н ятост и СМО, т . е . от н о ш е н и ю с р ед н е г о чи сл а соста вов, пост у п а ющи х в еди н и ц у в р е м е н и к сред не му ч исл у составов, обсл ужи­ в а емых к а н а л ом в еди н и ц у в р еме ни Отсюда ср едн ее ч исло сост а вов (з а явок) в системе р а в но :

8k, 2

в СМО ,

одна п од обсл уж ив а н и ем

и (перва я фаза) , оста л ьные - в оч еред ; о а - k заявок находЯТС Я в СМО , одн п д е е и ', (втор а я фаза) , остал ьн ы е - в 0'1 Р Д

обсл у ж и в ани ем

�

ис ,... 19 Де й­ Р азмеченн ый гр а ф с ост о я н и й сист емы приведен на р · � ; а я вок пот т в S 1 , I сист ем у переводи ствит ел ь но , И 3 состо я н и я S о по ит еревод с е и -. � 1 ���ф ; :� � с и н тенс ив ност ью Л . Из сос тоя ни я S " I б лужи ва н я ) з р п и ончан о (по ток к ток с интен сивно сТ ЬЮ 2 "", Из состо я н и я S 1 , 1 в S 2 , 1 си И З состоя ни я S 1 , 2 В S 0 - та ко Й же п ото к . стем у пер еводит поток за яв ок и т . д.

:

Пр иведенные аналитические формул ы относя тся, как уже было сказано, к самым просте й шим he-пуаССОНОВ1: КИМ СМО. В сл учае бол ее сложн ы х СМО (м н огокана л ьных , с особенност ями обсл уживан и я и т . д . ) , п ростых анал итически х формул пол учить не удаетс я . В некоторых сл уч а я х исследование СМО с не- п уассоновскими потокам и событий может быть произведено с помощью метода псевдосостояни й , описа н ­ ного в § 10 гл . 4 . В к а ч естве примера рассмотрим однокана льну ю СМО с очер ед ь ю (без огра н ич ен и й ) . На в ход системы поступает простейший поток заявок С интен си вност ью л ; в р емя обслуж ив а н и я Тоб распределено по закон у Эрланга 2-го пор яд ка с математичес ким ожиданием 1 /f-t , т . е. представ· л яет собо й сум м у двух незавнсимых с л уча йных величин с одинаков ым показа тел ь н ым распределени ем. О бознач им парамет ры эти х п оказа ­ Тел ь ных распределени й "",' и найдем знач�ние "",' . По теор еме сл ожен и я математических ожидан и й имеем:

1 / ft ' + 1 /f-t ' = 2 / f-t ' откуда "",

'

=

=

....-_ . . .

Рис, 5 . 1 9

П о л ьзуяс ь р азмеченным г р а фом состо ян и Й, зап и�ем л и ней ные а л ­ . р оятностеи состоя н и и . гебр аически е у р авн ен и я дл я ве

1 If-t,

2f-t ,

вр ем я об служ ив а н и я Т об, р асп р едел енное п о за ­ кону Эрл анга 2-го пор яд ка с математи ч еск и м ожиданием 1 /f-t , м ожет быть п редстав л ено , ка к сумма двух неза в исимых с л у ч. а Й ны х вел и ч. и н

Т а ки м 'образом ,

T��) и T��),

ЛР а

=

2I1Р " 2 '

( л + 2 "",) Р " ,

и меющи х

каждая показател ьное распределен ие с па­ р аметром 2f-t. Эти дв а времени T��) и T��) можно представить как дв е посл едовател ь ны е «фазы» процесса обсл у ж и в а н и я Рассмот рим раз л ичн ые состояния СМО , н умеруя и х по ч и с л у з ая ­ вок в системе и фазе обсл ужи в ания: S o - заявок в системе нет (обс л уживания не происх одит ) ; S 1 , 1 - одна заявка находится в СМО , обслужи вание в пер ­ вой фазе, оч ереди нет ; S 1 , 2 - одна заявка на ходится D СМО , о сл ужив ание в о ато­ б р о й фазе, очер еди н ет;

(л + 2ft) Р I

,2

=

ЛРО + 2f-tР2 , 2 ,

=

2 11Р 1 ,

I ,

( л + 2ft) Р 2 , 1 = Лр , . , + 2 ft Рз , 2 ,

.

(л + 2f.1) Р 2 , 2 = ЛР ' . 2 + 2 ""' Р 2 " ,

(/" + 2 "",) P k , ' ( л + 2"",) Pk , 2

10

Зак . 1\ 7 3

+ 2 f!Pk + 1 , 2 ,

=

ЛРk

=

ЛРk _ l . 2 + 2 \1Pk , l ,

- 1 , 1

( 1 1 . 7)

269

или ввод я обоз н а чение Л ! � РРО

=

р,

= 2P I , 2 '

(р + 2) P 1 , I (р + 2) Р I

,

2

(р + 2) Р2 , I (P + 2) Pk ,

I

= РРО =

=

2р I

МЕ ТОД ДИНА М И КИ СР ЕД Н ИХ

+ 2Р2 , 2 , ,

1,

PP 1 , 1 + 2рз , 2 ,

( I 1 .8)

= PPk - l • I + 2Pk + l •

2,

(P + 2) Pk, 2 = PPk _ I , 2 + 2Pk, l , Это - система бес кон еч ного числа у р авнений с бесконеч ным чис­ лом н еизвестн ых Ро, Pl,l, P I , 2 , P 2 , 1 , Р2,2, . Существуют с пособы, по­ звол я ющи е решать та кже системы буквенно, но они сравнител ьно слож­ ны , и мы не будем на н и х останавливатьс я . Ограничимс я указанием на то , как может быть р ешена система ( 1 1 . 8) п ри конкретных зна че­ ни я х пар а метров л и "" . П режде всего оценивается м а ксимальное п р а ктич ески возможное число з а я вок в очереди - это можно сдел ать грубо , п р и н я в за кон р а с­ п р едел ен и я в р емени обсл ужива ни я показател ьным . Когда это сдел ано, удается отбр осить некоторые (последние, нач и н а я с ка кого-то номера) из у р а в нений, посл е ч его система ( 1 1 . 8) п р евращается в систему конеч­ ного числ а у р а внений с конечным числом н еизвестных, котор а я решает­ ся обычными методами вЫЧисл ител ьной ал гебры (см . , н а п р имер [21 J). Пр и бол ьшом числ е у р а в нений удобно быва ет пол ьзоваться методом итераций (последовател ьных приближени й) , причем в ка честве перво­ го приближени я можно вз ять Значен и я вероятностей состо я н и й , пол у­ ч а емые при показа тел ьном распределен и и времени обслу ж ив а н и я , раз­ дел ив вероятности поровну между двумя фазами обсл ужива ния . Примен я я метод псевдосостоя н и й , можно, в принципе, п р ибл и­ жен но свести любой не-ма р ковск ий процесс массового обсл у ж и в а н и я к м а р ковскому ; одна ко, при большом числе псевдосостоя н и й решен ие системы л и н ейн ы х у р авнен и й н е тол ько в б ук вен ном, но и в ч исл ен н ом в иде ста новитс я затр уднител ьным . В та ких случаях дл я исследов а ­ ния процесса , п ротека ющего в СМО, можно вос пол ьзоваться универ­ сал ьным методом моделиров а н и я сл учайных процессов - так на зы­ ваемым методо м статистических ис пыта н и й (Монте- Ка рло) , который б удет рассмотрен в гл . 8. . .

.

1,

И Д ЕЯ М ЕТ О Д А . О Б Л А С Т Ь П Р И М Е Н И М О С Т И

в гл . 4 и 5 мы поз н а комнлись с м етода ми описания сл у ч а й н ы х помощью процессо в, пр отекающи х в раЗЛ ИЧIIЫХ физическ их система х , с мар­ ных ыв рер неп теории рата па п а ческого специал ьного математи н ейные ковски х цепей . Этот аппа рат да ет возможность соста вить л и а та кже дифферен циал ьные у р авнен и я дл я вероятностей состояни й, стеii вероятно ьных едел пр я дл я уравнени ические гебра ал л инейные системы состо яний, отража ющи х относител ьное время п р ебыва ния егос я в каждом и з эти х состо я н и й дл я п р едел ьного, установи вш режима . а п п а рат Эти методы п редста вл я ют собо й удобный математи чес кий S истемы с яний состо х возможны число когда учае, сл том в ко ь тол яний ср а внител ьно невел и ко . В сл у чае, когда число воЗможн ых состо системы велико (порядка н ескол ьких десятков , а т о и сотен ) , эти методы бол ьшого перестают быть удобным и . Во- п ервых, совместн ое решени е р а внений у х и аическ и алгебр но , ьных числа не тол ько дифф('р енциал нам затрудни тел ьно даже п р и наличии ЭЦВ М. Кроме того, если даже й си­ удастся р ешить эти у р а в нени я li н а йти веро ятности всех состо я н и я то го, с.т емы , пол ученные р езул ьтаты будут трудно обоз р имым и . Дл чтобы их осм ыслить, на м все равно пр идется пол ьзоваться какими-то н и м и обобщенн ыми х а р а кте ристи к а м и процесс а , какими-то с р е Д з а н ятых з н а ч е н и я м и (та кими, н а п р имер, ка к «среднее число поль­ ка налов» или «ср еднее число з а я в о к в очереди», которыми мы ки е та мы пор сих До . ) я и н а в жи у ового обсл масс и и р тео зовал ись в т и с о­ средн и е х а р а ктер исти ки вычисл я л и через в е р о я т н о с та кой с т о я н и Й . Одн а ко в сл учае, когда состо я н и й Сл ишком много , способ ста новится н е п р и емл емым . ия Воз н и ка еl вопрос: а нел ьзя л и составит ь и р ешить ур а внен д­ е р с с а н х и щ ю р у с е е т н и я л Д о н н е в т с Д е н е п о с р Ока зы­ н и х х а р а к т е р и с т и к, минуя вероятно сти состоян ий? екоторой ва ется, можн о - иногда точно, и ногда - пр ибл иженно, с н «ме­ погрешностью. Та кими задачами и занимает ся та к называ емый изу­ енное тв епосредс н ью цел тод д и нами ки средни х». Он ста вит себе ющи х чение средних ха р а ктер исти к слу ч а й ных процессо в, протека числом в сложных система х с бол ьшим (пра кти чески необоз р и мым) состо я н и й . с р ед­ Любопыт но, что ОСНОВ(JЙ п р именимости метода динами ки ее бол язлений изучению ует них я в л я ется именно то, что п р епятств 291 10*

подробными метоДа мй : сложНосТь иЗуча емых процессов и большое чис­ ло участвующих в н и х элементов . Ка к и везде, где п р и м ен я ются ме­ тоды теории вероятностей, массовость изуча емых явлений позволяет УСТ;;I НОIШТIo • них СР;;lВНИТел ьно п ростые з акономерности . Продемонст р и р уем идею метода динамики средних на следующем простейшем п р и мере. Пусть имеется сл ож н а я физ и ч еска я система S, состояща я из боль­ шого числ а N однородных э л е м е н т о в (или «единиц»), каждый из кото р ы х может сл у ч а й н ым образом пер еходить из состояния в состоя­ ние. П р едположим , что все потоки событи й, переводящие систему S (и каждый элемент) из состояния в состояние - пуассоновские (хотя в общем случа е и не п ростейшие, а с интенси вностями , произв ол ьным образом зависящими от в р емени). Тогда процесс, протекающий в си ­ стеме, будет м а р ковским . Допустим, что каждый элемент может быть в любом из n возмож­ ных состояний :

iS), iS 2 •

••••

шn,

а состояние системы S в каждый момент х а р а ктеризуется числом эле­ ментов , на ходящи хся в каждом из состо я н и й . Н а м требуется иссл едо­ в а ть сл учайный п роцесс , п р отека ющи й в системе S. В п р и нци пе. можно было б ы п р именить т у же методи ку, кото рую мы уже п р имен яли р а нее пр и изучении подобных проuессов, а именно. рас­ смотр еть все воЗможные состо яния системы S: SN, О , , о - все элементы н а ходятс я в состо я н и и iS 1 • В других состоя ни я х нет н и одного эл емента ; SN - 1 , 1 , О о - один элемент находится в состоян и и & 2' в се остал ьные - в состоянии &), И Т . д. , И н а йти вероятности эти х состоя ний. Одна ко п р и бол ьшом чис­ ле эл ементов N даже перечисл ен и е возможных состоя н и й системы S затр уднител ьно, не то, что соста влени е и р ешен и е у р авнений для ве­ роятностей состояний . Очевидно, нам нужно идти дру гим путем . Отвл ечемся от возмож­ ных состоя н и й системы в uел ом и сосредоточим свое внимание на от­ дел ьном эл ементе & (та к ка к все элементы однородны. все равно, какой это будет элемент) и р ассмотрим дл я него граф состоя ний (рис. 6. 1 ) . В в едем в раСj:: м отр ение сл уча йную в ел и ч и н у Xh(t) - число единиц, l!а ходящихся в момент t в состоянии &I! . Б удем ее называть кр атко ч и с­ л е н н о с т ь ю с о с т о я н и я &h В момент t. Очевидно, дл я л юбого момента t сумма числ енностей всех состояний р авна общей числе н ­ ности эл ементов : .

•

.

•

и л и , короче:

.

. . •

Х1 (t ) + Х 2 ( t) + . . . + Х n (t)

=

N,

Поставим себе аадачу: найти ДЛЯ любого t основные характер ис­ Ти ки сл уча йно й вел ичины Xh(t) - ее математичес кое ожндание

и дисперсию:

mk

(t) = М ( X k (t)1

( 1 .2)

D h (t) = D [ X h ( t)1.

( 1 .3)

Др угими слова м и , дл я каждого момента времени t мы хотим знать с р еднее зна чен и е численности каждого состоя н и я , а также разброс фа к­ тической ч и сл енности около с р ед­ ней. дл я того, чтобы н айти эти ха р а ктер исти к и , н адо знать и н тен­ сив ности всех потоков событий, пе­ реводя щи х эл емент (не систему, а именно э л е м е н T I ) из состоя­ н и я в состояние. Предположим, что эти интен­ сив н ости н а м известны и проста в­ л ены на . гр афе состояний (см. рис. 6. 1 ) . Тогда численность каждого состоя н и я Xh(t) можно пр едста в ить как сумму сл уча йных величин, кажда я из которых связа н а с от­ Рис. 6. 1 дел ьным и-м) эл ементом, а именно: равна едини це, есл и этот эл емент в момент вр емени t н а ходится в состоя нии iSh, И ра вна нулю, если не на ходитс я :

. !

Xk I (t)

1,

=

О,

если i-й элемент в момент t н а ходитс я в состоянии iS k ; если не находится.

( 1 . 4)

Очевидно , дл я л юбого мо м е н та t обща я числен н ость состоя н и я *k равна сумме случайных величин ( 1 .4):

илн короче

Х k и) = Xk l ) (t) + Xk2 ) (t) + . . . + XkN) (t) , Хk (t)

N

=

� X(I) и). k

i= l

( 1 .5)

Есл и интенсивности Ли потоков событи й, переводя щ и х каждый элемент из состоян и я в состоя н и е. нам известны (а , стало быть, не слу­ ча й н ы) , то вел ичины

(1 . 1 ) Рассмотренна я нами величина Xh(t) дл я л юбого t п р едстав л яет собой с л у ч а й н у ю в е л и ч и н у, а вообще, п р и мен яющемся t - с л у ч а й н у ю Ф у н к Ц и ю в р е м е н и.

181

дл я отдел ьных эл ементов н е з а в и с и м ы м е ж Д у с о б о й. П о тео р еме СJJ о жен и я математичес к и х ожида н и й (дл я к оторой , кс та ­ ти, неза в исимости не требуется) и теореме сложен и я дисперсий:

293

т,

(1)

Dk (t ) На йдем

числ овые

,� M

�

[x�" (1)] ,

.� D [x�п (t ) ] .

,= 1

=

I

(1 .6)

ха ра ктеристи ки - математическое

ожидание

и дисперсию - сл у ч а йной величины X(�(t), зада нной выражен и ем ( 1 .4) . Эта вел ичина и м еет два возмо жных значени я : О и Вероятность пер­ вого из них р авна Pk( t ) в ероятности того, ч то эл емент н а х одитс я в состо я н и и $" (та к ка к эл емен ты однородны, т о дл я в с е х н и х эта вероят­ одна и та же) . Р яд распредел ени я кажд ой из сл у ча й н ы х вел и ч ин

1.

-

H��;b

Х k ( t)

один и тот же и имее т вид :

О

I 1

(1 .7)

где в вер хней строк е указаны возможные Значения сл у ча йной вели­ чины, а в нижней - их вероятности . Математи ч еское ожидание сл учайной вел ичины, заданной р ядом р а с п р едел ен и я ( 1 . 7), р а в но:

М

[XkiJ (t)]

=0·

( I -Рk ( t ») + I ' Рk (t) = Рk ( t ) ,

-

вероя тность того, что отдел ьный эл емент в момент t будет где Pk(t) на ходиться в состо я н и и $д , дисперсия случ айной в ел и ч и н ы с р ядом распр еделения ( 1 .7) р а в н а :

[Xki) (t)] = (O -P k т) 2 ( l -Pk (t» ) + Рп ( t ) ( 1 - Pk и) ) . + ( 1 - Ph и) ) P h (1) Подста в л яя эти выражен и я в формулы ( 1 .6), н а йдем математичес­ D

2

=

кое ожидание и дисперси ю ч исл енности тА

Dh

(/)

=

k-ro

NРп ( t) ,

состояния:

(t) = NPk (t) ( I -Pk (t») .

(1 .8) (1 .9)

Та ким образом , нам удалось дл я любого t н а йти математи ч ес кое ожида ние и дисперсию численности любого состо я н и я $k: они вы­ р ажа ются формулами ( 1 . 8 ) и ( 1 . 9) через число элементов N и вероят­ ность k-ro состояния л юбого элемента . З н а я дисперсию D li (t ) , можно найти среднее квадр ати чес кое от­ клонение числ ен ности состоя н и я $п:

(1 . 10) и , значит, дл я любого момента в р емени t ука зать ори ентировочно д� a­ пазон пра ктически возможных значений числ енности : тА

294

(t )

± за k

(t).

( 1 . 1 1)

Та ким обра зом, не определ я я вероятностей состо я н и й системы S в целом, а занима ясь только вероятност я м и состоя н и й отдельных ее эл ементов, можно определ ить, чему равна дл я л юбого момента t средн я я чи�енность каждого состояния и в к а ки х пр едел а х на ходится факти­ чес к а я численность. Если мы знаем вероятности всех состояний ОД Н О F О э л е м е н т а

Рl. Р'/" . . . . Рп

ка к фун кци и времени , то нам известны и средни е численности состоя · н ий: и их дисп ерс ии :

и средние квадрати ческие отклоне ни я :

Таким образом , ПОСТа вл енна я зада ч а сводится к оп редел ен и ю вероятностей состоян и й о Д н о г о о т Д е л ь н о г о э л е м е н т а . Эт и вероятности , ка к извест­ но, могут быть на йдены ка к реш е­ н и я дифференциальных ура внений , Колм огоров а для вероятностей со­ стояни й ; правила их составл ени я гл . 4. дл я этого н у жно да ны в тол ько знать (точно или пр ибли­ женно) и нтенсивности потоков со­ бытий, переводящих каждый эле­ мент из состояния в состояние. По­ ка что мы будем предполагать, что эти интенсивности нам известны Рис. 6.2 и не случайны . О том, из ка к и х ять определ можно жений а р сооб эти интенсивности , мы будем говорить нескол ь ко позже (см. § 2). За метим, что вместо диффер енциал ьных у р а внени й дл я вероятнос, тей состо я н и й можно (и иногда бывает удобн ее) писать ура в н ени я н е­ ч и с л е н н о с т е й с р ед н и х д л я п о с р е д с т в е н н о р м ул ы О . 8 ), средн я я фо из видно к ка ьно Действител Й. и н , я о т с с о численность каждого состояния пропорционал ьна в ероятности этого состо я н и я (отличается от нее множител ем N) и, очевидно, удовлетво­ ряет тем же дифферен циал ьным у р авнен и я м , тол ько интегри ров ать их н ужно при . др у ги х начал ьных услов и я х , соответствую щи х н а­ ч а л ь н ы м ч и с л е н н о с т я м с о с т о я н и й.

§6

П р име р 1 . Система S состоит и з N однор одных эл еJll ентов ; граф состо я н и й каждого эл емента п р едста влен на рис. 6.2. В н а ч а л ьн ы й мо­ О) все эл ементы н а ходятся в состоян и и fS) . I Iа писаl'Ь мент (п р и t систему диффе р енциальных у равнений, которым дол ж н ы удовл етво' =

295

р ять ср едние ч и сленности состояни й тl, т2, тз, т4' и у казат ь, п ри к а · ких начал ьных условиях ее н ужно решать . Счита я у равнения решен· ными , на писать выр ажения дл я дис перси й численностей состоя н и й . Решение. Непосредств ен но по графу (рис. 6. 2 ) составл яем ур а в­ нения Колмогорова дл я вероятностей состояний:

в уравнени я х (1 . 1 4) неизвестными Фун к uи ями явл яются непо· средственно с р е Д н и е ч и с л е н н о с т и с о с т о я н и й . Как видно, эти у р а внения составл ены совер шенно по тому ж е правилу, что и у р а в н ен и я дл я ве роя тностей состояни й , поэтом у их можно было со­ ставить ср а зу, м инуя промежуточные этапы ( 1 . 1 2) и ( 1 . 13). Так мы и будем посту пать в дальн ейшем . Очев идн о , дл я каждого t средние числ ен ности состо я н и и удовлет­ •

вор яют условию:

т]

(1 . 1 2)

+ т 2 + тз + т4

=

N,

и поэтому одно (л юбое) из уравнени й ( 1 . 1 4 ) можно отбросить. Отбро­ си м, н а пр и м ер , третье уравнение (оно наиболее сложно) и в остал ьные у равнения в место тз подста вим выражение:

тз = N - (т1 + т2 + т4) · Полу чится окончател ьно система трех диффер енциал ьных уравнени й;

Мы знаем, что одно из эти х уравнен и й (любое) может быть отбро­

шено, но мы пока сох раним их все. Умножим левую и п р а вую части каждо го из уравнен и й ( 1 . 1 2) на число эл ем ентов N и введем . в левых частя х N под з на к производн ой; пол уч и м :

dml dt

=

- л'12

m1

+ j'З1 [N -'(т. + т 2 + т4» ) ,

( 1 . 1 5)

Эту с истему нужно реш ать п р и н а ч ал ьных ус лов и ях :

(1 . 1 3)

t

=

О;

т1

=

N,

т2

=

тз

=

т4

=

О.

( 1 . 1 6)

Интег р и р ование такой системы дифференци ал ьных ура внени й дл я кон· к рет ны х з н а че ни й в ходящих в н ее п а р аметров (N, л'12' л' 3I , л'24 ' л'34, л'4 3) пр още всего осуществ ить на машине ил и же вручную, методом чис­

ленно го интегр и рова н и я . Пр едполож и м , что это осуществлено и Нами ПОfI у чены четыре фун к · ци и , выражающи е с р едн и е численности состоян и и :

Теп е р ь вспом н и м , что

т1 ( t ), т2 ( [), тз и), т4 (1) . На йдем дисперсии численностей СосТоя н и й :

(аргуме нт t У ЭТИХ фу н кц ий дл я краткости отброше н) и переп ишем у ра внен ия ( 1 . 1 3) в виде: dm l -dt

=

dm2 dt

-- =

281

О. (/), О2 (/ ), Он (/), D4 (/). Ранее мы показал и , что

- "'12 m 1 + "'зl тз , �

ОР. (/) = Npk (t) ( I - Ph (t» ·

�

Отсюда , у ч итыв а я зависимость mп

1

- ("'23 + 1.,24) т 2 + Л12 т1,

( 1 . 1 4)

Dh (t)

= mh

( m�(t» ) ,

т 1-

(/)

=

( 1 . 1 7)

N РР. (t), п олучим:

k = 1 , 2 , 3, 4.

(1

.1 ) 8

Та ки м образом , есл и интенсив ности потоков событи й , пе р ев.одя · щих элемент из СОСТО Я Н ия в состо я н и е, н е за висят от числ енностеи со 297

сто я н и й , то , в ы ч и сл и в с р ед ние чис л е нн ости СосТОЯний ml(f), , mn (t), можно с р аз у же н а йти дисперси и численностей состояний 110 формулам : . . .

D 1 ( t) D2 (t )

Dn ( t)

(1 (t ) ( 1 -

= m1 (t)

=

=

т2

т n (1)

-

(

1

m t ( t) N m 2 (t) N

-

m _

) )

�(t) )

,

,

С р е

состоя ний, мы будем и а зывать Д н и х.

iroB

(1 . 1 9)

у р а в и е и и я м и

Д и н а м и к

и

П ример 2. Ф из ичес к а я сист е м а S состоит из N = 2 00 ОДНОР ОДН Ы Х эле м е н · пр и боров 'jg. Каждый из п р и бо р о в может н а х одиться в одном и з дву х со ·

-

сто я н и й :

и сп р а ве н , неиспр авен. . Переход элеме нта и з СОСТО Я Н И Я �1 В состо я и и е �2 п р о исходит под де й ств ием пото к а неиспр авностей с и нтенсив ностью л, = 2; ср еднее в р е м я ремонта

�l �2

-

-

(восст а иовле и и я) пр ибо р а р авно 7р = 1/11 = 1/3. Соста вить у р а в не н и я д и н а м и к и ср едн и х и р е ш ить и х п р и усл ов и и , что в и а ч ал ь ный м о м е нт в с е п р и б о р ы и с п р а в ­ н ы . Изобр а зить зависи мости mj (t) и mz(t) н а г р а ф и к е. Н а й т и и постр оить иа г р а ­ ф и к е ф у н к ц и и 01(t), 0 2 (t) - средние кв адр ати чес к ие откл онен и я ч исле н ност е й -состоя и и й.

и их с р еди и е квадрати ческие отклон ени я :

'i!

Заметим , что з и а я математические ожида ни я и средние квадр ати­ ческие от клонен и я Ч ИСJl енностей состояни й , мы пол у ч а ем возможность оценивать та кже и вероятности р а з л и чных состояний системы в цел ом, т. е. \ н а п р и ме р , в ероятность того , что числ енность ка кого-то состо я н и я будет за ключен а в о п р еделен ных предеJJ а х . Действительно, п р едполо­ жим , что число эл ементов N в системе вел и ко. Тогда числ енность ка­ кого-то (k-ro) состо я н и я можно прибл иженно считать распределен н о й по нормал ьному з а кону . А есл и это та к, т о вероятность того, ч т о случай­ ная вел ичина Xh (числ енность k-ro состояния) будет заключена в ка­ к и х -то границах от а и до �, будет выр ажаться формулой:

����

��

2_______ � J

__ __

Рис. 6.3

Реше иие. Граф состо я н и й элем е нта имеет в и д, п о к а з а н н ы й н а р и с . Обоз н ачаем : ml - среднее ч и сл о и с п р а в н ы х эл еме нтов в момент t, m2 - сре днее ч и сл о и е и с п р а в ны х элеме нтов в тот же момент. У р ав не н и я ДЛ Я ср е д и и х ч ислен ност е й сост о я н и й будут:

(1 .21)

где mh, (J' h математичес кое ожида н и е и �p eДHee квадратическое от­ клонен и е числ енности k-ro состояни я , Ф (х) - функция Лапл аса (см . п р иложение, табл . 1 ) . В е р немся к у р а внен и я м дл я с р едни х ч исленностей состо я н и й и сформул и р у ем правило и х соста вл ен и я . Оно состоит в следу ющем, Есл и в системе S, состоящей из N однородных эл ементов типа {g, происходит м а р ковски й слу ч а йный п р оцесс, п р и чем известен граф состояни й каждого эл емента и указа ны и нтенсивности ЛtJ всех потоков событи й , переводящи х эл емент (g из состояни я в состояние (не зави­ сящие от числ енностей состояний), то дл я средни х численностей со­ стоя ний можно составить диффер енци а л ьные уравнен и я , пол ьзуясь следующим мнемон и ч еским п р а вилом: Проuзводная средней численности состояния равна сумме столь­ ких членов, сколько стрелок связано с данным состоянием ; есл и стрелка направлена из состоян ия, член имеет знак «минус», если в состояние­ знак «плюс». К аждый член равен произведен ию интенсивности потока событи й , переводящего эле.лШl т по данной стрелке, на среднюю числен­ ность mого состояния, из которого исходит стрелка. Соста вленные по этому п р а в и л у дифференциаль ные у р а внения, в KVТOPЫX неизвестными функциями являются средние ч исл енности

6.3.

( 1 . 22)

-

298

В ме с т о дв у х у р а в ие н и й можио о г р а н и ч иться одн и м , есл и учест ь , что дл я любого t

( 1 . 23) Подст а вл я я

( 1 . 23) в первое у р а в не н и е ( 1 . 2 2) , пол у ч и м : dml - = - 5 ml + 3 N . dt

( 1 . 21)

И нт егр ир у я это у р а в не н и е пр и н а ч ал ь ном ус лови и

1 = 0;

ml = N ,

пол у ч и м : ( 1 . 25) И з ( 1 . 23) и меем :

( 1 . 26) 299

Постро и м на графике функци и (1 . 25) 11 ( I . 2б) (р ис. б . 4) . Из гр аф и к а В ИДНО ЧТО п р и t .. 00 средн ие ч и слен ност и состоя н и й стрем ятся к пр едел ь ным знач '; ниям: m2 -+ 2/5N . ml -+ З/5N, Опр едел и м llисп е р с и и ЧИCJI сн ностей СОСТО SJ li И ЙJ

D1

(t) = ml (t)

(

m t

l(» 1 - -N

) ( =Л

б -+4 е-5 1 25 25

) (l _e-5t)

( 1 . 27)

•

б,

0, 6

0, 2

о Рис. 6. 4

t

Рис. б.5

Очев и дно, ди с пер с и я ч и сленности В1 0 Р ОГО с осто я н и я б у де т т а к ая же:

D2

Средн ие квздр а т и ческие

а1 (t) = U2 и) = "

Гр афи к ф у н к uи и

2.

U1 ( t)

(t) = D{ (t) .

от к л о н е н и я

I V

Ч ИСJ1е н ностей состо я н и й р авны:

N (�+ .i.. e-5I ) (I_e-5t) 25

25

.

пок а з а н н а р ис. б. 5.

У Ч ЕТ З А В И С И М О С Т И И Н Т Е Н С И В Н О СТ Е й n 0 10 1(0 B С О Б blТ И й О Т Ч И СЛ Е Н Н О СТ Е й С О СТ О Я Н И Й . п р и н ц и п К ВАЗ И Р Е Г УЛ Я Р Н О СТ И

ДО си х пор , примен яя метод дин а м и ки средн и х , мы считал и , что и нтенсивности ПОтоков событи й, переводящи х эл емент из состоя ния в состо ян ие, нам за ра нее известны и не сл учайны. Тем самым пр едпола­ гало: ь, что они н е з а в и с я т о т ч и с л е н н о с т е й с о с т о я­ н и и, которые, ка к известно, сл у ч а йн ы . Одна ко, на пра кти ке очень часто это- бывает не та к . Процессы , протекающие в системе эл ементов, чаще всего скл адыва ются так, что интенсивности пото ков событи й , пе­ реводящи х элемент из СОСТояния в состоя н ие, зависят от того, скол ько эл ементов в данном Состоянии (да и в д р у ги х состоя н и ях) имеется в си­ стеме. Напр имер , в п римере 2 п редыдущего па р а графа мы предпол а гали, что среднее время ремонта элемента (вел и чина, обратно п ропорцио300

с кол ько нальна я и нтенсивности п отока ремонтов) не за висит от того, та к, элементов одновремен но н а ходится в р емонте. Это дейст вител ьно не ктически а р п что , строя из выходят если элементы на стол ько редко так, может создаться «затора» при их восстановл ени и . Есл и же это не эле­ н еоб ходимо учитывать тот фа кт, что в рем я , потребное на ремонт хся мента , за висит от кол ичества н еиспр а в н ых эл ементов , имеющи

в наличи и . Действите льно, рассмотр им систему S, состоящую и з N однород­ вы­ ных элементов - п р ибо ров, которые могут в сл у ч а й ные моменты ремонт что жим, Предполо емонт. р в яться вл а р п ходить из строя и н а про­ осу ществл яется одной б р и гадо й , имеющей в полне определ енную еме­ р в единицу в ремонтов ичество пускную способнос ть (ср едн ее кол ни ) . Тогда в р ем я , которое кажды й отдел ьный неисправ ный эл емент пробудет в ремонте, зависит от общего числа ремонтир уемых в да н­ в сред­ ный момент элементо в: чем это кол и чество бол ьше, тем бол ьше, нем, пробудет в р емонте каждый отдел ьный эл емент, и тем, следоват ель­ о каждый но, меньш� будет и нтенсивность потока событий, пер еводящег . отдел ьный эл емент из состояни я «неиспра вен» в состояни е «испр авен» емент эл о еводящег пер , событий ка пото ость Та ким образом, и нтенсивн е н н о с т и из второго состоя н и я в пер вое, з а в и с и т от ч и с л - значит йна уча сл енность числ п е р в о r о с о с т о я н и я . Эта сл у ч а й ­ будет , я р гово строго , а к пото о еводящег ер п ность и интенсив ной . а N Другой пр имер . Пусть система S состоит из бол ьшого числ «испр а в на» автомаш и н , кажда я из которых может быть в состо я н и и енный или «неис п р авна » . Пар к автомаш ин выпол ня ет в пол не о п р едел шин на­ кру г работ, та к что п р и бол ьшом КОл ичестве неисправ ных ма увел ичи­ грузка, ложащn яся н а исправны е, увеличив а ется , и , зна ч ит, я ние вается интенсив ность потоков событий , переводя щих и х в состо числен­ от исит в а з й событи «неиспр а в rr а » . Снова интенсив ность потока ности состоя н и я . В общем сл учае (ниже мы увидим р яд та ки х п р и меров) и нтенсив­ е, ности потоков событи й, Пltр еводящих элемент из состояни я в состояни ь­ могут зависеть от числен ности не одного состо я н и я , а сраз у нескол от чис­ I<И Х . В сл учае, когда и нтенсивн ости потоков событий з а в исят ка к это ленносте й состоя ний (значит, сл уча йны ) , мы уже н е можем, знаем был о раньше, писать уравнен и я динами ки средн и х , так как не эту ко а Одн . ости нтенсивн и ющих я определ й, состояни числ енностей пото­ трудность можно обойт и , есл и предположить, что и н тенсив ности не ков событи й . пер еводящи х эл емент и з состоян и я в состо я н и е, зависят

от

самих численносmей сосmoяни й ,

а

д

от их сре н их :'ifl ачен и й

(м атема­

. . . , тn . т и ческих ожидан ий) ­ Это допущен ие, которое мы, следу я И. Я . Ди неру [ 1 31, будем н а я и внен а р у писать на ит позвол , зывать «принцип ом квазирег ул я р ности» дин ами ки средн их и р ешить задачу ( п р а вда , н е точно, а пр ибл иженно, потому что само это допущен ие - Н е точное, а п р ибл ижен ное) . За мети м , что допущени е , о котором идет речь, п р иводит к су­ щественн ым ошибкам только когда общее число эл ементов N в систе­ й ме S сравнител ьно мало - тогда фактичес к ие численности· сoctояни ml' m 2 ,

3О!

могут сильно отличаться от своих математических ожидаlIИЙ. Если же общее число элементов N велико, отклонение численности I<аждого состояния от с реднего значения относительно мало, и метод динамики средних дает сравнительно малые погрешности. Существенен также вид зависимости, связывающий интенсивнос' ти потоков событий с численностями состояний. Чем ближе эта зависи­ мость к линейной (в области практически возможных значений ар· гумен!ов), тем меньшую пог решность дает замена случайных числен· ностеи их средними значениями. Поясним методику пользования принципом квазирегулярности на примерах. Пример 1. Си�тема S состоит из большого числа N одно родных технических устроиств, каждое из которых м,?жет быть в одном из двух состоянии: (Е1 - исправно, работает, iE 2 - неисправно, ремонтируется. На каждый элемент действует поток неисправностей с интенсив' Рис. б.б ностью А, не зависящей от численностей состояний. Ремонтом элемен­ тов зан�та группа рабочих в составе k человек (k « N). Каждый неиС' правныи элемент ремонтируется одним рабочим (взаимопомощи между ними нет); каждый рабочий может ремонтировать в среднем /t эле· ментов в единицу времени. В начальный момент (t О) все элементы испр авны. Все потоки событий - пуассоновские (может быть с пе· ременной интенсивность�). Написать уравнения динамики с редних для средних численностеи состояний. Решение. Граф состояний элемента (одного технического устрой· ства) имеет вид, представленный на рис. 6.6, где � - интенсивность потока pe�OHTOB, п р и х о Д я щ а я с я н а о Д и н р е м о н т и· р у е м ы и э л е м е н т. элементов, находящихся в дан· Найдем зависимость � от числа ныи момент в состоянии ремонта. Начнем с того, что определим, при сумма рную интенсивность М2: потока ремонтов, приходя· данном щегося на в с е э л е м е н т ы, которые находятся в состоянии (Е 2• Эта суммарная интенсивность есть функция числа элементов, находя' щихся в состоянии ремонта:

Построим график функции IP(X2) (см. рис. 6.7). Она задана только в целочисленных точках; но при составлении уравнений динамики средних с использованием принципа квазирегулярности нам придется заменять случайное число 2 элементов в состоянии ремонта его мате­ матическим ОЖlJданием tn2' а оно может быть и не целым. Поэтому нам нужно определить функцию IP и для нецелых значений аргумента. Для этого воспользуемся линейной интерполяцией и соединим точки на графике рис. 6.7 отрезками прямых.

Х

)l 1---4----......

Рис. б.7

Х2

Х 2'

M� =qJ

(Х2).

Так как рабочие работают без взаимопомощи и число их равно k, то суммарная интенсивность потока ремонтов с возрастанием числа ремонтируемых элементов растет по линейному закону (пропорцио· нально числу ремонтир уемых элементов) до тех по р, пока их число не достигнет k; после этого все рабочие будут заняты, интенсивность Ml: перестанет расти [1 останется равной flk:

з02

M2:=qJ

(Х2) ={f.tX2 f.tk

при

Xz�k,

при Xz> k.

(2.1)

1

k

2

Рис. 6.8

Подсчитаем теперь, какова будет с редняя интенсивность потока мы й ремонтов, п р и х о Д я Щ а я с я н а о Д и н р е м о н т и р у е э л е м е н т:

=

u

k

z

о

Деля

(2.l) на

Х2,

получим: при при

X2)

Х2< Х2?':

k,

(2.2)

k.

представлен на рис. 6.8. Эта кривая, как График функции 1P1 ( в. На первом (от О до k) она параллель­ участко двух из состоит 2)' и IP(X на оси абсцисс, на втором - убывает по гиперболическому закону. �, пе­ Теперь нам известна интенсивноСТЬ потока событий А21 ­ факти от зависит на (gl' В О ия состоян из реВОДящего один элемент в состоянии щиХСЯ находя ов, элемент числа ого) случайн ( ческого ное <е2' Согласно принципу квазир егуляр ности, замени м это случай со­ гра фа основе на о да г иданием , о им Т атическ ж число его матем средних динамики ия стояний (рис. 6.6), диффе ренциа льные уравнен за пишутся в виде: dml (2.3) -лml + 1P1 (tn2) tn2, dt d m2 -1P1 ( (2.4) tn ) mz + лtn1, dt

iS2 tn2'

Х2

=

=

где

ml' tn2'

-

2

средние численности состояний (gl'

=

182'

303

Уравнения (2.3), (2.4) можно переписать в другом виде, если вепо­ мнить, что

Первый интеграл равен: _

лN - (л + [1.) k I _ lп 'J.,N Л+f-L

_

Вычисляем второй интеграл:

Sm, k

(2.5) ИЗ этих двух уравнений мы можем выбрать одно - например, второе, первое отбросить и во второе подставить выражение ml из условия: mI +m2=N; m1 = N-m2•

ние: Получим вместо (2.5) одно диффе ренциальное уравне dm dt

2

=

S о

dmz -t 'J.,(N-mz )-q>(m2) -

т;

(2.6) •

е­ Учитывая, что функция <р ( т2) задана двумя разными выраж : имеем > k, m2 при ниями при т2 <. k и при т2 <,k т.

t=S о

dmz л ( N - m2) - [1.m2

т,

=5 о

dm2 лN- (л+ [1.) mz

откуда

л

л

'п

_

k!-t

_

лm2)

т, k

'J.,N - kf-L-лmz лN - k (л + [1.)

Следовате льно, при m2> k лN -k/l-лms k 1 _1 n ЛN-(Л+[1.) _� 'П t= лN - k (л +- [1.) л лN л + [1. откуда л-t f-L л е-Лt. fn2=N -k�л [1. л __

N-k

_

�

kТ/(Л+�)

(2.8)

Формулой (2.7) величина m2 будет выражаться при лN 1 J_ ln ЛN-(Л1'-[1.)k =__ Iп t<. N л (л .;1'- /l) k л лN + 1-' л + /l а формулой (2.8) - при БОльших значениях (. разницей, что Пример 2. Условия те же, что и в примере 1, с той помогают нты, элеме я стро k рабочих, ремонтирующих вышедшие из элемента одного т ремон т ствляю осуще очих друг другу, так что k раб в среднем в k раз скорей, чем один рабочий. МЕ K�

----

�----�--.-

=

лN - (л + f-L) m2 Iп лN л.,r-[1.

J =- --

_.2..

_..!.. In (лN

__

Интегрируя правую часть от О до t, а левую-от О до (начаЛЬНl�е значение т2 равно нулю), имеем: т.

=

=

[!

-<р (m2) + л ( N - m2) .

Это - ур внение с разделяющимися переменными: dm, =dt. л (N - mz) - q> (m2)

dmz 'J.,N - k[1.-Лm2

о

(2.7)

2 Рис. 6.9

з

%2

О

J

'"

5

5

!I

Рис. 6.10

<р(Х2) М1: Требуется построить для этих условий функцию 2) !-t <Рl(Х ю функци ов ), ремонт тока (суммарную интенсивность по тируе­ ремон один на ящуюся приход , тов ремон потока (интенсивность ения для средних мый элемент) и составить дифференциальные уравн их). средн ики динам ения численностей состояний (уравн =

При m2>k

=

k

t=S о

dmz лN - (11. + [1.) m2

т,

+5 k

m-=.2_ d_ ' -' лN-kl!- лmz

_ __

805

Решение. График зависимости М2; от числа ремонтируемых эле­ ментов Х 2 представлен на рис. 6.9. Действительно, при любом целом полож ит е льном числе элементов, находящихся в состоянии & 2 (Х 2 = = 1, 2 , 3, . ), все рабочие, работая одновременно над ремонтом этих элементов, порождают один поток p€MOHTOB С интенсивностью kl-"; они ка к бы эквивалентны одному «сверхрабочему» С производительностью, в k раз большей (см. § 9 гл. 5). Таким образом, чтобы решить постав­ ленную задачу, достаточно в условиях примера 1 положить k 1, а вместо fl подставить kfl. В реальных условиях зависимость суммарной интенсивности по­ тока ремонтов М2; от числа ремонтируемых элементов может быть н не такой простой, как в рассмотренных двух примерах - она может за­ ви(;еть от особенностей организа­ ции ремонтов в бригаде, от оче­ редности обслуживания элемен­ тов, от емкости ремонтных ма­ стерских, и т. д. Может ока­ заться, что для установления Рис. 6.11 функции вида М2; ер(Х2) придется делать специальное исследование, на пример, рассматривая - ремонтную бригаду как систему массового обслуживания и строя дЛя нее математическую модель. 100 оди­ Пример 3. Рассматривается система, состоящая из N наковых приборов; каждый прибор состоит из двух одинаковых узлов: один основной, второй резервный. В случае выхода из строя основного узла в работу включается резервный. При выходе из строя обоих узлов выходит из строя и перестает работать весь прибор. Поток неисправ­ ностей, действующий на работающий узел, имеет интенсивность "'1; на неработающий (исправный) 1,2' Вышедшие из строя узлы ремон­ ти руются бригадой рабочих. Суммарная интенсивность потока ре­ монтов бригады, в зависимости от общего числа ремонтируемых узлов у, задана функцией .

Определим интенсивности потоков событий, переводящих элеме нт из состояния в состояние. Прежде всего,

"'12=� + "'2'

.

=

-

=

=

-

действительно, пока при бор работает нормально, на оба узла действуют потоки неисправностей: на работающий -с интенсивностью �, на неработающий -с интенсивностью 1.2' На прибор в целом дей­ ствует поток с суммарной интенсивностью "'1 + 1,2' Да лее, из состояния &2 В &3 прибор переходит под действием потока неисправностей, приходящегося на единственный работающий узел:

1,23

Вид функции ер(у) представлен на рис. 6.10. Отдельный прибор (элемент) может находиться в следующих сос­ тояниях: &1 исправны оба узла, первый работает, второй в резерве, &2 первый узел неисправен, ремонтируется, второй узел ра­ бота ет; прибор работает, &3 оба узла неисправны, ремонтируются; прибор не работает. Вышедшие из строя узлы ремонтируются независимо от того, яв­ ляет ся ли узел основным или запасным (ремонты распределяются по узл а м равномерно). После исправления вышедшего из строя узла он ста н овится резервным, если другой не вышел из строя, и основным­ ес ли вышел. Написать уравнения динамики средних. Решение. Граф состояний элемента (прибора) имеет вид, пока зан­ ный на рис. 6.11.

у=Хz+2Хз· Действительно, на каждый прибор, находящийся в состоянии &2' при ходится один неисправный узел; на каждый прибор в состоянии & з­ два неисправных узла. Суммарная интенсивность потока ремонтов будет:

М � = ер

(у)

-

1-"=

ер

(Х2 + 2Хз).

q>(X2-f-2Хз) Х2 + 2Хз

.

Следовательно, истинная интенсивность потока ремонтов, прихо­ дящаяс я на один элемент в состоянии &2' равна:

л

21 -

_

q> (Х2 -t 2Хз) Х2 + 2Хз

•

Аналогично определим "'32' В состоянии &з прибор имеет два не­ исправных узла; на каждый из них приходится поток ремонтов с ин­ тенсивносТью

q>(Х2 + 2Хз) Х2 + 2Хз

-

306

=

Эта интенсивность делится поровну между всеми ремонтируемыми узлами, так что на один узел приходится интенсивность потока ремон­ тов, ра вная

-

-

1,1'

Обратно, из состояния & 2 В &1' прибор переводит поток ремонтов, п риходящийся на один ремонтируемый узел. Общее число узлов, на­ ходящи хся в ремонте, равно

-

М2; = ер (у).

=

а на оба - поток с интенсивностью, вдвое большей:

2q> (Х 2 -+ 2Хз) Х2 + 2Хз

Согласно принципу квазирегулярности, заменяем случайные ар­ гументы Х2 и Х 3 их математическими ожиданиями т2 и тз; получим:

1,21::::;: q>(т2 + 2mз) т2 +

2mз

2q> (т2 +--=2mз) :;....;.. 1,32:::::: --'---"-.: т2

+ 2mз

Таким образом, можно проставить на графе состояний все интен· сивности и, согласно общему правилу, записать уравнения динамики средних. Из трех уравнений (для т1, т2 и тз) пишем первое и послед­ нее - второе отбрасываем:

(2.9)

Из условия

выражаем

m1+т2+mз=N т2 через т1 и тз: m2=N-ml-tnS

и подставляем в первое и второе уравнения dml

dt dтз dt

=

_

(1,1 + 1,2) m1 +

__ 2qJ -

(N N

--

т1

<р

(N

-

(2.9):

Пl1 + тз)

N -т!

+ тз) та + �

�

тl + тз

(N

(N +

-

- - .

тз

�

тl

-

тз)

�)

)

(2.10)

.

Полученную систему двух нелинейных дифференциальных урав­ нений с неизвестными функциями ml' тз можно решать на машине или вручиую (численно). Таким образом, пользуясь принципом квазирегулярности, можно написать уравнения динамики средних, в которых неизвестными функ­ циями являются средние численности состояний; эти уравнения при­ ближенно описывают изменение средних численностей состояний даже в случа е, когда интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, зависят от численностей состояний и, значит, являются случайными. Погрешность, с которой уравнения динамики средних описывают процесс, т е м м е н ь ш е, ч е м б о л е е м н а­ г о ч и с л е н н а группа элементов и ч е м б л и ж е к л и н е й. н ы м функции, выражающие интенсивности потоков событий в зави­ симости от численнастей состояний. Возникает вопрос а нельзя ли, пользуясь тем же методом, что в § 1, приближенно определить не только математические ожидания, но и Д и с п е р с и и средних числен настей состояний? Мы видели, что в случае, когда отдельные элементы переходили из состояния в состоя­ ние независимо друг от друга (т. е. интенсивности потоков событий, переводящих элементы из состояния в состояние вовсе не зависели от численнастей состояний), дисперсии численнастей состояний находи­ лись просто по формуле:

( - )

Dk (t) =m/t (t) 180.

/IIh

(t)

N-

.

(2.11)

Исследования показывают, что в случае, когда интенсивности по· токов событий зависят от численнастей состояний, этой формулой, вооб­ ще говоря, нельзя пользоваться. Она оказывается пригодной только в случаях, когда зависимость интенсивностей потоков событий от чис­ ленностей очень слабая (почти пренебрежимая), да и то на сравнитель­ но малых участках времени, пока не н акопилась погрешность. Если же зависимость интенсивностей от численнастей существенна, формула (2.11) дает ошибку. Если функции, выражающие суммарные интенсив­ ности потоков (как например, функция IP в примере 1) в ы п у к л ы в в е р х, то формула (2.11) дает з а н и ж е н н о е значение для дис­ персии: дисперсия, вычисляемая по этой формуле, может быть, скажем, вдвое меньше истинной (а иногда - и более, чем вдвое). Приближенно найти дисперсии численнастей состояний можно, выписывая и решая специальные дифференциальные уравнения уже не для математических ожиданий, а для дисперсий Dk(t) и корреля­ Цlюнных моментов Kki(t), характеризующих связь между числен­ ностями состояний (Ek, (Ez. Эти уравнения в каком-то смысле а н ало­ гичны уравнениям динамики средних, составляемым на базе принципа квазирегулярности, но гораздо сложнее их и не обладают той же на­ глядностью. Число уравнений и число неизвестных в этих уравнениях равно числу дисперсий плюс число попарных корреляций между чис­ ленностпми X1• Х2, ... , ХМ т. е.

п+

11(11-1�

2

=

I1(П+ ,) 2

.

Кроме дисперсий Dk(t) и корреляционных моментов Khz(t), в урав­ сред­ нения для них входят еще и n функций In 1 (t), In2(t), ... , fnn(t) них численностей состояний, которые предполагаются уже определен­ ными из уравнений динамики средних. Уравнения для дисперсий Dk(t) и корреляционных моментов Khz(t) оказываются относительно самих этих переменных л и н е й н ы м и, хотя математические ожидания численнастей tnk(t) входят в них нелинейно. В виду сравнительной сложности вопроса, мы не рассматриваем методику построения системы уравнений для дисперсий и корре­ ляционных моментов (для частного случая эти уравнения описаны в статье [22]).

-

3.

УЧЕТ ПО ПОЛНЕНИЯ ЧИСЛЕННОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ

до сих пор мы применяли метод динамики средних к решению толь­ ко гаких задач, где система была замкнутой, т. е. количество элемен­ тов N, участвующих в процессе, оставалось неизменным. На практике нередко встречаются задачи, где в ходе процесса численности эле­ ментов, находящихся в каких-то состояниях, п о п о л н я ю т с я и 8 В Н е. Это пополнение очень -легко учесть в уравнениях динамики средних. Рассмотрим в качестве примера систему S, состоящую из N одно­ родных элементов. Граф состояний элемента показан на рис. 6.12. 309

Интенсивности ЛIJ в общем случае зависят от численностей состояний Х1, Х 2, Х З, Х4 (при составлении дифференциальных уравнени й эти численности заменяются средними численностями m1, т2, тз, т4). Если пополнения состава численностей состояний в ходе процесса не происходит, то уравнения динамики средних будут: dml dt

dm2 dt

=

N (t)

СО

временем

I

=

Nо + б (t) dt,

(3.4)

� о

где No -начальное значение численности элемент�в. Таким образом, учет пополнения численностеи состоянии сводит­ ся к тому, что к правой чщ:ти соответствующего дифференциального

-(ЛI2 + Л13) т1 + Л21 т2, -(Л21 + Л23 + Л24) т2 + Л1 2 т 1

=

Же величине N; 'rеперь она будет равна изменяющейся численносТИ

о

,

(3.])

уравнения nри6авляется слагаеАюе, равное интенсивности пополнения среднему числу элементов, вводимых в данное состояние за единицу времми. Пример 1. Рассматривается система, состоящая (в начальныи мо о

: мент) из Nо однородных технических устройств (прибоуов), каждыи из которых может быть в одном из следующих состоянии: <&'1 исправен; Ш2 неисправен, осматривается; <&'З признан негодным, списан; ремонтируется. (&4 Соответствующие средние численности обозначим тl, т2, тз, т4' Граф состояний элемента показан на рис. 6.13. Интенсивность потока неисправностеи" работающего прибора рав­ л. Среднее время осмотра не зависит от числа осматриваемых прина боров и равно 'осм' Неисправный прибор оказывается негодным и спи­ сывается с вероятностью р, а с вероятностью 1 Р направляется в ре­ монт. Среднее время, которое прибор проводит в состоянии ремонта, tpeM есть некоторая функция от числа х приборов, одновременно нахо­ дящихся в ремонте: -

-

-

-

Рис. 6.12

Рис. 6.13

-

причем любое из этих уравнений может быть отброшено, и соответст­ вующая переменная выражена из условия: т1 +т2-1-тз+т4=N.

(3.2)

Трем = f (х).

(3.3)

Чтобы скомпенсировать убыль приборов в результате списания, производится пополнение численности приборов извне (исправными приборами), причем за единицу времени в систему вводится в среднем б б(t) исправных приборов. Требуется: - написать уравнения динамики средних с учетом пополнения, - определить, какова должна быть функция 6(t) для того, чтобы спис ание приборов в сvеднем было скомпенсировано, - написать формулу для суммарного числа элементов N(t), на­ ходящихся во всех СОСтояниях к моменту t. Решение. На графе рис. 6.13 проставляем интенсивности поТоков событии. Интенсивность Л41 приближенно принимаем обратно пропор­ ци ональной среднему времени ремонта (строго говоря, это верно толь­ ко для стационарного пуассоновского потока):

остальные уравнения останутся такими, как были. Заметим, что условие (3.2) также изменится. Раньше в любой мо­ МЕНТ времени сумма 13сех средних численно стей была равна одной и той :i10

311

Теперь предположим, что контингент элементов, находящ ихся в одном из сосТояний (например, <&'1) п о п о л н я е т с я и з в н е, причем интенсивность пополнения, т. е. число элементов, Вводим ых в единицу времени в состояние <81' равна б (в случае, если за единицу времени вводится случайное число единиц, интенсивностью пополне­ ЮIЯ будет называться среднее число единиц , вводимых извне за едини­ цу времени). Величина б может быть как постоянной, так и перем ен­ ной, как зависящей, так и не зависящей от средних числен ностей со­ стояний. При наличии пополнения первое уравнение системы (3.1) изме­ нится; в правой части его появится слагаемое, равное пополн ению б: а

dml t d

=

_

(Л1 2 + "18) т1 + Л21 т2 + б,

=

Заменяя истинную численность ремонтируемых приборов математическим ожиданием m4, получим:

1..41=

I

--

f (m4)

Х4

ее

'

Система дифференциальных уравнений динамики средних будет.

m =-лm + т 4 _+8 , dt f (1Il4) 1 dm2 -л � + т1• -!

d l -

mз=

__

-

dt

ОСМ

рm2

dnzз

= _

dt

-d?-Sm2(t)dt. 'оом

о

в данном примере 1 пополнение вводилось только в одно состоя·

попол· ние; вообще, это может быть и не так (например, можно вводить атьс я нение неисправными приборами, которые должны ремонтиров пополне· функции что того, кроме Заметим, местными средствами). ния могут иметь как положительные, так и отрицательные значения

-;u- = Тоем' dm4

Из числа уравнений (3.6) можно б езболезненно исключить третье, так как величина тз не входит ни в одну правую часть. Величину тз в условиях данного примера МОЖБО вычислить очень просто: для каж­ дого момента L она равна суммарному числу вновь поступивших при· боров (так как все списанные в среднем компенсируются) и, значит,

� + (1 - р) m2 f (m4) /оем

(убыль элементов). р

Заметим, что в данном случае мы не можем так просто отбросить . любое из уравнении, как в случае без пополнения, так как условие (3.2) видоизменяется; общее число элементов в системе зависит от вре­ мени и равно: I

N(t)=No+ �8(t)dt.

(3.5)

о

для того чтобы в среднем скомпенсировать списываемые приборы интенсивность Пополнения должна быть равна среднему числу прибо: ров, списываемых за единицу времени. Всего в единицу времени спи­ сывается (переходит из соСтояния iВ 2 В (g з) в среднем р

-=--

/ОСМ

т2

приборов; значит, мы должны положиты

При такой интенсивности пополнения система уравнений динамики средних примет вид:

d m1 dt " dm dt

dmз dt dm.

dt

3 12

=

=

-лт -

1

р

1 + f (m4) т4 + �CM

I --- m2 tOeM

+

Лт1,

(3.6)

- р- tn2• - -

_

IOCM

_

-

-

I

m2,

l-р

{(т) m4+ -,-- m2• осм 4

Рис. 6.15

Рис. 6.14

изобра­ Пополнения, вводимые в состояния, иногда бывает удобно ать изображ мся Услови 6.14). (рис. ий состоян жать наглядно, на графе состояния, а в случае их шолустрелкамИ», не идущими ни из какого (для наглядности «убыли» - не направленными ни в какое состояние ми). Размечая двойны делать будем , стрелок от отличие в , полустреJ!КИ елок будем полустр против граф интенсивностями потоков событий, л е м е н т, э н и Д о на ся дящую прихо ь, писать не интенсивност в Ц е л о м (это м у е т с и с на ящуюся приход ость тенсивн а ин и умножения делается для того, чтобы избежать ненужного деления число). же на одно и то о' Пример 2. В условиях примера 1 пополнение численностей отн и (84 (ремоотируе­ приборы) ные исправ ям оян ( сос iВ1 : двум и к т сится

вновь поставляемых приборов мые приборы), причем некоторая доля а авными; последние сразу неиспр а) (l доля а дается исправными, ущем примере, суммар· же начинают ремонтироваться. Как и в предыд

ное пополнение в единицу времени равно

l?-- m2' {!')СМ

313

Построить граф состояний, отразив на нем по полн ени е, написать уравнения динамики средних, определить общее среднее к оличест во элементов в системе N(t) как функцию времени. Решение. Граф сост ояний показан на рис . 6.15; полустрелки, на­ правленные в Состояния (gI' [В4, изображают пополнение. Уравнения динамики средних имеют вид :

dml dt dm2

& dmз di dm4

__ -

'А

- __t-

ОС

р

--=--

&

tOCM

_

-

-

т2+'Ат1,

(3.7)

м

т2, 1

1 -р

2 f (m4) т4 + tOCM т +

(1- а) р tOCM

т2·

Из нйх по-прежнему удобнее всего исключить третье уравнение тз как

и выра зить

Sm2 dt.

-JtOCM

<1

Общее с у ммарное число элементов в системе мен яется во вр емен и форм уле :

согласно

N (t)

= No

+ /

ОСМ

t

Stn2dt =NO+m8• о

4. МЕТОД ДИНАМИI(И СРЕДНИХ ДЛЯ СИСТЕМЫ' СОСТОЯЩЕЙ ИЗ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

До сих пор мы применяли метод динамики средних к системам состоящи� из однородных элементов. Однако, без принципиальны� изменении, он может быть применен и к системам, Состоящим из неод­ нородных элементов разных категорий - разница будет только в том что чи �ло дИффере Н!-I-иаль н ых уравнений увеличится. Если число ка: тегории и состоянии не Слишком велико, решение задачи трудностей не вызывает . Пример. В аВТО Х оз я й стве имеется Nr грузовых и NЛ легковых

К�жда я грузовая машина может быть в одном из следу ю ­ щих СоСТоянии: Г1 - ожидает В Ы Зо ва на ба зе Г2 - совершает порожний реЙ с к месту погрузки,

а вт ом щ,uин _

814

-

совершает рейс с ГРУЗО�I,

одном из с л е ду ющих

со-

Л1 - ожидает вызова на базе, Л2 - совершает рей с , Ла - проходит профилактический осмотр,

но бодных машин на базе. Пришедшие заявки распределяются равномер В слу­ вызова. щими ожидаю ии, категор ой н н а д ми машина всеми между категории , чае, если на базе нет ни одной свободной ма шины данн ой ). . у з а б ю ругу д а н я уетс с е р д а е р е п ( отказ заявка получает , находя щие ­ На профилактический осмотр берутся только машины потока профилакти ся в СОСтояниях r1, Л1• Средняя интенсивносТЬ 'А легковой 'А�роФ. �роф> равна ческих осмотров грузовой машины ; суммарный поток й о д а г ри б й о нн а ов ир з ециали п с я ятс д о Осмотры п ров осм отров имеет интенсивно�ть

I

тз =

Га

Каждая леГковая машина может быть в ст ояний :

Л4 - р емонтируетс я . и лег­ На баз у поступают пуассоновские потоки заявок на грузовые ковы е машины, интенсивности которых ЛГ и 'Ал не з а вися т от числа сво­

ар I т1 + f (m ) т4 + [ОСМ т 2, 4 I

=

Г6 - проходит профилактический осмотр , Г6 - ремонтир у ется .

Г4 - совершает порожний рейс обратн о на базу,

A� �a

(l-e-U),

(4.0

есте) , п р оходящих где у - ЧИСло машин (грузовых и легковых вм осмо тр . осмотра грузовой и легСредняя длительность профилактического порожне­ ковой машины одинакова и равна [ОСМ, Средняя длительность яя дли­ го рейса (к месту погрузки или к автоба зе) равна {�op. Средн ность рейса тельность груженого p�ca равна {�p. Средн я я длитель

легковой машины равна tЛ•

Из профил актического осмотра грузовая машина с вероятностью Г обратно в состо яние Г1• рГ идет в ремонт, а с вероятностью 1 - р Л и 1 - рЛ.

р Аналогичные вероятности для легковых машин равны производится ре­ Ремонт как грузовых, так и легковых машин п рои звод и м ы й б риг а ­ монтной бригадой; сумма рны й П ОТок ремонто в , ь ивност интенс дой, имеет

(4.2)

вместе), одновременно где х - число машин (грузовых и легковых находящихся в ремонт е. машины могут по­ Кроме сост оян и я про фила ктическо го осмотра, вность потока не­ Интенси . а с й из ре с т упат ь в ремонт непосредственно порожнего рейса нии состоя в ны маши й о в о з исправностей одной гру енсивность пото­ нт И p' � " са й е р ного равна "� op, В состоянии груже р ейсе, ра вна vЛ• в я с й е щ дя о х а н , ы ин ш а м й о в о гк е л ей ка неисправност

Требуется:

ы, - составить граф состояний элементов систем средних чи сленн одля ения уравн е ы н ь л а енци ффер ди ать с и п а - н стен состояний.

315

и

Решение. Ввод им обозначения: т{ - среднее число грузовых машин, ожидающих вызова в мо­ мент t; т{ - среднее число грузовых машин, совершающих порожний рейс к месту погрузки; ms" - среднее число грузовых машин, совершающих руженый г рейс; т4Г - среднее число грузовых машин, возвращающихся порож­ няком на базу; т5Г - среднее число грузовых машин, проходящих профилактический осмотр; т{ - среднее число ремонтируемых ГРУЗОВbIХ машин; m1Л - среднее число легковых машин, ожидающих вызова; m2Л - среднее число легковых машин, совершающих рейс; msл - среднее число легковых машин, проходящих профила ти к , ческий осмотр; m4Л - среднее число ремонтируемых легковых машин. Граф состояний системы, распадающийся на два подграфа - Ii Л, показан на рис. 6.16.

водить

машин

в

tрУЗОВУЮ машину из состояния Г1 В r 2) завиСИТ от состоянии Г1 следующим образом: г

л.пр=

{ АГ

числа

при X1r>- 1, при Х/ = О.

о

X�

(4.3)

Эта фу нкция такоГо же вида, как нам встречалась уже ранее, в при­ мере 2 § 2 и встретится еще не раз в следующих примерах. Поэтому мы сейчас B�eдeM две функции, которые в дальнейшем будут обозначать­ ся всегда одинаково: R(x) и р(х) (ими мы будем пользоваться во многих конкретных задачах динамики средних). Определим ф У НКllИЮ R(x) следующим образом: R (х)

=

{

х

при х � 1;

1

при х> 1.

(4.4)

График этоЙ фуНКllИИ представлен на рис. 6.17. Р{Х)

11-----.....

r

л Z

о

о

r

2

Рис. 6.17

:t:

Рис. 6.18

(

Функцию р(х) определим формулой: 1 при x� 1, R(x) p(x)=�= ..!.. при х>l. х Рис. 6.16

Определим теперь интенсивности Лlj, AfJ потоков событий, пере­ водящих элементы (грузовые и легковые машины) из состояния в со­ стояние. Некоторые из этих интенсивностей зависят от численностей состояний, другие не зависят. Для первых мы, при составлении диф­ ференциальных уравнений, согласно принципу квазирегулярности, заменим численности состояний, от которых они зависят, средними численностями. Найдем Ч2 - интенсивность потока событий, переводящего гру­ зовую машину, ожидающую вызова, в состояние Г 2 - рейс к месту погрузки_ Вызовы грузовых машин, по условиям задачи, образуют по­ ток с интенсивностью АГ; но вызов принимается только тогда, когда в состоянии Г1 есть хотя бы одна машина. Поэтому интенсивность потока п р и н я т ы х вызовов A�p (а только такие ВЫЗовы могут пере-

116

(4.5)

г График ФУНКllИИ р(х) изображен на рис. 6.18. При помоши функции R(x) интенсивность "'пр вызовов грузовых машин записывается так:

A�p

=

",Р

потока принятых

R (ХВ.

(4.6)

Теперь вычислим интенсивность "'�2 потока событий, переводя­ щих отдельную грузовую машину из состояния Г1 В Г 2 (см. рис. 6. 16):

А

Г=

12

л.�р

Xt"

__

Г

н R _ н =f'o, ---f'o,

(Х1Г) Х/

Р

)

lГ '

(Х

(4.7)

Далее найдем другие интенсивности. Имеем: r r • f'o,2 3 = llt-пор,

�

� f'o,З4 =

l/tr· гр,

"'Г41

=

1/t�op,'

М5

=

"'�роФ'

(4.8)

Теперь определим интенсивность "'�1 потока событий, переводя­ щего элемент (грузовую машину), находящийся в состоянии ГБ (про-

317

"'"24

филактичеекий осмот р ) . в состояние Г1• Эту интенсивн ость вычислим следующим образом. Суммарная и н тенсивность потока осмотров , ко­ торы й производит бригада, согласно формуле (4.1), ра вна : Al:=a [ 1 _е-(Х,г+х,л)].

(4.9)

Эту интенсивность нужно поровну разделить между всеми маши­ нами, находящимися в состояниях Г5 И лs; получится а

ll_е-(Х/+Х'Л)]

(осмотров в единицу времени) .

Х5Г+ХЗЛ

(4 . 10)

(4.20)

" =" .

_ы[_е-(х'г+х'л)]]

� II "'41-

(4.21)

Х{ +Х4Л

обоих Таким образом , все интенсивности потоков событий для ы. найден 6.16 рис. фов подгра , Заменяя в них числ енности состояний средними численносТями средних ки динами ений и урав х ы иальн ц рен ффе и д напишем систему в виде:

Но это еще не все: ведь в состояние Г1 переходит не каждая маши­ на, прсшедшая осмотр, а только какая-то часть из них. Чтобы получить из ( 4 . 1 0) интенсивность "'51, нужно умножить (4.10) на (1 _рГ) - ве­ ро ят ност ь IOI'O, чТо машина из про фи л а ктичес кого ремонта вернется в состояние Г1; получим: (4.1]) Аналогично находим :

[I-e- (х,г+х ,Л)] d... (4.12) Хо"+ХзЛ Интенсивность потока ремонтов, переводящих элемент из состояния ГО в 1'1' выразится форму лой : "'Гов

ар Г

=

�-20

______

b[I_e-(Х,г+х/)]

'"r вl

=

Х6Г+Х4Л

dтБГ

__

,

(4. 1 3)

где Х/. Х/ - численности ремонтируемых в данное время грузовых и легковых маш ин. ИЗ состояни й Г2• Гз, Г4 В состояние Гв (ремонт) элемент переводит­ ся потоками событи й с интенсивностями . соответственно равными:

dt

dm6"

а

=

_

--=-

- dt

[I-e- (m/ +т,л)] тБГ+mз"

1I15"

�

Г

г.

-''--0- + '''проф т J •

----''---_____

+ Ь[l_е-(m,г+т.")]т{ +т4Л ' то

(4.22)

(4 . 1 4) Аналогично определяем интенсивности потоков событий для вто­ рого под графа (легковые машины): "'Лl2

=

",Л Р (Х1Л) ,

(4. 1 5)

"'"21 =�,

(4.]6)

"'13 ="'�РОФ'

(4.17)

1"

�Л ""3 1

=

-

a(l-p") [l_е-(Х.г+х,л)] ХБГ+Хз,l

(4.18) (4.19)

318

819

функция, определен­ Напомним, что в этих уравнениях R(x) ная формулой (4.4). Таким образом, нами написаны десять дифференциальных уравне­ 10). Однако факти­ нии для средних численностеи сосТояний (6 + 4 чески решать приходится не так много: любое из шести первых уравне­ нии и любое из четырех последних может быть отброшено и соответст­ вующая функция выражена из условия: -

=

m1Г +m2Г +mзг +щ/ +m/ +m/ =Nr,

mlЛ+m2Л+mзЛ+m/ =N'"

Таким образом, общее количество дифференциальных уравнений, 8). которое придется решать, равно восьми (5 + 3 Начальные условия, при которых мы будем решать эту систему, зависят от того, какой вопрос мы хотим выяснить. Если, например, нас интересует по преимуществу начальный период работы базы, вскоре после ее организации, естественно предположить, что в начальный мо­ мент все машины находятся в состояниях Г1 И Л1; тогда начальные усло­ вия будут: =

t=O;

m/ =NC; 1n1Л =N";

m2Г =mзг =m/

=

mБГ =lnв" =0;

mz" =mз" =In/ =0.

Если же нас интересует другое, например, насколько быстро си­ стема может справиться с «затором», вызванным большим числом неис­ правностей, - можно предположить, что в начальный момент уже большое число машин находится в ремонте (состояния Г6 и Л4). Обратим внимание на то, что полученная нами система дифферен­ циальных уравнений для средних численностеи состояний н е л и н е и н а. Это очень типично для метода динамики средних в условиях, когда интенсивности потоков событий зависят от численностей состоя­ нии. Тем не менее решение такой системы дифференциальных уравне­ ний на ЭЦВМ или даже вручную (численно) затруднении не представ­ ляет. Для эТого только нужно задаться численными значениями всех параметров, фигурирующих в задаче. 5.

ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ СРЕДНИХ ЧИСЛЕННОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ

в предыдущих параграфах мы рассмотрели методику описания процесса, протекающего в сложной (многоэлементной) системе S с по­ мощью уравнений динамики средних, в которых неизвестными функ­ ,lnn' циями являются средние численности состоянии: Inl, m2' Естественно, возникает вопрос: к каким предельным значениям стремятся (если стремятся) эти средние численности при t -+ оо? Су­ ществует ли, и если существует, то каков установившийся режим? В случае, когда мы рассматривали уравнения для вероятностей состояний, вопрос о предельном режиме решался достаточно просто. Если из любого состояния система могла перейти в любое другое, а число состоянии было конечно, то существовал предельныи установив. . .

ПО

шиися режим, не зависящии от начальных условии. Чтобы наити ве· роятности состоянии в этом реЖИf.lе, достаточно было положить левые части дифференциальных уравнений равны!.1И нулю и решить получен­ ную систему линейных алгебраических уравнении. Для метода динамики средних дело обстоит несколько сложн€е. Нап,?мним, что уравнения динамики средних в общем случае н е л и­ _ н е и н ы; так же нелинеины и алгебраические уравнения, получаемые из них, если левые части положить равными нулю. Может оказаться, что решение этой снстемы уравнений не единственно, тогда нужно рас­ смотреть совокупность решений и отбросить те из них, которые не от­ вечают физическим условиям задачи. Если даже решение единственно, нужно все же исследовать поведение решения системы дифференциаль­ ных уравнении_ при t -+ 00. Продемонстри руем особенно­ А 8 сти исследования предельного по­ ведения средних численностей со­ стояний на примере задачи, взятой, ради разнообразия, из области биологии. Пусть в некоторой мест­ ности обитают животные двух ви­ дов А и В, причем животные перво­ хищные, и они пи­ го вида (А) таются животными второго вида (В), которые довольствуются расти­ тельной пищей. Рис. 6.19 Будем характеризовать состоя­ ние каждого животного предельно грубо, учить!вая только, живо ли оно еще или погибло. Построение гра· фа состоянии элементов системы не вызывает никаких трудностей: этот граф разобьется на два подграфа, соответствующих видам А и В (рис. 6.19). Здесь стрелки, ведущие из А1 в А2 И из В 1 В В2, учитывают смертность животных, причем для вида В -смертность двух родов: и те случаи, когда особь погибает естественнои смертью, и те, когда ее поедает животное вида А. Двойные полустрелки, ведущие в состоя­ ния А1, В1, соответствуют пополнению численностей благодаря рождае­ мости. Обозначим численности элементов (животных) в состояниях А А2, В1, В 2 COOTBeTCТBe HO ч�ез X1A, XzA, Х1В, Х2В, а их математиче �: � кие ожидания через In1 ,lnz ,lnlВ' 1n2В. МЫ хотим составить дифферен­ А In В пре,циальные уравнения для InlА, In1 В (средние численности т 2, 2 дыдущих поколении, как окончательно выбывшие из «активных» элементов системы, не будут .входить в эти уравнения, и мы можем ими совсем не интересоваться). Для того, чтобы составить дифференциальные уравнения, нужно задат ся B OM зависимости интенсивностей потоков ,,12, "f2, БА, БВ � � Х1 . от Х1 Начнем с тр авоядных живо'Т'ных вида В. Предположим, что запасы пищи, доступнои. им, не зависят от численности животных ни вида А, -

•

,

11 Зак. б7З

321

НII в и да В, и что п и щи хватает на всех. Тогда естественно предполо­ жить, что ср едн я я [Jождае�IOСТЬ в единицу вре�lени (в пересчете на одн у живую особь вида В) оста ется постоянной. Обозначиr,1 эту постоян­ ную с; тогда п ри рост числен ности СОСТОя н и я В} за счет рожде ния новых животных выразится форыулой:

Выпишем теперь дифференuиальные уравнени я дл я средних чис­ л ен ностей состоя н и й: -Л!2m! +0

dmlB

-Л!2mВ ! + vB

А

dt

(5.1) Что ка сается смертности л f2, ТО мы уже ска з али, что она склады­ ва ется и з двух слагаемых. Пер вое - это естествен ная смертн ость; мЫ будем считать ее постоян ной (по тем же при чинам, rю которым считали ПОСто ян ной рожда емость). Обозначим :лу постоя нную (среднее число естественных смертей в пересчете на одн у живую особь вида В) чер ез k; вел и ч и н а k может быть истол кована ка к дол я животных вида В, по­ гиба ющи х в един ицу времен и естествен ной смертью. Второе сла га емое это дол я животных вида В, ГlQеда ем ы х в едини uу вре­ в составе л f2 мени хищн и ками вида А. Естествен но п редположить, что число встреч (в еди н ицу времени) животных видов А и В, кончающи хся тем , что А поеда ет В, прямо пропорцион ально числу Х,А животных вида А (жи­ вых) и ч ислу Х}В имеющихся ж ивотных вида В, т. е. что это число вы­ ража ется фор мулой (5.2) l)(lA .Х[В,

аmlп

--=

А

s:

в

dt

--=

А ,

.

Пользу яс ь при нципом ква зирегуля рности и замен яя числен ност и )(,А, )(1" ОТ которых за висят и нтенси вности (5. 1 ) , (5.3), (5 .4), (5.5), А в их с ред ни ми зн ачениями т1 , ml пол у чим: ,

(5.6)

-

fftJ

g/xj ------------

где 1 конста нта. В пер есчете на одн у жи вую особь вида А число та­ ких смертей (<<поеда ни й») в еди н иuу времен и будет равно lХ}А, та к что и нтенсивность потока гибелей , п р иходящаяся на одну особь вида В в состо я н и и В}, выразится та к: -

л'�2 =k+lx1.

(5.3)

Теперь за ймемся жи вотны�1И вида А. Мы п редположили, что их единствен ную пищу соста вл яет вид В; поэтому естествен но, что и рож· да емость и смертность вида А будут зависеть от числ а поедаемых в единицу времен и животных, при ходящихся на одно го хищника. Число поеда емы х жи вотных задается формулой (5.2) , и на одного хищн и ка и х п р и ходится в средн еы lХ}В. Та кш.1 образом, смертность хищн и ков л. �2 будет ка кой-то функци ей от lХ} В, ил и , та к каК [­ кон станта, ка кой-то функцией от Х1В:

A�2

=

f (xf).

(5.4)

Очевидно, фун кци я f будет убывающей функuией от Х1В (т. е. от количества п ищи). действительно, животные будут тем мен ьше уми­ рать, чем бол ьше у ни х будет пищи. Возможный вид функции f пред­ ставл ен па рис. 6.20. Аналогич но, рождаемость будет ка кой-то др угой функцией от чис­ ла животных вида В: g(X1B) , и средн и й при рост попул яци и хищн и ков за счет рождаемости (в еди ниuу в ремени) за п и шется так: БА =Х / g 322

(X1 В).

о

Рис. 6.21

Рис. 6.20

Мы видим , что в первое урав н ен ие фа кти чески входит только раз­ IЮСть функuи й g И f, характеризующа я полный ср,: дни й п р и рост. Обоз­ начи м эту разность через h: h (х)

=

g (х) -f (х).

(5.7)

Это - разность возраста ющей и убыва ющей функuии, а значит, возраста юща я (см. рис. 6.22) . В отличие от положи­ са ма функuи я h тельных функци й f и g, эта фун кuия может менять зна к . П р едположи м, В В что она мен яет зн а к в како й-то точке хо (ри с. 6.22). Значение хо и меет которой и р п емость рожда смысл той числ ен ности жи вотных вида В, и смертность хищни ков в среднем ура вновешива ются . При больших з начен и я х численности вида В числен ность вида А в среднем воз раста ет, п р и ме ньш и х - в среднем убывает . Назовем хоВ к р и т и ч е С к о й ч и с л е н н о с т ь ю В И Д а В. А Совершен но так же можно ввести критическую числ енность хо ­ к ищн и ков , при которой число траво ядных ж ивотных в с реднем оста ет ся неизменным. Из второго уравнен и я (5.6) видно, что -

(5.5)

Фун к ци я g , естественно, воз р астающая функци я от Х18 (рис. 6.2 1 ).

�---------� О r

х

А

1) •

хо

=

c-k

/-

-

(5.8) .123

Когда число ХИЩН И lюв больше, чем хоА, то численность вида В убыва ет, а при мен ьшем и х числ е - возраста ет. Пол ьзуясь новыми обозн а чен и я �lИ, уравнен и я ди нами ки средних (5 . б) можно переп исать в виде:

dm l A - ( - h m1 В) m 1 А ..

-&

d m l b = l (Xo A - ml А) ml В ' dt

I

(5.9)

В та ком виде мы и будем анализи ровать уравнения для средних qисленност ей состоя н и й системы . Посмотрим, ка к с изменением t будет дви гаться точка на плоскос­ ти , изображающа я рещение mlA , ml B системы (5 . 9) (см. рис. 6.23). h(Xj

m/ =x�

8 Л7,

--- - - - - - - -- - - -

х/ --

о Рис. 6.22

При m1 B

<

Рис. 5.23

хоВ, т. е. н и же прямой m1 B

dm A

=

т

хо в,

согласно пер вому

< О; это озн а ча ет, что точ ка движется в л е в о (одновремен но с этим , может быть, вверх или вни з) . Выше этой пря мой точка движется в п р а в о. Точно та к же из второго у равнен и я (5.9) пол уча ем, что левее п р я мой mlA хоА движение точки на п равлено в в е р х, а п р а вее этой прямо й - вниз. В моменты п рохожден ия пря. хоВ точ ка движется строго верти кально: вниз, есл и она на­ мой mt B ходитс я правее хоА и вверх - есл и левее; в моменты прохожден и я пря­ мой ml A хоА она движется строго горизонтал ьно. Та ким образом, точ ка , изобража ющая решение системы (5 . 9), враща ется вокру г точ ки (хоА , хоВ) по часовой стрел ке, п р и ч ем в р а щает­ ся , вообще говоря , не по кругу - может быть, пр иближа ясь к то ч ке (хоА , хоВ), а может быть удал яяс.ь от нее. Точка (хоА , хоВ) - П О л о­ ж е н и е р а в н о в е с и я : если в качестве начал ьных условий для решения системы (5 . 9) ВЗять хоА , ХОВ, то численнооти mlA , m1 B не бу­ дут измен ятьс я , и решение систем ы (5 . 9) не зависит от времени:

уравнению (5. 9) ,

=

=

=

m ] А и)

=

хоА ;

m1 B (t)

�

хо в .

Это положен и е равновесия может быть у с т о й ч и в ы м, ecJlи решени я системы, начин ающиеся и з точек , бл изки х к (хоА , хо В) , С течением времен и неогра н и чен но приближаютс я к этой ТОч ке; и н е у с т о й ч и в ы м - есл и удал яются . 324

На рис. 6.23 изображен случай, когда решен ие, начинающееся на п р я мо й ml B хоВ через один «оборот» оказывается ближе к точ ке (хо А , хов), чем в начале. Очевидно, возможны еще два случая : - после одного «оборота» точ ка окажется дальше от (хоА, хоВ) , чем в начале; - после одного «оборота» точка в точности вернется к своему на чал ьному положению. В посл еднем случае все последующие «обороты» точ ки mlA , mlВ во­ круг положен и я ра вновес и я будут совершаться по одному и тому же замкн утому пути . Та кой зам кн утый путь в теор и и дифференци альных у равнен и й называ ется Ц и к л о м; ему соответствует периодическое решение ml A (t), ml B(t) : числ о хищн и ков воз растает, поэтому число тра­ воядных на чинает убывать, дости гает хов; тогда н а чи на ет убывать число хищни ков, и , когда оно мин ует критическое зна чени е хоА, число траво­ ядных н а ч и н а ет возрастать; на конец, численности тех и ДlJ УГИХ живот­ ных дости гают свои х п реж н и х Значен и й и процесс начинается заново. Та к же, ка к и положен и е равновесия , ЦИ КJI может быть у с т о й ч и в ы м ( когда решен и я , начинающиеся вбл изи него, неогра н иченно при­ бл ижаются к ци кл у ) и н е у с т о й ч и в ы м ( когда они удал я ютс я ) . Вернемся к случаю, изображен ному на р и с . 6.23. Следующи й обо­ рот точки (m\ А , m} В ) вокруг положен и я р а в новеси я еще бол ьше при­ близит ее к точке ( хо А , хоВ), и С каждым следующи м оборотом точка (mlА, ml B) будет все бол ьше п рибл и жаться к точке (хоА, хо в) . Здесь опять-та ки может быть два случая: либо точ ка будет н е о г р а н и­ ч е н н о п р и ближаться к положен и ю ра вновес и я - тогда , очев идно, это положен и е ра вновесия будет устойчивым; либо будет с ка ждым обо­ ротом п р и ближаться , но н е н е о г р а н и ч е н н о. В этом сл учае точка �ml A , ml B) будет н еогр а н и ченно п риближаться снаружи к ка ко­ му-то ци клу, который, конечно, будет устойчивым. Такие же ра ссуждени я мож но п ри менить и в случае, когда после одного оборота точка (m 1 A , ml B) У д а Л и т с я от положен и я равно­ веси я : либо с течением в ремени она будет н еогр а н и ченно удал яться от точ ки (хоА, хоВ) , а значит, и от начала координат; л ибо она будет приближатI..С Я к ка кому-то устойчи вому ци кл у (на этот раз изнутри). Все эти ха ра ктеры поведения р ешений системы (5. 9) могут по-раз­ ному комби н и роваться друг с другом, образуя и ногда довол ьно слож­ н ую ка ртин у . Н а п ример, изобр азим на рис. 6 . 24 сл уча й, когда поло­ жение равновеси я устойчиво, и н и каки х ци клов (периодических реше­ ний) н ет. Здесь будет единствен ный п редельный реж и м (хоА, хоВ) ; И К нему будут стремиться все решен и я , каковы бы ни был и на чальные услови я . На рис . б . 25 изобр ажен другой случай, когда положение равновес и я неусто�иво, а ци клов, ка к и в предыдущем сл уча е, нет. В Этом случае ника кого п редел ьного режима не существует: ЧиCJIен­ ность каждого вида то убывает почти до н у л я , ТО сильно возрастает, причем с каждым «оборотом» эти колебан и я становятся все больше, воз­ раста я неограни ченно. Разумеется, в точности та кой ха р а ктер п р едель­ ного поведения численностей видов п р а кти чески не может встретиться . Здесь начнут с/{азываться не учтен ные п ри формализа ции зада чи факторы: н а п [! имер, огр ани чен ность запасов пищи у тр авоядн ых или =

32 ;

ошибки , связанные с примен ением пр инци па квазирегул я р н ости (ко­ торые будут знач ител ьны п р и мал ы х значен и я х m) А , m) В) . Еще оди н п р и мер возможн ого х а ра ктера предел ьного по веден ия решен ий : пол ожен ие равновеси я неустойчиво, имеется один у с т о й­ ч и в ы й ци l{л С (см. рис. 6 . 26) . Здесь будет опять единственный пре-

П р и мер. В услов и я х рассмотренной выше задачи фун кци я h (x), аада ющая относител ьный прирост численности х ищни ков в еди н и ц у в ремени в зависи мости от числа травоядных , имеет вид: h (х )

=

1

А

_

3 2000 �

х

конста нты 1 и хо равны соответственн о 0, 001 и 1 000. При этом урав­ н ени я ди н ам и ки средни х (5.9) п ри м ут следующ и й вид :

d

��

dm) B dt

х!

