Задачи и вопросы по разделу Оптика курса общей физики

В.А.Саечников, М.И.Хомич, С.В.Трухан

Задачи и вопросы по разделу «Оптика» курса общей физики

Учебное пособие

Задачи и вопросы по разделу «Оптика» курса общей физики [Электронный ресур]: Учебное пособие / В.А.Саечников, М.И.Хомич, С.В.Трухан — Электрон. текст. дан. (1,2 Мб). — Мн.: Научно-методический центр “Электронная книга БГУ”, 2003. — Режим доступа: http://anubis.bsu.by/publications/elresources/RadiophysicsElectronics/saechnikov.pdf . — Электрон. версия печ. публикации, 2002. — PDF формат, версия 1.4 . — Систем. требования: Adobe Acrobat 5.0 и выше.

МИНСК «Электронная книга БГУ» 2003

© В.А.Саечников, М.И.Хомич, С.В.Трухан., 2003. © Научно-методический центр «Электронная книга БГУ», 2003 www.elbook.bsu.by [email protected]

ÓÄÊ 621.375.9(075.83) ÁÁÊ 22.34ÿ73 Ç-15

À â ò î ð û - ñ î ñ ò à â è ò å ë è: Â. À. Ñàå÷íèêîâ, Ì. È. Õîìè÷, Ñ. Â. Òðóõàí Ðåöåíçåíò äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Â. Â. Àïàíàñîâè÷ Ðåêîìåíäîâàíî Ó÷åíûì ñîâåòîì ôàêóëüòåòà ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè 27 èþíÿ 2002 ã., ïðîòîêîë ¹ 14

Çàäà÷è è âîïðîñû ïî ðàçäåëó «Îïòèêà» êóðñà îáùåé ôèçèÇ-15 êè: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ôàê. ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè ñïåö. G 31 04 02 «Ðàäèîôèçèêà» è G 31 04 03 «Ôèçè÷åñêàÿ ýëåêòðîíèêà» / Àâò.-ñîñò. Â. À. Ñàå÷íèêîâ, Ì. È. Õîìè÷, Ñ. Â. Òðóõàí. – Ìí.: ÁÃÓ, 2003. – 184 ñ.: èë. ISBN 985-445-933-0.  ïîñîáèå âêëþ÷åíî áîëåå 500 âîïðîñîâ è 430 çàäà÷ ïî îñíîâíûì òåìàì ðàçäåëà «Îïòèêà» êóðñà îáùåé ôèçèêè äëÿ ïîýòàïíîãî ñàìîêîíòðîëÿ óñâîåíèÿ òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Äàíû ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ âàæíåéøèõ òèïîâ. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè. ÓÄÊ 621.375.9(075.83) ÁÁÊ 22.34ÿ73

ISBN 985-445-933-0

© Ñàå÷íèêîâ Â. À., Õîìè÷ Ì. È., Òðóõàí Ñ. Â., 2003 © ÁÃÓ, 2003

Òåìà 1 ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÎÏÒÈÊÀ È ÝËÅÌÅÍÒÛ ÔÎÒÎÌÅÒÐÈÈ

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Êàêàÿ îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé? Êàêîâû îñíîâíûå ñâîéñòâà èäåàëüíûõ ñèñòåì? 2. Êàê ñòðîÿò èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà â öåíòðèðîâàííîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìå? 3. Êàêèå áûâàþò àáåððàöèè îïòè÷åñêèõ ñèñòåì? Êàê îíè ïðîÿâëÿþòñÿ è ÷åì îáóñëîâëåíû? 4. Êàêîâû íàçíà÷åíèå è ïðèíöèï äåéñòâèÿ ëóïû è ìèêðîñêîïà? Íà÷åðòèòå õîä ëó÷åé â ýòèõ ïðèáîðàõ. 5. ×åì ìèêðîñêîï îòëè÷àåòñÿ îò çðèòåëüíîé òðóáû? 6. Êàê óâåëè÷èòü ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ëóïû, ìèêðîñêîïà? ×åì îãðàíè÷åíà ýòà âåëè÷èíà? 7. Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ ìèêðîñêîïà íàáëþäàòü îòäåëüíûå ìîëåêóëû? 8.  êàêîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå âîëíîâàÿ îïòèêà ïåðåõîäèò â ãåîìåòðè÷åñêóþ? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû, â êîòîðûõ óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè íå âûïîëíÿþòñÿ. r 9. Êàê èç óðàâíåíèÿ ýéêîíàëà ns = ÑS ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ëó÷åé? 10.  êàêóþ ñòîðîíó èñêðèâëÿåòñÿ ëó÷ â ñðåäå ñ çàâèñÿùèì îò êîîðäèíàò ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ? Îáúÿñíèòå ÿâëåíèÿ ìèðàæà è àñòðîíîìè÷åñêîé ðåôðàêöèè. 11. Êàê èç óðàâíåíèÿ ýéêîíàëà ïîëó÷èòü çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ëó÷åé íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä? Ñôîðìóëèðóéòå ïðèíöèï Ôåðìà. Êàê åãî äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ïðèíöèïà Ôåðìà. 12. ×òî òàêîå ñîïðÿæåííûå òî÷êè? 13. Êàêóþ ôîðìó äîëæíî èìåòü çåðêàëî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòèãìàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ: à) ñâåòÿùåéñÿ òî÷êè, á) áåñêîíå÷íî óäàëåííîãî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà? 14. Êàêèå ëó÷è íàçûâàþò ïàðàêñèàëüíûìè? 15. Êàêèìè ïàðàìåòðàìè çàäàþò ëó÷ íà îïîðíîé ïëîñêîñòè? 16. Çàïèøèòå â îáùåì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå ïàðàìåòðîâ ëó÷à ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé îïîðíîé ïëîñêîñòè ê äðóãîé â ïàðàêñèàëüíîì ïðèáëèæåíèè. 3

17. Ïðèâåäèòå âèä ìàòðèö ïðåîáðàçîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ëó÷à, ñîïîñòàâëÿåìûõ: 1) îïòè÷åñêîìó ïðîìåæóòêó, 2) ñôåðè÷åñêîé ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè, 3) îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè, 4) òîíêîé ëèíçå. 18. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ôîêàëüíûå òî÷êè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû? ×òî òàêîå ãëàâíûå ïëîñêîñòè? 19. Êàê ìîæíî íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå ïàðàêñèàëüíîãî ëó÷à â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå, åñëè èçâåñòíî ïîëîæåíèå åå êàðäèíàëüíûõ òî÷åê? 20. ×òî òàêîå ñîïðÿæåííûå ïëîñêîñòè? Êàê íàéòè â ïðîñòðàíñòâå èçîáðàæåíèé ïëîñêîñòü, ñîïðÿæåííóþ ñ îïðåäåëåííîé ïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ? 21. Ïðè êàêîì óñëîâèè ñîçäàâàåìîå îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé èçîáðàæåíèå òðåõìåðíîãî ïðåäìåòà ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíî ñàìîìó ïðåäìåòó? Êàê â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå èçìåíåíèå ðàäèóñà êðèâèçíû âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòû ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ ëó÷à? 22. Êàêèìè ïàðàìåòðàìè õàðàêòåðèçóåòñÿ ãàóññîâ ïó÷îê? ×òî òàêîå êîìïëåêñíûé ðàäèóñ êðèâèçíû? Êàê îí ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ïó÷êà ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó? 23. ×òî íàçûâàåòñÿ àïåðòóðíîé äèàôðàãìîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, âõîäíûì è âûõîäíûì çðà÷êàìè?  êàêîì ñëó÷àå âõîäíîé çðà÷îê ñîâïàäàåò ñ àïåðòóðíîé äèàôðàãìîé? 24. Ñ êàêîãî ðàññòîÿíèÿ íóæíî ðàññìàòðèâàòü ôîòîñíèìîê, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðàâèëüíîå ïðîñòðàíñòâåííîå âïå÷àòëåíèå? 25. Êàê ïîëîæåíèå àïåðòóðíîé äèàôðàãìû âëèÿåò íà õàðàêòåð ïåðñïåêòèâû, ïîëó÷àþùåéñÿ íà ïëîñêîì èçîáðàæåíèè? 26. ×òî íàçûâàåòñÿ äèàôðàãìîé ïîëÿ çðåíèÿ, âõîäíûì è âûõîäíûì îêíàìè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû? 27. Êàêóþ ðîëü â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå âûïîëíÿåò ïîëåâàÿ ëèíçà (êîëëåêòèâ)? 28. Êàêèìè ñïîñîáàìè óñòðàíÿþò ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ â çåðêàëüíûõ è ëèíçîâûõ îáúåêòèâàõ òåëåñêîïîâ? 29. Êàêîå óñëîâèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîçäàâàëà ðåçêîå èçîáðàæåíèå òî÷åê ïðåäìåòà, íå ëåæàùèõ íà îïòè÷åñêîé îñè? 30. Ãäå ðàñïîëîæåíû ñîïðÿæåííûå àïëàíàòè÷åñêèå òî÷êè äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè? 31. Êàêèìè ñïîñîáàìè óñòðàíÿþò ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ â çåðêàëüíûõ è ëèíçîâûõ îáúåêòèâàõ òåëåñêîïîâ?  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ àáåððàöèÿ àñòèãìàòèçìà? 32. Êàêîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå âûçûâàåò õðîìàòè÷åñêóþ àáåððàöèþ? Êàêèìè ñïîñîáàìè óäàåòñÿ åå óìåíüøèòü? 4

33. Êàêèå àáåððàöèè äîëæíû áûòü óñòðàíåíû â ïåðâóþ î÷åðåäü ó îáúåêòèâîâ: à) òåëåñêîïà, á) ôîòîàïïàðàòà, â) ìèêðîñêîïà, ã) êîëëèìàòîðà ñïåêòðîãðàôà, ä) êàìåðû ñïåêòðîãðàôà? 34. Îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà ñîçäàåò â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå óäàëåííîãî ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà ñâåòà, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî èçëó÷àåò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà. Êàê áóäóò ìåíÿòüñÿ ïðè èçìåíåíèè ñâåòîñèëû îáúåêòèâà (äèàìåòðà äèàôðàãìû) ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà è îñâåùåííîñòü ôîòîïëàñòèíêè â òîì ìåñòå, ãäå ïîëó÷àåòñÿ èçîáðàæåíèå? 35. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó (ïðè îòñóòñòâèè ïîòåðü ñâåòà) ÿðêîñòü ñîçäàâàåìîãî îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà ðàâíà ÿðêîñòè ñàìîãî èñòî÷íèêà. 36.  êàêîì ñëó÷àå óâåëè÷åíèå ïðèáîðà, ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ âèçóàëüíûõ íàáëþäåíèé, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì? 37. Êàêèì äîëæåí áûòü äèàìåòð ëèíç îáúåêòèâîâ áèíîêëÿ ñ äåñÿòèêðàòíûì óâåëè÷åíèåì, åñëè äèàìåòð çðà÷êà ãëàçà ðàâåí 5 ìì? 38. Êàêèå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, îïðåäåëÿþò ðàçìåð ñîçäàâàåìîãî åþ äèôðàêöèîííîãî èçîáðàæåíèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà (äèñêà Ýéðè)? 39. Êîãäà äâà îäèíàêîâûõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêà ñ÷èòàþòñÿ, ïî Ðýëåþ, ðàçðåøåííûìè íà ïëîñêîñòè, ãäå ïîëó÷åíî èçîáðàæåíèå?  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ óñëîâíîñòü ýòîãî êðèòåðèÿ? 40. ×åìó ðàâíî ìèíèìàëüíîå óãëîâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó îäèíàêîâûìè çâåçäàìè, ðàçðåøàåìîå îáúåêòèâîì òåëåñêîïà ñ äèàìåòðîì D? Ïî÷åìó îíî íå çàâèñèò îò ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ îáúåêòèâà? 41. Êàêèìè ïðåèìóùåñòâàìè è íåäîñòàòêàìè îáëàäàþò ñèñòåìû ñ ðàçðåæåííîé àïåðòóðîé, ïîäîáíûå çâåçäíîìó èíòåðôåðîìåòðó? 42. Êàê íóæíî âûáèðàòü îêóëÿð îïòè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ âèçóàëüíûõ íàáëþäåíèé, ÷òîáû ðåàëèçîâàòü ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü åå îáúåêòèâà? 43. Ïî÷åìó â òåëåñêîï çâåçäû âèäíû äíåì, êîãäà èõ íàáëþäåíèå íåâîîðóæåííûì ãëàçîì íåâîçìîæíî? 44. Ñ êàêîé öåëüþ â ñèëüíûõ ìèêðîñêîïàõ ïðèìåíÿþò èììåðñèþ? 45. Êàê òåîðèÿ Àááå îáúÿñíÿåò çàâèñèìîñòü ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ìèêðîñêîïà îò ÷èñëîâîé àïåðòóðû îáúåêòèâà ïðè êîãåðåíòíîì îñâåùåíèè? 46. Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ îïòè÷åñêîãî ìèêðîñêîïà îáíàðóæèòü ÷àñòèöû, ðàçìåð êîòîðûõ ìåíüøå äëèíû ñâåòîâîé âîëíû? 47. Îáúÿñíèòå èäåþ ìåòîäà ôàçîâîãî êîíòðàñòà è ìåòîä ôèëüòðàöèè ïðîñòðàíñòâåííûõ ãàðìîíèê. 5

Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð 1. Ñòåêëÿííûé øàð (n = 1,5) èìååò ðàäèóñ R = 4 ñì. Íàéòè ðàññòîÿíèå îò öåíòðà øàðà äî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà, êîòîðûé íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 6 ñì îò ïîâåðõíîñòè øàðà. Îïðåäåëèòü ëèíåéíîå óâåëè÷åíèå. Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ îïòè÷åñêîé ñèëû òîëñòîé ëèíçû, îãðàíè÷åííîé äâóìÿ ñôåðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè: d Ô = Ô1 + Ô2 – Ô1Ô2, n ãäå Ô1 è Ô2 – îïòè÷åñêèå ñèëû ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé, n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû ìåæäó ïðåëîìëÿþùèìè ïîâåðõíîñòÿìè. n -1 1-n , Ô2 = = Ô 1, Ô1 = r -r Ô=2

n - 1 2r(n - 1) 2 2(n - 1) – . = 2 r rn nr

Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû ðàâíî 1 rn f = = = 15 , r. Ô 2(n - 1) Ïåðåäíåå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f = –1/Ô. Çàäíåå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f¢ = 1/Ô, ïîñêîëüêó ñðåäà ïî îáå ñòîðîíû ëèíçû îäèíàêîâà. Ãëàâíûå ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèÿõ d Ô2 OH = = r, n Ô d Ô1 O¢H¢ = = -r n Ô îò âåðøèíû ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé O è O¢, ò. å. ïðîõîäÿò ÷åðåç öåíòð ëèíçû Ñ. Çíàÿ ðàñïîëîæåíèå êàðäèíàëüíûõ ïëîñêîñòåé, ëåãêî ðåøèì çàäà÷ó. Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé f f¢ (1) + = 1, a1 a2 ãäå a1 è a2 – ðàññòîÿíèÿ, êîòîðûå îòñ÷èòûâàþòñÿ îò ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé (ðèñ. 1.1), èëè ôîðìóëîé Íüþòîíà (2) x1 × x 2 = f × f ¢, ãäå x1 è x2 îòñ÷èòûâàþòñÿ îò ôîêàëüíûõ ïëîñêîñòåé. 6

F’

F C

O

O’

P x1

P’

F’

F à1

x2 a2

HH’

HH’

Ð è ñ. 1.1

 ýòîé çàäà÷å a1 = –10 ñì, x1 = –4 ñì. Ïîäñòàíîâêà äàííûõ â (1) è (2) äàåò a2 = 15 ñì, x2 = 9 ñì. Ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå V = a2/a1 = 1,5. Ïðèìåð 2. Îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ãëàâíûõ, ôîêàëüíûõ ïëîñêîñòåé è ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ ñèñòåìû äâóõ òîíêèõ ëèíç ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè f1 = 5 ñì, f2 = –5 ñì, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè d = 10 ñì äðóã îò äðóãà (ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â âîçäóõå, n = 1). Ðåøåíèå 1. Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì, ñâÿçûâàþùèì ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ ñèñòåìû ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ: D + f1¢ - f2 ff , f = 1 2 , xH = f1 D D D + f1¢ - f2 f ¢f ¢ , f ¢ = - 1 2 , xH¢ = f2¢ D D ãäå D = +10 ñì – ðàññòîÿíèå îò çàäíåé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ïåðâîé ëèíçû äî ïåðåäíåé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè âòîðîé ëèíçû, à xH è xH¢ – ðàññòîÿíèÿ îò ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé. Ñîãëàñíî óñëîâèþ ïåðâàÿ ëèíçà ñîáèðàþùàÿ, âòîðàÿ – ðàññåèâàþùàÿ. Ðàñïîëîæåíèå êàðäèíàëüíûõ ïëîñêîñòåé ëèíç ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.2. Ðàññòîÿíèå xH îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ïåðåäíåé ãëàâíîé ïëîñêîñòè ïåðâîé ëèíçû, xH¢ – îò çàäíåé ãëàâíîé ïëîñêîñòè âòîðîé ëèíçû. ÏîäH’

F H xH

A

F’ xH’

H1 H1’

F

H’

H

F’ A’

H2H2’

à

á Ð è ñ. 1.2 7

ñòàíîâêà äàííûõ çàäà÷è äàåò f = –2,5 ñì, f¢ = +2,5 ñì, xH = –5 ñì, xH¢ = –5 ñì, ò. å. ñèñòåìà ñîáèðàþùàÿ. Íà ðèñ. 1.2, á äàí ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ èçîáðàæåíèÿ äëÿ ýòîé ñèñòåìû ëèíç. 2. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ îïòè÷åñêîé ñèëû ñèñòåìû Ô = Ô1 + Ô2 – dÔ1Ô2, ãäå d – ðàññòîÿíèå ìåæäó ãëàâíûìè ïëîñêîñòÿìè ëèíç: 1 1 1 1 1 10 10 Ô= (ñì–1), + -d = - = f1 f2 f1 f2 5 5 (-5)5 25 Ô1 (-1 5) = 10 25 = -5 (ñì), 10 Ô Ô (1 5) xH¢ = -d 1 = -10 25 = -5 (ñì). 10 Ô xH = d

Åñëè D = 0, òî | f | = ¥, | xH | = ¥, è ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ òåëåñêîïè÷åñêîé. Äëÿ ýòîãî â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ëèíçû íàäî ñäâèíóòü âïëîòíóþ. Ëèíåéíîå óâåëè÷åíèå òåëåñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ ïðåäìåòà è ðàâíî V = f 2 / f1. Óãëîâîå óâåëè÷åíèå W = f1 /f2, VW = 1, ò. å. äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëüøèõ óãëîâûõ óâåëè÷åíèé îáúåêòèâ çðèòåëüíîé òðóáû äîëæåí áûòü äëèííîôîêóñíûì, îêóëÿð – êîðîòêîôîêóñíûì. Ïðèìåð 3. Âûâåñòè ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà Ôåðìà ôîðìóëó ïðåëîìëåíèÿ ïàðàêñèàëüíûõ ëó÷åé íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ðàäèóñà R, ðàçäåëÿþùåé ñðåäû ñ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2 (ðèñ. 1.3). Ïðîâîäèì äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè â S è S¢ è ðàäèóñàìè SO, S¢M = S¢B ñîîòâåòñòâåííî, ãäå S – òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, S¢ – åãî èçîáðàæåíèå. Ïî ïðèíöèïó Ôåðìà îïòè÷åñêèå äëèíû âñåõ ëó÷åé, âûøåäøèõ èç S è ñîáðàâøèõñÿ â S¢, îäèíàêîâû. M D h1

S

A

h2 O

F B

C

–a1

a2

Ð è ñ. 1.3 8

S’

Òîãäà îïòè÷åñêèå ïóòè (DM) è (OB) äîëæíû áûòü ðàâíû: n1DM = n2OB.

(3)

Äëÿ ïàðàêñèàëüíûõ ëó÷åé DM » AO + OC, OB = OC – BC, êðîìå òîãî h1 » h2 è óðàâíåíèå (3) çàïèøåì òàê: n1(AO + OC) = n2(OC – BC).

(4)

Ðàññìîòðèì DSAD: SD = SO, h12 = SD 2 - (SD - AO) 2 , h12 = SD 2 - SD 2 + 2SD × AO - AO 2 . Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ, ïðåíåáðåãàÿ ÀÎ2, ïîëó÷èì AO =

h12 . 2SD

(5)

 òîì æå ïðèáëèæåíèè èç DCMF: OC »

h 22 , 2MF

(6)

BC »

h 22 . 2MS ¢

(7)

à èç DCMS¢:

Ïîäñòàâëÿåì (5), (6) è (7) â (4): æ h2 æ h2 h 22 ö h 22 ö ÷ ÷ = n2 ç 1 n1 çç 1 + ç 2MF 2MS ¢ ÷. ÷ è ø è 2SD 2MF ø Ñîêðàùàåì íà

h2 è ïîëó÷àåì 2 1 ö 1 ö æ 1 æ 1 + n1 ç ÷ = n2 ç ÷. è SD MF ø è MF MS ¢ ø

Èç ðèñ. 1.3 (ñ ó÷åòîì ïðàâèëà çíàêîâ) âèäíî, ÷òî â ïàðàêñèàëüíîì ïðèáëèæåíèè SD = –a1, MF = R, MS¢ @ a2, ò. å. æ1 æ1 1ö 1 ö ÷÷ = n 2 çç ÷÷. n1 çç è R a1 ø è R a2 ø

(8)

9

æ1 1ö Âûðàæåíèå (8) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå nç - ÷ = q = const è a Rø è ïðè ïðåëîìëåíèè ñîõðàíÿåò ñâîþ âåëè÷èíó. Åãî íàçûâàþò íóëåâûì èíâàðèàíòîì Àááå. Ôîðìóëó (8) ÷àñòî èñïîëüçóþò â âèäå n2 n n - n1 , (9) - 1 = 2 a2 a1 R n 2 - n1 – îïòè÷åñêàÿ ñèëà. R Êàê âèäíî èç (9), äëÿ ïàðàêñèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âñå ëó÷è, èñõîäÿùèå èç òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà S, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå S¢, ò. å. ñîõðàíÿåòñÿ ãîìîöåíòðè÷íîñòü ïó÷êà è òî÷êà S¢ ÿâëÿåòñÿ ñòèãìàòè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà S. Ïîëîæèâ â ôîðìóëå (9) a1 ® ¥, íàéäåì ìåñòî, ãäå ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñîáåðåòñÿ ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé: ãäå Ô =

a 2 = f2 =

n2 n2 R , = Ô n 2 - n1

a1 = f1 = -

n1 n1 R . =Ô n 2 - n1

à ïðè a2 ® ¥:

Âåëè÷èíû f1 è f2 ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè îòðåçêàìè äëÿ äàííîé ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè è íàçûâàþòñÿ ïåðåäíèì (f1) è çàäíèì (f2) ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû è äëÿ ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî â (9) ïîëîæèòü n2 = –n1.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì ôîðìóëó ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà: 1 1 2 + = . a2 a1 R Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå òàêîãî çåðêàëà f = R 2. Ñëó÷àè âîãíóòîãî è âûïóêëîãî çåðêàë îòëè÷àþòñÿ ëèøü çíàêîì R. Äëÿ ïëîñêîãî çåðêàëà R ® ¥, è, ñëåäîâàòåëüíî, a2 = –a1, ò. å. èçîáðàæåíèå òî÷êè â ïëîñêîì çåðêàëå ìíèìîå è ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííîå. Ïðèìåð 4. Ôîòîìåòðèÿ. Ñèñòåìà Çåìëÿ – Ñîëíöå. Îäèí êâàäðàòíûé ìåòð çåìíîé ïîâåðõíîñòè, îñâåùàåìûé ñîëíöåì ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè èçëó÷åíèÿ, ïîëó÷àåò ïîòîê â 1,35 Âò, åñëè ïðåíåáðå÷ü ïîãëîùåíèåì àòìîñôåðîé. Ðàññ÷èòàéòå: 10

1) ïîòîê, èñïóñêàåìûé 1 ì2 ñîëíå÷íîé ïîâåðõíîñòè, ñ÷èòàÿ, ÷òî îíà èçëó÷àåò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà (êàæóùèéñÿ óãëîâîé äèàìåòð Ñîëíöà, âèäèìûé ñ Çåìëè, 2a = 32¢); 2) ïîòåðþ ñîëíå÷íîé ìàññû â ñåêóíäó çà ñ÷åò èçëó÷åíèÿ, ñ÷èòàÿ ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ñîëíöà ðàâíûì 5 ×107 êì; 3) ÿðêîñòü Çåìëè, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïîâåðõíîñòü Çåìëè ðàâíîìåðíî ðàññåèâàåò äîëþ r ïàäàþùåãî ïîòîêà èçëó÷åíèÿ; 4) àìïëèòóäó ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, îáóñëîâëåííûõ îáëó÷åíèåì. Ðåøåíèå. 1) Èçëó÷åíèå Ñîëíöà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ëàìáåðòà, è åãî ÿðêîñòü L ïîñòîÿííà. Ïîòîê, èñïóñêàåìûé ýëåìåíòîì ñîëíå÷íîé ïîâåðõíîñòè dS â òåëåñíîì óãëå dW, îñü êîòîðîãî îáðàçóåò óãîë q ñ íîðìàëüþ ê dS, ðàâåí d2Ô = LdScos q dW.

(10)

Ïðèíèìàÿ çà dW òåëåñíûé óãîë, ëåæàùèé ìåæäó äâóìÿ êîíóñàìè ñ âåðøèíîé íà dS, îñüþ, íîðìàëüíîé ê dS, è àïåðòóðîé 2q, èìååì d2Ô = LdScos q2p sin qdq. Ïîòîê, èçëó÷àåìûé ýëåìåíòîì dS âî âíåøíåå ïðîñòðàíñòâî, ðàâåí p 2

p 2

dÔ = pLdS ò 2 sin q cos qdq = pLdS ò 2 sin q d(sin q), 0

0

dÔ = pLdS[sin q] 2

p 2 0

= pLdS.

Îòíîøåíèå dÔ/dS = B – ñâåòèìîñòü, èëè èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü, ïîâåðõíîñòè. Äëÿ èçëó÷àòåëÿ, êîòîðûé ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ëàìáåðòà, èìååì B = pL. (11) Çàìåòèì, ÷òî ñôåðà, êîòîðàÿ èçëó÷àåò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà, ýêâèâàëåíòíà ïëîñêîìó äèñêó, ïîñêîëüêó ìíîæèòåëü cos q â (10) òî÷íî êîìïåíñèðóåò íàêëîí ïîâåðõíîñòè, îòñ÷èòûâàåìûé îò íîðìàëè. Èìåííî òàêèì îáðàçîì è âèäíî Ñîëíöå. Ïîòîê (10), èñïóñêàåìûé Ñîëíöåì è ïàäàþùèé ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè dS¢ Çåìëè, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè r îò Ñîëíöà, ìîæåò áûòü îïðåäåëåí êàê dS ¢ d 2 Ô = LdS 2 . r Ñîçäàâàåìàÿ îñâåùåííîñòü ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà d2Ô dS de = =L 2. ¢ dS r 11

Îñâåùåííîñòü e, ñîçäàâàåìàÿ ñîëíå÷íûì äèñêîì, êîòîðûé âèäåí S ïîä óãëîì 2 = pa 2 , ðàâíà e = Lpa 2 . r Òàêèì îáðàçîì, ñâåòèìîñòü Ñîëíöà èìååò âåëè÷èíó e 1,35 × 10 3 B = pL = 2 = = 5,8 × 10 2 (Âò/ì2). -4 2 a (16 × 3 × 10 ) 2) Èñõîäÿ èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ìàññîé è ýíåðãèåé, çàïèøåì DW Dm = 2 , c ãäå c – ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. Ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñóììàðíóþ ìîùíîñòü, òåðÿåìóþ Ñîëíöåì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî îíà ðàâíà ìîùíîñòè, ïîëó÷àåìîé åäèíè÷íîé ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè Çåìëè, óìíîæåííîé íà ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàäèóñîì, ðàâíûì ðàññòîÿíèþ îò Çåìëè äî Ñîëíöà, ò. å. Ô = 1,35× 103 ×4×3,14 × (15)2 ×1020 = 3,815×1026 (Âò). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåðÿ ìàññû â ñåêóíäó ðàâíà Ô 3,815 × 10 26 Dm = 2 = = 4,24 × 10 9 (êã), (3 × 10 8 ) 2 c ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ãîäîâîé ïîòåðå 1,4×1013 ò. Îäíàêî ìàññà Ñîëíöà ðàâíà 2×1027 ò. 3) Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Çåìëè, êîòîðàÿ ïîëó÷àåò ïîòîê dÔ, âíîâü èçëó÷àåò â ïðîñòðàíñòâî ïîòîê dÔ¢ = rdÔ. Òàêèì îáðàçîì, ñâåòèìîñòü Çåìëè dÔ¢ dÔ B¢ = =r = re, dS ¢ dS ¢ ÿðêîñòü r L¢ = e. p 4) Ñðåäíÿÿ îñâåùåííîñòü, ñîçäàâàåìàÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé, ñâÿçàíà ñ àìïëèòóäîé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñîîòíîøåíèåì E2 e = e0 c m , 2 îòñþäà 2e 2 × 1,35 × 10 3 × 36 × 3,14 × 10 9 (12) = = 1018 , × 10 4 , E m2 = 8 e0 c 3 × 10 Em = 1010 (Â/ì). 12

Ìàãíèòíîå ïîëå âîëíû èìååò àìïëèòóäó Hm =

1 1010 Em = = 2,7 (À/ì). cm 0 3 × 10 8 × 1,26 × 10 -6

Ïðèìåð 5. Äèàïîçèòèâ ðàçìåðîì 5 ñì ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè 3 ì îò ýêðàíà. Êàêîâî äîëæíî áûòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû è ãäå åå ñëåäóåò ïîìåñòèòü, ÷òîáû äàâàåìîå ýòîé ëèíçîé èçîáðàæåíèå äèàïîçèòèâà íà ýêðàíå èìåëî ðàçìåð 100 ñì. Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ìàòðè÷íûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è.  äàííîì ñëó÷àå ëó÷øå ïîëüçîâàòüñÿ èçìåðåíèÿìè îòðåçêîâ â ìåòðàõ. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ëèíçà áûëà òîíêîé è ïîëîæèòåëüíîé. Îïòè÷åñêóþ ñèëó ýòîé ëèíçû áóäåì èçìåðÿòü â îáðàòíûõ ìåòðàõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëèíçà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè õ îò ùåëè è (3 – õ) îò ýêðàíà (ðèñ. 1.4). Äëÿ âûáðàííîãî ïîëîæåíèÿ âõîäíîé (ÎÏ1) è âûõîäíîé (ÎÏ2) îïîðíûõ ïëîñêîñòåé ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö, ñîîòâåòñòâóþùåå öåïî÷êå ýëåìåíòîâ îò ýêðàíà äî ïðåäìåòà, çàïèøåòñÿ â âèäå é A B ù é1 3 - x ù é 1 0ù é1 x ù , M=ê ú =ê 1 úû êë-Ô 1úû êë0 1 úû ëC Dû ë0 I

ëèíçà

II

ãäå (I) è (II) – ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ íà ïðîìåæóòêàõ ëèíçà – ýêðàí è ëèíçà – ïðåäìåò ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëà ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö, ïîëíóþ ìàòðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ Ì ïðèâåäåì ê âèäó x ù é1 - 3Ô + xÔ x + (3 - x)(1 - Ôx)ù é1 3 - x ù é 1 M=ê ú. ú ê-Ô 1 - Ôx ú = ê 0 1 -Ô 1 - Ôx û û ë ûë ë ×òîáû âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå ïðåäìåò ñ åãî èçîáðàæåíèåì, âåðõíèé ïðàâûé ýëåìåíò  ìàòðèöû Ì äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ. Êðîìå òîãî, â äàííûõ óñëîâèÿõ âåëè÷èíà À = 1/D îïðåäåëÿåò óâåëè÷åíèå ñèñòåìû. ÎÏ1

3–x x

ÎÏ2

P

Äèàïîçèòèâ

Ýêðàí

3 ì

Ð è ñ. 1.4 13

Èçîáðàæåíèå íà ýêðàíå äåéñòâèòåëüíîå, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îäíîé ëèíçû îíî äîëæíî áûòü ïåðåâåðíóòûì, òîãäà óâåëè÷åíèå íóæíî âçÿòü ñî çíàêîì «ìèíóñ», ò. å. –100/5 = –20. Ïîýòîìó â ïðèâåäåííîé ìàòðèöå ìîæíî çàïèñàòü 1 = -20, B = 0. D Òàê êàê D = 1 – Ôx = 1/20 = –0,05, òî èç ðàâåíñòâà B = 0 íàõîäèì A=

x + (3 – x)(1– Ôx) = x + (3 – x)(–0,05) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, x=

0,15 » 0,15 (ì). 105 ,

Óðàâíåíèå äëÿ D ïðèìåò âèä 1 – 0,15Ô = –0,05. Ñëåäîâàòåëüíî, Ô=

105 , = 7 (ì–1). 0,15

Òàêèì îáðàçîì, ëèíçà äîëæíà èìåòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå 1 1 = = 0,143 (ì) Ô 7 è ðàñïîëàãàåòñÿ íà ðàññòîÿíèè 15 ñì îò äèàïîçèòèâà. f =

Çàäà÷è 1.1. Ñîñóä ñ ðòóòüþ ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w = 1 ñ–1. Ïîâåðõíîñòü ðòóòè ïðèíèìàåò âîãíóòóþ ôîðìó è èñïîëüçóåòñÿ êàê çåðêàëî. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ýòîãî çåðêàëà. 1.2. Äîêàçàòü ãåîìåòðè÷åñêè, ÷òî åñëè ëó÷ ñâåòà, èñõîäÿùèé èç òî÷êè À, ïîïàäàåò â òî÷êó  ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ïëîñêîãî çåðêàëà, òî äëèíà ïóòè ýòîãî ëó÷à ìåíüøå, ÷åì äëèíà ëþáîãî äðóãîãî ïóòè, ïðîõîäÿùåãî îò À ê çåðêàëó, à çàòåì ê Â. 1.3. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ëó÷ ñâåòà, èñõîäÿùèé èç òî÷êè À, ïîïàäàåò â òî÷êó  ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ íà ïëîñêîé ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä, òî îïòè÷åñêàÿ äëèíà ýòîãî ëó÷à ìåíüøå îïòè÷åñêîé äëèíû ëþáîãî ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî À è  (ïðèíöèï Ôåðìà). 1.4. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè óãëà ïàäåíèÿ j ëó÷, îòðàæåííûé îò ïîâåðõíîñòè âîäû, áóäåò ïåðïåíäèêóëÿðåí ïðåëîìëåííîìó ëó÷ó? 14

1.5. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f òîíêîé äâîÿêîâûïóêëîé ëèíçû, îãðàíè÷åííîé ñôåðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè ñ ðàäèóñàìè R1 = 25 ìì è R2 = 40 ìì; ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ëèíçû ï = 1,5. 1.6. Ñ ïîìîùüþ òîíêîé ñîáèðàþùåé ñòåêëÿííîé ëèíçû ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï = 3/2 ïîëó÷åíî äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà íà ðàññòîÿíèè 10 ñì îò ëèíçû. Ïîñëå òîãî êàê ïðåäìåò è ëèíçó, íå èçìåíÿÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè, ïîãðóçèëè â âîäó, èçîáðàæåíèå ïîëó÷èëîñü íà ðàññòîÿíèè 60 ñì îò ëèíçû. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû, åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï¢ = 4/3. 1.7. Âûâåñòè ôîðìóëó ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà è ôîðìóëó òîíêîé ëèíçû èç ïðèíöèïà òàóòîõðîíèçìà. 1.8. Ïëîñêóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé 3 ìì ðàññìàòðèâàþò â ìèêðîñêîï. Ñíà÷àëà ìèêðîñêîï óñòàíàâëèâàþò äëÿ íàáëþäåíèÿ âåðõíåé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè, à çàòåì ñìåùàþò òóáóñ ìèêðîñêîïà âíèç äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò îò÷åòëèâî âèäíà íèæíÿÿ ïîâåðõíîñòü ïëàñòèíêè (äëÿ óäîáñòâà íàáëþäåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ïëàñòèíêè ñäåëàíû ìåòêè). Ñìåùåíèå òóáóñà îêàçàëîñü ðàâíûì 2 ìì. Íàéòè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòèíêè. 1.9. Ïðåäìåò ïîìåùåí íà ðàññòîÿíèè l1 = 15 ñì îò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè. Íàáëþäàòåëü ðàññìàòðèâàåò åãî ÷åðåç ïëàñòèíêó, ïðè÷åì ëó÷ çðåíèÿ íîðìàëåí ê íåé. Òîëùèíà ïëàñòèíêè d = 4,5 ñì. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ï = 1,5. Íàéòè ðàññòîÿíèå äî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà l2 îò áëèæàéøåé ê íàáëþäàòåëþ ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè. 1.10. Ïîêàçàòü, ÷òî íàèìåíüøåå îòêëîíåíèå d ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà â ïðèçìå ïðîèñõîäèò ïðè ñèììåòðè÷íîì õîäå ëó÷åé â ïðèçìå. Ñâÿçàòü óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ d ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï âåùåñòâà ïðèçìû è ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì À ïðèçìû (ðèñ. 1.5). 1.11. Äëÿ íåêîòîðîé ñòåêëÿííîé ïðèçìû óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ ëó÷à ðàâåí ïðåëîìëÿþùåìó óãëó ïðèçìû. Íàéòè ïîñëåäíèé. 1.12. Íàéòè ïðåäåëû, â êîòîðûõ ìîA æåò ìåíÿòüñÿ óãîë îòêëîíåíèÿ ëó÷à ïðè ïðîõîæäåíèè ñòåêëÿííîé ïðèçìû ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì q = 60î. d 1.13. Òðåõãðàííàÿ ïðèçìà ñ ïðåj j’ y y’ ëîìëÿþùèì óãëîì 60î äàåò óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ â âîçäóõå 37î. Êàêîé óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ äàñò ýòà ïðèçìà â âîäå? 1.14. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû èçìåíÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè îñè z ïî ëèÐ è ñ. 1.5 15

íåéíîìó çàêîíó n(z) = n0 (1 + az). Íàéòèrôîðìó ëó÷à â òàêîé ñðåäå z = z(x), åñëè â íà÷àëå êîîðäèíàò âåêòîð S íàïðàâëåí âäîëü îñè x. 1.15. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà â èçîòðîïíîé ñðåäå ñ ìåäëåííî èçìåíÿþùèìñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ðàäèóñ êðèâèçíû r ëó÷à îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé 1/r = ¶(lnn)/¶N, ãäå ïðîèçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ãëàâíîé íîðìàëè ê ëó÷ó. Ïîëó÷èòü ýòó ôîðìóëó, èìåÿ â âèäó, ÷òî â òàêîé ñðåäå ñïðàâåäëèâ çàêîí ïðåëîìëåíèÿ nsin j = const, ãäå j – óãîë ìåæäó ëó÷îì è íàïðàâëåíèåì grad n â äàííîé òî÷êå. 1.16. Íàéòè ðàäèóñ êðèâèçíû ñâåòîâîãî ëó÷à, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè âáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ãäå ãðàäèåíò ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ¶n/¶N » 3 ×10–8 ì–1. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè ýòîãî ãðàäèåíòà ëó÷ ñâåòà ðàñïðîñòðàíÿëñÿ áû ïî îêðóæíîñòè âîêðóã Çåìëè? 1.17. Âû÷èñëèòü óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ d äëÿ ïðèçìû ñ î÷åíü ìàëûì ïðåëîìëÿþùèì óãëîì À ñ ó÷åòîì ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè (îòíîñèòåëüíî À). 1.18. ×åìó ðàâåí óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ d äëÿ ëèíèè D íàòðèÿ â ïðèçìå ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì 60o? Äëÿ ëèíèè D ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ïðèçìû n = 1,62. 1.19. Íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïîä óãëîì j ïàäàåò óçêèé ïó÷îê ñâåòà øèðèíîé à (ðèñ. 1.6), ñîäåðæàùèé äâå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà äëÿ ýòèõ äëèí âîëí ðàçëè÷íû: ï1 è n2. Îïðåäåëèòü ìèíèìàëüíóþ òîëùèíó hmin ïëàñòèíêè, ïðè êîòîðîé ñâåò, ïðîéäÿ ÷åðåç ïëàñòèíêó, áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â âèäå äâóõ îòäåëüíûõ ïó÷êîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîäåðæèò òîëüêî îäíó ñïåêòðàëüíóþ êîìïîíåíòó. 1.20. Äëÿ îáðàùåíèÿ èçîáðàæåíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìóþ ïðèçìó Äîâå (ðèñ. 1.7), ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé óñå÷åííóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ðàâíîáåäðåííóþ ïðèçìó. Îïðåäåëèòü äëèíó l îñíîâàíèÿ ïðèçìû, åñëè åå âûñîòà h = 2,11 ñì, à ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ l1 l2

hmin

j

h

Ð è ñ. 1.6

16

a

Ð è ñ. 1.7

ñòåêëà ï = 1,41. Ïðèçìà äîëæíà îáðàùàòü ïó÷îê ñâåòà ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ. 1.21. Íà ñòåêëÿííûé êëèí ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ãðàíè ïàäàåò òîíêèé ëó÷ ñâåòà (ðèñ. 1.8). ÏîêàO a çàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ï = 1,41, óãîë a = 10o. Ñêîëüêî ñâåòëûõ ïÿòåí áóäåò âèäíî íà ýêðàíå Î, ïîñòàâëåííîì çà êëèíîì? 1.22. Ïåðåä òîðöîì ñòåêëÿííîãî öèëèíäðè÷åñÐ è ñ. 1.8 êîãî ñâåòîâîäà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî ðàâåí ï, íà åãî îñè ðàñïîëîæåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà. Íàéòè óãëîâóþ àïåðòóðó a ïó÷êà ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñâåòîâîä. 1.23. Öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí ñ æèäêîñòüþ ïîñòàâëåí íà ìîíåòó, ðàññìàòðèâàåìóþ ñêâîçü áîêîâóþ ñòåíêó ñòàêàíà. Óêàçàòü íàèìåíüøóþ âîçìîæíóþ âåëè÷èíó ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ï æèäêîñòè, ïðè êîòîðîì ìîíåòà íå âèäíà. 1.24. Ñ êàêèì óãëîì a íóæíî âçÿòü òðàïåöåèäàëüíûé ñîñóä ñ âîäîé AÂÑD (ðèñ. 1.9), ÷òîáû ñêâîçü åãî áîêîâóþ ñòåíêó íå áûëî âèäíî ïðåäìåòà, ïîëîæåííîãî ïîä ñîñóä? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï = 1,33. Äíî ñîñóäà èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà. 1.25. ×åëîâåê, ñòîÿùèé íà áåðåãó ïðóäà, ñìîòðèò íà êàìåíü, íàõîäÿùèéñÿ íà äíå. Ãëóáèíà ïðóäà h = 1 ì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè h¢ îò ïîâåðõíîñòè âîäû ïîëó÷èòñÿ èçîáðàæåíèå êàìíÿ, åñëè ëó÷ çðåíèÿ ñîñòàâëÿåò ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè âîäû óãîë j = 60o? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï = 1,33. 1.26.  îïòè÷åñêîé ñèñòåìå, ïðåäíàçíà÷åííîé äëÿ çàäåðæêè âî âðåìåíè êîðîòêîãî ñâåòîâîãî èìïóëüñà, èñïîëüçóåòñÿ ìíîãîêðàòíîå îòðàæåíèå ñâåòà îò äâóõ âîãíóòûõ ñôåðè÷åñêèõ çåðêàë Ç1 (ðàäèóñ êðèâèçíû r1 = 10 ì) è Ç2 (ðàäèóñ êðèâèçíû r2 = 1 ì), ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè L = 5,5 ì äðóã îò äðóãà (ðèñ. 1.10).  öåíòðå çåðêàëà Ç1 èìååòñÿ îòâåðñòèå äèàìåòðîì d = 2 ìì. Íà ýòî çåðêàëî íà âûñîòå h = 15 ñì îò îñè ñèñòåìû ïàäàåò êîðîòêèé ñâåòîâîé èìïóëüñ â âèäå òîíêîãî ëó÷à, ïàðàëëåëüíîãî îñè. Îöåíèòü, ÷åðåç êàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt ýòîò ëó÷ âûéäåò ÷åðåç îòâåðñòèå. D

A

h

d

Ç2 a C

B Ð è ñ. 1.9

L

Ç1

Ð è ñ. 1.10 17

1.27. Ýêñïåðèìåíòàòîð õî÷åò ïîëó÷èòü ôîòîãðàôèþ Ëóíû ðàçìåðîì 6 ´ 6 ñì2, èñïîëüçóÿ âìåñòî îáúåêòèâà ñèñòåìó ïëîñêèõ çåðêàë è âðàùàþùååñÿ âåäðî ñî ðòóòüþ. Âåäðî ïðèâîäèòñÿ âî âðàùåíèå äâèãàòåëåì ñî ñêîðîñòüþ âðàùåíèÿ âàëà ï = 600 îá/ìèí. Êàêîâî äîëæíî áûòü îòíîøåíèå äèàìåòðîâ øêèâîâ âàëà íà îñè äâèãàòåëÿ è íà îñè âåäðà? Äèàìåòð Ëóíû – 3476 êì, ðàññòîÿíèå îò Ëóíû äî Çåìëè – 384 000 êì. 1.28. Ïðåäìåò ïîìåùåí íà îñè âîãíóòîãî çåðêàëà äàëüøå åãî ôîêóñà. Ìåæäó ôîêóñîì è çåðêàëîì ïîìåùåíà ïëîñêîïàðàëëåëüíàÿ ñòåêëÿííàÿ ïëàñòèíêà òîëùèíîé d ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï òàê, ÷òî îñü çåðêàëà ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëàñòèíêå. Ïîêàçàòü, ÷òî ââåäåíèå ïëàñòèíêè ñìåùàåò èçîáðàæåíèå òàê æå, êàê ïåðåìåùåíèå çåðêàëà íà ðàññòîÿíèå d(ï – 1)/ï ïî íàïðàâëåíèþ ê ïðåäìåòó. 1.29. Ñòåêëÿííûé òîíêîñòåííûé øàð íàïîëíåí âîäîé (n = 4/3). Íàáëþäàòåëü ñìîòðèò âäîëü äèàìåòðà íà êðóïèíêó, ïåðåìåùàþùóþñÿ âäîëü ýòîãî äèàìåòðà. Êàê èçìåíèòñÿ ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ êðóïèíêè, åñëè îíà îò óäàëåííîãî ïî îòíîøåíèþ ê íàáëþäàòåëþ êîíöà äèàìåòðà ïåðåìåùàåòñÿ ê áëèæíåìó êîíöó? 2R = 10 ñì. 1.30. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå âîãíóòîãî çåðêàëà, åñëè: à) ïðè ðàññòîÿíèè ìåæäó ïðåäìåòîì è èçîáðàæåíèåì l = 15 ñì ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå V = –2,0; á) ïðè îäíîì ïîëîæåíèè ïðåäìåòà ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå V1 = –0,50, à ïðè äðóãîì ïîëîæåíèè, ñìåùåííîì îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî íà ðàññòîÿíèå l = 5 ñì, ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå V2 = –0,25. 1.31. Ïåðåä âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ ñòåêëÿííîé âûïóêëî-ïëîñêîé ëèíçû òîëùèíû d = 9,0 ñì íàõîäèòñÿ ïðåäìåò. Èçîáðàæåíèå ýòîãî ïðåäìåòà îáðàçóåòñÿ íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû, êîòîðàÿ ñëóæèò ýêðàíîì. Îïðåäåëèòü: à) ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå, åñëè ðàäèóñ êðèâèçíû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû R = 2,5 ñì; á) îñâåùåííîñòü èçîáðàæåíèÿ, åñëè ÿðêîñòü ïðåäìåòà B = 7700 êä/ì2, äèàìåòð âõîäíîãî îòâåðñòèÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû D = 5,0 ìì, ïîòåðè ñâåòà ïðåíåáðåæèìî ìàëû. 1.32. Èñòî÷íèê ñâåòà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè l = 90 ñì îò ýêðàíà. Òîíêàÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà, ïîìåùåííàÿ ìåæäó èñòî÷íèêîì ñâåòà è ýêðàíîì, äàåò ÷åòêîå èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà ïðè äâóõ ïîëîæåíèÿõ. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû, åñëè: à) ðàññòîÿíèå ìåæäó îáîèìè ïîëîæåíèÿìè ëèíçû Dl = 30 ñì; á) ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû èçîáðàæåíèÿ ïðè îäíîì ïîëîæåíèè ëèíçû â h = 4,0 ðàçà áîëüøå, ÷åì ïðè äðóãîì. 1.33. Ìåæäó ïðåäìåòîì è ýêðàíîì, ïîëîæåíèÿ êîòîðûõ íåèçìåííû, ïîìåùàþò òîíêóþ ñîáèðàþùóþ ëèíçó. Ïåðåìåùåíèåì ëèíçû íàõîäÿò äâà ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðûõ íà ýêðàíå îáðàçóåòñÿ ÷åòêîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà. Íàéòè ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ïðåäìåòà, åñëè ïðè îäíîì ïîëîæåíèè ëèíçû ðàçìåð èçîáðàæåíèÿ h1 = 2,0 ìì, à ïðè äðóãîì h2 = 4,5 ìì. 18

1.34. Èìåþòñÿ äâå òîíêèå ñèììåòðè÷íûå ëèíçû: îäíà ñîáèðàþùàÿ ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n1 = 1,70, äðóãàÿ ðàññåèâàþùàÿ ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n2 = 1,51. Îáå ëèíçû èìåþò îäèíàêîâûé ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé R = 10 ñì. Ëèíçû ñëîæèëè âïëîòíóþ è ïîãðóçèëè â âîäó. Êàêîâî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ñèñòåìû â âîäå? 1.35. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå âîãíóòîãî ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîíêóþ ñèììåòðè÷íóþ äâîÿêîâûïóêëóþ ñòåêëÿííóþ ëèíçó ñ îäíîé ïîñåðåáðåííîé ïîâåðõíîñòüþ. Ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ëèíçû R = 40 ñì. 1.36. Íàéòè îïòè÷åñêóþ ñèëó è ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ: à) òîíêîé ñòåêëÿííîé ëèíçû â æèäêîñòè ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n0 = 1,7, åñëè åå îïòè÷åñêàÿ ñèëà â âîçäóõå Ô0 = –5,0 äïòð; á) òîíêîé ñèììåòðè÷íîé äâîÿêîâûïóêëîé ñòåêëÿííîé ëèíçû, ñ îäíîé ñòîðîíû êîòîðîé íàõîäèòñÿ âîçäóõ, ñ äðóãîé – âîäà, åñëè îïòè÷åñêàÿ ñèëà ýòîé ëèíçû â âîçäóõå Ô0 = +10 äïòð. 1.37. Ìàòîâîå ñòåêëî ôîòîãðàôè÷åñêîãî àïïàðàòà óñòàíîâëåíî òàê, ÷òî ðåçêèì âûõîäèò èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè 5 ì. Äî êàêîãî äèàìåòðà D íóæíî çàäèàôðàãìèðîâàòü îáúåêòèâ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì 20 ñì, ÷òîáû íå áûëî çàìåòíîé íåðåçêîñòè â èçîáðàæåíèè ïðåäìåòîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà 0,5 ì áëèæå ñíèìàåìîãî? (Íåðåçêîñòü ñ÷èòàòü íåçàìåòíîé, åñëè ðàçìûòîñòü äåòàëåé íå ïðåâûøàåò 0,1 ìì.) 1.38. Ïðè ôîòîãðàôèðîâàíèè íà ïëåíêå èç-çà êîíå÷íîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ïîëó÷àþòñÿ ðåçêî èçîáðàæåííûìè íå òîëüêî òå ïðåäìåòû, íà êîòîðûå ñôîêóñèðîâàí îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà, íî òàêæå è ïðåäìåòû, íàõîäÿùèåñÿ íåñêîëüêî áëèæå è íåñêîëüêî äàëüøå ýòîãî ðàññòîÿíèÿ. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðè íàâåäåíèè îáúåêòèâà ôîòîàïïàðàòà íà ïðåäìåò, íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè L0 = 10 ì, áëèæíÿÿ ãðàíèöà ãëóáèíû ðåçêîñòè ðàñïîëîæåíà íà ðàññòîÿíèè L1 = 7,8 ì. Îïðåäåëèòü äàëüíþþ ãðàíèöó L2. 1.39. Êàê ñìåñòèòñÿ ôîêóñ ôîòîàïïàðàòà, åñëè âíóòðü àïïàðàòà íà ïóòè ëó÷åé (ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îïòè÷åñêîé îñè) ïîìåñòèòü ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé d = 6 ìì ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï = 1,5? (Îáúåêòèâ ñèëüíî çàäèàôðàãìèðîâàí.) 1.40. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ëèíçà íàõîäèòñÿ ïåðåä ãëàçîì è äâèæåòñÿ â ñòîðîíó, òî íàáëþäàòåëþ êàæåòñÿ, ÷òî ïðåäìåò, ðàññìàòðèâàåìûé ÷åðåç ëèíçó, äâèæåòñÿ â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è ëèíçà, åñëè ëèíçà ðàññåèâàþùàÿ, è â ïðîòèâîïîëîæíóþ, åñëè ëèíçà ñîáèðàþùàÿ. Ï ð è ì å ÷ à í è å. Åñëè ñîáèðàþùàÿ ëèíçà èñïîëüçóåòñÿ êàê ëóïà (ïðåäìåò ïîìåùàåòñÿ ìåæäó ôîêóñîì è ëèíçîé), òî ïîëó÷àåòñÿ ïðÿìîå èçîáðàæåíèå. Åñëè æå, îòîäâèíóâ ñîáèðàþùóþ ëèíçó äîñòàòî÷íî äàëåêî îò ãëàçà, ðàññìàòðèâàòü ÷åðåç íåå óäàëåííûå ïðåäìåòû, òî ïîëó÷àþòñÿ èõ îáðàòíûå èçîáðàæåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïðè ñìåùåíèè ëèíçû â ñòîðîíó èçîáðàæåíèå ñìåùàåòñÿ â òó æå ñòîðîíó. 19

1.41. Ïîêàçàòü, ÷òî íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ îïòè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè îòíîñèòåëüíî ñîáèðàþùåé ëèíçû òî÷êàìè ðàâíî 4f, ãäå f – ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû. 1.42. Ñîáèðàþùàÿ ëèíçà äàåò èçîáðàæåíèå íåêîòîðîãî îáúåêòà íà ýêðàíå. Âûñîòà èçîáðàæåíèÿ ðàâíà h1. Îñòàâëÿÿ íåïîäâèæíûì ýêðàí è îáúåêò, íà÷èíàþò äâèãàòü ëèíçó ê ýêðàíó è íàõîäÿò, ÷òî ïðè âòîðîì ÷åòêîì èçîáðàæåíèè îáúåêòà âûñîòà èçîáðàæåíèÿ ðàâíà h2. Íàéòè äåéñòâèòåëüíóþ âûñîòó ïðåäìåòà h. 1.43. Ðàññòîÿíèå îò ëàìïî÷êè äî ýêðàíà L = 50 ñì. Ëèíçà, ïîìåùåííàÿ ìåæäó íèìè, äàåò ÷åòêîå èçîáðàæåíèå ëàìïû íà ýêðàíå ïðè äâóõ ïîëîæåíèÿõ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè l = 10 ñì. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû. 1.44. Ó äâîÿêîâûïóêëîé òîíêîé ëèíçû ïîñåðåáðåíà îäíà èç ïîâåðõíîñòåé. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ïîëó÷åííîãî òàêèì îáðàçîì çåðêàëà. Ðàäèóñ êðèâèçíû ÷èñòîé ïîâåðõíîñòè ðàâåí R1, ðàäèóñ êðèâèçíû ïîñåðåáðåííîé ïîâåðõíîñòè R2, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû ï. 1.45. Äâå îäèíàêîâûå ïëîñêîâûïóêëûå òîíêèå ëèíçû ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï ïîñåðåáðåíû: îäíà ñ ïëîñêîé ñòîðîíû, äðóãàÿ ñ âûïóêëîé. Íàéòè îòíîøåíèå ôîêóñíûõ ðàññòîÿíèé f1 è f2 ïîëó÷åííûõ ñëîæíûõ çåðêàë, åñëè ñâåò â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïàäàåò ñ íåïîñåðåáðåííîé ñòîðîíû. 1.46. Ôîòîãðàôè÷åñêèì àïïàðàòîì, îáúåêòèâ êîòîðîãî èìååò ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå, ìåíÿþùååñÿ îò 12 äî 20 ñì, òðåáóåòñÿ ñôîòîãðàôèðîâàòü ïðåäìåò, íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè 15 ñì îò îáúåêòèâà. Êàêóþ ëèíçó íóæíî äîáàâèòü ê îáúåêòèâó, ÷òîáû èçîáðàæåíèå âûøëî ðåçêèì ïðè ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîì ôîêóñíîì ðàññòîÿíèè? 1.47. Äâå òîíêèå ëèíçû ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè f1 è f2 íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà, îáðàçóÿ öåíòðèðîâàííóþ ñèñòåìó. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ýòîé ñèñòåìû, à òàêæå ïîëîæåíèÿ åå ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé. 1.48. Ñèñòåìó äâóõ òîíêèõ ëèíç, îïèñàííóþ â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, òðåáóåòñÿ çàìåíèòü îäíîé «ýêâèâàëåíòíîé» òîíêîé ëèíçîé, êîòîðàÿ ïðè ëþáîì ïîëîæåíèè îáúåêòà äàâàëà áû òàêîå æå ïî âåëè÷èíå èçîáðàæåíèå åãî, êàê è îïèñàííàÿ ñèñòåìà äâóõ ëèíç. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå è ïîëîæåíèå «ýêâèâàëåíòíîé» ëèíçû. 1.49. Ñ îäíîé ñòîðîíû äâîÿêîâûïóêëîé òîíêîé ëèíçû, ñäåëàííîé èç ñòåêëà (ï = 1,52), íàõîäèòñÿ âîäà (ï¢ = 1,33), ñ äðóãîé – âîçäóõ. Íàéòè ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ è ôîêàëüíûõ ïëîñêîñòåé, óçëîâûõ òî÷åê ñèñòåìû. 1.50. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå îáúåêòèâà çðèòåëüíîé òðóáû f1 = = 60 ñì, à îêóëÿðà f2 = 4 ñì. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà îáúåêòèâà è îêóëÿðà ï = 3/2. Òðóáà ïîãðóæàåòñÿ â âîäó, çàïîëíÿþùóþ åå âíóòðåííþþ ÷àñòü. Êàêèì îáúåêòèâîì èç ñòåêëà òîãî æå ñîðòà ñëåäó20

åò çàìåíèòü îáúåêòèâ òðóáû, ÷òîáû â íåå ìîæíî áûëî ðàññìàòðèâàòü óäàëåííûå ïðåäìåòû â âîäå? ×åìó áóäåò ïðè ýòîì ðàâíî óâåëè÷åíèå òðóáû, åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï¢ = 4/3? 1.51. ×åëîâåê ñ íîðìàëüíûì çðåíèåì ðàññìàòðèâàåò óäàëåííûé ïðåäìåò ñ ïîìîùüþ çðèòåëüíîé òðóáû Ãàëèëåÿ.  êà÷åñòâå îáúåêòèâà è îêóëÿðà èñïîëüçóþòñÿ ëèíçû ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè f1 = 40 ñì è f2 = –2 ñì. Ïðè êàêèõ ðàññòîÿíèÿõ L ìåæäó îáúåêòèâîì è îêóëÿðîì íàáëþäàòåëü óâèäèò ÷åòêîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà, åñëè ãëàç ìîæåò àêêîìîäèðîâàòüñÿ îò 10 ñì äî áåñêîíå÷íîñòè? 1.52. Ãàëèëååâà òðóáà 9-êðàòíîãî óâåëè÷åíèÿ èìååò äëèíó 40 ñì. Ïîñëå òîãî êàê îáúåêòèâ è îêóëÿð òðóáû çàìåíèëè ñîáèðàþùèìè ëèíçàìè, òðóáà ñòàëà äàâàòü òî æå óâåëè÷åíèå. Îïðåäåëèòü ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ f¢1 è f¢2 ýòèõ ëèíç, à òàêæå ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ f1 è f2 îáúåêòèâà è îêóëÿðà ãàëèëååâîé òðóáû. 1.53. Çðèòåëüíàÿ òðóáà ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì îáúåêòèâà f = 50 ñì óñòàíîâëåíà íà áåñêîíå÷íîñòü. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå Dl íàäî ïåðåäâèíóòü îêóëÿð òðóáû, ÷òîáû ÿñíî âèäåòü ïðåäìåòû íà ðàññòîÿíèè 50 ì? 1.54. Íàéòè óâåëè÷åíèå çðèòåëüíîé òðóáû êåïëåðîâñêîãî òèïà, óñòàíîâëåííîé íà áåñêîíå÷íîñòü, åñëè D – äèàìåòð îïðàâû îáúåêòèâà, à d – äèàìåòð èçîáðàæåíèÿ ýòîé îïðàâû, îáðàçóåìîãî îêóëÿðîì òðóáû. 1.55. Ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòîâîãî ïîòîêà ÷åðåç çðèòåëüíóþ òðóáó åãî èíòåíñèâíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ â h = 4,0 × 104 ðàç. Íàéòè óãëîâîé ðàçìåð óäàëåííîãî ïðåäìåòà, åñëè ïðè íàáëþäåíèè â ýòó òðóáó óãëîâîé ðàçìåð åãî èçîáðàæåíèÿ Y¢ = 2,0î. 1.56. Íà ñèñòåìó ëèíç, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 1.11, ïàäàåò ñëåâà ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà. Íàéòè ïîëîæåíèå òî÷êè ñõîæäåíèÿ ýòîãî ïó÷êà ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñèñòåìû. 1.57. Íàéòè èçîáðàæåíèå òî÷êè, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 10 ñì ñëåâà îò êðàéíåé ëåâîé ëèíçû ñèñòåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.12. 1.58. Ìèêðîñêîï èìååò îáúåêòèâ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f1 = 1 ñì è îêóëÿð ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f2 = 3 ñì, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè d = 20 ñì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè l1 äîëæåí íàõîäèòüñÿ 15 ñì

f = +10

5 ñì

f = –20 Ð è ñ. 1.11

f = +9

62 3 ñì 5 ñì

f = –5

f = +5

10 ñì

f = –5

f = +5

Ð è ñ. 1.12

21

îáúåêò, ÷òîáû îêîí÷àòåëüíîå èçîáðàæåíèå ïîëó÷èëîñü íà ðàññòîÿíèè l2 = 25 ñì îò ãëàçà (ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ÿñíîãî çðåíèÿ)? Êàêîå ïîëó÷èòñÿ ëèíåéíîå óâåëè÷åíèå a? 1.59. Íàéòè ïîëîæåíèå ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé, ôîêóñîâ è óçëîâûõ òî÷åê äâîÿêîâûïóêëîé òîíêîé ñèììåòðè÷íîé ñòåêëÿííîé ëèíçû ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé R = 7,50 ñì, åñëè ñ îäíîé åå ñòîðîíû íàõîäèòñÿ âîçäóõ, à ñ äðóãîé – âîäà. 1.60. Ðàññ÷èòàòü ïîëîæåíèå ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé è ôîêóñîâ âûïóêëî-âîãíóòîé òîëñòîé ñòåêëÿííîé ëèíçû, åñëè ðàäèóñ êðèâèçíû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè R1 = 10,0 ñì, âîãíóòîé R2 = 5,0 ñì è òîëùèíà ëèíçû d = 3,0 ñì. 1.61. Íàéòè ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé òîëñòîé ëèíçû, èìåþùåé ôîðìó øàðà ðàäèóñîì R. Îïðåäåëèòü ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ f è f ¢ è ïîëîæåíèÿ ôîêàëüíûõ òî÷åê òàêîé ëèíçû, êîãäà îíà ñäåëàíà: èç âîäû (n = 4/3), èç ñòåêëà (nñò = 3/2). Ïðè êàêîì ïîêàçàòåëå ïðåëîìëåíèÿ ôîêàëüíûå òî÷êè íå âûéäóò íàðóæó? 1.62. Ðàäèóñ ñòåêëÿííîãî (ï = 1,5) øàðà R = 4 ñì. Íàéòè ðàññòîÿíèå x¢ îò öåíòðà øàðà äî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà, êîòîðûé ðàñïîëîæåí â 6 ñì îò ïîâåðõíîñòè øàðà. Íàéòè óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ. 1.63. Ðàäèóñ êðèâèçíû ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñòåêëÿííîé (n = 1,52) ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû R = 26 ñì, òîëùèíà ëèíçû 3,04 ñì. Âû÷èñëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû è íàéòè ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ îáúåêòà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè 75 ñì îò áëèæàéøåé ïîâåðõíîñòè ëèíçû è ðàñïîëîæåííîãî ñî ñòîðîíû: 1) âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè; 2) ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè. 1.64. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f è ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé äâîÿêîâûïóêëîé òîëñòîé ëèíçû, äëÿ êîòîðîé n = 1,5, R1 = 10 ñì, R2 = 4 ñì, d = 2 ñì. 1.65. Îïðåäåëèòü ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé, ôîêàëüíûõ òî÷åê è ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ñèñòåìû äâóõ òîíêèõ ëèíç, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.13. 1.66. Íàéòè ñ ïîìîùüþ êðèâîé îòíîñèòåëüíîé ñïåêòðàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ãëàçà: à) ïîòîê ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþùèé ñâåòîâîìó ïîòîêó 1,0 ëì c äëèíîé âîëíû 0,51 è 0,64 ìêì; 10 ñì á) ñâåòîâîé ïîòîê, ïðèõîäÿùèéñÿ íà èíòåðâàë äëèí âîëí îò 0,58 äî 0,63 ìêì, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèé ïîòîê ýíåðãèè Ôý = 4,5 ìÂò, ïðè÷åì ïîñëåäíèé ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî ïî âñåì äëèíàì âîëí ýòîãî èíòåðâàëà. Ñ÷èòàòü, ÷òî â äàííîì ñïåêòðàëüíîì èíòåðâàëå ôóíêöèÿ V(l) ëèíåéíà. f = +5 f = –5 1.67. Òî÷å÷íûé èçîòðîïíûé èñòî÷íèê èñïóñêàÐ è ñ. 1.13 åò ñâåòîâîé ïîòîê Ô = 10 ëì ñ äëèíîé âîëíû 22

l = 0,59 ìêì. Íàéòè àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ýòîãî ñâåòîâîãî ïîòîêà íà ðàññòîÿíèè r = = 1,0 ì îò èñòî÷íèêà. 1.68. Êàêîâà îñâåùåííîñòü Å ïëîùàäêè, åñëè èñòî÷íèêîì ñâåòà ñëóæèò áåñêîíå÷íàÿ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ ýòîé ïëîùàäêå, ïðè÷åì ïîâåðõíîñòíàÿ ÿðêîñòü èñòî÷íèêà  âñþäó îäèíàêîâà è íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ? 1.69. Êàêîâà îñâåùåííîñòü Å íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîùàäêå, îñâåùàåìîé íåáåñíîé ïîëóñôåðîé, åñëè ñ÷èòàòü ÿðêîñòü íåáà ïîâñþäó ðàâíîìåðíîé è ðàâíîé Â? 1.70. Êàêóþ îñâåùåííîñòü Å ñëåäóåò ñîçäàòü íà áåëîì ëèñòå áóìàãè ñ êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ k = 0,85, ÷òîáû åãî ÿðêîñòü áûëà  = 3·104 êä/ì2? Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî áóìàãà ðàññåèâàåò ñâåò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà. 1.71. Íà âûñîòå h = 1,0 ì íàä öåíòðîì êðóãëîãî ñòîëà ðàäèóñîì R = 1,0 ì ïîäâåøåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê, ñèëà ñâåòà êîòîðîãî I òàê çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ, ÷òî îñâåùåííîñòü âñåõ òî÷åê ñòîëà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíîé. Íàéòè âèä ôóíêöèè I(q), ãäå q – óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì èçëó÷åíèÿ è âåðòèêàëüþ, à òàêæå ñâåòîâîé ïîòîê, ïàäàþùèé íà ñòîë, åñëè I(0) = I0 = 100 êä. 1.72. Âåðòèêàëüíûé ëó÷ ïðîæåêòîðà îñâåùàåò öåíòð ïîòîëêà êðóãëîé êîìíàòû ðàäèóñîì R = 2,0 ì. Ïðè ýòîì íà ïîòîëêå îáðàçóåòñÿ íåáîëüøîé çàé÷èê ïëîùàäüþ S = 100 ñì2. Îñâåùåííîñòü çàé÷èêà E = 1000 ëê. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ïîòîëêà r = 0,80. Íàéòè íàèáîëüøóþ îñâåùåííîñòü ñòåíû, ñîçäàâàåìóþ ñâåòîì, îòðàæåííûì îò ïîòîëêà. Ñ÷èòàòü, ÷òî îòðàæåíèå ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà. 1.73. Íàä ñòîëîì íàõîäèòñÿ ñâåòèëüíèê, èìåþùèé âèä ðàâíîìåðíî ñâåòÿùåéñÿ ñôåðû ðàäèóñîì R = 25 ñì. Ðàññòîÿíèå îò íåãî äî ïîâåðõíîñòè ñòîëà h = 75 ñì. Îñâåùåííîñòü ñòîëà ïîä öåíòðîì ñâåòèëüíèêà E0 = 70 ëê. Íàéòè ñâåòèìîñòü ýòîãî èñòî÷íèêà, ñ÷èòàÿ åãî ëàìáåðòîâñêèì. 1.74. Îñâåùåííîñòü, ïîëó÷àåìàÿ ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñîëíå÷íûõ ëó÷åé íà ïîâåðõíîñòü Çåìëè, ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî Å0 = 105 ëê. Êàêîâà îñâåùåííîñòü Å èçîáðàæåíèÿ Ñîëíöà, äàâàåìîãî ñâîáîäíîé îò àáåððàöèé ëèíçîé ñ äèàìåòðîì D = 5 ñì è ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 10 ñì? Óãëîâîé äèàìåòð Ñîëíöà a = 30¢. 1.75. Îñâåùåííîñòü, ïîëó÷àåìàÿ ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñîëíå÷íûõ ëó÷åé íà ïîâåðõíîñòü Çåìëè, îêîëî Å = 105 ëê. Ñ÷èòàÿ, ÷òî èçëó÷åíèå Ñîëíöà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ëàìáåðòà, è ïðåíåáðåãàÿ ïîãëîùåíèåì ñâåòà â àòìîñôåðå, îïðåäåëèòü ÿðêîñòü Ñîëíöà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ðàäèóñ çåìíîé îðáèòû R = 1,5·108 êì, à äèàìåòð Ñîëíöà D = 1,4·106 êì. 23

1.76. Íàéòè îñâåùåííîñòü ïîâåðõíîñòè Çåìëè ó ýêâàòîðà ñâåòîì, îòðàæåííûì Ëóíîé â ïîëíî÷ü â ïîëíîëóíèå. Ñ÷èòàòü, ÷òî Ñîëíöå ÿâëÿåòñÿ ëàìáåðòîâûì èñòî÷íèêîì ñâåòà, à Ëóíà – ëàìáåðòîâûì îòðàæàòåëåì. ßðêîñòü Ñîëíöà ÂÑ = 1,5·109 êä/ì2, ðàäèóñ Ñîëíöà RÑ = 7·108 ì, ðàññòîÿíèå îò Ñîëíöà äî Çåìëè (è Ëóíû) R0 = 1,5·1011 ì, ðàññòîÿíèå îò Ëóíû äî Çåìëè R1 = 3,8·108 ì, âèäèìûé ðàäèóñ Ëóíû Rë = 1,7·106 ì. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ëóííîé ïîâåðõíîñòè k = 7 %. 1.77. Ñïåêòðîãðàô èìååò îáúåêòèâ êîëëèìàòîðà äèàìåòðîì D ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f1 è îáúåêòèâ êàìåðû òîãî æå äèàìåòðà ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f2. Èñòî÷íèê ñ ÿðêîñòüþ  ðåçêî îòîáðàæàåòñÿ íà âõîäíóþ ùåëü ñïåêòðîãðàôà ñ ïîìîùüþ êîíäåíñîðà îäèí ðàç ñ óâåëè÷åíèåì (ðàññòîÿíèå îò êîíäåíñîðà äî ùåëè ðàâíî L), äðóãîé ðàç ñ óìåíüøåíèåì. Êàêîâ äîëæåí áûòü äèàìåòð êîíäåíñîðà Dê, ÷òîáû â îáîèõ åãî ïîëîæåíèÿõ îñâåùåííîñòü íà ôîòîïëàñòèíêå áûëà îäèíàêîâîé? ×åìó ðàâíà îñâåùåííîñòü E â ýòîì ñëó÷àå, åñëè ïðåíåáðå÷ü ïîòåðÿìè íà îòðàæåíèå è ïîãëîùåíèå? 1.78. Òåïëîâîé ôîòîïðèåìíèê (ðèñ. 1.14) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóþ êàìåðó ñ ïëîùàäüþ âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè S = 2 ñì2, èìåþùóþ íåáîëüøîå îòâåðñòèå ïëîùàäüþ S1 = 1 ìì2. Âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü êàìåðû ïîãëîùàåò íåçíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü ñâåòà (êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ k = 0,01), à îñòàëüíóþ ÷àñòü ðàññåèâàåò.  ýòèõ óñëîâèÿõ âíóòðè ïîëîñòè ñîçäàÐ è ñ. 1.14 åòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîå ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì èçëó÷åíèå. Êàêàÿ ÷àñòü ñâåòîâîãî ïîòîêà Ô/Ô0 (Ô0 – ñâåòîâîé ïîòîê, ïîïàäàþùèé íà âõîäíîå îòâåðñòèå êàìåðû) âûõîäèò ÷åðåç îòâåðñòèå îáðàòíî? 1.79. Êàêóþ ìîùíîñòü äîëæíà èìåòü ëàìïà â îñâåòèòåëå ìèêðîñêîïà äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðîèçâîäèòü êèíîñúåìêó ìèêðîîáúåêòîâ â âîçäóõå ñ ÷àñòîòîé êàäðîâ n = 104 Ãö? Îáúåêòèâ ìèêðîñêîïà èìååò óâåëè÷åíèå k1 = 20 è àïåðòóðó à = 0,4, îêóëÿð – óâåëè÷åíèå k2 = 8. Êîýôôèöèåíò ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè â àêòèâíûé äëÿ ôîòîñëîÿ ñâåò â ëàìïå íàêàëèâàíèÿ h = 2,5 %. Òåëî ñâå÷åíèÿ ëàìïû èìååò ðàçìåðû S = 2 ´ 5 ìì. ×óâñòâèòåëüíîñòü ôîòîñëîÿ H = 20 ñì2/ýðã (ò. å. 1 ýðã ñâåòîâîé ýíåðãèè íà ïëîùàäè 20 ñì2 äàåò íîðìàëüíóþ ïëîòíîñòü ïî÷åðíåíèÿ). Ïðîïóñêàþùàÿ ñïîñîáíîñòü îáúåêòà c = 40 %. Ïîòåðÿìè ñâåòà â ëèíçàõ ïðåíåáðå÷ü. 1.80. Äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå, ñôîðìèðîâàííîå ñîáèðàþùåé ëèíçîé, ðàññìàòðèâàåòñÿ ñíà÷àëà íåïîñðåäñòâåííî, à çàòåì íà áåëîì ýêðàíå. Êàê çàâèñèò â îáîèõ ñëó÷àÿõ ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ îò äèàìåòðà ëèíçû? 24

1.81. Íàéòè ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ Ëóíû, íàáëþäàåìîé â òåëåñêîï ñ îáúåêòèâîì äèàìåòðîì 75 ìì, ïðè: 1) 20-êðàòíîì, 2) 25-êðàòíîì, 3) 50-êðàòíîì óâåëè÷åíèÿõ. ßðêîñòü Ëóíû, âèäèìîé íåâîîðóæåííûì ãëàçîì, ïðèíÿòü çà åäèíèöó. Äèàìåòð çðà÷êà ãëàçà ñ÷èòàòü ðàâíûì 3 ìì. 1.82. Êàê èçâåñòíî, ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå íå çàâèñèò îò åãî óâåëè÷åíèÿ. Ïî÷åìó æå ïðè íàáëþäåíèè â ìèêðîñêîï èçîáðàæåíèå êàæåòñÿ ìåíåå ÿðêèì, åñëè ïðèìåíèòü áîëüøåå óâåëè÷åíèå? Íàéòè: 1) îñâåùåííîñòü èçîáðàæåíèÿ â ìèêðîñêîïå ñ ÷èñëîâîé àïåðòóðîé 1 (ñóõàÿ ñèñòåìà) è óâåëè÷åíèåì 625; 2) îñâåùåííîñòü èçîáðàæåíèÿ â ìèêðîñêîïå ñ ÷èñëîâîé àïåðòóðîé 1,5 (èììåðñèÿ ñ ï = 1,5) è óâåëè÷åíèåì 1500. Îñâåùåííîñòü îáúåêòà ïðèíÿòü çà åäèíèöó. Ðàññòîÿíèå ÿñíîãî çðåíèÿ ðàâíî 25 ñì, äèàìåòð çðà÷êà ãëàçà ñ÷èòàòü ðàâíûì 2 ìì. Ïîòåðÿìè ñâåòà â ìèêðîñêîïå ïðåíåáðå÷ü.

