Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений

В.В.Трофимов, А.Т.Фоменко АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Посвящена интересному и актуальному направлению, бурно развивающемуся в последние годы, в рамках которого открыты важные методы интегрирования гамильтоновых уравнений и получены новые результаты о геометрической структуре интегрируемых уравнений. Большинство вопросов впервые изложены в виде, доступном для широкого круга специалистов. Для научных работников — математиков, физиков, механиков, аспирантов и студентов соответствующих специальностей. Может быть использована как пособие по специальным курсам: симплектическая геометрия, интегрируемые системы и др. Содержание Введение 3 ЧАСТЬ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава 1. Краткий экскурс в классическую механику 11 § 1. Принцип Даламбера — Лагранжа 11 § 2. Уравнения Лагранжа второго рода 16 § 3. Уравнения Гамильтона 20 § 4. Первые интегралы дифференциальных уравнений 23 § 5. Динамика твердого тела 29 § 6. Вариационные принципы в механике 38 § 7. Интегральные инварианты 42 § 8. Канонические преобразования 48 § 9. Скобки Пуассона 51 Глава 2. Интегрирование канонических систем 55 § 10. Алгебра Ли векторных полей 55 § 11. Теорема Якоби 62 § 12. Теорема Лиувилля 67 § 13. Теорема Ли 70 § 14. Дополнительные сведения из теории групп Ли и алгебр Ли 75 Глава 3. Симплектическая геометрия в линейном пространстве 84 § 15. Симплектические пространства 84 § 16. Группы симплектических преобразований линейного пространства 86 § 17. Лагранжев грассманиан 95 Глава 4. Симплектическая геометрия 102 § 18. Симплектические многообразия 102 § 19. Гамильтоновы векторные поля 111 § 20. Геодезические потоки 118 § 21. Алгебра Ли функций Гамильтона 126 § 22. Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного 134 представления группы Ли

§ 23. Уравнения Эйлера § 24. Канонические преобразования § 25. Теорема Дарбу § 26. Вложения симплектических многообразий § 27. Пуассоновы многообразия ЧАСТЬ 2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава 5. Гамильтоновы системы с симметриямн. Симплектические действия групп Ли на симплектических многообразиях § 28. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы § 29. Структура вполне интегрируемых гамильтоновых систем § 30. Некоммутативное интегрирование гамильтоновых систем § 31. Интегрируемые алгебры Ли § 32. Симплектические действия групп Ли § 33. Редукция гамильтоновых систем с симметриями и псевдогруппы Ли Глава 6. Методы построения функций в инволюции на орбитах коприсоединенного представления групп Ли § 34. Метод сдвига аргумента § 35. Метод построения коммутативных наборов функций по цепочкам подалгебр § 36. Семейства функций в инволюции, связанные с согласованными скобками Пуассона § 37. Сжатия алгебр Ли § 38. Метод тензорных расширений алгебр Ли § 39. Метод сходных функций § 40. Метод R-матрицы Глава 7. Полнота инволютивных наборов функций § 41. Критерий полноты § 42. Полнота семейств функций, построенных методом сдвига аргумента § 43. Функции в инволюции на симметрических алгебрах Ли § 44. Скобки Пуассона, связанные с лиевыми пучками § 45. Инволютивные семейства функций на полупрямых суммах Глава 8. Секционные операторы § 46. Динамические системы и Симплектические структуры, порождаемые секционными операторами § 47. Секционные операторы для коприсоединенного представления и вполне интегрируемые системы § 48. Основные примеры секционных операторов § 49. Бигамильтоновость уравнений Эйлера Глава 9. Полная интегрируемость по Лиувиллю некоторых гамильтоновых систем на алгебрах Ли § 50. Уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики § 51. Уравнения Эйлера на полупростых алгебрах Ли

139 145 150 153 157 163 163 166 171 179 184 190 197 197 203 206 208 212 221 222 223 223 229 232 237 249 261 261 267 274 278 281 281 288

