Διαφορική Γεωμετρία

S( HAU M'S O UfLJNE ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ,.. ", fJoII'O}-,\AllfA'«Jl MARTI,'II ,\Ι LlPSC HUTZ ~IOIΩ,,"l OΙ\~lTOIi,...

Author: Martin Lipschutz | Χρήστος Μπαϊκούσης - Θεμιστοκλής Κουφογιώργος (μετάφραση)

137 downloads 1119 Views 14MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

S( HAU M'S O UfLJNE

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ,.. ",

fJoII'O}-,\AllfA'«Jl

MARTI,'II

,\Ι

LlPSC HUTZ

~IOIΩ,,"l

OΙ\~lTOIi,."'l ω,,,,()ΙΙΩΡf()Σ

ΧΡιιιlOι

f][PJ[nl Θι'ΩΡΙΑ ΚΑΙ l~;

~I:

. ΙΗΙΙ'"

Ι ΙΥΤ\ ΠΡΟ8 I ΙΙ\IΜ"

\j« ,R·\\I'-ttllf [Σ 111.

"HI'YOR ~

ΛΟ IΙ Νι\

'1I1\1Kon .. ~

SCHAUM'S

OUTLINE

SERIES

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (Schaum's Outline of Theory and Problems of DIFFERENTIAL GEOMETRY)

MARTIN

Μ. LLIPSCHUTZ,

Ph. D.

PROFESSOR OF ΜΑΤΗΕΜΑ TICS UNIVERSITY OF BRIDGEPORT

ΕΠΙΒΛΕΨΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΕΩΣ:

ΠΕΤΡΟΣ-ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΜΠΟΖΩΝΗΣ ΤΑΚΤΙΚΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

-~

ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ:

ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΚΟΥΦΟΓΙΩΡΓΟΣ

ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΠΑ'Ι'ΚΟΥΣΗΣ

ΔΡ ΜΑΘΗΜΑ ΠΚΟΣ, ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΣ

ΔΡ ΜΑΘΗΜΑΠΚΟΣ, ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

McGRAW-HILL, NEW YORK ΕΣΠΙ, ΑΘΗΝΑ

.

---~

~--

~

~-

Ι

Copyright © 1974 by McGraw-Hill, Inc. ΑΙΙ rights reserved. Printed ίη the United States of America. Νο part of this publication may be reproduced, stored ίη a retrieval system or transmitted, ίη any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. 37985

'514. f ΙΙΡ

Copyright © 1981, , Αθήνα. "Ολα τά

ΕΣΠΙ, Ε.

Περσίδης

&

Σία, ΕΕ.

δικαιώματα διατηρουνται.

Τό

βιβλίο αύτό τυπώθηκε στήν

' Απαγορεύονται

ή άνατύπωση ή ή άντι

γραφή μέρους ή όλου του βιβλίου, ή άποθήκευση σέ άρχείο πληροφοριών, ή μετάδοση μέ όποιοδήποτε μέσο έπικοινωνίας (ήλεκτρονικό, μηχανικό, φωτοαντιγραφικό, φωνο γραφικό, κτλ.) χωρίς νά προηγηθεί εγγραφη άδεια του έκδότη. ΕΣΠΙ,

SCHAUM 22

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Τό βιβλίο αύτό απευθύνεται στούς φοιτητές ή τούς μεταπτυχιακούς σπουδαστές πού πα ρακολουθουν ενα έξαμηνιαίο μάθημα στή διαφορική γεωμετρία.

Στό βιβλίο αύτό παρουσιά

ζονται οί θεμελιώδεις εννοιες τής διαφορικής γεωμετρίας τών καμπυλών καί τών έπιφανειών στόν τριδιάστατο Εύκλείδειο χώρο καί δίνονται έφαρμογές τών έννοιών αύτών σέ πολλά πα ραδείγματα καί λυμένα προβλήματα .

.Η

βασική

θεωρία τών διανυσμάτων καί του διανυσματικου λογισμου μιας μεταβλητής

δίνονται στά κεφάλαια Ι καί

στά κεφάλαια

4

καί

5

2.

.Η

εννοια τής καμπύλης έμφανίζεται στό κεφάλαιο

3,

ένώ

αναπτύσσεται ή θεωρία των καμπυλων του Ε3 μαζί μέ όρισμένα θέματα

τής θεωρίας έπαφής πού αποτελεί μιά πολύ φυσική προσέγγιση τής Kλα~ΙKής θεωρίας των καμπυλων .

. Ιδιαίτερη

φροντίδα καταβλήθηκε στόν όρισμότής έπιφάνειας γιά νά μπορέσει ό ανα

γνώστης νά έμβαθύνει στήν έπεξεργασία πρoβλημ~των τής όλικής διαφορικής γεωμετρίας καί

νά προχωρήσει στή μελέτη τής σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας. Συμπληρωματικά στά κεφάλαια 6 καί 7 δίνονται στοιχεία από τήν ά:νάλυση κ:αί τήν τοπολογία. Στό κεφάλαιο 8 δίνεται ό όρισμός τής έπιφάνειας, ένω τά κεφόλαια 9. καί ιο αφιερώνονται στήν ανάπτυξη τής θεωρίας τής μή έσωτερικής γεωμετρίας, στήν ,έισαΥωγική παρουσίαση των τανυστικων

μεθόδων καί σέ μιά έπιλογή θεμάτων τής όλικης θέωρίας των έπιφανειων.

Στό τελευταίο

κεφάλαιο παρουσιάζεται ή βασική θεωρία τής έσωτερικής γεωμετρίας των έπιφανειων. Σ' αύτό τό βιβλίο ύπάρχουν έπίσης πολυάριθμα σχήματα πού βοηθουν τόν αναγνώστη καθώς καί πολλά ακόμη συμπληρωματικά ταξινομημένα προβλήματα, τά όποία βρίσκονται στό τέλος κάθε κεφαλαίου καί δίνουν τήν εύκαιρία στόν αναγνώστη νά έλέγξει αν εχει κα τανοήσει τήν ύλη. Μέ εόχαρίστηση d,νακοινώνω δτι οΙ

Martin Silverstein καί Jih~Shen Chiu μέ βοήθησαν . Επίσης χρωστω εύγνωμοσύνη στούς

μέ τήν κριτική τους καί τίς χρήσιμες ύποδείξεις τους.

Daniel Schaum καί Nicola Monti γίά τή θαυμάσια συνεργασία τους στήν εκδοση αύτή καί Henry Hayden γιά τήν τυπογραφική έπιμέλεια καί τήν καλιτεχνική παρουσίαση των σχημάτων. Τέλος έπιθυμω νά έκφράσω τήν έκτίμησή μου στή γυναίκα μου Sarah γιά τήν στόν

προσεκτική δακτυλογράφηση των χειρογράφων.

Bridgeport, Conn. Μάρτιος 1969

MARTIN

Μ.

LIPSCHUTZ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ Τά τελευταία χρόνια τό βιβλίο εγινε στήν

• Ελλάδα

σχεδόν τό μοναδικό έργαλείο γιά τήν

έκμάθηση ενός έπιστημονικου κλάδου, έκτοπίζοντας κάθε άλλη μορφή προσπελάσεως στή γνώση.

.Η

του

κατάλληλου

πιό

κατοχή μιας άπό τίς βασικές ξένες γλωσσες έξασφαλίζει τή δυνατότητα έπιλογής βιβλίου, μέσα άπό· τήν πλούσια ξένη

βιβλιογραφία.

•Η

παράλληλη

μελέτη περισσότερων δμοειδων βιβλίων διευκολύνει τήν άφομοίωση καί όξύνει τό κριτικό

πνευμα.

' Αντίθετα, ή άγνοια μιας ξένης γλώσσας περιορίζει άπελπιστικά τούς δρίζοντες του

νέου πού καταφεύγει στήν άποκλειστική χρήση των σημειώσεων του καθηγητή.

Γι' αύτό

πιστεύουμε δτι οί μεταφράσεις καλων βιβλίων εΤναι μιά ούσιαστική βοήθεια, άν καί γενικά

εΤναι μιά άχαρη απασχόληση καί στήν ή ανάλογη σημασία.

• Ελλάδα

μιά ύπόθεση δύσκολη, πού δέν τής εχει δοθεί

Μέσα σ' αυτό τό πλαίσιο των προβλημάτων, αποφασίσαμε νά συνερ

γαστουμε μέ τήν εταιρεία ΕΣΠΙ, γιατί ανακαλύψαμε τήν άρτια όργάνωσή της καί τό ύψηλό

αίσθημα έπαγγελματικής εύθύνης των έκπροσώπων της. Τό βιβλίο αύτό κρίθηκε αρκετά κατάλληλο βοήθημα γιά τούς δευτεροετείς φοιτητές μας, πού διδάσκονται τό μάθημα τής κλασικής διαφορικής γεωμετρίας.

Τά εΙσαγωγικά κεφάλαια

πού αφορουν τό διανυσματικό, τανυστικό καί απειροστικό λογισμό, τήν τοπολογία καί τή θεωρία συναρτήσεων βοηθουν στήν κατανόηση των ύπόλοιπων θεμάτων τής διαφορικής γεω μετρίας καί αρκετά εχουν αύτοδύναμη αξία.

Μέ τήν έπαγωγική άνάπτυξη των θεμάτων του,

τήν προσωρινή απομάκρυνση των δύσκολων αποδείξεων (στήν πρώτη συνάντηση του άνα γνώστη

μέ τίς

βασικές εννοιες καί τά αντίστοιχα θεωρήματα) καί τήν έξαιρετικά πλούσια

ποικιλία των παραδειγμάτων καί των έφαρμογων του γίνεται ενα χρήσιμο «βιβλίο άναφορας» γιά τόν 'Έλληνα φοιτητή.

'Από τήν άποψη των άποδείξεων εΤναι πλήρες, γιατί δ συγγραφέας

περιέλαβε στά λυμένα προβλήματα κάθε κεφαλαίου δλες τίς άποδείξεις πού παρέλειψε στήν αντίστοιχη θεωρία.

Στό συμβολισμό άκολουθεί πολύ κλασικά πρότυπα, άΛ.λά στήν έπεξερ

γασία των γεωμετρικων θεμάτων δίνει μέ κατανοητό τρόπο άρκετές εννοιες σέ σύγχρονη μα θηματική γλώσσα καί προετοιμάζει τόν άναγνώστη στήν κατανόηση τής διαφορίσιμης πολ

λαπλότητας καί ένμέρει τής γεωμετρίας σέ αύτήν. Γιά τήν άναγκαία συμπλήρωση των γνώσεων του άναγνώστη μέ βασικές εννοιες, δπως δ τελεστής σχήματος, ή συναλλοίωτη παραγώγιση (μέ τίς έφαρμογές της στή γεωμετρία), ή γενίκευση του

Cartan

στούς τύπους του

Frenet

καί άκόμα γιά περισσότερες έφαρμογές τής

άλικής διαφορικής γεωμετρίας ύποδεικνύουμε δύο έξαιρετικά βιβλία:

τό βιβλίο του Μ. Do Carmo (Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1976) καί του Β. O'Neill (Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York, 1966). ΟΙ εύχαριστίες μας άπευθύνονται σέ πολλούς συνεργάτες καί συναδέλφους μέ τούς ό

ποίους είχαμε ένδιαφέρουσες καί χρήσιμες συζητήσεις σέ έννοιολογικά θέματα καί μεταφρα στικά ή γλωσσικά προβλήματα.

• Αναφέρουμε

Ιδιαίτερα τίς παρατηρήσεις των κ.κ. Σ. Περ

σίδη καί Θ. Χασάνη πού ήταν άρκετές καί εύστοχες.

Εύχαριστουμε έπίσης τήν Ο.Ε.

• Αφοί

Κυριλλόπουλοι γιά τή φωτοστοιχειοθέτηση του έλληνικου κειμένου, τούς Λεούση-Μαστρο

γιάννη γιά τήν έκτύπωση καί τό προσωπικό της έκδοτικής έταιρείας ΕΣΠΙ γιά τή σύνθεση του κειμένου, των τύπων καί τήν άρτια έμφάνιση του βιβλίου.

Μάρτιος

1982

Π.-Δ. ΜΠΟΖΩΝΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο

1

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Εισαγωγή.

Διανύσματα.

μωτό μέγεθος.

Πρόσθεση διανυσμάτων.

Γραμμική έξάρτηση καΙ γραμμική άνεξαρτησία.

Έσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. νατολισμένες βάσεις.

• Εξωτερικό

1

Πολλαπλασιασμός διανύσματος μέ βαθ

Κάθετα διανύσματα.

γινόμενο διανυσμάτων.

Βάσεις καί συντεταγμένες.

Όρθοκανονικές βάσεις.

Προσα

Μικτό γινόμενο καΙ διανυσματικές

ταυτότητες.

Κεφάλαιο

2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ.......... Εύθείες καί έπίπεδα.

ρια.

• Ιδιότητες

κλάσεως

Κεφάλαιο

3

Περιοχές.

τών δρίων.

Cm. • Ο

Διανυσματικές συναρτήσεις.

Συνέχεια.

τύπος τοϋ

Taylor.

παραμετρικές

παραστάσεις.

πλεγμένες παραστάσεις καμπυλών. τόξου.

4

καμπύλες.

• Ορθογώνιες

Κανονικές καμπύλες κλάσεως

Μον.1διαίο έφαπτόμενο διάνυσμα.

Πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα.

κάθετος.

Κινούμενο τρίεδρο.

Cm.

προβολές.

43

Πε

Όρισμός τοϋ μήκους

Στρέψη.

Έφαπτομένη καΙ κάθετο έπίπεδο.

Πρώτη κάθετος καί έγγύτατο έπίπεδο.

οι έξισώσεις τοϋ

• Εγγύτατες

Frenet.

Κανονική

Δεύτερη

Σφαιρικές δείκτριες.

Φυσικές έξισώσεις.

μορφή

61

Καμπυλό-

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ............................................... δικότητας.

~~ ~~ <;.)~ ~~/ι.,.~

Κανονικές

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ............................................ τητα.

5

Συναρτήσεις

συναρτήσεις.

Τό μη κος τόξου ώς παράμε~ρoς.

Εισαγωγή.

Κεφάλαιο

Κανόνες παραγωγΙσεως.

21

-Ο-

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ............................................. Κανονικές

Κεφάλαιο

ΠαραΥώγιση.

• Αναλυτικές

Φραγμένες συναρτήσεις.

καμπύλης.

80

Τό θεμελιώδες θεώρημα ύπάρξεως καί μονα

Ένειλιγμένες.

Έξειλιγμένες.

Θεωρία

έπαφης .

καμπύλες καί έπιφάνειες.

\i~

Κεφάλαιο

(j

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ...................... ΕΙσαγωγή.

• Ανοικτά

παγή σύνολα.

σύνολα.

Κλειστά σύνολα.

Συνεχείς άπεικονίσεις.

• Οριακά • ΟμοιομορφισμοΙ

σημεία.

Συνεκτικά σύνολα.

102

Συμ-

<:)

·~i \(-ιJ

Κεφάλαιο

~

7

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ........ Διανυσματικές συναρτήσεις.

κατεύθυνση.

L

σεις.

Γραμμικές άπεικονίσεις.

Συνέχεια καί δρια.

Παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις.

Διανυσματικές συναρτήσεις κλάσεως

στροφης συναρτήσεως.

Cm. •Ο

Παράγωγος κατά

Σύνθετες διανυσματικές συναρτή-

τύπος τοϋ

Taylor..

θεώρημα της άντί

121

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο

8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ .......................................... ' Κανονικές παραμετρικές παραστάσεις.

έπίπεδο καί κάθετος.

Κεφάλαιο

9

Μήκος τόξου καί έμβαδόν έπιφάνειας.

Γραμμές καμπυλότητας.

Τύπος τού

171

Δεύτερη θεμελιώδης μορφή.

Κύριες καμπυλότητες καί κύριες διευθύνσεις.

καί μέση καμπυλότητα. μές.

150

Έφαπ,όμενο

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ .......................... Κάθετη καμπυλότητα.

10

'Ορισμός άπλής έπιφάνειας.

Τοπολογικές ίδιότητες άπλων έπιφανειων.

Πρώτη θεμελιώδης μορφή.

Κεφάλαιο

Τμήματα.

Καμπυλότητα τού

Gauss

• Ασυμπτω,ικές

γραμ-

Rodrigues.

Συζυγείς οίκογένειες γραμμων.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ. οι έξισώσεις των

Gauss.

Gauss-Weingarten.

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ .................. ΟΙ έξισώσεις συμβιβαστότητας καί

Τό θεμελιωδες θεώρημα των έπιφανειων.

Συμβολισμός.

Στοιχειώδεις

πολλαπλότητες.

τό θεώρημα

201

τού

Μερικά όλικά θεωρήματα των έπιφανειων.

Τανυστές.

Τανυστική

άλγεβρα.

Έφαρμογές

των τανυστων στή θεωρία των έπιφανειων.

Κεφάλαιο

11

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Απεικονίσεις

έπιφανειων.

καμπυλότητα.

μένες.

1

Παράρτημα ιι

Γεωδαισιακές.

άπεικονίσεις.

. Εσωτερική

Γεωδαισιακές συντεταγμένες.

Τόξα έλάχιστου μήκους.

ρημα των

Παράρτημα

. Ισομετρικές

γεωμετρία.

227

Γεωδαισιακή

Γεωδαισιακές πολικές συντεταγ-

Έπιφάνειες μέ σταθερή καμπυλότητα τού

Gauss.

Τό θεώ-

Gauss-Bonnet.

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΕΩΣ ΚΑΜπν ΛΩΝ

............ ... ..................

263

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΕΩΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ................................

264

ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ....................................................

267

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

273

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

.Η

κλασική διαφορική γεωμετρία μελετάει τά γεωμετρικά άντικείμενα μέ τή βοήθεια κυρίως

των μεθόδων του άπειροστικου λογισμου.

Ειδικά ή εισαγωγική θεωρία έρευνα τίς καμπύλες καί

τίς έπιφάνειες πού βρίσκονται στόν Εύκλείδειο χωρο Ε3.

Οί ιδιότητες των καμπυλων καί των έπιφανειών, πού έξαρτωνται μόνο απο τά γειτονικά σημεία ενός δοθέντος σημείου, ονομάζονται τοπικές ιδιότητες. λείται ή τοπική διαφορική γεωμετρία.

Μέ τή μελέτη των τοπικων ιδιοτήτων άσχο

Οί ιδιότητες πού άναφέρονται σ' όλόκληρο τό γεωμετρικό

άντικείμενο ονομάζονται όλικές ίδιότητες.

Μέ τή μελέτη των όλικών ιδιοτήτων καί μέ τή σχέση

τους μέ τίς τοπικές ίδιότητες άσχολείται ή όλική διαφορική γεωμετρία. Παράδειγμα

CQR

καθώς τά

άκτίνα της

"Εστω

1.1.

περιφέρεια πού

C

Q

καί

R

δύο σημεία μιας έπίπεδης καμπύλης Γ, γειτονικά ένός σημείου Ρ, καί

διέρχεται άπό τά Ρ,

Q

καί

R

Q

καί

τείνουν στό Ρ.

R,

δπως φαίνεται στό Σχ.

ι-ι.

Γενικά, τό δριο εΙναι μιά περιφέρεια

όνομάζεται άκτίνα καμπυλότητας της

r

στό Ρ.

•Η

Παράδειγμα

1.2.

C

r

έφαπτόμενη της

r

στό Ρ.

Ή

πού εΙναι γειτονικά του Ρ.

Σχ.I-2

1-1

Ή λωρίδα του

ή

άκτίνα καμπυλότητας εΙναι εννοια πού έκφράζει

μιά τοπική ίδιότητα της καμπύλης, γιατί έξαρταται μόνο άπό τά σημεία της

Σχ.

C QR

Θεωρουμε τό δριο τών περιφερειών

Moebius

(Σχ.

Ι-2) εΙναι ενα παράδειγμα έπιφάνειας μιας όψεως.

Ή εννοια της

«μιας όψεως» έκφράζει μιά όλlκή Ιδιότητα του σχήματος, γιατί έξαρταται "άπό τή φύση δλόκληρης της έπιφάνειας.

Παρατηρουμε ότι ενα μικρό τμημα της έπιφάνειας πού περιέχει τυχόν σημείο της μέ δύο όψεις, δηλαδή τοπικά ή λωρίδα του

Moebius

Ρ εΙναι μιά «κανονική .. έπιφάνεια

εχει δύο όψεις.

Πρώτα έξετάζουμε τοπικές ίδιότητες τών καμπυλών καί τών έπιφανειών καί μετά έφαρμόζουμε τά συμπεράσματα της μελέτης σέ προβλήματα της όλικης διαφορικης γεωμετρίας.

' Αρχίζουμε

μελετώντας τά διανύσματα του Ε3.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Είναι γνωστό ότι ό Εύκλείδειος χωρος Ε3 άποτελείται άπό τό σύνολο τών διατεταγμένων τρι

άδων

8

= (αι, α2, a3),

όπου aι,~, αΒ είναι πραγματικοί άριθμοί.

Μιά διατεταγμένη τριάδα λέγεται

διάνυσμα ή σημείο του Ε3 καί συμβολίζεται γενικά μέ 8, b, C, Χ, Υ, ... ή άκόμα μέ Ρ, Q, άντίθετο ενός διανύσματος

νυσμα είναι τό διάνυσμα Ο 8

= (α1, α2, α3)

181 ~ Ο, ένώ 181

a =

είναι τό διάνυσμα

(Ο, ο, Ο).

' Επίσης

είναι ό πραγματικός άριθμός

= Ο,

έάν καί μόνο έάν

8

= Ο.

-a,

όπου

-a =

(-aι,

-a2, -α3).

R, . . .• Τό

Τό μηδενικό διά

είναι γνωστό ότι τό μήκος ή μέτρο ενός διανύσματος

lal = Vαi + a~ + α~. 1

Προφανώς εχουμε πάντοτε

ΚΕΦ.

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

2

ι.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Τό άθροισμα δύο διανυσμάτων

= (α ι, α2, aa)

a

καί

b

= (b

t,

b2, b a)

του

Ea

εΙναι τό διάνυσμα πού

όρίζεται άπό τή διατεταγμένη τριάδα

Ή διαφορά των διανυσμάτων

a + b = (αι + b t , α2 + b2, aa + ba) b εΙναι τό διάνυσμα a - b = a + (-b).

καί

a

Στό Πρόβλημα

1.1

άποδεικνύεται δτι ή πρόσθεση διανυσμάτων ίκανοποιεί τίς ίδιότητες

a +b = b (a + b) + c

[Αι] [Α 2 ]

+a

(άντιμεταθετική ίδιότητα)

=

(προσεταιριστική ίδιότητα)

a + (b + c) Ο + a = a γιά κάθε a a + (-a) = Ο γιά κάθε a

[Α 3 ] [Α 4 ] Παράδειγμα

Παράδειγμα

a = (Ι, -2, Ο) ιcαί b = (Ο, Ι, Ι). Τότε a + b = (Ι,-Ι,Ι), -a = (-Ι,2,0), b - a

"Εστω

1.3.

= (-Ι, 3, Ι), IaI =...;5.

Χρησιμοποιώντας τίς ίδιότητες [Αι] μέχρι ιcαί [Α 4 ] εχουμε γιά τά τυχόντα διανύσματα

1.4.

a + (b - a) Συνεπώς ή διανυσματιιcή έξίσωση εΙναι μoναδιιcή.

=

εχει μία λύση, τήν χ

Γιατί, αν ύπηρχε ΙCαί μιά αλλη

=

(-a) + a + Υ

a + (-a) + b = 0+ b = b = b - a. •Aπoδειιcνύεται ότι λύση, δηλαδή αν a + Υ = b, τότε b - a η Ο + Υ = b - a η Υ = b - a

(-a) + b

=

b

=

a + (b + (-a»

+χ = b

a

ιcαί

a

ή λύση αύτή

. Εάν

δοθουν δύο σημεία Ρ καί Q του Ea (δηλαδή δύο διανύσματα Ρ Q), συμβολίζουμε μέ PQ τή διαφορά τους Q - Ρ, πού εΙναι μιά δια

καί

τεταγμένη τριάδα, καί παριστάνουμε τό

άπό τό Ρ πρός τό

Q,

του

έννοουμε

Ρ άπό

τό

Q

= IQPI, ένω ΡΡ = Ο γιά κάθε

IPQI

Παράδειγμα

=

τό

= P'Q'

PQ

μέ ενα βέλος πού διαγράφεται

μήκος

Μέ τόν δρο άπόσταση

1-3.

Προφανως

IPQI.

έάν καί μόνο έάν Q - Ρ

=

PQ = -QP, Q' - Ρ', καί

Σχ. I -3

Ρ.

"Εστω

1.5.

Σχ. 1-4. Τότε a+b

PQ

δπως φαίνεται στό Σχ.

a

= PQ,

PQ+QR

= PS +

a + b + c+ d

= QR

ιcαί

c

= Μ,

= Q-P+R-Q =

= ΡΚ+Μ

a+b+c

b

d

= SP,

R-P

=

όπως. φαίνεται στό

= R-P+S-R = S-P

= PS = -d

SP

=S-

Ρ+ Ρ- S

Q

b

~H PK~ c

=Ο

Ρ----..----

S

Σχ. 1-4

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΒΑΘΜΩΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ

'Εάν k εΙναι ενας ka ώς τό διάνυσμα Προφανως Στή

Oa

= kO = Ο

μελέτη

a = (αι, a2, aa) ενα διάνυσμα, όρίζουμε τό γινόμενο (kat, ka2, ka3)

πραγματικός άριθμός καί

ka γιά κάθε

k

καί

a.

των διανυσμάτων άναφέρουμε συνήθως τοός πραγματικούς άριθμούς μέ τόν δρο

βαθμωτά μεγέθη.

Ή πράξη πού δίνει τό γινόμενο

ka

όνομάζεται καί πολλαπλασιασμός διανύσματος

μέ βαθμωτό μέγεθος. Στό Πρόβλημα

1.4

άποδεικνύεται δτι ό πολλαπλασιασμός διανυσμάτων μέ βαθμωτά μεγέθη Ικα

νοποιεί τίς ίδιότητες

[Β ι ]

=

k t (k2a)

(k t + k 2)a k(a+b)

=

a

Τελικά, αν

a

[Β 3 ]

1a

(k t k 2 )a

=

k t k2 a

=

kta + k 2a ka + kb

= (aι, a2, aa),

τότε

(έπιμεριστικές ίδιότητες)

ΚΕΦ.1

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

3

Ikal = V(kαl)2 + (kα2)2 + (kα3)2 = νΕτσι, γιά κάθε k καί a εχουμε Ikal = Ikllal Παράδειγμα 1.6. -Εστω a = (1,,,.,0) καί b = (0,2,-1). -Εχουμε 2a = (2,2".,0), a - 3b

= (1, ". -

Παράδειγμα

U2 + U3.

(1.1) (-1)a

= (-1,-".,0) = -a καί

6, 3). Δίνονται τά διανύσματα υι,

1.7.

= υι -

u 2, U3 καί θεωροϋμε τά a

2U2, b

= -U2 +

2U3 καί c

= υι

+

b,

αν

-Εχουμε

a - 2b - c = (υι - 2U2) - 2(-U2 + 2U3) - (υι + U2 + U3) = υι - 2U2 + 2U2 - 4U3 - υι - U2 - U3 = -U2 - 5U3 'Ένα διάνυσμα

γιά κάποιο

λέμε δτι εχει τήν ίδια διεύθυνση καί φορά μέ ενα μή μηδενικό διάνυσμα

a

~ Ο εχουμε

k

a =

kb. .Εάν

τό

a

εχει τήν ίδια διεύθυνση καί φορά καθώς καί τό ίδιο

=

=

=

=

b, τότε άπό τή σχέση (Ι.Ι) εχουμε lal Ikllbl klbl Ibl. Δηλαδή k 1 καί τό a b. Έπομένως, ενα διάνυσμα όρίζεται μονοσήμαντα άπό τή διεύθυνση, τή φορά καί τό μήκος του. . Εάν a = kb, b ~ Ο καί k ~ Ο, τότε τό a εχει τήν ίδια διεύθυνση άλλά άντί θετη φορά μέ τό b. Τέλος, αν a = Ο ή b = Ο ή αν τό a εχει τήν ίδια διεύθυνση (καί τήν ίδια ή άντίθετη φορά) μέ τό b, μέ αλλ α λόγια αν είναι a = kb γιά κάποιον πραγματικό άριθμό k, τότε τά a καί b λέγονται συγγραμικά ή παράλληλα. μήκος μέ τό

είναι ίσο μέ τό

'Ένα διάνυσμα U πού εχει μήκος ίσο μέ τή μονάδα όνομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα.

Γενικά,

συμβολίζουμε μέ Ua τό μοναδιαίο διάνυσμα πού εχει τή διεύθυνση καί τή φορά ενός μή μηδενικοϋ

διανύσματος

a.

Προφανώς αυτό προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουμε τό Ua

=

εχουν

άντίθετη

=

φορά.

Τό

μοναδιαίο

διάνυσμα

μέ τό

1/lal,

δηλαδή

= a/lal

Παράδειγμα 1.8. Έστω a (1, -1, 3), b (2, -2, 6) καί c b ε{ναι συγγραμμικά καί εχουν τήν ίδια φορά. Έπειδή b καί

a

πού

(1.2)

= (-3,3, -9).

=

Έπειδή a !b, τά διανύσματα a καί -(2/3)c, τά διανύσματα b "Καί c ε{ναι συγγραμμικά εχει τή διεύθυνση καί τή φορά του a ε{ναι τό

=

u. = a/lal = (1/v'll, -1/v'll, 3/v'll). Παράδειγμα

Στό τρίγωνο ΟΑΒ (Σχ.

1.1).

Μ τό μέσο της πλευράς ΑΒ. βοήθεια τών

εστω

1-5)

a = ΟΑ, b = 08 καί

~M

Τό διάνυσμα ΟΜ μπορεί νά έκφραστεί μέ τή

a καί b ώς έξης: ΟΜ

a

+

ΑΜ

=

+ !(b !a +!b

a

a

+

O~B

!ΑΒ

a) = a

+ !b -

!a

Σχ.

1-5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

• Ορίζουμε

τώρα τίς πολύ σημαντικές εννοιες τής γραμμικής έξαρτήσεως καί γραμμικής άνε

ξαρτησίας διανυσμάτων. άριθμοί (βαθμωτά μεγέθη)

Τά διανύσματα Ut, U2, ••• ,

k t , k 2,

••• ,

k ..

kIuI Τά διανύσματα Ul, U2, ••• ,

u"

u ..

λέγονται γραμμικώς έξάρτημένα, αν ύπάρχουν

πού δέν εΙναι όλοι μηδέν καί {κανοποιοϋν τή σχέση

+ k 2u2 + ... + k ..u..

kt

= k = ... = k .. = Ο. 2

Ο

(1.3)

λέγονται γραμμικώς α.νεξάρτητα, δταν δέν είναι γραμμικώς έξαρτημένα.

Δηλαδή, τά Ut, U2, ••• , U" είναι γραμμικώς άνεξάρτητα, αν ή άριθμούς

=

(1.3)

ίκανοποιείται

μόνο άπό τούς

ν Ας σημειωθεί δτι, αν στά διανύσματα ενός συνόλου περιέχεται

τό μηδενικό διάνυσμα, τότε τά διανύσματα αυτά είναι γραμμικώς έξαρτημένα, γιατί πάντα μποροϋμε

νά γράψουμε

... + OU.. = Ο. διανύσματα a = (1, -1, Ο),

10 + OUl +

Παράδειγμα

1.10.

2a+b-c =

ο.

Τά

b

= (0,2, -1), c = (2, Ο, -1)

εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα, άφοϋ

=

Παράδειγμα

=

1.11. 'Υποθέτουμε δτι τό διάνυσμα a ε{ναι συγγραμμικό μέ τό b. Τότε ή a Ο ή b Ο ή a - kb = Ο, όπότε τά a, b εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα. . Αντίστροφα, ύποθέτουμε δτι τά a καί ε{ναι γραμμικώς έξαρτημένα. Τότε kta + k 2b Ο, δπου ~νας τουλάχιστον άπό τούς πραγματικούς άριθμούς ε{ναι διαφορετικός άπό τό μηδέν, ~στω kt"'" Ο. • Αλλά τότε a -(kJkt)b. . Επομένως, δύο διανύσματα ε{ναι γραμμικώς

a b

= kb, δηλαδή

=

έξαρτημένα, έάν καί μόνο έάν ε{ναι συΥγραμμικά.

=

, 4

Κ Ε Φ:

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

Στό Πρόβλημα

1

δείχνουμε τήν παρακάτω αξιοσημείωτη ιδιότητα τών γραμμικώς άνεξάρτη

I.lO

των διανυσμάτων:

Θεώρημα Ι.Ι.

'Εάν ενα διάνυσμα εκφράζεται ώς γραμμικός συνδυασμός γραμμικώς ανεξάρτητων

διανυσμάτων, τότε ή Εκφραση

αύτή

εΙναι μοναδική.

Δηλαδή, αν Ut, U2, ... , U n εΙναι γραμμικώς

ανεξάρτητα διανύσματα καί αν

U

τότε k t

= k;,

k2

=

= k~,

ktut

+ k 2u2 + ... + knu..

... , k ..

= k~.

ΒΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Τά

τρία

διανύσματα el

Πράγματι, επειδή ktet νουμε δτι k t

a2e2

+

= (1, ο, Ο),

+ k 2e2 + k 3e3

= k 2 = k 3 = Ο.

e2

= (Ο, 1, Ο) καί

e3

= (Ο, Ο, 1)

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

= (k t , k 2 , k 3 ), από τή σχέση ktet

' Επίσης,

κάθε διάνυσμα a

= (αι, a2, α3)

+ k 2e2 + k 3e3 =

Ο

μπορεί νά γραφεί a

συμπεραί

=

+

alel a3e3, δηλαδή ώς γραμμικός συνδυασμός τών et, e2 καί e3, όπότε από τό Θεώρημα Ι.Ι επεται

δτι ή παράσταση αυτή εΙναι μονοσήμαντα όρισμένη. Γενικά, ενα σύνολο διανυσμάτων Β λέγεται βάση τοϋ Ε3, αν

(i)

κάθε διάνυσμα τοϋ Ε3 μπορεί

νά γραφεί ώς γραμμικός συνδυασμός τών διανυσμάτων τοϋ συνόλου Β καί (ίί) τά διανύσματα τοϋ συνόλου Β είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Στό Πρόβλημα Θεώρημα Ι.2.

Ι.ΙΙ δείχνουμε τό έπόμενο θεώρημα:

Κάθε τριάδα γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων όρίζει μιά βάση τοϋ Ε3.

' Αντί

στροφα, κάθε βάση τοϋ Ε3 αποτελείται από τρία γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα.

'Έστω Ut, U2, U3 μιά

συντομία γράφονται α;,

βάση

i

τοϋ Ε3 καί

= 1,2,3, λέγονται

a

= alUl + a2U2 + a3U3.

Οί

αριθμοί aι, α2,

συντεταγμένες τοϋ διανύσματος

a

a3,

πού

γιά

ώς πρός τή βάση Ut,

UZ,.U3.

, Από

τό Θεώρημα

Ι.Ι προκύπτει δτι οί συντεταγμένες ένός διανύσματος ώς πρός μιά δοθείσα

βάση εΙναι μονοσήμαντα όρισμένες.

Τέλος, ας σημειωθεί δτι οί συντεταγμένες ένός διανύσματος

εξαρτώνται από τήν εκλογή της βάσεως καί δτι γενικά αλλάζουν, δταν αλλάζουμε βάση.

' Εξαί

ρεση αποτελεί τό διάνυσμα Ο, τοϋ όποίου οί συντεταγμένες εΙναι πάντα Ο, Ο, Ο. Γενικά, συμβολίζουμε τίς συντεταγμένες τών διανυσμάτων

μέ αί,

Παράδειγμα διανύσματα

1.12. "Εστω υι, U2, U3 μιά βάση καί a a, b, c εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα καί kta

• Επειδή

+ k 2b + k 3c =

ώς πρός δοθείσα βάση

= 2υι -

+ 3k3)ut +

(2k t

u2' b

= U2 -

2u3, C

(-k l

+ k 2)U2 +

Θά δείξουμε δτι τά

Πράγματι, ύποθέτουμε δτι

(-2k 2 + k 3 )U3

+ 3k3 =

Ο,

-k l

+ k2 =

Ο,

-2k2

+ k3 =

αύτό εΙναι ενα σύστημα τριών όμογενών γραμμικών έξισώσεων ώς πρός

τών συντελεστών του εχουμε

det

(

2 -1

=

Ο

Ο

kt k2 Παρατηροϋμε δτι οΙ συντεταγμένες των

V2 Vs

γιά τήν όρίζουσα

1

a, b, c

Συνεπώς, τά διανύσματα

+ a2lU2 + a3lU3 = al2U! + a22U2 + aS2U3 = al3U! + a23U2 + a33U3 al1U!

a, b, c

εΙναι γραμμικώς άνε

άποτελοϋν τίς στήλες τής παραπάνω όρίζουσας.

"Εστω Ut, U2, U3 μιά βάση τοϋ Ε3 καί νι

. Επειδή

-2

Τό παράδειγμα αύτό μας όδηγεί στό ακόλουθο γενικό θεώρημα: Θεώρημα Ι.3.

Ο

k t , k 2 , k 3•

Ο

= = k 3 == Ο.

ή μοναδική λύση τοϋ συστήματος εΙναι ξάρτητα.

= 3υι + u3'

συνεπώς άποτελοϋν μιά βάση.

τά υί εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα, επεται δτι

2k t . Αλλά

a, b, Χ, Υ, u, ...

b i , Χί, Υί, 14, .•••

ΚΕΦ.Ι

5

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

3

ή συνοπτικά V; = Σ a;;ui, j = 1,2,3. έάν ;=1

Τότε τά διανύσματα νι, V2, V3 όρίζουν μιά βάση, έάν καί μόνο

det

(

αιι ο

α2Ι α3Ι

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Έσωτερικό ή άριθμητικό γινόμενο δύο διανυσμάτων

a

= (αι, α2,α3)

καί

b

= (b t , b2, b3) καλείται

ό

πραγματικός άριθμός

Είδικά, αν

a

= b,

εχουμε

(1.4) Στό Πρόβλημα

1.14 δείχνουμε δτι τό έσωτερικό γινόμενο ίκανοποιεί τίς έξης ίδιότητες:

[Cl]

a· b = b· a

[C 2 ]

(ka) . b

[C3 ]

a· (b + c)

[C 4 ]

Τό έσωτερικό γινόμενο είναι θετικά όρισμένο. (ί)

(k

k(a· b)

=

= βαθμωτό

a· b + a· c

~ Ο

γιά κάθε

(ii) a· a

=Ο

έάν καί μόνο έάν

b· b

=Ο

άπό

τόν όρισμό εχουμε

= (-2,1, Ο)

"Εστω a

Παράδειγμα

Δίνονται τά διανύσματα

=

= ο. a· Ο = Ο a

καί συνεπώς άπό τήν [C4](ii) είναι

1.14.

(UI - U2) • (2υι

Στό Πρόβλημα

1.16

Αυτό σημαίνει δτι

a

Παράδειγμα 1.13.

a •b

μέγεθος)

(έπιμεριστική ίδιότητα)

a· a

Προφανώς,

τότε

=

(συμμετρική ίδιότητα)

+ U2)

καί b

=

γιά κάθε

b

= (2,1,1).

Τότε a· b

2υι· υι -

2ul· U2

+

υι· U2 -

Ja· bJ ~ JaJJbJ a καί b είναι

καί

αν

a· b

καί a· a

=Ο

γιά κάθε

a,

= 5 = lal 2•

+ u2'

Τότε

U2· U2

Cauchy-Schwarz

δπου ή ίσότητα ίσχύει, εαν καί μόνο εαν τά

a

= -3

UI. u2 καί τά a = UI - U2. b = 2uI

δείχνουμε τήν άνισότητα, τών

δύο μή μηδενικών διανυσμάτων

. Επίσης,

a.

= ο.

γραμμικώς έξαρτημένα.

b, ή όποία συμβολίζεται μέ θ

= ~(a, b),

Ή γωνία μεταξύ

είναι ή μοναδική λύση

της έξισώσεως

(1.5)

a' b = JaJJbJ cos θ γιά Ο ~ θ ~ 7Γ. Παράδειγμα

c

1.15.

Στό τρίγωνο

ABC

(Σχ.

= ΒΑ = a - b καί = 4ACB = 4(a, b). Icl 2 = la - bl 2 = (a - b) • (a - b) (J

1-6) θέτουμε a

= BC, b = AC,

'Εάν πάρουμε τό μέτρο

a' a - 2a· b

+

b· b

Β

εχομμε τελικά τό νόμο των συνημιτόνων Σχ.

~Eστω

. Η (άριθμητική) προβολή του aστό b, πού συμβολίζεται μέ P b (a), είναι ό άριθμός Pb (a) Ξ (a' b)/Ibl. Τό διάνυσμα P b (a)ub' δπου Ub είναι τό μοναδιαίο διά νυσμα πού έχει τή διεύθυνση καί τή φορά του b, λέγεται διανυσματική προβολή του aστό b καί συμ βολίζεται μέ P b (a). Προφανώς είναι b

ενα μή μηδενικό διάνυσμα.

1-6

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

6

ΚΕΦ.Ι

(a' b)b

(1.6)

\bj2 Έπίσης

=Ο

P b (Ο)

cos θ καί P b (a)

καί

= Ο.

P b (Ο)

= lal cos θUb,

Έάν

σπου θ

a """

έξαρτώνται άπό τή διεύθυνση τοϋ διανύσματος φαίνεται καί στό Σχ. εχουμε

•Ο

Συνεπώς, ό άριθμός

b,

Έπίσης τό διάνυσμα

1-7.

(1.5) εχουμε P b (a) = lal· P b (a) καί τό διάνυσμα Pb (a)

Ο, τότε άπό τήν έξίσωση

= 4(a, b).

άλλά δέν έξαρτώνται άπό τό μήκος του, σπως

P b (a)

εΙναι άνεξάρτητο τής φοράς τοϋ

b,

άφοϋ

a'(-b)(_b) l-bl 2

άριθμός σμως

άλλάζει πρόσημο, σταν άλλάξουμε τή φορά τοϋ

Pb (a)

b.

b

b

Σχ.

1-7

ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δύο

διανύσματα

a

b λέγονται κάθετα η όρθογώνια καί συμβολίζουμε a.l b, αν a' b = Ο. (1.5) εχουμε στι τά a καί b εΙναι κάθετα, έάν καί μόνο έάν άληθεύει σχέσεις a = Ο, b = Ο, θ = 4(a, b) = 70/2.

καί

Συνεπώς, άπό τήν έξίσωση

μία τουλάχιστον άπό τίς Παράδειγμα μή

"Εστω

1.16.

a

καί

c = a - Pb (a). Τότε τό c εΙναι ενα b. Πράγματι, αν ύποθέσουμε ότι c = Ο, τότε άπό τήν έξίσωση (1.6) ~χoυμε k = {a' b)/lbI 2 • Αύτό εΙναι άδύνατο, γιατί τά a, b εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα. b

δύο γραμμικώς άνεξάρτητα διανύσματα καί

μηδενικό διάνυσμα κάθετο στό

= 1a - Pb (a) = la - kb, όπου · Επομένως c #- Ο. . Επίσης εχουμε

Ο

= Συνεπώς

(a - (a'b)b) • b

Ibl2

=

a' b _ ..:....{a_.-.,b;'7){"...b_·b....:..)

Ibl 2

(a' b) -

(a' b)

=

Ο

c.l b.

ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΒΑΣΕΙΣ WΕστω

el, ez, e3

τρία διανύσματα κάθετα μεταξύ τους άνά δύο καί

μοναδιαία, όπως φαίνεται στό Σχ.

Ο

= ej' Ο =

θε ί.

1-8.

Τά διανύσματα αύτά εΙναι γραμ

kIeI + k~2 + kaea = Ο, τότε εΙναι ej' (kIeI + k~2 + k3e3) = ej' kIe; = k i , δηλαδή k ; = Ο γιά κά

μικώς άνεξάρτητα.

Πράγματι, αν

Συνεπώς όρίζουν μία βάση, πού όνομάζεται όρθοκανονική.

Παρατηροϋμε δηλαδή στι τά διανύσματα

ei,

ί

= 1,2,3,

όρίζουν μιά

όρθοκανονική βάση, έάν καί μόνο έάν

el • el = e2' e2 = e3' e3

=

e2' ea

=

el' ea

η, πιό σύντομα,

ej' ej

•Η

=

1

(μοναδιαία διανύσματα)

Ο

(κάθετα μεταξύ τους άνά δύο)

1, έάν j = ί = δι] = { Ο, έάν j -F ί

συνάρτηση δϊ] (τών δύο μεταβλητών ί,

καί τήν χρησιμοποιοϋμε συχνά.

(i,j = 1,2,3)

Σχ. l -8

(1.7)

j) λέγεται σύμβολο τοϋ Kronecker η δέλτα τοϋ Kronecker

ΚΕΦ.1

Στό Πρόβλημα Θεώρημα

b2t'2

7

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

νΕστω

1.4.

+ b3e3

1.23

άποδεικνύεται τό άκόλουθο θεώρημα:

eI, e2, e3 μιά όρθοκανονική βάση καί a

δύο διανύσματα.

(ί)

(ίί)

Τότε

a .b lal

(ίίί) aι

=

Q1

bI

+ Q 2 b2 + Q 3 b3 =

Q3e3, b

bIeI

+

= ya:a = yIα~ + α; + α; = ~ ί~ af =

= 1,2,3).

(ί

a· et,

u. =

(e)

cos 4-(a, b) =

(b)

+

Σ aιb ;

(d)

(α)

νΕστω

Q2e2

Ι=1

(c)

1.17.

+

3

+ 2e3, b = 2e I + e2 - 2e3 καί c = a· b = (1)(2) + (0)(1) + (2)(-2) = -2 (a· c)b = [(1)(0) + (0)(-2) + (2)(1)] (2eI + e2 - 2e3) lal v'1 2 + 22 = V5

Παράδειγμα

Qlel

a = eI

-2e 2 + e3'

Τότε

1:1 = (l/V5)eI + (2IV5)e3 a ·.b -Ι-11-1 a b

-2

= -3/5

νΕστω a = QIeI + 02e2 + Q3e3 ενα μή μηδενικό διάνυσμα καί = 4-(a,et), ί = 1,2,3, όπως φαίνεται στό Σχ. 1-9. Τά βαθμωτά μεγέθη cos θι, cοsθ2, COS θ 3 όνομάζονται συνημίτονα κατευθύνσεως (ή συνημίτονα διευθύνσεως) του a. Έπειδή a· e; = ial cos θ ι = αι,

θι

εχουμε

V

cos θι = at/lal,

ί =

1,2,3

Ας σημειωθεί δτι

a

αι

α2

\a\ =\a\ eI (cos θ ι )eι Δηλαδή

τά

συνημίτονα

+ r;ι e2 +

α3

\al e3

Σχ.

1-9

+ (cos θ2)e2 + (cos θ3)e3

κατευθύνσεως του

πού εχει τή διεύθυνση καί τή φορά του

a a.

εΙναι οί συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΕΝΕΣ ΒΑΣΕΙΣ

Ύποθέτουμε δτι

(eI, e2, e3), (gl, g2, g3) εΙναι δύο διατεταγμένες όρθοκανονικές βάσεις και οτι ή

τριάδα (gl, g2, g3) στρέφεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε τά gl καί g2 νά συμπέσουν μέ τά el καί e2 άντίστοιχα.

Τότε τό

g3 ή θά συμπέσει μέ τό e3, όπότε λέμε δτι ή βάση (gl, g2, g3) εχει τόν ίδιο (el, e2, e3), ή τό g3 θά εχει άντίθετη φορά μέ τό e3, όπότε λέμε δτι οί

προσανατολισμό μέ τή βάση

βάσεις εχουν άντίθετο προσανατολισμό.

Διατυπώνουμε τώρα τήν εννοια τοϋ προσανατολισμοϋ πλη

ρέστερα, ώστε νά περιλαμβάνει όποιεσδήποτε βάσεις (όχι μόνο τίς όρθοκανονικές). 3

νΕστω (Ul, U2, υa) καί (νι, ν2, ν3) δύο διατεταγμένες βάσεις καί ν; = Σ aιjUi. Λέμε δτι ή βάση (νι, V2, ν3) εχει τόν 'ίδιο προσανατολισμό μέ τή βάση (Ul, Uz, ns), αν

1.27

Ι=1

det (aιi)

> Ο.

Στό Πρόβλημα

δείχνουμε ότι ή συνθήκη αύτή όρίζει μιά σχέση Ισοδυναμίας στό σύνολο όλων των διατεταγ

μένων βάσεων τοϋ Έ3.

σεις ίσοδυναμίας.

Ή σχέση αύτή διαιρεί τό σύνολο των διατεταγμένων βάσεων σέ δύο κλά

Διατεταγμένες βάσεις πού άνήκουν στήν ίδια κλάση εχουν τόν ίδιο προσανα

τολισμό, ένω διατεταγμένες βάσεις πού άνήκουν σέ διαφορετικές κλάσεις εχουν άντίθετο προσανα

τολισμό. Στή

Συνήθως θέτουμε τίς προσανατολισμένες βάσεις μέσα σέ παρένθεση. συνέχεια, γιά νά μποροϋμε νά διακρίνουμε πρακτικά τό εΙδος τοϋ προσανατολισμοϋ πού

εχει μιά διατεταγμένη βάση, λέμε δτι ή βάση

(Ul, U2, υa) εΙναι δεςιάστΡοφη, αν τά τρία διανύσματά

της εχουν τήν ίδια διεύθυνση καί φορά μέ τή διεύθυνση καί φορά τοϋ άντίχειρα, τοϋ δείκτη καί

του μεσαίου δακτύλου του δεξιου χεριου άντίστοιχα, διαφορετικά λέμε δτι ή βάση εΙναι άριστερό στροφη.

., 8 Παράδειγμα Σχ.

ΚΕΦ.Ι

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

1.18.

ΟΙ τριάδες των διανυσμάτων

(u l • U2'

U3) στά Σχ.

1-10(α) καί (c) ε{ναι δεξιόστροφες βάσεις.

Στά

1-10(b) καί (d) οΙ τριάδες ε{ναι άριστερόστροφες βάσεις.

(α)

(b)

(c)

(d)

Σχ. Ι - Ι Ο

Σημείωση.

Στά έπόμενα, αν δέν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, οί βάσεις θά εΙναι δεξιόστροφες

καί όρθοκανονικές.

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

'Έστω

b 2e2

(et, e2, e3)

+ b 3e3.

μιά δεξιόστροφη όρθοκανονική βάση καί

Τό έςωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο τών

τό διάνυσμα

aX b = (a 2b 3 - a 3b 2)el

+ (α 3 b l -

a

καί

a t b 3)e2

a b,

= alel + a2e2 + a3e3, πού συμβολίζεται μέ

+ (a t b 2 -

b = btet + aX b, εΙναι

α 2 b t )e3

Γιά τήν απομνημόνευση της προηγούμενης έκφράσεως, σημειώνουμε δτι αύτή μπορεί νά προκύψει

από τό ανάπτυγμα της όρίζουσας

axb

Παράδειγμα

1.19.

l

det ( :

::

\e3

α3

'Έστω

a

=el a

Στό Πρόβλημα

1.32

b ) b2

χ

e2

καί

=

b

b

det

= e2 + 2e3' (

Τότε

1 el e2-1 e3

Ο

αποδεικνύεται στι τό έξωτερικό γινόμενο εΙναι ανεξάρτητο της δεξιόστρο

φης όρθοκανονικης βάσεως πού εχουμε έκλέξει.

Έπίσης, στό Πρόβλημα

1.31

αποδεικνύεται τό

έπόμενο θεώρημα:

Θεώρημα 1.5.

(ί)

la χ bl

(ίί)

θ.

= lallbl sin θ,

(a Χ b) Έάν

b.

.ι

a

καί

aX b 7'=

= 4-(a, b)

σπου θ

(a χ b)

Ο, τότε ή

.ι

b

(a, b, aX b)

εΙναι δεξιόστροφη γραμμικώς α

νεξάρτητη τριάδα (βάση).

=Ο

, Επειδή lallbl sin θ

Ibl

= ο, θ = Ο, θ =

(δηλαδή τήν

la· bl

71",

έάν καί μόνο έάν αληθεύει μία τουλάχιστον από τίς ίσότητες

από τήν (ί) καί τήν περίπτωση της ίσότητας στήν ανισότητα του

= iallbl

έάν καί μόνο έάν τά

a

καί

b

εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα) εχουμε τό

έπόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

1.6.

a

χ

b=

Ο, έάν καί μόνο έάν τά

a

καί

b

lal = ο, Schwarz

εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα.

Κ ΕΦ.

1

9

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

'Όταν τά διανύσματα

καί

a

κώς έξαρτημένα, δηλαδή δταν

a

δέν εΙναι γραμμι

b χ

Ο τό Θεώρημα

b oF

1.5(ίί) έξασφαλίζει δτι τό διάνυσμα aX θετο στά a καί

b

καί δτι ή τριάδα (a,

μιά δεξιόστροφη βάση, δπως φαίνεται

b εΙναι κάb, aX b) εΙναι καί στό Σχ. 1-

aX b

II(α). Παρατηρούμε μενο

τά

δέν

χ a καί aX

b

(ί)]

τέλος δτι γιά τό έξωτερικό γινό

ίσχύει

καί

εΙναι

ή

συμμετρική ίδιότητα.

b

εχουν τό ίδιο μήκος [Θεώρ.

συγγραμμικά

[Θεώρ.

δμως αντίθετες φορές [Θεώρ.

b

χ

a

= -(a χ b),

Παράδειγμα (Ιι,

g2, g3)

Πράγματι,

1.5

• (b)

(α)

εχουν

1.5(ii)a],

Σχ. Ι - 11

'Έτσι εχουμε

1.5(ii)b].

δπως φαίνεται καί στό Σχ.

1.11(b).

1.20. Γιά μιά δεξιόστροφη όρθοκανονική 1-12) εχουμε άπό τό Θεώρημα 1.5

βάση

Ιι Χ Ιι

(Σχ.

=

Ο

gz

Χ Ιι

Ιι Χ

g2 = g3

gz Χ gz

ΙΙ Χ

g3 = -gz

gz

Χ

= g2

= -g3

(3

Χ

gl

=Ο

g3

Χ

gz = -gl

g3

Χ

g3 =

g3 =

ΙΙ

Σχ. I - 12

Ο

Τό έξωτερικό γινόμενο ίκανοποιεί τίς παρακάτω ίδιότητες, μερικές από τίς όποίες αποδεικνύονται στό Πρόβλημα

[Ει]

aX b = aX (b

(ka)

χ

-(b

+ c)

χ a)

(αντισυμμετρική

= aX b

=

b

1.29.

k(a

χ

+ aX c

ίδιότητα)

(έπιμεριστική ίδιότητα)

βαθμωτό μέγεθος)

(k =

b)

aX a = Ο Ε'ίδαμε δτι γιά τό έξωτερικό γινόμενο δέν ίσχύει ή συμμετρική ίδιότητα.

δτι δέν ίσχύει οϋτε ή προσεταιριστική ίδιότητα, δηλαδή γενικά εχουμε Πράγματι, από τό Παράδειγμα Ο χ

= Ο.

gz

Παράδειγμα 1.21. β

εχουμε gl χ (gI χ gz)

1.20

= 4- (c, a)

καί γ Ο

η

Θεωροϋμε τό τρίγωνο ABC (Σχ.

= 4- (a, b). 'Έχουμε = c Χ c = c χ (b - a) = cXb = cXa

Χ

c

1-13).

b - c

Χ

=

"Εστω a

gI χ g3

a

"Ας σημειωθεί ακόμα

χ

= -gz,

(b

χ

c) oF (a

χ

b)

χ

ένώ (gI χ gI) χ gz

= BC, b = AC, c = ΑΒ = b -

a, α

c.

=

= 4-(b, c),

a

'Όμοια,

cxb Συνεπώς

, Αλλά

τότε

χ

(b - a)

b =

b

χ

b - a

b = bXa Α

cxb

=

cXa

Ic χ bl

=

Ic χ al = Ib χ al

=

Icllbl sin α

=

Χ

bXa

Icl !al sin β

=

Ibllal sin γ

άπ' δπου εχουμε τό νόμο των ήμιτόνων

sin lal

α

sin

β

Ibl

sin

γ Σχ.

Icl

1-13

ΜΙΚΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Τό γινόμενο απαραίτητες.

a' b χ c όνομάζεται μικτό γινόμενο.

τό έσωτερικό γινόμενο τού διανύσματος

a μέ τό διάνυσμα b χ c.

νά έκφραστεί μέ τή βοήθεια μιας όρίζουσας.

2

Παρατηρούμε δτι οί παρενθέσεις δέν εΙναι

Πράγματι, τό γινόμενο αύτό εχει νόημα μόνο δταν γραφεί

Πράγματι, άν

a' (b χ c), όπότε έκφράζει

Τό μικτό γινόμενο μπορεί έπίσης

10

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

τότε

a ob

c

χ

(alel

ο

+ a2e2 + a3e3)

det

(

Κ ΕΦ.

ο,

bt b2 b3

e2 e3

• Από

ο,)

C2 C3

(108)

a2(c 3b l - c t b 3) + a3(blC2 - b2ct)

al(b2C3 - b 3C2)

1

τίς ίδιότητες τ'ον όριζουσών επεται ότι

aobχc

'aχb

=

=

bocχa

-(boaχc)

=

-(cobχa)

=

Είδικά άπό τήν πρώτη ίσότητα εϋκολα βρίσκουμε ότι a ο

b

χ

=

-(aocχb)

c = aX b ο c.

(1.9)

Δηλαδή, μπορουμε νά

έναλλάσσουμε στό μικτό γινόμενο τίς θέσεις τών συμβόλων του έσωτερικού καί τού έξωτερικού

. γινομένου.

Γιά τό μικτό γινόμενο χρησιμοποιούμε συνήθως τό συμβολισμό

[abc] = a ο b n

Αμεση συνέπεια του Θεωρήματος

Θεώρημα

1.7.

. Υπάρχουν διανυσμάτων.

[abc] =

1.3

χ

c = a

χ

bοc

καί της εκφράσεως

Ο, εάν καί μόνο εάν τά διανύσματα

(1.8)

a, b, c

εΙναι τό επόμενο θεώρημα:

εΙναι γραμμικώς εξαρτημένα .

άρκετές χρήσιμες ταυτότητες πού συνδέουν τό εσωτερικό καί τό εξωτερικό γινόμενο

Μιά

βασική

ταυτότητα, ή

όποία άποδεικνύεται στό

Πρόβλημα

1.35,

δίνεται στό

επόμενο θεώρημα: Θεώρημα

a

1.80

χ

(b

χ ε)

= (a ο c)b - (a ο b)c

"Αλλες ταυτότητες πού προκύπτουν εϋκολα άπό όσα άναφέραμε παραπάνω είναι οί εξης:

[F t ]

(aχb)o(cχd)

[F2 ]

(a

χ

Παράδειγμα

b)

χ (ε χ

d) = [abd]c - [abc]d

= c χ d. Τότε εΙναι χ b ο u = a ο b χ u = a ο [b χ (c χ d)] =

"Εστω

1.22.

a

= (aoc)(bod)-(aod)(boc)

u

δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση

(1.9)

(a δηλαδή τήν ταυτότητα

χ

b)

καί τό Θεώρημα ο

(c

χ

d)

=

1.8.

a

ο

[(b ο d)c - (b ο c)d]

Συνεπώς εχουμε

(a ο c)(b ο d) -

(a ο d)(b ο c)

[F t ].

Λυμένα ΙΙροβλήματα ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

101.

Δείξτε τίς Ιδιότητες [Αι] μέχρι καί [Αι] γιά τήν πρόσθεση διανυσμάτων.

[Αι]

a+b [Αι]:

[Α 2 ]:

[Α3 ]: [~]:

= b+a,

[A2 ](a+b)+c

= a+

(b+c), [A3 ]a+O

= a,

Δείξτε, δηλαδή, ότι

[A4]a+(-a)

+ b = (<<ι + b t • «2 + b 2 • «3 + b 3 ) = (b t + «ι, b 2 + «2, b 3 + «3) = b + a (a + b) + c = [(<<1 + b t ) + Ct, (<<2 + b2 ) + C2, (<<3 + b 3 ) + C3] = [«ι + (b t + Cl), ~ + (b 2 + C2), «3 + (b 3 + C3)] = a + (b + c) a + Ο = (<<ι + ο, «2 + ο, αa + Ο) = (<<ι, «2, «3) = a a + (-a) = (<<ι - «ι, «2 - «2> «3 - «3) = (ο, ο, Ο) ο a

= Ο.

ΚΕΦ.Ι

1.2.

Στό παραλληλεπίπεδο τοϋ Σχ.

= ΟΡ, τα ον, καί

b

= ΟΚ, VQ

c

= OS.

1-14

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

11

θέτουμε

u

a

Βρείτε τά διανύσμα

καί ΚΤ ώς συναρτήσεις των

a, b

c. " Εχουμε

OV VQ

ΟΚ+ RV VR+ RQ

ΚΤ

RS

ΟΚ + 08 = b + c -RV + RQ -08 + ΟΡ = -c + a ΚΟ + OS + 8Τ

+ 8Τ

-b

1.3.

ο Σχ.

1-14

+c+a

Μέ τή βοήθεια των ιδιοτήτων [Αι] μέχρι καί [Α 4 ] εχουμε άποδείξει (Παράδ. νυσματική εξίσωση a

+χ = b

= b + (-a) = b -

εχει μία μόνο λύση, τήν χ

1.4)

δτι ή δια

a.

Χρησιμο-

ποιώντας τό γεγονός αυτό, δείξτε τά έξής:

(α) Τό διάνυσμα Ο είναι μοναδικό, δηλαδή αν Ο'

+ a = a,

(b) Τό διάνυσμα -a είναι μοναδικό, (c) - (-a) = a γιά κάθε a.

a'

δηλαδή αν

+a

τότε Ο'

= Ο,

τότε

= Ο. = -a.

a'

(α)

Είναι συνέπεια της μοναδικότητας της λύσεως της έξισώσεως

(b)

Είναι συνέπεια τής μοναδικότητας τής λύσεως τής έξισώσεως

+ a = a. χ + a = Ο.

(c)

Θεωροϋμε τήν έξίσωση

=

=

παληθεύεται γιά χ

= a,

-a + χ δηλαδή

= Ο.

χ

. Η λύση της είναι χ 0- (-a) -(-a). . Αλλά ή -a + a = Ο· επομένως -(-a) = a, άφοϋ ή έξίσωση εχει μία

έξίσωση έ

μόνο λύση.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟl. 1.·Ι;: ΒΑΘΜΩΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ

1.4.

Δείξτε τίς ιδιότητες [Β ι ] μέχρι καί [Β3], πού άναφέρονται στόν πολλαπλασιασμό διανύσματος

μέ βαθμωτό μέγεθος.

+ b) = ka + kb·

k(a

= (k t k )a'

Δείξτε, δηλαδή, δτι [Β ι ] k t (k 2a) [Β3] la a.

2

=

[Β2] (kt

+ k 2)a = kta + k 2a,

(k t (k 2a t), k t (k 2a2)' k t (k 2a3»

=

«k t k 2 )at, (ktkz)az, (k l k 2)a3)

=

(ktkz)a

«k } + k 2)a t , (k } + k 2)a2, (k } + k 2)a3)

(ktat + k2at, kla2 + k 2a 2, kla3 + k 2a 3) k(a + b)

[Β 3 ]:

1.5.

la

=

=

(k(a} + b t ), k(ΑZ + b 2), k(a3 + b 3» (ka} + kb t , kαz + kb 2 , ka3 + kb 3) (aι, αΖ, a3)

=

=

2a - 3(b - c)

= =

Δείξτε

+ kb

a

' Εάν a = Ul - 2U2 + 3U3, b U2 - U3 2a - 3(b - c) ώς συνάρτηση των Ut, U2, U3. "Εχουμε

1.6.

=

(laι, 1a2, 1a3)

ka

καί

c

= Ul + 2U2,

εκφράστε

τό

διάνυσμα

=

2a - 3b + 3c 2(υι - 2U2 + 3U3) - 3(U2 - U3) + 3(υι + 2U2) 2υι - 4U2 + 6U3 - 3U2 + 3U3 + 3υι + 6U2 = 5υι - U2 + 9U3

δτι τό ευθύγραμμο τμήμα, πού ενώνει τά μέσα των

δύο πλευρων ενός τριγώνου, είναι παράλληλο πρός τήν τρίτη

Α

πλευρά καί δτι τό μήκος του ισοϋται μέ τό μισό τοϋ μήκους της.

c

"Εστω δτι Μ καί Μ' είναι άντίστοιχα τά μέσα τών πλευρών ΑΒ

καί

=

AC του τριγώνου ABC (Σχ. 1-15). Είναι ΑΜ iAC καί ΜΜ' ΑΜ' - ΑΜ i(AC - ΑΒ) iBC. ε!ναι συγγραμμικό μέ τό BC καί τό μήκος του ε!ναι τό του BC.

=

=

=

iAB,

ΑΜ'

=

"Ετσι τό ΜΜ' μισό του μήκους

Σχ. I - 15

, 12 1.7.

ΔΙΑΝΥΣΜΑ Τ Α

'Έστω

a =

1-16).

Δείξτε ότι τό σημείο

L,

b=

ΟΑ,

b # a καί c = OC (Σχ. C κείται στήν εύθεία

ΟΒ,

L

πού διέρχεται από τά σημεία Α καί Β, εάν καί

μόνο εάν

c

= kla + k 2b

'Εάν τό σημείο

ΒΑ

ΚΕΦ.Ι

=a -

b

καί τό

πώς ύπάρχει Ενα

C

BC

κείται

=c-

kl + k z

=k +

=

τά

c- b

=

= BC

k(a-b)

= 1.

1- k

c - b Δηλαδή

στήν εύθεία

L,

τότε

εΙναι συγγραμμικά.

b

o~~--------~--------~C

τό

Συνε

Σχ.

1-16

τέτοιο ώστε

k

c-b δπου

+ k 2 = 1.

όπου k l

kla + k 2b - b

καί

τι

c

. Αντίστροφα, αν c

a- b

= ΒΑ

=

= ka + = kla +

(1 - k)b

k 2b

kja - (1 - k 2)b

εΙναι συγγραμμικά

μέ

=

kja -

καί

= 1, b "Ρ a, τότε kjb = kj(a - b)

kl + kz

επομένως τό

κείται στήν εύθεία πού

C

όρίζεται άπό τά Α καί Β.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

1.8.

Δείξτε ότι τά διανύσματα Ut, U2, ••• , U n εΙναι γραμμικώς εξαρτημένα, εάν καί μόνο εάν ενα από αύτά εκφράζεται ώς γραμμικός συνδυασμός τών ύπολοίπων .

. Υποθέτουμε δτι τό Uj εκφράζεται ώς γραμμικός συνδυασμός ... + knu n. Τότε Uj - k2U2 - ... - knu n = Ο, όπότε τουλάχιστον ό Συνεπώς τά Ul,"" u n εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα. 'Αντίστροφα, αν τά

τικοί άριθμοί) "Εστω δτι

k l , ... , k n kl"p Ο· τότε

=

U2' ... , Un , δηλαδή Uj k2U2 + 1 τοϋ uj δέν εΙναι μηδέν.

εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα, τότε ύπάρχουν βαθμωτά μεγέθη (πραγμα

Uj"", u n

kjul + k2U2 + ... + knu n = Ο. ... - (kn/kl)u n , δηλαδή τό υι εκφρά

πού δέν εΙ ναι δλα μηδέν καί ίκανοποιοϋν τή σχέση μποροϋμε

νά γράψουμε

ζεται ώς γραμμικός συνδυασμός τών

1.9.

τών

συντελεστής

Uj

= -(k2/kIiU2 -

U2, ... , υ τι ,

Δείξτε δτι τά διανύσματα ενός συνόλου, πού περιέχει ενα ύποσύνολο από γραμμικώς εξαρ τημένα διανύσματα, εΙναι επίσης γραμμικώς εξαρτημένα. 'Υποθέτουμε

δτι τό ύποσύνολο άποτελείται άπό τά γραμμικώς έξαρτημένα διανύσματα υι,

καί τό σύνολο άπό τά διανύσματα υι,

k l , ... , kk,

όχι δλα μηδέν, πού

U2'" .,Uk, Uk+l,"" Un . Τότε ύπάρχουν ίκανοποιοϋν τή σχέση klul + k2U2 + ... + kkUk

klul+k2U2+ ... +kkUk+ OUk+l+ ... +Oun πού σημαίνει στι

1.10.

• Αποδείξτε

=

U2, ... , Uk

βαθμωτά μεγέθη (άριθμοί)

= Ο.

. Επομένως

εχουμε

Ο

διανύσματα υι, U2, ••• , υ τι εΙναι επίσης γραμμικώς εξαρτημένα.

τό Θεώρημα

1.1:

'Εάν τά διανύσματα Ul, ••• , U n εΙναι γραμμικώς ανεξάρτητα καί

knU n =

k~ul

'Υποθέτουμε στι γιά κάποιο j έχουμε kj"p k;.

Τότε

klul

+

k 2u2

+ ... +

+k~U2 + ... + k~un

τότε k l = k~, k 2 = k~, .•• , k n = k~. (k l - k~)ul + (k 2 - k;)u 2 + ... + (k j - k;)Uj + ... + (k n - k~)un σπου k j

-

k; Φ Ο.

=

Ο

'Αλλά τότε τά διανύσματα Ul"'" u n εΙναι γραμμικώς εξαρτημένα, πού εΙναι ατοπο.

ΒΑ ΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

1.11.

Δείξτε δτι κάθε διάνυσμα του Ε3 μπορεί νά γραφεί ώς γραμμικός συνδυασμός τριών τυχόντων γραμμικώς άνεξάρτητων διανυσμάτων' συνεπώς τρία γραμμικώς άνεξάρτητα διανύσματα δρί ζουν μιά βάση του Ε3. 'Εάν τά διανύσματα

a, b

καί

c

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα τότε ή εξίσωση

xa εχει μία μόνο λύση, τήν χ

= Υ = Ζ = Ο.

+ yb + ΖC =

ο

'Ισοδύναμα, τό σύστημα

ΚΕΦ.Ι

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

χαι

+ yb l +

zCl

Ο

χα2

+ +

ZC2

Ο

ZC3

Ο

χα3 εχει μία μόνο λύση, τήν

=

χ

=

Υ

Ζ

=

13

+ yb 3 + yb 2

Ο, μόνο δταν ό πίνακας τών συντελεστών εχει όρίζουσα διάφορη τοϋ

μηδενός, δηλαδή δταν

det

(:~ :~ :~) α3

'Αλλά τότε, γιά κάθε διάνυσμα

u

= (Ul, U2, U3)

1.12.

=

χ

=

k l, Υ

τοί)

Ο

"'"

C3

Ε3, τό σύστημα

χαι

+

yb l -1- ZCl

Ul

χα2

+ yb 2 + ZC2 + yb 3 + ZC3

U2

χα3 εχει μία μόνο λύση, τήν

b3

k 2, Ζ

=

U3

k 3 , όπότε τό διάνυσμα γράφεται u

= kla + k 2b + k 3c.

Δείξτε δτι τέσσερα η περισσότερα διανύσματα τού Ε3 είναι γραμμικως έξαρτημένα. Θεωροϋμε τά διανύσματα υ ι , U2, U3' U4' ... , U n • Μποροϋμε νά ύποθέσουμε δτι τρία απο αυτα τά δια νύσματα, Π.χ. τά υι, U2' U3, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Γιατί αν ήταν γραμμικώς έξαρτημένα, τότε' καί τά υι, U2' U3' U4' ... , U n θά ήταν γραμμικώς έξαρτημένα (Πρόβλ. 1.9). 'Αφοϋ λοιπόν τά υι, u2' U3 είναι γραμ μικώς ανεξάρτητα, όρίζουν μιά βάση καί ετσι κάθε αλλο διάνυσμα γράφεται U4 = ktut + k2U2 +k3U3, δη λαδή τά υι, U2' U3' U4 είναι γραμμικώς έξαρτημένα. . Επομένως καί τά υ ι , u2' u3' U4' ... , Un είναι γραμ μικώς εξαρτημένα.

1.13.

=

=

=

Ul - U2 + 2U3, b U2 - U3, C -U2. Βρείτε τίς συν τεταγμένες τού διανύσματος 2a - b - 2c ώς πρός τή βάση Ut, U2, U3. 'Έστω Ul, U2, U3 μιά

Έχουμε

. Επομένως

βάση

καί a

2a - 11 - 2c

οί συντεταγμένες τοϋ

+ 2U3) + 4U3 -

2(υ ι

- U2

2υι

- 2U2

2a - b - 2c

(U2 - U3) - 2(-U2) U2

+ U3 +

ώς πρός τή

2U2

βάση υι,

=

2υι

U2, U3

- U2

είναι

+

5U3

2, -1, 5.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓιΝΟΜΕΝΟ

1.14.

Δείξτε τίς ιδιότητες

[C l ]

μέχρι καί

[C4 ]

τής σελίδας

5,

πού άναφέρονται στό έσωτερικό γινό

μενο διανυσμάτων.

[C t ]: a' b = atbl + [C 2]: [C 3]: [C 4 ]:

1.15.

+ a3b3 =

+ b3a3 = b· a (ka)' b = katbt + ka2b2 + ka3b3 = k(atbt + a2b2 + a3b3) = k(a' b) a' (b ~) = at(b t + ct) + az(b 2 + C2) + a3(b 3 + C3) = atbt + αzb 2 + a3b3 + alCl + a2C2 + aaC3 = a,b + a'c Προφανώς a'a = α; + α~ + α; "" Ο, ένώ a'a = α~ + α; + α; = Ο εάν καί μόνο έάν aι = α2 = a3 = Ο. a2b2

Στό τρίγωνο ΟΑΒ (Σχ.

= ΟΒ.

' Εάν \ΟΑ\

= 2,

1-17)

\ΟΒ\

a' b

=

+

b 2az

θέτουμε a

=3

πολογίστε τίς παραστάσεις (α) a' (α)

btat

= ΟΑ καί = 300,

καί ΜΟΒ

b, (b)

Ρ.

(b), (c)

b ύ

Ρ. (b).

JaJJbJ cos 4--(a, b) (2)(3) cos 300 = 3V3

(b)

Ρ.

(b)

(a'b)/JaJ

(c)

Ρ.

(b)

Ρ. (b) 1:1

= =

3V3/2 Β

(3V3/4)a

Σχ. I - 1 7

..,

1.16.

ΚΕΦ.Ι

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

14 Δείξτε τήν άνισότητα τών εάν τά

καί

a

.Η

σχέση

la· bl ""'" lallbl. . Η

Cauchy-Schwarz

ισότητα ισχύει εάν καί μόνο

είναι γραμμικώς εξαρτημένα .

b

προφανώς ίσχύει, δταν ενα τουλάχιστον άπό τά

νά ύποθέσουμε δτι

a, b -#

Ο.

Τότε άπό τήν

καί

a

ο ~ (~a ± ~b)' (~a ± ~b) b

έ'αν

.,

και μονο

-

Γίbϊ

- νrι;ϊb ϊbι = ο η" .νΠbϊ τaτ a

.

V"j;ϊa

Έτσι μπορούμε

21allbl ± 2a'b

ή ±2a' b ~ 21allbl πού δίνει τή ζητούμενη άνισότητα la· bl ~ lallbl.

έ αν·

είναι μηδενικό.

b

εχουμε

[C 4 ]

+ νrι;ϊb ϊbI

Είναι φανερό δτι ή ισοτητα ίσχύει

Ο , δ η λ α δ'" η εαν

=

..

... a

και μονο εαν τα

.

και

είναι γραμμικώς έξαρτημένα.

la ± bl ""'" lal + Ibl.

1.17. Δείξτε τήν τριγωνική άνισότητα 'Έχουμε

·Η

ζητούμενη

lal 2 + Ibl 2 ± 2(a • b) ~ lal 2 + Ibl2

(a ± b) • (a ± b) =

σχέση προκύπτει αν πάρουμε τίς τετραγωνικές

Ilal - Ibll ""'" la ± bl

1.18. Δείξτε δτι , Από

=

la ± bl 2

+

21allbl

ρίζες.

a καί b.

γιά κάθε

τήν τριγωνική άνισότητα εχουμε

la ± b ::;: bl ~ la ± bl

lal = 'Επίσης

Ibl =

· Επομένως ila[ - Ibfl

la ± b - al ~

f±bf =

=

+

la ± bl

lal - Ibl ~ la ± bl

ή

Ibl

+

Ibi - [al ~ [a ± b[

ή

la[

Max (jal-Ibl, [bl-Ial) ~ la ± b[, πού είναι καί ή ζητούμενη σχέση.

ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

1.19.

'Έστω

ενα διάνυσμα κάθετο στά διανύσματα

c

στό διάνυσμα

, Επειδή

τό

kta c

+ k 2b

γιά κάθε

είναι κάθετο στά C'

"Αρα τό

1.20.

c

είναι κάθετο στό

a Δείξτε δτι τά

a, b, c

"Εχουμε καί άρα

καί

b.

Δείξτε δτι τό

c

είναι επίσης κάθετο

έχουμε C'

b

=

kt(c' a)

a

=Ο

καί C'

+ k 2 (c· b) =

b

= Ο.

Συνεπώς

ο

+ k 2b. Θεωρουμε τά διανύσματα

= Ut, b = U2 -

Ρ. (U2),

C

~ U3 - Ρ. (U3) - P b (U3)

είναι μή μηδενικά διανύσματα καί κάθετα μεταξύ τους άνά δύο.

a' [U2 ~ (a' u2)a/laI 2] a' U2 - (a' U2)(a' a)/laI 2 a' u2 - a' u2

a' (U2 - Ρ. (U2)) =

a' b

a 1- b.

καί

a

(kta + k 2b)

kta

"Εστω Ut, U2, U3 μιά βάση.

a

k t , k 2•

=

'Επίσης

=

Ο

a' c = a' [U3 - P.(U3) - P b (U3)] = a' [U3 - (a' u3)al.lal2 - (b' u3)b/lbI2] = a' u3 - a' U3 - (b' U3)(a' b)/lbI 2 'Επειδή a' b

=

Ο, είναι a' c

=

a' u3 - a' u3

=

Ο καί άρα a 1- c.

' Ακόμα είναι

b' c = b· [U3 - (a' u3)a/laI 2 - (b' u3)b/lbI 2] = (b· U3) - (a • u3)(a • b)/laI 2 - (b' U3)(b' b)/lbI 2 =

· Επομένως τά a, b, c εχουμε a = u i -# Ο.

είναι κάθετα μεταξύ τους άνά δύο. Τώρα, άν

Ο πού είναι άδύνι

Ο

=

c

=

b

=

= Ο,

b

=

(b' U3) - (b' U3)

=

ο Γιατί

τότε

u2 - Ρ. (U2)

=

U2 - ka

=

u2 - kut

), γιατί τά διανύσματα UI καί U2 είναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

U3 - Ρ. (U3) - P b (U3)

=

'Επίσης είναι μή μηδενικά διανύσματα.

U3 - kta - k 2b

=

U3 - klul - k 2 (U2 - kut)

Τέλος, αν c

=

πού είναι πάλι άδύνατο, γιατί τά διανύσματα υι, U 2 , u3 είναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

=

Ο, τότε

U3 - k 3u l - k 2U2

ΚΕΦ.1

15

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

=

δίj

(b)

Εάν

1 { Ο

ε'

αν

=

j i . .' 1 -#1

+

Συνεπώς 2δ 21

3δ 22

+ 4δ 23

= 2(0} + 3(1) + 4(0) = 3. 3

·Οπως ξέρουμε, δΗ εΙναι οί μόνοι όροι πού δέν εΙναι μηδενικοί.

3

1.22.

3

3

ΥΕστω Ul, U2, U3 μιά βάση καί V; = Σ α;;Ui, U; = Σ 3

Γράφουμε

U;

=

ί=

3

~ δίίυ;

ί=1

~

=

k=

ί=

1

bkjVk, Ι

'Επομένως ;= ~1 δ··b· = δ,ΙΙ.. b·Ι Ι) 1

Δείξτε δτι

bijVi.

Σ aikb kt k=I

1

= b·

t·

= 81;.

όπου άλλάξαμε τό δείκτη άθροίσεως άπό i σέ k.

Έπίσης,

3

~ aikui'

Vk

ί=

'Αντικαθιστώντας εχουμε

1

3

3

~ διίυ;

3

~ b k; ~ aikUi ί=1

k=1

ί=l

3

, Επειδή τά υι. u2, U3 ε{ναι γραμμικώς άνεξάρτητα, εξισώνοντας τίς συντεταγμένες παίρνουμε δίj

1.23.

' Αποδείξτε τό Θεώρημα 1.4: ' Εάν et, e2, e3 azez + a3e3, b = bI el + b2e2 + b3e3, τότε (α) a·b=αlbl+αzb2+α3b3, (α)

μιά όρθοκανονική

(b) lal=Va~+α;+a;,

IaI = va:a

(c)

a' ei

=

va

2+ a2

(1

+ 2

1

a,-e; ) • e;

=

= (.:Σ ,=

a' b

ι

=

a •b

(b)

a = atel +

(c) αi=a'ei, i=I,2,3.

a

3

aiei)

•

(.:i,=

Ι

3

bje;)

~

Ι=Ι

3

~ ajb/ej' ej}

ί=1

3

:Σ:Σ aίbjδij

ί=

1 ;= Ι

2 3

:r

a;(e; • e;)

a = el - 2e2 + 3e3 καί b = e2 - e3. Ύπολογίστε τά έξης: (α) a' b, (b) lal, (c) u., (d) (b), (e) Ρ. (b), (Ι) cos 4-(a, b), (g) a' el, a' e2, a' e3, (h) τά συνημίτονα κατευθύνσεως τοϋ a.

'Έστω

(α)

a' b

(b)

IaI

(c)

U.

= (1)(0) + (-2)(1) + (3)(-1) = -5 ...;;::-; = ν (1)2 + (-2)2 + (3)2 = γΊ4 =

a/IaI = (1Iy'i4)(et - 2e 2 + 3e3)

(d) Ρ. (b) (e)

καί

(alel

ή

Ρ.

βάση

+ aZe2 + a3e3) • (b1el + b2e2 + b 3e 3) atbl(et • et) + a 1b 2(el • e z) + a l b 3(e l • e3} + azb l (e2 • el) + a2 b 2(e2 • e2} + a2 b3(e2 • e3} + a3 b l(e3' el} + a3 b 2(e3' e2} + a3 b 3(e3' e3} alb t + a Zb 2 + a3 b3

a' b

Μποροϋμε επίσης νά γράψουμε

1.24.

εΙναι

= k=1 :Σ aikbkj'

Ρ.

(a' b)/la!

(b) =

Ρ.

(Ι) cos 4-(a, b) (g) a' r

-5ιγΊ4

(b)u. = -(5I14)(et - 2e2 + 3e3)

= (a· b)IIa! Ib! =

= 1, a' e2

(h) co' μa, el)

=

=

-2,

(-5ιγΊ4..[2)

a' e3

=

3

= alIIa! = lIV14, cos 4-(a, e2)

= -5I(2V7)

,. 16 1.25.

Κ ΕΦ.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

'Έστω ul, U2, U3 μιά τυχούσα βάση.

η νι· Uj

=

8Ιί,

νι· Ul

= 1

ν2·

Ul

Ο

ν3·

Ul

Ο

νι· U2

Ο

ν2·

U2

1

ν3·

U2

Ο

Vl·U3

Ο

ν2·

U3

=Ο

ν3·

U3

1

j = 1,2,3. 'Η βάση νι, ν2, ν3 λέγεται δυϊκή η άντίστροφη = alUl + a2U2 + a3U3 καί b = blVl + b 2V2 + b3V3, τότε

= (~aiUi) • (~b;Vi) = Σ ~ ,

ι

t

aIbj(UI·

,

el' e2, e3

καί Τότε οί έξισώσεις

U2

allel a2l e l

U3

a3l e l

νι

Xlel

νι·

u2

νι'

u3

= xlel + X2e2 + X3e3'

πομένει νά δείξουμε δτι τά νι,

v2, v3

klvl

=

α2Ι Χ Ι α3Ι Χ Ι

+ αΙ2 Χ 2 + αΙ3 Χ 3 + αΖ2Χ 2 + α23 Χ 3 + α32 Χ 2 + α33 Χ 3 ΧΙ' Χ2. Χ3'

+

k2V2

k.V,] • u·J Ί Ι Ο

Ο Ο

Έπειδή

3

+

:Σ kjv;

k3V3

det (αΙί) #

Ο,

ύπάρχει μία μόνο

Uj,

j

= 1,2,3,

παίρνουμε

3

:Σ kj(Vi' Uj)

:Σ k·tJ·· Ί 11

καί επομένως τά νι,

ο,

ί=l

Ι=Ι

είναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

v2' V3

' Α Θεω-

Ο

Ι=Ι

3

kt = k 2 = k3 =

1

είναι γραμμικώς άνεξάρτητα καί συνεπώς δτι όρίζουν μιά βάση.

πολλαπλασιάσου"με καί τά δύο μέλη μέ

Δηλαδή

βάση είναι δυϊκή μέ τόν έαυτό της.

Μέ δμοιο τρόπο βρίσκονται μοναδικές λύσεις καί γιά τά ν2 καί ν3'

ρούμε τή σχέση

ί::::::: 1

= Σι aib ;

+ XZe2 + X3 e 3

αιιχι

νι· Οι

[ :i

' Ε

+ al2e2 + al3e3 + a22e 2 + a23e 3 + a32e 2 + a33e 3

άποτελοϋν ενα σύστημα τριών έξισώσεων ώς πρός

, Εάν

a i b j 8jj

)

της Ul, Uz, U3.

μιά όρθοκανονική βάση καί δτι υι

λύση νι

νί) = Σ ~ t

Σύμφωνα μέ τά προηγούμενα, μιά όρθοκανονική 'Έστω

νι, ν2, ν3, τέτοια ώστε

ί,

πιπλέον, αν a

a· b

Δείξτε δτι ύπάρχει μία μόνο βάση

1

j

= 1,2,3

Συνεπώς όρίζουν μιά βάση.

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ

1.26.

Δείξτε δτι ή βάση (νι, ν2, ν3), όπου νι

2U2

+ U3,

= 2ul - U2

ν2

= U2

+ U3

καί ν3

-Ul+

εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τή βάση (ul, U2, U3).

'Η όρίζουσα τών συντεταγμένων ε!ναι

~ ~ - ~)

det (-

2

1.27.

+ 2U3,

1

=

1

>

Ο.

1

Δείξτε δτι ό προσανατολισμός είναι σχέση ίσοδυναμίας στό σύνολο δλων των διατεταγμένων

βάσεων τοϋ (α)

FJ3.

Δηλαδή δείξτε τά έξης:

'Η (νι, ν2, ν3) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (νι, ν2, ν3) γιά κάθε (νι, ν2, ν3).

(b) 'Εάν ή (νι, ν2, ν3) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (Ul' U2, U3), τότε καί ή (Ul, U2, U3)

(c)

εχει

τόν 'ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (νι, ν2, ν3),

'Εάν ή (WI, W2, W3) εχει τόν 'ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (νι, ν2, ν3) καί ή (νι, ν2, ν3) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (Ul, U2, U3), τότε ή (Wl, W2, W3) εχει τόν 'ίδιο προσανα τολισμό μέ τήν (Ul, U2, U3).

ΚΕΦ.Ι

(α)

17

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

3

=

Προφανώς ν;

= 1,2,3.

~ δίjνί, j ί=Ι

Έπειδή det (δο)

= 1,

συμπεραίνουμε δτι ή (νι, ν2, ν3) εχει τόν ί

διο προσανατολισμό μέ τήν (νι, ν2' ν3)'

= ~ aijU;

(b) -Εστω ν;

•

έπιβεβαιώνεται δτι

καί Uj

det

= ~ bijVj,

' Από τό Πρόβλημα 1.22, εχουμε δτι

•

(:Σ aikb kj') = det (αυ) det (b ij ), όπότε k=I =

det (bij) , Επειδή det (b ij ) (C)

ή (νι, ν2'

>

'Έστω Vk

det (δ ίj ) det (aij)

1 det (αυ)

v3) εχει τόν 'ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (ut, U2' U3), επεται δτι det (αυ)

>

Ο.

Συνεπώς

Ο καί δρα ή (ut, u 2, U3) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (νι, ν2, ν3)'

=

3

3

= k=I ~

~ aikU; καί Wj

ί=Ι

3

:Σ

δπου Cij

CijUi,

i=l

Έπειδή ή

Εύκολα

=

bkjVk'

Μέ άντικατάσταση παίρνουμε

3

= 1,2,3.

~ aikbkj, i, j

k=I

' Αλλά

(wt, W2' w3) εχει τόν 'ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (νι, ν2' ν3) καί ή (νι, V2' ν3) εχει τόν 'ίδιο (Ul, U2, U3), συμπεραίνουμε δτι det (b jj ) > Ο καί det (aij) > Ο· συνεπώς εχουμε Ο. Δηλαδή ή (Wl> W2, W3) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (Ut, U2' U3)'

προσανατολισμό μέ τήν

>

det (Ci;)

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

1.28.

-Εστω

a = 2et - e2 + e3, b aX b, (b) b χ a, (c) aX (b

= el + 2e2 -

(α)

χ

(α)

aX b

(b) b

(C)

χ

a

aX (b

det

(:~

-el

+

det

χ

~)

-: e3 1-1

el (

+

3e2

e2

e3,

= e2 + 2e3.

C

χ

=

(-1 2)

el det

b)

χ

1 -1

(a

χ

b)

χ

1 2)

=

= aX (b

1 -1

e3 det

( 2 ~) -

1

aX b = -(b

1

Ο

Παρατηροϋμε δτι

(2 1) +

Παρατηροϋμε δτι

2-1

e3 -1

c)

c

- e2 det

5e3

=

(d)

Ύπολογίστε τίς παραστάσεις

c, (e) (a χ b) • c, (/) aX (b + c) - aX b - aX c.

c), (d) (a

χ

c) -# (a

χ

b)

χ

det

(

el

2 5)

e3

1

e2 -1 -2

1

-1 3 det (:: 5 e3

c. (-1)(0)

+

(3)(1)

+

(5)(2)

= 13

χ

a).

., (Ι)

aX (b +

c) = det(:: -~ 1

e3 Συνεπως

4e2 + 2e3' a

1.29.

ΚΕΦ.Ι

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

18

χ

(b + c) - a

νΕστω

Χ

b - a

aX (b + c)

Δείξτε δτι (α)

(α)

Χ

=

c

aX b

+ aX c,

(b) (ka)

χ

b

=

k(a χ b).

a = uIe} + ~e2 + αae3, b = btel + b2e2 + b3e3, c = cle} + C2e2 + C3e3'

aX (b + c)

=

[u2(b 3 + c3) - u3(b 2 + c2)Jel + [u3(b } + c t ) - u l (b 3 + c 3)]e2 + [ul(b 2 + cι> - u2(b ! -Ι- Cl)Je3 (u2 b 3 - u3 b 2)et + (u3 b } - ul b3)e2 + (UI b 2 - ~bI)e3 + (U2 C3 - u3 c 2)el + (u3 c t - ut c 3)e2 + (Ul C2 - u2 c l)e3 aXb+aXc

(b) (ka)

χ

b

(kU 2b 3 - kU3b2)et k[(u z b 3 - u3b2)e t

1.30.

+ (kU 3b l - ku t b 3)e2 + (ku Ib 2 - kU2bt)e3 + (u3 b l - u t b3)ez + (ulbz - u2bl)e3] = k(a χ b)

Δείξτε δτι la χ bl 2 = la[Z [b[2 νΕστω

a = ulel + uZe2 + U3e3

[a· b1 2• b = ble } + b2e2 + b3e3.

καί

la χ bl 2 = (a Χ b)· (a Χ b) =

[(U2b3 - u3b2)et + (u 3 b } - ulb3)e2 + (αlb2 - u2bl)e3] • [(u 2b 3 - u3b2)et + (u 3b l - u l b 3)e2 + (u I b 2 - u2bt)e3] (U2b3 - U3b2)2 + (U3bl - UIb3)2 + (Ulb2 - U2 b l)2 2 2 2 2 2b2 2 bZ Ζ 2 2 Z u 2 b3 + u 3b2 + U3 Ι + α ι 3 + α ι b 2 + U2b Ι - 2U2b2U3b3 - 2ulbIU3b3 - 2utbtuzb2

(a· a)(b· b) - (a· b)(a' b) Ζ 2 2 2 2 2 . (α ι + U2 + u 3 )(b } + b2 + b3 ) - (αtb} -Ι- u2b2 + α3b3)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b b b α ι b 2 + α ι b3 + U2 b Ι + u 2 b3 + u 3b l + u 3 b2 - 2ulbIα2b2 - 2αι ι α 3 3 - 2U2 2U3 3 Συγκρίνοντας τά παραπάνω άποτελέσματα παίρνουμε τό ζητούμενο συμπέρασμα.

1.31. ' Αποδείξτε (ί) (ίί)

θ. (aΧb).ιa

b. (ί)

τό Θεώρημα

1.5:

la χ bl = lallbl sin θ, καί

(aΧb).ιb

'Εάν (a χ b) =F Ο, τότε ή (a,

b, aX b)

εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (et, e2, e3).

Χρησιμοποιώντας τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

la χ bl 2 =

. Επειδή sin θ (ίί)

θ = 4-(a, b)

θ.

lal 2 Ibl2 - la· bl 2 = lal 2 Ibl 2 - lal 2 Ibl2 cos2 θ lal 2 1bl 2 (1 - cos2 θ) = lal21bl2 sin 2 θ (Iallbl sin θ)2

"" Ο γιά Ο ~ θ ~ π, εχουμε

la χ bl

= lallbl sin θ.

νΕστω

a = ulel + ~e2 + u3e3 καί b = blel + b2e2 + b3e3' (a χ b)· a [(~b3 - u3 b2)el + (u3bl - ulb3)e2 + (ulb2 - u 2 b l )e3] • (ule} + a2e2 + U3e3)

= =

~Oμoια,

b.

.Η

(a

Χ

UI~b3 - Ula3b2

b) • b =

Ο.

Συνεπως

+ u2U3b! (a

χ

b) .1 a

δρίζουσα των συντεταγμένων της τριάδας

det (

αι U2 U3

b} b2 b3

»)

(U2 b3 - U 3 b2 (U3b} - atb3) (ut b2 - ~bl)

'Εάν aX b # Ο, τότε la χ bl 2

>

=

U2utb3

+ U3ulb2 -

καί

Χ

(a

b) .l.. b .

(a, b, aX b)

(U2b3 - U3b2)2

U3U2b! = Ο

+ (U3b} -

εΙναι

utb3)2

+ (Ulb2 -

u2bt)2 =

la χ bl 2

Ο καί ή (a, b, aX b) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (eI, e 2, e3)'

Γ ΚΕΦ.Ι

1.32.

19

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

Δείξτε δτι ο ορισμός τοϋ έξωτερικοϋ γινομένου εΙναι άνεξάρτητος τής δεξιόστροφης όρθο κανονικής βάσεως πού εχουμε εκλέξει. "Εστω

ε καί

νονικές βάσεις.

εΙ τό εξωτερικό γινόμενο τών

Μπορούμε νά ύποθέσουμε δτι τά

συνέβαινε, τότε άπό τό Θεώρημα

=

'Από τό Θεώρημα

'Επειδή τά

a

a

καί

b

ώς πρός δύο διαφορετικές δεξιόστροφες όρθοκα

b

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

Γιατί αν αύτό δέν

c = εΙ = Ο, περίπτωση γιά τήν όποία Ισχύει ή (a, b, ε) εΙναι μιά βάση καί συνεπώς μπορούμε νά

θά είχαμε δτι

1.6

Τώρα άπό τό Θεώρημα 1.5(ίί) ξέρουμε δτι ή τριάδα

εΙ aa + βb + γε. a(b· a) + βΙbl 2 = ο.

καί

a

καί

=

1.5(ίί) έχουμε επίσης δτι

b

a· εΙ alal 2 ε{ναι γραμμικώς άνεξάρτητα, έπεται δτι

σχέση αύτή μαζί μέ τίς δύο προηγούμενες δίνει α

=β =Ο

b, εΙ) καί (a, b, ε) εΙναι δεξιόστροφες, έχουμε γ> Ο. γlε,l. Συνεπώς γ = 1 καί c = ε'.

καί επομένως

'Από τό Θεώρημα

εΙ

+ β(a • b)

=Ο

καί

lal 2 1bl 2 - la • bl 2

= γε.

Έπειδή

πρόταση. γράψουμε

οί βάσεις

1.5(ί) έχουμε τελικά lε,l

=

b· εΙ

.,ι. Ο.

.Η

(a,

= lεl =

ΜΙΚΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

1.33.

"Εστω

= el + 2e2 -

a

+ e2,

e3, b = -el

+ 2e3. 1 -1 Ο)

·Έχουμε

a· b

1.34.

Δείξτε δτι

a· b

χ

c

χ ε

det

• Υπολογίστε τό a· b χ c.

c = -e2

( -12

1-1 Ο 2

5

= a χ b· c. aX b· ε

1.35.

Άποδείξτε τό Θεώρημα

aX (b

χ

c)

(atet

1.8: aX (b

χ

c) = (a· c)b - (a· b)c.

+ a2e2 + a3e3) χ

[(b2C3 - b3c2)et

+ α3 b t c 3)e t + (αlb3Cl - at b t c 3 - a2 b 2c 3 + a2 b 3( 2)e3 (a· b)c (alcl + α2C2 + a3(3)(btet + b2e2 + b3e3) - (αtbl + a2b2 + a3b3)(ctel + C2e2 + C3e 3) (a2btc2 + a3btc3 - a2ctb2 - a3ctb3)et + (b 2a l c t + b 2a 3c 3 - C2albl - C2 a 3b 3)e2 + (b 3a l c l + b 3 ΑZC2 - C3a l b l - c3 a 2b z} e 3 (a2 b l c 2 - ΑZb 2 c t - α3 b 3 C !

Έπίσης

+ (b3cl - c3bt)e2 + (blC2 - b2ct)e3] + (a.3 b 2C3 - a3 b 3c 2 - albtc2 + al b 2c t)e2

(a· c)b -

aX (b χ ε)

'Άλυτα Προβλήματα 1.36.

=

OPQR τού Σχ. 1-18 εστω a ΟΡ, b OQ, ε RQ. 'Εκφράστε τό διάνυσμα ΡΜ μέ τή 'Απ. ΡΜ -lb + -lc - a

τής

πλευρας

= ΟΚ

=

+

=

+

=

+

καί Μ τό

βοήθεια

=

b, ε. 1.37.

=

Στό τετράεδρο μέσο

τών

a,

"Εστω a 2U1 u2 - 3U3, b υι - 2U2 u3, ε -υι 2U2 - U3' Βρείτε τό διάνυσμα 3a - 2b ε ώς συνάρτηση τών υι, U2, U3' 'Απ. 3υι 9U2 - 12u3

+

+

+

Q

+

Δείξτε δτι

1.39.

Δείξτε δτι τά μέσα τών εύθύγραμμων τμημάτων, πού ενώνουν τά μέσα τών άπέναντι πλευρών ενός τετραπλεύ

la ± b ± cl ,,: lal

Ibl

lεl.

1-18

1.38.

ρου, συμπίπτουν.

1.40.

Δείξτε δτι οί διχοτόμοι τών γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται άπό τό ίδιο σημείο.

Σχ.

20 1.41. 1.42.

ΚΕΦ.Ι

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δείξτε δτι

ot

διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται άπό τό ίδιο σημείο.

Δείξτε δτι όσαδήποτε διανύσματα άπό ενα σύνολο γραμμικώς άνεξάρτητων διανυσμάτων είναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

1.43.

Δείξτε δτι δύο γραμμικώς άνεξάρτητα διανύσματα του Ε2 όρίζουν μιά βάση του Ε2.

1.44.

Δείξτε δτι τρία ή περισσότερα διανύσματα του Ε2 ε{ναι γραμμικώς έξαρτημένα.

1.45.

Έάν αι. bi• ci είναι οί συντεταγμένες τών διανυσμάτων

έάν καί μόνο έάν αί

= kai' 1.46.

-Εστω υι.

a. b. ε

έάν καί μόνο έάν Ci

U2' U3 μιά βάση. Έξετάστε άν τά διανύσματα a Άπ.

=

= -2νι +

-Εστω

ν2

- ν 3 • U2

= 3ν ι -

ν2

ώς πρός κάποια βάση, δείξτε δτι (ί)

= α; + bi • (ίίί) b = ka,

= υι -

2U2 + u3. b

a

= b,

έάν καί μόνο έάν

= u2 -

U3.

ε

= 2υι -

bi

U2+

ΝαΙ

-Εστω υι. U2. U3 μιά βάση καί νι = -υι + u 2 - U3. ν2 υι ν2. ν3 δρίζουν μιά βάση καί βρείτε τίς συντεταγμένες του a Άπ. υι

1.48.

= a + b,

(ίί) ε

i•

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

5U3 1.47.

=b

+ 2ν3. u3

=

+ 2U2 - U3. ν3 = 2ul + U3. Δείξτε δτι τά νι. 2υι - U3 ώς πρός τή βάση νι. ν2. ν3' 4νι - 2ν2 + 3ν3. a -8νι + 4ν2 - 5ν3

=

=

a = -e } + e2 - 2e 3 καί b = e} - e2 + e 3. . Υπολογίστε τίς παραστάσεις (α) a· b. (b) lal. (c) cos 4(a. b). Άπ. (α) -4. (b)...[6. (c) -4/(3V2). (d) -4/V3. (e) -(4/3)(e} - e2 + e3)

(d) P b (a). (e) Pb (a).

1.49.

Βρείτε τά συνημίτονα κατευθύνσεως του διανύσματος

1.50.

Προσδιορίστε τό χ ετσι ωστε τά διανύσματα Άπ.

1.51. 1.52.

χ

=

a:=-.: e} + e2 - e3

καί

b

= -e} +

καί

e2 - e3

b

= 2e l -

xe2 + e3

arlal 2 - (αδ + βγ)(a· b) + βδlbl 2 .

Δείξτε δτι τά διανύσματα

gl

Βρείτε ενα διάνυσμα

2e2 - 2e3'

τίς πλευρές ενός όρθογώνιου τριγώνου.

1.53.

= xe} +

a

'Απ. 2/...[14, ι/νΓι4. -3/V14

3e3'

νά είναι κάθετα.

1

Νά γίνει γινόμενο παραγόντων ή παράσταση -Εστω

= 2e } + e2 -

a

Άπ.

Άπ.

(aa -

ε, ετσι ωστε τά

a. b,

βb)

• (ya - cSb)

ε νά άποτελουν

= ±(2el - e2 + e3)

ε

= (1/3)(2el -

=

=

2e2 + e3)' g2 (1/3)(el + 2e2 + 2e3) καί g3 (1/3)(2el + e2 - 2e3) (el. e2' e3) ώς συνάρτηση τής (gl' g2. g3)' (1/3)(-2g } + 2gi + g3)' e3 (1/3)(gl + 2g2 - 2g3)

άποτελουν μιά όρθοκανονική βάση καί βρείτε τήν 'Απ.

1.54.

= (1/3)(2g} + g2 +

el

2g3). e 2

=

=

Δείξτε δτι τό άθροισμα τών τετραγώνων τών πλευρών ενός παραλληλογράμμου ε!ναι ίσο μέ τό ίiθρoισμα τών τετραγώνων τών διαγωνίων του.

=

=

=

1.55.

'Εάν a e } - 2e2 + 3e3. b 2e } - e2 - e3 καί ε e2 + e3. βρείτε τά (α) aX b. (b) b χ a. (c) a· b χ ε (d) aX (b χ ε). 'Απ. (α) 5e } + 7e2 + 3e3. (b) -5e } - 7e2 - 3e3. (c) 10. (d) 2e } - 2e2 - 2e3

1.56.

Βρείτε ενα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στά a

1.57.

Βρείτε τήν άπόσταση

'Απ. d

S

μέχρι τό Ρ

= IPb χ ,,(a)1

1.58.

det

1.59.

Δείξτε ότι

(a

1.60.

Δείξτε ότι

[(a χ b)(c χ d)(e χ f)]

1.61.

Έάν τά

(a

1.62.

χ

χ

b) " (ε

χ

χ ε)

d) + (b

=

(

e3 καί b

I

υι • νι υ ι • ν2 υ ι • ν3 ) U2" νι

U2" ν2

U2" ν3

υ3"ν ι

υ3"ν2

υ3"ν3

• (a

χ

d) +

(ε χ

a) " (b

χ

d)

. Ο.

[abd][cef] - [abc][def].

a καί b κείνται σέ ενα έπίπεδο κάθετο πρός ενα άλλο έπίπεδο πού περιέχει τά ε καί d. δείξτε δτι

b) " (ε

χ

-Εστω (υ ι ,

d) =

U2, U3)

Ο. μιά τυχούσα

(νι, ν2, Va) είναι δυϊκή τής (υι,

1.63.

= -e} - 2e2 + e3' 'Απ. ±(I/V2)(e + e3) Ρ άπό τό έπίπεδο S, δπου a = ΟΡ = e } + e2 - e3 είναι τό διάνυσμα καί τά διανύσματα b = -e } + e3, ε = e } - e2 βρίσκονται στό S.

d ενός σημείου

άπό τό σημείο Ο του

= e } + e2 -

= [abc].

-Εστω (υι,

u2' U3) καί U2, U3)'

βάση καί

νι

U2, U3)' δηλαδή

(νι. ν2' ν3)

U2

χ

U3

= _.[υιυ2υ3] , 11;" Vj

δύο δυϊκές βάσεις.

ν2

U3

= [υ υ2υ3]ι , χ υ

ι = δίjι i, j = 1,2,3.

ν3

Δείξτε δτι ή (νι, ν2' ν3)

=

Δείξτε δτι ή

εχει τόν ίδιο προσανατολισμό

μέ τήν (υ ι ,

1.64.

Δείξτε ότι ύπάρχουν δύο κλάσεις ίσοδυναμίας στό σύνολο τών διατεταγμένων βάσεων (βλ. Πρόβλ.

1.27). Δη (wl, W2, W3) δέν Ι:χουν τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (υι, U2' U3), δείξτε δτι προσανατολισμό μέ τήν (wl, W2, W3)' "Ετσι μπορούμε νά λέμε στι δύο διατεταγ

λαδή, άν οί (νι, ν2' ν3) καί ή (νι, ν2, ν3) Ι:χει τόν ίδιο

μένες βάσεις Ι:χουν τόν ίδιο ή άντίθετο προσανατολισμό.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ

'Έστω σημείο

a

καί

a

u

δύο διανύσματα (σημεία) τού Ε3 μέ

καί είναι παράλληλη πρός τό διάνυσμα

τήν εξίσωση

Χ

= ku

~ Ο.

u

Καλούμε εύθεία πού διέρχεται άπό τό

τό σύνολο των σημείων χ του Ε3 πού ίκανοποιουν

u

+ θ,

< k < 00

-00

(2.1)

Μέ χρήση των συντεταγμένων ή διανυσματική αύτή εξίσωση δίνει τίς εξισώσεις -00

Οί εξισώσεις

(2.1)

καί

παράγει τήν ευθεία,

λέγονται παραμετρικές έξισώσεις της ευθείας.

(2.2)

όταν ή

παράμετρος

(2.2)

00

Λέμε στι τό σημείο

παίρνει τιμές στήν πραγματική ευθεία.

k

λέμε ότι είναι παράλληλο πρός τήν ευθεία, αν τό διάνυσμα αυτό καί τό μένα.

χ

nΕνα διάνυσμα

εΙναι γραμμικως εξαρτη

u

Δύο ευθείες λέμε στι είναι παράλληλες, αν τά αντίστοιχα διανύσματά τους

u

εΙναι γραμμικως

εξαρτημένα. Παράδειγμα

Ή παραμετρική έξίσωση της εύθείας πού διέρχεται άπό τό σημείο

2.1.

ληλη πρός τό διάνυσμα

= e}-

u

χ η χι

= k

+ 1,

Χ2

e3

= ku

= 2,

Χ3

= -k.

Έάν

a

καί

+a

= k(el - e3)

Παράδειγμα

2.2.

δενικό

καί

είναι παράλληλο πρός τήν εύθεία.

σημεία

a

καί

b

b

+ (e l + 2e2)

= (k + 1)el + 2ez - ke3

είναι δύο διαφορετικά σημεία μιας εύθείας, τότε τό διάνυσμα

= k(b - a) + a ή χι = k(b l - σι) + σι,

b- a

δέν είναι μη

~Eτσι, ή παραμετρική έξίσωση της εύθείας πού διέρχεται άπό τά

Χ2

u

καί

v

σωση

χ

εξίσωση αυτή μέ τή

χι =

(2.3)

hul

καί

σ2)

= k(b 2 -

Μέ τόν όρο έπίπεδο πού διέρχεται άπό τό σημείο

Οί εξισώσεις

καί είναι παράλ

είναι χ

ξάρτητα διανύσματα

.Η

a = el + 2e2

είναι

a

+ αΖ.

Χ3

=

k(b 3 - αa)

+ a3

καί είναι παράλληλο πρός δύο γραμμικώς άνε

εννοουμε τό σύνολο των σημείων ,χ τού Ε3 πού ίκανοποιούν τήν εξί-

= hu + kv +

θ,

-00

< h < 00,

-00

< k < 00

(2.3)

βοήθεια των συντεταγμένων δίνει

+ kvl + αι,

(2.4)

Χ2

= hUz

+ kV2 + α2,

Χ3

= hUa + kV3

λέγονται παραμετρικές έξισώσεις του επιπέδου.

+ α3

(2.4)

Λέμε ότι τό Χ παράγει

τό επίπεδο, όταν οΙ παράμετροι h καί k παίρνουν τιμές στήν πραγματική ευθεία, ανεξάρτητα ή μία από τήν άλλη. Λέμε ότι ενα διάνυσμα ε{ναι παράλληλο πρός τό επίπεδο, άν εκφράζεται ιός γραμ μικός συνδυασμός των διανυσμάτων κάθετο στά διανύσματα

u

καί

u

καί

v.

Τέλος λέμε ότι είναι κάθετο στό επίπεδο, αν είναι

v.

'Εάν n εΙναι ενα μή μηδενικό διάνυσμα κάθετο στό επίπεδο Χ σημείο χ βρίσκεται στό επίπεδο εάν καί μόνο εάν τό χ του επιπέδου γίνεται

(x-a)' n =

Μέ τή βοήθεια των συντεταγμένων των διανυσμάτων Χ,

(Χι - al)nl

+ (Χ2 -

α2)Π2

21

a

= hu

Ο

a

+ kv + a,

είναι κάθετο στό

n,

τότε τό τυχόν

δπότε ή εξίσωση

(2.5) καί

+ (Χ3 -

n,

ή εξίσωση του επιπέδου γράφεται

αa)n3

=

Ο

(2.6)

Ί

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

22 . Εάν

τρία σημεία Β,

ΚΕΦ.2

δέν βρίσκονται στήν

b, c

ίδια εύθεία, τότε τά διανύσματα

b - a

καί

c- a

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα καί παράλληλα πρός τό έπίπεδο, πού όρίζουν τά τρία σημεία, ένώ τό διάνυσμα

(b - a)

χ

(c - a)

εΙναι

μή

μηδενικό

καί

κάθετο στό έπίπεδο τών τριών σημείων, δπως φαί νεται στό Σχ. επεται δτι ή

νΕτσι, άπό τήν έξίσωση

2-1.

ται άπό τά σημεία Β,

[(Χ Παράδειγμα

2.3. Χ

εΙναι

b, c,

- a)(b - a)(c - a)]

Σι.

=

Ο

= el

= -el + e3 εΙναι = hu + kv + a = (h - k)el + e2 + ke3 καί

2-1

(2.7)

Ή παραμετρική έξίσωση τοϋ έπιπέδου πού διέρχεται άπό τό σημείο

πρός τά διανύσματα u

.Η

(2.5)

έξίσωση του έπιπέδου, πού διέρχε

= e2

a

καί εΙναι παράλληλο

v

ή

χι

=

h-

=

Χ2

k,

=

Χ3

1,

k

έξίσωση τοϋ έπιπέδου μπορεί νά γραφεί έπίσης καί ώς μικτό γινόμενο

[(Χ -

a)uv]

=

det

(

χ

1-1)

Χ3

Ο

Χ: -1 Ο Ο

= Ο

ή

Ο

1

ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Στή μελέτη

τών τοπικών ίδιοτήτων τών συναρτήσεων κάνουμε χρήση τής εννοιας τής σφαι

ρικής περιοχής.

ποία Ιχ

-

καί

al < ε.

Λέμε ε-άνοικτή σφαίρα ή ε-σφαιρική περιοχή ένός σημείου (διανύσματος)

συμβολίζουμε

μέ

τό

σύνολο

2-2,

ενα σημείο Χ άνήκει στήν περιοχή

8,(a),

ffΟπως φαίνεται στό Σχ.

των

σημείων Χ πού

τό Χ βρίσκεται στό έσωτερικό τής σφαίρας, πού εχει κέντρο τό εΙναι τό έσωτερικό τής περιφέρειας που εχει κέντρο τό

a

a

ίκανοποιουν

και ακτίνα ε.

τό άνοικτό διάστημα μέ μήκος 2ε καί μέσο Β, δπως φαίνεται στό Σχ.

τήν ό

έάν καί μόνο έάν Στόν Ε2, ή

Στόν ΕΙ, ή

aι

Σι.

2-2

a,

άνισότητα

S,(a)

8, (a) εΙναι

2-3.

ο

Σι.

S,(a),

καί άκτίνα ε.

τήν

Ο

2-3

Χρησιμοποιουμε τόν δρο περιορισμένη περιοχή του σημείου Ρ γιά νά δηλώσουμε μιά περιοχή

του Ρ άπό τήν όποία εχει άφαιρεθεί τό Ρ.

Είδικά λέμε περιορισμένη ε-σφαιρική περιοχή καί συμ

βολίζουμε μέ 8:(a) μιά ε-σφαιρική περιοχή 8,(a), άπό τήν όποία εχουμε άφαιρέσει τό κέντρο Β. Έπειδή εχουμε Ιχ - al Ο έάν καί μόνο έάν Χ Β, ή S:(a) άποτελείται άπό έκείνα τά σημεία πού

=

ίκανοποιουν τίς άνισότητες Ο Παράδειγμα

2.4.

•Η

- al =

ή

=

[(ΧΙ - 1)2

= xlel + xze2 + x3e3 + (Χ2 -

2)2

+ (Χ3 -

a

= el + 2e2 + 3e3,

δηλαδή ή

8 l / lo (el

+ 2e2 + 3e3),

άπο

πού ίκανοποιοϋν τήν άνισότητα

3)2] Ι/2

< 1/10

ή

(Χι -

1)2

+ (Χ2 -

2)2

+

(Χ3 -

3)2

< 1/100

2.5. . Η 81/100(5) στόν ΕΙ εΙναι τό σύνολο των άριθμων πού ίκανοποιοϋν τήν άνισότητα Ιχ - 51 < 5 -1/100 < Χ < 5 + 1/100. Δηλαδή ή 81/ιοο εΙναι τό άνοικτό διάστημα, πού εχει μέσο τό 5 καί μήκος

Παράδειγμα

1/100 1/50.

al < ε.

1/IΟ-σφαιρική περιοχή τοϋ σημείου

τελείται άπό τά σημεία χ

Ιχ

< Ιχ -

-(

ΚΕΦ.2

23

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΏΚΕΣ ΣΥΝΑΥτΗΣΕΙΣ

~Eστω

ενα σύνολο άπό πραγματικούς άριθμούς.

8

στοιχίσουμε ενα διάνυσμα

• Εάν σέ κάθε άριθμό t του συνόλου άντι f(t), τότε δρίζεται μιά διανυσματική συνάρτηση f μιας πραγματικης μετα

βλητης t στό

8. 'Όπως καί στήν περίπτωση τών πραγματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής, τό f(t) λέγεται τιμή τής f στό tE 8 ή είκόνα του t (άπό τήν f), τό σύνολο 8 πεδίο όρισμοϋ

διάνυσμα τής

f

καί τό σύνολο τών άντίστοιχων διανυσμάτων, πού συμβολίζουμε μέ ί(8), λέγεται πεδίο τιμών

ή είκόνα του Παράδειγμα

(άπό τήν ί).

8

-Εστω Β,

2.6.

b, c

τρία σταθερά διανύσματα στό χώρο.

=

f(t) δρίζει μιά διανυσματική συνάρτηση τοϋ

a - 2tb

+

t 2c,

'Η εκφραση

-2

~

t

~

μέ πεδίο δρισμοϋ τό διάστημα

t

2

-2

~

t

~

"Ενας πίνακας μέ μερικές

2.

τιμές της μεταβλητης καί τίς άντίστοιχες τιμές της συναρτήσεως, δίνεται άμέσως παρακάτω:

Παράδειγμα

t

-2

-1

Ο

1

2

f(t)

a + 4b + 4c

a + 2b + c

a

a-2b+c

a - 4b + 4c

2.7.

'Υποθέτουμε δτι στό Παράδειγμα

2.6

δίνονται

a

= eι + 2e2,

b

= e2 -

e3, c

= el'- e3'

Τότε ή δια

νυσματική συνάρτηση γίνεται

Συνεπώς

ή

δρίζεται

f

άπό τίς

τρείς πραγματικές συναρτήσεις

εΙναι οί συντεταγμένες της ώς πρός τή βάση

Κάθε διανυσματική συνάρτηση

f2(t), f3(t),

fl(t), f2(t), f3(t)

μέ

συνάρτηση

8

κοινό

f(t)

πεδίο

=

όρισμου

fl(t)eI

' Αντίστροφα,

= f(t).

= f(t)

fl(t),

+ f2(t)e2 + f3(t)e3 (eI, e2, ~).

'Όταν τό

t

Πράγματι, εστω

μεταβάλλεται σ' ενα διάστημα τής πραγματικής

εύθείας, τότε τό σημείο χ διαγράφει μιά καμπύλη, όπως φαίνεται καί στό Σχ.

τική συνάρτηση χ

πού

τρείς πραγματικές

Χρησιμοποιουμε τίς διανυσματικές συναρτησεις γιά νά δρίσουμε τίς καμπύλες.

χ

- t 2,

όρίζουν μονοσήμαντα μιά διανυσματική

8

καί άποτελουν τίς συντεταγμένες συναρτησεις της ώς πρός τη βάση

ή διανυσματικη συνάρτηση

2Ι

προσδιορίζει τρείς μοναδικές πραγματικές συναρτήσεις

τίς συντεταγμένες συναρτήσεις της ώς πρός τή βάση.

συναρτήσεις

στό

f(t)

f ι(Ι) = 1 + t 2, f2(t) = 2 - 2t, f 3(t) =

(eI, e2, e3)'

.Η

2-4.

διανυσμα

ή μέ μορφή συντεταγμένων ή τριάδα τών πραγματικών συναρτησεων

χι

= fl(t),

Χ2

λέγεται παραμετρική παράσταση τής καμπύλης.

=

f2(t),

Χ3

Ή μεταβλητη

= t

f3(t) λέγεται παράμετρος.

--------~-----+~----+_-------Xι

Σχ.

Σχ. 2 -4

Παράδειγμα τήσεις

χι

2.8.

'Η διανυσματική συνάρτηση χ

= α cos t,

Χ2

= α sin t

μέ α

>

Ο,

Ο ~

εχει γιά κέντρο τήν άρχή τών άξόνων καί άκτίνα

=

t

~

a.

α(cos

t)e}

+ α(sin t)e2

2-5

ή, ίσοδύναμα, οί πραγματικές συναρ

217', εΙναι μιά παραμετρική παράσταση της περιφέρειας, πού 'Όταν τό

t

αύξάνεται στό διάστημα Ο ~

t "'" 2".,

ή περιφέ

ρεια διαγράφεται μέ φορά άντίθετη άπό τήν φορά κινήσεως τών δεικτών τοϋ ώρολογίου, δπως φαίνεται στό Σχ.

2-5.

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

24

ΚΕΦ.2

Οί διανυσματικές συναρτήσεις, πού μας άπασχολουν, εΙναι συνήθως δρισμένες σέ διαστήματα τής πραγματικής εύθείας.

μορφής α

ή α~

Τά διαστήματα αύτά εΙναι πεπερασμένα άνοικτά ή κλειστά, δηλαδή τής

~

t

πεπερασμένα ήμιανοικτά, δηλαδή τής μορφής α ~

b,

καί μή πεπερασμένα, δηλαδή τής μορφής

-00

< t < 00,

α ~

t<

00,

< b,

t

< t < α,

-00

α

~

b,

κλπ.

ΦΡΑΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Λέμε

ότι

μιά διανυσματική συνάρτηση ί(Ι) εΙ ναι φραγμένη στό διάστημα Ι, αν ύπάρχει ενας

πραγματικός άριθμός Μ> Ο, τέτοιος ώστε Σχ.

αύτό σημαίνει ότι, αν ή χ

2-6,

= f(t)

If(t)1

~ Μ γιά κάθε

t

στό Ι.

'Όπως φαίνεται καί στό

εΙναι μιά παραμετρική παράσταση καμπύλης, τότε ή

f(t)

εΙναι φραγμένη στό Ι, έάν καί μόνο έάν ύπάρχει μιά σφαίρα μέ κέντρο τήν άρχή των άξόνων καί

t

άκτίνα Μ ετσι ώστε γιά κάθε

στό Ι τό άντίστοιχο σημείο χ νά βρίσκεται μέσα στή σφαίρα.

''1

1,,/2

=t

Ι

ι

Ι

Σχ.

Παράδειγμα

'Η

2.9.

2-6

Σχ.

παραμετρική

γράφημα πού δίνεται στό Σχ.

>

•

δπου

=

Μ

ο.

Πράγματι, γιά αύτά τά

π/2

- "

f(t)

to

π/2 εχει

to

-π/2

"Ετσι,

+•< t <

π/2

- •

f(t)

+

Itan tllezl "" Itl

εΙναι φραγμένη

+ ltan tl

στό

t

t

"" Μ

= t o,

αν ύπάρχει πραγματικός

στήν περιοχή

αν ύπάρχουν πραγματικοί άριθμοί Μ

>Ο

S.(t O)·

ή, ισοδύ

>Ο

τέτοιοι ώ

καί ε

εΙναι όρισμένη σέ ενα διάστημα Ι καί φραγμένη σ' αύτό, τότε εΙναι φραγ

του Ι.

γούμενο παράδειγμα, όπου ή δέν εΙναι φραγμένη σ'

-π/2

< ε.

If(t)1 ~ Μ γιά It - tol Προφανως, αν ή

στό διάστημα

π/2, ε{ναι φραγμένη στό διάστημα

νά εΙναι φραγμένη γιά κάθε

f(t)

ναμα, ή ί(Ι) εΙναι φραγμένη στό

"" Itllell

Λέμε ότι μιά διανυσματική συνάρτηση

μένη σέ κάθε σημείο

δρισμένη

εχουμε

t

IXI = !tel + (tan t)e21 + tan (π/2 - .).

άριθμός ε> Ο τέτοιος ώστε ή

στε

+ (tan t)e2

Παρατηροϋμε δτι τό Ixl τείνει στό απειρο, δταν τό t τείνει στό π/2.

2-7.

ένώ ή χ δέν ε{ναι φραγμένη στό διάστημα -π/2 γιά κάθε

= tel

παράσταση χ

2-7

Τό άντίστροφο, όμως, δέν άληθεύει όπως φαίνεται καί στό προη

f(t)

εΙναι φραγμένη σέ κάθε

to

< t < '11'/2,

στό διάστημα -π/2

άλλά

δλόκληρο τό διάστημα.

ΟΡΙΑ

Λέμε ότι μιά διανυσματική συνάρτηση ί(Ι) εχει δριο τό

L

όταν τό

t

τείνει στό

to

καί γράφουμε

lim f(t) = L

t .. t.

ή

f(t)

~

L όταν

πάρχει δ

>Ο

t ~ to,

αν

γιά

κάθε ε

>Ο

ύ

(πού γενικά έξαρταται άπό τό ε)

t ~ t o,

έάν

καί

μόνο

έάν

γιά

κάθε

"-

Ι

,

\

\

Ι Ι

ο

Ι

,

"

άνοικτή

"- ......

S.(L) ύπάρχει S~(tO) τέτοια ώστε τό άντίστοιχο σημείο χ νά άνήκει στήν S.(L) Σχ.

Ι

\--Ι

t.+ 8

σφαίρα

όταν τό t άνήκει στήν S~(tO).

..... "-

f

τέτοιο ώστε τό διάνυσμα ί(Ι) νά άνήκει στήν

S.(L) όταν τό t άνήκει στήν S~(tO)' 'Όπως φαίνεται καί στό Σχ. 2-8, χ = f(t) ~ L όταν

/

/

2-8

Ι

----

/ /

f

•..

,

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.2

Υ Ας σημειωθεί δτι ή ϋπαρξη του οριου μιας συναρτήσεως σ

ενα σημείο

25 εΙναι τοπική ιδιό

to

τητα τής συναρτήσεως, γιατί εξαρταται μόνο από τή φύση τής συναρτήσεως σέ μιά περιορισμένη περιοχή τού

Γι' αυτό ή ί(Ι) δέν εΙναι απαραίτητο νά εΙναι όρισμένη στό

t o.

t o. • Αναφέρουμε,

γιά

< t < t O•

παράδειγμα, δτι τό πεδίο όρισμου της θά μποροϋσε νά εΙναι τό ανοικτό διάστημα α

2.10. "Εστω ή διανυσματική συνάρτηση f(t) = a = σταθ. Τότε γιά κάθε to εχουμε 1im f(t) = a. Πράγματι, γιά τυχόν t o καί γιά κάθε περιοχή 8.(a) εχουμε δτι τό σημείο f(t) == a άνήκει στήν 8.Υ;',ι: γιά κάθε Παράδειγμα

t

πού άνήκει στήν τυχούσα περιοχή 8 δ (t σ ).

Παράδειγμα 2.Η.

.Η

διανυσματι κή συνάρτηση

=

χ

Ι( t)

=

τικές συναρτήσεις

=

Χι

=

Ιι(Ι)

=

Χ2

t,

σπως φαίνεται καί στό Σχ.

πράγματι κάθε σημείο

=

fz(t)

2-9,

t"'"

{-1,

Ι,

tet + e2' { tet - e2'

t "'" Ο • t < Ο

Ο

1.

, t < Ο t....,.

δέν εχει δριο δταν

Ο·

ι

=

8.(L), ή όποία δέν τέμνει συγχρόνως τίς εύθείες Χ2 1 = -1. (Στό παράδειγμά μας ή περιοχή 8 ι/2 (0, 1)

περιοχές

t

δέν

8.(L)

ύπάρχει δ

>

< Itl <

εΙ ναι

= f(t)

τυχόν,

νά άνήκει στήν

δέν ύπάρχει τό

ωστε γιά

δ

.....

\ Ι

\

\

'-

Γι' αύτές τίς

Ο τέτοιο

στήν περιοχή του μηδενός Ο

διάνυσμα χ

= -1.)

/-

( (0.1)+--<>+-_ _ _---'''':...2_=....:.1

καί Χι

δέν περιέχει σημεία της εύθείας Χ2

ι~ Ο

"'s = { -1. ι<ο

του έπιπέδου εχει μιά περιοχή

L

ή ή δεύτερη άπό τίς πραγμα-

κάθε

t-

/ _/

ι+ δ

δ

τό άντίστοιχο Έπειδή τό

8.(L).

δρω στό μηδέν.

. Από

L τήν

"'. -

1

άλλη πλευρά, ή συνάρτηση εχει δριο γιά κάθε άλλη τιμή

του t Q•

Π.χ., σταν

t....,.

i

τό δριο είναι

!e I

+ ez.

Σχ.

2-9

. Υπενθυμίζουμε τώρα δτι μιά πραγματική συνάρτηση g(t) -+ Ο δταν t -+ to, αν γιά κάθε ε > Ο ύπάρχει 8 > Ο τέτοιο ωστε Ig(t)1 < ε γιά κάθε t στήν S~(to). . Εάν τώρα θέσουμε g(t) = jf(t) - LI. τότε παρατηρουμε δτι jg(t)1 = jf(t) - LI < ε εάν καί μόνο εάν ή f(t) ανήκει στήν S.(L). ΥΕτσι έ χουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

t

-+

2.1.

.Η

ί( Ι) τείνει στό

δταν

L

t

-+

t o, εάν καί μόνο εάν ή If( Ι) - LI τείνει στό μηδέν δταν

=

eI - 2e2' γιατί

to.

Παράδειγμα

2.12.

"Εχουμε

lim (t2e l

t-+l

lim If(t) - LI Ι-+Ι

=

(t+ l)e2)

-

lim l(t2

-

Ι-+Ι

1)el - (t - 1)e21

=

lim [(t2 -1)2

Ι-+Ι

+

(έ -

=

1)2j1/2

• Υποθέτουμε, τέλος, δτι ί(Ι) -+ L δταν t -+ t o• Τότε γιά κάθε ε> Ο ύπάρχει δ > If(t) - LI < ε γιά κάθε t στήν S~(to). Συνεπώς γιά κάθε t στήν Sδ(tσ). θά εχουμε'

If(t)j όπου Μ

=

Max (ε, !f(t o) - LI)

=

jf(t) -

L + LI

~ If(t) -

LI + ILI

~ Μ

Θεώρημα στό

2.2. t o.

Έάν ή

f(t)

Ο τέτοιο ωστε

/

//

+ IL!

μέ τήν προϋπόθεση δτι ή ί(Ι) εΙναι όρισμ~η στό t o.

έχουμε τό επόμενο θεώρημα:

μένη

Ο

Ά

εΙναι όρισμένη στό

to

καί εχει δριο όταν

t -+ t o,

τότε ή

f(t)

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Ύποθέτουμε δτι

lim

Λ(Ι)

Ι-Ι ο

= L i,

ί

= 1,2,3'

τότε

lim [fl(t)el + f2(t)~;+ f3(t)~] \

t ... t o

= Ltel + L2e2,+ L3e3

\

Πράγματι, έστω f(t)

= fl(t)el + f2(t)~ + f3(t)e3 καί L = Ltel + L;.e2 + Laea' τότε ~ ./ lim If(t)-L! lim I(fl(t)el + fz\t)e-1. + f3(t)e3) - (Llel +L~+L3e3)1 t-+to

= = 3

t .... t o

lim Ι ...

ο

to

[(ιι(ι)

-Ll)Z

+ (f2(t) -

L 2)2

+ (f3(t) -

L 3 )2]l/2

ε{ναι φραγ

26

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

• Ισχύει θεώρημα

tπίσης ιcαί τό άντίστροφο, δπότε εχουμε τό Ι:πόμενο θεώρημα:

f(t) = fl(t)el + f2(t)e2 + f3(t)e3 = 1,2,3, εχουν δρια δταν t -+ t o,

Ή συνάρτηση

2.3.

tάν οΙ συναρτήσεις

ί

fi(t),

=

lim f(t) t .... t o

2.13.

Παράδειγμα

1im

ι-ο

Παράδειγμα

t .... t o

(lim f2(t») e2 + (lim f3(t)\e3

Βίη t) e}

(lim cos t)

'm Ι(2 + 1ι.) - Ι(2) 11 h

h_O

Ύποθέτουμε τώρα δτι

f(t)

(lim

ι-ο

+ te2 •

f(t) = t 2el

νΕστω

2.14.

=

3)

= fl(t)el +

«2 + h)2e l

•

=

h-O

=

h_O

hm

t .... t o

ι-ο

e2

ιcαί

+

δταν

If(t)l-+ ILI

t -+ t o.

= Ltet + L2e2 +

L

Πράγματι, θέτοντας

L3e3,

f~(t»)1/2

[( lim ft(t»)2 + (lim f 2(t»)2 + (lim f3(t»)2]l/2 ι-..

t .... t o

to

L~ + L~]l/2

+

[L;

ILI

Ας σημειωθεί δτι τό άντίστροφο δέν ίσχύει.

χωρίς δμως νά ύπάρχει ιcαί τό δρω της

to =

=

(lim t) e3

(4e } + 2e2)

-

h

f2(t)e2 + f3(t)e3

t .... t o

μείο

+ (2 + h)e2)

Τότε

t -+ t o.

t-+ t o

=

W

~+

. [«2 + h)2 - 4)el he2 ] 11m h +-1ι.

lim [f~(t) + f~(t)

lim If(t)1

ι-ο

Τότε

δταν

f(t) -+ L

'J

t ... to

t .... t o

+

έάν ιcαί μόνο

t -+ to,

Ιι(Ι») el +

νΕχουμε

«Βίη t)e} + (cos t)e2 + te

εχουμε

(lim

εχει δριο δταν

ιcαί εΙναι

Δηλαδή, μπορεί να υπαρχει το ορω της

Αύτό συμβαίνει Π.χ. στό Παράδειγμα

f(t).

2.11

If(t)1

(στό ση

Ο).

VΥστερα άπό δσα άναφέραμε, διατυπώνουμ,ε τό Ι:πόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

'Εάν

2.4.

f(t) -+ L δταν}4 t o, τότε If(t)l .... ILI δταν t -+ to. /

.

Τέλος, εχουμε τίς παραιcάτω/ Ιδιότητες:

'

τότε

=

[Ηι]

lim (f(t) + g(t»

[Η2]

lim (h(t)g(t»

[Ha]

'Εάν Ν.,ι. Ο, τότε

[IL]

lim (f(t)· g(t»

[IL]

lim (f(t)

[IL]

'Εάν

ι-ι.

'Εάν

lim f(t) ι-ι.

=

/ lim f(t) + lim g(t) ι-ι.

t .... t o

= L,

lim g(t)

ι-ι.

=Μ

ιcαί

lim h(t)

ι-ι.

= Ν,

L+M

i

=

ι-ι.

tlr.

Παράδειγμα

χ

2.15.

r-'t.•

=

"\.,

ι-ι.

χ

=

= =

L,

ι-ι.

lim

θ-θ.

lim g(t)

Μ,

1im h(t)

t .... 'o

1im f(t)· lim g(t) ι-ι.

L/N.

χ Μ.

t .... t o

1im (f(t)· g(t) χ h(t»

ι-ι.

L

t

h(θ) = t o, τότε

=

=

L·M

=

lim g(t)

, .... to

t .... t o

=

t .... t o

lim f(t)

lim f(t)

t .... t o

lim [Ι(Ι) g(t) h(t)]

t .... to

t .... to

= f(to), t = h(θ) ιcαί

νΕστω

ΝΜ

lhn (f(t)/h(t» = lim f(t)/ lim h(t) t .... t o

g(t»

lim f(t)

ι-ι.

ι-ι.

li~'f(t). lim g(t)

ι-ι.

ι-ι.

=

mm h(t) lim g(t)

χ

=

=

Ν.

f(h(θ» = f (lim h(θ») = f(to). θ-θ.

Τότε

lim f(t)· lim (g(t) χ h(t»

t ..... to

1im h(t)

ι-ι.

lim

θ_θ.

t .... to

=

[LMN]

t 1

Ι 1i

\Ι

r ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

27

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Λέμε ότι μιά διανυσματική συνάρτηση

νά άνήκει στήν

στό

to

»

t

γιά κάθε

S.(f(to

=

lim f(t) t .... t o

συνάρτηση

• Από

2.3 επεται ότι = 1,2,3, εΙναι

ί

fi(t),

ή

f(t)

άνήκει στό πεδίο

to

ή ίσοδύναμα, ή

f(t)

f(t)

εΙναι συνεχής

f(to)

(2.8)

t = to

λέγεται συνεχής στό Ι, άν εΙναι συνεχής σέ κάθε

f(t)

τό Θεώρημα

ναρτήσεις της

όπου τό

to,

(πού γενικά έξαρταται άπό τό ι) τέτοιο ώστε ή

πού άνήκει στήν Sδ(t ο )·

αν

.Η

εΙναι συνεχής στό

f(t) 8> Ο

όρισμοϋ της, άν γιά κάθε ε> Ο ύπάρχει

στό Ι .

εΙναι συνεχής έάν καί μόνο έάν οί συντεταγμένες συ

συνεχείς.

. Επίσης

άπό τίς Ιδιότητες [Β ι ] μέχρι καί [Β 6 ] ε

πεται ότι τό άθροισμα, τό γινόμενο, τό έσωτερικό καί έξωτερικό γινόμενο συνεχών συναρτήσεων εΙναι συνεχείς συναρτήσεις καί άκόμα ότι ή σύνθεση συνεχών συναρτήσεων εΙναι συνεχής συνάρ τηση.

V

Ας σημειωθεί ότι ή συνθήκη

εΙναι Ισοδύναμη μέ τήν

(2.8)

» f(t o»

Ο

lim (f(t) - f(t o

t .... t o

ή, άν θέσουμε Παράδειγμα

h = t - t o, "Εστω

2.16.

f(t)

=

lim f(t)

f(t)

Παράδειγμα

γιά t G#

γιά

"Εστω

2.17.

f(t)

1 εχουμε

to

Παράδειγμα

σπου

lim (a

t ..... t o

t. t; ~ : ={ +

είναι σταθερά διανύσματα.

a, b, c

+ bt +

Ο

=

ct 2 )

a

+

bt o

ή

f(t)

=

ct~

+

Τότε

f(t o)

ε{ναι συνεχής γιά κάθε

2eI

tl~o . Ενώ

h .... O

= a + bt + ct2,

t .... t o Δηλαδή ή

lim (f(to+ h) -

μέ τήν

=1

f(t)

el

+

t#l

t3e2,

t

e2,

Τότε

=1

t~ - 1 to-l e Ι

Δ~ (t; ~ : el + t3e2)

=

ε{ναι

+

συνεχής γιά

κάθε

t.

Πράγματι,

t~2 υ-

εχουμε

]~ f(t) = ]~ (tt ~

2.18.

2

•Η

:

+ t3e2)

eI

διανυσματική συνάρτηση

lim

t .... t

__ {te te

f(t)

«t + l)et + t3e2) =

γιά κάθε t έκτός άπό τήν τιμή t

t "" Ο t < Ο

+ e2,

l

e2'

l -

2eI

+

e2

=

τοϋ Παραδείγματος

f(l)

2. 11

ε{ναι συνεχής

= Ο, στήν όποία τό δριο δέν ύπάρχει.

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

Τό όριο

άν ύπάρχει, λέγεται παράγωγος της παραγωγίσιμη στό

to.

f(t)

lim .....1f(~t)_---:f~(t=o) t - to t = t o• • Εάν ή f'(t o)

=

f'(to)

στό

έπίσης άπό τή σχέσή~

= t~------o + ~τόν =

f'(to)

/'

=

=

f(t)

f(t)

= a + bt + ct2,

. f(t o + 11m

Δt) -

At .... o

.

11m

At ... o

b

Δt

+

όπου

f(t o)

Δt

2cto Δt ΔΙ

+

=

παραπάνω όρισμό, ή παράγωγος στό

to

lim ftt o + Δt) - f(t o) At .... o

f'(t o)

ύπάρχει, λέμε ότι ή

εΙναι

___ _

Παρατηροϋμε ότι, άyerσoυμε t

πα Ράδειψ2:Ι9. "Εστω

(2.9)

t .... t o

a, b, c

(2.10)

Δt

\

ε{ναι σ~θερά διανύσματα. Τότε

~t)

Δt)2j

ct~)

• [a + b(to + c(to + - (a + bto + 11m -=----=-----'\....--.....:....~-.:......---....:.....--=.

ΔΙ ... Ο'

c(Δt)2

=

lim (b

At ... o

Συνεπώς ή Ι(Ι) εΙναι παραγωγίσιμη στό t o μέ παράγωγο ΙΙ(Ι ο )

+

Δt

2cto + cΔΙ)

= b + 2cfo.

δίνεται

=

b

+

2cto

28

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

~Eστω Θεώρημα

τώρα

2.3

δτι

=

f(t)

fl(t)el

+ f2(t)e2 + f3(t)e3.

'Από

τόν όρισμό

ΚΕΦ.2

της παραγώγου καί τό

εχουμε

lim f(t) - f(t o)

f'(t o)

t - to

t ... t o

'Έτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα στό

t o,

Μιά διανυσματική συνάρτηση

2.5.

f(t)

= fl (t)eI + f2(t)e2 + f3(t)e3

είναι παραγωγίσιμη

t o, εάν καί μόνο εάν κάθε συντεταγμένη συνάρτηση fi(t), i = 1,2,3, είναι παραγωγίσιμη στό

καί μάλιστα εχουμε

, Εάν

ή

f(t)

συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη σέ ενα διάστημα Ι, τότε ή

όρισμένη

στό

Ι,

πού

μπορεί

νά

είναι

f'(t)

είναι επίσης μιά διανυσματική

παραγωγίσιμη.

'Όταν

συμβαίνει

αύτό,

λέμε

f"(t).

Μέ

u = f(t)

χρη

δτι ή αρχική συνάρτηση εχει παράγωγο δεύτερης τάξεως, τήν όποία συμβολίζουμε μέ

παρόμοιο τρόπο όρίζουμε τίς παραγώγους ανώτερης τάξεως. 'Όπως στίς πραγματικές συναρτήσεις, ετσι καί στίς διανυσματικές συναρτήσεις σιμοποιουμε τούς συμβολισμούς

u' Παράδειγμα

2.20.

=

. Εάν u

u'

~~ =

u"

:t

Παράδειγμα

2.21.

.Η

~~ =

=

(t 3

χ

=

+ 2t)e l +

:t (t 3 + 2t)e I

(~~) =

u"

f'(t),

:t

(sin t)e2

:t (~~) = ~:~

+ ete 3 ,

+ :ι (sin t)e2 +

(3t 2 + 2)e I

+

+ a(sin t)e2

a(cos t)eI

=

άξόνων καί άκτίνα α, δπως φαίνεται στό Σχ.

2-10.

Κ.Ο.Κ.

f"(t),

τότε

:t (e t )e3

:t (cos t)e2

+

=

(3t 2 + 2)e I

:ι (e )e3 = t

6te l

+

(cos t)e2

+

e t e3

-

(sin t) e 2

+

e t e3

εχει γράφημα τήν περιφέρεια πού εχει κέντρο τήν άρχή των Ή παράγωγος

χΙ

=

dx/dt

=-

a(sin t)el

+ a(cos t)e2

εΙναι

ενα διάνυσμα πού έφάπτεται στήν περιφέρεια στό άντίστοιχο σημείο χ, δηλαδή εΙναι κάθετο στό διάνυσμα χ, άφου εχουμε

χ· χΙ

=

ο. Χ2

----------~~~~~----~--------~xι

ί·

/ !

ι

Σχ.2-10

Πολλές ιδιότητες τών πρι1~μαΤΙKών συναρτήσεων ισχύουν καί γιά τίς διανυσματικές συναρτή σεις.

Γιά παράδειγμα, αΥαΙΡέρουμε τό Πρόβλημα 2.26, δπου αποδεικνύεται τό εξης θεώρημα:

Θεώρημα 2~/>ΈCi~-~f(t) είναι παραγωγίσιμη στό /

t o,

τότε ή

f(t)

είναι συνεχής στό

to.

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.2

29

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΕΩΣ

, Εάν u, v, h

[J . 1]

.Η

U

+

, Η hu

είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις τού 1

'

Ι

,

ειναι παραγωγισιμη στο

V

,d dt (u

και

u'v

'Η

u

χ

+ v) =

d -(u·v) dt

είναι παραγωγίσιμη στό Ι καί

εΙναι παραγωγίσιμη στό Ι καί

v

στό Ι, τότε ίσ-χύουν τά έξης:

du dt

+ dv dt .

dv dt

+ dt • u.

d dt (hu)

είναι παραγωγίσιμη στό Ι καί

Ή

t

U'

d dt (u χ ν)

dv

dv du uX dt + dt χ v.

Τέλος ε-χουμε τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συ~'αρτήσεως:

[J5]

Έάν ή διανυσματική συνάρτηση ναρτηση t

l t,

= h(θ)

= f(t)

u

είναι παραγωγίσιμη στό Ι.' δπου ή εικόνα

τότε ή σύνθετη συνάρτηση

u

= g(θ) = f(h(B» dθ

-Εστω

2.22.

~:

u =

α(cos

t)et - a(sin t)e2,

~: ~: = ~~ /~~ =

h(I.) περιέ-χεται στό διάστημα

εΙναι παραγωγίσιμη στό Ι. καί

θ

= (1

+ Ι2)Ι/2,

t

> Ο.

Τότε

(-a(sin t)et - a(cos t)e2)/[t(1 -(a!t)(l

+ Ι 2 )-Ι/2}

+ t2)l/2«sin t)eI + (cos t)ez)

δπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός δη γιά τίς πραγματικές συναρτήσεις τής μορφής

de!dt =F

Ο, είναι

= l/(de/dt).

dt/de

Παράδειγμα 2.23. -Εχουμε Παράδειγμα

2.24.

2 d [ du d U] dt u dt dt2

1t &.~~)

-Εχουμε

=

d (

dt

U'

ο,:ι ( ~~) + ~~ . ~~

=

I t καί ή πραγματική συ

du dt dt do

du Παράδειγμα

είναι παραγωγίσιμη στό

Ι

=

u':

θ

= h(t),

+

γιά τίς όποίες έχουμε

Ι ~: 12

2U)

du d dt χ dt2

du d3u] [ u dt dt3 Τέλος, αν

Ι

ι

,

θά ε-χουμε U·

u εΙναι u

μιά διανυσματική συνάρτηση μέ σταθερό μέτρο, δηλαδή αν

= σταθ.,

U'

Δηλαδή τό Θεώρημα

u

2.7.

du dt

εΙναι κάθετο στό Έάν

u

\u\ =

σταθ., τότε

όπότε παραγωγίζοντας παίρνουμε

du

+ dt

du/dt.

•u

=

Ο

η

U'

du dt

=

Ο

νΕτσι ε-χουμε τό έπόμενο θεώρημα:

είναι μιά μοναδιαία διανυσματική συνάρτηση, τότε τό

du/dt

είναι κάθετο στό

u.

Τό θεώρημα αύτό παρουσιάζει ενδιαφέρον καί τό -χρησιμοποιούμε συ-χνά.

ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΛΑΣΕΩΣ ~

, j'

ι

~,

\

Γενικά, απαιτούμε οί συναρ\ήσεις μας να ε-χουν παραγώγους τουλά-χιστον πρώτης τάξεως καί

συ-χνά απαιτούμε νά ε-χουν παρα1φγους δεύτερης ij ανώτερης τάξεως.

Έπίσης -χρειάζεται νά ξέ ρουμε τήν εύρύτερη οικογένεια τωΥ συναρτήσεων πού πληρουν μιά τέτοια ιδιότητα. Λέμε δτι μιά πραγματική ij μιά διανυσματική σ~νάρτηση f εΙναι κλάσεως Cm ij διαφορίσιμη τάςεως Cm σέ ενα διάστημα Ι, αν ύπάρ-χει ή παράγωγός της τάξεως m καί εΙναι συνε-χής στό Ι. Συμβολίζουμε τήν κλάση των συνε-χων συναρτήσεων/μέ

δλων των τάξεων μέ C"'.

/

CO,

ενω τήν κλάση των συναρτήσεων πού ε-χουν παραγώγους

Τ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

30 , Επειδή

ΚΕΦ.2

μιά διανυσματική συνάρτηση εΙναι συνεχής ή παραγωγίσιμη έάν καί μόνο Μν σλες οί

συντεταγμένες συναρτήσεις της εΙναι συνεχείς ή παραγωγίσιμες, εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

+

+

Θεώρημα 2.8. Μιά διανυσματική συνάρτηση f(t) = fl(t)el f2(t)~ f3(t)e3 εΙναι κλάσεως στό Ι, Μν καί μόνο Μν οΙ συντεταγμένες συναρτήσεις της fl(t), f2(t) καί f3(t) εΙναι κλάσεως

Cm Cm

στό Ι.

Ας σημειωθεί στι μιά συνάρτηση πού εΙναι κλάσεως

W

Παράδειγμα

εΙναι καί κλάσεως

f(t) = t-'et +

Θεωρουμε τή διανυσματική συνάρτηση

2.25.

Cm

t)e2 + t8/3e3'

(Βίη

CJ -00

γιά κάθε

j """ m. Οί συ

00.

ναρτήσεις

=

f'(t)

3t2el

εΙναι συνεχείς γιά κάθε

= Ο,

χει στό

t

στό

< t<

f

-00

' Αλλά

t.

+ (8/3)t5/3e3

(COS t)e2

ή παράγωγος τρίτης τάξεως

γιατί έμφανίζεται στόν παρονομαστή ό όρος άλλά δέν εΙναι κλάσεως

00,

C3.

=

f"(t)

καί

=

f"'(t)

t l/3 .

Θεώρημα

+ g,

μέχρι καί

'Εάν οί συναρτήσεις

2.9.

f· g

καί

f

χ

6el - (COS t)e2

+ (40/9)t2/3e3

+ (80/27)t-1I3e3

Συνεπώς, ή συνάρτηση

[J 5 ]

δέν ύπάρ

f(t) εΙναι κλάσεως CΊ

C"'.

προκύπτουν τά επόμενα δύο θεωρήματα:

εΙναι κλάσεως

f, g, h Cm στό

εΙναι κλάσεως

g

t)e2

Σέ κάθε διάστημα όμως, άπό τό όποίο λείπει ή άρχήτών άξόνων, ή

[J t ]

τούς κανόνες παραγωγίσεως

(Βίη

6tel -

εχει συνεχείς παραγώγους όλων τών τάξεων καί συνεπώς εΙναι κλάσεως

, Από f

+

Cm

στό Ι, τότε καί οί συναρτήσεις

hf,

Ι.

2.10. 'Εάν ή διανυσματική συνάρτηση f εΙναι κλάσεως Cm 'στό διάστημα Ι Ι καί ή πραγ ματική ~υνάρτηση t(θ) εΙναι κλάσεως Cm στό διάστημα Ι.' δπου τό t(I.) περιέχεται στό Ι ι , τότε Θεώρημα

ή

σύνθετη

συνάρτηση

πραγματικής

g(O) =

συναρτήσεως

f(t(θ» εΙναι κλάσεως

κλάσεως

διανυσματική συνάρτηση κλάσεως

Cm

μέ

μιά

Cm

στό Ι..

διανυσματική

Μέ άλλα λόγια, ή σύνθεση μιας συνάρτηση

κλάσεως

Cm

δίνει

μιά

Cm.

Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΤΑ YLOR

WΕστω στι ή πραγματική συνάρτηση

t

κα\tQ στό Ι εχουμε (τύπος του

f(t)

δπου τό ύπόλοιπο , Εφαρμόζοντας f(t) εχουμε τό Θεώρημα

f(to) Rm(t, t O)

+

f(t) Taylor)

εχει τήν ιδιότητα ~~tto~~ ~ Ο δταν

(Τύπος του

2.11.

t

καί

to =

'Εάν ή διανυσματική συνάρτηση

Taylor)

f(t o)

+ f'(Ito) (t -

t O) +

... + f<m)(;o) (t m.

Rm(t, t O) ~ Ο (t - tO)m 'Εάν

f(t)

=

(COS t)e l to

Συνεπώς σέ μιά περιοχή του

(Βίη t)et όπου

R 4 (t)/t4 -+

t

~

+

Rm(t, t O)

t O'

+

f(t)

εΙναι κλάσεως

Cm

στό

στό Ι εχουμε

σπου

2.26.

Τότε ξέρουμε δτι γιά κάθε

τόν τύπο αύτό στίς συντεταγμένες συναρτήσεις μιας διανυσματικής συναρτήσεως

f(t)

Παράδειγμα

στό Ι.

t<m)(to) m! (t - tO)m

. .. +

fYo) (t - to) -i-

Cm

επόμενο θεώρημα:

Ι, τότε γιά κάθε

= et.

εΙναι κλάσεως

(COS

+ (Sin t)e2'

=Ο

t)e2 =

tO)m

+ Rm(t, tO)

όταν· t ~ t o

τότε

f(O)

= et,

Ι'(Ο)

= e2,

f"(O)

= -et,

f"'(O)

= -e2,

f(4)(0)

εχουμε

el

+ e2t -

(el/2 !)t 2 -

(e2/3 !)t3

+ (el/4 !)t4 +

R4(t)

Ο όταν t -+ ο.

Συχνά χρησιμοποιουμε τά σύμβολα τού

Landau

μιας συναρτήσεως στήν περιοχή ενός σημείου.

ο καί Ο, γιά νά περιγράψουμε τή συμπεριφορά

Θεωρούμε μιά πραγματική συνάρτηση

του μηδενός σέ κάποια περιορισμένη περιοχή του

tO.

g(t)

διάφορη

Μιά πραγματική ή διανυσματική συνάρτηση

f(t) λέμε στι εΙναι IfiKp6 ό (ή"άμελητέα) ώς πρός τήν g(t) στό to καί συμβολίζουμε f(t) = O(g(t», αν f(t)/g(t) ~ Ο όταν t ~ t O. ' A~ίστoιχα, ή f(t) λέμε ότι εΙναι μεγάλο Ο ώς πρός τήν g(t) [ή εΙναι της/ τάξεως της g(t)] στό t o καί συι:+βολίζουμε f(t) = O(g(t», αν ή f(t)/g(t) εΙναι φραγμένη στό tO.

Ιt

Κ. Ε Φ.

2

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤιΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤιΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

Παράδειγμα

'Εάν

2.27.

f(t)

= at4 + bt5 + c:tβ,

Πράγματι

δπου Β, b,

lim f(t)/t3 t-.o

"Ας σημειωθεί άκόμα δτι καί

Παράδειγμα

'Εάν

2.28.

f(t)

=

f(t)

=

(Βίη 2

lim f(t)/t2 t-+O

o(t2 ).

=

εΙναι σταθερά διανύσματα, τότε

c:

' Αλλά

= O(t2). 2 lim [SinZ t el + (1 + t)e2 + t 2e 3] = t-+O t

=

f(t)

= o(t3 )

στό t

= Ο.

=

lim (at + bt2 + c:t3) Ο t ... o f(t)". o(t") γιά άκεραίους n

+ (t2 + t3)e2 + t4e3'

t)el

31

τότε

f(t)

> 3. Πράγματι

el

+

e2

=

'Επειδή ύπάρχει τό δριο, ή

f(t)/t 2 εΙναι φραγμένη στό μηδέν' ετσι f(t) O(t2 ). "Ας σημειωθεί άκόμα δτι f(t)/t f(t) = O(t) στό μηδέν. 'Αλλά τό O(tZ) ({ναι ή «καλύτερη .. περιγραφή της συμπεριφορας της f(t) στό μηδέν, γιατί If(t)/tQI .... "" οταν t .... Ο γιά α > 2.

....

Ο δταν

t ....

Παράδειγμα

lor

to

στό

Ο· ετσι

2.29.

"Εστω

f(t) μιά διανυσματική συνάρτηση κλάσεως Cm στό Ι.

'Εφαρμόζοντας τόν τύπο τού

Tay-

εχουμε

ΑΝΑΛ ΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΊΗΣΕΙΣ

Ύποθέτουμε δτι ή

t

καί

f(t)

εΙναι κλάσεως

στό Ι.

C ..

Τότε γιά κάθε φυσικό άριθμό

m καί κάθε

στό Ι εχουμε

to

f(to)

f(t) "Αν επιπλέον εΙναι καί

f'(t ) + __ ο (t 1

lim Rm(t, t o)

= Ο.

+ ... +

to)

τότε ή

f(t)

f<m)(t o)

--Ι-ο (t - to)m

m.

+ Rm(t, to)

μπορεί νά έκφραστεί στό Ι ώς δυναμοσειρά

:Σ f(n>\to) (t - t o)" n.

f(t)

.. =0

"Όταν αύτό συμβαίνει, ή συνάρτηση

f(t)

λέγεται άναλυτική στό Ι.

Γενικότερα, ή

f(t) εΙναι άνα f(t) άναπτύσσεται

λυτική στό Ι, άν γιά κάθε t o στό Ι ύπάρχει μιά περιοχή S6(tO) , στήν όποία ή σέ δυναμοσειρά, δηλαδή

f(t)

:Σ an(t -

t o)"

ιι=Ο

μέ άλλα λόγια ή δυναμοσειρά συγκλίνει στήν f(t) γιά κάθε λυτικών συναρτήσεων στό Ι συ».βολίζεται μέ

t

στήν Sδ(t ο).

Ή κλάση των άνα

CA.

'Όπως φαίνεται στό παράδειγμα πού άκολουθεί, μιά συνάρτηση κλάσεως

εΙναι άναλυτική.

Μπορεί νά δειχθεί ότι κάθε συνάρτηση, πού παριστάνεται

C'"

i\

μπορεί νά μήν

όρίζεται άπό μιά

δυναμοσεΙΡά, εΙναι παραγωγίσιμη στό έσωτερικό του διαστήματος στό όποίο συγκλίνει ή δυνιιμο

Ι f

1

σειρά.

'Η

παράγωγός της, πού δίνεται έπίσης άπό μιά δυναμοσειρά, βρίσκεται άπό τήν άρχική

δυναμοσειρά μέ παραγώγιση κάθε όρου της χωριστά.

= a"n!.

Έπαληθεύεται μάλιστα εύκολα ότι

"Ετσι, κάθε άναλυτική συνάρτηση εΙναι κλάσεως

, Από

f<">(to)

C"'.

τή σχετική θεωρία επεται ότι τό άθροισμα, τό γινόμενο, τό έσωτερικό καί τό έξωτερικό

γινόμενο άναλυτικών συναρτήσεων εΙναι άναλυτικές συναρτήσεις καί άκόμη ότι ή σύνθεση άναλυ τικών συναρτήσεων εΙναι έπίσης άναλυτική συνάρτηση.

=

Παράδειγμα 2.30.

=

Ή συνάρτηση I(t) e- IIr είναι συνεχής γιά κάθε t έκτός άπό τήν τιμή t ο. 'Εάν όρί 1(0) = Ο. τότε ή I(t) εΙναι συνεχής καί μάλιστα κλάσεως C" σ' όλόκληρο τό διάστημα -00 < t < "". "Ας σημειωθεί δμως δτι σέ κάθε διάστημα πού περιέχει τό t Ο ή I(t) δέν εΙναι άναλυτική. Γιατί μπορεί νά δειχθεί δτι 1(0) ο. 1,(0) ο, 1"(0) = Ο. Κ.Ο.Κ. "Ετσι, αν ή !(t) μπορούσε νά. άναπτυχθεί σέ δυναμοσειρά σέ κάποια περιοχή 86(0). ή σειρά θά συνέκλινε στό μηδέν γιά κάθε t στήν 8 δ (0), πράγμα άδύνατο, γιατί τότε ή !(t) θά t'ιταν ταυτοτικά μηδέν σέ κάθε περιοχή 8 δ (0). σουμε

=

=

=

Τέλος παρατηρουμε δτι οί στοιχειώδεις συναρτήσεις, δηλαδή τά πολυώνυμα, οί ρητές συναρ τήσεις, οί τριγωνομετρικές συναρτήσεις καί οί έκθετικές συναρτήσεις, εΙναι άναλυτικές σέ κάθε

διάστημα στό όποίο εΙναι συνεχείς καί άκόμη οί άντίστροφες συναρτήσεις τους εΙναι άναλυτικές σέ κάθε διάστημα στό όποίο εΙναι παραγωγίσιμες.

32

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡ'ΓΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

Λυμένα Προβλήματα ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ

2.1.

Βρείτε ενα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στό επίπεδο

Q(1, Ο, -1), R(1, -1, Ο). Τό διάνυσμα

det

PQXPR

πού περιέχει τά σημεία

S

Ρ(Ο,

1, 1),

( :~ -~ -~) e3 -2 -1

είναι κάθετο στό επίπεδο ναδιαία καί κάθετα στό

2.2.

καί συνεπώς τά διανύσματα

S S.

I~~ ~ ~:I

±

±(1/v'Π )(3el

Βρείτε τήν εξίσωση της εύθείας πού διέρχεται από τό σημείο Α(1,

-1,2)

+ e2 + e3)

είναι μο-

καί εΙναι παράλ

ληλη πρός τόν άξονα Χ3. "Εστω

Χ

= ΟΡ,

a

= ΟΑ.

Τότε τό Ρ κείται στήν εύθεία αύτή εάν καί μόνο εάν ΑΡ

(Χι - 1)et η

2.3.

Χι=1,

'Έστω

d

Χ2=-1,

x3=k+2

Ξ?:; Ο καί

n

+ nze2 + n3e3

nlel

εΙναι ή εξίσωση του επιπέδου

n

=

χ -

a

= ke3

nlxl εχουμε

cos 4-(n, Χ) ""

Ο

+

S,

+

ενα μοναδιαίο διάνυσμα.

+

n2X2

Δείξτε δτι

d

n3X3

πού απέχει από τήν αρχή των αξόνων απόσταση

η Ο

S.

d

καί εχει

""

·Όπως ξέρουμε από τόν όρισμό καί φαίνεται στό Σχ.

είναι

S.

Τότε από τή σχέση

+ n3x3 = n· Χ = Ixl cos 4-(n, χ) = d "" Ο 4-(n, Χ) "" 11"/2. Δηλαδή τό n εχει φορά από τήν αρχή

n2x2

ij

ke3

γιά μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα μέ φορά από τήν αρχή των αξόνων πρός τό επίπεδο

-Εστω Χ τυχόν σημείο τού

S.

2)e3 =

(-oo
nlxl τό

+ (Χ2 + 1)e2 + (Χ3 -

2-11,

ή απόσταση τού

S

τών αξόνων πρός τό

από τήν αρχή τών αξόνων

IPn (χ)1 = In· xl/lnl = In· χι = Idl = d

i

t

ί

Σχ.

2.4.

2-11

Βρείτε τήν εξίσωση της σφαίρας πού εχει κέντρο τό σημείο Είναι

2.5.

Σχ. 2 - 12

WΕστω

a

Ιχ - al

η

= r

(Χ - a) • (Χ -

a)

=

a

καί ακτίνα

r.

r2

ή κορυφή ένός όρθοϋ κυκλικοϋ κώνου, που εχει άξονα παράλληλο πρός ενα μονα n καί τοϋ όποίου ή μισή γωνία δίνεται από τή σχέση θ = COS- 1 k, k> ο.

διαίο διάνυσμα

Δείξτε ότι ή εξίσωση τοϋ κώνου εΙναι [(Χ ·Οπως φαίνεται στό Σχ. ίσοϋται μέ ο η 7r -

ο,

- a) • n]2 - k 2 (x - a) • (Χ - a)

Ο

2-12, τό τυχόν σημείο Χ βρίσκεται στόν κώνο Εάν καί μόνο εάν ή 4-(Χ - a, η)

δηλαδή εάν καί μόνο Εάν

ICOS 4-(χ -

a, n)1

Ύψώνοντας στό τετράγωνο εχουμε

[(χ

=

ICOS οι

- a)· n]2

=k = k 2(x -

1'j a)·

Ι(Χ - a) • nl (Χ

- a),

=

klX - al

δηλαδή τό ζητούμενο αποτέλεσμα.

r ΚΕΦ.2

2.6.

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

~Eστω (uI, U2, U3) τυχούσα βάση του Ε3, Ο ενα σταθερό σημείο του

33

V καί (Χι, Χ2, Χ3) οί συν

τεταγμένες του σημείου Ρ ώς πρός τή βάση (uI, U2, U3), δηλαδή

Χ

ΟΡ

χιυι

+

X2U'l

+

X3U3

Τό σύστημα συντεταγμένων πού προκύπτει μέ τόν τρόπο αύτό λέγεται όμοπαραλληλικό ή άφι νικό σύστημα συντεταγμένων.

Δείξτε ότι σ'

ενα όμοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων

τό τετράγωνο της άποστάσεως δύο σημείων Ρ(χι, Χ2, Χ3) καί φραση

ή όποία γράφεται

ΥΙ)(Χ2 - Υ2)

i,j = 1,2,3

iPQj2

δπου οί Υί; ίκανοποιοϋν τίς σχέσεις (α) Υίί Πράγματι εχουμε

IPQI2

=

IQPI2

[fι (Χί ή

δίνεται άπό τήν εκ

+ ΥΙ3(ΧΙ - ΥΙ)(Χ3 - Υ3) + Υ2Ι(Χ2 - ΥΖ)(ΧΙ - Υι) + g22(X2 - Y2)'l + g23(X'l - Υ2)(Χ3 - Υ3) + Υ3Ι(Χ3 - Υ3)(ΧΙ - Υι) + g32(X3 - Y3)(X'l - Y'l) + g33(X3 - Υ3)2

jPQI2 = ΥΙI(ΧΙ - Υι)2

+ ΥI2(ΧΙ -

Q(YI, Υ2, Υ3)

\PQI2 = ~ ~ ι

Προφανώς

g;j(X; -

Υί)(Χ; - Yj),

IOP-OQI2

Yi)U;] • [

-

δπου

>

= gji, (b) det (Υίί)

f

gij

=

=

IΧ-Υ\2

(Xj - Yj)Ui]

=

Ο.

ff

(Χ-Υ)'(Χ-Υ)

(υί' Uj)(Xi - Υί)(Χ; -

Yj)

= υί' Uj, i, j = 1,2,3.

J

(α)

(b)

σο

=

det

υί' Uj

= =

(σίί)

Uj' υί

det

(

=

gj;'

υι • υι

i, j

= 1,2.3.

Έπίσης, άπό τό Πρόβλημα

υ ι • U2 υι' U3)

U2 • υι

U2'

u2

u2 • U3

U3' υι

U3' U2

U3' U3

=

[υιυ2υ3]2

>

1.58 εχουμε

Ο

ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2.7.

Ύπολογίστε τά διανύσματα Χ ταξύ του

-4

νυσμάτων

καί του

4

ι. !

-4 -3 -2 -1

,

Ο

1 2 3 4

2.8.

+ (1- t)e2

όταν τό

t

παίρνει τίς άκέραιες τιμές με

καί σχεδιάστε τήν καμπύλη πού διαγράφεται άπό τά πέρατα των δια

Χ.

t

Ι

= t 2 el

Χ

16el + 5e'l gel + 4e'l 4el el e2 el 4e l gel 16e l

(16.5)

+ 3e2 + 2e2 ----~~=_----------------------Xl

- e'l - 2e2 -

3e'l

(16. -3)

Σχ.

2·13

= (1 + t 3 )el + (2t - t 2)ez + te3, g(t) = (1 + t'l)el + t3e'l, h(t) = 2t - 1. Βρείτε τά (a)h(2)(f(1)+g(-1», (b)jg(2)1, (c)f(a)'g(b), (d) f(t) xg(t), (e)g(2a-b), (f)f(tο+Δt) f(t o), (g) f(h(t». νΕστω f(t)

(ο,)

(b)

(c)

+ g(-1» = (3)[(2el + e 2 + e3) + (2el - e2)] = 12el + 3e3 Ig(2)1 = 15el + 8e21 = V89 f(o,)· g(b) [(1 + a 3)eI + (2α - o,2)e2 + ae3] • [{1 + b2)eI + b3e2J = (1 + 0,3)(1 + b'l) + b3 (2a - 0,2)

h(2)(f(1)

=

(d) f(t) χ g(t)

=

det

(e)

g(2a - b)

(!)

f(t o + At) - f(t o)

(g)

f(h,(t»

= 2.9.

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

34

(1 + t ) (2t - t 2 ) 3

el e2 ( e3

+ t 2»)

(1

=

t3

Ι

-t4el + (t + t 3)e2 + (t 6 + t4 - t3 + t 2 - 2t)e3

Ο

(1 + (2a - b)2)el + (2a - b)3e2

=

[1 + (to + At)3]e l + [2(to + At) - (t o + At)2]e2 + (to + At)e3 - (1 + t~)el - (2t o - ~)e2 - tOe3 (3t~ At + 3to At 2 + At3)el + (2 ΔΙ - 2to At - At2)e2 + At e3

f(2t - 1) = (1 + (2t - 1)3)e l +

(2(2Ι

- 1) - (2t - 1)2)e2 + (2t - 1)e3

(8t3 - 12t2 + 6t)el + (-4t 2 + 8t - 3)e2 + (2t - 1)e3

Δείξτε δτι ή παραμετρική παράσταση

χ

=

(-1 + sin2t cos3t)el

εχει γράφημα πού βρίσκε'.:αι στή άκτίνα

+ (2 +

+ (-3 + cos2t)e3 σημείο a = -el + 2e2 -

sin2t sin3t)e2

σφαίρα μέ κέντρο τό

3e3 καί

1.

-

Εύκολα εχουμε ΙΧ

al

=

I(sin 2t cos 3t)e1 + (sin 2t sin 3t)e2 + (cos 2t)e31

= (sin 2 2ι cos 2 3Ι + sin 2 2Ι sin 2 3Ι + cos 2 2t) 1/2

(sin 2 2t

+ cos2 2t)I/2

1

πού ε{ναι άκριβώς τό ζητούμενο άποτέλεσμα,

2.10.

Δείξτε δτι ή παραμετρική παράσταση

==

χ

(-2

+ sin t)el +

(t2 + 2)e2

+

(t 2 - 1

+ 2 sin t)e3

εχει γράφημα πού βρίσκεται στό επίπεδο πού διέρχεται άπό τό θετο στό Ν

+ e2 - e3. a)· Ν = [(-2 +

a = e2

Προφανώς (Χ -

καί είναι κά

sin t)el + (t 2 + 1)e2 + (ι 2 - 3 + 2 sin t)e3]· [2el + e2 - e3]

δηλαδή τό τυχόν σημείο χ βρίσκεται στό έπίπεδο πού διέρχεται άπό τό σημείο

2.11.

+ 2e3

= 2el

a

=

Ο,

καί ε{ναι κάθετο στό Ν.

a = el - 2e2 + e3 καί b = 2el - 3e2 + e3. (α) Δείξτε στι τό σημείο b άνήκει στήν S3(a). (b) Βρείτε εν αν πραγματικό άριθμό 8 > Ο τέτοιον ωστε ή περιοχή Sa(b) νά περιέχεται στήν S3(a). (c) Βρείτε πραγματικούς άριθμούς ει καί ε 2 τέτοιους ωστε οί περιο νΕστω

περιοχή

χές (α)

S'I(a) καί S'2(b) νά εΙναι ξένες μεταξύ τους. Έπειδή Ib - al = ,,;2 < 3, τό b άνήκει στήν 8 3(a).

(b) νΕστω δ "" 3 - Ib - al

=

ΙΧ - al δηλαδή ΙΧ

- al

<

άνήκει καί στήν

=3-

. Εάν τό χ άνήκει στήν 8 a(b), δηλαδή αν Ιχ - bl

,,;2.

<

ΙΧ - b + b - al "" ΙΧ - bl + Ib - al < δ +,,;2 "" 3 - ,,;2 + V2

δ, τότε

=

3

3 καί συνεπώς τό χ άνήκει στήν 8 3(a). Έπειδή κάθε χ, πού άνήκει στήν 8 a(b), 8 3(a), επεται δτι ή 8 a(b) περιέχεται στήν 8 3(a) (Σχ. 2-14).

δ::!Ξ 3-,,;2 Σχ.

(c)

νΕστω el

= Ε2 ""

!Ib - al

= V2/2'

2-14

τότε οΙ 8'l(a) καί 8'2(b) ε{ναι ξένες μεταξύ τους. 8, (a) V2/2. . Αλλά τότε ι

βαίνει αύτό, δηλαδή αν ύποθέσουμε δτι ί:να σημείο Υ άνήκει συγχρόνως στήν

τότε ΙΥ - al < V2/2 καί ΙΥ - bl < V2

=

πού εΙναι άδύνατο.

Ib-al νΕτσι οΙ

=

Ib-y+y-al "" Iy-bl + Iy-al

8'l(a)

καί

8'2(b)

< ,,;2/2 + ,,;2/2

ε{ναι ξένες μεταξύ τους.

Έάν δέν συμ 8, (b), 2

καί στήν

r ,

:

ΚΕΦ.2

2.12.

Δείξτε δη τά σημεία

ριοχή

άνήκουν στήν περιοχή

P(t2, -t, 2t)

SI/8(1, - 1,2)

γιά κάθε

στήν πε

t

SI/Io(1). άνήκει στήν 8 Ι/Ι0 (1), τότε

'Εάν τό. t (Ι

=

+ 1)2

- 1) + 2)2 =

«ι

Γι' αύτά τά t

(2Ι

ή (Ι

(t - 1)2 + 41t -11 + 4

P(t2, -t, 2Ι)

ή άπόσταση των σημείων

[(t2 - 1)2 + (-t + 1)2 +

< 1/10

It - 11

- 1)2

=

- 2)2)1/2

τό Ρ άνήιcει στήν 8 ι/3 (1,

Βρείτε εναν πραγματικό άριθμό

άπό τό σημείο

[(t + 1)2(t -1)2 +

(Ι

ΙΧ

-

a

-1, 2)

8

>Ο

Υιά ιcάθε t

(1, -1, 2)

εΙναι

-1)2 + 4(t -1)2)1/2 (4/100))1/2

=

< 1/3

1/γϊδ

στήν 81/10(1).

τέτοιον ώστε τά σημεία

= t 2e. - te2

χ

+ 2tea

SI/Ioo (e. - eι + 2e8) γιά κάθε t στήν S6(1).

