Зачет по математическому анализу.1семестр

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Москва 2009

УДК 517.1(075) БДК 22.161я7 З-39 Гришин С.А., Мустяца С.В., Петрова М.А., Садекова Е.Х. Зачет по математическому анализу. 1 семестр. — М.: МИФИ, 2009.— 36 с. В настоящем издании приведены варианты зачетных заданий для студентов, обучающихся математическому анализу в первом семестре на всех факультетах МИФИ. Эти задания могут быть использованы преподавателями для приема зачетов по дисциплине «Математический анализ», проведения межсеместрового контроля успеваемости студентов, контрольных работ; а также студентами для подготовки к сдаче зачетов по данному предмету. Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ.

©Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2009.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Зачет по математическому анализу. 1семестр........................................ ................................................................... 4 2. Список рекомендуемой литературы.......................................................................................................................... 34

3

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 1 1. Сформулировать понятие:

lim a n = A n →∞

2. Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность

(

)

1⎞ ⎛ an = 1 + (−1)5n+ 2 ⋅ ⎜ n + ⎟ не ограничена. n⎠ ⎝

Вычислить пределы: 3.

lim

n →∞

(

3n 2 + n + 1

)

n + 1 n3 + n + 1

; 4.

x − sin x sin πx ln(1 + 2 x) − x cos ec 2 x ( ) ; 5. ; 6. ; 7. lim cos x . lim lim x→2 x2 + x − 6 x →0 x → 0 arcsin 3 2 x x →0 arctg 3 x

lim

8. Найти производную функции в произвольной допустимой точке x. В ответ записать его значение в точке

y = sin x ⋅ sin 2 x ⋅ sin 3 x , x0 =

π

x0 :

.

2

2

f ( x) = x x в произвольной точке. x 10. Функция y = y(x) задана соотношением = e xy неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y). y

9. Вычислить эластичность функции

11. Найти радиус кривизны кривой

y = x ln 2 x в точке x0 = 1 . 1 x

12. Провести исследование функции и построить график: y = xe . 13. Диагональ прямоугольника равна l . Какое наибольшее значение может принимать его площадь?

4

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 2 1. Сформулировать понятие:

lim an = ∞ n →∞

2. Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность

an =

2n + n 2 ограничена. 3n 2 + n + 1

Вычислить пределы: 1 n 2 + 3n + 1 + 3n sin x − sin 2 x tgx − x log 2 (2 x) − 1 ln (1+ 2 x −π / 2 ) . ( ) ;4. lim ; 5. lim ; 6. lim ; 7. lim tgx n →∞ x →1 x → 0 sin 3 2 x x →π / 4 x →0 n + ln n sin πx 1 + 4x − 1 8. Найти производную функции в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его значение в точке x0 : π sin x cos 2 x , x0 = . y= sin 3 x 4 x +1 в произвольной точке. 9. Вычислить эластичность функции f ( x ) = x2 x y 10. Функция y = y(x) задана соотношением xy = e неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке ( x,y). x 11. Найти радиус кривизны кривой y = xe в точке x0 = 0 .

3. lim

1

12. Провести исследование функции и построить график: y = xe . 13. Площадь прямоугольника равна s . Какое наименьшее значение может принимать длина его диагонали? x2

5

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 3 1. Сформулировать понятие: lim an = −∞ . n →∞

2. Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность

n an = n (1+ (−1) ) не ограничена, но содержит ограни-

ченную подпоследовательность. Вычислить пределы:

x − sin x ⋅ cos x 1 − cos 2 x sin 5 x − sin 3 x 3n 2 + sin n cos ecπx ; 4. lim ; 5. lim ;6. lim ;7. lim(4 x − 3) . 3 x 1 n → ∞ (n − 3)( 2n + 5) x →π x → 0 x → 0 → ln (π x ) x ⋅ arcsin x tg x

3. lim

8. Найти производную функции значение в точке

y=

(

3 x ln 1 + 2 x 2 1 + x2

)

в произвольной допустимой точке x. В ответ записать ее

x0 = 0 .

sin 2 x в произвольной точке. x2 x 10. Функция y = y(x) задана соотношением x + sin y = e неявно. Найти ее дифференциал в точке (x,y).

9. Вычислить эластичность функции

f ( x) =

y = x 2 sin x в точке x0 = π . 12. Провести исследование функции и построить график: y = x ⋅ sin (1 x ) .

11. Найти радиус кривизны кривой

13. Сторона треугольника равна a , радиус круга, описанного около треугольника, равен R (2R >a) . Какое наибольшее значение может принимать его площадь?

6

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 4 1. Сформулировать понятие:

lim an = A .

n →∞

2. Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность

an =

2n + 3 n −1

монотонно убывает и

ограничена сверху. Вычислить пределы: 3.

lim

n →∞

(5n + 3)(n + n ) 3n 2 + n 2 + n + 1

; 4.

lim x →π

ctgπx tg 3 x cos πx + 1 x + tg 2 x x ;5. lim ; 6. lim ; 7. lim 2 − 1 . 2 x →1 x →1 sin πx x → 0 sin 5 x arctg ((π − x ) 2 ) arctg (1 x ) ⋅ sin πx

8. Найти производную функции y = значение в точке

(

(

log 2 1 + x

)

)

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее

x0 = 1 .

ex в произвольной точке. x y x 10. Функция y = y(x) задана соотношением xe − ye = 0 неявно. Найти ее дифференциал в точке (x,y). 3 11. Найти радиус кривизны кривой y = ( x + 1) x в точке x0 = 1 .

