Основы радиоэлектроники: Методическое пособие к лабораторным работам на ЭВМ по курсу. Ч.1

27

М етод и ч еск ое п особ и е к л аб ораторны м раб отам на Э В М п ок у рсу “О сновы рад и оэл ек трони к и ” (ч асть 1) стави т своей цел ью зак реп л ени е знани й п о л ек ци онном у к у рсу “О сновы рад и оэл ек трони к и ”. П ри реш ени и зад ач и сп ол ьзу етсяп ак ет м атем ати ч еск и х вы ч и сл ени й “Mathcad 2000”. И сп ол ьзовани е к ом п ьютера п ри реш ени и зад ач сп особ ству ет б ол ее нагл яд ном у и гл у б ок ом у у своени ю теорети ч еск и х знани й, а так же п озвол яет п ознак ом и тьсяс соврем енны м м атем ати ч еск и м п ак етом . К ажд ы й разд ел м етод и ч еск и х у к азани й вкл юч ает в себ я к ратк и е теорети ч еск и е свед ени я, п ри м еры зад ани й, реш ени е к оторы х вы п ол нено с п ом ощ ью п ак ета “Mathcad 2000”, а так же наб ор зад ач д л я сам остоятел ьного реш ени я.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

28

1. Г А Р М О Н И Ч Е С К И Й С П Е К Т Р А Л Ь Н Ы Й А Н А Л И З П Е РИ О Д И Ч Е С К И Х С И Г Н А Л О В В рад и офи зи к е и рад и отехни к е к ол еб ани яи си гнал ы м огу т б ы ть оп и саны од нознач ноне тол ьк офу нк ци ям и врем ени , нои фу нк ци ям и ч астоты (сп ек трам и ). Частотак ое оп и сани е д ости гаетсяп у тем гарм они ч еск огосп ек трал ьногоанал и за. Си гнал s (t ) явл яется п ери од и ч еск ой фу нк ци ей врем ени , есл и д л я него сп равед л и воравенство (1.1) s(t ) = s(t + kT ), k = 0, ±1, ±2,... , гд е T - п ери од си гнал а. П ри м ер п ери од и ч еск огоси гнал а п ри вед ен на ри с.1.1, гд е вел и ч и на τ оп ред ел яет д л и тел ьность и м п у л ьса п ери од и ч еск ого си гнал а на и нтервал е, равном п ери од у си гнал а.

Ри с.1.1 П ери од и ч еск и е си гнал ы м огу т б ы ть п ред ставл ены ряд ом Ф у рье ∞ a s(t ) = 0 + ∑ [ an cos nω1t + bn sin nω1t ] , 2 n =1 гд е ω 1 = 2 π T - основнаяч астота (п ерваягарм они к а),

(1.2)

2 T /2 2 T /2 a0 1 T / 2 an = = ∫ s(t )cos nω1tdt , bn = ∫ s(t )sin nω1tdt , ∫ s (t )dt . (1.3) T −T / 2 T −T / 2 2 T −T / 2 Э к ви вал ентное (1.2) п ред ставл ени е си гнал а ряд ом Ф у рье п ол у ч и м , ввод я об означ ени яan = A n cos θ n , bn = A n sin θ n , так ч то A n = an2 + bn2 , θ n = arctg( bn an ) .

(1.4)

∞ A s(t ) = 0 + ∑ A n cos( nω1t − θ n ) , 2 n =1

(1.5)

Т огд а

гд е

s n (t ) = A n cos( nω1t − θ n ) (1.6) назы вают n-ой сп ек трал ьной составл яющ ей гарм они ч еск огосп ек тра си гнал а. Совок у п ности {an , bn } и л и {A n , θ n } назы ваютсясп ек трам и п ери од и ч еск и х си гнал ов. П ри нци п и ал ьно, ч то д л я п ери од и ч еск и х си гнал ов сп ек тры явл яются

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

29

д и ск ретны м и (л и нейч аты м и ), т.е. знач ени ясп ек трал ьны х составл яющ и х отл и ч ны от ну л ятол ьк о д л яд и ск ретны х знач ени й ч астот, к ратны х основной ч астоте ω1 . Д л я ряд ов (1.2) и (1.5) сп ек тры м ожно п ред стави ть в ви д е сп ек трал ьны х д и аграм м :

Е сл и s(t ) - ч етнаяфу нк ци я, тод л явсех n: bn = 0 , A n =| an | . Е сл и s(t ) - неч етная фу нк ци я, тод л явсехn: an = 0 , A n =| bn | . Сред няя м ощ ность п ери од и ч еск ого си гнал а соп роти вл ени и 1 О м за п ери од , есть 1 T / 22 Ps = ∫ s (t )dt . T −T / 2

s (t ),

вы д ел яем ая на

(1.7)

В соответстви и с форм у л ой П арсевал ясред няям ощ ность п ери од и ч еск огоси гнал а равна су м м е сред ни хм ощ ностей сп ек трал ьны х составл яющ и хси гнал а: A 02 1 ∞ 2 Ps = + ∑ An . (1.8) 4 2 n =1 О д ной и з важнейш и х харак тери сти к си гнал а s (t ) явл яется ш и ри на его сп ек тра ∆Ω . Ш и ри на сп ек тра ∆Ω - этои нтервал ч астот от ω = 0 д о ω = ∆Ω , за п ред ел ам и к оторогосп ек трал ьны е составл яющ и е сп ек тра си гнал а равны ну л ю. В об щ ем сл у ч ае теорети ч еск аяш и ри на сп ек тра си гнал а ∆Ω равна б еск онеч ности . Н а п рак ти к е ш и ри ну сп ек тра си гнал а ограни ч и вают, так ч то ∆Ω явл яется к онеч ной вел и ч и ной. Часто ∆Ω оп ред ел яют к ак и нтервал ч астот, в п ред ел ах к оторого расп ол ожены сп ек трал ьны е составл яющ и е си гнал а, су м м арнаясред няя м ощ ность к оторы х составл яет η -у ю д ол ю (нап ри м ер, η = 0.9 и л и η = 0.95 и д р.) от п ол ной сред ней м ощ ности си гнал а Ps (1.7). Т ак и м об разом , A02 1 M 2 ηPs = + ∑ An , (1.9) 4 2 n=1 гд е M - ч и сл о сп ек трал ьны х составл яющ и х, расп ол оженны х вп ред ел ах ш и ри ны сп ек тра си гнал а ∆Ω . П о найд енном у и з у равнени я (1.9) знач ени ю M ш и ри на сп ек тра ∆Ω оп ред ел и тсяк ак (1.10) ∆Ω = M ω1 = M 2π / T . Т оч ность п ред ставл ени я п ери од и ч еск ого си гнал а s(t ) ряд ом Ф у рье п ри к онеч ном ч и сл е сл агаем ы х M в су м м е ряд а (1.5) оп ред ел яется вел и ч и ной сред нек вад рати ч еск ой относи тел ьной ош и б к и δ :

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

30

M     (1.11) δ = Ps −  A02 / 4 + ∑ A n2 / 2  Ps .   n =1   К ак сл ед у ет и з п осл ед неговы ражени я, ош и б к а у м еньш аетсяс у вел и ч ени ем ч и сл а у ч и ты ваем ы х ряд ом Ф у рье гарм они ч еск и х составл яющ и х сп ек тра M. П ри M = ∞ ош и б к а δ = 0 .

З А Д А Н И Я Д Л Я В Ы П О Л Н Е Н И Я Л А БО Р А Т О Р Н О Й Р А БО Т Ы И П РИ М Е РЫ И Х ВЫ П О Л Н Е Н И Я В ы п ол ни ть сп ек трал ьны й анал и з п ери од и ч еск ого си гнал а s(t ) , зад анного на п ери од е t ∈[ −T / 2;T / 2] вы ражени ем :

[

]

 s exp − (t / t 0 )2 , − τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2, (1.12) sT (t , t 0 ) =  0 0, −T / 2 ≤ t < − τ / 2, τ / 2 < t ≤ T / 2, гд е t0 - п арам етр, оп ред ел яющ и й д л и тел ьность и м п у л ьса си гнал а s(t ) на п ери од е (ри с.1.1). П ри анал и зе п ри нять: T = 0.06[сек ] , . ⋅ 10 −3 , t 0 2 = 3 ⋅ 10 −3 , t03 = 4.3 ⋅ 10 −3 , τ j = 2 3t 0 j [сек ], j = 1,7, s0 = 2[B ] , t 01 = 15 t 0 4 = 5.8 ⋅ 10 −3 , t 05 = 7.2 ⋅ 10 −3 , t 0 6 = 8.6 ⋅ 10 −3 , t 0 7 = 10 −2 . З А Д А Н И Е 1.1. Д л я зад анного п ери од и ч еск ого си гнал а s (t ) ввести в к ом п ьютер п арам етры си гнал а и вы вести на эк ран таб л и цу знач ени й п арам етров t 0 j и таб л и цу знач ени й д л и тел ьностей и м п у л ьсовси гнал а на п ери од е τ j , j = 1,7 , соответству ющ и хк ажд ом у знач ени ю п арам етра t 0 j . П Р И М Е Р ВЫ П О Л Н Е Н И Я. В вод и м вк ом п ьютер д анны е анал и зи ру ем ого си гнал а. Д л яэтогонаб и раем :

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

31

TOL 10

5

s0

2

T

0.06

j

1 .. 7

t0 j 1.5 . 10

3

3 . 10

3

4.3 . 10

3

5.8 . 10

3

7.2 . 10

3

8.6 . 10

3

10

τj

2 . 3 . t0 j

s( t , j )

s0 . exp

t

2

t0 j

2

В ы вод и м на эк ран таб л и цы : j

t0 j

τj

1 2 3 4 5 6 7

0.0015 0.003 0.0043 0.0058 0.0072 0.0086 0.01

0.0052 0.01039 0.0149 0.02009 0.02494 0.02979 0.03464

(1.13)

З А Д А Н И Е 1.2. В вести в к ом п ьютер анал и ти ч еск ое вы ражени е си гнал а sT(t,j) всоответстви и с форм у л ой (1.12), оп ред ел яющ егозад анны й п ери од и ч еск и й си гнал s (t ) на и нтервал е t ∈[ −T / 2;T / 2] и равного ну л ю вне этого и нтервал а, и сп ол ьзу я встроенну ю фу нк ци ю Х еви сайд а Φ( x ) . П ол у ч и ть на эк ране графи ч еск и е зави си м ости sT(t,j) д л яд вух знач ени й п арам етра t0: м и ни м ал ьного (j=1) и м ак си м ал ьного (j=7). И зм ери ть и зап и сать в тетрад и д л и тел ьности и м п у л ьсов си гнал а на п ери од е τ1 и τ 7 и сравни ть и зм еренны е знач ени я с занесенны м и втаб л и цу (1.13) п у нк та 1.1. П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л явы п ол нени яэтогозад ани яи сп ол ьзу ем фу нк ци ю Х еви сайд а: Φ( x ) = 1, x ≥ 0 и Φ( x ) = 0, x < 0 . Н аб и раем : τj τj . sT ( t , j ) s( t , j ) Φ t Φ t (1.14) 2 2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

32

Д л я к ач ественного п ред ставл ени я фу нк ци и sT(t,1) (т.е. п ри j=1, к огд а д л и тел ьность τ j м и ни м ал ьна) вы б и раем и нтервал д и ск рети заци и ∆ врем енного аргу м ента фу нк ци и sT(t,1) так ой вел и ч и ны , ч тоб ы знач ени я фу нк ци и sT(t,1) на и нтервал е, равном д л и тел ьности и м п у л ьса τ1 , наноси л и сь на графи к е не м енее ч ем в 20 точ к ах. П ри этом ∆ = τ1 / 20 . Сл ед овател ьно, д л я п остроени я зави си м ости sT(t,1) на и нтервал е t ∈[ −T / 2;T / 2] необ ход и м о взять ч и сл о д и ск ретны х отсч етовврем енногоаргу м ента J = ceil(T / ∆ ) + 1 , гд е ceil( x ) - цел ая ч асть x. И сход яи з этого, д л яп остроени яграфи к а sT(t,1) наб и раем : τ1 T T 1 ∆ J ceil k 0 .. J tk ∆. k 20 2 ∆ П ри п остроени и анал оги ч ной зави си м ости sT(t,7) п ри м ак си м ал ьной д л и тел ьности и м п у л ьса τ 7 знач ени я ∆ и J м ожно не и зм енять. Строи м графи ч еск и е зави си м ости : 2 sT t , 1 k 1 sT t , 7 k