νήκουν στήν περιοχή "Εστω

Έπίσης

< (1/100) + (4/10) + 4 < 5

< [(5/100) + (1/100) + . Επομένως

< 1/100.

(t - 1)2 + 4(Ι - 1) + 4

~

2.13.

35

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

= e1 -

νά ά

e2 + 2e3• Τότε 1(t2 - 1)el - (t - 1)e2 + (2t - 2)e31 It2-111eII + It-111e21 + 12t-211eal = it-11It+11 + It-1\ + 2\t-1\ It-11(lt+11+3) = it-1\(\t-1+2\+3) ~ \t-11(lt-1\+5)

al ~

=

-

Ύποθέτουμε στήν άρχή στι It -11 < l' τότε \χ al < It -1\6 < 1/100, σπου ή δεύτερη άνισότητα ίιcανσ ποιείται αν έιcλέξoυμε It -11 < 1/600. -Ετσι, αν τελιιcά διαλέξουμε \ι -1\ < 1/600, δηλαδή αν τό t άνή ιcει στήν 86(1) μέ δ = 1/600, τότε ίιcανoπoιείται ιcαί ή άνισότητα \t -1\ < 1, δπότε

ΙΧ

-

al ~ It - 1\ (\t - 1\ + 5) < It - 1\6 8 1/1oo(a), πού ε{ναι

Αύτό σημαίνει στι τό χ άνήιcει στήν

< (1/600)6 = 1/100 ιcαί τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

2.14. . Υπολογίστε

lim [(3t 2 + 1)et -

τό

t 8 eι

t ... 2

+ e3].

"Εχουμε

lim [(3t t-2

2.15.

2

+ 1)e• - t3e2 + e3]

~Eστω

f(t) (b) lim (f(t)

= χ

(Βίη

t)e.

(lim (3t

=

2

t_2

+ tea

καί

+ 1») e. -

=

g(t)

( lim t"'2

(t2+ 1)e.

ιa) e2

+ (lim 1) ea Ι .. 2

+ eteι;

=

13e1

Βρείτε τά (α)

.. ο 2 + 1)e. + eΙeΙ> = (α) lim (f(t) • g(t» = lim f(t) • lim g(t) = lim «ιίη t)e. + te 3 ) • lim ι .. ο t .. o ι .. ο t .. o t .. o (b) lim (f(t) χ g(t» lim f(t) χ lim g(t) lim «ιίη t)e. + tea) χ lim [(t2 + 1)e. + ete2] ι-ο t_o ι ... ο ι ... ο t ... o

+ ea

lim (f(t)· g(t», .. ο

ι

g(t».

8eι

-

ι

«t

=

2.16.

f(t)

= Bί~ t e. + (cos t)e2 στό t = Ο,

νά εΙναι συνεχής στό σημείο αύτό.

"

Εχουμε

"Ετσι, αν θέσουμε

= lim

lim f(t) ι .. ο

f(O)

1 ... 0

= e. + e2,

(Sint

~χoυμε lim

1 ... 0

(e. +

eι)

=

Ο

= Ο χ (e. + eΙ> = Ο

Προσδιορίστε τήν τιμή της συναρτήσεως f(t)

2.17.

=

Ο·

~τσι ώστε ή

' t e.

f(t)

+

(cos

= f(O),

t)eι)

=

δπότε ή

e. + e2

f(t) εΙναι συνεχής στό t

= Ο.

Έάν f(t), g(t) καί h(t) εΙναι συνεχείς συναρτήσεις στό t o, δείξτε δη καί ή [f(t) g(t) h(t)] εΙ ναι συνεχής στό

. Από

to.

= f(to). 1im g(t) = g(to) ιcαί ι ... ι. 1im [f(t) g(t) h(t)] = [f(to) g(to) h(to)] ... t.

τήν υπόθεση ~χoυμε δτι

ράδεΙΥμα 2.15 ~πεται στι

lim f(t)

ι ... ι.

ι

'Επομένως, ή συνάρτηση

[f(t) g(t) h(t)]

ε{ναι συνεχής στό

t o•

1im h(t) ι

... ι.

= h(to).

• Από

τό Πα-

2.18.

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

36

Χρησιμοποιώντας τόν δρισμό τοϋ δρίου δείξτε δτι

+

lim (t2et t ... t

f(t) = t2et + (t + l)e2

Θέτουμε

If(t) - LI

καί

=

(t + 1)e2)

L = el + 2e2'

=

1(t2 -l)el + (t -l)ezl

=

It-llIt+ll + It-ll

~

el

+

2e2

"Εχουμε

IΙ2 -lllell + It -lll e 21

~

IΙ-ΙIΨ-ΙI+2+Ι)

IΙ-ΙIΨ- Ι I+3)

=

Έάν εκλέξουμε τιμές γιά τήν παράμετρο πού νά συναληθεύουν τίς άνισότητες έχουμε τελικά

<

If(t) - LI

It -ΙΙ <

Ι καί

It -ΙΙ < ./4,

< •

It -Ι14

"Ετσι, γιά δοθέντα. > Ο εκλέγουμε δ = min (Ι, ./4). Όπότε, δταν It -ΙΙ < δ [μέ άλλα λόγια δταν τό άνήκει στήν Sδ(Ι»), έχουμε συγχρόνως It-ll < Ι καί ΙΙ-ΙΙ <./4' γιά αύτά τά t εΙναι

t

If(t)-LI ~ IΙ-ΙIΨ-ΙI+3) < It-ll4 < . δηλαδή τό

2.19. . Εάν δτι

άνήκει στήν

f(t)

πού εΙναι καί τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

S.(L),

ή διανυσματική συνάρτηση χ

f(t)

~ Ο δταν

g(t)

"Εστω τυχόν

>

•

t

Ο.

~

είναι φραγμένη στό

f(t)

to

ενώ

g(t)

~ Ο δταν

t

~

t o,

δείξτε

t o•

Έπειδή ή

εΙναι φραγμένη στό Ι Ο , ύπάρχουν Μ

f(t)

>

Ο καί δι

>

Ο

τέτοια ωστε

If(t) ~ Μ, δταν Ο < It - Ιοl < δι· Έπίσης, επειδή g(t) -+ Ο δταν t -+ t o, ύπάρχει δ 2 > Ο τέτοιο ωστε Ig(t)1 < ./Μ, δταν Ο < ΙΙ - Ιοl < δ 2 • Θέτουμε τώρα δ = min(II t , δ 2 ), όπότε γιά 0< It - Ιοl < δ έχουμε 0< ΙΙ - Ιοl

<

0< It- tol <

δ 2•

If(t) χ g(t) - ΟΙ f(t) χ g(t) -+ Ο

=

δι καί

Συνεπώς

2.20. . Εάν f(t)

~

L

καί

"Αρα

If(t) t

δταν

g(t)

g(t)1 t o•

-+ Μ δταν

=

If(t)llg(t)llsin 4(f, g)1

~

If(t)llg(t)1 <

Μ(./Μ)

=•

t ~ t o, δείξτε δτι f(t) χ g(t) ~ L χ Μ δταν t ~ t o•

g(t) -+ Μ δταν Ι -+ t o• ύπάρχει δι > Ο τέτ<;!ιο ωστε Ig(t) - ΜΙ < .I(2ILI) g(t) εΙναι φραγμένη στό t o, συνεπώς ύπάρχουν δ 2 > Ο καί Κ > Ο τέτοια ωστε Ig(t)1 ~ κ γιά Ο < Ι t - tol < δ 2 . Τέλος, επειδή f(t) -+ L δταν t -+ t o , ύπάρχει δ 3 > Ο τέτοιο ωστε If(t) - LI < ./2Κ γιά Ο < It - tol < δ 3 • • Οπότε, άν Ο < It - tol < δ min (δι, δ 2 , δ 3 ), θά συναληθεύουν οί άνισότητες Ο < ΙΙ - tol < δι, Ο < It - tol < δ 2 καί Ο < It - tol < δ 3 καί συνεπώς I(f χ g) - (L χ Μ)Ι ~ If - Lllgl + ILllg - ΜΙ .( (./2Κ)(Κ) + ILI (./2ILI) = • "Εστω τυχόν

< It - tol <

γιά ο

•

> ο.

χ -+

δι.

'Επειδή

Έπίσης, ή

=

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

2.21.

2.22.

-Εστω

= a(cos t)el + a(sin t)e2 + bte3,

u

(b)

Ι ~71,

(ο.)

~~

(b)

Ι ~~ Ι

(c)

ιιΖυ d dt2 = dt

(d)

Ι

:t

=

=

:: Ι

~:~,

(c)

o.(cos t)et + (0.2 sin2

=

(d)

Ι ~2t~ Ι· :ι α(sin t)e2

+

:t

t + 0.2 cos2 t + b2)l/2

(dU)

=

Τι

d.

dt (-a(Sln t»el

(0.2 cos2 t + 0.2 sin2

+

Ι)Ι/2 =

α,

b #<

Ο.

=

(bt)e3

. Υπολογίστε

παραγώγους

du (α) dt'

-a(sin t)el + o.(cos t)e2 + be3

=

(0.2 + b2)1/2

d

+

dt a(cos t)e2

τίς

d

dt be3

=

-a(cos t)et - a(sin t)ez

10.1

Βρείτε τήν εξίσωση της εφαπτομένης στήν καμπύλη πού προσδιορίζεται άπό τήν παραμε

τρική παράσταση χ

• Από

= tel + t e2 + t3e3

t

= 1.

τόν όρισμό, τό παράλληλο διάνυσμα στήν εφαπτο

μένη της καμπύλης στό σημείο χ εΙναι

3t2e3'

στό

2

• Αν

dx/dt

= el + 2te2 +

Υ εΙναι τυχόν σημείο της εφαπτομένης (Σχ.

2-15),

τότε ή εξίσωσή της εΙναι

Υ- χ

=

k dx dt

ή

Υ . -- k dx dt

+ χ,

-00

<

k

<

00

/'x~ Σχ.

%-15

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.2

Γιά t

=1

εχουμε χ

ε{ναι

= et + e2 + e3 καί dx/dt = eI + 2e2 + 3e3' • Επομένως ή έφαπτομένη Υ = k(eI + 2e2 + 3e3) + (et + e2 + e3)'
'Εάν

u

= (3t 2 + l)et + (sin t)e2

καί

= (cos t)eI + et e3,

v

στό σημείο t

= 1

00

-00

2.23.

37

00

ύπολογίστε

τίς

παραγώγους (α)

d d d dt (U' ν), (b) dt (u χ ν), (c) dt lul· d

dv u • dt

(α)

dt (u' ν)

(b)

dt (ο χ ν)

d

du

+

+ l)el + (Βίη t)e2)' (-(Βίη t)et + et e3) + (6te I + (cos t)e2) • «cos t)et + ete3) -(3t2 + 1) Βίη t + 6Ι cos t

«3t2

dt' v

dv du u χ Τι + dt χ v

det

(:~

3::/

~

Ο

(sin t)eteI (sin t

+

~η t)

-

+ det

~

~

+

(3t 2 + 1)ete2 (3t 2

cos t)eteI

c::t c~ t)

(:~

+

(Βίη 2

+

6ι

t)e3

1)e te2

ο

+ +

~

(cos t)eteI -

(cos2 t)e3

6tete2 -

(sin 2 t - cos 2 t)e3

"Αλλη μέθοδος

u

χ

=

v

det

eI e2 ( e3

+1

3t2

cos t)

sin t

Ο

Ο

et

(sin t)ete I -

(3t 2

+ l)e te2

(Βίη

-

t cos t)e3

καί

d

=

dt (ο χ ν)

[(Βίη t)e t

(sin t

(c)

d dt

d dt (u • U)1/2

\u\

+

+ cos t)ete I

=

(α)

du de

(18t3

= (sin t)eI + 2t2e2 + te3

συνάρτηση του θ,

.=

du dt

Τι de

(3t 2 + 6t

!(U'U)-t/2%t(U'U) [(3t 2 + l)e t

2.24. "Εστω u

[(3t 2

(cos t)et]eI -

+

6t

(b)

ώς συνάρτηση του

=

«cos t)et

+

4te2

+

+

l)e t e

2

6te t ]e2 -

+

(sin 2 t -

[- Βίη 2

καί t

t

+

cos 2 t]e3

cos2 t)e3

= !(O'O)-1/22(o.~~) = (u/\u\).~~

+ (sin t)e2]/[(3t2 + 1)2 + Βίη 2 t]1/2. + Βίη t cos t)/[(3t2 + 1)2 + βίη2 ι]Ι/2

> Ο)

(t

+ l)e t +

= log θ.

(6te t

+ (cos t)e2)

Βρείτε τήν παράγωγο du/dθ (α) ώς

t.

e3)(1/e).

• Αντικαθιστώντας τήν τιμή τοϋ

t

βρίσκουμε

= (l/e)«cos log e)el + 4(log e)e2 + e3)

du/de "Αλλη μέθοδος

• Αντικαθιστώντας τό

στήν

du/de

= =

(b)

=

+ 2(log2 e)e2 + (log e)e3' + 4(log e)(1/e)e2 + (l/e)e3 (l/e)«cos log e)e t + 4(log e)e2 + e3) u εχουμε u

(sin log B)et

(cos log B)(I/B)et

du de "Αλλη μέθοδος

• Επειδή

θ

=e

t , ε{ναι

du

de

=

de/dt

= et •

du dt dt dtJ

=

Συνεπώς

dU/dfJ

dt

dt

=

Συνεπώς

2.25.

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

38

Χρησιμοποιώντας τόν δρισμό τής παραγώγου δείξτε τά έξής:

= β, δπου a εΙναι ενα σταθερό διάνυσμα, τότε f'(t) = ο. = ah(t), δπου a εΙναι ενα σταθερό διάνυσμα, τότε f'(t) = ah'(t).

(α) • Εάν f(t) (b) 'Εάν f(t) (α)

f'(t)

(b)

f'(t)

Iim f(t +

=

ΔΙ ... Ο

=

ΔΙ

ι(ι

lim

=

Δt)

+

Δt)

- f(t)

=

Δt

ΔΙ)

lim ah(t +

=

ΔΙ

ΔΙ ... Ο

'Εάν ή

2.6:

lim

ΔΙ ... Ο

=

Ο

Ο

- ah(t)

ΔΙ

ΔΙ'" Ο

h(t + ΔΙ) - λ(Ι)

Iim a 1im

τό Θεώρημα

νεχής στό

a -a lm -

Ι.

ΔΙ ... Ο

ΔΙ·

... Ο

ΔΙ'" Ο

2.26• . Αποδείξτε

- ι(ι)

ΔΙ

ah'(t)

f(t)

εΙναι παραγωγίσιμη στό

t o,

τότε ή

f(t)

εΙναι συ

to.

" Εχουμε

lim [f(t) Ι"'Ιο

iI

καί {:πομένως

2.27.

'Εάν

u

.

lιm

ί(Ι ο )]

καί

v

f(t)

Ι(Ι ο )

f(t) -

Ι"'Ιο

_. Ι ο

Ι

=

(t - Ι ο )

εΙναι παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις του

Θέτοντας W(t)

= U(t) + ν(Ι)

d

=

Τι Ι.

Δ:~O

=

U καί

v εΙναι dv du u χ dt + dt χ V. "Εστω

=

δείξτε δτι

lim W(t + ΔΙ) - W(t) ΔΙ ... Ο ΔΙ

U(t + ΔΙ) + ν(Ι + ΔΙ) - υ(Ι) - ν(Ι)

ΔΙ

1im ν(Ι + ΔΙ) - ν(Ι)

Iim U(t + ΔΙ) - υ(Ι) +

=

t,

du dv dt + dt

εχουμε

dw

dt (U+ ν)

ο

[f'(to)]O

t o•

εΙναι συνεχής στό

d dt(U+V)

• Εάν

lίm ί(Ι) - f(to) lim (Ι - Ι ) ο t - t o Ι"'Ιο

Ι"'Ιο

ΔΙ ... Ο

ΔΙ

ΔΙ'" Ο

= du + dv

Δt

dt

δύο παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις του

t,

dt

δείξτε δτι

d dt (U χ ν)

= U(t) χ V(t). Τότε εχουμε = ddWt = 1im W(t + Δt) - W(t)

W(t)

ΔΙ ... Ο

= =

Ι.

ΔΙΙ~O

ΔΙ

U(t + ΔΙ) χ V(t + Δt) -

ΔΙ

lim [U(t + ΔΙ) χ (V(t + ΔΙ) - V(t» Μ ... Ο

= =

U(t) χ V(t)

+

(U(t

+ ΔΙ) -

Μ

U(t» χ V(t»)

Μ

lim α(Ι + ΔΙ) χ lim v(t + ΔΙ) -v(t).+ lim u(t + ΔΙ) - u(t) χ lim v(t)

ΔΙ ... Ο

ΔΙ ... Ο

dv

u χ dt

+

Δt

.

ΔΙ-Ο

ΔΙ

ΔΙ_Ο

du

dt χ v

iI α(Ι) εΙναι συνεχής (άφοϋ εΙναι παραγωΥίσιμη) καί ετσι εχουμε διανυσματική συνάρτηση V(t) εΙναι άνεξάρτητη τοϋ Δt καί συνεπώς

δπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός δτι

1im u(t + ΔΙ)

ΔΙ_Ο

= u(t).

1im V(t) = V(t).

ΔΙ_Ο

Έπίσης δτι

iI

Μιά άλλη μέθοδος εΙναι νά έκφράσουμε τίς

νά παραγωγίσουμε τίς συντεταγμένες συναρτήσεις.

u

καί

v

μέ τή βοήθεια μιίiς βάσεως καί μετά

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.2

2.29.

Δείξτε δτι ή διανυσματική συνάρτηση νύσματα καί

"Εχουμε

= -

Δείξτε δτι u· ~~

:ι lul 2 ,

=

u·

Δt)/ Δt) -+ Ο όταν

Θέτουμε

=

R

lim

ΔΙ-Ο

=

-ak sin kt

+b

-k 2 (a cos kt

~: + ~: • u

δπου

+

a, b

ε{ναι σταθερά δια

d2u/dt 2 = -k2 u.

bk cos kt

=

sin kt)

+ Δt)

f(to

21ul ~~\

2u. du dt

ε{ναι παραγωγίσιμη στό

f(t)

f(t o + Δt) (R(to,

=

b :t sin kt

ak2 cos kt - bk2 sin kt

ή διανυσματική συνάρτηση

όπου

+ b sin kt,

-k2u

lul dJ~1 .

=

"Εχουμε d~ (υ • υ) 2.31. . Εάν

+

= a :t cos kt

du/dt

d2u/dt 2

2.30.

u = a cos kt

σταθερός άριθμός, ε{ναι λύση της διαφορικης εξισώσεως

k

39

+

f(to)

+

f'(tο)Δt

ή

Ι u , d\u\ dt

du

u·-

dt

t o, δείξτε

ότι

R(to, Δt)

Δt -+ ο.

- f(t o) - l'(t o) Δt.

"Εχουμε

lim [f(t o + Δt) - f(t o) - l'(t o) Δtj/Δt ΔΙ_Ο

Κ/Δt

. [f(to + Δt) - f(t o) 11m -

=

ΔΙ_Ο

f'(to)

Δt

]

=

f'(t o)

f'(t o) -

ο

πού ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

2.32.

Δείξτε

τό

άντίστροφο

του

Δηλαδή, αν ύπάρχει μιά γραμμική

2.31. τηση a Δt του Δt, τέτοια ώστε f(t o + Δt) = f(t o) ανυσματική συνάρτηση

Έπομένως Τι

11m

ΔΙ_Ο

+ a Δt + Κ,

ε{ναι παραγωγίσιμη στό

f(t)

f(t o + Δt) - ί(Ι ο )

.

" Εχουμε

. Ι lnl

=

Δt

aΔΙ

ΔΙ_Ο

+

Κ

συνάρ

lim R/Δt = Ο, τότε ή δι-

ΔΙ-Ο

lim a

ΔΙ-Ο

+

lim

ΔΙ-Ο

a = f'(to). Κ/ΔΙ

=

a

= 8.

ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΑΛ ΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΊΗΣΕΙΣ

Δείξτε δτι

(sin t)el

+ (t2 + 1)e2

+ !-(7Γ + 4)e2 + 7Γe2(t + !(-el + 2e2)(t 2

= el

Βρίσκουμε τούς τρείς πρώτους όρους στό άνάπτυγμα του

= 11'/2.

(t 2 + 1)e2 σέ μιά περιοχή του t

Συνεπώς όπου

(sin t)e}

Iim K/(t - 11'/2)2

Ι_"./2

Δείξτε δτι στό t (α)

(b) (c)

lim to(t2)lt3

ι-ο

lim (o(t2 ) ι-ο

(sin t)e}

=

lim

t-O

= o(t3),

(α) to(t2)

(t/t)(o(t2 )/t2 )

+ o(t3»/e2 =

lim o(t2) ·o(t3)/t5 =

ι-ο

7Γ/2)2

+ o[(t -

π/2)2]

Taylor της συναρτήσεως f(t)

=

(sin t)e }

+

+ !-(11'2 + 4)e2

Ι(11'/2)

e}

Ι'(11'/2)

τre2

Ι"(11'/2)

-e } + 2e2

11'e2(t - 11'/2)

+ !(-el + 2e2)(t -

11'/2)2

+Κ

ο.

= Ο ε{ναι =

7Γ/2)

"Εχουμε

+ (t2 + l)e2 Ι'(Ι) = (cos t)el + 2te2 f"(t) =.- (sin t)e} + 2e2 + (Ι2 + 1)e2 = e} + !-(11'2 + 4)e2 + Ι(Ι)

2.34.

δπου

καί μάλιστα

to

=

ΔΙ

f(t) ε{ναι παραγωγίσιμη στό Ιο καί l'(t o)

Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΤΑ YLOR

2.33.

Προβλήματος

lim

t_O

=

ο(ι2)/Ι2

+

t ... o

=

lim o(t2)/t2

ι-ο

lim t(o(t3)lt3) ι-ο

lim o(t2)lt2·lim o(t3)/t3 Ι ... Ο

(b) οφ)

=

Ο

+ οψ) = o(t2 ), ο

=

Ο

(C) o(t 2 ). o(t3 )

= o(t

5

).

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

40 2.35.

'Εάν ή διανυσματική συνάρτηση ί(Ι) εΙναι κλάσεως

ί(Ι) , Από f(t)

+ ί'~o) (Ι -

f(t o)

τόν τύπο τού

Tay10r

+ Τ (t -

f(t o)

στό Ι, δείξτε δτι

+ ... + ~:~)i~ol (Ι -

t o)

to)m-t

+ Ο[(Ι - to)m]

εχουμε

('(t )

=

Cm

ΚΕΦ.2

+

t o)

Συνεπώς άπομένει νά δείξουμε ότι

f(m)(to) - - ,- (t - to)m

m.

+

=

o[(t - to)m]

O[(t - to)m]

'Αλλά

Συνεπώς ή [f(:~to) (t -

+

to)m

o[(t - to)m] ] / ( t - to)m

ε!ναι φραγμένη καί ετσι έχουμε τό ζητούμενο ά

ποτέλεσμα.

2.36.

'Εάν ί(Ι)

= o(g(t»

Έπειδή

f(t)

'Εάν ίι (t)

t o.

= O(Yl(t»

δείξτε δτι

t o,

= o(g(t»,

ναι φραγμένη στό

2.37.

στό

έχουμε

'Έτσι εχουμε

καί

χ χ

O(Yl(t»

Έπειδή fμ)/gι(t) --> Ο όταν επεται ότι

ί ι (t) χ

στό

t o• Συνεπώς, άπό τό Θεώρημα

2.2

ή

f(t)/g(t)

ε!

=

= O(Y2(t»

f2 (t)

= O(y(t»

f(t)/g(t) --> Ο όταν t --> t o. f(t) O(g(t» στό t o.

fl(t) ή, μέ άλλη διατύπωση,

f(t)

στό

t o,

δείξτε δτι στό

f 2 (t) = O(Yl(t)Y2(t»

to

O(Y2(t» = O(Yl(t)Y2(t».

t --> t o καί ή f 2(t)/g2(t) ε{ναι φραγμένη στό t

f 2 (t)

= t o,

άπό τό Πρόβλημα

2.19

δταν

gt(t)g2(t)

2.38. 'Εάν Igl(t)1 ~ IY2(t)1 σέ κάποια περιοχή Sδ(t ο), δείξτε δτι στό t o εΙναι νΕχουμε

.

+ 0(U2(t» Ι U2(t)

ο(οι(ι»

Ι

~

.,

οπου χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα

Ι~ Ο(Υι (t» Ι

άπό τήν ύπόθεση ξέρουμε ότι lοιωι ~

IU2(t)1.

σέ μιά άρκετά μικρή περιοχή τού

γιά τυχόν •

>

Ι

Ο.

. .

Επομενως

Ι

~

Ι UιW Ο(Υι (ι» Ι

πού εύκολα διαπιστώνεται ότι ίσχύει, γιατί

Έπειδή O(Ul(t»/Ul(t) --> Ο καί 0(U2(t»/U2(t) --> Ο, όταν t -> t o,

t o εχουμε

O(Ul(t» \ UιW

Ι O(Ul(t»

καί

< ./2

+ 0(U2(t» U2(t)

Ι

< •

O(UI(t» + 0(U2(t» Ι . U2(t) --> Ο όταν t ... t o ή

όπότε

Ο(Υιυ»

+ 0(g2(t» = 0(g2(t»

στό

t o.

Τ ,.

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

41

'Άλυτα Προβλήματα 2.39.

Βρείτε τήν εξίσωση τού επιπέδου πού διέρχεται άπό τά σημεία

Άπ. 2Χι -

2.40.

+ 1,

Βρείτε τίς καί

2.42.

+ 1,

Χ2 = k

Χ3

Άπ.

-ι.

=

~ Ο, είναι χ

C(-I,-I,O).

χι -

Χ2 =

Α(Ι,

-1, Ο)

Άπ.

χι

+ ι,

= -k

καί είναι κάθετο στήν εύθεία χι

2

Χ2

= 5k - 1,

των επιπέδων

Χ3

= 13k

(-00

3Χι -

καί είναι κάθετη στό επίπεδο

a

=5

+ Χ3

2Χ2

< k < 00)

χ.

n = d,

= kn + a, -'" < k < "'.

Δείξτε δτι ή εξίσωση της εύθείας πού διέρχεται άπό τό σημείο a καί είναι κάθετη στά διανύσματα C χ

~ Ο,

d

= k(c

είναι χ

χ

d)

= 600.

. Υπολογίστε καί σχεδιάστε -4 ~ t ~ 4.

καί

+ a.

Βρείτε τήν εξίσωση τού κώνου που εχει κορυφή τό Α(Ο, ι, ι), αξονα παράλληλο πρός τόν αξονα

μισή του γωνία είναι θ

2.45.

Χ3 = 3.

παραμετρικές εξισώσεις της εύθείας πού δρίζεται ώς τομή

+ 3Χ2 -

2Χ ι

d, c

2.44.

Α(I,Ο,-I), Β(Ο,Ο,I),

= 1

Δείξτε δτι ή ε1::ίσωση της εύθείας πού διέρχεται άπό τό σημείο

Inl 2.43.

+ Χ3

Βρείτε τήν εξίσωση τού επιπέδου πού διέρχεται άπό τό σημείο

= -k 2.41.

3Χ2

Άπ. 3xi - (Χ2 -1)2 -

τά διανύσματα χ

= (t 3

(Χ3 -1)2

+ l)eI + (Ι- t2)e2

χι καί ή

=Ο

γιά δλους τούς άκεραίους

t

στό διά

στημα

2.46.

= (t 2 + l)e I + t3e~ καί g(t) = (sin t)e I - (cos t)e2' . Υπολογίστε τά διανύσματα (α) g(t + Δt), (c) f(sin ι) χ g(t 2 + 1). Άπ. (α) (a 2 + 2ab + b2 + l)e l + (a 3 + 3a2 b + 3b 2 a + b3 )e3 (b) sin (ι + Δt)eι - cos (ι + Δt)e2 (c) (cos (t 2 + 1) sin 3 ψι + (sin (t2 + 1) sin 3 t)e2 - (cos (t2 + I)(Ι + sin 2 t»e3

'Έστω ί(Ι)

ί(a

+ b),

(b)

2.47.

' Εάν a = 2eI - e2 δ

>

2.48.

. Υπολογίστε

2.49.

Βρείτε τίς τιμές τού Άπ.

2.50.

+ e3

Ο τέτοιο (οστε ή

τό

b = eI

[(t 2 + l)eI

lim

Ι- -ι

+ ez + e3,

+

+

et e2

δείξτε δτι τό σημείο

b

άνήκει στήν

καί βρείτε ενα

S4(a)

S4(a).

[(t 2 -l)/(t + 1)]e3]'

Άπ. 2el

f(t) = [(t2 + l)/(t2 -1)]el n=0,l,2, ...

"Εστω f(t) = (t2 - l)e 2 + (cos t)e3 καί g(t) (b) 1im (f(t) χ g(t». 'Απ. (α) -1, (b) -el

(sin t)el

+

+ (lfe)e2 -

+ (tan t)e2

γιά τίς δποίες ή

t

Ι,-Ι,!",±nπ,

t =

καί

Sδ(b) νά περιέχεται στήν

e te2'

2e3

δέν είναι συνεχής.

Βρείτε τά δρια

(α)

lim (f(t) • g(t»,

t ... o

t ... o

2.5Ι.

, Εάν

οί συναρτήσεις

f(t), g(t)

καί

h(t)

είναι συνεχείς στό Ι, δείξτε δτι καί ή

f(t)

χ

(g(t)

χ

h(t»

είναι συ

νεχής στό Ι.

2.52.

, Εάν u Άπ.

2.53.

= (t 2 - 2)el + (t + 3)ez + (t4 + 4t + l)e3

Άπ. χ

=

(2k -l)eI

=

, Εάν u (2 + t)e2 d (b) dt (υ χ v). Άπ. (α)

(b)

2.55.

tete2 + (1og t)e3, t > Ο, βρείτε τίς παραγώγους (α) du/dt, (b) dJ.u/dt2 • (t + l)e t e2 + (l/t)e3' (b) 2eI - (t + 2)e te2 - (l/t2)e3

Βρείτε τήν εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης πού προσδιορίζεται άπό τήν παραμετρική παράσταση χ

2.54.

= (t2 + l)eI -

(α) 2te l -

"Εστω u = Άπ.

4

+ (log t)e3

καί v

(2 + t) sin t - cos t [(l/t) cos t - log t Βϊη t]el eteI

+

=

t = Ι. -00 < k

<

00

(sin t)el - (cos t)e2' t

[(l/t) Βϊη t

+ 2(sin t)e2 + (t 2 + l)e3

ώς συναρτήσεις τού

στό

+ (k + 4)e2 + (8k + 6)e3,

καί t

=

+ log t θ2

>

CΟΒ t]e2 -

+ 2,

t "'" 2.

Ο,

βρείτε τίς παραγώγους (α)

[(2 + t) cos t

du/de = 2(t - 2)I/2(e tel + 2(cos t)e2 + 2te3) dJ.u/de 2 = (4t - 6)e tel + [4 cos t - (8t - Ι6)

Βίη

+ Βίη t]ea

Βρείτε τίς παραγώγους

t. t]e2 + (12t - l6)e3

d dt (u· v),

du/de

καί dJ.u/dθ 2

42

:t (u. ~; - ~~.

2.56.

Δείξτε δτι

2.57.

Βρείτε τούς τρείς πρώτους δρους του άναπτύγματος του

περιοχή του t

2.58.

= Ο.

= Ο' fι~ - fι~· v.

v)

Άπ.

(el

+ e2) + 2e2t -

Taylor t2e2

= (cos t)eI + (t2 + 2Ι + l)e2

της Ι(Ι)

+

elt2/2

σέ μιά

Ι

Χρησιμοποιώντας τόν όρισμό της παραγώγου δείξτε ότι

d dt [(t 2 + l)eI

2.59.

' Ε αν ' u

2.60.

Βρείτε όλα τά διανύσματα

Άπ.

2.61.

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

'ί v ε ναι

' , παραγωγισιμες συναρτησεις του

και

u = (t3 + t

+ (l/(t + 1»e2 + e3]

=

2tel - (1/(t + 1)2)ez

δ ει-ξ τε οτι " d ( dt Ο') v

t,

=

πού ίκανοποιουν τήν έξίσωση du/dt

u

+ Cl)el + (t4/4 + C2)e2 + (COS t + C 3)e3

Βρείτε όλα τά διανύσματα

θερά διανύσματα.

χ du/dt

= Ο,

=

u

Λat4

2.62.

Δείξτε ότι

u

2.63.

Δείξτε ότι

(tan 2 t)e l

2.64.

'Έστω ότι ή διανυσματική συνάρτηση

f'(t o)

at2

= ο,

f"(t o)

f(n+ 1> (t o)

+

+ bt + ε,

t3e2 - (Sin t)e3'

όπου

a, b, c

είναι στα-

+ !bt3 + !εΙ + Clt + C z 2

έάν καί μόνο έάν τό μή μηδενικό διάνυσμα

+ (2t 3 + t4)e2 =

Δείξτε ότι τό διάνυσμα

(3t Z + l)el

d2u/dt 2

πού ίκανοποιουν τήν έξίσωση

u

Άπ.

= U· dv dt + du dt • v.

στό

O(t2)

t

εχει σταθερή διεύθυνση.

= Ο.

είναι άναλυτική στό

f(t)

u

t

= to

καί ότι εχουμε

= ο,

έφάπτεται στήν καμπύλη πού προσδιορίζεται άπό τήν

χ

= f(t)

στό σημείο

f(to).

{ο

θ-(Ι/ι)' γιά t "'" Ο

2.65.

'Εάν Ι(Ι)

2.66.

Δείξτε ότι τά σημεία χ θε t

=

=Ο

γιά t

'

= (t 2 + l)el

δείξτε ότι

f
+ (ι + 1)e2 -

te3

=Ο

γιά κάθε

n.

άνήκουν στήν περιοχή

Sl/lO(5el

+ 3e2 -

L i• 2.68.

'Εάν

2.69.

Δείξτε ότι [at2

2.70.

Δείξτε ότι

2.71.

Δείξτε ότι o(gl(t». O(g2(t»

2.72.

Δείξτε δτι O(gl(t» χ O(g2(t»

2.73.

Έάν

2.74.

f(t) --+ L καί g(t) -+ Μ όταν

g(t)

t

-+

to,

δείξτε ότι

+ o(t3)] • [bt + o(t2)] = a· bt3 + o(t4),

γιά κά-

f(t)· g(t) όπου

f(t) --+ f(t o) όταν t

a, b

L·

Μ

όταν

t --+

= 1,2,3.

to-

είναι σταθερά διανύσματα.

O(gι
=

-+ έσ,

= O(gl(t)g2(t». t

= h(lI)

καί h(lI) --+ t o όταν 11 -+ 110, δείξτε δτι f(h(lI» -+

Δείξτε τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως:

t

= h(lI)

f(t o) όταν 11

'Εάν ή διανυσματική συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις των

.~.

dt dII·

-+

i

= O(g(t».

πραγματική συνάρτηση

=

2e3)

στήν Sl/loo(2).

t

καί

8

u

= f(t)

-+

110'

καί ή

άντίστοιχα, τότε είναι du ~

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Μέ τόν δρο ΙKανoνι;ϊl παραμετρική παράσταση (καμπύλης) έννοουμε μιά διανυσματική συνάρτηση χ όρισμένη σ'

t

= X(t),

Ε Ι

(3.1)

ενα διάστημα Ι τής πραγματικής ευθείας μέ τίς ίδιότητες

(ί) ή

x(t)

είναι κλάσεως σι στό Ι καί (Η)

x'(t) #-

(Συνήθως τό πεδίο όρισμου Ι είναι ενα ανοικτό διάστημα. παραμετρική

παράσταση

εχει

μιά έπέκταση

σ'

Ο γιά κάθε

t στό Ι.

'Όταν τό Ι είναι κλειστό, ή κανονική

ενα ανοικτό διάστημα.)

'Η μεταβλητή

t

όνομά

ζεται παράμετρος τής παραστάσεως.

'Εάν έκλεγεί μιά βάση του Ε3, ή διανυσματική συνάρτηση χ = x(t) προσδιορίζει τρείς πραγματικές συναρτήσεις

Χι

Χ2

= xI(t),

Χ3

= X2(t),

πού τίς λέμε συντεταγμένες συναρτήσεις τής χ

= x(t)

tEI

= X3(t),

ώς πρός τή βάση αυτη.

(3.2) Προφανώς ή χ

είναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση, έάν καί μόνο έάν οί τρείς συναρτήσεις ΧΙ

κλάσεως

= XI(t)

= x(t) είναι

CI καί έάν γιά κάθε t στό Ι μία τουλάχιστον από τίς παραγώγους Χ; (t) είναι διάφορη

του μηδενός. Παράδειγμα ραμετρική γιά κάθε

3.1.

Ή διανυσματική συνάρτηση

χ

=

(t+ 1)eI +

παράσταση, γιατί ή διανυσματική συνάρτηση χ'

t.

(t2 +3)e2,

= eI + 2te2

Τό γράφημα της συναρτήσεως εΙναι ή παραβολή τοϋ Σχ.

-00

00,

εΙναι μιά κανονική πα

εΙναι συνεχής καί εχουμε έπίσης χΙ

#- Ο

3-1.

(-3, ..)

,=0

--------~----------------XΙ

i

ί

Σχ. 3 -2

Σχ.3-1

Παράδειγμα Σχ.

3-2.

=τ Βίη (Ι.

3.2.

Τό γράφημα της έξισώσεως

= 2 cos (Ι

r

-

1,

Ο ~ (Ι

""

2'/1",

σέ πολικές συντεταγμένες δίνεται στό

Οί πολικές καί οί όρθογώνιες συντεταγμένες συνδέονται μεταξύ τους μέ τίς έξισώσεις 'Εάν σ' αύτές άντικαταστήσουμε τό τ, εχουμε τήν παραμετρική παράσταση χι

ή

=

(cos 8)(2 cos 8 - 1), Χ

=

(COB

8)(2

COS

Χ2

=

(Βίη

(1)(2

COB (Ι -

+

(Βίη

8)(2 cos 8 - l)e2

8 - l)ei

43

1),

Ο ~

8

~

2'/1"

χι

= r

COS (Ι,

Χ2

1 44

Η

ΚΕΦ.3

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

'Η παραμετρική αύτή παράσταση είναι κανονική, γιατί ή

χΙ

είναι συνεχής καί Ix'l

[-4 sin θ cos θ

= Υ5 -

+ sin o]et +

4 cos θ ~ Ο γιά κάθε θ, όπότε καί χΙ ~ Ο γιά κάθε θ.

= x(t) στό Ι x(t t ) = x(t 2 ).

Μιά κανονική παραμετρική παράσταση χ

λαδή νά ύπάρχουν

tl

Στό Πρόβλημα

3.7

δείχνουμε τό παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα

'Εάν χ

to

3.1.

# t 2 στό Ι γιά τά όποία

είναι μιά κανονική

= x(t)

στό Ι ύπάρχει μιά περιοχή

Παράδειγμα

to

τοϋ

μπορεί νά εχει πολλαπλά σημεία, δη

Κάτι τέτοιο δμως δέν συμβαίνει τοπικά.

παραμετρική παράσταση στό Ι, τότε γιά κάθε

στήν όποία ή

Ή διανυσματική συνάρτηση χ

3.3.

[2 cos2 θ - 2 sin 2 θ - cos o]e2

x(t)

είναι Ι-Ι.

= a(cos o)et + a(sin o)e2'

α ~ Ο,

<θ<

(-00

00) είναι μιά κανονι

κή παραμετρική παράσταση τής περιφέρειας, πού εχει κέντρο τήν άρχή τών άξόνων καί άκτίνα lαl, γιατί ή

=

-a(sin o)el

+ a(cos o)e2

είναι συνεχής γιά κάθε θ

=

Idx/dol

dx/do

καί

+ a(cos o)e21 =

I-a(sin o)el

lαl ~ ο

Παρατηρουμε δτι κάθε σημείο αύτης της παραστάσεως είναι πολλαπλό σημείο, γιατί γιά κάθε θ ο εχουμε

α

, Αλλά νεται

cos

(θ ο

=

δταν ή συνάρτηση χ

+ 2π)e l +

a(cos o)el

α

sin

=

+ 2π)e2

(θ ο

+ a(sin o)e2

a(cos Do)e l

περιοριστεί Π.χ. στό διάστημα

{, t

ο,

'Η διανυσματική

3.4.

πού τό γράφημά της δίνεται στό Σχ. γιά κάθε

t·

=Ο

t

άλλά γιά

εχουμε

συνάρτηση

3-3, εχει συνεχείς dxl/dt = dXz/dt

θο

-

t".. <

θ

<

θο

+ 1Π'

γί

μειωθεί δτι

ή

μεία σέ. κάθε

παραμετρική

αύτή

περιοχή

t

του

>

θεωρουμε, ενα τυχόν δ ραιο άριθμό

tl

Ν

>

δ' επιπλέον

καί

t2

X2(t l ) =

Ο

=

t >

-00

Ο

< t<

00

καί συ

Χ2

"Ας ση

Γιά νά τό άποδείξουμε αύτό,

<

= +(1/2πΝ). 1/4π 2 Ν2

XI(t l ) =

καί

εάν

Στή συνέχεια διαλέγουμε εναν άκέ

ο, ετσι ωστε 1/2πΝ

= -(1/2πΝ)

sin (1/ t),

t:"'Ξ Ο

παράσταση εχει πολλαπλά ση

= Ο.

Ο.

2

εάν

παραγιογους

=Ο

νεπώς δέν είναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση.

t2 <

a(sin DO)e2

Ι-Ι (άμφιμονότιμ η).

Παράδειγμα

μεία

+

(1/4π 2 Ν2)

δ, καί θεωρουμε τά ση Προφανώς,

-δ

< tl <

= XI(t2) sin

2πΝ

Έτσι εχουμε ενα πολλαπλό σημείο στό

= X2(t 2)

-δ

< t<

Σχ.

δ.

3-3

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥ ΛΕΣ

13

Μιά πραγματική συνάρτηση t = t(θ) όρισμένη στό διάστημα Ι. είναι μιά έπιτΡ~πτfι..--άλ*α'Yι1 πtl Ρ!1μέτροu. αν

t =

(i) είναι κλάσεως Cl στό Ι. καί (ίί) dt/dθ ~ ο γιά κάθε θ στό Ι..

Έπομένως, αν

t(θ) είναι μιά επιτρεπτή αλλαγή παραμέτρου στό Ι •• τότε ή dt/dθ είναι συνεχής καί dt/dθ # Ο.

VΕτσι

θά

είναι

Cι, ή dt/dθ

ή

<Ο

dt/dθ

>

Ο

στό Ι •• όπότε ή

t =

t(θ) είναι

μιά

αύξουσα

στό Ι •• όπότε είναι μιά φθίνουσα συνάρτηση κλάσεως

δίνουν τή δυνατότητα νά δείξουμε (Πρόβλ.

3.13)

Cl.

συνάρτηση

κλάσεως

'Όσα αναφέραμε μας

τό παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα

3.2. 'Εάν t = t(θ) είναι μια επιτρεπτή αλλαγή παραμέτρου στό Ι.' τότε (i) ή t = t(θ) είναι μιά Ι-Ι απεικόνιση τοϋ Ι. επί τοϋ διαστήματος 1 t = t(I.) καί (ii) ή αντίστροφη συνάρτηση θ = θ(t) είναι μιά επιτρεπτή αλλαγή παραμέτρου στό I t , απεικονίζει επί τοϋ Ι•.

Παράδειγμα (α)

τό όποίο

3.5.

'Η συνάρτηση τό διάστημα

t

= (b -

Ο:"'Ξ θ :"'Ξ

1

α)θ

+ α,

έπί του

Ο:"'Ξ θ :"'Ξ α:"'Ξ t :"'Ξ

1, b.

πτή άλλαγή παραμέτρου πού άπεικονίζει τό

α

<

b, είναι μια επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου πού άπεlκονίζεl θ (t - a)/(b - α) ε!ναl μιά έπιτρε διάστημα α:"'Ξ t :"'Ξ b έπί του Ο :"'Ξ θ :"'Ξ 1. 'Η άντίστροφη συνάρτηση

=

ΚΕΦ.3

(b)

'Η

Η

συνάρτηση

< 1 έπί θ < 1.

Ο"'" θ ο""

t == tan

(11'θ/2),

< "'.

του ο"'" t

ο

"'"

θ

< 1,

t

= Ι(θ)

παράσταση Χ

εΙναι

μιά

Ή άντίστροφη συνάρτηση

Μιά κανονική παραμετρική παράσταση

παραμετρική

=

Χ*(θ),

Χ

έπιτρεπτή

θ

= x(t),

θ Ε Ι.'

άν

στό Ι. τέτοια ωστε

Στό Πρόβλημα

45

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

==

(2/π)

Ε

t

παραμέτρου

πού

άπεικονίζει τό Ο"'"

άπεικονίζει

t <

00

τό

έπί του

είναι ίσοδύναμη μέ μιά άλλη κανονική

It,

ύπάρχει

μιά

=

χ(Ι(θ))

(ii)

άλλαγή

Tan- l t

έπιτρεπτή

αλλαγή

παραμέτρου

Χ*(θ)

δείχνουμε δτι ετσι όρίζεται μιά σχέση ίσοδυναμίας στό σύνολο τών κανονικών

3.14

παραμετρικών παραστάσεων.

•Ορίζουμε

τήν κανονική καμπύλη ώς μιά κλάση ίσοδυναμίας στό σύνολο

τών κανονικών παραμετρικών παραστάσεων.

(Συχνά

μιά

κανονική

καμπύλη αναφέρεται καί άπλώς

ώς καμπύλη, δταν δέν ύπάρχει κίνδυνος συγχύσεως.) W

Ας σημειωθεί δτι μιά κανονική παραμετρική παράσταση Χ

μιά κανονική καμπύλη

C

= x(t)

προσδιορίζει μονοσήμαντα

πού αποτελείται από δλες τίς παραμετρικές παραστάσεις πού συνδέονται

μ' αύτή μέ μιά έπιτρεπτή αλλαγή παραμέτρου. ται από τήν παραμετρική παράσταση Χ

Γι' αυτό μπορουμε νά λέμε «ή καμπύλη

= x(t) ... »

η ακόμα άπλούστερα «ή καμπύλη Χ

C

πού δίνε

= x(t)>>.

Με

ρικές φορές στίς έφαρμογές μέ τόν δρο καμπύλη έννοοϋμε τήν είκόνα του πεδίου όρισμου μιας κανονικής παραμετρικής παραστάσεως.

είναι κατ'

Γενικά, μιά ίδιότητα μιας παραμετρικής παραστάσεως δέν

ανάγκη καί ιδιότητα τής καμπύλης.

Κάθε ιδιότητα δμως τής καμπύλης πρέπει νά είναι

κοινή γιά δλες τίς παραμετρικές παραστάσεις πού ανήκουν στήν 'ίδια κλάση, η δπως λέμε, πρέπει νά ειναι «ανεξάρτητη της παραμέτρου». Παράδειγμα

3.6.

Θεωροίψε τήν έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου

ραμεΤΡΙΚ'ή παράσταση

(cos

χ

του Παραδείγματος

τό

cos θ -1)e}

αύξάνεται

t

+

θ)(2

(sin

== t + 1, -1 "'" t "'" 211' -1,

cos

θ -

στό

διάστημα

-1 "'" t "'"

+

[sin (Ι + 1)] [2 cos (Ι

2π -

1,

ή

καί τήν κανονική πα-

l)ez•

'·Η σύνθεση δίνει τήν κανονική παραμετρική

[cos (t + 1)] [2 cos (t + 1) - 1]el

χ

.. Οταν

3.2.

θ)(2

θ

παράσταση

+ 1)

συνάρτηση θ

- 1]e2'

= t

+1

-1 "'" t "'" 211' - 1

αύξάνεται

στό Ο "'" θ "" 2.. καί ή

νέα παραμετρική παράσταση προσδιορίζει τήν ίδια καμπύλη μέ τήν άρχική παραμετρική παράσταση, τά γραφήματα τών όποίων διαγράφονται μέ τήν ίδια φορά, δπως φαίνεται στό Σχ. παραμέτρου θ

= -t,

-211' "" t "'"

=

χ

'Όταν τό

t

αύξάνεται στό

3-4(a).

Θεωρουμε τώρα τήν έπιτρεπτή άλλαγή

Ο, όπότε εχουμε τήν κανονική παραμετρική παράσταση

(cos t)(2 cos t - 1)et -

-2". "'" t "'"

(sin

Ι)(2

cos t - l)ez,

= -t

Ο, ή συνάρτηση θ

-211' "'" t "'" Ο

έλαττώνεται στό διάστημα Ο

"'"

θ ""

211

καί τό σύ

νολο τών σημείων διαγράφεται κατά τήν άντίθετη φορά άπό δ,ΤΙ στήν προηγούμενη περίπτωση, όπως φαίνεται καί

στό Σχ.

3-4(b).

Συνεπώς, ή φορά κατά τήν όποία μιά καμπύλη διαγράφεται εΙναι ίδιότητα τής παραμετρικής παρα

στάσεως' καί όχι της καμπύλης.

Τέλος, αν θεωρήσουμε τή συνάρτηση

;

Ι

γιά Ο "" t "'" 11/3

t, θ

+ 211,

-t

e(t)

{

t,

γιά

11'/3 < t < 511'/3

γιά

5,,/3 "'" t "'" 211'

ευκολα διαπιστώνουμε ότι δέν εΙναι μιά έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου καί έπομένως ή

χ

=

{cos e(t)] (2 cos e(t) - 1)el

+

[sin e(t)](2 cos e(t) - 1)e2'

δέν εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση, αν καί τό γράφημά της άποτελείται άπό τό ίδιο σύνολο σημείων [Σχ.

3-4(c)J.

Άλλά σύμφωνα μέ τόν όρισμό, ή παραπάνω παραμετρική παράσταση δέν προσδιορίζει καμπύλη.

Ύπεν

θυμίζουμε στι μέ τήν αύστηρή εννοια μιά καμπύλη πρέπει νά θεωρηθεί, οχι άπλώς σάν ενα σύνολο σημείων άλλά σάν

ενας γενικός κανόνας, σύμφωνα μέ τόν όποίο διαγράφεται τό σύνολο αύτό τών σημείων καί πού προσδιορίζεται άπό μιά οίκογένεια

ίσοδύναμων παραμετρικών παραστάσεων.

(α)

(b) Σι.

3-4

(c)

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

46 Παράδειγμα

8Ενα ένδιαφέρον παράδειγμα καμπύλης εΙναι ή κυκλική ελικα, πού προσδιορίζεται άπό τήν κανο

3.7.

νική παραμετρική παράσταση χ

=

Χι καί δίνεται στό Σχ. Χ2

= a sin t,

-ao

3-5.

<

Χ3

α

a(cos t)et

+

Χ2

=

cos t,

α

3.8.

bte3,

Χ3

=

sin t,

"Η έξίσωση Χ3

ao.

= bt

αύξάνεται κατά

τίς άρχικές τους τιμές, ένώ ή Χ3 αύξάνεται

Παράδειγμα

+

α,

b >F α,

bt,

Ο,

b >F

Ο,

(b

> Ο)

Ο "'" Χι

Διαιροϋμε τό

= a cos t,

τότε οί συντεταγμένες συναρτήσεις χι καί Χ2 ξαναπαίρνουν

217",

η έλαττώνεται

"'" 1,

πύλψ. πού «γεμίζει .. τήν παραπάνω 2-διάστατη περιοχή.

ζουμε μέ Qo, Qt, Q2' Q3.

ao

«μετακινεί» όμοιόμορφα τά σημεία τής καμπύλης στή διεύ

(b

< Ο)

κατά

ΕΙναι ένδιαφέρον νά σημειωθεί ότι τό μοναδιαίο διάστημα Ο

νάρτηση έπί τοϋ μοναδιαίου τετραγώνου Q: κατασκευάζεται ώς έξής:

< t < ao -ao < t <

-ao

"Η καμπύλη βρίσκεται (πάνω) στόν όρθό κυκλικό κύλινδρο άκτίνας lαl μέ χι

<

80 ταν τό t

θυνση τοϋ άξονα Χ3'

a(sin t)e2

Ο "'" Χ2 "'"

1 τοϋ Ε2.

217"lbl,

"'" t "'" 1

τό βήμα τής ελικας.

i Ι

άπεικονίζεται μέ συνεχή συ

Ή άπεικόνιση αύτή δίνει μιά «καμ

Μιά τέτοια άπεικόνιση, πού όνομάζεται καμπύλη τού

Peano,

σέ τέσσερα ίσα τετράγωνα, τά όποία μαζί μέ τά σύνορά τους συμβολί

Q

Στή συνέχεια καθένα άπό τά Q; διαιρείται σέ τέσσερα ίσα τετράγωνα Qio, Qil' Qi2' Qi3

καί καθένα άπ' αύτά διαιρείται ξανά, Κ.Ο.Κ.

"Υποθέτουμε άκόμα ότι τά τετράγωνα εχουν δείκτες ετσι ωστε, αν δια

γράψουμε τά τετράγωνα κατά τήν τάξη αύξήσεως τών δεικτών, προκύπτει ενα τόξο, πού δέν τέμνει τόν εαυτό του, όπως φαίνεται στό Σχ.

3-6.

ΕΙναι εϋκολο στόν άναγνώστη νά έπαληθεύσει τούς ίσχυρισμούς αύτούς.

Κυκλική Ι:λικα (α,

b

>

-

Ο)

Qll

Ql21

Τ

Qlo

Ql3

Q20

~

Q03

Q021

io-Q3lr Q30

Q2:r

ι.. L.J

2π b

Qoo

Qol

Q32

Σχ.

3-5

Γνωρίζουμε ότι κάθε t o στό διάστημα Ο "" t "'" 1

Q33

3-6

μπορεί νά έκφραστεί μονοσήμαντα ώς δεκαδικός άριθμός

=

αι

10

a2

α3

a2

+

102

Κάτι παρόμοιο ίσχύει όταν γιά βάση εχουμε τό τέσσερα, δηλαδή κάθε αι

Q23

Ι

f

------+χ2

Σχ.

Q22

+

103

to

μπορεί νά έκφραστεί μονοσήμαντα ώς σειρά

+

a3

= -4 + -42 + -+ ... 43 μέ άκεραίους τούς Ο

"""

πού εχουν άριθμητή

3 καί αύξάνουμε τόν άριθμητή τοϋ προηγούμενου όρου κατά 1, π.χ.

1

αί "'"

3.

(Γιά νά πετύχουμε τό μονοσήμαντο, παραλείπουμε τούς άπειρους διαδοχικούς όρους

'41 + 421 + 433 + 443 +

2

= 4" + 42-) Σέ κάθε t o

= ~ a;l4i ι

ναδικό σημείο Ρο τοϋ

Q

μποροϋμε να αντιστοιχίσουμε τό μο-

πού εΙναι τό κοινό σημείο στήν άντί-

στοιχη άκολουθία τών κλειστών κιβωτισμένων τετραγώνων QQ t ' QQlΑZQ3' • • •• "Η άπεικόνιση αύτή εΙναι έπί (τοϋ Q), γιατί

QQlQ2'

μπορεί νά δειχθεί ότι κάθε σημείο Ρ τοϋ σέ

κάποια κατάλληλη

Q

εΙναι κοινό σημείο

άκολουθία κλειστών κιβωτισμένων τετρα

γώνων.

εΙναι τυχούσα σφαιρική περιοχή τοϋ Ρ Ο (Σχ.

Τέλος, ή άπεικόνιση αύτή εΙναι συνεχής.

Γιατί, αν S.(Po) 3-7), έκλέγουμε ενα

τετράγωνο QQ Q2" .α,,' πού

τόσο μικρό, ώστε

περιέχει τό

Ρο,

l αύτό μαζί μέ τά προσκείμενα τετράγωνά του (τοϋ ίδιου μεγέθους) νά

τά t

στά παρακάτω άνοικτά διαστήματα τοϋ t o

Σχ. περιέχονται

στήν

3-7

S.(P o).

'Αλλά

τότε

όλα

..ι

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

47

-1

α

+ -"-4"

.άπεικονίζονται στήν S.{P ο).

Συνεπώς, ή άπεικόνιση αύτή εΙναι συνεχής.

'Η άπεικόνιση αύτή δέν εΤναι Ι-Ι, γιατί σημεία τών συνόρων τών τετραγώνων εΤναι κοινά σέ περισσότερες άπό μιά άκολουθίες κιβωτισμένων τετραγώνων.

τοϋ τετραγώνου δέν εΤναι

Πράγματι, μπορεί νά δειχθεί δτι μιά συνεχής άπεικόνιση της εύθείας έπί

Ι-Ι.

Μιά κανονική καμπύλη λέγεται άπλ!ί, άν μιά κανονική παραμετρική παράσταση χ

τής καμπύλης δέν εχει πολλαπλά σημεία, δηλαδή γιά κάθε ή

t l -=F t 2

εχουμε

X(t l) -=F X(t2).

= X(t), •Η

t

Ε Ι,

ϋπαρξη

όχι πολλαπλών σημείων εΙναι προφανώς μιά ιδιότητα τής καμπύλης καί όχι τής παραμετρικής

παραστάσεως.

Μιά κανονική καμπύλη λέγεται καί κανονικό τόξο, άν τό πεδίο όρισμου μιας κανονικής παρα

μετρικής παραστάσεως χ = X(t), t Ε Ι, τής καμπύλης εΙναι ενα κλειστό διάστημα α ~ t ~

b.

(Προ

φανώς τό 'ίδιο συμβαίνει καί γιά τά πεδία όρισμου Όλων τών άλλων κανονικών παραμετρικών παρα

στάσεων τής καμπύλης.)

Τά σημεία

καί

x(a)

x(b)

νήκει σέ άλλο τόξο λέγεται καί τμήμα τόξου. ραμετρική παράσταση ενός τόξου, τότε ή χ

του Ι καί

x*(t)

εΙναι ό περιορισμός τής

= x*(t),

x(t)

λέγονται άκρα του τόξου .• 'Ένα τόξο πού ά

'Έτσι, άν χ στό

t 1*,

Ε

1*,

= x(t),

Όπου

1*

t

Ε Ι, εΙναι μιά κανονική πα εΙναι τυχόν κλειστό διάστημα

εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση

του τμήματος τόξου. Παράδειγμα

Στό Παράδειγμα

3.9.

3.2

εχουμε ενα κανονικό τόξο, γιατί

ή διανυσματική συνάρτηση

είναι

μιά

χι

(cos

θ)(2

cos

θ

- 1)

Χ2

= (sin

θ)(2

cos

θ

- 1)

κανονική

παραμετρική

ΧΖ

-----~-~---_,----Xι

παράσταση

(δηλαδή

μιά καμπύλη)

όρισμένη στό κλειστό διάστημα Ο =: θ =: τά ακρα τής καμπύλης αύτή ς

2".. ' Εδώ παρατηροϋμε δτι συμπίπτουν. . Ο περιορισμός της στό

διάστημα Ο =: θ=:", προσδιορίζει ενα άπλό τμήμα τόξου τής καμπύ λης πού δίνεται στό Σχ.

'Έστω χ

dt/dθ

> Ο,

= x(t)

τότε τό

τήν καμπύλη κατά καί οί χ

Σχ.

3-8.

3-8

καί χ

= Χ*(θ) δύο κανονικές παραμετρικές παραστάσεις μιας καμπύλης. 'Εάν t αύξάνεται Όταν αύξάνεται τό θ καί οί χ =>x(t) καί χ = Χ*(θ) διαγράφουν τήν 'ίδια φορά. 'Εάν dt/dθ < Ο, τότε τό t ελαττώνεται σταν αύξάνεται τό θ

= x(t) καί χ

= Χ*(θ)

διαγράφουν τήν καμπύλη κατά άντίθετες φορές.

Μιά κανονική προ

σανατολισμένη καμπύλη εΙναι μιά καμπύλη κατά μήκος τής όποίας εχει εκλεγεί μιά όρισμένη φορά. Δηλαδή μιά κανονική προσανατολισμένη καμπύλη εΙναι μιά οικογένεια άπό κανονικές παραμετρικές

παραστάσεις, οί όποίες συνδέονται άνά δύο μέ μιά επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου μέ θετική παρά γωγο.

ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

ΥΕστω στι χ

τής καμπύλης

= x(t)

εΙναι μιά παραμετρική παράσταση

του Σχ.

C

3-9.

Μέ τή βοήθεια των συντε

ταγμένων συναρτήσεων τής καμπύλης στό

to

ή διανυσμα

τική συνάρτηση

χ

= xl(to)el

+ X2(tO)e2 + ke3,

-00

< k < 00

ή

Χι

= xl(to),

Χ2

= X2(tO),

Χ3

= k,

-00

< k < 00

εκφράζει τήν εξίσωση τής εύθείας πού εΙναι κάθετη στό έπίπεδο ΧΙΧ2 καί διέρχεται άπό τό σημείο

λης.

Χι

x(to)

τής καμπύ

Συνεπώς ή οικογένεια τών εύθειών

= xl(t),

Χ2

= X2(t),

Χ3

= k,

-00

00

(3.3)

Σχ. 3-9

Κ ΕΦ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

48

3

παράγει μιά κυλινδρική έπιφάνεια (κύλινδρο), πού εΙναι κάθετη στό έπίπεδο ΧΙΧ2 καί περιέχει τήν καμπύλη

.Η

C.

τομή του κυλίνδρου

= x(t)

βολή Γ της χ

μέ τό έπίπεδο ΧΙΧ2, δηλαδή τό Χ3

(3.3)

στό έπίπεδο ΧΙΧ2.

έξισώσεις

Χι

Οί προβολές της χ

= x(t)

=

Χ3

xl(t),

3.10.

χι

= t,

Χ2

δίνεται άπό τίς

ο

=

Χ2

Xl(t),

=

Ο,

Χ3

=

X3(t)

=

< <

Ή προβολή της καμπύλης χι t, Χ2 t 2, Χ3 t3 , -00 t 00, στό έπίπεδο ΧΙΧ2 εΙναι ή Χ2 t 2, Χ3 Ο. • Η προβολή της καμπύλης στό έπίπεδο ΧΙΧ3 εΙναι ή τριτοβάθμια καμπύλη Χ3 t 3• Τέλος, ή καμπύλη μπορεί νά δοθεί ώς ή τομή των δύο κυλίνδρων

= t,

= Ο,

=

= x(t)

X3(t)

Χι

Παράδειγμα

εΙναι ή (όρθογώνια) προ

στά έπίπεδα Χ2Χ3 καί ΧΙΧ3 εΙναι άντίστοιχα Χι

παραβολή χι

= Ο,

Συνεπως ή προβολή αύτή της χ

=

=

=

Χι

καί

δπως φαίνεται στό Σχ.

= t,

Χ3

= t3 ,

-00

<

Χ2

<

00

3-10.

Σχ.

3-10

ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

Μιά

καμπύλη

του

Εύκλείδειου χώρου μπορεί να οριστει ως τομή δύο έπιφανειων.

Δηλαδή

όρίζουμε ώς καμπύλη τό σύνολο των σημείων (Χι, Χ2, Χ3) πού ίκανοποιουν δύο έξισώσεις της μορφης

=

F l (Xl,X2,X3)

. Εάν

Ο

καί

F 2 (xl,X2,X3)

=

Ο

(3.4)

σέ ενα σημείο (Χι, Χ2, Χ3) πού ίκανοποιεί τίς παραπάνω έξισώσεις εχουμε

det

iJFlIiJXl ( iJFz/iJxl

iJFlIiJX2)

~

Ο

iJFz/iJX2

τότε άπό τό θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων επεται ότι σέ κάποια περιοχή αύτου του σημείου μπορουμε νά λύσουμε τίς έξισώσεις ράσταση της μορφης

Χι

που εχει γιά παράμετρο τήν Χ3.

(3.4)

=

ώς πρός χι καί Χ2, όπότε παίρνουμε μιά παραμετρική πα

ΧΙ(Χ3),

Χ3

Χ3

• Η παραμετρική αύτή παράσταση όρίζει μιά κανονική καμπύλη

μέ γράφημα ενα κομμάτι τουλάχιστον του γραφήματος της

Παράδειγμα 3.11.

=

(3.4).

Θά άποδείξουμε δτι ή τομή των δύο έπιφανειων δεύτερου βαθμοϋ Χ2 - Χ: = Ο καί Χ3ΧΙ - X~ = Ο

εΙναι ή καμπύλη τρίτου βαθμοϋ χι

= t3,

Χ2

= t 2,

Χ3

=t

καί ό αξονας χι (χι

= t,

Χ2

= Ο,

Χ3

= Ο).

Πράγματι, αν

Χ3 ~ Ο (όπότε ή παραπάνω συνθήκη γιά τήν όρίζουσα ίκανοποιείται), μποροϋμε νά λύσουμε τίς έξισώσεις ώς πρός χι

καί

Χ2, όπότε εχουμε

= t καί εχουμε 'Εάν τώρα Χ3 = Ο, τότε Χ2 = Χ: = Ο χι' δηλαδή χι = t, Χ2 = Ο, Χ3 = Ο. Θέτουμε

Χ3

καί ή χι μπορεί νά εΙναι αύθαίρετη. Παρατηροϋμε δτι τό σημείο (Ο, Ο, Ο)

Οί έξισώσεις αύτές δίνουν τόν αξονα εΙναι ή τομή των δύο καμπυλων.

r ΚΕΦ.3

Η

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥ ΛΕΣ ΚΛΑΣΕΩΣ

49

Cm

Μιά κανονική παραμετρική παράσταση χ

=

X(t) στό Ι λέγεται κανονική παραμετρική παράσταση Cm, m ~ 1, άν ή χ x(t) είναι κλάσεως Cm στό Ι. 'Όμοια, μιά έπιτρεπτή άλλαγή πα ραμέτρου t t( θ) στό Ι. λέγεται έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου κλάσεως άν ή t( θ) είναι κλάσεως Cm στό Ι.. Τέλος, δύο κανονικές παραμετρικές παραστάσεις κλάσεως Cm όρίζουν τήν 'ίδια κανο νική καμπύλη κλάσεως Cm, άν αύτές συνδέονται μεταξύ τους μέ μιά έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου κλάσεως Cm. ~Eτσι, μιά κανονική καμπύλη κλάσεως Cm είναι μιά οίκογένεια κανονικών παραμε τρικών παραστάσεων κλάσεως Cm, οί όποίες συνδέονται άνά δύο μέ μιά έπιτρεπτή άλλαγή παρα μέτρου κλάσεως Cm.

=

κλάσεως

=

cm,

Μιά παραμετρική παράσταση χ

. Η καμπύλη j < m, γιατί

ή καμπύλη κλάσεως

τή δοθείσα παράσταση χ κλάσεως

χ

= X(t)

C;

00,

είναι έπίσης κλάσεως

Cm

γιά

j

<

m

= X(t)

Cm

γιά κάθε

C;

περιέχει

Ή

3.12.

κανονική

εΙναι άναλυτική.

επιπλέον

παραμετρική

παραμετρικές

παράσταση

= w(t)

"Ετσι, ή χ

~

j

C;

m. γιά

περιέχει μόνο παραμετρικές παραστάσεις πού συνδέονται μέ

cm,

μέ επιτρεπτές άλλαγές παραμέτρου κλάσεως

μέ έπιτρεπτές άλλαγές παραμέτρου κλάσεως

Παράδειγμα -00

κλάσεως

= X(t)

όμως πού προσδιορίζεται άπ' αύτή δέν είναι συγχρόνως καί καμπύλη κλάσεως

πού

ένώ ή καμπύλη

συνδέονται

πού δέν είναι καί κλάσεως

C;

τής

παραστάσεις

ελικας

W(t)

=

+

a(cos t)et

μέ

τήν

+

bte3'

Cm.

a(sin t)e2

μπορεί νά θεωρηθεί δτι προσδιορίζει μιά κανονική άναλυτική καμ

πύλη, τήν ελικα, άρκεί μόνο νά περιοριστοϋμε σέ έκείνες τίς κανονικές παραμετρικές παραστάσεις πού συνδέονται μ' αύτή μέ μιά άναλυτική έπιτρεπτή άλλαγή

Παράδειγμα

.Η

3.13.

παραμέτρου.

παραμετρική παράσταση

t < t = t >

γιά γιά

γιά ε!ναι κλάσεως

C'"

(Παράδ.

2.30,

σελ.

31)

Ο Ο

Ο

καί μαζί μέ τίς ίσοδύ

ναμες παραμετρικές παραστάσεις κλάσεως C'" όρίζει τήν καμπύ λη κλάσεως

t <

C'''

πού δίνεται στό Σχ.

3-1 Ι.

Ο ή καμπύλη βρίσκεται στό έπίπεδο

Παρατηροϋμε δτι γιά

ΧΙΧ3, ένω γιά

t

>

Ο

ή Σχ.3-11

καμπύλη βρίσκεται στό έπίπεδο ΧΙΧ2'

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΤΟΞΟΥ

Τό μήκος ένός τόξου όρίζεται άπό τά μήκη τών προσεγγιστικών πολυγωνικών τόξων.

ι

Ι

ότι ενα τόξο

C,

όχι κατ'

άνάγκη κανονικό, δίνεται άπό τήν χ

διαμέριση

α

του διαστήματος α ~ t ~

b. Χο

= x(t),

t o < t l < ... < t n

α ~

t

~

b.

'Έστω

Θεωρουμε μιά

b

• Η διαμέριση αύτή όρίζει μιά άκολουθία σημείων του Ε3

=

X(t O),

χι

=

X(t l ),

Xn

=

X(t n )

πού τά ένώνουμε διαδοχικά γιά νά σχηματιστεί ενα προσεγγιστικό πολυγωνικό τόξο Ρ, όπως φαίνεται

στό Σχ. είναι IΧι

3-12. Τό μήκος του εύθύγραμμου τμήματος μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων Χί-Ι καί - Χι-ιl. Συνεπώς τό μήκος του Ρ είναι n

s(P)

Σ ΙΧΙ

ί=Ι

. Υποθέτουμε μέριση, δηλαδή

n

-

Χί-ΙΙ

Σ IX(ti )

τώρα ότι είσάγουμε μιά λεπτότερη δια

τόξο Ρ', μέ τήν προσθήκη νέων σημείων στό άρχικό τόξο,

3-12.

Έπειδή τό μήκος τής μιας

πλευρας ένός πολυγώνου είναι μικρότερο ή 'ίσο μέ τό ά θροισμα τών μηκών τών άλλων πλευρών, επεται ότι τό

μήκος του Ρ είναι μικρότερο ή 'ίσο μέ τό μήκος του Ρ', δηλαδή

s(P) ~ S(P').

(3.5)

x(ti-t)1

ί=l

θεωρουμε τό προσεγγιστικό πολυγωνικό

όπως φαίνεται στό Σχ.

Xi

/-~~----~ Σχ.

~Eτσι είναι εύλογο νά θεωρήσουμε

•

3-12

r 50

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

ώς μήκος του

C τό μεγαλύτερο τών μηκών σλC?ν τών προσεγγιστικών πολυγωνικών τόξων Ρ.

"Ενα τόξο λέμε στι εΙναι ύπολογίσιμο .., πεπερασμένου μήκους, αν τό σύνολο S σλων τών μηκών s(P) εΙναι ανω φραγμένο. Στήν περίπτωση αύτή τό σύνολο S εχει έλάχιστο άνω φράγμα ή ανω πέρας (supremum), τό όποίο όρίζεται ώς τό μήκος του τόξου.

uEva σύνολο

S

από πραγματικούς αριθμούς λέμε στι εΙναι ανω φραγμένο, αν ύπάρχει πραγμα

τικός αριθμός Μ τέτοιος ώστε χ "'" Μ γιά κάθε χ στό

S.

γεται άνω φράγμα του τέτοιο ώστε Μ"'"

L

εΙναι έπίσης ενα ανω φράγμα.

τικών αριθμών εΙναι στι, αν τό σύνολο φράγμα, δηλαδή ενα ανω φράγμα W

S. Στήν περίπτωση αύτή ό αριθμός Μ λέ

ν Ας σημειωθεί στι, αν Μ εΙναι ενα ανω φράγμα του

s

S,

τότε κάθε

L

Μιά από τίς βασικές ίδιότητες τών πραγμα

εχει ενα ανω φράγμα Μ, τότε εχει καί ενα έλάχιστο ανω

S

τέτοιο ώστε, αν

Ας σημειωθεί στι τό μήκος ένός τόξου

C

L

εΙναι τυχόν ανω φράγμα, τότε

L

~ Β.

εΙναι ανεξάρτητο τής παραμέτρου (δηλαδή ανεξάρ

=

τητο τής κανονικής παραμετρικής παραστάσεως).

=

Γιατί, εστω Χ x(t) καί Χ Χ*(Ο) δύο παραμε C μέ πεδία όρισμου I t καί Ι. αντίστοιχα, τέτοιες ώστε ή t Ι(θ) νά εΙναι ι-ι. Σέ κάθε διαμέριση 00 < Οι < ... < 0n του Ι. αντιστοιχεί μιά μοναδική διαμέριση to < t l < ... < t .. του I t , ή t n < t n - l < . " < t o (ανάλογα μέ τόν προσανατολισμό), σπου Ιι t(Oi), ί = Ο, 1, ... , π, ή Ιπ-Ι = Ι(θ ι), ί = Ο, 1, ... , π, αντίστοιχα, πού δίνει τό ίδιο πολυγωνικό τόξο Ρ καί αν

τρικές παραστάσεις του

=

=

τίστροφα.

νΕτσι, τό σύνολο

S

τών μηκών σλων τών προσεγγιστικών πολυγωνικών τόξων εΙναι

ανεξάρτητο τής παραμέτρου καί συνεπώς ανεξάρτητο τής παραμέτρου εΙναι καί τό έλάχιστο άνω

φράγμα του Παράδειγμα

πού εΙναι τό μήκος του

S,

Τό τόξο χ

3.14.

μέριση του πεδίου δρισμου

= tel + t2e2,

0=

ο

C.

""

t "" Ι, εΙναι ύπολογίσιμο.

to < t l < ... < t n =

Ι.

Γιά νά τό δουμε αύτό θεωρουμε μιά δια

Τό μήκος του άντίστοιχου προσεγΥιστικου πολυγωνικου τό

ξου ε!ναι n

~ Ι (tiel

S(P)

Ι=Ι

+ t~e2)

~ Ι (ti - ti-t)et

+

3 ~ (t; - t t -

=

ι

""

δπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός δτι Ο "" t i νΕτσι, τό σύνολο των

s(P)

- (ti-tet

ι

l

< ti

""

t)

Ι,

Ι

(t~ - t~-l)e21

3

+ t i - t + t i ""

γιά δλα τά Ρ εχει άνω φράγμα τόν άριθμό

καί εχει μήκος ίσο μέ τό έλάχιστο άνω φράγμα του συνόλου των Παράδειγμα

Χ2 μέ πεδίο όρισμου τό διάστημα Ο"" ο, Ι/(Ν

s(P)

Ι)π,

-

3 καί ~ (t; - t t - t ) ι

3.

tn

-

to =

.

.

... ,

= =

Συνεπως, τό τόξο εΙναι ύπολογίσιμο

t {tocos (l/t) γιά 0< t"" Ι γιά t = Ο

t "" Ι (Σχ. 3-13) δέν εΙναι ύπολοΥίσιμο.

Ι/2"., ι/π, ι,

Γιατί, άν χρησιμοποιήσουμε τή διαμέ

εχουμε

+

Ι [(Ν ~ 2)π - (Ν ~ ι)πJ el

/.;

"-~/

ΙΙ ι

ι

+

[(Ν ~ 2)π cos (Ν - 2)π

~,pάν παραλ~{ψ'~ε τόν πρωτο καί τόν τελευταίο δρο του άθροίσματος, τότε -

ι.

s(P).

= Ι (Ν ~ Ι)π el + (Ν ~ Ι)π [cos (Ν - ι)π]e21

~\ , ;.,,1\ j'" . .

=

Τό τόξο

3.15.

Χι

ριση

+ t~-le2)1

-

(Ν ~ Ι)π cos (Ν - ι)πJ e2 1

Ι

r ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

51

2

"'"

Ν1 ..~ι 1 [ π".

"'"

Ni21[~cosn". ..

s(P)

=ι ι

1 cos π". (π +1 1)". ] el +. [ π".

π".

-

n

n +1 1 cos

-

(π + 1)". ] e2

Ι

+IICOS(n+l)".]e21

= t

Χι

όπου, γιά νά πάμε άπό τήν πρώτη σχέση στή δεύτερη, χρησιμοποιή

σαμε τήν ανισότητα laeι + be21 "'" Ibe21'

τό αθροισμα

Ν-2

:Σ _1_ .. =ι n + 1

αποκλίνει.

. Αλλά, όπως ε{ναι γνωστό,

WΕτσι, τό s(P) μπορεί νά γίνει

όσο θέλουμε μεγάλο, αν πάρουμε τό Ν αρκετά μεγάλο.

Δηλαδή τό

Σχ.3-13

τόξο δέν ε!ναι ύπολογίσιμο.

Στά Προβλήματα Θεώρημα

3.3.

καί

3.23

3.24

δείχνουμε τό παρακάτω θεώρημα:

'Ένα κανονικό τόξο ε{ναι ύπολογίσιμο.

'Εάν

χ

= x(t),

α 6Ξ

t

6Ξ

b,

ε{ναι μιά κα

νονική παραμετρική παράσταση του τόξου, τότε τό μήκος του δίνεται από τό όλοκλήρωμα

s Παράδειγμα 3.16. ο

""

t "" 2".,

(3.6)

Τό μήκος τού τόξου τής ελικας πού δίνεται από τήν

χ =

(α cos t)el

+

(α Βίη t)e2

+

bte 3 ,

ε!ναι 2Π

2Π

8

=

Ι νa

2

sin 2 t

+ a 2 cos2 t + b2 dt

ο

=

Ι (α 2 + b

2 )1/2

dt

=

2".(a 2 + b2 )1/2

Ο

ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΩΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ

'Έστω ότι μιά κανονική καμπύλη δίνεται από τήν κανονική παραμετρική παράσταση χ πού όρίζεται στό

Ι.

= x(t)

Θεωρουμε τή συνάρτηση Ι

s 'Εάν

s(t)

Ι dt JΓto Ι dx dt

(3.7)

t:=: to, τότε s:=: Ο καί ή (3.7) δίνει τό μήκος του τμήματος τόξου τής καμπύλης μεταξύ των x(t o) καί x(t). 'Εάν t < t o, τότε s < Ο καί ή (3.7) δίνει τό αντίθετο του μήκους του τμή τόξου μεταξύ των σημείων x(to) καί x(t).

σημείων ματος

'Από τό θεμελιωδες θεώρημα του απειροστικου λογισμου επεται ότι ή

(3.7)

εχει συνεχή παρά

γωγο πού δέν μηδενίζεται καί δίνεται από τήν εκφραση

ds dt

Ι \.

= I~~I

=

Συνεπως, ή s = s(t) ε{ναι μιά έπιτρεπτή αλλαγή παραμέτρου στό [. 'Επίσης, ή s(t) ε{ναι κλάσεως Cm στό I,dv ή X(t) ε{ναι κλάσεως Cm σ' αυτό. ~Eτσι μπορουμε νά πάρουμε τό μήκος τόξου s ώς παράμετρο μιας παραμετρικής παραστάσεως τής καμπύλης, πού βρίσκεται από τή σύνθεση τής X(t) μέ τήν αντίστροφη τής (3.7), δηλαδή τήν t = t(S). ~ Ας σημειωθεί ότι ή παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης πού έκφράζεται ώς συνάρτηση

του μήκους τόξου δέν ε{ναι μοναδική, γιατί έξαρταται από τήν έκλογή του αρχικου σημείου όλοκλήρωμα (πού αντιστοιχεί στό 8

=

to

στό

Ο) καί από τό πρόσημο του όλοκληρώματος, δηλαδή από

τή φορά μέ τήν όποία διαγράφεται ή καμπύλη.

Π.χ. μπορουμε νά πάρουμε

.....

~-----~ , .

52

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

"Ετσι, μιά παραμετρική παράσταση

φυσική παράσταση, άν Ι dx/ds Ι =

βοήθεια δλων αύτων δείχνουμε τό

~εώρημα

"Ας

3.4.

σημειωθεί

χ

= x(s)

to

= X(S) στό Ι. λέγεται παραμετρική παράσταση μήκους τόξου • Η παράμετρος s τα παράμετ Μέ τή παρακάτω θεώρημα (Προβλ. 3.19 καί 3.20): χ

1.

C, τότε ισχύουν τά έξης: (ί) Τό μηκος του τμήματος τόξου της C μεταξύ των σημείων Χ(Βι) καί X(S2) εΙναι ίσο μέ IS2 - Βιl· (ii) , Εάν χ = X*(S*) εΙναι Ύυχούσα άλλη φυσική παράσταση της C, τότε s = ± S* + σταθ. (ίΗ) 'Εάν χ = X*(t) είναι τυχούσα άλλη κανονική παραμετρική παράσταση της C πού εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν χ = X(S), τότε ds/dt = Idx/dtl. 'Εάν δέν εχει τόν 'ίδιο προσα νατολισμό, τότε ds/dt = -Idx/dtl.

χ

' Εάν

- f.t [dXI dt dt

=

s(t)

11

r

s = s(t)

δτι, αν ή

όρίζεται από

τό όλοκλήρωμα της

(3.7),

τότε

ή

σύνθεση

εΙναι μιά φυσική παράσταση της καμπύλης, γιατί

= x(t(s»

3.17.

/~~I/I~;I

dx Ι/ dt/ / dt ι ds

I~:I Παράδειγμα

εΙναι μιά φυσική παράσταση της καμπύλης

=

(α

cos t)eI

ι

ύπολογίζουμε τό όλοκλήρωμα

Γενικά,

1

Γιά νά βροϋμε μιά φυσική παράσταση της ελικας

χ

Έάν θέσουμε

/~~//I~~I

=

s

t

= (α + b2j-lI2 S

ή

παραγώγιση

2

J Ι dxdt Ι dt

=

ο

+

(α

f

t

ο

sin t)e2

+

bte3

(α2 + bψ/2 dt =

στήν παραπάνω παράσταση, εχουμε μιά φυσική παράσταση της Ελικας

ώς

πρός

μιά

φυσική

παράμετρο

s

θά συμβολίζεται

παραγώγιση ώς πρός τυχούσα άλλη παράμετρο θά συμβολίζεται μέ τόνους.

•

d 2x ds2 ,

dx •• ds ,Χ

Χ

, _ dx Χ dt'

μέ τελείες και

η

'Έτσι θά γράφουμε

,,_ d 2 x χ dt2'

Λυμένα Προβλήματα ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

3.1.

Δείξτε δτι ή διανυσματική συνάρτηση χ

= tel

ραμετρική παράσταση καμπύλης γιά κάθε

t

+ (t2 + 1)e2 + (t -1)3e3

εΙναι μιά κανονική πα

καί βρείτε τίς προβολές της καμπύλης στά έπί

πεδα ΧΙΧ2 καί ΧΙΧ3. Προφανώς ή dx/dt

= el + 2te2 + 3(t -1)2e3

ε{ναι συνεχής καί

Idx/dtl

= [1 + 4t2 + 9(t -

1)4)112 #- Ο

t. Συνεπώς ή χ ε{ναι κανονική γιά κάθε t. . Η προβολή στό επίπεδο ΧΙΧ2 ε{ναι ή παραβολή χι = t, Χ2 = t 2 + 1, Χ3 = Ο ή Χ2 = X~ + 1, Χ 3 = Ο . . Η προβολή στό επίπεδο Χ Ι Χ3 ε{ναι ή καμπύλη τρίτου βαθμου χι = t, Χ3 = (t - 1)3, Χ2 = Ο ή Χ3 = (Χι - 1)3, Χ2 = Ο. . Η δοθείσα καμπύλη μπορεί νά θεωρηθεί

γιά κάθε

ώς τομή τών κυλίνδρων Χ2

3.2.

Δείξτε

δτι

-2π"'" θ

ή

"'" 2π,

= X~ + 1 καί

παραμετρική

Χ3

= (Χι -

παράσταση

χι

1)3.

= (1

+ cos θ),

Χ2

=

Βίη θ,

Χ3

= 2

Βίη (θ/2),

εΙναι κανονική καί δτι ή καμπύλη βρίσκεται στή σφαίρα πού εχει κέντρο

τήν αρχή των αξόνων καί ακτίνα

2

καί στόν κύλινδρο (Χι

-1)2

+ Χ;

= 1.

r ΚΕΦ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

3

= -

Οί συναρτήσεις (/χιΜθ

= cos

(θ/2)

dX21do = cos

[1

+ cos2 (θ/2)] 112

dX3Ide

Ο

#

παραμετρική παράσταση είναι κανονική.

+ χ; + χ;

+ COS θ)2 + + + COS θ)2 + sin2 θ + 2(1 (Χι -1)2 + χ; = cos 2 θ + sin 2 θ = 1, Sin 2 θ

(1

Έπειδή

4 sin 2 (θ/2)

(1

καί

θ,

είναι συνεχείς καί άκόμα

Συνεπώς ή

χ;

Βίη θ,

53

cos

θ)

4

Τι καμπύλη βρίσκεται στή σφαίρα μέ κέντρο τήν άρχή τών άξόνων

Σι.

καί άκτίνα 2 καί στόν (κυκλικό) κύλινδρο (Χι -1)2 + Χ; = 1 . • Η τομή τών επιφανειών αυτών φαίνεται στό Σχ. 3-14.

3.3.

'Η εξίσωση τής κισσοειδοϋς τοϋ Διοκλή σέ πολικές συντεταγμένες ε{ναι

-7
< "/2.

3-14

r = 2 sin θ tan

θ,

Σχεδιάστε τήν καμπύλη αύτή καί βρείτε μιά παραμετρική παράσταση σέ όρ-

θογώνιες συντεταγμένες.

2 sin

θ

θ

tan

r

θ

Χι

-,,/2 +

-2

-α>

-12

-1

12

Ο

ο

ο

Ο

./4

12

1

V2

2

+'"

'"

-;;/4

π/2~

'" ------------~----1-----------~XI

Σχ. Έπειδή χι

= r cos θ

είναι

καί Χ2

= r

Βίη θ,

χι = 2 sin 2 θ,

Παρατηρουμε οτι Χι"'"

σταση δέν είναι κανονική στό θ

dxl/do

=

=

ij

3-15

εύκολα διαπιστώνεται δτι Τι ζητούμενη. παραμετρική παράσταση

Χ2 = 2 Βίη2 8 tan θ,

οταν θ"'" -π/2

2

θ .... π/2.

• Ας

-π/2

σημειωθεί

<

θ

δτι Τι

< π/2

παραπάνω

.Επικυκλοειδής

4 Βίη θ cos θ

καί

dX21do

=

2 Βίη 2 θ secz θ

+4

Βίη θ

cos θ tan θ

ε{ναι μιά επίπεδη καμπύλη,

πού παράγεται από ενα σημείο Ρ μιας περι

φέρειας

C,

καθώς ή

κυλίεται χωρίς νά ό

C

λισθαίνει εξωτερικά μιας περιφέρειας πως φαίνεται στό Σχ. ραμετρική

αν ή

C

αρχή

3-16.

παράσταση

εχει ακτίνα

r,

C o, 0-

Βρείτε μιά πα

τής επικυκλοειδοϋς,

ή

Co

εχει κέντρο τήν

των αξόνων καί ακτίνα

ro καί τό (ro, Ο).

Ρ

συμπίπτει αρχικά μέ τό σημείο Σημειώνουμε μέ Α

τό

κέντρο της

C

καί μέ

θ τή γωνία πού σχηματίζει τό διάνυσμα ΟΑ μέ τό

ej.

'Έχουμε

ΟΑ

παραμετρική

ο, άφου καί οί δύο παράγωγοι

μηδενίζονται στό σημείο αυτό.

3.4.

= 2

IOAI (cos 8}et +

\ΟΑΙ (Βίη o)e2

(ro + r)(cos 8)el

+ (ro + r)(sin 8)ez

Σχ.

3-16

παρά

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

54 , Εάν

β εΙναι ή γωνία πού σχηματίζει τό διάνυσμα ΑΡ

β

40ΑΡ +

=

e -

ή

11"

β

μέ τό

e~

=

el ,

+

τότε

e -

ro + r --e-11" r

11"

Έχουμε δτι

=

ΑΡ

+

ΙΑΡΙ (cos p)el

ΙΑΡΙ (Βίη p)ez

Συνεπώς

χ = ΟΡ = ΟΑ + ΑΡ =

[ (ro

~ r) cos e -

r o + r \] el + [ (ro+ r) sin e - r sin (r-or+-re )] ez r cos ( --r-e)

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

3.5.

'Εάν στό προηγούμενο πρόβλημα έχουμε το Τ

= 1, χι

= 3

καί

= 2../3

θ

ή έπικυκλοειδής δίνεται από τίς

= 4 cos θ - cos 4θ,

Χ2

= 4 sin θ - sin

4θ

Προσδιορίστε τά ανώμαλα (μή κανονικά) σημεία καί σχεδιάστε τήν καμπύλη.

}-----iE---

dxI/d8 = -4 sin 8 + 4 sin 48 = Ο έάν καί μόνο sin e = sin 4e η e = 2n"./3, (2π + 1)"./5, n = Ο, ±1, .... 'Επίσης dX2/de = 4 cos e - 4 cos 48 = Ο έάν καί μόνο cos 8 = cos 4e η e = 2π"./3,2π"./5, n = Ο, ±1, .... "Εχουμε

έάν έάν

. Επομένως καί μόνο έάν

Προσδιορίστε 2 ΧΙ2+ Χ2

=1

=

Ο

οί δύο παράγωγοι μηδενίζονται συγχρόνως, έάν

e = 2n"./3, n =

Ο,

σης δτι ή καμπύλη εχει περίοδο

3,6.

ο

μιά

παραμετρική

με. τό έπίπε δ ο

Παρατηρουμε έπί

±1, .. " 2"..

χι

Σχ.

παράσταση

(χωρίς

ριζικά)

της

3·17

τομης

του

κυλίνδρου

+ Χ2 + Χ3 = 1. χι = cos e καί = 1 - cos e - sin e. "Ετσι ή

'Επειδή τά σημεία της τομης ίκανοποιουν τήν πρώτη έξίσωση, μπορουμε νά θέσουμε Χ2

=

Βίη θ,

Ο ~

e

~

2".,

=

χ

= 1-

όπότε άπό τή δεύτερη έξίσωση εχουμε Χ3

cos 8el

+

Βίη

ee2

+

χι

Χ2

-

ο ~

(1 - cos 8 - sin e)e3,

e~

2".

ε{ναι μιά παραμετρική παράσταση της τομης.

3.7.

'Εάν ή g(t) εΙναι συνεχής στό t = to καί g(t o) :/= Ο, δείξτε δτι ύπάρχει ενα 8 > Ο τέτοιο ωστε g(t):/=O γιά t στήν Sδ(tο). Χρησιμοποιήστε τήν πρόταση αύτή γιά νά δείξετε τό Θεώρημα 3.1. Δηλαδή, αν χ = x(t) εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση στό Ι, τότε γιά κάθε t o στό Ι ύπάρχει μιά περιοχή του to στήν όποία ή x(t) εΙναι ι-Ι.

=

Παίρνουμε ε !lg(to)l' 'Επειδή ή g(t) εΙναι συνεχής στό t o, ύπάρχει γιά t στήν Sδ(tο ). Συνεπώς γιά κάθε t στήν Sδ(t ο ) εχουμε

/g(t) - g(to)/

<.

/g(to)/ η Ig(t)1

=

> !lg(to)l·

, Επειδή

ή χ

=

= x(t)

γιά

• Επομένως,

κάθε t

εΙναι μιά κανονική πα.ραμετρική παράσταση στό Ι καί τό

>

Ο

t l , t2

'Ισχυριζόμαστε

τώρα στι

στήν περιοχή αύτή μέ Ι Ι

=F t z

ή

x(t) εΙναι

καί

x(t l )

ι-ι

τέτοιο ωστε

Ig(t)1

t o άνήκει στό Ι, μία τουλά

Άλλά ή

σύμφωνα μέ τό πρώτο μέρος του προβλήματος, ύπάρχει

στήν Sδ(t ο ).

ύπηρχαν σημεία

8

Ig(to) - g(t) + g(t)/ ~ Ig(t) - g(to)/ + Ig(t)1 < ε + Ig(t)/ !lg(to)1 + 'Επειδή g(to) .Ρ Ο, ~πεται ότι g(t).p Ο γιά κάθε t στήν Sδ(tο).

χιστον άπό τίς παραγώγους θά εΙναι διάφορη του μηδενός, εστω ή χι (to).

στό t o.

~να

στήν

>

8

χι (Ι) ε{ναι συνεχής Ο τέτοιο ωστε χι (t) .Ρ Ό

Sδ(tο ) , γιατί διαφορετικά θά

= x(t2 ), δπότε

καί

xt(t t )

= xt(tz).

' Αλλά

τότε, αν έφαρμόσουμε τό θεώρημα της μέσης τιμης, θά εχουμε

ο

=

χμι)

- xl(t2)

t _ t Ι

2

=

,

χι (t'),

πού εΙναι άδύνατο, γιατί χι (t) =F Ο σ' δλόκληρη τήν περιοχή Sδ(t ο ).

θεωρήματος.

tl

<

t'

< t2

"Ετσι συμπληρώνεται ή άπόδειξη του

r ΚΕΦ.3

3.8.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

55

. Εάν χ = X(t) ε{ναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση στό Ι μέ χ; (t o) -F Ο, δείξτε ότι μιά περιοχή τοϋ t o, στήν όποία ή χ = x(t) μπορεί νά παρασταθεί μέ πεπλεγμένη μορφή Χ2 = Ft(xt), Χ3 = F 2 (xl). ύπάρχει

=

=

Έπειδή x~ (t o) #- Ο σέ κάποια Sδ(tο), ή χι Xl(t) εΙναι ι-ι καί εχει άντίστροφη τήν t Ι(Χι) στήν . Αντικαθιστοϋμε τώρα τό t στίς παραμετρικές έξισώσεις Χ2 = X2(t), Χ3 X3(t) καί εχουμε

περιοχή αυτη.

Χ2

= X2(t(X l »,

Χ3

= X3(t(Xl»

ή Χ2

=F

t

(Χι),

Χ3

=

= F 2 (x t ),

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥ ΛΕΣ

3.9.

Δείξτε ότι ή συνάρτηση Ο

<θ< 'Η

τηση θ

3.10.

dt/de

θ 2 /{θ 2

-.",

+ 1) ε{ναι μιά έπιτρεπτή άλλαγή < θ < 00 έπί τοϋ Ο < t < 1.

παραμέτρου στό διάστημα

καί ότι άπεικονίζει τό Ο

00

εΙναι

lim

t = θη(θ 2

= 2θ/(θ + 1)2

μιά

2

εΙναι

έπιτρεπτή

άλλαγή

+ 1) = 1,

συνεχής καί dt/de #- Ο παραμέτρου

στι)

αύτή άπεικονίζει τό διάστημα Ο

Χρησιμοποιηστε τό της περιφέρειας χι

< fI <

στό Ο

<

θ

<

< θ <

00

έπί τοϋ

Ο

Συνεπώς ή

00.

Ο

+

θ 2/{θ 2

'Επειδή

00.

δοθείσα συνάρ 1)lθ=Ο

=

Ο

καί

< t < 1.

t = Tan- l (θ/4) ώς παράμετρο στήν κανονική παραμετρική παράσταση = α cos θ, Χ2 = α Βίη θ, -π ~ θ :=ΞΞ π.

Οϊ ταυτότητες τοϋ διπλάσιου τόξου δίνουν

cos θ = cos 4 (θ/4) - 6 cos2 (θ/4) sin2 (θ/4)

+

καί

βϊη 3 (θ/4)

sin θ

=

4(sin

_ (t4 Έτσι ή χι - α - (t2

3.11.

(θ/4) COS3 (θ/4)

+ 1) + 1)2

-

1

= (t 2 + 1)2

cos (θ/4»

t2 6 (t 2 + 1)2

-

=

~

Χρησιμοποιηστε τήν παράμετρο

t = 2

2

= 2 Βίη θ,

Χ2

+

4 (t 2 11)2 -4(t2

_ - 4αΙ(1- t2) -1"""'- t """'_ 1, εΙναι η' 2 {t2 + 1)2 '

6t 2

Χι

sin4 (θ/4)

(t2

t4

+ 1)2

=

t4

-

(t2

6t 2 + 1 + 1)2

~ 1)2 = 4/t~\-1~;

.παρασταση .

παραμετρικη

. ζ ηταμε. -

που

Βίη θ στήν παραμετρική παράσταση της κισσοειδοϋς

= 2

Βίη 2 θ

tan θ,

-π/2

< θ < 7Γ/2

καί προσδιορίστε τούς δύο πρώτους μή μηδενικούς όρους τοϋ άναπτύγματος σέ δυναμοσειρά των συντεταγμένων συναρτήσεων ΧΙ καί Χ2 γύρω άπό τό άνώμαλο σημείο

t

=Ο

(βλ. Πρόβλ.

3.3.). "Εχουμε

χι

=

2{!t)2

= it2,

Χ2

= it2 tan (Sin- l it) = !t3{4 -

νός τό άνάπτυγμα της (4 - t 2)-l/2 εΙναι

! + -ht2 +

O(t2 ).

Τελικά χι

ρατηροϋμε άκόμα στι στήν περιοχή τοϋ (άνώμαλου σημείου)

τήνεκφραση Χ2 3.12.

= ~Xι3/2 + o(x~).

t

Δείξτε ότι ύπάρχει μιά έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου στημα Ι έπί Ο :=ΞΞ

t < 1.

ενός άπό τά επόμενα τρία διαστήματα:

• Επομένως,

=

έ 2 )-Ι/2.

= it2,

Χ2

Στήν περιοχή

τοϋ μηδε

= it8 + -ht5 + O(t5 ).

Πα

Ο ή καμπύλη εχει σέ πεπλεγμένη μορφή

t=

t(θ) πού άπεικονίζει τό τυχόν διά

(i) Ο ~

t

~

1,

(ίί) Ο

< t < 1,

(ίίί)

κάθε κανονική καμπύλη εχει μιά παραμετρική παράσταση πού όρί-

ζεται σέ ενα άπό τά τρία αύτά διαστήματα. "Οπως δείξαμε στό Παρ~δειγμα

3.5

της σελίδας

45,

ή γραμμική συνάρτηση t

= (ι -

a)/(b -

α,) εΙναι

<

<

έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου, πού άπεικονίζει τό διάστημα a "" θ "" b έπί τοϋ Ο "" t "" 1, τό a e b έπί τοϋ Ο < t < 1 καί τό α, "" θ < b έπί τοϋ Ο "" t < 1. . Η γραμμική συνάρτηση t -(θ - a)/(b α) 1 άπεικονίζει τό a θ "" b έπί τοϋ Ο "" t 1. . Απομένει νά έξετάσουμε τήν περίπτωση πού τά δια

+

<

=

<

=

• Η συνάρτηση θ Tan -ι 8 άπεικονίζει τό διάστημα - 0 0 < 8 < 00 έπί τοϋ -11"/2 < θ < 11"/2 καί ή t = (θ + !11")/11" άπεικονίζει τό διάστημα -11'/2 < θ < 11'/2 έπί τοϋ Ο < t < 1. Συνε πώς, ή σύνθετη συνάρτηση t {11"/2 + Tan- l 8)/11" άπεικονίζει τό -00 < 8 < 00 έπί τοϋ 0< t < 1. . Η συ νάρτηση θ Tan- l 8 άπεικονίζει έπίσης τό διάστημα α"" 8 < '" έπί τοϋ Tan- l a "" θ < 11'/2 καί ή t (θ - Tan- l α)/(11"/2 - Tan- l α) άπεικονίζει τό Tan- l α "" θ < 11"/2 έπί τοϋ Ο"" t < 1. Συνεπώς, ή σύνστήματα δέν εΙναι φραγμένα.

=

θετη συνάρτηση t

=

=

= Tan/;l8 ; Ta~-l α 11" - an α

άπεικονίζει τό a "" 8 <

00

έπί τοϋ Ο"" t < 1. • Αφήνουμε τίς πε-

ριπτώσεις πού άπομένουν στόν άναγνώστη νά τίς έπαληθεύσει.

"Ας σημειωθεί στι σλες οϊ παραπάνω συναρτήσεις εΙναι άναλυτικές.

"Ετσι, ύπάρχουν έπιτρεπτές άλ

λαγέ ς παραμέτρου σλων τών κλάσεων πού δίνουν τά παραπάνω άποτελέσματα.

r -)

56 3.13.

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

• Αποδείξτε

τό Θεώρημα

3.2: 'Εάν t = t(θ) εΙναι μιά επιτρεπτή αλλαγή παραμέτρου στό Ι.' 1-1 καί ή αντιστροφή της θ = θ(Ι) εΙναι επίσης μιά επιτρεπτή άλ I t = t(I.).

τότε ή συνάρτηση εΙ ναι

λαγή παραμέτρου στό

>

Ή dt/do εΙναι συνεχής καί dt/do "ι= Ο, δπότε εχουμε ή dt/do πρώτα

δτι

>

Ο

δταν θ ι

<

dt/do

Ι(θι) ~ ι(οι)

στό

Ι θ'

τότε

ή

t(o)

εΙναι

γνησίως

ο ή dt/do

αυξουσα.

Γιατί

<

Οστό

Ύποθέτουμε

18'

διαφορετικά,

δηλαδή

αν

θ 2 , θά είχαμε γιά κάποια τιμή της παραμέτρου άπό τό θεώρημα της μέσης τιμής

Ο

~

Ψι) - t(02) θι οι

>

πού εΙναι δμως άδύνατο, άφου εΙναι dt/do

Ο

t'(o')

σ' δλόκληρο τό

επεται δτι εΙναι ι-ι καί εχει άντίστροφη, εστω, τήν o(t). επεται δτι ή άντίστροφή της

Έπειδή ή t(O) εΙναι γνησίως αυξουσα,

18'

Τέλος, επειδή ή Ι(θ) εΙναι αυξουσα καί συνεχής,

o(t) εΙναι επίσης αυξουσα καί συνεχής.

ίσχυρισμου στόν άναγνώστη.)

do dt

('Αφήνουμε τήν άπόδειξη αύτου του

'Αλλά τότε ή θ(Ι) εχει επίσης παράγωγο

lim Δθ

1 / lim ΔΙ

ΔΙ"'Ο Δt

== 1 / dt

Δθ ... Ο Δθ

πού εΙναι συνεχής καί διάφορη του μηδενός, γιατί καί ή

dt/dθ

dθ

εΙναι συνεχής καί διάφορη του μηδενός.

Αί,τό

συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

3.14. . Υπενθυμίζουμε παραμέτρου

t =

= x(t)

ότι μιά κανονική παραμετρική παράσταση Χ

= Χ*(θ)

μέ μιά κανονική παραμετρική παράσταση Χ t(θ) τέτοια ωστε Ι(Ι θ )

= It

καί

στό

It

ε{ναι ισοδύναμη

στό Ι.' αν ύπάρχει μιά επιτρεπτή αλλαγή

x(t(B» =

Χ*(θ).

Δείξτε δτι ετσι όρίζεται μιά

σχέση ισοδυναμίας στό σύνολο τών κανονικών παραμετρικών παραστάσεων.

==

Προφανώς ή χ

x(t) εΙναι ίσοδύναμη μέ τόν εαυτό της, αν πάρουμε ώς επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου t == θ. Έπίσης, αν ή χ = x(t) εΙναι ίσοδύναμη μέ τήν χ = Χ*(θ) μέ επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου t == t(θ), τότε ή χ == Χ*(θ) ε!ναι επίσης ίσοδύναμη μέ τήν χ == x(t) μέ επιτρεπτή άλ λαγή παραμέτρου τήν άντίστροφη συνάρτηση θ == θ(t), γιατί θ(lι) == lθ καί Χ*(θ(t» == χ(t(θ(t») == x(t). Τέ τήν ταυτοτική συνάρτηση

ύποθέτουμε δτι ή χ == x(t) ε!ναι ίσοδύναμη μέ τήν χ = Χ*(θ) μέ επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου τήν == t(θ) καί δτι ή χ == Χ*(θ) εΙναι ίσοδύναμη μέ τήν χ == χ**(φ) μέ επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου τήν θ == θ(φ). Θεωρουμε τή σύνθετη συνάρτηση t == t(θ(Φ». 'Έπεται εύκολα δτι ή ddt _ ddt ddθ ε!ναι συνεχής .φ θ Φ καί dt/dφ "ι= Οστό lφ. Συνεπώς, ή t == t(ο(φ» εΙναι μιά επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου στό lφ. Έπίσης εχουμε t(θ(/φ » == t(Ie) == lι καί χ(t(ο(φ») = χ*(ο(φ» == χ**(φ). Έτσι, ή χ = x(t) εΙναι ίσοδύναμη μέ τήν

λος,

t

χ

=

χ**(φ), κι αύτό συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

3.15.

'Υπολογίστε τό μη κος του τόξου "Εχουμε

8

=

==

2

=

ο

3.16.

= 3(cosh 2t)el

~π Ι ~~ Ι dt = ~π 16 sinh 2tel

f" 6[sinh 2t + cosh 2t + 1]1/2 dt 2

Χ

i

1T

= (ro + τ) cos θ

ο ~

t

~

6[2 cosh2 2Ι]Ι/Ι dt

==

ο

1'11' 6V2 cosh 2Ι dt

3V2 sinh2π

ο

- r cos (ro: r θ) ι Χι

=

3.4) (ro

πού δίνεται από τίς

+ τ) sin θ -

o r sin (r : r

θ)

ώς συνάρτηση του θ. "Εχουμε

8

~θ [(:ι)2 + (~:ι)2T/2 do

~8(ro+r{(-sino (ro +

τ) 58

+ sin(ro;ro)X + (coso -cos(ro;ro)5I/2dO

[2 - 2 cos (τοο/τ)]Ι/2 do

2(ro +

Ο

- 4

(ro

+ τ)τ ro

τ) 58 sin (Τοθ/2τ) do Ο

cos (roo/2r)

18 ο

=

71'.

+ 6 cosh 2tez + 6e31 dt

Βρείτε τό μηκος τόξου της επικυκλοειδοϋς (Πρόβλ.

χι

+ 3(sinh 2t)ez + 6te3,

4

(ro+r)r

ro

[1- cos (Τοθ/2τ)]

Γ

Ι

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

ΚΕΦ.3

3.17.

Νά είσαχθεί τό μήκος τόξου ώς παράμετρος στήν καμπύλη

χ

ΕΙναι

Ι

57

8

=

+ (e t sin t)e2 + etes,

(e t COS t)el

~ t 1 ~~ Ι dt = ~ι Ι (e

-

=

(Β Ι sin t +

cos t - e t sin t)et +

t

< t < 00

-00

f t [e2t(-2 cos t sin t + 1) + e 2t (2 cos t sin t + 1) +

e t cos t)e2 + eIe31dt

Β 2 ψ!2 dt = V3 ΙΙ Β Ι dt = V3 (Β Ι -1)

ο

ο

=

Λύνοντας ώς πρός t εχουμε t παίρνουμε

3.18.

χ

=

+

log (s/V3

<

1), -V3

(81V3 + 1)(cos log (s/V3

8

<

ΕΙσάγοντας τό μήκος τόξου ώς παράμετρο

00.

_r;;

+ 1)e l + sin log (8/V 3 + 1)e2 + e3)

Δείξτε ότι ή διανυσματική συνάρτηση

=

χ

+ VS2 + 1 )et + !(s + y' S2+ 1 )-te2 + !V2 (log (s + y'S2+ 1 »es

!(s

εΙναι μιά φυσική παράσταση καμπύλης, δηλαδή ότι Ι dx/ds Ι VΕστω u

= 8 + ys2 + 1.

χ = !uet+ !u- le 2+!V2(logu)e3 καί

dx du

dx ds

(!e l - !U-2e2 + !V2U-le3) (1

du ds

Ι ~: ~: Ι

Συνεπώς Ι ~; Ι

Τότε

11

~(1 2

=

ι

3.19.

Idx/dsl = 1, ή s εΙναι

. Αποδείξτε

+

V8 2 + 1

+1

Υ82

2

u + 1 2 UY8 2 + 1

+1

+ 8Vs2+ϊ + 1 = (8 + Υ S2 + 1) Υ 82 + 1 82

τό Θεώρημα 3.4(ί):

'Εάν Χ

= x(s)

= x(S)

εΙναι μιά φυσική παράσταση στό

μεταξύ των σημείων

8ι :!ΞΞ 82' τότε τό μήκος του άντίστοιχου τμήματος τόξου ε{ναι

1 s , τότε τό X(St) καί X(S2} εΤναι IS2 - sl\'

f8' ~: Ι

fS' 1 dsl=.82 -81 = τότε τό μήκος του άντίστοιχου τ~ήματoς τόξου ε{ναι f8· 1 : Ι ds = f8. d8 = 51

3.20.

Εάν 8ι

> 82'

182 - 811'

.

8 ι - 82 =

Ι 82 - 811'

• Αποδείξτε

τό Θεώρημα

8

= 8(S*).

Συνεπώς \ :!ss* Ι

3.21.

1

d8 =

'Εάν χ

3.4(ii):

Τότε

:!s8*

= 1 1'j

s

=±

S*

dx = dxds ds ds*

d8*

= ±1

ή

8

= X(S) καί χ = X*(S*)

,ldXlldXlldSI d8* = ds d8*'

και

•

Αλλά Ι ~: Ι = ι

= 1.

= t 2et + sin t e2, Ο """ t """ -π/2, εΤναι ύπολογίσιμο. τυχούσα διαμέριση Ο = t o < t 1 < t 2 < ... < t n = π/2 καί υπολογίζουμε τό μήκος του =

n

~ ΙΧ;-Χί-ΙΙ

ί=1

:!ΞΞ ~ [(έ~ - t[-I) lell ί

5

:; ι

= ±8* + σταθ.

προσεγγιστικου πολυγωνικου τόξου

8(Ρ)

82

εΤναι δύο φυσικές παραστά

+ σταθ.

Δείξτε ότι τό τόξο Χ Θεωρουμε μιά

81

82

σεις τής ίδιας καμπύλης, τότε "Εστω

1

μιά φυσική παράμετρος.

μήκος τοϋ τμήματος τόξου τής χ

, Εάν

8

Υ8 2

+~)

+ u- 4 + 2u-2)1/2----

= 1.

!.(l +u-2) __ u_ 2 Υ82+1 , Επ;ιδη

= 1.

+ IΒίη ιι -

Βίη t i - 11\e211

1 ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

58 W

Αν -χρησιμοποιήσουμε τό θεώρημα της μέσης τιμης, Ε-χουμε

+ t j- t ) +

8(Ρ) "'" ~ [(tj - tj_t)(t j ί

= ~ (tj -

Icosejl(tj - Ιι - ι )]

+ t'-l + Icose,IJ

tj-t)[t,

ί

Έπειδή Icos θl! "'" 1 καί (t ; + t l - t ) "'" π (άφου ο"'" t l - t

<

8(Ρ) "'" (π + 1) ~ (tj - tl-t) ί

t l "'" π/2), εΙναι

=

(π/2)(π + 1)

Έπειδή τό 8(Ρ) εΙναι φραγμένο, τό τόξο εΙναι υπολογίσιμο.

3.22. . Εάν ε

χ

>Ο

= f(t),

α ~

~

t

b,

εΙναι ενα ύπολογίσιμο τόξο, δείξτε δτι γιά δποιαδήποτε δ

= t o < t I < ... < t n = b

ύπάρχει μιά διαμέριση α

>Ο

καί

μέ άντίστοιχο προσεγγιστικό πο

λυγωνικό τόξο Ρ τέτοια ώστε

(ϊ) t; -

< δ,

t;-t

ί

όπου 8 καί 8(Ρ) είναι τά μήκη των χ

(ϊϊ)

= 1, .. . ,n = f(t) καί Ρ

8(Ρ)1

18 -

<ε

άντίστοιχα.

'Επειδή s εΙναι τό έλάχιστο ανω φράγμα δλων των δυνατων s(P), υπάρχει μιά διαμέριση α

. .. <

t~

= b

μέ προσεγγιστικό πολυγωνικό τόξο Ρ' τέτοιο ώστε 8(Ρ')

τέτοιο πολυγωνικό τόξο, θά είχαμε 8(Ρ) "'" 8 - .

γιά κάθε

νοποιεί τήν (ί), μπορεί νά βρεθεί μιά λεπτότερη διαμέριση

<

δ μέ τήν προσθήκη καί αλλων σημείων.

= t~ < t~ <

Γιατί, αν δέν υπηρ-χε ενα

8 -..

Ρ, όπότε τό 8 - . θά ήταν ενα ανω φράγμα του

8(Ρ) μικρότερο άπό τό έλά-χιστο ανω φράγμα 8, πράγμα ατοπο.

(tj - t l - t )

>

α

' Αλλά

W

Αν τώρα ή παραπάνω διαμέριση δέν ίκα

= to <

< '" <

Ιι

tn

=b

ώστε νά εχουμε

τό νέο προσεγγιστικό πολυγωνικό τόξο

προκύπτει μ' αυτόν τόν τρόπο, ίκανοποιεί τίς σχέσεις 8(Ρ) "'" 8(Ρ') ""

8

όπότε καί τήν

18 -

8(Ρ)1

Ρ', πού

<.,

δπως

ζητάμε.

3.23.

Δείξτε δτι ενα κανονικό τόξο χ

= to < Ι ι

Θεωρουμε μιά τυ-χούσα διαμέριση α

~ ΙΧ; - Χι-ιl

s(P)

= b.

Προφανως

f(tj_t)1

ί

=

~ Ι (/ ι (t i ) -

""

~ [ιιιυί) - It(tj-t)1

=

Σ

+

LΙ (tj-t»et

[lfi(t1JI(t i -

ti -

+

l)

(!2(t;) -

+ 1/2 (t

ί

ι

εΙναι ύπολογίσιμο.

b,

< t 2 < ... < t n

~ If(t;) -

=

ι

ι

α ~ t ~

= f(t),

j) -

+

12(t i - t »e2

(/3(t j )

12 (t i - t )1 + 1/3(tj )

If;(o~)I(ti - t i -

t)

-

+ If;(e;'>I(ti

8(Ρ) "'" (Μι

"'" t "" b,

εΙναι καί φραγμένες στό α

+ Μ2 + Μ 3)

~ (t l -

"Ετσι, τό 8(Ρ) Ε-χει άνω φράγμα τόν άριθμό (Μι

3.24.

tI-t)

+ Μ 2 + M 3 )(b -

ΔεΙξτε ότι τό μηκος του κανονικου τόξου χ

8

=

i

b

Ι ~~ Ι dt

τό θεώρημα

3.3

-

"Εστω τυχόν ~ > Ο.

γιά

Itf

κάθε -

'Επειδή οΙ Ι; (t), ί

It - t'! <

(ίί)

δι.

Έπειδή οΙ

t

~

b,

Δηλαδή υπάρ-χει δι

9(6 ~ α)'

'Επίσης, άπό τόν όρισμό

α

εΙναι ου

α)

καί συνεπώς τό τόξο εΙναι υπολογίσιμο.

δίνεται άπό τό δλοκλήρωμα

>Ο

3.23

άποδεικνύει

τέτοιο ώστε

ί = 1,2,3

του όλοκληρώματος,

υπάρχει

νά ε-χουμε

Ι fb If'(t)1 dt

I:(t)

= 1,2,3, εΙναι συνε-χείς στό κλειστό διάστημα α "'" t "'" b, εΙ

1/:(t) - I:(t') ι <

tt-tl < 8 ι

α ~

t )]

μέ άνω φράγματα, εστω τά

+ Μ 2 + M 3)(b -

α)

»e31

51.

ναι καΙ όμοιόμορφα συνε-χείς στό διάστημα αυτό. (ί)

= f(t),

"'" t "'" b

ti -

Τό πρόβλημα αύτό μαζί μέ τό Πρόβλημα

= ib1f/(t)1 dt. της σελίδας

= (Μι

ι

t

13(tj - t )IJ

δπου -χρησιμοποιήσαμε γιά τίς συναρτήσεις fj(t) τό θεώρημα της μέσης τιμης. νε-χείς στό κλειστό διάστημα α Μι. Συνεπώς

13(ti -

-

-

~

Ι-Ι

If'(ei)l(tj

-

ιι-ι) Ι

< ./3

t

I- l "" θ ι "'" t

ενα δ 2 τέτοιο

j

ώστε γιά

ΚΕΦ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

3 Έστω

α

= to

<

τώρα

tl

δτι

< ... <

= min(8 i .8 2). • Από τό = b καί ενα προσεγγιστικό

Πρόβλημα

8 tn

59 επεται

3.22

δτι

ύπάρχει

πολυγωνικό τόξο.Ρ, τέτοιο ώστε (ιι -

μιά

Ιι - ι )

διαμέριση

<

Β

καί

IS - s(P) Ι < ./3

(iii) Θεωρουμε τόν άριθμό

Ι = \s

-

~

+\

i

~ i · Από

~b If'(t)1 dt \ ~

:t If(ti) -

+ \~

f(ti-t)1 -

I(Iι(t i )

\8(Ρ)

_

~b If'(t)1 dt \

~b If'(t)1 dt \

Iι(ti-t»el +

-

+

is - s(P)1

(!2(t i )

+

!2(ti - t »e2

-

f

!3(ti - t»e31 -

(f3(t;) -

b

If'(t)1 dt \ a

τό θεώρημα της μέσης τιμης εχουμε

ι ~

./3

+

\~I!~(t{)el + !~(t;')e2+/3(t:")e31(ti-t;-l)

Έάν προσθέσουμε καί άφαιρέσουμε τό αθροισμα

:Σ If'(t;>1 (t ; - t;-t),

~blf'(t)ldtI

-

fχουμε

ί

Ι ~

./3

+ \ ~ f'(ti)(t; -

~b f'(t) dt \

ti - t ) -

+ \~

[1/; (ti)et

+ 1;(t;')e2 +

1~(ti")e31

· Εάν χρησιμοποιήσουμε τήν (ίί) καί τήν ταυτότητα Ilαl - Ibll ~ lα

If'(ti)l] (t; - t,-t) \

+ bl,

εχουμε

Τέλος, αν χρησιμοποιήσουμε τήν (ί), εχουμε

"

....:'

1< 3+3+3(b-a)f(t;-ti Έπειδή τό

•

t)

=•

εΙναι τυχόν, επεται τελικά δτι

,

Ι =

18 -

~b If'(t)1 dt\

ο

ή

fb If'(t)1 dt

8

α

"Άλυτα Προβλήματα 3.25.

Δείξτε δτι ή παραμετρική παράσταση

χ εΙναι κανονική γιά κάθε t

3.26.

te l

+

(t2 + 2)e2

+

(t3 + t)e3

καί σχεδιάστε τίς προβολές της στά έπίπεδα ΧΙΧ3 καί ΧΙΧ2'

• Η κογχοειδής του Νικομήδη εΙναι σέ πολικές συντεταγμένες r = ~ + c, α.,ι. Ο, c.,ι. ο,

-.". ~

COS 11 Σχεδιάστε τήν καμπύλη καί βρείτε μιά παραμετρική παράστασή της σέ όρθογώνιες συντεταγμένες.

'Απ.

3.27.

=

χι

=

α

+ C COS 11,

Χ2

=

α

tan 11

=

χι

= cos2 11,

Χ2

=

Βίη 11, Χ3

=

~

."..

+ C Βίη 11

Βρείτε μιά παραμετρική παράσταση της τομης των κυλίνδρων x~ ριζικά. • Υπόδειξη: χ: + x~ 1. 'Απ.

IJ

COS '11,

Ο ~ 11 ~

211"

= χι

καί χ:

= 1- χι,

πού νά μήν περιέχει

60 3.28.

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

Ύποκυκλοειδής εΙναι ή έπίπεδη καμπύλη πού παράγεται άπό ενα σημείο

Ρ της περιφέρειας

C,

καθώς ή

λισθαίνει tσωτερικά μιας περιφέρειας

'Εάν ή

3-18. των

άξόνων

εχει άκτίνα τ καί

C καί

άκτίνα το

καί

C κυλίεται χωρίς νά ό Co, δπως φαίνεται στό Σχ. ή Co εχει κέντρο τήν άρχή

τό Ρ άρχικά

βρίσκεται

Ι

στό

(Το, Ο), βρείτε μιά παραμετρική παράσταση της ύποκυκλοειδοϋς.

'Απ. χι

=

(TO-T)COSO+TCOS(rO~rO)

Χ2 = (Το - τ) sin ο - τ sin (ro ~ r ο) 3.29.

'Εάν στό προηγούμενο πρόβλημα θέσουμε

=5

το

καί

r

2,

ή έξίσωση της ύποκυκλοειδοϋς γίνεται

χι

= 3 cos ο + 2 cos 30/2,

=

Χ2

3 sin

ο

-

2 sin 30/2

Βρείτε τά άνώμαλα σημεία της καί σχεδιάστε τήν καμπύλη.

Άπ.

ο

= (4/5)n"., n

= Ο, :±:1, ... =

Σχ.3-18

+ 10t3 + 15t + 1

3.30.

Δείξτε δτι ή συνάρτηση ο

3.31.

Βρείτε μιά επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου, πού νά άπεικονίζει τό διάστημα Ο

3.32.

Ύπολογίστε τό μηκος τοϋ τόξου χ

3.33.

Βρείτε τό μηκος τόξου της ύποκυκλοειδοϋς (Πρόβλ.

χι

3t 5

= et(cos t)el + et(sin t)e2 + e te3'

(rO-T)COSO+TCOS(rO~rO),

ώς συνάρτηση τοϋ

Ο.

8

ro

Ο

< t"'" 2

"'" t "'"

επί τοϋ

-00

Άπ.

π.

<

3(ε Π

t. ο

"'"

Ο.

-1)

3.28)

Χ2

4r(ro - τ)

'Απ.

εΙναι μιά επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου γιά κάθε

(TO-r)SinO-TSin(rO~rO), [1 - cos

Το> τ

(Τ ο θ/2τ)]

,

3.34.

Δείξτε δτι οί διανυσματικές συναρτήσεις

χ

tel

+

(sin t)e2

+

e t e3'

-

00

<

t

<

καί

00

χ

+

(log t)el

sin (log t)

e2

+

O
te3,

εΙναι κανονικές παραμετρικές παραστάσεις μιας προσανατολισμένης καμπύλης.

3.35.

Δείξτε δτι κάθε προσανατολισμένη κανονική καμπύλη εχει μιά παραμετρική παράσταση δρισμένη σέ ενα άπό

τά παρακάτω διαστήματα: (ί)

3.36.

Ο "'"

t "'" 1,

(ϊϊ)

Ο

1,

(iii) Ο "'" t

-Ας ύποθέσουμε δτι δύο καΥονικές παραμετρικές παραστάσεις χ

<

= X(t)

(ϊν)

1,

στό

It

Ο

<

καί χ

t "'" 1.

= Χ*(θ)

στό

18

λέγον

ται Ισοδύναμες, αν αύτές παριστάνουν τήν ίδια προσανατολισμένη καμπύλη, δηλαδή αν ύπάρχει μεταξύ τους

=

=

>

t t(O) τέτοια ώστε dt/do ο, t(1 8 ) I t καί X(t(o» = χ*(ο). δτι ή σχέση αύτή εΙναι μιά σχέση ίσοδυναμίας στό σύνολο των κανονικων παραμετρικων παραστάσεων.

μιά έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου

Δείξτε -Ετσι,

μιά κανονική προσανατολισμένη καμπύλη εΙναι μιά κλάση ίσοδυναμίας.

. Αποτελείται άπό εκείνες τίς κα νονικές παραμετρικές παραστάσεις οΙ δποίες συνδέονται μεταξύ τους μέ επιτρεπτές άλλαγές της παραμέτρου πού i';xouv θετική παράγωγο. 3.37.

Δείξτε δτι τό τμημα τόξου χ

= X(t)

στό 1*, τοϋ ύπολογίσιμου τόξου χ

= X(t)

στό Ι, εΙναι επίσης ύπολογί

σιμο.

3.38.

'Εάν ή

χ

<

= X(t),

<

α"'" t "'"

b,

εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση ενός ύπολογίσιμου τόξου μέ μηκος

καί α to b, δείξτε δτι τά τμήματα τόξων χ = X(t), α"'" t "'" t o , καί πολογίσιμα μέ μήκη άντίστοιχα 81 καί 82' δπου 8 = 8ι 82' 8

3.39.

+

χ

= X(t),

. Αποδείξτε τό Θεώρημα 3.4(ίίί): . Εάν χ = Χ(8) εΙναι μιά φυσική παράσταση της C καί χ X*(t) τυχούσα αλλη παράσταση της C, τότε ds/dt Idx/dtl.

πύλης

=

=

t o "'" t "'" b, εΙναι ύ

προσανατολισμένης καμ

r ι

,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

4

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

"Ενα άπό τά βασικά προβλήματα στή γεωμετρία εΙναι νά προσδιορίσουμε άκριβώς έκείνα τά γεωμετρικά μεγέθη, τά δποία μας έπιτρέπουν νά διακρίνουμε ενα γεωμετρικό άντικείμενο άπό ενα

άλλο

νά ξέρουμε πότε τά άντικείμενα αύτά εΙναι ίδια.

11

Γιά παράδειγμα, άναφέρουμε ότι τά εύθύ

γραμμα τμήματα δρίζονται μονοσήμαντα άπό τά μήκη τους, οί περιφέρειες άπό τίς άκτίνες τους, τά

τρίγωνα άπό τή γνώση τών στοιχείων πλευρά-γωνία-πλευρά, Κ.Ο.Κ.

• Αποδεικνύεται ότι άνάλογα

προβλήματα μποροϋν νά λυθοϋν γενικά καί στην περίπτωση τών κανονικών καμπυλών πού εχουν

κατάλληλη

διαφορισιμότητα.

Θά δοϋμε ότι μιά καμπύλη

δρίζεται μονοσήμαντα,

όταν δίνονται

δύο συναρτήσεις της φυσικης παραμέτρου, πού λέγονται καμπυλότητα καί στρέψη.

ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΕΦΑillΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

~Eστω Χ

λης

= X(S)

μιά φυσική παράσταση της καμπύ

Γιά νά δρίσουμε τήν j!fαπroUf;vlJ της

C.

C

στό ση

μείο

X(S), χρησιμοποιοϋμε τήν εννοια της παραγώγου dx/ds = X(S). Αύτό συμφωνεί μέ τή γεωμετρική μας δι αίσθηση, γιατί

•( )

xs

" x(s οπου

=

Ι.

1m

x(s + ΔS) - x(s)

Δ..... Ο

Δs

+ ΔS) - x(s) ε{ναι "ενα Δs

ρίζει μιά τέμνουσα της

δ' ιανυσμα

'δ ιο-

που προσ

C, όπως φαίνεται στό Σχ. 4-1.

Τό διάνυσμα x(s) εΙναι μοναδιαίο, γιατί γιά κάθε φυσική παράσταση καί σέ κάθε σημείο εχουμε Idx/dsl = = 1.

• Εάν 52

λίδας

Χ

= x(s*) εΙναι μιά άλλη φυσική s = ± s* + σταθ. καί

C,

παράσταση της

τότε άπό τό Θεώρημα

νΕτσι, τό διάνυσμα

dx/ds*

dx ds ds ds*

εχει τήν ίδια

σανατολισμό της Χ = x(s*).

11

=

της

σε-

dx ds

±

τήν άντίθετη φορά μέ τό

Τό διάνυσμα

dx/ds,

άνάλογα μέ τόν προ

Δηλαδή τό i(s) εΙναι ενα «προσανατολισμένο» μέγεθος.

νεται στό Σχ. 4-1, τό x(s) «δείχνει» πρός τήν κατεύθυνση πού τό

= x{s)

3.4

εχουμε

dx ds*

Χ

4-1

Σχ.

!i!

s

i(s) λέγεται μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα της (προσανατολισμένης) καμπύλης

στό σημείο x(s) καί συμβολίζεται μέ t(s) 11 x(s) ή λιγότερο αύστηρά καί μέ

Παράδειγμα

4.1.

"Οπως φαί

αύξάνεται.

Στήν ελικα χ

~:

=

a(cos t)e1 + a(sin t)e2 + btea,

α

>

καί

= -a(sin t)e1 + a{cos t)e2 + be3

Ο,

b.p

Ι ~: Ι

ο,

=

t.

εχουμε

(a2 + b2)1/2

. Οπότε t

=

:

= :;: =

:/~

~~/I~~I

=

=

=

(a2+b2)-l/2(-a(sint)el+a(cost)e2+bea)

όπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός ότι ds/dt !dx/dt! (θεώρ. 3.4). Παρατηροϋμε ότι κατά μηκος της ελικας τό μοναδιαίο ~φαπτόμενo διάνυσμα t σχηματίζει σταθερή γωνία e Cos-l (t· e3) = Cos-l b(a 2 b 2 )-1/2 μέ τόν α ξονα

=

+

:1:3'

Στή συνέχεια κάνοντας χρήση μιας φυσικης παραστάσεως της καμπύλης θά δρίσουμε καί άλλα γεωμετρικά μεγέθη σάν τό μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα.

θετης συναρτήσεως καί τή σχέση

ds/dt

= Idx/dtl. τά

Μέ τόν κανόνα παραγωγίσεως σύν

γεωμετρικά αύτά μεγέθη μποροϋν νά έκφρα

στοϋν καί ιός συναρτήσεις μιας τυχούσας παραμέτρου, όπως εγινε στό προηγούμενο παράδειγμα.

61

1 ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

62 . Εάν

Χ

= X(t)

εΙναι μιά τυχούσα κανονική παραμετρική παράσταση της καμπύλης

τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν Χ

χ'

= X(S),

dx dt

=

dx ds ds dt

=

δπου πάλι χρησιμοποιήσαμε τή γνωστή σχέση

νυσμα

πού εχει

C

τότε

=

ds/dt

= Idxldtl.

~Eτσι, δπως περιμέναμε, τό διά

X'(t) σ' ενα σημείο της καμπύλης εχει τήν ίδια διεύθυνση μέ τό αντίστοιχο διάνυσμα t(S)

στό σημείο αύτό, δηλαδή εΙναι επίσης εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης καί εχουμε γενικά

=

t

χ' Ι!ΧΊ

(4.1)

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟ ΕΙΙΙΠΕΔΟ

•Η

εύθεία πού διέρχεται από ενα σημείο χ της

κανονικης καμπύλης

C

καί εΙναι παραλληλη πρός τό

εφαπτόμενο διάνυσμα στό σημείο αύτό λέγεται έφα

πτομένη της

(2. Ι)

στό χ (Σχ.

της σελίδας

σημείο Χσ c/

C

= x(to)

χ

δπου tσ

επεται δτι

• Από

τήν εξίσωση

1)..J.Y~WHQIIέVη

στό

δίνεται από τήν εξίσωση

+

Χο

= t(to)

σμα στό

21,

4-2).

kto,

-00

<

<

k

00

εΙναι τό μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυ-

Σι-

4-2

χο.

Τό επίπεδο πού διέρχεται από τό τυχόν σημείο χ της καμπύλης καί εΙναι κάθετο στήν εφαπτο μένη της στό σημείο αύτό λέγεται κάθετο έπίπεδο της

λίδας

2 Ι,

στό Χ.

C

' Από τήν εξίσωση

(2.5)

της σε

επεται δτι τό κάθ..ετο επίπεδο στιLxιι, δίνεται από τήν εξίσωση

=

,Χ - Χο) ο tσ

Ο

Είναι σκόπιμο νά χρησιμοποιήσουμε μιά άλλη μεταβλητή, Π.χ. τήν

Υ, γιά νά συμβολίσουμε

ενα τυχόν σημείο ενός γεωμετρικου αντικειμένου πού σχετίζεται μέ τήν εξίσωση χ

= X(t).

Χρη

σιμοποιώντας τή μεταβλητή Υ μπορουμε νά γράψουμε τήν εξίσωση της εφαπτομένης σέ ενα τυχόν

σημείο χ της

C

μέ τή μορφή

Υ

=

x+kt,

-00

< k <

(4..2)

00

καί του κάθετου επιπέδου στό χ μέ τή μορφή (Υ-Χ) ο

t =

(4..3)

Ο

Τέλος σημειώνουμε δτι τό διάνυσμα χ' εΙναι παράλληλο μέ τό αντίστοιχο διάνυσμα

t

καί συ

νεπώς ή εφαπτομένη καί τό κάθετο επίπεδο δίνονται αντίστοιχα καί από τίς εξισώσεις

Υ

=

+ kx',

χ

καί

-00

(Υ-Χ)' χ'

ΠαράδεΙΎρα

4.2.

•Η

έφαπτομένη της καμπύλης

Υ = Τό κάθετο έπίπεδο στό

Χ(1)

t

+ kx'(1)

χ

l

(1

k

<

00

1

.

=Ο

= te + t2e2 + t3ea

Υ'=

ij

<

στό

t

= 1 εΙναι

+ k)et + (1 + 2k)e2 + (1 + 8k)e3.

-co

<

k

<

co

= 1 εΙναι (Υ-Χ(1»ΟΧ'(1)

=

ο

(Nl-1)+(N2-1)2+(Ya-1)8 = ο

ij

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ

= X(S) κλάσεως Cm, m ~ 2. Ή διανυσματική συνάρτηση ε{ναι τουλάχιστον κλάσεως σι καί μποροϋμε νά μελετιισουμε τήν παράγωr.ό της

Θεωροϋμε τήν κανονική καμπύλη χ

t

= t(s) = x(s)

dt/ds

=

(S)

x(s)

\

τ ,

ΚΕΦ.

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

4

ν Αν καί ή φορά τοϋ μοναδιαίου έφαπτόμενου διανύσματος

σμό τής C, ή φορά τοϋ διανύσματος x(s*)

63 έξαρταται άπό τόν προσανατολι

t

είναι άνεξάρτητη άπό τόν προσανατολισμό. Γιατί, άν Χ = C μέ t* = dx/ds*, τότε s = ± s* + σταθ. καί έπομένως

i

είναι μιά άλλη φυσική παράσταση τής

στίς άντίστοιχες τιμές τής παραμέτρου εχουμε

_

_ -+~(dX)~ _ (+l)2~(dX) = dt ds ds ds* - ds ds ds

dt* _ ~(dX) ~(+dX) ds* - ds* ds* - ds* - ds -

•

Συνεπώς, τό διάνυσμα

Τό διάνυσμα στό σημείο

X(S)

•

t(s)

είναι άνεξάρτητο του προσανατολισμοϋ τής καμπύλης .

λέγεται διάνυσμα καμπυλότητας τής

και συμβολίζεται επίσης μέ

ρο αύστηρά καί μέ

.

t

ναδιαίο, επεται άπό τό Θεώρημα

k

=t

είναι

κάθετο

k(s) t

Έπειδή τό διάνυσμα

k. στό

τής σελίδας

2.7

C

ή λιγότε είναι μοδτι τό

29

t καί συνεπώς είναι παράλληλο

πρός τό κάθετο έπίπεδο τής καμπύλης.

'Όταν τό διάνυσμα

αύτό είναι διάφορο τοϋ μηδενός, δείχνει πρός τήν κατεύ θυνση πού κάμπτεται ή καμπύλη, όπως φαίνεται στό Σχ.

4-3.

Τό μέτρο τοϋ διανύσματος καμπυλότητας σ' ενα σημείο είναι

(4 ..η

\k(s)\

\K(S)\ καί λέγεται καμπυλότητα τής

C

στό σημείο

Τό άντί

x(s).

Σχ.

στροφο τής καμπυλότητας είναι

p(s) καί λέγεται άκτίνα καμπυλότητας στό

'Ένα σημείο τής

C,

=

1

1

IK(S)I

Ik(s)1

4-3

(4.5)

X(S).

στό όποίο τό διάνυσμα καμπυλότητας είναι

k

= Ο,

λέγεται σημείο καμπής.

WΕτσι, σ' ενα σημείο καμπής ή καμπυλότητα lκl είναι μηδέν καί ή άκτίνα Kαμπυλ~ι άπειρη.

Στό Πρόβλημα

τής σελίδας

4.9

73

δείχνουμε ότι ή καμπυλότητα είναι ίση μέ τό πηλίκο μετα

βολης της διευθύνσεως τής εφαπτομένης πρός τό άντίστοιχο μήκος τόξου.

νΕτσι, κατά μήκος μιας

καμπύλης πού ή διεύθυνση τής εφαπτομένης της μεταβάλλεται γρήγορα, όπως Π.χ. σέ μιά περιφέ

ρεια μέ μικρή άκτίνα, ή καμπυλότητα είναι μεγάλη, ή μέ άλλη διατύπωση, ή άκτίνα καμπυλότητας

είναι μικρή.

•

Παράδειγμα

vvJ\Λ-'}.,S

4.3.

Κατά μήκος τής περιφtρειας Χ ~~ = t

καί

k

=

= Ikl = Ι/α

-a(sin t)et

+

+

a(sin t)e2'

a(COS t)e2'

~~/I ~; Ι =

-(Sin t)et

Ι = α

\:

+

πού fχει άκτίνα α > Ο, fχουμε

(COS t)e2

dt

=

ds

"Ας σημειωθεί δτι τό διάνυσμα

καί ίση μέ ΙΚΙ

= a(COS t)et

k

fχει κατεύθυνση πρός τήν άρχή των άξόνων.

καί ή άκτίνα καμπυλότητας εΙναι ρ

= Ι/ΙΚΙ

=

α.

•Η

καμπυλότητα εΙναι σταθερή

"Ετσι, δπως περιμέναμε, ή άκτίνα καμ

πυλότητας τής περιφέρειας εΙναι ίση μέ τήν άκτίνα της.

Παράδειγμα

4.4.

= a(COS t)el

+

a(sin t)e2

+

bte3'

α

-a(sin t)et

+

+

be3'

ddXt

Ι --

(α 2

11 ~; \

=

Κατά μήκος τής ελικας Χ

dx dt

t

~~

a(COS t)e2

f

>

Ο,

b =F

ο, εχουμε

+ bψ/2

(α2 + b2) -1/2(-α(Βϊη t)e t + α(COS t)e2 + be3)

1 καί

k

=

t

=

~:/I ~: Ι (a2

+ b2)-1/2(-a(cos t)e 1 - α(sin t)e~/(a2 + b2)1/2

Παρατηροϋμε ότι τό διάνυσμα

εΙναι παράλληλο πρός τό έπi

k

πεδο :1:1:1:2

καί εχει κατεύθυνση πρός τόν άξονα :1:3, όπως φαίνε

ται στό Σχ.

4-4.

lκl

ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

64

•Η

καμπυλότητα ε{ναι σταθερή παντοϋ καί ίση μέ

= Ikl = a/(<<2 + b2) •

. Εάν ή καμπυλότητα κατά μήκος μιας καμπύλης C είναι ταυτοτικά μηδέν, δηλαδή αν /k/ == Ο, τότε i == Ο καί, αν όλοκληρώσουμε, βρίσκουμε

θερό μή μηδενικό διάνυσμα. λοκληρώσουμε

ξανά,

= 8,

t

όπου 8 είναι στα

Έπειδή όμως t

ε-χουμε Χ

= 8Β + b,

ενα σταθερό διάνυσμα, δηλαδή ή

C

= Χ, αν ό

όπου

b

είναι

είναι ή εύθεία πού

Σι.

b = (b 1, b2 , b3 ) καί είναι πα διάνυσμα 8 = (al, a2, a3). ' ΑντίστΡΟ-'

διέρ-χεται άπό τό σημείο ράλληλη πρός τό φα, αν

C

4-4

είναι ή εύθεία

Χ τότε

t

=

8t

+ b,

8"'" Ο

= ~~/I ~~ Ι = ,:, καί

.

/t/

!k/

ο

νΕτσι ε-χουμε τό επόμενο θεώρημα:

ι\

Θεώρημα

•

πυλότητά της είναι ταυτοτικά μηδέν.

4.1.

Μιά κανονική καμπύλη κλάσεως

Cm, m:::" 2,

είναι εύθεία, έάν καί μόνο έάν ή καμ

Στό παρακάτω θεώρημα, πού άποδεικνύουμε στό Πρόβλημα

4.7

τής σελίδας

73,

έκφράζεται ή

καμπυλότητα μιας καμπύλης ώς συνάρτηση τών παραγώγων μιας παραμετρικής παραστάσεως τής καμπύλης.

Θεώρημα

m :::" 2,

4.2.

' Εάν

Χ

= x(t)

εΙναι τυ-χούσα παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης κλάσεως

τότε

=

ΙκΙ

Ιχ' χ

Cm,

x"llIx'J3

ΠΡΩΤΟ ΚΑΘΕΤΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

, Εάν ή καμπύλη C είναι κλάσεως Cm, m :::" 2, τό διάνυσμα καμπυλότητας k = C. Τό μοναδιαίο διάνυσμα

t= Χ

μεταβάλ

λεται κατά συνε-χή τρόπο κατά μήκος τής

=

Uk

που ε-χει τή διεύθυνση καί τή φορά του

k,

k//kj

δέν όρίζεται όπου

k =

Ο καί μπορεί φυσικά νά κάνει

άλματα (δηλαδή νά είναι άσυνε-χές) όπως φαίνεται σέ παραδείγματα πού άκολουθουν. φορές θεωρουμε άντί τό ίδιο τό Uk ενα μοναδιαίο διάνυσμα συγγραμμικό μέ τό

C, μέ n

VΕτσι, πολλές

k

μέ αύθαίρετη

όμως φορά, ετσι ώστε νά μεταβάλλεται κατά τρόπο συνε-χή κατά μήκος τής

όταν βέβαια αύτό

εΙναι δυνατό.

καί λέγεται πρώτο

Τό διάνυσμα αύτό συμβολίζεται μέ

κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της V

C

στό σημείο

n(s) x(s).

η λιγότερο αύστηρά

Ας σημειωθεί ότι, αν δέν ύπάρ-χουν σημεία καμπής στήν

κάθε Β, άπλώς έκλέγουμε

n(s)

=

C, δηλαδή αν ε-χουμε k(s) "'" Ο γιά

k(s)/jk(s) Ι

δηλαδή τό μοναδιαίο διάνυσμα μέ τή διεύθυνση καί τή φορά του

κατά μήκος μιας εύθείας ε-χουμε

k

==

k(s).

Παρατηρουμε έπίσης ότι

Ο, όπότε τό πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα δέν όρίζεται.

Ί

1

65

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

ΚΕΦ.4

Μετά τήν εκλογή τοϋ μη κος της

C

n(s),

διαπιστώνουμε εύκολα ότι ύπάρχει μιά συνεχής συνάρτηση κ κατά

τέτοια ωστε

K(S) n(s) Σέ ενα σημείο της καμπύλης, όπου τό διάνυσμα n(s) εχει τήν Ik(s)l. 'Εκεί όπου τό n(s) εχει άντίθετη φορά μέ τό k(s), σημείο καμπης, όπου k(s) == ο, εχουμε καί K(S) == Ο . k(s)

(4.6) K(S) ==

==

ίδια φορά μέ τό

εχουμε

k(s), εχουμε K(S)== -lk(s)l. Τέλος σ'

ενα

. Ο άριθμός K(S) πού όρίζεται άπό τήν εξίσωση (4.6) λέγεται (προσημασμένη) καμπυλότητα της C στό σημείο X(S). Παρατηροϋμε όμως ότι, επειδή τό n(s) εΙναι άρχικά αύθαίρετο ώς πρός τή φορά, τό πρόσημο της καμπυλότητας K(S) δέν εΙναι καθορισμένο. νΕτσι, μόνο ή άπόλυτη τιμή της lκl == Ikl. δηλαδή ή καμπυλότητα όπως όρίστηκε προηγούμενα, εκφράζει μιά εσωτερική ίδιότητα της καμπύλης, δηλαδή εΙναι μιά εννοια πού μένει άναλλοίωτη στίς άλλαγές τοϋ συστήματος συν τεταγμένων.

σχέση

'Εάν

πολλαπλασιάσουμε

n· n == 1n\2 == 1,

τήν

(4.6)

εσωτερικώς

n(s)

επί

καί

χρησιμοποιήσουμε

K(S)

== k(s)' n(s)

(4.7)

Θά άναφερόμαστε στήν προσημασμένη καμπυλότητα μόνο δταν κάνουμε χρήση τών Παράδειγμα Σχ.

Κατά μη κος της καμπύλης τρίτου βαθμου

4.5.

χ

==

t

==

tel

+ !t3e2'

(4.6)

καί

(4.7).

της όποίας τό γράφημα δίνεται στό

εχουμε

4-5,

~~

el

καί

.Η

τή

παίρνουμε τόν τύπο

+

2 t e2,

k

==

διεύθυνση καί ή φορά του

k

Ι ~~ Ι == ==

(1

+ tΨJ2,

~~/ Ι ~~ Ι ==

~: == ~:/ Ι ~~ Ι == -2Ι(1 + t4)-2(t2el -

+ t4)-l/2(el + t2e2)

(1

e 2)

φαίνεται στό Σχ. 4-5(α).

Χ2

(α)

Τό διάνυσμα

'"

(c) Τό διάνυσμα n

== k/!k!

(b) Τό διάνυσμα Ilk

k

==

{-Uk

Σχ.4-5

Γιά

t

=Ο

ε{ναι k

==

Ο καί επομένως εχουμε ενα σημείο καμπής.

συνεχής, δπως φαίνεται στό Σχ. 4-5(b).

ενώ τό δριο τής

Uk' δταν τό

t

t,

lim ~

ι-ο-

Ikl

σπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός στι

t

ΓtI

γιά

t>O

γιά

t

<

Ο

t <

γιά

t=O

uk

γιάt>ο

Ο

Στό σημείο αύτό ή συνάρτηση Uk δέν ε{ναι

Γιατί, τό δριο της Uk' δταν τό

τείνει στό Ο άπό άρνητικά

γιά

e2

t τείνει στό Ο άπό θετικά t, ε{ναι -(t2et - e2) (1 + t4)1/2

=

~~

=

}~ (1 +

ε{ναι

.

t2et - e2

'Εάν εκλέξουμε

t;4)1/2

=

e2

r ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

66

γιά

-k/1k l ο

{ διαπιστώνουμε τότε ότι τό

4-5(c).

• Από

=

Παράδειγμα ράδ.

γιά

t t

k/lkl

γιά

ι> Ο

=

(4.7)

=

k· ο

4.6. Θεωρουμε 49)

εΊουμε

+ t')-2(t2eI -

[-2t(1

τήν καμπύλη

κλάσεως

e2)] • [-(1

+ t 4)-1!2(t2eI -

2t(1

e2)]

+ t4)-3/2

(Πα

C'"

σελ.

3.13,

χ

'Όπως φαίνεται στό ΣΊ.

γιά

t

<

γιά

t

=Ο

γιά

t>

Ο

Ο

t

<

Ο καί στό έπίπεδο Χ Ι Χ2 γιά

k

βρίσκεται στό έπίπεδο Χ Ι Χ3

έπίπεδο ΧΙΧ2

γιά

t >

Ο.

"Αρα, ε!ναι

όρίσουμε τή διανυσματική συνάρτηση συνεχής στό

t

= Ο,

άφοϋ τό

" " " " . - . - - - - - - - Χ2

ή καμπύλη αύτή βρίσκεται στό

4-6,

νεπώς τό διάνυσμα

έπίπεδο ΧΙΧ3 γιά

καί στό

=Ο

0(8) μεταβάλλεται κατά τρόπο συνεΊή κατά μήκος της καμπύλης, όπως φαίνεται στό ΣΊ.

τήν έξίσωση

Κ

< Ο}

e2

k

t

> γιά

Ο.

Συ

t <

Ο

άδ,Υνατο νά

ο, ετσι ωστε νά ε!ναι

μεταπηδάει άπό τό έπίπεδο ΧΙΧ3

ΣΊ·4-6

στό έπίπεδο ΧΙΧ2'

'Όπως φαίνεται καί στό προηγούμενο παράδειγμα, ακόμη καί μιά καμπύλη κλάσεως

νά μήν εχει ενα μοναδικό πρώτο κάθετο διάνυσμα σέ ενα σημείο καμπης.

C'"

είναι αναλυτική, τό πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα μεταβάλλεται κατά τρόπο συνεχή. κριμένα, στό Πρόβλημα

Θεώρημα

4.15

της σελίδας

75

μπορεί

'Εάν όμως ή καμπύλη Συγκε

δείχνουμε τό επόμενο θεώρημα:

Μιά αναλυτική καμπύλη, πού δέν εΙναι εύθεία, εχει ενα πρώτο κάθετο μοναδιαίο

4.3.

διάνυσμα, τό όποίο μεταβάλλεται κατά τρόπο συνεχή σέ μιά περιοχή ενός σημείου καμπης.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΘΕΤΟΣ ΚΑΙ ΕΓΓΥΤΑΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

·Η

εύθεία πού διέρχεται από ενα σημείο χ της

καμπύλης

C

καί εΙναι παράλληλη πρός τό πρώτο κά

θετο μοναδιαίο διάνυσμα (Σχ.

θετος της

C

στό Χ.

4-7)

λέγεται πρώτη κά

• Η εξίσωση της πρώτης καθέ

του στό Χ εΙναι Υ

=

Χ

+ kn,

-00

< k < 00

(4.8)

Τό επίπεδο πού διέρχεται από τό σημείο Χ καί εΙναι παράλληλο πρός τό μοναδιαίο εφαπτόμενο διά νυσμα καί τό πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα λέ γεται έγγύτατο έπίπεδο της

C

ράδειγμα

επεται στι iιlξίσωση του

2.3

της σελίδας

22

στό Χ.

• Από τό Πα

έΥγύτατου επιπέδου στό Χ δίνεται από τό μικτό γινο μενο

[(Υ

- x)tn]

=

Ο

Σχ. 4 -7

(4.9)

· Εάν χρησιμοποιήσουμε τή σχέση t = Χ καί τό γεγονός στι τό διάνυσμα t = Χ εΙναι παράλ n, τότε σέ ενα σημείο μέ κ =F Ο, ή εξίσωση του εγγύτατου επιπέδου γράφεται

ληλο πρός τό

[(Υ-Χ)ΧΧ]

=

ο

(4.10)

• Υπενθυμίζουμε στι ή εφαπτομένη σέ ενα σημείο της καμπύλης μπορεί να οριστει ως το οριο της εύθείας πού διέρχεται από δύο γειτονικά σημεία της καμπύλης, σταν τά δύο αύτά σημεία τείνουν

"n

,Ι:Ι

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

ΚΕΦ.4

στό δοθέν σημείο.

67

"Ομοια, το εγγύτατο έπίπεδο σε ενα σημείο μπορεί να οριστει ως το οριο τοϋ

έπιπέδου πού προσδιορίζεται άπό τρία γειτονικά σημεία της καμπύλης, όταν τά σημεία αύτά τείνουν στό δοθέν σημείο.

.Η

έφαπτομένη καί τό έγγύτατο έπίπεδο εΙναι παραδείγματα γεωμετρικών άντι

κειμένων πού ε-χουν κάποια τάξη έπαφης μέ τήν καμπύλη.

•Η

θεωρία έπαφης μεταξύ καμπυλών καί

έπιφανειών θά μελετηθεί στό έπόμενο κεφάλαιο καί τό έγγύτατο έπίπεδο θά μελετηθεί ξανά άπό τήν ο.i.οψη αύτή. Παράδειγμα

4.7.

= (cos t)et + (sin t)e2 + te3' " Εχουμε = (- sin t)et + (cos t)e2 + e3, Ix'l = V2

Θεωροϋμε τήν ελικα χ

χ'

=

χ'/lχΊ καί

k

. Επειδή k ""

Ο Υιά κάθε

=i

εχουμε

t,

n .Η

=

Υ

= t'/lx'l =

=

k/lkl

t = ... /2

εξίσωση τής πρώτης καθέτου στό

(

ΔΕΥΤΕΡΗ ΚΑΘΕΤΟΣ.

"Εστω Χ

= x(S)

- 1

Υ3

- π/2

-«cos t)el

(sin t)e2)

- χ(π/2»t(π/2)n(π/2)]

<Χ)

ο

Ο) -1

Ο

Ο

ij

Υι

+ Υ3

2,

κατά μηκος της όποία ς ή (δια

π/2

Ο

1/V2

ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΤΡΙΕΔΡΟ

μιά κανονική καμπύλη

νυσματική συνάρτηση)

εΙναι συνε-χής.

n

κλάσεως

C

t(S)

ροϋμε τό διάνυσμα

t(s)

b(s) Παρατηροϋμε ότι ή διανυσματική σονάρτηση Τό διάνυσμα

cm, m

Σέ κάθε σημείο της

μοναδιαία διανύσματα, τό έφαπτόμενο διάνυσμα

συνε-χής.

+

+ (sln t)e2)

εΙναι

-1/V2

Υ2

-(-!)(cos t)e t

+ e3)

-<Χ)

= .../2

t

[(Υ

ΥΙ

(cos t)e2

ij

καί ή εξίσωση τοϋ εγγύτατου επιπέδου στό

det

=

+

εΙναι

+ kn(π/2)

Χ(π/2)

(1/V2)(- sin t)et

χ

καί τό

~

C

ε-χουμε δύο ορθογώνια μεταξύ τους,

πρώτο κάθετο διάνυσμα

n(s)

έΙναι

b

εΙναι μοναδιαίο καί λέ

b(s)

γεται δεύτερο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της μείο

x(s).

Τέλος, ή

C στό ση (t(s), n(s), b(s)} δρίζει

τριάδα

μιά δεξιόστροφη ορθοκανονική βάση, όπως φαίνεται

στό Σ-χ.

.Η

4-8,

C.

εύθεία πού διέρ-χεται άπό τό Χ καί εΙναι πα

ράλληλη στό Χ.

καί λέγεται κινούμενο τρίεδρο της

πρός τό

b

λέγεται

δεύτερη κάθετος της

C

• Η έξίσωση της δεύτερης καθέτου στό Χ εΙ-

ναι

Υ

=

Χ

+ kb,

-00

<

k

<

(4.11)

00

Τό έπίπεδο πού διέρ-χεται άπό τό σημείο Χ της

εΙναι παράλληλο πρός τά διανύσματα t

ται εύθεlOποιό έπίπεδο στό Χ.

---~~~~~~--~-

καί

b

C

καί

λέγε

• Η έξίσωση -του εύθει-

οποιοϋ έπιπέδου στό Χ εΙναι

----(Υ

-

Χ)

•n

=

Ο

(4.12)

Σχ. 4 - 8

n(s).

Θεω

Ιi

ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

68

Πρώτη ιcάθετoς

Σχ.4-9

~Eτσι, σέ κάθε σημείο Χ της καμπύλης

εχουμε τίς παρακάτω τρείς χαρακτηριστικές εύθείες καί

C

τρία επίπεδα:

Χ

Υ

χ+

Δεύτερη κάθετος:

Υ

Χ

Κάθετο επίπεδο:

(Υ

Εύθειοποιό επίπεδο:

(Υ -χ).

n

Ο

, Εγγύτατο

(Υ -χ).

b =

Ο

, Εφαπτομένη:

Παράδειγμα

4.8.

χ

= a(cos t)e l (α 2

t =

εχουμε

-

α2 : b

•Η

επίπεδο:

Γιά τήν ελικα του Παραδείγματος

k

=

t χn

=

(α2

+ kb

χ).

-

kn

4.4

+ a(sin t)e2 + bte3' α > Ο, b "c Ο + a(cos t)e2 + be3) η

+ (sin t)e2)'

=

=

I~I

= -«cos t)et

-α(α2 + b2)-l/2 sin t

el

+ b2)-l/2 cos t ( e3 2 b(a + b2 )-l/2 + b2)-l/2(b(sin t)et - b(cos t)e2 + ae3) t

det

α(α 2

e2

=

•Η

ή

Ο

+ kb(to) Υ = (α cos t o + kb(a 2 + b2)-l/2 sin to)e l + (α sin t o - kb(a2 + b2 )-l/2 cos t O)e2 + (bto + ak(a2 + b2 )-l/2)e3'
έξίσωση του εύθειοποιου έπιπέδου στό

t

= to

(Υ ή

- cos t) - sin t

Χ( t o)

-00

αν

+ (sin t)e2)

= to εΙναι Υ

vH,

ο

t =

+ b2)-l/2(-a(sin t)et

b2 «cos t)et

έξίσωση τής δεύτερης καθέτου στό

ή

+ kt

Υ

Πρώτη κάθετος:

(Υι

-

α

ε[ναι

».n(to) =

- x(to

cos t o)(- cos t o)

+

(Υ2 -

Υι

+

Υ2

cos t o

00

α

Ο

sin t o)(- sin t o)

sin t o

=

α

Παρατηρουμε ότι τά εύθειοποιά έπίπεδα ε[ναι παράλληλα μέ τόν αξονα

Χ3.

ο

r ΚΕΦ.

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

4

69

ΣΤΡΕΨΗ

εΙναι μιά κανονική καμπύλη κλάσεως C m , m ~ 3, κατά μήκος τής όποίας ή διανυσματική συνάρτηση n είναι κλάσεως C m ', m' ~ 1. 'Εάν παραγωγίσουμε τή συνάρ

• Υποθέτουμε

τηση

b = t

χ

n,

b(s) =

στι Χ

= x(s)

εχουμε στό τυχόν σημείο του πεδίου όρισμου της

t(s) χ n(s)

+

χ ή(Β) = K(s)[n(s) χ n(s)] + t(s) χ ή(Β) = t(s) χ ή(Β)

t(8)

(4..13)

(4.6) καί τό γεγονός στι aX a = Ο γιά κάθε a. ' Επειδή τό n(s) εΙναι μοναδιαίο διάνυσμα: τό ή(Β) εΙναι κάθετο στό n(s), δηλαδή παράλληλο πρός τό εύθειο ποιό έπίπεδο. Συνεπώς τό διάνυσμα ή(Β) έκφράζεται ώς γραμμικός συνδυασμός τών t(s) καί b(s),

σπου χρησιμοποιήσαμε τήν έξίσωση

~~

~

.b(s)

~~+~~

'Εάν αντικαταστήσουμε τήν εκφραση αύτή στή σχέση

+

t(s) χ [μ.(S) t(s)

.b(s)

ή

σπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός στι ή τριάδα νική βάση καί συνεπώς ψ~) χ b(.<ι)

Ό αριθμός στό

'1'(S)

εχουμε

'1'(S) b(s)]

'1'(S)[t(S)

χ

b(s)1

εΙναι μιά δεξιόστροφη όρθοκανο

(t(s), n(s), b(s»)

= -n(s).

πού όρίζεται από τή σχέση

'Εάν πολλαπλασιάσουμε τήν

x(s).

(4. Ι 3),

(4.14) λέγεται στρέψη ή δεύτερη καμπυλότητα τής C (4.14) έσωτερικά έπί η(Β), παίρνουμε τήν έκφραση

.

-b(s). n(s)

(4..15)

Παρατηρούμε τέλος στι τό πρόσημο τής στρέψεως τ είναι ανεξάρτητο από τή φορά του η καί

τόν προσανατολισμό τής

καί συνεπώς ή στρέψη έκφράζει μιά έσωτερική ίδιότητα τής καμπύλης.

C,

Γιατί, αν ύποθέσουμε στι αλλάζουμε τή φορά του η, δηλαδή αν θέσουμε

t

χ η*

= t χ(-η) = -b

καί από η1ν έξίσωση

•

-b*'

(4.15)

~ Αρα ή Τ εΙναι ανεξάρτητη από τή φορά του η.

καμπύλης, δηλαδή αν θέσουμε

s

= -s* + σταθ., t*

b* db*

καί

όπότε ξανά εχουμε

'1'*

=

-

τότε

Μ*

t*

-(t

χ η

db*

=

-η,

τότε

b*

=

Τ

' Επίσης, αν αλλάξουμε τόν προσανατολισμό τής

= -t.

Συνεπώς

-b

χ η)

db -ds(-I)

db* ds ds ds*

Μ*

• -b'D

-(-b)' (-η)

η*

n*

εχουμε

db ds

•n

--'η

db ds =

Τ

ν Αρα ή Τ δέν έξαρταται από τόν προσανατολισμό τής καμπύλης. Παράδειγμα

4.9.

Θεωρουμε πάλι τήν ελικα χ

• Από

τό Παράδειγμα

• b .Η

= a(cos t)et

+ a(sin t)e2 +

btea.

α> Ο,

b#

Ο

εχουμε

4.8

=

db d8

db/ldXI dt Τι

=

.

(a2 + b2) -t(b(cos t)et

+

b(sin t)e2)

στρέψη είναι σταθερή, ίση μέ

τ

= -b' n =

~ Ας σημειωθεί ότι, αν Έάν

b

<

Ο (όπότε τ

b> < Ο),

-(α 2 + b2 )-l(b(cos t)el + b(sin t)e2) •

«- cos t)et -

(sin t)e2)

=

b/(a2 + 02)

Ο (όπότε τ> Ο), ή καμπύλη είναι μιά δεξιόστροφη ελικα, όπως φαίνεται στό Σχ. +ΙO(a). ή καμπύλη είναι μιά άριστερόστροφη ελικα, όπως φαίνεται στό Σχ.

4-IO(b).

Έπειδή ή

στρέψη τ εκφράζει μιά εσωτερική ίδιότητα της καμπύλης, συμπεραίνουμε ότι αύτές οί δύο καμπύλες δέν μπορουν νά συμπέσουν.

Ι

Γ ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

70

(α)

Δεξιόστροφη ~λΙKα,

".

>

Ο

(b)

• Αριστερόστροφη

~λΙKα,

".

<

Ο

Σχ.4-10

, βάν τότε b =

ή στρέψη μηδενίζεται ταυτοτικά κατά μηκος μιας καμπύλης Χ -τη Ξ Ο.

Συνεπως

d ds(x'bo) , Επειδή τό t d ds(x.b o) Ξ Ο

b=

σταθ.

x.b o

εΙναι κάθετο στό

όπότε

= bo,

t'b o εχουμε τελικά

b o,

σταθ.

bo

(4.16)

Αύτό σ.!Jjlαίνει ότι ή καμπύλη x~ καί

δηλαδή _αν τ Ξ
καί, αν όλοκληρώσουμε ξανά, Χ'

7J§J2J:ι

= X(S),

βρίσκεται

στό

εlνα~

X(S)

έπίπεδο Χ ·"1}0 -

σταθ.

Ειδικά: ή χ = X(S) βρίσκεται στό έγγύτατο έπίπεδό

της, όπως φαίνεται

στό Σχ.

'Ισχύει

4-11.

Σχ.4-11

έπίσης καί τό άντίστροφο, όπότε εχουμε τό επό μενο θεώρημα:

Θεώρημα

2

Μιά καμπύλη κλάσεως

4.4.

τηση), η εΙναι κλάσεως

Cl,

Cm, m

~

3,

κατά μηκος της όποίας ή (διανυσματική συνάρ

εΙναι έπίπεδη καμπύλη, έάν καί μόνο έάν ή στρέψη της μηδενίζεται ταυ

τοτικα.

~ Αν δέν όρίζεται διαφορετικά, θά ύποθέτουμε πάντοτε ότι οί καμπύλες μας εΙναι κανονικές καμ

πύλες κλάσεως

λάχιστον καί

b

CI.

cm,

m

~

3,

καί ότι οί άντίστοιχες διανυσματικές συναρτήσεις η εΙναι κλάσεως του

Στήν περίπτωση αύτή ή τ εΙναι μιά συνεχής συνάρτηση καί οί συναρτήσεις κ,

εΙναι κλάσεως τουλάχιστον

t,

η

Cl.

Στό επόμενο θεώρημα, πού άποδεικνύουμε στό Πρόβλημα

4.19

της σελίδας

77,

ή στρέψη μιας

καμπύλης έκφράζεται ώς συνάρτηση των παραγώγων μιας τυχούσας παραμετρικης παραστάσεως. Θεώρημα 4.5. • Η στρέψη της '>'= Ο δίνεται άπό τήν εκφραση

= X(t)

καμπύλης χ

. τ

=

στό τυχόν σημείο αύτης γιά τό όποίο εΙναι κ

[Χ'Χ"Χ"'] /χ' χχ'Ψ

ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΔΕΙΚΤΡΙΕΣ

Τά μοναδιαία έφ~πτόμενα διανύσματα μιας καμπύλης

C,

αν μεταφερθοϋν στήν άρχή των άξόνων, παράγουν μιά καμ πύλη Γ πάνω στή σφαίρα μέ κέντρο τήν άρχή των άξόνων καί άκτίνα

1,

όπως φαίνεται στό Σχ.

4-12 .• Η

καμπύλη Γ όνο

μάζεται σφαιρική δείκτρια της (διανυσματικης συναρτήσεως)

, Εάν

χ

ή χι = t(S) Γενικά,

της ΧΙ

ή

εΙναι μιά φυσική παράσταση της

= x(s)

= X(S)

s

C,

t.

τότε

εΙναι μιά παραμετρική παράσταση τής Γ.

δέν εΙναι

μιά φυσική

παράμετρος κατά μηκος

= t(S), άφοϋ

Ι ~~ι Ι

=

Ι ~: Ι

/t/

/ΚΙ

Σχ.

4-12

..

r ΚΕΦ.

. Επομένως, μηκος της Μέ

71

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

4 ή Χ

χι

είναι μιά φυσική παράσταση της καμπύλης

= t(S)

= x(s)

Γ,

εάν

καί μόνο εάν

\1(\ == 1.

έχουμε

παρόμοιο τρόπο μπορουμε νά θεωρήσουμε τή σφαιρική δείκτρια της

παράσταση Χ2 ΠαράδεΙ-Υμα

= n(s)]

4.10.

καί τή σφαιρική δείκτρια της

Γιά τήν ελικα τών Παραδειγμάτων

χ

κατά

+ a(Βίη t)e2 +

= a(cos t)el

t =

(a2

+

καί

4.8

=

b

+

b2)-l/2(b(sin

Παρατηροϋμε επίσης ότι οί διανυσματικές συναρτήσεις

= b(s)J.

>

Ο,

b~ Ο

+ be3)

a(cos t)e2

+ (Βίη t)e2)

n = -«cos t)el (a 2

α

+

[μέ παραμετρική

εχουμε

4.9

bte3

b2)-ll2(-a(sin t)el

n

[μέ πάραμετρική παράσταση Χ3

b

+ ae3)

t)el - b(cos t)ez

εχουν σταθερές συντεταγμένες ώς πρός τό

t, n, b

e3,

όπότε

οί σφαιρικές τους δείκτριες εΙναι περιφέρειες μέ κέντρα πάνω στόν άξονα Χ3'

.Η

άκτίνα τής σφαιρικής δείκτριας τής

Ρ

t

=

καί συνεπώς ή άκτίνα καμπυλότητάς της εΙναι

t

( 1

2 _ b_ )Ι/2 = a 2 + b2

Οί άκτίνες καμπυλότητας τών σφαιρικών δεικτριών τών

καί

n

α

εΙναι P

b

καί P

n = 1

b b

άντίστοιχα .

Λυμένα Προβλήματα ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

4.1.

Βρείτε τίς εξισώσεις της εφαπτομένης καί του κάθετου επιπέδου της καμπύλης

χ στό

•Η

(1

+ t3)e3

χ'

εξίσωση τής έφαπτομένης στό

=

Υ

x(l)

=1

t

+ kx'(l)

εΙναι

=

Υ

ή

(2 + k)e} - (1

+ 2k)e2 + (2 + 3k)e3

εξίσωση τοϋ κάθετου επιπέδου εΙναι

(Υ - χ(1»' Χ'(1)

4.2.

+

t = 1. WΕχουμε

.Η

t 2e2

(1 + t)el -

=

=

Ο

ή

(Υι - 2)

+ (Υ2 + 1)(-2) + (Υ3 -

2)3

=

Ο

ή

Υι -

2Υ2

+ 3Υ3 =

10

Βρείτε τήν τομή του επιπέδου ΧΙΧ2 καί των εφαπτομένων της ελικας

(cos t)el

Χ

•Η

+

+

(sin t)ez

te3

(t>

Ο)

εφαπτομένη στό τυχόν σημείο χ εΙναι

Υ

=

χ

+ Τα'

ή

= (cos t - k

Υ

Βίη t)el

+ (Βίη t + k

cos t)e2

+ (t + k)e3

ή, άν συμβολίσουμε μέ χ τό διάνυσμα θέσεως, εχουμε

χι

= cos t - k

Βίη

. Η εξίσωση τοϋ επιπέδου ΧΙΧ2 εΙναι Χ3

Χ2

t,

= Ο.

=

Βίη

t

+k

cos t,

Χ3

= t

+k

Συνεπώς κατά μήκος τής τομής εχουμε t

Όπότε ή τομή εΙναι ή καμπύλη

χι

= cos t

+t

Βίη

t,

Χ2

=

Βίη

t - t cos t,

Χ3

=

Ο

+k

=Ο

ή

k

=-t.

72 4.3.

Δείξτε ότι τά εφαπτόμενα διανύσματα κατά μήκος τής καμπύλης χ

2b 2 = 3a,

σχηματίζουν σταθερή γωνία μέ τό διάνυσμα

Ix'l =

ιcαί

a

εΙναι

Cos- I

ae}

= 3a.

2b 2

χ' a } {-,-,,-,-, a

=

•

χ

Cos-I

= ateI +

= eI + e3.

a

ez + t3e3,

bt2

όπου

r ι

ι

+ 2bte2 + 3t2e3

=

(a2 + 4b 2t 2 + 9tψ/2

δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση τοϋ

=

χ'

" Εχουμε

4.4.

ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

(a 2 + 6at2 + 9t4)I/2

= α + 3t2

Συνεπώς, ή γωνία μεταξύ τοϋ έφαπτόμενου διανύσματος χ' ιcαί

α + 3t 2_Γn}

{

=

+ 3t2) ν 2

(α

Cos-I (1/V2)

Μιά καμπύλη ονομάζεται γενική ή κυλινδρική ελικα ήα πύλ

=

π/4

σταθερής κλίσεως, άν, όπως

στό προηγούμενο πρόβλημα, ύπάρχει ενα σταθερό διάνυσμα πού ονομάζεται α ονας τής ελικας,

τέτοιο ώστε ή γωνία α των εφαπτόμενων διανυσμάτων τής καμπύλης μέ τόν άξονα νά εΙναι σταθερή.

Δέν εξετάζουμε τήν άπλή περίπτωση α

= Ο,

κατά τήν όποία όλα τά εφαπτόμενα

διανύσματα εΙναι παράλληλα, γιατί στήν περίπτωση αύτή ή καμπύλη εΙναι ευθεία (Πρόβλ_

4.28).

Δείξτε δτι μιά γενική ελικα εχει μιά φυσική παράσταση τής μορφης

χ

+ x2(s*)e2 +

xI(s*)eI

s*(COS a)e3

Ύποθέτουμε δτι ή ελιιcα διέρχεται άπό τήν άρχή τών άξόνων ιcαί δτι τό διάνυσμα πρός τόν άξονα της Eλιιcας.

=

cos α 'Oλoιcληρώνoντας τήν Χ3

= COS α

ράσταση της μορφης

δπως ζητάμε.

'Εάν α

= π/2,

=

cos 4(t, e3)

=

8* = 8 + c/(COS

α ~ π/2, θέτουμε

εΙναι παράλληλο

t· e3 = Χ' e3 = Χ3

εχουμε Χ3

, Εάν

e3

Τότε

χ

=

τότε

Χ3

περίπτωση αύτή εχουμε

+ c,

8 COS α

α), όπότε Χ3

XI(8*)eI

c =

σταθ.

= 8* COS α

ιcαί εχουμε γιά τήν ιcαμπύλη μιά φυσιιcή πα

+ X2(8*)e2 + 8*(COS a)e3

= c = Ο, άφοϋ ή ιcαμπύλη χ = xI(s)eI + x2(s)e2

Δηλαδή ή ιcαμπύλη βρίσιcεται στό έπίπεδο

διέρχεται άπό τήν άρχή τών άξόνων.

Στήν

ΧΙΧ2.

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ

4.5.

Βρείτε τό διάνυσμα καμπυλότητας

στό σημείο

t

χ

= 1.

t'

=

+

teI

Στό t = 1 εχουμε

4.6.

+

tt3e3

= e } + te2 + t2e3'

-(1 + t 2 + t4)-3/2 [(2t3 + t)eI k

t t 2e2

Ix'l = (1 + t 2 + t4)I/2 t = x'/Ix'l = (1 + t 2 + t4)-lI2(eI + te2 + t2e3) (1 + t 2 + t4) -I/2(e2 + 2te3) - (e} + te2 + t2e3)(1 + t 2 + t4) -3/2 (t + 2t3) χ'

" Εχουμε

k καί τήν καμπυλότητα lκl τής καμπύλης

t = t'IIx'l = k=

-(1

+

+

(t4 - 1)e2 - (t3 + 2t)e3]

t 2 + t 4)-2[(2t3

-i(eI - e3) ιcαί 1001 =

Ikl

+ t)eI +

(t4 -1)e2 - (t3 + 2t)e3]

= iV2.

Δείξτε ότι ή καμπυλότητα lκ*1 τής προβολής τής κυλινδρικής ελικας (Πρόβλ_ επίπεδο πού εΙναι κάθετο στόν άξονά της, δίνεται άπό τή σχέση lκ*1

4.4) σε ενα

= IKI/sin a, όπου 2

α =ι'= Ο

εΙναι ή γωνία των εφαπτόμενων διανυσμάτων τής ελικας μέ τόν άξονά της καί lκl εΙναι ή καμπυλότητα τής ελικας.