9. Вычислить эластичность функции

f ( x) =

( )

12. Провести исследование функции и построить график: y = x ⋅ ln 1 x . 13. Сторона треугольника равна a , угол, противолежащий этой стороне, равен α. Какое наибольшее значение может принимать периметр треугольника?

7

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 5 1. Сформулировать понятие: lim an = A . 2. Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность

(

an = n

2

)

n +1

n →∞

монотонно возрастает и не ограничена.

Вычислить пределы:

sin x + sin 5 x

ln(1 + sin 2 x) x 2 − sin 2 x 1+ ctg 2πx 3. lim ; 4. lim ;5. lim ;6. lim ;7. lim (cos 2πx ) . n →∞ x →0 x→0 tg 5 x tg 3x 4 + 2 x x → 2π 9n 4 + n + 1 1 + 2 x 4 − 1 x → −1 2n 2 + sin n 2

arctgx 2 8. Найти производную функции y = log3 4 + x 3

(

значение в точке

)

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее

x0 = −1 .

9. Вычислить эластичность функции

f ( x) = 2 x sin 2 x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением точке (x,y).

x sin y − y cos x = 0 неявно. Найти ее дифференциал в допустимой

y = x 2 ln x в точке x0 = e . 12. Провести исследование функции и построить график: y = (1 x ) ⋅ ln x . 11. Найти радиус кривизны кривой

13. Стороны треугольника равны a и b соответственно. Какое наименьшее значение может принимать радиус описанного около треугольника круга?

8

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 6 1. Сформулировать понятие:

lim an = +∞ . 2. Теоретический вопрос. Найти для последовательности

n →∞

an = 2n + 3 n величину inf an . Вычислить пределы: 3.

lim

n →∞

arctgn + n 2n + n + 1

; 4.

lim x →π

sin x ⋅ sin 4 x

(e

8. Найти производную функции записать ее значение в точке

x/π

− e)

y=

2

; 5.

(

)

cos ecπx arctg 2 x ln x 2 ; 6. lim ; 7. lim x − 3 . 2 x→2 x → 0 tg 2 x x →1 x − tg (πx 4 )

lim

(

cos(πx 2 ) ⋅ arcctg 1 x 2 8 +1 x

)

в произвольной допустимой точке x . В ответ

x0 = 1 .

f ( x) = e x sin 3x в произвольной точке. 2 2 10. Функция y = y(x) задана соотношением x sin x − y cos y = 0 неявно. Найти ее дифференциал в допусти9. Вычислить эластичность функции мой точке (x,y).

y = x 2e − x в точке x0 = 0 . 12. Провести исследование функции и построить график: y = (1 x ) ⋅ sin x . 11. Найти радиус кривизны кривой

13. Сумма двух положительных чисел равна a . Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?

9

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 7 1. Сформулировать понятие: lim an = −∞ . 2. Теоретический вопрос. Найдите для последовательности n →∞

2 an = − 2n величину sup an . n Вычислить пределы:

2(−1) + 3n 2sin x − 2 tg (2πx) 3 x − sin 2 x ⎛ π⎞ lim ; 4. ; 5. ;6. lim ; 7. lim⎜ sin ⎟ lim 3. lim n 2 x →1 sin(5πx) − sin( 2πx ) x →0 x →π / 2 cos x ⋅ cos 3 x n → ∞ n + ( −1) x→2 x +x x⎠ ⎝ n

Найти производную функции значение в точке

y = log 3

(

)

f ( x) = x 2 x + 2 в произвольной точке.

10.Функция y = y(x) задана соотношением 11. Найти радиус кривизны кривой

πx 4

. 8.

arcsin 3 x в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее 4arctg ( x 2 )

x0 = 2 .

9. Вычислить эластичность функции

sec

sin xy − y = 0 . Найти ее дифференциал в точке (x,y).

y = ( x + 1)e x −1 в точке x0 = 1 . 1

12. Провести исследование функции и построить график: y = x ⋅ e . 13. Сумма двух неотрицательных чисел равна a. Какое наибольшее значение может принимать сумма их квадратов? x3

10

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 8 1. Сформулировать понятие: lim f ( x ) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите предельные точки (частичные преx→a

делы) последовательности

an = (− 1)

n

n 2n + 1 + . n +1 1− n

Вычислить пределы: 1

1− sinx − cos2x 2n + 3n sin 5x ⋅ sin 4 x tg(2πx) − tg(πx) ⎛ ex ⎞ arctgx−arctg3 lim lim ;4. ;5. ;6. ;7. . lim 3. lim n+1 lim ⎜ ln ⎟ n→∞ 3 x→0 sin 3x ⋅ (2 x+1 − 2) x→1 sin(2πx) + sin(5πx) x→π x→3 − 2n−1 tgx ⎝ 3⎠ arctg (2 x + 1) ⋅ sin 3 x в произвольной допустимой точке x . 8. Найти производную функции y = 2cos x В ответ записать ее значение в точке x0 = 0 .