§ 52. Уравнения Эйлера на разрешимых алгебрах Ли 294 § 53. Уравнения Эйлера на неразрешимых алгебрах Ли с нетривиальным 299 радикалом § 54. Интегрируемые системы и симметрические пространства 304 § 55. Коммутативные подалгебры универсальной обертывающей алгебры 316 ЧАСТЬ 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава 10. Качественная топологическая теория интегрируемых систем 325 на симплектических многообразиях § 56. Элементы теории Морса 325 § 57. Классификация трехмерных поверхностей постоянной энергии 333 интегрируемых систем § 58. Граф, естественно связанный с интегрируемой гамильтоновой системой 346 § 59. Новый топологический инвариант гамильтоновых систем 349 дифференциальных уравнений, интегрируемых по Лиувиллю § 60. Построение меченого инварианта интегрируемых систем 366 378 § 61. Классификация перестроек торов Лиувилля на многомерных симплектических многообразиях в окрестности бифуркационной диаграммы отображения моментов Глава 11. Характеристические классы 396 § 62. Характеристические классы лагранжевых слоений 396 § 63. Обобщенные классы Маслова лагранжевых подмногообразий и 399 симплектические связности § 64. Вполне интегрируемая гамильтонова система, торы Лиувилля которой 406 имеют нетривиальные индексы Арнольда — Маслова. Приложение. Нерешенные задачи 411 Список литературы 416 Предметный указатель 439 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебра кватернионов 93, п. 23 — — сохраняющая скалярное — Ли 55, п. 1 произведение 56, п. 13 — — абелева 56, п. 4 — самосопряженная 220, п. 30 — — Z2-градуированная 208, п. 2 — с двойственностью Пуанкаре 214, п. 6 — — группы Ли 75, п. 4 — Фробениуса 220, п. 28 — — двойная 222, п. 1 алгоритм (t) 212, п. 3 — — интегрируемая 179, п. 2 — (b) 215, п. 9 — — коммутативная 56, п. 4 аналог уравнения движения твердого — — полупростая 56, п. 12 тела 275, п. 2 — — разрешимая 56, п. 9 аннулятор ковектора 84, п. 34 — — редуктивная 56, п. 12 Базис Вейля 84, п. 33 — — симметрическая 232, п. 1 — Гельфанда—Цетлина 323, п. 23 — — совершенная 281, п. 7 — симплектический 86, п. 6

Вложение динамической системы в алгебру Ли 160, п. 19 волчок Лагранжа 303, п. 14 — полностью симметричный 303, п. 14 время в уравнении Гамильтона—Якоби 147, п. 6 вставка 391, п. 24 вырождение предельное 385, п. 9 Гамильтониан 112, п. 7 — неориентируемый 386, п. 12 — нерезонансный 349, п. 2; 363, п. 38 — ориентируемый 386, п. 12 геодезическая 119, п. 7 гессиан 325, п. 2 гомоморфизм алгебр Ли 56, п. 6 — касательный 76, п. 11 — накрывающий 185, п. 3 градиент косой 112, п. 9 грассманиан лагранжев вещественный 96, п. 3 — — приведенный 403, п. 17 граф редуцированный 371, п. 11 группа голономии 403, п. 17 — диффеоморфизмов однопараметрическая 58, п. 21 — — — локальная 58, п. 23 — — — — порожденная векторным полем 59, п. 25 — Ли 75, п. 1 — Гамильтона—Ли 195, п. 27 — пуассонова 195, п. 27 — симметрии гамильтоновой системы 185, п. 5 — симплектическая вещественная 86, п. 1 — — компактная 94, п. 25 — — комплексная 88, п. 8 группоид симплектический 191, п. 2 группы пуассоновы сопряженные 196, п. 32 Движение условно периодическое 169, п. 10 действие 147, п. 6 — гамильтоново 184, п. 3

— группоида 193, п. 14 — группы Ли 76, п. 7 — коприсоединенное псевдогруппы Ли 195, п. 21 — по Гамильтону 38, п. 1 — присоединенное 76, п. 12 — пуассоново псевдогруппы Ли 194, п. 15 — свободное от кратностей 308, п. 9 — строго симплектическое 184, п. 3 диаграмма бифуркационная 378, п. 2 — сепаратрисная 336, п. 9; 354, п. 15 диаграмма сепаратрисная входящая 336, п. 9 диаграмма сепаратрисная исходящая 336, п. 9 дифференциал абсолютный 119, п. 4 дополнение косоортогональное 85, п. 2 Задача вариационная с подвижными концами 40, п. 3 — Гамильтона—Якоби 149, п. 14 — Неймана 124, п. 25 Значение критическое 378, п. 2 Идеал 56, п. 3 изотония гамильтонова 406, п. 32 импульс 21, п. 2; 147, п. 6 инвариант 78, п. 19; 81, п. 26 — интегральный 43, п. 1 — — абсолютный 43, п. 1 — — относительный 43, п. 1 — — полного порядка 43, п. 1 — — Пуанкаре—Картана 45, п. 5 — коприсоединенного представления 78, п. 19 — меченый 372, п. 11 — топологический интегрируемого гамильтониана 351, п. 9 — — — — изоэнергетический 355, п. 19 — — ——— меченый 372, п. 11; 377, п. 23 — — — — полный 355, п. 19 H-инвариант канонический 221, п. 4