Ι

ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

-Εστω χ

= Χ(8)

διαίο διάνυσμα).

ή ελικα καί

73

δ iiξονάς της (ενα μονα

u

Ή προβολή της ελικας στό έπίπεδο πού

δ"ιέρχεται άπό τήν άρχή τών άξόνων καί εΙναι κάθετο στό u εΙναι ή καμπύλη (Σχ.

4-13)

=

χ* W

Χ(8)

Ας σημειωθεί δτι γενικά τό 8

της προβολης χ*

dx*

cι;

=

Χ*(8).

=

- (u' X(8»U δέν εΙναι φυσική παράμετρος

Παραγωγίζοντας εχουμε

t - (U·t)U

(COSa)U

t -

καί

Id;: Ι

dX* • dx*]1/2 [ d8 d8

[(t· t) - 2(cos a)(t· υ) + (COS 2 a)(u' U)]l/2 [1 - 2 cos 2 α + cos2 α]1/2 = sin α όπου Ο

<

α

<

Σχ.

'/Τ.

t*

-Ετσι

όπότε

4.7.

=

dX*/1 dx* d8 d8

1" *1

' Αποδείξτε κλάσεως

τό

Cm, m

"Εχουμε

--

Θεώρημα

~

2,

4.2:

τότε \κι

dx dt

χ'

It'*

' Εάν

=

χ

_ -

.,

-- .l/sin Ιt

εΙναι

μιά

2

α

t/sin α 1"I/sin2 α

=

παραμετρική

d (. ') dt ΧΒ

χ"

Χ8.

=

+ Χ (8')2)

= d8/dt = ΙΧΊ.

Ιχ' χ χ"l =

όπότε τό διάνυσμα Χ

= x(t)

dt* d8

καί

παράσταση

καμπύλης

!Χ ' Χ χ"l/lχΊ3.

(Χ8') χ (Χ8"

δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση 8'

= 1,

(cos α)υ sina

t -

=

Ι -- Ι ddt8* 1/ Ι ddxs* Ι

dxds d8 dt

χ' χ χ"

, Αλλά Ixl

Ι

4·13

+ s ' dx dt

XS" +

(s')2 Χ

(s')3(x χ Χ)

"Ετσι εχουμε

ιχψ Ιχ χ Χ Ι =

=t

• ds'

χ Τι

=

IΧΊ3 lχllχ Ι sin 4(Χ, Χ)

εΙναι κάθετο στό Χ

= t.

Έπίσης Ixl = lil

= lκΙ-

Συνεπώ, 1"1

=

Ιχ' χ χ"I/lχΊ3.

4.8.

Δείξτε καί

οτι μιά καμπύλη χ

, Επειδή Ιχ' χ χ"l γιά κάθε

4.9.

t.

-Εστω Χ ναδιαία

x(s + ΔΒ)

= X(t)

κλάσεως

Crn,

m~2, εΙναι εύθεία, αν τά διανύσματα

εΙναι γραμμικώς εξαρτημένα γιά κάθε

X"(t)

=Ο

δταν τά χ' καί χ" εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα, εχουμε

Έπομένως σύμφωνα μέ τό Θεώρημα

= x(s)

μιά καμπύλη κλάσεως

έφαπτόμενα

διανύσματα

t(s)

1"1 =

Ιχ' χ χ"l/lχΊ3

=

Ο

4.1 της σελίδας 64, ή χ = X(t) εΙναι εύθεία.

Cm, m ~ 2, καί Δθ ή t(s + ΔΒ), ΔΒ> Ο,

καί

άντίστοιχα, οπως φαίνεται στό Σχ.

l κl

X'(t)

t.

lim Δθ

γειτονικά

σημεία

x(s)

καί

Δείξτε οτι

4-14(a).

Δa ... o ΔΒ

γωνία πού σχηματίζουν τά μο στά

=

dθ

ds

Δηλαδή ή καμπυλότητα ΙΚΙ Εκφράζει τό πηλίκο της μεταβολης της διευθύνσεως της έφαπτο μένης πρός τό μηκος τόξου.

(B)

~

t(8 + ΔΒ) - t(8)

b8

t(a

(b)

(α) Σχ.

6

+ ΔΒ)

4-14

74 , Επειδή

τό διάνυσμα

It(8 + Δ8) - t(8)1 εΙναι 1, όπως φαίνεται στό

εΙναι μοναδιαίο παντου, τό

t

σκελοϋς τριγώνου πού οΙ ίσες πλευρές του εχουν μήκος

=

It(8 + Δ8) - t(8)1 δπου χρησιμοποιήσαμε τό άνάπτυγμα του

1"1

'Επειδή

4.10.

ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

1im ΔΙ ... o

=

= ο,

Δa

Itl

=

\lim t(8 + Δ8) - t(8) \

=

Δa"'o

επεται ότι

=

Δ8

Cm , m

κλάσεως

Έπίσης

Δ8

2,

. Ι1m

=

1"1

~

Συνεπώς

[ΔΙ (1 + Ο(ΔΙ»)] Δ8 ΔΙ

lim

ΔΙ

4-14(b).

ο(ΔΙ)

Δa ... o

Δ .... Ο

ο(ΔΙ) = Ο, δπότε

lim

Δ.'" Ο

= X(S)

Δείξτε δτι μιά καμπύλη χ

+ Ο(ΔΙ)

+

lim \ t(8 + Δ8) - t(8) \

=

Δ8

lim Δι

ΔΙ

γιά τό ήμίτονο.

Taylor

Δa"'o

=

2 Βίη (!ΔΙ)

τό μήκος της βάσεως Ισο Σχ.

dl

ΔΙ

-

da'

Δ.... Ο Δ8

ε{ναι εύθεία, άν δλες οί έφαπτόμενές

της εχουν κοινό σημείο τομής .

. Υποθέτουμε

δτι Υο εΙναι τό κοινό σημείο τομής των έφαπτομένων Υ

= k(8)

κατά μηκος της καμπύλης, ύπάρχει k

= x(s)

Υο

του 8,

+ kt(8).

Τότε γιά κάθε 8

+ k(s)t(s) k =

Παρατηρουμε δτι, αν έξετάσουμε τήν καμπύλη τοπικά, εχουμε της καμπύλης.

= x(s)

τέτοια ωστε

Ο, έάν καί μόνο έάν τό Υ βρίσκεται έπί

~Eτσι, έπειδή ή καμπύλη τοπικά εΙναι άπλή, εχουμε k(s) """ Ο έκτός ίσως άπό μία μόνο τιμή

εστω τήν 80'

Παραγωγίζοντας τά δύο μέλη της παραπάνω έξισώσεως εχουμε

x+kt+kt = (1+k)t+kt

0==

καί πολλαπλασιάζοντας έσωτερικως έπί

παίρνουμε Ο = (1+k)(t.t)

t

+ k(t.t) .

=

. Επειδή τό t εΙναι κάθετο στό t, επεται δτι Ο = k Ι t 12 ή Ο k 1,,12. Έπειδή k(s) """ Ο γιά 8 """ 80' εΙναι 1"1 ο γιά 8 """ 80' • Αλλά ή 1"1 εΙναι συνεχής συνάρτηση. Συνεπως 1"1 == ο γιά κάθε 8, καί άπό τό Θεώρημα 4.] της σελίδας 64 επεται ότι ή χ Χ(8) εΙναι εύθεία.

=

=

ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ· ΤΡΙΕΔΡΟ

4.11.

Βρείτε ενα συνεχές πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα καί ενα δεύτερο κάθετο μοναδιαίο διά νυσμα κατά μήκος της καμπύλης

χ ~Eχoυμε

= 3[(1- t2)2 t =

k

, Επειδή k """

= Ο

=

t,

Χ'

lχ'l

= _Γn γ2

b

t

1 (1 + t 2 )

χn

= 3V2 (1 + t2 )

+ 2te2 + (1 + t 2)es]

[(1 - t 2)et

[(2t)2

+ (1 -

t2)2] Ι/2

3(1 + t 2 )3

=

1

3(1 + t2)2

μπορουμε νά έκλέξουμε D

καί

(3t + t 8)e3

3t2 )et

-2te } + (1 - t 2 )e2 3(1 + t2)3

t' ίΧ'ί

γιά κάθε

= (3 -

+

3t2e2

+ 6te2 + (3 + 3t2)e3 + (2t)2 + (1 + t2)2]t/2 = 3V2 (1 + 2t2 + tψ/2 χ'

Ix'l

+

(3t - tS)el

=

=

k

ίkϊ

1

=

1

-2t + t2 e}

det (::

1

e3

1

V2 (1 + t 2 )2 1 [-(1 V2(1 + t 2 )2

1 - t2

+

~t

1

+ t 2 e2

2

t

+ t2

+ t 2 )(1- t 2)e}

1

~:2) ο

- 2t(1

+ t 2)e2 + (1 + t2)2e3]

r

r

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

ΚΕΦ.4

4.12.

= X(t)

Δείξτε ότι κατά μήκος μιας καμπύλης χ

75

τό διάνυσμα χ" εΙναι παράλληλο πρός τό

έγγύτατο έπίπεδο καί ότι οΙ συντεταγμένες του ώς πρός τά

t καί n εΙναι \χΊ' καί κ\χψ άν

τίστοι-χ α . χ'

Παραγωγίζovτας τήν

δπου θέσαμε

= dx da

ds

χ"

=

ts' ώς πρός t Ε"χουμε

dt -

u" + t's'

=

u" +

=

ts'2

ta" ,-

OKS'2

Συνεπώς τό διάνυσμα χ" εΙναι παράλληλο πρός τό έγγύτατο έπίπεδο καί οΙ συντεταγμένες του ώς πρός t καί ο εΙναι lχΊ' = s" καί κΙΧΊ2 = Ks'2 άν

i ==

κΟ, πού προκύπτει άπό τήν έξίσωση (4.6).

τίστοι"χ α .

4.13. (α) • Εάν τά διανύσματα χΙ καί χ" εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα σε ενα σημείο χ τής καμπύ λης χ = X(t), δείξτε ότι ή έξίσωση του έγγύτατου έπιπέδου στό χ εΙναι [(Υ - χ)χΙχ"] = Ο. (b) Χρησιμοποιήστε τόν τύπο αύτό γιά νά βρείτε τό έγγύτατο έπίπεδο τής καμπύλης χ (α)

= tel + t 2e2 + t 3e3

= 1.

στό t

Είδαμε στό προηγούμενο πρόβλημα δτι τό χ" εΙναι παράλληλο πρός τό έγγύτατο έπίπεδο. Γνωρίζουμε t, εΙναι παράλληλο πρός τό έγγύτατο έπίπεδο. 'Επειδή

έπίσης δτι τό χ', πού εΙναι συγγραμμικό μέ τό

τά χ' καί χ" εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα, επεται δτι τό διάνυσμα χ' χ χ" εΙναι μή μηδενικό καί κάθετο στό έγγύτατο έπίπεδο στό Χ.

(b)

WΕ"χουμε χ'

Συνεπώς, ή έξίσωση τοϋ έγγύτατου έπιπέδου στό χ εΙναι [(Υ

= el + 2te + 3t2e3, =Ο 2

εΙναι [(Υ - Χ(1»Χ'(1)Χ"(l)]

χ"

= 2e2 + 6te3'

4.14.

Χ)Χ'Χ"]

W Αρα ή έξίσωση τοϋ έγγύτατου έπιπέδου στό t

=

Ο.

=1

ή

det

άπό τήν όποία εχουμε (yl -

-

(

1)6 - (Υ2 - 1)6

Δείξτε ότι τά σημεία τής ελικας χ

=

ΥΙ

Υ2 -

1 1

1 2

Υ3 -

1

3

-

+ (Υ3 -

α(COS t)el

1)2

= =

Ο

ο

ή 3yl -

3Υ2

+ α(sin t)e2 + bte3,

+ Υ3

1.

στά όποία τα αντίστοι-χα

έγγύτατα έπίπεδα διέρ-χονται άπό ενα σταθερό σημείο, βρίσκονται σέ ενα έπίπεδο. WΕστω χ(t λ )

=

a(cos

tλ)el

διέρ"χεται άπό τό σημείο Υο

+ α(βίο tλ )e2 + btλe3

τά σημεία της ελικας. στά όποία τό έγγύτατο έπίπεδο

= Yolet + YO~2 + Y03e3'

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα γιά κάθε

t.

Εύκολα έmβεβαιώνεται δτι τά διανύσματα χ' καί χ"

Ή έξίσωση τοϋ έΎγύτατου έπιπέδου στό χ εΙναι [(Υ

- Χ)Χ'Χ"]

=Ο.

Συνεπώς, γιά κάθε λ Ε"χουμε

det

ή άναπτύσσοντας (bY02)(a

+ a(sin Ιλ)~ + btλe3 4.15.

cos ω

= x(s),

Υ02 -

α

Υ03 -

bt λ

-

sio tλ

α

cos t λ b

(bYot)(a sio t λ )

+

(α 2 )(btλ )

βρίσκονται στό έπίπεδο bY02zt - bYOlZ2

'Αποδείξτε τό Θεώρημα

χ

(

- α βίο tλ

ΥΟΙ - α cos Ιλ

'4.3:

• Εάν X(so)

= a2y03'

W Αρα τά σημεία Χ(Ι λ )

+ a2z3 = a2y03'

εΙναι ενα σημείο καμπής τής άναλυτικής καμπύλης

πού δέν εΙναι εύθεία, τότε ύπάρ-χει ενα πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα

καμπύλης τό όποίο μεταβάλλεται συνε-χώς σέ μιά περιο-χή του WΕστω

= a(cos tλ)eι

X(k)(SO) ή πρώτη μή μηδενιζόμενη παράγωγος της x(s) στό So τάξεως k

δέν εΙναι εύθεία, μιά μή μηδενιζόμενη παράγωγος ύπάρ"χει γιά

t(so) = x(so) = Ο.

Χ

k

>

2,

>

1. . Επειδή

x(so)

+

x(k)(sO)

x(so}(s - so)

+ kΓ

(s -

SO)k

+

ή χ

= x(s)

γιατi σέ ενα σημείο καμπής Ε"χουμε

WΕτσι μποροϋμε νά γράψουμε

=

n(s) της

so.

x(k+l)(SO)(s - SO)k+l (k + 1)!

+ '"

f ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

76 t

Συνεπώς

καί

.=

=

k

:::;: X(k)(SO)(S - so)k-2 (k - 2)!

t

_

Βο)

(8

όπου ή συνάρτηση

W

+

x(k + 1) (so)(s - 80)k-l (k - 1)!

k-2 [X(k)(80)

(k-2)!+

ε{ναι άναλυτική στό

80

καί

X(k+1)(80)(S - 80) (k-1)! W(80)

+ ...

+

... ]

_

-

(8- BO)k-2 W (8)

= ~(~(;)~
W

στό So, ίιπάρχει μιά περιοχή Sδ(80) τέτοια ώστε W(S)
=

W(8)/lw(S)I. Γιά κάθε S στήν Sδ(SΟ), τό διάνυσμα η(8) ε{ναι μοναδιαίο, νεχής καί τά διανύσματα η, k = i ε{ναι συγγραμμικά σέ κάθε σημείο· γιατί k

=

πού ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

k

ε{ναι άρτιος

«8 -

SO)k-2 "'" Ο).

(Β -

=

(8 - 80)k-2 W(S)

• Ας

SO)k-2IW(B)IIW(8)1 W(8)

=

ή συνάρτηση η ε{ναι συ

(s - BO)k- 2 Iw(B)1

σημειωθεί ότι γι' αύτό τό η έχουμε κ

ε{ναι βεβαίως συνεχής

Θεωροϋμε τώρα τό διά

η

=

= Ikl

Κ(8)η

έάν καί μόνο έάν τό

Διαφορετικά

" =

γιά

8 "'" 80

γιά

S

4.2

καί

<

80

ΣΤΡΕΨΗ

4.16.

Χρησιμοποιώντας τούς τύπους των Θεωρημάτων

βρείτε τήν καμπυλότητα καί τή

4.5

στρέψη τής καμπύλης

Έχουμε

1[(3 - 3t2)el + 6te2 + (3 + 3t2)e3] χ [-6tel + 6e2 + 6te 3] Ι Ix'J3 1(3 - 3t2)el + 6te2 + (3 + 3t2)e31 3 2 181 (t - l)el - 2te2 + (1 + t 2)e31 2

lχ Ι χ χ"l

3(1 + t2)2 τ

=

[Χ/Χ"Χ"']

(χΙ χ χ")

Ι

lχ χ χ"12

• χΙ"

+ t 2)e3] • 6[-el + 2te2 + (1 + t 2)e31 2

18[(t2 -1)el - 2te2 + (1

Ι

lχ χ Χ"12

1821 (t 2 - l)el -

Παραοτηροϋμε ότι κατά μηκος της καμπύλης αύτης ε{ναι lκl

e3]

=

2 3(1 + t2)2

= τ.

4.17. Δείξτε δτι κατά μήκος μιας καμπύλης Χ = X(S) εΙναι Χ Παραγωγίζοντας τή σχέση Χ =

.χ. όπου

η

"ίι

=

κη

έχουμε

= ":8 (b χ t)

+;η

=

K(b

χi

+

b χ t)

+

;η

γεγονός δτι (t, η, b) ε{ναι μιά ?εξιόστροφη όρθοκανονική Χρησιμοποιώντας πάλι τίς σχέσεις t = "η καί b = -τη, έχουμε

χρησιμοποιήσαμε τό

=b χ Ι

.χ

4.18.

+

t = "η

=

ιc2(b χ η) - ΚΤ(η χ t) +;η

Δείξτε δτι κατά μήκος μιας καμπύλης Χ

= X(S)

=

βάση

καί συνεπώς

ιc2( -t) + "Tb + ;η

εΙναι [Χ Χ χ.]

= κ τ. 2

Χρησιμοποιώντας τό άποτέλεσμα τοϋ προηγούμενου προβλήματος, εχουμε

Χ χ .χ.

= t χ ·Χ· =

γιατί ή τριάδα

έπειδή

t· b =

κη χ (-K2t + ;n + 'TKb)

=

-κ3(η χ t) + K;(n χ η) + τ,,2(η χ b)

(t, Ω, b) ε{ναι μιά δεξιόστροφη όρθοκανονική βάση.

Ο καί

t· t = 1.

Τελικά, ε{ναι

=

κ3b + T,,2t

t

4.19. ' Αποδείξτε

τό Θεώρημα

Σέ ενα σημείο μιας καμπύλης Χ

4.5:

ή στρέψη δίνεται άπό τόν τύπο

.

WΕχουμε

...

=

χ

dx dt

dx ds

=

χ

d

-(χ'

••

d8

t

•

χι ι,

Χ'Τ

+ x"t2 )

γιά τό όποίο κ 7'= Ο,

lχ Ι χ χΙψ

:a (χ' Ι)

χ

+ x"t t +

• (Χ' t + Χ" t2 )

χΙ

r+

Χ"2ί

••t + (d ds χΙ).t

χ"ί2

x't· +

χΙ "Ι3

+ 3x"t ι' + Χ'" t3) (x't) • [3 ϊ2 ί(χ' χ χ") + t t 3 (x' χ χΙ") + ίιΊ"(χ" χ χ') + i s(x" χ Χ''')] 3t 2 ϊ 2 [χ Ιχ'Χ"] + t t 4 [χ'χ'χΙΙ '] + ί 3 Τ[χ'ΧΙΙΧ Ι ] + t6 [Χ'χΙΙχ'''] (χ' ί)

Συνεπώς

Έπειδή [Χ'χ'Χ"] άφου

=

dt d8

= x(t) ,

[χΙχ"Χ'''] τ

=

χ (χ'Τ

= Ο καί [χΙχΙχ'''] = Ο, παίρνουμε [Χ Χ χ']

dt

t

τόν τύπο Ι"Ι

4.20.

77

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

ΚΕΦ.4

Ix'

1

1

dsldt

!χ / !

χ χ"l

[x'x"x fl ' ]

=

Χρησιμοποιώντας τά άποτελέσματα του προηγούμενου προβλήματος καί

.

(Θεώρ.

!Χ'\3

=

4.2)

έχουμε [χχ 'χ.]

[χ'χ"χ"']

=

{χ'χ."Χ"'1

\χ' χ Χ"Ι2

Δείξτε δτι μιά καμπύλη εΙναι επίπεδη καμπύλη, αν τό εγγύτατο επίπεδο στό τυχόν σημείο της διέρχεται άπό ενα σταθερό σημείο .

.Η

εξίσωση του εγγύτατου επιπέδου στό τυχόν σημείο χ εΙναι (Υ

σταθερό σημείο, τότε (Υο

διάνυσμα Χ

γιατί

.= b

σελίδας

=t

- χ). b = Ο γιά κάθε

8.

χ).

b

= Ο.

-τη.

τ(Υο

-

Χ)

'Υποθέτουμε τώρα ότι ή καμπύλη δέν εΙναι επίπεδη.

•η

=

Ο

Τότε, σύμφωνα μέ τό Θεώρημα

ύπάρχει σημείο 80 καί συνεπώς περιοχή 86(80) γιά τήν δποία τ =ι6 Ο.

70,

WΕτσι, αν Υο εΙναι τό

εΙ ναι κάθετο στό b, έχουμε ή

επίσης (Υο

-

Παραγωγίζοντας καί χρησιμοποιώντας τό γεγονός ότι τό

=

=

•η Ο, δηλαδή τό διάνυσμα Υο - χ εΙναι κάθετο στό η. 'Αλλά - χ καί t εΙναι παράλληλα. WΕτσι ύπάρχει συνάρτηση k = k(8) τέτοια ώστε γιά 8 στήν 8 δ (80) νά εΙναι Υο - χ = kt ή Υο = χ + kt· δηλαδή (Πρόβλ. 4.10) τό σημείο Υο εΙναι ή τομή τών εφαπτο μένων της καμπύλης. 'Αλλά τότε τό τμήμα της καμπύλης πού άντιστοιχεί στήν 86(80) εΙναι εύθεία, πράγμα πού εΙναι άδύνατο, άφοϋ στήν περιοχή 86(80) έχουμε τ =ι6 Ο. Έπομένως, τ = Ο γιά κάθε s καί ή καμπύλη

-

Χ)

4.4 τής WΑρα στήν 86(80) έχουμε (Υο - Χ) • b Ο, όπότε τά

διανύσματα Υο

εΙναι επίπεδη.

4.21.

Δείξτε δτι μιά καμπύλη εΙναι κυλινδρική ελικα έάν καί μόνο έάν ό λόγος τΙκ εΙναι σταθερός δταν κ.,ι. Ο, καί τ

=

Ο δταν κ

=

'Υποθέτουμε ότι ή καμπύλη χ U καί ότι

t· u =

COS

Ο.

= x(s)

εΙναι κυλινδρική έλικα μέ άξονα τό σταθερό μοναδιαίο διάνυσμα

'Υπενθυμίζουμε (Πρόβλ.

a.

4.4)

άντιστοιχεί σέ εύθεία καί μάλιστα παράλληλη πρός τό διαίο διάνυσμα φανώς

t· u

οί

b*(8),

συναρτήσεις

= COS α

έχουμε

πού εΙναι κάθετο στό

b*(s)

καί η*(Β)

t(s)

u.

=

Ο, ή δποία

WΕτσι, Υιά κάθε 8, ύπάρχει ενα μοναδικό μονα

καί γιά τό όποίο έχουμε

= b*(s) χ t(s)

t· (t COS α + b* sin α) = Ο

ότι εξαιρέσαμε την άπλή περίπτωση α

έχουν

καί, έπειδή

u

= t cos οι + b* sin οι.

συνεχείς παραγώγους.

t· t = ο,

επεται ότι

Προ

Παραγωγίζοντας τήν

t· b* =

Ο. WΕτσι, μπο

ρουν νά έκλεγουν τό πρώτο καί τό δεύτερο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα κατά μήκος της καμπύλης, άντίστοιχα η

=

η* καί

b = b*.

'Από τή σχέση

.

ο

συμπεραίνουμε ότι 'T/ΙC

=

cotoι

U

=

τοιο

"η cOSoι -

σταθ. όταν ΙC =ι6 Ο, καί ότι 'Τ

ότι τ/ ΙC = cot οι όταν ,,=ι6 Ο ιcαί ότι τ

b sin α

tcosoι + bsinoι

=Ο

όταν

= Ο ή δλοκληρώνοντας t cos α + b βίη α ώστε t· u = COS α = σταθ., δηλαδή ή χ

,,= Ο. Τότε = = σταθ. U

= Χ(8)

=

Ο

"C05

όταν"

τη Βίηοι

=

Ο.

'Αντίστροφα, ύποθέτουμε

α - τ sin οι = Ο καί συνεπώς

t COS α +

WΕτσι, τό u εΙναι ενα μοναδιαίο διάνυσμα τέ

εΙναι μιά κυλινδρική ελιιcα.

4.22.

ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

78

Δείξτε ότι κατά μήκος μιας κανονικής καμπύλης χ [

καί έπομένως ή χ

= x(s)

"χχχ ••• (4)]

=

':i:"- Χ

=

+

(:aιc3) b + ιc3ί. + (:a τκ 2) t

+

-

K3b

=

(-K2t +;η +

TKb) •

4.17

= Ο.

Παραγωγίζοντας τη σχέση αύτή βρίσκουμε

t. TK

2

t

Tιc3η + (:aΤκ2)t + T~1η

τά συμπεράσματα του Προβλήματος

χ χ(4)

5!!.. ds (!.) κ

TK 2

= (:aιc3)b • Εφαρμόζοντας

κλάσεως

εΙναι κυλινδρική ελικα, έάν καί μόνο έάν [χ χ χ(4)]

• Από τό Πρόβλημα 4.18 Εχουμε Χ χ "χ'

Χ χ χ(4)

κ

= x(s)

(:aιc3)b + (:aΤκ2)t

=

Εχουμε

[(:aK3) b + (:a ΤΚ2) t] -Κ 5 .!!(.!.) ds Κ

WApa

• Εάν

[

ή χ

[χ 'χ. x(4)J

= x(s) =

ο.

=

"χχχ ••• (4)]

[.....

-ΧΧΧ

=

(4)]

K

5

d ds

(τ) -;

,,= ο

ε{ναι ΙCΥλινδρική ελικα, τότε παντου στην καμπύλη εχουμε

. Αντίστροφα,

πότε συμπεραίνουμε δτι "Ιτ

=

αν [χ χ' χ(4)]

= Ο,

= x(s)

σταθ., δηλαδή ή Χ

η τΙ"

= σταθ.,

δπότε

τότε η τά σημεία της ε{ναι σημεία καμπijς η Κ ~ Ο, δ ε{ναι κυλινδρική ελικα.

ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΔΕΙΚΤΡΙΕΣ

4.23.

Δείξτε ότι ή έφαπτομένη της σφαιρικης δείκτριας της μέ τήν πρώτη κάθετο τής

= t(S)

WΕστω χι

χι

= t(B)

C

t

μιας καμπύλης

C

εΙναι παράλληλη

στά άντίστοιχα σημεία.

ή σφαιρική δείκτρια τής

εΙναι τό

t

της καμπύλης Χ

dxt t(B)

d8

=

= Χ(Β).

-Ενα έφαπτόμενο διάνυσμα στήν

K(S) η(Β}

πού δίνει τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

Δείξτε

χι

ότι

ή

καμπυλότητα

της

σφαιρικης

δείκτριας της t

= t(S)] εΙναι Κ: = (κ 2 + τ2)/κ2 • •Από

τό θεώρημα

4.2

της σελίδας

64

ιϊ χΊI

εχουμε Ι"ιl

Ι tl

εχουμε

= K~

4.25.

=

3

Δείξτε ότι ή στρέψη της σφαιρικής δείκτριας της

Ι·· χ···

Χ 1,,13Χ

4.5

τής σελίδας

70,

:a

Συνεπώς

.b ..b = χ

(τη) Χ (τη

+ τ2b - "Tt)

=

τ3(η χ

•

•

Από τό Πρόβλημα 4.18

b

=

.

[μέ παραμετρική παράσταση Xa

. Τ3 = τ(~~~)' .b =

γιά νά βρουμε τό Τ3'

-b = τη + τη = τη + τ (b χ t) = ';'η + τ[-τ{η Χ ι) + ",{b χ η» =

f

παράσταση

ικι

μιας KανOνιΙCΗς καμπύλης μέ κατάλληλη διαφορισιμότητα εΙναι Χρησιμοποιουμε τό θεώρημα

παραμετρική

IKb+ Ttl

(Kb + Tt) • (",b + Tt)

=

=

[μέ

• Από την

-τη Εχουμε

τη + T[(b Χ t) + (b χ i)J ';'η + τ2b - "Tt

=

b) - .,-2",(n χ t) =

τ3t

+ .,-2"b =

= b(s)]

.,-2(Tt + "b)

ΚΕΦ.4

79

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

. ...

καί

d··· b)

=

bxb

ιh (b χ

[b"b"b]

Συνεπώς

=

d

= =

ds lτ2 {τt + ιcb)J

=

2τT{Tt+ ιcb)

2τT(Tt

-"b· (b x'b)

ιcb)

+

•

τ 2 (Τ! + ιcτη

+

Κb

- τιcη) 3Nt +

=

+ τ2(ΤΙ+ Kb)

(2πιc

+ τ2κ)b

=

(Tn + τ2b - ιcTt) • [3T2Tt + (2πιc + κτ2)b]

=

-τ3[-3ιcτ

[b b"b J = 11:. x'bj2

καί τελικά

+

•

2TT(Tt + ιcb) + ,.2(Tt + -rt + Kb + ιcb)

=

+ 2,"" + τκ]

τ3(τκ - ιcΤ)

τ 3 (τκ - ΙCT) τ4(ιc2

+ τ2)

ΥΑλυτα ΙΙροβλήματα 4.26.

Βρείτε τήν τομή τοϋ επιπέδου Χ Ι Χ2

στό σημείο

4.27.

t =

π/2.

Άπ.

χι

καί τοϋ κάθετου επιπέδου τής καμπύλης

=

Βρείτε τήν τομή το\) επιπέδου ΧΙΧ2 στό

t

= 1.

Άπ.

(4/3,

-π/2, Χ2

= k,

Χ3

=

Ο,

-ω

χ

(cos t)el

καί τής εφαπτομένης της καμπύλης

=

χ

(Ι

Ι/3, Ο)

+ t)e l - t2e 2 +

4.28.

Δείξτε δτι μιά καμπύλη εΙναι εύθεία, αν δλες οί εφαπτόμενές της εΙναι παράλληλες.

4.29.

VΕστω::'Ο ή γωνία πού σχηματίζουν τά μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα δτι

lim

Δs-+Ο

=

Δθ

+ (Sin t)e2 + te 3

cO

t(S.+

ΔΒ) καί

t(S),

Δ8

4.31.

Δείξτε ότι μιά καμπύλη εΙναι εύθεία, αν τά χΙ καί χ" ε{ναι γραμμικώς εξαρτημένα γιά κάθε

4.32.

Βρείτε τήν καμπυλότητα κατά μήκος τής καμπύλης

4.33.

τ

=

-1/(Ι

+4

Δείξτε ότι ιcτ

4.35.·

Δείξτε ότι ή καμπύλη

=

(Ι

-

βίη

t)e}

=

(t -

sin t)e } +

(Ι

+

(1 - cos t)ez

+

- cos t)e2

+ tea.

te3.

sin4 t/2)

χ

te l

1+t Ι-Ι2 +t - ez + - t - e3

βρίσκεται σέ ενα επίπεδο.

Βρείτε τή γενικότερη συνάρτηση f(t), γιά τήν δποία ή καμπύλη επίπεδη καμπύλη.

4.37.

χ

t.

= ιϊ" b!.

4.34.

4.36.

Δείξτε

ή καμπυλότητα εΙναι

+ 4 sin4 tI2)l/2/(l + 4 sin2 tI2)3/2

(1

Βρείτε τή στρέψη κατά μήκος τής καμπύλης χ Άπ.

χ

= xl(t)e } + x2(t)eZ

Δείξτε στι κατά μηκος της επίπεδης καμπύλης

1"1 =

Ο.

+ t 3)e3

Ο.

4.30.

Άπ.

>

(Ι

•Απ. f(t)

= Α sin t + Β cos t + C,

χ

Α, Β,

=

C=

Δείξτε ότι τά εγγύτατα επίπεδα σέ τρία τυχόντα σημεία τής καμπύλης χ

α.{cοs

t)el

σταθ.

+ a(sin t)e2 + !(t)e3

εΙναι

= tel + tt2e! + !t3e3 διέρχονται άπό

ενα σημείο τοϋ επιπέδου πού δρίζεται άπό τά τρία σημεία.

4.38. 4.39.

Δείξτε ότι ή

• Αποδείξτε τότε τ

==

χ

= x(t)

εΙναι μιά επίπεδη καμπύλη, εάν καί μόνο εάν (Χ'Χ"χ"']

τό άντίστροφο τοϋ Θεωρήματος

4.4

τής σελίδας

70:

Έάν χ

=

Ο.

= x(s) εΙναι

μιά επίπεδη καμπύλη,

ο.

4.40.

Δείξτε ότι μιά καμπύλη εΙναι κυλινδρική ελικα, εάν καί μόνο εάν ή σφαιρική δείκτρια της t

4.41.

Δείξτε ότι ή εφαπτομένη της σφαιρικής δείκτριας τής t μιας καμπύλης μένη τής σφαιρικής δείκτριας τής

b

C

ε{ναι παράλληλη μέ τήν εφαπτο

στά άντίστοιχα σημεία.

εΙναι ιc3

=

(ιc 2

+ τ2)/ιc

4.42.

Δείξτε ότι ή καμπυλότητα τής σφαιρικής δείκτριας τής

4.43.

Δείξτε δτι ή στρέψη τής σφαιρικής δείκτριας τής t εΙναι τι = κ(;2 -: :;) .

b

εΙναι περιφέρεια.

2

•

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

ΟΙ ΕΕΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ

Θεώρημα

FRENET

Κατά μηκος της καμπύλης Χ

5.1.

νοποιουν τίς έξισώσεις

•

= x(s) οί

t

κη

η

-Kt

b

-τη

διανυσματικές συναρτήσεις

t,

η καί

+ Tb

ίκα-

b

(5.1)

Οί έξισώσεις αύτές λέγονται έξισώσεις τών SeπeΙ-Freneι η έξισώσεις του

Frenet

της καμπύλης.

Οί έξισώσεις αύτές εΙναι βασικές στή θεωρία τών καμπυλών καί πρέπει κανείς νά τίς άπομνημονεύ . Η πρώτη καί ή τρίτη άπό τίς έξισώσεις εχουν ηδη βρεθεί [έξισώσεις (4.6) καί (4.14)]. Γιά νά άποδείξουμε τή δεύτερη έξίσωση παραγωγίζουμε τήν η b χ t. Στή συνέχεια χρησιμοποιουμε σει.

=

τήν πρώτη καί τήν τρίτη έξίσωση, όπότε παίρνουμε

ή

=

j, χ t + b χ i

-τ(η χ t} + b χ (κη)

=

Παρατηρουμε στι, αν γράψουμε τίς έξισώσεις του

.t

t,

τότε άπό τούς συντελεστές των

η,

b

=

-Kt

b

Ot -

Frenet κη

Ot +

η

=

(-T)(-b) + «(-t)

=

-Kt + Tb

μέ τή μορφή

+ Ob

+ Οη + Tb τη

+ Ob

σχηματίζεται ό πίνακας

~~\ (&~) ~ (-~Ο -τ~ ~)( Ο ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Σάν ενα πρώτο συμπέρασμα τών έξισώσεων του

θά δείξουμε στι μιά καμπύλη εΙναι πλήρως

Frenet

όρισμένη, αν δοθουν ή καμπυλότητα καί ή στρέψη της ώς συναρτήσεις μιας φυσικής παραμέτρου.

Θά δείξουμε δηλαδή στι, αν Τ*(8) γιά κάθε 8, τότε οί στό χώρο.

C

καί

C

καί

C*

C*

εΙναι δύο καμπύλες γιά τίς όποίες

Πράγματι, αν δοθουν δύο τέτοιες καμπύλες, τότε ή

γιά κάποιο S

=

«(s) = «*(s)

καί

T(S)

=

εΙναι ίδιες χωρίς όμως νά εχουν άπαραίτητα τήν ίδια θέση μέσα

80 τά άντίστοιχα σημεία των

C*

καί

C

C*

μπορεί vΆ μεταφερθεί ετσι ώστε

νά συμπέσουν.

Στή συνέχεια εστω ότι ή

C* περιστρέφεται γύρω άπό τό κοινό σημείο ετσι ώστε στό 80 οί τριάδες (t:, η~, ~) καί (to, no, bo) νά ταυτιστουν. Παραγωγίζοντας τώρα τό γινόμενο t· t* καί χρησιμοποιώντας τίς έξισώσεις του Frenet, εχουμε d t· i* + i· t* t'K*n* + KD-t* = K(t'n* + n-t*) ds(t·t*) d ds(n-n*)

'Επίσης

καί

d

-(b-b*) ds

= =

η-ή*

+ ή-η*

=

D'(-K*t*+T*b*) + (-«t+Tb)-n*

-K(n-t* + t'n*) + T(n-b* + b-n*)

b-j,*

+

j,-b*

=

b· (-τ*η*)

80

+

(-Tn)-b*

-T(b- η* +

η-

b*)

Κ Ε Φ.

81

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

5

Προσθέτοντας τίς παραπάνω σχέσεις κατά μέλη εχουμε

d ds(t-t* + • Ολοκληρώνοντας

παίρνουμε

t· t* +

η' η*

Ο

+b-b*) = σταθ .

+ b - b* =

b o = b~, δπότε to - t:

= η~.

• Αλλά στό Βο είναι 10 = t~. no

η-η*

= ηο - η~ = b o - b: = 1.

νΕτσι, στό Βο,

καί συνεπώς γιά κάθε Β, εχουμε

η- η*

t - t* +

+ b - b* =

3

. Αλλά δύο μοναδιαία διανύσματα, σπως τά t καί t* πληρουν πάντοτε τή COS4-(t,t*) "'" 1. Όπότε, επειδή t-t* + η-η* + b-b* = 3. συμπεραίνουμε

t - t* νΕτσι, γιά κάθε

ται στι

x(s)

s

η- η*

1,

= 1,

=

b - b*

-1

~

t· t* =

1

t = t*, η = η* καί b = b*. Τέλος, επειδή t = dx/ds = t* = dx*/ds, επε • Αλλά στό Βο είναι X(So) = x*(so). Συνεπώς x(s) = x*(s) γιά κάθε Β, C καί C* ταυτίζονται. νΕτσι άποδείξαμε τό εξής θεώρημα:

είναι

= x*(s) + σταθ.

δηλαδή οί καμπύλες Θεώρημα

=

σχέση

στι

Μιά καμπύλη δρίζεται μονοσήμαντα, σταν δίνονται ή καμπυλότητα καί ή στρέψη

5.2.

της ώς συναρτήσεις μιας φυσικής παραμέτρου.

κ

Οί εξισώσεις

= K(S),

Τ

=

τ(Β)

πού δίνουν τήν καμπυλότητα καί τή στρέψη μιας καμπύλης ώς συναρτήσεις του 8 λέγονται φυσικές ή έσωτερικές έξισώσεις τής καμπύλης, έπειδή προσδιορίζουν πλήρως τήν καμπύλη. Παράδειγμα

5.1.

'(α)

• A~ό τά ~εω~ήματα 4.1 καί 4.4 (σελ. 64 καί 70 άντίστοιχα) επεται ότι οί φυσικές tξισώσεις μιας εύθείας εΙναι

Ι

ΙC = Ο και .,.

=

ο.

, (b) ΟΙ εξισώσεις ιc = σταθ."# Ο,

ρ

..

= 1/IΙCI·

=Ο

(Παράδ.

4.3, σελ. 63) εΙναι οΙ φυσικές tξισώσεις περιφέρειας μέ άκτίνα

(c) ΟΙ φυσικές εξισώσεις της κυκλικής ελικας (Παραδ. 4.4 καί 4.9) εΙναι

=

Ι<

σταθ.

"#

.,. =

Ο,

σταθ.

'Η ελικα αύτή βρίσκεται σ' εναν κυκλικό κύλινδρο άκτίνας lιcl/(1<2 κα εΙναι δεξιόστροφη αν

.,.

>Ο

καί άριστερόστροφη αν

.,.

<

#'

Ο

+ .,.2)

καί εχει βήμα 21τ1'Ψ(κ2

+ .,.2).

• Η ελι

Ο.

ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΕΩΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ

Παρατηροϋμε στι οί έξισώσεις του σεων πρώτης τάξεως ώς πρός

Frenet

1, η καί b.

συνεχείς συναρτήσεις Ι< καί τ ύπάρχουν λύσεις

πειδή

i = 1,

άποτελουν ενα σύστημα τριών διαφορικών εξισώ

Είναι λογικό επομένως νά ρωτήσουμε, αν Υιά τυχουσες

t,

η,

b

τών εξισώσεων του

Frenet,

καί συνεπώς ε

αν ύπάρχει μιά καμπύλη

Χ

f

tds

+

C

μέ καμπυλότητα καί στρέψη τίς συναρτήσεις πού δόθηκαν.

•Η

άπάντηση είναι καταφατική καί

δίνεται άπό τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα νΕστω

5.3.

1«8)

Τό θεμελιώδες θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας Υιά καμπύλες aτό χώρο. καί τ(8) τυχουσες συνεχείς συναρτήσεις όρισμένες στό διάστημα α ~

ύπάρχει μιά μοναδική καμπύλη

8 ~ b. Τότε C, μέ καμπυλότητα καί στρέψη τίς κ(8) καί τ(8) άντίστοιχα καί

φυσική παράμετρο τό 8, τής όποίας σμως ή θέση στό χώρο δέν προσδιορίζεται μονοσήμαντα.

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

82

• Η μοναδικότητα μιας καμπύλης μέ δοθείσα στρέψη καί 5.2. • Η ϋπαρξη μιας τέτοιας καμπύλης άποδεικνύεται

καμπυλότητα άποδείχθηκε στό Θεώ

ρημα

Γενικά, λύσεις τών έξισώσεων του

στό Παράρτημα

1.

δέν μπορουν νά βρεθουν μέ όλοκλήρωση.

Frenet

Ύπάρχ ει

όμως μιά μέθοδος ή όποία άνάγει τό σύστημα αύτό σέ μία διαφορική έξίσωση πρώτης τάξεως, πού

λέγεται έξίσωση του στό βιβλίο του

Ρ.

L.

Riccati καί εχει πλήρως διερευνηθεί. ΟΙ λεπτομέρειες μπορουν νά βρεθουν Eisenhart, Α Treatise on the Differential Geometry ΟΙ Curνes and Surlaces, Ginn

and Co., 1909. Στήν περίπτωση μιας έπίπεδης καμπύλης, δηλαδή όταν

τ Ξ Ο, ή όλοκλήρωση εΙναι· πάντα δυνατή.

Πράγματι, ε

στω Φ ή γωνία πού σχηματίζει τό διάνυσμα Χι, όπως φαίνεται στό Σχ.

· Επίσης,

Τότε

5-1.

t = (cos ιp)el

+ (βίη ιp)e2

έπειδή τό n εΙναι κάθετο στό

ψουμε

μέ τόν αξονα

t

(5.2)

= (- βίη ιp)el + (cos φ)e2

n

t

μπορουμε νά γρά

t,

(5.3)

Παραγωγίζοντας εχουμε

φ[(-sίηφ)eι

+ (cοsφ)e2] = φη = -φ[(cοs ιp)el + (βίη ιp)e2] = -φt

i = καί

ή

· Αλλά

όταν τ

= ο,

οΙ έξισώσεις του

= Kn,

t ~Eτσι, τά

t

καί

n

ή

=

γίνονται

Frenet

Σι.

άπό τίς παραπάνω σχέσεις εΙναι λύσεις των έξισώσεων του

βρήκαμε τήν φ, εχουμε άπό τήν

f

χ

tds

+

5-1

-Kt

f • Αφου

----+---------------------.χι

Kds

+

Frenet

αν φ

= κ,

11

(5.4)

Cl

(5.2)

f

C2

[(cosιp(s))el + (sinιp(s))e2]ds +

Παρατηρουμε ότι μιά άλλαγή στή σταθερή όλοκληρώσεως της

(5.5)

C2

(5.4)

όρίζει μιά μεταφορά της Φ

καί συνεπώς μιά στροφή της καμπύλης γύρω άπό τήν άρχή των άξόνων.

Μιά άλλαγή στή σταθερή

όλοκληρώσεως της

(5.5)

όρίζει μιά μεταφορά της καμπύλης.

Παρατηρουμε ότι, αν κ -F Ο γιά κάθε ρήσουμε τήν Φ

χ =

f

Παράδειγμα

ιp(s) ώς παράμετρο στήν

«cos ιp)el 5.2.

αν θέσουμε Φ

χ =

=

+ (βίη φ)~) :

ΟΙ έξισώσεις κ

= κ = 1/8,

f K(~)

s, τότε Φ -F Ο γιά κάθε s. Αύτό μας έπιτρέπει νά θεω

«cos

τότε Φ

dq,

καί νά εχουμε

(5.5)

+

C2

=

f K(~) Φ

φ)e ι + (Βίη φ)e2) dφ +

= .,,/4,

C2

=Ο

καί θέσουμε Φ

χ

=

Cι

f e(Φ-C )

Ι «cos φ)e ι

C2

!e(Φ-C Ι ) (cos φ

+

C1

+ (βίη ιp)e2) dq, +

C2

= 1/8, τ = Ο μέ 8 > Ο εΙναι οΙ φυσικές έξισώσεις τής λογαριθμικής ~λΙKας. = log.8 + C l , Αύτή δίνει 8 = e - καί κ = 1/8 = e-(Φ-C ι ). Συνεπώς

=

'Εάν έκλέξουμε

«cos ιp)el

- .,,/4

= 8,

C2

+ Βίη φ)e ι

!e(Φ-C Ι ) (Βίη Φ - cos φ)e2

ειουμε

....!...ee[(cos 8)e } +

V2

+ (Βίη φ)e2) dφ +

(Βίη 8)e2]

ή όποία, σέ πολικές συντεταγμένες, παριστάνει τή λογαριθμική ελικα r

= (1/V2)e e•

+

C2

(5.6) Διότι,

r ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

83

ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

νΕστω Ρ τυχόν σημείο τής καμπύλης

Θεωρουμε τήν καμπύλη σέ τέτοια θέση, ώστε τό Ρ

C.

νά εΙναι στήν άρχή των άξόνων καί ή βάση

νά συμπίπτει μέ τήν (t, π, b) στό Ρ. Τέλος, C Εκλέγεται μιά φυσική παράμετρος, ετσι ώστε s = Οστό Ρ. Έάν χ = Χ(8) εΙναι μιά φυσική παράσταση τής C, τότε χ(Ο) = ο, χ(Ο) = t(O) e1 καί χ(Ο) = i(O) = κ(Ο) π(Ο) = KO e 2• • Επίσης, επειδή

(et, e2, ea)

ύποθέτουμε ότι κατά μήκος τής

d • d8 t =

χ

=

d ds KR

+

κή

κΠ

=

K(-Kt

+ Tb) +

κΟ

εχουμε

Τελικά, επειδή ή

C

εΙναι κλάσεως

~

Cm, m

μπορουμε νά γράψουμε

3,

Χ(8) = χ(Ο) + Χ(0)8 + Χ(Ο) ~2! + 'χ (Ο) ;3! + e 18

+

(8 -

82

+

Koe 2 2!

K~)

(-K~e}

0(83) 83

+ Koe z + ΚοΤ oe:) 3! +

0(83)

ΚΟ) ΚοΤ Ο + (Κο "2S2 + 6S3 e z + T83e3 +

6S3 e t

0(83)

Συνεπώς οί συντεταγμένες συναρτήσεις της Χ(8) ε{ναι

χι

=

S -lK~s3

+ 0(S3),

=

Χ2

-lK0 8

2

+ 1;K S + 0(S3),

Οί παραπάνω εξισώσεις όνομάζονται κανονική μορφή της φουν κατά προσέγγιση τή μορφή τής Παράδειγμα

C

Χ3

3

O

C

στό Ρ.

=

iKOTOs3

+

0(83)

Οί πρωτοι δροι της περιγρά

σέ μιά περιοχή του Ρ.

·Οπως φαίνεται στό παρακάτω παράδειγμα γιά την κανονική μορφή μιας καμπύλης στό

5.3.

νυσματική προβολή της χ έπί της εφαπτομένης εΙναι τό διάνυσμα Xtet.

Ρ, ή δια

'Επειδή ή συντεταγμένη συνάρτηση χι

αρχίζει μέ πρωτοβάθμιο δρο ώς πρός Β, ή μεγαλύτερη από τίς προβολές της καμπύλης στούς τρείς άξονες βρίσκεται επί τοϋ πρώτου άξονα (δηλαδή της έφαπτομένης).

καί αΡΊίζει μέ δευτεροβάθμιο δρο ώς πρός τοβάθμιο δρο ώς πρός Β.

s·

.Η

συντεταγμένη συνάρτηση της χ στήν πρώτη κάθετο εΙναι Χ2

ένώ ή συντεταγμένη συνάρτηση στή δεύτερη κάθετο αρχίζει μέ τρι

• Επιπλέον παρατηροϋμε δτι, αν κο ~ ο,

ή καμπύλη βρίσκεται στη μιά πλευρά τοϋ εύ

θειοποιοϋ έπιπέδου, αφοϋ ή Χ2, πού κατά προσέγγιση εΙναι S2, δέν αλλάζει πρόσημο στό Ρ. καμπύλη διαπερνα τό εγγύτατο επίπεδο στό Ρ, αφοϋ ή Xa. πού κατά προσέγγιση εΙναι

>

Τέλος, αν "'0 από τό Ρ.

Ο, δπως φαίνεται στό ΣΊ. 5-2(α). ή τριάδα

. Εάν

νεται στό Σχ.

το

<

Ο, τότε ή

(t, n, b)

r,

. Εάν

εΙναι το ~ ο, ή

αλλάζει πρόσημο στό Ρ.

(t, n, b) περιστρέφεται σάν δεξιόστροφος KQΊλίας γύρω

περιστρέφεται σάν άριστερόστροφος ΚΟΊλίας γύρω από τό Ρ,

όπως φαί

5-2(b).

Κάθετο

tπιπεδο

EUΘΕιoπoιό

EUΘΕΙ01
tJdπεδo

tJdπεδo

'Ε-ΥΥυτατο Αιdπεδο

r. >

Έπ6τατο έΠΙπεδο

". < ο

ο

(ΙΙ)

(α) Σχ. 5 -!

ΚΕΦ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

84 ΠαράδεΙΥμα

5

Θεωροϋμε τούς πρώτους όρους της κανονικης μορφης μιας καμπύλης στό Ρ

5.4.

=

χι καί ύποθέτουμε ότι "'ο

>

Ο,

Το

>

Ο.

8,

Χ2

• Απαλείφοντας

=

Χ3

i"'08 2 ,

=

i",OT083

τό 8 μεταξύ των δύο πρώτων εξισώσεων, παρατηροϋμε ότι στήν

περιοχή ενός σημείου ή προβολή της καμπύλης στό εγγύτατο επίπεδο (επίπεδο ΧΙΧ2) εΙναι κατά προσέγγιση ή παρα

=

βολή Χ2 i"'oX~, πού δίνεται στό Σχ. 5-3(a). • Η προβολή της καμπύλης στό εύθειοποιό επίπεδο εΙναι κατά προ σέγγιση ή τριτοβάθμια καμπύλη Χ3 l",OTOX~' πού δίνεται στό Σχ. 5-3(b). Τέλος, ή προβολή στό κάθετο επίπεδο εΙναι κατά προσέγγιση ή καμπϋλη X~ I(T~/",o)x~ , πού δίνεται στό Σχ. 5-3(c).

=

=

(α)

(b) Σχ.

(c)

5-3

ΕΝΕΙΛΙΓΜΕΝΕΣ

Οί εφαπτόμενες μιας καμπύλης

της

C.

Μιά καμπύλη

πτόμενες της

C

παράγουν μιά επιφάνεια, πού όνομάζεται έφαπτόμενη έπιφάνεια

C

πού κείται επί της εφαπτόμενης επιφάνειας της

C*,

όρθογώνια, λέγεται ένειλιγμένη της

C

καί τέμνει τίς εφα

C.

δίνεται άπό τήν χ = x(S) καί αν, δπως φαί 5-4, x*(s) εΙναι ενα σημείο μιας ενειλιγμένης C*, στό όποίο ή C* τέμνει όρθογώνια τήν εφαπτομένη στό x(s), τότε τό διάνυσμα x*(s) - x(s) εΙναι συγγραμμικό μέ τό t(s). ν Αρα ή C* εχει μιά παράσταση της μορφης x*(s) = x(s) + k(s) t(s). . Αλλά, σέ μιά ενειλιγμένη, τό Έάν ή

C

νεται στό Σχ.

εφαπτόμενο διάνυσμα

dx*· ds = Χ + kt

+

• (1 + k)t

=

kt

+ kKn

εΙναι κάθετο στό εφαπτόμενο διάνυσμα t της

dx*· ds • t (1 + k)(t • t)

=

• Ολοκληρώνοντας λιγμένες χ*

+ kK(n· t) =

k s)t,

χ

δηλαδή

•

+k =

= -s + c, c = σταθ.

εχουμε

= χ + (c -

1

C,

c Ο

Σχ.

5-4

νΕτσι, ύπάρχει μιά απειρη οίκογένεια άπό ένει

μία ένειλιγμένη γιά κάθε

c.

s = c.

Γιατί

εΙναι Κ =ιJ. ο.

. Από

Παρατηροϋμε δτι ή χ* δέν εΙναι κανονική έκεί δπου ή χ εχει σημείο καμπης ή

dx* ds καί συνεπώς

dx*lds

=

dx ds

+

= Ο, δπου Κ = Ο.

dt (c-s)ds - t

=

• (c-s)t

=

(c-s)Kn

νΕτσι, ύποθέτουμε δτι κατά μη κος της

αυτο επεται επισης δτι καί κ* =F Ο κατά μηκος της ένειλιγμένης της

στό Πρόβλημα

5.15

της σελίδας

97,

Κ =F Ο.

C

Γιατί, δπως δείχνουμε

ή καμπυλότητα της ένειλιγμένης ίκανοποιεί τήν κ*2

Συνεπώς κ* =F Ο όταν

C.

=

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

Έάν -σο

ή

Δηλαδή, τό

ότι

έφαπτομένη

< k < 00, k

μιας

καμπύλης

τότε

Χ

=

Χ(8)

εΙναι μιά φυσική

στό σημε~o Χ δίνεται άπό τήν

!tl

!dx·ldk! παράμετρος.

85

=

ci : χ.

στα ση μεταξύ των δύο ένειλιγμένων

Έmπλέον, έπειδή γιά

= Χ

=

Χ

+ kt,

1 k

=Ο

εΙναι χ.

εΙναι ή άπόσταση του σημείου χ. της έφαπτομένης άπό τό σημείο Χ της

!k!

χ.

+ (Cl -

ct : χ.

8)t καί

= Χ

= Χ,

επεται

Τέλος ή άπό

C.

+ (C2 -

8)t της C, ό

πως φαίνεται καί στό Σχ. 5-5(α), διατηρείται σταθερή γιά κάθε 8 καί εΙναι ίση μέ

!(C! - 8) -

8)1 = IC! -

(C2 -

C2!

.' Από τά παραπάνω συμπεραίνουμε ότι μπορουμε νά κατασκευάσουμε μιά ένειλιγμένη της καμπύλης C ξετυλίγοντας ενα τεντωμένο νημα πού εΙναι τυλιγμένο κατά μηκος της. Έάν, όπως συμβαίνει στό Σχ. 5-5(b), τό νi'jμα εχει μηκος Co καί εχει έκλεγεί μιά φυσική παράμετρος 8 κατά μηκος της C πού νά παριστάνει τήν άπόσταση του τυχόντος σημείου της άπό τό σταθερό άκρο του νήματος, τότε ή καμπύλη πού παράγεται άπό τό ξετύλιγμα του νήματος εΙναι ή ένειλιγμένη χ. = χ + (Co - 8)t.

c

C* 8=0 (α)

(b) Σχ.

Παράδειγμα

5.5.

Γιά τήν ελιιcα

~~ t

'Επίσης, χ*

=

Χ

+

(c - s)t

=

ddXt

/1

ddXt

Ι

--

(α2

(α2 + b2) l/2 t.

=

+ α(βίη t)e2 + bte3'

= a(cos t)el

-a(βίη t)e t + a(cos t)e2 + be3'

==

-=

= ~! Ι;;: Ι dt

s

Χ

5-5

[α

cos t - a(c -

+

[bt

+

W

>

Ο,

b~

ο, εχουμε

Ι ~: Ι = (α2 + bψ/2

+ b2 )-l/2(-a(sin t)e l +

a(cos t)e2 + be3)

Αρα οΙ ένειλιγμένες εΙναι οί καμπύλες

Β){α 2

(c -

α

+ b2 )-l/2 sin t]el +

Β)(α2

[α

sin t

+ a(c -

Β)(α 2

+ b2 )-l/2 cos t]e2

+ b2)- l/2b]e3

. Εάν θέσουμε γ = c(a2 + b2 )-l/2 καί χρησιμοποιήσουμε τήν άντίστροφη συνάρτηση t = Β(α2 + b 2)-l/2, εχουμε χ*

=

a[(cos t

+t

βίη t) -

γ

sin t1et

+

α[(βίη t -

t cos t)

+ -γ cos t}e2 +

boγe3

Παρατηρούμε ότι ή ένειλιγμένη αύτή εΙναι μιά έπίπεδη καμπύλη, πού βρίσκεται στό έπίπεδο :1:3 στό Σχ.

5-6.

Σχ.

5-6

=

bΎ, όπως φαίνεται

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

86 ΕΞΕΙΛΙΓΜΕΝΕΣ

Έάν μιά καμπύλη

τότε έξ όρισμοϋ ή δοθεί ή

C*

εΙναι ένειλιγμένη τής καμπύλης

C

λέγεται έξειλιγμένη τής

= X(S)

άπό τήν Χ

καί

όρθογώνια.

C

• Εάν

ή

C

δίνεται

εΙναι τό σημείο τής έξειλιγμένης,

X*(S)

στό όποίο ή έφαπτομένη της τέμνει τήν

X*(S} = X(S)

C

στό

X(S),

τότε

+ α(Β) n(s) + β(Β) b(s)

Γιατί, όπως φαίνεται στό Σχ.

t(S)

Συνεπώς, αν

C.

οΙ έξειλιγμένες της εΙναι οΙ καμπύλες, τών όποίων

C,

οΙ έφαπτόμενες τέμνουν τήν

στό

C*,

5-7,

τό

x*(s)-x(s)

εΙναι κάθετο

καί συνεπώς μπορεί νά έκφραστεί ώς γραμμικός συν

δυασμός τών

n(s)

καί

Παραγωγίζουμε τήν παραπάνω σχέ

b(s).

Σχ. 5 - 7

ση, όπότε έχουμε

dx*

= Χ

d8

Έπειδή χ* -

χ

=

τώρα

αΩ

τό

+ {Jb.

•

είναι

dx*/ds

έπίσης

Αρα α

= Ι/κ

+ άη + a(-Kt+ Tb) + iJb - βτη = (1 - aK)t + (ά - βτ)η + (β + -ra)b t

έφαπτόμενο

τής

Συνεπώς, ύπάρχει πραγματικός άριθμός

Ι-ακ = Ο, W

•

+ άη + αή + {Jb + {Jb

(ά- βτ) = ka

καί, άφου άπαλείψουμε τό

k

καί

λύνοντας ώς πρός

• Ολοκληρώνοντας

τ

_

τ

-

C*,

θά

εΙναι

συγγραμμικό

μέ

τό

τέτοιος ώστε

(β+τα) = kp

άπό τίς δύο τελευταίες έξισώσεις, παίρνουμε

β(ά - βτ) - α(β + τα)

11

k

=

Ο

βά - αβ _ ~C t- t !!. a2+fJ2

-

ds ο

[!

α

J.

τήν τελευταία σχέση έχουμε β = acot τ ds + C 'Επειδή α = ι/Κ, έχουμε τε λικά β = (Ι/κ) cot τΜ + C J. ~Eτσι φθάνουμε σέ μιά άπειρη οίκογένεια άπό έξειλΙΥμένες, μιά

[!

έξειλιγμένη Υιά κάθε τιμή της

c,

χ*

μέ έξίσωση

χ + ~η + ~cot(S -rds + C)b

=

ν Ας σημειωθεί ότι κατά μήκος τής

C πρέπει (γιά νά έξασφαλίσουμε τήν κανονικότητα) νά ύπο Πράγματι, παραγωyίζovτας τήν χ* = Χ + αΩ + pb έχουμε dx*. • ds = (α- βτ)η + {β + -ra)b

θέσουμε ότι (ά - βτ)" + (β + τα)" =F Ο.

δηλαδή ή C· δέν εΙναι κανονική καμπύλη, όταν (ά - βτ)2 + (β + τα)2 = Ο. ΕΙδικά, όταν ή C εΙναι μιά έπίπεδη καμπύλη, τότε τ = Ο, α = Υβ μέ Υ = σταθ. καί (ά - βτ)2 + (β + τα)" = (κηκ4 )(Ι + Υ-2). νΕτσι, γιά τίς έπίπεδες καμπύλες C άρκεί νά ύποθέσουμε ότι j( =ιk Ο. Παράδειγμα τε

.,.

5.6.

= Ο καί χ*

·Οπως

Έάν

C

εΙναι μιά έπίπεδη καμπύλη, τό

οΙ έξειλιγμένες της εΙναι

=

χ + !D + r b

"

φαίνεται aτό Σχ.

,,'

5-8,

Υ = σταθ.

γιά Υ

=Ο

1)

έξειλιγμένη βρίσκεται στό Ίδιο έπίπεδο μέ την ματι, αύτή εΙναι

1)

άντ{στοιχη

C.

Πράγ

μόνη έξειλιγμένη aτό έπίπεδο της

καί όνομάζεται Aπiπεδη ιςειλιγμivη της

C.

C

Παρατηροϋμε

b = σταθ., οΙ άλλες έξειλιγμένες βρί lva κ:ύλινδρο, του όποίου οΙ γενέτειρες εΙναι καθετες στό έπίπεδο της C καί διέρχονται άπό τά σημεία τής έπίπεδης έξειλιγμένης τής C. έπίσης ότι, έπειδή σκονται πάνω σ'

Σχ,

5-8

ΚΕΦ.5

87

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

8ΕΩΡΙΑ ΕΠΑΦΗΣ

Διαισθητικά φαίνεται ότι, άπό όλα τά επίπεδα πού διέΡΊονται άπό ενα σημείο Χ μιας καμπύλης

c.

εκείνα πού περιέΊουν τήν εφαπτομένη στό Χ εΊουν μεγαλύτερο βαθμό «επαφής» μέ τήν

Χ άπό ό,τι τά επίπεδα πού δέν περιέΊουν τήν εφαπτομένη. ριέΊουν τήν εφαπτομένη

C

στό

Έπίσης, άπό όλα τά επίπεδα πού πε

στό Χ, εκείνο πού εΊει τό μεγαλύτερο βαθμό έπαφής ε{ναι τό εγγύτατο

επίπεδο.

Γιά νά εξετάσουμε γενικά τό βαθμό επαφής μιας καμπύλης ή

κλάσεως, ενώ ή επιφάνεια

C

C μέ μιά επιφάνεια, ύποθέτουμε ότι = xl(t)el + XZ(t)e2 + X3(t)e3 πού είναι κατάλληλης S δίνεται άπό τήν εξίσωση F(xl, Χ2, Χ3) = Ο. Ύποθέτουμε επίσης ότι ή σέ ενα σημείο Χσ = X(to) άλλά καί σέ n -1 άκόμη σημεία, χι = Χ(Ι ι ),

δίνεται άπό τή διανυσματική συνάρτηση Χ

C

τέμνει τήν

ΟΊΙ μόνο

S

= x(t"-l)

... , Χ,,-ι

μιας πεΡΙΟΊής του χο.

=

f(t) Προφανώς εΊουμε

C

ύπάΡΊουν

καί

S

F(xI(t), X2(t), X3(t»

f(t o)

=

F(xt(tt), X2(t l ), Xa(tt»

f(t t )

γιατί οί

Θεωρουμε τώρα τή συνάρτηση

τέμνονται στά σημεία Χο, Χι, ... , Χ,,-ι.

t;, t;, ... , t~-l

Ο

' Από τό θεώρημα του Rolle εΠΕται ότι

μέ

to ~ ετσι ώστε

t; ~ t t , f'{t;)

ι ι ~ t; ~ t 2 ,

=

~ t~-l ~ t n -

= .,. = f'(t~-I) = ύπάΡΊουν t;" t;" ... , t::-

=

μέ

t~-2 ~ ι~'-ι ~ Ι~-ι

... ,

= ... =

!"(t~')

l

Ο

t

'"

f"(t~')

2

f'(t~)

Άλλά πάλι άπό τό θεώρημα του Rolle

ετσι ώστε

tn -

••• ,

!"(t;:-t)

=

ο

ΣυνεΊίζοντας μέ αύτόν τόν τρόπο, βρίσκουμε ότι ύπάΡΊουν σέ κάποια πεΡΙΟΊή του

t;, t;', ... , ξ~~ ι ~

to

άριθμοί

t o,

γιά τούς δποίους εΊουμε

!(tO)

=

!'(t;)

=

f"(t~')

= .,. =

=

!(,,-t)(ξ~~l»

Ο

Ύποθέτουμε τώρα ότι ύπάΡΊει μιά δριακή επιφάνεια, καθώς τά Χι, Χ2, .•. , Χ,,-ι τείνουν στό

χο.

Ποιό συγκεκριμένα ύποθέτουμε ότι, καθώς τά Χι, Χ2, •.. , Χ,,-ι τείνουν στό Χο, ή

όριο μιας οίκογένειας επιφανειών, καθεμιά άπό τίς δποίες τέμνει τήν

n - 1 σημεία μιας πεΡΙΟΊής του χο. ~Oταν τά Χι, Χ2, •.• , Χ,,-ι ... ,ξ~Ι> τείνουν στό to καί συνεπώς στό όριο θά εΊουμε f(to)

=

=

f'(t o)

j"(tO) =

.. ,

=

C

S

είναι τό

στό χο καί στά παραπάνω

τείνουν στό Χο, οί άριθμοί

f(,,-n(t O} '=

tr, t~,

Ο

νΕτσι καταλήγουμε στόν επόμενο δρισμό:

Μιά καμπύλη Χ ξεως

n

= xl(t)eI + X2(t)ez + Xa(t)ea f(t)

ίκανοποιεί τίς συνθήκες W

εΊει μέ τήν επιφάνεια

στό σημείο πού άντισΤΟΙΊεί στήν τιμή

j(tO)

=

j'(to)

=

t

= t o,

F(xt, Χ2, Χ3) =

Ο

έπαφή τά

άν ή συνάρτηση

F(xl(t), X2(t), X3(t»

= .,. =

!(n-l)(tO)

=

Ο καί

j(n)(t O) =F

Ο.

Ας σημειωθεί ότι δ δρισμός αύτός είναι άνεξάρτητος τής παραμετρικής παραστάσεως τής καμ

πύλης.

Γιά νά τό άποδείξουμε ύποθέτουμε ότι

Χ

=

Χ~(θ)eι

+

Χ~(θ)e2

είναι μιά άλλη παραμετρική παράσταση τής καμπύλης.

+

Χ:(θ)e3

Τότε

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

88

Χ':'(θ) καί

=

Χί(t(θ»,

g(θ)

F(x! (θ), X~ (θ), X~ (θ»

g'(θ)

t' !'(t(B»

g"(θ)

(t')2 !"(t(B» + t" !'(t(B»

ί=1,2,3

F(χι(t(θ», X2(t(B», Xa(t(B»)

=

Γενικά, ή οω(θ) θά εΙναι γραμμικός συνδυασμός της !(i)(t(θ» ξεως, δηλαδή

, Αλλά, άν !
Παράδειγμα

!(t(B»

καί τών παραγώγων μικρότερης τά

= (t')! !
g(i)(θ)

ί

=

!(ί)(t(θο»

g(i)(θο)

έπειδή

= ο, ί = 1, ... , n-1, καί !
άποτέλεσμα.

=

• Η έξίσωση τοϋ έπιπέδου, πού διέρχεται άπό τό χο X(So) μιας καμπύλης χ - Χο) " Ν Ο. Θεωροϋμε τώρα τή συνάρτηση

5.7.

=

κάθετο σέ κάποιο μοναδιαίο διάνυσμα Ν, εΙναι (Χ

I(s) = (X(S) -

Χο)

= x(s)

=

ο,

καί εΙναι

"Ν

καί τίς παραγώγους της

Προφανώς,

= (Χ(80) -

I(so)

Χο)

"Ν

= Ο.

I,(s)

x(s)" Ν

t(s) " Ν

I"(s)

t(s)"N

K(S)

n(8) " Ν

' Επίσης, I,(so)

έάν καί μόνο έάν τό Ν εΙναι κάθετο στό

=

t(so)" Ν

=

Ο

t(80), δηλαδή στό μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα τής καμπύλης στό Χο' 2, εάν καί μόνο εάν περιέχει τήν εφαπτομένη.

"Ετσι, ενα έπίπεδο εχει μέ μιά καμπύλη έπαφή τουλάχιστον τάξεως Παρατηροϋμε άκόμη στι, άν

K(So)

#- Ο, τότε Ι" (so)

εάν καί μόνο έάν τό Ν εΙναι κάθετο στό

0(80),

=

=

K(So) n(so) "Ν

Ο

δηλαδή στό πρώτο κάθετο διάνυσμα τής καμπύλης στό Χο'

σταν Κ(80) #- Ο, τό έπίπεδο εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλάχιστον τάξεως στά διανύσματα

t(80) καί

n(sO),

3,

εάν καί μόνο έάν τό

δηλαδή έάν καί μόνο έάν τό επίπεδο εΙναι τό εγγύτατο έπίπεδο (Χ

-Ετσι,

Ν εΙναι κάθετο

- χο) "b(80)

=Ο

K(So) =

Ο, σλα τά έπί

Μέ παρόμοιο τρόπο όρίζουμε τήν τάξη έπαφης μεταξύ δύο καμπυλών τοϋ χώρου.

-Εστω ότι

τής καμπύλης στό Χο.

"Ας σημειωθεί στι σέ ενα σημείο καμπής, δηλαδή σ' ενα σημείο σπου

πεδα πού περιέχουν τήν έφαπτομένη εχουν μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλάχιστον τάξεως

ή μία άπό τίς δύο, ή καμπύλη

C, χ

3.

δίνεται άπό τήν παράσταση

=

Xl(t) el

+

X2(t} e2

+

X3(t} e3

καί εχει κατάλληλη διαφορισιμότητα, ένώ ή άλλη καμπύλη, ή Γ, δίνεται ώς τομή δύο έπιφανειών

F(xt, Χ2, Χ3}

=

G(Xl, Χ2, Χ3} Λέμε ότι ή

εχει μέ τήν Γ έπαφή τάξεως

C

συναρτήσεις

n

Ο Ο

στό σημείο πού άντιστοιχεί στήν τιμή

t = t o,

άν οί

!(t) - F(xl(t}, X2(t}, Xa(t» g(t) - G(Xl(t}, X2(t}, X3(t»

ίκανοποιοϋν τίς σχέσεις

!(tO) g(t O}

καί

!(tO) 7'=

έάν ή

C

Ο ή

g(tO) 7'=

εχει έπαφή τάξεως

χιστον τάξεως

n

Ο.

n

μέ τήν άλλη.

= =

!'(tO)

=

!"(tO)

=

g'(tO) = g"(t O) =

Έπομένως, ή

C

εχει μέ

= !
τάξεως

n,

έάν καί μόνο

μέ τή μία άπό τίς έπιφάνειες πού όρίζουν τήν Γ καί έπαφή τουλά

r ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

ΚΕΦ.5

Παράδειγμα

5.8.

καμπύλη Χ

= x(s)

r

Θέλουμε νά προσδιορίσουμε μιά περιφέρεια στό σημείο χο

= X(So).

ΟΙ προη-Υούμενες

τομή μιας σφαίρας, πού εχει μέ τήν καμπί>λη Χ

εχει έπίσης μέ τήν Χ τυχόν σημείο Υο

= x(s) επαφή

= x(s)

89

πού νά εχει έπαφή τουλάχιστον τάξεως

έπαφή τουλάχιστον τάξεως

τουλάχιστον τάξεως

3

μέ τήν

3

παρατηρήσεις μας βοηθοϋν νά όρίσουμε τήν

στό Χο-

3

r

ώς

στό "ο, καΙ tνός tmntδou, πού

Ή έξίσωση της σφαίρας πού εχει κέντρο τό

καΙ διέρχεται άπό τό σημείο χο εΙναι

Θεωροϋμε τΙς συναρτήσεις

Προφανώς /(Βω

= Ο.

I'(S)

=

2(x(s) - Υο) • x(s)

/"(s)

=

2(x(s) - Υο)' t(S)

Έπίσης, I'(SO)

Ο εάν καί μόνο εάν (Υο

-

Χο)

• to =

= 2(Χο -

Ο.

=

\Χο - Υο\2

\X(S) - Yol2 -

/(s)

= +

Υο)

(x(s) - Υο) • (x(s) - Υο) -

1"0 -

Yol 2

2(x(s) - Υο)' t(S)

2t(s)' t(S)

• to

2,,(s)(x(S) - Υο)' B(S)

=

+

2

=

~Eτσι, μιά σφαίρα

εχει μέ τήν καμπύλη επαφή τουλάχιστον τάξεως

2,

έάν καί

μόνο εάν τό κέντρο της βρίσκεται στό κάθετο έπίπεδο της καμπύλης στό

χο, δπως φαίνεται στό Σχ. 5-9. Συνεχίζον /"(so) = 2ιco(xo - Υο) • Ωο + 2 = Ο έάν καί μόνο έάν "ο(Υο - χα) • no = 1. ΥΕτσι, μιά σφαίρα εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλάχιστον τάξεως 3, έάν καί

τας

~oυμε

μόνο έάν τό κέντρο της βρίσκεται στό κάθετο έπίπεδο της

καμπύλης στό χο καί ή χο

προβολή

έπί τοϋ Βο εΙναι Ίση μέ

1/"0'

τοϋ V

διανύσματος Υο

Ας σημειωθεί στι, αν

τό σημείο εΙναι σημείο καμπης, δηλ. αν

"ο

=

Ο, δέν ύπάρ

χει σφαίρα πού νά εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλάχιστον τάξεως

3.

γύτατο

επίπεδο

Τέλος, ή τομή μιας τέτοιας σφαίρας μέ τό έγ

στό χο (τό

όποίο,

επειδή "ο Φ Ο. εΙναι

τό μόνο επίπεδο πού εχει μέ τήν καμπύλη επαφή τουλάχι

στον τάξεως μέ

τήν

3

στό

καμπύλη

Χο) εΙναι μιά περιφέρεια

επαφή

τουλάχιστον

τάξεως

r

πού εχει

3

Σχ.

στό χο.

5-9

Παρατηροϋμε στι ή περιφέρεια αύτή εΙναι μοναδική' γιατί, άν καί ύπάρχει ενα άπειρο πληθος σφαιρών πού εχουν μέ τήν καμπύλη

έπαφή τουλάχιστον τάξεως

3

στό Χο. τά διανύσματα Υο

στό κάθετο έπίπεδο της καμπύλης στό "ο καί εχουν σταθερή προβολή

χο δλων αύτών των σφαιρών βρίσκονται

-

11"0

έπί τοϋ Ωο.

"Η περιφέρεια πού όρίστηκε στό παραπάνω παράδειγμα εχει μέ τήν καμπύλη χιστον τάξεως

3

στό Χ καί λέγεται έγΥύτατη περιφέρεια (ή έγγύτατος κύκλος) της

C C

έπαφή τουλά στό Χ.

Αύτή

βρίσκεται στό έγγύτατο έπίπεδο, τό κέντρο της ε{ναι στήν πρώτη κάθετο καί πρός τό μέρος πού

δείχνει τό διάνυσμα καμπυλότητας της

λ~ότητας Ρ

= ι/Ι"!

C στό Χ, ένώ ή άκτίνα της εΙναι ίση μέ τήν άκτίνα καμπυ- . στό Χ. Τό κέντρο του έγγύτατου κύκλου λέγεται Κέντl!!l....Καμπυλότη~ καί η θέση

του δίνεται άπό τή διανυσματική εκφραση Υ

= Χ + (Ι/κ)η.

ΕΓΓΥΤΑΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

"Υπενθυμίζουμε ότι άπό όλα τά έπίπεδα πού διέρχονται άπό ενα σημείο μιας καμπύλης, τό έγ γύτατο έπίπεδο εΙναι έκείνο πού εχει τή μεγαλύτερη τάξη έπαφής μέ τήν καμπύλη.

μιά οΙκογένεια έπιφανειών της

S>..

S).,

οΙ όποίες τέμνουν μιά καμπύλη

όνομάζεται έγγύτατη έπιφάνεια της οίκογένειας

S).

στήν

C,

C

Γενικά, αν δοθεί

σέ ~να σημείο Χ, ~να μέλος

αν ή τάξη έπαφής της

C

So

μέ τήν

So στό Χ εΙναι ίση ή μεγαλύτερη άπό τήν τάξη έπαφής τής C μέ κάθε αλλη άπό τίς έπιφάνειες S>... "Όμοια, ενα μέλος Γο μιας οΙκογένειας καμπυλών Γ)., πού τέμνει τήν καμπύλη της οΙκογένειας Γλ στήν

C

στό Χ, όνομάζεται έγΥύτατη

C, αν ή τάξη έπαφης τηςC μέ τήν C μέ κάθε αλλη άπό τίς καμπύλες

Γο aτό χ εΙναι ίση ή μεγα

λύτερη άπό τήν τάξη έπαφης τής

της οΙκογένειας Γ)..

Γιά νά μελετήσουμε τίς έγγύτατες έπιφάνειες μέ περισσότερες λεπτομέρειες, ύποθέτουμε ότι ή

C

δίνεται άπό τήν παραμετρική παράσταση Χ

διαφορισιμότητα.

Ύποθέτουμε έπίσης ότι

πού δίνεται άπό τήν έξίσωση

7

S).

= Xl(t) el + X2(t) e2 + Xa(t) ea

εΙναι μιά

n-l

καί εχει κατάλληλη

παραμετρική οΙκογένεια έπιφανειών,

90

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

καί δτι ή

SA εχουν κοινό τό σημείο πού άντιστοιχεί στήν τιμή t = tO.

καί ή

C

τή συνάρτηση

Προφανώς τήν

στό

C

= F(xl(t), X2(t), X3(t), aι, a2, ... , a..-t)

!(t, aι, .•. , a..-t)

!(to, aι, ... , a..-t) = Ο, γιατί εχουμε ύποθέσει δτι ή οίκογένεια τών έπιφανειών τέμνει x(t o). Θεωρουμε τώρα τίς έξισώσεις iJ iJt !(to, aι, ... , a..-l) Ο iJ2 iJt2!(to,al, .. . ,a..-t)

Ο

iJ(n-1)

iJt(n Ι) f(t o, aι, ... , a..-t) Αύτές άποτελουν ενα σύστημα

αι

= α ι,

α2

εχει μέ τήν

= α2 , C

αn - t

••• ,

n -1

= a n-

l

έξισώσεων μέ

έπαφή, στό

C

μέλους τής οίκογένειας.

n -1

n

x(to),

στό

άγνώστους aι,

5.9.

n- 1

οΙκογένεια

μεταξύ τους μέ τήν έξίσωση

άπό

3

3

ΙΝΙ

έπιφανειών (Χ

= 1).

-

Χο)

•Ν =

C,

Ο (γιατί

~Eτσι, συμπεραίνουμε δτι ή

εχει μέ τήν

έπαφή τουλάχιστον

C

οΙ

= X(So)

της καμπύλης Χ

τρείς συντεταγμένες του

5.7,

αύτό εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλάχιστον

στό χο, καί κάθε άλλο έπίπεδο, στήν περίπτωση αύτή, εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή τάξεως μικρότερης

στό χο.

Παράδειγμα

.Η

5.10.

οίκογένεια τών σφαιρών πού διέρχονται άπό τό σημείο χο της καμπύλης Χ

Ιχ

-

= x(s)

εΙναι μιά

Υο) οίκογένεια σφαιρών

Yol 2 = IΧο - Yol 2

ύποθέσουμε ότι ή καμπυλότητα καί ή στρέψη "ο καί "'0 ε[ναι διάφορες του μηδενός, τότε ή έΥΥύτατη σφαίρα

της οΙκογένειας ε[ναι μοναδική καί εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλάχιστον τάξεως άκτίνα αύτης της σφαίρας προσδιορίζονται ώς έξης:

IΧο - Yol 2

I(s)

=

Ix(s) - Yol 2

I,(s)

=

2(x(s) - Υο) "x(s)

I"(s)

==

2(x(s) - Υο) "t(s)

-

= +

2 «(s) (x(s) - Υο) " n(s)

=

στό Χο'

(x(s) - Υο) " (x(s) - Υο) -

Ο.

2(x(s) - Υο) " t(s)

+ +

2 «(s) (x(s) - ΥΟ> "n(s) -

=

2 ,,(s) (x(s) - Υο) "n(s)

2 ,,(s) t(s) " n(s)

+

+

2

2 ,,(s)(x(s) - Υο) • O(S)

2 ,,(s) (x(s) - Υο) " [-,,(s)t(s) 2 κ2(Β) (x(s) - Υο) " t(s)

+

+ .,.(s)b(s)]

2 ,,(s)T(s)(x(s) - Υο) " b(s)

=

-2«01"0 - 2"0"'0(Υο - Χο)· b o

=ο

-Ετσι, όπως φαίνεται καί στό Σχ.

1'\

(Υο - Χο)" b o

5-10,

= -«oI,,~.,.o

αν "ο"ι. Ο καί "'0 #- Ο,

ύπάρχει μία μόνο έγγύτατη σφαίρα, πού εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή

τουλάχιστον τάξεως

4

καί της όποίας τό κέντρο Υο

εΙναι τέτοιο ώστε οΙ συντεταγμένες του διανύσματος

10 - Σο ιός πρός τή βάση to, Ωσ, b o νά εΙναι Ο, 1/"0, -KoI~"'o άντίστοι ΕΙναι

φανερό

ότι γιά τήν άκτίνα της σφαίρας εχουμε

(~Y + (,,;:οΥ

Τό κέντρο καί ή

IΧο - Yol 2

' Επίσης, I,(so) = Ο έάν καί μόνο έάν (Yo-Σo)"to=O καί I"(so) Ο έάν καί μόνο έάν (Υο-Χο)" no = 11"0' Τελικά, άφου χρησιμοποιήσουμε αύτές τίς δύο συν θήκες, εχουμε άκόμη ότι I"'(so) = Ο έάν καί μόνο έάν Προφανώς

I(so) =

=

4

Θεωρουμε τίς συναρτήσεις

2t(s) "t(s)

2 ;(s) (x(s) - Υο) "n(s)

I,"(s)

χα.

= x(s)

Ν συνδέονται

'Εάν "ο #- Ο, τότε τό έΥΥύτατο έπίπεδο στό χο ε[ναι τό μοναδικό έΥΥύτατο

~Oπως μάλιστα δείξαμε στό Παράδειγμα

3-παραμετρική (μέ παραμέτρους τίς συντεταγμένες του κέντρου

, Εάν

=Ο

παραμετρικής οίκογένειας έπιφανειών (καμ

Ή οΙκογένεια τών έπιπέδων πού διέρχονται άπό τό σημείο χο

2 -παραμετρική

έπίπεδο της οΙκογένειας. τάξεως

απ-ι)

στό χ.

Παράδειγμα μιά

••• ,

τάξεως ίσης ή μεγαλύτερης άπό τήν τάξη έπαφής κάθε αλλου

πυλών), ή όποία εχει ενα κοινό σημείο χ μέ μιά καμπύλη

εΙναι

Γιά μιά λύση

•.. , a..-l.

•Αλλά ή έγγύτατη έπιφάνεια τής οίκογέ

x(t o).

Κάτι άνάλογο ίσχύει καί γιά τίς καμπύλες.

έγγύτατη έπιφάνεια (άντίστοιχα καμπύλη) μιας

n

Ο

=

του συστήματος ή έπιφάνεια !(Χ ι ' χ2 , χ 3 ' α ι , α2 ,

έπαφή τουλάχιστον τάξεως

νειας εχει μέ τήν

τάξεως

Θεωρουμε πάλι

Σχ.

5-10

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

ΚΕΦ.5

•Η

91

σφαίρα, πού όρίστηκε στό προηγούμενο παράδειγμα, όνομάζεται έγγύτατη σφα{Ρα τής

C

στό

Χ. Τό κέντρο τής σφαίρας όνομάζεται κέντρο σφαΡικής καμπυλότητας καί ή θέση του δίνεται άπό τή διανυσματική εκφραση

Υ

ίι

1

+ -n κ

Χ

=

--b ι!-τ

Μερικές φορές εΙναι προτιμότερο νά χρησιμοποιούμε τήν άκτίνα στρέψεως σ καί τήν άκτίνα καμπυλότητας ρ

=

1/1,,1,

l!τ.

=

Μέ τήν σ

γιά κ> ο, ή προηγούμενη εκφραση γίνεται

Υ

+ pn + pub

Χ

=

Τέλος, ύποθέτουμε πάλι ότι Ρ(Χι, Χ2, Χ3, αι,~,

... , αη-ι) = ο εΙναι μιά n - 1 παραμετρική οΙκο X(t) = Xl(t) el + X2(t) ~ + X3(t) e3 τό σημείο

γένεια έπιφανειών, πού εχουν κοινό μέ μιά καμπύλη

t = t O•

πού άντιστοιχεί στήν τιμή

W

οΙκογένειας νά τέμνει τήν καμπύλη σέ

tl ,

••• ,

λίδας

t..-l

87,

to.

μιας περιοχής τοϋ

n- 1

Ας σημειωθεί ότι γενικά μπορεί νά κατασκευαστεί μιά

n- 1

παραμετρική οΙκογένεια έπιφανειών πού νά ίκανοποιεί

n -1

συνθήκες, ετσι ώστε κάθε μέλος τής

σημεία, Π.χ. στά σημεία πού άντιστοιχούν στίς τιμές

'Εάν, άκολουθώντας μιά διαδικασία άνάλογη μέ έκείνη τής σε

βροϋμε ότι ύπάρχει ή όριακή έπιφάνεια

καί δίνεται άπό τήν Ρ(Χι, Χ2, Χ3)

S

=

Ο, τότε ή

συνάρτηση

f(t) = F(xl(t), X2(t), Xa(t» !(to) = f'(t o) =

ίκανοποιεί τίς σχέσεις

Δηλαδή, ή όριακή έπιφάνεια

= !(n-n(to) =

'"

Ο

εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλάχιστον τάξεως

S

παρόμοια διαδικασία χρησιμοποιείται καί γιά μιά

n -1

γενικά, άν ή έγγύτατη έπ\φάνεια (άντίστοιχα καμπύλη) μιας φανειών (καμπυλών) εΙναι μοναδική

καί εχει μέ τήν

C

στό

n -1

to.

Μιά

~Eτσι,

παραμετρικής οΙκογένειας έπι

n στό Χ, τότε άποτελεί τό n - 1 γειτονικά σημεία τής

έπαφή τάξεως

όριο τής οικογένειας τών έπιφανειών (καμπυλών) πού διέρχονται άπό

C,

n

παραμετρική οΙκογένεια καμπυλών.

όταν αύτά τείνουν στό Χ.

ΠαράδεΙΎμα

5.11.

Ή έγγύτατη περιφέρεια μιας καμπύλης

σε ενα σημείο της Χ εΙναι τό δριο των περιφερειων

C

πού διέρχονται άπό τό Χ καί άπό δύο γειτονικά σημεία της

καθώς αύτά προσεγγίζουν τό χ.

C,

σφαίρα ε{ναι τό δριο των σφαιρών πού διέρχονται άπό τό Χ καί άπό τρία γειτονικά σημεία της

ΗΟμοια, ή έγγύτατη

C,

καθώς αύτά προ

σεγγίζ?υν τό Χ.

Λυμένα Προβλήματα ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.

5.1.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ

Προσδιορίστε τίς φυσικές έξισώσεις τής άλυσοειδοϋς

Χ

• Επειδή τηση τής 8.

+ te2,

ή άλυσοειδής εΙναι έπίπεδη καμπύλη, &χουμε 'Τ

α

==

Ο.

=

σταθ.

• Απομένει

>Ο νά βρούμε τήν

Εύκολα βρίσκουμε

χ'

= sinh (tlα)e} x

• Από

= a(eosh (t/a» el

τό Θεώρημα

4.2

1l

=

+ e2,

(llα)(cosh (Ιlα»

της σελίδας

64

(χΙ χ χ")

8

•

(Χ' χ

ft lχΙI dt

=

• Απαλείφοντας

82

τό

+

παίρνουμε"

=

42

[sinh2 (tlα)

χ' χ χ"

et,

+ 1]1/2 =

cosh (ιlα)

= -(lla)(cosh (ιια» e3

(lla2) cosh2 (tla) (sinh2 (έlα) + 1)3

x/) _ -

=

ο

Συνεπώς

=

εχουμε

(χΙ. χΙ )3

• Επίσης

1χΊ

ft cosh (tla) dt

=

1

a2 cosh4 (Ιlα)

α sinh (tla)

ο

=

α/(8 2

a2 sinh2 (tla)

+ 0,2),

+

0,2

=

a2 cosh2 (Ιlα)

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

"

ώς συνάρ-

92 5.2.

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

Προσδιορίστε τίς φυσικές έξισώσεις της έπικυκλοειδοϋς

χ

[(ΤΟ+ΤΙ)CΟSθ

τιcοs(ΤΟ~ΤΙθ)Jeι

-

"Εχουμε

dx

χ'

[ -(Το + Τι)

=

de

+

=

χΙ'

dx' de

(Το

[ -(Το + Τι)

+ Τι)

(Το

(Το + τι)2

+

COS θ

τι

Sin θ

COS

-Τ-ι- θ

(ΤΟ + τι )] -Τ-ι- θ

(Το + τι)2

+

( Το + τι

COS

τι

Sin

•

+ τι)4(το + 2τι)2

(Το

(χ' χ Χ")

~

Τι θ)] e2

)] e2

el

(το + τι )] -Τ-ι- θ

+ cos θ

χ' χ χ"

(Χ' χ Χ")

. (το τι + τι SlD

-

ΤΟ + τι θ )] el + Τι) Sin (-Τ-ι-

[ (Το + Τι) cos θ -

[ -(το + Τι)

+

+

Sin θ

[(το+τι)SίΠθ

+

COS

e2

(Το +ι τι

-Τ-- θ

))]

e3

COS (Το/Τι)θ]2

[1 -

Ι

Το + τι ) + τι)2 [ 1 - ( sin θ sin -Τ-ιθ + cos θ 2(το + τι)2[1 - COS (τοΙΤι)θ]

(

2(το

χΙ .χ'

(Χ' χ χ") (χ'

• (χ' • χ')3

(Το

'Επίσης

8

=

fr:

-11" ΤΟ

'Απαλείφοντας τό θ

όπου Β

5.3.

=

Α

>Α

+ Τι)

3.28,

))]

+ 2τ ι )2

σελ.

,,2

καί

1 ,,2Β2 = 1

Α2

+

=

4τι(το

καί Β

το

+

εχουμε

82

Α2

1'j

+ Τι) 2τι

82

ρ2

+ Β2

= 1

Παρατηροϋμε δτι Α

.

>

Β.

Γιά τήν υποκυκλοειδή εχουμε

60).

Προσδιορίστε τήν καμπύλη, της όποίας οί φυσικές έξισώσεις εΙναι

κ Θέτουμε Φ

χ

=

= " = (1/2α8)Ι/2.

'Από τήν έξίσωση

5.4.

--Τι- θ

χ χ")

από τίς έκφράσεις τών

Το

(Πρόβλ.

( ΤΟ + τι

dfJ IdXl de 82

4τι(το

COS

= α

(5.6)

(1/2αs)112,

=

τ

Ο,

α

> Ο,

Όλοκληρώνοντας βρίσκουμε Φ

s

>Ο

= (28/α)Ι/2 1'j

8

=

aφ2/2. όπότε "

= 1/αφ.

fπεται δτι ή καμπύλη εΙναι

f φ[(cοs φ)eι + (Βίη φ)e2] dφ

a(cos Φ

=

Δείξτε ότι ή καμπύλη μέ φυσικές έξισώσεις κ

+ Φ Βίη φ)eι + a(Βίη Φ - Φ cos φ)e2

= ...;2/(82 + 4), τ = V2/(S2 + 4)

εΙναι μιά κυ

λινδρική έλικα (πάνω) σ' έναν κύλινδρο, του Qπoίoυ οΙ κάθετες τομές εΙναι άλυσοειδείς καμ πύλες. 'Από τό Πρόβλημα

1

= σταθ.

της καί α

4.21

"Εστω τώρα χ

= 4(t, υ).

της σελίδας

= Χ(8)

77

συμπεραίνουμε ότι ή καμπύλη ε{ναι κυλινδρική ελικα, γιατί "/Τ

μιά φυσική παράσταση της ελικας,

Έπίσης από τό Πρόβλημα 4.21 εχουμε "/Τ

τίς φυσικές έξισώσεις της προβολης χ*

= Χ(8) -

από τήν άρχή τών αξόνων καί εΙναι κάθετο στό

(Χ(8) •

u

(Σχ.

u)u

u

=

τό μοναδιαίο διάνυσμα τοϋ άξονά

= ωη α' συνεπώς α = π/4.

Γιά νά βροϋμε

της καμπύλης Χ(8) στό έπίπεδο πού διέρχεται

5-11),

υπολογίζουμε τήν παράγωγο

r ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

dx· dB

=t-

=

t - (cos α)υ

(t· υ)υ

93

t - u/V2

όπότε

Ι d;sΊ =

=

[(t - u/V2)' (t - u/V2)]1/2

l/V2

Μιά φυσική παράμετρος κατά μηκος της προβολης εΙναι

= ~Ί d:sΊds =

s* , Από

τό Πρόβλημα

4.6

της σελίδας

s/..;2 72

έχουμε

Κ· = K/Sin 2 a = 2V2/(s2 + 4) Συνεπώς κ* προβολής.

=

...[2/(s*2 + 2) εΙναι ή φυσική έξίσωση της ' Από τό Πρόβλημα 5.1 επεται δη ή προβολή

εΙναι μιά άλυσοειδής καμπύλη.

5.5.

Σχ. 5- 11

Δείξτε δτι, γιά μιά καμπύλη πού βρίσκεται σέ μιά σφαίρα άκτίνας α καί που ή στρέψη της τ εΙναι παντού διάφορη του μηδενός, ισχύει ή σχέση

= x(s)

Έστω δτι ή Χ

βρίσκεται στή σφαίρα μέ κέντρο τό Υο καί άκτίνα

=

(x(s) - Υο) • (x(s) - Υο)

2(Χ-Υο)'Χ

Παραγωγίζοντας έχουμε

καί μέ νέα παραγώγιση "Επεται δη κ

(Χ - Υο) • t

+ Χ' t

# Ο καί (Χ - Υο) • η = -ι/κ.

ο

ή

(Χ

ο

ή

Κ(Χ -

Χρησιμοποιώντας τή σχέση (Χ μένες του Χ -

η,

+

(Χ-Υο)·ή

Υο ώς πρός τά

t,

2

b

εΙναι Ο, -ι/κ,

Χ

Υο

-

έχουμε

t

ο

Υο)' η

+

Ι

=

Ο

Τελικά παραγωγίζοντας παίρνουμε

= ;/κ ή Υο) • t = Ο έχουμε,

Χ'η

s

a2

Υο) •

-

Τότε γιά κάθε

a.

άφου

K/K2r. -ι

-;;-η

=

;/κ 2

(x-Yo)·(-Kt+ ..b) .. #

Ο, (Χ - Υο)'

b

= ΊC/K τ. 2

"Ετσι, οΙ συντεταγ

Έπομένως

Κ

+

K2rb

όπότε εχουμε

(Χ

5.6.

-

Υο) • (Χ

-

Υο)

= X(s) σχηματίζει σταθερή = X(S) εΙναι μιά λογαριθμική

Δείξτε δτι, αν τό διάνυσμα θέσεως χ μιας έπίπεδης καμπυλης χ

γωνία α μέ τήν έφαπτομένη t

= t(S)

τής καμπυλης, τότε ή χ

ελικα.

"Εχουμε χ' t

= (COS α) Ixl.

Έπίσης, έπειδή η 1.. t, έχουμε Ιχ' ηl

ξουμε τή διεύθυνση του η ετσι ώστε χ. D

x·t + Παραγωγίζοντας πάλι εχουμε

Έπειδή τ

= ο,

ή

= -Kt·

x·i

=

χ.

+

κ 2 χ. t

+

= Isin allxl

καί μπορουμε νά διαλέ

Παραγωγίζοντας τήν πρώτη σχέση παίρνουμε ι

ή

κΧ'Β

κχ·ή

+

ΚΧ'η

=

cos2 a

ο

=

= Ο καί

Ixl (-Ίc sin α - κ2 cos α) •Η

t

(cos α) 1Χϊ

κΧ'Β

άρα ίcx' D -

= (- sin α) Ixl.

ίc

ή

ο

=

-(cot α)κ2

διαφορική αύτή έξίσωση ώς πρός κ μπορεί νά λυθεί μέ χωρισμό των μεταβλητών, όπότε βρίσκουμε ιc

=

Ι

(cot a)8 +

C

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

94

πού εΙναι ή φυσική έξίσωση μιας λογαριθμικης ελικας (βλ. Παράδ.

Στό ίδιο

ήσουμε

τήν

=

4-(Χ, δι) στό

Σχ.

καί Πρόβλ.

5.2

άποτέλεσμα φθάνουμε,

= 4-(t, δι),

Φ

φ

α

-

καί

Τότε

5-12.

(- βίη α)τ.

5.28). τήν

= Ixl,

τήν r χ'

=

t

Παραγωγίζοντας

αν

χρησιμοποι

πολική

(cos α)τ

τήν

γωνία

όπως

Χ' Ω

=

σχέση

ε

καί

τελευταία

=

fJ

φαίνεται

χουμε

.

-βιηα

(Χ' Ω) dιι = .!!. dιι dφ

dr

dfJ

=

dfJ

= (Χ' η + Χ' ίι)(l/ιc)

(Χ' n)(l/ ιc)

όπου

χρησιμοποιήσαμε

dφ/dfJ

= 1. -

dφ

τίς

σχέσεις

dφ/dιι

= ΙC

καί

Τελικά

βίη α : ;

-(Χ' t)

=

-(COS α)τ

=

n = -ΙCt.

όπου χρησιμοποιήσαμε τήν

•

Σχ.5-12

Ολοκληρώνοντας τήν

=r

dr/dfJ

cot α

εχουμε

r

= e(cοtα)θ + C,

δη-

λαδή μιά λογαριθμική ελικα.

5.7.

'Έστω ότι μιά καμπύλη

όρίζεται άπό τήν

C

f

χ = α όπου g(t) [gg'g"] =F

1I1 = Ι,

εΙναι

τήν ταυτότητα

a(ιχ ι')

χ"

a(1

χ ι")

χ'"

a(1

χ ι"')

=

a2(g

=

[Χ'Χ"Χ"'] τό Θεώρημα

χ

a 2 (1

+ a(l' χ ι') =

,')

10

70

καί αρα

=

f

χ ι")

a2 (1', ι')(ι'

=

α

=α

πεται ότι τά b, b καί

(χ' χ χ")

S

g(t)

f

'b

ι)

=

a 2 {[ιι'ι"] Ι -

•

b

ιc

Ι = Ι [ιι'ι"] α lι'13

=

a 2 [lι'ι"] Ι

.

'# Ο· έπισης

+ a(ι' χ ι")] =

a3 [ιι'ι"]2

εχουμε

σταθ.

(χ' χ Χ")

'#

Ο

Δηλαδή, αν κατά μήκος μιας καμ

τότε ή καμπύλη μπορεί νά έκφραστεί μέ τή μορφή

χ g'(t) dt όπου =

Ig(t)1 = 1 ΩΧb

=

καί

-b χ

D

(gg'g"]

=

+ Ο.

-b χ (-b/T)

=

.

abXb.

χ b d8. • Από τίς b = -τΩ = -(I/a)n καί 'b = -(I/a)ia = -(I/a)( -"t + .,.b) ε

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα, δηλαδή [b bb] "ι. Ο.

τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

a 2 Ig,l2

[gg'g] ι"}

[χ'χ"χ"']

=

= σταθ. = Ι/α,

t d8

a(1

a 2 [ιι'ι"] ι. [a(ι Χ g"')

, Από τίς έξισώσεις του Frenet εχουμε t

"Ετσι Χ =

καί

εχουμε

χ (ι χ ι")

(χΙ Χ χ") • Χ'"

=

Δείξτε το αντίστροφο τοϋ προηγούμενου προβλήματος.

χ

=Ι

+ a(,' χ ι")

Χ ι') • (ι χ ι')

χ χ"l = Ιχ'ΙΧΨ

της σελίδας

4.5 τ

πύλης εΙναι τ

Ig(t)1

Ι/α.

Χ'

της σελίδας

[F2 J

, Άλλά άπό τό Θεώρημα 4.2 ιc

5.8.

=F Ο

:.1 ι' καί, αν χρησιμοποιήσουμε τήν ταυτότητα [F t ] της σελίδας 10, εχουμε

χ' χ χ"

, Από

=

Δείξτε ότι ιc =F Ο καί τ

χ' • Χ'

, Από

= σταθ.

α

εΙναι μιά διανυσματική συνάρτηση, ή όποία ίκανοποιεί τίς σχέσεις Ο.

"Εχουμε

Έπειδή

χ g'(t) dt,

g(t)

Προφανώς, γιά Ι

=b

εχουμε

r ΚΕΦ.5

5.9.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

95

Δείξτε ότι ή διαφορά του μήκους 8 ένός άρκετά μικρου τόξου

IPQI

μηκος

της άντίστοιχης χορδης εΙναι τάξεως

Παίρνουμε τήν κανονική μορφή (σελ.

χι

=

8 - iK~s3 + 0(s3),

PQ

μιας καμπύλης άπό τό

8'.

83)

Χ2 =

i;εP + 0(Β3),

1-"082 +

=

2:3

i"OTOs3 + o(s3)

• Υψώνοντας στό τετράγωνο κάθε συντεταγμένη μπορουμε νά γράψουμε

xi =

1,,~S4

82 -

!,,:s4

+ o(s4),

_ -

~2

-3

o(s4)

(Xi + xi + χ;}Ι/2 = ΊΒ2 - -(z"~84 + O(s4)]l/2

!PQ\

"Αρα

=

x~

+ 0(84), 214,,~r

[(s -

+ O(s3»2]1/2

= s - 214"~s3

+ o(r)

2

5.10.

' Εάν λης

κο

!PQ\ -

Συνεπώς

- 24 s3

8

+ o(r)

καί ή διαφορά ε{ναι τάξεως s3.

οί πρώτες κάθετοι μιας καμπύλης

C*,

δείξτε δη κατά μηκος της

α(κ 2 "Εστω δτι ή

+ 1'2) =

=

δίνεται άπό τήν Χ

C

C

τής

Κ,

α -

σταθ.

Χ(8) καί εστω στι

μέ Χ*(8) συμβολίζουμε τό άντίστοι:χ:ο σημείο τής όποίο ή δεύτερη

ταυτίζονται μέ τίς δεύτερες καθέτους μιας καμπύ

εΙναι

C

C*,

στό

κάθετος ταυτίζεται μέ τήν πρώτη κάθετο

στό σημείο

C

διάνυσμα

x(s), όπως φαίνεται στό Σ:χ:. 5-13. Τό x*(s) - x(s) ε{ναι παράλληλο μέ τό Π(8) , όπότε

=

x*(s)

+

x(s)

α(Β) Π(Β)

Θεωρούμε τό έφαπτόμενο διάνυσμα

dx* d$

=

d ds(x+an)

-

(t + απ Έπειδή

dx* d8.l

ιIKt

α

(Χ+απ+αη)

+ arb) = (1 - ",,,)t + απ + aTb

, ιιχ* ϊi8.l

εΙναι και

b*,

=

ο όπότε

..'

=

= σταθ. καί

π

dx* • d8

dx*/ds = (1 -

t*

καί

:::

_

τσι

=

(1 -
ιIK)t

+ aTb.

dx*

=

"Ε

π.

ds*

C*

+

ά(π • π)

+

aT(b' π)

dt*

ι

ds*..L

b*

dx*ds

= d$ ds* =

ακ)t + αΤb](::.γ

[(1 - α,,)!

=

:8 [(1 -

=

• ' . ' (ds)2 [-aκt+(l-aκ)t+ιrrb+ιπb] ds*

,dt*

,γιατι

ds*

= Κ*Π*.

_

Αρα.

Ο = Π' Έπειδή

5.11.

ds/ds*.,. Ο (διαφορετικά

Δύο καμπύλες

C

καί

C*

8

;::

= σταθ.),

5-13

=

ά

Τώρα

+ [(1 -
+

ds

+ ατb] ds*

αTbl

dt*

:::2

[(l-αιc)t+ aTb l

= [-aΚt + [(1-ακ)" - ατ2]π + αΤb1(;:*γ + , Αλλα'

Σχ.

d2s

dB *z

[(1- ακ)Ι + aTb] ::2

,

ds*.l π και

=

[(1-

ακ)κ - ατ2I(:')2

ε:χ:ουμε (1 - ακ)" - ατ2

όνομάζονται καμπύλες του

=Ο

Bertrand,

κάθετοι στά άντίστοιχα σημεία, δπως φαίνεται στό Σχ.

ή α(κ2 + τ2)

= Κ.

αν ταυτίζονται οΙ πρώτες τους

5-14.

(α) Δείξτε ότι ή άπόσταση μεταξύ των άντίστοιχων σημείων δύο καμπυλων του

Bertrand

ε{ναι

σταθερή.

(b)

Δείξτε δτι ή γωνία τών άντίστοιχων έφαπτομένων δύο καμπυλών του

Bertrand

εΙναι σταθερή.

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

96 (α)

= χ(,) 1'ι

"Εστω Χ

σημείο της

καμπύλη

καί χ*(,) τό άντίστοιχο

C

στό όποΤο 1'ι πρώτη της κάθετος ταυτί

C*,

ζεται μέ τήν πρώτη κάθετο της

C aτό σημείο χ(,). Τό

διάνυσμα χ*(.) - χ(.) ε(ναι συγγραμμικό μέ τό πότε

=

χ*(.)

χ(.)

α(.)

+

ό

n(.),

n(.)

Παραγωγίζοντας Ι:χουμε

dx*/d.

=

Χ

+ αη + αη

= t + αη + a(-Kt+ ..b) (Ι

(b)

, Αλλά

τό

ά

καί α

=Ο

ε(ναι έφαπτόμενο της

dx*/d.

lα η(.)1

= Ιαl

"Εστω

t

= σταθ., = στ~θ.

καί

+ άη + a ..b

- QK)t

όπότε ή

κ*

5.12.

= ±η,

εχουμε η*

1- t

'Εάν κατά μηκος μιας καμπύλης

trand (δηλαδή του Bertrand), ..

"ι. Ο

καί

n 1- t*.

C

εΙναι

καί κ

+ γ..

C

. Ορίζουμε

τήν καμπύλη

καί

=

=

Id~Ί

Ια.. Ι (γ2

+ Ι)1/2

=

dt*

• Επομένως

D

Ι

dx*/Idx* d. d,

=

, Αντίστροφα,

C*

, Αλλά,

(γκ - ..)

C,

α"ι. Ο,

+ γ1' =

l/α.

καί ότι κατά μηκος της

C

ύπολογίζουμε τήν παράγωγο

aτyt + a ..b

=

=

a .. (yt + b)

+ Ι)

n

.. )η

= ** Κ

η

Bertrand.

= x(s),

Χ

εΙναι μιά καμπύλη τοϋ

Ber-

Σύμφωνα ~έ τό προηγούμενο πρόβλημα, μιά παραμετρική παρά

•

t + αΩ

=

(Ι

=

χ(.)

+

α

n(,), καί

- QK)t + a ..b

t· t*

, Επειδή

Ber-

νά εΙναι καμπύλες

α η(ι)

μέ παραμετρική παράσταση

"ι. Ο.

..

..

b • t* "ι. Ο καί

=

σταθ. "ι. Ο

dx* d, - = d. d.*

t*

=

α..

d,

d,*

t

[(Ι - QK)t + a ..b]

d. d,*

καί

b

καί

= cos β,

t· t*

εχουμε

b' t*

=

± Βίη β

d./d.* ~ Ο, εΙναι Βίη β "ι. Ο. Τελικά, - ακ) Βίη β ατ cos β ή κ ± τ cot β

ραπάνω σχέσεις, εχουμε ±(Ι

=

t· t*

εΙναι ενα μοναδιαίο διάνυσμα στό έπίπεδο τών

Συνεπώς

α

= σταθ. = cos β. • Αρα d, = (1 - ακ) d.* = cos β

άπό τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

t*

C*

δίνεται άπό τήν εκφραση

d.x,*

τό

καί

= x(s)

πού δείχνει ότι οΙ δύο καμπύλες εΙναι καμπύλες τοϋ

ύποθέτουμε ότι 1'ι

d8 =

, Επειδή ± Βίη β.

+

Bertrand,

+ 1)-1/2(γκ -

±(γ2

lα .. 1(γ2

χ*(,) "Εχουμε

C

l)-l/2(yt+ b)

b) +_

καί ότι κατά μηκος της εΙναι

σταση της

σταθ.

πού δίνεται άπό τήν

(Ι- QK)t + a ..b

=

a ..b

±(γ2+

±(γ2 + 1)-Ι/2(γϊ +

= ±η*,

+

t - QKt

= ~/ld;sΊ

dt*

t*· t =

εΙναι μιά καμπύλη του

C

ετσι ώστε οί

C*

χ(,)

εΙναι καμπύλες τοϋ

C*

Χ + αη

ds =

trand

C

Έ-

άντίστοιχα.

+ t*. κη

Ο καί

Ο, δείξτε ότι ή

C*

η' (dx*/ds) Ix*(S) - x(s)1

η)

δίνεται άπό τήν παραμετρική παράσταση Χ

= Ι/α.

dx* diϊ

Μ*

K(t*·

= Χ + αη

καί χ*

Συνεπώς.!!.. (t* • t) d.

.. oF

x*(s)

t*

Συνεπώς

n.

έάν καί μόνο έάν ύπάρχουν δύο σταθερές γ καί α, τέτοιες ώστε κ

Γιά νά δείξουμε ότι οΙ

οπότε

= x(s)

dt* • t) ds* ( ds* ds

Μ* ds (η* • t) +

μπορεί νά βρεθεί μιά καμπύλη

Ύποθέτουμε ότι ή ε(ναι

Χ

dt* • - . t + t*·t ds

d

ds (t* • t)

καί

n*

5·14

μεταξύ τών άντίστοιχων σημείων εΙναι

τά μοναδιαία έφαπτόμενα διανύσματα τών

t*

χουμε

'Επειδή η*

συνεπώς κάθετο στά

C*,

άπόσταση

Σχ.

άπαλείφοντας τό

= Ι/α

ή ιc

+ γτ

d./d.·

= Ι/α,

άπό τίς δύο πα

όπου γ

= ± cot β.

ΚΕΦ.

5.13.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

5

'Εάν κατά μηκος μιας καμπύλης καμπύλες ή

τέτοιες ώστε οί

C*

εΙναι τ οΡ Ο, δείξτε στι ύπάρχουν περισσότερες άπό μιά

C καί

C

97

νά εΙναι καμπύλες τοϋ

C*

έάν καί μόνο έάν

Bertrand.

εΙναι κυκλική ελικα .

C

. Υποθέτουμε ότι ή C ε{ναι κυκλική ελικα. Τότε κατά μήκος τής C ε{ναι τ = σταθ. #- Ο #- Ο. ν Αρα γιά κάθε α #- Ο μπορεί νά βρεθεί ενα γ = σταθ. #- Ο τέτοιο ό)στε κ + γτ Ι/α. ηγούμενο πρόβλημα όμως επεται ότι στήν C άντιστοιχεί ενα άπειρο πλήθος άπό καμπύλες τους καί ή C ε[ναι καμπύλες τού Bertrand .

=

• Αντίστροφα, ύποθέτουμε ότι Bertrand καί ότι κατά

πύλες τού

ή

καί ή καθεμιά άπό τίς διαφορετικές καμπύλες

C

μήκος τής

ύπάρχουν σταθερές γ, γ*, α, α* (α

#κ

ε{ναι Τ

C

#- Ο.

Ι/α

καί

= σταθ.

• Από τό προ πού ή καθεμιά

ε{ναι καμ

C**

Τότε σύμφωνα μέ τό προηγούμενο πρόβλημα

C* = C**)

α", γιατί διαφορετικά θά είχαμε

+ γτ =

καί

C*

καί κ

κ

+ γ*τ =

τέτοιες ώστε

l/α'"

- Αρα γ#- γ* καί Τ = (Ι/α* -Ι/α)/(γ* - γ) = σταθ., όπότε απο τίς παραπάνω έξισώσεις εχουμε κ = (γ"/α = σταθ. Έπειδή κ σταθ. καί Τ σταθ. εΙναι οί φυσικές έξισώσεις τής C, ή καμπύλη C ε[ναι κυκλική ελικα.

=

γ/α*)/(γ* - γ)

=

ΕΝΕΙΛΙΓΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΕΞΕΙΛΙΓΜΕΝΕΣ

5.14.

Βρείτε τήν έξίσωση

ρειας

Χ

μιας ένειλιγμένης της περιφέ

= a(cos θ)eι

+ a(sin θ)e2,

α> Ο (εμπειρικά

κατασκευάζουμε μιά ένειλιγμένη της περιφέρειας ξε

τυλίγοντας απ στό θ

=

, Εάν

αυτην ενα τεντωμένο νημα μέ άρχή

Ο, Όπως φαίνεται στό Σχ. 8

ε[ναι

μιά φυσική παράμετρος τής περιφέρειας,

ετσι ώστε νά εχουμε 8 ένειλιγμένης ε[ναι χ*

=Ο

=

όταν θ

χ -

=

Ο, τότε ή έξίσωση τής

Προφανώς 8

8t.

μήκος τόξου τής περιφέρειας.

t

5-15).

=

αθ ε{ναι τό ------~----~~----~----------Xl

' Επίσης

dX] . e)el + (cos e)e z = dx/I de de = (- Sln

Συνεπώς

χ*

=

+ a{sin e)e2) - αιι« + ιι sin e)et + a(sin θ -

(a(cos e)et

= a(cos θ

sin e)ej ιι

+ (cos e)e2)

Σχ.

5-15

cos e)e2

εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

5.15.

Δείξτε στι ή καμπυλότητα της ένειλιγμένης χ*

=

Χ

+ (c -

s)t

της καμπύλης Χ

= x(s)

δίνεται

άπό τή σχέση

Πράγματι εχουμε

dt*

di

dx·

i - t

t*

d:s*

ds

Id:sΊ

8)t = (c - 8)/(n,

/1 ~* Ι

I(c -

ψΙ

= sign [(c - 8)/()n

sign [(c - 8)κH-"t + Tb)

sign [(c - 8)/()ή

dt*

καί

d8*

d8*

Δείξτε στι τό μοναδιαίο δεύτερο κάθετο διάνυσμα της ένειλιγμένης χ* καμπύλης Χ

= x(S)

ε{ναι

n*

-"t + Tb (c -

8)ΚΚ*

καί

Kb

=

b*

'Από τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

Συνεπώς

-Kt + Tb (c- 8)/(

~:/I~Ί

κ*2 = Ι dt* 12 =

Συνεπώς

5.16.

+ (c -

t* b*

Χ

=

+ (c -

8)t

+ Tt

I(c - 8)ΚII<* sign [(c - 8),,]n t*

Χ η*

καί

dt* ds*

nX(-"t+,-b)

I(c - 8)"1"*

-Kt

+ Tb

(c- 8)"

"b

I(c -

=

+ Tt 8)"IΚ*

,,*n*.

της

5.17.

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

98

Δείξτε δη δύο ένειλιγμένες μιας έπίπεδης καμ πύλης εΙναι καμπύλες του

Bertrand

(Πρόβλ.

ΗΟ πως φαίνεται καί στό Σχ. 5-16, αν ε{ναι ένειλιγμένες μιας έπίπεδης καμπύλης

ναι tΊ έφαπτομένη της

Cr

πτομένες των τους μέ τήν

C

c!

καί

Cr

C

5.11).

καί C:

καί

L

ε{

σέ ~να σημείο της, τότε οΙ έφα

στά άντίστοιχα σημεία τομής αύτή. ' Ακόμα περισ

ε{ναι κάθετοι σ'

L

σότερο οΙ πρώτες καθετοι στά άντίστοιχα σημεία ταυ

τίζονται μέ τήν L, πράγμα πού δείχνει ΟΤΙ οΙ C~ καί C: ε{ναι καμπύλες του Bertrand.

5.18.

Δείξτε δη ή πρώτη κάθετος μιας έξειλιγμένης έφαπτομένη της

, Από

C

Σχ.

της καμπύλης

C*

C

5-16

εΙναι παράλληλη μέ τήν

στά άντίστοιχα σημεία.

τόν όρισμό ή

ε{ναι μιά έξειλιγμένη τής

C*

c,

αν ή

C

ε{ναι μιά ένειλιγμένη τής

τό πρόβλημα ε{ναι ίσοδύναμο μέ τό νά δείξουμε δτι ή έφαπτομένη μιας ένειλιγμένης ε!ναι παράλληλη μέ τήν πρώτη κάθετο της

t* πού βρέθηκε στό Πρόβλημα

5.19.

=

C·

στά άντίστοιχα σημεία.

sign I(c - 8)ΚI η

=

. Αλλά

C

C*.

"Ετσι,

τής καμπύλης

C*

αύτό επεται άπό τήν έξίσωση

±n

5.15.

Δείξτε δτι ή τομή της έφαπτόμενης έπιφάνειας μιας καμπύλης

C

μέ τό κάθετο έπίπεδο της

στό σημείο Ρ, στό όποίο Το' κο "=/= Ο. εΙναι μιά καμπύλη, πού δέν εΙναι κανονΙ1(ή στό Ρ

C

(εχει τό Ρ σημείο άνακάμψεως, όπως φαίνεται στό Σχ.

Σχ.

5-17).

5-17

Χρησιμοποιουμε τούς πρώτους δρους

χι τής κανονικής μορφής τής

Υ

= χ + kt,

-00

< k < 00, 7/ι

Τό

7/ι

κάθετο έπίπεδο

=

8

+k = 7/ι

ή 7/ι

=

Ο, 7/2

Ο

= =

ή

C

8,

Χ2

=

!Κ08 2 ,

σέ μιά περιοχή του Ρ, όπότε στήν περίπτωση αύτή ή έφαπτόμενη έπιφάνεια

στήν περιοχή αύτή του Ρ γίνεται

= 8 + k,

στό Ρ ε{ναι 8

=

= -k.

7/2

= !"082 + k"08,

τό έπίπεδο

Y2YS,

713

= !"oTos3 + !k"OT082

δηλαδή τό 7/ι

=

Ο.

Τότε κατά μήκος τής τομής ε{ναι

Συνεπώς, σέ μιά περιοχή του Ρ ή τομή προσεγγίζει τήν καμπύλη

ο, -!,,~/3(3/To)2/37/~/3, πού δέν ε{ναι κανονική στό Ρ, όπως φαίνεται καί στό Σχ.

5-17.

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΑΦΗΣ.

99

ΕΓΓΥΤΑΤΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

=

5.20. Δείξτε ότι ή καμπύλη χ tel + t 2e2 + t 3e3 fχει μέ τό παραβολοειδές x~ τάξεως 6 στήν άρχή των άξόνων (t = Ο). Θεωρούμε τή συνάρτηση

=

I,(t)

5.21.

6

t2

+

= 30tf, f'''(t) = 1(i)(0) = ο, ί = 1,2,3,4,5 καί

6t5,

Προφανώς τάξεως

=

f(t)

στό

f"(t)

t

=

(t3)2 - t 2

120t3 ,

= t 8•

1(4)(t)

t<8>(0) .,ι. Ο.

=

+ χ:

-

Χ2

=

Ο έπαφή

Παραγωγίζοντας fxoUμE

=

t<δ)(t)

360t2 ,

720Ι,

t<8>(t)

= 720

Συνεπώς ή καμπύλη i:XEt μέ τό παραβολοειδές έπαφή

Ο.

Δείξτε ότι τό έγγύτατο έπίπεδο μιας καμπύλης Ε-χει μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλά-χιστον τά ξεως

στό Ρ, Μν καί μόνο Μν τουλά-χιστον μιά άπό τίς συναρτήσεις καμπυλότητας καί

4

στρέψεως μηδενίζεται στό Ρ. Τό έγγύτατο έπίπεδο της καμπύλης Χ τηση

= x(s)

aτό

[(s) = (x(s) -

Έχουμε

I'(S)

Χ· b O

=

=

t· b O'

I"'(s) = ;n· b O + "ή· b o

s= Χο)

=

Προφανώς

;n· b O

Θεωρούμε τή συνάρ-

-

"n' b O

b O + ".,.b· b O

,,2t·

ο,

["'(so)

=

~oDo· b O - ,,~to· b O + "o.,.obo • b O

έάν καί μόνο έάν ίσχύει μία τουλάχιστον άπό τίς σχέσεις

5.22.

Ο.

• bO

= i· b O =

I"(s)

=

'ο εΙναι (Χ - Χο) • b o

"ο

=

=

Ο,

=

"0"'0 "'0

Ο

= ο.

Δείξτε ότι ή καμπύλη πού προσδιορίζεται άπό τό γεωμετρικό τόπο των κέντρων καμπυλότητας μιας καμπύλης εΙναι μιά έξειλιγμένη τής καμπύλης, έάν καί μόνο Μν ή καμπύλη εΙναι έπίπεδη .

.Ο

γεωμετρικός τόπος τών κέντρων καμπυλότητας της έπίπεδης καμπύλης Χ

καμπύλη

Υ

=

Χ

+ (1/,,)n,

δηλαδή τή μοναδική έπίπεδη έξειλιγμένη της Χ

οΙ έξειλιγμένες μιας καμπύλης Χ

=

• Επειδή

τά D καί

b

+

(1/,,)n

+

5.23. . Εάν

ή

.,.

5.6).

• Αντίστροφα,

ε{ναι γραμμικώς άνεξάρτητα. ή Υ ταυτίζεται μέ μιά άπό τίς χ* έάν καί μόνο έάν γιά

ή

Συνεπώς

Χ(8) προσδιορίζει τήν

(1/κ) [cot (Ι .,.ds + C)Jb

εχουμε

c

=

(Παράδ.

Χ(8) ε{ναι της μορφης

χ* = Χ κάποιο

= x(s)

Ξ Ο καί tπομένως ή Χ

=

f .,.

ds

= '11'/2 -

c

= σταθ.

Χ(8) ε{ναι μιά έπίπεδη καμπύλη.

συνάρτηση Ίc δέν άλλάζει πρόσημο μεταξύ δύο σημείων μιας έπίπεδης καμπύλης,

δείξτε ότι ή διαφορά των άκτίνων καμπυλότητας στά σημεία αύτά εΙναι ίση μέ τό μήκος του τόξου μεταξύ των άντίστοιχων σημείων τής καμπύλης πού προσδιορίζεται άπό τό γεωμετρικό τόπο των κέντρων καμπυλότητας τής έπίπεδης καμπύλης.

.Ο

γεωμετρικός

τόπος τών κέντρων καμπυλότητας προσδιορίζει τήν καμπύλη ~y

γωγίζοντας fχουμε

dy

_

ds

-

•

Χ -

~ + 1. -D = "2,,

-D

Κ 1 + -(-"t) = "2,,

-ο

t -

= χ+ (1/,,)D.

Παρα-

-Κ

-D

ιc2

δπου χρησιμοποιήσαμε δτι .,. Ξ Ο, έπειδή ή καμπύλη ε{ναι έπίπεδη. 'Υποθέτουμε πρώτα δτι ΊC ~ Ο μεταξύ τών σημείων Χ(8ι) καί Χ(82) (8ι < 8~. Τότε γιά 8ι ~ s ~ 82 fχουμε

1:1

= I~ΊCI =

;2

καί τό μηκος τού άντίστοιχου τόξου της καμπύλης πού όρίζει ό γεωμετρικός τόπος τών κέντρων καμπυλότητας

εΙναι

Ι'Ι Ι dYI ds ds

=

Ι'Ι ιc2κ ds

= -

Ι-Ι dsd (1) -;

ds

= "(81ι )

-

1 ,ψ~ = Ρ(8 ι )

'ι .1 '. πού εlναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα (ή περίπτωση πού άπομένει έξετάζεται άνάλογα).

-

ρ(82)

5.24.

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

100

ΔεΙξτε ότι οΙ έφαπτόμενες της καμπύλης, πού προσδιορίζεται άπό τό γεωμετρικό τόπο των κέντρων σφαιρικής καμπυλότητας μιας καμπύλης, εΙναι παράλληλες πρός τΙς δεύτερες καθέ τους της καμπύλης στά άντίστοιχα σημεία .

•Ο

Υ

WEva

χ

=

+

(1/,,)n - -.!Ξ.. b ,,2.r

έφαπτόμενο διάνυσμα τής καμπύλης αύτής ε{ναι

~~

χ

=

K~η

-

t -

•Από

.

γεωμετρικός τόπος των κέντρων σφαιρικής καμπυλότητας προσδιορίζει την καμπύλη

+

~ (,,;;)b

(1/")0 -

- ,,;rb ~ (.i..)

;, n' + (1/")(-,,t + rb) -

,,2

ds

,,2r

b - -.L(-rn)

,,2r

τή σχέση αύτή προκύπτει τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

'Άλυτα Προβλήματα 5.25.

Βρείτε τίς φυσικές έξισώσεις της καμπύλης

Άπ. 5.26.

ανΓ:f " = Β(2α2 + b 2 )l/2'

r

s2

1

TlCOS(rO~Tle)Jel + [(ΤΟ-ΤΙ)ΒϊΠθ

-

+

'Εάν

C

ε{ναι μιά έπίπεδη καμπύλη, δείξτε δτιύπάρχει πάντα μιά καμπύλη

,,2Β2

= 1, r = Ο, Α < Β

Λογαριθμική Ι!λικα

r =

r =Ο,

>Ο

Β,α

ετσι ώστε οΙ

C

καί

C·

νά

χ

=

(t

+ k)e} +

>Ο

ce Ύθ •

Βρείτε τήν έξίσωση της έφαπτόμενης έπιφάνειας στήν καμπύλη

Άπ.

5.31.

C·,

Bertrand.

Προσδιορίστε τήν καμπύλη τής όποίας οΙ φυσικές έξισώσεις ε{ναι

'Απ.

5.30.

TlSin(ro~rle)Je2

-

Α2

1_ Κ = __ as+b'

5.29.

+ be3)'

= Β(2α2 + b 2)l/2

Άπ.

ε{ναι καμπύλες τοϋ

5.28.

= et(a(cos t)e } + a(sin t)e2

Βρείτε τίς φυσικές έξισώσεις τής ύποκυκλοειδοϋς

χ = [(το-τι) cosD

5.27.

χ

b

(t 2 + 2kt)e2

+

(t3

+ 3kt2)e3'

-00

<

k

<

χ

= te} + t2e2 + t3e3'

00

Δείξτε δτι δλες οΙ ένειλιγμένες μιας περιφέρειας ταυτίζονται.

'Εάν δύο καμπύλες εχουν τίς ίδιες δεύτερες καθέτους στά άντίστοιχα σημεiα τους, δείξτε δτι ε{ναι έπίπεδες καμπύλες.

5.3%.

Δείξτε δτι μιά καμπύλη χ

χ(4)

(' Υπόδειξη.

-

= x(s)

(2") +!. ~ "

r

'χ'

m

κλάσεως C , m ~

+

(

,,2

+

r2

4, Ικανοποιεί τή διαφορική έξίσωση

.. 2'2 ..)

+ ! ! + " -" " "r

,,2

χ

+

,,2

(")

~ -!. Χ " r

=

ο

• Υπολογίστε τίς Χ = t, Χ = i = "n, 'χ' = κη + "ο = Kn - ,,2t + "rb καί χ(4) = t, b καί άντικαταστηστε τίς παραγώγους αύτές στή διαφορική έξίσωση.)

κό συνδυασμό των η,

ώς γραμμι-

ΚΕΦ.5

101

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

5.33.

'Εάν μιά καμπύλη βρίσκεται σέ μιά σφαίρα, δείξτε δτι ~ (Ι(;Τ) - ;

5.34.

(α)

=

ο.

Δείξτε δτι ή προβολή μιας ~λΙKας, πού βρίσκεται σέ ~ναν κωνο έκ περιστροφής, σέ ~να έπίπεδο κάθετο στόν άξονα του κώνου εΙναι μιά λογαριθμική ~λΙKα.

(b)

Δείξτε δτι οΙ φυσικές έξι σώσεις μιας ~λΙKας πού βρίσκεται σέ εναν κώνο έκ περιστροφής εΙναι

Ι(

5.35.

Δείξτε δτι ή ένειλιγμένη χ*

= Ι/αΒ,

= χ + (C -

Τ

= l/b8,

α,

8)t τής καμπύλης Χ

•

I(c - 8)/(1 (1(2

-

= σταθ.

= x(s)

εχει στρέψη •

Κ'Τ -ΚΤ

_

Τ

b

+ τ2 )

5.36.

Δείξτε δτι οΙ έξειλιγμένες μιας έπίπεδης καμπύλης εΙναι ελικες.

5.37.

Δείξτε δτι σέ μιά έξειλιγμένη δ λόγος τής στρέψεως πρός τήν καμπυλότητά της εΙναι ( • Υπόδειςη. μένης

5.38.

C"

Χρησιμοποιήστε τή σχέση του Προβλήματος

ii,

Ισοδύναμα, μεταξύ μιας καμπύλης

C"

5.35

μεταξύ μιας καμπύλης

καί τής έξειλιγμένης της

cot C

[f Τ

d8

+

cJ .

καί μιας ένειλιγ

C.)

Δείξτε δτι δ γεωμετρικός τόπος των κέντρων καμπυλότητας μιας κυκλικής ελικας προσδιορίζει μιά δμοαξο νική ελικα τού ίδιου βήματος καί δτι δ γεωμετρικός τόπος των κέντρων καμπυλότητας του γεωμετρικού τόπου των κέντρων καμπυλότητας τής κυκλικής ελικας προσδιορίζει τήν άρχική ελικα.

5.39.

Δείξτε δτι τό γινόμενο τής στρέψεως μιας κυκλικής ελικας έπί τή στρέψη τής καμπύλης πού προσδιορίζεται άπό τό γεωμετρικό τόπο των κέντρων καμπυλότητας της ελικας στά άντίστοιχα σημεία εΙναι ίσο μέ

1(2.

5.40.

. Ολοκληρωστε τίς έξισώσεις του Frenet στήν περίπτωση καμπύλης μέ σταθερή καμπυλότητα καί στρέψη.

5.41.

. Εάν

μιά ελικα βρίσκεται σέ μιά σφαίρα, δείξτε δτι ή προβολή της σέ ενα έπίπεδο κάθετο στόν άξονά της εΙναι

ενα τόξο μιας έπικυκλοειδους. ('Υπόδειςη. Δείξτε δτι ή φυσική έξίσωση τής προβολής εΙναι

= Ι,

5.42.

Α

>

Β.

Βλέπε Πρόβλ.

.:.:

+

1(212

5.2.)

Δείξτε δτι ή προβολή μιας ελικας, πού βρίσκεται σέ ενα παραβολοειδές έκ περιστροφης, σέ Ι!να έπίπεδο κά

θετο στόν άξονα περιστροφής του παραβολοειδους εΙναι ένειλιγμένη κάποιας περιφέρέιας.

5.43.

Δείξτε δτι τό γινόμενο των στρέψεων δύο καμπυλων του

5.44.

• Εάν

μιά καμπύλη

C

trand.

=Ι

εΙναι σταθερό.

δίνεται άπό τή σχέση

χ = α δπου Ig(t)1

Bertrand

καί Ig'(t)1

= Ι,

f

g(t) dt

+

b

f

g(t)

χ g'(t) dt

δείξτε δτι ύπάρχει μιά καμπύλη πού μαζί μέ τήν C εΙναι καμπύλες του

Bec-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

•Η

lννοια της έπιφάνειας στή διαφορική γεωμετρία ε{ναι πιό πολύπλοκη άπό τήν lννοια της

καμπύλης.

Γιά παράδειγμα, ένώ μιά καμπύλη όπως όρίστηκε μπορεί νά περιγραφεί πλήρως άπό

μία μόνο κανονική παραμετρική παράσταση, μιά έπιφάνεια, όσο άπλή καί άν ε{ναι, όπως ε{ναι ή σφαίρα, γιά νά περιγραφεί πλήρως

σεις.

χρειάζεται τουλάχιστον δύο κανονικές παραμετρικές παραστά

Μέ τούς όρισμούς πού lχουμε δώσει μιά καμπύλη είναι δυνατό νά περιέχει ή νά μήν περιέχει

τά άκρα της ή τά συνοριακά σημεία της, ένώ τό άντίστοιχο δέν συμβαίνει μέ τίς έπιφάνειες.

Γιά

παράδειγμα, άναφέρουμε ότι τό άνω ήμισφαίριο μιας σφαίρας μέ τό σύνορό του, δηλαδή τό μέγιστο κύκλο, δέν άποτελεί μιά άπλή έπιφάνεια, ένώ τό άνω ήμισφαίριο χωρίς τό σύνορό του ε{ναι μιά

άπλή έπιφάνεια.

Στή συνέχεια γιά νά όρίσουμε τήν έπιφάνεια χρειαζόμαστε μερικές στοιχειώδεις

lννοιες της τοπολογίας. Στά έπόμενα ε{ναι σκόπιμο νά χρησιμοποιουμε ενα μόνο σύμβολο γιά τήν Εύκλείδεια εύθεία,

τό έπίπεδο ή τόν 3-διάστατο χώρο.

τόν

FJ2

νΕτσι, μέ τόν δρο «Εύκλείδειος χώρος Ε" έννοουμε τόν ΕΙ,

ή τόν Ε3.

ΑΝΟΙΚΤΑ ΣΥΝΟΛΑ

/ - - - ....... , S

Παρατηρουμε στό Σχ.

6-1

ότι κάθε σημείο πού βρίσκεται στό

έσωτερικό ένός κύκλου του έπιπέδου μπορεί νά κλειστεί σέ μιά

, Ι

σφαιρική περιοχή, πού περιέχεται όλόκληρη στό έσωτερικό του

κύκλου.

άν

υπαρχει μιά σφαιρική

S

ΗΕνα άνοικτό διάστημα ιι ριέχει σημεία

<

χ ~

>b χι > Ο

χΙ

Τό ήμιεπίπεδο

<

χ

<

\

'

περιοχή

-_ \

.......

6-2,

εΙναι

lva

πού δέν άνήκουν στό

+Χ2 .

άνοικτό σύνολο του ΕΙ.

ιι

του Ε2 ε[ναι άνοικτό.

δέν εΙναι άνoιιcτό.

>Ο

<χ

~

Ι

Ι

. Αλλά

ι

b.

καί τόν άξονα χι, όπως φαίνεται

Πράγματι, άν Ρ εΙναι

Ι

τό σύνολο πού ά

lva

σημείο στόν

άξονα χι άριστερά της άρχης των άξόνων, τότε κάθε περιοχή

S(P) πε

ριέχει σημεία άριστερά της άρχης των άξόνων, τά όποία δέν άνήκουν

(

......

ι

-,

Ρ \

Ι

----r-~--~I--~I----------·Xl \ ,_..... Ι Ι Ι

Ι Ι

στόν άξονα χι καί κατά συνέπεια στό σύνολο. (ο)

Μιά σφαιρική περιοχή !:νός σημείου ε{ναι άνοικτό σύνολο. μιά σφαιρική περιοχή ε{ναι

lva

Στόν ΕΙ

Ι

άνοικτό πεπερασμένο διάστημα· στόν

Ι

Ε2 εΙναι τό έσωτερικό !:νός κύκλου καί λέγεται άνο/κτός δίσκος στόν

Σχ.6-2

Ε3 εΙναι τό έσωτερικό μιας σφαίρας καί λέγεται άνο/κτή σφαίρα.

(d)

1/

'--~ .....

Σχ.6-1

S. b

\

,/-', Ι I. Ρ ι Ι

b δέν εΙναι άνοικτό, γιατί κάθε περιοχή S(b) πε

ποτελείται άπό τό ήμιεπίπεδο χι στό Σχ.

S(P)

6.1.

Τό διάστημα ιι

(b)

του Εύκλείδειου χώρου Ε ε{ναι άνοικτό,

του Ρ πού περιέχεται στό

Παράδειγμα (ιι)

S

γιά κάθε σημείο Ρ του

S(P)

\

-Ενα σύνολο πού lχει τήν ίδιότητα αύτή λέγεται άνοικτό'

δηλαδή, ενα σύνολο

"\

ι/

Ό Εύκλείδειος χωρος Ε ε[ναι άνοικτό σύνολο.

Έπίσης τό κενό σύνολο Φ ε[ναι άνοικτό· πράγματι, άν δέν

ήταν άνοικτό, θά ύπηρχε σημείο Ρ στό Φ τέτοιο ώστε κάθε περιοχή S(P) νά περιέχει σημεία πού δέν άνήκουν στό φ.

. Αλλά

δέν ύπάρχει σημείο Ρ μέ αύτή τήν ίδιότητα στό Φ, άφου τό Φ δέν

lXEt

κανένα σημείο.

ν Ας σημειωθεί ότι ό άνοικτός δίσκος ε{ναι ενα άνοικτό σύνολο του Ε2, άλλά δέν ε{ναι άνοικτό σύνολο όταν θεωρηθεί ώς ενα ύποσύνολο του Ε3. γιατί κάθε περιοχή του σκου περιέχει καί σημεία πού δέν άνήκουν στό δίσκο.

FJ2

ένός σημείου του δί

νΕτσι, ή εννοια του άνοικτου συνόλου ε{ναι

μιά σχετική Ιδιότητα του συνόλου καί έξαρταται άπό τό χώρο μέσα στόν όποίο θεωρείται ότι βρί σκεται τό σύνολο.

102

ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

103

Έάν {Οα} ε{ναι τυχούσα οΙκογένεια άνοικτών συνόλων, πεπερασμένη η οχι, τότε καί ή ενωσή τους υ Οα ε{ναι ενα άνοικτό σύνολο. Πράγματι, άν Ρ ε{ναι τυχόν σημείο του συνόλου υ Οα, τότε α α

τό Ρ άνήκει σέ κάποιο σύνολο Οαο. ριέχεται στό Οαο. πάρχει περιοχή

' Αλλά

Έπειδή τό Οα ο ε{ναι άνοικτό, ύπάρχει περιοχή

S(P)

= 1,

... , n,

ld Οα.

περιέχεται καί στό

πού περιέχεται στό UΟ α • α

S(P)

Έάν {Οι}, ί

τότε ή

no; ι

α

,/

εΙναι άνοικτό σύνολο.

Ι

Γιά νά τό άποδείξουμε θεωρουμε τυχόν σημείο Ρ του συνόλου

η ΟΙ. Τό Ρ άνήκει σέ κάθε σύνολο ΟΙ.

εΙναι άνοικτό.

W

νά

Ι

Ι

καί άκτίνες

1 + 1/n, n

= 1,2, ... ,

- - - ......

""-

'\

"

\

\

\ ι ι

\ \

"'......

Γιά παράδειγμα, άναφέ

6-3),

.......

\

ρουμε δτι ή τομή της μή πεπερασμένης οικογένειας τών όμόκεν

τρων άνοικτών δίσκων του Ε2 (Σχ.

---

ι

\\

ι

μήν εΙναι άνοικτό σύνολο.

/

Ι

Ας σημειωθεί δτι ή τομή άπειρου πλήθους άνοικτών συνόλων

μπορεί

/

Ι/

Έπειδή τά ΟΙ εΙναι ά

~OΙKτά, ύπάρχουν άντίστοιχες περιοχές S't(P) πού περιέχονται στά ΟΙ. ~Eστω τώρα ε = m!n (ε ι). Τότε ή S.(P) περιέχεται στό ΟΙ γιά κάθε ί. Συνεπώς ή S: (Ρ) περιέχεται στό η ΟΙ καί τό σύνολο

no. ι '

ld Οα ύ

Συνεπώς, τό uΟα ε{ναι άνοικτό.

εΙναι μιά πεπερασμένη οΙκογένεια ά

νοικτών συνόλων, τότε ή τομή τους

S(P) πού πε-

~Eτσι, γιά κάθε Ρ στό

/ ..........

-

---'

Σχ.

./

/

\ Ι

Ι

/

6-3

πού εχουν κέντρο τό Ρ

άποτελείται άπό τόν άνοικτό

δίσκο, πού εχει κέντρο τό Ρ καί άκτίνα

1,

καί άπό τό σύνορό του, δηλαδή τήν περιφέρεια άκτίνας

1. ' Αλλά

τό σύνολο αυτό δέν εΙναι άνοικτό.

Θεώρημα

6.1.

Σάν συμπέρασμα εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

Τά άνοικτά σύνολα του Ε εχουν τίς έξης ιδιότητες:

(α) Τό Ε εΙναι άνοικτό' τό Φ εΙναι άνοικτό.

(b) , Εάν (c) Έάν

τά σύνολα Οα είναι άνοικτά, τότε καί τό σύνολο υ Οα εΙναι άνοικτό. τά σύνολα

'Έστω Ρ καί

Q

0;, ί

= 1,

... , n,

α

εΙναι άνοικτά, τότε καί τό σύνολο

δύο διαφορετικά σημεία του Ε.

άριθμούς ει καί ε 2 , εστω ει

= ε 2 = !IPQI,

nO; ι

εΙναι άνοικτό.

Προφανώς, αν πάρουμε δύο άρκετά μικρούς

τότε οί περιοχές

S'l (Ρ)

καί

S'2 (Q)

εΙναι ξένες μεταξύ τους.

Έπειδή οί περιοχές εΙναι άνοικτά σύνολα, εχουμε τό έξης θεώρημα:

Θεώρημα καί

6.2. ' Εάν Ρ καί Q εΙναι διαφορετικά σημεία του Ε, τότε ύπάρχουν άνοικτά σύνολα Ορ OQ, πού περιέχουν άντίστοιχα τά Ρ καί Q, τέτοια ωστε OpnOQ = φ.

ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ.

'Ένα ύποσύνολο

στό

S,

του Ε λέγεται κλειστό σύνολο, άν τό σύνολο των σημείων, πού δέν άνήκουν

S

εΙναι άνοικτό, δηλαδή άν τό συμπλήρωμά του

Παράδειγμα

(α)

ΟΡΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

εΙναι άνοικτό.

SC

6.2.

Τό κλειστό διάστημα α "" χ "" άνοικτων συνόλων

χ

>

b

b

καί χ

τοϋ ΕΙ εΙναι κλειστό σύνολο, γιατί τό συμπλήρωμά του εΙναι ή ενωση των

< a.

Τό διάστημα α

<

χ ""

b

δέν εΙναι ούτε άνοικτό ούτε κλειστό.

(b) Τό σύνολο των ρητων σημείων τοϋ έπιπέδου ΧΙΧ2, δηλαδή τό σύνολο S των σημείων (Ρ, q), όπου Ρ καί q εΙ ναι ρητοί άριθμοί, δέν εΙναι ούτε άνοικτό ούτε κλειστό.

' Επειδή

κάθε περιοχή ένός ρητοϋ άριθμοϋ περιέχει καΙ

άρρητους άριθμούς, επεται ότι κάθε περιοχή S(p, q) περιέχει σημεία πού δέν άνήκουν στό δέν εΙναι άνοικτό.

' Επίσης,

ότι τό συμπλήρωμα τοϋ

(c)

S

S.

Συνεπως τό S

έπειδή κάθε περιοχή ένός άρρητου άριθμοϋ περιέχει καί ρητούς άριθμούς, επεται

δέν εΙναι άνοικτό.

Συνεπως τό

S

δέν εΙναι κλειστό.

"Ενα ύποσύνολο τοϋ Ε πού άποτελείται μόνο άπό ενα σημείο εΙναι κλειστό.

Έπίσης, ενα ύποσύνολο τοϋ Ε

πού περιέχει πεπερασμένο άριθμό σημείων εΙναι κλειστό.

(ιι)

Τό Ε εΙναι κλειστό, έπειδή τό ~ εΙναι άνοικτό.

Τό ~ εΙναι κλειστό, έπειδή τό Ε εΙναι άνοικτό.

(e)

Στά παρακάτω παραδείγματα άναφέρουμε μερικά κλειστά σύνολα.

(i)

.Ο

(ίί)

'Η άνοικτή σφαίρα στόν Ε3 μαζί μέ τό σύνορό της εΙναι ενα κλειστό σύνολο καί λέγεται κλειστή σφαίρα.

(iii) . Η

άνοικτός δίσκος στόν Ε2 μαζί μέ τό σύνορό του εΙναι ενα κλειστό σύνολο καί λέγεται κλειστός δίσκος. έπιφάνεια της σφαίρας στόν Ε3 εΙναι ενα κλειστό σύνολο, γιατί τό συμπλήρωμά της εΙναι άνοικτό σύ

νολο ώς ενωση τοϋ άνοικτοϋ έσωτερικοϋ της καί τοϋ άνοικτοϋ έξωτερικοϋ της.

104

ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

(ίν)

•Η

σπείρα (τόρος) στόν Ε3 εΙναι ή έπιφάνεια του Ε3 (Σχ.

6-4),

πού παράγεται, άν περιστρέψουμε μιά πε

ριφέρεια γύρω dπό μιά εύθεία του έπιπέδου της, πού δέν τήν τέμνει.

Ή σπείρα στόν Ε3

εΙναι κλειστό

.

σύνολο.

Σχ. 6-4

"Ενα σημείο Ρ λέγεται σημείο συσσωρεύσεως ή όριακό σημείο ένός συνόλου περιορισμένη σφαιρική

S

του Ε, αν κάθε

S'(P) του Ρ περιέχει τουλάχιστον ενα σημείο του S. μίζουμε ότι ή S'(P) άποτελείται άπό όλα τά σημεία της S(P) έκτός άπό τό σημείο Ρ. Παράδειγμα

(α)

περιοχή

6.3.

-Εστω

S

ενας dνοικτός δίσκος του Ε2 (Σχ.

6-5).

Προφανως, κάθε σημείο του

S

ε{ναι όριακό σημείο του

γιατί κάθε περιοχή ενός τέτοιου σημείου περιέχει έκτός dπό αύτό καί άλλα σημεία του φέρειας του δίσκου, άν καί δέν dνήκουν στό της περιφέρειας fχει τομή μέ τό

,/

ι

Ι

Ι

....,.,--

εΙναι όριακά σημεία του

S,

έπειδή κάθε περιοχή ενός σημείου

διάφορη του κενου συνόλου .

/1/n o--~o~~~o~~

)

"

S ................

--~--

____________--.

/

_--"" ",,/ Σχ.

S,

Σχ.

6-5

τό άπειρο σύνολο των σημείων

σημείο του συνόλου

__

1!

Ο

Ι

\

S

S,

S,

Τά σημεία της περι

.........

\

-Εστω

S

S.

/

\

(b)

Ύπενθυ

1,1/2,1/3, ... , l/n, ...

6-6

του άξονα Χ (Σχ.

6-6).

Τό Ο εΙναι όριακό

γιατί κάθε περιορισμένη περιοχή του Ο περιέχει τουλάχιστον ενα dκόμα σημείο του

S.

Μπορεί νά δειχθεί δτι τό Ο εΙναι τό μοναδικό όριακό σημείο του συνόλου.

Ύποθέτουμε τώρα ότι ενα σύνολο άνήκει στό

S.

S

του Ε εχει τήν ίδιότητα κάθε όριακό σημείο του

~Eστω Ρ τυχόν σημείο πού δέν άνήκει στό

Προφανώς, τό Ρ δέν εΙναι όριακό σημείο του

S,

άφου τό

S, S

S

νά

δηλαδή τό Ρ εΙναι σημείο του

SC.

περιέχει τά όριακά του σημεία.

νεπώς, ύπάρχει κάποια περιοχή S(P) , πού δέν περιέχει σημείο του εΙναι άνοικτό σύνολο, άφοϋ γιά τό τυχόν σημείο Ρ του

στό SC.

SC

ύπάρχει περιοχή

• Αλλά, όταν τό SC εΙναι άνοικτό, τότε τό S εΙναι κλειστό.

περιέχει τά όριακά του σημεία, εΙναι κλειστό. Πρόβλημα

Θεώρημα

6.5.

6.3.

Συ

S. "Επεται λοιπόν ότι τό SC S(P) πού περιέχεται

Συνεπώς, αν ενα σύνολο

Τό άντίστροφο ίσχύει έπίσης καί άποδεικνύεται στό

~Eτσι εχουμε τό έξης θεώρημα:

"Ενα σύνολο του Ε εΙναι κλειστό, έάν καί μόνο έάν περιέχει τά όριακά του σημεία.

Τό κάλυμμα ένός συνόλου

λ

S, πού συμβολίζεται μέ S, εΙναι τό σύνολο πού άποτελείται άπό τό S καί άπό τό σύνολο τών όριακών σημείων του S. ' Από τά Προβλήματα 6.7 καί 6.33 εχουμε ότι (α) τό S εΙναι κλειστό, (b) έάν Τ εΙναι ενα κλειστό σύνολο καί SCT, τότε SCT. Δηλαδή τό S εΙναι τό μικρότερο κλειστό σύνολο πού περιέχει τό S. Παράδειγμα

(α)

6.4.

• Αναφερόμαστε στό σύνολο του Παραδείγματος 6.I(b) πού dποτελείται dπό τό ήμιεπίπεδο χι χι·

Τό σύνολο αύτό δέν εΙναι ούτε dνοικτό ούτε κλειστό.

>

Ο καί τόν άξονα

Τά σημεία του άξονα Χ2 εΙναι όριακά σημεία του

συνόλου καί δέν dνήκουν στό σύνολο (έκτός dπό τήν dρχή των dξόνων).

'Εάν στό σύνολό μας συμπεριλάβουμε

καί τά σημεία αύτά, δηλαδή άν θεωρήσουμε τό σύνολο πού dποτελείται dπό τό ήμιεπίπεδο χι "'" Ο καί τόν άξονα χι, τότε fχουμε fva κλειστό σύνολο πού εΙναι τό κάλυμμα του dρχικου συνόλου.

ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

Έπειδή

(b)

κάθε

περιορισμένη

περιοχή

τυχόντος

σημείου

του

έπιπέδου

ΧΙΧ2

105

περιέχει

τουλάχιστον

σημείο, επεται δτι κάθε σημείο του Ε2 ε{ναι όριακό σημείο του συνόλου τών ρητών σημείων του Ε2. τό κάλυμμα του συνόλου τών ρητών σημείων του Ε2

~να

ρητό

Συνεπώς,

ε{ναι τό Ε2.

Τέλος, ενα σύνολο' S τοϋ Ε λέγεται φραγμένο, αν περιέχεται σέ κάποια σφαιρική περιοχή ενός

σημείου του.

νΕτσι, στόν ΕΙ τό

σμένο ανοικτό διάστημα.

ανοικτό δίσκο, ενω στόν Ε3 τό Παράδειγμα

εΙναι φραγμένο, εάν καί μόνο εάν περιέχεται σέ ενα πεπερα

S

Στόν Ε2 τό

S

εΙναι φραγμένο, εάν καί μόνο εάν περιέχεται σέ εναν

εΙναι φραγμένο, εάν καί μόνο εάν περιέχεται σέ μιά ανοικτή σφαίρα.

S

6.5.

(α)

Τό σύνολο τών σημείων

(b)

Τό σύνολο τών ρητών σημείων (Ρ,

(c)

'Ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων του Ε ε{ναι προφανώς φραγμένο.

1,1/2,1/3, ...

του ΕΙ εΙναι φραγμένο, γιατί περιέχεται στό διάστημα Ο

<

χ

<

2.

q) του έπιπέδου ΧΙΧ2 δέν ε{ναι φραγμένο.

ΣγΝΕΚΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ

'Έστω

S

ενα σύνολο πού αποτελείται από δύο κλειστούς δίσκους τοϋ Ε2 ξένους μεταξύ τους,

δπως φαίνεται στό Σχ.

τομές τους μέ τό

ταξύ τους.

S

02,

Έπειδή οί δίσκοι εΙναι ξένοι, ύπάρχουν ανοικτά σύνολα ΟΙ καί

6-7.

πού ή ενωσή τους περιέχει τό

καί οί αντίστοιχες

S

εΙναι μή κενές καί ξένες με

Γενικά, ενα σύνολο

λέγεται μή συ

S

νεκτικο, αν, δπως παρατηρήσαμε παραπάνω, ύπάρ

χουν ανοικτά σύνολα ΟΙ καί

S C Οι U 02 ΟΙ

(τά ΟΙ καί

02

02

τέτοια ωστε (α)

καλύπτουν τό

S), (b)

# Φ, 02nS # Φ (κάθε ενα από τά ΟΙ καί εχει τομή μέ τό S διάφορη τοϋ κενοϋ συνόλου)

nS

02 καί

(c) (O,nS) n (02nS) = 0ln0 2 nS = φ. (Οί 02 μέ τό S είναι ξένες.) 'Ένα κενό σύνολο S λέγεται συνεκτικό, όταν δέν εΙ-

τομές των Οι καί μή

ναι μή

συνεκτικό σύνολο.

Παράδειγμα

(α)

Σχ.6-7

6.6.

'Από τίς παραπάνω ίδιότητες σημεία.

(b)

καί (c) επεται δτι ενα μή συνεκτικό σύνολο πρέπει νά εχει τουλάχιστον δύο

Έτσι, ενα σύνολο πού άποτελείται άπό ενα μόνο σημείο ε{ναι συνεκτικό.

'Αντίθετα, ενα πεπερασμένο

σύνολο σημείων του Ε πού άποτελείται άπό δύο ή καί περισσότερα σημεία ε{ναι μή συνεκτικό.

(b) Στό Πρόβλημα 6.14 τής σελίδας 115 δείχνουμε δτι τά μόνα συνεκτικά σύνολα του ΕΙ ε{ναι τά διαστήματα. περιλαμβάνονται καί τά διαστήματα πού περιέχουν ενα μόνο σημείο, a "" Χ "" α.) (c)

Στά παρακάτω παραδείγματα άναφέρουμε μερικά συνεκτικά σύνολα του Μιά άνοικτή σφαίρα.

(iίί) Μιά σπείρα.

Ε3.

(Συμ

(ί) ~Eνα εύθύγραμμο τμήμα.

(ίί)

(ίν) Μιά σπείρα μαζί μέ τό έσωτερικό της, πού λέγεται στερεά ή κλειστή

σπείρα.

'Ένα ανοικτό καί συνεκτικό σύνολο τοϋ Ε λέγεται τόπος. Παράδειγμα

(α)

(b)

6.7.

Τά παρακάτω εΙναι παραδείγματα τόπων:

(ί)

Τό άνοικτό σύνολο μεταξύ δύο όμόκεντρων σφαιρών του

(ii)

Τό ήμιεπίπεδο χι

(iίi)

Τό έσωτερικό μιας σπείρας πού λέγεται άνοικτή σπείρα.

>a

Ε3.

του Ε2.

Τά παρακάτω παραδείγματα δέν εΙναι τόποι:

(i)

.Η

(Η)

Δύο ξένοι μεταξύ τους άνοικτοί δίσκοι του Ε2 (ε{ναι άνοικτό σύνολο, άλλά δέν ε{ναι συνεκτικό).

κλειστή σπείρα του Ε3 (εΙναι συνεκτικό σύνολο άλλά δέν ε{ναι άνοικτό).

'Ένα μή κενό σύνολο

S

τοϋ Ε λέγεται κατά τόξο συνεκτικό, αν κάθε ζεϋγος σημείων τοϋ

μπορεί νά ενωθεί μέ ενα συνεχές τόξο, τό όποίο νά περιέχεται στό τό

S

8

καί

(b)

X(t)

Χ(Ο)

όρισμένη στό Ο:.::

= Χι,

Χ(1)

= Χ2.

t :.:: 1,

τέτοια ωστε (α) τό

x(t)

S

Γιά νά ακριβολογήσουμε,

εΙναι κατά τόξο συνεκτικό. αν γιά κάθε ζεϋγος σημείων χι, Χ2 του

απεικόνιση

t

S.

S

ύπάρχει μιά συνεχής

νά περιέχεται στό

S

γιά κάθε

Κ ΕΦ.

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

106 Παράδειγμα (α)

6.8.

-Ενα σύνολο πού άποτελείται άπό ενα μόνο σημείο χι εΙναι κατά τόξο συνεκτικό. Χ(Ι)

6

= σταθ. = χι

•Η

ϋπαρξη της συναρτήσεως

τό έπιβεβαιώνει.

= ΧΙ + Ι(Χ2 -

(b) Προφανώς, ό Ε εΙναι κατά τόξο συνεκτικός, γιατί ή γραμμική άπεικόνιση Χ(Ι)

ΧΙ), ο'" Ι'"

1,

εΙναι τό εύθύγραμμο τμήμα πού συνδέει τό τυχόν ζευγος σημείων χι καί Χ2' Μπορεί νά δειχθεί δτι ενα σύνολο του ΕΙ εΙναι κατά τόξο συνεκτικό, έάν καί μόνο έάν εΙναι ενα διάστημα.

(c)

"Ε

τσι, στόν ΕΙ τά συνεκτικά καί τά κατά τόξο συνεκτικά σύνολα ταυτίζονται.

, Εάν

ενα σύνολο

S

του Ε εΙναι

κατά

τόξο συνεκτικό, τότε εΙναι καί συνεκτικό. Γιά νά τό άποδείξουμε ύποθέτουμε στι τό

κατά τόξο

συνεκτικό

σύνολο

S

εΙναι

μή

συνεκτικό. Τότε. ύπάρχουν άνοικτά σύνολα

ΟΙ καί

S

τών όποίων ή ενωση περιέχει τό

02

καί εχουν μή κενές καί ξένες μεταξύ τους

τομές μέ τό

S,

σπως φαίνεται στό Σχ.

"Εστω Ρ ενα σημείο του

σημείο του

καί χ

Sn02

ενα συνεχές τόξο του μέ τό

= x(t),

Q

Q

ενα

Ο""" t """

1,

\

\1

πού ενώνει τό Ρ

Θεωρουμε τώρι;ι τήν πραγματική

Q.'

συνάρτηση

Ο

S

snoI,

6-8.

f(t) ,

όρισμένη

στό

/

διάστημα

""" t """ 1, πού δίνεται άπό τή σχέση

f(t)

=

1, έάν τό x(t) άνήκει στό S n ΟΙ { -1, έάν τό x(t) άνήκει στό S n 02

Έπειδή

Ο"""

/'

τό

t """ 1.

τόξο

X(t)

άνήκει

στό

S

καί

/\

/

Σχ.

\

"" "'-

'-

6-8

S ς;; Οι υ 02, επεται δτι ή f όρίζεται γιά κάθε t S n ΟΙ, S n 02 εΙναι ξένα μεταξύ τους.

Έπίσης εΙναι μονότιμη, άφου τά σύνολα

δείξουμε τώρα στι ή Ι(ι) εΙναι συνεχής γιά κάθε τουμε στι τό

Τότε τό

Ι Ι

X(tO)

X(t O)

t.

Θεωρουμε τό τυχόν σημείο

άνήκει σ' ενα άπό τά δύο σύνολα, εστω στό

S n Οι,

t

= to καί

στό

Θά

ύποθέ

σπως φαίνεται στό σχήμα.

άνήκει στό ΟΙ καί, έπειδή τό ΟΙ εΙναι άνοικτό, ύπάρχει μιά περιοχή

S. (X(t O))

πού

X(t) εΙναι συνεχής στό to, ύπάρχει μιά περιοχή Sδ(t ο ), τέτοια ωστε SE(X(tO» καί συνεπώς στό SnO I γιά κάθε t στήν Sδ(t ο ). Άλλά τότε ε χουμε f(t) Ξ 1 γιά κάθε t στήν Sδ(tο ). Συνεπώς, ή f(t) εΙναι συνεχής στό tO. Στό ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε, αν ύποθέσουμε ότι τό X(tO ) άνήκει στό Sn02. Αρα, ή f(t) εΙναι συνεχής σ' σλο τό διάστημα Ο",;: t ",;: 1. Αύτό σμως εΙναι άδύνατο, γιατί σπως γνωρίζουμε άπό τόν άπειροστικό λογισμό μιά συνεχής συνάρτηση, πού εχει τιμή 1 στό t = Ο καί -1 στό t = 1, πρέπει νά παίρνει όλες τίς τιμές μεταξύ -1 καί 1, πράγμα πού δέν συμβαίνει γιά τήν f(t). "Ετσι εχουμε τό επόμενο περιέχεται στό ΟΙ.

ή

X(t)

Έπειδή ή

νά άνήκει στήν

V

θεώρημα:

Θεώρημα V

6.4.

Έάν ενα σύνολο

S

του Ε εΙναι κατά τόξο συνεκτικό, τότε εΙναι συνεκτικό.

Αν καί τό άντίστροφο του θεωρήματος αύτου ισχύει γιά τόν ΕΙ, δέν ισχύει γενικά γιά τόν Ε,

όπως άποδεικνύεται στό Πρόβλημα

εΙναι κατά τόξο συνεκτικά.

6.20.

Δηλαδή, ύπάρχουν συνεκτικά σύνολα του Ε2, πού δέν

Παρ' σλα αύτά, αν

S

εΙναι ενα συνεκτικό καί άνοικτό σύνολο του Ε

(τόπος), τότε εΙναι καί κατά τόξο συνεκτικό σύνολο του Ε.

Δηλαδή στό Πρόβλημα

6.13

δείχνουμε

τό παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα

6.5.

"Ενας τόπος εΙναι κατά τόξο συνεκτικό σύνολο.

ΣΥΜΠΑΓΗ ΣΥΝΟΛΑ

'Ανοικτή κάλυψη ενός συνόλου όποίων ή ενωση περιέχει τό

S.

S

του Ε εΙναι μιά οικογένεια άνοικτών συνόλων του Ε, των

Ύποκάλυψη εΙναι μιά ύποοικογένεια μιας άνοικτής καλύψεως μέ

ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΠΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

107

τήν προηγούμενη ίδιότητα, ενώ πεπερασμένη κάλυψη είναι μιά ανοικτή κάλυψη πού αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό συνόλων. Προφανώς, γιά κάθε σύνολο του Ε ύπάρχει μιά ανοικτή κάλυψη, Π.χ. ή οίκογένεια πού αποτελείται μόνο από τό σύνολο Ε.

'Ένα σύνολο S του Ε λέγεται συμπαγές, αν γιά κάθε ανοικτή κάλυψη {Οα} του S ύπά'ρχει μιά πεπερασμένη ύποκάλυψη {Οαι, Οα2'

... ,

Οα,,}.

=

Παράδειγμα 6.9. Κάθε πεπερασμένο σύνολο σημείων είναι συμπαγές. Πράγματι, εστω S {Ρ ι' ... , Ρn} ενα πε περασμένο σύνολο καί {Οα} μιά τυχούσα άνοικτή κάλυψη του S, δηλαδή τά σύνολα Οα είναι άνοικτά καί

S ς; '-;l Οα· Γιά κάθε P i του S έκλέγουμε ενα σύνολο Οα. τής καλύψεως πού περιέχει άντίστοιχα τό Ρί • Προφανώς ή οίκογένεια {Οαι, Οα2' ... , Οα π } είναι μιά πεπερασμένη ύποκάλυψη του S. 'Επειδή ή κάλυψη {Οα} είναι τυ χούσα, τό S είναι συμπαγές. Παράδειγμα

6.10. -Εστω S τό απειρο σύνολο {Ι, 1/2, 1/3, ... } του ΕΙ (Σχ. 6-9). Τό σύνολο αύτό δέν είναι συμπαγές, γιατί μπορουμε νά βρουμε μιά άνοικτή κάλυψη του S, πού δέν

εχει

πεπερασμένη

ύποκάλυψη.

Πράγματι,

{! <:χ; < 2} καί Ο,. τό άνοικτό διάστημα γιά

κάθε

~

n

Προφανώς, τό Ο,.

2.

n

~

1

εστω

<χ<

περιέχει τό

= Ι, ... ,

ΟΙ

l/n

n

=

~

{On}, n

νοικτή κάλυψη του

S.

κάθε σύνολο Ο,. περιέχει μόνο

τό σημείο

S

του

' Αλλά του

λυψη

S

κάλυψη του

S(P I ), S(P 2 ),

••• ,

S S(P n ).

καί, επειδή τό

Ι

Ι

"

'3

'2 Σχ.

S

.Η

S(P).

•1

•

6-9 Γιά κάθε σημείο Ρ

οίκογένεια τών περιοχών αύτών είναι

είναι συμπαγές, ύπάρχει μιά πεπερασμένη ύποκά

'Αλλά ή ενωση πεπερασμένου πλήθους σφαιρικών περιοχών είναι

προφανώς ενα φραγμένο σύνολο. επίσης ενα φραγμένο σύνολο.

' Επειδή

τό

S

περιέχεται στήν ενωση τών περιοχών αύτών είναι

Συνεπώς, ενα συμπαγές σύνολο είναι φραγμένο.

'Ένα συμπαγές σύνολο του Ε είναι επίσης καί κλειστό. σημείο

c.

Ι

του Ε είναι ενα συμπαγές σύνολο.

παίρνουμε μιά τυχούσα σφαιρική περιοχή

μιά ανοικτή

8

S.

'Υποθέτουμε τώρα δτι τό σύνολο

S

Ο

είναι μιά ά

(":Ι

καί συνεπώς δέν είναι δυνατό νά βρεθεί

πεπερασμένη ύποκάλυψη

του

---0--0

καί ε

πομένως ή απειρη οίκογένεια

I/n

π~ι\

1

Γιά νά τό αποδείξουμε θεωρουμε ενα

SC. Γιά κάθε σημείο Ρ του S ύπάρχει μιά περιοχή S(P) καί μιά περιοχή SP(Q) ετσι ωστε S(P) nSP(Q) = φ. Προφανώς, ή οίκογένεια {S(P)} είναι μιά ανοικτή κάλυψη του S καί, επειδή τό S είναι συμπαγές, ύπάρχει μιά πεπερασμένη ύποκάλυψη {S(P I ), S(P2 ) , ••• , S(Pn)}. 'Έστω 0= QSPI(Q) ή τομή τών αντίστοιχων περιοχών του Q. Τό Ο περιέχει τό Q καί είναι ανοικτό σύνολο. 'Επίσης Q

του συμπληρώματός του

on(ys(p;»

=

=

y(OnS(p;»

y
Άλλά SP, (Q) n S(P;) = φ. Συνεπώς Ο n (L) S(P;» = φ. 'Επειδή ή οίκογένεια τών S(Pj) καλύπτει τό S, επεται δτι OnS = φ. ~Eτσι Οι:;;;,SC.' 'Αλλά τό Ο είναι ανοικτό καί περιέχει τό Q. Συνε πώς ύπάρχει περιοχή S(Q) ι:;;;,SC. ~Eτσι γιά τό τυχόν Jημείο Q του SC ύπάρχει περιοχή του Q πού περιέχεται στό SC. Συμπεραίνουμε λοιπόν δτι τό SC είναι ανοικτό καί αρα τό S είναι κλειστό. Συνεπώς, ενα συμπαγές σύνολο του Ε είναι κλειστό καί φραγμένο. Τό αντίστροφο αύτου επίσης

ίσχύει γιά σύνολα του Ε καί είναι γνωστό ώς θεώρημα τών

Heine-Borel.

παραπέμπουμε τόν αναγνώστη σέ ενα βιβλίο απειροστικου λογισμου.

Γιά τήν απόδειξή του

~Eτσι εχουμε τό έπόμενο

θεώρημα:

Θεώρημα

6.6.

'Ένα σύνολο του Ε είναι συμπαγές, εάν καί μόνο εάν είναι κλειστό καί φραγμένο.

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΛΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

~Eστω Ε καί πεικόνιση του

F

δύο Εύκλείδειοι χώροι καί

S

ενα ύποσύνολο του Ε.

στόν Ρ, δηλαδή κάθε σημείο Ρ του

'Επίσης εστω

S

απεικονίζεται σέ ενα σημείο

f

μιά α

του F 6-10). Ή απεικόνιση f λέγεται συνεχής στό τυχόν σημείο Ρο του S, αν γιά κάθε περιοχή S(f(Po» του Ρ, ύπάρχει περιοχή S(Po) του Ε τέτοια ώστε τό f(P) νά ανήκει στήν S(f(Po» γιά κά

S

f(P)

(Σχ.

θε Ρ πού ανήκει στό

S(Po)nS.

'Ή, ίσοδύναμα, ή

f

είναι συνεχής στό Ρο, αν γιά κάθε περιοχή

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ

108 S(f(Po)) νεχής

ύπάρχει περιοχή

στό

S

S(P o)

τέτοια ώστε

f(S(P o) nS) h S(f(PO) .

Ή άπεικόνιση

ή άπλώς συνεχής, άν εΙναι συνεχής σέ κάθε σημείο του Ε

/ ι

Ι

ΚΕΦ.6

ΧΩΡΩΝ

---

λέγεται συ

f

S. F

--~------~

S({(P

\

Παράδειγμα 6.11. (α)

Σχ. 6-10

Ή σταθερή απεικόνιση

σημείο Qo του χούσα

F,

f(P)

= Qo,

πού απεικονίζει κάθε σημείο Ρ

είναι συνεχής στό

περιοχή του {(Ρο).

του Ρο εχουμε στι τό ναι τυχόν σημείο του

f(P) S,

S.

Γιά σλα τά σημεία Ρ του

= Qo

ανήκει στήν S(QO)'

επεταl δη ή

f

ένός συνόλου

Πράγματι, εστω Ρο τυχόν σημείο του

S

καί

καί συνεπώς γιά σλα τά

S,

Συνεπώς, ή

είναι συνεχής στό

του Ε σε ενα σταθερό

S Ρ

S(f(P O)) κάθε

Ρ τής

S,

τό {(Ρ) είναι

είναι συνεχής σέ κάθε σημείο Ρο τής γιά κάθε σημείο Ρ του Sδ(Ρ ο )

n S,

ή όρθογώνια προβολή του Ρ έπί του

ή προβολή του {(Ρ) ανήκει στό

Σχ.

(c)

Οί έξισώσεις Χ όρίζουν μιά απεικόνιση

{

=

L.

'Υποθέτουμε

Ή απεικόνιση αυτη

αύτή είναι συνεχής σέ κάθε σημείο (Το, θ ο ).

""

S.(f(P O) ' παίρνουμε δ S.(f(P O))'

= Ε.

Τότε

6-11

Τ COS θ,

τής λωρίδας τ ~ ο, ο

τυ

S(P o)

f είναι συνεχής στό Ρο. Έπειδή τό Ρο εί

Πράγματι, αν δοθεί μιά περιοχή

S.

S(QO)

S.

(b) -Εστω S μιά σφαίρα του Ε3 καί L ενα έφαπτόμενο έπίπεδο αύτής. σπως φαίνεται στό Σχ. 6- Ι Ι. ση γιά κάθε σημείο

=

περιοχής

=

Υ

θ ""

71'/2,

τ

sin θ

του έπιπέδου τθ στό έπίπεδο

Θεωρουμε πρώτα τήν περίπτωση το #

ΧΥ.

Ή απεικόνιση

Ο καί εστω S.({(TO' θ ο »

=

. Εκλέγουμε Δτ > Ο καί Δθ > Ο αρκετά μικρά ετσι ώστε τά ση μεία (Χ, Υ) μέ πολικές συντεταγμένες (Τ, θ) σπου ο < Το - Δτ < Τ < Το + Δτ καί θ ο - Δθ < θ < θο + Δθ, νά α S.(xo, Υο) τυχούσα περιοχή του {(Το, θ ο ).

νήκουν στήν περιοχή γώνιας περιοχής

R,

S.(Xo, Υο), οπως φαίνεται στό Σχ. 6-12.

πού όρίζεται από τά διαστήματα το

{

- - - -__

-

Δτ

--

τ

Σχ. 6 - 12

<

Τότε γιά κάθε σημείο (Τ, θ) τής ανοικτής όρθο

Τ

< Το + ΔΤ,

θο - Δθ

<θ<

θο

+ Δθ,

εχουμε οτι

ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤOΠOΛOΓlA ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ

τό !(τ,θ) άνήκει στήν 8.(χ ο .Υο).