f ( x) = x cos x в произвольной точке. 10. Функция y = y(x) задана соотношением arcsin ( x y ) + sin y = 0 неявно. Найти ее дифференциал в точке

9. Вычислить эластичность функции (x,y). 11. Найти радиус кривизны кривой

y = tg 2 x в точке x0 = (π 4 ) .

y = x 3 ⋅ e1 x . 13. Числа x ≥ 0 и y ≥ 0 удовлетворяют условию: x − y = a . Какое наибольшее и наименьшее значения может 3 3 принимать величина x − y ? 12. Провести исследование функции и построить график:

11

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 9 1. Сформулировать понятие: lim f ( x ) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите предельные точки (частичные преx →∞

делы) последовательности

(

) (

an = (− 1) + 1 n ⋅ n

)

n +1 − n .

Вычислить пределы:

5n3 + (−1)n 2x − 2 2x − 2x sin 2x + sin3x (sin x − cos x )−2 3. lim 2 ; 4. lim ;5. lim ;6. lim ;7. lim (sin 2 x ) . n→∞ (n + 1)(2n + 3) x →1 ln(1 + sin πx ) x→2 x − 2 sin πx x→π x →π 4 tg5x 8. Найти производную функции значение в точке

(

y = cos 2 x

x0 = 0 .

1 + x2

)

в произвольной допустимой точке x. В ответ записать ее

2

f ( x) = (sin x) x в произвольной точке. 10. Функция y = y(x) задана соотношением arccos( xy ) − cos x = 0 неявно. Найти ее дифференциал в допусти-

9. Вычислить эластичность функции мой точке (x,y). 11. Найти радиус кривизны кривой

y=

x в точке x0 = 1 . 1 + x2 2

1 2 ( x −1)( 2 x +1) 12. Провести исследование функции и построить график: y = ( 2 x − x − 1) ⋅ e . 2 13. Числа x и y удовлетворяют условию: x + y = a, x ≤ 2a . Какое наибольшее значение может принимать величина

x3 + y3 ? 12

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 10

f ( x) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите lim

1. Сформулировать понятие: lim

x → −∞

Вычислить пределы: 3. lim n→∞

3n n + 1 − sin n n3 + 5n + 1

sin ; 4.

lim

n→∞

πx 2

x→2

− cos(2πx) ⎛ 1 + 2x ⎜ log3 x ⎝

8. Найти производную функции y = sin⎜ чение в точке

πn

2 . n +1

x2 − sin x 2cos x − 0,5 2 ; 6. ;7. lim 1 + x lim 2 x →π x → 0 x → 0 sin x tg2x

(

; 5. lim

sin πx

2n sin

)(

cos 3 x − cos x ) −1

.

⎞ ⎟ в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его зна⎟ ⎠

x0 = 3 .

9. Вычислить эластичность функции

f ( x) = ( x 2 + 1) ln 2 x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением 11. Найти радиус кривизны кривой

x 1 + xy = y неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y).

y = x ( x + 1) в точке x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график: 13. Числа x и y удовлетворяют условию: квадратов?

y = 3 ( x − 1)( x − 4) . 2

x + y 2 = 1 . Какое наименьшее значение может принимать сумма их 13

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 11

1. Сформулировать понятие:

lim f ( x) = +∞ . 2. Теоретический вопрос. Найдите lim x→a

n →∞

Вычислить пределы:

n 2 cos

3 . 2n + n + 1 2

(

2

πn

)

(tgx − tg 4 )−1 2 x −1 − 1 sin 2 x − tgx x2 − 2x 3. lim ; 4. lim ; 5. lim ; 6. lim ;7. lim x − 1 . n →∞ x → 2 sin πx x→4 x→0 x → −1 x 2 + 3x x + 2 −1 4n3 + 3n − 1 ⎛ 1 + 4 x ⋅ sin πx ⎞ ⎟ в произвольной допустимой точке x . В ответ записать 8. Найти производную функции y = tg ⎜ ⎜ ⎟ log x 2 ⎝ ⎠ ее значение в точке x0 = 2 .

n n + (−1) n

9. Вычислить эластичность функции

f ( x) = xesin 2 x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением 11. Найти радиус кривизны кривой

x 2 + y 2 = ln( xy ) неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y).

y = ( x + 1) x в точке x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график: 13. Числа x и y удовлетворяют условию:

y =1

3

(x + 1)2 (x − 5) .

y − x 2 = 1 . Какое наименьшее значение может принимать величина 2( x + y ) ? 14

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 12 1. Сформулировать понятие: lim f ( x ) = −∞ . 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть ограниченной в x→ a

окрестности какой - либо точки, но не иметь предела в этой точке? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы:

(

)

−1

⎛ ⎛ x ⎞⎞ sin(2 x − 2 x ) ln 2 (2 + x) arctgx − x 3 ⎜⎜ ln ⎜ − ⎟ ⎟⎟ 3. lim n + 2 − n (n + 1) ;4. lim ; 5. lim ;6. lim ;7. lim x + 9 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ . 2 x x →1 1 n →∞ x → − x → 0 → − x −1 1 + cos πx x − tgx

