ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор
К. Л. САМАРОВ
РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике
© К. Л. Самаров, 2010 © ООО «Резольвента», 2010 Пример 1. Сколько целых значений x удовлетворяет неравенству x 4 + 40 ≤ 14 x 2 ?
Решение. Сначала решим данное неравенство: x 4 + 40 ≤ 14 x 2 ⇔ x 4 − 14 x 2 + 40 ≤ 0 ⇔ ( x 2 − 4 )( x 2 − 10 ) ≤ 0 ⇔ 4 ≤ x 2 ≤ 10 ⇔
{
} {
}
⇔ 2 ≤ x ≤ 10 ⇔ − 10 ≤ x ≤ −2 ∪ 2 ≤ x ≤ 10 .
В найденной области содержатся следующие целые числа: -3, -2, 2, 3. Ответ: 4. Пример 2. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству
( x − 2)
4
< 9( x − 2)
2
Решение. Сначала решим данное неравенство:
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 1
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10
( x − 2)
4
2 4 2 2 2 < 9 ( x − 2 ) ⇔ ( x − 2 ) − 9 ( x − 2 ) < 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x − 2 ) − 9 < 0 ⇔
⇔ ( x − 2 ) ( x − 2 ) − 3 ( x − 2 ) + 3 < 0 ⇔ ( x − 2 ) [ x − 5][ x + 1] < 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( −1, 2 ) ∪ ( 2, 5 ) 2
2
В найденной области содержатся следующие целые числа: 0, 1, 3, 4. Их сумма равна 8. Ответ: 8. Пример 3. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x 7 + ≤0 x +1 x − 5
Решение. Сначала решим данное неравенство: x ( x − 5 ) + 7 ( x + 1) 7 x x2 − 5x + 7 x + 7 + ≤0⇔ ≤0⇔ ≤0⇔ x +1 x − 5 ( x + 1)( x − 5 ) ( x + 1)( x − 5)
( x + 1) + 6 ≤ 0 ⇔ x + 1 x − 5 < 0 ⇔ x ∈ −1, 5 . x2 + 2 x + 7 ⇔ ≤0⇔ ( )( ) ( ) ( x + 1)( x − 5 ) ( x + 1)( x − 5 ) 2
В найденной области содержатся следующие целые числа: 0, 1, 2, 3, 4. Их сумма равна 10. Ответ: 10. Пример 4. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 2
x 3 ≤ 3 x
Решение. Сначала решим данное неравенство: 2 ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 ) x2 3 x 3 − 27 x 3 − ≤0⇔ ≤0⇔ ≤0⇔ ≤ ⇔ x 9 x 9x 9x 3 2 3 27 3 9 9 2 ( x − 3 ) x + + ( x − 3) x + 2 ⋅ ⋅ x + + 9 − 2 4 2 4 4 ⇔ ≤0⇔ ≤0⇔ 9x 9x x−3 ⇔ ≤ 0 ⇔ x ∈ ( 0, 3]. x
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 2
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 В найденной области содержатся следующие целые числа: 1, 2, 3. Их сумма равна 6. Ответ: 6. Пример 5. Найти область определения функции y= x−
2 +1 x
Решение. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а, во-вторых, на нуль делить нельзя. Следовательно, справедлива система неравенств: 2 x2 + x − 2 ( x + 2 )( x − 1) 1 0 x − + ≥ ≥0 ≥0 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ [ −2, 0 ) ∪ [1, + ∞ ) . x x x x ≠ 0 x≠0 x≠0
Ответ: x ∈ [ −2, 0 ) ∪ [1, + ∞ ) . Пример 6. Найти область определения функции y = log x ( x 2 − 6 x + 8 )
Решение. Во-первых, выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным. Во-вторых, основание логарифма должно быть положительным. В третьих, основание логарифма не может равняться 1. Следовательно, справедлива система неравенств: x 2 − 6 x + 8 > 0 ( x − 2 )( x − 4 ) > 0 x ∈ ( −∞, 2 ) ∪ ( 4, + ∞ ) x>0 ⇔ x>0 ⇔ x>0 ⇔ x ≠1 x ≠1 x ≠1 ⇔ x ∈ ( 0, 1) ∪ (1, 2 ) ∪ ( 4, + ∞ ) .
Ответ: x ∈ ( 0, 1) ∪ (1, 2 ) ∪ ( 4, + ∞ ) . Пример 7. Решить неравенство 3 1 > 2− x x+3
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду, в котором удобно воспользоваться методом интервалов: ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 3
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 x − 2 + 3 ( x + 3) 3 1 1 3 1 3 > ⇔ − <0⇔ + <0⇔ <0⇔ 2− x x+3 x+3 2− x x+3 x−2 ( x + 3)( x − 2 ) 7 4 x + x − 2 + 3x + 9 4x + 7 4 ⇔ <0⇔ <0⇔ <0⇔ ( x + 3)( x − 2 ) ( x + 1)( x − 5) ( x + 1)( x − 5 ) 7 7 4 ⇔ < 0 ⇔ x ∈ −∞, − ∪ ( −1, 5 ) . 4 ( x + 1)( x − 5) x+
7 Ответ: x ∈ − ∞, − ∪ ( −1, 5 ) . 4
Пример 8. Решить неравенство 2 x3 − x 2 − x < 0
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду, в котором удобно воспользоваться методом интервалов. Для этого разложим левую часть неравенства на множители: 2 x 3 − x 2 − x < 0 ⇔ x ( 2 x 2 − x − 1) < 0.