ΧΩΡΩΝ

109

Έκλέγουμε τώρα τυχούσα σφαιρική περιοχή

SD(TO.OO) στήν R. Τότε γιά

κάθε (τ, θ) της SD(To.Oo), εχουμε ότι τό !(Τ,8) άνήκει στήν S.(XO,Yo)· Έπειδή ή περιοχή S.(XO' Υο) ε{ναι τυ χούσα, ή ! ε{ναι συνεχής στό (το,8 0 ). Γιά τήν περίπτωση το = Ο έκλέγουμε δ = e. Τότε γιά (τ, ο) στήν

(d)

"'" r <

εχουμε ο

SD(O,8 0 )

με δτι !(0,00)

δ, δηλαδή

(Ο. Ο)).

=

Οί έξισώσεις όρίζουν πως

<

μιά

στό

Σχ.

6-13,

< •.

ή

Συνεπώς τό !(Τ, θ)

ε{ναι συνεχής στό Ο "'"

άπεικόνιση τοϋ έπιπέδου καί

τ

"'"

f

= u.

χ

φαίνεται

ε{ναι

(u

μιά

Ο

Συνεπώς, ή

Υ

= v,

στόν Ε3.

uv

είκόνα

=

Ζ

ε{ναι συνεχής γιά ΙΙ

8.(0, Ο)

(παρατηροϋ

U 2 +V 2 ,

γιά

u

~ Ο

1,

γιά

u

<

Ο

"0_

<

u >

Ο,

~ Ο).

(U

Ή άπεικόνιση

1) καί -1), στά όποία τό έπίπεδο τέμνει τό παραβολοειδές .

.Η

άπεικόνιση δέν εΙναι συνεχής στά ύπόλοιπα σημεία του

Ο καί στά σημεία (Ο,

v.

Γιά

1(0, t) =

παράδειγμα

(Ο,

λοειδους.

t.l)

παίρνουμε

τό

σημείο (Ο,

Έστω τώρα

ποθέσουμε ΟΤΙ ή

περιοχή

Sδ(Ο,

S5(0,

τό

t)

κάθε

< Ο.

!).

Τό

είναι σημείο του συνόρου του παραβο άρκετά μικρό

f

ωστε ή περιoχτf

S.(f(Ο,-1»νά μήν τέμνει τό έπίπεδο, Π.χ . •

u

(χ, Υ) άνήκει στήν

του έπιπέδου

(Ο,

σέ

=

Ο "'" 8 "'" π12.

έπιφάνεια πού άποτελείται άπό τό ήμιεπίπεδο

Ο) καί τό ήμι παραβολοειδές

ιiξονα

{

r,

t)

f

τέτοια

ωστε

γιά

t)

ύπάρχουν

Γιά ενα τέτοιο σημείο (u, υ)

i.

Έάν ύ

τότε ύπάρχει

κάθε

(U, υ) στήν

S.(/(O, !».

f(u, υ) νά άνήκει στήν

περιοχή Sδ(Ο,

"'"

t),

είναι συνεχής στό (ο,

. Αλλά

σημεία (lΙ, υ)

μέ

x=u

ή είκόνα του f(u, υ)

άνήκει στό επίπεδο καί συνεπώς δέν άνήκει στήν περιοχή

S.(/(O, !».

. Επομένως,

νΕστω Ε καί

ή

f

δέν εΙναι συνεχής στό (Ο,

δύο Εύκλείδειοι χώροι.

F

συνεχή άπεικόνιση Ι του

S

στόν

F.

Σχ.

t>.

Θεωρουμε ενα συνεκτικό σύνολο

Θά δείξουμε ότι ή είκόνα

I(S)

του F. Ύποθέτουμε στι δέν ισχύει αύτό. Τότε ύπάρχουν άνοικτά I(S) ς ΟΙ U 02, I(S) n Οι -+ Φ, I(S) n 02 -+ \3 καί [(S) n ΟΙ n 02 = \3.

Συμβολίζουμε μέ Αι τό σύνολο μείο Ρ του

S

τέτοιο ωστε τό

νά άνήκει στό Α 2 •

f(P)

6-13

καί μέ Α 2 τό σύνολο

[(S)nO l

νά άνήκει στό Αι καί ενα σημείο

S

του Ε καί μιά

εΙναι ενα συνεκτικό σύνολο

σύνολα ΟΙ καί

f(S)n02. Q του S

02

τέτοια ωστε

Θεωρουμε ενα ση τέτοιο ωστε τό

Τέτοια σημεία ύπάρχουν, γιατί τά σύνολα Αι καί Α 2 δέν είναι κενά.

f(Q)

Έπειδή

τό Αι περιέχεται στό ΟΙ καί τό ΟΙ είναι άνοικτό, επεται στι ύπάρχει περιοχή

S(f(P» πού περιέ S(P) του Ε, τέτοια ωστε τό σύνολο f(S(P» νά περιέχεται στήν περιοχή S(f(P» καί συνεπώς καί στό Οι. νΕστω τώρα W l = uS(P) γιά υλα τά Ρ του S γιά τά όποία τό f(P) άνήκει στό Αι. "Ομοια, εστω W 2 US(Q), σ/ου τό f(Q) άνήκει στό Α 2 • Τό [(S(Q» περιέχεται στό 02 γιά κάθε Q. Τά W l καί W 2 εI~ι προφανώς ά νοικτά ύποσύνολα του Ε, επειδή εΙναι ενώσεις άνοικτών συνόλων. Έπίσης S ς W l uW2 , χεται στό ΟΙ.

Έπειδή ή

f

εΙναι συνεχής, ύπάρχει περιοχή

=

Sn W l -+

Φ καί

Sn W 2 -+

ξένα μεταξύ τους.

Wl

Τέλος,

Ισχυριζόμαστε

δτι

Έπειδή τό Ρ* άνήκει συγχρόνως καί στό

Sn wln W 2 • του

φ.

τά

σύνολα

Sn W l

καί

Sn W 2

ε{ναι

Γιά νά τό άποδείξουμε ύποθέτουμε στι ύπάρχει ενα σημείο Ρ* στήν τομή τους

Wl

καί στό

W2,

ύπάρχει ενα σημείο Ρ

καί ενα

Συνεπώς, τό άνήκει στό Θεώρημα

=

Σέ μιά συνεχή άπεικόνιση, ή εΙκόνα κάθε συνεκτικου συνόλου ε{ναι συνεκτικό σύνολο.

6.7.

, Επίσης Θεώρημα

Q του W 2 , τέτοια ωστε τό Ρ* νά άνήκει συγχρόνως στήν S(P) καί στήν S(Q). f(P*) άνήκει καί στό ΟΙ καί στό 02. Έπίσης, επειδή τό Ρ* άVΉKει στό S, τό f(P*) f(S), πού είναι άδύνατο άφου Otn02nf(S) φ. ~Eτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα: στό Πρόβλημα

6.8.

6.24

της σελίδας

118

δείχνουμε τό έξης θεώρημα:

Σέ μιά συνεχή άπεικόνιση, ή είκόνα κάθε συμπαγους συνόλου εΙναι συμπαγές σύνολο .

. Υπενθυμίζουμε

άπό τόν άπειροστικό λογισμό στι μιά συνεχής πραγματική συνάρτηση

f(t)

ό

ρισμένη σέ ενα κλειστό διάστημα Ι παίρνει κάπου στό πεδίο όρισμοϋ της τό άπόλυτο μέγιστο καί

τό άπόλυτο ελάχιστο.

f(t)

~ ι(Μ γιά κάθε

t

Δηλαδή ύπάρχουν

tl

καί

t 2 τέτοια ωστε f(t) "'" {(t l ) γιά κάθε t στό Ι καί

στό Ι. Τό 'ίδιο ισχύει στίς συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις όρισμένες γε-

r ι

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

110

νικά σέ συμπαγή σύνολα. ενα συμπαγές σύνολο

Πράγματι,

ΚΕΦ.6

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

εστω Ι μιά συνεχής πραγματική συνάρτηση όρισμένη σέ

ή, ίσοδύναμα, εστω Ι μιά συνεχής απεικόνιση του

C

C

στόν ΕΙ.

Τότε από

τό Θεώρημα 6.8 ή είκόνα I(C) στόν ΕΙ είναι έπίσης ενα συμπαγές σύνολο. Έπειδή τό I(C) είναι συμπαγές επεται δτι είναι κλειστό καί φραγμένο καί έπομένως εχει έλάχιστο ανω φράγμα Μ καί μέγιστο κάτω φράγμα

'Απομένει νά δείξουμε δτι τά Μ καί

m.

ύπάρχουν σημεία Ρ ι καί Ρ 2 στό C, τέτοια ωστε Ι(Ρ) ~ Μ Ρ στό

f

ανήκουν στό

καί f(P) ~ m

I(C),

= f(P

όπότε θά

γιά κάθε

2)

C. ' Αλλά, αν ύποθέσουμε δτι Μ ιl I(C), τότε Μ Ε [/(C)]c. Έπειδή τό f(C) είναι κλειστό, τό [f(C)]C είναι ανοικτό. Συνε πώς, ύπάρχει ανοικτό διάστημα Μ - ε < Μ < Μ + ε πού περιέχεται στό [/(C)]C. ' Αλλά τότε ύ πάρχει καί Μι στό διάστημα Μ - ε < Μ < Μ + ε, τέτοιο ωστε f(P) ~ Μι < Μ γιά κάθε Ρ στό C. Αύτό δμως είναι αδύνατο, γιατί τό Μ είναι τό έλάχιστο ανω φράγμα του I(C). Μέ τόν 'ίδιο τρόπο αποδεικνύεται δτι m Ε I(C). VΕτσι εχουμε τό έπόμενο θεώρημα: C

Θεώρημα

καί συνεπώς ή

m

= I(Ρ ι )

παίρνει τό μέγιστο καί τό έλάχιστό της στό

Μιά συνεχής πραγματική συνάρτηση όρισμένη σέ ενα συμπαγές σ,ύνολο παίρνει τό

6.9.

απόλυτο μέγιστο καί τό απόλυτο έλάχιστο στό σύνολο αύτό .

τώρα δτι Ε,

F

καί

του Ρ, Ι μιά απεικόνιση του

. Υποθέτουμε

8

στόν

Τότε γιά δλα τά Ρ

(gof)(P)

= g(f(P»,

στό

G ειναι Εύκλείδειοι χώροι, 8 ύποσύνολο του Ε, Τ ύποσύνολο F τέτοια ωστε 1(8) ς: Τ καί g μιά απεικόνιση του Τ στόν G. 8, όρίζεται ή σύνθετη απεικόνιση g ο f του S στόν G από τήν εκφραση

δπως φαίνεται καί στό Σχ. 6-14.

---

Ε

G

F

f

s

Τ

Σχ. 6 - 14

Στό Πρόβλημα

6.23

συνεχής απεικόνιση. Θεώρημα

6.10.

•Η

δείχνουμε δτι, αν

f

καί

g

είναι συνεχείς απεικονίσεις, τότε καί ή

g

ο Ι είναι

Δηλαδήεχουμε τό έξης θεώρημα: σύνθεση δύο συνεχών απεικονίσεων είναι συνεχής απεικόνιση.

ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ 'Έστω

f

μιά συνεχής απεικόνιση του συνόλου

ύπάρχει ή αντίστροφη απεικόνιση ι-ι της είκόνας στό

{(8), Μιά

τότε ή Ι λέγεται

1-1

8

(του Ε) στόν

1(8)

έπί του

dμφισυνεχής απεικόνιση του

8

8.

στόν

F.

Έάν ή

f

είναι

Ι-Ι, τότε

Έάν καί ή I~I είναι συνεχής

F.

1-1 αμφισυνεχής απεικόνιση ένός συνόλου S (του Ε) έπί ένός συνόλου Τ (του Ρ) λέ έπί του Τ. Προφανώς μιά· 1-1 αμφισυ

γεται καί τοπολογική dπεικόνιση ή όμοιομορφισμός του 8 νεχής απεικόνιση ένός συνόλου

κόνας

{(S).

Έπίσης, αν

f

S

(του Ε) στόν

F

όρίζει εναν όμοιομορφισμό του

είναι ενας όμοιομορφισμός του

μοιομορφισμός του Τ έπί του

8.

Τέλος, ενα σύνολο

όμοιομορφικό μέ ενα σύνολο Τ (του

F),

8

8

έπί της εί

S έπί του Τ, τότε ή {-Ι είναι ενας ό

(του Ε) λέγεται τοπολογικά ίσοδύναμο ή

αν ύπάρχει ενας όμοιομορφισμός του

8

έπί του Τ.

Μέ τή διαίσθηση μπορουμε νά φανταστουμε τόν όμοιομορφισμό σάν μιά απεικόνιση στήν όποία γειτονικά σημεία απεικονίζονται σέ γειτονικά σημεία.

'Ακόμα, δύο γεωμετρικά αντικείμενα είναι

όμοιομορφικά, αν μέ μιά έλαστική παραμόρφωση μπορ ου με νά ταυτίσουμε τό ενα μέ τό αλλο.

Κ ΕΦ.

ΣΤOlΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕγΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

6

Παράδειγμα (α)

111

6.12.

Οί εξισώσεις

Χι

όρίζουν μιά συνεχή καί

1-1

= cos έ,

=

Χ2

Βίη

t,

άπεικόνιση Ι του διαστήματος Ο ~

πού εχει κέντρο τήν άρχή τών άξόνων καί άκτίνα Ι.

t < 2".

ο ~

t < 2".

επί τής περιφέρειας του επιπέδου ΧΙΧ2'

Ή άπεικόνιση αύτή δέν εΙναι άμφισυνεχής, γιατί ή άντί

στροφη άπεικόνιση ι-ι. πού άπεικονίζει τήν περιφέρεια επί του διαστήματος, δέν εΙναι συνεχής στό σημείο

(1,

Ο).

τόν

ΝΟ πως φαίνεται καί στό Σχ.

αξονα

δειγμα τήν !-περιοχή του Ι-Ι(l, Ο) μέqα

στήν

6-15,

κάθε περιοχή τού

(1, Ο)

περιέχει σημεία (αύτά πού είναι κάτω άπό

Χι) πού άπεικονίζονται άπό τήν Ι- ι σέ σημεία κοντά στό

περιοχή

Sllz(f-l(1, Ο».

Ο ~ Ι:!'Ξ"., δπως φαίνεται στό Σχ.

= Ο,

Παρατηρουμε

6-16,

2".. -Ετσι, αν θεωρήσουμε γιά παρά (1, Ο) πού νά άπεικονίζεται άπό τήν ι-ι

δέν ύπάρχει περιοχή του τέλος

δτι,

αν

ή

άπεικόνιση Ι περιοριστεί aτό διάστημα

τότε ή Ι είναι ενας όμοιομορφισμός επί τής ήμιπερίφέρειας.

-Ετσι, τό

εύθύγραμμο τμήμα καί ή ήμιπεριφέρεια είναι σύνολα τοπολοΥικά ίσοδύναμα.

-ι-ι

(1,

Ο)

--+---1---+.--1-+--

/'

/

/

----

\

;/-1(1,0)\

\ \

Ο

Ι

"

'- ...... -

• t

Ι

,.-

Σχ.

"-

Ι

,

χι

/

.....

/

Ι

/

8",12(1-1(1,

Ο))

6-15

ι ----.......

Ο

•

• t

- - - ' - - - - 1 - - - - - ' ' - - - - - - "...

Σχ.

(b)

Μιά ενδιαφέρουσα οίκογένεια επιφανειών του Ε3 φάνειες αύτές παράγονται, αν κάνουμε

6-16

μέ δύο όψεις είναι οί σφαίρες μέ

2π τρύπες σέ μιά σφαίρα καί ενώσουμε

ωστε τά άκρα τους νά καταλήγουν σ' αύτές τίς τρύπες.

χι

Μιά σφαίρα μέ

3

n

n

χερούλια (λαβές).

Οϊ επι

διαφορετικούς σωλήνες, ετσι

χερούλια δίνεται aτό Σχ.

ρατηρουμε δτι οί επιφάνειες αύτές εΙναι κλειστά καί φραγμένα (συμπαγή) σύνολα του Ε3.

6-17.

Πα

Μπορεί νά δειχθεί

στι κάθε συμπαγής επιφάνεια μέ δύο όψεις, πού θά όρίσουμε στά έπόμενα κεφάλαια, είναι τοπολοΥικά Ισοδύναμη

μέ μιά σφαίρα πού εχει όρισμένο άριθμό χερουλιών.

Γιά παράδειγμα, άναφέρουμε δτι ή σπείρα είναι τοπολογικά

ίσοδύναμη μέ τή σφαίρα πού εχει ενα χερούλι.

Σχ. 6- 17

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ

112

ΚΕΦ.6

ΧΩΡΩΝ

Λυμένα Προβλήματα ΑΝΟΙΚΤΑ ΣΥΝΟΛΑ.

6.1.

ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ

Έξετάστε ποιά άπό τά παρακάτω σύνc\α εΙναι

(i) άνοικτά, (ίί) κλειστά, (ίίί) φραγμένα.

Βρείτε

(ίν) τά σύνολα των όριακων σημείων τους καί (ν) τό κάλυμμά τους.

(α) Οί άκέραιοι {Ο, ±1, ±2, ... } του ΕΙ. (b) Τά σημεία (Χ, Υ) του έπιπέδου ΧΥ γιά τα οποία xy"l= Ο. (c) Τό σύνολο (l+to-(l+:\), (1+!),-(1+-!), ... ,(-l)n(l+~), ... } του ΕΙ. (d) • Η σπείρα του Ε3. (α)

Τό σύνολο ε{ναι κλειστό, γιατί τό συμπλήρωμά του ε{ναι ενωση των ανοικτων συνόλων

n

=

Ο,

< Χ < 11,

n -1

Τό σύνολο προφανως δέν ε{ναι φραγμένο καί δέν εχει όριακά σημεία.

:t:1, :t:2, . . ..

Γιατί, αν

δοθεί Ι:νας πραγματικός αριθμός χο, μπορεί νά βρεθεί μιά περιoχJ1 τού χο, πού δέν περιέχει ακέραιο αριθμό έκτός ένδεχομένως άπό τό

χο.

Τό κάλυμμα τού συνόλου είναι τό ϊδιο τό σύνολο.

(b) Τό σύνολο αύτό άποτελείται άπό τό έπίπεδο ΧΥ έκτός άπό τούς αξονες Χ καί Υ.

Τό σύνολο εΙναι

άνοικτό, γιατί κάθε σημείο (X U' Υο) τού συνόλου εχει μιά έλάχιστη μή μηδενική απόσταση d !Υο!}

άπό τούς αξονες Χ καί Υ

πού περιέχεται στό σύνολο.

καί

συνεπως ύπάρχει

μιά

Τό σύνολο δέν ε{ναι φραγμένο.

'Επίσης, τά σημεία των άξόνων Χ καί Υ εΙναι όριακά. δλο τό έπίπεδο ΧΥ.

(c)

σύνολο.

(1

τού

+ i),

έπιπέδου

πού

= min{!xO!'

τό περιέχει καί

Κάθε σημείο τού συνόλου εΙναι όριακό.

"Ετσι, τό σύνολο των όριακων σημείων εΙναι

'Επίσης τό κάλυμμά του εΙναι δλο τό έπίπεδο

Τό σύνολο δέν εΙναι ούτε ανοικτό ούτε κλειστό. τού συνόλου, τό

περιοχή

ΧΥ.

'Όπως φαίνεται καί στό Σχ.

6-18,

ύπάρχει ενα σημείο

τού όποίου κάθε περιοχή τής ευθείας περιέχει σημεία πού δέν άνήκουν στό

Συνεπώς, τό σύνολο δέν εΙναι άνοικτό.

'Επίσης, κάθε περιοχή τού αριθμού

1

(τό

1

ανήκει

στό συμπλήρωμα τού συνόλου) περιέχει ενα στοιχείο τού συνόλου (δηλαδή, εναν αριθμό πού δέν ανήκει στό συμπλήρωμα).

"Αρα τό συμπλήρωμα δέν εΙναι ανοικτό καί συνεπως τό σύνολο δέν είναι κλειστό.

Τό σύνολο ε{ναι φραγμένο, αφού περιέχεται στό διάστημα άριθμοί

1

καί

-1.

-2

<

Χ

< 2.

Τά όριακά του σημεία εΙναι οί

Οί αριθμοί αύτοί μαζί μέ τό σύνολο αποτελούν τό κάλυμμα τού συνόλου. ο

Σχ.

(d)

••••

6-18

• Η σπείρα εΙναι κλειστό σύνολο, γιατί κάθε σημείο τού συμπληρώματός του βρίσκεται σέ μή μηδενική άπόσταση από τή σπείρα καί συνεπως ανήκει σέ μιά περιοχή, ή όποία περιέχεται στό έσωτερικό τού συμ

πληρώματος.

.Η

• Αρα

τό συμπλήρωμα εΙναι άνοικτό καί κατά συνέπεια ή σπείρα εΙναι κλειστό σύνολο .

σπείρα εΙναι φραγμένο σύνολο.

Κάθε σημείο τής σπείρας εΙναι όριακό σημείο, αφού γιά κάθε σημείο

τής σπείρας ή τυχούσα περιορισμένη περιοχή του εχει μέ τή σπείρα τομή διάφορη τού κενού συνόλου .

• Αλλα

όριακά σημεία δέν ύπάρχουν, αφού κάθε κλειστό σύνολο περιέχει τά όριακά του σημεία.

Τό

κάλυμμα της σπείρας εΙναι ή ϊδια ή σπείρα.

6.2.

Νά όρίσετε τήν άρνηση της προτάσεως «τό

S εΙναι άνοικτό σύνολο του Ε».

Τό

νά

6.3.

S δέν ε{ναι άνοικτό σύνολο τού Ε, αν ύπάρχει σημείο Ρ τού S, τέτοιο ωστε κάθε περιοχή τού Ρ περιέχει σημεία πού δέν άνήκουν στό S.

Νά όρίσετε τήν άρνηση της προτάσεως «τό Ρ εΙναι όριακό σημείο του Τό Ρ δέν εΙναι όριακό σημείο τού

S

έκτός άπό τό Ρ, ή, Ισοδύναμα, τό Ρ δέν εΙναι όριακό σημείο τού

τού Ρ πού περιέχεται στό συμπλήρωμα τού

6.4.

S».

αν ύπάρχει περιοχή τού Ρ πού δέν περιέχει αλλα σημεία τού

S,

S,

αν ύπάρχει περιορισμένη περιοχή

S.

Δείξτε δτι ή ένωση πεπερασμένου άριθμου κλειστων συνόλων του Ε εΙναι κλειστό σύνολο. ΟΕνας άπό τούς νόμους τού

De Morgan

γιά σύνολα όρίζει δτι τό συμπλήρωμα της ενώσεως συνόλων Ισού

ται μέ τήν τομή των συμπληρωμάτων τους, δηλαδή

(Ι,) Si)C Έτσι, αν

σύνολο.

Si,

ί

= 1, ... , n,

,

= (), (Sc,. )

εΙναι ενας πεπερασμένος άριθμός κλειστων συνόλων, τότε κάθε

SC

εΙναι ανοικτό

'Επειδή ή τομή πεπερασμένου πλήθους άνοικτων συνόλων εΙναι άνοικτό σύνολο: επεται από τό

=

νόμο τού

De Morgan δτι τό σύνολο () (Sf) (ι.,ι Si)C εΙναι ανοικτό. Συνεπως, τό ι.,ι S; εΙναι κλειστό σύνολο, πού εΙναι τό ζητούμενο αποτέλεσμα. • Ας σημειωθεί δτι ή ενωση απειρου πλήθο'υς κλειστων συνόλων δέν W

εΙναι

-1

πάντοτε

+ l/π

κλειστό

σύνολο.

"" Χ ~ 1-1/n, n

Γιά

παράδειγμα

= 1, 2, ... ,

αναφέρουμε

δτι

ή

ενωση

τού ΕΙ εΙναι τό ανοικτό διάστημα -1

των

<

Χ

κλειστων διαστημάτων

<

1.

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΚΕΦ.6

6.5.

Δείξτε δτι ενα κλειστό σύνολο περιέχει τά όριακά του σημεία .

. Υποθέτουμε

δη ή πρόταση δέν ίσχύει.

όριακό σημείο τοϋ

S

SC

καί τό

Δηλαδή ύπάρχει περιοχή

SC.

S

έκτός άπό τό

Ρ.

SC

Ξ,

ύπάρχει

μία

Ql, Q2, ... , Qn·

έστω τά

6.7.

Ρ ενα

εΙναι άνοικτό.

Ρ, ή όποία περιέ-ιεται

Άλλά αύτό είναι άδύνατο,

δπότε κάθε περιο-ιή του έπρεπε νά περιέ-ιει ί:να τουλάχιστον σημείο

S,

τότε κάθε περιοχή του Ρ περιέχει απειρο

Δηλαδή, ύποθέτουμε ότι Ρ

είναι ί:να όριακό σημείο τοϋ

Ρ πού περιέχει πεπερασμένο μόνο άριθμό σημείων τοϋ

Ύπενθυμίζουμε δτι ύπάρχει ενα τουλάχιστον τέτοιο σημείο

S.

"Εστω

•

ή

min {d(P, QI), d(P, Q2) • ... , d(P, Q1I)}' άπό τό Ρ.

S.

SC

S.

περιοχή του

ενα όριακό σημείο τοϋ

είναι ενα κλειστό σύνολο,

είναι κλειστό, τό

'Έτσι άποδεικνύεται ή πρόταση.

Ύποθέτουμε δη ίσχύει τό άντίθετο.

δη

S

S

είναι άνοικτό, ύπάρχει περιο-ιή Ξ(Ρ) τοϋ

Έάν Ρ είναι ενα όριακό σημείο του συνόλου

άριθμό σημείων του

Έπειδή τ6

ή όποία δέν περιέχει σημεία τοϋ

S(P),

γιατί τό Ρ είναι όριακό σημείο τοϋ

τοϋ

Δηλαδή, ύποθέτουμε ότι

καί ότι τό Ρ δέν άνήκει στό Ξ.

Έπειδή τό Ρ άνήκει στό στό

6.6.

113

άπόσταση

τοϋ Ρ άπό τό πλησιέστερο

Προφανώς, ή περιοχή

Αύτό δμως είναι άδύνατο, γιατί τό Ρ

Qi'

S Q,

S

καί

διάφορων του Ρ,

άφοϋ τό Ρ είναι

Δηλαδή, έστω δτι

•

=

S.(P) δέν περιέχει άλλα σημεία του S έκτός

είναι όριακό σημείο του

S.

-Ετσι άποδεικνύεται ή πρόταση.

Δείξτε δτι τό κάλυμμα ενός συνόλου είναι κλειστό σύνολο.

Σύμφωνα μέ τό Θεώρημα 6.3 άρκεί νά δείξουμε δτι τό κάλυμμα S ενός συνόλου S περιέχει όλα τά όριακά του σημεία. Γιά νά τό άποδείξουμε ύποθέτουμε δτι Ρ είναι ενα δριακό σημείο του S. Τότε κάθε περιοχή S(P) του Ρ περιέχει τουλάχιστον ενα σημείο Q του § μέ Q # Ρ. Τό Q η άνήκει στό S η εί ναι ενα όριακό σημείο του S, όπότε κάθε περιοχή S(Q) του Q περιέχει ί:να σημείο Q* του S. Έπειδή μπορουμε νά διαλέξουμε μιά περιοχή S(Q), έτσι ωστε ή S(Q) νά περιέχεται στήν S(P) καί Ρ fl S(Q}, μπο ρουμε νά βρουμε ενα του

6.8.

Ε Ξ(Ρ) μέ

Q*

διαφορετικό άπό τό

S

'Ένα σημείο Ρ ενός συνόλου του

στό

Τό

S.

σημείο

S

σύνολο

λέγεται έσωτερικό του

S

Ρ.

'Έτσι, καί στίς δύο περιπτώσεις, ή Ξ(Ρ) περιέχει ενα σ;ιμείο Ξ, συνεπώς τό Ρ άνήκει στό

S.

λέγεται έσωτερικό σημείο

αν ύπάρχει σφαιρική περιοχή του Ρ πού νά πε

S,

ριέχεται του

Q* #

Ρ, όπότε τό Ρ εΙναι όριακό σημείο του

των

S.

n

έσωτερικων σημείων Ας σημειωθεί δτι κάθε

ενός άνοικτου συνόλου είναι εσωτερικό σημείο

του συνόλου.

VΕτσι, ενα άνοικτό σύνολο ταυτίζεται μέ

τό εσωτερικό του.

Δείξτε δτι τό εσωτερικό ενός συνόλου

είναι άνοικτό σύνολο. "Εστω

Έπειδή

Τ τό

έσωτερικό τοϋ

τό Ρ είναι

έσωτερικό

S

καί Ρ τυχόν σημείο

σημείο

τοϋ

S,

ύπάρχει

τοϋ Τ.

περιοχή

S(P) πού περιέχεται στό S, όπως φαίνεται στό Σχ. 6-19. "Εστω Q ενα τυχόν σημείο τής περιοχης S(P}. Έπειδή ή S(P) είναι άνοικτό σύνολο, ύπάρχει περιοχή S*(Q) πού περιέχεται στήν S(P} καί συνεπώς στό

S.

. Επομένως τό Q άνήκει έπίσης στό Τ, S. Έπειδή τό Q είναι τυχόν σημείο

λαδή τό έσωτερικό του

S(P),

όλόκληρη ή περιοχή

S(P)

περιέχεται στό Τ.

δη

της

Σχ.

6-19

Έπειδή τώρα

τό Ρ είναι τυχόν σημείο του Τ, επεται ότι τό Τ εΙναι dνοικτό σύνολο.

ΣΥΝΕΚΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ.

6.9.

ΣΥΜΠΑΓΗ ΣΥΝΟΛΑ

Βρείτε ποιά άπό τά παρακάτω σύνολα είναι (α) συνεκτικά,

(b)

συμπαγή.

(ί) Ή άνοικτή πε

ριοχή μεταξύ δύο τεμνόμενων εύθειων του επιπέδου (Σχ.

6-20).

(ίί) Τό σύνολο των σημείων (Χι, Χ2, Χ3) του Ε3 γιά

τά

όποία χι Ψ Ο.

(ίίί)

(ϊ)

Κάθε ζεϋγος σημείων τής περιοχής αύτης μπορεί νά ένωθεί μέ ενα εύθύγραμμο τμήμα. Συνεπώς, τό σύνολο είναι κατά τόξο

<

Η

στερεά σπείρα.

συνεκτικό, όπότε, σύμφωνα μέ τό θεώρημα

6.4,

είναι καί συνε-

κτικό. . Η περιοχή αύτή δέν είναι κλειστό σύνολο καί συνεπώς, dπό τό Θεώρημα 6.6, δέν είναι συμπαγές σύνολο.

Σχ.

6-28

1 114

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

(Η)

Τό σύνολο αύτό άποτελείται άπό τούς ήμιχώρους χι

>

Ο καί Χι

<

Ο.

ΚΕΦ.6

Οί ήμιχώροι εΙναι μή κενά, ξένα

μεταξύ τους, άνοικτά σύνολα' συνεπώς τό σύνολο δέν είναι συνεκτικό.

Τό σύνολο δέν είναι κλειστό,

όπότε δέν είναι καί συμπαγές. (Ηί)

Ή στερεά σπείρα είναι κατά τόξο συνεκτικό σύνολο καί συνεπώς συνεκτικό.

Έπίσης είναι κλειστό

καί φραγμένο καί κατά συνέπεια είναι συμπαγές σύνολο.

6.10.

Δείξτε ότι τό σύνολο των σημείων (Χι, Χ2) του Ε2 γιά τά όποία εχουμε

Sin Ι/Χι, { Ο,

Χ2

γιά Ο

< Χι ~ 1

γιά

χι

=

Ο

εΙναι συνεκτικό.

./

----

/ Ι

/ Ι

Ι

----L---~H_+_~~~----+__+--------~------------~~--------~x}

\

\ οι "-

".......

Έστω

ΟΙ

καί

02

S

--

Σχ.

6-21

τό σύνολο αύτό καί ας ύποθέσουμε δτι δέν είναι συνεκτικό.

τών όποίων ή ενωση περιέχει τό

S

καί εχουν μέ τό

Τότε ύπάρχουν άνοικτά σύνολα

τομές μή κενές καί ξένες μεταξύ τους.

'Υποθέτουμε τώρα δτι ή άρχή (Ο, Ο) άνήκει στό

Sn

άνήκει στό

Έπειδή τό ΟΙ ε!ναι άνοικτό, ύπάρχει περιοχή

S n 02'

δπως φαίνεται στό Σχ.

όποία περιέχεται στό οι.

(α,

τού

S

μέ Ο

<

α

< b.

καί άκόμη δτι τό σημείο (b,

sin l/b),

Ο

<

b ~ Ι,

S(O,

Ο), ή

μιά περιοχή τής άρχής τών άξόνων θά περιέχει ενα τουλάχιστον σημείο

S* τού S, πού άποτελείται άπό τά ση S ς; ΟΙ υ 02' Έπίσης S* n ΟΙ # \2> καί S* n 02 # \2>, γιατί τό (α, sin Ι/α) άνήκει στό ΟΙ καί τό (b, sin l/b) άνήκει στό 02' Τελικά, τά σύνολα S* n ΟΙ καί S* n 02 εΙναι ξένα μεταξύ τους, άφοϋ τά S n ΟΙ, S n 02 ε!ναι ξένα μεταξύ τους. Συνεπώς καί τό S* δέν ε!ναι συνεκτικό. Αύτό δμως εΙναι άντίφαση, γιατί μπορεί εύκολα νά δειχθεί, μέ τή βοήθεια τοϋ συνεχοϋς τόξου Χ2 = sin Ι/Χι, Ο < α ~ χι ~ b, δτι τό S* εΙναι κατά τόξο συνεκτικό καί έπομένως συνεκτικό. - Αρα τό S εΙναι συνεκτικό. Πρέπει νά σημειωθεί δτι τό S δέν εΙναι κατά τόξο συνεκτικό, δπως άποδεικνύεται στό Πρόβλημα 6.20. sin

Ι/α)

' Αλλά

6-21.

ΟΙ

S

μεία (Χι, Χ2), δπου α ~ χι ~

6.11.

Θεωρούμε τώρα τό ύποσύνολο

Προφανώς

b.

S*

ς; ΟΙ υ 02'

άφοϋ

Δείξτε, μέ χρήση μόνο του όρισμου καί χωρίς τή βοήθεια του Θεωρήματος

6.6,

ότι ενας α.νοι

κτός δίσκος του Ε2 δέν εΙναι συμπαγής. Γιά νά άποδείξουμε αύτό άρκεί νά κατασκευάσουμε μιά άνοικτή κάλυψη τοϋ δοθέντος συνόλου νά μήν περιέχει καμιά πεπερασμένη ύποκάλυψη.

S, πού r.

'Υποθέτουμε δτι ό δίσκος πού μας δίνεται εχει άκτίνα

{On} πού εχουν άκτίνες r -l/n, n = 2'3' .... Προφανώς, ή οίκογένεια {Οη} καλύπτει τό S, άφοϋ S = υο π • Άλλά ήενωση τών στοιχείων, κάθε πεπερασμένης ύποοικογένειας τής {Οπ} εχει μέγιστη άκτίνα τής nμορφής r - Ι/Ν, δηλαδή μικρότερη Θεωρούμε τήν άπειρη οίκογένεια τών όμόκεντρων άνοικτών δίσκων

τού

r,

καί συνεπώς δέν καλύπτει δλο τό

6.12. Δείξτε ότι τό κάλυμμα

S ενός

S.

συνεκτικου συνόλου S εΙναι συνεκτικό σύνολο.

Α

. Υποθέτουμε δτι τό σύνo~o S δέν είναι συνεK~ΙKό. Συνεπώς ύπάρχουν άνοικτά σύνολα ΟΙ καί 02' τών S καί εχουν μέ τό S τομές μή κενές καί ξένες μεταξύ τους. Έστω Ρ ενα σημείο τοϋ § n ΟΙ. Τό Ρ μπορεί νά άνήκει στό S, μπορεί δμως καί νά μήν άνήκει. 'Εάν δέν άνήκει, θά είναι όριακό σημείο τού S, όπότε, έπειδή τό ΟΙ είναι άνοικτό, ύπάρχει περιοχή S(P) πού περιέχεται όποίων ή ενωση περιέχει τό

στό ΟΙ ιcαί ή όποία θά περιέχει άιcόμα ενα τουλάχιστον σημείο Ρ* τού

S. . Ο ϊδιος συλλογισμός δείχνει S πού άνήκει στό S n 02' Αύτό δμως σημαίνει δτι τό S δέν είναι συνε KΤΙΙCό, γιατί ή ενωση τών ΟΙ καί 02 περιέχει τό S, άφού τό S ε!ναι ύποσύνολο τού S. Πράγματι S n οι.,ι. \2> καί Sn0 2 # \2>, έπειδή τό Ρ* άνήιcει στό S n ΟΙ καί τό Q* στό S n 02' Τέλος, τά S n ΟΙ, S n 02 εΙναι ξένα μεταξύ τους, έπειδή τά S n οι, S n 02 ε!ναι ξένα μεταξύ τους. 'Αλλά αύτό ε!ναι ιiδύνατυ, γιατί τό S άπό τήν ύπόθεση είναι συνεκτικό. Συνεπώς καί τό S εΙναι συνεKτιιcό, πού εΙναι καί δτι ύπάρχει ενα σημείο

Q*

τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

τοϋ

Τ ι

ΚΕΦ.6

6.13.

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

' Αποδείξτε

τό Θεώρημα

115

'Ένας τόπος (άνοικτό συνεκτικό σύνολο) εΙναι κατά τόξο συ

6.5:

νεκτικός. 'Υποθέτουμε δτι σημεία του

D,

τών σημείων του

καί μέ Β

\

τό σύνολο

πού δέν μπορουν νά ενωθουν μέ

D

συνεχές τόξο μέ τό Ρο.

Β διαμερίζουν τό

D'

Β #- φ.

δηλαδή

Προφανώς, τά Α

D

Μπορεί

= Α uB,

νά

Α

δειχθεί

δτι

καί

= Φ,

nB

τά

Α

είναι άνοικτά, πράγμα πού συνεπάγεται δτι τό

Ι

Γιά

νά

δείξουμε δτι τό Α

τυχόν σημείο Ρ* του Α

Ρ*

πού

D,

δπως

του

φαίνεται στό

Σχ.

Τέτοια περιοχή ύπάρχει, έπειδή τό

6-22.

νοlκτό.

σημείο ενα

περιέχεται στό

S(P*)

' Αλλά, δπως φαίνεται καί στό Ρ τής S(P*) μπορεί νά ενωθεί

εύθύγραμμο

S(P*)

μπορεί

τμήμα.

νά ενωθεί

τόξο, άφου τό Ρ*

S(P*)

Συνεπώς,

μέ

μέ

/'

~,

Α

'\

fP' \ \

Ρ

'.....

/

ι

Ι

ι

ι

0/

\

/'/

\

-----r-Ι--

τής

/'

Συνεπώς τό Α

Q*

μπορεί νά ενωθεί μέ τό

----

Ι

ενα συνεχές

Q

S(Q*)

0Q

\

ο

Β

....,/

\

"

\

μέ τό Ρ* μέ

'Όμοια, εστω τής

Q/

\..

\

Ι

'Άρα

ε{ναι ά

Σχ.

νοιχτό.

μείο

1 '\.

ι\ Q':.....,....... 1

\

/

".--/

σχήμα, κάθε

μπορεί νά ενωθεί μέ τό Ρο.

περιέχεται στό Α.

//

---\------//..--, \ ,-:::", \ / "" " Ι Ρ. \\ ι

είναι ά

D

κάθε σημείο

τό Ρ ο

/

\

είναι άνοικτό, θεωρουμε

καί μιά περιοχή

Ι

ι

δέν είναι συνεκτικό, τό όποίο είναι μιά άντίφαση.

D

ή

δύο

Qo

πού μπορουν νά ενωθουν

D

μέ ενα συνεχές τόξο μέ τό Ρο

Α #- Φ,

καί

Μέ Α σημειώνουμε τό σύ

D.

νολο τών σημείων του

καί Β

Ρο

τά όποία δέν μπορουν νά ενωθουν μέ

ενα συνεχές τόξο του

ενα

---

είναι ενας τόπος πού δέν εί

D

ναι κατά τόξο συνεκτικός καί εστω

6-22

ενα σημείο του Β καί

τό Ρο, γιατί διαφορετικά τό

Q*

S(Q*) μιά περιοχή πού περιέχεται στό D. Έπειδή κάθε ση Q*, επεται δτι κάθε σημείο τής S(Q*) δέν μπορεί νά ενωθεί μέ

θά μπορουσε νά ενωθεί μέ τό Ρο.

Συνεπώς, καί τό Β ε{ναι άνοικτό σύ

νολο, πράγμα πού δίνει τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

6.14.

Δείξτε δτι τά μόνα συνεκτικά σύνολα του ΕΙ εΙναι τά διαστήματα. Τά διαστήματα ε{ναι συνεκτικά, έπειδή προφανώς ε{ναι κατά τόξο συνεκτικά. ενα συνεκτικό σύνολο του ΕΙ. φράγμα του

του

S.

. Υποθέτουμε

S.

έπίσης δτι τό

Θά δείξουμε δτι κάθε άριθμός

θεωρουμε τά άνοικτά σύνολα ΟΙ

Sn

= {Χ Ι

c, Χ

δτι τό

ε{ναι κάτω φραγμένο καί έστω α

S

τέτοιος ωστε α

< C}

καί

Sn0 2 #-

μεταξύ τους. άνήκει στό

φ.

Τελικά, τά ΟΙ

nS

καί

02

02 n S

Αύτό δμως ε{ναι άδύνατο, γιατί τό

S.

' Επειδή

< c < b,

= {Χ Ι

Χ

S,

επεται δτι τό

S

άνήκει στό

εστω

S

> C}. S

τό μέγιστο κάτω φράγμα

'Εάν δέν συμβαίνει αύτό,

S.

Προφανώς ε{ναι

S

μικρότερο άπό τό

ς: ΟΙ υ 02' Έπίσης

b,

πράγμα άδύνατο.

ε{ναι ξένα μεταξύ τους, έπειδή τά ΟΙ καί

S είναι συνεκτικό.

κανένας άριθμός μεγαλύτερος του

τερος του α δέν άνήκει στό

' Αντίστροφα,

S ε{ναι ανω φραγμένο καί έστω b τό έλάχιστο ανω

ΟΙ #- Φ, γιατί διαφορετικά ό c θά ήταν ενα άνω φράγμα του

'Όμοια

S

. Υποθέτουμε

b

"Αρα κάθε

δέν άνήκει στό

S

c

ε{ναι ξένα

02

γιά τό όποίο α

< c<

b

καί κανένας άριθμός μικρό

είναι ενα πεπερασμένο διάστημα.

Τήν περίπτωση πού τό

δέν είναι άνω ή κάτω φραγμένο τήν άφήνουμε ώς άσκηση στόν άναγνώστη.

6.15. Δείξτε δτι S εΙναι ενα συνεκτικό σύνολο του Ε2, εάν καί μόνο εάν τό S εΙναι συνεκτικό σύνολο, όταν θεωρηθεί ώς ενα ύποσύνολο του Ε3 .

. Υποθέτουμε

δτι τό

S

ε{ναι συνεκτικό σύνολο του Ε2

και οτι δέν ε{ναι συνεκτικό σύνολο του Ε3.

έτσι ύπάρχουν άνοικτά σύνολα ΟΙ καί

02 του Ε3 τέτοια ωστε S ς: ΟΙ υ 02, ΟΙ nS #- Φ, 02 nS #- Φ, (OlnS) n (02nS) = φ. "Εστω Α ή τομή του ΟΙ μέ τό έπίπεδο πού περιέχει τό S καί Β ή τομή του 02 μέ τό ϊδιο έπίπεδο. Παρατηρουμε δτι S ς: Α uB, Α nS #- Φ, BnS #- Φ καί (Α nS) n (BnS) φ.

=

, Εάν

δείξουμε δτι τά Α καί Β ε{ναι άνοικτά σύνολα του έπιπέδου, τότε τό

νολο του Ε2, πού ε{ναι δμως μιά άντίφαση.

S

δέν είναι συνεκτικό σύ

Γιά νά δείξουμε δτι τό Α είναι άνοικτό, θεωρουμε ενα σημείο

Ρ του Α. Τό Ρ άνήκει καί στό 01' "Εστω S*(P) μιά περιοχή του Ρ (στόν Ε3) ή όποία περιέχεται στό ΟΙ. . Η τομή τής S*(P) καί του έπιπέδου πού περιέχει τό Α ε{ναι μιά περιοχή S(P) πού περιέχεται στό Α.

"Αρα τό Α ε{ναι άνοικτό σύνολο του έπιπέδου.

δείχνει δτι, αν τό

, Αντίστροφα, του έπιπέδου.

S

·Ομοια, τό Β είναι άνοικτό σύνολο, γεγονός πού

ε{ναι συνεκτικό σύνολο του Ε2, τότε ε{ναι καί συνεκτικό σύνολο του Ε3.

ύποθέτουμε δτι τό

S

είναι συνεκτικό σύνολο του Ε3 καί δτι δέν ε{ναι συνεκτικό σύνολο

Τότε ύπάρχουν άνοικτά σύνολα Α καί Β του έπιπέδου τέτοια ωστε S

= φ.

SnB ",ι. Φ καί (SnA) n (SnB) στό Α ύπάρχει περιοχή S(P) του

c Α uΒ,

SnA #- Φ,

Έπειδή τό Α εΙναι άνοικτό στό έπίπεδο, επεται ότι γιά κάθε Ρ

έπιπέδου πού περιέχεται στό Α.

"Εστω

S*(P)

μιά περιοχή του Ρ στόν

τ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

116

Ε8, της όποίας ή τομή μέ τό έπίπεδο εΙναι ή

S(P),

καί ΟΙ

= US*(P).

ΚΕΦ.6

·Ομοια, εστω

02

= υ S*(Q)

γιά

τά σημεία Q τού Β. -Επεται δτι τά ΟΙ καί 02 εΙναι άνοικτά ~ύνoλα τού Ε3 τέτοια ώστε ~ ς;; ΟΙ υ0 2 , OlnS =

Α, Α

+

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ.

6.16.

+

!l), OZns = Β, Β

!l) καί (OlnS) n (OZnS) =!l).

Αύτό δμως εΙναι άδύνατο, έπειδή τό

εΙναι συνεκτικό σύνολο τού Ε3, πράγμα πού άποδεικνύει τήν πρόταση.

S

ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ

-Εστω Ι μιά απεικόνιση σέ

ενα

σημείο Ρο του

ένός συνόλου καί

8

f(P o}

του Ε στόν άξονα Χ.

8

> Ο,

δείξτε

δτι

Έάν ή Ι εΙναι

συνεχής

περιοχή 8 δ (Ρ ο ) τέτοια

ύπάρχει

ωστε

f(P) >0 γιά δλα τά σημεία Ρ πού ανήκουν στό 8δ (Ρ ο)ΠS.

»' »'

= !f(PO)

Θεωρούμε τόν άριθμό Ε

καί τήν περιοχή S.(f(PO δηλαδή τό διάστημα lf(P o) < Χ < !f(P o), lf(P o) > Ο. Έπειδή ή f εΙναι συνεχής στό Ρο, ύπάρχει περιοχή Sδ(Ρ ο) τέτοια ώστε τό f(P) νά άνήκει στήν S.(f(Po Συνεπώς f(P) > Ο γιά κάθε Ρ στήν περι

δπως φαίνεται στό Σχ.

Σημειώνουμε δη

6-23.

οχή Sδ(ΡΟ), τό όποίο άποδεικνύει τό ζητούμενο.

f

,...- ...... ι

/

Ι

·Ρ

\ '-

"-

\

ο Ι

---

Ι

ο

,/

Σχ.

6.17.

6-23

'Έστω Ι μιά ι-ι συνεχής απεικόνιση του συνόλου Ρο του

τό όποίο ανήκει στό

8,

8.

» τυχούσα περιοχή

"Εστω

8

(του Ε) στόν

F

και ενα όριακό σημείο

Δείξτε δτι τό I(Ρ ο) εΙναι όριακό σημείο τής εικόνας

f(P o) (Σχ.6-24). Έπειδή ή f εΙναι συνεχής στό S, ύπάρχει πε S(f(Po γιά κάθε Ρ πού άνήκει στό S(Po) n S. Έπειδή τό Ρο εΙναι όριακό σημείο του S, ύπάρχει σημείο Q 7'" Ρο πού άνήκει στό S καί στήν περιοχή S(Po). Συνεπώς, τό f(Q) άνήκει στήν S(f(Po Έπίσης f(Q) 7'" f(P o), γιατί ή f εΙναι ι-ι. "Ετσι, γιά μιά τυ χούσα περιοχή S(f(P o)) ύπάρχει f(Q) 7'" f(P o) , τέτοιο ώστε τό f(Q) νά άνήκει στήν S(f(Po "Επεται λοι πόν δτι τό f(P o) εΙναι όριακό σημείο του f(S}. ριοχή

S(f(Po

τέτοια ωστε τό

S(Po)

τού

1(8).

»

νά άνήκει στήν

f(P)

».

».

--------Ι

-

.......

"-

,

\S(PO)

"-

\ Ι

»

'\S(f(P o \ .f(Po) 1

Ι / ,/

Ι

• f(Q)/ Σχ.

"

6-24

---

./

6.18. Δείξτε δτι ή απεικόνιση του επιπέδου uv στό επίπεδο ΧΥ πού δίνεται από τίς έξισώσεις

u +

Χ

εΙναι

1- Ι

"υ,

u -

Υ

V

καί συνεχής.

Προφανώς ή άπεικόνιση εΙναι ι-ι καί έπί (τού έπιπέδου :Ι:Υ) μέ άντίστροφη τήν άπεικόνιση u

11

= i(:ι: -

Υ),

καί στό Σχ.

11

=

Δu,

k

=

Δν

πού

6-25,

προκύπτει

οΙ εύθείες

u

αν

βρούμε

τά u

καί 11 ώς

συναρτήσεις

= c = σταθ. άπεικονίζονται στίς παράλληλες εύθείες

σταθ. στίς εύθείες :ι: - Υ

=

2k.

χ

+Υ =

2(uO + Δu), χ + Υ

+ Δ1Ι),

τότε γιά κάθε

χ

= !(Χ + Υ),

·Οπως

+ Υ = 2c

φαίνεται

καί οί εύθείες

"Ετσι, αν δοθεί μιά περιοχή S.(xo, Υο) στό έπίπεδο :Ι:Υ, διαλέγουμε

άρκετά μικρά,. ώστε τό όρθογώνιο μέ πλευρές

:ι: - Υ = 2(110 - Δ1Ι) νά περιέχεται στήν περιοχή s.(:ι:ο. Υο)' ή περιοχή Sδ(Uo,1Ιο) νά περιέχεται στό όρθογώνιο Uo - Δu < u < Uo

2(110

τών :ι: καί Υ.

+

(U, ν) στήν Sδ(UΟ'1Ι ο) τό (Χ, Υ) άνήκει στήν S.(:Ι:ο, Υο).

δτι 1'ι άπεικόνιση ε[ναι συνεχής στό έπίπεδο

U1l.

=

2(Uo - Δu), :ι: - Υ

=

Διαλέγουμε τώρα ενα 8 τέτοιο ώστε Δu, 110 - Δ1Ι < ν < '110 Δ1Ι. • Αλλά

Έπειδή τό

+

(UO, Vo) ε{ναι τυχόν, επεται

ΣΤΟΙΧΕιΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΚΕΦ.6

117

Υ

V

χ

+ 11 =

2(uo

+ Δ,,)

"ο+Δυ

.

(uo, υσ!

Vo-

Δυ

u Uo

Uo+

-Δu

Δu

χ -

Σχ.

6.19.

'Έστω

f

μιά

άπεικόνιση

στό σημείο Ρο του

ενός

συνόλου

11

= 2(vo +

Δυ)

6-25 (του Ε) στόν

S

f

Δείξτε δτι ή

F.

εάν καί μόνο εάν, γιά κάθε άνοικτό σύνολο

S,

του

0*

εΙναι συνεχής πού περιέχει

F

τό

f(Po), ύπάρχει ενα άνοικτό σύνολο Ο του Ε πού περιέχει τό Ρο, τέτοιο ωστε τό f(P) νά άνήκει στό 0* γιά κάθε Ρ στό OnS. 'Υποθέτουμε δτι ή Έπειδή τό Ο"

ε!ναι συνεχής στό Ρ ο καί δη

f

είναι ανοικτό, ύπάρχει μιά περιοχή

ναι

συνεχής, ύπάρχει μιά περιοχή

0*

γιά

κάθε

Ρ στό

S(P ο) n S.

S(P o),

' Αλλά

ή

S(P ο)

'Επειδή ή

ε!ναι

ή όποία περιέχεται στό

f(P)

νά ανήκει στήν

ενα ανοικτό σύνολο

0*. S(f(PO»

πού

S(f(P ο))

περιέχει τό Ρ σ καί τέτοιο ωστε τό

είναι άνοικτό καί περιέχει τό Ρο. ύπάρχει περιοχή

ται στό

Ο . • Αρα τό

f(P)

ανήκει στήν

»

S(f(P o

f

εΙ

καί συνεπώς στό

S(f(P ο»

είναι ενα άνοικτό σύνολο, από τήν ύπόθεση ύπάρχει

στό Ο

Έπειδή τό Ο

f(P ο).

περιέχει τό Ρ ο καί ετσι

κάθε Ρ

n S.

Έπειδή ή

Γιά νά δείξουμε τό αντίστροφο, ύποθέτουμε δτι

ενα ανοικτό σύνολο Ο τοϋ Ε πού

f

6.20.

f(P ο).

εΙναι ενα ανοικτό σύνολο πού περιέχει τό

»

τέτοια ωστε τό

συμπληρώνεται τό πρώτο μέρος της αποδείξεως.

είναι τυχούσα περιοχή τοϋ

0* S(f(P O

f(P)

νά ανήκει στήν

S(Po) S(Po} n S.

γιά δλα τά Ρ πού ανήκουν στό

S(f(P σ»

γιά

πού περιέχε Συνεπώς, ή

ε{ναι συνεχής στό Ρ ο' πού εΙναι τό ζητούμενο αποτέλεσμα.

Δείξτε δτι τό σύνολο των σημείων (Χι, Χ2) του Ε2, γιά τά όποία

{sin Ι/Χι,

χι

Ο,

δταν

Ο

< Χι

δταν

δέν είναι κατά τόξο συνεκτικό (βλ. Πρόβλ.

~

χι

1

=Ο

6.10).

'Υποθέτουμε δτι τό σύνολο αύτό S είναι κατά τόξο συνεκτικό καί ότι χ

= X(t),

Ο

"'" t "'" 1, εΙναι ενα x(t) διέρχεται

συνεχές τόξο πού συνδέει τό σημείο (Ο, Ο) μέ τό σημείο

Θά δείξουμε πρώτα δτι ή

από

τήν είκόνα

δλα

τότε

R

τά σημεία τοϋ

= S.

> b

τό

R

ή, Ισοδύναμα, αν

Έάν ύποθέσουμε τό αντίθετο, τότε ύπάρχει !':να σημείο

δέν περιέχεται στό Χι

S

R.

ΗΟπως φαίνεται καί στό Σχ.

του έπιπέδου ΧΙΧ2 καλύπτουν τό

R

6-26,

"'" t "'" 1, επεται δτι είναι συμπαγές

(b, sin 1/b)

του πεδίου όρισμου της Χ,

του

S

μέ

0<

b

επεται εύκολα δτι τά άνοικτά σύνολα χι

< 1,
καί εχουν μέ αύτό τομές μή κενές καί ξένες μεταξύ τους.

δέν εΙναι συνεκτικό, πράγμα πού αντιφάσκει μέ τό Θεώρημα

6.7, R S. Έπειδή τό S (Θεώρ. 6.8). 'Αλλά τότε τό S

τήν αντίφαση αύτή συμπεραίνουμε τελικά δτι Ο

(1, sin 1). συμβολίσουμε μέ R

=

δμως δέν συμβαίνει, γιατί δέν περιέχει τά όριακά του σημεία.

γιατί τό

[0,1]

εΙναι συνεκτικό.

πού

καί

-Ετσι, 'Από

εΙναι ή είκόνα του συμπαγους συνόλου πρέπει να εΙναι καί κλειστό, τό όποίο

Π.χ. τό σημείο (Ο,

t>

εΙναι όριακό σημείο

του

S, γιατί κάθε περιορισμένη περιοχή. του (ο,!) περιέχει ενα τουλάχιστον σημείο του S. 'Αλλά τό (Ο, t) δέν ανήκει στό S. Συνεπώς τό S δέν εΙναι κατά τόξο συνεκτικό καί ετσι άποδεικνύεται ή πρόταση. Χι> b

(Ο, ~)

----------~~r-~---\--~~_+--------~~--------~--,f------~~xl

Σχ.

6-26

6.21.

ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

118

'Έστω Ι μιά συνεχής άπεικόνιση του άνοικτου συνόλου Ο (του Ε) στόν Ρ καί 0* τυχόν Δείξτε δτι τό σύνολο των σημείων Ρ του Ο γιά τά όποία τό Ι(Ρ)

άνοικτό σύνολο του Ρ. άνήκει στό "Εστω

μείο τοϋ

0*

τό σύνολο τών σημείων Ρ τοϋ Ο Υιά τά όποία τό

S

'Επειδή τό σύνολο

S.

'Επειδή ή

f

εΙναι άνοικτό σύνολο του Ε.

0*

εΙναι συνεχής στό Ο, ύπάρχει περιοχή Sδ(Ρ ο ) τέτοια

νά άνήκει στήν

»

S(f(P o

f(P) άνήκει στό 0* καί Ρο τυχόν ση S(f(Po ή όποία περιέχεται στό 0*. ωστε Υιά κάθε Ρ στό Sδ(Ρ ο ) n Ο τό f(P)

»

εΙναι άνοικτό, ύπάρχει περιοχή

καί συνεπώς στό

0*.

'Εάν ή

Sδ(Ρ ο ) περιέχεται στό Ο, τότε Υιά κάθε Ρ στήν

Sδ(Ρ ο ) τό f(P) άνήκει στό Ο·, όπότε ή Sδ(Ρ ο ) περιέχεται στό S. 'Εάν ή Sδ(Ρ ο ) δέν περιέχεται στό Ο, έπειδή τό Ο εΙναι άνοικτό, ύπάρχει μιά μικρότερη περιοχή Sy(PO) στό Ο, ή όποία περιέχεται στήν Sδ(Ρ ο ), δπως φαίνεται στό Σχ. 6-27. 'Αλλά τότε Υιά κάθε Ρ στήν Sy(P O) τό f(P) άνήκει στό 0* καί συνεπώς ή

Sy(PO) περιέχεται στό S. Συνεπώς, καί στίς δύο S(PO) ή όποία περιέχεται στό S. Έπομένως,

ριοχή

περιπτώσεις, Υιά τυχόν σημείο Ρο τοϋ τό

S

----

τέλεσμα.

Ι

/" /"

/ / Ι

/

\

" -..-

/

Ο· "-

/

\

\ J /

/

"-

/"

1(0)

/

..... Σχ.

'Έστω Ι μιά άπεικόνιση

C

......

Ι

\

σύνολο

-- --

\

Ι

6.22.

/"

/'

/

Ι

\

ύπάρχει πε

S

είναι άνοικτό, πού εΙναι καί τό ζητούμενο άπο

ενος συνόλου

S

6-27

(του Ε) στόν Ρ τέτοια

του Ρ, τό σύνολο των σημείων Ρ του

εΙναι κλειστό σύνολο του Ε. Παρατηροϋμε δτι τό

S,

ώστε,

γιά

κάθε κλειστό

γιά τά όποία τό Ι(Ρ) άνήκει στό

Δείξτε δτι ή Ι είναι συνεχής στό

C,

S.

πρέπει νά εΙναι κλειστό σύνολο. Υιατί τό f(S) περιέχεται στό κλειστό σύνολο f δέν εΙναι συνεχής στό σημείο Ρο τοϋ S. Τότε ύπάρχει μιά περιοχή S(f(Po)) τέτοια ωστε κάθε περιοχή S(P ο) νά περιέχει ενα τουλάχιστον σημείο Ρ, τού όποίου ή εΙκόνα f(P) δέν άνήκει στήν S(f(P O»' ή, άκριβέστερα, έπειδή τό f(P o) άνήκει στήν S(/(P O)), κάθε περιορισμένη περιοχή S'(PO) περιέχει ενα σημείο Ρ τέτοιο ωστε τό f(P) νά άνήκει στό [S(f(Po))]C. -Εστω S· τό σύνολο τών σημείων Ρ τοϋ S Υιά τά όποία τό f(P) άνήκει στό [S(f(Po»]C. Παρατηρούμε δτι τό σύνολο [S(f(Po»]C εΙναι κλειστό. "Ετσι, άπό τήν ύπόθεση τό S· εΙναι κλειστό. -Εχουμε όμως δείξει δτι τό Ρο εΙναι όριακό σημείο τοϋ S·. Συνεπώς, τό Ρο άνήκει στό S·. Αύτό όμως εΙναι άδύνατο, έπειδή τό f(P o) άνήκει στήν S(f(PO»' τό όποίο συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

F.

6.23.

S

'Υποθέτουμε τώρα δτι ή

Δείξτε τό Θεώρημα

6.10:

Έάν Ι εΙναι μιά συνεχής άπεικόνιση ένός συνόλου

F καί g μιά συνεχής άπεικόνιση της είκόνας I(S) (του Ρ) στόν G, (g ο Ι)(Ρ) = g(/(P» εΙναι συνεχής άπεικόνιση του S στόν G.

S

(του Ε) στόν

δείξτε δτι ή άπεικόνιση

=

"Εστω S«g ο f)(P o)) S(g(f(P o»)) τυχούσα περιοχή τοϋ (g ο f)(P o). 'Επειδή ή 9 εΙναι συνεχής στό I(S), ύπάρχει περιοχή S(f(Po» τέτοια ωστε τό g(Q) νά άνήκει στήν S(g(f(Po») Υιά κάθε Q πού άνήκει στό S(f(Po n f(8). 'Επειδή ή Ι εΙναι συνεχής στό S, ύπάρχει περιοχή S(PO) τέτοια ωστε τό Ι(Ρ) νά άνήκει στήν S(/(P ο» Υιά κάθε Ρ στό S(P ο) n S. Συνεπώς, Υιά δλα τά Ρ στό S(P ο) Γι S τό f(P) άνήκει στό S(/(Po n I(S) καί αρα τό g(/(P» άνήκει στήν S(g(f(PO»)' Συνεπώς, ή 9 ο Ι εΙναι συνεχής στό Ρο,

»

»

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

6.24.

Δείξτε τό Θεώρημα

6.8:

Έάν Ι εΙναι μιά συνεχής άπεικόνιση ένός συμπαγους συνόλου

(του Ε) στόν Ρ, τότε ή είκόνα του

S

S

εΙναι συμπαγές σύνολο.

"Εστω {ο:} τυχούσα άνοικτή κάλυψη τοϋ I(S). Γιά κάθε σημείο Q στό S εστω O~ ενα άνοικτό σύ 1(Q). 'Επειδή ή f είναι συνεχής στό S, άπό τό Πρόβλημα 6.19 επεται ότι ύπάρχει άνοικτό σύνολο 00 τοϋ Ε, πού περιέχει τό Q καί τέτοιο ωστε Υιά κάθε Ρ στό 00 n S τό Ι{Ρ) νά άνήκει στό O~ η, Ισοδύναμα, τό Ι{ΟΟ) νά περιέχεται στό O~. Ή ΟΙΚΟΥένεια {Οο} εΙ-

νολο τής ΟΙΚΟΥένειας {O~} πού περιέχει τό

".. ι

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΚΕΦ.6

ναι μιά άνοικτή κάλυψη τοϋ

S,

119

έπειδή περιέχει κάθε σημείο

Q τοϋ S. Έπειδή τό S εΙναι συμπαγές, ύ . Αφοϋ τό I(OQ.) περιέχεται στό OQ· γιά i 1, ..

πάρχει πεπερασμένη ύποκάλυψη {OQ ,OQ , ... , OQ}. Ι

2

ι-ι

άπεικόνιση ενός συμπαγούς συνόλου

n

=

ί

t

., n καί ή οΙκογένεια {OQ.} εΙναι μιά κάλυψη τοϋ S, επεται δτι ή οίκογένεια {O~ ,06_, ... , ο:; } εΙναι . 1 1-~ -n μιά πεπερασμένη ύποκάλυψη τοϋ I(S). Συνεπώς, τό /(S) εΙναι συμπαγές.

6.25.

'Εάν Ι εΙναι μιά συνεχής καί

δείξτε δτι ή

f

εΙναι ενας όμοιομορφισμός τού

S

(τού Ε) στόν

-Εστω C τυχόν I(S) γιά τά όποία τό I-l(f(P» Ρ ά I-l(S*) CnS. Έπειδή τό συμπαγές σύνολο τό /-l(S*) εΙναι κλειστό. . Αλλά, έπειδή ενα (Πρόβλ. 6.39), επεται δτι τό /-I(S*) εΙναι συμ

Πρέπει νά δείξουμε δτι ή ι-ι εΙναι συνεχής άπεικόνιση τής εΙκόνας Ι(Ξ) στόν Ε. κλειστό σύνολο τοϋ Ε καί νήκει στό

S

εΙναι

C.

τό σύνολο τών σημείων Ι(Ρ) τοϋ

S*

'Όπως φαίνεται καί στό

κλειστό καί τό

C

Σχ.

6-28,

εχουμε

εΙναι κλειστό, επεται δτι καί

κλειστό ύποσύνολο ενός συμπαγοϋς συνόλου εΙναι συμπαγές παγές.

F,

έπί της είκόνας του.

S

=

=

'Η είκόνα δμως ενός συμπαγοϋς συνόλου άπό μιά συνεχή άπεικόνιση εΙναι συμπαγές σύνολο καί

συνεπώς τό ναι κλειστό.

/(I-l(S*»

= S*

εΙναι συμπαγές.

'Αλλά ενα συμπαγές σύνολο εΙναι κλειστό, όπότε τό

Έτσι, αν δοθεί ενα τυχόν κλειστό σύνολο

γιά τά όποία τό Ι-Ι(Ρ) άνήκει στό ε!ναι συνεχής άπεικόνιση τοϋ

C,

εΙναι κλειστό.

C

τοϋ Ε, τό σύνολο

Άπό τό Πρόβλημα

S* τών σημείων 6.22 συμπεραίνουμε

S*

Ρ τοϋ δτι ή

εΙ

F, 1-1

I(S).

f ---------....

Σχ.

F

6·28

'Άλυτα Προβλήματα 6.26.

Προσδιορίστε ποιά άπό τά παρακάτω σύνολα εΙναι (ί) άνοικτά, (ίί) κλειστά, (ίίί) φραγμένα (ίν) συνεκτικά, (ν) συμπαγή.

(α)

Δύο ξένα μεταξύ τους κλειστά διαστήματα τοϋ ΕΙ.

(b)

Δύο ξένοι μεταξύ τους άνοικτοί δίσκοι τοϋ Ε2.

(c) Τό συμπλήρωμα δύο άνοικτών καί ξένων μεταξύ τους δίσκων τοϋ Ε2. (d) Δύο ξένες μεταξύ τους κλειστές σφαίρες τοϋ Ε3. (e) Τό συμπλήρωμα δύο ξένων μεταξύ τους καί κλειστών σφαιρών τοϋ Ε3. (ι)

'Η σπείρα τοϋ Ε3.

(g) Τό συμπλήρωμα τής σπείρας στόν Ε3. Άπ. (α)

Κλειστό, φραγμένο, μή συνεκτικό, συμπαγές.

(b) 'Ανοικτό, φραγμένο, μή συνεκτικό, μή συμπαγές. (c) Κλειστό, μή φραγμένο, συνεκτικό, μή συμπαγές. (d) Κλειστό, φραγμένο, μή συνεκτικό, συμπαγές. (e) 'Ανοικτό, μή φραγμένο, συνεκτικό, μή συμπαγές. (f) Κλειστό, φραγμένο, συνεκτικό, συμπαγές. (g) 'Ανοικτό, μή φραγμένο, μή συνεκτικό, μή συμπαγές.

6.27.

Δείξτε δτι ή τομή πεπερασμένου ή άπειρου πλήθους κλειστών συνόλων τοϋ Ε εΙναι κλειστό σύνολο.

6.28.

Δείξτε δτι ενα σημείο Ρ εΙναι δριακό σημείο ενός συνόλου νολο πού περιέχει τό Ρ περιέχει καί άλλα σημεία τοϋ

6.29.

S

τοϋ Ε έάν καί μόνο έάν κάθε άνοικτό σύ

έκτός άπό τό Ρ.

'Εάν Ρ εΙναι ενα όριακό σημείο τοϋ Ε, δείξτε στι κάθε άνοικτό σύνολο πού περιέχει τό Ρ περιέχει ενα άπειρο πλήθος σημείων τοϋ

6.30.

S

Δείξτε στι ενα σύνολο

S.

S τοϋ Ε, πού εχει πεπερασμένο πλήθος σημείων, εΙναι φραγμένο.

τ ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

120 6.31.

Δείξτε δτι ή lνωση πεπερασμένου πλήθους σφαιρικών περιοχών του Ε είναι φραγμένο σύνολο.

6.32.

Δείξτε δτι τό σύνολο τών όριακών σημείων !:νός συνόλου του Ε είναι

6.33. 6.34.

Έάν

λυμμα

Τ είναι ενα κλειστό σύνολο, πού περιέχει ενα σύνολο

S του

έςωτερικό του

6.35.

λέγεται έςωΤεΡικό σημείο !:νός συνόλου

(βλ. Πρόβλ.

8

του Ε, δείξτε δτι τό

8

Τ περιέχει καί τό κά

8.

-Ενα σημείο Ρ ματος του

κλειστό σύνολο.

lva

8,

τό όποίο όνομάζεται

8,

είναι άνοικτό σύνολο.

-Ενα σημείο Ρ λέγεται συνοριακό σημείο του

αν δέν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σημείο του

8,

Δείξτε δτι τό σύνολο τών συνοριακών σημείων του

6.36.

Δείξτε δτι δ Ε είναι συνεκτικό σύνολο.

6.37.

Δείξτε δτι .τό

8

αν τό Ρ είναι εσωτερικό σημείο του συμπληρώ

8,

Δείξτε δτι τό σύνολο τών εξωτερικών σημείων του

6.8).

είναι

lva

συμπαγές σύνολο του

8,

πού όνομάζεται σύνορο του

Ε2, έάν καί μόνο εάν τό

8,

8.

είναι κλειστό σύνολο.

είναι συμπαγές σύνολο θεωρού

8

μενο ώς ύποσύνολο ενός επιπέδου στόν Ε3.

6.38.

Δείξτε άπευθείας σάν συνέπεια του όρισμου (χωρίς τή βοήθεια του Θεωρήματος

6.6)

δτι ό Ε δέν είναι συμ

παγές σύνολο.

6.39.

Δείξτε άπευθείας (χωρίς τή βοήθεια του Θεωρήματος

δτι ενα κλειστό ύποσύνολο ενός συμπαγους συνό

6.6)

λου του Ε είναι συμπαγές.

6.40.

Δείξτε

δτι

κάθε ύποσύνολο

όριακό σημείο στό

6.41.

Δείξτε δτι οί συναρτήσεις Χ

8 6.42.

ενός συμπαγους συνόλου

του Ε μέ απειρο πλήθος

8

Υ

= u,

=

Ζ

V,

= I(u,

υ)

Δείξτε δτι οί συναρτήσεις Χ

Έστω Ι μιά

συνεχής

= au + bv + c, Υ = du + ev + Ι, ae -

S.

bd """

Ο, όρίζουν μιά Ι-Ι άμφισυνεχή άπει

άπεικόνιση

ενός

συνόλου

8

(του Ε)

στόν

S ».

Ή Ι είναι άσυνεχής στό

Ρο, αν ύπάρχει περιοχή

»

8(f(P o

F.

Νά

δώσετε τόν όρισμό

Δείξτε δτι ή άπεικόνιση Χ

είναι (α)

6.45.

συνεχής στό

=

u,

(-1, -1), (b)

=

Υ

v,

συνεχής στό

2 2 Ζ __ {U1, + v , (1,1),

«ή Ι

τέτοια ωστε γιά κάθε περιοχή

ύπάρχει κάποιο σημείο Ρ στήν 8(Ρ ο ) γιά τό όποίο τό Ι(Ρ) νά άνήκει στό

6.44.

ενα

επί του έπιπέδου ΧΥ.

uv

άσυνεχής στό σημείο Ρο του Άπ.

στοιχείων εχει

όρίζουν μιά Ι-Ι άμφισυνεχή άπεικόνιση ενός συνόλου

(του Ε2) στόν Ε3, αν ή συνάρτηση 1(1Ι, υ) είναι συνεχής στό

κόνιση του επιπέδου

6.43.

S*

S.

είναι

S(P o)

νά

[S(f(Po»]c.

γιά u"'" Ο γιά

u <

Ο

(c) συνεχής στό (1, Ο), (d) άσυνεχής στό (2, Ο).

Δείξτε δτι ή περίμετρος !:νός τετραγώνου είναι τοπολογικά Ισοδύναμη μέ μιά περιφέρεια βρίσκοντας μιά Ι-Ι άμφισυνεχή άπεικόνιση της περιμέτρου του τετραγώνου επί της περιφέρειας.

6.46.

νΕστω Ι μιά άπεικόνιση !:νός συνόλου

8

(του Ε) στόν

σημείων, δηλαδή γιά κάθε ζευγος σημείων Ρ καί

Ι είναι δμοιομορφισμός

6.47.

νΕστω

1(Q)

Ι μιά

= b,

α

συνεχής

τοιο ώστε Ι(Ρ ο)

6.48.

'Εάν Ι

καί

= c.

c

tot> 8

Q

του

άπεικόνιση

ενός

συνεκτικου

συνόλου

τυχόν άριθμός του διαστήματος α

Ι μιά συνεχής

άπεικόνιση

νΕστω Ι

μιά άπεικόνιση ενός συνόλου

τό σύνολο τών σημείων Ρ του

Δείξτε δτι ή

6.51.

Χ

6.6

ενός κλειστου συνόλου

F. Δείξτε δτι τό σύνολο τών C*, εΙναι lva κλειστό σύνολο του Ε.

F

d(P, Q)

= d(I(P), I(Q».

Δείξτε δτι ή

8

(του Ε)

< b,

καί

στόν άξονα Χ.

'Εάν Ι(Ρ)

δείξτε δτι ύπάρχει σημείο Ρο στό

= α, 8

τέ

S (του Ε) στόν F, δείξτε άπευθείας σάν 6.8) δτι ή εΙκόνα 1(8) είναι φραγμένο σύ

F.

σύνολο του

6.50.

<

είναι μιά συνεχής άπεικόνιση ενός συμπαγους συνόλου

νολο του νΕστω

όποία διατηρεί τίς άποστάσεις μεταξύ τών είναι

επί της εΙκόνας του.

συνέπεια του όρισμου (χωρίς τή βοήθεια τών Θεωρημάτων

6.49.

F, ή 8 νά

Ι εΙναι συνεχής στό

8, 8.

8

C

(του Ε) στήν

F.

"Εστω

C*

σημείων Ρ του Ε, τά όποία εχουν εΙκόνες Ι(Ρ)

(του Ε) στόν

F,

τυχόν κλειστό

πού άνήκουν στό

τέτοια ώστε γιά κάθε άνοικτό σύνολο Ο του

τά όποία εχουν εΙκόνες Ι(Ρ) πού άνήκουν στό

Ο, νά είναι άνοικτό.

Δείξτε δτι ή Ιδιότητα «τοπολογικά Ισοδύναμα σύνολα» εΙναι μιά σχέση Ισοδυναμίας στό σύνολο δλων τών συνόλων

του Ε.

rι l ΚΕΦΑΛΑΙΟ

7

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

~Eστω

Έπειδή

f f

ή

μιά απεικόνιση ενός συνόλου

απεικονίζει

V

του Εύκλείδειου χώρου Ε στόν Εύκλείδειο χωρο

κάθε διάνυσμα χ του

σέ

V

ενα

διάνυσμα

f(x)

του

ή

F,

f

F.

λέγεται καί

διανυσματική συνάρτηση διανυσματικης μεταβλητης.

Ύποθέτουμε ότι οί διαστάσεις των Ε καί καί

m

παίρνουν τίς τιμές

ή

1, 2

Έάν Εκλέξουμε μιά βάση

3.

= xlel +

διανυσματικης συναρτήσεως στό χ ή

f

n

εΙναι αντίστοιχα

F

... + xnen,

καί

(el, ... , e n )

m.

Έδω οί αριθμοί

n

του Ε, τότε ή τιμή της

θά συμβολίζεται μέ ί(Χι,

... , X n). Δηλαδή

απεικονίζει μιά νιάδα πραγματικών αριθμών σέ ενα διάνυσμα, γι' αύτό λέγεται καί διανυσμα

τική συνάρτηση τών μεταβλητών Χι,

... , X n •

κάθε διάνυσμα χ τό διάνυσμα

Εκφράζεται ώς γραμμικός συνδυασμός της βάσεως αύτη ς, δηλαδή

f(x)

f(x) =

' Εάν Εκλέξου.με μιά βάση

lι(x)gι

(gl, ... , gm)

του

F,

τότε γιά

+ ... + Im(X)gm

f Εκφράζεται μέ τή βοήθεια m πραγματικών συναρτήσεων 11, ... , 1m του χ, πού εΙναι f ώς πρός τή βάση (gl, ... , gm). ~Eτσι, ή f Εκφράζεται ώς πρός τίς δύο βάσεις μέ m πραγματικές συναρτήσεις lι(Χι, ... , Xn), ... , Im(Xl, ...• Xn) των μεταβλητων Χι, ... ,Xn , πού σέ κάθε σημείο εΙναι οί συντεταγμένες του διανύσματος ί(Χι, ... , Xn). Συνεπώς, ή

οί συντεταγμένες συναρτήσεις της

Παράδειγμα

(α)

"Εστω

7.1. S

ή σφαίρα, πού εχει κέντρο τήν άρχή τών άξόνων του Ε3

καί άκτίνα

r, καί n(x) τό μοναδιαίο κάθετο

διάνυσμα στή σφαίρα στό σημείο χ αύτης μέ φορά πρός τό εξωτερικό της, όπως φαίνεται στό Σχ. κόνιση

n

= x/r

7-1.

Ή άπει

εΙναι μιά διανυσματική συνάρτηση άπό τήν επιφάνεια της σφαίρας, δηλαδή τό σύνολο τών χ

(του Ε3) γιά τά δποία

JXJ

= r,

στόν Ε3.

ενα σημείο της σφαίρας, τότε ή

n

=

n

ΟΙ συντεταγμένες συναρτήσεις της

ΠΙ

'Εάν

(el. e2, e3)

εΙναι μιά βάση του Ε3 καί

χ

= Xlel + X2e2 + X3e3

δίνεται άπό τήν εξίσωση

~

JxJ

r

n

=r

εΙναι οΙ πραγματικές συναρτήσεις τών μεταβλητών χι' Χ2' Χ3

=

χι/ τ ,

=

Π2

=

Π3

X2/r,

X3/ r

χ

•

Σχ.

(b)

-Εστω

χ

Σχ. 7 - 2

7-1

= xlel + x2e2

καί

Υ

= Ylgl + Υ2Ι2 + Y3f3' Υ = (Χι

• Η εκφραση

+ X2)gl + (Χι -

X2)g2

+ (X~ + X~)g3

δρίζει μιά άπεικόνιση του Ε2 στόν Ε3, όπως φαίνεται στό Σχ.

Υι

= Χι + Χ2,

= ΧΙ -

Υ2

Χ2.

7-2.

Υ3

ΟΙ συντεταγμένες συναρτήσεις της Υ εΙναι

=

x~

+ xi

. Απαλείφοντας άπό αύτές τά χι καί Χ2, βρίσκου.με ότι τό πεδίο τιμών της άπεικονίσεως εΙναι τό γνωστό ελλειπτικό παραβολοειδές

9

Υ3

=

-ί(Y~

121

+ Y~)

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝ ΑΡΊΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

122

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

Μιά άπεικόνιση εΙναι

f(a + b) = f(a)

(ί)

• Εάν

ή

f τοϋ Ε στόν F λέγεται γραμμική, αν γιά τυχόντα διανύσματα a καί b τοϋ Ε

+ f(b)

εΙναι γραμμική καί χ

f

(Η)

καί

f(ka) = kf(a)

= xlel + ... + xnen

k

= βαθμωτό μέγεθος

εΙναι ενα τυχόν διάνυσμα, τότε χρησιμο

ποιώντας τίς παραπάνω ίδιότητες εχουμε

f(x) 'Εάν άκόμα

= f(xlel + ... + xnen)

(gl, ... , gm)

εΙναι μιά βάση τοϋ

= xtf(et) + ... + xnf(en)

+ ... + f(xnen)

= f(xlel)

καί γράψουμε τά διανύσματα

F

f(ei) ώς γραμμικό συν

δυασμό των διανυσμάτων της βάσεως, δηλαδή

τότε τό διάνυσμα

f(x)

=

αιιιι

f(e2)

αΙ2ΙΙ

+ α2ΙΙ2 + ... + αmtgm + α22Ι2 + ... + am 2gm

f(en) = alngt

+ α2πΙ2 + ... + αmngm

μπορεί νά γραφεί

+ ... + αmtgm) + Χ2(αΙ2ΙΙ + ... + α m 2gm) + ... + Xn(alngl + ... + amngm) (αllΧΙ + ... + αιπχπ)ιι + (α2ΙΧΙ + ... + α2 n X n )g2 + ... + (αmιxι + ... + amnxn)gm

χι(αιιιι

= • Επομένως,

f(x)

f(el)

οΙ συντεταγμένες συναρτήσεις της γραμμικης άπεικονίσεως

γραμμικές καί όμογενείς συναρτήσεις των μεταβλητων Χι,

f(x) εΙναι οί πραγματικές

... , Xn

ιι(χ)

αιιχι

f2(X)

α2ΙΧΙ

+ αΙ2Χ2 + ... + αιπχ π + α22Χ2 + ... + α2 π Χ π

f m(X) =

αmιxι

+ tl m 2X2 + ... + αmnX n

~ Ας σημειωθεί δτι οΙ συντελεστές α;} εξαρτωνται άπό τίς βάσεις των Ε καί Στό Πρόβλημα

7.5

θά δείξουμε τήν άντίστροφη πρόταση.

τεταγμένες μιας άπεικονίσεως

••• , X n , τότε ή

•Ο

f

f

F.

Δηλαδή θά δείξουμε δτι, αν οΙ συν

εΙναι γραμμικές καί όμογενείς συναρτήσεις των

μεταβλητων

Χι,

εΙναι γραμμική .

πίνακας των συντελεστων

λέγεται πΙνακας τής γραμμικής άπεικονίσεως

f

ώς πρός τίς βάσεις

(et, ... , en) καί (ιι, ... , gm).

•Η

τάξη του πίνακα, δηλαδή ή τάξη της μεγαλύτερης μή μηδενιζόμενης ελάσσονος δρίζουσας τοϋ πί

νακα, λέγεται τάξη της

• Εάν

ή

f

f

καί μπορεί νά δειχθεί στι εΙναι άνεξάρτητη της εκλογης των βάσεων .

εΙναι γραμμική, παρατηροϋμε στι

f(O) = f(O - Ο) = f(O) - f(O) = Ο WΕτσι, αν

f

εΙναι μιά γραμμική άπεικόνιση τοϋ Ε στόν

κονίζεται στήν άρχή των άξόνων τοϋ

Ύποθέτουμε τώρα

δτι

f

F,

τότε ή άρχή των άξόνων τοϋ Ε άπει

F.

εΙναι μιά γραμμική άπεικόνιση τοϋ Ε3 στόν Ε3.

Στό Πρόβλημα

7.3

θά δείξουμε στι μιά τέτοια άπεικόνιση εΙναι Ι-Ι καί επί, εάν καί μόνο εάν οί είκόνες των διανυσμάτων της βάσεως, δηλαδή τά διανύσματα

f(e2) f(ea)

+ a2le2 + a:He3 αι~ι + α2~2 + a32e3 αl3el + a23e2 + aaaea αl1et

f(el)

=

r ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

εΙ ναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

' Αλλά

άπό τό Θεώρημα

1.7

123

γνωρίζουμε ότι τά διανύσματα αύτά εΙ ναι

γραμμικώς άνεξάρτητα, εάν καί μόνο εάν

det

(

αll α21

ο

α3Ι

δηλαδή, εάν καί μόνο εαν ή τάξη του πίνακα της γραμμικης άπεικονίσεως γραμμική άπεικόνιση

του Ε3 στόν Ε3 εΙναι

f

f

εΙναι

νΕτσι, μιά

3.

καί επί εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

1-1

f

εΙναι

3.

'Εάν τά διανύσματα

f(et), f(e2), f(e3) εΙναι γραμμικώς εξαρτημένα, άλλά δύο άπό αύτά, εστω τά f(ez) , εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα, τότε κάθε διάνυσμα πού προκύπτει ώς γραμμικός συν δυασμός τών f(et), f(e2), f(e3) κείται στό επίπεδο πού διέρχεται άπό τήν άρχή τών άξόνων καί εΙναι παράλληλο πρός τά f(et) καί f(e2). ' Αφήνουμε ώς ασκηση στόν άναγνώστη νά δείξει ότι αύτό συμβαίνει, εάν καί μόνο εάν ή τάξη της f εΙναι 2. f(et)

καί

Τέλος, αν δέν ύπάρχουν δύο διανύσματα άπό τά

f(et), f(e2), f(e3)

πού νά εΙναι γραμμικώς άνε

ξάρτητα καί αν κάποιο άπό τά διανύσματα εΙναι διάφορο του μηδενικοϋ, εστω τό

ή

f(el) 7'=

Ο, τότε

f άπεικονίζει τόν Ε3 επί της εUΘείας πού διέρχεται ά'πό τήν άρχή τών άξόνων καί εΙναι παράλ

ληλη πρός τό

f(el).

Αύτό όμως συμβαίνει, εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

f

εΙναι

1.

'Έτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα (ϊ)

Ή

(ϊϊ)

'Η

(ϊΗ) 'Η

7.1. είναι

f f f

(i)

Ή

(ii)

'Η

f

f

μιά γραμμική άπεικόνιση του Ε3 στόν Ε3.

καί επί, εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

f

εΙναι

3.

άπεικονίζει τόν Ε3 επί μιας εύθείας του Ε3, εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

f

εΙναι εΙναι

2. 1.

'Έστω

f

μιά γραμμική άπεικόνιση του Ε2 στόν Ε3.

είναι ι-ι καί άπεικονίζει τόν Ε2 επί ενός επιπέδου του Ε3, εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

εΙναι

f

f

θά δείξουμε τό επόμενο θεώρημα:

7.2.

f

Παράδειγμα (α)

ι-ι

άπεικονίζει τόν Ε3 επί ενός επιπέδου του Ε3, εάν καί μόνο εαν ή τάξη της

, Επίσης Θεώρημα

'Έστω

2.

άπεικονίζει τόν Ε2 επί μιας εύθείας του Ε3, εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

f

εΙναι

1.

7.2. 2u - v

Οί έξισώσεις

+V -u + v

Χ2

U

Χ3

δρίζουν μιά γραμμική άπεικόνιση τοϋ

Ε2 στόν Ε3.

Ό πίνακας αύτης της άπεΙKOvίσεως ε{ναι

(~ -~) -1

'Επειδή

ή άπεικόνιση ε{ναι τάξεως

det 2.

κολα ότι αύτή άπεΙKOvίζει τόν

(b)

(2-1) 1

1

=

1

3

oF

Ο

'Εάν άπό τίς παραπάνω έξισώσεις άπαλείψουμε τά U

Ε2 έπί τοϋ έπιπέδου

Οί έξισώσεις

2χι

-

Χ2

+ Χ2 + Χ3

Χ3

+ 3Χ3 = Ο.

Υι

δρίζουν μιά γραμμική άπεικόνιση τοϋ Ε3

d"

V2

ΧΙ

V3

-χι

στόν Ε3.

(

: -1

'Επειδή

-2)

1 1 -1 Ο

1

Ο

καί υ, παρατηροϋμε εϋ

r 124

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

καί

det

επεται στι ή τάξη της άπεικονίσεως εΙναι

(~ ~) =

~ Ο

1

καί άκόμα ό Ε3 άπεικονίζεται έπί του έπιπέδου

2

Υι

-

Υ2

+ Υ3 =

Ο.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑ 'Υπενθυμίζουμε δτι μιά ε-σφαιρική περιοχη ενος διανύσματος (ση

μείου) χο του Ε συμβολίζεται μέ νεται καί στό Σχ.

ή

7-3,

S. (Χο)

καί άποτελείται άπό τά διανύ

S.(XO)

σματα Χ πού ίκανοποιουν τή σχέση Ιχ

-

xol

< ε.

Δηλαδή, δπως φαί

άποτελείται άπό τά διανύσματα Χ τών

όποίων ή άπόσταση άπό τό Χο εΙναι μικρότερη άπό τό ε.

ζουμε επίσης δτι μιά άπεικόνιση εΙναι συνεχής του

S(f(Xo})

άνήκει στήν ή

f

v,

εΙναι συνεχής

F

του Ε τέτοια ωστε τό στό σύνολο

f(x)

S(XO) n V.

νά

'Έτσι,

στό Χο εάν καί μόνο εαν γιά κάθε ε> Ο ύπάρχει

Θεωρουμε τή

7.3.

(του Ε) στόν

V

αν γιά κάθε (σφαιρική) περιοχή

f(xo) ύπάρχει περιοχή S(XO) S(f(Xo» δταν τό Χ άνήκει

8 > Ο τέτοιο ωστε If(x) - f(xo)1 τή σχέση Ιχ - Xol < 8. Παράδειγμα

άπό τό 'σύνολο

f

στό σημείο Χο του

'Υπενθυμί

<

f

γιά κάθε Χ του

f(x)

συνάρτηση

If(x) - f(Xo)1

=

X/IX I, { Ο,

=

~

11:1 - 1::11

πού ίκανοποιεί

V

Σχ.7-3

εάν χ ~ Ο. εάν χ

11:1 -

=

ο

I~II

Γιά

Χο ~ Ο

καί

χ ~ ο

εχουμε

+ 11:01 - 1::11

Ilxol - IxIJ 1 "'" 21Χ - xol Ixl Ixllxol + ~ Ιχ - xol IXol δπου χρησιμοποιήσαμε τίς τριγω'{ικές άνισότητες Ilal - Ibll la - bl lal + Ibl. Έτσι, γιά Ιχ - xol < t ' Ixol εχουμε If(xo) - f(x)1 < ., όπότε ή f εΙναι συνεχής γιά κάθε χο ~ Ο. Στό χο = Ο ή f(x) δέν εΙναι συνεχής, επειδή If(x) - f(O)1 = Ixl/lXI = 1, τό όποίο δέν μπορεί νά εΙναι μικρότερο του ε, αν εκλέξουμε ε = 1.

=

=

'Ανάλογα θεωρήματα μέ εκείνα τών διανυσματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής εχουμε καί εδώ:

Θεώρημα

Ή διανυσματική συνάρτηση

7.3.

μόνο εάν οί συντεταγμένες συναρτήσεις

Θεώρημα

f

+ g,

7.4. 'Εάν οί συναρτήσεις hf, f· g, f χ g εΙ ναι .συνεχείς

Μιά συνάρτηση φουμε

lim f(x) Ζ

ωστε τό

.... Ζο

= L,

f

ί,

f(x) νά άνήκει L στό Χο, έάν

στήν

καί

V

h

εΙναι συνεχής στό Χ, εάν καί

εΙναι συνεχείς στό Χ, τότε καί οί συναρτήσεις

(του Ε) στόν

κάθε. περιοχή

S(L)

... + !mgm

Ifl,

στό Χ.

άπό τό σύνολο αν γιά

g

f = !lgI +

fi, ί = 1, ... , m, εΙναι συνεχείς στό Χ.

F

λέμε δτι εχει δριο τό

L

στό Χο καί γρά

ύπάρχει μιά περιορισμένη περιοχή

S(L)

γιά κάθε Χ πού άνήκει στό σύνολο

S'(xo) n V.

S'(Xo)

WΕτσι, ή

τέτοια

f

εχει

> Ο ύπάρχει 8 > Ο τέτοιο ωστε If(x) - LI < ε γιά xol < 8. Τό Χο δέν εΙναι άπαραίτητο νά άνήκει στό V· ύποθέτουμε δμως δτι τό Χο εΙναι ενα όριακό διάνυσμα του V, δηλαδή κάθε περιοχή S(xo) περιέχει ενα τουλάχιστον διάνυσμα του V διαφορετικό άπό τό Χο. Στό Πρόβλημα 7.10 άποδεικνύ εται δτι, αν Χο ε{ναι ενα δριακό διάνυσμα του V καί lim f(x) = f(xo), τότε ή f εΙναι συνεχής στό δριο τό

κάθε Χ του

Χο.

V

καί μόνο έάν γιά κάθε ε

πού ίκανοποιεί τή σχέση Ο

• Επομένως, αν

lim f(x) χ

=L

καί

f(xo)

< Ιχ -

= L, τότε

][-+][0

ή

f

εΙναι συνεχής στό Χο.

.... Ζο

Τέλος, δπως καί στίς διανυσματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής, είσάγουμε καί εδώ τά σύμ-.

βολα του

Landau

Ο καί Ο.

Πιό συγκεκριμένα, εστω

μηδενός σέ μιά περιορισμένη περιοχή του Χο. μικρό Ο (ή άμελητέα) ώς πρός τήν Χ ~ Χο.

μιά πραγματική συνάρτηση διάφορη του

στό Χο καί γράφουμε

• Η διανυσματική συνάρτηση εΙναι μεγάλο Ο ώς πρός

στό Χο καί. γράφουμε

Μ

g(x)

g(x)

Μιά διανυσματική

συνάρτηση f(x) λέμε δτι εΙναι f(x) = o(g(x», αν f(x)/g(x) ~ Ο οταν τήν g(x), ή εΙναι της τάξεως της g(x),

f(x) = O(g(x», αν ή f(x)/g(x) εΙναι φραγμένη > Ο τέτοιο ώστε If(x)/g(x)1 ~ Μ σέ μιά περιοχή του Χο.

στό

Χο, δηλαδή αν ύπάρχει

Γ ΚΕΦ.7

Παράδειγμα 7.4. συντεταγμένες

χι

~Eστω f{x) = xix~l + xι(x~ + x~)e2' Τότε f(x} = o(lxI 2 ). cos θ, Χ2 = Ixl sin θ, εχουμε

< ./2.

Πράγματι, χρησιμοποιώντας πολικές

= Ixl

If(x)/lxI 2 1 γιά Ixl

125

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

=

Ilx\(cos2 θ sin e)el

Συνεπώς f(x)/lxI 2 -

+ Ixl(cos e)e21 =

Ο οταν Χ -

Ο, δπότε f(x)

Δηλαδή ή συνάρτηση f(x)/lxI 3 ε{ναι φραγμένη στό χ

ο(lχI 2 ).

=

l(cos 2 θ sin e)el

If(x)/lxI 3 1 =

Έπίσης f(x)

+ (cos e)e21

Ο, δπότε f(x)

=

+ (cos e)e2 1

Ixll(cos2 θ sin e)et

=

~ Ixl2

<

O(lxI 3 ), γιατί

~ 2

= O(lxI 3 ).

Συνήθως, οί διανυσματικές συναρτήσεις πού χρησιμοποιουμε εχουν γιά πεδίο όρισμου ανοικτά σύνολα.

Ύπενθυμίζουμε ότι ενα σύνολο

περιοχή

S(XO)

πού περιέχεται στό

V

είναι άνοικτό, αν γιά κάθε διάνυσμα χο του

V

ύπάρχει

V.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

f μιά διανυσματική συνάρτηση όρισμένη σέ ενα άνοικτό σύνολο V V καί Uo ενα μή μηδενικό διάνυσμα του' Ε. 'Η παράγωγος της f

ΥΕστω

νυσμα του

(του Ε), Χο ενα διά

στόΧο κατά τήν κα

τεύθυνση Uo είναι τό διάνυσμα

. f(xo 11m

+ huo) - f(xo)

----'----;-'----'--~

h

h-O

όταν ύπάρχει το

χ

=

Χο

+ huo,

οριο.

• Εάν

θεωρήσουμε τήν

Duof(xo)

F(h) = f(xo

είναι ή παράγωγος τής

= Χο + huo

τότε

F'(O)

h

h ... O

F(h) = f(xo + huo)

στό

Έπίσης, ή σύνθεση Υ

uo.

ραμετρική παράσταση μιας καμπύλης τής επιφάνειας Υ

(α)

κατά μήκος τής εύθείας

h =

Ο.

Duof(xo) = F'(O)

Παρατηρουμε Ότι ή

είναι μιά παραμετρική παράσταση τής εύθείας πού διέρχεται άπό τό χο καί

είναι παράλληλη πρός τό διάνυσμα

Παράδειγμα

h

f μιά άπεικόνιση του Ε2 στόν Ε3, όπως φαίνεται στό Σχ. 7-4.

εξίσωση Χ

θυνση

του

+ huo),

lim F(h) - F(O)

h

/, ... 0

~Eστω

ώς συνάρτηση

lim f(xo + huo) - f(xl)

Duof(xo) Δηλαδή ή

f

δηλαδή αν θεωρήσουμε τή συνάρτηση

= f(x).

= F(h) = f(xo + huo}

δίνει μιά πα

Συνεπώς, ή παράγωγος κατά κατέύ

είναι ενα διάνυσμα εφαπτόμενο στήν καμπύλη Υ

= F(h)

στό σημείο

f(xo).

7.5.

Θεωροϋμε τή διανυσματική συνάρτηση

f(x) = xtgt ΥΕχουμε

F(h)

=

f(x

+ hu)

F'(h)

=

{Χι

utg t

+ hut)gt + +

u2g2

F'(O) = utgt

καί

"Ετσι γιά κάθε χ

=

= Xlel + X2e2

δίνεται άπό τή σχέση

+ x2g2 + (x~ + X;)g3

καί γιά κάθε

+

{Χ 2 + hU2)g2

[2ul(xl + hut)

+

[{Χι

+ hUl)2 + (Χ2 + hU2)2]ga

+ 2u2(x2 + hUZ)]g3

+ U2gZ + (2ulxl + 2UZX2)g3 κατεύθυνση u = ulel + Uze2

ύπάρχει ή παράγωγος της

f καί

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

126

(b)

ΚΕΦ.7

• Η παράγωγος μιας διανυσματικής συναρτήσεως μπορεί νά ύπάρχει ώς πρός κάποια κατεύθυνση καί νά μήν ύπάρ χει ώς πρός κάποια άλλη κατεύθυνση.

=

f(x) Στό Χ

=

Ο

Γιά νά δείξουμε αύτό θεωρουμε τή συνάρτηση του Ε2

Χι

u = e}

καί γιά τήν κατεύθυνση

+ Χ2'

{ 1,

{(χ ι , Χ2)

γιά

=

f(hu)

'Έστω τώρα

(et, ... , e n )

στό Χ κατά τήν κατεύθυνση πρός τήν

k

u =

e} καί

μιά

ek

Ο

κατεύθυνση,

τήν

βάση του Ε.

= Ο.

h

= e2'

'Η

{ 1,

εστω

h =

γιά

u

= Ulel

+

U2e2, δπου

Ο

γιά τίς άλλες τιμές της μεταβλ ητης

"Ετσι, ή παράγωγος τής

f

στό

Χ

=Ο

ύπάρχει

παράγωγος τής διανυσματικής συναρτήσεως

τής βάσεως, δηλαδή ή

συντεταγμένη τού Χ.

f(x)

u

=

εχουμε

=

f(hut, hu 2 )

πού σημαίνει δτι δέν ύπάρχει ή παράγωγός της στό μόνο κατά τίς κατευθύνσεις

Χ2

F'(h)

ο,

=

1'\

= 1 κατεύθυνση u = e2 καί F'(h) = 1 καί

ο, εχουμε

F(h)

Ο

εχουμε

= f(h, Ο) = h "Ετσι D./(O) = F'(O) = 1. Έπίσης, στό Χ = Ο καί γιά τήν F(h) = f(hu) = {(Ο, h) = h Συνεπώς D.!(O) = 1. 'Αλλά στό Χ = Ο γιά κάθε άλλη U2 "'"

=

γιά τίς άλλες τιμές τής μεταβλητής

F(h) = f(hu)

u} "'" Ο καί

ΧΙ

Dekf(x)

λέγεται μερική παράγωγος της

f

f

ώς

' Εάν γράψουμε

!ι(Χι,

... , Xn)gt + ... +! m(Xl,

.•• , Xn)gm

τότε

. f(x + hek) - f(x) 1m -'-----;-''---'-'Ιh-+O h

. !ι(Χι, .. . ,Xk + ι1m h-+O

~Eτσι, ή

D.kf(x)

. ί(Χι, 1m Ιh-+O

... , Xk + h, ... , X n ) h

-

ί(Χι,

... , X n )

-'----'------'-~---'------'---'----'---'-

h, ... ,Xn) h

-

!ι(Χι,

.. . ,Xn) g 1

εΙναι ενα διάνυσμα, πού οί συντεταγμένες του εΙναι οί μερικές παράγωγοι

στό Χ των συντεταγμένων συναρτήσεων τής

f. • Η

a!i/aXk

παράγωγος D.kf συμβολίζεται έπίσης μέ Dkf

ή μέ af/aXk. Παράδειγμα

+ (u 2 + 112)g2 + uvg3•

7.6. "Εστω f(u,l1) = ue"gt σι

σ

-

ίIu

ίIu

(ue")gt

+

σ

-(u2 + v 2)g2 ίIu

+

Τότε

ί!

-(UV)g3 ίIu

καί

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 'Εάν μιά συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής εχει παράγωγο σέ ενα σημείο, τότε ή συνάρ τηση εΙναι συνεχής στό σημείο αύτό. σεις

διανυσματικής

μεταβλητής,

χνουμε στό Πρόβλημα

7.14

' Αλλά

αύτό δέν συμβαίνει γιά τίς διανυσματικές συναρτή

δταν εχουν παράγωγο

τής σελίδας

140,

θυνση καί νά μήν εΙναι συνεχής στό Χο.

ή

f

κατά

κατεύθυνση.

Πράγματι,

δπως

δεί

μπορεί νά εχει παράγωγο στό χο γιά κάθε κατεύ

• Ο λόγος εΙναι δτι ή παράγωγος κατά κατεύθυνση έξαρ

ταται μόνο άπό τίς τιμές τής διανυσματικής συναρτήσεως κατά μήκος μιας εύθείας στό σημείο πού θεωρουμε καί όχι άπό τίς τιμές αύτής σέ όλόκληρη τήν περιοχή του σημείου.

Κ ΕΦ.

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

7

• Εάν

127

μιά διανυσματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής εχει παράγωγο σέ ενα σημείο,

τότε μπορουμε νά προσεγγίσουμε γραμμικά τήν τιμή τής συναρτήσεως σέ κάθε σημείο μιας περιοχής του σημείου αυτου.

Χρησιμοποιουμε τήν ίδιότητα αυτή γιά νά όρίσουμε τό διαφορικό μιας διανυ

σματικής συναρτήσεως.

Μιά διανυσματική συνάρτηση ί, όρισμένη σέ ενα άνοικτό σύνολο

στόν Ρ, λέγεται παραγωγίσιμη στό χο του κονίζει τό τυχόν διάνυσμα

f(xo

+ ν)

του Ε σέ ενα διάνυσμα του

v

= f(xo)

+ Lxo(v) + R(xo, ν)

Ύποθέτουμε τώρα στι ή συνάρτηση νικό διάνυσμα

+ hu)

f(Xo

• Επειδή ή L XQ εΙναι h παίρνουμε

γραμμική εχουμε

μέ

Στό Πρόβλημα της

f

7.12

σπου

h

δείχνουμε δτι

Duf(Xo)

(του Ε) καί μέ πεδίο τιμών

L,.O'

πού άπει

καί ίκανοποιεί τή σχέση

(R(xo, v)/Iv!) ~ Ο σταν v ~ Ο Τότε γιά κάθε μή μηδε

άρκετά μικρό εχουμε

- f(Xo) = LxO(hu)

L

+ R(Xo, hu) ~Eτσι, διαιρώντας τήν παραπάνω σχέση

LxO(hu) = hLxO(u).

f(Xo + hu) - f(Xo) h

στό χο γιά κάθε κατεύθυνση

F

εΙναι παραγωγίσιμη στό χο.

f

καί γιά κάθε βαθμωτό μέγεθος

u

V

αν υπάρχει μιά γραμμική άπεικόνιση

V,

( )

Χο u

(R(Xo, hu)/h) ~ Ο, δταν u καί δίνεται άπό τήν

+

R(Xo, hu) h

Ιι ~ Ο.

Συνεπώς, υπάρχει ή παράγωγος

εκφραση

lim f(XQ + h~ - f(xo)

lim Lxo(u)

h-+O

h_H

+

lim R(xo, hu)

Lxo(u)

h

h-+O

νΕτσι εχουμε τό έξης θεώρημα:

Θεώρημα

'Εάν μιά διανυσματική συνάρτηση

7.5.

παράγωγος της

f

'Επίσης, στό Πρόβλημα

Θεώρημα

7.6.

νεχής στό

είναι παραγωγίσιμη στό Χο, τότε ύπάρχει ή

f

στό χο γιά κάθε κατεύθυνση.

7.19

της σελίδας

δείχνουμε τό έξης θεώρημα:

143

'Εάν ή διανυσματική συνάρτηση

f

είναι παραγωγίσιμη στό Χο, τότε ή

. Επειδή Dvf(xo) = Lxo(v),

δτι

f

εΙ ναι συ

χο.

Σημείωση.

επεται

ή

L xo

εΙ ναι μονοσήμαντα όρισμένη.

Είδικά,

αυτη μπορεί νά όριστεί άπό τίς τιμές της στά διανύσματα μιας βάσεως, δηλαδή άπό τίς μερικές

παραγώγους .Η

Lxo(ei) = Def(xo) ,

γραμμική άπεικόνιση

τιμή τής

df(Xo)

στό

γωγίσιμη σέ κάθε χ

τηση.

Τό διαφορικό

τιμή της όποίας σέ

. Επειδή

(Χο).

:f

υΧί

f στό χο καί συμβολίζεται μέ df(Xo}. • Η df(xo)(v) άντί Lxo(v). 'Εάν ή f εΙναι παρα του άνοικτου συνόλου V, τότε ή f λέγεται παραγωγίσιμη (διανυσματική) -συνάρ μιας παραγωγίσιμης διανυσματικης συναρτήσεως f εΙναι ή άπεικόνιση df, ή κάθε σημείο χ εΙναι τό διαφορικό τής f στό Χ, δηλαδή τό df(x).

L xo

λέγεται διαφορικό της

θά συμβολίζεται στό εξής μέ

v

Ύποθέτουμε τώρα ΟΤΙ ή

F.

=

σέ κάθε χ ή

df

εΙναι μιά παραγωγίσιμη συνάρτηση του

f

df(v) = df(vtet Είδαμε παραπάνω στι

df(ei)

= L(ei)

+ ο.

ο

= D.if

f =

lιgι

σί

W

Αρα ή εξίσωση

df(v}

(7.2)

(υποσυνόλου του Ε) στόν

+ ... + Imgm, +

ο

••

... + vndf(e,,)

(7.1)

Συνεπώς σί + v,,σχ"

+ '"

σχι

σ/ι -gl dXj

σΧί

= σί/σχ;. σί υι-

df(v) Ύπενθυμίζουμε στι, αν

v, εχουμε + vne,,} = vtdf(et) +

V

εΙναι γραμμική ώς πρός

(7.2)

τότε

+

..

σι -gm σχ;

j = 1, .. . ,n

γίνεται

υι (:~: gt

( σ/l VI σχι

+ . ο. +

~~7 gm)

+ ... + σ/ι

σχ"

vn)gl

+σι.,. -g

)

+

σι! + v " (-σχ" g l + ...

+

σι.". ) + (-σι... υι + .. , + -v" gm σχι σχ"

σχ"

m

ΚΕΦ.

ΔΙΑΝΎΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΎΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΎΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

128

Οί συντεταγμένες επομένως του

καί ό πίνακας του

εΙναι

df(v)

dlt(v)

-υι

alI axI

+ ... +

- Vn

alI aX n

dlm(v)

-υι

al m axI

+ ... +

- Vn

al m aX n

δταν θεωρηθεί ώς γραμμική άπεικόνιση, εΙναι ό

df,

7

m

χ

n

πίνακας

(7.3)

.Ο

παραπάνω πίνακας λέγεται Έάν

(gI, ... , gm). -

της

f

'

και

β λ'ζ ι εται

συμ ο

.Ιακωβιανός

πίνακας της

f ώς πρός τίς βάσεις (eI, ... , e n ) καί f λέγεται Ίακωβιανή (όρίζουσα)

ή όρίζουσα του Ίακωβιανου πίνακα της

m = n,

, J(f) η"

με

, "( a(II, .. ·,1,))' f1 Χι, ... , Χ,

με

δ η λ α δ'η

J(f) -- "( a(fI, ... ,In)) -- det(a1i) aΧ). . " Χι, ... , X n

ΕΙναι εύκολο νά ελεγχθεί δτι οί συναρτήσεις συντεταγμένων Χι(Χ) παραγωγίσιμες συναρτήσεις τοϋ Ε στόν ΕΙ καί δτι τά διαφορικά τους μικές συναρτήσεις τοϋ Ε στόν ΕΙ, ίκανοποιοϋν τίς σχέσεις νυσμα

v

= vIel +

... + vne n

df(v) άπ'

=

τοϋ Ε.

af

υι-

axl

af + v n aX

+

n

= υί, ί = 1, ... , n,

dXi(v)

Συνεπώς, άπό τήν εξίσωση

af

= Χι, ... , Xn(X) = Xn εΙναι dxI, ... , dx n, πού εΙναι γραμ-

(7.2)

+ ... +

dxl(v) axl

γιά κάθε διά

εχουμε

af

dXn(v) aX

n

δπου παίρνουμε τελικά τόν τύπο

~dxI + .,. + ~dx aXl aX n

df

(7.4)

n

Στήν πράξη γιά παραδοσιακούς λόγους χρησιμοποιουμε τόν τύπο θεωρουμε τό

(7.4)

ώς τό διαφορικό της συναρτήσεως συντεταγμένων Χ; του

dx;

συντεταγμένη ενός διανύσματος του Ε, πού τό συμβολίζουμε

έναλλακτικά.

Δηλαδή

Ε, άλλά καί ώς τήν ί

df ώς τό διαφορικό της ί, άλλά καί ώς τό διάνυσμα df(x)(dx), πού εΙναι ή τιμή του df(x) στό διάνυσμα dx. "Ετσι, ή (7.4) έκφράζει έπίσης τό διάνυσμα df ώς συνάρτηση των συντεταγμένων dx; του διανύ σματος

dx

Παράδειγμα

του Ε.

7.7.

Θεωροϋμε τή διανυσματική συνάρτηση τοϋ Ε3

f(x) = (2χι - X2)eI Τό διαφορικό της

f

. Ιακωβιανή

+ Xlx3e2 + (X~ -

x~)e3

σι

σι σι + -σΧ2 dX2 + - dX3 σΧ3 (2et + x3e2) dxl + (-eI + 2x2e3) dX2 +

.,,- dxt υΧ ι

Ίακωβιανός πίνακας της

καί ή

στόν Ε3

εΙναι

df

Ό

'Όμοια θεωρουμε τό

dx.

της

f

f

(Xle2 - 2x3e3) dX3

στό Χ εΙναι ;ΙΙ ι

σι ι

σι ι

σχι

σΧ2

σΧ3

iJf2 iJxI

σΙ2

σΙ2

σΧ2

σΧ3

σΙ3

σΙ3

σΙ3

σχι

σΧ2

σΧ3

στό Χ ε{ναι ή

2

-1

Χ3

ο

ο

2Χ2

Ο

Χι

- 2Χ 3

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

'Υπενθυμίζουμε ότι, αν

επιφάνειας Υ

= f(x)

= df(Xo)

(afi/aXj)

στό χο ε{ναι

τών διανυσμάτων

dx

-2(2ΧΙΧ2 + Χ:)

παριστάνει ενα διάνυσμα εφαπτόμενο σέ μιά καμπύλη τής

πού διέρχεται από τό σημείο Υο

πού ε{ναι γραμμική ώς πρός

df,

=

aXj

ε{ναι μιά διανυσματική συνάρτηση τοϋ Ε2 στόν Έ3~ τότε ή κατά κα

f Ddxf(Xo)

τεύθυνση παράγωγος

(

σι-) det '

=

J(f)(x)

dx,

ε{ναι

Είδικά, αν ή τάξη τής απεικονίσεως

= f(Xo).

στό Χο, δηλαδή αν ή τάξη τοϋ

2

τότε από τό Θεώρημα 7.2(ί) επεται ότι ή

2,

df(xo)

df(xo)

' Ιακωβιανοϋ

τοϋ Ε2 επί ενός επιπέδου τοϋ Ε3, όπως φαίνεται στό Σχ.

λέγεται εφαπτόμενο επίπεδο της Υ

7-5. df(xo)(dx)

στό Υο καί εχει εξίσωση Υ

1-1

Τό επίπεδο ή άπλούστε

= Υο + df(xo).

--

f

dx

= f(x)

πίνακα

ε{ναι μιά απεικόνιση

πού διέρχεται από τό σημείο Υο καί εΙναι παράλληλο πρός τά διανύσματα

ρα

129

~.

xo+dx

Σχ.

Παράδειγμα

7.8.

7-5

Θεωροϋμε τή διανυσματική συνάρτηση τοϋ Ε2 στόν Ε3 πού δίνεται άπό τή σχέση

=

Υ

(U -

V)gj + (U + V)g2 + (U 2 + V2)g3

Τό διαφορικό αύτης -ε{ναι

dy

=

σΥ du aU

+

σΥ dv

(gj + g2 + 2ug3) du + (-gj + g2 + 2Vg3) dv

συ

(du Στό

u

= 1, v = -1

εχουμε Υο

= 2g t + 2g3 καί dyo = (du - dv)gl +

dv)gl + (du + dV)g2 + (2u du +

(du

+ dv)g2 + (2du - 2dv)g3

Συνεπώς, ή εξίσωση τοϋ εφαπτόμενου επιπέδου στό σημείο

Υ

= Υι

Υο

=

+ dyo

=

(2

2υ dV)g3

Υο ε{ναι

+ du - dv)gl + (du + dv)g2 + (2 + 2du - 2dv)g3 Υ2

2 + du - dv,

η, άπαλείφovτας άπό αύτές τά du καί dv, 2Υι

-

Υ3

=

du

+ dv,

Υ3

=

2 + 2du - 2dv

= 2.

νΕτσι, όπως καί στήν περίπτωση τών διανυσματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής, εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα 7.7.

F

καί

h

νΕστω f καί g διανυσματικές συναρτήσεις τοϋ ανοικτοϋ συνόλου

μιά βαθμωτή

τότε καί οί

συνάρτηση τοϋ V. ' Εάν οί ί, g καί h f + g, hf, f· g καί f χ g ε{ναι παραγωγίσιμες στό (ϊ) d(f + g) = df + dg (ii) d(hf) = hdf + (dh)f

V (τοϋ Ε) στόν

ε{ναι παραγωγίσιμες στό σημείο Χ,

χ καί σ' αύτό τό σημείο εχουμε

(iii) d(f· g) = f· dg + (df)· g (ϊν) d(f χ g) = f χ dg + (df) χ g Τέλος, αν ή

f ε{ναι παραγωγίσιμη σέ κάθε χ τοϋ V, τότε ή df ε{ναι μια απεικόνιση τών δύο ' Εάν ή df ε{ναι συνεχής ώς πρός τίς δύο μεταβλητές χ καί dx, τότε ή f λέγεται συνεχώς παραγωγίσιμη στό V. διανυσματικών μεταβλητών χ καί dx.

1 ι

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

130 • Εάν

ή

εΤναι συνεχώς παραγωγίσιμη στό

f

τότε οί ίJί/ίJXί εΤναι συνεχείς στό

V,

δλες οΙ μερικές παράγωγοι ίJ!ί/ίJx] εΤναι συνεχείς στό

καί συνεπώς

V

Τό άντίστροφο ίσχύει επίσης.

V.

Δηλαδή

έχουμε τό εξης θεώρημα:

Θεώρημα

Μιά διανυσματική συνάρτηση

f ενός άνοικτου συνόλου V (του Ε) στόν F εΤναι i = 1, ... , m, j = 1, ... , n, ώς πρός δύο βάσεις του Ε καί του F άντίστοιχα, εΙναι συνεχείς συναρτήσεις στό V.

7.8.

συνεχώς παραγωγίσιμη στό

• Από

έάν καί μόνο έάν δλες οΙ μερικές παράγωγοι ίJ!ί/ίJXI,

V,

τό θεώρημα αύτό παρατηρουμε δτι ό δρος συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση συμπίπτει

μέ καθένα άπό τούς δρους συνάρτηση κλάσεως

καί διαφορίσιμη συνάρτηση τάξεως

Cl

Cl,

τούς

όποίους όρίσαμε προηγούμενα.

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΊΗΣΕΙΣ

Θεωρουμε τούς Εύκλείδειους χώρους Ε, τό σύνολο

(του Ε) στόν

V

G. Γιά κάθε χ του V, g ο f ενός συνόλου του Παράδειγμα (α)

καί

F

γιά τό όποίο τό Ε στόν

G

F

καί

~Eστω

G.

f

μιά διανυσματική συνάρτηση από

μιά διανυσματική συνάρτηση άπό τό σύνολο

g

f(x)

άνήκει στό

ή

U,

U

(του Ρ) στόν

σύνθετη διανυσματική

όρίζεται στό (τυχόν) χ μέ τή σχέση

συνάρτηση

= g(f(x)).

(g ο f)(x)

7.9.

'Η διανυσματική συνάρτηση

=

άπεικονίζει τό διάνυσμα Χ

xIeI

+ x2e2

(του Ε2) στόν Ε3.

(Υι

g(y) = άπεικονίζει τό διάνυσμα

Υ

=

YIgI

+ Υ2 + Y3)gI +

+ Y2g2 + Y3g3

'Η

YIY2gz

του Ε3 στόν Ε3.

Υ = f(x) = (χι - X2)gI

(y~

+

-

Y~ )g3

Έάν θέσουμε

+ (xi + X~)g2 + x I x2ga

όπότε

παρατηρουμε ότι ή σύνθετη διανυσματική συνάρτηση

g(f(x))

άπεικονίζει τό Χ (του Ε2) στόν Ε3

καί ε!ναι

g(f(x» Χ

(b) Οί εξισώσεις

=

f(t)

=

(t 2

+ 1)eI + te2

ή

Χι

= t2

+ 1,

Χ2

=

t

όρίζουν μιά άπεικόνιση του ΕΙ στόν Ε2, πού ε!ναι ή παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης του Ε2.

Ή εξί-

σωση

δρίζει μιά άπεικόνιση του Ε2 θετη άπεικόνιση

Υ

=

g(f(t)) =

δρίζει μιά άπεικόνιση του ΕΙ

Υ

= g(x)

στόν Ε3, πού ε!ναι ή παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας του Ε3.

(t 2

στόν

+ 1)ιι + tgz + Ε3,

του Ε3, όπως φαίνεται στό Σχ.

[(t 2

+ 1)2 +

t 2Jg3

=

(t2 + 1)gl

+

tg z

+

(t4

'Η σύν-

+ 3t2 + 1)g3

πού ε!ναι ή παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης τής επιφάνειας

7-6.

Σχ.

7-6

· Εάν f εΤναι μιά γραμμικη απεικόνιση του Ε στόν F καί g μιά γραμμικη απεικόνιση του F στόν G, τότε ή h = g ο f εΤναι μιά γραμμική απεικόνιση του Ε στόν G. Πράγματι, αν a καί b ε{ ναι διανύσματα του Ε, τότε

h(a + b)

= g(f(a + b)) =

g[f(a)

+ f(b)] =

g(f(a))

+ g(f(b)) =

h(a)

+ h(b)

7

ΚΕΦ.

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

'Επίσης,

h(ka)

νΕτσι ή

= g(f(ka» = g(kf(a» =

εΙναι γραμμική στόν Ε.

h

καί στι οί συντεταγμένες τών Υ

καί

=

kg(f(a»

131

kh(a)

Ύποθέτουμε άκόμη στι εχουμε διαλέξει βάσεις στούς Ε,

= f(x)

Ζι

καί Ζ

αιιχι

+ αΙ2Χ2 +

α2ΙΧΙ

+

bHYl b 2lYl

+

α22Χ2

+ b l2Y2 + + b 22Y2 +

n

Σ akjXj,

η πιό συνοπτικά

F, G

δίνονται άπό τίς γραμμικές εξισώσεις

= g(y)

lc

= 1, ... , m

;=Ι

m

Σ

Ζί

i = 1, .. . ,r

bikYk,

k=l

'Από αύτές βρίσκουμε στι οί συντεταγμένες της Ζ

, Εάν

(Cij)

(αυ) καί

Ζί

k~ b ik (~ akJXj)

(b ij)

εΙναι οί πίνακες τών

= g(f(x»

εΙναι

;~ (i bikα kj)

f καί g άντίστοιχα, τότε εΙναι προφανές στι ό πίνακας

= Ιtι bikakj ) της σύνθετης συναρτήσεως εΙναι ό πίνακας

Παράδειγμα

7.10.

Υι 2Υι

όρίζουν γραμμικές άπεικονίσεις τοϋ Ε2 στόν Ε3 καί τοϋ Ε3 αύτων δίνει μιά γραμμική άπεικόνιση τοϋ Ε2

Ζι

Ζ2

(2Χι

=

στόν

ή

f

= (bij)(aij).

+ Χ2) - (-Χι + 2Χ2) + + Χ2) + (-Χι + 2Χ2) -

2( 2Χ ι

εΙναι συνεχής στό Χ και η

g

Υ2 + Υ3 + Υ2 - Υ3

στόν Ε2 άντίστοιχα.

•Η

σύνθεση των άπεικονίσεων

Ε2, πού περιγράφεται άπό τίς εξισώσεις

Παρατηροϋμε στι ό πίνακας της γραμμικης άπεικονίσεως

, Εάν

(CiJ)

Οί εξισώσεις

καί

στό Χ.

i = 1, ... , r

Xj,

(Χι

- Χ2) = 4χι - 2Χ2

(Χι - Χ2)

=

2χι

+ 5Χ2

Ζ ώς συναρτήσεως τοϋ χ ε{ναι τό γινόμενο

εΙναι συνεχής στό Υ

= f(x),

τότε ή

gοf

εΙναι συνεχής

Δηλαδή εχουμε τό εξης θεώρημα:

Θεώρημα

7.9.

Ή σύνθεση δύο συνεχών διανυσματικών συναρτήσεων δίνει συνεχή διανυσματική

συνάρτηση.

Τό ίδιο Ισχύει γιά παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις.

νΕτσι, αν χρησιμοποιήσουμε

καί τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως, δηλαδή τόν κανόνα πού δίνει τήν παράγωγο σύνθετης συναρτήσεως, εχουμε τό ε~όμενo θεώρημα: Θεώρημα

καί ή

7.10. Έάν ή διανυσματική συνάρτηση f εΙναι παραγωγίσιμη στό χ μέ διαφορικό L x g εΙναι παραγωγίσιμη στό Υ = f(x) μέ διαφορικό ΜΥ' τότε ή h = g ο f εΤναι παραγωγίσιμη

στό χ καί τό διαφορικό της προκύπτει άπό τή σύνθεση τών διαφορικών, δηλαδή

Ηχ

= (MoL)x = Mf(x)oLx

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

132

. Υπενθυμίζουμε ότι ό πίνακας του διαφορικου της f εΙναι ό Ίακωβιανός πίνακας (a!i/ax;), j = 1, .. . ,n, καί ό πίνακας του διαφορικου της g εΙναι δ (agi/ay;), ί = 1, .. . ,Τ, j = 1, ... , m. Συνεπώς ό πίνακας του διαφορικου της h = g ο f εΙναι τό γινόμενο ί

= 1, .. . ,m,

= (Σ

ίJh;) (ax;

k=I

ag; aYk ) aYk ax;

νΕτσι εχουμε τόν τύπο

ah ; = ax;

ag; aYl aYl ax;

+

ag; aY2 + aY2 ax;

ί=l,

... ,τ,

j=l, ... ,n

(7.5)

πού εκφράζει τόν κανόνα παραγωγίσεως τών συντεταγμένων σύνθετων διανυσματικών συναρτήσεων.

+ ... + hrer,

, Εάν h = hlel

ah l -el ax;

ah ax;

τότε

+ ... + -ah C aXj r

r

gl ( aaYI aYl aXj

agI ' ( aYI eI

+ ... + ag l aYm ) el + ... + (agr aYl + ... + ag r aYm)er .

aYm aXj

ag r e r ) aYl aYl aXj

+ ... +

+ ... +

aYl aXj

(a gI eI aYm

aYm aXj

+ ... +

ag r e r ) aYm aYm aXj

νΕτσι εχουμε τή σχέση

ah aXj

(7.6)

πού εκφράζει τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης διανυσματικης συναρτήσεως. Παράδειγμα

7.11.

(α) Έστω Υ

=

(Χι

ίJy dxI

dy

-dt (b)

νΕστω

Υ

+ X2)el + (Χι - X2)e2 + (X~ + x~)e3, ίJy dX2

- +ίJx2 -ίJxι dt dt

-

ίJy ίJu

ίJθ

ίJu ίJθ

+

ίJy ίJυ

(cos v)el

ίJυ ίJθ

u

= θ + Φ,

v

+

(sin v)e2

+

(cos (θΦ) - Φ(θ

=

ίJy ίJφ

ίJy ίJu

+

ίJu ίJφ

ίJy ίJυ

(cos v)el

ίJυ ίJφ

+

+ φ) + φ)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΛΑΣΕΩΣ

= θΦ.

+

Τότε

cos t)e3

Τότε

+ u(cos v)e2 + e3)Φ + (sin (θΦ) + Φ(θ + φ) cos (θφ»e2 +

φe3

+ u(cos v)e2 + e3)θ + (sin (θΦ) + θ(θ + φ) cos (θφ»e2 +

θe3

(-u(sin v)el

(-u(sin v)el

sin (θφ»eι

C"'.

= sin t.

Χ2

+ (eI - e2 + 2x2e3) cos t - cos t)e2 + (4t3 + 4t + 2 sin t

sin (θφ»e ι

(sin v)e2

(cos (θΦ) - θ(θ

• Υποθέτουμε

= t2 + 1,

(el + e2 + 2xIe3)(2t) (2t + cos t)el + (2t

= u(cos v)eI + u(sin v)e2 + ve3,

ίJy

Χι

Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ

TAYLOR

ότι ή διανυσματική συνάρτηση ίεχει παράγωγο κατά μιά σταθερή κατεύθυνση

u σέ κάθε σημείο Χ ενός άνοικτου συνόλου V του Ε. Τότε ή Duf εΙναι συνάρτηση του Χ δρι σμένη στό

v.

V καί συνεπώς μπορουμε νά θεωρήσουμε τήν παράγωγό της στό Χ κατά μιά κατεύθυνση . Η D,,(Duf)(x), όταν ύπάρχει, λέγεται κατά κατεύθυνση παράγωγος δεύτερης τάξεως της f στό

Χ καί συμβολίζεται μέ υ~υί(x). 'Εάν

(el, ... , e n )

εΙναι μιά βάση του Ε, ύπενθυμίζουμε ότι

Dejf Συνεπώς

D;jejf

=

af ax;

a2 f aXjaX;

afl ax;gl a2 fl gl aXjaXI

+ +

af2 ax;g2

+

a2 f2 g2 ax;axi

+

af", axi g",

+ ... +

2! ... -a g aXjaX; m

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

133

Δηλαδή οί συντεταγμένες συναρτήσεις των κατά κατεύθυνση παραγώγων δεύτερης τάξεως κατά τίς κατευθύνσεις των διανυσμάτων της βάσεως εΙναι οί μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξεως των συντε ταγμένων συναρτήσεων.

Οί κατά κατεύθυνση παράγωγοι άνώτερης τάξεως όρίζονται επίσης κατά τόν ίδιο τρόπο.

παράδειγμα, ή

λίζεται μέ υ~y,. f(x).

ΟΙ παράγωγοι κατά τίς κατευθύνσεις των διανυσμάτων της βάσεως εΙναι

a3 fl

a3 f Έάν ή

f

V, τότε λέμε δτι af al, ... , -af -;-,

- Ε'υπαρχουν , ., οι παραγωγοι

γωγοι

Cl στό V. amf

, Από τήσεις

iJX2

τά Θεωρήματα

7.6

' Αλλά τότε κλάσεως Cm είναι Ή

καί

7.12.

γιά κάθε χ στό Ε.

ax;

aXk aXj ax;

gm

στό

Cm

αν ύπάρχουν δλες οΙ τάξεως

V,

m

βάση

{

ε ναι

παρά

V. C2

εΙναι καί κλάσεως

Cl.

Cl

εΙναι καί

Γενικά, οί συναρ

Cm-l.

πραγματική συνάρτηση

af(x) =

a3 fm

επεται δτι οί διανυσματικές συναρτήσεις κλάσεως

7.8

καί κλάσεως

κλάσεως

+

f εΙναι κλάσεως CO στό V. Έάν γιά μιά 'Ι - , V ,τ ότε λέ με οτι " η• Ι και ε ναι συνεχεις στο

οί συναρτήσεις κλάσεως

Παράδειγμα

+ '"

ή

iJx,.

καί ε{ναι συνεχείς στό

CO.

C3

υΧι

Γενικά, ή Ι εΙναι κλάσεως

iJxim

aX;l . . .

κλάσεως

-::----::-'--- gl aXk aXj ax;

εΙναι συνεχής στό

του

κλάσεως

Γιά

εΙναι ή κατά κατεύθυνση παράγωγος τρίτης τάξεως στό χ καί συμβο

Dw(D;uf)(x)

f(x) = lχ!8Ι3 είναι κλάσεως C2 γιά κάθε χ στό Ε, άλλά δέν είναι

Πράγματι,

~lxI5/3 Jι 1x ' = ~IX'I'5/3 ι

ax;

3.

ι.

ι

= \xl cos 4-(χ, e;).

δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση χι

8

8

31χ\5/3

ι

3'

cos 2μχ, ej)

'Όμοια,

16 9"lxI2/3 cos 4-(Χ, e) cos 4-(Χ, ej)

+

3!χI 2/3 δ;j

~1·xI2/3x.

Ixl-Ix. =

3

Τέλος, ή παράγωγo~ τρίτης τάξεως περιέχει τόν δρο

32

27!XI- 1/3 cos 4-(Χ, ek)

πού ώς συνάρτηση δέν είναι φραγμένη στό

~A ς

θ - "

=

-, ~

C2.

σ. 2

Γενικά, αν ή

a1

υΧι υΧ2

~;--:;--. υΧ2 υΧι

εΙναι κλάσεως

f

'Αλλ'" δ'εν α αυτο

2

-" a 1-"

σημειω ει οτι μπορει να εχουμε

αν ή Ι εΙναι κλάσεως

m

χ

cos 4-(Χ, ej) cos 4-(Χ, ej)

cm, τότε

-,

μπορ ει να συμ

β αινει, ,

κάθε μερική παράγωγος τάξεως

εξαρταται μόνο άπό τόν άριθμό των παραγωγίσεων ώς πρός κάθε μεταβλητή καί όχι άπό τή σειρά

παραγωγίσεως.

Γιά τήν άπόδειξη αύτου του ίσχυρισμου παραπέμπουμε τόν άναγνώστη σέ ενα βιβλίο

πραγματικων συναρτήσεων.

Ύποθέτουμε τώρα δτι ή εΙναι παραγωγίσιμη στό

V,

f

εΙναι κλάσεως

al

D .. f , Αλλά

καί ή

D;u l

Duf

ΟΧι

_ Ul [~a_2:-f ίΙΧιίΙΧι

V.

(a:t Dul) υι + +

+

iJ2f

V. (7.2)

Τότε άπό τό Θεώρημα

7.8

σl

-Un ax..

+ (,:.. Duf) υ ..

]

ίΙΧι ίιΧ,. U n υι

..

[

iJ2f

+ ... + οχ,. ίΙΧι Ul +'. " + af --2

Σ ViUj Ι,} = Ι iJx; ίιΧ;

Γιά τίς κατά κατεύθυνση παραγώγους άνώτερης τάξεως ισχύουν παρόμοιοι τύποι.

εχουμε

υ~yα

f

,.

f

Συνεπώς

'"

D;u f

επεται δτι ή

δτι

+ .. , +

-Ul

εΙναι παραγωγίσιμη στό

D .. (D .. f)

στό

C2

ενω άπό τήν εξίσωση

af 3

Σ WiVjU" ι,j,k = ι axl aXj aXk

2

a f ] iJx n iJx .. Un υ,.

(7.7) Γιά παράδειγμα

134

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

νΕτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

θεώρημα

'Εάν ή διανυσματική συνάρτηση

1.11.

κατεύθυνση

m

παράγωγοι τάξεως

Cm στό V, τότε όλες οΙ κατά V, άνεξάρτητες της σειράς πα

εΙναι κλάσεως

f

εΙναι συνεχείς συναρτήσεις στό

ραγωγίσεως καί δίνονται άπό τή σχέση

D .. f(x)

a2f

2

- - - Ul σχ ι ax!

(6x I g2

ΟΧι σχ! uIv l (6x t g2

- - - U l U2 σχ ι aX2

+ 6XlX2g3)U~ +

a2f

D~v f(x)

a2 f

+

a2f

+

2(g)

οΧι ΟΧ2 u l v 2

+

+ 6x t x 2g3)UI V!

+ 3xig3)UlU2 +

axl

+

iJ2f aX2 σχι

θεώρημα

1.12

2

aX2 aX2

6x2g2u~ iJ2f

1Ι2υι

ι'J3f

U v ax l aX2 aX 2 Ul 2 2

(Τύπος του

a2 f

---112

a3 f a3 f οχι aX2 U Ι ΙΙ Ι V 2 + οΧι aX2 ax! u t u 2V l +

(J3f

+

+

+ aX2 aX2 U 2V2 + (g) + 3x~ g3)(UlV2 + vJuz) + 6x2g21l2v2

σ 3Ι

οχι οχι οχι uivI +

a2f

- - - U 2U ) aX2 οχ ι

+

aX2

. Εάν f

Tay/or).

οχι aX2

,ϊ 3 ί

aX2

οχ ι οχι ΙΙ2UΙVΙ

(J3f

u 2u t v 2

+ σχ! aX2 οχ ι 1l 2U 2 v t +

;ι3ί

u v aX2 axz aX2 u2 2 2

είναι μιά διανυσματική συνάρτηση κλάσεως

Cm

σέ μιά

περιοχή του Χο, τότε γιά κάθε χ στήν περιοχή αύτή του χο εΙναι

f(x) όπου

=

R",(X, Χο)/ΙΧ -

f(xo)

χol m ~ Ο

σΙ

Στό χο

(3el

= el -

e2

+ e2)(x2 + 1),

+

m + ... + ~ m! D (X-xo>m f(xo) +

D(x -xo>f(Xo)

όταν

χ ~ Χα.

_

ΟΧ lΙ ι

ι

+

σι aX2 V2 • -

a2 f 2 ---:!υ ι σχ ι

+

2 ;;---;;--lΙιυ2

(2xlel

ι)2ί

a2 f 2 -2112

=

2

(3x 2 e t

2

=

=

(2e,

+ 6xrX2e2)vt +

2

Ι!χουμε χ - Χο (χι - l)e l + (Χ2 + 1)e2' f(xo) -e2. D(X -Σο> f{xo) D~X-XO}2f(xo) = (2e} - 6e2)(Xl -1)2 + 6e2(Xl -1)(Χ2 + 1) - 6et(X2 + 1)2.

aX

6x2elv~

2

=

(2e} - 3e!)(xt - 1) Συνεπώς

+ D( Χ-Χο> f(xo) + iD~x -XO>2f(XO) + ο(lχ - xol 2) -e2 + (2el - 3e2)(X1 - 1) + (3e t + e2)(x2 + 1) + (eI - 3e2)(X! - 1)2 + 3ez(xJ - I)(Χ2 + 1) - 3et(X2 + 1)2 + ο«χι - 1)2 + (Χ2 + 1)2) f σέ σειρά δυνάμεων τού (Χι - 1) καί

ώς εξης:

+ 1)2

+ 2(χι - 1) + 1 [(Χ2 + 1) -1]3 (Χ2 + 1)3 - 3(Χ2 + 1)2 + 3(Χ2 + 1) - 1 [(χι -1) + 1J3[(X2 + 1) -1] = [(χι -1)3 + 3(χι -1)2 + 3(χ,-1) + [(Χι - 1)

+

f(Σo)

Τό άποτέλεσμα αύτό μπορεί έπίσης νά προκύψει, αν άναπτύξουμε τήν

+ 1)

3

+ Xle2)1I! +

σΧι σΧ2

+

2

+ 3XlX2e2)1I! +

6Xle2vtv2

f(x)

του (Χ2

R",(X, Χο)

(Χι

- 1)2

1][(Χ2

+ 1) -

1]

ΔΙΑΝγΣΜΑΊ1ΚΕΣ ΣγΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΊ1ΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.7

135

δπότε

f(x)

=

(~+ x~)el

+ +

+

=

X=:X2e2

{3(xl -1)(Χ2 + 1) {(Χ2

+ 1)3e} +

{(xl-1)2

+

(Χ2

+ 1)

[(Χι - 1)3(Χ2

•Η

2(x l -1)

3(χι -

1 - 3(Χ2 + 1)2

3(Χι -1) -

1)2(Χ2

+ 1)

+ (Χ2 + 1)2)

-1)2

+

3(Χ2

+ 1)

- 1}et

l}e2

- (Χι -1)3]e2}

καί ετσι τό άποτέλεσμα συμφωνεί μέ τό

δεύτερη μέθοδος πού χρησιμοποιήθηκε γιά νά βρεθεί τό άνάπτυγμα του

μπορεί νά εφαρμοστεί, όταν οΙ συντεταγμένες συναρτήσεις τής άζεται δ τύπος του θεωρήματος

+

- 3(xl - 1)2 -

+ 1) +

Παρατηρουμε ότι ό τελευταίος όρος εΙναι πράγματι Ο«Χι άποτέλεσμα της πρώτης μεθόδου.

+

f

Taylor

εΙναι πολυώνυμα, άλλά στή γενική περίπτωση χρει

7.12.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ νΕστω

f

μιά διανυσματική συνάρτηση του άνοικτου συνόλου

τέτοια συνάρτηση δέν ε{ναι

J(f) = det (a!;/aXj) =F

Ο.

ι-ι.

εΙναι

3.

του Ε3 στόν Ε3.

Γενικά, μιά

Ύποθέτουμε ότι σέ ενα σημείο χο του

V ή Ίακωβιανή εΙναι (a/;/aXj) εΙναι ό πίνακας του διαφορικου df (πού όπως Έπειδή det (a/i/aXj) =F Οστό Χο, επεται ότι ή τάξη της 7.1(ί) ή df(xo) εΙναι Ι-Ι. ' Αλλά σέ μιά περιο-χή του χο

'Υπενθυμίζουμε ότι

ξέρουμε εΙναι μιά γραμμική απεικόνιση).

df(Xo) ή f(x)

V

Συνεπώς, από τό Θεώρημα

ίσουται κατά προσέγγιση μέ

f(Xo)

λά-χιστον σέ μιά περιο-χή του χο.

+ df(Xo)(x -

Χο):

'Έτσι περιμένουμε ή

f

νά είναι Ι-Ι του

Πράγματι, αυτό εΙναι ενα μέρος του παρακάτω ενδιαφέροντος

θεωρήματος, πού λέγεται θεώρημα τής άντίστροφης συναρτήσεως. Θεώρημα

νΕστω

f

κλάσεως

~

VΕστω

7.13. Cm , m det (a/i/iJXj) =F Ο.

1.

μιά διανυσματική συνάρτηση ενός ανοικτου συνόλου ότι

Τότε ύπάρ-χει περιο-χή

(ί)

Ό περιορισμός της

(ϊϊ)

•Η

εικόνα

επίσης

S(XO)

Ίακωβιανή

S(xo)

στήν περιο-χή

f

της

f(S(Xo»

ή

σέ

ενα

πού περιέχεται στό

σημείο χο

V

εΙναι μιά συνάρτηση

S(xo)

V

(του Ε) στόν Ε,

του

V

είναι

J(f) =

τέτοια ώστε: Ι-Ι.

εΙναι ενα ανοικτό σύνολο.

(ϊϊϊ) Ή αντίστροφη συνάρτηση ι-ι τής

f

εΙναι κλάσεως

Cm

στό

f(S(xo».

(Βλ. Σχ.

7-7.)

Ε

Ε

--f

~ (-Ι

Σχ.7-7

Γιά τήν απόδειξη του θεωρήματος αύτου παραπέμπουμε τόν άναγνώστη σέ ενα βιβλίο πραγματικών συναρτήσεων. Παράδειγμα

7.15.

οι εξισώσεις

Υι

=

Χι COS Χ2'

ΥΖ

=

χι sin Χ2'

(Χι> Ο)

όρίζουν μιά άπεικόνιση του δεξιου ήμιεπιπέδου του επιπέδου ΧΙΧ2 επί του επιπέδου ΥιΥ2' άπό τό όποίο άφαιρέθηκε ή άρχή τών άξόνων, όπως φαίνεται στό παρακάτω Σχ. 7-8(α).

J(f)

=

det

(σΥ;) σχ]

cos Χ2 det ( . sln Χ2

Γιά χι

>

Ο

εχουμε

=

Ο

Συνεπώς, γιά κάθε σημείο (Χι, Χ2) του δεξιου ήμιεπιπέδου ύπάρχει περιοχή S(Xt. Χ2) στήν όποία ή άπεικόνιση εΙναι ι-ι καί επί (ενός άνοικτου συνόλου του επιπέδου ΥιΥ2)' Ή άντίστροφη άπεικόνιση δίνεται άπό τίς σχέσεις

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

136

ΚΕΦ.7

όπου πρέπει νά πάρουμε εναν κατάλληλο περιορισμό της συναρτήσεως «τόξο εφαπτομένης».

ή

άπεικόνιση δέν εΙναι

ή

εΙκόνα της λωρίδας στό Σχ.

7-8(b).

1-1 Ο ""

• Ας σημειωθεί ότι det (iJy;liJXj) # Ο, γιατί

σ' δλο τό δεξιό ήμιεπίπεδο, αν καί σέ κάθε σημείο του εχουμε Χ2

< 2".

καλύπτει όλο τό επίπεδο ΥιΥ2 εκτός άπό τήν άρχή τών άξόνων, όπως φαίνεται

"Ετσι, άπό τό θεώρημα της άντίστροφης συναρτήσεως εξασφαλίζεται γενικά ή ϋπαρξη άντίστροφης

συναρτήσεως τοπικά καί όχι δλικά.

(b)

(α) Σχ.

7-8

Λυμένα Προβλήματα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.

7.1.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

Δείξτε ότι ή

Υ

(sin χι cos X2)gt

=

+

(sin χι sin X2)g2

+

(cos Xl)g3

όρίζει μιά άπεικόνιση μέ πεδίο όρισμου τ6 ύποσύνολο Ο"'" Χι "'" Πι Ο"'" Χ2 πεδίο τιμων τή σφαίρα πού εχει άκτίνα ή άπεικόνιση αύτή

< 2π

του Ε2 καί

1

καί κέντρο τήν άρχή των άξόνων του Ε3.

+

sin 2 χι sin 2 Χ2

ΕΙναι

Ι-Ι;

" Εχουμε

lyl2 =

y~

+

y~

+

y~

=

sin2 χι cos2 Χ2

"Ετσι τό πεδίο τιμών της άπεικονίσεως εΙναι στή σφαίρα.

νουμε τυχόν Υ πού ίκανοποιεί τήν IΥΙ2

Χι

=

Cos-l

Υ3

καί

cos 2 ΧΙ

=

sin 2 χι

+

Υι

Υ2> Ο

γιά

Υ2

Ο

γιά

Ο

γιά

".

γιά

= Υι = Ο Υ2 = Ο καί Υ2 = Ο καί

2".

1

καί θέτουμε

γιά

Χ2

cos2 ΧΙ

Γιά νά δείξουμε ότι ή άπεικόνιση εΙ ναι επί, παίρ

= y~ + Y~ + Y~ = 1 Cos-I

+

2

γΥ Ι +Υ 22 Cos-l

Υι

";Y~ +y~

<

Ο

Υ2

Υι

>

Ο

Υι

<

Ο

r ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ,7

Γενιιcά εχουμε

sin

cos χι = Υ3'

Έάν Υ2 "" Ο, τότε

ΥΙ-Υ 2

χι COS Χ2

Υι

> sin

2

Ο, τότε χι

Υ1- Υ2

Χ2

sin

!Υ2! + Υ2

3 ..; 2 Υι

<

Έάν Υ2

sin Υι

=

sin 'Εάν

Υ2

χι

Υ1- Υ2

Χ2

sin

-!Υ2!

Υ2

=

Ο, τότε !Υ3!

χι COS Χ2

=Ο =

Υ2

ιcαί Υι

= >

U

= Ι.

=

Ο ιcαί

Υι

Ο,

τότε

Υ2

Αύτό δείχνει στι χι

Υι,

=

sin χι sin Χ2

Ο, τότε Χ2

<

-!Υ2!

";Y~+Y~

sin χι cos Χ2 = sin χι = Έάν Υ2

!Υ2!

2

Ο, τότε

3

Έάν

Υι

3ΥΥ2+Υ2 Ι

Έάν Υ2

137

Χ2

= Ο ιcαί Υι - Y~ =

=

ή Χι

Ο

=

Ο

=

ΙCαί αρα

π

Υ2

αρα

= Υι,

χι

sin

sin

Χ2

ο

π ιcαί αρα

sin χι cos Χ2 = - sin χι = -Υ1- Y~ = -!Υι! = Υι, 'Έτσι σέ δλες τίς περιπτώσεις έχουμε

sin

χι

cos Χ2 =

Υι,

χι

sin

sin sin

Χ2

χι

=

sin

Υ2,

Χ2

Ο

=

COS ΧΙ

=

=

Υ2

Υ3 ιcαί συνεπώς ιcάθε

σημείο της σφαίρας εΤναι ή εIιcόνα ενός σημείου του πεδίου όρισμου.

7.2.

Προσδιορίστε τήν τάξη καί βρείτε τήν εικόνα τής γραμμικής άπεικονίσεως

.Ο

+

Υι

2Χι

Χ2

Υ2

-4Χι -

2Χ2

Υ3

-2Χι -

Χ2

πίναιcας της γραμμιιcής απειιcoνίσεως εΤναι

(=: =~) Έπειδή . Από

Ι)

det ( 2 -4 -2

=

Ο,

det ( 2 1) = -2 -1

Ο ιcαί

τίς δύο πρώτες εξισώσεις πρoιcύπτει δτι 2Υι

det (-4 -21) = -2 -

+ Υ2 =

Ο

ΙCαί από τίς δύο τελευταίες Υ2 - 2Υ3

νεπώς, ή εIιcόνα τής γραμμιιcής απειιcoνίσεως εΤναι ή τομή τών επιπέδων

7.3.

ο, ή τάξη του πίναιcα εΤναι Ι. 2Υι

+ Υ2 = Ο

=

Ο.

ΙCαί Υ2 - 2Υ3

Συ

= Ο.

Δείξτε δτι μιά γραμμικη απεικόνιση του Ε3 στόν Ε3 εΙναι 1-1 καί επί εάν καί μόνο εάν οΙ εικόνες τών διανυσμάτων μιας βάσεως εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα διανύσματα .

• Υποθέτουμε

στι

εΤναι μιά βάση ΙCαί

(e I , e2' e3)

f

μιά γραμμιιcή άπειιcόνιση του Ε3 στόν Ε3, τέτοια

ωστε τά διανύσματα f(e t ), f(e2)' f(e3) νά εΤναι γραμμιιcώς άνεξάρτητα. μιά βάση ΙCαί ιcάθε διάνυσμα

b

=

b

. Ορίζουμε τό διάνυσμα a = bteI f(a) Συνεπώς, ή f

=

f(bIe I

+

b 2 f(ez)

f(a' - a)

+

+

b 3 f(e3)

+

b 2 f(e2)

Τότε

b t f(eI)

Γιά νά δείξουμε δτι ή f

f(a') - f(a) =

(α; - αι) f(eI)

10

b t f(e I )

+ b2e2 + b3e3' + b2e2 + b3ea)

εΤναι επί (του Ε3),

Ο

Προφανώς, ή (f(et), f(e 2), f(e3» ε{ναι

μπορεί νά γραφεί

=:

+

b 3 f(e~)

=

b

ε{ναι ι-ι, ύποθέτουμε δτι f(a')

ί«a~ - at)e t

(α~ - αΖ} f(e2)

+

+ (a~ -

(α~ - a3) f(e3)

a2)e2

+ (a~ - a 3)e3)

= f(a).

Τότε

Κ ΕΦ.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

138

7

, Επειδ'; τά διανύσματα f(et). f(e z). f(e3) ε[ναι γραμμικώς άνεξάρτητα, επεται στι α; - αι :::: Ο. α2 - αΖ :::: Ο, α3 = Ο. Συνεπώς a':::: a καί ή f ε[ναι 1-1. ' Αντίστροφα, liv ή f ε[ναι 1-1 καί έπί, τότε τά διανύ

α~ -

σματα f(et). f(e2)' f(e3) ύπάρχουν

btel

άριθμοί

ε[ναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

+ b2e2 + b3e3 #' Ο

τέτοιο ωστε

ο

, Αλλά ή

7.4.

b t f(et)

+

b 2 f(ez)

+

b 3 f(e3)

f(btel

γιά κάθε γραμμική άπεικόνιση εχουμε επίσης ί(Ο)

ε[ναι

f

Πράγματι, liv ύποθέσουμε στι δέν συμβαίνει αύτό, τότε

b t • b 2 • b3 όχι σλοι μηδέν καί (έπειδή ε[ναι έπί ύπάρχει έπίσης) ενα διάνυσμα a::::

τό Θεώρημα 7.2(ί):

Μιά γραμμική

καί επί εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

1-1

f(a)

WΕτσι άπoδεΙKνύετα~ ή πρόταση.

1-1.

' Αποδείξτε εΙναι

+ bZez + b3e3)

:::: Ο. τό δποίο σμως άντιφάσκει πρός τό γεγονός στι

Ύποθέτουμε στι

νύσματα του Ε3.

(e t , e2)

ε[ναι μιά βάση του

Έπειδή f(x) :::: f(xIeI

ται επί του επιπέδου πού δρίζουν τά

απεικόνιση τοϋ ΕΖ σέ ενα επίπεδο του Ε3

f

εΙναι

ΕΖ καί στι τά

+ XZe2) =

χι f(et)

2.

f(e l ), f(e2)

+ Χ Ζ f(e Z),

ε[ναι γραμμικώς άνεξάρτητα δια

κάθε διάνυσμα χ του Ε2

f(eI) καί f(e 2). σπως φαίνεται στό Σχ. 7-9.

του επιπέδου αύτου εκφράζεται μονοσήμαντα ώς γραμμικός συνδuασμός τό)\'

άπεικονίζε

Έπίσης, κάθε διάνυσμα

f(eI) καί f(e2)'

b

'Όπως στό προ

ηγούμενο πρόβλημα, επεται στι ή αν ή

ε[ναι

f

f άπεικονίζει τόν Ε2 σέ ενα επίπεδο του Ε3 1-1 καί έπί. . Αντίστροφα, 1-1 καί έπί (ενός επιπέδου τοί) Ε3), τότε, οπως στό προηγοι>μενο πρόβλημα, τά διανι\σματα

f(et} καί f(ez) ε[ναι γραμμικώς άνεξάρτητα. Τήν άπόδειξη αύτοί! άφήνουμε ώς άσκηση στόν άναγνώστη. 1-1 καί έπί (ένός επιπέδου), εάν καί μόνο εάν τά διανίJσματα f(e t ) καί f(e2)

τσι, ή άπεικόνιση ε[ναι

'Έ εΙ\'αι

γραμμικώς άνεξάρτητα.

ΧΖ

Σχ.

f

, Απομένει νά δείξουμε στι 2. . Υποθέτουμε στι

τά

f(et)

καί

7-9

(ez) εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα, εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

ε[ναι

καί

Ύπενθυμίζουμε στι τά

f(et) καί f(ez) ε[ναι γραμμικώς άνεξάρτητα, έάν καί μόνο εάν

Ι(ει) χ f(ez) :::: (αΖιa32 - ~IαZ2)gI

, Αλλά

+

(αΙΖα3Ι - α l1 Q3Z)gZ

οί συντεταγμένες του διανύσματος αύτου ε[ναι οΙ τρείς

2

χ

2

+ (αl1αΖ2 -

aI2QZI)g3 #' Ο

δρίζουσες του πίνακα της

f

(:;: :;:) a3Ι

α32

WΕτσι, τά f(et) καί

f(e?) ε[ναι γραμμικώς άνεξάρτητα, Μν καί μόνο εαν μία τουλάχιστον άπό τίς τρείς 2 χ 2 δρίζουσες του πίνακα της f ε[ναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή εάν καί μόνο εάν ή τάξη της f

ελάσσονες εΤναι

7.5.

2.

, Εάν

WΕτσι, συμπληρώνεται ή άπόδειξη του θεωρήματος.

οί συντεταγμένες συναρτήσεις μιας απεικονίσεως

ναρτήσεις των μεταβλητων Χι, ••• , X n , δείξτε ότι ή Δίνεται στι

f(x)

Ι(υ

i [ :i

;=1

εχουμε

j=1

UjjXj]

f

f(x)

εΙναι γραμμικές όμογενείς συ

εΙναι γραμμική απεικόνιση τοϋ

gj,

+ ν)

καί

Συνεπώς, ή

χ.

f(u)

f(ku)

f εΤναι γραμμική άπεικόνιση, πού ε[ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

+

f(v)

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

139

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑ

7.6.

Ύπολογίστε τό

lim [(X~ Σ-+Ο

. Επειδή ή -f(x)

7.7.

:=

(x~

+ xnel -

+ x~)el

- Xlx2e2 εΙναι συνεχής στό χ:= Ο, εχουμε lim f(x)

Δείξτε δτι ή πραγματική συνάρτηση

εΙ ναι συνεχής στό χ Έχουμε

[/(Χ) -

{

+ X~),

ο,

εάν

χ -:;6 Ο

εάν

χ

=

Ο

=

[Χ[ cos 4(Χ, e2)'

' Επίσης

[[xi 3 cos 4-(Χ, e t ) cos2 4-(χ, e2) [

< •

[Χ[

[χ[2

=..

δ

XlX~/(Xi

ο.

=

[Χ[ cos 4-(Χ, el)' Χ2

χι

1(0)[

<

γιά [Χ[

Συνεπώς, ή ι(χ) εΙναι συνεχής στό Ο.

Δείξτε δτι ή πραγμαίtKή συνάρτηση

{

f(x) δέν εΙναι συνεχής στό χ Θεωρουμε τά

=

xιx~/(X~

Χ2

=h

+ X~),

ο,

εάν

χ -:;6 Ο

εάν

χ

χ:=

h2e}

+ hez,

h "'"

Ο,

πού βρίσκονται σέ μιά περιοχή του ο.

καί

1 2

I/(χ) - 1(0)1 πού δέν μπορεί νά γίνει μικρότερο του

Μιά διανυσματική συνάρτηση

δ

>

Ο τέτοιοι ώστε

If(x)j

Ο

=

ο.

διανύσματα της μορφης

= h2 ,

Έχουμε χι

7.9.

Συνεπώς

f(O).

Σ-+Ο

f(x)

7.8.

xlx2e2].

•

γιά

.:"'Ξ

l'

λέγεται φραγμένη στό Χο, αν υπαρχουν άριθμοί Μ> Ο καί

f

~ Μ γιά Ιχ

- xol

< δ.

'Εάν ή

f

εΙναι συνεχής στό Χο, δείξτε δτι

εΙναι καί φραγμένη στό χο. Παίρνουμε τυχόντα άριθμό

•

>

Ο.

. Επειδή

ή

εΙναι συνεχής στό

f

χο, υπάρχει άριθμός δ

>

Ο τέτοιος

ώστε If(x) - f(xo)1 <. γιά Ιχ - xol < δ. Συνεπώς, αν χρησιμοποιήσουμε τήν άνισότητα lal - Ibl :"'Ξ ja - bl, εχουμε If(x)j :"'Ξ If(xo)[ f Μ γιά Ιχ - xol < δ. VΕτσι άποδεικνύεται ή πρόταση.

+ =

7.10.

' Εάν lim f(x) = f(xo), χ

....

Έπειδή

lim f(x) := f(xo), χ

....

If(x) -f(xo)1

<.

Δείξτε δτι ή

εχουμε

χο

f

είναι συνεχής στό Χο.

γιά κάθε Χ στήν περιοχή Ιχ - xol

<

f

Ιχ - xol

= ftgl + ... + fmgm

_>

δοθέντος

δ.

περιοχή Ο

<

δτι

<

γιά χ στήν περιορισμένη

7.11.

δείξτε δτι ή

χο

Ο ύπάρχει δ

>

'Αλλά στό χ:= ΧΟ

δ.

Δηλαδή ή f

Ο τέτοιο

ώστε If(x) - f(xo) Ι

εχουμε f(x):= f(xo).

<

f

• Επομένως,

εΙναι συνεχής στό Χο'

είναι συνεχής στό χο εάν καί μόνο εάν δλες οί συντε

ταγμένες συναρτήσεις ΙΙ είναι συνεχείς στό χο .

. Υποθέτουμε δτι ή f εΙναι συνεχής στό χο. Τότε γιά [Χ - Χο[ [Χ - Χο[

<

δ

[/;(χ) - lί(ΧΟ)[ :=

δ εΙναι [f(x) - f(xO)[

if(x) - f(xo)[[cos 4-(f(x) - f(xo), gi)[ ~

Συνεπώς οί συντεταγμένες συναρτήσεις lί εΙναι συνεχείς στό Χο.

-

Ι

<

<

Ε.

• Αλλά

γιά

εχουμε

τηση fj, i:= 1, ... , m, εΙναι συνεχής στό χο. Τότε γιά Ιχ < .Im. Συνεπώς, γιά [Χ - xol < δ := min (δ ι, ... , δ m ) εχουμε

[f(x) - f(xo) [

<

f

• Αντίστροφα, υποθέτουμε δτι κάθε συνάρ xol < δι, i 1, ... , m, ε[ναι IΙι(Χ) - Ιί(Χο)[

=

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

140

+ '" + (/m(x) - Im(xo»gml + ... + I/m(x) - Im(xo)\ < 'mE/m

Ι(!ι(χ) - lι(Χο»Ιι

If(x) - f(xoH

I/ι(Χ) - !ι (Χο) Ι

""

=

ο

WΕτσι άποδεικνύεται ή πρόταση.

7.12. ' Εάν lim Ηι(ν ) =. Ο, δείξτε στι lim R(hhuo ) = Ο (u o # Ο). ν_Ο V h-O

ι

Έπειδή (Η(ν)/Ινl) --+ Ο δταν ν --+ ο. εχουμε δτι δοθέντος ο> Ο ύπάρχει δ> Ο τέτοιο ωστε Ι Η(ν)/Ινll IΗ(ν)IΨI

<

<

o/luol γιά ο

<

lνl

δ.

IR(huo)/hi = (IR(huo)\/!huol) IUοl γιά Ο

7.13.

<

Ihuol

<

δ

1'\

ο

<

Ihl

<

δ/lυοl.

<

= •

(o/Iuol) luol

Συνεπώς (R(huo)/h) --+ Ο δταν h --+ Ο.

'Εάν οί διανυσματικές συναρτήσεις τηση

=

'Αλλά τότε

καί

f

εΙναι συνεχείς στό Χο, δείξτε στι καί ή συνάρ

g

εΙναι συνεχής στό χο.

f· g

WΕχουμε

If(x) • g(x) -

f(x o)· g(xo)1

""

If(x) • g(x) -

f(x)· g(xo)1

+

If(x)llg(x) - g(xo)1 Έπειδή ριθμοί

οί

f

καί

g

δ}, δ 2 , δ 3 • Μ

εΙναι συνεχείς στό χο. ή

>

Ο

-=

< -_Ο-Ι

Ig(x) - g(xo)1 Ιχ - χσl

<

= min

δ

If(x) • g(x) -

WΑρα

ή συνάρτηση

f· g

2Ig(xo)

< 2~

(δι, δ 2 • δ 3 )

καί γιά κάθε ο

γιά

Ιχ - xol

<

>

Ο

ύπάρχουν ά-

δι

γιά

Ιχ - xol

< δ2

γιά

Ιχ - xol

< δ3

εχουμε

=

f(xo)· g(xo)1

εΙναι συνεχής στό

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ.

7.14.

f(xo)· g(xoH

Ig(xo)llf(x) - f(xo)1

εΙναι φραγμένη στό χο

Μ

If(x) - f(x o) Ι

γιά

If(x)· g(xo) -

τέτοιοι ωστε

If(x)!

. Επομένως,

+

ο

χο.

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Δείξτε στι ή πραγματική συνάρτηση

{

f(x)

XΙX~/(X~ ο,

εχει κατά κατεύθυνση παράγωγο στό Χ

=

δέν εΙναι συνεχής στό Χ

Du/(O)

=

+ X~),

=

έάν

Χ

"i= Ο

έάν

Χ

=

Ο

Ο γιά κάθε κατεύθυνση.

Ο, σπω ς δείξαμε στό Πρόβλημα

~ Ας σημειωθεί στι ή

f

7.8.

1im 1(0 + h~ - 1(0) h ... O

·Οταν

u}

= Ο,

δηλαδή δταν

u

Du/(O)

= u2e2' =

εχουμε

lim 1(0

+ hu)

h ... O

- 1(0)

h

WΕτσι, ή Ι εχει παράγωγο στό Ο γιά κάθε κατεύθυνση. πρός u.

Δέν συμβαίνει δμως τό ϊδιο δταν ή f

μική ώς πρός

u.

lim

h_O

Ο

=

Ο

Σημειώνουμε δτι ή Du/(O) δέν εΙναι γραμμική ώς

εΙναι παραγωγίσιμη, γιατί τότε ή Duf

= df(u)

εΙναι γραμ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.7

7.15.

141

Βρείτε τήν παράγωγο της

x2)el

+

κατά τήν κατεύθυνση

Uo

(Χι Βίη

f(x)

+ (7Γ/4)e2

στό χο = (7Γ/2)eι

Έπειδή οί μερικές παράγωγοι της ε[ναι παραγωγίσιμη.

(Χ2 Βίη

xt)e2

= (1/V5)et

+ (2/V5)e2'

εΤναι συνεχείς συναρτήσεις, άπό τό Θεώρημα

f

Συνεπώς μποροϋμε νά χρησιμοποιήσουμε τήν εξίσωση

iJf

=

«sin x2)et

+ (Χ2 cos xt)ez)u t +

+

Χι

7.8

επεται δτι ή

f

δπότε εχουμε

ίJf

df(x)(u)

-σ ul

(7.2),

-σ u2 Χ2

«Χι

cos x2)eI

+

(sin x t )e2)u2

Συνεπώς

7.16.

Γιά καθεμιά από τίς παρακάτω διανυσματικές συναρτήσεις του Ε2 στόν Ε3 βρείτε (ί) τό σύ νολο

V

στό όποίο ή

τάξη της

df

στό

f(x) (b) f(x) (ϊ)

(ϊϊ)

• Η f(x) f ε[ναι

!Χι

+ X2!gt

στό Υ, (ίίί) τήν

+ (Χι sin X2)g2 + X2g3 + !Χι - X2!g2 + g3

=

(Χι

+ (Χι

cos x2)gI

sin

X2)g2

+ x2g3

εχει συνεχείς παραγώγους γιά κάθε χ.

Συνεπώς, ή

συνεχώς παραγωγίσιμη σέ δλο τό Ε2.

Τό διαφορικό της

ε[ναι

f ίJί

df

+

-σ dxt Χι

[(COS X2)gI

(iii) . Ο

f

(Χι COS X2)gt

(α)

(α)

εΙναι συνεχώς παραγωγίσιμη, (ίί) τό διαφορικό της

f

V.

πίνακας της

σί

-σ dX2 Χ2

+ (sin X2)g2]

dxl

+

[(-Χι sin X2)gt

+ (Χι

COS

X2)g2

-+- g3]

dX2

ε[ναι

df

'Επειδή

[ det (:::::

-;: ::: ::)

x~

cos2 Χ2

+

επεται δτι ή τάξη της

(6)

(ί)

• Η συνάρτηση f(x)

Τ+

=

+

ε[ναι

df

[det

(co~ Χ2 -Χι s~n Χ2) Τ + =

sin 2 ΧΖ 2

+

1

>

(si~ ΧΖ χι c~s Χ2 )Ι

Ο

σέ κάθε χ του Ε2.

+ x21gt + Ιχι - x21g2 + g3 + Χ2 -# Ο καί Χι - Χ2 -# Ο.

ιχι

χείς παραγώγους δταν χι

x~

[det

εχει συνε Δηλαδή, ή

f εΤναι συνεχώς παραγωγίσιμη στά τέσσερα άνοικτά σύνολα {Χι

+ Χ2 >

Β

{Χι

+ Χ2 < Ο

καί Χι - Χ2

C

{Χι

+ Χ2 < Ο {Χι + ΧΖ > Ο

καί Χι - ΧΖ

Α

D

πού φαίνονται στό Σχ.

Ο καί Χι - Χ2

καί Χι - Χ2

Ο} Ο} Ο} Ο} Σχ. 7 - 1Ο

7-10.

+ Χ2' Ιχι - Χ21 = χι - Χ2 καί τό df = (gl + g2) dxt + (gl - g2) dX2 εχουμε IΧι + Χ21 = -Χι - Χ2' Ιχι - Χ2ί = χι - Χ2 καί df = (-gl + gz) dxt - (Ιι + (2) dX2

(ii) Γιά τό τυχόν χ στό Α εχουμε Ιχι

Γιά τό τυχόν χ στό Β

> > < <

+ Χ21

=

χι

διαφορικό εΤναι

142

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Γιά τό τυχόν Χ στό C εχουμε IΧι

=

df

(ϊiί)

+ Χ21 = -Χι + g2) dxl +

-(gl

Γιά τό τυχόν Χ στό D εχουμε

Ixl

+ Χ21 =

df

=

(gl -

.Ο

πίνακας της

Χ2. Ιχ ι - Χ21

=

-Χι

+ Χ2

καί

+ g2) dX 2

(-gl

+ Χ2. Ixl - Χ21 g2) dxl + (gt + g2) dX 2 χι

-χι

+ Χ2

καί

df σέ κάθε περίπτωση εΙναι Β

Α

D

C

1) (-1 -1) -1 (-1-1 -1)1 (1-1 11) (1-11 00

.Η

7.17.

'Έστω

Χ

=

τάξη της

f = !IgI

xIel +

df

σέ κάθε σύνολο εΤναι

+ !2g2 + !3g~

X2e2.

00

00

00

2.

μιά διανυσματική συνάρτηση του Ε2 στόν Ε3 παραγωγίσιμη στό

Δείξτε δτι ή τάξη της

df

στό Χ εΙναι

2,

εάν καί μόνο εάν

::1 χ ::2

#

ο.

'Έχουμε

ίJI3 ίJI 2 )gl + (ίJ I3 ίJΙ ι

ίJI3 _ ( ίJI2 aX2 ίJxι

ίJx2

ax I

ax!

'!.Δ. ίJ f 3 )gZ + (ίJ I I ίJI 2

_

ίJx ι ίJx2

ίJx 2

_

axl aX 2

ίJI2 aJl )g3 axl aX2

Παρατηρουμε δτι οί συντεταγμένες συναρτήσεις της ~ι χ ~ εΤναι, αν δέν λάβουμε ύπόψη μας τό πρόσημο, οί τρείς

2

χ

2

ελάσσονες όρίζουσες του πίνακα

"Επεται λοιπόν δτι ~ χ i!!.. ίJxι

ίJx2

#

ax l

ίJx2

ίJ/ 2

ίJI2

ίJxl

ίJX2

aj3

ίJΙ3

ίJxι

ίJX2

Ο εάν καί μόνο εάν μία τουλάχιστον άπό τίς '

σες δέν μηδενίζεται. δηλαδή εάν καί μόνο εάν ή τάξη της

7.18.

Έάν μιά διανυσματική σύναρτηση

f

τήν εξίσωση

(7.2)

της σελίδας

εΙναι

χ 2 ελάσσονες όρίζου-

2.

εΙναι παραγωγίσιμη στό Χο, δείξτε ότι ύπάρχει άριθμός

Μ """ Ο τέτοιος ώστε Idf(i~1(V)1 "'" Μ γιά κάθε • Από

df

2

127

v#

Ο.

εχουμε

Ι df(x(j)(V) Ι

lνl

πού εΤναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

i

r

Κ Ε Φ.

7.19.

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

7

' Εάν στό

ή

διανυσματική

συνάρτηση

εΙναι

f

παραγωγίσιμη

143

στό Χο, δείξτε ότι εΙναι

συνεχής

Χο •

. Επειδή

ή

f εΙνάι παραγωγίσιμη στό χο, έχουμε

+ ν)

f(xo η, αν θέσουμε

=

ν

χ -

=

f(x) δπου

=

+

f(xo)

+

df(xo)(V)

R(xo, ν)

Χο,

+

f(xo)

df(xo)(x - Χο)

(R(xo, χ -- Χο)/Ιχ - xol) ..... Ο δταν χ .... χο.

+

Idf(xo)(x - Χο) Idf(xo)(x - Χο)1

Ι

-

χ

Χο

Ι

Γιά

+

R(xo, χ - Χο)

χ # χο επεται δτι

R(xo, χ - Χο)1

Ιχ - xol

IR(xo, χ - Χο)1

Ιχ -

+

Χο

Ι

(Μι

Ιχ - xol

+ M:J Ιχ -

χσl

δπου χρησιμοποιήσαμε τό άποτέλεσμα του Προβλήματος 7.18 καί τό γεγονός δτι ή R(xo, χ - Χο)/Ιχ - xol εΙναι

φραγμένη

σέ

Συνεπιος, εχουμε

μιά

περιορισμένη

<.

!f(x) - f(xn)j

περιοχή του

γιά

0<

jx - Χο!

χο. επειδή

<

./(1Ι1 ι

(R(xu, χ - Χο)/lχ - xol) .... ο

+ 1112)'

. Αποδείξτε

τό Θεώρημα 7.7(ίίί):

γίσιμες στό χ, τότε ή Θεωροϊ)με τή

Rlx,

f(x }

ν)

+ ν)

• g(x

f"x

-+

g

"ll

ν)

+ ν)

[fIx

-+

(ΙΙ(χ)(ν)

.1

!R.,(x, ν):

-----

lιm

lim·

ν ... Ο

lν!

.. -+0

-+-

f(x) • g(x) __ ο g(x) -

f καί g εΙναι παραγω d(f·g)=f·dg+(df)·g.

lνj

g(x)

dg(χ)(ν)]

+

[f(x

+ ν)

- f(x)] • dg(x)(v)

εχουμε

R l (Χ, ν Ι

=

άί(χ)(ν)'

f(x)' dg(x)(v) -

f(x) - ιΗ(χ)(ν)] • g(x)

-

εΙναι παραγωγίσιμες,

ν) =c f(x)

ΙΚι(Χ,

.

όπου

καί

+ ν)

• [glx

+ f

οί διανυσματικές συναρτήσεις

συνάρτηση τοϊ) ν

ν)

f(x

'Επειδτ\ οί

' Εάν

εΙναι παραγωγίσιμη στό χ καί μάλιστα

f'g

χ ..... χο.

όπότε ή f(x)

χ-+ χο

εΙναι συνεχής στό χο.

7.20.

δταν

lim f(x) = f(xo),

Δηλαδή

Ο.

καί

g(x

+ ν) =

g(x)

+ dg(x)(v) + R:!(x, ν)

'Έτσι, αν άντικαταστήσουμε τά άναπτύγματα στήν παραπάνω

σχέση, εχουμε

jR(x,v)j

Ι f(x

ίνl

+ ν) • Rz(x, ν) +

If(x + ν)1

• Αλλά

ή

f(x

+ ν)

•

lνj

+

+

ΙΚι(Χ, ν)Ι

Ig(x)1

lνl

[f(x

+

+ ν)

- f(x)] • dg(x)(v) I/lνl

If(x + ν) - f(x)l

7.18 επεται δτι καί ή Idg(x)(v)I/lvl

. IRl(x, ν)Ι 11m

.,

'Υ-+Ο

= Ο.

. 11m

I~(x, v)1 Ι Ι

=Ο

"λ

και τε ος

τήν άρχική σχέση έχουμε f(x

+ ν) • g(x + ν)

ν

=

δπου lim R(X ,ι ) = Ο. Συνεπώς ή τύπο d(f· g)

7.21.

jv

= f· dg

+

f(x)' g(x)

f· g

+

f(x)' dg(x)(v)

του χ δρισμένη

+

Ο ~

t

~

1,

(Σχ.

