Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений

Л.Чезари АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В книге дан широкий обзор идей и работ по устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В первых двух главах подробно рассказано об устойчивости линейных систем с постоянными, переменными и периодическими коэффициентами, а также о линейных уравнениях второго порядка. В третьей главе, посвященной нелинейным системам, разобраны первый и второй методы Ляпунова, методы Пуанкаре, Ван-дер-Поля, Крылова и Боголюбова и т. д. Четвертая глава посвящена асимптотическим разложениям. Параграфы, посвященные теории малого параметра, написаны при подготовке русского издания. Автор уделяет большое внимание применению полученных результатов в теории сервомеханизмов, в автоматическом регулировании и в электротехнике. Книга предназначена для широкого круга математиков и инженеров, а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей, интересующихся вопросами устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Содержание Предисловие редактора перевода 5 Предисловие к русскому изданию 7 Предисловие 9 Глава I. Понятие устойчивости. Системы с постоянными 11 коэффициентами 1. Несколько замечаний о понятии устойчивости 11 1.1. Существование, единственность, непрерывность 11 1.2. Устойчивость в смысле Ляпунова 16 1.3. Примеры 19 1.4. Ограниченность 20 1.5. Другие условия, характеризующие поведение решений 22 1.6. Устойчивость положения равновесия 24 1.7. Системы уравнений в вариациях 24 1.8. Орбитальная устойчивость 27 1.9. Устойчивость и замена координат 28 1.10. Устойчивость порядка m по Биркгофу 29 1.11. Общие замечания и библиография 30 2. Линейные системы с постоянными коэффициентами 30 2.1. Матричные обозначения 30 2.2. Первое приложение к системам дифференциальных уравнений 37 2.3. Системы с постоянными коэффициентами 38 2.4. Критерий Рауса-Гурвица и другие критерии 41 2.5. Системы второго порядка 45 2.6. Неоднородные системы 49 2.7. Линейный резонанс 50 2.8. Сервомеханизмы 52

2.9. Библиографические замечания Глава II. Общие линейные системы 3. Линейные системы с переменными коэффициентами 3.1. Теорема Ляпунова 3.2. Доказательство теоремы 3.1.1 3.3. Ограниченность решении 3.4. Дальнейшие условия ограниченности 3.5 Приведение к L-диагональной форме и краткие доказательства теорем 3.4.3 и 3.4.4 3.6. Другие условия 3.7. Асимптотическое поведение решении 3.8. Линейное асимптотическое равновесие 3.9. Системы с переменными коэффициентами 3.10. Матричные условия 3.11. Неоднородные системы 3.12. Характеристические показатели Ляпунова 3.13. Первое применение характеристических показателей к дифференциальным уравнениям 3.14. Нормальные системы решений 3.15. Правильные дифференциальные системы 3.16. Соотношения между характеристическими показателями и обобщенными характеристическими корнями 3.17. Библиографические замечания 4. Линейные системы с периодическими коэффициентами 4.1. Теория Флоке 4.2. Некоторые важные приложения 4.3. Другие результаты относительно уравнения 4.2.1 и обобщения 4.4. Уравнение Матье 4.5. Малые периодические возмущения 4.6. Библиографические замечания 5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка и обобщения 5.1. Колеблющиеся и неколеблющиеся решения 5.2. Теоремы Фубини 5.3. Некоторые преобразования 5.4. Теоремы Беллмана и Проди 5.5. Случай f(t)\to +\infty 5.6. Решения, принадлежащие классу L^2 5.7. Равенство Парсеваля для функций класса L^2 5.8. Некоторые свойства спектра S 5.9. Библиографические замечания Глава III. Нелинейные системы 6. Некоторые основные теоремы о нелинейных системах и первый метод Ляпунова 6.1. Общие замечания

59 60 60 60 61 63 65 68 71 72 74 76 83 84 87 89 90 92 93 95 95 95 102 104 111 113 133 134 134 136 140 141 142 144 146 148 149 151 151 151

