Алгебра, и логику 39, N 5 (2000), 513-525
УДК 512.552.7
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ Р. Ж. АЛЕЕВ Введение
Основным объектом наших исследований являются
центральные
единицы (= центральные обратимые элементы) целочисленных групповых колец конечных групп. Во втором разделе знаменитой работы Хигмана [1] построена тео рия групп единиц конечных абелевых групп. На деле, нахождение еди ниц таких групп там во многом: сведено к нахождению единиц в кольцах целых полей алгебраических чисел, а это — классическая задача теории чисел. Отметим: это сведение проведено именно во многом, а не полно стью, так как, во-первых, задача нахождения единиц в числовых кольцах очень трудна сама по себе, а во-вторых, не ясно, какие числовые единицы понадобятся, что требует отдельного рассмотрения. В [2] теория Хигма на перенесена на центральные единицы целочисленных групповых колец произвольных конечных групп. Пусть К — (ассоциативное) кольцо с единичным элементом 1. Тогда, как обычно, обратимые элементы будем называть единицами и (мульти пликативную) группу единиц кольца К будем обозначать V(K). Следующий достаточно очевидный результат показывает значение группы центральных единиц. *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00550.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
514
Р. Ж . Алеев Л Е М М А 1. Группа центральных единиц совпадает с центром
группы всех единиц целочисленного
группового кольца. Более
точно,
пусть ZG — целочисленное групповое кольцо конечной группы G. Тогда \]{Z{ZG)) = Z(ZG) П U(ZG) = Z(U(ZG)), здесь Z(ZG) — центр группового кольца ZG, a Z(XJ(ZG)) — центр группы единиц кольца ZG. Поскольку задача вычисления группы всех единиц целочисленного группового кольца решена лишь для некоторых групп небольшого поряд ка, то получение информации о центре этой группы прольет свет на дан ную задачу. Дополнительную значимость этому придает результат [3, теор. 3.7] о том, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. В ряде работ в Челябинском государственном университете получены полные описания групп центральных единиц следующих неабелевых групп: А5 £ PSL2(5) (1993 год); PSL2(13) PSL2(8)
£ PSL2(4)
и А6 = PSL2(9)
(1990);
PSL2(11)
и SL2(5) (1994 год); SL2{9) (1995 год); J2 (1996 год);
(1997 год); Sz(&) и PGL2{9) (1998 год).
Заметим, что для А$ аналогичный результат был получен в [4]. Основные результаты этой работы изложены в пленарном докладе автора на Международной конференции "Мальцевские чтения" (1997 г.) и анонсированы в [5].
§ 1. Основные понятия и обозначения
Будем придерживаться следующих обозначений. ОБОЗНАЧЕНИЯ. Пусть: 1) G — конечная группа; 2) X(G) — система представителей классов сопряженности группы (?; 3) Irr(G) — набор всех неприводимых комплексных характеров груп пы
Центральные элементы целочисленных групповых колец
515
а) Q(x) — поле характера х (получается присоединением к Q всех значений характера х)> б) degx -- степень характера х; 5) для центра комплексной групповой алгебры группы G обозначим а) Y(G) = {у(х) | х £ X(G)} — базис из классовых сумм, 6) E(G) = {е(х) | X 6 IU{G)}.~~ базис из минимальных центральных идемпотентов; б) если К — ассоциативное коммутативное кольцо с 1, то 1(К) — кольцо целых кольца К (см., например, [6, § 135], где в качестве подкольца, над которым рассматривается понятие целого элемента, берется подкольцо Z1 (кратные 1)). По [7, §33, (33.9) и (33.11)] для любых \ € Irr(G) и х G X(G) выпол няется
|СТ|
*6X(G)
x€lrr(^)
g X
Теперь пусть и — произвольный элемент центра комплексной груп повой алгебры группы G, и * =
Y1 x€X(G)
Уи(х)у(х)=
/ 3 «(х)е(х).
]Г xelrr(G)
Тогда в силу указанных выше связей между базисами Y(G) и E(G) полу чаем, что для любых х € Irr(G) и х 6 X(G) имеют место ^ X ^ i w T QegX
Е x6X(G)
1 ^ Х ( * Ы > 0 , 7«(*) - JT^T I ] M
degxxR/3u(x).
