Принципы и методы оптической голографии: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра общей физики

В. Ф. Климкин

ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ Описание лабораторной работы 1.5 по физической оптике

Новосибирск 2002

www.phys.nsu.ru Цель работы - изучение физических принципов и экспериментальных методов голографии; запись голограмм и восстановление объемных изображений предметов; определение малых смещений с помощью голографической интерференции. Работа представляет раздел интерференции учебника по экспериментальной оптике для студентов 2-го курса физического факультета, факультета естественных наук и геологогеофизического факультета НГУ.

Рецензент: доктор физико-математических наук, доцент Л. Н. Вячеславов

www.phys.nsu.ru © Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru © Новосибирский государственный университет, 2002

www.phys.nsu.ru 2

www.phys.nsu.ru ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ Оборудование: гелий-неоновый лазер; полуволновая пластинка; светоделительный кубик; световоды; микролинзы; предметный столик с объектами; плоская металлическая пластинка с микрометрическим винтом; кассета с фотопластинкой; голографический стол. Цель работы - изучение физических принципов и экспериментальных методов голографии; запись голограмм и восстановление объемных изображений предметов; определение малых смещений с помощью голографической интерференции.

www.phys.nsu.ru ВВЕДЕНИЕ

Голография - это метод записи и последующего восстановления волновых фронтов [1 - 4]. Он основан на регистрации интерференционной картины, образованной волной, рассеянной объектом (предметная волна) и когерентной с ней опорной волной. Фотографическая запись этой картины (на фотопластинке или на фотопленке с повышенной разрешающей способностью) называется голограммой и содержит информацию о фазах и об амплитудах рассеянных волн. Восстановление волнового фронта происходит на втором этапе, когда проэкспонированная и проявленная голограмма освещается опорной волной. Представим, что интерференционная картина зарегистрирована позитивно в виде амплитудной двумерной голограммы. Тогда участки голограммы с максимальным пропусканием соответствуют тем участкам фронта предметной волны, в которых ее фаза совпадает с фазой опорной волны. Эти участки будут тем прозрачнее, чем больше была амплитуда предметной волны. Поэтому при освещении голограммы опорной волной в ее плоскости

www.phys.nsu.ru 3

www.phys.nsu.ru создается такое же амплитудно-фазовое пространственное распределение, которое имела при записи предметная волна. В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля голограмма преобразует опорную волну в копию предметной волны, что и обеспечивает формирование объемного изображения объекта. Это изображение, локализованное на некотором расстоянии от голограммы, обладает глубиной и параллаксом, обычно свойственным реальному объекту. Восстановленное трехмерное изображение объекта можно сфотографировать. Голографический метод восстановления волнового фронта был впервые предложен физиком Д. Габором в 1948 г. (осевые голограммы). Термин “голография” происходит от греческого слова “олос” - весь или целый и “графо” - пишу и означает “полная запись”. Этим Габор хотел подчеркнуть, что регистрация как фазовой, так и амплитудной информации обеспечивает более полное описание световой волны. Однако отсутствие в то время достаточно мощных когерентных источников света сильно ограничивало возможности практического использования голографии. Возрождение интереса к этому способу записи изображений связано с созданием лазеров, дающих мощное излучение, обладающее высокой когерентностью. В 1962 - 1964 гг. американские ученые Е. Лейт и Дж. Упатниекс предложили схему получения голограмм с наклонным лазерным опорным пучком, освещающим фотопластинку. Примерно в это же время российский физик Ю. Денисюк получил голограммы с записью в трехмерной среде (объемные голограммы). За изобретение голографии Д. Габор удостоен Нобелевской премии в 1971 г.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 4

www.phys.nsu.ru §1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ Для получения голограммы когерентный свет, идущий от лазера, разделяют на два пучка, один их которых освещает объект, а другой является опорным и освещает пластинку. Рассмотрим случай простой голограммы, образованной пересечением двух плоских волн (на самом деле предметный пучок имеет очень сложную структуру).

