Математический анализ: Типовые расчеты по курсу

Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики

Г.П. Исаев

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Типовые расчеты по курсу для студентов специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» очной формы обучения

Петропавловск-Камчатский 2006 1

УДК 510.2(075.8) ББК 22.1я729 И85 Рецензент М.И. Водинчар, кандидат физико-математических наук КамГУ

Исаев Г.П. И85

Математический анализ. Типовые расчеты по курсу для студентов специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» очной формы обучения. 2-е изд. – ПетропавловскКамчатский: КамчатГТУ, 2006. – 45 с. Задачи типовых расчетов составлены для самостоятельной работы студентов по изучемому курсу. Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом КамчатГТУ (протокол № 8 от 23 апреля 2004 г.).

УДК 510.2(075.8) ББК 22.1я729

© КамчатГТУ, 2006 © Исаев Г.П., 2006 2

Введение Выполнение двух типовых расчетов по курсу "Математический анализ" предназначено для самостоятельного закрепления студентами 1 курса специальности "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем" теоретического и практического материала, изученного на аудиторных занятиях. Типовые расчеты состоят из 27 заданий и выполняются студентом в отдельной тетради. Вариант выполняемого задания соответствует порядковому номеру в журнале. После выполнения заданий типовой расчет сдается на проверку. Если при выполнении типового расчета студент допустил ошибки, то они исправляются в той же тетради с пометкой "Работа над ошибками". Правильно выполненный типовой расчет подлежит защите студентом.

3

Типовой расчет №1 Тема№1. Введение в математический анализ Задача №1. Найти область определения функции. x−5 2. y = ln 2 − 3 x + 5. 1. y = ln x − 4 + 6 − x . x − 10 x + 24

(

3. y =

5. y =

)

1 + x+2. ln (1 − x )

3 4−x

7. y =

3

(

)

+ ln x 3 − x .

1 − x2 + x + 2

1 − ln (2 x − 3) . x−2

⎛5x − x2 6. y = ln ⎜⎜ 4 ⎝

+ ln (x − 1) . 8. y = 3 x − 1 +

1

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

1 5−x

.

9. y = x 2 − 5 x + 6 .

10. y =

11. y = 2 − 3 x + ln x .

12. y = x − 2 + 2 − x .

13. y =

15. y =

3x − 1 + x−2. 5x + 6 x −8 . 12 − x

⎛ 5x ⎞ − 2 ⎟⎟ . 17. y = ln ⎜⎜ ⎝x −1 ⎠

4

4. y = x + 3

2

x − 3x

14. y =

3x − 2 . 2x + 6

16. y = ln

5x −1 . 3x −1

18. y = 7 − x +

.

1 x −1

.

19. y =

21. y =

23. y =

x −1 2

x − 9 x + 20 4x −1 3x2 − 5x − 2 5

ln (x + 1)

.

20. y = 3 5 − x −

.

22. y =

10 − x

+2

x −1

.

6

16 − x 2

ln (x − 1)

24. y =

(

)

29. y = x 2 + x + 1

−

3 2

.

.

x−3

.

2

x (x + 1) x+4

.

− x2 − 7x + 8 .

25. y = x − 1 + 1 − x − log 2 x . 26. y = 27. y = 3 + x + 4 7 − x .

4

(

(

))

28. y = ln 1 − ln x 2 − 5 x + 16 . 30. y = 1 − x .

Задача №2. Определить четность или нечетность функции. 2−x . 1. y = log 2 2+x

2. y =

x

7. y =

x 3 cos x

3x − 3− x

.

x

⎛1⎞ 4. y = ⎜ ⎟ − 3 x . ⎝ 3⎠

⎛1⎞ 3. y = 2 + ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ x

⎛ 2 − x3 5. y = ln ⎜⎜ 3 ⎝2+ x

3x + 3− x

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

6. y =

2

+ sin x . 2 2x ⎛1 + x ⎞ ⎟⎟ . 9. y = lg ⎜⎜ ⎝1 − x ⎠

8. y =

(

ln 1 − x 2 3

cos x

ex + 1 ex − 1

10. y =

− x2

.

.

x x

)⋅ e

2 −1

. 5

2x − 2−x . 2

11. y = sin x − cos x .

12. y =

13. y = x 2 + x .

14. y = x + sin x .

15. y = x ⋅ sin 3 x .

16. y =

17. y = 3 x ⋅ sin x .

18. y = 3 4 x ⋅ x 2 + cos x .

19. y =

21. y =

(

)

x4 − x 3 ln 1 + x 2 . sin x sin x x

3

20. y = x 2 ln x .

22. y =

.

(

)

x4 − 1 − x2 . cos x

tg x 4

x + x2 + x 2

23. y = sin 2 x + cos x ⋅ x 3 .

24. y = 3 x .

25. y = 2 x 3 − 3 x .

26. y = 2 − x .

27. y = x ⋅

29. y =

ax −1 x

a +1

.

2

4

28. y = 2 x − x .

.

ax + a−x . 2

30. y =

x . a −1 x

Задача №3. Найти предел от рациональной алгебраической дроби без применения правила Лопиталя. 1. lim

x→5

6

x 2 − 7 x + 10 x 2 − 9 x + 20

.

2. lim

x →1

x2 − x

(

)

3 x2 −1

.

3. lim

x→2

x2 − 5x + 6 x 2 − 12 x + 20

x 2 − 3 x − 10

x → −2

x2 + 2x − 3 x2 + x − 2

x →1

9. lim

x →1

3x2 − 2 x − 1

1 2

13. lim

x→3

15. lim

x→2

17. lim

19. lim

x→3

21. lim

x→2

6. lim

.

x2 − 5x + 6 x 2 − 12 x + 27 4x2 − 7x − 2 5 x 2 − 11 x + 2

x2 − x − 6 x 2 + 7 x + 10

x 2 − 8 x + 15

(4 + x )3 − 64 x2 −1 2x2 − x −1

12. lim

.

14. lim

.

16. lim

.

18. lim

3x2 − 8x + 4 5 x 2 − 14 x + 8

x→2

x2 − x

3x2 − 5x − 2

22. lim

.

3 x 2 − 17 x + 10 3 x 2 − 16 x + 5

x2 − x − 6 x2 + 6x + 8

x4 − 2x2 +1

x →1

.

.

x 2 + 3 x − 10

x → −2

x → −3

.

x2 − x − 2

x2 − 2x + 1

x→5

20. lim

.

x3 + 3x2 + 2 x

x →1

.

.

x

x → −1

.

.

x 2 + 3 x − 10

10. lim

6x2 − 5x +1

x2 − 5x + 6

x2 − 4x + 4

x→0

x →1

8x3 −1

x → −2

.

8. lim

.