Òåìà2 ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÂÎËÍÛ. ÍÅÌÎÍÎÕÐÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Êàêèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå çàêîíû ýëåêòðîìàãíåòèçìà ëåæàò â îñíîâå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà? 2. Êàêîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò dE/dt â óðàâíåíèè Ìàêñâåëëà ñ2 rot B – dE/dt = j/e0? 1 && 3. Ýêâèâàëåíòíû ëè âîëíîâûå óðàâíåíèÿ Ñ 2 E - 2 E =0 è c 1 && & Ñ 2B - 2 B = 0 ñèñòåìå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ÑE = 0, c2Ñ ´ B = E, c & èç êîòîðîé îíè âûâåäåíû? ÑB = 0, Ñ ´ E = –B, 4. Îòêóäà ñëåäóåò âûâîä î ñóùåñòâîâàíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (ÝÌÂ)? 5. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà âûâåäèòå îñíîâíûå ñâîéñòâà ÝÌÂ. 6. Êàê èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà íàéòè ôàçîâóþ ñêîðîñòü ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå? 7. Ïîäðàçäåëèòå ÝÌ íà äèàïàçîíû è óêàæèòå èõ ïðèìåðíûå ãðàíèöû. 8. Óêàæèòå ãðàíèöû âèäèìîãî äèàïàçîíà ÝÌ ïî ÷àñòîòàì, ïî êðóãîâûì ÷àñòîòàì, ïî äëèíàì âîëí. 9. Íà êàêèå âèäû ìîæíî ðàçäåëèòü âîëíû ïî ôîðìå ïîâåðõíîñòåé ïîñòîÿííîé ôàçû? 10. ×òî òàêîå îäíîðîäíàÿ ïëîñêàÿ âîëíà? 11.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñâîéñòâî ïîïåðå÷íîñòè îäíîðîäíûõ ïëîñêèõ âîëí? 12. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó àáñîëþòíûìè çíà÷åíèÿìè âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â ñðåäå ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè e è m? 13. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû, êîòîðàÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëÿåìîì âîëíîâûì âåêòîðîì k. 14. Çàïèøèòå óðàâíåíèå ïëîñêîé ÝÌ äëÿ îäíîìåðíîé çàäà÷è E = E(z,t) â ñëó÷àå ëèíåéíîé, êðóãîâîé è ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè. 26

15. Íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà Óìîâà – Ïîéíòèíãà. Êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî âåêòîðà? 16. Êàêèå õàðàêòåðèñòèêè ÝÌ ìîãóò áûòü èçìåðåíû ýêñïåðèìåíòàëüíî? 17. Êàê îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ? 18. Êàê ñëåäóåò ïîíèìàòü óòâåðæäåíèå, ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè dw/dt = – divS? 19. Ïî êàêèì ôîðìóëàì ïðåîáðàçóþòñÿ ýíåðãèÿ è èìïóëüñ öóãà ïëîñêèõ âîëí ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé? 20. Íà îñíîâàíèè êàêèõ ôàêòîâ ñäåëàí âûâîä îá ýëåêòðîìàãíèòíîé ïðèðîäå ñâåòà? 21. Äàòü îïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà. Êàê èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ñâÿçàíà ñ àìïëèòóäîé ïëîñêîé ÝÌÂ? 22. Ïî÷åìó âî âçàèìîäåéñòâèè ñâåòà ñ âåùåñòâîì îñíîâíóþ ðîëü èãðàåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñâåòîâîé âîëíû? Êàê ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ýëåêòðîííîé òåîðèåé? 23.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè? Êàêîå ñâîéñòâî óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè? 24. Çàïèøèòå ïðåäñòàâëåíèå ïëîñêîé è ñôåðè÷åñêîé âîëí ÷åðåç ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè è â êîìïëåêñíîé ôîðìå. 25. Ðàññìîòðèòå ñóïåðïîçèöèþ áåãóùèõ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ÝÌÂ: áèåíèÿ, ñòîÿ÷èå âîëíû. 26. Ðàññìîòðèòå âîïðîñ î äâèæåíèè ýíåðãèè â ñëó÷àå áèåíèé. 27. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ÷àñòîòû, àìïëèòóäû, ôàçû è ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðè èõ ñëîæåíèè âîçíèêëà ñòîÿ÷àÿ âîëíà? 28. ×òî òàêîå óçëû è ïó÷íîñòè ñòîÿ÷åé âîëíû? Îïèøèòå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ñòîÿ÷åé âîëíå. 29. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà íàõîäÿòñÿ ñîñåäíèå óçëû ñòîÿ÷åé âîëíû? 30.  êàêèõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà äâèæåòñÿ ýíåðãèÿ â ñòîÿ÷åé ÝÌÂ? 31. Êàêèì îáðàçîì îïûò Âèíåðà äîêàçûâàåò, ÷òî ôîòîõèìè÷åñêîå äåéñòâèå ñâåòà îáóñëîâëåíî ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñâåòîâîé âîëíû? 32.  êàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî âîëíà èìååò ëèíåéíóþ ïîëÿðèçàöèþ? 27

33. Êàê îïûòíûì ïóòåì ìîæíî îïðåäåëèòü, èìååò ëè èññëåäóåìûé ñâåò ëèíåéíóþ ïîëÿðèçàöèþ? 34. ×òî òàêîå ïðàâàÿ êðóãîâàÿ ïîëÿðèçàöèÿ? 35. Êàê çàâèñèò ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè Å(z, t) ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îò z â âîëíå ñ ïðàâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé? Îòâåòüòå íà ýòîò æå âîïðîñ äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Â(z, t). 36. Ðàññìîòðèòå ñóïåðïîçèöèþ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí. 37. Çàâèñèò ëè îðèåíòàöèÿ ãëàâíûõ îñåé ýëëèïñà ïðè ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè îò ðàçíîñòè ôàç ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ âîëí, â ðåçóëüòàòå ñóïåðïîçèöèè êîòîðûõ îáðàçîâàëàñü ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà? 38. Ìîæíî ëè ïîëó÷èòü öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó ïðè ðàçíûõ àìïëèòóäàõ ñëàãàåìûõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí? 39. Ìîæíî ëè ïîëó÷èòü ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó ïðè ñëîæåíèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè? 40. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèå öèðêóëÿðíîé ïîëÿðèçàöèè? 41. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü äâå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè, ÷òîáû ïðè èõ ñëîæåíèè ïîëó÷èëàñü âîëíà ëåâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè? 42. Çàïèøèòå âèä ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé è íåïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèé. 43. Çàïèøèòå ïðåäñòàâëåíèå ðÿäà è èíòåãðàëà Ôóðüå â äåéñòâèòåëüíîé è êîìïëåêñíîé ôîðìå. 44. ×òî òàêîå êîìïëåêñíûé ñïåêòð ôóíêöèè? Êàê îí ñâÿçàí ñ àìïëèòóäíûìè è ôàçîâûìè ñïåêòðàìè? 45. Çàâèñÿò ëè êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå èëè Ôóðüå-îáðàç îò ïîëîæåíèÿ íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè? 46. Ê ÷åìó ïðèâîäèò ñìåùåíèå íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè â Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿõ? 47. Ê ÷åìó ïðèâîäèò ñìåùåíèå ñïåêòðà ïî ÷àñòîòàì â ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ôóðüå? 48. Çàâèñèò ëè îò ñäâèãà íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè ñïåêòð: à) àìïëèòóäíûé, á) ôàçîâûé? 49. Êàê âûãëÿäèò ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ èìïóëüñà è øèðèíîé ñïåêòðà? 50. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î øèðèíå ÷àñòîòíîé ïîëîñû? Êàêîâà øèðèíà ÷àñòîòíîé ïîëîñû èìïóëüñà, ïðåäñòàâëåííîãî d-ôóíêöèåé? 51.  ÷åì ïðåèìóùåñòâî ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà ñèíóñîèäàëüíûå âîëíû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçëîæåíèÿìè ïî ïîëíûì ñèñòåìàì äðóãèõ ôóíêöèé? 28

52. Êàêèì ñïåêòðîì (êîýôôèöèåíòàìè Ån ïðè ðàçëîæåíèè â ðÿä Ôóðüå E(t) =

¥

åE

n =-¥

n

e - iwnt ) õàðàêòåðèçóåòñÿ êîëåáàíèå âèäà:

E(t) = E0 cos wt, E(t) = E0 sin wt, E(t) = E0 cos(wt + j)? 53. Êàêèì ñïåêòðîì õàðàêòåðèçóåòñÿ êîëåáàíèå âèäà: E(t) = = Acos Wt cos wt, E(t) = E0(1+ 0,5cos Wt) cos(10Wt)? 54. Ìîæíî ëè ïî èçìåðåííîìó èäåàëüíûì ïðèáîðîì ýíåðãåòè÷åñêîìó ñïåêòðó |Ew|2 âîññòàíîâèòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè íàïðÿæåííîñòè E(t) ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû, âîçäåéñòâîâàâøåé íà ñïåêòðàëüíûé ïðèáîð? 55. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè ôóíêöèé Ew è |Ew|2 äëÿ îòðåçêà ñèíóñîèäàëüíîãî êîëåáàíèÿ E(t): ì E 0 cos w0 t (-t 2 < t < t 2), E(t) = í î 0 (t > t 2). 56. Êàê ñîîòíîñèòñÿ ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå è èññëåäîâàíèå ñïåêòðà ñïåêòðîãðàôîì (ìîíîõðîìàòîðîì)?  ÷åì ïðåèìóùåñòâî ðàçëîæåíèÿ íà ñèíóñîèäàëüíûå âîëíû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçëîæåíèåì ïî äðóãèì ôóíêöèÿì? 57. Èçëîæèòå ïîíÿòèÿ è ìåòîäû Ôóðüå-àíàëèçà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. 58. Êàê âû÷èñëèòü ñïåêòð èçëó÷åíèÿ èçîëèðîâàííîãî íåïîäâèæíîãî àòîìà? 59. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ? 60. ×åì îáóñëîâëåíà åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ â êëàññè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè? 61. ×åì îáóñëîâëåíà åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ â êâàíòîâîé èíòåðïðåòàöèè? 62. Ìîæíî ëè ïðèïèñàòü îòäåëüíîìó ôîòîíó ñïåêòð ÷àñòîò, ñîîòâåòñòâóþùèé åñòåñòâåííîé ôîðìå ëèíèè èçëó÷åíèÿ? 63. Êàêèå óñëîâèÿ äîëæíû áûòü âûïîëíåíû, ÷òîáû ìîæíî áûëî íàáëþäàòü èçëó÷åíèå ñî ñïåêòðàëüíûì êîíòóðîì, îïðåäåëÿåìûì ðàäèàöèîííûì çàòóõàíèåì? 64. Êîãäà ïîëó÷àåòñÿ îäíîðîäíîå óøèðåíèå è ÷åì îíî îòëè÷àåòñÿ îò íåîäíîðîäíîãî óøèðåíèÿ ëèíèè? Ñðàâíèòå åãî ñ åñòåñòâåííîé øèðèíîé ëèíèè. 65. Ñîâïàäàåò ëè ôîðìà îäíîðîäíî óøèðåííîé ëèíèè ñîâîêóïíîñòè àòîìîâ ñ ôîðìîé óøèðåííûõ ëèíèé èçëó÷åíèÿ îòäåëüíûõ àòîìîâ? 66. Îáúÿñíèòå ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ äîïëåðîâñêîãî óøèðåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. 29

67. Êàêîé ïîðÿäîê âåëè÷èíû èìååò äîïëåðîâñêàÿ øèðèíà ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé? Êàê îíà çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû èñòî÷íèêà? 68. Êàêîâû ïîðÿäêè âåëè÷èí äîïëåðîâñêîãî óäàðíîãî óøèðåíèÿ ëèíèé ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ â ãàçå? 69. Êàêóþ ôîðìó èìååò ëèíèÿ èçëó÷åíèÿ: à) ïðè óäàðíîì óøèðåíèè; á) ïðè äîïëåðîâñêîì óøèðåíèè? 70. Ïî÷åìó óäàðíîå óøèðåíèå îäíîðîäíîå? Ïî÷åìó äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì? 71. Êàê ñâÿçàíà ôîðìà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ìàêðîñêîïè÷åñêîãî èñòî÷íèêà, ñîäåðæàùåãî áîëüøîå ÷èñëî íåçàâèñèìî èçëó÷àþùèõ àòîìîâ, ñî ñïåêòðàëüíûìè êîíòóðàìè èçëó÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèìè îòäåëüíûì öóãàì? 72. Êàêàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà ëåæèò â îñíîâå ðàññìîòðåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èçëó÷åíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîãî èñòî÷íèêà? 73. Ïðè âûâîäå âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ óñêîðåííî äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà áûëè íåÿâíî èñïîëüçîâàíû óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà è íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç íèõ. Åùå ðàç âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòå çà âñåìè ýòàïàìè âûâîäà è óêàæèòå, ãäå è êàêèå óðàâíåíèÿ áûëè èñïîëüçîâàíû. 74. Êàêóþ ïîëÿðèçàöèþ èìååò âîëíà, èçëó÷àåìàÿ äèïîëåì? Íàðèñóéòå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ, èçëó÷àåìîãî îñöèëëèðóþùèì äèïîëåì.  êàêîì íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèå áóäåò ìàêñèìàëüíûì è â êàêîì åãî íå áóäåò âîîáùå? 75. Êàêîâà çàâèñèìîñòü íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ îñöèëëèðóþùåãî äèïîëÿ îò ðàññòîÿíèÿ? Îöåíèòå tèçë – ðàäèàöèîííîå âðåìÿ æèçíè àòîìà â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè. Âñïîìíèòå, êàêèå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ ïðèâîäÿò ê óìåíüøåíèþ t? 76. ×òî íàçûâàþò âîëíîâîé çîíîé ïîëÿ èçëó÷åíèÿ îñöèëëèðóþùåãî äèïîëÿ? Ïî÷åìó ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëÿ èçëó÷åíèÿ ñïðàâåäëèâû òîëüêî â âîëíîâîé çîíå? 77. Íà îñíîâå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè îáúÿñíèòå çàâèñèìîñòü íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ èçëó÷åíèÿ â ñôåðè÷åñêîé âîëíå îò ðàññòîÿíèÿ. 78. Êàê, èñïîëüçóÿ êëàññè÷åñêóþ ìîäåëü àòîìà, îöåíèòü âðåìÿ åãî æèçíè â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè? 79. Ïî êàêîìó çàêîíó èçìåíÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå èçëó÷åíèÿ ýíåðãèÿ âîçáóæäåííîãî àòîìà, àìïëèòóäà êîëåáàíèé îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà? 80. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó èçëó÷åíèå èñòî÷íèêà, ñîäåðæàùåãî áîëüøîå ÷èñëî àòîìîâ, ìîæåò áûòü íåïîëÿðèçîâàííûì, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âîëíîâûå öóãè, èñïóñêàåìûå îòäåëüíûìè àòîìàìè, õàðàêòåðèçóþòñÿ îïðåäåëåííûì ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè. 30

Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð. Íàéòè ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ïðîäîëæèòåëüíîñòè t, ïîâòîðÿþùèõñÿ ñ ïåðèîäè÷íîñòüþ Ò. Àìïëèòóäà èìïóëüñîâ U0 (ðèñ. 2.1). f(t) t

U0 t T

T

Ð è ñ. 2.1

Ðåøåíèå. Ââèäó ÷åòíîñòè ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü ¥ A f (t) = 0 + å An cos w1t, 2 n =1 ãäå A0 =

2 T

T 2

ò f (t)dt =

-T 2

An =

2 T

2 T

t2

òU

-t 2

0

2p t dt = 2tU 0 T = U 0 w1 , w1 = , T p

T 2

ò f (t) cos nw tdt = 1

-T 2

2U 0 sin(nw1 t 2) . w1 t p (nw1 t 2)

Çàäà÷è 2.1. Âîçäóõ íà÷èíàåò èîíèçîâàòüñÿ ïðè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Å » 30 êÂ/ñì. Ïðè êàêîé ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ïëîñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí äîñòàòî÷íî ìàëîé ÷àñòîòû â âîçäóõå ìîæåò íàñòóïèòü èîíèçàöèÿ? 2.2. Ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ ëàçåðà ñîñòàâëÿåò 1 Âò/ñì2. Êàêîâà àìïëèòóäà âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ýòîé âîëíå? 2.3. Êðóãîâàÿ ÷àñòîòà ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ðàâíà w = 109 ñ–1, à âåëè÷èíà  ìàãíèòíîãî âåêòîðà ðàâíà 10–6 Òë. Íàéòè äëèíó âîëíû l, âåëè÷èíó ýëåêòðè÷åñêîé íàïðÿæåííîñòè Å â âîëíå è ñðåäíèé ïîòîê ýíåðãèè P . 31

r2.4. Ïîêàçàòü èñõîäÿ èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ÷òî èíäóêöèÿ B ìàãíèòíîãî ïîëÿ óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ. rr r 2.5. Ïîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå E(r, t) = E 00 cos(wt - kr + j) îïèñûâàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêóþ âîëíó, ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ôàçû r êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå âåêòîðó è ïåðåìåk r ùàþùèåñÿ âäîëü k ñî ñêîðîñòüþ v = w/k. 2.6. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè, èçëó÷àåìîé äèr ïîëåì ñ îñöèëëèðóþùèì äèïîëüíûì ìîìåíòîì P cos wt (ñëåäóåò ïðèíÿòü âî âíèìàíèå òîëüêî ÷ëåíû, óáûâàþùèå ñ ðàññòîÿíèåì ïî çàêîíó I/r). Ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû áîëüøîãî ðàäèóñà, öåíòð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ äèïîëåì, ïîêàæèòå, ÷òî ñðåäíÿÿ èçëó1 ÷àåìàÿ ìîùíîñòü ðàâíà P 2 w4 (4pe 0 c 3 ). 3 2.7. Ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, ïàäàÿ íà ñâîáîäíûé ýëåêòðîí, çàñòàâëÿåò åãî îñöèëëèðîâàòü. Íàéäèòå îòíîøåíèå ýíåðãèè, èçëó÷àåìîé ýëåêòðîíîì â åäèíèöó âðåìåíè, ê ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ïàäàþùåé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. ×àñòîòàr âîëíû ïðåäïîëàãàåòñÿ ìàëîé, ïîýòîìó âëèÿíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ B âîëíû íà äâèæåíèå ýëåêòðîíà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. 2.8. Íàéòè ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ îäèíî÷íîãî ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà àìïëèòóäîé Å0 è ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ t. 2.9. Íàéòè ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ ïèëîîáðàçíûõ èìïóëüñîâ. Íà ïåðèîäå Ò ôîðìà èìïóëüñà çàäàåòñÿ ôóíêöèåé f(t) = E0(1 – t/T), 0 < t < Ò, f(t) = f(t + T). 2.10. Íàéòè ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ òðåóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ì -2t T, ãäå -T 2 < t < 0, f (t) = í î 2t T, ãäå 0 < t < T 2 . 2.11. Íàéòè ñïåêòð ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû ñ ÷àñòîòîé w0, àìïëèòóäîé Å0 è ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ ïî âðåìåíè îò –t/2 äî t/2: ì E 0 e iw 0t , ãäå -t 2 £ t £ t 2 , ï f (t) = í 0, ãäå t > t 2 , ï 0, ãäå t < -t 2 . î 2.12. Íàéòè ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî öóãà ñèíóñîèäàëüíûõ âîëí, àìïëèòóäà íàïðÿæåííîñòè êîòîðûõ ìåäëåííî èçìåíÿåòñÿ ïî êîëîêîëîîáðàçíîìó (ãàóññîâó) 2 2 çàêîíó: E(t) = E 0 e -t t cos w0 t, ãäå t >> T0 = 2p/w0 – äëèòåëüíîñòü âîëíîâîãî öóãà. Ïîêàçàòü, ÷òî äëèòåëüíîñòü öóãà t è øèðèíà ñïåêòðàëüíîãî èíòåðâàëà Dn ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì tDn ~ 1. 32

2.13. Ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü óøèðåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ëèíèè, îáóñëîâëåííîãî ñòîëêíîâåíèÿìè èçëó÷àþùèõ àòîìîâ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èçëó÷àåìûå îòäåëüíûìè àòîìàìè âîëíîâûå öóãè õàðàêòåðèçóþòñÿ îäíîé è òîé æå ñðåäíåé ÷àñòîòîé w0, íî âñëåäñòâèå èñïûòûâàåìûõ àòîìàìè ñòîëêíîâåíèé èìåþò ðàçëè÷íóþ äëèòåëüíîñòü. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äëèòåëüíîñòè îòäåëüíûõ öóãîâ ðàñïðåäåëåíû ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó: âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íåêîòîðûé öóã èìååò äëèòåëüíîñòü, çàêëþ÷åííóþ â ïðîìåæóòêå îò t äî 1 t + dt, ðàâíà p(t)dt = e -t t dt. Íàéòè ôîðìó ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçt ëó÷åíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé õàîòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ öóãîâ (t – ñðåäíÿÿ äëèòåëüíîñòü öóãà èëè ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó ñîóäàðåíèÿìè). 2.14. Çàïèñàòü ðÿä Ôóðüå äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì Ò, êîòîðàÿ â èíòåðâàëå (–Ò/4, +Ò/4) ðàâíà äâóì, à âíå èíòåðâàëà äî åãî ãðàíèö – íóëþ. 2.15. Çàïèñàòü ðÿä Ôóðüå äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì Ò, êîòîðàÿ â èíòåðâàëå (0, Ò/ 2) ðàâíà äâóì, à â èíòåðâàëå (Ò/ 2, Ò) – íóëþ. 2.16. Çàïèñàòü ðÿä Ôóðüå äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì Ò, çàäàííîé íà ó÷àñòêå (0, T) ôîðìóëîé f(t) = t/Ò. 2.17. Íàéòè Ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè f(t) = exp(–at2)cosw0t (a > 0). 2.18. Íàéòè Ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè f(z) = 4exp(–z2/a2). 2.19. Ïðîâåäèòå ðàñ÷åò, äîêàçûâàþùèé, ÷òî ñîñòàâíàÿ ëèíèÿ èç äâóõ ëîðåíöåâûõ ëèíèé ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöåâîé ëèíèåé ñ øèðèíîé g = g1 + g2, à ñîñòàâíàÿ ëèíèÿ èç äâóõ ãàóññîâûõ ëèíèé ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâîé ëèíèåé ñ øèðèíîé D = D21 + D22 . 2.20. Ðàññìîòðåòü ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé ÷àñòîòû è íàïðàâëåíèÿ, íî ñ ðàçíûìè àìïëèòóäàìè è íà÷àëüíûìè ôàçàìè (âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäñòàâëåíèåì êîëåáàíèé ÷åðåç ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè, â êîìïëåêñíîé ôîðìå, ðàññìîòðåòü ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì). 2.21. Ðàññìîòðåòü ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé àìïëèòóäû è íàïðàâëåíèÿ, íî ðàçíûõ (áëèçêèõ) ÷àñòîò. 2.22. Èññëåäîâàòü ñòðóêòóðó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòîÿ÷åé âîëíû, âîçíèêàþùåé ïðè íàëîæåíèè äâóõ ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ íàâñòðå÷ó áåãóùèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí îäèíàêîâîé ÷àñòîòû, àìïëèòóäû è ïîëÿðèçàöèè. 2.23. Ðàññìîòðåòü ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ N ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé ÷àñòîòû, àìïëèòóäû, íàïðàâëåíèÿ, íî ñ ïîñòîÿí33

íûì ñäâèãîì ôàç d (ïðèìåíèòü àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä è ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì). 2.24. Ðàññìîòðåòü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âîëíû, âîçíèêàþùåé ïðè ñëîæåíèè äâóõ âîëí îäèíàêîâîé ÷àñòîòû è ïîëÿðèçîâàííûõ îðòîãîíàëüíî äðóã äðóãó. 2.25. Ïîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó ñ ïðîèçâîëüíûì íàïðàâëåíèåì ïîëÿðèçàöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè âîëí ïðàâîé è ëåâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèé. Êàê ñâÿçàíû àìïëèòóäû ýòèõ âîëí ñ àìïëèòóäîé èñõîäíîé âîëíû? 2.26. Ïðè ñëîæåíèè äâóõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí â îáùåì ñëó÷àå âîçíèêàåò âîëíà ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè. Âûðàçèòü õàðàêòåðèçóþùèå ýëëèïñ ïîëÿðèçàöèè áîëüøóþ è ìàëóþ ïîëóîñè a1, a2 è óãîë q, îïðåäåëÿþùèé åãî îðèåíòàöèþ, ÷åðåç àìïëèòóäû a, b è ðàçíîñòü ôàç d = j2 – j1. 2.27. Äâå âîëíû îäèíàêîâîé ÷àñòîòû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè. Ïîêàæèòå, ÷òî ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè ðåçóëüòèðóþùåé âîëíû ðàâíà ñóììå ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ (S1 + S2) êàæäîé èç âîëí, åñëè âîëíû ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàíû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ. 2.28. Îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè âîëíû, ïîëó÷àåìîé â ðåçóëüòàòå ñóïåðïîçèöèè äâóõ âîëí ñ îäèíàêîâîé àìïëèòóäîé, ïîëÿðèçîâàííûõ ïî ïðàâîìó è ëåâîìó êðóãó, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàçíîñòü ôàç âîëí ðàâíà íóëþ. 2.29. Îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè âîëíû, ïîëó÷àåìîé â ðåçóëüòàòå ñóïåðïîçèöèè äâóõ âîëí ñ îäèíàêîâîé àìïëèòóäîé, ïîëÿðèçîâàííûõ ïî ïðàâîìó è ëåâîìó êðóãó, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàçíîñòü ôàç âîëí ðàâíà d.

Òåìà 3 ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈß È ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÎÑÒÜ Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. ×òî òàêîå èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà? Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìîå óñëîâèå èíòåðôåðåíöèè äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí Å1 è Å2. 2. Ìîæíî ëè íàáëþäàòü èíòåðôåðåíöèþ îò íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà? 3. Êàêèå èñòî÷íèêè ñâåòà íàçûâàþò êîãåðåíòíûìè? 4. Ïðèâåäèòå ïðèíöèïèàëüíóþ ñõåìó íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ïðè èñïîëüçîâàíèè òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà. Êàê îáúÿñíèòü âîçìîæíîñòü íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè â íåïîëÿðèçîâàííîì ñâåòå? 5. Ïî÷åìó äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ñâåòà îò îáû÷íûõ èñòî÷íèêîâ èíòåðôåðèðóþùèå ïó÷êè äîëæíû ïðîèñõîäèòü îò îäíîãî è òîãî æå èñòî÷íèêà? 6. Êàêèå ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ êîãåðåíòíûõ ëó÷åé ñóùåñòâóþò â îïòèêå? 7. Îò ÷åãî çàâèñèò ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè? 8. ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü ôàç ìåæäó äâóìÿ êîãåðåíòíûìè ëó÷àìè, åñëè ðàçíîñòü õîäà ìåæäó íèìè ðàâíà d. 9. Ïî êàêîìó çàêîíó èçìåíÿåòñÿ îñâåùåííîñòü ýêðàíà, íà êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèÿ äâóõ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí îäèíàêîâîé, ðàçíîé èíòåíñèâíîñòè? 10. Êàêîé âèä èìååò èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà è îò ÷åãî îíà çàâèñèò? 11. ×òî òàêîå ëèíåéíàÿ è óãëîâàÿ øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû? Îò êàêèõ ïàðàìåòðîâ îíà çàâèñèò? 12. ×òî òàêîå îïòè÷åñêàÿ äëèíà ïóòè? 13. Êàêîìó óñëîâèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ðàçíîñòü õîäà ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè äëÿ íàáëþäåíèÿ â çàäàííîé òî÷êå ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) èíòåíñèâíîñòè? 14. Êàê ñâÿçàíà èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ñ àìïëèòóäîé ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû? 15. Êàêóþ ôîðìó èìåþò èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ïðè ïàäåíèè íà ýêðàí ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí îò äâóõ òî÷å÷íûõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ? 16. ×òî òàêîå âèäèìîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? 17. Ïî÷åìó â öåíòðå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â îïûòå Þíãà êîíòðàñòíîñòü ïîëîñ íå óõóäøàåòñÿ ïðè çàìåíå òî÷å÷íûõ îòâåðñòèé S, S1 è S2 äëèííûìè óçêèìè ïàðàëëåëüíûìè ùåëÿìè? 35

18. Ìîæíî ëè íàáëþäàòü èíòåðôåðåíöèþ íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà? 19. Ìîæåò ëè íàáëþäàòüñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â ñîëíå÷íîì ñâåòå? 20. ×òî òàêîå âðåìåííàÿ è ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîãåðåíòíîñòü è ñ êàêèìè îñîáåííîñòÿìè èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ îíè ñâÿçàíû? 21. Çàïèøèòå óñëîâèå âðåìåííîé êîãåðåíòíîñòè è îõàðàêòåðèçóéòå âîçìîæíîñòü èññëåäîâàíèÿ êà÷åñòâà èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ïðè ïîìîùè ôóíêöèè âèäèìîñòè. 22. Îïèøèòå îïûòû, â êîòîðûõ ïðîÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîãåðåíòíîñòü. Êàê âëèÿåò àïåðòóðà èíòåðôåðåíöèè íà óñëîâèÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? 23. Êàêèå îïûòû äîêàçûâàþò âûñîêóþ âðåìåííóþ è ïðîñòðàíñòâåííóþ êîãåðåíòíîñòü èçëó÷åíèÿ ëàçåðà? 24. Äàéòå êà÷åñòâåííîå îáúÿñíåíèå êðèâîé âèäèìîñòè â ñëó÷àå èñòî÷íèêà, ñïåêòð èçëó÷åíèÿ êîòîðîãî ñîñòîèò èç äâóõ áëèçêèõ ëèíèé. 25. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèå êâàçèìîíîõðîìàòè÷íîñòè èñòî÷íèêà ñâåòà. 26. Äàéòå îïðåäåëåíèå âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè. Êàêèì îáðàçîì âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè ñâÿçàíî ñ ýôôåêòèâíûì èíòåðâàëîì ÷àñòîò, èñïóñêàåìûõ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèì èñòî÷íèêîì? 27. ×òî òàêîå ïîïåðå÷íàÿ äëèíà êîãåðåíòíîñòè? Ñ êàêîé õàðàêòåðèñòèêîé ðåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ ñâÿçàíî ýòî ïîíÿòèå? 28. Êàêóþ âåëè÷èíó íàçûâàþò äëèíîé êîãåðåíòíîñòè? ×åìó ðàâíà äëèíà êîãåðåíòíîñòè äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, çàíèìàþùåãî ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë øèðèíîé dl ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì äëèíû âîëíû l? 29. Êàêèì îáðàçîì èç íàáëþäåíèÿ ïîëîñ äâóõëó÷åâîé èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ìîæíî ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î ñïåêòðàëüíîì ñîñòàâå èçëó÷åíèÿ? 30. Ñîïîñòàâüòå ñïåêòðàëüíûé è âðåìåííîé ïîäõîäû ê îáúÿñíåíèþ èñ÷åçíîâåíèÿ ïîëîñ â êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîì ñâåòå ïðè áîëüøîé ðàçíîñòè õîäà. 31. ×òî íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ âðåìåííîé êîãåðåíòíîñòè êîëåáàíèé?  êàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î ÷àñòè÷íîé êîãåðåíòíîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ ïó÷êîâ? Êàê ñòåïåíü êîãåðåíòíîñòè ñâÿçàíà ñ âèäèìîñòüþ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ? 32. Êàê íàéòè ñòåïåíü êîãåðåíòíîñòè, åñëè èçâåñòåí ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ èçëó÷åíèÿ? 33. Êàê èçìåðÿåòñÿ âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè èññëåäóåìîãî èçëó÷åíèÿ â ìåòîäå èíòåðôåðîìåòðèè èíòåíñèâíîñòè? 34. Äàéòå êà÷åñòâåííîå îáúÿñíåíèå ïåðèîäè÷åñêîìó èçìåíåíèþ âèäèìîñòè ïîëîñ â îïûòå Þíãà ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ d 36

ìåæäó îòâåðñòèÿìè S1 è S2, åñëè íà íèõ ïàäàåò ñâåò îò äâóõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà íåáîëüøîì óãëîâîì ðàññòîÿíèè. 35.  ÷åì ïðè÷èíà óìåíüøåíèÿ âèäèìîñòè èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðîâ èñòî÷íèêà? 36. Èññëåäóéòå ðîëü ðàçìåðîâ èñòî÷íèêà â èíòåðôåðåíöèè. Ââåäèòå ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè. 37. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ èçëó÷åíèå îò íåêîãåðåíòíîãî ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê êîãåðåíòíîå? 38. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ âèäèìîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû îò äâóõ ùåëåé? 39. Íà ÷åì îñíîâàí ìåòîä îïðåäåëåíèÿ óãëîâûõ ðàçìåðîâ çâåçä â çâåçäíîì èíòåðôåðîìåòðå? 40. Êàêîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿåò øèðèíà ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà â âèäå ïîëîñêè ðàâíîìåðíîé ÿðêîñòè ïðè ïåðâîì èñ÷åçíîâåíèè èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ â îïûòå Þíãà? 41. Êàêóþ âåëè÷èíó íàçûâàþò ñòåïåíüþ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè? Êàê îíà ñâÿçàíà ñ âèäèìîñòüþ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ? 42. Êàê ðàçìåðû îáëàñòè êîãåðåíòíîñòè â ïó÷êå ñâåòà îò ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà çàâèñÿò îò ðàññòîÿíèÿ è ðàçìåðîâ èñòî÷íèêà? Îöåíèòå ðàçìåð îáëàñòè êîãåðåíòíîñòè ïðè ïðÿìîì ñîëíå÷íîì îñâåùåíèè. 43. Äàéòå îïðåäåëåíèå îáúåìà êîãåðåíòíîñòè. 44. Ñôîðìóëèðóéòå îáùèé çàêîí èíòåðôåðåíöèè äëÿ ñòàöèîíàðíûõ îïòè÷åñêèõ ïîëåé. 45. Ðàññìîòðèòå èíòåðôåðåíöèþ â òîíêèõ ïëåíêàõ. Ââåäèòå ïîíÿòèå ïîëîñ ðàâíîãî íàêëîíà è ðàâíîé òîëùèíû. 46. Ñ ÷åì ñâÿçàíà ëîêàëèçàöèÿ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ? Êàêîâû äîëæíû áûòü óñëîâèÿ èõ íàáëþäåíèÿ â äâóõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ (ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû è ðàâíîãî íàêëîíà)? 47. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïîëîñ ðàâíîé òîëùèíû è ðàâíîãî íàêëîíà? 48. Óêàæèòå ëó÷è, êîòîðûå èíòåðôåðèðóþò ìåæäó ñîáîé â ñëó÷àå èíòåðôåðåíöèè íà ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêå è ïðè îáðàçîâàíèè êîëåö Íüþòîíà. 49. Êàê âîçíèêàþò êîëüöà Íüþòîíà? Êàê ìîæíî â ýòîì îïûòå èçìåðèòü äëèíó âîëíû? ×åì îòëè÷àþòñÿ êàðòèíû â îòðàæåííîì è ïðîõîäÿùåì ñâåòå? 50. Íàïèøèòå ôîðìóëó äëÿ ðàçíîñòè õîäà ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè â ñëó÷àå èíòåðôåðåíöèè íà ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêå (íà óçêîì êëèíå). 51. Ïî÷åìó â èíòåðôåðåíöèîííûõ îïûòàõ ïî ìåòîäó äåëåíèÿ àìïëèòóäû ñ ïîìîùüþ òîíêîé ïðîçðà÷íîé ïëàñòèíêè èñïîëüçóþò îáû÷íî îòðàæåííûé ñâåò, à íå ïðîøåäøèé? 37

52. Ïî÷åìó äëÿ íàáëþäåíèÿ ïîëîñ ðàâíîãî íàêëîíà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðîòÿæåííûé èñòî÷íèê ñâåòà? Ãäå ëîêàëèçîâàíû ïîëîñû ðàâíîãî íàêëîíà? 53. Ïî÷åìó äëÿ êîëåö Íüþòîíà, ïîëó÷àþùèõñÿ ìåæäó ñîïðèêàñàþùèìèñÿ ïîâåðõíîñòÿìè ëèíçû è ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè, â îòðàæåííîì ñâåòå öåíòð êàðòèíû òåìíûé? 54. Êàêîé âèä èìåþò èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû â âîçäóøíîì êëèíå ìåæäó ïëîñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè ñòåêëÿííûõ ïëàñòèíîê? 55. Ïî÷åìó äëÿ íàáëþäåíèÿ ïîëîñ ðàâíîé òîëùèíû â áåëîì ñâåòå ïëåíêà (èëè ïëàñòèíêà) äîëæíà áûòü î÷åíü òîíêîé? 56. Ãäå ëîêàëèçóþòñÿ ïîëîñû ðàâíîãî íàêëîíà è ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû? 57. ×åì ëèìèòèðóåòñÿ äîïóñòèìàÿ òîëùèíà ïëåíîê äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè â áåëîì ñâåòå íåâîîðóæåííûì ãëàçîì? 58. Âëèÿåò ëè êîíå÷íîñòü ðàçìåðîâ èñòî÷íèêà ñâåòà íà êà÷åñòâî èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â ñëó÷àå ïîëîñ ðàâíîãî íàêëîíà? 59. Êàê óñòðîåíû äèýëåêòðè÷åñêèå çåðêàëà ñ î÷åíü âûñîêèì êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ? 60. Êàêèì îáðàçîì ñîçäàåòñÿ ñëîé ñ íóëåâîé îòðàæàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ? 61. Ïî÷åìó ñëîé ñ îïòè÷åñêîé òîëùèíîé â ÷åòâåðòü äëèíû âîëíû â îäíèõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ ñëîåì ñ íóëåâîé îòðàæàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ, à â äðóãèõ – ñëîåì ñ î÷åíü âûñîêîé îòðàæàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ? 62.  êàêîì ñëó÷àå äâå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû îäèíàêîâîé ÷àñòîòû ñêëàäûâàþòñÿ âñåãäà (ò. å. ïðè ëþáûõ ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèÿõ) òàê, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ I ðàâíà ñóììå èíòåíñèâíîñòåé èñõîäíûõ êîëåáàíèé I1 è I2? 63. Êàêèì óñëîâèåì îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèå ìàêñèìóìîâ è ôîðìà ïîëîñ â íàáëþäàåìîé ñ èíòåðôåðîìåòðîì Ôàáðè – Ïåðî èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíå â ïðîõîäÿùåì ñâåòå? 64. ×åì îïðåäåëÿþòñÿ êîíòðàñòíîñòü è ðåçêîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â èäåàëüíîì èíòåðôåðîìåòðå Ôàáðè – Ïåðî? ×òî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè ïîâûøåíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ â ðåàëüíîì èíòåðôåðîìåòðå? 65. Êàêàÿ ÷àñòü ïàäàþùåãî â èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè – Ïåðî ñâåòà ïðîõîäèò â ìàêñèìóìå? Êàêîâî áóäåò ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàäàþùèì è îòðàæåííûì ñâåòîì? Êàêîâà ðîëü ïîãëîùåíèÿ ñâåòà â ñëîÿõ? 66. ×åì îòëè÷àþòñÿ ïîëîñû ðàâíîãî íàêëîíà â äâóõëó÷åâîé è ìíîãîëó÷åâîé èíòåðôåðåíöèîííûõ êàðòèíàõ? 67. Îò êàêèõ ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè – Ïåðî, çàâèñèò ðåçêîñòü ïîëîñ? 38

68. Êàêèìè ïðåèìóùåñòâàìè îáëàäàþò çåðêàëà ñ ìíîãîñëîéíûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïîêðûòèÿìè ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòàëëè÷åñêèìè? Êàêîâ ïðèíöèï èõ äåéñòâèÿ? 69. Êàêèå ôàêòîðû îãðàíè÷èâàþò ïðàêòè÷åñêè äîñòèæèìóþ ðåçêîñòü ïîëîñ â èíòåðôåðîìåòðå Ôàáðè – Ïåðî? 70. ×òî òàêîå äèñïåðñèîííàÿ îáëàñòü èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî? Êàê îíà çàâèñèò îò åãî òîëùèíû? Ïî÷åìó â ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ èíòåðôåðîìåòð èñïîëüçóþò ñîâìåñòíî ñ áîëåå ãðóáûì ñïåêòðàëüíûì ïðèáîðîì? 71. Êàê óñòðîåíû èíòåðôåðåíöèîííûå îïòè÷åñêèå ôèëüòðû? 72.  ÷åì ôèçè÷åñêàÿ ïðè÷èíà âîçíèêíîâåíèÿ ïî÷òè ïîëíîãî îòðàæåíèÿ èëè ïî÷òè ïîëíîãî ïðîïóñêàíèÿ âîëíû â èíòåðôåðîìåòðå Ôàáðè – Ïåðî? 73. Êàêèå ôàêòîðû îãðàíè÷èâàþò ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî? 74. Ïî÷åìó äèñïåðñèîííàÿ îáëàñòü èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî íåâåëèêà? 75. ×òî ïðîèñõîäèò ñ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî ïðè óâåëè÷åíèè äèñïåðñèîííîé îáëàñòè? 76. Îïèøèòå ïðèíöèï ðàáîòû èçâåñòíûõ âàì äâóõëó÷åâûõ èíòåðôåðîìåòðîâ. 77. Íàðèñóéòå ñõåìó èíòåðôåðîìåòðà Æàìåíà è îõàðàêòåðèçóéòå âîçìîæíîñòè èíòåðôåðåíöèîííîãî ìåòîäà äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà. 78. Ñ êàêîé öåëüþ â îäíî èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà ñòàâèòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ êîìïåíñèðóþùàÿ ïëàñòèíêà? 79. Êàê äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà çåðêàëà â èíòåðôåðîìåòðå Ìàéêåëüñîíà äëÿ íàáëþäåíèÿ ïîëîñ ðàâíîé òîëùèíû (êîëåö ðàâíîãî íàêëîíà)? 80. Êàêèì îáðàçîì óñòðîåíû èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè – Ïåðî, ïëàñòèíêà Ëþììåðà – Ãåðêå? 81. Îáúÿñíèòå ïðèíöèï äåéñòâèÿ çâåçäíîãî èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà. 82.  ÷åì ñîñòîèò ïðèíöèï ìåòîäà Ôóðüå-ñïåêòðîñêîïèè? 83. Èçëîæèòå èäåþ îïûòà Áðàóíà – Òâèññà ïî èíòåðôåðåíöèè èíòåíñèâíîñòåé. Êàê òàêèì ìåòîäîì ìîæíî îöåíèòü âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè è óãëîâûå ðàçìåðû çâåçä? 84. Êàêèì îáðàçîì êîíòðîëèðóåòñÿ êà÷åñòâî èçãîòîâëåíèÿ çåðêàë, ëèíç è ïðèçì ñ òî÷íîñòüþ äî äîëåé äëèíû âîëíû? 85. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïîëåé. 86. Êàê ìîæíî âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ ïîëåé äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè? 87. ×òî òàêîå àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëÿ? 39

88. Êàê àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëÿ ñâÿçàíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ èçëó÷åíèÿ? 89. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ÷àñòè÷íîé êîãåðåíòíîñòè. Êàê êîýôôèöèåíò ÷àñòè÷íîé êîãåðåíòíîñòè ñâÿçàí ñ âèäèìîñòüþ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? 90. Äàéòå îïðåäåëåíèå ìàòðèöû êîãåðåíòíîñòè êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà. 91. Êàêàÿ èíôîðìàöèÿ òåðÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò êîìïëåêñíîé ñòåïåíè êîãåðåíòíîñòè ê ñòåïåíè êîãåðåíòíîñòè? 92. Êàêîâî óñëîâèå êâàçèìîíîõðîìàòè÷íîñòè, êàêîâ åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë? Ïîëó÷èòå îñíîâíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû ïðè ðàññìîòðåíèè êîëåáàíèÿ, îãðàíè÷åííîãî âî âðåìåíè. 93. Êàê âèäèìîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ñâÿçàíà ñî ñòåïåíüþ êîãåðåíòíîñòè ïðè ïðîèçâîëüíîì ñîîòíîøåíèè èíòåíñèâíîñòåé èíòåðôåðèðóþùèõ ïó÷êîâ ñâåòà?

Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð 1. Äâå ïëîñêèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû, îáëàäàþùèå ïîñòîÿííîé ðàçíîñòüþ ôàç, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â íàïðàâëåíèè, îïðår äåëÿåìîì âîëíîâûì âåêòîðîì k. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ êàê ôóíêöèþ ðàçíîñòè ôàç d ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí. Ðåøåíèå. Èçâåñòíî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê óñðåäíåííîå ïî âðåìåíè íàáëþäåíèÿ êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïåðåñåêàþùåå åäèíèöó ïëîùàäè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ïîòîêà ýíåðãèè, â åäèíèöó âðåìåíè. Äëÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû I = e E2 ,

(1)

ãäå e – äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, E – óñðåäíåííàÿ ïî âðåìåíè íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå. Ôîðìóëà (1) ñïðàâåäëèâà, ïî êðàéíåé ìåðå ïðèáëèæåííî, è äëÿ âîëí áîëåå îáùåãî âèäà. Äëÿ âîçäóøíîé ñðåäû e ~ 1 è I = E2 .

(2)

Ðàññìîòðèì â íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ròî÷êår P ïðîñòðàíñòâà ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí E1 è E 2 . Ðåçóëüòèðóþùåå r r r ïîëå â òî÷êå P: E = E1 + E 2 è, ñëåäîâàòåëüíî, r r E 2 = E12 + E 22 + 2(E1 × E 2 ). 40

Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå P (2): (3) I = I1 + I2 + I12, r r 2 2 ãäå I1 = E1 , I 2 = E 2 , à I12 = 2 E1 × E 2 – èíòåðôåðåíöèîííîå ñëàãàåìîå. r r Áóäåì â äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî E1 × E 2 ¹ 0. Óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí èìåþò âèä rr rr r r r r E1 = A1 cos[wt + (kr1 )], E 2 = A2 cos[wt + (kr2 )], r r r r ãäå A1 , A2 – àìïëèòóäû êîëåáàíèé; r1 , r2 – ðàäèóñ-âåêòîðû, ïðîâåäåííûå îò èñòî÷íèêîâ âîëí äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ Ð. r Íàïðàâèâ îñü OZ ñèñòåìû êîîðäèíàò ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà k, çàïèøåì r r r r (4) E1 = A1 cos[wt + kz1 ], E 2 = A2 cos[wt + kz1 + d], 2p d – ðàçíîñòü ôàç.  ñâîþ î÷åðåäü, l – äëèíà âîëíû, l d = z2 – z1 – îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà. Åñëè ñðåäû, â êîòîðûõ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ëó÷è, õàðàêòåðèçóþòñÿ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2, òî â îáùåì ñëó÷àå îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà d = n2r2 – n1r1, ãäå r1, r2 – ðàññòîÿíèÿ, ïðîõîäèìûå ëó÷àìè îò èñòî÷íèêà äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ. Ïðåäïîëàãàÿ äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî êîëåáàíèÿ â îáåèõ âîëíàõ ïîëÿr r ðèçîâàíû â îäíîé ïëîñêîñòè, ò. å. ( A1 × A2 ) = A1 × A2 , ïîëó÷èì r r (E1 × E 2 ) = A1 A2 cos(wt + kz1 ) cos(wt + kz1 + d) = AA = 1 2 [cos d + cos(2wt + kz1 + d)]. 2 Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåðôåðåíöèîííûé ÷ëåí r r (5) I12 = 2 E1 × E 2 = A1 A2 cos d = 2 I1 I 2 cos d , ãäå d = kd =

òàê êàê A12 A2 , I 2 = E 22 = 2 , cos(2wt + 2kz1 + d) = 0. 2 2 Èñêîìàÿ èíòåíñèâíîñòü èìååò âèä I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos d . I1 = E12 =

(6)

Èç (6) ñëåäóåò I max = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 ïðè |d| = 2mp

(7)

(ò. å. ïðè d = ml, ãäå m = 0, 1, 2, …); 41

I min = I1 + I 2 - 2 I1 I 2 ïðè |d| = (2m + 1)p

(8)

l (ò. å. ïðè d = (2m + 1) , ãäå m = 0, 1, 2, …). 2 Ïðèìåð 2. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòåé íà ýêðàíå â èíòåðôåðåíöèîííîì îïûòå Þíãà (ðèñ. 3.1). Ðåøåíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàçíîñòè õîäà ìåæäó ëó÷àìè, èäóùèìè â òî÷êó Ð îò èñòî÷íèêîâ S1 è S2, çàïèøåì P S1

2

lö æ S1 P = a 2 + ç x - ÷ , 2ø è x

l

O S2

a Ð è ñ. 3.1

2

lö æ S2 P = a 2 + ç x + ÷ . 2 è ø Îòñþäà S2P2 – S1P2 = 2xl. Ðàçíîñòü õîäà d = S2P – S1P = =

S 2 P 2 - S1 P 2 2xl . = S1 P + S 2 P S1 P + S 2 P

Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â îïûòå Þíãà íàáëþäàåòñÿ ïðè óñëîâèè l << a. Òîãäà S1P + S2P » 2a. Òàêèì îáðàçîì, xl (9) d= , a ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçíîñòü ôàç 2p xl . (10) d= l a Òàê êàê óãîë S1PS2 î÷åíü ìàë, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âîëíû îò S1 è S2 äâèæóòñÿ ê òî÷êå P ïî îäíîìó è òîìó æå íàïðàâëåíèþ, è ñóììàðíóþ èíòåíñèâíîñòü ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü ïî ôîðìóëå (6), ò. å. I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos d , ãäå d îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (10), à I1 = I2 = I0. Ó÷èòûâàÿ ýòî, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì pxl . la Ïðèìåð 3. Íàéòè øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ â óñòàíîâêå ñ çåðêàëàìè Ôðåíåëÿ (ðèñ. 3.2). I = 4I 0 cos 2

42

x

M1

M2¢ a

S1

S P(x) b

j

l

a

O S2 M2

Ð è ñ. 3.2

Ðåøåíèå. Âûðàçèì ðàññòîÿíèå ìåæäó èñòî÷íèêàìè S1 è S2 ÷åðåç SO = b è óãîë a ìåæäó çåðêàëàìè. Èç DS1OS2 èìååì l = 2bsin j. Èç DS1OS è DS2OS ñëåäóåò ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî ÐS1OM¢2 + a = ÐM1OS, ÐM1OS + a = 2j + ÐS1OM¢2 . Îòñþäà j = a, ò. å. l = 2bsin a. (11) Ðàçíîñòü õîäà ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè â òî÷êå P (ñì. ôîðìóëó (9)): xl . d= a + b cos a Ïðè ìàëûõ a èìååì 2bxa . (12) a +b Ìèíèìóì m-ãî ïîðÿäêà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (8), îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì l 2bx m a . (2m + 1) = 2 a +b Îòñþäà (2m + 1)(a + b)l . xm = 4ba Äëÿ ìèíèìóìà (m + 1)-ãî ïîðÿäêà èìååì d=

x m+1 =

(2m + 3)(a + b)l . 4ba 43

Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû Dx = x m+1 - x m =

(a + b)l . 2ba

(13)

Ïðèìåð 4. Íàéòè ÷èñëî ïîëîñ èíòåðôåðåíöèè N, ïîëó÷àþùèõñÿ ñ ïîìîùüþ áèïðèçìû, åñëè åå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n, ïðåëîìëÿþùèé óãîë a, äëèíà âîëíû èñòî÷íèêà l. Ðàññòîÿíèå áèïðèçìû îò ýêðàíà ðàâíî a, ðàññòîÿíèå èñòî÷íèêà ñâåòà îò áèïðèçìû ðàâíî b. Ðåøåíèå. ×èñëî ïîëîñ èíòåðôåðåíöèè, ïîëó÷àþùååñÿ â äàííîé óñòàíîâêå, êàê âèäíî èç ðèñ. 3.3, ðàâíî N=

2L , Dx

(14)

ãäå L – ïîëóøèðèíà èíòåðôåðåíöèîííîãî ïîëÿ íà ýêðàíå, Dx – øèðèíà ïîëîñû èíòåðôåðåíöèè. Èç ðèñ. 3.3 ñëåäóåò, ÷òî L = atg e,

(15)

ãäå e – óãîë îòêëîíåíèÿ ëó÷à ïðèçìîé. Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ìàëûìè ïðè ìàëûõ a, L = ae. Âûðàçèì óãîë e ÷åðåç ïðåëîìëÿþùèé óãîë ïðèçìû a è ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïðèçìû n. Åñëè ïîä óãëîì e ïîíèìàòü óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ, òî, êàê èçâåñòíî, â ýòîì ñëó÷àå é1 ù sin ê (e + a)ú ë2 û . n= a sin 2

S1 S

a b

e

e

e

e

L

S2 e

Ð è ñ. 3.3 44

a

Ïðè ìàëûõ a n »

e+a , îòñþäà a

e = (n - 1)a. Ïîäñòàâëÿÿ (16) â (15), ïîëó÷èì

(16)

(17) L = a(n - 1)a. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ øèðèíû ïîëîñ èíòåðôåðåíöèè âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (9). Äëÿ ìàêñèìóìà m-ãî ïîðÿäêà èìååì ml = x m l (a + b), äëÿ ìàêñèìóìà m+1-ãî ïîðÿäêà – (m + 1)l = x m+1l (a + b). Øèðèíà ïîëîñû èíòåðôåðåíöèè l(a + b) . Dx = x m+1 - x m = l Òàê êàê l = 2be (ðèñ. 3.3), òî l(a + b) . Dx = 2be Ó÷èòûâàÿ (16), íàõîäèì l(a + b) . Dx = 2ba(n - 1)

(18)

Ïîäñòàâèâ (17) è (18) â (14), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì N=

4ba a 2 (n - 1) 2 . (a + b) l

(19)

Ïðèìåð 5.  íåêîòîðîé òî÷êå P íàáëþäàåòñÿ ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(t), îáóñëîâëåííîå ñëîæåíèåì ñâåòîâûõ êîëåáàíèé, èñïóñêàåìûõ íåìîíîõðîìàòè÷åñêèì èñòî÷íèêîì ñâåòà. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äëèòåëüíîñòè «âîëíîâûõ öóãîâ», èñïóùåííûõ ðàçëè÷íûìè èçëó÷àòåëÿìè äàííîãî èñòî÷íèêà, îäèíàêîâû è ÷òî u(t) èìååò âèä Dt ì - iw 0t , åñëè | t| £ , ïï u 0 e 2 u(t) = í ï 0, åñëè | t| > Dt , ïî 2

(20)

ïîëó÷èòü îöåíî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè äàííîãî èñòî÷íèêà. Ðåøåíèå. Íàïîìíèì, ÷òî e - iw 0t = cos w0 t - i sin w0 t. Èñïîëüçîâàííàÿ çàïèñü äëÿ ñâåòîâîãî âîçìóùåíèÿ u(t) ÷åðåç êîìïëåêñíóþ ýêñïîíåíòó îçíà÷àåò, ÷òî ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò òîëüêî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü íàïèñàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. 45

 ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(t) âíîñÿò âêëàä ðàçëè÷íûå íåçàâèñèìûå èçëó÷àòåëè, ÷èñëî êîòîðûõ ÷ðåçâû÷àéíî âåëèêî, ïðè÷åì êàæäûé èç íèõ èçëó÷àåò ñâåò ñî ñâîåé ÷àñòîòîé w. Ýòî ìîæíî âûðàçèòü â âèäå u(t) =

¥

ò u(w)e

- iwt

dw,

(21)

-¥

ãäå u(w) – âêëàä â ðåçóëüòèðóþùåå êîëåáàíèå èçëó÷åíèÿ ñâåòîâîãî èñòî÷íèêà ñ ÷àñòîòîé w. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ôîðìóëà (21) ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèåì â èíòåãðàë Ôóðüå ôóíêöèè u(t). Ñîâåðøàÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, çàïèøåì ¥ 1 - iwt (22) u(w) = ò u(t)e dt . 2p -¥ Ôîðìóëà (22) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âêëàä ðàçëè÷íûõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ êîìïîíåíò â ñóììàðíîå èçëó÷åíèå. Ïîäñòàâëÿÿ (20) â (22), ïîëó÷àåì u u(w) = 0 2p

Dt 2

òe

- i( w-w 0 )t

dt .

Âû÷èñëèâ èíòåãðàë, ïîëó÷èì u Dt ì sin ((w - w0 )Dt 2) ü u(w) = 0 í ý. 2p î (w - w0 )Dt 2 þ Ãðàôèê ôóíêöèè

(23)

Dt 2

sin ((w - w0 )Dt 2)

(24)

ïðèâåäåí íà ðèñ. 3.4. (w - w0 )Dt 2 Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî ìàêñèìàëüíûé âêëàä â ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(t) âíîñèò ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ êîìïîíåíòà ñ ÷àñòîòîé w0 è ÷åì áîëüøå ÷àñòîòà w êàêîé-ëèáî ìîíîõðîìàòè÷åñêîé êîìïîíåíòû îòëè÷àåòñÿ îò ÷àñòîòû w0, òåì ìåíüøå âêëàä ýòîé êîìïîíåíòû â ðåçóëüòèðóþùåå ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(t). Òàêèì îáðàçîì, çàìåòíûé âêëàä â ðåçóëüòèðóþùåå âîçìóùåíèå âíîñèò èçëó÷åíèå òàêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ èñòî÷íè|u(w)| êîâ, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàêëþ÷åíû â íåêîòîðîì ýôôåêòèâíîì èíòåðâàëå ÷àñòîò äàííîãî íåìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èñòî÷íèêà ñâåòà. Øèðèíà ýôôåêòèâíîãî ÷àñòîòíîãî èíòåðâàëà w0 w ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé, îäíàêî òàê êàê ïåðâûé íóëü ôóíêöèè Ð è ñ. 3.4 46

sin ((w - w0 )Dt 2)

2p , òî äëÿ îöåíêè èíòåðåDt (w - w0 )Dt 2 ñóþùåãî íàñ ýôôåêòèâíîãî ÷àñòîòíîãî èíòåðâàëà ìîæíî ïðèíÿòü âûðà2p æåíèå Dw @ , èëè, ïåðåõîäÿ ê îáû÷íûì ÷àñòîòàì, Dt 1 (25) Dn @ . Dt ïîÿâëÿåòñÿ ïðè w - w0 = ±

Ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt åñòü íå ÷òî èíîå, êàê äëèòåëüíîñòü «âîëíîâîãî öóãà», êîòîðàÿ ïî óñëîâèþ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ èñòî÷íèêîâ. ßñíî òàêæå, ÷òî èíòåðôåðåíöèÿ â òî÷êå áóäåò òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ t «âîëíîâûõ öóãîâ», èñõîäÿùèõ îò èñòî÷íèêîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ýôôåêòèâíîìó ÷àñòîòíîìó èíòåðâàëó, äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ t < Dt. (26) Åñëè ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (26), òî îí íàçûâàåòñÿ âðåìåíåì êîãåðåíòíîñòè, à èç ôîðìóëû (25) ïîëó÷àåì èñêîìîå îöåíî÷íîå âûðàæåíèå âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè: 1 . (27) Dt @ Dn Ïðèìåð 6. Ëó÷ ñâåòà, èñõîäÿùèé èç òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà S, ïàäàåò ïîä óãëîì j íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé h. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòèíêè n. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåêòèâà (ðèñ. 3.5). Êàêîìó óñëîâèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â òî÷êå P ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? P S N

j A

C c

n

h

B

Ð è ñ. 3.5 47

Ðåøåíèå. Îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè SANP è SABCP ðàâíà d = n(AB + BC) – AN. (28) Èç ðèñ 3.5 âèäíî, ÷òî h , AN = AC sin j = 2h tg c × sin j, (29) AB = BC = cos c ãäå c – óãîë ïðåëîìëåíèÿ. Èñïîëüçóÿ çàêîí ïðåëîìëåíèÿ sin j sin c = n,

(30)

èç ñîîòíîøåíèé (28)–(30) ïîëó÷àåì d = 2nh cos c. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçíîñòü ôàç ðàâíà 4p d= nh cos c, l

(31)

(32)

ãäå l – äëèíà âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà. Ïðè çàïèñè ïîëíîé ðàçíîñòè ôàç, êðîìå ðàçíîñòè ôàç, ñîîòâåòñòâóþùåé îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäà d, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü èçìåíåíèå ôàçû íà p, êîòîðîå ñîãëàñíî ôîðìóëàì Ôðåíåëÿ ïðîèñõîäèò ïðè îòðàæåíèè îò îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé ïëàñòèíêè. Ïîýòîìó ïîëíàÿ ðàçíîñòü ôàç â òî÷êå P: 4p 4ph (33) d= nh cos c ± p = n 2 - sin 2 j ± p. l l Èíòåíñèâíîñòü â èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíå ìåíÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (6). Ìàêñèìóìàì èíòåíñèâíîñòè ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèå (34) d = 2nh cos c ± l 2 = ml , ìèíèìóìàì – (35) d = 2nh cos c ± l 2 = (2m + 1) l 2 , ãäå m = 0, 1, 2, … (äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçíîñòü õîäà ± l 2 ñîîòâåòñòâóåò äîïîëíèòåëüíîé ðàçíîñòè ôàç ± p). Ó÷åò ìíîãîêðàòíîãî îòðàæåíèÿ íå ìåíÿåò ðåçóëüòàòîâ çàäà÷è. Çàäàííàÿ ïîëîñà (m = const) õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîñòîÿíñòâîì âåëè÷èíû óãëà c (à çíà÷èò, è j) è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîçäàåòñÿ ñâåòîì, ïàäàþùèì íà ïëàñòèíêó ïîä êàêèì-òî îïðåäåëåííûì óãëîì. Ïîýòîìó òàêèå ïîëîñû íàçûâàþò ïîëîñàìè ðàâíîãî íàêëîíà. 48

Ïðèìåð 7. Âûïóêëàÿ ëèíçà ñ áîëüøèì ðàäèóñîì êðèâèçíû R ëåæèò íà ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêå è îñâåùàåòñÿ íîðìàëüíî ïàäàþùèì ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l.  âîçäóøíîì çàçîðå ìåæäó ñîïðèêàñàþùèìèñÿ ïîâåðõíîñòÿìè ëèíçû è ïëàñòèíêè â îòðàæåííîì ñâåòå íàáëþäàþòñÿ òàê íàçûâàåìûå êîëüöà Íüþòîíà. Íàéòè ðàäèóñû òåìíûõ êîëåö. Ðåøåíèå. Âîçäóøíûé êëèí, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò èíòåðôåðåíöèÿ, â ñëó÷àå, êîãäà ðàäèóñ êðèâèçíû ëèíçû âåëèê, èìååò î÷åíü ìàëûé óãîë. Ïîýòîìó ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êëèí ñîñòàâëåí èç îòäåëüíûõ êóñî÷êîâ ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ ïëàñòèíîê, è äëÿ êàæäîãî òàêîãî êóñî÷êà, õàðàêòåðèçóåìîãî ñâîåé òîëùèíîé h, ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëó (31) äëÿ ðàçíîñòè õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé: d = 2nh cos c ± l/2, ïðè÷åì cos c = const. Ñ÷èòàÿ, ÷òî äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçíîñòü õîäà, îáóñëîâëåííàÿ ñäâèãîì ôàçû íà p ïðè îòðàæåíèè îò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè, ðàâíà l/2, çàïèøåì óñëîâèå ìèíèìóìà èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû (c = 0 ïðè íîðìàëüíîì îñâåùåíèè) â âèäå 2nh + l/2 = (2m + 1)l/2, èëè h=

ml (m = 0, 1, 2, ...). 2

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, h = R - R2 - r 2 . Ðàñêëàäûâàÿ êîðåíü ïî áèíîìó Íüþòîíà è îãðàíè÷èâàÿñü ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èì h » r2/2R. È äëÿ ðàäèóñà m-ãî òåìíîãî êîëüöà Íüþòîíà îêîí÷àòåëüíî èìååì rm = mRl . Êîëüöà Íüþòîíà ÿâëÿþòñÿ êîëüöàìè ðàâíîé òîëùèíû.