о Рис. 6.24

тrА

= =

1

ml B

2000

[ : ] [ 1 - ��] -

m1 В .

1 000

ml

A

"

J

(5. 1 0 )

Заметим , что хо В (<<крити ческое» число животных вида В, п р и кото­ ром жи вотные вида А в среднем н е размножаются и не выми рают) , в дан­ ном сл учае также равно 1 000.

Рис. 6.25

дел ь н ы й режим - периодическое возраста ние и убыва ние чиСлен ностей , соответству ющее п редельному ци кл у С. к этому р ежиму п р ибл ижают­ ся среднч е ч исл енности m) A(t) , m) В Щ при л юбых н а чал ьных услови ях . . на рис. 6.27 изображен еще более сложный сл уча й : устой ­ чивое положен ие равновеси я , вокр уг него неустойчивый ци кл С) , а вокруг него - еще оди н , но устойчивый ци кл С2- Пре­ дел ьных р ежимов здесь два : по­ ложен и е равновеси я ( хо А, хо В) И периодичес к и й режи м, соот­ ветствующи й цикл у С2• К первому п редел ьному режиму чисо т: лен ности m ) А , m) В п риближают­ с я , есл и начал ьные условия Рис. 6.26 на х одятся вн утри ци кла С) (заштри хованная область на рис. 6 . 27) ; ко вто рому - если вна чале Точ ка (m) А , m) В) на ходилась вне цикл а С1 • Конечно, может оказат ьс я , что некоторые из перечисленн ых слу­ ча ев , пр и опреде� ен ных огра н и чен и я х на вид фун кци и h (x) (на пример, дл я огра н иченн ои фун кции h (x) ) н евозможны. Но, во вся ком сл учае, ка рти н а п редел ьного поведени я р ешен и й не всегда будет одна и та же, и для н а хожден и я п р едел ьных режи мов н еобходи мо иссл едова н ие системы (5 . 9) п р и кон кретных зна чен и я х в ходящих в нее Числовых п а р а метров и кон кретном виде фу н кuи и Il(X). 326

A

Рис. 6.27

Реша я численно систему (5 . 1 0) п ри разл ичных начальных усло­ вия х, убеждаемся , что здесь имеет место сл уча й , изображенный на р и с . 6 .26: существ ует н еустойчивое положение равновесия ( 1 000, 1 000) и оди н цикл, при чем устой чивы й. Этот цикл и будет и грать рол ь п редельного режи ма , ДJI Я любых н а чал ьных услови й . Как пока зыва ют вычисл е н и я , п ериод этого предел ьного режима будет п рибл и женно равен 1 0,8 еди ниц времен и ; измен ение средни х чи сленнастей видов А и В в теч ен и е этого периода предста влено в табл . 5 . 1 , а графически на рис . 6 . 28 и 6 .29 . В качестве н а чала отсчета времени взят момент наи мен ьшей численности травоядных ж и вотных . На рис . 6 . 28 п р едставлена зависимость средн и х численностей хищ­ ни ков (m l A ) и травоядн ых (т] В) от в р емени t; на рис. 6.29 показан устой ч и вы й предел ьный uи кл . Ци кл размечен по в р емен и ; делен и я 1 0 , 8 (пе р и од ци кла) m ) А и m) В 1 , 2 , . . . , 1 0. П р и t соответствую т t воз в ращаютс я к первона чал ьным значениям. =

=

П7

Табли ц а

1 Оj

В рем я t Сре д н я я численност ь х и щ н иков

НОСТЬ

н ых

1

2

1 з1 41 51 61 71 81

9

1

10

1 10 , 8

1000 790 670 620 €50 750 960 1 270 1540 1490 1210 1000

тА [

числеllтраnояд

С редн я я

1

5. /

450 500 650 930 13 10 1810 2 1 70 1950 1200 670 480 4 50

тВ I

А н а л и з и р у я да н ные, п р и веден ные в табл . 5 . 1 , мы видцм , что вна­ чал е , когда число тра воядных мало (в ср еднем 450) , хищни ки голодают,

:

т 2000

8 mf

1500

500 О

z

6

I

'и

8

I 11

'0, 8

Рис. 6.28

их ч и сло умен ьша етс я , и поэт ом у числ о травоядных н а ч и н а ет р а сти . К тому момент у , когда чи сло травоядных дости га ет 1 000 ( это п рои схо­ дит н емного бол ьше, чем ч ерез 3 еди н ицы врем ен и от н а чала ци кл а ), среднее ч и сл о хи щн и ков дости га­ 6 1 ет своего м и н и мума ( о к оло 620) . к а к тра воядных Посл е того, 2000 ста новится более 1 000, число хищн и ков о п ять н а ч и нает р а сти и снова дост и га ет 1 000 н ем ного позже t б. Число тра воядных в это время достигает ма кси му­ 8 ма (2 1 70 ил и н емного бол ь­ ше) , а потом снова начинает уБЫ­ ,000 з вать, потому что ЧИСло хищников бол ьше к р ити ческого 1 000_ З атем 2 ( п р и t между 8 и 9) ч исло х ищ­ н и ко в дости гает ма ксим ума, рав­ н о го п р иблизител ьно 1 550, а число т р а воядных в это вр емя -o4---------�10 �O �O�------�m �: равно к рити ческому 1 000. На посл едн ем участке ЦИ КJlа (до момента t 1 0,8) убывает и Рис. 6 29 =

=

328

число травоядных ( потому что число хищни ков превосходит 1 000) , и ч исл о х ищн иков (п отом у что трав оядных меньше 1 000) . В конце пер иода , п р и f 1 0,8, ч исло хищни ков оп ять дости га ет к р итиче­ ского зна чен и я 1 000, а число тр авоядн ых возвраща ется к своему наи меньшему з н а чению 450. Любопытно, что в п р и роде действительно встр ечаются та кие пе­ р иоди ческие изменен и я ЧИСJlенностей свя за н н ы х д р у г с др у гом видов . =

6.

УРА В Н Е Н И Я Д И Н АМ И К И БОЯ ( М ОД ЕЛ Ь А )

Метод ди нам и ки с р едн и х может быть с усп ехом п р и менен дл я п ри­ бли ж ен н ого о п и са н и я п роцессов боевых действи й, в кото р ы х у ч аств уют много ч и сл ен н ы е гр у п пы тех ил и д р у ги х элементов (тан к и , кора БJl И , са ­ MOJl eTbI и т . п . ) . Б ол ее того, и м е н н о описа ние п роцессов боевых дейст­ ви й (<<ди н а м и к и бо я ») - одно из первых по времен и п р и менен и й метода ди н ам и ки с р ед н и х . Дифференци аJl ьные у р а вн ен и я , описывающи е из­ менение Ч И СJl е н н остей бор ющи хся гр у п п в п роцессе боя , под названием « у р а внен и й Лан честера», появи л и с ь еще во в р емена первой м и ровой вой н ы . Пр а вда , обл а сть их п римен ен и я БЫJlа тогда очень узка (всего две- т р и модеJl И ) , а свя з ь метод а с ма р ковскими С Jl у ч а йными процессами не уста новл ена . В настоя щее в р емя метод ди нами ки с редних пол учил ши рокое р а з в и тие и п р едстаВ.1JЯет собо й хо рошо р а з р абота нный и весь­ ма гибкий а п па рат, ПОЗВОJl Я ЮЩИ Й о п исывать са мые раз нообразные боевые сит уаци и (см . н а п р имер , [ 1 , 1 1 , 1 3, 23]) . Здесь мы р ассмот р и м TOJl bKO немноги е из задач ди н а м и ки боя , п ре­ имуществе н но под м етодически м УГJЮМ з рен и я , не останавл и в а я с ь под­ робно на кол ичественной сто роне зависи мостей . Мы будем р ассматр и вать боевые ситуа ци и , в которых стал кивают­ ся г р у п п и ровки , состоящие из бол ьшого КОJl и ч ества элементов , кото­ рые мы будем flазывать «боевыми еди н ица ми» ( caMOJleTbl , та н к и , кораб­ ли, р а кетн ые устан овки и т. д . ) Кроме боевых еди н и ц, в некоторых мо­ дел я х будут у частвовать «вспомогател ьные единицы.» ( радиолокацион­ ные ста н ци и , разведч и к и , ложные цел и и т . д . ) , отл и ч и е которых от боевых еди н и ц - в том, что они н е могут сами вести огон ь по объектам проти в н и к а , ВЫПОJl Н Я Я разл и чные обеспечи вающи е задачи . Строя математическую модел ь, мы б удем рассматр и вать описы­ ваемые я вл ен и я в р а м ка х ма р ковск и х сл уча йных цепей (е вытека ющим из н их методом дин а м и ки средн и х ) . Поэтому мы всегда будем п р едпо­ ла гать , что кажда я боева я единица п роизводит п У а с с о н о в с к и й п о т о к в ы с т р е л о в с некоторой интенсивностью Л, которая мо­ жет быть ка к постоя н н о й , так и перемен но й , завися щей от времени. П р и расчете этой интен сивности н еобходимо п р и н и м ать во внимание не п р осто «ско р ост р ел ьность» боевой еди н и цы , а ее фа кти ческую с р е д­ и ю ю с к о р о с т р е л ь н о с т ь, с у четом времен и , потребного на расчет пр и цел ьных да н ны х , п р и цел и ва н ие , переза р яжа ние и проч. Если стр ел ьба боевой еди н и цы ведется по одно родн ым цел я м , каж­ дая из кото рых в р езул ьтате выстрела по ней ыожет быть тол ько «по­ ражена» или « н е поражеllа» (<<поражени е» озна чает выход и з строя) , то 829

удоб но вместо с корост р ельности с к о р о с т р е л ь н о с т ь ю

А*

А пол ьзов ать ся =

э

ФФе

к т и в н о

й

АР ,

где Р - веро ятность пора жен и я еди н и цы н а п р а вленным по н ей выстре­ лом. В елич и н а А* представл яет собой не что и н ое, ка к и нтенсивн ость потока «успешных» ( поража ющи х ) выстр елов , п рои зводи мого одной боевой еди н и цей . Расчеты показывают, что п р и рассмотрении д и н а м и ки боя мно го­ числ ен н ых групп допущен и е о пуа ссоновском х а р а ктере потока выст ре­ лов (ил и ус пешн ы х выстрел ов) н е искажа ет скол ь ко- н и будь сер ьезно кар ти н у явлен и я . Кроме того, н адо у ч и тывать , что зада ча метода ди­ нами ки средн и х - созд а н и е не подробн ой и точн о й , а гр убо п ри бл и­ женной модели боя .

/(

с Не nоражеНQ

ведет о го н ь) и « пора ж ен а » ( п р екратила огон ь) . Граф состоян и й элементо в с и стемы, р а здел е н н ы й на дв а подг р а фа К и С, пока з а н на р и с . 6 . 3 1 . Б у к ва м и А1 2к, Авс обозн а ч ены и н тенси в ности потоков событи й , пере­ водящи х э л емент (боевую еди н и цу) из состоя н и я в состо я н и е . Обозна чим, ка к всегда , Х 1К = X1 K

( 1) ;

Xt" = X1C (t ) ;

Х 2К

=

Х2 К

( 1) ;

X2c = X2C ( t )

численности состоя н ий K 1 , К 2 , С1 , С2 В моме нт време н и t. Че рез m1К , т./, m1 С , mz c будем обозначат ь соответствующие с редн ие ч ис­

лен ности . Очевидно, в расс ма триваемом сл учае и нтенсивности А,1 2К' А1 2С ме­ няютс я со в р емен ем и зависят от численностей состоя н и й (кол ичеств а ст рел я ющи х еди н иц) . О п р едел и м эти интенсивн ости . Б удем рассуждать следу ющим обр азом . Кажда я боева я еди н и ца Си н и х п роизводит в еди­ ницу в р емен и АС успешных выстр ел ов . В мом ент t ст р ел яет Xi боевых еди ни u Си н и х ; все вместе в еди н и цу в р емени они да ют в с р еднем

АС Х1С Поражена Рис. 6.30

(6. 1 )

Рис. 6.81

Рассмот р и м с н а ч ал а сл едующую п р остейшую модел ь боя - назо­ вем ее «модел ью А» . В бое п р и н и мают участие две гр у п п и р ов к и : К ( К р а сные) и С (Си н и е) (рис. 6. 30) . Б удем отмечать п а р а м етры, относ я ­ щиес я к Крас ным и Си н и м верх н и ми и ндекс а м и « К» И «С» . В составе г р у п п и р овки К имеется N K -одн ородн ых боевых еди н и ц (самол етов , т а н ков , кор аблей) , в составе гр уп п и ровки С - N c боевых еди н и ц , од­ н о р одных между собой, но не обяза тел ьн о одн ородн ых с боев ыми еди­ н и ц а м и К рас н ы х . Эффекти вна я ско ростр ел ьность одной боевой еди­

н и цы Красн ы х р а в н а Л,К, Син и х - Л,с . Относител ьно о р га н и зации боя мы п р и мем следующие п р едположе­ ния. 1 . Кажда я боева я еди н и ца Красных может вести огон ь п о каждой . боевой еди н и це Си н и х , и н а обор от . 2. Огонь я в л я ется п ри цел ьн ым, т. е. н а п ра вл я ется по в пол н е оп­ р едел ен ной боевой еди н и це ; одн и м выстрелом нел ьз я по разить более

одн ой еди н и цы . 3 . Обстрел у подвер гаетс я с оди н а ково й вероятностью люба я из еще не п о р а жен н ых ед и н и ц ; посл е поражен и я еди н и ц ы огон ь по н ей п ре­ к р аща ется и немедЛ е н н о переносится на д р у гую, еще не пораженн ую. 4. По р ажен н а я еди н и ца п р екращает стр ел ьбу и в да л ьнейши х бое­ вых действ и я х не участвует . Та ким образом , в н а шей п ростейшей модели кажда я боева я еди­ н и ца м ожет б ыть в одн ом из дву х состоя н и й : «н е поражен а» (и , зн а чи т, по

усп е ш н ы х выстр елов . Эти выст релы р а с п р едел яютс я ра вномер но меж ­ д у в с ем и с о х ра НИВШ И l\I И С Я к да нному м о м енту боев ым и едини uа м и Кра с­ н ы х , та к что на каждую из ни х п р и ходится в среднем

ус п еш н ых выст рел ов . Но это еще не все: и нтен сивность (6. 1 ) н адо умно­ ж и ть н а фу н кцию R(X]K) (см . фор мулу (4 .4) § 4), котора я обр аща етс я О (если в момент t у Красных н е сох р а н и лос ь н и в н ул ь п р и Х 1К о д н о й боевой еди н и цы , Син и м поп р осту н е п о ком у будет ст р ел ять) . =

У ч итывая ,

что

R;x)

= р (х) ( см . фо рмул у

( . 5) § ), 4 4

п ол у ч и м

(6.2)

А на лог ич но н а х одим

(6.3) З н а я эти интенси вности и пол ь з у я с ь п ри н ци пом квази регул я р н о­ сти , мож но на осн ове г рафа (см . р и с . 6.3 1 ) с р а зу на п и сать уравнен и я дин ам и ки с р едни х : d m1 K dt

d m1c dt

У р а внен ий дл я

к т2 ,

=

=

_ А С m1 c R

(т 1 К)

,

( 6 . 4)

_ АК m] К R ( т 1 С ) .

m2С не п и шем , та к как дл я любого

ml K + m� K = N K ;

m l c + m � c .... N c.

t 131

Заметим, что, ка к правило, нас и не интересуют численности уничтоженных един и ц m 2к, m20, так ка к а ктивного участия в боевых действиях он и не при н и мают. Решать уравнения (б.4) можно при любых начальных условиях; обычно пола гают, что в на чал ьный момент все единицы целы: t = O; m 1 К = Nк, m lc = N c . Обратим внима ние на то, что в начал ьных стадия х боя , далеких от стади и «истощен ия», среднее число элементов в состоян и я х К] , � 1 , и вместо больше единицы, значения фун кци й R(ml K) R (ml ) у р а внен и й (б.4) можно за писать:

C

=

d

;/K

dm 1c dt

_ лС

=

=

=

m1c ,

К _ л К m1 •

I

(6. 5)

Уравнен ия (б. 5) известн ы в литерату р е как у р а в н е н и я Ла н ч естер а 2 -г о Р о Д а . Cnедует отметить, ч то та кие урав­ н ен и я , даже в более точной форм е о t (б. 4) , пригодн ы дл я описа н и я ди на­ ми ки боя тол ько на начал ьных Рис. 6.32 его стади я х , когда средн ие числен­ ности обеи х гр уппи ровок еще не малы по сравнен ию с их на чал ьны· ми численностями, а в далеко зашедщи х стади я х боя (стади я «исто­ щен и я») пер еста ют быть при годными даже прибл иженно* ) . Заметим, что, в отл ичие от ур авнен и й (б.4) , уравнения (б.5) л и н е й н Ы , что представл яет существен ное п реимущество при их решени и . При выводе уравнен ий (б.4), (6.5) мы н и как не огова р ивал и, по­ стоян ны или переменны эффекти вные скорострельности Л � , лС - урав­ нения спра ведливы ка к в том, та к и в другом сл учае. Одн а ко, п р и по­ const , лс сопst) стоянных эффективных скорострел ьностя х (л к уравнен и я (6.5) удается проинтегри ровать в явном виде. Опуска я эле­ ментарные преобразова ния , при ведем прямо окон чател ьный резул ьтат: =

=

m lК = N К сll Vлк лС t -N С т

где c h x

1

c = Nc c h

�! лК лС У

t

_

V �:

sh VлК лС t ,

N K " rт; sh V лК лс t V те '

I

(6.6)

= 2. (е + е-Х) , sh х = 2.. (eX -е-х ) - гиперболические функuии.

2 2 Кри вые mlK(t) , m1c(t) имеют разный вид в зависимости от первона­ чального соотношения СШI NK I N c и соотношен и я эффе ктивных скоро·

§

13.

332

"' ) Об

оценке ошибок, связан ных С J1Р И НЦНПОМ кв азир еГУJlЯР НОСТН, СМ. Д8Jlее,

С"трельностей ЛК / ЛС • Например, на рис . 6.32 показан случай, когда в начале боя Си ние имеют кол ичествен ное п реимущество над Крас­ ными (NC > N K ) , а в ходе боя Красные побеждают, благода р я большей эффекти вной скорострел ьности (л к > Лс) . Обратим внима н и е на то, что кр ивая m{и) (численность побеждаемой стороны) подходит к оси абсцисс под углом и при п родолжении пересекла бы ее, т. е. средн я я численность побеждаемой стороны стала бы отриuател ьной, что, ра­ зумеется, невозможно. Это происходит потому, что дл я конечных ста­ дий боя , когда сторона С бл изка к состоянию истощени я , уравнения (6.5), ка к мы уже говорили, переста ют быть применимыми . Если бы мы решал и не уравнен и я (б. 5) , а более точные уравнен и я (6.4), кривая m] c(t) плавно прибл ижалась бы к оси Ot. Анал изи руя р ешен ие уравнен и й Лан честера (6.6) , можно просле­ дить, ка к вли яют на это решение услов и я боя (параметры NK, NC, ЛК И лс) . дл я этого раздел им у равнени я (б . б) на N K и Nc и перейдем к от­ носител ьным коли чествам сохран ивши хся боевых единиu в момент t: II. К = С h �Г Ак лс t _ .!!.:... гl У NK 11.

г lС

=

c h V ЛК ЛС

t _ .!!:'.. NC

j

v

V/

..

'}."С '}." К

'}."К '}."с

s h V л " лС t

'

s rl VЛ" лС [ . '

I

(6. 7)

Из формул (6 . 7) видно, что убывание численностей каждой из сто­ рон в бол ьшей мере зависи т от соотношен и я сил NС/Nк, чем от соот н о­ шен и я эффективных скоростр ел ьностей лС/'kк (первое отношение входит в фо р мул ы (6. 7) непосредствен но, а второе - под з н а ком корня) . Это вполне объяснимо: действител ьно, при той орга низации боя , которая п р и н ята в нашей модел и А (стрел ьба ведется тол ько по непо ражен ным еди н ица м) Красным выгоднее, на п р и мер, вдвое увели чить число еди­ ниu N K , чем вдвое увели ч ить эффекти вную скоростр ел ь ность каждой ЛК: на пора жение двух единиц проти вн и к вынужден истратить вдвое бол ьше средств, чем на поражен ие одной. Б олее подробный анализ решен и я уравнен и й Ла нчестера 2- го ро­ да не входит в наши задачи ; и нтер есующегося читател я можно отосл ать к руководства м [ 1 1 , 1 3 , 231. 7. У Ч ЕТ П О П ОЛ Н Е Н И Я С И Л, У П Р ЕЖДА Ю Щ Е ГО УДА Р А, Т ЕМ ПА МО Б И Л И З А Ц И И И П Р О Ч И Х ФА I(ТО Р О В 8 УРА В Н Е Н И Я Х Д И Н АМ И I( И БОЯ в уравнениях динами ки боя можно очен ь п рос'Го у ч�сть ра зл ич ные фа кторы, относящиеся к организ аци и боевых действи й , как то : - ввод резервов (пополнение сил) , уп реждающий уда р одной из сторон ; темп мобилизации боевых средств, истощение боезапаса tt Т. д.

П о к аже м

ать . Пусть в п р о цессе боя каждая и з , ка к это м ожно сдел сторон вводит в де й стви е р езер вы в кол и ч естве {) к боевы х еди н и ц в еди ­ дл я с и н и х . М ы уже у м еем (см . § 3 ) ницу в р еме н и (дл я к р а сн ы х) и <')С учитывать в у р а в н ен и я х ди н а м и ки с ред н и х попол н ен ие соста ва эле­ ментов извн е . В д а н ном случа е ввод р езервов уч тется с помощью доба ­ в очно г о сл а га е мого в п р а вой части каждого у р а внен ия ди нами ки боя :

вать и вводить в действие свои сил ы . Это можно учесть опять-та ки вве­ ден ием некоторой переменной эффективно й с к орост рел ьности :

лС (t)

-

dm l" --;;--

_

dm lc dt

-

� с -л m1

с + ':К u ,

� " - - г' m1

_

)

(7. 1)

" + u.:с .

В ел ичи ны {) К , {) с могут быть к а к постоя н н ы м и , та к и перемен· н ы ми , к а к зависящи ми , т а к и н е за висящими от с редн и х численн ост е й сторон . Реша я эти у равнен и я и а нализ и р у я ход изменен и я ч и · сл ен н остей сторон ( р ис . 6.33), можно сдел ать за ключен и е о р а · циональном темпе ввода резер­ вов, сроке его н а чала и о конча · ния. В у р а внен и я х ди н ами ки боя мож но учесть не тол ь ко попол ­ t о нен и е сил , но и р яд др угих фаК­ Рис. 6.33 торов : у п р еждающи й уда р , темп мобилиз а ци и , истощен и е н а л и ч ­ но го ресу рс а боеп р и п а сов и его восста н о влен ие и т. д . дл я всего этого достаточ на пол а гать В у р авнен и я х ди н а ми ки боя эффективные скорострел ьности лК, ЛС не постоя н ными, а мен яющимися по опреде­ лен н ому за кон у :

лс

=

лс ( 1 ) .

Пуст ь, н а п р и ме р , Красные н а носят С и н и м у п р еждающи й удар О, а Си ние, засти гн утые врасплох, н е отвечают в ка кой -то момент t . в кото рый О Н И вводят н и к а к и м п роти водействием до момента t в действие все свои сил ы . Тогда в у р а вн ен и я х дин а м и к и боя =

=

=

ХС ер и ) ,

номи н а л ьн а я эффективна я скоростр е.л ьность, котора я будет где 'Ас дости гн ута после оконча н и я моб� л и за ци и ; ep(t) - некотора я воз р а ста ю­ ща я от О до 1 фун кци я ( р ис . 6. 35) . Реш а я уравн е н и я ди нами ки боя п р и о п р еделен ном виде фун кци и ep(t), можно учесть вл и я н и е те мпа моби­ лизаци и на ход и исход боя . С первого взгл яда может пока заться , что учет мобилизаци и сил дол жен прои зводиться теми же метода м и , что и учет ввода р езервов ; но это не та к . Н еотмобилизова н ные к моменту . силы н а ходятся на тер­ рито р ии , подвер гаемой огню п ротивника , еще не войдя в действ ие; све-

- -

-

-

-

- -

АС

-,------

t

о

_ _ _

_

_

_

_

_

�---_

_

о Рис. 6.35

РиС. 6.34

жие силы ·(резервы) начи нают подвер гаться огн ю тол ько с момента ввода . Поэтому мобил и зация и ввод резер вов учитываются по- ра зному : пер в а я - перемен ной скорострел ьностью, а вто рой - добавочным чле­ ном в правой части у равнен и я . По а н алогичной методи ке можно учесть в уравнен и я х динамики боя и ог р а н и ченность боеза паса. Пр ед полож и м , сначала , что боез а пас к а ждой боевой еди н и цы жестко с нею связан (не может передаваться д р угим) и уни чтожается вместе с боевой еди ни цей при ее пора�ении . Пу сть боезапас каждо й боевой еди н и цы Красн ых рассчита н н а время .К, а Синих - на .С. О чевидно,

,

запас сна р ядов , имеющи йся у каждо й боевой едини цы Крас­ где kK ср едн и е ско ро­ соответствующи й запас С и н и х , лок(лос) ных , kc с трел ь н ости ( н е эффективные ! ) одной боевой единицы Красных (Сини х) . Ч тобы учесть огра н ичен ность боез а паса , достаточ н о положить посл е момента .к дл я Красных и .с дл я Си н и х эффективн ые скорост/ рельности равными нулю: -

-

-

(7.2)

н у ж н о пола гать вел ич и н у лс(t)

ра вно й нулю до момента t

= 't

И по­

сопst ) п р и t :.> 't (ри с . 6.34 ) . сто ян ной (равно й Х'с Та к будет обстоять дел о, есл и сторона , подвергашаяся у п р еж­ дающе м у уда р у , совсем не ОТЕ/�чает п ротивнику огнем до момента " а в момент . сразу вводит в бой все свои силы. Естественнее п р еДПОJlОЖИТЬ" илизов ы­ ч т� С и ние, подв е р г ши сь нападению, начн у т постепен но моб =

гЗ4

1," = 0

п ри t > . K ;

"С = О

п ри t > .c.

Н е скол ь ко и н а че будет уч итываться огра н и чен ность боеза паса , есл и и меется общи й дл я всех еди н иц склад боепита н и я , надежно защи ­ ще нн ы й от огня про тив н и ка и снабжающи й боеп р и паса ми все еди н и цы .

335

П усть с кл ад боепитания кр асных имеет за пас LK сн а р ядов , Си н и х ­ и сна р ядов , распредел я емый равн омер но между всеми непо раженными еди ни цами (з адержками в доста вке боепри пасов п ренебрегаем). На йдем время ,К , н а которое хватит боеп р и пасов Красным. В еди­ н и цу времен и Красные расходуют в среднем Ао К сн а р ядов ; к моменту t будет израсходова н о в средн ем

МК (t)

I

=

S m1" ло" dt.

(7 . 3 )

о

Момент ,К прек ращен и я огн я Красными вследстви е нехватки бое­ п ри пасов может быть определен из уравнен и я : �K

М"

S

('tK) = m 1 " ЛоК d t о

=

LK .

(7.4)

Практически вел и чину ,К мож но на йти заодно с решен и ем уравне­ н и й ди н а ми ки боя , вычисл я я дл я каждого {К интеграл (7.3) и остан авл и­ ва я расчет в тот момент, когда он достиг зна чен и я L K (боезапас Красных ко нчился) или соответствующи й интеграл для Сини х дости г з н а чения [с (боезапас Си них кон чился) . После оконч а н и я боеза паса одной из сто р он бой ста новится односторонн и м (эффективная скорострел ь­ ность др угой стороны р а вна н улю) ; посл е окон чания боезапаса обеих сторон бой п р екр аща ется вообще. Не п редставляет тр уда учест ь в урав нени я х дина МИКIl боя и та кой факто р , как подвоз боепр и пасов . П р едла гаем читател ю построить такую модель С8МОСТОЯТельно.

8.

МОД ЕЛ Ь Б. СЛ У Ч А Й О Т С УТСТ В И Я П Е Р Е Н О СА О Г Н Я

Уравнен и я , выведен ные в § 6 и обобщен ные в § 7 , описывают та­ кую модел ь боя (модел ь А) , в которой стрел ьба ведется тол ько по непо­ р аженным цел ям и перенос огн я с пора жен ной еди н и uы на другую, не­ пор аженн ую, осуществл яется мгновенно. При этом п р едпол а гается , что в распор яжен ии каждой стороны имеется точная и нформация о том, ка кие цели поражены , а каки е н ет, а вр ем я , необходи мое дл я учета этой и н фо рма ци и , пренебрежимо мало . Та ким об разом , модел ь А п ред­ ставляет собой модел ь высокоорганизованного боя с п о л н о й и н е з а п а з Д ы в а ю щ е й информацией о СОСТОя н и и противни ка и м г н о в е н н о й передачей этой и нформаци и по звеньям сист емы у п равлен и я . Представл яет интерес рассмотреть проти воположный крайний сл уч а й плохо организова нного боя , где информация о состоянии п ро· ТИl�н и ка н е поступает и переноса огн я н е производитс я . Назовем та кую м�дел ь боя «модел ью Б» . Ра ссмотрим снова две гру п п и ровки : К (красные) и С (Си н и е) в со­ ста ве N K и Nc боевы х едини ц с эффекти вными скорострел ьностями лК и Лс • Схему организации боя п р и мем СJlедующую.

ЗЗ6

1 . Кажда я боевая еди ница Красных может вести огон ь по каждой соевой ед и н и це Син и х и н аоборот . 2. Одн им выстрелом поражается не более одной боевой еди ницы. 3. Пора жен н а я боевая еди н и ца мгновенно перестает вести огонь. 4 . О гонь всех сохр а н ившихся боевых един и ц р аспределяется рав­ номерно между всеми боевыми еди н и цами противн и ка - ка к пора­ женными , та к и непораженными (перенос огн я н е щ оизводитс я ) . РаСС:v10ТРИМ граф состоян и й элеыентов системы , распада ющи йся на два подграфа « К» И «С» (см . рис. 6. 3 1 ) ; вн ешне он н и чем не отл и­ чается от графа модел и А, но значен и я А 1 2 К , Л1 2С бу д у т уже д р у г и е . Подсчитаем интенси вность А1 2 " в момент {. Кажда я непо ражен ная боева я еди ница Син и х п роизводит пото к успешных выстр елов с и нтен­ сивност ью АС ; число та к и х боевы х еди ни u равно Х{ ; общее средн ее число успешных выст релов в един ицу в р емен и АС Х1С надо разделить на число обстр'еJl иваемых llелей - в нашем сл учае оно равно N K , та к ка к обстрели ваются все цел и , и пораженные и н епора женные. Зна-

лсхе

ЛКХ К

ч ит, ЛИК N/ ' Пользуясь ПРИ НЦИ IlОМ NK 1 И анало г и чно А1 2С , квази р егул я рности Запишем у равнения Динамики боя в виде: =

=

(8. 1 ) Та кой системой дифj:еренци а л ьных уравнений описывается И Зме­ нение с редн и х численностей состоя н и й в модел и боя Б, когда переноса огн я с непораженных единиц на пор аженн ые не п роизводится . В отл и­ чие от уравнен и й Ланчестера 2-ro рода (формулы ( 6.5) § 6) , у равне ­ ни я (8 . 1 ) не л и нейны. При постоя н н ых интенсивностя х ПОТОIЮВ успешных выстрелов л" = сопst ,

'АР = const

эта система может быть решена в явном виде. Пр иведем , опуска я про­ ме>l' У'fOчные выкладки (и х можно найти , н а п р и мер , в [ 1 3]), тол ько о ко н чател ьный резул ьтат - решение системы (8. 1): т1 "

где

= NI<.

и С _ иК

_ _ _ _ _ _ _

uС е -

лк N к - NC '

и К - --

А,

( и С - иК)

_ иК

]

(8.2)

( 8 . 3)

М одел ь Б (без перен оса огн я) отл и чается , по сравнен и ю с мопелью более з атяжным, вялЫм развитием боя , п реим ущество одной 3З i

сторон ы над другой вы р ажено сла бее, убыв а н ие числ ен н остей п рои ­ с ходит медл еннее. В услови я х м одел и Б (та к же ка к и А) могут быть, п р и ч ем теми же методам и , учтен ы дополн ител ь н ы е фа кторы: у п р ежда ющи й уда р, попол н ен и е сил , м об и л и з а ц и я и т . п . 9.

МОД ЕЛ Ь В . УЧ ЕТ Д Е Я Т ЕЛ Ь Н О СТ И РА3 В ЕД I< И И С И СТ ЕМ Ы У П Р А ВЛ Е Н И Я Б О Е М

в § 6 и 8 мы р а ссмотр ел и два к р а й н и х сл уча я о р га н и заци и боя : идеал ь н ую ор га н изацию (модел ь А) и плохую о р га н и за цию (мо­ дел ь Б) . В р еал ьной действи тел ьности дел о обстоит не та к хорошо, как в п ервом сл у ч а е, но и не так плохо, ка к во второ м . П е р е н ос о г н я с поражен ной еди н и цы н а н епоражен н ую п р оизво' ди тс я не м гновен но, ка к в м оде л и А, но все же п роиз водитс я . В реал ьн ой де йствител ьности и меются з а Д е р ж к и в пер ен осе огн я , св я з а н н ые с з а п а здыва н и ег.1 пол у чен и я и н формации о поражен и и цел и , а та кже с нем гновен ной передачей этой инфо р м а ции п о звеньям систе· мы у п равлен и я боем . Одн а ко эти задер жки не СТол ь вел и ки , чтобы по· л у ч и лась схема модел и Б, с ее стрел ьбо й «вслепу ю» по всеы цел ям ­ ка к пор аженным, та к и н епораженным . В да нном п а р а графе мы пост роим обобщенную модел ь б о я - м о­ Д е л ь В, по отношен и ю к которой р а н ее введен ные модел и А и Б яв­ л яются частными сл уча ями . В мод ел и В у читыва ются та кие фа кторы, ка к деятел ьность разведки и степ ен ь совершен ства системы уп рав­ лен и я боем . Р а с смот р и м следу ющую модел ь бо я . Происходит бой дв у х группи­ рово к : К ( Красны е) и С (Си н и е) , состоящи х каждая из одн ородных бое­ вых еди н иц в кол и ч ества х NK 11 Nc . Эффекти в н а я скорост р ельн ость одн о й боевой еди н и цы Красных р а в н а ЛК, Си ни х - Лс . Каждая боевая еди н и ца Красных может н а ходиться в сл едующи х состоян и я х : КО - н е разведа н а , К 1 - разведа н а , но еще н е обстрел иваетс я , К2 - обстр еливаетс я , но еще н е поражен а , КЗ - пор ажена , н о это еще н е обн а р ужено; обст р ел п родолжается, � - п о р а ж е н а , это обн а р ужено, н о обстр ел еще не снят, К5 - поражен а , обстр ел с н я т. А н ал огич н ые состо я н и я боево й еди ницы Си н и х обозна ч и м Со, Ct, С2 , С з , С4 , С5 • После того, ка к обстрел с пораженной еди н ицы сн ят, огон ь пере­ носится на л юб у ю дру гую и з разведа н н ы х еди н и ц , н а ходящи хся под обстрелом, т. е. в состо я н и я х со вто рого по четвертое. Граф состо я н и й эле ме нтов системы , рацеленный на два подграфа К и С, показ а н н а р ис. 6.36. Обознач и м , как всегда , Х о " . Х1К, . . . , Х5к , Х оС , Х1С , . . . , ХЬС ­ числ енности состоя н и й ; т о " , тl " . . . , тБ ' \ т ое , т1 С , . . . , тБ С - соответ-

838

ств у ющ и е средни е числ ен ности ; Л iiк, Л J - и нтен сивн ости потоко н событи й , переводящих боевую �ди н и цу Кра сных (Си н и х ) из состо я н и я в состо я н и е . О п р еделим эти и н тенсивности , нач и н а я с Л О1" · Б удем счи ­ тать , что переход боевой еди н и цы Кра сных из состоян и я кu (не разве­ да н а ) в состо я н и е К\ ( разведа н а ) п роисходит под действием п о т о к а у с п е ш н ы х р а з в е Д о к Си н и х ( под потоком у с пешн ы х раз ведо к пон и м а ется поток событи й , состоящи х в обна р ужен и и еще не разведа н ной еди н и цы) . Очевидн о , эта к С интенсивн ость з а в и с и т от интен­ Не раз беоана сивности и успеш н ости р а з ведыв а ­ тельных действи й Си н и х (пол еты ра зведывател ьной а в иа ци и , пои с к р а з в еды вател ьн ы х гр у п п и т . д . ) . �Раз8еаана , Обоз н а ч и м интенси вносТь потока но еще Hi? обет реяlJ. ба етел н р и­ успеш н ы х разведок Син и х , ходящ уюся на ка ждую еще не р а з ­ Крас­ веда н н у ю боевую еди н и uу ны х , ч е р е з Л�азв; аналоги чное о б о­ зна чен и е дл я и нтенси вности успеш­

ных раз ведо к Красн ы х будет Л �азв ' Та ки м об ра зом н а ходим и нтенс и в ­ ности п отоков событ и й , пер еводя ­ щи х одн у боеву ю еди н и цу К р а с ­ ных ( а н а л оги ч н о - Си н и х ) из со ­ стоя н и я «не р а з веда н а » в состоя ­ н и е « р а з веда н а , НО ещ е не обст ­ р ел и вается»;

1"o , = Л �аgв

;

лg , = Л�а з в'

ОбетреЛlJ. 9аетсл , НО ещ е не поражена

Пора ж ена , но 9то

е щ е не о бна lJ�ж е­ но, обетvел проilолж аеmсл

ПО lJа жена , зто об· наружено, НО 06с ­ тlJел еще "е снят

(9. 1 )

За метим, что обе и нтен с и в н о ­ Поvаж ена, с т и Л О 1К , I"01C м огут б ы ть ка к зави ­ о бстрел снят симы , та к и н езависимы от общего состо я н и я , в кото ром на ходится Рис. б.8б групп и р овка (т . е. от ч и сл ен но­ стей с о сто я н и й) . Эт о о б у с л о вл е но тем , действует ли р азведка а вто но ­ мн о, ил и же р а з в еды в атеЛ h н ы е с р едства выдел яются из соста ва самой г р у п п и ровки и та к и м об разом переводятся из боев ы х еди н и ц во вс по ­ могател ьные . Может оказат ься та кже, что и нтенсив ность пото к а успеш н ых р а з ­ ведо к зависит от то го , скол ь ко осталось в соста ве г р у п пы п роти вн и к а неразведа н н ы х еди н и ц . Таки м обр а зом, в зав и с и м оСт и от усл о в и й бо я ,

пар а м етры Л �а з в И Л�азв могут тем и л и и ным обра зом за в исет ь от средн и х ч и слен н остей состо я н и й и л и же не за в и сеть от н и х . Мы н е бу ­ дем уточ н ять, к а кой из эти х сл уча ев и м еет место , а просто обоз нач и м Л�аз в - и нтенси вност ь пото ка успешных р аз ведок Си н и х , которую испытывает на себ е каждая еще н е ра з веда н н а я боева я еди н и ца Кра с ных

(Л�8."

- наобо рот) .

дл я

подсч ета

Л�взв

нужно

оп редел ить,

скол ько раз эа един ицу времен и в районе да нной (проиэsольно выб-

389

ран ной) неразв еданной боевой еди н и цы Красны х появляется развед­ ч и к С и н и х ( н а п р и м ер , самол ет разведывател ьной а в и а ции), и умножить это число на вероятность того, что еди н и ца будет обна ружена развед-

чи ком (Л�аз в н а ходится та к же) . Н а йдем интенсивность потока событи й , переводящи х еди ницу и з состоя н и я K1 В К2• Соответствующ ее событие состоит в том, что разве­ дан н а я еди н и ца ставится под обст р ел . Интенсивность потока событи й можн о о п ределить, как величи н у , сбратную с р е Д н е м у в р е м е­ н и з а Д е р ж к и в п о с т а н о в к е п о Д о б с т Р е л разведан­ ной боевой еди ни цы Красных. Зто в рем я зависит от степени совер шенства и БЫСТРОДЕ ЙС1 В И Я системы у п р а вл е н и я Си ни х ; обоз н а ч и м его -fп т , ос Тогда

(9 .2)

Ана логи чно

(9.3) Н а йдем интенсив ность потока событи й , пер еводящего боевую еди­ н и цу ИЗ состоя н и я К2 (обстрел иваетс я , но еще не поражена) в состоя­ ние КЗ (поражена ) . ЭТО поток успешных (поражающих) выст р елов Си­ н и х , п р и ходящи йс я н а одн у боевую еди н ицу К р а сных, н а ходящуюся в состо я н и и К2• Из чего складывается этот поток? со стороны С участ­ вуют в обст р ел е все един ицы , н а ходящиеся в СОС тоя н и я х Со, 4 , С2; и х ЧИСло равно

Кажда я и з н и х делает ЛС успешных выст р елов в един ицу в р емен и . Согласно услови ю, эти выстрелы р а в номерно р а с п р едел яются между всеми боевыми еди ницами Красных, на ходящи мися в состо я н и я х К" Ка, �. Их число р авно

Анал оги ч н о найдем и н тенсИВНОСТЬ потока событи й, пер еводящегv боев ую еди н и цу Си н и х из состо ян и я С 2 В С З :

Л23

=

лК (x� + X� + X�) :,P

(x� + xg + x�) .

( 9.5)

О п р еделим и н тенси вность потока событи й , п ер еводящего еди н ицу из состоя н и я Кз В �; это и нтенсивность потока ус � ешны х к о н 1'­ Р О Л ь н ы х разведок Син и х , доставл яющи х и м сведе н и я о поражении обстреливаемых единиц. В общем сл учае и нтенсивность потока кон­ трол ьных разведок не сов п адает с и нтенси в ностьЮ потока разведок, н а­ п р а вленных на обн а р ужен и е новых целей; о н и даже могут осущест­ вл яться разными сил а м и . Обозна ч и м и н тенсивноСТЬ потока контрол ь-

ных ра з ведок Си н и х л� о н т (эта вел и ч и н а может быть подсч итан а , ка к обратн а я среднему в р емен и , отдел я ющему момент поражени я цел и от мо м ента обн а р у ж ен и я его контрол ь н о й разведкой) . Имеем

(9.6)

и а на логи ч н о

( 9 . 7)

Интенс;и вности Л�онт, Л�онт могут быть ка к зависимы, та к и не­ за виСимы от средн и х числ енностей состоян и й . Оста ется о п р едел ить и нтенсивнос ть потока событ и й , переводящ его еди н и цу из К4 в К5 • Эту И }jтенсивность мож н о считать вел и ч и ной , об­ ратной среднему в ремен и передачи рас пор яжен и я о сн ятии огн я с ед и­ • ницы посл е то го, ка к ее поражен и е з а р егистр и ровано разведко и Си _ ни х . Обоз на ч и м это с р еднее в р емя 7�H ( а н ал огично дл я Красных t �H) ' Пол у ч и м :

(9.8) (9.9)

Пол ьзу ясь графом состоя н и й ( р и с . 6.36) , и н тенси вноСТЯми (9 . 1 )­ и п р и ме н я я п р и н ци п кваз и р егул я р ности , з а п и ш ем у р а в нения диhам и к и боя в в иде:

(9.8)

знач ит_на каждую из них п р и ходится поток успешных выстр елов с ин­ тенсивностыо

dt

dml K

'Ас (XOc + X1c + X2C) Х2К + ХЗК + Х�К

dt

--

Эту и нтенсивность, ка к мы знаем, надо еще помножить на фун к­ 2К + Х зК + Х4К) , обращающуюся в н ул ь , когда Х 2 К + + ХзК + Х4 К О, т. е. н ет еди н и ц К р а сных, которые можно было бы обстрел ять (см . фор мул у (4 . 4 ) § 4 ) . Пол ьзуясь обозна чен и ем R (x) =х р(х) (см . фо р м улу ( 4 .5) § 4 ) , получаем и нтенси вность потока собы­ цию

а то к

-- =

=

к � с - lI. рзз в то , -

I _

t �O CT

к т , + II. р а з в то, к

�с

R(X

+

=

=

ти й , переводящего боевую единицу Красных из состо я н и я

К2

В

Ка:

(9.4)

dmзК dt

--

=

�с - II.K O H T

к

� с

т з + 11.

1 __ _

t �OCT

т1К,

( тоС + т , + т 2С) с

х

34 1

dm "

4 _

dt

d moC

dt

-

_

О С

к I --=;;т4 + "конr тз,

(ен

k

=

dmlC

dt

_

I

к

}

с

- Лраэв гrt o ,

I

к с Л - =;- т ) + раз н т о ,

1

=

(9. 10)

t пост

dm{ - - - лК (т оК + т 1 к + т2 " ) dt -

Р (т 2 с + тз С + т4 с) гrlzС +

1 -т10,

+_

(�OCT

dmзс

dt

dm� c

&

-

_

_

х р

л "конт тзС + л

К

"

х

10.

с

к

- =;- т 4 + Л К О НТ т з . ( сн

У равне ни я ме нта t

т5К т5с

для =

=

т о " , . т5е

отб роше ны , так к а к лля лк; бого мо"

NK - ( то к + тl К + т2 " + тз " + т/ ) , N ° - ( mо С + т l С + nlzC + т з ' + т /).

}

(9. 1 1 )

К том у же, к а к пр авило, нас не и нтерес уют числ енности еди н и пора · жен ных и н е обстр еливаемых ( и тем са мым выбывш и х и з Числ а ц,ка к а к, ти вн ы х , та к и пассивных элементов системы) . Диффер енци ал ьные уравнения (9. 1 О) при любых значен и я х В ХО' дящи х пара метров могут быть решены ч и слен н о (на м а ш и н е ил и вр у чн ую . ачальные услови я зависят от та ктической сит ации кото' р ую требуется иссл едовать. Н а п р имер , есл и к на ч ал у боеВ IХ де стви й к а ка я -то дол я боевых еди н и ц уже р а зведа н а (а" дл я К ра сн ых и аС дл я Сини х ) , то н а чал ьны е услов и я будут:

B)H�

�

t

= 0,

то" = N "

О - а {);

т2 " = тз" = т4 к = т5 К = 0 ; nloc = Nc ( 1 _ ac ) ;

тl К

=

Й

NK a K;

nl t c = N c ac ;

m 2 С = т зС = т/ = тs' = 0. Рассмотр ен н а я н а м и модел ь боя В я вл я ется бол ее об " нее рассмотр енные модел и А и Б, которые IЗыте к а ют из ча стные сл у ч а и . Действител ьно, есл и сч итать в начал ьный Т и р аз веданными, а время , н еобходим ое дл я Обна Р У Ф а о н и я цел и и дл я переда чи ин форм ации об этом по всем звеньям си стемы уп р авл ен и я, равным н у л ю - п ол учится модел ь А (п р и этом три пер -

М::;IИЧ� t:�

:��:: :�� � :�:

342

УЧ ЕТ В О С СТА Н О ВЛ Е Н И Я ЕД И Н И Ц В ХОД Е Б О Е В Ы Х Д Е й СТ В И й

(т � + т� + т � ) т 2 , 1

=

К

К (то + т ) + т2)

ница не по ражена», и три посл ед· вые состо яния сол ьются в одно : «еди ена») . Модел ь Б получ итс я , если н и е - тоже в одно : «еди н и ца пораж еди н ицы р азведа н н ыми , но вре' все т та к же считат ь в начал ьный момен полож ить и переда ч и и нформ аци и , я учени пол я дл ое ходим мя, необ равн ым беско н ечнос ти . кроме чисто боевы х дей ств и й , . У р а внени я модел и В , в ключ ающи е, итыва ющие степе нь совер шенст­ . еще и раз ведывател ьные, а та кже уч решат ь зада ч и , связа нные ка к ют я л позво , ва си стемы управ ления боем азвит ия боевы х действи й . бы с «Цено й инфор мацию в п роцес се р ниях модели В , ка к и дл я МО' За мети м допол н ител ьно, что в у равне нител ьные фа кторы , сопро ­ допол все есть ч у ко ег дел ей А и Б , можн о л ющий уда р, попол нени е сил , вожд а ющ ие боевы е действия (у п р ежда ) темп мобил изаци и и т. д . .

я дина мики боя , мы п р едпол а ­ До сих пор, р ассма трив ая урав нени . н ица окон чател ьно выбы вает из строя гал и , что пора жен н а я бо евая еди л ьность жите ол прод когда чае, у сл к В та . а Вооб ще говор я , это не всегд ­ ю со врем енем , потр ебн ым н а ре боевы х дейст вий вел и к а по срав нени уть с l\ЮНТ един ицы, может воз н и кн к еФУНКЦ't.lОНI.I· речь об уч ете в о с с т а н о в л т­ рует н и я еди н и ц в ходе боев ых дейс НОllиаЛIJН О и в ви й . Та же зада ча возн и кает когда боева я деятел ь. сл у ч а я х , цы п р и ее «пора жен и и» ни еди ность (на- ,ifr прек раща ется л и ш ь в р емен н о х) . поме я ви ейст возд п р имер , и з - з а ица, един х учая сл х эти всех Во выве ден н а я из строя , врем енно Поражена з некоторо е (вооб ще го­ окончате­ чере может ЛЬНО вор я , сл уча й ное) в р емя снова войти в стр ой. Рис. 6.37 Учес ть такое восстановл ени е в ед­ р п не боя у р ав н ения х ди н а м и ки к это сдел ать, на п р осте йшем прим ер е, ста вл я ет тр уда . П окаже м, ка случа е надоб ности анало гичным CllO­ бл из ком по с хеме к модели А (В . и е еди н и ц в любой др у гой м одел и ) ен овл н та восс собом можн о учес ть х боевы Nc и N!< ве соста В и С П усть в бою участВ уют сторо ны К в одном из состоян и й : еди н и ц ; кажд а я из н и х мож ет быть ет н ор мальн о , К 1 (С1) - фу н кцио нир у ремо нти р уетс я , , на ежде повр ) 2 К (С2 . чател ьн о , ремо нту н е подл ежит окон а пор ажен КЗ (СЗ) п , ан н а оказ С К и рафы йся на подг Г раф состоя н и й , расп ада ющи ри с. 6 . 37 . сл едующа я . Орга низа ция боя п р едпол а га ется 843

-

1 . Кажда я боева я еди ииuа л юбой стороны может вести ого н ь по любой боево й еди нице противни ка . 2. Огонь при цельный, каждый выстрел может повредить то,т! ь ко ту еди ниuу , по которой нап равлен . 3 . Ого н ь равномер но распредел яется между всеми не окон чател ь­ но п о р аже н ными един иuами , как де йствующи ми, та к и ремонт и р уе­ м ыми . 4. П ов р ежденна я еДИ Н Иllа огня не ведет. 5. При окончател ьном поражен ии единицы огонь с нее немед­ ленно с н имается и переносится на другую, еще не поражен н ую. Все потоки событи й , ка к всегда, будем считать пуассон овскими . Кажда я боевая единица Кр асны х производит поток выстр ел ов с ин ­ тенсивн остью лК , Си н и х - С и нтенси вност ью В ы стр ел на п ра в­ ленный по неповрежденно й един и це Красны х , пов реждает ее (перево­ дит и з К1 В K z) с вер оятн остью g<>� и окончател ьно поражает ее с ве­ роятн остью g<> � . В ыстрел , н а п раВJJ енный по уже поврежд ен ной еди­ нице , пор ажает ее окончател ьно (пер еводит в состояние Кз) с вероят­ ностью @ � ; в противн ом случае состо я н и е еди ницы не меняется . Ана­ логичны е да нные дл я боевой еди н и цы Си н и х буд ут g<>�, g<>�, @ � . Среднее время ремонта (восста новлени я ) пов режденн ой боево й ед ини цы К расных ра вно -К t peM, Син их - t�eM' Напи шем уравнения динами ки средних дл я такой системы . Вве­ дем обыч ные обознач ения числ енностей IJ средни х ч исленн ост ей со­ сто я ний :

ЛС.

где поправочный множитель + Х 21< ) дл я начальных стадий боя можно не учит ы вать (полагать равным еди нице) . Аналоги ч но п ол у чим интенсивность пото ка событи й, переводящих еди ни ц у Красных из со­ сто я ни я К1 В Кз ( п ор а жена полностью) :

R(X1"

( 1 0 . 2) Интенсивность потока событий, пер еводящего единицу Красн ых

из К 2 в

( 1 0 . 3)

,

X� X�, X�, Xi , X�, X�,

Н а конец, вели ч ина интенси вности пото к а событи й ( восстановле­ ний) , переводя ще го единицу из К2 в К( , обр атна среднем у в р емени ремонта :

1 ,К 11. 2 ( = -- '

и вы разим все и нтенсив ности лК , лС через заданн ые пара мет ры 1/ '/ И численн ости сосТоя н и и . Н а йдем интенси вн о сть Л �2' В сег о по сторон е К в момент стре t · ляет ед и ни ц Си н и х ; к аждая из ни х произ водит, В среднем Л С вы· стр елов в единицу времени (в дан ном сл учае п рос то «вы стрелов» , а н е « усп еш ны х выстр елов») . Эти выстрел ы равноме рно распред ел яютс я меж ду всеми фун кци о нир ующими и восстана вл иваемым и едини цами Кр асн ы х . О б стрел янна я не поврежден ная еди ни ц а с вероятно стью g<>� пов режд а ет с я , с вер оя тностью g:: � п о л н с сть ю выводитс я из стро я . О В И НО на ка ду еди н иц у в с осто я н и и K1 приходи я ЧЕ Д , ж ю тс В единицу време ни в среднем

П ер еходя в выраж ени я х интенсивностей от фу н кци и R(x) к фу нк-

. ции р (х)

«повр еждаю щих» выстрелов ; эту интен сивно сть поток а повреждающи х выстр елов надо умножит ь на + Х 2К) (см . фо рмул у (4 . 4) § 4) , 05ращающуюся в н уль, когда нет ни О.{I.ноЙ еди ницы, КОТор ую можно обстрелива ть . Получим :

функцию R(X1K

344

( 1 0. 1 )

R (x)

х- ,

пол учим : =

I 1{�eM'

p (x� + Х'2), л· Х'l ВUз p(X� + x�), ЛС X� @ � p( x � + х2),

Лl 2 = лС X� ВU'2

,

Х1К + Х2К

=

М!

u

')"С X 1 c ff'zK

( 1 0.4)

l�eM

m� , m � , m �, mi , m � , m�

X�

Кз:

ЛJ 3 Л23 и

=

=

( 1 0 . 5)

а на логи Ч но для Си н и х:

л� 1

=

I 17�OM •

лr2 = лК X� ВU� р (Х'; + x�) , Л1З = л" X� ВU� р (Х! + X�) .

( 1 0. 6 )

Л2З = ЛК X� @� p (X'I + X �) ' с учетом г р афа р ис . 6 . 37 и интен с ивностей ( 1 0.5), ( l О . б) , п о � ь з у я сь п р инци пом квази р егул я рности , н а пи шем систему ур а внени и ди на · 34/;

какие-то коэффи ци енты, больши е единицы дл я тех эл ементов, котор ы ( обстр ел и в а ются пр едпочтител ьно , и r lен ьши е еди н иц ы - дл я остал ь ­ н ы х ; эти коэффици ент ы могут быть к а к пос то я н н ыми , так и перемен н ы м и . С методикой учета нерав номер ности расп р едел ен ия огн я м ы по ­ з н а коми мся в сл едующем пара графе.

ми к и боя с восстановл ен и е м ел и н и ц: dm

к

d1-

=

+ dm2" dt

р

(ml " + m 2 К)

mlК +

m 2к , I

-к

- __

t ро м

т 2 к_ лс т 1 С @ 3 К Р (т I 1< + mK) 2

+

лС т] С ffD2K р (mjK + т 2К) m1 " ,

=

_

С

__ 1

dt

1 _-

( �CM

-- 0-=

dm

_ АС m l c ( f:fD2K + f:fD з К)

АК т { (ffD2 c + f:fD sC)

р

1 1.

mК2 +

( т lС + т 2 с) т{ +

.

( 1 0.7)

I

+_- т2С, dm 2С

__

dt

( �CM

=

1

_ __

-с м е tр

т 2 С_ лК т 1 К @ З С р ( т 1 с+ т 2С ) т 2 С +

+ лК f:fD 2c Р (m l C + т 2С ) т{. тз

Что каса ется

к

,

У РА В Н Е Н И Я Д И Н АМ И К И БОЯ ДЛ Я Н Е ОД Н О РОД Н Ы Х ЕД И Н И Ц Ф У ti к ц и И Р А С П Р ЕДЕЛ Е Н И Я О Г Н Я до си х пор мы р ассматр и вал и тол ь ко гр у п пи ров к и , состоя щи е из однор одн ы х боевых единиц . Не п р едста вляет труда н а писать у р ав н е­ н и я д и н ами ки боя и дл я сл у ча я , когда боевые еди ниuы, в х одящие в гру п п и ровку , н еоднородны . Пр одемонст р и р уем это снова н а п р и мер е от­ п ростейшей модел и , бл и з кой по фор ме органи заци и к модел и А, н о л и ч а ющейся от нее р азнородностью еди ниu.

С

к

т зС , то дл я л юбого момента t тз " = NK _ ( m 1 K + т�/ ) , тЗС = NC - ( mlc + т 2 С ) ;

к тому ж е, эти состояния нас, ка к п р а в ило, н е инте р есу ют . Система н ел и нейных диффер енци альны х у р авнений ( 1 0. 7) дл я лю­ бы х KOH KptTHbIX зна чени й входящи х в нее п а р а мет ров может быть ре­ ш ен а ч и сл енно (н а маш ине или в р у чн ую) . Н ачальные усл ови я , ка к в сегда , задаю тся исходя из такти ч еских сооб р ажений . На п ример , есл и нас интересует поведение системы в бл ижа йшее вр емя посл е откр ытия боевых действи й , то можно прин ять начал ьные услови я : t

=

О; m lc

m 1 K = NK ; m 2 К тз" т{ = тзС = 0 .

= Nc ;

=

=

О,

О дн а ко нас может з а и нтер есовать и способность той ил и другой сто ро' ны «выбир аться» из тр удного полож ен и я , когда в начальный момен1 знач ител ьное кол и чество ее еди н и ц повреж дено . Отметим , что для н а ч а л ь н ы х стадий боя , l o rna с ред н и е чис­ непов р еж ден н ы х и р емон т и р уемых едини ц т / + т 2" , л е н ности m1c+ m 2 c еще доста точ но вели к и , поп р а воч ные м нож и те ли R (m1 " + m/) , R (m1c + m 2C) об р а ща ются в еди н ицу , а з н а чит , p (m1 K + m2") мож но заменИт ь на 1 /( m1 K + m 2 K) , а p (m1 c + m2C) на l f (mjc + m2C). При р ешении з ада чи мы дл я пр ос'roты п редпол а г а л и , что о гон ь ра спредел яется р а в н о м е р н о между всеми не о ко н ч а тел ь н о по· раж�н ными еди ни цами - ка к пов режден ными , так и непо в р еЖДtН IIЫ М И . Однако это вовсе н е обя з ател ьно: л е г ко учест ь и н е р а в н о м е р­ н о е распределение огн я между теми и дру г и м и . дл я этого доста точ­ но умножить соответствуюшие и нтенсив ности пото ков выстр елов l I а 348

Рис. 6.38

Пусть п р оисходит бой между дв умя группи ровками К и С, п р и ч ем k и х, гр уп пи р овка К состоит из неоднород н ых боевых еди ниц ти пов с и у а гр у п п и ров ка С - из н еоднород ных боевых единиц ти пов тст­ соотве авно р ти го па ка ждо (p.IC. б.38) . Коли ч ество боевых еди ниц из одном в быть может ница еди боевая я Кажда Nv. NC, N"', в енно N k , дв у х со стоя н и й : не пор ажена , поражен а . Стрельба ведется тол ь ко по мг нов енны, непора же н н ы м t'ДИ ll ица�1 (пол у чение и у ч ет и нфо рмации . Д) и модел ка к в он распадается Г раф состояни й еди н и цы показан на рис. 6.39 еди ц) . Ка к обыч н о и н типов у о исл ч и (п у с х, и а k : на ч еты р е подграф ности состо я н и й обоз н а чим численности состо яни й и с р едн и е ч ислен соответствеНl Ю -

Х / ' , Х 2" , X l ' \ Х2"' , X18, Х20, Х1'\', Х2'\', m , k , mzk , тl '<' m2Х , m1c , m 2 С

,

mLV, mz'V·

щи х Чтобы определ ить интенс и внос ти потоков соб ыти й , переводя о п р а в иеди н и цы из состо я н и я в состо я н и е , н у жно з адать ся к а к иы-т 347

л о м р а с п р е Д е л е н и я о г н я межд у единица ми различных Ти пов . Это правило б удет п редписывать в кажды й момент времен и t ка кую- то дол ю имеющи хся в н ашем распоряжен и и боевых с р едств каждого ти па на правлять по еди н и цам п ротивника первого типа , а в( е остал ьные - по един и цам второго тип а . В ведем о бозначение для фу нкци й , описывающи х это распредел е­ ние ( условимся тип стрел яюще й единицы ставить у б уквы первым ин­ дексом, а обстреливаемо й - вторым) . В ведем об означен и я : ak . c(t) - дол я непораженных боевых единиц ти па k, о гон ь кото­ рых в момент t н а пр авл я ется по б оевым еди ницам ти па с, a k , v (t) - дол я н епораженных боевых единиц ти па k, огонь котор ых в момент t направл я ется по б оевым единицам типа 1' . с

Не nооажена

f}>K , �; f}> K . y ; f}>c , k; f}>( . x ; f}>V , k ; f}>у . х - а н а лог и чно , В э ти х об о зн а чени я х снова и ндекс ст реля ю ще й еди н и цы - слева , обстреливае мо й - сп р а ва . У множа я и нтенсивности потоков выстрелов на соответств у ющи с: в еро я тно сти поражен ия , ПОЛУЧИМ зффективные с корострель ности : f}>k . y;

\

Лk , с = лК fPk , c ; лк • с Лс . k ЛУ . k

=

л х fPK • C;

лк . v = л К fPK , v ;

С fPc , k ;

ЛС , к = лс fPC, K ; лv . к = лv fPv . к,

=

л

лу fPV , k;

=

Лk , у = лК fPk , y;

( 1 1 ,2)

Т еп ер ь м ожно на йти интенсивности всех потоков со быти й дл я гра ­

фа р ис . 6. 39.

О п редел им "' 1 2 k • дл я зтого на йдем среднее ч исло ус п ешны х вы­ ст р ел ов , п р и ход ящ ееся на одн у боевую единицу типа k за един и ц у вре­ Всего по еди ни цам ти па k за единицу в р емени п ри ходится мен ц . ас . ,. ЛС . k Х{ + a V . k л" , k х1 "

ПОtJажена

k у с п ешн ы х выстрелов , Это число надо раздел ить на число X1 боев ых k й k ел множ н ь на попра вочны ] ь R(X1 ), ит ц в н и умножит д состоя ии е и и R (x) О тсюда , перех одя от функции R(x) к фу н кци и = , пол у ч им :

р(х)

Рис, 6.39

ak . " (t)

=

1 - а k . С (t) ,

ас . ,. (t) ,

а у . ,.

лj2

ak . с ас . ,.

Л� 2 Ч2

(t)

долю непораженных боевых единиц типов % , С, У соответственно, оГонь которы х в момент t на пра вляетс я по едини цам типов с, k, k соответст ­ вен но, и назовем четы ре фун кци и

(t) , а х . с (/) , (t) , a " . k (/)

=

=

( 1 1 .4) ( 1 1 . 5)

с

.х

а

,

."

a k , c Лk . с,

Pk . " = сх, ,. . .,. Лr. . ",

Рх с а х . , Ах . е, Ре. ,. = ac . k Ac . k ,

�x . " = а х . у Ах . " , Р с , х = а, . х Ас . х, Р у . х = а " . х л" . х .

Pk c

н к Ц и я м и р а с п р е Д е л е н и я о г н я. Кроме функци й распределен и я огня, надо задаться также ха ра кте­ ристи ками эффективности огня различных еди ниц по различным ц ел ям, Обозначим :

(1 1 . 1)

лс . х Х1 + а " . к Ау• к ХУ) р ( хn, ( ац лk , c xt + х . с Лх • с Xj) р(хП ( а k . " Лk . " х1 + а х А х . x�) р(ХУ) , " (а

( 1 1 . 6)

Эти выра жения можно нескол ько у п ростить, есл и объедин ить фун кции распредел ен и я огня с эффективными скорострел ьностями и обозна чить:

Ф У

3 48

=

.

интенсивности поТоков выстрелов соответствующи х боевых единиц. Кроме того, о бозн ач им: fP k . c - вероятность пораже н и я боево й еди н ицы типа с п р и од ном выстреле по не й боево й еди ницы тип а k,

( 1 1 .3)

А на лог и ч но

А на л огично об оз на чим а х . с и) ,

р(Х1) ,

Л� 2 = (ас . k ЛС . k Х � + а" . k Лу . k ХУ )

О ч еви дно, что та к ка к в лю бо й момент времен и огон ь ведут все спосо б ные к зтому еди н и цы,

х

.

=

=

P " . k = a y . r. Av . k,

J

( 1 1 . 7)

В новь введенные фу н кци и ( 1 1 . 7) можно назвать Ф у н к Ц и я­ р а с п р е Д е л е н и я :; Ф Ф е к т и в н о с т и , С учетом эти х б о оз н а чени й и формул ( 1 1 . 2) - ( 1 1 . 6) можно за п исать дифференциаль­ на· ные у равнен и я дл я ср едни х численносте й состоя н и й (у равнения ди ми ки боя) в в иде: м и

349

dm1 "

dt

:

d 1' d гn

=

( 1 1 . 8)

= - (� k , c m1 k + � X . C т . ") R (m {) ,

V

--;;t-

- (�С . Х ml ' + � V , Х mlV) R (ml Х ) ,

=

- (� k , у m lk + � х . у m lХ) R ( m . Y) .

I

Средни е Ч исле н ност и оста л ьных состоя ни й (об ыч но н ас не и нте­ ре сующие) могу т быть н а йдены иЗ услови й :

= Nk _ m k; . m2c = Nc - m { ; m2k

m 2Х

=

N"'- - m. x;

m 2Y = NV - m1 У •

}

( 1 1 .9)

Зам етим , что у рав',ени я ( I 1 .8) дл я н а ч а л ьных стади й боя , когда п о п р а вочные множ ител и R (ml k ) , R ( ml X), R(m{), R(mi) равн ы ед и н и це, я в л я ются л и н е й н ы м и уравнен и я м и (в общем сл учае с пер емен­ ными коэффи ци ентами ) . Решен и е подобных у р а в н ен и й (на машине и л и в р у чную) затр уднен и й н е п редста вл яет. Отмети м , что, пол ьз у ясь подобными у р а вн ен и я ми (число р азно­ р одных эл ементов в которых легко увел и чить) , можно не тол ь ко пр и ­ бл и женн о описывать ход боевых действи й п р и з ада н ны х фун кци я х р а с п р едел е н и я огн я , н о и опти ми з и ровать у п р авлен и е боем, т . е . н а ­ ходить наивы годней ш и й вид эти х фун кци й . В за кл ючен ие заметим, что в у р а в н ен и я х подобного т и п а можно рассматри вать ди н а м и к у и змен ения численностей н е тол ько боевых еди н и ц, но и л юбых вспомогател ьных (радиолокацион н ы е ста н ци и , тра нспортные ср едств а и т . п . ) . Р азумеетс я , дл я всех та к и х единиц нужно пол а гать эфф е ктивные с корострел ьности равными нулю.

1 2.

У Р А В Н Е Н И Я С М Е Ш А Н Н О ГО Т И П А

до си х пор м ы описывали п рецессы , п р отекающие в фи з и ч ес ки х . система х, л и бо с помощ ью у р авнен и й дл я вероятностей СОсто я н и й (см . гл . 4 и 5) , л ибо с помощью у р а внен и й ди нами ки с р едн и х (гл . 6), где н еизвестными фу н кци я м и я в л я ются с редн и е числ енности состо я н и й. Ур а в нения первого ти па п р имен я л и с ь тогда , когда с и стема была с р а в­ н ител ьно проста и ее соСТоя н и я - сравн ител ьн о н ем ногоч исл енны. Ур авнения второго типа был и специ а л ьно п р едназн а ч е н ы дл я оп иса н и я п роцессов, п роисходящи х в с и стемах, состо я щи х и з многоч и сл ен­ ных эл ем; нтов ; дл я таких систем нам уда вал ось найти н е вероя тности состоя н и и , а, в первую очередь, с р едн и е ч и сл е н ности состоя н и й . Н а п р а ктике встр еч а ютс я ситуа ци и , в кото р ы х п р и х оди тся п р и ме­ н ять у р а в н е н и я с м е ш а н н о г о т и п а . В эт и х у р а вн ен и я х фи г у р и ру ют ка к вероя тности состо я н и й , так и с р едн и е ч исл е н ности 350

состоян и й . Та кой а п па рат п р имен я ется , когда система S, в котор о й п роис ходит п роцесс , состоит и з эл ементов разн ого ти па : н ем н о гочис, лен ных ( у н и к ал ьных) и мн огоч исленн ых (соп у тств ующи х) , п р и ч ем со· сто я н и я тех и других взаимообусловл ены . В подобных сл у ч а я х дл я эл ементов п ервого ти п а можно соста вит!! дифференциальные у р а вне н и я , в которых н еизвестными фун кци ями я в л я ются вероятности состо я н и й ; дл я элементов же второго Ти па ­ у р а внения динамики с редн и х , где н еизвестные функции - средн и е численности состоян и й . Та кие уравнения мы б удем называть у р а в ­ н е н и я м и с м е ш а н н о г о т и п а. В качестве п р имера р ассмотрим си стему S, состоящую и з бол ьшо· Го кол ичеств а N однородны х пр иборов (элементов) и одного ст абил и ­ зато р а н а п р я жения С, который выпол н я ет важ н ую фун кци ю обеспече' ния но рмал ьного р ежима работы всех п р иборов сраз у . Ка к стабил и ­ зато р , та к и отдел ьные п р и боры могут выходить из стр оя (отказывать) .

Интенсивность потока неисправ ностей ста били затора зависит от числ а х работающих п р иборов :

(12. 1)

'Ас = qJ (х) .

Вышедший из строя ста бил изатор немедл енно н а ч и нает р емонти ­ роваться ; ср едн ее в ремя р емонта стабилизатор а зависит от чи сл а одно­ временно с н и м н аходящи хс я в ремонте п р иборов у ;

t�eM

=

'\J (у) .

( 1 2 .2)

И нтенсивность потока н еи спр авностей каждого п р и бора п р и р а­ бота ющем стабилизаторе равна /!с, п р и нер аботающем - /!с ' Отказав­ ший п р ибор н емедленно н а ч и н а ет р емонти роваться ; сред н ее время ре­ монта п р ибора завис ит от то го , ремонти руется л и стаби л и затор и с кол ь­ КО п р и боров р емонт и р у ется однов ременно . П р и не ремонти р у емом ста­ бил изато р е эТо время р авно fc(y), п р и ремонти р уем о м - fё (у), где у чи сл о однов р ем енн о р емон ти р уем ы х

п р и б оров , а

fe, fc -

н екото р ы е

фун кции . Требу ется описать п роцесс, п ротека ющи й в си стеме, с помощью уравнен и й смешанного ти па, в которых неизвестн ыми фун кци ями будут: - вероятности состо я н и й (дл я стаБИ Л И 1атор а ) , - с р едн и е численности состоя н и й (дл я пр иборов) . Методика составл ени я т а к и х у равнен и й отл и ч а ется от у ж е из вест­ ной на м методи ки соста вл ени я уравнений ди н а м и ки средн и х . В са мом дел е, при составл ении у р авнен и й дл я с редни х чиСлен ностей состо я н и й мы пол ьзовал и с ь п р и н ципом кваз и р егул я р н ости , основыва ясь н а том , что значе н и я сл уча йной в ел и ч и ны Х! - ч исленности i - ro состоя н и я бл и з к и к своем у ср едн ему значен и ю т ; , г р у п п и р уются вокр уг этого среднего з н а чения . Пр и наличии в систем е «уни кал ьного» элемента уж е нет основ а н и й сч итать, что это та к . В этом сл у ч а е ти п и чной будет дру­ га я ситуаци я , когда р асп р едел ен и е ч и сленносте й состо я н и й вспомога· reл ьн ого Эл емента им еет двухвер ш и н н ы й вид, ка к , на п р имер , показано н а р и с . 6.40. По оси абсцисс от кладыва ютс я ч и сл ен ности ка кого-то 35 1

состояния вспомогательного элемента, а по оси ординат - соответст­ вующие вероятности. Если конкретно речь идет о численности X1 р аботаюЩ их то правая группа значения э л е М е и т о в, (см. рис 6.40) соответствует работе системы при исправном стабилиза­ торе, а левая - при неИCllравном (разумеется, считая, что работа ста­ билизатора благоприятна для приборов). Если распределение таково, как на рис. 6.40; то случайная величина иногда будет близк а к сред­ нему значению левой группы, иногда - к среднему правой группы, но практически никогда не будет близка к «полному» среднему зна че­ нию случайной величины, которое лежит где-то между обеими груп­ пами. В таких случаях принцип квазирегулярности неприменим. Посмотрим, нельзя ли чем-нибудь заменить этот принцип, чтобы все-таки решить поставленную задачу? Оказывается, можно, действи­ тельно, то, что мы довольно неопределенно называли «средним значе·

где P(Xi =k/C) - условная вероятность того, что случайная величина Х1 примt::Т значени<: k, при условии, что имеет место событие С. Аналогично напишется определение и для условных математических ожиданий М[Х1/ёJ. М[Х2/С], М[Х2/СI (случайная величина Х2число приборов В состоянии ремонта, С - событие, состоящее в том, что стабилизатор ремонтируется). Преобразуем формулу (12.6) к другому виду. Для этого воспользуеыся выражением для условной вероятности любого события А при условии, что событие С имеет место: Р (AfC)

=

Р (АС) ) Р (С

(12.7)

•

Тогда формула (12.6) примет вид: N

Р MlX 1 /С]= ""'�k (С, X1=k) С Р( )

111111111111 Рис.

k=O

N

�kP(C, Xl=k). .... .

=-'С ) (-

Р

(12.8)

k=O

Здесь Р(С, Xt =k) означает вероятность того, что имеют M�CTO оба k (т. е. стаБИJ1Изатор работает и случаиная весобытия: и С, и X1 личина X1 приняла значение k). Чтобы упростить выражение (12.8) введем новую случаиную величину: если имеет место событие С, =

6.40

u

нием одной группы» (в случае, когда распределение группируется в двух местах на отрезке от О дО N) - это не что иное, как у с л о в­ Н О е м а т е м а т и ч е с к о е о ж и Д а н и е случайной величины Х1 при условии, что стабилизатор работает - для одной группы, или при условии, что стабилизатор не работает - для другой. Напомним, чт6 такое условное математическое ожидание. Обыч­ ное математическое ожидание случайной величины X1 (безусловное) определяется как сумма

если событие С не имеет места. с помощью этой случайной величины Х{ условное математичес­ кое ожидание M[X1/CI запишется следующим образом: М [Х11СI

N

М [X1]

=

�'

k=O

kPh.'

Ph.=P(Xt=k),

(k=O, 1'

.•. •

N).

(12.4)

Р (Х{ =k)

М [Х{]

N

k=O

(12.5)

l .�=O

k.P(X1=klC),

N =

MIXtCJ=

2j 1,=1

Р (С, Х1 =k);

k· Р (С, X1

=

k) =

О, равен нулю,

N

2j k=O

k·P(C, X1=k).

АналогичНО, вводя в рассмотрение случайные величины если событие С имеет место,

N =

=

или, учитывая, что член суммы, соответствующий k

Рассмотрим теперь какое-нибудь с лучайное событие С (в примене­ нии к нашему случаю - событие, состоящее в том, что стабилизатор работает). Определим условное математическое ожидание случайной величины X1 при условии события С, заменив в формуле (12.5) ве­ роятности - условными вероятностями: MlX1/C]

(12.9)

поэтому математическое ожидание случайной величины X1c запишет­ ся как

С учетом (12.4) формулу (12.3) можно переписать в виде: M[Xll=�' k·P(X1=k).

_,С М [Х{). Р( )

llействите льно, для k =1= О

(12.3)

где Pk - вероятность того, что случайная величина X1 примет зн аче­ ние k:

=

если событие С не имеет места (т. е. иыеет место с),

( 12.6)

352 12

3ак.

513

353

если событие С имеет место, если событие С не имеет

J

б

мес та .

[х1/ё] =�M [х/] , р

(12.1 О)

(с)

(12.11)

I M [Xj!C]' [х2/ё] =__ р(с)

(12.12)

что для любого момента време ни

Xle+Xl� =Xl;

t

X2c +Xi =Х2: _ N ХIС+ХIС+Х2С+Х2С =

}

(12.13)

ml' (t) = М [Х1С (t)), m2С

ч

мы

нос

затор работает, приближенно р ав­ ны условным математическим ожи­ даниям '1тих численностей при условии, что имеет место событие С; а когда он не работает соответствующим условным мате­ матическим ожиданиям при усло­

вии, что имеет место соб ы тие С. Прежде всего, опишем нашу систему при помощи графа. Этот :{ 1С, zё граф (рис. 6.41) будет выглядеть несколько по-иному по сравнению ;t zC,zc с обычным случаем. Он распа дает­ Рис. 6.41 Ся на два подграфа. Первый (верх- . ний) - это подграф состояний с табилизатора , который может быть в одном ИЗ двух состояний: С - работае т ,

Определим интенсивности

Лсс

(t) + mi (t) = Ы. потоков событи й для графа

=

'Ас 1

=

ч' (Х1),

ремонтируется при неработающем стабилизаторе.

рис. 6.41.

Пg'

(12.17)

Далее, приОор переходит из состояния П{ в П1С пли из состояния

не сам по себе, а Только вместе и одновременно со ст били ­ затором (когда тот выходит из строя); поэтому в

п/

а

л,!с.lё=Л2с•2ё=Лсё;;;;q> (Х1). Аналогично.

л I -С. 1 - л2<, е

�

-

2с

= 'Jv-

се

1

1jJ (Х 2 )

==--

,

(12.18)

(12.19)

в П2С, П2С И н ао бр­ Что касается переходов прибора из П1 • рот (по вертикальным стрелкам), то нетрудно установить СООТвеТСТ­

п/

вующие интенсивности:

\"

10

=/.1.0;

'"\О',2ё =/.I.c; I

(12.20) (12.21) (12.22)

т

работает при неработающем стабилизаторе,

(12.15)

(12.16)

I

-- =--, 'А-= с 'Р(Х 2) Тсрем с

П1С - прибор работает при рабо а ющем стабилизаторе, П2С прибор не работает (р емон тируе ся) при работающем стаби­ лизаторе,

3j;4

I

(12.14)

Прежде всего, по условию;

не работает (ремонтируется). Что же касается прибора, то для него мы учитываем ВОЗможность на­ ходиться в ОДном из четырех состояний:

П{'- прибор П{ - прибор

М IХ2С (t)],

mie (t) -ь. т.О (t) + m1С

С-

-

=

Очевидно, для любого момента времени t

Теперь перейдем к выводу дифференциальных уравнений для опи­

э

(t)

mi (/) =:;М [Х1С щ], m2с (t) =М [ Х.ё (t)].

.

сания проuесс а , протекающего в нашей системе. При том будем исходить из того, что ислен ти состояни й в случае, когда стабили­

т

=

=

=

=

СоОl ветствующие математические ожидания обозначим:

М [Х2/С] = _1_ М [х\{]. р (с) м

Заметим,

=

есЛи событие С не имеет места,

м

м

=

=

если событие С имеет место, получаем:

омент i характеризуется одним из со бытий С C(t), Е ё(t) (до сих пор мы для краткости все время опус­ 1 - p(t). кали N. В ероя тности этих событий обозначим p(t) и p(t) Ка к видно, это уже известные нам в е р о я т н о с т и С о с т о я н и iI с т а б и л и з а т о р а. Численности состояний П{, пsо• п�. П;С мы уже вве ли в рас­ X1C (t), Х2е Х{ (t). X1-C Х( (t), X� xi (t). смотре ние: это X�C Состояние ст а или затора в

Теперь, согласно нашему видоизменению принципа

квазирегуляр­

ности, при составлении дифференциальных уравнений мы должны их аме нить 1. У с л о в н ы м и м а т е м а т и '1 е с к и м и 2

в

12·

Х

Х

355

о ж и Д а н и я м и; а именно, там, где идет речь о переходах из л е­ в о й ч а с 1 и r р аф а (в левую же или в правую) - УСJJОВНЫМИ ма­ тематическими ожиданиями при условии, что стаБИJlизатор исправен (условие С); а там, где переходы совершаются из п р а в о й ч а с т ипри условии мы 8аменим

С.

ЭТО означает, что в формулах (12.16),

02.24)

(12.18), (12.21>

Х1 на М [X1/C], Х2 на М [X2/Cl, а

в

формулах (12.17), (12.19), (12.22)

X1 на М

[X1/C],

Х2

на

М

[Х2/С].

Так как фОРМ)lЛЫ (12.20) не содержат X1, Х2, То В них ничего за­ менять не надо. ПОЛЬ8Уясь формулами (12.9) - (12.12), находим условные мате­

матические ожидания:

+ [.tёmjё + ( 12.23)

IP(m;}m2с•

За метим , что из этой системы уравнений можно исключить два

1, уравнения: одно из первых двух, пользуясь условием р + и одно - из последующих четырех, пользуясь соотношением (12.15). Эти уравнения могут решаться при любых начальных условиях; например, если в начале стабилизатор и все приборы работают:

р=

Итак, мы можем, наконец, выIисатьь дифференциальные уравне­ ния смешанного типа, приближенно описывающие нашу систему (ар­ гумент t для I{раткости опускаем):

:: =-�(�}p+ '(:�')'P; :�

=

.(mn 'PH(�}P;

р=11

в случае, если нам важно исследовать, скажем, как быстро систе­ ма выходит из «затора», созданного случайным выходом из строя зна· чительного числа приборов (L) и стабилизатора, начальные УСЛОВ/fЯ нужно выбрать другими: t=O;

13.

356

р=ОI mtc=N; m{=m;ё=mg =0.

t=O;

р

Р 11 О; mlё = N-L!

=

=

m1!С

=

О;

m./=L.

НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ МЕТОДА ДИНДМИКИ СРЕДНИХ

до сих пор, рассматривая уравнения динамики средних, мы всюду пользовались ПРИНUИIIОМ квазирегулярности. Напомним, в чем со· стоит этот принцип. Если интенсивности потоков событий, переводящих элементы системы из одного состояния в другое, определенным обра­ зом зависели от численностей состояний, МЫ заменяли в выражениях этих зависимостей сами численности (случайные) их средними значе­ J.iИЯМИ - математическими ожиданиями. ТО же самое, хотя и в несколь357

ко усложненном виде, мы делали в уравнениях смешанного типа, Qa· меняя аргументы, от которых зависели интенсивности, условными ма­ те матиче скими ожиданиями. При этом точность и приемлемость само­ го принц ипа квазирегулярности нами не обсуждалась. В действительности сам принцип представля ет собой некоторое Д о пущ е н и е, и при пользовании им I\IЫ неизбежно допускаем ка­ кие-то ошнбки. Мы уже упоминали о том, ЧТО эти ошибки сравнитель­ но малы для случаев, когда число элементов в системе велико, а также не малы средние численности тех состояний, от которых зависят интен­ сивности. В данном параграфе мы коснемся вопроса об ошибках мето­ да динамики средних, связанных с принципом квазирегуля рности и Внесем в уравнения динамики сред­ них некоторые уточнения , которые поз­ _it_I_2_(%_f_) _.. ... . __ воля т, в первом приближении, оuенить поря док этих ошибок. ;f,z, Для простоты мы р ассмотрим слу­ Рис. 6.42 чай, когда элемент & имеет всего два состояния : &1 и Ш 2, И от численности Х] состоя ния &] зависит только одна интенсивность л'12' а интеНСиВ­ сопst. Граф состояний элемента & дан на ность л'21 постоя нна: л'2] рис. 6.42. для дальнейшего нам удобно будет ввести особое обозначение АI2(Х1) дЛЯ с у м м а р н о й интенсивносТи потоков событий, пере­ водящих элементы системы из состоя ния *1 В &2' а интенсивность Л12 потока, действующего на о Д и н элемент, выразить чере з эту сум· ма рную интенсивность:

для

вероятностей состоя ний системы затруднительно; именно поэтому и обращаемся мы к методу динамики средних. Все же мы запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы S (поскольку мы не собираемся их решать, - КD.'IИчество уравнений нам безразлично). Система уравнений имее1' вид: dpo dl

-NЛ2 1 Ро + А12 (1) Рl;

( 13.3)

�[J

G

=

dPN

-= -А12 (N)pN +л,2] Р N-J, ' d

Р(Х1 k) - вероя тность 10ГО, что в момент t система Pk(t) О, 1, 2, ... , N). будет в состоянии Sh (k

где

=

=

=

=

(13.1 ) Оказывается , для средних численностеи m](t). m2(t) состояний (61'

(g 2 можн о вывести, не пользуясь принципом квазирегулярности. с о­ в е р ш е н н о т о ч н ы е дифференциальные уравнения , выражаюdm] dm2 щие производные dt' dГ через математическое ожидание случаиной •

величины Аа(Х1). А именно:

(

dml dt

уравнение для m2

d m2

d

)

-М [A12 (Х1)) + 10.,21 m2

не выписываем,

(13.2)

=

=

_

•

нии *1' При большом числе элементов N число состоя нии чрезвычайно ве­ лико, и составление и решение системы д ифференциальных уравнений

358

к

Заметим, что первое общему виду,

в

и

последнее уравнения (13.3) можно свести

котором записано

d;h, если есте ственным образом по­

пожить А12 (О) =0;

( 13.4)

Мы знаем, что математическое ожиданиt: дискре тной случайной величины X1(t). возможные значения которой- целые числа от О дО N, выражается формулой:

т1 (t)

так как в данном случае

dm1 dt Покажем, как выводится уравнение (13.2). для этого рассмотрим граф состояний уже не одного отдельного элемента, а с и с т е м ы в Ц е JI о м ( рис. 6.43). Состояния системы So. S1' S2' .. . , SN будем ну­ меровать соответственно числу Х1 элементов, находящихся в состоя· dt

(N-ml) dt

=

Рис. 6.43

=М [Х1 (t)]

N

=

�

k=O

kPh (t).

(13.5)

Поэтому производную ОТ этого математического ожидания мы по­ лучим, умножив k-e уравнение системы (13.3) на k и просуммировав отОдоN: dml dt

+

N

N

=

_

�

k=O

k (N

- k)

10.,21 Pk

-� N

N

k=O

kA12 (k) Ph +

� k (N -k + 1) л'21 Pk-I + � kA12 (k + 1) pk+!.

k=O

k=O

(13.6) 35Э

и

в

Первые две суммы в этом выражении оставим как они еС1'Ь, а третью четвертую преобразуеы. Рассмотрим третью сумму. Учитывая, что этой сумме член, соответствующий k О, обращается в нуль, имеем: N

N

=

(13.7)

� k (N-k+1Р"21Рk-l= k=l � k(N-k+l)Л2 1Рk-l' k=O далее изменим индекс суммирования, положив k-l N-l

N

�

�

k(N-k+l)Л21Рk_\=

k=1

{= О

N

=

=

i:

U+l)(N-i)Л21Рi= ( 1 3. 8)

� (i+l) (N-i)Л2 1Рi'

1=0

=

�

k=O

k (N -k+ 1) "21 Pk-l

Аналогично преобразуем Л12(О) О, имеем: р N+ 1

N

=

(13.9)

� (k+ 1) (N-k)Л21 Pk'

k=O

четвертую

сумму;

учитывая,

что

=

=

k=O

N

=

...

/11zrX'j.

�

Лl2 (ml)­ (13. 12 ) После этого точное уравнение (13.2) превращает ся в приближенное уравнение М IЛ12 (Х1)]

Лi2 (М IХ1])

=

21 kЛ12 (k+ 1) Pk+l

k=O

=

dml

=}1 (i-l) Л12 (i)Рi= � (i-l)Л12(i)Рi= =

N

�

k =O

dt

{=о

(k-I) Л12 (k) Pk'

(13.10)

Подставим выражения (13.9) и (13.10) в формулу (13.6): dml = dt

+

N

}1

k=O

N

_

� k (N - k)

k=O

"21

N

Pk + � kЛ12 (k) Р!< + N

k=O

(k+ 1)( N -k)Л21 Pk + }1 (k-I) Л22 (k) Pk N

k=O

N

=Л21 � ( N -k) Pk - � Л12 (k) Pk' k=O k=O

=

::::::

_

Л12

(т1)

m1+Л21 т2•

Таким образом, ошибки при применении nринциnа К13азирегуляр­ ности - те же, что ошибки от замены матемв.тического ожидания функции той же функцией от матемamического ожидания.

Относительно ошибки, возникающей при такои замене, можно высказать следующие общие соображения. Эта ошибка мала, если функция Л12(х) почти линейна в диапазоне практически возможных зна­ чений случайной величины Х1• Если в этом диапазоне функция Л12(х) СИJIЬНО отличается от линейной, ошибка может быть значительной. Если функция Л12(х) вы пукла вверх, как это типично для задач ди­ намики средних (р ис 6.44), то ошибка от применения формулы (13 1 2) будет всегда в БЕ'ЛЬШУЮ сторону, т. е. .

.

(13.11)

Здесь первая сумма - не что иное, как М[Х2], т. е. т2, а вторая это М[Л12(Х])]. Таким образом, мы вывели с о в е рш е н н о т о ч н о е дифференциальное уравнение (13.2) для средней численности m1 состояния (ffl' Однако, это уравнение в своем точном виде для нас совершенно беСПОJ1еЗI!О. Дело в том, ЧТО I3 его правую часть входят не только неиз-

36\1

Рис. 6.44

или, если пользоваться интенсивностью в пересчете на один элемент:

N

i=J

=

N-J

N

� kЛ12 (k+ 1) Pk+J

'

=

Последнее равенство справедливо, так как пр и i N множитель (N - i) обращается в нуль. Наконец, возвращаясь к обозначению k для индекса суммирования (напомним, что сумма не зависит от того, какой буквой обозначить этот индекс), получим выражеЩiе для третьей с уммы : N

Вестные функции т1 и т 2 но также и математическое ожидан ие М[ЛI2(Х1)]. НО дЛЯ того, чтобы знать это математическое ожидание, 1, ... , N). нам нужно знать большое число (N) вероятностей Pk(t) (k Их, конечно, можно в принципе найти, решая систему (13.3); но мы как раз для ТОГо и применяем метод динамики средних, чтобы избежать решения большого числа уравнений для вероятностей состоя нии си­ стемы. Возникает вопрос о том, как найти приближенно математическое ожидание М [ЛI2 (Х 1)], не зная вероятностей состоя ний системы Pk , N). 1 ,2, (k Один из способов, позволяющих найти приб лиженное значение М[Л1 2(Х1)] - это принцип квазирегулярности, которы м мы до сих пор пользовались. Он состоит по существу в том, что мы приближенно заменяем математическое ожидание фу нкции от случайной величины той же функцией от математического ож идания, т. е. полагаем:

Л12 (m1) > М [ЛН (Х 1)]' Для функции Л] 2(Х)' выпуклой вниз, ошибка, наоборот, будет в мень­ шую сторону. Однако эти соображения не дают возможности оценить величину ошибки. Д ля TQrO, чтобы хотя бы грубо оценить ошибку в приближенной формуле (13.12), можно применить следующий прием. Мы знаем, что З6!

если интенсивности потоков событий, переводящих эле менты из со­ стояния в состояние, не зависят от самих численностей состояний (т. е. элементы переходят из состояния в состояние независи мо д руг от дру­ га), то численности состояний будут распределены по биномиальному закону (см. § 1). В частности, численность состояния fS 1 будет рас­ пределена по биномиальному закону с математическим ожиданием m]

-V

(1 - ":v1),

-

и средним квадратическим отклонением (1 I где N т] общее число элементов в системе. Мы знаем также (см. § 2), что если интенсивности потоков событий зависят от численностей сост ояний, то это, вообще говоря, не так. Однако для грубо приближенного учета случайности аргу мента Х1 в функции А12(Х1) допустим, что и в это м случае закон распределения численности состояния будет биномиа ль­ ный, с математическим ожиданием m] и средним квадрати ческим от=

клонени ем

(11

=

V

(

m] 1-

П�1)- Это, конечно, будет

неточно, но все

же гораздо точнее, ч ем просто полагать чис енность л Х1 не случайной и равной своему математическому ожиданию (что мы факти чески дела­ ем, пользуясь принципом квазирегулярности). Запишем это распределение вероятностей. Вероятно сть того, что численность состояния fS) будет равна k, выражается известной формулой:

Р

к=

Ck (ml)k ( 1 m1)N-k . N N -N

(1 3.13)

Таким образом (если считать, что Х1 имеет биноминальное распре­ деление) M[A12(X1)] выразится формул ой :

М[Л12(Х1)]

=

N k�O

Л12(k) ct

(:1)" (1_:1)N-k.

-

m1+3(11
(13.15)

Если оба эти условия выполнены, то среднее значение интенсив­ ности М[А19(Х1)] можно вычислить, п рибл иженно заменяя дискрет­ ную случайную величину X1 непрерывной, расп ределенной по нор­ мальному закону, а сумму (13.14) - интегралом: N

М (ЛН (х1)] 362

=

�

о

А12 (х) f (х) ш,

f (х)

(13.16)

=

1 е --= у2п

(х- т,)'

-�

(13.17)

20,'

а,

Условие (13. 15) при большом N может не выполняться в двух слу­ чаях. 1. Когда среднее число ml элементов в состоянии lВ) слишком мало по сравнению с N; тогда

. 1 8)

( 13 т. е. дисперсия

величины Х1 прнближенно равна ее математическому ожиданию, а это - признак того, что биномиальное распределение

близко к пуассоновском у . 2. Когда среднее число ml элементов в состоянии lВ1, напротив, близко к N и, значит, по пуассоновскому за кон у распред еляется:е Х1, а его дополнение до N, т. е. сл у чайная величииа Уl N - Х1 >. Покажем, как вычи сл ить п рибл ижен но значение M[A12(X1)) в т ом =

и другом случае.

1. Случайная величина Х1 распределена по закону Пуассона с математическим ожиданием ml' Математическое ожидание ее Функuии Аа(Х1) равно

М [А12 (X1)]

N

=

�

k=O

m"

гд е

Л12 (k) Р1!.'

(13.19)

1 е-т,. Р,,- = __ kl

(1 3.14)

При бол ьшом числе элементов в ычисл е ни я по формуле (13.14) очень громоздки; чтобы избежать этого, можно воспользоваться пре­ дельными свойствами биноминального распределения при большом числе опытов. Известно, что биномиальное расп ределение при большом числе опытов N в некоторых условиях приближается к нормал ьному, а в других к распредел ению Пуассона (см. например (71). Первый случай будет иметь место тогда, когда вероятность события в каждом опыте не СЛИШком мала и не СЛишком велика; об этом можно судить по тому, что весь интервал ml ± 30'1 укладывается на у ч астке (О, N) , т. е.

ml-3(11) О;

где

для расчетов по формуле (13.19) могут быть применены таблиuы пуассоновского распределения (выдержки иЗ таких таблиц даны, например, в приложении, табл. 2). X1 распределена по закону 2. Случайная величина У1 = N М�тематическое Пуассона с математическим ожиданием N - ml' ожидание Функuии A12(X1) будет выражаться фо рм улои

.

-

М [А 19 (Х1)/ где

вероятности таблиuам. _

Р

11

*

=

N

=

(N

распределения

�

1<=0

А]2 (N -k) РII. *,

(13.20)

-ml)k e-(N-m,) kl

Пуассона,

также определяемые по

.\ В нашем случае У 1 = X1, н@ если число сост,? яниi': больше, чем два, это будет . Х1 ОТZJ.ельное уже не так, поэтому мы сохраним l1J!Я случаllНОИ величины N обозначение У1

-

863

Предполож'!м , что мы приближен�о выразили таким образом MLA12(X1)1 в виде некоторой функции А12(тl); эта функция б у дет за­ даваться тремя разными формулами (13.16), (13.19) и (13.20) в в ависи­ мости от того, на какой части отрезка (О, N) находится ml' Конечно, можно было бы подставить соответствующее выражение в уравнение (13 . 2 ) для средней численности ml (в данном случае достаточно решить одно это уравнение): dm1 (13.21) dt -Ан (т1) +"'21т2'

=

НО оно окажется СЛИШКОм сложным. Поэтому задачу имеет смысл при­ ближенно решать в два приема. Сначала (в первом приближении) ре-

Изложенный выше способ введения поправок к уравнениям дина· мики средних сравнительно трудоемок; однако для функци й суммар­ ной интенсивности некоторых специальных видов, часто встречающих­ ся в уравнениях динамики средних, поправки могут быть учтены до­ статочно просто. Пусть, например, в условиях простейшей задачи с графом состоя­ ний элем�нта (см. рис. 6.42) суммарная инт�нсивность А12(Х1) ра вна 1, 2, .. " (а при Х1 = О, естест­ константе ЛО при всех значениях Х} О). Тогда, если m} велико, то M[A12(Xt)] � ло с очень венно, A12(Xt) большой точностью. для того, чтобы приближенно найти это матема­ тическое ожидание при небольших значениях ml, примем для величи­ ны Х1 пуассоновское распределение с па раметром тl' Т огда получим: =

=

,prX} jirx}

М[Л12(Х1)]=ОРО+ЛОРl+ЛОР.+

1 �_.....

="'0(Pl+P2+

...

о

z

Рис. 6.45

J

шить уравнения динамики средних, полученные с помощью обычного ПРИНllипа квазирегулярности. З атем , оценив в первом грубом прибли­ жении среднюю численность состояни я (El - величину тl - найти приближенное значение дл я �

Л12(т�) �Лl.'" (t)

(непременно для ряда значений величины t), пользуяс ь при ЭТОм той или другой из формул (13.16), (13.19), ( 13 . 2 0) . Между полученными таким образом значениями А12*(t) можно проинтерполировать проме· жуточные. Таким об разом строится функция времени A12*(t), которая подставляется в праву ю часть уравнения ( 13. 2) !

:

d 1 =

_

Лl� '" (t) + "'21 (N

-

m:r.) .

( 13. 2 2)

Получа ется л и н е й н о е диффереНllиа л ьное уравнение с пере­ менными коэффициентами, решение которого затруднени й не вызы­ вает. В результате этого будет получена функц ия ml(t) , более точная, чем первое приближ ение . Сравнивая второе приближение с первым, можно п риближенно оценить ошибки, возника ющие от приме нени я принuипа квазирегулярности. Сов ершенно аналогично можно

решить задачу уточнения уравне­ и тогда, когда число состояний элемента больше двух и когда от численностей состояний зависит не одна интенсивность, а две или бо· лее. Вся разница в TOI\I, ч то придется оценивать математическое ожида­ ние не одной функции, а нескольких. ний

364

через

R (х),

а R (х)

\

х

через

(13.23)

р (х).

Приближенное уравнение для средней численности т1 запишется тогда таю

Рис. 6.46

М IЛ1э (Х1)!

+ЛОРN=

+ РN)=Ло(l-Ро)�ЛоLl-е-т'l.

Обозначим функцию l-е-;\ 3

.•.

и ли

dml dt

=

_

л о R (т1) +Л21 та. -

dm

_1

d/

=

(13.24)

-ло р (m1) т1+Л.1 т ••

Заметим, что менее точное уравнение, П0лучаемое по принципу квазирегулярностYI, здесь имело бы вид: dm1 dt

=

-"'о R (m1)+ Л.1 т..

и ли dm dt

l

= -ло р (m1) ml+"'.1 та.

\

( 1 3.25)

где R (x) и р(х) функции . введенные в § 4. Изобразим, для сравнения, графики функций R(x) и R(x) (рис. 6 . 45) и функци й р(х) и р(х) (рис. 6.46). Как видно из граф и ков, ошибка при замене правой части в урав­ нениях ( 1 3 . 24 ) соответствующей правой частью в уравнениях (13.25) довол ьно существенна при небольших значениях ml. тогда как п р и больших m1 она становится пренебрежимо малой. Таким образом, во всех задачах , где мы использовали функции R, р в качестве поправочных коэффициентов в праВblХ частях уравне­ ниЙ динамики средних, более точные результаты будут получаться, если мы заменим R на R, р на р.

7 МЕТОДЫ учF.ТА НАдЕЖности ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОйСТВ

1.

ПРОБЛЕМА ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

Подавляющее большинство операций, подлежащих количествен­ ному исследованию, в современном обществе в ыполня ется с примене­ нием тех или �ругих технических устройств. Оценка 9ффективности таких операции и выработка рациональных решений по их организации требуют учета н а Д е ж н о с т и применяемых технических устройств. Под «надежностьЮ» В широком смысле слова п он и мается способ. ность технического устройства к бесперебойной (безотказной) работе в течение заданного промежутка времени в определенных условиях. Этот п ро�е жуток времени обычно обусловлен временем вьщолнения некоторои з а Д а ч и, которая осуществляется техническим устройст . еом И ЯВляется частью общей задачи операции. В настоящее время, в связи с возрастающей сложностью техничес­ ких устройств и широким внедрением автоматизации во все обл асти практики, проблема надежности становится одной из узловых пробл ем техники и организации управления. Обеспечение надежной работы всех элементов оборудования - задача первостепенной важности. Борьба за надежность требует специального рассмотрения и коли­ qecTBeHHOГO анализа явлений, связанных со случайными отказами ап­ паратуры. За последние годы теория надежности преврати лась В спе­ циальную науку, широко применяющую вероятностные методы ис­ с лед ов ан ия . В тео рии надежности принято различать два типа отказов : в н е­ g а п н ы е и n о с т е п е н н ы е. Под внезапным отказом устройства разумеется мгновен ный выход из строя, означающий невозможность его применения. Внезапн ый от­ каз возникает в какой-то, вообще говоря, случайный момент врем ени. Примерами внезапных отказов могут служить: перегор ание электро­ и�и радиолампы, обрыв проводника, пробой конденсатора и т. п. Под постепенным разумеется отказ устройства, связанн ый с по­ степенным ухудшением (<<сползанием») его характеристик. для устра­ нения таких отказов требуется регулировка п риб ора . Постепенные Отказы можно условно рассматривать как внезапные, t'сли условиться считать, что какие-то откленения параметров устрой­ ства от н омин ала являются еще допустимыми, а больши е - недопус­ т мь�ми; как только параметры выходят за эти пределы, устройство : с Iитается отказавшим. Однако назначе ние таких пределов в ряде слу-

�

366

ч3ев затруднительно. ПравtfЛьн�е будет рассматривать rtapaMeTpbI ус­ тройства как случайные ФУНКIlИИ времени, связать с ними какой-то· показатель 9ффективности устройства (например, вероятность реше­ ния задачи или математическое ожидание п роизв одител ьности) и этот показатель вычислять с учетом «сползаНЮI» характеристик. Такой под­ ход требует внимательного изучения структуры и работы конкретного технического устройства и при м ен ения сравнительно сложно го мате­ матического аппарата. В данн ой главе мы будем рассматривать то.ль­ ко в н е з а п н ы е отказы. Надежность технического устройства или, как мы будем говорить. с и С т е м ы зависит от состава и ко.личества образующих систему эле­ ментов (узлов), от способа их объединения в систему и от характериt'­ тик каждого отдельного элемента. Деление технических устройств на «системы) и образующие их «элементы» носит условный характер и зависит от постановки задачи и целей исследования. Одно и то же устройство, например радиолока­ ционный прицел истребителя, может. рассматриваться и как «система», состоящая из элементов: радио ламп , конденсаторов, реле и т. д., и как «элемент» более сложной системы - оборудования самолета. В сво ю очередь, самолет-истребитель является «элементом» системы ПВО. В дальнейшем мы будем называть «элементом» любое техническое устройство, не подлежащее дальнейшему расчленению, надежность которого считается заданной или определяется экспериментально. Сое­ диняя такие элементы различным образом в «системы), мы будем ре­ шать задачу определения надежности системы по надежностям ее эле­ ментов.

2. НАДЕЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТА. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОй РАБОТЫ. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ.

Оценка надежности системы и элементов требует введения коли­ чественных характеристик. Рассмотрим здесь некоторые из этих ха­ рактеристик. для краткости будем определять их применительно к «элементу»; однако те же определения будут относиться и к «системе»� Н а Д е ж н о с т ь ю элемента (в узком смысле слова) называется вероятность того, что данный элемент в данн ых условиях будет работать безотказно в течение в ремени t. Эту вероятность мы будем обозначать p(t). Функ ц ия p(t) называется иногда «законом надежности». Естественно, с увеличением времени функция p(t) убывает (рис. 7.1) 1. При t О естественно предположить p(t) Н е н а д е ж н о с т ь ю элемента называется веРОЯТНG)СТЬ q(t) того, что элемент откажет (выйдет из строя) в течение времени '. Оче­ видно, =

=

q и)

=

1 - Р (/).

(2.] )

361

Ра ссмотр им время Т б езотка з ной работы элемента как случайную величину. Функция распределеН1�Я F (t) этой слуqайной ве ли чи ны определяется как

F (t)

=

Р (Т

<

t).

(2.2)

Очевидно, F(t) - вероятность того, что за время t элемент отка­ жет - представляет собой не что иное, как ненадежнQCТЬ элемента: F (t)

а

его

=

(2.3)

q (t),

обрабатываются обычными методами математической статистики: стро­ ится гистограмма (рис 7.4) и вы равнивается с помощью ка к ой - нибудь плавной кривой, обладающей свойствами плотности. Ордината гистограммы на каждом элементарном участке времени Ы представляет собой не что иное , как среднее число отказав за едини · цу fJpeMeHU, nриходящееся на один испытанный элемент. Тот же смысл мо ж но приписать И функ ции f(t). Пр иближен но плотность f(t) опреде· ляется по q;ормуле

f (t)

надежность дополняет F(t) до единицы: р (/)

=

l-F (t). q.{t/ f

(2.4)

--------------

= т

(t, (+М) NM

'

(2.6)

где m(t. t + дt) - число элементов, отказавших на участке времени от t до t + М (вр емя отсчитывается от момента вк люч ения ) ; N - об­ щее число элементов; дt - длина элементарного участка времени.

-г(е)

t

o��----�, Рис. 7.2

Рис. 7./

Таким образом, ненадежность q(t) обладает свойствами функ ции р аспределения неот р ицат ел ьной случайной вели ч и н ы . Она равна ну­ лю п ри t О, не убывает при возрастании t и стремится 1\ единице пр и t -+ 00 (р ис . 7.2). На практике обычно вместо функ ци и распределения ри) п оль­ зуются ее производной - п Л о т н о с т ь ю р аспр еделения или плот­ н остью вер оят ности :

f (t)

=

F' (t)

=

q'

(t).

(2.5)

показан на рис . 7.3. Площадь, ог р а н ичен · КРИВОЙ f(t), р а вн а един и це. Вел ичина f(/)dt - элемент вероятности - ИСТО.'Iковывается как вероятность того, что время Т примет значение, лежащее в пределах элементарного участка (t, t + d t ). В литер ат у р-е по надежности функцию f(t) часто называЮ1 «плот· ностью отказов» . Во избежание недораз умени й , связанных с н еч еткои ная

График плотности

f (t)

терминологией, мы будем называть f(t) более точно: плотностью рас­ пределения времени безотказной работы. Плотность f(t) может быть п риближенно опр еделена иЗ опыта, для ч его ставится следующий эксперимент: наблюдается р а бота боль­ шого числа N одн ор одны х элементов; каждый из них работает до мо· мента отказа. Время, в течение которого р аботал элемент, регистри, руется. Полученные значения в р емен и : 368

11' 12'

... ,

tN

f>uo. 7.4

Рис. 7.3

=

Пример.

Д�l�e���:a�:x Ч('iЛОI+�t)

Было

испытано N

1000

ламп на длительность без­ в табл. 2.1.

работы . Результаты испытаний пр иведены

отказной

т

t

=

Таблица

2.1

1 0-10 110-20120-30130-40 140-50 15�60 1 60-80 18�1001100-1501150-2OO 1 151 1102 1 1 1 1 ;20 I 200 I I I 77

61

79

69

9]

50

Найти пр иближен но плотность f(t) для каждого участка времени, построить гистограмму и выровнять (от р у к и) плав н ой к р ивой . Решение. На первом у ч астке (0-10 час) имеем : j на

(t)

�

_ 15_1 _= 0,0151, 1000· \о

втором

I(t) =�=00102 ' 1000· 10

и т. д.

З на чения

плотности Ю)

приведены

в

табл.

2.2.

369

Д'nите,nьность

ТаБАUца

1 I 10-20 I I130-40 I I 50-60 II I 80-100I 100-150 150-200 I

раБQ(1�до')а.ах f 0-10 ПЛотность

f

(1)

2.2

20-30

40-50

60-80

1 0,0151 10.010210'0071 10,0061 1 0.0О7У I 0.0120 1 0.0100 I 0.00381 0.00171 0.0010

Гистограмма и выравнивающая кривая приведены на рис. 7.5. Orметим, что плотность f(t), изображенная на рис, 7.5, имеет мак­ О. т, е. ма ксимальная частота отказов приходится на симум при t

В качестве характеристики надежности элемента часто приме­ ня ется с р е Д н е е в р е м я б е з о т к а з н о й р а б о т Ы, т. е. математическое ожидание величины Т:

t=M [Т). I

1ft1!

q./tJ= F/t;

-----------------

=

iDo""-+--

f(t}

p,��

�t

Рис. 7.7

Рис. 7.6

о

100

Рис. 7.5

(50

В сл у ча е, если в ели чи на Т непреры вна (Т, е. ее функция распре· О) деления ри) не имеет скач ка при t =

200

[=М (Т}

начальный пер иод работы элемента . Такой характер кривой {(t) не­ редко наблюдается на пра ктике, особенно при работе с электро- и ра­ диодеталями, т. к. они часто имеют тенденцию отказывать немедленно или вскор е после включения. Иногда это повышение плотности в точке t О сказывается настолько резко, что заметн ую долю элементов мож­ но считать отказавшими т о ч н о в м О м е н т в к л ю ч е н и я. При этом время безотказной работы Т превращается из непрерывной О) в смешанную случайную величину, у которой одно значен и е (t обладает отличной от нул я вероятностью Ро, а для других существует только какая-то плотность распределения. Функция распределения О она такой случайной величины показана на рис. 7.6 - в точ ке t имеет скачок, равный Ро, а при '> О - непрерывна. Дифферен циру я функцию F(t) при t> О, пол учим кр ивую «плот· ности» f(t) (рис. 7.7). Она ха ра ктерна тем, что ограничивает площадь, равную уже не единице, а 1 - РО' При обработке экспериментал ьных данных в таком случае отбирают в отдел ьную группу эл ементы, отка· завшие при включении, и отношение их числа mo к общему числ у N испытанных элементов считают за приближенное значение Ро:

..

� t f(t)dt.

=

(2.7)

о

о/е} ,

p/tl 1

=

=

=

а для остальных данных строится обычная гистограмма (при ЭТОм час­ тоты на ходятся делением числа наблюдений в разряде на о б щ е е число наблюдений N). 370

t

t Рис. 7.9

Рис. 7.8

в случае, когда Т - смешан ная случайная величина , и отдель· О имеет вероятность Ро, ное зна чение t =

I=M[Tl

00 =

� t1(t)dt.

(2.8)

о

Вели чина 7 может быть выражена не через плотность распр еде· л ени я f(t), а непосредств енно чер ез надежность p(t). Действител ьно.

t

=

� о

tf (t) dt

=

� tq' (t) о

dt

=

-

r

о

tp' (t) dt. 871

Интег р и р у я по частям, имеем:

t= - tp (f>

1

""

+ � P (t) dt.

о

о

(2.9)

Первый член в право й части выражения (2.9) р авен нулю, так как дл я сл у ча йной в ел ичины Т, у которой с уществует математическое ожи дание, разность 1 - F(t) p(t) пр и t -+ 00 должн а убыват ь быстрее , ч ем р астет t. Поэтому =

..

T= � p (t) dt. о

Последова тельность случайных моментов вре м е н и , в которые п роис ходят отказы (рис. 7. 1 1 ) , п р едста ВJl я е1 собо й п росте й ши й пото к собы тий , а интер валы между событиям и - независим ые сл учайные вел и·

чины, распредел енные по показател ьному з а кон у (3.3) . Понятие «интенсивно сти отказов» может быть введено не тол ько для экспонен циал ьного , но и для л юбого другого за кон а надежности о плотностью t(t ) ; вся р а зн и ца будет в том, что п р и неэкспон ен ц иал ь­ ном за коне p(t) интен с и в ность отказов л будет у же не постоя н ной ве­ лич и ной , а п е р е м е н н н о й .

(2 . 10)

Эта формула имеет простую геометрическую ИНТЕ'р п р ета ц ию: среднее время безотказной работы элемента равно полной площади S, огран uченной кривой надежности и осями коор динат (рис. 7.8) . О ч евидно , в случае , когда Т - смеш ан н а я с луча й н ая величина ( з н ачен ие t О имеет вероятность Ро) , это правило остается в с иле; вся ра зн ица в том, что кри вая р и) будет начинаться не от 1 , а от 1 - Ро ( рис . 7.9). =

З.

и Н Т е н с и в н О с т ь ю ( или иначе «опасностьЮ») отказов назы­ вается отношен и е плотности распределе ния времени безотказной ра­ боты элемента к его надежности :

Э К СП О Н Е Н Ц И АЛ Ь Н Ы Й ЗА КО Н Н АД ЕЖ Н О СТ И. И НТ Е Н СИ В Н О СТ Ь О Т КА З О В

Н а и более удобным для аналитического описания ЯВJJ яется так называемы й э к с п о н е н ц и а л ь н ы й ( или показател ьный) вакон надеж ности, который выражается формулой

(3. 1) где

л > О - постоянный пар аметр .

Г рафик экс поненци ал ьно го з а к она н адежности показан на рис . 7. 1 0. Для этого ва кона фу н кция р ас пределен ия времен и без­ отказной работы имеет вид' а плотн ость -

F (t)

f (t)

=

q (t)

=

= Л е-f..t

1 - е-М .

( 3 .2)

(t > О).

(3.3)

Это есть у же из в естн ы й нам по каз ател ьный за кон р ас предел е­ ни я , по коroрому р ас пределено расстояни е между соседними события­ ми в простейшем потоке с интенси вностью л (с м . § 4 гл . 4). I1jJи р ассмотр ении вопросов надежности часто бывает удобно представл ять себе дело так , словно на элемент действует п р о с­ т е й ш и й пото к о т к а з о в с интенс и в н остью � эл емент отказывает в момент, когда п р и ходит пер вое событие этого потока . Обр аз « потока отказо в» пр иобретает реальный смысл , если отка­ завший элемент немедлен но заменяется новым (восстанавливает("я) .

372

Рас. 7.11

Рис. 7.10

'" (1)'

J

t.Ш.

D ( t)

=

(3 . 4)

•

Поя с ним физи чес кий смысл этой характеристики. Пусть одно­ временно испытывается большое ч и сло N однородны х элементов , каждый - до момента своего отказа . Обоз начим n(t) - число э лемен­ тов, оказавшихся исправными к моменту {, а m(t, t + Ы), к а к и и р а ньше, - число элементов, отказавших на ма ло м участке в р емен и (t , t + Ы) . На един ицу времени придется среднее число отказов m ( t , t + M) М

Разделим эту вел и чи ну не на общее чи сл о испытываемых элемен ­ тов N , а на ч и с л о и с п р а в н ы х к моменту t элемеН1 0В n(t) . Н етр удно убедить с я , что при бол ьшом N это отношен ие будет при­ ближенно равно и нтенсивности отказов л (t):

л. ([) � т

( t, t + M) n

•

(t) М

(3 .5 )

Действительн о, при большом N n

и

(t)

�

Np (t)

m (t , t + L\t) � m ( t , t + dt)' n

(е)

М

N

М

р (е)

373

(2.6)

Но согласно формуле rn

откуда т

R частном случае, когда

{t , t + �t)

�

NM

(/, t + М) N мр (о

�

t (t ) р (t)

f (t),

т.

= Л,( t ).

В работах по надежности прибл и женное выражение ( 3 .5) часто рассматривают ка к определ ение интенси вности отказов, т. е. опреде­ ляют ее ка к среднее число отказов в единицу времени, nрuxодящееся на один работающuй 8лемент. Хара ктер истике л (t) можно дать еще одно истолкование: это есть условная плотность вероятности отказа 8лемента в данный момент времени t, при условии, чmo до момента t он работал безотказно. Дей­ ствител ьно, рассмотр им элемент вероятности л(t )dt - вероятность того, что за время (t, t + dt) элемент перейдет из состояния «работаen в состоя ние «не работаеТ», при условии, что до момента t он ' работал . В самом деле, безусловная вероятность отказа элемента н а у ч астке (t, t + dt) равна f(t)dt. это - вероятность совмещения дву х событи й: А - элемент работал исправно до момента t. В - элемент отказал на участке времени и, t + dt). ПО правилу УМН ожения вероятностей:

f (t) dt = р (АВ) Учитывая , что Р (А)

= р (t),

р (В/А)

=

=

Р (А) Р (В/ А).

получи м: f

�;e�e

=

л

(t) dt;

а величина л(t) есть не что иное, как условная плотность вероятнос­ ти перехода из состояния «работает» в состояние «отказал» для момен­ та t. Если известна интенси вность отказов л(t), то можно выразить че рез нее надежность p(t) . Учитывая, что '(!) = -p' (t) , запишем фор мул у (3. 4) в виде: ,.. � (' )

=

-

р ' (t ) /J (t)

- =

Интегри руя, полу чим: Iп

( - [ J n р t)]

I •

,

Р (t)

==

откуда

p (t) = е

-

� л (t) dt, о

-!t 1.. (t) dl

•

(3.6)

Та ки м обrа�ом надежность выражается через интенси вность от­ казов .

3 74

'Чt) = '), .... const, формула (3.6) да ет: р (t) = e-1..t , (3.7)

уже известный нам экспоненциальный закон надежности . Пол ьзу ясь образом «потока отказов» , можно истолковать не ТОЛ Ь­ ко формулу (3.7), но и более общую формулу (3. 6). Представим себе (совершен но условно!), что на элемент с произвол ьным за кон ом на­ дежности ри) действует поток отказов с переменной интенсивностью л.(t) . Тогда формула (3.6) дл я p (t) выража ет вер о ятность того , ч то на участке времени (О, t) не появится ни одного отказа . Та ким образом, ка к при экспоненциальном, так и при любом дру­ ГОМ за коне надежности работу элемента, начиная :; момента включ е­ ния t О, можно представлять себе та к, что на э� �мент дейст, о/е: вует пуассоновски и поток отказов ; дл я экспоненциал ьного зако на надежности это будет поток с посто ян ной интенси вностью Л, а для неэкспоненциал ьного - с перемен ной интеllСИ вностью л( t) . За мети м , что этот образ годится тол ько В том слу чае, о t когда отказавший элеме нт н е Рис. 7. 12 3 а м е н я е т с я н о в ы м. Если, кю< мы это делали ран ьше, немедленно за менят ь отказавший элемен т новым, поток отказов у ж е н е б у д е т n у а с с о н о в с к и м . Действительно, и нтенсив ность его будет зависеть не просто от времени t, протекшего с на чала всего процесса , а и от времени '1", протекшего со сл учайного момента вклю­ чения именно Д а н н о г о элемента ; значит, поток событий имеет последействие и пуассоновски м не является . Есл и ж е на протяжении всего исследуемого процесса данный эл е­ мент н е з а м е н я е т с я и может отказать не более одного раза, то при описании процесса , зависящего от его фун кционирования, можно пользоваться схемой ма р ковского сл уча йного процесса, но при переменной, а не постоянной интенсивности потока отказов . Если неэкспонен циал ьный закон надежности сравнительно мало отл ичается от экспоненциал ьного, то можно, в целях упрощения , при­ бл иженно заменить его экспоненциал ьным (рис. 7. 1 2). Па раметр '), этого закона выбирается так, чтобы сох р анить неизменным математи­ ческое ожида н ие времен и безотка зной ра боты, равное, как м ы знаем, пroщади, ограни ченной кривой p(t) и осями координат. Для этого нужно положить параметр л показательного закона равным е.

=

л*

=

_1_ - ,

t

где r- площадь, ограни ченн ая кривой надежности p(t) . Та ким об ­ разом, если мы хотим характери зовать н адежность элемента некото-

375

р ой ср ед н е й интенсивн остью от к а зов , н ужно в качестве эТо й интенсив­ ности взя т ь в ел и ч и н у , обрат н ую с р едн ем у времени безотказной рабо­ ты эл емента . Выше мы определ яли в ел и ч и н у 7 ка к площадь, огр а н и ч е н н у ю к р и­ вой p(t) . Одна ко, если тр ебуетс я зн ать т о л ь к о ср едн е е время без­ отказной работы элемента , проще найТи его н епосредственно по ста­ с к о е всех ти с т и ч е с к о м у мате р и а л у ка к с р е Д н е е а р и ф м е т и ч е и р а б оты н е м е р в Т величины й о н й а случ й наблюде н ны х з н а чени сл уч а е, эл ем ента до его отк а з а . Та кой с пос о б может быть п рименен и в построить о точн достаточно ет я когд а ч исло опытов н евели ка и не позвол к р и в ую

По ф о р м у л е (3.6)

t

p (t) = e

-s

о

'" ( 1 )

dt

В ы ч и сл и м p ( t) на у ч а ст ке t > 1 . В общей ф ор м у л е (3 . 6) р а зобь ем пр оме· ЖУТОI< и нтег р и р ов а н и я на дв а : от О до 1 и от 1 до ': I

I

t

о

о

о

I

1

о

1

S Л (t) dt = J Л (I) d t + J Л (t) dt = S (3 - 2t) d l + S dt = 2 + t - I = I + tl Р

p(t) .

(t) = e -( 1+ 1 >. Pft}. 1,0

I 1

pft/

l-;;t-Рис. 7. 13

I I I I I I I I I I I

--L_--:...

_ _ _

О

to

tJ

2

Г р аф и к з а к о н а

Согл асно з а I!.а н и ом у закоиу

Рис. 7. 15

н а де ж н ост и пок а з а н на р ис. 7. 1 6. За штр ихов а н н а я пл о.

щадь из об р а жа е т ср еднее в р е м я безотказной р аботы:

(=

ной р а боты элемента [ Реш еиие. По форм уле (3 . 4) на участке (О, 10) и м е ем:

(1) л. (t) = , (е) = _ р ' р (1) р (е)

I

J

о

e-( 31-t')

dl +

F(t !

00

SJ

e- ( l + l ) dt .

'-(tJ

•

н адеж ности

t p ( t) = 1 - -

(О

{о

<

t

<

{о) ,

f

Е,

1

Р , ( t) = ,

{о

,

л.

(1)

=

� -

to ( I - * ) - to - t'

"и) ...... 00. С р ед н ее Г р а ф и к ф у н к ции J... ( t) пока з а и на р и с . 7 1 4 . Пр и t � (о в р е м я безотк азной р а боты р а в но пл о ща д и , огр а н и ч е н н о й К Р И В О !I p ( t) и ос я ми р и с. 7. 1 з) : 7 = /0/ 2 . П ример 2 . И н т енс и в н ост ь отказов элемента л.( t) меня ется п о d 3 KUIJY ' пред. ста в л е ll Н О М У на р ис. 7 J 5 Н а йт и з а к о н надежности p(t). Решение. Н а участке (0, 1 ) к о о р д и н ат (см.

л. (1)

=

3 - 2t •

t

2

t

Рис. 7. 15

Рис. 7. 14

П р и мер 1. Н а дежно ст ь элемента p(i) убыв а ет со вр емен е м Па л и н е й но м у з а к он у ( р ис. 7. 1 3) . Н а й т и и нтенсив ность от к а з ов л.( t) и с р е д нее в р е м я безотказ­

376

I ') = е- ( з t .

_ __

О

-Ji t 1 to

�

t/

�

Рис. 7.1 8

Рис. 7.17 Втор ой интеrрал зд е с ь р а в е н

_ e- ( l + 1 1

I

00

= е-2 ",, 0 , 1 3 5 .

Что к ас а ет ся первоrо, то о н в ы ч и с л е н п р и бл и ж е н но (числ е ННО)1 1

J о

e-( 3t-I') d t ;::::; 0 , 370 , 377

откуда

T� 0 , 370 + 0 , 135 = 0 , 505 .

П ример 3. П лот ность р аспредел е н и я в р емеии безотказ ной работы элемен' та посто я н н а на у частке (11' t.) и равна нулю в и е этого участка (р ис. 7 . 1 7) Н а йти интен с и в ность отказов Л,(I). Реше ние. Имеем )

л (t) =

f (1) =�

р

(1)

где

q

(1) =

l -q (t)

t

S t.

откуда

(to

< t <

t1).

.

' ' ' '

1 --

11 - 1,

dl =

1 - 10

11 - е о

--

интенсивности отк азов п ок азаи н а р ис . 7 . ] 8: при 1 _ 1,

-

--®---0- . . . -@-­

,

) л (I) = ; ti - t

4.

=

-

8 = Э1 · Э2 •

л (/)

_

0'0

' Эп'

...

00 .

р

О П Р ЕД ЕЛ Е Н И Е Н АД ЕЖ Н О С Т И С И СТЕМbI

...

(S) � P (Э1) Р (Э 2)

р (эn),

или в других обозн ачен и ях,

П О Н АД ЕЖ Н О СТ И ЕЕ ЭЛ Е М Е Н Т О В . Н АД ЕЖ Н О С Т Ь Н Е Р Е3 Е Р В И Р О ВА Н Н О й С И СТ ЕМ Ы

ГIYCTЬ некоторая техническая система S составлена из n элемен� т о в узлов) : Э1, Эв, . , эn• Допустим, что надежности элементов нам изьестны. Возникает вопрос об определен ии надежности системы . Она зависит от того, ка­ ким образом элементы объединены в систему, ка кова фун кuия каждо­ го из н и х и в какой мер е исправная работа каждого элемента необхо­ дим а дл я работы системы в целом. В ряде систем недостаточная надежность элементов повышается за счет их дублирова н и я (резервирования) . Резерви рование состоит в том, что наряду с элементом Э1 в систему вводится запасной (резерв­ ный ) элемент Э , ' , на который система переключается в сл учае О"J каза основного элемента . Число резервны х элементов может быть и бол ее одного. Самым простым случаем в расчетном смысл е является п р о G Т а я с и с т е м а (или система без резер вирования) . В та кой систе­ ме отказ любого эдемента равносилен отказу системы в целом ПО аналогии с цепочкой последовательно соединенных проводни ков, об­ рыв каждого И 3 которых равносилен размыканию всей цепи, мы будем называ ть та кое соединение элементов «последовательным» (рис. 7. 1 9). Следует оговориться, что «последовательным» такое соединение эле­ ментов явл яется т о л ь к о в с м ы с л е н а Д е ж н о с т и, физи­ чески же они могут быть соединены KВ I{ угодно. Выразим надежность простой системы через надежности ее эле­ ментов . Пусть и меется некоторый промежуток вр емени (О, 1:) , В т�че­ ние которого тр ебуется обеспечить безотказн ую ра боту системы. Тог-

а

•

(4 . 1 )

' Р n'

короче

...

378

Рис. 7. 19

Предположим , что элементы Э1 , Э2 , , ЭN отказывают н е з а в и с и м о Д р у г о т Д р у г а (или, как мы будем говорить дл я краткости, «независимы по отказам», а совсем кратко «независимЬ!») . Тогда по правилу умножения вероятностей дл я независимых событий

-

г рафик

да, если надежность системы хара ктеризуется законом надежности P(t) , нам важно знать значен ие этой на дежности п ри t 1: , т. е. Р(1:) . Это не фун кци я , а определенное число; отбросим аргумент 1: и обозна­ чим надежность системы просто Р. Аналогично обозначим надежности отдельных элементов Р1' Р 2 ' о . , Рn. Для безотказной работы п ростой системы в течение времени 1: нужно, чтобы работал безот казно каждый из ее элементов . Обозначим: S событие, состоящее в безотказной работе системы за вр емя 1:; событи я , состоящие в безотказной работе соответст­ Э1 , Э2, ЭN вующих элементов . Событие 8 есть произведение (совмещен ие) событий Э1, Э2, " о , Эn :

р=

n

(4.2)

П Р"

[= 1

е . надежность простой системы, составленной из независu.мых эле­ ментов, равн.а nроuзведен. ию н.адежн.остеЙ ее элемен.гtW8. В частном случае, когда все эдементы обладают одинаковой на­ дежностью т.

Рl

=

Р2

формула (4.2) принимает вид:

=

О..

=

Рn

=

Р. (4.3)

Р = pn.

П ример 1 . Простая система состоит из 10 независимы х 9лемен ­ 0,95. Определить тов, надежность каждого из которых равна Р надежность системы . Решение. По формуле (4.3). =

Р

=

0,951 0

�

0,6.

Из примера видно, как резко падает надежность п ростой системы при увеличении числа элементов. Если число элементов n велико, то для обеспечения хотя бы приемлемой надежности Р системы каждый элемент должен обладать очен ь высокой надежностью. Поставим вопрос: какой надежностью р должен обладать отдель­ ный элемент дл я того, чтобы система , составленная из n таких 9лемен­ тов, обладала заданной надежностью fP? 379

Полагая

в

ф ормул е (4.3) Р Р

=

=

f/b, получи Мl !'/ JI fJv.

т.

(4 .4)

П ример 2. П роста я система состоит из 1 000 оди н а ково на дежны х, независимых эле м ент ов . Ка кой надеж ностью должен обл а дать к а ждый из н и х для того, чтобы надеж ность системы была не м ен ь ше 0,9? Реш ение. По формуле (4 .4» р

=

I 0 0-V-.'1'>

=

l o °.;r

0 ,9 ;

Igp

1

1 000

=

( t)

= { -� ех р

л

(t) dt

{ �

p, (t ) = eXP - Лi (t) dt

}*) }

t

({ = 1 ,

.••

,

=

е хр

{ - [�

{ -� �

л

и) d/

}

'Лt (t) dt + Л2 (t) dl + I

+

П ример 3. Пр оста я система S состоит из трех независимых эле· ментов Э1, 3 2 ' ЭЗ (рис. 7.20), плотности распределения времени безот­ казной работ ы которых заданы формулами:

)

при O < t < 1 f � (t) = 2 1, 2 ) 1 ( = t (t) fs ( рис . 7. 2 1 - 7.23). На йти и нтенсив н ость отказов системы.

n).

I'z (t/

=

.. �

Рис. 7.20

Г1 (/) =;; 1 ,

Подставим эти выражения в формул у (4.2); пол у чим: ехр

равносилен отказу системы, значит, все пото к и отка зов отдел ьных эл е мен тов складываются в один поток отказов системы с интенсив­ ностью, равной сумме интенсивносте й отдельн ых потоков.

o � O,9 999 .

lg О. 9,

Выразим интенсивность отказов простой системы Л(t) через ин­ тенсиВности отказов л ,(/) отдел ьн ы х ее эле м ентов . Имеем: Р

е. при « nоследоваmеЛbflOМ» соединении независимых алеменnwв интен­ сивности отказов складываются . Это и естественно , так ка к дл я простой системы отказ �лемента

ft (fj лn (1) dt

]}

=;

= ехр ( - � [Лl (1) + " 2 (t) + ... + л n (/)] dt J или, короче,

{- � t

ех р откуда

о

А

(1) dt

1

J

=

{ - �t 1�1n

ех р

1

t

=

Д и ффе рен ци р у я

о

(4.5) по

t,

Л ( t)

Рис. 7.22

Рис. 7.21

\ dt j ,

Реш е ние. Определяем ненадежность каждого элемента :

1= 1

O
(4.5)

получи м!

�

1, = 1

л i (/),

(4 .6)

P1 (t) = I - t , Р2 ( t ) 1 _ t2, =

* ) З десь 38G

ех р {х }

=

еЖ.

!'

Отсюда н адежности элементов:

n =

Рис. 7.23

n

� Л (t) dt � � Л, (t). ()

лi (t)

t

Рз

(/)

�

1 -2! +

t2

при

O
Т. е.

Ин тенсивности отказов элементов;

л1 (t)

� (t)

I

, = -1-1

nереМftожаюmся .

Переходя в формул е

2/

=

t='tI '

при

0 < t < 1.

соедин.ен ии

при «nараллельн.ом»

дежносmи

1

отк уда

=

(1

- Рl)

( 1 - pz),

(5.2)

л (t) = 2 ( 1 - 1) = _2_ . 8

1 _ 2t + t2

I-t

,.....--{ 3, J----.

Складывая, имеем;

л (t)

нена,

от ненадеж ностей к надежностям, имеем :

(5. 1 )

-Р

неэавUlJимых элеменmOl1 их

=

1.,1 (t) + л. (t) + л'а (t)

=

f---f Эz 1---'"

Рис. 1.24

• •

5.

НАД ЕЖ Н О СТЬ Р ЕЗ ЕР В И РО ВА Н Н О й С И СТ Е М Ы (<< ГО РЯ Ч И й Р ЕЗ Е Р В:.)

--......( 3л}---'"

Одним и з путей повышения надежности системы является введе­ ни е в нее дубли рующих ( резервных) элементов. Резервные элементы включаются в систему как бы «параллел ьно» тем, надежность кото· рых недостаточна . Рассмотрим са мый простой пример резерви рова нной системы: два «п а ралл ел ьно» вкл юченных эл емента Э1 и Э 2 ( рис . 7. 24). В нача ­ л е работает « основной» элемент Э1 ; есл и он отказал , система автомати­ чески пер еключается на «резервный» элемент Предположим , что э лементы Э1 и Э 2 нез авис и мы по отказам и что и х надежности (вероя т­ ности безотказной работы) за интересующее нас вр емя t = 't равны соответст в ен но Рl и Р2' П редположи м та кже, что надежность второ го элемента не зависит от того, вкл ючался ли этот элемент в работу за вре­ мя 't И когда включался . Та ка я картина наблюдается, н а п р и мер , если элемент Э2 независи мо от того, работает он ил и нет, держится под ра­ бочим на п ряжен ием (та к называемый «горячий р езерв») . Определ им при эти х условия х надежность рез ервированной си­ стемы S. Перейдем к вероятности п ротивоположного события - отка·

Э2 •

S. Обозначим отказ системы S. Чтобы событие S произош· ло, н еобходимо, чтобы отказали оба элемента : и первый и второй:

за системы

S

=

Э1 Э2•

Отсюда по правилу умножения вероятностей независимЫХ событий:

р ( 8 ) = р ( 31 ) р Ql ' 382

Обозначая ненадежность системы получим :

Q2'

(32)'

Q,

Рис. 7.26

Рис. 7.25

П р и п роизвол ьном числе n дублирующих друг друга независимых эл ементов надежность блока из таких эл ементов (рис. 7. 25) вычисля­ ется по формуле

р и ли , короче ,

=

1 - ( 1 - Рl) (1 - р,,) р

(5. 1 )

(1 -Рп),

(5 .3)

n

=

П (I -Pt). 1 -,= 1

в ч астно м слу чае , к огда н адежности всех элемен тов одинаков ы: Pl

фо р му ла

(5.4)

= Р2

=

"

.

=

Р,

п р и ни мает вид:

P = l -( l - p)n.

(5.5)

Пример 1 . П р едох р а н ител ьное устройство, обеспечивающее безопасность работы с матер и ал ьной частью, состоит из тр ех дубл и р ующих др у г др уга п р едо­ х р а н ителей. Н а деж ность каждого из н и х р ... 0,9. П редох р а н ител в независимы в смысле наде ж н ост и . Н а йти надеж ность всего устр ойства. Р ешение. По фор муле (5. 5) р

а ненадежности элементов

••,

=

1 -

(1

-

0, 9)3

-=

0, 999,

до с и х пор , говоря о «переключении» на резервный эл емент , мы пред п олагал и , что л и бо для этого не требу€тся специал ьного пе'р е ­ ключающего у стройства (как в случае с предох ранителями ) , либо :н а -

383

д ежност ь перекл юча ющего уст рой ства р авн а един и це . Есл и это не т а к , то л егко уч ест ь е го н еполн ую на дежнос ть . П редположи м , что блок с остоит из д в у х «па р аллел ьно» в к л юч ен ­ н ы х элементов Э1 и Э 2 ( рис . 7.26 ) . В случае , когда э лем ен т Э1 в ыходит и з ст ро я , перекл ю чающее устройство П пер ек лю чает с истем у н а д р у­ ГОЙ, резервн ый э лемент Э2• Н адежности элементов Э1 , Э2 и п ер е кл ю­ чателя П равны соответств ен но Рl , Р 2 И P ГI' О п редел и м надежность все­ го блока . дл я этого объедин им п ереключ з тель П и элемен т Э . в одн v «последовател ьную» цепь с надеж ностью

'"

..... - - ,

"

,

\

"

'--

... ",'

Рис. 7.27

l - ( l - Pl ) О - р, ' ) .

(5.9 )

П ример 2. О п р едел ить надеж ность бл о к а , состо я щего из осно в ного эл е­ ме н та 31 с н адеж ност ь ю Рl = 0 , 9 н т ре х р езе р в н ы х элеме нтов : 32 . 3 з• Э4 • II м ею · щ и х ту же надежн ость: Р2

Рз

=

=

Р4

=

0, 9 .

Пер екл юче Н llе на р езер в ные элементы в сл у чае отказа л юбого и з э л е м е нто в осу ­ ществл яется с по м ощью одного и того же переклю чател я , и меющего надеж ность -= 0 , 95 ( р ис. 7. 28) Н а й т и надеж ность бл о ка.

\

\ \ \ I I , I I f 'r

�

;z, \\

=

r--� J f }---.., ,

I I , \

р

Рп

Рз' = Рп Рs. r_---( 3, \---.

а н а дежность всего блок а в ыч и сли тся по фо р мул е

I , I I I ,

' .... _ - �"

I

I

'"

/ ;1

I

I

.,, - - -....-:.:-,:: -.. ..... , ,

I

Рис. 7.28

'

....

\ \

.....

"

\ \ �-�

I

�----�\--( у ',

,

\

..... .... _ -�-.:'.....

/

Рис. 7.29

Расс ма тр ива я эту ц епоч ку к а к оди н па рал л ел ь но в к л ючен н ый у словный эл емент Э,' , найдем п о фор мул е (5. 2) надеж ность БЛОI{ а : р

=

1 - ( 1 -Pl) О - Р2 ' ) = 1 - (l - Pl) ( l - рп Р2) '

(5 .6)

Т аки м образом , неnолная надежность nереключаmeля может бы ть у чтена простым умножением надежности резервного элем ента на на­ дежность nер еключателя . , Э N И к аждый Е сл и резервн ы х элементов не один , а бол ьше: Э 2 , и з них снабж ен своим перекл ючателем с надеж н ост ью с оот ветст венно ... то В фор му л е (5 .3) н ужно у м ножит ь надежность г з ка ждо о ре ервного элемента на н ад еж ность пе р е клю ч а тел я : • • •

p�2), p�3),

, p�n),

р = 1 -( I -pt> ( l _рп( 2) Р2) ( 1 - рп( 3 ) Рз) . . . ( l -рп(n) Рn) '

( 5 .7)

Может оказаться , ч то переКJl ючен ие на л ю бой р ез ер в н ы й эл емен т осуществл яе тс я од ним и тем же пе р еключ ат ел ем П ( р ис . 7 . 27 ) . Тогда п е реключател ь П вместе со вс ем бло ко м резе рв н ы х ,темен тов м ож ет рассмат риваться как один усло в ный эл емент Э2' с н а деж н о с т ью Р2" равной

(5 .8) 3 84

В

Реш ение. О бъ еДII Н И М пер екл юча те л ь с р езер в н ы м и э л е м е нта ми 32 • э з , Э44 у с л ов н ы й эл емент Э 2 ' с н а деж ностью Р2 '

=

Рп

[1 -О

- Р2) ( I - рз) ( I - P4) ] = 0 , 9 5 ( 1 -0 , 1 3) "'" 0 , 94 9 .

Н адеж но сть всего блока : р = 1 - ( 1 - 0 , 9) ( 1 - 0 , 949)

"'"

0 , 995 .

З а мети м , что в да н н о м п р и мере ср а в н ител ьно н и з ка я н адеж ност ь пе е кл ю ­ р qат е л я п р а кт и ч ес к и обесцен и в а ет большое ко л и чес во (тр и ! р зер в ных эл е м е н ­ т ) е т ов. З н а ч и тел ь но бол ь ш у ю н адеж ность с истем ы м ы ПОЛУЧIIЛ И б ы , есл и б ы каж­ дый эле м е нт был с н абжен св о и м пер екл ю ч з телем :

р'

=

1 - ( 1 - 0 , 9) ( 1 - 0 , 95 · 0 , 9)3 "", 0 , 9991.

до си х пор мы рассмат ривали системы, дуБЛИРУЮ lJ!. ие один ос­ нов н о й эл емент . В общем слу ч ае в р езер вирован н ы х с истем х а мо г ут п р и м ен я ть с я ка к « п оследовател ьные» , так и « п араллел ьные» соедине­ ни я э л емен тов, причем как правило, дублирую тс я щшм ен е е над еж ны е Элементы. При оцен ке над еж ности такой сис еМ.I нужно расчл т ен ит ь ее и а p � д « подсистем», не имеющи х общи х эл ементов , на йти н адежн ост ь к а ж до и из ни х и , рассматр ива я подс и стемы как у сл овн ы е элем е н т ы , о це н и ть надеж ность сист емы в цел ом. 13 3ак . 5 7 3

385

Э2 • Э2;

О п р едел ить н а де ж н ость системы. состо я щей из злеме нтов Э1, Э, с l I а деж н ост я м и Рl ' Р2. . • Р7 ( р и с . 7 . 29) Решен ие. П одс ист е м а J - « п осл е дов ател ьно» соед и н е н н ые эл ементы Э1 и н а деж ност ь :

но предполагать зависящей не толЬко от текущеГо времени t, но и 01' того срока '1' в течение которого элемент работал в облегченном режиме: �2 = 12 (tlt1).

Подсистем а l l - « п а р ал л с л ь но» соед и н е н н ые эл ементы Э3 и Э4; н адеж н осты

Требуется найти надежность системы P(t). Рассмотрим совокупность двух сл учайных величин: т1 - момент отказа основного элемента, Т2 - моме нт отказа резервного элемента . Событие А - безот казная работа системы до момента t - состоит в том, что хотя бы одна из вел и ч и н Tl , Т 2 примет значение, бол ьшее, чем t (хотя бы один элемент будет работать к моменту t) . Вероятность п роти воположного событи я - отка за системы до момента t - будет

П ример 3

"

•

е l = Р1 Р2

PI l

=

I -( I - рз>

( I - Р 4) '

П одснстем а ! Н - « п осл едов ател ь н о» в кл юче нн ые 1 н I I ; наде ж н осты

Р 1 I I = Р1

P1I•

П одс и стема ' У - « п а р ал л ел ь но� в кл ючен ные Э6 P I y = I - ( l - D6)

( I - р,) .

и �;

н а деж н осты

Подси стем а V - « п осл едов ател ь но» в кл юче lf н ы е Э5 и [ У ; надежность: P v = Ps P1 V '

A,z (t /

Вся система - « п а р а ллел ь н о» в к л юче н ные I Н и У; наде ж н осты

Р= 1 - ( 1 - Р ' I I ) ( I - Ру) .

6.

,

Н АД Е Ж Н О СТ Ь Р ЕЗ Е Р В И Р О В А Н Н О й С И С Т Е М Ы ( << Х ОЛ ОД Н Ы й » И « О БЛ Е Г Ч Е Н Н Ы й » Р ЕЗ Е Р В )

до сих по мы рассматривал и тол ько случа й, когда надежность каждого дублир ующего элемента не за висит от того, когда включился в работу этот эл емент. Этот слу ча й, который мы услов но на звал и «го­ р я чим резервированием», самый простой из всех возможных. Гор аздо сложнее случа й , когда резервный эл емент до своего в кл ючен и я в рабо­ ту вообще не может отказывать (<<холодное» резервирование) или мо­ жет отказывать, но с др угой , мен ьшей плотностью вероятности , чем посл е включен и я (<<обл егченное» резерви рова ние) . П ри рассмотр ени и зада ч, свя занных с холодным ил и облегчен­ ным резерви р ованием, нам недостаточно будет вводить надежности системы и элементов для одного, за ра нее фикси рова нного, з н ачения времени т; необходимо будет п р оа нализи ровать в есь случай ный п ро­ цесс фун кционирования системы. Рассмотрим н ескол ько задач , относя щи хся к холодному И облег­ ченному резервированию. Задача 1 . Общий случай расчета н.адежн.ост и резервирован.н.оЙ си­ стемы (<<облегченный» или «холодный» резерв) . Система (блок) состоит из «параллельно» включенных элементов Э) и Э2 (основного И ре­ зервного) . Интенсивность потока отказов первого элемента л1 (t) ; при отказе первого элемента происходит а втоматическое и безотказное переключен и е на резер вный (рп 1 ) . Интенсивность потока отказов резервного элемента до его включения в работу л 2(t) (элемент рабо­ тает в «облегчен ном» режиме) . После его в кл ючен ия в работу, в мо­ мент отказа первого элемента , интенси вность мгновенно подскаки вает (рис. 7.30) и становится ра вной интенсивности 1 2 ' которую естествен386

�

I1 - - - ... -

о

Т] и

и

I I I I

(,

- ...... ...

Рис.

:;:, {t!t, 1

- - - - A, z (t l

t

7.30

На йдем совместную плотность распределен ия сл у чайны х величин Т 2 , обозна чая ее f(tl' t 2) . Случайные величины Т) , Т 2 за висимы ,

(6. 1 ) где Mi) - безусловная плотность распредел ения вел ичины Т) , f(t 2Ifl) - условна я плотность распр еделен и я величины Т 2 (при УСЛD­ ви и , что вел ичина Т] приняла значение t1) . На йдем обе плотности . По формул е (3 . 4) § 3

где Pl (tl)

-

[1 ( ( )

=

Отсюда

1 3*

иl) Р1 ( t 1),

надежность элемента Э1 , в силу формулы (3.6) равная Рl иl) = е х р

=

Л)

{ _�'

Лl (t ) d t

}

.

(6.2) 387

Н а йдем условную ПлdrнОСТь f(t2 ft1 ) . Условная И lIтеНСИI ШОС1'� отказов резервного элемента при условии. что Т1 '1. будет:

откуда ис комаSI l-IадеЖl-IоСТь сисtеМЫ:

=

t 2 < t1•

п ри при

t2 > [1'

t6 .3)

При этой интенсивности найдем условную плотность распредел ения времени безотказной работы резервного элемента:

f(t2!t 1 )=

1.,2 (t2) ех р

{ � } {- �' �' -

12 (t2/ tl) е х р

.

1.,2 ( t ) dt

1.,2 и) dt

о

-

1,

пр и 'А2 (t /t1) dt

P (t)

=

Р и)

п ри Х

--� ЭJ �_J

Рис.

л, (t 1 ) 1., 2 (t2) ех р

{-� { -�.

=

Л1 (t) dt

1.,1 иl) Х2 (t 2 /t!) е хр

tl (t 1 ) / (t2I t1)

-

�

1.,1 ( t) dt

1.,2 (t) dt

-

�

=

}

1.,2 (t) dJ

при

-

�

'2 < 'н

5:2 иlt1) dt

_ п ри

}

( 6.5)

t2 > t1•

Зная эту совместную плотность, можно найти вероятность отка· за системы до момента t: P (A) = P ( T1 < t , T2 < t) = =

388

� � f (t1• t2) dt1 dtz• О

о

� Sf (t1, (2) dtt dt2•

(6.6)

о о

ех р

=

{_�'

{

1-

{�� ( 1)

1., 1 (t) d t

1., 1 (tl ) 1., 2 (12)

-

�'

1. 2

х

}

(t) dt dt1 dt2 +

�( I �[ ) Л1 (1) Л2 (t2 / t1) х

_ �t Л1 (t) dt _ �' Л2 (t) dt - �' 'Л2 (t ftl) dt О

о

1,

}

dt1 dt2•

(6. 7)

При заданном кон кретном виде функ uий л1(t) л 2 (t) , 1 2(t/ l1 ) ин ­ теграл (6.7) может быть вычислен, в простейших случа я х аналити­ чески , чаще - численно. З аметим, что найденное нами решение задачи оценки надежности для случая «облегченного» резерва относится и к случаю «холодного» резерва - при этом л 2( t) О, та к что в формуле (6. 7) остается тол ько один интеграл - второй, да и тот тоже уп р остится. Мы видим, что в случае даже одного резервного элемента, рабо­ тающего в облегчен н ом (или холодном) резерве задача оцеН IШ надеж­ ности системы довольно сложна . Если же число резервны х элементов более одного, задача еще больше усложняется . Однако задача может быть сил ьно упрощена, есл и предположить, что потоки неисправностей, действующие на все элементы (основной и резервные), представл яют собой п р остейшие потоки, и н тенсивность каждого из которых постоянна (это доп ущен ие равносильно тому, что за кон надежности каждого элемента - экспоненциальный, а включе­ ние элемента в работу меняет тол ько па раметр этого за кона) . При та ­ ком допущении надежность системы S может быть найдена путем реше­ ния дифференциальных уравнени й дл я вероятностей ее состояний. ,

7.32

Та ким об раз ом, совместн ая плотность распределен и я с истемы с лу чайн ы х вели ч и н Т1, Т2 найден а :

f и;, t2)

t

-

х ех р

7.31

t

-

+

Рис.

1-

При вычислении по формулам (6.5) - (6.6) необ х одимо иметь в виду, что выр аж ение Фун к u ии f(ll' t 2 ) н еод и на ково по одну и другую сторону ОТ прямой ' 2 t1 биссектрисы первого координатного уг­ ла (рис. 7.31). Области интегрирования на рис. 7.3 1 отмечены разной штриховкой . В области 1 Ф ункuия Юl ' ( 2) вы р ажается первой из фор ­ мул (6.5), в области 1 1 второй ; следовател ьно,

(6.4)

}

=

=

ками

Задача 2 . Система отказов.

с

холодНblМ резервом и nростейши,м,и пото­

Резервированная система (блок) S состоит из основного элемента Эt и двух резервных: Э2, Эв. При отка ­ в е эл емента ЭJ в работу включается Э 2 , пр и отказе Э2 - ЭЗ (рис . 7.32) . до включения каждый и з резервных элементов на ходится 38!}

n «ХOJI одноМ) рез ерве и отказать не может. Интенсивность ПО1'О ка 01'­

каз ов

основ ного элемента Лl ; интенсивность потока отказов каждого

113 рез ервны х элементов , когда они ра бота ют, одинакова и равна Л 2• Все JIОТОКИ отка з ов простеЙшие. Треб уется оп ределить надежность

С1 истемы S .

П редставим процесс , протекающий в системе S случайны й процесс (см. гл . 4) с н епрерывным 6ЫМИ состояниями: SI - ра бота ет ос н о вно й эл е м еНТ Э 1 , S 2 - р аб ота е т резервный элемент 3 2 ' S 3 - ра ботает рез ер вн ый эл еме нт Э 3 ' 84 - не ра бота ет н и оди н эл емент .

как ма рковский и с дис к р ет-

BpeM�HeM

(б.8)

,

к ним надо при б а ВIIТЬ норми ровочное у сл о в ие :

Р\ + .02 + Рз + р4 = 1 .

(б .9)

к а к фу н кцию t:

(б. 1 0) (н а qа л ьное усл ов и е , при КОТ?РОМ мы п роинтег р и р овал и это у р авне­ ние , Рl(О) 1 ) . Подставляя (fJ. 1 0) во второе у р авн ен и е , получим: с=

·-

,

=

dP2

�

�

� = - II.Z Р2 + ''' l е

-л

'

t

.

П ро и нтегр и р уе м это уравн ен и е с на ч а л ьн ы м усло в ием пол у ч и м :

(6. 1 1)

Р2( 0)

=

О;

(6. 1 2) 390

=

dt

третье у р а в нен ие

- Л 2 Р з + � е-Л1 t _ "'2 - "' 1

(б. 8) ; получим:

� еN-1.2It .

(6 . 1 3)

"'2 -"'!

У р а внение (6 . 1 3) н ужно п роинтег р и р овать О; пол учим:

условии Рз (О) р ( t) -

тоже пр и начальном

=

"'1 ''' 2

( "' 2 - "'1) 2

' P4 (t)

Гр аф со с то я н и й системы показа н на р ис. 7.33. Так ка к восстанов­ эл е м е нт ов н е п р оис ходит, все стр ел ки н а гра фе ведут в одну стор он у . ClcTeM8 у рав н ен и й Колмогор ова дл я ве р оятностей состояний б удет:

ж а ем Рl l (i) е л t Р

подста вим в

-л, t _ е

", 1 'Л.

2

("'2 - "'1)2

", ,,, 2 t 1__ е-Л" . е-Л, t _ _ �' 2 - "'1

(6. 1 4)

Дл я нахожден ия фу н к u и и P4(t) н е н ужно интегр и р овать посл ед· н ее у р авнение (6.8) - ее можно на й т и из условия (6 .9):

ления

вы р а

d рз

3

Рис. 7.33

Из п ервого уравнеIIИ Я

Эту фун к ц и ю

=

1 - Р ( ()

=

l - (Pl (t) + Р2 (t) + Рз (t»)

=

Зад а ча 3. Система с облегченным ре­ зервом u nростейшими потоками отка­ вов. Р ез ер в и р ова н н а я система (блок) S со­

стои т из основно го э л емента Эl и тр е х р езе р вн ых : Э2 , Э 3' Э4 (рис. 7. 34) . Осно в · ной эл е м ент подвер гается п ростейшему поток у от к азов с и нт е нси в нос ть ю Л 1 ; к аж ­ дый и з р езе р в н ы х до своего в кл ю ч е н и я подв е р га етс я потоку отка зов с и н тенси в ­ ность ю Л 2 ; посл е вкл юч ен и я р ез ер в ного эл емента эта и нтенси вно�ть мгновен н о

1----( ЗZ \----1

1----( 3 J ...----4

Рис. 7.34 подска к ива ет до зна ч ен и я 1,, 2' П р и от ка з е осн ов ного элемента Э1 в к л юч ается в р аботу д. р ез ер в н ый Э 2 • п р и отказе Э2 - ЭЗ И т . Т реб у ется о п р ед елить н адеж н ость сист емы . Б удем н у меровать состо я н и я си стем ы дв ум я и ндексами : п е р вы й ра в ен един ице , ёсл и осно в ной элеме нт ра бот а ет, и н у л ю - есл и не ра ботает; в тор о й р аве н числ у исп равн ы х р ез е р в н ы х э лементов : се т р и резе р в н ы х S1 3 - ос новно й элемен т и спр авен ( р а бота ет) , в

S1 2

-

S1]

-

S1 0

-

Sos

-

исп р а в н ы ; основной элемен т и с п равен ( ра бот ает ) , из тр ех ре з ервны х один отказа л , два исп равн ы ; р н основной эл ем ент и сп ра вен ( р а ботает ) , из тре х рез е в ых ; вен а исп р н оди , два отказали основн о й элемент и с п р а вен ( р а бота ет ) , все три резер в н ых от ка з ал и ; рв основн ой эл ем е н т от каз а л , ра ботает од и н и з р ез е н ы х ,

остал ьные дв а исп р а в н ы ; I ЫХ , S0 2 - о с новно й эл ем ен т отказа л , р а б отает оди н и з I:езеРВI из остал ьных р ез ер вны х оди н исправен , д р у гои о тказал, б ны х , SOI - о с но в н о й э л ем е н т от к а з а л , ра отает один из р е з ер в остал ь н ы е два р езер вных отказ ал и ;

Soo - в се эл ем е н ты от к аз а ли .

39 1

Гр аф состояний системы показан на рис. 7.35. Система у равнений Колмогоров а для вероятностей состояний имеет вид: dP13 dt d P 12

dt

p d ll dt

dPI0 dt dроз

-

dt

dp � dt

=

=

=

=

(ЗАз + А1) Р18 '

18'

_

(Az + 1.1) Рl1 + 21.2 Р12 . �

�

- "'I РI 0 + ""2 _

=

-

(6. 1 5)

(lz + 2Аз ) РОЗ + А1 Р18' -

-

-

+ 1..1 P12 + (1.2 + 2 1..2 ) -

7.

А2 POl + Лr Рl 1 + ( 1..2 + А2) Роз .

РIЗ + РIЗ + Pli + Р10 + Роз + РО2 + POl + Роо позволяющее отбросить любое из у равнений (6. 1 5).

.

4

л

50]

;z ''' 204. t

s, z

л,�

50 2

2 Л1

Х: � �! Рис.

S"

л,

�

50 ,

1 - (Р1В (t) + Р12

(t) + Рl1 и) + РI0 и) +

+ Роз (t) + Р02 (t) + Po i ( t »).

=

лz

1,

s, () .-

ЛZ

=

РIЗ

( t ) + Р12 (t) + Рl l (t) + РI0 (t) +

+ Роз

что т о же,

(t ) + РО 2 и) + РОl (t ),

(6. 1 7)

НАД Е Ж Н О СТ Ь С И СТ Е М bI С ВО ССТ А Н О ВЛ Е Н И Е М

до сих пор, рассматрива я задачи надеЖl'lQСТИ, мы исходили из того, что отказавший элемент выходит из строя окончател ьно и ника­ кого восстановления его функций не производится . Представляет ин­ терес исследован ие задач надежности в предположении, что отказав­ шие элементы восстанавливаются - мгновенно заменяются новыми или ремонтируются . При решении та кого рода задач мы будем предполагать, что все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, простейшие (иначе мы с та кими задачами не справимся) . Предварительно сделаем следующее замечание: все процессы, связанные с надежностью систем, которые мы рассматривали до сих пор, были существенно неста ционар ными; так ка к восстановления элементов не было, естественно, что пр и t -+ 00 надежность системы стремилась к нулю, и «предельным режимом» системы просто было «не работа ет» . В задачах с восстановлением нас будут интересовать не тол ько переходные процессы в системе, но и установившиеся режимы, дости­ гаемые при t -+ 00 . в данном пара графе мы рассмотрим несколько за­ дач из области надежности систем с восста новлением.

л,�

500

7.35

Интегрирование системы (6. 1 5) может быть осуществлено в сле­ дующем порядке: из первого уравнения находим Рl з(t) : (6. 1 6)

Это выражение подставляется во второе уравнение, которое те­ перь содержит только одн у неизвестн ую фун кцию Pl 2(t); н а ходим ее, подставляем в третье уравнение, и та к далее. На каждом шаге та кого 892

ИЛИ,

Роз ,

К Этим уравнен и ям нужно добавить условие:

3 :t z

=

P (t ) = I - Poo (t) .

d oo '1 p � l РI 0 + ""2 = "" РОl ' dt

5'J

( t)

Р (t)

Р1l '

- (Аз + Аз) Роз

=

Роо

После того, как в ычисления произведены и фу н кции Рl з (t) . . . . ,Роо(f) на йдены, можно найти надежность системы P( t) . Очевидно. она равна сумме вероятностей всех состоя ний, при которых система работает:

- ( 21.2 + "'1) P12 + 3А2 Р

=

d p Ol

dt

_

процесса новые функции мы выражаем через уже известные. пока . на­ конец. не доходим до РОО , которую выра жаем через все остал ьные:

Задача 1 (задача о запасных элементах): Работает п ростая система. состоящая из одного элемента Э, кото­ рый подвергается простейшему потоку отказов с интенсивностью 1.. . При отказе элемент м гновенно заменяется новым с та кими же харак­ теристи ками . В нашем распоряжении имеется N запасных элементов , находящихся в «холодноМ» резерве. Определить вероятность того. что этого числа запасных элементов нам хватит дл я обеспечения рабо­ ты системы в течение времени t (дру гими словами , найти надежность Ри) системы с восстановлением) . 808

Решение. Нетрудно заметить, что поста в ленн а я задача эквива­ леН'гиа задаче оценки надежности резервированной системы с N ре­ зервными элементаtllИ , работающими в холодном р езерве и, ка к та ко­ в ая , может быть р ешена методами, предложенными выше. Но мы решим ее несколько иным, более простым методом . Рассмотрим на оси 01 «поток восста новлени й», т. е. последователь­ ность моментов времени, в которые выходят из строя и мгновенно вос­ станавл и ваются эл ементы (рис. 7 . 36) . Очевидно, это - простейший ПОl 0К С интенсивностью л. На деж ность системы P (t) есть вероятность того , что к мом е н т у t система будет работать. для этого н ужно, чтобы н а участке (О, ' ) отказало не бол ее N элементов (один основной и N - 1 за п асн ы х ) .

Вычислени я по формулам (7.3) или (7.4) удобно производить, пол ьзуясь таб л и цами п у ассоновского расп ределен ия Р т (ил и вероят­ н астей R т

Рис.

7.3б

ат -а Рт = е , ml

= лt , т. е.

Рт

=

( t)

Л т ml

e-� I

(т

=

0

,

1 , ... ) .

(7. 1)

и ли , вынося e-� !

=

е-М

�

т- о

(М ) т т/

=

0 , 9999.

7.37

n2

элементов группы 1 , элементов группы 2,

ПА

элементов группы k.

I

N

1 - 0, 000 1

t

n}

(7 .3)

з а Знак суммы , Р (t)

894

т

=

Задача 2. Система состоит не из одного, как в задаче 1 , а скольких эле мен тов; среди них

N

�= О (Лmlt) т e-�t ,

5)

=

Рис.

(7. 1 ) в (7.2) , пол учим:

=

,

2) имеем : (а - ( 0 , 0037 + 0 , 0009 4) : 2 (а 1

о

( 7. 2)

(t)

=

�

короче,

Р

табулиру ются) .

PJt / 1 ,..-___

Н а йдем вер оятность того , что число точек (событи й ) , попада юш и х на участок (О, 1 ) , будет не бол ьше N . Эта вероятность и будет надеж­ но стью систем ы

ПодстаВJJ Я Я

удобнее

P( I ) = I + 0 , 0002) = 1 - 0 , 0048 = 0 , 9952 z 0 , 99 5 . = Дл я I = Р ( 2) = 1 - ( 0 , 0 5 9 5 + 0 , 0298 + 0 ,0 1 32 + 0 , 0053 + 0 . 00 1 9 + 0, 0006 + + 0 , 0002 + 0 , 000 1 ) = I - 0 , 1 ] 06 z 0 , 889 . Дл я t = 3 (а = 6) уже удобнее не п ер е х одить к п р от и в о полож ному соб ы­ тию, а в ы ч исл ять вер о ят н ость того, что число отказов б у дет м е ньше сем и : Р( 3 ) = 0 , 0025 + 0 , 0 1 49 + 0 , 0466 + 0 , 0892 + 0 , 1 33 9 + 0 , 1 606 + 0 , 1 606 z :::::: 0 , 60 8 . Дл я t = 4 (а = 8 ) ; Р(4) = 0 , 0003 + 0 , 0027 + 0 , 0 1 07 + 0 , 0 286 + 0 , 0572 + 0 , 09 1 6 + 0, 1 22 1 z z 0,3 1 3 . Дл я I = 5 ( а 0= 1 0) : Р ( 5 ) = 0 , 0000 + 0 , 0005 + 0 , 0023 + 0 , 0076 + 0 , 0 1 89 + 0. 0378 + 0.063 1 = z 0, 1 3 0 Н а носи м пол у че н иые з н ачен и я н а г р афик (р ис . 7 . 37).

Мы знаем (см . § 4 гл. 4) , что число событий простейшего потока, н а участок длиной " распределено по закон у Пуассона:

и ли ,

Рn , которые нес кол ь ко

Р( О

попадающи х

а

n-О

Пример 1 Р а ссматр ив ается р абота элемента с в осста новл е н ием (задача 1 ) ; и нте нсив ность пото ка отказов л = 2 (отказа в ч ас) . В нашем р аспор я ж е ll П II N = 6 за п а с н ы х элементов . О пр едел ить н адеж ность с нетем ы P(t) в ф у н кц и и времен и д о • = 5 час ( м а ксимал ь ное в р е м я р аботы) . Решение. В о с п ол ьзуем с я табл . 2 п р иложени я . П ер в ы й столбец т а бл и цы , где Р7 отл и ч н о от н у л я - это стол бец, соответст в у ющи й а = 1 , т. е. t = 0 , 5 . Пол а ­ га я t = 0 , 5 и скл адыв а я все в е р оятности дл я т > 6 ( и з н и х отл и ч н а от нул я толь ­ к о Р7), пол у ч аем; Дл я t

о

где

1 -�

В приложении (табл . 2 ) приведены выдержки из табл иц пуассо­ новского распред еления (вероя тности Р т)'

t

r

т- ]

=

(7.4)

из н е­

Каждый из элементов любой группы, независимо от др угих, мо­ жет отка зывать; интенсивность потока отказов дл я элементов разных г р упп равна соответственно: лl, 1., 2' . . . , Лk'

/

/

I

• •

P( t )

( t ) = е-лt t

Н! �

m= О

•

( Л ; пm

(7.5)

т/

или,

([)

=

кор оче,

Р( 1 )

(t ) . Р( 2 ) (t) .

Р и)

=

.••

•

P(k) и),

"

П р(О (/) .

(7 .6)

i = I

За метим, что, пол ьзуясь выведенными формулами, можно не тол ь­ ко оцениват ь надеж ность системы п р и з а Д а н н о м ч и с л е за ­ пасных элементов , но и о п р едел ять, с к о л ь к о запасных элементов н ужно иметь в распор яжен и и дл я того, чтобы си стема при заданном t и мела определенную надежность .