4x2 − 7x + 3

11. lim x→

x→2

x4 + 5x3 + 6 x2

5. lim

7. lim

4. lim

.

x3 −1

.

.

.

2 x 2 + x − 15 3x2 + 7 x − 6

.

7

23. lim x→−

25. lim

x→5

27. lim

x→5

29. lim

x→6

3x2 + 5x + 2 2 3

3x2 + 8x + 4 x 2 − 2 x − 15

3 x 2 − 19 x + 20 2x2 − 9x − 5 6 x 2 − 21 x − 45 3 x 2 − 22 x + 24 2 x 2 − 9 x − 18

3x2 − x − 2

.

24. lim

.

26. lim

.

28. lim

.

30. lim

7x2 − 6x −1

x →1

.

5x2 + 6x − 8

x → −2

2x2 + 7x + 6

.

7 x 2 + 23 x + 6

x → −3

5 x 2 + 14 x − 3

.

5 x 2 + 37 x + 14 . x → − 7 6 x 2 + 41 x − 7

Задача №4. Найти предел от иррациональной алгебраической дроби без применения правила Лопиталя. 1. lim

x →1

3. lim

x→4

5. lim

x→5

7. lim

x→4

9. lim

x→3

8

x+3−2 x . x −1 5 +x −3 x−4 4 − 11 + x x−5 3− 2x +1 x−4 1+ x − 2 x−3

.

5−x −2

2. lim

2 − x −1

x →1

.

4. lim

.

6. lim

.

8. lim

.

3− 4+ x

.

x−5

x→5

2 − x −1 x−5

x →5

x →1

10. lim

.

x− 1 . x −1

x→2

1− 3− x 2−x

.

4x + 5 − 3

11. lim

1− x

x →1

13. lim

x − 3x − 2 x −4 x+3−3

15. lim

x−6

x→6

23. lim

x→6

25. lim

5−x 3− 2x −1 x−6 x+3−3

3x

x →8

29. lim

x→0

2

x +1 − 3 3

x −2

1+ x2 −1 x

x→0

1− x − 3

x → −8

x −1

x→9

.

26. lim

x →4

.

2x 4+x − 4−x

28. lim

x →5

30. lim

x →1

.

3− x

2− x 3− 2x +1 x+4 −3 3− 2x −1 x −1 x −1

.

.

4 − 2x − 2

3

.

.

3+ x − 3− x

x→0

24. lim

.

x

22. lim

.

2+3 x

x2 − x

x →1

.

1+ x2 −1

x→0

27. lim

20. lim

x

→0

x→5

.

1+ x −1

19. lim

21. lim

18. lim

.

x −2

x→4

.

x −1

x →1

1+ 2x − 3

14. lim

16. lim

.

x −1

x →1

.

5−x −2

17. lim

3x − 2 −1

12. lim

.

2

x→2

x

.

.

.

. 9

Задача №5. Найти предел на основе первого замечательного предела. 1. lim

1 − cos x

.

2. lim

2 x cos x . sin 3x

4. lim

5x

x→0

3. lim

x→0

2

1 − cos x . x →0 3x

5. lim

7. lim

x →0

5 tg2 x 2

x +x

.

3x 2 . x → 0 1 − cos x

9. lim

1 − 2 sin x . π π x→ −x 6 6

11. lim

2x . sin 3x

1 − cos 2x 3x 2

x →0

6. lim

(

7 x 2 − 2x

x→2

(

x →0

10. lim

5x 3 + 5x 2 . 1 − cos 4x

12. lim

x tg x . 1 − cos x

x →0

x→0

sin 10 x . sin 9 x

15. lim

1 − cos 2 x . x sin x

16. limπ

cos x . π − 2x

π x→ 2

1 − sin x . π −x 2

.

)

14. lim

17. lim

)

8. lim 2 x 2 − x ctg2 x .

cos ( α + x ) − cos ( α − x ) . x

x→0

.

x sin (x − 2 )

13. lim

x→0

10

x →0

x→0

x→

2

1 − cos 5 x . x → 0 1 − cos 3 x

18. lim

21. limπ x→

4

23. lim

x→0

25. lim

x→0

20. lim

2

1 − tg x

x

3

1 − sin x

22. lim (1 − x ) tg

.

x →1

.

1 − cos x 3 ⋅ x 2 ⋅ cos 2

x 2

24. lim ( π x→ 2

.

1 − cos 3 x . x → 0 x sin 2 x

30. lim

⎛π ⎞ ⎜ − x⎟ ⎠ ⎝2

2

29. lim

π − x ) ⋅ tg x . 2

1 − cos 2 x . x → 0 x sin 2 x

28. lim

π x→ 2

πx . 2

26. lim

.

27. lim

x

x→ 0

2 cos x − 1

tg x − sin x

x 3. 2

tg 2

1 − cos 4 x 19. lim . x → 0 x ⋅ sin x

x

→π

x→0

sin 3 x . sin 2 x

cos α x − cos β x . x2

Задача №6. Найти предел на основе второго замечательного предела. x

⎛ x + 3⎞ ⎟ . 2. lim ⎜⎜ x→∞ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠

x

3x

⎛ 2 ⎞ ⎟ 4. lim ⎜⎜1 + x→∞ x − 1 ⎟⎠ ⎝

⎛1+ x ⎞ ⎟ . 1. lim ⎜⎜ x→∞ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛x − 2⎞ ⎟ . 3. lim ⎜⎜ x→∞ x + 3 ⎟ ⎝ ⎠

1⎞ ⎛ 5. lim ⎜1 + ⎟ x→∞ ⎝ x⎠

x+4

.

x−2 4

⎛ 1 ⎞ ⎟ 6. lim ⎜⎜1 + x→∞ 1 + x ⎟⎠ ⎝

.

2x

. 11

1⎞ ⎛ 7. lim ⎜1 + ⎟ x→∞ ⎝ x⎠

x −1

⎛ 2x + 1 ⎞ 9. lim ⎜ ⎟ x → ∞ ⎝ 2x ⎠

⎛1− x ⎞ ⎟ 8. lim ⎜⎜ x→∞ 2 − x ⎟ ⎝ ⎠

.

⎛ 2x − 1 ⎞ ⎟ . 10. lim ⎜⎜ x → ∞ 2x + 1 ⎟ ⎝ ⎠

.

⎛ 2x ⎞ ⎟ 11. lim ⎜⎜ x →∞ 2x + 5⎟ ⎝ ⎠

4x

⎛4 − 2x⎞ ⎟ 13. lim ⎜⎜ x→∞ 1− 2x ⎟ ⎝ ⎠

x +1

x −1

⎛ x 2 − 1⎞ ⎟ 17. lim ⎜⎜ 2 ⎟ x→∞ ⎝ x ⎠

2x

3x + 1

.