8. Найти производную функции ее значение в точке

(

y = 3 log 3 x ⋅ arctg x

)

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать

x0 = 3 .

f ( x) = x 2ecos 2 x в произвольной точке. 2 2 xy 10. Функция y = y(x) задана соотношением x + xy + y = 2 неявно. Найти ее дифференциал в допустимой 9. Вычислить эластичность функции точке (x,y). 11. Найти радиус кривизны кривой

y = ( x 2 + 1) x в точке x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график: 13. Числа x и y удовлетворяют условию: мать величина

11 ⎞ ⎛ y = 3 ( x − 1)(x − 2)⎜ x − ⎟ . 3⎠ ⎝

y 2 + x 2 = 4 . Какое наименьшее и наибольшее значения может прини-

(x − 3)2 + y 2 ? 15

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 13 1. Сформулировать понятие: lim f ( x ) = +∞ . 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть в одной точке x →∞

бесконечно малой, а в другой точке - бесконечно большой? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы: 3.

lim

n →∞

5n + sin( n 2 ) n 2 + 3n + 1 + 2n

; 4.

3x + 1 − 2 x2 − 2 x tgx + sin 2 x tg 2 3 x lim ; 5. lim ; 6. ;7. lim (sin x ) . 2 x → 2 x − 2 cos πx x → 0 x ( 2 x + 3) x →1 x →π / 2 2x − 2

lim

8. Найти производную функции точке

y = x2 x

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в

x0 = 1 .

ex 9. Вычислить эластичность функции f ( x ) = 2 в произвольной точке. x +1 x 2 10. Функция y = y(x) задана соотношением xy = sin неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y). y 11. Найти радиус кривизны кривой

y=

x2 + 1 x

в точке

x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график: y = x + 1 x . 13. Числа x и y удовлетворяют условию: y + x = π . Какое наименьшее и наибольшее значения может принимать 2

величина

sin 2 x + sin y ? 16

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 14 1. Сформулировать понятие: lim f ( x ) = −∞ . 2. Теоретический вопрос. Докажите, исходя из определения произx →∞

водной, что (sin 2 x )′ = 2 cos 2 x в любой точке x? Вычислить пределы:

x − cosπ (x +1) arcsin3x − sin x cosπx − 1 ⎛ 2 ⎞ ;4. lim ;5. lim ;6. lim ;7. lim⎜ 3. lim ⎟ n→∞ x→2 log ( x + 2) − 2 x→1 x →1 1 + x x( x + 5) x −1 ⎝ ⎠ n n2 + n + 1 x→0 2

(n + 1)(2n + 5)

8. Найти производную функции точке

y = x2

x

(sin x − sin 1)−1

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в

x0 = 2 . 2

f ( x) = x 3e x в произвольной точке. 10. Функция y = y(x) задана соотношением x + y = 1 cos( xy ) неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке 9. Вычислить эластичность функции (x,y). 11. Найти радиус кривизны кривой

y = xe x

2

−1

в точке

x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график: 13. Числа x и y удовлетворяют условию: мать величина

y=

(x − 1)(x + 3) x

.

x + y = 1 . Какое наименьшее и наибольшее значения может прини-

y + x2 ? 17

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 15 1. Сформулировать понятие: lim f ( x ) = +∞ . 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть непрерывной в x → −∞

какой-либо точке, но не иметь в этой точке производную? Вычислить пределы: 3. lim

n →∞

n +1 + n −1 2n + 1

8. Найти производную функции точке

x +1

3x + 3 − 9 2x − 2x 1 ⎞ x3 − x arcsin 3 x ⎛ lim 2 − ;4. lim ; 5. lim ;6. lim ; 7. . ⎜ ⎟ x → −1 ln( x + 2) x →1 3 − 2 x − x 2 x → 0 arctgx + arctg 4 x x →0 cos x ⎠ ⎝ y = x sin x в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его значение в

x0 = π .

9. Вычислить эластичность функции

y = ex

2

x в произвольной точке.

⎛x⎞ x + y = sin ⎜⎜ ⎟⎟ неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке ⎝ y⎠

10. Функция y = y(x) задана соотношением (x,y).

y = ex

2

−1

x в точке x0 = 1 . x . 12. Провести исследование функции и построить график: y = x2 + 1 13. Числа x и y удовлетворяют условию : xy = a, a > 0, x > 0 . Какое наименьшее значение может принимать величина 2 y + x ? 11. Найти радиус кривизны кривой

18

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 16 1. Сформулировать понятие: lim f ( x) = +∞ . 2. Теоретический вопрос. Докажите, исходя из определения произ-

( )′

x → +∞

водной, что x = 3x в любой точке x . Вычислить пределы: 3

2

x

n2 − 2 n + 1 + n n2 + 1 x − cos πx sin 3 x − sin x sin πx ⎛ x + 1 ⎞ x2 − x−2 lim ;4. lim ;5. lim ;6. lim ;7. . 3. lim ⎜ ⎟ n→∞ x →0 x → 2 ln( x − 1) x →1 2 x −1 − 1 x→2 2 x − 1 n+3 x ( x − 4) ⎝ ⎠ ln x 8. Найти производную функции y = x в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в точке x0 = e . y = e − x x 2 + 1 в произвольной точке. x 10. Функция y = y(x) задана соотношением = tg ( xy ) неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y). y

9. Вычислить эластичность функции

11. Найти кривизну кривой

y = x x 2 + 1 в точке x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график:

y=

x

(x − 1)(x + 3)

.