П ример 2. О п р едел ить число за пасных элементов N , которое надо иметь р ас п о р я жен и и дл я того, чтобы система , состоящая из одного основ ного эле· мента 11 N запа сных с и нтенси вностью потока отказов Л 0 , 5, имел а при 1 = 8 надеж иость не мен ьше 0, 95. Решение. Имеем а лt 4. В стол бце табл . 2 п р иложеиия, соответствую­ щем а = 4, складываем все вероятности , начи ная с последней, до тех пор , пока сумма не дойдет до 1 - 0,95 0 , 05. Пол учаем: 0.000 1 + 0 , 0002 + 0 . 0006 + 0 , 00 1 9 + 0, 0053 + 0 , 0 1 32 + 0,0298 O, 05 1 1 . Итак, вероятность того, что числ о отказа в ш и х элементов будет бол ьше сем и , р ав н а 0, 05 1 1 , т. е. N 7 не удовлетвор яет на шему требован ию; есл и же в з ять N 8, то веро ятность нехватки элементов будет мен ь ше 0, 05: 0 , 000 1 + 0, 0002 + 0 , 0006 + 0 . 00 1 9 + 0,0053 + 0 , 0 1 32 0,021 3. Отсюда, число запасных элементов, удовлетвор яющее услов ию задачи, N=8 . в

=

=

=

=

=

=

=

=

Во всех ра ссмотренных выше задачах восста новление элемента происходило мгновен но; тепер ь мы рассмагрим задачу, где оно задер­ живаетс я . Задача 3 (система и з одного элемента с задержанным восстанов­ лением) . Система состоит из одного элемента Э1, находящегося под дейст­ вием простеншего потока отказов с интенсивностью л. Отказавш и й эле­ мент немедленно начинает восстанавливаться (ремонти роваться) . По­ ток восстановлений - пр остейши й, с интенсивностью f-t. Запас средств для pt'1040HTa неограничен . Требуется определить: 39Q

- обоб�е нную надежность с истемы P(t) вероятность того, что в момент t сПс;гема будет работа ть; - п р едел ы�ое значе н и е обобщенной надежности р - вероя тность того, что в произв ол ьн ы й , достаточно удаленный от начала момент си· стема будет рабatат ь ;

- вероятность ри) того, что до определен ного момента система будет работать вообщ е безотказно (Т. е. не б удет ни одного перерыва в работе для восстановления ) . Реш е ние. Состояния системы ( в да нном сл учае элемента) будут: 80 работает, 81 восста навливаетс я . Граф состояний показан на рис. 7.38. Сравн ивая граф состояний 7.38 с графом состо я н и й одноканальной системы массовоГо обслужи-

--

So

Пер емножая эти надежности , пол учим надежность системы: Р

-

\

Все потоки агказов - простеЙшие. Отказавш и й элемент немед· , N" элементов л енно заменяется новым. В запасе имеется N l' N 2>' соответствующи х групп. Отсутствие запасно го элемента при очеред­ ном агказе означает агказ устройства . Треб уется оп ределить надеж­ ность системы P(t). Решение. Так как агсутстви е запасного эл емента любой группы равносильно отказу устройства , будем рассма тривать группы ка к «посл едовательно» включенные элементы; тогда надежность системы будет равна произведению надежностей всех г ру п п. Надежность i-й гру п пы определяется ){ак в задаче 1 :

1·

А-

"1 1 1 I S,

.J.L

Рис. 7.98

А-

So

Рис. 7.99

.

,

s,

ван ия с отказами (см. § 3 гл . 5, рис . 5. 1 ) , мы видим, что они совпадают; qн ачит, совпадают и вероятности состояний , т. е .

Po (t)

=

Л f1_ + __ _ 1.. + IJ. Л + JA

Pl (t) = 1 - po(t)

=

e-( л. + IJ. )

_1.._ 1.. + 1<

1,

(1 _ е-(Л + IJ. ) ' ) .

\

(7.7)

Обобщен ная надежность системы - вероятность того, что в мо­ мент t она будет работать:

Р (t) При t

-+ 00

=

Ро

(t)

==

-1.1.-

" + f1

Л + __ е-(л. + IJ.) Л + IJ.

!

•

(7.8)

эта надежность стремится к предельному значению: Р _ 1.1. - ,, + f1. '

т. е. равна относител ьной доле интенсивности потока восстановл ений в суммарной интенсивности потока восстановлени й и агказов.

В ероятность P(t) того, что до момента t не п роизойдет ни одного отказ а , определим следующим об разом. Предположим, что восстанов­ л е н и й отказавшего элемента нет, т. е. граф состояний и меет вид, показ а Н Н �IЙ на рис. 7.39. Искомая вероятность P(t) будет равна вероят­ ности рои) того, что снстема с графом состояний, показанным на р ис . 7.39, будет к моменту t в состоянии 8 0; эта вероятность полу­ чптся решением дифференuиального уравнеи ия

ipo dГ = -ЛРо.

3t7

\

откуда

Ро (t)

=

е-М .

I

�

/

�p���Be).

Т а ки м об разом,

(7.9) Задача 4

( система и з н ес к ол ь к и х эл ементов с задер ж а н н ым восста ­

новлением) . элементов , кажды й из которых на ходится Система S ('остоит из под действием п ростей ш его пОТока отка зов с и нтенсив ностью л. П р и отка зе л юбого элемента система выключа ется и н а ч и н а ется восста ­ новлеНие элеме нта . При нера бот а ющей системе Эл ементы OTKa � ЫBaTЬ не могу т . Интен си вн ость потока восста новл ен ий равна /А . В се потоки­ простеЙш и е. Н а йти : - обобще н н у ю н адеж ность системы P(t) (ве роя тность того, что в момент t система б удет работать) ; - п реде льн у ю обобщенн у ю надежность си стемы Р ;

n

- веро ятност ь

РЩ

того, что до момента

л и в ат ься , л ьные же элементы продолжают работать (а кти вн о и л и Интенси вность потока восстановл ен и й элемента в гор я чем (н езависимо от ч исл а одновр емен но восста н авливаемых элеме нтов) равна /А. \\ Н а йти : - вер оятност ь P(t) того, что в момент t все элементы будут ис­ правн ы ; - п р еде л ьную вероя тн ость Р того ж е событи я ; - среднее ч исло исп р а вно ра бот а ющи х элементов дл я предел ь,

00 ) . ного р еж и ма (при t Решени е . Б удем н у меров ать сост оя н и я систем ы п о числ у неисправ· ны х эл ем ентов: все элементы исправны; So один элемент восста н а вл и ваетс я, остал ьные испра вны; SI �

-

-

S"

-

.

.

Sn

i отка зов вообще не б у-

.

.

.

-

.

все

n

.

..

.

.

.

..

,

.

.

.

восста навл иваютс я , остальные исп р а вн ы;

элемен тов .

.

..

.

.

.

.

.

.

.

k

.

.

..

.

.

.

.

.

.

элементов восстанавл иваютс я .

дет .

5,

l.nA '1

5,

)i

Рис. 7.40

Реш ен ие . ниях:

So Sl

Рис. 7.41

Система ПО' п режнему м ожет быть тол ько в дв у х со сТоя

ра бота ет , выкл ючен а , восста н а в л и вается один элемент* ) . Г р аф состояний пока зан на р ис. 7. 40. Ка к вид но, он отл ичается от гр а фа на р и с . 7.38 тол ьи тем, что вместо л стоит М. Отс юда , на ос­ нове реlliения предыдущей задачи , -

-

P (t)

= _f..L_ +

n"- + /1

p =

р (t)

� е -( nЛ + IL ) t ,

nл. +

f..L

f..L _

nЛ + /1 _

=

'

e-nЛl,

(7. 1 0 )

(7. 1 1)

n

в

398

n

d po dt

-

=

dPl dt

- 11 /\,

=

�

Р + /АР] ! о

-( n- 1)

dPk >oc dt d pn

- =

dt

- ( n - k) л + kftJ Р" +

(n - k + 1 ) ЛРk _ 1 + (k + 1) �Pk +

(7 1 3 .

)

1,

- n ftРn + /\'Рn- l.

плюс условие из ст р оя дв у х ил и бол ее Элементов не р а ссматр и в а ется

с и л у орднна р н ост и потока OTKa:lOJl.

л + ftJ Pl + n лро + 2/АР2 '

(7. 12)

И н у ю карти н у мы пол учим, есл и предположи м, что во время вос­ ста новл ен и я одно го элемента д р у гие продолжают работать и м огут выходить из строя . эл ементов , ка ждый из которых Задача 5. Система S состоит из на ходи тся под действием потока от казов (н еисп равностей) с интен­ сив ност ью Л. При оТ!<азе элемента он немедленно н а ч и н а ет восста нав*) О д но в р еме н н ы й в ых од

Граф состо я н и й системы пока з а н на р и с . 7.4 1 . Сравнивая его с гра­ фом состоя н и й замкн утой СМО в сл учае, когда Числ о т рабоч и х , об­ стан ков (см . § 8 гл . 5), видим , что служивающи х ста н к и , р а в н о числ у он и совпадают . Следовател ьно, дл я обоих графов совпадают и диффе­ рен uиал ьные уравн ения дл я вероя тностей состоя н и й , и предел ьные вер оятности . Диффе р енu и а л ь ные у р а внения имеют вид:

�

Рl + Р2 + " ·

+ Рn

=

1.

899

И скомая вероятность P(t) есть не что и ное, ка к po(t) которую по­ л учим , интегри р у я систему уравнен ий (7. 1 3) п р и начал ых условиях :

t = O;

гл .

ро = l ;

Рl = ' ' ' = Р n = О .

Предельные вероятности состояни й на ходим т = n , Л/f.t р: /

5 , полага я Ро

Р.

по фор мулам

§8

=

= -----n (n - I ) . . . 2 . 1 11 n (n - l ) . . . (n -r + l ) n I + 11 р + . . . + р7 + . . . + Р nl гl I + Cn ! P + . . . + Cn7 p7 +

=

C,.r р' Ро;

r

=

1,

...

I

. ..

+ Сnnрn =

о + р)

n ;

\ hл .�\

�

всегда справе иво: в р яде случаев отказы элементов могут быть з а ­ в и с и м ы м завис и мость жду отказами может быть двух типов. 1 . От каз ка к о-ли бо элемента м е н я е т р е ж и м р а б о т ы с и с т е м ы (на п р мер, может возни к н уть короткое за мыкание или рез к и е колеба н и я IЩп р яжения ; или же выход из строя одного эле­ мента , я вляющегося регулятором, меняет режим работы др у гих) . 2 . На всю совокупность элементов действует ка кой-то о Д и н с л у ч а й н ы й Ф а к т о р (температур а , вибрапи я и т. д. ) , одно­ временно влияющи й на надежность всех Элементов или части из них . Оста новимся вкратце на способа х учета обоих типов зависИ мости . Э,

, n.

Искомая предел ьная вероятность Р будет равна п редельной вероят­ ности Ро.

работающих элементов и будет равно чис­ лу элем ентов n, умноженному на вероятность того, что отдел ьный эле­ мент работает испр авно . Эта вероятность дл я предел ьного р ежима fA ' откуда р авна л' + fA И =

n Щt = -- , л' + fA l +p ,

--

Рассмотренные задач и и пр и ме р ы показывают, что математи че­ ск и й ап п а р ат, пр имен яемый для а на ли за наде жности те х н и ческих ус тр ойств , в сущности , сов п адает с апп а р атом теор и и массового обелу­ живац и я , и исследование процессов, пр отекающих в систем а х с нена· дежными эл ементами , при известных услови ях может быть п роведено методами теории непрерывных м а р ковс к и х цепей. для этого нужно, чтобы потоки событий, переводящие элементы из состоя н и я в состоя· н и е, были (точно или п р иближенно) пуассоновскимн . Эти потоки не· обязател ьно должны быт ь ста циона р ными , но во вся ком сл у ча е та ки­ ми, чтобы интенсивности потоков событи й н е з а в и с е л и от слу­ чайных моментов переходов системы из состояния в состояние. дл я наиболее простого, ста цион а рного случая это означает, что, в част­ ност и , все з а коны надежности должны быть экс понен ци а л ьным и , а за­ коны распределения времени , восстановлен ия - тоже показательны, ми или бл из кими к ПLказател ьным.

Рис.

У Ч ЕТ З А В И С И М О СТ И ОТ КАЗ О В П Р И О Ц Е Н К Е Н АД ЕЖ Н О СТ И Т ЕХ Н И Ч Е С К И Х УСТ Р О й СТ В

ДО снх пор , анализи р у я надежность технических устройств (си­ стем) , составленных из элементов, мы предполагал и , что отказы этих элементов п роисходят независимо друг от дру га . Это ДОПУLЦение не

�

7.42

Рис.

7.43

Пусть имеется налицо зависимость отказов первого типа - вы­ ход из строя одного эл емента вл и я ет на режим работы и, ;:\начит, на надежность остал ьных . Очевидно, если мы имеем дело с простой (не ­ резер ви рованной) системой п р и отсутстви и восстановл ен и я , то зави ­ симость первого типа не может сказа ться на надежности системы. Если же система резерви рован а (или происходит восстановление) , зависи­ мость такого типа должна учитываться . П ри м е р 1 . Сист ема состоит и� дв ух элементов: основ ного Э! и резерв н ого Э2 , работа ющего в «гор ячем р езер ве) (р ис. 7. 42) . Пр и отказе основного элемеита

систем а автом ати чески перекл ючается на резер в н ы й . Интенсив ность потока от­ ка зов обои х элементов в нормальном р або чем состо я н и и одИ н а ков а и р а в н а л, В ы ход из строя основ ного элемента вл и я ет н а режим р аботы резер в ного так, что и нтенсив ност ь отказов л, увел и ч и в ает с я на вел ичи н у f( t - t1), где (1 - мо­ мент отказа основ ного элемента. Т а к и м образом , усл овная и нтенсив ность от­ казов резерв ного элемента пр и услов и и , что основ ной отказал в момент [1 , равна:

Тр ебуется определ ить иадеж ность системы Ри) .

Реш е н и е Данная задача сводится к у ж е решен ной р а нее. Действ ител ьно,

пол агая л'1 (t) л'2 и) л,j 'Х 2 (t/t1) Л, + f (t - t1) , котор а я р ассматр ивалась в зада че 1 § 6. =

8.

@{

Эz

Среднее число исправно

=

=

МЫ

п р и х одим

К

той схеме,

Первый т и п з авис имост и отк азов (влияние отказов одн и х элемен­ тов на надежность других) наблюдается и тогда, когда некоторые мементы (регулятор ы ) предназначены для поддержан и я нормального режима р аботы др у г их. тов:

П ример 2. С и стема S СОСТОИ1 ИЗ двух «па р аллел ь ио» в ключенных элемен­ основ ного Э1 И р езер в ного Э2 , находя щегося в облегчен ном р езерве (р ис. 7 . 43). 401

Регул"тор Эр предназначен пля того, 'lТобы поддерживать но зльныli режим ра60ТЫ обоих Элементов: Э1 и Э2 В нормальном режиме инте иввости отказов работающего и неработающего (исправного) элементов рав ы соответственно Л] и Аз. При отказе регулятора эти интенснвности мгнове но увеличиваются и становятся равными л; и Л2. Интенсивность потока отказ в самого регулятора равна Ар Все потоки событий - простеЙшне. Определитъi надежность снетемы Решение. При постоянных интенсивностях отказрв процесс, пРОисходя щии в системе - марковекий Будем нумеровать состояния системы тремя иидексами: первый равен ну· лю, если исправен регулятор, н равен еДИНИl1е. если он вышел И3 строя Второй индекс равен нулю, если нсправен основной элемент Э1, и единице. если он вы· шел нз строя Третий нндекс - то же для резервного элемента Э2. •

5000

\

\

т ы с и с т е М,Ы. Рассмотрим сначала самый простой случай, когда режим работы сй�темы не меняется в ходе ее эксплуатации, а остается постоянным. Так, например, можно считать, что метеорологические условия не меняются или мало меняются в процессе полета ракеты класса '<Земля - Земля». Пусть возможны несколько режимов работы: С

R1, R2,

•••

,

Rk

вероятностями, равными соответственно р

(R1),

р

(R2),

,

Р (Rk).

Имеется некоторая система S, надежность которой зависит от режима, при котором она работает. Обозначим условную надежность системы при (,м режиме (R t):

Sf(Jd

P(t/Rz)

• • •

(i=l,

.•.

,k).

Найдем те перь полную (безусловную) надежность системы P(t). По формуле ПОJJНОЙ вероятности:

или, короче,

Р (t)

Состояния системы (рис. 7.44): 5000 - все три элемента исправны, 5010 - регул ятор исправен, �лемент эз. вышел из строя, работает Э2; SOO1 - регулятор исправен, элемент Э1 исправен, работает, Э, вышел из строя; SOll - регулятор исправен, оба лемента Э1 и Э вы ли из тро э 2 ш с п; S]OO - регулятор вышел И3 строя; оба элемента Э1 и Э2 исправны, из ннх Э1 работает; 5110 - регулятор вышел из строя, элемент Э1 вышел из сгроя, работает Э1; 5 10] - регулятор вышел из строя, элемент Э1 работает. Э2 вышел из ст оя р ; 5111 - все три элемента вышлн из строя. Составив по этому графу спстему дифференцнальных уравнений (предо· ставляем это сделать читателю) и решив эти уравнения при начальныx условиях:

"

= P111 = О,

получим вероятности состояний. Надежность системы P(t) выразится как сумма вероятностей всех состояннй, Kpf)Me SOlJ и S1l1' В которых не работает ни один ИЗ эле�lентов Эz и Э2:

р (t)

=

J

- Роll (1) -

.

Рl11

(t).

(8.1)

Остановимсн теперь па втором типе зависимости между отказа· Этот тип зависимости обусловлен наличием каких-то случайных факторов, влияющих одновременно на работу вс ех элементов. Будем считать, что эти факторы определя ют тот или иной р е ж и м р а б О· ми.

402

� Р (Rz) Р (t/ R,).

(8.2)

1=1

Пример 3. Система S состоит ИЗ двух <
Рис. 7.44

t= О; Рооо= 1; р, 10=

k

=

- 0,4

При режиме R1 интенсивностн потоков отказов элементов Э1и Э2 рав ны 0,1

и 0,2 (отказов в час), при режиме R2 они равны 0,3 и 0,4, при режиме Rз и 0,5 Определить надежность сис темы и ВЫЧИслить ее для t = 2 час

Решение. При «последовательном» соедн нении элементов интенсивности отказов складываются. Находим условные надежности системы при трех режи· мах: +0.2) р (t/R 1) =е-(О.I

t

Р ( tf R 2) =

t

Р

(tjRз) =е-(О.4+0,5)

Отсюда Полагая t

P(t)=O,4 =

2,

t

= е -О, 7

t ,

= е -О . 9 t.

е - О , 3 1+0,3e-O,7 t+0,3e-O•9t•

получим: Р (2)

=

е-(О.3+0.4)

= -O.3t e ,

=

0,4 е-О•6 -0,3 e-1•4 +0,3 е-1•8

=

О ,4.0,549-0,3.0,247 +0,3·0,165 = 0,343.

АнаJIOГИЧНО р ассмотренной дискретной схеме нескольких режимов определить надежность системы, если режим работы характе· ожно м ризуется некоторой непрерывной случайной величиной R (скажем, 403

\

r-i:;

температурой), IIмеющей известную плотность рас п е еления '(г). Тогда в формуле (8.2) вместо суммы будет фигури в ь интеграл:

Р (t)

� Р (t/г) f (г) dr,

=

,;'

(R)

(8.3)

- условная надежность системы при условии, что R r, плотность распределения параметра R. Интеграл распространяется на всю область (R) возможных зна­ чений параметра R.

где

f(r)

ри/г)

Решеиие�\Условная надежность си стемы при первом ре ж и ме:

Л(8)=Ло+а.8.

Плотность расп ределения температуры

8

постоянна на и нтервале от

б1

до

Определить надежность си стемы. Решение_ Определяем условную надежность с и стемы п ри заданном значе­

8

=

�:

PR =Ot9�ZO,OO4. Р zO,9.0 ,904 +0,-1.0,004= 0,814.

н

Подсчи таем гу же надежность, счи тая отказы элементов независимыми прнпи сывая каждому из них надежность, равную

р=О,9р+О,lр' =0,988. Перемножая надежности 50 элементов, полу чим:

р=0,9885О

Р (t)=

-s t}, (2е-(ло+а.t},) ( + (л.-t«t;.)i] dб =

1

а. (б2 -б1) t

t

+

е

б2-б1

_

-2

1

__

t1.

0,551.

=

в одинакова; в нормальном режиме она равна Надежность всех элементо ' Ь системы р = 0,99. в ненормальном р = 0,4. Определи ть полную надежноСТ независимыми. р и сравнить ее с той Р, которая получи тся, есл и считать отказы Р ешеиие. Условная надежиость с истемы при каждом режиме:

PR,

[2 e- ( �o+ a. t}) ! _e-2(�o+a.t1)t] dб=

2е - Ло + а. t; . )

,

_

I _e-2(�o+a.t;1)t + 2

•

Пример 5. С истема S состои т из 50 однородных элементов, соединенных «последовательно», И может работать в одном из двух режимов: R] - нормальном, R2 - ненормальном. Вероятности этих режимов равны соответственно:

В нормальном режиме надежность каждого элемента (за определенное вр е­ ' мя "t) равна р = 0,998, в ненормальном р = 0,9. Определ ить полную надеж­ ность системы S и сравнить с той, которая получилась бы, есл и бы элементы выходили из строя независимо.

=

1_(1_0,99)4::::::: 1,000,

PR ,

=

1 :-'(1_0,4)4 Z 0,870.

Полная иадежность си стемы:

Р

_

Заметим, что неучет зависимости отказов, если она имеется и су­ щественна, может привести к большим ошибкам, особенно, если си­ стема состоит из многих элементов.

404

z

при Как видно из примера, пренебр�ение зависимостЬЮ отказов к сущест­ «последовательно м» соединении элементов может привести ии эле­ венному занижению надежности_ При «параллельном» соединен ию надеж­ ментов тот же неучет зависимости приводит не к занижен ности, а, наоборот, к ее завышению. элемента Э] Пример 6. Резервированная с и стема состоит из основного Система можеl' и трех резервных: Э2, Эз, Э4, работающих в «горячем» резерве. м и R. - ненормальном работать в одном из двух режимов: R1 - нормально 0,3. 0,7 и P(Rz) с вероятностями P(R1) =

ПО формуле (8.3)

О ,904;

z

Полная надежность си стемы:

=

-

Р , = 0 ,99800 R

при втором.

Пример. 4 Сист�ма S состоит ИЗ двух элементов Э1, Э2, включенных «па­ раллелыlO»; резервныи элемент Э2 находится в «горячем» резерве. Интенсивиость потока отказов каждого элемента постоянна во времени, но зависит от режима работы с и стемы - температуры 8; эта зави с имость выражается формулой

нии

\

=

0,7.1,000 + 0,3.0,870 = 0,961.

и приписать каждому н:;! Еслн сч итать отказы элементов независ и мыми них надежность .

р=О, 7_0,99+0,3.0,4=0,813, го надежность си стем ы будет другая:

�.

е.

р =I_(l_p ) f:::::: 0,999,

знач и тельно выше , чем исти нная надежность 0,961.

торое получает­ о Завышение надежности резервированног блока, ко ольше, чем больше те б м отказов, стьЮ зависимо и пренебрежени ся при число резервных элементов. соединенных как Если техническая система состоит из элементов, (<последовательно», так и <спараллельно» (например, если дублированы зависимостЬЮ от­ только наиболее важ ные узлы), то пренебрежение ению надежзаниж к и так шению, завы к м как казов ожет приводить ности. Наконец, рассмотрим случай, когда в процессе работы системы режим может меняться случайным образом. 406

Пример 7. Система S, состоящая из двух «последоватеЛЬН9» соединенных элементов, может работать в одном из двух режимов: R1 и R2 П ере х од системы из режнм а R1 в режим R. происходит под действием простейшего потока собы­ ти й с интенсивностьЮ 1.12; обратный переход - под де йствнем простейшего по· тока событий с интенсивностью 1..1 В режиме R1 интенсивность потока отказов г - Л. ( ); 1 в режиме R эти интенсивности перво о элемента равна � (1) второг о

равны

мы

P(t).

"У), л�2)

Все

,

потоки - простеЙшие.

Определить

.

надежность

систе·

Решеиие. Состояния системы буд у т:

IL

смент неисправен.

А. (f/ � 1

s,�

�.'!;;; J

dt

dрzи dt

(",-4) С+30=0 , c+O,,-9) о=о.

"1 =6,5- У6,52-33

5ZH

"2= 6 ,5+ У6,52-33

При значении"

2

'" ]

(",(2) + ",(2) + ,,21 ) Р2и+ '" 2

21

Р2и'

12 Рlи'

(8.4)

=

при

"

=

"2

-

-

(8.4), lIапример, при чнсленных значениях па·

4

z

3,459,

-

9 , 54 1

.

0

формулой

-Л1 C(I)=0,180c(l), 3

формулой

(2)= 4-"2 с(2)= 3

_1,847c(2).

�

ых урав­ решения системы диф ференциальн Отсюда вытек ает, что общи вид э функции: ненИй (8.7) - то пара

(1) =С( 1)

,459/ +с( 2) е-9•5 е-3

0 Р2и(t)=О,18 С

41 t,

(1) е-3,4591 _1 , 847с(2) e-9.5411.

етствующим выбором мы можем удовлетворить соотв Начальным У словиям чтобы выполнялось условие Для того с(2) . СО) и ПРОИЭВОЛЬНblХ постоянных О 1 , Р 2И (О) = О t ну жно, чтобы быЛ 1

Р И (О)

=

си) +с(2) = 1,

с(2) =0. О, 180С( 1) - 1 ,847

(8.5)

406

(8.7)

"1 решение системы (8.7) дается 0(1)-

И Р1

Дру гне вероятности нас в данном случае не интересуют, так как они соот­ ветствуют ненсправной (неработающей) системе. Если мы знаем, в каком режиме (R! ИJlИ R ) система на'lинает работу. то 2 уравнения (8.4) будут интегрироватьс я при вполне определенных начальных условиях. Например, если система начинает работу в режнме R1, начальные ус· JlОВИЯ будут:

Проинтегрируем систему раметров:

} }

ИМ два значения ,,: Решая это уравнение, нахоД

(",(1) + ",(1) + ,, 12) Р1И+ 1

'J,.I

Oe- может каких л пар� функцИЙ Ce-"t, Прежде всего найдем, при пары в систему (8.6) дает: такон ка танов Подс м. ения удоилет ворЯть уравн

(1.-4) (Л-9)-!.3=0

Граф состояний системы показан на рис. 7."45 Стрелки, переводящие си­ стему И3 состояння S1H В SZH И обратно, не показаны, та/( как, если система не исправна, нам все равно, какой режим имеет место Уравнения Колмого рова для вероятносте й состояннй будут:

dР2И -- = dt

(8.6)

или

Л �%I + А. 'f'

1

=Рlи-9рzи·

\

нулевого , необходимо и достат фициентов этой системы:

S'H

Рис. 7.45

-

-4Р1И + 3Р ZИ'

ибудь решен ие (С, О) , кроме Ч тобы система уравнений (8.7) имела какое-н елнтель И3 коз фочнО, чтобы был равен нулю опред

ЛZ1

5z"

=

---

.-.-

л, z

dР1И = --;;;-

dР1И

ил и

Szи-режим Rz• оба элемента а.: I ,овны; ,J

п римут вид:

-лО=С-90

SlH-режим R1, хотя бы один ,.r."'"tJlT ненсправен; o�п"

(8.4)

-лС= -4С+30,

S1и-режим R1, оба элемента ИсПjJ< �l1Ы;

Szн- режим Rz, хuгя бы

Уравнения

ИЗ второго уравнения

- О , 097c(I).' С(2) -

}

подставляя это в первое, получаем:

с(l) = 1/1,097 =0,912; с(2) =0,088.

407

ОкончатеЛЬНОI

РIИ (i) =О,912е-Э,459 f +О,088е-9,541 (t)= 0,164 (е-З,459 t _е-9,541 1)

Р2И

8

t,

.

НадеЖIJОСТЬ системы, очевидио, будет равиа оумме вероятностей ИСЛР8l.щой работы:

p(l) (t) = p\�) и) + р��)Щ =1,076 е-3 , 45 9 t -0,076 е-9.541

t�

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИИ

еде верхний индекс (1) показывает, что они вычислены для определенного на. чального режима R1. Аналогично, для начального режима R2:

p'�) (t)=0,493 ( е-з,459 _е-9,541 t), p��) (t) .0, 089 е-3.4б9 1+ 0,911 е-9,541 /

=

р(2) (t)=p\� )

и)+p��)

1.

t.

3 (0=0,582 е - ,459' +О,418е-9.541 (,

ЕСЛIf начальный реЖIfМ работы системы в точности неизвестеи, а известны только J.lероятности режимов R1 и Rz в н�чале процесса, надежность снстемы ма­ жет быть ПОДСчитаиа по формуле полнон вероятности: р

(t)= Р

(Rj)

p (l) (t)+P (R2)

р(2)

(t),

где P(R1), P(Rz) - вероятности того, что в нача льный момент имеют место режи­ мы R1 и R2 соответственно.

МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИИ (МОНТЕ-КАРЛО)

о в р яде предшествующих глав мы познако мились с мет дами по­ строения некоторых математических моделей , дающих возможность установить аналитическую (формульную) связь между заданными условиями операции (в том числе принятым нами решением) и резуль­ татом (исходом) операции, характеризующимся одним или несколь­ Е опе­ кими пар аметр ами - показателями эффективности, сли в ход рации вмешиваются сл учайные факторы, то она представля ет собой п р о Ц е с с, а показатель эффективности - ве­ с л у ч ай ны й роятность какого-то события ИJIИ же математическое ожидание какой­ то случайной величины. Иногда удается построить аналитическую мо­ дель случайного процесса (например, систему дифференциальных уравнений для вер оятностей состояний или алгебраических уравнений для предель ных вероятностей состояний) и связать заданные условия операции с ее ИСходом аналитическими зависимостями. Однако это о удается далеко не всегда, - главным образом, в тех случаях, к гда м т и ар­ е ваемой е с ра и сматри м екающий с с о , в роц н й с е с т пр ча п , ы С,1lу КОВСКИЙ или близок к марковекому. м б На практике да леко не все случайные процессы, на люда е ые Например, б и в операциях, являютс я марковскими или лизк ми к ним. в реальных системах массового обслуживания ПОТОК заявок отнюдь не всегда бывает пуассоновским; еще реже наблюдается показатель­ д ное (или близкое к нем у) распределение времени обслуживания, ля произвольных же потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, аналитические решения получены толь ко для отдельных ат частных случаев, а в общем случа е удовлетворительных методов м е­ в ует ов т процес щ и с н соответст х ующ . у ес опис в е с тического ания а м В тех случаях, когда построение аналитической модели явления й то по и или другой причине трудно осуществимо, применяется друго т т а и т а м од е Д названием с о метод моделирования, известный п , а е а и, т о й н н а и т М и Д о че т е м и и л н спы ст и ч е ск и х К а р л о, В настоящее время при моделировании о пераций и вооб ще слу­ ны й Х процессов метод Монте-Карла примен яетс я очень широко. ча Такое широкое р аспространение метода связано, главным образом, 409

с появлением ЭЦВМ, позволяющих в обозримые сроки выпо лнять мас· совые расчеты по этому методу (без машин весьма трудоемкие). Од­ нако в принщше метод Монте-Карло может применяться и без помощи ЭЦВМ. В данном параграфе мы изложим существо метода, безотно­ сительно к способу его осуществления. Идея метода Монте- Карла чрезвычай но проста и состоит она в сле­ дующем. Вместо того, чтобы описывать случайное явление с помощью аналитических зависимостей, производится «розыгрыш» - модели· рование случайного явления с помощью некото рой процедуры, даю­ щей с л у ч а и н ы и р е з у л ь т а т. Так же как в жизни конкрет­ ное осуществление процесса складывается каждый раз по-иному, так же и в результате «розыгрыша» мы получаем один экземпляр - одну «реализацию» случайного явления. Произведя такой «розыгрыш» очень большое число раз, мы получим статистический материал - множест­ во реализации случайного явления, - который можно обработать обычными методами математической статистики. Не редко такой прием оказывается проще, чем попытки по­ строить аналитическую модель явления и исследовать зависимость между его параметрами на этой модели. для сложных операций, в ко­ торых участвует большое число элементов (машин, систем, людей, коллективов) и в которых случайные факторы сложным образом взаимодействуют между собой, метод статистических испытаний, как правило, оказывается проще аналитического. В сущности, методом «розыгр ыша» может быть решена любая вероятностная задача; однако оправданным он становится только в слу­ чае, когда процедура «розыгрыша» проще, а не сложнее применения аналитических, вычислительных методов. Рассмотрим элементарный пример. Решается задача: по некото­ рой цели Ц производится четЫ[rе независимых выстрела, каждый из 0,5. Для поражения которых попадает в нее с вероятностью р (уничтожения) цели одного попадания недостаточно, требуется не менее двух попаданий. Определить вероятность поражения цели. Поставленную вероятностную задачу можно решить двумя спо­ собами: а) аналитически и б) «розыгрышем». Сначала решим задачу аналитически. Вероятность поражения цели W вычислим через вероятность противо положного события не поражения цели. Вероятность непоражения цели равна сумме ве­ роятностей ни одного попадания и ровно одного попадания; вероят­ ность ни одного попадания равна 0,54; вероятность ровно одного попа­ 4·0,54, следовательно, дания равна С41• 0,51. 0,53 W 1-(0,54+4·0,54) � 0,688. =

faToWl

или «исходоы» 9ТОГО опыта «поражение» иЛи «йепоражение)' цели. Повторим [акой «ОПЫТ», состоящий в бросании четырех монет, очень много раз подряд. Тогда, Согласно теореме Бернулли, час тота «поражения» цели почти наверняка будет ма.'ю отличаться от вероят­ ности этого события W; значит, если мы бросим четыре монеты боль­ шое число раз N и разделим число «поражений» цели на N, мы почти наверняка получим число, близкое к W, т. е. к 0,688. В данном примере определение вероятности W розыгрышем было несравненно труднее, чем аналитическим расчетом. Однако далеко не всегда это бывает так. Очень часто оказывается, что получение ве­ роятности события (или среднего значения случайной величины) ана­ литическим, расчетным путем на­ столько с ложно и громоздко, что проще оказывается розыгрыш. Рассмотрим пример такой зада­ чи. П усть производится бомбо­ метание по некоторой цели Ц (рис. 8.1); зона разрушительного действия бомбы имеет вид кру­ га радиуса r. Сбрасывается n бомб. для поражения цели (вывода ее Рис. 8.1 из строя) нужно покрыть разрушени ями не менее k % площади цели. Требуетс я най ти вероя тно сть поражения цели W. Несмотря на видимую простоту постановки задачи, ее аналити­ ческое решение чрезвычайно сложно. Гораздо проще будет решит.... задачу «розыгрышем». для этого надо будет «разыграть» коорди�аТbl n точек попадания (как это сделать - будет рассказано в дальнеишем); вокруг каждой точки попадания описать кру г радиуса г и подсчитать общую пораженную площадь цели (на рис. 8.1 она заштрихова на). Если эта площадь оказалась больше k % площади цели, считать, что «не поражена». Такой <<Опыт» , со­ цель «поражена», если меньше k% стоящий в «бросании» n бомб, нужно повторить очень много раз, отме­ чая каждый раз условным знаком (например, «+») опыт, в котором цель была «поражена». При больщом числе «опытов» N вероятност ь поражения цели W может быть приближенно оценена как частота «ц()­ ражения» цели; -

м

W �N'

=

=

Теперь попробуем решить ту же задачу «розыгрышем». Ву дем моделировать процедуру стрельбы с помощью другой, тоже сл учай­ ной , процедуры. Вместо четырех выстрелов по цели будем бросать че­ тыре монеты: появление герба будет у словно означать «попадание», а решки - «промах». Если из четырех брошенных монет не менее двух упадут гербом, это будет значить, что цель «поражена». «Опытом» или «розыгрышем» В нашем случае будет бросание четырех монет; «резуль-

4\О

-

(1.1)

чи сло «опытов», отмеченных плюсом. где М Оказывается, что даже для рассмотренной нами сравнительно эле­ ментарной задачи процедура «розыгрыша» (получение вероятности методом Монте-Карло) будет 9начительно проще, чем нахождение той же вероятности аналитическим, расчетным методом. Пример яв­ ляется хорошим образцом типично «монте-карловской» за дачи. -

411

Заметим, что методом �татистических испытаний (Монте-Карло) можно находить не только вероятности событий, но и средние значения (математические ожидания) случайных величин. При этом мы будем пользоваться уже не теоремой Бернулли, а законом больших чисел (теоремой Чебышева). Согласно этой теореме при большом числе неза­ ВIIСИМЫХ опытов среднее арифметическое наблюденных значений слу. чайной величины почти наверняка мало отличается от ее математиче­ ского ожидания_ Так, если в условиях последнего примера (бомбометание по це­ ли LUHaM требуется найти не ве роятность поражения, а математиче­ ское ожидание площади разрушений Sp:

м [Spl

=

sp'

то его можно определить приближенно как среднее арифметическое площадей разрушениii в большом числе N разыгранных «опытов» : N

�

Spt

1=1 S =p -N- ,

(1.2)

rде Spl - значение площади разрушений в i-M «опыте». Аналогичным способом могут быть найдены не только математи­ ческие ожидания, но и дисперсии интересующих нас случайных вели­ чин. Не забудем, что дисперсия случайной величины есть не что иное, как м а т е м а т и ч е с к о е о ж и Д а н и е квадрата центрирован­ ной случайной величины; оно может быть приближенно найдено как среднее арифметическое этих квадратов в отдельных «опытах». Так, в нашем примере дисперсия площади разрушений может быть прибли­ жен.о найдена по формуле

оДного «опыта». При боJlЬШОМ числе реализаций интересующие нас характеристики случайного явления (вероятности, математические ожидания) находятся так же, как они находятся из опыта: вероятно­ сти - как частоты событий, математические ожидания - как средние арифметические значений соответствующих случайных величин. Моделирование случайных явлений методом Монте-Карло имеет общие черты с процессом набора опыта отдельными людьми и челове­ ческими коллективами. И тут, и там каЖдая отдельная реализация случайна; устойчивые закономерности обнаруживаются лишь при многократном наблюдении явления, при обширном опыте. Большое число реализаций, требующееся при применении метода Монте-Карло, делает его вообще громоздким и трудоемким_ Прежде чем пускать в ход метод Монте· Карло, всегда имеет смысл попытаться решить задачу аналитически, и только если это не удается, прибе­ гать к статистическому моделированию. Полезным оказывается хо­ тя бы приближенное предварительное аналитическое решение задачи 9ТО помогает выявить основные факторы, от которых зависит резуль­ -

тат, и наметить план дальнейшей работы. Моделирование случайных явлений методом Монте-Карло Часто производится с целью проверить правомочность в данном случае того или другого математ ического аппарата, всегда основанного на некото­ рых допущениях. Пусть, например, рассматривая систему M�CCOBOГO обслуживания, мы приближенно заменили не-пуассоновскии поток заявок пуассоновским и непоказательное время обслуживания -пока­ зательным. Моделирование того же процесса методом Монте- Карло покажет, допустимы ли Э1'и упрощения, к каким ошибкам они приво­ дят, Ij позволит ввести в расчетные формулы соответствующие по­ правки.

2.

ЕДИНИЧНЫЙ ЖРЕБИЙ

Основным элементом, из совокупности которых складывается монте-карловская модель, является о Д н а с л у ч а и н а я р е а л и з а ц и я моделируемого явления, например: один «обстрел» це­ ли , один «день рабоТbI» транспорта, одна «эпидемия» и Т. п. Реализация пре�тавляет собой как бы один случай осуществле­ ния моделируемого случайного явления (процесса) со всеми присущи­ ми ему случайностями. Она разыгрывае1СЯ с помощью специально разработанной процедуры или алгоритма, в котором важную роль u играет собственно «розыгрыш» или «бросание жребия». Ка�ыи раз, когда в ход моделируемого процесса вмешивается случаиность, ее u

-

или, что проще, через второй начальный момент: N

D [S] Р

=

М IS Р2] -S-p2 �

�S�i

-

2 ----sp' N

1= I

(1.3)

Таким образом, метод Монте-Карло в исследовании операций есть метод математического моделирования случайных явлений, в кото­ ром сама случайность непосредственно включается в процесс моделuро­ ванuя и представляет собой его существенный элемент. Каждый раз, когда в ход операции вмешивается тот или другой случайный фактор, его влияние имитируется с помощью специально организованного «ро­ зыгрыша» или «жребию>. Таким образом строится о Д н а р е а л Ji з а­ ц и я случайного явления, представляющая собой как бы результат

412

влияние учитывается не расчетом, а бросанием жребия. Предположим, что в ходе моделируемого процесса наступил мо­ мент, когда его дальнейшее развитие (а значит, и результат) зависи от того, появилось ли на данном этапе событие А или не появилось. Например: произошло ли попадание в цель? Обнаружен ли неко­ торый объект? Исправна ли аппаратура? Появилась ли заявка на

�

обслуживание?

и

Т_ д.

413

случайное число от О до 1,

Тогда нужно «бросанием жребия» решить вопрос: появилось со­ бытие А или не появилось? Для этого нужно привести в действие не­ который с л у ч а й н ы й м е х а н и з м р о з ы г р ы ш а (скажем, бросить игральную кость, или несколько монет, или выбрать число из табmщы случайных чисел) и условиться о том, какой результат жребия означает появление, а какой-непоявление события А. Ниже мы увидим, что розыгрыш всегда может быть организован так, чтобы событие А имело любую наперед заданную вероятность. Кроме событий, появляющихся случайным образом, на ход и ис· ход операции могут также влиять разные случайные величины (на пример, время обслуживания заявки каналом СМО; координаты точ­ ки попадания снаряда; время, в течение которого выполняется рейс автомаш ины; число вышедших из строя узлов и т. д. ). С помощью жре· бия можно разыграть значение любой случайной величины или сова· купность значений нескольких случайных величин. Условимся называть е Д и н и ч н ы м ж р е б и е м любой элементарный опыт, в котором решается один из вопросов: 1. Произошло или не произошло событие А? 2. Какое из возможных событий A1, А ... , Ah произошло? 2 3. Какое значение приняла случайная величина Х? 4. Какую совокупность значений приняла система случайных величин Х1, Х2, , Xh? К аждая реализация случайного явления методом Монте- Карло состоит из цепочки единичных жребиев, перемежающихся обычными расчетами. Расчетами учитывается влияние исхода единичного жре­ бия на ход операции (в частности, l-1a условия, в которых будет осу­ ществляться следую щий единичный жребий). Рассмотрим способы организации всех разновидностей единич­ ного жребия. Как уже было сказано выше, при любой организации еди· ничного жребия должен быть пущен в ход какой-то механизм случай­ ного выбора (бросание монет, костей, вынимание жетона из вращаю­ щегося барабана, числа из набора чисел, и т. д.). Такие механизмы могу! быть самыми разнообразными, однако любой из них может быть заменен стандартным механизмом, позволяющим решить одну-единст­ венную задачу: получить случайную величину, рш:nределенную с по­ стоянной плотностью ит О до 1. Условимся для краткости называть такую случайную величину «случайное число ОТ О до 1» и обозначать R ( от английскогО random случайный). Покажем, что любая задача единичного жребия может быть ре· шена с помощью стандартного механизма, даю щtго число R.

llействительно, если R

ПУСI ь вероятность события А равна р: Р (А) =р. Выберем с поыощью стандартного механизма случайное число R и будем считать, что есJIИ оно меньше р, собы тие А произошло, если больше р не ПРОИЗОШJIо*J.

Пусть нам требуется «разыграть» значение случайной величи­ ны Х, имеющей известный закон распределения. Случай, когда вели­ чина Х дискретна (т. е. имеет отдельные значения X1, Х2, , Xh С вероят­ ностями Рl, Р2' . , Ph) рассм атривать н е будем, так как он сводится к пре дыдущему пункту 2. ДеЙствит.ельно, если обозначить А1 собы· тие, состоящее в том, что величина Х приняла значение Xi• т(} розы­ грыш значения слачуйной величины Х сводится к решению вопроса: какое из событий A1• А2• •••• AI! появилось?

-

Р

где t (г)

=

1 при

(R < р )

� f (г) dr. р

=

0< r < 1. или Р

то

о

(R <Р) =� dr =Р =Р(А). р

о

2. Какое из нескольких возможных событий появилось?

ПУСТI, имеется полная г руппа несовместных событи й: с ве роятностяМИ

,

. . .

-

1. Появилось или нет событие А?

-

*) Получение R. в 10ЧНОСТИ равного р. будры считать практи чески невозможным

1114

Рис. 8.2

Так как события несовместны и образуют полную группу. то

Рl +Р2+'" +Ph

=

1.

, Ph Ра зделим весь инте[Jвал от О до 1 на k участков длиной Р l. Р 2' (рис. 8.2). Если случайное число R, выданное стандартным механиз­ мом, попало, например, на участок Рэ, это означает, что появилось событие А 3' ...

3.

Какое значение приняла случайная величина?

"

'

. .

415

Рассмотрим случай, когда случайная величина Х непре­ рывна и имеет заданную непре­ рывную функцию распределения Р(х) (рис. 8.3). Дока жем следующее утвер­ ж дение: если взять на оси орди­ нат случайное число R (от О доl ) и найти та значение Х, при котаром Р(Х) R (см. стрел­ ки на рис. 8.3), та по лученная будет случайная величина Х иметь функцию (юcnределения

{(х/

=

х

Р(х).

Рис. 8.3

чайную величину вероятность

Если случайные величины независимы. то

f (XL'

. . ••

fL (X1) f 2 (Х2) . . , f n (Хn)' значений системы (2.2) сводится Хn)

Xz •

f (Х1,

.. ..

Хn) =fl (x1) f (х2/хl) f (ХЗ/Х1 Xz)

Р,

p�

�

О

tJ,2

О,'"

ния

R

должна принять значение. меньшее. чем

Р(х):

Р(Х < х) =Р (R < Р(х»).

Но случайное число R имеет постоянную плотность распределе· f(r). равную 1 на отрезке (О. 1); значит,

Р (Х<х)=

F

(х)

� о

f(r) dr::

F

(х)

� о

l.dr=P(x).

(2.1)

что и требовалось доказать. Таким образом, розыгрыш значения случайной величины Х с за­ данной функцией распределения сводится к следующей процеду­ ре. Получить случайflое число R от о до 1 и в качестве значения Х взять:

Р(х)

Х =Р-I (R). где р-l - функция, обратная

ПО отношению к

4. Какую величин?

зиачении примет система

совокупность

Р. случайных

Х2

•

...

, ХN

с совместной плотностью распределения

416

f (хl'

Х2,

... ,

0,8

1,0

XlI).

величины Х1; это значение берется в качестве аргумента в условной плотности f(x2/ Х1); разыгрывается значение Х2 случайной величины Х 2, оба значения Хl, Xz берутся в качестве аргументов в условной плот­ ности t( ХЗ/Хl' Х2) и т. д. Рассмотрим несколько примеров на организацию единичного жребия. Пример 1. Летательный а ппарат, совершающий полет над территорией противника, после стрельбы по нему может оказаться в одном из следующнх состояний: 41 - невредим, продолжает полет; 42 - поврежден, продо лжает полет; 4 а - соверши л вынужденную посадку; 44 - сбит. Вероятности этих четырех событий заданы:

pz=P(A2)=0,1;

pl=P(A1)=0,4;

рз=Р(Аз)=0,15;

Р4=Р(А4)=О,35.

Построить процедуру единичного жреб ия для розыгрыша результата 06стрела Решение. ДеЛJ:IМ участок (О, 1) на четыре части, как показано на РНС. 8. 4. При попадании случайного чи сла R на участок от О до 0,4 считать, что произо ш­ ло событие А1, на участок от 0,4 до 0,5 - событие Az и т. д. Пример 2 Случайная величина Х распределена по показательному зако­ ну с плотностью:

f (Х)

=

ле -1.х

(х > О).

Построить процедуру едини чного жребия для получения значения Х. t(x) находим функцию распредел�ни я:

Решение. По заданной плотности

Пусть имеется система случайных величин:

Х1•

0,6

Рис. 8.4

ИЗ рис. 8.3 видно, что для того чтобы ВЫполнялось неравенство величина

....

где каждая последующая плотность распределения берется у с л о в­ Н а я. при условии, что предыдущие случайные величины приняли определенные значения. При розыгрыше последовательности значений случайных величин (2.2) получается сначала значение хl случайной

Р (Х<х).

Х < х.

=

к тому. и розыгрыш совокупности чтобы разыграть каждую из них в отдельности, т. е. организовать n единичных жребиев типа, описанного в п. 3. Если случайные величины (2.2) зависимы, то

Действительно, возьмем слу­ функцию распределения, т. е.

Х и найдем ее

Xz •

(2.2)

F

(х)

=

х

х

о

о

S f (х) ax� S Ле-1.Х ах

=

1 _е-

М

(х > О).

График функции F(x) дан на рис 8.5 Графически значение случайной ве· ли чи ны Х можно разыграть так: взять случайное чи сло от О до 1 на оси ординат

Н За�. 573

417

и иайти соответствующее ему значение абоциссы Х (см. стрелки на РИС. ж� можно сделать не графически, а расчетом, если написать:

R=I-e-ЛX

11 к

решить это уравнение cJтносительно Х (т. е. найти F функцию). Имеем;

- л.х

=

8.5).

Это

(2.3) обратную по отношению

In (I-R),

Таким образом, для розыrрыша значения c./JучаЙноЙ велнчины Х с плot· иостью (2.6) нужно: взять случайное число от О до t, удвоить его. вычесть еди· ницу и от результата взять арксинус.

Заметим, что в рассмотренных нами примерах 2 и 3 функция рас· пределения Р случайной в еличины Х легко допускала получение в яв· ном виде обратной функции p-l; на практике это далеко не всегда бы·

х= '(х)

Пх!

F(X!

откуда

I

-:;: lп(I-R).

1

(2.4)

--� . R ....--

---

F(:r)

F *rx/

----------------

х

f(:r!

R ....--� .

1

О

Рис.

Рис. 8.6

Рис. 8.5

Формулу (2.4) можно упростить; вспомним, что если R - случайное чис­ ло от О до 1, то (1 - R) - также случайное число от О до t; поэтому вместо (2.4) можно взять

I

(2.5)

X=--lпR.

л.

8.7

.7( 2

ох

.х

о

Рис.

8.8

вает так. Если явного выр ажения для обратной функции получить не удается, можно, как показано на рис. 8.3, определить эту обратную функцию по графику; если же р асчет производится не вручную, а на ЭЦВМ, можно воспользоваться приемом, п редложенным Н. П. Бус­ ленко [15]; он СОСтоит в ТОМ, ЧТО функция распределения Р(х) заме­ няетс я функцией Р*(х), составленной из отрезков прямых (рис. 8.8); �o можно сделать с любой заданной степенью точности. На каждом из таких линейных участков обратная функция находится без труда.

,,(х,/ 2

Таким образом, процедура розыгрыша своди тся к следующему: взять слу­ чайное число от О до 1, прологариф мировать его п ри натуральном основании, из­ менить знак и разделить на л.. Пример 3. Построить процедуру розыгрыша значения слу чайной вел ичи. ны Х, плотность распределения которой

(2.6) (рис.

Рис.

8.6). Решеиие. Н аход и\! функцию распределения:

F

(х)

ж

=

f

n

2

{/

2

cos xdx

=

График функции распределения дан на рис. зыгрыша значения случайной величины Х

1/2

(sin х + 1).

откуда обратная функция

X=arcsin

(2R-l).

Рис.

8./0

Пример 4. Имеет ся система за ви си мых сл учайных величи н: Х1 и Xf• Слу­ qайиая вел ичина X1 распред елена по закону прямоугольного треуго льннка на участке от О до I (рис. 8.9):

'1 (x1)

8.7.

Там же показана процедура ро­ Аналитически это выражается так:

8.9

=

2xj

при

0< Х! < 1.

Случайная велнчнна Х2 распределена с постоянной плотностью на участ­ и­ к е длиной 2, с центром в точке Хl' где Хl - значение, принятое случайной вел чиной Х1 (рис 8.10) Организовать процедуру единичного жребия для розыгры­ ша пары значений случайных велИчи н х1, Xz. Решение. Разыграем сначал а значение величины X1: для этого построим

ее функцию распределения: 14'"

419

Р1

(Х,)

xi

=

Х,

при

(О

<О,

(2.1)

при O<Xl < 1,

1 прн X1> 1. (рис. 8.11). Величину X1 получим от случайного чи сла R:

как

обратную функцию по отношенню к

(2.7) (2.8)

После того, как разыграно значение X1, оно уже не случайно; обозначим его Xl' При известном значении X1 строим условную функцию распределения F(X2!X1) случайной вели ч и ны Х2 (ри с. Выраженне этой функци и распреде­ ления будет:

8.12).

1 P(X2/Xl)= /2 (X2-Xl+

1)

при xl-I <X2<Xl+1.

F (Xff/:r:,)

Ff(Xf!

1

f

�� R ....--.

(2.9)

-------------,------

(3.2) разыграть значение этой случайной величины, а затем уже по ней наЙ· это удобно потому, что математическое ожидание величины Z

ти Х. равно

нулю,

а

ее

среднее

m•

о

=0,

az

=

отклонение - единипе:

1,

tH(z)

"

-I 2 =,г- е r 211

(3.3)

Нормированная функпия распределения будет:

x,-f

Рис. 8./1

квадратическое

н а в с е г Д а найти обратн ую р аз и и придется только о Д и н функцию. действительно, обозначим плотность распределения нормиро­ ванной величины Z

,,'.-------.;-,.r

Х,

о

ззтем 9ТОМУ преобразованию подвергнуть случайное число R от О до 1. Однако удобнее поступить инаtte: перейти от случайиой величины Х к другой, так называемой «нормированной» случайной величине:

J у�л 2

х, Х:

рн (г)

Рис. 8.12

=

_'

е

-

2

dz

(3.4)

=0,5 +Ф (г),

-00

Возьмем новое случайное чи сло R' от О до 1 ратную

(2.9):

и

найдем от него функцию, об­

I ф(z)=__

(2. 1 О)

Таким образом, процедура розыгрыша сводится к следующему: берется случайное чнсло R от О до 1 и из него и звлекается корень; полученное значение

есть разыгранное значение пер вой случайной величииы Х1 = Xl' Далее бе­ рется еще одно случайное чи сло R от О до 1, удваивается, к нему при6авляется ранее полученное X1 и вычнтается единица; получается разыгранное значение второй случайной вел и ч и ны Х2

у'

где

R

.r2n

Z

РОЗblГРЫШ ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНО

РАСПРЕДЕЛЕННОП СЛУЧАйНОП ВЕЛИЧИНЫ

[(x)=� У2л ах

(х-mх)2

(3.1)

Согласно общему правилу надо было бы поступить так: построить функцию распределения Р(х) и найти дЛЯ нее обратную функцию р-l, 420

I

=0,5+Ф (Z), =ф-I(R-О.5),

(3.5)

ф-I - функция, обратная функции Jlапласа Ф. Разыграв значение норми рованной случайной величины дем от нее к величине Х по формуле где

Остановимся специально на одной очень часто встречающейся задаче: розыгрыш значения случайной величины Х, распределенной по н о р м а л ь н о м у закону (короче - «нормальной») С матема­ тическим ожиданием тх и средним квадратическим отклонением О3/:' Плотность распределени я случайной величины Х имеет вид:

e-2UТ

S

Z

e -Tdz

- функция Лапласа. График функции Рн(г) дан на рис. 8.13. Там же стрелками показа· но получение случайного числа Х с плотностью (3.3). Аналитически 9То записывается в виде:

R 3.

2

х = О3/: Z+щ".

с

Таким образом,

значение нор мальной случайной ах разыгрывается по формуле

характеристиками тх•

Х =а.,ф-I

(R-O,5) +тх•

Z, перей­

(3.6) величины

Х

(3.7)

т. е. нужно взять случайное число R от О до 1, вычесть из него 0,5, взять от результата обратную функцию Лапласа, умножить на ах и прибавить тх. 421

В случае, когда розыгрыш нормальной sлуча йной величины осу­ ществляетс я не вр уч н ую, а на машин е, обычно применяется д р у го й способ, основанный на центральной предел ьной теореме теории ве­ р оятностей . Согласно этой теор еме, при сложении достаточно боль­ шого числа н езависимых случа йных величин , сравнимых по своим дисперсиям, пол учается случа й на я величина, распредел енная прибли ­ женно по нормально му закону, причем этот з а кон тем ближ е к нормаль ­ ному, чем бол ьше сл у ч айны х величин с кладыва етс я . Опыт пока зывает , что для пол у чени я пра ктически нормального р аспр еделения д оста н ебольшого сравн ительно точно fH (Z! числа Слагаемы х . Например , при 1 Сложении в сего шести случайных чисел от О до 1 получается сл у чай­ ная вели ч и н а , которая с точн о­ боль ш и н­ стью, достаточной для задач, может ств а при к л адных считаться нормал ь ной. Отсюда возникает такой спо­ -f о со б розыгры ша норм ально рас п ре­ f Z г .3 z деленной случайной величи ны Х: Рис. 8. 13 <:ложить шест ь случай ных чис ел от О до пронормир овать эту CY�MY , т . е. пол учить норми рованную вел ичину Z, а затем от нее пе­ р еити к Х по формуле (3.6) . Проделаем соответствующие преобразования . Обозна чим - - -

--

_ _ _

- -

- -�--

в на шем случае это будет

,

V

=

R 2 + R з + R4 + Rб + Re,

где RJ, R 6 - шесть неза висимых экземпл я ров случ айного числа от О до На йдем математическое ожидание, ди сперсию и среднее квад­ ратическое отклонение случайной величины У. По теор еме сложения математичес к и х ож иданий : • • •

1.

..

М [ У ) = тр = т, ! + т , 2 + . + m" 6

... -

где т" , ма т ематические ож идания вел ичин Очевидно , они все одина ковы и р а в ны 0,5, отсюда

, т"

дисперсию слу чайной величины дисперси й :

R 1•

•

..

, R8,

V найдем по теореме сложения

... -

...

где D" , , Dr, дисперсии велИЧин R1, , R6• Известно, что дис­ персия слу чайной величи ны R , р а спределенной с постоянной плот­ ностью на у частке (а, �), равна Dr 422

Dv

Ои

=

(� - a)2 12

'

_

=

=

111 2 , отк уда 6 · 1 1 1 2 1 /2, =

Z далее от вел ичины

=

= I / У2.

Y Dv

У, т . е. перейдем от нее к величине

Пронормируем величину

V -т" av

Z перейдем Х

- -

R1 +

=

а среднее квадратическое отклон ение

=

( У - 3) V2;

•

(3.8)

к нужной нам величине =

о

х

Z + тх

Подставляя в эту формулу вместо Z его выражение в свою очередь. вместо V его выр ажение

Х по формуле

(3.9)

(3 . 8),

а в

(3.8).

6

У = � R •• полу чим окончател ьно:

Х=0

1;

/

Dr

;= 1

.. у'2 C�I

R, - з

)

(3. 1 О)

+ тх•

Та ким образом, чтобы разыграть значение нормально й случай­ и средним квадрати ­ ной величины Х с математич ес ким ожидани ем 1, чески м ОТклонением ОХ' нужно:

сложить их,

бавить тх.

тх взятЬ шесть случcu1ных чисел от О до из суммы вычесть 3, результат умножить на о х (2и nри­

­ Тепер ь предполо жим, что нам нужно разыгр ать значени е не од ной, а нескольких нормально распределен ных случайных величин. ­ Если случайны е величины независи мы, задача просто сводится к осу ществле нию нескольких жребиев по вышеописан ной процедуре. Если же вел ичины зависимы , то при каждом следующем розы г рыше надо . брать не просто за кон распределения очередной случайно й вел ичины ­ а ее у с л о в н ы й закон распределения (при услови и , что предыду ­ полу которые , я и значен те именно риняли п щие случайны е в ел ичины чены розыгрыш ем ) . П ример. С истем а двух CJl у ч а и ных мал ь и ому закону с х ар а ктер исти ками:

-

m;ю , mу ,

вел и ч и н ( Х , У)

р аспределена

по

н ор ­

ах , ау , ' ,

коэффициент кор р ел я ции. Постр оить п р о цедур у розыгр ыша п а р ы зна­ где r чен и й Х , У . Решение. Р азыгр ыв аем сперв а з н а 'Iение одной из сл учай н ы х вел и ч и н , н а ­ пр и мер Х , согласно пр оцедуре, описа ниой в ы ш е дл я одной иормапьно pac � peдe­ ленной сл уч а й ной вел и ч и н ы с х а р а ктер и ст и ка ми mх и ах. 3 на q е пие др уго/{ слу­ ч а й но й величи ны У р а з ы г р ываем уже по усл овному з а к о н у р а спр еделени я*) о ма-

') См. ,

н а п р и ме р ,

[7J.

42 �

тематическ им ожида lIием

и

среДllИМ квадратическ им откл о не и ие�п

'I/Ylx = m)l + ' 0Ylx = 0)1

� (х - mх ) , ох

(3 .

!

1 1)

V 1 -,2,

где х значен ие , при нятое сл у чай ной вел и ч и ной Х IJ р езультате предыдущего жребия . З а метим, lJTO от .� В фор м ул а х (3. 1 1 ) з а в и с ит тол ько \!атематическое ожида­ ние усл ов ного закона, нО не его ср еднее квадр атичсскос отклонеllие, котор ое при л юбом х ост а етс я р ав н ы м ОljV Г=-Т -

'4 .

П ОЛУЧ Е Н И Е СЛ У ЧА й НО ГО Ч И СЛ А R ОТ

о

ДО 1

Есл и метод Монте- Ка рло осуществл яется вручную (без помощи машин), то дл я пол у чения случа йного числа от О до 1 чаще всего п р и ­ мен я ются та к н азыва емые т а б л и ц ы с л у ч а й н ы х ч и с е л . Эти табл ицы приводятся во многи х р у ководства х по М(l тематической статисти ке и вычислительной техни ке (см . например , r 1 8 , 1 91). Табл и­ цы соде р жат чер еду ющиеся в случа й ном пор ядке цифры О, 1 , 2, , 9. Пр и составлении таблиц приняты меры к том у , чтобы каждая из эти х цифр встр ечалась п р имерно оди на ково часто и н езависимо от др у ги х . Пол ьзу ясь таблицей сл уча йны х ч и сел , можно л егко р азыграть случайное число R от О до 1 с люб ы м числом десяти чных знаков после запятой .

либо естест венного , либо искусствен ного происхождени я . Пусть имее1 ся слу ч а йный шу м (т. е . слу ч а й н ым обр азом меняющееся напр я жение ии) (рис. 8. 1 5), котор ы й мы ср ав ниваем с некоторым постоя нным уров нем и о ' Т акой шум может быть положен в основу пр авила выр а­ ботк и случайного числа от О до 1 . Предположи м , что ЭЦВ М р аботает в двоичном коде; тогД[: случайное число от О до 1 пр едставляет собой двоичную пр авильную др обь , в которой на каждом месте одинаково вер оятны знаки О или 1 . Услов имся Считать, что очередной двоичный з нак случ айного числ а будет О, если за некоторый промежуток вр емен и есл и нечет ­ т шум Щt) пр евысил уровень ио четное число р аз , и 1 но е. Теперь п р едположим, что n таких датчиков р аботают одновремен­ но и посылают случайные З н а к и О и 1 в n двоичных разрядов р егистр а -

l/(t/

. . .

Пусть, н а п р и мер , требуется пол учить ч и сло R с четыр ьм я з н а к а м и после за п ято й . О братимся к табл и це сл уча й н ы х чисел и возьмем оттуда любую гру пп у И3 ч етырех р ядом стоящих з н а ков, н а п р и м е р 7643. Б удем с ч ита ть что наше сл у­ чай иое ч и сло п р и н яло з наче н и е 0, 7643 . Следующий р аз, когда пр идется бр осать еди н и ч н ы й жреб и й , возьмем следующие чет ы р е цифры П усть о н и , н а п р и мер , будут 33 12 - зн а ч и т , следующее сл у ч а й ное lJ И С Л О будет 0 , 33 1 2 , и т д. Можно брать цифр ы , стоящие не р ядом, а через од ну; или же в начале и в ко н це стол б­ ца , ил и стр оки - словом, л юб ы м способом, л и шь бы п р и нци п выбор а не был ника к связ а н со значе н и я м и сами х цифр. ,

Для розыгр ыша сл учай ного ч исл а R вручную можно п р и м е н ять не только таблицы случайных чисел, но и др угие датч и к и , н а пр и мер дис к , п рогр адуи ров анный в мелких делени я х , р азмечен н ых ч и с лами от О до 1 (рис. 8. 1 4) . В центр е диска закреплена хорошо ур ав нове шен­ н ая стр ел ка, пр иводимая во в р ащен ие, например, электр о м о тор ом, включаемым н ажатием кнопки . После отпускания кноп к и стр е лка останавливается в случайном положении, и коне ц ее у к азыв ает слу ­ чайное ч исло R . Если метод Монте- Карло осу ществляетс я н е вручн у ю , а н а ЭЦВ М , то дл я выбор а случайного числ а от О до 1 могут пр именяться как фи­ зические датч ики слу ч а й ных чисел , так и вычислительные алгор ит­ мы дл я пол учения та к называемых «псевдослу ч а й н ых» ч исел . Остановимся , пр ежде в сего, на физ ических датч и к а х . К а к п р а в и­ ло, они основ ан ы на преобр азовани и слу чай ных си гналов (шу мов) , 424

@

Пуск

Рис.

8. 14

r

о

Рис.

8. 15

некоторого ч исл а R . Тогда, если интер вал времени Т взять достаточ · но бол ь ш и м так , чтобы на нем у клады в алось достаточно много коле­ баний шума ии), то четное и нечетное числа превышен и й у ров н я ио будут встречаться в среднем один аково ч асто, и n- р аз р ядное двоичное ч исло будет р аспределено пр иблиз ительно р ав номер но н а у ч астке 0, 1 . Можно п р едложить и др у г ие пр инципы формиров а н и я с л у ч айных чисел на основе того или др у гого физического случайного п роцесса; все они требуют обор удовани я ЭЦВ М специ альн ыlи и датч ик ами слу­ ч а й н ых ч исел . Дл я неспециализи ров а н ной ЭЦВМ , тол ько эпизодичес­ к и п р и влекаемой 1\ модел и р ованию о пер аций методом Монте- Карло, это обор удов ание себя не оправдывает. Гор аздо ч аще при м одел и р.о­ вании методом Монте- Карло пользуются так называемыми п с е в Д о­ с л у ч а й н ы м и ч и с л а м и . Т ак назыв аются ч исл а , в ы р абаты­ ваемые (вычисляемые) самой маш иной по некоторому правилу (алго­ р итму) , построенному так , чтобы знаки О и 1 встречались в среднем одинаково часто, и, кроме того, чтобы з ависимость как между отдель­ ными з н аками , так и между сфор мированными из них многозначны­ ми числами пр актически отсутствовала. для получен и я псевдослу­ ч а й н ы х ч исел IIОЛ ЬЗ у ются р азными пр иемам и . Н а п р имер , можно пе­ ремнuжить два произвольных n-значных двоичных числа а1 и а 2 и из п роизведения взять n средних з н аков - это будет число а з ; з атем пе­ ремножить а 2 и а з и повтор ить процеду ру и т. д. Существу ют с пособы получения псевдослучайных чисел , основанные не на перем ножении 4:16

чисел , а на их сдвиге друг относительно друга на несколько р азр я до в ; п осле сдвига производится сложение и з атем выбор из суммы n сред­ н их знаков , и Т_ д_ Р аз л ич н ые способы получения псевдосл учайных ч исел подробно описыв аются в с пеци альных р у ководствах (см . , на­ п р и мер , [ 1 5, 27] ) . Следует заметить , что псевдослу ч а йные числ а, строго говор я , сл у ­ ч а й н ыми не я вл я ютс я ( вся их последовател ьность может быть пред­ сказ а н а н а основе исходного матер иала) . В ч астности , любой ал'гор итм вычисления псевдослучайных чисел является ц и к л и ч е с к и м, т. е. через к акое-то большое число Ц в ыр аботанных таким способом чисел они неизбежно н ачнут повтор яться. Однако, есл и пр и модел и­ ровании опер ации нам пр идется воспользоваться количеством розы­ грышей, меньшим, чем Ц, такая цикличность никакого значения не имеет. В н астоящее время пр и моделировании опер ац ий методом Монте­ Карло на ЭЦВМ обычно пользуются псевдослучайными ч ислами, вы­ б и р ая один из хорошо обследованных и п роверенных алгор итмов, обеспечивающий достаточ ную длину цикл а, п р иемлемую р ав номер' ность и незав исимость чисел при сравнительной простоте их выч исле­ н и я . К достоинствам псевдосл уч айных ч исел относится то, что они до­ пуск ают возможность вторичного контроль ного просчета той же са­ мой реализации слу ч айного процесса; другие с пособы формирования сл у ч айных ч исел (физические датчики) этой возможности не допуск ают.

5.

П Р И М Е Р Ы М ОД ЕЛ И Р О В А Н И Я СЛ У Ч А й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В М ЕТ О Д О М М О Н Т Е - КА РЛ О

в дан ном п ар агр афе будут рассмотрены некоторые примеры пр ак­ тичес к их задач, к оторые, в силу своей ср авнительной слож ности , не­ досту п н ы для а н ал итического решения и требу ют модел ировани я мета дом Мон те- Карло. В каждом примере мы построим схему моделиро­ вания , т. е. последовательность р асчетов и еди н и ч н ых жр ебиев, а так­ же способ обр аботки реализ аци й.

услов н а я пл отность распределени я оста в шегося времени безотка з н о й р а боты узл а У1 будет : l(t/t1); уз л а У 2 - f2(t/t2) Т ребуется н а й ти след у ющие х а р а ктер истик и р аботы у стр о й ств а : - вер оят ность и с п р а в ной р а боты устройства ри(t) ка к фу нк ци ю в р еме н и ; - вер оят ность того, что о к о н ч а гел ь ный от каз устр ойств а р а ньше вр емени t п роизойдет по пр и ч и не нехватки з а п а с н ы х узлов У1 ; - среднее время /р р а бот ы системы, <1'. е. ср еднее время , которое устр ойст­

во б удет проводить в р а б о т а юще м состоян и и; - среднее числ о

;;

Fз и) =

:

428

з а п а с н ы х узлов У1,

кото рое будет из р а сх одо в а но, а

( р ис.

t

о

S tз (t) dt ,

Рис. 8.16

о

бе р е м слу ча й ное числ о R от о до 1 и

8. 1 6) * )

подве р г аем

его

п р еобр азов а н и ю

Fз l (R)

Е сли в р ез у л ьтате э того р озы г р ыша з н ачени е Т З оказалось ме н ьше "{, т о ф и кс и руе м ТЗ ка к момент отказ а узл а У з; есл и же о к а з а л ось, что Т з > .., счи ­ [ ае м, что за вр емя .. узел У З не отка з ал П р ед положи м , и мел место ' первый ( более сл ож н ый) в а р и а нт , и у зел У 3 отка зал в момент ТЗ < ... Р ассмотр и м чет ы р е п а р а л л ел ь н ые оси 0 1 с од н и м отс четом в р ем е н и ( р и с. 8 1 7) Н а о с и ( 1 ) м ы б у дем отмечать сост о я н и е пе р в ого узл а (ж и р ной л и ­ н и ей - « р а ботает» , тон кой - «от каз ал»). Н а оси (2) та кже отме ч а ются состоя ­ н и я второго узл а , на оси (3) - тр етьего, на оси (4) - состо я н и е систем ы в цело м (<<р а бота ет» , « Не р а ботает» ) . Т а к К2 к момент от к а з а Т 3 узла У з н а м и звест е н , то мы м о ж е м с р а з у ж е з а ­ пол нить ось (3) . После этого б у дем за пол н я т ь ( 1 ) и (2) . С начала р а з ы г р аем в р ем я Т1 , в тече н и е кото р ого б удет р аботать основ н о й узел У1 - дл я этого м ы вос пол ь­ зуемся фу н кцией р ас п р еделения

(1) = S {1 (1) dt _ 1

П риме р 1 . Те х н и ческое

устр о й ство состоит из трех узл ов: У1, У 2 И У З И с п р а в н а я р а б от а у з л о в У] и У 2 безусловно необ ходима дл я р а боты устр ойства; узел У 3 предн а з н а ч е н дл я поддер ж а н и я нормаль ного режима р а боты узл ов У1 и У 2' Уст р о й ство должно р аботать в тече ние врем ени "{. В ремя без о т каз ной р а­ боты каж дого узла сл у ча й н о ; дл я узлов У1, У 2 , У 3 оно и меет пл о т н ость р ас пр е­ щел е н и я соотв етстве н н о {1( t) , f2(t), { з(1). В н а ш е м р а с пор яжении и ме ются два з а ­ пас н ы х э кзе м пл я р а узл а У 1 и тр и з а п а с н ы х э кзе МПЛfl р а узла У 2' П р и в ы х оде н з ст роя (отказе) узл а У1 тех ни ческое устр ойство оста навл ивается на сл у ч а й ное врем я , р ас пределе н ное с пл отность ю IFI (t) , п осле че го узел з амен яетс я за пас ным (есл и они еще не все и з р а с х оДов а н ы) , и р а б ота устр ойства возоб новл яетс я. П р и отк а з е узл а У 2 устройство т а кже оста навл и в а ется на сл учай ное в р е м я , р а с п р еде­ л енное с плотн остью IFz(t) , узел заменяется з а п асным (есл и т а к и е еще имеются в нал и ч и и ) , после чего р аб ота устройств а возоб новл яетс я. Е сл и одновреме н но не р а бот а ют узл ы У 1 И У 2, р абота устр о й ства возобновл яется тол ь ко после того ка к з а к о и чена замеиа последнего узл а . Е сл и вышел из стр оя (отказ ал ) узел У 8 его не за меняют, но закон р а с п р е дел еи и я вр емени безотказной р а боты узл ов Уl И У 2 ме И Я етс я : еСII И до в ы х ода из стр оя УЗlI а У 8 узел Уl пр ор аботаlI время i1 , то

у;

та к же среднее чи сл о -' и з р ас х одов а н ных з а п ас ных узлов У 2' Реш еи ие Т а к ка к за К О НЫ р а с пр е­ дел ен и я , Ф И Г У Р ИР У ющи е в за да че , от FJ /tJ п р и ме н ять л и чны от показател ь н ы х , дл я о п и с а н и я явл е н и я сх е м у ма р ковс­ мо жем. Стр о и м к и х пр о цес с ов мы не R I----�JIГ схему модел и р ов а н и я сл у ч а й ного п р о ­ Прежде цесса методом Мо нте- К а р л о время всего, о п редел яем р озы г р ышем безотка з ной р а боты узл а У 3 ( кот о р ы й не восста навлив ается) Д л я этого н а хо­ ди м ф у н кци ю р а с п р едел е н и я

Р1

о

(5 . 1 )

Д алее , р а зыг р а ем в р е м я "{1 , в течение кото р о го этот узел будет заме нен з а ­ Дл я этого мы воспол ьзуемся фу нкцией р ас предел е н и я

п а сным

Фl

(1)

I

=

S IFI ( t) dt . о

(5 . 2)

Е сл и в мо мент Т] + '1 окон ч а н и я этой замены трет и й у зел е ще р а ботает ( Т1 + "t" 1 < Т 3 ) ' 1 0 с нова р а з ыг р ываем зна чен ие вр еме н и р а боты первого з а п а с­ ' ио го узл а Т1 с П О МО ЩЬЮ фу н кци и (5 . 1 ) и , после э того - о п ять в р е м я з аме н ы эт о -

*)

Fз 1

-

ф у н к ц и я , обр а т н а я F з·

427

го узла '&] , С помощью функuи и (5.2). Пр едпол ожим, что момеит ОКЩlча ни я эт о й замены (ка к пока за но н а р ис R 1 7) оказался после м омента Т 3'

Т1 + ,, + Т1 ' + '&/ > Тз .

(5 . 3)

о а р r гд п р и озы гр ы ш е н ового з н аче н и я в реме н и безот ка з н о й р а боты у зл а �1 мы дол ж иы бу дем воспол ьзоваться уже н е ф ункцией ( 5 . 1 ) а иовой у с Л о в н о i1 функuией р аспределени я F1

ЩО)

=

S t1 (tfO) dt ,

(5 . 4}

О

О). Пусть У 3 новый узел У 1 не р аботал (11 Т/' Предпол ож им, что, как показа но на р и с 8 1 7

п ол ага я , что ПО момента отказа узл а

�TO р азыгра нное значение р ав но

=-

Tj + '&1 + Т1 '

+ -t/ + Т 1 "

(5 . 5}

< 't .

э кземпл я р'" У 2-;" уч е сть, что он у же п р о р абота л врем я t 2, а остаток време ни Т2' после моме,\!та ТЗ р а з ы г р ать за ново, уже п о изме ненному ( у сл овному) закону распределе н'и я (5 8) Пол уче нное таким обр азом з начение Т 2 " нуж но п р ибав ить к уже прошедше­ му времени t2 • После этого р а з ы г р ывается время замены '& 2 " этого узла ( по закону (5. 7» ) и, н а конец, врем я 1' 2'" безотказной р аботы последнего (тр етьего) з а пасн ого узл а У2; т а к IШ К узел У 3 у же от к а зал , то п р и этом мы пользуемся за коном (5. 8) при О . Е сл и р а зыгр а н ное зн ачен и е времени , в сум ме со всеми р а нее отл ожен н ы ­ t2 ми на оси (2) време на м и , к ончается пр авее т очки, отмеченной звездо ч ко i! , то, зна чит, пр и ч и н ой отказа устройства в да нном сл учае была нехватка з а п а с ных узл ов Y1 Е сл и сер и я и итервалов, отл ожен ных на оси ( 2 ) , кончается левее точки , отмече н н ой звездочкой - з начит, в да н ной реали з ации п р и чи ной отк аза устрой­ ства п осл у ж ила н ехва т ка за пасн ых узлов У 2' �

=

РиltJ 1

О, I

I

r:

I

т'

7:

I 1

'

т" Z

1 t'; 1 12�

'"

,z

�?='i

О,

I I I I i I I I

: 1

I QI : о

I !

I I I

J

I I I i I I I

I ,tZ I I \ 1 1 l I Т] I I Ц

:

I

I ' I I I

Рис.

т" Z

' 1 I ';' I I I I I , , I I I I I I I

I I I I I I I I

, I

I I I I I I • I I I

�

... {1 /

f

,

I

.. /1 J

Рис.

.. (3) ... (IJ)

Это значит, что в момент, отмечен ный иа р исун к е звездочкой, узел Y1 вышел из строя, замен ить его уже нечем (всего ава за пасных узл а) и, зна ч и т , в этот- мом еНl1 о к оичатель н о от казало все устройство Очевидuо дальше этой точ ки вест и р о­ зыгр ыш ие иужно _ З аймемся осью ( 2 ) , на котор ой будет отр ажатьс я состоя ние второго у зла у 2' дл я этой оси пр оведем втор ую, аналогич ную перво й , сер и ю РОЗыгр ы ше й, с т ой р а зн ицей , что фу н кuи и р аспредел ени я, котор ыми преобр азуется слу чай­ бу llYT другие: ное число R •

Р2 (t) =

S 12 (t) dt ,

,5.61

Ф2 (е)

S ЧJ 2 ( t) d t ,

(5 . 7)

J t, ( t /t , ) d/ .

(5. 8)

Р, ( t /t 2)

-=

=

n

n

П у с ть п о и сте ч е н и и вр е ме н и вт ор о й з а м е н ы ' 2 ' мы р а з ы грали зна ч е н ие Т2" в реме н и р а ()01 Ы вто р ого за п асно го у зл а У 2 . И оно о казалось таким, что момеН11 Тз вых ода из строя третьего узл а п р и шелс я иа пер и од р аботы втор ого узла Т а к к ак п р и вы х оде и з стр ? я тр етьего у зл а усл ов и я р аботы B'l 0 P OrO уз л а у худш а ются, Н УЖ НQ в вел и чи н у Т2 «внести поправку» на в р е м я безотка зной р аботы да нного

4 28

I

I

f

t

8.17

()

- - - -r---r - - �-�I I I

8. 18

Рис.

8. 19

Н аконеи, за пол н и м последнюю ось (4) , на которой отр ажается р а бота ус­ гр ойс тва в це.1!ОМ. Согл асно услови ю уст р ойство р аботает тол ько в те моменты, когда р аботают дв а узл а У! и У 2 однов р емен но Поэтому на оси (4) мы отмечаем ж и р ной л и нией только те участки времени, для которых жи р ные участки осей (1) и ( 2 ) совпадают. . Таким обр азом, ра зыгр а на одна р еал и з а ц и я на шего сл у ча й н ого пр оцесса . Разумеетс я, есл и модел и р ование производится на ЭЦВ М , н и к а к и х гр афиков, осей и участков строить не нужно; р озыг р ы ш обеспечивается пр иведе нием в дей­ ствие ма ши н ного р асчетного алго р итм а , кото р ый сОчетает еди ничные жребии розыгрыши со ср авненнем между собой моме нтов осуществления р а з ных событи й (что пр оизошл о р а ньше - восста новление пер вого (втор ого) узл а или в ы х од из стр оя третьего? ) . Предположим, 'ПО тем или другим с пособом нами получено бол ь шое кол и­ чество ( N ) реал изаций сл учай иого процесса . Тогда , пользуясь предел ьными тео· ремами теори и вероятностей и заменяя искомые вер оятности частотами , а мате­ мати ческие ожида н и я средни ми ар ифметическими , мы сможем прибл и женно от­ ветить иа все поставленные в задаче во пр осы Вероятность ри(t) испр авной р аботы устр ойств а в момент t можно подсчи· тать сл едующи м обр а зом: дл я ка ждой (i-й) р е а л и з аци и ввести в р ассмотрение сл учай ную функци ю време н и Xi( t ) , которая р а в на нулю, когда устр ойство не работает, и еди ниuе - когд а р аботает. Возможиый в ид отдел ь ной реализаUII И сл учай ной функции Х i(t) показ а u на р ис. 8. 18 Вер оятность исправной р аботы устр ойств а в момент t есть не что и ное, как математическое ожида ние случай ной функции X(t) ил и, п р и бл иженuо, ср еднее а р ифмети ческое реал из а ций Xi(t):

Ри

(t)

:::::

I

l: Xi (t). N

N != )

(5 . 9)

Возможный вид вероят ности ри(t) показан на р нс. 8 1 9 . .Убывание функцн н с тече нием вр емени увел и ч и ваетс я вер оятность отказа третьего узла и , к р оме того, повышаются ш а нсы на то, ч то з а п асны х узл ов не хватит.

ри( t) св я з а но с тем , что

429

I

J -ф

п р и ч и ие Н а йдем вер о ятность тоГо, что отк а з устр ой ств а пр о и зойдет п м , что от­ нех в атки з а п а с н ы х узлов Y 1 . Р ассмотр и м событи е А , сост оя щее в каз устр о йства р а н ь ш е в р емени "t про и з о й дет по этой пр и ч и не. Св я �м с к а ждоll р еа л и з а цией сл у ч а й ну ю вел и ч и н у У /, р а в ну ю еди н и це, есл и в этой р е ал и з а ци и событие А произошл о, и н у л ю - есл и не п р о и зошло. П р и бол ьшом ч и с л е р е а­ л и з а ци й N вер о ятность Р( А ) событи я А п р и бл иж е н но р а в н а его ча стоте, а по· следн я я ест ь не что и н ое, как Отноше ние суммы всех сл у ч а й ных вел и ч и н Y j к чис­

2. Р ассмотр им зада ч у . подобную той, котор а я уже упом и н а ,1l а сь в § 1 . П р о и �одитс я ст рел ьба n р а кетами по площадной цел и сложной ко нфи гу · р а ц и и ( р и с '{i 20). З о н а р а з р ушенн й от одной ра кет ы представляет собой круг р а д и у с а , В \Jезул ьта те n вы стрело в будет 1l0р ажена к а к а я -то ча сть S n пл о ща ­ /ХИ цел и (см. з а штр и х о в а н н у ю обл а ст ь на р и с. 8.20) Ц, соста вл я юща я какую-то пол ю пол ной площади цел и :

П р иМе р

\ ..

Sn и=- .

л у р еал и заций N:

Р ( А ) :::::: _ l N

N

(5. 1 0)

� Yi . �-

,= 1

О предел и м среднее время t p , которое устройство будет пр оводить в р а бо_ тающем состоя н и и Дл я этого надо дл я к аждой р е ал и з а u и и опр едел ить ее р а бо - с у м му дл и н всех р а бо ч и х уча стков оси (4) до момента т - и н а й­ чее в р е мя

(� t)

ти их ср еднее а р ифмети ч еское!

-t p

N

(5 . \ l)

,., tрU } �

,= 1

за пас н ы х у злов Y1 • которое б удет и з р асхо Дова ­ н а й дется к а к среднее а р и фмети ческое ч и сел и з р ас х одов а н н ы х у зл о в

н а ко не ц , ср еднее числ о

но,

-

� N

�

Уl

дл я всех р е а л и з а ц и й :

где

y�l)

-

•

mu = м [И]; - диспе р с и ю дол и пораженной площади цел щ

y }ll

� � у11)

- вероятн ость того, что будет поражено не ме нее зада ниой дол и и пл оща­ l1 и ц ел и :

N

Yl Z

Sn

Чтобы и з беж ать не ну ж ны х перекрыт и й з о н п оражения, п р и цел ив а ние n р а кет а ­ ми п р о и зводится не по одной точке, а по n р а з л и ч ным точ к а м : О) , 0 2 ' . . . ОП З а ­ да ны х а р а кте р и сти к и р а ссеивани я р а кет: ср едние квадр атические откл о н е и и я п о осям Ох и Оу, р ав ные ах. а у . Систем ати ческие о ши бки отсутств уют, коордит наты Х , У к а ж дой т о ч ки поп а д а н и я нез ависимы др уг от др уга и от коорди на­ др у г и х точек п о п а да н и я . Т р е буется при за да н ном р аспол ожени и точек п р и цел !!­ в а н и я 01 ' 0 2 ' . . . , О П выч И сл ить с ледующ и е х а р а ктер исти к и эффектив ности о пе ­ р ации: - с р еднюю дол ю пор а ж е н иой пло щади цел и:

(5 . 1 2)

•

ё= 1

чи сл о з а п а с н ы х узлов Y1 , изра сходов а н н ы х в i-й реал иза ции.