εΙναι συνεχής

Ι·1m

If( Χ +v) - f()1 χ

lim ...... 0

'Επίσης,

= ο" , ..πει δ'η

ή

f

ιv

ΙΚ(Χ 'lν)Ι = Ο. "Ετσι άπό

df(x)(v)' g(x)

+

R(x, ν)

εΙναι παραγωγίσιμη στό Χ καί τό διαφορικό της δίνεται άπό τόν

ΗΕστω! μιά πραγματική συνάρ

σέ ενα άνοικτό σύνολο του Ε καί

= Χο + tvo, 7-11). Δείξτε δτι ύπάρχει t o, 0< t o < 1, τέ τοιο ωστε !(χο + vo) = !(χο) + Dvσf(xo + tovo). παραγωγίσιμη

f

(df)' g.

Θεώρημα της μέσης τιμης.

τηση

lνl

εΙναι φραγμένη γιά κάθε ν # Ο.

Ivl 9'-+0 V v-+O εΙναι συνεχής στό Χ. Μετά άπό αύτές τίς παρατηρήσεις προκύπτει τελικά δτι

.""0

Idg(x)(v)Ι

εΙναι φραγμένη γιά κάθε ν πού άνήκει σέ μιά περιοχή του ο, επειδή ή

στό Χ, ενώ άπό τό Πρόβλημα οπως αναφεραμε,

jR2 (x, ν)Ι

g(x)' Κι(Χ, ν)

σέ κάθε σημείο τής ευθείας χ*

Σχ.7-11

Θά δείξουμε πρώτα δτι ή συνάρτηση F(t).= !(Χο + Ινο) εχει παράγωγο σέ κάθε Ο "" t "" 1 καί μετά θά εφαρμόσουμε τό θεώρημα τής μέσης τιμής γιά συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. 'Επειδή ή f εΙ·

144

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΙΉΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

ναι παραγωγίσιμη κατά μήκος τής εύθείας χο άπεικόνιση

ε{ναι γραμμική ώς πρός

df

+ h)

F(t

- F(t)

ξέρουμε δτι

D

Ι(

"ο

Χο

)

= D"f(xo + tvO)

df(xO + tVO)(V)

Dh"o f(xo + tVO) + R(xO + tVO' hvO)

+ tvO +

h

R(xo + tvO' hvO} h

R(xo + tVO' hvO) . R(xo + tvo. hvo) jh j Ο καί άπό τό Πρόβλημα 7.12 11m k Vo /ι-ο χει ή F'(t) γιά κάθε Ο "'" t "'" 1 καΙ δίνεται άπό τήν δπου

=

lim

Ιιν.-Ο

lim F(t + h} - F(t)

F'(t)

• Από Ο

καί δτι ή

Συνεπώς

v.

f(xo + tvo + hvO) - f(xo + tVO) h

=

h

+ tvO'

ΚΕΦ.7

/ι-ο

k

=

D

yo

f(xo

Ο.

'Έπεται δτι ύπάρ-

+ tvo)

τό θεώρημα τής μέσης τιμής γιά πραγματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε δτι ύπάρχει t o•

< to <

= 1<'(0) + F'(to) 1'\ f(xo + vo) = f(xo) + D vo f(xo 4- tovo)

1. τέτοιο ώστε F(l)

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

7.22.

νΕστω Υ

=

(X~

+ x~)el + xlx~e2.

χ

= (ul cos u2)el + (ul sin U2)e2.

Βρείτε (α)

παραγώγους iJYt/iJul. iJY2liJut, iJYl/iJU2 καί iJY21iJU2 ώς συναρτήσεις του

dy (α)

ώς συνάρτηση του ίJyι ίJx ι

ίJyι

ίJY2

2χι

ίJY2 ίJxι

ίJY2 ίJx2

ίJxι ίJul

ίJx2 ίJu l

ίJyι

ίJyι ίJxι

ίJyι ίJx2

--+--

ίJu2

. ίJx! ίJu2

ίJY2

ίJY2 ίJx!

ίJx2

+

COS u 2

2Χ2

=

sin u2

2u l COS2 u 2 +

x~ COS U2 + 2ΧΙΧ2 sin u2 u~ sin 2 U2 cos 1Ι2 + 2ui COS u2 sin 2 u2

--+--

ίJu}

-+ ίJxι ίJu2

•Άλλη Υ

μερικές

-2x l u l sin U2

du2

+

ίJY2 ίJx2

-x~u} sin u2

ίJx2 ίJu2

+

sin 2 u2

2ιι ι

2ul

31ti COS 1Ι2 sin 2 1(2

2x2ul COS 1Ι2

Ο

- 2ui COS u2 sin u2 + 2ui COS u2 sin u2

ίJu2

τίς

τό διαφορικό

u.

ίJyι ίJx2

--+-ίJx ι (lttI ίJx2 ίJu l

ίJut

u, (b)

-u~ sin 3 U2

2XlX2U! COS U2

+

2u~ cos2 U2 sin u2

u~ (sin u2)(2 cos 2 U2 - sin 2 u2)

μέθοδος

=

(ui COS2 U2

ui sin 2 u2)et + (u~ COS u2 sin 2 u2)e2

+ ίJyι -ίJ

u}

=

2ul.

ίJY2 -ίJ

u}

=

2

=

u~el + (u~ COS u2 sin 2 u2)e2 ίJyι

.

3u } COS U2 Sln 2 u2,

ο

u~ (sin u2)(2 COS 2 U2 - sin 2 U2)

(b)

dy

= ίJίJu!Y dul

+

Y ι el +ίJίJY2 e ) ίJίU2 J Y dU2 = (ίJίJu! 2 u}

du} +

Y ι e} + ίJίJY2 e ) (ίJίJu2 2 u2

= (2ule} + (3ui COS U2 sin 2 u2)e2) du. + u~ sin u2(2 cos2 U2 7.23.

'Εάν Υ

= f(x)

δείξτε δτι ή νόμενο της

καί

w

= g(y) της

g

στό

iJ(wt, ••• ,

w n)

σ(χι,

sin 2 u2)e2 dU2

εΙναι παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις του Ε στόν Ε,

Ίαιcωβιανή της σύνθετης συναρτήσεως

, Iαιcωβιανης

-

dU2

... , x n )

f(x)

w = h(x) = g(f(x» στό χ εΙναι ' Iαιcωβιανή της f στό χ, δηλαδή iJ(Wl, •.. , Wn) ο(Υι, ... , Yn) ο(Υι, ... , Yn) ο(Χι, ... , x n)

τό γι

μέ τήν

Ύπενθυμίζουμε στι ή δρίζουσα τοϋ γινομένου πινάκων ε[ναι τό γινόμενο των όριζουσών των πινάκων,

= (aj;)(bij), τότε det (Cij) = det (aij) det (b jj ). Έπειδή ό Ίακωβιανός πίνακας τής σύνθετης i i w = h(x) εΙναι ( -ίJW ) = (iJWi) -σΥ; (σΥ') -', fnEtat στι det (iJW -σ- ) = det (ίJW.) - ' det (ίJY;) , πού ε{σχ; σχ; Χ; σΥ; σχ;

δηλαδή, αν (Ci;) συναρτήσεως

ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

1-

ΚΕΦ.7

7.24.

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

~Eστω Υ ξη της

= f(x)

σι.

Δείξτε δτι

(α)

ή Υ

(b)

Ι dy 12

= f(x(t))

dt

(α)

μιά διανυσματική συνάρτηση του Ε2 στόν Ε3 κλάσεως

νά εΙναι

df

γιά κάθε χ καί εστω χ

2

σχι

σχι

dt

dy/dt

νά δείξουμε δτι

κάθε

t

= Ddx/dtf -:F

• Αναπτύσσοντας

(b)

ή

dy/dt -:F

γραμμική

σΧ2

dt

= f(x(t»

σΥ dxl σχι dt

dy _ -dt γιά

τέτοια ισστε ή τά

Ι ~ 12 (d X l)2 + 2(σΥ. σΥ) dxl dX2 + Ι ~12 (d X 2)2

=

. Απομένει

Cl

μιά κανονική καμπύλη στόν Ε2 κλάσεως

εΙναι μιά κανονική καμπύλη στόν Ε3 κλάσεως Cl,

• Από τό Θεώρημα 7.10 επεται δτι ή Υ

ότι

= x(t)

145

Ο.

σΧ2

dt

εΤναι κλάσεως

σΥ dX2

+ -σΧ2

=

-d t

Έπειδή ή τάξη της

απεικόνιση

dt

του ν εΤναι

Dvf

καί δτι

Cl

Ddx/dtf εΤναι

df ι-ι.

2,

από τό Θεώρημα 7.2(ί) επεται

Έπομένως, έπειδή

dx/dt -:F

Ο, εΤναι

Ο.

τήν παραπάνω εκφραση εχουμε

Ι ddYt \2

(jx.

(dY . dY) dt dt

dxl dt

οΧι

(::ι .::ι)(~ΙY

+

+ οΥ

ΟΧ2

(jx... dxldt + jL dXdt

dX 2) . dt

2)

οΧι

ΟΧ2

υ:ι .::2) d:Ιι ~2 +

2

(::2' ::2) (d: 2 t2 )

πού εΤναι τό ζητούμενο αποτέλεσμα.

7.25.

Άποδείξτε τό Θεώρημα

'Εάν ή διανυσματική συνάρτηση

7.10:

καί ή διανυσματική συνάρτηση

συνάρτηση

δπου

Lx

h = gοf

εΙναι παραγωγίσιμη στό

g

f

εΙναι παραγωγίσιμη στό χ

τότε ή σύνθετη διανυσματική

f(x),

εΙναι παραγωγίσιμη στό χ καί τό διαφορικό της εΙναι Η χ

εΙναι τό διαφορικό της

στό χ καί Mf(x) εΙναι τό διαφορικό της

f

g

= Μιω ο L x , στό

f(x).

Πρέπει νά δείξουμε δτι

h(x + ν)

όπου lim R(x, ν)

= Ο,

lνl

v ... O

• Επειδή

. Επίσης,

lνl

g(f(x) .

υ ... Ο

ή

Rz(f(x), υ) -

IUI

Ο

-.

+

R(x, ν)

+

g(f(x»

Mf(x) (Lx(V»

=

επειδή ή

+ υ) =

+

f(x)

g

Lx(V)

R(x, ν)

+

Rl(x, ν)

εΤναι παραγωγίσιμη στό

+

g(f(x»

f(x),

Mf(x) (u)

+

Rz(f(x), υ)

=

f(x + ν) -

f(x)

=

+

Rl(x, ν)

Lx(V)

καί χρησιμοποιώντας τό γεγονός δτι ή Μ

g(f(x + ν»

+

εχουμε

Θέτουμε τώρα u

· Αντικαθιστώντας

(M f ( χ) ο Lx)(V)

εΤναι παραγωγίσιμη στό χ, εχουμε

f

f(x + ν)

• Ι·1m Rl(x, ν) _- ο. οπου --

όπου lim

=

g(f(x + ν»

lνl

v ... O

+

ή ίσοδύναμα

δπου lim R(x, ν) == ο. V"'O

h(x)

=

+ +

g(f(x» g(f(x»

Μ ιω (Lx (ν) Μ ιω (Lx(v)

εΤναι γραμμική, εχουμε

+ Rl(x, ν» + Rz(f(x), υ) + Μιω (Rl(x, ν» + Rz(f(x), υ)

"Ετσι απομένει νά δείξουμε δτι

.

· Από

τό Πρόβλημα

IMf(x) (Rl(x, ν)

• Αλλά lim IRt (χ, ν) Ι

""'0

u

=Ο

καί

IVI

7.18

+

Ι Ι

Ivl

Rz(f(x),u)1

ν

_

ο

-

επεται δτι ύπάρχει σταθερός θετικός αριθμός Κ τέτοιος ώστε

Rz(f(x), u»1

= Ο, έπειδή ή

IRz(f(x), υ)\

+

IMf(x)(Rl(x,v»

11m

" ... 0

~ f

KIRl(x, ν)

εΤναι παραγωγίσιμη στό Χ.

IRz(f(x), υ)1 lul

---,-...,.-- -ΙΙ

IUI

+ Rz(f(x), υ)\

v

όταν

.

u -:F Ο.

~

+

Κ IRz(f(x), u)1

Επίσης εχουμε

Rz(f(x), υ) =

Κ IRt(x. v)1 •

Ο όταν

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΙΉΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

146 • Ακόμα,

έπειόή ή

uτι

ή -IUI

U .... Ο

όταν

v ....

!{

γίσιμη στό

Ivl

f(x)]

ε{ναι παραγωγίσιμη στό Χ, άπό τό Πρόβλημα 7.18 καί τό γεγονός στι

f

επεται

"

ΚΕΦ.7

=

Ο

+ Κι(Χ, v)1

ILx{v)

καί

έπειδή

101

ή

φραγμενη

εΙναι φραγμένη καί

-

~1

εχουμε ότι

"'θ' για κα ε v σέ καποια

{

ε ναι

Ivl

.

11m

υ-Ο

lim

I~(f(x), u)1

1

υ-Ο

U

=Ο

Ι

IR2 (f(x), u)1 Ivl

lim "-ο

περιοχή

[γιατί ή

IKI~Xί V>! = ο v

_ . Επει δ'η

του Ο.

g ε{ναι παραγω-

ο

Χρησιμοποιώντας σλα τά προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι

+

. M f , χ) (Κι(Χ, ν)) 11m

R 2 (f(x), υ)

Ο

Ivl

ν_ο

Έτσι άποδεικνύεται τό θεώρημα.

ΔIΑΝΥΣΜΑΤιΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΛΑΣΕΩΣ

Cm.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΝΤιΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ

7.26.

Βρείτε τίς παρακάτω παραγώγους τής διανυσματικής συναρτήσεως f(x)= (x~ x2e Uo

Xι

g3 στό χο

= el + e2

=

καί

vo

el -

02f

(α)

e2:

= el -

ΟΧιΟΧ2 =

(α) a2f/axt aX2,

(b)

a3f/axi aX2, (c)

D;ouof

+ xngI + xIe X2 g2+

κατά τίς κατευθύνσεις

2e2. ii

[of 1

οΧ! oX 2 .J

(b)

(c)

D~u f(x)

if2f -2UlV} ΟΧ ι

(2ι ι

7.27.

"Εστω w =

+

if2f

~(1ιιυz υΧ ι

Χ2

+ x2eXlg3)UIV! +

+ 1Ι2υι) +

(e X2 g z

ίJ2f 2U2V2 ΟΧ2

+ eXlg3)(ulV2 + U·zVt) +

g(Yt, Υ2), Υι = Υι(Χι, Χ2), Υ! = Υ2(ΧΙ, χ!).

(2g } + xlex2g2)I.l~V2

Δείξτε ότι

a2w

[σ: ι (:~) ] ::: + :~ σ:~~2 + [σ: ι (:;:) ] 02w σΥι [ uyi σχι

o2w

σΥ2] σΥι

ow

::: +

σ2Υ1

+ σΥ! σΥ! σχ! σΧ2 + σΥ} σχ! σχ! ίI2w

σΥ!

Q2w σΥ2] σΥ2

ίIw

σ2 Υ2

+ [ σΥι σΥ2 σχ! + aYi σχ ι σΧ 2 + σΥ2 σχ! σΧ 2 πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

:;:

if::~~2 .

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.7

7.28.

147

Δείξτε δτι ή διανυσματική συνάρτηση

=

f(x)

+

(e%I cos X2)el

(e%I sin X2)e2

ίκανοποιεί τίς συνθήκες τοϋ θεωρήματος τής άντίστροφης συναρτήσεως στόν Ε2 άλλά δέν εΙ ναι

ι-ι

στόν

Ε2.

Προφανώς, ή

f

ε{ναι κλάσεως

J(f)(x) γιά κάθε

7.29.

Χ.

Cl

det

Έπειδή όμως

f(x

στήν Ε2. eXI ( eXI

cos Χ2

-ex.

Χ2

eXI

Sin

+ 2πe2) = f(x)

Ύ ποθέτουμε' δτι ή άπεικόνιση Υι

Έπίσης

Sin Χ 2 ) cos Χ2

επεται ότι ή συνάρτηση αύτή δέν ε{ναι ι-ι

= /ι (Χι, Χ2),

Υ2

= /2(ΧΙ, Χ2)

= Ρ ι (Υι,Υ2),

aF I

1 a!2

J

aYI . Από

Χ2

= Ρ 2 (Υι,Υ2). 1

aF 2

aX2'

iJYI

J

-

a/2 aXt'

'Εάν

άπεικόνιση δίνεται

J= a(/t, /2)IiJ(Xt, Χ2), δείξτε στι

aFI

1 iJ/t

iJY2

Ε2.

ίκανοποιεί τίς συνθήκες τοϋ θε

ωρήματος- της άντίστροφης συναρτήσεως καί άκόμα δτι ή άντίστροφη

άπά τίς σχέσεις χι

στόν

J

-

1 a/t

iJF 2

ι3Χ2'

J

iJY2

aXl

τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως εχουμε

af

iJYI

1

iJYI

=

Ο

iJF

iJf

iJF

I I t -+ -2 iJx iJYI iJx iJYt

Ο

iJf l iJF I iJf l iJF 2 -+ iJx l aY2 iJx 2 iJY2

1

l

iJYI

iJY2

iJf

iJY2

2

iJY2 iJY2

2 2 - I+iJx-2 iJxt iJY2 aY2

~~) iJx2

',t ( :

iJf 2 iJx2

2

iJf

iJYt

det

Γ

iJxl

iJx 2

iJf2

'Ι') iJf2

axl

iJx 2

iJF 2 aYl

det

Μέ όμοιο τρόπο βρίσκονται οί παράγωγοι

iJF l /iJY2

καί

iJF2/iJY2

iJF

iJf

iJF

2

iJF l/iJYt

καί

Γ ",:)) Γ

det 1 iJf2 J iJX2'

iJF

2 I 2 -+ -2 iJxl iJYt iJx iJYt

Λύνοντας τό σύστημα τής πρώτης καί τής δεύτερης εξισώσεως ώς πρός

iJF I

iJf

iJF

iJYI

βρίσκουμε

iJF 2/iJyl

iJx t

iJf2 iJx l

iJxt

iJx 2

iJf2

iJf2

iJxt

iJx2

1 iJf2

- J

οΧι

καί ετσι συμπληρώνεται ή λύση τοϋ προ-

βλήματος.

'Άλυτα Προβλήματα 7.30.

Δείξτε δτι ή Υ

= COS xtgl + sin x t g2 + x2g3

τοϋ κυκλικοϋ κυλίνδρου πού εχει άξονα τόν

7.31.

Δείξτε

στι

Χ2

< 2π

0<

7.32.

ή

Υ

άπεικονίζει τή λωρίδα Ο "'" Χι Υ3 καί άκτίνα

<

2π,

-00

<

τή

μισή

Χ2

<

= sinh χι sin x2g1 + sinh χι cos Xzg2 + sinh xlg3

άπεικονίζει

Δείξτε δτι ή τάξη τής γραμμικής άπεικονίσεως

εΙναι

=

2xl

+ Χ2 -

Χ3,

Υ2

=

ΧΙ -

Χ2 -

ι-ι καί επί

λωρίδα χι ~ ο,

επί ενός κυκλικοϋ κώνου πού εχει άξονα τόν Υ3'

Υι

00,

1.

2Χ3,

Υ3

2 καί προσδιορίστε τό επίπεδο του Ε3 επί τοϋ όποίου βρίσκεται τό πεδίο τιμών της.

7.33.

ΚΕΦ.7

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

148 • Αποδείξτε

τό Θεώρημα

7.1(ii):

Μιά γραμμική άπεικόνιση f f εΤναι 2.

του Ε3 στόν Ε3 άπεικονίζει τόν Ε3 επί ένός

Μιά γραμμική άπεικόνιση

του Ε2 στόν

επιπέδου του Ε3, Εάν καί μόνο Εάν ή τάξη τής

7.34.

• Αποδείξτε

τό Θεώρημα

7.2(ii):

εύθείας του Ε3, εάν καί μόνο Εάν ή τάξη τής

εΤναι

f

{ ΧΙ sin I/Χ2 + Χ2 sin Ι/Χι,

=

f

Εάν ΧΙΧ2"'" Ο

7.35.

Δείξτε δτι ή

7.36.

Έάν f εΤναι μιά γραμμική άπεικόνιση του Χ, δείξτε ότι ύπάρχει Μ

7.37.

Έάν οΙ διανυσματικές συναρτήσεις

7.38.

L

καί

, Εάν

εΤναι συνεχής στό

=Ο >

Ο τέτοιο ώστε If(x)l

εΤναι συνεχείς στό Χ, δείξτε ότι καί ή

g

εΤναι συνεχής σέ ενα συμπαγές σύνολο

εάν καί μόνο εάν

lim fi(?f.}

lim f(x) .... χο

=L

Μ, δείξτε δτι

Iim g(x)

καί

Έάν f

7.42.

Βρείτε τήν παράγωγο της f(x) e2)/V2. 'Απ. Ο

= 1, ... ,m,

lim f(x)' g(x}

Χ-+ΧΟ

7.41.

ί

L i,

][ .... χο

.... χο

= Llgt + ... + Lmgm· χ

7.43.

f

εάν ΧΙΧ2

V,

f

+g

<

χ

= Ο.

Μ Ixl γιά κάθε Χ.

ε[ναι συνεχής στό Χ.

δείξτε δτι ύπάρχει Μ

χ

....

στό χο

f

= Iιgt + ... + fmgm

'Απ. (α) Χι"'" ±Χ2, (b) -8XΙX2(X~

εΤναι συνεχής στόν Ε.

κατά τήν κατεύθυνση Uo

= (X~ + x~)-lel + (X~ -

= (el-

x~)-le2 ε[ναι

=

(Χι sin Χ2 cos

+ (ΧΙ

X3)et

'Απ.

= 2 + 2ν ι + 2v2,

Υι

Υ2

χο

= -1 -

+ x~)el

= el + e2'

νι - 2v2, Υ3

- xlx~e2

(ΧΙ cos X2)e3

πού δρίζεται άπό τήν εξίσωση

+ x2x~e3

= 1 + 2υι + v2

Δείξτε δτι ή Ίακωβιανή μιας διανυσματικής συναρτήσεως

f·

του Ε3 δίνεται άπό τό μικτό γινόμενο

af af afJ [ aX l aX2 aX3

J(f)

Έάν οΙ διανυσματικές συναρτήσεις f καί g εΤναι παραγωγίσιμες στό Χ, δείξτε δτι f g εΤναι παραγωγίσιμη στό Χ καί d(f g) = df dg,

(α) ή

+

+

+

(b) ή f χ g εΤναι παραγωγίσιμη στό Χ καί d(f χ ι) = (df) χ g

Wl

7.48.

+

Βρείτε τήν εξίσωση του εφαπτόμενου εttιπέδου στήν επιφάνεια το\> Ε3

Υ = (X~

7.47.

sin Χ2 sin X3)e2

3.

στό σημείο (πού άντιστοιχεί στό)

7.46.

x~)-2

Προσδιορίστε τό σύνολο των σημείων (ΧΙ, Χ2, Χ3) στά όποία ή τάξη τής άπεικονίσεως

f(x)

7.45.

+ x~)-2(x~ -

"Εστω

w2 {

Άπ.

w3

=

= =

Υι

+f

χ dg.

+ Υ2 + Υ3

ΥιΥ2

καί

ΥιΥ3

xlx~x=e%.+%3 (ΧΙΧ2Χ3 - e%. - e%3)

καί

L·M.

= el + e2

Προσδιορίστε (α) τό σύνολο των σημείων (ΧΙ, Χ2) στά όποία ή f(x) (b) τήν Ίακωβιανή τής f.

εΤναι

Ο

][ο

εΤναι μιά Ύραμμική άπεικόνιση όρισμένη στόν Ε, δείξτε δτι ή f

= Xlx2et + (X~ + x~)e2

δπου

συνεχως παραγωγίσιμη καί

7.44.

""

If(x)l ~ Μ γιά κάθε Χ στό V.

lim f(x) = L,

Δείξτε δτι

Ζ

7.40.

Ο,

Έάν ή διανυσματική συνάρτηση f τέτοιο ώστε

7.39.

f(x)

Ε3 άπεικονίζει τόν Ε2 επί μιας

1.

Προσδιορίστε τήν

a(Wt,W2,W3) a(xt, Χ2, Χ3)

ΚΕΦ.7

7.49.

Βρείτε τίς παρακάτω παραΎώΎους της συναρτήσεως

d2 f

(α) "Χι dX2 ' 'Απ.

7.50.

149

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

(α)

Έάν w

(b)

d3 f

"Χι "x~'

(c) D vOuO ί,

f(x)

= (Χι + XZ)Zel + χι sin Xzez

κατά τίς κατευθύνσεις

Uo

= el + 2e2 καί

στό Vo

χο

= el

+ ".e2:

= e} - e2'

2el - e2, (b) Ο, (c) -e2

=

(Υι

+ Y2)el + eY , +Y2e2

καί Υ

=

xlx~el

+ Xix2eZ'

βρείτε τήν dZV)!dXl dXz χρησιμοποιώντας τόν κα

νόνα παραΎωΎίσεως σύνθετης συναρτήσεως.

'Απ. (2Χ2 + 2xl)el

7.51.

+

eY , +112 ί(x~

+ 2xιxz)(x~ + 2ΧΙΧ2) + (2Χ2 + 2xl)]e2

Δείξτε ότι ή f(x) = (x~ - X~)el

+

Xlx2eZ ίκανοποιεί τίς συνθήκες του θεωρήματος τής άντίστροφης συναρ

τήσεως σέ κάθε σημείο χ έκτός άπό τό σημείο χ

7.52.

=Ο

καί ότι δέν εΙναι 1-1 στό σύνολο αύτό.

Δείξτε ότι ~ συνάρτηση Ι(Χ)

=

ίκανοποιεί τίς συνθήκες του θεωρήματος τής άντίστροφής συναρτήσεως σέ κάθε χ του Ε3

1 + χι 'Απ.

7.53.

+ Χ2 + Χ3 ~

Δείξτε ότι ή

f

γιά τό όποίο

εΙναι 1-1 στό πεδίο όρισμου της καί βρείτε τήν Ι-Ι(χ}.

Ι-Ι(χ)

Έάν ή

f

ίκανοποιεί τίς συνθήκες του θεωρήματος τής άντίστροφης συναρτήσεως σέ ενα άνοικτό σύνολο

του Ε, δείξτε στι

7.54.

Ο.

J(f-l)J(f)

= 1

όπου ή

f

εΙναι

Βρείτε τούς τρείς πρώτους όρους του αναπτύΎματος της

του χο

= ".e z·

Άπ. ".e2

+ e 2 (xz -".)

V

1-1.

f(x) = (Χι sin xz)et - !πeΖχi - etxt(x2 - ... )

+ (Χ2 cos xt)ez

σέ μιά περιοχή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Διαισθητικά, μπορουμε νά φανταστουμε μιά επιφάνεια σάν ενα σύνολο σημείων του χώρου, τό όποίο κατά κάποιο τρόπο μοιάζει τοπικά μέ ενα τμήμα του επιπέδου.

Αύτό φαίνεται δταν ή επιφά

νεια δίνεται ώς είκόνα μιας «κανονικής» διανυσματικής συναρτήσεως ενός συνόλου του επιπέδου στόν Ε3.

Έπειδή θέλουμε νά εφαρμόσουμε τίς μεθόδους του απειροστικου λογισμου, ύποθέτουμε

ότι ή διανυσματική συνάρτηση είναι τουλάχιστον κλάσεως

Έπίσης, γιά νά εξασφαλίσουμε

Cl.

τήν ϋπαρξη εφαπτόμενου επιπέδου σέ κάθε σημείο τής επιφάνειας, ύποθέτουμε δτι ό Ίακωβιανός πίνακας τής διανυσματικής συναρτήσεως είναι σέ κάθε σημείο τάξεως δύο.

ΥΕτσι φθάνουμε στόν

επόμενο όρισμό:

Μιά

KaVOYΙKq παοαμετΡική παράστOf!!J ενός συνόλου.') του Ε3 κλάσεως

διανυσματική συνάρτηση χ ώστε (ί)

ή

f

(Η) εάν

= f(u, υ)

είναι κλάσεως

Cm

στό

ενός άνοικτου συνόλου

U

Cm, m

~

είναι μιά

1,

του επιπέδου Uv επί του

S τέτοια

U,

(el, e2, ea) είναι μιά βάση του Ε3 καί f(u, υ) (U, υ) στό U εχουμε

= lι (U, v)eI + 12(u, v)e2 + f3(u, v)e3,

τότε

για κάθε

rank

up,

. Υπενθυμίζουμε

στι ή

τής f μέχρι καί τάξεως

f

m

σ/ι

σ/ι

iJU

συ

ΞΙ2

σ/2

iJu

iJv

iJf3

σ/3

au

ου

είναι κλάσεως

Cm

2

στό

καί είναι συνεχείς στό U.

U, όταν ύπάρχουν δλες οί μερικές παράγωγοι . Επίσης ύπενθυμίζουμε στι τάξη ενός πίνακα

εΙναι ή μεγαλύτερη τάξη τών ελασσόνων όριζουσών του πίνακα πού δέν μηδενίζονται. τάξη του παραπάνω πίνακα εΙναι δύο, εάν καί μόνο εάν μία τουλάχιστόν από τίς τρείς

σονες όρίζουσές του εΙναι διάφορη του μηδενός.

2

WΕτσι, ή χ

2

ελάσ

'Όταν σέ μιά κανονική παραμετρική παράσταση

δέν αναφέρεται ή κλάση της, εννοείται δτι αύτή είναι κλάσεως

Cm, m :::,.. 1.

UΟ πως στήν περίπτωση τών καμπυλών, ετσι καί εδώ οί μεταβλητές U καί υ όνομάζονται παρά

μετροι.

Κατ' αναλογία, μιά παραμετρική παράσταση συμβολίζεται μέ χ

= x(u, υ)

καί τέλος οί με

ρικές παράγωγοι συμβολίζονται μέ σχ

X"=au'

Συ

=

ΟΧ

συ'

σ2χ

Χ,.,.

= iJu2'

Χ,.υ

Σύμφωνα μέ τόν όρισμό μιά παραμετρική παράσταση Σ

=

= x(u, υ)

κλπ.

είναι ασφαλώς μιά ά-πεικόνιση.

Μερικές φορές όμως θά ταυτίζουμε τήν παραμετρική παράσταση μέ τήν είκόνα της, δηλαδή μέ ενα

σύνολο από σημεία του Ε3. τρικής παραστάσεως Χ

είκόνα της Σ

= x(u, υ).

ενα σύνολο σημείων

Κατά τόν 'ίδιο τρόπο θά λέμε δτι τό Ρ εl .. .1.Ι ενα σημείο τής παραμε

= x(u, υ), όταν τό Ρ

είναι σημείο του πεδίου τιμών της, πού θά τό λέμε καί

=

. Ακόμα θά λέμε ότι ή παραμετρική παράσταση Χ x(u, υ) περιέχεται S του Ε3, όταν ή είκόνα τής Σ x(u, υ) εΙναι ύποσύνολο του S.

=

150

σέ

π ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

151

Ύποθέτουμε ότι χ

= x(u, υ) ε{ναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση τού S όρισμένη στό 8-). Παρατηρούμε ότι ή εΙκόνα της ευθείας υ = υ() τού U εΙναι ή καμ πύλη τού S χ = X(U, υ(» μέ παράμετρο τό u. Ή καμπύλη αυτή όνομάζεται u-παραμετρικιj καμπύλη υ = υο. 'Όμοια, ή εΙκόνα της ευθείας u = UiJ εΙναι ή καμπύλη χ = X(Uo, υ) τού S καί όνομάζεται ~εΤΡIKή καμπύλ!1. u = U(). νΕτσι, ή παραμετρική παράσταση καλύπτει τό S μέ δύο οΙκογένειες

U,

όπως φαίνεται στό Σχ.

= σταθ.

καμπυλών, τίς εΙκόνες τών ευθειών υ

ν

/

=

Vo

Γ

(u •• "o)

ι

u

\

'..ι

'\

\

Ι ) Ι

ι

= σταθ.

χ

Ι Ι

/

u

----

...,.---r, -'

καί

ι

ι

/ / /

_ι,

-1--

u =

"ο

Σχ.

Ύπενθυμίζουμε ότι

xu(Uo, υο)

8-1

εΙναι ή παράγωγος της χ στό

(Uo, υο)

κατά τήν κατεύθυνση τού

άξονα

u. Συνεπώς, Xu(Uo, υο) ε{ναι ενα εφαπτόμενο διάνυσμα τής u-παραμετρικης καμπύλης στό X(UO, υσ) μέ φορά εκείνη κατά τήν όποία αυξάνεται τό u. "Ομοια, X,,(UiJ, υο) εΙναι ενα διάνυσμα εφαπτόμενο τής υ-παραμετρικής καμπύλης στό X(Uo, υ(» μέ φορά εκείνη κατά τήν όποία αυξάνεται τό 17.

Τέλος παρατηρούμε ότι οί τρείς συντεταγμένες τού εξωτερικού γινομένου οΧι

el Χ..

det

XX v

e2

oXs _ ( ίJx2 ΣUoυ διαφέρουν άπό τίς

ΟΧι

ou

ου

ΟΧ2

ΟΧ2

oU

ου

oXa

ΟΧ3

Σu

ου

ΟΧ3 ΟΧ2) e + (ΟΧ3 οΧι _ οΧι ΟΧ3) e2 + (οΧΙ οΧ! _ ΟΧ2 ΟΧ1) e3 ι

oUov

ΣUΣV

ΣUoυ

ΣUOυ

auov

2 ελάσσονες όρίζουσες τού . Ιακωβιανού πίνακα τής χ τό πολύ ατό πρόσημο. Συνεπώς, ή τάξη τού • Ιακωβιανοϋ πίνακα τής χ εΙναι δύο, εάν καί μόνο εάν χ.. χ χ" .,.. Ο. νΕτσι, μιά άπεικόνιση χ X(U, υ) τού άνοικτοϋ συνόλου U επί τοϋ S εΙναι μιά κανονική παραμετρικΔ. 2

χ

=

παράσταση τού

.....

(i)

καί μόνο εάν

Cm. m ~ 1, στό U, κάθε (U, υ) στό U.

ή χ ε{ναι κλάσεως

(ίί) χ.. χ χ".,.. Ο γιά Παράδειγμα (α)

cm εάν

κλάσεως

S

8.1.

'Η διανυσματική συνάρτηση

χ

=

(u + lI)el

+ (u -v)e2 + (u 2 + 1I2)e3

lχει πεδίο δρισμού τό έπίπεδο Ull καί πεδίο τιμων τό έλλει

πτικό παραβολοειδές Xa Σχ.

8-2.

κάθε τάξεως.

!Xu

χ",,!

=

!(X~

+ X~),

δπως φαίνεται στό

Προφανώς, ή Χ εχει συνεχείς μερικές παραγώγους

=

Έπίσης γιά κάθε

det

el

(

~

e3

1 1) = 1 -1

2u

[4

-------Χ 2

εχουμε

(u,11)

+ 8(u2 + 112)]1/2

211

=F

Ο

Σχ.

8-%

Δηλαδή ή χ εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση τού έλλειπτικού παραβολοειδούς κλάσεως

τούς περιορισμούς χι

=

U

+ 110.

XS

=

U -

C"'. • Από

110 των συντεταγμένων συναρτήσεων της ]Ι; άπαλείφουμε τό U

καί

152

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

=

βρίσκουμε δτι ή ιι-παραμετρική καμπύλη 1) 1)0 εΙναι ή τομή του παραβολοειδους καί του κατακόρυφου ~πι πέδου :Ι:ι - :1:1 21)0. ·Ομοια, ή ν-παραμετρική καμπύλη u "ο εΙναι ή τομή του παραβολοειδους καί του

=

κατακόρυφου ~πιπέδoυ

(6)

'Υπενθυμίζουμε (Πρόβλ.

=

+ :1:2 = 2uo-

:Ι:ι

7.1,

σελ.

δτι ή διανυσματική συνάρτηση

136)

= (cos θ sin φ)eι + (sin θ sin φ)e2 + (cos φ)e3

Χ

~χει πεδίο όρισμου τό ~πίπεδo θΦ καί πεδίο τιμών τή μοναδιαία σφαίρα lχΙ 2 ή Χ ~χει συνεχείς μερικές παραγώγους δλων τών τάξεων. τών γραμμών Φ

IXe

= ±ππ, n = 0,1, ... ,

χ Xφl

=

det

(:~

- ::::

= 1.

Καί έδώ

:~:: :~:: .::::)

Ο

-

θ sin 2 φ)eι

τρική παράσταση της σφαίρας κλάσεως

SID Φ

- (sin θ sin2 φ)e2 - (sin Φ cos φ)e31

Έάν ή άπεικόνιση περιοριστεί στή λωρίδα φαίνεται στό Σχ.

:I:~ +:I:~

γιατί

e3 1(- cos

= :I:~ +

Παρατηρουμε δμως δτι δέν εΙναι κανονική κατά μηκος

-00

<θ<

00,

<

ο

Φ

<

Isin Φl

Ο

π, τότε γίνεται μιά κανονΙΚ11 παραμε

C"', άπό τήν όποία ~χoυν άφαιρεθεί ό βόρειος καί ό νότιος πόλος, δπως

8-3.

- - .....

ο

<.... 8

θ

= 80

Σχ.8-3

ΟΙ θ-παραμετρικές καμπύλες Φ

= Φο

όνομάζονται παράλληλοι πλάτους

τομές της σφαίρας καί των όριζόντιων έπιπέδων μεσημβρινοί μήκους

ij άπλώς μεσημβρινοί. τόν dξονα :1:3' :Ι:ι Sin θο - :1:2 COS θο ο.

=

:1:3

= COS Φο.

ΟΙ

ij

άπλως παράλληλοι.

φ-παραμετρικές καμπύλες

Προκύπτουν ώς

= θο

θ

όνομάζονται

Προκύπτουν ώς τομές της σφαίρας καί των έπιπέδων πού περιέχουν

Παρατηρουμε δτι οί παράλληλοι καί οί μεσημβρινοί τέμνονται όρ

θογώνια, άφου

Xe· Χφ (c)

=

«- Sin

θ

Sin φ)eι

+ (COS θ

Sin φ)e2) • «COS θ cos φ)eι

Κύλινδρος εΙναι μιά έπιφάνεια πού παράγεται άπό μιά εύθεία

C παράλληλα Cm

καί

του

(.

L,

= Υ' χ g ~ Ο

γιά κάθε U.

ο

καθώς αύτή κινείται κατά μηκος μιας καμπύλης

= y(u)

καί g εΙναι

τότε μιά παραμετρική παράσταση του κυλίνδρου εΙναι ή

Προφανώς, ή Χ εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως χ.. χ χ"

φ)e3)

(Sin

πρός τόν ~αυτό της. ·Οπως φαίνεται στό Σχ. 8-4, dv ή C δίνεται άπό τήν Υ

!;να μοναδιαίο διάννσμα στή διεύθυνση της Υ(ιι)+νι.

L,

+ (Sin θ cos φ)e2 -

Cm,

ΟΙ u-παραμετρικές καμπύλες εΙναι μεταφορές της

ΟΙ ν-παραμετρικές καμπύλες εΙναι οΙ διάφορες θέσεις της

L,

Χ

=

δταν ή Υ εΙναι κλάσεως

C

στή διεύθυνση

δταν κινείται παράλληλα πρός τόν ~αυτό

της καί λέγονται γενέτειρες του κυλίνδρου.

C

Σχ. 8 - 4

Ι

ί

ΚΕΦ.8

153

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΜΗΜΑΤΑ

= X(U, υ)

Ύποθέτουμε δτι Χ

όρισμένη στό άνοικτό σύνολο

U,

εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση του δπως φαίνεται στό Σχ.

8-5.

κλάσεως

S

=

·Υποθέτουμε άκόμα δτι θ

C'"

θ(u,v).

Φ

= ιp(u,v) εΙναι μιά άπεικόνιση του U στό έπίπεδο θφ κλάσεως C"', τέτοια ώστε σέ κάθε σημείο (U, υ) ή Ίακωβιανή νά εΙναι ίJ(θ, ιp)/ίJ(U, υ) =ιk Ο. Γενικά, μιά τέτοια άπεικόνιση θ = θ(u, υ), Φ =

ιp(U, υ) δέν εΙναι ι-ι, δπως συμβαίνει μέ τίς καμπύλες, όταν ίκανοποιείται ή άντίστοιχη συνθήκη. Πράγματι, τό θεώρημα της άντίστροφης συναρτήσεως γιά δύο ή περισσότερες μεταβλητές έξασφα

λίζει τήν ϋπαρξη της άντίστροφης συναρτήσεως μόνο τοπικά.

Πιό συγκεκριμένα, γιά κάθε (Uo, Vo) W αυτου πού περιέχει τό (Uo, VO) καί στό όποίο ή θ = θ(U, υ), Φ ιp(U, υ) εΙναι μιά ι-ι άπεικόνιση του W έπί ενός άνοικτοϋ συνόλου W*. •Ακόμα, ή άντί στροφη άπεικόνιση u u(θ, φ), V υ(θ, φ) εΙναι κλάσεως Cm καί όρίζεται στό W*. Θεωρουμε τώ ρα τήν άπεικόνιση Χ = Χ*(θ, φ) = χ(u(θ, φ), υ(θ, φ» τοϋ W* στό S. . Από τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως ξέρουμε ότι ή Χ*(θ, φ) εΙναι κλάσεως Cm. Έπίσης

στό

=

ύπάρχει ενα άνοικτό σύνολο

U

=

Χ:ΧΧ:

=

(X. XX,,):~:::~ + Ο

(χ..u.+χ"V.)Χ(χ..uφ+χ"V φ) = (Χ.. Χχ,,)(U.Vφ-V.Uφ) =

=

άφου εΙναι Χ" Χ Χ., =ιk Ο καί :~;: :~ = [:~~ :Ω- =ιk Ο. Συνεπώς καί ή Χ = Χ*(θ, φ) εΙναι μιά κα 1

νονική παραμετρική παράσταση κλάσεως

Cm,

πού καλύπτει μόνο ενα ύποσύνολο του

(νΕτσι, οί

S.

παράμετροι δύο κανονικών παραμετρικών παραστάσεων πού έχουν τήν ίδια εlKόνα δέν συνδέονται

πάντοτε μεταξύ τους, μέ μιά ι-ι άπεικόνιση.) έπιφανειών, αν όρίζαμε τήν έπιφάνεια μέ τή

Έπειδή θά περιορίζαμε άρκετά τήν οΙκογένεια τών βοήθεια έκείνων μόνο τών κανονικών παραμετρικών

παραστάσεων πού άντιστοιχοϋν σέ ι-ι άλλαγές τών παραμέτρων τους, γι' αυτό τήν όρίζουμε μέ τή βοήθεια μιας οΙκογένειας

1-1

κανονικών παραμετρικών παραστάσεων πού ή ενωση τών εΙκόνων τους

καλύπτει όλόκληρη τήν έπιφάνεια.

'Ένα τμήμα τοϋ

νΕτσι όρίζουμε:

(ύποσύνολο τοϋ Ε3) κλάσεως

S

ενός άνοικτοϋ συνόλου

U

στό

S

Cm, m"'" 1,

εΙναι μιά άπεικόνιση Χ

= x(u, υ)

μέ τίς εξης Ιδιότητες:

(i) . Η χ εΙναι κλάσεως Cm στό U. (ii) χ.. χ Χ" "'" Ο γιά κάθε (U, υ) στό U. Ή Χ εΙναι ι-ι καί άμφισυνεχής στό

(iii)

U.

Δηλαδή μέ τόν δρο τμήμα έννοουμε μιά ι-ι καί άμφισυνεχή κανονική παραμετρική παράσταση κλά

σεως

ενός ύποσυνόλου του

Cm, m"", 1,

S.

/--

/

,

,

Ι

11

\ \

\ \

.. = ..(Ι. φ)

\ u

-- -- "

" =

"u ---+----..

Ι

,,(Ι. φ)

,

, - I(... "j φ = φ(... ,,)

'''''''---/

/

ι

Ι

Σχ. 8 - 5 Παράδειγμα (α)

8.2-

u 2 + 112 < 1

Ή

ε{ναι μιά dπεικόνιση τοϋ μοναδιαίου δίσκου U 2

Ixl = 1.

Προφανώς, ή χ ε{ναί κλάσεως

Ιχ.. χ χ.,1 = Ι [1 _ γιά κάθε

(u,lI) . • Αρα

(U2U+ 112)] 1/2 e1

C"'.

+ 112 <

+ [1 _

έπί το

(U2\ 112)] 1/2 e2

~νω ήμισφαιρίου της μοναδιαίας σφαίρας

+

e3\

=

[1 -

(U2

+ 112)] -1/2

#

ή χ ε{ναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση τοϋ ανω ήμισφαιρίου κλάσεως

dπεικόνιση εΙναι έπίσης Ι-Ι, γιατί ή ίσότητα x(u,lI)

11

1

Έπίσης ~χoυμε

=x(u" 11')

συνεπάγεται τήν ίσότητα (U,lI)

Ο C"'. • Η d-

= (U"lI'),

154

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

φοϋ χι

=U

= 11.

καί Χ2

• Η άπεικόνιση

ε{ναι έπίσης άμφισυνεχής, γιατί προφανώς ή χ ε{ναι συνεχής καί ή

= Χι' 11 = Χ2'

άντίστροφη άπεικόνιση, πού ε{ναι ή προβολή U

c ...

~να τμήμα τής σφαίρας κλάσεως

ε{ναι έπίσης συνεχής.

"Ετσι ή άπεικόνιση ε{ναι

(b) Θεωροϋμε τόν κύλινδρο πού παράγεται άπό μιά κατακό ρυφη εύθεία, καθώς κινείται κατά μηκος μιας καμπύλης τοϋ

έπιπέδου ΧΙΧ2' πού εχει έξίσωση σέ πολικές συντεταγμέ νες

= sin 2/1,

r

<

Ο

8

<

δπως φαίνεται στό Σχ.

3"./4,

8-6.

Παρατηροϋμε δτι ό κύλινδρος δέν τέμνει τόν εαυτό του, άφοϋ έξαιρέσαμε άπό τό πεδίο όρισμοϋ τό

8

= Ο.

Ε{ναι

εύκολο νά έπιβεβαιώσουμε δτι ή άπεικόνιση

χ (Ο

<

<

8

τρική

=

+ (Βίη 28

(sin 28 cos 8)el

3"./4,

-00

00)

Βίη

+ ue 3

ε{ναι μιά κανονική παραμε

παράσταση τοϋ κυλίνδρου κλάσεως

δτι εΤναι Ι-Ι.

8)e2

καί άκόμα

C'"

Ή άντίστροφη άπεικόνιση δμως δέν ε{ναι

συνεχής, άφοϋ κάθε περιοχή ενός σημείου τοϋ άξονα

δπου 8

= "./2,

τονικά τοϋ συνόρου γιά τό όποίο εχουμε 8 ή παραμετρική

κυλίνδρου.

Ο -

Χ3,

περιέχει έπίσης καί σημεία της είκόνας γει αύτή παράσταση

= Ο.

Συνεπώς,

δέν εΤναι ενα τμημα τοϋ

Ό περιορισμός δμως της χ στό σύνολο

(α)

< 8 < "./2, - '" < u < καί (b) "./4 < 8 < 3"..\4, 00 < u < 00 δίνει δύο τμήματα, πού καλί>πτουν τόν κύλινδρο. 00

Σχ.

8-6

Στό Πρόβλημα 8.7 δείχνουμε δτι διανυσματικές συναρτήσεις τής μορφής Χ = UeI + Ve2 + f(u, V)e3 ή Χ = ueI + f(u, v)e2 + 'Ve3 ή ακόμα Χ = f(u, υ)ει + ueZ + Ve3 όρίζουν τμήματα κλάσεως C''', δταν ή συνάρτηση !(ι{, υ) εΙναι κλάσεως Cm. Τά τμήματα αυτά όνομάζονται τμήματα Monge καί εΙναι πολύ χρήσιμα στή μελέτη τών επιφανειών. Θά δείξουμε δτι, αν ενα σύνολο S εΙναι ή είκόνα μιας κανονικής παραμετρικής παραστάσεως κλάσεως Cm, τότε γιά κάθε Ρο στό S ύπάρχει ενα τμήμα Monge τοϋ S κλάσεως Cm πού περιέχει τό Ρο. Γιά νά τό αποδείξουμε αυτό ύποθέτουμε ότι Χ = X(U, υ) εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση τοϋ S κλάσεως Cm όρισμένη στό U καί (UO, Vo) εΙναι ενα σημείο τοϋ U, πού απεικονίζεται στό Ρο, όπως φαίνεται στό Σχ. 8-7. Έπειδή ή x(u, υ) εΙναι κανονική, τουλάχιστον μία από τίς 2 χ 2 έλάσσονες όρίζουσες τοϋ Ίακωβιανοϋ πίνακα τής Χ στό (Uo, Vo) δέν εΙναι μηδέν. Χωρίς βλάβη τής γενικότητας μποροϋμε νά ύποθέσουμε ότι

iJXI

det στό (Uo,

iJu ( iJX2 iJu

iJXI) iJv

Θεωροϋμε τώρα τήν απεικόνιση χι

Vo).

ο

iJX2 iJv

= XI(u, υ),

Χ2

= X2(U, υ)

πού προσδιορίζεται από τίς δύο πρώτες συντεταγμένες συναρτήσεις τής Χ.

αυτή εlναι κλάσεως

Cm

στό

αφοϋ καί ή Χ εΙναι κλάσεως

U,

εΙναι συνεχής καί διάφορη τοϋ μηδενός στό ναρτήσεως επεται ότι ύπάρχει ενα ανοικτό απεικόνιση

εΙναι

Ι-Ι

επίσης κλάσεως

Cm

απεικόνιση τοϋ

W*

(Uo, Vo). ' Αλλά σύνολο W της U

καί εχει αντίστροφη

απεικόνιση τήν

καί όρίζεται στό ανοικτό σύνολο

στό

W*

Cm

στό

U.

τοϋ

U

στό

επίπεδο ΧΙΧ2

Προφανώς ή απεικόνιση

Έπίσης ή

Ίακωβιανή

από τό θεώρημα της αντίστροφης συ πού περιέχει τό

u

(UO, Vo),

στό όποίο ή

= U(Xl, Χ2), V = υ(χι, Χ2),

τοϋ επιπέδου ΧΙΧ2.

πού εΙναι

Τελικά, ή σύνθετη

S

\ χ

/ 11

Ι

ι Ι

Ι Ι

,

Ι

\

u

'-

........

_-"'''

/

~--------. . X2

,/

---+------u Σχ.8-7

\ ι

ΚΕΦ.8

χ

=

Xl(U(Xl, Χ2),

=

xlel

εΙναι ενα τμήμα Ρο.

+

+

X2e2 τού

Monge

X2»el + X2(U(Xl, Χ2),

υ(χι,

X3(U(Xl, Χ2),

S

κλάσεως

υ(χι,

υ(χι,

θεώρημα

Έάν ενα σύνολο

8.1.

cm,

δρισμένο στό

Cm

~Eστω

W*,

ή είκόνα τού δποίου περιέχει τό

ύπάρχει ενα τμήμα

S

S

. Η CJ3

καλύπτει τό

S

S,

m

~

= x(u, υ)

τής

CJ3

εΙναι τομή τοϋ

S

"-

τής CJ3 εχει εικόνα πού

<Όταν ύπάρχει μιά τέτοια οικογένεια

'Ένα σύνολο τμημάτων CJ3 τής

S

Σχ.8-8

CJ3,

τότε τό

πού ίκανοποιεί τίς

S

μαζί μέ όλα τά τμήματα τοϋ

S

S

(i) καί (ίi) λέγεται βάση ή τμηματική παρά

του Ε3 μπορεί νά βρεθεί μιά βάση κλάσεως

S

μαζί μέ τήν οικογένεια όλων των τμημάτων του

κλάσεως

Cm

Μερικές φορές μέ τόν όρο απλή επιφάνεια εννοουμε μόνο τό σύνολο καμιά φορά τήν απλή επιφάνεια μόνο μέ τόν όρο επιφάνεια.

σκοπιά, ή απλή επιφάνεια αποτελείται από τό σύνολο Kλ~σεως, όταν περιέχουν μιά βάση.

i ~ m,

μιά βάση κλάσεως

νεια κλάσεως

Cm

Παράδειγμα

S

cm

Έπίσης, αναφέρουμε

S.

μαζί μέ όλα τά τμήματα τοϋ

Έπειδή μιά συνάρτηση κλάσεως εΙναι καί βάση κλάσεως

C;, j

~

Cm

m.

χ = xlel

~Eτσι, μιά απλή επιφά

CJ, j

~

+ ~ + xi

+

xze2

+ νι

Monge

- x~ -

κλάσεως

m,

αν προσθέ

~ e3'

= Ι εΙναι μιά άπλή έπιφάνεια κλάσεως C"", C""

x~

+~ < Ι

πού καλύπτει τό ήμισφαίριο καί εΙναι τομή τοϋ ήμισφαιρίου καί του άνοικτου συνόλου Ε3. άπλή

έπιφάνεια δέν εχει σύνορο.

άνω ήμισφαίριο τής ~

+ x~ + x~ = Ι

δέν εΙναι μιά άπλή έπιφάνεια.

Γιά παράδειγμα,

τό

μαζί μέ τόν Ισημερινό,

Γιά νά τό άποδείξουμε αύτό

ύποθέτουμε ότι ή άπλή έπιφάνεια εχει σύνορο καί εστω ότι

ο

δεδομένης

8.3.

άφοϋ ώς βάση μπορουμε νά θεωρήσουμε τό τμήμα

Ρ(ΧΙ ' Χ2ο' Ο)

X(14, ν)

S

εΙναι επίσης κλάσεως

CJ.

(α) Τό ανω ήμισφαίριο (χωρίς τόν ίσημερινό) τής σφαίρας x~

Μιά

τότε

UΟ πως ε'ίδαμε όμως από πιό αύστηρή

μπορεί πάντα νά επεκταθεί σέ μιά απλή επιφάνεια κλάσεως

σουμε όλα τά τμήματα κλάσεως

(b)

Cm,

αποτελεί μιά άπλή επιφάνεια

Cm.

κλάσεως

γιά

κλάσεως

S

τοϋ Ε3.

Cm

Συνεπως, αν σέ ενα σύνολο

S.

"

8-8.

λέγεται άπλή έπιψάνεια κλάσεως

σταση τής

"-

μέ ενα ανοικτό σύνολο Ο του

Ε3, Όπως φαίνεται στό Σχ.

τού ό

' - .... ...... S

πού ή εικόνα του περιέχει τό Ρ.

= x(u, υ)

Cm

"" ..~ ι "

πού

1,

δηλαδή γιά κάθε σημείο

ύπάρχει ενα τμήμα χ

(Η) Κάθε τμήμα χ

κλάσεως

/ /l

μιά οίκογέ

CJ3

cm,

κλάσεως

ίκανοποιοϋν τίς έξής συνθήκες:

Ρ του

Monge

καί περίέχει τό Ρ.

S

ενα σύνολο τού Ε3 καί

S

νεια από τμήματα τοϋ

C;

X2»e3

τού Ε3 εΙναι ή εΙκόνα μιας κανονικής παραμετρικής παραστά

S

ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΛΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

τό

Χ2), υ(χι,

Xz»e3

τότε γιά κάθε σημείο Ρ τού

ποίου ή είκόνα περιέχεται στό

Cm

X2»e2 + X3(U(Xl,

~Eτσι εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

σεως κλάσεως

(i)

155

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

εΙναι

ενα

σημείο του

ίσημερινοϋ,

ένώ

εΙναι ενα τμήμα του ήμισφαιρίου πού περιέχει τό Ρ.

πειδή ή χ

= X(14,lI) Monge

χ

=

Έ

εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράστα

ση πού περιέχει τό Ρ, επεται άπό τό Θεώρημα ενα τμήμα

χ

8.1

ότι ύπάρχει

πού περιέχει τό Ρ, Π.χ. ενα τμήμα τής μορφής

= xle} +

Xze2

+ νι - ~

- X~ es

Τό τμήμα αύτό δρίζεται σέ κάποιο άνοικτό σύνολο

W

του

έπιπέδου Χι:Ι:2, ύποσυνόλου τοϋ κλειστου δίσκου x~ + ~ :!Ε 1 (Σχ. 8-9). 'Αλλά, έπειδή τό σημείο (χιl), χ2ο' Ο) του W είναι συνοριακό σημείο του δίσκου, κάθε περιοχή αύτου θά περι

έχει καί σημεία πού δέν άνήκουν στό άφοϋ τό

W

είναι άνοικτό.

W.

πού ε{ναι άδύνατο,

Σχ.

8-9

• Ολόκληρη ή σφαίρα δμως εΙναι μιά άπλή έπιφάνεια κλάσεως C"'.

(c)

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

156 ματα

. Ως

βάση μπορουμε νά πάρουμε τά εξι τμή

Monge

χ

=

±

"';1- ~ - ~

el

+ X2e2 + x3e3

ΟΙ εξι εΙκόνες αύτών τών άπεικονίσεων καλύπτουν προφανώς τή σφαίρα καί ή καθεμιά άπ' αύτές είναι ή τομή της σφαίρας καί ένός κατάλληλου άνοικτου ήμιχώρου του Ε3. Μιά άπλή έπιφάνεια δέν τέμνει τόν έαυτό της.

(d)

Γιά παράδειγμα, ας πά

ρουμε εναν κύλινδρο πού εχει αύτοτομή, όπως φαίνεται στό Σχ.

ας ύποθέσουμε δτι χ

= x(u, ν)

μείο Ρ της αύτοτομης.

8-10,

καί

εΙναι ενα τμημα πού περιέχει κάποιο ση

Έπειδή ή

χ

= x(u, ν)

εΙναι μιά Ι-Ι άπεικόνιση

ένός άνοικτου συνόλου του έπιπέδου, ή εΙκόνα της μπορεί νά βρίσκεται μόνο στό ενα άπό τά μέρη της έπιφάνειας πού περιέχουν τήν αύτοτομή.

, Από

τήν αλλη πλευρά, κάθε άνοικτό σlΝολο του Ε3

Ρ εχει

καί

τμήματος.

σημεία

της έπιφάνειας

πού δέν

πού περιέχει τό

άνήκουν στήν εΙκόνα του

Αύτό άντιβαίνει στήν ύπόθεση της άμφισυνέχειας.

. Επομέ

νως, γιά κανένα τμημα, πού περιέχει τό Ρ, δέν μπορεί ή εΙκόνα του νά

Σι.

ε{ναι τομή ένός άνοικτου συνόλου του Ε3 μέ τόν κύλινδρο.

S

'Έστω Ρ ενα σημείο μιας άπλής επιφάνειας κλάσεως

S

Cm, πού περιέχει τό 8-11. Παρατηρουμε δτι

στό Σχ.

τό

κλάσεως

Ρ καί εΙναι όρισμένο σ'

Cm

καί χ

= X(U, υ)

ενα ανοικτό σύνολο

8-10

τυχόν τμήμα τής δπως φαίνεται

U,

ή εικόνα του τμήματος δέν είναι συνεκτικό σύνολο

δέν εΙναι συνεκτικό σύνολο.

του Ε3, δταν

(U, υ) είναι τό σημείο του U πού απεικονίζεται στό Ρ καί S(U, υ) μιά σφαιρική περιοχή του (U, υ) πού περιέχεται στό U. Μιά τέτοια περιοχή S(U, υ)

U

ύπάρχει, αφου τό τής

Θεώρημα τμήμα τής

8.2. S

εΙναι ανοικτό.

U

cm,

κλάσεως

S

'Έστω τώρα δτι

'Αλλά τότε ό περιορισμός τής χ στήν

πού εΙναι συνεκτικό καί περιέχει τό Ρ.

Γιά κάθε σημείο Ρ μιας άπλής επιφάνειας κλάσεως

S(u, υ)

εΙναι ενα τμήμα

Δηλαδή εχουμε τό έξής θεώρημα: κλάσεως

S

Cm

ύπάρχει ενα συνεκτικό

πού περιέχει τό Ρ.

Cm

------χ

v

u - - t - - - - -.. u Σχ.

• Υποθέτουμε χ

τώρα στι χ

= x(U, υ)

8-11

καί

Χ*(θ, φ) εΙναι δύο τμήματα μιας άπλής

=

επιφάνειας τομή

G

S

cm,

κλάσεως

δέν εΙναι κενή.

νολο του επιπέδου

κονίζει επί του

uv,

των όποίων ή

~Eστω

W

.... ."

τό σύ

τό όποίο ή χ απει

ι

G, καί W* τό σύνολο του

G,

δπως φαίνεται στό Σχ.

παραμετρικός

θ(u, υ), Φ

=

μετασχηματισμός

ιp(u, υ) του

τοιος ώστε γιά κάθε

W

επί του

(U, υ) στό

W

W*,

θ

'\

."

/

= τέ

νά εχου

με

X(U, υ) = Χ*(θ(u, υ), ιp(U, υ». Στό Πρό 8.16 τής σελίδας 166 θά δείξουμε δτι τό W εΙναι ανοικτό, ή απεικόνιση θ θ(u, υ), Φ = ιp(U, υ) εΙναι κλάσεως C'" ΙCαί γιά ιcάθε (U, υ) στό W ή • Ιακωβιανή εΙναι ίJ(θ, ιp)/ίJ(U, υ) .,. ο. βλημα

. . _-/ '\.χ'

'. . __ .//

......

πειδή οί χ καί χ* εΙναι Ι-Ι, ύπάρχει ενας

1-1

\

'Ε

8-12.

\ ι

Ι

Υ

επιπέδου θφ, τό όποίο ή χ* απεικονίζει ε

πί του

" ""

,

= e(U, ν) Φ = φ(u,v) θ

Ι

\

/

' .... __

......

'\ \

Ι

\

--

Ι

/ /

= Σχ.

8-12

\

_ ...-

\

...... Ι

Ι

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Μιά ι-ι απεικόνιση θ επιπέδου

W,

= θ(u,v), Φ = ΙP(U,v)

κλάσεως

157 ~

cm, m

ενός ανοικτοϋ συνόλου

1,

στό επίπεδο θφ, τής όποίας ή Ίακωβιανή είναι a(θ, ιp)/a(u, υ)

uv

λέγεται επιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός.

σεως συμπεραίνουμε ότι, αν θ

ματισμός κλάσεως

Cm

= θ(u, υ), Φ = ιp(u, υ)

μέ εικόνα τό σύνολο

' Από

Ο γιά κάθε

W (U, υ)

του στό

τό θεώρημα τής αντίστροφης συναρτή

είναι εν ας επιτρεπτός παραμετρικός μετασχη

τότε τό

W*,

"'"

είναι επίσης ανοικτό, ή αντίστροφη

W*

= u(θ, φ), v = υ(θ, φ) είναι κλάσεως Cm στό W* καί γιά κάθε (θ, φ) στό W* ή , Ιακωβιανή είναι :~;: ;~ = [:i~: :Ω- Ο. Δηλαδή, ό αντίστροφος ενός επιτρεπτοϋ παραμετρικοϋ με απεικόνιση

u

Ι

"""

τασχηματισμοϋ είναι επίσης ενας επιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός.

~Eτσι εχουμε τό επό

μενο θεώρημα:

Θεώρημα

Στήν τομή δύο τμημάτων μιας απλής επιφάνειας κλάσεως

8.3.

Cm

ονται μεταξύ τους μέ εναν επιτρεπτό παραμετρικό μετασχηματισμό κλάσεως Παράδειγμα

οί παράμετροι συνδέ

Cm.

Οί έξισώσεις

8.4.

u 2 + ν2

<1

καί

χ

(cos

θ

sin

φ)eι

+

(sin

θ

όρίζουν τμήματα της σφαίρας

+ (cos φ)e3, ο < θ < xi + x~ + x~ = 1 κλάσεως C"'.

sin

φ)e2

είναι τό μισό ανω ήμισφαίριο, δπως φαίνεται στό Σχ. εχουμε

sin

θ

τόν

sin

κλάσεως

.Ο

Φ,

έπιτρεπτό δπου

C'"

Ο

παραμετρικό μετασχηματισμό

<

<

θ

καί, έΗειδή

π

0<

καί Ο

Φ

<

<

Φ

<

π/2.

•Η

8-13. u = cos

π,

Ο

<

Φ

<

π

• Η τομή τους

Στήν τομή τους θ· sin Φ καί

ν

=

άπεικόνιση αύτή είναι Ι-Ι,

= - sin Φ cos Φ ~ Ο •

π/2, εχουμε a(u, ν)/a(θ, φ)

άντίστροφος μετασχηματισμός είναι

δπου u 2 + ν 2

Φ

=

<

1 καί ν

>

= Cos-tu/(U2 +v 2)l/2

θ

Cos-ly1-u 2 -v 2, Ο.

Σχ. 8-13.

Μιά ιδιότητα μιας επιφάνειας πού όρίζεται μέ τή βοήθεια κάποιας βάσεως μπορεί νά εξαρταται ή όχι από τήν εκλογή τής βάσεως αύτής. είναι ιδιότητα τής επιφάνειας.

' Εάν

ή ιδιότητα είναι ανεξάρτητη τής βάσεως, λέμε ότι

Ειδικά, μιά τοπική ιδιότητα είναι μιά ίδιότητα τής επιφάνειας εάν

καί μόνο εάν είναι ανεξάρτητη κάθε επιτρεπτοϋ παραμετρικου μετασχηματισμοϋ.

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟΣ

'Έστω χ νονική

= x(u, υ)

καμπύλη

= X(U(t), V(t»

y(t)

ενα τμήμα μιας απλής επιφάνειας κλάσεως

κλάσεως

C

Προφανώς, ή

θεση δύο συναρτήσεων κλάσεως Ο.

τοϋ

Cm

παραμετρικοϋ επιπέδου.

y(t) Cm.

είναι μιά συνάρτηση κλάσεως

Έπίσης, γιά κάθε

Πράγματι, ας ύποθέσουμε ότι αύτό

"

οτι

,

,

{

τα χ.. και Χ" ε ναι

-

παντου

δέν ισχύει.

- ,ανε ξ'αρτητα.

Χ" ~~ = Ο γιά κάποιο t, τότε θά εχουμε επίσης δύνατο, αφου ή

C

είναι κανονική καμπύλη.

κλάσεως

cm

Cm

t

u

= U(t), v = V(t)

C...

τό εφαπτόμενο διάνυσμα είναι

du/dt

~E τσι,

W'

θ'

dv/dt

= Ο.

αν

= Ο καί

μιά κα

σύνθεση

χ

=

αφοϋ προκύπτει από σύν

Έπειδή χ" χ Χ" """ Ο γιά

γραμμικως

παραμετρικοϋ επιπέδου κλάσεως

καί

Cm

Θεωροϋμε τώρα τή

υπο εσουμε

~Eτσι, κάθε κανονική καμπύλη

dy/dt """

κάθε (U, υ), επεται

.,

dy dt =

οτι

' Αλλά

Χ"

du dt

+

αύτό είναι α

u = U(t), v = V(t) του = y(t) = X(U(t), V(t»

απεικονίζεται σέ μιά κανονική καμπύλη Χ

τής επιφάνειας.

Ύποθέτουμε τώρα ότι ξεκιναμε μέ μιά κανονική καμπύλη Χ

= y(t)

κλάσεως

cm

τής επιφάνειας.

Είναι δυνατό νά μήν ύπάρχει ενα τμήμα πού ή εικόνα του νά περιέχει όλόκληρη τήν καμπύλη.

Μπο

ροϋμε όμως πάντα νά μελεταμε ενα τυχόν συνεκτικό σύνολο τής εικόνας τής καμπύλης, πού νά πε

ριέχεται στήν εικόνα ενός τμήματος Χ

ύπάρχει

μία μοναδική

= X(U(t), v(t».

καμπύλη

C, u

= X(U,V).

Έπειδή ή απεικόνιση τοϋ τμήματος είναι ι-ι,

= U(t), v = V(t),

τοϋ

παραμετρικού έπιπέδου τέτοια ώστε

C είναι επίσης κανονική καί κλάσεως Cm. ~Eτσι, τοπικά κάθε κανονική καμπύλη Χ =y(t) κλάσεως Cm τής επιφάνρας προκύπτει από τή σύν θεση μιας μονοσήμαντα όρισμένης κανονικης καμπύλης u = U(t), v V(t) κλάσεως Cm τοϋ παρα y(t)

Μπορεί νά δειχθεί μάλιστα ότι ή

μετρικοϋ επιπέδου καί τοϋ τμήματος Χ

= X(U, υ).

=

158

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

'Ένα μή μηδενικό διάνυσμα Τ λέγεται έφαπτό

μενο μιας επιφάνειας

σέ ενα σημείο Ρ, άν ύπάρ

S

χει μιά κανονική καμπύλη Χ

= y(t)

της

S

πού διέρ

χεται από τό Ρ καί γιά τήν όποία ~χoυμε στό ση

μείο αυτό Τ

= dyldt.

• Εάν τώρα Χ

= X(U, υ)

είναι

ενα τμημα πού περιέχει τό Ρ, τότε ή καμπύλη γρά-

φεται Χ = y(t) = X(U(t), V(t», όπότε εχουμε ~~ = . δ ιανυσμα . Xu du dt + Χ" dv dt • Δ η λ α δ'η κα. θ' ε εφαπτομενο τών

γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων

Χ., στό Ρ, Όπως φαίνεται στό Σχ.

--.....

-'

της επιφάνειας στό Ρ είναι γραμμικός συνδυασμός

_/

Σχ. 8 • 14

καί

Xu

' ....... S

8-14.

'Υπενθυμίζουμε Ότι τά X u καί Χ., είναι εφαπτόμενα στίς u-παραμετρικές καί υ-παραμετρικές καμ

πύλες αντίστοιχα.

. Επίσης,

κάθε μή μηδενικό διάνυσμα, πού εκφράζεται ώς γραμμικός συνδυασμός

τών Χ" καί Χ", είναι τό εφαπτόμενο διάνυσμα dyldt στό Ρ κάποιας καμπύλης της επιφάνειας πού περνάει από τό Ρ.

'Αφήνουμε τήν απόδειξη αυτου τοί) ισχυρισμου (ος άσκηση στόν αναγνώστη.

Τό επίπεδο, πού διέρχεται από τό Ρ καί είναι παράλληλο τιρός τά εφαπτόμενα διανίJσματα χ" καί Χ ., στό Ρ λέγεται έφαπτόμινο έπίπιδο της

στό Ρ.

S

' Από

δσα αναφέρθηκαν παραπάνω επεται

δη τό εφαπτόμενο επίπεδο είναι ανεξάρτητο του τμήματος ποί) περιέχει τό Ρ καί ακόμα δη ενα μή μηδενικό διάνυσμα Τ είναι εφαπτόμενο της τό εφαπτόμενο επίπεδο στό Ρ. Χ

= X(U,

υ)

δίνεται από τήν

S

στό Ρ εάν καί μόνο εάν αυτό είναι παράλληλο πρός

Προφανώς, τό εφαπτόμενο επίπεδο στό σημείο Χ ενός τμήματος

Υ

= Χ

+ hX u + kX v

-00

< h,

k

<

(8.1)

00

Σέ κάθε σημείο Ρ μιας επιφάνειας ύπάρχουν προφανώς δύο μοναδιαία διανύσματα κάθετα στό εφαπτόμενο επίπεδο στό Ρ μέ αντίθετη φορά.

Θά δουμε δη δέν είναι πάντα δυνατό νά διαλέξουμε

ενα απ' αυτά ωστε νά μεταβάλλεται κατά συνεχή τρόπο σ' όλόκληρη τήν επιφάνεια.

'Όταν Όμως

πρόκειται γιά μιά περιοχή της επιφάνειας πού καλύπτεται από τήν εικόνα ενός μόνο τμήματος Χ

=

X(U, υ), διαλέγουμε συνήθως εκείνο τό κάθετο διάνυσμα πού μαζί μέ τά διανύσματα χ" καί

α-

ποτελεί ενα δεξιόστροφο σύστημα στό Ρ. Δηλαδή εκλέγουμε τό διάνυσμα Ν

Xv

= ιΧ" χ XX , v

Χ" χ

v

I

Προ-

φανώς, ετσι Όπως τό όρίσαμε, τό Ν είναι μοναδιαίο, κάθετο στό εφαπτόμενο επίπεδο στό Ρ, αφου είναι κάθετο στά Xu

καί Xv, καί τέλος μεταβάλλεται κατά τρόπο συνεχή στήν εικόνα του τμήματος,

αφου οί διανυσματικές συναρτήσεις Χ,. καί X v είναι τουλάχιστον κλάσεως

CO

καί Χ,. Χ Χ ., =F Ο.

Τό

διάνlJσμα Ν λέγεται μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας στό Ρ.

'Εάν τώρα Χ

= Χ*(8, φ)

Χ: Χχ:

~ Αρα

είναι τυχόν άλλο τμημα πού περιέχει τό Ρ, τότε στήν τομή τους εχουμε

(xuu.+xvv.) χ (χ"uφ+χvv φ )

Ν*

χ: χ Χ:

χ,. χ Χ"

Ixu χ xvI

Ιχ: χ Χ: Ι

=

(ΧuΧΧv)(U.Vφ-·UφV.)

o(u, υ) /

ο(θ, φ)/

Ι a(u, υ) Ι

=

o(u υ) (Χ"ΧΧυ)ο(θ:φ)

Ν sign (a(U, v»)

0(8, φ)

ο(θ, φ)

Συνεπώς τό Ν* εχει στό Ρ τήν ίδια φορά μέ τό Ν εάν καί μόνο εάν είναι a(u, υ)/ο(θ, φ)

.Η

στό Χ δίνεται από τήν εξίσωση

Υ Παράδειγμα

8.5.

= Χ + kN,

-O'J

της στόν αξονα χι

Ύποθέτουμε δη ή περιφέρεια άρχικά βρίσκεται στό έπίπεδο Χι:Ι:3

εΙναι τό διάνυσμα θέσεως τοϋ κέντρου της περιφέρειας καί

(b sin II)e2 καί r

r

(8.2)

00

σέ άπόσταση b άπό τήν άρχή, έπίσης δη ή άκτίνα της εΙναι α (α

περιφέρεια μετά τή στροφή (τοϋ έπιπέδου) της γύρω άπό τόν αξονα

νυσμα

Εύκολα προκύπτει δτι ή κάθετος

"Οταν μιά περιφέρεια στρέφεται γύρω άπό εναν αξονα πού βρίσκεται στό έπίπεδό της καί δέν τήν

τέμνει, παράγει μιά σπείρα (τόρο).

u

Ρ.

ευθεία πού διέρχεται από τό Ρ καί είναι κάθετη στό εφαπτόμενο επίπεδο στό Ρ είναι ανε

ξάρτητη του τμήματος καί λέγεται κάθετος στήν επιφάνεια στό Ρ.

'Εάν

> Οστό

= (α sin Φ cos e)eI + (α sin Φ sin II)e2 + (α cos φ)e3,

μέ τόν άξονα

χ

Χ3'

Χ3 κατά γωνία

r

<

b).

καί τό κέντρο

Θεωροϋμε τώρα τήν

ιι, δπως φαίνεται στό Σχ.

τυχόν σημείο της, τότε

u

8-15.

= (b cos II)eI +

δπου Φ εΙναι ή γωνία πού σχηματίζει τό διά

'Έπεται δη

= u + r = (b + α sin φ)(cοs e)eI + (b + α sin φ)(sίn e)e2 + (α cos φ)e3

, ι

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦ.8

159

--+---------- Χ 2

Σχ. δπου

<

-00

==

Xe

-(Ιι

<

θ

καί

00

<

-00

<

Φ

8-15

Προφανώς, ή χ είναι κλάσεως

00.

+ α sin φ)(siη e)eI + (Ιι + α sin φ)(cοs e)ez'

καί

==

!Χθ Χ Χφ!

γιά κάθε (θ, φ).

.. Αρα

\α(Ιι

+α

==

Χφ

(α

C<"'.

cos

Φ

'Επίσης εχουμε

+

cos e)el

(α

cos Φ sin e)e2 -

==

sin φ)(- sin Φ cos e)e I - (sin Φ sin e)e2 - (cos φ)e3)!

a(Ιι

ή Χ είναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση τής σπείρας κλάσεως

είναι μια άπλή επιφάνεια.

+ α sin φ) C"'.

(α

sin φ)e3

~ Ο

'Η σπείρα σμως

Ώς βάση μποροϋμε νά πάρουμε ενα κατάλληλο πλήθος περιορισμών τής παραπάνω παρα

μετρικής παραστάσεως, ποί, νά είναι Ι-Ι καί οι εΙκόνες τους νά καλlJπτουν τή σπείρα.

Π.χ. ε(,κολα επαληθεύεται στι Ο

θ

<

βάση

μπορει ν{l προκύψι.:ι, αν περιορίσουμε τήν χ στά έξής ανοικτά σύνολα ΤΟ!, έπιπέδου θΦ:

Ο

Φ

(Ιι) -". < θ <."., -.". < Φ <.". καί (c) -(1/2).". < θ < (3/2),,-, -(1/2).". < φ < (3/2).".. Γενικά, μιά καμπί,λη TOt, παραμετρικοι! επιπέδου θΦ απεικονίζεται σέ μιά κανονική καμπΙ:"λη της σπείρας. Π.χ. 0\

<

(α)

<

μιά

2,,-,

< 2;;,

κανονική

γραμμές

==

θ

σταθ. απεικονίζονται στίς

περιφέρειας ποί\ παράγει τή σπείρα.

φ-παραμετρικές καμπύλες τής επιφάνειας πού είναι οί διάφορες θέσεις της

Οί γραμμές

Φ := σταθ. απι:ικονίζονται στίς

θ-παραμι:τρικές καμπύλες της επι

φάνειας καί είναι εκείνες οί περιφέρειες της σπείρας. οι όποιες παράγονται από ενα σταθερό σημείο τής περιφέρειας πο!, παράγι:ι τή σπείρα KατrX τή στροφή ΥΙ:φω απο τόν αςονα

Χ3

τρικές καμπύλες nϊς έπιφάνειας είναι όρθογώνιι:ς μεταξί' τους. Φ

==

kt,

σπου

Παρατηρούμε δτι

Χ8' Χ φ

= Ο.

δηλαδή 0\ παραμε

'Επίσης, ή Γ.ί,θεία του ππρσμετριl..:ου έπιπέδου θ

== t,

θετικός ακέραιος. εχει εικόνα στή σπείρα τήν καμπίJλη

k

==

χ

(Ιι

+ α sin kt)(cos t)e l +

(Ιι

+ α sin kt)(sin t)ez + (cos kt)e3

'Η καμπύλη αυτη είναι μιά ελικα «τυλιγμένη» γύρω άπό τή σπείρα φορές, όπως φαίνεται στό Σχ.

k

8-16.

'Ένα μοναδιαίο κάθετο διά

νυσμα στή σπείρα εΙναι τό

Ν

ΧθΧΧΦ

== 1

ΧιιΧΧφ

Ι

== -

(sin Φ cos e)eI - (Βίη Φ sin e)e2 - (cos φ)e3

'Εδώ τό Ν μεταβάλλεται κατά τρόπο συνεχή στήν επιφάνεια καί εχει φορά πρός τό εσωτερικό της σπείρας, δηλαδή αντίθετη πρός τή φορά πού

εχει

ή

διανυσματική

ακτίνα της

σπείρα

r =

«(Ι,

sin

Φ

cos e)el

περιφέρειας

πού

παράγει

τή

+ (α Βίη Φ Βίη θ)~ + (α cos φ)e3

Σχ.

8-16

ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΛΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Μιά άπλή επιφάνεια εΙναι συνεκτική, αν ώς σύνολο του Ε3 είναι συνεκτικό. συνεκτική, όταν δέν ύπάρχουν ανοικτά σύνολα ΟΙ καί

τό

S

καί νά εχουν μέ τό

της σελίδας

Θεώρημα

168

8.4.

S

02

Δηλαδή ή

S

εΙναι

του Ε3, των οποίων ή ένωση νά καλύπτει

τομές διάφορες του κενου καί ξένες μεταξύ τους.

Στό Πρόβλημα

8.23

αποδεικνύεται τό επόμενο θεώρημα:

'Εάν

ειναι μιά άπλή συνεκτική επιφάνεια καί Ρ καί

S

τότε ύπάρχει ενα κανονικό τόξο πού συνδέει τά Ρ καί

Q.

Q

δύο τυχόντα σημεία της,

Δηλαδή μιά συνεκτική επιφάνεια εΙναι

κατά τόξο συνεκτική μέ κανονικά τόξα.

Στό Πρόβλημα

8.22

Θεώρημα 8.5.

'Έστω

νεκτική καί ή

S

S

αποδεικνύεται επίσης τό επόμενο αξιοσημείωτο θεώρημα:

καί Τ δύο απλές επιφάνειες, τέτοιες ωστε ή

νά περιέχεται στήν Τ.

Τότε ή

S

S

νά είναι κλειστή, ή Τ συ

καί ή Τ ταυτίζονται ώς σύνολα του Ε3.

160

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Γι' αύτό μιά κλειστή άπλή επιφάνεια εΙ ναι πλήρης, μέ τήν εννοια στι δέν μπορεί νά εΙναι γνήσιο ύποσύνολο μιας συνεκτικής άπλής επιφάνειας.

Μιά άπλή επιφάνεια εΙναι συμπαγής, αν ώς σύνολο του Ε3 εΙναι συμπαγές. συμπαγής, αν κάθε ανοικτή κάλυψη τής

S

εχει μιά πεπερασμένη ύποκάλυψη

εΙναι συμπαγής, αν εΙναι ενα κλειστό καί φραγμένο σύνολο του Ε3.

Δηλαδή ή

S

εΙναι

ή, ισοδύναμα, ή

S

Μ' αλλα λόγια μιά συμπαγής

επιφάνεια δέν εχει σύνορο, εΙναι πεπερασμένη καί ακόμα μοιάζει, κατά κάποιο τρόπο, μέ σφαίρα μέ χερούλια ή χωρίς χερούλια. V

Αν καί δ προσανατολισμό.ς μιας άπλής επιφάνειας εΙναι μιά τοπολογική ιδιότητα καί επομένως

μπορουμε νά τόν δρίσουμε αν χρησιμοποιήσουμε τήν εννοια τής συνέχειας κλπ., προτιμαμε νά όρί

σουμε τόν προσανατολισμό μέ τή βοήθεια τής διαφορικής δομής (δηλαδή των τμημάτων) τής επι φάνειας.

νΕτσι, λέμε στι μιά άπλή επιφάνεια εΙναι προσανατολίσιμη, αν ύπάρχει μιά βάση τής

τέτοια ωστε, αν Χ

= X(U, υ)

καί Χ

=

σεως, τότε στήν τομή τους εχουμε

S

Χ*(θ, φ) είναι δύο τυχόντα επικαλυπτόμενα τμήματα τής βά

O(U, υ)/σ(θ, φ) >

Ο.

Ν καί Ν* σέ ενα σημείο εΙναι ίσα εάν καί μόνο εάν

. Υπενθυμίζουμε δτι τά κάθετα διανύσματα o(u, υ)/σ(θ, φ) > Ο. . Επομένως, ή S εΙναι προ

σανατολίσιμη, εάν καί μόνο εάν μπορουμε νά όρίσουμε ενα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στήν επι φάνεια πού νά μεταβάλλεται κατά τρόπο συνεχή πάνω σ'

αύτή.

Διαισθητικά, μιά προσανατολισμένη επιφάνεια είναι μιά προσανατολίσιμη επιφάνεια στήν όποία εχει όριστεί σέ κάθε σημείο της ενα άπό τά δύο μονάδιαία κάθετα διανύσματα, τό όποίο μεταβάλ

λεται κατά τρόπο συνεχή στήν επιφάνεια. οικογένεια τμημάτων κλάσεως

Cm

του

S

' Ακριβέστερα, εστω S ενα σύνολο του Ε3 καί

J'

μιά

πού ίκανοποιοί1ν τίς εξής συνθήκες:

. Υπάρχει ενα σύνολο τμημάτων τής J" πού αποτελεί μιά βάση του S. , Εάν Χ = X(U, υ) καί Χ = Χ*(θ, φ) είναι δύο τυχόντα επικαλυπτόμενα τμήματα τής 1', τότε στήν τομή τους εχουμε O(U, υ)/σ(θ, φ) > Ο. (iii) • Η l' είναι μέγιστη. Δηλαδή, αν προστεθεί στήν l' ακόμα ενα τμήμα τής S, πού δέν ανήκει

(ί)

(ίί)

στήν

J"

Τό σύνολο

, Εάν

τότε ή ιδιότητα (ίί) παύει νά ισχύει.

S μαζί μέ τήν οικογένεια

l'

εΙναι μιά προσανατολισμένη άπλή επιφάνεια κλάσεως

Cm.

μιά άπλή επιφάνεια είναι προσανατολίσιμη, τότε αύτή μπορεί νά προσανατολιστεί, αν προ

σθέσουμε σέ μιά βάση, πού ίκανοποιεί τήν (ίί), σλα τά τμήματα πού διατηρουν τήν ιδιότητα αύτή.

, Επίσης

μιά συνεκτική προσανατολίσιμη επιφάνεια

φορετικούς τρόπους, γιατί τά τμήματα τής

J'2

S

S

μπορεί νά προσανατολιστεί μέ δύο μόνο δια

ανήκουν μόνο σέ μιά από τίς δύο οικογένειες

πού ίκανοποιουν τίς παραπάνω συνθήκες (ί), (ίί) καί (ίίί).

1'1

καί

Ή απόδειξη αφήνεται στόν αναγνώστη

ώς ασκηση.

Μιά άπλή επιφάνεια γιά τήν όποία ύπάρχει μιά βάση μέ ενα μόνο τμήμα λέγεται στοιχειώδης. Παρατηρουμε στι μιά στοιχειώδης επιφάνεια είναι προσανατολίσιμη καί δμοιομορφική μέ ενα ανοι κτό σύνολο του επιπέδου. Παράδειγμα

8.6.

•Η

σφαίρα καί ή σπείρα ε{ναι παραδείγματα

συνεκτικών, συμπαγών καί προσανατολίσιμων έπιφανειών. Τό

έλλειπτικό παραβολοειδές καί τό έπίπεδο ε{ναι παραδείγματα συνεκτικών στοιχειωδών έπιφανειών. πού φαίνεται στό Σχ.

i:va

8-17,

•Η

λωρίδα τοϋ

Moebius,

δέν ε{ναι προσανατολίσιμη.

Γιατί

κάθετο διάνυσμα, πού άρχικ:ά όρίζουμε σέ μιά περιοχή της,

μπορεί νά έπεκταθεί σ' δλη τήν έπιφάνεια κατά συνεχή τρόπο, ετσι ώστε, δταν φθάσουμε στήν άρχική περιοχή, νά εχει τήν άντίθετη φορά.

Σχ.

Παρατήρηση.

8·17

'Εάν δέν όρίζεται ρητά κάτι διαφορετικό, θά ύποθέτουμε στό έξής στι οί επιφάνειες

πού μελεταμε είναι συνεκτικές. κτική άπλή επιφάνεια κλάσεως

νΕτσι, σταν λέμε «επιφάνεια κλάσεως

Cm"

θά εννοουμε μιά «συνε

Cm».

<1:'-.'

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦ.8

161

Λυμένα ΙΙροβλήματα ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

8.1.

= uel + ve2 + f(u, v)e3

Δείξτε ότι ή χ

Cm,

όταν ή

.Η

f

είναι κλάσεως

Χ είναι κλάσεως

f

έπειδή ή

Cm.

είναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση ιcλάσεως

Cm . χ,..

=

είναι κλάσεως

+ f"ea.

el

Έπίσης

Cm.

=

Χ"

eZ

+

f"e3

καί πού δίνει τό ζητούμενο αποτέλεσμα.

8.2.

=

Δείξτε ότι ή χ C(COS

(α Βίη φ

>

ο,

-00

+ b(sin φ Βίη B)e2 + Ο < φ < 7Τ, είναι μιά

cos B)et

< θ < 00,

KανOνΙΙCή παραμετρική παράσταση κλάσεως CΦ τοϋ έλ-

222

λειψοειδοϋc (Σχ. 8-18) Χ 2ι + α

Xb22

+ Χ; = 1, c-

εχουν αφαιρεθεί τά σημεία (Ο, Ο,

άπό τό όποίο

καί (Ο, Ο,

c)

Χ2

Πε

-c).

ριγράψτε τίς θ- καί φ-παραμετρικές καμπύλες. Σχ.8-18

Έχουμε

+

sin 2 Φ COS2 θ

Sin 2 Φ

+

2

Βίη θ

COS 2 Φ

=

1

Έπίσης

(-α

sin

Φ

+

Sin e)e !

=

Χφ

(b Βίη Φ cos e)e2,

I(-bc Sin 2 Φ cos e)et -

καί

sin2 θ

IΒίη φΙ [(0,2 Μπορούμε όμως νά ύποθέσουμε ότι

IΧθ χ χφl όταν

Ο

<

Φ

<

~

IΒίη Φl [(0,2

Ο

Βίη 2

< θ

ο, ~

+ 0,2

+

b2

~

c.

b

(ο,c

cos2

Βίη 2

Φ Βίη e)e2 -

θ)c 2

sin2 Φ

νική παραμετρική παράσταση κλάσεως

C"'.

ψεις

2

= 1

cos2

φ.

Ο'ι

(c Βίη ιp)e3

cos2 φ1 Ι/2

Τότε

cos2 θ)ο,2 Βίη 2 Φ

+

0,4

cos 2 φ] Ι/2

= c cos φ,

"λ φ-παραμετρικες καμπυ ες

θ

=

στα θ .

τομές του έλλειψοειδοϋς καί τής οΙκογένειας των ήμιεπιπέδων χι

=

Ο

<

φ

ε {ναι

ο,Η

IΒϊη Φl 0,2

=

C"'.

Οί θ-παραμετρικές καμπύλες Φ

ψοειδους καί τής οίκογένειας των δριζόντιων έπιπέδων Χ3

χι + b~ 0,2

+

(b cos Φ Βίη e)e2 -

(o,b Βίη Φ cos
o, 2 b2

Έπίσης, εύκολα διαπιστώνουμε ότι ή χ είναι κλάσεως

'/1'.

+

(ο, cos Φ COS e)et

=

< οι•

cos θ,

#-

Ο

Δηλαδή ή Χ είναι μιά κανο σταθ. είναι οί τομές του έλλει '/1'.

Προφανως είναι οί έλλεί-

ή μιε λλε'ιψεις Χ2

,

που

= bR sin θ, R

δ ρι'ζονται ως • >

Ο.

ματι, εστω ότι ή τομή ενός τέτοιου ήμιεπιπέδου μέ τό έπίπεδο :Ι:ΙΧ2 εχει γιά παράμετρο τήν απόσταση τήν αρχή.

=

o,(cos g)t

Χ2

d

Συνεπως, ή τομή είναι ή ήμιέλλειψη

Μιά έπιφάνεια έκ περιστροφής

φή μιας έπίπεδης καμπύλης τοϋ έπιπέδου της.

ή

L

άξονας τής

•Η C

S

από κάθε σημείο τής χι

b(sin e)t

Χ: + C2

όπου

d

=

Ι,

t

>

από

=

0,2

cos2 e + b2 Βίη2 e

παράγεται μέ περιστρο

L

λέγεται γενέτειρα καμπύλη καί

C

λέγον

καί οί περιφέρειες πού παράγονται

C

όνομάζονται παράλληλοι τής

----χ2

S.

μιά κα

Cm στό έπίπεδο ΧΙΧ3 καί Ο, δείξτε στι ή χ = (f(t) COS θ)eι + (f(t) sin θ)ez + C

d2

Ο.

γύρω από μιά ευθεία

= f(t), Χ3 = g(t), α < t < b, είναι

νονική καμπύλη

f>

S C

t2

d2

=

Οί διαδοχικές θέσεις τής

S.

ται μεσημβρινοί τής

Έάν

t

Τότε Χι

8.3.

Πράγ

κλάσεως

(Ιι~~~ω)

Σχ.

8-19

162

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

g(t)e3,

-00

< θ < 00,

είναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως

πού παράγεται μέ περιστροφή της

C

γύρω άπό τόν άξονα Χ3.

της επιφάνειας

cm

' Επίσης, δείξτε δτι οί

t-na-

ραμετρικές καμπύλες (μεσημβρινοί) καί οί θ-παραμετρικές καμπύλες (παράλληλοι) είναι όρ θογώνιες μεταξύ τους. "Εστω «(Ι, κατά γωνία Χ3

(Ι

= g(t),

τό όποίο

επειδή οί Ι

καί

Χι

γιατί Ι

Cm.

>

Ο

(3

εΙναι

g

=

=

(el, e2' e3)

γύρω άπό τόν αξονα Χ3

διάνυσμα θέσεως ενός σημείου τής

γενέτειρας

χι

= {(t),

(3' εΙναι Χ = {(t) (Ι + g(t) (3' ' Αλλά προφανώς (f(t) cos θ )el + ({(t) sin e)eZ + g(t) e3' . Η Χ εΙναι κλάσεως

=

Ο

=

"Αρα Χ

cm. ' Επίσης

+ (Ι' sin fJ)eZ + g'e3,

Χθ

1(-g'l cos o)el - (g'l sin e)eZ

καί ή καμπύλη

Έπίσης Χι' Χθ

= e3'

κλάσεως

(ι' cos e)el

IΧ ι χ Χθl

καί

Τό

8-19.

βρίσκεται στό επίπεδο τών (Ι καί

= (COS e)el + (sin e)e2 καί

Cm,

8.4.

ή βάση πού βρίσκουμε μετά τήν περιστροφή τής

(2, (3)

θ, δπως φαίνεται στό Σχ.

χι

= I(t),

Χ3

καί επομένως οί

= g(t) t- καί

=

(-Ι

+ !'fe31 =

εΙναι κανονική.

sin e)el

+ (f cos fJ)eZ

Ι "';(g')2

+ (1,)2

#- Ο

Συνεπώς ή Χ είναι κανονική καί κλάσεως

θ- παραμετρικές καμπύλες τέμνονται όρθoγώνtα.

ΕύθεΙΟΥενής έπιφάl'εια είναι μιά επιφάνεια πού παράγεται άπό μιά μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών.

νειας.

Οί διάφορες θέσεις τών εύθειών πού τήν παράγουν λέγονται γεl'f.τειρες της επιφά

"Εστω Υ

= Y(U)

μιά

κανονική

Cm καί g(U) μία μή μηδενιζόμενη = Y(U). Δείξτε δτι ή χ = Y(U) + vg(U) είναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση μιας εύθειογενους επιφάνειας κλάσεως Cm, αν οί Υ καί g είναι κλάσεως Cm καί (Υ' + vg') χ g 01= Ο γιά κάθε (U, υ). Μιά κανονική πα ραμετρική παράσταση αύτης της μορφης λέγεται (παραμετρική) παράσταση CI50cιo;'cl'oij..; μορφl]:; . . Η καμπύλη Υ = y(U) λέγεται βασική καμπύλη η όδηγός της (παραμετρικης) παραστάσεως. διανυσματική συνάρτηση κλάσεως

'Έτσι, ό κύλινδρος [Παράδ.

γενέτειρες, δηλαδή μέ 'Όπως

επιφάνειας

g

φαίνεται στό Σχ.

εΙναι

τό

Χ

Cm,

8-20,

_ Xu

-

dy

du

+

g

152]

ειναι μιά εύθειογενι1ς επιφάνεια μέ παράλληλες

ενα τυχόν σημείο τής

= y(u) + vg(u),

άφου οί Υ καί

σελ.

8.I(c),

κλάσεως

κατά μηκος της Υ

= σταθ.

παράμετρος κατά μήκος τών γενετειρών.

σεως

καμπύλη

Cm

δπου υ

.Η

είναι κλάσεως

dg υ du •

είναι

μιά

Χ είναι κλά

Cm.

Έπειδή

Χυ = g

επεται δτι ή χ είναι κανονική, εάν καί μόνο εάν

Xu

χ Συ = (~~ + υ ~:) χ g

#-

Ο Υ

γιά κάθε σμα.

Παρατηρουμε δτι οί υ-παραμετρικές καμπύλες

u

=

σταθ. στήν παραπάνω παράσταση εΙναι οί γενέτειρες.

8.5.

= y(U)

(U, υ) πού εΙναι βέβαια τό ζητούμενο άποτέλε

Δείξτε δτι τό ύπερβολικό παραβολοειδές Χ3

= x~

Σχ.

-

8-20

x~ είναι μιά διπλά ευθειογενής επιφάνεια,

δηλαδή μπορεί νά παραχθεί άπό δύο διαφορετικές οικογένειες ευθειών.

Βρείτε παραμετρικές

παραστάσεις ευθειογενους μορφης της επιφάνειας αύτης.

=

+

Παρατηρουμε δτι Χ3 (Χι - Χ2)(ΧΙ Χι). Έτσι, ή τομή του έπιπέδου χι - Χ2 εΙναι ο{ εύθείες πού όρίζονται άπό τά επίπεδα χι - Χ2 Uo καί Χ3 uo(xl ΧΖ)'

θέσουμε χι - Χ2

= U,

Χι

+ Χ2 = υ,

όπότε χι

ραμετρική παράσταση

Χ

=

!(u

= !(u + υ),

=

Χ2

+ v)et + !(u -

= t(u -

v)e2

=

+

υ) καί Χ3

= Uo

= uv.

καί τής επιφάνειας Συνεπώς μπορουμε νά

"Ετσι Ι:χουμε τήν πα

+ uve3

=

=

στήν όποία οί u-παραμετρικές καμπύλες υ σταθ. καί οί υ-παραμετρικές καμπύλες u σταθ. είναι εύ θείες. Δηλαδή ή έπιφάνεια αύτή εΙναι μιά διπλά εύθειογενής επιφάνεια. Γράφουμε τώρα τήν Χ στή μορφή

χ

= (!ue t + ! ue2) + v(!et -

!e2 + ue3) =

=

Y(U)

+ vg(U)

=

πού εΙναι μιά παράσταση εύθειογενους μορφής, δπου Υ tuel + !Ue2, ή u-παραμετρική καμπύλη υ Ο εΙναι ή όδηγός καί τό ( = (!et - !e2 + ue3) εΙναι ενα διάνυσμα πού Ι:χει τή διεύθυνση τής τυχούσας υ-πα ραμετρικής καμπύλης.

·Ομοια, ή

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

=

χ

(!vel - !ve2)

163

+ u(!el + !e2 + ve3) Υ = !veI - !ve2 εΙναι ή όδηγός καί άντι = (!eI + !e2 + ve3) ενα διάνυσμα πού εχει τή διεύ

εΙναι μιά παράσταση εύθειογενους μορφής, στήν όποία ή καμπύλη θυνση τής τυχούσας

8.6.

όποίας οί

καί τό Ι

u-παραμετρικής καμπύλης.

'Ορθό κωνοειδές είναι τής

=Ο

u

στοιχεί στήν ν-παραμετρική καμπύλη

μιά

γενέτειρες

εύθειογενής έπιφάνεια, είναι

παράλληλες

ενα έπίπεδο Ρ καί συναντουν μιά εύθεία

κάθετη

. Η εύθεία L λέγεται άξονας ' Εάν πάρουμε ώς L τόν άξονα

του κω

στό έπίπεδο.

νοειδους.

πρός

L

Χ3 (Σχ.

δείξτε στι τό κωνοειδές εχει μιά παραμετρική

8-21)

παράσταση

χ

τής μορφής

= (υ cos θ(u))el

+

(υ

sin θ(u»e2

+ ue3

σπου θ είναι ή γωνία πού σχηματίζει ή γενέτειρα μέ τό έπίπεδο ΧΙΧ3. παράσταση

είναι

κανονική

ή θ(u) είναι κλάσεως

. Ως

καί

κλάσεως

άξονα Χ3, δηλαδή Υ

=

=

χ

Υ

+ νι

(COS e(u»eI

=

=

(ν

cos IJ(u»eI

+

(ν

κάθε (υ, θ).

Cm.

"Ετσι,

+ (νθ' cos e(u»e2 + e3' = 1(-sin IJ(u»eI + (cos e(u»e2 -

ή χ εΙναι μιά κανονική

sin e(u»e2

Χυ

= (COS e(u»el

VIJ'e31

=

[υ θ'2 2

+ (sin e(u»e2

+ 1]1/2 #

Ο

παραμετρική παράσταση κλάσεως

Παρατηρουμε επίσης δτι αν θ' # Ο, ή συνάρτηση

μιά παραμετρική

+ ue3

'Έχουμε

(-νθ' sin IJ(u»eI IΧ .. χ χvl

κλάσεως

οί γενέτειρες είναι πα

+ (sin e(u»e2

είναι μιά παράσταση τής επιφάνειας εύθειογενους μορφής.

γιά

' Επειδή

1Ι

ή

Xu

= ue3'

ΧΙΧ2, ενα μοναδιαίο διάνυσμα μέ διεύθυνση εκείνη τών γενετειρών μπορεί νά γραφεί

ι

. Επομένως

σταν Σχ. 8 - 21

όδηγό τής επιφάνειας παίρνουμε τόν του

Cm,

Cm .

ράλληλες πρός τό επίπεδο ι))ς συνάρτηση

Ρ

Δείξτε στι αύτή ή παραμετρική

Cm. δταν ή e(u) είναι e(U) εχει άντίστροφη καί ή επιφάνεια εχει

παράσταση τής μορφής

χ

=

(ν

cos IJ)eI

+ (υ

sin e)e2

+ u(e) e3

ΑΠΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

8.7.

Δείξτε στι ή χ σεως

= uel + ve2 + f(u, υ) e3

είναι ενα τμήμα κλάσεως

Cm,

άν ή

f(u, υ)

είναι κλά

Cm.

, Από τό Πρόβλημα 8.1 γνωρίζουμε δτι ή χ εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως Cm. , Απομένει νά δείξουμε δτι ή χ εΙναι ι-ι καί ή άντίστροφή της εΙναι συνεχής. Έπειδή χι U, Χ2 ν, ή Ισότητα x(u,v) x(u', ν') συνεπάγεται τίς Ισότητες u = u' καί 'Ι.' ν'. Συνεπώς, ή χ εΙναι ι-Ι. Ή άν

=

τίστροφη άπεικόνιση εΙναι ή

8.8.

κλάσεως

Cm.

Δείξτε

στι

ή

τεταρτημόριο

u

= Χ11

u>

ο,

v>

ν

=

u 2eI

άπεΙKό~ιση χ

=

=

Χ2 καί προφανώς εΙναι συνεχής.

+ uve2 + v 2e3

=

"Ετσι, ή χ εΙναι ενα τμήμα

είναι ενα τμήμα κλάσεως

C..

στό πρώτο

ο.

Προφανώς ή χ εΙναι κλάσεως

C""

καί

γιά u > Ο καί ν > Ο. Έπειδή χι = u 2, Χ2 = uv, άπό τήν x(u, ν) = x(u" ν') συμπεραίνουμε τίς u 2 = u'2 καί uv = u'v'. Έπειδή u> Ο καί u' > ο, επεται δτι u = u' καί ν = ν'. "Αρα ή άπεικόνιση είναι ι-ι

. Η άντίστροφη είναι ή u

= VX;,

υ

= X2IVX;.

'Επειδή u

άντίστροφη άπεικόνιση όρίζεται καί είναι συνεχής.

• Αρα

>

Ο, συμπεραίνουμε δτι χι

>

.

Ο καί έπομένως ή

ή άπεικόνιση είναι ενα τμήμα κλάσεως

C...

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

164 8.9.

Δείξτε ότι τό ύπερβολικό παραβολοειδές Χ3 σεως

xi/α 2 -

=

ΚΕΦ.8

X~/b2 εΙναι μιά άπλή επιφάνεια κλά

C" .

.Η

άπεικόνιση

είναι ενα τμήμα

Monge

κλάσεως

C"',

πού καλύπτει τό ύπερβολικό παραβολοειδές.

είναι τομή τοϋ ύπερβολικοϋ παραβολοειδοϋς μέ τό άνοικτό σύνολο

•Η

είκόνα τοϋ τμήματος

Ε3, συνεπώς τό τμήμα αύτό άποτελεί μιά

βάση.

8.10.

Οί επιφάνειες συχνά εκφράζονται μέ πεπλεγμένη μορφή, δηλαδή σάν σύνολα ίκανοποιοϋν μιά εξίσωση τής μορφής !(Χι, Χ2, Χ3)

= c,

όπου

c=

σταθ.

• Από

S

τοϋ Ε3 πού

τό θεώρημα τών

πεπλεγμένων συναρτήσεων, πού μπορεί νά βρεθεί σέ κάθε βιβλίο άπειροστικοϋ λογισμοϋ, τό

σύνολο

S

μαζί μέ όλα τά τμήματα τοϋ

είναι κλάσεως

Cm

καί στό τυχόν σημείο τοϋ

!Χ Ι ' !Χ2' !Χ3 είναι διάφορη τοϋ μηδενός.

τιμές τής

c

κλάσεως

S

γιά τίς όποίες ή εξίσωση

=

=

Cm

εΙναι μιά άπλή επιφάνεια, όταν ή

!

μία τουλάχιστον άπό τίς μερικές παραγώγους

S

Χρησιμοποιώντας τά προηγούμενα προσδιορίστε τίς

xi - 2χι

+ Χ2Χ3 = c

προσδιορίζει μιά άπλή επιφάνεια.

=

=

'Έχουμε ΙΧ ι 2Χι - 2, fX2 χ 3 , fX3 Χ2, οί όποίες μηδενίζονται συγχρόνως, έάν καί μόνο έάν χι 1, Χ2 Ο, Χ 3 Ο. . Αλλά οί τιμές αύτές ίκανοποιοϋν τήν xi - 2χι + Χ2Χ3 c, έάν καί μόνο έάν c -1. 'Άρα ή x~ - 2χι + Χ2Χ3 = c προσδιορίζει μιά άπλή έπιφάνεια γιά κάθε c # -1, πού είναι καί τό ζη

=

=

=

=

τούμενο άποτέλεσμα.

8.11.

Οί δευτεροβάθμιες επιφάνειες όρίζονται άπό εξισώσεις τής μορφής 3

!

3

Σ α;ίΧίΧί

+

ti=l

Σ bixi Ι=Ι

+

ο

C

Μέ στροφή καί μεταφορά τοϋ συστήματος συντεταγμένων μπορεί νά άποδειχθεί στι οί μή τε τριμμένες επιφάνειες μποροϋν νά μετασχηματιστοϋν σέ μιά άπό τίς παρακάτω εξι περιπτώσεις (Σχ.

8-22).

(1) , Ελλειψοειδές:

(2)

2

χι α

2

2

2

+ Χ22 + Χ32 = b

(1)

ΧΙ+ α

2

α

1

2

χι α2

Χ: = 1 c

- bX: _

X~ -2 α

παραβολοειδές:

Δευτερο β άθμιος κώνος:

c2

b2

222

Χ;

Έλλειπτικό παραβολοειδές:

(5) , Υπερβολικό

(6)

222 Χ 2_ Χ3 __

'Υ περ βλ . ο οει δ ές (μονοχωνο):

(3) , Υπερβολοειδές (δίχωνο):

(4)

1

C

+ -bX~2 -

-x~2 - -X~2 α b 2

+ Χ2 b2 _

Χ3

Ο

=

Χ3

=

Ο,

(

2

Χ3 C 2

=

Ο

Χι, Χ2, Χ3) -F (Ο) ο, Ο,

(3)

(5)

(4)

(6)

χ

Χ2

Σχ. 8 -22

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

165

Χρησιμοποιώντας τή μέθοδο του Προβλήματος 8.10, δείξτε δτι καθεμιά από τίς παραπάνω εξισώσεις εκφράζει μιά άπλή επιφάνεια κλάσεως

. χ; Για! = -2 ± α

x~ Χ;" b 2 ± ? εχουμε

!χ

c-

8.12.

= - 2 ,!χ 2 = α

C"'.

2Χ2 ±-b ,!χ 2

3

2Χ3 = ±-2 . c

'Όλες

αυτες

Άλλά ή άρχή δέν άνήκει στίς (Ι), (2), χ2 χ2

Γιά τίς ύπόλοιπες δύο, όπου!

είναι σ' ολες τίς περιπτώσεις κλάσεως νεια κλάσεως

ι

= (Ο, ο, Ο).

χρόνως, έάν καί μόνο έάν (Χι, Χ2, Χ3)

παραπάνω έπιφάνειες.

2x l

= a~

.

μηδενιζονται

b~ - Χ3, εχουμε !Χ3 = -1 "'" Ο.

±

Τελικά ή !

Συνεπώς, καθεμιά άπό τίς συναρτήσεις έκφράζει μιά άπλή έπιφά

C"'.

C"'.

Δείξτε δτι μιά κανονική παραμετρική παράσταση είναι τοπικά ι-ι και αμφισυνεχής.

αν Χ

= x(u, υ)

νολο

U,

ι-ι

συγ-

(3) καί (6) άπό τίς

είναι

μιά

κανονική

δείξτε δτι γιά κάθε

(u,

παραμετρική

υ) στό

παράσταση

όρισμένη

ύπάρχει μιά περιοχή

U

S(u,

Δηλαδή,

σέ ενα ανοικτό σύ

υ) στήν όποία ή Χ είναι

κα ί αμφισυνεχ ής. 'Υπενθυμίζουμε ότι στήν άπόδειξη του Θεωρήματος

8.1

ή τάξη του Ίακωβιανου πίνακα τής χ είναι δύο.

Έπομένως μπορουμε νά ύποθέσουμε ότι σέ κάθε σημείο

(u, υ) ύπάρχει μιά Ι-Ι άπεικόνιση χι = x,(u, v), Χ2 = X2(U, υ) κλάσεως Cm, m == 1, όρισμένη σέ ενα άνοικτό σύνολο W πού περιέχει τό (u, υ) καί ή όποία εχει άντίστροφη άπεικόνιση τής 'ίδιας κλάσεως. ' Επίσης ξέρουμε ότι ύπάρχει ενα τμήμα Monge χ = xIe) + X2e2 + !(Χι, x2)e3 όρισμένο στήν εικόνα του W τής παραπάνω άπεικονίσεως, έτσι ωστε ό περιορισμός τής

χ

= x(u,

υ) στό

W

νά ταυτίζεται μέ τή σύνθετη άπεικόνιση

χ

, Αλλά

ή

W,

νεχής στό

8.13.

=

xt(u, v)e l

+

+

x2(u, v)e2

!(xI(u, υ), X2(u, v»e3

χ, άφου προκύπτει άπό τή σύνθεση δύο Ι-Ι καί άμφισυνεχών άπεικονίσεων, είναι Ι-Ι καί άμφισυ τό όποίο καί άποδεικνύει τήν πρόταση.

Μπορεί νά δειχθεί δτι, αν Χ

= x(u, υ)

είναι ενα τμήμα μιας άπλής επιφάνειας

καί Ρ ενα

S

σημείο στό πεδίο τιμων του τμήματος, τότε ύπάρχει μία τουλάχιστον σφαιρική περιοχή

του Ε3, τέτοια ωστε ή τομή της μέ τήν επιφάνεια

νά περιέχεται στό τμήμα Χ

S

Χρησιμοποιήστε τό αποτέλεσμα αυτό γιά νά δείξετε δτι κάθε τμήμα τής μέ ενα ανοικτό σύνολο του Ε3.

' Από

καλύπτουν μιά άπλή επιφάνεια

είναι τομή τής

S

αυτό βέβαια επεται στι κάθε οικογένεια τμημάτων πού

είναι μιά βάση τής

S

S

S(P)

= x(u, υ).

S.

=

Έστω G ή είκόνα ενός τμήματος χ x(u, υ) τής S. ' Από τήν ύπόθεση έχουμε ότι γιά κάθε Ρ στό G ύπάρχει περιοχή S(P) τέτοια ιοστε S(p)n S c G. 'Έστω 0= uS(P). Παρατηρουμε ότι τό σύνολο Ο

είναι άνοικτό, έπειδή είναι ενωση άνοικτών συνόλων. 'Υποθέτουμ/τώρα ότι Q είναι ενα τυχόν σημείο του G. Έπειδή Q Ε S(Q), επεται ότι Q Ε Ο = uS(P). 'Αλλά Q Ε S, συνεπώς καί Q Ε SnO. Έπομένως G c SnO. 'Αντίστροφα, ύποθέτουμε δτι Q Ε S~ Ο. 'Επειδή SnO = Sn [~S(P)] = ~ [SnS(p»). επεται δτι τό

G

Q

άνήκει σέ κάποιο

= S n Ο,

σύνολο του

8.14.

'Έστω Χ χα στά

SnS(P).

Άλλά

Συνεπώς

SnS(P)cG.

Q

Ε

πού είναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα, δηλαδή κάθε τμήμα τής

G, S

όπότε

SnOcG. S

είναι τομή τής

'Έτσι έχουμε μέ ενα άνοικτό

Ε3.

= x(u, υ)

καί Χ

ανοικτά σύνολα

= Χ*(θ, φ) U

καί

δύο τμήματα μιας άπλής επιφάνειας

U*,

'Έστω

W καί W* τά αντίστοιχα G n G*. Δείξτε στι τά σύνολα W

πού

ύποσύνολα των

καί

S

εχουν επικαλυπτόμενες εικόνες

W*

U

καί

U*

όρισμένα αντίστοι

G

καί

G*

στήν

S.

πού απεικονίζονται στήν τομή

είναι ανοικτά στά αντίστοιχα (παραμετρικά) επί

πεδά τους. 'Έστω (uo,vo) ενα σημείο τοι) W

μέ εικονα Ρο στό GnG*. 'Έστω S.(P o) καί Sδ(Ρ ο ) περιοχές του S.(Po)nS c G καί Sδ(Ρο)nS c G*. 'Υποθέτουμε ότι • "'" δ, όπότε S.(P o) n S c G n G*. 'Επειδή ή x(u, υ) είναι συνεχής, ύπάρχει Sδ (uo, Vo) τέτοια ωστε .γιά κάθε (u, υ) στήν Sδ n U τό σημείο x(u, υ) νά άνήκει στήν S.(Po) καί συνεπώς ~τό GnG*. 'Αλλά τό U είναι άνοικτό. "E~σι, γιά άρκετά μικρό δ 2 έχουμε στι τό (u,v) άνήκει στό W καί φυσικά τό x(u,v) στό 6nG*, δταν τό (u,v) άνήκει στήν περιοχή Sδ (u o, vo). επεται στι τό W είναι άνοικτό. Μέ ' Επειδή τό (uo, vo) είναι τυχόν σημείο του Ρο τέτοιες ωστε

w,

παρόμοιους 2 συλλογισμούς μπορουμε νά άποδείξουμε δτι καί τό W* είναι άνοικτό.

8.15.

'Έστω Χ

= x(u, υ)

ενα τμήμα μιας άπλής επιφάνειας

σύνολο U καί μέ εικόνα G καί εστω Χ

Monge

τής

S

=

Χ*(Χι, Χ2)

όρισμένο στό ανοικτό σύνολο

V*

S

=

κλάσεως

xIe)

Cm

όρισμένο στο ανοικτό

+ x2eZ + Χ! (Χι, xZ)e3

καί μέ εικόνα

G*

ενα τμήμα

πού περιέχεται στό

G,

δ-

Κ ΕΦ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

166 πως φαίνεται στό Σχ.

κάθε (U, υ) στό

απεικόνιση

Δείξτε δτι ύπάρχει ενα ανοικτό σl)νολο

= XI(U, υ), Χ2 = xAu, υ)

απεικόνιση χι Ο γιά

8-23.

Χ

τού

W

ωστε ή

Χ

επί τού

V*

X(U, υ)

=

κλάσεως

Cm.

καί μιά

U

δπου Ο(ΧΙ, Χ2)!θ(ιι,

νά ταυτίζεται στό

μέ τή

W

Ι-Ι

V)·oF

σίΝθετη

υ), Χ2(ΙΙ' υ)).

= X*(XI(u"

7

τέτοια

W,

τοl>

W

8

"

" ..... _-----

v

Χι Χ2

--

..,,--------Χ2

Xt(U, υ)

= =

-------.. X2(U, υ\

Σχ.

8-23

Σύμφωνα μέ τό προηγούμενο

πρόβλημα {Υπάρχει ενα άνοικτό σύνολο W τού U, τέτοιο ωστε ή Χ νά GnG* = G*. 'Επειδή οί χ, χ* ε!ναι ι-ι. ύπάρχει μιά ι-ι απεικόνιση χι τού W επί τού V*. τέτοια ωστε στό W νά ε!ναι Χ(IΙ, υ) = χ*(χι(ιι, v), Χ2(ΙΙ, v». δτι οί χι = χι(ιι, υ), Χ2 = X2(U, υ) ε!ναι κλάσεως C,n καί iJ(X l , X2)IiJ(ll, υ) '"'" Ο. • Αλ

απεικονίζει τό Χι(IΙ, υ),

Χ2

, Απομένει λά

οί

W επί = Χ 2 (IΙ, υ)

τού

νά δείξουμε

= Χι(1(, υ)

χι

X(1.l,11) ε{ναι κλάσεως

καί

= Χ2(ΙΙ, υ)

Χ2

Cm,

ε{ναι

οί Μο

επεται δτι καί οί χι

τάξη τών 'Ιακωβιανών πινάκων τών

Χ

=

πρώτες

= XI(U, v),

χ(ιι, υ) καί χ

=

Χ2

συντεταγμένες

= Χ 2 (IΙ, υ)

Χ*(Χι, Χ 2 )

τής χ

= χ(ιι, v).

ε!ναι κλάσεως

'Επειδή

ή

Τέλος, αφού ή

C'n.

είναι σέ κάθε σημείο δίJΟ, τό διαφορικό

καί τών δύο συναρτήσεων σέ κάθε σημείο ε!ναι μιά ι-ι γραμμική απεικόνιση τών διανυσμάτων πού βρίσκονται στά αντίστοιχα παραμετρικά τους επίπεδα επί ενός επιπέδου τού Ε3.

. Υπενθυμίζουμε

δτι τό διαφορικό τής

συνθέσεως δύο απεικονίσεων προκύπτει από τή σύνθεση τών διαφορικών τών απεικονίσεων.

=

φορικό τής απεικονίσεως χι επιπέδου

χι

ιιυ

έπί

XI(U, υ), Χ2

=

τών διανυσμάτων

=

X 2 (U, υ)

τού

επιπέδου

είναι επισης

δύο σέ

ΧΙΧ2'

• Επομένως,

ή

κάθε σημείο' δηλαδή

' Αποδείξτε

τό Θεώρημα

θ

Στήν τομή

8.3:

Χ*(θ, φ) μιας άπλής επιφάνειας

S

κλάσεως

= θ(u, υ),

Φ =
ο(θ,

, Από θΦ

τό Πρόβλημα

αντίστοιχα,

θ(ΙΙ, V),

Φ

πού

= φ(ιι, υ)

δτι οί θ(ΙΙ, υ)

8.14, W

Monge

Χ

W* , τέτοια κλάσεως Cm καί

(uo, vo)

v*

του

V*

κόνιση

ι-ι

απεικόνιση

επί ενός ανοικτού συνόλου

iJ(X I , x2)/iJ(u, υ) '"'" Ο. λου

=

χι

V**

θ(Χι, Χ2),

φ

=

Φ(Χι, Χ 2 )

' Από

είναι

iJx2IiJu

iJx2/iJt'

Χ

χι(ιι, v), Χ2

S. S

= X2(U,

καί

1- Ι

απεικόνιση χι

=

# Ο γιά κάθε

= x(u, υ),

Χ

=

v o),

=

Θεώρημα

ποί) περιέχει τό Ρ.

' Από

ενός ανοικτού συνόλου

Χι(θ, Φ), Χ2

φ(ιιο, vo» επί τού

V**,

=

ιιυ καί

απεικόνιση θ

=

'Απομένει νά δείξουμε

γιά κάθε (ιι, υ) στό

Σίψφωνα μέ τό υ)

1- Ι

Cm

W. ύπάρχει ενα

8.1

τό προηγούμενο

V

πού περιέχει

στό

V

καί εχει

Χ2(θ, φ) ενός ανοικτού συνό

ή όποία είναι κλάσεως

κλάσεως

Cm

καί ακόμα iJ(θ, φ)/iJ(χι, Χ2) #' Ο.

επί

Cm

. Επομένως,

ή

θ

=

υ» ε!ναι κλάσεως Cm στό V lωί iJ(θ, φ) = λ " ... W ίJ(ιι, υ)

X 2 (U,

ίJ(θ, φ) iJ(Xl' Χ2)) #ο. Ε πει δ'η το. "• περιεχει . . ( ) δ' '( το UO' Vo. η αδη ενα τυχον σημείο τού iJ( Χ Ι 'Χ2 ) "U,V θ θ(ΙΙ, v), Φ φ(ιι, υ) είναι κλάσεως C", στό W καί ίJ(θ, φ)/iJ(u, υ) # Ο παντου στό W.

=

τής

τό θεώρημα τής αντίστροφης συναρτήσεως, ή αντίστροφη απει

θ(ll, υ) = θ(Χι(ΙΙ, v), X2(U, 'J» καί Φ = φ(ιι, υ) = φ(χι(ιι, υ),

'

πίνακα

στά επίπεδα

W*

X~(θ(ΙΙ, υ), φ(ιι, υ».

iJ(θ, φ)/iJ(u, υ) '"'" Ο

τής

W

Έπίσης ύπάρχει μιά

τοί, επιπέδου :Ι:ΙΧ2, ή όποία είναι κλάσεως

τού επιπέδου θΦ πού περιέχει τό (θ(ΙΙ ο ,

=

δτι

x(u, υ) =

μέ εικόνα τό Ρ στό

'Επίσης ύπάρχει μιά

καί εχει iJ(Xl, Χ2)/iJ(θ, φ) '"'" Ο. θ

ωστε

= Χ(Χι, Χ2) = xleI + X2e2 + Χ3(ΧΙ, x Z)e3

πρόβλημα ύπάρχει μιά τό

W

iJXlIiJV)

πού όρίζεται σέ ενα ανοικτό σύνολο, ετσι ωστε νά εχουμε

επί τού

'Έστω (UO' VO) ενα σημείο τού

τμήμα

' lακωβιανοί,

συνδέονται μέ μιά Ι-Ι απεικόνιση

γνωρίζουμε δτι ύπάρχουν δύο ανοικτά σύνολα

καί φ(ιι, υ) ε{ναι

τού

iJX /iJu

δύο έπικαλυπτόμενων τμημάτων

cm, οί παράμετροι

απεικονίζονται επί τής τομής τών τμημάτων.

τού

τάξη

det (

(ιι, υ) στό W, πού ε!ναι καί τό ζητούμενο αποτέλεσμα.

8.16.

'Έτσι, τό δια

v), Χ2 = Χ 2 (II, υ) είναι μιά ι-ι γραμμική απεικόνιση τών διανι,σμάτων τού

XI(U'

,επεται δτι ή

Κ Ε Φ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

8

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ

8.17.

167

ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟΣ

Βρείτε τίς εξισιί>σεις του εφαπτόμενου επιπέδου καί τής καθέτου στήν επιφάνεια, πού δίνεται

από τό τμήμα

=

χ

+ Ve2 +

ueI

u = 1,

στό σημείο (ποί! αντιστοιχεί στό)

(U 2

V2 )e3

-

= 1.

V

"!Ξχουμε

"Ετσι

Υ

τό

Χ(l,

=

+

1)

hx,,(l, 1)

εΙναι τι'J έφαπτόμενο επίπεδο στό 'Επίσης

=

Ν

==

Υ

'Άρα

!χ,,(1,l) χ

χ(l, 1)

Υ

8.18.

+ kN(1,

εξίσωση της

=

καθέτου στό

ή εικόνα τής καμπύλης σφαίρα

χ

k)e3

1)

1) ==

+

(1 - !k)et

+ i k)c2 +

(1

kke3

= (cos

θ

+ 2t)e2 +

(1

te3'

< t <

-a:;

%

Χ(l,l),

t>

στή

+ lz)e t + (1 + k)e2 + 2(h -

(1

x v (l, 1)1

+

(1 - 2t)et

Δείξτε Ότι Ο,

χ χ ι,(l,

=

t = k/3,

η, αν θέσουμε

ποί, εΙναι τι

+ kx,(l, 1)

x(l,l). xu!l, 1)

= logt,

θ

φ

= 2 Tan-tt,

+ (sin θ sin
sin rp)et

τέμνει τούς μεσημβρινούς, δηλαδή τίς φ-παραμετρικές καμπύλες,

κατά σταθερή

γωνία

γωνία

Ο μεταβάλλεται

πρός τό

00,

t

Παρατηρήστε δτι, Όταν τό

"./4.

βάλλεται από τό Ο πρός τό

μετα

καί στή συνέχεια πρός τό

1

ή

00,

από τό -Χ) πρός τό Ο καί στή συνέχεια

ενώ ή γωνία Φ μεταβάλλεται από τό Ο πρός τό

καί σnΙ συνέχεια πρός τό τ..

"./2

νΕτσι, ή καμπύλη στρέφεται έλι

Σχ. 8 - 24

κοειδώς γύρω από τό βόρειο καί τό νότιο πόλο, δπως φαίνεται στό Σχ.

8-24.

"Εχουμε

= (- sin

Χθ

Χθ'Χθ =

Το ,

,

sίn 2 φ,

-

CCS α

Χφ της

sin

Χθ'Χφ =

Ο,

,

Χφ

= (cos 1,

1

=

+

cos

,dy

που σχηματι ει η εφαπτομενη

dt

=

+

φ)c ι

ι'

Χθ

(sin

θ

cos φ)e2

-

(sin

φ)e3,

dφ

1

dt

dt

dθ

dφ

dt +

Χφ ΙΙϊ

της καμπύλης μέ τήν εφα-

φ-παραμετρικης καμπύλης εΙναι

Χφ dφ [ . 2 (dθ)2 (ddΦt)2 lJ -Ι/2 !dΥ/dt!!χφ! = dt stn Φ dt + 2

θ

dθ

Χφ'Χφ =

'ζ' ,

.

α

φ)e2,

_2_ 1 + t2

(dy/dt)·

=

Συνεπώς α

+ (cos θ

φ)el

sin

συνημιτονο της γωνιας

πτομένη

8.19.

θ

[

t2

π/4

=

(1

4t

+

2

t 2 )2

σιαΟ.,

1

t2 +

(1

4

+ t2)2

J-

[

"ίη 2

(2 Tan- I t)

+

t2

-l/2

4

(1

+ )2 t2

J

1/2

= 1/V2

ποί! είναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

Δείξτε στι το εφαπτόμενο Ιπίπεδο σ' Όλα τά σημεία μιας γενέτειρας (α) του κυλίνδρου καί

(b)

ενός από τούς κλάδους τής εφαπτόμενης επιφάνειας μιας καμπύλης είναι σταθερό. (α)

Ό κύλινδρος ώς ει)θειογε\'ής επιφάνεια εχει παράσταση Χ

Χι

'Έχουμε

'!Ξπειδή

τό Ν

άπoτέλcσμα.

είναι

=

= y(t) Υ',

XU

άνr.ξάρτητο

+ vg,

g =

=

χι χ X u

g,

της

σταθ. Φ

=

παραμέτρου v

Ο,

Υ' χ

g

κατά

Υ' χ

καί

g

Φ

Ν

ο Υ' χ

g

ΙΥ' χ

gl

μηκος μιας γενέτειρας,

Επεται τό ζητοί)μενο

Κ ΕΦ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

168 •Η

(b)

= y(s)

εφαπτόμενη επιφάνεια μιας καμπύλης Χ

μετρική παράσταση

•Η

ποl) δέν εχει σημεία καμπης όρίζεται άπό τήν παρα

+ vt(s)

= y(s)

Χ

επιφάνεια δέν εΙναι κανονικη οταν

Ο, δηλαδή κατά μηκος της καμπύλης Χ

v =

8

>

κρίνουμε δύο κλάδους της. ποl) άντιστοιχουν στό v

<

Ο καί v

Ο.

>

Γιά v

όπότε δια

= Y(S),

Ο εχουμε

vt χ t όπότε τό Ν

=

Xs

χ Xv

tχt

Ix s

χ

lϊ χ

ρόμοια ίσχύουν γιά

xvl v

<

είναι άνεξάρτητο της παραμέτρου

tl

κατά μηκος μιας γενέτειρας.

v

Πα-

ο.

ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΛΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

8.20.

'Εάν ή

είναι συνεχής σέ κάθε σημείο Χ του Ε3, δείξτε δτι τό σύνολο των σημείων Μ

f(x)

του Ε3 πού ίκανοποιουν τήν 'Υποθέτουμε δτι

ενα σημείο χο

=c

είναι κλειστό.

άνήκει στό συμπλήρωμα

> Ο τέτοιο If(x) - f(xo)1 < tlc - c*1

f

ή

f(x)

εΙναι συνεχι1ς στό χο. ύπάρχει δ

Συνεπώς f(x)

=F c γιά κάθε Χ στήν Sδ(ΧΟ)'

δμως τό χο εΙναι ενα τυχόν σημείο του

MC

του Μ.

ή

f(xo)

= c* =F c.

Έπειδή

c*1 < tlc - C*I

!f(x) -

"Ετσι δλα τά Χ της Sδ(ΧΟ) επεται δτι τό

MC,

Τότε

ωστε γιά κάθε Χ στήν περιοχή Sδ(ΧΟ) νά εχουμε

άνήκουν επίσης στό

είναι άνοικτό.

MC

• Αρα

τό Μ

Έπειδή

MC.

εΙναι κλειστό.

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

8.21.

Μέ τή βοήθεια του Προβλήματος

συμπαγείς: (α) x~

8.20 προσδιορίστε ποιές = 1, (b) x~ + x~ + x~ = 1 .

+ ~x;

• Από τό Πρόβλημα 8.20 εχουμε δτι τό σύνολο τών σημείων πού ίκανοποιουν τήν εξίσωση X~ + X~X; = 1 εΙναι κλειστό. Δέν εΙναι δμως φραγμένο. Πράγματι, εστω χι 1/V2. Τότε ή εξίσωση γίνεται

(α)

=

x~

= 1/2Χ;.

ή

επιφάνεια δέν εΙναι συμπαγής.

Παρατηρουμε τότε δτι τό Χ2 τείνει στό απειρο, δταν τό Χ3 τείνει στό μηδέν.

Τό σύνολο τών σημείων πού ίκανοποιουν τήν εξίσωση x~

(b)

+ x~ + x~ = 1 "" 1, Ixzl "" 1,

εΙναι καί φραγμένο, γιατί επαληθεύονται οί άνισότητες IΧιl

8.22.

από τίς έπόμενες έπιφάνειες είναι

'Αποδείξτε τό

Θεώρημα

, Εάν S S

8.5:

εΙναι κλειστό.

Συνεπώς

Έδώ δμως

"" 1.

IΧ31

καί Τ είναι άπλές έπιφάνειες, τέτοιες ωστε ή

είναι κλειστή, ή Τ συνεκτική καί ή

νά περιέχεται στήν Τ, τότε οί

S

S

νά

καί Τ ταυτίζονται

ώς σύνολα του Ε3. 'Υποθέτουμε δτι

φανώς, Μ*

=F

Φ,

S =F M*uS

Τ.

=Τ

"Εστω Μ* τό σύνολο τών σημείων της

καί

M*nS

= φ.

Τώρα εστω Ρ

ξουμε δτι ύπάρχει ενα άνοικτό σύνολο Ορ του Ε3 ή είκόνα ενός τμήματος της

G

OpnS τώρα

ωστε

= G.

ενα

Άλλά τό

σημείο

S(Q) nS

Q

= φ.

G

S

Συνεπώς

Έπειδή

S(Q) n

Τ

ή

8.23.

' Αποδείξτε

' Αλλά

εΙναι

S

c Μ*.

τό Θεώρημα

8.4:

κλειστή

"Εστω ΟΙ

εΙναι τά σύνολα

αύτό είναι άδύνατο, επειδή ή

' Εάν

ή

Τ

πού δέν άνήκουν στήν

καί τέτοιο ωστε

Opn Τ c S.

καί

= u Ορ Ρ

S

'Επομένως

Q (/. S, καί

καί Μ*

02

Opn Τ

ύπάρχει μιά

'Έστω

= US(Q). Q

= G c S.

περιοχή

Τότε

τά

S(Q)

"Εστω τέτοια

ΟΙ καί

02

άντίστοιχα, πού ε{ναι μή κενά καί ξένα

εΙναι συνεκτική.

"Ετσι άποδεικνύεται τό θεώρημα.

είναι μιά συνεκτική άπλή έπιφάνεια, τότε ή

S

Προ

S.

Θέλουμε πρώτα νά δεί

S.

Τότε ύπάρχει ενα άνοικτό σύνολο Ορ τέτοιο ωστε

εΙναι επίσης είκόνα ενός τμήματος της Τ.

του Μ*.

είναι άνοικτά καί οί τομές τους μέ τό Τ μεταξύ τους.

πού περιέχει τό Ρ

πού περιέχει τό Ρ.

Τ

τυχόν σημείο της

είναι

S

κατά τόξο συνεκτική μέ κανονικά τόξα. 'Υποθέτουμε δτι ή

S

εΙναι συνεκτική καί δτι ύπάρχουν δύο σημεία Ρ καί

νά ενωθουν μέ ενα κανονικό τόξο.

'Έστω Μι τό σύνολο τών σημείων της

S

Q

τό Ρ καί Μ 2 τό σύνολο τών σημείων πού δέν μπορουν νά ενωθουν μέ τό Ρ.

Τώρα εστω Ρ* Ε Μι. ωστε Ρ*

ή

C

Op.nScM l ,

καί

(UO, Vo)

S

πού δέν μπορουν

Παρατηρουμε δτι Μ 2

Θέλουμε νά δείξουμε δτι ύπάρχει άνοικτό σύνολο Ορ. πού περιέχει τό Ρ*

"Εστω Χ

= x(u,v)

ενα τμημα πού περιέχει τό Ρ*,

C

=

=

=F

φ.

καί τέτοιο

ενα κανονικό τόξο άπό τό

τό σημείο του παραμετρικου επιπέδου πού άπεικονίζεται στό Ρ*.

εΙναι μιά κανονική καμπύλη

"Εστω τώρα

της

πού μπορουν νά ενωθουν μέ

Ρ στό

Στό παραμετρικό επίπεδο

u U(t), v υ(Ι) μέ ενα ακρο τό (UO, Vo) δπως φαίνεται στό Σχ. 8-25. S(uo, vo) μιά περιοχή του (uo, vo), στήν όποία ή άπεικόνιση Χ είναι όρισμένη. Παρατηρουμε

Κ ΕΦ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

8

δτι μιά τέτοια περιοχή καί

νά

παραμείνει

ενα τμήμα της κουν

S,

στό Μ ι).

ύπάρχει άφου τό τμήμα χ όρίζεται σε ενα άνοικτό σύνολο.

S(uo, Vo)

= U(t), v = V(t)

νά δοϋμε δτι ή u

κανονικό

169

τόξο.

. Αλλά

τότε ό

περιορισμός τής

άπεικονίσεως

δλα τά σημεία του όποίου μπορουν νά ενωθουν μέ τό Ρ*

Άλλά ώς τμήμα τής

ενα άνοικτό σύνολο Ορ.

του Ε3

Q* ε!ναι ενα OQ.nScM 2 •

εΙναι τομή ενός άνοικτου συνόλου

S

πού περιέχει τό Ρ* καί τέτοιο ωστε

Ορ. μέ τό

Op.nS

C Μι.

σημείο του

Μ 2 , τότε ύπάρχει ενα άνοικτό σύνολο

καί τέτοιο ωστε

'Έστω τώρα

ΟΙ

=

S

καί εχουν μέ τό

κατασκευή τους εΙναι άνοικτά, καλύπτουν τό

καί

01"

U

Ρ*

τομές αύτές ε!ναι τά σύνολα Μ ι καί Μ 2 άντίστοιχα).

02 =

Ρ (αρα άνή

"Ετσι, ύπάρχει

S.

Μέ δμοιο τρόπο άπο

OQ' πού περιέχει τό Q*

Τά σύνολα ΟΙ καί

OQ"

U

Ο*

S(UO' vo) S(UO, Vo) εΙναι

χ στήν

καί συνεπώς μέ τό

δεικνύεται στι, αν

κτική.

ΕΙναι εύκολο

μπορεί νά επεκταθεί μέχρι τό τυχόν σημείο (U, υ) τής περιοχής

02

άπό τήν

τομές μή κενές καί ξένες μεταξύ τους (οί

S

Αύτό δμως ε!ναι άδύνατο, έπειδή ή

S

εΙναι συνε

'Έτσι, άποδεικνύεται τό θεώρημα.

v

χ

= X(U,V)

..-------...

u

Σχ.

8-25

'Άλυτα Προβλήματα =

8,24.

Δείξτε δτι ή χ t(u + v)el + t(u - v)e2 + uve3 ε!ναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως C'" του ύπερβολικου παραβολοειδους Χ3 = X~ - X~. Περιγράψτε τίς u- καί υ-παραμετρικές καμπύλες της.

8.25.

Βρείτε μιά κανονική παραμετρική παράσταση του όρθου κυλίνδρου πού εχει όδηγό τήν ελλειψη του έπιπέδου

ΧΙΧ2'

8,26.

Βρείτε μιά βάση (άπό τμήματα) του έλλειψοειδους

8.27.

. Εάν G καί G* S, πού εχει γιά

8.28.

8.30.

8.31.

[(-g' cos θ)eι - (g' Sin o)e2

Xi

Δείξτε δτι τό μονόχωνο ύπερβολοειδές

S,

δείξτε στι ύπάρχει ενα τμημα της

+

x~ - x~

+ f'e 3]/[(f')2 +

=1

χ

= f(u)(cos o)eI + f(u)(sin o)e2 +

(g')2)1/2.

εΙναι μιά διπλά εύθειογενής επιφάνεια.

Βρείτε τήν έξίσωση του εφαπτόμενου έπιπέδου καί τής καθέτου στήν επιφάνεια χ

uve3

στό σημείο

u

= 1,

= -1.

v

2

G n G*.

Δείξτε δτι τό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της εκ περιστροφής έπιφάνειας

=

2

1.

2

2

ε!ναι οί εΙκόνες δύο τμημάτων μιας άπλής επιφάνειας εΙκόνα τήν τομή

g(U) e3, ι> Ο. είναι Ν 8.29.

xi + x~ Χ5 b + c

α2

xi x~ α + b =1

= (U + v)eI + (U -

1I)e2

+

Δείξτε στι ό περιορισμός τής παραμετρικής παραστάσεως τής σπείρας

χ

=

(b

+ α sin φ)(cοs o)eI +

(b

+ α sin φ)(sίη o)e 2 +

(α

cos

φ)e3

σέ καθένα άπό τά τρία παρακάτω άνοικτά σύνολα εΙναι τμήμα καί δτι τά τρία αύτά τμήματα άποτελουν μιά

βάση τής σπείρας: (α) Ο

-!π 8.32.

<

φ

<

θ

<

217'.

Ο

<

Φ

<

217'.

(b) -π

<

θ

<

π,

-π

<

Φ

<

π,

(c)

-i'" <

θ

< ~π,

Βρείτε μιά παραμετρική παράσταση εύθειογενοϋς μορφής τής εύθειογενοϋς επιφάνειας πού εχει γιά όδηγό τήν

καμπύλη

(Sin U)e2'

12

~π.

< Υ

= ueI

+ u2e2 +

u3e3. U

>

Ο,

καί

γενέτειρες παράλληλες

μέ τό διάνυσμα

Δείξτε στι ή παραμετρική παράσταση είναι κανονική καί κλάσεως

C"'.

g = (COS u)el

+

Κ ΕΦ.

Η fΞNNOIA ΤΗΣ IΞΠΙΦANfΞΙAΣ

170

8

'Ένας λ'ώνος εlναι μιά ει)θειογενής επιφάνεια, τής όποίας οί γενί:τεφι:ς διέρχονται άπό ενα σταθερό σημείο ρ,

8.33.

ποι) όνομάζεται κορυφή.

'εάν

g(ll) είναι ενα μή μηδινικ() διάνυσμα παράλληλο πρ6ς τήν άντίστοιχη γι:\'{:

+ Vg(1l)

τειρα, δείξτε στι

ή

σταν

εlναι κλάσεως

Ο, ή

v #-

g

χ := Ρ

είναι

μιά κω'ονική

καί

Cm

Χ

g

g' #-

Ο

παραμετρική

παράσταση το\,

κώνο\) κλάσεως

Cm,

γιά κάθι: Η.

Δείξτε στι τ6 εφαπτόμενο επίπεδο κατά μήκος μιας γενέτειρας κώνοι> είναι σταθερό.

8.34.

'Ένα όρθό ελικοειδές είναι ενα όρθό κωνοειδές (Πρόβλ.

8.35.

σταθερή ταχύτητα γιφω άπό τ6ν ίiξoνα. εχει μιά

παραμετρική

σι:λ.

163),

στ6 όποίο οί γενέτι:φες στρέφονται μΙ:

παράσταση τής μορφής

χ

(υ COS

:=

Δείξτε στι, σταν ενα σημείο Ρ

8.36.

R.6,

Δείξτε δη ενα ι'φθό tλικοr.ιδές, ποι) Εχει γιά ίiξoνα τόν ίiξoνα Χ3'

τόν αξονά του μέχρι τό

e)el

+ (υ

sin e)e Z +

(α

+ be)e,J'

b #- Ο

κινείται κατά μήκος μιας γενέτειρας εν6ς όρθου ελικοειδους (Πρόβλ.

8.35)

ιιπό

τότε τό άντίστοιχο μοναδιαίο κάθπο διάνυσμα στρέφεται γύρω άπό τή γενέτειρα

"',

ετσι ωστε ή γωνία πού σχηματίζει μέ τόν αξονα νά μεταβάλλεται άπό Ο μέχρι

π/2.

Δείξτε επίσης δτι ή

εφαπτομένη τής γωνίας αύτής εlναι άνάλογη της άποστάσεως του σημείου άπ6 τόν αξονα.

Δείξτε δτι τό εφαπτόμενο επίπr.δο τής έφαπτόμενης επιφάνειας μιας καμπύλης

8.37.

κατά μήκος μιας γενέτειρας

ταυτίζεται μέ τό εγγύτατο επίπεδο της καμπί,λης στό σημείο τής καμπί,λης άπ6 τό όποίο διέρχεται ή γενέτειρα.

.Η

8.38.

μέ

λωρίδα

του

εlναι

Moebius

παραμετρική

παράσταση

μιά εύθειογενής επιφάνεια

=

χ

+

Υ(θ)

vg(θ),

δπου

-! < v
καί

= (COS θ)eι

+ (Sin e)e2

= (siη!θ COS θ)eι + (sin !θ sin θ)e2 + (COS tθ)e3

g(e)

'Επαληθεύστε τήν ίδιότητα δη τό μοναδιαίο κάθετο διά νυσμα άλλάζει φορά, δταν διαγράψει μία φορά τήν περι

= (COS e)el + (sin e)e2

φέρεια Υ

'Εάν στό Πρόβλημα

8.39.

8.38

8-26).

άφαιρέσουμε άπό τή λωρίδα τοι>

τήν περιφέρεια χ

Moebius

(Σχ.

= (cos e)el + (sin e)e2'

δείξτε

δτι ή επιφάνεια ποί) άπομένει είναι συνεκτική καί προσα

Σχ.8-26

νατολίσιμη.

= y(t)

'Εάν χ

8.40.

Δείξτε δτι ό

8.41.

8.42.

εlναι μιά κανονική καμπυΛη κλάσεως

u = U(t), V

ή καμπύλη

κωνος

:= υ(Ι)

x~

α

x~

2 + b2

cm

ενός τμήματος

Χ,Ι

-

C2

=

Ο,

Χ3

>

Ο, (χι, Χ2, Χ3) #- (Ο, ο, Ο),

δείξτε δτι

Cm.

είναι μιά στοιχειώδης επιφάνεια

είναι ενα μή μηδενικό διάνυσμα παράλληλο πρός to εφαπτόμενο έπίπεδο μιας άπλής επιφάνειας σέ

= dy/dt

δείξτε δτι ύπάρχει μιά καμπύλη χ :=

y(t) της έπιφάνειας ΠΟ!' διέρχεται άπό τό Ρ ετσι ωστε

στό Ρ.

'Έστω

ενα

C

κανονικό τόξο κλάσεως

τυχούσα περιοχή του καί νά παραμείνει

'Εάν

\

Cm,

κλάσεως

'Εάν Τ

'Εξετάστε αν οί επόμενες επιφάνειες είναι συμπαγείς: (α) 'Απ. (α) Μή συμπαγής, (b) συμπαγής.

8.45.

κλάσεως

C''''.

τ

8.44.

= X(U, ν)

κλάσεως

ενα σημείο Ρ,

8.43.

χ

το\, παραμετρικού επιπέδου είναι μιά κανονική καμπύλη

S

των τής

(UO, Vo).

ατό επίπεδο ιιυ μέ ενα ακρο τ6

Δείξτε δτι τ6

κανονικό τόξο κλάσεως

C Cl.

(b)

xi -

2Χι

+

x~

= χ(ιι, υ),

χ

=

i:=

1,2,

νά ίσχί)ουν τά έξης

(ί)' Η

J';

Χ*(θ, φ) άνήκουν στήν ΊΌ, τότε στήν τομή [χουμε

μέγιστη, δηλαδή, αν προσθέσουμε στήν

Fi

1.

(UO, VO) και εστω S(UO' Vo) μιά S(U O' vo)

J'

δλων των τμημά

διαιρείται κατά μοναδικό τρόπο σέ δlJΟ μή κενές ξένες μεταξύ τους ί,ποοικογένειες

'Fi'

+ xi

μπορεί νά επεκταθεί πρός κάθε σημείο (ιι*, ν*) τής

εlναι μιά συνεκτική προσανατολίσιμη άπλή επιφάνεια, δείξτε δτι ή οίκογένεια

S

τέτοιες ωστε γιά κάθε

χ

Cl

xi - x~ + x~ = 1,

ενα αλλ ο τμήμα της

S,

εlναι μιά βάση.

ίι(ιι, ν)/ίΙ(θ, φ) τότε ή

>

'Fl

καί

'F2'

(ίί)

'Εάν τά τμήματα

Ο.

(ίίί)' Η Ί' ;

είωι

ίδιότητα (ίί) παί)ει νά ίσχί>ι:ι.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

'Υπενθυμίζουμε δτι μιά καμπύλη του Ε3 όρίζεται μονοσήμαντα από δύο τοπικά αναλλοίωτα με γέθη, τήν καμπυλότητα καί τή στρέψη, δταν τά μεγέθη αυτά εκφράζονται ώς συναρτήσεις του μήκους

τόξου. πού

'Όμοια, μιά επιφάνεια του Ε3 όρίζεται μονοσήμαντα από δύο τοπικά αναλλοίωτα μεγέθη,

λέγονται αντίστοιχα πρώτη καί δεύτερη θεμελιώδης μορφή.

'Έστω χ

= X(U, υ) ενα τμήμα μιας επιφάνειας κλάσεως Cm, m:::;" 1. Ξέρουμε δτι τό διαφορικό = χ(u,'υ) στό σημείο (1.ι,υ) είναι μιά Ι-Ι καί επί γραμμική απεικόνιση dx =

τής απεικονίσεως χ Xu

du

+

Xv

πού απεικονίζει τό τυχόν διάνυσμα

dv

νυσμα Xu du

+ X v dv

"Ας σημειωθεί δτι χρησιμοποιουμε τά σύμβολα διαφορικά τών συναρτήσεων συντεταγμένων στό μένες ένός διανύσματος στό επίπεδο

(du, dv)

πάλι μέ

(du, dv)

του επιπέδου

τής επιφάνειας στό αντίστοιχο σημείο

. Ανάλογα

uv.

x(u + du, v

+ dv)

=

x(u,

στό εφαπτόμενο διά

υ), δπως φαίνεται

συμβολίζουμε τήν τιμή του διαφορικου

'Υπενθυμίζουμε ακόμα δτι τό

dx.

uv

στό Σχ. 9-1. du, dv Ύιά νά εκφράσουμε από τή μιά μεριά τά επίπεδο uv καί από τήν άλλη μεριά τίς συντεταγ

X(U,

dx

+

υ)

ίκανοποιεί τή σχέση (βλ. Θεώρ.

dx

+

στό

dx 7.12)

o((du2 + dvψ/2)

τό διάνυσμα dx είναι προσέγγιση πρώτης τάξεως του διανύσματος x(u + du, v + dv) x(u, υ), δπου τό x(u, υ) παριστάνει κάποιο σημείο του τμήματος καί τό x(u + du, υ + dv) ενα

Δηλαδή

γειτονικό του σημείο.

υ

/,.+,.,.+,., (!Ι, υ)

-----.. U

Σχ.

9-1

Θεωρουμε τώρα τή συνάρτηση Ι πού ή τιμή της στό τυχόν διάνυσμα

(du, dv)

του επιπέδου

uv

είναι

= (Χ'λ du + x v dv) • (x u du + Xv dv) (Xu • xu)du 2 + 2(xu· xv)du dv + (Χ υ • x v)dv 2 =

I(du, dv)

dx· dx

δπου θέσαμε

Ε =

Xu· X u ,

'Η συνάρτηση αυτή, πού συμβολίζεται Ι

F =

X u • Χυ ,

= dx· dx

πρός

du

καί

Οί

dv.

συναρτήσεις τών

u

καί

v.

Συχνά στή

+

2F du dv

+

G dv 2

G = χυ • Xv

= Ε du 2

= x(u, υ) καί είναι μιά συντελεστές Ε, F καί G λέγονται

μελιώδης μορφή του τμήματος χ

Ε du 2

+ 2F du dv + G dv 2 ,

(9.1) λέγεται πρώτη θε

όμογενής συνάρτηση δεύτερου βαθμου ώς

θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως καί είναι

βιβλιογραφία όρίζεται ώς πρώτη θεμελιώδης μορφή Ι μιά

συνάρτηση στο εφαπτόμενο επίπεδο, τής όποίας ή τιμή στό τυχόν εφαπτόμενο διάνυσμα

Χυ

dv = dx

είναι

I(dx) = Edu 2

+ 2Fdudv + Gdv 2 171

xu du

+

r ΠΡΩΤΗ

172

Γνωρίζουμε ότι τό διάνυσμα εχει άρχή τό σημείο

x(U, υ)

ΚΑΙ

ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

στό σημείο

dx

x(u, υ) είναι κατά σημείο x(U + du, v + dv)

καί πέρας. τό

Κ ΕΦ.

9

προσέγγιση τό διάνυσμα πού του τμήματος.

Θά δουμε πα

ρακάτω ότι ή Ι έξαρταται κατά κάποιον τρόπο μόνο άπό τήν επιφάνεια καί όχι άπό τό συγκεκρι μένο τμήμα τής επιφάνειας. Χ*(θ, φ)

Πράγματι, αύτό άληθεύει μέ τήν έξής εννοια:

. Υποθέτουμε

είναι ενα άλλο τμήμα πού ή εικόνα του τέμνει τήν εικόνα του άρχικου τμήματος

Τότε ό άντίστοιχος επιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός θ ρικό στό σημείο

(U, υ)

ότι Χ

=

X(U, υ).

= θ(u, υ), Φ = ΙP(U, υ) εχει διαφο

dv) στό διάνυσμα (dθ, dιp), τό όποίο δί νεται άπό τίς σχέσεις dθ = θ υ du + θ υ dv, dq, = Φ" du + Φυ dv. Ό ισχυρισμός ότι ή Ι είναι άνε ξάρτητη του τμήματος σημαίνει δτι οί θεμελιώδεις μορφές Ι καί 1* ταυτίζονται κάτω άπό τήν άν τιστοιχία του παραπάνω μετασχηματισμου, δηλαδή I(du, dv) = Ι*(dθ, dιp). Αύτό μπορουμε νά τό επαληθεύσουμε μέ τή

Ι*(dθ, dιp)

πού άπεικονίζει τό διάνυσμα (dιι,

βοήθεια του κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως:

=

!dX*j2 I(Χ:θ"

=

jX: dθ + Χ: dιf>I2

IΧ:(θ" du + θ υ dv) + χ:(φ,. du + Φυ dV)j2

=

+ Χ:φ,,) du + (Χ:θ υ + Χ:Φυ) dVj2

jx" du + Χ υ dVj2

= Idxj2 =

I(du, dv)

Τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως δέν παραμένουν άναλλοίωτα στούς παραμετρικούς μετα σχηματισμούς, άλλά μετασχηματίζονται ώς έξής: χ.χ

Ε

u.

=

U

Χ*'Χ*θ θ

'Όμοια

•

2 U

(Χ*θ θ

U

+χ*..ι.). (Χ*θ +χ*..ι. Φ Ψu

θ

2Χ*·Χ*θ..ι.

+

θ

Φ

u't'u

+

Φ Ψu

U

)

χ*.χ*..ι.2 Φ

Ε*θ,:

Φ 't'u

2Ρ*θ υ Φ"

+

+

Ε*θ;

+

2Ρ*θ υ Φυ

(9.3)

G*ιp~

+

Τέλος, άς σημειωθεί δτι ή πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι θετικά όρισμένη.

(du, dv) εχουμε ι:;" , Επίσης, έπειδή τά !Xu du + Χυ dVl 2 = Ο

>

, Επειδή Ο, G >

Ο, ενώ Ι

=

> Ο.

Ο εάν καί μόνο εάν

διανύσματα

χ,. καί Χ υ

εάν καί μόνο εάν

du

du

=Ο

καί

είναι γραμμικώς

=Ο

καί

dv

= Ο.

ανεξάρτητα

Δηλαδή γιά κάθε

Προφανώς εχουμε

1= jdxl2:;"

δτι

Ι

= Ο.

dv

EG - F2 >

Ο.

Αύτό επαληθεύεται εύκολα.

Xu:/= Ο

Πράγματι, επειδή τά Xu καί Xv είναι = xu • Xu = Ixul2 > Ο καί G = X v ' Xv = ταυτότητας [F t ] της σελίδας 10, βρίσκουμε δτι

καί X v :/= Ο, όπότε Ε

'Επίσης, μέ τή βοήθεια τής διανυσματικης

EG - p~ = (Xu' Xu)(X v ' Χ υ ) - (Xu' Xv)(Xu' Xv ) = (Xu χ Xv ) • (X u χ Xv ) = IXu χ Xvl 2 , Αλλά

Ο.

= IdxI2 =

ή Ι είναι θετικά όρισμένη, τά θεμελιώδη μεγέθη πρέπει νά ίκανοποιουν τίς σχέσεις

Ο καί

γραμμικώς άνεξάρτητα, εχουμε

Ixvl2

(9.2)

F

βρίσκουμε

G

Ε

G*ιp~

σέ κάθε σημείο εχουμε

Xu χ

Χ"

:/=

Ο, όπότε

EG - F2

>

(9.4)

Ο.

Πολλές φορές, στίς πρακτικές εφαρμογές, μιά επιφάνεια δίνεται άπό μία κανονική παραμετρική παράσταση.

Σ' αύτή τήν περίπτωση, ύποθέτουμε πάντοτε δτι οί ίιπολογισμοί γίνονται σ' ενα κα

τάλληλο περιορισμό της, ωστε νά εξασφαλίζεται τό Παράδειγμα

Θεωρούμε τήν έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τό τμήμα

9.1.

Χ

Ι

καί

=

Ε

= (u + v)e l

du 2 + 2F du dv +

G

= u

+ v,

Φ

=u-

v,

+ (u - v)e2 + uve3

dv 2 =

Παρατηρούμε ότι σέ κάθε σημείο (U, υ) εχουμε Ε θ

>

Ο,

(2 +

v2) du 2 + 2uv du dv +

G >

Ο καί

Χθ

= + !θe3, e}

= oet + φe2 + :!-(θ - φ )e3 Ε* = Χθ' Χ θ = 1 + !θ , F* = Χθ

Χφ

=

e2 -

!φe 3 ,

2

2

• Εάν

θέσουμε

= 2,

Φ

=

Ο, όπότε Ε*

2

•

Χφ

=

-:!-θΦ, G*

= Χφ • Χφ = 1 + !φ 2

=

u = 1, v = 1 εχουμε Ε = 3, F = 1, G 3. . Αλλά στό = 2, F* = Ο, G* 1. Δηλαδή τά πρωτα θεμελιώδη μεγέθη δέν πα

Παρατηρούμε ότι στό σημείο (πού άντιστοιχεί στό)

'ίδιο σημείο εχουμε θ

EG - F2 =

+ u2) dv 2 4 + 2u2 + 2v 2 > Ο. (2

τότε ή επιφάνεια δίνεται έπίσης άπό τό τμήμα

Χ

Έχουμε

1-1 καί νά μπορεί νά θεωρηθεί τμήμα.

ραμένουν άναλλοίωτα στούς παραμετρικούς μετασχηματισμούς.

=

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

9

173

ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Τά πρωτα θεμελιώδη

μεγέθη παίζουν

βασικό ρόλο στόν ύπολογισμό τοϋ μήκους τόξου, τής

γωνίας έφαπτόμενων διανυσμάτων καί τοϋ έμβαδοϋ μιας επιφάνειας. α ~

t ~ b,

ενα

κανονικό

τόξο ενός τμήματος Χ

X(U, υ).

=

'Έτσι, εστω Χ

= X(U(t), υ(Ι»,

Γνωρίζουμε δτι τό μήκος του δίνεται

άπό τό όλοκλήρωμα

dt Sα (dXdt' dX) b

Jrα

=

dt

b [(

Xu

du dv Ε dt + 2F Τι dt + Sα [(dU)2 b

s

'Επομένως

112

du dt

(dU dV)J!!2 + Χ" dV) dt . Χ.,. Τι + Χ" dt dt

(dv)2]

]/2

G dt

(9.5)

dt

'Έτσι τό μήκος ενός τόξου έπιφάνειας εξαρταται άπό τήν πρώτη θεμελιώδη μορφή.

"Ας ύποθέσουμε δτι

= Χ" du + Χ" dv

dx

σματα στό σημείο Χ μιας έπιφάνειας.

dx' 8χ Idx!!Bxl

COSa

f3

είναι δύο έφαπτόμενα διανύ

+ Χ" dv) • (X

(Χ" du

Bu

u

dx

καί δχ, τότε

+ Χ" δυ)

IX u du + Χ" dvllxtί Su + χ" δυ! EduBu + F(duBv + dv Bu) + G dv δυ [Ε du2 + 2F du dv + G dvzγ/2 [Ε Bu2 + 2F Bu δυ + G δυΨ/2

= Είδικά, αν

= Χ" su + Χ" δυ

καί δχ

'Εάν α είναι ή γωνία των διανυσμάτων

(9.6)

είναι ή γωνία των U- καί υ-παραμετρικων καμπυλών στό σημείο Χ, δηλαδή ή

γωνία

τών διανυσμάτων χ ... καί Χ" στό σημείο αυτό, τότε Xu'X"

Xu'X"

cοsβ

(9.7)

'Από τά παραπάνω εχουμε τό επόμενο θεώρημα: Θεώρημα 9.1. (α) dx = xu du + Χ" dv,

'Έστω

δΧ

ή σχ*ση

(b)

Οί

F

= Ο.

= x(u, υ)

Χ

= Χ., Bu + Χ" δυ

καί υ-παραμετρικές

u-

9.2.

=

Χ

μιας

έπιφάνειας.

~ π/2.

Τά

έφαπτόμενα

διανύσματα

καμπύλες

ενός

τμήματος

είναι

=

Ο

όρθογώνιες,

έάν

καί μόνο

έάν

Δίνεται ή μοναδιαία σφαίρα

+

(COS e sin φ)e ι

(sin e sin

Θεωρούμε τήν είκόνα τής καμπύλης

t

τμήμα

EduSu + F(duBv + dv su) + Gdv δυ

Παράδειγμα

Ο ~

ενα

αυτής είναι κάθετα μεταξύ τους, εάν καί μόνο έάν ίσχύει

φ)eΖ

+

(COS φ)e3

e = log cot (π/4 -

t/2), φ = π/2 - t, 9-2, ή είκόνα αύτής ξε

·Οπως φαίνεται καί στό Σχ.

κινάει άπό τόν ίση μερινό καί στρέφεται ελικοειδώς γύρω άπό τό βόρειο

πόλο.

Γιά νά προσδιορίσουμε τό μήκος της ύπολογίζουμε τά μεγέθη

Ε

e sin φ)eι +

Xe

(- sin

Χφ

(COS θ cos φ)eι

=

Χθ • Χθ

de dt

=

= sin2 Φ,

cosec 2

F

+

(COS

e sin φ)eΖ

(sin e cos

φ)e2

= Χθ' Χφ = Ο,

(r./4 - t/2)

=

2 cot (π/4 - t/2)

G

- (sin φ)e3

= Χφ • Χφ = 1

Σχ.9·2

1

1

2 sin (π/4 - t/2) cos (π/4 - t/2)

sin

(π/2

-

Ι)

dφ

καί

dt

=

-1

"Ετσι. ό περιορισμός τής πρώτης θεμελιώδους μορφής κατά μήκος τής καμπύλης, γιά τήν όποία εχουμε φ δίνει

καί επομένως

Ι

=

Ε (de) 2 + dt

8

-

2F do dφ dt dt

Ι ο

+

G

(ddΦt)2

= Jnr

=

sin Φ sin2 (π/2 _ Ι) 2

1T12

Πl2

VIdt

ο

V2dt

=

π/ΥΖ

+

1

=

2

=

π/2

- t,

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

174

Παρατηροϋμε δτι ή καμπύλη σχηματίζει σταθερή γωνία α

==

ποιήσουμε τή σχέση Φ

π/2

dX

cosa

==

cos4-

)

dt'

(

. Υποθέτουμε

- t,

( Xu

Χθ

==

Ι

dθ

(Ο"'"

+

t

==

μέ τούς παράλληλους Φ

σταθ.

9

Πράγματι, αν χρησιμο

~~ π/2)

•

dΦ\1

+

Ι Χθ dt

τώρα δτι ΔR

του όποίου τό σύνορο

* Χφ ~) Χ()

εχουμε

Κ ΕΦ.

Χφ dt

Χ()

Ε ~~ + ~ F

•

ν'ιΥΕ

1==

(

==

Βίη 2 Φ

sίn(π/2-t)

) (

1 1) 1

.,f2sίn φ

==.,f2

είναι ενα αρκετά μικρό κλειστό σύνολο, στήν εικόνα ενός τμήματος,

αποτελουν οί γειτονικές υ-παραμετρικές καμπύλες

παραμετρικές καμπύλες υ καί υ

+ dv,

δπως φαίνεται στό Σχ.

u

καί

u

+ du

καί οί U-

Σάν μιά πρώτη προσέγγιση του

9-3.

εμβαδου του ΔR παίρνουμε τό εμβαδόν του παραλληλογράμμου, του όποίου πλευρές είναι τά δια

νύσματα Δχι

= X u du

καί ΔΧ2

= Xv dv.

Μέ τήν ύπόθεση δτι

du>

dv >

Ο καί

Ο, τό εμβαδόν δίνε

ται από τή σχέση

ΔS

=

ΙΔχι χ ΔΧ2!

= Ixu χ ΧυΙ du dv

= VEG - F2 du dv

Αύτό μας όδηγεί σέ ενα γενικότερο όρισμό του εμβαδου σέ μιά επιφάνεια.

κλειστό συνεκτικό σύνολο, πού περιέχεται στήν εικόνα ενός τμήματος Χ

τό σύνορο του

R

Πράγματι, εστω

= X(U, υ)

R

ενα

(ύποθέτουμε δτι

καί μιά περιφέρεια μπορουν νά συνδεθουν μέ μιά Ι-Ι κανονική, εκτός από πεπε

ρασμένο αριθμό σημείων, αμφισυνεχή απεικόνιση).

Τό εμβαδόν του

R

όρίζεται ώς τό διπλό όλο

κλήρωμα, δταν βέβαια αύτό ύπάρχει,

ΙΙ VEG-F2dudv

Α

(9.8)

νι

δπου

W

είναι τό σύνολο του παραμετρικου επιπέδου πού τό τμήμα τό απεικονίζει στό

Σχ.

R.

9-3

"Ας σημειωθεί δτι σέ μιά προσανατολισμένη επιφάνεια ό προηγούμενος όρισμός του εμβαδου είναι ανεξάρτητος του τμήματος πού καλύπτει τό

πού περιέχει τό

R

R.

Πράγματι, εστω Χ

= Χ*(θ, φ) ενα άλλο τμήμα

>

Ο σέ κάθε σημείο

(U,

καί τέτοιο ωστε a(θ, φ)/a(u, υ)

κολα νά δειχθεί από τίς εξισώσεις

(9.2)

καί

(9.3)

υ) του

W.

Μπορεί εύ

δτι

EG - F2 = (E*G* - F*2)[a(B,

φ)/a(u, υ)]2

(9.9)

όπότε τό θεώρημα μετασχηματισμου πολλαπλών όλοκληρωμάτων δίνει

ΙΙ VEG -

Α

F2 du dv =

W

=

ιι

f.f yE*G* W

yE*G* - F*2

a(θ,φ)

F*2 - - du dv a(u, υ)

dθdφ = Α*

W·

δπου

W*

είναι τό σύνολο του παραμετρικου επιπέδου θφ στό όποίο ό επιτρεπτός παραμετρικός με

τασχηματισμός απεικονίζει τό συνολο ανεξάρτητο του τμήματος.

W.

.Η

σχέση αύτή αποδεικνύει δτι τό εμβαδόν του

R

είναι

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ

9

lΙαράδειγμα

Θεωροίψε τήν ιωνονικιι

9.3.

σπείρας.

'Έχοιιμε

παραμετρική

παράσταση (Παμ<Ιδ.

= (b + α Sin φ)(cοs e)e I + = Χα· χο = (b + α sin φ)2, F

Χ της

ΚΑΙ ΔΕΎΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

Ε

(b

=

+

α

sin

φ)(siη e)e:!

= Ο,

X/J· Χφ

R.5,

+

σελ.

158)

(α cos φ)e:J

Χ φ • Χφ

G =

175

= a2.

Τό

έμβαδόν

τής

έπιφά

νι:ια~ μπορεί νά ι'ιπολογιστεί. άφοί' ό περιορισμός τής παιιαπάνω παραστάσεως στό έσωτερικό του πεδίου όλοκληρ<ο σεως

είναι ενα τμllμα.

'Έτσι εχουμε

.ff

=

S

ο

dφ

VEG - F2 de

I~"" [f ""'α(b + 2

==

< θ ~ 2π

Ο

(1

sin

φ) dφJ (lθ

=

4π 2 αb

Ο

Ο ~~ Φ ~ 2π

ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ

. Υποθέτουμε

δη Χ

ΜΟΡΦΗ

= x(u, 'υ) είναι ενα τμημα μιας επιφάνειας κλάσεως Cm, m Χ

,u X

κάθε σημε1:0 του αντιστοιχεί ενα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα Ν =

χχ

v,

u χ Xv

::="

2.

Τότε σέ

καί ετσι προσδιορίζεται

μιά απεικόνιση Ν από τήν επιφάνεια στή μοναδιαία σφαίρα (απεικόνιση του

Gauss),

πού είναι κλά

= N u du + 9-4, τό διάνυσμα dN, πού προσδιορίζεται από τήν τιμή του διαφορικου dN στό διάνυσμα (du, dv). είναι κάθετο στό Ν. αφου είναι εφαπτόμενο στή (σφαι ρική) εικόνα της Ν. Αυτό επεται επίσης από τίς σχέσεις 0= d(l) = d(N· Ν) = 2dN· Ν. Συνεπώς τό (lN είναι ενα εφαπτόμενο διάνυσμα της επιφάνειας στό' σημείο Χ αυτης, δπως φαίνεται καί στό Σχ. 9-4(b). σεως τουλάχιστον

CI

ώς

πρός τίς μεταβλητές

u

καί

v

καί τό διαφορικό της είναι

dN

'Όπως παρατηρουμε καί στό Σχ.

N v dv.

Ν

(b)

(α) Σχ.

9·4

Θεωρουμε τώρα τή συνάρτηση Π πού ή τιμή της στό τυχόν διάνυσμα aυ

είναι

=

=

(du, dv)

του έπιπέδου

+ X vdv). (Nu dv + Nvdv) 2 -Xu· N u du (Xu • Νι, + X v • N u ) du dv - X v • Νιο dv = L du 2 + 2Μ du dv + Ν dv 2 δπου L = -Xu· N u, Μ = -!(Xu • N v + X v • Nu), Ν = -Χυ· N v (9.10) 'Η συνάρτηση αύτή, ποl\ συμβολίζεται ΙΙ = -dx· dN = L du 2 + 2Μ du dv + Ν dv 2 , λέγεται δεύ II(du, dv)

-dx· dN

-(x u du

2

τφη θφελι(ίιδης μορφή του Χ τηση μη'iθη

= x(u,

δεύτερου

βαθμοι)

ώς πράς

δεύτφης

τά';cως

καί

υ).

du

είναι

Παρατηρουμε πάλι έδώ δτι ή Π είναι μιά όμογενής συνάρ

καί

dv

μέ συντελεστές

συναρτήσεις

τών

u

καί

v.

L,

Μ καί Ν, πού λέγονται θφελιώδη

'Όπως

καί στήν

περίπτωση της Ι,

συχνά ώς· δεύτερη θεμελιώδης μορφή όρίζεται μιά αντίστοιχη συνάρτηση στό εφαπτόμενο επίπεδο. Ευκολα αποδεικνύεται δτι ή ΙΙ παραμένει καί αύτή αναλλοίωτη, σπως ή Ι, στούς παραμετρικούς

μετασχηματισμούς ποί) επιπλέον διατηρουν τή φορά τοί) Ν. αλλάζει πρόσημο.

. Επίσης,

εκείνα της πρώτης τάξεως. γιά τό όποίο ισχύει a(θ,

'Όταν ή φορά δέν διατηρείται, ή Π

τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως μετασχηματίζονται ανάλογα μέ

Δηλαδή, αν Χ

>

= Χ*(θ, φ)

είναι όποιοδήποτε αλλο τμημα της επιφάνειας,

Ο, τότε στήν τομή των τμημάτων εχουμε

L*O~

+ 2M*O u ΙPu + N*φ~

Μ

Ν

(9.11) L*θ~

+ 2Μ*θ"Φυ + N*φ~

'Η άπόδειξη τών παραπάνω ιδιοτήτων τiiς ΙΙ αφήνεται ώς ασκηση στόν αναγνώστη.

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

176 , Επειδή

τά διανύσματα X u καί

είναι κάθετα στό Ν σέ κάθε σημείο

xv

x(U, υ),

9

εχουμε

= (Xu ' N)u = Xuu ' Ν + X u ' N u, Ο = (Xu' N)v = Xuv ' Ν + X u ' N v, Ο = (Xu ' N)u = Xvu ' Ν + X u ' N u καί Ο = (Xv ' N)v = Xvv ' Ν + X v ' N v Xuu'N = -xu.Nu , xuu,N = -xu'Nu -Xv'Nu καί xvv'N = -xu'N ο

Συνεπώς

'Έχουμε ετσι καί άλλες εκφράσεις γιά τά εχουμε

(9.10)

, Επίσης π

Μ, Ν.

Πράγματι,

Ν

Χιιιι'Ν,

L =

μέ

τή

βοήθεια

τών

σχέσεων

(9.12)

= xvv'N

εχουμε

= L du 2

δπου

L,

v

d 2x

+

2Μ du

+

dv

Ν

dv 2 =

Xuu' Ν du 2

= Xuu du + 2x uv dzt dv + Xn, dv 2

της Χ στό σημείο

2

+

είναι ή

2x u v' Ν du dv

+

Χ υυ ' Ν

κατά κατεύθυνση

(u, υ) κατά τήν κατεύθυνση (du, dv).

dv 2

= d x, Ν 2

(9.13)

παράγωγος δεύτερης τάξεως

Τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης

τάξεως ύπολογίζονται καί δταν ακόμα δίνεται μιά παραμετρική παράσταση.

' Ακολουθοϋμε

τότε

τήν ίδια διαδικασία πού εφαρμόσαμε στήν περίπτωση τοϋ τμήματος. Παράδειγμα

Θεωροϋμε τήν έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τό τμήμα

9.4.

Χ

=

l{et

+ ve2 + (u 2 -

v 2 )e1'

'Έ-

χουμε

"Ετσι, τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως εΙναι

L

=

xuu'N

=

2(4u 2 +4v 2 +1)-I12,

=

Μ

xuv'N

Ο,

Ν

x vv

-2( 4u2 + 4v 2 + 1) -

'Ν

1/2

ένώ η δεύτερη θεμελιώδης μορφή ε!ναι

=

11

+

L du 2

2Μ

du dv

+

Ν

dv 2

2(4u 2 + 4v 2 + 1)-l/2(du2 - dv 2)

Ύποθέτουμε δτι Ρ είναι ενα σημείο μιας

επιφάνειας κλάσεως

~

C"', m

μα πού περιέχει τά Ρ, ή

προβολή

τοϋ

PQ

Q.

επί

2, Q

'Έστω

d

d

ενα τμη

= PQ' Ν

τοϋ μοναδιαίου κά

θετου διανύσματος Ν στό Ρ (Σχ. τηροϋμε δτι ό

ενα σημείο

= x(u, υ)

στήν περιοχή τοϋ Ρ καί Χ

9-5).

Παρα

εΙναι θετικός ή αρνητικός, α

νάλογα μέ τό άν τό σημείο

Q

βρίσκεται στή

μία ή τήν άλλη πλευρά τοϋ εφαπτόμενου επι

πέδου στό Ρ. πόσταση τοϋ

Έπίσης ή

Idl

εκφράζει τήν α

Σχ.