инварианты сходные 222, п. 5 инволюция антикомплексная 100, п. 13 — Картана 233, п. 7 индекс алгебры Ли 84, п. 34; 251, п. 12 — критической точки 325, п. 5 — — — вырожденной 326, п. 17 — представления 251, п. 12 — регулярной точки проекции 406, п. 28 — ручки 327, п. 13 интеграл 24, п. 1 — боттовский 334, п. 4 — — ориентируемый 336, п. 10 — — неориентируемый 336, п. 10 — момента количества движения 35, п. 14 — первый 24, п. 1 — полный 62, п. 1 — тривиальный геометрический 35, п. 14 — циклический 19, п. 7 — энергии 35, п. 14 — Якоби 19, п. 8 Кватернион 93, п. 23 — сопряженный 93, п. 23 — чисто мнимый 93, п. 23 кернфункция Бергмана 109, п. 28 класс Арнольда—Маслова 400, п. 5; 401, п. 6 — Годбийона—Вея 398, п. 14 — когомологический диагональный 215, п. 11 — Маслова 400, п. 3 — многообразий (Я) 345, п. 41 ——— (Q) 345, п. 41 ——— (S) 345, п. 41 — — (W) 345, п. 41 — характеристический типа Маслова 403, п. 18 — — — — лагранжева подрасслоения 405, п. 26 — — — — полного инволютивного

семейства 404, п. 23 количество движения 12, п. 4 коммутатор векторных полей 60, п. 29 компонента седловая 353, п. 14 координаты в уравнении Гамильтона—Якоби 147, п. 6 — лагранжевы 16, п. 1 корень алгебры Ли 82, п. 30 — — — положительный 83, п. 32 — — — простой 83, п. 32 кривая интегральная 57, п. 20 Линия толстая 374, п. 16 — тонкая 274, п. 16 — узлов 33, п. 9 Матрица Гесса 325, п. 2 метрика отображения моментов 305, п. 2 — Фубини—Штуди 108, п. 23 многообразие кэлерово 107, п. 20 — лагранжево грассманово вещественное 96, п. 3 — — — комплексное 96, п. 3 — пуассоново 157, п. 1 — редуцированное 372, п. 11 — симплектическое 102, IL 1 — точек H-значных 111, п. 36 — Тёрстона 109, п. 29 многообразия пуассоновы взаимно полярные 193, п. 12 множество бифуркационное 378, п. 2 множитель Якоби последний 29, п. 10 модуль кватерниона 93, п. 23 момент внешних сил главный 15, п. 12 — инерции 30, п. 1 — — осевой 30, п. 1 — — относительно оси 31, п. 4 — — полярный 30, п. 1 — — центральный 31, п. 3 — — центробежный 30, п. 1 — количества движения 14, п. 9 Набор коммутативный 319, п. 8

— разделяющий 319, п. 8 Область ограниченная 108, п. 26 овал 356, п. 22; 368, п. 4 ограничение 113, п. 17 окружность толстая 374, п. 16 — тонкая 374, п. 16 оператор Ли 126, п. 1 — отвечающий базисному вектору 79, п. 20 — секционный 261, п. 2 — — канонический 262, п. 2 операция приклейки ручки 327, п. 13 — сдвига аргумента 197, п. 2 орбита точки 58, п. 21; 77, п. 14 ось инерции главная 31, п. 6 отображение изотропное 147, п. 7 — моментов 185, п. 4; 194, п. 19 — симплектическое 154, п. 2 — экспоненциальное 76, п. 9 Пара гамильтонова 207, п. 1 — пуассонова 207, п. 1 — сферическая 309, п. 15 переменные действие—угол 171, п. 17 перемещение возможное 11, п. 1 — действительное 11, п. 1 перестройка симплектического многообразия 110, п. 31 перестройки торов Лиувилля канонические 344, п. 37 плоскость вещественная лагранжева 100, п. 15 поверхность интегральная 385, п. 10 подалгебра 55, п. 3 — Картана 82, п. 29 — конечного типа 317, п. 3 — сферическая 309, п. 15 подгруппа изотропии 77, п. 14 — однопараметрическая 75, п. 5 — стационарная 77, п. 14 — сферическая 309, п. 15 подмногообразие лагранжево 147, п. 7 подмножество алгебраическое в СРn