6.2. Теорема существования и единственности 6.3. Периодические решения систем с периодическими коэффициентами 6.4. Периодические решения автономных систем 6.5. Метод последовательных приближений и первый метод Ляпунова 6.6. Некоторые результаты Былова и Винограда 6.7. Теоремы Беллмана 6.8. Инвариантная мера 6.9. Дифференциальные уравнения на торе 6.10. Библиографические замечания 7. Второй метод Ляпунова 7.1. Функция Ляпунова V 7.2. Теорема Ляпунова 7.3. Некоторые результаты, полученные в последнее время 7.4. Об одном уравнении в частных производных 7.5. Автономные системы 7.6. Библиографические замечания 8. Аналитические методы 8.1. Введение 8.2. Метод Линдштета 8.3. Метод Пуанкаре 8.4. Метод Крылова и Боголюбова и метод Ван-дер-Поля 8.5. Сходящийся метод для периодических решений и теорем существования 8.6. Метод возмущений 8.7. Уравнение Льенара и его периодические решения 8.8. Теорема о колебаниях для уравнения (8.7.1) 8.9. Существование периодического решения уравнения (8.7.1) 8.10. Свободные нелинейные колебания 8.11. Инвариантные поверхности 8.12. Библиографические замечания 8.13. Нелинейный резонанс 8.14. Простые осцилляторы 8.15. Релаксационные колебания 9. Тополого-аналитические методы 9.1. Особые точки. Теория Пуанкаре 9.2. Теория Пуанкаре-Бендиксона 9.3. Индексы особых точек 9.4. Об одной конфигурации, связанной с уравнением Льенара 9.5. Еще одна теорема существования для уравнения Льенара 9.6. Метод неподвижных точек 9.7. Метод Картрайт 9.8. Метод Важевского

152 159 162 163 166 168 169 173 175 176 176 178 181 184 185 186 187 188 190 193 195 199 221 226 231 234 235 240 242 243 244 250 251 251 262 269 274 279 282 284 287

Глава IV. Асимптотические разложения 294 10. Общие асимптотические разложения 294 10.1. Асимптотическое разложение, введенное Пуанкаре 294 10.2. Обыкновенные, регулярные и нерегулярные особые точки 295 10.3. Асимптотические разложения в нерегулярной особой точке 299 конечного типа 10.4. Асимптотические разложения, получаемые при помощи 301 формулы Тейлора 10.5. Уравнения, содержащие большой параметр 304 10.6. Точки ветвления и теория Лангера 307 Добавления 311 Д.1. Системы дифференциальных уравнений с малыми параметрами при 311 производных Д.2. Метод Ляпунова 319 Литература 319 Предметный указатель 466 Предметный указатель Бифуркации уравнение 194 Автоколебания 190 Брауэра теорема о неподвижной Автоколебательная система 190 точке 282 Автономная система 12 Важевского метод 286 Алгебраическое дополнение 32 Ван-дер-Поля уравнение 195, 226 Амплитуда 48 Вековые члены 119, 190 Асимптотическая устойчивость 17, Вектор-столбец 31 18 Вектор-строка 31 - - в широком смысле относительно Вектор-функция, характеристический области R 22 показатель 89 - - линейных систем 18, 53 Весовая функция 55 - - необходимое и достаточное Винтнера обобщение критерия условие 45 Ляпунова 133 - - с асимптотической фазой 27 - условие существования 14 Асимптотические разложения в ВКБ-метод 306 нерегулярной особой точке Возмущенное периодическое конечного типа 299 решение 222 - - получаемые при помощи формулы Гамильтона функция, уравнения 24 Тейлора 301 Гармонический осциллятор 244 Асимптотическое разложение Гармоническое движение 49 решения уравнения Бесселя 300 - решение 104, 201 - - функции 294 Главный минор 32 Апериодическое движение 49 Граффи теоремы 231, 235 - - с затуханием 49 Движение апериодическое с Беллмана лемма 61 затуханием 49 Бендиксона критерий 269 - гармоническое 49 Бесселя уравнение 300 - периодическое, апериодическое 49 Биения 243