13. Прямой круговой конус имеет объем V. Какое минимальное значение имеет длина образующей конуса?

19

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 17 1. Сформулировать понятие: lim f ( x) = −∞ . 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть ограниченной x → −∞

на множестве M, если ее производная не ограничена на этом множестве? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы: 3. lim

n →∞

n +1 + 3 n + 2 n +2

ln( x + 3) x − 3x −1 ( x + 2) sin π ( x + 1) lim ; 5. ; 6. ; 7. lim 4 − x lim x →1 log x x→0 x → −2 x →3 sin( x + x 2 ) 5 − x2 − 1 3

; 4. lim

(

)

ctgπx

.

1

8. Найти производную функции в точке

y = (ln x ) x в произвольной допустимой точке x . В ответ записать

его значение

x0 = e .

9. Вычислить эластичность функции

f ( x) = ln x x 2 в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

⎛ x⎞ xy = ctg ⎜⎜ ⎟⎟ неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке ⎝ y⎠

(x,y). 11. Найти кривизну кривой

y = ln x x 2 в точке x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график:

y=

x

3

(5 − x )(5 + x )

.

13. Длина образующей прямого кругового конуса равна L. Какое наибольшее значение имеет объем конуса?

20

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 18 1. Сформулировать понятие: lim f ( x) = −∞ . 2. Теоретический вопрос. Функция имеет ограниченную производx → +∞

ную на интервале. Может ли она быть неограниченной на этом интервале? Ответ обосновать. Вычислить пределы:

⎛1⎞ 1 2n + arcsin⎜ ⎟ x sin x 2 2 π x − 2 arccos x x + 2 − 1 sin 3 x + sin( x + ) n ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ; 4. lim 3. lim ;5. lim ;6. lim ;7. lim⎜ . ⎟ n + 1 n→∞ 3n + (−1) x →1 x + cos πx x→0 x → −1 log ( 2 x + 3) x →0 π x cos(5π + x) ⎝ ⎠ 2 8. Найти производную функции сать его значение в точке

(

y = tg (sin πx ) ⋅ ln e + x 2

x0 = 0 .

9. Вычислить эластичность функции

)

в произвольной допустимой точке x . В ответ запи-

f ( x) = x ln x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

x2 = 2 xy неявно. Найти ее дифференциал в допустимой 2 y

точке (x,y). 11. Найти кривизну кривой

y = ln 2 x в точке x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график:

y=

3

(x + 3)x 2 x+2

.

13. Правильная треугольная пирамида имеет объем V. Какое наименьшее значение может иметь длина бокового ребра?

21

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 19 1. Сформулировать понятие: lim f ( x ) = A . 2. Теоретический вопрос. Приведите пример функции, которая в x→a −0

данной точке имеет первую производную, но не имеет второй. Вычислить пределы:

(

)

ctgπx

tg 2 x − sin 2 x x2 − x − 6 x+2+x ⎛ 4arctgx ⎞ 3. lim n + n + 1 − n ; 4. lim ; 5. lim ; 6. lim ; 7. lim⎜ ⎟ . 3 x n →∞ x →0 → x → − 1 x 3 → 1 x sin x 2 −8 x − cos πx ⎠ ⎝ π sin 3 x 8. Найти производную функции y = ctg (arccos x ) ⋅ 2 в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в точке x0 = 0 . 2

f ( x) = x arctgx в произвольной точке. y 10. Функция y = y(x) задана соотношением log y x = неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y). x x2 11. Найти кривизну кривой y = 2 в точке x0 = 0 . x+2 12. Провести исследование функции и построить график: y = . 3 (x + 3)x 2 9. Вычислить эластичность функции

13. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно L. Какое наибольшее значение может иметь объем пирамиды?

22

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 20 1. Сформулировать понятие:

lim f ( x) = A . 2. Теоретический вопрос. Объясните почему o( x) ⋅ o( x) = o( x 2 ) ?

x→a + 0

Вычислить пределы: 1

2n − 1 − n − 1

(sin 2 x + sin x) 2 x 2 + 3x + 2 1 + 2 x − cos x ⎛ ln x ⎞ x − 2 ; 4 lim ; 5. lim ; 6. lim ;7. lim⎜ 3. lim ⎟ . x → 0 cos 2 x − cos x x → −2 ln( x + 3) x →0 n →∞ x → 2 ln 2 x + sin 3 x n+2 ⎝ ⎠ tg arcsin 1 x в произвольной допустимой точке x . 8. Найти производную функции y = log 2 x В ответ записать ее значение в точке x0 = 2 .