0

0.03 0.02

0.01

0 t

0.01

0.02

0.03

k

Д л я и зм ерени я д л и тел ьностей и м п у л ьсов τ1 и τ 7 и сп ол ьзу ем п роцед у ру сч и ты вани як оорд и нат точ ек графи к а, с п ом ощ ью к оторой д л и тел ьность и м п у л ьса оп ред ел яется к ак разность знач ени й к оорд и нат зад него и п еред него фронтов и зм еряем огои м п у л ьса. З ап и сы ваем втетрад и и зм еренны е знач ени яτ 1 и зм и τ 7 и зм и соответству ющ и е знач ени яτ1 и τ 7 и з таб л и цы (1.13) и сравни ваем и х. З А Д А Н И Е 1.3. П ред стави ть на эк ране д и сп л ея сп ек трал ьны е д и аграм м ы си гнал а s(t ) д л ям и ни м ал ьной τ1 (j=1) и м ак си м ал ьной τ 7 (j=7) д л и тел ьностей си гнал а. И з сравнени я сп ек трал ьны х д и аграм м сд ел ать к ач ественны й вы вод о соотнош ени и м ежд у д л и тел ьностью и м п у л ьса τ и ш и ри ной его сп ек тра ∆Ω . П о сп ек трал ьны м д и аграм м ам и зм ери ть п ери од T си гнал а s (t ). П Р И М Е Р ВЫ П О Л Н Е Н И Я. П ред ставл яем сп ек трал ьны е д и аграм м ы п ери од и ч еск ого си гнал а s(t ) п ри м и ни м ал ьной ( j = 1,τ 1 = 5.2 ⋅ 10 −3 [с ек] ) и м ак си м ал ьной ( j = 7,τ 7 = 0.035[с ек] ) д л и тел ьностях и м п у л ьсов. П ри п остроени и ограни ч и м сяч и сл ом п ред ставл яем ы х на д и аграм м ах сп ек трал ьны х составл яющ и х N=24. Т ак к ак и нтервал на оси ч астот м ежд у к оорд и натам и сосед ни х

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

33

сп ек трал ьны х составл яющ и х од и нак ов и равен вел и ч и не ω 1 = 2 π T , то об щ и й и нтервал на оси ч астот, зани м аем ы й сп ек трал ьной д и аграм м ой, б у д ет равен N ω 1 = N 2 π T . Частота ω n n-ой сп ек трал ьной составл яющ ей ( 0 ≤ n ≤ N ) равна: ω n = nω 1 = n2 π / T . И сход я и з этого, д л я п остроени я сп ек трал ьны х д и аграм м си гнал а s(t ) наб и раем :

N

an , j

24 2.

n

0 .. N

n1

ω1

0 .. N

T 2

2. π T

ωn

n . ω1

sT( t , j ) . cos n . ω1. t dt

T

T 2

(1.15) Т ак к ак врассм атри ваем ом п ри м ере sT(t,j) явл яетсяч етной фу нк ци ей врем ени , то все bn, j = 0 . П оэтом у всоответстви и с (1.4) наб и раем : An ,j

an ,j

bn , j

0

θn , j

0

(1.16) Строи м сп ек трал ьны е д и аграм м ы п ри м и ни м ал ьной (j=1) и м ак си м ал ьной (j=7) д л и тел ьностях и м п у л ьсов: 0.2

1.5

0.15

1

. δ ( n , n1 ) A 0.1 n ,1

A

0.5

0.05 0

n ,7

. δ ( n , n1 )

0

1000 20003000 ω

0

0

n

1000 20003000 ω

n

И з сравнени яп остроенны х д и аграм м сд ел ать к ач ественны й вы вод осоотнош ени и м ежд у д л и тел ьностью и м п у л ьса си гнал а s(t ) на п ери од е T и п ротяженностью его сп ек тра. З А Д А Н И Е 1.4. З ап и сать втетрад и вы ражени яд л ям гновенны х знач ени й 2ой и 5-ой сп ек трал ьны х составл яющ и х сп ек тра п ери од и ч еск ого си гнал а s (t ) в соответстви и с вы ражени ем (1.6) п ри t 0 = t 0 2 . П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л я зап и си анал и ти ч еск ого вы ражени я n-ой гарм они ч еск ой составл яющ ей сп ек тра sn (t , j ) необ ход и м о оп ред ел и ть и п од стави ть в вы ражени е (1.6) вел и ч и ны : ам п л и ту д ы A n, j , ч астоты nω1 и нач ал ьны е фазы θ n . В соответстви и с (1.16) все θ n = 0 . Д ал ее, всоответстви и с п у нк том 1.4, вы вод и м на эк ран п ри j = 2 (t 0 j = t 0 2 ) вы ч и сл енны е знач ени я

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

34

ам п л и ту д A2,2 и A5,2 и знач ени яч астот сп ек трал ьны х составл яющ и х ω 2 = 2ω1 и ω 5 = 5ω 1 : (1.17) A 2 , 2 = 0.31944 A 5 , 2 = 0.19622 ω2 = 209.43951 ω5 = 523.59878 С у ч етом (1.17) анал и ти ч еск и е вы ражени я д л я 2-ой и 5-ой гарм они ч еск и х составл яющ и х сп ек тра зап и сы ваем вви д е: s2 (t ,2 ) = 0.319 ⋅ cos( 209.44t ), s5 (t ,2 ) = 0.196 ⋅ cos(523.599t ). З А Д А Н И Е 1.5. И сп ол ьзу я вы ражени е (1.9) п ри η = 0.95 , и зм ери ть и зап и сать в тетрад и в таб л и цу (Т аб л .1.1) знач ени я ш и ри ны сп ек тра си гнал а ∆Ω j , j = 1,7 . В ы ч и сл и ть и зап и сать в эту таб л и цу знач ени я ∆F j = ∆Ω j / 2π и знач ени яб азы си гнал а B j = ∆F j τ j : j ∆Ω j

1

2

3

Т аб л .1.1 4

5

6

7

∆F j Bj П острои ть втетрад и зави си м ости : - ∆Ω = f ( τ ) - ш и ри ны сп ек тра ∆Ω си гнал а s(t ) от вел и ч и ны д л и тел ьности и м п у л ьса τ ; - B = f ( τ ) - б азы B си гнал а s(t ) от вел и ч и ны д л и тел ьности и м п у л ьса τ . О б ъясни ть п ол у ч енны е зави си м ости . П Р И М Е Р ВЫ П О Л Н Е Н И Я. Д л яи зм ерени яш и ри ны сп ек тра ∆Ω j , j = 1,7 си гнал а s (t ) всоответстви и с оп ред ел ени ем (1.9) необ ход и м о оп ред ел и ть так ое знач ени е M M j = M верхнегоп ред ел а су м м ы в(1.9), п ри к отором су м м а сред ни х м ощ ностей п ервы х M M j сп ек трал ьны х составл яющ и х в п равой ч асти (1.9) состави т вел и ч и ну η = 0.95 от п ол ной сред ней м ощ ности Ps j (1.7) си гнал а sT(t,j). П ри этом ш и ри на сп ек тра оп ред ел и тся вы ражени ем (1.10): ∆Ω j = M M j ω1 . З нач ени е M M j , у д овл етворяющ ее (1.9), оп ред ел и м с п ом ощ ью графи ч еск ой зави си м ости η = f ( M ) . Н аб и раем :

M

1 .. 24 Ps j

1. T

T 2

2

sT( t , j ) dt T 2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

35

A0 ,j

M

2

1. 2

2

Am,j

2

m=1

ηM , j

Psj

Строи м графи ч еск у ю зави си м ость η M ,1 = f ( M ) ( j = 1) : 1

η

M , 1 0.5

0

0

5

10

15

20

25

M

И сп ол ьзу я п роцед у ру сч и ты вани я к оорд и нат точ ек графи к а, оп ред ел яем так ое знач ени е к оорд и наты η M ,1 оси Y в д и ал оговом ок не п роцед у ры , к оторое наи б ол ее б л и зк ок знач ени ю η M ,1 = 0.95 . П ри этом вок не оси X б у д ет вы вед ено и ск ом ое знач ени е M = M M 1 , с п ом ощ ью к оторого и з вы ражени я (1.10) оп ред ел яем ш и ри ну сп ек тра си гнал а ∆Ω1 . Н айд енное знач ени е ∆Ω1 заноси м в Т аб л .1.1. П осл ед овател ьно п овторяя п ри вед енны й ал гори тм д л я остал ьны х знач ени й j, зап ол няем п ерву ю строк у таб л и цы . П о найд енны м знач ени ям ∆Ω j вы ч и сл яем знач ени я ∆F j и B j , j = 1,7 и заноси м и х вТ аб л .1.1. И сп ол ьзу яд анны е таб л и цы и (1.13), строи м треб у ем ы е зави си м ости ∆Ω = f ( τ ) и B = f ( τ ) . З А Д А Н И Е 1.6. П острои ть на эк ране д ва графи к а, оп ред ел енны е п о оси аб ци сс на и нтервал е, равном д ву м п ери од ам (2T) си гнал а s (t ), т.е. п ри −T / 2 ≤ t ≤ 3T / 2 . Н а п ервом графи к е вы вести д ве зави си м ости : зави си м ость и ссл ед у ем ого си гнал а s(t ) от врем ени п ри t 0 = t 0 2 и ап п рок си м аци ю этого си гнал а ряд ом Ф у рье (1.5) п ри δ = 0.5 . Н а втором графи к е п ред стави ть ту же зави си м ость s(t ) и ее ап п рок си м аци ю ряд ом Ф у рье (1.5) п ри δ = 0.003 . Сравни ть об а графи к а и об ъясни ть п ри ч и ну разл и ч и явточ ности ап п рок си м аци и си гнал а s (t ) ряд ом Ф у рье п ри δ = 0.5 и δ = 0.003 . П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л яп остроени яграфи ч еск ой зави си м ости s(t ) от врем ени на и нтервал е −T / 2 ≤ t ≤ 3T / 2 наб и раем : T T K 400 ∆ 2. k 0 .. K tk k.∆ 2 K s2T k sT t k , 2 sT t k T , 2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

36

О б означ и м зави си м ости , ап п рок си м и ру ющ и е си гнал s (t ) у сеч енны м ряд ом Ф у рье, к ак SF05(t,2) п ри δ1 = 0.5 и к ак SF0003(t,2) п ри δ 2 = 0.003 . Ф у нк ци и SF05(t,2) и SF0003(t,2) отл и ч аютсяч и сл ом у ч и ты ваем ы х всу м м е вы ражени я(1.11) сп ек трал ьны х составл яющ и х. Д л я оп ред ел ени я вел и ч и н M=M1 и M=M2, п ри к оторы х п раваяч асть (1.11) равна треб у ем ы м знач ени ям δ ( δ1 = 0.5 и δ 2 = 0.003 соответственно), п острои м графи ч еск у ю зави си м ость δ = f ( M ) . Н аб и раем : A0 ,2

Ps 2

M

2

1. 2

2

Am ,2

2

m=1

δM , 2

Ps2

В ы вод и м графи к этой фу нк ци и : 1 0.1 δ

M , 2 0.01 0.001 0

0

5

10

15

20

25

M

С п ом ощ ью п роцед у ры сч и ты вани як оорд и нат точ ек графи к а наход и м знач ени е M=M1, п ри к отором вел и ч и на δ M ,2 наи б ол ее б л и зк а к знач ени ю δ = 0.5 , и знач ени е M=M2, п ри к отором вел и ч и на δ M ,2 наи б ол ее б л и зк а к знач ени ю

δ = 0.003 . И сп ол ьзу я и зм еренны е знач ени я M1 ап п рок си м и ру ющ и е зави си м ости SF05(t,2) и SF0003(t,2):

M1

2

M2

9

SF05 k

A0 ,2

и

SF0003 k

A m , 2 . cos m . ω 1 . t k

2

M2 A m , 2 . cos m . ω 1 . t k

2

наб и раем

M1

m=1 A0 ,2

M2,

m=1

Д ал ее строи м графи к и эти хзави си м остей:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

37

2 s2T k SF05

2 s2T k

1

SF0003 k 0

k 0

1

1

0.05 0

0.05 t

0.1

1

0.05 0

0.05 0.1 t

k

k

И з сравни тел ьного анал и за графи к ов сд ел ать вы вод ы о вел и ч и не и п ри ч и не несовп ад ени й зави си м остей на к ажд ом и з ри су нк ов. От ч ет о в ы п олненной лаборат орной работ е долж ен с ос т оя т ь из дв ух ч ас т ей: элект ронной и от ч ет а в т ет ради. Элект ронны й от ч ет долж ен с одерж ат ь ч ис лов ой, т аблич ны й и граф ич ес кий мат ериалы п о каж дому п ункт у задания . От ч ет в т ет ради долж ен с одерж ат ь : 1. Ис ходны е и измеренны е п о граф ику в елич ины длит ель нос т ей имп уль с ов τ на п ериоде с игнала s(t ) для минималь ного и макс ималь ного знач ений п арамет ра t0(п .1.2). 2. Измеренны е в елич ины п ериода с ледов ания имп уль с ов с игнала s (t ) п ри минималь ном и макс ималь ном знач ения х п арамет ра t0 (п .1.3). 3. А налит ич ес кие в ы раж ения для 2-ой и 5-ой гармонич ес ких с ос т ав ля ющ их с п ект ра ис с ледуемого с игнала s (t ) (п .1.4). 4. Таблицу 1.1 измеренны х знач ений ∆Ω j и в ы ч ис ленны х знач ений ∆F j и

B j , j = 1,7 , а т акж е зав ис имос т и ∆Ω = f ( τ ) и B = f ( τ ) (п .1.5).