Далее получаем 2 x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x1,2 =
1± 1+ 8 1± 3 1 = ⇔ x1 = − , x2 = 1. 4 4 2
Следовательно, 1 2 x3 − x 2 − x < 0 ⇔ x ( 2 x 2 − x − 1) < 0 ⇔ 2 x x + ( x − 1) < 0. 2
Воспользовавшись, теперь, методом интервалов, получаем ответ задачи. 1 Ответ: x ∈ − ∞, − ∪ ( 0,1) . 2
Пример 9. Решить неравенство 3x − 8 1 < 3x 2 − 5 x − 2 x + 1
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду, в котором удобно воспользоваться методом интервалов. Для этого преобразуем левую часть неравенства: ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 4
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10
( 3x − 8)( x + 1) − ( 3x 2 − 5 x − 2 ) 3x − 8 1 3x − 8 1 < ⇔ 2 − <0⇔ <0⇔ 3x 2 − 5x − 2 x + 1 3x − 5 x − 2 x + 1 ( 3x2 − 5 x − 2 ) ( x + 1) ⇔
3x 2 − 8 x + 3x − 8 − 3x 2 + 5x + 2 −6 < 0 ⇔ <0⇔ 2 2 3 x − 5 x − 2 x + 1 3 x − 5 x − 2 x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ ( 3 x 2 − 5 x − 2 ) ( x + 1) > 0.
Далее получаем: 3 x 2 − 5 x − 2 = 0 ⇔ x1,2 =
5 ± 25 + 24 5 ± 7 1 = ⇔ x1 = − , x2 = 2. 6 6 3
Следовательно,
( 3x
2
1 − 5 x − 2 ) ( x + 1) > 0 ⇔ 3 ( x + 1) x + ( x − 2 ) < 0. 3
Воспользовавшись, теперь, методом интервалов, получаем ответ задачи. 1 Ответ: x ∈ ( −∞, − 1) ∪ − , 2 . 3
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1.
Сколько целых значений x удовлетворяет неравенству 19 x 2 > x 4 + 18 ?
2.
Сколько целых значений x удовлетворяет неравенству x 4 + 180 ≤ 29 x 2 ?
3.
Сколько целых значений x удовлетворяет неравенству 25 x 2 > x 4 + 24 ?
4.
Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 9 ( x + 1) > ( x + 1) 2
5.
Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству
( x + 1) 6.
4
4
< 16 ( x + 1)
2
Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 16 ( x + 3) > ( x + 3) 2
4
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 5
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 7.
Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x 3 ≤ x−2 x+4
8.
Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x 5 + ≤0 x+2 x−4
9.
Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x 4 ≤ x −1 x + 5
10. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 2
x 5 + ≤0 5 x 11. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 4 x ≥ x 4
2
12. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 2
x 3 + ≤0 3 x 13. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x2 +
27 ≤0 x
14. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x2 ≤
125 x
15. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x2 +
64 ≤0 x
16. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x2 ≤
27 x
17. Найти область определения функции
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 6
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 y=
7 x 3 − − 2 2 x
18. Найти область определения функции y = 9 − 4x −
2 x
19. Найти область определения функции y = 2x −
4 +7 x
20. Найти область определения функции y = log − x ( x 2 + 8 x + 15 ) 21. Найти область определения функции y = log x ( x 2 − 7 x + 10 ) 22. Найти область определения функции y = log − x ( x 2 + 5 x + 6 ) 23. Решить неравенство
x−4 2 < x − 2 x +1 24. Решить неравенство 1 2 < x x+2 25. Решить неравенство x+6 3 < x − 2 x −1 26. Решить неравенство 1 3 < x + 2 x −3 27. Решить неравенство 1− x 3 > 3+ x x +9
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 7
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 28. Решить неравенство 2 3 > x − 5 x +1 29. Решить неравенство x+4 2 > 6− x x+3 30. Решить неравенство 3x3 − 5 x 2 − 2 x < 0 31. Решить неравенство 6 x + 1 3 x + 10 > 2x −1 x+2 32. Решить неравенство 8x − 1 2x − 5 > 4x −1 x − 3 33. Решить неравенство 2x + 9 1 < 2x + 7x + 3 x −1 2
34. Решить неравенство 10 x − 3 2 x − 7 < 5x − 1 x−4 35. Решить неравенство 4x + 9 2 > 4 x + 3x − 1 2 x − 3 2
36. Решить неравенство 3x + 2 x − 2 > 6x −1 2x − 5 37. Решить неравенство 5x + 4 1 > 5x − 6 x + 1 x − 2 2
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 8