(

( ))

f ( x) = (cos x) x в произвольной точке. 10. Функция y = y(x) задана соотношением log x y = xy неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке

9. Вычислить эластичность функции (x,y). 11. Найти кривизну кривой

2

y = x 2 x в точке x0 = 1 .

12. Провести исследование функции и построить график:

y = ln

x +1 . ( x − 2) 2

13. В прямоугольном параллелепипеде длина одного из ребер равна 2, сумма площадей его граней равна 10. Какое наибольшее значение может принимать объем параллелепипеда?

23

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 21 1. Сформулировать понятие:

lim f ( x) = A − 0 . 2. Теоретический вопрос. Верно ли, что

x→a −0

o( x 2 ) = o( x) в точке o( x )

xo = 0? Вычислить пределы: 3. lim

n →∞

(n

)

n 2 + 1 − n 2 ; 4. lim x →0

x(tgx + sin 3 x) 4x − 3 − 3 2 cos πx − x ⎛ ln x ⎞ x ; 5. lim ; 6. lim ; 7. lim⎜ ⎟ 2 2 3 2 x → x → → 3 x cos 2 x − cos x ( x − 1) − 4 x −4 ⎝ ln 3 ⎠

8. Найти производную функции сать ее значение в точке

y = arccos(log 3 x ) ⋅ 2

x0 = 1 .

(

cos

x2 2

−2 x −3

.

π x

в произвольной допустимой точке x . В ответ запи-

)

f ( x) = x 2 + x + 1 ecos x в произвольной точке. y 10. Функция y = y(x) задана соотношением x = ln ( xy ) неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке

9. Вычислить эластичность функции (x,y). 11. Найти кривизну кривой

y = x ( x + 1) в точке x0 = 1 .

⎛ 12. Провести исследование функции и построить график: y = ln⎜1 + ⎝

2

1⎞ ⎟ . x⎠

13. В прямоугольном параллелепипеде объема 3 длина одного из ребер равна 3. Какое наименьшее значение может принимать площадь поверхности параллелепипеда?

24

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 22 1. Сформулировать понятие: lim f ( x) = ∞ . 2. Теоретический вопрос. Найти функцию обратную к функции x→ a + 0

y = x + x 2 − 1 на полуоси x ≥ 0 . Вычислить пределы: 4

4 n 2 + 2n + 3 − n ln( x + 2) sin 6 x − x x − 2 cos πx ⎛ sin x ⎞ 2 x+ 2 −1 lim ; 4. lim ; 5. lim ; 6. lim ; 7. . 3. lim ⎜− ⎟ x→2 n →∞ x → 0 tg 2 x − x x → −1 x → −2 2n + sin n 2x − 2x x+5 −2 ⎝ sin 2 ⎠ sin (tgπx ) 8. Найти производную функции y = в произвольной допустимой xx точке x . В ответ записать его значение в точке x0 = 2 . 2

f ( x) = x 3 3x в произвольной точке. 1 10. Функция y = y(x) задана соотношением x ln y = неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке xy

9. Вычислить эластичность функции

(x,y). 11. Найти кривизну кривой

(

)

y = x x + 1 в точке x0 = 4 . 1

12. Провести исследование функции и построить график: y = e ln x . 13. Площадь основания прямоугольного параллелепипеда равна a2, площадь боковой поверхности равна S . Какое наибольшее значение может принимать объем параллелепипеда?

25

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 23 1. Сформулировать понятие:

lim f ( x) = −∞ . 2. Теоретический вопрос. Найти для функции y = sin 3 x − x 3

x→a −0

эквивалентную бесконечно малую функцию вида Вычислить пределы:

( n − 1 − n)

сx m в точке x = 0 .

⎛ tgx ⎞ 3 −9 sin 4 x − x x − cos( x − 1) ⎟⎟ ; 5. lim ; 6. lim ; 7. lim⎜⎜ x → x → 2 → 1 x 1 x tgx + 4 x ln(3 − x) 3x − 3 tg 1 ⎝ ⎠ cos(arctgx ) 8. Найти производную функции y = в произвольной допустимой 1 + x2 точке x . В ответ записать ее значение в точке x0 = 1 .

3. lim ( n + 2) n →∞

2

x

; 4. lim x →0

9. Вычислить эластичность функции

1 3x −3x

.

3

f ( x) = x 2 2 x в произвольной точке. y

10. Функция y = y(x) задана соотношением 11. Найти кривизну кривой

y=

y x = 2 x неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y).

x2 + 1 в точке x0 = 1 . x

12. Провести исследование функции и построить график:

y=e

log1 x e

.

13. Длины диагоналей боковых граней прямоугольного параллелепипеда равны значение может принимать объем параллелепипеда?