www.phys.nsu.ru 1

2 5

θ 3 4 6 Рис. 1. Схема получения голограмм: 1 − лазерный пучок; 2 − предмет; 3 − зеркало; 4 − опорный пучок; 5 − предметный пучок; 6 − фотопластинка; θ − угол схождения пучков Воспользовавшись преобразованием Фурье произвольную световую волну можно разложить на множество плоских волн. Каждая из них будет интерферировать с плоской опорной волной, образуя налагающиеся голограммы простого типа. При освещении

www.phys.nsu.ru 5

www.phys.nsu.ru такой сложной голограммы опорной волной каждая голограммная компонента действует так же, как и простая голограмма, образованная плоскими волнами. На рис. 1 представлена принципиальная схема получения голограмм с разделением в пространстве предметного и опорного пучков (предложена Лейтом и Упатниексом). Рассмотрим лучи обеих волн, расположенные в плоскости рисунка. Комплексную амплитуду опорной волны, достигающей фотопластинки, можно записать в виде E1 = E01 exp(i ϕ1 ) . Аналогично этому комплексная амплитуда света, попадающего на пластинку от предмета 2, записывается как E2 = E02 exp(i ϕ2 ) . Пусть толщина светочувствительного слоя фотопластинки 6 сравнима с расстоянием между соседними интерференционными полосами (тонкая или плоская голограмма). В этом случае на ней будут зарегистрированы линии пересечения поверхностей одинаковой интенсивности объемной интерференционной картины с плоскостью эмульсии. Получающаяся интерференционная картина представляет собой систему светлых и темных полос, направленных перпендикулярно плоскости рис. 1. Распределение интенсивности описывается выражением (см. вводную часть)

www.phys.nsu.ru I = E012 + E022 + 2E01E02 cos ( ϕ2 − ϕ1 ) . Расстояние между соседними светлыми интерференционными полосами равно d=

λ , sin θ

(1) (и

темными)

(2)

где λ − длина волны, а θ − угол схождения пучков. Сохранение информации о световой волне заложено в выражении (1), так как интерференционная картина (видность и структура) определяется пространственным распределением амплитуд и фаз интерферирующих волн. После экспонирования и соответствующей обработки фотопластинки (проявление, закрепление) получается амплитудная (поглощающая) голограмма.

www.phys.nsu.ru 6

www.phys.nsu.ru ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА

Характерное расстояние между интерференционными полосами достаточно мало. Например, при λ = 0,63 мкм и θ = 45° оно составляет 0,9 мкм. Если коэффициент пропускания обработанной фотопластинки по амплитуде линейно зависит от интенсивности падающего на нее света, то полученная система полос имеет синусоидальное (косинусоидальное) распределение пропускания, как это следует из (1). Иначе говоря, голограмма представляет собой синусоидальную амплитудную дифракционную решетку. Пусть голограмма освещается исходным опорным пучком (рис. 2). Постоянная решетки d и угол дифракции β связаны соотношением d sinβ = ±λ . Учитывая, что постоянная решетки d определяется формулой (2), находим, что β = ±θ. Мы не рассматриваем пучки света, соответствующие более высоким порядкам дифракции, так как их интенсивность пренебрежимо мала. Таким образом, часть дифрагировавшего на голограмме света восстанавливает волновой фронт, который при регистрации голограммы шел от объекта. Наблюдатель воспринимает восстановленную волну как бы исходящей от мнимого изображения предмета 2, расположенного точно там, где ранее находился предмет. Структура интерференционных полос на плоской голограмме не изменится, если предметный пучок будет падать под углом - θ (см. рис. 1). Поэтому при освещении голограммы опорным пучком условия для возбуждения двух волн первого порядка одинаковы. Волна, идущая вверх, создает действительное изображение 4 предмета, которое может быть непосредственно зарегистрировано фотопластинкой (без применения линзы). Важной с точки зрения голографии является зависимость амплитудного пропускания τ (отношение амплитуды света, пропущенного голограммой, к амплитуде света, падающего на нее) от экспозиции H.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 7

www.phys.nsu.ru d

4

2

θ 1 θ 3

www.phys.nsu.ru Рис. 2. Образование мнимого 2 и действительного изображения 4 предмета при освещении голограммы 3 опорным пучком 1