Q από τό εφαπτόμενο επίπεδο στό

Ρ. . Υποθέτουμε τώρα δτι , Από τόν τύπο τοϋ Taylor

d

τά

Ρ καί

εχουμε

=

Q

, Αλλά dx' Ν = Ο, (9.1\3) εχουμε

αφοϋ τό

x(u, υ) καί x(u + du, v + dv). + 1d2X + o(du2 + dv 2). 'Έτσι

είναι αντίστοιχα τά σημεία

x(u + du, v

+ dv)

= x(u, υ)

+ du, v + dv) - x(u, v))· Ν [dx + !d2x + o(du2 + dv 2)]. Ν = dx' Ν +

PQ' Ν

9-5

+

dx

(x(u

dx

!d2x, Ν

+

o(du2 + dv 2)

είναι εφαπτόμενο διάνυσμα της επιφάνειας στό Ρ.

Συνεπώς, από

τήν

.. Αρα

ή Π εκφράζει προσεγγιστικά τό διπλάσιο της (αριθμητικης) προβολης τοϋ διανύσματος

στό Ν, ενώ ή LΠL εκφράζει προσεγγιστικά τό διπλάσιο της αποστάσεως τοϋ

Q

PQ

από τό εφαπτόμενο

επίπεδο στό Ρ. 'Η συνάρτηση

όρίζει

δ

= tn

=

!(Ldu2 + 2Μ dudv

+ Ν dv 2)

μιά επιφάνεια πού λέγεται έγγύτατο παραβολοειδές στό Ρ.

'Η μορφή

αύτοϋ προσδιορίζει τή μορφή της επιφάνειας σέ μιά περιοχή τοϋ Ρ.

τοϋ παραβολοειδοϋς

Διακρίνουμε τέσσερις περι

πτώσεις, πού εξαρτώνται από τό πρόσημο ή τό μηδενισμό της διακρίνουσας

LN -

Μ2.

ΚΕΦ.9

(ί)

ΠΡΩΤΗ

Έλλειπτικό σημείο:

>

Μ2

Ο.

Στήν

ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

177

'Ένα σημείο μιας επιφάνειας λέγεται έλλειπτικό, άν σ'

περίπτωση αύτή ή

ώς συνάρτηση των

8

πτικό παραβολοειδές, δπως φαίνεται καί στό Σχ. 9-6(α). τό πρόσημο σ' δλα τά σημεία (διανύσματα)

(du, dv).

καί

du

dv

αύτό είναι

LN -

προσδιορίζει ενα ελλει

Παρατηρουμε άκόμα δτι ή δ διατηρεί Στήν περιοχή ένός ελλειπτικου σημείου

ή επιφάνεια βρίσκεται πρός τό ενα μέρος του εφαπτόμενου επιπέδου της στό σημείο αύτό καί

εχει τή μορφή του Σχ. 9-6(α).

(b) LN-M2 <

Ο

(c) LN-M2 (α)

(ii)

Ο

LN-M2>

Σχ.

'Υπερβολικό σημείο:

<

Μ2

Ο.

Στήν

9-6

'Ένα σημείο μιας επιφάνειας λέγεται ύπερβολικό, άν σ' αύτό είναι

περίπτωση

αυτη

ή δ

ώς συνάρτηση των

λικό παραβολοειδές, δπως φαίνεται καί στό Σχ. βολικου

= Ο,

L2+M2+N2+0

9-6(b).

du, dv

Στό εφαπτόμενο επίπεδο ενός ύπερ

σημείου τής επιφάνειας ύπάρχουν δύο διαφορετικές εύθείες πού διέρχονται άπό τό

σημείο Ρ καί διαιρουν τό εφαπτόμενο επίπεδο σέ τέσσερα τμήματα, στά όποία ή λοτε

LN-

προσδιορίζει ενα ύπερβο

θετική

καί άλλοτε άρνητική.

Κατά μήκος των δύο αύτων εύθειων είναι

είναι άλ

8 8

= Ο.

Στήν

περιοχή ενός ύπερβολικου σημείου ή επιφάνεια βρίσκεται καί πρός τά δύο μέρη του εφαπτό μενου επιπέδου, δπως φαίνεται στό Σχ.

(iiί)

Παραβολικό σημείο:

L2 +

Μ2

+

συγχρόνως

Ν2 #

Ο,

μηδέ\!.

9-6(b).

LN - Μ2 = Ο καί L, Μ καί Ν·-δέν είναι δλα du, dv προσδιορίζει εναν

'Ένα σημείο μιας επιφάνειας λέγεται παραβολικό, άν μέ άλλα λόγια άν

Μ2

LN -

Σt11ν περίπτωση αύτή

ή

8

=

Ο καί τά μεγέθη

ώς συνάρτηση

παραβολικό κύλινδρο, δπως φαίνεται καί στό Σχ.

9-6(c).

των

'Εδω ύπάρχει μία μόνο εύθεία στό

εφαπτόμενο επίπεδο, πού διέρχεται άπό τό Ρ καί κατά μήκος τής όποίας είναι

8

= Ο.

'Έξω

άπό τήν εύθεία αύτή ή δ διατηρεί τό πρόσημο, δηλαδή τό παραβολοειδές βρίσκεται πρός τό 'ίδιο μέρος του

εφαπτόμενου επιπέδου.

Στήν περιοχή ενός παραβολικου σημείου ή επιφάνεια

μπορεί νά βρίσκεται καί πρός τά δύο μέρη του εφαπτόμενου επιπέδου (βλ. Πρόβλ. (ίv)

Έπίπεδο σημείο:

Ν

= Ο.

'Εδω δ

'Ένα σημείο μιας επιφάνειας λέγεται έπίπεδο, άν ίσχύει σ' αύτό

=Ο

γιά

κάθε

(du, dv).

9.8).

L

=Μ =

Στήν περίπτωση αύτή ή τάξη έπαφής τής επιφά

νειας καί του εφαπτόμενου επιπέδου είναι μεγαλύτερη άπό δ,ΤΙ στίς προηγούμενες περιπτώσεις.

, Από

τήν παραπάνω μελέτη μιας επιφάνειας μπορεί κανείς νά διαπιστώσει δτι ή ίδιότητα ενός

σημείου νά είναι ελλειπτικό, ύπερβολικό, παραβολικό

παραστάσεως της επιφάνειας. φάνειας.

Πράγματι, εστω Χ

ij

επίπεδο είναι άνεξάρτητη της παραμετρικης

= Χ*(θ, φ)

ενα όποιοδήποτε άλλο τμημα της επι

Δέν είναι δύσκολο νά άποδείξουμε μέ τή βοήθεια εξισώσεων παρόμοιων μέ τίς

(9.11) δτι

σέ κάθε σημείο της τομης των δύο τμημάτων ίσχύει ή σχέση

L*N* 'Επειδή μέ τήν

επεται

Μ*2

Q(U, v»)2 (LN _ Μ2) ( σ(θ, φ)

iJ(U, υ)/σ(θ, φ) # ο, επεται δτι ή L*N* - Μ*2 είναι θετική, άρνητική ij μηδέν συγχρόνως LN - Μ2. 'Επίσης ιlπό τίς εξισώσεις (9.11) καί άπό τίς άντίστοιχες άντίστροφες σχέσεις δτι L = Μ = Ν = Ο, εάν καί μόνο εάν L* = Μ* = Ν* = Ο.

178

ΠΡΩΤΗ

Παράδειγμα

Θεωροϋμε τήν παραμετρική παράσταση (Παράδ.

9.5.

Χ της σπείρας.

ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

+α

(b

+ (b + α Βίη Φ)(Βίη e)eZ + (α COs φ)e3 + α Βϊη q,)(COS e)et - (b + α Βίη Φ)(Βίπ e}e2 COS Φ Είη e}e t + (α cos Φ cos e)eZ

-(b Χιιφ

-(α

Χφφ

-(α Είη Φ

cos e}e l

-

(α Βίη Φ Βίη

= (-cose

sίηφ)e l

-

(Βίηθ sίηφ)e2

Ν

Xao' Ν

+ α Βίη φ)

(b

Βίη Φ

Μ

LN - Μ2 = α(b

καί

=

e)ez -

+ α Βίη φ)

(α

b

>

>

α

Ο

cos
(cοsφ)e 3

-

=

ΧοΦ· Ν

9

15Κ)

Βίη φ)(cοs e)el

'Έχουμε

L

σελ.

8.5,

Κ ΕΦ.

Ο

Ν

=

Χφ φ ' Ν

-

α

Βίη Φ

Παρατηροϋμε δτι τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως είναι συναρτήσεις μόνο τοϋ φ.

θερά Ο

κατά

<

<

α

b, είναι

πρόσημο της

Sin φ.

=Ο

Μ2 π

<

φ

μεία (Ο

γιά

<

2π.

<

Φ

Μ2

1'\

>

Ο.

ΦΟ.

Παραβολικά

'Επειδή

Συνεπώς,

φ

τό

> Ο γιά Ο < Φ < π, LN= π καί LN - Μ2 < Ο γιά

Έτσι, δπως φαίνεται στό Σχ.

βρίσκονται

< ".)

α Είη φ)

=

Μ2 είναι 'ίδιο μέ τό πρόσημο τοϋ

=ο

Φ

+

α(b

LN LN -

• Αρα

πού

'Επομένως, είναι στα

μηκος τών παραλλτΙλων Φ

9-7,

τά ση

πρός τό εξωτερικό της σπείρας

είναι ελλειπτικά.

Ή επιφάνεια βρίσκεται

πρός τό ενα μέρος τοί", εφαπτόμενου έ1Ηπέδου σέ κάθε σημείο αίnης της περιοχης. της σπείρα.; (π

<Φ<

2π)

Τά σημεία στό εσωτερικό

είναι ύπερβολικά.

.Η

επιφά

νεια κείται καί πρός τά δύο μέρη τού εφαπτόμενου επι

πέδου σέ κάθε σημείο της άντίστοιχης περιοχης.

Οί

πάνω καί κάτω άκραίοl παράλληλοι της σπείρας, γιά

=

τούς όποίους Φ

Ο καί

Φ

=

11"

Σχ. 9-7

άντίστοιχα, άποτελοϋν

ται άπό παραβολικά σημεία.

Ή φύση τής επιφάνειας σ' ενα επίπεδο σημείο της περιγράφεται απο τούς δρους τάξεως μεγα λύτερης του δύο του αναπτύγματος

x(u, υ)

ca

είναι κλάσεως

καί δη Ρ

x(u + du, v όπότε

d

Taylor της x(u, υ). Συγκεκριμένα = x(u, υ) είναι ενα επίπεδο σημείο

+ άυ)

+

x(u, υ)

dx

+

[x(u+du,v+dv) - x(u,v)]·N = dX'N

, Επειδή στό Ρ είναι L

=Μ =

Ν

= ο,

2

-

= Ο.

εχουμε επίσης γιά τό σημείο αύτό ΙΙ

1[x uuu • Ν du3 + 3xuuv '

id3x' Ν

i[Adu 3

=

+

Bdu2 dv

'Όταν τό τριτοβάθμιο πολυώνnμο Α:ι;3

Cx

+D

+ Βχ

2

+ +

Ν du2

dv

Cdudv 2

+ +

3xuv'1' Ν du dv 2

+

Ddv 31

εχει τρείς διαφορετικές ρίζες, τότε στό

εφαπτόμενο επίπεδο ύπάρχουν τρείς ευθείες πού

διέρχονται από τό Ρ καί πού τό διαιρούν σέ εξι μέρη, στά όποία ή αρνητική.

τηση των

8

είναι διαδοχικά θετική καί

Στήν περίπτωση αύτή ή δ ώς συνάρ

du, dv

εκφράζει μιά επιφάνεια πού κα

λουμε συνήθως σέλα του πιθήκου καί πού φαίνε ται στό Σχ.

Θά συναντήσουμε διάφορες πα

9-8.

ραλλαγές αύτης της περιπτώσεως, ποι) έξαρτων· ται

Αχ 3

από

τή

φύση

των

+ Βχ + Cx + D.

Παράδειγμα

ριζων του

πολυωνlJμου

2

9.6.

Θεωροϋμε τήν άπλή επιφάνεια πο(, δί

νεται άπό τό τμημα

χ

= ueI

+ ve2 + (u3 + ",.3 + u4)e3'

χ

=

id:!x

+dv 2γI2]

. Επομένως, μιά

προσέγγιση της επιφάνειας δίνεται από τήν επιφάνεια πού όρίζει ή συνάρτηση δ

ή

'Έχουμε

+ o[(du2 + dvψ/2] + !d2x'N + id3x'N + ο[(du

td2x

+

ας ύποθέσουμε δη

της.

Σχ. 9 -8

X V V1>· Ν

dv 3 ]

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ

9

'Έχουμε

+ (3u 2 + 4u3 )e3'

el

Xu

Ν X

Στό σημείο 11

ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

+ 3υ ε 3 , X uu = (6ιι + 12u2 )e3' X uv = + 4u3)2 + 9υ + 1] -Ι/2 (-(3ιι + 4II 3)el - 3v 2ez + e3) (6 + 24ιι)ε;ι, Χ ιιιιυ = ο, Χ ιιυυ == Ο, X = 6e3 =

Xv

2

e2

4

[(3u 2

=

=

U1lU

= Ο, υ = ο,

συναρτήσεως

Πράγματι στό

δ

=

t; [6e

εχουμε

= x uv = x v " = Ο,

Χ 1lΙΙ

= Ο, υ = Ο

u

+

i(x uuu ' Ν du 3

=

+

3 •

e3 du 3

+

dv 3 = (d,t

= du 3 Στήν

δ

ή

ο,

X vv

2

VVI '

σημείο τής επιφάνειας είναι ενα επίπεδο σημείο. τής

179

.Η

' Ν

3x u1Lv

όπότε

=Μ

L

=Ο

Ν

=

καί επομένως τό άντίστοιχο

επιφάνεια μπορεί νά μελετηθεί στό σημείο αύτό μέ τή βοήθεια

+

du 2 dv

3Χ ιι η' Ν dIt dv 2

+

Χ"υι"

Ν dv 3 )

συνάρτηση αύτή γίνεται

6e3' e3 dv 3 ]

+ dv)(du2 -

du dv

+ dv 2 )

περίπτωση αύτή ύπάρχει στό έφαπτόμενο επίπεδο

μία μόνο εύθεία, ή είναι δ

=

Ο.

είναι

dv2)

.Ο

+ dv =

du

δεύτερος

Ο,

κατά μήκος τής όποίας (du 2 - du dv

+

παράγοντας

προφανώς θετικά όρισμένος γιά

κάθε πραγ

ματικό ζεϋγος

(du, dv). Στήν περιοχή ενός τέτοιου σημείου ή επιφάνεια μοιάζει μέ τό Σχ. 9-9. ΚΑΘΕΤΗ

Σχ. 9-9

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ

'Έστω Ρ ενα σημείο μιας επιφάνειας κλάσεως τό Ρ καί χ

= x(u(t), v(t))

μιά κανονική καμπύλη

ι'υσμα τής κάθετης καμπυλότητας της βολή του διανύσματος καμπυλότητας

C k

C

χ

2,

::="

C2

κλάσεως

= x(u, υ)

της

kn

=

(k' Ν)Ν

(9.14)

είναι ανεξάρτητο της φορας πού εχει τό Ν.

'Επίσης είναι ανεξάρτητο της

φορας μέ τήν όποία διαγράφεται ή καμπύλη (δηλαδή του προσανατολισμου της είναι ανεξάρτητο της φορας αυτης.

πυλότητα της

.Η

προβολή του

στό Ρ καί συμβολίζεται μέ

C

διαγράφεται ή

K

n

,-,

dN t·

δτι

και το οιανυσμα καμπυ

γονός

n

= k'N

(9.15)

δ τ ειναι

δ ιανυσμα ' dt = dt dt/I dt' dx Ι = ds

- ,εφαπτομενο , το, μονα ιαιο

λ'οτητας

κατά μηκος της

k

καμπύλης τό

Τι' όπότε

dt. dt

k'N

dN/1

_ dx . dt dt -

ειναι

t

N/ldxl

dx 12 dt

της

dN

ή

Kn

ώς

'Ρ ειναι τ t = dx ds = dx dt / Ι dx dt Ι

στο

"

χρησιμ;ποιησουμεdtΤΟ

Ν, εχουμε ο

=-

dt

γε-

(t· Ν) = _. Ν

dt

+

dN/ldx 'Ι

Τι

dt

_ dx • /dx. dx dt dt/ dt dt

If du + Ν " dV)\ dt '/ \ X u Τι +

L(du/dt)2 + 2M(du/dt)(dv/dt) E(du/dt)2 + 2F(du/dt)(dv/dt) δτι

C

"Ε" τσι, αν

κάθετο στό

-t·

dt

du dV) (dU ( Xu Τι + Xv dt • N u (ίΤ

Συνεπώς

Παρατηρουμε

C), αφου καί τό k

στή διεύθυνση του Ν λέγεται κάθετη καμ

εξαρταται από τή φορά του Ν, αλλά είναι ανεξάρτητο της φορας μέ τήν όποία

C.

. Υπεν θ' " υμι ζ ουμε οτι

,

kn

Κ η , δηλαδή εχουμε K

Τό πρόσημο της

Τό διά

ειναι ή διανυσματική προ

στό Ρ στό κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα Ν στό Ρ, δη-

C kn

kn

ενα τμημα πο\" περιέχει

πού διέρχεται από τό Ρ.

στό Ρ, πού συμβολίζεται μέ

λαδή Παρατηρουμε δτι τό

Cm , m

συνάρτηση

τών

du/dt

καί

Xv

dV) (dU dt • Xu dt

+ Χ " dV) dt

+ N{dv/dt)2 + G(dv/dt)2

dv/dt

(9.16)

εξαρταται

μόνο

τό

λόγο

δηλαδή από τή διεύθυνση της εφαπτομένης της καμπύλης

ακόμα δτι ή

είναι επίσης συνάρτηση των θεμελιωδών μεγεθών πρώτης καί δεύτερης τάξεως, πού

K

n

εξαρτώνται μόνο από τό Ρ. Θεώρημα

9.2.

C

στό Ρ.

από

(du/dt)/(dv/dt),

Παρατηρουμε

'Έτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

'Όλες οί καμπύλες μιας επιφάνειας, πού διέρχονται από ενα σημείο Ρ καί εχουν

κοινή εφαπτομένη στό σημείο Ρ, εχουν τήν 'ίδια κάθετη καμπυλότητα στό Ρ.

. ! !

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

180 . Υποθέτουμε

τώρα στι

C

είναι

μιά

9

Κ ΕΦ.

καμπύλη

της όποίας ή διανυσματική συνάρτηση

(πού ή

n

τιμή της σέ κάθε σημείο δίνει τό αντίστοιχο πρώτο κάθετο διάνυσμα) είναι συνεχής στό Ρ καί ακόμα

δτι ή φορά του

κατά μηκος της

n

ετσι ωστε νά έχουμε στό

, Από

τήν εξίσωση

Ρ

Ο ~

εχουμε

(9.15)

Kn = k·N = i·N = K(n·N) = Κ δπου α

= 4(n, Ν).

C εχει εκλεγεί 4(n, Ν) ~ -π/2.

' Αφου

(9.17)

COSa

σ' ένα όποιοδήποτε ση

μείο της επιφάνειας ή κ" εξαρταται μόνο από τή

διεύθυνση της εφαπτομένης της

C καί αφου τό

COS α προσδιορίζεται από τή διεύθυνση της πρώ

της καθέτου της καμπυλότητα

κ

C,

επεται δτι, δταν

της

cos α =F

στό Ρ όρίζεται

C

μαντα, αν ξέρουμε τό εγγύτατο επίπεδο της πως φαίνεται στό Σχ.

Ο, ή

μονοσή

C,

δ

Σχ.

9-10

9-10.

Παρατηρούμε επίσης δτι

cos α =

Ο, εάν καί μόνο εάν τό

n

είναι παράλληλο πρός τό εφαπτό

μενο επίπεδο στό Ρ ή, ίσοδύναμα, εάν καί μόνο εάν τό εγγύτατο επίπεδο της καμπύλης καί τό εφαπτόμενο Θεώρημα

επίπεδο της επιφάνειας συμπίπτουν.

9.3.

νΕτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

ΗΟλες οί καμπύλες μιας επιφάνειας, πού διέρχονται από ενα σημείο Ρ καί εχουν τό

'ίδιο εγγύτατο επίπεδο στό σημείο αυτό, εχουν καί τήν ίδια καμπυλότητα κ στό Ρ, μέ τήν προϋπό θεση δτι τό αντίστοιχο εγγύτατο επίπεδο δέν είναι εφαπτόμενο στήν επιφάνεια. 'Από τό προηγούμενο θεώρημα επεται δτι, δταν δέν πρόκειται γιά καμπύλες της επιφάνειας, τών όποίων τό εγγύτατο επίπεδο σ' ένα σημείο Ρ είναι εφαπτόμενο στήν επιφάνεια στό σημείο αύτό, τότε ή

καμπυλότητα μιας καμπύλης είναι 'ίση μέ τήν καμπυλότητα κάποιας επίπεδης τομης στό

σημείο αύτό, δηλαδή μιας καμπύλης πού είναι τομή της επιφάνειας μέ κάποιο κατάλληλο επίπεδο

πού διέρχεται από τό Ρ.

Ειδικά, δταν ή

είναι μιά καμπύλη πού διέρχεται από τό Ρ καί είναι ή

C

τομή τού τμήματος μέ ενα επίπεδο πού περιέχει τό Ν, λέμε δτι ή φάνειας στό Ρ.

Τότε δμως

n· Ν = 1,

όπότε από τήν

(9.17)

C

είναι μιά κάθετη τομή της επι

παίρνουμε

K

n

=

κ.

'Έτσι, έχουμε τε

λικά τό επόμενο θεώρημα: Θεώρημα

9.4.

.Η

καμπυλότητα μιας κάθετης τομης μιας επιφάνειας σ' ένα σημείο Ρ είναι 'ίση μέ

τήν κάθετη καμπυλότητα της τομης στό Ρ. 'Επειδή ή κάθετη "αμπυλότητα της της εφαπτομένης της

C

στό Ρ εξαρταται μόνο από τό Ρ καί από τή διεύθυνση

C

στό Ρ, μπορούμε νά μιλαμε γιά τήν κάθετη καμπυλότητα στό Ρ κατά τή

διεύθυνση πού προσδιορίζεται από τό λόγο 2

= 'Εδώ ό λόγος

du: dv

Ldu Edu2

+ dv 2 =F + Ndv 2 + Gdv 2

du: dv, du 2

+ 2Mdudv + 2Fdudv

Ο, καί νά γράφουμε από τήν

11

(9.16)

(9.18)

Τ

προσδιορίζει τή διεύθυνση της ευθείας πού βρίσκεται στο εφαπτόμενο επι

πεδο καί είναι παράλληλη μέ τό διάνυσμα X u

du

+ Χ" dv.

Οί λόγοι

du: dv

καί

du' : dv'

προσδιο

ρίζουν τήν 'ίδια διεύθυνση, εάν καί μόνο εάν οί δροι τους είναι ανάλογοι, δηλαδή εάν καί μόνο εάν ύπάρχει λ

= λ du'

=F Ο τέτοιο ώστε νά έχουμε du

'Από τήν εξίωση

(9.18)

επεται δτι ή

K

n

καί

dv

= λ dv'.

παραμένει αναλλοίωτη στούς επιτρεπτούς παραμετρικούς

μετασχηματισμούς πού διατηρούν τή φορά τού Ν (μέ τό ίδιο νόημα πού παραμένουν αναλλοίωτες καί οί θεμελιώδεις μορφές Ι "αί Π), ενώ αλλάζει πρόσημο σ' εναν επιτρεπτό παραμετρικό μετασχη ματισμό πού αλλάζει τή φορά τού Ν.

τού τμήματος. ή

' Επίσης,

Δηλαδή ή Κ" είναι, κατά προσέγγιση προσήμου, ανεξάρτητη

επειί)ή ή Ι είναι θετικά όρισμένη, επεται δτι ή

μηδέν συγχρόνως μέ τήν Π.

K

n

είναι θετική, αρνητική

'Ακόμα, αν τό Ρ είναι έλλειπτικό σημείο, τότε

διατηρεί τό πρόσημο γιά δλες τίς διευθύνσεις

du; dv.

=F Ο καί ή

K

'Εάν τό Ρ είναι ύπερβολι"ό σημείο, ή

K

είναι θετική, αρνητική ή μηδέν ανάλογα μέ τή διεύθυνση

du; dv.

K

n

n n

'Εάν τό Ρ είναι παραβολικό

ΚΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

9

σημείο, ή Ο.

K

n

διατηρεί τό πρόσημο καί είναι μηδέν γιά τή μοναδική διεύθυνση γιά τήν όποία ΙΙ

Τέλος, σ'

Παράδειγμα

ενα επίπεδο σημείο είναι

-(α

cos

n =Ο

+

=

(α

-(α

sin

θ

sin

φ)eι

+

(α

cos θ sin

-(α

cos

θ

sin

φ)eι

-

(α

sin

sin

φ)eι

sin

θ

sin

θ

cos θ sin φ)eι

-

(α

α

L -

(α

sin -

(α

sin 2 Φ,

α sin 2 Φ,

Χθθ' Ν

"n = σταθ. = Ι/α

θ

dφ

dφ

+ +

=

γιά όλες τίς διευθύνσεις. α

+ (α cos φ)e3

sin θ sin φ)e2

φ)e2 2

L do 2 + 2Μ do Ε do 2 + 2F do Δηλαδή εχουμε

K

Θεωροϋμε ενα τμημα της σφαίρας άκτίνας

9.7. Χ

Χφφ

181

φ)e2,

(α

Χφ

φ)e2,

ο

-(α

cos φ)e3,

=

Χθ' Χ φ

Μ

ΧθΦ' Ν

=

=

Ν dφ2

α

G dφ2

α2

sin

Ο,

θ

G

Ο,

<

<

θ

cos φ)eι

= -(cos

Ν

F =

θ

cos

Ν

sin 2 Φ do 2 sin2 Φ dθ 2

cos θ

=

2π,

+

φ)eι

+

<

Ο

(α

(α

=

cos

cos

sin φ)eι - (sin Χ φ ' Χφ

α

<

Φ θ

sin

θ

θ

π φ)e2

cos sin

-

(α

sin

φ)e3

φ)e2

φ)e2

- (cos

φ)e3

2

= Χφφ' Ν = α

+

+

σέ κάθε σημείο καί γιά κάθε διεύθυνση.

α dφ2

Ι/α

α 2 dφ2

Αύτό έπαληθεύει τή γνωστή πρόταση

στι μιά κάθετη τομή της σφαίρας σέ τυχόν σημείο της είναι ενας μέγιστος κύκλος μέ άκτίνα α καί καμπυλότητα Ι/α. Παράδειγμα

9.8.

Θεωροϋμε τήν έπιφάνεια πού δίνεται άπό τό τμημα

=

Χ

uel

+ ve2 + (u 2 -

v 2)e3'

'Έχουμε προ-

φανώς

Ν

= (4u 2 + 4v2 + 1)-l/2(-2uel + 2ve2 + e3),

L = 2(4u 2 +4v2 +1)-l/2,

Μ

=

Ο,

Ν

Ε

F = -4uv,

G = 1

+ 4v 2

LN-M2 = -4(4u 2 +4v2 +1)-l

Είδικά στήν άρχή των άξόνων εχουμε

_ _ ' _ 2(du 2 - dv 2) du 2 + dv 2 G = 1, L = 2, Μ - Ο, Ν - -2, όποτε "n ροϋμε νά θέσουμε du = COS θ, dv = sin θ, εχουμε τελικά "n

"n

+ 4u 2 ,

= -2(4u2 +4v2 +1)-l/2,

Παρατηροϋμε δηλαδή στι κάθε σημείο είναι ύπερβολικό.

στό Σχ. 9-11, ή

= 1

Ε

= 1, F =

Ο,

'Εάν ύποθέσουμε στι du 2 + dv 2 = 1, όπότε μπο-

=

2(cos 2

θ

- Sin 2 θ)

=

2 cos

2θ.

'Όπως φαίνεται καί

μεταβάλλεται παίρνοντας διαδοχικά θετικές καί άρνητικές τιμές στά έξης τέσσερα διασ;tήματα:

-π/4 e"'Ξ θ e"'Ξ π/4, π/4 e"'Ξ θ e"'Ξ 3π/4, 3π/4 e"'Ξ θ e"'Ξ 5π/4, 5π/4 =θ e"'Ξ 7π/4. χή των άξόνων μεταβάλλεται άκριβως σπως ή

"n =

2 cos

Ή καμπυλότητα" μιας κάθετης τομης στήν άρ

"n' δηλαδή παίρνει τιμές άπό

-2

μέχρι

2. v

2θ

"n < ο ----~--_4·--~.---r-~~--+_--~--~--_t---θ

Σχ.

/(n

>

"n>

Ο

Ο

---2--------~----~~-----tt

9-11

ΚΥΡΙΕΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΥΡΙΕΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΕΙΣ Στήν

παράγραφο

στερα τήν κάθετη μιας

"n

επιφάνειας.

είναι,

αυτή

θά

εξετάσουμε

καμπυλότητα σ'

' Επειδή

ή

εκτενέ

ενα σημείο Ρ

κάθετη

καμπυλότητα

κατά προσέγγιση προσήμου, άνεξάρτητη

του τμήματος, μπορουμε γιά λόγους άπλουστεύσεως νά βρουμε μιά περιοχή του σημείου Ρ πού νά κα λύπτεται

άπό

τήν

εικόνα

Χ

= uel + Ve2 + f(u, v)e3,

Xv

= e2

στό Ρ.

ενός

τμήματος

ετσι ωστε

Xu

-=:--------- Χ2 =

Monge

= el

καί

Αυτό γίνεται, αν τοποθετήσουμε τήν

επιφάνεια κατά τέτοιο

τρόπο

ωστε τό Ρ νά άντι

στοιχεί στήν άρχή των άξόνων καί τό εφαπτόμενο

επίπεδο νά ταυτίζεται μέ τό επίπεδο ΧΙΧ2 (Σχ.

9-12).

Σχ.

9-12

V

'Έτσι εχουμε

= Xu' X u = 1,

Ε

L du 2 Edu 2 , Επειδή ή

K

νά θέσουμε

n

G

= Xv ' Xv = 1

+ 2Μ du dv + Ν dv 2 + 2Fdudv + Gdv 2

L du 2

F

= xu • Xv = Ο,

εξαρτάται μόνο άπό τό λόγο

du

= cos θ

καί

dv

= Βίη θ,

IKnl = 1/r2

Τέλος, άν θέσουμε

±1

+

2Μ du

du

2

+

dv dv 2

+

Ν dv 2

+ dv 2

1

+

2Μ

cos θ

Βίη Ο

Χ2

=

2MXIX2

Lxi +

+

= r Βίη θ, +

Ν

sin 2 Ο

εχουμε

Nx~

(9.19)

εξίσωση αυτη προσδιορίζει μιά κωνική τομή στό επίπεδο XIX2, πού λέγεται δείκτρια του

καί τής όποίας τό τυχόν σημείο (χι, Χ2) άπέχει άπό τήν άρχή των άξόνων άπόσταση

άντίστροφο τής τετραγωνικής ρίζας τής

IKnl,

'Εάν τό Ρ είναι ενα ελλειπτικό σημείο

σπως φαίνεται στό Σχ.

9-13(a).

ύπολογισμένης κατά τή διεύθυνση Μ2

(LN -

άποτελείται άπό ενα ζευγος συζυγων ύπερβολων [Σχ. K

n

είναι θετική καί κατά μήκος τής άλλης ή

(LN - Μ2

= Ο,

+

L2

Ν2

+

>

Ο), τότε

ή

K

n

= Ο.

K

n

9-13(b)].

Μ2

(LN -

Dupin

r 'ίση μέ cos θ : Βίη θ.

δείκτρια είναι

'Εάν τό Ρ είναι ενα ύπερβολικό σημείο

χουν στίς διευθύνσεις γιά τίς όποίες

καί

όπότε

= r cos θ,

καί χι

9

καί

du/dv, μπορουμε νά ύποθέσουμε στι du 2

L cos 2 θ

.Η

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

182

τό

μιά ελλειψη,

< Ο),

ή δείκτρια

Κατά μήκος της μιάς ύπερβολης ή

είναι άρνητική.

Οί κοινές άσύμπτωτες άντιστοι

Στήν περίπτωση πού τό σημείο είναι παραβολικό

Μ2 # Ο), τό πολυώνυμο

Lxi +

2MXIX2

+ Nx~

μετασχηματίζεται σ' ενα

γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων καί ή δείκτρια είναι τότε ενα ζευγος παράλληλων εύθειων, σπως φαίνεται στό Σχ.

9-13(c), κατά τήν διεύθυνση των όποίων είναι (L = Μ = Ν = Ο) δέν ύπάρχει δείκτρια.

K

n

= Ο.

Στήν περίπτωση πού τό

σημείο είναι επίπεδο

Χ2

Χ2

Κίφιες

διευθύνσεις

--~----",,<:-t-~--Xl

/ (α)

>

LN-M2

Ο

(b) LN-M2

<

Ο

(c)

LN-M2 =

Ο

υ+Μ2+Ν2φο

Σχ.

, Από τότε ή

τή σχέση

IKn! = 1/r2

9-13

βλέπουμε στι, σταν ή δείκτρια υπαρχει άλλά δέν είναι περιφέρεια,

n παίρνει δύο διαφορετικές τιμές, μία μέγιστη κι καί μία ελάχιστη Κ 2 , πού άντιστοιχουν σέ δύο όρθογώνιες μεταξύ τους διευθύνσεις, τίς διευθύνσεις των άξόνων τής δείκτριας. Σ' ενα ελλει K

πτικό σημείο, δταν ύποθέσουμε. δτι

K

n

> Ο,

παρατηρουμε δτι ή

μέγιστη τιμή κι λαμβάνεται κατά

τή διεύθυνση του μικρου άξονα τής δείκτριας, δηλαδή κατά τή διεύθυνση πού άντιστοιχεί στό σημείο τής δείκτριας πού εχει τήν ελάχιστη άπόσταση άπό τήν άρχή των άξόνων, ενω ή ελάχιστη τιμή Κ 2 λαμβάνεται κατά τή διεύθυνση του μεγάλου άξονα.

είναι θετική εχουμε

K

n

> Ο.

.Η

ελάχιστη τιμή Κ 2 είναι άρνητική

του αξονα τής ύπερβολής, γιά τόν όποίο εχουμε ύποθέσουμε δτι

K

n

ράλληλες εύθείες, ενω ή ελάχιστη τιμή Κ 2 K

n

K

n

<

καί λαμβάνεται κατά τή

Ο.

διεύθυνση

εκείνου

Τέλος σ' ενα παραβολικό σημείο, σταν

:::=" Ο, ή μέγιστη τιμή κι λαμβάνεται κατά τή διεύθυνση πού είναι κάθετη στίς πα

θειων τής δείκτριας.

τιμή τής

Σ' ενα ύπερβολικό σημείο ή μέγιστη τιμή κι

καί λαμβάνεται κατά τή διεύθυνση εκείνου του άξονα τής ύπερβολής, γιά τόν όποίο

=Ο

λαμβάνεται κατά τή διεύθυνση των παράλληλων εύ

Οί δύο κάθετες διευθύνσεις, πού άντιστοιχουν στή μέγιστη καί τήν έλάχιστη

σ' ενα σημείο Ρ, λέγονται

κι5ριες διευθύνσεις

πυλότητες κι καί Κ 2 λέγονται κύριες καμπυλότητες στό Ρ.

στό Ρ, ενω οί άντίστοιχες κάθετες καμ

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

9

, Απομένει

νά μελετήσουμε τήν περίπτωση του ελλειπτικοί) σημείου, πού εχει γιά δείκτρια περι

φΙρεια, καί του επίπεδου σημείου, δπου δΙν ύπάρχει δείκτρια.

Στό ελλειπτικό σημείο εχουμε

σταθ.

# Ο καί δλες οί διευθύνσεις λέγονται κύριες διευθύνσεις.

σταθ.

=

στό όποίο είναι

K

n

=

σταθ .. λέγεται 6μφαλικό σημείο.

Ι:λλειπτικό 6μφαλικό σημείο.

(ο)

Στό επίπεδο σημείο εχουμε

Ο καί δλες οί διευθύνσεις λέγονται πάλι κύριες διευθύνσεις.

Παράδειγμα

K

K

n n

= =

'Ένα σημείο της επιφάνειας

Στήν περίπτωση πού είναι ελλειπτικό λέγεται

Τέλος, τό επίπεδο σημείο λέγεται καί παραβολικό όμφαλικό σημείο.

9.9.

'Από τό Παράδειγμα

σταθ.

183

Ι/α.

:;:

εχουμε δτι ή κάθετη καμπυλότητα σέ κάθε σημείο μιας σφαίρας άκτίνας

9.7

α ε!ναι

"n :;:

Συνεπώς. κάθε σημείο της σφαίρα~ είναι ενα ελλειπτικό όμφαλικό σημείο καί κάθε διεύθυνση είναι

μιά κύρια διεύθυνση.

(b)

'Η

εξίσωση

Συνεπώς

ένός

L:;:

Μ

επιπέδου

= Ν :;: Ο.

είναι

χ:;:

a

=

+ bu + CV,

=

a, b, C :;: σταθ. 'Έχουμε προφανώς X uu x uv X vv :;: Ο. επιπέδου είναι επίπεδο σημείο (παραβολικό όμφαλικό σημείο).

Κάθε σημείο ένός

Κάθε διεύθυνση τοϋ επιπέδου ε!ναι μιά κύρια διεί,θυνση.

(c)

Στό Παράδειγμα

9.8

ή κάθετη καμπυλότητα στό σημείο ποί, άν

τιστοιχεί στήν άρχή τών αξόνων τοϋ τμήματος χ:;:

(U 2 -

V

2)e3

2(du2 - dv 2) du 2 + dv 2

"n:;:

COS

dv :;: sin θ,

Γιά

uel

+ ve2 +

du 2 + dv 2 :;:

Ι,

Ι/Ι"ηl, Χι:;: r cos θ, Χ2:;: r sin θ; - X~), πού παριστάνει ενα ζεϋγος συζυγών ύπερβολώ\', όπως φαίνεται καί στό Σχ. 9-14. Έδώ ή μέγιστη τιμή της "n είναι 2 καί λαμβάνεται στή διεύθυνση τοϋ αξονα χι. 'Η ελάχιστη τιμή της "n είναι -2 καί λαμβάνεται

du:;:

θ,

είναι

εχουμε τή δείκτρια

±Ι

r 2 :;:

= 2(Xi

στή διεύθυνση τοϋ αξονα καί Χ2

Χ2'

Οί διευθύνσεις των άξόνων

χι

είναι οί κύριες διευθύνσεις.

'Υποθέτουμε τώρα δτι χ

= x(U, υ)

Στό Πρόβλημα

9.16

Θεώρημα

Μιά διεύθυνση

9.5.

Σχ.

9-14

είναι ενα τυχόν τμημα μιας επιφάνειας πού περιέχει τό Ρ.

δείχνουμε τό εξης θεώρημα:

du: dv

είναι κύρια και ενας πραγματικός άριθμός Κ είναι ή κύρια

καμπυλότητα ποίι άντιστοιχεί στή διεύθυνση αυτή σ' ενα σημείο μιας επιφάνειας, εάν καί μόνο εάν

(γιά κάποιο τμημα) τά κ,

δπου

du 2

+ dv 2

du καί dv ίκανοποιουν στό σημείο αυτό τίς σχέσεις (L - κΕ) du

+ (Μ -

(Μ

+

- KF) du

(Ν

KF) dv

Ο

- KG) dv

ο

(9.20)

# Ο.

Οί παραπάνω σχέσεις όρίζουν ενα όμογενές σύστημα εξισώσεων, πού δπως ξέρουμε εχει μία μή μηδενική

λύση, εάν καί μόνο εάν

det (L - κΕ \M-KF

M-KF) N-KG

ο

η άναπτύσσοντας τήν όρίζουσα

(EG - F2)K 2 Στό Πρόβλημα μέ τό μηδέν.

9.14

(ΕΝ

+ GL -

2FM)K

+

(LN -

Μ2)

=

Ο

δείχνουμε δτι ή διακρίνουσα της παραπάνω εξισώσεως είναι μεγαλύτερη η 'ίση

'Επομένως, ή εξίσωση εχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες κι καί Κ 2 , πού ε{ναι

οί κύριες καμπυλότητες σέ ενα μή όμφαλικό σημείο, η μία μόνο πραγματική ρίζα Κ μέ πολλαπλό τητα δύο, πού είναι ή καμπυλότητα σέ ενα όμφαλικό σημείο. Θεώρημα

9.6.

'Έτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

'Ένας άριθμόςκ είναι μιά κύρια καμπυλότητα σέ ενα σημείο μιας επιφάνειας, εάν

καί μόνο εάν (γιά κάποιο τμημα) ό Κ ίκανοποιεί στό σημείο αυτό τήν εξίσωση

(EG - F2)K 2

-

(ΕΝ

+ GL -

2FM)K

+ (LN -

Μ2)

=

Ο

(9.21)

.::.ερουμε δτι σέ ενα όμφαλικό σημείο κάθε διεύθυνση είναι κύρια διεύθυνση. μπορεί νά συμβαίνει, εάν καί μόνο εάν δλοι οί συντελεστές των εξισώσεων εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

(9.20)

Κάτι τέτοιο δμως

μηδενίζονται.

'Έτσι

ΚΕΦ.9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

184 Θεώρημα

"Ενα σημείο μιας επιφάνειας είναι όμφαλικό σημείο, εάν καί μόνο εάν (γιά κάποιο

9.7.

τμήμα) τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως εΙναι ανάλογα.

κάθετη καμπυλότητα είναι Κ

'Η σχέση αύτή εχει νόημα καί δταν

L

Μ

Ν

Ε

F

G

= Ο,

F

Στήν περίπτωση αύτή ή

(9.22)

= Ο,

γιατί τότε καί Μ

όπότε αγνοούμε τό αντίστοιχο

κλάσμα.

,

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ GAUSS ΚΑΙ ΜΕΣΗ ΚΑΜήΥΛΟΤΗΤΑ Έάν διαιρέσουμε τήν εξίσωση

: _IAt~K Υ' k {~_ ~

κ2 δπου

EG - FZ,

μέ

(9.21)

+

2Ηκ

παίρνουμε τήν εξίσωση

=

Κ

Ο

EN+GL-2FM 2(EG-FZ) ,

Η

(9.23)

είναι ό μέσος δρος τών κύριων καμπυλοτήτων, δηλαδή τών ριζών κι καί Κ 2 τής εξισώσεως, καί λέ

γεται μέση καμπυλότητα στό Ρ, ενώ

LN-M2 . EG - F2

=

Κ

(9.24)

είναι τό γινόμενο τών κύριων καμπυλοτήτων, δηλαδή τών ριζών, καί λέγεται καμπυλότητα τού

Gauss

στό Ρ. Έπειδή ή κάθετη καμπυλότητα κ,. μιας καμπύλης τό πολύ νά αλλάξει πρόσημο σέ μιά αλλαγή του προσανατολισμου τής επιφάνειας, οί ακραίες τιμές τής

K

n παραμένουν πάλι ακραίες τιμές καί,

τό πολύ, νά αλλάξουν πρόσημο καί μάλιστα συγχρόνως κατά τήν αλλαγή του προσανατολισμου

(όπότε ή μέγιστη γίνεται ελάχιστη καί αντίστροφα). είναι

ανεξάρτητη

του

Συνεπώς ή καμπυλότητα τού

προσανατολισμοϋ τής επιφάνειας.

~ Αρα τό πρόσημο τής Κ εΙναι ίδιο μέ τό πρόσημο τής Θεώρημα

Παράδειγμα (α)

LN -

< Ο·

Κ

= Κ ΙΚ2

EG - F2 >

Ο.

Μ2, όπότε εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

'Ένα σημείο μιας επιφάνειας εΙναι Ελλειπτικό, εάν καί μόνο εάν Κ

9.8.

εάν καί μόνο εάν Κ

Gauss

Τέλος, παρατηρουμε δτι

παραβολικό η επίπεδο, εάν καί μόνο Εάν Κ

=

>

Ο· ύπερβολικό,

Ο.

9.10.

• Από τά δεδομένα τοϋ Παραδείγματος 9.9(a) βλέπουμε στι σέ κάθε σημείο μιας σφαίρας ακτίνας α ή καμπυλό τητα τοϋ

είναι Κ

Gauss

=

σταθ.

= 1/a2 •

• Η μέση καμπυλότητα είναι Η

= ±l/a καί

τό πρόσημό της έξαρταταl

από τόν προσανατολισμό της σφαίρας.

(b)

• Από τά δεδομένα τοϋ Παραδείγματος 9.9(b) βλέπουμε στι σέ κάθε σημείο ενός επιπέδου ή καμπυλότητα τοϋ Gauss είναι Κ

(c)

=Ο

καί ή μέση καμπυλότητα Η

= Ο.

Θεωροϋμε τώρα τήν παραμετρική παράσταση

χ τής σπείρας.

F

= Ο,

G

. Από L

= a 2,

= (b

+ α sin φ)(cοs e)el +

τά Παραδείγματα

9.3

καί

= (b + α sin φ) sin Φ,

9.5,

+ α sin φ)(sίη e)e2 + (α cos φ)e3

τών σελίδων

= Ο,

Μ

(b

= a.

Ν

175

. Από

178 αντίστοιχα, εχουμε Ε = (b + α sin φ)2, (9.21) επεται στι οί κύριες καμπυλότητες

καί

τήν

είναι οί ρίζες της εξισώσεως

a 2(b . Από

+ α sin φ)2κ 2

[a(b

-

+ α sin φ)2 +

•

κι

=

2b + 2a sin Φ 2a(b α sin φ)

+

καμπυλότητα.

sin φ]κ

+

α(b

+ α sin φ)

Κ2

Φ = b +sinα sin Φ

sin Φ

=

ο

-

1

.,

-

(b

+

,.

sin

φ) ±

b

+ α sin φ) .

λ'

.

α' που ειναl η μεγιστη καμπυ οτητα, και

,

. , ' •λ .

που ειναι η ε αχιστη

'Η έλάχιστη καμπυλότητα Κ2 μεταβάλλεται κατά μηκος ενός μεσημβρινοϋ συναρτήσει

τής Φ, καί μάλιστα παίρνει τή μέγιστη τιμή της στούς παράλληλο\)ς Φ Φ

2α

2a(b

Παρατηροϋμε στι ή κι εΙναι ϊδια σέ κάθε σημείο καί "ίση μέ τήν καμπυλότητα της περιφέρειας

πού παράγει τή σπείρα.

λ ηΛ.Ο '

+ α sin φ)

τήν δευτεροβάθμια αύτή έξίσωση βρίσκουμε

κ

η

a 2(b

/2 = -Π.

'Η

=Ο

καί Φ

λ.

=π

- G auss

καμπυ οτητα του

1/(b + α)

στόν έξωτερικό παράλληλο Φ

καί παίρνει τήν έλάχιστη τιμή της

τ

ειναι

Κ

= ΚΙ 2 = Κ

-l/(b -

sln Φ a(b + α sin φ) .

= π/2.

Είναι μηδέν

α) στόν εσ.ωτερικό παράλ-

ΠΡΩΤΗ

Κ ΕΦ.9

ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

185

ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑΣ

'Υποθέτουμε πάλι δτι Ρ είναι ενα σημείο ενος τμήματος Χ

Cm , m

~

Στό Πρόβλημα

2.

Θεώρημα

Μιά διεύθυνση

9.9.

τής σελίδας

9.24

du: dv

καί μόνο εάν (γιά κάποιο τμήμα) τά (ΕΜ

- LF) du

+

2

197,

=

X(U, υ) μιας επιφάνειας κλάσεως

αποδεικνύουμε τό επόμενο θεώρημα:

σ' ενα σημείο Ρ μιας επιφάνειας είναι κύρια διεύθυνση, εάν

du (ΕΝ

καί

dv

ίκανοποιουν τήν εξίσωση

- LG) du dv

+

(ΡΝ

- MG) dv

2

γ-eιJγι~

=

0---,>

(9.25)

'Όταν τό σημείο δέν είναι ομφαλικό, τό αριστερό μέλος τής προηγούμενης εξισώσεως αναλύεται

σέ γινόμενο δύο παραγόντων καί ετσι παίρνουμε δύο εξισώσεις τής μορφής Α

du

+ Β dv = Ο,

πού

αντιστοιχουν στίς δύο ορθογώνιες κύριες διευθύνσεις.

'Επειδή ή κάθετη καμπυλότητα

, στούς

K

n μιας καμπύλης είναι αναλλοίωτη (εκτός από τό πρόσημό της)

επιτρεπτούς παραμετρικούς μετασχηματισμούς, επεται δτι οί διευθύνσεις στίς όποίες ή

βάνει τίς ακραίες τιμές της, δηλαδή οί κύριες διευθύνσεις, είναι επίσης αναλλοίωτες.

K

n

λαμ

Ειδικά, αν

Χ*(θ, φ) είναι ενα όποιοδήποτε αλλο τμήμα πού περιέχει τό Ρ, τότε ή διεύθυνση dθ: dφ είναι κύρια,

= θ" du + θ v dv,

εάν καί μόνο εάν dθ

στό Ρ ώς πρός τό τμήμα Χ

dq,

= Φ" du + Φυ dv

καί ή

du: dv είναι μιά κύρια διεύθυνση

X(U, υ).

=

Μιά καμπύλη μιας επιφάνειας λέγεται Y1!.αΜUι!ι καμπυλότηταc, αν σέ κάθε σημείο τής καμπύλης ή διεύθυνση τής εφαπτομένης της είναι μιά κύρια διεύθυνση.

"Απ' δσα αναφέραμε παραπάνω, επεται

δτι μιά καμπύλη είναι γραμμή καμπυλότητας, εάν καί μόνο εάν σέ κάθε σημείο της ή διεύθυνση τής εφαπτομένης ίκανοποιεί τήν εξίσωση 'Ακόμα μπορουμε νά θεωρήσουμε τήν τών γραμμών καμπυλότητας.

(9.25), γιά κάποιο τμήμα Χ = x(U, υ) (9.25) σάν τή διαφορική εξίσωση πo~

πού περιέχει τό σημείο. δίνει τίς δύο οικογένειες

'Από τό αντίστοιχο θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας τών διαφο

ρικών εξισώσεων, ξέρουμε δτι, δταν οί συντελεστές είναι κλάσεως σι, ύπάρχουν λύσεις τής

(9.25).

'Έτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

9.10.

Στήν περιοχή ενός μή ομφαλικου σημείου μιας επιφάνειας κλάσεως

Cm, m

~

3,

ύπάρχουν δύο οικογένειες ορθογώνιων γραμμών καμπυλότητας. Παράδειγμα

Θεωρουμε τήν επιφάνεια πού δίνεται άπό

9.11.

τό τμημα

=

+ ve2 + (u 2 + v 2)e3 Μπορεί νά ύπολογιστεί δη Ε = 1 + 4u 2 , F = 4uv, G = 1 + 4v 2 , L = 2(4u 2 + 4v 2 + 1)-1/2, Μ = Ο, Ν = 2(4u2 + 4v 2 + 1)-1/2. 'Από τήν (9.25), άφου διαιρέσουμε μέ -8(4u 2 + 4v 2 + 1)-1/2, εχουμε uv du 2 + (v 2 - u 2 ) du dvuv dv 2 = Ο ii (u du + ν d'v)(v du - u dv) = Ο ii u du + ν

dv

=

Ο,

χ

v du -

uel

u dv

=

Ο.

Οί λύσεις της πρώτης εξισώ

σεως είναι ή οίκογένεια τών περιφερειών

u 2 + ν2

= r 2,

ενώ

οί λύσεις

της δεύτερης εξισώσεως είναι ή οΙκογένεια τών

ευθειών

= bv,

u

πού διέρχονται άπό τήν άρχή τών άξόνων.

Οί καμπύλες αυτές του παραμετρικου επιπέδου προσδιορίζουν

=-----,,...--τ-τ--... Χ2

στήν επιφάνεια τίς γραμμές καμπυλότητας, δπως φαίνεται καί στό Σχ.

Σημειώνουμε δτι στό σημείο της επιφάνειας

9-15.

πού άντιστοιχεί στό

1, L = 2,

Μ

=

Ο, Ν

u = ο, ν = Ο είναι = 2. Δηλαδή τά

Ε

= 1. F =

θεμελιώδη

Ο,

=V

~p;::::::=~

G =

μεγέθη

πρώτης καί δεύτερης τάξεως είναι άνάλογα σ' αύτό τό σημείο Σχ.

καί επομένως είναι ενα όμφαλικό σημείο, δηλαδή ενα σημείο

9-15

στό όποίο κάθε διεί,θυνση είναι κύρια διεύθυνση.

, Από

τό Θεώρημα

9. ιο

επεται δτι στήν περιοχή ενος μή ομφαλικου σημείου Ρ μιας επιφάνειας

μέ κατάλληλη διαφορισιμότητα μπορεί νά βρεθεί ενα τμήμα κλάσεως παραμετρt'κές καμπύλες νά είναι οί γραμμές καμπυλότητας.

κετό νά βρουμε ενα τμήμα κλάσεως

C2 ,

του όποίου οί U- καί υ

Σέ πολλά προβλήματα δμως είναι αρ

C 2 , πού νά περιέχει τό Ρ καί του όποίου οί διευθύνσεις (τών εφα

πτομένων) τών U- καί υ-παραμετρικών καμπυλών νά συμπίπτουν μέ τίς κύριες διευθύνσεις μόνο στό σημείο Ρ.

Στό Πρόβλημα

Θεώρημα 9.ΙΙ. περιΙχει

οί 13

9.21

δείχνουμε τό επόμενο θεώρημα:

Γιά κάθε σημείο Ρ μιας επιφάνειας κλάσεως

τό Ρ καί

του όποίου

κύριες διευθύνσεις.

οί

διευθίJνσεις τών

u-

Cm , m

~

2,

ύπάρχει ενα τμήμα ποί)

καί υ-παραμετρικών καμπυλών στό Ρ είναι

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΑΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

186

'Υποθέτουμε τώρα δτι οί διευθύνσεις των

εφαπτόμενα

στίς u-παραμετρικές

παραμετρικές καμπύλες, ή εξίσωση

Ο, d1J

du =

καμπύλες,

(9.25)

9

καί υ-παραμετρικων καμπυλων ένός τμήματος σ'

u-

ενα μή όμφαλικό σημείο Ρ είναι κύριες διευθύνσεις. ναι

Κ ΕΦ.

' Επειδή

ενω τά Xv

=

τά διανίJσματα χ ..

+ 1xv

OXu

= 1xu

+ ΟΧ"

εί

είναι εφαπτόμενα στίς υ

πρέπει νά ίκανοποιείται στό Ρ γιά

du

= 1, dv = Ο

καί

'Αντικαθιστώντας βρίσκουμε

= 1.

ΡΝ

- MG =

Ο

καί

ΕΜ

- LF =

Ο

Ύπενθυμίζουμε ακόμα δη οί κύριες διευθύνσεις σ' ενα μή όμφαλικό σημείο είναι όρθογώνιες.

Συ

νεπως, άπό τό Θεώρημα

Τε

λικά, επειδή

της σελίδας

9.1

173

ε'Χουμε

F =

Ο στό Ρ καί ετσι

ή Ι είναι θετικά όρισμένη, είναι Ε> Ο, όπότε Μ

MG = Συνεπως F =

= Ο.

ΕΜ Μ

=

=

Ο.

Οστό Ρ.

Ίσ'Χύει δμως καί τό άντίστροφο, όπότε ε'Χουμε τό έξης θεώρημα: Θεώρημα

Οί

9.12.

διευθύνσεις των

u-

καί υ-παραμετρικων

καμπυλων ενός τμήματος

σ'

ενα μή

όμφαλικό σημείο μιας επιφάνειας είναι οί κύριες διευθύνσεις, έάν καί μόνο εάν στό σημείο αι'nό

F=

είναι

• Ως

Μ

=

Ο.

συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος ε'Χουμε επίσης τό επόμενο πόρισμα:

Πόρισμα.

Οί

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος μιας επιφάνειας πού δέν εχει όμφα

u-

λικά σημεία είναι γραμμές καμπυλότητας, έάν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο του τμήματος

είναι

F=M=O.

u-

Έάν οί διευθύνσεις των

καί υ-παραμετρικων καμπυλων ενός τμήματος σέ ενα σημείο Ρ είναι

κύριες διευθύνσεις, τότε εχουμε άπλές εκφράσεις γιά τίς κύριες καμπυλότητες.

Πράγματι, ας ύπο

θέσουμε δτι τό Ρ είναι ενα μή όμφαλικό σημείο.

εχουμε

στό Ρ καί οί εξισώσεις

γονται στίς

κΕ)

(L -

(9.20)

du =

κι

= L/E. = N/G

9.12

F =

Μ

=

Ο

γιά τίς κύριες καμπυλότητες καί τίς κύριες διευθύνσειs στό Ρ άνά

Ο καί (Ν

διέρχεται άπό τό Ρ έχουμε ΚΖ

Τότε. άπό τό Θεώρημα

- KG) dv = Ο. 'Επειδή γιά τήν u-παραμετρική καμπύλη πού du = 1, d1J = Ο, ή κύρια καμπυλότητα κατ' αυτή τή διεύθυνση είναι

"Ομοια, ή κύρια καμπυλότητα κατά τή διεύθυνση της υ-παραμετρικης καμπύλης είναι

καί προκύπτει αν θέσουμε

μείο, τότε άπό τό Θεώρημα

du =

Ο καί

dv = 1.

Τέλος, αν τό Ρ είναι ενα όμφαλικό ση

9.7 έχουμε κ = L/E = Μ/Ρ = N/G.

VΕτσι, εχουμε άποδείξει τό έξης

θεώρημα: Θεώρημα

Έάν οί διευθύνσεις των

9.13.

u-

καί υ-παραμετρικων καμπυλων ενός τμήματος σ

ενα

σημείο Ρ μιας επιφάνειας είναι κύριες διευθύνσεις, τότε οί κύριες καμπυλότητες στό Ρ δίνονται άπό τίς σχέσεις Πόρισμα.

καί

Έάν οί

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ενος τμήματος μιας επιφάνειας είναι γραμμές

u-

καμπυλότητας, τότε οί κύριες καμπυλότητες στό τυχόν σημείο δίνονται από τίς σχέσεις

Κι Παράδειγμα

9.12.

= L/E

Θεωρούμε τήν έπιφάνεια πού δίνεται από τό τμήμα χ

. Από

καί

τό Παράδειγμα

9.11

= uel

+ vez + (1,1,2 + v Z)e3

ξέρουμε δη οί γραμμές καμπυλότητας είναι οί καμπύλες τής έπιφάνειας πού προσδιορίζονται

u 2 + v 2 ' = r 2 καί τίς ευθείες u = bv τού μετασχηματισμού u = rcos θ, v = r Βίη θ μπορούμε νά

από τίς περιφέρειες τρικού

τίς γραμμές καμπυλότητας.

'Έτσι, εχουμε τήν παραμετρική

χ Τά θεμελιώδη μεγέθη

1 + 4r2 , L = -2r2 (1 -2(1 + 4rZ)-1/2 καί

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ

(τ

=

cos

θ)eι

παραμετρικού έπιπέδου.

Μέ τή βοήθεια τού παραμε

πετύχουμε οί παραμετρικές καμπύλες νά συμπέσουν μέ παράσταση

+ (τ Βίη θ)eΖ + r2e3.

r

>

Ο

πρώτης καί δεύτερης τάξεως εχουν τότε τίς άπλούστερες έκφράσεις

+ 4τ2)-Ι!2, "ι!

Μ

=

Ο, Ν

= -2(1 + 4τ2)-Ι/2.

= N/G =, -2(1 + 4r l!)-3/Z.

Ε

= r 2 , F = Ο, G = "ι = L/E =

ενώ οί κύριες καμπυλότητες είναι

RODRIGUES

. Υποθέτουμε δτι du: dv είναι μιά κύρια διεύθυνση σ' ενα σημείο Ρ ενός τμήματος καί κ είναι ή αντίστοιχη κύρια καμπυλότητα.

Άπό τίς εξισώσεις (9.10), (9.12) καί (9.20) εχουμε

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

(-N.. ·X,,-KX.. ·x..)du

+

(-N.,·X,,-KXV·x..)dv

Ο

(-Ν.. • χ"

+

(-Ν.,· Χ., -

Ο

ΚΧ.. • χ.,)

-

du

[(N.. du (dN Δηλαδή τό διάνυσμα καί

dN

dN

K(x .. du

+ x.,dv)]

• χ..

+ N"dv) +

K(x .. du

+ x"dv)]

• Χ"

+ Kdx) • χ.. =

+ Κ dx

ο,

dv

=

Ο

+ Kdx) ·Χ"

(dN

Ο

ο

στό σημείο αυτό είναι κάθετο στά γραμμικώς ανεξάρτητα διανύ

'Αλλά είναι καί παράλληλο πρός τό έφαπτόμενο έπίπεδο στό Ρ, έπειδή καί τά

=Ο

. Επομένως έχουμε dN + Κ dx dN είναι συγγραμμικό πρός

είναι παράλληλα πρός αυτό.

dx

ΚΧ.,· χ.,)

+

[(N.. du+N.,dv)

σματα χ.. καί Χ".

187

ώς πρός μιά κύρια διεύθυνση, τό διάνυσμα

dN =

σχέση

-Κ

dx, .Η

9.14.

διεύθυνση

9.23

du: dv

τής σελίδας

= χ.. du + Χ., dt.

Τό αντίστροφο αυ

σ' ενα σημείο μιας έπιφάνειας είναι μιά κύρια διεύθυνση έάν

dN =

Ν.. du

dN έξίσωση

+ Ν" dv

καί

ίκανοποιοϋν τή σχέση

=

-Kdx

(9.26)

'Όταν συμβαίνει αυτό, ό Κ έκφράζει τήν κύρια καμπυλότητα κατά τή διεύθυνση

.Η

~Eτσι,

δίνεται από τή

~Eτσι, εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

196.

καί μόνο έάν γιά κάποιο αριθμό Κ (καί γιά κάποιο τμήμα) τά διανύσματα

dx

= -Κ dx.

ή dN dx καί

δπου Κ είναι ή κύρια καμπυλότητα τής διευθύνσεως αυτής.

τοϋ αποδεικνύεται στό Πρόβλημα

Θεώρημα

τό

(9.26),

du: dv .

πού χαρακτηρίζει πλήρως τίς κύριες διευθύνσεις, λέγεται τΌπος του

Rodrigues

καί ή απομνημόνευσή του είναι χρήσιμη.

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ. Μιά διεύθυνση

du: dv

σ'

ΣΥΖγΓΕΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΓΡΑΜΜΩΝ ενα σημείο μιας έπιφάνειας, γιά κάποιο τμήμα τής όποίας ισχύει

π λέγεται άσυμπτωτική διεύθυνση.

=

+

L du 2

Έπειδή

K

n

2Μ du

=

dv

+

Ν dv 2

Ο

=

(9.27)

π/Ι καί ή Ι είναι θετικά όρισμένη, οί ασυμπτωτικές

διευθύνσεις είναι οί διευθύνσεις γιά τίς όποίες

K

n

= Ο.

Σ'

ενα έλλειπτικό σημείο δέν ύπάρχουν

ασυμπτωτικές διευθύνσεις σ' ενα ύπερβολικό σημείο ύπάρχουν δύο διαφορετικές ασυμπτωτικές διευ θύνσεις σ' ενα παραβολικό σημείο ύπάρχει μία ασυμπτωτική διεύθυνση, ένώ τέλος σ' ενα έπίπεδο σημείο κάθε διεύθυνση είναι ασυμπτωτική. Μιά καμπύλη μιας έπιφάνειας λέγεται άσυμπτωτική γραμμή, αν σέ κάθε σημείο τής καμπύλης ή διεύθυνση τής έφαπτομένης της είναι ασυμπτωτική διεύθυνση.

'Έτσι, μιά καμπύλη μιας έπιφάνειας

είναι ασυμπτωτική γραμμή, έάν καί μόνο έάν ή διεύθυνση τής έφαπτομένης τής καμπύλης ίκανοποιεί

τήν

γιά κάποιο τμήμα χ

(9.27)

αυτή

αναλύεται

σέ δύο

= x(u, υ)

τής έπιφάνειας.

Σ'

ενα ύπερβολικό σημείο ή έξίσωση

διαφορετικθς έξισώσεις τής μορφής Α

du

+ Β dv =

Ο, πού

θεωρηθοϋν ώς οί διαφορικές έξισώσεις πρώτης τάξεως τών ασυμπτωτικών γραμμών.

μποροϋν νά ~Eτσι εχουμε

τό έπόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

9.15.

Σέ μιά περιοχή ένός ύπερβολικοϋ σημείου μιας έπιφάνειας κλάσεως

Cm, m

~

3,

ύπάρχουν δύο διαφορετικές οικογένειες ασυμπτωτικών γραμμών.

, Εάν

οί

u-

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος είναι ασυμπτωτικές γραμμές, τότε πρέπει

(9.27) γιά du = 1, dv = Ο καί du = Ο, dv = 1 σέ κάθε ' Επίσης ισχύει καί τό αντίστροφο, όπότε έχουμε τό έπόμενο

νά ίκανοποιείται ή

σημείο.

L =

θεώρημα:

Ν

=

Θεώρημα

Ο.

9.16.

Οί

u-

9.13.

τότε

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος μιας έπιφάνειας είναι ασυμπτω

τικές γραμμές, έαν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο είναι Παράδειγμα

' Αλλά

L

= Ν = Ο.

Θεωρούμε τήν παραμετρική παράσταση

χ

=

(τ

cos e)eI

Εϋκολα ύπολογίζονται τά θεμελιώδη μεγέθη

+ (τ sin e)e2 + (log r)e3'

τ> Ο

ΚΕΦ.9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

188

L

=

-τ/(Ι

+ r)1/2,

Μ

= Ο,

= Ι/τ(Ι + r2)l/2

Ν

'Αντικαθιστώντας τίς έκφράσεις αύτές στήν (9.27) καί πολλαπλασιάζοντάς την έπί (Ι dr 2 /r = Ο, πού εΙναι ίσοδύναμη μέ τίς dfJ dr/r Ο, dfJ -

ρική έξίσωση -rdfJ 2

+

+ u = log r

τές εχουν γιά λύσεις τίς fJ

καί

fJ

+ 11 = -log r,

=

+

δπου u

καί

11

+ r2)1/2 dr/r

φθάνουμε στή διαφο

= Ο.

Οί έξισώσεις αύ

εΙναι οί σταθερές όλοκληρώσεως.

Οί

οίκογένειες τών καμπυλών τής έπιφάνειας πού προσδιορίζονται από τίς παραπάνω καμπύλες τού παραμετρικού έπιπέ

δου εΙναι δύο οίκογένειες άσυμπτωτικών γραμμών. καί

δηλαδή τίς fJ

11,

= -(U + 11)/2, r = χ

=

Λίινοντας ώς πρός θ

e(u-v)/2(cos

καί

r

βρίσκουμε δύο συναρτήσεις τών

u

Συνεπώς, ή αρχική παραμετρική παράσταση γίνεται

e(u-v)/2.

!(u + lI»el -

e(u-v)/2(sin

!(u + 1I»e2

+

!(u -1I)e3

ποίι τοπικά εΙναι Ι;να τμήμα έπιφάνειας, τού όποίου οί παραμετρικές καμπύλες εΙναι οί άσυμπτωτικές γραμμές τής έπι φάνειας .

. Υπενθυμίζουμε

τώρα δτι σέ κάθε σημείο μιας καμπύλης μιας έπιφάνειας ή κάθετη καμπυλότητα

είναι Kn

δπου

= π/Ι = k· Ν

είναι τό διάνυσμα καμπυλότητας τής καμπύλης.

k

'Απ'

αυτο επεται ότι μιά καμπύλη είναι

άσυμπτωτική γραμμή, έάν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο της είναι έάν ή

k =

Θεώρημα

Ο ή τό

είναι κάθετο στό Ν.

k

k' Ν =

ο· δηλαδή έάν καί μόνο

νΕτσι εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

Μιά καμπύλη μιας έπιφάνειας είναι άσυμπτωτική γραμμή, έάν καί μόνο έάν κάθε

9.17.

σημείο τής καμπύλης είναι σημείο καμπής

(k =

Ο) ή τό έγγύτατο έπίπεδο στό τυχόν σημείο τής

καμπύλης είναι έφαπτόμενο στήν έπιφάνεια. 'Επειδή κατά μήκος μιας ευθείας είναι

Πόρισμα.

k

Ξ ο, εχουμε τό έπόμενο πόρισμα:

Μιά εt'Jθεία μιας έπιφάνειας είναι άσυμπτωτική γραμμή.

Γιά τίς άσυμπτωτικές γραμμές πού δέν είναι ευθείες θά δείξουμε στό Πρόβλημα

199

Θεώρημα

9.18 (Beltrami-Enneper).

πού δέν είναι ευθεία, ή στρέψη

τής σελίδας

Σέ

κάθε σημείο μιας άσυμπτωτικής

δπου Κ είναι ή καμπύλότητα τού

Μιά διεύθυνση

8u:

Gauss

=

-Κ

στο αντίστοιχο σημείο.

8υ σ' ενα σημείο μιας έπιφάνειας λέγεται ~ πρός τή διεύθυνση

αν

dx' 8Ν

δπου (γιά κάποιο τμήμα) είναι σχέσεων

dx

Ldu Bu ' Από

8υ.

=

Ο

(9.28)

καί δΝ

= N u 8u + N v 8υ.

Μέ τή βοήθεια τών

+ M(duBv + dv 8u) +

Ν dv δυ

=

Ο

(9.29)

τή συμμετρία της προηγούμενης σχέσεως συμπεραίνουμε δτι ή

έπίσης συζυγής πρός τήν

Bu:

= X u du + X v dv

du:dv,

βρίσκουμε δτι ή παραπάνω συνθήκη είναι ισοδύναμη μέ τήν

(9.10)

Σημείωση.

γραμμής μιας έπιφάνειας,

ίκανοποιεί τή σχέση

τ2

καί

9.30

τό έπόμενο θεώρημα:

Bu:

du: dv είναι du: dv

8υ, όπότε μπορούμε νά μιλαμε γιά τίς συζυγείς διευθύνσεις

'Επίσης παρατηρούμε δτι μιά άσυμπτωτική διεύθυνση είναι αύτοσυζυγής.

, Εάν δοθεί μιά διεύθυνση du': dv, ή (9.29) γίνεται μιά γραμμική έξίσωση

(L du ώς πρός

Bu:

8υ.

8u:

8υ, δταν

Θεώρημα

Στό Πρόβλημα

LN -

9.19.

Μ2

oF Ο.

+ Μ dv) 8u + 9.29

(Μ du

+ Ν dv) δυ

=

Ο

άποδεικνύεται ότι ή έξίσωση αυτή εχει μιά μοναδική λύση

'Έτσι εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

Κάθε διεύθυνση σ' ενα έλλειπτικό ή ύπερβολικό σημείο μιας έπιφάνειας εχει μιά

μοναδική συζυγή διεύθυνση.

Δύο οικογένειες καμπυλών μιας έπιφάνειας λέγονται συζυγείς (οίκογένειες γραμμών), αν οί διευ θύνσεις (τών έφαπτομένων) τών καμπυλών είναι συζυγείς σέ κάθε σημείο.

τρική οικογένεια καμπυλών

f(u,

ρηθεί ώς ή διαφορική έξίσωση 'Εάν οί

u-

υ)

= CI

' Εάν δοθεί μιά παραμε': (9.29) μπορεί νά θεω g(u, υ) = C 2 •

στό παραμετρικό έπίπεδο, ή έξίσωση

πρώτης τάξεως τής συζυγούς οΙκογένειας

καί υ-παραμετρικές καμπύλες είναι συζυγείς, τότε πρέπει νά ίκανοποιοϋν τήν

(9.29)

ι

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

γιά

=

=

du 1, dv Ο (9.29) εχουμε

καί

στήν

8u

= Ο,

τελικά Μ

=1

8υ

= Ο.

σέ κάθε σημείο.

189

'Αντικαθιστώντας τίς εκφράσεις αυτες

'Επίσης ισχύει καί τό άντίστροφο, όπότε εχουμε τό έπόμενο

θεώρημα: Θεώρημα

Οί

9.20.

u-

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος μιας επιφάνειας εΙναι συζυγείς,

εάν καί μόνο εάν εΙναι Μ

=

Ο σέ κάθε σημείο.

'Από τό προηγούμενο θεώρημα καί τό πόρισμα του Θεωρήματος Πόρισμα:

συμπεραίνουμε τό έξής:

9.12

Οί U- καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος μιας επιφάνειας πού δέν εχει ομφα

λικά σημεία εΙναι ορθογώνιες καί συζυγείς, εάν καί μόνο εάν εΙναι γραμμές καμπυλότητας. Παράδειγμα

9.14.

Θεωρούμε τήν έπιφάνεια πού δίνεται άπό τό τμήμα (Παράδ.

Χ Γνωρίζουμε

δτι

L

= uel

= Ν = 2(u2 + v 2 + 1)-Ι/2,

Μ

έπιφάνειας ε{ναι συζυγείς.

τήν έξίσωση I(u, υ) Ιv: -Ιu

= -v: u.

=

+ ve2 +

= Ο.

(u 2

Έπειδή Μ

= ο,

9. Ι Ι)

= (Ι.(.) YJ

+ v 2)e3

επεται

Rt-..

v~

δτι οί παραμετρικές

καμπύλες τής

Θεωρούμε τώρα στό παραμετρικό έπίπεδο τήν οίκογένεια τών καμπυλών πού δίνεται άπό U2 V 2 = C~. Έπειδή dl du IV dv 2u du 2υ dv ο, εχουμε du: d1' =

= LU

+

-v δu + u δυ = Ο, πού εχει γιά καμπυλών U 2 + V 2 = C~ καί u

=

+

=

+

2(1 + u 2 + v 2 ) -Ι/2, παίρνουμε τήν έξίσωση λύσεις τήν οίκογένεια τών εύθειών u = C 2v. 'Επομένως, οί δύο οίκογένειες τών C 2v προσδιορίζουν δύο συζυγείς οίκογένειες γραμμών τής έπιφάνειας, πού ε{ναι

Έάν χρησιμοποιήσουμε τήν

(9.29)

καί διαιρέσουμε μέ

=

γραμμές καμπυλότητας. Σημείωση. παραμετρικών

'Όπως είδαμε, ή κάθετη καμπυλότητα ε{ναι κατά προσέγγιση προσήμου άνεξάρτητη τών έπιτρεπτών μετασχηματισμών.

"Ετσι,

προκύπτει δτι οί κύριες καμπυλότητες (κατά προσέγγιση

προσήμου), οί

κύριες διευθύνσεις, οί γραμμές καμπυλότητας καί τά όμφαλικά σημεία, αν καί όρίστηκαν μέ τή βοήθεια ενός συγκε

κριμένου τμήματος, ε{ναι έννοιες πού άναφέρονται στήν έπιφάνεια καί όχι στό τμήμα.

Κάτι άνάλογο ίσχύει γιά τίς

άσυμπτωτικές γραμμές καί τίς συζυγείς διευθύνσεις.

Λυμένα ΙΙροβλήματα ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ.

9.1.

ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ.

ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Δείξτε ότι ή πρώτη θεμελιώδης μορφή ένός τμήματος τής εκ περιστροφής επιφάνειας

χ

+ f(t)(sin θ)e2 + g(t) e3

Ι

γράφεται "Εχουμε

f(t)(cos θ)eι

Χθ

Ε

=

=

-(Ι Βίη

Χθ·Χθ

+ (Ι cos e)e2, Xt = = 12, F = Χθ·Χt =

(Ι'

e)el

cos e)el

+ (Ι'

Βίη

e)e2

+ g'e3

Ο,

άπό τίς όποίες παίρνουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

9.2.

= e θ (cοtβ)/V2, θ = θ,

Βρείτε τό μήκος του τόξου u κώνο

"Εχουμε Ε ιcαί

χ

= Χθ· Χθ = u 2,

= F

Ο ~ θ ~ π, β

+ (u sin θ)e2 + ue3 = Χθ· Xu = Ο, G = Xu • Xu = 2, du/de = u(cot β)/ΥΖ, (u cos θ)eι

Ο

[u2

+ (cot2 β)u2j1/2 de

=

";1 + cot2 β fTΓ u
ο

=

";1 + cot2 β

f" eθ(cοtβ)/V2 de ο

πού ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

,

πού βρίσκεται στόν

+ 2F de du + G (dU)2JI/2 de f TΓ [E(dI)2 de dede de

8

fTΓ

ι

= σταθ.

=

V2 - - (e,,(cοtβ)ι V2 cos

β

1)

de/de

=1

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

190 9.3.

Δείξτε δτι ή καμπύλη τοϋ Προβλήματος

ΚΕΦ.9

τέμνει τίς γενέτειρες τοϋ κώνου θ

9.2

= σταθ.

κατά

σταθερή γωνία β.

COS4(:'x..) ..

νΕχουμε

F

(dx/dfJ) • Χ"

+ G(du/dfJ)

(xo(dfJ/dfJ)

=

Idx/dfJIIX,,1

Ixo(dfJ/dfJ)

+ x,,(du/dfJ» • Χ" + x,,(du/dfJ)llx,,1

V2(du/dfJ)

u cotfJ

= γΕ + 2 F(du/dfJ) + G(du/dfJ)2..fG = ~===::=:==:Ξ=ι=:Ξ=~=Ξ= YU2 + 2(du/dfJ)2 YU2 + u 2 cot2 β =

cotfJ

γι

cosfJ

+ cot2 β

πού ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

9.4.

'Εάν ή πρώτη θεμελιώδης μορφή ένός τμήματος εΙναι τής μορφής Ι

= du2 + f(u, v) dv 2, δείξτε

δτι οΙ v-παραμετρικές καμπύλες άποκόπτουν ίσα τμήματα άπό δλες τίς u-παραμετρικές καμ-

πύλες.

Σημειώστε επίσης

παραμετρικές

καμπύλες

δτι,

εΙναι

άφοϋ

= Ο,

F

όρθογώνιες.

οΙ

11

Στήν

= 113

περίπτωση αύτή οΙ v-παραμετρικές καμπύλες λέγονται παράλληλες καί εχουν τή

μορφή τοϋ Σχ.

9-16. .Η πύλης 11 Ul

< U2'

άπόσταση κατά μήκος μιας

. Αφοϋ du/du U2 -

9.5.

u-παραμετρικής καμ

= 110 μεταξύ των σημείων u = Ul καί u = U2, ε{ναι d = f'" [(du/du)2 + f(u, 1I0)(dll/du)2j1/2 du.

= 1 καί

ui

dll/du

Ul πού άποδεικνύει ότι ή

= ο,

έχουμε d

=f'" du = "ι

d ε{ναι ίδια γιά κάθε

11

Σχ.9-16

= 110'

Δείξτε δτι γιά μιά επιφάνεια πού προσδιορίζεται απο τήν εξίσωση Ι(Χι, Χ2, Χ3)

Ι:ι: ι dxI

+ fZ2dx2 +

fZ3dx3

=

Ο, δπου

dx

= (dxl,dx2,dx3)

=C

ίσχύει

είναι ενα τυχόν εφαπτόμενο διά

νυσμα τής επιφάνειας στό Ρ(χι, Χ2, Χ3) •

• Υποθέτουμε

ότι χ

= Ζι(Ι) e l + Ζ2(Ι) e2 + Z3(t) e3

χεται άπό τό Ρ(Ζι, Ζ2, Ζ8)

ε{ναι μιά κανονική καμπύλη τής έπιφάνειας πού διέρ

καί τής όποίας τό έφαπτόμενο διάνυσμα στό σημείο αύτό συμπίπτει μέ τό δοθέν

έφαπτόμενο διάνυσμα. Τότε γιά κάθε Ι ε{ναι Ι(Ζι(Ι), Ζ2(Ι), Ζ3(Ι»

fZ3(dza!dt)

= Ο.

στό Ρ, τότε ή προηγούμενη σχέση γίνεται

9.6.

=

Ι:ι:

ι

= C.

Δείξτε δτι ό επιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός Ο <θ

< 2π,

αρα df/dt

dx dz I el + dZ 2 e2 dz l + f:r2 dZ2 + Ι:Ι:3 dZ 3

Δηλαδή, αν συμβολίσουμε μέ

= f,)dzl/dt) + fZ2(dz 2/dt) +

+ dZ 3 e3

=

= sinh t,

u

τό έφαπτόμενο διάνυσμα

Ο.

Φ

= θ,

-00

< t < 00,

μεταξύ τών σημείων τοϋ παραμετρικοϋ επιπέδου ένός τμήματος τής εκ περιστροφής

έπιφά~ειας Μι

χ

=

(cosh t cos θ)eι

+ (cosh t

Βίη θ)e2

+ te3,

Ο

< θ < 2π

καί τών σημείων τοϋ παραμετρικοϋ επιπέδου ένός τμήματος τοϋ όρθοϋ κωνοειδοϋς Μ2

. Υ

=

(u cos Φ )eI

+

(u Βίη φ)~

+ ιpe3.

Ο

< Φ < 2π

προσδιορίζει μιά άπεικόνιση Ι-Ι μεταξύ τών σημείων τών δύο επιφανειών (Σχ.

9-17),

ετσι ωστε

οΙ πρώτες θεμελιώδεις μορφές στά άντίστοιχα διανύσματα νά ταυτίζονται.

fJ Φ

2..

21τ

u ο

= sinh t..

Φ=Ι

Ο Σχ.

9-17

1

Γ ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ θΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

191

, Αφοίί τά τμήματα Χ καί Υ είναι άπειιωνίσεις ι-ι τών άντίστοιχων πεδίων όρισμοίί τους έπί τών έπι Μι καί Μ 2 καί ή U sinh t, Φ Ι όρίζει μιά άπεικόνιση ι-ι μεταξύ τών πεδίων δρισμοίί, επεται δη ή σύνθεση της άπεικονίσεως χ-Ι μέ τήν U sinh t, Φ Ι καί aτή συνέχεια μέ τήν Υ δίνει μιά άπει κόνιση ι-ι μεταξύ τών έπιφανειών Μι καί Μ 2 •

=

φανειών

=

=

=

Στό σημείο x(t, e) της Μι εχουμε G = Xe' Χθ = cosh2 t, F = Xg' Χι = Ο, Ε = Χι' Χι = cosh 2 t καί = cosh 2 t(dl 2 + dt2). Στό σημείο y(u, φ) της Μ2 εχουμε G* = Υφ' Υφ = u 2 + 1, F" = Υφ' Υ" = Ο. Ε* = Υ ... Υ" = 1 καί Ι" = (u 2 + 1) dφ2 + du 2 , άλλά U = sinh t, Φ = ι, dφ = dl, du = cosh t dt. Συνεπώς

Ι

+ 1) de 2 +

(sinh 2 t

1*

cosh 2 t dt 2

=

cosh 2 t(do 2

+ dt 2 )

Ι

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

9.7.

Δείξτε ότι τά σημεία της επιφάνειας πού προσδιορίζει τό τμήμα

=

χ

> Ο,

εΙναι ελλειπτικά εκεί όπου 11

+ 11e2 + (u2 + v3)e3

uel

ύπερβολικά όπου 11

<Ο

καί παραβολικά όπου 11

=

Ο.

Έχουμε χ..

Ν

=

Ν

Έπειδή

(4u2

KaiLN ν

9.8.

>

Ο

Μ2

!χ.. χ ΧV!

=

L

=

X vv ' Ν

Υιό ν

=

Χ.... ' Ν

+ 9v 4 + 1) >

=Ο

XXv

2(4u 2 + 9v4

+ 1)-1/2,

6v(4u2 + 9v4 + 1)-1/2,

Ο Υιό κάθε (U, ν), εχουμε

=

Ο.

καί, έπειδή :Υιά κάθε

M=x..v·N=O 12ν

LN-M2

LN -

Μ2

>

Ο Υιά

4u2 + 9v4 + 1 ν > Ο, LN - Μ2

~Eτσι, τά σημεία της έπιφάνειας εΙναι έλλειπηκά Υιά

(U, ν)

εΙναι

Ο, παραβολικά Υιά ν

L rF

=

11

>

<

Ο Υιά ν

<

Ο

Ο, ύπερβολικά Υιά

Ο.

Δείξτε ότι κάθε περιοχή του παραβολικου ση

μείου Ρ(Ο, Ο) τής επιφάνειας του Προβλήματος

9.7

κείται καί πρός τίς δύο πλευρές του εφαπτό

μενου επιπέδου στό παραβολικό σημείο. Στό U

= Ο, 11 = Ο

εχουμε

=

χ.,

e. καί

= e2'

Συ

συνεπώς τό έφαπτόμενο έπίπεδο στό Ρ(Ο, Ο) εΙναι τό έπίπεδο

:1:3

=

Ο.

•Η

ν-παραμετρική

εΙναι ή τριτοβάθμια καμπύλη Χ

=

u

καμπύλη

~

+ ν3e:ι,

=

Ο

πού κεί

ται καί πρός τίς δύο πλευρές του έφαπτόμενου έπιπέδου στό σημείο

9.9.

Ρ(Ο, Ο), δπως φαίνεται καί στό Σχ.

Σι.

9- Ι 8.

9-18

Δείξτε στι όλα τά σημεία τής εφαπτόμενης επιφάνειας μιας καμπύλης εΙναι παραβολικά ή επί πεδα .

•Η

έφαπτόμενη έπιφάνεια της καμπύλης Υ

Υ

Χ.

Ν

χ", = t

=

χ"ΧΧ.

Ιχ.. χ χ.1

= Kn,

χ""

uκb

=

=

9.10.

Χ••

luκΙ'

Ο,

Συνεπώς, σέ δλα τά σημεία εΙναι

L

+ ut

= LN -

=

= t

προσδιορίζεται άπό τήν Χ

+ UKn,

t+uκή+uκn

χ"

=

= y(s) + ut(s).

' Αλλά

t

= -uκ t + (UK + κ)η + uKTb = xs,,'N = Ο, Ν = χ.... ·Ν =

= IUKIT, Μ = Ο, πού εΙναι τό

χ•• ·Ν Μ2

= y(s)

2

Ο

ζητούμενο άποτέλεσμα.

Δείξτε ότι κάθε σημείο της εκ περιστροφής επιφάνειας, πού δίνεται άπό τήν

χ

= f(t)(coS O)el

+ f(t)(sin O)ez + tea.

f(t)

>Ο

εΙναι παραβολικό σημείο, εάν καί μόνο εάν ή επιφάνεια εΙναι ενας όρθός κυκλικός κύλινδρος,

δηλαδή

f=

α, ή ενας κώνος, δηλαδή

f

= at + b, α = σταθ.
b=

σταθ.

,-

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

192

Ι = [Ι +-f'ψ/2 '

Εύκολα μπορεί νά ύπολογιστεί ότι L

=

LN - Μ2

>

Έπειδή Ι ή

9.11.

1=

ο, εχουμε

at + b,

Μ2

LN -

= Ο,

Ι

= Ο,

Μ

ΚΕΦ.9

= [Ι +Ι"f'ψ/2 .

Ν

Συνεπώς

-11"

+ 1'2

= Ο.

έάν καί μόνο έάν Ι"

Δηλαδή έάν καί μόνο έάν

= α .,ι. Ο

Ι

a"ι. Ο, συμπέρασμα τό όποίο συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

Δείξτε ότι σέ κάθε ελλειπτικό σημείο μιας επιφάνειας ύπάρχει περιοχή πού κείται πρός τό

~να μέρος του εφαπτόμενου επιπέδου στό σημείο αύτό.

= x(u, ν)

"Εστω Ρ

ενα έλλειπτικό σημείο

ένός τμήματος

=

της έπιφάνειας

=

+

καί

= x(u + du, v + dv) =

Q

+

ενα γειτονικό σημείο. Ύπενθυμίζουμε ότι d PQ' Ν tII o(du2 dv 2), όπου ή tII t(L du2 + 2Μ du dv Ν dv 2) ώς συνάρτηση τών du, dv προσδιορίζει ενα έλλειπτικό παραβολοειδές καί διατηρεί τό πρό

+

σημο γιά κάθε ποσότητα

'Αλλ'

tII

αύτό ε{ναι άκριβώς τό

>

_!

- 2 (L cos

2

•

11

2 du 2 +

Ο, δηλαδή τό

καί θεωροϋμε τήν

• • 2

(J

+ 2Μ cos (J Sln (J + Ν Sln

) (J

du == cos θ, dv == sin 8. tII/(du2 + dv 2) παίρνει ενα έλά-

ετσι ώστε o~~~2':

dv 2

+

2 2 o(du +dv ) du 2 + dv 2

:::) < m

>Ο

γιά

γιά du2 + dv 2 <

02.

'Αλλά τότε

0< du2+ dv2 < 02

κείται πρός τό ίδιο μέρος τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου γιά

Q

βλάβη της γενικό

ύπολογισμένο έπί της μοναδιαίας περιφέρειας

tII,

Ι

==

d du 2 + dv 2 d

Ν dv 2

=

du Ο, dv Ο. Χωρίς du;::; r cos θ, dv == r sin (J

Θέτουμε τώρα

ε{ναι συνεχής συνάρτηση καί θετική έπί της περιφέρειας, ή

tII

χιστο m > Ο. Διαλέγουμε τώρα ενα

Συνεπώς

> Ο.

+ du2 2Μ du dv + + dv2

11 _ ! L du 2 2 du2 + dv2 - 2

!

Έπειδή ή

=

ένώ ίσοϋται μέ μηδέν, έάν καί μόνο έάν

(du,dv),

τητας μποροϋμε νά ύποθέσουμε ότι

du 2 + dv 2

< .2.

"Ε

τσι συμπληρώνεται ή άπόδειξη.

ΚΑΘΕΤΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ.

9.12.

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ

Βρείτε τό διάνυσμα κάθετης καμπυλότητας

U

= t2,

=t

'Ι)

τής επιφάνειας πού δίνεται άπό τό τμήμα χ Ε

=

= 2(4u2 + 4v 2 +

Ν

== 2/3, duldt == 2, dvldt ==

=Ι

ε{ναι

u

= Ι,

",.

καί 9.13.

k,. ==

'Έστω

",.Ν

=

=

Ι + 4u2, F 4uv, Ι)-Ι/2, Μ = Ο, Ν =

L

Στό t

= uel

+ 'l)e2 + (u2 + 'l)2)e3

v

_ -

= Ι, Ι.

Ε

G == Ι + 4v 2 , Ν (4u2 + 4v2 + l)-l/2(-2uel - 2ve2 + e3), 2(4u2 + 4v 2 + Ι)-Ι/2, duldt 2t, dvldt Ι.

== 5, F == 4, G == 5,

Ν

=

=

== -l/3[2el +2e2-e3], L == 2/3,

Συνεπώς

L(duldt)2 + 2M(duldt)(dvldt) + N(dvldt)2 E(du/dt)2 + 2F(du/dt)(dv/dt) + G(dvldt)2

= - 3~09 [2el + 2e2 -

e3]'

==

ΙΟ

Ι23

πού ε{ναι τά ζητούμενα άποτελέσματα.

μιά εφαπτομένη στό σημείο Ρ μιας επι

L

φάνειας κατά τή διεύθυνση της όποίας εΤναι κ,. ".. Ο (δηλαδή μιά μή άσυμπτωτική διεύθυνση). ότι

Δείξτε

οί έγγύτατες περιφέρειες (κύκλοι) όλων τών

καμπυλών της επιφάνειας πού διέρχονται άπό τό

Ρ καί εχουν εφαπτομένη τήν

L

βρίσκονται σέ μιά

σφαίρα. "Εστω

C

μιά καμπύλη πού διέρχεται άπό τό Ρ

εχει έφαπτομένη τήν τι

k"ι. Ο, όπότε μποροϋμε νά

" cos α . . Αφοϋ τό n νά εχει τή καί Ο ~ α

Ι/ιc,

R ==

==

διαλέξουμε τό Ν ετσι ώστε φορά τοϋ

4(n, Ν)

καί

== k • Ν "ι. ο, επεται ό γράψουμε ",. == ,,(n' Ν) ==

'Αφοϋ ιc,.

L.

~

Ι/ιc,., εχουμε ρ

k, .,./2.

=R

εχουμε τελικά

. Εάν COS

",.

>

Ο

",.>0,

τώρα θέσουμε

α, όπου

R ==

καί

,,> Ο ρ

==

σταθ. καί

Ρ ε{ναι ή άκτίνα καμπυλότητας της έγγύτατης περιφέρειας της

C.

Συνεπώς ή έγγύτατη περιφέρεια μπορεί νά θεωρη

θεί ώς τομή τοϋ έγγύτατου έπιπέδου καί της σφαίρας άκτί νας

R,

στό ση

t = 1.

μείο πού άντιστοιχεί στό "Εχουμε

ΚΑΙ ΜΕΣΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ

GAUSS

καί τήν κάθετη καμπυλότητα κ,. της καμπύλης

k,.

πού έφάπτεται στό έφαπτόμενο έπίπεδο της έπιφά

νειας στό Ρ, όπως φαίνεται στό Σχ.

9-19.

Σχ.

9-19

Μ

==

Ο,

Τ:

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

193

ι

9.14.

Δείξτε δτι ή διακρίνουσα τής έξισώσεως

(EG -

F2)ιc 2

+ GL -

(ΕΝ

-

2FM)ιc

+ (LN -

εΙναι μεγαλύτερη ή ίση μέ τό μηδέν, καί στι ή ίσότητα ίσχύει έάν καί μόνο έάν

Μ2)

= N/G .

M/F

.Η

διακρίνουσα (ΕΝ

+ GL -

=Ο =

L/E

Μ2) μπορεί νά δειχθεί δτι είναι ταυτοτικά ϊση

2FM)2 - 4(EG - F2)(LN -

μέ τήν έκφραση

t'f

Συνεπώς ή διακρίνουσα είναι μεγαλύτερη

ϊση μέ τό μηδέν.

φραση είναι μηδέν, έάν καί μόνο έάν ΕΜ μέ τίς

9.15.

ΕΜ

- FL

=Ο

καί

ΕΝ

=Ο

- GL

FL

=Ο

ή τελικά

Έπειδή

καί ΕΝ L/E

GL -

EG - F2

~ (ΕΜ -

>

FL)

Ο,

ή προηγούμενη εκ

= Ο,

πού Ισοδυναμοϋν

= M/F = N/G.

Δείξτε δτι γιά κάθε σημείο Ρ μιας έπιφάνειας ύπάρχει ενα παραβολοειδές τέτοιο ώστε ή κάθετη καμπυλότητα τής επιφάνειας κατά τήν τυχούσα διεύθυνση εΙναι ίση μέ τήν καμπυ λότητα του παραβολοειδους στήν 'ίδια διεύθυνση .

. Υποθέτουμε

δτι ή έπιφάνεια εχει μεταφερθεί καί περιστραφεί, ετσι ωστε τό Ρ νά βρίσκεται στήν άρχή

τών άξόνων καί τό έφαπτόμενο έπίπεδο στό σημείο αύτό νά συμπίπτει μέ τό έπίπεδο

%Ι%2'

Τότε ύπάρχει μιά

περιοχή της έπιφάνειας στό Ρ πού είναι ή είκόνα τοϋ ψήματος

χ δπου

Χ(Ο, Ο)

=

ο, χ",(Ο., Ο)

= 8ι,

Χ

= ae3'

δπου

xu",(O, Ο)

α du2

+ 2b du dll + C d1l 2 du2 + d1l 2

=

χ,,(0, Ο)

+

uel

= e2'

1182

+

f(U,1I)e 3

' Από τόν τύπο τοϋ

εχουμε

Taylor

+ lIe2 + t(au2 + 2bull + cv 2)e3 + o(u2 + 112)

uel

=

χ",,,(Ο, Ο)

=

be3 καί

"",,(Ο, Ο)

=

=

ce3, Ν(Ο, Ο)

• Επομένως

e3.

εχουμε

".

=

. Η έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τήν προσέγγιση

= uel + lIe2 + t(au2 + 2bull +

χ.

είναι ενα παραβολοειδές έφαπτόμενο στό έπίπεδο %Ι%2 στό

u =

C1I 2 )e3

Ο, 11

Ο καί τέτοιο ωστε ":

=

= ".,

πού

είναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

9.16.

'Αποδείξτε τό Θεώρημα

Μιά διεύθυνση

9.5:

duo : dv o

εΙναι κύρια και ενας άριθμός "ο εΙναι

ή κύρια καμπυλότητα πού άντιστοιχεί στή διεύθυνση αύτή σ' εάν καί μόνο εάν τά /(0'

ενα σημείο μιας έπιφάνειας,

du o' dv o (γιά κάποιο τμήμα) ίκανοποιουν (L - /(οΕ) du o + (Μ - "oF) dv o = Ο

τίς σχέσεις

'Υποθέτουμε δτι "ο εΙναι ή κύρια καμπυλότητα κατά τήν κύρια διεύθυνση

(α)

duo: dllo•

δτι οί κύριες καμπυλότητες είναι ή μέγιστη καί ή έλάχιστη τιμή της κάθετης καμπυλότητας "ιι'

παίρνει τή μέγιστη

t'f

11 Τ

=

"n

du 2

L Ε du 2

=

τήν έλάχιστη τιμή της "ο στό

+ 2Μ du dll + + 2F du dv + (duo, dllo),

a"n- Ι -

Ι II du

~

, Εάν

τότε οί μερικές παράγωγοι σ' αύτό τό σημείο

. Αλλά

-

(1I/1)I(dUo. dvo)

ο

=

Ο

~

Ι, εχουμε

~I Ι du

=

-_ (duo' dv o )

πολλαπλασιάσουμε μέ

καί

(duo.d"o)

ΙΙ I du Ι

12

II d",

Ο

(d",O' dvo)

"nl(duo.dVo)

καί

= "ο· Συνεπώς καί

. Αφοϋ II du

2L du

+ 2Μ dv

καί

I d ", =

2Ε

(L duO

+ Μ dvo)

-

(Μ duo

+ Ν dvo)

-

du

+ 2F dll,

κλπ., εχουμε

+ F dvo) "o(F duo + G dvo) "ο(Ε duo

Συνεπώς, αν ή

Ν d1l 2 G dv 2

πρέπει νά μηδενίζονται, δηλαδή

a du

'Υπενθυμίζουμε

=

ο

=

Ο

τ ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

194

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα. κανοποιοϋν τίς έξισώσεις (α).

ΚΕΦ.9

. Αντίστροφα, ύποθέτουμε τώρα ότι τά κο, dtto, dvO, dlt~

+ dv~

Φ Ο, ί

Τότε τό κο πρέπει νά ίκανοποιεί τήν έξίσωση

Μ-

L - κΕ det ( Μ - KF

KF) N-KG

Ο

ή άναπτύσσοντας

(EG - F2)K2 -

. Υποθέτουμε

(ΕΝ

+ GL -

2FM)K

+ (LN -

=

Μ2)

πρώτα ότι Ρ εΙναι ενα όμφαλικό σημείο μέ καμπυλότητα κ.

Ο

(b)

• Αφοϋ ή τιμή κ λαμβάνεται σέ

κάθε διεύθυνση, οί συντελεστές τών έξισώσεων (α) πρέπει νά εΙναι όλοι μηδέν, δηλαδή Άλλά τότε άπό τό Πρόβλημα

N/G. καί κ

= ΚΟ.

διεύθυνση.

9.14

επεται ότι ή έξίσωση

(b)

κ

= L/E = M/F

=

εχει μία μόνο ρίζα μέ πολλαπλότητα δύο

ν Αρα τό κο εΙναι ή κύρια καμπυλότητα καί κάθε διεύθυνση, όπως καί ή

duo: dv o ,

εΙναι κύρια

'Εάν τώρα τό Ρ εΙναι ενα μή όμφαλικό σημείο, ή κο πρέπει νά εΙναι μία άπό τίς δύο διαφορε

τικές ρίζες τής (b~ δηλαδή μία άπό τίς δύο κύριες καμπυλότητες σ' ενα μή όμφαλικό σημείο, καί ή άντίστοι χη διεύθυνση

9.17.

duo: dv o

νά εΙναι κύρια.

Δείξτε ότι ή καμπυλότητα κ σ'

"Ετσι άποδεικνύεται τό θεώρημα.

ενα σημείο Ρ μιας καμπύλης

C,

πού εΙναι τομή δύο τμη

μάτων επιφανειών, ίκανοποιεί τή σχέση

κ2

sin 2 α =

K~

+ K~

2Κ Ι Κ2 COS α

-

όπου κι καί Κ 2 εΙναι οί κάθετες καμπυλότητες κατά τή διεύθυνση της

C

στό Ρ καί α ή γωνία

τών καθέτων στίς επιφάνειες στό Ρ. Άπό τήν έξίσωση

(9.17)

της σελίδας

κιΝ2

. Αφαιρώντας

=

εχουμε

180

K(n' Ν ι )Ν 2

καί

=

Κ2Νι

K(n' ΝΖ)Ν ι

κατά μέλη καί χρησιμοποιώντας τή διανυσματική ταυτότητα τού Θεωρήματος

1.8

τής σελίδας

10

βρίσκουμε

'Από τήν ταυτότητα

[F l ],

της σελίδας

ιο επεται ότι κΖ[(Ν ι χ Ν Ζ ) χ η]

κ2[(Ν ι χ Ν 2 )

• [(Νι

• (Νι χ Ν Ζ )

χ Ν ) χ η]

2

-

«Νι χ Ν 2 ),

n)2]

κΖ(Ν ι χ Ν Ζ ) • (Νι χ Ν 2 )

όπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός στι τό Νι χ Ν 2 εΙναι ενα διάνυσμα παράλληλο πρός τήν έφαπτομένη τής καμπύλης καί συνεπώς (Νι χ Ν 2 ) •

n =

K~

9.18.

Ο.

Μετά τίς πράξεις παίρνουμε

2ΚΙΚ2 cos α

-

+

K~

=

κ 2 sin 2 α

Δείξτε ότι σ' ενα τυχόν σημείο ένός τμήματος επιφάνειας ισχύει Ν.. χΝ"

σπου Κ εΙναι ή καμπυλότητα τού

Gauss

=

Κ(χ.. χχ,,)

στό σημείο αυτό.

'Αφοϋ τό Ν εΙναι μοναδιαίο διάνυσμα, τά διανύσματα Ν.. καί Ν" εΙναι κάθετα στό Ν καί συνεπώς παράλληλα πρός τό έφαπτόμενο έπίπεδο. Μπορούμε έπομένως νά γράψουμε Ν.. ι:χ.. όπου τά α, b. c. d πρέπει νά προσδιοριστοϋν. Παρατηρούμε ότι

+ dx",

Ν.. χ Ν"

=

(aχ,.

+ bx,,) χ

(cx.. + dx,,)

=

νΕτσι άπομένει νά δείξουμε δτι

ad -

. Από

τή σχέση αύτή καί τίς σχέσεις

χ,.' Ν.

=

cb

(9.10)

ax,.' χ,.

=

det (:

της σελίδας

+

bx.. • χ"

:) 175

=

(ad - bc)(x,. χ χ,,)

= κ εχουμε

αΕ

+

bF

-L

= αχ.. +

bx"

καί Ν"

=

Γ ΚΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ θΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

9

Χ" • Ν..

~Oμoια

χ,.·Ν"

Χ" • Ν"

=

+ bG = cE + dF = = cF + dG = aF

195

-Μ

-Μ

-Ν

ΟΙ έξισώσεις αύτές μπορούν νά γραφούν μέ τή μορφή γινομένου πινάκων ώς έξής:

(-L

= Συνεπώς

~)

det (:

~) =

det ( ;

ad _ cb

=

-Μ)

-Μ

-Ν

(~~

det

LN - Μ2 EG-F2

-Μ)

-Ν

Κ

τό όποίο συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ

9.19.

Προσδιορίστε τίς κύριες διευθύνσεις τής έπ-ιφάνειας πού δίνεται άπό τό τμήμα

ve2 +

+

(u2

v 2 )e3

χ

= uel

+

u = 1, v = 1 καί έπαληθεϋστε τόν τύπο τοϋ Rodrigues γιά κάθε κύρια

στό

διεύθυνση.

=

=

=

'Από τό Παράδειγμα 9.11 τής σελίδας 185 έχουμε Ε = 1 + 4u2, F 4ull, G 1 + 4112, L 2(4u2 + 4112 + 1)-1/2, Μ = Ο, Ν = 2(4u2 + 4112 + 1)-1/2. Στό u = 1, 11 = 1 εχουμε Ε = 5, F 4, G = 5, L = 2/3, Μ = Ο, Ν = 2/3. Σύμφωνα μέ τήν έξίσωση (9.25) τής σελίδας 185 οΙ κύριες διευθύνσεις στό u = 1, v = 1 ε{ναι οΙ λύσεις τής έξισώσεως

= Ο .., (du + dv)(du - dll) = dUt: dlll = 1 : -1 καί dU2: dV2 = 1 : 1. "Εχουμε έπίσης χ.. = el + 2ue3' Χ" = e2 + 2ve3 Ν = (4u 2 + 4112 + 1)-1/2(-2uel - 2ve2 + e3) -ldu2 + ~d1l2

Συνεπώς

Στό

ο

Ν..

= (4u 2 + 4v 2 + 1)-3/2 [-(8u 2 + 2)eI + 8ulle2 - 4ue3]

Ν"

=

(4u2 + 4112 + 1)-3/2 [8Ullel - (8112 + 2)e2 - 411e3]

= 1, 11 = 1 ε{ναι χ,. = el + 2e3, χ., u

= N.. dul + N"d1l1 = !-τ (-18el + 18e2) = -~~ (el -e2)'

dN l "Αρα

dN l

18 = -Γ7dχι.

dN2

=

Συνεπώς dN2

= x,.dul + x.,d1l1 = el - e2

dxI

'Επίσης

Ν.. dU2 + Ν" d1l2 dX2

9.20.

=

= -i; dX2,

=

=

Χ.. dU2

!-ΤΙ -2el - 2e2 - 8e3]

+

=

Χ" d1l2

+

el

= - -b [eI + e2 + 4e3] e2

+

4e3

πού μαζί μέ τήν άντίστοιχη παραπάνω σχέση έπαληθεύουν τόν τύπο τού Rodrigues.

Δείξτε στι οί λύσεις τής Α du2

+ 2Β du dv + C dv 2 =

Ο προσδιορίζουν οίκογένειες όρθογώ

νιων καμπυλών σ' ενα τμήμα, έάν καί μόνο έάν Εσ

- 2FB

+ GA

=

ο.

Ύποθέτουμε δτι

Α

du2

+

2Β

du dll

+

C d1l 2

=

(Α'

du

+ Β' dll)(C' du + D' dv) du + Β' dll = Ο καί

Τότε ή μία άπό τίς οίκογένειες τών καμπυλών ε{ναι ή λύση τής Α'

τής

C' 8u

8u : 811

+ D' 811 = Ο.

= D': -C'.

Κατά μήκος τής πρώτης εχουμε

'Αλλά σύμφωνα μέ τό θεώρημα

9.1

du: dv

= Β' : -Α'

τής σελίδας

173

ή άλλη ε{ναι ή λύση

καί κατά μήκος τής δεύτερης

οΙ καμπύλες τών δύο οίκογενειών

εΙναι όρθογώνιες, έάν καί μόνο έάν

Ε du 8u

+ F(du 811 + d1l8u) + G d1l811

+ D'A') + GA'C' + GA = Ο

= EB'D' - F(B'C' EC - 2FB

9.21.

'Αποδείξτε τό Θεώρημα

9.11:

r

ΚΕΦ.9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ θΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

196

'Εάν Ρ εΙναι ενα σημείο μιας έπιφάνειας κλάσεως

Cm,

m~

2,

τότε ύπάρχει ενα τμήμα πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ωστε οί διευθύνσεις τών παραμετρικών καμπυλών στό Ρ νά εΙναι οί κύριες διευθύνσεις. ΕΙναι άρκετό νά θεωρήσουμε τήν περίπτωση όπου τό Ρ εΙναι ενα μή όμφαλικό σημείο.

Γιατί διαφορε

τικά κάθε διεύθυνση θά ήταν κύρια διεύθυνση καί κάθε τμήμα πού περιέχει τό Ρ θά ήταν κατάλληλο. θέτουμε τώρα ότι

οί

Χ

= X(U,

υ)

εΙναι ενα τυχόν τμήμα πού περιέχει τό μή όμφαλικό σημείο Ρ

dUt: dvt καί duz; dvz είναι οί κύριες διευθύνσεις στό Ρ.

, ματισμο u

=

οί διευθύνσεις

dιιι Ο

+

d U! Φ,

=

υ

d υι

+

Ο

dυ2 φ.

Ύπο

καί άκόμα ότι

Θεωροϋμε τό γραμμικό παραμετρικό μετασχη-

Π αρατηρουμε - "οτι

υ) =

ο ά

dUZ).J. dV -r-

-

, φου 2 "Ετσι, ό παραμετρικός μετασχηματι

dUt: dvt καί dU2: dV2 εΙναι διαφορετικές μεταξύ τους.

σμός είναι ενας έπιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός κλάσεως

I de t (dU dVI

iJ(U, iJ(o, φ)

C"".

"Επεται άκόμα ότι ή Χ

=

χ*(ο, φ)=

x(u(o, Φ), v(o, φ» είναι ενα τμήμα κλάσεως C2, πού περιέχει τό Ρ καί γιά τό όποίο εχουμε

Xe Χφ

+ XV(iJV!iJO) + χ,,(iJv!iJφ)

XU(iJU!iJO) χ u (iJ1ι/iJφ)

=

x u dul Xu

dUz

+ Χ" dVI + Χ" dV2

Δηλαδή οΙ διευθύνσεις τών 0- καί φ-παραμετρικών καμπυλών στό Ρ εΙναι έκείνες τών κύριων διευθύνσεων.

9.22.

Τό θεώρημα του

νειας κλάσεως

Euler. Cm, m

~

' Αποδείξτε ότι ή κάθετη καμπυλότητα σ' ενα σημείο Ρ 2, κατά τή διεύθυνση τής έφαπτομένης L δίνεται από κ..

κι cos2a

=

+ Κ2 Βίη

2

μιας έπιφά

τή σχέση

a

όπου κι καί Κ 2 εΙναι οί κύριες καμπυλότητες στό Ρ καί α ή γωνία μεταξύ της

καί τής

L

κύριας διευθύνσεως πού αντιστοιχεί στήν ΚΙ'

Τό θεώρημα εΙναι προφανές, αν τό Ρ εΙναι όμφαλικό σημείο, γιατί τότε «1 σουμε τίς άλλες περιπτώσεις, εστω

u-

καί

186 εχουμε F 2

«1

".. = Ldu Ε du 2

= L!E

καί «\Ι

=Μ =Ο

. Θ . 913 ξ'ερουμε οτι ". . • εωρημα. οι κυριες

=

Κι Ε du2 + G dv2 +

cOSα

=

9.12

της

καί Ο:

1

λότητες ε{ " ναι αντιστοιχα

Ε du2 + G dv2 L,

πού εχ.ει διεύθυνση

άντίστοιχ.α, εχουμε άπό τήν εξίσωση

Edu

ΥΕ du2

καμπυ

Gdv 2

1(2

'Εάν τώρα α καί β είναι οί γωνίες μεταξύ μιας τυχούσας εφαπτομένης

1: Ο

Γιά νά εξετά

στήν προηγούμενη σχέση εχουμε

Edu2

τών κύριων διευθύνσεων

= «".

Τότε άπό τό Θεώρημα

το

' Αντικαθιστώντας IC n

«\Ι

καί ή κάθετη καμπυλότητα σέ κάθε διεύθυνση du: dv δίνεται άπό τήν εκ-

2 ++ Ν dv • 'Α' G dv πο 2

= N/G.

=

ενα τμήμα πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ωστε οΙ διευθύνσεις τών

υ-παραμετρικών καμπυλών νά είναι εκείνες τών κύριων διευθύνσεων.

σελίδας φραση

= x(u, υ)

Χ

καί

+ G dv2 ..;E

(9.6)

τής σελίδας

du: dv, καί

173

Gdv 2

COSp

'Εάν ύψώσουμε στό τετράγωνο καί άντικαταστήσουμε στην προηγούμενη σχέση, παίρνουμε

".. = , Αλλά

9.23.

"ι

COs

2

α

οί κύριες διευθύνσεις εΙναι κάθετες, δηλαδή β

Συμπληρώστε τήν απόδειξη του Θεωρήματος σ'

+

"Ζ

2 COS

= .,./2 -

9.14.

β

α, καί τελικά

" .. =

"ι COS2 α

+

"2

sin2 α.

Δηλαδή δείξτε ότι ή διεύθυνση

du: dv

ενα σημείο μιας έπιφάνειας είναι μιά κύρια διεύθυνση, αν γιά κάποιο αριθμό κ (καί γιά

κάποιο τμήμα) ισχύει

κατά τή διεύθυνση

dN = -Kdx

du: dv .

• Από τή σχέση dN

= -" dx

+ "dx) • Χ,. = Ο καί (ιιΝ + "dx) • Χ" = ο 1'\ [(Ν.. du + Ν" dv) + "(xu du + Xv dv)] • xu = Ο. [(Ν,. du + Ν" dv) + "(xu du + Xv dv)J • Χ" = Ο εχουμε

(dN

(-N,.·Xu - "Χ,. 'Xu)du

+

(-Ν,,·Χ,. -

"x,,'xu ) dv

Ο

(-Ν,.' Xv -

+

(-Ν,,' Xv -

ΚΧ,,' Xv) dv

ο

"χ,.' Xv) du

Ι

r ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ θΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

. Από

τό θεώρημα

θυνση

9.24.

9.5

(Μ

(Μ

(Ν

τής σελίδας

-

επεται ότι ή

183

' Αποδείξτε dv (γιά

τό Θεώρημα

καί

Ο

- "G) d1J

εΙναι μιά κύρια καμπυλότητα καί ή άντίστοιχη διεύ

"

Μιά διεύθυνση

9.9:

- LF) du2

Σύμφωνα μέ τό θεώρημα

"

9.5

+ ή

(ΕΝ

du: dv

εΙναι κύρια, έάν καί μόνο έάν τά

du

+

- LG) du dv

du: d1J

(FN - MG) dv2 =

Ο

εΙνυι μιά κύρια διεύθυνση, Μν καί μόνο Μν γιά κάποιο πραγμα

(καί γιά κάποιο τμήμα) έχουμε

+ (Μ "F) du + (Ν -

"Ε)

(L (Μ

-

du

+ Μ d1l)

(L du

πού γράφεται

(ΕΜ

+

- LF) du2

(ΕΝ

Ο Ο

du + F d1l)

=

ο

=

Ο

οί παραπάνω έξισώσεις μποροϋν νά έχουν τή

LdU+MdV det ( Mdu+ Ndv

= "G) d1l =

"F) d1J

,,(F du + G dv)

,,(Ε

(Mdu+Ndv)

9.25.

Ο

κάποιο τμημα) ίκανοποιουν τήν εξίσωση

(ΕΜ

, Αλλά

=

- "F) d1J

πού έπαληθεύει τίς σχέσεις εΙναι κύρια διεύθυνση.

du: dv

τικό άριθμό

+ "F) du +

(L - "Ε) du

197

μή μηδενική λύση

Edu Fdu

- LG) du dv

+ FdV) + Gd1J +

(1, -,,),

Μν καί μόνο έάν

ο

=

(FN - MG) d1J 2

Ο

'Εάν δύο επιφάνειες τέμνονται κατά σταθερή γωνία καί ή τομή τους εΙναι γραμμή καμπυλό τητας της μιας έπιφάνειας, δείξτε ότι είναι καί γραμμή καμπυλότητας της dλλης. VΕστω ότι οί έπιφάνειες Μι καί ΜΖ είναι Νι' Ν2

= σταθ.

τέμνονται κατά σταθερή γωνία.

Τότε κατά μήκος τής τομής τους

Συνεπώς

0= :t(Nl'Nz} = (:tNl)'N2+ Nl':tNz Έάν ύποθέσουμε ότι ή τομή ε{ναι γραμμή καμπυλότητας της

dN t

dx Τι = -"Ι dt'

• Επομένως

dx

-"ιΤι'ΝΖ

+

dN 2

Νι'ΤΙ

Μι. τότε ξέρουμε ότι (τύπος του Rοdήgues)

Ο

=

. Αλλά τό διάνυσμα d:x/dt είναι κάθετο στό ΝΖ, δηλαδή (dxldt)· ΝΖ

δή τό διάνυσμα άNldt ε{ναι κάθετο στό Νι. ε{ναι μοναδιαίο.

τοιος ωστε

9.26.

. Επομένως,

τό

dNz/dt είναι dNJdt = -"2(dx/dt}. • Επομένως,

Τρίτη θεμελιώδης μορφή.

•Η

συγγραμμικό μέ τό

=

Ο.

d,,/dt.

Δηλαδή

ύπάρχει άριθμός

-

2Η Π

+ ΚΙ =

• Από Nu

τόν τύπο τοϋ

=

-"I"u

σπου "ι καί "2 είναι οί κύριες καμπυλότητες.

+

Ν" dv

-"lxu du -

=

-Ι

+

+

"ιΧ., d1l -

Kldx

Ν"

=

"2Χ"

έχουμε σ'

αύτό τό σημείο

-"2""

dv

"2Χ., dv

=

Έκλέγουμε

u- καί ν-παραμετρικών καμπυλών ατό

Συνεπώς, γιά τό τυχόν διάνύσμα (du, dv) εΙ ναι

-"IX u du -

"ιΧ., dv

dN

καί

Rodrigues

Παρατηροϋμε

"Ετσι, εΙναι άρκετό

νά θεωρήσουμε ενα τυχόν σημείο Ρ καί νά άποδείξουμε τήν παραπάνω σχέση στό σημείο αύτό. γι' αύτό ενα τμημα πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ωστε οί διευθύνσεις τών

N u du

= dN' dN.

Ο, 6που Η καί Κ εΙναι ή μέση καμπυλότητα

Εϋκολα έπιβεβαιώνεται ότι ή ΠΙ είναι άναλλοίωτη, μέ τήν ίδια έννοια πού ε{ναι καί ή Ι.

dN

ΝΖ

"2 τέ

άντίστοιχα.

Gauss

νά ε{ναι κύριες διευθύνσεις.

Δηλα

ή τομή είναι έπίσης γραμμή καμπυλότητας της Μ 2 •

στι ή ΙΙ καί ή Η άλλάζουν πρόσημο συγχρόνως μέ τήν άλλαγή τοϋ προσανατολισμοϋ.

Ρ

= Ο.

"Ετσι Νι' (άN2 /dt)

εΙναι κάθετο καί στό Ν 2 , γιατί τό

τρίτη θεμελιώδης μορφή όρίζεται άπό τή σχέση ΠΙ

Δείξτε 6τι ισχύει ή σχέση ΠΙ καί ή καμπυλότητα του

Άλλά τό άNz/dt

-"ι dx

+

("ι - "2)"" dv

+ Κ2 dx = (dN + κι dx) • (dN + Κ2 dx) dN

"Αρα

· Αλλά

("2 - κι)χ,. du (Κι

-

ΠΙ

!(Χι, Χ2, Χ3)

= C,

•Xv

~:: ~~::) !:Ι:3

dX3

=

'Εάν aχ

Ι:Ι:2 d:ι: 2

d:ι: ι

=

df:ι:

d:Ι:2

+ d:Ι:3 e3

ι el

=

dN

+ df:Ι:2 e2 + dfx3e3.

= f:ι:ιeι + f:Ι:2e2 + f:Ι:3e3

τήν

έξίσωση

= ο.

=

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ.

[dx G dG]

+

IGI3

'Υποθέτουμε τώρα δτι ή διεύθυνση τοϋ διανύσματος Τότε, άπό τόν τύπο τοϋ

[d .Q. (dG _ (G' dG)G)] χ IGI IGI IGI3

Συνεπώς

Ι

εΙναι κάθετο στήν έπιφάνεια καί

= dG _ (G' dG)G

Συνεπώς, τά τρία διανύσματα aχ, Ν καί

[dx Ν ιΙΝ]

[dx GG]

άπό

διάνυσμα της έπιφάνειας. τότε Ι:Ι: d:ι: ι

εΙναι ενα έφαπτόμενο

Συνεπώς. τό διάνυσμα G

εΙναι μιά κύρια διεύθυνση.

εΙναι συγγραμμικά.

Ο

προσδιορίζεται

ο

IGI

dG =

πού

d!:Ι:3

" Αρα

δπου

Συνεπώς. στό

ο

ο,

+ d:Ι:2 e2 + d:Ι:3 e3

el

+ Ι:Ι:3 d:ι:3 = Ο.

= G/IGI·

= ο.

εΙναι λύσεις των έξισώσεων

det (:::

Άλλά

du dv X u

+ Κ Ι = ο.

2Η Π

-

Δείξτε στι οΙ κύριες διευθύνσεις μιας έπιφάνειας,

e2

Κι)

+ κι dx) • (ιΙΝ + Κ2 dx) = Ο + (Κι + Κ2) dN • dx + "ΙΚ2 dx • dx

dN • dN

· Επομένως

Ν

-

(ιΙΝ

1'\

9.28.

Κ2)(Κ2

έπειδή οΙ γραμμές καμπυλότητας εΙναι όρθογώνιες στό Ρ. εχουμε τελικά X u ' X v

σημείο αύτό εΙναι

9.27.

ΚΕΦ.9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

198

= ο,

dN

=

dx = d:ι: ι el + dx καί dN

τά διανύσματα

Rodrigues,

εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα, όπότε

_1_ [dx G dG] IGI2

G' dG [dx GG] IGI4

άπό τήν όποία επεται εύκολα τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΓΡΑΜΜΩΝ

Δείξτε στι οί παραμετρικές καμπύλες της έπιφάνειας χ

= xl(U) + X2(V),

σπου Χι καί Χ2 εΙναι

τυχούσες παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις, εΙναι συζυγείς.

Ειναι λίδας

189

Xu

= χ; (u),

Xv

= x~(υ),

Xvv

==

Ο. Συνεπώς Μ

= x,.v· Ν == Ο.

"Ετσι, άπό τό Θεώρημα 9.20 της σε

επεται δτι οί παραμετρικές καμπύλες εΙναι συζυγείς.

9.29. ' Αποδείξτε

τό Θεώρημα·

Σέ ενα έλλειπτικό ή ύπερβολικό σημείο κάθε διεύθυνση εχει

9.19:

μιά μοναδική συζυγή διεύθυνση .

. Από

τήν έξίσωση

(9.29) της σέλίδας 188, ή 8u: 811 εΙναι συζυγής πρός τήν du: dv, έάν καί μόνο Μν

·Η

(Μ

+

(Mdu+Nd1l)2

παραπάνω έξίσωση εχει μιά μοναδική λύση

δέν μηδενίζονται συγχρόνως.

"Ετσι, αν δοθεί

=

+

(L du+M dv) 8u

du+N dv) 8υ Ο 2 2 8u: 8v, 8u + 8v .,ι. ο, Μν καί μόνο Μν οί δύο συντελεστές ή du: dv, ύπάρχει μιά μοναδική διεύθυνση 8u: 811 πού έπα

ληθεύει τήν έξίσωση Μν καί μόνο Μν

(Ldu+Md1l)2

1'\

(V

· Αλλά

+ Μ2) du 2 +

2(LM + ΜΝ) du dl1

+

(Μ2

.,ι.

Ο

+ Ν2) dv 2

ή τελευταία εΙναι διάφορη τοϋ μηδενός γιά δλες τίς διευθύνσεις

.,ι.

du: d1l,

Ο μέ

du2 + dv 2 .,ι.

ο, έάν καί

μόνο έάν ή διακρίνουσά της ε!ναι

(L2 + Μ2)(Μ2 + Ν2) - (LM + ΜΝ)2 η

αναπτύσσοντας

ζυγή διεύθυνση στροφό του.

(LN 8u: 811,

Μ2)2

>

Ο

η

LN -

έάν καί μόνο έάν

Μ2 .,ι. Ο.

LN -

>

Ο

"Ετσι κάθε διεύθυνση

du: d1l

εχει μιά μοναδική συ

Μ2 .,ι. Ο, .πού άποδεικνύει τό θεώρημα καθώς καί τό άντί

r ι

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

9.30.

'Αποδείξτε τό Θεώρημα

Κατά μήκος μιας άσυμπτωτικής γραμμής πού δέν εΙναι εύθεία

9.18:

ή στρέψη ίκανοποιεί τή σχέση Σύμφωνα μέ τό Θεώρημα

τ2

=

=

-Κ.

τής σελίδας

9.17

γραμμής ε{ναι εφαπτόμενο στήν επιφάνεια.

b

199

188,

τό εγγύτατο επίπεδο σέ κάθε σημείο μιας ασυμπτωτικής

Συνεπώς, κατά μήκος τής καμπύλης αύτής ή δεύτερη κάθετος ε{ναι

= ±(dNlds) = -τη καί (dNlds)' (dNlds) = ..2(η· η) = τ2• 'Από τό + Κ Ι = ο. 'Αλλά κατά μήκος μιας ασυμπτωτικής γραμμής ε{ναι πΙ = (dNlds) • (dNlds) = τ καί Ι = (ώr.lds) • (dx/ds) = 1. Συνεπώς τ + Κ = Ο ij τ = -Κ.

±Ν, απ' σπου επεται στι b 9.26 εχουμε πι - 2Η Π

Πρόβλημα

Π

9.31.

= Ο,

2

2

2

Δείξτε δτι οι ασυμπτωτικές διευθύνσεις τής έπιφάνειας πού προσδιορίζεται άπό τήν έξίσωση

{(Χι, Χ2, Χ3)

= C

εΙναι λύσεις των έξισώσεων

dxtd{xt

+

+

dx2 d{X2

Σύμφωνα μέ τό Πρόβλημα

•

_

=

dx3 d{X3

' _ dG (G • dG)G IGI και dN - IGI IGI3 .

=

{xtdXl+{X2dx2+{X3dx3

+ fX2e2 + fX3e3

9.27 τό διάνυσμα G = fxtet

G

Ετσι Ν -

ο,

Ο

ε{ναι κάθετο στήν επιφάνεια.

Συνεπώς, αν ή διεύθυνση τοϋ dx

= dxt el + dX2 e2 + dX3 e3

ε{ναι μιά ασυμπτωτική διεύθυνση, εχουμε

=

ο

, Αλλά dx' G

9.32.

= Ο.

- Αρα dx' dG

=Ο

(G • dG)(dx • G)

dX'dG

-dx'dN

ΙΙ

-IGΓ

τι dxl dfx

l

IGI3

+ dX2 dfx2 + dX3 dfx3 = Ο.

Χρησιμοποιώντας τό προηγούμενο πρόβλημα βρείτε τίς άσυμπτωτικές γραμμές τής έπιφάνειας

{ =

Χ3 -

χι βίnΧ2

=

Ο,

< Χ2 < π/2,

-π/2

Χι> Ο.

= -ΒίηΧ2, f X2 = -χι cosxz, fX3 = Ι, dfxl = -COSX2 dx 2, dfZ2 = -cosxzdxl + χι Βίη Χ2 dX2, dfx3 = Ο. Ή εξίσωση dfxt dxt + dfxz dx2 + dfx3 dX3 = -2 COS Χ2 dxl dx 2 + χι Βίη Χ2 dx; = Ο ε{ναι ίσοδύναμη μέ τίς dX2 =.: Ο καί -2 cos ΧΖ dxt + χι Βίη Χ2 dX2 = Ο, πού εχουν λύσεις Χ2 = C καί "Εχουμε

Χι

ιχι

= Κ secl/2 Χ2

αντίστοιχα. 'Εάν αντικαταστήσουμε τήν πρώτη στήν εξίσωση

τήν οίκογένεια τών εύθειών χι

πυλών

χι

= Κ secl/2 u,

Χ2

= t,

= U,

Χ2

= C,

Χ3

= t Βίη C,

= Κ sec l l2 U Βίη u,

Χ3

t >

-π12

Ο.

<

U

.Η

<

Χ3

- χι Βίη Χ2 = Ο, παίρνουμε

δεύτερη δίνει τήν οίκογένεια τών καμ

π12.

'Άλυτα Προβλήματα 9.33.

Δείξτε στι οί παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος

καί μόνο εάν

9.34.

fuf v

= y(s),

ε{ναι Ί

Βρείτε

τό

μήκος τοϋ

(Βίη Φ Βίη θ) e2

9.37.

Χ

= uel

Χ = y(s) + ut(s), πού = (1 + u 2.;2) ds 2 + 2 ds du + du 2.

Δείξτε στι ή πρώτη θεμελιώδης μορφή τής γεται από τή δεύτερη κάθετο

9.36.

Monge

+ 1Ie2 + f(u,1I) e3

τόξου

+ (cos φ)e3'

b(s)

θ

=

Χ

προσδιορίζει τήν εφαπτόμενη επιφάνεια

= y(s) + ub(s), ή όποία προσδιορίζει τήν επιφάνεια πού παρά = y(s), είναι Ι = (1 + u 2,.2) ds2 + du 2•

μιας καμπύλης Υ

f

t

1

-.- dr,

π/4 Βlη τ

Φ

= t,τr/4 "" t

"" π12, τής σφαίρας

χ

= (Βίη Φ cos 8)el +

'Απ. V2τr/4

Δείξτε στι τό εμβαδόν τής άπλής επιφάνειας πού προσδιορίζεται από τό τμήμα

f(u,1I)e3

είναι όρθογώνιες, εάν

ο.

Δείξτε στι ή πρώτη θεμελιώδης μορφή τής

τής καμπύλης Υ

9.35.

==

Monge

Χ

= u«:l

+ 1Ie2 +

δίνεται από τό όλοκλήρωμα Α = ιι νι + f;+ I~ dud1l. W

9.38.

Δείξτε στι στήν τομή δύο τμημάτων

(E*G* - F*2)

[ίJ(θ, φ)]2 ίJ(u, υ)

Χ

= x(u,1I)

καί Χ

= Χ*(8, φ)

μιας

επιφάνειας

ε{ναι

EG -

F2

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

200 9.39.

Δείξτε ότι οί καμπύλες του τμήματος (U 2

+ a 2 ) de 2

du 2 =

-

Ο

=

Χ

+

(U cos e)el

+

(U Sin e)e2

(αθ

+ b)e3

πού ίκανοποιούν τήν

εΙναι όρθογώνιες.

= (r cos e)e l + (r sin e)e2 + !(e)e3

9.40.

Δείξτε ότι οί

9.41.

Δείξτε ότι ή δεύτερη θεμελιώδης μορφή ενός τμήματος

θ-παραμετρικές καμπύλες τής Χ

εΙναι παράλληλες.

= U-el + ve2 + f(u, v)e3

Χ

Monge

II = (!~+!~+I)-l/2[!uudu2+ 2!u.,dudv 9.42.

ΚΕΦ.9

Δείξτε δτι δλα τά σημεία τού κυλίνδρου πού προσδιορίζεται άπό τήν

Χ

εΙναι

+ !.,.,dv 2]

= y(s) + ug,

g

= σταθ.

είναι παραβο

λικά ή επίπεδα.

9.43.

'Εάν

Χ

= x(u, υ),

σ(θ, φ)/iJ(u,

9.44. 9.45.

9.47.

καμπυλότητα τού

=

Χ

v)e2

L*e;

L*e,.e.,

Ν

L*e~

2Μ*θ.,φ"

+

Gauss καί ή στό u 1,

=

επιφάνειας

τέτοια ωστε

στήν

τομή

νά

εΙναι

+

N*φ~

μέση καμπυλότητα τής επιφάνειας πού δίνεται άπό τό τμήμα .'11

=1

εΙναι άντίστοιχα Κ = 1/16 καί Η = 1/8V2.

+ (cosh u sin e)e2 + U-e3'

Δείξτε ότι οί γραμμές καμπυλότητας τής επιφάνειας Χ

θ

+ "';u2 + 1) -

=C

καί log (u

+ "';u2 + 1) +

Χ2

-

COS Χ3 = Ο

= (u cos e)el + (u θ = Κ.

Βίη

εΙναι ±1/(:tfι

e)e2 + ee3

+ x~ + 1).

εΙναι οΙ εΙκόνες των

Βρείτε τίς κύριες καμπυλότητες καί τίς κύριες διευθύνσεις τής επιφάνειας πού δίνεται άπό τό τμήμα ve2 (4u 2 1I2)e3 στό σημείο u = ο, v = Ο χρησιμοποιώντας τή δείκτρια τού Dupin.

+

+

+

Χ

=

Δείξτε δτι οί καμπύλες ενός τμήματος, οί όποίες εΙναι όρθογώνιες πρός τίς καμπύλες πού προσδιορίζονται άπό

du

+ Β dv = Ο,

δίνονται άπό τίς λύσεις τής εξισώσεως (ΕΒ

- FA) du + (FB - GA) d'll

= Ο.

Οί παραμετρικές καμπύλες τής επιφάνειας πού προσδιορίζεται άπό τήν

=

e(,.-,,)/2

είναι άσυμπτωτικές γραμμές. ίκανοποιεί τή σχέση

,.2

(COS

u; 11)el +

e(,.-,,)/2

+

x~

e (u; )e3

(SiD u ; 11) 2 +

'Επαληθεύστε δτι κατά μήκος τής

= -Κ.

Δείξτε δτι οί άσυμπτωτικές γραμμές τής έπιφάνειας Χ3

κυλίνδρους x~ 9.52.

μιας

Δείξτε ότι οί κύριες καμπυλότητες τής επιφάνειας χι sin Χ3

Χ

9.51.

τμήματα

+ 2Μ*θ uΦu + N*φ~ + Μ*(θuΦ., + φ,.θ.,) + Ν*ΦυΦ.,

L Μ

+ uvea

(cosh u cos e)el

τήν εξίσωση Α

9.50.

δύο

Δείξτε δτι ή μέση καμπυλότητα εΙναι μηδέν σέ κάθε σημείο τής εκ περιστροφής επιφάνειας πού προσδιορίζεται

U-el

9.49.

ε!ναι

δείξτε δτι τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως μετασχηματίζονται ώς έξής:

= (u + v)el + (u -

log (u 9.48.

= Χ*(θ, φ)

Χ

> Ο,

Δείξτε δτι ή

Χ

άπό τήν

9.46.

11)

=C

-

χ:

καί x~ - x~ = Κ.

+

'11

u-παραμετρικής καμπύλης

xi = Ο

ν

=Ο

ή στρέψη

είναι οί τομές τής επιφάνειας μέ τούς

Δείξτε δτι οΙ διευθύνσεις των γραμμων καμπυλότητας διχοτομούν τίς γωνίες πού σχηματίζουν οί άσυμπτωτικές διευθύνσεις.

9.53.

Δείξτε δτι ή μέση καμπυλότητα είναι μηδέν σέ μιά επιφάνεια τής όποίας οί άσυμπτωτικές γραμμές εΙναι όρθο γώνιες.

9.54.

'Εάν μιά σφαίρα ή ενα επίπεδο τέμνουν μιά επιφάνεια κατά σταθερή γωνία, δείξτε δη ή τομή εΙναι γραμμή καμπυλότητας.

9.55.

Δείξτε δτι τό αθροισμα των κάθετων καμπυλοτήτων σέ ενα σημείο μιας επιφάνειας ώς πρός κάθε ζεύγος όρθο γώνιων διευθύνσεων εΙναι σταθερό.

9.56.

'Εάν μιά επιφάνεια εχει μιά μονοπαραμετρική οΙκογένεια επίπεδων άσυμπτωτικων γραμμων, πού δέν εΙναι εύθείες, δείξτε δτι ή επιφάνεια ε!ναι επίπεδο.

9.57.

. Υποθέτουμε περιοχή

R

εΙκόνα τής Ρ, δταν ή

9.58.

δτι

R

είναι μιά περιοχή ένός τμήματος μιας επιφάνειας.

Τά μοναδιαία κάθετα διανύσματα στήν

τής επιφάνειας όρίζουν επί τής μοναδιαίας σφαίρας ενα σύνολο

R. R

τείνει στό Ρ.

Ο

Ύπόδι:ιςη:

Πρόβλ.

9.18,

'Εάν εΙναι Κ

=F

κονίζεται

μέ τή σφαιρική είκόνα της (Πρόβλ.

1- Ι

R"

πού όνομάζεται σφαιρική

Δείξτε δτι ό λόγος τού εμβαδΟύ τής Η' πρός τό εμβαδόν τής Ητείνει στό ΙΚΙ σέ ενα σημείο σελ.

194.

σέ ενα σημείο Ρ μιας επιφάνειας, δείξτε δτι ύπάρχει μιά περιοχή τού Ρ, ή όποία άπει

9.57).

r ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝο

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΩΝ

Οί έξισώσεις των

10

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

GAUSS-WEINGARTEN γιά τίς έπιφάνειες εΙναι άνάλογες μέ τίς έξισώσεις του

Gauss-Weingarten

Frenet

γιά τίς καμπύλες. 'Υπενθυμίζουμε δτι οί έξισώσεις του Frenet έκφράζουν τά διανύσματα ϊ, ή καί b ώς γραμμικούς συνδυασμούς των t, n καί b μέ συντελεστές πού έξαρτωνται άπό τήν καμπυλό τητα καί τή στρέψη.

νΕτσι καί οί έξισώσεις των

Gauss-Weingarten

έκφράζουν τίς παραγώγους των

διανυσμάτων χ", Χ" καί Ν ώς γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων αύτων μέ συντελεστές πού έξαρτωνται άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως καί τίς παραγώγους τους .

• Υποθέτουμε

δτι Χ

= x(u, υ)

εΙναι ενα τμήμα μιας έπιφάνειας κλάσεως

Χ" καί Ν εΙναι (διανυσματικές) συναρτήσεις κλάσεως τουλάχιστον

ραγώγους Χ"'" Χ..", Χ"", Ν.. καί Ν".

' Επειδή

Cl,

Cm, m

~ 20

Τότε Χ..,

δηλαδή εχουν συνεχείς πα

τά διανύσματα Χ.. , Χ" καί Ν εΙναι γραμμικως άνεξάρ

τητα, μπορουμε νά γράψουμε

Χ"" = Γ~2 Χ.. + Γ~2 Χ" + α ι2Ν Ν

Γ~2X" + Γ~2X" + α22Ν β~x" + β~x" + γιΝ

Ν"

β~x" + β~x., + γ2Ν

Χ""

"

rt, αφ βΙ γί

δπου οί συντελεστές

, Επειδή

, Αλλά

(10.1)

θά ύπολογιστουν στή συνέχεια.

τό διάνυσμα Ν εΙναι μοναδιαίο, τά Ν" καί Ν" εΙναι κάθετα στό Ν.

Χ" ο Ν

= Χ" ο Ν = Ο

Ο

=

Ν" οΝ

=

β~x" οΝ + β~x., οΝ + γιΝοΝ

Ο

=

Ν" οΝ

=

β~x" οΝ + β~x., οΝ + γ2ΝοΝ

= 1.

καί Ν ο Ν

νΕτσι γι

= γ2 = Ο.

'Έπεται άκόμα δτι

-Μ

xuoNu = β:χ"οχ" + ~x"ox" = β:Ε + P~F xvoN" = P~xvox,,+p~xvoxv p:F+~G

-Μ

Χ" ο Ν" =

β~x" ο Χ" + β~x" ο Χ"

β~E + p~F

Χ" οΝ "

βΙΖΧ" ο Χ" + β22Χ" ο Xv

β2Ι F + P22G

-L

- Ν

=

Συνεπώς

Λύνοντας τίς δύο πρωτες έξισώσεις ώς πρός β: καί β~ καί τίς δύο τελευταίες ώς πρός β~ καί β~,

βρίσκουμε , Από

τίς

β Ιι -_

(10.1)

MF LG EG -_ F2 '

β~

=

LF - ΜΕ EG - F2 ,

2

=

NF - MG

EG - 'F2 ,

β2 2

=

MF - ΝΕ EG - F2

(102) ο

παίρνουμε άκόμα

L Μ Ν

=

Χ"" οΝ

Γ:ιΧ.. ο Ν

+ Γ~ιX., οΝ + α ιι ΝοΝ

-

α

ιι

x"v οΝ =

Γ~2X.. οΝ + Γ~2 Χ" ο Ν + α ι2Ν ο Ν

=

α

Ι2

x"v οΝ

Γ~2X .. • Ν + Γ~2x"oN + α22 ΝοΝ =

α

22

(10.8)

'Έτσι

14

βΙ

201

Γ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

202 , Απομένει

δρίσουμε τίς συναρτήσεις Γ~.

νά

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Στό Πρόβλημα

10.3

τής

Κ Ε Φ.

σελίδας

216

10

δείχνουμε στι

αύτά δίνονται άπό τίς σχέσεις

- 2FF.. + FE" = GE..2(EG-F2)

rll

GE" - FG"

Γ~2 = 2(EG-F2}

2EF,,-EEv +FE.. = 2(EG -F2}

2

Γ ιι

EG" -FE" 2(EG -F2}

2

Γ Ι2

Γ~2

2GF" - GG .. - FG" 2(EG -F2)

Γ~2

EG" - 2FF" + FG .. 2(EG-F2)

(10.4)

'Έτσι εχουμε τό ~πόμενo θεώρημα:

Θεώρημα

10.1.

Σ'

ενα τμήμα χ

= X(U, υ)

μιας έπιφάνειας κλάσεως

Cm , m

~

οί διανυσματικές

2,

συναρτήσεις χ.., Xv, Ν καί οΙ παράγωγοί τους Ικανοποιουν τίς έξισώσεις

Γ~ιx..

rt

σπου οΙ συντελεστές βf καί

+

Γ~ιx"

+ LN

r1 2 x .. +

Γ~2Xυ

Γ~2X"

Γ~2Xυ

+ ΜΝ + ΝΝ

+

βΙχu

+ β~x"

~x..

+ β~x"

(10.5)

δίνονται άπό τίς έξισώσεις (10.2) καί (10.4).

οι πρωτες τρείς άπό τίς παραπάνω έξισώσεις λέγονται έξισώσεις του

ένω οΙ δύο τελευ

Gauss,

rt

ταίες λέγονται έςισώσεις του Weingarten. ΟΙ συναρτήσεις όνομάζονται σύμβολα του Christojje/ δεύτερου είδους. Παρατηρουμε άπό τίς (10.4) δτι τά έξαρτωνται μόνο άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως καί τίς παραγώγους τους, ένω τά βΙ έξαρτωνται άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως. Τέλος δρίζουμε Γ~ι = 2 καί Γ~ι Γ~2' • Οπότε εχουμε = Γ~ί γιά κάθε

rt

ί,

j, k

ΠαράδεΙΎμα

10.1.

Θέλουμε νά έπαληθεύσουμε τίς έξισώσεις

χ....

=

(10. Ι)

rt

Ύιά τήν έκ περιστροφής έπιφάνεια

+ (κ sin 8)e2 + g(u)e3, u > Ο Χ .. = (cos 8)el + (sin 8)e2 + g'e3' Χθ = -(κ sin 9)el + (κ cos 8)e2 Ν = -(1 + g'2)-l/2(g'(cos 8)el + g'(sin e)e2 - e3) = g"e3' Χ..θ = -(sin e)el + (cos e)e2' Χθθ = -(κ cos e)el - (κ sin 8)e2 Ε = Χ.. ' Χ.. = 1 + g'2, F = Χ,,' Χθ = Ο, G = Χθ' Χθ = u 2 Χ

L

=

r1

= 1,2.

Χ.... ·Ν

=

(κ

cos 8)el

Υ"(1+ο'2)-Ι/2,

Χρησιμοποιώντας τίς έξισώσεις

pl =

=

(10.2)

-g"(1

καί

Μ

(10.4)

+ g'2)-3/2,

= Χυθ'Ν =

Ο,

Ν

=

Χθθ' Ν

=

ΚΥ'(1+ο'2)-Ι/2

βρίσκουμε

β~

=

β~

=

ο,

β~

-Κ-ΙΥ'(1

+ Υ'2)-Ι/2

Συνεπώς

= g'g"/(1 + g'2)x,. + g"(1 + Υ'2)-Ι/2Ν = g"e3 = u -Ι Χθ = -(sin 8)el + (cos 8)e2 = Χ""

rlIx..

+ Γ~ιX8 + LN

Γ~2x..

+ Γ~2Xθ + ΜΝ

Γ~2x,. β:χ..

+ Γ~Xθ + ΝΝ = -ul(1 + g'2)x" + ug'(1 + Υ'2)-Ι/2Ν = -(κ cos e)el - (κ sin e)e2 = Χθθ + β~Xθ = -g"(1 + g'2)-3/2x,. = -g"(1 + g'2)-3/2«COS 8)el + (sin e)e2 + g'e3) = Ν,.

β~x..

+ β~Xθ =

-Κ-ΙΥ'(Ι

+ Υ'2)- Ι/ 2χ θ

= g'(1 + g'2)-l/2«sin e)el -

= Χ""

(cos e)e2) = Ν θ

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ

~Eστω δτι δίνονται οΙ συναρτήσεις Ε, F,

κλάσεως.

G, L, Μ

Θά έξετάσουμε αν ύπάρχει ενα τμήμα χ

GAUSS

καί Ν των U καί

= x(u, υ),

της καί δεύτερης τάξεως νά εΙναι οΙ συναρτήσεις Ε, F,

G

καί

v καί στι εΙναι κατάλληλης

του όποίο υ τά θεμελιώδη μεγέθη πρώ

L, Μ,

Ν άντίστοιχα.

Γενικά, ή άπάν

τηση εΙναι άρνητική, έκτός αν ίκανοποιουνται δρισμένες συνθήκες (έξι σώσεις) «συμβιβαστότητας».

ι

Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ

Οί συνθήκες αυτες προέρχονται άπό τό γεγονός ότι, αν

X(U, υ)

203

είναι μιά συνάρτηση κλάσεως

C3 ,

τότε οί μικτές μερικές παράγωγοι τρίτης τάξεως τής Χ είναι άνεξάρτητες τής σειρας παραγωγίσεως, δηλαδή

(Xu)uv = (Xu).u,

Στό Πρόβλημα

10.28

Θεώρημα

νΕστω Χ

10.2.

τής σελίδας

= Χ(1Ι, υ)

συντελεστές τών εξισώσεων τών

Xu .... , X"vu,

224

(Χυ)ιιυ

=

(10.6)

(Xv)vu

δείχνουμε τό επόμενο θεώρημα:

ενα τμήμα μιας έπιφάνειας κλάσεως

Gauss-Weingarten

είναι κλάσεως

Cl.

Xv"v, Xvvu ύπάρχουν καί ίκανοποιοϋν τίς παραπάνω συνθήκες

C"', m"", 2,

τοϋ όποίου οί

Τότε οί μικτές παράγύ)γοι

(10.6),

έάν καί μόνο εάν τά

θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως ίκανοποιοϋν τίς έξισώσεις συμβιβαστότητας

2

~}-.O' L v - Μ.. l Μγι(Μ;,;-Col"fA1. Ι Μ.. - Ν..

(10.7)

(10.8) Οί έξισώσεις συμβιβαστότητας μποροϋν νά γραφοϋν μέ διάφορες μορφές.

οί δύο πρώτες εξισώσεις

Ή έξίσωση

(10.8)

(10.7)

λέγονται έξισώσεις τών

είναι ίδιαίτερα ένδιαφέρουσα.

Στήν παραπάνω μορφή

Mainardi-Codazzi.

Ύπενθυμίζουμε πρώτα ότι οί συναρτήσεις Γ~

έξαρτώνται μόνο άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως καί τίς παραγώγους τους.

καί ή εκφραση

, Αλλά

LN -

Μ2 εξαρτάται άπό τά θεμελιώδη μεγέθη Ε,

τότε ή καμπυλότητα τοϋ

Gauss

Κ

= (LN - M2)/(EG - F2),

F, G

. Επομένως,

καί τίς παραγώγους τους.

πού άρχικά δρίστηκε ώς συνάρ

τηση τής πρώτης καί τής δεύτερης θεμελιώδους μορφής, έξαρταται μόνο άπό τά μεγέθη της πρώτης θεμελιώδους μορφης.

Αυτό ε{ναι ενα άπό τά πιό ένδιαφέροντα άποτελέσματα 'της θεωρίας τών έπι

φανειών καί θά δοϋμε δτι εχει πολλές ένδιαφέρουσες συνέπειες.

Θεώρημα

κλάσεως

10.3. C"', m

Τό θεώρημα

:Ξ!::

3,

Egregium

τού

Gauss.

.Η

νΕτσι εχουμε τό έξής θεώρημα:

καμπυλότητα τοϋ

Gauss

μιάς έπιφάνειας

είναι συνάρτηση μόνο τών θεμελιωδών μεγεθών πρώτης τάξεως (καί τών πα

ραγώγων τους).

ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Θεώρημα

v

10.4. Θεμελιώδες θεώρημα τών έπιφανειών. 'Έστω Ε, F καί G συναρτήσεις τών u C2 καί L, Μ καί Ν συναρτήσεις τών u καί v κλάσεως Cl όρισμένες σέ ενα άνοικτό περιέχει τό (Uo, Vo) ετσι ωστε γιά κάθε (u, υ)

κλάσεως

νολο πού

(ί) (ίί)

EG - F2 > Ο, Ε > οί E,F,G,L,M,N

Ο,

G

>Ο

ίκανοποιοϋν τίς εξισώσεις συμβιβαστότητας

Τότε ύπάρχει ενα τμήμα Χ

καί σύ

= x(u, υ)

κλάσεως

C3

(10.7)

καί

δρισμένο σέ μιά περιοχή τοϋ

(10.8).

(Uo, Vo),

τοϋ όποίου

τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως είναι οί συναρτήσεις E,F,G καί L,M,N ΙΧντί στοιχα.

.Η

επιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τό τμήμα Χ

= x(u, υ)

είναι μονοσήμαντα όρισμένη,

εκτός άπό τή θέση της στό χώρο.

Μιά άπόδειξη γιά τήν ϋπαρξη επιφάνειας πού εχει τίς συναρτήσεις Ε, λιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως δίνεται στό Παράρτημα

2.

F, G, L, Μ, Ν

γιά θεμε

Έδώ άποδεικνύεται τό μονο

= x(u, υ) καί Χ = x*(u, υ) όρισμένα σ' ενα U, πού περιέχει τό (Uo, Vo), καί τέτοια ωστε γιά ιcάθε (u, υ) νά είναι Ε = Ε*, F = F*, G = G*, L = L*, Μ = Μ* καί Ν = Ν*. Ύποθέτουμε έ.πίσης ότι ή επιφάνεια, πού προσδιορίζεται άπό τό Χ = x*(u, υ), μεταφέρεται καί ϋστερα περιστρέφεται ετσι ωστε τό σημείο πού άντιστοιχεί στό x*(Uo, Vo) νά ταυτιστεί μέ τό x(Uo, Vo) καί τά εφαπτόμενα διανύσματα Χ: (Uo, Vo) καί x~ (uo, Vo) νά ταυτιστοϋν μέ τά xu(uo, Vo) καί xv(uo, Vo) άντίστοιχα. Αυτό ε{ναι δυνατό, άφοϋ τά μήκη τών διανυσμάτων Χ: καί Χ: καί ή γωνία τους όρίζονται άπό τίς συναρτήσεις Ε*, F* καί G*, οί όποίες όμως ταυτίζονται μέ τίς Ε, F καί G στό (uo, vo). νΕστω τώρα u = u(t}, v = v(t) ενα σήμαντο.

. Υποθέτουμε

δτι ύπάρχουν δύο τμήματα Χ

άνοικτό συνεκτικό σύνολο

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

204

ΤΑΝΥΣΤιΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦ.10

κανονικό τόξο πού ~νώνει τό (ιισ, υα) μέ ενα τυχόν σημείο (U, υ) του

.σεις

U. Θεωρουμε τίς συναρτή X,,(t) = Xu(U(t), V(t» καί X,,(t) = x ..(U(t), V(t». Παραγωγίζοντας εχουμε du dv dxu du dv dxv du dv Χ" dt + χ" dt' dt =:= Χυ .. dt + Xuv dt ' d t X vu dt + Χυυ dt

= X(U(t), V(t»,

X(t)

dx dt -

Χρησιμοποιώντας τίς τρείς πρώτες εξισώσεις τών εχουμε

du Χ.. dt

dx dt

dx.. (It

(

1

Γ ιι

+

dV)

1

Γ Ι2 dt

( Γ 12 du dt

+

1dV) χ

Γ22 dt

(

+

Xu

(L ~~ + Μ ~~)

1

dxv dt

όπου

Γ Ι2 dt

= VΧ" χ -Χ..F2 EG

('2 dudt + ]'2 dV) dt χ" 112

22

F2)-1/2

a(t)Xu + b(t)xv

dxu dt

c(t)Xu + d(t)x" + e(t)xu χ χ"

~~"

[(t)xu

+

+

g(t)x"

dv

b(t)

h(t)xu du

1

=

C(t)

dt'

χ"

F2)-1/2

dx dt

a(t)

Xu χ χ"

Ιχ.. χ Χ.. Ι

dV)

2

+

χ x,,)(EG -

(Xu

+

..

du

2

ΓΗ dt

+ (Μ ~~ + N~~) (Xu χ x,,)(EG ή

-_

dv Χυ dt

du d1 +

+

Ν

..

και τη σχέση

(10.5)

ΓΗ dt

(10.9)

χ Χ" Ι dv

+ Γ Ι2 dt'

κλπ.

Οί παραπάνω εξισώσεις δρίζουν ενα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως ώς

πρός τίς συναρτήσεις X(t), Xu(t) καί X,,(t).

Σημειώνουμε έπίσης στι οί συντελεστές a(t), b(t), κλπ.,

έξαρτώνται μόνο άπό τήν καμπύλη U(t), V(t), άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως

Ε, F,

Μ, Ν καί άπό τίς παραγώγους τών Ε,

G, L,

==

πειδή Ε

Ε*, F

= F*, G = G*, L = L*,

Μ

=

F

καί

κατά μήκος τής u

G

= U(t), V

= V(t).

'Ε

Μ* καί Ν=Ν* γιά κάθε (U,V), οί άντίστοιχες συ

ναρτήσεις X*(t) = X*(U(t), V(t», χ: (t) = X:(U(t), V(t» καί χ: (t) = X~(U(t), V(t» του τμήματος χ = X*(U, υ) ίκανοποιουν προφανώς τό 'ίδιο σύστημα τών εξισώσεων (10.9). 'Επίσης άπό τίς άρχικές συνθήκες εχουμε X(tO) = χ(ιισ, υα) = χ*(ιισ, VO) = X*(tO), X..(tO) = X..(UO, Vo) = χ: (ιισ, Vo) = X:(tO) καί X,,(t O) X,,(UO, Vo) χ: (UO, υο) = χ: (tO). • Από τό θεώρημα μοναδικότητας τών συνήθων διαφορικών εξισώσεων επεται ότι X(t) X*(t) κατά μήκος τής τυχούσας καμπύλης u = U(t), v V(t). Συνεπώς,

=

=

=

=

τά τμήματα ταυτίζονται, γεγονός πού άποδεικνύει τό ζητούμενο. Παράδειγμα

F ~ Ο, G

Ρ Ιι

τών

10.2.

= sin2 u,

θέλουμε

_ - -1, β2 1 -- βΙ2 --

L

= 1,

νά

προσδιορίσουμε

=

Gauss-Weingarten ε{ναι x"u = Ν, χ.." = (cot u)xv>

· Από

τήν πρώτη καί τήν τέταρτη εξίσωση

της

δποίας

τά

θεμελιώδη

μεγέθη

ε{ναι

Ε

= 1,

= -(sin u cos u)x" + (sin2 u)N, N u = -χ.., Ν" παίρνουμε x"uu = -χ .. καί δλοκληρώνοντας εχουμε

=

a(v) sin u

+

b(v) cos u

+

=

-χ"

c(v)

αύτή και τή δεύτερη εξίσωση εχσυμε

Χ,," WΕτσι

επιφάνεια

Χ""

χ

· Από

τήν

=

Μ Ο καί Ν sin2 u, Ο < u < 1F. 'Από τίς εξισώσεις (10.2) καί (10.4) παίρνουμε 2 2 2 Ο , ρ2 E ' ~ξ . 2 -- -1, ΓΙ11 -- Γ 11 -- 1,112 -- Γ 22 -- Ο , Γ Ι2 -- Cot,. -, ΓΙ 22 - - ' SlD U COS u. W τσι οι .. ισωσεις

b'(sin u

11, επεται δη

+

κόμα δη

Συνεπώς

a' cos u - b' Βίη u

=

(cot U)X"

=

a' cos u

+

b' cos u cot u

=

χ""

a"

=

cos u cot U) = -ε' cotu ij b' = -C' COS u. Έπειδή δμως σί b' b' = c' Ο. Συνεπώς b = σταθ. καί c = σταθ. • Από τήν πρώτη

= -a

=

a" Sin u

καί μάλιστα

χ

a

=

-(Sin u cos U)x..

= d cos v + e Sin 11,

=

d cos v

βίη

u

+

δπου

+

(Βίη 2

d =

e βϊη v Βίη u

U)XUU

καί

+

c' cotu

εΙναι συναρτήσεις μόνο του

καί τήν τρίτη εξίσωση εχουμε ά-

=

-a Sin u

σταθ. καί

e =

+

+

b cos u

c'

· Απομένει νά δείξουμε δη τά διανύσματα d, e καί b άποτελοϋν όρθοκανονική βάση.

σταθ.

~Eτσι

c Έάν αύτό συμβαίνει. θά εχουμε

ι

Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

=

Ιχ - cl 2

(d· d) cos2 ν sin 2 u + 2(d' e) cos ν sin ν sin 2 u + 2(d· b) cos ν sin u cos u + (e' e) sin2 ν sin2 u

=

+

cos2 ν sin 2 u

sin2 ν sin2 u

+

cos2 U

=

Δηλαδή τό χ θά εΙναι σημείο της σφαίρας πού εχει άκτίνα

b

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

+

205

2(e' b) sin ν sin u cos u

+

(b· b) cos 2 u

1 1

καί κέντρο τό

c.

Γιά νά δείξουμε τώρα ότι τά

καί

d, e

σχηματίζουν όρθοκανονική βάση, παρατηροϋμε ότι

=

χ"'χ,,

=

G

=

1

1'1 Συνεπώς

e' e

= 1,

d' e

= Ο,

b· d = e' b =

Ο.

χ...

• Αρα b' b

= 1.

=

2(d'e) sinvcosv sin2 u

-

+

(e'e)cos2 vsin 2 u

2(d' e) sin ν cos ν. + (e' e) COS 2 ν

-

Χρησιμοποιώντας αύτό εχουμε άκόμη ότι

=. Ο =

F

(b·d)

Βϊην

sin2 u

(e'b) COSv sin 2 u

-

Τελικά

=

Xu

= 1, πού εΙναι

(d'd)sin 2 vsin2 u

(d • d) sin2 ν

d' d

x,,'Xu Συνεπώς

=

sin2 u

=. 1

Ε

=

~να κομμάτι μιας σφαίρας άκτίνας

+

cos2 ν cos 2 u

τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

sin 2 ν cos2 u

+

(b' b) sin 2 u

Έπομένως, ή έπιφάνεια μέ τά δοθέντα θεμελιώδη μεγέθη εΙναι

1.

ΜΕΡΙΚΑ ΟΛΙΚΑ ΘΕΩΡΉΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Cm,

Θέλουμε νά δείξουμε στι ή σφαίρα εΙναι ή μόνη συνεκτική καί κλειστή έπιφάνεια κλάσεως

m

~

3,

της δποίας σλα τά σημεία εΙναι έλλειπτικά όμφαλικά σημεία.

μιά έπιφάνεια κλάσεως

όμφαλικό σημείο. πού περιέχει τό Ρ.

=

εΙναι Κ

σταθ.

Cm, m

~

3,

»Ας ύποθέσουμε στι

ε{ναι

S

συνεκτική καί κλειστή καί στι κάθε σημείο της ε{ναι έλλειπτικό

νΕστω Ρ ενα τυχόν σημείο της

. Υπενθυμίζουμε

= X(U, υ)

καί Χ

S

ενά συνεκτικό τμημα τής S

στι σέ ενα έλλειπτικό όμφαλικό σημείο ή κάθετη καμπυλότητα

-F Ο γιά κάθε διεύθυνση καί στι κάθε διεύθυνση του τμήματος ε{ναι κύρια διεύθυνση.

νΕτσι, κάθε καμπύλη του τμήματος, επομένως καί μιά παραμετρική καμπύλη, ε{ναι γραμμή καμπυ

λότητας.

' Από

τόν τύπο τοϋ

Rodrigues

επεται στι Ν..

=

-κΧ,. καί Ν"

=

-κΧ,,'

»Ας σημειωθεί έδώ

στι σ' ενα τυχόν σημείο του τμήματος ή Κ ε{ναι ίδια γιά κάθε διεύθυνση, άλλά άκόμα δέν εΙναι γνωστό άν ή Κ εΙναι σταθερή σέ κάθε σημείο του τμήματος.

Γιά νά τό δείξουμε αυτό, χρησιμο

ποιοϋμε τό γεγονός στι τό τμημα X(U, υ) εΙναι κλάσεως (J3 καί ύπολογίζουμε τά Ν.."

=

=

καί κ..

= Ο.

Συνεπώς Κ

= σταθ.

παντου στό τμημα.

ενός συνεκτικοϋ τμήματος στό όποίο εΙναι Κ

καί ενα τυχόν σημείο

Q

ενα κανονικό τόξο Γ: Χ

=

»Αρα κάθε σημείο της

πάλι άπό τόν τύπο τοϋ

Έπειδή τό τμημα εΙναι συνεκτικό, ύπάρχει

τοϋ τμήματος πού ενώνει τά Ρ καί

Rodrigues, -κΧ

S

παντοϋ στό τμημα.

+C Q,

ή

ΙΧ

Q.

' Αφοϋ

κάθε σημείο της

θά εΙναι γραμμή καμπυλότητας.

=

εχουμε κατά μηκος τής Γ

= σταθ.

"Ετσι, τό σημείο Χ, άρα καί τό

C/K.

άνήκει στήν εικόνα

στήν είκόνα του τμήματος.

= X(t)

=

κ"Χ..

-F Ο. Τώρα θεωροϋμε ενα σταθερό σημείο Ρ

κάθε σημείο της Γ, άφοϋ κ

Ν

S

-

'Αλλά σέ 'Έτσι κ" = Ο

σταθ.

εΙναι έλλειπτικό όμφαλικό σημείο, κάθε καμπύλη της

τό

-κΧ.."

= Ο.

καί Ν".. -κΧ" .. - κ,.Χ". Έάν άφαιρέσουμε κατά μέλη, παίρνουμε κ"Χ.. - KuX" κάθε σημείο του τμήματος τά διανύσματα χ.. καί Χ" εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

dN/dt -K(dx/dt), σπου . Ολοκληρώνοντας εχουμε

- C/KI = l/lκl

Κ

S

'Έτσι,

= σταθ.

σέ

(C = σταθ.)

βρίσκεται πάνω σέ μιά σφαίρα Σ μέ άκτίνα l/lκl καί κέντρο

Έπειδή σμως στήν τομή δύο τυχόντων συνεκτικών τμημάτων οί άντίστοιχες σφαίρες πού

προσδιορίζονται άπό τήν παραπάνω διαδικασία συμπίπτουν, επεται εύκολα στι καί σλα τά συνεκτικά

τμήματα της

S

θά βρίσκονται πάνω στήν 'ίδια σφαίρα Σ.

εΙναι κλειστή, επεται άπό τό Θεώρημα

8.5

της σελίδας

159

' Αφοϋ S =

στι

ή Σ εΙναι συνεκτική καί ή

Σ.

S

'Έτσι δείξαμε τό έξης θεώ

ρημα:

Θεώρημα

10.5.

Οί μόνες συνεκτικές καί κλειστές έπιφάνειες κλάσεως

Cm, m

~

Cm, m

~ 2, πού εχουν σλα

3,

πού εχουν ολα

τους τά σημεία έλλειπτικά όμφαλικά σημεία, εΙναι οί σφαίρες. UΟ μοια , μπορεί νά δειχθεί τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα 10.6.

Οί μόνες συνεκτικές καί κλειστές έπιφάνειες κλάσεως

τους τά σημεία έπίπεδα σημεία, εΙναι τά έπίπεδα. Ή άπόδειξη τοϋ παραπάνω θεωρήματος άφήνεται ώς άσκηση στόν άναγνώστη (Πρόβλ.

10.38).

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ

206 Στό Πρόβλημα Θεώρημα

10.10

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κ ΕΦ.Ι0

δείχνουμε τό. παρακάτω θεώρημα: Οί μόνες συνεκτικές καί συμπαγείς έπιφάνειες κατάλληλης κλάσεως,

10.7. (Liebmann)

μέ σταθερή καμπυλότητα τοϋ

εΙναι οί σφαίρες.

Gauss

Σημειώνουμε δτι σάν συμπέρασμα τοϋ προηγούμενου θεωρήματος εχουμε τήν άκόλουθη ένδια φέρουσα ίδιότητα τών σφαιρών, μέ τήν όποία καί θά άσχοληθοϋμε περισσότερο στό επόμενο κεφά

λαιο. νειας

V

S,

Ας ύποθέσουμε δτι ύπάρχει μιά συνεχής άπεικόνιση ή όποία τοπικά εΙναι

μιας έπιφάνειας Σ έπί μιας έπιφά

f

ι-ι καί διατηρεί τήν πρώτη θεμελιώδη μορφή.

σημείο Ρ της Σ δεχόμαστε δτι ύπάρχει ενα τμημα χ

= x(u, υ)

f νά εΙναι μιά άπεικόνιση ι-ι τοϋ χ

= x(u, υ)

έπί ενός τμήματος χ

= x*(u, υ)

τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως νά ταυτίζονται στά άντίστοιχα σημεία. Πρόβλημα

9.6

της σελίδας

Δηλαδή γιά κάθε

πού περιέχει τό Ρ τέτοιο ώστε ή

της

S,

τέτοια ώστε

'Όπως δείξαμε στό

δύο επιφάνειες μέ τά 'ίδια θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως δέν εΙναι

190,

άπαραίτητο νά εΙναι 'ίδιες, άφοϋ μιά έπιφάνεια όρίζεται μονοσήμαντα μόνο δταν δίνονται τά θεμε

λιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως.

Είδικά δμως, δταν ή Σ εΙναι σφαίρα, τότε καί ή

πρέπει νά εΙναι σφαίρα καί μάλιστα της 'ίδιας άκτίνας. λότητα τοϋ

Gauss

'ίση μέ Κ

= 1/R2,

δπου

S

Γιατί μιά σφαίρα Σ εχει σταθερή καμπυ

εΙναι ή άκτίνα της Σ, καί έπειδή ή καμπυλότητα τοϋ

R

Gauss

εΙναι μιά συνάρτηση πού έξαρταται μόνο άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως, επεται δτι

καί ή

S

εχει σταθερή καμπυλότητα τοϋ

'ίση μέ Κ

Gauss

εΙναι συνεκτική καί συμπαγής καί ή άπεικόνιση

S

εΙναι συνεκτική καί συμπαγής.

f

= 1/R2.

της Σ έπί της

Έπίσης, έπειδή ή σφαίρα Σ

S

εΙναι συνεχής, επεται δτι ή

'Αλλά τότε άπό τό προηγούμενο θεώρημα επεται δτι ή

έπίσης σφαίρα καί ή άκτίνα της εΙναι

= 1/Κ /2.

S

εΙναι

Ι

R

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ

'Ο συμβολισμός της θεωρίας τών έπιφανειών μπορεί νά άπλοποιηθεί κατά πολύ μέ τή βοήθεια

τών τανυστών καί τοϋ τανυστικοϋ συμβολισμοϋ.

Στό εξης οί συντεταγμένες ενός διανύσματος θά

συμβολίζονται μέ άνω δείκτες, ένώ μέχρι τώρα χρησιμοποιούσαμε κάτω δείκτες.

νυσμα τοϋ Ε3 θά συμβολίζεται μέ χ μέ

(u 1, u 2 )

καί ενα τμημα μέ χ

= xlel + x 2e2 + x 3e3,

WΕτσι, ενα διά

ενα σημείο τοϋ παραμετρικοϋ έπιπέδου

= x(u!, u 2 ).

'Επίσης οί μερικές παράγωγοι τοϋ χ θά συμβολίζονται μέ σχ

χι Συνεπώς

dx =

ΧΙ

ενα

Χ2

= au2 '

εφαπτόμενο διάνυσμα της

du 1 + Χ2 du2 , Ι

gl1

Κ.Ο.Κ.

έπιφάνειας,

σύμφωνα μέ τό συμβολισμό αυτό, γράφεται

ενώ ή πρώτη θεμελιώδης μορφή γίνεται

=

dx· dx

= δπου μέ gl1

σχ

= iiu 1 '

du l du 1

= ΧΙ· Χι = Ε,

ΧΙ· ΧΙ

+

du l du l

ΥΙ2 du l du 2

+

+

= Υ2Ι = ΧΙ· Χ2 = F δπου ί, k = 1,2.

'Επίσης συμβολίζουμε μέ

g

du2

+

Υ2Ι du 2 du l

ΥΙ2

μεγέθη πρώτης τάξεως καί

2χι· Χ2 du l

καί g22

g22

+

Χ2· Χ2 du2 du 2

=

du2 du2

= Χ2· Χ2 = G

Σ

gilc

dui du lc

(10.10)

ίΙC

συμβολίζουμε τά θεμελιώδη

τήν όρίζουσα της πρώτης θεμελιώδους μορφης Ι, δηλαδή

g

EG -

F2

ενώ συμβολίζουμε μέ gl1

Στό Πρόβλημα

10.12

=

g22/g,

της σελίδας

g12

=

220

Υ2Ι

=

-ΥΙ2/Υ

=

-g21/g,

g22

(10.11)

δείχνουμε δτι

1, έάν ί =j { Ο,

έάν ί rF

j

(10.12)

Αυτό σημαίνει δτι ό πίνακας (Υίί) εΙναι ό άντίστροφος τοϋ (Υίί) καί τό γινόμενό τους εΙναι

ι

Ι

Κ ΕΦ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

207

gl2) g22 Τέλος συμβολίζουμε μέ

ΙΙ

=

-dx' dN

=

b ll

=

du l du l

+

Νι

dN =

δπότε ή δεύτερη θεμελιώδης μορφή γράφεται

du l du l - Χι' N 2 du l du 2 -

-Χι' Νι

b l2

+ Ν2 du2 ,

dul

du l du 2

+

b 2l

+

du 2 du l

Χ2' Νι

du2 du l - Χ2' N 2 du2 du2 Σ bιιc du l du"

du 2 du 2 =

b 22

(10.19)

Ι"

όπου μέ

bll

-Χι' Νι

b l2

b2l

=

b22

=

Χιι' Ν ::;:

=

L

= -χι,Ν2 = ΧΙ2'Ν = Χ22,Ν = Ν

-Χ2,Νί

-Χ2'Ν2

συμβολίσαμε τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως.

=

b

.Ο

' Επίσης

= (b ll b 22 -

det (b jj)

Χ2ι'Ν

(10.1~)

δρίζουμε

= LN -

b l2 b 2l )

Μ

=

κανόνας άθροίσεως τοϋ τανυστικοϋ λογισμοϋ εΙναι δ έξης:

Μ2

(10.15)

Θεωροϋμε πρώτα τό άθροισμα

3

Σ

α=Ι

aiab '"

+

(t;lb l

=

(t;2b 2

+

(t;3b 3

Παρατηροϋμε ότι στό άριστερό μέλος της ίσότητας τό α έμφανίζεται στό γινόμενο ιt;αb '" άκριβώς

μιά φορά ώς κάτω δείκτης καί μιά φορά ώς άνω δείκτης.

σύμβολο της άθροίσεως Σ ΊCαί γράφουμε μόνο a...b II •

(t;ab '"

.Ο

=

=

Σ ιι;..b α

Σ' αυτή τήν περίπτωση παραλείπουμε τό

~Eτσι

(t;lb l

+ a i2 b 2 +

aI 3b 3

α

δείκτης α, ώς πρός τόν δποίο γίνεται ή άθροιση, λέγεται δείκτης άθροίσεως ή βουβός δείκτης.

Μποροϋμε νά χρησιμοποιοϋμε δποιοδήποτε σύμβολο γιά ενα βουβό δείκτη. γράψουμε

.Ο

(t;ab '"

δείκτης ί λέγεται έλεύθερος δείκτης.

Τέλος, σέ μιά παράγωγο iJθΙ/iJu; ή Xj ρείται άνω δείκτης καί δ δείκτης Παράδειγμα

(α)

"Εστω

τήν

f

= (t;fJbfJ = aiyb

Δηλαδή μποροϋμε νά

Y

Τό σύμβολο τοϋ έλεύθερου δείκτη δέν μπορεί νά άλλάζει.

= iJX/iJu;

δ δείκτης ί της συναρτήσεως συντεταγμένων θεω

της μεταβλητης κάτω δείκτης.

j

10.3. f

= f(rx;l, rx;2, rx;3)

ιός πρός

ul

καί rx;i

= rx;1(ul , U 2),

ί

= 1,2,3. . Ο

κανόνας παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως γιά

εΤναι ί

= 1,2

'Επειδή τό α_συναντάται ώς κάτω δείκτης στόν παράγοντα .!L καί ώς άνω δείκτης στόν . _ ίJrx;'"

γωγος μπορει να γραφει

ίJI

ίJu (b) "Εστω S =

aafJrx;arx;/!,

α, β

= 1,2,3.

