О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой

Алгебра и логика,, 39, N 5 (2000), 602-617

УДК 512.544

О НЕКОТОРЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С СИЛЬНО ВЛОЖЕННОЙ ПОДГРУППОЙ^ А.И.СОЗУТОВ

Собственная подгруппа Н группы G называется сильно

вложенной,

если Н содержит элемент порядка 2 (инволюцию) и для любого элемента д £ G\ Н подгруппа Н П Н9 не содержит инволюций. Понятие сильно вложенной подгруппы — один из наиболее важных инструментов теории конечных простых групп, оно появилось в серии работ Д. Томпсона, по­ священных классификации конечных простых N-групп (в частности, ми­ нимальных простых групп) [1, § 1.1, с. 26—27]. Конечные группы с сильно вложенной подгруппой хорошо изучены. В случае, когда силовская 2-подгруппа содержит единственную инволю­ цию, их строение определяется теоремой Брауэра—Сузуки [2], а когда ранг силовской 2-подгруппы ^ 2, тогда — теорией дважды транзитивных групп [1, §3.2]. Полная классификация конечных простых групп с сильно вло­ женной подгруппой (группы L2{q)i Sz(q) и С/з(д), г Д е Я '~ степень числа 2) была получена в результате исследований Г. Цассенхаузена [3], М. Сузуки [4—6] и X. Вендера [7]. Их результаты имеют фундаментальное значение для теории конечных простых групп (см., например, [1, §4.2]). В теории периодических групп аналогичная классификация играла бы не меньшую роль, потребность в ней отчетливо проявилась, например, в работах В.П.Шункова [8—11], выделившего периодические и смешан­ ные группы с сильно вложенной подгруппой в самостоятельный объект *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00542.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

603

О некоторых бесконечных группах

изучения. Первые исследования периодических групп с сильно вложен­ ной подгруппой были выполнены В.П.Шунковым и А.Н.Измайловым: в [12] получены аналоги теоремы Брауэра—Сузуки, а в [13] — некоторых результатов М. Сузуки (при условии существования в группе G строго ве­ щественного относительно некоторой инволюции i элемента а нечетного порядка, порождающего с каждым элементом а 5 , где д (Е С#(г), конечную подгруппу). Понятно, что в общем случае речь идет о возможности переноса лишь некоторых результатов о конечных группах с сильно вложенной подгруп­ пой на класс периодических и смешанных групп, поскольку в этом клас­ се не выполняются аналоги теорем Фробениуса, Томпсона (о нильпотент­ ности ядра группы Фробениуса), теоремы Брауэра—Сузуки (см. вопрос В. П.Шункова 4,74 из [14]), а в теории бесконечных дважды транзитив­ ных групп еще не решены многие проблемы (см., например, вопросы 11.52, 12.48, 14.59 В.Д.Мазурова, 9.71, 10.65 А.Н.Фомина и 10.64 Я.П.Сысака из [14]). Несмотря на это, строение сильно вложенных подгрупп в периоди­ ческих группах иногда все-таки можно определить, В некоторых случаях оно такое же, как и в локально конечных группах. Хорошо известно, что группы I/2(Q) и Sz(Q), где Q — локально ко­ нечное поле характеристики 2, являются ^-группами (группами Цассенхауза) [1, § 3.2, с. 159], т. е. дважды транзитивными группами подстановок, в которых лишь единица оставляет на месте три символа. Сильно вложен­ ная подгруппа в них совпадает со стабилизатором точки и нормализато­ ром силовской 2-подгруппы S, а кроме того, является группой Фробени­ уса с ядром S и локально циклическим дополнением. В L
элементарная

абелева, либо (б) 2-группа Сузуки, причем нормализатор NQ{S)

сильно

вложен в G и является группой Фробениуса с локально циклическим до­ полнением. Должна ли группа G быть локально конечной!

604

А. И. Созутов В настоящей работе изучаются бесконечные периодические и сме­

шанные группы с сильно вложенной подгруппой и конечной инволюцией. Основной результат работы — теорема 4.1, дающая ответ на аналог вопро­ са В.П.Шункова 10.76 (а) для смешанных групп с конечной инволюцией. В качестве следствия получен положительный ответ на вопрос 10.76 (а) (следствие 4.2).