Для наиболее точного восстановления предметной волны необходима такая экспозиция, при которой амплитудное пропускание попадает в пределы линейного участка кривой (линейность отклика фотографического слоя) [1]. В этом случае пропускание τ полученной голограммы пропорционально экспозиции H ( H = It , где t − время экспозиции) и, следовательно, интенсивности I. Предположим, что между τ и H и, следовательно, между τ и I существует линейная зависимость

τ = τ0 − kI ,

(3)

где τ0 − пропускание неэкспонированной пластинки, k − константа. Подставляя в выражение (3) интенсивность I, определяемую законом интерференции (1), для амплитудного пропускания голограммы получаем τ = τ0 − k ( E012 + E022 ) − 2kE01E02 cos ( ϕ2 − ϕ1 ) .

www.phys.nsu.ru 8

www.phys.nsu.ru Пусть голограмма освещается опорной волной с комплексной амплитудой E1 = E01ei ϕ1 . Комплексная амплитуда света, прошедшего через голограмму, равна произведению амплитуды падающего света E1 на пропускание голограммы τ

Enp = E1τ = ⎣⎡ τ0 − k ( E012 + E022 )⎦⎤ E01ei ϕ1 − − kE012 E02ei ϕ2 − k ( E01ei ϕ1 ) E02e− i ϕ2 . 2

(4)

Каждый из членов в выражении (4) представляет комплексную амплитуду одной из волн, дифрагированных на голограмме. Первый член с точностью до множителя в скобках равен амплитуде опорной волны и соответствует волне нулевого порядка, распространяющейся в прежнем направлении. Второй член с точностью до постоянного действительного множителя kE012 описывает дифрагированную волну, амплитуда которой пропорциональна амплитуде волны, падавшей на голограмму от предмета 2 во время регистрации голограммы (см. рис. 1). Наблюдатель, воспринимающий восстановленную волну, увидит мнимое изображение предмета 2. Последний член правовой части соотношения (4) пропорционален комплексной амплитуде волны, сопряженной первоначальной предметной волне. Она создает действительное изображение предмета 4 (см. рис. 2), но вследствие сопряженности волны изображение является псевдоскопическим, то есть меняется на обратный рельеф предмета. Чтобы получить неискаженное действительное изображение, голограмму надо осветить пучком, сопряженным первоначальному опорному пучку. В случае плоской опорной волны сопряженной волной будет плоская же волна, направленная антипараллельно первоначальной. Сопряженный пучок, освещающий обратную сторону голограммы, создает действительное изображение предмета в месте первоначального расположения предмета.

www.phys.nsu.ru

ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ

www.phys.nsu.ru 9

www.phys.nsu.ru Важным применением голографии является голографическая интерферометрия. Методами голографической интерферометрии получаются картины на основе восстановления и интерференции записанных на голограмме волн с опорной волной. В возможности сохранения и последующего восстановления волн состоит уникальное преимущество голографического метода по сравнению с методами обычной оптической интерферометрии. Голографическая интерферометрия позволила впервые исследовать объекты, диффузно рассеивающие свет.

a

б

E1

E1

E2

E2

www.phys.nsu.ru E2(t) E′2(t) Г

E′2(t) E′′2(t) Г

Рис. 3. Методы голографической интерферометрии: а − интерферометрия в реальном времени; б − метод двухэкспозиционной интерферометрии Имеется несколько методов голографической интерферометрии (рис. 3). Первая схема "а" соответствует интерферометрии в реальном времени. В этом случае на голограмме Г записывается волна E2′ , прошедшая через невозмущенное поле (без объекта О). После обработки голограмма устанавливается на прежнее место и освещается опорной волной E1. При этом восстанавливается волна E2′ , которая в последующем интерферирует с предметной волной E2 (t ) , прошедшей сквозь голограмму. Получающаяся интерференционная картина может наблюдаться визуально или регистрироваться соответствующей фотографической аппаратурой. Шаг и ориентация полос интерференции определяются положением