ίJI ίJrx;II

' =

ίJrx;II ίJu l

S

έκφράζει τό διπλό άθροισμα

3

~ ~

S

ίJu i ' τελικά ή παρά-

'Επειδή καθένας από τούς δείκτες α καί β συναντάται μιά φορά ώς κάτω

δείκτης καί μιά φορά ώς άνω δείκτης, επεται ότι τό 3

ίJrx;'"

aafJrx;arx;fJ

α=ιβ=Ι

allrx;l x l

Παράδειγμα

10.4.

+ al2rx;lrx;2 + al3rx;lrx;3 + ~lrx;2rx;l + a22rx;2 X 2 + a23rx;2x3 + a3lrx;3rx;l + a32rx;3rx;2 + α33rx;3:ι;3

Χρησιμοποιώντας τόν κανόνα αθροίσεως, μποροϋμε νά γράψουμε ενα έφαπτόμενο διάνυσμα (ή τό

διαφορικό ~νός τμήματος) ώς dx

= Χα du'" = '"

καί τήν πρώτη θεμελιώδη μορφή ώς Ι

=

= Χα' xfJ du

II

dufJ.

'Επίσης, τό

διαφορικό τοϋ κάθετου διανύσματος (ή τή σφαιρική είκόνα) ώς dN Να duII καί τή δεύτερη θεμελιώδη μορφή ώς 11 -Χα' NfJ du du/! Χαβ 'Ν du du fJ bafJ du ιlu/!. Τέλος οί έξισώσεις των Gauss-Weingarten (10.5) γράφονται

=

=

'"

ΧΙ1 = Γ~lXα ή συντομότερα

+

bllN,

ΧΙ2

=

Γ~2Xα

'"

+ bl2N,"

Χ22 = Γ;2 Χα

+ b22N, ί,;

Νι

= 1,2

=

β~Xα'

Ν2 = β:Χα

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

208

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κ Ε Φ.

10

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ

Έπειδή οΙ τανυστές εχουν μεγάλη ποικιλία έφαρμογων στίς πολλαπλότητες, γι' αυτό έκτός άπό τόν όρισμό της έπιφάνειας του Ε3 θά δώσουμε μιά γενίκευση της εννοιας της στοιχειώδους έπιφά

n,

νειας, τή στοιχειώδη πολλαπλότητα διαστάσεως

ώς έξης:

'Υποθέτουμε ότι εχουμε ενα σύνολο

Μ άπό σημεία Ρ πού μπορουν νά τεθουν σέ μιά ι-ι άντιστοιχία μέ ενα κατάλληλο σύνολο n-άδες (σημεία)

(ul , U2 ,

••• ,

κόνιση πού στέλνει τά σημεία του Μ στίς n-άδες του συνόλου

P(ul ,

••• ,

S

άπό

πραγματικων άριθμων πού λέγονται συντεταγμένες του Ρ. Ή άπει

U,,)

S

λέγεται σύστημα συντεταγμένων

Ή εννοια του συστήματος συντεταγμένων P(u l , ... , u") του Μ εΙναι άνά

u") του Μ.

λογη μέ έκείνη του τμήματος μιας έπιφάνειας, όπου έπίσης όρίζεται μιά ι-ι άντιστοιχία μεταξύ των

σημείων του τμήματος καί ένός συνόλου σημείων του έπιπέδου

Κάθε άλλο σύστημα συντε

u l u 2•

ταγμένων P(u l , •• • ,u,,) του Μ, όρισμένο σέ κάποιο σύνολο n-άδων S, όρίζει μιά 1-1 άντιστοιχία (ul , . • • , u") ~ (ut, ... , u,,) μεταξύ των n-άδων των δύο συνόλων S καί S καί λέγεται μετασχημα τισμός συντεταγμένων.

. , n,

Ό μετασχηματισμός αύτός μπορεί νά γραφεί

ui

καί ό άντίστροφός του

= ui(u

l , ..• ,

u").

Προφανως, οΙ

στό S, ένω οΙ U i εΙναι πραγματικές συναρτήσεις στό

ui

ui = ui(ul ,

•.• ,

u"), i

= 1, ..

εΙναι πραγματικές συναρτήσεις

'Ο μετασχηματισμός αύτός εΙναι άντί στοιχος του έπιτρεπτου παραμετρικου μετασχηματισμου Ul Ul (u1, U2 ), U2 U2(Ut, U2 ) μιας έπι 2 l 2 2 l 2 l φάνειας μέ άντίστροφο τόν U U (u1, U ), U U (U , U ), οΙ όποίοι ύπάρχουν στήν τομή δύο τμη

=

S.

=

=

=

μάτων της έπιφάνειας.

'Υποθέτουμε πάντα ότι τά παραπάνω σύνολα δειου χώρου.

['Υπενθυμίζουμε ότι ενα σύνολο

ναι άνοικτό, άν γιά κάθε (U~, ... , U~) του

όλα τά

(ul ,

,U,,)

•• •

S

των n-άδων εΙναι άνοικτά σύνολα του Εύκλεί

άπό n-άδες

S

(u1, ..• , U") πραγματικων άριθμων εΙ

S ύπάρχει ενας πραγματικός άριθμός ι> Ο, τέτοιος ώστε

πού Ικανοποιουν τήν [~ (Ui_U~)2}/2 < ε νά άνήκουν στ6

άκόμα ότι ό μετασχηματισμός

= Ui(u1, ••. , U,,)

Ui

εΙναι έπιτρεπτός, δηλαδή οΙ συντεταγμένες συ

ναρτήσεις του καί έκείνες του άντίστροφου μετασχηματισμου U i !Ι,,.;Ι !Ι" ,ι ' υ... 'υ..... ρικ ς παραγωγους !Ι",Ι και !I,,'J' t,1

έ

~ upa

υ...

l

και,iJ(u !Ι( -Ι , .• •

,'U") -")

uU, . . . ,'U

έπειδή οΙ Uι

= 1, ... , n,

υ...

= d e t(OU !Ι -Ι uU

Ο

i

)

-F.

'

και

'Υποθέτουμε

S.]

ή

= ul(ιί , Ι

• Ιακω β ιανη'Ι ε ναι

Σ' το Π ρο'βλ ημα

10 .Ι7

••• ,

U")

εχουν συνεχείς με-

!I(U l ••• , u-") d t ( iJu-Ι) υ, !Ι( ι ") = e -Ι -F υ U , ... , u iJU

λ'δ

- σε ι ας της

22Ι

δ ειχνουμε '

'Υπενθυμίζουμε έπίσης ότι μιά διανυσματική συνάρτηση

νεχής στό (u~,

... ,U:),

όταν γιά κάθε ε> Ο ύπάρχει

[f: (UI(ul , ... ,u,,) Ή συνάρτηση

S.

, ότι,

καί Uι εΙναι συναρτήσεις άντίστροφες ή μιά της άλλης, εχουμε

iJuJ iJua J iJua iJul = 8 ι

του

Ο

ui(ul ,

..• ,

u")

(10.16)

• • • , U") όρισμένη 8> ο, ετσι ώστε νά έχουμε

ui(u l ,

S,

S

εΙναι συ

[f: (Ui_U~)2Jl/2 < 8

UI(u~, ... ,U~»2T/2 < ε γιά

εΙναι συνεχής στό

στό

άν εΙναι συνεχής σέ κάθε σημείο (U~,

... , U~)

Ή μερική παράγωγος iJiiHiJu i στό (u~, .•. ,U~) όρίζεται άπό τό όριο

iJUi ( ι

Ι.

") _ -

!Ι",Ι U O' ••• , Uo

υ...

1m

/c: ...

Ui(u~, ... ,u~+k, .•. ,U~) -

k

o

ui(U~, ... ,U~)

Τό σύνολο Μ μαζί μέ όλα τά συμβιβαστά συστήματα συντεταγμένων (δηλαδή έκείνα τά όποία συνδέονται μεταξύ τους μέ εναν έπιτρεπτό μετασχηματισμό συντεταγμένων) λέγεται στοιχειώδης πολ λαπλότητα διαστάσεως Παράδειγμα

n.

10.5.

(α)

Μιά άπλή κανονική καμπύλη τοϋ Ε3 χωρίς αύτοτομές εΙναι μιά στοιχειώδης πολλαπλότητα διαστάσεως

(b)

Μιά στοιχειώδης έπιφάνεια τοϋ Ε3 (πού, δπως ξέρουμε, καλύπτεται άπό ενα μόνο τμήμα) εΙναι μιά στοιχειώδης πολλαπλότητα διαστάσεως

(c)

1.

2.

• Ο χώρος Ε3 μαζί μέ δλα τά συστήματα συντεταγμένων P(~Ι, ~2, ~), πού όρίζονται στόν Ε3 καί γιά τά όποία οί μετασχηματισμοί χΙ

κλάσεως

Cl

= xί(~Ι, ~2, ~3), i = 1,2,3,

καί οΙ άντίστροφοί τους ~Ι

= ~Ι(xl, χ 2, χ3 ), ί = 1,2,3, εΙναι

μέ 'Ιακωβιανή ιJ(X ,x ,x3 ) -F Ο άρα καί ιJ(~Ι,~2,z3) -F Ο εΙναι μιά στοιχειώδης πολλαπλότητα l

διαστάσεως 3.

Ι

2

3

ιJ(~Ι, ~2, χ )

ιJ(x , :22, χ 3 )

,

,

1

r Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

209

ΤΑΝΥΣΤΕΣ

'Ένας τανυστής Τ σέ ενα σημείο Ρ μιας στοιχειώδους πολλαπλότητας διαστάσεως

n

μπορεί νά

θεωρηθεί σάν ενα γεωμετρικό «άντικείμενο», πού όρίζεται στό Ρ καί προσδιορίζεται άπό τίς παρα κάτω ίδιότητες:

(ί)

Ό τανυστής Τ ώς πρός ενα σύστημα συντεταγμένων

P(ut, ... , u") τής πολλαπλότητας έκφρά C, πού λέγονται συνιστώσες του Τ ώς

ζεται άπό ενα σύνολο βαθμωτών (άριθμητικών) μεγεθών

πρός τό σύστημα συντεταγμένων (Η)

'Εάν

σες

P(u 1 ,

C του

••• ,

u")

P(ut, ... , u").

εΙναι τυχόν άλλο σύστημα συντεταγμένων τής πολλαπλότητας, ο{ συνιστώ

Τ ώς πρός τό P(Ut, ... , u") καί ο{ συνιστώσες C συνδέονται μέ όρισμένους κανόνες πού έξαρτώνται άπό τό μετασχηματισμό συντεταγμένων UI UI (U 1, ••• , U"), . ά' , Ι -ι n, και. τον ντιστροφο του u u Ι(u, ... , U-ΙΙ) •

μετασχηματισμου,

t.

= 1, ... ,

=

=

'Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα τανυστή σέ ενα σημείο Ρ μιας έπιφάνειας εΙναι ό τανυστής έκεί

νος, του όποίου οί συνιστώσες ώς πρός ενα τμήμα χ

θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως Υυ, ί,

i = 1,2,

= X(u1, U 2 )

πού περιέχει τό Ρ δίνονται άπό τά

στό σημείο αύτό.

'Εάν χ

= x*(u u l,

2)

εΙναι ενα

άλλο τμήμα, πού περιέχει τό Ρ μέ άντίστοιχα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως !ί1J στό σημείο αύτό, τότε άπό τίς έξισώσεις

(9.2)

καί

(9.3)

επεται ότι τά Υίί συνδέονται μέ τά Οί} μέ τόν κανόνα με-

τασχη ματισμοϋ

. α,β=

•Ο

1,2

(10.17)

τανυστής αυτος λέγεται συναλλοίωτος μετρικός τανυστής τής έπιφάνειας στό Ρ.

'Όπως καί ό τανυστής πού άναφέραμε προηγουμένως ετσι καί ενας τυχόν τανυστής Τ έξαρταται συνήθως άπό τό σημείο Ρ τής πολλαπλότητας στό όποίο άναφερόμαστε, καί εΙναι πιό σωστό νά

συμβολίζεται Τ(Ρ).

. . , un)

του Ρ.

Οί συνιστώσες του Τ(Ρ) δίνονται ώς συναρτήσεις τών συντεταγμένων

(u1, .

Μιά συνάρτηση πού άντιστοιχεί σέ κάθε σημείο Ρ μιας πολλαπλότητας εναν τα

νυστή Τ(Ρ) λέγεται τανυστικό πεδίο. Οί τανυστές ταξινομουνται, άνάλογα μέ τούς κανόνες μέ τούς όποίους μετασχηματίζονται οί συνιστώσες του, ώς εξής:

(ί)

'Ένας τανυστής λέγεται άνταλλοίωτος τανυστής τάξεως στώσες του Α ι,

... , Α n

ώς πρός

μέ τόν κανόνα

α,ί (Η)

... , Α ..

n

συνι

1

(10.18)

η συναλλοίωτο διάνυσμα, αν οί

n

συνι

ώς πρός κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζQνται σύμφωνα

μέ τόν κανόνα

α,ί

= 1, .. . ,n

(ίΗ) 'Ένας τανυστής λέγεται άνταλλοίωτος τανυστής τάξεως

... , n,

η άνταλλοΕωτο διάνυσμα, αν οί

= 1, ... , n

'Ένας τανυστής λέγεται συναλλοίωτος τανυστής τάξεως στώσες του Αι,

1

κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζονται σύμφωνα

2,

αν οί

(10.19)

n2

συνιστώσες του Α IJ, ί,

i=

1,

ώς πρός κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τόν κανόνα

α,β,ί,i= (ίν) 'Ένας τανυστής λέγεται συναλλοίωτος τανυστής τάξεως

1, ... , n,

2,

1, .. . ,n άν οί

n2

(10.20) συνιστώσες του

A Ij ,

ί,

i=

ώς πρός κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τόν κανόνα

(10.21) Οί τέσσερις παραπάνω τανυστές εΙναι είδικές περιπτώσεις του επόμενου όρισμου:

(ν)

'Ένας τανυστής λέγεται μικτός τανυστής (η μικτός σχετικός τανυστής) άνταλλοίωτης τάξεως

συναλλοίωτης τάξεως

8

r

καί

μέ βάρος Ν, αν οί n r + s συνιστώσες του A:~:::~, i k , im = 1, ... , n, ώς

πρός κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τόν κανόνα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

210

Α Ιι· ..·Ι.1,.

[(aui)JN αl·· ·α. aui1 au4 det σiίΙ Α,.ι·· ·11. ΣU"ι ... au~

=

JI"·

'Εάν δ έκθέτης Ν της Ίακωβιαvi'jς dπόλυτoς τανυστής.

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

'Εάν 8

= Ο,

au/J 1

auJ•

•••

Κ ΕΦ.

au/J· σiίΙ•

(10.22)

εΙναι μηδέν, δ τανυστής λέγεται άκριβέστερα

det (auf ja1i;)

δ τανυστής λέγεται άπλώς άνταλλοίωτος.

νυστής λέγεται άπλώς συναλλοίωτος.

10

Τό άθροισμα

+8

r

'Εάν

r

= Ο,

λέγεται τάξη τοϋ τανυστη.

ραπάνω τανυστές (ί), (ίΟ, (ίίί) καί (ίν) εΙναι άπόλυτοι τανυστές.

δ τα

Οί πα

'Επίσης δρίζουμε:

(νί) 'Ένα βαθμωτό μέγεθος λέγεται τανυστής τάξεως μηδέν. Η Ας σημειωθεί ότι γενικά δ κανόνας μετασχηματισμοϋ tνός τανυστη ίκανοποιεί τή μεταβατική

ίδιότητα. Γιά παράδειγμα, θεωροϋμε τόν κανόνα μετασχηματισμοϋ Αι = λα uu ~~ΙIr , πού όπως ξέρουμε έκφράζει τή σχέση μεταξύ τών συνιστωσών tνός άνταλλοίωτου διανύσματος ώς πρός τά δύο συστή-

ματα συντεταγμένων P(u 1 ,

•• •

καί P(U 1,

,11,")

•••

,u,,). •Από

τήν έξίσωση (10.18) επεται, ύστερα

άπό άντικατάσταση καί έφαρμογή τοϋ κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως, ότι

Αι =

(a

Α

aua ) aU ' = au/J aua

a

i

A/J

i = ΑΙ! au au/J

(au au ) auIr au/J

Δηλαδή ~χoυμε τελικά τόν κανόνα μετασχηματισμοϋ πού συνδέει τίς συνιστώσες τοϋ άνταλλοίωτου

δΙl,1νύσματος ώς πρός τά συστήματα συντεταγμένων P(U 1, ΠαράδεΙΥμα

(α)

,11,") καί P(U 1,

•• •

,Un ).

10.6. /(1;1,1;2,:ι:3) μιά πραγματική συνάρτηση κλάσεως

wEatro

•••

οΙ συναρτήσεις 1;Ι

= 1;i(:e1, :22, Ζ3), ί = 1,2,3,

C1

όρισμένη σέ ενα άνοικτό σύνολο

U

τοϋ Ε3.

'Εάν

προσδιορίζουν εναν έπιτρεπτό μετασχηματισμό συντεταγμένων, τότε

άπό τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως επεται δτι σέ κάθε σημείο εχουμε

a/

a/ a1;Ir a1;Ir a:ei'

=

a:ei

= 1, 2, 3

ί

άπό τήν έξίσωση (lΟ.19) βλέπουμε δτι οΙ μερικές παράγωγοι

wEtat,

a/la1;i,

ώς οΙ συνιστώσες kνός συναλλοίωτου τανυστικοϋ πεδίου όρισμένου στό

(b)

'Από τίς έξισώσεις

(lO.17)

καί

U

ί

= 1,2,3,

τητα ενα άπόλυτο συναλλοίωτο ταννστικό πεδίο τάξεως Ύπενθυμίζουμε [έξίσωση (9.1Ι), σελ.

175]

τόν ίδιο τρόπο δπως καί τά ΙΙΙί' δηλαδή

.

=

=

aUIr au/J bαβ ail' aw

=

bfj

(d)

ΙΙίk, εΙναι στήν πραγματικό-

2.

δτι τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως bij μετασχηματίζονται κατά στήν τομή τών τμημάτων χ X{U1 , U 2 ) καί χ x"(iί Ι , iί2) εχουμε

wEtal

/.

επεται δτι ό συναλλοίωτος μετρικός τανυστής, δηλαδή τό ταννστικό πεδίο

(10.2I)

μιας έπιφάνειας πού οΙ συνιστώσες του εΙναι τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως

(c)

μποροϋν νά θεωρηθοϋν

πού λέγεται κλίση της

τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως άποτελοϋν έπίσης τίς συνιστώσες kνός άπόλυτου συναλλοίωτου τα

νυστικοϋ πεδίου τάξεως

2

WΕστω il = il ' ' δ ιαστασεως n και,

το u

i (u 1, ••• , U n )

δταν α

=

..~ στω

Ρ, εχουμε

τής έπιφάνειας.

ενας έπιτρεπτός μετασχηματισμός συντεταγμένων μιας στοιχειώδους πολλαπλότητας

Ir

, ""θ ροισμα "α . . /J aU/J aW au aili

δπου χρησιμοποιήσαμε τήν έξίσωση (IΟ.16). ενα μικτό

άπόλυτο

ταννστικό

'

'Α φου-

μ

ή

δ

' δ ροι

μη ενικοι

- άθ' , ά ροισματος υπ ρχουν

του

ό

μ νο

•Από τήν έξίσωση (ΙΟ.22) επεται δτι τό δέλτα τοϋ Kronecker ε{ναι

πεδίο τάξεως

συναλλο{ωτης τάξεως

2,

1

καί άνταλλοίωτης τάξεως

1.

Τέλος

παρατηροϋμε δτι εΙναι ενας ταννστης τοϋ όποίου οΙ συνιστώσες εΙναι ίδιες ώς πρός κάθε σύστημα συντεταγμένων τής πολλαπλότητας.

(e)

wEatro δτι σέ ενα σημείο τής τομής δύο τμημάτων μιας έπιφάνειας εχουμε Αί;ί

όρίζονται άπό τίς σχέσεις (ΙΟ.ΙΙ). Θεωροϋμε τό άθροισμα

auy aUU αβ aillc aw aUIr aUIJ

iiίkAIc; = ΙΙΥσ aiίΙ aillc ιι aβ

aulJ

aw _

..IΙΥσΙΙ

=

aiί' au/J -

j

δι

_

-

-j

δι

(au u aillc ) αβ aUy aw aillc aUIr ΙΙΥσΙΙ aili aU/J

_

-

auy aw _ ail' au/J - ΙΙΥαιι

If!.

= ιιαβ ail:

α

/J

auy ail; au/J

. aili

/J

auy aw

δ Υ aili au/J

aw, δπου οί ιιίi aU aU/J

Κ ΕΦ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

• Αφοϋ Oi1ι;A/cI

= δΙ

t:πεται δτι

ou =

-Ετσι, άπό τήν εξίσωση πεδίου τάξεως

2

(10.20)

AU

βλέπουμε ότι οΙ gU

εΙναι συνιστώσες ~νός άπόλυτου άνταλλοίωτου τανυστικοϋ

της tπιφάνειας, που λέγεται dvtαλλoiwtoς μετρικός τανυστής.

(!) Θεωρούμε τά 27 βαθμωτά μεγέθη eίJ/c, ί,;, k

= 1,2,3,

που όρίζονται ώς ~ξης:

Μν δύο άπό τους δείκτες ί,;, k

= Γιά παράδειγμα

e112

= Ο,

e212

= Ο,

el23

det (cl{>

δπου παίρνουμε τό πρόσημο

k

211 .

ΤΑΝγΠIΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ

+

ί,;,

k

εΙναι μιά άρτια μετάθεση των

Μν

ί,;,

k

ε{ναι μιά περιττή μετάθεση των

= Ι, e213 = -Ι, e231 = 1.

1,2,3 1,2,3

Ύπενθυμίζουμε ότι

=

όταν ί, ί,

ε{ναι μιά περιττή μετάθεση των

εΙναι ίδιοι

tdv

εΙναι μιά άρτια μετάθεση των

k

1,2,3

'Αλλά τότε άπό τόν όρισμό τού

1,2,3.

καί τό πρόσημο

-

όταν ί, ί.

eiJ/c t:πεται ότι μποροϋμε νά γρά

ψουμε

δπου άθροίζουμε ώς πρός α, β. γ.

=

Έπίσης qουμε

+ det (a:> { - det (a{)

έάν Ρ, έάν

Ρ,

q, r

q.,.

ε{ναι μιά αρτια μετάθεση των

1,2, 3

ε{ναι μιά περιττή μετάθεση των

1,2,3

"Αρα

= 11.!(Υ , u 2, u 3) Ι

"Εστω τώρα ότι

11.'

διαστάσεως

• Από

3.

ε{ναι lνας μετασχηματισμός συντεταγμένων μιας στοιχειώδους πολλαπλότητας

δσα άναφέραμε παραπάνω, μποροϋμε νά γράψουμε

e"rdet

• Επομένως,

οΙ ΒίΙ"

-1.

ίlu!

ι1iίP _ ίl11.1l _ ίι11." ea/JyσΥa ί/uI! ίluY

ε{ναι συνιστωσες ~νός άνταλλοίωτου τανυστη τάξεως

οΙ ποσότητες eij/c, ί,;, k βάρους

(-ΣW) =

= 1,2,3,

δπου eijJc

= eU/c,

3

καί βάρους

1. • Ας

σημειωθεί δτι

ε{ναι συνιστώσες ~νός συναλλοίωτου τανυστη τάξεως

3

καί

Άφήνουμε τήν άπόδειξη αυτού ώς ασκηση στόν άναγνώστη.

ΟΙ συνιστώσες ενός τανυστη λέγονται συμμετρικές ιός πρός δύο άνταλλοίωτους δείκτες (ανω δεί κτες) ή ώς πρός δύο συναλλοίωτους δείκτες (κάτω δείκτες), αν παραμένουν άναλλοίωτες, όταν έναλ

λάσσονται οί δείκτες αύτοί.

Γιά παράδειγμα οί Α;!: εΙναι συμμετρικές ώς πρός τόν πρώτο καί τρίτο

άνταλλοίωτο δείκτη, αν Α;!:

=

A~Ι γιά κάθε ί καί

k.

Οί συνιστώσες ενός τανυστη λέγονται άvτισυμμετρικές ώς πρός δύο άνταλλοίωτους δείκτες ή ώς πρός δύο συναλλοίωτους δείκτες, αν άλλάξουν τά πρόσημά τΡυς μόνο, όταν έναλλάσσονται οΙ

δείκτες.

αν Α;!:

WΕτσι, οί A~ εΙναι άντισυμμετρικές ώς πρός τόν πρώτο καί τόν τρίτο άνταλλοίωτο δείκτη,

= -Α::

γιά κάθε ί, k.

~Eνας τανυστής λέγεται συμμετρικός, αν οΙ συνιστώσες του εΙναι συμμετρικές ώς πρός όλα τά ζεύγη τών άνταλλοίωτων καί όλα τά ζεύγη τών συναλλοίωτων δεικτών.

Έάν οί συνιστωσες του

τανυστη εΙναι άντισυμμετρικές ώς πρός όλα τά ζεύγη τών άνταλλοίωτων καί όλα τά ζεύγη των συναλ λοίωτων δεικτών, δ τανυστής λέγεται άντισυμμετρικός.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

212 Στό Πρόβλημα

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦ.10

δείχνουμε ότι, άν οί συνιστώσες ένός τανυστη ιός πρός ~να σύστημα συν

10.19

τεταγμένων εΙναι συμμετρικές ιός πρός κάποιο ζευγος δεικτών, τότε οί συνιστώσες του τανυστη ιός πρός κάθε άλλο σύστημα συντεταγμένων εΙναι συμμετρικές ιός πρός τούς ίδιους δείκτες. συμμετρία ιός πρός ~να ζευγος δεικτών εΙναι ίδιότητα του τανυστη.

WΕτσι, ή

Τό ίδιο Ισχύει γιά τήν άντισυμ

μετρία. Παράδειγμα

(α)

10.7.

Ό συναλλοίωτος καί ό 6.νταλλοίωτος μετρικός τανυστής ε{ναι συμμετρικοί τανυστές, άφου giJ καί gij

=

UjI, ί,

i=

= gJi, ί, j = 1,2,

1,2.

(b) Τό δέλτα του Kronecker μπορεί νά γενικευθεί ώς !:ξης:

=

= ρ, i = q ί = q, i = Ρ

Μν ί

καί

έάν

καί ί =ιb

i "'" j

i

(i,i,p,q

= 1, ... ,π)

σέ κάθε άλλη περίπτωση

Στό Πρόβλημα 10.14 της σελίδας 220 δείχνουμε δτι οί 8~ΙΙ ε{ναι οΙ συνιστώσες !:νός 6.πόλυτου τανυστη τάξεως

4,

συναλλοίωτης τάξεως

.

άντα λλ οιωτους

'Εάν ί

δ

καΙ 6.νταλλοίωτης τάξεως

2

i

ε κτες του.

Γ' ιατι,

Προφανώς, αύτός ε{ναι άντισυμμετρικός ώς πρός τούς

2.

= 1. = q . .. ..... 1, 8~ιι = -1,8ΊΙ' = 1 καί 8~ιι = -3: " uv .~

ρ,

και ~

...L.

ό .fIQ τ τε Oij -

1

. .qp και 0(j

= - l'

- .ΡΙΙ συνεπως 0(j -

.ιιρ -oij •

= q, 1 = Ρ καί i". i. τότε • Στίς άλλες περιπτώσεις 3~ιι = Ο. 8~P = Ο, = -8ΊΙ'. ·Ομοια dποδεικνύεται δτι ε{ναι 6.ντισυμμετρικός καΙ ώς πρός τούς συναλλοίωτους δείκτες του. Ρ

όπότε 8~ιι (ο)

Τά παραπάνω μπορουν νά γενικευθοϋν ώς !:ξης:

8 ΙΙ Ι "' ι

Ι

.. .. .Ι,.

--

1

έάν οΙ ίι , ... , i". ε{ναι διαφορετικοί καί

-1

Μν οΙ ίι •... ,... ε{ναι διαφορετικοί καί -m

{

Ο

Γιά παράδειγμα

81245 1122

=

Ο

•

11' .•. , 1.,. i 1, ••• , 1.,.

ε{ναι μιά άρτια μετάθεση τών ίι ••··• i". εlναι μιά περιττή μετάθεση τών ί 1 •

••• ,

i".

σέ κάθε άλλη περίπτωση

lxoupE

=

81134 1234

Ο.

1234'

s:::::t

Μπορεί νά δειχθεί δτι οΙ m καί άνταλλοίωτης

τάξεως

=Ο

r.!78

= -1 •

~134 1234

82314 1234

=

+1

•

33465 3456

=

-1

•

84356 4356

=

1

εlναι οΙ συνιστώσες !:νός dντισυμμετρικοίi άπόλυτου τανυστη συναλλοίωτης m.

τάξεως

ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

(α) Πρόσθεση.

WΕστω A;::::t καί B~:"""7. οί συνιστώσες δύο τανυστών Α καί Β της ίδιας συναλ

λοίωτης καί άνταλλοίωτης τάξεως καί του ίδιου βάρους.

Στό Πρόβλημα

10.18

της σελίδας

221,

δείχνουμε ότι τά άθροίσματα

Αίl···ι,. J," ·ι,

+

Βίl",ι,.

Ιι" ·ι,

πού βρίσκουμε άν προσθέσουμε τίς άντίστοιχες συνιστώσες τών Α καί Β, άποτελουν τίς συνι

στώσες ένός τανυστη μέ τούς Α καί Β.

C

της ίδιας άνταλλοίωτης καί συναλλοίωτης τάξεως καί του ίδιου βάρους

Ό τανυστής

(b) Έξωτερικό Υινόμενο τανυστών.

C

λέγεται άθροισμα τών Α καί Β.

Έάν οί συνιστώσες Β;;:::;: ένός τανυστη Β τάξεως Ρ

λαπλασιαστουν μέ τίς συνιστώσες A~~"""7. ένός τανυστη Α τάξεως r

+ q πολ + 8, τό άποτέλεσμα εΙναι

~να σύνολο nr+s+ p + q βαθμωΤών μεΎεθών Βαl·· . α,. Α ιl···ι,. ί l ' •. i. 11 1 , . ·11.

ΕΙναι εύκολο νά δειχθεί ότι οί c;~::

::: εΙναι

+

οί συνιστώσες ένός τανυστη C, άνταλλοίωτης τά

+

ξεως r + Ρ. συναλλοίωτης τάξεως 8 q καί βάρους Νι ΝΖ• όπου Νι εΙναι τό βάρος του Α καί Ν 2 εΙναι τό βάρος του Β. Ό τανυστής C λέγεται ιςωτερικό Υινόμενο τών Α καί Β. Μιά εΙ δική περίπτωση έξωτερικου γινομένου εχουμε δταν ό Α εΙναι ~νας τανυστής τάξεως Ο, δηλαδή ~να βαθμωτό μέγεθος (άριθμός).

r

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

ΚΕΦ.Ι0

(c) Συστολή.

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

213

νΕστω A;~:::t οΙ συνιστώσες ενός τανυστη Α άνταλλοίωτης τάξεως r, συναλλοίωτης Τά n r +.- 2 βαθμωτά μεγέθη

τάξεως S καί βάρους Ν.

10· .. ;,. Β;•.. .ι,

=

πού προκύπτουν αν ταυτίσουμε τόν πρώτο άνταλλοίωτο δείκτη μέ τόν πρώτο συναλλοίωτο δείκτη

καί άθροίσουμε, μπορουμε νά δείξουμε ότι εΙναι οί συνιστώσες ενός τανυστη Β, άνταλλοίωτης τάξεως

r - 1,

συναλλοίωτης τάξεως S -

συστολή του τανυστη Α.

καί βάρους Ν.

1

'Ο τανυστής Β λέμε ότι εΙναι μιά

'Ένας τέτοιος τανυστής (πού προέρχεται άπό συστολή) μπορεί νά σχη

ματιστεί γιά κάθε συνδυασμό ενός συναλλοίωτου καί ενός άνταλλοίωτου δείκτη. Παράδειγμα

(α)

10.8.

WΕστω ΑΗ

οί συνιστώσες τυχόντος άνταλλοίωτου τανυστή τάξεως

2,

καί εστω στι

οί Βυ εΤναι επίσης οΙ συνιστώσες Ι:νός άνταλλοίωτου τανυστη τάξεως

Bii

= An.

Παρατηροϋμε στι

γιατί

2,

iY a1lI aw = Αβα d t (aut)N au a1lI = Αιι = Βυ :.~ = Αβα det (au Β αβ det (~~_ιιY ~~αΙ "",μ awJ aua aufJ e a1li aufJ aua J

" ... )

u·",

Θεωροϋμε τώρα τούς τανυστές πού δρίζονται άπό τίς συνιστώσες τών παραπάνω τανυστών

CU Dii Προφανώς

αι

!(ΑΙΙ+ Β;Ι)

= CH

καί

Dj!

!(ΑΙΙ- Β;Ι)

= -D;;

WΕτσι οί CiJ ε[ναι συμμετρικές καί οΙ ταλλοίωτος τανυστής τάξεως

(δ)

= !(AIJ + Βυ) = !(Aii -Bii) = !(Bii + Αυ) = !(BIJ - AIJ)

WΕστω e ll

= ell = Ο,

e 12

=

άνάλογα μέ τίς συνιστώσες

2

Di; εΤναι άντισυμμετρικές.

. Αλλά

cΥ

+ DIJ

= AIJ

καί ετσι κάθε άν

εΤναι άθροισμα Ι:νός συμμετρικοϋ καί Ι:νός άντισυμμετρικοϋ τανυστη τάξεως

=

=

e12 = 1, e 21 e21 -1 καί e 22 eIJk καί BI;k τοϋ Παραδείγματος

= e22 = Ο. 10.6(1),

Οί

2.

συνιστώσες ιι ΙJ καί ΙΙΙ; δρίζονται

σταν ή τάξη εΤναι

2.

Στή συνέχεια θεω

ροϋμε τό εξωτερικό γινόμενο

Παρατηροϋμε δτι, σταν οί δείκτες Ρ, q εΤναι διαφορετικοί, τότε Α:!.ι = 1 άν ί = Ρ καί i = q; καί Α:!.ι = -1 άν ί q καί ; ρ. Σέ κάθε άλλη περίπτωση εχουμε Α:!.ι Ο. Δηλαδή άπό τό Παράδειγμα 10.7(δ) εχουμε

=

=

=

=

" pq B"'B

Βλέπουμε τέλος στι ή συστολή δίνει

δ

= δ~" =

α; αι;ι

{Ι Εάν; Ο

εάν;

= q} # q

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΤΑΝΥΣΤΩΝ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Θεωρουμε τίς έξισώσεις του

Χι;

. Εάν

Gauss

=

ΓϋΧα

+ bi;N

(α, ί,

πάρουμε τό έσωτερικό γινόμενο καί τών δύο μελών τών έξισώσεων του

Χι; • Xk

=

Γϋ(Χα· Xk)

Οί συναρτήσεις rIjk ΞΞ Χιι· Xk λέγονται σύμβολα τού

σχέση gιag aJ

= 8{

=

(10.29)

j = 1,2)

Gauss

μέ τό Xk, εχουμε

rugak

Christojje/

πρώτου είδους.

Χρησιμοποιώντας τή

εχουμε

νΕτσι, τά σύμβολα του Chήstοffel πρώτου καί δεύτερου είδους συνδέονται μεταξύ τους μέ τίς έξι σώσεις

ri;k =

gkar~

καί

(10.2~)

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

214 Στό Πρόβλημα

10.24

της σελίδας

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κ ΕΦ.

δείχνουμε δτι οΙ συναρτήσεις Γι;Ιι: δίνονται άπό τίς σχέσεις

223 =

(10.25)

rt δίνονται

ιcαί συνεπώς οΙ συναρτήσεις

Γ .!".. V

10

άπό τίς σχέσεις

1

~y

Ας σημειωθεί δτι τά σύμβολα του

ka

[σΥ;α

au'

+ οΥαιJ _ σΥΙΙ] au aU

(10.26)

Q

Christoffel δέν εΙναι συνιστώσες tνός τανυστη, γιατί δ ιcα Christoffel περιλαμβάνει ιcαί τίς δεύτερες παραγώγους Στό Πρόβλημα 10.27 της σελίδας 223 δείχνουμε τό tπόμενο

νόνας μετασχηματισμου τών συμβόλων του

του μετασχηματισμου συντεταγμένων. θεώρημα: Θεώρημα

10.8.

Τά σύμβολα του

μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τούς ιcανόνες

Christoffel

~. Ί:,

[aU aulJ Q

r~1J σiίΙ σiίI +

1

au'aZuΎσiίI] iJUk auΎ

=

f ijk

Θεωρουμε στή συνέχεια τίς έξισώσεις του

Weingarten

= Pfχa,

Νι

(χ, i

= 1,2

(10.27)

Πολλαπλασιάζοντας έσωτεριιcά μέ Χι, βρίσιcoυμε δτι τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως bIJ ίΙCα νοποιουν τίς σχέσεις

= Νι· Xj =

-bij 'Εάν δρίσουμε bl

= biagai, bl

νΕτσι οΙ έξισώσεις του

b{

ιcαί

biJ

β~YαI

εχουμε

=

bιΎg ΎJ

=

-βΊΥαΎΥΎΙ

=

-β~8~

-βl

μπορουν νά γραφουν

Weingarten Νι

όπου οΙ

=

βΊχa· Χ;

=

-b~χa,

i = 1,2

(10.28)

συνδέονται μέ τίς σχέσεις

b{ = ΥαΙ bia

καί

(10.29)

•Εδώ οΙ biJ εΙναι οΙ συνιστώσες tνός άπόλυτου συναλλοιώτου τανυστη τάξεως 2 ιcαί οί bl εΙναι οί 2, άνταλλοίωτης τάξεως 1 ιcαί συναλλοίωτης τάξεως 1 .

συνιστώσες tνός άπόλυτου τανυστη τάξεως

• Ορίζουμε

τώρα τά σύμβολα δεύτερου είδους τού R mijk

=

b ίk bjm

ιcαί τά άντίστοιχα σύμβολα πρώτου είδους τού

R~k

Riemann

- bi ; bkm

(10.90)

Riemann

=

gαp R

(10.91)

aijk

Παρατηρουμε δτι οΙ Rmi;k εΙναι οί συνιστώσες tνός άπόλυτου συναλλοίωτου τανυστη τάξεως

4

ιcαί

ότι οί B~/ι: εΙναι οί συνιστώσες tνός άπόλυτου τανυστη τάξεως 4, συναλλοίωτης τάξεως 3 ιcαί άν ταλλοίωτης τάξεως τού

Riemann

1.

ΟΙ τανυστές αυτοί λέγονται άντίστοιχα συναλλοίωτος τανυστής καμπυλότητας

ιcαί μικτός τανυστής καμπυλότητας τού

Riemann.

•Από

τίς έξισώσεις

επεται δτι

Παρατηρουμε άπό τήν

(10.29)

ιcαί

(10.31) (10.92)

(10.30)

δτι οί συνιστώσες

R.,.ijk

εΙναι άντισυμμετριιcές ώς πρός τούς δύο

πρώτους δείιcτες ΙCαί ώς πρός τούς δύο τελευταίους δείιcτες, δηλαδή R imjk

=

-Rmjjk

ιcαί

R mikJ

=

- RmiJk

(10.99)

~"

Κ ΕΦ.

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

=

UΕτσι εχουμε Rimjk

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

215

Ο σταν οί δύο πρώτοι η οί δύο τελευταίοι δείκτες εΙναι ίδιοι.

τέσσερις άπό τίς συνιστώσες αύτές εΙναι διάφορες του μηδενός.

R l2l2 = R 212l = b22 b ll - b l2b2l = LN -

= R 2112 =

R l22l

bl2 b2l

Μ2

Μ2)

b22 bll = -(LN -

-

Τελικά, μόνο

Αύτές εΙναι οί εξής:

= b

(10.34)

=

(10.35)

-b

"Αν καί οί συνιστώσες του τανυστή καμπυλότητας δρίστηκαν ώς συναρτήσεις τών μεγεθών τής δεύτερης θεμελιώδους μορφής, μπορουν στήν πραγματικότητα νά έκφραστουν ώς συναρτήσεις μόνο

τών μεγεθών τής πρώτης θεμελιώδους μορφής, δηλαδή ώς συναρτήσεις τών συνιστωσών του μετρι κου τανυστή καί τών παραγώγων τους.

Στό Πρόβλημα

10.29

της σελίδας

224

δείχνουμε τό επόμενο

θεώρημα: Θεώρημα

R mijk

10.9.

• Επειδή

τά σύμβολα του

έξαρτώνται μόνο άπό τίς συνιστώσες του μετρικου τανυστή

Christoffel

(δηλαδή τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως) καί τίς παραγώγους τους, επεται στι τό ίδιο Ισχύει καί γιά τόν τανυστή καμπυλότητας. θεια τής έξισώσεως

Αύτό εΙναι ίσοδύναμο μέ τό θεώρημα του

ή καμπυλότητα του

(10,34)

Gauss

LN-M2 EG-F2

Κ

=

Gauss,

άφου μέ τή βοή

δίνεται άπό τήν εκφραση

b g

=

R l2l2 g

Λυμένα Προβλήματα ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

10.1.

Δείξτε στι οί έξισώσεις τών

Gauss-Weingarten

=

Χ ε{ναι

gxu" = gx"" σπου ρ=/...

+ qrx" + psx.. + qsx" + sgl/ 2N ptx.. + qtx" + tg l/2 N prxu.

gxuu.

uel

rg l/2 N

+ ve2 +

για ενα τμημα

Monge

/(u, v)e3

g3/ 2N.. (spq - rq2 - r)x.. + (rpq - Sp2 - s)x" g 3/2N" = (tpq - sq2 - s}x.. + (spq - tp2 - t)x"

q=/", r=!...., s=/..", t=!"", g=l+p2+ q 2. = 1 + r, F = Χ.. ' Χ" = pq, G = Xv' Xv = 1 + q2 = 1 + r + q2 = g, Ν = χ.. χ x"f!x.. χ χ,,\ = -(pel + qe2 L = χ..". Ν = τlο , Μ = Χ Ν = 81ο , Ν = χ.,.,' Ν = Ιlο Ε" = 2ρτ, Ε" = 2Ρ8, F = Ρ8 + qr, F" = ρι + q8, Gu = 2q8, Ε

=χ

Εα

-

.. '

χ..

F2

Ι/2

Ι/2

Ι/2

..,,'

u

Άπό τίς έξισώσεις

(10.2)

ιcαί

(10.4)

Γ~ι

= prlg

Γ~2

= p81g

Γ~2 = ptlg

Γ~ι

= qrlg

Γ~2

=

Γ~2

=

β~

= (8pq - rq2 - r)/g3/2

~

β~

= (rpq -

pi = (8pq -

άπό τίς δποίες επεται τό άποτέλεσμα.

1

παίρνουμε

q81g

8ρ2 - 8)lg3/2

eiJlg l/2

qtlg

= (tpq - 8q2 - 8)/g3/2 t p2 - t)/g3/2

G" = 2qt

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ

216 10.2.

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

Χρησιμοποιώντας τίς έξισώσεις τοϋ

Weingarten, ΙΠ

όπου ΠΙ

= dN· dN

πυλότητα τοϋ

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2ΗΠ

-

Κ Ε Φ.

10

δείξτε ότι

+ ΚΙ =

Ο

εΙναι ή τρίτη θεμελιώδης μορφή, Η ή μέση καμπυλότητα καί Κ ή καμ

Gauss.

Χρησιμοποιώντας τήν έξίσωση (Ι 0.2) τής σελίδας

Ντι· Ν"

20 Ι

παίρνουμε

=

(β~ X u + β~Xυ) • (.B~ X u + β~Xυ)

=

(MF - LG)2E + 2(MF - LG)(LF - ME)F + (LF - ME)2G (EG - F2)2 (EG - F2)2 (EG - F2)2 (-2LMF + L2G + EM2)(EG - F2) (ΕΝ - 2MF + LG)L - (LN -

=

~-~

Μ2)Ε

~-~

ΚΕ

2HL 'Όμοια

Ν,,· Ν"

=

(β~x" + β~x,,) • (β~x,. + β~x,,)

=

(MF - LG)(NF - MG)E + (NF - MG)(LF - ME)F (EG - F2)2 (EG - ~)2 (MF - LG)(MF - NE)F + (LF - ME)(MF - NE)G + (EG - F2)2 (EG - F2)2 (ΜΕΝ - M2F + LGM - FLN)(EG - F2) (ΕΝ - 2MF + LG)M (EG - F2)2 EG - F2 2ΗΜ - KF

(LN-M2)F EG-~

(β~x .. + β~x,,) • (β~x,. + β~x,,)

'Επίσης

= =

(NF - MG)2E + 2(NF - MG)(MF - NE)F + (Μι;' - NE)2G (EG - F2)2 (EG - ~)2 (EG - F2)2 (ΕΝ2 - 2MFN + M2G)(EG - F2) (ΕΝ - 2MF + LG)N (LN-M2)G (EG - F2)2 EG - F2 EG-F2 2ΗΝ - KG

Συνεπώς

ΙΙΙ

=

=

(Ν ..

+Ν

=

N u • Ν,. du 2 + 2Ν ... Ν" dv dv + Ν • Ν dv 2 (2HL - ΚΕ) KF) du dv + (2ΗΝ - KG) dv 2 2 2H(L du + 2Μ du dv + Ν dv 2) - Κ(Ε du 2 + 2F du dv + G dv 2) 2ΗΙΙ - ΚΙ dN· dN

du du 2 +

dv) • (Ν,. du + Ν" dv)

" 2(2ΗΜ -

"

"

πού δίνει τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

10.3. Δείξτε ότι τά σύμβολα τοϋ Christoffe! Γ~ δίνονται από τίς εκφράσεις (10.4) τής σελίδας 202. Παρατηρούμε στι

=

χ,.. Χ,.,.

!(Χ,.·

Xv • χ""

Xu )..

!(Xv • χ"),,

=

!Ε,..

Xu • x,.v

!(χ ... Xu)v

!G".

x V• χ,."

!(χ"

• X,,)u

'Επίσης, χρησιμοποιώντας τίς παραπάνω σχέσεις, εχουμε

(Xu • x v ) ..

F,. Fv

=

(xu·x v)"

=

x u,. • Xv + Xu • x uv = Xuu • Xv + }Ε ., xuv·x,,+xu·x v., = !G .. +xu·x"v

Συνεπώς

F" - !G,.

'Από τίς έξισώσεις του

Gauss

καί τά προηγούμενα εχουμε

!Eu = Χ,,· Χ,... = rllxu • Χ" + rilXU· Xv = r:ιΕ + r~lF F" - !E v = xv·xv.. = r:lxv·xu + rilxv·x" = r:IF + r~IG !Ε"

=

Χ,.· xuv Χ,,· xu-v

iGu

=

Fv -

!G,.

!G v

=

=

=

r: 2x,. • Χ" + ri2X"· Χ"

= r1 E +

ri2F

Γ~2Xυ· X u + Γ~2Xυ· Χ"

=

r~2G

Χ.. • xv"

Xv • x vv

=

=

2

r~2F

r~2x,.· Χ.. + r~2X"· χ"

r~2XV· Χ,. + r~2Xυ· Χ"

=

=

+

r~2E + r~2F

r~2F + r~2G

Λύνοντας τίς δύο πρώτες έξισώσεις ώς πρός r: ι καί riI' τίς δύο επόμενες εξισώσεις ώς πρός 1':2 καί ri2 καί τίς δύο τελευταίες έξισώσεις ώς πρός Γ~2 καί Γ~2 βρίσκουμε

rι !

Κ ΕΦ.

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

Ι

Γ~l

Γ~l

=

GE,. - 2FF,. + FE" 2(EG-F2)

Γ~2

2EF.. - ΕΕ" + FE .. 2(EG-F2)

Γ~2

=

Τ ΑΝΥΣΤιΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

GE,,-FG .. 2(EG-F2)

Γ~2

EG.. -FE" 2(EG-F2)

Γ~2

=

217

2GF" - GG,. - FG" 2(EG-F2) EG" - 2FF" + FG,. 2(EG-F2)

πού εΙναι οί ζητούμενες έκφράσεις.

10.4.

Δείξτε ΟΤΙ

K(EG - Ρψ = [ΧιιιιΧυΧ"][Χ""Χ,,Χ,,] - [X"vXuX,,]2.

LN -

~Aρα

=

• (X u

χ Χ,,)

=

[χ""χ ..χ,,]/Iχ,. χ χ,,1

[X.."xux,,]2

Ιχ.. χ χ,,12

=

LN-M2

Κ

Συνεπώς

=

Χ"''· Ν

[X....XUx"][X""X"X,,l -

Μ2

(Χ .. χ Χ,,)

'Επίσης

10.5.

=

Ν

Μ

(χ,..

=

Xu)(X v • Χ,,) - (X u • χ,,)2

-

F2

[χ.."χ..χ,,]2

[xuux..x"Jlx""x"x,,] -

EG-F2

Εα

(EG-F2)2

Χρησιμοποιώντας τό άποτέλεσμα του προηγούμενου προβλήματος, δείξτε ΟΤΙ

(Ρ.." - !Ε""

Κ(ΕG-FΨ

+

ΡΖ)

- tG ....)(EG -

t~"

det (

F"-!G,, Ε

F

- det

G

F

F"-!E,, V

!G")

(Ο !Ε" !Ε" Ε !G..

Ας σημειωθεί δτι αυτό εΙναι μιά αμεση άπόδειξη του θεωρήματος του

F

Gauss.

Προφανώς εχουμε

[abc][def]

det

(

d1 el

11 C·

d)

c·e c·f , Από

τό Πρόβλημα

K(EG -F2)2

10.4

=

καί άπό τούς ύπολογισμούς του Προβλήματος

x uu • Χ""

det

det

,

χ,.. Χ"" Χ,,· χ"'')

Χ"''· Χ"

(X

(

Χ ... Χ..

uu • X v

Xu •

Χ"... Χ""

F"-tG,,

!Ε..

Ε

F,,-t E .,

F

tGV) F

(Χ..... Χ"" -

+

Xu "

det

(

Στό Πρόβλημα 10.3 δείξαμε δτι x ..u • Χ"

•

(

det

G

εχουμε

Χ"" • Χ..., • Χ..

χ,. • χ,..,

χ,."

χ,. • Χ..

X uv • X v

Χυ.

(χ,."οχ -

Αφου καί οί δύο όρίζουσες εχουν τήν κοινή έλάσσονα δρίζουσα K(EG-F2)2

15

Χ" • χ,. "v • X v

Xv

det

10.3

tE"

tG. det ( ;

F,,-tG ..

!Ε"

Ε

F .. -!E"

= F .. -

Ε

F

x,.v· Χ"

= !G...

G

~). επεται δτι

F

!Ε" καί

Xv

. " !Ε" tGU) F

x,..,)(EG - F2)

Ο

•

Συνεπώς

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ

218 (F u

t E v)v =

-

. Αφαιρώντας

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

Κ Ε Φ.

ΤΑΝΥΣTlΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ

10

(X uu ' xv)v

εχουμε

πού δίνει τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

10.6. . Εάν

οί παραμετρικές καμπύλες ενός τμήματος ε{ναι γραμμές καμπυλότητας, δείξτε δτι οί έξι

σώσεις

των

(10.7)

παίρνουν τή μορφή

Codazzi-Mainardi

1 Ev συ = "2 Έ(Κ 2 - Κι),

σΚ 2

σκι

1 Gu G(K !

"2

iJu

-

Κ2)

δπου κι καί Κ 2 ε{ναι οί κύριες καμπυλότητες. 'Όταν οί παραμετρικές καμπύλες ε{ναι γραμμές καμπυλότητας, εχουμε

= ΙΙι1 =

F

Ο.

'Έτσι, οί εξισώσεις

(Ι 0.7) μετασχηματίζονται στίς

καί

Ν,.

10.7.

κι

= L/E

Ev(N _L)

καί

G

9.13

της σελίδας

= N/G.

καί Κ2

tEv(~+~)

ΝΕΕ υ

2EG

NEG u LGG u 2EG + 2EG

2Ε

Άλλά σύμφωνα μέ τό Θεώρημα τητας, τότε

+Nri2

-Lr~2

=

(~\

ή

LGE v 2EG +

Lr~2 - Nril

Lv

Ε

186,

(~λ

(~+ ~)

tGu

=

~~ (~ - ~)

αν οί παραμετρικές καμπύλες ε{ναι γραμμές καμπυλό

'Έτσι εχουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

Δείξτε δτι δέν ύπάρχει συμπαγής επιφάνεια στόν Ε3 κλάσεως

Cm,

m~

2.

μέ καμπυλότητα τοϋ

Κ ~ ο.

Gauss

Ύποθέτουμε τό άντίθετο. δηλαδή δτι

σημείο της δποίας ε{ναι

Κ"" Ο.

ε{ναι μιά συμπαγής επιφάνεια κλάσεως

S

Θεωροϋμε τώρα τήν πραγματική συνάρτηση f(P)

Χ εκφράζει διανυσματικά τό τυχόν σημείο Ρ.

=

Cm, m:=: 2,

σέ κάθε

lχΙ2

δπου τό

= Χ' Χ,

'Αφήνουμε στόν άναγνώστη νά δείξει ώς ασκηση δτι ή

f

ε{ναι

S. Συνεπώς, σύμφωνα μέ τό Θεώρημα 6.9 τής σελίδας 110, ή f παίρνει τό μέγιστό της, εστω f(P o) = lχσl 2 = r 2 , σέ κάποιο σημείο Ρο τής S. "Ας σημειωθεί δτι πρέπει νά ε{ναι r 2 > Ο. Γιατί διαφορετικά θά είχαμε f == Ο στήν S, άφοϋ παντοϋ ίσχύει f:=: Ο καί τό r 2 ε{ναι τό μέγιστό της, καί ή S θά ε{χε ενα μόνο σημείο τό Χ Ο, πράγμα πού ε{ναι άδύνατο. "Εστω τώρα Χ x(u, ν) ενα τμημα τής S πού περιέχει τό Ρο καί τέτοιο ωστε οί διευθύνσεις trovu- καί ν-παραμετρικών καμπυλών στό Ρο νά είναι συνεχής παντοϋ στήν

=

κύριες.

'Αφοϋ ή

f(P)

= f(x(u, ν» af/au

στό Ρο.

'Επίσης

aZf/au2 στό Ρο.

Ρο. Ν

2xu

' Xu

=

εχει τό μέγιστό της στό Ρο, εχουμε

2x'xu

=

Ο

καί

σι/συ

=

+ 2χ, x uu

""

Ο

καί

ίJη/συ 2

2x'x v = 2x v '

= Xv

Ο

+ 2χ, X vv

Ο

""

τίς παραπάνω δύο πρώτες εξισώσεις επεται δτι τό Χ ε{ναι κάθετο στά X u καί X v

Συνεπώς Ν

= x/r.

καί

. Από

=

=

= ±x/lxl = ±x/r

. Αντικαθιστώντας

στό Ρο.

στό σημείο

Μποροϋμε νά ύποθέσουμε δτι ή φορά τοϋ Ν ε{ναι τέτοια ωστε

στίς δύο τελευταίες άπό τίς παραπάνω εξισώσεις εχουμε X u ' X u

+ τΝ • x uu "" Ο < Ο στό Ρο .

Xv'xv+rN'Xvv "" Ο ή Ε + rL "" Ο καί G+rN "" Ο ή L/E "" -1/r < Ο καί N/G "" -1/r

. Αφοϋ

οΙ διευθύνσεις τών u-

τής σελίδας

καί

186, επεται δτι κι

ν-παραμετρικών καμπυλών ε{ναι κύριες στό Ρο.

= L/E

καί Κ2

= N/G.

Συνεπώς εχουμε Κ

στό Ρο. πού ε{ναι επίσης άδύνατο, άφοϋ ύποθέσαμε δτι Κ"" Ο δεικνύει τήν πρόταση.

άπό

τό Θεώρημα :=: 1/r2

= ΚΙΚ2 = LN/EG

παντοϋ στήν

9.13

>

Ο

'Η άντίφαση αύτή άπο

S.

10.8. Δείξτε ότι ή συνάρτηση f(P) = [κι (Ρ) - κ 2 (Ρ)]2 όρισμένη σέ μιά επιφάνεια ε{ναι συνεχής. Ύπενθυμίζουμε δτι οί κύριες καμπυλότητες σέ ενα σημείο Ρ μιας επιφάνειας

S

εξαρτώνται άπό τόν

προσανατολισμό τοϋ τμήματος πού περιέχει τό Ρ, δηλαδή άλλάζουν πρόσημο δταν άλλάζουμε τή φορά τοϋ

Ν.

"Ετσι, αν ή

S δέν ε{ναι προσανατολίσιμη, δέν ε{ναι δυνατό νά δριστοϋν οί κι(Ρ) καί Κ2(Ρ) ώς συνεχείς S. . Η f δμως ε{ναι άνεξάρτητη τής άλλαγής τοϋ προσήμου τών κι καί Κ2 ε{ναι μιά εσωτερική ίδιότητα της S, δηλαδή άνεξάρτητη τοϋ τμήματος πού περιέχει τό Ρ.

συναρτήσεις σ' δλόκληρη τήν καί συνεπώς

Γιά νά δείξουμε δτι ή πού περιέχει τό Ρο.

f

ε{ναι συνεχής σέ ενα σημείο Ρο, ύποθέτουμε δτι Χ

= x(u, ν)

ε{ναι ενα τμήμα

'Αφοϋ οί κι καί Κ2 ε{ναι συνεχείς συναρτήσεις τών θεμελιωδών μεγεθών πρώτης καί δεύ-

Τ

Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

219

=

f(x(u, υ» εΙναι συνεχής συνάρτηση τών u καί v. "Ετσι, αν δοθεί e > Ο, ύπάρχει If(x(u,v»-f(x(uo,vo»1 < € γιά κάθε (U,V) στήν Sδι(UΟ'VΟ}' Άπό τό Πρόβλημα 8.13 της σελίδας 165 επεται δη ή είκόνα Μ της Sδ (1to, vo) στήν S εΙναι ή τομή ένός άνοικτου συνόλου Ο του ι Ε3 μέ τήν S. Συνεπώς, ύπάρχει μιά περιοχή Ss(xo} του Ε3, τέτοια ωστε τό Sδ(Χο} n S νά περιέχεται στήν Μ. "Ετσι, γιά κάθε χ στό Sδ(ΧΟ} n S εχουμε If(x} - f(xo} Ι < •. Αύτό δείχνει δτι ή f εΙναι συνεχής στό Ρο. τερης τάξεως, ή

f(P}

δι> Ο τέτοιο ωστε

10.9.

' Αποδείξτε

τό λήμμα του

'Εάν σ

HiZbert:

ενα σημείο Ρο μιας έπιφάνειας κατάλληλης κλά

σεως ίσχύουν (ί) τό ΚI(Ρο ) είναι ενα τοπικό μέγιστο, (ίί) τό κ 2 (Ρο ) είναι ενα τοπικό έλάχιστο

> κ 2 (Ρο ),

καί (ίίί) κι(Ρ ο )

τότε Κ(Ρ ο ) ~ Ο.

Έπειδή ΚI(Ρ ο } # Κ2(Ρ Ο )' τό Ρο δέν εΙναι όμφαλικό σημείο. σελίδας

ύπάρχει ενα τμημα χ

185,

= x(u, υ)

εΙναι γραμμές καμπυλότητας της έπιφάνειας.

σκι

2'1 Ε" Ff(K2 -

συ

"Ετσι, σύμφωνα μέ τό Θεώρημα

9.10 της

πού περιέχει τό Ρο καί του όποίου οί παραμετρικές καμπύλες

• Από "Ι)

τό Πρόβλημα

10.6

σΚ2

καί

επεται δτι

1 Gu

2' (;("ι -

uu

'(2)

Παραγωγίζοντας εχουμε

. Αφου

οί "ι καί

στό Ρο.

• Αρα

"2

= a"z/aU = = G u = Ο στό

παίρνουν άκραίες τιμές στό Ρο, εχουμε σ"ι/συ

άπό τίς δύο πρώτες παραπάνω σχέσεις εχουμε Ε"

Ο στό Ρο.

• Αλλά "ι # .02 •Αντικαθιστώντας στίς

Ρο.

δύο τελευταίες σχέσεις βρίσκουμε καί

Έπειδή ή κι παίρνει μέγιστο στό Ρο, εΙναι σ2"ι/συ2"", Ο στό Ρο.

Έπίσης "ι

νεπώς ή πρώτη άπό τίς παραπάνω σχέσεις δίνει Ε"" ~ Ο στό Ρο.

Έπειδή ή

εΙναι ίJ2K2/ίJu2 ~ Ο στό Ρο.

Έπίσης

G

> Ο,

πύλες εΙναι γραμμές καμπυλότητας, εχουμε Πρόβλημα

10.5

όπότε

F =

=

Μ

G uu

~ Ο στό Ρο.

Ο.

• Αλλά

> "2 .02

στό Ρο καί Ε

>

Ο. Συ

παίρνει έλάχιστο στό Ρο,

Τελικά, άφου οί παραμετρι~ές καμ

στό Ρο εΙναι Ε"

=

Ο καί

Gu =

Ο.

• Από

τό

βρίσκουμε τότε δτι στό Ρο ίσχύει Κ

Έπειδή Ε"" ~ Ο καί

10.10. ' Αποδείξτε

Guu

~ ο, επεται δτι Κ"'" Ο, πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

τό Θεώρημα

Οί μόνες συνεκτικές καί συμπαγείς έπιφάνειες κατάλληλης

10.7:

κλάσεως, μέ σταθερή καμπυλότητα τοϋ 'Υποθέτουμε δτι βλημα Κ

>

Ο.

10.5

f(P}

πειδή

εΙναι συμπαγής, ή

S

νά εΙναι Κ"'" Ο.

της σελίδας

205

=

σταθ.

Σύμφωνα μέ τό Πρό

Συνεπώς, μπορουμε νά ύποθέσουμε δτι

συμπεραίνουμε δτι ή

S

S

εΙναι έλλειπτικό όμφαλικό ση

εΙναι σφαίρα, όπότε συμπληρώνε

Γιά νά δείξουμε δτι κάθε σημείο της S εΙναι έλλειπτικό όμφαλικό σημείο, θεωρουμε τή

= [κι (Ρ) -

συνάρτηση ή

S

Έάν τώρα μπορέσουμε νά δείξουμε δτι κάθε σημείο της

μείο, τότε άπό τό Θεώρημα

ται'ή άπόδειξη.

είναι οί σφαίρες,

εΙναι μιά συνεκτική καί συμπαγής έπιφάνεια μέ Κ

εΙναι άδύνατο γιά δλα τά σημεία της

10.7

= σταθ.

S

Gauss,

τώρα δτι ι> Ο στό Ρο.

Κ2(Ρ}]2.

f

Άπό τό Πρόβλημα

10.8

εχουμε δτι ή

f(P)

εΙναι συνεχής στήν

παίρνει τό άπόλυτο μέγιστο σέ κάποιο σημείο Ρο της

Άφου ή

f

S.

S.

Έ

Ύποθέτουμε

εΙναι συνεχής στό Ρο, εΙναι ι> Ο σέ κάποια περιοχή S(Po}'

'Επει

- Κ2}2 > Ο στήν S(Po), εΙναι κι # .02 στήν S(Po). Έπίσης οί κι καί .02 εχουν τό ϊδιο πρόσημο στήν S(P o), άφου Κ ΚΙΚ2 > Ο στήν S(Po)' Έτσι, μπορουμε νά ύποθέσουμε δτι κι > .02 > Ο στήν S(Po)• . Αφου κι - .02 > Ο στήν S(Po) καί ή (Κι - .02)2 εχει μέγιστο στό Ρο, επεται δτι ή κι - .02 εχει τοπικό μέγιστο στό Ρο. . Επειδή Κ Κι"2 σταθ. > Ο, ή .02 έλαττώνεται δταν ή κι αύξάνεται καί έπομένως ή κι εχει τοπικό μέγιστο στό Ρο καί ή .02 τοπικό έλάχιστο στό Ρο. Συνεπώς, αν ι> Ο στό Ρο τότε (ί) ή κι εχει τοπικό μέγιστο στό Ρο, (ίί) ή "2 εχει τοπικό έλάχιστο στό Ρο καί (ίίί) κι > "2 στό Ρο. • Από τό Πρό βλημα 10.9 επεται δτι Κ"'" Ο στό Ρο. . Αλλά αύτό εΙναι άδύνατο άφου Κ> Ο στήν S. "Ετσι ή f δέν εΙναι θετική στό Ρο. •Αλλά ή f παίρνει στό Ρο τή μέγιστη τιμή της καί άκόμα άπό τόνόρισμό της f(P) ~ Ο γιά κάθε Ρ. Συνεπώς f == Ο στήν S. Δηλαδή κι .02 σέ κάθε Ρ της S. . Επειδή οί κύριες καμπυλό δή

f =

(Κι

=

=

=

=

τητες εΙναι άκραίες τιμές της κάθετης καμπυλότητας στό Ρ καί έπειδή Κ

λότητα νεπώς ή

,,= S

σταθ.

# Ο σέ κάθε Ρ.

εΙναι σφαίρα.

Δηλαδή κάθε σημείο της

S

>

ο,

επεται δτι ή κάθετη καμπυ

εΙναι έλλειπτικό όμφαλικό σημείο καί συ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

220

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κ Ε Φ.

10

ΤΑΝΥΣΤΕΣ

10.11. 'Εάν υ ί

= a~ua

Γράφουμε να

10.12.

Δείξτε ότι

καί wi

= b~va,

= ~a~uβ.

δείξτε ότι w '

Συνεπώς

β

όπου οί

giaga;=B{, a,i,i=l,2, UllU ll

+ ΥΙ2Υ

2Ι

ΥιαΥ a2

ΥιιΥ Ι2

+ ΥΙ2Υ

22

Υ2αΥ αΙ

Υ2ιΥ ΙΙ

Υ2αΥ α2

Υ2ιΥ Ι2

+ Υ22Υ + g22g 22

= = = =

=

{~

ΥιαΥ αΙ

"Εχουμε

=

= b~α~uβ.

2Ι

ΥίαΥ α ;

Συνεπώς

δρίζονται άπό τίς σχέσεις

ga;

(10.11).

= u/u = 1 -Υl1ΥΙ2/Υ + ΥΙ2Υιι/Υ = Ο Υ2ιΥ22/Υ - Υ22ΥΙ2/Υ = Ο -Υ2ιΥ2ι/Υ + g22g11/g = g/g = 1

UllU22/U - ΥΙ2ΥΙ2/Υ

Μν ί

=j

Μν ί

# j

}

= 8~,

10.13. Δείξτε ότι Bf;
= 8f 81 - 8} 8~. Προφανώς = Ο, έκτός αν Ρ = j Συνεπώς Af;
"Εστω AfJ
Τότε

8~

8f

= Ο.

=Ο

καί A~ΙΙ

A P
=

= ο, αν ί = j. 'Υποθέτουμε τώρα ότι = ί, δπότε Af;
καί q

i # j, q =

Μν

ί, ρ

ί# j

καί

καί Ρ

= ί,

ρ.,ι. ί.

τότε

8PQ iJ

= j

σέ κάθε αλλη 'ιtερίπτωση

πού εΙναι καί τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

10.14.

Δείξτε στό προηγούμενο πρόβλημα ότι ναλλοίωτης τάξεως

"Εχουμε

8Υσ αβ

2

Bf;
εΙναι οί συνιστώσες ενός άπόλυτου τανυστη συ

καί άνταλλοίωτης τάξεως

2.

iJiίP ίJiίΙΙ iJu a ίJu β

iJuY

ίJuU iJiίi ίJiί;

ίJiί P ίJiίΙΙ ίJu a ίJuβ

"Ετσι οί

8g
=

ιJua du J3 aui ιJiM

=

( ίJiί

=

8f 81 - 8} 8~

P

iJ~~) (ίJU
iJu a iJu'

_

ίJu β ίJu'

=

-P
8g
8u

εΙναι οί συνιστώσες ενός άπόλυτου ταννστη συναλλοίωτης τάξεως

"Αλλη μέθοδος.

Τά γινόμενα δf

81

λυτων τανυστών συναλλοίωτης τάξεως τανυστών συναλλοίωτης τάξεως

2

1

καί

8f 8~

εΙναι οί συνιστώσεςτοϋ εξωτερικοϋ γινομένου μικτών άπό

καί άνταλλοίωτης τάξεως

καί άνταλλοίωτης τάξεως

8g
2 καί άνταλλοίωτης τάξεως 2.

= 8f 81

2.

Συνεπώς, εΙναι οΙ συνιστώσες άπόλυτων

1.

'Έπεται ότι καί οί διαφορές

- 8f 8~

εΙναι οί συνιστώσες ενός άπόλυτου ταννστη συναλλοίωτης τάξεως

2

καί άνταλλοίωτης τάξεως

2.

\ \

Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

221

10.15. Δείξτε δτι ή συστολή Α: τών συνιστωσών Α{ ενός άπόλυτου μικτοϋ τανυστη εΙναι μιά βαθ μωτή •

αναλλοίωτη. ,_j

,

ίlu ιI ίlil Y

ίliίy ίlu ll

παιρνουμε

10.16. ' Εάν Af;q 2

_

Επειδη Αι -

11 ίlu ιI ίlil; -"Ι 11 ίlu ιI ίlil"l Α α ίliί Ι ίlu ll ' εχουμε Α"Ι ζ ίliίY ίlu ll ' 'Από τήν έξίσωση (10.16) της σελίδας _ α _ -Υ _ 11 α _ α , - 811· Συνεπως Α Υ - Α α δll - Α .. , που ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

=

εΙναι οί συνιστώσες ενός τανυστη άνταλλοίωτης τάξεως

2,

208

συναλλοίωτης τάξεως

καί βάρους Ν, δείξτε δτι ή συστολή Α:1 εΙναι οί συνιστώσες ενός μικτου τανυστη ανταλ

λοίωτης τάξεως

συναλλοίωτης τάξεως

1,

=

-pq

, Αφου AiJ

[

det

1

καί βάρους Ν.

(ίlUi)JN Υσ ίliiP ίιαι;ι ίlu" ίI~ ίliί; Ααll ίluY ίluu ίliίΙ ίlw'

" εχουμε

= q

=

A':f/

Δηλαδή οί

[ det

ίlUi)JN ..u ίlil ίlulI ( ίlilJ Α αll ίluu ίliί;

μετασχηματίζονται ώς συνιστώσες ένός μικτου τανυστη βάρους Ν, πού ε{ναι καί τό ζητού

μενο άποτέλεσμα.

10.17.

'Εάν

ii.i

= ui(u t , ••• , u"), ί = 1, ... , n,

εΙναι ενας έπιτρεπτός μετασχηματισμός συντεταγμένων

μιας στοιχειώδους πολλαπλότητας διαστάσεως

_

..

ou ou" oU" oui = J

του, δειξτε οτι , Από

τόν

ίlilJ

ίlilJ ίια ι

=

καί

ui = u i (u 1 ,

••• ,

u")

εΙναι δ άντίστροφός

j

8ι.

κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως εχουμε

=

ίια ι 'Αλλά

n

{~

10.18. 'Εάν Α;::: :;: καί

έάν έάν

B;;:::t

ίlilJ ίlu 1 ίlu 1 ίliί Ι

ί =j

ίlil; ίl U 2

+

ίlu 2 ίια ι

δΙ.

}

ί",ι,;

+

"Ετσι

...

+

ίlw ίlu" ίlu" ίιαι

ίliί; ίlu ιI

ίlu ιI ίliίΙ

=

=

ίlw ίlu ιI ίlu" ίιαι

δ1·

εΙναι οί συνιστώσες δύο τανυστών Α καί Β, της ίδιας άνταλλοίωτης

καί συναλλοίωτης τάξεως καί του ίδιου βάρους, δείξτε δτι οί ΑΙΙ"'4

CiI"'4 JI· .. ι.

;, ... ;. +

ΒΙΙ" ·Ι.

;1· .. ι.

εΙναι οί συνιστώσες ενός τανυστη της ίδιας άνταλλοίωτης καί συναλλοίωτης τάξεως καί του

ίδιου βάρους μέ τούς Α καί Β. -ί ι "

··4

" Εχουμε CJ,· .. J.

-ί l ""4

-ίι··"ί,.

=

Αι ι " .;.

=

[ ( ')JN

+

ίlu'

det ίliί;

= [det

Β;, ..

.;.

αl ... α

Αιι ι · . ·11;

α~;) Γ cβ::: :;; :::Ί

... :~:

πού ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

10.19. 'Εάν οί συνιστώσες

A;;:::t

ενός τανυστη εΙναι συμμετρικές, Π.χ. ώς πρός τούς δείκτες ί ι καί

ί2 • δείξτε δτι οί συνιστώσες

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

.

222

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

εΙναι έπίσης συμμετρικές ώς πρός τούς δείκτες

"Εχουμε A~~': :;:ι. =

[det

et ί/UI

'Εάν

J

= CiJAiB

εΙναι μιά

j

. . ·α.

8,· .. β.

βαθμωτή

ίliί Ι , ίliίι.

Ταυτι'ζ οντας

δαβΑαΒβ

=

λ'"

,

άναλλοίωτη ώς πρός τίς συνιστώσες

τους συντε εστες εχουμε

= CαβΑοΒβ

Αι καί B j δύο CiJ εΙναι οί συνιστώσες ένός άπόλυτου

ίJu U

δαβΑ Υ ίJiία Βσ ίJUB

=

r>i/ ..,-

γιά κάθε Αι καί Bjo

ίJu OY

= C-

i

α

J

β ίliί ίJu ίJUB ίJu . α

συνιστώσες ένός άπόλυτου τανυστη άνταλλοίωτης τάξεως

10.21. ' Εάν

οί

ίlu8.

2.

, Από τά δεδομένα εχουμε δη Ο;ΑιΒ;

σΙΑιΒ ;

i 2•

ίlua • ίJu o , • ο ο ίJiί;.

τυχόντων συναλλοίωτων διανυσμάτων, δείξτε ότι οί άνταλλοίωτου τανυστη τάξεως

10

α::) Γ Α:::: :;; ::::, :::~ ... ~~:

[d (ίlUi)JN Αα.α, 10.20.

καί

il

Κ ΕΦ.

=

Συνεπώς

ίJuY ίJu U

-

CoB ίJiία ίJiί β ΑΎΒ σ

• Η τε λ ευταια ' σχ έ ση

δ' .. ειχνει οη

•

r>ij

οι

V

{

•

ε ναι οι

O

20

καί Β ι] εΙναι οί συνιστώσες συμμετρικών τανυστών, καί αν χΙ καί ΥΙ εΙναι οί

A ij

συνιστώσες άνταλλοίωτων διανυσμάτων ετσι ώστε

i, j

=

δείξτε ότι Α .. ΧΙΧ Ι 1J

Έπειδή (Α ι]

-

11

- "lBij)Xi

=

=ο

1, ... , n, κι =F Κ2

Ο καί ότι ή κι εΙναι μιά βαθμωτή άναλλοίωτηο

γιά κάθε

j, εχουμε (Aij - "lBjj)Xiy;

= Ο.

'Όμοια, άπό τή δεύτερη έξίσωση

Ο καί, έπειδή οί Α ιι καί Bij ε{ναι συμμετρικές, (Α ι] - "2Bij)XiyJ = 00 ' Αφαιρών "2)Β ιι χΙΥΙ = Ο. Έπειδή "ι #- "2, επεται δη ΒΗΧΙ Υ ; = Ο καί συνεπώς Α ιι 2:ΙΥ; = Ο. Γιά νά

εχουμε (Aij - "2Bij)yixJ τας, εχουμε ("ι

Β .. ΧΙΧ Ι

=

=

δείξουμε δη ή "ι ε{ναι μιά βαθμωτή άναλλοίωτη, ύποθέτουμε δη ΖΙ εΙναι οί συνιστώσες τυχόντος άνταλλοί ωτου διανύσματος καί θεωρουμε τό άθροισμα

(Α αβ

=

ίJiί ί

ίJu o ίJu B

ίliί;

"ιΒαβ) oili σiί; χ Ύ 8uY Ζσ aUu

-

(Α οβ - "ιΒαβ)χΥΖσ (~~; ::~) (~~ :::) .

α

β

(Α οβ - "IΒ οβ )2: α Ζ β

(Α αβ - "ιΒαβ)χΥΖσδΥ δ σ

=

=

ο' Αφου δμως (Α αβ - "ιΒοβ)ΧΟ ο γιά κάθε β, εχουμε καί (Α ιι - "lBij)XiZ; 00 ' Αλλά οί συνιστώσες ΖΙ ε{ναι τυχουσεςο • Επομένως καί (A ij - "lBij)xi Ο γιά κάθε jo "Αρα ή "'ι ε{ναι μιά βαθμωτή άναλλοίωτη.

=

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΤΑΝΥΣΤΩΝ

10.22. Δείξτε ότι οί συνιστώσες dui , i

= 1,2,

του έφαπτόμενου διανύσματος

dx

= χα dua

μετασχη

ματίζονται όπως οί συνιστώσες ένός άνταλλοίωτου διανύσματος καί λέγονται άνταλλοίωτες

συνιστώσες του

dx .

=

=

. Υποθέτουμε δη iίΙ iίi(u l , u 2), ί 1,2, l 2 i τίστροφο u = ui(iί , iί ), i = 1,20 Τότε άπό χ

α

-

-

ίJx

-

ίJuo

νεπώς diί i

ίJx ίJiί l

-

-

ίJiίl

-

ίJx ίJiί + -ίJiί2 -ίJua ίJuO

ίJiί Ι

= du o ίJuO '

10.23. Δείξτε δτι

ίJYυ

ίJu k

=

-

ίιΧ ίJiί -ίJiίΙ -ίJuO'

κανόνα

παραγωγίσεως

'Έπεται δτι

dx.=

Χα

σύνθετης

du o =

ίJx ίJiίΙ

συναρτήσεως

ίJiί Ι

dua ίJua

ίJx ίJiί ί

εχουμε

diί i

Συ '-

πού ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

= rikJ + rjki.

Παραγωγίζοντας τήν gij

δμως ε{ναι riik

τόν Ι

2

--

ε{ναι ενας έπιτρεπτός μετασχηματισμός συντεταγμένων μέ άν

Χι} • Xk'

= Χι· Xj

ώς πρός u k εχουμε

Συνεπώς ίJgi;!ίJu k

=

r ikJ

+ rjkio

ίJgj;!ίJu k

Xιk • Xj

+ ΧΙ· Xjko

' Από τόν όρισμό

.'" Κ ΕΦ.

10

10•24•

Δει τε vτι Γιικ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ

-ξ

1 [ag!k = -2 --ο

J!

aU'

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

iJgki au

+

agii] iJU

--k

--j -

10.25.

Γίικ

Δείξτε ότι

'θ

,

= rjik

.. k

για κα ε ~,1.

i

ίJui

ίJ

=

ίJui (011022 - (gI2)2)

=

9 [ 9

11

ίJy ll + ίIUi

δπου χρησιμοποιήσαμε τίς σχέσεις

uui

ίJy Kι

+

ίJYH ίJu k

ίJω -

Γ ιcρ

ίJu!

=

2

+ Γιιlc

καί

ί! _ iJuk - Γik;

ίJy

+ Γ1ΙCΙ'

Γι;κ.

og aui = 2gr:i • ~

ίJy

ίJy Kι

m:; = Γ;ίlc + rlcίj.

Υεπεται οτι Υ ίJY!K ίJu

•

223

•

ίJy·1c

'Από τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

'Ε πει δ'η

ΤΑΝγΣΤιΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

(10.11)

22

iJui g22

σΥ 22 + 2 ίJui

9

της σελίδας

12

+

ίJ022

gl1 ίIUi -

ίJ9 12 ] ίJui

οοαβ ίJO αβ

=

. Από

206.

σΥ 12

2g 12 ίJuI iJuI

τό Πρόβλημα

10.23

=

+ Γβία ) =

οοαβ(Γ αίβ

=

9

ίJOll

=

εχουμε

2ΥΓ:Ι

δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση Γ~ = ΥκαΓΙΙα καί άντικαταστήσαμε τό βουβό δείκτη β μέ α.

10.26. Δεiξτε ότι R",ii.k = gαmR'fjk. 'Από τή σχέση (10.31) της σελίδας 214 εχουμε

10.27.

Δείξτε ότι τά σύμβολα πρώτου είδους του

= gαmgβαRβΙilc = 8::'Rβijk = Rmi;Ic.

OamRgk

Christoffel

μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τόν κα-

νόνα

Ύπενθυμίζουμε

=

Ufjy

δτι οί

ίJuβ ίJuY

oui

ι'Jiί •

k

9jl<

ε{ναι

συνιστώσες

Παραγωγίζοντας ώς πρός

1ί ί

ενός

συναλλοίωτου

τανυστη

τάξεως

2.

Συνεπώς εχουμε

παίρνουμε

ίJOΙK

ίJui

a2ua

=

σuy

oιry cJui ίJui ίJuk

+

όπου χρησιμοποιήσαμε τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως

ρικούς βουβούς δείκτες καί χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός δτι Οαβ

ίJ2u a

ΟαΥ ίJu! ίJUK

= Υβα'

ίJo βy _ ίJUί ΗΟ

iluY ίJω

ίJoβy ouQ σuα oui '

μοια

= =

καί

. Από

τήν έξίσωση

(10.25)

ϊΊιIc

= =

της σελίδας

214

! [ίJίίΙK 2

ίJUί

σίίκί

2

ίJuQ

σuβ

επεται δτι

_

σίί υ ]

+ aw ίJu k ! [σ Ο βΥ + σΟΥα _ ίJO αβ ] ίJua σuβ

{

ΓαβΥ ouI

ouY

ouQ σu β ouI iJu;

ίI 2ua

aw + ΟαΥ uui ίJui

}

σuy

a2ua

iJuY

ίJu k + 9 αΥ ίJUί aw ίJUIc

ίJuY ouk

άλλάξαμε με-

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

224 10.28. ' Αποδείξτ!: m :ΞΞ!:: 2, τοϋ

τό Θεώρημα

'Έστω χ

10.2:

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

= x(U, υ)

Κ Ε Φ.

ενα τμήμα μιας έπιφάνειας κλάσεως

όποίου οί συντελεστές των έξισώσεων των

Gauss-Weingarten

10

C-,

εΙναι κλάσεως σι.

Δείξτε δτι οί μικτές παράγωγοι X""v, X"vv, X vuv, Xvv" ύπάρχουν καί ίκανοποιοϋν τίς συνθήκες

(10.6),

έάν καί μόνο έάν τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως ίκανοποιοϋν τίς

έξισώσεις συμβιβαστότητας

, Αφοϋ

(10.7)

καί

(10.8).

ο{ συντελεστές των έξισώσεων τοϋ

+ bjjN

Γ~ΙXα

Xίj

Gauss

εΙναι κλάσεως Cl, μποροϋμε νά

ύπολογίσουμε τίς παραγώγους τρίτης τάξεως

dX;; _

dU ΙC

=

X;jΙC

-

+ Γυχα,. + (bjj)kN + bίjNΙC (rZ)kXα + rZ[r:kXt! + bαkN] + (bj;)kN + bjj(-b~xα) [(rU)k + rfJr:t - bijb~]xa + [rUb oιk + (bij)k]N (rU)kXα

=

Προφανως χρησιμοποιήσαμε τήν έξίσωση τοϋ Weingarten Ν ί

X;ΙC} Ξέρουμε

XjjΙC

δτι

= X;ΙC;,

=

+ ΓrιcΓβι

[(rg.)j

- bjΙCbj]x α

= -bfxα , [Γg.b α ;

+

+

ΗΟ μοια

(bjk)j]N.

ο{ παράγωγοι τρίτης τάξεως εΙναι άνεξάρτητες της σειράς παραγωγίσεως, έάν καί μόνο έάν

ί,

k, j

= 1, 2, η

έάν καί μόνο έάν

=

X;;k - Xjkj

[(Γϋ)ιc - (rr,.)j

+

[Γϋ b oι ,.

+ Γ~l'β,..- l'f,.Γβj - bjjb~ + bi,.bj]xα + (bjj)ιc - rr,.b αj - (bjιc);]N = Ο

Έπειδή δμως τά χι' Χ2, Ν εΙναι γραμμικως άνεξάρτητα, ή έξίσωση εΙναι Ισοδύναμη μέ τίς

(Γϋ),. - (I1,.)j

+

Γf;Γβ,. - ΓrιcΓβι - bjjb~

r~jbαk

+ (bij),. -

Έξετάζουμε πρωτα τήν έξίσωση

+ bi,.bj =

=

rf,.b α; - (biιc)j

Ο,

a,i,j,k = 1,2

ο,

ί,

j, k

(α)

= 1,2

(b)

Παρατηροϋμε δτι ή έξίσωση προφανως {κανοποιείται, αν

(b).

σης, τό άριστερό μέλος αύτης άλλάζει πρόσημο μόνο, δταν έναλλάξουμε τούς δείκτες

= 1, j = 1, k = 2

εΙναι Ισοδύναμη μέ τίς δύο έξισώσεις πού παίρνουμε θέτοντας ί

καί

j

καί

ί

=

= =

j k. Έπί k. "Ετσι ή (b) 2, j 1, k 2,

=

δηλαδή

Έάν άναπτύξουμε τά δεξιά μέλη των παραπάνω έξισώσεων καί χρησιμοποιήσουμε τά σύμβολα bll b l2 b2l Μ, b22 Ν, U u l καί ν u 2 , παίρνουμε τίς έξισώσεις (\0.7) των Mainardi-Codazzi

=

=

=

=

=

Lv

-

Μ"

Mv

-

Ν"

Έξετάζουμε τώρα τήν έξίσωση

Γ~2L

+ (Γ~2 - Γ~ι)M = r~2L + (Γ~2 -Γω Μ -

Γ~ιN ri2N

(a), ή όποία μέ τή βοήθεια της έξισώσεως (10.32) γράφεται α, ί,

, Από

τήν έξίσωση

(10.31)

=

Rpj;ιc , Από

= L,

καί άπό τό Πρόβλημα

UapRZ,.

=

τήν άντισυμμετρική Ιδιότητα των

10.26,

[έξίσωση

= 1,2

(c)

ή παραπάνω έξίσωση εΙναι Ισοδύναμη μέ τήν

uαp(rfιc)j - Uαp(rjJ)ιc R pjjk

j, k

+

UαρΓr,.rβj - Uαρr~Γβ,.

(10.33)]

καί τίς έξισώσεις

(10.34)

καί

(\0.35),

t:πεται

δτι ή προηγούμενη έξίσωση εΙναι Ισοδύναμη μέ τήν

R l2l2

, Αναπτύσσοντας

=

Uαl(r~2)l - Uαl(r~l)2

UαιΓ~21'βι - Uαιr~ιrβ2

τά άθροίσματα καί βγάζοντας κοινούς παράγοντες t:χουμε

R I2l2

=

Ull{(r~2)l - (Γ~Ι)2 + r~2rll + 1'~2Γ~ι - Γ~ιΓ~2 - l'~Irb} + U2l{(r~2)l - (Γ~Ι)2 + r~2Γil - Γ~ιΓ~2}

=

Έάν χρησιμοποιήσουμε τίς Ull Ε, U2l R l2l2 LN - Μ2, παίρνουμε

τήν

+

=

LN-M2

= F,

ul

= U,

u2

= ν,

Γ{2

= ΓΙ

καί τήν έξίσωση (10.34), δηλαδή

E{(Γ~2)" - (r~2)v + Γ~2Γ~ι + Γ~2Γ~2 - Γ~2Γ~2 - Γ~2rb) + F{(r~2)" - (Γ~2)V + Γ~2Γ~ι - r~2ri2)

πού εΙναι ή τρίτη άπό τίς έξισώσεις συμβιβαστότητας

(10.8).

., Κ ΕΦ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

=

10.29. ' Αποδείξτε τό Θεώρημα 10.9: R mij" , Από

τήν έξίσωση

τό Πρόβλημα

(n"m)J -

(riim)"

+ rurm"a -

225

rf"rmJa.

(c) του Προβλήματος 10.28 ~χoυμε

Rgk , Από

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

10.26

= (rfk)j - (Γ~;)"

+ Γf"Γβ; -

ΓΖΓβ"

~χoυμε

'Αλλά

δπου χρησιμοποιήσαμε τήν έξίσωση

gam(rU)"

Έπίσης gαmΓf"Γβj

καί τό Πρόβλημα

(10.24)

=

= 1'fι.gαmΓβ; = Γf"Γβjm

10.23.

·Ομοια

(rijm)k - (r akm + rm"a)rg

καί δμοια gαmΓΖΓβk

= Γ~Γβkm'

WΕτσι, άντικαθιστώντας στήν

παραπάνω έξίσωση, ~χoυμε τήν

R miJk

= (rikm); -

r~rajm";'" r~"rmja - (rijm)"

+ rura"m + rUrm"a + Γ~"ΓβI'" -

ΓΖΓβ"'"

ή όποία δίνει καί τό ζητούμενο .άποτέλεσμα.

'Άλυτα Προβλήματα ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

10.30. Βρείτε τά σύμβολα του Christoffel Γ~ γιά τόν κύλινδρο χ = y(u) + vg, g = σταθερό διάνυσμα, ιιl = 1. ·Απ. Υ'· Υ" ΙΙΥ' χ g12, Γ~1 (g • Υ')(Υ' • Υ")/ΙΥ' χ gl2 καί τά ύπόλοιπα Γ~ Ο. 1

r1 =

10.31.

=

=

Έπαληθευστε δτι οΙ συναρτήσεις Ε

Ν

= -2(4u2 + 4v2 4- 1)-1/2

(10.8)

τής σελίδας

= 1 + 4u2,

F

= -4uv,

G

= 1 + 4v2,

L = 2(4u2 + 4v 2 + 1)-1/2,

Μ

=

Ο,

Ικανοποιουν τίς συνθήκες συμβιβαστότητας, δηλαδή τίς έξισώσεις (10.7) καί

203.

10.32. Χρησιμοποιώντας τίς έξισώσεις του Weingarten δείξτε δτι N u χ N v = (EG - F2)1/2 ΚΝ.

Θ Λύ~τε τίς ~ξισώσε~ των ~uss-Wein~rten K~ βρείτε τή~ έπιφάνεια τ~ς ό~oίας τά ~εμ~λιώδη μεγέθη εΙναι Ε-Ι,

10.34.

F -

Ο,

G - 1, L - -1,

Βρείτε τόν τύπο του

10.35. ' Εάν

Μ

-

Ο,

Ν-Ο.

Απ.

άπό τίς έξισώσεις του

Rodrigues

Κυκλικος κυλινδρος ακτινας

1.

Weingarten.

οί παραμετρικές καμπύλες ενός τμήματος εΙναι όρθογώνιες, δείξτε δτι

Κ

=

f(P) =

-

[:u (~ a'f:) + ααυ (ίG afvE)]

10.36.

Δείξτε δτι ή συνάρτηση

10.37.

Δείξτε δτι οί κύριες καμπυλότητες "1(Ρ) καί "2(Ρ) μιας προσανατολισμένης έπιφάνειας εΙναι συνεχείς συ ναρτήσεις του

10.38. ' Αποδείξτε

χ•χ

k

(Πρόβλ.

10.7)

εΙναι μιά συνεχής συνάρτηση του Ρ.

Ρ.

τό Θεώρημα

10.6:

ΟΙ μόνες κλειστές καί συνεκτικές έπιφάνειες κλάσεως

Cm, m "" 2,

πού ~χoυν

δλα τά σημεία τους έπίπεδα σημεία, εΙναι τά έπίπεδα.

Ι

10.39.

Δείξτε δτι οί σφαίρες εΙναι οΙ μόνες συνεκτικές καί συμπαγείς έπιφάνειες μέ θετική καμπυλότητα του καί σταθερή μέση καμπυλότητα.

Gauss

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

226

Τ ΑΝγΣΤιΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ

Κ Ε Φ.

10

ΤΑΝγΣΤΕΣ

10.40.

Έάν Αι

Gjj

10.41.

καί

= Α;Β;

Δείξτε δη

det

10.43.

οί συνιστώσες

δύο συναλλοίωτων διανυσμάτων, δείξτε δτι τό έξωτερικό γινόμενο

(:~

ei.ika: a;a~ , δπου οί συναρτήσεις e;;k όρίστηκαν στό Παράδειγμα \0.6

210.

Δείξτε δτι 8~! Α αβ = Αι; - Α ιι . Έάν Ai.i εΙναι οί συνιστώσες ενός άπόλυτου άνταλλοίωτου τανυστή καί ΑιαΑα! εΙναι οί συνιστώσες ενός άπόλυτου συναλλοίωτου τανυστή.

10.44.

Έάν ΑΗ καί Αι;

Δείξτε δη τά μεγέθη

εΙί"

= ei;k,

10.47.

=

= Αϋχιχ;,

οπου χ ί

δείξτε οτι οί Αία

= Αiaχα .

δπου τά εΙ;" όρίστηκαν στό Παράδειγμα

συνιστώσες ενός συναλλοίωτου τανυστή τάξεως

10.46.

= Bi,

Οί δύο τανυστές λέγονται άντίστροφο/.

εΙναl ΟΙ συνιστώσες άντίστροφων συμμετρικών τανυστών καί αν Χι εΙναι οί συνιστώσες

ενός συναλλοίωτου διανύσματος, δείξτε δη ΑιίχΙχ;

10.45.

2.

a~

της σελίδας

10.42.

εΙναι

Bj

εΙναι οί συνιστώσες ενός συναλλοίωτου τανυστη τάξεως

=

3

καί βάρους

=

10.6(1)

τής σελίδας

2 Ι Ι,

εΙναι οί

-1.

WΕστω €11 = Ο, εΙ2 Vu, ε21 -Νu, ε22 Ο, δπου 9 = 911922 - (012)2. Δείξτε οτι τά Eίj, i, i = 1,2, εΙναl οί συνιστώσες ένός άνησυμμετρικοϋ συναλλοίωτου τανυστή τέτοιου ώστε "11 = Ο, ΕΙ2 YΊi, "21 -Γu, e22 = Ο. "Εστω εΙ; Ε 2Ι

=

= €αβ giagjfJ,

-l/ΝU, ε22

10.48.

Δείξτε δη

10.49.

Δείξτε δη

10.50.

Δείξτε οη

10.51.

Δείξτε δη

=

bf bfJj -

δπου τά ΕαΙ! δρίστηκαν στό προηγούμενο πρόβλημα. Δείξτε δτι ε 11

-R~1

Δείξτε δτι

=

1!ν7i,

=

-R~2l

=

LN-M'l

-R;l2 = F EG -F2

LN-M2

= G EG-F2 LN-M'l = Ε EG-F2

καί σέ κάθε άλλη περίπτωση

10.53.

Ο, ε Ι2

iJg tJ iJu k

RJl2

Δείξτε δη

=

bf bfJi = Ο, i, i = 1,2.

R~2l = -R~2l

10.52.

=

Ο.

R~12

R~21

=

R&,. =

ο.

R&k 1 iJ 10~ 9

2aU1

=

1 iJ log 9

2 --aϊί2

=

Γ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ

11

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Θεωροϋμε μιά έπιφάνεια

C" καί μιά άπεικόνιση f = X(U,V) της S. μέ πεδίο όρισμοϋ U ή σύνθετη άπεικόνιση χ* = X*(U, V) = f(x(u, V» του U στήν S* εΤναι μιά κανονική πα ραμετρική παράσταση κλάσεως Cr (r 6 min (m, n», τότε ή f λέγεται κανονική dπεικόνιση της S στήν S* κλάσεως Cr (ή κανονική διαφορίσιμη dπεικόνιση της S στήν S* τάζεως Cr). Ύπενθυμίζου με ότι ή χ* = X*(U, V) εΤναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως Cr, αν (ί) ή χ* εΤναι κλάσεως Cr στό U καί (ίί) χ: χ χ:.,ι. ο γιά κάθε (U, V) στό U.

της

στήν

S

S*,

κλάσεως

S

όπως φαίνεται στό Σχ.

Cm,

μιά έπιφάνεια

Η-Ι

κλάσεως

S*

Έάν γιά κάθε τμημα χ

f

\

' -..".,."---------,.,..,,.

",,/

/ /χ.

.........

---

S·

............

=fox

"

"

'-

-- .....

/

Σχ.11-1

Στό Πρόβλημα ίδιότητα ή χ* τμημα χ

11.3

της σελίδας

= f(x(u, V»

= X(U, V)

247

δείχνουμε ότι, αν ή άπεικόνιση

νά εΤναι μιά κανονική

μιας βάσεως της

τότε ή

S,

f

μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως

παραμετρική

f

της

εχει έπίσης τήν Ιδιότητα ή χ*

Cr

γιά όλα τά τμήματα της

-Εστω

fχει τήν γιά κάθε νά εΙναι

~Eτσι, στίς έφαρμο

f

μέ μιά οΙκογένεια

11.1.

S

ή σφαίρα μέ άκτίνα

1,

κέντρο τό Χο

εχει έφαιρεθεί ό βόρειος πόλος, καί -Εστω

S*

Cr

S.

τμημάτων πού καλύπτουν τήν

(α)

στήν

= f(x(u, V»

S.

γές του παραπάνω όρισμου εΤναι άρκετό νά έλέγχουμε μόνο τή σύνθεση της

Παράδειγμα

S

παράσταση ·κλάσεως

S·

= e a , άπό τήν όποία

τό έπίπεδο ~lX2

(Σχ.

11-2).

ή Δπεικόνιση ή όποία «προβάλλει» ενα τυχόν σημείο χ

f

της σφαίρας στό σημείο δπου ή

S·

τό σημείο αύτό μέ τό βόρειο πόλο.

στερεογραφική προβολή της

S

στήν

τέμνει τήν εύθεία πού i:νώνει

• Η άπεικόνιση αύτή λέγεται S·. Εύκολα προκύπτει ότι

χ. = - 2 2 (~lel+~~ -

• Ως

βάση της

χ

(Ο

< φ < π)

S

~3

μπορούμε νά χρησιμοποιήσουμε τά δύο τμήματα

= (cos, sin ",)e1 + (βίη, δταν Ο

<, <

πίσης καί τό τμήμα

&r/2

Βίη

ή δταν

χ*

",)e2 + (cos Φ + 1)e3

,,/2

<, <

511"/2,

Monge

227

καθώς έ

Σχ.11-2

= f(x)

ΚΕΦ.11

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

228

πού καλύπτει τό νότιο πόλο.

Χ· .Η

=

φ»

f(X(B,

χ* εΙναι κλάσεως

Γιά τά δύο πρώτα τμήματα ~χoυμε

1 - 2cos Φ «COS Β sin φ)eι

=

καί ~πιπλέoν

C"

1

Ιχ: χ:χφ Γιά τό τμήμα

Monge

χ.

4 Βίη φl(1 - cos φ)2

=

.,ι.

Ο

~χoυμε

=

χ. Πάλι ή

+ (Βίη Β Βίη φ)e2)'

εΙναι κλάσεως

=

Ι(Χ(Χι, χ 2»

+ (1 _

1

2

x~ _ ~ )Ι/2 (xlel + X2e z>

καί

C"

2 =

IΧ:ι χ χ: 1

4/(1 - x~ - x~)Ι/2 [1

x~ - x~)Ι/2)2

+ (1 -

.,ι.

Ο

Συνεπώς, ή στερεογραφική προβολή τής σφαίρας (χωρίς τό βόρειο πόλο) ~πί του ~πιπέδoυ εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση κλάσεως

(b)

νΕστω

C....

τό ~π{πεδo ΧΙΧ2

S

καί

=

Χ· όρίζει μιά άπεικόνιση τής

=

S

ό κυκλικός κύλινδρος πού ~χει άκτίνα

S·

=

f(x)

έπί τής

S·,

(cos xt)e.

+

(Βίη

xt)ez

+

καί άξονα τόν

1

Xa.

Ή

Xze3

ή όποία «τυλίγει» τό έΠίπεδο γύρω άπό τόν κύλινδρο, ~τσι ισστε οΙ

=

εύθείες χι σταθ. νά άπεικονίζονται έπί τών γενετειρών του κυλίνδρου καί οΙ εύθείες Χ2 σταθ. νά άπεικο νίζονται έπί τών περιφερειών του ιcυλίνδρoυ πού τά έπίπεδά τους εΙναι κάθετα στόν dξονα του ιcυλίνδρoυ. 'Εάν Χ

=

Be.

+

φe2 εΙναι ~να τμήμα πού καλύπτει τήν χ.

εΙναι προφανώς κλάσεως

C"

=

f

'Υπενθυμίζουμε (Πρόβλ.

τυχόν σημείο της

(Uo, Vo)

=

l(cos B)e.

S

8.12,

~Eτσι, αν

καί χ

σελ.

f

S,

+

(Βίη B)e2

+

φe3

+

(Βίη B)e21

=

1

Ο

+

165)

= X(U, υ)

~να τμημα της

τότε ύπάρχει μιά περιοχή

'Επειδή ό περιορισμός του χ

C ....

ότι μιά κανονική παραμετρική παράσταση εΙναι τοπικά

εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση της

S(UO, vo)

καί άμφισυνεχής, δηλαδή εΙναι ενα τμημα της

11-3.

τότε ή

εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση του έπιπέδου έπ( του κυλίνδρου κλάσεως

Ι-Ι καί άμφισυνεχής.

του

S,

(COS B)e.

καί

IΧ: χ Χ: 1 Συνεπώς ή

=

f(x(B, φ»

= x(u, υ)

του

S·

S πού (Uo, VO),

S

στήν

S*

κλάσεως

CI,

Ρ

περιέχει τό Ρ καί τό Ρ εΙναι ή εΙκόνα

=

στήν όποία ή χ* f(x(u, υ» εΙναι Ι-Ι πού περιέχει τό f(P), όπως φαίνεται καί στό Σχ.

στην περιοχή

S(Uo, Vo)

εΙναι έπίσης ~να τμημα της

εχουμε τελικά τό έξης θεώρημα:

Θεώρημα σεως

11, Ι.

Cm, m

~

'Εάν

1.

f

εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση της έπιφάνειας

τότε γιά κάθε σημείο Ρ της

χει τό Ρ, τέτοιο ώστε ή σύνθεση χ*

S

= f(x(u, υ»

ύπάρχει ~να τμημα χ

S

στήν έπιφάνεια

= X(U, υ)

της

νά εΙναι έπίσης ~να τμημα της

S S·.

S*

κλά

πού περιέ

Σχ.l1-3

Παρατηρουμε άκόμα ότι γιά κάθε τμημα χ τή σύνθετη άπεικόνιση χ* ο χ-Ι, όπου χ*

= X(U, υ)

= f(x(u, υ».

της

S

ή άπεικόνιση

f

όρίζεται τοπικά άπό

'Επειδή ή σύνθεση δύο Ι-Ι καί άμφισυνεχων

άπεικονίσεων δίνει έπίσης μιά Ι-Ι καί άμφισυνεχή άπεικόνιση, εχουμε τό επόμενο πόρισμα:

"

ΚΕΦ.11

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Πόρισμα:

229

Μιά κανονική άπεικόνιση κλάσεως

C 1 εΙναι τοπικά Ι-Ι καί άμφισυνεχής. Δηλαδή, αν f εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση μιας έπιφάνειας S σέ μιά έπιφάνεια S* κλάσεως Cl, τότε γιά κάθε σημείο Ρ τής S ύπάρχει fva τμήμα χ = X(U, υ) τής S, πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ώστε ή f νά εl ναι Ι-Ι καί άμφισυνεχής άπεικόνιση του πεδίου τιμών του τμήματος στήν S*. Τελικά, fχουμε τό tπόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

11.2.

'Εάν

f

μιά κανονική καμπύλη πύλη τής

S*

•Αφήνουμε

εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση τής τής

C

κλάσεως

S

CT,

S στήν S* κλάσεως C .. καί χ = X(t) = X*(t) = f(x(t» εΙναι μιά κανονική καμ

τότε ή χ*

.

κλάσεως σ

τήν άπόδειξη ώς ασκηση στόν άναγνώστη.

Συχνά όταν λέμε «άπεικόνιση»

άπεικόνιση κλάσεως

τής έπιφάνειας

S

στήν έπιφάνεια Τ έννοουμε μιά «κανονική

Cm" τής S στήν Τ, έκτός αν όρίζεται διαφορετικά.

ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ.

Μ ιά Ι-Ι άπεικόνιση

.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

μιας έπιφάνειας

S* λέγεται Ισομετρική dπεικόvιση = X(t) τής S εΙναι ίσο μέ τό μήκος τής εί = X*(t) = f(x(t» στήν S*. Στό Πρόβλημα 11.5 άποδεικνύεται ότι, αν ή f εΙναι μιά S έπί τής Ξ*, τότε ή f- 1 εΙναι έπίσης μιά Ισομετρία τής S* έπί τής S . f

S

έπί μιας έπιφάνειας

τι Ισομετρία, αν τό μήκος τυχόντος κανονικου τόξου χ

κόνας του χ* Ισομετρία τής

• Εάν

ύπάρχει μιά Ισομετρία τής

S

έπί τής

S*,

τότε οΙ

S

καί

S*

λέγονται Ισομετρικές.

σθητικά, εΙναι φανερό ότι, αν ενα φύλλο χαρτιου παραμορφώνεται σέ διάφορα σχήματα (Σχ.

Διαι

11-4)

όμαλά καί χωρίς νά τεντώνεται, τότε όλες οΙ έπιφάνειες πού προκύπτουν εΙναι Ισομετρικές μεταξύ τους.

Σχ. 11 - 4

Ύποθέτουμε τώρα ότι μεγέθη Ε,

καί

G

εΙναι μιά άπεικόνιση Ι-Ι τής

f

κάθε τμήματος χ

= X(U, υ)

τής

S

S

έπί τής

S*

τέτοια ώστε τά θεμελιώδη

νά εΤναι ίσα μέ τά θεμελιώδη μεγέθη Ε*,

= X*(U, υ) = f(x(u, υ». Τότε ή f εΙναι ίσομετρία. Γιά νά τό άπο α ~ t ~ b, εΙναι τυχόν τόξο C τής S. Γενικά, τό τόξο C μπο ρεί νά μή βρίσκεται όλόκληρο στήν είκόνα tνός μόνο τμήματος τής S. Έπειδή όμως τό C εΙναι συμπαγές (ώς εΙκόνα του συμπαγους διαστήματος α ~ t ~ b), άποτελείται άπό πεπερασμένο άριθμό διαδοχικών τόξων Ci , t; ~ t ~ t i +1, ί = Ο, ... , n -1, καθένα άπό τά όποία άνήκει σέ κάποιο τμήμα χι = Xi(U, υ). . Υπενθυμίζουμε τώρα δτι τό μήκος tνός τόξου τμήματος βρίσκεται μέ τή βοήθεια τής πρώτης θεμελιώδους μορφής. νΕτσι τό μήκος L(C) του C δίνεται άπό τή σχέση

F*

καί

F

G*

τής συνθέσεως χ*

δείξουμε ύποθέτουμε ότι χ

L(C)

= x(t),

= ~ L(CI) = ~ [.{Ι;+1

Eι(~~Y

+ 2F; (~~) (~~) +

Gi(~~Y dtJ

, Αλλά γιά κάθε ί εχουμε Ει = Ε:, F ; = F;* καί G; = Gj*, δπου Ε:, F;*, G: εΙναι τά θεμελιώδ'η = f(xi(u, Συνεπώς

μεγέθη τών x~

L(C)

v».

•(dU) dt

Σ [ιιι+ι Ι

Σ L(Ct) ι

Ει

Ιι

=

L(C*)

2

+ 2F; * (dU) dt (dV) dt + G;*(dV) dt 2 dt]

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

230 Δηλαδή τό μηκος τυχόντος τόξου

C

Συνεπως ή

WΕτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

f

εlναι μιά ίσομετρία.

της

Κ ΕΦ.

εlναι ίσο μέ τό μηκος της είκόνας του

S

κάθε τμημα χ

Μιά 1-1 άπεικόνιση f της S = X(U, ν) της S τά θεμελιώδη

όπου Ε*,

F*

καί

Παράδειγμα

11.2.

11.3.

Ε

καί

S*

=

= F*

F

S*

στήν

εlναι μιά ίσομετρία, l:άν καί μόνο l:άν γιά

καΙ

G

= G* = f(x(u, ν».

iι έκ περιστροφης έπιφάνεια

S

(cos e cosh lI)et

+

(βίη

+

(u βίη φ)e2

+

e cosh 1I)e2

lIes,

ο

< e < 217",

-00

< 11 <

Φ

< 2:ιτ,

00

τό όρθό κωνοειδές χ*

=

(u cos φ)eι

+

φe3,

Ο

<

-00

00

-Εστω

f iι άπεικόνιση iι όποία στέλνει τό σημείο x(e,lI) της S στό σημείο χ*(φ, u) της S*, όπου Φ Δηλαδή iι f προκύπτει άπό τή σύνθεση της άπεικονίσεως χ-ι μέ τήν Φ = θ, u = sinh 11 καί φαίνεται στό Σχ. ll-S. Γιά κάθε ύποσύνολο της λωρίδας Ο < θ < 2:ιτ, - 0 0 < 11 < 00, στό όποίο iι

u = sinh 11. ~πως

S*.

μεγέθη πρώτης τάξεως Ικανοποιουν τίς σχέσεις

εΙναι τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως του τμήματος χ*

G*

νΕστω

Χ

= Ε*,

έπί της

C*

11

τμημα, iι

χ*

=

=

Χ**(θ,lΙ)

ζεται στι

= x*(e, sinh 11) = (sinh 11 COS e)el

+

βίη e)ez

(sinh 11

καί

τήν χ*, χ εΙναι

+ fJe3

=

C.. καί χ:* χ Χ:* cosh2 11 .,t= Ο. - Αρα iι f εΙναι κανονική καί κλάσεως C... . Επίσης, iι f εΙναι •Αφήνουμε τήν άπόδειξη αύτοϋ τοϋ Ισχυρισμοϋ ώς άσκηση στόν άναγνώστη. Τελικά, εύκολα ύπολογίΕ = Χθ. Χθ = cosh2 11 = χ:*. χ:* = Ε**

εΙναι κλάσεως ι-ι καί έπί.

Ι(Χ(θ,lΙ»

=θ

F =

Χθ·Χσ

=

=

Ο

χ:* .χ:*

G = Xv·Xv = cosh2 11 = -Ετσι, άπό τό προηγούμενο θεώρημα, επεται στι iι

= F** = Ο**

χ:*χ:*

εΙναι μιά Ισομετρία της

f

S

έπί της

S*.

----

s

f

, \-ι

φ

Φ=θ

2..-

u = sinh 11•

2".

u

11

Ο

Σχ.11-5

Θεωρουμε τήν άπεικόνιση του έπιπέδου έπί του κυλίνδρου, πού δίνεται στό Παράδειγμα

Il.I(b).

Διαισθητικά, βλέπουμε ότι ή είκόνα κάθε καμπύλης του έπιπέδου εlναι μιά. καμπύλη του κυλίνδρου

μέ τό ίδιο μηκος.

•Η

άπεικόνιση αύτή όμως δέν εlναι Ι-Ι καί συνεπώς δέν εΙναι ίσομετρία.

τό έπίπεδο καί δ κύλινδρος εΙναι τοπικά Ισομετρικές έπιφάνειες. ή τοπική Ισομετρία της

S

στήν

S*

όρίζεται ώς μιά άπεικόνιση της

τά μήκη των τόξων άλλά δέν εΙναι κατ'

άνάγκη

1-1

'Αλλά

Μιά τοπική Ισομετρική dπεικόvιση

S

στήν

S*,

ή όποία διατηρεί

καί έπί.

uEva ένδιαφέρον θέμα της γεωμετρίας εΙναι ή μελέτη των ίδιοτήτων μιας έπιφάνειας, οΙ όποίες παραμένουν άναλλοίωτες στίς

1-1

άπεικονίσεις

μιας δρισμένης κλάσεως.

Γιά παράδειγμα άναφέ-

r ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.ΙΙ

231

ρουμε δτι μιά τοπολογική Ιδιότητα μιας επιφάνειας εΙναι μιά Ιδιότητα, ή όποία παραμένει άναλλοί ωτη στίς ι-ι άμφισυνεχείς (τοπολογικές) άπεικονίσεις της επιφάνειας. εΙναι ~να παράδειγμα τοπολογικης ίδιότητας μιας επιφάνειας.

Ή Ιδιότητα τοϋ συμπαγους

Μιά ίδιότητα (ή ~ννoια) μιας επι

φάνειας, ή όποία παραμένει άναλλοίωτη στίς ίσομετρίες της επιφάνειας, λέγεται έσωτερική Ιδιότητα ή γεωμετρική dvαλλο(ωτη της επιφάνειας.

Τό σύνολο των εσωτερικων Ιδιοτήτων μιας επιφάνειας

λέγεται έσωτερική γεωμετρία της επιφάνειας.

, Από

τό Θεώρημα

επεται δτι μιά Ιδιότητα της επιφάνειας εΙναι εσωτερική Ιδιότητα, Μν καί

11.3

μόνο εάν αύτή εξαρταται μόνο άπό τήν πρώτη θεμελιώδη μορφή. λότητα του

Gauss

Q

WΕστω Ρ καί

στό

Q

WΕτσι, παρατηροϋμε δτι ή καμπυ

όρίζει μιά εσωτερική Ιδιότητα της επιφάνειας. δύο σημεία μιας επιφάνειας

καί συμβολίζουμε μέ

δυνατών κανονικων τόξων

D{P, Ρ)

C

της

S

S. • Ορίζουμε ώς έσωτερική dπόσταση dπό τό Ρ (infimum) των μηκών L(C) δλων τών τό Ρ μέ τό Q. ΕΙναι προφανές δτι ή εσωτερική

τό μέγιστο κάτω φράγμα

πού ένώνουν

άπόσταση δύο σημείων μιας επιφάνειας ύπάρχει πάντα, άφοϋ τό σύνολο τών πραγματικών άριθμων

L(C)

δέν ε{ναι κενό (ή

ε{ναι συνεκτική καί συνεπως κατά τόξο συνεκτική) καί ε{ναι κάτω φραγ

S

μένο άπό τήν Εύκλείδεια άπόσταση των σημείων Ρ καί

Q, δηλαδή τόν άριθμό ΙΡ -

QI.

Προφανώς,

ή εσωτερική άπόσταση δύο σημείων μιας επιφάνειας όρίζει μιά εσωτερική Ιδιότητα της επιφάνειας.

Στό Πρόβλημα Θεώρημα

11.6 της σελίδας 248 δείχνουμε τό έπόμενο θεώρημα:

D(P,Q) = D(Q,P) D(P,R) :'!Ε D(P,Q) + D(Q,R) D(P, Ρ) ~ Ο, D(P, Ρ) Ο

(ί)

11.4.

(Η)

=

(ίίί)

, Εάν

Q

γιά δύο δοθέντα σημεία Ρ καί

Μν καί μόνο Μν Ρ

ύπάρχει ενα κανονικό τόξο

C

=Q πού ένώνει τά Ρ καί

καί του όποίου τό μηκος ε{ναι ίσο μέ τήν εσωτερική άπόσταση τών Ρ καί τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ τών Ρ καί

, Από

Q,

τότε τό

C

Q

λέγεται

Q.

τόν όρισμό του μέγιστου κάτω φράγματος επεται δτι, άν

C εΙναι ενα τόξο ελάχιστου Q, τότε γιά τό μηκος του L(C) Ισχύουν τά έξης: (ί) L(C):'!E L(C'), δπου C' εΙναι τυχόν άλλο κανονικό τόξο πού ένώνει τά Ρ καί Q [L(C) D(P, Ρ) εΙναι ενα κάτω φράγμα]. (ii) Γιά τυχόντα ε> Ο ύπάΡ'lει ενα κανονικό τόξο C' πού ένώνει τό Ρ μέ τό Q, τέτοιο ώστε L(C) + ε> L{C') [L(C) = D(P, Q) ε{ναι τό μέγιστο άπό τά κάτω φράγματα].

μήκους μεταξύ των Ρ καί

=

ΕΙναι φανερό δτι τά τόξα ελάχιστου μήκους μεταξύ δύο σημείων άνήκουν στήν εσωτερική γεω μετρία της επιφάνειας.

Στό επίπεδο, ή εσωτερική άπόσταση

D(P, Q)

εΙναι άκριβως ή Εύκλείδεια άπόσταση, όπότε ενα

τόξο ελάχιστου μήκους ύπάρχει πάντα καί εΙναι μοναδικό, γιατί ε{ναι τό εύθύγραμμο τμήμα μεταξύ

των Ρ καί

Γενικά, δπως δείχνουμε καί στό Παράδειγμα Ι Ι3(a), δέν εΙναι άπαραίτητο μεταξύ

Q.

δύο δοθέντων σημείων μιας επιφάνειας νά ύπάρχει τόξο ελάχιστου μήκους ή, δπως δείχνουμε στό Παράδειγμα

ll.3(b),

Παράδειγμα

11.3.

(α)

S

"Εστω

δταν ύπάρχει ~να τέτοιο τόξο, δέν εΙναι άπαραίτητα μοναδικό.

τό έπίπεδο rι;y, άπό τό όποίο εχει άφαιρεθεί ή

άρ-χή των άξόνων.

Q=

(ο,

Θεωροϋμε τά σημεία Ρ

δπως φαίνεται στό Σ-χ.

-1),

κάθε Ε

>

Ο

μέ τό

Q

καί

11-6.

= (0,1)

ύπάρ-χει Ενα κανονικό τόξο πού f:νώνει τό Ε-χει μηκος μικρότερο τοϋ

καί

Προφανώς, γιά

2 + Ε.

Ρ

Υ

Ρ(Ο,l)

Θά μπο

ροϋσε κάποιος νά πάρει τό τόξο της περιφέρειας μεταξύ των Ρ καί

Q,

πού Ε-χει κέντρο τό (Η, Ο),

κετά μεγάλη άκτίνα

R.

R

>

Ο,

(Β,Ο)

καί άρ

ΕΙναι προφανές δτι τό μήκος δ

ποιουδήποτε κανονικοϋ τόξου μεταξύ των Ρ καί νά

εΙναι

μεγαλύτερο

ή

ίσο τού

2.

"Ετσι

Q πρέπει D(P, Q) = 2.

• Από τήν άλλη πλευρά δέν ύπάρχει κανονικό τόξο στήν S πού νά ένώνει τά Ρ καί Q καί νά εχει μήκος ίσο' μέ 2, άφού στήν έπιφάνεια δέν άνήκει ή άρχή των άξόνων. Συνεπώς, δέν ύπάρ-χει στην

ταξύ των Ρ καί

Q.

S

τόξο έλάχιστου μήκους με

Q(O, -1) Σχ. 11 -6

χ

(b)

Κ Ε Φ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

232 WΕστω

μιά σφαίρα.

S

11

Μπορεί νά δειχθεί δτι κάθε μέγιστος κύκλος πού ~νώνει τό βόρειο μέ τό νότιο πόλο της

σφαίρας ε[ναι ~να τόξο ~λάχιστoυ μήκους μεταξύ των πόλων.

Συμπεραίνουμε ετσι δτι μπορεί νά !υπάρχει ~νας

άπειρος dριθμός διαφορετικων τόξων ~λάχιστoυ μήκους μεταξύ δύο σημείων μιας ~πιφάνειας.

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΗ ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ

• Υποθέτουμε ότι C εlναι ~να τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ δύο σημείων μιας έπιφάνειας S. • Εάν Ρ εlναι τυχόν σημείο τοϋ C καί Q ~να γειτονικό του σημείο πάνω στό C, τότε διαισθητικά περιμένουμε τό τμημα τοϋ τόξου μεταξύ των Ρ καί Q νά εlναι έπίσης ~να τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ των Ρ καί Q. Φαίνεται έπίσης ότι ή όρθογώνια προβολή C* τοϋ τμήματος τοϋ C πού πε ριέχεται μεταξύ των σημείων Ρ καί Q έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου της S στό Ρ (Σχ. 11-7), εlναι ~να τόξο έλάχιστου μήκους τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου μεταξύ τοϋ Ρ καί της προβολης Q* τοϋ Q έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου. •Αλλά τότε ή C* πρέπει νά εlναι εύθύγραμμο τμημα ή, Ισοδύναμα, μιά καμπύλη μέ καμπυλότητα μηδέν.

WΕτσι γιά νά μελετήσουμε τά τόξα έλάχιστου μήκους της

έπιφάνειας θεωροϋμε έκείνες τίς καμπύλες, πού ή προβολή τους έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου εχει μηδενικό διάνυσμα καμπυλότητας. Ν

Σχ.

11-7

Σχ.11-8

Τό διάνυσμα καμπυλότητας στό Ρ της προβολης μιας καμπύλης

πέδου στό Ρ λέγεται διάνυσμα γεωδαισιακης καμπυλότητας της Γιά νά ύπολογίσουμε τό διάνυσμα χ

= x(u, ν)

ύποθέτουμε ότι ή

εlναι ~να τμημα πού περιέχει τό Ρ καί χ

της καμπύλης

C

kg,

C

S

C

C

έπί τοϋ έφαπτόμενου έπι

στό Ρ καί συμβολίζεται μέ

εlναι μιά έπιφάνεια κλάσεως

= x(s) = x(u(s),ν(s»

Cm,

m:Ξ!::

ko. 2,

μιά φυσική παράσταση

κλάσεως

C'l. •Αρχικά μέ Τ συμβολίζουμε τό μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα της U έκείνο τό διάνυσμα τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου στό Ρ, γιά τό όποίο ή δεξιόστροφη καί όρθοκανονική (Σχ. 11-8). Χωρίς περιορισμό της γενικό

στό σημείο Ρ καί μέ

τριάδα (Τ,

U, Ν)

εlναι

τητας μποροϋμε νά ύποθέσουμε ότι τό σημείο Ρ εlναι ή άρχή των άξόνων.

καμπύλης

C

έπί τοϋ έφαπτόμενου

καί

στό Ρ εχουμε

=

(Τ· Τ)Τ

t

= Τ'

* _ dt* _ dt*/I dx* Ι k - ds* - ds ds

=

dX* • dx*) d2x* _ (dX* • d2x*) dx* ( ds ds ds 2 ds ds 2 ds

Ι d:sΊ4

ετσι στό Ρ εχουμε έπίσης

+ (Τ· U)U =

Τ,

-_ 1,

Ι ddXs* Ι

d2x* ds 2

=

καί έπομένως μέ τή βοήθεια των τριων τελευταίων σχέσεων

•Αλλά

τό

U

εlναι κάθετο στό Τ.

τόν τύπο

(k' Τ)Τ

+ (k' U)U =

(k' U)U

k* = ko = (k' U)U - (k' U)(U' Τ)Τ .

WΕτσι εχουμε τελικά τόν τύπο

k" = •Από

Παραγωγίζον-

dx* /ds

dx dX*Il t* -_ - - -* Ι d8 ds

dx* ds

Τότε ή προβολή της

= (Χ' Τ)Τ + (Χ' U)U.

= (Χ' Τ)Τ + (Χ' U)U = (t· Τ)Τ + (t· U) U • • d2x*/ds 2 = (t'T)T + (t·U)U = (k'T)T + (k'U)U

τας εχουμε

•Αλλά

έπιπέδου στό Ρ εlναι χ*

(11.1) παρατηροϋμε ότι τό

ko

(k'U)U

(11.1)

εlναι πράγματι ή διανυσματική προβόλή τοϋ δια

νύσματος καμπυλότητας k της C στό Ρ έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου. Έπειδή τό διάνυσμα k εlναι κάθετο στό Τ, ή διανυσματική προβολή του έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου εlναι άπλως ή συνι στώσα του

(k' U)U

ώς πρός

U.

WΕτσι εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.11

Θεώρημα

233

Τό διάνυσμα γεωδαισιακης καμπυλότητας kιι μιας καμπύλης

11.5.

νυσματική προβολή του διανύσματος καμπυλότητας

τής

k

C

στό Ρ εΙναι ή δια

C

στό Ρ επί τού εφαπτόμενου επιπέδου

στό Ρ .

. Από τήν εξίσωση (11.1) καί τή γνωστή σχέση k" Τ k = όπου, όπως ξέρουμε,

= (k" Ν)Ν

k ..

kιι

+ k ..

=Ο

μπορούμε νά γράψουμε

= (k" U)U + (k" Ν)Ν

(11.2)

εΙναι τό διάνυσμα τής κάθετης καμπυλότητας τής

C

στό Ρ.

Πα

ρατηροϋμε ότι τό k ιι εΙναι άνεξάρτητο τού προσανατολισμού τής επιφάνειας καί τής καμπύλης γιατί τό ίδιο Ισχύει καί γιά τά διανύσματα Ό πραγματικός άριθμός λότητα της

C

στό Ρ.

• Από

καί

k

k ...

πού δρίζεται άπό τή σχέση k

Kg

τή σχέση

(11.2)

C,

~πεται ότι κ

ιι

=

ιι = k" U.

KgU

λέγεται γεωδαισιακή καμπυ

Έπίσης, άφου τό

U

~χει εκλε

γεί ~τσι ώστε ή τριάδα (Τ, U, Ν). δήλαδή ή (t. U. Ν). νά εΙναι δεξιόστροφη καί όρθοκανονική, εχουμε τελικά

U:I:

Νχ

t.

Συνεπως

= k" U

Kg

= k· (Ν χ t).

κιι = (tkN] Παρατηρουμε ότι ή κ

ιι

ή

K

άπ'

= (ΧΧΝ]

(11.3)

έξαρταται καί άπό τόν προσανατολισμό τής έπιφάνειας

του Ν) καί άπό τόν προσανατολισμό τής καμπύλης

• Αντίθετα

g

νΕτσι ~χoυμε τόν τύπο

C

S

(δηλαδή τή φορά

(δηλαδή τή φορά τοϋ t) .

ό,τι συμβαίνει στήν κάθετη καμπυλότητα Κ"' πού εξαρταται άπό τά θεμελιώδη

μεγέθη πρώτης καΙ δεύτερης τάξεως, ή γεωδαισιακή καμπυλότητα κ

εξαρταται μόνο άπό τά θεμε

ιι

λιώδη μεγέθη πρώ1rης τάξεως (καί τίς παραγώγους τους) καί συνεπώς εΙναι μιά εσWτερική Ιδιότητα

τής επιφάνειας. ραγώγων τους.

Αύτό προκύπτει αν εκφράσουμε τήν κ ιι ώς συνάρτηση των Ε,

Στό Πρόβλημα

πύλης εχουμε

2 [ Γη

11.l3

της σελίδας

250

F, G

καί των πα

δείχνουμε δτί γιά μιά φυσική παράσταση καμ

(dU)3 2 1 (dU)2 dv 2 Ι du (dV) 2 ds + (2ΓΙ2 - Γιι) ds ds + (Γ22 - 2Γ ι2 ) ds ds _

(11.4)

r~2(ddsV)3 + du d v2 _ dZu2 dV] '/EG _ F2 ds ds ds ds V 2

καί συνεπως ~χoυμε τό tπόμενο θεώρημα: Θεώρημα

11.6.

•Η

γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας καμπύλης μιας επιφάνειας εΙναι μιά γεωμετρική

άναλλοίωτη τής επιφάνειας.

Παρατηρούμε ότι κατά μήκος των u-παραμετρικων καμπυλών V = σταθ. εΙναι dv/ds = Ο καί du/ds = ι/ΥΕ' καί κατά μήκος τών υ-παραμετρικών καμπυλων u = σταθ. εΙναι du/ds = Ο καί dv/ds = ι/να. ~Eτσι, γιά τή γεωδαισιακή καμπυλότητα των παραμετρικων καμπυλων, ή έξίσωση (11.4) δίνει 2 (dU)3 2 2 VEG - F2 (K g ) υ = σταθ. ΓΗ di vEG - F Γ 11 ΕγΕ (11.5) _r~2(dv)3'/EG_F2 = -ΓΙ V=E=GC---=F2= () K g .. = σταθ. ds ν 22

GVG

Έάν επιπλέον οί παραμετρικές καμπύλες εΙναι όρθογώνιες, τότε εΙναι F

rh = -}G../E.

= Ο,

Γ~l

= -IE,,/G

Ευ

(11.6)

2Eya' Παράδειγμα

χουμε

11.4.

θεωρουμε τό παραβολοειδές Χ

Χτ Ε Ν

=

χΙ

t

1

16

=

(τ

cos 8)et

+ (τ sin 8)e2 + r2e3' 0< r < = (-Τ Sin 8)el + (Τ COS ')e2

+ (sin 8)e2 + 2rea, Xe Χτ"Χ τ = 1 + 4 τ2, F = Χτ·Χθ = Ο, XrXXe . = Ι = (1 + 4r2)-l/2(-2r(cos 8)el (cos 8)el

Χτ XXsl

. Η ,-παραμετρική καμπύλη Τ αύτης εΙναι

καί

νΕτσι ~χoυμε

= τι)

ε{ναι

Χ

=

(rl) coβ ,)et

+

G

=

Xs"Xe

"", -"" < 8 <

00.

wE_

= r2

2T(Sin 8)e z + e3)

(ΤΙ) βίη ,)e2

+

~e3'

= (-ΤΙ) Sin ,)e. + (Το cos ,)e2. lχΊ = το = χ,/!χΊ = (-Sin 8)el + (COS ,)e2' t' = (-COS e)el -

Κατά μηκος της καμπύλης

(Βίη 8)e2

Κ Ε Φ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

234

u

=

kg

= Ν χ t = (1 + 4,.~)-1/2«-cOS I)e1 -

= 1';1 (1 + 41'~)-1 «-cos I)e1 -

(k. U)U

τύπο (11.6)

G Ι (" ) _ = __ ~_ g

~-~o

2GVE ~=~o

=

(sin I)e2 - 21'oe3)

"ιι

(sin I)e2 - 21'Oe3)

ιcαί δπως περιμέναμε, ή "ιι ε{ναι άνεξάρτητη τοϋ Ι.

W

11

= k· U =

(1/1'0)(1

+ 41'~)-1/2

Ας σημειωθεί δτι τό παραπάνω άποτέλεσμα συμφωνεί μέ τόν

Ι

2

=

l'

2r2yl + 4,.2 ~=~o

(111'0)(1

+ 41'2)-1/2 Ο

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 'Υπενθυμίζουμε δτι τά τόξα έλάχιστου μήκους εΙναι καμπύλες κατά μηκος τών όποίων τό διά

νυσμα γεωδαισιακης καμπυλότητας μηδενίζεται.

Μιά καμπύλη

κατά μηκος της όποίας kιι

C,

= Ο,

λέγεται γεωδαισιακή γραμμή ή άπλώς γεωδαισιακή.

νεπώς δτι

kQ

kQ

= Ο,

έάν

πεδο, πού δπως έπιφάνεια

Θεώρημα

Κατά μηκος μιας εύθείας εχουμε k Ξ Ο καί συ C δέν εΙναι εύθεία, τότε άπό τή σχέση k = k Q + k" επεται καί μόνο έάν εΙναι k = k" = (k· Ν)Ν, δηλαδή έάν καί μόνο έάν τό έγγύτατο έπί ξέρουμε ε{ναι παράλληλο πρός τά διανύσματα k καί t, περιέχει τήν κάθετο στήν

= (k· τηυ = Ο. S.

' Εάν

τώρα ή

~Eτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

11.7.

ΟΙ εύθείες μιας έπιφάνειας εΙναι γεωδαισιακές.

Μιά καμπύλη πού δεν εΙναι εύθεία

εΙναι γεωδαισιακή, έάν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο της καμπύλης τό έγγύτατο έπίπεδο εΙναι κάθετο στό έφαπτόμενο έπίπεδο της έπιφάνειας.

Παρατηρουμε δτι μιά άσυμπτωτική γραμμή εΙναι εύθεία ή καμπύλη κατά μηκος της όποίας τό

έγγύτατο έπίπεδο καί τό έφαπτόμενο έπίπεδο στήν έπιφάνεια ταυτίζονται, ένώ μιά γεωδαισιακή εΙναι εύθεία ή καμπύλη κατά μη κος της όποίας τό έγγύτατο έπίπεδο εΙναι κάθετο στό έφαπτόμενο έπί

πεδο.

Δηλαδή μιά καμπύλη εΙναι άσυμπτωτική γραμμή άν

σιακή άν

kQ =

Στό Πρόβλημα

Θεώρημα ματος Χ

11.8.

k"

= Ο,

ένώ μιά καμπύλη εΙναι γεωδαι

Ο.

1I.14

της σελίδας

251

δείχνουμε τό επόμενο θεώρημα:

Μιά καμπύλη μέ φυσική παράσταση Χ

= x(u, υ)

κλάσεως

C2

= x(s) = x(u(s), v(s»

κλάσεωs

εΙναι γεωδαισιακή, έάν καί μόνο έάν οΙ συναρτήσεις

Ικανοποιουν τίς έξισώσεις

Ι

d2u (;)ds 2

(j).

d2V2 ds

1

+ ΓΗ +

(dU)2 ds

(dU) 2 ΓΗ ds 2

dv + Γ1 (dV)2 + 2Γ112 du ds ds 22 ds =

+

du dv 2Γ 12 ds ds 2

+

(dV) 2 Γ22 ds 2

Ο Ο

C2 ενός τμή u(s) καί v(s)

~

.,

Δ.ι. J:",

?~!.lιl ι IF i ls -+

0;;s)

(11.7)

'Εκ πρώτης όψεως φαίνεται δτι θά μπορούσαμε νά προσδιορίσουμε τή γεωδαισιακή πού διέρχε-

ται άπό τό δοθέν σημείο

τρική παράσταση Χ

X(Uo, Vo) καί εχει δοθείσα διεύθυνση (du/ds)o: (dv/ds)o, άπό τήν παραμε= x(u(s), v(s», όπου u(s), v(s) εΙναι οί λύσεις τών έξισώσεων (ΙL. 7) πού ίκα

νοποιουν τίς άρχικές συνθηκες

U(O) = Uo,

υ(Ο)

= Vo,

:

(Ο)

=

(a;:) ο'

dv ds

(Ο)

= (dV) ds ο

Στήν περίπτωση αύτή, άν στίς έξισώσεις (11.7) οί συντελεστές Γ~ εΙναι κλάσεως θεωρία τών διαφορικών έξισώσεων ξέρουμε δτι σέ κάποια περιοχή του λύση

u(s), V(S),

πού Ικανοποιεί τίς δοθείσες άρχικές συνθηκες.

s=

C1,

τότε άπό τή

Ο ύπάρχει μιά μοναδική

Γενικά όμως, ή Χ

= x(u(s), v(s»

πού άντιστοιχεί στίς παραπάνω λύσεις δέν εΙναι μιά φυσική παράσταση της καμ.πύληις καί συνεπώς δέν επεται άμεσα δτι ή καμπύλη πού προσδιορίζεται άπό αύτήν εΙναι γεωδαισιακή.

Στό Πρόβλημα

11.15 της σελίδας 252 δείχνουμε δτι, αν οί δροι του κλάσματος (du/ds)o: (dv/ds)o εχουν έκλεγεί ετσιωστε στό δοθέν σημείο νά εχουμε

= \dX\2 ds

E(du)2+ 2F (dU) (dV) +G(dV)2 ds o dsods o ds o

=

1

(

J /{

-Ι-- U/ (ι; /~ Ί!Jι 2._.~/

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.ΙΙ

Idx/d812

τότε εΙναι

=1

γιά κάθε 8, δηλαδή

s

εΙναι τό μήκος τόξου καί συνεπως εξασφαλίζεται άπό

τό παραπάνω θεώρημα δτι ή φυσική παράσταση Χ

δαισιακή πού διβρχεται άπό τό

235

= X(U(S), v(s))

προσδιορίζει τή μοναδΙΚή γεω

X(Uo, Vo) καί εχει άρχική διεύθυνση (du/ds)o: (dv/ds)o.

Προφανως, οί δροι τοϋ κλάσματος

(du/ds)o: (dv/ds)o πού ίκανοποιοϋν τήν παραπάνω σχέση μποροϋν νά βρεθοϋν γιά κάθε διεύθυνση duo: dVo, αν πάρουμε (du/ds)o = dUo/λ καί (dv/ds)o = dVο/λ, δπου λ = Eodu~ + 2Fo dU odVo + Godv~. Τελικά, παρατηροϋμε δτι, αν ή Χ = x(U,V) εΙναι κλάσεως C3, τότε οΙ συναρτήσεις Γt εΙναι κλάσεως Cl. νΕτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα: Θεώρημα 11.9. Στήν περιοχή ενός σημείου Ρ μιας επιφάνειας κλάσεως C"', m ~ 3, ύπάρχει μία καί μόνο μία γεωδαισιακή πού διέρχεται άπό τό Ρ γιά κάθε διεύθυνση. Παράδειγμα

(α)

.Η

γεωδαισιακή αύτή εΙναι

C3.

κλάσεως

11.5.

Έπίπεδο. θεία.

Σ' ηνα έπίπεδο εΙναι

Συνεπώς, μιά καμπύλη εΙναι γεωδαισιακή, έάν καί μόνο έάν εΙναι εύ

k = kg •

'Από κάθε σημείο τοϋ έπιπέδου διέρχεται προφανώς μία γεωδαισιακή γιά κάθε διεύθυνση.

(b) Σφα(ρα.

Έπει~ή τά έγγύτατα έπίπεδα κατά μη κος μιας γεωδαισιακης εΙναι παράλληλα πρός τό Ν, πρέπει νά

διέρχονται άπό' τό κέντρο της σφαίρας.

'Αλλά άπό τό Πρόβλημα

4.20

της σελίδας

77

της δποίας τά έγγύτατα έπίπεδα διέρχονται όπό ενα σταθερό σημείο εΙναι έπίπεδη. σφαίρας εΙναι~νας μέγιστος κύκλος καί άντίστροφα.

ξέρουμε δτι μία καμπύλη

"Ετσι, μιά γεωδαισιακή της

ΕΙναι έπίσης προφανές δτι άπό κάθε σημείο της σφαίρας

διέρχεται μία γεωδαισιακή γιά κάθε διεύθυνση.

(c)

Κύλινδρος.

'Υποθέτουμε δτι οΙ γενέτειρες τοϋ κυλίνδρου εχουν τή διεύθυνση τοϋ σταθεροϋ μοναδιαίου διανύσμα

g. Έπειδή μιά καμπύλη C εΙναι γεωδαισιακή, έάν ΙCΑί μόνο έάν k = k n = (k' Ν)Ν, καί έπειδή στόν κύ λινδρο ε{ναι Ν· g ο, επεται δτι ή C εΙναι γεωδαισιακή έάν καί μόνο έάν k' g ο ή i· g ο ή δλοκλη ρώνοντας t· g Ι::: σταθ. "Ετσι, οί γεωδαισιακές τοϋ κυλίνδρου εΙναι κυλινδρικές ελικες. Σ' αύτές περιλαμβά νονται οΙ γενέ1ειρες δπου t· g ±Ι καί οί κάθετες τομές τοϋ κυλίνδρου δπου t· g Ο. τος

=

=

Τέλος, ύποθέτουμε δτι

= Χ = x(u, υ)

=

=

εΙναι ενα τμήμα μιας επιφάνειας τέτοιο ώστε οΙ

u-

καί V-

παραμετρικές κοιμπύλες νά εΙναι όρθογώνιες καί άκόμα τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως νά εξαρτωνται μόνοΙ άπότή μία παράμετρο. σμούς.

Στό Πρόβλημα

Θεώρημα

11.10.

'Εάν χ

= E(u), .F = Ο

ώστε Ε

= X(U, υ)

καί

Τότε οί γεωδαισιακές μποροϋν νά βρεθοϋν μέ τετραγωνι

τής σελίδας

11.17

252

δείχνουμε τό εξής θεώρημα:

εΙναι ενα τμήμα μιας επιφάνειας κλάσεως

G = G(u),

Cm, m

~

2,

τέτοιο

τότε ίσχύουν τά έξής:

= σταθ. εΙναι γεωδαισιακές. = Uo εΙναι γεωδαισιακή, εάν καί μόνο εάν G,,(UO) = Ο. Χ = X(U, V(U» εΙναι γεωδαισιακή, εάν καί μόνο εάν

(ί)

ΟΙ u-παραμετρικές καμπύλες

(ii)

•Η

(ίΗ)

Μιά καμπύλη τής μορφής

υ-Πιαραμετρική καμπύλη

v

u

v

(C

= σταθ.)

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Συχνά εΙναι χρήσιμο νά διαλέγουμε, δταν φυσικά μποροϋμε, σέ μιά επιφάνεια συντεταγμένες, δηλαδή τμήματα, των όποίων οΙ παραμετρικές καμπύλες νά εχουν κάποιες είδικές ίδιότητες.

'Ένα

τμήμα τοϋ δποίομ οΙ παραμετρικές καμπύλες εΙναι ορθογώνιες καί ή μία άπό τίς δύο οίκογένειες των παραμετρικων κqμπυλων άποτελείται άπό γεωδαισιακές γραμμές, λέγεται σύστημα γεωδαισιακών συντεταγμένων. ~Eνα

u=O

σύστημα

γεωδαισιακων

συντεταγμένων

μπορεί νά είσαχθεί σέ μιά επιφάνεια μέ απειρους τρόπους.

τόξο

m

~

Co 3.

σημείο

νΕστω π.χ. Χ

κλάσεως

C2

= X(V),

α"';::: V ".;:::

Σύμφω~α μέ τό Θεώρημα

x(Vo)

το\[)

Co

ή παραμετρική rιαράσταση Χ(Ο, VO)

u

τό

= X(VO)

μήκος

(Σχ.

τυχόν

11.9,

,,·παραμετρικές

Cm,

άπό κάθε

:'C ,---ι....ι....:::;.

== xtu, "0)

διέρχεται μιά μοναδική γεω

δαισιακή όρθογώνια πρός τό τόξο παράμετρο

b,

μιας επιφάνειας κλάσεως

χ

τόξου

11-9).

CO,

τής δποίας

= X(U, Vo) καί

εχει

τέτοια

ώς

ώστε

"'-----.,γ..---_.....

υ-παραμετρικές καμπύλες

Σχ. 11 - 9

καμπύλες

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

236

Κ ΕΦ.

11

Στό Πρόβλημα νάρτηση χ

=

11.20 τής σελίδας 254 δείχνουμε δτι γιά κατάλληλα μικρό ε ή διαννσματική συ x(u,1.'), -ε < U < ε, α < v < b, εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως C2.

Πρέπει τώρα νά δείξουμε δτι οί U- καί 1.'-παραμετρικές καμπύλες εΙναι όρθογώνιες. πρωτα τή συνάρτηση

Έπειδή ή παράμετρος

•Επίσης,

l:πειδή

u

u

ή

(Χ... χ,,) ..

F .. =

Χ.... • Χ"

=

+ Χ,. • χ.."

Θεωρουμε

(11.8)

έκφράζει τό μήκος τόξου, εχουμε Ε = χ... χ.. = 1. Συνεπώς Ε" ,= 2χ",,' χ.. εΙναι τό

μήκος

τόξου,

τό

Χ"

εΙναι

τό

μοναδιαίο

=

.

ο

l:φαπτόμενο διάνυσμα

των u-παραμετρικων καμπυλων καί τό χ.... παριστάνει τό διάνυσμα καμπυλότητας των u-παραμε τρικων καμπυλων.

• Αλλά

κατά μήκος μιας γεωδαισιακής τό διάνυσμα καμπυλότητας εχει τή διεύ

θυνση του κάθετου διανύσματος στήν έπιφάνεια.

=

σωση

νΕτσι εχουμε X"u' Χ .,

=

= Ο.

Συνεπως, άπό τήν έξί

(11.8) παίρνουμε τελικά F .. Ο. Δηλαδή έχουμε F σταθ. σέ κάθε σημείο τής παραμετρικής καμπύλης υ = σταθ. ΟΉ παραμετρική αύτή καμπύλη εΙναι όρθογώνια πρός τό τόξq Co. Δηλα~ή εΙναι F Ο γιά u = Ο καί γιά δλα τά 1.', όπότε F == Ο. νΕτσι επεται δτι οΙ U- κα! υ-παραμετρι

=

κές καμπύλες εΙναι όρθογώνιες, αρα ή διανυσματική συνάρτηση Χ τάλληλα, εΙναι ενα σύστημα γεωδαισιακων συντεταγμένων.

= X(U, υ),

δταν περιοριστεί κα

Τελικά εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

11.11. νΕστω Χ = χ(υ), α ~ υ ~ b, τυχόν άπλό τόξο κλάσεως C2 μιας έπιφάνειας S κλά m ~ 3. • Υπάρχει ενα σύστημα γεωδαισιακων συντεταγμένων Χ = χ(u, υ), -ε < u < ε, b, στήν S κλάσεως C2 τέτοιο ώστε Χ(Ο, υ) = χ(υ) καί οί u-παραμετρικές καμπύλες νά εΙναι

Θεώρημα σεως

α

cm,

< 1.' <

γεωδαισιακές πού έκφράζονται μέ μιά φυσική παράσταση. Παρατηρουμε δτι στήν παραπάνω κατασκευή οΙ άποστάσεις κατά μήκος των γε~δαισιαKων με ταξύ δύο όρθογώνιων πρός τίς γεωδαισιακές τροχιων εΙναι ίσες, άφου οΙ γεωδαισιακές προσδιορί ζονται άπό φυσικές παραστάσεις.

Πράγματι, εστω Χ

= X(U, υ)

Αύτό συμβαίνει σέ κάθε σύστημα γεωδαισιακων <ιrυντεταγμένων.

ενα σύστημα γεωδαισιακων συντεταγμένων του όποίου οι u-παραμετρι

κές καμπύλες εΙναι γεωδαισιακές.

. Αφου οΙ U- καί 1.'- παραμετρικές καμπύλες εΙναι ι όρθογώνιες, ή πρώτη άπό τίς έξίσώσεις (11.6) γίνεται (Kg).,=mae. = -E,,/2Ey!G = Ο. Αρα ΕΙ) = Ο, ό1ltότε Ε = E(u) . • Αλλά άπό τήν ύπόθεση εχουμε F = Ο. νΕτσι, ή πρώτη θεμελιώδης μορφή τοϋ Χ =, x(u, ν) γίνεται V

Ι Κατά μήκος τής γεωδαισιακής

=

= σταθ.

1.'

E(u) du2 + G(u, υ) dv 2 εχουμε dv Ο. • Επομένως,

=

σιακής μεταξύ των δύο όρθογώνιων πρός τίς γεωδαισιακές τροχιων

u

τό μήκος τόξου τής γεωδαι

=

Ul

καί

u

=

IU2

δίνεται άπό

τό όλ<;>κλήρωμα

s πού εΙναι άνεξάρτητο τής παραμέτρου υ καί συνεπως εΙναι τό ίδιο γιά δλες τΙς γεωδαισιακές .

. Από

δσα άναφέραμε, επεται δτι τό μήκος τόξου μπορεί πάντα νά εΙσαχθεί ώς παράμετρος των

γεωδαισιακων σέ ενα σύστημα γεωδαισιακων συντεταγμένων, αν χρησιμοποιήσουμε τόν έπιτρεπτό παραμετρικό μετασχηματισμό

i"'" VE(t) dt,

u* =

'Όταν εΙσαχθεί ή παράμετρος αύτή, δηλαδή συντεταγμένων, τέτοιο ώστε ή Ε

=

Χ" • Χ"

=1

u

Κ

11.12. m

παράμετρο τήν

εΙναι ενα σύστημα γεωδαισιακων

du 2 + G(u, υ) dv 2 Προβλήματος 10.35

Έάν Χ ~

3,

u,

τότε

=

iJVf1 ) = - V1 [iJiJu (1 VE au + EG

πού δίνει τήν καμπυλότητα του

cm,

= X(U, υ)

υ

καί ή πρώτη θεμελιώδης μορφή γίνεται

Τελικά, άπό τόν τύπο του

κλάσεως

Χ

=

νά εΙναι μιά φυσική παράμετρος των γεωδαισιαιcων, τότε εΙναι

Ι

Θεώρημα

δταν

υ

Gauss

= x(u, υ)

δταν

F =

a σι,

(11.9)

(1VG av fJVE)]

(11.10)

ο, έχουμε τό επόμενο θεώρημα:

εΙναι ενα σύστημα γεωδαισιακων συντεταγμένων μιας έπιφάνειας

τέτοιο ώστε οί u-παραμετρικές καμπύλες νά εΙναι γεωδαισιdκές μέ φυσική

1

Κ

-

a2y!G

VG [iU2

(11.11)

1-

ΚΕΦ.11

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

11.6. Ή KανOνΙΙCή παραμετρική παράσταση Χ = (r cos e)el ε{ναι lva σύστημα γεωδαισιακών συντεταγμένων του παραβολοειδοϋς Χ3

ΠαράδεΙΎμα

237

+ =

(r Sin e)e2 + y2e3' 1 < Υ < 3,

x~

+ x~.

-οα

< e < οα,

Πράγματι, ε()κολα έπαληθεύεται

δτι Ε = X r ' Xr = Ι + 4 Υ 2, F = X r ' Xe = Ο, G = Χθ' Xe = Υ2. Προφανώς, οΙ παραμετρικές καμπύλες ε{ναι όρ θογώνιες, όπότε qπό τήν έξίσωση (Ι 1.6) εχουμε (ΚΙΙ)ιι=σταθ. -EJ2EVG Ο καί συνεπώς οΙ Υ-παραμετρικές καμ-

=

=

πύλες e = σταθ. 'ε{ναι γεωδαισιακές. Μετά τήν εΙσαγωγή της παραμέτρου Υ* στή θέση της τ, ,ή κανονική παραμετρική παράσταση χ* κών συντεταγμένων μέ τήν τ*

=

x~., Χ:

r

VE dp

=

i

T

νι + 4 ρ 2 d p

1 G*

Ι (J2..fG* = ------ =

Κ

T

2 2 όρίζει ~να σύστημα γεωδαισια

T

καί δπου

= x*(e, Υ*) = x(e, r(r*»

i

"Ετσι εχουμε

= x~., X~. = (Χ τ ' x )(dr/dr*)2 = (Xr ' Χθ)(dr/dr·) = Ο

Ε*

F·

ώς φυσική παράμετρο.

=

* • Χθ•

Χθ

4/(1

+ 4r2 )

= r(r·).

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

"Εστω Ρ ενα σημείο μιας έπιφάνειας κλάσεως m~3, καί

gl, g2

Cm,

δύο τυχόντα όρθοκανονικά έφαπτόμενα

διανύσματα της έπιφάνειας στό Ρ, όπως φαίνεται στό Σχ.

11-10.

'Από τό Θεώρημα

ματικό

άριθμό θο

Χ

= x(r, θο),

Ρ καί

(COS

εχει

OO)gl

+

11.9

ύπάρχει

επεται ότι γιά κάθε πραγ

μιά

μοναδική

γεωδαισιακή

μέ φυσική παράμετρο, πού διέρχεται άπό τό σ'

αύτό

τό

σημείο

έφαπτόμενο διάνυσμα

(sin OO)g2. Στό Πρόβλημα 11.21 της σελίδας

255 άπoδεΙKνύεlται δτι ύπάρχει ενα ε > Ο τέτοιο ώστε γιά 0< r < ε 1't διανυσματική συνάρτηση Χ = x(r, θ) νά εΙ ναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως

C2

καί, έπειδή οΙ παραμετρικές καμπύλες αύτης εΙναι όρθο γώνιες, επεται ότι σ' εναν κατάλληλο περιορισμό εΙναι ενα σύστημα "}'Ιεωδαισιακων συντεταγμένων, πού λέγεται

σύστημα

γεωδαισιακών

Έπίσης

άποδεικνύεται ότι γιά

πολικών

ή παραμετρική παράσταση

Χ

συντεταγμένων

στό Ρ.

0< r < ε, Ο ~ θ < 2π, = x(r, θ) εΙναι συνάρτηση

Ι-Ι έπί μιας πιι:ριορισμένης περιοχης του Ρ.

Σχ. 11-10

"Ετσι, εύ-

κολα συμπεραίΙνουμε ότι μιά μοναδική γεωδαισιακή ενώνει τό Ρ μέ κάθε σημείο της περιοχης αύτης του Ρ. ΟΙ θ-παραμετρικές καμπύλες άντίστοιχη σΤCl1θερή τιμή του

r

r

= σταθ.

λέγονται γεωδαισιακοί κύκλοι (περιφέρειες)

καί ή

λέγεται άκτίνα του γεωδαισιακου κύκλου.

"Οπως στήι γενική περίπτωση των γεωδαισιακων συντεταγμένων, ετσι καί στίς γεωδαισιακές πο

λικές συντετα)'!μένες Χ

= x(r, θ), r>

Ο, ή πρώτη θεμελιώδης μορφή γράφεται

Ι

=

dr2

+

G(r, θ) dB 2

(11.12)

'Ένα άπλό παράδειγμα γεωδαισιακων πολικων συντεταγμένων εΙναι ενα σύστημα πολικων συντε

ταγμένων στήν άρχή των άξόνων του έπιπέδου ΧΙΧ2. Χ

= r cos Oel

καί

+r

Βίη

G = Χιι' Χθ = r2 , όπότε Ι

Αύτό δίνεται άπό τήν παραμετρική παράσταση

< θ < 2π. Προφανως, εχουμε Ε = Χ τ " Χτ = 1, F = Xr " Χθ = Ο = dr2 + r2d0 2 • Στό Πρόβλημα 1l.23 της σελίδας 256 άποδεικνύεται

Oe2, r >

Ο,

Ο

ότι στή γενική περίπτωση των γεωδαισιακών πολικων συντεταγμένων καί γιά μικρά

r 1't

συνάρτηση

G(r, θ) συμπερ~φέρεται όπως καί στήν άντίστοιχη περίπτωση τών πολικων συντεταγμένων του έπι πέδου.

Συγκεχριμένα δείχνουμε τό επόμενο άξιοσημείωτο θεώρημα:

Θεώρημα

11.13.

'Εάν Χ

= x(r, θ)

εΙναι ενα σύστημα γεωδαισιακων πολικών συντεταγμένων σέ ενα

σημείο Ρ μιας έπιφάνειας κατάλληλης κλάσεως, τότε

yG(r, θ) όπου

lim (R(r, θ)/r) r ... O

=Ο

=r

- lK(P)r

+ R(r, θ)

καί Κ(Ρ) εΙναι ή καμπυλότητα του

Gauss

(11.18) στό Ρ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

238 Παράδειγμα

=

Χ

Κ Ε Φ.

Ή κανονική παραμετρική παράσταση

11.7.

(α eos' είη

(rla»eI

περιορισμένη κατάλληλα εΙναι

+ (α είη, είη (rla»e2 + (α eos (rla»e3

>

α

ο, Ο <τ

< 1Ι'12α"

< , < '"

.... '"

σύστημα γεωδαισιακων πολικων συντεταγμένων στό βόρειο πόλφ της σφαίρας μέ

t:va

άκτίνα α, καί κέντρο τήν άρχή των άξόνων, όπως φαίνεται στό Σχ. 11-11.

Οί τ-παραμετρικές καμ1rύλες , = ' 0 εl

ναι τμήματα των μέγιστων κύκλων πού διέρχονται άπό τό βόρειο πόλο καί οί ,-παραμετρικές καμπύλες οί παράλληλοι πλάτους κοντά στόν πόλο.

τ

=

το εΙναι

Εϋκολα ύπολογίζεται ότι

= X r • Xr = 1, F = X r • Χθ = Ο, G = Χθ· Χθ = α sin2 (τlα,) . Επειδή Βίη:ι; = :ι; -lxS + 0(:ι;3), εχουμε VG = α Βίη (τlα) = τ 2

Ε

έξίσωση

11

καί

r3/6a2

Ι

= dr2 + α,2 Βίη

+ 0(r3),

2

(τlα,)

d,2

τό όποίο συμφωνεί μέ τήν

(11.13).

Σχ.

Μέ τή βοήθεια του Θεωρήματος

πυλότητα του

Gauss.

11.13

11-11

παίρνουμε μερικές αξιοσημείωτες έκφράσεις γιά τήν καμ

Πράγματι, κατά μήκος του γεωδαισιακου κύκλου

r =

σταθ. έχουμε

dr =

Ο.

VΕτσι, τό μήκος τής περιφέρειάς του δίνεται από τό δλοκλήρωμα

λ

C(r) =

2Π

yG(r, θ) dθ =

Κ(Ρ)

Συνεπώς

Κ(Ρ)

~ (2πτ ~ C(r») +

=

ή, έπειδή ή Κ(Ρ) εΙναι ανεξάρτητη του

2πΤ - -lΚ(Ρ)πr +

o(r)

(11.1~)

0(1)

r,

lim ~ (2πτ - C(r»)

=

r-+O

r

π

VΕτσι, παρατηρουμε πάλι στι ή καμπυλότητα του

Gauss

(11.15)

έκφράζει μιά έσωτερική ίδιότητα τής έπι

φάνειας.

Τελικά, από τήν .έκφραση ιι yEG -

F2 du d'V,

πού δίνει τό έμβαδόν τής έπιφάνειας, βρίσκου

R

με δτι τό έμβαδόν πού περικλείεται από ενα γεωδαισιακό κύκλο εΙναι

Α(τ) =

i

r

2Π

i VG dθ dr = πr -

(11'/12) Κ(Ρ) r4 + 0(r4)

Κ(Ρ) = lim 12 (πr - A(r»)

Συνεπώς, σπως καί παραπάνω

.

r-+O

Π

r4

(11.16)

VΕτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

ΘεώρημαΊΙ.Ι4.

Ή καμπυλότητα του

Gauss

σέ ενα σημείο Ρ μιας έπιφάνειας κλάσεως

Cm, m

~

3,

δίνεται από τούς τύπους

Κ(Ρ) = lim ~ (2πτ - c(r») r-+O

σπου

r, C(r)

π

r

Κ(Ρ) = lim 12 (πr - A(r») r-O π r4

καί Α(τ) εΙναι αντίστοιχα ή ακτίνα, τό μήκος τής περιφέρειας καί τό έμβαδόν τής

έπιφάνειας πού περικλείει δ γεωδαισιακός κύκλος γύρω από τό Ρ.

Κ Ε Φ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

11

239

ΤΟΞΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ

'Έστω Ρ καί

δύο σημεία μιας επιφάνειας

Q

S

κλάσεως

C3,

άρκετά κοντά τό ενα στό άλλο,

ώστε νά μπορεί νά βρεθεί ενα σύστημα γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων χ νά περιέχει τό τό

Q

δπως φαίνεται στό Σχ.

Q,

8=

καί προσδιορίζεται γιά κάποιο

τών Ρ καί

σταθ. είναι τό μοναδικό τόξο ελάχιστου μήκους μεταξύ

(Ι

'Έστω δτι τό

=

χικά δτι τό

Σχ.

t

~

b,

είναι ενα τόξο

ro

ο, εχουμε

= 80

i

μεταξύ

trov

r = rO καί στή γεωδαισιακή γραμμή 8 = 80 S πού ενώνει τό Ρ μέ τό Q. Ύποθέτουμε άρ = x(r, θ). Τότε δμως τό μήκος L(C) τοϋ C δίνεται τής

b

α V(dr/dt)2

~ J:b v(dr/dt)2 dt

είναι τό μήκος τής γεωδαισιακή ς

στήν παραπάν(J) σχέση

8

C

C περιέχεται στήν εΙκόνα τοϋ χ

L(C) 'Αλλά

11-13

βρίσκεται στό γεωδαισιακό κύκλο

Q

x(~), α ~

L(C) = G >

= (1*

11-12

άπό τό όλοκλ ήιρωμα 'Επειδή

στό Ρ πού

Q.

Σχ.

καί δτι χ

= x(r, 8)

Θά δείξουμε δτι ή γεωδαισιακή πού διέρχεται άπό

11-12.

Q

ib

=

(dr/dt) dt =

8 = 80

Ισχύει εάν καί μόνο εάν

σημείων Ρ καί

+ G(r, 8)(d8/dt)2 dt

λ

ΤΟ

dr =

μεταξύ τών σημείων Ρ καί

d8/dt

=Ο

ή

8

= σταθ.

Q,

ro ενώ ή Ισότητα

Δηλαδή ή γεωδαισιακή

είναι τό μοναδικό τόξο ελάχιστου μήκους μεταξύ δλων τών

τόξων πού συν
= x(r,8).

Μποροϋμε τώρα νά άπο

δείξουμε δτι ή γεωδαισιακή αύτή είναι τό συντομότερο άπό δλα τά κανονικά τόξα τής νουν τά Ρ καί συντεταγμένων.

,Q

S

πού ενώ

καί δταν άκόμα κάποια τμήματα τών τόξων αύτών βρίσκονται εξω άπό τό σύστημα νΕστω Π.χ. χ

Q, πού δέν βρίσκεται = x(r, 8), δπως φαίνεται στό Σχ. 11-13. Τότε μπορεί νά δειχθεί δτι γιά κάποιο σημείο X(t*), δπου t* < b, τό τόξο C τέμνει τό γεωδαισιακό κύκλο r = rO σ' ενα σημείο πού άντιστοιχεί στό 8*, ετσι ώστε γιά δλα τά α ~ t ~ t* νά περιέχεται στό χ = x(r, 8). ν Ας συμβολίσουμε τώρα μέ C* τό τμήμα τοϋ C πού άντιστοιχεί στό διάστημα α ~ t ~ t*. Τότε τό C* είναι ενα κανονικό τόξο τοϋ χ = x(r, 8) πού ενώνει τό Ρ μέ τό Ρ*, δηλαδή τό σημείο πού άντιστοιχεί στό (ro,8*). 'Εάν εφαρμοστοϋν δσα άναφέραμε προ ηγούμενα καί στήν περίπτωση τών σημείων Ρ καί Ρ*, εχουμε πάλι L(C*) ~ ro. 'Αλλά άπό τήν κατασκευή L(O) > L(C*). Συνεπώς L(C) > rO, δηλαδή τό L(C) είναι μεγαλύτερο άπό τό μήκος τής γεωδαισιακή ς θ = 80 πού συνδέει τά Ρ καί Q. νΕτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα: Θεώρημα 11.15. 'Εάν Ρ καί Q είναι δύο σημεία μιας επιφάνειας κλάσεως CS γιά τά όποία ύπάρχει ενα σύστημα γiωδαισιακών πολικών συντεταγμένων στό Ρ πού περιέχει τό Q, τότε ύπάρχει ενα μο ναδικό τόξο ελ~χιστoυ μήκους μεταξύ τών Ρ καί Q, τό γεωδαισιακό τόξο πού ενώνει τό Ρ μέ τό Q. Χρησιμοποιώντας τό θεώρημα αύτό μποροϋμε νά δείξουμε δτι, άν C είναι ενα τόξο ελάχιστου μήκους μεταξύ δύο τυχόντων σημείων Ρ ι καί Ρ2 μιας επιφάνειας κλάσεως CS, τότε τό C είναι τμή μα γεωδαισιακτης .. Υποθέτουμε πρώτα δτι τό C δίνεται άπό τήν παραμετρική παράσταση χ = X(t), α ~ t ~ b, καί στι Ρ είναι τυχόν σημείο τοϋ C διαφορετικό άπό τά Ρ ι καί Ρ2 • Έπειδή ή S είναι κλάσεως C3, ύπάρχει ενα σύστημα γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων χ = x(r, 8) στό Ρ.

= X(t),

α ~

t

~

b,

ενα τόξο

C

άπό τό Ρ στό

όλόκληρο στό ϊδιο σύστημα γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων χ

νΕστω τώρα δτι εκλέγουμε ενα άρκετά μικρό ι> Ο, τέτοιο ώστε τά σημεία Ρε καί Ρ_ε, πού άντι-

Κ Ε Φ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

240

11

Σχ. 11 -14

στοιχοϋν στίς τιμές

t +ε

ξουμε πρωτα ότι τό

t-

καί

~ Ας συμβολίσουμε άκόμα μέ

C•

ε, νά βρίσκονται στό Χ

τό τμημα τοϋ τόξου

C

= x(r, θ)

όπως φαίνεται στό Σχ.

μεταξύ των Ρ καί Ρε.

εΙναι τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ των Ρ καί Ρε.

C.

11-14.

Θέλουμε νά άποδεί

Ύποθέτουιιιε ότι ισχύει

τό άντίθετο, δηλαδή ότι ύπάρχει ενα κανονικό τόξο Γ ε μεταξύ των σημείων Ρ καί Pε~ τοϋ δποίου τό μηκος L(rE ) εΙναι αύστηρά μικρότερο άπό τό L(CE). ~ Ας ύποθέσουμε ότι L(rE ) 8 = L(CE ). Θε

+

ωροϋμε τώρα τό τόξο Γ πού προκύπτει, αν άντικαταστήσουμε στό

C*

πού νά εΙναι κανονικό στά

φέρει άπό έκείνο τοϋ Γ τό πολύ κατά

~ Ας σημει

όμως ότι μπορεί

Ρ καί Ρε καί τοϋ όποίου τό μήκος νά δια

'Επειδή όμως

8/2.

τό σ ε μέ τό Γε •

. Αποδεικνύεται

ωθεί ότι τό τόξο αύτό γενικά δέ~ εΙναι κανονικό στά Ρ καί Ρ.. νά βρεθεί ενα τόξο

C

L(r) + 8

= L(C)

καί τό

C*

άπό τήν κα

τασκευή του εΙναι ενα κανονικό τόξο μεταξύ των Ρ ι καί Ρ2 , εχουμε

+ 8/2

L(C*)

~

πράγμα πού εΙναι όμως άδύνατο, άφοϋ τό

Ρ ι καί Ρ 2 •

ή

L(C)

C

<

L(C*)

L(C)

εΙναι ενα κανονικό τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ των

Γιά τόν ίδιο λόγο τό σ-ε, δηλαδή τό τμημα τοϋ

C

μεταξύ των Ρ-ε καί Ρ, εΙναι ενα

τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ των Ρ-ε καί Ρ .

•Αλλά άπό τό προηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι C -ε καί σε εΙναι τμήματα δύο γεωδαισιακων

τά τόξα

καμπυλων, π.χ. των θ

= θε

καί θ

= θ-ε,

πού ενώνουν

τό Ρ μέ τά Ρε καί Ρ -ε άντίστοιχα, όπως φαίνεται στό Σχ.

11-15.

μένως θ-ε

Τό

C

όμως εΙναι κανονικό στό ρ. επο

= θ ε + π.

Δηλαδή ή

C

σέ μιά περιοχή τοϋ

Ρ εΙναι ή μονοσήμαντα δρισμένη γεωδαισιακή πού άρχίζει άπό τό Ρ καί εχει διεύθυνση θ.

Ρ εΙναι ενα τυχόν σημείο της

C,

'Επειδή τό

εχει άποδειχθεί τό

επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

11.16.

'Εάν

C

εΙναι ενα τόξο έλάχιστου

μήκους μεταξύ δύο σημείων μιας έπιφάνειας κλάσεως

Cm, m

~

3,

τότε τό

C

Σχ.

11-15

εΙναι γεωδαισιακό τόξο.

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ

Ύπενθυμίζουμε δτι ή καμπυλότητα τοϋ Δηλαδή οί καμπυλότητες τοϋ

Gauss

Gauss

GAUSS

εΙναι άναλλοίωτη στίς ισομετρικές ιfι.πεΙKOνίσεις.

στά άντίστοιχα σημεία δύο ισομετρικων έπιφανειc'i':1ν εΙναι ίσες.

Γενικά τό άντίστροφο αύτης της προτάσεως δέν άληθεύει, όπως άποδεικνύεται καί στό Πρόβλημα

11.28.

• Εάν

όμως δύο έπιφάνειες εχουν τήν ίδια σταθερή καμπυλότητα τοϋ

Gauss,

τότlJ θά δείξουμε

ότι δύο τυχοϋσες κατάλληλα μικρές περιοχές των έπιφανειων αύτων εΙναι ισομετρικές.

άποδείξουμε ύποθέτουμε δτι Χ σέ

ενα τυχόν

σημείο

μιας

= x(r, θ)

έπιφάνειας

μέ

σώσεις (1I.ΙΙ) καί (ΙΙ.13) επεται ότι ή VG δεύτερης τάξεως μέ σταθερούς συντελεστές

σταθερή

= ΥΧθ"Χθ

a2

ar2 VG μέ άρχικές συνθηκες

lim VG

T~O

Γιά νά τό

εΙναι ενα σύστημα γεωδαισιακων πολικων συντεταγμένων

=

Ο,

Gauss Κ. . Από τίς έξι ίκανοποιεί τή γραμμική διαφορική έξίσωση ,

καμπυλότητα τοϋ

+ KVG = Ο lim (aVG/ar) T~O

(11.17) 1

(11.18)

Κ ΕΦ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

11

'Εάν Κ

ΟΙ τότε

=

ή

γενική

λύση

της

έξισώσεως

241

(ll.l7)

είναι μιά συνάρτηση της μορφης

VG = rCι(θ) +C2 (θ). Μέ τή βοήθεια τών άρχικών συνθηκών (11.18) εχουμε C = 1 καί C2 = Ο, όπότε G = r. ν ρτσι , τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως του χ = x(r, θ) είναι Ε = 1, F = Ο καί G = r. 'Εάν Κ, > Ο, τότε ή γενική λύση της (ΙΙ.17) εΙναι VG = Cι(θ)sίη(η/Κ)+C2(θ)cοs(η/Κ). l

Οί άρχικές 'συν$ηκες (Ι1.18) δίνουν Cl = l/VΚ καί C2 = Ο. νΕτσι, στήν περίπτωση αύτή τά θε μελιώδη μεγέθη ιιτρώτης τάξεως του χ x(r, θ) εΙναι Ε 1, F Ο, G (Ι/Κ) βίη2 (rVΚ). Τέλος,

άν Κ

=

< ο,

ή γενική λύση της

VG

=

=

= 1,

F

=

εΙναι

(ll.l7)

+

Cι(θ) sίηh(η/-Κ)

Μέ τή βοήθεια τών άρχικών συνθηκών εχουμε C l

ρίπτωση Ε

=

C2 (θ) cοsh(η/-Κ)

= ι/Υ-κ καί C 2 = Ο. νΕτσι, σ' αύτή τήν πε

= Ο, VG = (Ι/Υ-Κ) sinh(rY-K).

Παρατηρουμε δτι τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως ένός συστήματος γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων, σέ κάθε σημείο Ρ μιας έπιφάνειας μέ σταθερή καμπυλότητα του

ται μονοσήμαντll1 καί έξαρτώνται μόνο άπό τήν Κ.

τυχόν σημείο μιας άλλης έπιφάνειας μέ τήν ίδια σταθερή καμπυλότητα του

εΙναι

ενα

σύστημα γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων

δρίζεται άπό τήν

θ»

f(x(r,

μιας περιοχης του Ρ*. Θεώρημα

11.17.

καμπυλότητα τοφ

= x*(r, θ)

Gauss

Κ, δρίζον

'Αλλά τότε είναι προφανές δτι, άν Ρ* εΙναι στό

είναι μιά Ισομετρική

Ρ*,

τότε

Gauss ή

καί χ*

= x*(r, θ) f, πού

άπεικόνιση

άπεικόνιση μιας περιοχης του Ρ έπί

νΕτσι εχουμε τό έξης θεώρημα: 'Εάν δύο έπιφάνειες κλάσεως

(Minding). Gauss, τότε

Cm, m

~

8,

εχουν τήν ίδια σταθερή

μιά κατάλληλη περιοχή τυχόντος σημείου της μιας εΙναι Ισομετρική

μέ μιά κατάλληλη περιοχή τυχόντος σημείου της άλλης. Μιά σφαίραε{ναι ενα παράδειγμα έπιφάνειας μέ σταθερή θετική καμπυλότητα του Παράδειγμα

11.8

Gauss. Gauss,

κατασκευάζουμε μιά έπιφάνεια μέ σταθερή άρνητική καμπυλότητα του

Στό πού

λέγεται ψευδOσφrι.ίρα. Παράδειγμα

νΕστω

11.8.

τό σημείο χι

=

α, :1:3

=

ή καμπύλη στό l:πίπεδο ΧΙΧ3, πού άρχίζει άπό

C

Ο, α

>

Ο,

καί ~χει τήν Ιδιότητα δτι τό ευθύγραμμο

τμήμα τής l:φαπτομενης της άπό τό σημείο l:παφής Ρ μέχρι τόν άξονα Χ3 εχει μήκος α, δπως φαίνεται στό Σχ.

Ή καμπύλη

11-16.

C

λέγεται ελκουσα

καί δίνεται άπό τή λύση τής διαφορικής l:ξισώσεως

dx~/dxl = -να2 .Η

ψευδοσφαίρα μέ

παράγεται άπό τήν καμπύλη να

χ

Χ3'

=

x~/xι,

Χ3(α) = Ο

καθώς αυτή περιστρέφεται γύρω άπό τόν άξο

C,

Συνεπώς ή ψευδοσφαίρα ~χει γιά παραμετρική παράσταση τήν

(τ

cos e)el

= =

δπου f'(r)

+

-

ψευδοαχτίνα α ε{ναι ή έκ περιστροφής έπιφάνεια πού

+ (τ sin e)e2 + !(r)e3'

-να2 -

r 2 /r.