ЗАД АЧ И

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

38

В ы п ол ни ть зад ани я, сформ у л и рованны е в п ри м ере, д л я сл ед у ющ и х ти п ов си гнал ов: 4 1. s(t ) = s0 exp  −(t t 0) ,T = 0.08, τ j = 5t 0 j , t 01 = 6.5 ⋅ 10 −3 , t 0 2 = 7 ⋅ 10 −3 ,  

t 03 = 8.5 ⋅ 10 −3 , t 0 4 = 9 ⋅ 10 −3 , t 05 = 9.6 ⋅ 10 −3 , t 0 6 = 10 −3 , t 0 7 = 2.2 ⋅ 10 −2 .

2. s(t ) = s0 exp[ −| t | t 0] , T = 0.22, τ j = 6t 0 j , t 01 = 6 ⋅ 10 −3 , t 0 2 = 8.7 ⋅ 10 −3 ,

t 03 = 0.011, t 0 4 = 0.014, t 05 = 0.017, t 06 = 0.019, t 07 = 0.022. s0 3. s(t ) = , T = 0.044, τ j = 6t 0 j , t 01 = 6 ⋅ 10 −4 , t 0 2 = 10 −3 , 1 + ch(t / t 0 ) t 03 = 1.4 ⋅ 10 −3 , t 0 4 = 18 . ⋅ 10 −3 , t 05 = 2.2 ⋅ 10 −3 , t 0 6 = 2.6 ⋅ 10 −3 , t 0 7 = 3 ⋅ 10 −2 . s0 4. s(t ) = , T = 0.24, τ j = 10t 0 j , t 01 = 4 ⋅ 10 −3 , t 0 2 = 6.3 ⋅ 10 −3 , 1 + (t / t 0 )2 t 03 = 8.7 ⋅ 10 −3 , t 0 4 = 0.011, t 05 = 0.013, t 0 6 = 0.016, t 0 7 = 0.018.   2 πt   5. s(t ) = s0 1 + cos  , T = 0.044, τ j = 0.04t 0 j , t 01 = 0.1, t 0 2 = 0.167,   T t 0 

t 03 = 0.233, t 04 = 0.3, t 05 = 0.367, t 06 = 0.433, t 07 = 0.5.

6. s(t ) =

s0 ,T = 0.052, τ j = 10t 0 j , t 01 = 13 . ⋅ 10 −3 , t 0 2 = 2.58 ⋅ 10 −3 , 1 + exp(t / t 0 )2

t 03 = 3.87 ⋅ 10 −3 , t 0 4 = 515 . ⋅ 10 −3 , t 05 = 6.43 ⋅ 10 −3 , t 06 = 7.72 ⋅ 10 −3 , t 0 7 = 9 ⋅ 10 −3 . s0 7. s(t ) = ,T = 0.038, τ j = 15t 0 j , t 01 = 13 . ⋅ 10 −3 , t 0 2 = 2.08 ⋅ 10 −3 , 1 + (t / t 0 )2 t 03 = 2.87 ⋅10 −3 , t 0 4 = 3.65 ⋅10 −3 , t 05 = 4.43 ⋅ 10 −3 , t 06 = 5.22 ⋅10 −3 , t 07 = 6 ⋅ 10 −3 . 2

  2 πt   8. s(t ) = s0 1 + cos  , T = 0.04, τ j = 0.04t 0 j , t 01 = 0.15, t 0 2 = 0.225,  T t 0   

t 03 = 0.3, t 0 4 = 0.375, t 05 = 0.45, t 06 = 0.525, t 07 = 0.6.

  t  9. s(t ) = s0 1 − tanh    ,T = 0.048, τ j = 6t 0 j , t 01 = 3 ⋅ 10 −3 , t 0 2 = 4 ⋅ 10 −3 ,  t 0   t 03 = 5 ⋅ 10 −3 , t 0 4 = 6 ⋅ 10 −3 , t 05 = 7 ⋅ 10 −3 , t 0 6 = 8 ⋅ 10 −3 , t 07 = 9 ⋅ 10 −3 . s0 10. s(t ) = , T = 0.04, τ j = 6t 0 j , t 01 = 10 −3 , t 0 2 = 15 . ⋅ 10 −3 , 1 + sinh(t / t 0 ) t 03 = 2 ⋅ 10 −3 , t 0 4 = 2.5 ⋅ 10 −3 , t 05 = 3 ⋅ 10 −3 , t 06 = 35 . ⋅ 10 −3 , t 07 = 4 ⋅ 10 −3 . s0 11. s(t ) = ,T = 0.038, τ j = 6t 0 j , t 01 = 8 ⋅ 10 −4 , t 0 2 = 117 . ⋅ 10 −3 , 2 [1 + ch(t / t 0 )]

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

39

t 03 = 153 . ⋅ 10 −3 , t 0 4 = 19 . ⋅ 10 −3 , t 05 = 2.27 ⋅ 10 −3 , t 06 = 2.63 ⋅ 10 −3 , t 07 = 3 ⋅ 10 −3 . s0 , T = 0.2, τ j = 6t 0 j , t 01 = 0.004, t 0 2 = 0.0073, 12. s(t ) = 2 1 + [sh(t / t 0 )]

t 03 = 0.011, t 0 4 = 0.014, t 05 = 0.017, t 06 = 0.021, t 07 = 0.024. 2. Г А РМ О Н И Ч Е С К И Й А Н А Л И З Н Е П Е РИ О Д И Ч Е С К И Х С И Г Н А Л О В .

Н еп ери од и ч еск и е си гнал ы вч астотной об л асти оп и сы ваютсясп ек трал ьной п л отностью оп ред ел яетсяк ак п рям ое п реоб разовани е Ф у рье си гнал а

S ( ω ) , к оторая

s(t ) : ∞

.

S (ω ) = F [s(t )] = ∫ s (t )exp( − jωt )dt .

(2.1)

−∞

И сход ны й си гнал s(t ) оп ред ел яетсяч ерез егосп ек трал ьну ю п л отность об ратны м п реоб разовани ем Ф у рье .

s(t ) = F −1[S ( ω )] =

1 ∞. ∫ S (ω )exp( jωt )dω. 2π −∞

.

В об щ ем сл у ч ае сп ек трал ьнаяп л отность S (ω ) явл яетсяк ом п л ек сной фу нк ци ей ч астоты сп ек трал ьной п л отности

(2.2)

ω. М

од у л ь

.

S (ω ) =| S (ω )|

(2.3)

оп и сы вает относи тел ьное расп ред ел ени е ам п л и ту д гарм они ч еск и х составл яющ и х сп ек тра си гнал а s(t ) п о ч астоте и назы вается ам п л и ту д но-ч астотны м сп ек тром (А ЧС) си гнал а, а аргу м ент .

.

Θ( ω ) = arg S (ω ) = arctg

Im[S (ω )] .

(2.4)

R e[S (ω )] оп и сы вает расп ред ел ени е нач ал ьны х фаз гарм они ч еск и х составл яющ и х сп ек тра си гнал а п о ч астоте и назы вается фазоч астотны м сп ек тром (Ф ЧС) си гнал а. В соответстви и с (2.3) и (2.4) А ЧС явл яется ч етной фу нк ци ей ч астоты , а Ф ЧС неч етной фу нк ци ей ч астоты . И з (2.1) сл ед у ет, ч тоесл и s (t ) - ч етнаяфу нк ци яврем ени ( s (t ) = s ( −t ) ), тосп ек трал ьну ю п л отность так ого си гнал а м ожнооп ред ел и ть вы ражени ем

.

∞

S (ω ) = S (ω ) = 2 ∫ s (t )cos(ωt )dt , 0

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

(2.5)

40

так ч то в этом сл у ч ае сп ек трал ьная п л отность S (ω ) явл яется д ействи тел ьной фу нк ци ей ч астоты . Ф ЧС ч етного си гнал а s(t ) , всоответстви и с (2.4), и м еет на всехч астотахну л евое знач ени е .

arg S (ω ) = 0,

(2.6)

т.е. нач ал ьны е фазы всех гарм они ч еск и х составл яющ и х сп ек тра си гнал а вэтом сл у ч ае равны ну л ю. Э нерги яси гнал а E s оп ред ел яетсяк ак и нтеграл от сред ней м ощ ности си гнал а, так ч тона соп роти вл ени и 1 О м вы д ел яетсяэнерги я, равная

∞

E s = ∫ s 2 (t )dt .

(2.7)

−∞

В соответстви и с теорем ой П арсевал я энерги я м ожет б ы ть оп ред ел ена ч ерез .

сп ек трал ьну ю п л отность S (ω ) си гнал а s (t ) вы ражени ем

Es =

1 ∞ . | S (ω )| 2 dω. ∫ 2 π −∞

(2.8)

Частоанал и ти ч еск и е м од ел и си гнал овs (t ) и м еют б еск онеч ну ю п ротяженность п ооси врем ени , а сп ек трал ьны е

.

S ( ω ) - б еск онеч ну ю п ротяженность п ооси ч астот. В теори и и на п рак ти к е д л и тел ьность си гнал а ∆T и ш и ри ну егосп ек тра ∆Ω ограни ч и вают к онеч ны м и знач ени ям и , к оторы е м огу т б ы ть оп ред ел ены разл и ч ны м и сп особ ам и . О д ни м и з ш и рок ои сп ол ьзу ем ы х к ри тери евоп ред ел ени я ∆T и ∆Ω явл яетсясл ед у ющ и й. В к ач естве п арам етров∆T и ∆Ω си гнал а s (t ) п ри ни м аютсятак и е знач ени яд л и тел ьности и ш и ри ны сп ек тра си гнал а, в п ред ел ах к оторы х зак л юч ена зад аннаяд ол я η (нап ри м ер, η = 0.95 ) п ол ной энерги и си гнал а. И сход яи з этого оп ред ел ени я, д л и тел ьность си гнал а ∆T наход и тсяи з у равнени я(д л я s (t ) - ч етной фу нк ци и врем ени ): п л отности

ηE s =

∆T / 2 s 2 (t )dt ,

∫

(2.9)

− ∆T / 2

а ш и ри на сп ек тра ∆Ω си гнал а - и з у равнени я

ηE s =

1 ∆Ω / 2 . | S (ω )| 2 dω. ∫ 2 π − ∆Ω / 2

(2.10)

П ри п реоб разовани ях си гнал ови зм еняютсяи х сп ек трал ьны е п л отности . В ряд е важны х л и нейны х п реоб разовани й си гнал овсп ек тры п реоб разованны х си гнал овд остаточ ноп ростосвязаны сосп ек трам и и сход ны х си гнал ов. Н ап ри м ер, а) п ри зап азд ы вани и (зад ержк е) си гнал а на врем я τz

.

F [s (t − τz )] = S (ω )exp( − jωτz ).

(2.11)

И з (2.11) сл ед у ет, ч то А ЧС зад ержанного си гнал а s(t − τz ) совп ад ает с А ЧС и сход ного си гнал а, а Ф ЧС зап азд ы вающ его си гнал а оп ред ел яется ч ерез Ф ЧС и сход ногоси гнал а вы ражени ем

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

41

arg F [s (t − τz )] = arg F [s (t )] − ωτz.