Ан алогично опр едел яется

(5 . 1 3) Т аким обр азом, мы построили с х ему м одел ирования п р оцесса методом Монте- Карло . Отметим одн у х ар а кте р ную особенность метода. В пр имере 1 мы поставили з ад ачу определения всего пяти вел и ч и н: Однако объе м расчетов почти не увел ич ился б ы� ри(f) , Р(А ) , ур, и если бы мы захотели кроме этих пяти велич ин определ ить еще и целыи и У 2 бу ду т р яд друг их , напр имер веро ятност ь того , ч то оба уз л а сто я ть (не работать) одновременн о, или среднее отношен и е р абоч их времен первого и второго узлов, или дисперсию времени исправ ной р аботы устройства, или любую др у гую вероятностную хар актер исти­ ку п р оцесса. действительно , при моделирован и и методом Монте- Кар : ло львиную долю времени занимает само моделирование реализаци I и только ничтож ную долю - их обр аботка. Поэтому, орган изу я моде­ лиров а н ие опер ации на ЭВМ методом Монте- Карло, все гда имеет смысл позаботитьс я о том , чтобы «вывести» из маши ны побол ь ше све­ дений о к аждой р еализации и подсчитать побольш е хар актер ных па­ р аметров, н е огр а н ич и в ая сь подсчетом одного-еди нствен ного показа­

Р (и ;;;. u); - математи ческое ожи д а н ие ' о ч и с л а р а кет, которые не п р и ч и нил и цел и н и к а кого ущерба ( п о п а л и м им о ) . Решеи ие. Е с л и н е дел а т ь н и к а к и х упрошающих п р едп о л ожений о форме цел и и з о н ы пор аже н и я , а н а л ити ческОе решение поставленной з а д ачи чрезвы­ ч а й но слож но и пр а ктически неосу ществ и мо; пр още будет решать ее методом М о нте- К а р л о . К аж да я реал и з а ц и я будет представл ять собой «обстрел » цел и n р а кета м и , в котором точки по пада ни я р а кет разыгр а н ы по жр ебию. Модел и р о­ в а и и е к а ждой р е ал из а ц и и будет состоять из n ед и н и ч н ы х жребиев. пл юс р а с чет пор а же н ной площа д и S n В к а ждом еД И ничном жреб и и р а зыгр ывается точка попада н и я одной (j-A) р а кет ы , т. е две сл у ч а й н ые в ел и ч и ны X j , У j, р ас п р едел е н н ы е п о нор мал ь ному з а кону с х а р а ктер и ст и к а м и

Уl {h.

Уl

т ел я эффект ивности.

430

j

г д е тх •

ту

J

- к оорди н аты

точк и

O j ( к оэф ф ициен т к ор ре л я ц и и ра вен нуЛ ю .

так как величины Xj • Yj ПО услов и ю незав и с и мы) . П р едпол ож и м , что

модел и р о в а н и е прои з водитс я на

ЭЦВМ.

Тогда н а ибо­

лее удобным способом р оз ы г р ы ш а пар ы нор мал ь н ы х вел и чи н Х j, У j будет опи­ са н ное в § 3 сл ожение нескол ь к и х незав и с и м ы х сл у ч а й н ы х ч и сел от О до 1 с по­

с л еду ю щей пер е н ор мн ровкоЙ . П р и т а ком с п особе коорди н ат ы н и я могут быть р азыгр а н ы по фор м ул а м :

Xj = ax У} = 0"11

C� 1 V2" ( �

V2

"= 7

R,, - З RII - 3

)+mх}' )

+ П1/1 ' j

J

j-й

точ ки попада ­

(5. 1 4) 43 1

R2,

R12

сл уча/ного А

'

где R1 , 12 ч и сла от О до \ * ) П ре дполо ж им , что 9ТОТ эта п модел иров а н ия в ы полнен, I! ы п ол учили Тепер ь надо подсчитат по р ажен н ую n точек поп ада ни я в да н ной реал иза ц и и пло щадь S п дл я данной (i- й) реализа ции . ДЛ Я 9 ТОГО н ужно во крут каж дой т оч­ ки по п ада ни я описать круг р адиуса , и подсчитать площадь той части цел и , ко­ то р а я накрыта хотя бы одним из кр угов . Е сл и бы Р Озыгр ы ш производился вруч, н у ю , можно было бы определить эту пл ощадь пл а н и мстр ироваи и ем. П р и модели· р ов а нии на м а шине поступ ают и наче: вся цел ь р а здел яется на большое число � лементар ных пл ощадок dS (рис. 8 . 2 1) и дл я ка ждо й н з иих определ яется , ка· 1 , . , n) Е сл и хотя ково ее р а сстоя ние р j от точкн попада ни я j - й р а кеты (j бы дл я одной из точек попадани я это р асстояние оказалось 1Iеньше r (р адиуса пор а жени я ) , то пл ощадка ds считается пор аж е нной, посл е чего пр оизводнтс я сумм и р ова ние (и нте г р ирова ние) пор ажеиных пло щадок dsп по всей цел и: • • • ,

-

отдел ь н bllC независ и мых экземпл я р ов

.

=

\

�

i== l

М атемати че с кое ожида ние ГО числ а р а кет, не пр и ч и нивши х у щер ба цел и , на йдется п о фо рм уле 1

.

Sп = l3 dsп . ц

'o z N •

r.l\e

'(JI

-

N

� '0( 1 ) ,

1= 1

числ о р а кет, ие пр ичи н ив ш их ущерба цел и

в

i - I! реал изации.

6. О П Р ЕД ЕЛ Е Н И Е ХА Р А К Т Е Р И С Т И К А Ц И О Н А Р Н О ГО СЛ УЧ А й Н О ГО П Р О Ц Е С С А Т С М Е ТО ДО М М О Н Т Е- К А РЛ О П О ОД Н О Й Р ЕА Л И З А Ц И И

у

!I

\

BeP-;>ятность того, что дол я пор а ж е н ной площади будет не ме нь ше и, опре· дел я е тся Cf едующим обр а з ом : с ка ж до й р еали з а ц ией св языв ается число Xi, р а в ­ иое еди ниri� , есл и в дан ной р еал изаци и и ( i ) :> и, и н улю , есл и и ( l ) < и . Т огда . 1 N Р (И:> и) Z /i Xt·

П р и статисти чес ком модел ировании опер аций нередко п р и х одится встреч аться со слу ч аем, когд а модел и р уемый сл уч ай н ый процесс я вл я ­ ется с т а Ц и о н а р н ы м и протекает неогр ан ичен но долго, имея не 3 ависящие от времени вероятностные х а р актеристик и .

о

о

Рис.

8.20

Xj

Рис.

8.21

Дел я пол учен ное в t - и реал изации зна ч е ние s�l) на площа дь цел и , чим дол ю п ора жен ной площади в да н ной реал и з а ции :

и (i)

=

полу­

Sп( l ) sц

и( t)

Попутно с величиной дл я каждой реал изации вы числ яем , � I -кол и , ч ество р а к ет , р асстояние от то че к попада ния котор ы х д о цел и прев ыш а е т ' (в да н­ иой реал изации эти р а кеты не причи нил и ущерба цел и) . Име я 9ТИ да н ные ДJ/2 бол ьшого числ а реал изаций N, мы можем ответить на все поставленные wпросы. Средн я я дол я поражениой площади :

1

mu z -

N

� и( t) . N

1= 1

Диспер с и я дол и пор ажен ной пл ощади: I Du z -

N

*)

N �

1=1

(и( i») 2 _mu2.

Р азуме ется , дл я роз ы грыша к оордин ат ка ждой н ово й т оч ки п о п ада н и я ну ж но взять новые 1 2 сл уча йных чисел.

482

Рис, 8.22

в качестве пр имер а рассмотр и м р аботу n- канальной системы мас ­ сового обслуживани я с т местами в очереди , граф состо я ний к отор ой показ ан на р ис . 8.22. Предположим, что поток з аявок, переводящий с истему из состояния в состояние (сл ева напр аво) , - стационарный , но не пуассоновс к и й , н а п р имер поток Пал ь м а с произвольным законом р аспределения f(t) интервал а времени Т между з ая вками. В р емя об­ служивания одной заявки тоже р аспределено не по показательному закону , а по произвольному з акону ери) . Так как процесс, пр отекаю­ щий в системе, не-мар ковски й ( потоки событий - не-пуассоновские) , то его не удается описать с ПОМОLЦью стандартного матем атического аппар ата мар ковских случайных процессов - обыкновенных диффе­ ренциальн ых ур авнений для вероятностей состояний и алгебр аических у р ав нений - для предельных вероятностей состоя н и й . И вообще, по­ п ытка описать данный случайный процесс с помоLЦЫО аналитическ их зависимостей пр ивела бы к чересчур громоздкому аппарату, не оп­ р а вд ывающему себя на п р актике. Единственн ым п р а ктически пр игод­ ным методом исследования подобных не-марковск их систем является моделирование процесса методом Монте- Карло. Если речь идет об изучении начального , нестационар ноro пер иода фу нкц иони р ован и я системы , то модел и рован ие пр о изв од и тс я обы чным 488

способом - р азыгр ывается множество ре али з аци й процесса" ( и нуж· ные н а м вероятностные хар актер истики, н апр и мер , вероят ность от­ каза, среднее ч исло за нятых кана,'1 0 В , среднее ч ис ло з ая вок в очереди и др . , н ах одятся обр аботкой «опытного» м ате р и ала как ста т истич е­ ские средние по множеству реал изаций. Од нако, когда речь идет о б изучени и не переходного, нач аль ного периода, а стационар ного, установившего ся р еж има, достигаемого при t -+ 00 , об ст ан о в к а ме н яетс я . де л о в то м , что при модел иро в ании стацион арных случ айных процессов о б ы ч н о можно поль з о в аться не множеством р е ал и з а ц и й , а о Д н о й д о с т а т о ч н о Д л и н н о й р е а л и з а Ц и е Й. П р и этом интер есующие н ас вероятност ные х а р а ктер и с ти к и слу­ чайного процесс а м огут быть получены не как с р едние по м ножеству реал и з аций, а как с р е Д н и е п о в р е м е н и дл я од ной до­ ст аточ н о й дли н ной ре а л из ац и и .

Рис. 8.23

Строго говоря , одной стацион ар ности процесс а для этого недоста­ точно. П роцесс должен обладать еще так назыв аемым э р г о Д и ч е с­ к и м с в о й с т в о м. В эл е м е н т а р н о м истолкован и и это свойство состоит в то м, что п редел ьный р ежим , ус танавл ив а ющ ий с я в системе через некоторое вр емя ее р абот ы , не зависит от того, каковы были на­ чальные условия и nервоначальн ый nер иод работы системы - к аждая отдельная реализация я вл яется как б ы «полномоч ным представите­ лем» всего класса реализ аций . Это з н ачит , что какую бы мы реализа­ цию н и выбр ал и , п р и t -+ 00 мы получим процесс с одн и м и и теМIf же хар актер истик ам и . Можно пр ивести пример процесс а ста ц и о н а р н ого , н о не обладаю­ щего э р годическ им свойством . Пусть , напр имер , р ассматр иваетс я си­ стема с г р афом состоя ний, по к азан ным на р ис . 8 . 23. В се потоки собы­ тий , переводящих систем у из состояния в состоя ние, сч ит аем стацио­ нар ным и . Пусть в н ач альный момент t О с ис тем а н аходится в со­ стоянии S O ; из не го она может перейти Jr ибо в состо я н ие S 1 ' л ибо Б S 8П е р ейдя в состо я н ие S 1 ' система н ачнет «ци р кулировать» по СОСТОЯ Н!lЯМ S1 И S2' Благода р я стационар ности потоков событий , в ыз ы в ающих эту цир к у ляцию , че р ез достаточ ное в рем я вероятности P 1 ( t) и P2(t) сост оя ни й S1 и S 2 станут постоянными , а процесс ци рк уля ции - с та ­ ц и о на р ны м : =

484

Рl (t) -+ Рl

=

const;

Р2 (t) -+ Р2

=

const .

Е сли ж е и з состояни я S система перешл а не в S1 ' а в S з, то она бу дет цир к у л и р ов ать н е по с ст оя ни я м S 1 ' S 2' а по состояниям S з, S4; вероятности эти х состоя ни й тоже будут стремитьс я к постоянным:

�

Рз (1) -+ Рз

=

сопst ;

Р4 (t) -+ Р4

=

сопs t

,

но у же к др у г и м , чем Р1 и Р 2' " ющии в Таким обр азом , в п р иведен н о м пр имере процесс , протека и ч е с к и м, с исте м е , б удет с т а Ц и о н а р н ы м , н о н е э р г о Д т о т н ач ал ь ­ и его вероятн остные х а р актер исти ки с уще ст венно з авися моделир ова­ что Ясно, . ) системы ия ного пер иода (нач ал ь ного поведен инной) р еа­ дл ень оч и бы (хотя одной помощью с а ние такого процесс х хар актер ислизаци и недостаточно дл я получен ия его в е ро ят ностн ы ти к .

,

К счастью, эрг оди че ск ие с лу ч а й ные процессы на пр акти ке встреило, модел ировани е одной ч аюТСЯ ч ащ е , чем неэр годическ ие и , к ак пр ав вероятно стные хар акте­ все получить ость возможн реал и з ации дает ы, п р оте ­ р и сти ки_ В ч астн ост и , эр годичес кими о к азыв аются процесс м е «гибе­ е х с к ся относит ых котор й ни к аю щ и е в с истем а х , г р а ф состоя Здесь си ­ . 2 2 . 8 . ис р а н е , р , им п но а н р а ю> показ ак к , ни азмноже р ли и жд о го состо я н и я стема может через к акое-то ч исло ш а гов перейти из к а происходящ ему о г обно од п а, процесс ия» асщеплен «р и в к а ждое другое в с исте ме с гр афом р ис_ 8 . 23 , н е прои сходит. " янии, Если систе м а имеет бесконеч ное множество в о з можн ых состо й, пр едель­ то , мы з н аем , даже при стациона р ности всех потоков событи ви дел и Н1! ного р ежима при t -+ 00 может не существо в ать - мы это " очер едью нои аничен неогр с ия н а в обслужи примере с и стем ы м ассового аниченно . (см . § 6 гл - 5) , где п р и t -+ 00 оче р едь п р и х > 1 р астет неогр моде� и р о в а нии Однако, если предельн ый режим существ ует, то пр и одн ои ре ал из а ься ит нич а р ог можно Карло Монтепроцесс а методом ци е й . ря , Доказать существо вание пр едеЛЬJ{ О ГО р еж и м а мы , с т р ого гов о етодо м можем тол ь к о дл я м а р к овс к о й системы , а модели рование м ковски м . Мо н те - К арл о пр именяетс я , к ак пр авило, к системам не-мар ч а е у да у л с этом в и асто ч й ени д ж у с с а р ых н н е осв к Одн ако с помощью ется убедитьс я в существов ани и пр ед ел ьно го ре жи м а . " дл я пояснени я изложенн ого р ас с мот р и м п р и ме р , ОТНОС!l ЩИИСЯ ковскои систе­ к модел и ров а н ию мет одом Мон те - К а рл о р аботы не-мар мы м ассового обс лу ж и в а ния с очер едью .

2 ) СМО с оч ер едью . Ч исло П ример . И меется двухкана льная (n момент, когда все тр и ме· в ишедшая , 3; заяв ка пр мест в очереди т систему . Поток з а я ­ покидает и отказ получает , яты н а з очереди ст а в =

=

пал ьмовский , т . е . интер в алы времени между заявками пред­ ставл яют собой н ез ави с и мы е сл уч а й ные величины , р аспределенные по одному и тому же ( непок аз ател ь ному) з аJ{О � У f( t) (рис . 8.24) . В р емя е­ обслужив ан ия одн ой з ая в ки - также слу ча и н а я величина , р ас пр . 8 . 25) , отл ич ному от с и р ( ери) акону з у ьном л е ат аз к о п е н по дел енная

БОК

f(t) ,

-

но оди н ак о в о м у дл я всех з а я вок .

435

�

pa�­

Тр ебуется, модели р уя р аботу смо методом Монте - к.арл и полагая ТОЛ ько одной длинной реализа цией, оцен ить пр иближенн о предель ные хар актер исти к и системы (пр и t _ (0): -- вероятно сти состо я н и й ( вероятности того, что будут заняты 0 , 1 , 2 к анала; вероятности того, что в очереди будут н аходиться О, 1 , 2, 3 заявки) ; среднее ч исло занятых каналов ; среднее в ремя ожидан и я зая вки в очеред и; дисперс ию време­ ни ожидания заявки в очереди; вероятн ость отказ а (того, что заявка покинет смо необслу. жеНI!ОЙ) .

ТН как �тo описано для этого берется фун кци я , обр атная Р, от слу чайного ч исл а R Т1 = F - 1 (R). от () до 1 : Расстоя ние T1 отклад ы вается от нач ал а коорди нат; пол учается момент t1 пр ихода пер вой з а я в к и . З а тем процедура розыгрыша повто­ р я ется (р азумеетс я , уже п р и д р у гом R) и новое зн ачение Т 2 отклады­ вается от t'1' полу ч аетс я момент '2 п р и хода второй заявки, и т. д:) Таким обр азом мы построи м цепочк у моментов прихода зая вок (рис. 8.27). Разумеется , �y цепоч к у надо сделать достаточно дл инной, р азыгр ав, во всяком слу ч ае, не менее н ескольких сот з начен и й сл у чай­ ной вел ичины Т. и р аз ыгры вается значение случайной величины

в

§ 2;

r

tp(tJ

8.27

Рис О

�e Рис. 8.24

t Рис. 8.25

Построить схему моделИ ров ания и схему обр аботк и е го резу льтатов . Решение . Г р аф состоя �иЙ системы имеет вид, показанный на р и с . 8.2 6. Ч исло СОСТОЯll Ии конечно ,' из ' к аждого состо я ния можно переити в каждое; потоки собьггий , переводящие систему из состоя н и я в состояни е, стационар ны (хотя и непу ассоновск ие) '' из этого з аключ аем , что ; исте ма обладает эр годическ и м свойст м во и моделиро в ание по одно и реализа ции воЗможно. u

O."epeof.J

О... ереао

нет

Предположим для простот ы, что В начальный момент (1 О) си­ стема н аходится в состояни и So (с вободна) * ) . Н ачнем модел иро ани в е с того, что р азыгр аем на оси O t поток з аявок, т. е. ряд СЛучайных то­ че � t1 , t2, 'о8' . . . - моментов пр ихода соотве твующ их заявок -- пер­ тс вои, второи И т. п . (р ис. 8.27) . Розыгр ыш потока заявок производится следующим обр азом . Строится функция р аспред ения случайно ел й ве. л и ч и ны Т - и нтер вала между з ая в к ами: =

*) Это не и меет сост о я н и я

436

=

,

� 1�(Yd � 1t'6 � V VYТ>I� 1

о:1

1

о:,

� f (t) dt о

r:5

1:'/1 '

, 't2 1

, '(

01 I 1 01 I 1 0 �.

1

1

3

�1

' " , 1 1

1

I

'f

I

1 I I 1 5 1 1 I ' I 5 1

I

!

7

1 1 1 1 1 1 I " Iбl7 f I I ' 1 7 1 1

'[;'1

1

17:8 1

f "

1

r:,Q 1

Ic=:l . (f) � �' �t. (2) ' 1 1 1 !

191 1

1

1 1 1 1 10

11

1" 1 � (3) 1 1 : 11, 11 1 ... ( .,.,,) l, fZ 11 , 11 1 1

{!

'Ь_ flf (5)

Рис. 8.28

Рис. 8.26

F (/)

o� � �� (O)

есто r-______� A �_________

�_____________A �________�

.-

ts

t 4'

t1

tz

t,

о

�

r

(6. 1 )

з н а че и и я , т а к ка к п р е.!lел ь н ы Й р е ж м не з а исит и в от нача л ь н ого

Изобр азим процедуру модел ировани я с помощью наглядной схе­ мы (р ис . 8.28) . В вер х у мы поместим ось в р емени (О) с отмеченн ыми на ней мом ентами посту плен и я заявок . Н иже ее мы поместим еще пять осей : ( l ), (2), ( 3) , (4) , (5) . Н а ос я х ( 1 ) и (2) мы будем изобр ажать состоя ­ н и я пер вого и второго к а н алов (жир н а я черта - «з анят» , тонкая «свободен» ) . Н а осях (3) , (4), (5) мы будем изобр ажать состо я н и я пер­ вого, второго и третьего мест в очер еди (жир ная черта -- «занято», тонкая- «свободно») . Все пять осей имеют тот же отсчет времени, что и

ось

(О) .

По момента t 1 - пр ихода пер �ой з а я в ки - все к а н а л ы и все места в очереди свобод н ы . В момент t1 п р и ходит пе р в а я за я вк а и з ан и' м одел и р о в а н и и II � ма ш и не удобнее не стр о ить це п о ч к у IlР И Х ОДОВ з а я в о к з а р а нее, а « п одав ать» ИХ 11а СМО по одно й , по ме ре п р и х ода; в цел я х уд о бст в а объ я с н е н и я мы п р е д п ол о ж и м , что з а я в к и р а з ы г р ы в а ются зар а нее

') П р и

437

мает

пер вый канал . Сколь ко вр е мени он будет з а н ят - р еш ается розыгр ышем . для этого мы подвер гнем случайное число R (р азумеет· ся , новое) преобр азо ван ию Ф-l ( R ), где Ф фу нкция р асп р еделения вр емени обсл уживан и я : -

ф

(t)

=

� о

<р

(6.2)

и) dt.

Первое р азыгр анное з начение в р емени обслуживания 't' обоз н а ч аем от точ к и с а бс циссой t1, отмеч ая его жир ной л и ниеи (рис. 8.28) . В момент пр и хода {2 второй зая вки пер вый к ан ал еще з анят; заявка занимает второй канал . Разыгр аем еще одно з н а че­ ние 't, обоз � ачим его '"&' 2 и отлож и м ')!{ир но й ли нией на оси ( 2 ) от точ ки с абсциссои t2 • З аявк а t 8, п р ишедшая в момент , когда оба к анала з анят ы ' стано­ вится в очередь , зани мает в ней пер вое место (ось (3» и ждет до того момента, когда освободится один из к аналов . В н ашем случае р аньше освобождается канал (2) - в этот MOMelIТ точ к а с оси (3) пер еск аки­ и снова р аз ыгрыв ается вр емя обслуживания '"&' 3 этой вает на ось (2) стр оится нов ый жир ный уч асток , а ось (3) ПР 0ДОЛ­ з а я в к и . На ос и u жается тонкои линией - место в очер еди свободно. Не будем продолжать подробное о п исание пр оцедур ы розыгр ыша р еализации - она достаточно ясна из р ис. 8 . 28. Н а этом р и сунке против к аждого участка занятости к а нала (мест а в очереди) для удоб­ ств а обр аботки проставлен номер зая вк и , заним ающе й это место; мож­ но просл едить, как заявка «путешеств у ет» С посл едних мест в очереди на пер вые, затем - на обслуживание. Заявка, получи вшая отказ, от­ мечается звездочкой (она покидает СМО необслуженноЙ) . Предположим , что модели рование р еализации продолжено нами достаточ но дол го (н астол ько дол го , что вли я ние начальных условий уже пер естает сказываться) . Посмотрим, как по этой р еаЛ,изации опре­ делить интер есующи! нас вероятностные характер исти ки р аботы СМО.

'"&'1 и от� ладыв аем на оси

(1)

-

(2)

Вероятности Ро, Pl' Р 2 того, ЧТО будут зан яты О, 1 , 2 КЩfала *�, найдем следующим образом. Раздел им всю ось Ot на участки соответственно числу зан ятых кан алов . Участки в р емени, на которых не з а н ят ни оди н канал , отметим цифрой О, оди н ка нал - цифрой 1 , два канала цифрой На бол ьшом участк е времени Т сложим дл ины всех участ, ков, помеченных н улем - пол учим то ; сумма дли н всех учаС1 КОВ помеч енных единицей , будет двойкой Очевидно,

2.

Т1,

-

То + Т1 + Т2

=

'

Т2•

*) Обозначе ние 438

гл

5)

Р2

Т1/ Т;

Р2 = Т2/ Т.

вв е д

е н о потом у . что эта в ер оя т ност ь не сов падает введенной вероятностью pz. а р ав на ;;2 Р2 + Рз + Р4 + =

(6.3) с

р а нее (см.

Рь

Т

Т,

Ро

-::::о

То / Т ;

Р, � 1' 1 / T; Р2 � 1'2/ Т; Рз

�

ТЗ/ Т.

(6.4)

Ср едн ее число заняты х ка налов z получится обыч ным способом ка к математическое ожидание дискр етной случа йной величины Z числа занятых канало В :

-

z

=

l , p,

+ 2 'Р2

=

Рl + 2 Р2'

(6.5)

сл едующи м Ср еднее в р емя ожидан ия з а я в к и в очереди tож находим м участке большо на вших поступи заявок, об разом : рассмотр им ряд моменты в т в р емен и

th, tk + ) ' . , . , tk + i, . . . , t k + N ,

м в р емя ожидан ия и дл я каждой и з н и х непоср едствен но подсчитае ра вное нулю, если (k + i)-я заявка была сразу при­ в очереди и сумме в ремен ожида· н ята к обслу живани ю (или получил а отказ), и она стояла в очер е­ есл , (5» и (4) , 3) « х ося разных н и я этой заявки на пр иближе нно найдетс я ди . Среднее в р емя ожидан и я зая в ки в очер еди к а к ср еднее а р ифмети ческое этих в р емен :

,ko;;/ ,

-ж t а """" ,....

N

1

_

N

� �

1= 0

(k+i) t аж •

(6.6)

ия , а у с Если нас интерес ует не просто среднее в р емя ожидан была заявка что , условии и пр л о в н о е среднее в р емя , вычисле нное ия ожидан емен р в ическое арифмет среднее то ванию, , пр и н ята к обслужи были обслувычисл яется н е дл я всех заявок, а только дл я тех , которые .

жены . чным образом , Диспер сия в р емени ожидан и я на йдется аналоги минус ожидания времен ка к среднее арифметическое квадр атов : ия ожидан кв адрат среднего в ремени D

Т

�

Ро, Р1' Р2' РВ

Т.

веро ятности Ро, Рl И Р2 будут приближенно р авны При большом отношени ям соответствующи х времен к общему времен и :

Ро -::::О Тоl 1; Рl

с сам ого Заметим , что участок 1 целесооб разн о отсчиты вать не у словий , ых начальн ние влия тся начала процесса , где еще с казывае начал ьных а от более удаленн ого по в ремени момента О' , где влияние услов и й уже практич ески пер естает сказыва тьс я . того , что В очер еди будут стоять На йдем в ероя тности на л ьшо й участок оси в р емени бо О, 1 , 2, 3 зая вки . Снова р азобьем оответ­ с ся находит очереди в которых части , помечен ные б, 1 , 2, 3, на помечен ных ственно 0, 1 , 2, 3 зая вки . Складывая длины всех оди н аково получим : у частков и дел я суммы Т; на

[Тожl

1 �_ N

N

� (t�':к+ i)У - t�ж.

1=0

(6.7)

На конец, вероятность отказа найдется н а бол ьшом участке вре­ как отношение числа N " заявок, помеч ен ных звездоч кой (по­ мени лу чивших отказ), к общему числ у N заявок, поступивших за это время:

Т

N*

Р ОТ И � N '

(6.8)

488

7.

О Ц Е Н КА Т О Ч Н О СТ И ХА Р А К Т Е Р И С Т И К , П О Л У Ч Е Н Н Ы Х М ЕТО ДО М М Н Т - КА РЛ О Е О. Н ЕО Б Х ОД И М О Е Ч И СЛ О Р Е А Л И З А Ц И й

то ср елнее а рифметическое эти� �нач ений:

х= _ l N

Метод Монте - Карло основа н на предел ьных теорем а х теори и ве­ роятн остей , утвержда ющи х , что при больш ом числе опыто в N час­ l OTa событи я прибл ижает ся к его вероят ности , а средн ее ар ифмет и­ ческое наблюденны х значен ий сл учайн ой велич ины - к ее матем ати­ ческом у ожида нию. Польз у ясь методом Монте- Карло , мы, прои зведя бол ьшое число опытов (реали заци й), прибл иженн о замен я ем вероят ­ ность сосыт и я его ч а стотой , а математичес кое ожида ние - средн им а р ифмет ическ им. Естест венно встае1 воп рос - наскол ько велик а будет ошибк а возни кающа я от такой прибл иженн ой замен ы? И каков о должно быт число реали заций N для того, чтобы эта ошибк а с пр актич еской досто­ верно стью не вышл а за данны е пределы? Дру гими словам и , возни кает воп рос об оцен ке т о ч н о с т и хара ктерис тик случа йного явлен и я , получ енны х методом Монте - Карло . П р и ответе на эти вопрос ы мы будем базиро ваться на ц е н т­ р а л ь н о й п р е Д е л ь н о й т е о р е м е теор и и вероя тностей . Со гласно этои" теорем е, п р и большом числе опытов N их ср едни й резу ль­ 'тат (частота Р * событи я А или с р еднее арифм етичес кое 5{ наблюден, н ы х значен ий случа йной велич ины Х) распр еделя ется прибл иженн о по норма л ьному з а кону . Приведем относя щиеся сюда форму лы . 1 . Закон распределения часl11 0ты соБЫl11ия при больuю м числе оnы· тов . Если п р оизводится больш ое число N неза висимых опыто в, в каж­ до м из которы х событ ие А поя вля ется с вероя тность ю р , то частота собы тия А

�

Р* =

-

МА N

(7.1 )

(где М А число появл ен ий событи я А в N опыта х) распр едел я ется п р и бл иженн о по норма льном у з а кону, с матем атическим ожида нием

.

111 р* = Р

(7 2 )

и средн им квадр атиче ским отклонение м ар,

2. Закон расnределеfLUЯ числе оnытов.

=

v

р

( IN р)

.

среднего ар ифмеmического при

большом

Есл и произ водит ся большое число N незав исимы х опытов , в [\О торых случа й н а я велич ина Х прини мает значения : 440

(7.4)

(7.5)

<= 1

распредел я ется п р и ближенно по нормал ьному закону , с математи чес ким ожидан ием

(7.6)

= I11 тх х

и средним квадр атическим отклонением a- = �

-

(7.7)

YN '

<

где I11х , ах математическое ожидан ие и средн ее квадратичес кое от­ клонен и е случайной вел и ч и ны Х .

Основыв а я с ь на эт.!f х за кона х распределения и фор м улах, мы можем поставить и р ешить несколько задач , относящихся к точности метода Монте- Карло. " . Задача 1 . Произведено N независи мых опытов (реал изаци и ) , в каждом и з которых событи е А появл я ется с вероятностью р . В ре­ зул ьтате эти х опытов получена частота Р* события А . Найти в ероят­ ность то го, что частота Р * отличается от вероятности Р не бол ьше чем на задан н у ю вел ичину В > О. Решение. Считая число N достаточно бол ьшим дл я того, чтобы полагать ч астоту Р * распределенной по н о рмальному закон у с ха рак­ тери сти ками (7 .2) , (7 . З) , пол учим :

где Ф

-

Р

( 1 Р* - Р I < В) = 2 ф

функция Лапласа * ) .

1000

( У VN ) , е

р

( l - р)

(7.8)

0,3

н ез а в и с и М ЫХ о п ы'!: ов в ка ждо м и з ко П р н мер I П р о и зведено N = Н а ит и вер о ятн ость того, со р ы х событ и е А по я вл яло с ь С ве р о я т н остьЮ р = что получен н а я п р и этом ч астота р* соб ыт и я А отл и чается от ве р оят ности ме н ь ше ч е м н а в = Решен ие По ф о р му л е (7.8) и меем:

0, 0 2

Р ( 1 Р* - О , 3 \

<

0,02) =2ф (0,020,45931,6) =2ф

( 1 , 38)

z

О , 83 .

события А нам известна, мы можем оцеР * и зависимость это й точности от числа опытов N. Б еда в том, что вероятность Р нам неизвестн а : в едь и самИ-ТО опыты мы п роизводил и для того , чтобы ее на йти . Одн а к о дл я оцен ки точ ности метода Монте- Ка рло нам не очен ь существенно знать точное зн ачен и е самоЙ вероятности р в правую часть фор мулы (7 .8) ее можно подстав ить ор иентировочным значением, взяв вместо р , например , частоту Р* события А в данной серии опытов . Итак есл и вероятность

( 7 . 3)

IV

� x,

Р

Н ИТЬ точность определени я этои веро ятности по частоте ,

u

-

') З н а ч е и и я Ф у н к ц и и Л а пл а с а см . в табл .

1

п р ил о ж е н и я

44 1

Та ким образом, мы · решили прямую задачу оценки точности на­ хождения вероятностей методом Монте- Ка рло: если известно число опытов N и ориенти ровочное значение вероятности р, мы можем на йти вероятность того, что частота р* отклонится от вероятности не бол ь­ ше чем н а заданную величину 8. Поставим тепер ь обратную задачу: скол ько опытов N нужно произвеств для того, чтобы с практической уверенностью ожидать, что частота отклонится от вероятности не больше чем на заданную B� личину? Задача 2. Прои зводится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Ка ково должно быть число опытов (реализаци й) для того, чтобы с зада нной достаточно вы­ сокой вероятностью Q можно было ожидать, что часто а р* событи я А отклонится от его вероятности р меньше, чем на 8? Решение. За дадимся ка ким-нибудь достаточно бл изким к едини­ це значением вероятности - назовем его «уровнем доверия» . Есл и вероятность того , что частота и вероятность расходятся мен ьше чем на 8, будет Q или больше, будем считать задачу решенной . На прак­ ти к е уровень довери я выбирается ка ким-нибудь круглым значением, бли зким к еди нице, например, 0,95 или 0, 99 иди 0,995 и т. д. , В зави­ си мости от важности задачи, которую мы преследуем . Предположим, ч то вероятность задана. Приравняем этому значению правую часть равенства (7.8):

;

Q

Q

Q

2ф

(

yR УР (I - р) в

)

Yp (l - p

1 2

_ _

=Q

-

Q

YN YP ( I _P) в

'

(

больше чем на 8 Q

=

у

0,01? Решен ие. Ч и сл о о п ытов N в ыч и сл я ем п о 0 , 9 5 находим =

(7.9)

=

ф- 1

( _1 Q ) 2

формуле (7. 1 1 ). ПО

)

ь

та бл. 7 . 1

р

не

дл я

П о дста в л я я в ф о р му л у ( 7 . 1 1 ) пол у ч и м :

N=

, ,

0 2· 0 8 0,012

- � . 84 :::::: 6 1 4 0 .

вероятности р

= 0 , 2 п о ч астоте с е . дл я н аде ж н о г о ( Q = 0 , 95) о п р еделе н и я более ошибкой не более 0 . 0 1 (т. е. в пр едел а х 0 , 1 9 + 0 , 2 1 ) т р е б у ет с я осу ществить

r.

6000 р е а л и з а ци й · ) .

Задача 3. Производи тся N независимЫх опытов, в каждом из которых наблюдает ся значение случай ной вел ичины Х, имеющей мате­ матичес кое ожидание mх и среднее квадратич еское отклонени е а",.. Вычисляется среднее арифмети ческое наблюден ных значений случайной вел и чинЫ Х : N

Q

и разрешим у равнение (7.9) относител ьно N:

Ф( I\ Y},i )

Пример 2. П р о и з в одtl т с !! р йд неза в ис иМЫХ о п ытов р е а Jl и з ациi\ , в каЖДОМ к ото р ы х р е г истр и р уется п о я в л е н н е и л и непо я вл ен и е СQбыт и я А , вер о я т н о с т ь котор о г о р = 0 , 2 С к о л ь к о о п ытов нуж но п р о и з ве ст и дл я то г о , чтобы частота р * с о быт и я А с в е р о ят ностью ( р о в н ем до ве р и я) Q = 0 , 9 5 о тл и ч а л а с от из

(7 . 1 2)

)[ = _ 1 � Xi• N

i= 1

Найти вероятность того, что среднее арифметическое Х отклонит­ ся от математи ческого ожидани я mх мен ьше чем на заданную величину 8:

Р ( I Х-щ,, \ < 8 ). (7 . 1 0)

'

где Ф -1 - функци я , обратная фун кции Лапласа . Отсюда получаем формулу для числа опытов N :

Решение. На основании централ ьной предельной теоремы, счи­ тая число опытов бол ьшим, можно утверждать, что случайная вели чи­ на К распределена нормально, с хара ктеристиками (7.6) и (7. 7). От­ сюда

(7 . 1 1 ) Если по формуле (7. 1 1 ) N оказывается н е целым, его надо ок руг­ , лить в большую сторону до бл ижайшего целого. Для вычислений по формуле (7. 1 1 ) удоб но иметь в распоряжении табл ицу значений фун кции

[ф-l( �Q )

]2.

В табл . 7. 1 приведены зна чения

этой фун кци и для некоторых, наиболее типичных значений ур�вня до­ верия Q . _

Ir 1 1

, 80 0 , 85 0 , 90

Q

[ф-l(�Q) 1 1 2

44а

1

1 0,95 1

1

1 , 1, /

1

Таблица

/

1

о , 96 0 , 97 0 9 8 0 99 0 , 995 0 , 999 0 , 9995 0 , 9999

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 , 64 2 , 0 8 2 , 7 1

з,

84

7.1

4

,21

4,4

9

5 , 4з 6 , 6 1

7 , 90

10 , 9

1 2 , 25

15 , 2

или

Р ( I Х - mх l < в) = 2 ф

( 8 �}

(7. ] 3)

По формул е (7. 1 3) может быть оценена точность определ ения мате­ матичес кого ожидан ия по среднему арифметическо му.

ч

чь

в кото р ы х на­ Пример 3 . П р о из во д ится N = 1 600 н ез а в и с и м ы х о п ытов, ктер и ст и ка м и mх = 2 и бл юд а ю т с я з н а е н и я сл у а й но й вел и чи н ы Х с х а р а ах

.)

=

1

Н а йти

ве р о я т н о ст

р,

того.

что

с р ед н ее

а р иф м ети ч е с к о е

н а бл юде н н ыx

(� . 1 1 ),

на п р а кт и к е. мож но в х о дя ще е в ф о р мул у З н ачение в е р о ятност и о и сер и и р е а л и з а ци и, уточ­ бр ат ь о р и е н т и р о в о ч н о , п о ч астоте событи я в пер в няя е г о п о меое н а к о п л е н и Я м а те р и ал а

443

зltаttен и й CJlучаiiной в ел и ч и н ы Х б удет отл ич аться от ее математ и ческоrо ож и д а н и я меньше чем на 0,05, т. е. будет закл ючено в и н тер в а л е 1 , 95+2 , 05. Решение. По фор м ул е (7 . 1 3), польэу ясь т а бл 1 пр иложен и я , находим!

Р ( I Х - mх I < 0 , 05)

;;; 2ф (

0 , 05 · 40

I

\ )

=2ф

(2)

"'"

Q

Q:

(7. 1 5)

и разрешим уравнение ( 7 . 1 5) относительно N. Пол уч им: (7. 1 6)

-функц и я , да нная в табл. 7. l .

П р и ме р 4. П р о и зводятся о пыты над сл у ча й ной вел И Ч ll НОЙ Х с цел ью пр и. бл и женно определ ить ее математическое ож и да н и е тх. Среднее квадр ат и ческое от клонение случ ай ной вел и ч и н ы Х , оценен ное предв ар ител ьно (по первой сер и и экспериме нтов) по фор муле ( 7 . 1 4) , п р и бл и жен н о р а в но z 0 , 1 . К а кое ч и сло о п ытов N нуж но ДЛЯ того, чтоб ы (с у р ов нем довер и я Q = 0 , 99) среднее аРllфме·

Х наблюде Н II Ы Х

т е м а т и ч е с кого

444

=

=6,61;

( а: )2

0 , 99 н а х оД и М : = \00 .

N = 100 . 6 , 6 1 = 66 1 .

тде Х - среднее арифметическое. Если точность окажется недостаточ­ ной , следу ет продолжить испытания, внося в среднее квадратическое соответствующие поправки по мере увеличения числа реализаци й . Задача 4 . Производится ряд независимых опытов н а д случайной вел ичиной Х. Скол ько надо сдел ать uпытов, чтобы с заданной вероят' ожидать, что среднее а рифметичес кое Х ностью (уровнем доверия) набл юденных значений случа йной величины отклонится от ее матема· тич еского ожидания не больше, чем на е? Реше ние. Положим правую часть формулы (7. 13) равной у ровнк довери я

ти ческое

Q

Отсюда по фор м уле ( 7 . 1 6 )

0 , 954 .

(7.1 4)

[Ф- I ( +Q) У

(ф-I (+Q)T

.

Заметим, что для оценки точности оп ределени я математического ожидания mх методом Монте- Карла не требуется ::IapaHee знать само· го математического ожидания случайной величины, ззто существенно знать ее среднее квадратическое отклонение <1х, которое входит в пра· вую часть формулы (7. 1 3) . Обычно на практи ке, приступа я к моделИ РОВёШИЮ сл уча йного явлени я методом Монте- Карло, мы не знаем ни математического ожи· дания, ни среднего квадратического отклонения интересующей нао случайной величины . Одна ко дл я приближенной оценки точности моде.тшрован и я можно в первом приближении вместо <1х воспол ьзо­ ваться ее статистической оцен кой, полученной в самой серии из N реа­ лизаций:

где

Решение . nОJlЬЗУЙ СЬ табл . 7 . 1 , дл я

ах

з н а че н и й сл у ч а йной вел и ч и н ы Х отл и ч а л о с ь от ее ма· ожида н и я не бол ьше, чем на е = 0 , 0 1 ?

определе· в за ключен и е остановимся кратко на оцен ке точности реа · одной п ии функu йной .? н и я хара ктеристик стацио нарной случа ь­ тол есть а , и аuи реализ ства множе нет здесь как лизаци и (см . § 6) . Так осы: вопр ые н ко одна длинна я реализ аци я, возникают естеств ен . про Ка кова ошибк а определения характеристи к случа инога Т? длины зации реали цесса по одной с дан· Ка кова должн а быть длина реализ ации Т дл я того, чтобы е? го данно шла превзо не а ошибк я ным уровн ем довер и ки х рассу жде­ Точно е решен и е ЭТИ Х задач не просто и требует тон сведя их к ить, отве можно сы вопро эти :: ний. Грубо -приб лижен но на и услов но есл , заuии реали тва ножес для м ным решен вопросам , уже ельно ­ лжит ию продо р ализаu при р авн ять по точности одн у дл инну� t;; • продол жител ьно' общеи же тои Т ины дл заuий сти Т множеству реали сти : T = N T' , _

_

Q

в емя , дл я которого где длина реали заuи и Т' определ яется как та кое р йной функuии X(t) случа уемоЙ исслед ями кор рел яция между значен и .. малои имо бреж прене стано вится . процесса по однои На практи ке при модел ирова нии случа инога витьс я? Стали остано уже ли пора с: вопро кает возни р еал изаци и часто са? В таки х процес ки исти ли уже устойч ивыми вероятностные ха рактер ни я можн о ирова модел точности и оценк й случ а я х вместо кропотливо ить на чаль ­ И::lмен резко воспол ьзоваться следующим грубы м прием ом : имер, (напр ние ирова модел ся н ы е услов и я, при котор ых произ водит «все а дны», свобо ы канал «все не т момен ьный начал предп олож ить, что в на · енных измен при ка налы заняты») и повто рить модел ирова ние а начал от нных удале очно достат на этом чал ьныХ услов ия х . Если при е ха рак ' ностны вероят же те ески рактич п атся получ и времен участка х в пол ьзу ТОго, ч то им терис тики процесса , это хорош ее свидетельство можно довер ять. •

9 ИГРОВЫЕ МЕ Т ОДЫ ОБОСНОВАНИ Я РЕШ ЕНИЙ

3ицачами о принятии решений в услови ях неопредел енности за ­ Iш мается т е о р и я и г р tI С Т а т и с т и ч е с к и х р е ш е н и Й. в да н ной гла ве изла г аютс я нек оторые элементарные сведен и я из этой обл асти. Дл я более подробного ознакомл ен и я могут быть реко­ мендов аны работы [24 , 25, 29 ] . 2.

t . ЗАДА Ч И Т ЕО Р ИЯ И ГР И СТАТ И СТ И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И й Во многи х зада ча х исследова н и я опера ций нам п р и х одится стал­ киваться с пробл емой п р и н я т и я р е ш е н и я в у с л о в и я х н е о п р е Д е л е н н о с т и. Неопределенными могут быть как условия выполнения операции, та к и сознател ьные действи я п р отивн и ков и л и других л и ц, от которых за � исит успех операции . Кроме того, неопр еделенность в той или дру­ гои степени может относиться та кже и к Ц е л я м (зада чам) опера­ ци и , успех которой далеко не всегда может быть исчер пывающим об­ разом охара ктеризован одн им-еди нственным числом - показател ем эффективности . Ра зумеется, когда речь идет о неопределенной в ка ком-то смысле ситуаци и , рекомендаци и , вытекающие из научного исследования , не могут быть стол ь же четки ми и однозначными, ка к в случа я х полной о п р еделенности . Одн а ко и при отсутстви и полной определенности ко­ личественный а нализ ситуа ци и все же может принести пол ьз у и помоч ь при выборе р ешен и я . Раз работа н ы сп еци альные математически е методы, п редназна чен­ ные дл я обосновани я решен и й в у слови я х н ео п р еделенности . В н еко­ торы х , н аиболее п росты х сл уча я х эти методы да ют воз можность фа к­ тически н а йти и выбрать оптимальное решени е. В более сложны х слу­ ч а я х эти методы доставляют вспомогател ьный мате р и ал , позвол яющий гл убже разобраться в сложной ситу а ци и и оценить каждое из возмож­ ных р ешений с разл и чных (и ногда противоречивых) точек зрени я, взвесить его преи мущества и недостатки и в конечном счете прин ять р ешение, есл и не единственно пр авильное, то, по крайней мере, до конца продума нное. Необходи мо учитывать, что п р и выборе решения в условиях не· определенности всегда неизбежен элемент Произвола и, значит, р иска. Недостаточность информации всегда опасна, и за нее при ходится пла­ тить . Одна ко в условиях сложной ситуаци и всегда пол езно представить вар ианты решен и я и их воз можные последствия в та кой фор ме, чтобы сделать произвол выбора менее гр убым, а риск - мини мал ьны м . В ряде случаев зада ча о п р инятии решен и я в услови я х н еопреде­ ленности ставится в та ком виде: ка кой ценой можно заплатить за не­ достающую информацию, чтобы э кономи ческий эффект всей операции был макси мал ьным? 446

П Р ЕД М ЕТ Т Е О Р И И И Г Р. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я

П р и решении р яда пра ктических задач исследования операци й (в области экономи к и , воен ного дела и т. д . ) при ходится анализи ровать ситуации, в которых сталкиваются две (или более) враждующи е сто­ роны, п реследующие различн ые цел и , п р и чем резул ьтат любого ме­ роприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет п роти в н и к . Та кие ситуации мы будем называть к о н Ф л и к т­ н ы м и с и т у а Ц и я м и. П р и меры конфл и ктн ы х ситуа ци й весьма многообра зны. Любая ситуа ци я , складывающа я ся в ходе военных действ и й , принадлежит к конфли ктным: каждое решен и е в этой области должно п р иниматься с учетом сознател ьного противодействия р а з у много п ротивн и ка . К той же катего р и и пр и н адлежат и ситуаци и , возникающие----п р и выборе системы воор ужен и я , способов его боевого п рименен и я и вообще п ри пла н и ровании боевы х операци й . Ряд ситуа ций в обла сти экономики (особен но при нал и чи и к а п итал исти ческо й кон к у р енции) та кже п р и ­ надлежит к конфл и ктным; в рол и борющихся сторон выступают тор· говые фи рмы, промышленные п р едпр и я ти я , тресты , монопол и и и т . д. Встр еча ются конфл и ктные ситуации та кже в судопроизводстве, спор ­ те и в други х областя х человеческой деятел ьности . Необходимость а н ализи ровать та к и е ситуации вызвала к жизни специал ьный математи чески й а п па рат - теорию игр. Тео р и я и гр есть м а т е м а т и ч е с к а я т е о р и я к о н Ф л и к т н ы х с и ­ т у а Ц и й . Зада ча этой теори и - выработка рекомендаци й по рацио­ нальному образу действий участн и ков конфл и кта . Кажда я непосредственно взята я из пра кти ки конфл и ктная си ­ туа ци я очень слож н а , и ее анализ затруднен наличием многи х пр ив­ ходящи х , несущественных фа кторов . Чтобы сделать воз можным мате· мати ч еский анализ ситуаци и , надо отвл ечься от эти х второстепенных фа кторов и построить упрощенную, схематизи рованную модел ь ситуа ­ ции. Та кую модел ь мы будем на зывать и г р о й . От реал ьной конфл и ктной ситуа ции и гра отличается тем , что ве­ дется по впол не определенным п р а в и л а м. Человечество изда вна пол ьз уется та кими формализованными модел я ми конфл и ктов - « И Г· рами» в буквальном смысле слова (ша шк и , шахматы, ка рточные и гры и т. д. ) . Все эти игры носят хара ктер соревнова н и я , п роисходящего по известным правил а м и заканчивающегося «победой» (вы и г р ы шем) того или друго го и грок а . Та кие формал изова нные иг ры предста вл я ют собой наибол ее удоб­ ный матери ал для иллюстра ци и и усвоения основных понятий теории игр . Это отразилось и на ее те р минологи и : сто р оны, у частву ющи е 447

R конфли кте, условно именуются - «игроками», исход конфл и кта ­ «выи грышем» и т д . В и гре могу т стал кива ться интересы дв ух ил и бол ее пр оти вников ' в пер � о м случае игра называется «па рной», во в то ром - «множ ест: вен нои». Участни ка множественн ой и гры могут образовыват ь коали­ ци и (постоя нные ил и вр еменн ые) . Мн ожеств енная и гра с двумя по ­ стоя нными lSоалици ями обращается в п а рную . Наибол ь шее пра ктиче­ ско е з н ачение имеют па р ные и гры; мы о граничи мся рассмотр ен ием тол ько таки х и г р . Пусть имеется парна я игра И , в которой участвуют два · и г рока А и В с противоположными и нтересами Под «и грой» будем пон и мать меропр и ятие , состо ящее и з ряда действи й ил и « ходов» сто рон А и В. Чтобы и гра могл а бы ть подвергнута математич ескому анализу, долж­ ны быт� ч етко сформ ули рованы п р а в и л а и г р ы , т. е. система услови и , регламентирующая : - возмож ные варианты действ и й и гроков, - об ъ ем и нформа ции каждой стороны о пов едении др угой , - резул ьтат (исход) и гры , к котором у при водит каждая данная совокупность ходов . Этот рез ул ьтат (выигрыш или проигры ш) вообще не всегда имеет кол ичественное вы ражение, но обычно можно, хотя бы у словно, вы ­ разить его числом ( н а п р и мер, в ш а х матной и гре выигрышу п р иписать знач ение 1 , проигрышу - О, н и ч ьей - 1 /2). И г р а называется и г р о й с н у л е в о й с у м м о Й , если один и гр ок выи грывае! ровно стол ько, скол ько прои грывает др угой , т. е. сумма выи грышеи стор он рав на нулю. В игре с нул ево й суммой и нте ­ ресы противни ков пря мо п р оти воположны. Здесь мы буде м рассмат­ р и вать тол ько та кие и гр ы . Обоз � а ч и м а вы и грыш и грока А , а Ь - выигрыш игрока В в и гре с нулевои суммо и. . Т а к ка к а = - Ь , то п р и анал изе та кой и гры нет необходимости рассма т рива ть оба эти числа - достато чно рассматри ­ вать выигр ы ш одно го из и гроков ; п усть ЭТо будет, скажем , А . В дал ь­ нейшем мы , дл я удобства и зложения, сторону А будем условно им ено ­ вать «мы» , а сторон у В - «п ротивник»* ) . Развитие и гры во времени мы будем представл ять состоящим из р яда посл едовательных эта пов или «ходов» . Х О Д О М В теории игр на � ывается выбор одного из п р едусмотренных правилами и гры действии и его осуществление Ходы бывают л и ч н ы е и с л у ч а й н ы е. Л и ч н ы м х о­ Д о м н а зывается сознател ьны й выбор и гроком одного из возмо жных ва р иантов действи й и его осуществл е н и е ( п ример - л юбой ход в ш а х ­ мат ной и гре) . с л у ч а й н ы � х о Д о м называ ется выбор из р яда возможностеи. , осуществл я емыи н е решен ием игрока, а каким-либо меха низмом с� у ч а й но го выбора (бросан и е монеты , выбор ка рты из перетасова н но и колоды и т . п . ) . дл я каждого случайного хода п ра -­ вил а и гры оп редел я ют рш:nределение вероятностей возможных исходов.

* ) Это фо р м а л ь н о е у сл о в и е , О'lев и д н о . игроку А .

44&

н е дает ц и ка к и х р еал ь н ы х п р е и м у ществ

Н екоторые и гры состоят тол ько из случа й н ых ходов (та к н азы­ ваемые чисто аза ртные игры) или тол ько из личных ходов (ша хматы , шашки) . Большинство ка рточ ных и г р содержит как л и чные , Т81{ и сл у ч а йные ходы . Теория игр занимается а нали зом только тех и гр , которые содер ­ жат личны е ходы ; ее зада ча - дать указа н и я и грока м п ри выбор е и х ли чных ходов , т . е . рекомендовать и м определенные «стратегии». С т р а т е г и е й игрока называ ется совокупность правил , оп ­ редел я ющи х выбор ва рианта действи й при каждом л и чном ходе этого игрока в зависимости от ситуаци и , сложившейся в процессе и гры. Поняти е стратеги и - одно из основных в теории и г р ; оста нови мся на нем нес кол ько подробнее. Обычно, при н и м а я участие в и г р е , и грок н е сл едует каким -то жестким, фи кси рова н ным п р а вила м : выбор ( р е ­ шение) п ри ка ждом ли ч ном ходе п р и н и ма ется им в ходе и гры, в зави ­ си мости от сложи в шей с я кон кр етной ситуаци и . Одн а ко теорети чески дело н е измен итс я , если мы п р едста вим себе, что все эти р ешен ия п р и ­ н я Ты игро ком заранее (<<если сложится такая -то ситуа ци я , я поступлю ПI К-ТО» ) . В принци пе (есл и не п р а кти чески) это возможно дл я л юбой и г р ы . Если та к а я система решений будет п р и н ята , это будет означат ь, что игрок выбрал оп р еделе н н у ю с т р а т е г и ю. Тепер ь он может и н е у частвовать в и г р е л ично, а за менить свое участи е спиСком пр а вил , которые за н его будет п р и мен ять н еза и нтересованное л и цо (судья ) . Стратеги я может быть та кже зада н а машине-а втомату в виде програ м­ мы (именно так и грают в ша хматы эл ектронные вычисл ител ьные ма ­ шин ы) . В зависи мости от числа воз можных стратегий и гры дел ятся на кконечные» и «бес конечные». Игра на зы вается к о н е ч н о Й , есл и у каждо го и грока имеетс я только конечное число стратеги й , и б е с к о н е ч н о Й, есл и хотя бы у одного из и гроков имеется бесконечное ч и сл о стратеги й . Цел ью тео р и и и гр явл я ется выр аботка р екомендаций дл я раз у м­ ного поведени я игроков в конфл и ктной ситуа ц и и , т. е. оп ределен и е «опти мал ьной стратегии» для каждого из н и х . О п т и м 8 Л Ь н о й с т р а т е г и е й и грока называется та кая стратеги я , кото р а я п р и м ногократном повто р ен и и и гры обес п еч и вает дан ному и гроку максимально возможный сред н и й выи грыш (или , что то же, мини мально возможный средн и й прои грыш) . Пр и выборе это й стратегии основой рассужде н и й является предположение, что против­

ник по меныией мере так же разумен , как и мы сами, и делает все для того, чmoбы помешать нам добиться своей цели. В тео рии игр все рекоменда ции вырабатыва ются исходя и м енно из эти х прин ци пов ; следовател ьно, в ней н е учитываются просч еты и о шибки и гр о ков, неизбежные в каждой конфли ктной ситуаци и , а та к­ же элементы азарта и риска . Тео р и я и г р , ка к и вся ка я математи ч еская модел ь сложного явле­ н и я , имеет свои о граничени я . Важнейшим из них явл яетс я то, что вы и г р ы ш и с к усствен но сводится к одном у - единственному ч и сл у . В бол ьши нстве конфл и ктных ситуаци й п р и выборе разумной страте­ гии п р и ходится при н и мать во внима ние н е оди н , а нескол ько числовы х 15 Зак . 5 7 3

449

па раметров - показателеи эффективности . Стр атеги я , оптимальная одн ому показателю, необязательно будет опти мал ьноиu по другим. Сознава я эти ограничения и поэтому не приде р жи ва яс ь сл епо реко­ мендаций, полу ченных и гровыми метода ми , можно все же р а з умно испол ьзовать математический а ппарат теории игр дл я вы р а бо т к � , если не в точности опт и м ал ь но й , то, во вся ком сл уча е «при еМJlемо и» стратегии . по

.<

3.

ПЛАТЕЖ НАЯ МАТ Р И ЦА

Рассмотрим конеч ную игру, в которо й игрок А (<<мы») имеет m стра­ тегий, а и грок В ( <<противни к» ) - n стратегий . Та к ая игра � азывается и гро й т Х n . Б удем обозначать наши стратеги и A1, А 2 , . . . , А т' стр ате г и и противни ка - В1, В 2 , . . . . Вn . Предположим. что кажда я сторона вы­ брала определенную стр а тегию : мы выбрал и A t • против н и к - BJ • Ес­ ли и г р а состоит только из л ичных ХОДОВ. то выбор стратеги й А i' В ) однозначно определ яет исход игры - н а ш вы и гры ш (положител ьныи или "1'рицательный); об оз н ачим его а н . Еели и гра содержит к роме ли ч ны х сл у ч а й � ые ходы , то выигр ыш п ри паре стр атеги й A i , В ) есть величина случаиная. за� исящая от ис­ ходов всех слу ча йн ы х ходов. В этом случае естественнои оценкоиu ожи­ даемого выи грыша явл яется м а т е м а т и ч е с к о е о ж и Д а н и е сл у ча йно го выи грыша . Мы будем обо зн ач а т ь ОДНИ М и тем же з на к ом а tJ к а к сам выигрыш (в игре без сл уч а й н ы х ходов) , та к и его математич еское ожида ние (в и гре со сл у ч а ин " ы м и хода м и ) . Предположим, что на м известны значения аи п р и ка жд.? и паре стратеги й . Эти значения можно записать в виде прямоугол ьнои табл и­ цы (матрицы ) . строки которой соответствуют нашим стратеги ям (А д, а столбцы - стратеги я м противни ка (В j):

можных ст р а тег и й та к в ел и ко , что построен ие платежн ой матрицы (да же с привлеч ен и ем Выч ислител ь н ы х машин) я вля ется пока п р а кти­ чес к и неосуществи мым. Однако в принцип е любая конечна я игра мо­ жет быть приведена к м а трично й фо рме . Р а ссмотри м несколь ко элемента рных примеро в игр и построи м для н и х платежн ые матрицы . П ример 1 . Игра «nоиск» , Имеется дв а и грока А и В; и гро к А прячется , а В его ищет. В рас ­ поряжен и и А имеется два у б еж ища (I и 1 1 ) , л юб ое из к оторы х он может выбрать по своему усмотрен и ю . Услови я и гр ы таковы: есл и В н а йдет А в том убежищ е , где А с п р ятался , то А платит ему штр а ф 1 р уб ; есл и В н е на йдет А (т. е. б уд е т искать в другом убежище ) , то он сам д олжен за платить А такой же штаф. Требуетс я построить пла­ теж н у ю матрицу. Ре ш е н и е . И г р а состо ит всего из двух х одов , о б а - личные. У нас (А ) д в е ст ра т е гии : А. - п р ятаться в у б е ж и ще 1 , A z - п р ятаться в у б еж и ще r r . У п р от и в н и к а (В) тоже две стратеги и : В! - иСка ть в у б еж ище 1 . B� - иска ть в убежище 1 1 . Пер ед нами -г и гра 2 Х 2 . Е е матр и ца имеет вид:

�!I

u

�I 1 АI

А2

' "

Ат

1 "

1 1

[3,

аll

а 21 . . .

ат l

I I

I I I

п,

ан а 22

. . .

аm2

I I I

I

I

.

.

.

. . .

. .

. .

.

.

.

I I \ I I

А2

/3 n а1 n

й2n· "

.

аmn

Такая табл и ца называется п л а т е ж н о й м а т р и Ц е й или просто м а т р и Ц е й и г р ы. За метим что построение платежной матрицы, особенно дл я иг р с б ольшим I�ОЛИЧествоы стратегий, может само по �e6e предс та вл я ть весьма непростуlO задачу. На пример, для ша хма т н ои игры число воз 450

А!

1

1

в,

-1 1

1 1 I

В,

1 -1

На примере эТой игры. как она ни элемента рн а , можно уяснить себе некоторые важные идеи теории и г р . Предположи м сначала. что да нная игра вы полняетс я тол ько оди н р аз (играетс я единст вен н ая « пар т и я » ) . То гда . очеВ ИД О , нет см сл а !l � говорить о п реимущ ества х тех или д р у ги х стратегии - каждыи и з и гр о ков может с р а вным основан ием п р и н ять любую и з ни х . Одн а к о при м н о го кр а тном повторени и игры положение мен яется . Де й с тви тельно . доп усти м. что мы ( и гр о к А ) в ы б ра л и ка кую-то стратегию (с к ажем , A1) и п ридержив аемся ее. Тогда. уж е ПО рез у л ь­ тата м п е рвы х н ескол ь к и х па рти й . п р отивн и к догадается о нашей стра­ тегии, н а ч н ет всегда искать в уб еж и щ е J и выи грывать. То же б удет , есл и мы вы б е р ем стратеги ю А 2' Н ам явно н ев ы г од но придерживат ься одной ка к о й - т о стратегии ; чтобы не о ка з а т ься в п р ои гр ы ше. мы долж­ ны ч ередов а ть и х . Од н а ко , если мы будем чередовать убежища 1 и 1 1 в какой-то определенной последовател ьности (скажем , через одну пар­ тию) , противник тоже догадается об этом и ответит наихудши м дл я 1 5*

,

45 1

на с об разом . Оч евидно, »аДЕ>Ж НЫМ способом, га ранти р ую щим на с о т верного прои грыша , будет та кая орган иза ци я выбора в каждой па р­ тии , когда мы сами его наперед не знаем . На пример , мо но бросить ж монету, и , есл и вы падет герб , выб рать убежище 1, а еСЛ I1 р ешка ­ убежище I I . Печал ьное положен ие, в котором оказалс я и грок А (ч тобы н е про­ и грыват ь, выби рать убежище сл у ча Й Н Ыl\1 образом ), оч евидн о, присуще не тол ько ем у , но и его проти в н и к у Б, дЛ Я которого справедл ивы все вышеприв еденные рассужде ни я . Оптимал ьной стратегие й каждого оказываетс я «смешанна я» стратегия , в которой две возможны е страте­ гии и грока чередуются сл учайным образом, с одина ко выми вероят­ ностями . Т а ким обраЗОlll , мы п утем интуитив ных рассужден и й подощли к одному � з существенных По н ят и й теор и и игр - к поняти ю С М е ­ ш а н н о и с т р а т � г и и .- т. е. та кой , в которой отдельные « ч и с тые» стретегии чередуются случа йным образом с ка ки м и - то в е­ ро ятностями . В да нном п римере из соображени й симметрии яс но, что страте г ии А 1 и А 2 должны пр и м еняться с одина ковыми вероятностя­ ми ; в более сложных примера х решение может быть далеко не три­ виальн ым .

П ример 2.

И гро ки А и Б од новреме нно и н еза висимо друг от др у га по казы . вают оди н , два ил и три п а л ьца . Вы и грыш и л и прои грыш решает о б­ щее ч исло по каза н ных пальцев . В ы и грыш (в р ублях) равен этому ч ис­ л у ; есл и оно четно е - выи гр ывает А , а Б ему платит ; есл и нечетное н аоборот. Т ребуетс я Построить платеж н у ю l\I атрицу . Решен ие . У каждого игрока по три стратегии : пока зывать оди н, два или три пал ьца . Матр ица и гры 3 х 3 и меет вид:

Игра «три п альца».

Однако попробуем стать на точ ку з р е!tия второго и грока (8) . Его ПQЛожени(' тож� н е из бл естя щи х . Если он выберет B1, мы ответим ему мы ответим А 2 и снова п ол у ч им А з , и он отдаст нам 4 р уб ; если Б2 4 р уб; та кже и на Б з У нас есть ответ А з, приводя щи й к еще х удш ему рез ультату : Б проиграет 6 руб. Выходит, и гра невыгодна н и тому, ни другому из игроков : каждый из н и х , выб рав какую-то определенную стратеги ю, осужден На п ро­ игрыш ! Это наводит на мысл ь, что и qдесь вых од - в применении сме­ шанны х стр атеги й ; дей ствител ьно, та к оно и есть, но в да н ном п р и мере дело обстоит не та к п р осто, ка к в п р едыдущем, и чтобы найти оптималь­ ные стр а тегии сторон, н у ж н о научиться р ешать и г р ы . В дал ьней шем мы вернемс я к этому примеру и на йдем его р ешение. П р и мер 3. Игра «вооруженuе U самолет» . В на шем распоряжении имеютс я т р и вида воор ужения : A 1 , А 2, А з ; у проти в н и ка - три вида са мол етов : В1, Б 2 , Б 8 . На ша зада ча - поразить са м ол ет ; задача про ­ тивни ка - сохра нить его непо р а жеJiНЫМ. Наш л и ч н ы й ход - выбор типз вооружен и я ; л и чный ход п р отив н и к а - выбор самол ета дл я бое­ вых действи й . В да нной и гре и м еется еще и сл у ча й н ы й ход - при ­ мене н и е воор ужен и я . В оору ж е н и ем А 1 са мол еты В1 , В 2 , 8 з по р ажа ются соответственно с вероятностя м и 0,5, 0, 6, 0,8; воор ужением А 2 с ве­ роятностями 0,9, 0, 7, 0,8 ; воор ужением А з с вероятностями 0, 7, 0,5, О,б. Построить матрицу и гры и проанализировать ситуацию. Решеиие. Матрица и г ры 3 х 3 и м еет вид: -

-

-

� А!

_

А/ АI Az

I

Аз

В,

J 1 1

2 -3 4

В,

I

I I

-3 4 -5

В.

1I -5

1

6

Про ан а л из и руем ситу ацию. Очевидно , на любую нашу стратегию пр отивник может ответить н аи х удшим для н ас образом . Например , есл и мы выбирем А1, он ответит н а м Б 2, и мы п рои граем 3 руб . На стра­ тегию А 2 он нам ответит Б8, и мы проиграем 5 р уб . ; на стра тегию А з Б 2 , И мы снова прои граем 5 руб . Очевидно , некоторое п р е и м ущество имеет стратегия А 1 (п р и ней проигр ы ш м и н у ы ален) , но и она дл я н а с я вно невыгодна , та к как всегда ведет к прои грышу .

452

0,5

А1

А2

l3j

в,

Аз

1 1

0,9 0,7

I

I

1 I

в,

0,6 0 ,7 0,5

I 1

I �

в.

0,8 0,8 0 ,6

где выигрыш - вероятность поражени я са молета (мы стр еми мся его макси мизировать, а противн и к - минимизи ровать) . Над этой игрой стоит подумать, так ка к она обладает некоторыми особыми свойства ми , незаметными н а первый взгл яд. Станем сперва на точку зрения игрока А и переберем одну за дру­ гой все его стратегии . На А 1 п ротивни к ответит нам Б1 и мы выи гр а ем 0, 5 ; н а А 2 - В 2 , И мы выи гр а ем 0, 7 ; на А з - снова В 2 , и мы вы и гра ем 0, 5. Очевидно, некоторое п р еимущество над др угими имеет стратеги я п р и н ей мы выиграем бол ьше, а имен н о 0, 7 . А2 Станем теперь на точку з р ен и я проти вника ; не забудем , что он мы отвечаем ему А 2, хоч ет отдать помен ьше! Пусть он выбирает В 1 на Б8 И он отдает 0 , 9; на Б2 мы отвечаем ему А 2, и он отда ет 0, 7; А з ,и он отдает 0, 8. Естественно, он п р едпочтет В 2, чтобы отдать тол ь­ ко 0, 7. ,

-

-

45 3

М ы види м , ЧТО в да н н ом п ри мере стратегии А 2 и В2 С выи г р ы ш е м 0, 7 я в л я ЮТся н аив ы годн ейши ми с р а з у Д л я о б е и х с т о р () н ; и гроку А выгоднее всего выбираТL стратегию А 2, игроку В - .стр ате­ ги ю В2, и ма ксимал ьный выигрыш А совпадает с ми н и маль н ым про­ игр ы шем В_ Дости гнуто ка к бы положение рав новесия: если А выберет стратегию А 2" ТО В н е может на йти л у чшего выхода , чем В2, и наобо­ рот: есл и В выберет стр атегию В2, то А не может найти л у чшего выхо­ да , чем А 2• В дал ь н ейш ем мы увидим , что пара стратегий, облада ющи х та ким Своиством, являются опти мальными стратеги я ми сторон и образуют та к н азыва емое р ешение игры. •

4_

Н И Ж Н Я Я И В Е Р Х Н Я Я _ Ц Е Н А И Г Р Ы. П Р И Н Ц И П М И Н И МА К СА

Рассмотри м игр у

�I 1 1 1 1

mХп

А]

01 1

А2

02!

. . .

Ат

.

1 1

,

От!

I I

",

и12

а22

. . ,

О т2

I

1 1

'

.

.

,

.

'

.

.

I

1

I 1

I

I

"

.

I

ill, i n I

ВN

A� . . .

Ат

!I

01 1

1

а21

1

11

1 1

Отl

�,

I

I I

в,

I 1

I I I

01 2

'

I 1 I 1

а22

aт z

52

I I

. . .

"

,

"

1 I

I

. .

(Макс и м умы

а . ТI

I

,

.

вn

а2"

,

. .

ат n

�n

с толбцов)

1 1

!I 1 1 1

а,

а1

"?

о Q. f­ u

'Х2

'

.:о

� "

(Хт

(4 . 2)

:;;

::;: :z: ::;:

�

,

01n

a = max ai,

02n

.

,

или . п р и н имая во внима ние фор мул у ,

. ,

а

О mn

(4. I) обозна ча ет минимально е значение данного п а раметра п ри

всех В озможных j) . Выпишем числа а, (М ин имумы строк) рядом с матр ицей справа в в иде добавочного столбца :

454

АI

в,

рассч итыва ть на то , Выби р а я какую-то страт егию А г, мы д олжн ы вника мы выигр аем тольк о что в рез ул ьтате разум ны х действ и й проти (т. е. избег а я вся кого ожно остор е аг . Естеств е н н о действуя н а иболе ю , дл я к? торой чис ­ атеги стр ту м други ь очест риска) , мы долж ны предп ние а, значе ьное макси мал ло а, ма ксим ально . Обоз на чим это

Б уквой i будем обозна чать номер нашей стратегии, буквой i ­ номер стратегии проти в н и ка . ОТбросим вопрос о смеша нных стратегиях и будем р ассматр ивать по ка ТОль ко чис�ые. Поставим зада чу: определ ить наилучшую среди стратегии A , А 2 , . . . , А m . Проанализи руем последова ­ на ш и х 1 тельно каждую из них, начина я с А И кон ча я А т. Выбирая А " мы 1 должны рассчитывать, что П Р ОТ и вни к ответит на нее Той из стратегий . Bj, дл я которо и наш выигрыш м И н и м ален . Н а йдем минимальное из чисел аu в i-й строке и обозначим его a l : (знак

Аг

�}

с матр ицей

1

11,

�1

=

(4. 1 ) ,

(4 .3)

т а х m i n ао. i

,

н о й и г р Ы, и н а ч е ­ Вел ичин а а назыв ается н и ж н е й Ц е о м . Та страт еги я игрон и м и с к а м ма ксим инны м выиг рыше м или мину а, н а % В а етс я м а к с и м и Н ' 1«:1 А, к ото ра я соответств ует макси с т р а т е г и е й. 11 О Й я ма ксим инно и страте· Очев идно , если мы будем прид ержи ватьс ранти рован выиг рыш, га гии го нам при любом поведении п ротив ника �и на а и назы ваетс � вели ому Поэт а. й во �ся ком случа е, не мень ши р ованн ыи мини мум, котор ыи «ни ж н ей uеной игры» . Это - тот га ранти своей наибо лее остор ожно й ясь ва мы м ож ем себе обспе чить, прид ержи . егии (<<пер естра хово чной ») страт о провести и з а проти в­ Очев идно, анало гично е рассу жден ие можн наш выиг рыш в мини ­ ить обрат чтобы ника В. ОН .ш и нтере сован в том свои страт еги и , выдел яя для мум; значит, он долж ен п р осмот реть все ние выиг рыша . Выпи ш ем ЗНdlче кажд ой из них м а к с и м а л ь н о е ао по столб цам: ния значе е альны максим внизу матр ицы (4,2) l

•

,

�I

=

та х аu i

455

и на йдем их них мини мальное :

� = m i n �j кли

� = m i п тах аи. j

(4.4)

1

Величи на � на зывает ся в е р х н е й ц е н о й и г р ы, иначе мнним а ксным выи грыше м или м и н и м а к с о м. Соответств у ющая выигры ш у � стратег ия против ника называ ется его м и н и м а к с­ н о й с т р � т е г и е й . Приде ржива ясь своей н а иболее остор ожной миним а кснои страте ги и , проти вник га ра нти р ова н , что в л юбом случае он проигра ет не больше � . Принц ип осторо жности , ди ктующи й и гр о ка м выбо р соответст, вующи х страте гий (ма ксим ин ной и миним аксно й) , явл я ется в тео рии и гр ос новным и называ ется п р и н ц и п о м м и н и м а к с а. Он вы­ тека ет из предположени я о разумн ости каждог о игрока , стрем ящегос я дости гнуть цел и , противо положн ой цели против ника . Наибол ее «осто­ рожны е» ма ксимин ную и минима ксную стратег ии часто оБО1на чают общи м терми ном «мини максны е стратеги и» . О п р еделим нижнюю и вер х н юю цены игры, а та кже миним аксные стра тегии , дл я трех пример ов, рассмо тренны х в предыдущем па р а гр а -

фе.

П р имер 1 . (Игра «поиск») . Определ яя миним умы строк сх, ! и мак­ симумы столбцов � j, получи м

�I 1 1 1

1 I 1 I

в,

А1

-1

Az

+1 I

�}

а!

В,

-1

+1 -1 1

1 1

.

-1

Та к ка к вели чины сх, ; и � j постоянны и равны соответственно и + 1 , нижняя и верхняя цены и гры та кже равны -1 и + ] : сх,

=

-1 ,

�

=

-1

+1.

Люба я стр атегия и грока А являет ся его ма ксими нной, а и грока его миним а кснои" страте гией . Вывод тривиа лен : придер жива ясь л юбой из Своих стратег и й , и грок А может га ранти ровать , что он про­ и г � ает H� бол ее ] руб . ; то же может га ра нти ровать и и грок В п р и л ю­ бои своеи стра теги и .

В

-

П ример 2. (Игра «тp� nалbl{д») . Выпис ывая ми н имумы строк и ма ксимумы столбцо в, на идем нижнюю цен у игры сх, -3 и вер х­ н юю [3 4 (выдел ены в табли це жирным шрифтом ) . Наша ма кси­ м и н н а я стратег ия А I (примен я я ее систем атичес ки , мы гара нтируем . =

456

�\ 1 1 1 1

в.

А1

2

А2

-3

А"

�

�!

4

J I I I I

1

в,

1 I I

-3 4 -5

I

4

1

в.

1

4 -5 6 6

1 1 1

/Jt -3 -5 -5

что выи граем не мен ьше-3, т. е. проиграем не бол ьше 3) . Минима кс­ н а я стратеги я противника - люба я из стратегий В 1 и В2 ; примен я я и х системати чески , он может га ра нти ровать, что н е отдаст более 4 . Е с л и м ы отсту пим от своей ма ксиминной стратегии (например, выберем А 2 ) ' то п ротивник может нас «на казатЫ> за это, применив В В и сведя наш выи грыш к-5 ; равным образом и отступлени е противни ка от его минима ксной стратегии может быть «наказано) увеличен и ем его про­ игрыша до 6. Обрати м внимание на то, что мин и м а ксные стратегии в да нном сл у­ чае н е у с т о й ч и в ы . действител ьно, пусть, напр имер , п ротив н и к выбрал одн у и з свои х минима ксных стратеги й В1 и придержива ется ее . Уз н а в об этом, мы пер ейдем к стратеги и А з и будем вы и грывать 4 . Н а это ПРОТИВН II К ответит стр атегией В2 и будет выигрывать 5 ; на это МЫ, в свою оч ередь, ответим стратегией А 2 И будем выи грывать 4, и т. д. Та ким обр азом, положен и е, при котором о б а и грока пол ьзуются своими МИ lIима ксными стратеги ями , явл я етс я н еусто йчивым и может быть нарушено поступившими сведен и ями о стратеги и , которую при ­ мен я ет противная сторона . Одна ко та ка я неустойчи вость наблюдает­ ся не всегда ; в Этом мы убедимся на следующем при мере. П риме р 3 . (Игра «вооружение и самолет») . Определяем мин имумы строк и макси мумы столб110В:

�

А,

А!

0 ,5

А1

А2

А,

=

'j

1

0,9

I I I

А, 0 ,6 0,7

0,7

0,5

0,9

0 ,7

I j I 1 I

А. 0 ,8 0,8 0,6 0 ,8

а!

1 1 1 I

0,5 0,7 0 , 11

417

в

н е й:

дан ном

случа е

н и

ж н я

и е

я

а =

t1.

=

н

а

и r р ы р а в н а

в е р х·

и, 7 .

�I А1

М и н и ма ксные стратег и А и 2 И 8 2 я вл яютс я У с т о й ч и в ы м и : �ли один из игроков п р идержи вается своей ми н и ма ксной (ма кс и мин ­ ной) стратег и и , то др у го й ИГрОI< н и ка к не может улучши ть свое поло­ жение, отст у п а я от своей .

А2

Та ким образо м , мы види м , что сущеСТВ УЮ1 и гры, д я которых н иж­ л ня я иен а равна вер х ней :

Аз А4

Эти игры зан имают особо� место в тео р и и и гр и н а::Jываются и г ­ p а м и с с е Д л о в о й т о ч к о й . в ма т ри це та ко й игры сущест­ вует эл емент, явл я ющийся одн о временн о МUfLUм аЛЬНblМ в своей

J3j

строке

и максимальным в своем столбце ; та кой элемент на :�ыва ется '(седлово й точ кой » ( по аналоги и с сед л овой точ кой н а повер х н ост и , где дост и ­ га ется м и нимум по одн о й координ ате и ма ксим у м по д р у гс.. й ) .

Общее ::Jна чение нижней и вер х н ей иен ы и г р ы

а=В = у назы ваетс я ч и с т о й ц е н о й и г р ы . ('едлов ой точ ке соответствует п а р а ми н и ма ксны х стр атеги й ; зти стратег и и н а з ываютс я о п т и м а л ь н ы м и , а их совоку п н ость р е ш е н и е l\I и г Р ы. Решени е и гры обл адает следую щим сво йством:

\ 1 1

1\

1I

в,

2 О 1 1 2

I I

1 \

I I

1

I

в,

I 1

2 1

\

1

I

2

1

2

13 ,

1

1 1 1 1

I

1 1 \

\ 1

/j .

1 1 1 i 1

I

1

1

1

I I

в.