26

5 и 2 2 . Какое наибольшее

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 24 1. Сформулировать понятие: щение

lim f ( x) = +∞ . 2. Теоретический вопрос. Для функции y = x 3 написать прира-

x→a −0

Δy в точке xo = 1, ее дифференциал dy в той же точке и оценить порядок малости величины Δy − dy

по шкале (Δx) . Вычислить пределы: m

2n + 2 − n ln( x 2 − 3) 1 − cos 2 x x− 2− x ctgπx lim lim ; 4. ; 5. ; 6. lim ; 7. lim(log 2 x ) . n − 1 x x →1 x x → 0 x sin 5 x → 2 n →∞ n + 2 + 3 x → −2 2 − 2x x+6 −2 sin (arcctg 2 x ) в произвольной допустимой точке x. В ответ записать его 8. Найти производную функции y = 1 + 4 x2 значение в точке x0 = 1 2 . 3.

lim

f ( x) = x 2tgx в произвольной точке. x y 10. Функция y = y(x) задана соотношением = неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке sin y cos x 9. Вычислить эластичность функции

(x,y). 11. Найти кривизну кривой

y = e x x + 1 в точке x0 = 0 .

12. Провести исследование функции и построить график: y = x . 13. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна L. Какое наибольшее значение может принимать ее объем? x

27

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 25 1. Сформулировать понятие:

inf f ( x) = A . 2. Теоретический вопрос. Для функции y = x написать приращение x∈M

Δy в точке x0 = 1 , ее дифференциал dy в той же точке и оценить порядок малости величины

Δy − dy − (1 2)d 2 y по шкале (Δx) m .

Вычислить пределы: 3. lim

n →∞

3n + 2− n

n2 + n + 1

; 4.

1 2x +3 − 4 sin x(tg 2 x − x) x + cos πx 2 ; 5. lim ; 6. lim ; 7. lim x + x + 1 ln ( x + 2 ) . x → −1 x →0 x →1 ln(2 − x ) x → −1 1 − cos 3 x x + 2 −1

(

lim

8. Найти производную функции ние в точке

y=x

x

)

⋅ sin πx в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его значе-

x0 = 1 .

x3 в произвольной точке. sin 2 x 2x 2y = неявно. Найти ее дифференциал в допустимой 10. Функция y = y(x) задана соотношением y x

9. Вычислить эластичность функции

11. Найти кривизну кривой

f ( x) =

точке (x,y).

y = 2 x ( x + 2) в точке x0 = −2 .

12. Провести исследование функции и построить график: y = x . 13. Объем правильной треугольной призмы равен V. Какое наименьшее значение может принимать длина диагонали боковой грани? 1 x

28

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 26 1. Сформулировать понятие: sup f ( x ) = A . 2. Теоретический вопрос. Докажите теорему Лагранжа для функции x∈M

y = x на отрезке [0; 2]. Вычислить пределы: 2

1 n 4n2 + 1 + n2 + 1 sin x + cos x −1 x − 2 x −1 sinπx ⋅ (2− x − 4) 2 (x2 −1) . lim ;4. lim ;5. lim ;6. ;7. lim 2 x + 3 x − 4 x→1 n→∞ x→0 x →1 x + cos πx x→−2 log ( x 2 + 4 x + 5) (n + 2)(n −1) 2x 2

(

3. lim

8. Найти производную функции значение в точке

)

y = (sin x) x ⋅ cos x в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его

x0 = π 2 .

f ( x) = x ln 2 x в произвольной точке. x y 10. Функция y = y(x) задана соотношением sin = cos неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y). y x x 11. Найти кривизну кривой y = 2 x в точке x0 = 0 . e 1 − ⎞ ⎛ 12. Провести исследование функции и построить график: y = ln⎜1 + e x ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

9. Вычислить эластичность функции

13. В шар с радиусом R вписана правильная треугольная призма. Какое наибольшее значение может принимать объем призмы?

29

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 27 1. Сформулировать понятие: max f ( x ) = A . 2. Теоретический вопрос. Докажите теорему Лагранжа для функции x∈ M

y=

1 на отрезке [1; 2]. x

Вычислить пределы: 3. lim n→∞

n + 2 − n −5 n−2 − n−6

(x2 + x − 2) sinπx tg 2 x x + x2 + sin2x x − 2 cos πx 2 lim lim ;5. ;6. ;7. lim sin x − cos x . x→0 x→1 x→2 x →π / 2 tg 2πx x2 + tg3x ( x + 8 − 3)2

(

;4. lim

8. Найти производную функции значение в точке

)

⎛ sin 2πx ⎞ y = cos⎜ arctgx ⎟ в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его ⎠ ⎝ 2

x0 = 2 .

f ( x) = x 3 ⋅ ln 2 x в произвольной точке. 2 2 10. Функция y = y(x) задана соотношением cos( x + y ) = sin (x y ) неявно. Найти ее дифференциал в допус-

9. Вычислить эластичность функции тимой точке (x,y). 11. Найти кривизну кривой

y = x x + 1 в точке x0 = 0 . x2

( x −1)( x + 2 )

12. Провести исследование функции и построить график: y = e . 13. Около правильной треугольной призмы с объемом V описан шар. Какое наименьшее значение может принимать радиус этого шара?

30

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 28 1. Сформулировать понятие: min f ( x ) = A . 2. Теоретический вопрос. Докажите теорему Коши для функций x∈M

y1 = x и y2 = x на отрезке [0; 1]. Вычислить пределы: 2

xe 1 x − 3ln 4 x n( n + 3 − n −1 x2 + x sin3x (x2 + x − 2) sin5x 4 3 ;7. lim ⎛⎜ sin2 x + cos x ⎞⎟ −π . 3. lim ; 4. lim ; 5. lim ;6. lim 2 2 2 n→∞ x→0 x→−1 x→3 (x − 3) x→π / 4 tg 2x ln (x + 2) 3 ⎠ n +1 ⎝ ⎛ ⎞ 8. Найти производную функции y = sin ⎜ 2arctg x ⎟ ⎜ 1 + 2x2 ⎟ ⎝ ⎠ значение в точке x0 = 1 .