⎛ x −1⎞ ⎟ 20. lim ⎜⎜ x → ∞ x + 3⎟ ⎠ ⎝

. x2 + 1

.

x2

2⎞ ⎛ 22. lim ⎜1 + ⎟ x →∞ ⎝ x⎠

.

x+2

.

2x

.

x

.

.

⎛ x2 + 1⎞ ⎟ 18. lim ⎜⎜ 2 x→∞ x + 2 ⎟ ⎠ ⎝

.

2x

x2

3x

⎛ x2 + 1⎞ ⎟ 16. lim ⎜⎜ 2 ⎟ x→∞ ⎝ x ⎠

.

⎛ x2 + 2 ⎞ ⎟ . 21. lim ⎜⎜ 2 ⎟ x→∞ ⎝ x + 1⎠

12

⎛1− x ⎞ ⎟ 14. lim ⎜⎜ x →∞ 2 − x⎟ ⎝ ⎠

.

⎛ 2x −5⎞ ⎟ 15. lim ⎜⎜ x →∞ 2 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛2+ x⎞ ⎟ 23. lim ⎜⎜ x→∞ 3+ x ⎟ ⎝ ⎠

⎛ x2 + 5⎞ ⎟ 12. lim ⎜⎜ 2 x →∞ x − 5⎟ ⎝ ⎠

.

x2

. x

x +1

⎛ 2x −1⎞ ⎟ 19. lim ⎜⎜ x→∞ 2x + 4⎟ ⎠ ⎝

x +1

⎛ x ⎞ ⎟ . 24. lim ⎜⎜ x → ∞ x + 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 3x − 4 ⎞ ⎟ 25. lim ⎜⎜ x →∞ 3 x + 2 ⎟ ⎠ ⎝

x +1 3

⎛ 3x2 + 2 ⎞ ⎟ 27. lim ⎜⎜ x → ∞ 3x2 −1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 3x + 4 ⎞ ⎟⎟ 29. lim ⎜⎜ x→∞ ⎝ 3x ⎠

2x

.

⎛5x + 4 ⎞ ⎟ 26. lim ⎜⎜ x → ∞ 5x − 3⎟ ⎝ ⎠

3x

.

⎛ 3x ⎞ ⎟ 28. lim ⎜⎜ x → ∞ 3x + 4 ⎟ ⎠ ⎝

x2

2x

.

.

2x

.

⎛ x +3⎞ ⎟ . 30. lim ⎜⎜ x→∞ x − 4⎟ ⎝ ⎠

Тема №2. Дифференциальное исчисление Задача №7. Вычислить производную функции. 1

1

1 2 1. y = ⋅ e x . x 3. y =

ln x

.

x2

5. y = x ⋅ ln x 2 .

(

)

2

7. y = x + 1 e 9. y =

ln x x

3

−

x2 2

.

2. y =

1 −x ⋅e . x

4. y =

x2 . ln x

6. y =

1 . x ⋅ ln x

(

)

2

8. y = ln x 2 − 1 . 10. y = x 2 ⋅ sin x 2 .

.

(

)

12. y = x 2 + 1 ⋅ cos 2 x .

(

)

14. y = x 2 + 1 ⋅ cos x .

11. y = x 2 + 1 ⋅ sin x 3 . 13. y = x 2 + 1 ⋅ sin x .

(

)

13

(

)

2

15. y = ln x + x + 1 .

x3

17. y =

x4 + 1

3

21. y =

(x

3

+2

ln (x − 1)

(x − 1)2

18. y =

.

x3

19. y =

)

2

16. y = x

20. y =

.

3

3

x2 ⋅e 2

.

x3 + 2 x x2

3

x3 − 4

.

.

.

22. y = x ⋅ arc sin x ⋅ ln x .

x . 3

24. y = x ⋅ e 2 .

x

23. y = e 3 ⋅ cos 2

x

2

e−x . 25. y = 2x 27. y = 2

x ln x

26. y = ln arc tg 1 + x 2 . 28. y = 3

.

sin 3 x

.

x⎞ ⎛ 30. y = cos 2 ⎜ sin ⎟ . 3⎠ ⎝

29. y = sin x .

Задача №8. Вычислить производную функции методом логарифмического дифференцирования. 1. y = 3

1 + x3 1− x

3. y = (sin x )

(

3

arc tg x

5. y = 1 + sin 2 x 14

2. y = 4 x + x 3 .

.

)

(

4. y = tg x 2

. cos x

.

)

arc sin (1 + x )

6. y = (cos x )

3 + cos x

.

.

(

7. y = x + 3 x 9. y = (cos x )

)

x

arc tg x

(

)

(

)

11. y = 1 + x 13. y = sin 2 x

8. y = arc tg x 2

(

)

.

10. y = (ln x )

x

.

12. y = arc tg x

.

ln x

arc sin x

15. y = (1 + ln x )

(

17. y = arc tg x 2

x

)

1+

( (

14. y = cos 3 x

.

18. y = (sin x )

.

)

cos x

arc cos x

ln 2 x

(

1+ x

.

20. y = 1 + x 2

)

21. y = (cos x )

sin x 2

.

22. y = (sin x )

cos x 3

(

24. y = 1 + x 3

25. y = (1 + tg x )

1 + sin x

27. y = (arc sin x )

(

29. y = arc sin x 2

arc tg x

)

)

cos x

sin x

.

26. y = (1 + ctg x )

.

28. y = (arc cos x )

1 + ln x

ln x

. .

.

.

19. y = (cos x )

23. y = x sin x .

.

.

16. y = (x + cos x )

.

sin x

)

sin 2 x

.

. .

1 + cos x

.

30. y = (arc tg x )

arc ctg x

arc sin x

. .

.

Задача №9. Найти производную от неявно заданной функции. 1. sin (x + y ) = x + y + tg x .

2. cos (x + y ) = x y + tg x .

3. sin (x + y ) = x 2 + y 2 + ctg x .

4. y = y 2 + x + sin (x + y ) . 15

5.

x 2 + y 2 = sin (x y ) .

6.

x + y = sin y .

7. x 2 + y 2 = ln sin y .

8. arc sin y = x 2 + y 2 .

9. arc cos x = sin (x + y ) .

10. y = x + sin (x + y ) .

11. sin (x y ) = y + sin (x + y ) .

12. cos (x y ) = y + cos (x + y ) .

13. tg x = x 2 + sin (x + y ) .

14. ctg y = x 2 + y 2 .

15. y + x 2 = x + arc tg y .

16. x + y = arc tg (x + y ) .

17. x y = arc sin (x + y ) .

18. x 2 + y 2 = y + sin x .

19. 1 + sin y = tg (x + y ) .

20. 1 + tg x = ln (x + y ) .