(2.12)

в) сп ек трал ьнаяп л отность п род и фференци рованногоси гнал а оп ред ел яетсяч ерез сп ек трал ьну ю п л отность си гнал а

s (t ) вы ражени ем .  ds(t )  S диф (ω ) = F  = jω S (ω ).  dt  .

(2.13)

И з (2.13) сл ед у ет, ч тоза сч ет вл и яни ям ножи тел яω вп равой ч асти (2.13) вА ЧС п род и фференци рованногоси гнал а п од авл яютсяни зк оч астотны е составл яющ и е (в об л асти ну л евой ч астоты ) сп ек тра и сход ногоси гнал а s(t ) . Ф ЧСп род и фференци рованногоси гнал а оп ред ел яетсявсоответстви и с (2.13) вы ражени ем

 π / 2,ω > 0, Θ диф (ω ) = arg S (ω ) +  − π / 2,ω < 0. .

(2.14)

.

В (2.11), (2.13) и (2.14) S (ω ) - сп ек трал ьнаяп л отность си гнал а s(t ) .

З А Д А Н И Я Д Л Я В Ы П О Л Н Е Н И Я Л А БО РА Т О РН О Й Р А БО Т Ы И П РИ М Е РЫ И Х В Ы П О Л Н Е Н И Я В ы п ол ни ть сп ек трал ьны й анал и з неп ери од и ч еск огоси гнал а

s (t ) , зад анноговы ражени ем

s(t ) = s0 / [1 + ch(t / t 0 )], s0 = 2.1, −∞ < t < ∞.

(2.15)

П арам етр t0 п ри ни м ает знач ени я: t01 = 6 ⋅ 10 −4 ; t0 2 = 10 −3 ; t03 = 1.4 ⋅ 10 −3 ; t0 4 = 1.9 ⋅ 10 −3 ; t05 = 2.4 ⋅ 10 −3 ; t0 6 = 2.9 ⋅ 10 −3 ; t0 7 = 3.4 ⋅ 10 −3 . З А Д А Н И Е 2.1. Д л язад анногоси гнал а

s (t ) ввести

вк ом п ьютер п арам етр си гнал а

s0

и таб л и цу знач ени й

j = 1,7 , оп ред ел яющ и х п ротяженность си гнал а п ооси врем ени . В вести анал и ти ч еск ое вы ражени е си гнал а s (t , j ) всоответстви и с (2.15). В ы ч и сл и ть знач ени яэнерги й Es j си гнал а s (t , j ) п ри зад анны х знач ени ях t 0 j , j = 1,7 . п арам етровt 0 j ,

П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. В вод и м вк ом п ьютер и сход ны е д анны е зад ач и

TOL 10

5

i

1

s0

2.1

j

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

1 .. 7

42

t0 j 6 . 10 10

4

3

1.4 . 10

3

1.9 . 10

3

2.4 . 10

3

2.9 . 10

3

3.4 . 10

3

s0

s( t , j ) 1

cosh

t t0 j

s (t , j ) и м еет п ооси врем ени б еск онеч ну ю п ротяженность, осу щ естви ть и нтегри ровани е в(2.7) в < t < ∞ ) ч и сл енны м и м етод ам и невозм ожно. П оэтом у п ри вы ч и сл ени и энерги й Es j , j = 1,7 необ ход и м озам ени ть б еск онеч ну ю об л асть оп ред ел ени яси гнал а s(t , j ) воврем ени к онеч ной

Т ак к ак си гнал

б еск онеч ны х п ред ел ах ( −∞

[−T j ;T j ] , так и м и , ч тоб ы

об л астью, ограни ч енну ю знач ени ям и

t ∈[−T j ;T j ] знач ени яэнерги й Es j , j = 1,7

вы ч и сл енны е на к онеч ном и нтервал е

у д овл етворял и нек отором у к ол и ч ественном у к ри тери ю

п ри б л и жени я. И з б ол ьш огоч и сл а возм ожны х к ол и ч ественны х к ри тери еввосп ол ьзу ем сясл ед у ющ и м . У ч и ты вая,

s (t , j ) явл яетсяч етной и м онотонноу б ы вающ ей фу нк ци ей врем ени п ри t ≥ 0 , найд ем так ое знач ени е врем ени t = T j , п ри к отором д ол яэнерги и си гнал а на и нтервал е [t / 2; t ] составл яет м ал у ю ч асть ε энерги и си гнал а, вы ч и сл енну ю на и нтервал е [0; t ] (см . ри су нок ).

ч тоси гнал

Э тознач ени е

t =Tj

оп ред ел и тсяи з реш ени яу равнени я

t

2 ∫ s 2 (t , j )dt

t

2 ∫ s 2 (t , j )dt = ε.

t /2

0

В к ач естве вел и ч и ны ε у д об но взять знач ени е TOL - вел и ч и ну , зад ающ у ю относи тел ьну ю точ ность вы ч и сл ени я и нтеграл ов в п ак ете Mathcad. П ол агая ε = T OL , д л явы ч и сл ени яT j , j = 1,7 наб и раем : t2 E1 ( t1 , t2 , j )

2.

2

s( t , j ) dt

t

t0 1

t1 E1 Tj

root

t 2

Tj

,t,j

E1 ( 0 , t , j )

TOL , t

Es j

2

2.

s( t , j ) dt 0

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

43

Tj

Es j

0.00767 0.01269 0.01804 0.02462 0.03895 0.05662 0.07762

0.00176 0.00294 0.00412 0.00559 0.00706 0.00853 0.01

З А Д А Н И Е 2.1. П ред стави ть на графи к е анал и ти ч еск и е зави си м ости си гнал а s (t , м и ни м ал ьной (j=1) и м ак си м ал ьной (j=7) п ротяженностях си гнал а воврем ени .

j ) к ак

фу нк ци ю врем ени п ри

s(t ,1) и s(t ,7 ) наб и раем : ks 0 .. K K . t ks ks ∆ts 2

П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л яп остроени язави си м остей

t ∆ts

t0 7

K

2 . root ( s( t , 7 )

30 0.05 , t )

K 1.5 s t s t

ks ks

,1 ,7

1

0.5

0

0.015 0.01

0.005

0 t

У б ежд аем ся, ч то м еньш и м

знач ени ям

0.005

0.01 0.015

ks

t 0 j , j = 1,7

соответству ет м еньш ая

п ротяженность си гнал а п ооси врем ени . s (t , j ) вформ е (2.5), S (ω, j ) си гнал а s(t , j ) п ри

З А Д А Н И Е 2.3. И сп ол ьзу яп рям ое п реоб разовани е Ф у рье д л яч етны х фу нк ци й си гнал а

вы ч и сл и ть и п ред стави ть на графи к е ам п л и ту д но-ч астотны е сп ек тры (А ЧС) м и ни м ал ьной (j=1) и м ак си м ал ьной (j=7) д л и тел ьностях си гнал а. Сд ел ать к ач ественны й вы вод осоотнош ени и м ежд у п ротяженностью си гнал а воврем ени и п ротяженностью егосп ек тра вч астотной об л асти . П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. В ы ч и сл яем и п ред ставл яем на графи к е А ЧСси гнал а и м ак си м ал ьной (j=7) п ротяженностях си гнал а. Д л яэтогонаб и раем :

s (t , j ) п ри

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

м и ни м ал ьной (j=1)

44

Tj SF ( ω , j )

s( t , j ) . cos ( ω . t ) dt

2. 0

Ω1

SF ( ω , 1 )

2 . root

0.1 , ω

SF ( 0 , 1 )

Ω1

∆ω

SF ω n , 1

SFG1 n

2

ω

0 .. N

n

T1 ωn

N

n

N . ∆ω 2

SF ω n , 7

SFG7 n

Строи м соответствующ и е графи ч еск и е зави си м ости , т.е. норм и рованны е на м ак си м у м А ЧСп ри j=1 и j=7:

1 0.8 SFG1

n

max ( SFG1 ) 0.6 SFG7

0.4

n

max ( SFG7 ) 0.2 0

3000 2000

1000

0

1000

2000

3000

ω n И з сравнени яп ол у ч енны х графи ч еск и х п ред ставл ени й си гнал а воврем енной и ч астотны х об л астях у б ежд аем ся, ч тоси гнал м еньш ей п ротяженности п ооси врем ени и м еет б ол ее п ротяженны й сп ек тр п ооси ч астот и наоб орот.

η = 0.95 , и зм ери ть и

З А Д А Н И Е 2.4. И сп ол ьзу явы ражени е (2.9) п ри знач ени й д л и тел ьностей си гнал а j

∆T j

1

зап и сать втетрад и таб л и цу (Т аб л . 2.1)

∆T j , j = 1,7 : 2

3

4

П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л яи зм ерени яд л и тел ьностей

5

∆T j

Т аб л . 2.1 7

6

си гнал ов s (t ,

j ) , j = 1,7

с и сп ол ьзовани ем

оп ред ел ени я(2.9) наб и раем :

KE

50

ke

∆t j

1 .. KE

Tj

t ke , j

5 . KE

t ke , j 2

2. ηke , j

s( x , j ) dx 0 Es j

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ke . ∆t j

45

В п осл ед нем вы ражени и у ч тено, ч то s ( x , j ) явл яетсяч етной фу нк ци ей врем ени . В ы вод и м графи к 1

η

ke , 1 0.5

0

0

0.001

0.001 t

0.002

ke , 1

Сп ом ощ ью п роцед у ры сч и ты вани як оорд и нат точ ек графи к а наход и м точ к у на графи к е, к оорд и ната к оторой п о оси орд и нат вд и ал оговом ок не п роцед у ры наи б ол ее б л и зк а к знач ени ю η = 0.95 . П ри этом знач ени е к оорд и наты п ооси аб ци сс оп ред ел и т вел и ч и ну , равну ю п ол ови не д л и тел ьности си гнал а, т.е.

∆T1 / 2 . У

д вои вэто

∆T1 си гнал а s(t ,1) , к отору ю зап и сы ваем втаб л и цу 2.1. знач ени е j=1 вни жни х и нд ек сах фу нк ци и η ke,1 и аргу м ента t ke,1 на графи к е на знач ени е j=2

знач ени е, п ол у ч и м вел и ч и ну д л и тел ьности Д ал ее и зм еняем

и анал оги ч ноп ред ы д у щ ем у сл у ч аю (j=1) и зм еряем и вы ч и сл яем д л и тел ьность оп и санны й ал гори тм д л явсех знач ени й си гнал а

j = 1,7 , зап ол няем таб л и цу

s (t , j ) , j = 1,7 .

З А Д А Н И Е 2.5. И сп ол ьзу явы ражени е (2.10) п ри знач ени яш и ри ны сп ек тра

∆F j = ∆Ω j / 2π

∆Ω j

си гнал овs (t ,

си гнал а

(Т аб л . 2.1) знач ени ям и

η = 0.95 , вы ч и сл и ть и си гнал ов s (t ,

s(t ,2 ) . П овтори в ∆T j

д л и тел ьностей

зап и сать втаб л и цу (Т аб л . 2.2) втетрад и

j ) , j = 1,7 . В ы ч и сл и ть и

B j = ∆F j ∆T j

и знач ени яб азы

∆T 2

зап и сать вэту таб л и цу знач ени я

j ) , j = 1,7 . Т аб л .2.2

j

1

2

3

4

5

6

7

∆Ω j ∆F j Bj И сп ол ьзу яд анны е Т аб л .2.2, п острои ть втетрад и сл ед у ющ и е зави си м ости : -

∆Ω = f ( ∆T ) - зави си м ость ш и ри ны сп ек тра си гнал а ∆Ω от вел и ч и ны д л и тел ьности B = f ( ∆T ) - зави си м ость б азы си гнал а B от вел и ч и ны д л и тел ьности си гнал а ∆T .

s(t , j ) , j = 1,7 j реш и ть относи тел ьно ∆Ω j у равнени е

П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л явы ч и сл ени яш и ри ны сп ек тра с вы ражени ем (2.10) необ ход и м оп ри к ажд ом знач ени и

1 π

∆Ω j

си гнал а

∆Ω j / 2 .

∫

си гнал а

| S (ω, j )| 2 dω / Es j − 0.95 = 0.

0

Д л яэтогонаб и раем

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

∆T

;

всоответстви и

46

ω

1.