X€lrr(G)
Отметим, что для любых \ G Irr(G) и х G X(G) по [7, § 33, с. 225] \х^\у(х) degx — целые алгебраические числа. § 2. Классовые кольца характеров ЗАМЕЧАНИЕ 1. Будем далее считать, что центр Z(ZG) целочис ленного группового кольца вложен естественным образом (расширением
516
Р. Ж . Алеев
множества коэффициентов) в центр Z(CG) комплексной групповой алгеб ры. В частности, можно разлагать элементы Z(ZG) по "внешнему" базису E(G) ("внешность" состоит в том, что E{G), как правило, не содержится BZ(ZG)).
ОБОЗНАЧЕНИЕ. Если \ ~ неприводимый характер группы G, то положим
2
^
=
1 ^
E 1**1Х(*)7(*) у(х) ezvxe x(G)
Л Е М М А 2. Пусть х ~ произвольный неприводимый
характер
группы G. 1) Отображение cpx:Z(ZG)->C, где для x€X(G)
xGlrr(G)
имеем <рх(и) = /З м (х),
будет гомоморфизмом кольца Z(ZG) в поле комплексных чисел С. 2) Образ (рх совпадает с Z[c/, х]- В частности, Z[c/,x] ~~ подкольцо в С. 3) Z[c/,x] ~* подкольцо кольца целых I(Q(x)) na/ш характера хДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Искомое следует из ортогональности ба зисных идемпотентов {е(х) | X £ Irr((?)}. 2) Как отмечено в § 1,
^ ' ^ d aee gbx
S
*ex(G)
I»°IX(*)7«(*).
Поэтому образ <рх содержится в Z[c/,x]- Обратное включение следует из того, что Y(G) — базис Z(ZG). \X^\Y(X)
3) Поскольку —: — целые алгебраические числа для любых degx X 6 Irr(Cr) и ж 6 X(G) (см. § 1), то Z[c/,x] содержится в I(Q(x)). П
Центральные элементы целочисленных групповых колец
517
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Кольцо Z[c/,x] назовем классовым кольцом ха рактера хЗАМЕЧАНИЕ 2. Из построения Z[c/, х] непосредственно следует, что это кольцо порождается (как абелева группа по сложению) числами
(И*ми Х(С )}. I degx
I
J
§ 3. Алгебраическая сопряженность 3.1. Общие факты. Введем следующее ОБОЗНАЧЕНИЕ. Пусть Q n — круговое поле, полученное присоеди нением корней из 1 степени n (n = exp(G) — показатель группы G). По теореме Брауэра (см. [7, §33]), поле Q n будет полем разложе ния группы G и всех ее подгрупп и фактор-групп. Поэтому алгебраиче скую сопряженность характеров [7, § 70] можно рассматривать над полем Qn< Пусть х
и
£ ~~ алгебраически сопряженные характеры. Тогда их поля
характеров Q(x) и Q(£) алгебраически сопряжены. Однако поля харак теров — абелевы расширения Галуа, а потому изоморфны только в том случае, когда совпадают. Поэтому I(Q(x)) = I(Q(£)). ОБОЗНАЧЕНИЕ. Пусть F / Q — расширение Галуа. Тогда его группу Галуа обозначим Gal(F). ОБОЗНАЧЕНИЯ. 1) Irr(G,a/c) — система представителей классов алгебраически сопряженных характеров, 2) Irr(x,a/c) — класс характеров, алгебраически сопряженных с хВ частности,
irr(G)= и
и е.
x€lrr(G,a/c) £€lrr(x,a/c)
Л Е М М А 3. Пусть х ~~ произвольный характер из Irr(G). 1) Для любого г Е Gal(Q(x)) отображение Т Х
где xr(x)
: X(G) -> С,
= г (х(я))> будет неприводимым характером группы G, алгебра
ически сопряженным с х-
518
Р. Ж. Алеев 2) Задаваемое в п. 1 действие Gal(Q(x)) па Irr(x7 ale) будет точным
и транзитивным.