(

)

21. x + y = sin x 2 + y 2 .

22. x y + x = sin y 2 .

23. tg (x + y ) = y + sin x .

24. tg x 2 + y 2 = x y .

25. arc sin x y = x 2 + y 2 .

26. arc cos (x + y ) = x 2 + y .

27. arc tg (x + y ) = y 2 + x .

28. arc ctg (x + y ) = x y − x 2 .

29. arc tg (x y ) = x − y .

30. arc tg (x y ) = x 2 − y .

(

)

Задача №10. Найти производную второго порядка от заданной функции. x 1. y = 2 2. y = ln ctg 2x . . x −1 3. y = x 3 ln x . 16

4. y = x arc tg x .

5. y = arc tg x .

6. y = e tg x .

7. y = e x cos x .

8. y = e x sin x .

9. y = x 1 + x 2 .

10. y = x e − x .

11. y = e

x

.

12. y =

2

14. y =

13. y = x e x .

15. y =

17. y =

1

.

2+ x x 2

x −1

19. y = arc tg

21. y =

2

.

1 . x

x +1 . x −1

1 + x3

.

1− x . 1+ x

16. y = x e − x .

18. y = ln (2 x − 3) . 20. y = 1 + x 2 .

22. y = x 2 ln x .

23. y = x ⋅ sin x . 25. y = x 2 sin

1

x . 3

24. y = x 3 ⋅ e x . 26. y = x arc tg x .

27. y = arc tg 1 + x 2 .

28. y = x 2 sin x .

29. y = arc sin x .

30. y =

cos x . 1 − sin x 17

Задача №11. Найти дифференциал функции.

(

)

2

2. y = 2 − x .

1. у = ln sin x . 3. y = e

−

2 3

4. y = x 3 + x x .

.

1 + ln x

5. y = e 7. y =

1 cos x

6. y = 5 arc tg e x .

.

(1 + ln x )3

8. y =

.

(

)

3

arc tg

2x +1 3

.

9. y = ln x sin x ⋅ 1 − x 2 .

10. y = 1 − arc cos 2 x .

11. y = arc tg ln (5 x + 3) .

12. y = arc sin e 4 x .

13. y =

1 2

x + x −1

17. y = ln sin tg e

19. y = arc cos e

−

−

x 2

x2 2

16. y = tg sin cos x .

.

18. y = ln arc tg 1 + x 2 .

.

20. y =

(

1+ 1+ x2 x

.

22. y = arc sin sin x .

21. y = ln arc cos 2 x . 23. y = ln

( )

14 y = 3 1 + 2 tg 2 x .

.

15. y = arc tg 6 x − 1 .

18

2

)

x − x −1 .

(

)

24. y = ln sin x + 1 + sin 2 x .

25. y =

ln sin x . ln cos x

26. y =

(

)

27. y = ln e 2 x + e 4 x + 1 . 29. y =

1 1+ e

− x

.

ex + e−x

.

ex − e−x

28. y = x ⋅ e

x

.

30. y = x ⋅ e1 − cos x .

Задача №12. Найти производные первого и второго порядков от функции, заданной параматрически. 1. y (t ) = 1+ 3 t 2 ;

x (t ) = sin t .

2. y (t ) = 8 t 2 − 1;

x (t ) = cos t .

3. y (t ) = 6 t 3 ;

x (t ) = 2 t 2 + t .

4. y (t ) = cos 2 t ;

x (t ) = sin 2 t .

5. y (t ) = 1 + cos t ;

x (t ) = 1 + sin t .

6. y (t ) = 1 + tg t ;

x (t ) = sin t .

7. y (t ) = ln t ;

x (t ) = 1 + t 2 .

8. y (t ) = 1 + t 2 ;

x (t ) = ln t .

9. y (t ) = sin t ;

x (t ) = 1 + 3 t 2 .

10. y (t ) = cos t ;

x (t ) = 8 t 2 − 1 .

11. y (t ) = 2 t 2 + t ;

x (t ) = 6 t 3 . 19

20

12. y (t ) = 1 + sin t ;

x (t ) = 1 + cos t .

13. y (t ) = sin t ;

x (t ) = 1 + tg t .

14. y (t ) = 1 + t 2 ;

x (t ) = ln t .

15. y (t ) = 3 t 3 + t 2 + t ;

x (t ) = 1 + t .

16. y (t ) = sin t ;

x (t ) = 2 t 3 .

17. y (t ) = e t ;

x (t ) = e − t .

18. y (t ) = ln t ;

x (t ) = e t .

19. y (t ) = 2 t 3 ;

x (t ) = sin t .

20. y (t ) = e − t ;

x (t ) = e t .

21. y (t ) = 1 + t 2 ;

x (t ) = 1 + sin t .

22. y (t ) = sin 2 t ;

x (t ) = cos 2 t .

23. y (t ) = tg 2 t ;

x (t ) = 1 + t 2 .

24. y (t ) = cos t ;

x (t ) = ln t .

25. y (t ) = ln t ;

x (t ) = 1 + t 3 .

26. y (t ) = 1 + 2 t + 3 t 2 ;

x (t ) = ln 3 t .

27. y (t ) = 2 sin 2 t ;

x (t ) = cos 2 t .

28. y (t ) = 1 + t 2 ;

x (t ) = 2 ln t .

29. y (t ) = 2 tg 2 t ;

x (t ) = sin t .

30. y (t ) = 1 + t 3 ;

x (t ) = cos 3 t .

Тема№3. Исследование функции одной переменной Задача №13. Найти предел на основе правила Лопиталя. 1. lim x e − x .

2. lim x ln x .

x→∞

π − 2 arc tg x

2. lim

e

x→∞

5. lim

x→0

3/ x

−1

(

.

)

2 − e x + e − x cos x x4

x→0

ex − e−x . x → 0 ln (1 + x )

(

x→∞

13. lim

x→a

e

)

10. lim

x→∞

ln x . x

πx 2 12. lim . x → 1 ln (1 − x )

.

ln (x − a )

(

ex − 1 . x→0 x

6. lim

tg

x

x2

.

π / 2 − arc tg x . 1 x −1 ln 2 x +1

8. lim

ln 1 + 1 / x 2 . x → ∞ π − 2 arc tg x

11. lim

x→ ∞

e x − e sin x . x → 0 x − sin x

7. lim

9. lim

4. lim

ln e x − e a

)

.