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его

f ( x) = x 2 arctgx в произвольной точке. 10. Функция y = y(x) задана соотношением x sin y + y cos x = xy неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке 9. Вычислить эластичность функции (x,y). 11. Найти кривизну кривой

y = x 2 x − 1 в точке x0 = 2 .

12. Провести исследование функции и построить график:

y = e( x −1)( x + 2 )

x2

.

13. Кривая на плоскости задана параметрическими уравнениями ⎧⎨ x = a cos t , , t ∈ [0;2π ] . ⎩ y = (1 a )sin t Каковы наибольшее и наименьшее значения расстояний точек кривой от начала координат?

31

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 29 1. Сформулировать понятие: функция f (x) непрерывна в точке.

2. Теоретический вопрос. Докажите теорему Ролля для функции

y = sin 2 x − sin x на отрезке ⎡⎢ π ; 5π ⎤⎥ . ⎣6

6 ⎦

Вычислить пределы: 1

2

( x − 1) 2 2 x − 16 x − x 2 + sin 5 x ⎛ 2 − x ⎞ sin πx + sin 2πx ; 5. lim ; 6. lim ; 7. lim ⎜ . 3. lim( n2 + n +1 − n2 − 3n) ; 4. lim ⎟ x → −2 ln( x + 3) x →0 x →1 x − ln ex x → −2 n→∞ 2 x + sin 3x ⎝ 4 ⎠

(

)

⎛ arccos x 2 2 ⎞ ⎟⎟ в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его ( ) 1 − sin 2 π x ⎝ ⎠

8. Найти производную функции y = cos⎜ ⎜ значение в точке

x0 = −1 .

f ( x) = e x ⋅ arcsin x в произвольной точке. 8. Функция y = y(x) задана соотношением x sin x cos y = y неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке 9. Вычислить эластичность функции

(x,y). 11. Найти кривизну кривой

y = 2 x + sin x в точке x0 = π 2 .

12. Провести исследование функции и построить график:

(

)

y = ln ( x − 1)(x + 2) x 2 . ⎧ x = a (sin t + cos t ) , t ∈ [0;2π ]. ⎩ y = b(sin t − cos t )

13. Кривая на плоскости задана параметрическими уравнениями ⎨ Какое наибольшее значение может принимать величина

32

x+ y?

Зачет по математическому анализу. 1 семестр Вариант 30 1. Сформулировать понятие: функция f (x) равномерно непрерывна на множестве.

2. Теоретический вопрос. Функцию

y = x 2 разложить по формуле Тейлора в точке x0 = 1 .

Вычислить пределы: −1

πx ⎛ ⎞ 2− n + 3− n +1 x + sin 2 x ln( x + 2) cos 7πx − 1 ⎜ cos + cos πx ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ . lim lim lim ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. lim x − 4 x + 5 3. lim − n −1 2 n →∞ 3 x→2 x → 0 tg 2 x + x 2 x → −1 x − cos πx x→2 − 2− n 2x − 4

(

(

)

⎛ 3 arcsin ( x 2 ) ⎞ в произвольной допустимой точке x . ⎟ 2x ⎝ ⎠

8. Найти производную функции y = tg ⎜ В ответ записать его значение в точке

x0 = −1 .

f ( x) = etgx ⋅ x 2 в произвольной точке. 10. Функция y = y(x) задана соотношением sin x sin y = xy неявно. Найти ее дифференциал 9. Вычислить эластичность функции в допустимой точке (x,y). 11. Найти кривизну кривой

y = 3x − e x в точке x0 = ln 3 .

12. Провести исследование функции и построить график:

⎛ 1⎞ y = arctg ⎜1 + ⎟ . x⎠ ⎝

⎧ x = sin(t + α ) , t ∈ [0;2π ] . ⎩ y = cos t

13. Кривая на плоскости задана параметрическими уравнениями ⎨

Каковы наибольшее и наименьшее значения расстояний точек кривой от начала координат?

33

)

Список рекомендуемой литературы 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Изд-во МГУ, 1997. 2. Берман. Г.Н. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука, 1985. 3. Ильин В.А., Поздняк Э.Н. Основы математического анализа. Т.1. М.: Наука, 1984. 4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. М.: Высшая школа, 1988. 5. Гришин С.А. Математический анализ. Т.1. М.: МИФИ, 2008.

34

С.А. Гришин, С.В. Мустяца,

М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Редактор Е.Е. Шумакова Оригинал-макет подготовлен Гришиным С.А.

Подписано в печать 22.05.2009. Формат 60×84 1/16. Печ. л 2,25. Уч.-изд. л 2,25. Тираж 100 экз. Изд. № 025-1. Заказ № Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 115409, Москва, Каширское ш.31. Типография МИФИ.