www.phys.nsu.ru 10

www.phys.nsu.ru голограммы. Существенным недостатком этого метода является то, что интерференционные полосы локализованы в окрестности голограммы. Во втором случае "б" показана схема реализации наиболее распространенного метода двухэкспозиционной интерферометрии, когда на одну и ту же фотопластинку последовательно регистрируются невозмущенная E2′ (без объекта) и возмущенная E2′′ (с объектом) волны. При освещении голограммы опорным пучком E1 восстановленные волновые фронты E2′ и E2′′ дают интерференционную картину в полосах бесконечной или конечной ширины. Шаг и ориентация полос интерференции задаются поворотом голограммы Г на малый угол в промежутке между экспозициями либо введением в предметный пучок оптического клина. Заметим, что в этих двух схемах, в отличие от обычной интерферометрии, интерферируют пучки, разделенные не в пространстве, а во времени.

www.phys.nsu.ru Рис. 4. Интерферограммы, полученные голографическим методом двух экспозиций: а − обтекание модели (режим полос бесконечной ширины); б − газовый факел; в − плазма θ-пинча (режим полос конечной ширины) В качестве иллюстрации на рис. 4 приведены интерферограммы, полученные голографическим методом двух экспозиций [3].

§2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

www.phys.nsu.ru 11

www.phys.nsu.ru Оптическая схема экспериментальной установки представлена на рис. 5. При получении голограмм характерное расстояние между интерференционными полосами приблизительно равно длине волны света. Поэтому за время экспозиции взаимное пространственное расположение предметов, фотопластинки, источника излучения и других элементов оптической установки должно сохраняться с точностью до долей длины волны (≤10-5 см).

1

3

2

5

4

4

6

5

www.phys.nsu.ru 7

6

8

Рис. 5. Принципиальная схема экспериментальной установки. 1 - гелий-неоновый лазер; 2 - полуволновая пластинка; 3 - светоделительный кубик; 4 - микролинзы; 5 - волоконные световоды (ВС); 6 - держатели выходных концов ВС; 7 - объекты на предметном столике; 8 - фотопластинка в кассете Для получения стабильной интерференционной картины все оптические элементы установки располагаются на специальной виброзащитной плите. При уменьшении времени экспозиции голограммы влияние механических нестабильностей и возмущений окружающей среды сказывается в меньшей степени. В качестве источника излучения используется одномодовый гелий-неоновый

www.phys.nsu.ru 12

www.phys.nsu.ru лазер с длиной волны λ = 0,63 мкм. Он генерирует излучение с o

шириной спектра порядка Δλ~10-2 A . При этом длина когерентности λ2 ~ 40 см, что вполне достаточно для получения составляет l k = Δλ голограмм сравнительно небольших объектов (сцен). Напомним, что для наблюдения интерференции необходимо, чтобы максимальная разность оптических путей интерферирующих волн не превышала длины когерентности. Пучок лазера, проходя полуволновую пластинку 2 и светоделительный кубик 3, делится на два пучка. При вращении пластинки 2 вокруг оптической оси (вращении плоскости поляризации излучения лазера) происходит изменение соотношения интенсивностей пучков в соответствии с формулами Френеля. С помощью микролинз 4 пучки фокусируются на входной поверхности световодов 5. Концы световодов жестко закреплены в держателях 6. Световоды имеют малый размер излучающей поверхности (3 - 4 мкм) и на выходе из них получаются два сильно расходящихся световых пучка. Один из них является опорным и направляется непосредственно на фотопластинку 8. Другой предметным и направляется на объекты 7, расположенные на предметном столике. Свет, рассеянный объектами, попадает на фотопластинку, где он интерферирует с когерентной опорной волной. Применение световодов для передачи излучения позволяет сравнительно просто менять оптическую схему. Они содержат одномодовые волокна из кварцевого стекла диаметром <10 мкм и требуют осторожно обращения.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 13

www.phys.nsu.ru §3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 3.1 ЗАПИСЬ ГОЛОГРАММ И ПОЛУЧЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРЕДМЕТОВ

Включите лазер и дайте ему прогреться в течение 15 - 20 мин. При необходимости подъюстируйте оптическую систему. Установите на предметный столик несколько любых объектов, по желанию или из имеющихся на стенде. Разместив экран (лист белой бумаги) в месте расположения кассеты, добейтесь приблизительно одинаковой освещенности его светом опорной волны и рассеянным от объектов. Для этого необходимо перемещать столик с объектами, изменяя расстояние и угол относительно фотопластинки, и поворачивать вокруг оптической оси полуволновую пластинку 2. Все элементы установки должны быть закреплены с помощью зажимных винтов. После этого уберите экран и зажмите в держателе кассету с фотопластинкой. В работе используются голографические фотопластинки ПФГ с ≥ 2000 лин/мм разрешающей способностью и толщиной фотоэмульсии 8 мкм. Голографическая чувствительность их составляет 0,6 дж/м2 по ГОСТу в области длины волны излучения лазера. Время экспозиции при записи зависит от отражательной способности голографируемых объектов и составляет 1 - 5мин. После экспонирования фотопластинка проявляется в течение 5 - 7 мин. в специальном проявителе (УП-2, Д-19), промывается в воде, закрепляется 7 - 10 мин и снова промывается в проточной воде. Обработанная фотопластинка (голограмма) внешне не отличается от равномерно засвеченной фотопластинки, так как интерференционная картина имеет структуру, которая не разрешается глазом. Видимые на голограмме кольца и полосы обусловлены дифракцией света на пылинках, попавших на оптические элементы, и нечего общего не имеют с той интерференционной микроструктурой, которая несет в себе информацию о световых волнах, рассеянных объектами.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 14

www.phys.nsu.ru Для получения изображения объектов голограмму помещают на прежнее место и освещают опорным пучком, предварительно убрав столик с объектами. Если посмотреть через голограмму в направлении, составляющем тот же угол с опорным пучком, что и угол между предметным и опорным пучками при записи голограммы, то мы увидим мнимое изображение объектов. На объекты можно смотреть из различных положений, наблюдая взаимное смещение объектов при изменении точки наблюдения (параллакс). Меняя положение глаза, мы можем заглянуть за мешающие предметы и увидеть ранее скрытые детали. Разглядывая ближние и дальние части предметов, мы должны будем по-разному аккомодировать глаз. Все это свидетельствуют об объемности полученного изображения. 3.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАЛЫХ СМЕЩЕНИЙ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ ДВУХЭКСПОЗИЦИОННОЙ ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ

www.phys.nsu.ru Принципиальная схема опыта показана на рис. 6.

y

A′

C

A

γ

α

B

x

x

0

β

Рис. 6. Поворот плоской поверхности вокруг оси z Плоская поверхность поворачивается на малый угол α вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка (ось z). Исходное положение поверхности совпадает с плоскостью xz. При повороте поверхности на малый угол α все ее точки опишут малые дуги в плоскости xy. Предположим, что поверхность освещается плоской

www.phys.nsu.ru 15

www.phys.nsu.ru волной (или близкой к плоской) и рассмотрим лучи, находящиеся в плоскости рисунка и составляющие угол β с поверхностью. Среднее направление наблюдения находится также в плоскости рисунка и составляет угол γ с поверхностью. Будем считать, что исходная и смещенная поверхности существуют одновременно и освещаются предметным пучком. Разность фаз лучей, рассеянных в направлении наблюдения парой идентичных, но смещенных точек А и А', описывается выражением Δϕ( x ) = −