Декремент логарифмический 48 Дельта-функция Дирака 56 Демпфирующая сила 50 Детерминант 32 Дефект матрицы 32 Диагонализация при помощи преобразований подобия 34 Дикритический узел 253 Дини-Хукухара теорема 64 - - - обобщенная 82 Дифференциальное уравнение линейное однородное с постоянными коэффициентами 40 Дифференцирование определителя 35 Единственность решении 12, 16 Жорданова форма 33 Затухание, критический случай 49 Затухающие колебания 49 Импульсная функция 56 Инвариантность меры 170 - множества по отношению к системе 171 Инвариантные поверхности 240 Индекс кривой 269 - особой точки 271 - топологический 44 Интеграл матрицы 34 Картрайт метод 284 Кемпермана теорема 302 - - об асимптотических разложениях 302 Кинематическое подобие матриц 93 Колебания релаксационные 250 Комплексно-сопряженная матрица 31 Консеквент 288 Коэффициент усиления 50 - - для постоянной величины на входе 54 Критерий Бендиксояа 269 - Найквиста 59 - ограниченной устойчивости 80, 84 - Рауса-Гурвица 41

Крылова и Боголюбова метод 195 Лагранжа теорема 24 Лангера теория 307 Левинсона-Смита теорема о существовании предельного цикла 227 - - - для уравнения Льенара 281 - теорема о существовании цикла для уравнения Льенара 280 Лемма Беллмана 61 Либрация 243 Линдштета метод 190 Линеаризованная система в вариациях 26 Линейная система ограниченно устойчивая 78 - - приводимая 79 - - равномерно устойчивая 77 - - устойчивая 77 Линейное асимптотическое равновесие 75 - однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 40 Линейные системы, связь между ограниченностью и устойчивостью 21 - - с периодическими коэффициентами 95 Липшица условие 13 Логарифмическая матрица 36 Логарифмический декремент 48 Льенара уравнение 226 Ляпунова теорема: об ограниченности 60 - характеристический показатель 87 Малкина условия 181 Малые делители 191 - периодические возмущения 113 Матрица 30 - главный минор 32 - дефект 32 - единичная 31 - интеграл 34

- каноническая жорданова форма 33 - квадратная 31 - комплексно-сопряженная 31 - логарифмическая 36 Матрица, минор 32 - норма 35 - нулевая 31 - обратная 32 - подобная 33 - производная 34 - процесс диагонализации 34 - ранг 32 - след 31 - транспонированная 31 - характеристический корень 32 - - многочлен 32 - экспоненциальная 35 - Эрмита 31, 83 Матрицы кинематические подобные 93 - последовательность, ряд 35 - произведение 31 - прямая сумма 33 - статически подобные 93 - сумма 31 Матье уравнение 111 Мейснера уравнение 112 Мера, инвариантность 170 Метод Важевского 286 - Ван-дер-Поля 195 - ВКБ 306 - возмущений 222 - - для автономных систем 225 - Картрайт 284 - Крылова и Боголюбова 195 - Линдштета 190 - неподвижных точек 282 - последовательных приближений 202 - - - сходящийся (Чезари) 115 - Пуанкаре 191, 193 Минор 32 Множество выхода трубки 289 - открытое справа (слева) 11

- строгого выхода 289 Множители характеристические 98 Мультипликаторы 98 Найквиста критерий 59 Неоднородная линейная система с постоянными коэффициентами 49 Непрерывность по начальным данным 14 Нерегулярная особая точка 298 - - - конечного типа 298 Неустойчивая точка 253 Неустойчивость параметрическая 112 - полная 126 Неустойчивый узел 46, 47 Нечетная существенная функция 128 Норма матрицы 35 Нормальная жорданова форма 33 - система дифференциальных уравнений 11 - - решений 90 Нормальное уравнение, сведение к системе 18 Область влияния устойчивого корня 313 - пограничного слоя 314 Обобщенные характеристические корни 67 Обратная задача теории устойчивости 181 - матрица 32 Обыкновенная точка 296 Ограниченная устойчивость 76 - функция 177 Ограниченно устойчивая система 78 Ограниченность решений 20 - - линейных неоднородных систем 50 - - линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 41