14. lim (arc sin x ctg x ) . x→0

21

15. lim (1 − x ) tg x →1

⎛ 2 1 ⎞ ⎟. 16. lim ⎜⎜ 2 − ⎟ x →1 x −1 x 1 − ⎝ ⎠

π x. 2

ln (x − 1) . ctg π x

17. lim

x →1

⎛ 1 1 ⎞ ⎟. 18. lim ⎜⎜ − x →1 x −1 ln x ⎟⎠ ⎝

⎛ 1 1⎞ 19. lim ⎜⎜ − ⎟⎟ . x → 0 sin x x⎠ ⎝

⎛ 1 1 20. lim ⎜⎜ − 2 x → 0 x sin x x ⎝

21. lim (ln x ln (x − 1)) .

22. lim

x →1

ln (1 − x ) + x 2

23. lim

x→0

(1 + x )5 − 1 + x 2

x→0

.

ex − e−x − 2 x . x→0 sin x − x

25. lim

1 − 2 sin x . π cos 3 x x→

27. lim

x3 x2 − − x −1 6 2 . x2 cos x + −1 2

29. lim

x→0

x3

.

e −x − 1 + x 4 . x→0 sin 2 x

24. lim

⎛ 1 ⎞ 26. lim ⎜ 2 − ctg 2 x ⎟ . x →0⎝ x ⎠

e−x − 1 + x − 28. lim

x→0

6

ex −

x − arc tg x

3

ex − 1

30. lim (tg x ⋅ ln x ) . x→0

Задача №14. Найти экстремумы функции. 1. y = 6 3 x 2 ⋅ (x + 1) .

22

⎞ ⎟⎟ . ⎠

2. y = 3 x 2 ⋅ (10 − x ) .

x2 2 .

3. y = e x + e − x .

4. y =

5. y = (x − 1) ⋅ 3 x 2 .

6. y =

7. y = x +

1 . x

x 1+ x 3

2

(x − 2 ) ⋅ (3 − x ) x

10. y = x + 1 − x . 12. y = 2 − 3 (x − 1) . 2

.

x

−

x 2

13. y = x ⋅ e .

14. y = x ⋅ e

15. y = x 3 ⋅ e − x .

16. y =

17. y = 3 x 2 − 1 .

18. y = 2 x − 3 3 x 2 .

19. y =

x2 . x−2

20. y =

21. y = x ⋅ 3 (x − 1) . 2

23. y =

2x −1

(x − 1)2

.

25. y = x ⋅ (1 − x ) . 3

2

.

8. y = 2 e x + e − x .

9. y = x ⋅ 1 − x . 11. y =

ex . x

x2 x2 −1

. .

ex . 4 (1 − x )

22. y = 1 + 3 (1 − x ) . 2

24. y =

(x + 1)2 x2 + 2x

26. y = x ⋅ e

−

x2 2

.

. 23

1 x

2

27. y = x ⋅ e .

x3

29. y =

(x − 1)2

28. y =

30. y =

.

3− 2x

(x − 2 )2

.

x3 . 1− x2

Задача №15. Найти точки перегиба графика функции. 1. y = x ⋅ 3 (x − 1) . 2

3. y =

x x +1

(

4. y = (x − 1) ⋅ e x .

.

2

)

3

5. y = x 2 − 1 . 2

7. y = x ⋅ e − x .

9. y =

11. y =

x e

x

.

x3 − 3x2 + 8x − 4 . 3 2

24

2. y = (1 − x ) ⋅ 3 x 2 .

6. y =

1 + 4x2 . x

8. y = x +

ln x . x

10. y = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x − 1 .

12. y = x 4 − 10 x 3 + 36 x 2 − 10 .

13. y = e − x .

14. y = x ⋅ e − x .

15. y = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 10 .

16. y = (x + 1) ⋅ (x − 2 ) .

17. y = x 4 − 8 x 3 + 18 x 2 + 31 .

18. y =

2

1 2

x +1

.

19.

2 y = (x + 1) ⋅ (x − 2 ) .

21. y =

x 2

x +1

20. y = e

1 x

−x.

22. y = x + 5 x 3 .

.

23. y = x 3 − 12 x 2 + 36 x .

24. y = 2 x 2 + ln x .

25. y = x ⋅ x − 1 .

26. y = 2 x 3 − 3 x 2 + 15 .

(

)

27. y = ln 1 + x 2 . −

28. y = x ⋅ e x .

x 2

30. y = (1 − x ) ⋅ e x . 29. y = x ⋅ e . Задача №16. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [a; b]. 1. y = x 3 − 12 x + 7 ; 2. y = x 5 −

5 3 x + 2; 3

[0 , 3]. [0 , 2].

3. y = 3x 4 − 16 x 3 + 2 ;

[− 3 , 1].

4. y = x 3 − 3x + 1;

⎡1 ⎤ ⎢ 2 , 2⎥ . ⎣ ⎦

5. y = x 4 + 4 x ;

[− 2 , 2].

6. y =

1 3 x − 2 x 2 + 3x + 1; 3

7. y = − 3x 4 + 6 x 2 − 1;

[− 1, 5]. [− 2 , 2]. 25

8. y = 2x 3 − 15x 2 + 24 x + 5 ;

[0 , 3].

9. y = 2x 3 − 3x 2 − 12 x + 1;

[− 2 , 4].

10. y = 2x 3 +

3 2 x + x; 2

11. y = x 2 − 6 x + 13 ;

[0 , 6].

12. y = x 2 − 4 x + 3 ;

[0 , 3].

13. y = 8 −

14. y =

1 2 x ; 2

1 2 1 3 x − x ; 2 3

[− 2 , 2]. [1, 3].

15. y = 6 x 2 − x 3 ;

[− 1, 6].

16. y = 2 sin x − cos 2 x ;

⎡ π⎤ ⎢0 , 2 ⎥ . ⎣ ⎦

17. y = − 3 x 4 + 6 x 2 ;

[− 2 , 2].

18. y = x + 2 x ;

[0 , 4].

19. y =

x −1 ; x +1

[0 , 4].

20. y =

1 − x + x2 ; 1 + x − x2

[0 , 1].

21. y = 3 x + 1 − 3 x − 1 ; 26

[1, 2].

[0 , 1].

22. y = arc tg

23. y =

3

(x

2

1− x ; 1+ x

[0 , 1].

)

[0 , 3].

2

− 2x ;

24. y = sin 2 x − x ;

⎡ π π⎤ ⎢− 2 , 2 ⎥ . ⎣ ⎦

25. y = 100 − x 2 ;

[− 6 , 8].

26. y = x 3 − 3 x 2 + 6 x − 2 ;

[− 1, 1].

27. y = x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 1;

[− 1, 2].

28. y = x 4 − 2 x + 5 ;

[− 2 , 2].

29. y = x 3 − 3 x + 3 ;

3⎤ ⎡ ⎢− 3 , 2 ⎥ . ⎣ ⎦

30. y =

x2 − 1 ; x2 + 1

[− 2 , 3].