108, п. 24 поднятие 185, п. 3 подпространство изотропное 85, п. 3 — коизотропное 85, п. 3 — коммутативное 317, п. 1 — — главное 321, п. 14 — лагранжево 85, п. 3 — симплектическое 85, п. 3 подъем функции 203, п. 1 поле векторное левоинвариантное 75, п. 2 — — правоинвариантное 75, п. 2 — гамильтоново 112, п. 7 поле гамильтоново локально 112, п. 6 — параллельное 119, п. 7 — полное 59, п. 25 полноторие 340, п. 31 — диссипативное 380, п. 6 — расслоенное типа (а, Ь) 351, п. 9 положение общее для перестроек 385, п. 10 полуинвариант 79, п. 19 поток геодезический 118, п. 2 представление алгебры Ли коприсоединенное 76, п. 12 — — — присоединенное 76, п. 12 — группы Ли 76, п. 10 — — — коприсоединенное 76, п. 12 — — — присоединенное 76, п. 12 — изотропии 189, п. 21 представления эквивалентные 77, п. 15 S-представление группы Ли 201, п. 10 преобразование каноническое 48, п. 1; 145, п. 1 — — унивалентное 49, п. 4 — Лежандра 23, п. 7 — симплектическое вещественное 86, п. 1 — — комплексное 88, п. 8 приклейка ручки 327, п. 13 — — торической 387, п. 20 принцип Гамильтона 38, п. 1 — поглощения 149, п. 14

— Якоби 41, п. 3 произведение внутреннее 111, п. 1 — тензорное 212, п. 1 производная ковариантная 119, п. 4 пространство кэлерово 93, п. 19 — — положительное 93, п. 21 — линзовое 338, п. 17 — симметрическое 263, п. 3 — — максимального ранга 267, п. 14 — симплектическое 84, п. 1 — фазовое над пуассоновым многообразием 191, п. 5 P-пространство симплектическое 184, п. 1 — — однородное 184, п. 1 псевдогруппа Ли 191, п. 2 — — соответствующая пуассонову многообразию 191, п. 2 пучок лиев 237, п. 1 — — замкнутый 241, п. 12 — — неприводимый 241, п. 12 Радикал 56, п. 11 разложение гамильтоново 344, п. 36 — корневое 82, п. 30 — топологическое 344, п. 36 размерость лиева пучка 237, п. 1 размерность ручки 327, п. 13 ранг алгебры Ли 83, п. 31 — компактной группы Ли 267, п. 14 — симметрического пространства 266, п. 14 — скобки Пуассона 158, п. 4 — фундаментальной группы 339, п. 22 расслоение пуассоново 191, п. 5 расширение алгебры Ли 249, п. 3 — несущественное 251, п. 9 — существенное 251, п. 9 — универсальное 251, п. 11 расширения эквивалентные 250, п. 7 реализация. гамильтонова векторного поля 160, п. 17 — пуассонова многообразия 159, п. 15

— системы 160, п. 18 редукция 176, п. 15 решение уравнения Гамильтона — Якоби 148, п. 14 род системы 358, п. 26 ручка 327, п. 13 — торическая 387, п. 19 ряд канонический 321, п. 19 — подчиненный 321, п. 16 — регулярный 321, п. 15 ряды канонически эквивалентные 322, п. 20 Связность аффинная 118, п. 3 — — согласованная с метрикой 119, п. 5 — почти симплектическая 401, п. 7 — симплектическая 402, п. 10 — согласованная с формой 401, п. 7 связь 113, п. 17 — голономная 11, п. 1 — идеальная 12, п. 2 сдвиг аргумента 197, п. 2 — левый 75, п. 1 — правый 75, п. 1 седло неориентированное 341, п. 31 — — торическое 381, п. 6 — ориентированное 340, п. 31 — — торическое 381, п. 6 семейство полное 159, п. 9 — — инволютивное 163, п. 1 — производящее для лагранжевой иммерсии 406, п. 29 — — — — — квадратичное на бесконечности 406, п. 29 — решений невырожденное nпараметрическое 164, п. 4 сепаратриса 354, п. 15 серия секционных операторов компактная 276, п. 4; 278, п. 12 — — — комплексная полупростая 275, п. 2; 278, п. 11 серия секционных операторов нормальная 276, п. 6; 278, п. 13 сжатие алгебры Ли 209, п. 3