Ef ( ω , j )

π

∆Ωj

2

( SF ( ω , j ) ) dω 0 Ef ( ω , j )

2 . root

∆Ωj

Es j

1

ω ∆F j

0.95 , ω

T1

∆Ωj 2. π

∆F j

2.97451 . 10

3

1.78468 . 10

3 3

1.27479 . 10 939.31989 743.63002 615.4051 524.94341

473.40784 284.04047 202.88845 149.4974 118.35239 97.94476 83.54734

Д ал ее заноси м и зм еренны е знач ени я ∆Ω j ,

∆F j

и

B j = ∆F j ∆T j

вТ аб л . 2.2 и строи м втетрад и

∆Ω = f ( ∆T ) , B = f ( ∆T ) . О б ъясни ть п ол у ч енны е резу л ьтаты . З А Д А Н И Е 2.6. В ы п ол ни ть сп ек трал ьны й анал и з си гнал а sτz (t ) , зап азд ы вающ его(зад ержанного) относи тел ьно и сход ногоси гнал а s (t , 4 ) ( j = 4 ) на врем я τz = T 4 / 2 . П ред стави ть на од ном графи к е зави си м ости

зави си м ости

и сход ногоси гнал а

s(t , 4 ) и

зап азд ы вающ егоси гнал а

тетрад и врем язап азд ы вани яси гнал а

sτz (t )

sτz(t )

от врем ени . И зм ери ть п ографи к у и зап и сать в

относи тел ьнои сход ногоси гнал а

s (t , 4 ) и

сравни ть и зм еренное

τz с вел и ч и ной T 4 / 2 . В ы ч и сл и ть и п ред стави ть на графи к е ам п л и ту д но-ч астотны е сп ек тры (А ЧС) си гнал а s (t , 4 ) и зап азд ы вающ егоси гнал а sτz (t ) . О б основать п ол у ч енны й резу л ьтат. В ы ч и сл и ть и вы вести на графи к е фазоч астотны е сп ек тры (Ф ЧС) си гнал а s (t , 4 ) и зап азд ы вающ егоси гнал а sτz (t ) .

знач ени е

И сп ол ьзу яп ол у ч енны е графи ч еск и е зави си м ости и вы ражени е (2.12), об ъясни ть харак тер Ф ЧСзап азд ы вающ его си гнал а

sτz(t ) .

П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Н аб и раем зап азд ы вающ и й на врем я τz

τz

T4 2

sτz( t ) ∆tz

s( t T4 KZ

= T4 / 2

τz , 4 ) KZ tz kz

30 kz

си гнал

kz KZ . ∆tz 4

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

sτz (t ) : 0 .. KZ

47

1.5 s tz

kz

sτz tz

,4

1

0.5

kz

0

0.01 0.005

0

0.005 tz

0.01

0.015

0.02

kz

Д л яи зм ерени яврем ени зад ержк и си гнал а sτz (t ) относи тел ьнои сход ногоси гнал а s (t , 4 ) и сп ол ьзу ем п роцед у ру сч и ты вани як оорд и нат точ ек графи к а, и зм еряяразность врем енны х к оорд и нат м ак си м у м овк ажд огои з

си гнал ов. Резу л ьтат и зм ерени яτzизм зап и сы ваем втетрад ь и сравни ваем с вы ч и сл енной вел и ч и ной Д л яп ред ставл ени яна графи к е норм и рованны х на м ак си м у м А ЧСси гнал овs (t , 4 ) и

30

NZ

1

∆ωz

0 .. NZ

nz

ωznz

T4 τz

sτz(t ) наб и раем : NZ . ∆ωz 2

T4

SFZ ( ω )

sτz( t ) . exp ( i . ω . t ) dt τz

T4

SF ωznz , 4

SFG4 nz

nz

T4 / 2 .

SFZG nz

SFZ ωznz

1 SFZG

0.8 nz

max ( SFZG ) 0.6 SFG4

nz

max ( SFG4 )

0.4 0.2 0

800 600

400

200

0 ωz

200

400

600 800

nz

О б основать п ол у ч енны й резу л ьтат. Строи м графи ч еск и е зави си м ости фазоч астотны х сп ек тров(Ф ЧС) и сход ногоси гнал а си гнал а

s(t , 4 ) и

sτz (t ) . Н аб и раем :

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

зад ержанного

48

4 arg SF ωz

nz

arg SFZ ωz

,4

2 0

nz

2 4

600 400

200

0 ωz

200

400 600

nz

Н а основани и (2.12) об ъясни ть л и нейность и зм енени яФ ЧСзап азд ы вающ егоси гнал а

sτz(t ) .

(2.16)

sd (t ) , п ол у ч енногод и фференци ровани ем и сход ного си гнал а s (t , 4 ) : sd (t ) = ds (t , 4 ) / dt . П ред стави ть на графи к е си гнал sd (t ) и об ъясни ть особ енности его форм ы , связанны е с д и фференци ровани ем и сход ногоси гнал а s (t , 4 ) . П ред стави ть на од ном графи к е А ЧС п род и фференци рованногоси гнал а sd (t ) , п ол у ч енны е д вум ясп особ ам и : - А ЧС | S FD (ω )| , вы ч и сл енны й п у тем п рям огоп реоб разовани яФ у рье всоответстви и с (2.1); - А ЧС | S FFD (ω )| , вы ч и сл енны й всоответстви и с вы ражени ем (2.13) - на основани и теорем ы З А Д А Н И Е 2.7. В ы п ол ни ть сп ек трал ьны й анал и з си гнал а

д и фференци ровани я(од ногои з свойствп реоб разовани яФ у рье).

s (t , 4 ) и п род и фференци рованногоси гнал а sd (t ) . ЧСси гнал овs (t , 4 ) и sd (t ) . И зм ери ть п ографи к у п арам етры Ф ЧСси гнал а

О б основать п ри нци п и ал ьное разл и ч и е м ежд у А ЧСси гнал а П ред стави ть на од ном графи к е Ф

sd (t ) и зап и сать втетрад и анал и ти ч еск ое вы ражени е егофазовогосп ек тра. П ок азать совп ад ени е и зм еренногоФ ЧСс теорети ч еск и м , оп ред ел яем ы м вы ражени ем (2.14). П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л яп ред ставл ени яграфи ч еск ой зави си м ости п род и фференци рованногоси гнал а

sd (t )

от врем ени наб и раем :

sd ( t ) kd

0 .. KD

d s( t , 4 ) dt T4 ∆td KD

td kd

kd

KD . ∆td 2

400 200 sd td

kd

0 200 400

0.01

0.005

0 td

0.005

0.01

kd

Д л яграфи ч еск огоп ред ставл ени янорм и рованногона м ак си м у м А ЧСп род и фференци рованногоси гнал а д вум я м етод ам и наб и раем

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

49

T4 SFD ( ω )

sd ( t ) . exp ( i . ω . t ) dt T4

ND

30

SFD ωd nd

SFDG nd

Ω1

∆ωd

0 .. ND

nd

SFFD ( ω )

i . ω . SF ( ω , 4 )

ωd nd

2 . ND

nd

ND . ∆ωd 2

SFFD ωd nd

SFFDG nd

0.3 SFDG

nd

0.2

SFDG SFFDG

nd

0.1

SFFDG 0

1500

1000

500

0 ω d

500

1000

1500

nd

(2.17)

И з п ред ставл енны х зави си м остей оч еви д носовп ад ени е А ЧСси гнал а

sd (t ) , п ол у ч енны х разны м и

м етод ам и . И з

сравнени яА ЧС(2.16) и сход ногоси гнал а s (t , 4 ) и А ЧСп род и фференци рованногоси гнал а (2.17) у б ед и тьсяв п од авл ени и ни зк оч астотны х составл яющ и х сп ек тра си гнал а п ри егод и фференци ровани и и об основать этосвойство на основе (2.13). Строи м графи ч еск и е зави си м ости Ф ЧСси гнал а

s(t , 4 ) и

п род и фференци рованногоси гнал а

sd (t ) :

2 arg SF ωd arg SFD

nd

ωd

,4

1 0

nd

1 2

1000

500

0 ωd

500

1000

nd

Сп ом ощ ью п роцед у ры сч и ты вани як оорд и нат графи к а и зм еряем п остоянное знач ени е Ф ЧС п род и фференци рованногоси гнал а п ри ω > 0 и п остоянное знач ени е егоФ ЧСп ри ω < 0 и зап и сы ваем в тетрад и анал и ти ч еск ое вы ражени е Ф ЧС п род и фференци рованногоси гнал а вформ е (2.14). О б основать п ол у ч енны й резу л ьтат на основе вы ражени я(2.13).

От ч ет о в ы п олненной лаборат орной работ е долж ен с ос т оя т ь издв ух ч ас т ей: элект ронной и от ч ет а в т ет ради. Элект ронная ч ас т ь от ч ет а долж на в ключ ат ь ч ис лов ой, т аблич ны й, аналит ич ес кий и граф ич ес кий мат ериал п о п ункт ам заданий. От ч ет в т ет ради долж ен с одерж ат ь : 1.

Таблицу 2.1 измеренны х знач ений длит ель нос т ей

∆T j , j = 1,7

с игналов

s(t , j ) (п .2.4).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

50 2.

Таблицу 2.2 в ы ч ис ленны х знач ений ш ирины в ы ч ис ленны х

знач ений

∆F j

, ∆B j ,

∆Ω = f ( ∆T ) и B = f ( ∆T ) (п .2.5). 3. Измеренное п о граф ику знач ение в ремени зап азды в ания в елич ину T 4

с п ект ра

j = 1,7 , τz

с игнала

∆Ω j а

с игналов

т акж е

sτz(t )

s (t , j ) , j = 1,7

граф ич ес кие

зав ис имос т и

от нос ит ель но с игнала

s(t , 4 ) и

/ 2.

4. А налит ич ес кое в ы раж ение ФЧС п родиф ф еренциров анного с игнала с оот в ет с т в ующ их измерений (п .2.7).

sd (t ) , зап ис анное на ос нов е

ЗАД АЧ И В ы п ол ни ть зад ани я, сформ у л и рованны е вп ри м ере, д л ясл ед у ющ и х ти п овси гнал ов:

s0(1 + β| t | ) , s0 = 3.8, β = 0.93, t01 = 3 ⋅ 10 −3 ; t0 2 = 5 ⋅ 10 −3 ; (1 + cosh(t / t 0 ))2 t0 3 = 0.008; t0 4 = 0.011; t0 5 = 0.015; t0 6 = 0.02; t0 7 = 0.026 . s0(1 + β| t | ) 2. s (t ) = , s0 = 2.7, β = 123 . , t01 = 2.7 ⋅ 10 −3 ; t0 2 = 4.6 ⋅ 10 −3 ; 1 + cosh(t / t 0 ) t0 3 = 0.0071; t0 4 = 0.0108; t0 5 = 0.0114; t0 6 = 0.019; t0 7 = 0.0218 . 3. s (t ) = s 0 exp( −| t |/ t 0 ), s 0 = 2.14, t01 = 6 ⋅ 10 −3 ; t0 2 = 8.7 ⋅ 10 −3 ; t0 3 = 0.011; 1.

s(t ) =

t0 4 = 0.014; t0 5 = 0.017; t0 6 = 0.021; t0 7 = 0.0234 . s0 4. s (t ) = , s0 = 178 . , t01 = 0.005; t0 2 = 0.0068; t0 3 = 0.0087; (1 + (t / t 0 )2 )2 t0 4 = 0.01; t0 5 = 0.013; t0 6 = 0.016; t0 7 = 0.019 . 5. s (t ) = s 0(1−|tanh(t / t 0 )| ), s 0 = 139 . , t01 = 0.003; t0 2 = 0.005; t0 3 = 0.007;

t0 4 = 0.009; t05 = 0.011; t0 6 = 0.013; t0 7 = 0.015 . 6. s (t ) = s 0 / (1+|sinh(t / t 0 )| ), s 0 = 111 . , t01 = 0.001; t0 2 = 0.0014; t0 3 = 0.0018; t0 4 = 0.0022; t0 5 = 0.0027; t0 6 = 0.0034; t0 7 = 0.0039 . 7. s (t ) = s 0 / 1 + [sinh(t / t 0 )]2 , s 0 = 2.6, t01 = 0.004; t0 2 = 0.0073; t0 3 = 0.011; t0 4 = 0.015; t0 5 = 0.019; t0 6 = 0.025; t0 7 = 0.031 .

s0(1 + βt 2 ) , s0 = 11 . , β = 0.79, t01 = 0.0042; t0 2 = 0.0064; t0 3 = 0.0088; 1 + exp(| t |/t 0 ) t0 4 = 0.012; t0 5 = 0.0147; t0 6 = 0.0174; t0 7 = 0.0191 .