Çàäà÷è 3.1. Ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ òî÷å÷íûõ êîãåðåíòíûõ èçëó÷àòåëåé, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè òàê, ÷òî èõ äèïîëüíûå ìîìåíòû ïåðïåíäèêóëÿðíû ýòîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 3.6). Ðàññòîÿíèå ìåæäó èçëó÷àòåëÿìè d, äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ l. Èìåÿ â âèäó, ÷òî êî49

ëåáàíèÿ èçëó÷àòåëÿ 2 îòñòàþò ïî ôàçå íà j (j < p) îò êîëåáàíèé èçëó÷àòåëÿ 1, íàéòè: à) óãëû q, â êîòîðûõ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ìàêñèìàëüíà; á) óñëîâèÿ, ïðè 1 êîòîðûõ â íàïðàâëåíèè q = p èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ q áóäåò ìàêñèìàëüíîé, à â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè – ìèíèìàëüíîé. 3.2. Íàéòè ïðèìåðíûé âèä ïîëÿðíîé äèàãðàììû íàïðàâëåííîñòè èçëó÷åíèÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè 2 (ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè äèïîëÿ) ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ îäèíàêîâûõ èçëó÷àòåëåé 1 è 2, äèïîëüíûå ìîìåíÐ è ñ. 3.6 òû êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó íà ðàññòîÿíèè d. Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè: 1) d = l/2, ñäâèã ôàç ðàâåí 0 èëè p; 2) d = l, ñäâèã ôàç ðàâåí 0 èëè p; 3) d = l/4, ñäâèã ôàç p/2. 3.3. Íåïîäâèæíàÿ èçëó÷àþùàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ëèíåéíîé öåïî÷êè ïàðàëëåëüíûõ âèáðàòîðîâ, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå d, ïðè÷åì ôàçà êîëåáàíèé âèáðàòîðîâ ëèíåéíî ìåíÿåòñÿ âäîëü öåïî÷êè. Íàéòè çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ðàçíîñòè ôàç Dj ìåæäó ñîñåäíèìè âèáðàòîðàìè, ïðè êîòîðîé ãëàâíûé ìàêñèìóì èçëó÷åíèÿ ñèñòåìû áóäåò ñîâåðøàòü êðóãîâîé «îáçîð» ìåñòíîñòè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w. 3.4. ×åòûðå èäåíòè÷íûõ äèïîëüíûõ èçëó÷àòåëÿ ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó è íàõîäÿòñÿ íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ d = 2,5 ñì äðóã îò äðóãà. Îíè ðàáîòàþò íà ÷àñòîòå n = 3 × 109 ñ–1 è ñôàçèðîâàíû òàê, ÷òî èçëó÷åíèå êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî äèïîëÿ îòñòàeò îò ïðåäûäóùåãî íà 90î. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ñèñòåìû â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè è ïîñòðîèòü ýòó ôóíêöèþ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ (ïîëÿðíàÿ äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè èçëó÷åíèÿ). 3.5. Òðè ñèíôàçíûõ èçëó÷àòåëÿ 1, 2, 3 ðàñïîëîæåíû âäîëü ïðÿìîé (ðèñ. 3.7). Ðàññòîÿíèå ìåæäó èçëó÷àòåëÿìè 1 è 2 ðàâíî l/2, à ìåæäó èçëó÷àòåëÿìè 2 è 3 â 1,5 ðàçà áîëüøå. Àìïëèòóäû èçëó÷àòåëåé 1 è 2 îäèíàêîâû. Êàêîâà äîëæíà áûòü àìïëèòóäà èçëó÷àòåëÿ 3, ÷òîáû íà äèàãðàììå íàïðàâëåííîñòè ñèñòåìû ñóùåñòâîâàëè ìèíèìóìû íóëåâîé èíòåíñèâíîñòè? Íàéòè íàïðàâëåíèÿ íà ýòè ìèíèìóìû. Ðåøåíèå äàòü àíàëèòè÷åñêè è ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîé äèàãðàììû.

l/2

1

3l/4

2 Ð è ñ. 3.7

50

}

d

3

a Ð è ñ. 3.8

x

3.6. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà ýêðàíå â èíòåðôåðåíöèîííîì îïûòå Þíãà. 3.7. Íàéòè äëèíó âîëíû l ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, åñëè â îïûòå Þíãà ðàññòîÿíèå ïåðâîãî èíòåðôåðåíöèîííîãî ìàêñèìóìà îò öåíòðàëüíîé ïîëîñû õ = 0,05 ñì. Äàííûå óñòàíîâêè (ðèñ. 3.8): a = 5 ì, d = 0,5 ñì. 3.8. Íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ äâóõ ïëîñêèõ âîëí îäíîé è òîé æå äëèíû l ñîñòàâëÿþò äðóã ñ äðóãîì ìàëûé óãîë j. Âîëíû ïàäàþò íà ýêðàí, ïëîñêîñòü êîòîðîãî ïðèáëèçèòåëüíî ïåðïåíäèêóëÿðíà ê íàïðàâëåíèþ èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Çàïèñàâ óðàâíåíèÿ îáåèõ âîëí è ñëîæèâ èõ ïîëÿ, ïîêàçàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå Dõ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè èíòåðôåðåíöèîííûìè ïîëîñàìè íà ýêðàíå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì Dõ @ l/j (ðèñ. 3.9). 3.9. Êàê èçìåíèòñÿ âûðàæåíèå äëÿ Dx â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, åñëè èíòåðôåðèðóþùèå ëó÷è ïàäàþò íà ýêðàí íå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íîðìàëè? 3.10. Íà ïóòè îäíîãî ëó÷à â èíòåðôåðåíöèîííîé óñòàíîâêå Þíãà ñòîèò òðóáêà äëèíîé l = 2 ñì ñ ïëîñêîïàðàëëåëüíûìè ñòåêëÿííûìè îñíîâàíèÿìè è íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà, êîãäà ýòà òðóáêà íàïîëíåíà âîçäóõîì. Çàòåì òðóáêó çàïîëíÿþò õëîðîì è íàáëþäàþò ñìåùåíèå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íà N = 20 ïîëîñ. Âñÿ óñòàíîâêà ïîìåùåíà â òåðìîñòàò, ïîääåðæèâàþùèé ïîñòîÿííóþ òåìïåðàòóðó. Íàáëþäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ñî ñâåòîì ëèíèè D íàòðèÿ (l = 5890 Å). Ïðèíèìàÿ ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà n = 1,000276, âû÷èñëèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ õëîðà.  êàêóþ ñòîðîíó ñìåùàþòñÿ ïîëîñû èíòåðôåðåíöèè ïðè íàïîëíåíèè ñîñóäà õëîðîì? 3.11. Íàéòè ÷èñëî ïîëîñ èíòåðôåðåíöèè N, ïîëó÷àþùèõñÿ ñ ïîìîùüþ áèïðèçìû Ôðåíåëÿ (ðèñ. 3.10), åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ åå n, ïðåëîìëÿþùèé óãîë a, äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà l. Ðàññòîÿíèÿ îò áèïðèçìû äî èñòî÷íèêà è ýêðàíà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû a è b. X

}

Dx

2

O

a

Z

}

j/2 j/2

1

a

Ð è ñ. 3.9

x

b

Ð è ñ. 3.10

51

3.12. Âûðàçèòü ðàññòîÿíèå õ îò öåíòðà èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû äî m-é ñâåòëîé ïîëîñû â îïûòå ñ áèïðèçìîé (ðèñ. 3.10). Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïðèçìû ï, äëèíà âîëíû l, ïðåëîìëÿþùèé óãîë a. Èíòåðôåðèðóþùèå ëó÷è ïàäàþò íà ýêðàí ïðèáëèçèòåëüíî ïåðïåíäèêóëÿðíî. 3.13. Ïðåëîìëÿþùèé óãîë áèïðèçìû a = 3¢26¢¢. Ìåæäó òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà (l = 5000 Å) è áèïðèçìîé ïîìåùåíà ëèíçà òàêèì îáðàçîì, ÷òî øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ îêàçàëàñü íå çàâèñÿùåé îò ðàññòîÿíèÿ îò ýêðàíà äî áèïðèçìû. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè òåìíûìè ïîëîñàìè, åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà áèïðèçìû n = 1,5. Íàéòè ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîëîñ N, êîòîðîå ìîæåò íàáëþäàòüñÿ â ýòîé óñòàíîâêå, åñëè îíî ïîëó÷àåòñÿ ïðè óäàëåíèè ýêðàíà îò áèïðèçìû íà L = 5 ì. 3.14. Ïðè êàêîì ïîëîæåíèè ýêðàíà â óñòàíîâêå, îïèñàííîé â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè ïðåëîìëÿþùèõ óãëîâ áèïðèçìû l = 4 ñì? ×åìó ðàâíî ýòî ÷èñëî ïîëîñ? Ïðè êàêîì ïîëîæåíèè ýêðàíà èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû èñ÷åçíóò? 3.15. Ïîëîñû èíòåðôåðåíöèè ïîëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ áèïðèçìû Ôðåíåëÿ ñ ìàëûì ïðåëîìëÿþùèì óãëîì è ùåëåâîãî èñòî÷íèêà ñâåòà, ïàðàëëåëüíîãî ðåáðó áèïðèçìû. Èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû íàáëþäàþòñÿ íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè óñòàíîâêè. Íóëåâàÿ ïîëîñà ïîëó÷àåòñÿ â öåíòðå ýêðàíà – íà îñè (òî÷íåå, â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè) óñòàíîâêè. Ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà äî áèïðèçìû ðàâíî à, îò áèïðèçìû äî ýêðàíà – b.  êàêóþ ñòîðîíó è íà êàêóþ âåëè÷èíó õ ñìåñòèòñÿ íóëåâàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ ïîëîñà, åñëè ùåëåâîé èñòî÷íèê ñâåòà íåìíîãî ñìåñòèòü â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê îñè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, íà âåëè÷èíó h? 3.16. Îò äâóõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà Sl è S2 (ðèñ. 3.11) ïîëó÷åíà ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ íà ýêðàíå ÀÂ, óäàëåííîì îò èñòî÷íèêîâ íà ðàññòîÿíèå à = 2 ì. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ øèðèíà

B a

S2 S1

a Ð è ñ. 3.11

52

A à Ð è ñ. 3.12

á

èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, åñëè ìåæäó èñòî÷íèêàìè è ýêðàíîì ïîìåñòèòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 25 ñì? Ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 1) ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêîâ äî ëèíçû ðàâíî 2f; 2) èñòî÷íèêè Sl è S2 íàõîäÿòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. 3.17. Èç ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 50 ñì âûðåçàíà öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü øèðèíû à, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.12, à. Çàòåì îáå ïîëîâèíû ëèíçû ñäâèíóòû äî ñîïðèêîñíîâåíèÿ (ðèñ. 3.12, á). Ïî îäíó ñòîðîíó ëèíçû ïîìåùåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà (l = 6000 Å). Ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû ëèíçû ïîìåùåí ýêðàí, íà êîòîðîì íàáëþäàþòñÿ ïîëîñû èíòåðôåðåíöèè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ñâåòëûìè ïîëîñàìè Dx = 0,5 ìì è íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ýêðàíà âäîëü îïòè÷åñêîé îñè. Íàéòè à. 3.18. Íà ðèñ. 3.2 ïîêàçàíà èíòåðôåðåíöèîííàÿ ñõåìà ñ áèçåðêàëàìè Ôðåíåëÿ. Óãîë ìåæäó çåðêàëàìè a = 12¢, ðàññòîÿíèÿ îò ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ çåðêàë äî óçêîé ùåëè S è ýêðàíà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî b = 10 ñì è a = 130 ñì. Äëèíà âîëíû ñâåòà l = 0,55 ìêì. Îïðåäåëèòü: à) øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû íà ýêðàíå è ÷èñëî âîçìîæíûõ ìàêñèìóìîâ; á) ñäâèã èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íà ýêðàíå ïðè ñìåùåíèè ùåëè íà dl = 1 ìì ïî äóãå ðàäèóñà b ñ öåíòðîì â òî÷êå Î; â) ïðè êàêîé øèðèíå ùåëè dmax èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû íà ýêðàíå áóäóò íàáëþäàòüñÿ åùå äîñòàòî÷íî îò÷åòëèâî? 3.19. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ïàäàåò íîðìàëüíî íà äèàôðàãìó ñ äâóìÿ óçêèìè ùåëÿìè, îòñòîÿùèìè äðóã îò äðóãà íà d = 2,5 ìì. Íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì çà äèàôðàãìîé íà L = 100 ñì, îáðàçóåòñÿ ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå è â êàêóþ ñòîðîíó ñìåñòÿòñÿ ýòè ïîëîñû, åñëè îäíó èç ùåëåé ïåðåêðûòü ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé òîëùèíû h = 10 ìêì? 3.20. Îò äâóõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà S1 è S2 ïîëó÷åíà ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ íà ýêðàíå Ý, óäàëåííîì îò èñòî÷íèêîâ íà ðàññòîÿíèè L = 2 ì. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, åñëè ìåæäó èñòî÷íèêàìè è ýêðàíîì ïîìåñòèòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F = 40 ñì òàê, ÷òîáû èñòî÷íèêè S1 è S2 îêàçàëèñü â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû? 3.21. Êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçáðîñîì äëèí âîëí Dl. Êàêîìó ñîîòíîøåíèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? 3.22. Êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l èìååò ïîïåðå÷íûé ðàçìåð L. Îöåíèòü ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû îáëàñòè â îêðåñòíîñòè òî÷êè íàáëþäåíèÿ, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè à îò èñòî÷íèêà, â ïðåäåëàõ êîòîðîé ñâåòîâîå ïîëå ñîõðàíÿåò êîãåðåíòíîñòü. 3.23. Íà êàêîì ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè äîëæíû íàõîäèòüñÿ ùåëè â îïûòå Þíãà äëÿ òîãî, ÷òîáû íàáëþäàòü èíòåðôåðåíöèîííóþ 53

êàðòèíó îò èçëó÷åíèÿ Ñîëíöà? Óãëîâîé ðàçìåð Ñîëíöà 32¢. Äëèíó âîëíû èçëó÷åíèÿ ñ÷èòàòü ðàâíîé 0,55 ìêì. 3.24. Íàéòè äëèíó êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ ðóáèíîâîãî ëàçåðà (l = 693,6 íì), åñëè øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ â äëèíàõ âîëí ðàâíà Dl = 1,6×10–17 ì. 3.25. Ñâåò îò ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà (ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî) S ïàäàåò íà íåïðîçðà÷íûé ýêðàí Ý, â êîòîðîì èìåþòñÿ äâà ìàëåíüêèõ îòâåðñòèÿ (ðèñ. 3.13). Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç îòâåðñòèÿ, íàáëþäàåòñÿ â òî÷êå Ð. Èñòî÷íèê ñâåòà è òî÷êà íàáëþäåíèÿ íàõîäÿòñÿ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè îò ýêðàíà. Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îòâåðñòèÿìè èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè â òî÷êå íàáëþäåíèÿ èìååò îñöèëëèðóùèé õàðàêòåð. Îïðåäåëèòü ëèíåéíûé ðàçìåð b èñòî÷íèêà ñâåòà, åñëè 1-é ìèíèìóì èíòåíñèâíîñòè â òî÷êå Ð íàáëþäàåòñÿ ïðè d = d1 = 1 ñì, à àìïëèòóäà îñöèëëÿöèè ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ ïðè d = d2 = 20 ñì. Óñëîâèå d<
S1 S

d

P

d

b L

L

Ý Ð è ñ. 3.13

54

P

S2

b

Ð è ñ. 3.14

I

n S

à

Dn á

P Ð è ñ. 3.15

ñïåêòðîñêîïà âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè èññëåäóåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè â ñïåêòðå êîëåáàíèé, âîçíèêàþùèõ â òî÷êå Ð ïðè íàëîæåíèè îáîèõ ïó÷êîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî íàáëþäàåòñÿ ÷åðåäîâàíèå ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ ñïåêòðàëüíîé èíòåíñèâíîñòè I(n), ïðè÷åì ÷àñòîòíûé èíòåðâàë ìåæäó ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè Dn = 10 ÌÃö (ðèñ. 3.15, á). Îïðåäåëèòü ðàçíîñòü õîäà D. 3.29. Ìîíîõðîìàòè÷åñêîå èçëó÷åíèå ïðîõîäèò ÷åðåç èíòåðôåðîìåòð Ìàõà – Öåíäåðà, â îäíîì èç ïëå÷ êîòîðîãî ðàñïîëîæåíà êþâåòà ñ ãàçîì äëèíîé l.  êþâåòå ñîçäàåòñÿ èçáûòî÷íîå äàâëåíèå. Ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ãàçà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó n(t) = 1 + at. Îïðåäåëèòü ñïåêòð êîëåáàíèé òîêà ôîòîïðèåìíèêà, ðàñïîëîæåííîãî â îáëàñòè íóëåâîé ïîëîñû èíòåðôåðîìåòðà. 3.30. Ñâåò äàëåêîãî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà S ïàäàåò íà ôîòîïðèåìíèê ÔÏ íåïîñðåäñòâåííî è îòðàçèâøèñü îò ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 3.16). Ïðè âåðòèêàëüíîì ïåðåìåùåíèè èñòî÷íèêà ÔÏ ðåãèñòðèðóåò èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî íà íåãî ñâåòà. Îöåíèòü ìàêñèìàëüíûé óãîë a âîçâûøåíèÿ èñòî÷íèêà íàä ãîðèçîíòîì, ïðè êîòîðîì åùå çàìåòíû èçìåíåíèÿ ôîòîòîêà, åñëè ïåðåä ÔÏ óñòàíîâëåí ñâåòîôèëüòð ÑÔ ñ ïîëîñîé ïðîïóñêàíèÿ Dn = 3×1011 Ãö. Âõîäíîå îòâåðñòèå ÔÏ íàõîäèòñÿ íà âûñîòå h = 1 ñì íàä îòðàæàþùåé ïëîñêîñòüþ. 3.31. Íàéòè âèäèìîñòü V èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â îïûòå Þíãà ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà ñâåòà. Ðàçìåð èñòî÷íèêà ñâåòà b, ðàññòîÿíèå ìåæäó ùåëÿìè d. Ñðåäíÿÿ äëèíà âîëíû l = 500 íì. 3.32. Óñòàíîâêà ñ áèçåðêàëàìè Ôðåíåëÿ îñâåùàåòñÿ ùåëüþ, ïàðàëëåëüíîé ðåáðó çåðêàë, èìååò øèðèíó b. Âû÷èñëèòü âèäèìîñòü ïîëîñ èíòåðôåðåíöèè. S

ÑÔ

a

ÔÏ

h

Ð è ñ. 3.16

55

3.33. Äâå óçêèå ïàðàëëåëüíûå ùåëè íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè d. Ùåëè îñâåùåíû ïðÿìîé ñâåòÿùåéñÿ ìåòàëëè÷åñêîé ëåíòîé øèðèíîé 2b, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè L îò ùåëåé. Ñâåòîôèëüòð ïðîïóñêàåò äëèíó âîëíû l. Íà ýêðàíå íàáëþäàåòñÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà. Ïðè óâåëè÷åíèè d, êîãäà d = d0 , äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà èñ÷åçëà. Îïðåäåëèòü 2b. 3.34. Îïðåäåëèòü âèäèìîñòü V èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû îò äâóõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ, ñïåêòð èçëó÷åíèÿ êîòîðûõ îäèíàêîâ è èçîáðàæåí íà ðèñ. 3.17. Êàê çàâèñèò V îò øèðèíû ñïåêòðà Dn? 3.35. Ïîñòðîèòü êðèâóþ âèäèìîñòè V(D) èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, êîãäà ñïåêòð èçëó÷åíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ î÷åíü óçêèõ è áëèçêèõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé (dk << k), è èíòåíñèâíîñòü îäíîé âäâîå áîëüøå èíòåíñèâíîñòè äðóãîé. 3.36. Íàéòè âèäèìîñòü V(D) èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ â ñëó÷àå èñòî÷íèêà, êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ êîòîðîãî èìååò ãàóññîâó ôîðìó I(k) = Aexp[–a2(kk0)2] (íåîäíîðîäíî óøèðåííàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ), ãäå A – ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. 3.37. Íàéòè ñòåïåíü êîãåðåíòíîñòè g äëÿ èçëó÷åíèÿ, ñïåêòðàëüíûé êîíòóð êîòîðîãî èìååò ëîðåíöåâñêóþ ôîðìó ñ ïîëóøè1 à (îäíîðîäíî óøèðåííàÿ ñïåêòðàëüðèíîé 2Ã:I(w¢) = p (w¢ - w) 2 + à 2 íàÿ ëèíèÿ). 3.38. Èñòî÷íèê ñâåòà S ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè L = 1 ì îò òîíêîé ñëþäÿíîé ïëàñòèíêè òîëùèíîé h = 0,1 ìì ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,4. Íà òàêîì æå ðàññòîÿíèè îò ïëàñòèíêè ðàñïîëîæåí ýêðàí Ý, îðèåíòèðîâàííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðàæåííûì ëó÷àì, íà êîòîðîì íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. Óãîë j = 60î. Íàéòè ïîðÿäîê m-é èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû â öåíòðå ýêðàíà è øèðèíó Dl èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ. Îöåíèòü äîïóñòèìûé ðàçìåð b è äîïóñòèìóþ íåìîíîõðîìàòè÷íîñòü èñòî÷íèêà Dl (ðèñ. 3.18). Èñïîëüçóåòñÿ çåëåíûé ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 560 íì. 3.39. Ðàññåÿííûé ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò ñ l = 0,5 ìêì ïàäàåò íà òîíêóþ ïëåíêó ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,5. Îïðåäåëèòü Ý

S

I I0

L

Dn Ð è ñ. 3.17 56

j

n

h Ð è ñ. 3.18

}

òîëùèíó ïëåíêè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî óãîë ìåæäó ëó÷àìè, îáðàçóþùèìè ñîñåäíèå ìàêñèìóìû âáëèçè óãëà îòðàæåíèÿ 45o, ðàâåí 2o. 3.40. Ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 0,55 ìêì îò óäàëåííîãî èñòî÷íèêà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëÿííîãî êëèíà.  îòðàæåííîì ñâåòå íàáëþäàþò ñèñòåìó èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè êîòîðûõ íà ïîâåðõíîñòè êëèíà Dx = 0,21 ìì. Íàéòè: à) óãîë ìåæäó ãðàíÿìè êëèíà; á) ñòåïåíü ìîíîõðîìàòè÷íîñòè ñâåòà (Dl/l), åñëè èñ÷åçíîâåíèå ïîëîñ íàáëþäàåòñÿ íà ðàññòîÿíèè l = 1,5 ñì îò âåðøèíû êëèíà, n = 1,5. 3.41. Èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû íàáëþäàþòñÿ íà âîçäóøíîì êëèíå ìåæäó äâóìÿ ñòåêëÿííûìè ïëàñòèíêàìè ñ óãëîì ïðè âåðøèíå a = 1¢. Ïîëîñû ïîëó÷àþòñÿ â ñâåòå çåëåíîé ëèíèè ðòóòè ñ äëèíîé âîëíû l = 5461 Å è øèðèíîé Dl = 0,1 Å. Îïðåäåëèòü: 1) ðàññòîÿíèå Dõ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ïîëîñàìè; 2) ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ïîëîñ N, êîòîðûå ìîæíî áûëî áû âèäåòü íà êëèíå, åñëè áû åãî ðàçìåðû íå áûëè îãðàíè÷åíû; 3) ðàññòîÿíèå õ ïîñëåäíåé íàáëþäàåìîé ïîëîñû îò âåðøèíû êëèíà è òîëùèíó h êëèíà â ýòîì ìåñòå; 4) ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîå óãëîâîå ðàñõîæäåíèå ëó÷åé dj, ïðè êîòîðîì âîçìîæíî íàáëþäåíèå âñåõ ïîëîñ. 3.42. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà äëèíû l ïàäàåò ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ðåáðó êëèíà èç ñòåêëà ñ óãëîì ïðè âåðøèíå a << 1 (ðèñ. 3.19). Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ï, óãîë ïàäåíèÿ âîëíû j. Íàéòè ðàññòîÿíèå Dõ ìåæäó ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îòðàæåííîìó ñâåòó. 3.43. Ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 6000 Å ïàäàåò íà òîíêóþ ìûëüíóþ ïëåíêó. Óãîë ïàäåíèÿ j = 30o.  îòðàæåííîì ñâåòå íà ïëåíêå íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ïîëîñàìè Dõ = 4 ìì. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìûëüíîé ïëåíêè n = 1,33. Âû÷èñëèòü óãîë a ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè ïëåíêè. 3.44. Ïðè êàêîé òîëùèíå ïëåíêè èñ÷åçàþò èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ïðè îñâåùåíèè åå ñâåòîì ñ äëèíîé âîëíû l = 6 ·10–5 ñì? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëåíêè ï = 1,5. 3.45.  î÷åíü òîíêîé êëèíîâèäíîé ïëàñòèíêå â îòðàæåííîì ñâåòå ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè òåìíûìè ïîëîñàìè Dõ = 5 ìì. Çíàÿ, ÷òî äëèíà ñâåòîâîé âîëíû l = 5800 Å, à ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòèíêè j ï = 1,5, íàéòè óãîë a ìåæäó ãðàíÿìè ïëàñòèíêè. 3.46. Ñ ïîìîùüþ âîçäóøíîãî êëèíà ñ óãa n ëîì ïðè âåðøèíå a íàáëþäàþò ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû â îòðàæåííîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîì ñâåÐ è ñ. 3.19 57

òå. Ñâåò ïàäàåò íà êëèí íîðìàëüíî. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå îñâåùåííîñòè Å â èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíå íà ïîâåðõíîñòè êëèíà. Ñ÷èòàòü èíòåíñèâíîñòè ñâåòîâûõ ïó÷êîâ, îòðàæåííûõ îò îáåèõ ïîâåðõíîñòåé êëèíà, îäèíàêîâûìè è ðàâíûìè I0. 3.47. Ñïóòíèê Çåìëè, ïîäíèìàÿñü íàä ãîðèçîíòîì, èçëó÷àåò ðàäèîâîëíû äëèíîé l = 10 ñì. Ìèêðîâîëíîâûé äåòåêòîð ðàñïîëîæåí íà áåðåãó îçåðà íà âûñîòå h = 1 ì íàä óðîâíåì âîäû (ðèñ. 3.20). Ðàññìàòðèâàÿ ïîâåðõíîñòü âîäû êàê èäåàëüíûé ïðîâîäíèê, îïðåäåëèòü, ïðè êàêîì óãëå a ñïóòíèêà íàä ãîðèçîíòîì äåòåêòîð Ä çàðåãèñòðèðóåò ïåðâûé è âòîðîé ìàêñèìóìû èíòåíñèâíîñòè ñèãíàëà. Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè ãîðèçîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé ïîëÿðèçàöèè. 3.48. Ðàäèîèçëó÷åíèå êîñìè÷åñêîãî èñòî÷íèêà ñ äëèíîé âîëíû l, èìåþùåãî óãëîâîé ðàçìåð y, ïðèíèìàåòñÿ ãîðèçîíòàëüíûì âèáðàòîðîì, ñëóæàùèì àíòåííîé. Âèáðàòîð ðàñïîëîæåí íà îòâåñíîì áåðåãó íà âûñîòå h íàä óðîâíåì ìîðÿ. Ðàññìàòðèâàÿ ïîâåðõíîñòü âîäû êàê ïëîñêîå çåðêàëî, îïðåäåëèòü, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ èíòåíñèâíîñòü ïðèíèìàåìîãî ñèãíàëà â çàâèñèìîñòè îò óãëà a âîçâûøåíèÿ èñòî÷íèêà íàä ãîðèçîíòîì. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ óãëîâîãî ðàçìåðà èñòî÷íèêà èíòåíñèâíîñòü ïðèíèìàåìîãî ñèãíàëà íå áóäåò çàâèñåòü îò a? Äëÿ ïðîñòîòû ðàñ÷åò ïðîâåñòè äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé a è y. 3.49. Ðàäèîèçëó÷åíèå îò òî÷å÷íîãî êîñìè÷åñêîãî èñòî÷íèêà ñ äëèíîé âîëíû l = 1 ì, íàõîäÿùåãîñÿ â ïëîñêîñòè ýêâàòîðà, ïðèíèìàåòñÿ ñ ïîìîùüþ äâóõ îäèíàêîâûõ àíòåíí, ðàñïîëîæåííûõ ïî íàïðàâëåíèþ âîñòîê – çàïàä íà ðàññòîÿíèè L = 200 ì äðóã îò äðóãà. Íà âõîäíîé êîíòóð ïðèåìíèêà ïîäàåòñÿ ñóììà ñèãíàëîâ, ïðèõîäÿùèõ îò îáåèõ àíòåíí ïî êàáåëÿì îäèíàêîâîé äëèíû. Êàê ìåíÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ Çåìëè àìïëèòóäà íàïðÿæåíèÿ U0 íà âõîäíîì êîíòóðå ïðèåìíèêà? 3.50. Íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï1 ïëàâàåò î÷åíü òîíêàÿ ëèíçà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï < ï1, ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû êîòîðîé óêàçàíû íà ðèñ. 3.21. Ðàññ÷èòàòü, êàl

Ä

l

a

2a

R1

h a R2 Ð è ñ. 3.20

58

Ð è ñ. 3.21

êàÿ êàðòèíà áóäåò âèäíà â îòðàæåííîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîì ñâåòå ñ äëèíîé âîëíû l, åñëè ñìîòðåòü íà ëèíçó ñâåðõó. 3.51. Íàéòè ðàññòîÿíèå Dl ìåæäó äâàäöàòûì è äâàäöàòü ïåðâûì ñâåòëûìè êîëüöàìè Íüþòîíà, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó âòîðûì è òðåòüèì ðàâíî 1 ìì, à êîëüöà íàáëþäàþòñÿ â îòðàæåííîì ñâåòå. 3.52. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû, ïðèìåíåííîé äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîëåö Íüþòîíà, åñëè ðàäèóñ òðåòüåãî ñâåòëîãî êîëüöà ðàâåí 1,1 ìì, ï = 1,6, l = 5890 Å. Êîëüöà íàáëþäàþòñÿ â îòðàæåííîì ñâåòå. 3.53. Ïðè íàáëþäåíèè êîëåö Íüþòîíà â îòðàæåííîì ñèíåì ñâåòå (lñ = 4500 Å) ñ ïîìîùüþ ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû, ïîëîæåííîé íà ïëîñêóþ ïëàñòèíêó, ðàäèóñ òðåòüåãî ñâåòëîãî êîëüöà îêàçàëñÿ ðàâíûì 1,06 ìì. Ïîñëå çàìåíû ñèíåãî ñâåòîôèëüòðà íà êðàñíûé áûë èçìåðåí ðàäèóñ ïÿòîãî ñâåòëîãî êîëüöà, îêàçàâøèéñÿ ðàâíûì 1,77 ìì. Íàéòè ðàäèóñ êðèâèçíû R ëèíçû è äëèíó âîëíû lêð êðàñíîãî ñâåòà. 3.54. Ïëîñêîïàðàëëåëüíàÿ ñòåêëÿííàÿ ïëàñòèíêà ëåæèò íà îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé äâîÿêîâûïóêëîé ëèíçû. Ïðè íàáëþäåíèè êîëåö Íüþòîíà â îòðàæåííîì ñâåòå íàòðèåâîé ãîðåëêè (l = 5890 Å) íàéäåíî, ÷òî ðàäèóñ òåìíîãî êîëüöà ïîðÿäêà ò = 20 (öåíòðàëüíîìó òåìíîìó êîëüöó ñîîòâåòñòâóåò ò = 0) ðàâåí r1 = 2 ìì. Êîãäà ïëàñòèíêà áûëà ïîëîæåíà íà äðóãóþ ïîâåðõíîñòü ëèíçû, ðàäèóñ òåìíîãî êîëüöà òîãî æå ïîðÿäêà ñòàë ðàâíûì r2 = 4 ìì. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû, åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà, èç êîòîðîãî îíà èçãîòîâëåíà, ï = 1,5. 3.55. Íàéòè ðàäèóñ r öåíòðàëüíîãî òåìíîãî ïÿòíà êîëåö Íüþòîíà, åñëè ìåæäó ëèíçîé è ïëàñòèíêîé íàëèò áåíçîë (ï = 1,5). Ðàäèóñ êðèâèçíû ëèíçû R = 1 ì. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ëèíçû è ïëàñòèíêè îäèíàêîâû. Íàáëþäåíèå âåäåòñÿ â îòðàæåííîì íàòðèåâîì ñâåòå (l = 5890 Å). 3.56. Êîëüöà Íüþòîíà ïîëó÷àþòñÿ ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîâûïóêëûìè ëèíçàìè, ïðèæàòûìè äðóã ê äðóãó ñâîèìè âûïóêëûìè ïîâåðõíîñòÿìè. Íàéòè ðàäèóñ r m-ãî òåìíîãî êîëüöà, åñëè äëèíà ñâåòîâîé âîëíû ðàâíà l, à ðàäèóñû êðèâèçíû âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé ëèíç ðàâíû R1 è R2. Íàáëþäåíèå âåäåòñÿ â îòðàæåííîì ñâåòå. 3.57. Äâå òîíêèå ñèììåòðè÷íûå ëèíçû (îäíà äâîÿêîâûïóêëàÿ, äðóãàÿ äâîÿêîâîãíóòàÿ) ïðèëîæåíû âïëîòíóþ äðóã ê äðóãó (ðèñ. 3.22) òàê, ÷òî ìåæäó íèìè âîçíèêàåò êîíòàêò, âîêðóã êîòîðîãî â îòðàæåííîì ñâåòå íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà (êîëüöà Íüþòîíà). Îïðåäåëèòü îïòè÷åñêóþ ñèëó ñèñòåìû èç äâóõ ëèíç, åñëè èçÐ è ñ. 3.22 âåñòíî, ÷òî ðàäèóñ âîñüìîãî òåìíîãî êîëüöà 59

r = 4 ìì ïðè äëèíå âîëíû ñâåòà l = 0,5 ìêì. Êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà îáåèõ ëèíç ï = 1,5. 3.58.  óñòàíîâêå äëÿ íàáëþäåíèÿ êîëåö Íüþòîíà (ðèñ. 3.23) ïëîñêîâûïóêëàÿ ëèíçà ïîäâèæíà è ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê ïëàñòèíêå. Îïèñàòü, ÷òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ êîëüöàìè Íüþòîíà ïðè óäàëåíèè è ïðèáëèæåíèè ëèíçû ê ïëàñòèíêå. Êîëüöà ïîëó÷àÐ è ñ. 3.23 þòñÿ ñ ïîìîùüþ ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà. 3.59. Îïèñàòü, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ ðåçêîñòü êîëåö Íüþòîíà ïðè ïåðåìåùåíèè ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê ïëàñòèíêå. Êîëüöà íàáëþäàþòñÿ â îòðàæåííîì ñâåòå D-ëèíèè íàòðèÿ. Ó÷åñòü, ÷òî D-ëèíèÿ íàòðèÿ íå ìîíîõðîìàòè÷íà, à ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå áëèçêèå ñïåêòðàëüíûå ëèíèè ñ l1 = 5890 Å è l2 = 5896 Å. 3.60. Ïëîñêîâûïóêëàÿ ñòåêëÿííàÿ ëèíçà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ ñîïðèêàñàåòñÿ ñî ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé. Ðàäèóñ êðèâèçíû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû R, äëèíà âîëíû ñâåòà l. Íàéòè øèðèíó Dr êîëüöà Íüþòîíà â çàâèñèìîñòè îò åãî ðàäèóñà r â îáëàñòè, ãäå Dr << r. 3.61. Äâå ñîïðèêàñàþùèåñÿ òîíêèå ñèììåòðè÷íûå ñòåêëÿííûå ëèíçû, äâîÿêîâûïóêëàÿ è äâîÿêîâîãíóòàÿ, îáðàçóþò ñèñòåìó ñ îïòè÷åñêîé ñèëîé Ô = 0,50 äïòð.  ñâåòå ñ l = 0,61 ìêì, îòðàæåííîì îò ýòîé ñèñòåìû, íàáëþäàþò êîëüöà Íüþòîíà. Îïðåäåëèòü: à) ðàäèóñ äåñÿòîãî òåìíîãî êîëüöà; á) êàê èçìåíèòñÿ ðàäèóñ ýòîãî êîëüöà, åñëè ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ëèíçàìè çàïîëíèòü âîäîé? 3.62. Ñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû ñîïðèêàñàåòñÿ ñî ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé. Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ëèíçîé è ïëàñòèíêîé çàïîëíåíî ñåðîóãëåðîäîì. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ëèíçû, ñåðîóãëåðîäà è ïëàñòèíêè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû n1 = 1,50, n2 = 1,63, n3 = 1,70. Ðàäèóñ êðèâèçíû ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû R = 100 ñì. Îïðåäåëèòü ðàäèóñ ïÿòîãî òåìíîãî êîëüöà Íüþòîíà â îòðàæåííîì ñâåòå ñ l = 0,50 ìêì. 3.63. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà (êîëüöà Íüþòîíà) íàáëþäàåòñÿ â ïðîõîäÿùåì ñâåòå. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ëèíçû è ïëàñòèíêè ðàâåí n = 1,5. Íàéòè îòíîøåíèå èíòåícèâíîñòåé Imax / Imin ñâåòà â ìàêñèìóìå è ìèíèìóìå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Ìîæíî ëè óâèäåòü êàðòèíó íåâîîðóæåííûì ãëàçîì, åñëè êîíòðàñòíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ãëàçà ðàâíà 0,05? 3.64. Òîíêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ äâîÿêîâûïóêëàÿ ëèíçà ñëîæåíà ñ òîíêîé ñèììåòðè÷íîé äâîÿêîâîãíóòîé ëèíçîé òàê, ÷òî â íåêîòîðîé òî÷êå îíè ñîïðèêàñàþòñÿ. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ îáåèõ ëèíç ðàâåí n = 1,6. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ â îòðàæåííîì ñâå60

òå íà äëèíå âîëíû l = 0,6 ìêì. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ñèñòåìû ëèíç, åñëè ðàäèóñ ïÿòîãî ñâåòëîãî êîëüöà r = 2 ìì. 3.65.  îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ ïîòåðè ñâåòà ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ïðèáîð ïðîèñõîäÿò ãëàâíûì îáðàçîì âñëåäñòâèå îòðàæåíèÿ ñâåòà îò ïîâåðõíîñòåé îïòè÷åñêèõ äåòàëåé. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ïîâåðõíîñòíîé ïðîçðà÷íîñòè ñòåêëà åãî ïîâåðõíîñòü ïîêðûâàþò òîíêîé ïëåíêîé, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîé ìåíüøå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà. Êàêîâû äîëæíû áûòü òîëùèíà è ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëåíêè, ÷òîáû îòðàæàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ñòåêëà îáðàòèëàñü â íóëü? 3.66. Äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîòåðü ñâåòà íà îòðàæåíèå îò ïîâåðõíîñòè ñòåêëà åãî ïîêðûâàþò òîíêèì ñëîåì âåùåñòâà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n¢ = n, ãäå n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà.  ýòîì ñëó÷àå àìïëèòóäû ñâåòîâûõ êîëåáàíèé, îòðàæåííûõ îò îáåèõ ïîâåðõíîñòåé òàêîãî ñëîÿ, áóäóò îäèíàêîâû. Ïðè êàêîé òîëùèíå ýòîãî ñëîÿ îòðàæàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ñòåêëà â íàïðàâëåíèè íîðìàëè áóäåò ðàâíà íóëþ äëÿ ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l. 3.67. Êàêîé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ äîëæåí èìåòü ìàòåðèàë ïðîñâåòëÿþùåãî ïîêðûòèÿ äëÿ ïîâåðõíîñòè ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,52? 3.68. Äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ïðîçðà÷íûõ âåùåñòâ èñïîëüçóåòñÿ èíòåðôåðîìåòð, ñõåìà êîòîðîãî ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 3.24. Çäåñü S – óçêàÿ ùåëü, îñâåùàåìàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì ñ l = 589 íì, 1 è 2 – îäèíàêîâûå òðóáêè ñ âîçäóõîì, äëèíà êàæäîé l = 10 ñì, D – äèàôðàãìà ñ äâóìÿ ùåëÿìè. Ïðè çàìåíå âîçäóõà â òðóáêå 1 íåêîòîðûì ãàçîì èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íà ýêðàíå ñìåñòèëàñü ââåðõ íà 17 ïîëîñ. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà n = = 1,000277. Îïðåäåëèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ãàçà. 3.69.  èíòåðôåðîìåòðå Ðýëåÿ ïëîñêàÿ âîëíà èñïûòûâàåò äèôðàêöèþ íà äâóõ ùåëÿõ. Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 100 ñì (ðèñ. 3.25). Îäíó èç ùåëåé çàêðûâàþò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêîé äèñïåðãèðóþùåãî âåùåñòâà òîëùèíîé h = 0,01 ìì ñ çàêîíîì äèñ1

D

S 2

Ð è ñ. 3.24

61

f

Ý

l

d

S

P

h Ð è ñ. 3.25

Ð è ñ. 3.26

ïåðñèè n(l) = À – Âl, ãäå À è  – íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Ïðè ýòîì áåëàÿ (àõðîìàòè÷åñêàÿ) ïîëîñà ñìåùàåòñÿ íà ðàññòîÿíèå l = 4 ìì. Îïðåäåëèòü ïîñòîÿííóþ À, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ùåëÿìè d = 1 ñì. 3.70. Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà îò äâóõ ìàëûõ îòâåðñòèé â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå íàáëþäàåòñÿ â òî÷êå Ð (ðèñ. 3.26). Ïîçàäè îòâåðñòèé íà ïóòè ëó÷åé ïîñòàâèëè äâå îäèíàêîâûå êþâåòû, íàïîëíåííûå âîçäóõîì ïðè îäèíàêîâîì íà÷àëüíîì äàâëåíèè. Ïðè èçìåíåíèè äàâëåíèÿ â îäíîé èç êþâåò èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà â òî÷êå Ð èìååò îñöèëëèðóþùèé õàðàêòåð. Îïðåäåëèòü ðàçíîñòü äàâëåíèé Dp ãàçà â êþâåòàõ, ïðè êîòîðîé àìïëèòóäà îñöèëëÿöèè ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ, åñëè ïåðâûé ìèíèìóì èíòåíñèâíîñòè íàñòóïàåò ïðè ðàçíîñòè äàâëåíèé Dp1 = 10–3 ìì ðò.ñò. Ñïåêòð èçëó÷åíèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ðàâíîìåðåí â ïîëîñå Dw è èìååò îòíîñèòåëüíóþ øèðèíó Dw/w = 10–5. 3.71. Èñòî÷íèêîì îñâåùåíèÿ â èíòåðôåðîìåòðå Ìàéêåëüñîíà ÿâëÿåòñÿ ëàçåð, ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ êîòîðîãî ïåðåñòðàèâàåòñÿ âî D âðåìåíè ïî ëèíåéíîìó çàêîíó w = w0(1 + at). Ðàçíîñòü õîäà â ïëå÷àõ èíòåðôåðîìåòðà L = 1 ì. Äëèíà âîëíû l0 = 1 ìêì, à = 0,1 ñ–1. Êàêîâà ÷àñòîòà èçìåíåíèÿ òîêà ôîòîïðèåìíèêà, ðåãèñòðèðóþùåS D ãî èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó. 3.72. Îöåíèòü íåòî÷íîñòü, êîòîðóþ ìîæíî äîïóñòèòü ïðè óñòàíîâêå óãëîâ íàêëîíà çåðêàë â èíòåðôåðîìåòðå Ìàéêåëüñîíà (ðèñ. 3.27), ÷òîáû ìîæíî áûëî íàáëþäàòü ïîëîñû ðàâíîãî íàêëîíà. Øèðèíà çåðêàë D = 5 ñì, äëèíà âîëíû ñâåòà l = 0,55 ìêì. Ð è ñ. 3.27 62

3.73. Íàéòè ðàçíîñòü äëèí âîëí D-ëèíèé íàòðèÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ðåçêîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû, íàáëþäàåìîé â èíòåðôåðîìåòðå ñ äâóìÿ ëó÷àìè, ìèíèìàëüíà ó 490-é, 1470-é è ò. ä., à ìàêñèìàëüíà ó 1-é, 980-é è ò. ä. ïîëîñ. Ñðåäíÿÿ äëèíà âîëíû D-ëèíèé l = 5893 Å. 3.74. Èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ðàâíîãî íàêëîíà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû Ë (ðèñ. 3.28) ïîëó÷àþòñÿ ïðè îòðàæåíèè îò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè Ï, îñâåùàåìîé ìîíîõðîìàòè÷åñêèì èñòî÷íèêîì ñâåòà S. Ïðÿìîé ñâåò èñòî÷íèêà íà ëèíçó íå ïîïàäàåò. Äëèíà ñâåòîâîé âîëíû l = 6000 Å, òîëùèíà ïëàñòèíêè d = 1,6 ìì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ï = 1,5, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû f = 40 ñì. Íàéòè ðàäèóñ ïåðâîãî âèäèìîãî íà ýêðàíå Ý òåìíîãî èíòåðôåðåíöèîííîãî êîëüöà, åñëè öåíòð êîëåö òåìíûé. Êàêîâà ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìàÿ øèðèíà Dl ëèíèè, îñâåùàþùåé ïëàñòèíêó, ÷òîáû ïðè óêàçàííûõ ïàðàìåòðàõ ñõåìû ìîæíî áûëî íàáëþäàòü èíòåðôåðåíöèîííûå êîëüöà? 3.75. Ñêîëüêî òåìíûõ êîëåö N ìîæíî íàáëþäàòü â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, åñëè äèàìåòð ëèíçû D = 8 ñì, à èñòî÷íèê S ïîìåùåí ïîñåðåäèíå ìåæäó ëèíçîé è ïëàñòèíêîé íà ðàññòîÿíèè l îò ëèíçû? Êàêîâà äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíàÿ òîëùèíà ïëàñòèíêè, ÷òîáû â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ìîæíî áûëî ïîëó÷èòü ïî êðàéíåé ìåðå îäíî òåìíîå êîëüöî? 3.76.  îäíî èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà âìåñòî îòðàæàþùåãî çåðêàëà ïîìåùåíà íåïîãëîùàþùàÿ ïëàñòèíà Ï ñ ïîëóïðîçðà÷íîé ïåðåäíåé è çåðêàëüíîé çàäíåé ñòåíêàìè (ðèñ. 3.29). Òîëùèíà ïëàñòèíû d = 2 ìì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n = 5, ñïåêòð ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ ïðîñòèðàåòñÿ îò íóëÿ äî 110 ÃÃö. Ïðè ïåðåìåùåíèè çåðêàëà âî âòîðîì ïëå÷å äåòåêòîð ðåãèñòðèðóåò ðÿä ïèêîâ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ. Êàêîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó ïèêàìè â åäèíèöàõ äëèíû ïåðåìåùåíèÿ çåðêàëà? Ý f Ë Ï S d

Ï Ð è ñ. 3.28

Ð è ñ. 3.29 63

3.77. Íàéòè îòíîñèòåëüíîå ñìåùåíèå Dl/l èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ïëàñòèíêè Ëþììåðà – Ãåðêå, ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû íà 1 °Ñ. Òîëùèíà ïëàñòèíêè h = 2 ñì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ï = 1,5, òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ñòåêëà a = 8,5 × 10–6 Ê–1, äëèíà âîëíû ñâåòà l = 500 íì. Çàâèñèìîñòüþ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ îò òåìïåðàòóðû ïðåíåáðå÷ü. 3.78. Ïðè îñâåùåíèè ýòàëîíà Ôàáðè – Ïåðî ðàñõîäÿùèìñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì ñ äëèíîé âîëíû l â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, óñòàíîâëåííîé çà ýòàëîíîì, âîçíèêàåò èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà – ñèñòåìà êîíöåíòðè÷åñêèõ êîëåö. Òîëùèíà ýòàëîíà d. Îïðåäåëèòü, êàê çàâèñèò îò ïîðÿäêà èíòåðôåðåíöèè ðàñïîëîæåíèå êîëåö è óãëîâàÿ øèðèíà ïîëîñ èíòåðôåðåíöèè. Íàéòè äëÿ ýòàëîíà, òîëùèíà êîòîðîãî d = 2,5 ñì, ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l = 0,50 ìêì; äèñïåðñèîííóþ îáëàñòü Dl, ò. å. ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë äëèí âîëí, äëÿ êîòîðîãî åùå íåò ïåðåêðûòèÿ ñ äðóãèìè ïîðÿäêàìè èíòåðôåðåíöèè, åñëè íàáëþäåíèå âåäåòñÿ âáëèçè l = 0,50 ìêì.

Òåìà 4 ÄÈÔÐÀÊÖÈß ÑÂÅÒÀ. ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÛÅ ÏÐÈÁÎÐÛ È ÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÈ Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ äèôðàêöèè ñâåòà. 2. Êàê ñîãëàñîâàòü ÿâëåíèå äèôðàêöèè ñ ïðÿìîëèíåéíûì ðàñïðîñòðàíåíèåì ñâåòà? 3. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèíöèï Ãþéãåíñà – Ôðåíåëÿ.  ÷åì çàêëþ÷àþòñÿ äîïóñêàåìûå ïðèáëèæåíèÿ? Çàïèøèòå äèôðàêöèîííûé èíòåãðàë Ôðåíåëÿ. 4. Ïðèìåíèâ ïðèíöèï Ãþéãåíñà – Ôðåíåëÿ äëÿ ñëó÷àÿ ïàäåíèÿ ïëîñêîé âîëíû íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ ñðåä, ïîëó÷èòå çàêîí îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà. 5. Îïèøèòå ñâîáîäíîå ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòîâîé âîëíû. ×òî òàêîå íîðìèðîâàííûé èíòåãðàë Ôðåíåëÿ? 6. Èçëîæèòå èäåþ çîí Ôðåíåëÿ è ïðîâåäèòå àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïðè äèôðàêöèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí íà êðóãëîì îòâåðñòèè. 7. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿþò çîíû Ôðåíåëÿ? Êàêîâà èõ ïëîùàäü è ðàäèóñû? 8. Ïðèìåíèòå ìåòîä çîí Ôðåíåëÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äèôðàêöèè íà ïðîñòåéøèõ ïðåïÿòñòâèÿõ. 9. Êàê âûáèðàåòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ ïîâåðõíîñòü ïðè íàõîæäåíèè äèôðàêöèîííîé êàðòèíû îò îòâåðñòèÿ â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå? Çàâèñèò ëè ðåçóëüòàò îò âûáîðà ýòîé ïîâåðõíîñòè? 10. Îñâåùåííîñòü â òî÷êå çà êðóãëûì îòâåðñòèåì, îòêðûâàþùèì îäíó çîíó Ôðåíåëÿ, ïðèìåðíî â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì ïðè ïîëíîñòüþ îòêðûòîì âîëíîâîì ôðîíòå. Åñëè óâåëè÷èòü âäâîå ïëîùàäü îòâåðñòèÿ, îñâåùåííîñòü â äàííîé òî÷êå óìåíüøèòñÿ ïî÷òè äî íóëÿ, íåñìîòðÿ íà óäâîåíèå ñâåòîâîãî ïîòîêà. Êàê ñîãëàñîâàòü ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ýòè ôàêòû? 11.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì â ïðèìåíåíèè ê çàäà÷àì äèôðàêöèè? Ðàññìîòðèòå òàêèì ìåòîäîì äèôðàêöèþ ñâåòà íà êðóãëîì îòâåðñòèè. 12. Ïðèìåíèòå ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì äëÿ îïèñàíèÿ äèôðàêöèè íà êðóãëîì ýêðàíå, íà ïðÿìîëèíåéíîì êðàå ïîëóáåñêîíå÷íîãî ýêðàíà. 13. ×åì îáóñëîâëåíî ðàçëè÷èå âåêòîðíûõ äèàãðàìì äëÿ äèôðàêöèè íà ïðÿìîëèíåéíîì êðàå ýêðàíà è íà êðóãëîì îòâåðñòèè. 65

14. Êàê ñ ïîìîùüþ ñïèðàëè Êîðíþ íàéòè âåêòîð, èçîáðàæàþùèé ñâåòîâîå êîëåáàíèå â òî÷êå íàáëþäåíèÿ, ëåæàùåé â îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè, â îñâåùåííîé îáëàñòè? Êàê îáúÿñíÿåòñÿ îñíîâíîå ðàçëè÷èå â ðàñïðåäåëåíèè èíòåíñèâíîñòè äëÿ ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ? 15. Êàê çàâèñèò èíòåíñèâíîñòü ïÿòíà Ïóàññîíà îò ðàññòîÿíèÿ äî íåïðîçðà÷íîãî ýêðàíà? 16. Ïîêàæèòå ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîé äèàãðàììû, ÷òî îñâåùåííîñòü â öåíòðå ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè êðóãëîãî äèñêà, ïåðåêðûâàþùåãî íåáîëüøîå ÷èñëî çîí Ôðåíåëÿ, ïî÷òè òàêàÿ æå, êàê è â îñâåùåííîé îáëàñòè. 17. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò çîííàÿ ïëàñòèíêà? ×åìó ðàâíû åå ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ? 18. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå äëÿ çîííîé ïëàñòèíêè è äîêàæèòå åå ôîêóñèðóþùåå äåéñòâèå. Óâÿæèòå ýòè ðåçóëüòàòû ñ ôîêóñèðóþùèì äåéñòâèåì ëèíçû. 19. Âî ñêîëüêî ðàç îñâåùåííîñòü â ãëàâíîì ôîêóñå çîííîé ïëàñòèíêè áîëüøå, ÷åì â ôîêóñå n-ãî ïîðÿäêà? 20. Ïî÷åìó èíòåíñèâíîñòü â ôîêóñàõ çîííîé ïëàñòèíêè ìàêñèìàëüíà äëÿ ñàìîãî äàëüíåãî îò ïëàñòèíêè ôîêóñà? 21. Íà îòâåðñòèå äèàìåòðîì d ïàäàåò ïëîñêàÿ âîëíà ñ äëèíîé âîëíû l. Êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà íà îñè îòâåðñòèÿ íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè b ïðè èçìåíåíèè äèàìåòðà îòâåðñòèÿ? 22. Êàêîâà èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â öåíòðå äèôðàêöèîííîé êàðòèíû îò êðóãëîãî ýêðàíà, åñëè îí çàêðûâàåò âñþ ïåðâóþ çîíó? Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â îòñóòñòâèå ýêðàíà I0. 23. Êàêîâà èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â ôîêóñå çîííîé ïëàñòèíêè, åñëè çàêðûòü âñå çîíû, êðîìå ïåðâîé? Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà áåç ïëàñòèíêè I0. 24. Ñðàâíèòå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà â ôîêóñàõ íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêîâ äëÿ çîííîé ïëàñòèíêè. 25. Ïåðå÷èñëèòå îñíîâíûå òðóäíîñòè ìåòîäà çîí Ôðåíåëÿ. 26. Ñôîðìóëèðóéòå îñíîâíîå óñëîâèå ïåðåõîäà îò âîëíîâîé ê ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêå. Êàê íóæíî âûáðàòü óñëîâèÿ îïûòà, ÷òîáû ïðîÿâèëàñü âîëíîâàÿ ïðèðîäà ñâåòà? 27.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ïðèíöèï ïîäîáèÿ äèôðàêöèîííûõ êàðòèí? 28. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó äèôðàêöèîííûå ïîëîñû íåëüçÿ íàáëþäàòü ïðè ïðîòÿæåííîì èëè ïðè íåìîíîõðîìàòè÷åñêîì èñòî÷íèêå ñâåòà. 29. Êàêèå òðóäíîñòè ïðèíöèïèàëüíîãî õàðàêòåðà ïðèñóùè ïðèáëèæåííîìó ìåòîäó ðåøåíèÿ äèôðàêöèîííûõ çàäà÷ íà îñíîâå ïðèíöèïà Ãþéãåíñà – Ôðåíåëÿ? 30. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïðèñóùèå ìåòîäó Ôðåíåëÿ òðóäíîñòè ñòàíîâÿòñÿ íåñóùåñòâåííûìè, è îí ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòàì, ñîãëàñóþùèìñÿ ñ îïûòîì? 66

31. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïðîèñõîäèò äèôðàêöèÿ Ôðåíåëÿ, äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà? 32. Íàðèñóéòå îïûòíóþ ñõåìó íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà è îáúÿñíèòå íàçíà÷åíèå âñåõ åå ýëåìåíòîâ. 33. Îïèøèòå äèôðàêöèþ Ôðàóíãîôåðà íà îäíîé ùåëè. 34. Êàêîâû äîëæíû áûòü ýêñïåðèìåíòàëüíûå óñëîâèÿ äëÿ íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà óçêîé ùåëè? 35. Êàê áåç âû÷èñëåíèé ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå, îïðåäåëÿþùåå íàïðàâëåíèå íà ïåðâûé ìèíèìóì ïðè äèôðàêöèè íà ùåëè? 36. Ìîæíî ëè êàêèì-ëèáî ñïîñîáîì ïîëó÷èòü óçêèé ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà? 37. Êàêîé âèä èìååò ôðàóíãîôåðîâà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè ïëîñêîé âîëíû íà ùåëü? 38. Êàê èçìåíèòñÿ ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå Ôðàóíãîôåðà îò îòâåðñòèÿ, åñëè îòâåðñòèå ñìåñòèòü â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè? 39. Ðàññìîòðèòå äèôðàêöèþ ñâåòà íà ïðÿìîóãîëüíîì è êðóãëîì îòâåðñòèÿõ. Ïðè êàêèõ èçìåðåíèÿõ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ýòè ÿâëåíèÿ? 40. Ðàçáåðèòå ïîíÿòèÿ äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè è îöåíèòå ýòè ÿâëåíèÿ äëÿ ëàçåðà è òåïëîâîãî èñòî÷íèêà ñâåòà. 41. ×åì îòëè÷àþòñÿ äèôðàêöèîííûå êàðòèíû îò áîëüøîãî ÷èñëà îäèíàêîâûõ ïðåïÿòñòâèé ïðè èõ õàîòè÷åñêîì è óïîðÿäî÷åííîì ðàñïîëîæåíèÿõ? 42. Ðàññìîòðèòå äèôðàêöèþ íà ïðàâèëüíîé ñòðóêòóðå ùåëåé. Ïîëó÷èòå ôîðìóëó äëÿ èíòåíñèâíîñòè ñâåòà ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ àìïëèòóäíîé äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. 43. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà. Çàïèøèòå ôîðìóëó ðåøåòêè. 44. Îïèøèòå äåéñòâèå äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. 45. Ðàññìîòðèòå îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè äèôðàêöèîííîãî ñïåêòðàëüíîãî àïïàðàòà. 46. Îò êàêèõ ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó, çàâèñèò ïîëîæåíèå ãëàâíûõ ìàêñèìóìîâ äèôðàêöèîííîé êàðòèíû? 47. Êàêîâà íàèáîëüøàÿ èíòåíñèâíîñòü ïîáî÷íûõ ìàêñèìóìîâ â ñïåêòðå äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè? 48. Êàêèì óñëîâèåì îïðåäåëÿåòñÿ íàèáîëüøèé ïîðÿäîê ñïåêòðà ðåøåòêè? 49. Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ äëèíó âîëíû ìîæíî íàáëþäàòü â ñïåêòðå ðåøåòêè ñ ïåðèîäîì d? 50. Ââåäèòå îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè êàê ñïåêòðàëüíîãî àïïàðàòà. 51. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå äëÿ äèñïåðñèè äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè è ïðèçìû. 67

52. ×åì îáúÿñíÿåòñÿ áîëüøàÿ äèñïåðñèîííàÿ îáëàñòü äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè? 53.  ÷åì ïðåèìóùåñòâî ñïåêòðîâ íèçêèõ ïîðÿäêîâ ïðè èñïîëüçîâàíèè äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè â êà÷åñòâå äèñïåðãèðóþùåãî ýëåìåíòà? 54. Ïðè êàêîì îòíîøåíèè øèðèíû ùåëè ê ïåðèîäó ðåøåòêè â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå áóäåò îòñóòñòâîâàòü ñïåêòð 3-ãî ïîðÿäêà? 55. Îïèøèòå õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå Ôðàóíãîôåðà ïðè äèôðàêöèè ïëîñêîé âîëíû íà àìïëèòóäíîé ðåøåòêå. Ðàññìîòðèòå ñëó÷àé, êîãäà ïîñòîÿííàÿ d ðàâíà: 1) óäâîåííîé, 2) óòðîåííîé, 3) ó÷åòâåðåííîé øèðèíå ùåëè b. 56. Ñðàâíèòå îòíîñèòåëüíóþ èíòåíñèâíîñòü ãëàâíûõ äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ äëÿ àìïëèòóäíîé äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. 57. Äëÿ ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ðåøåòêó èç N ùåëåé, èíòåíñèâíîñòü ãëàâíûõ ìàêñèìóìîâ â N2 ðàç áîëüøå, ÷åì îò îäíîé ùåëè. Êàê ñîãëàñîâàòü ýòîò ôàêò ñ òåì, ÷òî îáùèé ïîòîê ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ðåøåòêó, âîçðîñ â N ðàç? 58. Êàêèì ïðåèìóùåñòâîì îáëàäàþò ðåøåòêè ñ ïðîôèëèðîâàííûì øòðèõîì? 59. Êàê ñâÿçàíî ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè äèôðàãèðîâàâøåãî ñâåòà ïî ñïåêòðàì ðàçíûõ ïîðÿäêîâ ñ ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè ïðîïóñêàíèÿ àìïëèòóäíîé ðåøåòêè â ðÿä Ôóðüå? 60. Íàçîâèòå îñíîâíûå ýëåìåíòû ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà. 61. Êàêèå ôóíêöèè âûïîëíÿþò äèñïåðãèðóþùèé ýëåìåíò, êîëëèìàòîðíûé è êàìåðíûé îáúåêòèâû ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà? 62. Êàêèå ïðè÷èíû âûçûâàþò óøèðåíèå íàáëþäàåìîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ïðè ðåãèñòðàöèè ïðèáîðîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, ÷òî íàçûâàåòñÿ àïïàðàòíîé ôóíêöèåé ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà? 63. Êàêîé âèä èìåþò àïïàðàòíûå ôóíêöèè äëÿ ïðèçìåííîãî è äèôðàêöèîííîãî ñïåêòðîãðàôîâ ñ óçêîé âõîäíîé ùåëüþ, äëÿ èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî? 64. Êàêèì áóäåò èíñòðóìåíòàëüíûé êîíòóð ïðè îäíîâðåìåííîì äåéñòâèè äâóõ íåçàâèñèìûõ ïðè÷èí óøèðåíèÿ, äåéñòâèÿ êîòîðûõ îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè f1(j) è f2(j)? 65. Êàê ñâÿçàí ðåãèñòðèðóåìûé ïðèáîðîì ñïåêòð ñ èñòèííûì ñïåêòðàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì èññëåäóåìîãî èçëó÷åíèÿ? 66. Ââåäèòå ïîíÿòèå ðàçðåøàþùåé ñèëû ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðîâ è ïîëó÷èòå âûðàæåíèå äëÿ ðàçðåøàþùåé ñèëû äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. Êàêèå óñëîâèÿ îïûòà îãðàíè÷èâàþò âîçìîæíîñòü äîñòèæåíèÿ òåîðåòè÷åñêîé ðàçðåøàþùåé ñèëû äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè? 67.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ êðèòåðèé Ðýëåÿ è êàêèå âîçìîæíîñòè èìåþòñÿ äëÿ ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñèëû âûøå ýòîãî êðèòåðèÿ? ×òî òàêîå àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà? 68. ×òî çíà÷èò, ÷òî êðèòåðèé ðàçðåøåíèÿ Ðýëåÿ èìååò óñëîâíûé õàðàêòåð? 68

69. Îò êàêèõ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ ïðèçìó, çàâèñèò ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ïðèçìåííîãî ñïåêòðîãðàôà? Ïî÷åìó ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ìàêñèìàëüíà ïðè ñèììåòðè÷íîé óñòàíîâêå ïðèçìû? 70. ×åìó ðàâíà ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè ñ N øòðèõàìè â ñïåêòðå ïîðÿäêà m? Êàêèì ïàðàìåòðîì ðåøåòêè îïðåäåëÿåòñÿ íàèáîëüøàÿ ðàçðåøàþùàÿ ñèëà äëÿ äëèíû âîëíû l? 71. Êàêèå ïàðàìåòðû èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî îïðåäåëÿþò åãî ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü? 72. Îöåíèòå ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü òåëåñêîïà è ìèêðîñêîïà. 73. Äëÿ ÷åãî íóæåí áîëüøîé äèàìåòð îáúåêòèâà òåëåñêîïà? Êàê ìîæíî ïîâûñèòü ðàçðåøàþùóþ ñèëó òåëåñêîïà, îöåíåííóþ ïî êðèòåðèþ Ðýëåÿ? 74. Îöåíèòå ðàçðåøàþùóþ ñèëó ìèêðîñêîïà ïðè êîãåðåíòíîì è íåêîãåðåíòíîì îñâåùåíèè îáúåêòà. 75. Îïèøèòå äèôðàêöèþ ñâåòà íà äâóõìåðíîé è òðåõìåðíîé ñòðóêòóðå. Ïî÷åìó òðåõìåðíàÿ ðåøåòêà ÿâëÿåòñÿ óçêîïîëîñíûì ôèëüòðîì? Ãäå èñïîëüçóåòñÿ ýòî ÿâëåíèå? 76. Äàéòå îïðåäåëåíèå äèôðàêöèîííîé äëèíû ñâåòîâîãî ïó÷êà. ×òî òàêîå áëèæíÿÿ è äàëüíÿÿ çîíû äèôðàêöèè? 77.  ÷åì ñóòü òåîðèè äèôðàêöèè Êèðõãîôà? 78. Ïîëó÷èòå ôîðìóëó òåîðèè äèôðàêöèè â ïðèáëèæåíèè Êèðõãîôà. 79. Ðàññìîòðèòå äèôðàêöèþ â äàëüíåé çîíå – äèôðàêöèþ Ôðàóíãîôåðà. 80. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïðèìåíÿòü ôîðìóëó Ãðèíà? 81. Êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ? 82. Êàêîâû óñëîâèÿ ïðèìåíåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ? 83. ×åì îòëè÷àþòñÿ äèôðàêöèÿ Ôðåíåëÿ è äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà?  êàêèõ çîíàõ îíè îñóùåñòâëÿþòñÿ? 84. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íàáëþäàåòñÿ íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ? 85. ×åì îáóñëîâëåíà âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ñêàëÿðíîé òåîðèè Êèðõãîôà ê ðàñ÷åòó âîëíîâîãî ïîëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû? 86. Êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè òåîðèè Êèðõãîôà d >> l? 87. Ïðèìåíèòå ñêàëÿðíóþ òåîðèþ äèôðàêöèè äëÿ ðàñ÷åòà âîëíîâîãî âîçìóùåíèÿ â ñâîáîäíî ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âîëíå. Îáñóäèòå ðåçóëüòàò. 88. Óñëîâèå òîãî, ÷òî ôðåíåëåâà äèôðàêöèÿ íà îòâåðñòèè ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ ôðàóíãîôåðîâîé, çàêëþ÷àåòñÿ, î÷åâèäíî, â òîì, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ ðàçíîñòü ôàç ëó÷åé, èäóùèõ îò ðàçíûõ òî÷åê îòâåðñòèÿ ê ýêðàíó, íà êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà, ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ p. Âûðàçèòü ýòî óñëîâèå ÷åðåç ðàçìåðû îòâåðñòèÿ b, äëèíó âîëíû l è ðàññòîÿíèå L îò ýêðàíà äî ìåñòà íàáëþäåíèÿ. 69

89. Ýêðàí ñ äâóìÿ ùåëÿìè, ðàçäåëåííûìè ðàññòîÿíèåì 0,1 ìì, îñâåùåí êðàñíûì ñâåòîì. Äëÿ êàêîãî ðàññòîÿíèÿ îò ýêðàíà ñïðàâåäëèâî ïðèáëèæåíèå äàëüíåãî ïîëÿ? Ðåøèòå ýòó æå çàäà÷ó, åñëè âìåñòî ùåëåé âçÿòû äâå òðåõñàíòèìåòðîâûå ðàäèîàíòåííû, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè d = 10 ñì. 90. Ïó÷îê ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé èñïûòûâàåò äèôðàêöèîííîå ðàññåÿíèå íà êðèñòàëëå. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò êðèñòàëëà íàäî ïîñòàâèòü ýêðàí, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæåíèåì äàëüíåãî ïîëÿ? 91. Êâàäðàòíàÿ ïðîâîëî÷íàÿ ñåòêà îñâåùàåòñÿ íîðìàëüíî ïàäàþùèì ïó÷êîì ñâåòà, âûõîäÿùèì èç êîëëèìàòîðà. Âõîäíîå îòâåðñòèå êîëëèìàòîðà – óçêàÿ âåðòèêàëüíàÿ ùåëü. Êàêàÿ êàðòèíà áóäåò íàáëþäàòüñÿ íà óäàëåííîì ýêðàíå? ×òî ïðîèçîéäåò, åñëè ùåëü ïîâåðíóòü íà 90o îòíîñèòåëüíî îñè êîëëèìàòîðà? Êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ êàðòèíà, åñëè ùåëü ðàñøèðÿòü? 92. Íàïèøèòå âûðàæåíèå äëÿ ñïåêòðà Ôóðüå ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòîò äëÿ ùåëè øèðèíîé b. 93. Çàïèøèòå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïðîñòðàíñòâåííûìè ÷àñòîòàìè wx è wy ôóíêöèè ïðîïóñêàíèÿ ïðåäìåòà t(x, y) è íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ äèôðàãèðîâàííûõ ïëîñêèõ âîëí. 94. Ðåøåòêà èç N ùåëåé (N ® ¥) îñâåùàåòñÿ íîðìàëüíî ïàäàþùåé ïëîñêîé âîëíîé. Ôóíêöèÿ ïðîïóñêàíèÿ ðåøåòêè èìååò âèä æ 2p ö t(x, y) = t(x) - t 0 cosç x ÷ . Îïèøèòå ïîëå äèôðàãèðîâàííûõ âîëí. è d ø 95.  ïðåäûäóùåé çàäà÷å ôóíêöèÿ ïðîïóñêàíèÿ ðåøåòêè ïî æ 2p ö àìïëèòóäå èìååò âèä t(x) = t 0 + t1 cosç x ÷ . ×òî èçìåíèòñÿ â äèôðàêè d ø öèîííîé êàðòèíå? 96. Ðåøåòêà ïðåäûäóùåé çàäà÷è îñâåùàåòñÿ âîëíîé, âîëíîr âîé âåêòîð êîòîðîé k ñîñòàâëÿåò óãîë j0 ñ íîðìàëüþ è ëåæèò â ïëîñêîñòè (x, y). Îïèøèòå ïîëå äèôðàãèðîâàííûõ âîëí â ýòîì ñëó÷àå. 97. Ùåëè b îäíîìåðíîé ðåøåòêè ñîâñåì ïðîçðà÷íû, à ïðîìåæóòêè a èìåþò êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ b. Òîëùèíà ðåøåòêè íàìíîãî ìåíüøå äëèíû âîëíû. Êàê áóäóò ìåíÿòüñÿ óãëû äèôðàêöèè è èíòåíñèâíîñòè äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ ïðè b ® 1? 98. Ïó÷îê ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé ïàäàåò ïîä óãëîì j0 íà ìîíîêðèñòàëë NaCl, ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè êîòîðîãî d. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ áóäóò íàáëþäàòüñÿ äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû? 99. Ðåøåòêà ñ ïðîçðà÷íûìè ùåëÿìè, ïåðèîäîì d = 1,5×10–4 ñì îñâåùàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì l = 6000 Å ïðè ðàçíûõ óãëàõ ïàäåíèÿ j0. Ïðåäñòàâüòå íà ãðàôèêå óãëîâûå íàïðàâëåíèÿ ãëàâíîãî äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà 1-ãî ïîðÿäêà êàê ôóíêöèþ óãëà j0. 70

100. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñìåæíûìè ùåëÿìè «òðåõùåëåâîé ðåøåòêè» ðàâíî d. Áîëüøå èëè ìåíüøå ñòàíåò ïîëóøèðèíà äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà, åñëè ñðåäíþþ ùåëü çàêðûòü? 101. Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íàáëþäàåòñÿ íà êðóãëûõ äîïîëíèòåëüíûõ ýêðàíàõ äèàìåòðîì D. Íàðèñóéòå âèä äèôðàêöèîííîé êàðòèíû â ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ. 102. Äëÿ íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèîííîé êàðòèíû Ôðàóíãîôåðà îò ùåëè øèðèíîé b èñïîëüçóåòñÿ çðèòåëüíàÿ òðóáà, äàþùàÿ 30õ óâåëè÷åíèå. Ïðè êàêîé ìàêñèìàëüíîé øèðèíå ùåëè íàáëþäàòåëü îò÷åòëèâî óâèäèò äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó? Óãëîâîå ðàçðåøåíèå äëÿ ãëàçà ïðèíÿòü Dj = 2¢, l = 5000 Å. 103. Êàêîâà ìîæåò áûòü ïðåäåëüíàÿ ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè îñâåùàþùåãî ïó÷êà äëÿ íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèîííîé êàðòèíû â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è? 104. Þíãîâñêèå ùåëè øèðèíîé 0,1 ìì îñâåùàþòñÿ ïó÷êîì ëó÷åé (äëèíà âîëíû l), ïðîøåäøèì ÷åðåç äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó ïåðèîäîì d. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ùåëÿìè è ðåøåòêîé L. Ãäå íàäî ïîìåñòèòü ùåëè, ÷òîáû íàáëþäàòü îò÷åòëèâóþ äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó? 105. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ìîæíî íàáëþäàòü çåðêàëüíîå îòðàæåíèå îò øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè ïðè ìàëûõ è áîëüøèõ óãëàõ ïàäåíèÿ? 106. N ñèíôàçíûõ âèáðàòîðîâ îñâåùàþòñÿ ïëîñêîé âîëíîé, óãîë ïàäåíèÿ êîòîðîé ìåíÿåòñÿ îò 0 äî p/2. Ðàññòîÿíèå ìåæäó âèáðàòîðàìè d. Êàê áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñâåò, åñëè d < l? 107. Êàêîâû íàçíà÷åíèå, îáùèé ïðèíöèï óñòðîéñòâà è ðàáîòû ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðîâ? 108. Êàêîâû îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðîâ? Êàê îíè îïðåäåëÿþòñÿ äëÿ äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè? 109.  ÷åì ðàçëè÷èå ñïåêòðîâ, ïîëó÷åííûõ îò îäíîãî è òîãî æå èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ ïðè ïîìîùè äâóõ ïðèáîðîâ ñ îäèíàêîâîé äèñïåðñèåé, íî ðàçíîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ? 110. ×åì ðàçëè÷àþòñÿ ñïåêòðû ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ? 111. Êàêîé ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ñïåêòðà ìîæíî íàáëþäàòü â äèôðàêöèîííîì ñïåêòðàëüíîì ïðèáîðå è îò ÷åãî çàâèñèò çíà÷åíèå ýòîãî ïîðÿäêà? Êàêîâà ïðè ýòîì òåîðåòè÷åñêàÿ ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü? 112. Êàê èçìåíÿòñÿ îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà, åñëè ùåëè äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè çàêðûòû ÷åðåç îäíó? 113. ×åì áóäóò ðàçëè÷àòüñÿ ñïåêòðû, ïîëó÷åííûå îò îäíîãî è òîãî æå èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ ñ ïîìîùüþ äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè è ïðèçìû? 114. Ïî÷åìó ïðèçìû â ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðàõ ñòàâÿò, êàê ïðàâèëî, â ïîëîæåíèå íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ? 115.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ îñíîâíàÿ èäåÿ ãîëîãðàôè÷åñêîé çàïèñè çðèòåëüíûõ îáðàçîâ? 71

116. Êàê âûïîëíÿåòñÿ äåêîäèðîâàíèå èíôîðìàöèè, çàðåãèñòðèðîâàííîé íà ãîëîãðàììå? 117. Êàêîâû ïðåèìóùåñòâà ãîëîãðàôèè ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íîé ôîòîãðàôèåé? 118. Îáúÿñíèòå íà ïðèìåðå ïëîñêîé ïðåäìåòíîé âîëíû ôèçè÷åñêóþ ñóùíîñòü çàïèñè è âîññòàíîâëåíèÿ ãîëîãðàììû. 119. Êàêîé âèä èìåþò èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû íà ãîëîãðàììå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà?  ÷åì ñõîäñòâî è ðàçëè÷èå òàêîé ãîëîãðàììû è çîííîé ïëàñòèíêè Ôðåíåëÿ? 120. Ïî÷åìó öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü íàêëîííîå ïàäåíèå îïîðíîé âîëíû íà ãîëîãðàììó? 121. Êàêèå òðåáîâàíèÿ ïðåäúÿâëÿþòñÿ â ãîëîãðàôèè ê èñòî÷íèêó ñâåòà è ê ðåãèñòðèðóþùåé ñðåäå (ôîòîýìóëüñèè)? 122.  êàêèõ ñëó÷àÿõ âîçíèêàþò àáåððàöèè âîññòàíàâëèâàåìîãî ãîëîãðàììîé èçîáðàæåíèÿ? 123. Êàêîâû ïðåèìóùåñòâà òîëñòîñëîéíûõ ãîëîãðàìì? 124. ×òî äàåò ïðèìåíåíèå ãîëîãðàôèè â èíòåðôåðîìåòðèè è ìèêðîñêîïèè, â ñèñòåìàõ îïòè÷åñêîé îáðàáîòêè èíôîðìàöèè?

Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð 1. Îòâåðñòèå ðàäèóñîì r0 îñâåùàåòñÿ íîðìàëüíî ïàäàþùåé ïëîñêîé âîëíîé àìïëèòóäû A0, äëèíîé l. Èññëåäîâàòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà âäîëü îñè îòâåðñòèÿ. Ðåøåíèå. 1. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì çîí Ôðåíåëÿ (ðèñ. 4.1).  òî÷êå Ð, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè b îò îòâåðñòèÿ, àìïëèòóäà êîëåáàíèé áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ÷èñëîì çîí Ôðåíåëÿ N, îòêðûâàåìûõ îòâåðñòèåì. Ðàçíîñòü õîäà ëó÷åé, ïðèõîäÿùèõ â òî÷êó P îò öåíòðà è êðàÿ îòâåðñòèÿ, D = r 20 / 2b = Nl / 2, îòêóäà N = r 20 / lb. A0 – àìïëèòóäà âîëíû ïðè ñâîáîäíîì ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà, êîãäà N ® ¥.  ýòîì ® ñëó÷àå äåéñòâèå âîëíîâîãî ôðîíòà îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì OB, äëèíà ® ® êîòîðîãî ñòðåìèòñÿ ê OA /2 ïðè N ® ¥ (ðèñ. 4.2). Âåêòîð OA îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó â òî÷êå P, êîãäà îòâåðñòèå îòêðûâàåò îäíó çîíó Ôðåíåëÿ, ò. å. b1 = r 20 / l, OA = A1 = 2A0. Ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îòêðûòûõ çîí áóäóò íàáëþäàòüñÿ íåïðåðûâíûå ïåðåõîäû îò ìàêñèìóìà ê ìèíèìóìó (ïðè N = 2, A2 = 0). Åñëè òî÷êà Ð íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè b > r 20 / l, òî àìïëèòóäà áóäåò ìîíîòîííî óìåíüøàòüñÿ äî çíà÷åíèÿ A = 0.  òî÷êå Ð òàêîé, ÷òî r 20 / 2b = Nl / 4, êîãäà îòâåðñòèå îòêðûâàåò ïîëîâèíó çîíû Ôðåíåëÿ, àìïëèòóäà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âåêòîðîì ® ® OC : | OC| = A0 2. 72

A D r0

P

0 b

C

B

z

O Ð è ñ. 4.1

Ð è ñ. 4.2

Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè âäîëü îñè îòâåðñòèÿ èìååò âèä, ïðèâåäåííûé íà ðèñ. 4.3. I(z)/I0 4

1 0

b 1 b1 b 1 6 5 4

b1 3

b1 2

b1

z

Ð è ñ. 4.3

2. Ðàññ÷èòàåì ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà îñè îòâåðñòèÿ, ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåíèåì Ôðåíåëÿ è ïîëàãàÿ cos (n, r) = 1.  ýòîì ïðèáëèæåíèè èíòåãðàë Êèðõãîôà èìååò âèä A ik Vp = 0 e ilb

x02 +y02 2b

òò e

ik

x 2 +y 2 2b

e

- ik

xx0 +yy0 2b

dxdy.

S

 òî÷êàõ íà îñè îòâåðñòèÿ x0 = y0 = 0 âîëíîâîå âîçìóùåíèå V(0, 0) =

ik A0 e òò ilb S

x 2 +y 2 2b

dxdy

ïðåäñòàâëÿåò ñóïåðïîçèöèþ ñôåðè÷åñêèõ âîëí (â ïàðàêñèàëüíîì ïðèáëèæåíèè). Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (x2 + y2 = r2; dS = dxdy = = rdrda): 73

A k V(0, 0) = 0 i 2b

r0 2 ö æ ik r 0 ç e 2 b - 1÷ = 2 A e ik 4 b sinæç kr 0 0 ò0 e ç 4b ç ÷ è ø è 2 æ kr ö I(0, 0) = 4 A02 sin 2 çç 0 ÷÷ . è 4b ø

r0

ik

r2

2b

2

A d(r ) = 0 i

2

2

ö ÷; ÷ ø

Òàêèì îáðàçîì, ïî îñè îòâåðñòèÿ èíòåíñèâíîñòü îñöèëëèðóåò îò r2 I max = 4 A02 = 4I 0 äî íóëÿ, ïðîõîäÿ ÷åðåç íóëü ïðè k 0 = mp, ò. å. ïðè 4b r 20 = ml, êîãäà íà îòâåðñòèè óêëàäûâàåòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî çîí Ôðåíåëÿ. 2b kr 20 p Ïðè = èíòåíñèâíîñòü èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå, ðàâíîå 4I0 4b 2 r2 r2 (îòâåðñòèå îòêðûâàåò îäíó çîíó Ôðåíåëÿ è b = 0 ). Ïðè b > 0 èíòåíl l 2 2 æ pr 0 ö ÷ , ñòðåìÿñü ê íóëþ. ñèâíîñòü ìîíîòîííî ñïàäàåò êàê sin çç ÷ è 2bl ø Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ 2

2 æ pr 0 ö æ 2 2 æ pr 0 ö ÷ = I 0 pr 20 ç 4b l I = I0 ç ÷ = I 0 pr 20 çç ç pr 2 ÷ è 2bl ø è 0 è 2bl ø

-1

ö ÷ . ÷ ø

Ïåðâûé ìíîæèòåëü â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèè, ïàäàþùåé íà îòâåðñòèå, à âòîðîé ïðèáëèçèòåëüíî ðàâåí ïëîùàäè, ÷åðåç êîòîðóþ îíà ïðîõîäèò, êîãäà òî÷êà íàáëþäåíèÿ íàõîäèòñÿ íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè b îò îòâåðñòèÿ (ïðèáëèæåíèå äàëüíåé çîíû). Ïðåäïîëîæåíèå cos (n, r) @ 1 ñïðàâåäëèâî ïðè ìàëîì ÷èñëå çîí Ôðåíåëÿ, îòêðûâàåìûõ îòâåðñòèåì, ò. å. òî÷êà P äîëæíà íàõîäèòüñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêî îò îòâåðñòèÿ. r r Ñ÷èòàÿ äîïóñòèìûì îòêëîíåíèå cos(n, r) îò åäèíèöû íå áîëåå 10 %, îöåíèì ýòî ðàññòîÿíèå: r r cos (n, r) = cos a =

1 1 b , = = b + D 1 + D b 1 + r 20 2b 2

îòêóäà b äîëæíî áûòü áîëüøå

3r 0 2

» 15 , r 0 . Ïðè ýòîì íà îòâåðñòèè áó-

äåò óêëàäûâàòüñÿ N çîí: N= 74

r r 20 » 0 . , l bl 15

Ïðè r0 = 1 ìì, l = 5×10–4 ìì 1 N= × 10 4 @ 1,4 × 10 3 (çîí). , ×5 15 Ïðè ìåíüøèõ çíà÷åíèÿõ b ïðèáëèæåíèå íåâåðíî. Àìïëèòóäà âîër r íû íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ èç-çà âëèÿíèÿ cos(n, r) è ïðè N ® ¥ áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê A0. Ïðèìåð 2. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå Ôðàóíãîôåðà, åñëè ïëîñêàÿ âîëíà àìïëèòóäû E0 íîðìàëüíî ïàäàåò íà àìïëèòóäíóþ ðåøåòêó ñ ïåðèîäîì d è øèðèíîé ùåëè b (ðèñ. 4.4). b

d x j Ð è ñ. 4.4

Âîçìîæíû äâà ìåòîäà ðàñ÷åòà. Ðåøåíèå. 1. Ðàññ÷èòàåì ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè êàê ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè êîãåðåíòíûõ âîëí. Îò ýëåìåíòà n-é ùåëè dx â íàïðàâëåíèè j èäåò âîëíà E 0 dx exp{ivt - ik[(n - 1)d + x]sin j}. Âñÿ ùåëü ïîñûëàåò âîëíó b

E 0 exp{ivt - ik(n - 1)d sin j}ò exp[-ikx sin j]dx. 0

Îò N ùåëåé, ÿâëÿþùèõñÿ êîãåðåíòíûìè èçëó÷àòåëÿìè, ïîëó÷èì b

N

E j = E 0 exp ivt å exp[-ik(n - 1)d sin j]ò exp[-ikx sin j]dx = n =1

= E 0 be ãäå u =

pb sin j . l

Îáîçíà÷èì

ivt

0

sin u N å exp[-ik(n - 1)d sin j], u n =1

pdsin j ÷åðåç d. Òîãäà l

N

å exp[-i2d(n - 1)] = 1 + exp(-i2d) + exp(-i4d) + ... + exp[-i2d(N - 1)] n =1

– ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì q = exp (–i2d): 75

1 - q N 1 - exp[-i2dN] , = 1 - exp[-i2d] n =1 1 - q N

å

Ej = E0 b

sin u 1 - exp[-i2dN] ivt e . u 1 - exp[-i2d]

Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà 2

2

æ sin u ö æ sin Nd ö I j = E j E *j = I 0 ç ÷ ç ÷ , è u ø è sin d ø pb sin j pdsin j ãäå u = , d= . l l Òàêèì îáðàçîì, çà ðåøåòêîé ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ìîäóëèðóåòñÿ ìíîæèòåëåì ((sin u)/u)2, îïèñûâàþùèì äèôðàêöèîííûå ÿâëåíèÿ îò îäíîé ùåëè. Âòîðîé ìíîæèòåëü ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì èíòåðôåðåíöèè âîëí îò N êîãåðåíòíûõ ùåëåé. Ãëàâíûå ìàêñèìóìû, ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðôåðåíöèîííîìó óñèëåíèþ âîëí, ïîÿâëÿþòñÿ â íàïðàâëåíèè, êîãäà d = mp, ò. å. ïðè d sin j = ml. Ãëàâíûå ìèíèìóìû íàáëþäàþòñÿ â íàïðàâëåíèÿõ, â êîòîðûõ íè îäíà ùåëü ñâåòà íå ïîñûëàåò, ò. å. êàê è îò îäíîé ùåëè ïðè óñëîâèè b sin j = ml. 2. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì âîëíîâîãî âîçìóùåíèÿ â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ âîëí, àìïëèòóäà êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè ïðîïóñêàíèÿ îòâåðñòèÿ. Ôóíêöèÿ ïðîïóñêàíèÿ àìïëèòóäíîé ðåøåòêè ì 1 - äëÿ (md - a) <| x| < (md + a), t(x, y) = t(x) = í î 0 - â îñòàëüíûõ ñëó àÿõ. Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü Ôóðüå-êîìïîíåíò ôóíêöèè t(x) äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòîò vx ðàâíà G(v x ) = =

N md + a

å ò t(x)e

- iv x x

dx =

m = 0 md - a

sin (v x b 2) N - imv x d e - imv x x iv x a , (e - e - iv x a ) = 2b å åe vx b m=0 m = 0 iv x N

ãäå b = 2a – øèðèíà ïðîçðà÷íîãî ïðîìåæóòêà, d – ïåðèîä ðåøåòêè, L = Nd – øèðèíà ðåøåòêè, N ® ¥. Ñîîòâåòñòâåííî óãëîâîé ñïåêòð ïëîñêèõ äèôðàãèðîâàííûõ âîëí V(ikx) îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé G(vx) ïðè óñëîâèè, ÷òî vx = kx 2p 2p (ò. å. v x = = sin j): d l sin((pb sin j) l) N - im 2 d V(ik x ) = b åe , (pb sin j) l m = 0 76

è ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïî óãëàì j áóäåò èìåòü âèä 2 2 æ sin u ö æ sin Nd ö Ij = I0 ç ÷ ç ÷ , è u ø è sin d ø pb sin j pdsin j , d= . ãäå u = l l Ãëàâíûå ìàêñèìóìû, íàáëþäàåìûå â íàïðàâëåíèè sin jm = ± ml /d, ñîîòâåòñòâóþò äâóì ïëîñêèì äèôðàãèðîâàííûì âîëíàì, ïîÿâëÿþùèìñÿ îò êàæäîé cos-êîìïîíåíòû, íà êîòîðûå ðàñêëàäûâàåòñÿ ôóíêöèÿ t(x) ïðè óñëîâèè 2p k x = (v x ) m = m. d Òàê êàê t(x) – ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ x (N âåëèêî), òî âîëíîâîå ïîëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð óçêèõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, óãëîâàÿ øèðèíà êîòîðûõ dj = l/Nd ® 0 ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ N, à àìïëèòóäû îïðåäåëÿþòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ G(vx). Ïðèìåð 3. Ïîêàçàòü, ÷òî êðèòåðèé Ðýëåÿ äëÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè ñ ïðÿìîóãîëüíîé ôóíêöèåé ïðîïóñêàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò íàëè÷èþ 20 % ïðîâàëà â ðåçóëüòèðóþùåé èíòåíñèâíîñòè, ò. å. êðèòåðèþ ïðàêòè÷åñêîãî ðàçðåøåíèÿ äâóõ áëèçêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ëèíèé. Ðåøåíèå. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè 2 æ sin Nd ö I = I1 ç ÷ , è sin d ø pdsin j . ãäå I1 – èíòåíñèâíîñòü îò îäíîé ùåëè ðåøåòêè, d = l Ïóñòü â ñïåêòðå ïàäàþùåãî íà ðåøåòêó èçëó÷åíèÿ ñîäåðæàòñÿ ëèíèè l1 è l2 = l1 + Dl. Ââèäó èõ ïîëíîé íåêîãåðåíòíîñòè èíòåíñèâíîñòè áóäóò ñêëàäûâàòüñÿ, ò. å. éæ sin Nd ö 2 æ sin Nd ö 2 ù 1 2 ÷÷ ú, ÷÷ + çç I ðåç = I1 êçç sin d sin d êëè è 1 ø 2 ø ú û pdsin j pdsin j , d2 = . ãäå d1 = l1 l2 Ââåäåì x = Nd2 – Nd1. Óñëîâèþ îáðàçîâàíèÿ ãëàâíîãî ìàêñèìóìà m-ãî ïîðÿäêà ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâî Nd2 = Npm. Ñëåäîâàòåëüíî, Nd1 = Nmp – x. Ðàññìîòðèì ðåçóëüòèðóþùóþ èíòåíñèâíîñòü ïîñðåäèíå ìåæäó äâóìÿ ãëàâíûìè ìàêñèìóìàìè m-ãî ïîðÿäêà, ò. å. ïðè Nd1 = Npm – x/2: 77

éæ sin(x 2) ö 2 æ sin(x 2) ö 2 ù ÷÷ ú ÷÷ + çç I = I1 êçç è sin(x 2N) ø úû êëè sin(x 2N) ø

= x ®0 2N

2

æ sin(x 2) ö xö æ ÷÷ = 2I1 N 2 ç sin c 2 ÷ . = 2I1 N 2 çç x 2 2 è ø è ø Òîãäà ì 0 ïðè x 2 = p, ï 2I ïðè x = 0, ï m I =í 2 , × I m ïðè x 2 = p 4 , ï I m × 16 p = 162 ï I × 8 p 2 = 0,81 × I ïðè x 2 = p 2 . î m m Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé ñëó÷àé, êîãäà x = p è I = 0,8Im. Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü R = l Dl = íî d ~

l , l1 - l 2

1d d l 1 èR= = = . d 2 - d1 Dl l 1 d1 - 1 d 2

Îïðåäåëèì d 2 - d1 =

Dl p p 1 x p Dl . = = = = = d, l Nd Npm Nm N N l

Òîãäà R=

l = mN. Dl

Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ðàçðåøåíèÿ Ðýëåÿ ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ x = p, è ïðîâàë â êðèâîé ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçóëüòèðóþùåé ëèíèè ñîñòàâëÿåò ~ 20 %. Ïðèìåð 4. Äâå ðåøåòêè, êàæäàÿ èç N ñèíôàçíûõ âèáðàòîðîâ, ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà ðàññòîÿíèå a (ðèñ. 4.5). Êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè ñèñòåìû òàêèõ ðåøåòîê â çàâèñèìîñòè îò èçìåíåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè? Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè: 1) a = l/2; 2) a = l; 3) a = 3l/2; 4) a = 2l. 78

a

j

d Ð è ñ. 4.5

Ðåøåíèå. Ñêëàäûâàÿ àìïëèòóäû îò N ñèíôàçíûõ èçëó÷àòåëåé îäíîé ðåøåòêè, ïîëó÷èì A = A0(1+ eid + ei2d + ei3d + … + eiNd), pNd sin j ö æ ç sin ÷ l ÷ , d = pdsin j, A1 = A0 ç pd sin j ÷ l ç ç sin ÷ è ø l ãäå d – ðàññòîÿíèå ìåæäó âèáðàòîðàìè. Èçëó÷åíèå îò âòîðîé ðåøåòêè âèáðàòîðîâ èìååò òó æå àìïëèòóäó, íî ñäâèíóòî ïî ôàçå, òàê ÷òî A2 = A1eib, ãäå b – ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó âîëíàìè, èäóùèìè â íàïðàâëåíèè j îò ïåðâîé è âòîðîé ðåøåòîê. Ðåçóëüòèðóþùåå âîçìóùåíèå A = A1 + A2 = A1(1 + eib), I = A (1 + e ib )(1 + e - ib ) = 4 A12 cos 2 (b 2). 2 1

Íàéäåì ôàçîâûé ñäâèã b: b = ka cos j = îòêóäà

2pa cos j , l

æ 2pa cos j ö 2 I = 4I1 cos 2 ç ÷ , I1 = A1 . l è ø

Òàêèì îáðàçîì, ìàêñèìóìû â äàííîì ñëó÷àå îñòàíóòñÿ íà òåõ æå ìåñòàõ, ÷òî è îò îäíîé ðåøåòêè, íî èõ èíòåíñèâíîñòü áóäåò ìîäóëèðîâàòüñÿ ôóíêöèåé cos2 (pa cos j/l) = cos2 b/2. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè: 1) êîãäà a = l/2 ïðè j = 0, cos2 b/2 = 0, èñ÷åçàåò íóëåâîé ìàêñèìóì; 2) êîãäà a = l ïðè j = 0, cos2 b/2 = 1 è èíòåíñèâíîñòü íóëåâîãî ìàêñèìóìà óâåëè÷èòñÿ â 4 ðàçà; 3) ñëó÷àé, êîãäà a = l3/2, àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ 1; 4) ñëó÷àé, êîãäà a = 2l, àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ 2. 79

Ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ ïîçâîëÿåò óïðàâëÿòü ðàñïðåäåëåíèåì èíòåíñèâíîñòè äèôðàãèðîâàííûõ âîëí. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî èñïîëüçóåòñÿ â ôàçîâûõ äèôðàêöèîííûõ ðåøåòêàõ. Ïðèìåð 5. Íàéòè óãëîâóþ äèñïåðñèþ â óãëîâûõ ñåêóíäàõ íà 1 Å â ñïåêòðå ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ðåøåòêè, èìåþùåé 3937 øòðèõîâ íà 1 ñì. Ïîäñ÷èòàòü ëèíåéíóþ äèñïåðñèþ ñïåêòðîãðàôà ñ òàêîé ðåøåòêîé ïðè îáúåêòèâå ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 50 ñì. Ðåøåíèå. Óñëîâèå èíòåðôåðåíöèîííîãî ìàêñèìóìà äëÿ ðåøåòêè ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè íà íåå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû d sinj = ml. Äèôôåðåíöèðóÿ, íàõîäèì dcos jdj = ldm + mdl, m m æ dj ö D =ç = » ; ÷ è dl ø m = const d cos j d Dm =1 =

1 = 8,15 (óãë. ñ/Å). d

Ëèíåéíàÿ äèñïåðñèÿ mf dx = Df = = 197 D¢ = , × 10 -2 (ìì/Å). dl d Ïðèìåð 6. Ðàññ÷èòàòü îáëàñòü äèñïåðñèè è ðàçðåøàþùóþ ñèëó äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. Ðåøåíèå. 1. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îáëàñòè äèñïåðñèè G = Dl âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì ïåðåêðûòèÿ ìàêñèìóìîâ ñîñåäíèõ ïîðÿäêîâ äëÿ íà÷àëà è êîíöà ñïåêòðàëüíîãî èíòåðâàëà l ¸ (l + Dl); dsin j = m(l + Dl) – ìàêñèìóì m-ãî ïîðÿäêà êîíöà ñïåêòðàëüíîãî èíòåðâàëà, dsin j = (m + 1)l – ìàêñèìóì (m + 1)-ãî ïîðÿäêà íà÷àëà ñïåêòðàëüíîãî èíòåðâàëà. Óñëîâèå ïåðåêðûòèÿ ëåâîãî è ïðàâîãî êðàåâ: m(l + Dl) = (m + 1)l; Dl = l /m. Ýòî æå âûðàæåíèå ïîëó÷èì, âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî Dj = DDl, ãäå Dj – óãëîâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè: Dj l m l Dl = = = . D d cos j d cos j m 2. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñèëû ðåøåòêè îïðåäåëèì óãëîâóþ øèðèíó ãëàâíîãî äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà dj, ò. å. ðàññòîÿíèå îò ìàêñèìóìà äî áëèæàéøåãî ê íåìó ìèíèìóìà: dsin j = ml – ìàêñèìóì, 80

l – áëèæàéøèé ìèíèìóì, N l d sin j + d cos jdj = ml + , cos dj » 1, N

d sin(j + dj) = ml +

îòêóäà dj =

Dj l , » dN cos j N

ò. å. óãëîâàÿ øèðèíà ìàêñèìóìà dj â N ðàç ìåíüøå óãëîâîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìàêñèìóìàìè Dj. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñèëû âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Ðýëåÿ: äâå âîëíû l1 è l2 ðàçðåøàþòñÿ, åñëè ìàêñèìóì l1 ñîâïàäàåò ñ ìèíèìóìîì äëÿ l2 , ò. å. dl = dj/D è ðàçðåøàþùàÿ ñèëà A = l/dl = mN. Òàêèì îáðàçîì, áîëüøàÿ âåëè÷èíà ðàçðåøàþùåé ñèëû äëÿ ðåøåòêè ïîëó÷àåòñÿ çà ñ÷åò áîëüøîãî ÷èñëà N èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé. Íåîáõîäèìàÿ ñòåïåíü ìîíîõðîìàòè÷íîñòè ëèíèè dl îïðåäåëÿåòñÿ äëèíîé öóãà l = L sin j è dl £ l2/(L sin j), ãäå L – äëèíà ðåøåòêè. Ïðèìåð 7. Ñïåêòðîãðàô èìååò ñòåêëÿííóþ ïðèçìó ñ îñíîâàíèåì b = 10 ñì è ïðåëîìëÿþùèì óãëîì A = 60o, óñòàíîâëåííóþ ïðè ðàáîòå íà óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ âáëèçè l = 5000 Å. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ïðèçìû n = 1,73, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå îáúåêòèâà êîëëèìàòîðà f = 25 ñì. Êàêîâà äîëæíà áûòü øèðèíà êîëëèìàòîðíîé ùåëè Dx, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ èñïîëüçîâàòü òåîðåòè÷åñêóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ïðèçìû? Ðåøåíèå. Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ïðèçìû A = l/dl = bdn/dl. Îöåíèì óãëîâóþ øèðèíó ìàêñèìóìà, ñîîòâåòñòâóþùóþ òåîðåòè÷åñêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ïðèçìû: l , dj = Ddl = D b(dn dl) ãäå D – óãëîâàÿ äèñïåðñèÿ ïðèçìû. Ïðè ñèììåòðè÷íîé óñòàíîâêå ïðèçìû 2 sin A 2 dn . D= 2 2 1 - n sin A 2 dl Òàêèì îáðàçîì, dj =

2 sin A 2 2l l @ . 2 2 b b 1 - n sin A 2 81

Êîíå÷íàÿ øèðèíà êîëëèìàòîðíîé ùåëè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âûõîäÿùèé èç êîëëèìàòîðà ïó÷îê èìååò óãëîâóþ ðàñõîäèìîñòü Da = Dx/f, ò. å. íà ïðèçìó ïàäàåò ñâåò ñ îïðåäåëåííîé ïðîñòðàíñòâåííîé íåêîãåðåíòíîñòüþ, ÷òî ïðèâîäèò ê ñìåùåíèþ ïîëîæåíèÿ ìàêcèìóìà â ïðåäåëàõ óãëà Da. Äëÿ ðåàëèçàöèè òåîðåòè÷åñêîé ðàçðåøàþùåé ñèëû óãîë Da äîëæåí áûòü ìåíüøå óãëîâîé øèðèíû ìàêñèìóìà dj, ò. å. Da << 2l/b èëè 2l Dx << f, çíà÷èò, Dx << 2,5 × 10–3 ìì. b

Çàäà÷è 4.1. Îòâåðñòèå ðàäèóñîì r îñâåùàåòñÿ íîðìàëüíî ïàäàþùåé ïëîñêîé âîëíîé àìïëèòóäû Å0 è äëèíîé l. Èññëåäîâàòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè âäîëü îñè îòâåðñòèÿ. 4.2. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ïàäàåò íîðìàëüíî íà äèàôðàãìó ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì, êîòîðîå îòêðûâàåò ïåðâûå m çîí Ôðåíåëÿ äëÿ òî÷êè Ð íà ýêðàíå, îòñòîÿùåì îò äèàôðàãìû íà ðàññòîÿíèè b. Äëèíà âîëíû ñâåòà ðàâíà l. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ïåðåä äèàôðàãìîé, åñëè èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà íà ýêðàíå I(r), ãäå r – ðàññòîÿíèå äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ. 4.3. Ìåæäó òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì ñâåòà è ýêðàíîì ïîìåñòèëè äèàôðàãìó ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì, ðàäèóñ êîòîðîãî r ìîæíî ìåíÿòü. Ðàññòîÿíèÿ îò äèàôðàãìû äî èñòî÷íèêà è ýêðàíà ñîîòâåòñòâåííî a = 100 ñì è b = 125 ñì. Îïðåäåëèòü äëèíó âîëíû ñâåòà, åñëè ìàêñèìóìû îñâåùåííîñòè â öåíòðå äèôðàêöèîííîé êàðòèíû íà ýêðàíå íàáëþäàþòñÿ ïðè r1 = 1,00 ìì è ñëåäóþùèé ïðè r2 = 1,29 ìì. 4.4. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà l = 640 íì ñ èíòåíñèâíîñòüþ I0 ïàäàåò íîðìàëüíî íà êðóãëîå îòâåðñòèå ðàäèóñîì r = 1,20 ìì. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü â öåíòðå äèôðàêöèîííîé êàðòèíû íà ýêðàíå, îòñòîÿùåì íà ðàññòîÿíèè b = 1,50 ì îò îòâåðñòèÿ. 4.5. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà èíòåíñèâíîñòè I0 ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëîñêóþ äèàôðàãìó ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì ðàäèóñîì r. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò äèàôðàãìû ñëåäóåò ðàñïîëîæèòü ýêðàí íàáëþäåíèÿ, ÷òîáû äëÿ òî÷êè ýêðàíà, ëåæàùåé íà îäíîì ïåðïåíäèêóëÿðå ñ öåíòðîì îòâåðñòèÿ, ïîñëåäíåå âêëþ÷àëî îäíó çîíó Ôðåíåëÿ? Êàêîâà èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â ýòîì ñëó÷àå? Êàê èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü, åñëè çàêðûòü ïîëîâèíó ïëîùàäè îòâåðñòèÿ (öåíòðàëüíóþ ÷àñòü èëè ïî äèàìåòðó)? Äëèíà âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà l. 4.6. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà èíòåíñèâíîñòè I0 ïàäàåò íîðìàëüíî íà íåïðîçðà÷íûé äèñê, çàêðûâàþùèé äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïåðâóþ çîíó Ôðåíåëÿ. Êàêîâà èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â 82

òî÷êå íàáëþäåíèÿ ïîñëå òîãî êàê ó äèñêà óäàëèëè: à) ïîëîâèíó (ïî äèàìåòðó); á) ïîëîâèíó âíåøíåé ïîëîâèíû ïåðâîé çîíû Ôðåíåëÿ (ïî äèàìåòðó)? 4.7. Ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 0,60 ìêì ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëÿííîãî äèñêà, êîòîðûé ïåðåêðûâàåò ïîëòîðû çîíû Ôðåíåëÿ äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ. Ïðè êàêîé òîëùèíå ýòîãî äèñêà èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå áóäåò ìàêñèìàëüíîé? 4.8. Íà ïóòè ïëîñêîé ñâåòîâîé âîëíû l = 0,54 ìêì ïîñòàâèëè òîíêóþ ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 50 ñì, íåïîñðåäñòâåííî çà íåé – äèàôðàãìó ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì è íà ðàññòîÿíèè b = 75 ñì îò äèàôðàãìû – ýêðàí. Ïðè êàêèõ ðàäèóñàõ îòâåðñòèÿ öåíòð äèôðàêöèîííîé êàðòèíû íà ýêðàíå èìååò ìàêñèìàëüíóþ îñâåùåííîñòü? 4.9. Òî÷å÷íûé ìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ðàñïîëîæåí ïåðåä çîííîé ïëàñòèíêîé íà ðàññòîÿíèè a = 1,5 ì îò íåå. Èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà îáðàçóåòñÿ íà ðàññòîÿíèè b = 1,0 ì îò ïëàñòèíêè. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå çîííîé ïëàñòèíêè. 4.10. Ïëîñêàÿ çîííàÿ ïëàñòèíêà èçãîòîâëåíà òàê, ÷òî îòêðûòû âñå ÷åòíûå çîíû, íå÷åòíûå çàêðûòû (m = 2n, ãäå m – ïîëíîå ÷èñëî çîí, n – ÷èñëî îòêðûòûõ çîí). Íàéòè òî÷êè íà îñè ïëàñòèíêè, â êîòîðûõ ïîëó÷èòñÿ èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà, ïîìåùåííîãî íà îñè íà ðàññòîÿíèè a îò ïëàñòèíêè. 4.11. Ìîíîõðîìàòè÷åñêèé òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà ðàñïîëîæåí íà îñè çîííîé ïëàñòèíêè íà ðàññòîÿíèè à îò íåå. Íàèáîëåå ÿðêîå èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà ïîëó÷àåòñÿ íà ðàññòîÿíèè b îò ïëàñòèíêè. Íà êàêèõ ðàññòîÿíèÿõ ïîëó÷àþòñÿ äðóãèå èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà? 4.12. Îöåíèòü øèðèíó ïîëîñ è íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà âáëèçè êðàÿ ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè ïðè äèôðàêöèè ïëîñêîé âîëíû íà ïðÿìîëèíåéíîì êðàå ýêðàíà. Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ïàäàþùåé âîëíû (l = 500 íì) è ðàñïîëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè b = 1 ì îò îòáðàñûâàþùåãî òåíü ýêðàíà. 4.13. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ñ l = 0,60 ìêì ïàäàåò íîðìàëüíî íà íåïðîçðà÷íóþ äëèííóþ ïîëîñêó øèðèíîé 0,70 ìì. Çà íåé íà ðàññòîÿíèè 100 ñì íàõîäèòñÿ ýêðàí. Íàéòè ñ ïîìîùüþ ñïèðàëè Êîðíþ îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòåé ñâåòà â ñåðåäèíå äèôðàêöèîííîé êàðòèíû è íà êðàÿõ ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè. 4.14. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà (l = 0,60 ìêì) ïàäàåò íà äèàôðàãìó ñ óçêîé ùåëüþ øèðèíîé b = 0,04 ìì. Çà ùåëüþ íàõîäèòñÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà (f = 40 ñì), â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè êîòîðîé íàõîäèòñÿ ýêðàí íàáëþäåíèÿ. Îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ìèíèìóìîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ íà ýêðàíå è îòíîñèòåëüíóþ èíòåíñèâíîñòü ìàêñèìóìîâ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå. 83

4.15. Ëàçåðíûé ïó÷îê (äèàìåòð 1 ñì), ðàñõîäèìîñòü êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ äèôðàêöèåé, íàïðàâëåí íà Ëóíó. Êàêîâ äèàìåòð îñâåùåííîé íà Ëóíå ïîâåðõíîñòè? Äëèíà âîëíû ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ l = 6328 × 10–10ì, ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ëóíû L = 384 000 êì. Ðàññåÿíèåì ñâåòà â àòìîñôåðå ïðåíåáðå÷ü. 4.16. Ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò ïàäàåò íîðìàëüíî íà ùåëü øèðèíîé b = 11 ìêì. Çà ùåëüþ íàõîäèòñÿ òîíêàÿ ëèíçà ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 150 ìì, â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè êîòîðîé ðàñïîëîæåí ýêðàí. Íàéòè äëèíó âîëíû ñâåòà, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûìè íà ýêðàíå ìèíèìóìàìè òðåòüåãî ïîðÿäêà õ = 50 ìì. 4.17. Íàéòè óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè I(j) ïðè äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè øèðèíîé b â ñëó÷àå íàêëîííîãî ïàäåíèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ñâåòà íà ïëîñêîñòü ùåëè (ïîä óãëîì q ê íîðìàëè). 4.18. Ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 0,50 ìêì ïàäàåò íà ùåëü øèðèíû b = 10 ìêì ïîä óãëîì q = 30o ê åå íîðìàëè. Íàéòè óãëîâîå ïîëîæåíèå ïåðâûõ ìèíèìóìîâ, ðàñïîëîæåííûõ ïî îáå ñòîðîíû öåíòðàëüíîãî ôðàóíãîôåðîâà ìàêñèìóìà. 4.19. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ñ l = 0,60 ìêì ïàäàåò íîðìàëüíî íà ãðàíü ñòåêëÿííîãî êëèíà ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì q = 15o. Íà ïðîòèâîïîëîæíîé, íåïðîçðà÷íîé ãðàíè èìååòñÿ ùåëü øèðèíîé b = 10 ìêì, ïàðàëëåëüíàÿ ðåáðó êëèíà. Íàéòè: à) óãîë Dj ìåæäó íàïðàâëåíèåì íà ôðàóíãîôåðîâ ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà è íàïðàâëåíèåì ïàäàþùåãî ñâåòà; á) óãëîâóþ øèðèíó ôðàóíãîôåðîâà ìàêñèìóìà íóëåâîãî ïîðÿäêà. 4.20. Äëÿ èçìåðåíèÿ ìåòîäîì Ìàéêåëüñîíà óãëîâîãî ðàññòîÿíèÿ y ìåæäó êîìïîíåíòàìè äâîéíîé çâåçäû ïåðåä îáúåêòèâîì òåëåñêîïà ïîìåñòèëè äèàôðàãìó ñ äâóìÿ óçêèìè ïàðàëëåëüíûìè ùåëÿìè, ðàññòîÿíèå d ìåæäó êîòîðûìè ìîæíî ìåíÿòü. Óìåíüøàÿ d, ïåðâîå óõóäøåíèå âèäèìîñòè äèôðàêöèîííîé êàðòèíû â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåêòèâà îáíàðóæèëè ïðè d = 95 ñì. Íàéòè y, ñ÷èòàÿ äëèíó âîëíû ñâåòà l = 0,55 ìêì. 4.21. Îïèñàíèå ïîëîñ â èíòåðôåðîìåòðå Ðýëåÿ îáû÷íî ïðèâîäèòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ùåëè S1 è S2 áåñêîíå÷íî óçêèå.  äåéñòâèòåëüíîñòè, ùåëè äîëæíû ïðîïóñêàòü äîñòàòî÷íî ñâåòà è ïîýòîìó èìåþò êîíå÷íóþ øèðèíó b. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè I(x) â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåêòèâà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ. 4.22. Èññëåäîâàòü âëèÿíèå øèðèíû ïåðâè÷íîãî èñòî÷íèêà S íà èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó â èíòåðôåðîìåòðå Ðýëåÿ. 4.23. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå Ôðàóíãîôåðà, åñëè ïëîñêàÿ âîëíà àìïëèòóäû Å0 íîðìàëüíî ïàäàåò íà àìïëèòóäíóþ ðåøåòêó ñ ïåðèîäîì d è øèðèíîé ùåëè b. 4.24. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè ñ ïåðèîäîì d = 2b (b – øèðèíà ùåëè) âñå ìàêñèìóìû ÷åòíûõ ïîðÿäêîâ ïðîïàäàþò, ñ÷èòàòü ïðîòÿæåííîñòü ðåøåòêè l >> d. 84

4.25. Èçîáðàçèòü ïðèìåðíóþ äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó, âîçíèêàþùóþ ïðè äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà îò ðåøåòêè èç òðåõ îäèíàêîâûõ ùåëåé, åñëè îòíîøåíèå ïåðèîäà ðåøåòêè ê øèðèíå ùåëè ðàâíî: à) äâóì; á) òðåì. 4.26. Ñâåò ñ l = 535 íì ïàäàåò íîðìàëüíî íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó. Íàéòè ïåðèîä ðåøåòêè, åñëè îäíîìó èç ôðàóíãîôåðîâûõ ìàêñèìóìîâ ñîîòâåòñòâóåò óãîë äèôðàêöèè 35o è íàèáîëüøèé ïîðÿäîê ñïåêòðà ðàâåí ïÿòè. 4.27. Ñâåò ñ l = 589 íì ïàäàåò íîðìàëüíî íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó ñ ïåðèîäîì d = 2,5 ìêì, ñîäåðæàùóþ N = 10 000 øòðèõîâ. Íàéòè óãëîâóþ øèðèíó äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà âòîðîãî ïîðÿäêà. 4.28. Ñâåò ñ l = 530 íì ïàäàåò íà ïðîçðà÷íóþ äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó, ïåðèîä êîòîðîé ðàâåí 1,5 ìêì. Íàéòè óãîë ñ íîðìàëüþ ê ðåøåòêå, ïîä êîòîðûì îáðàçóåòñÿ ôðàóíãîôåðîâ ìàêñèìóì íàèáîëüøåãî ïîðÿäêà, åñëè ñâåò ïàäàåò íà ðåøåòêó: à) íîðìàëüíî; á) ïîä óãëîì 60î ê íîðìàëè. 4.29. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ñ l = 0,50 ìêì ïàäàåò íîðìàëüíî íà ãðàíü ñòåêëÿííîãî êëèíà ñ óãëîì q = 30î. Íà ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè êëèíà íàíåñåíà ïðîçðà÷íàÿ äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà ñ ïåðèîäîì d = 2,00 ìêì, øòðèõè êîòîðîé ïàðàëëåëüíû ðåáðó êëèíà. Íàéòè óãëû ìåæäó íàïðàâëåíèåì ïàäàþùåãî ñâåòà è íàïðàâëåíèÿìè íà ãëàâíûå ôðàóíãîôåðîâû ìàêñèìóìû íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêîâ. Êàêîâ ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ñïåêòðà? Ïîä êàêèì óãëîì ê íàïðàâëåíèþ ïàäàþùåãî ñâåòà îí áóäåò íàáëþäàòüñÿ? 4.30.  ïðîçðà÷íîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêå (ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n) ñäåëàíû óãëóáëåíèÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.6. Øèðèíà óñòóïîâ è âïàäèí îäèíàêîâà è ðàâíà a. Íà âåðõíþþ ïîâåðõíîñòü ïëàñòèíû íîðìàëüíî ê íåé ïàäàåò ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñ äëèíîé âîëíû l. Íàáëþäåíèå äèôðàêöèîííîé êàðòèíû âåäåòñÿ â ïàðàëëåëüíûõ ëó÷àõ. Ïðè êàêîì ìèíèìàëüíîì çíà÷åíèè ãëóáèíû h â öåíòðå êàðòèíû áóäåò ìèíèìóì? Ïîä êàêèì óãëîì j1 âèäåí ïðè ýòîì ãëàâíûé ìàêñèìóì ïåðâîãî ïîðÿäêà? 4.31. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè I(q) ïðè äèôðàêöèè ìîíîõðîìàòè÷åñêîé ïëîñêîé ñâåòîâîé âîëíû, ïàäàþùåé ïî íîðìàëè íà ôàçîâóþ ðåøåòêó, ïðîôèëü øòðèõîâ êîòîðîé ïîêàçàí íà ðèñ. 4.7. 0 x a h a

a

j

2

a/2

q

a/2

1

Ð è ñ. 4.6

Ð è ñ. 4.7

85

4.32. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè äèôðàãèðîâàâøåãî ñâåòà ïðè ïàäåíèè ïî íîðìàëè ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû íà àìïëèòóäíóþ ðåøåòêó, ïðîïóñêàíèå êîòîðîé èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó â íàïðàâëåíèè îñè õ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åå øòðèõàì, òàê ÷òî àìïëèòóäà âîëíû ñðàçó çà ðåøåòêîé çàâèñèò îò õ ïî çàêîíó: é æ 2px öù E 0 ê1 + a cosç ÷ú ïðè a < 1. è d øû ë 4.33. Íà ðèñ. 4.8 ïîêàçàíà ñõåìà óñòàíîâêè äëÿ íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèè ñâåòà íà óëüòðàçâóêå. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ñ l = 0,55 ìêì ïðîõîäèò ÷åðåç êþâåòó Ê ñ âîäîé, â K O êîòîðîé âîçáóæäåíà ñòîÿ÷àÿ óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà ñ ÷àñòîòîé n = = 4,7 ÌÃö.  ðåçóëüòàòå äèôðàêöèè ñâåòà íà îïòè÷åñêè íåîäíîðîäíîé f ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðå â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåêòèâà O ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 35 ñì âîçÐ è ñ. 4.8 íèêàåò äèôðàêöèîííûé ñïåêòð. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè Dõ = 0,60 ìì. Íàéòè ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ óëüòðàçâóêîâûõ êîëåáàíèé â âîäå. 4.34. Ïðîçðà÷íàÿ äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà èìååò ïåðèîä d = 1,50 ìêì. Íàéòè óãëîâóþ äèñïåðñèþ D (â óãë. ìèí/íì), ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàêñèìóìó íàèáîëüøåãî ïîðÿäêà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ñ l = 530 íì, åñëè ñâåò ïàäàåò íà ðåøåòêó: à) íîðìàëüíî; á) ïîä óãëîì q = 45o ê íîðìàëè. 4.35. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñâåòà íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó ìàêñèìàëüíàÿ âåëè÷èíà åå ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè íå ìîæåò ïðåâûøàòü çíà÷åíèÿ l/l, ãäå l – øèðèíà ðåøåòêè, l – äëèíà âîëíû ñâåòà. 4.36. Ïîêàçàòü íà ïðèìåðå äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè, ÷òî ðàçíîñòü ÷àñòîò äâóõ ìàêñèìóìîâ, ðàçðåøàåìûõ ïî êðèòåðèþ Ðýëåÿ, ðàâíà îáðàòíîé âåëè÷èíå ðàçíîñòè âðåìåí ïðîõîæäåíèÿ ñàìûõ êðàéíèõ èíòåðôåðèðóþùèõ êîëåáàíèé, ò. å. dn = 1/dt. 4.37. Ñâåò ïàäàåò íîðìàëüíî íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó øèðèíîé l = 6,5 ñì, èìåþùóþ 200 øòðèõîâ íà ìèëëèìåòð. Èññëåäóåìûé ñïåêòð ñîäåðæèò ñïåêòðàëüíóþ ëèíèþ ñ l = 670,8 íì, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç äâóõ êîìïîíåíò, îòëè÷àþùèõñÿ íà Dl = 0,015 íì. Íàéòè: à) â êàêîì ïîðÿäêå ñïåêòðà ýòè êîìïîíåíòû áóäóò ðàçðåøåíû; á) íàèìåíüøóþ ðàçíîñòü äëèí âîëí, êîòîðóþ ìîæåò ðàçðåøèòü ýòà ðåøåòêà â îáëàñòè l = 670 íì. 86

4.38. Äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà êâàðöåâîãî ñïåêòðîãðàôà èìååò øèðèíó 25 ìì è ñîäåðæèò 250 øòðèõîâ íà ìèëëèìåòð. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå îáúåêòèâà, â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè êîòîðîãî íàõîäèòñÿ ôîòîïëàñòèíêà, ðàâíî 80 ñì. Ñâåò ïàäàåò íà ðåøåòêó íîðìàëüíî. Èññëåäóåìûé ñïåêòð ñîäåðæèò ñïåêòðàëüíóþ ëèíèþ, êîìïîíåíòû äóáëåòà êîòîðîé èìåþò äëèíû âîëí 310,154 íì è 310,184 íì. Îïðåäåëèòü: à) ðàññòîÿíèÿ íà ôîòîïëàñòèíêå ìåæäó êîìïîíåíòàìè ýòîãî äóáëåòà â ñïåêòðàõ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ; á) áóäóò ëè îíè ðàçðåøåíû â ýòèõ ïîðÿäêàõ. 4.39. Äëÿ òðåõãðàííîé ïðèçìû ñïåêòðîãðàôà ïðåäåëüíàÿ ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü l/dl îáóñëîâëåíà äèôðàêöèåé ñâåòà îò êðàåâ ïðèçìû (êàê îò ùåëè). Ïðè óñòàíîâêå ïðèçìû íà óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ êðèòåðèåì Ðýëåÿ: l/dl = b|dn/dl|, ãäå b – øèðèíà îñíîâàíèÿ ïðèçìû, dn/dl – äèñïåðñèÿ ìàòåðèàëà ïðèçìû. Âûâåñòè ýòó ôîðìóëó. 4.40. Òðåõãðàííàÿ ïðèçìà ñïåêòðîãðàôà èçãîòîâëåíà èç ñòåêëà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî çàâèñèò îò äëèíû âîëíû ñâåòà êàê n = A + B/l2, ãäå À è B – ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì B = 0,010 ìêì2. Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, íàéòè: à) çàâèñèìîñòü ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ïðèçìû îò l, âû÷èñëèòü l/dl âáëèçè l1= 434 íì è l2 = 656 íì, åñëè øèðèíà îñíîâàíèÿ ïðèçìû b = 5,0 ñì; á) øèðèíó îñíîâàíèÿ ïðèçìû, ñïîñîáíîé ðàçðåøèòü æåëòûé äóáëåò â ñïåêòðå íàòðèÿ (589,0 íì è 589,6 íì). 4.41. Âû÷èñëèòü íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè íà Ëóíå, êîòîðîå ìîæíî ðàçðåøèòü ïðè ïîìîùè ðåôëåêòîðà ñ äèàìåòðîì çåðêàëà 5,0 ì. Ñ÷èòàòü, ÷òî l = 0,55 ìêì. 4.42. Ðàññ÷èòàòü îáëàñòü äèñïåðñèè è ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ýòàëîíà Ôàáðè – Ïåðî. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ çåðêàë R = 0,9, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíêàìè h = 2 ñì, äëèíà âîëíû l = 5000 Å. 4.43. Ïàðàáîëè÷åñêîå çåðêàëî äèàìåòðîì D = 1 ì èñïîëüçóåòñÿ êàê àíòåííà äëÿ âîëí ñ l = 3 ñì. Îöåíèòü íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå Lmin, íà êîòîðîì ñëåäóåò ïîìåñòèòü ïðèåìíèê äëÿ ñíÿòèÿ äèàãðàììû íàïðàâëåííîñòè. 4.44. Äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè ÷àñòèö æèäêîñòè áåñêîíòàêòíûì ìåòîäîì èñv ïîëüçóåòñÿ ëàçåðíûé àíåìîìåòð. Äâà êîãåðåíòíûõ ëàçåðíûõ ïó÷êà ñ äëèíîé âîëíû èçëó÷åíèÿ l = 0,63 ìêì è óãëîì ñõîäèìîñòè j = 2o ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé îáëàñj òè æèäêîñòè, â êîòîðîé íåáîëüøèå âçâåøåííûå ÷àñòè÷êè äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v Ô (ðèñ. 4.9). Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ýòèõ ÷àñòèö, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðè ðåãèñòðàöèè Ð è ñ. 4.9 87

îòðàæåííîãî îò íèõ ñâåòà ÷àñòîòà êîëåáàíèé òîêà ôîòîïðèåìíèêà (Ô) n = 5,54 êÃö. 4.45. Îöåíèòü, ñ êàêîãî ðàññòîÿíèÿ L ìîæíî óâèäåòü ðàçäåëüíî ñâåò îò äâóõ ôàð àâòîìîáèëÿ. 4.46. Ïûëü, âçâåøåííàÿ â âîçäóõå, äåëàåò âèäèìûì óçêèé ëàçåðíûé ëó÷. Ëó÷ âèäåí îñîáåííî õîðîøî, åñëè ñìîòðåòü ïî÷òè íàâñòðå÷ó åìó â ïðåäåëàõ óãëà ïðèáëèçèòåëüíî 10o. Îáúÿñíèòå ýòî ÿâëåíèå è îöåíèòå ðàçìåð ïûëèíîê b, åñëè äëèíà âîëíû ñâåòà 6300 Å. 4.47. Î çîðêîñòè õèùíûõ ïòèö õîäÿò ëåãåíäû. Íà îñíîâå äèôðàêöèîííûõ ñîîáðàæåíèé îöåíèòå, ìîæåò ëè îðåë, ëåòÿùèé íà âûñîòå 1 êì íàä çåìëåé, ðàçãëÿäåòü ìûøîíêà ðàçìåðîì â 2 ñì. 4.48. Èçîáðàæåíèå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ïðîåöèðóåòñÿ íà ýêðàí ñ ïîìîùüþ òîíêîé ëèíçû ñ ìàëûì àïåðòóðíûì ÷èñëîì äâóìÿ ñïîñîáàìè, ðåàëèçóåìûìè ïðè óñëîâèè, ÷òî ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà äî ýêðàíà â îáîèõ ñëó÷àÿõ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è ðàâíûì L = 4 ì. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû f = 0,75 ì. Êàê îòíîñÿòñÿ îñâåùåííîñòè â öåíòðå äèôðàêöèîííîãî èçîáðàæåíèÿ â ýòèõ ñëó÷àÿõ? 4.49.  èíòåðôåðîìåòðå Ìàéêåëüñîíà èñòî÷íèêîì ñâåòà ñëóæèò êðóãëàÿ C äèàôðàãìà S äèàìåòðîì d = 0,05 ìì, êîòîðàÿ îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïó÷l êîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé S âîëíû l = 0,6 ìêì. Äëèíû ïëå÷ èíòåðd A B ôåðîìåòðà À = 30 ñì, ÀÑ = 10 ñì (ðèñ. 4.10). Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â âèäå êîíöåíòðè÷åñêèõ êîëåö íàáëþäàåòñÿ íà ýêðàíå Ý, ïîìåùåííîì Ý â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. ÎöåÐ è ñ. 4.10 íèòü ÷èñëî ò èíòåðôåðåíöèîííûõ êîëåö, íàáëþäàåìûõ â ïðåäåëàõ ãëàâíîãî äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà èñòî÷íèêà. 4.50. Èçîáðàæåíèå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ïðîåöèðóåòñÿ íà ýêðàí ñ ïîìîùüþ òîíêîé ëèíçû ñ ìàëûì àïåðòóðíûì ÷èñëîì äâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè: â ïåðâîì – ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà äî ëèíçû ðàâíî åå óäâîåííîìó ôîêóñíîìó ðàññòîÿíèþ; âî âòîðîì – ýòî ðàññòîÿíèå ñîñòàâëÿåò 5/4 ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ ëèíçû. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ îñâåùåííîñòü â öåíòðå äèôðàêöèîííîãî èçîáðàæåíèÿ? 4.51. Ñ èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà Çåìëè, îáðàùàþùåãîñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå íà ðàññòîÿíèè h = 250 êì, ïðîâîäèòñÿ ôîòîãðàôèðîâàíèå çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ôîòîïëåíêè R = 500 ëèíèé/ìì. Êàêèå ïàðàìåòðû äîëæåí èìåòü îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà (äèàìåòð D, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f), ÷òîáû ïðè ôîòîãðàôèðîâàíèè ðàçðåøàëèñü äåòàëè ñ ëèíåéíûìè ðàçìåðàìè L = 1 ì? 88

4.52. Ñ ñàìîëåòà, ëåòÿùåãî íà âûñîB òå h = 5 êì, ïðîèçâîäèòñÿ àýðîôîòîñúåìêà ìåñòíîñòè. Êàêèìè ñëåäóåò âûáðàòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f è äèàìåòð îáúåêòèâà D ôîòîàïïàðàòà, ÷òîáû ñôîòîãðàôèðîâàòü îáúåêòû ðàçìåðîì L » 2,5 ñì íà ôîòîïëåíêó ñ ðàça b ðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ R = 500 øòðèõ/ìì? A Íà êàêîå âðåìÿ t ñëåäóåò îòêðûâàòü çàòâîð ôîòîàïïàðàòà (ýêñïîçèöèÿ), ÷òîáû äâèæåq íèå ñàìîëåòà ñî ñêîðîñòüþ v = 360 êì/÷ íå Ð è ñ. 4.11 ïðèâîäèëî ê ðàçìûòèþ èçîáðàæåíèÿ? 4.53. Íà ùåëü øèðèíîé b ïîëîæåíà ñòåêëÿííàÿ ïðèçìà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n è ïðåëîìëÿþùèì óãëîì a (ðèñ. 4.11). Íà ãðàíü À ïðèçìû íîðìàëüíî ïàäàåò ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà. Íàéòè íàïðàâëåíèÿ íà íóëåâîé ìàêñèìóì è ìèíèìóì â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå Ôðàóíãîôåðà. 4.54. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ïàäàåò íîðìàëüíî íà àáñîëþòíî ÷åðíûé ýêðàí, ðàçìåðû êîòîðîãî âåëèêè ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âîëíû. ×àñòü ýíåðãèè ïîãëîùàåòñÿ ÷åðíûì ýêðàíîì, à ÷àñòü ðàññåèâàåòñÿ èç-çà äèôðàêöèè. Ïîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ïîãëîùåííîé ýíåðãèè ðàâíî êîëè÷åñòâó ðàññåÿííîé. 4.55. Îöåíèòü ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìóþ äëÿ ëîêàöèè Ëóíû ýíåðãèþ E ñâåòîâîé âñïûøêè ðóáèíîâîãî ëàçåðà (l = 0,7 ìêì), åñëè îòðàæåíèå ëó÷à îñóùåñòâëÿëîñü 14 ïðèçìàìè, óñòàíîâëåííûìè íà Ëóíîõîäå-1. Êàæäàÿ èç ïðèçì îòðàæàåò ëó÷ íà óãîë 180o. Îòðàæåíèå îò ïðèçìû ðàññìàòðèâàòü êàê îòðàæåíèå îò ïëîñêîãî çåðêàëà äèàìåòðîì d = 6 ñì. Ïîñûëêà è ïðèåì ëó÷à îñóùåñòâëÿëèñü òåëåñêîïîì Ñèìåèçñêîé îáñåðâàòîðèè. Äèàìåòð çåðêàëà òåëåñêîïà D = 2,6 ì. Ïðè ïðèåìå ìîã áûòü îáíàðóæåí ñèãíàë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ôîòîíîâ. 4.56. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà èíòåíñèâíîñòè äèôðàãèðîâàííîãî ñâåòà îò äîïîëíèòåëüíûõ ýêðàíîâ ñîâïàäàþò âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ, çà èñêëþ÷åíèåì íàïðàâëåíèÿ ïàäàþùåé âîëíû (ïðèíöèï Áàáèíå). Äîïîëíèòåëüíûìè íàçûâàþò äâà ýêðàíà, ó êîòîðûõ íåïðîçðà÷íûå ìåñòà îäíîãî ýêðàíà ïî ôîðìå è ïîëîæåíèþ ñîâïàäàþò ñ îòâåðñòèÿìè íà äðóãîì ýêðàíå. 4.57. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà íàõîäèòñÿ íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè à îò ùåëè øèðèíîé D. Çà ùåëüþ íà ðàññòîÿíèè b îò íåå ïîìåùåí ýêðàí, ïëîñêîñòü êîòîðîãî ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ùåëè. Ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ èñòî÷íèê ñâåòà ñ ñåðåäèíîé ùåëè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè ýêðàíà. Íàéòè ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ ðàññòîÿíèÿ õ ìåæäó öåíòðàëüíûì ìàêñèìóìîì è ïåðâûì äèôðàêöèîííûì ìèíèìóìîì íà ýêðàíå, ñ÷èòàÿ, ÷òî óãëû äèôðàêöèè ìàëû. Íàéòè óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåííîãî âûðàæåíèÿ. 4.58. Êàìåðà-îáñêóðà äëèíîé L = 10 ñì ñ ìàëûì îòâåðñòèåì ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ôîòîãðàôèðîâàíèÿ óäàëåííûõ ïðåäìåòîâ. Îöå89

íèòü äèàìåòð îòâåðñòèÿ D êàìåðû, ïðè êîòîðîì îíà èìååò íàèáîëüøóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü. Äëèíà âîëíû l = 5000 Å. 4.59. Ïó÷îê ôòîðèñòîâîäîðîäíîãî ëàçåðà, ðàáîòàþùåãî â îäíîìîäîâîì ðåæèìå íà äëèíå âîëíû l = 3 ìêì, ôîðìèðóåòñÿ çåðêàëàìè äèàìåòðîì D = 3 ì. Íà êàêîì ìàêñèìàëüíîì ðàññòîÿíèè L ìîæåò íàõîäèòüñÿ ìèøåíü, ÷òîáû ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè íà íåé áûëà ïðàêòè÷åñêè ðàâíà ïëîòíîñòè ïîòîêà íà çåðêàëå? 4.60. Îöåíèòü, âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àþòñÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû l = 1 ìêì â ôîêóñå ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà (äèàìåòð D = 10 ñì, ðàäèóñ êðèâèçíû R = 1 ì) è íà åãî âõîäå. 4.61. Ïëîñêàÿ âîëíà ïðîõîäèò ÷åðåç ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï = 3/2, ïàäàÿ íà åå ïîâåðõíîñòü íîðìàëüíî (ðèñ. 4.12). Òîëùèíà ïëàñòèíêè èñïûòûâàåò ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå íà âåëè÷èíó b = 2l/3 âäîëü ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó C ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå Î, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ñ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè ðèñóíêà, åñëè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â ýòîé òî÷êå â ñëó÷àå ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè (ò. å. ïðè b = 0) ðàâíà I0. 4.62. Ïëîñêàÿ âîëíà ïðîõîäèò ÷åðåç ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï, ïàäàÿ íà åå ïîâåðõíîñòü íîðìàëüíî (ðèñ. 4.12). Òîëùèíà ïëàñòèí èñïûòûâàåò ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå íà âåëè÷èíó b âäîëü íåêîòîðîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ñ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ b èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå Î, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ñ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè ðèñóíêà, áóäåò âäâîå ìåíüøå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà â òîé æå òî÷êå Î â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ óñòóïà íà ïëàñòèíêå? Äëèíà âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà ðàâíà l. 4.63. Äèôðàêöèîííûå ïîëîñû îò äâóõ îäèíàêîâûõ ïàðàëëåëüíûõ ùåëåé íàáëþäàþòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè F ëèíçû L (ðèñ. 4.13). Ùåëè îñâåùåíû áåñêîíå÷íî óäàëåííûìè ëèíåéíûìè èñòî÷íèêàìè ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ïàðàëëåëüíûìè ùåëÿì. Ïðè l

I0

îò S1 îò S2 îò S1

îò S2

D

b C

O Ð è ñ. 4.12

90

L

F

F Ð è ñ. 4.13

êàêîì óãëîâîì ðàññòîÿíèè ìåæäó S1 è S2 äèôðàêöèîííûå ïîëîñû èñ÷åçíóò, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ùåëåé ðàâíî D è âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ øèðèíîé ùåëè è äëèíîé ñâåòîâîé âîëíû l? 4.64.  óñòàíîâêå, îïèñàííîé â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, èñòî÷íèêè S1 è S2 ïîìåùåíû â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè êîëëèìàòîðíîé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f. Ïðè êàêîì ðàññòîÿíèè õ ìåæäó S1 è S2 äèôðàêöèîííûå ïîëîñû èñ÷åçíóò? 4.65. Íà ðèñ. 4.14 èçîáðàæåíà ñõåìà èíòåðôåðåíöèîííîãî îïûòà Þíãà, â êîòîðîì èñïîëüçóåòñÿ ÿâëåíèå äèôðàêöèè ñâåòà íà äâóõ ùåëÿõ.  êà÷åñòâå èñòî÷íèêà ñâåòà èñïîëüçóåòñÿ ëàçåð, ðàáîòàþùèé íà äëèíå âîëíû l = 6328 Å. Ïó÷îê ñâåòà íà âûõîäå ëàçåðà èìååò ïëîñêèé âîëíîâîé ôðîíò. Äèàìåòð ïó÷êà d = 2 ìì. Ïðè êàêîì ðàññòîÿíèè ìåæäó ùåëÿìè D âîçìîæíî íàáëþäåíèå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íà ýêðàíå, åñëè ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà äî äâîéíîé ùåëè L = 4 ì? Ýêðàí

Ëàçåð d

D

L Ð è ñ. 4.14

4.66. Êâàäðàòíîå îòâåðñòèå ñî ñòîðîíîé L0 = 0,2 ñì îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ñîëíå÷íûõ ëó÷åé, ïàäàþùèõ íîðìàëüíî ê ïëîñêîñòè îòâåðñòèÿ. Íàéòè ôîðìó è ðàçìåð L ´ L èçîáðàæåíèÿ îòâåðñòèÿ íà ýêðàíå, óäàëåííîì íà 50 ì îò íåãî, åñëè ïëîñêîñòü ýêðàíà ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè îòâåðñòèÿ. Ãðàíèöåé îñâåùåííîñòè íà ýêðàíå ñ÷èòàòü ïîëîæåíèå ïåðâîãî äèôðàêöèîííîãî ìèíèìóìà íàèáîëåå ñèëüíî îòêëîíÿåìûõ ëó÷åé (âèäèìûé ñïåêòð 7000–4000 Å). 4.67. Äèàôðàãìà ëèíçû èìååò ôîðìó êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé D. Òî÷å÷íûé ìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ïîìåùàåòñÿ íà ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ïîëó÷àþùååñÿ â ðåçóëüòàòå äèôðàêöèè â ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà. 4.68. Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà ïëîñêîé âîëíû íà ùåëè íàáëþäàåòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü â ôîêóñå ëèíçû, åñëè ùåëü íàêðûòü ïëîñêîïàðàëëåëü91

íîé ïëàñòèíêîé, àìïëèòóäíûé êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ êîòîðîé èìååò âèä t(õ) = sin (px/à)? Îñü õ íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ùåëè, òî÷êè õ = 0 è õ = à – êîîðäèíàòû êðàåâ ùåëè. 4.69. Íàéòè êàðòèíó äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé íåïîëÿðèçîâàííîé âîëíû íà äëèííîé ïðÿìîé ùåëè øèðèíîé b, âäîëü îñè êîòîðîé ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåíà äëèííàÿ ïëàñòèíêà èç ïîëÿðîèäà øèðèíîé b/2. 4.70. Íà ùåëü øèðèíîé à íîðìàëüíî ïàäàåò ïëîñêàÿ âîëíà ñ äëèíîé âîëíû l. Ùåëü çàêðûòà äâóìÿ ñòåêëÿííûìè ïëàñòèíêàìè øèðèíîé à/2 è òîëùèíîé h ñ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è ï2 è êîýôôèöèåíòàìè ïðîïóñêàíèÿ (ïî èíòåíñèâíîñòè) t1 è t2. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå Ôðàóíãîôåðà. Ïðè êàêîì óñëîâèè â öåíòðå êàðòèíû ïîëó÷àåòñÿ òåìíàÿ ïîëîñà? 4.71. Ðàññ÷èòàòü è ïðîàíàëèçèðîâàòü äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñâåòà íà ïèëîîáðàçíóþ ðåøåòêó (ðèñ. 4.15), ñäåëàííóþ èç ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï. ×èñëî çóáüåâ ðåøåòêè ðàâíî N, a >> h. Äëèíà âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà ðàâíà l. 4.72. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà (äëèíà âîëíû l) ïàäàåò íà ïëîñêîâîãíóòóþ ñôåðè÷åñêóþ ëèíçó äèàìåòðîì 2r0 (ðèñ. 4.16). Ïðîñòðàíñòâî âíå ëèíçû çàêðûòî ýêðàíîì. Âû÷èñëèòü èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå À öåíòðà êðèâèçíû ëèíçû, ëåæàùåé íà îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû. Ïðè êàêèõ ðàäèóñàõ ëèíçû r0màõ èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå À ìàêñèìàëüíà (r0 << R)? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû ï. 4.73. Öèëèíäðè÷åñêàÿ ëèíçà øèðèíîé D îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà. Öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü ëèíçû (ðèñ. 4.17) ïåðåêðûâàåòñÿ ïðîçðà÷íîé ïîëîñêîé, âíîñÿùåé ôàçîâóþ çàäåðæêó p. Êàêîâà øèðèíà ïîëîñêè b, åñëè öåíòðàëüíûé äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì ñóçèëñÿ âäâîå? Êàê èçìåíèëàñü ïðè ýòîì èíòåíñèâíîñòü â ôîêóñå? 4.74. Öèëèíäðè÷åñêàÿ ëèíçà îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà (ðèñ. 4.18). Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü â ôîêóñå è øèðèíà öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà, åñëè öåíòð ëèíçû ïåðåêðûòü íåïðîçðà÷íîé ïîëîñêîé, øèðèíà êîòîðîé i(wt+kx)

E0 e R A

a

r0

h

Ð è ñ. 4.15

92

Ð è ñ. 4.16

b

D

f Ð è ñ. 4.17

Ð è ñ. 4.18

âäâîå ìåíüøå øèðèíû ëèíçû? Êàê èçìåíèòñÿ ñâåòîâîé ïîòîê â öåíòðàëüíîì ìàêñèìóìå? 4.75. Îöåíèòü, âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ óãëîâîå ðàçðåøåíèå òåëåñêîïà, åñëè öåíòðàëüíóþ ÷àñòü åãî îáúåêòèâà çàêðûòü íåïðîçðà÷íûì ýêðàíîì. Äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàòü ñå÷åíèÿ îáúåêòèâà è ýêðàíà ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûìè êâàäðàòàìè ñî ñòîðîíàìè D è d ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå èçìåíåíèå ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè. 4.76. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà (òðóáà èëè ìèêðîñêîï) äàåò â êà÷åñòâå èçîáðàæåíèÿ ñâåòÿùåéñÿ òî÷êè ñèñòåìó äèôðàêöèîííûõ êîëåö. Ñîãëàñíî Ðýëåþ, ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè, êîòîðûå åùå èçîáðàæàþòñÿ ðàçäåëüíî, îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî öåíòðàëüíûé ñâåòëûé êðóæîê îò ïåðâîé ñâåòÿùåéñÿ òî÷êè äîëæåí ïðèõîäèòüñÿ íà ïåðâîå òåìíîå êîëüöî äèôðàêöèîííîé êàðòèíû, ïîëó÷åííîé îò âòîðîé ñâåòÿùåéñÿ òî÷êè. Îðèåíòèðîâî÷íî ìîæíî ïðèíÿòü, ÷òî ãëàç ñïîñîáåí ðàçëè÷èòü äâå áëèçêèå òî÷êè, åñëè ìàêñèìóìû îñâåùåííîñòè â ìåñòàõ èõ ãåîìåòðè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé ïðåâîñõîäÿò èíòåíñèâíîñòü ïîñðåäèíå ìåæäó íèìè íå ìåíåå ÷åì íà 15 %. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïðîâåðèòü, äåéñòâèòåëüíî ëè ïðè âûïîëíåíèè êðèòåðèÿ Ðýëåÿ ïîëó÷àòñÿ ðàçäåëüíûå èçîáðàæåíèÿ äâóõ ñàìîñâåòÿùèõñÿ òî÷åê. Ó ê à ç à í è å: äëÿ ïðîñòîòû ðàñ÷åòà ïðèíÿòü, ÷òî äèàôðàãìà êâàäðàòíàÿ.  ñëó÷àå êðóãëîé äèàôðàãìû ðåçóëüòàòû ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò òåõ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ äëÿ êâàäðàòíîé äèàôðàãìû.