сила 21, п. 2 — потенциальная 16, п. 16 симплектоморфизм 145, п. 1 система координат каноническая 117, п. 25 — типа Калоджеро—Сазерленда 310, п. 20 — уравнений боттовская 334, п. 4 — — вполне интегрируемая 163, п. 1 — — — — алгебраическая 292, п. 12 — — — — в коммутативном смысле 172, п. 4 — — — — в некоммутативном смысле 172, п. 4 — — полная 71, п. 7 — функций канонически сопряженная 170, п. 14 — — полная инволютивная 163, п. 1 системы гамильтоновые эквивалентные геометрически 364, п. 38 — — — топологически 364, п. 38 скобка Березина 138, п. 13 — инвариантная 196, п. 30 — Пуассона 51, п. 1; 113, п. 11; 157, п. 1 — — фундаментальная 51, п. 3 a-скобка Березина 208, п. 6 R-скобка 222, п. 1 скобки Пуассона согласованные 206, п. 1 скорость лагранжева 16, п. 1 слоение колежандрово 396, п. 5 — лагранжево 396, п. 1 слой симпдектический 158, п. 7 случай Ковалевской 35, п. 14 — Лагранжа обобщенный 302, п. 12 — Лагранжа—Пуассона 35, п. 14 — Эйлера—Пуансо 35, п. 14 сокращение разложения многообразия 391, п. 24 степень вырождения критической точки 325, п. 2 структура комплексная 92, п. 18

— пуассонова 157, п. 1 — симплектическая 102, п. 1 — — каноническая на орбитах 135, п. 2 — — связности 107, п. 18 сумма полупрямая 251, п. 9 Тензор структурный 55, п. 2 — кривизны симплектический 402, п. 12 — Риччи 402, п. 14 тор максимальный 267, п. 14 точка A-значная 111, п. 36 — критическая 325, п. 1; 378, п. 2 — — вырожденная 325, п. 2 — — невырожденная 325, п. 2 — регулярная 378, п. 2 траектория устойчивая 335, п. 7 Угол нутации 33, п. 9 — прецессии 33, п. 9 — собственного вращения 33, п. 9 — Эйлера 33, п. 9 уравнение Гамильтона каноническое 40, п. 2 — Гамильтона—Якоби 49, п. 5; 148, п. 14 — — — стационарное 147, п. 6 — движения триплета 144, п. 13 — Лагранжа второго рода 18, п. 3; 21, п. 2 — Эйлера 140, п. 1 — Якоби 42, п. 4 уравнения Лагранжа 21, п. 2 — Пуассона кинематические 34, п. 11 — Эйлера динамические 34, п. 12 — — кинематические 33, п. 10 уровень критический невырожденный 328, п. 16 М-условие 222, п. 6 Форма Киллинга 82, п. 27 — Кириллова 135, п. 2 — связности универсальная 106, п. 17 — симплектическая 84, п. 1; 102, п. 1 — целочисленная 155, п. 7

функции в инволюции 113, п. 13; 159. п. 9 функции функционально зависимые 24, п. 2 функция боттовская 334, п. 5 — Гамильтона 147, п. 6 — Казимира 158, п. 4 —: коллективная 309, п. 10 — Лагранжа 18, п. 5 — Морса 325, п. 3 — производящая 112, п. 7 — Рауса 41, п. 3 — центральная 158, п. 4 функции сходные 222, п. 5 Центр алгебры Ли 56, п. 7 — масс 13, п. 7 цилиндр 340, п. 31; 381, п. 6 Частота условно периодического

движения 169, п. 10 часть кватерниона вещественная 93, п. 23 — — мнимая 93, п. 23 число степеней свободы 16, п. 1 Штаны 341, п. 31 Элемент Казимира 319, п. 6 — регулярный 82, п. 29 — слабо регулярный 253, п. 16 элементы коммутирующие 317, п. 1 эллипсоид инерции 31, п. 6 энергия системы 21, п. 4 — — кинетическая 15, п. 14 Ядро гомоморфизма 56, п. 6 — кососимметрической билинейной формы 85, п. 3 якобиан 24, п. 2