Задача №17. Найти асимптоты линий. x 1. y = 5 . 2. y = 3 x 3 − x 2 . x−2 3. y =

ln (x + 1) x x

2

5. y = x e .

.

4. y =

6. y =

1 2

x − 4x + 5 2 x xe

.

+ 1. 27

7. y = ln (1 + e ) . x

1 . x

10. y =

5x . x −1

12. y =

9. y = x +

11. y =

8. y =

2

.

x + x. 2x −1 x2 + 5 x2 −1

+ 2x .

x2 +1 . 1+ x

13. y = e − x .

14. y =

15. y = x + e − x .

1⎞ ⎛ 16. y = x ln ⎜ e + ⎟ . x⎠ ⎝

17. 2 y (x + 1) = x 3 .

18. y 3 = 3 − x 2 .

19. y 2 (x − 2 a ) = x 3 − a 3 .

20. y =

21. y 3 = a 3 − x 3 .

22. y 2 =

2

3

2

3

23. y = 6 x + x . 25. y = a +

a3

(x − a )

2

24. y =

.

1

(x + 2 )3

.

x3 . 2a − x

1 x e

− 1.

26. x y 2 + x 2 y = a 3 .

27. (y + x + 1) = x 2 + 1 .

28. y = 2 x + arc tg

29. 2 y (x + 1) = x 3 .

30. x y = a .

2

2

28

1 x e

x . 2

Типовой расчет №2 Тема№4. Интегральное исчисление Задача №1. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной. 1.

∫e

sin 2 x

2.

∫ (x + 4)

dx .

4.

∫ cos x (3tg x + 1) .

6.

∫

8.

∫

x3

3.

∫

5.

∫ 4 + sin 3x dx .

7.

∫

9.

1− x

8

cos 3x

(x + arc tg x ) dx . 1+ x

∫

2

sin x 3 + 2 cos x

3

x 2 dx

11.

∫

13.

∫ x ⋅ (1 +

15.

∫

3

2 + 3x

dx .

.

dx

x dx 5

x

sin 2 x dx .

1 + 3x

ln x

.

)

.

6

dx .

dx

2

sin x 3

cos 2 x

dx .

arc tg x

x (1 + x )

3

dx .

4 + ln x

10.

∫

12.

∫ x⋅

14.

∫

16.

∫

dx .

x

dx 5

ln x

.

sin x dx cos 2 x + 4

2 − 3 tg x cos 2 x

.

dx .

29

17.

∫

19.

∫

21.

∫ (1 + e ) e

e x − 1 dx .

dx 1+ x

.

3x 2

1+ x

3x

dx .

ln x

18.

∫ x (1 − ln x ) dx .

20.

∫

1+

∫

e

22.

2

ln x x

dx .

x

dx .

x

x3

dx .

24.

∫

⋅ 3 1 + x dx .

26.

∫1+

1 − e x e x dx .

28.

∫

30.

∫ x ⋅ (x + 1) dx .

23.

∫1+

25.

∫x

2

27.

∫

29.

∫x

1+ x

dx 2

3 − ln x

.

x +3 x

dx .

dx 3

1+ x

dx 1 + ex

.

.

x

Задача №2. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям.

30

x dx

1.

∫ x ln (3 x + 2) dx .

2.

∫ sin

3.

∫x5

4.

∫ (1 − x ) sin x dx .

x

dx .

2

x

.

5.

∫

7.

9.

ln x

ln x

6.

∫

∫ x sin 4x dx .

8.

∫ x arc tg x dx .

∫ ln (1 − x ) dx .

10.

∫

12.

∫ cos

x

3

dx .

3

x

dx .

x sin x dx cos 2 x

.

11.

∫ e ln (1 + 3e )dx .

13.

∫

dx .

14.

∫x

3

ln x dx .

15.

∫ x arc sin x dx .

16.

∫x

3

e − x dx .

17.

∫ (2 x + 1) ln x dx .

18.

∫ x ⋅ arc sin x dx .

19.

∫

dx .

20.

∫ x ⋅ arc ctg x dx .

21.

∫ x ⋅ arc cos x dx .

22.

∫xe

23.

∫

24.

∫ x sin 3x dx .

26.

∫ x cos x dx .

28.

∫

x

x

x arc sin x 1− x

2

1

ln x x

4

x ln x dx .

25.

∫ (2 + 3 x )

27.

∫x

3

x e3

ln x dx .

dx .

x dx 2

.

x

2

−2x

dx .

arc sin x x

dx .

31

29.

∫ ln (x

2

)

+ 1 dx .

30.

∫ xe

2x

dx .

Задача №3. Найти неопределенный интеграл от рациональной алгебраической дроби. 1.

2

2x + 3

3.

∫x

5.

∫ 5x

2

7.

∫ 2x

2

9.

32

2x +1

∫ (x + 1) (1 + x ) dx . 2

+ 2x − 3

+ 8x + 3

2x + 3 + 9x + 4

x−6

13.

∫x

2

15.

∫x

2

17.

∫x

2

+ 6x + 8 2x +1 + 4x + 3 3x + 4 + 5x + 6 4x −5 + 6x + 8

dx .

3x2 + 1

6.

∫ 6x

2

dx .

8.

∫ 5x

2

10.

∫x

2

dx .

12.

∫x

2

dx .

14.

∫ 2x

dx .

16.

dx .

18.

2

2

+ 8 x + 12

dx .

∫ (x + 3) (1 + x ) dx .

∫x

3x − 5 2

∫ (3 − x ) (1 + x ) dx .

2x2 + 3

11.

∫x

4.

dx .

5x − 2

2.

2

3x + 2 + 5x +1

2x −5 + 6x +1 2x + 3 − 6x + 8

dx .

dx .

dx .

5x + 2 + 2 x + 10

dx .

7x − 6 2

− 6x + 4

dx .

2x + 3

∫ (x − 2) (x + 5) dx .

∫x

4x − 3 2

+ 5x − 6

dx .

−x + 6

19.

∫x

21.

∫ 2x

2

23.

∫ 3x

2

2

+ 7 x + 12 x+5 +6x + 8

3x + 2 + 4x +1

20.

dx .

22.

∫x

2

dx .

24.

∫x

2

6x + 5

25.

∫ 2x

2

27.

∫ 2x

2

29.

∫ 3x

2

∫x

dx .

+ 5x + 3

3x + 1 + 7x + 6

2x + 5 + 4x − 4

6x −1 2

− 4x + 5

dx + 4 x + 13 x + 3x + 2

dx .

.

dx .

3x2 + 2 x − 3 dx . x (x − 1) (x + 1)

dx .

26.

∫

dx .

28.

∫x

dx .

30.

∫ (x − 2) (x + 5) dx .

2x − 2 2

− 2x + 2

dx .