4.77. Ðåøèòü ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èçîáðàæàåìûå òî÷êè íå ñàìîñâåòÿùèåñÿ, à îñâåùàþòñÿ îäíèì è òåì æå èñòî÷íèêîì ñâåòà. Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü äâà êðóãëûõ îòâåðñòèÿ â ýêðàíå, ðàçìåðû êîòîðûõ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè. Ðàññìîòðåòü êà÷åñòâåííî òðè ñëó÷àÿ: 1) îòâåðñòèÿ îñâåùàþòñÿ ïó÷êîì ëó÷åé, ïàðàëëåëüíûõ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè; 2) îòâåðñòèÿ îñâåùàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè ëó÷àìè, íàêëîíåííûìè ê ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè; 3) îòâåðñòèÿ îñâåùàþòñÿ äèôôóçíûì ñâåòîì. 4.78. Ïðè àýðîôîòîñúåìêå ìåñòíîñòè èñïîëüçóåòñÿ îáúåêòèâ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 10 ñì è äèàìåòðîì D = 5 ñì. Ñúåìêà ïðîèçâîäèòñÿ íà ôîòîïëåíêó, èìåþùóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü R = 100 ìì–1. Îïðåäåëèòü, êàêèå äåòàëè ìåñòíîñòè ìîãóò áûòü ðàçðåøåíû íà ôîòîãðàôèÿõ, åñëè ñúåìêà ïðîèçâîäèëàñü ñ âûñîòû h = 10 êì. 93

Òåìà5 ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÑÂÅÒÀ  ÈÇÎÒÐÎÏÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ. ÎÒÐÀÆÅÍÈÅ È ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ ÑÂÅÒÀ ÍÀ ÃÐÀÍÈÖÅ ÐÀÇÄÅËÀ ÈÇÎÒÐÎÏÍÛÕ ÑÐÅÄ Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Óêàæèòå èçâåñòíûå Âàì ñïîñîáû îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ñâåòà. Êàêàÿ ñêîðîñòü îáû÷íî èçìåðÿåòñÿ â îïòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå? 2.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñîâðåìåííûé ìåòîä èçìåðåíèÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ? 3. Äàéòå îïðåäåëåíèå ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòåé ñâåòà. 4. Íàïèøèòå ôîðìóëó Ðýëåÿ, ñâÿçûâàþùóþ ôàçîâóþ è ãðóïïîâóþ ñêîðîñòè ñâåòà. 5. Ðåìåð èçìåðÿë ñêîðîñòü ñâåòà, íàáëþäàÿ çàòìåíèå ñïóòíèêîâ Þïèòåðà, à Ôèçî îñóùåñòâèë èçìåðåíèå ñêîðîñòè ñâåòà â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ, èñïîëüçóÿ ìåòîä «ïðåðûâàíèé» ñ ïîìîùüþ çóá÷àòîãî êîëåñà. Êàêàÿ ñêîðîñòü ñâåòà èçìåðÿåòñÿ ýòèìè ìåòîäàìè – ôàçîâàÿ èëè ãðóïïîâàÿ? 6.  êàêîì ñëó÷àå ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ñâåòà ñîâïàäàåò ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ? 7.  êàêîì ñëó÷àå ïîíÿòèå ãðóïïîâîé ñêîðîñòè òåðÿåò ñìûñë? Äàéòå êà÷åñòâåííóþ õàðàêòåðèñòèêó ïîíÿòèÿ ñèãíàëüíîé ñêîðîñòè. 8. Ìîæíî ëè â ïðèíöèïå â ñðåäå ïåðåäàòü ñèãíàë ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè ñâåòà? 9. Äàéòå îïðåäåëåíèå äèñïåðñèè ñâåòà. Îïèøèòå ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ äèñïåðñèè. 10. Íàïèøèòå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ óïðóãîñâÿçàííîãî ýëåêòðîíà â àòîìå. Êàêèå ñèëû äåéñòâóþò íà óïðóãîñâÿçàííûé ýëåêòðîí? 11. Ââåäèòå ïîíÿòèå íîðìàëüíîé è àíîìàëüíîé äèñïåðñèè ñâåòà. 12.  êàêèõ îáëàñòÿõ íàáëþäàåòñÿ íîðìàëüíàÿ è àíîìàëüíàÿ äèñïåðñèÿ. 13. ×åì îáúÿñíÿåòñÿ îñëàáëåíèå ñâåòà ïðè åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç âåùåñòâî? 14.  ÷åì îòëè÷èå ïîãëîùåíèÿ ñâåòà îò ðàññåÿíèÿ ñâåòà? 15. Çàïèøèòå çàêîí ïîãëîùåíèÿ ñâåòà. 16. Êàêóþ èíôîðìàöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñïåêòðîâ ïîãëîùåíèÿ? 17. ×òî òàêîå «ïðîçðà÷íàÿ» ñðåäà? 94

18. Êàêîâ ñìûñë ââåäåíèÿ êîìïëåêñíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ? Âñåãäà ëè çàòóõàíèå âîëíû ñâÿçàíî ñ ïîãëîùåíèåì ñâåòà? 19. ×òî òàêîå íåîäíîðîäíàÿ âîëíà? ×åì îíà îòëè÷àåòñÿ îò îäíîðîäíîé âîëíû è êîãäà âîçíèêàåò? 20. Íàðèñóéòå çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ îò ÷àñòîòû â ïðåíåáðåæåíèè çàòóõàíèåì. Êîãäà òàêàÿ çàâèñèìîñòü ðåàëèçóåòñÿ íà îïûòå? 21. Íàðèñóéòå çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ ïðåëîìëåíèÿ è ïîãëîùåíèÿ âáëèçè ëèíèè ïîãëîùåíèÿ. Îïèøèòå ýêñïåðèìåíò, èëëþñòðèðóþùèé ýòè ÿâëåíèÿ. 22. Íà÷åðòèòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà îò ÷àñòîòû ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ ñâåòà â ñëó÷àå íàëè÷èÿ íåñêîëüêèõ ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ñïåêòðà. 23. Êàê èñòîëêîâàòü âåòâü äèñïåðñèîííîé êðèâîé, ãäå n(w) < 1? ×òî ïðîèñõîäèò â ñëó÷àå àíîìàëüíîé äèñïåðñèè ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ? 24. Ñôîðìóëèðóéòå ðàçëè÷èÿ ìåæäó êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé òåîðèåé äèñïåðñèè. 25. Êàê çàïèøåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ çàâèñèìîñòè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ îò ÷àñòîòû â ñëó÷àå ïëîòíîé ñðåäû? Êàêîâà ðîëü èíôðàêðàñíûõ êîëåáàíèé èîíîâ? 26. ×åì îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ñîîòíîøåíèå n = e, ãäå n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ, e – äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, çíà÷èòåëüíî íàðóøàåòñÿ äëÿ âîäû â îïòè÷åñêîé îáëàñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñïåêòðà? 27.  êàêîé îáëàñòè ëåæàò ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé èîíîâ? 28. Êàêîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò óòâåðæäåíèå, ÷òî äëÿ î÷åíü êîðîòêîâîëíîâîãî èçëó÷åíèÿ äèýëåêòðèê ÿâëÿåòñÿ îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé ñðåäîé, ÷åì âàêóóì? 29. Êàêîâû îñîáåííîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ïëàçìå? 30. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïëàçìû e(w) îòðèöàòåëüíà, åñëè w < wð.  ýòîì ñëó÷àå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n = e = ± ic – ÷èñòî ìíèìàÿ âåëè÷èíà. Âûÿñíèòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ÷èñòî ìíèìîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. 31. Ðàäèîâîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ââåðõ. Âîëíû êàêèõ ÷àñòîò ìîãóò ïðîõîäèòü ÷åðåç èîíîñôåðó? Êàêèå âîëíû áóäóò ïîëíîñòüþ îòðàæàòüñÿ? 32. ×òî òàêîå ðåëàêñàöèîííàÿ (îðèåíòàöèîííàÿ) ïîëÿðèçóåìîñòü? Êàê èñòîëêîâàòü ðàçëè÷èå ìåæäó äèýëåêòðè÷åñêîé ïîñòîÿííîé âîäû, èçìåðåííîé ïðè îïòè÷åñêèõ ÷àñòîòàõ è â ñòàòè÷åñêèõ ïîëÿõ? 33. Êàêîâû îñîáåííîñòè äèñïåðñèè ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé? 95

34.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ìåòîä ñêðåùåííûõ ïðèáîðîâ? Êàêîâû ïðåèìóùåñòâà ýòîãî ìåòîäà èçó÷åíèÿ äèñïåðñèè ñâåòà ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ìåòîäàìè? 35. Êàêîâû ýêñïåðèìåíòàëüíûå òðóäíîñòè èçó÷åíèÿ àíîìàëüíîé äèñïåðñèè?  ÷åì ñóùíîñòü «ìåòîäà êðþêîâ» Ä. Ñ. Ðîæäåñòâåíñêîãî? 36. Êàêàÿ êàðòèíà áóäåò íàáëþäàòüñÿ â ñïåêòðîñêîïå, åñëè íà åãî ùåëü ñôîêóñèðîâàíà ñèñòåìà ãîðèçîíòàëüíûõ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, ïîëó÷àåìûõ îò èñòî÷íèêà áåëîãî ñâåòà? Êàê èçìåíèòñÿ ýòà êàðòèíà, åñëè â îäíî èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà ââåñòè ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó? 37. Êàê èçìåíèòñÿ êàðòèíà, íàáëþäàåìàÿ â ñïåêòðîñêîïå, ñêðåùåííîì ñ èíòåðôåðîìåòðîì Æàìåíà, åñëè èçìåíèòü òîëùèíó è äèñïåðñèþ âíîñèìîé â îäíî èç ïëå÷ ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè? Êàê èçìåíèòñÿ êàðòèíà ïðè ïåðåíîñå ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè èç îäíîãî ïëå÷à â äðóãîå? 38. Êàêîé âèä áóäåò èìåòü èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà, åñëè â îäíîì èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà íàõîäèòñÿ ñëîé ïàðîâ íàòðèÿ, à â äðóãîì – ñòåêëÿííàÿ ïëàñòèíêà? Ðàññìîòðåòü âèä ïîëîñ âáëèçè ëèíèè ïîãëîùåíèÿ íàòðèÿ. 39. Êàêîâà ðàçíèöà ìåæäó ëó÷åâîé ñêîðîñòüþ ñâåòà, ââåäåííîé äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýíåðãèè â àíèçîòðîïíîé ñðåäå, è ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ ñâåòà, ðàññìàòðèâàåìîé â äàííîé òåìå. dv 40.  îáëàñòè àíîìàëüíîé äèñïåðñèè < 0 (v – ôàçîâàÿ ñêîdl ðîñòü, l – äëèíà âîëíû â ñðåäå) âîçìîæíî, ÷òî ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü dv áóäåò áîëüøå c – ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå. Êàê ñîãëàñîu =v - l dl âàòü ýòî ñ âûâîäîì òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè î íåâîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ñèãíàëîâ, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ñî ñêîðîñòüþ áîëüøå ñ? 41. Ïîêàæèòå, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ñâÿçü ìåæäó ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòÿìè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí èìååò âèä vu = c2, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ïðåâîñõîäèò ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. 42. Ñôîðìóëèðóéòå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ïîëÿ âîëíû, êîòîðûå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ. 43. Ïîëó÷èòå èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ âåêòîðîâ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé âîëí çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ. 44. Âûâåäèòå çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ. 45. Ìåíÿåòñÿ ëè ÷àñòîòà âîëíû ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä? Íà êàêîì îáùåì ïðèíöèïå îñíîâàíî ðàññìîòðåíèå ýòîãî âîïðîñà è êîãäà îí íàðóøàåòñÿ? 96

46. Ñôîðìóëèðóéòå ïîñòàíîâêó çàäà÷è ïðè âûâîäå ôîðìóë Ôðåíåëÿ. 47. Çàïèøèòå ôîðìóëû Ôðåíåëÿ äëÿ àìïëèòóä îòðàæåííîãî è ïðåëîìëåííîãî ñâåòà. Ïðîâåäèòå èõ àíàëèç. 48. Ïðîàíàëèçèðóéòå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ôàçàìè âîëí ïðè îòðàæåíèè èëè ïðåëîìëåíèè. 49. ×òî ïðîèñõîäèò ïðè ïàäåíèè ñâåòà íà ãðàíèöó äâóõ ñðåä ïîä óãëîì Áðþñòåðà? 50. Êàêîâ õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè îòðàæåííîãî ñâåòà, åñëè ëó÷ ïàäàåò íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä ïîä óãëîì Áðþñòåðà? 51. Ââåäèòå ïîíÿòèå ýíåðãåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ. Èññëåäóéòå èõ çàâèñèìîñòü îò óãëà ïàäåíèÿ è ïîëÿðèçàöèè âîëíû. 52. Êàê ñâÿçàí óãîë Áðþñòåðà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû? 53. Êàêîâ ôèçè÷åñêèé ìåõàíèçì âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòîâîé âîëíû ñ âåùåñòâîì â ñëó÷àå ïàäåíèÿ ñâåòà ïîä óãëîì Áðþñòåðà? 54. Äàéòå îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ïîëÿðèçàöèè îòðàæåííîãî è ïðåëîìëåííîãî ñâåòà. 55. Êàê óñòðîåíà ñòîïà Ñòîëåòîâà? Ñ êàêîé öåëüþ åå ìîæíî ïðèìåíÿòü â ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ? 56. Äàéòå îïðåäåëåíèå àçèìóòà êîëåáàíèé. Óêàæèòå ïðåäåëû åãî èçìåíåíèÿ. 57. Äàéòå îïðåäåëåíèå êðèòè÷åñêîãî óãëà â ÿâëåíèè ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ. Êàêèì îáðàçîì ìîæíî ðåàëèçîâàòü ýòî ÿâëåíèå â ôèçè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå? 58. Ôàçû êîëåáàíèé êàêèõ âåêòîðîâ âîëíû èçìåíÿþòñÿ ïðè îòðàæåíèè è íà ñêîëüêî? 59. ×òî ïðîèñõîäèò ñ ôàçîé âåêòîðà E ïðè ïàäåíèè âîëíû íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ ïîä ðàçíûìè óãëàìè? Êîãäà ïðîèñõîäèò ïîòåðÿ «ïîëâîëíû» è êàê ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â îïòèêå? 60. Èçìåíÿþòñÿ ëè ôàçû êîëåáàíèé âåêòîðîâ ïîëÿ ïðè ïðåëîìëåíèè? 61. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ ñâåòà. 62. Íàðèñóéòå çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ R îò óãëà ïàäåíèÿ ïðè n2 > n1. Èçìåíèòñÿ ëè R ïðè îáðàùåíèè ñâåòîâûõ ïó÷êîâ? 63. Ðàññìîòðèòå ÿâëåíèå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ è îïèøèòå ñâîéñòâà âîëíû, ïðîíèêàþùåé âî âòîðóþ ñðåäó. 64. Êîãäà âîçíèêàåò ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå? Îïèøèòå îïûòû, ãäå îíî ïðîÿâëÿåòñÿ è èñïîëüçóåòñÿ. 65. Êàêèì îáðàçîì ìîæíî íàáëþäàòü ïðîíèêíîâåíèå âîëíû âî âòîðóþ ñðåäó ïðè ïîëíîì âíóòðåííåì îòðàæåíèè? 97

66. Íà êàêóþ ãëóáèíó ïðîíèêàåò âîëíà âî âòîðóþ ñðåäó ïðè ïîëíîì âíóòðåííåì îòðàæåíèè? 67. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò ñâåòîâîå ïîëå âî âòîðîé ñðåäå ïðè ïîëíîì âíóòðåííåì îòðàæåíèè? 68. Âîçìîæíî ëè ïîëíîå îòðàæåíèå ïðè ïàäåíèè âîëíû íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä ñî ñòîðîíû îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé ñðåäû. 69. Çàâèñèò ëè ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû, ïðîíèêøåé âî âòîðóþ ñðåäó è äâèæóùåéñÿ ïàðàëëåëüíî ãðàíèöå ðàçäåëà, îò óãëà ïàäåíèÿ? 70. Íàðèñóéòå çàâèñèìîñòü R(j) ïðè n2 < n1. 71. Îïèøèòå êà÷åñòâåííî ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â ïðîâîäÿùåé ñðåäå. 72. Êàêèå îñîáåííîñòè íàáëþäàþòñÿ ó ñâåòîâîé âîëíû ïðè îòðàæåíèè åå îò ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà? 73. Êàêèìè ôàêòîðàìè îïðåäåëÿåòñÿ ïîëÿðèçàöèÿ âîëíû, îòðàæåííîé îò ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòè? Ê êàêîìó âèäó îòíîñèòñÿ ýòà ïîëÿðèçàöèÿ? 74. Êàê êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ çàâèñèò îò ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëà è êàêîâî åãî çíà÷åíèå ó õîðîøèõ ïðîâîäíèêîâ? 75.  ÷åì ïðè÷èíà âîçíèêíîâåíèÿ ðàçíîñòè ôàç êîëåáàíèé âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðîâîäÿùåé ñðåäå? 76. Êàêèìè ôèçè÷åñêèìè ôàêòîðàìè îáóñëîâëåíî óìåíüøåíèå äëèíû âîëíû â ïðîâîäÿùåé ñðåäå ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âîëíû â íåïðîâîäÿùåé ñðåäå ñ îäèíàêîâûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè è ìàãíèòíûìè ïðîíèöàåìîñòÿìè. 77. Êàêèìè ôàêòîðàìè îïðåäåëÿåòñÿ ïîëÿðèçàöèÿ âîëíû, îòðàæåííîé îò ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòè? Ê êàêîìó âèäó îòíîñèòñÿ ýòà ïîëÿðèçàöèÿ? 78. Êàêèå âèäû ðàññåÿíèÿ ñâåòà Âàì èçâåñòíû? Îõàðàêòåðèçóéòå ñâÿçü ìåæäó íåîäíîðîäíîñòüþ ñðåäû è ÿâëåíèåì ðàññåÿíèÿ. 79. Îïèøèòå ñóùíîñòü ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ ñâåòà. Äàéòå èõ êëàññèôèêàöèþ. 80. Óêàæèòå îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè ðàññåÿíèÿ ñâåòà. Îò ÷åãî îíè çàâèñÿò? 81. Îïèøèòå óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå è ïîëÿðèçàöèþ ñâåòà ïðè ðýëååâñêîì ðàññåÿíèè. 82.  êàêîì íàïðàâëåíèè ïðè ðýëååâñêîì ðàññåÿíèè íàáëþäàåòñÿ ïîëíîñòüþ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò?  ÷åì ôèçè÷åñêàÿ ïðè÷èíà ýòîãî ÿâëåíèÿ? 83. Îïèøèòå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïî óãëàì è ïîëÿðèçàöèþ ñâåòà â ðàññåÿíèè Ìè. 84. Ïî÷åìó ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ðàçìåðå ÷àñòèö, íà êîòîðûõ ïðîèñõîäèò ðàññåÿíèå, ðàññåÿíèå Ìè î÷åíü ñëàáî çàâèñèò îò äëèíû âîëíû ñâåòà? 98

85. Îïèøèòå îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè ðàññåÿíèÿ Ìàíäåëüøòàìà – Áðèëëþýíà. 86. Êàê îáðàçóþòñÿ â ðàññåÿííîì ñâåòå êîìïîíåíòû Ìàíäåëüøòàìà – Áðèëëþýíà? 87. Êàêèå ôèçè÷åñêèå ïðè÷èíû îáóñëîâëèâàþò ïðèñóòñòâèå â ðàññåÿííîì ñâåòå íåñìåùåííîé ÷àñòîòû? 88. Êàêîâû îñíîâíûå îñîáåííîñòè ÿâëåíèÿ Ìàíäåëüøòàìà – Áðèëëþýíà â òâåðäûõ òåëàõ? 89. Îïèøèòå îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè êîìáèíàöèîííîãî ðàññåÿíèÿ. 90. Êàêèå ôèçè÷åñêèå ôàêòîðû îáóñëîâëèâàþò ñóùåñòâîâàíèå ïîëîñàòûõ ñïåêòðîâ ìîëåêóë? 91. Ïî÷åìó áëèæàéøèå ê öåíòðàëüíîé ÷àñòîòå ñòîêñîâû ñïóòíèêè çíà÷èòåëüíî èíòåíñèâíåå àíòèñòîêñîâûõ è ïî÷åìó ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ýòî ðàçëè÷èå óìåíüøàåòñÿ? 92. Ïî÷åìó íå âñåì ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì êîëåáàíèé ìîëåêóë óäàåòñÿ ñîïîñòàâèòü êîìáèíàöèîííóþ ÷àñòîòó â ñïåêòðå êîìáèíàöèîííîãî ðàññåÿíèÿ? 93. Íà÷åðòèòå ïðèíöèïèàëüíóþ ñõåìó óñòàíîâêè äëÿ íàáëþäåíèÿ «ïðîäîëüíîãî» è «ïîïåðå÷íîãî» ýôôåêòîâ Çååìàíà. 94. Ïîêàæèòå, ÷òî ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  îêàçûâàåò íà èçëó÷àþùèé ýëåêòðîí òàêîå æå âëèÿíèå, êàê è âðàùåíèå èñòî÷íèêà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ W = – [e/(2m)] B. 95. Ïî÷åìó íåñìåùåííàÿ êîìïîíåíòà îòñóòñòâóåò ïðè íàáëþäåíèè âäîëü ïîëÿ? 96. Êàê ýëåêòðîííàÿ òåîðèÿ îáúÿñíÿåò ïîëÿðèçàöèþ è îòíîñèòåëüíóþ èíòåíñèâíîñòü êîìïîíåíò ïðè íàáëþäåíèè ïîïåðåê ïîëÿ? 97. Ïîêàæèòå, ÷òî ñëîæåíèå âñåõ êîìïîíåíò äàåò íåïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ïðè íàáëþäåíèè â ëþáîì íàïðàâëåíèè. Ó÷òèòå, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè ïîëÿ âñå íàïðàâëåíèÿ êîëåáàíèé ýëåêòðîíà ðàâíîâåðîÿòíû. 98. Êàêèì îáðàçîì ýôôåêò Çååìàíà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü çíàê çàðÿäà ÷àñòèöû, îòâåòñòâåííîé çà èñïóñêàíèå ñâåòà àòîìàìè? 99. ×òî òàêîå p- è s-êîìïîíåíòû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ïðè íàáëþäåíèè ýôôåêòà Çååìàíà? Êàêîâ õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè ýòèõ êîìïîíåíò? 100. Êàê çàâèñèò âåëè÷èíà ðàñùåïëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ëèíèè â ýôôåêòå Çååìàíà îò âåëè÷èíû íàïðÿæåííîñòè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ? 101.  ÷åì çàêëþ÷àþòñÿ îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåîðèè âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè, ïðåäëîæåííîé Ôðåíåëåì? 102. Íà ÷åì áàçèðóåòñÿ ìîäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î ïðèðîäå îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè? Äàéòå êà÷åñòâåííîå îïèñàíèå ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè. 99

103. Îïèøèòå ñõåìó îïûòîâ ïî ìàãíèòíîìó âðàùåíèþ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè.  ÷åì îíî ñõîæå ñ åñòåñòâåííûì âðàùåíèåì è ÷åì îòëè÷àåòñÿ îò íåãî? 104. Êàêîâ ôèçè÷åñêèé ìåõàíèçì, ïðèâîäÿùèé ê ïîâîðîòó ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ â âåùåñòâå, ïîìåùåííîì â ìàãíèòíîå ïîëå? 105. Êàê óãîë ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â ýôôåêòå Ôàðàäåÿ çàâèñèò îò âåëè÷èíû âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ?

Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð 1. Ðàññìàòðèâàÿ ñâåòîâîé èìïóëüñ, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí E0 cos (wt – kx) è E0 cos (w¢t – k¢x), íàéòè ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü u ýòîãî èìïóëüñà. Ðåøåíèå. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è E = E0 cos (wt – kx) + E0 cos (w¢t – – k¢x), ãäå E – ñóììàðíîå èçëó÷åíèå. Îòñþäà é(w¢ + w) t (k ¢ + k)x ù é(w¢ - w) t (k ¢ - k)x ù E = 2E 0 cos ê cos ê úû . (1) ú 2 2 2 2 û ë ë Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ÷àñòîòû è âîëíîâûå ÷èñëà ðàññìàòðèâàåìûõ êîëåáàíèé îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà áåñêîíå÷íî ìàëûå âåëè÷èíû, ò. å. w¢ – w = dw, k¢ – k = dk, w¢ + w k¢ + k @ w, @ k. 2 2 Ó÷èòûâàÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, çàïèøåì dk ö æ dw E = 2E 0 cosç tx ÷ cos(wt - kx). 2 ø è 2

(2)

(3)

Ïîëó÷åííîå êîëåáàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå, õàðàêòåðèçóåìîå ÷àñòîòîé w è âîëíîâûì ÷èñëîì k, ñ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå «àìïëèòóäîé»: dk ö æ dw 2E 0 cosç tx ÷. 2 ø è 2 Ðàññìàòðèâàåìàÿ «àìïëèòóäà» äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè dw dk (4) tx = mp (m = 0, 1, 2, …). 2 2 100

Íàçîâåì ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ âîëíîâîãî ïàêåòà (âîëíîâîãî èìïóëüñà) ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ìàêñèìóìà àìïëèòóäû ðàññìàòðèâàåìîãî ïàêåòà. Äèôôåðåíöèðóÿ (4), íàõîäèì dx dw . (5) = dt dk Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (5) ïðåäïîëàãàåò ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû îò âîëíîâîãî ÷èñëà. Ôóíêöèÿ w = v(k) âûðàæàåò çàêîí äèñïåðñèè. Çàêîí äèñïåðñèè îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñâåò. u=

Ïðèìåð 2. Âûðàçèòü ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü u = dw/dk ÷åðåç ôàçîâóþ ñêîðîñòü ñâåòà v è dv/dl, à òàêæå ÷åðåç v è dn /dl. Ðåøåíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ ôàçîâîé ñêîðîñòè v=

v , k

(6)

ãäå v è k – ÷àñòîòà è âîëíîâîå ÷èñëî ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû ñîîòâåòñòâåííî.  ñâîþ î÷åðåäü, k = 2p/l,

(7)

ãäå l – äëèíà ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû. Äèôôåðåíöèðóÿ (6) è (7), ïîëó÷èì dv =

dk(kdv dk - v) , k2

dk = –2pdl/l2. Ïîäñòàâëÿÿ (9) è (7) â (8), íàõîäèì dv = Îòñþäà

(8) (9)

dl æ 2p dv ö - v÷ . ç 3p è l dk ø

dv 1 dv v =+ , dl l dk 2p

èëè

dv dv v (10) =+ . dl dk 2p Âñïîìíèâ îïðåäåëåíèÿ ãðóïïîâîé è ôàçîâîé ñêîðîñòåé, íàõîäèì l

u =v - l

dv . dl

(11) 101

Ôîðìóëà (11) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ðýëåÿ äëÿ ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòåé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî n = c/v, ãäå c – ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå, àíàëîãè÷íî íàõîäèì l dn ö æ (12) u = vç 1 + ÷. n dl ø è Ïðèìåð 3.  ñðåäå, ñîñòîÿùåé èç íåïîëÿðíûõ ìîëåêóë (ò. å. ìîëåêóë, äèïîëüíûé ìîìåíò êîòîðûõ â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ïîëÿ ðàâåí íóëþ), ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ÷àñòîòû w. Ðàññìàòðèâàÿ âçàèìîäåéñòâèå âîëíû ñî ñâÿçàííûìè ýëåêòðîíàìè, íàéòè çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû îò ÷àñòîòû ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ðåøåíèå. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ýëåêòðîíû â àòîìàõ è ìîëåêóëàõ (òàê íàçûâàåìûå «ñâÿçàííûå» ýëåêòðîíû) âåäóò ñåáÿ òàê, êàê åñëè áû ïðè îòêëîíåíèè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà íèõ äåéñòâîâàëà êâàçèóïðóãàÿ âîçâðàùàþùàÿ ñèëà r r (13) Fóïð = -kr, r ãäå r – ðàäèóñ-âåêòîð ñìåùåíèÿ ýëåêòðîíà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ïðîöåññå êîëåáàíèé ýëåêòðîí èçëó÷àåò ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, êîòîðûå óíîñÿò ýíåðãèþ. Èìåþòñÿ è äðóãèå ïðè÷èíû, ïðèâîäÿùèå ê ïîòåðÿì ýíåðãèè ýëåêòðîíîì, äâèæóùèìñÿ â àòîìå (ìîëåêóëå). Ýíåðãåòè÷åñêèå ïîòåðè ìîæíî ó÷åñòü, åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå òîðìîçÿùóþ ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ýëåêòðîí: r r (14) Fòîð = -gr, ãäå g – ýôôåêòèâíûé «êîýôôèöèåíò òðåíèÿ». Íàêîíåö, ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â ïîëå âíåøíåé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû è íà íåãî ñî ñòîðîíû ýòîé âîëíû äåéñòâóåò ñèëà Ëîðåíöà: r r r r FËîð = eE + e[r ´ B], r r ãäå e – çàðÿä ýëåêòðîíà; E, B – ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå. r Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà r ìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â âàêóóìå.  ýòîì ñëó÷àå ñèëà Ëîðåíöà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå r r (15) FËîð = eE. Ñ ó÷åòîì (13)–(15) óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñâÿçàííîãî ýëåêòðîíà â ïîëå âíåøíåé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû èìååò âèä r r r r (16) mr&& = -kr - gr& + eE, 102

ãäå m – ìàññà ýëåêòðîíà. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ çàäà÷è ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíîé, ò. å. r r (17) E = E 0 e - iwt , òî óðàâíåíèå (16) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå &&rr + w2 rr + 2drr& = e Er e - iwt , (18) 0 0 m ãäå w0 = k m – «ñîáñòâåííàÿ» ÷àñòîòà êîëåáàíèé ýëåêòðîíà â àòîìå r (ìîëåêóëå), d = g/2m – êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ, E 0 – àìïëèòóäà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (13) áóäåì èñêàòü â âèäå r r (19) r = r0 e - iwt , r ãäå r0 – àìïëèòóäà ñìåùåíèÿ ýëåêòðîíà. Ïîäñòàâèâ (19) â (18) è ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ, ïîëó÷èì r (e m) E 0 r (20) . r0 = [(w20 - w2 ) - 2idw] Òàêèì îáðàçîì, ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïëîñêîé âîëíû íåïîëÿðíàÿ ìîëåêóëà ïðèîáðåòàåò äèïîëüíûé ìîìåíò r r r e2E (21) p = er = . m[(w20 - w2 ) - 2idw] Âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ñðåäû ïî îïðåäåëåíèþ äàåòñÿ âûðàæåíèåì r r r e2N (22) , P = Np = E m[(w20 - w2 ) - 2idw] ãäå N – ÷èñëî ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà. Èç (22) âèäíî, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ ñðåäû ïðîïîðöèîíàëüíà íàïðÿæåííîñòè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ò. å. r r (23) P = e 0 aE. Êîýôôèöèåíò a â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ ñðåäû. Èç (22) è (23) ñëåäóåò, ÷òî e2N (24) . a= 2 e 0 m[(w0 - w2 ) - 2idw] Äèýëåêòðè÷åñêèå ïðîíèöàåìîñòü e è âîñïðèèì÷èâîñòü a ñðåäû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì e = 1 + a.

(25) 103

Ïîäñòàâëÿÿ (24) â (25), ïîëó÷èì e2N . e =1+ 2 e 0 m[(w0 - w2 ) - 2idw]

(26)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, n = e, ãäå n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû, è (26) ïðèíèìàåò âèä e2N (27) n2 = 1 + . e 0 m[(w20 - w2 ) - 2idw] Îöåíêè ïîêàçûâàþò, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå â (27) ÿâëÿåòñÿ ìàëîé âåëè÷èíîé ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé.  ýòîì ñëó÷àå (27) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå e2N (28) . n =1+ 2e 0 m[(w20 - w2 ) - 2idw] Íàéäåííûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé, ò. å. (29) n = n ¢ + in ¢¢, ãäå n¢ è n¢¢ – äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. Èç (28) íàõîäèì, ÷òî ñîáñòâåííî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ e 2 N(w20 - w2 ) (30) . n¢ = 1 + 2e 0 m[(w20 - w2 ) 2 + 4d 2 w2 ] Ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ, êàê èçâåñòíî, îïèñûâàåò çàòóõàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ñðåäå. Ãðàôèê ôóíêöèè n¢(w) èçîáðàæåí íà ðèñ. 5.1. Îáëàñòü âáëèçè ñîáñòâåííîé (ðåçîíàíñíîé) ÷àñòîòû w0 ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ «àíîìàëüíîé äèñïåðñèè». n

1

w0 Ð è ñ. 5.1

104

w

Ïðèìåð 4. Âûñîêî÷àñòîòíàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà (íàïðèìåð, ðåíòãåíîâñêèå ëó÷è) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñðåäå, õàðàêòåðèçóåìîé ÷èñëîì ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà N. Íàéòè çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû îò ÷àñòîòû ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû. Ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ (27) èìååò âèä e 2 N(w20 - w2 ) (31) n2 = 1 + . e 0 m[(w20 - w2 ) 2 + 4d 2 w2 ] Äëÿ âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé (w >> w0), ïðåíåáðåãàÿ â (31) ñëàãàåìûìè ñ w20 è w2 ïî ñðàâíåíèþ ñ ÷ëåíàìè, ñîäåðæàùèìè w4, ïîëó÷èì n2 = 1 -

e2N . e 0 mw2

(32)

Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ, ñêàæåì, ìåòàëëà äëÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå åäèíèöû, ò. å. äëÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé ìåòàëëè÷åñêàÿ ñðåäà îïòè÷åñêè «ìåíåå ïëîòíàÿ», ÷åì âîçäóøíàÿ, è ïðè íåêîòîðûõ óãëàõ ïàäåíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîëíîå «âíóòðåííåå» îòðàæåíèå. Ââåäåì «êðèòè÷åñêóþ» ÷àñòîòó 12

æ e2N ö ÷÷ . wk = çç è e0 m ø Òîãäà ôîðìóëà (32) çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 2 æw ö n2 = 1 - ç k ÷ . è wø

(33)

(34)

Ïðè wk > w âòîðîå ñëàãàåìîå â çíàìåíàòåëå ôîðìóëû (31) èãðàåò çàìåòíóþ ðîëü, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èìååò ìíèìóþ ÷àñòü è ïðîèñõîäèò ïîãëîùåíèå âîëí. Ïðè w >> wk ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ® 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäà ñòàíîâèòñÿ ïðîçðà÷íîé äëÿ ïðîõîæäåíèÿ ëó÷åé. Íàïðèìåð, ìåòàëëû â äîñòàòî÷íîé ìåðå ïðîçðà÷íû äëÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé. Ïðèìåð 5. Ãàçîðàçðÿäíàÿ òðóáêà S, èçëó÷àþùàÿ ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 6000 Å, ïîìåùåíà ìåæäó ïîëþñàìè ñèëüíîãî ýëåêòðîìàãíèòà (ðèñ. 5.2), ñîçäàþùåãî ìàãíèòíîå ïîëå S íàïðÿæåííîñòüþ H = 8,3×106 À/ì. Ïðè z íàáëþäåíèè ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ â íàïðàâëåíèè, ïàðàëëåëüíîì íàïðàâëåíèþ l/4 N ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âìåñòî îäíîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè âèäíû äâå Ð è ñ. 5.2 105

ëèíèè, äëèíû âîëí êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ îò l0 íà âåëè÷èíó ±Dl (ïðîäîëüíûé ýôôåêò Çååìàíà). Âû÷èñëèòü èçìåíåíèå äëèíû âîëíû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè Dl â ìàãíèòíîì ïîëå è îïðåäåëèòü õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè íàáëþäàåìîãî èçëó÷åíèÿ. Ðåøåíèå. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå ñâÿçàííîãî ýëåêòðîíà â îòñóòñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî íà äâà êîëåáàòåëüíûõ äâèæåíèÿ: âäîëü îñè z (îñü z íàïðàâëåíà ïî ñèëîâûì ëèíèÿì ìàãíèòíîãî ïîëÿ) è ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé îñè. Ïðè ýòîì ãàðìîíè÷åñêîå äâèæåíèå ýëåêòðîíà ñ ÷àñòîòîé w0 â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè z, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðàâîãî è ëåâîãî êðóãîâûõ ðàâíîìåðíûõ äâèæåíèé ñ ÷àñòîòîé w0. Ïðè âêëþ÷åíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ýëåêòðîí íàðÿäó ñ êâàçèóïðóãîé ñèëîé íà÷íåò äåéñòâîâàòü ñèëà Ëîðåíöà r r r (35) FËîð = -e[v ´ B]. Òàê êàê ñèëà Ëîðåíöà äåéñòâóåò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè z, òî íàëè÷èå ýòîé ñèëû íå èçìåíèò õàðàêòåðà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà âäîëü îñè z, ò. å. â ýòîì íàïðàâëåíèè ýëåêòðîí áóäåò ïðîäîëæàòü ãàðìîíè÷åñêîå äâèæåíèå ñ ÷àñòîFËîð òîé w0. ×òî æå êàñàåòñÿ äâèæåíèÿ ýëåêe e vï òðîíà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè vë z, òî ñèëà Ëîðåíöà ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ Fï ÷àñòîòû êðóãîâûõ äâèæåíèé ýëåêòðîíà ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì ñëó÷àåì, êîãäà ïîëå îòñóòñòâîâàëî. Íîâûå ÷àñòîòû êðóãîâûõ äâèæåíèé ýëåêòðîíà îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé (ðèñ. 5.3): Ð è ñ. 5.3 kr - evë B = mw2ë r (äëÿ ëåâîãî äâèæåíèÿ); kr + evë B = mw2ï r (äëÿ ïðàâîãî äâèæåíèÿ). Ïîñêîëüêó vë = wër, vï = wïr, íàïèñàííûå ðàâåíñòâà ïðèíèìàþò âèä mw2ë r + ewë B - k = 0, mw2ï r + ewï B - k = 0.

(36)

Ðåøàÿ (36) îòíîñèòåëüíî wë è wï, ïîëó÷èì

106

wë = -

1 e B± 2m

k 1 e 2 B2 , + m 4 m2

wï = -

1 e B± 2m

k 1 e 2 B2 . + m 4 m2

(37)

Âûðàæåíèå ïîä êîðíåì ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: k 1 e 2 B2 1 e 2 B2 + = w0 1 + @ w0 , 2 m 4 m 4 m 2 w20 òàê êàê îáû÷íî ÷àñòîòà w0 äîâîëüíî âåëèêà, à e 2 B2 << 1. m 2 w20 Ñ ó÷åòîì ýòîãî ðàâåíñòâà (37) ïðèíèìàþò âèä (÷àñòîòà w0 ïîëîæèòåëüíà ): 1 e 1 e wë = w 0 – B, wï = w0 – B. 2m 2m Èçìåíåíèå ÷àñòîòû 1 e Dw = w – w0 = ± B. 2m Ýòîìó èçìåíåíèþ ÷àñòîòû ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèå äëèíû âîëíû el2 el2 (38) , (Å). Dl = ± B= H = 176 4pmc 4pe 0 mc 3 Èç ðåøåíèÿ ÿñíî, ÷òî áîëåå êîðîòêîâîëíîâàÿ êîìïîíåíòà ðàñùåïëåííîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè áóäåò ïîëÿðèçîâàíà ïî ïðàâîìó êðóãó, áîëåå äëèííîâîëíîâàÿ – ïî ëåâîìó. Ïðèìåð 6. Ýôôåêò Ôàðàäåÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ â âåùåñòâå, ïîìåùåííîì â ìàãíèòíîå ïîëå, èñïûòûâàåò ïîâîðîò ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî óãîë ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â ìàãíèòíîì ïîëå H ïðè ïðîõîæäåíèè ñëîÿ âåùåñòâà òîëùèíîé l îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì j = RlH, (39) A ãäå R – ïîñòîÿííàÿ. Âûðàçèòü ïîñòîÿííóþ E R ÷åðåç ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ n– è n+ E+ äëÿ ïðàâî- è ëåâîêðóãîïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî âäîëü ëèíèé ìàãíèòd+ j íîãî ïîëÿ. E– Ðåøåíèå. Ïóñòü âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîd– r ëå H ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ÷åðòåæà è íàïðàâëåíî íà íàñ. È ïóñòü â ýòîì æå O íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà. Ðàçëîæèì ýòó âîëíó íà äâå êîìïîíåíòû, ïîëÿðèçîâàííûå ïî ïðàâîìó è ëåâîìó êðóãó.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ýëåêòðè÷åñêèå âåêòîðû ýòèõ êîìïîíåíò ïàðàëëåëüíû è íàïðàâëåíû âäîëü ÎÀ (ðèñ. 5.4). Ð è ñ. 5.4 107

Ïðè r ïðîõîæäåíèè ñëîÿ âåùåñòâà òîëùèíîé l ýëåêòðè÷åñêèé âåêòîð E– ïåðâîé êîìïîíåíòû ïîâåðíåòñÿ íà óãîë 2p d– = (40) l, lãäå l– – äëèíà âîëíû ðàññìàòðèâàåìîé êîìïîíåíòû â âåùåñòâå, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ äëèíîé âîëíû â âàêóóìå ñîîòíîøåíèåì l (41) l- = 0 , n(ãäå n– – ñîîòâåòñòâóþùèé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà). Ïîäñòàâëÿÿ (41) â (40), ïîëó÷èì 2p (42) d– = n - l, l0 r Àíàëîãè÷íî ýëåêòðè÷åñêèé âåêòîð âòîðîé êîìïîíåíòû E+ ïîâåðíåòñÿ íà óãîë 2p d+ = n+l. l0 r r r Ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð E äåëèò óãîë ìåæäó E+ è E - ïîïîëàì è îïðåäåëÿåò íîâîå íàïðàâëåíèå ïëîñêîñòè êîëåáàíèé. Ýòà ïëîñêîñòü îêàçûâàåòñÿ ïîâåðíóòîé îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ íà óãîë j. Âðàùåíèå ïëîñêîñòè êîëåáàíèé ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, êîãäà îíî ïðîèñõîäèò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, åñëè ñìîòðåòü íàâñòðå÷ó ñâåòîâîìó ïó÷êó. Òàêèì îáðàçîì, óãîë ïîâîðîòà ïëîñêîñòè êîëåáàíèé ðàâåí d - d+ pl (43) (n - - n+ ). j= = 2 l0 Ñðàâíèâàÿ (39) ñ (43), íàõîäèì j p 1 (n - - n+ ) . R= = lH l 0 H

(44)

Ïðèìåð 7. Ìåæäó äâóìÿ ïîëÿðèçàòîðàìè P è P¢ (ðèñ. 5.5), óñòàíîâëåííûìè òàê, ÷òî íàïðàâëåíèå ïðîïóñêàíèÿ P¢ îáðàçóåò óãîë +45o ñ íàïðàâëåíèåì ïðîïóñêàíèÿ P äëÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â òî÷êå O, ïîìåùåíà òðóáêà C äëèíîé 0,5 ì ñ ñåðîóãëåðîäîì â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå B, íàïðàâëåííîì ïàðàëëåëüíî îñè òðóáêè. ÊàêèS

P

C Ð è ñ. 5.5

108

P¢

O

ìè äîëæíû áûòü íàïðàâëåíèå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå B, äëÿ òîãî ÷òîáû ìàêñèìàëüíûé ïîòîê, âûõîäÿùèé èç òî÷êè S, äîñòèãàë òî÷êè O? ×òî ïðîèçîéäåò, åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè ïîëîæåíèÿ òî÷åê S è O áåç ïðî÷èõ èçìåíåíèé â óñòàíîâêå? Ïîñòîÿííàÿ Âåðäå äëÿ ñåðîóãëåðîäà ðàâíà 42×103 ìèí/Òë× ì. Ðåøåíèå. Óãîë ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïðè ýôôåêòå Ôàðàäåÿ äîëæåí ñîñòàâëÿòü +45o äëÿ íàáëþäàòåëÿ. Íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè áóäåò òåì æå, ÷òî è íàïðàâëåíèå òîêà, ñîçäàþùåãî ïîëå B. ×òîáû âðàùåíèå ïðîèñõîäèëî â ïðàâóþ ñòîðîíó äëÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â òî÷êå O, àêñèàëüíûé âåêòîð B äîëæåí áûòü íàïðàâëåí îò òî÷êè O ê òî÷êå S. Óãîë ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ Âåðäå, ðàâåí r = r0Bl. Îòñþäà B=

r 45 × 60 = = 0,1286 (Òë). r 0 l 42 × 10 3 × 0,5

Ïðè ýôôåêòå Ôàðàäåÿ âñåãäà ñîõðàíÿåòñÿ íåèçìåííûì íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ ãåíåðàòîðà òîêà, ñîçäàþùåãî ïîëå B, à íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè äëÿ íàáëþäàòåëÿ ìåíÿåòñÿ, åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè ïîëîæåíèÿ èñòî÷íèêà è íàáëþäàòåëÿ. Òîãäà ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò, ñîçäàâàåìûé ïîëÿðèçàòîðîì P¢, îêàæåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûì íàïðàâëåíèþ ïðîïóñêàíèÿ ïîëÿðèçàòîðà P, è ñâåò ïðîõîäèòü íå áóäåò. Ýòà óñòàíîâêà ïðåäñòàâëÿåò îïòè÷åñêèé âåíòèëü: ñâåò ñâîáîäíî ïðîõîäèò â íàïðàâëåíèè SO, íî çàäåðæèâàåòñÿ â íàïðàâëåíèè OS.

Çàäà÷è 5.1. Èçîáðàçèâ çàâèñèìîñòü ôàçîâîé v ñêîðîñòè âîëíû v îò äëèíû âîëíû l (ðèñ. 5.6), ïîêàçàòü, ÷òî îòðåçîê ÎÀ íà îñè v, îòñåêàåìûé êàñàòåëüíîé ê êðèâîé â òî÷êå l0, ðàâåí ãðóïïîâîé ñêîðîñòè äëÿ äëè- A íû âîëíû l = l0 (ïîñòðîåíèå Ï. Ñ. Ýðåíôåñòà). 5.2. Ïëîñêîå âîëíîâîå âîçìóùåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñðåäå ñ ëèíåéíûì çàêîíîì äèñïåðñèè: v = a + bl, ãäå 0 v – ôàçîâàÿ ñêîðîñòü, à à è b – ïîñòîÿí-

l0

l

Ð è ñ. 5.6

109

íûå. Ïîêàçàòü, ÷òî êàêîâî áû íè áûëî âîçìóùåíèå, ôîðìà åãî, íåïðåðûâíî èçìåíÿÿñü, áóäåò ïåðèîäè÷åñêè âîññòàíàâëèâàòüñÿ ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè t = dl/dv = 1/b. Ïîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå ïóòè S, ïðîéäåííîãî âîçìóùåíèåì çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè t, ê ïðîäîëæèòåëüíîñòè ýòîãî ïðîìåæóòêà ðàâíî ãðóïïîâîé ñêîðîñòè. 5.3. Âû÷èñëèòü ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü è äëÿ ðàçëè÷íûõ çàêîíîâ äèñïåðñèè (v – ôàçîâàÿ ñêîðîñòü): 1) v = a (a = const) – íåäèñïåðãèðóþùàÿ ñðåäà, íàïðèìåð çâóêîâûå âîëíû â âîçäóõå; 2) v = a l – âîëíû íà ïîâåðõíîñòè âîäû, âûçûâàåìûå ñèëîé òÿæåñòè (ãðàâèòàöèîííûå âîëíû); 3) v = a/ l – êàïèëëÿðíûå âîëíû; 4) v = à/l – ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ; 5) v = c 2 + b 2 l2 – ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â èîíîñôåðå, ãäå ñ – ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå, l – äëèíà âîëíû â ñðåäå; 6) v = cw w2 em - c 2 a 2 – ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â ïðÿìîëèíåéíîì âîëíîâîäå, çàïîëíåííîì äèñïåðãèðóþùåé ñðåäîé ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ e = e(w) è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ m = m(w), ãäå a – ïîñòîÿííàÿ, çàâèñÿùàÿ îò ðàçìåðîâ è ôîðìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ âîëíîâîäà. 5.4. Ïðè êàêîì çàêîíå äèñïåðñèè íåìàãíèòíîé ñðåäû e = e(w), çàïîëíÿþùåé ïðÿìîëèíåéíûé âîëíîâîä èëè áåñêîíå÷íîå ïðîñòðàíñòâî, ñâÿçü ìåæäó ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòÿìè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ïðèíèìàåò âèä vu = ñ2? Ó ê à ç à í è å: ñì. ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó.

5.5. Ïîêàçàòü, ÷òî â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, à òàêæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà âíóòðè âîëíîâîäà âàêóóì, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âîëíîâîäå ïðåâûøàåò ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. 5.6. Íàéòè ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü è ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ â ñðåäå, åñëè ïðåäåëüíûé óãîë ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ ïðè ïàäåíèè ýòèõ âîëí íà íåêîòîðóþ ñðåäó èç âîçäóõà ðàâåí a. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ðåíòãåíîâñêèõ âîëí îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ï2 = = 1 – w20 w2 , ãäå w0 – ïîñòîÿííàÿ. 5.7. Ìàéêåëüñîí èçìåðèë ñêîðîñòü ñâåòà â ñåðîóãëåðîäå ïî ìåòîäó âðàùàþùåãîñÿ çåðêàëà. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñåðîóãëåðîäà äëÿ ñðåäíåé äëèíû âîëíû âèäèìîãî ñïåêòðà ðàâåí ï = 1,64, à âåëè÷èl dn íà 1 + = 0,93. Îïðåäåëèòü, êàêîå ñëåäóåò îæèäàòü çíà÷åíèå äëÿ n dl îòíîøåíèÿ ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå ê èçìåðåííîé ýòèì ìåòîäîì ñêîðîñòè ñâåòà â ñåðîóãëåðîäå. 5.8. Íàéòè îòíîñèòåëüíîå îòêëîíåíèå ãðóïïîâîé ñêîðîñòè îò ôàçîâîé â ñðåäå ñ ï = 1,5, â êîòîðîé äëÿ l = 0,5 ìêì dn /dl = 3 ×104 ì–1. 5.9. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äèñïåðñèÿ â ñòåêëå îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì ðåçîíàíñíûì ÷ëåíîì ñ ÷àñòîòîé w0. Êàêîé âèä èìååò çàêîí w(k) äèñïåðñèè â ýòîì ñëó÷àå, åñëè ïðåíåáðå÷ü çàòóõàíèåì? Âû÷èñëèòü ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü ñâåòà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ. 110

5.10. Ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè èîíèçèðîâàííîãî ãàçà (ïëàçìû) â ìîíîõðîìàòè÷åñêîì ýëåêòðè÷åñêîì r r ïîëå E = E 0 cos wt. Ñòîëêíîâåíèÿìè ýëåêòðîíîâ è èîíîâ ïðåíåáðå÷ü. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïëàçìû e(w) îòðèöàòåëüíà, åñëè w < w0.  ýòîì ñëó÷àå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n = e ÷èñòî ìíèìàÿ âåëè÷èíà. Âûÿñíèòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ÷èñòî ìíèìîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. 5.11. Íàéòè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ àëþìèíèÿ äëÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé ñ äëèíîé âîëíû 1,56 Å, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýëåêòðîíû â àëþìèíèè èìåþò ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó, ìíîãî ìåíüøóþ, ÷åì ÷àñòîòà ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé. ×èñëî ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå îáúåìà N = 8×1028 ì–3 . 5.12. Ðàäèîâîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ââåðõ. Âîëíû êàêèõ ÷àñòîò ìîãóò ïðîõîäèòü ÷åðåç èîíîñôåðó? Êàêèå âîëíû áóäóò ïîëíîñòüþ îòðàæàòüñÿ? 5.13. Ðàäèîñèãíàë îïðåäåëåííîé ÷àñòîòû v = w/2p ïîñûëàåòñÿ ââåðõ è îòðàæàåòñÿ íà îïðåäåëåííîé âûñîòå. Îïðåäåëèòü êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ â òî÷êå îòðàæåíèÿ. 5.14. Êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ íà Ñîëíöå íà ðàññòîÿíèè r = 0,06R îò ãðàíèöû ôîòîñôåðû (R = 6,95 ×1010 ñì – ðàäèóñ Ñîëíöà) ïðèìåðíî ðàâíà N = 2×108 ñì–3. Ìîãóò ëè ðàäèîâîëíû èç ýòîé îáëàñòè Ñîëíöà äîñòèãàòü Çåìëè, åñëè äëèíà âîëíû â âàêóóìå: 1) l = 1 ì; 2) l = 10 ì; 3) l = 50 ì? 5.15. Âûðàçèòü ïîñòîÿííóþ çàòóõàíèÿ g â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà ÷åðåç óäåëüíóþ ïðîâîäèìîñòü s. 5.16. Ñâîáîäíûé ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â ïîëå ìîíîõðîìàòè÷åñêîé ñâåòîâîé âîëíû. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I = 150 Âò/ì2, åãî ÷àñòîòà w = 3,4×1015 ñ–1. Íàéòè: à) àìïëèòóäó êîëåáàíèé ýëåêòðîíà è àìïëèòóäó åãî ñêîðîñòè; á) îòíîøåíèå Fì/Fý, ãäå Fì è Fý – àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ýëåêòðîí ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîé è ýëåêòðè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùèõ ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû; ïîêàçàòü òàêæå, ÷òî Fì/Fý = v0 /(2c) , ãäå v0 – àìïëèòóäà ñêîðîñòè ýëåêòðîíà, c – ñêîðîñòü ñâåòà.  óðàâíåíèè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà ìîæíî íå ó÷èòûâàòü äåéñòâèå ìàãíèòíîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿ (êàê áóäåò âèäíî èç ðàñ÷åòà, îíî ïðåíåáðåæèìî ìàëî). 5.17. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ñ ÷àñòîòîé w ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ðàçðåæåííîé ïëàçìå. Êîíöåíòðàöèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ â ïëàçìå ðàâíà N0. Ïðåíåáðåãàÿ âçàèìîäåéñòâèåì âîëíû ñ èîíàìè ïëàçìû, íàéòè çàâèñèìîñòü: à) äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ïëàçìû îò ÷àñòîòû; á) ôàçîâîé ñêîðîñòè îò äëèíû âîëíû l â ïëàçìå. 5.18. Ýëåêòðîí, íà êîòîðûé äåéñòâóåò êâàçèóïðóãàÿ ñèëà kx è & íàõîäèòñÿ â ïîëå ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ. «ñèëà òðåíèÿ» qx, Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëÿ ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó 111

Å = Å0 ñîs wt. Ïðåíåáðåãàÿ äåéñòâèåì ìàãíèòíîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿ, íàéòè: à) óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà; á) ñðåäíþþ ìîùíîñòü, ïîãëîùàåìóþ ýëåêòðîíîì, ÷àñòîòó, ïðè êîòîðîé îíà áóäåò ìàêñèìàëüíîé, è âûðàæåíèå äëÿ ìàêñèìàëüíîé ñðåäíåé ìîùíîñòè. 5.19.  ðÿäå ñëó÷àåâ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà îêàçûâàåòñÿ âåëè÷èíîé êîìïëåêñíîé èëè îòðèöàòåëüíîé è ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ – ñîîòâåòñòâåííî êîìïëåêñíûì (n¢ = n – iæ) èëè ÷èñòî ìíèìûì (n¢ = iæ). Íàïèñàòü äëÿ ýòèõ ñëó÷àåâ óðàâíåíèå ïëîñêîé âîëíû è âûÿñíèòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë òàêèõ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ. 5.20. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè ðàäèîâîëíû â èîíîñôåðå â çàâèñèìîñòè îò äëèíû âîëíû l â èîíîñôåðå (ñì. çàäà÷ó 5.10). 5.21. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èîíîñôåðû äëÿ ðàäèîâîëí ñ ÷àñòîòîé n = 10 ÌÃö, ï = 0,90. Íàéòè êîíöåíòðàöèþ N ýëåêòðîíîâ â èîíîñôåðå, à òàêæå ôàçîâóþ v è ãðóïïîâóþ è ñêîðîñòè äëÿ ýòèõ ðàäèîâîëí. 5.22. Ïðè èçó÷åíèè ïðîõîæäåíèÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ÷àñòîòû n = 8 ÌÃö ÷åðåç ïëîñêèå îäíîðîäíûå ñëîè ïëàçìû ñ êîíöåíòðàöèåé ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ N = 106 ñì–3 íàøëè, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ âîëí îòëè÷àþòñÿ â 10 ðàç äëÿ ñëîåâ ïëàçìû, òîëùèíû êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ â 2 ðàçà. Ïðåíåáðåãàÿ èíòåíñèâíîñòüþ âîëí, îòðàæåííûõ îò çàäíåé ãðàíèöû êàæäîãî ñëîÿ, íàéòè èõ òîëùèíû d1 è d2. 5.23. Äëÿ îöåíêè èíòåãðàëüíûõ è ñðåäíèõ õàðàêòåðèñòèê ìåæçâåçäíîé ïëàçìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü ýêñïåðèìåíòàëüíûé ôàêò, óñòàíîâëåííûé ñðàçó æå ïîñëå îòêðûòèÿ ïóëüñàðîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî èç-çà äèñïåðñèè ïëàçìû èìïóëüñû ðàäèîèçëó÷åíèÿ ïóëüñàðîâ íà áîëåå íèçêèõ ÷àñòîòàõ âñåãäà çàïàçäûâàþò ïî îòíîøåíèþ ê èìïóëüñàì áîëåå âûñîêèõ ÷àñòîò. Ðàññìîòðèòå ñëåäóþùèé èäåàëèçèðîâàííûé ïðèìåð. Äâà ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ñèãíàëà ñ äëèíàìè âîëí l1 = 3 ñì è l2 = 5 ñì ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ïëàçìå. Îïðåäåëèòü ïîëíîå ÷èñëî ï ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà ïóòè ñèãíàëîâ (ò. å. èõ ÷èñëî â öèëèíäðå ïëîùàäüþ 1 ñì2 è âûñîòîé, ðàâíîé ðàññòîÿíèþ èñòî÷íèê – ïðèåìíèê), åñëè èñïóùåííûå îäíîâðåìåííî ñèãíàëû çàïàçäûâàþò äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà âðåìÿ Dt = 10–5 ñ. Êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ õîòÿ è íå ïîñòîÿííà âäîëü ïóòè ñèãíàëîâ, íî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âåçäå âåñüìà áëèçîê ê åäèíèöå. Îïðåäåëèòü òàêæå ñðåäíþþ êîíöåíòðàöèþ N ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà ïóòè ñèãíàëîâ, åñëè èõ îòíîñèòåëüíîå çàïàçäûâàíèå Dt/t0 = 10–15 (t0 – âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëîâ îò èñòî÷íèêà äî ïðèåìíèêà). 5.24. Èìïóëüñíîå èçëó÷åíèå ïóëüñàðà ÑÐ 1919+21 íà ÷àñòîòå 80 ÌÃö äîñòèãàåò Çåìëè íà Dt = 7 ñ ïîçæå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùèé èìïóëüñ íà ÷àñòîòå 2000 ÌÃö. Îöåíèòü ðàññòîÿíèå L äî ïóëüñàðà, åñëè ïðèíÿòü ñðåäíþþ êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ â ìåæçâåçäíîì ïðîñòðàíñòâå ðàâíîé N = 0,05 ñì–3. 112

5.25. Èçìåðåíèå ñêîðîñòè ðàêåòû ïðè âåðòèêàëüíîì âçëåòå ïðîâîäèòñÿ èìïóëüñíûì ðàäèîëîêàòîðîì, ðàñïîëîæåííûì â òî÷êå ñòàðòà. Íà ýêðàíå ëîêàòîðà ïî îñè âðåìåíè ôèêñèðóþòñÿ ìîìåíòû ïîñûëêè äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ðàäèîèìïóëüñîâ è èõ ïðèåìà ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ðàêåòû. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàäèîâîëí â èîíîñôåðå òî÷íî íåèçâåñòíà, âîçíèêàåò ïîãðåøíîñòü â îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè ðàêåòû. Íàéòè îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü â îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè (Dv/v) ðàêåòû, ïðèíèìàÿ ìàêñèìàëüíóþ êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ â èîíîñôåðå ðàâíîé N = 106 ñì–3, à ðàáî÷óþ ÷àñòîòó ðàäèîëîêàòîðà n = 400 ÌÃö. 5.26. Ñ öåëüþ ïðîâåðêè òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ïðåäïîëàãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàäèîâîëí òî÷íî èçìåðèòü ïàðàìåòðû îðáèòû ñïóòíèêà Çåìëè. Îäíàêî èç-çà ïðåëîìëåíèÿ ðàäèîâîëí â èîíîñôåðå, ãäå ñðåäíÿÿ êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ N = 105 ñì–3, âîçíèêàþò îøèáêè èçìåðåíèé. Îöåíèòü ìèíèìàëüíóþ ÷àñòîòó nmin, íà êîòîðîé ñëåäóåò ïðîâîäèòü òàêèå íàáëþäåíèÿ. 5.27. Íàéòè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ãàçà è åãî ãðàäèåíò ïî âûñîòå íà ïîâåðõíîñòè Âåíåðû, àòìîñôåðà êîòîðîé ñîñòîèò èç óãëåêèñëîãî ãàçà ÑÎ2 ñ ïîëÿðèçóåìîñòüþ ìîëåêóë a = 2,7×10–23 ñì3. Äàâëåíèå íà Âåíåðå p0 = 100 àòì, òåìïåðàòóðà t = 500 oC. Îïðåäåëèòü ðàäèóñ êðèâèçíû r ñâåòîâîãî ëó÷à, ïóùåííîãî ãîðèçîíòàëüíî. Íà êàêèå îñîáåííîñòè àòìîñôåðíîé îïòèêè ïëàíåòû óêàçûâàåò íàéäåííîå çíà÷åíèå? Ó ê à ç à í è å: ðàäèóñ êðèâèçíû r ãîðèçîíòàëüíîãî ëó÷à îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíî1 1 dn . = r n dh

øåíèåì

5.28. Îïðåäåëèòü ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ ó àòîìà Ag, åñëè ïëåíêà ñåðåáðà ïðîçðà÷íà äëÿ óëüòðàôèîëåòà, íà÷èíàÿ ñ ýíåðãèè Å = 5 ýÂ. Îòíîñèòåëüíàÿ àòîìíàÿ ìàññà ñåðåáðà À = 108, ïëîòíîñòü r = 10,5 ã/ñì3. 5.29. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ ñ äëèíîé âîëíû l = 0,1 íì ïàäàåò íà òîíêóþ äâîÿêîâûïóêëóþ ëèíçó èç áåðèëëèÿ (ïëîòíîñòü áåðèëëèÿ r = 1,85 ã/ñì3, ïîðÿäêîâûé íîìåð Z = 4, îòíîñèòåëüíàÿ àòîìíàÿ ìàññà À = 9) ñ ïîâåðõíîñòÿìè îäèíàêîâûõ ðàäèóñîâ êðèâèçíû R = 40 ñì. Äèàìåòð ëèíçû ñ÷èòàòü ðàâíûì D = 9 ñì. Íàéòè óãîë ðàñõîæäåíèÿ j ïó÷êà ïîñëå ëèíçû. 5.30. Îïðåäåëèòå êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ äëÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðåõñëîéíûé äèýëåêòðèê. Ïîêàæèòå, ÷òî â ñëó÷àå n 2 = n1 n 3 , l = l2 /4 êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ ðàâåí åäèíèöå (ïîêðûòèÿ òàêîãî ðîäà èñïîëüçóþòñÿ äëÿ «ïðîñâåòëåíèÿ» îïòèêè â õîðîøèõ ôîòîêàìåðàõ è áèíîêëÿõ). Êàêîâà òîëùèíà ïîêðûòèÿ äëÿ îáû÷íîãî áèíîêëÿ, ò. å. äëÿ îïòè÷åñêîãî 113

äèàïàçîíà äëèí âîëí? Ìîæíî ëè ïðîñâåòëÿòü îäíó ñòîðîíó ëèíçû? Âàæíî ëè, êàêàÿ ñòîðîíà ïîêðûòà ïëåíêîé? Ïî÷åìó? 5.31. Ëó÷ ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû 4500 Å (â âàêóóìå) ïàäàåò íà ïðèçìó è ïîëíîñòüþ îòðàæàåòñÿ íà óãîë 90o. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïðèçìû n = 1,6. Âû÷èñëèòå ðàññòîÿíèå îò äëèííîé ñòîðîíû ïðèçìû, íà êîòîðîì íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ óìåíüøèòñÿ â 2,73 ðàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ åå çíà÷åíèåì íà ïîâåðõíîñòè. r Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñâåò ïîëÿðèçîâàí òàê, ÷òî âåêòîð E ïåðïåíäèr êóëÿðåí ê ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ. Èçìåíèòñÿ ëè îòâåò, åñëè E ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ? 5.32. Ó ïàäàþùåãî íà ãðàíèöó ðàçäåëà ïðîçðà÷íûõ ñðåä ñâåòà íàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè ñîñòàâëÿåò óãîë a ñ ïëîñêîñòüþ ïàäåíèÿ. Êàêèå óãëû b è g ñîñòàâëÿþò íàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè ñ ïëîñêîñòüþ ïàäåíèÿ ó îòðàæåííîãî è ïðåëîìëåííîãî ñâåòà? 5.33. Êàêèì äîëæåí áûòü ïðåëîìëÿþùèé óãîë q ïðèçìû èç ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,5, ÷òîáû ñâåò ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè ìîã ïðîéòè ñêâîçü íåå áåç ïîòåðü íà îòðàæåíèå? 5.34. Ñâåòîâàÿ âîëíà ÷àñòîòîé w ïàäàåò ïî íîðìàëè èç âàêóóìà íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü èäåàëüíîãî ìåòàëëà. Íàéòè íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ìåòàëëå è âàêóóìå äëÿ w < wp. 5.35. Íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ áåñêîíå÷íûõ äèýëåêòðèêîâ ñ äèýëåêòðè÷åñêèìè ïîñòîÿííûìè e1 è e2 ïîä óãëîì j1 ê íîðìàëè ïàäàåò ñâåò â âèäå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Èñõîäÿ èç óñëîâèÿ îäíîâðåìåííîãî ñóùåñòâîâàíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ïàäàþùåé, îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí ïîëó÷èòü çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà. 5.36.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è íàéòè èíòåíñèâíîñòü îòðàæåííîãî è ïðåëîìëåííîãî ñâåòà, åñëè ïàäàþùèé ñâåò ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì èíòåíñèâíîñòè I0. 5.37. Ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò â âèäå ïëîñêîé âîëíû ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû â ìåíåå ïëîòíóþ òàê, ÷òî íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä ïðîèñõîäèò ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå. Îïðåäåëèòü õàðàêòåð ñâåòîâîé âîëíû â îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé ñðåäå, åñëè îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n12 = n2/n1. 5.38. Ïîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ èíòåíñèâíîñòü îòðàæåííîãî ñâåòà ðàâíà èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî ñâåòà. 5.39. Íàéòè ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó îòðàæåííîé è ïàäàþùåé âîëíàìè â ñëó÷àå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ. 5.40. Èñõîäÿ íåïîñðåäñòâåííî èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé íà ãðàíèöå âàêóóìà è äèýëåêòðèêà ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïîñòîÿííîé e ïîëó÷èòü ôîðìóëû Ôðåíåëÿ äëÿ ñëó÷àÿ íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ ñâåòà íà ãðàíèöó ðàçäåëà. 114