- - уравнений в случае коэффициентов с ограниченной вариацией 66, 67 - и устойчивость линейных систем 21 Омега-предельная точка 262 Определитель 32 - производная 35 Определитель, формула дифференцирования 35 Орбита асимптотически устойчивая 27 - на торе 174 - устойчивая 27 Особая точка 252 - - нерегулярная 296 - - регулярная 296 Особенность устранимая, неустранимая 297 Осцилляторы 244 Открытое справа (слева) множество 11 Отрицательно определенная функция 176 - полуопределенная функция 176 Параметрическая неустойчивость 112 Паровой двигатель 246 Переходная точка 305 Период 48 Периодическая система 12 Периодический случай (для уравнений на торе) 172 Периодическое движение 48 - решение возмущенное 222 Перрона теорема об асимптотическом поведении решений неоднородных систем 84 - пример ограниченной устойчивости 81 Пертурбативная устойчивость порядка m 29 Подобие матриц кинематическое, статическое 93 Подобная матрица 33

Показатель характеристический 98 - центральный 95 Полная неустойчивость 126 - устойчивость 30 Положение равновесия 24 Положительно определенная функция 176 - полуопределеяная функция 176 Последовательность матриц 35 Правильная система дифференциальных уравнений 92 Предельный цикл 266 Преобразование Фурье 56, 57 Приведение к диагональному виду матрицы А+В(t) 69 Приводимость линейной системы 79 - системы 79 Пример Перрона об ограниченной устойчивости 81 Принцип минимума для траекторий динамических систем 173 - наименьшего действия 173 Присоединенная система 313 Произведение матриц 31 Производная в силу системы 177 - матрицы 34 Производная обратной матрицы 34 - от функции вдоль решения 177 Простой осциллятор 244 Прямая сумма матриц 33 Пуанкаре метод 191, 193 - условия периодичности 194 Равновесие линейное асимптотическое 75 Равномерная асимптотическая устойчивость 181 - устойчивость 76 - - в смысле Ляпунова 23 - - решения линейной системы 77 Ранг матрицы 32 Рауса-Гурвица критерий 41 Реакция на воздействие функции с прямоугольным графиком 56

- на гармоническое воздействие 56 - на постоянное воздействие 54 Регулярная особая точка 296 - точка 252 Регулятор Уатта 246 Резонанс 112 - линейный 51 Резонансная частота 51 Рекуррентные движения 172 Релаксационные колебания 250 Ретракт 290 Ретракция 290 Решение асимптотическое в трубке 288 - в виде формального ряда 296 - гармоническое, субгармоническое 104 - - - порядка n, ультрагармоническое порядка n, ультрасубгармоническое 201 - ограниченное справа (слева) 20 - периодическое возмущенное 222 Решения колеблющиеся и неколеблющиеся 134 Рэлея уравнение 226 Ряд матриц 35 Самовозбуждающаяся система 190 Сведение нормального уравнения к системе 18 Свободные колебания 112 - нелинейные колебания 235 Седло (седлообразная точка) 47, 253 Сервомеханизмы 52 Сила на входе 50 - синусоидальная 50 - трения (демпфирующая сила) 50 Синусоидальная сила 60 Система автоколебательная 190 - дифференциальных уравнений второго порядка 45 - - - правильная 92 - линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 39

- ограниченно устойчивая 78 - приводимая 79 - присоединенная 313 - решений нормальная 90 - - фундаментальная 37 - самовозбуждающаяся 190 - с замкнутой петлей 57 - с обратной связью 57 Система решений уравнений в вариациях 26 - - - линеаризованная 26 Скрипичная струна 245 След матрицы 31 Смежные траектории 268 Собственная частота 50 Собственный узел 253 Спиральная точка 48, 253 Среднее значение функции 116 Субгармоническое решение 104 - - порядка n 201 Сумма матриц 31 Существенно четная (нечетная) функция 128 Существование решений 12, 16 - решения на всей полуоси 14 Сходящийся метод для периодических решений и теорем существования 199 Тень множества (левая) 289 Теорема Брауэра о неподвижной точке 282 - Граффи о колебаниях для уравнения Льенара 231 - - о существовании цикла для уравнения Льенара 235 - Дини-Хукухара 64 - Кемпермана 302 - - об асимптотических разложениях 302 - Лагранжа 24 - Левинсона о существовании цикла для уравнения Льенара 280 - Левинсона-Смита о существовании предельного цикла 227