=

0<

r

<

α,

< e<

-00

00

= Xr ' Xr = = r 2 . • Επομένως, ά = -Ι/α • Δηλαδή ή

Γιά τήν έπιφάνεια αυτή βρίσκουμε Ε

=

=

Ι (1')2 αητ 2 , F X r • Χθ Ο καί G Χθ· Χθ πό τήν έξίσωση (Ι 1..10) τής σελίδας 236, παίρνουμε Κ

2

ψευδοσφαίρα μέ ψειiδOαKτίνα α ~χει σταθερή καμπυλότητα τοϋ Gauss -Ι/α2 • Ύπενθυμίζo~με δτι σ'

Σχ. 11-16

ενα σύστημα γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων ή διεύθυνση, πού

=

έκλέγεται γιά νά Ύάντιστοιχεί στήν τιμή θ Ο, εΙναι αύθαίρετη. νΕτσι, άπό τό Θεώρημα 1l.l7 επε ται δτι Kατάλλη~ες περιοχές δύο διαφορετικών σημείων μιας έπιφάνειας μέ σταθερή καμπυλότητα του Gauss μπορdυν νά άπεικονιστουν Ισομετρικά ή μιά έπί της άλλης κατά τέτοιο τρόπο ώστε μιά δοθείσα διεύθυνσjη σέ ενα άπό τά δύο σημεία νά άπεικονίζεται σέ μιά δοθείσα διεύθυνση του άλλου σημείου. Διαισθητικά, αύτό σημαίνει δτι ενα γεωμετρικό σχημα μιας έπιφάνειας μέ σταθερή καμ πυλότητα του

Gauss

μπορεί νά μεταφερθεί καί νά περιστραφεί έλεύθερα χωρίς νά άλλάξουν τά μήκη

τών άντίστοιχων καμπυλών.

πυλότητας του

τριών.

Gauss

'Έπεται άκόμα δτι οί έπιφάνειες σταθερης θετικης καί άρνητικης καμ

μας δίνουν πρότυπα έλλειπτικών καί .ύπερβολικών (μή Εύκλείδειων) γεωμε

'Η κύρια διαφορά μεταξύ της έπίπεδης (Κ

λικης (Κ

< Ο)

=

Ο), της έλλειπτικης (Κ

γ~ωμετρίας βρίσκεται στό άξίωμα της «παραλληλίας».

> Ο)

καί της ύπερβο

Στήν Εύκλείδεια γεωμετρία

τό άξίωμα αύτό δρίζει δτι άπό κάθε σημείο πού δέν βρίσκεται πάνω σέ δοθείσα εύθεία διέρχεται μία μόνο παράλληλη πρός τή δοθείσα.

Στήν έλλειπτική γεωμετρία (περίπτωση σφαίρας) δέν ύπάρχουν

παράλληλες, άφοϋ κάθε ζευγος «εύθειών» (δηλαδή μέγιστοι κύκλοι) πάντα τέμνεται.

Στήν ύπερβο-

242

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Κ Ε Φ.

11

λική γεωμετρία υπαρχουν άπειρες «ευθείες» πού εΙναι παράλληλες πρός δοθείσα ,Jεύθεία», δπως φαίνεται στό επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα

• Υπερβολικό

11.9.

έπίπεδο.

Θεωροϋμε τό έσωτερικό ενός κυκλου μέ άκτίνα

2

που Kιjίται στό έπίπεδο

ΧΙΧ2 ώς μιά στοιχειώδη πολλαπλότητα διαστάσεως 2 καί όρίζουμε σ' αύτήν ενα μετρικό τανυστή μέi τή βοήθεια ενός

συστήματος γεωδαισιαΚών πολικών συντεταγμένων

=

011

, Από τήν Gauss Κ σιακές

έξίσωση

= -ι,

Ε

=

(11.10)

Ι/(Ι - r 2/4)2,

=

Ul2

βρίσκεται εϋκολα στι Κ

λέγεται ύπερβολlκό έπίπεδο.

στήν άρχή τών άξόνων ώς έξης:

(r,lI)

021

=

F

= -ι.

=

Ο,

=

022

G

=

τ 2/(Ι

- r 2/4)2

Ή «έπιφάνεια» αύτή, που εχει σταθερή kαμπυλότητα τοϋ

'Εάν χρησιμοποιήσουμε τό Θεώρημα Ι Ι. 10 βρίσκουμε στι οί γεωδαι

άποτελουνται άπό τίς τ-παραμετρικές καμπυλες, δηλαδή άπό τίς Εύκλείδειες εύθείες που διιJρχoνται άπό τήν

άρχή τών άξόνων, καί τίς καμπυλες

11

-

.....

f

CVEdr

- - VGVG-C2 =

±

C(l - r2/4) dr C2(l- r 2/4)2

f rVr2 -

(C

= σταθ.)

= a(Ι + r 2 /4)/r, δπου α = C/yl + C2, τότε

, Εάν θέσουμε u

Ι

- u2

=

[r2

C2(l - r2/4)2Jlr2(l

-

+ C2),

C(l - r 2/4) dr

καί

11

±

Μετά τήν όλοκλήρωση εχουμε

110

=

2 - C2(l -

r

2/4)2

=

=

-a(Ι

f

'+

- r2/4) drlr2

du yl-u2

u = α(Ι + r 2/4)/r = cos (11 - 110) ρ2, σπου θέτουμε ro = 21a καί ρ2 = T~ - 4. Αύτή εΙναι ή έξίσωση της περι

11 -

=

f rVr

du

cos- 1 U

1'1

η r 2 + T~ - 2ror cos (11 - 110) φέρειας σέ πολικές συντεταγμένες μέ κέντρο τό (rO'1I0) καί άκτίνα ρ, δπως φαίνεται στό Σχ. 1I-17(a). στι T~ ρ2 + 4 > 4' συνεπώς ή περιφέρεια εχει τό κέντρο της στό έξωτερικό του συνόρου f'i τήν r 2 όρθογώνια. "Ετσι, οί «εύθείες» (γεωδαισιακές) του ύπερβολικοϋ έπιπέδου εΙναι οί εύθείες

=

=

άπό τήν άρχή τών άξόνων καί οί περιφέρειες που τέμνουν τό συνορο της πολλαπλότητας όρθογώνια.

στό Σχ.

άπό τό σημείο Ρ, τό όποίο βρίσκεται έκτός της «εύθείας»

11-17(b),

ληλες πρός τήν

r

C,

Παρατηροϋμε καί τέμνει

=2

που διέρχονται ~Oπως φαίνεται

διέρχονται άπειρες :«εύθείες» παράλ

C.

= 2/·...

"...---.... ........

"'

ι

ι

' .......

------

ι

Ι

Ι

\ \

ι

Ι

/

•

Ι

\ \

"-

~/r:l:=2,

"'-----

'--~~--------~. (ro, 110)

/

(b)

(α)

Σχ.

11-17

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ GΑUSS-ΒΟΝΝΕΠ

Μιά πεπερασμένη ακολουθία από διαδοχικά κανονικά τόξα

Ct , i = 1, ... , n,

κφσεως

Cm,

λαδή κανονικά τόξα πού τό πέρας του ενός εΙναι ή αρχή του επομένου, δπως φαίνεται στό Σχ.

λέγεται τόξο τοϋ

Jordan

κλάσεως

Cm.

συνεχή παραμετρική παράσταση χ

ΕΙναι προφανές δτι ενα τόξο του

= x(t),

t o "'" t "'"

γιά παραμετρική παράσταση τόν περιορισμό τής χ σης, εΙναι προφανές δτι ενα τόξο του

Jordan

άθροισμα των μηκων των συνιστωσών του.

t..,

Jordan

στά ύποδιαστήματα

ti-

1

~

Ci

νά εχουν

t"'" t t •

Έπί

εΙναι ύπολογίσιμο καί δτι τό μήκος του ιι:Ιναι ίσο μέ τό

• Αφήνουμε

τίς αποδείξεις των ίσχυρισμφν αύτων στόν

αναγνώστη ώς άσκηση.

Σχ. 11-Ι8

μπορεί νά εχει μιά

τέτοια ωστε οί συνιστωσες τo~

= x(t)

δη

11-18,

Σχ.

11-19

'r't ~ r:

ι

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.ΙΙ

Έάν τά ακρα ενός τόξου τοϋ κλειστό τόξο τοϋ

243

συμπίπτουν, τότε τό τόξο τοϋ

Jordan

Jordan

λέγεται κλειστό.

ΗΕνα

τοϋ δποίου κάθε παραμετρική παράσταση εχει γιά πολλαπλά σημεία μόνο

Jordan,

τά ακρα της, λέγεται άπλό κλειστό τόςο του

η καμπυλόγραμμο πολύγωνο (Σχ.

Jordan

11-19).

Κάθε

κανονική συνιστώσα τοϋ καμπυλόγραμμου πολυγώνου λέγεται dκμή τοϋ πολυγώνου καί τό κοινό σημείο δύο άκμών λέγεται κορυφή τοϋ πολυγώνου.

Έάν

=U(t), 17 =17(t)

C: u

είναι ενα καμπυλόγραμμο πολύγωνο τοϋ επιπέδου, μπορεί νά δειχθεί

(μέ τή βοήθεια τοϋ θεωρήματος τοϋ καί άπλώς συνεκτικοϋ τόπου

D,

γιά καμπύλες) ότι τό

Jordan

πού λέγεται έσωτερικό του.

είναι τό σύνορο ενός φραγμένου

C

('Ένα σύνολο

D

τοϋ Εύκλείδειου χώ

ρου Ε λέγεται άπλώς συνεκτικό, αν κάθε κλειστό καμπυλόγραμμο πολύγωνο τοϋ σταλεί» κατά τρόπο συνεχή σ' ενα σημείο χωρίς νά άφήσει καθόλου τό

καί

είναι συναρτήσεις κλάσεως

Q(u,17)

καμπυλόγραμμο πολύγωνο

C

Cl

ενός άνοικτοϋ συνόλου

μαζί μέ τό εσωτερικό του

δηλαδή αν τό εφαπτόμενο διάνυσμα τοϋ

C

,C (Ρ du

όπου

= x(u,17)

• Εάν C

17 17

= 17(t)

τοϋ

καί αν τό

τότε ίσχύει τό θεώρημα τοϋ

ΙΙ (~ R

χ

C:

W

= x(u,17)

(11.19)

dud17

S

δρισμένο σ' ενα άνοικτό σύ

τήν είκόνα τοϋ εσωτερικοϋ τοϋ καμπυλόγραμμου πολυγώνου

επίσης λέμε ότι τό

U·

C

εχει θετικό προσανατολισμό στό τμήμα, αν τό

τοϋ καμπυλόγραμμου πολυγώνου

C

U,

όπως φαίνεται καί στό Σχ.

W τοϋ C u = U(t), u = U(t),

Τέλος, μπορεί νά δειχθεί ότι τό εσω

ενός τμήματος είναι ενα άπλώς συνεκτικό ύποσύνολο

τοϋ τμήματος, Μν καί μόνο Μν τό εσωτερικό τοϋ σύνολο τοϋ

- ~~)

Green

= X(t) = X(U(t),17(t» είναι ενα καμπυλόγραμμο πολύγωνο u = u(t), 17 = 17(t) είναι ενα καμπυλόγραμμο πολύγωνο τοϋ

= 17(t) εχει θετικό προσανατολισμό στό παραμετρικό επίπεδο.

τερικό

εχει θετικό προσανατολισμό,

C

είναι ενα καμπυλόγραμμο πολύγωνο τοϋ τμήματος, δρίζουμε ώς έσωτερικό

τοϋ τμήματος χ

P(u, 17)

τοϋ επιπέδου πού περιέχει ενα

U

είναι ενα τμήμα μιας επιφάνειας

τοϋ τμήματος, Μν καί μόνο Μν τό τόξο

U.

μπορεί νά «συ

DuC.

Προφανώς, μιά καμπύλη

U.

D,

+ Qd17) dt = dt

είναι τό κλειστό σύνολο

R

Ύποθέτουμε ότι χ νολο

dt

D

Έπίσης, αν

σ' ενα σημείο του μετά άπό μιά μικρή θετική περιστροφή

γύρω άπό τό σημείο αύτό δείχνει πρός τό

J'c

D

D.)

u

= u(t), 17 = 17(t)

είναι ενα άπλώς συνεκτικό ύπο

11-20.

Σχ. I1 -20

Ύποθέτουμε τώρα ότι οί παραμετρικές καμπύλες τοϋ τμήματος χ

κλάσεως

Cm, m

~

3, είναι όρθογώνιες.

Ύποθέτουμε επίσης ότι χ

φυσική παράσταση ενός καμπυλόγραμμου πολυγώνου

C

τοϋ χ

= x(u,17)

μιας επιφάνειας

= x(s) = x(u(s), 17(S»

= x(u,17)

κλάσεως

C2

S

είναι μιά

(παντοϋ εκτός

άπό τίς κορυφές), πού εχει θετικό προσανατολισμό καί τοϋ δποίου τό εσωτερικό είναι άπλώς συνε κτικό.

J

Ι

Θεωροϋμε άντίστοιχα τά μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα

= x.J ΙΧ.. Ι = x.JVE

gt

καί

τών U- καί 17-παραμετρικών καμπυλών.

τά μήκος

τοϋ

C

θ(Β) πού δρίζεται άπό τήν εκφραση που

t

ι

ρυφή Ρ

C

t

Cl. συνάρτηση

= (COS θ)gι + (βίη θ)g2,

είναι τό μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα τής

φαίνεται στό Σχ. -π

Θεωροϋμε επίσης κα

τήν κατά τμήματα κλάσεως

τοϋ

< αι < π.

στό Ρι '

C

11-21.

C,

ό

όπως

Παρατηροϋμε ότι ή θ(Β) σέ κάθε κο

κάνει ενα αλμα ίσο μέ κάποια γωνία αι , όπου

Ή γωνία αύτή α ι λέγεται έξωτερική γωνία τοϋ

Σχ.

11-21

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

244 Στό Πρόβλημα

11.19

της σελίδας

ΚΕΦ.Ι1

δείχνουμε (τύπος τού

253

ότι ή γεωδαισιακή καμ

Liouville)

πυλότητα κατά μηκος μιας άκμης δίνεται άπό τή σχέση

Κα

dθlds

=

+ κι cοsθ + Κ2 βίηθ

(11.20)

v =

όπου κι καί Κ 2 εΙναι οΙ γεωδαισιακές καμπυλότητες τών παραμετρικών καμπυλών

σταθ. άντίστοιχα.

• Επομένως

J: 'Αλλά

cοsθ

=

t" ..!!...

καί

βϊηθ

=

t" Χ"

ΙΈ

=

να

i:

=

Kgds

+

ds

J: (Κι

cos θ

dV)

Χ.. ' Χ..

+ x"ds

(d'U χ.. ds

Χο + Χ" dV) ds "y'G =

'U =

+ Κ 2 βίη θ) ds

Χ..

(d'U X Uds

σταθ. καί

"ΙΈ

d'U

γEds Χ""Χ,,

dv y'Gds

= ΙΈ:

(11.!lα)

...;Gdv ds

(l1.!lb)

=

όπου ύποθέσαμε ότι οΙ παραμετρικές καμπύλες εΙναι όρθογώνιες καί επομένως Χ.. ' Χο

=

Ο. Μέ τή

βοήθεια της σχέσεως αύτης εχουμε από τό παραπάνω όλοκλήρωμα

i 'Από τό θεώρημα τοϋ

i

Kgds

[έξίσωση

Green

Κα ds

i

=

=

i

dθ

i

+

σελ.

(11.19),

dθ

(ΚιΥΕ: + K2ν'G:)ds επεται ότι

243]

5f [~ (Κ2ν'G) - σ~ (ΚιVE) ]

+

R' όπου Ε' εΙναι ή ενωση τοϋ καμπυλόγραμμου πολυγώνου (τοϋ έπιπέδου) έσωτερικου του.

• Από

J: Κα

ds

τήν έξίσωση

= =

καί επομένως άπό τόν τύπο

233

'U = 'U(S), V = V(8)

καί τοϋ

εχουμε

J: dθ + ff [~ 2~ + :v 2~] i dθ + ff 2~ [~ );G + σ~ ~GJ yEG d'Udv

(11.10)

J: Κα i

νΕτσι εχουμε τή σχέση

της σελίδας

(11.6)

d'U dv

γιά τήν καμπυλότητα τοϋ

J: dθ

=

ds

d'Udv

βρίσκουμε

Gauss

ιι KyEG d'Udv

-

Β'

Κα ds

i dθ 55 Κ -

=

dS

R

όπου

R

εΙναι ή ενωση τοϋ

κλήρωμα

i dθ.

C

μέ τό έσωτερικό του στήν

'Επειδή τό καμπυλόγραμμο πολύγωνο

C

S. . Απομένει

νά ύπολογίσουμε τό όλο

εΙναι άπό τόν όρισμό μιά απλή καμπύλη,

μπορεί νά δειχθεί ότι ή συνολική μεταβολή της γωνίας θ κατά μηκος τού τοϋ Ισχυρισμού αύτου μπορεί νά βρεθεί σέ ενα βιβλίο τοπολογίας.

i

C

εΙναι 2π.

'Απόδειξη

Έπειδή όμως τό όλοκλήρωμα

dθ μετράει τή μεταβολή της θ μόνο κατά μηκος τών ακμών, πρέπει τελικά νά είναι Jϊc dθ + Σί αί = 2π

νΕτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

θεώρημα κλάσεως

11.18. C 2 ενός

Τύπος τών

νΕστω

Gauss-Bonnet.

C

τμήματος μιας έπιφάνειας κλάσεως

ενα καμπυλόγραμμο πολύγωνο κατά τμήματα

cm,

m

~

Ύποθέτουμε ότι τό

3.

τικό προσανατολισμό καί ότι τό έσωτερικό του εΙναι απλώς συνεκτικό.

i

Kgds

+

55

KdS

R

όπου Κα εΙναι ή γεωδαισιακή καμπυλότητα τοϋ καμπυλότητα του

Gauss

=

2π

-

Σαι ί

C

εχει θε

Τότε εχουμε

(11.!!)

C, R ή ενωση του C μέ τό έσωτερικό του, Κ ή C.

καί αι εΙναι οΙ έξωτερικές γωνίες τού

,.".

Κ Ε Φ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1.1

Παράδειγμα

Ύποθέτουμε δτι τό καμπυλόγραμμο πολύγωνο

11.10.

ται άπό τρείς γεωδαισιακές πού σχηματίζουν "11

=Ο

"ατά μήκος τοϋ

C,

ό τύπος τών

245

C

άποτελεί

i:va γεωδαισιακό τρίγωνο.

'Επειδή

Gauss-Bonnet γίνεται

ιι KdS = 27Τ :ta; R Ρι = 7Τ αι, i = Ι, 2, 3, τίς έσωτερικές -

'Εάν συμβολίσουμε γώνου (Σχ.

11-22),

μέ

-

τότε

f.J

3

= ~ Ρι

KdS

Ι=1

R

Γιά μιά σφαίρα άκτίνας α εχουμε Κ 3

= l/α , 2

=

~ Ρι

Ι=1

7Τ

+

γωνίες τοϋ τρι-

7Τ

-

όπότε ό τύπος γίνεται Σχ.

Α/α2

δπου τό Α παριστάνει τό έμβαδόν τοϋ γεωδαισιακοϋ τριγώνου. 3

ψευδοσφαίρας, εχουμε

~ Ρι 1=1

=

Α/α2 •

1r -

εΙναι μεγαλύτερο, μικρότερο ή ίσο μέ

1r,

'Εάν Κ

= -Ι/α

2

11-22

, δηλαδή στήν περίπτωση μιaς

• Αρα τό άθροισμα τών έσωτερικών γωνιών ένός γεωδαισιακοϋ τριγώνου

άνάλογα μέ τό άν ή καμπυλότητα τοϋ

Gauss

εΙναι άντίστοιχα θετική, άρνη

τική ή μηδέν.

Ύl1:0θέτουμε τώρα δτι ή έπιφάνεια.

άριθμό

εΙναι μιά συμπαγής (κλειστή καί φραγμένη) καί προσανατολίσιμη

S

Μπορεί νά δειχθεί δτι μιά τέτοια έπιφάνεια μπορεί πάντοτε νά καλυφθεί μέ πεπερασμένο

Ri , i

κλειστών περιοχών

= 1, ... , n,

ενωση I~νός καμπυλόγραμμου πολυγώνου

C;

ετσι ώστε κάθε περιοχή

μέ τό έσωτερικό του

W;

R;

νά άποτελείται άπό τήν

καί τά ζεύγη τών περιοχών

R;

πού έπικαλύπτονται νά εχουν κοινή ή μία μόνο άκμή (μέ τίς δύο κορυφές της) ή μία μόνο κορυφή,

δπως φαίνεται στό Σχ.

11-23.

Ή κάλυψη

R i, i

= 1, ... , n,

λέγεται πολυγωνική dνάλυση της

S.

Εί

δικά, αν έκλέξουμε ενα προσανατολισμό στήν έπιφάνεια, τότε ύπάρχει μιά πολυγωνική άνάλυση σέ

πολύγωνα πού εχουν θετικό προσανατολισμό καί εΙναι τέτοια ώστε οΙ προσανατολισμοί τους σέ κάθε ζεϋγος έπικαλυπτόμενων άκμών νά εΙναι άντίθετοι, δπως φαίνεται στό Σχ.

Σχ.11-23

•Εφαρμόζουμε

Σχ.

τώρα τόν τύπο τών

Gauss-Bonnet

γιά κάθε πολύγωνο

11-24.

11-24 μιας τέτοιας καλύψεως.

"Εχουμε

= R,

δπου βίj

ki

παριστάνει τόν άριθμό τών άκμών τοϋ άντίστοιχου καμπυλόγραμμου πολυγώνου

= π -- αι!

C;

καί

τίς έσωτερικές γωνίες στίς διάφορες κορυφές τοϋ πολυγώνου, δπως είδαμε στό προηγού

μενο παράδειγμα.

Στή συνέχεια άθροίζουμε τίς άντίστοιχες σχέσεις γιά δλα τά πολύγωνα

Cj •

'Ε

πειδή ~:άθε άκμή περιέχεται δύο φορές στό αθροισμα καί μάλιστα μέ άντίθετο προσανατολισμό,

προφανl:Ος εχουμε ~ [1,

"11

dsJ

= ο. Συνεπώς ~~ Κ dS = 2π ~ 1

-

π ι~ k; + ι~ ~ βij·

. Επειδril κάθε άκμή ύπάρχει δύο φορές στό αθροισμα Σ k ; καί έπειδή σέ κάθε κορυφή τοϋ άθροίΛ 1=1

σματος Σ Σ βι! άντιστοιχοϋν γωνίες μέ αθροισμα 2π, εχουμε τελικά τόν τύπο (=1

J

iJKdS = s

2π(α2 - αι

+ αο)

(11.23)

246

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

όπου α2

Κ ΕΦ.

11

εΙναι δ συνολικός άριθμός τών πολυγώνων, αι δ συνολικός άριθμός τών άκμών καί

= n

αο δ συνολικός άριθμός τών κορυφών τής πολυγωνικής άναλύσεως. Τό όλοκλήρωμα ιι Κ dS λέγεται δλική καμπυλότητα τής έπιφάνειας

• Από

S.

s

τήν παραπάνω ίσότητα συμπεραίνουμε ότι δ άκέραιος Χ

= α2 -

άπό τήν έπιφάνεια καί όχι άπό τήν πολυγωνική άνάλυση τής έπιφάνειας. χαρακτηριστική τού

του

της έπιφάνειας.

Euler

+ αο

αι

.Ο

έξαρταται μόνο

άριθμός αύτός Μγεται

Έπίσης, ευκολα συμπεραίνουμε ότι ή χαρακτηριστική

εΙναι άναλλοίωτη στίς Ι-Ι άμφισυνεχείς άπεικονίσεις (δμοιομορφισμούς) τής έπιφάνειας.

Euler

Πράγματι, εΙναι φανερό στι σέ μιά τέτοια άπεικόνιση μιά δποιαδήποτε πολυγωνική άνάλυση τής

S

έπιφάνειας

άπεικονίζεται σέ μιά πολυγωνική άνάλυση τής είκόνας της μέ τόν ίδιο άριθμό πολυ

γώνων, άκμών καί κορυφών.

. Αλλά

τότε στίς συμπαγείς προσανατολισμένες έπιφάνειες ~πεται ότι

ή όλική καμπυλότητα ΙΙ Κ dS εΙναι μιά τοπολογική άναλλοίωτη! s Ή έξίσωση

Θεώρημα

11.19.

φάνεια κλάσεως

(1l.23)

διαμορφώνεται τελικά ώς έξής:

Θεώρημα τών

ca, τότε

Gauss-Bonnet.

εχουμε

Έάν

S

εΙναι μιά προσανατολισμένη συμπαγήις έπι

ιι κ dS = 2πχ(S)

Ι

s όπου Κ εΙναι ή καμπυλότητα του Gauss καί Παράδειγμα

(11)

11.11.

Στό Σχ.

4

X(S) ή χαρακτηριστική του Euler τής έπιφάνειας S.

11-25 δίνεται μιά • Επομένως, ή

κορυφές.

πολυγωνική άνάλυση της σφαίρας, πού άποτελείται άπό χαρακτηριστική τοϋ

δτι ή συνολική καμπυλότητα της σφαίρας

Euler εΙναι 411".

Σχ. 11 -25

(b)

Στό Σχ. κορυφές.

(c)

4

πολύγωνα,

της σφαίρας· εΙναι δύο καί άπό τήν έξίσωση

6 άκμές καί (11.23) lπεται

Σχ.11-26

11-26 δίνεται μιά πολυγωνική άνάλυση τής σπείρας πού • Αρα ή χαρακτηριστική τοϋ Euler της σπείρας εΙναι

άποτελείται άπό Ο.

4

πολύγωνα,

8

άκμές καί

4

Ή όλική καμπυλότητα εΙναι έπίσης Ο.

• Η σπείρα εΙναι lva παράδειγμα σφαίρας μέ ενα χερούλι (λαβή) (βλ. σελ. 258).

·Οπως φαίνεται καί στό Σχ.

11-27,

μιά σφαίρα μέ δύο χερούλια προκύπτει, αν προσαρτήσουμε κατά μήκος ~νός καμπυλόγραμμου πολυγώνου μιας σπείρας τό άντίστοιχο καμπυλόγραμμο πολύγωνο μιας σφαίρας μέ ενα χερούλι.

Αυτό βέβαια εχει ώς άποτέλεσμα

ό συνολικός άριθμός των πολυγώνων καί των δύο έπιφανειων νά

έλαττώνεται

κατά

2,

ό

συνολικός

άριθμός

των άκμων νά έλαττώνεται κατά τό πλήθος των άκμων

τοϋ πολυγώνου καί ό συνολικός άριθμός των κορυφων νά έλαττώνεται κατά τό πληθος των κορυφων τοϋ πολυ γώνου.

• Επειδή

τό πλήθος των άκμων καί των κορυφων

f:νός πολυγώνου εΙναι πάντοτε ίδιο, ή χαρακτηριστική

τοϋ

-2. Γε Euler τής έπιφάνειας, πού παράγεται αν προσθέσουμε lva χερούλι σέ μιά έπιφάνεια πού εχει ρ-Ι χερούλια, εΙναι μικρότερη κατά 2 άπό τήν χαρακτηριστική τοϋ Euler της άρχικης έπιφάνειας. Συνεπώς, γιά τή χαρακτηριστική τοϋ Euler μιας έπιφάνειας μέ Ρ χερούλια ίσχύει γενικά ό τύπος χ 2(1- ρ). Euler

της σφαίρας μέ δύο χερούλια εΙναι

νικά, ή χαρακτηριστική τοϋ

=

Σχ.

11-27

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.ΙΙ

247

Λυμένα Προβλήματα ΑΠΕΙΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

11.1.

Δείξτε μέ τή βοήθεια τοϋ όρισμοϋ της συνέχειας (σελ.

μιας επιφάνειας

S

σέ μιά επιφάνεια

= P~

Ύποθέτουμε δτι Ι(Ρο )

τού P~.

S*

f

S*.

ενός τμήματος της επιφάνειας

D

γιά

κάθε

Ρ

στό

Sδ(Ρ ο )

ι

εχουμε δτι γιά κάθε σημείο Ρο στό πεδίο

ύπάρχει σφαιρική περιοχή Sδ (Ρο) τέτοια ώστε Sδ (Ρο)

S

δπου

n S,

8.13,

= min

δ

(δι, δ~,

εύκολα

2

φαίνεται

δτι

2

τό

Ρ

n S c D.

άνήκει

στό

n D, όπότε τό Ι(Ρ) άνήκει στό Sε(Ρ~), Δηλαδή ή Ι εΙναι συνεχής στό Ρο. Έπειδή τό Ρο τυχόν, ή f εΙναι συνεχής άπεικόνιση της S στήν S·.

1

εΙναι

Δείξτε δτι, αν

f

εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση της

νονική άπεικόνιση της

S*

S* *

στήν

κανονική άπεικόνιση της S στήν νΕστω

χ ••

στήν

S

Δηλαδή ύπάρχει μιά περιοχή Sδ (Ρο), τέτοια ώστε Ι(Ρ) Ε S.(P~)

Άλλά, άπό τό Πρόβλημα

nD.

Sδ (Ρο)

11.2.

δτι μιά κανονική άπεικόνιση

εΙναι ενα σημείο της S· καί S.(P~) εΙναι μιά τυχούσα σφαιρική περιοχή

τό Ρο καί στό όποίο ή Ι εΙναι συνεχής.

• Αλλά

107)

εΙναι συνεχής άπεικόνιση της

Cl

Σύμφωνα μέ τό πόρισμα της σελίδας 229, ύπάρχει ενα τμημα της S μέ πεδίο τιμών D πού περιέχει

γιά κάθε Ρ στό Sδι(Ρ ο ) τιμών

κλάσεως

= X(U,V)

χ

Cl,

Cl

καί

τότε ή σύνθετη άπεικόνιση

gοf

S

στήν

κλάσεως

S*

μιά κα

g

εΙναι μιά

S** κλάσεως C 1•

ενα τμημα της

= (ι ο f)(X(U, ν» εΙναι μιά κανονική

κλάσεως

όρισμένο στό άνοιχτό

S

σύνολο

παραμετρική παράσταση της

κόνιση της

S**.

Πρέπει

U.

νά δείξουμε δτι

Έπειδή ή

ή

εlναι κανονική άπει

f (U,V)

S στήν S· κλάσεως Cl, άπό τό Θεώρημα 11.1 !:πεται δτι γιά κάθε τού U ύπάρχει μιά S(U,V) τέτοια ώστε ή σύνθετη άπεικόνιση χ. f(x(u,v» νά δίνει ενα τμημα της S· γιά κάθε (U, v) στήν S(U, V). • Επειδή ή g εΙναι κανονική άπεικόνιση της S· στήν S*· κλάσεως Cl, επεται δτι ή χ** g(X·(U, V» = g(f(X(U, ν») (ι ο f)(X(U, ν» εΙναι κανονική παραμετρική παράσταση της S·* γιά κάθε (U, V) στήν S(u,lI). . Επειδή τό (u,lI) εΙναι τυχόν σημείο τού U, ή χ** (ι ο f)(x(u, 11» εΙναι κανονική παραμετρική παράσταση της S** σέ όλόκληρο τό U, πού εΙναι καί τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

=

περιοχή

=

11.3.

νΕστω

=

μιά άπεικόνιση της

f

σεως της κλάσεως

σεως της

Cr

S

ή

S

Cr.

S

άπεικόνιση χ*

Δείξτε ότι ή χ*

γιά κάθε τμημα χ

στήν

νΕστω χ

=

S*

κλάσεως

= x(u,lI)

στήν

S"', τέτοια ώστε γιά κάθε τμημα χ = X(U, υ) μιας βά

= f(x(u, υ»

= f(x(u, υ»

= X(U, υ)

της

άπό τό χ

'ιό θεώρημα

8.3

τυχόν τμημα της

= x(u,lI).

νΕστω

τής σελίδας

157,

όποίο

ό

παραμετρικός

f

εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση

S

όρισμένο στό

χ

= y(e, φ)

S·.

νΕστω

U. Πρέπει νά δείξουμε δτι (u,lI) τυχόν σημείο τού U

S

όρισμένου σέ ενα άνοικτό σύνολο

μετασχηματισμός

ή

= f(x(u,lI»

χ.

e

= e(u,v), Φ = φ(u,lΙ)

εΙναι

W

εΙ

καί Ρ ή είκόνα τού

ενα τμήμα τής βάσεως πού ή είκόνα του περιέχει τό Ρ.

ξέρουμε δτι ή τομή τών είκόνwν δύο τμημάτων χ

εΙναι επίσης είκόνα ενός τμήματος τής στό

καί συνεπώς ή

S

Cr.

ναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση τής

(u,lI)

νά εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλά

= x(u,lI)

καί

χ

πού περιέχει τό

επιτρεπτός.

. Από

= y(e, φ)

(u,lI)

Έπειδή

καί

εχουμι;

= f(X(U, 11» = f(y(e(u,lI), φ(u,lΙ») καί επειδή ή Ι(Υ(θ, φ» εlναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση, επεται = f(x(u,lI» εlναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση όρισμένη στό W. . Αλλά τό (u, 11) ι:lναι τυχόν σημείο τού U, άρα καί ή χ* = f(X(U,lI» εΙναι κανονική παραμετρική παράσταση σέ δλο τΩ U.

:[*

δτι καί ή χ*

11.4.

'Εάν σεως

f εΙναι μιά 1-1 κανονική άπεικόνιση μιας επιφάνειας S επί μιας επιφάνειας S* κλά Cl, δείξτε ότι ή f-t εΙναι επίσης μιά κανονική άπεικόνιση της S* επί της S κλάσεως Cl.

νΕστω χ*

= X·(U,lI)

ενα τμήμα τής S* όρισμένο στό

U. Πρέπει νά δείξουμε δτι ή χ

= f-l(X*(U,lI»

εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση τής S. 'Όπως καί στά προηγούμενα προβλήματα, εΙναι άρκετό νά δείξουμε δτι ή χ f-l(X*(U,V» εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση σέ κάποια περιοχή ενός 1υχόντος σημείου (u,lI) τού U. Έδώ συμβολίζουμε μέ Ρ· τήν είκόνα τοϋ (U,lI) άπό τήν άπεικόνιση

=

=

=

~t* X·(u, ν) καί μέ Ρ τήν είκόνα τού Ρ. άπό τήν ι-ι. νΕστω τώρα χ x(e, φ) ενα τμήμα τής S πού ~:εριέχει τό Ρ. • Επειδή ή Ι εΙναι κανονική άπεικόνιση τής S στήν S* κλάσεως Cl, ή χ. x*(e, φ) f(x(•• φ» εlναι κανονική παραμετρική παράσταση τής S· καΙ ή εΙκόνα της περιέχει τό Ρ*. Άπό τό Θεώ ρημα Ι 1.1 τής σελίδας 228 μπορούμε νά ύποθέσουμε δτι ή χ* = x*(e, φ) εlναι τμήμα. • Από τό Θεώρημα 8.3 της σελίδας 157 ή τομή τών τμημάτων χ. X*(U.lI) καΙ χ* x*(e. φ) τής S* περιέχει τό Ρ* καί ή ά71εικόνιση e e(u.lI). φ Φ(U.lΙ) εΙναι ενας έπιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός. . Αλλά τότε στήν τομή τους ή σύνθεση χ = f-t(x*(U.lI» x(e(u.lI). φ(u.lΙ» δίνει μιά κανονική παραμετρική παράσταση τής

=

8.

=

νΕτσι συμπληρώνεται ή άπόδειξη.

=

=

=

=

=

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

248

Κ ΕΦ.

11

ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

11.5.

'Εάν

εΤναι μιά ίσομετρία μιας επιφάνειας

f

μιά Ισομετρία της Β* επί της

επί μιας επιφάνειας

S

S*,

δείξτε δτι ή

'Από τό Πρόβλημα Ι κάθε τόξο

της

C·

άπει κόνιση της

S

ή

S·

1.4 ξέρουμε δτι ή f- 1 εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση της S· έπί f-l(C·) εΙναι έπίσης ~να κανονικό τόξο της S καί, έπειδή ή f

στήν

S·,

11.6.

εΙναι τό μηκος του

L(C·)

' Αποδείξτε

Q

μείο

τό Θεώρημα

εΤναι

της

S.

W

Αρα γιά

εΙναι Ιι'ομετρική

εχουμε

=

L(f- 1 (C·» δπου

f- 1

S.

=

L(f(f-l(C·»

L(C·)

'Συνεπώς, ή f- 1 εΙναι μιά Ισομετρία της

C·.

'Η εσωτερική άπόσταση

11.4:

D(P, Q)

S·

έπί της

S.

άπό τό σημείο Ρ στό ση-

μιας επιφάνειας εχει τίς Ιδιότητες

(ί)

D(P,Q) = D(Q,P) (ii) D(P, Η) "'" D(P, Q) + D(Q, Η) (iii) D(P, Q) ~ Ο, D(P, Q) Ο Μν καί μόνο Μν Ρ

=

'Επειδή τό μηκος

(ί)

τολισμου του στό

L(C)

f:νός κανονικου τόξου

φράγμα τών άριθμών

D(P,Q)

= D(Q,P).

'Επειδή

D(P, Q)

•>

εΙναι άνεξάρτητη του

L(C),

εΙναι τό μέγιστο κάτω φράγμα τών μηκών τών τόξων άπό τό Ρ στό

Ο ύπάρχει ενα κανονικό τόξο

τότε εχουμε

D(P,R) 'Επειδή τό ~

(ίίί)

'Επειδή τυχόν

~

>

=

>

~

Ο, γιά κάθε τόξο

ο εχουμε

D(P, Q)

~

= ε.

W

~

Ο

.,

D(P, Q) Q

D(P, Q)

+ D(Q,R) + 3ε

D(P,Q)

+ D(Q, R).

εΙναι καί

D(P, Q) ""

άπό τό Ρ στό Q τέτοιο ώστε

C

Ι:πεται δτι

= ο.

D(P, Q) C άπό

ύπάρχει ~να τόξο

- QI

=ο

ή Ρ

Q

της

S

S

Ο.

'Εάν τώρα ρ,=

L(C)

-

C

=

Q,

τέτοιο ώστε τό μήκος του

L(C) ~ D(P, Q) + •. wEatro τώρα C· f(C). 'Επειδή ή f D(f(P), f(Q» ~ L(C·) = L(C) ~ D(P, Q) +~. 'Επειδή

Αρα

Δείξτε

D(P, Q) ~ D(f(,P), f(Q». L(C)

Q, αν δοθεί τυχόν

νά {κανοποιεί τή σχέ

εΙναι τοπική Ισομετρία, εχουμε τό ~

S*.

σέ μιά επιφάνεια

ή εσωτερική άπόσταση εΤναι

άπό τό Ρ στό

Q,

'Επειδή γιά

Q τέτοιο ώστε νά εχουμε Q ~ L(C). 'Ε1τειδή τό ~

εΙναι τό μέγιστο κάτω φράγμα τών μηκών τών Τόξων άπό τό Ρ στό

ύπάρχει πάντα ενα τόξο

~ ε.

'Αντίστροφα, ας ύποθέσουμε δτι

τό Ρ στό

= Q.

μιά τοπική ίσομετρική άπεικόνιση μιας επιφάνειας

'Επειδή

ση

>

~

~ ~

'Αλλά γιά τήν Εϋκλείδεια άπόσταση Ισχύει ΙΡ

δτι γιά κάθε ζευγος σημείων Ρ,

> Ο,

D(P, R)

άπό τό Ρ στό

C

L(C)

γιά τυχόν ~

εΙναι τυχόν, εχουμε τελικά ΙΡ

f

+ L(C2 ) +

L(C 1)

Ο ύπάρχει ~να κανονικό τόξο

D(P, Q) Ο. Τότε L(C) ~ D(P, Q) + ~

WΕστω

~

L(C)

εΙναι τυχόν, εχουμε τελικά

L(C) ""

γιά κάθε ~

~

L(C) γιά δλα τά κανονικά τόξα C ,~πό τό Ρ wEtaI, ή D(P, Q), πού ε[ναι τό μέγ'ιστο κάτω προσανατολισμού τών τόξων C. Συνεπόiς εχουμε C.

Q, γιά τυχόν C l άπό τό Ρ στό Q τέτοιο ΆSστε L(C1) ~ D(P, Q) +.. Γιά τόν ίδιο λόγο ύπάρχει ενα κανονικό τόξο C 2 άπό τό Q στό R τέτοιο ώστε L(C2 ) ~ D(Q, R) +.. Τώρα τό τόξο πού προκύπτει άπό τήν ~νωση τών C2 καί C 1 εχει «γωνία» στό Q καί f:πομένως στή γενική πε ρίπτωση δέν εΙναι i:va κανονικό τόξο άπό τό Ρ στό R. Μπορεί δμως νά δειχθεί δτι ύπάρχει i:va κανο νικό τόξο C άπό τό Ρ στό R πού τό μηκος του, στή δυσμενέστερη περίπτωση, εΙναι λίγο μεγαλύτερο. Δηλαδή ύπάρχει κανονικό τόξο C άπό τό Ρ στό R, τέτοιο ΆSστε L(C) ~ L(C 1) + L(C2 ) +~. 'Αλλά

(ίί)

11.7.

άπό τό Ρ στό Q ε[ναι άνεξάρτητο του προσανα

C

~πεται δτι K~ τό σύνολο τών άριθμών

C,

ε[ναι άνεξάρτητο του προσανατολισμου τών

Q

= Q.

εΙναι τυχόν, ~πεται τό

L(C·)

= L(C).

ζητούμενο άπο

τέλεσμα.

11.8.

=

= x(s) μιά φυσική παράσταση καμπύλης χωρίς σημεία καμπης καί Υ = y(s, υ) v > ο, ή κανονική παραμετρική παράσταση πού προσδιορίζει τόν ενα κλάδο εφαπτόμενης επιφάνειας αύτης (Πρόβλ. 8.19, σελ. 167). Δείξτε δτι σέ κάθε σημείο της

WΕστω Χ

x(s) της

+ vt(S),

εφαπτόμενης επιφάνειας ύπάρχει περιοχή πού μπορεί νά άπεικονιστεί Ισομετρικά επί l:νός συνόλου του επιπέδου. Σύμφωνα μέ τό θεμελιώδες θεώρημα τών καμπυλών, ύπάρχει μιά καμπύλη του έπιπέδου ΧΙΧ2 μέ φυσική παράσταση

,,(s) τής Χ

χ.

= x·(s),

= x(s).

τέτοια ώστε ή καμπυλότητα

,,·(s}

της χ.

= x·(s)

νά εΙναι ίση μέ τήν κοιμπυλότητα

'Εάν δοθεί ~να σημείο Ρ της έφαπτόμενης έπιφάνειας καί ~να τμήμα

περιέχει τό Ρ, ορίζουμε τήν άπεικόνιση

f τής εΙκόνας του τμήματος στό έπίπεδο μέ τήν

Υ

=y(s, 11) πού

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Κ ΕΦ.ΙΙ

= f(y(s, υ» = f(x(s) + lIt(S» = x*(s) + lIt*(S) = t* εΙναι συνεχείς καί ΙΥ: χ Υ: Ι = 1ι/(*

Υ*

= χ* +

οι Υ:

>

υπόθεση 11

lιΙ*

Ο καί

της σελίδας

Il.I ι-ι.

=

t* + lI/(*n* καί Υ:

.,& Ο· συνεπώς ή

/(* = /(

228

μποροϋμε, δν περιορίσουμε τό τμημα πού περιέχει τό Ρ, νά

= y(s,v) fχουμε Ε = Υ.·Υ. = (t+lII
Γιά τό

Υ*

• Αλλά /(

= /(*.

Έάν

= Ε*, F = F*, G = G*.

' Επομένως Ε f ε[ναι μιά

εΙναι μιά ισομετρία τής

f

S

όπου Ε,

έπί τής

F, G

νΕστω

1Ι

(u, υ)

b,

· Αλλά

καί χ

S*

καί Ε*,

= x(u,'v)

F*, G*

πού διέρχεται

χ*

dπό τό σηj:lείο

συμ

ενα τμήμα τής

S,

δείξτε ότι

= f(x(u, υ».

(U,lI)

= x(u, 11).

καί

CT

νΕστω

u

καί σ; ΟΙ

στό τυχόν διάστημα α ο:: t ο:: τ, στίς έmφάνειες

= u(t), 11 = lI(t),

εΙκόνες του τόξου

καί Β* dντίστοιχα.

S

Έ

f ε{ναι μιά Ισομετρία της S έπί της Β*, εχουμε

ή Ισότητα αυτή ίσχύει γιά κάθε τ.

Συνεπώς, γιά κάθε t

=

E(dU)2 + 2F du dv + G(dll)2 dt dt dt dt 'Η καμπύλη δμως

U

δρα καί στό άρχικό σημείο (ιι, ν) ε[ναι

E*(dU)2 + 2F* du dll + G*(dV)2 • dt dt dt dt

= U(t),

v = lI(t), πού διέρχεται άπό τό (U, υ), εΙναι τυχούσα. Συνεπώς, ή παραπάνω (U, v) γιά δλα τά du/dt, dv/dt. ' Επομένως, εχουμε στό (u, ν) Ε Ε*, F F* δμως τό (u,lI) εΙναι τυχόν σημείο τοϋ πεδίου δρισμου, εύκολα συμπεραίνουμε τό

=

Ισότητα ίσχύει στό σημείο

G = G*.

καί

230

εΙναι άντίστοιχα τά θεμελιώδη με

Ι:να τυχόν σημείο στό πεδίο όριqμοϋ του τμήματος χ

Ι:να τυχόν τόξο

=u(t), ν =ν(Ι), δρισμένου

τ:ειδή ή

Τελικά, dπό τό Θεώρημα Ι Ι.3 της σελίδας

= x(u, υ) καί

γέθη πρώτης τάξεως των τμημάτων χ ι, ο:: t ο::

1

ίσομετρία.

= Ε*, F = F*, G = G*,

.r!J

Ο, dφοϋ dπό την •Από τό Θεώρημα πετύχουμε ή f νά ε[ναι .,&

f εΙναι κανονική άπεικόνιση κλάσεως Ct.

Τώρα γιά τό τμημα Υ

ιrεραίνoυμε δη ή

11.9.

249

Έπειδή

=

ζητούμενο άποτέλεσμα.

11.10.

Μιά κανονική άπεικόνιση

μιας έπιφάνειας

f

μορφη, αν γιά κάθε τμήμα χ γΜΙ κάθε

(U,

χ

F, G

= x(u, υ)

τής

S

S

σέ μιά έπιφάνεια

S*

κλάσεως

ύπάρχει μιά συνάρτηση λ(U, υ)

CI

λέγεται σύμ

>Ο

τέτοια ώστε

υ) νά ίσχύει

Ε δπου Ε,

= X(U, υ) ΑΕ*,

F*, G*

καί Ε*,

καί χ*

=

= f(x(u, υ».

F

=

= X(t)

καί

G

= λG*

εΙναι άντίστοιχα τά θεμελιώδη

μεγέθη

πρώτης τάξεως τών

Δείξτε δτι ή σύμμορφη άπεικόνιση διατηρεί τή γωνία δύο

τεμνόμενων προσανατολισμένων καμπυλών.

λισμένων καμπυλών χ

λF*

καί ξ

= ξ(τ)

Μέ τόν δρο γωνία δύο τεμνόμενων προσανατο

έννοοϋμε τήν κυρτή γωνία θ

= 4(Χ',ξ') των

έφα

πτ6μενων διανυσμάτων στό σημείο τομής τους.

= X(U, υ) εΙναι ενα τμημα πού περιέχει τό Ρ καί χ = x(u(t), ν(Ι» , ε = Χ(7/(Τ), Ητ» S πού τέμνονται στό Ρ καί fxouv dντίστοιχα έφαπτόμενα διανύσματα στό Ρ ε' = χ,.7/' + xJ'. Έάν 8 = 4(Χ" ε'), τότε άπό τήν έξίσωση (9.6) της σελίδας 173

Ύποθέτουμε δτι χ

είναι

χ'

δύο

καμπύλες

= χ,.ιι' + x.,V'

της

καί

fχσ.υμε

COSfJ

• Ατιό ε*'

17

1

τήν

δλλη

=

πλευρά,

= χ: 7/' + < r'

δν

8*

ε[ναι ή

τών καμπυλών χ*

γωνία τών έφαπτόμενων διανυσμάτων

= X*(U(t), lI(t»

καί ε*

=

Χ*(7/(Τ), r(τ»

χ*'

= χ: U' +

της Β*, τότε

χ: ν'

καί

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

250

=

cos s*

[E*(U')2

• Αλλά άπό τήν ύπόθεση cos s cos s* ή S s*,

=

11.11.

Δύο

Ο

...,:::

=

έπιφάνειες

λ~

=

λΕ*,

F =

G=

λF* ιcαί

λέγονται

S·

έφαρμόσιμες,

αν

ύπάρχει

στόν Ε3, τέτοια ώστε (ί)

S

μιά

= S,

fo(S)

συνεχής

(ίί)

σλες τίς τιμές τοϋ λ οί άπεικονίσεις ίλ, είναι ίσομετρικές άπεικονίσεις

Διαισθητικά, αύτό σημαίνει στι οί έπιφάνειες

S

καί

έφαρμόσιμες, λέμε στι ή κάμψεως.

μπορεί νά προκύψει άπό τήν

S·

f 1(S) της S

οίκογένεια

= S·,

ίλ"

(ίίί) γιά

έπί της fλ(S).

είναι έφαρμόσιμες, αν ή Β μπορεί

S·

S·. . Εάν S

νά καμφθεί συνεχως καί ίσομετρικως ώστε νά συμπέσει μέ τήν έπιφάνειας

λG*. Συνεπώς fχουμε

πού συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

καί

S

11

+ 2F*u'v' + G*(ν')ψ/2 [Ε*(,1')2 + 2F*,1'r' + G*(r')2]1/2

ε[ναι στά άντίστοιχα σημεία Ε

άπεικονίσεων της

1,

Κ Ε Φ.

μέ κάμψη.

S

S·

καί

•Η

είναι

ίδιότητα μιας

πού είναι άναλλοίωτη σέ μιά συνεχή οΙκογένεια ίσομετριων λέγεται άναλλοίωτη

Προφανως, αν οί

καί

S

νιicά, τό άντίστροφο δέν Ισχύει.

είναι έφαρμόσιμες, τότε είναι καί ίσομετρικές.

S*

Γε

Δείξτε στι μιά περιοχή τυχόντος σημείου ενός κλάδου της

έφαπτόμενης έπιφάνειας μιας καμπύλης μπορεί νά προκύψει άπό κάμψη τμήματος τοϋ έπιπέ δου (βλ. Πρόβλ. "Εστω

Υ

11.8).

= Y(S,lI) =

Σ(Β)

πιφάνειας μιας ιcαμπύλης Σ

=

+ lIt(S),

ν

>

Ο, μιά ιcανoνιιcή παραμετριιcή παράσταση της έφαπτόμενης έ

Σ(Β). πού δέν εχει σημεία ιcαμπής.

λών επεται δτι γιά ιcάθε λ, Ο ~ λ ~

1,

. Από

= Χλ,(Β),

ύπάρχει μιά ιcαμπύλη χ

τό θεμελιώδες θεώρημα 1;ών ιcαμπυ μέ ιcαμπυλότητα

,,(s) ι<:αί στρέψη

(1 - λ)"(Β), σπου ,,(s) καί ,,(s) ε[ναι άντίστοιχα ή ιcαμπυλότητα ΙCαί ή στρέψη τής ιcαμπύλης Χ τηρουμε στι δέν.

= x(s).

Xo(S)

Έπίσης ή καμπύλη

Μπορεί άιcόμα νά δειχθεί δτι ή Χλ(Β)

Χ

= Σι(Β)

ε[ναι έπίπεδη, άφου

ε[ναι συνεχής ώς πρός λ.

άπειιcoνίσεων Ιλ, τής έφαπτόμενης έπιφάνειας πού όρίζεται άπό τήν Χ ·Οπως εύιcoλα έπαληθεύεται στό Πρόβλημα

Ι

ή

= x(s).

Παρα

ή στρέψη της ε[ναι μη

Θεωρουμε τώρα τήν oΙιcoγένεια τών

=

Ιλ,(Υ(Β,lΙ»

=

Χλ,(Β)

+ vtλo(S)"

ν

> Ο.

ε[ναι μιά ιcανoνιιcή άπεΙΙCόνιση της εΙ1cόνας ένός τμήματος τής έφαπτόμενης έπιφάνειας έπί του πεδίου τιμών της, ιcλάσεως C 1 γιά ιcάθε λ. Προφανώς ε[ναι

1.8,

Ιλ,

= y(s, ν) ΙCαί τό σύνολο δλων τών σημείων Ιι(Υ(Β,ν» ε[ναι ύποσύνολο του έπιπέδου πού παράγεται = Χι(Β). Τελιιcά, γιά δλα τά λ, οΙ ύπολογισμοί δίνουν = (Σλ,).· (Σλ,). = 1 + ν ,,2 = Εο , F). = (Χλ,).· (Χλ)1Ι = 1 == F o' G). = (Σλ,)ιι· (Σλ,)ιι = 1 = Go

f o(y(s,lI»

άπό τίς έφαπτόμενες τής έπίπεδης ιcαμπύλης Χ 2

Ελ,

τό όποίο άπoδειιcνύει τήν πρόταση.

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ

11.12.

Προσδιορίστε τίς γεωδαισιακές τοϋ όρθοϋ κυκλικοϋ κώνου

Χ

=

(U βίη α

COS θ)eι

λύνοντας τίς έξισώσεις

όπου

C

= eK βίη

2

α.

...

Χ.. = Ι, F

= :ι:,.. Χθ = Ο,

= σταθ., Ο < α < π/2,

α

'Επειδή ή παράμετρος

2

= Ι: 12 = \Χ.. : + Σθ:1 = . Αλλά ds/ds = C/u 2 Βίη 2 α, όπότε 1

s

G

= Χθ· Χθ = u

'ΙΙ> Ο

= Γ~2 = Γ~l := Γ~ = ο, l'k = -u Βίη 2 α, Γ~2 = l/u.. "Ετσι ή δεύτερη άπό τίς έξισώσεις (Ι 1.7) γίνεται ~: = -(2/u) ~~: . Θέτοντας Φ = ~: παίρνουμε ~:: = -:: : . Συνεπώς log Φ = -2 log u + Κ 1'1 φ = : = (J/u2 Βίη 2 α, "Εχουμε Ε

=χ

+ (u βίη α sin θ)e2 + (U COS a)e3 (11.7) της σελίδας 234.

2

Βίη2 α' Γ~ι

έιcφράζει τό μήιcoς τόξου, εχουμε

Ε(:Υ + 2F~: ~: + G(~Y παίρνουμε du/ds

=

1'1

1

= (:Υ + u 2 Βίη 2 α(:Υ

vu2 βίη2 α - CZ/u Βίη α.

Τέλος άπόείς δύο τε

λευταίες σχέσεις εχουμε (λ ιcαί Β ε{ναι σταθερές)

du/ds

11.13.

= (1/C)u Βίη αVιι2 Βίη 2 α -

CZ

=

u

λ

sec

[(Βίη α)Β

+ Β]

Δείξτε στι ή γεωδαισιακή καμπυλότητα κ ιι μιας καμπύλης μέ φυσική παράσταση ]t

X(U(S), v(s»

κλάσεως (j2 ενός τμήματος Χ

=

κι = [Γ~ι(:Y + (2Γ~2-Γω(:)(:) _

+

(Γ~2-2Γω(:)(~~)2

ΓΙ (dV)3 + du d2v2 _ d2u2 dV] yEG _ F2 22

ds

=x(s) =

X(U, υ) κλάσεως (j2 δίνεται άπό τήν ειcφραση

ds ds

ds ds

251

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.11

" Εχουμε

dx du dv t = dB = x,.dB +x"ds' "Ετσι άπό τήν tξίσωση

[tkN]

=

/«(1

dt = = dB

k

(11.3)

της σελίδας

[χ,.χ,...Ν] ( : )3+

=

+([x,.x.ιvN]

Χ.... (dU) ds 2 + 2x,.v (dU) ds (dV) ds +

(dV) dB 2 + χ,. d2u ds2 + Xv d2v ds2

βρίσκουμε

233

(2 [x,.x..vN] + [x"x"..NJ> ( :

(~: ) (~:)2

+ 2[x"x,.vNJ>

X vv

)2 (::) γ

+ [XvXvvN] ( :

[χ,.χ"Ν] ( : :~ -

+

:: :)

Τώρα άπό τήν tξίσωση του Gauss χ,... = Γ~ιx,. + Γ~ιx" + LN τής σελίδας 202 i\χουμε

=

[χ,.χ,...Ν]

rft [χ,.χ,.Ν] + Γ~ι [χ..χ"Ν] + L[x..NN] =

Άλλά [χ"χ"Ν] =(χ,. χ χ,,). (Χ.. χ χ")/Ιχ,, χ χ,,1

= Ιχ,. χ χ,,1

=

=VEG - F2. = r~2yEG -

~Oμoια Ιχουμε [xvx.."N] -Γ~ι VEG - F2, [x,.x,.vN] [x.ΧVVN] = Γ~ VEG - F2, [x"χvvN] = -rh yEG - F2. /«(1

11.14.

Γ~ι [χ..χ"Ν]

Συνεπώς [χ,.χ,...Ν] = r~tVEG - F2.

= -Γ~2 yEG -

Ji'2, [x"x,.vN]

F2,

. Αντικαθιστώντας στήν tξίσωση πού δίνει τήν

παίρνουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

'Αποδείξτε τό Θεώρημα Ι 1.8: κλάσεως C2 ~νός τμήματος χ συναρτήσεις

Ξέρουμε

δη

Χ

= Χ(Β)

t,

~πεται δτι fι Χ

•Από

Κ(Ι

t=

κλάσεως

d2u ds2

+ Γ ιιι (dU)2 ds +

d2v d.<J2

+

2

(dU)2

+

Γιι ds

= k • Ό,

δπου

t,

(du/dB)

• Επομένως,

fι

Χ

+ χ" (dv/ds)

dt ds

= = x(s)

C2

εΙναι γεωδαισιακή, έάν καί μόνο έάν οί

Ι du dv + Γ 2Ι 2 (ddsV )

2

Γ Ι2 ds ds

2

Γ Ι2 ds ds

du dv

2

Ό, Ν εΙναι

= Χ(Β) εΙναι γεωδαισιακή, Μν

Χ..

k

k ..

= X(U, υ)

= x(s) = X(U(S), v(s»

ίκανοποιοϋν τίς έξισώσεις

V(S)

εΙναι γεωδαισιακή, Μν καί μόνο Μν

τήν

k"x ..

καί

U(S)

Μιά καμπύλη μέ φυσική παράσταση Χ

μιά

k· U

Έπειδή τό

βάση.

k

ο

"Ετσι,

fι

φυσιιcή

παράσταση

εΙναι πάντα κάθετο στό άντίστοιχο

καί μόνο Μν κατά μήκος της Ισχύει

k· χ,. =

Ο ΙCαί

X vv

ο

.

(dV) 2 d2u d2ν dB + Χ.. ds2 + χ" ds2

εΙναι γεωδαισιακή, Μν καί μόνο Μν

dU)2 + 2(x.. • Χ..) du ds dv ds + (X vv • Χ..) (dV) d8 2 + (χ... Χ..) d2u ds2 + (χ... Xv) dZν ds2 v

(χ,.... χ,.) ( ds

χ" = (χ..... χ,,) ( ~:)

Λύνοντας ώς πρός

k· χ" =

παίρνουμε

(dU) 2 du dv χ,... ds + 2x..v dB dB +

=

=

+

όρθοκανονική

= Ο.

Ο

2

2

d 2u/ds2

+ 2(x,.v. X v)

~: ~: +

καί

καί χρησιμοποιώντας τή διανυσματική ταυτότητα

(a

d 2v/ds2 χ

b) • (c

χ

(x"v. X v)

(~: )

2

+

(χ,..

X V)

ιι;; +

(xv • χ,,) :~

=

Ο Ο

d) = (a· c)(b • d) - (8· d)(b· c)

παίρνουμε τίς ίσοδύναμες tξισώσεις

(EG - F2) d2u dιι 2

=

(XVχ Σκυ) • (Συ χ Συ) (dU) ds 2

+

2(χ" χ x,.V) • (Χ.. χ X V) ~: ~:

+

(χ" χ x"v) • (χ,. χ χ,,) ( :) 2

+

2(χ,. χ X ..V )

du d8 dv

+

(χ" χ X vv) • (χ" χ χ,.)

Χρησιμοποιώντας τήν Ν = χ,. χ χ"Ιlχ,. χ xvl

•

(X v χ Χ ..) ϊi8

= χ.. χ x"IvEG -

(dV) ds 2

F2 καί τίς tκφράσεις γιά τά [χ,.Χ....Ν], κλπ.

του προηγούμενου προβλήματος παίρνουμε τίς ζητούμενες έξισώσεις.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

252 11.15.

'Εάν οί συναρτήσεις

καί

U(S)

ΚΕΦ.11

εΙναι μιά λύση τοϋ συστήματος τών διαφορικών έξισώ

v(s)

s=

σεων τοϋ προηγούμενου προβλήματος, ετσι ωστε σέ κάποιο σημείο

Εο(:): + 2Fo(:X(:X + GO(~): = s

δείξτε ότι ή

, Από

εΙναι μιά φυσική παράμετρος της καμπύλης

χ

u(s),

τό προηγούμενο πρόβλημα ξέρουμε δτι οί συναρτήσεις

So νά εχουμε

1

= X(U(S), v(S».

ν(Β) ε[ναι

μιά

λύση

του συστήμα

τος τών διαφορικών έξισώσεων, Μν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο τής καμπύλης τό διάνυσμα ::. χ,.

= Ο καί

δπου

= Ο ή, Ισοδύναμα, τήν : . u = Ο γιά κάθε έφαπτόμενο διάνυσμα U. ' Αλλά τότε ~ Itl 2 = ~ (t· t) = 2 ::. t = ο, άφου ή t εχει μέτρο ίσο μέ ενα. • Ολοκληρώνοντας τήν τελευταία σχέση εχουμε Itl = C = σταθ. ' Αλλά στό σημείο s = εΙναι

t

= ~: = χ,.: + χ" : ' ίκανοποιει τις σχέσεις

::'

: . χ"

2

11.16.

1(x,.)0(~:)0 + (x,,)o(~:ΧI2 = Eo(~:): + 2FO(~:X(:X + GO(~;): =

=

Itol 2 Συνεπώς

Itl 2 = Idx/dsl 2 = 1

'Εάν χ

= X(S) = X(U(S), v(S»

χ

So

= X(U, υ) γιά

1

γιά κάθε Β, πού συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

εΙναι μιά φυσική παράσταση μιας γεωδαισιακης ~νός τμήματος

=Ο

τό όποίο Ε:;:: E(u), F

= G(u),

καί G

δείξτε ότι ίσχύει

VG cos θ = C =

σταθ., όπου θ εΙναι ή γωνία της γεωδαισιακης καί τών υ-παραμετρικών καμπυλών

u = σταθ.,

= 4-(t, χ,,).

δηλαδή θ

= ο, Γ~2 = G,j2G, Γ~ = Ο. Συνεπώς, ή • - έξ' (11 .7 )γι' νεται .d2ν Ο ' Ε πειδ η• dsd (G dV) d2ν + Gοι du δ ευτερη των ισωσεων ds2 + G G.. du ds dv da =. ds = G ds2 ds dll ds' ή παραπάνω έξίσωση ε[ναι Ισοδύναμη μέ τήν :a (G ~;) = Ο. Συνεπώς G ~: = C = σταθ. Μέ τή βοήθεια τής F = χ,. • Χ" = Ο βρίσκουμε δτι Άπό τίς σχέσεις (10.4) της σελίδας 202 βρίσκουμε δτι Γ~l

dv G ds Συνεπώς

= (Χ" • Χ,,) ~; = (Χ" ~: + Χ" : ) • χ" = VG COS(J = C = σταθ.

11.17. ' ΑΠbδείξτε Cm, m ~ 2,

τό Θεώρημα

'Εάν χ

11.10:

τέτοιο ωστε Ε

οί u-παραμετρικές καμπύλες υ

(ii)

ή υ-παραμετρική καμπύλη

υ (i)

, Από

τήν έξίσωση

τρικές καμπύλες

(Η)

= .

= Uo

, Από

±

καί

"Αρα

. dv

du

ά

•

S..fGvc-..jE

G - C2

τής σελίδας

233

εχουμε

(11.6) εχουμε (Κιι ).. = ..

ντικατασταση

= dv

/du ds/ 'ds

= G(u),

-

του

=±

VG

COS (J

τότε

Uo εΙναι γεωδαισιακή, Μν καί μόνο Μν

τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

.

=

G..(UO) =

Ο,

εΙναι γεωδαισιακή, Μν καί μόνο Μν

τόξου, εχουμε

την

4-(t, Χ,,)

σταθ. εΙναι γεωδαισιακές,

ο

ε[ναι γεωδαισιακή, έάν καί μόνο έάν

Μ ετα.

G

COS

εΙναι ~να τμημα μιας έπιφάνειας κλάσεως

du,

C=

(K g ),,= σταθ

σταθ. εΙναι γεωδαισιακές.

Πάλι άπό τήν έξίσωση

u (iii)

11

(11.6)

=

=

u =

= X(U, v(U»

(ίίί) μιά καμπύλη χ

= X(U, υ)

= E(u), F = Ο

(ί)

\t\\x,,\

=

G.. (UO)

2G(uo)

G ..(UO)

Et)

.

= - 2EyG _", = ο.

_~. γ E(uo)

= Ο. = σταθ.

G: = C

=

σταθ . Συνεπώς, οΙ

Συνεπώς, ή ν-παραμετρική καμπύλη

'Επίσης, έπειδή ή

E(dU)2 + C2 ds G

s

έκφράζει τό μήκος

du '1/G - C2 = ±----. ds ΥΈνα

dv ds = .C G

παίρνουμε

c...;E

άπ' δπου επεται τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

VGVG-C2'

1

u-παραμε-

Κ ΕΦ.

11.18.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

11

= X(U, ν)

'Ένα τμημα Χ

U

+V

ν.

καί

' Εάν

= Ο,

F

δπου

Liouvi//e, αν έχουμε Ε = G = V μιά συνάρτηση μόνο του

μιας επιφάνειας λέγεται τμημα του

εΙναι μιά συνάρτηση μόνο του U καί

U

= x(s) = X(U(S), ν(Β))

"(ώρα χ

253

εΙναι μιά φυσική παράσταση μιας γεωδαισιακης ένός

τέτοιου τμήματος, δείξτε δτι

=

U sin2 8 - V cos 2 8 δπου

8

σ,

= σταθ.

σ

εΙναι ή γωνία της γεωδαισιακης καί τών u-παραμετρικών καμπυλών ν

8 = 4(t,Xu). wE χουμε

U' 2(U + V) -- ΓΙ11

~

προφανως

στήσουμε στήν έξίσωση (Ι

-y<~:Y

--

22 --

- ΓΙ

τής σελίδας

1.4)

233

Γ 2Ι2 ιcαι,

Υ' 2(U + Υ) -- ΓΙΙ2

ιcαί θέσουμε "ο

= Ο,

--

2 Γ 22'

'Εά ν ά νΤΙΙCατα-

παίρνουμε

υ'(~:Y (~:)

2(U

-

=

!!:...[U(dV/ds)2 - V(dU/d8)2] d8 (du/d8)2 + (dv/ds)2

Αύτό είναι τό ίσοδύναμο μέ τό

= ο

:)

ο

Έπομένως

C

_ t· χ.. _ (xudu/ds + Xvdv/d8) • χ.. -.1 Ι du Itllx..1 IXul - χ.. d8'

WΕχουμε τώρα cos' -

= σταθ.

ΗΟ μοια sin,

(α)

t· χv

= IXvl =

Ι

Ι dv

χv ds'

έΙCφράζει τό μήιcoς τόξου, εχουμε

8

= 1~~12 = IXu~:+Xv:~12 = (υ+y)[(~:)2 +(~:ΧJ

1

!xv!2 [(~:Χ +

Συνεπώς

2

- y,~:(~:)2 + υ,(~:)3 + 2(υ+y)(~:~ - ::::) [(:Υ +(~:)2]( υ'~: _y'~:) + + Υ) (~: ~; :~ ο

+

~

Έπειδή ή

-- - Γ 11

= σταθ., δηλαδή

COS

2, =

(~:)2] = !χ..!2 [(~:Χ + (~:)2 ]

(~:)ϊ [(~:)2 + (~:)2] ΙCαί Βίη2, = (~:)/[(~:) + (~:)2J ΙCαί μετά τήν

άντιιcατάστασή τους στήν (α) παίρνουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

11.19.

Τύπος του

νΕστω χ

Liouville.

= X(U, ν)

ενα τμημα μιας επιφάνειας κλάσεως ~ m~

2, τέτοιο

= x(s) = X(U(S), ν(Β)) τμήματος. νΕστω ιι = XJIXul

ώστε οί U- καί ν-παραμετρικές καμπύλες νά εΙναι όρθογώνιες καί Χ

μιά φυσική παράσταση μιας καμπύλης σ κλάσεως σ2 του καί g2 Xv/IXvl τά μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα τών παραμετρικών καμπυλών στό τυχόν σημείο του τμήματος καί 8 8(s) μιά συνάρτηση κατά μηκος της σ πού όρίζεται άπό

=

τήν

t = (COS 8)ιι

μείο της σ.

+ (Sin 8)g2,

=

δπου

t

εΙναι τό μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στό τυχόν ση

Δείξτε δτι ή γεωδαισιακή καμπυλότητα της σ δίνεται άπό τήν έκφραση

"ο

d8/ds

+

κι cos 8

+ Κ2 sin 8

δπου κι εΙναι ή γεωδαισιακή καμπυλότητα της u-παραμετρικης καμπύλης καί Κ 2 ή γεωδαι σιακή καμπυλότητα της ν-παραμετρικης καμπύλης. Παραγωγίζουμε τήν Ιι ιcατά μήιcoς τής όπότε παίρνουμε

d

Ιι

ds

8ιι du

=

aU d8

C

καί χρησιμοποιοϋμε τίς έξισώσεις (Ι

σιι dv

+

dg l

aV d8

dl

=

= d8l !χ..! d8 + d82l !χvl δπου 8ι ΙCαί 82 είναι

dl2 -d

=

dg2 -d cos fJ

οΙ

8 8ι 2 μενα, όπότε παίρνουμε

J ι

φυσιιcές

• dl2 Βιη + -ds θ.

du

παράμετροι ,

τών

dgl d8l du ds t du ds dv d8

d

+

dgl 82

τής σελίδας

244,

dv

dS2 dv ds

dIl

= d8l

1.21)

COS

fJ

+

U- ΙCαί ν-παραμετριιcών

Παραγωγιζουμε τήν t κατά μήιcoς τής

dgl .

d82 Βιη

fJ

ιcαμπυλών άντίστοιχα.

ΗΟ μοια ,

C ΙCαί χρησιμοποιοϋμε τά προηγού-

ΚΕΦ.11

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

254

t

k

γιατί

LΙ ο

=

U

-11

Βϊη

dl 1

dl 1

-

-

dl l

ds - (Βϊη (J)ll

=

(cos (J)

=

-d cos2 (J +

(d1l d( 2 ) -d + -d cos(J

dl l

Βι

(J + 12 COS θ. dl 2

• Από

-

-

S2

τήν

"ιι

l

2

(12

ο

:::)

SI

έξίσωση

dg2

= 11 ο dS = 12 ο ds = 12 ο dS = Ο = koU = ko(-llsin(J+12COS(J)

ds l

d(J. d. + (Βιη

dl 2

d(J

θ) ϊi8 + (cos (J)12 d. dl 2 • + -Βιηl, + dS

Βϊη (J

d(J ds

Ό-

2

(11.1)

της

σελίδας

καί

232

άπό τό

γεγονός

δτι

~χoυμε

2

ο

COS3 (J + (12

:::)

Βίη (J

COS2 (J

ο

(11

-

Βίη2 (J COS (J

:::)

(ιι. :::) Βίη3 (J

-

+

~:

Τελικά, παρατηρουμε άπό τήν Εκφραση αυτή δτι ή γεωδαισιακή καμπυλότητα τών "-παραμετρικών καμπυλών

δίνεται άπό τήν Εκφραση εΙναι

'Επομένως

"ιι

dl t = 120-, ds

ένώ ή γεωδαισιακή καμπυλότητα τών ν-παραμετρικών καμπυλών

l

dl 2 -Ιι ο dS 2

=

"ι

"ι

'Επειδή

•

δμως

LΙ

d(J/ds + "ι cos3 (J

=

012

+

= Ο,

Εχουμε Βϊη (J

"2 COS2 (J

+

d, 2 = -gl ο ds l

έπίσης

"ι

"ι Βϊη 2 (J

cos (J +

•

και

-

dl t = 12 • . ds l

"2

"ι Βϊη 3 (J

πού δίνει εύκολα τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

11.200 νΕστω

Χ

= X(t),

t ~ b, μιά παραμετρική παράσταση καμπύλης C κλάσεως σι μιας έπι m"", 3. νΕστω Χ = x(s, Ι) tΊ οΙκογένεια των φυσικων παραστάσεων των γεωδαισιακων πού άρχίζουν άπό τήν C καί εΙναι όρθογώνιες πρός τήν C, δηλαδή Χ(Ο, Ι) = X(t) καί Χ.(Ο, Ι) ο x'(t) = Ο. Δείξτε δτι ύπάρχει ενα ε > Ο, τέτοιο ωστε tΊ Χ = X(S, Ι) νά εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως C2 γιά κάθε -ε < S < ι καί α < t < b. φάνειας κλάσεως

α ~ Cm ,

νΕστω Ρ τυχόν σημείο της

= X(U, ν) ενα τμημα πού περιέχει τό Ρ. νΕστω U =UO(t), ν ='VO(t) ή u = U(S, t), ν = ν(Β, Ι) ή οίκογένεια τών παραμετρικών παραστάσεων τών

C

καί χ

παραμετρική παράσταση της καμπύλης του παραμετρικου έπιπέδου πού άπεικονίζεται άπό τό τμημα σέ ενα κομμάτι της

C

καί εστω· άκόμα

καμπυλών του παραμετρικου έπιπέδου πού διέρχονται άπό τά σημεία της παραπάνω καμπύλης καί άΠf:ικονί

ζονται στίς γεωδαισιακές πού προσδιορίζονται άπό τήν ξέρουμε δτι γιά κάθε σεων

(11.7)

της σελίδας

U(O, Ι)

234,

(ί)

Εε

+

= x(s, t).

'Από τό Θεώρημα

= Uo(t),

= νο(Ι),

ν(Ο, Ι)

2FE'I

+

G,I 2

=

Cl

U.(O, Ι)

= E(t),

1

= l' ή σχέση γεωδαισιακών Χ = x(s, t).

σχέση (ί) έκφράζει τήν άρχική συνθήκη lχ.(Ο, t)1

det

διαφορικών έξισώσεων γνωρίζουμε

δτι

οί

λύσεις

τουλάχιστον μέχρι καί δεύτερης τάξεως σέ μιά περιοχή της

διάφορη του μηδενόςσέ μιά περιοχή της

a(u, ν) Ι a(S, Ι) (ο, t)

=

det (

C,

Ut(O, t»)

ν,(Ο, t)

"'t(O, Ι)

ρασμένο άριθμό τέτοιων παραμετρικών

= x(s, Ι)

dUoldt) dvoldt

>

Ο

V

C

όρθογώνια' καί ή σχέση

Ας σημειωθεί δτι ή παραπάνω δρί

C

όρθογώνια.

• Αλλά

άπό τή θεω

U(S, Ι) καί ν(Β, ι) ~χoυν παραγώγους συνεχείς

C.

Έπίσης, ή Ίακωβιανή

=

Έπειδή ή

παραστάσεων,

C

( 'Ι Ε

det

~Eτσι, σέ μιά κατάλληλη περιοχή του σημείου Ρ ή άπεικόνιση Χ

02.

,I(t)

a(U, tI)/a(S, t)

εΙναι

έπειδή εΙναι συνεχής καί έπειδή στό σημείο (ο, Ι) εΙναι

U,(O, ι)

νονική παραμετρική παράσταση κλάσεως χ

234

(ίί) έκφράζει τήν άρχική συνθήκη

ζουσα εΙναι διάφορη του μηδενός, έπειδή οί γεωδαισιακές τέμνουν τήν τών

( Ε'Ι

Ο, δηλαδή τή συνθήκη δτι οΙ γεωδαισιακές τέμνουν τήν

(ίίί) προσδιορίζει τόν προσανατολισμό τών ρία

της σελίδας

καί δρίζονται μονοσήμαντα άπό τίς σχέσεις

(ίί)

cos 4-(Χ.(Ο, ν), dx/dt) =

=

ν.(Ο, Ι)

(Ηί)

'Η

11.8

πού ίκανοποιουν τίς άρχικές συνθηκες

δπου οΙ συναρτήσεις E(t), 'I(t) εΙναι κλάσεως l

Χ

t οί συναρτήσεις U(S, Ι) καί ν(Β, Ι) εΙναι οΙ μοναδικές λύσεις τών διαφορικών έξισώ

dUoldt) dvoldt

.,ι.

Ο

= x(s, Ι) = X(U(S, t), tI(8, t»

εΙναι μιά κα

εΙναι συμπαγές σύνολο, καλύπτεται άπό πεπε

δπότε μπορεί

νά εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση κλάσεως

• > Ο, τέτοιο ώστε ή -. < s < e, α < t <. b.

νά βρεθεί ενα

02

γιά κάθε

t

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ . ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Κ ΕΦ.ΙΙ

11.21.

255

Δείξτε δτι ύπάρχει ε> Ο τέτοιο ώστε ή διανυσματική συνάρτηση χ στηκε στή

Ο

< r < ε,

-

σελίδα 00

νά εΙναι

237,

< θ < 00,

μιά κανονική παραμετρική

< r < ε,

πού άπεικονίζει ι-ι τό Ο

ριοχης ενός σημείου Ρ μιας επιφάνειας κλάσεως

< r < ε,

τυχόν άνοικτό ύποσύνολο τού Ο

cm,

< 211"

Ο ~ θ

παράσταση

< 211",

Ο~ θ m:Ξ!::

= x(r, θ),

πού κατασκευά

κλάσεως (J2

στό

επί μιας περιορισμένης πε

καί δ περιορισμός της στό

3,

εΙναι ενα σύστημα γεωδαισιακών πο

λικών συντεταγμένων. 'Έστω χ

= x(u,lI)

ενα τμήμα τής επιφάνειας πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ώστε τό (Ο, Ο) τοϋ παραμετρι

=

κοϋ επιπέδου νά άντιστοιχεί στό Ρ καί άκόμα νά έχουμε στό Ρ

=

χ,. 11 καί x v 12, δπου τά εφαπτόμενα 11 καί 12 ε{ναι όρθοκανονικά καί ύπολογίζονται μέ τή βοήθεια τής θΌ Παρατηροϋμε δτι στό Ρ εχουμε Ε X u • χ,. 1, F χ,. • Xv Ο καί G Xv • Xv 1. Θεωρουμε τώρα τίς διαφορικές εξισώσεις (11.7) γιά τό τμήμα χ X(U,lI) διανύσματα

=

= =

=

11"

, Από

11(0)

=

2r~2u'1I'

+

Γ~2 (11')2

Ο

2 Γ~2 U'lI'

+

r;2 (11')2

Ο

= Ο,

= ε,

U'(O)

11'(0)

= "

τή θεωρία τών διαφορικών εξισώσεων γνωρίζουμε δτι γιά κάθε Ι

μιά μοναδική λύση U(t; Ι,,),

t,

+ +

Γ~1 (U')2

= Ο,

U(O)

=

r~l(u')2

+ +

.u"

μέ άρχικές συνθήκες

=

ξ, ".

(α)

(6)

"

ύπάρχει, σέ μιά περιοχή τοϋ t

=

Ο,

lI(t; ξ, ,,), πού εχει συνεχείς παραγώγους μέχρι καί δεύτερης τάξεως ώς πρός

Έπειδή οί εξισώσεις ε{ναι γραμμικές όμογενείς ώς πρός τίς παραγώγους δεύτερης τάξεως καί τά

γινόμενα τών δύο παραγώγων πρώτης τάξεως, επεται δη γιά κάθε λύση U(t; Ι,,), lI(t; ι,,) οί συναρτήσεις

U(S; ρΙ ρ,,), lI(S, ρΙ ρ,,), δπου t = ps, ε{ναι επίσης λύση του συστήματος τών διαφορικών εξισώσεων γιά μικρά ρΒ καί ίκανοποιοϋν τίς άρχικές συνθήκες ul.=o Ult=o Ο, 111.=0 1I1t=0 Ο, U.I.=o pUtlt=o ρξ καί 11.1.=0 pll t lt =o ρ". • Επομένως Ισχύουν U(t; ι,,) U(S; ρΙ ρη) καί lI(t; ι,,) lI(S; ρΙ ρη). ΕΙδικά δταν S = 1 εχουμε u(t; Ι,,) u(l; ρΙ ρη) καί lI(t; Ι η) = 11(1; ρΙ ρη). Θέτουμε τώρα :ι: ΡΙ Υ ρ" καί θεωροϋ με τόν παραμετρικό μετασχηματισμό U = u*(:ι:, Υ), 11 = 1Ι*(:ι:, Υ), δπου u*(:ι:, Υ) = u(l; :ι:, Υ) καί 1Ι*(:ι:, Υ) 11(1; :ι:, Υ). • Ο μετασχηματισμός αυτός άπεικονίζει μιά περιοχή τής άρχής τών άξόνων του επιπέδου :Ι:Υ

=

=

=

=

=

=

σέ μιά περιοχή τής άρχής τών άξόνων του επιπέδου

Ull.

σεων καί τίς άρχικές συνθήκες παρατηρουμε δτι U*(O, Ο) Υ

=Ο ε

καί γιά κάθε ξ, η εχουμε

=

= U~:Ι:t

Ut

+ U:Yt

=

U: = 1, u; = ο, 11: = Ο

Συνεπώς,

u:",

+

U:E

=1

καί 11;

=

= =

= =

=

=

Πράγματι άπό τή θεωρία τών διαφορικών εξισιί)

=Ο

καί 11*(0, Ο)

=

η

= Ο.

1Ι::Ι:(

lI t

Έπίσης, στό t

+

=

lI;Yt

lΙ;ε

= Ο, :ι: = Ο,

+

lΙ;η

καί αρα ή Ίακωβιανή ε{ναι

ίJ(U*, 11*) Ι ίJ(:ι:, Υ) (0.0) Έπειδή δμως ή

=

det

U:)

(U:

υ~

11; (0.0)

1

Ίακωβιανή ε{ναι μιά συνεχής συνάρτηση, ε{ναι διάφορη του μηδενός σέ μιά περιοχή τοϋ

=

- Αρα ή άπεικόνιση u = u*(:ι:, Υ), 11 υ*(:ι:, Υ) ε{ναι ενας επιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός κλά C2, πού άπεικονίζει 1-1 μιά περιοχή τής άρχής τών άξόνων του επιπέδου :Ι:Υ επί μιας περιοχής τής άρχής τών άξόνων του επιπέδου uv. Θεωρουμε τώρα τή σύνθεση χ χ*(:ι:, Υ) = χ(u*(:ι:, Υ), υ*(:ι:, Υ». Προ φανώς, ή άπεικόνιση αυτή ε{ναι ενα τμήμα κλάσεως C2 τής επιφάνειας σέ μιά περιοχή τοϋ Ρ, πού άπεικο νίζει τό (Ο, Ο) στό Ρ καί λέγεται σύστημα κανονικών συντεταγμένων τού Riemann στό Ρ. Εύκολα επαληθεύ εται δτι στό Ρ ε{ναι χ; = χ,., χ; = X v καί ~πoμένως ε{ναι επίσης Ε* = 1, F* = Ο, G* 1 στό Ρ.

(ο, Ο). σεως

=

=

= cos Φ

Τέλος θέτουμε ξ νιση χ

=

χ**(ρ, φ)

ράσταση κλάσεως Ο

<ρ<

Ρ COS Φ, νων του

ε, Ο

Υ

""

=

= Ρ Βίη Φ

επιπέδου

2π

:Ι:Υ.

==

<ρ<

x(r, θ).

=

ε, Ο

""

Φ

<

= χ**(ρ, φ) -00

Ρ Βίη Φ, καί θεωρουμε τήν άπεικό

ε{ναι μιά κανονική παραμετρική πα

<Φ<

00

καί άπεικονίζει

Γιά σταθερό Φο

Χ**(ρ, Φο)

E(U')2

1-1 τό ύποσύνολο

Ρ, άφου γι' αυτές τίς τιμές τών

ρ, Φ ή

:ι:

=

=

χ.*(ρ, φ) στό τυχόν

εχουμε

= X(U*(p

COS Φο, Ρ Βίη Φο), lΙ*(ρ

= u(l; ρ cos Φο, Ρ Βίη Φο) =

= lΙ(ρ; COS ΦΟ, Βίη Φο).

+ 2Fu'1I' +

χ

2π ε{ναι τό δοθέν σύστημα γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων,

σώσεων (α) πού ίκανοποιοϋν τίς άρχικές συνθήκες

=

χ

καί

=

'Απομένει νά δείξουμε δτι πράγματι ό περιορισμός τής

καί δμοια lΙ*(ρ COS ΦΟ, Ρ Βίη Φο)

Συνεπώς, ή χ

ε

καί Υ

1-1 τό παραπάνω σύνολο σέ μιά περιορισμένη περιοχή της άρχης τών άξό

u*(p COS Φο, ρ Βίη Φο)

δπου

Προφανώς ή

επί μιας περιορισμένης περιοχής του

<ρ<

χ

= Ρ COS Φ

Βίη Φ, όπότε :ι:

Ρ Βίη φ).

άπεικονίζει

άνοικτό ύποσύνολο Ο δηλαδή Χ**(ρ, φ)

cos Φ,

" =

όρισμένη στό σύνολο Ο

C2

<

Φ

Χ*(ρ

καί

G(1I')2

=

'Αλλά τά

(6) ξ2

+

u

cos ΦΟ, Ρ Βίη Φο» U(p; COS ΦΟ, Βίη Φο)

καί 11

ε{ναι λύσεις τών διαφορικών εξι

καθώς καί τήν

η2

= Βίη Φ~

+ COS Φ~

=

1

Χ**(ρ, Φο) ε{ναι μιά φυσική παράσταση τής γεωδαισιακή ς πού διέρχεται άπό τό Ρ και εχει

+

+

σ' αυτό τό σημείο εφαπτόμενο διάννσμα Xu cos Φο Xv Βίη Φο = 11 COS Φο 12 Βίη Φο. Έπειδή οί γεωδαι σιακές αυτές ε{ναι μονοσήμαντα όρισμένες, επεται δτι χ**(ρ, φ) == x(r, θ), τό όποίο συμπληρώνει τήν άπό δειξη.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

256 11.22.

Κ Ε Φ.

Δείξτε ότι σ' ενα σύστημα κανονικών συντεταγμένων του

Riemann

11

στό Ρ όλες οί μερικές

παράγωγοι τών θεμελιωδών μεγεθών πρώτης τάξεως μηδενίζονται στό Ρ. VΕστω Χ

=r

γιά χ

=Χ(Χ, Υ)

~να σύστημα κανονικών συντεταγμένων τοϋ

=r

COS θο, Υ

Riemann x(r)

Βίη θο, ή κανονική παραμετρική παράσταση Χ

φυσική παράσταση γεωδαισιακης πού διέρχεται άπό τό Ρ.

=

στό Ρ.

Τότε γιά κάθε θο καί

= x(x(r, θο), y(r, θο»

Έπομένως, οΙ συναρτήσεις

ε{ναι μιά

x(r, θο), y(r, θο) Ικα

νοποιοϋν τίς έξισώσεις

ii + Γ~I(~)2 + 2Γ~2~Y + Γ~2(y)2

•Επειδή

~

Ο

= d: (r cos θο) = cos θ ο , ;; = ο, Υ = Βίη θ ο καί ii = ο, επεται δτι Γ~ι cos2 ,o + 2Γ~2 cos 'ο sin 80 + Γ~ Βίη2 ,0 = Ο Γ~I

COS2

θο

+

2Γ~2 COS θο Βίη θο

+

rt Βίη

· Αλλά οΙ παραπάνω έξισώσεις Ισχύουν στό Ρ γιά κάθε θο. κάθε i,;, k 1,2. Ξέρουμε δμως δη στό Ρ ε{ναι Ε G της σελίδας 202 έχουμε στό Ρ

=

θο

2

=

= = 1, F = Ο.

r: = t E .., = Γ~I

r: = tEII =

Ο

1

= t(2F..,-E = Ο II )

Ο

• Επομένως, έχουμε τελικά στό Ρ

2

Ο

Γ~2

= t G.., = Ο

rt = Ο

Συνεπώς, άπό τίς έκφράσεις

= t(2F -G..,) = rt = IGII = Γ~2

II

γιά (10.4)

Ο

Ο

πού ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

11.23. ' Αποδείξτε

τό Θεώρημα

συντεταγμένων σ'

VG = όπου

=Ο

lim (R(r, θ)!r) r ... O

VΕστω

γιά θ l

Χ

<θ<

= Χ*(Χ, Υ)

=

ενα σύστημα γεωδαισιακών πολικών

R(r, θ)

καί Κ(Ρ) εΙναι ή καμπυλότητα του

Gauss

στό σημείο Ρ.

Riemann στό Ρ. Τότε γιά r > Ο καί Βίη θ ε{ναι ~νας Ι:πιτρεπτός παραμετρικός (9.3) της σελίδας 172 έχουμε

~να σύστημα κανονικών συντεταγμένων τοϋ

=r

+ 2F*:Κ;θΥθ + G*y: =

=r

cos θ, Υ

Μέ τή βοήθεια τών μετασχηματισμών

Ε*(Χθ)2

+

lK(P)r

r -

θ2, θ2 - θl ~ ~π, ή άπεικόνιση χ

μετασχηματισμός.

G

= x(r, θ) εΙναι

'Εάν χ

11.13:

ενα σημείο Ρ μιας επιφάνειας κατάλληλης κλάσεως, τότε

r2(E* Βίη2 θ - 2F* Βίη θ cos θ

=

=

+ G* Cos2 θ)

=

• Από τό προηγούμενο δμως πρόβλημα έχουμε στό Ρ Ε* G* 1, F* ο, Ε; G; Ο. •Αντικαθιστοϋμε τά δεδομένα αύτά στήν παραπάνω έκφραση, όπότε

G;

=

=

lim

r ... O 'Επίσης,

a3VG

aK ·r;:;G a;: ν ι.τ.

= - K ;;;:- -

VE τσι,

2 lim a VG

r ... O

· Αλλά

κα!

aVG ar = 1 a2VG έχουμε - - 2 - = -κνα.

ar2

" με

τη

β 'θ οη

=Ο

εια

καί

lim

(α)

ar

- ( ' των α ) παιρνουμε

lim

r ... O

τε

λ

Παραγωγίζοντας εχουμε

' ικα

a3~ a.,... = -Κ(Ρ)

(b)

γιά κάθε θ μποροϋμε νά γράψουμε

να =

(VG)o + (

af:λ

r

+ ~ (a:~X r 2 +

, Από

τίς παραπάνω Ι:κφράσεις (α) καί (b) εχουμε

δπου

lim (R(r, e)/r3)

να r ... O

= Ο.

=r

-

kK(P)r3 +

Ύποθέτουμε ότι κλάσεως.

R

~ ( a:~X r3 + R(r, θ)

R(r,

θ)

VΕτσι όλο κληρώνεται ή άπόδειξη.

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ

11.24.

έχουμε

r ... O

άπό τήν εκφραση (11.11) της σελίδας 236

aVG

---aT3

VG = Ο

= Ε; = F; = F; = ο,

GAUSS

εΙναι μιά περιοχή ένός τμήματος χ

Τά μοναδιαία κάθετα διανύσματα Ν τής

σφαίρα, πού λέγεται σφαιρική

εΙκόνα τής

σημείο Ρ, τότε ό λόγος του εμβαδου τής τιμή τής καμπυλότητας Κ στό σημείο Ρ.

R'

R.

R

= x(u,v)

μιας επιφάνειας κατάλληλης

όρίζουν ενα σύνολο

Δείξτε ότι όταν ή

πρός τό εμβαδό τής

R

R

R'

στή μοναδιαία

«συστέλεται» σ'

ενα

τείνει πρός τήν άπόλυτη

Κ Ε Φ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

11 , Από

τήν Ι!κφραση

τής σελίδας

(9.8)

=

174

257

ξέρουμε δτι τό στοιχειώδες έμβαδόν του τμήματος εlναι

=

Ιχ.. χ Χ"Ι du. dv dR' ΙΝ.. χ Ν"Ι du. dl1. 'Από τό Πρόβλημα 9.18 τής σελίδας 194 ξέρουμε δτι Ν.. χ Ν" = Κ(χ,. χ Χ,,). Συνεπώς, dR'ldR = ΙΚΙ, δηλαδή τό ζητούμενο άπο dR

";EG - F2 du. dv

ένώ τό στοιχειώδες έμβαδόν τής σφαιρικής εΙκόνας εlναι

=

τέλεσμα.

11.25.

Μιά εύθειογενής έπιφάνεια (βλ. Πρόβλ.

8.4,

σελ.

162)

λέγεται dvαπτυκτή έπιφάνεια, αν τό έφα

πτόμενο έπίπεδο κατά μήκος κάθε γενέτειρας παραμένει σταθερό.

=

Δείξτε ότι ή εύθειογενής

=

+

= y(s) = Ο.

έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν χ y(s) vg(S), Ig(S)1 1, όπου Υ παράσταση τής δδηγοϋ, εΙναι άναπτυκτή, Μν καί μόνο Μν [ygg]

εΙναι μιά φυσική

= Χ(80' ν) παράγεται άπό τά διανύσματα = 1'(80) + ν;(80) καί χ,,(80,11) = 1(80)' Στό σημείο δμως 11 = Ο τής παραπάνω γενέτειρας Ι!χουμε Χ.(80' Ο) = Υ(80) καί χ,,(8 0 , Ο) = 1(80) = χ,,(80,11). Συνεπώς, τό έφαπτόμενο έπίπεδο ε[ναι σταθερό κατά μήκος Τό έφαπτόμενο έπίπεδο σέ ~να τυχόν σημείο τής γενέτειρας Χ

Χ.(80' ν)

μιας γενέτειρας, έάν καί μόνο έάν τά τρία διανύσματα Υ

+ 11;,

Ι καί Υ εlναι γραμμικώς έξαρτημένα, δηλαδή

έάν καί μόνο έάν πού άΠOδειΙCΝΎει τήν πρόταση.

11.26. νΕστω μιά άναπτυκτή έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν χ = y(s) + vg(s), Ig(s) Ι = 1, α < s < b. Δείξτε ότι στό διάστημα α < s < b ύπάρχουν (ένδεχομένως) ύποδιαστήματα Βl-ι < s < Βl, ετσι ώστε σέ καθένα άπό αύτά ή έπιφάνεια νά εΙναι τμήμα έπιπέδου

ii

κυλίνδρου

ii

κώνου

ii

τμήμα

τής έφαπτόμενης έπιφάνειας μιας καμπύλης.

, Από τό προηγούμενο πρόβλημα ξέρουμε δτι τά διανύσματα Υ, ι καί ; εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα σέ κάθε σημείο τής καμπύλης. Αρα ύπάρχουν συναρτήσεις k t (8), k 2(8) καί k S(8), δπου k~ + k~ + k~ "ι. Ο, τέτοιες ώστε k 1y + k 21 + k 3i = Ο. 'Υποθέτουμε πρώτα δτι k t == Ο σέ ~να διάστημα 81-ι < 8 < 81. Τό τε k 21 + kai Ο, δπου k~ + k~ Φ Ο. Έπειδή 111 1, εΙναι Ι·; Ο. νΕτσι Ο (k21 + kai)·' k 2 111 2 • Αρα k 2 == Ο. ' Αλλά τότε k 3 "ι. Ο. •Οπότε Ι == Ο ή Ι = σταθερό διάνυσμα. Δηλαδή στήν περίπτωση αύ V

=

=

=

=

=

V

< 8 < 81 εlναι Θέτουμε τώρα < 8 < 81 Ι!χουμε C3 == Ο, τότε Υ 4 σταθ. Υ6'. Συνεπώς, ή έπιφάνεια Ι!χει Υιά κανονική παραμετρική παράσταση τήν Χ y~ (ν C2)1' 'Αλλά τότε ή έξίσωση αύτή εlναι ή έξίσωση (τμήματος) κώνου ή έπιπέδου. 'Απομένει ή περίπτωση πού σέ ~ναl διάστημα 8ί-Ι < 8 < 81 εΙναι C3 "ι. Ο καί Υ· CaI· Τότε Ι Y·1C3 κα{ Ι!τσι ή έπιφάνεια Ι!χει κανονική παραμετρική παράσταση τήν χ = Υ νι = Υ· δπου u. (ν C~/C3' πού εlναι ή έφα

τή ή έπιφάνεια εlναι τμήμα έπιπέδου ή κυλίνδρου.

νΕστω τώρα δτι σέ ~να διάστημα 81-ι

=

=

=

=

= = +

k t "ι. Ο. Τότε μπορουμε νά γράψουμε Υ Ctl + C~, δπου Cl -k2lk l καί C2 -kalk t • Υ· Υ - C21' Τότε Υ· Υ - C2; - C21 CaI, δπου C3 Cl - C2' Έάν τώρα σέ ~α 81-ι

=

=

= + +

=

=

=

πτόμενη έπιφάνεια τής καμπύλης Χ

11.27.

=

+

= Υ·(8).

+ u.Y·,

Δείξτε ότι μιά έπιφάνεια κατάλληλης κλάσεως χωρίς έπίπεδα σημεία εχει καμπυλότητα τοϋ

Gauss

ίση μέ μηδέν, εάν καί μόνο Μν μιά περιοχή κάθε σημείου τής έπιφάνειας εΙναι άναπτυ

κτή έπιφάνεια.

241

Σημείωση.

Στήν περίπτωση αύτή επεται άπό τό Θεώρημα

ότι σέ κάθε σημείο μιας έπιφάνειας, κατάλληλης

11.17

τής σελίδας

κλάσεως καί χωρίς έπίπεδα σημεία,

ύπάρχει περιοχή πού μπορεί νά άπεικονιστεί ίσο μετρικά έπί μιας περιοχής ένός έπιπέδου, Μν καί μόνο Μν ή περιοχή αύτή εΙναι άναπτυκτή έπιφάνεια. Εύκολα διαπιστώνεται δτι τό έπίπεδο, ό κύλινδρος, ό κώνος ή ή έφαπτόμενη έπιφάνεια μιας καμπύλης Ι!χουν σταθερή μηδενική καμπυλότητα του

Gauss.

νΕτσι, άπό τό προηγούμενο πρόβλημα ~πεται δτι, αν μιά

περιοχή κάθε σημείου μιας έπιφάνειας εΙναι άναπτυκτή έπιφάνεια, τότε Κ

=Ο

σ' όλόκληρη τήν έπιφάνεια.

Μιά αλλη ένδιαφέρουσα άπόδειξη του Ισχυρισμου αύτου Ι!χουμε, αν θεωρήσουμε τή σφαιρική εΙκόνα μιας άναπτυκτής έπιφάνειας.

' Επειδή

τό έφαπτόμενο έπίπεδο κατά μήκος τής οΙκογένειας τών γενετειρών τής έπι

φάνειας εΙναι σταθερό, ή σφαιρική εΙκόνα της εlναι ή ~να σημείο (στήν περίπτωση του έπιπέδου) ή μιά γραμμή. Τώρα Ι!στω Ρ τής

R. ' Από

Ι!να σημείο τής έπιφάνειας, τό Πρόβλημα Ι

1.24

R

μιά περιοχή πού περιέχει τό σημείο καί Ε' ή σφαιρική εΙκόνα

~πεται δτι ή άπόλυτη τιμή τής καμπυλότητας τού

τό λόγο του έμβαδου τής ΕΙ πρός τό έμβαδόν τής Ε, καθώς ή

R

δαμε, ή σφαιρική εΙκόνα μιας άναπτυκτης έπιφάνειας εlναι ~να σημείο ή μιά γραμμή.

R

τό έμβαδόν τής άντίστοιχης σφαιρικής εΙκόνας ΕΙ εΙναι μηδέν.

Gauss

«συστέλλεται .. στό Ρ. Συνεπώς Κ

στό Ρ εΙναι ίση μέ

'Αλλά, δπως εί

νΕτσι, γιά κάθε περιοχή

= Ο.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

258 ==

Ύποθέτουμε τώρα δτι Κ

Ο

στήν έπιφάνεια.

Κ Ε Φ.

"Εστω Ρ ~να σημείο της έπιφάνειας καί

~να τμημα πού περιέχει τό Ρ. 'Επειδή Κ = ~~ =- ;: == Ο, lχουμε

χ

11

= x(u, ν)

Μ2 == Ο. 'Επειδή δμως δέν ύ

LN -

πάρχουν έπίπεδα σημεία στό τμημα, ~πεται δτι δλα τά σημεία του τμήματος εΙναι παραβολικά καί δτι ύπάρχει μία μόνο άσυμπτωτική διεύθυνση

=

11 (ή

11

=Ο

=

+ 2Μ dudv + Ν dv 2

Ldu2

lχει μιά διπλή

σέ κάθε σημείο, αύτή πού Ικανοποιεί τήν έξίσωση

du: dv

ρίζα καί άρα ή

11

+

(VLdu

VN dv)2 =

Ο

μπορεί νά γραφεί σάν τέλειο τετράγωνο).

Ή έξίσωση αύτή

έξασφαλίζει στήν περιοχή του Ρ τήν ϋπαρξη μιας μονοπαραμετρικης οΙκογένειας άσυμπτωτικών γραμμών πού ύποθέτουμε δτι

έκλεγεί ώς ιι-παραμετρικές καμπύλες ν

lxouv

= σταθ.

"Ας σημειωθεί δτι σέ ~να παρα

βολικό σημείο ή άσυμπτωτική διεύθυνση ταυτίζεται μέ μιά κύρια διεύθυνση καί πύλες εΙναι καί γραμμές καμπυλότητας.

άπό τήν παραπάνω διαφορική έξίσωση παίρνουμε νι du

LN -

Μ2

= Ο.

δτι Ν..

=Ο

= Ο.

Συνεπώς καί Μ

lχουμε στήν περιοχή αύτή

L ==

' Επειδή

==

Μ

ltOI

οΙ

ιι-παραμετρικές καμ

Ο.

=Ο

καί, έπειδή du -F Ο, lχουμε L

ξουμε . δτι οΙ ιι-παραμετρικές καμπύλες εΙναι εύθείες.

= Ο.

Ο.

= Ο.

"Ετσι,

• Αλλά

οΙ ιι-παραμετρικές καμπύλες καλύπτουν μιά περιοχή του Ρ,

'Από τίς έξισώσεις του

Weingarten (10.5)

της σελίδας 202 ~πεται

καί άρα τό Ν εΙναι σταθερό κατά μηκος κάθε ιι-παραμετρικης καμπύλης.

γραμμές καμπυλότητας, όπότε F

dv =

Φυσικά, κατά μηκος τών καμπυλών αύτών lχουμε

•Απομένει

νά δεί

'Υποθέτουμε δτι οΙ ν-παραμετρικές καμπύλες εΙναι

'Από τούς τύπους (10.7) καί (Ι 1.5) παίρνουμε τελικά

(K,,)U=

σταθ.

= Ο.

Συνεπώς οΙ U- παραμετρικές καμπύλες εΙναι ειίθείες έπειδή εΙναι συγχρόνως άσυμπτωτικές καί γεωδαισιακές.

11.28.

Δείξτε δτι στό σημείο

=

(U cos θ)eι + (U sin θ)~ + (logu)ea. u>o τήν ίδια καμπυλότητα του Gauss μέ τήν έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν χ* (u* cos θ*)eι + (u* sin θ*)e2 + u*ea. u* > Ο σημείο (u*. θ*), όπου u* = u καί θ* = θ, χωρίς δμως οΙ έπιφάνειες νά εΙναι χ

εχει

στό

(U, θ) ή έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν

, Αφήνουμε

Ισομετρικές.

ώς ασκηση στόν άναΥνώστη νά έπαληθεύσει δτι γιά τό χ lχουμε

Ε

= 1 + 1/u2,

F =

G = u2

Ο,

καί

Κ

= -1/(1 + U2)2

ένώ γιά τό χ* l",(ουμε

Ε*

= 1,

F*

Έπομένως οΙ δύο έπιφάνειες

οΙ έπιφάνειες εΙναι Ισομετρικές. ιι*

= u*(',u),

•Από τήν Κ

= Ο,

lxouv

G*

= 1 + (U*)2

καί

Κ*

= Κ*

γεθών [έξισώσεις

Ύποθέτουμε τώρα δτι

Τότε ύπάρχει ~νας έπιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός

τέτοιος ώστε στά άντίστοιχα σημεία νά εΙναι Ε

παίρνουμε (1

ποια δμως άποκλείεται.

= -1/(1 + (U*)2)2

τήν ίδια καμπυλότητα στά άντίστοιχα σημεία.

= Ε*,

,* =

Ί*(" u),

= F*, G = G* καί Κ = Κ* • = ±u ή u*= ν-2 - u 2 , ή ό

F (1 + u 2)2. 'Οπότε πρέπει ή u*

+ (u*)2)2 =

Χρησιμοποιώντας τώρα τούς κανόνες μετασχηματισμου τών πρώτων θεμελιωδών. με

(9.2) καί (9.3), σελ. 172] καί μέ τήν ύπόθεση δτι ιι*

= ±u, εύκολα συμπεραίνουμε δτι ό πα

ραμετρικός μετασχηματισμός πρέπει νά Ικανοποιεί τίς σχέσεις

(α)

+

1

Έπειδή ή πρέπει καί

(1 + u 2)(,:)2

=

1

+

1/u2,

(b),:,:

=Ο

καί

(c)

(1

+ U2)(,:)2

= u2

u* εΙναι άνεξάρτητη του " lχουμε u: ΞΞ Ο. Έπειδή πρέπει νά lχουμε a(,*, u*)/a(" u) ,,& Ο, ': -F Ο, όπότε άπό τήν έξίσωση (b) βρίσκουμε ': == Ο. Αύτό άντιφάσκει πρός τήν (α) καί ltOI

άποδεικνύεται τό θεώρημα.

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ

11.29.

GAUSS-BONNET

Προσδιορίστε τήν όλική καμπυλότητα του έλλειψοειδους. Τό έλλειψοειδές εΙναι όμοιομορφικό μέ τή σφαίρα.

Συνεπώς, ή όλική καμπυλότητα του έλλειψοειδους

εΙναι ίση μέ τήν όλική καμπυλότητα της σφαίρας πού, δπως ξέρουμε, εΙνα~

11.30.

417'.

Προσδιορίστε τήν όλική καμπυλότητα της έπιφάνειας πού δίνεται στό :εχ. ~Oπως φαίνεται πιό καθαρά στά Σχ. Ι

χερούλια. Παράδ.

' Από

11. Ι

τόν τύπο δμως

Ι, σελ.

246),

χ

= 2(1 -

1-28(b) ρ),

ιcαί

(c)

11-28(a).

ή έπιφάνεια εΙναι όμοιομορφική μέ μιά σφαίρα μέ

3

δπου Ρ εΙναι ό άριθμός τών χερουλιών της έπιφάνειας (βλ.

~πεται δτι ή όλική καμπυλότητα της έπιφάνειας εΙναι 217'Χ

= -817'.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.11

259

(δ)

(α)

(c)

Σχ. l1 -28

11.31.

Προσδιορίστε όλους τούς όρους του τύπου των

Gauss-Bonnet (11.22)

της σελίδας

244,

γιά τήν

είκόνα του καμπυλόγραμμου πολυγώνου, μέ άκμές πού δίνονται άπό τίς παραμετρικές παρα

στάσεις C~: θ = t, Φ = π/4, Ο ~ t "'" π/2· C~: θ = π/2, Φ = t, π/4"'" t "'" π/2· C~: θ = π/2 - t, Φ = π/2, Ο "'" t "'" π/2· C~: θ = Ο, Φ = π/2 - t, Ο"'" t "'" π/4 της σφαίρας πού προσδιορίζεται άπό τήν

(Βλ. Σχ.

+

(cos θ Sin
=

χ

(Βίη θ

Sin
+

(COS
11-29.) φ

c;

,,/2 .....- -......- - . . . . ,

c~

c~

"/41----.----'

c;

,

r/2 Σχ.

WΕχουμε Ε

= Βίη

2

Φ,

F

= ο, G = 1

11-29

καί γιά τήν καμπυλότητα τοϋ

ιι κ dS = ιι yEG-F2 d,dφ = 5. R

1Τ/2

. Επειδή

ο{

C2 , C3

καί

= C4

-

fσ"'/2 cot (,,/4) ~ Ε (:: Υ dt

Συνεπώς

"IrV2/4

(α)

=

= - cot Φ -

.("'/2

"g

ds =

καί ετσι

COS

(π/4) dt

είναι γεωδαισιακές, εχουμε

i

"g

=

ds

C.

Συνεπώς

= 1.

",14

'Από τήν έξίσωση (Ι 1.6) της σελίδας 233 εχουμε (κρ)φ= σταθ.

1:1 "ρ dS

Κ

[f"/2 Βίηφ dφJ d, =

Ο

R'

Gauss

f

"g

ds

C

f

=

"g

ds

Ca

f

c1

"g

= da

f

C.

=

ο. (6)

-"V2/4

Τέλος, έπειδή ο{ παραμετρικές καμπύλες είναι όρθογώνιες, εχουμε 4

~ αι

Ι=Ι

11.32.

=

4(π/2)

=

(c)

2"

Δείξτε ότι μιά έπιφάνεια εχει σταθερή μηδενική καμπυλότητα του

Gauss,

αν στήν περιοχή

κάθε σημείου της ύπάρχουν δύο οΙκογένειες γεωδαισιακων, πού τέμνονται κατά σταθερή γωνία.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

260

"Εστω Ρ τυχόν σημείο της έπιφάνειας καί γεωδαισιακές των παραπάνω οΙκογενειων.

C lva

Ι=1

11

καμπυλόγραμμο τετράπλευρο πού σχηματίζεται άπό

'Υποθέτουμε δτι τό έσωτερικό του εΙναι άπλως συνεκτικό ύποσύ

νολο f:νός τμήματος της έπιφάνειας καί περιέχει τό

ΙΙ Κ ιlS = 2.. - :i a;.

Κ ΕΦ.

Ρ.

' Εφαρμόζοντας

τόν τύπο των

Gauss-Bonnet

fχουμε

'Επειδή οΙ γεωδαισιακές τέμνονται κατά σταθερή γωνία εΙναι ~ αι = 2... "Αρα ι

R

ιι κ ιlS = Ο. 'Επειδή ή

R

μπορεί νά έκλεγεί όσοδήποτε μικρή, lπεται ότι Κ(Ρ) = Ο. "Ετσι άποδεικνύ

R εται ή πρόταση.

11.33.

Δείξτε δτι σέ μιά έπιφάνεια μέ Κ

< Ο,

μιά γεωδαισιακή δέν μπορεί νά ~-χει πολλαπλά σημεία

[δπως φαίνεται στό Σ-χ. 11-30(α)], οϋτε μπορεί δύο γεωδαισιακές νά ~-χoυν περισσότερες άπό μία τομές [δπως φαίνεται στό Σ-χ.

ll-30(b)],

μέ τήν προϋπόθεση δτι οΙ γεωδαισιακές εΙναι τό

σύνορο tνός άπλως συνεκτικοϋ συνόλου.

Ρ2

= Pa = ..

(α)

(b) Σχ.

• Υποθέτουμε

ότι οΙ γεωδαισιακές

11-30

μία τουλάχιστον άπό τίς δύο ίδιότητες πού άναφέραμε.

fxouv

Προσθέ

τοντας στίς γεωδαισιακές δρισμένες αύθαίρετες κορυφές, όπως φαίνεται στό σχημα, σχηματίζουμε καί στίς δύο

περιπτώσεις γεωδαισιακά τρίγωνα, γιά τά όποία ό τύπος των- Gauss-Bonnet γίνεται ΙΙ Κ dS = ~ Ρι όπου Ρι εΙναι οί έσωτερικές γωνίες τοϋ τριγώνου.

a

Προφανως, καί στίς δύο περιπτώσεις

πού εΙναι άδύνατο, γιατί άπό τήν ύπόθεση fχουμε Κ

<

71' ,

Ι=Ι

R

fχουμε ~ Ρι Ι=Ι

Ο.

> ..,

'Άλυτα Προβλήματα 11.34.

' Εάν S σεως

11.35.

Cl,

εΙναι μιά συμπαγής έπιφάνεια καί δείξτε ότι καί ή έπιφάνεια

f

μιά κανονική άπεικόνιση της

S

έπί μιας f;πιφάνειας

=

= f(x(t»

S·

κλά

~Ιναι συμπαγής.

' Αποδείξτε τό Θεώρημα 11.2: ' Εάν f εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση της έπιφάνειας S Cr καί s X(t) εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης ·c της S καί ή σύνθεση χ.

11.36.

S.

στήν

εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης της

Δείξτε δτι ή στερεογραφική προβολή μιας σφαίρας έπί f:νός έπιπέδου (Παράδ.

11.1,

σελ.

S·

κλάσεως

S·

227)

κλάσεως

Cr,

κλάσεως

τότε

Cr.

εΙναι σύμμορφη

άπεικόνιση.

11.37.

Δείξτε, μέ τή βοήθεια τοϋ δρισμοϋ της συνέχειας (σελ. 107), δτι μιά Ι-Ι κανονική άπεικόνιση f μιας έπιφά νειας S έπί μιας έπιφάνειας S· κλάσεως Cl εΙναι μιά Ι-Ι άμφισυνεχής άπεικόνιση της S έπί της S •.

Κ ΕΦ.

11.38.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

11

Δείξτε δτι μιά άπεικόνιση έάν γιά κάθε τμήμα χ

F* 11.39.

261

f μιας έπιφάνειας S σέ μιά έπιφάνεια S* εΙναι τοπική Ισομετρία, έάν καί μόνο

= x(u,lI)

της

= Ε*, F = F*

lχουμε Ε

S

εΙναι άντίστοιχα τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως τών

χ

καί

G

Δείξτε δτι οί διαφορικές έξισώσεις τών γεωδαισιακών tνός τμήματος

+ ρΖ + q2) iί + priι,2 + 2P8UiJ + ptiJ2 (Ι + ρ2 + q2) V + qriι 2 + 2q8UiJ + qtv 2

δπου Ε,

καί χ*

χ

Monge

(Ι

δπου Ρ

= G*,

= x(u,lI)

= Ι.., q = Ι'" 11 = Ι...., 8 = Ι..'" t = Ι"".

Δείξτε δτι οί λύσεις της έξισώσεως

= b + α sin Φ,

,.yr2 - C2va2

(b

+ α sin φ)(cοs (J)el +

νΕστω χ

(U - C)-lI2 du ±

= x(u,lI)

+ α sin φ)(sin e)e2 +

(b

f

Liouville

(V + C)-lI2 dll

cm,

m"" 3,

(α

cos φ)e3

(Πρόβλ.

σταθ.,

ενα τμημα μιας έπιφάνειας κλάσεως

νά εΙναι όρθογώνιες.

234.

(r- b)2

-

Δείξτε δτι οί γεωδαισιακές μιας στοιχειώδους έπιφάνειας του

f

τής σελίδας

εΙναι οΙ γεωδαισιακές της σπείρας

χ

έξισώσεις

(11.7)

Cadr

=

d(J

11.43.

εΙναι

= Ο

11.4Ι.

11.42.

G*,

ο

Βρείτε τίς γεωδαισιακές του έπιπέδου σέ πολικές συντεταγμένες λύνοντας τίς έξισώσεις

r

καί Ε*,

= uel + lIeZ + I(u, 1I)e3

11.40.

δπου

F, G

= f(x(u, 11».

C

=

11.18)

προσδιορίζονται άπό τίς

σταθ.

τέτοιο ώστε οΙ παραμετρικές καμπύλες

Δείξτε δτι

Κ δπου ("'ιι)Ι καί ("ιι)2

εΙναι οί γεωδαισιακές καμπυλότητες τών

U- καί lΙ-παραμετρικών καμπυλών άντίστοιχα,

ένώ 8 ι καί 82 εΙναι οί φυσικές παράμετροι αυτών.

11.44.

νΕστω Ρ καί χ

= x(u, 11).

Q

δύο σημεία μιας γεωδαισιακή ς

11 =

σταθ. tνός συστήματος γεωδαισιακών συντεταγμένων

Δείξτεδτι άπό δλα τά κανονικά τόξα του τμήματος πού tνώνουν τό Ρ μέ τό

Q,

τό γεωδαι

σιακό τόξο εχει τό μικρότερο μη κος.

11.45.

Δείξτε δτι ή έκ περιστροφής έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν

χ

δπου

u

= Cl cos (lΙ/α) + C 2 sin (lΙ/α)

σφαίρα;

καί

=

1(11)

=f

=

(U sin e)e2

νι

+ 1(1I)e3

- (du/dll)2 dll εΙναι

έπιφάνεια μέ σταθερή θετική

Γιά ποιές τιμές τών

=

Cl

καί

C2

ή έπιφάνεια εΙναι

Δείξτε δτι ή έκ περιστροφης έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν

χ

δπου

u = Cte"Ia

καμπυλότητα του

11.47.

+

(U cos (J)el

Gauss Κ = Ι/α2 γιά κάθε C l καί C2 • 'Απ. C l σ, C2 = Ο τι C l Ο, C 2 α

καμπυλότητα του

11.46.

=

+

C 2e-"Ia

Gauss

Κ

= χ

Δείξτε δτι ή

καί

= 1(11)

-Ι/α 2 •

=

U(COS (J)el

+

u(sin e)e2

+ 1(1I)e3

= f νι - (du/dll)2 dll, εΙναι μιά έπιφάνεια μέ σταθερή άρνητική

2(tanh (r/2) cos (J)el

+

2(tanh (r/2) sin e)e2

κατάλληλα περιορισμένη προσδιορίζει ενα σύστημα γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων του ύπερβολικου

έπιπέδου στήν άρχή τών άξόνων (βλ. Παράδ.

11.48.

11.9,

σελ.

242).

Προσδιορίστε τήν έσωτερική άπόσταση ένός σημείου Ρ του ύπερβολικου έπιπέδου άπό τήνάρχή τών άξόνων.

'Απ. D(O,P)

= tanh (IΡI/2)

262 11.49.

= Υ(')

"Εστω Υ

μιά φυσική παράσταση μιας καμπύλης

γενής έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τήν χ διάνυσμα της

11.50.

ΚΕΦ.11

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

C,

C,

πού δέν t:χει σημεία καμπης.

= Υ(Ι) + ν n(8),

δπου

n

ε{ναι μιά άναπτυκτή έπιφάνεια, έάν καί μόνο έάν ή Υ

Δείξτε δτι μιά καμπύλη Υ

= Υ(8)

της προσανατολισμένης έπιφάνειας

S

έάν καί μόνο έάν ή εύθειογενής έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό, τήν μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της

11.51.

11.52.

= Ο καί

δτι Φ

= -.,.,

'Εάν

S

~στω Φ(8)

δπου

.,.

= 4--(1, η),

= Υ(Ι)

ε{ναι μιά έπ.ίπεδη καμπύλη.

ε{ναι γραμμή καμπυλότητας της χ

=

Υ(Ι)

+ νΝ(8),

S,

δπου Ν ε{ναι τό

ε{ναι μιά άναπτυκτή έπιφάνεια.

S,

Θεωροϋμε μιά άναπτυκτή έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τήν Ι•Υ

Δείξτε δτι ή εύθειο

ε{ναι τό πρωτο κάθετο μοναδιαίο

δπου

χ

= Υ(8) + tIl(8), 1I1 = 1, τέτοια ώστε = Υ(8). Δείξτε

ε{ναι τό πρωτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της Υ

n

ε{ναι ή στρέψη της

Υ

=

Υ(8).

ε{ναι μιά έπιφάνεια μέ σταθερή καμπυλότητα τοϋ

Gauss

Κ

""

Ο, δείξτε δτι τό έμβαδόν ένός γεωδαι

σιακοϋ πολυγώνου προσδιορίζεται άπό τίς έσωτερικές του γωνίες.

11.53.

"Εστω

C,,' n = 1,2, ... ,

μιά απειρη άκολουθία γεωδαισιακων τριγώνων, τά όποία συστέλλονται σέ

lva

ση-

3

μείο Ρ, δταν n

-+...

έσωτερικές του γωνίες. 11.54.

"Εστω

αν ρ

11.55.

S

= Ο,

"Εστω

S

μιά σφαίρα μέ Ρ χερούλια.

(b) Κ(Ρ)

:Σ βί" - "ΙΤ 1im ί=1 , δπου Α η ε{ναι τό έμβαδόν τοϋ C,. καί βί" οί

Δείξτε δτι Κ(Ρ) =

=Ο

αν ρ

= 1,

η.....

Α"

Δείξτε δτι ύπάρχει

(c) Κ(Ρ)

μιά έπιφάνεια μέ καμπυλότητα τοϋ

<Ο

Gauss

αν ρ

>

<

Ο.

Κ

lva 1.

σημείο Ρ της

S,

τέτοιο ώστε

(α) Κ(Ρ)

>Ο

"Εστω δτι Ρ ι , Ρ 2 , Ρ 3 , Ρ.ι, ε{ναι οΙ κορυφές ένός

γεωδαισιακοϋ τετράπλευρου μέ άπλως συνεκτικό έσωτερικό, τοϋ όποίου οΙ δύο άπέναντι πλευρές Ρ ι Ρ! καί Ρ 3 Ρ4

~χoυν ίσα μήκη καί ε{ναι κάθετες στήν τρίτη πλευρά Ρ 2 Ρ 3 •

Δείξτε δτι οΙ έσωτερικές γωνίες στίς

κορυφές Ρ 1 καί Ρ 4 ε{ναι όξείες.

11.56.

"Εστω

χ

= x(u, ν)

Ι:να σύστημα γεωδαισιακων συντεταγμένων, τέτοιο ώστε οΙ u-παραμετρικές καμπύλες νά

ε{ναι φυσικές παραστάσεις γεωδαισιακων μέ φυσική παράμετρο.

Δείξτε δτι, αν C ε{ναι μιά όποιαδήποτε γεωδαισιακή τοϋ τμήματος πού έκφράζεται μέ φυσική παράσταση καί '(8) ε{ναι ή συνάρτηση ~oύ όρίζεται άπό τήν t (COS ')11 + (sin ')12, δπου 11 καί 12 ε{ναι τά μοναδιαία έφαπτόμενα διανύσματα των U- καί

=

ν-παραμετρικων καμπυλων άντίστοιχα καί

• de C εχουμε dι

11.57.

t

τό μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα της

C,

τότε κατά μηκος της

iJVG dv

+ -;;;-

ds = Ο.

Μέ τή βοήθεια των άποτελεσμάτων τοϋ προηγούμενου προβλήματος βρείτε τόν τύπο των

Gauss-Bonnet

γιά

Ι:να γεωδαισιακό τρίγωνο, παίρνοντας ενα σύστημα γεωδαισιακων πολικων συντεταγμένων μέ κέντρο μιά άπό τίς κορυφές τοϋ τριγώνου.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι

Τό Θεώρημα

Ύπάρξεως Καμπυλών

~Eστω κ καί τ δύο συνεχείς συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής

μιά καμπύλη Χ τ καί

s

= X(S),

Ο ~

~ α, κλάσεως

s

s,

s~

Ο ~

α.

Ύπάρχει

τής δποίας ή καμπυλότητα εΙναι κ, ή στρέψη εΙναι

C2,

εΙναι μιά φυσική παράμετρος.

'Απόδειξη.

Θεωροϋμε τό σύστημα τών έννέα διαφορικών έξισώσεων

- = Kn;,

=

iι;

t;

+ Tb;,

-Kt;

= -Tn;

b;

(ί

= 1,2,3)

μέ άρχικές συνθήκες

tl(O)

= 1, t 2(0) = Ο,

= Ο, nl(O) = Ο, n2(0) = 1, n3(0) = Ο,

t 3(0)

bl(O)

= Ο,

= Ο,

b2(0)

b 3(0)

=ί

Αύτό εΙναι ενα σύστημα γραμμικών δμογενών διαφορικών έξισώσεων μέ συντελεστές συνεχείς συ ναρτήσεις.

Γιά ενα τέτοιο σύστημα ξέρουμε άπό γνωστό θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας

δτι ύπάρχει μία μονοσήμαντα δρισμένη λύση

t;(S), n;(s), b;(s),

= 1,2,3, κλάσεως

ί

μέ Ο ~

Cl

s ~ α,

πού ίκανοποιεί τίς δοθείσες άρχικές συνθήκες.

~Eστω τώρα δτι

t

= tlel + t2e2 + t 3e3,

λουμε νά δείξουμε πρώτα δτι

(t, η, b)

= nlel + n2e2 + n3e3

+ b2e2 + b3e3.

Θέ

εΙναι μιά δεξιόστροφη όρθοκανονική τριάδα γιά κάθε Β.

Γι'

η

καί

b = blel

αύτό θεωροϋμε ενα σύστημα διαφορικών έξισώσεων ώς πρός τίς συναρτήσεις η-

καί

b

b - b.

= κη,

i

ίι

= -Kt + Tb, b = -τη

καί

t(O)

= el,

η(Ο)

= e2,

Μέ τή βοήθεια τών σχέσεων αύτών εύκολα βρίσκουμε στι οί συναρτήσεις

καί

b -b d

t - t, t - η, t - b,

η

- η,

Προφανώς εχουμε

b(O)

= es

t - t, t - η, t - b,

η - η, η-

b

ίκανοποιοϋν τίς γραμμικές δμογενείς διαφορικές έξισώσεις

.

=

2K(t - η)

d ds(t-n)

=

κ(η-η)

:a(t-b)

=

K(n-b) - T(t-n)

ds (t - t)

d

ds (η - η) - K(t-t)

+

=

-2K(t - η) + 2T(b - η)

d -(n-b)

T(t-b)

-K(t-b) + T(b-b) -

ds

d ds(b-b)

=

τ(η-η)

-2T(n-b)

μέ άρχικές συνθήκες

(t - t)(O) •Η

= 1,

= Ο,

(t - b)(O)

= Ο,

(Β - Β)(Ο)

= 1,

(Β - b)(O)

= Ο,

(b - b)(O)

=1

λύση δμως ενός τέτοιου συστήματος εΙναι μοναδική καί μπορεί νά άποδειχθεί μέ άπλή άντι

κατάσταση

δτι δίνεται άπό τίς συναρτήσεις

(Β - b)* ΞΞ Ο,

(b - b)*

γιά κάθε Β.

ΞΞ

1.

~ Αρα ή

Συνεπώς εχουμε

(t,

Β,

εΙναι δεξιόστροφη, γιατί οί

t,

1

(t - η)(Ο)

b)

t -t

. Επίσης Ixl

η καί

b

εΙναι συνεχείς καί ή

τώρα τήν καμπύλη Χ = x(s) =

= Itl = 1.

Συνεπώς ή

s

δπου

Ibl

= 1,

·ίΧη

+

i

S

t(u) du.

Ο

(t,

η,

b)

(t-b)* η -Β

ΞΞ Ο,

= 1,

txD. =

Τελικά άφοϋ

κ(ΒΧη)

+

b

=t χ Β

(-K(tXt»

επεται δτι καί ή στρέψη τής καμπύλης εΙναι τ.

263

Β-

b

(Β-Β)* ΞΞ

1,

b -b

==

= Ο,

Έπίσης ή τριάδα

εΙναι δεξιόστροφη στήν άρχή

Προφανώς, ή

εΙναι μιά φυσική παράμετρος.

επεται δτι ή καμπυλότητά της εΙναι Κ.

b=

ΞΞ ο,

= Ο,

εΙναι μιά όρθοκανονική τριάδα γιά κάθε Β.

τών άξόνων .

• Ορίζουμε _

(t-t)* ΞΞ 1, (t-B)* t - Β = Ο, t - b

= 1,

x(s)_

• Επειδή t

εΙναι κλάσεως

= κΒ

δπου ΙΒΙ

C2.

= 1,

καί

+

T(txb)

= -

τη

~Eτσι άποδεικνύεται τό θεώρημα.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Τό Θεώρημα Ύπάρξεως

WΕστω Ε,

U καί

F

ν κλάσεως

ώστε

καί

G

Έπιφανειών

συναρτήσεις των U καί ν κλάσεως

(Η)

C2

καί

Μ καί Ν συναρτήσεις των

L,

δρισμένες σέ ενα άνοικτό σύνολο πού περιέχει τό σημείο

Cl

EG - F2 > Ο, Ε> Ο, G > Ο, οΙ Ε, F, G, L, Μ, Ν Ικανοποιουν

(i)

11

(UO, νο)

καί τέτοιες

τίς έξισώσεις συμβιβαστότητας (Ι 0.7) καί (Ι 0.8).

= X(U, ν) κλάσεως ca δρισμένη σέ F, G, L, Μ καί Ν εΙναι τά θεμελιώδη

Τότε ύπάρχει μιά κανονική παραμετρική παράσταση χ ριοχή

του

(Uo,

νο),

τής

δποίας

οΙ

συναρτήσεις Ε,

μιά πε μεγέθη

πρώτης καί δεύτερης τάξεως (πού δρίζονται δπως άκριβως καί στήν περίπτωση του τμήματος).

'Απόδειξη.

Θεωρουμε τό gύστημα των διαφορικων έξισώσεων μέ μερικές παραγώγους

+ Γ~ι V, + LN, r~2Ui + Γ~2 V, + ΜΝι = Γ~2 Ui + Γ~2 V ; + ΜΝι

(U,)" = Γ~ι U,

(Vi)"

(Ui)"

(Ν,)"

(Vi)"

+ Γ~2 V, + ΝΝι β~Uι + β~Vι β~υι + β~V, r~2U;

(Νι)"

(i

= 1,2,3)

μέ άρχικές συνθήκες

Ut(Uo,vo) v'Eo U2(Uo, νο) = Ο Ua(Uo, νο) = Ο

Vt(UO,vO) = Fo/VEo V 2(UO, νο) = VEoGo - F~/VEo Va(UO, νο) Ο

(Εο = E(Uo, νο), F o = F(Uo, νο), τίς σχέσεις (10.4) τής σελίδας

Ο

Nt(Uo,vo) N 2 (Uo, νο) Na(Uo, νο)

Ο

1

Go = G(Uo, νο», δπου τά σύμβολα του Christoffel ΓΖ δίνονται άπό 202 καί τά β: άπό τίς σχέσεις (10.2). Τό παραπάνω σύστημα εχει

δέκα όκτώ γραμμικές δμογενείς διαφορικές έξισώσεις πρώτης τάξεως μέ μερικές παραγώγους καί συντελεστές κλάσεως

Cl

ώς πρός τίς έννέα συναρτήσεις

Ui(U, ν), Vi(U, ν), Ni(u, ν), i

= 1,2,3.

"Ε

πειδή Ικανοποιοϋνται οΙ συνθήκες συμβιβαστότητας των έξισώσεων αύτων, επεται, άπό τό άντίστοιχο

θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας, δτι ύπάρχει μιά μοναδική λύση

i

= 1,2,3, κλάσεως

σέ μιά περιοχή του

C2

WΕστω τώρα δτι U

= Ule. + U

2 e2

(UO, νο)

+ U ae3,

ν

= Vlel + V

"Από τίς άρχικές συνθήκες εύκολα ύπολογίζεται δτι στό ν· ν

= G, U' Ν

= Ο,

ν· Ν

= Ο,

(U, ν) σέ μιά περιοχή του (Uo, νο).

Ν' Ν

= 1.

Ui(U, ν), Vi(U,

2 e2

(Uo,

+ Vae3

καί Ν' Ν.

Ni(u, ν),

= Ntet + N 2 e2 + N ae3. U' U = Ε, U· ν = F,

καί Ν

νο) εχουμε

Θέλουμε νά δείξουμε δτι αύτό συμβαίνει γιά κάθε

'Όπως καί στήν περίπτωση του θεωρήματος ύπάρξεως γιά καμ

πύλες, θεωρουμε ενα σύστημα διαφορικων έξισώσεων ώς πρός τίς συναρτήσεις

U· Ν, V· Ν

ν),

πού ίκανοποιεί τίς δοθείσες άρχικές συνθήκες.

U' U, U· ν, V· ν,

"Από τό παραπάνω σύστημα των διαφορικων έξισώσεων προκύπτει εύκολα

δτι οΙ συναρτήσεις αύτές ίκανοποιουν τό σύστημα των διαφορικων έξισώσεων μέ μερικές παραγώ γους

(U' U)"

(U· ν)" = (U· ν)" (ν· V)" (ν·ν)"

+ 2r~2(U' ν) + 2M(U' Ν) r:s(u, U) + (Γ: ι + r~2)(U' ν) + Γ~ι(ν· ν) + M(U· Ν) + L(Y' Ν) 2r~2(U' U)

(U' U)"

+ (Γ: 2 + r~2)(U' ν) + ri2(V' ν) + N(U· Ν) + Μ(ν· Ν) = 2r:2(u· ν) + 2Γ~2(ν· V) + 2Μ(ν· Ν) = 2r~(U'V) + 2Γ~(ν·ν) + 2Ν(ν'Ν) r~(u· U)

264

11

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

265

(V· Ν) .. = β~(υ· V) + β~(ν, V) + Γ~2(υ· Ν) + Γ~2(ν· Ν) + Μ(Ν· Ν) (ν·Ν)"

βΗυ,ν)

=

+ β:(ν·ν) + Γ~2(υ'N) + Γ~(ν'N) +Ν(Ν·Ν)

(U·N) .. = βΙ(u·u) + β~(U'V) + Γ:ι(U'Ν) + Γ~ι(ν'N) +L(N'N) β~(U'U) + β:(u·v) + r~2(U'N) + ΓΜν·Ν) +Μ(Ν'Ν)

(U'N)" (Ν' Ν)..

= 2β~ (U • Ν) + 2β~(ν, Ν)

(Ν'Ν)"

= 2βΗU'Ν) + 2β:(ν·Ν)

μέ άρχικές συνθήκες

(U· U)(UO, vo) (U· N)(Uo, vo)

= Εο =Ο

(U· v){Uo, vo)

=

(V·N)(Uo,Vo)

=Ο

Fo

(V· V)(Uo, Vo) (Ν'

= Go

N)(Uo, Vo) = 1

ΕΙναι καί αυτό ~να γραμμικό όμογενές σύστημα διαφορικών έξισώσεων πρώτης τάξεωςμέ μερικές παραγώγους.

• Επειδή

ξέρουμε δτι τό σύστημα τών έξισώσεων αυτών εχει μιά λύση κλάσεως (;2,

~πεται δτι ικανοποιουνται καί οΙ συνθήκες συμβιβαστότητας.

•Αλλά έμείς τότε ξέρουμε άπό τό

άντίστοιχο θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας δτι μιά λύση, πού Ικανοποιεί τίς άρχικές συνθή

κες, εΙναι μοναδική.

Εύκολα έπαληθεύεται μέ άπλή άντικατάσταση δτι μιά λύση του συστήματος

= Ε, (υ· V)· = Ρ, εΙναι υ·υ = Ε, υ·ν = Ρ, ν·ν = G,

πού Ικανοποιεί καί τίς άρχικές συνθήκες δίνεται άπό τίς συναρτήσεις

= G, (U·N)· Ξ Ο, (ν·Ν)· Ξ ο, (Ν' Ν)· ΞΞ 1. Συνεπώς = Ο, ν· Ν = Ο καί Ν· Ν = 1 γιά κάθε (U, υ) σέ μιά περιοχή

(ν·ν)· υ· Ν

• Ορίζουμε

ca,

του

(Uo, Vo) •

τώρα τήν έπιφάνεια ώς συ.νάρτηση μιας λύσεως του συστήματος αυτών τών διαφο

ρικών έξισώσεων μέ τίς σχέσεις χ.. κλάσεως

(U· τη.

= U,

Χ"

= ν.

Έπειδή υ"

= ν.., ύπάρχει

μιά λύση Χ

= X(U,V)

ή όποία μάλιστα μπορεί νά δοθεί άπό τήν εκφραση

Χ = X(U, υ) = ι: υ(ξ, υ) dξ + λ." V(Uo, 7]) dTJ •Απομένει

νά δείξουμε δτι ή Χ

= x(u, υ)

εΙναι κανονική παραμετρική παράσταση, δηλαδή δτι εl

ναι χ.. χ χ" .,ι. Ο, καί δτι τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως εΙναι Ε, Ρ,

G

ιcαί

L,

= υ χ V εΙναι συνεχής καί έπειδή στίς άρχικές συνθήκες εχουμε (Χ.. χ X,,){Uo, Vo) = (υ χ V)(Uo, Vo) = yEoGo- p~ ea -F Ο, ~πεται δτι χ.. χ χ" -F Ο σέ κάποια πε ριοχή του (Uo, VO). • Επίσης εΙναι φανερό δτι χ.. ' Χ.. = υ· υ = Ε, Χ.. ' Χ" = U· V = F καί Χ,,' Σ" = G. Μ, Ν άντίστοιχα.

Έπειδή

ή χ.. χ χο

= Ο, V· Ν = Ο = ν,,'Ν = Μ ιcαί χ",,'Ν = ν,,' Ν = Ν. x(u, υ) εΙναι L, Μ καί Ν, γεγονός πού

Τελικά, άπό τό πρώτο σύστημα των διαφορικών έξισώσεων καί τό γεγονός δτι υ· Ν

καί Ν·Ν

= 1, ~πεται

άμέσως δτι Χ.... ' Ν

=

υ.. ·Ν

= L,

Συνεπώς, τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως τής συμπληρώνει τήν άπόδειξη του θεωρήματος.

18

Χ..,,' Ν Χ

=

ΑΓΓ ΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ

Geodesic = γεωδαισιακός, γεωδαισιακή Geometry = γεωμετρία Global = όλικός Global property = όλική Ιδιότητα Green 's theorem = θεώρημα τού Green Handle = χερούλι, λαβή Heine-Borel theorem = θεώρημα των Heine-Borel Helicoid = έλικοειδής Helix = gλικα Homeomorphism = όμοιομορφισμός Hyperbolic = ύπερβολικός Hyperboloid = ύπερβολοειδές Identity = ταυτότητα Implicit function = πεπλεγμένη Index = δείκτης

συνάρτηση

= δείκτρια = άνισότητα

Ιndίcatήχ

Inequality Inflection

ροίηι

=

σημείο καμπης

= έσωτερικό Ιntήnsίc = έσωτερικός Ιnteήοr

Invariant = άναλλοίωτος, άμετάβλητος Inverse = άντίστροφος Inverse function theorem = θεώρημα τής άντίστροφης Involute = ένειλιγμένη Ιsοmetήc mapping = Ισομμετρική άπεικόνιση Isometry = Ισομετρία

συναρτήσεως

Jacobian = Ίακωβιανή (όρίζουσα) Jacobian matήχ = Ίακωβιανός πίνακας Jordan arc = τόξο τού Jordan Kronecker symbol

= σύμβολο

ή δέλτα τού

Kronecker

Length = μήκος Limit = όριο Limit ροίηι = όριακό σημείο ή σημείο συσσωρεύσεως Line = γραμμή, εύθεία Linear = γραμμικός Linear dependence = γραμμική έξάρτηση Linear function = γραμμική συνάρτηση Line of curvature = γραμμή καμπυλότητας Liouville's formula = τύπος τού Liouville Liouville surface = έπιφάνεια τού Liouville Local = τοπικός Local property = τοπική Ιδιότητα Lοgaήthm

= λογάριθμος = λογαριθμική

Logarithmic spiral

ελικα

Mainardi-Codazzi equations = έξισώσεις των Mainardi-Codazzi Manifold = πολλαπλότητα Mapping = άπεικόνιση Matrix = πίνακας Mean = μέσος Mean curvature = μέση καμπυλότητα Mean value theorem = θεώρημα τής μέσης τιμής Μeήdίan

= μεσημβρινός

Minding' s theorem = θεώρημα τού Minding Minimum = έλάχιστος Meobius strip = λωρίδα τού Moebius

269

ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ

270 Monge patch = τμήμα Monge Monkey saddle = σέλα τοϋ πιθήκου Moving tήhedrοn = κινούμενο τρίεδρο Multiplication = πολλαπλασιασμός

Natural = φυσικός Natural equations = φυσικές έξισώσεις Natural parameter = φυσική παράμετρος Neighborhood = περιοχή Non-Euclidean geometry = μή Εύκλείδεια γεωμετρία Normal = κανονικός, κάθετος Normal coordinates = κανονικές συντεταγμένες Normal curνature = κάθετη καμπυλότητα Normal section = κάθετη τομή Open = άνοικτός Open coveήng = άνοικτή κάλυψη Open set = άνοικτό σύνολο Orientable = προσανατολίσιμος Οήented

= προσανατολισμένος

Οήented

'basis =

Orientec;l

curνe

=

προσανατολισμένη βάση

προσανατολισμένη καμπύλη

surface = προσανατολισμένη έπιφάνεια Orthogonal = όρθογώνιος Orthogonal basis = όρθογώνια βάση Orthogonal 'projection = όρθογώνια προβολή Orthogonal vectors = κάθετα ή όρθογώνια διανύσματα -orthonormal = όρθοκανονικός Orthonormal basis = όρθοκανονική βάση O\culating circle = έγγύτατος κύκλος ., Oscu1ating paraboloid = έγγύτατο παραβολοειδές Osculating plane = έγγύτατο έπίπεδο Oscu1ating sphere = έγγύτατη σφαίρα Outer product = έξωτερικό γινόμενο Οήented

Parabolic ροίηι = παραβολικό σημείο Paraboloid ,; παραβολοειδές Parallel = παράλληλος Parameter = παράμετρος Parameter curve = παραμετρική καμπύλη Partia1 = μερικός Partial derivative = μερική παράγωγος Patch (coordinate) = τμήμα Peano curνe = καμπύλη τοϋ Peano Planar ροίηΙ = έπίπεδο σημείο Plane = έπίπεδο ΡοίηΙ

= σημείο

Polar = πολικός Polar coordinates = πολικές συντεtαγμένες Polygon = πολύγωνο Principal = κύριος, πρωτεύων Pήncipal curvature = κύρια καμπυλότητα Principal direction = κύρια διεύθυνση PrinCΊpal normal = πρώτη κάθετος Product = γινόμενο Projection = προβολή Property = Ιδιότητα Pseudosphere = ψευδοσφαίρα Quadratic

suήace

= δευτεροβάθμια

έπιφάνεια

ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ

Radius = άκτίνα Radius of curvature = άκτίνα καμπυλότητας Radius of torsion = άκτίνα στρέψεως Rank = τάξη, βαθμός Rank of matrix = τάξη πίνακα Reciprocal = άντίστροφος Reciprocal tensors = άντίστροφοι τανυστές Rectifiable arc = ύπολογίσιμο ή πεπερασμένου μήκους τόξο Rectifying plane = εύθειοποιό έπίπεδο Regular = κανονικός, όμαλός Regular Ρarametήc representation = κανονική παραμετρική παράσταση Representation = παράσταση, έκπροσώπηση Revolution = περιστροφή Riccati equation = έξίσωση του Riccati Riernann curvature tensor = τανυστής καμπυλότητας του Riernann Riernann normal coordinates = κανονικές συντεταγμένες του Riernann Right = όρθός Right conoid = όρθό κωνοειδές Right helicoid = όρθό Ι:λικοειδές Rοdήgues' formula = τύπος του Rodrigues Rule = κανόνας Ruled surface = εύθειογενής έπιφάνεια Ruling = γενέτειρα Scalar = βαθμωτός Scalar product = έσωτεριιeό ή άριθμητικό γινόμενο Second = δεύτερος Second curvature = δεύτερη καμπυλότητα Section = τμήμα, τομή Serret-Frenet equations = έξισώσεις των Serret-Frenet Set = σύνολο Sirnple = άπλός Sirnple curνe = άπλή καμπύλη SkeW-SΥrnrnetήc

= άντισυμμετρικός = άντισυμμετρικός

Skew-syrnrnetric tensor Slope = κλίση Space = χωρος Sphere = σφαίρα SΡheήcal

=

σφαιρικός

Spiral = σπειροειδής Stereographic projection = Stήρ

τανυστής

= λωρίδα

στερεογραφική προβολή

Suprernurn = άνω πέρας ή έλάχιστο άνω φράγμα Surface = έπιφάνεια Surface of revolution = έπιφάνεια έκ περιστροφής Syrnbol = σύμβολο Syrnrnetric = συμμετρικός Syrnrnetric tensor = συμμετρικός τανυστής Tangent = έφαπτόμενος, έφαπτομένη Tangent plane = έφαπτόμενο έπίπεδο Tangent surface = έφαπτόμενη έπιφάνεια Taylor's forrnula = τύπος του Taylor Tensor = τανυστής Tensor field = τανυστικό πεδίο Theorerna Egregiurn of Gauss = θεώρημα Egregium Third = τρίτος Tqpological invariant = τοπολογική άναλλοίωτη Topological rnapping = τοπολογική άπεικόνιση Topology = τοπολογία Torsion = στρέψη

του

Gauss

271

ΑΓΓΛΙΚΗ OPOΛOΓlA

272 Torus = σπείρα, τόρος Total = όλικός Total curvature = όλική καμπυλότητα Tractrix = Ι!λκουσα Transformation = μετασχηματισμός Triangle = τρίγωνο Triangle inequalίty = τριγωνική άνισότητα Trihedron = τρίεδρο Triple product = μικτό γινόμενο Unbilίcal

= όμφαλικός

Uniqueness = μοναδικότητα Unit = μονάδα Unit vector = μοναδιαίο διάνυσμα Value = τιμή Vector = διάνυσμα Vector product = έξωτερικό 1'1 Weingarten equations

διανυσματικό γινόμενο

= έξισώσεις

τοϋ

Weingarten

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

• Αθροισμα διανυσμάτων,

, Αριθμητική προβολή διανύσματος, 5 · Αριθμητικό γινόμενο, 5 , Αριστερόστροφη βάση, 7 · Ασυμπτωτική γραμμή, 187 · Ασυμπτωτική διεύθυνση, 187 · Αφινικό σύστημα συντεταγμένων, 33

2

τανυστώ ν , 212 , Ακμή πολυγώνου, 243 • Ακρα τόξου, 47 , Ακτίνα καμπυλότητας, Ι, 63 στρέψεως, 91 • Αλυσοειδής καμπύλη, 91, 93 , Αμφιμονότιμη άπεικόνιση ή συνάρτηση, 44 , Αμφισυνεχής άπεικόνιση, 110 · Αναλλοίωτη κάμψεως, 250 · Αναλυτική συνάρτηση, 31, 39 · Αναπτυκτή έπιφάνεια, 257 · Ανισότητα τριγωνική, 14 τών Cauchy-Schwarz, 5 • Ανοικτή κάλυψη, 106 , Ανοικτή σπείρα, 105 , Ανοικτή σφαίρα, 102 • Ανοικτός δίσκος, 102 · Ανοικτό σύνολο, 102 · Ανταλλοίωτες συνιστώσες διανύσματος, 222 · Ανταλλοίωτο διάνυσμα, 209 · Ανταλλοίωτος μετρικός τανυστής, 211 · Ανταλλοίωτος τανυστής, 209 · Αντίθετα διανύσματα, Ι , Αντίστροφη βάση, 16 , Αντίστροφοι τανυστές, 226 , Αντισυμμετρικές συνιστώσες τανυστή, 211 • Αντισυμμετρικός τανυστής, 211 • Ανω πέρας, 50 • Αξονας ελικας, 72 · Απεικόνιση άμφισυνεχής, Ι 10 γραμμική, 122, 123 έπιφανειών, 227 ίσο μετρική , 229 σύμμορφη, 249 συνεχής, 107 τοπικά ίσομετρική, 230 τοπολογική ή δμοιομορφισμός, 110 τοϋ Gauss, 175 · Απλή έπιφάνεια, 155 · Απλή καμπύλη, 47 · Απλή προσανατολισμένη έπιφάνεια. 160 · Απλό κλειστό τόξο τοϋ Jordan, 243 • Απλώς συνεκτικό σύνολο, 243 · Απόλυτος τανυστής, 210 , Απόσταση, έσωτερική, 231

Βαθμωτό μέγεθος,

2

Βάση άριστερόστροφη,

δεξιόστροφη, διατεταγμένη,

7

7 7

δυϊκή ή άντίστροφη,

16

έπιφάνειας ή τμηματική παράσταση, όρθοκανονική,

προσανατολισμένη, τοϋ

Ε3,

155

6 7

4

Βασική ή δδηγός καμπύλη, Βήμα Ελικας,

162

46

Βουβός δείκτης ή δείκτης άθροίσεως,

207

Γενέτειρα έπιφάνειας, κυλίνδρου, Γενική

162 152

κυλινδρική ελικα,

ij

72

Γεωδαισιακές πολικές συντεταγμένες, Γεωδαισιακές συντεταγμένες, Γεωδαισιακή γραμμή,

235

234

Γεωδαισιακή καμπυλότητα,

232, 233 237 Γεωδαισιακό τρίγωνο, 245 Γεωμετρική άναλλοίωτη, 231 Γεωδαισιακός κύκλος,

Γινόμενο

έξωτερικό διανυσμάτων, έξωτερικό τανυστών, έσωτερικό, μικτό,

8 212

5

9

Γραμμή άσυμπτωτική,

187 234 καμπυλότητας, 185 συζυγής, 188

γεωδαισιακή,

Γραμμική άπεικόνιση, πίνακας,

122, 123

123

Γραμμικώς άνεξάρτητα διανύσματα, Γραμμικώς έξαρτημένα διανύσματα, Γωνία διανυσμάτων, έξωτερική, έσωτερική,

5 243 245

έφαπτόμενων διανυσμάτων,

273

173

3 3

237

ΕγΡΕΤΗΡIΟ

274 Δείκτης άθροίσεως ή Δείκτης, έλεύθερος,

βουβός δείκτης,

.-άνοικτή σφαίρα,

207

Δείκτρια

Έγγύτατη καμπύλη,

, Εγγύτατη

σφαιρική, τοϋ

70, 79 Oupin, 182

Δεξιόστροφη βάση,

Kronecker, 6 175

67

Δεύτερη καμπυλότητα ή στρέψη,

Δευτεροβάθμια έπιφάνεια,

69

164

Δεύτερο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα,

67

Διάνυσμα άνταλλοίωτο, άντίθετο,

209

Ι

γεωδαισιακή ς καμπυλότητας, δεύτερο κάθετο μοναδιαίο, διεύθυνση καί φορά,

έξωτερικό γινόμενο, έσωτερικό γινόμενο,

232

67

3 8 5

κάθετης καμπυλότητας, κάθετο πρός έπίπεδο,

179

21

καμπυλότητας καμπύλης, μηδενικό,

63

Ι

μήκος ή μέτρο,

Ι

μικτό γινόμενο,

9

μοναδιαίο,

'Εξισώσεις παραμετρικές,

μοναδιαίο έφαπτόμενο,

παράλληλο πρός έπίπεδο,

158

21

πολλαπλασιασμός μέ βαθμωτό μέγεθος,

2

πρώτο κάθετο μοναδιαίο,

ταυτότητες, Ε3,

64, 66

γωνία (καμπυλόγραμμου πολυγώνου),

Έξωτερικό γινόμενο

9

Ι

διανυσμάτων, τανυστών,

γραμμικώς άνεξάρτητα,

κάθετα ή όρθογώνια,

6 3

Διανυσματική προβολή διανύσματος,

5, 6

Διανυσματική συνάρτηση

, Επικυκλοειδής

καμπύλη,

121

66, 88, 90 67

εύθειοποιό,

130 139

έφαπτόμενο έπιφάνειας, κάθετο καμπύλης,

Διανυσματικό γινόμενο,

8

σημείο,

7

Διαφορά διανυσμάτων,

2

άλλαγή παραμέτρου,

127

Διεύθυνση

'Επιφάνεια

Cm, 29

άναπτυκτή, άπλή,

257

155

άσυμπτωτική,

δευτεροβάθμια,

διανύσματος,

έκ περιστροφής,

187 3 κύρια, 181, 182 συζυγής, 188

εύθειογενής,

κλειστός,

164 161 162, 170

θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας,

53, 55

Δίσκος άνοικτός,

44, 49

Έπιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός,

Διαφορίσιμη συνάρτηση τάξεως

Διοκλή, κισσοειδής τοϋ,

158

62

177, 178

, Επιτρεπτή

Διαφορικό συναρτήσεως,

53, 56, 92

Έπίπεδο έγγύτατο,

διανυσματικής μεταβλητής,

βάση,

Έπαφή τάξεως

120 120 n, 87

Έξωτερικό συνόλου,

παράλληλα ή συγγραμμικά,

Διατεταγμένη

8

212

Έξωτερικό σημείο,

3 3

γραμμικως έξαρτημένα,

φραγμένη,

2

, Εξωτερική

209

Διανύσματα

σύνθετη,

203 Gauss, 202 τοϋ Riccati, 82 τοϋ Weingarten, 202 τών Mainardi-Codazzi, 203 τών Serret-Frenet, 80 φυσικές, 81 τοϋ

61

μοναδιαίο κάθετο έπιφάνειας,

συναλλοίωτο,

21

συμβιβαστότητας,

3, 5

πρόσθεση,

περιφέρεια ή έγγύτατος κύκλος,

89 91 , Εγγύτατο έπίπεδο, 66, 88, 90 , Εγγύτατο παραβολοειδές, 176 Εικόνα ή πεδίο τιμών, 23 Έλάχιστο ανω φράγμα, 50 Έλεύθερος δείκτης, 207 " Ελικα κυκλική, 46, 52, 63, 68, 69, 71, 81, 85, 97 γενική ή κυλινδρική, 72, 77, 79, 92, 101 λογαριθμική, 82, 93, 100 • Ελικοειδές, όρθό, 170 " Ελκουσα, 241 , Ελλειπτική γεωμετρία, 241 Έλλειπτικό όμφαλικό σημείο, 183 , Ελλειπτικό σημείο, 177 Έλλειπτικό παραβολοειδές, 164 , Ελλειψοειδές, 164 Έμβαδόν, 174 'Ενειλιγμένη καμπύλη, 84, 97 Έξειλιγμένη καμπύλη, 86, 98

7

ΔεΥτερη θεμελιώδης μορφή, Δεύτερη κάθετος,

89 89

Έγγύτατη σφαίρα,

Δέλτα ή σύμβολο τοϋ

τοϋ

22

'Εγγύτατη έπιφάνεια,

207

κανονική παραμετρική παράσταση, όρισμός,

102 103

Δυϊκή ή άντίστροφη βάση,

155

προσανατολίσιμη, προσανατολισμένη,

16

150

160, 170 160

σταθερής καμπυλότητας τοϋ

Gauss, 240

203

157

243

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

, Επιφάνεια

(συνέχεια)

στοιχειώδης,

275

Κάθετα ή όρθογώνια διανύσματα, Κάθετη καμπυλότητα,

160

συμπαγής,

Κάθετη τομή έπιφάνειας,

συνεκτική,

Κάθετο διάνυσμα (πρός έπίπεδο),

τοϋ

Κάθετο έπίπεδο καμπύλης,

160 159 Liouville, 253, 261

, Επιφάνειες

Κάθετος, δεύτερη,

έφαρμόσιμες,

ίσομετρικές,

Κάλυμμα συνόλου,

250 229

1'1

180

άνοικτή,

22

φυσικές έξισώσεις καμπύλης,

'Εσωτερική άπόσταση, 'Εσωτερική γεωμετρία,

80, 81

67 104

'Εσωτερική ίδιότητα έπιφάνειας,

106

πεπερασμένη, Καμπύλες τοϋ

231 229, 231

107 Bertrand, 95

Καμπύλη

'Εσωτερική γωνία γεωδαισιακοϋ τριγώνου,

245

άπλή,

47

ένειλιγμένη,

231

84, 97 86, 98 έπικυκλοειδής, 53, 56, 92

'Εσωτερικό γινόμενο,

5 , Εσωτερικό καμπύλης, 243 , Εσωτερικό σημείο, 113 , Εσωτερικό σύνολο, 113 Εύθείες, παράλληλες, 21 Εύθειογενής έπιφάνεια, 162, 170 Εύθειοποιό έπίπεδο, 67

έξειλιγμένη,

Εύκλείδειος χώρος,

κανονική προσανατολισμένη,

θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας, κανονική,

κανονική κλάσεως κανονική μορφή,

Cm, 49 83

κανονική παραμετρική παράσταση,

Ι

κισσοειδής τοϋ Διοκλή,

'Εφαπτομένη καμπύλης,

κογχοειδής τοϋ Νικομήδη,

84, 98, 167, 191 61, 62, 66 σφαιρικήδείκτρια, 70, 79 , Εφαπτόμενο έ'Πίπεδο έπιφάνειας, 157, 158 , Εφαρμbσιμες έπιφάνειες, 250

προσανατολισμένη,

τοϋ

175 171

Θεμελιώδης μορφή δεύτερη,

τρίτη,

τής άντίστροφης συναρτήσεως, τής μέσης τιμής,

τών τών

135

143

Euler, 196 Green, 243 Minding, 241 Gauss-Bonnet, 242, 246 Heine-Borel, 107

ύπάρξεως καί μοναδικότητας έπιφανειών,

Egregium

151 151

245 243 Καμπυλότητα, 62, 65, 73 άκτίνα, Ι, 63 γεωδαισιακή, 233 γραμμή, 185 δεύτερη, 69 κάθετη, 179 καμπύλης, 63 κέντρο, 89, 99 κύρια, 181, 182 μέση, 184 όλική, 246, 258 προσημασμένη, 65 σφαιρική, 91, roο τοϋ Gauss, 184 τρίγωνο,

243

τοϋ

60

u-παραμετρική,

πολύγωνο,

171 197

Θεώρημα

τοϋ

47 72 70, 79

Καμπυλόγραμμο

172

Θετικός προσανατολισμός καμπυλόγραμμου πολυγώνου,

τοϋ

59

Peano, 46

ύποκυκλοειδής, ν-παραμετρική,

175

θετικά όρισμένη, πρώτη,

53

162 όρισμός, 45, 49

σφαιρική δείκτρια, Θεμελιώδη μεγέθη

43, 56 47, 60

όδηγός,

σταθερής κλίσεως,

πρώτης τάξεως,

81

44

'Εφαπτόμενη έπιφάνεια καμπύλης,

δεύτερης τάξεως,

21

62

Κάλυψη

€-σφαΙΡΙKή περιοχή,

'Εσωτερικές

6

179

τοϋ

203

Gauss, 203

Κανόνας παραγωγίσεως σύνθετης συνάρτήσεως, Ίακωβιανή,

128

Ίακωβιανός πίνακας,

128

, Ιδιότητα

Κανονικές συντεταγμένες τοϋ

Riemann, 255

Κανονική διαφορίσιμη άπεικόνιση έπιφανειών,

άναλλοίωτη κάμψεως,

έσωτερική έπιφάνειας, όλική,

250 231

Ι

τοπική,

Κανονική

καμπύλη,

Ι

227

44

Κανονική μορφή καμπύλης,

83

Κανονική παραμετρική παράσταση έπιφάνειας,

, Ισοδύναμες κανονικές παραμετρικές παραστάσεις, 45 1'1 ίσομετρική άπεικόνιση, 229 'Ισομετρικές έπιφάνειες, 229

'Ισομετρία

29, 130,

131

150 56

Κανονική παραμετρική παράσταση καμπύλης,. 43,

Κανονική παραμετρική παράσταση καμπύλης κλάσεως

cm,49 Κανονική προσανατολισμένη καμπύλη,

47

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

276 Κανονικό τόξο,

'Ορθογώνια βάση,

47

Κατά κατεύθυνση, παράγωγος,

• Ορθογώνια · Ορθογώνια

125, 132 105, 106

Κατά τόξο συνεκτικό σύνολο, καμπυλότητας,

καμπύλης,

89, 99

σφαιρικής καμπυλότητας,

'Ορθοκανονική

Κλειστή σπείρα, Κλειστή σφαίρα,

Κλειστός δίσκος, Κλειστό σύνολο, Κλίση,

170

βάση,

6 163, 190 Όριακό σημείο, 104 • Ορίζουσα, Ίακωβιανή, 128 'Όριο συναρτήσεως, 24, 124

Κινούμενο τρίεδρο καμπύλης, Κισσοειδής τοϋ Διοκλή,

6

47

'Ορθό l:λικοειδές,

91

67 53, 55

'Ορθο κωνοειδές,

105 103 103 103

Παραβολικό όμφαλικό σημείο,

210

Κογχοειδής τοϋ Νικομήδη, Κορυφή πολυγώνου,

Παραβολικό σημείο,

59

έγγύτατο,

72

176 164 ύπερβολικό, 162, 164

Κύλινδρος,

έλλειπτικό,

152, 235 Κύρια διεύθυνση, 181, 182 Κύρια καμπυλότητα, 181, 182 Κώνος, 32, 170 Κωνοειδές, όρθό, 163, 190

Παραγώγιση σύνθετης συναρτήσεως, Πάράγωγος

κατά κατεύθυνση,

125, 132

126

μερική,

219 Λογαριθμική lλικα, 82, 93, 100 Λωρίδα τοϋ Moebius, Ι, 170

συναρτήσεως,

27

Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα,

Παράλληλες εύθείες,

Παράλληλο διάνυσμα πρός έπίπεδο,

235

Μερική παράγωγος,

Παράλληλοι,

Μέση καμπυλότητα,

Παραμετρικές καμπύλες,

126 184 152, 161

Μέτρο ή μήκος διανύσματος, Μηδενικό διάνυσμα,

151

190

Παραμετρική έξίσωση,

208

Ι

21

Παραμετρική παράσταση,

Ι

190 21

152, 161

παράλληλες,

Μετασχηματισμός συντεταγμένων,

23

Παραμετρική παράσταση μήκους τόξου,

Μή Εύκλείδεια γεωμετρία,

241

Παραμετρικός μετασχηματισμός,

Μήκος

3

21

Παράλληλες παραμετρικές καμπύλες,

30, 124

Μέγιστος κύκλος σφαίρας,

52

157

Παράμετρος,

διανύσματος,

τόξου,

29, 130 27, 126, 127, 129, 131

Παραγωγίσιμη συνάρτηση,

Λήμμα τοϋ Hίlbert,

Μεσημβρινός,

183

177

Παραβολοειδές

243

Κυλινδρική ή γενική lλικα,

Μεγάλο Ο,

6

προβολή

διανύσματος,

Κέντρο

6

ή κάθετα διανύσματα,

43, 150 23 παραστάσεως, 43 φυσική, 52

Ι

καμπύλης,

49, 50 30, 124

Μικρό ο,

Μικτό άπόλυτο τανυστικό πεδίο, Μικτό γινόμενο,

210

Παράσταση

9

εύθειογενοϋς μορφής,

Μικτός τανυστής, καμπυλότητας

209 τοϋ Riemann, 214

Πεδίο

Μοναδιαίο δεύτερο κάθετο διάνυσμα, Μοναδιαίο διάνυσμα,

162

52

φυσική,

67

όρισμοϋ,

3, 5

23 209

τανυστικό,

Μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα καμπύλης, Μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα έπιφάνειας, Μοναδιαίο πρώτο κάθετο διάνυσμα,

61

158

23

τιμών,

Πεπερασμένη κάλυψη,

64

107

Πεπερασμένου μήκους, τόξο,

50

Πεπλεγμένη παράσταση

Νικομήδη, κογχοειδής τοϋ,

59

έπιφάνειας, καμπύλης,

• Οδηγός καμπύλη, 162 • Ολική διαφορική γεωμετρία, • Ολική Ιδιότητα, Ι • Ολική καμπυλότητα, 246, 258 • Ομοιομορφικά σύνολα, 110 • Ομοιομορφισμός, 110 'Ομοπαραλληλλικό σύστημα συντεταγμένων, 'Ομφαλικό σημείο, έλλειπτικό, παραβολικό,

183 183

183

Περιοχή,

164 48

22

περιορισμένη,

22

Πίνακας γραμμικής άπεικονίσεως,

Ίακωβιανός, τάξη,

33

122, 123

128

122

Πολλαπλασιασμός διανύσματος μέ βαθμωτό μέγεθος, Πολλαπλό σημεΙο, Πολλαπλότητα,

44

208

Πολυγωνική άνάλυση,

245

2

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

Πολύγωνο, καμπυλόγραμμο,

277

Συνάρτηση

243

άναλυτική,

Προβολή άριθμητική διανύσματος,

διανυσματική διανύσματος, καμπύλης (όρθογώνια), στερεογραφική,

5 47, 48

227

Προσανατολίσιμη έπιφάνεια, Προσανατολισμένη έπιφάνεια, Προσανατολισμένη καμπύλη, Προσανατολισμός βάσεως,

160 160, 170 47, 60

7

Προσεγγιστικό πολυγωνικό τόξο, Προσημασμένη καμπυλότητα,

49

65

Πρόσθεση

διανυσμάτων, τανυστών,

2

212

Πρώτη θεμελιώδης μορφή, Πρώτη κάθετος,

31, 39 122, 123 διανυσματική, 121 διαφορίσιμη, 29 κλάσεως Cm, 29, 133 δριο, 24, 124 παραγώγιση, 27, 29, 126 παραγωγίσιμη, 126, 127, 129, 131 συνεχής, 27, 124 συνεχώς παραγωγίσιμη, 129 σύνθετη, 130 συντεταγμένων, 128 φραγμένη, 24 Συνεκτική έπιφάνεια, 159 Συνεκτικό σύνολο, 105 Συνεχής άπεικόνιση, 107, 108 Συνεχής συνάρτηση, 27, 46, 124 γραμμική,

5

171

66

Πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα,

64, 66.

Συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση, Σέλα τοϋ πιθήκου,

Συνημίτονα κατευθύνσεως,

178

Σύνθετη διανυσματική συνάρτηση,

Σημείο

έλλειπτικό,

Ε3,

συμμετρικές,

211

Σύνολα τοπολογικά Ισοδύναμα ή όμοιομορφικά, Σύνολο άνοικτό, κλειστό,

102 103

μή συνεκτικό, συμπαγές, συνεκτικό,

φραγμένο,

ύπερβολικό,

Στοιχειώδης πολλαπλότητα διαστάσεως

105

107 105 105

Συνοριακό σημείο,

177 Σπείρα, 104, 105, 158, 178, 184 άνοικτή, 105 στερεή ή κλειστή, 105 Στερεογραφική προβολή, 227 Στοιχειώδης έπιφάνεια, 160

120 120

Σύνορο συνόλου, Συντεταγμένες

γεωδαισιακές,

235 4 κανονικές τοϋ Riemann, 255 σημείου, 208 διανύσματος,

n, 208

Στρέψη,

Σύστημα

69 άκτίνα, 91

γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων,

Συγγραμμικά διανύσματα, Συζυγής διεύθυνση,

209 211

άντισυμμετρικές,

Ι

Συζυγείς γραμμές,

130

Συνιστώσες τανυστή,

177 έξωτερικό, 120 έπίπεδο, 177, 178 έσωτερικό, 113 καμπής, 63, 66, 75 όμφαλικό, 183 παραβολικό, 177 πολλαπλό, 44 συνοριακό, 120 συσσωρεύσεως, 104 τοϋ

129

7

γεωδαισιακών συντεταγμένων,

3

όμοπαραλληλικό,

188 188

Σύμβολα

Συστολή Σφαίρα

τοϋ

Christoffel δεύτερου είδους, 202 τοϋ Christoffel πρώτου είδους, 213 τοϋ Landau, 30, 124 τοϋ Riemann δεύτερου είδους, 214 τοϋ Riemann πρώτου είδους, 214 Σύμβολο ή δέλτα τοϋ Kronecker, 6 Συμμετρικές συνιστώσες τανυστή, 211 Συμμετρικός τανυστής, 211 Σύμμορφη άπεικόνιση, 249 Συμπαγές σύνολο, 107, 109 Συμπαγής έπιφάνεια, 160 Συναλλοίωτο διάνυσμα, 209 Συναλλοίωτος μετρικός τανυστής, 209 Συναλλοίωτος τανυστής, 209 Συναλλοίωτος τανυστής καμπυλότητας τοϋ

Συναρτήσεις συντεταγμένων,

33 208 τανυστή, 213

συντεταγμένων,

128

άνοικτή,

102 22 έγγύτατη, 91 κλειστή, 103 ε-άνοικτή,

μεσημβρινοί,

152 111, 246 παράλληλοι, 152 Σχέση ίσοδυναμίας, 16 μέ

n

χερούλια,

Τανυστής άνταλλοίωτος,

209

άνταλλοίωτος μετρικός, άντίστροφος,

Riemann, 214

226

άντισυμμετρικός, άπόλυτος,

210

211

211

235

237

110

-, ~78

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

Τανυστής (συνέχεια)

Τoπoλoγιιcά Ισοδύναμα σύνολα,

έξωτεριιcό γινόμενο,

Τoπoλoγιιcή άπειιcόνιση,

212

ιcαμπυλότητας,

Τόπος,

μιιcτός,

Τριγωνιιcή άνισότητα,

214 209 όρισμός, 209 πρόσθεση, 212 συμμετριιcός, 211 συναλλοίωτος, 209 συστολή, 213 Τανυστιιcό πεδίο, 209

110

110

105, 106

Τρίγωνο, γεωδαισιαιcό,

14 245

Τρίτη θεμελιώδης μορφή,

11}7

Τύπος του του του

Τάξη

των

Liouville, 253 Rodrigues, 186, 187 Taylor, 30, 134 Gauss-Bonnet, 244

Τ

άπειιcoνίσεως,

122 έπαφής, 67, 177 πίναιcα, 122 τανυστή, 210

Ύπερβoλιιcή γεωμετρία,

· Yπερβoλιιcό

153 47 του Liouville, 253 Monge, 154, 155

Ύπoιcάλυψη,

τόξου,

Τομή έπιφάνειας, ιcάθετη,

155

180

Φόρά διανύσματος, Φράγμα,

Τόξο

μήιcoς,

164 106

· Yπoιcυιcλoειδής ιcαμπύλη, 60 • Υπολογίσιμο τόξο, 50

Τμηματιιcή παράσταση έπιφάνειας,

έλάχιστου μήιcoυς,

r

Ύπερβολοειδές,

έπιφάνειας,

3

50

Φραγμένη διανυσματιιcή συνάρτηση,

231

Φραγμένη συνάρτηση,

47

ιcανoνιιcό,

241 242 177

έπίπεδο,

Ύπερβoλιιcό σημείο,

Τμήμα

Φραγμένο σύνολο,

49

πεπερασμένου μήιcoυς, του

Φυσιιcή παράμετρος,

Jordan, 242 50

Τoπιιcά Ισoμετριιcές έπιφάνειες, Τoπιιcά Ισομετρική άπειιcόνιση,

230 230

Τoπιιcή διαφoριιcή γεωμετρία, Ι

139

r

24

105

Φυσιιcές έξισώσεις ιcαμπύλης,

50

υπολογίσιμο,

81

Φυσιιcή παράσταση,

52 52

Xαραιcτηριστιιcή του

Euler, 246

χωρος, Eύιcλείδειoς,

Ι

Ι

Τoπιιcή Ιδιότητα, Ι Τoπιιcή Ιδιότητα συναρτήσεως,

25

Beltrami-Enneper, τύπος των, 188 Bertrand, ιcαμπύλες του, 95, 98, 100

Ψευδοσφαίρα,

δείιcτρια του,

χαραιcτηριστιιcή του,

Frenet,

έξισώσεις του,

246 80

έξισώσεις του, θεώρημα

202 Egregium

ιcαμπυλότητα του,

του,

σύμβολα του,

203

184

Gauss-Bonnet θεώρημα των,

242, 246 244 Green, θεώρημα του, 243 τύπος των,

Heine-Borel, θεώρημα των, 107 Hilbert, λήμμα του, 219

ι

30, 124

Ι

253, 261

253

Mainardi-Codazzi, έξισώσεις των, 203 Minding, θεώρημα του, 241 Moebius, λωρίδα του, Ι, 170 Monge, τμήμα, 154, 155 Peano,

Gauss

6 Ι

Landau, LiouvilIe

τύπος του,

196

242

σύμβολο ή δέλτα του,

έπιφάνεια του,

182

Euler θεώρημα του,

241

τόξο του,

Jordan,

Kronecker, Cauchy-Schwarz, άνισότητα των, 5 Christoffel, σύμβολα του, 202, 213 Dupin,

.

ιcαμπύλη του,

Riccati, έξίσωση Riemann

του,

46 82

ιcανoνιιcές συντεταγμένες του,

σύμβολα του,

τανυστής ιcαμπυλότητας του,

Rοdήgues, τύπος του,

Serret-Frenet, Taylor,

255

214 186, 187

έξισώσεις των,

τύπος του,

30, 134

80

214

Διαφορική Γεωμετρία

Recommend Documents