5.41. Ïðè âûâîäå ôîðìóë Ôðåíåëÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû m = 1. Êàê èçìåíÿòñÿ ôîðìóëû Ôðåíåëÿ, åñëè íå ââîäèòü ýòî ïðåäïîëîæåíèå? 5.42. Áóäåò ëè ñóùåñòâîâàòü óãîë ïîëíîé ïîëÿðèçàöèè, åñëè ìàãíèòíûå ïðîíèöàåìîñòè m1 è m2 ãðàíè÷àùèõ ñðåä îòëè÷íû îò åäèíèöû? 5.43. Åñòåñòâåííûé ñâåò ïàäàåò ïîä óãëîì j1 íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n. Íàéòè ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè âûøåäøåãî èç ïëàñòèíêè ñâåòà. 5.44. Ëèíåéíîr ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ñ àìïëèòóäîé ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà E 0 ïàäàåò íîðìàëüíî èç ñðåäû ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n1 íà ñðåäó ñ ïîêàçàòåëåì n2. Ñðåäû ðàçäåëåíû ïåðåõîäíûì ñëîåì òîëùèíîé l, â êîòîðîì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî îò çíà÷åíèÿ n1 íà âåðõíåé ãðàíèöå äî çíà÷åíèÿ n2 íà íèæíåé ãðàíèöå ïî çàêîíó n = ñ/(z + a), ãäå ñ, à – ïîñòîÿííûå (îñü z íàïðàâëåíà íîðìàëüíî ê ñëîþ). Íàéòè êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R è èññëåäîâàòü ïðè ýòîì ïðåäåëüíûå ñëó÷àè òîíêîãî è òîëñòîãî ïåðåõîäíûõ ñëîåâ. 5.45. Ñâåò ïàäàåò èç ñðåäû 1 íà ñðåäó 2 ïîä óãëîì j1 è ïðåëîìëÿåòñÿ ïîä óãëîì j2. Äîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè ñâåò áóäåò ïàäàòü èç ñðåäû 2 íà ñðåäó 1 ïîä óãëîì j2. 5.46. Íàéòè êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ R è ïðîïóñêàíèÿ T ñâåòà â ñëó÷àå åãî íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ íà ãðàíèöó ðàçäåëà ñðåä ñ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2. 5.47. Èìåþòñÿ äâå ïàðàëëåëüíûå ïîëóïðîçðà÷íûå ïëîñêîñòè. Êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ ïåðâîé èç íèõ ðàâíû R1 è T1, à âòîðîé – R2 è T2. Ñòåïåíü ìîíîõðîìàòè÷íîñòè ïàäàþùåãî ñâåòà íåâåëèêà, òàê ÷òî ïðàâèëüíîé èíòåðôåðåíöèè íå ïðîèñõîäèò, à èìååò ìåñòî ñëîæåíèå èíòåíñèâíîñòåé ñâåòà. Íàéòè êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ (R è T) äëÿ ñîâîêóïíîñòè îáåèõ ïëîñêîñòåé. 5.48. Äâå ñðåäû ñ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n3 ðàçäåëåíû äèýëåêòðè÷åñêîé ïëåíêîé ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n2. Ðàññìîòðåâ ñëó÷àé íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ ñâåòà, âûÿñíèòü, ïðè êàêîì ïîêàçàòåëå ïðåëîìëåíèÿ ïëåíêè êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ñèñòåìû áóäåò ìèíèìàëüíûì (îòíîñèòåëüíî ïàäàþùåãî ñâåòà, ñì. ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó). 5.49. Èìååòñÿ m ïàðàëëåëüíûõ ïîëóïðîçðà÷íûõ ïëîñêîñòåé. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ êàæäîé èç íèõ ðàâåí R. Íàéòè êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ Rm è ïðîïóñêàíèÿ Tm âñåé ñèñòåìû ïëîñêîñòåé (ìîíîõðîìàòè÷íîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà íåâåëèêà). 5.50. Ïîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ñðåäû, äëÿ êîòîðîé e = m, ðàâåí íóëþ. 115

5.51. Íàéòè ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó ïåðïåíäèêóëÿðíîé è ïàðàëëåëüíîé êîìïîíåíòàìè îòðàæåííîãî ëó÷à ïðè ïîëíîì âíóòðåííåì îòðàæåíèè. Ïðè êàêîì óãëå ïàäåíèÿ ñäâèã ôàç äîñòèãàåò ìàêñèìóìà? ×åìó ðàâåí ìàêñèìóì? Ïàäàþùàÿ âîëíà ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàíà. 5.52. Êàêîé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ äîëæíî èìåòü âåùåñòâî, ÷òîáû ïðè ïîìîùè îäíîêðàòíîãî ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ íà åãî ãðàíèöå ñ âîçäóõîì ìîæíî áûëî ïðåâðàùàòü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò â ñâåò ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó? Àçèìóò êîëåáàíèÿ ïàäàþùåãî ñâåòà ðàâåí 45o. 5.53. Ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà ñ àçèìóòîì êîëåáàíèé 135o îòðàæàåòñÿ íà ãðàíèöå âîäà – âîçäóõ. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü âîäû 81. Ïîä êàêèì óãëîì äîëæíà ïàäàòü ýòà âîëíà, ÷òîáû îòðàæåííàÿ âîëíà ïîëó÷èëàñü ïîëÿðèçîâàííîé ïî êðóãó? Êàêàÿ ïîëÿðèçàöèÿ áóäåò èìåòü ìåñòî – ïðàâàÿ èëè ëåâàÿ? 5.54. Íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà (n = 1,5) ïîä óãëîì 40o èç âîçäóõà ïàäàåò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà, âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ. Íàéòè êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ. 5.55. Íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà (n = 1,6) ïîä óãëîì 25o èç âîçäóõà ïàäàåò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà, ýëåêòðè÷åñêèé âåêòîð êîòîðîé ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ. 5.56. Íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà (n = 1,65) ïîä óãëîì 35o èç âîçäóõà ïàäàåò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà, ýëåêòðè÷åñêèé âåêòîð êîòîðîé êîëåáëåòñÿ â ïëîñêîñòè, îáðàçóþùåé óãîë 30o ñ ïëîñêîñòüþ ïàäåíèÿ. Íàéòè êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ. 5.57. Åñòåñòâåííûé ñâåò ïàäàåò èç ñòåêëà (n = 1,65) ïîä óãëîì 40o íà ãðàíèöó ðàçäåëà ñ íåêîòîðûì ðàñòâîðîì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n2 êîòîðîãî çàâèñèò îò êîíöåíòðàöèè ðàñòâîðåííîãî âåùåñòâà è ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â øèðîêèõ ïðåäåëàõ. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè n2 îòðàæåííûé ñâåò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàí è êàêîâ ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ? 5.58. Åñòåñòâåííûé ñâåò ïàäàåò ïîä 1 óãëîì Áðþñòåðà íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó (n = 1,65). Íàéòè êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ. 5.59. Óçêèé ïó÷îê åñòåñòâåííîãî ñâå2 3 òà ïàäàåò ïîä óãëîì Áðþñòåðà íà ïîâåðõíîñòü òîëñòîé ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïðîçðà÷íîé ïëàñòèíû (ðèñ. 5.7). Ïðè ýòîì îò âåðõíåé ïîâåðõíîñòè îòðàæàåòñÿ 4 R = 0,08 ñâåòîâîãî ïîòîêà. Íàéòè ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ïó÷êîâ 1–4. Ð è ñ. 5.7

Òåìà6 ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÑÂÅÒÀ  ÀÍÈÇÎÒÐÎÏÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ. ÏÎËßÐÈÇÀÖÈß ÑÂÅÒÀ Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1.  ÷åì ñóòü ÿâëåíèÿ äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ? 2. Îïèøèòå ñâîéñòâà îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé. 3. Íàïèøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ñðåäå, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ e. 4. Êàêàÿ ñâÿçü ñóùåñòâóåò ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â àíèçîòðîïíîé (êðèñòàëëè÷åñêîé) ñðåäå? 5. ×òî òàêîå ñèñòåìà äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé? 6. ×òî òàêîå ãëàâíûå ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â êðèñòàëëàõ? 7. Äàéòå îïðåäåëåíèå êðèñòàëëîâ ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ. 8. Äàéòå îïðåäåëåíèå ãëàâíûõ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ êðèñòàëëà. 9. Äàéòå îïðåäåëåíèå îïòè÷åñêîé îñè êðèñòàëëà. 10. Äàéòå îïðåäåëåíèå ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé â êðèñòàëëå. 11. Êàêèì îáðàçîì óñòðîåíà ïðèçìà Íèêîëÿ? Äëÿ êàêèõ öåëåé îíà ïðèìåíÿåòñÿ â îïòè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ? 12. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîí Ìàëþñà. 13. Íàïèøèòå ôîðìóëó äëÿ ðàçíîñòè ôàç ìåæäó îáûêíîâåííûì è íåîáûêíîâåííûì ëó÷àìè ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè òîëùèíîé d. 14. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà âûõîäå èç êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè ïîëó÷àåòñÿ ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî ëåâîìó (ïðàâîìó) êðóãó, åñëè àìïëèòóäû îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí îäèíàêîâû? 15. Êàêîâî äåéñòâèå ïëàñòèíêè â «l/4 âîëíû»? 16. Êàê óñòðîåí êîìïåíñàòîð Áàáèíå? Ñ êàêîé öåëüþ îí èñïîëüçóåòñÿ â îïòè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ? 17. Êàêèì îáðàçîì îáúÿñíÿåòñÿ ÿâëåíèå âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â êèíåìàòè÷åñêîé òåîðèè Ôðåíåëÿ? 18. Ñôîðìóëèðóéòå îñíîâíóþ çàêîíîìåðíîñòü â ÿâëåíèè ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè. 117

19. ×òî òàêîå âðàùàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü êðèñòàëëà? Êàêèì îáðàçîì îíà ñâÿçàíà ñ ðàçíîñòüþ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ äëÿ ëó÷åé, ïîëÿðèçîâàííûõ ïî ïðàâîìó è ëåâîìó êðóãó? 20. Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé âçàèìíîñòè, íàïèñàòü ôîðìóëó Ôðåíåëÿ äëÿ ëó÷åâîé ñêîðîñòè ñâåòà â êðèñòàëëå. 21. Ïî÷åìó åñëè ñìîòðåòü ÷åðåç ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ äâóëó÷åïðåëîìëÿþùóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó íà óäàëåííûé ïðåäìåò, òî âèäíî îäíî èçîáðàæåíèå, à íå äâà, êàê â ñëó÷àå áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ïðåäìåòîâ? 22. Âåòðîâîå ñòåêëî è ôàðû àâòîìàøèíû èíîãäà ñíàáæàþò ïëàñòèíàìè èç ïîëÿðîèäà. Êàê äîëæíû áûòü ðàñïîëîæåíû ýòè ïëàñòèíû, ÷òîáû øîôåð ìîã âèäåòü äîðîãó, îñâåùåííóþ ñâåòîì åãî ôàð è íå ñòðàäàë áû îò ñâåòà ôàð âñòðå÷íûõ ìàøèí? 23. Ïî÷åìó òîíêàÿ äâîÿêîïðåëîìëÿþùàÿ ïëàñòèíêà, ïîìåùåííàÿ ìåæäó äâóìÿ íèêîëÿìè, èìååò öâåòíóþ îêðàñêó? 24.  êàêèõ ñëó÷àÿõ òîíêàÿ êðèñòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà, ïîìåùåííàÿ ìåæäó ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè, êàæåòñÿ òåìíîé â ìîíîõðîìàòè÷åñêîì ñâåòå? 25.  íåêîòîðûõ óñòàíîâêàõ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ àíàëèçà ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, ïó÷îê ñâåòà ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç ðàâíîìåðíî âðàùàþùèéñÿ íèêîëü, à çàòåì ïîïàäàåò íà ôîòîýëåìåíò. Íà êàêóþ ÷àñòîòó äîëæåí áûòü ðàññ÷èòàí óñèëèòåëü ôîòîòîêà, åñëè íèêîëü âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w? I 26. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó I = 0 [cos2(a – b) – sin 2a sin2bsin2 d/2], 2 ïîëó÷èòå çàêîí Ìàëþñà äëÿ èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ñêâîçü ïîëÿðèçàòîð è àíàëèçàòîð. 27. Êàê îòëè÷èòü ñâåò ïîëÿðèçîâàííûé ïî ëåâîìó êðóãó îò ñâåòà ñ ïðàâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé? 28. Êàê îòëè÷èòü åñòåñòâåííûé ñâåò îò ñâåòà ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé è îò ñìåñè åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ êðóãîïîëÿðèçîâàííûì? 29. Êàê îòëè÷èòü ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò îò ñìåñè åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûì? 30. Ïëàñòèíêà êâàðöà òîëùèíîé 1 ìì âûðåçàíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îïòè÷åñêîé îñè è ïîìåùåíà ìåæäó ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè. Ïî÷åìó ïðè ëþáîé äëèíå âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà îíà áóäåò îñòàâàòüñÿ îñâåùåííîé? 31. Êàê îòëè÷èòü ïëàñòèíêó êâàðöà, âûðåçàííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè, îò ïëàñòèíêè, âûðåçàííîé ïàðàëëåëüíî îñè, èìåÿ â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè äâà íèêîëÿ è èñòî÷íèê áåëîãî ñâåòà? 32. Ïî÷åìó ïðè ïîâîðîòå àíàëèçàòîðà ïëàñòèíêà êâàðöà, âûðåçàííàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îïòè÷åñêîé îñè è ïîìåùåííàÿ ìåæäó íèêîëÿìè, ìåíÿåò ñâîþ îêðàñêó? 118

33. Êàê îïèñûâàþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèå ñâîéñòâà àíèçîòðîïíîé ñðåäû? 34. Êàêèå ñóùåñòâóþò èñòî÷íèêè àíèçîòðîïèè ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñðåäû? 35. Êàêèì ôèçè÷åñêèì ôàêòîðîì îïðåäåëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè? 36. Êàêàÿ ñâÿçü ñóùåñòâóåò ìåæäó âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ è íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â àíèçîòðîïíîé ñðåäå? 37. Êàêàÿ ñâÿçü ñóùåñòâóåò ìåæäó âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ è íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, îñè êîòîðîé ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè îñÿìè òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè? 38. Êàêèå âîëíû ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â àíèçîòðîïíîé ñðåäå â çàäàííîì íàïðàâëåíèè? 39.  êàêèõ ñëó÷àÿõ âåêòîðû ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â àíèçîòðîïíîé ñðåäå ñîâïàäàþò? 40. Ïî÷åìó â îáùåì ñëó÷àå â àíèçîòðîïíîé ñðåäå íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè âîëíîâîãî ôðîíòà íå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîòîêà ýíåðãèè âîëíû? Êîãäà îíè ñîâïàäàþò? 41. Ñêîëüêî îïòè÷åñêèõ îñåé ìîæåò ñóùåñòâîâàòü â êðèñòàëëå? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû îäíîîñíûõ è äâóîñíûõ êðèñòàëëîâ. 42. Îïèøèòå ìåòîä àíàëèçà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëó÷åé â àíèçîòðîïíûõ ñðåäàõ ñ ïîìîùüþ ëó÷åâîãî ýëëèïñîèäà. 43. Óêàæèòå îðèåíòàöèþ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé ïëîñêîñòè äëÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé. Äàéòå îïðåäåëåíèå ãëàâíîé ïëîñêîñòè. 44. Âûïîëíèòå ïîñòðîåíèÿ Ãþéãåíñà äëÿ îäíîîñíîãî êðèñòàëëà. Ðàññìîòðèòå íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè. 45.  êàêèõ ñëó÷àÿõ äëÿ àíèçîòðîïíîé ñðåäû ïðåëîìëåííûé ëó÷ ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ?  êàêèõ ñëó÷àÿõ ïðåëîìëåííûé ëó÷ âûõîäèò èç ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ? 46. Ïåðå÷èñëèòå è îïèøèòå óñòðîéñòâî èçâåñòíûõ âàì ïîëÿðèçàöèîííûõ è äâîÿêîïðåëîìëÿþùèõ ïðèçì. 47. Äëÿ êàêèõ öåëåé èñïîëüçóþòñÿ ïîëÿðîèäû? Îïèøèòå ïðèíöèï èõ äåéñòâèÿ. 48. Ðàññìîòðèòå èíòåðôåðåíöèþ âîëí ñ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïëîñêîñòÿìè ïîëÿðèçàöèè. Êàêîé âèä èìååò èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà? 49. Îïèøèòå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. 50. ×åì îòëè÷àåòñÿ ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò îò ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîãî? 51. Äàéòå ôåíîìåíîëîãè÷åñêîå îïèñàíèå åñòåñòâåííîé è èñêóññòâåííîé îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè âåùåñòâ. 119

52. ×òî òàêîå çåðêàëüíûå èçîìåðû? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðû ìîëåêóë, ÿâëÿþùèõñÿ çåðêàëüíûìè èçîìåðàìè. 53. Êàê îáúÿñíÿåòñÿ âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè? 54. Îïèøèòå èçâåñòíûå ìåòîäû ñîçäàíèÿ èñêóññòâåííîé àíèçîòðîïèè. Ðàññìîòðèòå ìåòîä îïèñàíèÿ àíèçîòðîïíîé ñðåäû ñ ïîìîùüþ òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè. 55. Îïèøèòå òèïû âîëí è èõ ñâîéñòâà â àíèçîòðîïíîé ñðåäå. 56. Ñ ïîìîùüþ ëó÷åâîãî ýëëèïñîèäà ïðîàíàëèçèðóéòå õîä ëó÷åé â àíèçîòðîïíîé ñðåäå è äàéòå îïðåäåëåíèå îäíîîñíûõ è äâóîñíûõ êðèñòàëëîâ. 57. Ñ ïîìîùüþ ëó÷åâûõ ïîâåðõíîñòåé ðàññìîòðèòå äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå è îáóñëîâëåííûå èì ÿâëåíèÿ. 58. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿþò êîìïåíñàòîðû? Äëÿ ÷åãî îíè èñïîëüçóþòñÿ?

Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð 1. Ëó÷îì â êðèñòàëëå íàçûâàåòñÿ ëèíèÿ, íàïðàâëåííàÿ âäîëü âåêòîðà ïîòîêà ýíåðãèè (âåêòîðà Óìîâà – Ïîéíòèíãà). Âäîëü ëó÷åé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ âîëíû. Ñêîðîñòü âîëíîâîãî ôðîíòà âäîëü íàïðàâëåíèÿ ëó÷à íàçûâàåòñÿ ëó÷åâîé ñêîðîñòüþ. Ïîêàçàòü, ÷òî ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü r ru ñâÿçàíà r ñ íîðìàëüíîé ñêîðîñòüþ âîëíû r ñîîòíîøåíèåì v = u(N × t ), ãäå t – åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü ëó÷à, N – åäèíè÷íûé âåêòîð âîëíîâîé íîðìàëè. Ðåøåíèå. Òàê êàê âåêòîð Óìîâà – Ïîéíòèíãà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì ïîòîêà ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, òî r r (1) S = vut , ãäå v – ïëîòíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, êîòîðàÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç ýíåðãèé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé. Èçâåñòíî, ÷òî ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ r r (E × D) . (2) vý = 2  ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå vý = vì, ãäå vì – îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èìååì r r (3) v = vý + vì =(E × D). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî çàïèñàòü r r r r r 1 r S = [E ´ H] = [E ´ [N ´ E]]. m 0v 120

Ðàñêðûâàÿ äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå, ïîëó÷èì r r r r 1 r 2 {NE - E(E × N)}. S= m 0v

(4)

Ïîäñòàâèì (1) â (4). Â ðåçóëüòàòå r r r r 1 r 2 vut = {NE - E(E × N)}. m 0v

r Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ ñêàëÿðíî íà N, ïîëó÷èì r r r r 1 (5) vu(N × t ) = [E 2 - (E × N) 2 ]. m 0v Äëÿ äàëüíåéøèõ ïðåîáðàçîâàíèé âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé r r r r r m 0 v 2 D - E = -N(N × E). r Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû ñêàëÿðíî íà E, ïîëó÷èì r r r r m 0 v 2 (D × E) - E 2 = - (N × E) 2 .

(6)

Ïîäñòàâëÿÿ (6) â (5), ïîëó÷àåì r r r r vu (N × t ) = v (D × E).

(7)

Íàêîíåö, ïîäñòàâëÿÿ (3) â (7), ïîëó÷àåì r r (8) v = u(N × t ). r r Òàê êàê (N × t ) = cos a, ãäå a – óãîë ìåæäó åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè, òî èç (8) ñëåäóåò, ÷òî v = u cos a, ò. å. íîðìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà ïðîåêöèè ëó÷åâîé ñêîðîñòè íà íàïðàâëåíèå âîëíîâîé íîðìàëè. Ïðèìåð 2. Ïðèçìà Íèêîëÿ ñîñòîèò èç êðèñòàëëà èñëàíäñêîãî øïàòà, ðàçðåçàííîãî íà äâå ðàâíûå ÷àñòè âäîëü äèàãîíàëüíîé ïëîñêîñòè BC (ðèñ. 6.1). Ýòè ÷àñòè ñêëååíû êàíàäñêèì áàëüçàìîì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî n = 1,54. Ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà ïðèçìó òàê, ÷òî âíóòðè ïðèçìû íåîáûêíîâåííûé ëó÷ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíî äëèííîìó ðåáðó ïðèçìû, ïðàêòè÷åñêè íå èñïûòûâàÿ áîêîâîãî ñìåùåíèÿ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ðàçðåç. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî íàïðàâëåíèÿ ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ íåîáûêíîâåííîãî ëó÷à nå = 1,516, à îáûêíîâåííîãî no = 1,658. Ïîä êàêèì óãëîì a ê äëèííîìó ðåáðó ïðèçìû Íèêîëÿ íàäî ñïèëèòü åå îñíîâàíèå, ÷òîáû óãîë ïàäåíèÿ îáûêíîâåííîãî ëó÷à íà ñëîé êàíàäñêîãî áàëüçàìà ïðåâûøàë óãîë ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ íà d = 1o45¢, à íåîáûêíîâåííûé ëó÷ ðàñïðîñòðàíÿëñÿ òàê, êàê îïèñàíî âûøå? Âû÷èñëèòü îòíîøåíèå äëèíû ïðèçìû a ê åå øèðèíå b ïðè äàííûõ óñëîâèÿõ. 121

B

j

D

ce co

b+d¢

a

C

A Ð è ñ. 6.1

Ðåøåíèå. Èç çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà íà ãðàíèöå À ñëåäóåò, ÷òî sin c e n (9) = e. sin c o no  ïðèçìå Íèêîëÿ ÂÑ ïåðïåíäèêóëÿðíî åå îñíîâàíèÿì À è ÑD, à ïî óñëîâèþ çàäà÷è íåîáûêíîâåííûé ëó÷ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíî äëèííîìó ðåáðó ïðèçìû. Ïîýòîìó a = 90o – ce.

(10)

Ïóñòü b – óãîë ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ íà ãðàíèöå ÂÑ äëÿ îáûêíîâåííîãî ëó÷à. Îí îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì n . (11) sin b = no Ïî óñëîâèþ çàäà÷è p (12) - (b + d). 2 Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ n, no è ne â (9)–(12), íàõîäèì co =

b = 68o15¢, co = 20o, ce = 22o, a = 68o a 2 è îïðåäåëÿåì = = 2,88. b sin 2a

O

co e

ce

Ð è ñ. 6.2

122

Ïðèìåð 3. Ïðèçìà Âîëëàñòîíà èçãîòîâëåíà èç èñëàíäñêîãî øïàòà òàê, ÷òî â ëåâîé ÷àñòè ïðèçìû îïòè÷åñêàÿ îñü ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà, â ïðàâîé – ïåðïåíäèêóëÿðíà åé (ðèñ. 6.2). Êîýôôèöèåíò ïðåëîìc¢e ëåíèÿ îáûêíîâåííîãî ëó÷à no = 1,658, íåîáûêíîâåííîãî ne = 1,486. Óãîë a = 15o. Ðàññ÷èòàòü, íà êàêîé óãîë áóäóò ðàçâåäåíû îáûêíîâåííûé è íåîáûêíîâåííûé ëó÷è.

c¢o

a

Ðåøåíèå. Ëó÷, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ â ëåâîé ÷àñòè ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíî îïòè÷åñêîé îñè êðèñòàëëà, ñîñòîèò èç äâóõ âîëí – îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Ïðè ýòîì âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îáûêíîâåííîé âîëíû êîëåáëåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îïòè÷åñêîé îñè, à íåîáûêíîâåííîé âîëíû – ïàðàëëåëüíî ýòîé îñè. ßñíî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà îáëàñòåé ñî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíîé îðèåíòàöèåé îïòè÷åñêèõ îñåé îáûêíîâåííûé ëó÷ ñòàíîâèòñÿ íåîáûêíîâåííûì, à íåîáûêíîâåííûé – îáûêíîâåííûì. Ó÷èòûâàÿ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, íàïèøåì çàêîíû ïðåëîìëåíèÿ íà óêàçàííîé ãðàíèöå ðàçäåëà: (sin a) o (sin a) e n o n = e < 1, = > 1. sin c e sin c o no ne Çäåñü èíäåêñû «o» è «e» ïðè sin a îçíà÷àþò, ÷òî ðå÷ü èäåò î ñèíóñå óãëà ïàäåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé â ïåðâîé ïîëîâèíå ïðèçìû. Çàêîíû ïðåëîìëåíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà êðèñòàëëè÷åñêîé è âîçäóøíîé ñðåä ïðè âûõîäå ëó÷åé èç ïðèçìû: sin(c e - a) 1 sin(a - c o ) 1 , = ; = ne no sin c ¢e sin c ¢o ãäå (ce – a) – óãîë ïàäåíèÿ íà ãðàíèöó ðàçäåëà íåîáûêíîâåííîãî ëó÷à, c ¢e – óãîë ïðåëîìëåíèÿ íåîáûêíîâåííîãî ëó÷à íà óêàçàííîé ãðàíèöå. Òàêîé æå ñìûñë èìåþò àíàëîãè÷íûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ îáûêíîâåííîãî ëó÷à (ðèñ. 6.2). Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ no, ne è a â çàïèñàííûå ôîðìóëû, ïîëó÷èì c ¢e = 2o14¢, c ¢o = 3o2¢. Óãîë ðàçâîäà ëó÷åé y = c ¢e + c ¢o = 5o16¢. Ïðèìåð 4. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ïîìåùåííóþ ìåæäó äâóìÿ íèêîëÿìè, ãëàâíûå ïëîñêîñòè êîòîðûõ îáðàçóþò ñ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ïëàñòèíêè óãëû a è b. Èññëåäîâàòü ñëó÷àè ñêðåùåííûõ è ïàðàëëåëüíûõ íèêîëåé. Ðåøåíèå. Ïîä ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ íèêîëÿ ïîíèìàþò ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùóþ îïòè÷åñêóþ îñü è âåêòîð íîðìàëè ê âîëíîâîìó ôðîíòó, ò. å. ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ïðîèñõîäÿò êîëåáàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà íåîáûêíîâåííîé âîëíû. Îäèí èç íèêîëåé ïî óñëîâèþ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïîëÿðèçàòîðîì, âòîðîé – àíàëèçàòîðîì. Ñâåò, âûøåäøèé èç ïîëÿðèçàòîðà, ïîïàäàåò â êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ãäå ðàñùåïëÿåòñÿ íà îáûêíîâåííóþ è íåîáûêíîâåííóþ âîëíû, ïîëÿðèçîâàííûå âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåé ïîëÿðèçàöèè îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí â êðèñòàëëå, à òàêæå ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé ïîëÿðèçàòîðà è àíàëèçàòîðà 123

D2

Ï

D¢2

E

a A2

A1

b

O

D¢1 Ð è ñ. 6.3

èçîáðàæåíî íà ðèñ. 6.3. Çäåñü ÎÏ, OA – ãëàâíûå ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïîëÿðèçàòîðà è àíàëèçàòîðà; OD1 è OD2 – ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè; OE – àìïëèòóäà ñâåòà, ïàäàþA ùåãî íà ïëàñòèíêó. Òàê êàê ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé D1 â ïëàñòèíêå ðàçëè÷íû, òî ïðîéäÿ ñêâîçü ïëàñòèíêó, óêàçàííûå ëó÷è ïðèîáðåòàþò ðàçíîñòü ôàç 2p (13) d = (ne – no)h, l

ãäå h – òîëùèíà ïëàñòèíêè, l – äëèíà âîëíû èñïîëüçóåìîãî ñâåòà, à no è ne – êîýôôèöèåíòû ïðåëîìëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé. Àìïëèòóäà ñâåòà, âûøåäøåãî èç ïëàñòèíêè ñ ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàöèè, ïàðàëëåëüíîé ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ OD1, OD1¢ = OE cos a. Äëÿ ñâåòà, ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè êîòîðîãî ïàðàëëåëüíà ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ OD2, OD2¢ = OE sin a. Àìïëèòóäû ëó÷åé, ïðîïóùåííûõ àíàëèçàòîðîì: OA1 = OD1¢ × cos b = OE cos b cos a, (14) OA2 = OD2¢ × sin b = OE sin b sin a.

(15)

Ëó÷è, ïðîïóùåííûå àíàëèçàòîðîì, ÿâëÿþòñÿ êîãåðåíòíûìè ëó÷àìè, è òàê êàê èõ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïàðàëëåëüíû, îíè èíòåðôåðèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Ïîñêîëüêó ê òîìó æå íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòèõ ëó÷åé ñîâïàäàþò, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ñóììàðíîãî èçëó÷åíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos d,

(16)

ãäå d – ðàçíîñòü ôàç ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé (13), OA12 OA22 , I2 = . (17) I1 = 2 2 Ñ ó÷åòîì (14), (15) è (17) ôîðìóëà (16) ïðèíèìàåò âèä I = I0 {cos2(a – b) – sin 2a sin 2b sin2d/2}, 2

(18)

OE – èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïàäàþùåãî íà êðèñòàëëè÷åñêóþ 2 ïëàñòèíêó. ãäå I 0 =

124

Ïóñòü ïîëÿðèçàòîð è àíàëèçàòîð «ñêðåùåíû». Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãîë ìåæäó ãëàâíûìè ïëîñêîñòÿìè ïîëÿðèçàòîðà è àíàëèçàòîðà (a – b) = 90o.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (18) ïðèíèìàåò âèä I^ = I0sin22a sin2d/2. (19) Åñëè (a – b) = 0 (ïîëÿðèçàòîð è àíàëèçàòîð «ïàðàëëåëüíû»), òî I|| = I0(1 – sin22a sin2d/2). (20) Èíòåíñèâíîñòè (19) è (20) äîïîëíèòåëüíû, ïîñêîëüêó I^ + I|| = I0. Ïðèìåð 5. Íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ïàäàåò íîðìàëüíî ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó. Ïðîøåäøèé ñâåò ïðîñìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç àíàëèçàòîð. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà, åñëè ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü àíàëèçàòîðà ñîñòàâëÿåò óãîë b ñ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ïëàñòèíêè. Ðåøåíèå. Íàïðàâèì îñè ñèñòåìû êîîðäè- Y E íàò ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì êðèñòàëëè÷åñ- Ey êîé ïëàñòèíêè (ðèñ. 6.4) Äëÿ ñâåòà, ïîëÿðèa çîâàííîãî ïî êðóãó, (21) Ex = acost, Ey = asin t, A rr A1 ãäå t = wt – (kr). A2 b Íà âûõîäå èç ïëàñòèíêè Ex = acos t, O Ex X Ey = asin(t + d), ãäå d – ðàçíîñòü ôàç, ïðèîáðåòàåìàÿ ëó÷àìè ïðè ïðîõîæäåíèè ñêâîçü Ð è ñ. 6.4 ïëàñòèíêó. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ àíàëèçàòîðà ñâåòîâûå ëó÷è èçìåíÿþòñÿ ïî çàêîíó (22) EOA1 = E x cos b = a cos b cos t, é ù p ö æ EOA2 = E y sin b = a sin b sin(t + d) = a sin b cos êt + ç d + ÷ú . (23) 2 øû è ë Ïðèìåíèì ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ñóììàðíîé èíòåíñèâíîñòè ïðè ñóïåðïîçèöèè êîãåðåíòíûõ ëó÷åé pö æ I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cosç d + ÷ 2ø è èëè (24) I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 sin d , ãäå I1 =

a 2 cos 2 b a 2 sin 2 b , I2 = . 2 2 125

Ïîäñòàâëÿÿ I1 è I2 â (24), íàõîäèì a2 (25) (1 + sin 2b sin d). I= 2 Ïðèìåð 6. Ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ëó÷ ïðîõîäèò ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, îäíî èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé êîòîðîé ñîñòàâëÿåò ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàòîðà óãîë i. Ðàçíîñòü ôàç, ñîîáùàåìàÿ ïëàñòèíêîé, ðàâíà d. Íàéòè: 1) îòíîøåíèå ïîëóîñåé ýëëèïñà êîëåáàíèé ïîëó÷åííîãî ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà; 2) óãîë ìåæäó ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè ïëàñòèíêè è ïîëóîñÿìè ýëëèïñà. Ðåøåíèå. Ëó÷, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ðàñùåïëÿåòñÿ íà îáûêíîâåííóþ è íåîáûêíîâåííóþ âîëíû, êîëåáàíèÿ êîòîðûõ ïîëÿðèçîâàíû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ.  ñèëó ðàçëè÷èÿ â ñêîðîñòÿõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòè âîëíû, ïðîéäÿ ñêâîçü ïëàñòèíêó, ïðèîáðåòàþò ôàçîâûé ñäâèã d, îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé (13).  ðåçóëüòàòå ñâåò, âûøåäøèé èç ïëàñòèíêè, îêàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííûì. Ïîêàæåì ýòî. Íàïðàâèì îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò OX è OY ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè (ðèñ. 6.5). Òîãäà âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëíàõ ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó (26) Ex = a1 cos t, Ey = a2 sin (t + d), rr ãäå t = wt – (kr); a1, a2 – àìïëèòóäû îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí ñîîòâåòñòâåííî; d – ôàçîâûé ñäâèã. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è a2 (27) = tg i, a1 ãäå i – óãîë ìåæäó ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàòîðà è ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì OX êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè. Y

x

z

E

a2

Ï

i q O

Ð è ñ. 6.5

126

a1

X

Ôîðìóëû (26) îïèñûâàþò ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó. Ïåðåïèøåì èõ â âèäå Ey Ex = cos t, = cos(t + d). a1 a2 Îòñþäà Ey Ex sin(t + d) sin t = sin d, a1 a2 Ey Ex cos(t + d) cos t = 0. a1 a2

(28)

Âîçâîäÿ â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ, ïîëó÷èì æ Ex çç è a1

2

æE ö ÷÷ + ç y ça ø è 2

2

E E ö ÷ - 2 x y cos d = sin 2 d . ÷ a1 a 2 ø

(29)

Óðàâíåíèå (29) îïèñûâàåò ýëëèïñ, îñè êîòîðîãî â îáùåì ñëó÷àå íå ïàðàëëåëüíû îñÿì OX è OY. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî ïåðåéòè â ñèñòåìó êîîðäèíàò, îñè êîòîðîé Ox è Oz íàïðàâëåíû ïî îñÿì ýëëèïñà.  íîâûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå ýëëèïñà äîëæíî èìåòü êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó æ Ex ç çA è 1

2

2

ö æE ö ÷ + ç z ÷ = 1, ÷ çA ÷ ø è 2ø

(30)

à ýòî âîçìîæíî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðîåêöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà îñè íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó Ex = A1 cos(t + d0), Ez = ±A2 sin(t + d0),

(31)

ãäå d0 – íåêàÿ íà÷àëüíàÿ ôàçà. Íàëè÷èå äâóõ çíàêîâ â (31) óêàçûâàåò íà âîçìîæíîñòü äâóõ íàïðàâëåíèé äâèæåíèÿ êîíöà ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà, îïèñûâàþùåãî ýëëèïñ. Íîâûå êîìïîíåíòû Ex è Ez ñâÿçàíû ñ ïðåæíèìè êîìïîíåíòàìè Ex è Ey ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ex = Ex cos q + Ey sin q, Ez = –Ex sin q + Ey cos q,

(32)

ãäå q – óãîë ïîâîðîòà ñòàðîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèí ïîëóîñåé ýëëèïñà A1 è A2 ñðàâíèâàåì (31) è (32) è, èñïîëüçóÿ (26), ïîëó÷àåì 127

A1(cos t cos d0 – sin t sin d0) = = a1 cos t cos q + a2(cos t cos d – sin t sin d) sin q, ±A2(sin t cos d0 + cos t sin d0) = = – a1 cos t sin q + a2(cos t cos d – sin t sin d) cos q.

(33)

Ïðèðàâíèâàÿ â ýòèõ âûðàæåíèÿõ êîýôôèöèåíòû ïðè cos t è sin t, ïîëó÷èì (33à) A1 cos d0 = a1 cos q + a2 cos d sin q, A1 sin d0 = a2 sin d sin q,

(33á)

± A2 cos d0 = – a2 sin d cos q,

(33â)

± A1 sin d0 = – a1 sin q + a2 cos d cos q. Âîçâîäÿ â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ (33à) è (33á), íàõîäèì A12 = a12 cos 2 q + a 22 sin 2 q + 2a1 a 2 cos q sin q cos d. Àíàëîãè÷íî äëÿ (33â) è (33ã) èìååì A22 = a12 sin 2 q + a 22 cos 2 q - 2a1 a 2 cos q sin q cos d. Èç (34) è (35) íàõîäèì A12 + A22 = a12 + a 22 . Óìíîæèâ (33à) íà (33â), (33á) íà (33ã) è ñëîæèâ, ïîëó÷èì ± A1A2 = a1a2 sin d. Èç (36) è (37) íàéäåì 2A A 2a a ± 2 1 2 2 = 2 1 2 2 sin d. A1 + A2 a1 + a 2 Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûé óãîë i¢ òàêîé, ÷òî A ± 2 = tg i¢. A1

(33ã) (34) (35) (36) (37) (38)

(39)

×èñëåííîå çíà÷åíèå tg i¢ îïðåäåëÿåò îòíîøåíèå îñåé ýëëèïñà, à çíàê ïðè tg i¢ õàðàêòåðèçóåò äâà âàðèàíòà, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè îïèñàíèè ýëëèïñà. Ñ ó÷åòîì (27) è (39) ôîðìóëà (38) ïðèíèìàåò âèä sin 2i¢ = (sin 2i¢) sin d. (40) Ôîðìóëà (40) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîé ÷àñòè çàäà÷è. Ðàçäåëèâ (33â) íà (33à) è (33ã) íà (33á), ïîëó÷èì -a 2 sin d cos q A -a sin q + a 2 cos d cos q . (41) ± 2 = = 1 a 2 sin d sin q A1 a1 cos q + a 2 cos d sin q 128

Èç (41) íàõîäèì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ q: (a12 - a 22 )sin 2q = 2a1 a 2 cos d cos 2q, èëè tg2q =

2a 1 a 2 a12 - a 22

cos d.

È íàêîíåö, ó÷èòûâàÿ (27), ïîëó÷èì tg2q =

2tg i 1 - tg 2 i

cos d,

èëè tg 2q = (tg 2i) cos d.

(42)

Ôîðìóëà (42) îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ ýëëèïñà îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè, ò. å. ðåøàåò âòîðóþ ÷àñòü çàäà÷è. Ïðèìåð 7. Íàéòè íàèìåíüøóþ òîëùèíó hmin ïëàñòèíêè êâàðöà, âûðåçàííîé ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ÷òîáû ïàäàþùèé ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò âûõîäèë ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó (ne = 1,5533, no = 1,5442, l = 5000 Å). Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå (29) ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâíåíèå îêðóæíîñòè E x2 + E y2 = a 2 â òîì ñëó÷àå, åñëè a1 = a2 = a è sin d = ±1.

(43) (44)

 (44) çíàê «ïëþñ» ñîîòâåòñòâóåò ëåâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè, çíàê «ìèíóñ» – ïðàâîé. Èç (44) ñëåäóåò, ÷òî d = (2m + 1)p/2 (m = 0, 1, 2, …). Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óñëîâèå âûðàæåíèå (13) äëÿ ôàçîâîãî ñäâèãà ìåæäó îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëíàìè, ïîëó÷èì 2p p (n e - n o )h = (2m - 1) , l 2 l (2m - 1)l . Îòñþäà h min = ò. å. h = = 0,014 (ìì). 4(n e - n o ) 4(n e - n o )

(45)

Ïðèìåð 8. Êîìïåíñàòîð Áàáèíå ïîìåùåí ìåæäó äâóìÿ «ñêðåùåííûìè» ïðèçìàìè Íèêîëÿ. Â êàêèõ ìåñòàõ êîìïåíñàòîðà íàáëþäàþòñÿ òåìíûå ïîëîñû, åñëè ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ no è ne äëÿ îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí èçâåñòíû? 129

Ðåøåíèå. Êîìïåíñàòîð Áàáèíå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ëþáûå ðàçíîñòè ôàç ìåæäó h2 îáûêíîâåííûì è íåîáûêíîâåííûì ëó÷àìè, â òîì ÷èñëå è íóëåâûå. Êîìïåíñàòîð ñîñòîèò èç äâóõ êâàðöåâûõ êëèíüåâ (ïîëîæèòåëüíûé îäíîîñíûé êðèñòàëë) ñ îäèh1 íàêîâûìè îñòðûìè óãëàìè (ðèñ. 6.6).  îäíîì èç êëèíüåâ îïòè÷åñêàÿ îñü ïàÐ è ñ. 6.6 ðàëëåëüíà, à â äðóãîì ïåðïåíäèêóëÿðíà ðåáðó. Ïóñòü h1 è h2 – òîëùèíû êëèíüåâ â íåêîòîðîì îïðåäåëåííîì ìåñòå, à ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà êîìïåíñàòîð ñíèçó, íîðìàëüíî ê åãî ãðàíè. Òàê êàê îïòè÷åñêàÿ îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, òî ïàäàþùèé ëó÷ ðàñùåïëÿåòñÿ íà îáûêíîâåííûé è íåîáûêíîâåííûé ëó÷è, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Òàê êàê êðèñòàëë ïîëîæèòåëåí, òî vo > ve (no < ne) è îáûêíîâåííûé ëó÷ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðâîãî êëèíà áóäåò îïåðåæàòü ïî ôàçå íåîáûêíîâåííûé ëó÷ íà âåëè÷èíó 2p (46) d1 = (n e - n o )h1 . l Îäíàêî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà ìåæäó êëèíüÿìè îáûêíîâåííûé ëó÷ ñòàíîâèòñÿ íåîáûêíîâåííûì (ñì. ïðèìåð 3) è áóäåò îòñòàâàòü ïî ôàçå îò âòîðîãî ëó÷à íà âåëè÷èíó 2p (47) d 2 = (n e - n o )h 2 . l Ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó ðàññìàòðèâàåìûìè ëó÷àìè ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç êîìïåíñàòîð áóäåò ðàâåí 2p (48) d = d1 - d 2 = (n e - n o )(h1 - h 2 ). l Åñëè çà êîìïåíñàòîðîì ïîñòàâèòü àíàëèçàòîð, òî â êîìïåíñàòîðå áóäåò íàáëþäàòüñÿ ñèñòåìà òåìíûõ ïîëîñ, ðàñïîëîæåííûõ â òåõ ìåñòàõ, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ñêâîçü êîìïåíñàòîð. Äëÿ íàõîæäåíèÿ óñëîâèÿ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ñêâîçü êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ðàññìîòðèì ñëó÷àé âûðîæäåíèÿ óðàâíåíèÿ (29) â óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè Ey a (49) = (-1) m 2 . Ex a1 Òàêîå âûðîæäåíèå âîçìîæíî ïðè d = mp (m = 0, ±1, ±2, …). 130

(50)

Ïîäñòàâëÿÿ (50) â (48), ïîëó÷èì, ÷òî òåìíûå ïîëîñû áóäóò íàáëþäàòüñÿ â òàêèõ ìåñòàõ êîìïåíñàòîðà, äëÿ êîòîðûõ h1 - h 2 =

ml . 2(n e - n o )

(51)

Ïðèìåð 9. ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ Dn äëÿ ïðàâî- è ëåâîêðóãîïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà c äëèíîé âîëíû l = 5893 Å â êâàðöå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â êâàðöå äëÿ ýòîé âîëíû ðàâíî 21,7o íà 1 ìì? Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî òåîðèè Ôðåíåëÿ, âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäå îáúÿñíÿåòñÿ ðàçëè÷èåì â ñêîðîñòÿõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëåâî- è ïðàâîêðóãîïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé, íà êîòîðûå â êàæäûé äàííûé ìîìåíò ìîæíî ðàçëîæèòü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò. Åñëè îáîçíà÷èòü ïðîåêöèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà íà îñè êîîðäèíàò Ex, Ey òî, ñîãëàñíî ñêàçàííîìó âûøå, ýòè ïðîåêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ïðîåêöèé êðóãîïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé, ò. å. Ex = E x1 + E x2 , Ey = E y1 + E y2 ,

(52)

ãäå äëÿ êîìïîíåíò ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî ëåâîìó êðóãó, èìååì E x1 =

a a cos t1 , E y1 = sin t1 , 2 2

(53)

à äëÿ êîìïîíåíò ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî ïðàâîìó êðóãó, E x2 =

a a cos t 2 , E y2 = - sin t 2 . 2 2

(54)

v v h; t2 = vt + h, v1 v2

(55)

 ñâîþ î÷åðåäü, t1 = vt +

ãäå v1 è v2 – ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ëåâî- è ïðàâîêðóãîïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé, h – òîëùèíà ïëàñòèíêè. Ïîäñòàâëÿÿ (53) è (54) â (52) è ó÷èòûâàÿ (55), ïîëó÷èì Ex = a cos æ c c ãäå Dn = çç è v1 v2

vh vh Dn cos t, Ey = a sin Dn cos t, 2c 2c

ö vh æ 1 1 çç + ÷÷ = n1 - n 2 , t = vt + 2 è v1 v2 ø

(56)

ö ÷÷ . ø 131

Îòíîøåíèå Ex /Ey äàåò çíà÷åíèå òàíãåíñà óãëà ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè, ò. å. Ey vh (57) = tg j = tg Dn. Ex 2c Èç (57) ïîëó÷àåì j = ah, (58) vDn pDn ãäå a = – âðàùàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü êðèñòàëëè÷åñêîé = 2c l0 ïëàñòèíêè, l0 – äëèíà èñïîëüçóåìîãî ñâåòà â âàêóóìå. Îòñþäà jl 0 Dn = @ 7,2 × 10 -5 . ph Ïðèìåð 10. Äèñïåðñèÿ âðàùåíèÿ êâàðöà, âûðåçàííîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îïòè÷åñêîé îñè, äëÿ æåëòîé îáëàñòè ñïåêòðà õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìè âðàùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè: l, Å

a, ãðàä/ìì

5269

27,543

5895

21,684

Çàâèñèìîñòü âðàùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè îò äëèíû âîëíû â óçêîé ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè ìîæåò áûòü âûðàæåíà ôîðìóëîé B a = A + 2, l ãäå À è  – ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòü íàèìåíüøóþ òîëùèíó êâàðöåâîé ïëàñòèíêè h, ïîìåùåííîé ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè, ÷òîáû èç äâóõ ëèíèé íàòðèÿ l1 = 5889,953 Å è l2 = 5895,923 Å îäíà ïîëíîñòüþ ãàñèëàñü, à äðóãàÿ ïðîïóñêàëàñü íàïîëîâèíó. Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà, îïèñàííàÿ â çàäà÷å, íå ïðîïóñêàåò ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãîë ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè j äëÿ ñâåòà ýòîé äëèíû âîëíû äîëæåí áûòü ðàâåí p, ò. å. (59) p = a1h. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû êðèñòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà ïðè òîé æå òîëùèíå ïîâîðà÷èâàëà ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l2 íà óãîë p/4, ò. å. p/4 = a2h. (60) 132

Ïðè ýòîì (â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Ìàëþñà) ÷åðåç àíàëèçàòîð áóäåò ïðîïóñêàòüñÿ ïîëîâèííàÿ èíòåíñèâíîñòü, êàê òðåáóåòñÿ ïî óñëîâèþ çàäà÷è. Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è, B B (61) a1 = A + 2 , a1 = A + 2 . l1 l2 Ïîäñòàâëÿÿ (61) â (59) è (60), ïîëó÷èì æ æ Bö B p = çç A + 2 ÷÷ h, p 4 = çç A + 2 l1 ø l2 è è

ö ÷ h. ÷ ø

(62)

Èñêëþ÷èâ ïîñòîÿííóþ À, çàïèøåì æp B ö æ p B ö÷ ç ÷ ç ç h l2 ÷ = ç 4h - l2 ÷ . è è 1 ø 2 ø Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî h, íàõîäèì 3pl21 l22 3pl3 , h= @ 4B(l22 - l21 ) 8Bdl

(63)

ãäå dl = l2 – l1, l = (l1 + l2)/2, l21 l22 = l4 . Ïîäñòàâëÿÿ â (62) ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ èç òàáëèöû â óñëîâèå çàäà÷è, ïîëó÷èì, ÷òî B » 10–6 ãðàä×ìì. Ïîäñòàâëÿÿ â (63) íåîáõîäèìûå ÷èñëåííûå äàííûå, íàõîäèì h » » 2500 ìì. Ïðèìåð 11. ß÷åéêà Êåððà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíäåíñàòîð äëèíû l = 5 ñì ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ïëàñòèíêàìè h = 1 ìì, ïîìåùåííûé â íèòðîáåíçîë, äëÿ êîòîðîãî ïîñòîÿííàÿ Êåððà B = 2 ×10–5 ã–1ñ2. Âñå óñòðîéñòâî íàõîäèòñÿ ìåæäó «ïàðàëëåëüíûìè» íèêîëÿìè N1, N2 è îñâåùàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì (ðèñ. 6.7). Ê êîíäåíñàòîðó ïîä-

S N1

N2

Ð è ñ. 6.7 133

âåäåíî ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå ñ àìïëèòóäîé 6000  îò ãåíåðàòîðà ñ ÷àñòîòîé n = 107 Ãö. Îïðåäåëèòü ÷èñëî ïðåðûâàíèé ñâåòîâîãî ïó÷êà, îñóùåñòâëÿåìûõ îïèñàííîé óñòàíîâêîé. Ðåøåíèå. Åñëè ìîëåêóëû æèäêîñòè, â êîòîðóþ ïîìåùåí êîíäåíñàòîð, îáëàäàþò äèïîëüíûìè ýëåêòðè÷åñêèìè ìîìåíòàìè (ïîëÿðíûå ìîëåêóëû), òî ïðè ïîäà÷å íàïðÿæåíèÿ íà ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà îíè áóäóò âûñòðàèâàòüñÿ âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà òàêîãî ðîäà æèäêîñòè áóäóò ðàçëè÷íûìè â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ.  îïòè÷åñêîì îòíîøåíèè æèäêîñòü ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà ïîäîáíà îäíîîñíîìó êðèñòàëëó ñ îïòè÷åñêîé îñüþ, ïàðàëëåëüíîé íàïðàâëåíèþ ñèëîâûõ ëèíèé ïîëÿ. Åñëè ÷åðåç ýòó æèäêîñòü ïðîïóñòèòü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò, òî îí áóäåò ðàñïàäàòüñÿ íà îáûêíîâåííóþ è íåîáûêíîâåííóþ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà äàííîé äëèíû âîëíû ðàçíîñòü ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (ýôôåêò Êåððà), ò. å. (64) ne – no = kE2, ãäå k – ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò. Ïðîéäÿ ïóòü l, óêàçàííûå ëó÷è ïðèîáðåòàþò ðàçíîñòü õîäà d = l(ne – no) = klE2. (65) Åñëè ýòà ðàçíîñòü õîäà îêàæåòñÿ êðàòíîé äëèíå âîëíû ñâåòà l, òî ñâåò ñêâîçü îïèñàííîå óñòðîéñòâî ïðîõîäèòü íå áóäåò. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïðåðûâàíèÿ ñâåòîâîãî ïó÷êà ÿ÷åéêîé Êåððà èìååò âèä ml = klE2, èëè (66) m = BlE2, k ãäå B = – ïîñòîÿííàÿ Êåððà. l Ïðè ïèòàíèè êîíäåíñàòîðà ïåðåìåííûì íàïðÿæåíèåì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ E çà ÷åòâåðòü ïåðèîäà èçìåíÿåòñÿ îò íóëÿ äî àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ U (67) E0 = 0 , h ãäå U0 – àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ, h – ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà. Ïðè ýòîì óñëîâèå ïðåðûâàíèÿ ñâåòîâîãî U2 ïó÷êà (66) âûïîëíÿåòñÿ m = Bl 20 ðàç. Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åh íèÿ èç óñëîâèÿ çàäà÷è, ïîëó÷èì, ÷òî m = 4. Ñëåäîâàòåëüíî, çà ïåðèîä ñâåòîâîé ïó÷îê ïðåðûâàåòñÿ 16 ðàç. Òàêèì îáðàçîì, îïèñàííîå óñòðîéñòâî îñóùåñòâëÿåò 16n = 1,6×108 ïðåðûâàíèé â ñåêóíäó. 134

Ïðèìåð 12. Âûðàçèòü íîðìàëüíóþ ñêîðîñòü v ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â îäíîðîäíîé r êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäå ÷åðåç âåêòîðû ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè D è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîr ëÿ E ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû. Ðåøåíèå. Èñõîäèì èç ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùåé ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ñðåäå, õàðàêòåðèçóåìîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ e (ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû m ïîëàãàåì ðàâíîé åäèíèöå).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà èìåþò âèä r r r ¶B (68) rot E = - ; div D = 0; ¶t r r r ¶D ; div B = 0. rot H = ¶t r Âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè B ñâÿçàí ñ âåêòîðîì íàïðÿæåííîñòè r ìàãíèòíîãî ïîëÿ H ñîîòíîøåíèåì r r (69) B = m 0 H, ãäå m0 = 4p×10–7 Ãí/ì – ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ.  äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ: r æ ¶E ¶E y ö r æ ¶E y ¶E x ö r ¶E ¶E z ö r ÷ e1 + æç x ÷ e 3 , (70) rot E = çç z ÷ e 2 + çç ÷ ¶y ÷ø ¶z ø ¶x ø è ¶z è ¶y è ¶x r , E – ïðîåêöèè âåêòîðà íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðãäå Ex, E E y z r r r äèíàò; e1 , e 2 , e 3 – åäèíè÷íûå âåêòîðû, íàïðàâëåííûå ïî îñÿì ýòîé ñèñòåìû.  òîé æå ñèñòåìå êîîðäèíàò r ¶Dx ¶Dy ¶Dz . (71) div D = + + ¶x ¶y ¶z r r Âèä, àíàëîãè÷íûé (70) è (71), èìåþò ñîîòâåòñòâåííî rot H è div B. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è â ðàññìàòðèâàåìîé ñðåäårðàñïðîñòðàr r íÿåòñÿ ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, òî âåêòîðû E, D è H èçìåíÿþòñÿ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíó: rr r r E = E 0 e i(vt+kr) , rr r r D = D0 e i(vt+kr) , rr r r (72) H = H 0 e i(vt+kr) , 135

r r r ãäå E 0 , D0 è H 0 – ïîñòîÿííûå âåêòîðû (àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâóþùèõ r r âåëè÷èí); r – ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè íàáëþäåíèÿ; k – âîëíîâîé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî íîðìàëè ê âîëíîâîìó ôðîíòó (ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ôàçû) è ðàâíûé r 2p r v r (73) k= N = N, l v r ãäå N – åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê âîëíîâîìó ôðîíòó, v – íîðìàëüíàÿ (ôàçîâàÿ) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå. r Äàëåå r íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü, íàïðèìåð, rot E, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîð r E îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (72). Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ E èç (72) â (70) è ïðîèçâåäÿ íåîáõîäèìîå äèôôåðåíöèðîâàíèå, â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷èì rr æ ¶E z ¶E y ö ç ÷ = -i(k y E 0 z - k z E 0 y )e i(vt - kr) , ç ¶y ¶z ÷ø è rr æ ¶E x ¶E z ö ç ÷ = -i(k z E 0 x - k x E 0 z )e i(vt - kr) , ¶x ø è ¶z æ ¶E y ¶E x ç ç ¶x - ¶y è

rr ö ÷ = -i(k x E 0 y - k yz E 0 x )e i(vt - kr) . ÷ ø

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â (70), íàõîäèì r r r rot E = -i{(k y E z - k z E y )e1 + (k z E x - k x E z )e 2 + r r r + (k x E y - k yz E x )e 3 } = -i[k ´ E], ò. å. r r r rot E = -i[k ´ E]. Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî r r r rot H = -i[k ´ H], r r r div D = (k × D), r r r div D = (k × B). r dD Âû÷èñëèì : dtr rr rr r r dD ¶ r i(vt - kr ) D0 e = = D0 ive i(vt - kr) = ivD, dt ¶t èëè r r dD = ivD. dt 136

(74) (75) (76) (77)

(78)

Àíàëîãè÷íî

r r dB (79) = ivB. dt Ïîäñòàâëÿÿ (74)–(79) â (68) è ó÷èòûâàÿ (69), ïîëó÷èì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïðèíèìàåò âèä r r r 1 r r D = - [k ´ H], (k × D) = 0, v r r r 1 r r [k ´ E], (k × H) = 0. H= vm 0 r v r Òàê êàê k = N, òî îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì v r r r r 1 r D = - [N ´ H], (N × D) = 0, v r r r r 1 r (80) [N ´ E], (N × H) = 0. H= m 0v Äëÿ íàõîæäåíèÿ èñêîìîãî âûðàæåíèÿ äëÿ íîðìàëüíîé ñêîðîñòè r v èñêëþ÷èì H èç ïåðâîé ïàðû óðàâíåíèé (80).  ðåçóëüòàòå r r r r 1 [N ´ [N ´ E]]. D=2 m 0v Äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàñêðîåì ïî ôîðìóëå r r r r r r r r r [a ´ [b ´ c]] = b(a × c) - c(a × b).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì r r r r r r r r r r r 1 1 {N(N × E) - E(N × N)} = {N(N × E) - E}, D=2 2 m 0v m 0v r r r òàê êàê (N × N) = N 2 = 1 (N – åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè). Îòñþäà r r r r r (81) m 0 v 2 D - E = -N(N × E). r Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (81) ñêàëÿðíî íà D, ïîëó÷èì r r r r r r m 0 v 2 D 2 - (E × D) = - (N × D)(N × E) = 0 (ñì. (80)). Îêîí÷àòåëüíî äëÿ íîðìàëüíîé ñêîðîñòè èìååì r r (E × D) 2 . v = m 0 D2

(82) 137

r Ïðèìåð 13.  êðèñòàëëå çàäàí âåêòîð íîðìàëè N ê âîëíîâîìó ôðîíòó ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Âûðàçèòü íîðìàëüíóþ r ñêîðîñòü ýòîé âîëíû ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðà N. Ðåøåíèå. Çàäà÷ó áóäåì ðåøàòü â òàê íàçûâàåìîé ñèñòåìå äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé. Ïîÿñíèì ýòî ïîíÿòèå. Äåëî â òîì, ÷òî êðèñòàëëè÷åñêàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ àíèçîòðîïíîé, ò. å. ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòîé ñðåäû çàâèñÿò îò íàïðàâëåíèÿ, ïî êîòîðîìó ýòè ñâîéñòâà ðàññìàòðèâàþòñÿ. Ôàêò çàâèñèìîñòè ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ êðèñòàëëà îò íàïðàâëåíèÿ íàõîäèò ñâîå âûðàæåíèå, â ÷àñòíîñòè, â òåíçîðíîì õàðàêòåðå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî r ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè r D è êîìïîíåíòàìè âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E â êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäå èìååò âèä Di = e 0 å e ij E j ,

(83)

j

–12

ãäå e0 = 8,85×10 Ô/ì – ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ðàçâåðíóòàÿ çàïèñü (83) èìååò âèä Dx = e0(exxEx + exyEy + exzEz), Dy = e0(eyxEx + eyyEy + eyzEz), Dz = e0(ezxEx + ezyEy + ezzEz),

(83a) r r Òàêèì îáðàçîì, ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ D è E îïðåäåëÿåòñÿ äåâÿòèêîìïîíåíòíîé âåëè÷èíîé, íàçûâàåìîé òåíçîðîì äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû: e ij

æ e xx ç = ç e yx çe è zx

e xy e yy e zy

e xz ö ÷ e yz ÷ . e zz ÷ø

(84)

Èç êóðñà òåíçîðíîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òåíçîðîâ, îáëàäàþùèõ îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè (òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè eij êàê ðàç îòíîñèòñÿ ê òàêîìó êëàññó òåíçîðîâ), ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàåìûé òåíçîð èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, ò. å. e ij

æ e xx ç =ç 0 ç 0 è

0 e yy 0

0 ö ÷ 0 ÷. e zz ÷ø

(85)

Ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ïðèíèìàåò äèàãîíàëüíûé âèä (85), íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé äè138

ýëåêòðè÷åñêèõ îñåé. Ïðè ýòîì âåëè÷èíû exx = ex, eyy = ey, ezz = ez íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè. Äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû ex = ey = ez = e.  ñèñòåìå äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé ôîðìóëà (83à) ïðèíèìàåò âèä Dx = e0exEx; Dy = e0eyEy; Dz = e0ezEz, èëè, â áîëåå êîìïàêòíîé çàïèñè,

(86)

(87) Di = e0eiEi (i = x, y, z). r Ïóñòü âåêòîð D íàïðàâëåí ïî îñè x ñèñòåìû äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé. Òîãäà D 2 = e 20 e 2x E x2 . Ñ ó÷åòîì ýòîãî (82) äëÿ íîðìàëüíîé ñêîðîñòè ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû çàïèøåòñÿ â âèäå a x2 = c 2 e x , èëè c , (88) ax = ex ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â ãäå ax – íîðìàëüíàÿ ñêîðîñòü r òîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð D íàïðàâëåí âäîëü äèýëåêòðè÷åñêîé îñè x.  ñâîþ î÷åðåäü, ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå c ñâÿçàíà ñ ýëåêòðè÷åñêîé e0 è ìàãíèòíîé m0 ïîñòîÿííûìè ñîîòíîøåíèåì 1 . c2 = e0m 0 r Åñëè âåêòîð D íàïðàâëåí âäîëü îñè y, òî c , (89) ay = ey åñëè âäîëü îñè z, òî az =

c ez

.

(90)

Ôîðìóëû (88)–(90) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îäíîé ôîðìóëû c (i = x, y, z). (91) ai = ei Ñêîðîñòè ai íàçûâàþò ãëàâíûìè ñêîðîñòÿìè ñâåòà â êðèñòàëëå. Îòìåòèì, ÷òî ãëàâíûå ñêîðîñòè ax, ay è az íå îáðàçóþò âåêòîðà. Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (81), êîòîðóþ çàïèøåì ÷åðåç ïðîåêöèè âåêòîðîâ íà îñè äèýëåêòðè÷åñêîé ñèñòåìû, ò. å. r r (92) m0v2Di – Ei = –Ni(N × E) (i = x, y, z). 139

Ó÷èòûâàÿ (87) è (91), ïåðåïèøåì (92) â âèäå r r e c2 Di = 2 0 2 N i (N × E). (v - a i )

(93)

Óìíîæèì îáå ÷àñòè (93) íà Ni è ïðîñóììèðóåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà: r r N2 (94) åi N i Di = -e 0 c 2 (N × E)åi (v2 -i a 2 ). i ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ, òàê êàê rËåâàÿ r = (N × D) = 0 (ñì. (80)). Ñëåäîâàòåëüíî,

å (v i

N i2 2

- a i2 )

åN D = i

i

i

= 0,

èëè â ïîäðîáíîé çàïèñè, N x2 (v 2 - a x2 )

+

N y2 (v 2 - a y2 )

+

N z2 (v 2 - a z2 )

= 0.

(95)

Ôîðìóëà (95) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ôðåíåëÿ äëÿ íîðìàëüíîé ñêîðîñòè ñâåòà â êðèñòàëëå è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. r Ïðèìåð 14. Ïîêàçàòü, ÷òî â êàæäîì íàïðàâëåíèè N â êðèñòàëëå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ äâå âîëíû, âîîáùå ãîâîðÿ, ñ ðàçíûìè íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Åñëè ýòè ñêîðîñòè ðàçëè÷íû, òî êàæäàÿ èç r âîëí ïîëÿðèçîâàíà ëèíåéíî, ïðè÷åì âåêòîðû D îáåèõ âîëí âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ðåøåíèå. Ôîðìóëó (95) çàïèøåì â âèäå N x2 (v 2 - a y2 )(v 2 - a z2 ) + N y2 (v 2 - a x2 )(v 2 - a z2 ) + (96) + N z2 (v 2 - a x2 )(v 2 - a y2 ) = 0. Ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà îáîçíà÷èì f(v2). Òîãäà (96) ïðèíèìàåò âèä f(v2) = 0. (97) Óðàâíåíèå (97) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì îòíîñèòåëüíî v2, êîòîðîå â îáùåì ñëó÷àå èìååò äâà êîðíÿ. Åñëè ýòè êîðíè áóäóò âåùåñòâåííûìè è r ïîëîæèòåëüíûìè, òî òåì ñàìûì áóäåò äîêàçàíî, ÷òî â íàïðàâëåíèè N ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ äâå âîëíû ñ ðàçëè÷íûìè íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ax ³ ay ³ az. 140

(98)

Âûÿñíèì êà÷åñòâåííî, êàê âåäåò ñåáÿ ôóíêöèÿ f(v2). Òàê êàê Nx, Ny, Nz – êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà â äèýëåêòðè÷åñêèõ îñÿõ, òî èõ êâàäðàòû ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, à òàêæå óñëîâèå (98), èç (96) ïîëó÷èì f (a x2 ) = N x2 (a x2 - a y2 )(a x2 - a z2 ) ³ 0, f (a y2 ) = N y2 (a y2 - a x2 )(a y2 - a z2 ) £ 0, f (a z2 ) = N z2 (a z2 - a x2 )(a z2 - a y2 ) ³ 0. Ñäåëàâ ïðåäïîëîæåíèÿ î íåïðåðûâíîñòè è äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèè f(v2), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü – â òî÷êàõ v12 è v22 , ïðè÷åì a y £ v 1 £ a x, az £ v2 £ ay.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ax = ay = az (ñðåäà èçîòðîïíàÿ), v1 = v2 = v. Òàêèì îáðàçîì, êîðíÿì v1 è v2 óðàâíåíèÿ (97) ñîîòâåòñòâóþò äâå ñâåòîâûå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Òåïåðü âûÿñíèì âîïðîñ î ïîëÿðèçàöèè ýòèõ âîëí. Ñîãëàñíî (93) èìååì: r r e c2 Dx = 2 0 2 N x (N × E), v - ax Dy = Dz =

e0 c2 v 2 - a y2 e0 c2 v -a 2

2 z

r r N y (N × E), r r N z (N × E).

Èç ýòèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò îòíîøåíèå Ny N N Dx : Dy : Dz = 2 x 2 : 2 : 2 z 2. 2 v - ax v - ay v - az

(99)

Íàïèøåì àíàëîãè÷íûå îòíîøåíèÿ äëÿ äâóõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ñ íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè v1 è v2: Ny N N D1x : D1y : D1z = 2 x 2 : 2 : 2 z 2; 2 v1 - a x v1 - a y v1 - a z D2 x : D2 y : D2 z =

Nx v -a 2 2

2 x

:

Ny v -a 2 2

2 y

:

Nz v - a z2 2 2

.

141

Ïðàâûå ÷àñòè íàïèñàííûõ îòíîøåíèé ïî ñìûñëó âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â íèõ, âåùåñòâåííû. Ñëåäîâàòåëüíî, âåùåñòâåííû è îòíîøåíèÿ D1x : D1y : D1z , D2 x : D2 y : D2 z . Ïîñêîëüêó îòíîøåíèÿ êîìïîíåíò ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí âåùåñòâåííû, ýòî îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ñäâèãà r ôàç ìåæäó ýòèìè êîìïîíåíòàìè. r Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû D1 è D2 êîëåáëþòñÿ â îïðåäåëåííîì íàïðàâëåíèè, ò. å. îáå âîëíû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûìè. r r Íàêîíåö, äîêàæåì, ÷òî ïëîñêîñòè êîëåáàíèé âåêòîðîâ D1 è D2 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Èñõîäèì èç (81), çàïèñàííîé äëÿ êàæäîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí: r r r r r m 0 v12 D1 - E1 = -N(N × E1 ), r r r r r m 0 v22 D2 - E 2 = -N(N × E 2 ). r r Óìíîæàÿ ñêàëÿðíî ïåðâîå óðàâíåíèå íà D2 , à âòîðîå – íà D1 è âû÷èòàÿ âòîðîå ïîëó÷èâøååñÿ ñîîòíîøåíèå èç ïåðâîãî, à òàêæå ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (80), ïîëó÷èì r r r r r r (100) m 0 (v12 - v22 )(D1 × D2 ) - [(D2 × E1 ) - (D1 × E 2 )] = 0. Òàê êàê â ñèñòåìå äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé D1i = e0eiE1i, D2i = e0eiE2i (i = x, y, z), r r r r òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (D2 × E1 ) = (D1 × E 2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, r r (101) (v12 - v22 )(D1 × D2 ) = 0. r r Åñëè v1 ¹ v2, òî (D1 × D2 ) = 0, ò. å. ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè âåêòîr r ðîâ D1 è D2 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.