8.

s(t ) =

9.

s(t ) = s0 / 1+|sinh(t / t 0 )|, s0 = 31 . , t01 = 0.0019; t0 2 = 0.0033; t03 = 0.0045;

t0 4 = 0.0054; t0 5 = 0.0067; t0 6 = 0.0079; t0 7 = 0.0091 . 10. s (t ) = s 0 / 1 + [cosh(t / t 0 )]2 , s 0 = 2.3, t01 = 0.0008; t0 2 = 0.00117; t03 = 0.00153; t0 4 = 0.0019; t05 = 0.00227; t0 6 = 0.00263; t0 7 = 0.0028 . 2 ⋅ s0 11. s (t ) = , a = 31 . , s 0 = 17 . , t01 = 0.002; t0 2 = 0.0029; t03 = 0.0038; 2 + at / t 0 + a−t / t 0 t0 4 = 0.005; t0 5 = 0.0061; t0 6 = 0.0073; t0 7 = 0.0088 .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

и

51

s0 , a = 2.93, s 0 = 3.95, t01 = 0.0021; t0 2 = 0.0037; 2 + | at / t 0 − a − t / t 0 | t0 3 = 0.0048; t0 4 = 0.0062; t0 5 = 0.0079; t0 6 = 0.0093; t0 7 = 0.0132 .

12.

s (t ) =

3. Д И С К Р Е Т Н О Е П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е А Н А Л О Г О В Ы Х С И Г Н А Л О В И И Х ВО С С Т А Н О ВЛ Е Н И Е П О Д И С К РЕ Т Н Ы М О Т С Ч Е Т А М 3.1. Д И СК РЕ Т Н О Е П РЕД СТ А В Л Е Н И Е А Н А Л О Г О В Ы Х СИ Г Н А Л О В В связи с и нтенси вны м разви ти ем ци фровы х м етод овп еред ач и , п ри ем а и об раб отк и анал оговы х си гнал овs (t ) возни к ает необ ход и м ость и х п ред ставл ени яв д и ск ретной и л и ци фровой форм ах, нап ри м ер, совок у п ностью д и ск ретны х отсч етовsdis (t ) (Ри с. 3.1):

sdis (t ) =

∞

∑ s( m ∆t )δ(t − m ∆t ),

(3.1)

m = −∞

гд е ∆t - и нтервал д и ск рети заци и (и нтервал врем ени м ежд у сосед ни м и отсч етам и ); s ( m ∆t ) - знач ени я фу нк ци и s (t ) в м ом енты врем ени m ∆t ; δ( x ) - д ел ьтафу нк ци я.

Ри с.3.1 Д и ск ретное п ред ставл ени е реал и зу етсяна основе теорем ы К отел ьни к ова: ес ли наиболь ш ая ч ас т от а в с п ект ре аналогов ого с игнала s(t ) не п рев ы ш ает знач ения ω m = 2 πf m , т о с игнал s (t ) в о в с е момент ы в ремени оп ределя ет с я п ос ледов ат ель нос т ь ю с в оих дис крет ны х от с ч ет ов (3.1), в зя т ы х ч ерезинт ерв ал в ремени ∆t ≤ 1 / 2 f m = π / ω m . А нал оговы й си гнал s(t ) м ожет б ы ть оп ред ел ен с п ом ощ ью совок у п ности д и ск ретны х отсч етовsdis (t ) (3.1) ряд ом К отел ьни к ова

[

]

sin ω m (t − v∆t ) . (3.2) ω t − v ∆ t ( ) m v =−∞ Реал ьно и сп ол ьзу ем ы е си гнал ы s (t ) и м еют к онеч ну ю д л и тел ьность ∆T . Сп ек тры так и х си гнал ов и м еют теорети ч еск и б еск онеч ну ю п ротяженность, т.е. ω m → ∞ . О д нак о так и е си гнал ы м огу т б ы ть п ред ставл ены ряд ом К отел ьни к ова (3.2) п ри б л и женно, есл и п ри оп ред ел ени и ω m отб роси ть “хвосты ” фу нк ци й сп ек тров, нач и ная с ω = ω m . П ри этом к ол и ч ественны е к ри тери и , на основе к оторы х п рои звод и тсяограни ч ени е п ротяженности сп ек тра ч астотой ω m , м огу т б ы ть разл и ч ны м и - п о д ол е отб расы ваем ой с “хвостам и ” энерги и си гнал а ∞

s(t ) = ∑ s (v∆t )

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

52

относи тел ьно п ол ной энерги и , п о вел и ч и не сп ек тра на ч астоте ω = ω m относи тел ьном ак си м ал ьногознач ени яи д р. Д л яси гнал овк онеч ной д л и тел ьности ч и сл од и ск ретны хотсч етовN в(3.1) к онеч нои равно N = entr [ ∆T ∆t ] + 1, (3.3) гд е entr[x ] - цел аяч асть x. 3.2. В О ССТ А Н О В Л Е Н И Е А Н А Л О Г О В О Г О СИ Г Н А Л А П О СО В О К У П Н О СТ И Д И СК РЕ Т Н Ы Х О Т СЧЕ Т О В Т еорети ч еск и восстановл ени е анал огового си гнал а п о совок у п ности д и ск ретны х отсч етовреал и зу етсяряд ом К отел ьни к ова (3.2). В озм ожность ап п арату рного восстановл ени я анал огового си гнал а п о д и ск ретны м отсч етам нетру д но п онять, и сп ол ьзу я сп ек трал ьное п ред ставл ени е д и ск ретного си гнал а sdis (t ) (3.1). И звестно [1,2], ч то сп ек тр SFdis (ω ) совок у п ности отсч етовsdis (t ) (3.1) оп ред ел яетсявы ражени ем

1 ∞ (3.4) ∑ SF (ω − k Ωdis ), ∆t k = −∞ гд е Ω dis = 2π ∆t - ч астота д и ск рети заци и анал огового си гнал а; SF (ω ) - сп ек тр анал оговогоси гнал а s(t ) , т.е. SF (ω ) = F [ s(t )] . И з вы ражени я (3.4) ви д но, ч то сл агаем ы е су м м ы п ри k = ±1, ±2,... п ред ставл яют соб ой к оп и и сп ек тра S F ( ω ) , см ещ енны е п о оси ч астот вп раво и вл евона вел и ч и ну kΩ dis . В зави си м ости от соотнош ени я м ежд у вел и ч и нам и Ω dis и 2ω m сп ек тр S Fdis (ω ) (3.4) и м еет разл и ч ны й харак тер (ри с. 3.2, а, б , в). SFdis (ω ) =

Ω dis = 2ω m ( ∆t = π / ω m )

Ри с.3.2,а Ω dis > 2ω m ( ∆t < π / ω m )

Ри с.3.2,б Ω dis < 2ω m ( ∆t > π / ω m )

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

53

Ри с.3.2,в Е сл и ∆t ≤ π / ω m (т.е. и нтервал д и ск рети заци и анал огового си гнал а s(t ) вы б и раетсявсоответстви и с у сл ови ям и теорем ы К отел ьни к ова), то Ω dis ≥ 2ω m и сосед ни е к оп и и сп ек тра S F ( ω ) в (3.4) си гнал а s (t ) не п ерек ры ваются, п ри ∆t = π / ω m ( Ω dis = 2ω m ) сосед ни е к оп и и п ри м ы к ают д ру г к д ру гу (ри с. 3.2,а), п ри ∆t < π / ω m (Ω dis > 2ω m ) сосед ни е к оп и и сп ек тра S F (ω ) разд ел ены м ежд у соб ой к онеч ны м и и нтервал ам и п ротяженностью | Ω dis − 2ω m | , на к оторы х знач ени ясп ек тра равны ну л ю (ри с. 3.2,б ). О тсу тстви е п ерек ры ти я сосед ни х к оп и й сп ек тра S F (ω − k Ω dis ), k = 0,±1... п озвол яет вы д ел и ть б ез и ск ажени й ну л еву ю (k=0) к оп и ю сп ек тра SF ( ω ) и з су м м ы вп равой ч асти (3.4) с п ом ощ ью фи л ьтра ни жни х ч астот (Ф Н Ч), и м еющ его к оэффи ци ент п роп у ск ани я 1,| ω| ≤ ω m , (3.5) KF (ω ) =  0,| ω| > ω m . Э тознач и т, ч топ ри п од ач е на Ф Н Ч с KF (ω ) (3.5) д и ск ретногоси гнал а sdis (t ) на еговы ход е сформ и ру етсяси гнал sw (t ) , сп ек тр к оторогооп ред ел и тсявы ражени ем (3.6) S FDIS W ( ω ) = S Fdis ( ω )KF ( ω ) и этот сп ек тр и д енти ч ен сп ек тру SF (ω ) восстанавл и ваем огоси гнал а s(t ) . О тсюд а вы тек ает, ч то сформ и рованны й на вы ход е Ф Н Ч врем енной си гнал sw (t ) со сп ек тром SFDISW (ω ) = SF (ω ) и д енти ч ен восстанавл и ваем ом у си гнал у : s (t ) = sw (t ) . Е сл и Ω dis < 2ω m ( ∆t > π / ω m ), то сосед ни е к оп и и сп ек тра SF (ω ) п ерек ры ваются(ри с. 3.2,в) и нак л ад ы ваютсяд ру г на д ру га, так ч тона ч астотном и нтервал е − ω m ≤ ω ≤ ω m сп ек тр SFdis (ω ) не б у д ет и д енти ч ен сп ек тру S F (ω ) си гнал а s (t ). Сл ед овател ьно, сп ек тр S FDIS W ( ω ) на вы ход е Ф Н Ч, оп ред ел яем ы й вы ражени ем (3.6), не б у д ет совп ад ать сосп ек тром SF (ω ) и сформ и рованны й на вы ход е Ф Н Ч (3.5) си гнал sw (t ) не б у д ет и д енти ч ен восстанавл и ваем ом у си гнал у s(t ) . Т ак и м об разом , есл и д и ск рети заци яанал огового си гнал а не у д овл етворяет у сл ови ям теорем ы К отел ьни к ова ( ∆t > π / ω m ), то восстановл ени е анал огового си гнал а s (t ) п од и ск ретны м отсч етам б ез и ск ажени й невозм ожно.

З А Д А Н И Я Д Л Я В Ы П О Л Н Е Н И Я Л А БО Р А Т О Р Н О Й Р А БО Т Ы И П Р И М Е Р Ы И Х ВЫ П О Л Н Е Н И Я И ссл ед овать д и ск ретное п ред ставл ени е анал огового си гнал а s (t ) и его восстановл ени е п од и ск ретны м отсч етам , есл и си гнал зад ан вы ражени ем

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

54

s(t ) =

s0

[

]

2 1 + (t / t 0 )2

, −∞ < t < ∞, s0 = 2.3, t 0 = 0.014.