2

1 2 2 2

1 � 1 1 I1 1

a

i

1 о 1 1

имеется шесть седловых точек, с общим значением выи грыша аи � = v = 1 и соответствующими п а р а ми оптимальных стратеги и : А 1 Вз , А 1 В4, А 3 В М, А 3 В 4' А 4 В 3, А • 84 ' Н ет р удно доказать (мы этого делать не будем ) , что есл и в матр и и е и г р ы H e C KOJl bKO седловых точек, то в с е они да ют одно и то же значен и е в ы и г р ыш а . =

=

если один из игроков пр идерживается своей оnтима лыюu стратег ии, то для другого не может быть выгодны м отклоня ться от своей опти­ маль ной ( та кое отклоне ние либо оставит положе ние неи з мен н ы м , J/ И бо

его ) . Действительно, пусть в и гре с седлово й точ кой ИГрОI< А придер ­ живает ся своей оптима льной стр атеги и , а и грок В - своей . до тех пор , пока это та к - выи грыш остаетс я посто я н ным и рав н ым цене игр ы У . Теперь допусти м , что В доп устил отклоне н ие от своей опти­ мал ьной ст ратег и и . Т а к ка к элемент v явл я етс я минима л ьным в своей строке, такое отклоне ние не может быть выгодны м дЛ Я В; равным об­ разом и дЛ Я А , есл и В п р идержи вает ся своей оптимал ьной страт еги и , не может быть выгодно отклон ение о т своей . Мы види м , что дл я и гры с седлово й точ кой минима ксные стра те­ ги и облада ют у с т о й ч и в о с т ь ю. Па ра оптима л ьных с т ратеги й в и гр е с седлово й точ кой Я ВJl я етс я ка к бы п о л о ж е н и е м р а в н о в е с и я : отклон ение от оп тима л ьной стратег ии вызыва ет та кое измене ни е выи гр ыша , которое н евыгодно для отклон я ющегос я и гро­ ка и вынужда ет его вернуть ся к своей оптимал ьной стратег ии . Чистая ц ена и гры v в и г р е с седлова й точ кой явл я ется тем значе­ н и ем выи грыша , которое в и гре п ротив разумн ого против н и ка и гро к А не может увелич ить, а игрок В - у мен ьшить . Замети м , что в пл атеж ной матриц е может быть не одна седлова я точ ка, а нескол ько. Напри мер , в мат рице

УХУДШ ИТ

468

оруаue N °t Рис. 9.1 П ри мер. Сто р о н а А - средств а ПВО - о бо р о н я ет от возду ш н � го нал ет а ч ас ток т е р р ит ор и и , р ас п ол а г а я дву м я ор уди я м и NQ 1 и NQ 2, зон ы деи ств и я ко ­ S I , S2 н е пер екр ы в аются (р ис . 9 . 1 ) . � а ждое о р уди е может обст рел я ть тол ь · ко с а м о л ет , п р о х о д я щи й чер ез его зо ну де.иств и я , но дл я этого о н о дол жно з ар а ­ нее (до в х ода uел и в зо н у ) следит ь з а неи и в ы р а б а т ы в а ть п р иuел ь н ые да н н ые Если uе л ь о бстре л я н а , она п о р а ж а�тс я с в е р оят ност ью р = 1 Стор о на В р ас­ п ол а г ает дв у м я са молет ам и . кажды и и з кото р ы х может быть на п р авл е н в лю­ бу ю во н у В моме нт , когда сторон а А осуществл яет uеле р а с п р еделе н ие ( н а з н а ч а ет , ка ко м у ор у д и ю по какой дел и стр ел ят ь ) , дв и ж е н ие с а м ол ет а - ,: ел и NQ 1 н а п р а в ­ л е но в з о н у де йств и я S1 о р у ди я NQ 1 , а де л и NQ 2 - в зону деиств и я S2 о р у д и я N� 2. Одна к о посл е п р и н ят и я р еще н и я п о дел е р а с п р едел е н и ю каждаЯ дел ь может

ropbIx'

459

t;маневр ировать, маневр» (см. п у нктир ные стрелки на применив «обманный рис 9 1 ) . З а да ча сто р о н ы А - об р атить в ма кси м у м , а сторо н ы 8 - обр ат ить в м и н иму м ч и сло пораженных цел ей Н а йти р ешение и г р ы (опт и м а л ь ны€' стр ате­ гии сторон) Ре ш ен ие. У сторон ы А (ср едства ПВ О) чет ы р е возмо ж ны е стр аl ег и и А1 - ка ждое ор удие след ит за и а п р авл я ющейс я в ег о з о н у цел ь ю , А 2 - о р у ди я следят з а цел я м и « к рест - н а к р ест» (каждое - з а цел ь ю нап р авл я ющейся к соседу). А з - оба о р у ди я сл едят з а цел ь ю N2 1 , А , - оба ор удия следят з а цел ью N� 2 У стороны 8 (самолеТ Ы - Ilел и ) тоже чет ыре ст р а тег и и : 8 } - обе цел и н е ме н я ют н а п р авле н и я , 8 2 - обе Ilел и п р и м е н я ют обм а н ный м а невр , 8з - п е р в а я IlеЛ h пр имен яет обма н н ы й м а н е в р , а втор а я нет, 84 - вто р а я цел ь п р и ме н я ет обма н н ы й ма н е в р . а пер в а я нет. Пол у ч аетс я и г р а 4Х 4, ма тр и ца котор ой да н а в т а бл и ц е :

�. А1

tt

А1

81

и

2 --

I

-4 i

82

х О

8з

В4

Ot,

1

О

\+

+1

1

О

,., L

1

1

О

t\

1

1

1

1

1

A4 / t

J

J

I

J

I

2

2

I

1

А2 Х Аз

flJ

Н а х одя м и н и м у м ы строк и максимумы столбцов , убежда е мс я , '1то н и ж н я Я цена и г ры р ав н а в е р х н е й цене и г р ы : c;t= B=v=l ; з н а ч ит, и г р а и мее г седлову ю то ч к у и р е ше н и е в ч ист ы х стр атег и я х , п р и в о д я щее к '1ИСТОй цене и г р ы v = 1 В да н ном сл учае седл ов ы х то чек не одн а , а Ilел ых четы р е К аждой из н и х со ответст в ует п а р а о пти м а л ь н ы х стр атег и й , да юща я решение и г р ы Цена и г р ы что при о пт и м ал ь ном П оведе н и и ст орон с а молеты буjI. У Т не­ v = 1 оз на ч ает, и з б еж н о тер ять оди н са молет, и н и ка к ие у х и щ р е н и я не помогут им тер ять м е н ь ше, а ср едствам ПВО - сбить бол ь ш е одного с ам ол ета дост и г аетс я 9ТО когда обе стор о н ы пол ь з у ются с в о и м и о пт и м а л ь н ым и состо я н и е р а в н овес и я , ст р ат е г и я м и : ор уди я сл ед ят оба за одн им и т е м же са молетом (л юбым), а са мо­ л еты н а п р авл я ются посл е цел е р а с п р еделе н и я в одн у и ту же зону (л юбую)

Класс щ:р, имеющи х еедловую то ч к у , вес ь ма интересен ка к с тео­ рети ч еской , так и с практической точ ки з р ени я . К нему принадл ежат, в частност и , все та к называемые «и гры С полной и нформаци ей» . И г р о й с п о л н о й и н ф о р м а ц и е й называ ется такая игра , в которой каждый игрок при каждом ли чном ходе знает резуль­ таты всех предыдущи х ходов - ка к личных , та к и случайных . При­ мерами игр с полной информа цией могут служить ; щашки , ша хм аты, и:;вестиая и гра в «крести ки И f!ОЛЩ{и» И др . 46G

в теории игр доказывается , что ка ждая и гра с полной информа ­ цией имеет седловую точ ку и следовательно , решен и е в ч истых стра­ теги я х . Др у гими словами , в каждой и гре с полной информаци ей су­ ществует пара оптимал ьных стратеги й той и др угой стороны, дающая устойчивы й выг рыы, равны й чистой цене и гры . Есл и игра с полной информаци ей состоит тол ько И З л и чных ходов , то пр и при менении каждой стороной своей оптимал ьной стратегии и гра должна кончать­ ся всегда вполне определенным исходом, равным цене и гры 'V. В качестве примера пр иведем следующую и гру с пол ной инфо р' маци еЙ . два и грока поочередно кладут оди на ковые монеты на круглы й стол , выбира я п роизвол ьно положени е монеты (взаимное перекрытие монет н е допуска ется). Выи грывает тот, кто пол ожит посл еднюю мон е­ ту (когда места дл я других уже не оста нется) . Н етрудно убедиться , что исход этой и гры п р едрешен , и существует определенная стратеги я , обеспечивающа я достов ерный выи грыш тому и з игроков, кто кладет монету первы м . А именно, он должен первый раз положить монету в центр стола , а далее на каждый ход противн и ка отвечать симметр и ч ­ ным ходом. Оч евидно, ка к бы ни вел себя п ротивни к, ему н е избежать проигрыша . Поэтому и гра имеет смысл тол ько дл я лиц, не знающи х ее р ешен и я . Точно та к же дело обстоит с ша хматами и другими игра­ ми с полной инфор мацией; люб а я из эти х игр обладает седловой точ ­ кой и, значит, р ешен и ем, указывающим каждому и гроку его опти ­ мал ьную стратегию, та к что и гра I1меет смысл тол ько до тех пор , пока неизвестно решен и е . Решение шахматной игры не найдено (и в обозри­ мом будущем вряд ли будет на йдено) только потому, что число страте­ ги й (комбинаци й ходов) в ша хмата х сл ишком вели ко, чтобы можно было построить платежн ую матрицу и на йти в ней седловую точ ку .

5.

Р ЕШ Е Н И Е И Г Р Ы

В

С М Е Ш А Н Н Ы Х СТ РАТ Е Г И Я Х значение, не та к

уж часто встречаются и гры с седловой точкой; более типич ным является случай, ко гда нижняя и вер хняя цены и гры различны. Ана ­ Среди конечных игр, имеющих

п р а ктическое

л изи руя матрицы та ких игр, мы при шл и к выводу , что если каждом)' игроку предоставить выбор одной-ед и не гвенной чистой стр атеги и , то в расчете на разумно го проти в н и ка Э1 0Т выбор должен определ яться принципом минима кса . При этом игрок А га ранти р у ет себе выигрыш, равны й н ижней цене и гры а . Возни кает вопрос: нел ьзя ли га ранти ро­ вать выи грыш, бол ьший а, если примен я ть не одн у-единственну ю, «чистую» стратегию, а чередовать сл у чайным образом нескол ько стр а ­ тегий? Та кие стратеги и , состо ящие в с.1J.уча Йном чередова н и и чисты х стратеги й , называются в тео р и и и гр с м е ш а н н ы м и . При пол ьзо­ вании смешанной стратегией перед каждой парти ей игры пускается в ход ка кой -то механизм случа йного выбора (бросание монеты, иг­ ральной кости или вычисление машиной случ а й ного числа от О до 1) , обеспечивающ ий появл ение каждой стратегии с некоторой вероят­ НОСТI>Ю. И затем п р и н и ма ется та стратещя: на которую пал жребий 46 1

Смеш а н ны е страте ги и п р едста вл я ют собой матем атиче скую модел ь измен ч ивой , ги бкой та кти к и , п р и котор ой п р оти вни к не з н а ет , и н е может узнат ь з а р а н ее, с какой обста новко й ему п р идется встр ети гьс я . Та ким сл уча йным чередо ва н и ем пр иемов ( р а зумеется , без четко оп р е­ дел енных вероя тносте й) часто польз уются в ка рточн ых и гра х . В ведем специ ал ьное обоз н а ч е н и е дл я смеша нных страте ги й . П усть им еет с я и гра И, в котор о у нас й (А) т страт еги й : А 1 , А 2, . . . , А m, а у п р отивн ика (В) - n страт еги й : В 1 , В , 2 . . . , В N • Б удем обозн а чать

SA

=

( рl

'

=

(Q,

Ч2' . . . , qn ) ,

1. ' " + qn Очевид но , кажд а я чиста я страт егия ЯВ.� я етс я частн ым сл у ч а ем см ешан ной : все стр атеги и , кроме да н н о й , и м еют в ероят ности , равны е н у л ю , а дан н а я - единиц е. Оказы ва ется , если допус тить не тол ько ч истые , но ! I смеш а н н ые страте ги и , то можно дл я каждо й кон ечной и гр ы на йти р е ш е н и е , т. е. п а р у усто й чивых о птимал ьных стр атеги й игро ков . Р е ш е JI и е м и г р ы назыв а ется п а р а оптим ал ьных страт егий в общем сл уча е смеша нных, облад ающих след ующим свой­ ством : если один из игроков придерживается своей г де

qI + q2 +

=

S�, S�,

оптим альной стра­ теги и , то другому не может быть выгодн о отступать от своей . В ыигры ш, соотве тствующи й решен и ю , на зыва ется Ц е н о й и г -

SA* = (Р1 '

и

Существует та к назыв аем а я о с н о в н а я и и г р , состоя щая в следую щем.

т е о р е м а

Мы н е будем остана влива ться на стр огом доказа тельстве этой тео­ р емы , тем бол ее, что в дал ьней шем сушес твова н и е решен ия и гр ы будет достат очно оч евидно и з д р у ги х сообра жен и й . И з основн ой теорем ы следу ет, что каж дая конечн ая игра имеет це­ ну . Цена игры " всегда лежит между н ижней ценой игры а. и в ер х ней цен ой игры �: а.

-< " -< �.

Дейст вител ьно, а. есть м аксима л ь ный гар анти рован ный выи грыш , которы й мы можем себе обеспе чить, п р и ме н я я тол ько свои чистые стра­ теги и . Так как смеша нные страте гии содерж ат в качестве частно го слу ч а я все чистые , то, допуск а я кроме ч и стых еще и смеша н н ы е стра­ теги и , мы, в о вся к ом сл у ч а е , не у х удшим своих возможн о сте й ; зн а ч ит , 462

,,

;;;.: а. .

противника ,

докажем,

Р2'

. • •

, Р m);

S8* =

(ql' Q2 ' ... , Qn)· '

•

•

Если один из игроков придерж ивается своеи оnтимальнои смешанн ой стратегии , то выигрыш остается неизменным и р авным цене игры ", независимо от того, что делает другой игрок , есл и толька тот Нf! ..B JI­ ходит за пределы своих активных стратегий (т. е. пользу ется л юбои из

н и х в чистом виде ил и смешивает и х в л юбых пропорция х) . Докажем эту теор ему . Пусть имеется р ешение и гр ы т Х n в сме· ша н н ы х стратеги я х , в котором н е кото р ы е стратегии являются а ктиВНЫ­ ми , а другие н ет. Перен умер у ем стратегии та к , ч� бы а ктивными был и первые k стратегий игрока А и первые 1 стратеги и игрока В. Решен и е будет иметь вид:

SA* S 8*

т ео -

Каждая конечн ая игра имеет ПО крайней мер е одно р ешен и е , воз­ можн о, в области смешан ных стратегий .

возможности

в о бщем сл у ча е, некотор ы е и з ч исел Рl , Р 2' . . . , Р т ; q1 Q2' . . . , Qn могут быть р авными нулю, т. е. не все стр атегии , доступ ные игрок у , в х одят в е го оптимальную смеша нную стр атегию. Б удем наз ы вать а к т и в н bJ М И стратеги ями игрока те, которые входят в его оптималь­ н у ю смешанную стратегию с отличными от нул я вероятностями . Для р ешения игр существенное значение имеет следующа я т е о р е м а о б а к т и в н ы х с т р а т е г и я х.

р ы ; мы будем ( к а к р а н ьше - ч и стую цену) обо нач ать ее ". з р

рассматри вая

откуда а. � ,, � �. Предпол ож и м , что в и г р е т Х n нами на йдено р ешение, состоящее из дв у х оптимал ьных стратеги й :

Р2 ' . . . , Рm )

на шу смеша н н у ю страт еги ю , в кото р о й страт егии А1, А 2 , . . . , А m п ри мен я ются с вероя тностя м и PI, Р 2' . . . , Р m, п р и чем Р1 + Р2 + . . . + P тn = 1 . Анал оги чное обозна чение для смеша нной страте гии п р отивни ка будет

S8

Аналоги чно, что

=

=

(Рl ' Р2' (q1

• . .

,

Pk' О, . . . , О) ,

q2' . . . , qz' О, . . . , О) ,

'

(Р1 + Р2 + . . . + РА!

(qI + q2 + . . . + qz

=

=

1);

1),

и его применение п р и водит к выи г р ы ш у , равному цен е и гры " . Утверждаетс я , что если мы (А) будем п р идержи ваться своен стр а ' ..

S· то противник 131 (но не В + .

может п р и мен ять свои стратегии В 1 В n ) в любых п р опор ци я х ; выи грыш п р и этом остан ется постоя н ным и р авн ым " . Обоз н а ч и м " 1 , " 2 , . . . , " 1 выигрыш, образующи ися , если мы пол ьте гии

В2, . . . ,

I

1,

(В)

,

..,

..

S�,

зу емся оптимал ьной стратегией а проти в н и к - чистыми страте· гиямИ В1, В 2, . . . . , B1• Из определен и я р ешен и я игры c�eдyeT, что од· ностор онее отклонение противн и ка от его оптимал ьнои стр атегии н е может быть ему выгодно; поэтому "1

� ,, ;

"2

�

,, ;

. . . ; " 1 � ".

Посмотрим , может ли хотя бы одна и з вел ичи Н "1 ' " 2 , ': "1 оказат ься действительно б о л ь ш е ". Оказы ваетс я , н ет . Де и; тви; l! тел ь н о, вы р а з им выигрыш " при о пти мальных стратеги я х S А, ' "

через выигрыши

"1,

" 2' . . . ,

"l '

Та к

ка к в смеша н ной

S

стратегии S 8 463

ч истые стратеги и В1 , В э , , В! прим ен яются с в ер о я тн ql , q2, . . . , q z , то средний выи грыш будет: •

•

•

iя

z

V = V1 Ql + V2 Q2 + " ' + Vz qz =

п ри чем

Ql

ла

+ Q2 + . . . + Qz

Vj QJ, � =l

ми

].

ше V , что пр оти воречит условию. Таким образом , до ка зана теорема , к отор у ю мы будем ши роко применять при р еше н и и игр .

6.

�I

(5. 1 )

j

Очевидно, что есл и из вел и ч и н '\1 1 , V 2, • . • , '\IL хотя бы одн а бы­ бол ьше V , то и их ср еднее взвешенное зна ч ение (5 . 1) был о бы бол ь­ =

Далее замечаем, что для п роти в н и ка стратегия В8 заведомо не· в ы годн а ; вычер киваем и ее, и матри ца п р и в едена к виду:

УП РОЩЕН И Е И ГР

А,

� I1 A1

А2

Аз А,

1 1 1

I О I 4

1

1 I 1 I

I

в,

2 2

2 3

1 I 1 1

в,

4 3 4 1

I

1 I I 1

в.

3

I

2

3 о

� А/

А,

А, Аз

А1

А,

464

1

в,

1 4

I

1 I

в.

2 3

I

I I

в.

4 1

I

I I

В.

3 о

3

3

о

1

I

в.

О

1 \

в,

5

I 1

5 1)

о 5

I

в,

5

I 1

2 I

1

1 I I

в.

2 5 1

Ра ссм ат р ива я матр ицу , за меч а ем , что, в с илу симметрии элемен­ тов стол б цо в В1 и В 2 ; В8 и В4, а та кже стр ок ,4 1 и А 2, эти стр а те гии , если в ходя т в р ешен и е , то тол ько с одина ковыми ве р оя тн остями : Рl Р2, Ql Q2. Q з Q� . Отсюда ВоЗН И l<а ет иде я : з а ра нее объ един и ть страте ги и 81 и В 2 В одн у смеша нную стратегию В1 2• состо ящую н а по­ л ов и ну и з 81. на полови н у и з 8 2 ; та к ж е п осту п и т ь со стр а т еги я ми В а и 84 т. е. объедини т ь их в одну смешанную стр атегию В84• в КОТО· р ую 8 а и 84 в ходят С одинаковыми вероятностями ] /2. Пр и водим м а т р и ц у к в ид у : =

=

=

'

ИЗ матр ицы видно , что стр атеги я А а в точн ости повто р я ет (<<дуб­ .II ир уеп) стратегию А 1 ; поэто м у любую из эти х двух стратеги й можн о вычер кнуть. Далее, сравн и в а я почленно строки А 1 и А 2 , видим, что все эл ементы стр оки А 2 мен ьше (или р а в н ы) соответствующи х элемен­ тов с т роки А 1 • З н а ч ит , стратеги я А 2 дл я н ас, жел ающ их выи грать, заведомо невыгодна . Вычер кива я А з и А 2, при ведем матрицу к бол ее простому виду :

� 1I\

4

1

2

Та ким образом, и гр а 4 х 4 сведена к и гр е 2 х 3 . Иногда уда етс я упр остить игр у искусственным введен ием вместо чи стых стратеги й - смеша н н ы х . Пусть, н а п р и м ер , имеется иг р а 3 х 4 с матрицей :

Если игра т Х n не имеет седловой точ ки , то отыскание ее р еше­ ни я , особен н но п р и больших т и n, п р едставл яет собой довол ьно тру­ доем кую з адачу . Иногда эту зада чу удается у простить, если предвари­ тельно « р едуци ровать» игру, т. е. сократить число стратеги й путем вычер кива н и я некоторых излишн и х . Излишние стр атегии бывают дву х р одов : Д у б л и р у ю щ и е и 3 а в еД о м о н е в ы г о Д н ы е. Рассмотрим , напр имер и гр у И с матр ицей : в,

В,

В,

�1 А,

А1

А2 Аз

1 1 1

В I•

2 ,5 2 ,5 5

В,.

I 1 I

3 ,5 3 ,5 I

Т еп ер ь видно, что есл и п ротивни к польз у ется стратеги ями 81 2, B8 �' стр атеги и А ] и А . дубл и р у ют др у г др у га ; вы ч е р к и в а я KaKYкr либо из них (или объединяя А] и А . в одну А1I), приводим ма т рицу к

виду 2 х 2:

465

�I

2,5

11 1

А 12

Аз

I

в ••

I 1

5

В. .

3,5 1

И ГРА 2 Х 2

Н а и более п р остым сл у ч аем кон ечно й и гр ы явл я ется и гр а 2 х 2, где у каждо го и г р о к а две ст р а теги и . Рассмот р и м и гр у 2 х 2 с мат р и ц ей:

�I А1

А2

в,

all

1 1

а21

I

1 1

'

=

Т а к и м образом, и гра 3 х 4 сведена к и г ре 2 х 2 . П р и сту п ая к решению любой и г р ы m Х n , н еобходимо п р ежде всего вы п о л н и т ь сл едующие п р оцеду р ы : - посмот р еть, н ет ли в матр ице седловой точ ки: есл и есть, р еше· н и е у ж е на йде н о ; - ес л и с едловой точ ки н ет, сра внить между собо й почлен но столбцы и (троки с цел ью вычер к и в а н и я дубл и рующи х и �aBeДOMO невы годн ы х стратеги й; - посмот р еть, нел ьзя ли умен ь ш и т ь ч и сло стр атегий п у тем замены некоторых гр у пп ч и стых - смеша н н ым и .

7.

д е р жи в аться это й стр етеги и , то , неза в исимо от об р аза дей ств и й п р отив· н и ка ( есл и он тол ько н е вы ходит за п р еделы свои х i1 КТИ ВНЫХ стратеги й) , выи г рыш б удет оста в а ться ра вным цен е и г ры у . В и гр е 2 Х 2 обе страте­ ги и п р оти вн и ка я вл я ЮТС Я актив н ыми ( и н а ч е игра имела бы седл овую точ ку ) . З н а ч и т , если мы п р идер ж и в а емся своей О ПТИ �l ал ьной страте­ ги и 5 А * (PI , Р 2 ) то противник может, не мен я я вы и г рыша , п р име­ н ять л юбу ю ИЗ сво и х чисты х стр атеги й . Отсюда имеем два уравнен и я :

В,

из кото р ы х ,

5А * = ( Р l'

Р2);

5n*

(ql' q2) '

Сн а чала определим опти м а л ь н у ю см е ша н н у ю стр атегию 5 А * . Со­ гл асно тео р еме об активных стратег и я х (см. § 5), есл и мы будем при·

466

=

Рl +

Р2

=

1 , пол учим :

(7.2 ) Цену игр ы нен и й ( 7 . 1 ) :

v

на йдем , п одста В J1 Я Я з на ч ен и я '\'

Рl '

Р 2 В любое из

(} 2 2 а н - а н а 21

0=

а1 l

урав­

( 7 .3)

+ и �2 - a 1 2 - a 2 !

Аналоги ч н о на ХОДИ 1 С Я опти мал ь н а я стратег и я п р отив н и ка :

5 8*

из у р ав н е н и й

all ql а 21 ql

отк уда

ql Здесь могут встр етиться два случа я : 1 ) и г р а имеет седл овую точ к у ; 2 ) игра не имеет седловой точки . В пер вом слу ч а е р ешение очевидно : это - п а р а стратеги й , п ере­ сека ющи хся в седлово й точке. Нетр удно дока з а т ь , что есл и и гр а 2 х 2 имеет седл овую точ ку , то в это й игре всегда ка ка я - н ибудь из стратеги й может быть отброшена как заведомо невы годн а я или дубл и р у юща я . Н е будем этого доказывать. Пр едоста в и м ч и тателю доказать это п оло­ жен и е ил и убедиться в его сп р а ведли вости на р яде п рои звол ьно вы­ б р а н н ы х п р имер о в . Расс мотр им в т о р о й случа й : пр едпол о ж и м , что в матри це 2 х 2 сед­ лавой точ ки н ет . П р и этом н и ж н я я цена И ГIJ Ы не равна в е р х н ей : а. =1= � . Р ешен и е должно быть в смеша н ны х стр а те ги я х . Н а йдем это решение, т . е. п а р у оптимал ьных см еша н н ы х стратеги й :

(7. 1 )

пр и н и ма я во в н и ма н ие условие

aj2 а22

}

ан I? l + а21 Р2 = у, al2 РI + а22 Р2 = у ,

=

=

(ql' q2)

+ а12 q2 = у, + а2 2 q2 = "',

а 22 а12 ан + a2Z -а12 -а21 -

q 2 = l - Ql '

П ример

}

(7.4) ,

( 7. 5)

1 . Н а йти р ешен ие и гры «поиск» ( с м . пр имер Ре шение. ИгрР 2 Х 2 с мат р и uей

�\I А]

А2

1 1

8, -1 1

I

I 1

не и меет седловой точки : а. = -l , � = + 1 . Н Ь! }\ стр атеги я х . П о формулам (7.2), (7.3),

Рl = Ч 2; Р2 Sл* = (1/2 '

1

§ 2) .

В,

1 -1

Ищем р ешен ие в смеша н ­ получаем:

(7.5)

= Ч2; у = О; Ql = 1/2; 1/2); 58* = (1/" Ч2) .

q'/, = 1fz; 467

Следовательно, оптимальная Стратегия каждого игрока со ст оит том , чтобы слу ч айны м образом чередовать сВои чистые стратегии, пользуясь каждой из них с в е роя тностью 1 /2; п р и этом средний выи­ грыш будет р а в ен нулю (этот вы вод у же был пол учен н ами из интуи­ тивных сообра жен и й ) . В следующем примере мЫ рассм от рим игру, р е­ шение которой не я вляется стол ь оч евидны м. П ример 2. Игра «два бо.м.бардировщика и истребитЕЛЬ» . Сторона А посыл ает в район расп ол ож е н и я противни ка В два бомба рди р ов щи ка 1 и I I ; 1 летит спереди, " I I - сзади . Один из бомбар­ ди ровщиков (за ра н ее неизвестно, какой) должен нести бомбу ; др угой в ыполн яет только фун кцию сопровождения . В районе противника бом ба рдиро вщ и ки подвергаются нападению истребителя стороны В ( р и с . 9.2). Оба бомба рди ро вщи к а вооружены пушками . Если истр еби ­ тель ата кует задний б омба рди р овщи к , то по нему ведут огонь пушки только этого бсмба рди ро вщи ка , поражающие истребит ель с в ероят ­ ностью 0, 3. Если ж е истребитель атакует передн и й бомба рди р овщи к, по нему ведут огонь пушки как переднего, так и эаднего б омба рди ров­ щи ка ; совместно они поражают его с в ер о ят ностью в

1 - ( 1 - 0, 3) 2

=

2. А 2 В!

-

=

0 , 5 1 + ( 1 - 0,5 1 ) ( 1 - 0 ,8)

3. А 1 В 2

-

=

==

==

468

==

1

\ I \

_

'

0 , 44 - 1

_

- 0 . 60� + O , 44 - 1 - 1 =

1 - Рl

=

�

а,

\

\ 0 , 44

I

-�eH:;��� ��

Ни �н я я седл овои ТОЧ К И ' Р ) 3 форму лам ( 7 . 2) (7 . , ( 7 . 5 ) после за п ято и) : Рl =

0 , 608

\1 1

0 , 44

1 . Иг ра не имеет о 608 вер хн я я � т и ;ает� я в смеша н ных стратеги я х . По наход и м (с точностью до трет ье го знака =

_

= 0 , 58 8 ; 0, 4 1 2;

0 , 44 . 0 , 608 - 1 . 1

v -

_

- 0 , 608 + 0 , 44 - 1 - 1

0 , 768; Q l = O, 588;q2= O,4 1 2. ( В да н н ом слу чае Qj = Р1, Q 2 = =

= Р 2 В силу того, что а1 2 = а21 ' ) Ита к оптим ал ьные страс теги и сто он и цена и гры н а й дены : (0 ,588, 0,4 1 2) . S A* (0, 588, 0. 4 1 2) , v = 0, 768 , SB*

J -(J

р

-

Исmре51.1mе.ль Рис. 9.2

=

�

=

о с ех ша оптимал ьная стратег и я состоит в том, чтобы в 5 , 8 уо в т. е. 4 а ев ч слу уо 2 , в а , 1 5 телем и ос н делать 88) 0, сл у а (с вероятноСТ ЬЮ к должен с в ероя тн ост ью О , 8� а а ков а т ь и н ив прот чНО Аналоги ри этом - второи . перв� й бомба рдировщик, а с вер оятн остью 0,4 1 2 цели до бомбы ь доносит у ч зада Ю СБ лнять О ет выпо сторо на А бу д н игры 0, 608 и меньше й с в ероят ностью О , 768 , что бол ь ше ижне цены

�

�:

J п

�\

1.

0 , 3 + 0,7 . 0,2

�I

1

в,

дат ь удобн у ю . г еометр ич ескую инте р пр етацию Пусть и ме ется игра 2 х 2 с матри це и :

А1

4. А 2 В2 - носитель 1 1 , атакуется I I ; 02Z

А2

0 , 608

\

Bepx�::�e::: :;J�I 21><' 2 можно

1.

носитель 1 , ата к у ется П ; а1 2

0,608.

в,

\ \ \

А1

Р2

носитель 1 1 , ата куется 1 ; а21

�\

0, 5 1 .

Если истр ебитель не сбит ответным огнем бомба рди р о вщи к ов , то он поражает выбранн ую им цель с в еро ятностью 0,8. Задача бо мба рди р овщи ко в - до н ести бомбу до цели ; задача истребител я - в осп р е п ятств о в ать этом у . Тр ебуетс я на йти оптима л ьные стратег ии сторон : - для стороны А - какой бомбарди ровщик сделат ь н осителем ? - дл я стороны в - какой бо мба рди р овщик а та ко в а т ь? Ре шение. Состави м матри цу игры, для чего найдем средни й вы­ игрыш при каждой комбин ации стратегий . В ы и грыш - в ероя тн ость непора жени я н осител я . 1 . А 1В1 - носитель 1 , атакуетс я 1 . Носител ь не будет поражен , если б омба рдир овщи ки собьют истреби­ тель, или же если они его не собьют, но и он не поразит свою цель. В е­ роятн ость того, что оба бом ба р ди р овщи ка вместl:' пораэят ист ребител ь, равна 0,5 1 , поэтому aj]

Ма т ри ц а игры с доба вочным столбцом и стро ко й :

==

0,44 .

А2

\ \

в,

ан а21

1

\ I

В,

ан а22

469

В озьмем участок оси абсцисс дл и н о й еди н и ца р и с . 9 . 3) . Л евы й ( О) б у ет и обра х кон ец у частка (точ ка с абс ц иссой жат ь стратеги з д ю ст р атег ию А 2 ; все п р омежуточ­ 1) А 1 , пра вы й конец уч а стка (х б ы р н е точ ки у частка будут изо ражатЬ смеша нные стратеги и и г ока А , п р и ч ем ве р оятн ость Р l стра теги и А б дет ра вна расстоя ни ю от точ ки а ; ч у ц ве оя IIOCTb Р астка SA дО п р авого кон а 2 стратеги и А 2 - рас­ сто я н и ю до л е вого кон ца П �Beдe ез оч к и А 1 и А 2 два п ер пенд и­ 1 I - 11. H к уля ра к оси абсцисс: O�b I а ОIСIИ 1 - 1 будем вы - выи гр ы ши откладывать иг рыш п р и страте гии А а на оси 1 -

=

=

_

�

1 - � �6, r 1,

п р и стратегии А 2 •

7

1

II

jj

Н и ж н Ю Ю симу м . Дл я зтог о пост рои м н ии В) обр а ш а .лr я бы в мак е. лом ану ю т. 2, В /31' х я теги ы ш а п р и стра г р а н и u у н bl И г р н и це б удет а р г й зто . .4 ж и рно й л и ние й . На B1N В 2, отм еч е н н у ю на р ис 9 ша нноЙ сме его ой люб и р п г р ыш и г рок а А леж ать мин има льн ый ныи и гает мак сим ума , дост ш гры выи ЭТОТ которо й стр атег и и ; точ ка N , в ина та удн о убе дит ься . что орд ен и е и цен у и г р ы . Н етр а рас и опр едел я ет реш ' на рав Р сса и абсц ее 2 , v к цен а игр ы точ ки N есть н е что и н о е , ка сто я н И Я от точ к и езк а ра вно Р l' т. е. рас отр ца н стоя н ие до пра вого к о теги й А 2 и А 1 веро ятностя м Р 2 и Р l стра S A * до КОН lюв отр е з ка ра вны а А. а нно й ст рате ги и и г р о к В опт има л ьн о й смеш пе р есе чен ия о п р ед€ л я л ос ь 1 0Ч КО Й игры е шени ре е уча сл В н ашем з а н слу ч а й , а пок 5 . 9 с. да буд ет та к . На р и стра тег и й В1, В 2 ; зто не всег ате ги я А 2, стр я ста ч я етс вля � й и гро к а А я когда опти мал ьно й стр атеги е

т

82

f!

1

jf

82

а"

fJ1

1

Р,

f!

Рис. 9.3

Рис. 9.4

Рис. 9.7

Рис. 9.6

Рис. 9.5

ст атегию В1 ; ОН (1 да ет на ося х 1- 1 П усть пр отивн и к п р ме �е; и 11 о и ор дината ми a1 l и й21 ' Про в едем 1 I с оот в етственн ч е р ез эти точки пр ямую В 1 В l ' О ч ев идно , пр и любо й смеш а нно й стра (Рl, Р 2) наш вы и г р ыш выра зится точ ко й М н а п р ямо и Вl Вl' тегии S А соответствующе й точ ке SA на оси абсцисс , дел ящеи отр езок в отно шении Р 2 : Рl' П рям у ю В 1 В1 усл овно будем назыв ать « стратеги ей В1 » Оч евидно , точн о та ким же способом может б ыть построена и стр а теги я В 2 (рис. 9.4) . Нам н ужно на йти оптимал ьную с тр ат и S А * , т . е . та к у ю , пр и льный выи г ыш (п и кото р о й на ш минима худщем для нас пов р р еде

� ;

_

t

=

•

•

. З десь стр ате­ точк е п е р есеч ен и я ст р атег и й хотя это и не соответств ует и ка) в ыгоднее ивн от р п и и ( р и люб о й ст р атег ги >! А 2 и г р о ка А явно п н ев ыгодна я мо заведо
SB*

=

(ql' q 2 )

дл и н отр ез ков К В 2 и ны отр езка К В 2 к сум ме рав н а отно шен ию дли К В1 на оси 1 - 1 :

•

�� :

470

-

и л и , что то же,

на оси

I - l l. l

47 1

Оптима льн ую стр атег ию SB* = (q] , q2) мож но на йти и Р г Il0ср едствен ным спос uбом , <'сли поме н ять места м и и гр о ко мак сим ума ниж ней гран ' ицы выи гр ыша расс мот реть . мин и м ум .,ер хн ен гр а н и цы (р ис. 9.8) .

: � �jM BH�

�MeCTO 1

AI

1

!!

bz

8,

!!

•

81 a ,z

'2"

f1.,

1

82

О

'1,

1

li

Рис. 9.8

I

Р:

Р,

л31!

Рис. 9.9

На рис . 9.9 дана геом етри ческ а я и нтер п р ета ци я р еш ен и я игр ы «два бомба РДИР овщи ка и истр ебител ь» ( п р име р 2) .

8. И Г Р Ы 2 х n И m Х 2 М ы уБРд ил ись, что любая игра 2 х 2 мож ет быт ь р еше на элем ен­ п р и емам и . Совер шен но а нало гичн о мож ет быт ь р еше на лю­ гр а Х n, где у нас (А ) имею тся всего две Стра теги и а у п роти в' н и ка ( в ) - ПРОИ ЗВол ьное Числ о (n ) . Ита к , пуст ь имеется матр и ца игры 2 х n: она Состоит из в стро к и n стол бцов . Ана логи чно сл учаю 2 х 2 дади м зада че г eo ч еску и нте прет аци ю ; n Стр атег ий П РОТИ ВНик а изоб разя тся n п я ис . Постр оим н ижн юю гр а н и цу ВЫиг рыша (л ома н у . 1 2 ) И на идем на неи точк у N с ма ксим альн ой орди нато , й ' ЭТа о р ­ д н ната и будет цено й игры v а абсцисса ТОчки N б удет р а вн а вероятн аст и р 2 стр атег ии А 2 в опти'мал ьной смеш а н н ой стра теги и игр ока А:

���н:[ми

�

( �ЬM� /

�

Me����

-} О) .

�

SA *

=

(Рl ' Р2),

Зная , ка кие стратегии пере секаются в точк е N , мож но ка зать а ктив ные стра теги и Против н и к С! . В на шем случ ае (рис ' . 9 1 0) ОПТи У мал ьна я смеша нная стр атег ия П Р ОТи вника

Sli

=

(O,Q2 ' 0 ,q4)

Сост оит и з смес и дву х а ктив ных стра теги й В 2, В ( , пе р есе кающи хся в Точ ке N Ст Р а !егия В 3 явля ется заве домо невы годн ой а стра теги я 8 ] - невыгодн ои п р и опти мал ьн ой стра теги и S * и q4 относя тся ка к длин ы отре зков кв, н кв. на ри 10

.

472

B�

� 9 РЕ��ОСАТИбqу.l •

•

•

д ет пользоваться своей оптимальной стратегией

SA*, т о выи грыш н е И'Jмен ится, какой б ы иа с в о и х а ктивных стратегий ни ПО.n ьзовался 8 . однако о н изм�н и гся , есл и 8 п�рейдет к стратеги ям 81 и л и 8з . Можно доказать, что у любой конечной игры т Х n суш,ествует реше­ ние, в коmoром число активных стратегий каждой стороны не nревос­ !Содит наименьшего из чисел т и n. Из этого , в частности , следует, что у и гр ы 2 х n всегда имеется р ешение, в котором с каждой стор оны у частву ет не более дв у х а ктив­ ных стр атеги й . Стоит тол ько на йти �ти стратегии - и игра 1 л 2 х n п р евращается в и гру ? х 2, эл емен­ кото р а я р еша ется та рно. 8, Отсюда вытекает та кой пра ктичес к и й п р и �м решен и я 81 игры 2 Х n: строится геометр и­ 8/1 чес ка я интер п р етац и я' (рис. к 9. 1 0), ищется пара стра теги й, пер есе ка ющи хся В точке N (если в ней пересекается более двух 8z стр а теги й , берется л юба я па­ ра ) - эти стр атегии п р едста в­ л я ют собой а ктивные стр атегии , z игро ка 8, и игр а 2 х n сведена Р, 8, Pz к и г р е 2 х 2. л J Очевидно, та к же может Рис. 9. 10 быть р ешена и игра т Х 2, с ТОЙ разн ицей, что строится н е н и жн я я , а вер х н я я граница выи грыша , и на ней ищется не ма ксимум, а мини мум (рис. 9. 1 1 ) . П р и ме р 1 . И�ра «CaA-tOлеmы и зенитные орудия». Сто рона А (самолеты) н ападает на объект, сторона В (зенитные оруди я ) оборон яет его . У сторо ны А два самол ета , у стороны В - три зен итных орудия . Кажды й самол ет является носител ем мощного по­ ража ющего средства : для поражен и я объекта доста точно, чтобы к н е­ му прорвался хотя бы один самол ет . Самол еты могут выби р ать дл я подхода к объекту любое из трех н а п р авлен и й : 1 , 1 1 или H I , не мен яя его в дал ьнейшем (р ис . 9. 12). Противни к (8) может разместить любое из свои х орудий на любом направлени и ; каждое из орудий прострели­ вает тол ько обла сть простр анства , отн осящуюся к да н ному напр авле­ н и ю, и н е прострелива ет соседн и х направлени й . Каждое о р уди е может обст рел ять тол ько один самолет; обстрел я нный самолет поражается с полной достоверноСТЬЮ. Сторона А не знает, где р а змещены ор уди я ; сторона В н е знает, откуда п р илетят самолеты . Задача стороны А пор азить объект, стороны В не допустить поражения . На йти р еше­ ние игры . Решение. Если в качестве стратеги й рассматри вать все возможные спос обы выбора напр а влен и й са мол етами I! расста нuвки о р уд и й , коли-

-

-

473

ч е <;; тво страте гий будет оче н ь вел и ко 9 с одной сторон ы и 27 с д р у_ го и . Одна ко можно огр а н и ч итьс я горазд о мен ь ш им числом страте ги й есл и за ранее и х «смеш ать» и рассм отр еть дл я А Тольк о две стра теги и А1 - п осл ать по одному са ыол ету на два разных ( юбы х ! на­ л правле н и я ; А2 - послать оба самол ета по од ному ( любому н а п равл ени ю ) , а для п р оТивни ка - тр и страте ги и :

�

В 1 (l + 1 + 1) правлен ие;

- поставить

по одно м у ор уди ю на каждое на ­

- поставит ь два ор уди я н а одно (л бое) на ­ ю одно - на д р у гое , а тр еть е оста вит ь незащище нным ; В :! ( 3 + 0 + О) - поста в ить все тр и о р уд и я на одно (любое) н а ­ п ра в л ен и е , а д в а д р у ги х оставить н езащищ енн ым и .

В2

п р а вл ен и е ,

( 2+ 1 +.0)

!

jJ

=

=

=

=

�

в,

А,

()

А1 А2

о

Az 1

J3j Рис. 9.12

П р и эт ом п р �щп ола га ется , Что выбор каждого из н а п р а вле ни й пр о­ и з в одитс я слу ч а и ньш образом и с одина ково й вероятн остью. Соста в и м МаТРИЦУ и гры . Выи гр ыш А в да нном сл уча е - вероят­ ность п о р а ж ен и я объе кта , и на ч е - вер оятн ость того, что к объекту прорветс я Хотя бы оди н самол ет . Рассмот ри м выи грыши дл я всех комбина ций стратеги й . 1 . А } В} - са мол еты л етят п о ра зным на п равл ения м , о р уд ия рас­ ста вл ены по одному ( 1 + 1 + 1 ). В ы игр ыш ан '-- веро ятность того , что хотя бы оди н самол ет п р о р в ется к объекту в да нном сл уча е ра­ вен Н УЛЮ: ан U. =

2 . А 2 В} - са м олеты л етя т по одному и тому ж е н а п р а вл ен и ю , ор у­ ди я расставл ены по одному ( 1 + 1 + 1 ). Очевидн о, п р и ЭТом один

из самол етов, не будуч и обст р ел я н ным, н а в е р н я ка прор вется ту : а21 1. =

3. А } В2

=

=

=

А!

Рис. 9. 1 1

1

/з , отк упа в е р о ятн ость и нтере н ость это го событи я равна 2 /з . 1/2 2/5' 1 - 1/0 сующего иас события : a1 2 4 . А 2В2 - самол еты летят BJ\IecTe; ор уди я поставлены по схеме (l + 2 + О) . Снова на йдем вер оятн ость того, что оба са мол ета будут пор ажены . Дл я этого они должны выбр ать на п р авление, защищен ное дву мя ор удиями ; веро ятность этого 1/ з , вероятн ость проти во положного 2/з, событи я : а22 1 - 1fз 5 . А1В 3 - самолеты летят порознь, орудия поста влены все тр и на од но н а п р а влен и е (3 + О + О) . Очев идно, в этом сл учае оба са моле­ 1. та сбиты не могут быть, и а1 з 6. А 2В а - сам олеты л етят вместе, о р уди я поставл ены все т р и на одно н а п р а влен и е (3 + О + О) . для того чтобы оба ca MOJJ eTa были по раже н ы , они должны I:\ыбрать то н < ш р а вл ение, на кото ром стоят все тр и о р уди я . В ер о ятность ЭТого 1 /з, Веро ятность того, что хотя бы один 2 /з са молет п рор вется к объекту, будет а2З Составляем ма т р и цу игры:

к

объек­

- самол еты летят по одному; п р отивник ста вит два ору­ дия на одно на пра вление, одн о - н а д р у гое и оста вл я ет н езащище н ­ ным тр етье (2 + 1 + О) . дЛ Я того чтобы п р о р ва ться к объекту , хотя бы оди н из са м олето в долж ен выбр ать н езащи щен н о е на п ра вл ение . В е­ р о ятн о сть этого событ ия на йдеы чер ез в ероят ность п ротив о П олож н ого событи я : «оба самолета выбе р ут защище нное н а пр а вл е н и е» . В ероят474

1 1

I 1

I

1 I

I

в,

2/3 2/3 2/3

I 1 1 1

,

в,

1

2/3 1

1 1 [1 1

ai

о

2/3

Из матр ицы видно, что н и ж н я я цена и г р ы р а в н а вер хней: а 2 /з ; з н а ч ит, и гра имеет седловую точку и р ешается в чис ­ ты х стратегия х : стор она А (са молеты) должна всегда п ол ьзоваться стра тегией А 2 (лететь вместе) , а сто рона В дол жна всегда р а сста вля ть ор уди я по схеме (l + 2 + О), т. е. ста вить два ор уди я на ОДН С ка ко е­ то на п р а вл ен ие, одно о р удие - на другое, и одно на п р авл ен и е оста в­

�

=

= v =

л я т ь вообще незащищенны м . На р и с . 9. 1 3 дана геометр ическая интер п р ета ция игры. П р имер 2 '(ва р и а нт той же и гры) . Усл ов и я те же, но дл я стороР.ы А В():iМОЖНЫ н е т р и , а четы р е н а п р авления подхода к объекту , а сто ­ рона В рас пол а га ет ч етыр ьмя о р уди ями. Решение. У нас по- п р ежнему две возможные стратегии :

А 1 - посыл ать са молеты порозн ь, А 2 - посылат ь самолеты вместе . у п ротивника п я т ь возможных стратегий : В} ( 1 + 1 + 1 + 1) - ставить по одному

ОРУДИЮ на

ка ждое

н а п р а влен и е ;

В2 (2 +1 +1 + О)

- ста вить два ор уди я на одно н а пр авл ен и е, - на два других и одно оставить незащищенным ; Вз (2+2 + О + О) - ставить п о дна ор удия на два на правл ен и я , а д в а оставить неза mищенны м и ; В4 (3+ 1 + О + О) - ста вить три о р уд и я на одно н а пр авлен и е , одно - на др у гое, и два оста вить н езащищеннЬ!ми ; по одному

475

О

85 (4 + + О + О) -ставит ь все четыре о рули я на одно ч а п р а в­ л�ние, а остальные тр и оставить н езащищенныи • . Стр �тегии В4, и В5 можно заранее отбр осить как заведомо н евы год­ ные. Деиствител ьно, если по одному направлению летят не более ч ем два самолета и каждый иЗ н и х 1I0ражается с вероят н остью еди н и ца одним орудием - ста вить на одно направлен ие более двух ор уди й из­ л ишне. Рассужда я , ка к в п редьщущем п р и мере, построим матрицу игры.

�� 1 1

А1

А2

!

1 1

81

8,

I

в.

1 I 1

О

1

j:\j

I

в,

1 I

1 /2 3 /4

!l

aj

1 1 1

5 /б 1 /2

I

3/4

1

в,

5/6

1 /2

.L 8,

1

�{�

� � 6 �

t

8J

f

Р!

Р,

Р!

Рис. 9 . 18

Z

Рис. 9.14

Эта игра 2 х 3 не имеет седловой точки (а; = 1/ 2 ' � 3/4) ' Ищем решение в смешанных стратеги я х. Выдел я ем а ктивные стратегии п ро­ тивника : это В1 И 8 з ( р ис. 9 . 1 4 ) . После этого и гра сводится к игре 2 х 2: =

�I А1

А2

I

в,

1 1

1

В,

Р2 = 0/ 8',

.,v

SA* = (3/ S' Б / в ) ;

=

5 / 8;

ql

1:)

..,

t:: tj

Дорога f!

- �

�

"-

Рис. 9. 15

и g двух дорог : 1 и 1 1 (рис. 9 . 1 5) . C�opOHa В также м ожет расположить л юб о й и з с вои х батальо Нов на любои из дорог. Если на дороte силы сто­ р оны В встр е чаются с превосходящи ми си л ами стороны А , пос:;r едние оттесняюТ оборо н у , проходят к объекту и за н и мают его ; если же на дор оге оборо на численно п ревышает нападение, атака отбивается , си­ е. Если на JIbl стороны А отходят и больше не в о з оБНОUЛ ЯЮТ нападени u числ енности , сторона А с ве­ ковои а н оди силы чаются е встр дороге , роятностью 0,4 побеждает и проходит к объекту , а с вероятностЬЮ 0 6 . й отбито ата ка оказы вается Требуется дать рекомендаци и сторонам по количеству батальонов , кото рое следует на п равить на кажду ю из дорог. Решение. Выигрыш А в да н ном случае - вероятносТь за нятия объекта . Рассмотр им следующие стратегии нападения (А ) : А 1 (2 + 1 ) - направить дв а батал ьона по одной из дорог (любои) и оди н - по дру гои; - направит ь все три батальона по одной из дорог (люА 2(3 + бой). Стр атегии обороны (В) будут: В1 (2 + 2) - направить по два батальона на каждую из дорог; Bt.. (3 + 1) - направить три батал ьона на одну из дорог ( любую) а один - на другую ; - нап равить все четыре батальон а на одну из дорог В з (4 + (любую , а другую дорогу OCTa B �TЬ незащищеннои . Состави м матрицу игры . Наидем выи грыш дл я всех комбинаци й стратегий. 47�

1 /2

=

S B* = ( 1 / 4'

1/ 4'

О,

u

О)

5 /б

,

Реша я эту игру, на ходим оптима л ьные стратег ии сторон : Рl = 3/ В "

4 �

u

I I

О

� � � ф

Q)

�ts

jJ

8z

V

476

О О). �p�

1 /2

82

[

Та ким образом, можН о сформулироват ь следующи е р�l<оменда ции сторонам А и В: сторона А дол жна с вероятностью Н/Н посыла ть самолеты порозн ь, а с вероятностью о/в - вместе; сторона В должна с вероятностью 1/4 примен ять расста н ов к у О Р УДИ Й ( 1 + 1 + ] + 1 ) , этом вы­ а с в ероятн остью 3/4 - расста новку (2 + 2 + + игрыш - вероятность поражения объекта - равен v = /8' что боль­ ше нижней цены и гры и мен ьше вер хней . П ример 3. Игра «распределение сил в наступлении и 060РОНе». Сторона А , располагающа я тр емя батальонами пехоты, стремится за хватить некоторыЙ объект 8 ; сторона В, располагающа я ч етыр ь мя батал ьонами пехоты. стремится воспрепятствовать этому . Каждый и � насту п ающи х батальонов может быть направлен к объекту по л юбо и

qз

3 /4).

=

3 / 4;

О)

u

1.

На одн о й дороге встречаются один бата льон нападения с дву мя батальонами обороны; атака на этой дороге отбивается . На дру­ гой дороге встречаютс.я два батальона нападен и я с двумя обороны; со· гласно условию нападен ие побеждает с вероятностью 0, 4: ан 0,4. 2 . A 2B1• При этом на одной из до рог с пол ной достоверн остью бу­ дет перевес сил нападени я , и а21 = 1 . 3 . А 1 В 2 • Т а к как выбор любой дороги дл я каждой стороны равно· вер оятен , то с вероятностыо 1 /2, на одной дороге встретятс я два ба· тальона А с тремя В, на другой - оди н батал ьон А с одним В ; на пер­ вой дор оге ата ка будет отбита , на др у гой - п р оизойдет зан ятие объек­ та с вероятностью 0.4 . С той же вероятностью 1 12 встретятся на одной дор оге оди н батал ьон А с тремя В, на др у гой - два батал ьона А с одн им В , и объект будет занят с полной достоверностью. Примен я я формулу полной вероятности , на ходим: А 1 В1 .

=

1 /2 · 0,4 + 1 /2 . 1 0,7. вероятностью 1 /2 на одн ой дороге встретятся три ба ­ а1 2

=

=

4 . А 2В 2 • С тальона А с тремя В, на др угой - столкновен и я не будет; в Этом слу­ чае вероятн ость занятия объ екта 0,4. С той же вероятностью 1 /2 три батальона А встретя тся тол ько с одн им батальоном В, пройдут и зай­ мут объект . По формуле полной вероятности : а2 2

=

1 /2 . 0,4 + l /2 . 1

=

0,7.

5 . А 1 В з . Так ка к силы А идут по двум дорогам, а силы В располо' жены только на одн ой из дорог, сторона А с достоверностью за ймет объект: а1 з 1. 6 . А 2В з . С вероятностью 1 /2 силы А пойдут по той дороге, где нет обор оны, и з а ймут объект; с вероятностью 1 /2 они будут отбиты пре­ восходящим и силами обор оны ; отсюда =

а2з

=

1 /2

•

1 + 1 /2

.

О

=

0, 5.

Матрица игры 2 Х 3 имеет вид:

�II 1 1

8,

( 2 + 2) 0,4

А I (2 + 1 )

1

А2 (3 + 0)

I I 1

в, ( 3 + 1 ) 0, 7 0,7

I I I

В,

( 4 + 0)

478

�

0 ,7 -0 4 '

' Р2

отк у да Р 2'

=

0 , 5 . Аналоги ч НО пол уч а ем 1 -0 , 7 " Р2

--- =

OTKYtfT:;

1 -0 , 7 ' I - Р2

= - ,

0 ,7 -0 , 5 1 - Р2

,,

'

0�6. 11 рона А оптим а льной смеш ан ной . страте ги и сто ' в к честве Р1 и Р , тности вероя ор в и 2 кот о мож ет пр имен ять л юбую S A * (Pl ' Р ) ' П лежат : перва я - между 0,4 и 0, 5; вто8, ра я соответствен но между 0,6 и 0,5. Разу меетс я , к райн ие значе ния Рl и Р 2 тоже дают оптимальн ые страт егии игро ка А : SA* = (0,5, 0, 5) , S 8 = (0 , 4, 0 , 6) . =

Таким обра"Ю М, оптим ал ьная стра- В, теги я игрока А найден а : она состоит в том, чтобы с вероят ностью , прини мающей л юбое з начени е между 0,4 � 0, 5 , направл ять два батал ьона �o однои из доf Х к' к" О рог (л юбой) , а оставш и иСя батал ьон Л 1 по друго й дороге ; во всех же остал ьных ьона батал 16 ри 9. Рис. случа я х посылать все ! по одной из дорог (любо и ) . о K вид: Что касается оптима л ьной стратег ии противни ка ( В) , т , � a чистои веннои единст одной нию имене р п к я с сводит она 6, но И :1 рис, 9 . 1 страт егии, а имен но В 2 :

SB* = (0 , 1 , О) ,

1

батал ьона на ОДНУ е оборо н яющи йся всегда должен выста влять три у . Цен а игр ы� дорог ю д� �г (любу ю) , а оди н баталь он - на другу ра вен вер х н еи будет этом при А ны стойч ивый выи грыш сторо т. цене игры 0 , 7 * ) т

0,5

�. �

Н ижняя цена игры а., 0 , 5 , вер хн я я цена игры � 0, 7; игра не Имеет седл овой точ ки . Ищем р ешение в смеша нных стратегия х . Гео­ метри ческая интер претаци я игры дана на р ис. 9 . 1 6. Нижн я я граница выигрыша достигает максимума в точках N' и N" на всем участке меж· ду ними ; этот максимум есть цена и гры v = 0,7 . В да нном слу чае ре­ ш � н и е и гры получилось неоднозначным: сто рона А может п римен ить любую из своих смешанных стратеги й , соответствующи х точкам оси =

ны А суще ствует песчет· аб('ци СС от К' до к". Та ким образом, у сторо , дeM абсuи ссы точек � Ha . егий страт х альны ное м н ожест во оптим , , х 1 ам, K�TOP в и н а ц гр соответствен но Р 2 и Р 2 - . и N " . Они будут равны стратегии А 2 в оптим ально и смеша нно и стр а ь тност вероя ена ключ а з тегии игрока А . Из чертеж а имеем :

=

с что а кти в н * ) Из р ис 9 1 6 мож ио сдел ать з а кл юче н ие. ие л и ни и ст р а­ 3 (так к а к соответст ву ющ 8 и 81 и еще ютс я я вл я iз м е 8 • кр о ка к 2. ОДll а ко нет р у д но у беднть ся , ч то та к N") и · N' точках в ются ка есе ер тег и й п й В :< в о п · с к а я д ол я ст р а т ег и 8 1 и к и с че и т а аб ф , с оси сц н ь ел а н н я 8 В п а р алл 2 о н ы дол ж н а быть р ав и а IIУЛ Ю. м ал ь н � й см е ш а н н о й стр атег и и обор 479 ЫмИ

�:

тр атег и я м и ст о р о ны

9.

Р Е Ш Е Н И Е И ГР m Х n

до сих пор мы рассматри вали только элемента р ные и гры 2 Х n и т Х 2, для . которых существует простая геометричес ка я интер пре­ тация, позволяюща я решать эти игры с помощью простейши х приемов . В случае игр 3 Х n (или т Х 3) подобна я геометрическа я интер ­ претация также может быть построена , но вместо плоской она стано­ вится простра нственной и гораздо мен ее наглядной. В слу чае же игры т Х n, где т > 3, n > 3, от геометр ической и нтер п р етации п р и хо­ дится от каза ться и в силу вступают чисто расчетные методы решения игр . В общем сл учае, при больши х т и n , решен ие игры т Х n пред­ ставляет собой довол ьно трудоем кую задачу, но п р и нципиал ьных трудностей оно не содер жит. Легко показать, что решени е л юбой ко­ нечной игры т Х n может быть сведено к уже известной нам з а Д а ч е л и н е й н о г о п р о r р а м м и р о в а н и я (гл. 2). Действител ьно, рассмотрим игру т Х n с т стр атегиями , А т игрока А и п етратеги я м и B1 , В 2, " ' , В n и грока В. A1, А 2, Задана матрица и гры ( а н) . Требуется на йти решени е и гры , т. е. две оптимальные смешанные стратегии игро ков А и В : • • •

SA*

=

(Рl1 Р2' . . . . Рт) ;

SB *

=

(ql ' q2 '

.

.

.

, qn),

. .

.

. . .

+ qn

=

1)

- вероятности при менения чистых стратегий (некоторые из н и х , соответствующие неа кти вным стратегиям, могут быть равными н улю) . На йдем сначала оптимальную стратегию S A*. Эт а стр атеги я долж­ на обеспечить Нам выигрыш, не меньший ", при любом поведении про­ тивн и ка, и выи грыш , р авный ", при его оптимальном поведении (т . е. при стратегии S в*). Цена игры v нам пока неизвестна . Не на рушая общности , можно предположить ее ра в ной некоторому положител ьному числу v > О. Действительно, для того чтобы выполня лось условие v > О, достаточ­ но, чтобы все элементы мат р ицы (а и) были неотрицательными. Этого всегда можно доби ться, прибавл я я ко всем элементам матр ицы (а н) одну и ту же достаточно большую полож ител ьную величин у М ; п р и этом цена и г р ы увеличится на М , а решение не изменится . Ита к, будем считать v > О. Пр едположим , что мы (А) пр именяем свою опти мал ьную страте­ гию S A * , а противник (В) свою чистую стр атеги ю Bj• Тогда наш сред­ ний выигрыш будет равен : aj = Pl alJ + p2 a2j + . . . + P m amj (j = I ,

. . .

Рl а1 n

+ Р2 а 2n +

.

.

.

. '

.

.

.

.

.

1

.

, + Рm а mn � " .

иН) ) на пол ожител ьн у ю вел и ч Раз дел им нер а вен ства (9. 1 дем обо з н ачения : Рn Р2 , . . . , хn Х2 v _

•

-

-

=

+ a,� �1 � �

v

и вве -

(9. 2)

v

в вид е: Тогда усл ови я (9 . 1 ) зап ишу тся + ат1 X m � 1 " а] ] Х , а 2 1 Х2 + a 2 X � 1, 2 2 . Х .2. � . �

+.

�

. . .

(9.3)

+ amn X m � 1 ,

аlп Хl + а2n Х2 +

ые . В сил у (9 . 2) и нео три uатель н ые пер еме н н где Х1 , Х2 ' ' ' " Х m 1 п ер еменн ые Х 1 , X l, Хm у до в ле т' того , что Рl + Р2 + . . , + Рт во я ют услови ю 1 р ( 9 . 4) .. + m = . _

=

, о .

Х

,

K(� :)­

-

v

м а гара нти рова н н ы й выи г р ыш Мы хоти м сдел ать свой . ь част ая прав этом и р п о, идн в о з м о ж н ы М'' очев м а л ь н о а зад ом . образ ким Т , ча И а е ь о е з н а ч ен п р и ним ает м и н и м а л н че. зада и еско ич емат мат ующей ешен и я иг ы свел ась к след , Хm ых Хl ' Х 2 ' р ательные знач ения nеременн

�

u

оnр едел mь неот риц (9 и л иней ным огран ичен иям так , чтобы он и удовлетворял иХ лин ейн ая фун кция

L

= Х1

+ Х2 +

. . .

.

.'3)

. . . + Хm

u пр и этом

(9.5)

обращалась в мин имум .

п р о г р а мДа ч а л и н е й н о г о Пер ед н ами - тип ичн ая 3 а И р ми рова ния , мы реша я зада чу лин е�ног о про грам т� :и� м стр атег и ю S A и гр� к� можем на й ТИ опти ма л ьну ю В. В се будет ьну ю стра те гию В• мал опти рь Найдем тепе раз ниuей , что игр ок ию игры для игро ка А с тои а а ат и ; н ��� ��� ��: в : ; �з� :Т�:;:тJ::::: �:��� ::����:: ТЬС5J усл ови я : (9 3) дол жны будут соблюда , У, а12 y� + . . , + а1п У п � 1

�;P :�OM,

�H ::�'

�� POKa

li��rt:��;o y����

�

+

.

ан

а21 Yl + а22 У2

, n) .

Наша оптимальна я стратегия SA * облада ет тем сво йством. что при любом поведени и проти вника обеспечивает нам выигрыш, не мен ь480

+

. . .

.

где

Рl' Р2 , . ,Рт; ql' qz, . · ,qn ( Рl + Р2 + ' " + Рm = 1 ; ql + q2 +

может б ыть мен ь ­ ч�т , люб ое из чис ел Gj не ший , чем цен а игр ы " ; зна и: ш е v . Пол у чаем ряд усл ови Рm а m\ � " , Рl ан + Р2 а 2 1 + � V' m (9. 1 ) Pl a12 + P2 a1.2 + ' " + P am2 . .

.

.

.

.

.

.

+ .

an 1 Уl + ап2 У2 + 16

3аl< . 5 7 З

. + а2п Уп � 1 , . . . . . .

.

.

. "

.

.

+ апп Уn � 1 ,

1

(9.6) 48 1

где t}\ I t}2'

...,

ЧN - неотриuа тельн ые Yl

= ql/V,

У2

Прим ер J. Н а йти методом л и не й ногО IIТр И пал ьца» из п р и м е р а 2 § 4 Решен и е. М а т р и u а и г р ы и м еет в и д :

перемен ные, равн ые

= Q2/V•

....

У n = Qn / v .

\� \I

Т р ебу етс я та к выб р ать п еременн ы е У l ' У2' . . . . У n . чтобы о н и удов­ летвор ял и условиям (9.6) и обращали в ма к симум л и нейную фун к цию L = Yl + Y 2 +

мы

...

( 9 . 7)

+ Уn = ­ v

Вместо то го чтобы ма ксимизироват ь функци ю (9. 7) , можно, ка к знаем. мин имизировать фун кцию L'

=

- L = - УI - У2 -

1

- Уn = - - . v

( 9 . 8)

Т а ким образом . мы свели задачу решения любой кон ечной игры m х n к паре зада ч линейного п рограммирован и я ; методы р ешения та­ ких задач нам уже хорошо известны (см . гл . 2) . Попутно заметим. что из сведени я задачи решен ия и гры к зада че л инейного программирован ия вытекают соображен ия по поводу су­ ществова н ия решения и гры m х n . Действител ьно. пусть задача о на хождении о птимал ьной стра те· гии S А * (Pl . Р 2' . . . . Р т ) игрока А сведена к задаче линейного про­ грамми рования с условиями-неравенствам и (9. 3) и ми нимизируемо й фу н кuией (9 . 5) . Всегда л и существует е е решение? Мы зна ем (см . rл . 2) , что решен ие зада чи лин ейноrо п рогр аммирования может и не сущест­ вовать; оно отсутствует, если : 1 ) услови я (равенства ил и неравенс тва) вообще не имеют допу­ стимых неотри цательных решений; 2) допусти мые решения существуют, но ср еди них нет о птимал ь­ ного, та к как миним и зируема я функция не огран ичена снизу . Посмотрим. ка к обстоит дело в на шем СJl учае. Н етр удно убедит ь­ ся, что допу стимое решение ЗЛП в нашем сл учае всегда существует. Действител ьно, сделаем элементы матрицы (аu) строго положител ь­ ными (для этого достаточно пр ибавить к каждому из н и х достаточно бол ьшое число М) и о бозначим наименьший элемент матр ицы (ац) че­ рез �; J..L m i n m i п ао· =

А? Аз

I

в,

I1 1 1

Aj

1

3

4 -5

Пр и бавл н я ко всем эл еме нт а м м атр и uы одн о и то и х и е ОТ Р И ll ател ь н ы м и :

�I '1

I1

Aj

li

А2

1,

,

А"

I

н,

l',1

I I \

; <)

У

I

в,

I 1

'2 CJ

I

о

=

=

=

482

(9 . 9)

-5 б

же ч и сл о

М

=

5, сделаем

в

9

(9 .

о

1 0)

11

(9 . 1 1 )

2Х l + 9Х2 ;;' 1 ,

9Х1 + 1 1 хз ;;.

1.

М Н Jj и м и з и р у е м а я л и ней н а я фу н к ц и я

(9 . 12 )

[ = Хl + Х2 + ХЗ ' Перейдем о т у с л ов и й , н е р а венств ( 9 . 1 1 ) к услов и я м- р аве н ств ам: Y l = - I - ( - 7х l - 2хZ - 9хз) .

У2 = - 1 - ( -2x1 - 9xz) , УЗ = - 1 - ( - 9х j - l lx 3) .

З а пол н и м с и м пл е кс, т а бл и uу

(табл . 9. 1 ) . Т а к к а к св о б о д ные чл е н ы отр н -

Таl5Л1.ll{ а Свобод н ы й

=

•

4

)

7Xl + 2x2 + 9хз ;;. 1 ,

i

Х ,n Положим те п ер ь Хl 1 /J..L , Х2 Хз = . . . О. Н етрудно видеть, что эта система з н а ч ен и и п ер еменных X1 , Х 2 , Х m предс тав ­ л яет собой допустимое решени е ЗЛП - все они н еотрица тельны, и их совоку пность удовлетвор я ет условиям (9 .3) . Т епер ь убедимся , что Jl и неиная фун кци я (9. 5) не может быть н е ограничена снизу. Действител ьно , все Х1 • Х 2 ' . . . , Х т н еотрицательны, а коэффици енты при них в выражении (9 . 5) положител ьны, знач ит. фу н кция 'J В формуле (9. 5) тоже неотрицательна, значит, она ограни­ чена снизу (нулем) и р ешение задачи линейного прогр амми ровани я ( а следовател ьно, и игры т Х n) существу ет.

иг р ы

ачим П р и этом це н а и г р ы у в ел и ч ится на 5, а р е ш е н и е не и зменитс я . Обоз н у ю стр а т е г и ю н о в у ю це н у и г р ы v = v + 5 . Н а й дем опти м а л ь н у ю сме ш а н н S :4 = (Pl' Р2' Рз) и г р о к а А . У сл о в и я (9. 3) п р и мут вид:

=

i

решение

t<

1 I1 1

-3

I

4

\1

в.

I I

2 -

прогр а м м и р ова н и я

член

i 1:1

Х2

9. !

ХЗ

. . .

УI У2 Уз 1 6*

I

-1

-7

-2

-9

-1

-2

-9

О

-1

-9

О

-11

--

483

ТаБЛица С вободн ы й член -1

У]

-1

У2

-1

Уз

-7

9

11

-2

о

I

Х2

-2

81

'11

-9

о

�

11

11

о О

-9

(lf а бл

Хз

ХЗ

=

9 . 2, 9 .3, 9 . 4 )

Т абл

О,

=

Y l = f/99 ,

-� 11

У.

-1

У2

I

1 1J

Ха

4

:2

�

9" 1. 9

n

� 9 1i

о

4

9"

-

8- 1

20/ =

11

-2 11

2

г-r @ _1. �

2

9"

9

.о

О Го

-

1 11

о

4 84

4

YI

99

.['2

9

ХЗ,

11

1

1

X

1

80

99 2

9

9 11

У2

-� 9

ш ет

1 11

Х2

9

4 1

1

11

I

1 20

_ ..l..

4

99

У2

FI 20

_l. 9

® LJ 99 2

1

9

9

40

l1 Rr

9 - 2 20

1 90

9 - 40 -

99 80

9 АЬ

90

О

80

11

11 180

1

Уз

-"

_ JL! 11

О

9 220 81 - 80

.§!

40

1

.§!

72 9 880

11

40

х

т

У1

член

9

О

99

С в ободн ы й

11

о

9

Уl

-1 5'99

=

ТаОЛllцt1 .9. 5

Т (fЛllцt1 .9. 5 о

Уз

_1.

20 99

+ ( 1 / Н - 9/11 Х l + 1 fll УЗ)

99 - (4/99Х - Ч9 У2 - 1/ 1 1 Уз) 1

Х]

а

з а п и шем с в ободный член и коэффицие нты п р и Хl ' У2 , У з в в е р н ей стр о к е та бл . 9 . 5. Из того, ч о коэффици ент п р и Хl пол ожителе н , в ид н о , что у вел и ч е н ие L, т. е. м и н и м у м еще не достиг нут. П р о из водим з а м е н у Х) .... УI Хl у м е н ь а (т а бл . 9 . 5, 9 . 6) . и

ТаОЛllца 9. '" С в о бо д н ы й ч лен

L

ХЗ

!

О о

ма

L = Х l + Х2 + Х з = X l + ( 1 / 9 _ 2 / 9 X + 1/9 Y2) t

Го

Уз

Х'}

ХЗ = t /l 1 .

X2 = 1/ 9 '

перемен н ы е Хl ' У2 ' У з :

У2 - " Тоолt/ца 9. 3 Х1

р е ше н и е О З Л П :

Н адо п р оверить, я в л яется Л И о н о оп т и л ь ны м , т . е . о б р а щ ет л и в м и н и­ мум в ы р а ж е н и е (9. 1 2) Пользуясь табл. 9 . 4 , в ы р а з и м L чер ез н о в ые свободные

С в ободны й член

С во бодн ы й член

не пол у ч им опор ного решения. гл. 2, § 7) , н а х оди м опор ное р е ш ен и е

мы

9 . 4 дает о п о р ное

Х l = У2 = УЗ = О ;

г-r

О

=

П р и м е н я я а п п а р ат сим плекс-мето да (см

Ха

о

Ц �

1.

цател ь н ы , то, пол а г а я Хl

Уз--

Х]

,

9. 2

168

3ак.

L

I 5

Т1

20

Iz

10

хз

20

!j 7 3

I

1

I

1

10

80

40

80

20

40

40

80

11 40

1 .

1

Уз

20

99

1

У2

81 - 80

1 1

1

9

20 81

9

59

-- "'f/---- - -

--

Из табл. 9 . 6 в идно, н ие L m1n = 1 1 5 при

'11 '

=

1 I Lrnln = 5 , т.

п р и нимает

м и н имальное

значе­

У1 = УZ = УВ = 0,

Х1 = 1 /20 ,

Отсюда

Ь

что функция

е.

Х2 =

Сторона А стр ем ится реш ить боев у ю задачу. сторона В - I\оспреп ятств о, вать это му Н а ЙТll опти м ал ь ные стр атег н и стор он. Решен ие. И збавл я ясь от дробей, пер е п и шем матр и цу в в И де:

Xa = 1 /20 '

1/1 0 '

цена игры с м атр и цей (9. 10)

'11 '

�II

=5.

А2

v = v' -5 = 0 .

А"

Это з начение в ыигрыша достигается при

X1

=

1 /20 '

Х 2 = 1(10'

Ха = 1/20'

2

1

1

7

Такнм обр азом, на й"е ио решение IIfpbl

SA · = (ч. ,

- о птимал ьная

4ч + 6Х2 + 3Хз > 1 , отку.а.а (переходя к услов и я м - р а венств ам)

и цен а игр ы v = О. Опти ма л ь н а я стратег и я н грока В может быть н а й дена точ но таким же спо­ собом , есл и сост а в и т ь усл о в и я , а н алог ичны е (9 .7) , но не по стол бцам, а по стро, к а м , з аМf"lJ ИВ в них зна к и :;;" на ..;; , а вел и чи н у L обра щать не в м и н и м ум, а в м акси му м Однако в да н ном случае в этом надобности нет: из сим метр ии строк и стол бцов матр и цы ясно, что опти мальна я стр атег и я игр ока В дол ж н а быть та­ кой же, к а к н опти м а л ь н а я стр атег и я нгрока А ;

4 6 3

За пишем у сл о в и я (9. 3) :

2x 1 + 5ха + 7х з :> 1 ,

стратегия игрока А 1

1 /2 ' 1/4)

10 ... .

са

8Xl + 4х2 + Хн > 1 ,

Рз = Ха v ' = l J • .

P2 = Xa v' = 1fz;

'"

в.

I I I

5

и обоз н ачи м цену новой игры с такой матр и цей

т. е. дл я вероят носте й стр атег нй

Р1 = Х \ "' = ч4;

4

I

в.

1 I

8

11 1 1

А)

Сл едов ател ьно. це на исходиой и гры с матр и цей (9.9):

I

в,

У1 = - 1 - ( - 8 Х 1

yz=

Уз =

-

4 x� - ХЗ)

'1

- 1 - ( - 2Xl - 5Хz- 7х з) , - 1 - ( -4Хl - 6Х2 - 3Ха) .

(9 . 13)

Требуется на йти неотр ицатель ные з н а ч е н и я Х1, Х2' Х а , У1. Y� , У З , у донлет­ вор я ющие услов и я м (9. 1 3) и обр а щ а ю щие в м и н и м ум л и не й н ую ф у н кцию)

L = 1 /'11 = Х 1 + X Z +X • •

п р и в едем ср аз у

Решаем зада ч у с и м плекс-м етодом ( оп уская по.а.робности , опти м альное р е ш е н и е, та6л 9. 7).

Та 6л ц ц а 9 7

Т а к им обр азо,; , в иг ре «тр и пал ьца» опт и м ал ь н а я ст рате г и я каждого из и гроков состоит в том, чтобы с вер оятностью 1/4 пок а з ы в ать оди и па лец, с ве­ р о ятностью 1/2 - два пал ьца и с вероятностью 1 / 4 - тр и п ал ьца П р и этом с редни й в ы и г р ы ш к аждого и г р о к а будет р авен ну лю ( ..., = О)

С вободный L

п р и м ер н е по л ност ыо ус р ед н енно й и г ры.

П рнмер 2 . Иера «вооружеNuе - nомехи». Сторо на А p a cnoJ, araCT тр емя вида м и вооружен и я А 1 • Az• А 3 , а сто рона В тремя видами помех 81 ' 82. 8 3 В еро ятность решення боевой зада ч н стор о н о й А пр и р азл и ч н ых в и дах воор у же н и я и помех зада на матр и цей:

�I А!

Az

Аз

4 8&

1 1 1

в.

0,8

0,4

0.1

I

I I 1

в.

0,2 0, 5 0,7

I

I I I

Х1

Уз

В.

0,4

0.6 0,3

Х2

I

7 32 1 32 1

4

3

-

16

I

5 32 1

32

I

I

-

17 4

1

7 2 -

16

-8 1

23 32

4

- -

1

1

3

32 -

У2

ХЗ

У/

член

В этом п р и м ере все т р и стр а те ги и ка ждо го и г ро ка был и а ктив ны­ м и . Т а к а я и гр а , в котор ой все стр атегии а кти в н ы , н а зы вае тся п о л ­ н о с т ь ю у с р е Д н е н н о й . в следу ю щ ем п р и ме р е мы р а сс м отри м

16

8 -1

1

ИЭ табл 9 7 в и дно, что м и н и м у м L дости г нут и р ав е н L rn 1 n q ение дост и г ает с я пр и Уl = ХЗ = У2 = 0; 1 6 В*

Х l = ) /ЗZ ,

y. = 1/4 '

Xz = 3/10 ·

1

4 =

7/32.

Это э на­

487

на х од и м ве Р О ЯТ НОСf и Рl , p�, Рэ, с коtор ыми игрок А дол жен nр и ме Н 5t1!. свои стра те г и и А 1 , А 2 , А 3:

ОтСю да

и цену и г р ы :

Рl = Хl v ' ,

' Р2 = Х2 v ,

РЗ = Х З v '

V' = 32/, ;

Ра = О . З2/, = О .

Таким обр а зом. оп тималь на я стратег и я и г р ока А найдена:

SA * = (lf, . "/, . О) ,

т. е. , м ы ДОЛ ЖНЫ пол ьзовать с я с вероятностью 1 / 7 пер в ы м в и дом воор у ж е н и я с вер оятностью 6/7 - вт ор ым, а т р е т и й вид вооружен и я не п р и ме нять вовсе П р и этом вероятность В Ы П ОЛ l l е н и я боевой задач и будет м а кс и м а л ь н а : ' v = v /10 = 32 / '0

Z

:

0 , 457 .

Те пер ь найдем оптимал ь н у ю стр атегию S в * пр оти в ни к а . В общем сл учае для

это го надо поступать так, как сказано в ыше: решать зада qу дл я ПР ОТИВ Н И ка т а И! как м ы е е р е ш а л и дл я себ я , с заменой столбцов матрицы на стр о к и , з н а ков ;;. " И м и нимум а на м а ксим у м Однако в да нном сл учае в этом надобн ости не т; н а м пом огает т О обстоятел ьств о, QTO н а м у ж е известны а ктив ные стратег и и и г р о к а А и и х тол ько две: А1 и А 2 . И г р а , т а к н м обр азом, обратил ась в и гр у 2 Х 3, кот рую мож но реш ить элемента р но. О п у с к а я подр обн ости, п р и в едем тол ько реше­ ние:

H� О:

т. е. опти м аJl ь и а я стр атег и я п р оти в н и ка состоит в том, чтобы с вероятностью 3/7 пользоваться пом е х а м и 81 , с вероятностью 4 / 7 - Помех а м и 8 2 ' а третий в и д по. мех (В З ) не п р и мен ять вовсе

в з а кл юч ен ие заметим, qTO продемонстр ирован н ый в да н ном п а р а ­ г р а фе общи й метод решен ия игр т Х n - сведение к зада qе лин ейно­ го п р о г р ам �и р ов а н и я - не всегда о к аз ыв а етс я с а м ы м п р ос ты м . Ч а с то и г р у - осооенно с н еб о л ь ш и ми т и n - уда ется р еш ить п р о ще , если з а ра нее у гадать, ка к и е ст р ате г и и я вл я ютс я а к ти в н ы ми . Н а п р име р , есл и матрица игры - квадратная (т = n) , то можно п о п робо ва т ь ­ не я вл я е тс я ли игра полн остью уср еднен ной? В этом сл учае все стра­ теги и обеп х сто рон я вл я ютс я а ктив ными, а неравенства (9.3) Обра ­ ща ются в р авенст в а . Есл и , р е ш ив эту систему уравнений, мы п ол учи м положител ьные з наче н ия Х1 , Х 2 , ' ' ' , Х m , то, складывая их , найдем ве­ л ич и н у

l /v:

откуда цена иг ры:

Xf + X 2 +

488

Ор и ен т и р ов оч н о цену и г р ы v можн о определ ить непосредственно и з матр и цы , зна я н и ж ню ю цену и г ры а п в е р хн юю �. Если а и � бли з­ ки , то практически нет н а,'(об н ости зан и �аться поиска м и точного р еше­ н и я, а доста точ н о будет в ка ч еств е оптимал ьныХ взять qистые м и н и ­ м а ксные стратеги и . В те х же С.'1 }·ча я х , когда а и � не близки, п р и бл и ­ жен ное решение и г р ы можно пол уЧIlТЬ, ПО.'I ьз у я с ь М е т о Д о м и т е­ р а Ц и Й. Идея этого метода с в одитс я к сл ед у ющем у . Р азы г р ыва етс я «мыс­ лен н ы й э к с п ер и м ен т» , в котор ом стороны А и В п р и � ен я ют дру г п р о­ тив д ру га свои стратеги и . Экспер и мент с остоит нз последовательнос­ ти отдельных « п а рт и й » дан ной и гры . На чинается он с того, qтo оди н и з и г р о ков ( с ка же м А и л и «мы» ) вы б и р а ет ПРОИЗВО.1 ЬНО одн у из своих стратегий, н а п р и мер А l' П р от ивн и к (В) на это отв еча ет той и з с во и х ст р а те ги й В j, кото р а я наИ.\lIен ее в ы год н а д.1 Я н а с , т. е. об р аща ет выи· гры ш п р и ст р а теги и А, в м и н и м у м . На этот ход мы отв е ч ае м той сво ей стра тегией А/р кото р а я да ет ма КСимальный выи грыш при стра теги и против н и ка В j. Далее - снова очередь п ротив ника . Он отвечает на нашу па ру ходов А1 и А п тш'i своей ст р а те г и ей В! , котора я да ет н а и ­ м е н ьш и й средн и й выигрыш на од н у па ртню п р и этих дву х с тр а т еги я х , и т. д. На к а жд ом ша ге итера ционного процесса каждый и гр о к о твеча ет на оч е р ед н о й ход дltyroro той своей ст р а теги ей , кото р а я я вляется оп· muмалыюй оmносиmeдьн,О всех предыдущих ход08 противника, р а с· сматр иваемых ка к некая «смешанная стратеги я», в которую qистые стратегии в ходят в пропор�и я х, определя емых частотой их п р и м ен е · ния. . Такой метод ПОСТРQен ия оптимальных стратеги й п р едста вл я ет с о ­ бой н екоторую модел ь п р а ктического «взаимноГо обуqения» и гр о ков , когда каждый и з н и х на опыте «п р ощупыв а ет» с по соб поведен и я п р ()' т ивни к а и ста рается отвечать н а н е го наплучr:шм для себ я об р а з ом . Можно доказать, что процесс и тер а ц и ir сходи тс я ; есл и т а к ую че­ р едующуюся посл ед ова тел ьн ост ь п а р ти й п р одо.1 ж а т ь доста точ н о дол ­ ГО, то с р ед н и й выигрыш, п р н ход я щ и й с я на одну па р тию , буд ет ст ре * * * * * * митьс я к це н е и гры v , а частоты Р1 , Р 2 , . . . , Р m ; Q 1 ' Q 2 ' . . . , Q n . В В A это �; 2 , . . . , ВN в с кото р ым и пр именял ись стратеги и I , А 2, . . . , А m; 1 , « р о з ы г р ыш е» , буд у т п р и б л и ж а тьс я к вер о ят н остя м Рl' Р2' . . . , Р т; ql, (Рl' Р2' . . . , Р m) ; qa, . . . , qn В о птим а л ьн ы х смешанных стратег ия х : S A * S B* (Ql' q2' . . . , Qn) . Расч еты по казыва ют, что сходимость метода - очень м едл е н н а я , одн а ко для быстродействующ и х ЭЦВМ это не я в л я етс я сер ь е зн ым п р епятствием. П реимущество метода ит е р а ци й состо и т в том, что его слож ность с р а в н и тел ьн о м а л о в о з р а ста ет с у вели ч ен ием р а зм е р а та б· л и цы т Х n, т о гд а ка к сложность р ешени я з ад а ч и л и н е й н о го п рог р а м ­ м и р ов а н и я р е з к о растет при у в ел и ч ен и и т и n. =

v = -----__ а в е ро я тн ости Рl , Pz, К3!{

М ЕТ ОДОМ И Т Е Р А Ц И Й

ж

Рi = lJз2 . 3 2/, = 1f,;

Р 2 = 3/i6 · 82/, = 6/, ;

Р Е Ш Е Н И Е КО Н ЕЧ Н Ы Х И Г Р

в пр а кти ч ес ки х з ада ч а х часто нет н еобходимости на ходить точ­ ное р ешен и е и г р ы ; достаточно быв а ет н а й т и п р ибл и ен н о е р еше ние , обес п еч и в а ющее с р едн и й в ыиг р ы ш , бли з к и й к цен е игр ы .

v ' = I / L m in .

в да н н ом слу чае

1 0.

...

. ..

=

+ Хm '

, Р m В опти ма л ь н ой стр атеги и S /! *

н а йдутся

489

П родемонстр ируем nрименение итерационного метода на пример е и гр ы «три пал ьца », р ешенной нами ТОЧНО в п редыдущем п а р агр а фе . Тот фа кт, что мы знаем р ешен и е и г ры и ее цен у ( " 5) , поможет н а м оцен ить то ч ность метода итераци й.

Таб лцц')

=

П ример. Решить методом итераци й и гр у с матрицей

�II А,

А2 A�

1

l'

I1

1

8,

7

2 9

1

в,

2

,

I I

9

о

1

I \ I

в. 9 О II

Решение. В табл . 1 0. 1 п р и ведены перв ые 30 шагов п роцесса ите­ ра ци Й . В первом столбце да н номер па рти и (па ры выборов) k , во втором­ номер i выб ра нной в данной па ртии стратегии и грока А. В последую­ �

щих т р ех столбца х - «на копленный выи грыш» за первые k па рти й п р и тех стр атеги я х , которые при менял и оба игрока в предыдущи х па р ти я х , п р и стра т еги и A i иг р о ка А в данной па рти и и п ри страте­ ги я х В 1, В 2, В з игрока В в данной парти и . Из этих на копленных выи­ грышей подчер кнут мини мальный (если та ких м и н и мал ьны х вьш гры­ шей нес кол ько, то подчеркиваются они все) . Подчеркнутое число опре­ дел яет собой на ивыгоднейшую стр атегию и гр ока В в да нной па ртии она соответству ет номеру той стратегии В J, для которой дости гается миниму м на коплен ного выи грыша (есл и таки х минимумов нескол ь к о, берется любой из них, напр имер , случайным розыгрыщем) . Та к и м об­ раЗQМ проставл я ется в следу ющем столбце номер опТимальной ответ­ ной стратегии противни к а j. В ПОС:Iедующи х трех столбцах при водится н а копленн ы й вы игрыш з а k партий соответствен но п р и стратег и я х А 1, А 2, Аз игр о ка А. Из эти х значени Й н адчер кнуто ма ксимал ьное; оно определяет собой выбор стратегии и грока А в следующей п а рти и ( сл е­ дующей стро ке таблицы) . В дальней ш и х столбцах табл . 10. 1 поме­ щаются та кие данные:

- мини мальн ый н акоп лен ный выигрыш, деле нный на число п а ртий k; V - маКСJ l мальный н а копленный вы и г рыш, деленн ый . на число v

-

па рти й k ;

v*

=

"+ v -- -- их среднее ари ф мети ческое (помещено в таблице между 2 v и ") '

В еличи на " * мож ет сл ужить (л уч ш е чем � и v) прибл иженным значением цены игры. Подсчитыв а я число сл учаев применен и я и гроком каждой страте­ гии и деля его на число парти й k, получим прибл иженные значения

490

1 I I 1 1 ) I I

,

1

2

3

4

5

3 '2

2

'2 1

Q

�

�

'2

i

9

10 11

['L

[3

14

15 [6

17

1 1'

19

20 �! 1

22 2:\

24

2,')

1

[)

В,

9

11

13

1 .5 'L2 31

3Н

40

27

29

29

-

31

-

40

42

49

{

-

2

-

1

2 1

51

58

5]

60

-

62

40 40 -

40

49

60

69

2

2

;) 1

33

35 37 -

46

fi:3

60

2

57

-

3

-

55

66

-

80

2

77

J

-

82

2

-

98

80

-

-

91

-

89

102

1 09

-

1 18

1 20

-

1 2 :<

1 29

3

2

-

133 110

142

1 49

-

80

89

1 00

91

-

-

-

1 00

-

1 00

69

-

1 09

111

llJ

-

1 20

1 00

1 00

-

1 0С) -

1 20

1 40

[49

1 29

1

140

2

1 40

2

-

1 40

1 49

-

\8

18 18

1 ::\

73 75

86

9З

-

95

97

106

1 15

1 17 1 26 -

1 33

3

1

О

о 11

22

33

1

:!.