§ 1. Примеры, известные результаты, вспомогательные л е м м ы

Напомним некоторые определения. Инволюция г группы G называ­ ется конечной, если все подгруппы вида (г, i9) (д G G) конечны. Последнее равносильно условию \ii9\ < оо (д £ G), которое, по-видимому впервые, появилось в [15]. Элемент а бесконечной группы G называется почти регу­ лярным, если | C G ( U ) | < оо. Группу G (конечная или бесконечная) назовем группой четного порядка, если она содержит инволюцию [12]. Подгруппа Я группы G называется сильно изолированной [16], если для любого нееди­ ничного элемента h € Я выполняется Cc{h) < Я , и бесконечно изолиро­ ванной, если из бесконечности С # (/г) и четности порядка централизатора следует включение Св{Ь) < Я [17]. FC-радикалом группы G называется подгруппа FC(G) - {g € G \ \G : CG(a)\ < оо} [15]. В [12] приведен ряд примеров групп с сильно вложенной подгруп­ пой, которые не являются локально конечными периодическими. Допол­ ним его. Из теоремы Куроша о подгруппах свободных произведений групп [18] легко следует ПРИМЕР 1.1. Пусть Н, М ~ произвольные неединичные группы и Я содержит инволюцию. Тогда Я — сильно вложенная подгруппа свободного произведения Я * М. ПРИМЕР 1.2. Пусть 0(т, п) — группа Ольшанского, т. е. относитель­ но свободная 7п-порожденная группа многообразия, заданного тождеством хпу = ухп, где п является достаточно большим нечетным числом, т ^ 2 [19]. Как показал А. Ю. Ольшанский, 0(т, п) — центральное нерасщепляемое расширение свободной абелевой группы Z счетного ранга с помощью

605

О некоторых бесконечных группах

свободной бернсайдовой группы J3(m, п). Очевидно, что О (га, п) допускает автоморфизм i порядка два, инвертирующий ее фиксированные свободные порождающие; и нетрудно убедиться, что Z разлагается в прямое произ­ ведение двух нетривиальных подгрупп Сд(г) и А\ = {a 6 2^ | а* = а"" 1 }. Выберем в Ai подгруппу Л с периодической фактор-группой Ai/A, и пусть G = (0(т, те)А(г))/А, Са(Аг) < Н < G. Тогда подгруппа Я сильно вло­ жена в G, а инволюция г = Ai в группе G конечна. При этом группа G порождена m + 1 инволюцией и является смешанной. Нам понадобятся такие известные результаты, как П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1,3 [12, предл. 12]. 2-группа} обладающая толь­ ко одной инволюцией,

является

либо локально циклической

{циклической или квазициклической),

группой

либо обобщенной группой кватер­

нионов (конечной или бесконечной). П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1*4 [15]. Пусть г — почти регулярная конечная инволюция группы G. Тогда 1) G — локально конечная группа, 2) [г, СУ] со­ держится в FС-радикале группы G, 3) коммутант FС-радикала

группы

G конечен. Последние две леммы параграфа хорошо известны и часто будут ис­ пользоваться в тексте без ссылок. Л Е М М А 1.5. Пусть Н — сильно вложенная подгруппа группы G. Тогда 1) если L — подгруппа группы G, L jt Н и2 £ 7г(ЬГ)Н), то подгруппа L П Н сильно вложена в L; 2) Н — NG{H) = No(aH)}

где а — любой элемент четного порядка

из Н. Л Е М М А 1.6. Пусть D = (i,j)}

где г и j — инволюции. Тогда

1) D = <«i>A<») = (ij)X(J), (iJY = (ij)' = ji = (ij)" 1 ; 2) множество D \ (ij) состоит из инволюций; 3) если D содержит конечную группу диэдра, то она конечна; 4) если z E {ij) является инволюцией, то z £ Z(D) ив D нет сильно влоэюенных подгрупп]

606

А. И. Созутов 5) если \ij\ конечен и нечетен, то любая собственная подгруппа чет­

ного порядка из D сильно вложена в D; 6) если \ij\ конечен и нечетен, то j = ic, где с Е (ij), с2 ~ ij и для инволюции к = гс выполняются равенства j = ik, ik — j .

§ 2. Леммы Шункова Утверждения лемм, рассатриваемых в данном параграфе, были до­ казаны В. П.Шунковым вначале для периодических групп [8, 9], затем — для групп с конечной инволюцией [10, 11]. Учитывая важность этих лемм для нашей работы, приведем их полные доказательства. Л Е М М А 2.1. Пусть G — группа с сильно вложенной

подгруппой

Н и конечной инволюцией г. Тогда 1) Все инволюции в G сопряжены, и любые две инволюции из Н сопряжены в Н. 2) Между множеством инволюций из Н и множеством ций любого правого смежного класса Hg, g Е G, можно

инволю­

установить

взаимно однозначное соответствие. При этом, если г — фиксированная инволюция из Н, то каждой инволюции k E H (в том числе и инво­ люции г) соответствует единственная инволюция jk £ Hg такая, что д"гкд = jkijk3) Любой элемент д £ G обладает представлением g = hj, где h 6 G Н и j — некоторая инволюция. 4) Для любой инволюции j E G\H

в подгруппе Н существует мно­

жество Mj строго вещественных относительно j элементов той же мощности, что и множество инволюций из Н. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Пусть j e H — произвольная инволюция и к Е iG \ H. Поскольку все подгруппы вида {к, к9) конечны, подгруппа D = (fc, j) будет такой же, а из сильной вложенности Н в G следует сопря­ женность j и к в D (леммы 1.5, 1.6). Поскольку j выбрана произвольно, то iG П Н — множество всех инволюций из Я , и из сильной вложенности II в G выводим iG П Я = j n .