3.1. Д И СК РЕ Т Н О Е П РЕ Д СТ А В Л Е Н И Е А Н А Л О Г О В О Г О СИ Г Н А Л А s(t). З А Д А Н И Е 3.1. Д л я зад анного си гнал а s(t ) ввести вк ом п ьютер знач ени я его п арам етров s 0, t 0 и анал и ти ч еск ое вы ражени е s (t ). В ы ч и сл и ть грани ч ное знач ени е к онеч ной об л асти оп ред ел ени я си гнал а t ∈[T 1;T 2 ] , зад аваясь к ри тери ем , п ок отором у вточ к ах T 1 и T 2 знач ени яси гнал а s (t ) у м еньш аютсяд о знач ени я0.01 от м ак си м ал ьного знач ени я s(t ) . В ы ч и сл и ть д л и тел ьность си гнал а ∆T = T 2 − T 1 и п острои ть графи ч еск у ю зави си м ость s (t ). П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. В вод и м вк ом п ьютер и сход ны е д анны е и зад аем точ ность расч етов: TOL 10

5

i

s0

1

t0

2.3

0.014

s0

s( t )

2 2

t

1

t0 Д л явы ч и сл ени яверхней грани цы T 2 наб и раем : t

t0

T2

root

s( t ) s( 0 )

Т ак к ак s(t ) - ч етнаяфу нк ци яврем ени , наб и раем : T1 T2 ∆T Строи м графи к s(t ) . Д л яэтогонаб и раем : K

40

k

0 .. K

T2

∆T

∆ts

K

0.01 , t

T1

tk

k . ∆ts

∆T 2

3

2

s t

k 1

0 0.06 0.04

0.02

0

t

0.02

0.04 0.06

k

З А Д А Н И Е 3.2. И сп ол ьзу я п рям ое п реоб разовани е Ф у рье (2.1), вы ч и сл и ть и п ред стави ть на графи к е ам п л и ту д но-ч астотны й сп ек тр (А ЧС) S F ( ω ) си гнал а s (t ). В ы ч и сл и ть м ак си м ал ьну ю ч астоту всп ек тре си гнал а s(t ) , и сп ол ьзу як ри тери й, п о к отором у вточ к е ω = ω m знач ени е м од у л я сп ек тра | S F (ω m )| у м еньш ается д о

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

55

знач ени я0.01 от м ак си м ал ьного знач ени я | S F ( 0 )| . И сход я и з у сл ови я теорем ы К отел ьни к ова, вы ч и сл и ть и нтервал д и ск рети заци и ∆t . П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л яп остроени яА ЧСнаб и раем : T2 SF ( ω ) 2. s( t ) . cos ( ω . t ) dt N 30 n 0 .. N 0

wn

n

N . ∆ω

SFG n

2

SF w n

1

SFG

n

0.5

max ( SFG )

0 400 300

200

100

0

w

Д л явы ч и сл ени яω m наб и раем : m

1

ω1

1

T2

ωm

root

SF ( ω1 ) SF ( 0 )

100

200

300 400

n 0.01 , ω1

∆t

π ωm

З А Д А Н И Е 3.3. И сп ол ьзу я найд енны е знач ени я T 1 , T 2 и ∆t , п ол у ч и ть графи ч еск ое п ред ставл ени е совок у п ности д и ск ретны х отсч етов sdis (t ) (3.1) анал огового си гнал а s (t ). У б ед и ться в соответстви и знач ени й анал огового си гнал а s(t ) вд и ск ретны х точ к ах ( t = −2∆t , t = 0, t = 3∆t ) и знач ени й д и ск ретны х отсч етов sdis (t ) вэти х же точ к ах. Резу л ьтаты сравнени яп ред стави ть втетрад и в Т аб л . 3.1: t 0 −2∆t 3∆t s (t ) sdis (t ) И сп ол ьзу яп ол у ч енное графи ч еск ое п ред ставл ени е д и ск ретны хотсч етовsdis (t ) , и зм ери ть знач ени е м ак си м ал ьной ч астоты ω m всп ек тре си гнал а s (t ) и сравни ть этознач ени е с вы ч и сл енны м вп .3.2. Резу л ьтаты сравнени яп ред стави ть втетрад и . П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л я графи ч еск ого п ред ставл ени я совок у п ности д и ск ретны х отсч етовsdis (t ) наб и раем :

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

56

v

ceil

T1 ∆t

1 .. ceil

T2 ∆t

v1

ceil

0.02

0

T1 ∆t

1 .. ceil

T2 ∆t

3

2

s( v. ∆t ) . δ ( v , v1 ) 1

0 0.06 0.04

0.02

0.04

0.06

v. ∆t

В ы ч и сл яем знач ени яанал оговогоси гнал а вточ к ах t = −2 ∆t , t = 0 и t = 3∆t : s( 0 ) = 2.3 s( 3 . ∆t ) = 0.279 s( 2 . ∆t ) = 0.685 Н айд енны е знач ени я зап и сы ваем в тетрад ь. З нач ени я д и ск ретны х отсч етов и зм еряем п оп ол у ч енном у графи к у с п ом ощ ью п роцед у ры сч и ты вани як оорд и нат точ ек графи к а. И м еявви д у , ч то д л яанал и зи ру ем ого си гнал а s(t ) м ак си м ал ьное знач ени е д и ск ретного отсч ета соответствует знач ени ю v = 0 , и зм еряем знач ени я д и ск ретны х отсч етовп ооси к оорд и нат Y ок на п роцед у ры п ри v = −2 ( sdis ( −2 ∆t )) , п ри v = 0 ( sdis ( 0 )) и п ри v = 3 ( sdis (3∆t )) . И зм еренны е знач ени я зап и сы ваем в тетрад ь в таб л . 3.1 и сравни ваем с вы ч и сл енны м и знач ени ям и анал огового си гнал а s (t ) в эти х же точ к ах. Д л я и зм ерени я м ак си м ал ьной ч астоты ω m в сп ек тре си гнал а s (t ) так же и сп ол ьзу ем п роцед у ру сч и ты вани як оорд и нат точ ек графи к а. С п ом ощ ью этой п роцед у ры и зм еряем и нтервал ∆t м ежд у л юб ы м и сосед ни м и отсч етам и п о к оорд и нате X. П од ставл яя и зм еренное знач ени е ∆t в вы ражени е ω m = π / ∆t , п ол у ч аем знач ени е ω m , к оторое сравни ваем со знач ени ем ω m , вы ч и сл енны м вп у нк те 3.2 зад ани я. З А Д А Н И Е 3.4. И сп ол ьзу я совок у п ность д и ск ретны х отсч етов sdis (t ) и вы ч и сл енны е знач ени я ω m , ∆t , п ред стави ть анал оговы й си гнал s (t ) ряд ом К отел ьни к ова (3.2). Н а од ном графи к е вы вести графи ч еск и е зави си м ости анал огового си гнал а s(t ) и его п ред ставл ени е sk (t ) ряд ом К отел ьни к ова. У б ед и тьсявсовп ад ени и п ол у ч енны х графи ч еск и х зави си м остей s (t ) и sk (t ) и , сл ед овател ьно, в возм ожности п ред ставл ени я си гнал а в п рои звол ьны й м ом ент врем ени ряд ом К отел ьни к ова. П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. П ред ставл яем анал оговы й си гнал s (t ) ряд ом К отел ьни к ова. Сэтой цел ью наб и раем : sin ω m. ( t v . ∆t ) sk ( t ) s( v . ∆t ) . if t v . ∆t 0 , 1 , ω m. ( t v . ∆t ) v Д л яп остроени яграфи ч еск и х зави си м остей s(t ) и sk (t ) наб и раем :

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

57

KK

kk

40

∆tk

0 .. KK

∆T

t kk

KK

KK . ∆tk

kk

2

3

s t

kk

sk t

2

kk 1

0 0.06 0.04

0.02

0

t

0.02

0.04

0.06

kk

У б ежд аем сявсовп ад ени и и сход ногоси гнал а s(t) с си гнал ом , вы раженны м ряд ом К отел ьни к ова.

3.2. В О ССТ А Н О В Л Е Н И Е А Н А Л О Г О В О Г О СИ Г Н А Л А П О Д И СК РЕ Т Н Ы М О Т СЧЕ Т А М З А Д А Н И Е 3.5. В ы ч и сл и ть и п ред стави ть на од ном графи к е норм и рованны е на свои м ак си м ал ьны е знач ени яам п л и ту д ны е сп ек тры : - S F ( ω ) - сп ек тр анал оговогоси гнал а s (t ); - S FDIS (ω ) - сп ек тр (3.4) д и ск ретного си гнал а sdis (t ) . О грани ч и ться п ред ставл ени ем на графи к е сл агаем ы х су м м ы и з (3.4) п ри k = 0, ±1, ±2 . У б ед и ться, ч тосп ек тр SFDIS (ω ) си гнал а sdis (t ), д и ск рети зи рованногоп ри м ак си м ал ьном и нтервал е д и ск рети заци и ∆t = π / ω m ( Ω dis = 2ω m , ри с. 3.2,а), д оп у сти м ом у сл ови ем теорем ы К отел ьни к ова, на и нтервал е ч астот − ω m ≤ ω ≤ ω m совп ад ает сосп ек тром S F (ω ) си гнал а s (t ). П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л я графи ч еск ого п ред ставл ени я ам п л и ту д ны х сп ек тровSFDIS ( ω ) и SF ( ω ) наб и раем : dis

R

1

Ωdis

200

SFDISG r

r

π 2. ∆t

2

SFDIS ( ω )

0 .. R

SFDIS ωk r

∆ωk

1.

∆t 1

T2 SFG n

SF ω

k . Ωdis

k= 2 ωk r SF w n

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

r

R . ∆ωk 2

58

В ы вод и м графи ч еск и е зави си м ости сп ек тров: 1

SFG

n

max ( SFG ) 0.5

SFDISG

r

max ( SFDISG ) 0 3000 2000

1000

0

1000

2000 3000

w , ωk n r

У б ежд аем ся, ч то ам п л и ту д ны е сп ек тры SF (ω ) и SFDIS ( ω ) на и нтервал е ч астот − ω m ≤ ω ≤ ω m и д енти ч ны . П оэтом у д л я од нознач ного восстановл ени я анал оговогоси гнал а s(t ) м ожет б ы ть и сп ол ьзована ч асть сп ек тра SFDIS (ω ) (3.4) д и ск ретногоси гнал а sdis (t ) (3.1), оп ред ел еннаявоб л асти ч астот − ω m ≤ ω ≤ ω m . З А Д А Н И Е 3.6. В вести в к ом п ьютер вы ражени е к оэффи ци ента п роп у ск ани я KF (ω ) Ф Н Ч (3.5). П острои ть графи ч еск у ю зави си м ость KF (ω ) фи л ьтра. И зм ери ть ш и ри ну п ол осы п роп у ск ани я ∆Ωk фи л ьтра и сравни ть и зм еренное знач ени е с вел и ч и ной 2ω m . Резу л ьтаты сравнени яп ред стави ть втетрад и . П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. В ы ражени е д л я к оэффи ци ента п роп у ск ани я Ф Н Ч (3.5) м ожно зап и сать, и сп ол ьзу я встроенну ю фу нк ци ю Х еви сайд а Φ( x ) . Н аб и раем : 2.1 . ω m . r R ωfr KF ( w ) Φ w ωm Φ w ωm 2 R 1 KFG r

KF ωfr

В ы вод и м графи к : 1.5

1

KFG

r 0.5

0 30002000

1000

0

ωk

1000

2000 3000

r

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

59

И з графи к а ви д но, ч то к оэффи ци ент п роп у ск ани яввед енного Ф Н Ч совп ад ает с зад анны м вы ражени ем . Д л я и зм ерени я ш и ри ны п ол осы п роп у ск ани я Ф Н Ч и сп ол ьзу ем п роцед у ру сч и ты вани я к оорд и нат точ ек графи к а. С ее п ом ощ ью и зм еряем знач ени я к оорд и нат п о оси X п равой X 2 и л евой X 1 грани ц к оэффи ци ента п роп у ск ани я п ри ну л евом знач ени и к оорд и наты Y , разность м ежд у к оторы м и оп ред ел и т ш и ри ну п ол осы п роп у ск ани яфи л ьтра: ∆Ωk = X 2 − X 1 . З А Д А Н И Е 3.7. В ы ч и сл и ть ам п л и ту д ны й сп ек тр S FDIS W (ω ) си гнал а sw (t ) на вы ход е Ф Н Ч с к оэффи ци ентом п роп у ск ани я KF (ω ) , есл и на вход фи л ьтра п од аетсяси гнал sdis (t ) (3.1) сосп ек тром S FDIS (ω ) (3.4). П ред стави ть на од ном графи к е норм и рованны е на м ак си м у м ы ам п л и ту д ны е сп ек тры S FDIS W ( ω ) си гнал а sw(t ) на вы ход е Ф Н Ч и SF ( ω ) си гнал а s(t ) . У б ед и тьсяви д енти ч ности п ред ставл енны х ам п л и ту д ны х сп ек тров на и нтервал е ч астот − ω m ≤ ω ≤ ω m . О б основать равенство ну л ю п ред ставл енны х сп ек тров за п ред ел ам и и нтервал а −ω m ≤ ω ≤ ω m . П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. В соответстви и с (3.6) сп ек тр SFDISW ( ω ) вы ход ного си гнал а sw (t ) Ф Н Ч с к оэффи ци ентом п роп у ск ани я KF (ω ) (3.5) оп ред ел яетсяп рои звед ени ем (3.6). П оэтом у наб и раем : SFDISW ( ω ) SFDIS ( ω ) . KF ( ω ) SFDISWG r SFDISW ωk r В ы вод и м графи ч еск и е зави си м ости :