О

4,5

4,5

3

I

v'

,

67

6 , 75 t

, 84

I

-

v

9

9

6

2 , 75

4 , 13

5 , 50

4 , 00

5 , 30

6 60

4 , 81

5 , 17

5 , 50

45

33

4 , 43

4 , 79

5 , 14

33

5 , 00

5 , 30

5 , 61

4 ,45

4 , 78

5 , 11

4 , 90

5 , 10

5 , 30

4 , 87

Б , 09

5 ,41

36 45 47

56

65 65 57

76

85 85

87

% 1 05 1 05

-

-

11 ,

33

-

113

I

27

1 07

1 16

-

1 25

44 53

4 , 64

53

5 , 00

5 , 20

64

4,61

· Ц J4

73

4 , 93

5 , 07

5 ,21

73

4 , 74

5 , 06

73

4 90

5 , 00

5 , 16

-

84

тз 93

93

1 04

m

4 , 71

5 , 07

4 , 95

4 , 79

5,17

4 , 93

5 , 06

4 , 90

5 , 04

5 , 00

4 , 76

'1 , 97

4 , 83

1 1З

1 33

1 35

136

1 33

1 37

1 '15

1 33

1·16

1 45

1 44

1 53

1 47

1 53

5 ,3 1

5 , 06

5 , 00

127

,

5 , 07

4 , 89

1 13

1 :24

-

,

53

1 25

-

-

-

151

2

3

131

-

1

120 -

131

2

3

2

-

-

1

2

1 20

-

1 29

1

9

-

-

2

60

А,

-

60

-

-

2

22

80

89

1

'3 1

31

2

-

2

-

3

З

80

)

2

20

13

71

1

2

1I -

4

3

-

'2

�

-

2

2

78

-

1

11

2

11 ,

71

69

3

2

11

J

-

-

2

11

-

49

27

-

18

2

-

ю

-

-

1

z9

'9

-

26

28

(J

-

В

/0. 1 -

4 , 80 4 , 96 4 , 86 5 , 00

4 , 84

4

,

97

5, 15

5 , 05

4 , 94

5 , 10

4 , 92 5 , 04 4 95 ,

5 , 10

5,31

5 , 14 5 , 04 5 , 20 5 , 04 5, 1 1

5 , 04 5 , 09

4,9!

5 , 04

5 , 04

5 , 10

4� 1

ве роятностей, с смеси

которыми

п р и меняются

стратегии

в

о птима ль ной

Ка к же н а йти пра ктически о птимал ьные стратегии после того, ка к процесс итер аций прек ращен? Вернемся к табл . 1 0. 1 и ра ссмотрим в н ей столбец v. Н а йдем в этом столбце м аксимал ьный элемент. В нашем слу­

ча е это оказался Vmax 5 (случа йно равный цене и гры, но, п р исту пая к и те р а циям, мы ведь ее не знаем ! ) . Из этого мы з а ключае м , что, п р и ­ ме н я я смешанную стратеги ю, соот ветств ующую этой строке , мы обес­ печива ем себе выигрыш, не мен ьши й 5. Подсчитаем частоты стр атеги й дл я 2 0 - й стр оки . Стр атеги я А 1 применял ась нами 5 раз из 2 0 , стратеги я А д - тоже 5 раз , стратеги я А 2 - 1 0 раз, откуда бер ем вер оятности с тр атеги й : =

Как видно из табл . 1 0 . 1 , величина v* нез начительно колеблется о к оло цены игры v = 5 (цена исходной и гры была О, мы п р ибавил и ко всем элементам матрицы по 5) . Подсчитывая по табл . 1 0. 1 частоты п р именен и я стр атеги й А}, А 2' А 3 В первых 30 парти я х , получим:

р}* = 8/ зо :::;;;; 0 , 267 ;

Р2* = lБ / зо = 0, 5;

Рв* = 7/ з о :::;;;; 0 , 233.

Они оказал ись довол ьно бл и з к и ми к известным нам и з решен иR. и гр ы вероятностя м: Р2 =

Рl � Ч4 = 0 , 25;

Ч2

= О,5;

рз = 1f 4 = О,25* ) .

Аналогично дл я и грока 8 на ходим частоты стратеги й 8} , 8 2 ' 8 з в первых 30 парти я х :

Q 2 * = IБ / зо = 0 , 5 ;

Ql* = 6 / 30 = 0 , 2 ;

Q з * = 9 / зо = 0 , 3.

Это уже сильнее отл ичается от решен и я и гр ы , согласно которо му : ql = 0 , 25;

q2 = 0,5;

q з = 0 , 25.

НО дЛЯ нас ведь важны н е точные значен и я вероятностей

Ql , q2, , qз,

а выи грыш, который н ам обеспечива ется пр именением смешанных стра­ теги й . Если п роти вн и к будет ПОJI ьзоваться смеша нной стратеги ей

SB*

=

н а х одить пр и бл иженное значение цены игры: есл и в ка ки х -то посл едо­ вател ьных столбцах пр и всех стр атегия х п р отивной стор оны обеспе­ чивается пр иблизител ьно оди н и тот же выи грыш, это означает, что он может быть принят за пр ибл иженное значение цены и гры. З н а н и е пр иближенного значен и я цены и гры важно для того, чтобы в о время остановить п р оцесс ите р а ци й .

4!)�

=

Р2

=

=

0, 25,

Р2

=

0 , 5,

Рз

=

0 , 25 ,

что, как и сл едовало ожидать, совпадает (в да н ном случае точно, а не пр и бл иженно) r оптимальной стр атегией и г р ока А в решен ии игры. Сдел аем то же дл я игро ка 8 . Рассмотр им столбец

vи

на йдем в нем ми ­

н и ма л ь ное число Vm 1n' Эт о будет 5 , 04 , достиг а ем ое , н а п р и ме р , в 29- й ст р о к е . Это значит, что есл и и грок 8 будет п р именять смешанную стр ате гию, соответствующу ю всему «прошлому» дл я этой строк и : q] = 5/29 1 5129 0, 5 1 7 ; Q з 9/29 0, 3 1 1 , то он мо­ 0 , 1 72 ; q 2 жет га ра нти ровать, что п р о и грает не бол ьше чем 5 , 04 . Это-лучше, =

=

=

=

=

чем значение 5 , 1 0 , дости гаемое v в само й последней стро ке. Та ким обра зом, д а же п р и небол ьшом числе итераци й (k цена и гры и р ешение на ходятся с удовл етвор ител ьной точностью.

=

30)

(0, 2 ; 0,5; 0 , 3) ,

то наш выи грыш (его прои грыш) будет не больше 5, 1 0 (последн я я стр о­ ка в табл . 1 0 . 1 ) , что л и шь н емного отл ичается от цены и гр ы 5 , 0 . За­ мети м , что, ставя пр а ктическую и грову ю задачу, мы обычно дел аем упрощени я и до пущен и я , которые делают изли шней погоню за большой точностью решен и я , та к что ориентировочное р ешен и е и гры, пол учае­ мое методом итераци й (даже п р и небол ьшоы числе «парти й») , часто мо­ жет ока заться достаточным . Сдел аем по поводу табл . 1 0. 1 еще одно замечание. В ней встреча ют­ ся стр о к и ( н а п р и м ер , восьм а я , двенадцата я , двадцатая и т. д . ) , где все три значен и я выи гр ышей подчер к н уты ; это означает, что дости г­ н уто «положение равновесия», при котором л ю б о е п о в е Д е н и е п р о т и в н и к а дает н а м оди н и тот же выи грыш , а имен но, цеи у игры v . Об ратим внимание на то, что ДЛ Я эти х стр о к действительно в еличина v дости га ет точно значен и я v . ПО та ким п р из н а ка м можно

* ) Точное сов п адение Р 2 *

Рl

0, 5

я вляетс я,

к он е ч н о ,

сл у ч а й н ы•.

11.

Ф И З И Ч Е С КА Я С М Е С Ь СТ Р АТ Е Г И й

Решая задачи теор ии и гр , мы неоднократно п р и х одили к выводам, рекомендующим и грокам п р именять не чистые, а смешанные страте­ ги и . Рассмотрим вопрос о фа ктическом осуществлен и и смеша нных стра­ теги й на п р а кти ке. Основная обл асть , где п р именяется теория и гр - конфл и ктные ситуаци и , свя занные с боевыми действиями , где обдуман ное проти во­ действи е разумного проти в н и ка н е подл еж ит сомнению и всегда долж­ но в кл ючаться в модель операци и . Задачи исследов а н и я операци й , свя занные с боевыми действиями, можно усл овно разделить н а два класса : - «технически е» и «так­ тичес кие» задачи. В «технических» задач а х р ечь идет о выбор е ра­ циональных констру ктивных п а р а м етров пр имен яемых образцов бое­ во й тех н и к и . В «та кти ческих» задачах р ечь идет о метода х боевого п р и­ мен е н и я уже имеющи хся тех нических средств с зада н ными па раметр а­ ми ; это - бол ее подвижные, более «злободневные» решен и я . Значи ­ тел ьн а я ч аст ь из н и х будет приниматься и обосновываться в ходе са­ м и х боевых действи й . Ра ссмот р и м во п рос о п р именен и и смешан ных стратеги й в тех и друг и х задача х. 493

Что ка са етс я «та ктически х» задач, - здесь п р им ен и�fOСТЬ сме­ шан ны х стр атеги й сомнени и не вызывает: он и оз н а ч ают ги б кую , под­ виж н ую, всегда неожида н н у ю дл я проти вн и ка та кти к у . Целесообр аз­ ность такой такти к и был а очевид н а всегда ; игровым и метода м и можно тол ько обосновать п роп ор ц ии разны х та ктиче с ки х пр и ем ов . В «техн и ч еск и х » зада ч а х дело обстоит нескол ько инаЧ t:: . Пусть , н а п р и м ер , речь ид ет о том , чтобы в ыб рать из нес КОл ь ки х возможных вар и антов и ос у ществ и т ь новый обр азец воор ужен и я . В р яд л и будет цел есообра з но предоста вить этот выбор сл учай н ос ти , на п р име р под­ бр ос ить монету и, если в ы п адет герб, выб р ать первый в а р и ант , а если ци ф ра - вто р ой . Это н ецелесооб разно х отя бы потом у , что суть сме­ ша нно й стр атеги и в том , что конкретн ая ее р еал изаци я вс е гда ост ает­ с я та й ной дл я прот и в н и ка , а когда реч ь идет о дол гов ремен ном реше­ н и и , у противника, ка к п р а в ил о , б уд ет в р емя и ВОЗмож ность соб рат ь и н формаци ю о п р и н я т о й стратегии и посту пит ь соответственно ей. В подо бн ы х задачах и гровые п ринципы могут при мен яться ина че: в виде та к на зываемо й «физической смеси стр атеги й )} . Ф и з и ч е с к о й с м е с ь ю с т р а т е г и й н азы в а етс я та кая и х смесь, при ка­ тор ой однов р е менн о (В одн о й ил и нескол ь к и х оп е ра ци я х ) п римен я ю т­ ся нескол ько стратеги й в определ енных п ропорци я х ; на п ример , не­ скол ь ко обр аз цо в воор ужения , о бл ада ющи х разными свойствами . Ес­ ли п римен яемые образцы резко различны по своим ха ра ктери стикам , то, пол ь зуясь физ и ческой с месью страт е ги й , мы можем заметно уве­ ли ч ит ь свой выи грыш по с р авнению с тем сл уч а ем , ко гда п р име н я ется л и шь одна страте ги я . П р о пор ци и , в которых должны смешиваться разные об р а з цы , мот у т быт ь обоснова н ы исходя и з прин ципо в тео­ р и и игр .

В качестве п р и меров фи з ической смеси стратегий можно привести : - пр имен е н и е в п у шках - а втом ата х п а тр о н ной л енты , у компл е к­ то ва н н о й с н а р ядами разн ы х типов (брон е бойн ы е , �ажигательные, фу­

гасные) ;

- расстановка в полос е ПВО 8енитны х комплексов ха р акте ристиками ;

с

различными

- применен ие в боевы х действиях однотипных са молетов- истре­ бителей с различным воор ужением и т . д.

Строго говор я , физ ич ески смешанная стратегия явл яется не сме­ ш а нно й , а ч истой ; ее п а ра м етр ами явл я ются п р о п о р ц и и, в кото­ рых смешиваются отдельные о б р а з цы . Однако поставленная та к иг­ рова я з адача оказывается , ка к пра вило, в есьма сложно й ( хотя бы па­ тому , что ч исл о стратеги й в данном случае бесконечно) . В п е р вом п р и­ бл ижении можно решить з адачу об установлен ии этих п ропорци й ис­ ходя из тео р и и конечных и гр и заменяя опт и мал ьную с мешанную стра ­ те г ию физиче с ко й смесью. Та кое п р и бл иженное р ешен ие игры более всего подходит в сл у ч ае , когда обста н ов ка боевого пр имен ен и я об­ разцов- вооружения варанее не вполне ясна; п р и этом н ал и ч и е на ВОО­ ружении одновременно н ескол ьких образцов с р азн ым и ха ра ктер исти­ ками в ка ко й - то мер е обеспечивает их п р и м енени е в боевы х действиях в тех пропор ци я х в среднем , в ка к и х он и имеются в наличи и . 494

Пример. В н а ш е м р аспор я ж е н и и имеются р а зр абота н н ые четы ре о бр а зца зе нитных уп р ав л я ем ы х р а кет: А 1 , А 2' А " , A i, п р ед н а з н а че н н ые дл я стр ел ь бы по с а м ол ета м ; и зв е с т н ы ТIШЫ с а мол етов п р от и в н и к а 81 ' 82 ' 8 з , 84 ' 85' кот ор ые он м ожет пр и м е н я т ь , од н а к о неизвест н о з а Р :lН ее - в I( а к о й пр о пор ц и и . В ер оят­ ность п ор а ж е н и я са молета прот и в н и к а пр и п р именен и и каждого типа воор у же­ н и я з а д а н а м а тр и цей:

�II А]

А. Аз А4

1

11 ,1

1 1

I

в,

() , 4

I I I 1

() , 2

0 ,3 0,4

0,7

I

в,

I 1 I 1

0,4 0,5 о,

i

в,

0,6

O , f\ 0,6

0,5

I

I I I I

8.

0,4

0,5 0,5

0,2

I

I I I I

в,

0,7 0,8 0,8 0, 1

Т р е б уетс я , и с х одя из ПР И НЦlI п ов теор и и иг р , обос н ов ать п р опор ц и и , в к о ­ тор ы х н а до з а к а з ы в аl Ь в о о р у ж е Н li е р а3Л И 'I II Ы Х типов. Реш е н ие. З а м ечаем, 'I T O стр атеги я А ] з аведомо нев ыгод на по сравнен и ю с А 2 ; стр атег и я же А2 заведомо невыгодна по ср авне н и ю о A ai и гр а св одится к н г р е 2 Х 5 с м атр и uе й :

�II Аз А4

11 1

в,

В,

В,

В.

В,

0,4

0 ,5

0,6

0,5

0,8

0, 7

0 ,3

0 ,5

стр атег ия 8 а Далее, за мечаем, что дл я п р от и в н и к а яв но невы год иа п о с рав и еа 8 2 - по с р а в н е н и ю с 8 4' иию с 82, Оста ется и г р а 2 Х 3 с ы а тр и цей:

�\\ Аз

А,

1 1

8,

0,4 0,7

I

I I

в,

0,5

0,2

I I I

0,2

0,1

!lZ

8,

0,8

0,1

П остр о и м !'еомеТР И 'lес к у ю и нтер пр ет ацию и гр ы (р ис. 9 . 1 7). Из г р а ф и к а внд но, по а к т ив н ы м и стр атег и я м и пр оти ­ в н и к а явл я ются 8} и 84; и г р а св еде на к и г р е 2 Х 2:

,

.I

/V

Рис. 9.1 7

495

�\

в,

1 1

Аз .А 4

0,4 0,7

I 1 1

�I1

в.

0,5

А!

0,2

SA*

г де

Р3 =

=

(О, О, Р з, Р4) '

0,2-0,7 0, 4 + 0,2- 0 , 5 - 0 , 7 'v

5

6 '

= _ .

0 , 4 + 0 , 2 - 0 , 5 -0 , 7

. . .

Ат

1

Р4 = I - рз = - ;

0 , 2 · 0 , 4 -0 , 5 . 0 , 7

=

6 9 - = 0 , 45 . 20

Т а к и м обр азом, и сх одя из ПРIIНЦИ ПОВ тео р и и и г р , п р и н и ы аем рекомен да. ци и : не з а к а з ыв ать вовсе обр а з цов А ) и А 2, а обр азцы А з, А4 з а к а з ы в ать в про­ пор ции 5 : 1 П р и этом сред н я я вероятн ость по ражен и я самолета прот ив н ика (при массовом приыен е н и и обр а з цов в оор ужения) будем �Iаксимал ь н а (не н и же 0,45).

l�

ЭЛ Е М Е НТ Ы Т ЕО Р И И СТАТ И СТ И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

в задач а х теории и гр , рассматривая операции , п роводимые в ус­ л ови я х неоп р еделенности , мы связывал и эту неопределенность с неиз· вестным дл я нас повед ением противн и к а и ис ход ил и из того, ч то этот противни к я вл яется «разумным И злонамеренным» и п р едп р и н и мает т е и и м е н н о т е действия , которые дл я нас наиыенее выгодны. Однако при исследоваН ИI1 операци й п р и х одитс я встречаться не тол ько с та ким в идоы н еоп р еделеПIlОСТИ . Очень часто неопределенность , соп ровождающа я опер ацию, связана не с сознательным п ротивод е й­ ствием противни ка , а п росто с нашей недостаточной осведомлен ностью о б условия х , в которых будет п роводиться опера ци я . Та к , на п р имер , могут быть за р а н ее неизвестны : погода в не котором р а йоне, покупа­ тел ьский с п рос на определ ен ного вида пр оду кци ю, объем пер евозо к , который п ридется выпол н ять железной дороге, и т . д. go все х та кого рода сл учаях услов ия в ыполнен и я операции зави­ сят не от созн ател ьно противодействующего нам п роти вни ка , а от объективной действител ьности , кото р у ю в тео ри и решени й прин ято на зывать « п р и родой» . Соответствующи е с итуации часто называются «и г рами С п р и р одой».
496

1 1 1

А2

Н а х о д и м решение и г р ы :

-

Таблица 12. 1

I

п,

п.

1 I 1 I

аLl

а2 1 ' "

атl

G I2

а22 ' "

аm2

I

I

. . .

I 1 I I

ПN

I 1 1 I

. . .

. . .

. . .

. . .

a tn а2n . . .

аmn

Тр ебу ется выбрать та кую ст ратегию и грока А (чистую или сме­ ша н н ую) , которая явл яется предпочтительной (более выгодной) по сравнению с др уги м и . С первого взгл яда может по казаться , что поставл ен ная з адача п ро­ ще и гровой, так ка к она не сод ержит противодействи я . действительно , пр и н и ма ющему решен и е в игре с природой легче в том отношен ии , что он , с корее всего, пол учит в этой игре бол ьш и й выи грыш , чем в и гре проти в сознательного проти в н и ка ; одн ако е му труднее принять обо­ снов а н ное решен и е, которое даст хороший выигрыш . дело в том , что в и гровой конфл и ктной ситу ации предположен ие о диаметрал ьной про­ тивоположн ости и нтересов пр отивни ка нашим в некотором смысле ка к бы снимает н еоп р едел енность. Если же такого пр едположен и я сде­ лать нел ьзя , неопределенность сказывается в гор аздо более сил ьной степен и . Наиболее простым случаем выбора решени я в условиях н еоп р е­ деленности явл я ется случай, когда какая-то из стратеги й игрока А п р евосходит д р у гие (<<доминирует» н ад ними) ка к , н а п р и м е р , показано в табл ,

1 2.2.

Та бл ица 12.2

�I А1

А2

Аз

А4

1 1 \ 1

п,

1 7 3 7

\

1 I 1 1

п,

2

4 4 4

I

I 1 1 \

п.

3 4

4 2

I

П.

.

I

I 1 I

5 5

1 2

в этой табл и це выи грыш при стратеги и А 2 при л юбом состояни и Пj не мен ьше, че м выиг рыш пр и любой др угой стр атеги и ; роды и пр значит, стратеги я А 2 является предпочтительной (<<домини р у ет» над всеми дру гими ) , и ею рекоменду ется п ол ьзоваться . Есл и в даже в матрице нет доми н и р у ющей стратеги и , все же сле­ дует просмотреть ее под у глом зрения стр атеги й, заведомо н евыгодных 497

для игрока , худших, чем по крайней мере одн а из остал ьн ы х , или дуб­ л и р ующи х, которые надо отб росить. Напр и мер , в табл . 1 2 . 3 можно от­ бросить стратегии А), А 2, заведомо н евыгодные по с ра в н е н и ю с А4, и стратегию Аь - по сравнению с А 8, В результате чего матрица све­ дется к мат р и це 2 Х 5 (см . табл . 1 2.4). Табли ца 12.3

�I А!

А2 Аз

I

А, А5

1 1 1 1 1

�I Аз

Ai

1 1

п,

5 5 I 7 I

11,

I 7

I

п

I I I I I

I 1 1

3 3 2 6

2

п,

2 6

I I I I I I

I I I

п,

4 2 5 7 з

п,

5 7

I

I I I I 1

I I I

п.

2 1 4 3 4

I I I I I I

П.

1 I 3 I з

мер , дл я к а кой - н ибудь экономичес кой опер а ци и состоя н ие «отсутствйе бла гопр и ятно, чем состояния сти х и йных бедствий» вообще бол ее
н я я с т р а т е г и ю Ai. Обоз н а ч и м г о риск и грока п р и его стратеги и A i в услов и я х П). Выразим риск г о через эл ементы м атр и цы выигрышей (ац) . Очев идно, если бы и грок знал з а р а н ее состо я н и е п р и роды (условия) Пj, ОН вы­ бр ал бы ту стратегию, которой соответств у ет м а к с и м а л ь н ы й в ы и г р ы ш в Д а н н о м с т о л б ц е, короче, «ма ксимум столб· ца» - обоз начим его, как и р а н е е, � j . Сог ласно определени ю риска,

Табли ца 1 2 . 4 п.

5 3

\ I I

( 1 2. 1 ) где

п.

3 1

Обр ати м внимание на сл едующее: в и г р е против разу много против­ ника мы бы отб росил и за него стр атегию ПЗ ка к н евыгодную по срав­ н е н и ю с П4, а П4 - по с р авнен и ю с пь ; в « и гре против п р и р оды» этого дел ать н ел ьз я , та к как <<п р и р ода» не выбирает свою стратеги ю (состоя­ HlI e) та к , чтобы ка к можно бол ьше нам «навредить» . В дальнейшем мы будет предпол а гать, ч.то а н а л и з матрицы и от­ б р асыва н ие заведомо невыгодных и дуб.1 И Р УЮЩ ИХ с тратеги й уже про­ изведены . Чем же нам руководствоваться в де.,'Iе при н яти я р ешен и я в ситуа­ ци и н�п ределенности , есл и нн одна стратегия не доми н и р ует над дру­ гими? Ясно , что МЫ должны исходить из матрицы выи грышей (ан), Одн а ко и н огда ка ртина си ту ации, которую дает матр ица выигрышей, содержит CBoel'o рода <<ис кажен и ю> . Поясним, ч то мы и меем в в иду . Предположим, ч то выи грыш при стратеги и А! и состоян и и природы Пj, бол ьше, чем п р и стратеги и Ak и состоянии природы П1:

I�J

=

ш ах i

аи·

Из этого определен и я сл еду ет, что риск н е может быть отр и ца тел ьным:

Г и � О. П р и вычислении р и с ка , соответствующего каждой стр атегии В дан ­ ных услов и я х , у читыва ется обща я бл агоп р и ятность или небл а гопр и ят­ ность для нас да н н ого состо я н и я при роды : в еличина �} служит ка к

бы мерилом бла гоп р и ятности состоя ни я . Матрица р исков (гu) дает з а частую бол ее н а гл ядную ка ртин у не­ о п р едел е н н ой ситуаци и , чем матр ица выиг рышей (ан) ,

П рим-ер 1 . Пл а н и р уется операция в зара нее неясных услови ях, ка сающи х с я , напр имер , рыночн ой конъюнкту ры . Относител ьно эти х условий можно сдел ать разл ичные п р едположен и я :

П1, П 2 , П8' П 4• (ожидаема я п р ибыл ь) при наш и х ст рате· и В ы годность опер аци гия х (А ,) дЛя разл ичных условий (Пj) задана матр ицей вы и гр ы ­

шей

(ао)

(табл .

�I А!

ао > ам. Н о первый выи грыш может быть бол ьше второго н е за счет того, что мы выбрали более удачную стр атегй ю, а просто за счет того, что ссстоя н и е п р и р оды Пj «выгоднее» дл я нас, чем состоя ние Пl• Напри-,

498

1 2 . 5) .

А2

-

Аз

1 1 1

Таблица 12.5 п,

I 3 4

I

I I I

п,

4 8 6

I

I I 1

п,

5 4 6

I I I I

П.

9 3 2 499

Построить матрицу рис ков (го) . Решен ие. Каждый sлемент матр ицы вычитаем из ма ксимального в да н ном столбце значения (в пер вом стол бце это (:11 4 , в остальных 9. Пол учаем матр и цу рисков (табл . 1 2. 6) . 6, � 4 �2 8, �3

с учето м вероятностей всех возможных услов� Й . Обоз н ач и м это ср ед­

н ее значение дл я i-й стратеги и игр о ка че р ез а,:

=

и ли , к ороче,

Таблица 12.6

�1I А1

1 11

А2 Аз

I

п,

I I I

3 1 о

I

п,

4

1

I I I

о 2

I

п,

2 о

I I 1

а;

П,

=

�

1= 1

( 1 3. 1 )

QJ ai!'

6

А*

7

=

A t , дл я которой вел ичина

=

(11

обр а щается в ма ксиму м .

е помощью та кого п р и ема задача о выборе решени я в условиях

н€оп р еделен ности п р евращается в зада чу о выборе решен ия в услови я х о п р еделенн ости , тол ь ко прин ятое решен и е явл яется оптимал ьным н е в с р е Д н е м. в каждом отдел ьном случае, а П р имер 1. П л а ни р уетс я о пер а uи я в з а р а н ее неи звестных м етео р ологи чес­ к и х услов и я х ; в ар и а нты эти х усл ов и й : П] , П2, П Э , П4• Согл ас но м атер иалам метеосв одок за много лет частоты ( в е р о ятности) эти х в а р и а нтов р а в ны соот­ ветственно; Ql

=

0, 1 ; Q2

=

,

0 2; Qз

=

0, 5; Q4

0,2

=

В о з м ож н ые в а р и а нты ор ганизаuии операци и в р а зл и 'l НЫХ метеоуслов и я х п р и носят р а з л и ч н ую в ы году . З н а чен и я «дохода» дл я каждого решени я в р а З Н Ы Jl

усл ов и я х пр иведены в таБJI. 1 3 . 1

Табли ца 1 3 . 1

=

1 3.

�I А(

К Р И Т Е Р И й , О С Н О ВА Н Н Ы й НА И З В Е СТ Н Ы Х

А2

В Е Р ОЯ Т Н О СТЯ Х У СЛ О В И й . К Р И Т Е Р И И В А Л ЬДА,

Аз

Г УР В И ЦА, С Э В И Д ЖА

Наиболее просто р еша ется задача о выборе р ешен и я в условиях н еоп р едел е н ности , когда нам хотя и неизвестны услови я выполнен ия оп е р а ци и (состо я н и е п р и р оды) П1 , П2, , Пn , но известны их вероят, ности :

...

Ql

=

Р

(П1);

Q2

=

Р (П2);

C� I

)

' ' '

,

Qn

=

ч е н и е,

или

i\i

QJ = I .

а т е м а т и ч е с к о е

о ж и Д а н и е

Qj

11 1 1 1

п,

1 3 4 0, 1

I

п.

4

I 1 1 1

f!

6 0,2

I 1 1 1

(1,

5 4

6 0,5

выигрыша ,

I

I I I 1

п.

9 3 2 И,2

1

1 1 1 1

а,

5 , 2'4,5 5,0

вероятности условий. Сред н ие в ы и г р ы ш и Из него видно, что опти м ал ь но й стратеги ей игро ка явл я ется его стр атег и я А * А1, naющ а я ср едний выигрыш аl 5, 2 (oTMe'leH зве з Д о ч к о i\) . В

последней

строке

1

да ны

ui IJриведены в последнем столбце.

"'"

Р (пn)

в этом случае в качестве показател я эффе кт ивности , который мы СТ Р Е М ИМСЯ обратить в м а ксимум, естествен н о вз ять с р е Д н е е з н а ­ 500

17.

=

�

1 , " 24 6. То , ЧТО мы делали до с и х по р - вс его лишь различные способы г р у ппировки исходн ы х данны х ; что каса ется крите р иев дл я п р и н ятия р ешен и й , мы и х рассмотрим в сл едующем п а р а графе. =

+ Qn a,n,

.•.

Очевидно, есть не что и ное, как в з в е ш е н н о е с р е д­ н е е выигрышей i-й строки, взятых с несами Ql ' Q 2 ' . . . . Q n. В качест­ ве оптимал ьной стр атегии естественно выбрать ту из стр атеги й

о

При взгл яде на эту матр ицу н а м становятся яснее н екоторые черты да н н о й «и гры С п ри родой». Та к, в матрице с выигрышей (а!l) (см . табл . 1 2 . 5) во второй строке первы й и последни й эл ементы был и р авны др у г дру гу : а21 й24 З. Одиа ко эти выи грыши совсем нерав иоценны др уг др у гу в смысле того, нас колько удачно выбрана стр атеги я : пр и состоянии п р и роды П1 мы могл и выи грать самое бол ьшее всего 4, и иыбор стратегии А 2 почти совер шенно хорош; а пот п р и состо я н и и П4 мы могл и , выбр ав стр атегию A1, выи г р ать на целых 6 ед и н и ц бол ьше, т. е. выбор стр ате­ гии А 2 оче н ь плох . Это отражается эл ементами матр ицы рисков: Г21

ёi; = Ql a;1 + Q 2 a ;2 +

=

=

=

=

При выборе оптимальной стратег и и в неи звестных условия х с из­ вестными вероятностями можно пол ьзоваться не тол ько с р едним выи­ грышем а!

n

=

� j=

1

Qj atj, 50 1

но

и

среД

н и

м рис

к

о

м

'; =

ХОДИТЬ �Iаксимальной из осредняемых величин:

n

a� шаха;.

� QJ'iJ.

i

;=1

м и н и­

который, разумеется, нужно обратить не в максимум, а в м ум. Покажем, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш а,: совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск ', . Вычислим оба эти показателя и сложим их: а; +;:;

=

гl =

� 1 QjaiJ

i=

n

n

� Qj аи

1=1

-

П

+ � Qj (�J-ail) = 1 ;=

п

� QjaiJ + � QjГ't;

f= 1

1= 1

п

=

� Qj�j. ,= 1

t 1 3.2)

Эта сумма (среднее взвешенное значение максимумов столбцов) для данной матрицы есть величина постоянная; Обозначим ее С:

Тогда

откуда средний риск равен

(13.3) Очевидно, эта величина обращается в минимум тогда же, когда В максимум, следовательно, стратегия, выбранная из условий минимального среднего риска, совпадает со стратегией, выбранной из условий максимального среднего выигрыша. Заметим, что в случае, когда известны веРОЯТНОL'ТИ состояний при­ роды Ql, Q2' .. . , Qn, при решении игры с природой всегда можно обой­ тись о д н и м и ч и с т ы м и с т р а т е г и я м и, не применяя сме­ шанных_ Действительно, если мы будем применять какую-то смешан­ ную стратегию а,

-

т. е. стратеги ю A1 с вероятностью Pl' стратеги ю А2 с вероятностью Рв и т. д., то наш средний выигрыш, осредненный и по условиям (состоя­ Н И ям природы) и по нашим L'Тратегиям, будет:

а =P1a1 + Р2а2 + Это

-

...

+ Ртаm'

взвешенное среднее выигрышей �, соответствующих на­ шим чистым стратегиям. НО ясно, что Л1обое среднее не может превос, 502

ПОЭТОl\lУ применение смешанной стратегии S А с любыми вероят­ ностями Pl' Р2' . .. не может быть выгоднее для игрока, чем применение чистой стратегии А *. Вероятности УСЛОВИЙ (состояний природы) Ql' Q2' .. . , Qn могут быть определены из статистических данных, связанных с многократ­ ным выполнением подобных операций или просто с проведением на­ блюдений над состояниями природы. Например, если железной дороге за данный промежуток времени предстоит выполнить не вполне из­ вестный объем перевозок, то данные о распределении условий могут быть взяты из опыта прошлых лет. Если, как в предыдущем примере, успех операции зависит от метеоусловий, данные о них могут быть взя' ТЫ и з статистики метеосводок. Однако часто встречаются случаи, когда, приступая к выполнению операции, мы не Имеем представления о вероятностях состояний при­ роды; все наши сведения С}30ДЯТСЯ к перечню вариантов состояний, а оценить их вероятности мы не можем. Так, например, вряд ли нам удастся разумно оценить вероятность того, что в течение ближайших k лет будет предложено и реализовано важное техническое изобрете­ ние. Разумеется, в подобных случаях вероятности условий (состояний природы) могут быть оценены субъективно: некоторые из них пред­ ставляются нам более, а другие - менее правдоподобными. Для того чтобы наши субъективные представления о большей или меньшей «правдоподобности» той или другой гипотезы превратить в численные оценки, могут при меняться различные технические приемы. Так, если мы не можем предпочесть ни одной гипотезы, если они все для нас рав­ ноправны, то естественно назначить их вероятности равными друг дру­ ГУ:

Qi =Q2

=

...

=Qn = l/n.

Это - так называемый «принцип недостаточного основания» Лапласа. Другой часто встречающийся случай - когда мы имеем представление о том, какие условия более вероятны, а какие - менее, т. е. можем рас­ положить имеющиеся гипотезы в порядке убывания их правдоподоб­ ности: всего правдоподобнее первая Гипотеза (П1), затем вторая (П2) и т. д.; менее всего правдоподобна n-я гипотеза (П,,). Однако, насколь­ ко одна из них вероятнее другой -мы не знаем. В этом случае можно, например, назначить вероятности гипотез пропорциональными членам убывающей арифметической прогрессии: Ql:Q2:'"

:Qn=n:(n-l)·

или, учитывая, что Ql +Q2 + Q,

_

-

...

2(n-t+ 1) n (n+ 1)

+Qn

(i

=

=

...

:1,

1,

1, 2,

..

. , n). 503

Иногда удается, исходя из опыта и здравого смысла , оценить и бо­ лее тонкие различия между степенями правдоподоби я гипотез. Подобные методы субъективной оценки «вероятности-п равдоподоб­ ности» разных Гипотез о состоянии природы могут иногда помочь при выборе решения. Однако нельзя забывать, что «оптима льное решени », выбранное на основе субъективных вероятностей, неизбеж но окажется тоже субьективным. Степень субъективности решени я можно умень­ шить, если вместо вероятностей Ql' Q2' "', Qn, назначенных произволь · но одним лицом, ввести средние из таких вероятн остей, назначенных, н езависимо друг от друга, группой квалифицирова нных лиц (<<экспер­ TO�»). Метод опроса экспертов вообще широко применяется в современ­ н ои науке, когда речь идет об оценке неопределенной ситуации (на­ пример, в футурологии). Опыт применения подобны х методов учит, что зачастую оценки экспертов (принятые независ имо одним от дру' гога) оказываются далеко не столь разноречивыми, как это можно было предположить заранее, и вывести из них некоторые предпосылки для принят ия разумного решения вполне возможно. Выше мы осветили вопрос о выборе решения на основе объектив· но вычисленных или субьективно назначенных вероятно стей состоя· нии природы. Этот подход в теории решений - не единств енный. Кро­ ме него существуют еще несколько «критериев» или подходо в К выбору оптимального решения в условиях неопределенности. Остановимся на некоторых из них. •

Согласно этому критерию в качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока А, ПрИ которой м и н и м а л ь н ь! й В ы и г р ы ш м а к с и м а л е н, т. е. стратегия, гарантирующая при любых усло­ виях выигрыш, не меньший, чем максимин: i

j

�.

2. Критерии яинияаксного риска Сэвиджа Этот критерий рекомендует в условиях неолределеннос ти выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее зна· чение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален):

504

=

min тах Ги. i

I

в данных условиях (максимальный риск).

3. Критерий nессияизяа-оnтияизяа Гурвица ЭТОТ критерий рекомендует в условиях неопределенности при вы­ боре решения не руководствовать�я ни крайним ,пессимизмом (всегда рассчитывай на худшееl) ни краиним, легкомысленным оптимизмом (все обойдется наилучшим образомl) Критерий Гурвица имеет вид:

( 13.6) коэффициент, выбираемый между нулем и единицей. кри­ При % Проанализируем структуру выражения Ba�ьдa, критерии ическии пессимист в ется превраща Гурвица терий О - в критерий «крайнего оптимизма», рекомендующии вы­ а при % ИГРЫ!;ll бирать ту стратегию, для которой в наилучших условиях ВЫ получается нечто среднее между краи­ максимален. При О < % < иент % выражает ним пессимизмОМ и крайним оптимизмом (коэффиц ент выбирает­ коэффици Этот теля). исследова ма» пессимиз «меру как бы чем боль­ ся из субъективных соображений - чем опаснее ситуация, выбиединице к ближе тем оваться», «подстрах ше мы хотим в ней рается %. При желании можно построить критерии, аналогичНЫИ критерию а, а из риска, оптимизма-пессимизма Гурвица исходя не из выигрыш как в критерии Сэвиджа, но мы на этом не будем останавливаться.

где

%

_

(13.6).

u-

1

=

•

(13.4)

Если руководствоваться этим критерием, надо всегда ориенти ро­ ва�ься на х у Д ш и е у с л о в и я и выбирать ту стратег ию, Для кото­ рои В худших условиях В IИгрыш максимален. Пользуя � сь-таким кри­ терием в играх с природои, мы как бы ставим взамен этой безличной и незаинтересованно инстанции активного и злонаме ренного против· ника. Очевидно, такои подход может быть продиктова н только крайним пессимизмом в оценке обстановки - «всегда надо раССЧИТJ.,IВать на худшее!» - , но как один из возможных подходов заслуж ивает рас­ смотрения.

ш

•

1

1. Максияинный крите рии 8альда

'ш' =тах miп ао.

Сущность этого критерия в том, чтобы любыми путями избежать большого риска при принятии решения. Критерий Сэвиджа, так же как и критерии Вальда - это критерий крайнего пессимизма, но только пессими:м здесь понимается по­ другому: худшим объявляется не минимальныи выигрыш, а максималь­ ная потеря выигрыша по сравнению с тем, чего можно было бы достичь

(13.5)

•

­ Несмотря на то, что выбор критерия, как и выбор пара метра в кри оказаться по все может же ивным, субъект я являютс Гурвица, терии критериев. Если лезным просмотреть ситуацию с точки зрения этих - тем совпадают , ных критериев различ из ие вытекающ рекомендации решение. Если же, ими мендуемое ы м реко , в бирать м жн ело с о е лучш , в г а как это часто бывает, рекомен дации противоречат друг другу - се д ьное решение имеет смысл задуматься над этим и принять окончател ц игры с приро­ с учетом его сильных и слабых сторон. Анализ матри ы лучшее представ­ дой лод углом зрения разных критериев часто дает решения, чем каЖдОГО ках недостат И твах достоинс о и, ситуаuи о ление когда о, ее размеры особенн ицы, непосредственное рассмотрение матр велики.

�

.стратегиям� Пример 2. Рассматривается игра с природой 4Х 3.с четырьмя (состоянии ПРИРО.D.ы). игрока.. А l' А 2' А 3· А 4 и тремя вариантами условии Пl' П 2, П U· Матр и ца выигрышей дана в <табл. 1 3. 2 . 505

Таблица

� АI

А2

,

Аз А,

I

п,

I , , ,

n,20

1 1 "

п,

0,75 0,25 0,85

0,30 О,2(}

О,Р() 0,05

I

18.2

�\\

П.

1 1 , ,

А\

0,15

А;

0,35

* А3

n,25

А4

0,45

Найти ОПтимальное решение ( ст р атег ию) , Пользуясь критериями Вальnа. Сэвиджа и критерием Г урв иц а при " = 0,6. Решение. 1. Критерий Вальда. В каждой строке матрицы берем н аиме н ьший выигрыш (табл. 13 3) . Из величин аl максимальн ая (о тмечеиа звезд очкой ) равна 0,25, следо ва. тельно, ПО критерию Вальда ОПТимальной является стратегия Аз. 2. Критерий С88иджа. Строим матрицу рисков и п оме щаем в правом добавочном столбце макс и мальный риск в каждой ст ро ке '1'. (табл. 13.4). Минимальным из з наче ний '1'1 Является 0,60 (отмечено звездочкой); сл д . е о BaTeJlbHO, по критерию Сэвиджа, оптимальной является любая из стр ате гий

.

­

Ай, Аз.

Таблuца

�I 1 1 1 1

п,

АI

0,20

А2

0,75

А;

0 25

А,

и,В5

,

=

1 I

I I

1

fl

0,30

0,20

1),80

0,05

1 I I I I

п,

0,15

,35

,

0 25

0,45

1 1 1 1 1

13.3

�II

11

А1

1 1 1

А2 A� А4

0,10 0,60

О

1 , I 1 , 1

п,

п.

0,20

0,30

0,75

0,20 •

0,25

0,80

0 85

0,05

II А1 � 11 А2 1 Аз 1

О,2(

0,25'

0,05

Ма ксимальное значение h, (ОНlечено звездочкой) соответств ует стратегии А 3' Следовательно, по критерию Гурвипа с леГI(IIМ п е р евес о м в сторо ну пес си­ мизма (" 0,6) о птимал ьн ой стратегией ЯБЛЯется А 3. Таким образ о м Бсе rrри к р итерия согласно говорят в пользу стратегии Аз, которую мы и меем все осно­ вания выб рать

506

0,65

11,

I I 1 1

0,50 0,60

О 0,75

I 1 1 1 I

п,

n,15 0,35

(),25 0,45

I

11 , 1 1 I , 0 1 1 О 1 1 11,

У,

0,30

0,65

0,10

0,60*

0 2

0,60*

0,75

Таблица 13.5

1 1 1 1 1

а,

0, 1 5

0,20 0,25 0,05

0,15

I "', I 1 1 1 ,

0,:30

0,75 0,80

0 85

I I 1 1 1

h,

0,21 0,42 0,47* 0,37

,

11.

2 5

7

I 1 1 1

п,

3 4

2

1 I , 1

Таблица 13.6 l1,

4 1 8

, 1 , 1

П,

5 2 1

Таблица

�\\ А* 11 А2 1 Аз 1 1

.

l' 1 1 "

1

аl

3. Критерий Гурвица ( " 0,6). Записываем Б пра вы х трех столбпах матрицы (табл. 1 3 5) «пеССИмнстичес. кую» оценку в ыигр ыша at, «ОПТИМlIстическую» (j)t и их среднее В ЗБ е ш ен н о е по формуле (13.6):

=

11,

Та б л ица 13.4

п.

2 5

7

1

I , ,

п,

3 4 2

I

1 , ,

ПJ

4 1 8

I

II

I 1

11,

5

2

1

l' 1 1 1

I 13.7 а,

2'

1 1 507

� I

А{

А1

1I 1

А2

' А3

�I 11 1 1

П,

А1

2

А2

5

А3

7

-

I I I 1

П,

1 I 1 I

5 2 о

1 о 2

1 1 I I

п,

3 4 2

I I I I

11.

п,

4 1

8

.\ I I 1

П,

4 7 о

1 I I I

Таб лица /38 .

о

3 4

1 1 1 1

п,

5 2 1

I1 1 I1 1

11,

С7.,

2

1 1

1 I I I

может

У,

5 7 4"

_

Таблица

1 1 I I

Ш,

5

5 8

/39 hL

3,5

3,0 4,5*

ц

Пример 3. Рассматривается игра проти!) пр иро ды 3 Х 4 с ма т р и ей выигры' шей, поме щ ен но й в табл. 136 :�Р�Ь �тимальную �тра т егию По к ритериям Вальда, Сэвиджа и Гурви­ ца п

:

о,

Решение 1. Критерий Вальда

ОПТИllальная стратегия А 2. Критерий Сэвиджа (та л. ОПТИllальная стратегия Аз.

а

30'

(табл.

137) . .

14.

13.8).

к рuтерий Гурваца (х О,5) п тимальная стратегия Аз. =

13.9).

(табл.

ользу стратегии к у ели � принимающего ре шение Аз, тогда к ак критерий Вальда ре оменд ет l' нет особых оснований становится на точкУ зрення краинего песснмиThlа, можно остановиться на стратсгин А з.

Таким обра зом , критерии Сэвиджа

и

Г

1

ви:а

говорят в

п

для которой достигается

min

( Pj'

Р2, .... Рm)

maX(Pl'lj+P2f2J+ i

'"

+Pm'mJ) .

(м инимум берется по всем Pl, Р2 Рm :>- о l + + u Наити этот минимак<;. (или максимин в кри ии ь ­ ными методами линеиного программирования. Могут быть случаи. когда применение смешанных стратегий при ПОЛЬЗО вании критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица даст n еим Щ еет­ , во по сравнению с тем решением, где применяются одни чис ые трате•

508

для чистых ивать эти критерии только гии, однако мы будем рассматр хuтим избежать мы ЧТО том, в о этог стратегий. Одна из причин быть сведен на нет а их результат сложныХ вычислений. когд ятностей условий). веро е нани (нез ации недостатком (ведений о ситу содержани::: тео­ ина - в том. что основное Другая. более важная прич ем парагра­ ующ след в его (МЫ коснемся рии стаТИСlических решений дополнительной я вани льзо испо и я чени это планирование полу фе) добыть путем природы. которую можно информации о состоянии х случаях. чны типи в что ют. показыва эксперимента. Исследования количества О ьноГ и сколько-нибудь значител когда речь идет о получени вероятнос­ ся щие зую поль критерии, не дополнительной информации. равносильны­ ески ктич пра ся овят стан др.). тями состояний (Вальда и Но мы знаем. на вероятностях состоянии. ми критерию. основанному ых страте­ анн смеш ение мен при ем м критери что при пользовании таки сколько­ ть учи пол о быть. если мы можем гий не имеет смысла; стал анных смеш е ени мен при и, ьной информаци нибудь много дополнител решения мы ора выб ев тери кри из бы им стратегий теряет смысл (как эксперименты. мы не можем, производя ни пользовались). Если же могут давать и тери кри ые ичн . то разл добывать новую информацию и видел в примере 3. гу рекомендации. как мы про,.иворечащие друг дру

. ...

��

l;;ьд�)·мt1н� � ��

� J

ИМЕНТА В УСЛОВИЯХ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕР НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

ии статисти­ емся очень важного в теор В этом параграфе мы косн нятии ре­ при в очь пом ут мог о том. как нам ческих решений вопроса тельной тви дейс ия дпринятые с целью выяснен шения эксперименты, пре показы­ как ии, теор в ым является центральн об становки? Этот вопрос треб­ упо и как раз слово «статистический» вает само название: ведь ованир пла их об тов, о выводах из эксперимен ляется, когда речь идет нии и обработке. одя из известможно развивать как исх Соответствующую теорию ев. подобных тери кри из ий природы, так и ных вероятностей состоян исходящую ию, теор вать три сма рас будем здесь критерию Вальда; мы стую. про ее бол состояний природы, как из известных вероятностей ть неко­ иня дпр пре ит дсто пре вопрос. Нам Рассмотрим следующий смысл ли ет ях. Име точно выясненных услови дпри· торую операцию в недоста пре ии уац сит ой й в нашей неопределенн для уточнения услови возникает рос воп этот о, енн еств еримент �? Ест нимать некоторый эксп ественны и сравнимы аты на эксперимент сущ затр да ког а, тогд ко толь получить, узнав об­ ем мож грыша, которое мы с тем увеличением выи перимент пренебрежимо Если же за траты на экс становку более точно. рос всегда положителен. малы, ответ на ЭТ01 воп перимента �, привослучай «идеального» экс а чал сна м три Рассмо ния природы Пj• тоя сос точному знанию того дящего к совершенно матрица выи­ ана зад "ТЬ Пуt. в данной ситуаЦlIIl. которое иыеет место извеегны вео. 1, . , n), а, кроме тог , т; j 1, грышей 110 tJ!1 (i QQ� =

...

=

. .

роятности Ql' Q2' ... , Qn различных условий П1, П2, .... Пn• Пусть затраты на п рове дение эксперимента � равн ы С. Ср авни м наш средний выигрыш без проведения эксперимента Ш и с редни й выигрыш с прове­ дением этого экспе риме нт а . Как мы видели в § 13, если не проводить дополнительно никакого экспер име н та , то нужно в качестве р еше н ия в ыб рать ту с тратег и ю А* Ai, дл я которой достигается максимальный средний выигрыш:

или,

к

ороче

{,�I

�

С<т п

-

тах ан =Вl'

ному выигрышу в j-M столбце:

i

�

;=,

QtTiJ'

ние менЬше минима льного среднего риска:

(14.5)

с<miп�.

мента, и nриме­ в противном случае следует воздержаться от экспери -минимум С1?едэтот ается нить ту стратегию А *, для которой достиг него риска.

ой зх 4, условия КОI'ОРОЙ при­ Пример 1. Рассматривается игра с природ ивали в § 13). веllеиы в таБJI. 14.1 (такую матрицу мЫ уже рассматр

=Bj.

Таблица 14.1

Ql [}1 + Q2 �2+ ... +Qn �n' С уч етом стоимости эксперимента (которую нужно вычесть из выиг р ыш а) наш средний выигрыш с п римене нием идеального экспери­ мента � равняется Ql �1 + Q2 �2 + ... + Qn �n -с. (14.2) Итак, мы должны проводить эксперимент, если величина (14.2) б оль ше, чем (14.1); если же, наоборот, величина (14.1) б ольш е , то экспе­ риме нт � нам не нужен. Можно несколько видоизменить это правило, с делав его более простым. Мы видели, что :'Jксперимент fS н ам полезен (т. е. «по средст­ вам»), если max(Qlatl+Q2ai2+ +Qnainf< (
(14.3)

Перенесем С в л ев у ю ч ас тоь , а «мак сим у м» из лев ой части в правую, переменив знак перед суммои и за ме няя «максимум» на «минимум»; условие (14.3) п е р епишетс я в виде: С< min [Ql ф, -a1l) +Q2 Ф2-аi2) + ... +Qn (�n а 61С)

=

fS п риобре ­ Поэтому правило решения о выполнении эксперимента тает следующий вид. осуществлеЭксперимент i нужно nР08одить, если затршnt>l на его

�I\ А1 \ А2 \ Аз \

110 нам нужно заранее решить, будем ли мы п ро из вод и ть экспери­ мент fS или нет; нам н еизв ест но, какое из состояний Пj на самом деле имеет место и каков будет наш выигрыш �j. Поэтому осредним этот выигрыш с весами, рав ными вероятностям Qj:

1

п р аво й части

,

и н аш выигрыш будет равен �l; если дейст в ительное состояние приро­ ды о к азалось П2, наш вы иг рыш будет �2' и Т. д. Вообще, при действи­ тельном состоянии ПрИрОДЫ Пj наш выигрыш буде т равен максималь­ шах aij

14. 4 )

n

�

(14.1>

Это и б уде т наш выигрыш без проведЕ'НИЯ эксперимента fS. Теперь п ре д полож и м, что мы произвели эксперимент � и выяснили, какое из сос тояний П1, П2, . . . , ПN является дейс твительным состоянием природы_ Если это оказалось П1• то мы ДОJ1ЖНЫ п римен я ть ту страте­ гию Ан, для которой достигается

(

'и, а с умм а в

Но �} - аli есть не что иное, как риск с редний ожид аемый риск :

=

m�x(Qlail+Q2ai2+ ... +Qna;n}. ,

}

Qjфj-аu> .

- т)}

Ql

11,

I

ll,

1

II

1

3

I 1

8

4

б

0,1,

11.

\ I 1

5 4 6

Ц

П2, ПЗ,

Вероятности состояний природы П1, Q = 0,2, Qз = 0,5, Q4 =о 0,2 ..

=

\

I 1 1 1

11.

9 3 2

равны соотпе'l'ственио:

2

Таблица 14.2

��I A1 1\ А2 1 Аз 1\

11,

3 I о

\ \ I 1

11,

4

о

2

1 1 1 1

11,

] 2 о

1 I 1 1

11.

о 6 7

1 1 1 1

r1

1,6 2,3 1,8

ым «идеальный» эксперимент, стои­ Определить является ли uелесообразн ыш) р авна 2. в которых выражеи выигр uах, еДИllи же тех ого мость котор ышей к матриuе рисков (табл. 14.2). выигр uы матри от одим Перех Решение. влены значениЯ среднего риска. В правом дополнительном столбuе проста вательно, провеl1ение экспери­ следо 1,6; равно ний значе минимальное из этих . разно есооб нецел UЫ мента со стоимостью 2 еllИНИ

(�

511

Выше мы рассмотрели случай «идеального» эксперимента &, в ре­ зультате которого обстановка Полн остью выясняется. Теперь рассмотрим случай не идеа льного эксперимента FE, ко то­ рый не приводит к выяснению в точн ости СОСтояния природы Пj, а ли шь дает какие-то косвенные свид етельства в пользу тех или друг их СО­ стояний. В наиболее общем виде мы можем предположить, что эк спе­ римент fS ПРИводит к появлени ю одного из k несовместных собы тий

В1, В2

•

•••

В1/.'

причем вероятности Этих собы тий (исходов эксперимента) завис ят от условий,

в которых он проводится: П1, П2, или Обозначим ус­ ловную веРОЯТНОl'ТЬ появления события В, в условиях Пj через

Пn•

•••

р (ВIlПj),

(j

=

...

1, 2,

, n;

l

=

1, 2,

... ,

k)

�II В1 1 В2 1 1 Известно

Qnl'

т. е. условными вероятностям и СОСтояний

П1• П2,

... , ПN при условии,

что эксперимент дал результат В/. Эти апостериорные вероятности подсчитываются по известной форм уле Бейеса:

-

QJl

=

(Вl/Пj)-= --n .:..-.---�QJ Р

�

=1

QJ р

(В//Пj)

(j

=

1.

••••

n)

(14.6)

(с ЭТим как раз и связано то, что соответствующий подход к прин ятию решения в ситуации неопределенно сти называется б е й е с о в с к и м). Поскольк у априорные вероятности СОСтоя ний природы Ql' Qn заменяются Новыми, апостериорными то начи , з т. и оптимальная стратегия А * в обще м случае заменится новой опти , мальной стратегией А* l' Вычислен ной с учетом апостериорных веро ят­ ностей (при условии события В/).

Q1/. '221.... , Qn/.

Пример 2.

В

условиях примера 1

Ql=O,I,

Qz=O,2,

с

априорными

Qз=0,5,

Q2' ....

вероятностями

условий

Q4=0,2

ПРОИзвод ится эксперимент '$, служ ащий для уточнения обстановки . Этот экс­ пе римент, вообще говоря, может иметь три ВОЗМОжных исхода:

81' В2, 8з. Условные вероятности этих исходов Р(В//Пj) для разных состояннй при­ роды П1, П2, П з , Ц приведены в матриuе у словных вероятностей (табл 14.3).

512

'$

0,9

о, ) О

имел место

HOBY�

2

Q41=

0,4 0,5 0,1

6 -

"

0, 0 06 , �O,I30. 0,46

-

QЗl

1 1 I

0,3 0,3 0,4

исход В1. Вычисли ть апосте­

0,1.0,2

О 18 ' - - О 392' 4

11.

оптимальную ст ратегию A1*,

0,1.0,2 +0,2,0,9+0,5.0,4 +0,2.0, 3

- --

Q 1-

1

П

14.З

0,20

=--;::;

0,46

О

,4

35

�0,043,

i

Таблuца

а новыми, «апостериорными» веро ятностями состояний:

,

(1,7

QJl.

Q., Q2, .. " Qn,

••.

О, )

что в эксперименте

Ql1

...

Q1!' Q2i,

0,2

I 1 1 1

11,

Указать риорные веро;тности Решеиие. По фо рмУле (14 6) имеем,

и будем Считать, что все эти услов ные вероятности нам известны. После осуществления эксперим ента fS, давшего исход В/, нам придется пересмотреть вероятно сти условий: состояния природы П1, , ПN будут характеризоваться не прежними (априорными) ве­ РОЯТНОl'ТЯМИ

П2,

I 1 1 1

[1 ,

8з

tаблuца

�" А1 1 1 Аз 1 Qfl 1 А*2

п,

1 3 4 0,043

1 1 1 1 1

п,

4 8 6 0,392

I I 1 I 1

п,

п.

5

8

4 6 0,435

1 I r

3 2 0,130

1 1 1 1 "

14.4

--;;� 1)

4,96 5,20* 5,09

�(l)

при каждой стратегии с учетом найден· ычислим средни е выигр ыши В ных апостериорных вероятностей (б та л. 144) . . В последней строке табли цы помещены апостериорные вероятности, в правом, доролнительном столбцеср едние выигрыши при иовых значениях вероятностеи состояни й , вычисленные по форму ле

Qtl

�(I) =Qll ан +Q2j а12+QЗl аiз+Q41 ан·

даны в нижней строке таблицы. Значения Таким образом, с учетом результата 81 опыта будет уже не А1, а А 2'

'$,

оптимальной стратеги ей

Конечно' для того чтобы заранее решить, стоит ли нам проводить эксперимент fS или нет, нужно заранее произвести подобные рас еты не только для одного исхода В1, но и для всех остальных. ро­ должим рассмотрение примеров.

п

! :T�ГI�I�

Пример 3. В условиях примеров 1 и 2 выработать n р а в и л о И���д ��������Н Т: :::�� � � н и я. которое указыалоо бы, при к п римен' о н р выбирать. Выяснить, насколько средни в та (j) @ больше среднего выигрыша без выполнения этого эксперимента.

KaKO�

513

Решение.

В ы ч исл им остальные апостери орные

при роды Q j2' Qj 8з с о отв етс т вен н ;

(j

��

0,1·0,1 ::;:; 0 ,029 0,1·0 ,1 + 0.2·0, 1 + 0.5.0.5+0.2. О. 3 . ""' 0.25 0.02 0,06 �O,059; QЗ2= -- ::;:;0 ' 735', Q-42= Q22- О 0,1 771 , 34 0.34 0,34 0.1.0.7 QIЗ= ::;:;0 35; 0.1.0, 7+0,2.0+0 5.01+02-04 , ' О О 08 0 05 , о. -Q23 Q33 =0,40. ' =0,25: Qo: = 0,20 0,25 0 20

)

'212=

_

�

"

t

,

:

___

_

=

=

найдем . 8з (ДIIЯ 81 мы уже это сдеll али ) Т � перь для кажДОГО из событий 82 териорным ве­ и равнымИ новым. апос м а ес в с его няя осред ш, И вы игры тов

вероятности всех �остояннй

1 2 3 4 и У овии, что эксперимент дал исходы 8, Выч и'сл � н � я) б , ем CJJ производить по той же формуле (14.6 : =

,

едни звездочкой. Результаты расче мальную стратегию отмечаем жней роятиост ям Опти я в табл. \4.6 и 14.7. В ни одятс прив енно етств соотв . а в пли событий 82 и 8з орные вероятности состояний тери апос ы еден прив ицы строке каждой табл - сре дни е выи гры ши. ровагь п раправом столбце 14.6. и 14.7 мы м о ж ем сформули Теперь, на основе rабл \4.4.

ср

ять вил о ре ш ения : р е з у л ь т а т 81 - примен дал Е с л и зксперимент 'iS пр имен ять 8з)и л и 8� е (Т. 81 он д а л н е средний вы­ стратегиЮ А2: е с л и еримент дал исход 81. наш А 1 При зтом, если эксп ст р а т е г и ю 5.20. ТО 8 -5.53, а если з игрыш будет равен 5.20; если 82 иле решения может выигрыша при данном прав Среднее значение среднего ятноСТЬ собы тия 81: веро ю полну ем найд 0,1·0,2 + быть вычислено так:

,

+ QзР(81IПз) + Q4Р(81IПо) Q\Р(81IПl) + Q2P(81 2) Р(8д 0.2 ·0.3 - 0.46,. + 0,4 0,5· 9 + -0, 0.2 : + оятности событий 82 и 8з Анало гичНО находим вер 0.\ ·0,\ + QзР(82/Пз) + Q4Р(82/П4) ) + 2/П2 2Р(8 Q + 82/П1) QIР( 8 Р( 2 ! = 34; 0, 0.1 ·0,7 + + 0,2.0.\ + 0.5-0.5 + 0.2·0,3 + QзР(8з/Пз) + Q4Р(8з/П4) QIР(8з/П1) + QzР(8з/П2) Р( 8 з ) 0.20. + 0.2.0 + 0,5·0.1 + 0.2·0,4 ения будет: при данном правиле реш П олн ы й средн ий выигрыш с= 45. 5,3 0 0.46.5,20 + 0.34.5,53 + 0.20.5,2 а* бы при отсутствии ем . который мЫ получили С равним эт от в ыи гр ы ш с т Т а ким образом, 5.20. =f' ёi* чили полу ер 1 § \3) Т ам мы эксперимента (см. прим на 5,345 - 5.20 рыш выиг ний л сред а увеличи о наш \45, выполнение экс перимент ента меньше чем О, ывод: если стоимость эксперим 0.145 Отсюда следует в ет 0,145 - нецелесообо, если же она превыша

�

=

п р ир оды при

Сведем все новые ( а стер и орные) в е р оя т н ости сост ояний каждом IIЗ ИСХОдов 8 1, 8 2.П 08 З В табл. 14.5.

=

=

Т а блица 14.5

I � 81 1 2 1 8з 1 8

п,

0, 043 0,029 0.350

I 1 1 1

п,

0,392 0,059 О

I 1 I I

п,

0,435 0,735 0,250

� A� А2 Аз

Q/2

А2 -

Аз

QjЗ 5!4

=

=

=

П,

=

0,130

=

0,177

=

0,400

сооб разн то вьJПолнение егО целе раз но =

Таблица /4.6

II 1 1 1 1

-� ' АI

I I 1 I

I 1 1 1 1

п, I

3 4

0,029

1 1 I 1 I

п.

4 8 6

0,059

I I I 1 I

п.

п,

5

9

4

6 0,735

I I I

3

2 0,177

1 1 1 1 1

�(2) а/

5,53* 4,03

1

3 4 0,350

I 1 I I I

п,

4 8 6 О

I I I I I

п,

5 4 6 0,250

1 I I I I

9 3 2 0,400

5,2(;*

1

=

=

��3)

П.

, р а з у мее тс я , проведения экс п еримента Расчеты целесообразности из среднего а , ш из сред него выигры а могут производитьс я исходя не ты. ьт а резул мые с учаться те же а риска; при этом будут пол выгодно ли н а м жно заранее подсчитать, АналогИЧНЫМ образом мо ел ьно , пусть, вит ст й е Д провести эксперимент (g. н ес к о л ь К О р а з повторе ния мых виси неза два ти произвес скажем, есть возможность оятностя­ вер и ло е ся ус вным р имента &, характеризующ го вии дан­ о сл у (gl' (g2 э кспе при k) .'" 2, 1, 1,2, ... , n; l ми исходов: Р (В1JПj) (i одного нию веде Пj• Это равн осильно про н ого состояния природы ... , k), 2, 1, s k; , ... 2, 1, & с исходами В ls (l сложного эксперимента эксперимент й рвы пе что , том в е, состоящее где B1s обо з и ачено событи и этих исходов по 8• условные вероя т но ст ой В втор а Bl, л да событи й будут : ЫХ м си ви а веро ят нос тей н ез ум ножен ия правилу ра дится =

5, 23

Таблица 14 7 11,

=

3,25 3,70

=

­ к о задача сво Р (Вl/Пj) Р (Вs/Пj). Таки м образ м Р (Вl./Пj) жбудет уже не k возмо е т ен им пер кс э в ько н е е р асс м отрен н ой , тол =

ных исходов, а k2• ериментов плаповторное проведение эксп Так обстоит дело, когда ведении ря да про о т де и Однако, ко г да речь нируетс я з а р а н е е. ных условиях тель стви дей о й ия сведени испытании для уточнен ч и с л о ь т а ч а н з ации, выгоднее н е н а в расс мат рива ем ой ситу ытания исп дого каж е посл н е е, а решать и с п ы т а н и й з а р а то такой м етод в ря­ едующее. Оказывается, ч сл ть ди прово м а н ли т стои затрачиваемых на , х а в т ную эконо ми ю в с редс де случаев да ет замет 9 ксп е р имент .

10 МЕТОД СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

1.

ЗАДАЧА ПЛАНИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСА РАБОТ

ится встре­ При исследовании операций на практике часто приход комплекс­ х, сложны вания чаться с задачей рационального планиро ных работ. Примерами таких работ могут быть: - строительство большого промышленного объекта, енных сил, - перевооружение армии или отдельных видов вооруж актических профил или - развертывание системы медицинских

мероприятий, темы кой - выполнение комплексной научно-исследовательс д. с участием ряда организаций и т. я то, Характерным для каждого такого комплекса работ являетс или «звеньев», что он состоит из ряда отдельных, элементарных работ а в з а и м­ которые не просто выполняются независимо друг от друга, ение н О О б У с л о в л и в а ю т Д р у г Д р у г а, так что выполн неко­ шены завер чем , раньше некоторых работ не может быть начато шленнru-о торые другие. Так, например, ПрИ строительстве промы , чем будут предприятия рытье котлована не может быть начато раньше укладка фун­ доставлены и смонтированы соответствующие агрегаты; ены необхо­ доставл будут чем , раньше начата быть может не дамента ся завершение димые материалы, для чего, в свою очередь, требует льства необ­ строительства подъездных путей; для всех этапов строите нтации, и т. д. ходимо наличие соответствующей технической докуме произво­ Планирование любого такого комплекса работ должно ов: элемент енных существ щих следую учетом диться С кса работ - BpeMeH�, потребного на выполнение всего компле

и его отдельных звеньев; ых звеньев; - стоимости всего комплекса работ и его отдельн в. ресурсо х людски и - сырьевых, энергетических , в частнос­ Рациональное планирование комплекса работ требует ти, ответа на следующие вопросы: а и трудо­ - Как распреде.'lИТЬ имеющиеся материальные средств кса? компле и звеньям между вые ресурсы отдельные - В какие моменты начинать и когда заканчивать звенья? менному заве р' - Какие могут возникнуть препятствия к своевре д. т. и ять? устран их как шению комплекса работ и 516

­ х по объему (количест внительно небольши у­ р т дае О При планировании сра IЧН Об� . ие вопросы в работ ответ на"так просто ву звеньев) комплексо ематических расчетов, мат ых льн циа спе без очень ководитель, причем о, когда речь идет об авого смысла. Однак ьшого бол из х щи н а основе опыта и здр тоя от, сос ящих комплексах раб друга, такие сложных, дорогосто словливающих друг обу м азо обр ым жн ает необ­ ник ч исл а звеньев, сло воз случа ях опустимыми. В этих но отве­ ван приемы становятСя нед сно обо х щи ыХ расчетах, позволяю льн циа спе в сть имо ход д других. выше -вопросы и ря ре­ тить на поставленные роко применяем ых при ши в, одо мет их п л а н и­ Одним из математическ о г о в е т е с Д о ач, является м е т шен ии такого рода зад (сетевое планирование часто называют, СПУ eг� как , или я р о ва ни управления). ать как прямые, так ования позволяет реш Метод сет евого планир е задачи отвечают ямы . Пр ледования операций и обратные задачи исс организации опе­ му схе ную если мы примем дан вать (сп�а� на вопрос: что будет, нужно орган изо . ечают на вопрос: как , макси сле рации? Обратные отв смы то омкак в чтобы она обладала, нировать) операцию, ью? мальноЙ эq:фективност жнее прямых- Чтобы правило, гораздо сло Обратные задачи, как читься решать прянау го все е ачи, нужно прежд решать обратные зад нем. ого рода задач мы и нач ­ мые. Et.oтecTBeHHo, с так ования является спи нир м для сетевого пла не ы зан Основным материало ука м , в которо от (звеньев) комплекса их сок или перечень раб нн�сть (окончание как вле сло обу ая имн вза их Будем назы­ юлька работы, но и ) оты раб дои каж я .: ала выполнени . комплекса работ требуется дЛя нач л и ц е и у к т у р н о и т а б р т с сок спи ой вать так работ. В структурнои" та блице ь работы аl. az Условимся обозначат олнения к аких работ жно быть указано, вып дол а! оты раб дой каж для •

•

. ..

Таблица 1.1 )\0 п/п

1 2

3 4

5 6 7

8 9

10 11 12 13 14 15

Работа

а1 а2 аз а4 аБ ао а7 ав а9 а 10

all

а12 а13 аlt a l�

Опира ется на рабо тЫ

а1' аз а1• а2' аз а1' а,. а10 а 1, а2 аз, а4. аБ а9 а7' а12 аl, а2 а4' аБ, аl0 аъ аз, а" а10 517

N,

пjп 1 2 :3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

No

I

I

Опи р а еТс я Н а р а боты

а1

-

02 аз

а

а1 . аз

аl '

а5

4

а1 ,

й7

а2 . аз -

04 . а10

а l ' l.!2

ар 00

аз ,

01 1 а1 2 <1 1 3 ан

07 а12 0 1 . 02 ag I а , 0 10 аз , a j . 0 5

01 0

I

-

-

°R

п /п 1 2 3 4 5 б 7 .8 9 10 11 12 13 14 15

Р а Б l 11 О

а Р бо

.-

О,

01 0

01 5

I

а9 )

ть

I

аь

I

Т а бл и ц а 1 . 2

I

Раиг

Ь1

ЬБ Ь2

ив Ьз Ь4 t 2 1 Ь7 Ь9

Ь1 1 Ь1 , ив b\ � Ь10 Ь 1, Та бщ ц а 1 . 3

О п и р еТС Я а

н" р а бо т

Ь1 Ь2 Ьз

-

Ь5 Ь6

Ь7 Ь,

в Н О В О Й нуме раци и

I 2 I 3 I 1 6 3 4 5 7 3 6 4 6

-

Ь4

Uбозиаче н и е

-

-

6 1 . Ь2 Ь 1 • b s • Ь2 Ь ] , Ь5 Ь1 , Ь Б

Ь9 Ь 10

Ь2 , Ь о , Ь з

ЬН Ь1 2 Ь1з 61 4

Ь9 Ь 1 , Ь6 • ы 1 Ь 6 , Ь з • ЬН

Ь1 5

ы

Ь9

ы1

518

,

.

•

2.

. . .

С ЕТ Е ВО Й Г Р А Ф И К КО М П Л Е К С А Р А Б ОТ. В Р Е М Е Н Н О Й С ЕТ Е ВО Й Г Р А Ф И К

Предположим, что н а м задана упор ядочен н а я стр у кту р н а я табл и ­ ц а компл екса р а бот н а п р имер , табл . 2 . 1 . .

Ь 1 2 , Ь,

она требует. или , как мы будем говор ить далее, на каки е работы она о п и р а е т с я . Пример стр у кту р ной таблицы компл екса работ дан в табл . 1 . 1 . В табл . 1 . 1 последн ий столбец содержит пер ечислен ие всех работ, без завершения которых данная работа не может быть начата . Проче р к в этой графе означает, ч т о данная работа может быть начата непоср ед­ ственно, сразу после при нятия р ешения о проведении компл екса работ. Первая операци я , которую мы проведем со стру ктур ной табли­ цей, называется у п о р я Д о ч е н и е м . При у пор ядочении работам придается некоторая нова я , бол ее удобная н умер а ци я (каждая работа может опираться тол ь ко на работы с меньшими пор ядковыми номе­ рами) .

д л я у порядочени я все работы подраздел яютс я н а р а н г и . Ра ­ бота н азываетс я работой п е р н о г о р а н г а , если для ее начал а н е требу ется выпол нения н и каких др у гих работ. В т а бл . 1 . 1 , ка к мы в и ­ д и м , име ются чет ы ре работы первого р а н г а : аl ' аз, а. и а6 . Р абота назы­ вается работой второго р а н г а , если она опи раетс я на одн у ил и н е­ ск ол ь ко р абот пер вого ра н га . Работа на зыва ется работой k-ro р а н ­ г а , есл и о н а опирается на одн у ил и н ескол ь ко работ н е выше (k- l )-ro р а н г а ср еди которых есть хот я бы одна работа (k - 1 )- го ранга . После того ка к произведено р а спр едел ени е работ по рангам, р або' там п р и писываются нов ы е номер а , н а чи н а я с работ первого ранга . затем втор ого, третьего и т. д. В ну тр и каждого ранга работы нуме­ руются в произвол ьном пор ядке . дл я п р и мер а произведем упорядочение р а бот, помещенных в табл . 1 . 1 (см . табл . 1 .2) . В дву х первых столбцах табл . 1 . 2 п р и вед е н ы : номер и обозначен и я р а боты в п р ежней н умера ции, в д в у х пос л едн их­ ранг работы и ее новое обоз н а ч ен и е в у по р ядочен ной стр у кту рной табли це. После того ка к упорядочение работ по р а н гам п роиз веден о , можно составить новую. упор ядоченн у ю табл и цу . где ра боты помещены в по­ р ядке их н овы х номеро в ( т а бл . 1 . 3) . Нетр удно видеть, что в н о в о й , у пор ядочен ной ст р у к т у рной та бл . 1 . 3 к а жда я из р а бот о п и р а ется тол ь ко н а ра боты с меньшими по­ рядковым и номер а м и В дал ьнейшем , п р и водя стр у кт у р ные табл ицы р а зл ичных КО�1 П ек ­ С О Е р абот, м ы будем с са мого н а ч ала сч итать и х упорядочен н ы м и . а дл я работ со х р а н и м первон а ч а ,JJ ЬН О вз я ты е обозначен и я : а1• а2

О Р а Б Тd

I

Та бли ц '] 2 . 1 Опирается на р .\боту

а]

аг

t

а, J

й!) ,

а2

a� а6

аз , а5 , 07

а5 1

а6

ав

С в я зи между р аботами , входящи ми в этот комплек с, можно изо ­ б ра з ить графически , в виде к а к назыв�емого с е т е в о г о г р а ф и -

519

к а ( и ли графа) . Этот графи к МQЖНО строит ь по-р азному. Чаще всего изображают работы, входящие в компл екс, стре л кам и, а со б ы т и я , со­ стоящие в выпол н ен и и каки х-то работ и возможности начать нов ые работы - кружками и л и « у з лам и » . дл я п р имера изобразим в виде сетевого графика ст руктуру табл . 2 . 1 (рис. 1 0. 1 ) . У з л ы будем обозначать Ао, А 1 , А 2, , работы a1 , а2, . . . Исходный узел всего комплекс а работ обозначим Ао и б уде м по­ нимать под н и м «начало работ» или « п ри н ят и е р ешения о начале ра­ бот» . Из этого узла исходят стрел ки a1, а2, а з , и зображающи е соответ­ ств ующи е работы и ид у щ и е соответственн о в у з л ы A j , А з . Сов­ местное выполнение работ a1 , а2 мы будем и з об р ажать допdдн ител ьным

отдел ьных работ и комплекса в целом. Поэтому мы будем пол ьзоваться первы м способом.

N.

П/D

• • •

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

��,

I

Работа а;

I

Та бли ц а 2 . 2 Опирается на работы

-

аl а2 аз

а4 а& ав а7 аа ао at o

ai , а 2 a z • аз а4 а& . а в аь . ав а7

аа

I

врем я 1/

10 5 15 18 19 18 8 25 30 8 --

П р ед п ол ожи м , что нам задана стр у кту рн ая табл ица компл екса работ, в которой п р оставлены времена ВЫполнения каждой р а боты: t1• 1 2 ' . . . Эти зна ч ения в р емен выполнен и я отдел ьных работ мы п р ед­ п олагаем не сл учайными, а известн ыми заранее. П о л учи тся таблица Рис. 10. 1

узлом A 1 ' 2' В кото р ый ведут пун кти р ные стр ел ки, не изображающие н и каких работ , а озн ач ающие тол ь ко логическую связь . И з узла А 1 , 2 исходит стрел ка а4 , изображающая р аботу а4 , оп ир ающу юся на р або ­ ты а}, а2; в конце стрел ки стоит узел А 4 , означающи й выполнение рабо­ ты а4 , и т. д. Завершающи й у зел А означает конец всего комплекса работ. На графе оп ущены св язи , логически вытекаю;цие из д р у г их ; на п р име р , работа ав в табл . 2 . 1 опирается на работы а з , а. , ав ; на г р &­ фе она показана опи рающейся тол ько на аб , �, так как сама р абота аб опирается на аз и без ее выпол нени я не может быть начата . Ка к уже было сказано, существуют р а з н ые фо р мы сетевы х гр'а фи ­ ков (см . , например , r 1 7]) . В одн и х стрел ками графа обозначаются ра­ боты, а узлами - событи я , состоящие в выпол нении одной или н е­ с кол ьких работ ; в др угих - узлами обозначаются работы, а стр ел ­ ками - логически е связи между Н и ми. Стр у ктурную табл . 2 . 1 м о жн о изобразить графически и по этому, второму способу (см. рис . 1 0. 2) . На этом р и су н ке жир ной л инией обведены к р ужки llg, а}о, изобража ющи е последн ие работы комплекса, на которые не опираются уже н ика ки е дал ьнейшие работы. Каждый из способов построен ия с ет е в о г о г раф и ка и меет свои пр е­ имущества и свои недостатки . Пр еимуще<.'Твом вто р о го способ а явл я ет­ ся то, ЧТО в него легко вносить новые, ранее не у казанные связи , ко­ торые обнаруживаются в ходе выполнения работ. Преимуществом пер ­ вого, на взгл яд бол ее сложного, способа явл я ется то, что он может быть сравнительно просто п риспособл ен к учету в р е м е н и выполнения _

520

Рис. 10.2

вида табл . 2 . 2, в которой L'Т Ру ктур ные связи - те же, что в та б л . 2 . 1 и на гр афиках р ис . 1 0. 1 , 1 0. 2 (устранены тОл ь ко «л ишние» св я з и) , но В п р авом столбце указаны времена выполнен ия отдельных работ, вы­ р а жен н ые в л юбых един ицах вр емени (часы, недел и. меся цы) . Та к у ю называть с т р у к т у р н о - в р е м е н н о й. табл и цу мы будем В р емен н ую стр уктуру комплекса работ, в м есте с логичес ко й стр у к­ ту рой, можно изо б р азит ь на ОДНом и то м же графике, котор ы й мы будем называть в р е м е н н Ь! М С е т е в ы м г р а ф и к о м . Мы будем его ст роить следующим образом. График ор иенти руется вдол ь оси в р ем е­ ии Of, на которой в каком-то масштабе откладываютс я вр емена выпол­ нен и я р абот . Как и на графике р ис. 1 0. 1 , ст р ел ка ми изоб р ажаются ра ­ боты, но дл ина каждой L'Трел ки не пр оизвол ьн а, а такова, что ее про­ екция на ось абсцисс Ot равна времени выполнения данной р а б оты . ло­ г и ческ и е свя зи между работами по-прежнему обозначаются п у н ктир­ ными ст р ел кам и , не означающими н и ка кой р еально й работы (иногда их толкуют как «фиктивные» работы). Начальный узел А о по-прежн е17 3ак. 5 7 3

52 1

МУ изображает начало комплекса работ; кроме него, вводится конеч­ ный узел А , изображающий окончание комплекса (это точка графика

с наибол ьшей а бсциссой) . Временной сетевой график дл я комплекса работ, заданного в табл . 2 . 2, показан на рис. 1 0.3. При построении временн6го сетевого графи ка расположение узлов по верти кал и (по оси ординат) берется произвольным, абсцисса же каждого узла равна времени окончания соответствующей работы . длина каждой стрел ки считается от центра до центра кружка . Проследим, ка к строится временной сетевой график на рис. 1 0.3. Начинаем его с узла Ао, помещенного в начале координат. Из этого узла исходят три стрелки : аl. а2' и аз, проекции которых на ось ое

А озна ­ Так к ак работа ag завершается последней , то у зел А 9 чает окончание всего комплекса работ; отметим этот узел жирным круж­ ком и соеди ним с ним пунктирной стрелкой узел А10 - окончание пре­ дыдущей р аботы а10, на которую, кроме конца работ, ничто не опи­ рается . Та ким образом, временной сетевой график комплекса работ по­ ст роен . А9 84 от начального узла А о до з авер шающего А В ремя Т е о р о т о к а з , я м е р в л а е о м н и ь н и яет м пр едставл собо й 1< о М п л е к с р а б о т. м о ж е т б ы т ь з а в е р ш е н Обратим внимание на следующее обстоятел ьство: время Т пр ед­ ставл яет собой сумму времен исполнения не всех работ, а тол ько не­ которых из них: =

Т

Рис.

А

10.3

равны временам выпознения соответствующи х работ: 11 5 1 0, 12 1 5. Ра бота а4 опирается на работы a1 и а2; из них работа az кон ­ 1 0; значит, рабо­ 5, а работа аl - в момент t1 ч ается в момент /2 1 0, когда ОКО Нчена та а4 может начатьс я не раньше, чем в момент /1 а1 ' Начнем стрел ку а4 из узла А1, а УЗt'л А 2 соедин им с А1 пу н кти р н ой стрелкой. Проекци я стрелки а4 равна 14 = 1 8, следова тел ь но , абсцис­ '1 + са узла А 4 • в котором эта стрел ка кончается, должн а быть Т4 =

=

n tз

=

=

=

=

=

+ '4

=

1 0 + 18

=

28.

Ст рел ка ай , опирающа я ся на а2 и аз. должн а начаться в узл е А з. 1 5 ; узел А 2 соеди­ имеющем н аи бол ь шую а бсци сс у из t 2 = 5 и t з няем с А з пунктирной стрел кой . Узел А5• которым за канчивается t s + t5 = 15 + 19 ст р ел к а /1s, имеет а бс ц и сс у То 34. Стрел ка а6 н ачи н аетс я в узле А4 и кончается в узле А 6 с абсцис­ 46 . Стрел ка а.;, опирающа яся на а5' 28 + 18 Т4 + t6 сой Т6 ао, долж н а начинаться от узла А6, имеющего, по сравнению с А 5 , б ол ь ­ шую абсциссу ; из Аь в А 6 направляем пун ктирную стрел ку . Стр ел ка а.; кон чаетс я в узле А7 с абсциссой Т7 = 46 + 8 = 54 . Стрелка lls на­ 46 и конча ется в узле А в чинается в том же узле Ад с абсциссой То 30 начи­ 7 1 . Стр ел ка ag с проекцией '9 46 + 25 с абсциссой ТВ 54 + 30 нается в уз л е А7 и кон чаетс я в узле А9 с абсциссой Т9 84 . Стр ел ка alO. опирающа яся на ав, иачинается в узле А 8 и кон­ чается в узле A 10 с абсциссой Т10 79. 71 + 8 =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

622

=

=

=

t1

+ t4 +

t6

+

t7

+ t9

=

1 0 + 18

+ 1 8 + 8 + 30

=

84

.