- Ляпунова об ограниченности 60 - - об устойчивости 178 - об ограниченности (метод Картрайт) 285 - - решений уравнения х''+f(t)x= 63 - о неподвижной точке (метод Картрайт) 286 - о существовании периодических решений (метод Картрайт) 287 Теорема Перрона об асимптотическом поведении решений неоднородных систем 84 - Эсклангона об ограниченности решений линейного уравнения n-й степени 21 Теоремы о существовании циклов для автономных систем 210 - существования и единственности 12, 16 - - циклов для периодических систем 216 Теория Лангера 307 - Флоке 95 Топологический индекс 44 Точка ветвления 305 - выхода 288 - нерегулярная 298 - обыкновенная 296 - - регулярная, нерегулярная 296 - \omega-предельная 262 - особая 252 - переходная 305 - поворота 305 - приближения 253 - регулярная 252, 296 - седлообразная 253 - спиральная 253 - устойчивая, неустойчивая 253 Трансверсаль 264 Транспонированная матрица 31 Трение 50 Тригонометрическая устойчивость порядка m 29

Трубка 12, 288 Узел 46, 47 - дикритический (собственный) 253 - устойчивый, неустойчивый 46, 47 Ультрагармоническое решение (порядка m) 201 Управляющая функция 54, 56 Уравнение Бесселя 300 - Ван-дер-Поля 226 - Льенара 226 - Матье 111 Уравнение Мейснера 112 - разветвления 267 - Рэлея 226, 227 - Шредингера 307 - Хилла 102 Уравнения бифуркации 194 - Гамильтона 24 Условие Винтнера 14 - Липшица 13 Условия Малкина 181 - периодичности Пуанкаре 194 Установившееся состояние 50 Устранимая особенность 297 Устойчивая система линейных уравнений 77 - точка 253 Устойчивость асимптотическая 17, 18 - - с асимптотической фазой 27 - в бесконечно малом 27 - и ограниченность линейных систем 21 - корней многочлена 42 - линейных систем 17 - ограниченная 76, 78, 80 - орбитальная 27 - - асимптотическая 27 - периодических решений 221 - по Ляпунову 16, 18 - по Пуассону 172 - полная 30 - положения равновесия 24 - порядка m пертурбативная 29

- - - по Биркгофу 29 - - - тригонометрическая 29 - равномерная 76 - - асимптотическая 181 - условная 17 Устойчивый корень системы 313 - узел 46, 47 Устранимая особенность 297 Фаза 48 Фазовая плоскость 48 Фильтр 54 - весовая функция 56 Флоке теория 95 Фокус 48, 253 Фокус устойчивый, неустойчивый 48 Формальные ряды 296 Формула дифференцирования определителя 35 - Якоби-Лиувилля 38 Фундаметальная система решений 37 Функция Гамильтона 24 - Дирака 56 - имеющая бесконечно малый верхний предел 177 - импульсная 56 - ограниченная 177 - положительно (отрицательно) определенная 176 - - - полуопределенная 176 - существенно четная, существенно нечетная 128

Хилла уравнение 102 Центр 48, 253 Центральный показатель 95 Цепь самовозбуждающаяся 248 Цикл 266 Частота 48 - биения 243 - резонансная 51, 54 - собственная 50 Частотная характеристика 54 Четная существенно функция 128 Число вращения 175 Шредингера уравнение 307 Характеристические множители 98 - обобщенные корни 67 - показатели 98 Характеристический корень 32 - показатель вектор-функции 89 - - кратность 91 - - Ляпунова 87 Характеристическое уравнение 32 Экспоненциальная матрица 35 Электрическая цепь с триодом 248 Элементы матрицы 30 Эргодический случай 175 Эрмитова матрица 31, 83 Явление Стокса в точке ветвления 307 Якоби-Лиувилля формула 38