SF ωk r

SFG r

1

SFDISWG

r

max ( SFDISWG ) 0.5

SFG

r

max ( SFG ) 0 3000 2000

1000

0

ωk

1000

2000 3000

r

И з и д енти ч ности п ред ставл енны х сп ек тров в п ол осе ч астот − ω m ≤ ω ≤ ω m сл ед у ет, ч то сп ек тр SFDISW (ω ) си гнал а sw (t ) на вы ход е Ф Н Ч явл яется сп ек тром восстанавл и ваем огоси гнал а s (t ).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

60

З А Д А Н И Е 3.8. П ок азать, ч топ ри возд ействи и на вход Ф Н Ч си гнал а sdis (t ) (3.1) си гнал sw (t ) на вы ход е Ф Н Ч явл яется восстанавл и ваем ы м си гнал ом s (t ). Д л я этого п ред стави ть на од ном графи к е си гнал sw(t ) и анал оговы й си гнал s(t ) и у б ед и тьсяви х и д енти ч ности . П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л я нахожд ени я форм ы си гнал а sw (t ) на вы ход е Ф Н Ч и сп ол ьзу ем об ратное п реоб разовани е Ф у рье (2.2) от сп ек тра SFDISW ( ω ) этогоси гнал а. Д л яу ск орени явы ч и сл ени й зап и ш ем вы ражени е об ратного п реоб разовани я Ф у рье вд и ск ретной форм е. Н аб и раем : R 1. sw k SFDISWG r . exp i . ωk r . t k π r=0 Д л яп остроени яграфи к а си гнал а s(t ) наб и раем : sk s tk В ы вод и м графи ч еск и е зави си м ости си гнал овsw (t ) и s(t ) , норм и рованны хна свои м ак си м ал ьны е знач ени я: 1.5

sw

k

1

max ( sw ) s k

0.5

max ( s ) 0 0.06

0.04

0.02

0

t

0.02

0.04

0.06

k

Совп ад ени е форм ы си гнал ов sw (t ) и s (t ) д ок азы вает, ч то восстанавл и ваем ы й анал оговы й си гнал s(t ) форм и ру етсяна вы ход е Ф Н Ч (3.5) п ри п од ач е на еговход д и ск ретногоси гнал а sdis (t ) (3.1), и нтервал д и ск рети заци и ∆t к оторого вы б ран в соответстви и с у сл ови ем теорем ы К отел ьни к ова, т.е. ∆t ≤ π / ω m . З А Д А Н И Е 3.9. П ол у ч и ть графи ч еск ое п ред ставл ени е сп ек тра S FDIS 1(ω ) д и ск ретного си гнал а s1dis (t ) д л я сл у ч ая, к огд а и нтервал д и ск рети заци и ∆t1 анал огового си гнал а s (t ) в1.5 раза б ол ьш е м ак си м ал ьногознач ени яи нтервал а д и ск рети заци и , оп ред ел яем оготеорем ой К отел ьни к ова, т.е. ∆t1 = 15 . ∆t = 15 . π / ωm.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

61

Н а этом же графи к е п ред стави ть сп ек тр S F (ω ) си гнал а s (t ) и к оэффи ци ент п роп у ск ани яKF (ω ) Ф Н Ч (3.5). П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л явы п ол нени язад ани я, к ак и вп .3.5, наб и раем : ∆t1

1.5 .

π

Ω1 dis

ωm

2. π

ωk r

∆t1

0.25 . ωk r

2 1 .

SFDIS1 ( ω )

∆t1

SF ω

k . Ω1 dis

KF ωk r

k= 2

SFDIS1 ωk r

SFDIS1G r

KFG r

SFG r

SF ωk r

1.5

SFG

r

max ( SFG ) SFDIS1G

1

r

max ( SFDIS1G ) KFG

0.5

r 0 600

400

200

0

ωk

200

400

600

r

У б ед и ться всу щ ественном отл и ч и и сп ек тра S FDIS 1(ω ) вп ол осе п роп у ск ани я Ф Н Ч − ω m ≤ ω ≤ ω m от сп ек тра SF (ω ) восстанавл и ваем ого си гнал а s(t ) . О б ъясни ть п ри ч и ну несовп ад ени ясп ек тров(см . ри с. 3.2,в). З А Д А Н И Е 3.10. П ок азать, ч топ ри возд ействи и на Ф Н Ч (3.5) си гнал а s1dis (t ) с и нтервал ом д и ск рети заци и ∆t1 = 15 . ∆t вы ход ной си гнал Ф Н Ч су щ ественно отл и ч аетсяп о форм е от восстанавл и ваем огоси гнал а s(t ) . Д л яэтогоп ред стави ть на од ном графи к е и сравни ть вы ход ной си гнал s1w (t ) и си гнал s (t ). П Р И М Е Р В Ы П О Л Н Е Н И Я. Д л я нахожд ени я си гнал а s1w(t ) на вы ход е Ф Н Ч п ред вари тел ьновы ч и сл яем сп ек тр этогоси гнал а S FDIS 1W ( ω ) . В соответстви и с (3.6) сп ек тр SFDIS 1W ( ω ) равен п рои звед ени ю сп ек тра SFDIS 1(ω ) вход ного си гнал а s1dis (t ) и к оэффи ци ента п роп у ск ани яФ Н Ч KF (ω ) (3.5). Н аб и раем : SFDIS1W ( ω ) SFDIS1 ( ω ) . KF ( ω ) SFDIS1WG r SFDIS1W ωk r

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

62

Д л янахожд ени яси гнал а s1w (t ) и сп ол ьзу ем об ратное п реоб разовани е Ф у рье (2.2) от егосп ек тра SFDIS 1W ( ω ) . К ак и вп .3.8, наб и раем : R 1.

s1w k

π

SFDIS1WG r . exp i . ωk r . t k r=0

1

s k

0.5

max ( s ) s1w k

0

max ( s1w ) 0.5 0.06

0.04

0.02

0

t

0.02

0.04

0.06

k

И з су щ ественного отл и ч и я форм ы си гнал а s1w(t ) на вы ход е Ф Н Ч от восстанавл и ваем ого си гнал а s (t ) сл ед у ет невозм ожность восстановл ени я анал огового си гнал а s(t ) п о д и ск ретном у си гнал у sdis (t ) , есл и и нтервал д и ск рети заци и ∆t си гнал а s (t ) п ревосход и т м ак си м ал ьно возм ожное знач ени е, у станавл и ваем ое теорем ой К отел ьни к ова ( ∆t > π / ω m ).

От ч ет о в ы п олненной лаборат орной работ е долж ен с ос т оя т ь из дв ух ч ас т ей: элект ронной и от ч ет а в т ет ради. Элект ронная ч ас т ь от ч ет а долж на в ключ ат ь ч ис лов ой, т аблич ны й, аналит ич ес кий и граф ич ес кий мат ериалы п о п ункт ам заданий. От ч ет в т ет ради долж ен с одерж ат ь : 1. Таблицу 3.1 измеренны х знач ений sdis (t ) и в ы ч ис ленны х знач ений с игнала п ри t = −2 ∆t ,0,3∆t (п .3.3). 2. Измеренное знач ение макс ималь ной ч ас т от ы ω m в с п ект ре с игнала s(t ) и рас с ч ит анное знач ение ω m . 3. Измеренное знач ение ш ирины п олос ы п роп ус кания ∆Ωk филь т ра и рас с ч ит анную в елич ину 2ω m (п .3.6).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

63

ЗАД АЧ И В ы п ол ни ть зад ани я, сформ у л и рованны е вп ри м ере, д л ясл ед у ющ и х ти п ов си гнал ов: 1. s(t ) = s0 exp  −(t / t 0)  s0 2. s(t ) = 1 + cosh(t / t 0 ) 3. s(t ) =

4. s(t ) =

2

, t 0 = 0.01. 

, t 0 = 0.004.

s0

[

]

2 1 + exp(t / t 0 )2

(

s 0 1 + βt 2

[

)

]

2 1 + exp(t / t 0 )2

5. s(t ) =

(

s0 1 + βt 2

)

, t 0 = 0.013.

, β = 0.83, t 0 = 0.012.

, t 0 = 0.008, β = 117 . .

[1 + cosh(t / t 0 )] s0(1 + β| t |) 6. s(t ) = , β = 0.74, t 0 = 0.007. 2 [1 + cos(t / t 0 )] 2

s0 , t 0 = 0.011. 1+|sinh(t / t 0 )| 2 s0 1 + βt 2 , β = 0.57, t 0 = 0.01. 8. s(t ) = 1+|sinh(t / t 0 )|2 s0 , t 0 = 0.0077. 9. s(t ) = 1+|sinh(t / t 0 )|2 7. s (t ) =

(

10. s(t ) =

)

s 0(1 + β| t |)

1+|sinh(t / t 0 )|2

, t 0 = 0.0081, β = 2.87.

2 s0 , t 0 = 0.0123, a = 2.37. 2 +| at / t 0 − a−t / t 0 | 2 2s0 12. s(t ) = , t 0 = 0.0053, a = 3.03. 2 + at / t 0 + a−t / t 0 11. s(t ) =

(

)

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

64

Л И Т Е Р А Т УР А 1. Г оноровск и й И .С., Д ем и н М .П . Рад и отехни ч еск и е цеп и и си гнал ы . - М .: Рад и ои связь, 1994. - 588с. 2. Баск ак овС.И . Рад и отехни ч еск и е цеп и и си гнал ы . - М .: В ы сш аяш к ол а, 2000. 462с. 3. Си б ерт У .М . Ц еп и , си гнал ы , си стем ы . - М .: М и р, 1988. - Ч.I - 336с., Ч.II - 359с. 4. П оп овВ .П . О сновы теори и цеп ей. - М .: В ы сш аяш к ол а, 1998. - 574с. 5. З и новьев А .Л ., Ф и л и п п ов Л .И . В вед ени е в теори ю си гнал ов и цеп ей. - М .: В ы сш аяш к ол а, 1975. - 387с. 6. К рем ер И .Я ., В ороб ьевА .М ., Стру к овИ .Ф . З ад ач и и п ри м еры п отеорети ч еск и м основам рад и отехни к и . - В оронеж: В Г У , 1988. - 192с. 7. Рад и отехни ч еск и е цеп и и си гнал ы . П ри м еры и зад ач и . П од ред . И .С.Г оноровск ого. - М .: Рад и ои связь, 1989. - 248с. 8. Баск ак ов С.И . Рад и отехни ч еск и е цеп и и си гнал ы . Ру к овод ство к реш ени ю зад ач . - М .: В ы сш аяш к ол а, 1987. - 208с. 9. Ж у к ов В .П ., К арташ ев В .Г ., Н и к ол аев А .М . Сб орни к зад ач п о к у рсу “Рад и отехни ч еск и е цеп и и си гнал ы ”. - М .: Сов.рад и о, 1972. - 192с. 10. Г оряи новВ .Г ., Ж у равл евА .Г ., Т и хоновВ .И . Стати сти ч еск ая рад и отехни к а. П ри м еры и зад ач и . - М .: Сов.рад и о, 1980. - 543с. С О Д Е РЖ АН И Е 1. Г арм они ч еск и й сп ек трал ьны й анал и з п ери од и ч еск и хси гнал ов......… .. З ад ани яд л явы п ол нени ял аб ораторной раб оты и п ри м еры и х вы п ол нени я ...............................................................................................… … … З ад ач и .......................................................................................................… … … . 2. Г арм они ч еск и й анал и з неп ери од и ч еск и хси гнал ов...........................… … . З ад ани яд л явы п ол нени ял аб ораторной раб оты и п ри м еры и х вы п ол нени я ...............................................................................................… … … З ад ач и .......................................................................................................… … … . 3. Д и ск ретное п ред ставл ени е анал оговы х си гнал ови и хвосстановл ени е п о д и ск ретны м отсч етам ...............................................… … … … … … … … … .. 3.1. Д и ск ретное п ред ставл ени е анал оговы хси гнал ов ...........................… … .. 3.2. В осстановл ени е анал оговогоси гнал а п осовок у п ности д и ск ретны х отсч етов.................................................................................… … … … … … … …

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

3 5 12 14 16 26 27 27 28

65

З ад ани яд л явы п ол нени ял аб ораторной раб оты и п ри м еры и х вы п ол нени я ...............................................................................................… … … З ад ач и .......................................................................................................… … … . Л и терату ра ...............................................................................................… … … . Состави тел и

29 39 40

Н евежи н Ю л и ан В аси л ьеви ч П арфеновВ л ад и м и р И ванови ч

Ред ак тор

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Т и хом и рова О .А .