2π 2π ( BА ′ + А ′C ) ≈ − ( xα )( sin β + sin γ ) . λ λ

Интерференционная картина представляет собой систему параллельных интерференционных полос, направление которых совпадает с направлением оси вращения (линии равной толщины). Расстояние y от рассеивающей поверхности объекта до поверхности локализации определяется соотношением [1]

www.phys.nsu.ru y=−

x cos γ sin 2 γ . sin β + sin γ

π⎞ ⎛ Если направление наблюдения нормально к поверхности ⎜ γ = ⎟ , то 2⎠ ⎝ y = 0 и полосы локализованы на рассеивающей поверхности. В общем случае поверхность локализации будет лежать либо перед поверхностью, либо позади нее (в зависимости от того, больше или π меньше угол γ). 2 Объект представляет собой упругую пластинку, которая жестко закреплена в нижней части. В верхней части пластинка упирается в торец микрометрического винта. Голограмма экспонируется дважды. Первый раз, когда поверхность находится в исходном состоянии на предметном столике, слегка касаясь микрометрического винта, и второй раз, когда она повернута на малый угол с помощью микрометрического винта. Поворот микрометрического винта должен быть менее одного деления на барабане, составляющего 10 мкм. При обеих экспозициях

www.phys.nsu.ru 16

www.phys.nsu.ru используется одна и та же опорная волна. Освещение дважды экспонированной и обработанной голограммы опорной волной позволяет восстановить одновременно две волны, которые рассеивались поверхностью в различные моменты времени, и наблюдать их интерференцию. Точки поверхности, непосредственно прилегающие к оси вращения и оставшиеся неподвижными, создадут на голограмме светлую интерференционную полосу нулевого порядка. В общем случае положение светлых полос определяется условием h( x ) ( sin β + sin γ ) = mλ , где m = 0, 1, 2; ... - порядок интерференционной полосы. Измеряя координаты x соответствующих интерференционных полос, можно определить профиль смещения поверхности h(x). Максимальное смещение, которое можно измерить данным методом, ограничивается наибольшей пространственной частотой полос

www.phys.nsu.ru ν=

α ( sin β + sin γ ) , λ

которая еще может быть разрешена оптической системой. Амплитудную голограмму, записанную на фотоматериале, можно превратить в фазовую, обладающую более высокой дифракционной эффективностью. Дифракционная эффективность определяется отношением светового потока в восстановленной волне к полному потоку, падающему на голограмму. Фазовые голограммы получаются путем химического отбеливания фотоэмульсии. При этом оказываются модулированными как толщина, так и показатель преломления эмульсии и сохраняется некоторое поглощение. Для отбеливания проявленную и отфиксированную фотопластинку промывают в воде и погружают в водный раствор красной кровяной соли K3Fe(CN)6 (5 %) или хлорного железа FeCl3[1 : 5(H2O)]. Время отбеливания - 3 мин. После отбеливания фотопластинку промывают в течение 5 мин. в проточной воде.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

www.phys.nsu.ru 17

www.phys.nsu.ru 1. В чем принципиальное отличие голографии от обычной фотографии? 2. Почему для записи голограмм необходимы фотоматериалы с повышенной разрешающей способностью? 3. Каковы особенности голографической интерферометрии (по сравнению с обычной двухлучевой интерферометрией)? 4. Сформируйте условия наблюдения интерференции волн. Как длина когерентности связана с монохроматичностью света?

Библиографический список 1. Кольер Р., Беркхарт, Лин Л. Оптическая голография. М.: Мир, 1973. 2. Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики. М.: Наука, 1971. 3. Островский Ю. И., Бутусов М. М., Островская Г.В. Голографическая интерферометрия. М.: Наука, 1977. 4. Островский Ю.И. Голография и ее применение. Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1973.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 18

www.phys.nsu.ru Климкин Виктор Федорович

ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ Описание лабораторной работы 1.5 по физической оптике

www.phys.nsu.ru Редактор С. Д. Андреева

Компьютерный набор Г. Р. Казакова © Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru ______________________________________________________ Подписано в печать Формат 60×84/16. Офсетная печать. Уч.-изд. л. 4,5. Заказ № Цена руб. Тираж экз. ______________________________________________________ Редакционно-издательский центр Новосибирского университета; 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

www.phys.nsu.ru 19