2x + 3

Задача №4. Найти неопределенный интеграл методом тригонометрической замены.

dx

1.

∫ 2 sin x − cos x + 2 .

3.

∫ sin x + tg x .

5.

∫ 5 − 4 sin x + 3 cos x .

7.

∫ 5 + 4 sin x .

dx

dx

dx

dx

2.

∫ 3 cos x + 4 sin x .

4.

∫ 1 + cos x dx .

6.

∫ sin x + cos x + 1 .

8.

∫ 5 − 3 cos x .

cos x

dx

dx

33

34

sin x

9.

∫ 1 + sin x dx .

11.

∫ 3 cos x + 2 .

13.

∫ 1 + 4 cos

15.

∫ 2 − sin x .

17.

∫ 2 + cos x .

19.

∫ 5 + 4 sin x .

21.

∫ sin x + cos x .

23.

25.

∫

27.

∫ 2 sin x − cos x − 1 .

(2 − sin x )

10.

∫ 2 + cos x dx .

12.

∫ 3 − 2 sin x + cos x .

14.

∫ 1 − ctg x dx .

16.

∫ 1 − sin x dx .

18.

∫ 3 − 4 sin

20.

∫ 1 + tg x .

22.

∫ (sin x + cos x )

∫ 1 + ctg x .

24.

∫ 3 + 5 sin x + 3 cos x .

dx . 1 − sin x

26.

∫ sin

28.

∫ 1 − cos x .

dx

sin 2x 2

x

dx .

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

1 + ctg x

sin x

dx

2

x

.

dx

dx

2

.

dx

cos 2 x 2

x + 4 sin x ⋅ cos x

dx

dx .

cos x

∫ 1 + 2 sin x dx .

29.

30.

dx

∫ 1 + cos x .

Задача №5. Вычислить определенный интеграл. 4

1.

∫1+

2x +1

0 1 2

3.

.

2.

∫ 3

e

4.

2

.

6.

8.

dx x+9 − x

0

11.

13.

∫

ex

e − x dx .

2

1 x dx . 2

x e

.

10.

dx

∫x

1 − (ln x )

1

1

2

x dx .

sin

1 π

0

∫

∫x

2 π

∫ arc tg x dx . 16

2

−1

3

9.

∫ ln 1

1

7.

2

dx

1

∫x+x

e −1

1

∫x

2

dx .

∫ ln (x + 1) dx . 0

.

+ e −x

x

1

dx

∫x+x

dx

∫e 0

1+ x dx . 1− x

0

5.

1

dx

12.

3

2

.

.

1

14.

∫xe

−x

dx .

0

35

π 2

e

15.

∫ ln

3

x dx .

16.

1

0

e2

17.

1

dx

∫x

−13

5

3 2

1 2

9

x

1

∫ 0

2 ln 2

29.

∫

ln 2

36

x

dx .

22.

π 4

4

dx .

24.

26.

e −1

2

x

∫

ex + 1

0

dx .

28.

∫x 3 4

1

.

30.

∫e 0

dx .

dx

∫ 1 + sin 4 3

.

ex

0

2

dx x

x dx

∫ sin ln 3

.

x6 + 4

4

− 1 e x dx .

1 + ln x dx . x 1

π 4

dx

∫1+

)

x

∫ π 3

3

1 − (ln x )

4

27.

20.

ln x

1

25.

.

⎞ 5 − x4 ⎜ −x ⎟ ⎝8 ⎠ 8

∫x

∫ (e 0

4

e

23.

4

x

∫ ⎛5

21.

18.

e

dx

∫ (3 − x ) 2

.

1 + ln x

1

19.

∫ x cos x dx .

2

x

dx x2 +1

x + ex

dx .

.

.

Тема№5. Дифференциальные уравнения Задача №6. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. 1. y / = x + sin x .

2. (3 x − 1) ⋅ y / = y 2 .

3. y / ⋅ x = 1 + y .

4. (2 + x ) ⋅ y / = 3 + y .

5. y / ⋅ x 2 = 1 + y 2 .

6. y / = x y − y .

(

)

(

)

7. y / ⋅ 1 + x 2 = y .

8. e x ⋅ y / + e y = 0 .

9. y / ⋅ 1 + x 2 = 1 + y 2 .

10. y / ⋅ 1 − x 2 = y .

11. (1 + x ) ⋅ y / = 1 + y .

12. x y / − y = 0 .

13. y / ⋅ e x = y .

14. x y / + y = 0 .

15. y / ⋅ e − x = y .

16. y y / + x = 0 .

2

17. y / ⋅ e x = x y .

18. 2 y /

19. y / ⋅ x = ln x .

20. x 2 y / + y 2 = 0 .

21. y / ⋅ x =

22. y / = (2 y + 1) ⋅ ctg x .

ln x .

x = y.

23. y / ⋅ e − x = y − 3 .

24. 2 y = y / .

25. y / ⋅ (1 − 2 y ) = 2 y .

26. (2 x + 1) y / + y 2 = 0 .

27. y / ⋅

28. y x − y / = 0 .

1− x2 = y.

37

29. y / ⋅ 1 − x 2 = 1 + y 2 .

30. y y / = x + 3 .

Задача №7. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. 1. x y / + y − e x = 0 .

(

)

1 . cos x

3. y = x y / − x cos x .

4. y / + y tg x =

5. (2 x + 1) y / = 4 x + 2 y .

6. y / −

7. y / x + x + y = 0 .

8. y / + 2 x y = 3 x 2 e − x .

9. y / − 2 x y = x .

10. y / + y ctg x =

11. y / + y = 2 e x .

12. y / −

2 y = 2 x3 . x 2

1 . sin x

1 y=x. x

13. y / −

2 y = x3 . x

14. y / + x y = 3 e − x .

15. y / +

3 2 y= 3 . x x

16. y / + y = e − x .

/

17. y + 2 y = e

38

2. x 2 y / + x y + 1 = 0 .

−3x

.

/

18. y + x y = e

−

x2 2

. 2

19. x y / + y = x 2 .

20. y / + 2 x y = e − x .

21. y / + sin x ⋅ y = e cos x .

22. x y / + 2 y = x 3 .

2 y=x. x

23. x y / + 3 y = x 2 .

24. y / +

25. ctg x ⋅ y / + y = cos x .

26. tg x ⋅ y / + y = sin x .

27. y / + tg x ⋅ y = cos 2 x .

28. y / + ctg x ⋅ y = sin x .

29. y / + 2 y = e − 2 x .

30. x 2 ⋅ y / + 2 y = e x .

2

Задача №8. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. 1. y // − 4 y / + 3 y = 2 x 2 + 3 x − 5 .2. y // + 4 y / + 29 y = 2 x e x . 3. y // − 7 y / + 6 y = 2 sin 3 x .