В частности, |Irr( X ,a/c)| = |Gal(Q(x))|.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Смысл этой леммы в том, что она сводит вопрос об алгебраической сопряженности характеров к работе в поле характеров. В исходном понятии алгебраической сопряженности первично рассмотре ние представлений^ а не характеров. Разница между полями характеров и полями представлений описывается теорией индекса Шура (см. [7, §70]). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) В силу теории Галуа автоморфизм г яв ляется элементом фактор-группы GaJ(Q n )/CG a i(Q n )(Q(x))? Т
ff
некоторого автоморфизма а € Gal(Q„) получаем х = X )
a
потому для
что и
требова
лось. 2) Искомое легко следует из п. 1 леммы. П В силу последней леммы классовые кольца характеров Z[c*,x]
и
Z[c/,£] алгебраически сопряжены посредством автоморфизма т из груп пы Галуа Gal(Q(x)), если £ = хт = т(х)- На деле же справедлива Л Е М М А 4*^. Множества значений алгебраически
сопряженных
характеров совпадают. Поэтому совпадают их классовые кольца харак теров. Более точно, множество значений характера, алгебраически со пряженного с данным, является перестановкой значений данного. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Фактически это А15 в [8, гл. 2, § А]. • 3.2. Строение центра. Имеет место следующая Л Е М М А 5. 1) Для центра рациональной групповой алгебры выпол няется
Z(QG)*
ф
Q(X).
X€lrr(G,alc) *'Эта лемма была сначала доказана в частном случае для характеров групп PSL2(q),
где q нечетно. В.Д. Мазуров, которому автор признателен, указал на спра
ведливость общего результата. Впоследствии этот результат был обнаружен в [8].
Центральные элементы целочисленных групповых колец
519
2) Для группы единиц кольца целых центра рациональной групповой алгебры выполняется
U(I(Z(QG))) £
П
WQM))-
x€lrr(G,alc)
3) Центр целочисленного группового кольца Z(ZG) кольце целых l(Z(QG))} ниц V(Z{ZG))
содержится в
поэтому, в частности, группа центральных еди
содержится в
V(I(Z(QG))).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Теорема 1 из [2]. 2) Теорема 2 из [2]. 3) Для любых х е X(G) и х 6 Irr(G, ale), как указано в § 1, fiy{x){x) = =
- — целое алгебраическое число, и искомое следует из доказа1 degx тельства теоремы 1 в [2]. • Т Е О Р Е М А 1. 1) Центр целочисленного группового кольца — подпрямая сумма классовых колец характеров Z[c/,xL г^е X. G Irr(G,a/c). 2) Группа центральных единиц U(Z(ZG)) целочисленного группового кольца содержится в подпрямом произведении групп единиц классовых колец характеров Z[c/,xL 2^е X £ Irr(G,а/с). ЗАМЕЧАНИЕ 4. В последнем утверждении, к сожалению, нельзя до казать совпадение с подпрямым произведением. Одним из контрпримеров служит циклическая группа порядка 5. В самом деле, легко понять, что в этом случае целочисленное групповое кольцо — подпрямая сумма Z и Z[a], где а — первообразный корень степени 5 из единицы 1. Тогда U(Z[a]) = ( a ) x < W > | W = i ± v 5 . Однако не существует единицы в групповом кольце с проекцией, равной а;. Подробности см. в [2, с. 332 и 334]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следует из лемм 2 и 5. D 3.3. А в т о м о р ф и з м ы . Введем следующее ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Конечное расширение поля Q с абелевой груп пой Галуа назовем полем реализации характеров группы G, если значение любого характера принадлежит этому полю.