Çàäà÷è 6.1. Âûðàçèòü íîðìàëüíóþ ñêîðîñòü v ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â îäíîðîäíîé r êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäå ÷åðåç âåêòîðû rýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè D è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû. r 6.2.  êðèñòàëëå çàäàí âåêòîð íîðìàëè N ê âîëíîâîìó ôðîíòó ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Âûðàçèòü íîðìàëüíóþ ñêîðîñòü r ýòîé âîëíû ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðà N. 142

6.3. Ïðÿìàÿ, âäîëü êîòîðîé íîðìàëüíûå ñêîðîñòè îáåèõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â êðèñòàëëå, îäèíàêîâû, íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêîé îñüþ ïåðâîãî ðîäà. Ïîêàçàòü, ÷òî â êðèñòàëëå ñóùåñòâóþò äâå îïòè÷åñêèå îñè, è, ðàññìîòðåâ ñëó÷àé âûðîæäåíèÿ äâóîñíîãî êðèñòàëëà â îïòè÷åñêè îäíîîñíûé, âû÷èñëèòü â ýòîì ñëó÷àå íîðìàëüíûå ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. 6.4. Ïîêàçàòü, ÷òî â êàæäîì íàïðàâëåíèè N â êðèñòàëëå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ äâå âîëíû ñ ðàçëè÷íûìè íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Åñëè ýòè ñêîðîñòè ðàçëè÷íû, òî êàæäàÿ èç âîëí ïîëÿðèçîâàíà ëèr íåéíî, ïðè÷åì âåêòîðû D îáåèõ âîëí âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 6.5. Ëó÷îì â êðèñòàëëå íàçûâàåòñÿ ëèíèÿ, íàïðàâëåííàÿ âäîëü âåêòîðà ïîòîêà ýíåðãèè (âåêòîðà Óìîâà – Ïîéíòèíãà). Âäîëü ëó÷åé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ âîëíû. Ñêîðîñòü âîëíîâîãî ôðîíòà âäîëü íàïðàâëåíèÿ ëó÷à íàçûâàåòñÿ ëó÷åâîé ñêîðîñòüþ. Ïîêàçàòü, ÷òî ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü c íîðìàëüíîé ñêîðîñòüþ âîëíû v ñîîòíîøår r r u ñâÿçàíà íèåì v = u(Nj), ãäå j – åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü ëó÷à. 6.6. Ïîêàçàòü, ÷òî â êàæäîì íàïðàâëåíèè êðèñòàëëà ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ äâà ëó÷à. Åñëè ëó÷åâûå ñêîðîñòè ýòèõ ëó÷åé r ðàçëè÷íû, òî îáà ëó÷à ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàíû, ïðè÷åì âåêòîðû E â íèõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 6.7. Ïðÿìàÿ, â íàïðàâëåíèè êîòîðîé ëó÷åâûå ñêîðîñòè îáîèõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â êðèñòàëëå, îäèíàêîâû, íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêîé îñüþ âòîðîãî ðîäà. Ïîêàçàòü, ÷òî â êðèñòàëëå ñóùåñòâóþò äâå îïòè÷åñêèå îñè âòîðîãî ðîäà è íàéòè èõ íàïðàâëåíèÿ. 6.8. Íàéòè âûðàæåíèå ëó÷åâîé ñêîðîñòè â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ëó÷à â îïòè÷åñêè îäíîîñíîì êðèñòàëëå. 6.9. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíûé óãîë d ìåæäó íàïðàâëåíèåì ëó÷à è íàïðàâëåíèåì âîëíîâîé íîðìàëè â èñëàíäñêîì øïàòå, äëÿ êîòîðîãî no = 1,658 è ne = 1,486. 6.10. Äâîÿêîïðåëîìëÿþùàÿ ïðèçìà (ðèñ. 6.8) èçãîòîâëåíà èç ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,66 è èñëàíäñêîãî øïàòà, äëÿ êîòîðîãî no = 1,66 è ne = 1,49. Îïòè÷åñêàÿ îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà. Óãîë a = 30o. Íà ñòåêëÿííóþ ãðàíü ïðèçìû ïàäàåò a

q

Ð è ñ. 6.8

Ð è ñ. 6.9

143

íîðìàëüíî ê íåé ïó÷îê ñâåòà. Ðàññ÷èòàòü âåëè÷èíó óãëà ðàñõîæäåíèÿ y ïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé íà âûõîäå èç ïðèçìû. 6.11. Óçêèé ïó÷îê åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l = 589 íì ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïîâåðõíîñòü ïðèçìû Âîëëàñòîíà, ñäåëàííîé èç èñëàíäñêîãî øïàòà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 6.9. Îïòè÷åñêèå îñè îáåèõ ÷àñòåé ïðèçìû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéòè óãîë a ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè ïó÷êîâ çà ïðèçìîé, åñëè óãîë q = 30o. 6.12. Ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ïàäàåò íà ïîëÿðîèä, ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë j ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. Çà ïåðâûì ïîëÿðîèäîì ñòîèò âòîðîé, ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü êîòîðîãî ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî ïó÷êà ñâåòà. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà íà âûõîäå ñèñòåìû, åñëè èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà I0. 6.13. Ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó ñâåò, èìåþùèé èíòåíñèâíîñòü I0, ïàäàåò íà ïîëÿðèçàòîð. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ñêâîçü ïîëÿðèçàòîð. 6.14. Ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó ñâåò, èìåþùèé èíòåíñèâíîñòü I0, ïàäàåò íà ñòîïêó èç òðåõ ïîëÿðèçàòîðîâ. Ïåðâûé è ïîñëåäíèé ïîëÿðèçàòîðû «ñêðåùåíû», à ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü ñðåäíåãî îáðàçóåò óãîë j ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïåðâîãî. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà íà âûõîäå èç ñèñòåìû. 6.15. ×àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò (ñìåñü åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûì) ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç àíàëèçàòîð. Ïðè ïîâîðîòå àíàëèçàòîðà íà 60o îò ïîëîæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàêñèìàëüíîé ÿðêîñòè, èíòåíñèâíîñòü ïó÷êà óìåíüøàåòñÿ âäâîå. Íàéòè: I - I min , ãäå Imax, Imin – ìàêñèà) ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ïó÷êà D = max I max + I min ìàëüíàÿ è ìèíèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç àíàëèçàòîð; á) îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòåé åñòåñòâåííîãî è ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. 6.16. Ïîñòðîèòü ïî Ãþéãåíñó âîëíîâûå ôðîíòû è íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé â ïîëîæèòåëüíîì îäíîîñíîì êðèñòàëëå, îïòè÷åñêàÿ îñü êîòîðîãî: à) ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ è ïàðàëëåëüíà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà; á) ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ ïîä óãëîì 45o ê ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà, è ñâåò ïàäàåò ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îïòè÷åñêîé îñè. 6.17. Ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó ñâåò ïàäàåò íîðìàëüíî íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè. Çà ïëàñòèíêîé íàõîäèòñÿ ïîëÿðèçàòîð, ïëîñêîñòü ïðîïóñêàíèÿ êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë j ñ îïòè÷åñêîé îñüþ ïëàñòèíêè. Ïîêàçàòü, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ýòó ñèñòåìó: I = I0 (1 + sin 2j sin d), ãäå d – ðàçíîñòü ôàç ìåæäó îáûêíîâåííûì è íåîáûêíîâåííûì ëó÷àìè, êîòîðóþ âíîñèò ïëàñòèíêà. 144

6.18. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëàñòèíêó â ïîëâîëíû. Íàéòè õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ïëàñòèíêó. 6.19. Êâàðöåâàÿ ïëàñòèíêà, âûðåçàííàÿ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ïîìåùåíà ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè òàê, ÷òî åå îïòè÷åñêàÿ îñü ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ ïëîñêîñòÿìè ïðîïóñêàíèÿ ïîëÿðèçàòîðîâ. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé òîëùèíå ïëàñòèíêè ñâåò ñ l1 = 643 íì áóäåò ïðîõîäèòü ÷åðåç ýòó ñèñòåìó ñ ìàêñèìàëüíîé èíòåíñèâíîñòüþ, à ñâåò ñ l2 = 564 íì áóäåò ñèëüíî îñëàáëåí? Ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ Dn = ne – no = 0,0090. 6.20. Êàê ñ ïîìîùüþ ïîëÿðîèäà è ïëàñòèíêè â ÷åòâåðòü âîëíû, èçãîòîâëåííîé èç ïîëîæèòåëüíîãî îäíîîñíîãî êðèñòàëëà (ne > no), îòëè÷èòü: à) ñâåò ëåâîïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó îò ïðàâîïîëÿðèçîâàííîãî; á) åñòåñòâåííûé ñâåò îò ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó è îò ñìåñè åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó? 6.21. Ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè ïîìåñòèëè êâàðöåâûé êëèí ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì q = 3,5o. Îïòè÷åñêàÿ îñü êëèíà ïàðàëëåëüíà åãî ðåáðó è ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ ïëîñêîñòÿìè ïðîïóñêàíèÿ ïîëÿðèçàòîðîâ. Ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ýòó ñèñòåìó ñâåòà ñ l = 550 íì íàáëþäàåòñÿ ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ. Øèðèíà êàæäîé ïîëîñû Dõ = 1,0 ìì. Îïðåäåëèòü ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ êâàðöà äëÿ íåîáûêíîâåííîãî è îáûêíîâåííîãî ëó÷åé óêàçàííîé äëèíû âîëíû. 6.22. Îäèí ïîëÿðîèä ïðîïóñêàåò 30 % ñâåòà, åñëè íà íåãî ïàäàåò åñòåñòâåííûé ñâåò. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñâåòà ÷åðåç äâà òàêèõ ïîëÿðîèäà åãî èíòåíñèâíîñòü ïàäàåò äî 9 %. Íàéòè óãîë j ìåæäó îñÿìè ïîëÿðîèäîâ. 6.23. Ïëîñêàÿ âîëíà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ñîçäàåò â òî÷êå P èíòåíñèâíîñòü I0 (ðèñ. 6.10). Íà ïóòè âîëíû ñòàP âÿò äâå áîëüøèå ïëàñòèíêè â l/4, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ïëàñòèíîê îðèåíòèðîâàíû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíî. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü I â òî÷êå Ð. 6.24. Èìååòñÿ ãîðèçîíòàëüíûé ïàðàëëåëüÐ è ñ. 6.10 íûé ïó÷îê ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. Îáíàðóæåíî, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ïó÷êà ÷åðåç ïëàñòèêó â l/4 ïðè åe îïðåäåëåííîé îðèåíòàöèè ñâåò îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûì ïîä óãëîì a1 = 23o ê âåðòèêàëè. Åñëè ïëàñòèíêó ïîâåðíóòü íà óãîë 90o, òî ñâåò ñíîâà îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûì ïîä óãëîì a2 = 83o ê âåðòèêàëè. Íàéòè îòíîøåíèå a/b ïîëóîñåé ýëëèïñà ïîëÿðèçàöèè è óãîë íàêëîíà j áîëüøîé ïîëóîñè. 145

6.25. Ðàñïîëîæèâ ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ èç êðèñòàëëà èñëàíäñêîãî øïàòà, ïàðàëëåëüíî åãî îïòè÷åñêîé îñè, ìåæäó ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè ìîæíî îñóùåñòâèòü ìîíîõðîìàòîð, ïîçâîëÿþùèé, íàïðèìåð, çàäåðæàòü îäíó èç ëèíèé äóáëåòà íàòðèÿ è ïðîïóñòèòü äðóãóþ. Íàéòè, êàêîé äîëæíà áûòü ïðè ýòîì ìèíèìàëüíàÿ òîëùèíà dmin ïëàñòèíêè è êàê åå íóæíî îðèåíòèðîâàòü. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ èñëàíäñêîãî øïàòà äëÿ ëèíèè l1 = 589 íì ðàâíû ne1 = 1,48654 è no1 = 1,65846, äëÿ ëèíèè l2 = 589,6 íì ne2 = 1,48652 è no2 = 1,65843. 6.26. Ïëîñêàÿ ïîëÿðèçîâàííàÿ ïî êðóãó ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñâåòà äëèíû l è èíòåíñèâíîñòè I0 ïàäàåò íà äèñê, âûðåçàííûé èç èäåàëüíîãî ïîëÿðîèäà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî ðàâåí n. Äèñê çàêðûâàåò äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè Ð îäíó çîíó Ôðåíåëÿ. Êàêîâà äîëæíà áûòü òîëùèíà d äèñêà, ÷òîáû èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â äàííîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ áûëà ìàêñèìàëüíîé? Íàéòè ýòó èíòåíñèâíîñòü. 6.27. Êðóãëîå îòâåðñòèå â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå îòêðûâàåò äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ îäíó çîíó Ôðåíåëÿ. Îòâåðñòèå çàêðûòî ïîëÿðîèäàìè òàê, ÷òî íàïðàâëåíèÿ êîëåáàíèé â ïåðâîé è âòîðîé ïîëîâèíàõ çîí âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Îòâåðñòèå îñâåùàåòñÿ ñâåòîì, ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå íàáëþäåíèÿ, åñëè â îòñóòñòâèå ýêðàíà îíà ðàâíà I0. Êàê áóäåò ïîëÿðèçîâàí ñâåò â òî÷êå íàáëþäåíèÿ? Ñ÷èòàòü, ÷òî ïîãëîùåíèå â ïîëÿðîèäàõ îòñóòñòâóåò. 6.28. Àáñîëþòíî ÷åðíàÿ ïëàñòèíêà ïëîùàäüþ S = 10 ñì2 îñâåùàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì ñ äëèíîé âîëíû l = 700 íì, ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I = 30 Âò/ñì2. Êàêîé âðàùàþùèé ìîìåíò Ì èñïûòûâàåò ïëàñòèíêà? 3àâèñèò ëè Ì îò ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè â ïó÷êå? Êàê èçìåíèòñÿ âðàùàþùèé ìîìåíò, åñëè ÷åðíóþ ïëàñòèíêó çàìåíèòü íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó â l/4? Êàêóþ íàäî âçÿòü êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ÷òîáû âðàùàþùèé ìîìåíò óäâîèëñÿ? 6.29. Íàéòè íàèìåíüøóþ òîëùèíó d ïëàñòèíêè êâàðöà, âûðåçàííîé ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ÷òîáû ïàäàþùèé ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò âûõîäèë ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó (ïå = 1,5533, ïî = 1,5442, l = 5 × 10–5 ñì). 6.30. Ïðè êàêîé òîëùèíå ïëàñòèíêà èç èñëàíäñêîãî øïàòà ÿâëÿåòñÿ ïëàñòèíêîé â ÷åòâåðòü âîëíû äëÿ ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l1 = 5880 Å è ìîæåò ïîâîðà÷èâàòü ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè íà 90o äëÿ ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l2 = 5740 Å? Ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ äëÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé ïðèíÿòü ðàâíîé 0,2 äëÿ îáåèõ äëèí âîëí. Ñ÷èòàòü, ÷òî îáûêíîâåííûé è íåîáûêíîâåííûé ëó÷è èäóò ïî îäíîìó íàïðàâëåíèþ. 6.31. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëàñòèíêó èñëàíäñêîãî øïàòà, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè. Îïðå146

äåëèòü ðàçíîñòü õîäà D îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé, ïðîøåäøèõ ÷åðåç ïëàñòèíêó. Òîëùèíà ïëàñòèíêè 0,03 ìì, ïo = 1,658, nå = 1,486. 6.32. Êàêîâà äîëæíà áûòü íàèìåíüøàÿ òîëùèíà d ïëàñòèíêè ñëþäû, ÷òîáû îíà ìîãëà ñëóæèòü â êà÷åñòâå ïëàñòèíêè â 1/4 âîëíû äëÿ ñâåòà íàòðèåâîãî èñòî÷íèêà, åñëè äëÿ ýòîãî ñâåòà ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ âîëí, èäóùèõ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëàñòèíêå, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû n1 = 1,5941, ï2 = 1,5887? 6.33. Íàáëþäàòåëü ñìîòðèò íà áëèçêèé ïðåäìåò ÷åðåç ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ äâîÿêîïðåëîìëÿþùóþ ïëàñòèíêó èç èñëàíäñêîãî øïàòà è âèäèò äâà ïðÿìûõ óâåëè÷åííûõ èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà, êîãäà ìåæäó ïëàñòèíêîé è ïðåäìåòîì ïîìåùåíà ñîáèðàþùàÿ ëèíçà íà ðàññòîÿíèè 4 ñì îò ïðåäìåòà. Ïîñëå òîãî êàê ê ëèíçå âïëîòíóþ ïðèëîæèëè ñîáèðàþùåå î÷êîâîå ñòåêëî ñ îïòè÷åñêîé ñèëîé â 5 äïòð, ñòàëî âèäíî òîëüêî îäíî èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû. 6.34. Óçêèé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî ñíà÷àëà íà îäíó ïëàñòèíêó èñëàíäñêîãî øïàòà, à çàòåì íà âòîðóþ òàêóþ æå ïëàñòèíêó, ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü êîòîðîé îáðàçóåò ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïåðâîé ïëàñòèíêè óãîë 30o, è ïàäàåò íà ýêðàí. Îïèñàòü ïîëó÷åííóþ êàðòèíó è íàéòè îòíîñèòåëüíóþ èíòåíñèâíîñòü íàáëþäàåìûõ íà ýêðàíå ïÿòåí. Ï ð è ì å ÷ à í è å: ïëàñòèíêè âûðåçàíû òàê, ÷òî îïòè÷åñêàÿ îñü êðèñòàëëà ñîñòàâëÿåò óãîë g ñ ïëîñêîñòüþ ïëàñòèíêè, ïðè ýòîì 0 £ g < 90°.

6.35.  èíòåðôåðåíöèîííîì îïûòå Þíãà ìåæäó ùåëüþ S è ùåëÿìè S1 è S2 (ðèñ. 6.11) ïîìåùåí ïîëÿðîèä P, ãëàâíûå îñè êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû ê ùåëÿì S1 è S2. Êàê èçìåíèòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íà ýêðàíå, åñëè ùåëè S1 è S2 ïðèêðûòü ïëàñòèíêàìè â ïîëâîëíû, îðèåíòèðîâàííûìè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã ê äðóãó (ïàðàëëåëüíî è ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ùåëÿì)? ×òî ïðîèçîéäåò, åñëè ïîëÿðîèä P ïîâåðíóòü íà 90o? Êàêàÿ êàðòèíà áóäåò íàáëþäàòüñÿ, åñëè óáðàòü ïîëÿðîèä? Ðàññìîòðåòü ýòó æå çàäà÷ó, åñëè âìåñòî ïëàñòèíêè â ïîëâîëíû èñïîëüçóåòñÿ ïëàñòèíêà â ÷åòâåðòü âîëíû. Ùåëè S1 è S2 ïðåäïîëàãàþòñÿ óçêèìè

S1 S P

S2

Ð è ñ. 6.11

147

(øèðèíîé ïîðÿäêà äëèíû âîëíû), à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áîëüøèì ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ øèðèíîé. 6.36. Îïðåäåëèòü, âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, ðàññìàòðèâàåìîãî ÷åðåç íèêîëü, ïðè ïîâîðîòå íèêîëÿ íà 60o ïî îòíîøåíèþ ê ïîëîæåíèþ, ñîîòâåòñòâóþùåìó ìàêñèìàëüíîé èíòåíñèâíîñòè. Ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà I - I min = 0,5. D = max I max + I min 6.37. Íåêîãåðåíòíàÿ ñìåñü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà è ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç ïîëÿðîèä. Íàéäåíî ïîëîæåíèå ïîëÿðîèäà, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàêñèìàëüíîé èíòåíñèâíîñòè ïðîøåäøåãî ñâåòà. Ïðè ïîâîðîòå ïîëÿðîèäà èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ íà óãîë a = 30o èíòåíñèâíîñòü ñâåòà óìåíüøàëàñü íà ð = 20 %. Íàéòè îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà Iê, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ê èíòåíñèâíîñòè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà Ië. 6.38. Íåêîãåðåíòíàÿ ñìåñü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà è ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç íèêîëü. Íàéäåíî ïîëîæåíèå íèêîëÿ, ïðè êîòîðîì èíòåíñèâíîñòü ïðîõîäÿùåãî ñâåòà ìàêñèìàëüíà. Ïðè ïîâîðîòå íèêîëÿ îò ýòîãî ïîëîæåíèÿ íà íåêîòîðûé óãîë âîêðóã îñè ïó÷êà èíòåíñèâíîñòü ïðîõîäÿùåãî ñâåòà óìåíüøàåòñÿ â ò = 2 ðàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàêñèìàëüíîé è âî ñòîëüêî æå ðàç óâåëè÷èâàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ìèíèìàëüíîé. Íàéòè îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòè Iê ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ê èíòåíñèâíîñòè ñâåòà Ië ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî. 6.39. Êàê èçìåíèòñÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåé çàäà÷è, åñëè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò è ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó, áóäóò êîãåðåíòíû? 6.40. Ñìåñü ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, è åñòåñòâåííîãî ñâåòà ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó â ÷åòâåðòü âîëíû è íèêîëü. Ïðè âðàùåíèè íèêîëÿ âîêðóã îñè ñâåòîâîãî ïó÷êà íàéäåíî, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ñèñòåìó â ò = 3 ðàçà, ïðåâîñõîäèò ìèíèìàëüíóþ èíòåíñèâíîñòü. Íàéòè îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà Iê, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ê èíòåíñèâíîñòè åñòåñòâåííîãî ñâåòà Iå. 6.41. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l, ïîëÿðèçîâàííûé ïî ïðàâîìó êðóãó, ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëàñòèíêó â ïîëâîëíû. Íàéòè ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ýòó ïëàñòèíêó. 6.42. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïîëÿðîèä, à çàòåì íà ïëàñòèíêó â ïîëâîëíû. Ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü ïîëÿðîèäà (â êîòîðîé ëåæèò ýëåêòðè÷åñêèé âåêòîð ïðîïóñêàåìîé èì âîëíû) ñîñòàâëÿåò óãîë a ñ îñüþ ýòîé ïëàñòèíêè. Íàéòè ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè ïðîøåäøåãî ñâåòà íà âûõîäå èç ïëàñòèíêè â ïîëâîëíû. 148

6.43. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ïðîõîäèò ÷åðåç äâà íèêîëÿ, ãëàâíûå ïëîñêîñòè êîòîðûõ ïîâåðíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà óãîë a = 20o. Ìåæäó íèêîëÿìè ñòàâÿò ïëàñòèíêó îäíîîñíîãî êðèñòàëëà, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè è âíîñÿùóþ ðàçíîñòü õîäà l/2 ìåæäó îáûêíîâåííûì è íåîáûêíîâåííûì ëó÷àìè. Êàêîé óãîë b äîëæíà ñîñòàâëÿòü îïòè÷åñêàÿ îñü ïëàñòèíêè ñ ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì ïåðâîãî íèêîëÿ, ÷òîáû ñâåò ÷åðåç ýòó ñèñòåìó íå ïðîøåë? 6.44. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ÿðêîñòåé äâóõ ïîâåðõíîñòåé, îñâåùàåìûõ íåïîëÿðèçîâàííûì ñâåòîì, îäíó èç íèõ ðàññìàòðèâàþò íåïîñðåäñòâåííî, à äðóãóþ ÷åðåç äâà íèêîëÿ. Êàêîâî îòíîøåíèå ýòèõ ÿðêîñòåé, åñëè îñâåùåííîñòü îáåèõ ïîâåðõíîñòåé êàæåòñÿ îäèíàêîâîé ïðè óãëå ìåæäó íèêîëÿìè a = 60o? Ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåðè ñâåòà â êàæäîì íèêîëå íà îòðàæåíèå è ïîãëîùåíèå ñîñòàâëÿþò ð = 10 % îò ïàäàþùåãî ñâåòà. 6.45. Íåêîãåðåíòíàÿ ñìåñü íåïîëÿðèçîâàííîãî, ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà è ñâåòà ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé àíàëèçèðóåòñÿ ïðè ïîìîùè áûñòðî âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿðèçàòîðà è ôîòîïðèåìíèêà, òîê êîòîðîãî çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè ñâåòà. Îêàçàëîñü, ÷òî ãëóáèíà ìîäóëÿöèè ôîòîòîêà ò1 = 0,1. Ïîñëå óñòàíîâêè íà ïóòè ëó÷åé ïëàñòèíêè l/4 áûëî âûÿñíåíî, ÷òî ñâåò ïî-ïðåæíåìó ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîãåðåíòíóþ ñìåñü íåïîëÿðèçîâàííîãî, ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà è ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, íî òåïåðü ãëóáèíà ìîäóëÿöèè ôîòîòîêà ñîñòàâèëà m2 = 0,2. Îïðåäåëèòü ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. 6.46. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà ïàäàåò íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, çà êîòîðîé óñòàíîâëåí àíàëèçàòîð. Îêàçàëîñü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæåíèå êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè, ïðè êîòîðîì èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, âûøåäøåãî èç àíàëèçàòîðà, íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ àíàëèçàòîðà è ðàâíà I1.  îòñóòñòâèå ïëàñòèíêè ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïîñëå àíàëèçàòîðà, ñîñòàâèëà I2. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå ïîëóîñåé ýëëèïñà ïîëÿðèçàöèè. 6.47. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàíà. Äëèíû ïîëóîñåé ýëëèïñà êîëåáàíèé ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî à è b. Êàêóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó íàäî ïîñòàâèòü íà ïóòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû è êàê åå îðèåíòèðîâàòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó: 1) ñ òåì æå íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ; 2) ñ ïðîòèâîïîëîæíûì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ? 6.48. Íà ïëîñêèé ýêðàí, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ïîëÿðîèäíûõ ïîëóïëîñêîñòåé, ãðàíè÷àùèõ äðóã ñ äðóãîì âäîëü ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíî ïàäàåò ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé, ïîëÿðèçîâàííûõ ïî êðóãó (ðèñ. 6.12). Îñè ïîëÿðîèäîâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà ðàâíà I0. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü I ñâåòà â òî÷êå P, ðàñïîëîæåííîé â ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè 149

l

P

P Ð è ñ. 6.12

Ð è ñ. 6.13

ýêðàíà è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà ìåæäó ïîëÿðîèäàìè. Êàê áóäåò ïîëÿðèçîâàí ñâåò â òî÷êå P? 6.49. Ïëîñêàÿ âîëíà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà äëèíû l, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ñîçäàåò â òî÷êå P èíòåíñèâíîñòü I0. Íà ïóòè âîëíû ñòàâÿò áîëüøóþ ïëàñòèíêó èç èäåàëüíîãî ïîëÿðîèäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 6.13. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà ïîëÿðîèäà ï. Íàéòè òîëùèíó d ïëàñòèíêè, ïðè êîòîðîé èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå P áóäåò ìàêñèìàëüíîé. ×åìó ðàâíà Imax? 6.50. Ïëîñêàÿ âîëíà êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè (äëèíà âîëíû l) ïàäàåò íà ïîëóáåñêîíå÷íûé ýêðàí (ðèñ. 6.13), èçãîòîâëåííûé èç ïîëÿðîèäà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ äëÿ ðàçðåøåííîãî íàïðàâëåíèÿ ï (ï – 1 << 1) è òîëùèíîé à = l/[4(n – 1)]. Êàêîâà ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà â òî÷êå íàáëþäåíèÿ P? 6.51. Áåñêîíå÷íûé ýêðàí ñîñòîèò èç äâóõ ïîëÿðîèäíûõ ïîëóïëîñêîñòåé, ãðàíè÷àùèõ äðóã ñ äðóãîì âäîëü ïðÿìîé. Ãëàâíîå íàïðàâëåíèå îäíîé èç ïîëóïëîñêîñòåé ïàðàëëåëüíî, à äðóãîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ýòîé ïðÿìîé. Íà ýêðàí ïåðïåíäèêóëÿðíî ê åãî ïîâåðõíîñòè ïàäàåò ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l. Îïèñàòü êà÷åñòâåííî äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó, ïîëó÷àþùóþñÿ çà ýêðàíîì. 6.52. Íà ïðîçðà÷íóþ ïëàñòèíêó â ïîëâîëíû, îãðàíè÷åííóþ ïðÿìîëèíåéíûì êðàåì, íîðìàëüíî ïàäàåò ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé èíòåíñèâíîñòüþ I0 (ðèñ. 6.14). Ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî ñâåòà íàêëîíåíà ïîä óãëîì 45o ê êðàþ ïëàñòèíêè. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà I â òî÷êå P, ðàñP ïîëîæåííîé â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åå êðàé. Ð è ñ. 6.14 Êàêîâà áóäåò â îáùåì ñëó÷àå (ïðè ïðîèçâîëüíîé òîëùèíå ïëàñòèíêè) ïîëÿðèçàöèÿ ïðîøåäøåãî ñâåòà â òî÷êå P? 6.53. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I â òî÷êå Ð ýêðàíà, íà êîòîðûé ïàäàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò èíòåíñèâíîñòüþ I0, åñëè íà ïóòè ñâåòà ïîñòàâèòü äèñê èç îïòè÷åñêè àêòèâíîãî âåùåñòâà, çàêðûâàþùèé ïîëòîðû çîíû Ôðåíåëÿ è ïîâîðà÷èâàþùèé ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè íà 90o. Îòðàæåíèåì è ïîãëîùåíèåì ñâåòà ïðåíåáðå÷ü. 150

6.54. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ïàäàåò íà ïëàñòèíêó â l/4. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â íåêîòîðîé òî÷êå Ð çà ïëàñòèíêîé ðàâíà I0. Èç ïëàñòèíêè âûðåçàþò äèñê, çàêðûâàþùèé îäíó çîíó Ôðåíåëÿ äëÿ òî÷êè Ð. Äèñê ïîâåðíóëè âîêðóã ëó÷à íà óãîë 90o è ïîñòàâèëè íà ìåñòî. Êàêîé ñòàëà èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I â òî÷êå Ð? 6.55. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ïàäàåò íà ïëàñòèíêó â l/2. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â íåêîòîðîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ P çà ïëàñòèíêîé ðàâíà I0. Èç ïëàñòèíêè âûðåçàþò äèñê, çàêðûâàþùèé ïîëòîðû çîíû Ôðåíåëÿ äëÿ òî÷êè Ð. Äèñê ïîâåðíóëè âîêðóã ëó÷à íà óãîë p/2 è ïîñòàâèëè íà ìåñòî. Êàêîé ñòàëà èíòåíñèâíîñòü I â òî÷êå P? 6.56. Èç êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè l/2 âûðåçàíû äèñêè äèàìåòðîì â îäíó è äâå çîíû Ôðåíåëÿ äëÿ òî÷êè Ð. Äèñêè âíîñÿò â ïó÷îê ñâåòà âïëîòíóþ äðóã ê äðóãó, òàê ÷òî ó íèõ ñîâïàäàþò: 1) ðàçíîèìåííûå ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ; 2) îäíîèìåííûå ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ. Ïðè ýòîì äëÿ ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî îäíîìó èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé, íè àìïëèòóäà, íè ôàçà êîëåáàíèé íå èçìåíèëèñü. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà òîé æå ïîëÿðèçàöèè â ñëó÷àÿõ 1) è 2), åñëè ìàëûé äèñê ïîâåðíóòü íà 90o? 6.57. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, ïîëÿðèçîâàííàÿ ïî êðóãó, ïàäàåò íà äèñê, âûðåçàííûé èç ïëàñòèíêè l/2. Äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ íà îñè äèñê çàêðûâàåò òðè ïåðâûå çîíû Ôðåíåëÿ. Òîëùèíà äèñêà ïîäîáðàíà òàê, ÷òî îí âíîñèò äëÿ íåîáûêíîâåííîãî ëó÷à äîïîëíèòåëüíûé îïòè÷åñêèé ïóòü â 3l/2. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå íàáëþäåíèÿ, åñëè äèñê óáðàòü? Ïîãëîùåíèåì è îòðàæåíèåì ñâåòà ïðåíåáðå÷ü. 6.58. Çîííàÿ ïëàñòèíêà ñäåëàíà èç ïîëÿðîèäà. Âî âñåõ ÷åòíûõ çîíàõ ïîëÿðîèä îðèåíòèðîâàí âåðòèêàëüíî, âî âñåõ íå÷åòíûõ – ãîðèçîíòàëüíî. Êàêîâà áóäåò èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â îñíîâíîì ôîêóñå ïëàñòèíêè, åñëè îíà îñâåùàåòñÿ íåïîëÿðèçîâàííûì ñâåòîì? 6.59.  íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå, íà êîòîðûé íîðìàëüíî ïàäàåò ïëîñêàÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà èíòåíñèâíîñòüþ I0, âûðåçàíî êðóãëîå îòâåðñòèå ðàçìåðîì â îäíó çîíó Ôðåíåëÿ äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè íàáëþäåíèÿ, ëåæàùåé íà îñè ñèñòåìû.  îòâåðñòèå âñòàâëåíû ïëàñòèíêè l/4 â ôîðìå ïîëóäèñêîâ, îäíîèìåííûå îñè êîòîðûõ îðèåíòèðîâàíû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíî. Íàïðàâëåíèå êîëåáàíèé â ïàäàþùåé âîëíå â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñîñòàâëÿåò 45o ñ ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè ïëàñòèíîê. Êàêîâà èíòåíñèâíîñòü êîëåáàíèé â òî÷êå íàáëþäåíèÿ? 6.60.  íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå, íà êîòîðûé íîðìàëüíî ïàäàåò ïëîñêàÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà èíòåíñèâíîñòüþ I0, âûðåçàíî êðóãëîå îòâåðñòèå ðàçìåðîì â äâå çîíû Ôðåíåëÿ äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè íàáëþäåíèÿ, ëåæàùåé íà îñè ñèñòåìû. Ïåðâàÿ çîíà ïåðåêðûòà ïëàñ151

òèíêîé l/4 â ôîðìå äèñêà, à âòîðàÿ – ïëàñòèíêîé l/4 â ôîðìå êîëüöà. Îäíîèìåííûå îñè ïëàñòèíîê îðèåíòèðîâàíû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíî. Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ïëàñòèíîê â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñîñòàâëÿþò 45o ñ íàïðàâëåíèåì êîëåáàíèé â ïàäàþùåé âîëíå. Êàêîâà èíòåíñèâíîñòü êîëåáàíèé â òî÷êå íàáëþäåíèÿ? 6.61. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l = 5000 Å è âåêòîðîì E0, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè ðèñ. 6.15, íîðìàëüíî ïàäàåò íà òðè ùåëè, çàêðûòûõ îäèíàêîâûìè äâîÿêîïðåëîìëÿþùèìè ïëàñòèíêàìè â l/4. Ïðè÷åì êðàéíèå ùåëè çàêðûòû îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûìè ïëàñòèíêàìè òàê, ÷òî âåêòîð E0 ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ýòèõ ïëàñòèíîê, à ñðåäíÿÿ ïëàñòèíêà ïîâåðíóòà îòíîñèòåëüíî íèõ íà 90o. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ðàññìàòðèâàåòñÿ íà ýêðàíå ñ ïîìîùüþ ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 1 ì. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, ñ÷èòàÿ ðàçìåð ùåëåé ïðåíåáðåæèìî ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèåì d ìåæäó íèìè (d = 1 ñì). Îïðåäåëèòü âèäèìîñòü V èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû, à òàêæå åå ïåðèîä T. 6.62. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l = 500 íì è âåêòîðîì E0, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè ðèñ. 6.15, íîðìàëüíî ïàäàåò íà òðè ùåëè, çàêðûòûå îäèíàêîâûìè äâîÿêîïðåëîìëÿþùèìè ïëàñòèíêàìè â l/2. Ïðè÷åì ïåðâûå äâå ðÿäîì ñòîÿùèå ùåëè çàêðûòû îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûìè ïëàñòèíêàìè òàê, ÷òî âåêòîð Å0 ïàäàþùåé âîëíû ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ýòèõ ïëàñòèíîê, à òðåòüÿ ïëàñòèíêà ïîâåðíóòà îòíîñèòåëüíî ïåðâûõ äâóõ íà 90o. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ðàññìàòðèâàåòñÿ íà ýêðàíå ñ ïîìîùüþ ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 2 ì. Ñ÷èòàÿ ðàçìåð ùåëåé ïðåíåáðåæèìî ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèåì d ìåæäó íèìè (d = 0,5 ñì), íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Îïðåäåëèòü òàêæå âèäèìîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû è åå ïåðèîä íà ýêðàíå Ý. 6.63. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ïàäàåò íà ðåøåòêó ñ ïåðèîäîì d è øèðèíîé ùåëåé b = d/2. Êàæäàÿ ùåëü ïåðåêðûòà äâóìÿ ïîëîñêàìè ïîëÿðîèäà îäèíàêîâîé øèðèíû b/2 ñ âçàèìíî ïåðïåíäèE0 êóëÿðíûìè ðàçðåøåííûìè íàïðàâëåÝ íèÿìè. Êàêîâà ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà â íóëåâîì è áîêîâûõ äèôðàêöèîííûõ d ìàêñèìóìàõ (±1-ì, ±2-ì, ...)? l 6.64. Êàê èçìåíèòñÿ ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü äèôðàêöèîííîé ðåf øåòêè, åñëè îäíó åå ïîëîâèíó ïðèêðûòü ïîëÿðîèäîì, îðèåíòèðîâàííûì ïàðàëëåëüíî øòðèõàì ðåøåòêè, Ð è ñ. 6.15 152

à äðóãóþ – ïîëÿðîèäîì, îðèåíòèðîâàííûì ïåðïåíäèêóëÿðíî ê øòðèõàì? Áóäåò ëè çàâèñåòü ðàçðåøàþùàÿ ñèëà ðåøåòêè îò ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî ñâåòà? 6.65.  ïðåäûäóùåé çàäà÷å ïåðåä è çà ðåøåòêîé äîïîëíèòåëüíî ñòàâÿòñÿ äâà ïîëÿðîèäà, ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ êîòîðûõ ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó è îáðàçóþò óãîë 45o ñ íàïðàâëåíèåì øòðèõîâ ðåøåòêè. Êàê èçìåíèòñÿ ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü òàêîé ðåøåòêè ïî ñðàâíåíèþ ñ íè÷åì íå ïðèêðûòîé ðåøåòêîé? 6.66. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l ïàäàåò íîðìàëüíî íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó. Êàê èçìåíèòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó ãëàâíûìè ìàêñèìóìàìè è èíòåíñèâíîñòü íóëåâîãî ìàêñèìóìà, åñëè ùåëè ðåøåòêè ïåðåêðûòü ïëàñòèíêàìè â l/4, ïðè÷åì òàê, ÷òî îäíîèìåííûå ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ íà ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ùåëÿõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû? Êàêîâà ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà â íóëåâîì, ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìàõ? 6.67. Íà ïëîñêîé ðåøåòêå íàáëþäàåòñÿ äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l = 0,6 ìêì. Êàê èçìåíÿòñÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äèôðàêöèîííûìè ìàêñèìóìàìè è èíòåíñèâíîñòü íóëåâîãî ìàêñèìóìà, åñëè êàæäóþ âòîðóþ ùåëü çàêðûòü ïîëèìåðíîé ïëåíêîé òîëùèíîé d = 13,5 ìêì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîé n = 1,1? Îòðàæåíèåì ñâåòà îò ïëåíêè ïðåíåáðå÷ü. 6.68. Íà ïëîñêîé ðåøåòêå íàáëþäàåòñÿ äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ. Êàê èçìåíÿòñÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äèôðàêöèîííûìè ìàêñèìóìàìè è èíòåíñèâíîñòü íóëåâîãî ìàêñèìóìà, åñëè ùåëè çàêðûòü ïëàñòèíêàìè â l/2 òàê, ÷òî ãëàâíûå îñè ïëàñòèíîê â ñîñåäíèõ ùåëÿõ áóäóò âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû? 6.69. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, ñîñòîÿùóþ èç ÷åðåäóþùèõñÿ ïîëîñîê ïîëÿðîèäà, ãëàâíûå ïëîñêîñòè êîòîðûõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Îòíîøåíèå øèðèíû ïîëîñîê ðàçíûõ òèïîâ ðàâíî òðåì. Íàïðàâëåíèå êîëåáàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà âîëíû ñîñòàâëÿåò óãîë a ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïîëîñêè ñ ìåíüøåé øèðèíîé. Îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèÿ íà ãëàâíûå ìàêñèìóìû ïåðâîãî ïîðÿäêà è èõ èíòåíñèâíîñòè, åñëè èíòåíñèâíîñòü âîëíû â íóëåâîì ìàêñèìóìå ðàâíà I. 6.70. Ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîå ëàçåðíîå èçëó÷åíèå ñ äëèíîé âîëíû l = 0,63 ìêì ïàäàåò íîðìàëüíî íà òîíêóþ ìàãíèòíî-îïòè÷åñêóþ ïðîçðà÷íóþ ïëåíêó ñ ÷åðåäóþùåéñÿ îäíîìåðíîé äîìåííîé ñòðóêòóðîé. Ñâåò, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñîñåäíèå äîìåíû, èñïûòûâàåò ïîâîðîò ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû íà óãîë p/2. Øèðèíà äîìåíîâ îäèíàêîâà è ðàâíà d. Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìàõ íóëåâîãî, ïåðâîãî è âòîðîãî ïî153

ðÿäêîâ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðè îñâåùåíèè òåì æå èçëó÷åíèåì îáû÷íîé àìïëèòóäíîé ðåøåòêè, ñîñòîÿùåé èç ÷åðåäóþùèõñÿ ïðîçðà÷íûõ è íåïðîçðà÷íûõ ïîëîñîê øèðèíîé d, èíòåíñèâíîñòü â ìàêñèìóìå ïåðâîãî ïîðÿäêà ðàâíà I. 6.71. Ñâåòîâûå âîëíû ñ îäèíàêîâûìè ÷àñòîòîé è ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ïëå÷àõ äâóëó÷åâîãî èíòåðôåðîìåòðà. Íà âûõîäå èç íåãî ôîòîïðèåìíèê ðåãèñòðèðóåò èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðè èçìåíåíèè îïòè÷åñêîãî ïóòè â îäíîì èç ïëå÷ îíà êîëåáëåòñÿ ìåæäó Imàõ è Imin òàê, ÷òî âèäèìîñòü êàðòèíû V = (Imax – Imin)/(Imax + Imin) = 1. Êàêîé áóäåò åå íàèìåíüøàÿ âåëè÷èíà, åñëè â îäíî èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà ïîìåñòèòü ïðîçðà÷íóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó l/4? Ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòîê ïðîõîäèò ÷åðåç ïëàñòèíêó îäíîêðàòíî. 6.72. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé ïàäàåò íîðìàëüíî íà ñèñòåìó èç ïëàñòèíêè l/2 è ïîëÿðîèäà. Êàêîé áóäåò èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåé âîëíû, åñëè ìåæäó íèìè ðàçìåñòèòü íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ïëàñòèíîê l/4? Ãëàâíûå îñè âñåõ ïëàñòèíîê è ïîëÿðîèäà ïàðàëëåëüíû. Èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåé âîëíû I0. 6.73. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé ïàäàåò íà ñèñòåìó èç ïëàñòèíêè l/4, íåñêîëüêèõ ïëàñòèíîê l/2 è ïîëÿðîèäà. Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ âñåõ ïëàñòèíîê è ïîëÿðîèäà ïàðàëëåëüíû. Êàêîé áóäåò èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåé âîëíû, åñëè èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåé I0? 6.74. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê åñòåñòâåííîãî ñâåòà èíòåíñèâíîñòüþ I0 ñ äëèíîé âîëíû l ïàäàåò íà ñèñòåìó èç äâóõ ñêðåùåííûõ ïîëÿðîèäîâ Ï1 è Ï2 è êëèíà Ê èç êâàðöà ñ ìàëûì ïðåëîìëÿþùèì óãëîì a. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ êâàðöà ðàâíû ne è no. Îïòè÷åñêàÿ îñü êëèíà ïàðàëëåëüíà åãî ðåáðó è ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ ðàçðåøåííûìè íàïðàâëåíèÿìè ïîëÿðîèäîâ (ðèñ. 6.16). Ïðîéäÿ ÷åðåç ñèñòåìó, ñâåò ïàäàåò íà áåëûé ýêðàí Ý. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà I(x) íà ýêðàíå. ×òî óâèäèò íàáëþäàòåëü íà ýêðàíå, åñëè ìåæäó ýêðàíîì è ïîëÿðîèäîì Ï2 ðàñïîëîæèòü ëèíçó òàê, ÷òîáû ýêðàí îêàçàëñÿ â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè? Ï1 Ï2

Ï3

ÏN+1

l a Ï1

Ê

Ï2

Ð è ñ. 6.16 154

Ý

l

d

2d

4d

Ð è ñ. 6.17

6.75. Íà ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç ÷åðåäóþùèõñÿ N + 1 ïîëÿðîèäîâ è N ïëàñòèíîê êâàðöà, âûðåçàííûõ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ïàäàåò ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà äëèíîé l (ðèñ. 6.17). Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ âñåõ ïîëÿðîèäîâ ïàðàëëåëüíû è ñîñòàâëÿþò óãîë 45o ñ îïòè÷åñêîé îñüþ ïëàñòèíîê. Âîëíà ïîëÿðèçîâàíà âäîëü ãëàâíîãî íàïðàâëåíèÿ ïîëÿðîèäà. Òîëùèíû ïëàñòèíîê ðàâíû d, 2d, ..., 2(N – 1)d. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ êâàðöà ðàâíû ïo è nå. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó À âîëíû íà âûõîäå èç ñèñòåìû, åñëè íà âõîäå îíà ðàâíà À0. Îòðàæåíèåì ñâåòà íà ãðàíèöàõ ïëàñòèíîê è ïîëÿðîèäîâ ïðåíåáðå÷ü. Êàêîâà ñïåêòðàëüíàÿ ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ýòîé ñèñòåìû? 6.76. Íà ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, ñîñòîÿùóþ èç òîíêèõ ïàðàëëåëüíûõ äèýëåêòðè÷åñêèõ ïëàñòèí, ïàäàåò ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà (ðèñ. 6.18). Òîëùèíû ïëàñòèí ðàâíû d0, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè d, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïëàñòèí e1, îêðóæàþùåé ñðåäû e. Äëèíà âîëíû çíà÷èòåëüíî áîëüøå d0 è d. Ïîêàçàòü, ÷òî ñòðóêòóðà àíàëîãè÷íà îäíîîñíîìó êðèñòàëëó, îïðåäåëèòü ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ îáûêíîâåííîãî ïo è íåîáûêíîâåííîãî nå ëó÷åé. 6.77. Äëÿ ìîäóëÿöèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ñóùåñòâóåò óñòðîéñòâî, ñîñòîÿùåå èç òðåõ ïàðàëëåëüíûõ äâóëó÷åïðåëîìëÿþùèõ ïëàñòèíîê (ðèñ. 6.19), äâå èç êîòîðûõ â l/4 íåïîäâèæíû, à òðåòüÿ â l/2, ðàñïîëîæåííàÿ ìåæäó íèìè, ñîâåðøàåò çàäàííîå âî âðåìåíè âðàùåíèå íà óãîë q(t) âîêðóã îñè ñèñòåìû. Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè àìïëèòóäû, ôàçû è ïîëÿðèçàöèè ìîäóëèðîâàííîãî ñâåòà, åñëè íîðìàëüíî ïàäàþùåå íà ïåðâóþ ïëàñòèíêó â l/4 ìîíîõðîìàòè÷åñêîå èçëó÷åíèå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàíî â ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé ñ åå îïòè÷åñêîé îñüþ óãîë, ðàâíûé 45o. 6.78. Îïòè÷åñêîå âîëîêíî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîòÿæåííîé äâóëó÷åïðåëîìëÿþùåé ïëàñòèíêè, ãëàâíûå îñè êîòîðîé ïîâîðà÷èâàþòñÿ íà íåêîòîðûé óãîë, çàâèñÿùèé îò ðàññòîÿíèÿ z îò âõîäíîãî ñå÷åíèÿ. Ïóñòü b(z) = az, ãäå à – íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, è íà âõîä âîëîêíà ïàäàåò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò, ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç ãëàâíûõ îñåé. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ âåëè÷èíû à âîçìîæåí ïåðåõîä ýòîãî ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè â êðóãîe1

l/4

e

l/2

l/4

z

d0

d Ð è ñ. 6.18

Ð è ñ. 6.19

155

âîå, åñëè ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí ðàâíà Dn, à äëèíà âîëíû l? 6.79. Ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè ïîëÿðîèäàìè ðàñïîëîæåíà àíèçîòðîïíàÿ êðèñòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà ñ çàäàííûìè Dn è d, âûðåçàííàÿ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè. Ðàçðåøåííûå íàïðàâëåíèÿ ïîëÿðîèäîâ ñîñòàâëÿþò óãîë 45o ñ îïòè÷åñêîé îñüþ. Ñèñòåìà îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîãî ñâåòà. Ïðè êàêîé ÷àñòîòå ìîäóëÿöèè ñèñòåìà ïðîïóñòèò áîêîâûå ãàðìîíèêè, îòôèëüòðîâàâ íåñóùåå êîëåáàíèå? 6.80. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîãî êâàðöà äëÿ äëèíû âîëíû l = 589 íì ðàâåí ïo = 1,544 äëÿ îáûêíîâåííîãî ëó÷à è nå = 1,553 äëÿ íåîáûêíîâåííîãî ëó÷à. Íà ïëàñòèíêó èç êâàðöà, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, íîðìàëüíî ïàäàåò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò óêàçàííîé äëèíû âîëíû, çàíèìàþùèé ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë Dl = 40 íì. Íàéòè òîëùèíó ïëàñòèíêè d è íàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî ñâåòà, åñëè ñâåò ïîñëå ïëàñòèíêè îêàçàëñÿ íåïîëÿðèçîâàííûì. 6.81. Êâàðöåâàÿ ïëàñòèíêà l/2 èñïîëüçóåòñÿ êàê àíàëèçàòîð ñòåïåíè ïîëÿðèçàöèè ëàçåðíûõ èìïóëüñîâ. Îöåíèòü ìèíèìàëüíóþ äëèòåëüíîñòü ëàçåðíûõ èìïóëüñîâ, äëÿ êîòîðûõ åùå ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òàêèì àíàëèçàòîðîì, åñëè äëèíà âîëíû ñâåòà l = 0,63 ìêì, à êîýôôèöèåíòû ïðåëîìëåíèÿ äëÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé â êâàðöå ïo = 1,5442 è nå=1,5533. Äèñïåðñèåé ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ ïðåíåáðå÷ü. 6.82. Îãðàíè÷åííûé èìïóëüñ äëèòåëüíîñòüþ t ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ íîðìàëüíî ïàäàåò íà äâóëó÷åïðåëîìëÿþùóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé d. Ïëàñòèíêà âûðåçàíà ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè. Ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà ñîñòàâëÿåò óãîë 30o îòíîñèòåëüíî îäíîãî èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé. Íàéòè çíà÷åíèÿ d, ïðè êîòîðûõ çà ïëàñòèíêîé áóäóò íàáëþäàòüñÿ äâà ðàçäåëüíûõ èìïóëüñà. Êàê ïîëÿðèçîâàíû ýòè èìïóëüñû è êàêîâû ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ èõ àìïëèòóä, åñëè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû èñõîäíîãî èìïóëüñà ðàâíî Å0. Ðàçíîñòü Dn = no – nå ñ÷èòàòü èçâåñòíîé è íå çàâèñÿùåé îò ÷àñòîòû ñâåòà. 6.83. Íà ïîâåðõíîñòü ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè òîëùèíîé L = 0,1 ñì íàíåñåíî âûñîêîîòðàæàþùåå ïîêðûòèå ñ ýíåðãåòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ r = 0,9. Íà ïëàñòèíêó íîðìàëüíî ïàäàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà (l = 600 íì). Ñâåò íà âûõîäå èç ïëàñòèíêè îêàçàëñÿ ïî÷òè ïîëíîñòüþ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûì âñëåäñòâèå ñëàáîé àíèçîòðîïèè ìàòåðèàëà ïëàñòèíêè. Îöåíèòü ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó àíèçîòðîïèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëÿþùåé ïëàñòèíêè Dn = nå – nî, ïðè êîòîðîé âîçìîæåí ýòîò ýôôåêò. 156

N1 Ð è ñ. 6.20

N3

N2

Ð è ñ. 6.21

6.84. Äâå ïîëÿðèçàöèîííûå ïðèçìû ñ âîçäóøíîé ïðîñëîéêîé èçãîòîâëåíû èç èñëàíäñêîãî øïàòà.  îäíîé ïðèçìå îïòè÷åñêàÿ îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà, â äðóãîé ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ (ðèñ. 6.20). Îïèøèòå äåéñòâèå êàæäîé ïðèçìû. Êàê áóäåò ïîëÿðèçîâàí ïðîõîäÿùèé ñâåò? Êàêàÿ ïðèçìà áóäåò ïðîïóñêàòü áîëüøå ñâåòà?  êàêèõ ïðåäåëàõ äîëæåí áûòü çàêëþ÷åí óãîë a, ÷òîáû èç ïðèçìû âûõîäèë ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò. Äëÿ èñëàíäñêîãî øïàòà no = 1,658, nå = 1,486. Ñâåò ïàäàåò íà ãðàíü ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíî. 6.85. Äâà íèêîëÿ Nl è N2 ïîâåðíóòû îäèí îòíîñèòåëüíî äðóãîãî íà óãîë a, ìåæäó íèìè ïîìåùåí íèêîëü N3 (ðèñ. 6.21). Íà ñèñòåìó ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íåîáûêíîâåííûé ëó÷ ïðîõîäèò ÷åðåç êàæäûé íèêîëü áåç ïîòåðü, íàéòè îðèåíòàöèþ N3 îòíîñèòåëüíî N1, ïðè êîòîðîé èíòåíñèâíîñòü ïðîõîäÿùåãî ñâåòà ìàêñèìàëüíà. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ïðîõîäÿùåãî ñâåòà â ýòèõ ïîëîæåíèÿõ, åñëè èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà ðàâíà I0. 6.86. Íà ïëàñòèíêó êâàðöà, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, íîðìàëüíî ïàäàåò áåëûé ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó. Çà ïëàñòèíêîé ïîñòàâëåí ïîëÿðîèä, ãëàâíîå íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ îñüþ ïëàñòèíêè. Ïðîøåäøèé ñâåò ïîïàäàåò íà ùåëü ñïåêòðîãðàôà. Ñêîëüêî òåìíûõ ïîëîñ k ïîëó÷èòñÿ â ñïåêòðå, åñëè òîëùèíà êâàðöåâîé ïëàñòèíêè d = 2 ìì, nå = 1,55, ïo = 1,54. Ïàäàþùèé ñâåò çàíèìàåò èíòåðâàë äëèí âîëí îò l1 = 4000 Å äî l2 = 5000 Å, â êîòîðîì ïå – ïo = const. 6.87. Ìåæäó ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè ïîìåùåíà ïëàñòèíêà êâàðöà, âûðåçàííàÿ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè. Îïòè÷åñêàÿ îñü ïëàñòèíêè ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè íèêîëåé. Ðàññ÷èòàòü ìèíèìàëüíóþ òîëùèíó ïëàñòèíêè, ïðè êîòîðîé îäíà ëèíèÿ âîäîðîäà l1 = 6563 Å áóäåò ñèëüíî îñëàáëåíà, à äðóãàÿ l2 = 4102 Å áóäåò èìåòü ìàêñèìàëüíóþ èíòåíñèâíîñòü. Âåëè÷èíà àíèçîòðîïèè êâàðöà Dn = 0,009. 6.88. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ïîìåùåííóþ ìåæäó äâóìÿ íèêîëÿìè, ãëàâíûå ïëîñêîñòè êîòîðûõ îáðàçóþò ñ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ïëàñòèíêè óãëû a è b. Èññëåäîâàòü ñëó÷àè ñêðåùåííûõ è ïàðàëëåëüíûõ íèêîëåé. 157

6.89. Êëèí èç äâîÿêîïðåëîìëÿþùåãî âåùåñòâà ïîìåùåí íà ïóòè ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó. Îïòè÷åñêàÿ îñü êëèíà ïàðàëëåëüíà åãî ðåáðó. Ñâåò, ïðîøåäøèé ÷åðåç êëèí, ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç ïîëÿðîèä, ãëàâíîå íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ ðåáðîì êëèíà. Íàéòè ÷èñëî òåìíûõ ïîëîñ ò, íàáëþäàåìûõ íà ïîâåðõíîñòè êëèíà. Ìàêñèìàëüíàÿ òîëùèíà êëèíà 0,05 ñì, ïo = 1,54, ïå = 1,55, l = 5000 Å. 6.90. Íà êâàðöåâóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé 3 ìì, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, íîðìàëüíî ïàäàåò ïó÷îê áåëîãî ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ îñüþ ïëàñòèíêè. Âûõîäÿùèé èç ïëàñòèíêè ñâåò ñíà÷àëà âíîâü ïðîõîäèò ÷åðåç íèêîëü, ñêðåùåííûé ñ ïåðâè÷íûì ïîëÿðèçàòîðîì ñâåòîâîãî ïó÷êà, à çàòåì ïàäàåò íà ùåëü ñïåêòðîñêîïà. Ñêîëüêî òåìíûõ ïîëîñ áóäåò íàáëþäàòüñÿ â ñïåêòðå ìåæäó äëèíàìè âîëí lD = 5890 Å è lF = 4860 Å, åñëè îáûêíîâåííûé (no) è íåîáûêíîâåííûé (nå) ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ êâàðöà äëÿ lD èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: ïo = 1,5442, ïå = 1,5533, à äëÿ lF – ïo = 1,5497, ïå = 1,5589. 6.91. Ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè ïîìåùåíà êðèñòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà òîëùèíîé d = 0,045 ìì ñ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ nå = 1,55, ïo = 1,54. Ïëàñòèíêà âûðåçàíà ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè êðèñòàëëà è îðèåíòèðîâàíà òàê, ÷òî ãëàâíîå íàïðàâëåíèå ïåðâîãî íèêîëÿ ñîñòàâëÿåò óãîë a = 30o ñ åå îïòè÷åñêîé îñüþ. Íà ñèñòåìó íîðìàëüíî ïàäàåò åñòåñòâåííûé ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 6000 Å è èíòåíñèâíîñòüþ I0. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü I ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç îïèñàííóþ ñèñòåìó. 6.92. Äâà êîãåðåíòíûõ ïó÷êà êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ðàâíîé èíòåíñèâíîñòè äàþò íà ýêðàíå èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. Êàêîé òîëùèíû êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó íàäî ðàçìåñòèòü íà ïóòè îäíîãî èç ýòèõ ïó÷êîâ, ÷òîáû èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû èñ÷åçëè è ïðèòîì òàê, ÷òîáû èõ íåëüçÿ áûëî âîññòàíîâèòü íèêàêîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé, ââîäèìîé â äðóãîé ïó÷îê? Êàê èçìåíèòñÿ êàðòèíà, åñëè çà êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêîé ïîñòàâèòü ïîëÿðîèä? Ïðè êàêîì ïîëîæåíèè ïîëÿðîèäà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ íå áóäåò? 6.93. Ìåæäó ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè ïîìåùåíà êðèñòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà òîëùèíîé d1 = 0,02 ìì ñ âåëè÷èíîé àíèçîòðîïèè Dn1 = 0,05. Íà íåå â ïàðàëëåëüíîì ïîëîæåíèè ïîëîæåíà äðóãàÿ ïëàñòèíêà òîëùèíîé d2 = 0,02 ìì ñ Dn2 = 0,025.  êàêîé öâåò îêðàøåíî ïîëå çðåíèÿ?  êàêîé öâåò îíî áóäåò îêðàøåíî, åñëè âåðõíþþ ïëàñòèíêó è âåðõíèé íèêîëü ïîâåðíóòü íà 90o îò ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ? Ï ð è ì å ÷ à í è å: ïàðàëëåëüíûì ïîëîæåíèåì íàçûâàåòñÿ òàêàÿ îðèåíòèðîâêà ïëàñòèíîê, ïðè êîòîðîé íàïðàâëåíèå êîëåáàíèé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ ñ áîëüøåé (ìåíüøåé) ñêîðîñòüþ â îäíîé ïëàñòèíêå, ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì êî158

ëåáàíèé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ ñ áîëüøåé (ìåíüøåé) ñêîðîñòüþ â äðóãîé ïëàñòèíêå.

6.94. Ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè òîëùèíîé d = 1 ìì, îáëàäàþùåé ñëàáîé àíèçîòðîïèåé, ïîêðûòû îòðàæàþùèìè ïîêðûòèÿìè ñ êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ ïî ýíåðãèè r = 0,9. Ïëàñòèíêà âûðåçàíà ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè è îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà (l = 5 ×10–5 ñì). Îöåíèòü ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó àíèçîòðîïèè Dn, ïðè êîòîðîé ñâåò íà âûõîäå èç ïëàñòèíêè îêàæåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïîëÿðèçîâàííûì (no = 1,62). 6.95. Ïîâåðõíîñòè ïëîñêîïàðàëëåëüíîé êâàðöåâîé ïëàñòèíêè òîëùèíîé d = 0,5 ìì, âûðåçàííîé ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ïîêðûòû âûñîêîîòðàæàþùèìè ïîêðûòèÿìè ñ êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ ïî ýíåðãèè r = 0,9. Ïëàñòèíêà îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ñâåòà ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé (äëèíà âîëíû l = 6 ×10–5 ñì). Êàêîâà ïîëÿðèçàöèÿ è èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ïëàñòèíêó, åñëè èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà I0. Ãëàâíûå ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ïo = 1,5442, ïå = 1,5534. 6.96. Íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, íîðìàëüíî ïàäàåò ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó. Ïðîøåäøèé ñâåò ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç àíàëèçàòîð. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, åñëè ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü àíàëèçàòîðà ñîñòàâëÿåò óãîë a ñ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ïëàñòèíêè. Ïîä êàêèì óãëîì íàäî ïîñòàâèòü àíàëèçàòîð, ÷òîáû ïîëó÷èòü ìàêñèìàëüíóþ è ìèíèìàëüíóþ èíòåíñèâíîñòè? 6.97. Êëèí èç äâîÿêîïðåëîìëÿþùåãî âåùåñòâà ïîìåùåí íà ïóòè ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó. Îïòè÷åñêàÿ îñü ïàðàëëåëüíà ðåáðó êëèíà. Îïèñàòü íàáëþäàåìóþ ÷åðåç íèêîëü êàðòèíó, êîãäà êëèí íåïîäâèæåí è êîãäà îí ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. 6.98. Äâå îäèíàêîâûå ïëîñêèå ãóñòûå ðåøåòêè èç ïàðàëëåëüíûõ òîíêèõ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèõ ïðîâîëîê ðàñïîëîæåíû â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ íà ðàññòîÿíèè l = 1,5 ñì îäíà îò äðóãîé òàê, ÷òî îáðàçóþùèå èõ ïðîâîëîêè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè âîëíû ñ l = 8,5 ñì, ïàäàþùåé íà ñèñòåìó ðåøåòîê ïîä óãëîì a = 45o, íàêëîíåíà íà óãîë q = 45o ê ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ. Îïðåäåëèòü õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè îòðàæåííîé âîëíû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïëîñêîñòü ïàäåíèÿ ïàðàëëåëüíà íàïðàâëåíèþ ïðîâîëîê ïåðâîé ðåøåòêè. 6.99. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ (äëèíà âîëíû â âàêóóìå l = 496 ìêì), ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ïàäàåò íîðìàëüíî íà ðåøåòêó, èçãîòîâëåííóþ â âèäå íàòÿíóòûõ ïðîâîëî÷åê ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè d << l. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ ðåøåòêà ïîëíîñòüþ ïðîïóñêàåò èçëó÷åíèå, ïîëÿðèçîâàííîå òàê, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé âåêòîð 159

íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðîâîëî÷êàì, è îòðàæàåò èçëó÷åíèå ñ ïîëÿðèçàöèåé, ïîâåðíóòîé íà 90o. Íàéòè âðàùàþùèé ìîìåíò Ì è ñèëó F, äåéñòâóþùèå íà ðåøåòêó, åñëè èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà â ïó÷êå I = 10 Âò/ñì2, à îáëó÷àåìàÿ ïîâåðõíîñòü ðåøåòêè S = 10 ñì2. 6.100. Äâå îäèíàêîâûå ïëîñêèå ãóñòûå ðåøåòêè èç ïàðàëëåëüíûõ òîíêèõ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèõ ïðîâîëîê ðàñïîëîæåíû â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ íà ðàññòîÿíèè l = 2 ñì îäíà îò äðóãîé òàê, ÷òî îáðàçóþùèå èõ ïðîâîëî÷êè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Âîëíà l = 11,3 ñì ñ ïðàâîé ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèåé ïàäàåò íà ñèñòåìó ðåøåòîê ïîä óãëîì a = 45o. Áîëüøàÿ îñü ýëëèïñà ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, îòíîøåíèå îñåé ýëëèïñà ðàâíî 1,73. Îïðåäåëèòü õàðàêòåð îòðàæåííîé âîëíû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïëîñêîñòü ïàäåíèÿ ïàðàëëåëüíà íàïðàâëåíèþ ïðîâîëîê ïåðâîé ðåøåòêè. Îïèñàòü èçìåíåíèå åå õàðàêòåðà ïðè âðàùåíèè ñèñòåìû ðåøåòîê (èõ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå è ïëîñêîñòè ñîõðàíÿþòñÿ). 6.101. Ïðè âîçäåéñòâèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà â íåêîòîðûõ òâåðäûõ òåëàõ íàáëþäàåòñÿ ÿâëåíèå ôîòîèíäóöèðîâàííîé àíèçîòðîïèè. ×åðåç òàêîé äâîÿêîïðåëîìëÿþùèé êðèñòàëë òîëùèíîé d = 1 ìêì ñ ïëîñêîïàðàëëåëüíûìè ãðàíÿìè ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîïóñêàþò ìîíîõðîìàòè÷åñêèå èìïóëüñû ñâåòà ñ îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòüþ I0 è äëèíîé âîëíû l = 0,5 ìêì, íî ñ ðàçëè÷íîé ïîëÿðèçàöèåé. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ êðèñòàëëà èçìåðÿþòñÿ èíòåíñèâíîñòè I|| è I^. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ñâåòà îò ãðàíåé íå çàâèñèò îò ïîëÿðèçàöèè: r|| = r^= r = = 0,05. Îöåíèòü (I|| – I^)/I0, åñëè ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ n|| – n^ = 0,005, à ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nñð » 1,635. Ïîãëîùåíèåì ñâåòà â êðèñòàëëå ïðåíåáðå÷ü. 6.102. Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó çåðêàëàìè èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî ñ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ R = l/dl = 108 çàïîëíåíî õèìè÷åñêè ÷èñòûì íèòðîáåíçîëîì. Ïðè íàëîæåíèè îäíîðîäíîãî ïîïåðå÷íîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íèòðîáåíçîë ñòàíîâèòñÿ ñëàáîàíèçîòðîïíîé ñðåäîé, ïðè÷åì îïòè÷åñêàÿ îñü ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿ (ýôôåêò Êåððà). Èíòåðôåðîìåòð îñâåùàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ïó÷êîì íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà (l = 600 íì). Îöåíèòü ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ïðè êîòîðîé íà âûõîäå èíòåðôåðîìåòðà áóäåò íàáëþäàòüñÿ ïî÷òè ïîëíîñòüþ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò. Ïîñòîÿííóþ Êåððà äëÿ íèòðîáåíçîëà ïðèíÿòü ðàâíîé B = 2×10–5 åä. ÑÃÑÝ. Ï ð è ì å ÷ à í è å: ïîñòîÿííîé Êåððà íàçûâàþò êîíñòàíòó B â âûðàæåíèè ne – ïî = lÂÅ2.