4. y // − 2 y / + 2 y = 2 cos x .

5. y // − 3 y / + 2 y = 0 .

6. y // + 2 y / + 5 y = 8 x 3 .

7. y // + y / − 2 y = e 3 x ( x 2 + x ) .

8. y // − 2 y = x e x .

9. 4 y // − 8 y / + 5 y = e − x cos x .

10. y // − 4 y / − 12 y = 13 sin x .

11. y // + y / − 12 y = 2 x e − 3 x .

12. y // + 4 y / + 13 y = ( x + 1) e x .

13. y // + y / − 2 y = 4 x cos x .

14. y // + 3y / + 2 y = (2x + 6) sin x .

15. y // + 4 y / + 4 = e x cos 2 x .

16. y // + 2 y / − 15 y = e − 2 x sin 4x .

17. y // − y / − 12 y = 25 cos 2 x .

18. y // + y / − 56 y = 2 e 3 x cos x .

19. y // − 4 y / = 4 x 2 + 2 x + 3 .

20. y // + 3 y / − 4 y = 2 x 2 x − x .

39

21. y // − 9 y = 2 x e − 3 .

22. y // + 4 y = e − 2 x sin 2 x .

23. y // + 4 y / − 5 y = ( x 2 + 2) e x . 24. y // + 4 y / − 12 y = 2 e − 2 x . 25. y // + y / − 20 y = x + 1 .

26. y // − 3 y / − 10 y = 3 x cos x .

27. y // + 6 y / − 27 = e − 4 x cos 3 x . 28. y // + 6 y / − 27 y = x 2 e − x . 29. y // − 4 y / − 45 y = x 2 e x .

30. y // − 3 y / − 4 y = x e − x .

Тема №6. Ряды ∞

Задача №9. Исследовать сходимость числового ряда

∑u

n

.

n =1

1. u n =

3. u n =

5. u n =

7. u n =

9. u n =

n+3 . n−2

2. u n =

1

(2 n + 1)2 n3 n

n

−1

2n +1 n 2n

4. u n =

6. u n =

.

.

1 . (n + 1) ln (n + 1)

1⎞ ⎛ 11. u n = ln ⎜1 + ⎟ . n⎠ ⎝ 40

.

8. u n =

n−

n

.

3n . (2 n )! 1

(n + 1) (ln (n + 1))2 n2 . (3 n )!

10. u n =

12. u n =

n

nn +1 . (n + 1)! 2n n! nn

.

.

1

13. u n =

n (n + 1)

15. u n = ln

17. u n =

19. u n =

21. u n =

23. u n =

25. u n =

27. u n =

29. u n =

n2 + 1 n2

3n n ! n

n

n

2 n!

4

n5

.

1 . (2 n + 1)!

3n

20. u n =

(n + 1)!

24. u n =

26. u n =

.

3n . (n + 1)!

nn

16. u n =

n (n + 1)(n + 2 ) en n! nn

.

28. u n =

30. u n =

.

.

1 n2 + 2 n

.

n . (n + 1)!

⎛1 + n2 22. u n = ⎜⎜ 3 ⎝1 + n

.

(2 n )!

1

14. u n =

18. u n =

.

(n + 1)!

ln n

.

.

nn

(n !)2

2

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

.

nn . (2 n )! n! nn

.

3

n4 . (n + 1)!

41

Задача №10. Найти интервал сходимости степенного ря∞

да

∑a

n

xn .

n =1

1. a n =

3. a n =

5. a n =

3

(n + 1)n n!

(2 n ) ! nn

2. a n =

.

4. a n =

.

n

3 n (n + 1)

6. a n =

.

2n . n (n + 1) 3n n !

(n + 1) n 5n n

n

3

n

n

1⎞ ⎛ 7. a n = ⎜1 + ⎟ . n⎠ ⎝ 9. a n =

11. a n =

3n 2 n (3 n − 1) 10 n n

.

12. a n =

.

14. a n =

1 . n!

16. a n =

17. a n =

2 n (n + 1)!

(n + 1)n

.

18. a n =

.

n +1

10. a n =

13. a n = n ! .

15. a n =

42

8. a n =

.

(n + 2)

.

n+2 . n (n + 1)

1

.

nn 1

n ⋅2n n

2

n

.

(n + 2)

.

5n . (n + 1)(n + 2)

19. a n =

21. a n =

23. a n =

25. a n =

2 n (n + 1)!

(n + 2 )n n!

n +1

22. a n =

.

(n + 1)n 2n

1

.

(2 n − 1) 2 n

n (n + 3)

(n + 1)n (n + 1)!

.

3n + 1 . n (n + 2 )

26. a n = ( 2 n ) ! .

28. a n =

1

5

24. a n = n n .

.

27. a n = 3 n . 29. a n =

20. a n =

.

.

30. a n =

2n −1 n2 n +1 3

n

.

.

43

Использованная литература 1. Берман Г.Н. Сборник задач по математическому анализу. – М., 2001. 2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М., Наука, 1990. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1,2. – М., Наука, Высшая школа, 1999. 4. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М., Высшая школа, 1998. 5. Бугров Я.С., Никольский С.Н. Сборник задач по высшей математике. – Ростов на Дону, 1997.

44

Содержание

Введение……………………………………………………………..4 Типовой расчет№1………………………………………………….4 Тема №1. Введение в математический анализ……………………4 Задача №1……………………………………………………………4 Задача №2……………………………………………………………5 Задача №3……………………………………………………………6 Задача №4……………………………………………………………8 Задача №5…………………………………………………………..10 Задача №6…………………………………………………………..11 Тема №2. Дифференциальное исчисление………………………13 Задача №7…………………………………………………………..13 Задача №8…………………………………………………………..14 Задача №9…………………………………………………………..15 Задача №10…………………………………………………………16 Задача №11…………………………………………………………18 Задача №12…………………………………………………………19 Тема №3. Исследование функции одной переменной…………..21 Задача №13. ………………………………………………………..21 Задача №14…………………………………………………………22 Задача №15…………………………………………………………24 Задача №16…………………………………………………………25 Задача №17…………………………………………………………17 Типовой расчет №2………………………………………………..29 Тема №4. Интегральное исчисление……………………………..29 Задача №1…………………………………………………………..29 Задача №2…………………………………………………………..30 Задача №3…………………………………………………………..32 Задача №4…………………………………………………………..33 Задача №5…………………………………………………………..35 Тема №5. Дифференциальные уравнение………………………..37 Задача №6…………………………………………………………..37 Задача №7…………………………………………………………..38 Задача №8…………………………………………………………..39 Тема №6. Ряды……………………………………………………..40 Задача №9…………………………………………………………..40 Задача №10…………………………………………………………42 Использованная литература………………………………………44 45