520
Р. Ж . Алеев ОБОЗНАЧЕНИЯ. Пусть: 1) К — поле реализации характеров группы G; 2) для удобства, Gal(A") = А] 3) Ах = {a G А | х^ = х} ~~ стабилизатор х
в
^П отметим, что Ах
централизует поле Q(x)i и потому кольцо Z[c/,x]; 4) Sx — трансверсаль Л х в А, в силу основной теоремы теории Галуа можно отождествить
Wq(x) I ° G 5 х) - Gal(Q(X)). Л Е М М А 6. Яусгаъ u
= Е Т^М*) = Е ^«(Х)в(х) xeX(G)
xeMG)
произвольный элемент центра Z(QG) рациональной групповой алгебры. 1) Если а £ А или о е Gal(Q(x)), то
МЛ = <'(РМ). 2) Для любого х £ X(G) Уи(х) =
щ 1
~
de
J2
gXtr Q ( x )(x(«)^fi(x))
' x6lrr(G,a/c)
|G|
/egX
4-
|AJ
здесь trQ( x ) и trR- — следы (относительно Q) в соответствующих ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) В самом деле,
2) По формуле из § 1 и первому утверждению
?«<*)
=
ш ш Е
d
I^I E
de
«*w Е £(*)/ш
X€lrr(G,aJc)
X €lrr(G,o/c)
^€lrr(x,a/c)
sW E "Шли) cr65 x
полях.
Центральные элементы целочисленных групповых
колец
521
Е °Ы*)Рч(х)) V
\G\ 1
-
deg(x)&К/Х/
^
\AJ
' X €lrr(G,a/c)
iG\
1 1
2^
Xi
'
aeglx)
X €lrr(G,olc)
|л | Xl
'
Аналогично получаем второе выражение для 7и(ж). D ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. В силу леммы 4 зададим действие группы Галуа А на X(G). А именно, для каждого автоморфизма <т € А и каждого элемента ж G X(G) определим элемент ж"7 £ X(G) такой, что для любого X G Irr(G)
Далее можно задать действие a £ А на Z(ZG) следующим образом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пусть
xeX(G)
X6MG)
произвольный элемент Z(ZG). Тогда положим cr(t*)=
^
а(/З и ( Х ))в(х).
XGlrr(G)
Т Е О Р Е М А 2. Для любого a £ А отображение а — автоморфизм кольца
Z(ZG).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу ортогональности идемпотентов ясно, что а — изоморфизм Z(ZG) в Z(CG). Поэтому достаточно понять, что для любого и 6 Z(ZG) справедливо а{и) £ Z(ZG). Итак, по лемме 6 для любого х 6 X(G)
1*.)м
= jgj
£
| G |
x€lrr(G,a/c)
|tj|
X 6lrr(G,a/c)
= 7«(**) е z. D
«^^И l^
|A
xl
1
522
Р. Ж. Алеев § 4. Обратимость центральных элементов Введем важное понятие: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть К — поле реализации характеров группы
G, и пусть «=
]Г
7«i(s)y(s)=
x6X(G)
]Г
^(x)e(x) "
x€lrr(G)
элемент Z(Z(3). Тогда нормой элемента и (относительно К) называется Norm A -( U )=
J]
NA-(/3u(x)),
XGlrr(G,a/c)
здесь NK — норма в поле К (над Q). Очевидно, что Когтд'(^) — целое число. Т Е О Р Е М А 3. Пусть К — поле реализации характеров группы G и пусть и:
=
J2 Чи{х)у{х)^ xex(G)
Y^ xeirr(G)
PMe(x)
является элементом из Z(ZG). Тогда следующие условия равносильны: 1) и — единица, то есть, и Е U(Z(ZG)); 2) для любого х G Irr(G, ale)
(3U(X) G U(I(Q(x)));
3) NovmK(u) = ± 1 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) = * 2) Очевидно. 2) = > 3) Очевидно в силу свойств числовых норм. 3) = » 1) Пусть А = Gal(tf) и
По теореме 2, a (u) Е Z(ZG). Для любого х G Irr(G)
будет целым числом. Поскольку по условию Norm* (и) =
[] XeIrr(G,ak)
NA-(/5„(x)) = ± 1 ,
Центральные элементы целочисленных групповых колец
oza
для любого х 6 Irr(G, а/с) имеем /3z(x) = ± 1 , а так как все остальные Pz(x) алгебраически сопряжены с указанными, то и для любого х Е Irr(G) справедливо /3z(x) = ± 1 . Из теоремы 3 в [2] следует, что z — центральный элемент группы G и z2 — L Тогда по теореме 2 u~l = u~lz2 — z Yl
* ^
будет элементом из Z(ZG). D Следующий результат имеет важные приложения, так как позволяет упростить поиск центральных единиц, сводя его к проверке того, будут ли целыми некоторые числа. Т Е О Р Е М А 4. Пусть для каждого представителя х £ Irr(G,a/c) определена единица /3(х) Е U(Z[c/,x])« Допустим, что для любого х Е 6X(G) ^ ж ) = ]с\