6.103. Íåëèíåéíûé èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè – Ïåðî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîíêóþ ïëàñòèíêó èç âåùåñòâà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòî160

ðîãî ïðîïîðöèîíàëåí êâàäðàòó íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ: n = n0 + n2E2. Ïëàñòèíêà ïîêðûòà âûñîêîîòðàæàþùèìè ïîêðûòèÿìè ñ êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ ïî ýíåðãèè r = 99 %. Îïðåäåëèòü óðîâåíü ïëîòíîñòè ìîùíîñòè S ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ ñ l = 1,051 ìêì, ïðîïóñêàåìîãî òàêèì èíòåðôåðîìåòðîì, åñëè ï0 = 3,5, n2 = 10–9 åä. ÑÃÑÝ, à òîëùèíà ïëàñòèíêè d = 12 ìêì. 6.104. ßâëåíèå ñàìîôîêóñèðîâêè îáúÿñíÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ îò èíòåíñèâíîñòè ñâåòà (ï = ï0 + ï2Å 20 , ãäå Å0 – àìïëèòóäà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ñâåòîâîé âîëíå). Îäíî èç ñàìûõ áîëüøèõ çíà÷åíèé ï2 èìååò ñåðîóãëåðîä (ï2 = 2 ×10–11 åä. ÑÃÑÝ). Ìîùíûé ïó÷îê ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ ñ ïàðàáîëè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ èíòåíñèâíîñòè îò ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà ïó÷êà (I = I0 (1 – r2/r 20 ) ïðè r < r0 è I = 0 ïðè r > r0) ïðîõîäèò ñêâîçü ñëîé ñåðîóãëåðîäà òîëùèíîé L = 5 ñì. Íàéòè, íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò êþâåòû ñ ñåðîóãëåðîäîì ñôîêóñèðóåòñÿ ëàçåðíûé ïó÷îê. I0 = 5×108 Âò/ñì2, r0 = 5 ìì (I = áSñ = cE 20 /8p). 6.105. Ãàóññîâ ïó÷îê íåîäèìîâîãî ëàçåðà (l = 1 ìêì) ñ ðàäèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ïîëÿ ïî ñå÷åíèþ: Å = Å0åõð[–r2/(R2)] (R = 3 ìì) è ñ ïëîñêèì âîëíîâûì ôðîíòîì ïàäàåò íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé d = 1 ñì, ñäåëàííóþ èç íåëèíåéíîãî âåùåñòâà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè ï = ï0 + ï2Å2 (n2 = 10–11 åä. ÑÃÑÝ). Îöåíèòü, ïðè êàêîé ìîùíîñòè ëàçåðà âîçìîæíî óìåíüøèòü äèàìåòð ïó÷êà (ôîêóñèðîâêà) ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïëàñòèíêè. 6.106. Ó áîëüøèíñòâà âåùåñòâ ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû (âñëåäñòâèå òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ). Ïó÷îê ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ âèäèìîãî äèàïàçîíà ñïåêòðà ïðîõîäèò ñêâîçü ñëîé òîëùèíîé L = 1 ñì ñëàáîïîãëîùàþùåé æèäêîñòè, òàê ÷òî â æèäêîñòè óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû t = t0 + + t1(1 – r2/r 20 ) ïðè r < r0 è t = t0 ïðè r > r0, ãäå r – ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ïó÷êà, t1 = 2 oC, r0 = 2 ìì. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå è çíàê íàâåäåííîé â æèäêîñòè ëèíçû, åñëè dn/dt = –4×10–4 Ê–1.

|‘{p‘hsk~kik j






J Z









 kf
 M DUFWJ  





q


 kf













 G

ª ¬



   « 



 



 kf

FK D   D  _keb D 



   w w

lh  # D  




VLQ>   G @ 


 T q VLQ   





 Hl q ^h q

 G q

  

 ff







 

 ˜  f ww  ˜  f 

º

» 

 G qc ¼ 

ª § ·º   ¸ » 
    kf 

 PLQ  «VLQ M FRV M ¨   « » ¨   VLQ M   VLQ M ¸ © ¹¼ ¬  °­ DUFVLQ    ¹¯Ò    
    | 

 >\Z


 D ® ¯°S ¹¯Ò  t  
  VLQ

D  t  

 D t qc
 


  ' |  ˜   k
 

Z^\ Z

\ ^\

FRV

c

 FRV





M  f \

S  |  ºm˯²Óº°ˆ ÎÒ}º  J 

°ˆÒ m¯ÈÈ Ë®°« ° ‚ãºmº® °}º¯º°ˆ Z    Z   J   nº}‚°ÓºË ¯È°°ˆº«ÓÒË ¹È¯È­ºãÒË°}ºº Ï˯}ÈãÈ
  iã« °Ò°ˆËä© ° ¹ºãºÎ҈Ëã  Ó©ä Áº}‚°ºä
  Ë ± ¯È°°ˆº«ÓÒË ºˆ ~ËäãÒ º ‚Ó©  ± ÒÈ äˈ¯ ‚Ó©  ± ¯ÈÏä˯ ÒϺ­¯ÈÎËÓÒ«
  jϺ­¯ÈÎËÓÒË ¹Ë¯Ëä˝Èˈ°« } ÓÈ­ã ȈËã 
  È



 È



    

ãºäãËÓÒ« °ˆË}ãÈ ­






K


c

  K 

 



  

  ­


  È

 kf


¹º}ÈÏȈËã ¹¯ËãºäãËÓÒ« mº© 

 kf  ­



\







   

 kf 

 

S    ed ¹º}ÈÏȈËã ¹¯Ë      '  kf  

 

 ff


  








\ 

  



  

 kf

 kf ¹º}ÈÏÈ

ˆËã ¹¯ËãºäãËÓÒ« °ˆË}ãÈ

§    ·  ^ilj ¸ ©   ¹


 È ) ) ¨



    ·   kf ­ ) ) §¨ ¸  ^ilj
)  kf
c  kf ) ©    ¹
   |  kf
  |  f
 nº}‚° ºˆºmÒÓˈ°« ÓÈ      ff
c


 








  



















  











   kf
 


 vº­Ò¯È ‚ °




     

 °ä
 

 cÈ°°ˆº«ÓÒË ãÈmÓ©² ¹ãº°}º°ˆË®









Ò

?


























°Ò°ˆËä© ºˆ ¹Ë¯mº® Ò




    c 
 ½w}mÒmÈãËӈӂ …  
 
 
 
 ãÒÓς °ãË‚ˈ ¹ºäË°ˆÒˆ m ¹Ë¯ËÓË® ãÈmÓº® ¹ãº°}º°ˆÒ °Ò°ˆËä© m‚² ãÒÓÏ

mˆº¯º® ãÒÓÏ











  
 €ãÈmÓ©Ë ¹ãº°}º°ˆÒ °ºm¹ÈÈ ˆ ° Ëӈ¯ºä ãÒÓÏ© nº 
   }Èã Ó©Ë ¹ãº°}º°ˆÒ ¯È°¹ºãºÎËÓ© ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒÒ  °ä ºˆ ãÒÓÏ© m mºÏ‚²Ë Ò  °ä m mºË Ïãºm©Ë ˆº}Ò °ºm¹ÈÈ ˆ Ò ¯È°¹ºãºÎËÓ© m mºË ÓÈ ¯È° °ˆº«ÓÒÒ  °ä ºˆ ãÒÓÏ©
  nº}‚°ÓºË ¯È°°ˆº«ÓÒË º­žË}ˆÒmÈ m mºË ºãÎÓº ­©ˆ  °ä È m mºÏ‚²Ë ±  °ä mËãÒËÓÒË ˆ¯Ë²}¯ÈˆÓºË

  °ä d d  °ä
 
c  °ä
c  °ä
  °ä
  °ä








 °ä







 <




 
 €ãÈmÓ©Ë ¹ãº°}º°ˆÒ ¹¯º²º«ˆ ˯ËÏ Ëӈ¯ ãÒÓ 
  
 Ï©
± °ä
c  °ä ‚Ïãºm©Ë ˆº}Ò °ºm¹ÈÈ ˆ Ò ÓȲº«ˆ°« m mºË ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒÒ  °ä ºˆ ãÒÓÏ©
  |¹ˆÒË°}È« °ÒãÈ ÈÓÓº® ãÒÓÏ© n n  )  )  n ±  nn   kf c   kf

 |­Ë ãÈmÓ©Ë )  )

D



¹ãº°}º°ˆÒ °ºm¹ÈÈ ˆ Ò ¹¯º²º«ˆ ˯ËÏ Ëӈ¯ ȯÈ




Áº}Èã Ó©Ë ˆº}Ò ãËÎȈ °Óȯ‚ÎÒ È¯È ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒÒ


c 





    ºˆ ˺ ¹ºm˯²Óº 

°ˆÒ
 Áº}Èã Ó©Ë ˆº}Ò ãËÎȈ °Óȯ‚ÎÒ È¯È ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒÒ  ºˆ ˺ ¹ºm˯²Óº°ˆÒ nº}Èã Ó©Ë ˆº}Ò ÓË m©²º«ˆ Óȯ‚΂ ¹¯Ò  t 
  c  °ä ‚mËãÒËÓÒË c 

 °ä   °ä ºˆ ¹ãº°}º® ¹ºm˯²Óº°ˆÒ   °ä ºˆ m©¹‚}㺮 ¹ºm˯²Óº°ˆÒ { º­ºÒ² °ã‚È«² ÒϺ­¯È ÎËÓÒË ÓȲº҈°« ° ¹¯ºˆÒmº¹ºãºÎÓº® °ˆº¯ºÓ© ãÒÓÏ© ¹º ºˆÓºËÓÒ } º­žË} ˆ‚

 °ä €ãÈmÓ©Ë ¹ãº°}º°ˆÒ ãËÎȈ mӂˆ¯Ò ãÒÓÏ© ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒ«²  °ä Ò  °ä ºˆ ¹ºm˯²Óº°ˆÒ ãÒÓÏ© ° ­Oã Òä ¯È҂°ºä }¯ÒmÒÏÓ©

 °ä Áº}Èã Ó©Ë ˆº}Ò ¯È°¹ºãºÎËÓ© °Òääˈ¯ÒÓº ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒÒ  °ä ºˆÓº°ÒˆËã Óº ¹ºãºÎ҈Ëã Óº® ãÒÓÏ© È ãÈmÓ©Ë ¹ãº°}º°ˆÒ °ã˺mÈ ˆËã Óº ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒÒ  °ä
 È  ä{ˆ ¹¯Ò   Ò  ä{ˆ ¹¯Ò   Ò  ± ÏÓÈËÓÒ« ºˆÓº°ÒˆËã Óº® °¹Ë}ˆ¯Èã Óº® ‚m°ˆmÒ  ˆËã Óº°ˆÒ ãÈÏÈ ã« ÈÓÓ©² ãÒÓ mºãÓ  ­ n  nw  ãä

P  H )  ºˆ° È S O  {ä 2  äkä ~Ë°   ä{ˆãä O ± ºˆÓº°ÒˆËã ÓÈ« 2 °¹Ë}ˆ¯Èã ÓÈ« ‚m°ˆm҈Ëã Óº°ˆ ãÈÏÈ ã« ÈÓÓº® ãÒÓ© mºãÓ©
  S
  S
   S  ˜  ã}

    FRV T Ë

 ä{ˆãä



S 

n





 ˜  ãä
 



ºˆ ¹ºˆºã}È
   ˜  ã}
 


 



 Ò

S v     





U S 

c PD[ § ¨¨   ©



 







v

 § ·

S ¨©  ¸¹






 



· ¸¸ ¹

P



 ã} ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒÒ

 

 ˜  ãää
 



S




D 

 ˜  d^f

 eff
 

}










S § · ¨ ¸  ©
 ¹





   Q ) 
  | 

 



       Я}º°ˆ

t

 

 Ë



±

‚mËãÒËÓÒË ˆ¯‚­©





ϯÈ}È ãÈÏÈ
     



 ¹¯Ò ±



d

 

Ò



§ ¨ ©

ÒÈäˈ¯ º­žË}ˆÒmÈ È



·

¸ ¹

±



¹¯Ò

ÒÈäˈ¯




 ˜  d


 O

 f

G













Z VLQ T FRV Z G ˜  Ë      S H  

S 

 {ä

G

 

¹¯ÈmãËÓÒÒ T

V



!



‚ºã äË΂ mË}ˆº¯ÈäÒ

±

"  Z

 



 

 W

 FRV Z  


 




"  Z

!@  



±

JG

Ò

f

W W 










  WJ G

E







    S







>FRV Z 

S

ªFRV Z   FRV Z    «¬ 



 OQ  SW  

 a ª   Z  Z W º 

¬ ¼ ¬ªZ  Z  ¼º ª   º
   FRV Z  FRV Z  FRV Z  !»    S «¬ ¼ ª   º
   VLQ Z  VLQ Z  VLQ Z  !»    S «¬ ¼  ª  º
  VLQ Z  VLQ Z  !»   S «¬  ¼ S "  Z H[S ª¬  Z  Z  D º¼  
 "  Z D  S H[S ª¬ D   º¼  D      FRVZ  G        FRVM  M  VLQ  G   VLQ M   VLQ M      FRV  Z  E      FRV M   FRV M VLQ  G 



  <

  ºãÓºË °ËËÓÒË ¯È°°Ë«ÓÒ«

VLQ ª¬ Z  Z W º¼   Z  Z W 

VLQ Z  Z   






JG



VLQ  ZW     ZW 

 W

 {ä

ËÒÓÒÓ©® mË}ˆº¯ m ¯ÈÒÈã Óºä ÓÈ

   º ª    SW H[S  W  Z  Z  'Q «¬  »¼ 



 W ³

  Z

"  Z




  S  
  FRV Z  FRV Z  @ Z   #





ª P º «H » ¬ ¼



  

G Ë









±

; <  

Èä¹ã҈‚È ºˆËã Óºº }ºãË­ÈÓÒ«   FRV G

VLQ G Ë G

© mºãÓ ° º¯ÒËӈÈÒË® mË}ˆº¯È

/



±

°mÒ ÁÈÏ

mºã º°Ò 2$ Ò

%

;



 

±







Èä¹ã҈‚

°ººˆmˈ°ˆmËÓÓº 

 

 

 





 

; ;

 & WJ T  WJ D FRV G WJ D &  ;   ;  FRV Z  < <  <    FRV  G  FRV  Z  G   <  VLQ  G  VLQ  Z  G   




 Z FRV T    M S ˜ O            O



 r  r 

!

[

M

S 



O



  

 









'M 

O

'M  S









'M 

'M  S

  O ÒȯÈääÈ ¹¯Ë°ˆÈmãËÓÈ ã« °ã‚È« }ºÈ ÏȹÈÏ©mÈˈ ¹º ÁÈÏË ÒÏã‚ȈËã '  FRV ª¬S  VLQ M  º¼ 



 

'M  S  

 'M 



S ª¬    O VLQ  Z  D º¼  ]^_ VLQ ¬ª S   VLQ T ¼º

a

S º   VLQ T »¼ ¬

VLQ ª«

 r  r   



  kä¹ã҈‚È ÒÏã‚ȈËã«

ºãÎÓÈ ­©ˆ m

(

 ¯ÈÏ ­ºã Ë Èä¹ã҈‚ ÒÏã‚ȈËãË® ) Ò ' lÒÓÒä‚ä© ӂãËmº® ÒӈËÓ °ÒmÓº°ˆÒ Óȹ¯ÈmãËÓ© ¹º ‚ãÈäÒ T rq } ãÒÓÒÒ Ò°ˆºÓÒ}ºm ±±



  FRV

  

S  Ë O



¯È°°ˆº«ÓÒË äË΂ Ëã«äÒ

±




 Óä

&O









O



O      D

Ұ㺠¹ºãº° 

     D



 

& D      

&

O

M  M



 




!O



&

     D



  D O





     D 

 
 lÈ}°ÒäÈã ÓºË

O

¹ºã‚È_ˆ°« ¹¯Ò ‚ÈãËÓÒÒ ª}¯ÈÓÈ ÓÈ

 ä ºˆ ­Ò¹¯ÒÏä© ºãº°© Ò°ËÏӂˆ Ë°ãÒ ‚Èã҈ ª}¯ÈÓ

& 



 ˜  °ä





 ff

ºˆ ­Ò¹¯ÒÏä© ÓË äËÓËË Ëä ÓÈ  Ëӈ¯È gZ

O  Ë M M

¯È°°ˆº«ÓÒË

 jӈ˯Á˯ËÓÒºÓÓ©Ë ¹ºãº°© °äËÈ ˆ°« m



°ˆº¯ºÓ‚ ˆ¯‚­}Ò 




 '

  ' |

c

±



ºˆ ª}¯ÈÓÈ ÓÈ­ã ËÓÒ« º ª}¯ÈÓÈ °º Ëã«äÒ   O  ä}ä



 ä 
 väË°ˆÒˆ°« ºˆ ÓÈÈã Óºº


  bÒ¯ÒÓÈ ¹ºãº° ‚äËÓ ҈°« m

 Ò¯ÒÓÈ ¹ºãº° ‚äËÓ ҈°« m




 ¯ÈÏ 




|


O '

 

 


 ¯ÈÏÈ

 ää

O &    ff  äÈ}°Òä‚äºm ­ G   & G  ää D& O  ä}ä 
 väË°ˆ«ˆ°« m °ˆº¯ºÓ‚ ¹Ë¯Ë}¯©ˆº® ËãÒ    & D

     ff   bÒ¯ÒÓÈ ¹ºãº° ‚äËÓ ҈°« m "  ¯ÈÏ


 È ' m GPD[ ÓÈ '






 '

O  

 'O

 ¹º¹

#

mº® ÒÈäˈ¯ vºãÓÈ  

O

  

PLQ

d

O |  ää Ë 'M 'M

 ˜  ä  

}º

&





±

⋼

 °ä

  p°ãÒ ­© °mˈ ­©ã äºÓº²¯ºäȈÒË°}Òä ˆº m }ºÓË ¹¯ºË°°È m ˆº}Ë  ¹º¯«º} º}ÈÏÈã°« ­© ¯ÈmÓ©ä !  sÈ °Èäºä ËãË m °m«ÏÒ ° ÓËäºÓº²¯º äȈÒÓº°ˆ °mËˆÈ !PD[ O'O    sÈ­ã ȈË㠂mÒ҈ m°Ëº

t O'O ! 'O |  ˜    '  'Q  ä ª §Z ·º    v  «  FRV ¨ D ¸ »  ‘È}Òä º­¯ÈϺä °¹Ë}ˆ¯ ˆº}È Áºˆº¹¯ÒËäÓÒ}È  © ¹¼ ¬ °º˯Î҈ ¹º°ˆº«Óӂ °º°ˆÈmã« ‚ Ò ¯Èmӂ Ë® ¹º Èä¹ã҈‚Ë ¹Ë¯ËäËÓ  Z  D   D d ӂ °º°ˆÈmã« ‚ ÓÈ È°ˆºˆË :  'Q  VLQ > S& O @ VLQ > S& O @        Ë  
    & & > S& O@ > S& O@

 ¹ºãº°  

 &

O 





 '

§ S'Q · ¸ ©  ¹  Ë ' S'Q '

VLQ ¨ '

±

¯ÈÏÓº°ˆ ²ºÈ





 '

§ G' ·    { äÒÓÒä‚äȲ ¸ ©  ¹ 

 FRV ¨



 

 f LW[ € ª 'º  € W   Ë W '   J  W ³  » S f   €  ¬ D ¼ ÏȹÈÏ©mÈÓÒË mº m¯ËäËÓÒ m‚² ¹‚}ºm ¯ÈÏÓº°ˆ ²ºÈ }ºˆº¯©² ¯ÈmÓÈ '



 '

H[S « 

±

 ! 'O  Ë '    VLQ M ‚ºã °²ºÎËÓÒ« ã‚Ë® Z m °Ò ゠°Òääˈ¯ÒÒ ¹¯Òä˯Ӻ ¯ÈmËÓ È¹Ë¯ˆ‚¯Óºä‚ ‚゠Òӈ˯Á˯ËÓÒÒ

Z



WJ \ FRV M |  ˜  bÒ¯ÒÓÈ Òӈ˯Á˯ËÓÒºÓÓ©² ¹ºãº°

' | OZ  °ä ¯ËËã Ó©® ¯ÈÏä˯ Ò°ˆºÓÒ}È & | ' |  °ä iº¹‚° ˆÒäÈ« ÓËäºÓº²¯ºäȈÒÓº°ˆ 'O | O!  Óä    ä}ä   È D O !' ­ 'OO | '   
  ' OD  ää |  ä O 'O |  kf O FRV M  GM | 'OO D | c   ' |  D   VLQ M 





| O'O

  



'

 D

O '







 VLQ M

| cc  ¯Ò





O 

 °ä

SD · O | cc   v   VLQ §¨  D ¸  Ë * ± ¯È°°ˆº«ÓÒË ºˆ ¯Ë­ ' © O ¹ ¯È }ãÒÓÈ   iã« º¯ÒϺӈÈã Óº® ¹ºã«¯ÒÏÈÒÒ D O  qc ã« m˯ˆÒ}Èã Óº® ¹ºã«¯ÒÏÈÒÒ D  D  O  qc

ª

VLQ  S\ O S D º FRV   S\ O O »¼

S VLQ D  O ¬ Ë D Z~ ± ‚ºã ¹ºmº¯ºˆÈ ÈӈËÓÓ ºˆ Óȹ¯ÈmãËÓÒ« ÓÈ Ò°ˆºÓÒ} ÏÈ m¯Ëä«  Z~ ± ‚ãºmÈ« °}º¯º°ˆ m¯ÈËÓÒ« ~ËäãÒ ¯Ò äÈ㩲 ÏÓÈËÓÒ«² D ¹Ë¯Òº O#~  fbg   r‚ˈ mÒÓÈ ÒÏäËÓËÓÒ« Èä¹ã҈‚© Óȹ¯«ÎËÓÒ« # S }ȯˆÒÓÈ ¹º²ºÎÈ« ÓÈ }ºã È s ˆºÓÈ cÈ҂° !º °mˈ㺺 }ºã È !O  P    
 '  ff  
 kf   





 « 





 f O }¯





O

 fdf 




+

          

 ff  P

v FRV

   !O

!O

  

 kf

  



     !O 



  zÈÎºË }ºã º s ˆºÓÈ äºÎÓº º¹¯ËËã҈  ^ilj Ë ! }È} ãÒÓÒ  mºã }ºˆº¯º® ¯ÈÏÓº°ˆ ²ºÈ äË΂ Òӈ˯Á˯ү‚ ÒäÒ ã‚È äÒ ¹º°ˆº«ÓÓÈ ¯Ò ‚ÈãËÓÒÒ ãÒÓÏ© ºˆ ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò ½}ºã È ¹º°ˆº«ÓÓº® ¯ÈÏ Óº°ˆÒ ²ºȅ ­‚‚ˆ °ÎÒäȈ °« } Ëӈ¯‚ }ȯˆÒÓ© È ¹¯Ò ¹¯Ò­ãÒÎËÓÒÒ ± ¯È°Ò¯«ˆ °« ºˆ Ëӈ¯È ¡Ëӈ¯ }ȯˆÒÓ© ¹º¹Ë¯ËäËÓÓº ­‚ˈ ˆËäÓ©ä Ò °mˈ ã©ä  im‚ä ãÒÓÈä mºãÓ °ººˆmˈ°ˆm‚ ˆ mË °Ò°ˆËä© }ºãË s ˆºÓÈ ° ÓËÏÓÈ҈Ëã Óº ºˆãÒÈ ÒäÒ°« ¯ÈÏä˯ÈäÒ p°ãÒ ãÒÓÏÈ °º¹¯Ò}È°Èˈ°« ° ¹º m˯²Óº°ˆ ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò ˆº m Ëӈ¯Ë }ȯˆÒÓ© °mˈã©Ë ˆËäÓ©Ë }ºã È ºÓº® °Ò°ˆËä© ¹¯È}ˆÒË°}Ò °ºm¹ÈÈ ˆ °º °mˈã©äÒ ˆËäÓ©äÒ }ºã ÈäÒ ¯‚º® °Ò°ˆËä© ºªˆºä‚ m­ãÒÏÒ Ëӈ¯È }ºã È mÒÓ© ¹ºˆÒ ˆÈ} ÎË ¯ËÏ}º }È} Ò ¹¯Ò äºÓº²¯ºäȈÒË°}ºä °mˈË H^gZdh ¹¯Ò ‚ÈãËÓÒÒ ºˆ Ëӈ¯È °mˈãºË }ºã  º ºÓº® °Ò°ˆËä© äºÎˈ °ºm¹È°ˆ ¹º ¹ºãºÎËÓÒ ° ˆËäÓ©ä }ºã ºä ¯‚º® °Ò°ˆËä© { ªˆºä äË°ˆË }ºã È ÓË ­‚‚ˆ mÒÓ© }ºã È ¹¯º¹È‚ˆ m º}¯Ë°ˆÓº °ˆÒ º }ºã È  |ÓÒ º¹«ˆ ­‚‚ˆ ¯ËÏ}ÒäÒ m º}¯Ë°ˆÓº°ˆÒ º }ºã È

  ' | O  
 È ­  c



  N

 

 ää Ë

   O



O     n

 

±

 ff Ë





¹º}ÈÏȈËã ¹¯ËãºäãËÓÒ« mº©

 ää Ë



 

PD[



ª ¬

PLQ

   

 º



 lºÎÓº 

¼








ª¬O     º¼

 ä

 |¹ˆÒË°}È« ˆºãÒÓÈ ¹ãËÓ}Ò ºãÎÓÈ ­©ˆ ¯ÈmÓÈ ˈm˯ˆÒ ãÒÓ© °mË ˆºmº® mºãÓ© m mÈ}‚‚äË º}ÈÏȈËã ¹¯ËãºäãËÓÒ« ¹ãËÓ}Ò c  Ë  ± ¹º}ÈÏȈËã ¹¯ËãºäãËÓÒ« °ˆË}ãÈ |ˆ¯ÈÎËÓÒ« ÓË ­‚ˈ ˆÈ}ÎË m ˆºä °ã‚ÈË }ºÈ º¹ˆÒË°}È« ˆºãÒÓÈ ¹ãËÓ}Ò c   O   O  Ë ± ËãºË Ұ㺠|ÓÈ}º ¹¯Ò ¹ºã ϺmÈÓÒÒ ­Ëã©ä °mˈºä ¹¯ÒäËÓ«ˆ ˆºã°ˆ©Ë ¹ãËÓ}Ò   ÓËm©ºÓº      O              c   O       
   ',

!

',

Z 'Z

 ää ¯ˆ °ˆ 
 Q

 O 

 d=p

  'T  O

cc

 O    'O  c       lÈ}°ÒäÈã Ó©® ‚ºã ¹ÈËÓÒ« MPD[  
 ¹ºªˆºä‚ ÒÏ ¯Ëς㠈Ȉºm ¯ËËÓÒ«

  'O



'OO



c



}º



   iãÒÓÈ }º˯ËӈӺ°ˆÒ O | 'Q |  °ä ºªˆºä‚ ­‚ˈ mÒËÓ ãÒ ӂãËmº® ¹º¯«º} mÓÈÈãË

¹¯Ë©‚Ë® ÏÈÈÒ ¹ºã‚ÈËä



¹¯Ò ºˆ¯ÈÎËÓÒÒ ºˆ ¹Ë¯ËÓË® ¯ÈÓÒ ¹¯Ò '  ÏȈËä ºˆ ÏÈÓË® ¯ÈÓÒ ¹¯Ò    kf vãË‚ ÒË ¹º¯«}Ò Òӈ˯Á˯ËÓÒÒ ­‚‚ˆ ‚­©mÈ Ë® ÒÓ

'

'O

O






 







O   ª



º » ¬ & ¼

&!O

f





³     



 ¹ä

  VLQ « 

 D



     FRV M O ± ‚°ãºmÒË O äÈ}°Òä‚äºm |ˆ° È °ãË‚ˈ ˆº ° ¯º°ˆºä ‚ãÈ M ˆ Ë ¯È҂°È }ºã È ¹º¯«º} Òӈ˯Á˯ËÓÒÒ  ‚­©mÈˈ {Ï«m ÒÁÁ˯ËÓÒÈã ºˆ º­ËÒ² È°ˆË® ¹¯Ë©‚Ëº ‚¯ÈmÓËÓÒ« Ò ‚҈©mÈ« ˆº ¹¯Ò ¹Ë¯Ë²ºË ºˆ ºÓºº äÈ}°Òä‚ äÈ } °ãË‚ Ëä‚ äÈ}°Òä‚ä‚  ÒÏäËӫˈ°« ÓÈ ËÒÓÒ‚ ¹ºã‚Òä GM O   VLQ M  |ˆ° È mÒÓº ˆº ‚ãºmÈ« Ò¯ÒÓÈ ¹ºãº° ‚äËÓ Èˈ°« ° ¯º°ˆºä ‚ãÈ M ˆ Ë ° ‚äËÓ ËÓÒËä ¹º¯«}È Òӈ˯Á˯ËÓÒÒ lÈ}°ÒäÈã  Ó©® ¹º¯«º} PD[ O  ˜   È º­ãÈ°ˆ °mº­ºÓº® Ò°¹Ë¯°ÒÒ ˆËÓ°ÒmÓº°ˆÒ  

&

±

¯È°°ˆº«ÓÒË ºˆ ºˆm˯°ˆÒ« º ˆº}Ò ÓÈ­ã ËÓÒ«

 O

  



 & &

 fdf





­

|





ª

 «  FRV 



S  º » |    &O ¼

¬   



O&
 &





     & 

 &N

O     

!O 









 

ää




 Ë

 
N  Ë
N


N

O



 


 O



   


  VLQ + +

 VLQ T

  

DUFVLQ   VLQ T  T

  \ O  Ë




±



!  




| 

  

&  

!

 &

 ä

¯È҂° ϺÓÓº® ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò

±


 

  

 ä}ä



±

  



!




&  

 & 

 
  ää  ää     ä ¹º¯«º} äÒÓÒä‚äÈ 


  M

S& T 
 &VLQ M   VLQ M  VLQ T   ¹¯Ò M O r ‚ã© °ººˆmˈ°ˆmËÓÓº ¯ÈmÓ© q Ò q 
 Z 'M

 Ë

O 





 È

      fdf

&O  !      
 °¯ }¯ 
 P è |   >S @>S @  è  
  &



+

q ­

cc 


&  VLQ M   VLQ T

  

r O 'M q

ª  VLQ  & 
  º » ¬«  & 
  ¼»

 «

Áº}‚°ÓºË ¯È°°ˆº«ÓÒË º­žË}ˆÒmÈ



±



ª §  «  FRV ¨  ©
 ¬«

 ·º

¸»  ¹¼» ¯È°°ˆº«ÓÒË äË΂ Ëã«äÒ



­ ª & º ½ ­ ½ ª  º » ° ° VLQ « ° VLQ « ° » 
° ° ° ¬ 
 ¼ FRV §   · °  

     ® ¬  ¼ ¾ ®  ¨ ¸¾ ª  º ©
 ¹ ° ° ª &  º ° ° « » « » °¯ ¬ 
 ¼ °¿ °¯ °¿ ¬ 
 ¼ ãÒ
 ± Áº}‚°ÓºË ¯È°°ˆº«ÓÒË }ºããÒäȈº¯Óº® ãÒÓÏ©



±

Ò¯ÒÓÈ Ë



 ­ VLQ + ½ ­ VLQ E ½  + S& VLQ M  E S VLQ M  ]^_ 1 ± qbkeh ® ¾ ® ¾ O O ¯ + ¿ ¯ VLQ E ¿ s_e_c

 ä}ä
 cc
 È M q ­ M q

 

  M


 M



q M

q PD[

 M

ª VLQ  G  º »   «¬ VLQ  G  »¼

 VLQ M O  
   T   VLQ    «     D@

G

S

O

q
  

VLQ T  Ë D

±

O     

S >VLQ T  O

‚  ºã ÓÈ}ãºÓÈ ¹ãº°}º°ˆÒ  ˆ¯Ò²È 



D  
#  
   M




OQ '

mˆº¯ºä ­ 

±



 È


   O
 VLQ T 

  ­ O

­ GO PLQ

 }ä°

ª º D »   ª¬VLQ  G   G   º¼ «   «¬    SG »¼

 ‚ã äÒÓÓä 

O  OGO 

 °ä

 |}ºãº  ä

 

 ˜ 

 ‚ã äÒÓÓä 
 È 

 ¹ä
 È  Ò  ä}ä ­ m ¹Ë¯mºä ¹º¯«}Ë



 È OGO

È


   O


 ˜ 

 S  O  



 PLQ !   O |  ä




Ò O GO

±

Óˈ mº

 ˜ 

 ˜  'O

OQM 

c

df





O

kf k 

|  ä ± ¯È°°ˆº«ÓÒË äË΂ ÁȯÈäÒ
|  ää ± ÒÈäˈ¯ ϯÈ}È ãÈÏÈ

  | OT |  fdf

 sË äºÎˈ iÒÈäˈ¯

  |
O | 

Ë

ϯÈ}È ãÈÏÈ º¯ãÈ ÓË ¹¯Ëm©Èˈ ÓË°}ºã }Ò² äÒããÒäˈ¯ºm iÈÎË Ë°ãÒ ¹¯Ë¹ºãºÎ҈  ˆº ºÓ ¯ÈmËÓ  ää ˆº äÒÓÒäÈã Ó©® ‚ºã ¹º }ºˆº¯©ä º¯Ëã äºÎˈ mÒˈ ¯ÈÏËã Óº mË ˆº}Ò ¹¯ËäˈÈ º}ÈÎˈ°« ¹¯Òä˯Ӻ m  ¯ÈÏÈ ­ºã Ë ‚ãºm©² ¯ÈÏä˯ºm 䩺Ó}È

 |°m˝ËÓÓº°ˆ ÓË ÒÏäË Ó҈°«

  |  

O | 


Á˯ºäˈ¯È lÈ®}Ëã °ºÓÈ
  ªÓ˯ÒÒ È 

±

Ë

 

 °ä

) )

 

±

¯ÈÏÓº°ˆ ãÒÓ ¹ãË Òӈ˯

 |  Ë ) 

±

¹ºˆº}

¹ãºÈ ¹«ˆÓÈ
  iÒÈäˈ¯ º­žË}ˆÒmÈ t  O  

 °ä Áº}‚°ÓºË ¯È°°ˆº«ÓÒË t  

 °ä ‘È}Òä º­¯ÈϺä 




  t  °ä t  °ä  |  ˜  °
  s‚ãËmº® äÈ}°Òä‚ä VLQT VLQD äÒÓÒä‚ä© VLQT ± VLQD O Ë  r r r è  ±


  

S=O 


 

|  iÎ

Ë

=

±

¹º°ˆº«ÓÓÈ« ãÈÓ}È 



 |  ˆ©° }ä ± ¯È°°ˆº«ÓÒË ºˆ ~ËäãÒ º ‚Ó©
   O ¹¯Ò ‚°ãº  § O  · mÒÒ ˆº  O |  ää {ºº­Ë cª ¨ ¸  
   ¸¹  ¨© 

ãË® º}ÈÏÈã ˆº ÓÈÒm©ºÓˮҮ ÒÈäˈ¯ ºˆm˯°ˆÒ« m }Èä˯˺­°}‚¯Ë ¹º°҈©mÈˈ°« ¹º ÓË°}ºã }º ÒÓº® Áº¯ä‚ãË 

 O     Ë 

±

¯È°°ˆº«ÓÒË º º­žË}ˆÈ ºˆ ºˆm˯°ˆÒ«   ± ¯È°°ˆº«ÓÒË º ª}¯ÈÓÈ ¯Ò  f   m ‚°ãºmÒ«² ÈÓÓº® ÏÈÈÒ hil  O  ää


   |  O |  }ä ­ºãËË ¯‚­È« ºËÓ}È  a O 
  N  |

|  O | 
 
 T

O





    

  
  Ë

O

  



 r   

 ± ËãºË Ò°ãº

 

Ë

T



    è 

O      

 ± ËãºË Ò°ãº
  d  °ä
 zmȯȈ °º °ˆº¯ºÓº®   °ä   ª VLQ  SDO º ª VLQ  SDO º 
  « » « SDO » 
  S   O   S D ¬ ¼ ¬ ¼

Ë


 

  ½ ª VLQ  Q VLQ M  º  ­° ª VLQ  Q VLQ M   º °  FRV Q VLQ M  ¾   « » « » ®  ° «¬ Q VLQ M   »¼   VLQ  Q M « » °¿ ¬ ¼ ¯ 

§ VLQ  · W  W   W W FRV 'M  Ë   VLQ T  
   v ¨   ¸   ©  ¹  'M  ª«    VLQ T º»   SO ± mºãÓºmºË Ұ㺠{ Ëӈ¯Ë ¹ºã‚҈  ¬ ¼ °« ˆËäÓÈ« ¹ºãº°È ¹¯Ò ‚°ãºmÒÒ  ±     S     è  

 °­ VLQ ª VLQT  ¼º °½ ª VLQ'  º  Ë  SO '  ±  ±
   ® ¬ ¾ « » ¯° VLQ ª¬ VLQT º¼ ¿° ¬ '  ¼ ± VLQT sȹ¯ÈmãËÓÒ« ÓÈ ãÈmÓ©Ë äÈ}°Òä‚ä© º¹¯ËËã« ˆ°« Áº¯ä‚㺮 VLQT2 O
 U PD[ O         è 
 

¬ª Ü  ¼º 'M 'M





  

 





) )

§ D ·  
  ¨ ¸  © D  ¹PD[

 'M  'M OLP

Go '

  






Ë

 



§ Ü· ¨ ¸ © ¹

  

 
 PLQ |  ä 

     O         O       O      
 H   Z        O      HP ª Z
HP º «  » ¬ HP
Z ¼ Ë  ± ¹º°ˆº«ÓÓÈ«    VLQD  lˈº m¯ÈÈ Ëº°« Ï˯

  



}ÈãÈ Èˈ ¯‚¹¹ºm‚ °}º¯º°ˆ 

§¨   ©



 

O
 ·  ‘È} }È}  
O ¸¹

  ˆº

 lÈ®}Ëã °ºÓ ÓÈ º¹©ˆË ÓÈËã    O
  
O   O
    Z ª¬  Z3 Z  Z º¼   
O 

ª ZSZ º     ZS  Ë ZS   H  Z «   » «¬ Z  Z »¼ S H SL L  Ë H Ò L ± }ºÓËӈ¯ÈÒÒ ªãË}ˆ¯ºÓºm Ò ¦   H    H Z LZ ÒºÓºm  L H L ± °ººˆmˈ°ˆmËÓÓº Ò² Ïȯ«© Ò äÈ°°© v‚ääÒ¯ºmÈÓÒË mËˈ °« ¹º m°Ëä ÒºÓÈä { °Ò゠}mÈÏÒÓË®ˆ¯Èã Óº°ˆÒ ÒºÓº°Á˯© }ºÓËӈ¯ÈÒ« ¹ºãº Î҈Ëã Ó©² ÒºÓºm ° ­ºã º® ˆºÓº°ˆ ¯ÈmÓÈ °‚ääË }ºÓËӈ¯ÈÒ® ªãË}ˆ¯ºÓºm Ò ºˆ¯ÒȈËã Ó©² ÒºÓºm ºªˆºä‚ ¹º°ãËÓÒä °ãÈÈËä©ä m m©¯ÈÎËÓÒÒ ã« H äºÎÓº ¹¯ËÓË­¯Ë  ¹º°}ºã }‚ äÈ°°È ÒºÓÈ mËãÒ}È ¹º °¯ÈmÓËÓÒ ° äÈ°°º® ªãË} ˆ¯ºÓÈ vËãÈm ªˆº Ò º¹‚°ˆÒm ÒÓË}° ½… ¹ºã‚Òä H  Ü Z Z  Ë 

Z



^





Z



`

S  ºãÈÈ«

H

rE ¹¯ÒmËËä m©¯ÈÎËÓÒË 

 E]LZ W ÒãÒ   E]LZ W   E] FRV Z ÒãÒ   E] FRV Z wˆº

mÒ‚

{

LZW ÜN] }

m˝˰ˆmËÓÓº®

Áº¯äË

± °ˆº«ÒË mºãÓ© kä¹ã҈‚È ¹Ë¯mº® mºãÓ© ª}°¹ºÓËÓÒÈã Óº mºÏ¯È°ˆÈˈ È mˆº¯º® ± ª}°¹ºÓËÓÒÈã Óº ÏȈ‚²Èˈ m Óȹ¯ÈmãËÓÒÒ º°Ò  {©­º¯ ÏÓÈ}È ¹Ë¯Ë E ºãÎËÓ º¹¯ËË㫈 °« ÁÒÏÒË°}ÒäÒ ‚°ãºmÒ«äÒ { º­ºÒ² °ã‚È«² Ë°ˆ ÏȈ‚²ÈÓÒË Óº Óˈ ¹º㺝Ë ÓÒ«     O SH  ˜   p°ãÒ Z ! Z ˆº mºãÓÈ ¹¯º®ˈ ˯ËÏ ÒºÓº°Á˯‚ Ë°ãÒ Z  Z ˆº mºãÓÈ ¹ºãÓº°ˆ ºˆ¯ÈÏ҈°«

Z

SPD[ 

 ˜  PD[ > @ Ë PD[ ± }ºÓËӈ¯ÈÒ« ªãË}ˆ¯ºÓºm

ÓÈ ÓË}ºˆº¯º® m©°ºˆË Ë ºÓÈ äÈ}°ÒäÈã ÓÈ   SQ   ˜  Q 
  ˆº­© ¯ÈÒºmºãÓÈ äºãÈ º°ˆÒӂˆ ~ËäãÒ ãÒÓÈ ËË mºãÓ© ºãÎÓÈ  ˜  ­©ˆ O   ä   J  V   È   Z  ˜ 





°ä Ë 

 H 

 È H

   HZ  ­

 È 

 FRV  Z  M 



Ë



Z

 °ä° ­ !l !w

   ª¬  SH º¼ O     Z  Z  JZ  J 

 ˜   







"







>  @

JZ Z  Z  Z

WJ M

PD[

J



¹¯Ò Z

 H[S   {# LZ W 

J     Z

   ­ "

ªZ  Z    J Z º ¬ ¼

Z  È 

]^_ 



 H[S >  {#@ L Z W N Q]  



S

  O SH    O   |  ˜  °ä± |  ˜  °äF  |  ˜  °äF  OQ  |  ä
 
 |  ä ~Ë°  r{ r 
  SQE S '  S ' |  ˜   |  ˜  °ä      }ã O  O  O  O   H |  ˜  °ä ± }ãÈ°°ÒË°}Ò® ¯È҂° ªãË}ˆ¯ºÓÈ }ã ­ 

Ë

SH' QQ

SH'  | Q |  ˜  °ä |  °m ãˈ  Q  Q     '    SH Q  ˜   QPLQ |  ˜  =p


 

$    }ä   { ± m Ȉ亰ÁË¯Ë {ËÓ˯© mºÏÓÒ}Èˈ SD% J{  SH   }¯‚ºmÈ« ¯ËÁ¯È}Ò«  |  Ë  ± }ºÓËӈ¯ÈÒ« °mº­ºÓ©²  OU$  ªãË}ˆ¯ºÓºm m °Ë¯Ë­¯Ë  ± }ºÓËӈ¯ÈÒ« Zˆºäºm O ± ãÒÓÈ mºãÓ© °ººˆmˈ°ˆm‚  U $ O È« ªÓ˯ÒÒ ÁºˆºÓÈ  M | |  ¯È iÒÁ¯È}ÒºÓÓÈ« ¯È°  SH  





²ºÒ亰ˆ 'M | O |  ¯È  M   

 ª        

¬







Z · º    a                     FRV ¨§  ¸»   © ¹¼    O   c ­ËϯÈÏãÒÓº   O  c ÓË FRV  M  M WJ D WJ J FRVM  M WJ D ÒÏäËÓ҈°«  WJ E   E t D FRV  M  M







J d D  T S  M;j qc 
 f   ZZS H[S > Z  '  Z# @ 

\

 FRV  #  ' H[S ª¬   Z  ' º¼ 

 hlj

 A hlj  hlj

 ª WJ   M  M

VLQ  M  M º    «  »  «¬ WJ  M  M VLQ  M  M »¼ 



VLQ M VLQ M ª  FRV  M  M º  ¼  VLQ  M  M FRV  M  M ¬

ij

ª Z# § VLQ M · º  VLQ M    VLQ ¨ Z  Z »   ¸¹ »¼ «¬  ©

 cc  WJ

 H[S « 

 VLQ M      FRV M

G 

  
 c   



WJ

 VLQ M    FRV M

GA 

       

H P FRV M  HP FRV M   H P FRV M  HP FRV M __

c A

HP FRV M  H P FRV M A  HP FRV M  H P  FRV M

 A

 HP FRV M A 
 WJ M;j HP FRV M  HP FRV M

P HP  HP  P HP  HP

WJ MA;j


 


 '

 HP FRV M  H P FRV M  HP FRV M

 









A A

H HP  HP   H HP   HP 



Ë



§  FRV M  FRV M · ¨ ¸  ©  FRV M  FRV M ¹



§ FRV M   FRV M · ¨ ¸ ± }ºªÁÁÒÒËӈ© ºˆ¯ÈÎËÓÒ« °ººˆmˈ°ˆmËÓÓº ¹È¯Èã © FRV M   FRV M ¹ ãËã Óº® Ò ¹Ë¯¹ËÓÒ}‚㫯Ӻ® }ºä¹ºÓËӈ ¹ÈÈ Ëº °mˈÈ   VLQ ¬ª % OQ    ¼º ª    º  %     ]^_ S 

  
 «   »     O  % ¼ ¬  A

$



  

 


 P




 





      

$ $$    $  
                 

 

 $P

 

 G FRV M VLQ M    G G A  G Ë GA Ò G ± ÁÈϺm©Ë °mÒÒ   VLQ M ¹Ë¯¹ËÓÒ}‚㫯Ӻ® Ò ¹È¯ÈããËã Óº® }ºä¹ºÓËӈ ºˆ¯ÈÎËÓÓºº ã‚È ¹º ºˆÓº ËÓÒ } °ººˆmˈ°ˆm‚ Òä }ºä¹ºÓËӈÈä ¹ÈÈ Ëº °mˈÈ

  WJ

M

DUFVLQ



 

 



GPD[

 DUFWJ

     

   t

  

  M qc ÒãÒ qc ¹¯ÈmÈ« 
   $      $      $     





 §    · ¨ ¸  ¨©    ¸¹

     "



JG JJG

  ˜

  

 "

 



   "

         

P  

" 



\ [     ]       [  \  ]

 Ë L

  HL

§  · §  ·  ¸¸  VLQ D ¨¨ ¸¸  © H[ ¹ © H] ¹

   #     H [  

FRV D ¨¨

§  · §  ·  ¸¸  FRV Dc ¨¨ ¸¸     H ]  Ë D Ò Dc ± ‚ã© äË΂ º¹ˆÒË © H[ ¹ © H] ¹ °}º® º° Ò mË}ˆº¯ºä Óº¯äÈãÒ } mºãÓºmºä‚ Á¯ºÓˆ‚  |¹ˆÒË°}b_ º°Ò mˆº¯ºº ¯ºÈ ãËÎȈ m ¹ãº°}º°ˆÒ # °Òääˈ¯ÒÓº ºˆÓº°ÒˆËã Óº º°Ò # º­¯È

 VLQ Dc ¨¨

ς« ° ÓË® ‚ºã J º¹¯ËËã«Ëä©® ¹º Áº¯ä‚ãË WJ J

 

[ 







[

 





FRV D 

]



r [  \

 \  ] 

VLQ D Ë°ãÒ º¹ˆÒË°}È« º° Óȹ¯ÈmãËÓÈ

mºã º°Ò # Ë°ãÒ º¹ˆÒË°}È« º° Óȹ¯ÈmãËÓÈ mºã º°Ò  ˆº  





[

Ë°}º®

VLQ D 



]

FRV D Ë L

  HL



º° Ò Óȹ¯ÈmãËÓÒËä ã‚È  G qc

  \

 D

q

   #  D DUFWJ

 




 

±

R  H RH

 FRV M

] 

‚ºã äË΂ º¹ˆÒ qc

 

 

FRV M VLQ  M    È '   ­ H ¹  Ë Ë ¹ ± ÒӈËÓ  °ÒmÓº°ˆÒ °ººˆmˈ°ˆmËÓÓº Ë°ˆË°ˆmËÓÓºº Ò ¹ºã«¯ÒϺmÈÓÓºº °mˈÈ  ‘È}È« ¹ãÈ°ˆÒÓ}È ºãÎÓÈ ÒÏäËÓ҈ Óȹ¯ÈmãËÓÒË }¯‚ºmº® ¹ºã«¯ÒÏÈ · O O § ÒÒ 
¨   ¸   ää Ë    ' H  R T'  ¹ ' ©

 M



 
PLQ  

q

 

 ää 


 

   O      




  

M

q

   è  PD[

 

  °mˈ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓ ãÒÓˮӺ  &



O  ˜  ÒÓ ˜ °ä S 

ºˆ ¯È°¹¯ËËãËÓÒ« ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆÒ m ¹‚}Ë & ÓË ÏÈmҰ҈ iã« ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò m O  m¯ÈÈ Ò® äºäËӈ ˆÈ}º® ÎË lºäËӈ ‚mºÒˆ°« Ë°ãÒ mÏ«ˆ ¹ãÈ°ˆÒÓ}‚ m

O

O  



O

H  R

 ää  
|  ää  '

 ä}ä

 ää   °ä 
 sÈ ª}¯ÈÓË º­¯Èςˈ°«     ¹«ˆÓÈ ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆÒ }ºˆº¯©² ºˆÓº°«ˆ°« }È}    ¯Ò mmËËÓÒÒ ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò m ¹ºãmºãÓ© Òӈ˯Á˯ËÓÒºÓÓ©Ë ¹ºãº°© °äËÈ ˆ°« ÓÈ ¹ºãºmÒӂ Ò¯ÒÓ© ¹ºãº°© ¹¯Ò ¹ºmº¯ºˆË ¹ºã«¯ºÒÈ ÓÈ q ºÓÒ °äËÈ ˆ°« m ¹¯ºˆÒ mº¹ºãºÎӂ °ˆº¯ºÓ‚ ÓÈ ¹ºãºmÒӂ Ò¯ÒÓ© ¹ºãº°© ºˆÓº°ÒˆËã Óº ÓÈÈã Óº º ¹ºãºÎËÓÒ« p°ãÒ ‚­¯Èˆ ¹ºã«¯ºÒ ˆº ¹ºãºÎËÓÒË Òӈ˯Á˯ËÓÒºÓÓ©² ¹ºãº° ÓË ÒÏäËÓ҈°« Óº ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ Ò² mºÏ¯È°ˆËˆ mmºË ¯Ò mmËËÓÒÒ ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò m ˈm˯ˆ mºãÓ© ¹¯ºÒ°²º҈ °ä˝ËÓÒË ¹ºãº° ÓÈ ˈm˯ˆ Ò ¯ÒÓ© ¹ºãº°© Ë°ãÒ m ªˆºä °ã‚ÈË ‚­¯Èˆ ¹ºã«¯ºÒ© ˆº Òӈ˯Á˯ËÓÒºÓ  VLQ D  %  Ó©Ë ¹ºãº°© ¹¯º¹È‚ˆ     } ã % 

§   ·     ¸¸ |  
 }  Ë       © ¹ 
 vmˈ ­‚ˈ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓ ¹º ãËmºä‚ }¯‚‚ 
 vmˈ º°ˆÈÓˈ°« ãÒ ÓˮӺ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓÓ©ä Óº ¹ãº°}º°ˆ }ºãË­ÈÓÒ® ªãË}ˆ¯ÒË°}ºº mË}ˆº¯È ¹ºm˯Óˈ°« ÓÈ ‚ºã D Ò °ˆÈÓˈ °Òääˈ¯ÒÓº ¯È°¹ºãºÎËÓÓº® ¹º ºˆÓºËÓÒ

} Ò°²ºÓºä‚ ¹ºãºÎËÓÒ ºˆÓº°ÒˆËã Óº º°Ò ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò m ¹ºãmºãÓ©  § % ·  S D S D q 

   FRV D q E  
 E   ¨       ©  ¸¹ }  ã      Ë H } ã ± ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆÒ  
 ' H  }  ã °ººˆmˈ°ˆmËÓÓº Ó˹ºã«¯ÒϺmÈÓÓºº °mˈÈ °mËˆÈ ° }¯‚ºmº® Ò ãÒÓˮӺ® ¹º 

} ã

    }  ã



㫯ÒÏÈÒË® 


 



   

 ¨¨

Ë

Ò

­ºã º® ¹ºã‚º°Ë® ªããÒ¹°È 
 





O   

Ë



   è PD[

±

ãÒÓ©

°ººˆmˈ°ˆmËÓÓº äÈ㺮 Ò

   vmˈ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓ ¹º }¯‚‚ ,   '

   



{ º­Ëä °ã‚ÈË ¹ºã«¯ÒÏÈÒ« ªããÒ¹ˆÒË°}È« p°ãÒ ÎË ˆºãÒÓÈ ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò ˆÈ}ºmÈ ˆº ¯ÈÏÓº°ˆ ÁÈÏ ¯ÈmÓÈ S ¹ºã«¯ÒÏÈÒ« ãÒÓË®ÓÈ«     
         { °ã‚ÈË  ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ °mËˆÈ mºÏ¯È° ˆËˆ m  ¯ÈÏ m °ã‚ÈË  ± m  ¯ÈÏ       p°ãÒ  ± ¹ºãÓºË Ò°ãº ÏºÓ n¯ËÓËã« ˆº ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ °mËˆÈ m Áº}‚°Ë ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò ­‚ˈ ¹¯Ò 

­ãÒÏ҈Ëã Óº m  ¯ÈÏ ­ºã Ë Ëä ¹¯Ò °mº­ºÓºä ¯È°¹¯º°ˆ¯ÈÓËÓÒÒ °mˈÈ ª  § S
VLQ T · º  ºˆ}‚È          T  «  FRV ¨ ¸» © O ¹¼ ¬ 

'   $ O 
 ˜   °ä  '   $ O 
  °ä  ºãÓÈ« ¯ÈÏÓº°ˆ ÁÈÏ °mˈÈ ¹¯Ò²º«Ëº m äÈ}°Òä‚ä º ¹º¯«}È S

     ¯Ò   'M S ± }¯‚ºmÈ« ¹ºã«¯ÒÏÈÒ« ° °º²¯ÈÓËÓÒËä m¯ÈËÓÒ« ¹ÈÈ Ëº °mˈÈ ¹¯Ò  r 'M S 'M±  ± ãÒÓˮӺ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓÓ©® °mˈ ¹¯Ò  r ± }¯‚ºmÈ« ¹ºã«¯ÒÏÈÒ« ° ¹¯ºˆÒmº¹ºãºÎÓ©ä ¹º ºˆÓºË ÓÒ } ¹ÈÈ Ëä‚ m¯ÈËÓÒËä { º­Ëä °ã‚ÈË m ÓËˈө² äÈ}°Òä‚äȲ °mˈ ãÒÓˮӺ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓ ¹¯Ò   r r è ± }¯‚ºmÈ« ¹ºã«¯ÒÏÈÒ« ° °º²¯ÈÓËÓÒËä Óȹ¯ÈmãËÓÒ« m¯ÈËÓÒ« ¹¯Ò  r r r è ± }¯‚ºmÈ« ¹ºã«¯ÒÏÈÒ« ° ¹¯ºˆÒmº¹ºãºÎÓ©ä m¯ÈËÓÒËä 
 äËÓ ҈°« mmºË ÓË ÏÈmÒ°Òäº ºˆ ¹ºã«¯ÒÏÈÒÒ ¹ÈÈ Ëº °mˈÈ   cÈϯËÈ È« °¹º°º­ Óº°ˆ ÓË ÒÏäËÓ҈°«  cÈ°°ˆº«ÓÒË äË΂ ãÈmÓ©äÒ äÈ}°Òä‚äÈäÒ ‚äËÓ ҈°« mmºË jӈËÓ°ÒmÓº°ˆ °mËˆÈ m ӂãËmºä äÈ}°Òä‚äË ‚äËÓ ҈°« m  ¯ÈÏÈ ºã«¯ÒÏÈÒ« °mËˆÈ m ãÈmÓ©² äÈ}°Òä‚äȲ }¯‚ºmÈ«  ËˆÓ©Ë äÈ} °Òä‚ä© ºˆãÒÈ ˆ°« ºˆ ÓËˈө² Óȹ¯ÈmãËÓÒËä m¯ÈËÓÒ« mË}ˆº¯È ¹º ÒãÒ ¹¯ºˆÒm È°ºmº® °ˆ¯Ëã}Ò   cÈ°°ˆº«ÓÒË äË΂ ãÈmÓ©äÒ äÈ}°Òä‚ äÈäÒ ˆÈ} ÎË }È} Ò ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ °mËˆÈ m ӂãËmºä äÈ}°Òä‚äË ‚äËÓ ҈°« m  ¯ÈÏÈ  jӈËÓ°ÒmÓº°ˆ °mËˆÈ Ó‚ãËmºº äÈ}°Òä‚äÈ ¯ÈmÓÈ Ó‚ã  cÈ° °ˆº«ÓÒË äË΂ ãÈmÓ©äÒ äÈ}°Òä‚äÈäÒ ‚äËÓ ҈°« m  ¯ÈÏÈ äË΂ m‚ä« mÏÈÒäÓº ¹Ë¯¹ËÓÒ}‚㫯өäÒ }ºãË­ÈÓÒ«äÒ 'MP

 VLQ T

r

O




 ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ ãÈmÓºº äÈ}°Òä‚äÈ ¯ÈmÓÈ

   
    VLQ D    jӈËÓ°ÒmÓº°ˆ

ˈө²

äÈ}°Òä‚äºm ¯ÈmÓÈ

ӂã  jӈËÓ°ÒmÓº°ˆ ¹Ë¯mºº äÈ}°Òä‚äÈ °º°ˆÈmã«Ëˆ          |        '        






 

ª  FRV D H  R º¼  Ë  SO ± mºãÓºmºË Ұ㺠}ºº¯  ¬ ÒÓÈˆÈ  ºˆ°҈©mÈˈ°« ºˆ ¯Ë­¯È }ãÒÓÈ ¯Ò ‚°ˆÈÓºm}Ë ãÒÓÏ© ­‚‚ˆ ÓÈ ­ã Ȉ °« mÈ °mˈ㩲 ¹«ˆÓÈ ÓÈ ¯È°°ˆº«ÓÒÒ  DH ± º  Ë ± Áº}‚° ÓºË ¯È°°ˆº«ÓÒË ãÒÓÏ©    1

– FRV N 

N 



SH  R
 O

Ë

M

 VLQ1 M 

1

VLQM 

 $

 



SO
H ± º  ‘È}È« °Ò°ˆËäÈ «mã«Ëˆ°« 

Òӈ˯Á˯ËÓÒºÓÓº¹ºã«¯ÒÏÈÒºÓÓ©ä ÁÒ㠈¯ºä Òº  R

H
  H




HH

  |° # «mã«Ëˆ°« º¹ˆÒË°}º® º°   ÒÓˮӺ ¹ºã«¯Ò H
  H


H

ϺmÈÓÓ©® °mˈ ° ÓËÒÏäËÓÓº® Èä¹ã҈‚º® Ò ÁÈϺ® 亂ãÒ¯ºmÈÓÓ©® ¹º ÏÈ }ºÓ‚ M T  ˆ Ë ÓÈ m©²ºË mºãÓÈ  VLQ >Z  T @ S     Ë  Ò ± Ëã©Ë Ò°ãÈ  ãÈ°ˆÒÓ}È ºãÎÓÈ '      O Òäˈ ˆºãÒӂ O ã« ÓË°‚Ë® È°ˆºˆ© Ò O ã« ­º}ºm©² ȯäºÓÒ} S §  S S §    · S  ºˆ}‚È :   ·¸  '
  ¹ Z  : ¨©  ¸¹ Z  : '
Z ¨©

 
!

O 'OH  R

 ää ¹ÈÈ Ò® °mˈ ºãÎËÓ ­©ˆ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓ ¹º

‚ãºä q } º¹ˆÒË°}º® º°Ò ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò  W |

O |  ˜  F R  H


! W' ºã«¯ÒÏÈÒÒ Ò乂㠰ºm ãÒÓˮөË º¯ˆººÓÈã Ó©Ë Ò ¹È ¯ÈããËã Ó©Ë ãÈmÓ©ä Óȹ¯ÈmãËÓÒ«ä ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò Èä¹ã҈‚©    Ò

 ' t

O  U S







±

º­¯ºˆÓº°ˆ

  

ˆºº ÎË ¯ËϺÓȈº¯È ­ËÏ m˝˰ˆ

mÈ  ' t  
  Ë¯ËÏ ¹¯ÒÏä© ¹¯º²º҈ Ó˺­©}ÓºmËÓÓ©® ã‚ {ˆº¯È« ¹¯ÒÏäÈ ¹¯º¹‚°}Èˈ ­ºã Ë °mˈÈ { º­ºÒ² °ã‚È«² ‚ºã D ºãÎËÓ ‚ºmãË ˆmº¯«ˆ ‚°ãºmÒ R  VLQ D  H  ºˆ}‚È qc  D  qc G qc

  {ºÏäºÎÓ©





D VLQ    

Ë

mÈ

E

±

¯ËËÓÒ«



 ää  

 

FRV

D  

 E

DS  


H  R O  O OO



 ª¬FRV D  E  VLQ D VLQ E VLQ G  º¼ 

 VLQ D VLQ G  ÓÒ}ºãÒ °}¯ËËÓ©  

ÓÒ}ºãÒ ¹È¯ÈããËã Ó©    | 



‚ºã ÓÈ }ºˆº¯©® ºãÎËÓ ­©ˆ ¹ºm˯ӂˆ ÓÒ}ºã 

ºˆÓº°ÒˆËã Óº ÓÒ}ºã«   




D  

 E


PD[ H  R O

 ª¬  VLQ D VLQ G  º¼

|  ¹ºãº°    ¹ºãº°

S


H  R | S  sÒ  O }ºãÒ °}¯ËËÓ© Ò ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò ¹È¯ÈããËã Ó© ¯ÈÏÓº°ˆ ²ºÈ '
' 
 ' | O Ë O #  c ºãË Ï¯ËÓÒ« º}¯ÈËÓº m }¯È°Ó©® mˈ ˆ¯Ëˆ ˺ ¹º¯«}È  sÒ}ºãÒ ¹È¯ÈããËã Ó© È ¹ãÈ°ˆÒÓ}Ò °}¯ËËÓ© ¯ÈÏÓº°ˆ ²ºÈ '
' 
' | O |  c ¹ºãË Ï¯ËÓÒ« º}¯ÈËÓº m

 

 VLQ D VLQ G    

Ë

G

ÏËãËÓ©® mˈ ¹Ë¯mºº ¹º¯«}È  
 ' |

O  U |  ˜  ¯‚­È« 


O  U |  ˜  ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ Ó˺­©}ÓºmËÓ  S
Óº® mºãÓ© ¹¯ºËË® ˯ËÏ ¯ËϺÓȈº¯ ‚äËÓ ҈°« mmºË ˆ Ë OË °mÒӂ ˆÈ ºˆÓº°ÒˆËã Óº Oº ÓÈ ¹ºã‚Ò¯Òӂ ¯ËϺÓÈÓ°Óº® }¯Òmº® ÓÈ ‚¯ºmÓË     |­©}ÓºmËÓÓÈ« mºãÓÈ ÓË ¹¯º²º҈ ˯ËÏ ¯ËϺÓȈº¯ iã« Ó˺­©}Óº mËÓÓº® mºãÓ© m©¹ºãÓËÓº ‚°ãºmÒË ¯ËϺÓÈÓ°È ÓÈ ˆºãÒÓË 
‚ä˝Èˈ°«   ãÒÓ mºãÓ  ¹¯º ¹È       VLQ D VLQ G  ¯Ò ¹º°ˆº«ÓÓºä ÏÓÈËÓÒÒ G ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ º°ˆÒÈˈ äÈ}°Òä‚äÈ ÒãÒ äÒÓÒ ä‚äÈ }ºÈ FRV D  ˆ Ë ¹¯Ò D S  S  p°ãÒ VLQ G !  ˆº ¹Ë¯mºä‚ ºËÓ}È  ‘ºÓËË ¹¯Ò ' |

ÏÓÈËÓÒ °ººˆmˈ°ˆm‚ˈ äÈ}°Òä‚ä È mˆº¯ºä‚ ± äÒÓÒä‚ä ¹¯Ò VLQ G   ± ÓȺ­º¯ºˆ  vºãÈ°Óº ¹¯Ë©‚Ë® ÏÈÈË ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ °mˈÈ ¹¯º ÈÓÈãÒÏȈº¯     VLQ D VLQ G  ¯Ò ¹º°ˆº«ÓÓºä D ÒÓ ˆËÓ°ÒmÓº°ˆ ­‚ˈ äÒÓÒäÈã Óº® }ºÈ VLQ G ± ˆ Ë ¹¯Ò G S S è Ò äÈ}°ÒäÈã Óº® ¹¯Ò VLQ G  ˆ Ë ¹¯Ò G S S S è Ë°ãÒ VLQ D !  p°ãÒ ÎË VLQ D   ˆº m ¹Ë¯mºä °ã‚ÈË ­‚ˈ ÓÈ­ã Ȉ °« äÒÓÒä‚ä È mº mˆº¯ºä ± äÈ}°Òä‚ä vã˺mȈËã Óº m ¹ºãË Ï¯ËÓÒ« ­‚‚ˆ mÒÓ© ˯Ë‚ ÒË°« °mˈã©Ë Ò ˆËäÓ©Ë ¹ºãº°© ¯Ò m¯ÈËÓÒÒ }ãÒÓÈ ­‚ ˈ äËÓ«ˆ °« ‚ºã D Ò °ã˺mȈËã Óº m }Èκ® ˆº}Ë }ãÒÓÈ ­‚ˈ äËÓ«ˆ  °« ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆ  ¯Ò D q q Ò q mË° }ãÒÓ ­‚ˈ º°m˝ËÓ ¯Èm Óºä˯Ӻ È ¹¯Ò D q q q q ­‚ˈ ÓÈÒ­ºãËË ¯ËÏ}È« ¯ÈÏÓÒÈ m ÒӈËÓ°ÒmÓº°ˆÒ ˆËäÓ©² Ò °mˈ㩲 ¹ºãº° ¹¯ÒËä ¹¯Ò ¹Ë¯Ë²ºË ˯ËÏ ‚ã© D q q q ˆËäÓ©Ë ¹ºãº°© ­‚‚ˆ ¹Ë¯Ë²º҈ m °mˈã©Ë È °mˈã©Ë ± m ˆËäÓ©Ë  ÈÈ ‚ mºãӂ äºÎÓº ¹¯Ë°ˆÈm҈ }È} °‚ää‚ m‚² ãÒ ÓˮӺ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓÓ©² }ºä¹ºÓËӈ ºÒÓÈ}ºmº® Èä¹ã҈‚© zºä¹ºÓËӈÈ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓÓÈ« m ¹ãº°}º°ˆÒ ¹ÈËÓÒ« ºˆ¯ÈÎÈˈ°« ºˆ ® ¯Ëˈ}Ò }ºä¹º ÓËӈÈ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓÓÈ« ¹Ë¯¹ËÓÒ}‚㫯Ӻ ¹ãº°}º°ˆÒ ¹ÈËÓÒ« ± ºˆ ® ¯Ë S ˈ}Ò nÈϺm©® °mÒ äË΂ ÓÒäÒ ¹º°ãË ºˆ¯ÈÎËÓÒ« 'M  VLQ D S  Ë˺ ˯ËÏ

O

‘È}Òä º­¯ÈϺä ºˆ¯ÈÎËÓÓÈ« mºãÓÈ ­‚ˈ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓÈ ¹º }¯‚‚ 

 &

O S  ˜  s˜ä !

   ˜   +   |ˆ¯ÈÎËÓÓ©® 

°mˈ ¹ºã«¯ÒϺmÈÓ ãÒÓˮӺ ºã mË}ˆº¯È  ° ¹ãº°}º°ˆ ¹ÈËÓÒ« T DUFWJ  q ºã«¯ÒÏÈÒ« ­‚ˈ ãÒÓˮӺ® m°«}Ò® ¯ÈÏ }ºÈ º°Ò ªããÒ¹°È °ºm¹ÈÈ ˆ ° Óȹ¯ÈmãËÓÒ«äÒ ¹¯ºmºãº} ¯Ò ¯‚Ò² ‚ãȲ ºˆ¯ÈÎË   A  S
U A  ÓÒ« ± ªããÒ¹ˆÒË°}Ò ¹ºã«¯ÒϺmÈÓÓ©® °mˈ   

  VLQ

S
kj

   Ë



 ˜    PLQ

O



S

H   U  ª¯°ä ˜ °

O  
 






O

O

|  Ë v€vw |  {°ä

 {ˆ°ä

 ˜  Ë v€vw 
 ! 

   S   |  f

  nº}‚°Ò¯ºm}È ¹‚}È mºÏäºÎÓÈ Ë°ãÒ ¹ãºˆÓº°ˆ ¹ºˆº}È ªÓ˯ÒÒ

!



S



  !





O

S 
 







>ª¯°ä ˜ ° @ 



kf


|  ˜  wj]k (  ˜ 
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ Áóòèêîâ Å. È. Îïòèêà. Ì.: Âûñø. øê., 1986. Äæåðàðä À., Áåð÷ Äæ. Ì. Ââåäåíèå â ìàòðè÷íóþ îïòèêó. Ì.: Ìèð, 1978. Èëüè÷åâà Å. Í., Êóäåÿðîâ Þ. À., Ìàòâååâ À. Í. Ìåòîäèêà ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèêè. Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1981. Èðîäîâ È. Å. Çàäà÷è ïî îáùåé ôèçèêå. Ì.: Íàóêà, 1988. Êàëèòååâñêèé Í. È. Âîëíîâàÿ îïòèêà. Ì.: Âûñø. øê., 1985. Ìàòâååâ À. Í. Îïòèêà. Ì.: Âûñø. øê., 1985. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî îáùåìó êóðñó ôèçèêè / Ïîä ðåä. Â. À. Îâ÷èíêèíà. ×. 2. Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì, îïòèêà. Ì.: Èçä-âî ÌÔÒÈ, 2000.

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Ò å ì à 1. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà è ýëåìåíòû ôîòîìåòðèè Êîíòðîëüíûå âîïðîñû............................................................ 3 Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ........................................................ 6 Çàäà÷è ................................................................................. 14 Ò å ì à 2. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Íåìîíîõðîìàòè÷åñêîå èçëó÷åíèå Êîíòðîëüíûå âîïðîñû............................................................ 26 Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ........................................................ 31 Çàäà÷è ................................................................................. 31 Ò å ì à 3. Èíòåðôåðåíöèÿ è êîãåðåíòíîñòü Êîíòðîëüíûå âîïðîñû............................................................ 35 Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ........................................................ 40 Çàäà÷è ................................................................................. 49 Ò å ì à 4. Äèôðàêöèÿ ñâåòà. Ñïåêòðàëüíûå ïðèáîðû è èõ õàðàêòåðèñòèêè Êîíòðîëüíûå âîïðîñû............................................................ 65 Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ........................................................ 72 Çàäà÷è ................................................................................. 82 Ò å ì à 5. Ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â èçîòðîïíûõ ñðåäàõ. Îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå ñâåòà íà ãðàíèöå ðàçäåëà èçîòðîïíûõ ñðåä Êîíòðîëüíûå âîïðîñû............................................................ 94 Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ........................................................ 100 Çàäà÷è ................................................................................. 109 Ò å ì à 6. Ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â àíèçîòðîïíûõ ñðåäàõ. Ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà Êîíòðîëüíûå âîïðîñû............................................................ 117 Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ........................................................ 120 Çàäà÷è ................................................................................. 142 Îòâåòû íà çàäà÷è ................................................................. 162 Ëèòåðàòóðà .......................................................................... 183

Ó÷åáíîå èçäàíèå

Çàäà÷è è âîïðîñû ïî ðàçäåëó «Îïòèêà» êóðñà îáùåé ôèçèêè Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè ñïåöèàëüíîñòåé G 31 04 02 «Ðàäèîôèçèêà» è G 31 04 03 «Ôèçè÷åñêàÿ ýëåêòðîíèêà» Àâòîðû-ñîñòàâèòåëè Ñàå÷íèêîâ Âëàäèìèð Àëåêñååâè÷ Õîìè÷ Ìàðèÿ Èâàíîâíà Òðóõàí Ñåðãåé Âàñèëüåâè÷ Ðåäàêòîð À. Ï. ×åðíÿêîâà Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Ò. Ê. Ðàìàíîâè÷ Êîððåêòîð Ã. Ì. Äîáûø Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Ñ. Í. Åãîðîâîé Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 07.07.2003. Ôîðìàò 60´84/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ãàðíèòóðà Kudriashov. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 10,69. Ó÷.-èçä. ë. 10,32. Òèðàæ 120 ýêç. Çàê. . Áåëîðóññêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Ëèöåíçèÿ Ë ¹ 315 îò 14.07.98. 220050, Ìèíñê, ïðîñïåêò Ôðàíöèñêà Ñêîðèíû, 4. Îòïå÷àòàíî ñ îðèãèíàëà-ìàêåòà çàêàç÷èêà. Ðåñïóáëèêàíñêîå óíèòàðíîå ïðåäïðèÿòèå «Èçäàòåëüñêèé öåíòð Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà». Ëèöåíçèÿ ËÏ ¹ 461 îò 14.08.2001. 220030, Ìèíñê, óë. Êðàñíîàðìåéñêàÿ, 6.