Работы а1, а4, ао, а" ag, из длител ьностей которых составлено вре­ мя Т, называются к р и т и ч е с к и м и р а б о т а м и , а цепочка соответствующих им стрелок на сетевом графике - к р и т и ч е с­ к и м п у т е м. На р ис . 1 0. 3 к ритичес кий путь показа н двойными стрел ками . Особенность крити ческих рС!бот состоит в следующем: дл я того чтобы было соблюдено мини мал ьное время выпол нения комплекса , каждая из Них должна начинаться точно в момент, когда з акон чен а последня я из работ, на которые она опирается , и п р одолжатьс я H� более того времени, которое ей отведено по плану; малейшее запозда­ ние в выполнении каждой из кр итических работ приводит к соответ­ ствующей задержке выполнения плана в целом. Таким образом, кри­ тический путь на сетевом графике - это совокупность н аи более уя зви­ мых , «сл абых месТ» плана, которые должны укладываться во времен­ ной план с н а и бол ь шей четкостью. Что касается остал ьных, «некр ити­ ческих» работ (в н ашем случае это а 2 , аз . /1s , ав, а10) , то с ними д�o о? ­ стоит не так плохо: кажда я из эти х работ имеет изв естные временные резервы и может быть заКОНчена с некоторым опозда нием без того, чтобы это отразил ось на сроке выполнения комплекса в целом. Резер вы , соответствующи е некритическим работам, легко могут быть оп ределе н ы по сетевому графику. Назовем �некритической дугой» СQВОКУПНОСТЬ некритических ра­ бот и узл ов, начинающуюся и кончающуюся на критическом пути (п ри нимая во ВНимание и пун кти рные стрелки) . На рис. 1 0 . 3 и меютс я четыре некритических дуги :

Ао - а 2 - А 2 Ао - аз - А в Ао - а2 - А 2 А6 - ag - А в

=

=

=

=

- А 1,

- а5 - А5 - А 6 • - А з - а5 - А 5 - А 6 , - аl0 - А 10 - А9•

На первой из этих дуг лежит одна некритическая работа a z ; н а второй - две некритические ра боты аз, а5; на третьей - две некри­ тические работы а2• а5; н а четвертой - две некритические работы ав, alO'

1 7*

523

Каждой некриtической дуге CODtBe'ГCТBYeт определен ныА времен­ ной резерв , который может быть п роизвол ьным образом распределен между некр итическими работа ми, лежащими на да нной дуге. Этот ре­ зерв равен разности между суммой времен кр итических работ, лежа­ щих на кр итическом пути , замыкающем дугу, и некритических, лежа­ щих на самой дуге. Напр имер , на дуге А о - а2 - А 2 - А 1 лежит тол ько одна не­ критическая работа а2; на замыкающем ее отрезке кр итического п ути А о - аl - А1 - одна критическая работа а]; резерв времени, прихо­ дящийся на работу а2, равен R 2 1 0 - 5 = 5. Сл едовател ь­ t] - t2 но, выполнение работы а2 может быть, без ущерба дл я общего срока , задержано на 5 единиц времени. На второй некритической дуге Ао - аа - А 8 - а а - А . - Ав лежат две некр итические работы аз, аб; на замыкающем участке крити­ ческого пути - три критические работы a1, ан а6• Значит, общий ре­ зерв времени, при ходящи йся на работы аз, аБ, равен: =

t] + t4 + t6 - (t з + (.)

1

2

3 4 5 6 7

=

=

RЗ.5 12.

о/о

N,

=

1 0 + 18 + 18 - ( 1 5 + 19)

8

9

10

11 12

I

Та блиц а 2 3

Работа

а,

I

Опирается

на работы

-

аl as aJ

а.

аа

аl '

ае а7

аз . а" . а" . а7 ,

ав

а9 а]о аl 1

аз а. а6 а6 ав

aZ I

а"

ав

аэ • alO ао • аl0

а12

I

Время /, 20 15 10 20

10 10 20 15 10 10 10 20

=

=

Его можно любым образом распределить между работами аз , аб . lIa третьей некритической дуге резерв равен :

R 2 . 5 = t1 + [4 + t6 - (t2 + lб)

=

1 0 + 1 8 + 18 - (5 + 1 9)

=

22.

Так как нам уже известно, что с работой as мы можем за поздать не более чем на 5 единиц времени, а с работой llr, - не более чем иа 1 2. то требование, чтобы сумма опозданий была не более 22, не говорит нам ничего нового. На четвертоА некритической дуге имеется резерв

R8. I O

=

t7 + /9 - (t8 + t10)

=

8 + 30 - (25 + 8)

=

5,

который может быть п роизвольно распределен между работа ми llв. Знание критического пути на сетевом графи ке полезно в двух отношениях: во-первых , оно позвол яет выделить из всего комплекса работ совокупность наиболее «угрожаемых», непрерывно наблюдать за ними, и, в сл учае надобности, форсировать их выполнен ие; во-вто­ рых, оно дает возможность в принци пе ускорить выполнение компл ек­ са работ за счет привл ечения резервов , скрытых в некр итических рабо­ тах, если удается за счет их «безвредного» замедления перебросить часть сил и средств на более важные, кр итические работы . Заметим, что на сетевом графи ке вообще может быть не один кр и­ тический путь, а два или более; естественно. сумма времен критических работ на каждом из них должна быть одна и та же. П ример. Пост р о ить вр еме н ной гр афик дл я ком пле){са р абот. да н ноro в стр у ктур но-в ременно й табл. 2. 3 . Н айти на нем кр итич ес к и й п уть (ил и пути, есл и и х нес кол ь ко) и оп ред е л ить резерв ы времен и на некр итически х дугах Решен ие. Сет ев о й г р аф и к комплекса д а н на р ис. 1 0. 4 Кр итич еск ий путь о бо з н а че н дво й н ым и стрел ками и состоит из р абот:

aI. 11&. а, . йj, аа· 524

Рис. 10.4 Однако мож но постр оить и другой кр ит и ческ и й ПУТЬ. сост()я щи й . на пр и· мер . из р абот

при этом время одно н то же:

а•• йв, а"

й:lo. й:l,;

Т оконч а н и я комплекса р абот по обоим кр ити ческим путям будет

80, = /] + 1" + /7 + /9 + /]а '" 20 + 10 + 20 + 10 + 20 20 + 10 + 20 + 10 + 20 0= /4 + /0 + /, + /10 + /а 80. Кроме эти х ДВ УХ на гр афи ке (р иа 1 0 . 4) мосут бытЬ обн а р у же ны еще т Т

=

0=

=

некоторые КРlIти ческие п ут и ; предоста вл яем '1итаrел ю найти их са мо стоятел ь но. Выдел яем на сетевом гр афи ке (рис. 10. 4) четыр е некр ити ч е ские д уги:

Ао - � Ао - аз А. - llв А в - й:ll

- А 2 - A1• - А з - А 1• - A� - А1, - А 1I - A 1,· 525

Н а к а ждо й и в эти х дуг им еетс я по од но й нек р ити че с кой р а боте -' а 2, Р ез е р в ы в р ем е н и дл я н нх р а в н ы соотв етств е н н о :

- t з 1 0; RH .Некритическа я д у г а А о - аз - А а - А 4

!ii . t1 - t2 W

Rз

5;

=

=

t1

0=

=

в

з

-

t7

ts

5;

=

Rl1

=

а 3' а8 t1 2

и

а11'

- tB

0=

на ш их у сл ов и я х н е д ает нов ых

д а н ных о р е ерв а х вр еме н н .

3.

Ф О Р МАЛ Ь Н АЯ ЗА П И С Ь ( АЛ ГО Р И Т М) ЗА Д А Ч И С Е Т Е В О ГО П Л А Н И Р О В А Н И Я

а нал иза пла­ комплекс не уемый планир на работ пригоден тол ько в случае, когда . На прак­ ей) з свя х ки логичес и работ еству ч и кол по СЛ ишком сложен ( го числа тике часто встреча ются компле ксы работ , состоящ ие из огромно ся др уг рающих опи образом м сложны , ) ее л звен ьев ( пор ядка тыся ч и бо на друга . Естеств енно, что в та ких случаях вычерчи вание сетевого основ­ I/рафика вручную - тя желое и неблагод а р ное за нятие, та к как и этом р п ность нагляд его графика о сетевог ное преиму щества в таких слу­ т е ря ется . Дл я анализа и усовершенствов ания плана работ ЭЦВМ. чаях обычно привл екают ствую ­ дл � того чтобы машина была способн а произвести соответ ру по­ процеду изовать формал ью щи е деи ствия , необход имо полност ь­ вател последо четкой виде в ее ь выразит , ка графи о сетевог строени я ности действи й или а л г о р и т м а . пр и ­ Опише м одиuн из возмож ных алгори тмов, которы е могут быть ч е­ о Д я р о п у менены для этон цел и . Прежде всего, выполняется на яются здел а р работы чего я дл 2), § (см. н и е структ у рно й таблиц ы тся . опираю они е которы на работ, и рангов исла ч изнаку р п по , ранги л иваться не Это - с ра в нител ьно проста я з адач а , и н а ней мы останав выпол нено, работ екса компл очение д упоря ;ТО будем . Предположим, в виде и структу р но-врем енная таблица предста влена, напр имер, О писанны й

в ыше графиче ский способ построе ни я и

табл . 3 . 1 .

N,

Та блиц а 3 1 п/п

1 2

3

4

5

6 7 8

9 10

I

Работа йJ

аl

ag

аз а4 а. а6 а7

ав а9

alO

f

Опирается на

работы

-

а1 . a g а1 ' аз . а4 а 2 , аз а4

а4 • а5 а4 , аб ' а6 ав . а9

I

Время t i

t1 ti

tз

t4 t. t• t7 t8

t9 t10

отр ажен­ Запиш ем в виде матема тическ и х ф о р м у л систем у свя зей. им обознач этого я Дл . екса компл ице табл й еменн6 ную в структ урно-вр 526

т;

- ми нима льно

а; (в р емя отсчи ты­ ожны й срок ее возм ьно мини ма л

возможный срок нача ла ра боты

ваетс я от нача ла проц есса) , а Т, окон чани я . Очев идно Т; = "& ; + t i,

(3. 1)

ты а/ . где t! - врем я выпол нени я рабо но записат ь форм улам и все Пол ьзуяс ь этими обозн ачени ями, мож . Действител ьно, пусть , лекса комп и м а работ л огически е свя зи между ы aj, а/, a/l.. Т огда работа а; на пример , работа а; опир ается на работ из работ aj, ах, ak, котора я та тся не может начаться раньш е, чем кончи з ь м ы запиш ем в виде форм ул ы кончается п о 3 ж е в с е х _ Эт у свя (3. 2) "; = ш ах { Tj, Tl, Tk} . м комплекса по очер еди , П римен я я таки е форм улы ко всем работа ; , в конце концов, мини ­ и Т работ я чани мы на йдем все моменты окон комплекса работ Т. мал ьный срок окон чани я всего матери але табл . 3 . 1 . Вы­ П родемонстри руем , как это дела ется на всех работ комп лекса . числ им вели чины 'ti и Т; дл я имеем: Для работ пер вого ранг а а1 ' а2' аз '1

= 0;

'Т2

=

О;

з

=

О;

"&

'(4'

Т1 = t1; Т2 t2 ; Тз tз• =

=

она может нача ться в мом ент Работа a� оп ир аетс я на работы а1 , а2; ающаяся из работ а1, а 2: конч но позд олее когда окон читс я наиб 1:4

= т ах I TH Т 2 ) .

Мом ент окон чани я работы а4:

(3. 3) (3 . 4)

T� = 'Т 4 + t�.

д. : Ацалогич но, для работ аб• а6 и Т. "6 = rn ах { T t • Т В.

TfJ = T5 + ti); 'Т в = т ах { Т2, Та

=

"& 6

T� I ;

Тз ) ;

+ t6;

'Т7 = т ах { T� } = Т4; Т? = 'Т7 + t7; 'Тв = ш а х { Т4, то ) ; ТВ

= "&в

(3.5)

+ tB;

"&9 = та х ( Т4, ТБ, Тв ) ; Т о = 'Т9 + t9;

't10 = ш а х { ТВ. ТВ } ;

Т111 = "&111 + t11l•

527

Таким образом. на йдены моменты начала 1'1 и окончани я Т! всех работ комплекса . Естественно, что в ремя о ко нчани я всего комп лекса равно ма ксимальном у из всех в р емен окончания:

т

=

т ах

( Т1• Т2,

• • •

,

T8 = t6 + t6 = 20 + 1 8 = 38; т а х { Т 4 } = Т( = 25 . Т7 = Т7 + '7 = 25 + 40 = 65; тв = т ах { Т4 , Ть } = ш а х { 2 5 , 40} = 40 . Th = t� + 18 = 40 + 8 = 48; т9 = т ах { Т 4 • Ть , то} = ш а х { 25 , 40 . З8} = 40 . Тя '];9 + 19 = 40 + 23 = 63; т] о = ш а х ( Т8 • тв } = ш ах ( 4 8 , 63 } = 63 . т7 =

(3.6)

T10 1 .

Чтобы на йти к ритические работы (а стало быть, и критичес кий путь) . нужно сделать следующее; прежде всего на йти работу at , дл я которой в ремя окончания Т! Т максимально; эта работа . конечно, будет кр итической . Затем на йти среди формул (3.5) ту . которой опре­ деляется момент начала этой работы 't t. В еличи на l' t представлена в виде ма ксимума каки х-то моментов Т}, Тn• Т/ • . . . ; нужно на йти тот из них, на котором достигается ма ксимум (если та ких моментов не­ скол ько, вз ять любой из н и х ) . Та работа ат, при которой дости гается этот макси мум, будет второй от конца работой на кр итическом пути . Далее точно та к же определ яется третья и т. д . работы н а критичес ­ ком пути . Т а к им обр азом , критической будет работа с са м ы м поздним сроком оконча н и я и все работы, на в ремени око нч а ния которых дости ­ гается ма ксимум в выражени и , оп редел я ющем срок начала очередной к ритической р аботы . Конечно, максимум в ка ки х - н ибудь из форм ул (3. 5) может достигаться не на одной , а на нескол ьки х работа х ; соот­ ветственно на каждом ш агу мы можем пол учить не один , а нескол ько критически х путей .

N,

п/п

1

2

3

4 5 6 7 8 9 I ()

I

Рабо т а

I

а,

Опирается

иа

ра боты

-

аl а2 аз

-

�

� l ' а2 аl , !!э , а 4

а.

ав ,

ао

�

а7 ав

!!: з

ао , � а4 . � . ав йэ !!..9

�

a10

1

I

Таблица Время

3.2

tl

15 12 20

10 15

18 40 8 23

11

И м ее м :

T2 = 1 2; Т 1 = 20; ( Т 1 , Т2 } = ш а х { 1 5 , 1 2 } = 15 . T4 = '0 + 1( 15 + 1 0 = 25; 't5 = m a x { Т1 , Тз , Т4 ) = т а х { 1 5 . 20 , 25} = 25 . Тб = т5 + t5 = 25 t 1 5 = 40; tв = шах { Т2 , Тэ ) = ш ах { l 2 , 20} = 20 .

Т1 = 1 5;

'4 = ш а х

=

528

(3 . 7)

(З . 8)

(З 9)

(З . 1 1 ) ( 3 . 1 2)

=

=

П р одемонст р и р уем а л г о р итм построе н и я к р ити ческого пути на мате р и але той ж е стр у кт у р но-вр еме н но й табл. З . 1 . Для это го , очев ид но, надо задаться в этой табл и це ко н к р е т н ы м и з н а че н и я м и времен tt (табл . 3 . 2) .

(З . 10)

( 3 . 1 З)

Т 1 0 = ТI0 + 1 1 0 = 6 З + 1 1 = 74 . ме н

В р е м я в ы пол не н и я всего комплекса р абот есть макси м а л ь ное из всех в р е­ т. е. Т10 = 74 :

Т/,

(3 . 1 4) Н а йдем к р и т и чес к ие р аботы. н а ч и н а я с послед ней Т а к как м а кс и м у м в фо р ­ муле (З 1 4) дост и г ается дл я Т] О , да н н а я р а бота аl0 явл яетс я к р ити ческой . О н а оп и р ается на р аботы аэ и tI1j Ка к а я же и з н и х явл яется к р и т ическо й ? О чевид но, ае, та к к а к м а ксимум в формуле (3 I З) п р и х одится на Т9• Пер ех од и м к фор м уле (3 1 2) - в ней ма кси м ум п р и ходится на Т5 , з н а ч ит, р абота аь - крити чес к а я . Далее , а н алоги ч н ым способом, просм атри ва я м а кси м у м ы в фо р м ул а х ( З . I I ) (3. 7) , на ходи м од ну за др у гой все к р ити чес к ие р аботы. Перечисл е н н ые в естест, ве н ном пор ядке , о н и б удут : аl. а з . а(. as, tI1j, аl 0 Т а к и м обр аз о м , КР Н1 и чес к и й путь найден ч исто фор м ал ь н ы м с пособо м. без постр оени я сетевого г р афи к а В табл З. 2 подчер кнуты все кр ити ческие р а· боты. Сове р ш е н но аналог и ч ным фо р м ал ь н ы м способом могут быть о пр едел ены и не к р ит и чес кие д у г и . и соот веТСТВУЮ111 и е им резе р в ы

4.

О П Т И М И ЗА Ц И Я ПЛ А Н А К ОМ ПЛ Е К СА РАБ ОТ

Мы уже говорили о том, что сетевой графи к (или замен я ющий его фор мал ьный алгоритм а нал иза комплекса работ) может быть испол ь­ зован дл я улучшени я (оптимизации) пл ана. это улучшение может производиться с различными цел ями . На­ Qример, может оказаться , что общее в р емя выпол нен и я комплекса ра­ бот Т нас не устра ивает; возни кает вопрос о том, ка к нужно форси ро­ вать работы дл я того, чтобы общее время не п ревосхощiЛО заданного срока то. Очевидно, дл я этого имеет смысл форсировать именно кри­ тические работы, снижение дл ител ьности которых непоср едственно ска· жется на времени Т. Однако при этом может оказаться , что кр итичес­ ки й п уть изменится , и наиболее сл абыми местами по в р емени окажутся ка кие-то другие работы. Естественно п редположить, что форсирова ­ н ие работ дается не да ром, а требует вложен и я ка ких-то с редств . · Воз ­ никает ти пична я задач а исследования опера ци й : какие дополнитель­ ные средства и в какие работы следует вложить, чтобы общи й срок вы полнени я комплекса работ был не больше зада нной величины ТО, а расход дополнительных средств был минимал ьным? Друга я задача оптимизации относится к перерасп ределению уже имеющи хся средств между отдел ьными работами . В ыше мы убедил ись, что все работы, кроме критически х, имею т какие-то временные рез ер ­ ВЫ. В н е к ото р ых случа я х оказы�ается возможным, пер еб рос ив силы 629

и средства с некрити чески х участков плана на критические, добиться уменьшен и я суммар ного в ремени выпол нения плана . Снова возникает ти пична я задача иссл едования операци й : какие силы и средства надо перебросить с одних работ на дру гие дл я того, чтобы время выплн е-­ ния компл екса работ стало мин имал ьным? На конец, возможна еще одна поста новка задачи оптимизации пла на . После построени я сетевого графика нам стало известно, что ми­ нимальное в ремя выполнени я всего компл екса работ укладывается в зада ин ый срок с избытком:

на с есть ИЗВестный резерв в ремени, которым мы вправе распоря­ жаться, нескол ько растянув работы ( но , разумеетс я, так, чтобы не вы йти за зада нный срок То). Растянув работы , мы можем сэкономить некоторые средства . Возни кает вопрос: до ка ких пределов можно уве­ лич ивать времена выполнени я работ и ка ких работ, чтобы полученная от этого экономия средств была ма ксимал ьной? В та кой постановке мо' жет ста виться задача оптимизации необязател ьно всего пла на. а может быть, отдел ьных некритически х дуг, на которых выявлены временные резервы . Дадим постановку каждой из эти х задач оптимизаци и в формуль­ ной за п иси . Дл я простоты будем предполагать, что кр итический путь один (если это не та к, очевидно, всегда можно, внося во в р емена выпол­ нени я работ Е-изменен и я , сделать кр итический путь единственным. подобно тому, как мы поступали в вырожденных задачах линейного программирования ) . Задач а J . Компле кс состоит из работ а1 ' а2, . . . , ал с в р еменами Вы­ пол нен и я 11' ' 2 , . . . , 'п ; извест ен крити ческий путь , п р ичем время вы ­ полнения комплекса равно т. е. у

и чтобы при этом общая су мма дополни тел ьных вложений был а минимал ьна :

ср едств и и зменения времен) .

Пр и мер 1. Имеется ко м плекс р абот в стр уктур но-времен н6й табл . 4. 1 .

N.

где суммирование распространяется по всем критическим р а ботам н о в о г о критического пути (полученного после перераспределения 5 80

п/л I

2

3 4 5 6 7 8

r д е суммирование распространя ется тол ько н а кр итические ра БОты.

(4. 2)

=

=

(4. 3)

min.

Поставленная задача напоминает задачу л инейного программи ро­ вания , потом у что в ней при некоторых ограничени ях -н е равенствах тре буется миними з ировать линейную функцию (4 .3) от элементов решения. Однако в общем слу чае входящие в ог ра ничени я (4.2) фун к­ ции ';(х д нелиней ны, так ка к вложение каких-то ср едств в работу а; не об я зател ьно вызывает л инейное уменьшение времени, затр ачи в ае­ мого на эту работу . Поэтому в общем виде поставленная зада ча от­ п р о г р а м м и р 0носится к классу задач н е л и н е й н о г о в а н и я , кото рые го раздо сложнее ли нейных задач и о бщие способы решения которых не разр абота ны. Таки ми нел инейными задач ами мы здесь заниматься не будем , отсыл ая интересующихся к специальн ым р у ководствам ([2, 28]). Одна ко, если ограничиться сравнител ьно не­ . бол ьшими изменен и я ми плана (та кими , п ри к оторых время вы п ол ­ н ения работ п р ибл изительно л инейно зависит от вложенн ы х дополн и ­ тельных с редств , а кр итически й путь не мен яется) , поставл енная з а да ­ ч а � тановится зада ч ей л инейного п рограмми рован ия и мож ет б ы т ь решена уже известными нам способами (см . гл . 2).

(4. 1 )

Заданный срок выпол нения комплекса работ ра вен то Известн о, что вложен ие определенной суммы х до полнительных средств в работу ai сокр ащает время выпол нения с '! до ' , ' = МХ) < [,. Спра шивается , ка кие дополнительные средства Хl , х 2, . . .. хп следует вложить в каждую из работ, чтобы: - срок выполнен и я комплекса был не выше заданного То. - сумма вложен ных средств достигала мин·и мума . Таким образом, нам требуется определить неотр ицател ьные зна­ чения перемеНIIЫХ хl, Х2 • . . . . хп (дополн ител ьн ые вложени я) та к , чтобы выполнялось у сл ови е

i�' Х; n

Х

I

Работ а Gi

аl а2 аз

I

al ' ag, . . . .

Опирает<:я иа р а боты

-

а4 а5

аl .

a 1 , а2

а2

,

аз

ав

а l , а2 . аз

ав

а4 '

а7

аа, пар а м етр ы которого даны

а6

а$ '

а,

I

Таблица 4 1

время ti 20 10

8

20 10 5 5 lO

Сетевой гр афи к компл е кса р а бот да н н а р ис. 1 0 . 5. З авер ше н и е р а боты ­ узел А = Ав; кр и т и ч ески й путь состоит нз р абот al' ао, а в . В р е м я око н ч а н и я к о м­ пле кса :

Это вр е м я долж н о быть у ме н ь ше но до То = 4 0; дл я этого нам по надоби т с я некотор ые КР ИТИ 'lеские р абот ы. Известно. что в р а боту a i можно влож ить с р едст в а Х/ в размере не более, чем С / , при 310М врем я вы пол нения работы уменьшается согл асно л и н ей н о й з а В И С ИМОСТ И I

фо р с ировать

(4 . 4 ) 531

да я критических р а б от 11t .

о,.

Таблиц а �. 2

йв п а р а метр ы 6 1, С, р а В ИЫI

Сво60 Д Н Ы Й ч ле н (4 .5)

Т р е б у етс я о пред ел и:rь вл о ж ен и я %1 ' Х•• ХВ lI' а к . чтобы с р ок в ы пол не н и я ко м­ пле кса был не бол ь ш е Т" -= 40, а сумма вложен и й дост и г а л а м и н и мум а l X) + X4 + X8 = mi n .

Решение. У сл ов и я

и

(4 4)

(4 . 5) в,аЮ
2 -xl > 0;

(4 .6)

5 - XR > 0 .

2 - Х4 > 0;

Х4

Х1

Ха

L

О

-1

-1

-1

УI

2

1

О

О

У2

2

О

1

О

Уз

5

О

О

1

У4

-10

-4

-6

-1

Та олuца ".3

Свободн ый член 50

УI

t

У2 Уз Рис. 10.5

У4

Нов ы й ср ок вЫпол не ния р абот (пр и услов и и, что к р ити чес к и й п уть не менитс я )

Т ' = t) ' + {/ + t8' = { 1 ( \ - О , 2Хl ) + t 4

L

-< 40,

от к уда

(4 .1) Поставим з адачу л и ней ного п р о г р а м м и ровани я : найти неотр и цател ь ные з на ч е н и я перем е н н ы х Х1 , Х , . Хв . удо в л ет в о р я ющ и е услов и я м - нер аве нств ам (4 . 6), (4. 7) .1 об р а щ а ющ и е в ми н имум л и н е il Н УЮ фу н к ц и ю

(4.8) Решаем

532

зад а ч у

согл а с н о

д о п о л н ител ь н ы х

общим

п р а ll илам

пе р е м е н ны х

Уl'

симплекс-метода (см. гл . 2). Уо усл ов и я - н е р авенств а

Уз. Уа.

5

·3

5

-10

J

о

.i

О·

О

2

-3

О -4

з

С в о бо ч л ен

Эта вел и чи на не до лж н а п ревос хоДнть То = 401

В веде н ием

2

1

I

о 2

3

О

Го

I

п-

О

JY

е

)

-6

О О

о 1

-6

I

I

-1

о I

6

Та6Л/Jца Ч. Ч

( 1 - 0, 3х.) + tp ( I - O , lx8) =

-ХВ

О

ИЗ­

= 20 ( I - О , 2Х1) + 20 ( I - О , 3х 4 ) + \о ( I - О , 1 Х 8) = 5О - 4Х1 -6Х 4 - Х80

50 - 4ХI - 6х(

2

Х8

Х4

Х)

Уl У2 Уз Х4

5 3 2

дн ы й

Х1 1

У4 I

Х8 5

6

- "6

•

О

О

-3

3

-3

2

1 6

J 6

5

О

О

1

5 3

3

,

2

1

- в-

1

6

533

(4 . 6) , (4. 7)

п рео бр аз уются в

р авенства:

ТО ). Т2,

Yl = 2 - Xl '

У2 = 2 - Х4 .

1:7 ;;;;;' то;

уз = 5 - хs ,

1:в ;;;;;' Т 5 ,

У4 = 4Хl + 6Х4 + ХВ - I O . С о ст а вл я е м сим пле к с - т а бл и цу (табл 4 . 2 ). П ол аг а я св о б од н ы е переме н ные равным и н у л ю : Хl = Х4 = Ха = О , полу ч и м недопустимое решение, в котором У4 = - 1 0 , поэтому опор ное реше иие О З Л П тре б ует с я еще найти. Поступ аем

согласно общему пр авилу на хождения о п о р ного р е ш е н и я О З ЛП (см. § 7 г л 2) О тб р асыв а я времен но стр о к у L ( п р и нахожде нии опор ного решения о на не нужн а ) и в ы би р а я в K a 'l eCTBe р азрешающего э ле ме н т а элемент -6 в п осл едней стр оке, ПОЛ У 'lи м с и м плекс-та бл и цу ( т а бл . 4. 3 ) . П родо л ж а я действ и я , п р и х одим к о п ор но м у р ешен ию, записа н ному в т а бл . 4 . 4 . В та бл . 4 . 4 все с во б од н ы е члены у ж е положител ьны, зна ч ит, опор ное ре­ . шение наидено. В ст роке L т абл. 4 . 4 п о м еще н а (В стандарт ном в и де ) л и не й на я фу н кц и я L, в ы р а же н на я через новые свобод ные перемен ные хl ' У4 ' Ха: L = Xl +х. + ХЭ = Х1 + 5/з _ 2 /З Х1 + 1/6 Y4 - 1/ 6 XS + X� = =

=

(на помним, что здесь nови я - неравенства

ХЭ У4 2 , У2 = =

=

О,

1/3 ,

Х,

-

-<

•.•

, 8)

посто янные). Дал ее, сох ран яются у с­

С,.

(i

=

1,

...

, 8).

На конец , условие выполнени я всего компл екса работ в срок о б ратится в ограничени я-н еравенства Т 1 -<

ТО, . . . . ТВ < То,

из которых, в сил у особенностей данной конкретной стр укту рной та бли­ ТВ � ТОцы , можно оставить л ишь последнее: При всех эти х услови ях нужно ми нимизи ровать л инейную фун кцию

5/3.

L = X l + . . . + Хв•

Ита к, задача свел а сь к задаче л и н ейного п рограмми рован и я с 2 1 пер еменной , с 8 ограничен и я ми-н еравеп ствами и 2 1 огра п ичением-нера­ венством; введен ием допол нител ьных п еременных ее можно свести к озлп с 42 переменными и 29 огран ичен и ями- равен ствами . К:онечно задача с семью переменными и четыр ьм я ограничен и ями- равенствами во много раз п роще ; так что в та ких сл уча ях разумно сначала прове­ рить, не сох ранится ли к ритически й п уть п режни м . как это было п р и чи слов ы х значен и я х ' " Ь! Ci' ра ссмотр енн ы х в п римере 1 . З адача 2. Имеется совокупность работ: a1 • а 2 , . аn с временами выполнен и я '1 , t2, , t • В р емя выполнен и я комплекса работ выра­ n жается формулой

Уз

=

5,

t, и Ь,

(i = 1 •

работы от вложенных

П р и этих з на ч е н и ях пер емеНliЫХ сумм а вложений дости гает м и н им у м а '

=

Х4

=

L = Lm! n

= 5 /3 .

Т а к и м о бр а зо м , оптималь ным решением по вложению средств я в л я ется следующее: вложить СУ.ММ'у Х4 5/ 3 в р аб от у а4; в р аботы а1 и аэ не в кл адывать ср едств . П р и этом ср о к Т выпол нения р аб от будет: =

Т ' = /1 + t/ + 18 = 20 + 20

( 1 - 0 , 3 . 5/3) + 1 0 = 20 + 1 0 + 1 0 = 40 = To•

Пр о в е р и м , со х р а нитс я ли пр и т а к о м реше н и и к р итич е с к и й п уть? Из р и с . 1 0 . 5 видно , ч т о сокр а ще ние 1« с 20 до 1 0 еще не меняет КРИТИ'l ес­ кого пу т и н а х оди т с я уже на с а мой р а ни це ого со к р аще ни я п и к ото о г р м , !l0 , р т кр ити чес к и и путь м е н я е т с я .

Возни ка ет естественный воп рос: а как быть, eCJIи п ри вложении средств в какие-то раБотыi к ритический п уть изменится ? Оказ ыва етс я , в этом cn учае задачу оптимизации та кже можно свести к задаче л и­ нейного п рограмми ровани я , но к другой - уже бол ее сложной , с бол ь­ шим числ ом переменны х . Покажем , ка к это делается, на том же п р и­ мере. но в буквенном виде, не довод я до численных р езул ьтатов. В качестве переменных введем средства Х1 , . . . , ХВ • вкладываемые в р а б оты а1 , . , ав , ; м оменты .4 ' . . , 1:8 начала ра б от а4 , ав (моменты 1:1 ' 't 2 • 'tз равны О) и моменты Т1 • Т2 ТВ окончан и я всех работ. Стр укту рна я табл ица да ет нам сл едующие ог раничен и я -неравенства : . .

.

•

•

534

T, = t, - t , b, x, + 1: ,

5fз + l /ЗХl + 1/6Y4 + % хs = 5/з -(_1/з Xl - 1/6 У« - 5/6 хэ ) .

В се коэффицие нты в в е р х ней стр о к е табл . 4 . 4 отр и цател ь ны; следователь· но, у в е л и ч е ние к а ждой из св об од ны х переме нных может тол ько увеличить фу нк· цию L. Значит, о пт има л ь н о е р е ш ение н а йдено : Хl У!

Уcnови я зависимости времени выпол нен и я средств дадут нам ог раничени я- р авен ства :

. . . .

. . .

• • • •

• • •

Т

=

"j2 t i'

(кр)

( 4 .9)

На некрити ческих работах имеются некотор ы е р езервы вр ем е ни ; поnьзу ясь этими резервами , т . е. перебрасывая какие-то с редства с некритически х работ на критические. можно умен ьшить времена выполнен и я критических работ и тем (:амым время выполнения всего компл екса . И меется п е который н еизменный запас подвижных ср едств В, ко­ торый р а спр едел е н между ра ботами al ' а2, . . . , аn та к , что каждой рабо­ те соответс твует кол ичество подвижных средств, равное соответственно

53:;·

Известно, что кол ичество средств Х > О, снятое с работы а / , уве­ л и ч и вает время ее выполнения с t ; до

t/ = f/ (x»

tj,

а кол и ч е сТjЮ средств Х, вложенное доп о лнительно в работу a i' умен ь­ ш ает время ее выполнен ия до

t/ = <Р! (х) < t,.

Сп раш ивается : как надо п ерераспредел ить имеющиеся подвиж , ные средства В между работами для того, чтобы срок выполнения ком­ плекса был минимал ьным? Покажем, как может быть реш ена подобная задача . Обозначим Х / - количество подвижн ы х средств , перебрасы вае­ мых на работу а! (хг отр ицател ьно, есл и с работы а! с н и м а е т с я какое-то кол ичество средств). Величины х! должны удовлетвор ять огр аничен и я м :

Xj > - Ь,

(i

=

1,

...•

n).

+

. . .

+

ХП

=

О.

П осл е пер еброски средств дл я тех работ, на б расываются , новые в р емена будут равны

t/

=

(4 . 1 1 )

дл я тех же работ, с которых средства сн и маютс я :

t/

=

(4. 1 3)

fJ( I Х} 1 ).

Общи й срок выпол нени я комплекса работ будет: Т'

=

�
(кр) i

(кр) I

(4. 1 4)

где перва я сумма расп ространя ется на все работы, н а к о т о р ы е переносятся средств а , если они входят в критический путь ; вто рая ­ на все работы, с к о т о р ы х переносятся средства , если они входя т в кр итически й путь. Естественно, кажется , считать, что перенос ср едств имеет смысл только с некритических ра бот на к р итические; однако не надо забы­ в ать . что п р и этом некритические работы могу т переходить в крити­ ческие" а наобор от; п оэтому в фо рмуле (4. 14) в общем случае ПРИСУ1 СТ' вуют обе суммы . Итак, перед нами стоит задача : найти такие значен и я перемен­ ных Х! (i 1 , , n), чтобы выполнялись огр аничения (4. 1 0), а фун к­ ци я (4. 1 4) обращалась в ми нимум. Задача представл я ет собой задачу нелинейного п рограмми рова­ ния даже в случае, когда фун кции fi и IP} (что с некоторой натяж кой можно допустить) линейны. Существенно нелинейным в функции (4. 14) я вл яется то, что значения i, j - номеров работ, на которые распростра­ няется сумма (Т. е. крити ческих работ) , сами зави с ят от Х(. =

11&

. . .

ных средств Ь2

"'"

1.

З а па с ы подв иж н ых

ср едств на о ст ал ь ны х двух р аботах

отсутствуют . N,

п/п

I

1 2 3 И зве ст н о , пол н е н н я до

РаСот,

а,

\

Опир аетс я на р а боты -

аl

аа

ai

аз

что

пе ре броска ср едств

,

йt

х с р а б от ы а а 10

котор ые он и пер е­

(4. 12)

IPi (Xj),

Пример 2. Ком плекс р а бот Uэ., Clt. а з з ад а н стр у ктур но-вр ем е н н6й та бл . 4.5 Здесь к р и т и чес к и м и явл я ютс я р аботы а! . а в; время в ы п ол не н и я компле кса т = 30. НеКР ИТИ 'lеской я вл яется р а бот а аа. Н а ней имеется запас подвиж­

(4 . 1 0)

Естественно, что сумма средств, СБимаемых с каких-то работ, должна быть равна сумме средств , добавл яемых другим работа м , та к что Х1

Как уже говорилось, общих способов р ешения задач нелииейного программирован и я н е разработано; одн а ко в 01 дел ьн ых случая х можно решать подобного рода зада ч и , пол ьзу ясь сравнител ьно нех итрыми п р иемами . В сл едующем п р имере мы рассмот рим решение одной И3 та ких задач.

1 -0. l x З а п ас средств иен и я до

I

Таблu ца 4.5 Время 1 ,

20 10 10

у ве л и ч и в ает время е е вы­

·

х. п ер еб р ош ен ны й на р аб от у IZJ.. ум е н ь ш а ет вр емя ее вы п ол

tt' =

20

--

I +x

·

Запас средств х. п ер еб р ош е н н ы й на р а боту а з .

не н и я до

­

у м еи ь ш а ет время ее

выпол­

10 ( з' = -- '

1 + 4х

Т р ебуе тс я определ ить, к а к оптимал ьным обр азом п е р ебр ос ить св об оди ы е сред ств а с р аботы а з на р аботы а 1 и аз, чтобы срок выпол не н и я ком плекса был ми нима л е н . Реш ение. О бо з н а чи м кол ичества средств, перебр асывае м ые с р аботы а! соответст в енн о на IZJ. и а з . lJ ер ез Xl и Х З . Т р ебует ся найти такие неотр и цател ь ные �на че н и я X1 и Х з• чтобы выпол нял ись усл ов и я : Xj

+ Хз -<

1,

(t1 ')ир + (t2�)ИР + (t з')ир = m i п ,

(4 . 15) (4 . 1 )

« кр» оз н а ч а ет что соответствующи й чле н в х одит в сум му тол ь ко есл и к р ит ическ ом у п у т н Посмотр им, при каки х услов и я х р абота а ! в ойдет в к р и т и ч е ски й п у ть . Это пр о изоЙдет. есл и врем я ее выполие н и я станет боль ше, чем время вы пол неllИЯ р аботы йt : где и ндекс

он п р и иа д ле ж и т

.

.

t2" > {,' .

с П ер еско к»

равенство;

р а бот ы

а , на К Р И Т И 'l ес к и й путь про и с ход ит. ко гда осуществл яется а87

или (есл и

с

р аботы

а2

рабо­ где сумма, как и ра нее, распространяется только на критичес кие

н ных ты. Требуется выбрать та кие неотрицател ьные значен и я пере ме

с н яты все средства)

10

20

1 - 0, 1

Т"

I + Хl

= --- ,

что осуществл яетс я п р и Хl = 0,8. З н ачит, р абота аз п р и Х! < 0,8 критическоii не ст а вет: к р н т и ческими ост а н утся р а боты tlt и аз. П р ед п ол о ж и м , что это так. и в фор муле ( 4 . 1 6) второй член будет р а в ным нул ю, а два другие t1' и tз' .

Т

,

=

t ' 1

20

,

10

+ tз = --- + --1 + Х1 1 + 4хз -

Учитьm а я (4. 15 ) , имеем хз = l -Хl , и

Т,

20

= -- + 1 + Х1

10 _

20

(1 + Хl)2

40

---- -

(5 - 4Хl)2

( l + Х l) З (5 - 4Х l ) 2

dT'

dx1

Задача 3. Имеется комплекс ра бот аl , а2 • . , ' , � с временами вы­ пол нен и я t1, t 2 , . . . , !n ' дл я этого комплекса на йден критический путь и уста новл ено, что ми нимал ьное время выполнен ия комплекса Т < То, где ТО - заданный срок выполнени я . Предпола гается снизить темп ы выполнен и я некото рых работ с тем, чтобы срок выполнения комплек­ са довести до эада нного значения То; за счет этого предполага ется получить экономию средств . Увел ичение времени выпол нения работы а! на 't (т. е. доведение времtни выпол нен и я работы а, до tt + Т) вы ­ свобождает некоторые средства х,. которые завис я т от sадержки 't': х,

=

f! (т).

Требуется определ ить, иасколько следует задержать выполнение каждой ра боты дл я того, чтобы срок То был выдержан, а экономи я средств получил ась максимальн а я . Обозначим ' i время задержки работы ai • Сумма в ремен выполне­ ния ра бот, лежащи х на критическом пути , не должна п ревосходить

T�:

538

но­ Поставле нная задача снова относится к классу задач нелиней ль ­ те начи не о ко ь тол � го прогр а ммирова н и я . В случае, когда речь идет про­ ного и лин задаче к ее свести удается иногда ; ны х задержка х Т" в диа ­ грамми рования (а именно, есл и функции {, близки к линеины м жка х задер и р п путь кий критичес а пазоне возможн ых значений т ,. . я т н е меняе с )

5 - 4 ХI

об р ащается в н у л ь тогд а когд а о бр а щ ается в нуль числи, тел ь. Реш а я пол ученное кв адр атное у р а в нение и бер я тот корень, кото р ы й лежит межд у нулем и еди н и це й , пол у ч им Хl � 0,66. Н ет р у д но непоср едственно у бедиться , что в это й то чке дости гается м и ни­ мум, а не м а кснмум вел и ч ины 1" . Так как Хl "'" 0, 66 < 0, 8, то к р ити ческий путь сох р а н ится . Ита к , в нашем пр имере наивыгодней шее перер а с п р ед ел е н ие ср едств со­ стоит в следующе м : из имеЮ щегося запаса свобод н ых ср едств Ь2 = 1 с р едств а Хl= 0, 66 долж ны быть пер е несе ны на р аботу аl ' а сред ств а хз= 1 - 0,66= 0 , 34 на р а боту аз. П р и этом врем я выпол нен и я ком плекса р абот п р и нимает м и н и ­ мал ь н ое з н а ч е н ие Т' = 1 6,29. В р емена вы пол нения отдель ных р абот аl, йt и а з будут р авны Соответственно t/ = 1 2 , 05, t2" =- 1 1 , 1 1 , tз' -= 4 , 24. Производ н а я

�i f, (т д = т а х.

__

Иссл едуем эту фу нкцню на максимум; на йдем ее п р о и з в одную по Х1:

dT dXl

чтобы сумма высвободивши хся средств достигал а максимум а :

5.

С ЕТ Е ВО Е П Л А Н И Р О В А Н И Е П Р И С Л У ЧА Й Н ЫХ В Р ЕМ Е НАХ В Ы П ОЛ Н Е Н И Я Р А Б ОТ. П Р ИМЕ Н Е Н И Е ЭЦВМ

ДО сих пор, рассматривая задачи пл анирова ния компл екса работ,

тдел ьных мы огранич ивались слу ч а ем , когда в ремена выполнен и я � детерми ­ мыи называе к (та заранее ы известн и точност работ были нам в встре­ ни ровэ нный случай) . На пра кти ке это редко бывает та к: чаще заранее работы я и ен выполн ремя в ое чаются случа и , когда фа ктическ в точности неизвестно (случа йно) и может ,сильно .0Т К.:'IO н я ться от свое­ вел ичины t , -­ го предсказанного значен и я . Отклонен и е случаин ои ого значен ия заданн ранее за ее от -а, работы времен и выпол нения в бол ьшую к ка стороны обе я в , говор tffJ ) может быть, вообще ке второе практи на хотя , ение) (опереж ю меньшу в и к та , е) и (опоздан о. встреч аетс я гораздо реже первог Возник ают следующие вопросы: ни я - Какова вероятность того, что фа ктическо е в р емя выполне то? ы еличин в й аданно з ет компле кса работ Т не п ревзойд ве­ - Ка к следует орган изовать комплек с работ дл я того, �тоБЫ вероят­ высокои чно достато с л и ч и на Т не п ревзошл а зада нного То ностью ? ч дл я Рассмот рим первый вопрос ка к более простой (тем более,.. то П .. ред . первыи) на ь ответит уметь надо ответа на второй, прежде всего, со­ ют я едставл р п tn , . . . t2, t1, работ я и н выполне емена р в что полож им, бой случайны е величины с известным и за конами распределен и я . Пред­ независ имы, и �IOложи м дл я п ростоты, что эти случайн ые величин ы плотности их ра вны

вре­ Рассматр ивается функuи я эти х сл учайны х вел ичин - общее работ: а МЯ _выполнен и я всего комплекс

(5. 1) 539

Поставленная задача будет решена , если удастся найти функ цию распределен и я случа йной величи ны Т: F

(t)

=

Р

(Т < t).

Тогда , подстав ляя в нее вместо То, мы на йдем искомую вероятность . Ф у н кци я (5. 1 ) в общем случае является достаточио сложно й, так ка к сам критич еский путь случаен и зависи т от тех значен ий, которые прин имают сл уч айны е величи н ы - в р емена выпол нения отдел ьны х работ: при одних значен и я х может быть один критический путь, при других - другой . Однако если ограни читься тол ько сравнитель- . но малыми отклон ениями случа йных вел ичин от своих номина л ьных значени й (настол ько малыми , что критич ески й путь остаетс я тем же) , то задача сил ьно упрощается . Тогда в форму ле (5. 1 ) фигур иру ют тол ько нескол ько вполне определенных случай ных величин t, -- вре­ мен выполн ения критич еских работ. За кон рас пределен и я случай н ой величи ны Т предста вля ет собой в этом случае не что иное, ка к к о м­ п о з и ц и ю за конов распределен и я случай ных вел ичин ' " относ я­ щи хся К к ритическим работа м . В дал ьнейшем н а м при ходит на помощь сама сложно сть плана и наличи е на к ритичес ком пути многи х работ. Мы знаем, что при сло­ жен ии достаточно большого ч исла независ имых случайн ых величин, распределенн ых по любым за конам и сравни мых по порядку диспер­ си й , за кон распределения суммы оказыва ется бли з ким к нормаль ному (центра льная предел ьна я теорема ). Поэтому, если на кр итическ ом пу­ ти стоит достаточ но бол ьшое количество работ (скажем , пор ядк а 56 или более) , то на пра кти ке можно прибли женно считать величин у Т распределенной нормал ьно. Ее математическое ожидан ие будет рав­ но

t величи ну

Пример 1 . П р и выпол не ни и ком пл екса р а бот ока з ыв а ются р аботы

mt ,

(кр)

-

математическое ожидан ие в р емени выполне ни я i-й рабо ты, а ее среднее квадратическое отклонение : а,

=

V (кр) � a�! ,

где а t ! - среднее квадратическое отклонение времени вы полнения i-й р а боты . Та ки м образом, в да нном случае для нахождения за кона расп реде­ л ени я времен и выполнения комплекса работ нет н адобности знать за коны расп ределен ия {,(t) отдел ьных времен достаточно знать их математические ожидания и средние квадратические отклонения. Если эти вел ичины из вестны, вероятность выполнения комплекса в срок Tn найдется по известной формул е

t1, матем атическ и м и ожида н и я м и

rt! t , = 1 0,

. . . , ап

кр и тическим и

mt2 = � '

t2, t5•

t 4 , t 5 • t8

mt . = 5 ,

/l1t. = I O ,

mt. = 7 ,

mt. - 10

и средн и м и квад р атичес к и м и отк л о не н и я м и :

tj

m! = � mtt, где

с

t!

t�O)

а в,

времена в ы пол не н и я котор ы х представл я ют собой CJJ учай ные вел и ч и н ы

_

tj

al '

0/ = 1 , 1

а/ � = 1 .

(J t .\1 = O , 5 ,

-4

(Jt = 0 . 3,

(J t, = O, 5 ,

(J t , =

l.

�

Сл у ч а й ные откл о не н и я времен выполнен и я р абот от их математическ и х ожид ­ н и й не ме няют критического пути. З ад а ll срок вы пол не н и я к омпле кса То "" 6 . Н айти вероятность того, что этот с р о к будет в ы пол нен. Решеиие. ИмееМ I

Щ = 1 0 + 2() +

10 + 5 + 7 + 1 0 = 62 ,

(Jt = Y12 + 1 � + 0 ,52 + 0 , 32 + 0 , 5 2 + 1 2 = У 3 , 5 9 z 1 , 9.

(

)

ВеРОЯТII ОСТЬ в ы пол не н и я компл екса р аБОl1 в ср ок

Р (Т < 65) = ф

65 - 62 1 ,9 .

По табл . I п р и ложе н и я н а х одим: п ол не ни я комплекса в срок Р(Т < 6 5)

=

65:

+О ,5 = Ф ( l , 58) + О , 5 .

Ф( 1 , 58)

z

То

0, 94.

:::::;

0,44, от к уда вероятность в ы­

t!

Если пр и слу чайных изменен и я х в р емен может мен яться и сам критический путь, задача вычислен ия веро ятности Р (Т < То) затруд­ ня ется . При сравнительно малом ч исле работ в комплексе эта задача может быть р ешена а нал ити ческим способом, но пр и большом и х числе асч еты стано в ятся чересчур громоздким и , и на пра кти ке оказывает. я удобнее оп р едел ять эти вероятности методом Монте- �а рло на ЭЦВМ (см. гл . 8). При этом разыгрываются зна ч ен и я с.1!уча иных в р емен t! и дл я ка ждой совокупности полученных значении оп р �дел яется в р е­ мя Т выполнен и я компл екса работ тем способом, которыи п р именяется для несл у чайных в ремен . Пол учив достаточ!IO бол ьшое число N та к и х реал иза ци й , м ы можем непоср едственно наити математическое ожида -

�

tt;

Р (Т < То) = ф где Ф 54е

-

(To�m! ) + 0,5,

функци я Лаплас а (см. приложение, табл .

(5.2) 1 ).

\.

о Рис. /О.б

541

ние, диспе рсию и средн ее квадр атическое отклонение случа йно й вели­ ч и ны Т. Что ка сается за кона распр еделе ния , то он в бол ьши нстве слу­ ч а ев дл я сл ожны х сетей ок а зыва ется бл изким к норма л ьном у . Поэто му в ероя тност ь вы пол нения пл а н а в срок может быть Вычис лена по той же форму ле (5 . ] ) . Если имеются основ ания счита ть за кон распр едел е­ ния вел ичины Т не норма льным (та к, напри мер , бывает, если рассе и­ вание в ремен и выпол нен ия ка кой- н ибудь одной из Кр итичес КИХ ра­ бот р езко п р евыша ет рассеи ва ние остал ьных) , то в ка честве пр ибли­ женно го зна чения вер оятности Р(Т < То) можно приня ть частоту это­ го событи я в серии реализ а ций . Надо замети ть , что подоб н ого рода р а счеты могут быть только су­ губо ор иенти ровочн ыми, та к ка к на пра кти ке обычн о з а коны распр е­ делен ия fi (t) н еизвестны, а получ ение их по стаТИСтическ им да нным затруд нител ьно. В л учшем сл учае уда ется указат ь дл я каждого в ре­ мени ti его на иболее вероя тное зна чение t, * , а та кже грубо оцени ть на именьш ее (<<опти мистич еское» } з н а чение t� l n И на ибол ьшее (<<пес­ симист ическо е») значен ие ,�ax (рис. 1 0.6) . ЧТО каса ется самого рас­ предел ения fj(t), то его пр иходит ся зада вать достаточно Произв ол ьно , исходя из умоэ р ительн ых сообр ажен и й . На пример , то что кр ивая на рис. ] 0. 6 имеет полож ительн ую асимм етрию (более р а стя нута вправо, чем вл ево) отр ажает тот общеизвестн ый фа кт, чТо за пазда ния по срав н ению с планов ым сроко м могут быть значит ельно бол ьше, чем опер е­ жени я. В з а ключен и е остано вимся еще н а одном вопросе, связан ном с при­ менение м ЭЦВМ при сетево м пла ниров а н и и . Обычн о при выпол н ении сложных компл ексов работ перво начал ьно намеч енные планы не вы­ полняются , и их приходится по ходу р а боты пересм атрива ть. При Этом ч р езвыча йно удобно держа ть все данны е о компл ексе - ка к пер­ воначаль ный пла н , так и поступ ающу ю и нформ ацию о его на рушен и и в памят и ЭЦВМ , котор а я время от времен и заново просм атрива ет пла н работ, находит дл я каждого момента в р емени новый критич еск ий путь - « у грожа емые» по срокам работы - и оптим изируе т пла н , у ка­ зыва я , ка кие именн о работы и в ка кой степен и сл едует форси ровать . Плодотворное приме нение метода сетевого пла ниров ания при ор­ га низаци и сложн ых компл ексов работ возмож но тол ько при услови и непре рывного контроля плана и его Оптим изаци и с помощью ЭЦВМ . _

ПРИЛОЖЕнИЕ 3на чеиня Функцнн Лапласа Ф(х) А

-=

I 1 I 1 1 1 I 1 Ф( х)

Х

0 , 00 О , 0000 0 , 45 46 0040 01 47 0080 02 48 0 1 20 03 49 0 1 60 04 0 1 99 05 0239 0 , 50 06 0279 51 07 52 03 1 9 08 53 0359 09 54 55 0 , 1 0 0 , 0398 0438 56 11 04 78 57 12 58 05 1 7 13 0557 59 14 0596 15 063 6 0 , 60 16 61 0675 17 62 18 07 1 4 63 0753 19 64 65 0 , 20 0 , 0793 66 0832 21 67 087 1 22 68 09 \ 0 23 69 0948 24 0987 25 \026 0 , 70 26 71 1 064 27 72 1 1 03 28 73 1 141 29 74 75 0 , 30 0 , 1 1 79 76 1217 31 77 1 255 32 33 78 1 293 79 34 1 33 1 1 3 68 35 36 1 406 0 , 80 81 1 443 37 82 38 1 480 83 1 51 7 39 84 85 О , 40 0 , 1 554 86 1 59 1 41 87 1 628 42 88 1 664 43 1 700 89 44

.

,

Ф(х)

Ф( х)

Ф( Х)

Таблица 1

� - � dt � � 1

е

,

2

Ф (х )

1 I к

1 , 80 0 , 464 1 2 , 50 52 81 4649 54 82 4656 83 4664 56 84 58 467 1 4678 85 86 0 , 4 1 92 4686 2 , 60 87 4693 62 4207 4699 64 88 4 222 4706 89 66 4236 68 425 1 4265 1 , 90 0 , 47 1 3 2 , 70 91 47 1 9 4279 72 4726 4292 92 74 93 4732 4306 76 4738 78 43 1 9 94 4744 95 4750 2 , 80 96 0 , 4332 82 4756 4345 97 4357 476 1 64 98 4767 4370 86 99 4382 88 4394 2 , 00 0 , 4772 2 , 90 92 4406 4783 02 4793 44 1 8 94 04 06 4803 96 4429 444 1 48 1 2 98 08 2 , 1 0 0 , 482 1 0 , 4452 4830 3 , 00 12 4463 483 8 3 , 1 0 14 4474 4 846 3 , 20 16 4854 3 , 30 18 4484 3 , 40 4495 4505 2 , 20 0 , 4 8 6 1 3 , 50 4868 3 , 60 22 45 1 5 24 4875 3 , 70 4525 48 8 1 , 80 453 1 26 4887 3 , 90 4 545 28 2 , 30 0 , 4893 4898 0 , 4554 32 4904 4 , 50 45 64 34 4909 5 , 00 36 4573 491 3 38 45 82 459 1 4599 2 , 40 0 , 491 8 42 4922 4608 4927 46 1 6 44 493 1 46 4 625 4934 4633 48

Ф

(х)

О , 1 736 0 , 90 О , 3 1 59

1 , 35 О , 4 1 1 5 4131 36 4 1 47 37 38 4 1 62 39 41 i 7

0 , 4938 494 1 4945 4 948 4951

0 , 191 5 1 950 1 985 201 9 2054 2088 2 1 23 2 1 57 21 90 2224

1 , 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

0 , 4953 4956 4959 496 1 4963 0 , 4965 4967 4969 497 1 4973

1 772 1 808 1 844 1 879

0 , 2257 229 1 2324 2357 2389 2422 2454 2486 25 1 7 2549 0 , 2580 261 1 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852

91 92 93 94 95 96 97 98 99

3 1 86 321 2 3338 3264 3289 33 1 5 3340 3365 3389

1 , 00 0 , 34 1 3 3438 01 346 1 02 3485 03 3 508 04 353 1 05 3554 06 3577 07 3599 08 3621 09 1 , \ о 0 , 3643 3665 11 3686 12 3 708 13 3729 14 3746 15 3770 16 3790 17 38\0 18 3830 19 1 , 20 0 , 3849 3869 21 3888 22 3907 23 3925 24 3944 25 3962 26 3980 27 3997 28 401 5 29

0 , 2881 29 \ 0 2939 2967 2995 3023 1 , 30 0 , 4032 4049 305 1 31 4066 32 3078 4083 33 3 1 06 4099 34 3 1 33

1 , 50 51 52 53

54

55 56 57 58 59

1 , 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 1 , 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

�

�,OO

0 , 4974 4976 4977 4979 4980 0 , 498 1 4982 4984 4985 4986 0 , 49865 49903 49931 49952 49966 49977 49984 49989 49993 49995 0 , 499968 499997

0 . 49999997

543

Т а блu ц а 2 Зна ч е н и я Рт

�I

0, 1

аm

=

0,2

Iiii е-а (распреДl'ленне П уаСС Оl'а 0.4

0,3

0, 5

0, 7

0.6

0,8

0,9

т

0 , 9048 0 , 0905 0 , 0045 0 , 0002

О 1 2 3 4 5 6

0 , 8 1 87 0 , 1 638 0 , 0 1 64 0 , 00 1 9 0 , 0001

0 , 7408 0 , 2222 0 , 0333 0 , 0033 0 , 0002

0 , 6703 0 , 2681 0 , 0536 0 , 0072 0 , 0007 0 , 000 1

0 , 6065 0 , 3033 0 , 0758 0 , 0 1 26 0 , 00 1 6 0 , 0002

0 , 5488 0 , 3293 0 , 0988 0 , 0 1 98 0 , 0030 0 , 0004

0 , 4966 0 , 3476 0 , 121 7 0 , 0284 0 , 0050 0 , 000 7 0 , 000 1

0 , 4493 0 , 3595 0 , 1 438 0 , 0383 0 , 0077 0 , 00 1 2 0 , 0002

0 , 4066 0 , 3659 0 , 1 647 0 , 0494 0 , 01 1 1 o , oo� 0 , 0003

П р о до л ж е н и е

�I О 1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24

1

I

2

I

3

I

4

I

0 , 3679 0 , 1 353 0 , 0498 0 , 0 1 83 0 , 3679 0 , 2707 0 , 1 494 0 , 0733 0 , 1 389 0 , 2707 0 , 2240 0 , 1 465 0 , 06 1 3 0 , 1 804 0 , 2240 0 , 1 954 0 , 0 153 0 , 0902 0 , 1 680 0 , 1 954 0 , 003 1 0 , 0361 0 , 1 008 0 , 1 563 0 , 0005 0 , 0 1 20 0 , 0504 0 , 1 042 0 , 000 1 0 , 0037 0 , 02 1 6 0 , 0595 0 , 0009 0 , 0081 0 , 0298 0 , 0002 0 , 0027 0 ,0 1 32 0 , 000 8 0 , 0053 0 , 0002 0 , 001 9 0 , 0001 0 , 0006 0 , 0002 0 , 000 1

5

0 , 0067 0 , 0337 0 , 0842 0 , 1 404 0 , 1 755 0 , 1 755 0 , 1 462 0 , 1 044 0 , 0653 0 , 0363 0,0181 0 , 0082 0 , 0034 0 , 00 1 3 0 , 0005 0 , 0002

I

[,

I

0 , 0025 0 , 0 1 49 0 , 0446 0 , 0892 0 , 1 339 0 , 1 606 0 , 1 606 0 , 1 37 7 0 , 1 033 0 , 0688 0 , 04 1 3 0 , 0225 0 , 0 1 26 0 , 0052 0 , 0022 0 , 0009 0 , 0003 0 , 000 1

7

0 , 0009 0 , 0064 0 , 0223 0 , 0521 0 , 09 1 2 0 , 1 277 0 , 1 490 0 , 1 490 0 , 1 3 04 0 , 1014 0 , 07 1 0 0 , 0452 0 , 0263 0 , 0 1 42 0 , 007 1 0 , 0033 0 , 00 1 4 0 , 0006 0 , 0002 0 , 0001

I

8

I

0 , 0003 0 , 0027 0 , 0 1 07 0 , 0286 0 , 0572 0 , 09 1 6 0 , 1 221 0 , 1 396 0 , 1 396 0 , 1 24 1 0 , 0993 0 , 0722 0 , 048 1 0 , 0296 0 , 0 1 69 0 , 0090 0 , 0045 0 , 0021 0 , 0009 0 , 0004 0 , 0002 0 , 000 1

9

0 , 000 1 0 , 00 1 1 0 , 0050 0 , 0 1 50 0 , 0337 0 , 0607 О , О9 1 1 0, 1 171 0 , 1318 0 , 13 1 8 0 , 1 186 0 , 0970 0 , 0728 0 , 0504 0 , 0324 0 , 0 1 94 0 , 0 1 09 0 , 0058 0 , 0029 0 , 00 1 4 0 , 0006 0 , 0003 0 , 000 1

I

10

ЛИТ ЕРАТУРА исследов а н и я опер аций Изд-во 1. М о Р з Ф. М . , К и м б е л д. Е. Методы 56. 9 1 , адио» р кое «Советс . И. Л и ней ное и в ы п у клое про2. 3 у х о в и Ц к и й с. 11 . , А в д е е в а Л 1964. а», к у а Н « Изд-во ие. н а гр а м м и р о в Г а м к р е л и Д з е Г., В. с к и й 3. П о н т р я г 11 Н Л . С., в о л т я н ль ныХ п роцесоптима я и теор я ка атичес Матем Ф. Е. Р. В . , М и щ е н к о сов . Ф и зматг и з , 1 96 1 . исслед ов а н и я о пер аций. Воен' 4. С а а т и Т . Л. М атемат и ческие методы издат, 1 963.

Е . Элеме нты ли нейиой И. , С а Д о в с к и й Л. Ф. н и я . Изд-во «Н ау ка», 1 967. алгебр ы и л и ней ного п р ограмм иров а прогр амм и р о в а ние.. Л и нейное Г. В . , Го л ь ш т е й н Е . 6. Ю д и н Д 963 1 , з и тг Физма . Изд-во «Н аука» , 1 969. 7 В е н т Ц е л ь Е . С. Теор и я вероят ностей Теор и я вероя т ностей (зада ч и А. Л в о р а ч в О , С. . Е 8 В е нт це л ь 969. 1 , » а к ау «Н о в и упр а ж н е н и я) . Издов а н и я . Изд-в о Элеме нты д и н амиче ского п рorра ммир 9 В е н т п е л ь Е. С «Н а у к а » , 1 964. Изд-в о и ностр а н ной Ди нами ческое п р огр а м м и р ов• а ние. 10 В е л л м а н Р.

5.

0 , 0000 0 , 0005 0 , 0023 0 , 0076 0 , 0 1 89 0 , 0378 0 , 063 1 0 , 090 1 0 , 1 1 26 0 , 1 251 0 , 1 25 1 0 , 1 1 37 0 , 0948 0 , 0729 0 , 0521 0 , 0347 0 , 02 1 7 0 , 01 28 0 , 007 1 0 , 0037 0 , 00 19 0 ,0009 0 ,0004 0 , 000 2 0 , 000 1

К а р п ел ев И ч

л ит е р а т у р ы , 1 960 . о «Советсие в иссле дов а н и е опер а ц и й . Изд-в 1 1 . В е и т ц е л ь Е . С. В веден 964 1 , адио» р кое и массо вого обсл у ж и в а н и я . А . Пр и кл адные задач и теор и 1 2. О в ч а р о в Л 969. 1 , ие» н е о р ност и ш а Изд -во « М ия исслед ов а н и я о пея. О не котор ых напр авле н и я х р азвит 13 Д и и е р И . 1 N� 970, 1 , к» и и р а ц и й . «М о р с к о й сбор теор и Ю массо а л е н к о И. Н . В веде ние в 14 Г н е Д е н к о Б . В . , К о в 966. 1 ка», у а Н « о вого обсл у ж и в а н и я . Изд-в с к и х испыт ае й Д е р Ю. А . Метод стати стиче 1 5. В у с л е н к о Н. П . , Ш р н и й . Ф и з матги з, 1 96 1 . пр и п р о и з в оль· А . Ф о р м у л ы Э р л а н г а в телеф о н и и 16 С е в а с т ь Я Н О В Б I I В сесою з ного ител ь н ости р азгов ор а . Т р уды I дл я и н е едел р п ас р не о к а з ном о АН СССР , 1 959. в ИзД· IУ. . т , а съезд кОГО с матем атиче ни р ов а н и я . И зд-в о Д е б а з е й Г Сетев ые методы пла А. , 17 К о Ф м а и 5 «Пр огр есс», 1 96 Т а шкентсных ч исел Т а шкент . Изд а н ие 1 8. К а д ы р о в М . Т а бл и цы сл у чай 936. 1 а, ситет р ве и н у кого Госуд а р ствен ного СТ И К И в о пытП р имен ение матем атиче с кои стати 19 Р о м а н о в с к и й В. С ном деле. ф из м атг из, 1 947 и п р и ме не· Р М а ссовое обсл у жива ние, теор и я 20 К о Ф м а н А . , К Р Ю о н н и я. Изд, в о « М и р » , 1 965. ные методы лиД е е в а В . Н . Вычи сл итель 21 Ф а д д е е в Д. К . , Ф а Д 1 960. . з и г т а м з и Ф . гебры л а й о н й не в д и н а м и ке боя л е и и е вер оятностей состо я н и й 22. В е н т ц е л ь Е . С О преде н ик�, 1 96 2 , N� 1 0 сбор й о к с р ((Мо п. п у гр х ы н н е л многочис е n а­ М , n е т у х о в С. И , С т К О В n 23 Ч У е в Ю . В . , М е л ь Н И н и я о пер аций в военн ой теха в о исслед ы в но с О Б Я р н о в Г. Ф , Ш о , 1 965. " н ке. Изд , в о «Сове тское р ад и о» •

4

« Л и н е й н ые не равенства и смежНые в о п р ос ы» . Сбор н и к переводов с а нгл. под ред К а нтор о в и ч а Л. В и Н овож нл ов а В . В И зд-во и ностр а н ной л нте­ р а т у р ы , 1 9 59 25 М а к - К и н G И Д ж. В в едение в теор и ю и г р . Ф из м атг и з , 1 9 60. 26 К о к с Д Р . , С м и т В Л Теор и я восстановл е н и я Иэд-во «Сов ет­ ское р ад и о» , 1 967 . 2 7 . С о б о л ь И. М. Метод Мо нте- К а р л о Ф и з м атг и з , 1 968. 2 8 . Г У Р и н Л. С , д ы м а р с к и й Я. С. , М е р к у л о в А. д. З адачи и методы оптималь ного расп редЕ'ле н и я р есур сов Нзд- во «Советское р ад ио» ' 1 968 29 Р. д . Л ь ю с, Х. Р а й Ф а Иг р ы и реше н и я . Иад -во и ностранной лите-

рату ры, 1961 .

П Р ЕД М ЕТ Н Ы Й

УКАЗАТ ЕЛ Ь Дуга некр итическая 523

д Алгор итм п р еобр азов а н и я ста ндарт­ н ой т абл и цы 67 -- ци кл и ч е с к и й 426

ж Жребнй 4 1 2 - еди н и ч н ы й 4 1 3

Б з Бейе са фор мула 5 1 2

В Вер о я т н ост и п е р е х одные 1 88 события 1 3 - состо я н и й 1 87 - - п р едел ьные 2 1 7 , 2 1 8 , 246 - усл о в и й 500 В е р о ят н ость отказа 244 - поражеии я цел и 4 1 0 ци кл и ческ ий пр оцесс Ветв ящийся 230 В з а имопомощь между к анала м и 275 - - - «все как ОДи н» 277 - - - р а в номер н а я 279 Восста новл ение еди н и ц 3 4 3 - з адер ж а н ное 396 Вы и г р ы ш усл ов н ы й опти м а л ь ный . 1 37 Вырожде н н ы й сл у чай, выр ождение 53, 82

r Гр а н и ца в ы и гр ы ш а в ер х н я я - - н и ж н я я 472 Гр аф состоян и й 1 83 р азмеченный 1 96

472

Д Датч и ки сл у ч а й н ы х чисел 424 Ди намическое п р о г р а м м и р ов а н и е 1 32 - -, основ н ое фу н к ц и о н ал ь ное у р ав н е н и е 1 39 Д нсперс и я с л у ч аJ!ной вел н ч н н ы 4 1 2 - ч и сле н н остей со ст оя н и й 297 Дисц и пл и на взаимо помощи 2 7 5 , 276

З а в и симость между от ка з а м н 4 0 1 З адача л и ней и ого п р о г р ам м и р ов а­ н и я основ н а я 39 - о з а пасн ы х элементах 393 - о наборе выСот Ы и скор ост и л етател ьным а п п ар атом 1 24 - оптимиз ации у п р а вл е н и я 1 2 1 , 1 34 - р ас п р едел е н и я р есур сов 1 42, 1 56, 1 62 - о р езер в и р ов а н и и ресур сов 1 54 - тр а нспорт н а я 82 - - по кр итер и ю в р емени 1 1 5 - по кр итер ию стоимости 83 - с избытком з а п асов 1 1 1 - - с избытком за явок 1 1 2 - - с неп р ав и л ь ным бал а нсом 1 1 0 - - с прав ил ьным бал а нсом 1 1 2 З адачи в а р и ационные 1 7 -- детер м и н и р ов а н ные 1 6 -- д и н а м и ческого п р ог р а м м и р ования 1 63 , 1 72 - на м и н и м акс 38 З а кон р а спредел ен и я показательный (э кспоненци а л ь н ы й ) 204 -- - среднего арифмети ческого 440 -- - усл ов н ы й 423 -- - частоты событи я при бол ь шом числе опытов 440 З а цикл н в а н и е 82 З а явки «нетер пел и вые» 264 -- «тер пел ивые» 266

и и г р а бескон е ч н а я 449 - «воо р у ж ен и е И самолеТ» 4 53 - «ВООР У Жl;н н е -- помехи» 486 - «два бомбардир овщи к а и истреб ител Ь» 468 Б47

Игра конечн а я «т Х т 450 «т Х 2» 472 «пои ск) 4 5 1 , 4 56 - пол ностью уср едне н н а я 486 - «распредел ение сил В н а сту плении И обороне) 477 - и реал ь н а я конфл и кт н а я ситу а­ ци я 447 - «самолеты И зенитные оруди я» 473 - с нулевой суммой 448 с пол ной и нформацией 460 с п р и р одой 496 - «тр и пал ьца) 452 «2 Х n» 47 2 - «2 Х 2) 466 Изл и ш н ие стр атегии 464 И нтенси в н о сть отказов 373 пото ка 201 Иссл едов а н и е опер аци й 7, 8 , 1 1 , 1 6

к Кл етки б а з и сные 86 св ободные 86 Конфл и ктные ситуau.ии 23, 447 Коорди наты системы фазовые 1 34 Коэффициент в а р и аци и в р еме н и обсл у ж и в а н и я 286 Кр итер и й В ал ьда (ма к с и м и н н ы й ) 504 - Г у р в и ца (пессимизма - о пт и мизма) 505 - мул ьтипл и катив ный 1 7 5 - обобщенный (составной) 25, 26 - оце н к и (показ ател ь эффективност и , цел ев а я ф у н кци !!) 1 2 - Сэвиджа (м и н имаксного р и ска) 504 -

м М а к си м и н 4 55 Мар ковеки й пр оцесс цикл и ческ и й 227 Матр ица пе р ех оДных вер оят ностей 1 88 пл ате ж н а я (м атр и ца и г р ы) 4 50 р и сков 499 - сЙстемы у р а в не н и й 4 0 - - - р асширенная 40 Метод ди н а м и к и ср еnних 29 1 , 3 57 за прещен иых клеток 1 1 8 итер аций в р ешении игр 489 потенциал ов 99 псевдососто!! и и й 23 2, 290 р аспр едел ительный 97 - «роз ы г р ы ш а) 4 1 0 - сетевого пл аниров а н и я (СПУ) 517 - стати стическ н х и спытани й (Мон­ те- Карло) 4 09

548

- стат ист и ч ес к ого моnел и р ов а RИЯ 15 Мех а н изм розыг р ы ш а сл у ч а й н ы й 4 1 4 М и н и м а кс 4 56 Модел и р ов а н и е 1 5 - методом Мо нте- Карло 426 Модел и аналити ческие 1 5 - ст атнсти ческие 1 5 Модел ь бесконе ч н о шагов а я в заnа­ ч а х ди н а м и ческого программ иро­ в а и и я 1 79 - м атематн ческ а !! 1 4 - опе р а ц и и 1 4 - я вл е н и я 1 4 Мул ьтипJi и к ат и в н ы й крите р и й эф­ фе кт и в н ост и 1 7 5

вырожденный 9 1 доп устимый 8 5 опор ный 8 5 _ _ о пт и ма л ь н ы й 8 5 потенци ал ь н ы й 1 02 Платежи 99 ПЛ атеж н а я м атр и ца 4 50 плотность вер оятност и перехода 1 9 5 _ р ас пр едел е н и я в р еме и и безот каз иой р аботы 368 _ _ услов и а я 4 1 7 П ок азател ь аддити в н ы й 1 22 _ эфф е ктивности 1 2 Положе ние р ав новеси я неустойч ивое 324 _ _ у стой чивое 3 24 Поток восста новл е н и й 394 _ заявок 23 8 _ отк а зов 2 1 2, 3 7 5 Пальма 206 _ со бытий 200 _ _ без последей СТВ и я 201 _ _ неорди нар н ы й 202 пу ассонов_ нестаци о н а р н ы й _ скиЙ 203 _ _

Н Н адеж ность 366 - нерезер в и р ов а нной системы 378 - резер в и р о в а н н ой системы (<<гор я ч и й резерв») 382 - с и стемы 367 - - с восста н о в л е нием 393 - ,элем ента 367 Не il аде ж н ость элемента 367

орди нар ный 201 " пр осте й ш и й (стацио н а р н ы и пу а ссонов ск и й) 200, 202 _ _ р е г у л !! р ный 200 _ _ стаци онар н ы й 200 _ успешных выстр ел ов 330 _ _ р азвеДQ К 339 _ Эр л а нга 207 _ _ k.ro по р я дка 207 П р ав ил а игры 448 Правило р е ш е н и я 5 1 3

О до п у сти м ы х решений Обл а сть 46 Обобще н н ы й показ ател ь (кр итер и й) эффект и в н ости 2 5 Опер аци я 1 1 Оптим ал ьная стр атеги я и грока 4 49 Оптим ал ьное у п р авлени е 1 2 1 О п тимизаци !! решени я в У СЛ О В И !!Х неопредел е и ности 18, 19, 496 - пл аиа компле кса р абот 529 - по иескол ьким пок азател ям 23 « Оптимизаци!! в среднем» 2 1 Орди н ар ност ь потока 202 Основная пр я м а я 50 Отказы внез а п ные 366 - з ависимые 4 0 1 - посте пен н ые 366 Оце н к а опе р а ции ком плекси а я (по нескол ьким кр итер и ям) 25 - эффе кт и в ности 25

п П а р аметр показ ател ьного за кона 204 Пер евозк и 8 5 Пер еме н н ые б азисные 4 4 - добавочные 56 - пер воначал ьные 56 - свободны е 44 Пл а н и р ов а ние КОМ Rлекса р аб от 5 1 6 - э кспер и ме нта 509 Пл а н пер евозок 85

,

_

_

_

_

Пр и и цип кв азирегул !! р ности 300, 301 _ ми н и м акса 4 56 _ иедостато ч ного основ а ни я Ла п­ л аса 503 о пти м а л ь ности 1 37 Пр и н ятие р е ш е н и й. в у сл ов и я х определ е н ноСти 446

_

не-

Прогр амм и р ов а н и е л и ней н ое 1 8 , 28 ди нам и ческое 1 8 , 1 20 гр у п п ы станПро изводительность ков 271

_

пр о п уск н а я способность 238 _ абсолют н а я 240 _ _ отиосител ь н а я 24 0 Простр анство фазовое 1 3 2 _ _ одномер ное 1 34

с дискретными СОСТОЯ: Н И !!М И 1 83 с непрер ывным временем 1 85 _ _ стациона р ный 433 435 _ _ эр годическ и й - ци кл и чески й 227 230 _ - ветв я щи Й СЯ Псевдосостояние 232 Псевдостоимость 99 П у н кт н а з н а че н И !! фи ктив иый 1 1 1 Путь критическ и й 523

_

_

_

_

Р Работа кр итичес к а я 523 некр итическа я 523 - ф и ктив н а я 52 1 Р а з р е шающая стр о к а 6 5 Р а з р е ш а ю щи й стол бец 65 - эле мент 64: Р а н г матр и цы 4 1 - р аботы 5 1 9 , Р аспр едел ение показател ь ное 204 - П у а ссона 203 - Эр л а нга 208 2 1 1 , 237 _ - обобщенное Реал и з а ц и я слу ч а йн а я 4 1 3 Режим п р едел ьный ста ционар н ы й 219 - р а б оты системы 4 02 Резер в в р еменной 524 - «гор ячий» 382 _ «обл егченный» 383 - «хол о дный» 383 Резе р в и р ов а н и е 368, 378 - р есу р сов 1 54 Решение 7, 1 1 - допуст и м ое 40 _ задачи л и нейно го пр огр амм и р ов а н и я 39 - и г р ы 4 58 , 462 _ ком п р о м и ссное 22, 27 _ л окал ьно-опти мал ь ное 22 - неудачное 1 1 - опор ное 39, 53, 7 1 1 1 , 22, 39 _ оптимальное - пр иемлем ое 22 - удач ное 1 1 Р и ск 499 - средний 502 -

с

_

Процесс

бесконечноша гов ы й 1 77 г ибел и и р а з м ноже н и я 433 � м а р ковек и й неоднор одны й 1 9 5 1 95 _ _ однор одный 1 8 1 , 1 82 _ случай ный дискр ет ным временем 1 85 _ _ с

_

с вой ств о эр годи ческое 434 Седn ов а я точка 4 58 Сетев ой гр афик 5 1 9 _ _ вр емен ной 521 _ _ , формал ь на я з а пись 526 Симпл екс-метод 59 Си стем а м ассовОГО обсл у жив а н и я з ам кнута я 268 238 _ _ _ многока нал ь н а я 549

Система массового обсл ужив а н и я одно к а н а л ь н а я 238 -- - -- с н е о г р а н и ч е Н Н bi М о ж нда н и ем 240 -- -- -- с не - п у асс о н ов с к им и пото­ к а м и событ и й 285 -- -- -- со в з а и мо помощью ме жду ка н а л а м и 275 -- -- -- с ог р а н н че н н ым о жнд а н и е м 240 -- -- -- с о ж ида н и ем (о чередью) 280 -- -- -- с о т к а з а м и 240, 286 -- -- -- с ош и б к а м и 28 1 , 282 -- с обл егче нным р езервом 391 -- опер аций 1 2 -- пр ост а я (без р езер в и р о в а н и я ) 378 -- р езер в и р ов а н н а я 382 -- у пр авл е н и я боем 338 -- у пр авл яем а я 1 3 3 -- с холодным резе р в ом 389 Си стем ы с неог р а н и ч е н н ы м ожиданием 240 -- с о г р а н и чен н ым о ж ида н и е м 240 -- с от к а з а м и 240, 286 Ситу аци я конфл и кт н а я 23 , 447

Скорострел ьность э ффе кт и в н а я Сл у ч а й в ы р ожден н ы й 5 3 , 82 -- детер м и н н р ова н ны й 1 6

33 0

Сл у ча й н а я в е л н ч н н а н о р м н р ов а н н а я 42 1 Сл у ч а й н а я р е ал н з а ц и я 4 1 3 Сл у ч а й но е число от О до 1 4 1 4 Сл у ч а й н ы е числ а 424 Смесь стр атег и й физ ичес к а я 49 3 Со быт и я несовместные 4 1 5

Соеди не ние э лем е нт о в (пар аЛ Л eJJ Ьное» 382, 383 � -- «посл едов ател ьное» 381 Способ сев е р о - з а падного у гл а 87 Среднее в р е м я ожида ни я 277 -- -- п р ебыв а н н я в си стеме 277 Ср едние по в р е менн � я од н ой р е а л и з аци и 43 4 Ср ед н я я дл и н а очер еди 2 5 0 Стандартна я ф о р м а з а п и си у р а в не­ ни й 64 Статисти чес кие средние по м ножест­ ву ре ал и з а ц и й 434 Статистическое модел и р ов а ние 1 6, 4 09 Стаци о н а р н о ст ь п оток а 201 Ст а ц и о н а р н ы й сл уч а й н ы й п р о це сс 433 Стр ате г и я 449 -- а кт и в н а я 463 -- дубл и р у юща я 464 -з а ве дом о н е в ы го д н а я 464 -- игрока 449 -- м а кси м н н н а я 4 55

550

-- м и н и м а ксн а я 4 56 -- опти м ал ь н а я 449, 458 -- сме ш а н н а я 4 52, 4 6 1 Ст р о к а р а з р е ш ающа я 6 5 Схема вет в я щегося ц и кл а 23 1 -- г и бели и р а з м ноже н и я 223 -- ц и кл и ческая 229

р а с п р еделе н и я о г н я 348 -- эффе кт и в ност и 349

х

--

Т Табл и ца ста нда р т н а я 64 -- стр у кту р н а я ком пл екса р а бот 5 1 7 -- ст р у ктурно-в р е м е н н а я 520 -- т р а нспорт н а я 86 Т абли цы сл учай ных ч и сел 4 24 Те о рем а об а ктив н ы х страте г и я х 463 -- теор ии игр ос нов н а я 462 Теор и я и гр 23, 446 - статистических р е ш е н и й 496 Точка опо р н а я 53 -- седлов а я 4 58

У У п р а вл е н ие опти м а л ь ное 1 2 1 - - безусловное 1 7 8 -- -- у сл ов ное 1 3 7 -- системой 1 3 3 - ш а говое 1 2 1 У пор ядоче ние р абот 5 1 8 У п р о ще н ие игр 464 У р ав н е н и е основ ное фу н кцио н а л ь­ н ое (ди нами ческого п р огр амми­ р ов а н и я ) 1 39 Ур а в не н и я динами к и боя (модел ь А) 329 -- (модел ь Б) 335, 336 -- -- -- ( м одел ь В) 338, 340 - -- ср едн их 299 -- -- nл я неод иор одн ы х эл е ме нтов 3 1 4 Колмого р ов а - 1 94 , 1 98 -- Ла нчесте р а 329 -- -- 2-го р ода 332 -- сме ш а н ного т и п а 3 50 Уровень дов ер и я 442 Усл овие бал а нсовое 8 5 -нор м и р ов оч ное 2 1 9 Усл ов и я о пе р а ц и и зада н ные 27 У че т попол нен и я 309

Ф Ф и з и ческ а я смесь стр атег и й 494 Ф о р м а з а п и с и у р ав н е н и я ста ндарт­ н а я 64 Формулы Пол нчека -- Х и нч и н а 286, 287 -- Эр л а н г а 246 Ф у нкция в р е м е н и слу ч а й н а я 292 -- Л а пл аса 298

л и ч ный 44 8 сл у ча й н ы i\ 448

Ход

Ц Це н а игры 462 -вер х н я я 4 56 - н ижн я я 455 __ _ чистая 4 58 _ ци кл а 93 Це нтр а л ь н а я предел ь н а я тео р ема теор и и вероятностей 440 Цепь мар ковска я 1 86 _ неодн о р одна я 1 88 - - непр ер ыв н а я 194 _ - однор одна я 1 88 Цикл 9 1 __ неу сто йчивый 325 __ устойчивый 325 __

Ч Чебышева теорема 4 1 2 Ч и сл а псевдосл у ч а й ные

Ч ислен ности

состо я н и й

-- -- н а ч ал ьны\' 29 5

4 24, 292

средн ие

-- - пр едел ь н ые

425

320

-- -- ср едние 297

Ч исле н н о ст ь кр ити ческ а я Ч и сл о р е а л и з а ц н й 440

323

э Экспоне НIlиал ь н ый з а к о н наде ж н о­ сти 37 2 Эл емент р а з р е ш ающи й 64 Элеме нты теор ии ст атистическ н х ре­ ше н и й 496 Э р го д и ч н ость 43 4 Эффе кт ив ность о пе р а ций 1 1 , 1 2

я Ячейка т р а нс п о р т н о й та бл н цы з и сн а я 86 -- -- -- своб одн!! я 86

ба­

Елена Сергеевна Венml4е.ль

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Редактор М . С . Гордон

Художественный редактор

В. Т . Сuдоренко

Художник Л. Г. Ларскuй

Техн ический редактор А . А. Белоус Корре кто ры: Е. П . Оверецкая. М . Ф. Белякова

Сдано а набор

Т- О 5 1 90

Издательство

г.

Подписано в печать

60 х 9 0 / ..

3 4 , б уе л . 0 0 0 9 КЗ .

Объем

fираж 3 1

2/XI 11

Формат

и/У

о. л . .

3 4 , 540 уч . ·изд . л . 96 к. З а к . 573 Москва, rJlав почтам т п/я 6 93

Ценз 1 р .

сСоветокое радио>.

Московская типография

N. 4 ГJl а вполиграфпрома

I\омнтета по печати при Со в е т е Мнннстров СССР Москва,

72 Р.

Бумага типографская N. 2

Б . ПереЯСJlа вск � я. 4 6