de
1^
g(x)tr Q ( x )(x(^)/3(x))
является целым числом. Тогда uz=:
Y1 7(х)у{х) x€X{G)
будет единицей в
U(Z(ZG)).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из леммы 6 следует, что и==
Yl
P(X)*(X)I
xeirr(G)
если для произвольного £ Е 1тт(х,а1с) определить /3(£) = о(/3(х)) при X Е Irr(G, ale) и а Е Gal(Q(x)). Теперь искомый результат вытекает из предыдущей теоремы. П ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Будем говорить, что поле алгебраических чисел имеет свойство положительности нормы, если все единицы кольца целых этого поля имеют норму 1. Л Е М М А 7. Если К — круговое поле, отличное от Q, то для любого /3 Е 1(К) норма N#(/3) — целое неотрицательное число. В частности,
524
Р. Ж . Алеев
если /3 £ V(l(K)), жительности
то норма N#(/3) = 1, т.е., К имеет свойство поло
нормы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле^ в данном случае множество всех автоморфизмов разбивается на пары {а, а}, причем а ф 7? из-за то го, что поле не является полем действительных чисел. Пусть S — система представителей таких пар. Тогда
i w ) = П °&) = П и я -щ)) = Пи/з) -^)) = П f^c/5)i2 > о, <геА
&es
откуда и получается искомый результат. • Л Е М М А 8. Пусть п — показатель группы G и Q n — круговое поле, полученное присоединением корней из 1 степени п. Тогда равносильны следующие условия: 1) Qn - Q; 2) п ^ 2; 3) G — элементарная абелева 2-группа или G — единичная группа; 4) U(ZG) = ( - l ) x G . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО легко следует из теоремы 6 в [1]. D С Л Е Д С Т В И Е . Пусть К — поле реализации характеров группы G, имеющее свойство положительности
нормы, например, пусть G —
группа показателя п > 2, и К = Q„ — круговое поле, полученное присо единением корней из 1 степени п. Пусть
x&(G)
является элементом из Z(ZG).
x€lrr(G)
Тогда равносильны следующие условия:
1) и — единица, т. е., и £ U(Z(ZC?)); 2) для любого х £ Irr(С?, а/с) выполняется 0и(х) € U(I(Q(x)))i 3) Norm#(u) = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Брауэра из (см. [7, §41]) Q n
-
поле реализации характеров группы G, а по леммам 7 и 8 оно имеет свой ство положительности нормы. Остальные утверждения легко следуют из доказательства теоремы 3. •
Центральные
элементы целочисленных
групповых
колец
525
ЛИТЕРАТУРА 1. G. Higman, The units of group rings, Proc, Lond. Math. Soc, II. Ser., 46 (1940), 231-248. 2. R. Z. Aleev, Higman's central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers, Int. J. Algebra Comput., 4, N 3 (1994), 309-358. 3. R. Arora Satya, I. B. S. Passi, Central height of the unit group of integral group ring, Commun. Algebra, 21, N 10 (1993), 3673-3683. 4. Y.Li, M. M. Parmenter, Central units of the integral group ring ZA5, Proc. Am. Math. Soc, 125, N 1 (1997), 61-65. 5. R. Zh, Aleev, Central units of group rings, Kurosh algebraic conference 98, Abstracts of talks, M., 1998, 25-26. 6. Б.Л. ean дер Варден, Алгебра, 2-е изд., М., Наука, 1979. 7. Ч.Кэртис, И.Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциа тивных алгебр, М., Наука, 1969. 8. В. А. Белоногое, Представления и характеры в теории конечных групп, Свердловск, УрО АН СССР, 1990.
Адрес автора: А Л Е Е В Рифхат Ж а л я л о в и ч , РОССИЯ, 454112, г. Челябинск, а / я 10729. Тел.: (3512)420409 (р.), (3512)412453 (д.). e-mail:
[email protected]
Поступило 17 ноября 1998 г.