607

О некоторых бесконечных группах Пусть теперь к Е G\H

— произвольная инволюция. Поскольку все

9

подгруппы вида (j,j ) конечны, подгруппа D = (fc,j) будет такой же, а из сильной вложенности Н в G следует сопряженность j и к в D (леммы 1.5, 1.6). Следовательно, к £ j

G

~ iG.

2) Пусть д Е G\ H; i,k,t

— не обязательно различные инволюции

1

из Я ; D = {д~ кд, г). В силу п. 1 и лемм 1.5, 1.6 в D найдется инволюция jk такая, что jkijk = 9~1кд. Тогда jk Е Нд. Аналогично определяется инволюция j t е Нд, Если к ф t, то д~1кд = jfcijfc ^ tf"1^ = j*U* и j k ф jtПусть теперь j — произвольная инволюция из Нд, д = hj, где h Е Я . Положим А; = hih~l. Тогда д~1кд — jij, j Е (i,g~~lkg) и jf = j&. Таким образом, соответствие /: <-» jfc биективно. 3) По п. 2 леммы в смежном классе Нд существует инволюция j и д = /у ? где /i E Я . 4) Пусть j — инволюция из Сг\Я. По и. 2 леммы в смежном классе Hj существует множество J инволюций той же мощности, что и множество инволюций из Я . Каждая инволюция к Е J имеет представление к = /ад, где hk Е Я . Очевидно, что Л* — строго вещественный относительно j элемент из Я и все элементы hk различны. Обратно, если h — строго вещественный относительно j элемент из Я , то к — hj — инволюция из Hj и h = hk. Лемма доказана. • Л Е М М А 2,2, Пусть G — группа с сильно вложенной Я и конечной инволюцией, i£Huj£G\H

— произвольные

подгруппой инволюции,

Hj — НПНз, Tj — подгруппа в Н, порожденная всеми строго веществен­ ными относительно j элементами из Я . Тогда 1) Tj < Hj, Hj ~- подгруппа без инволюций,

(j^Tj)

= TjX(j)

и

0-,^> = Я,-А<;); 2) в каждом смежном классе С# (г) *Ь, где Ь Е Н, существует един­ ственный строго вещественный элемент относительно инволюции j \ 3) Н = TrCH(i)

= Hd

-CH{i);

4) если b — неединичный инвертируемый инволюцией j E G \ Я элемент из Н, то Сц{Ь) не содержит инволюций. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Очевидно, что Tj < Н3, j E NG{Hj) и j E

А. И. Созутов

608

£ NG(TJ).

Поскольку Я сильно вложена в G и j £ ( ? \ Я , то Hj не содержит

инволюций. 2) Пусть Ь — любой элемент из Я . По п. 2 леммы 2.1 смежный класс Hj обладает единственной инволюцией jk такой, что (bj)~1i(bj) Значит, bjjk £ С#(г), с = jjk £ Ь

-1

— jkijk-

• С# (г) и элемент jkj £ С # (г) • 6 строго

веществен относительно j . Если d = £j — произвольный строго веществен­ ный относительно j элемент из С#(г)&, то 6j£ £ Ctf(0> {bj)~1i(bj)

= Ш,

£ = j ^ . по лемме 2.1 и d = с. 3) В силу п. 2 леммы Tj содержит представителей всех смежных клас­ сов Я по С#(г), значит, Я = TjCu{i) = HjCjj{i)* 4) Предположим противное, и пусть i £ Сн{Ь) — инволюция. Тогда группа L = Са(Ь)А(?) содержит сильно вложенную подгруппу А' — Н П L (лемма 1.5), и по лемме 2,1 инволюции г и j сопряжены в L. Получили противоречие. Лемма доказана. •

§ 3. Достаточные условия равенства г2(G) = 1 Основная теорема данного параграфа Т Е О Р Е М А 3.1. Пусть в группе G имеются сильно

вложенная

бесконечно изолированная подгруппа Я и конечная инволюция, выполняются

причем

условия:

1) централизатор Со{Щ некоторой инволюции к £ G \Н

не содер­

жит бесконечных подгрупп, в которых каждый неединичный

элемент

почти регулярен; 2) хотя бы одно из пересечений Я П Н9, где g £ G\H,

бесконечно;

3) существует элемент b £ Я , инвертируемый некоторой инволю­ ции j £ G\H,

централизатор Co(b) которого не содержится в Я .

Тогда силовские 2-подгруппы из G будут либо локально ческими,

цикли­

либо обобщенными группами кватернионов [конечными

или

бесконечными). Идея доказательства теоремы 3.1 та же, что и в [12], причем в слу­ чае, когда G является периодической группой, теорема непосредственно

О некоторых бесконечных группах

609

вытекает из результатов этой работы. В доказательстве лемм 3.2—3.4 используются обозначения

из

лемм 2.1 и 2.2. Л Е М М А 3.2. Пусть выполняются условия 1 и 2 теоремы 3.1 и j — произвольная инволюция из G\H. 1) Hj = Tj\Cj,

Тогда

гдеС5 = Сн{});

2) Tj — бесконечная абелева периодическая подгруппа, состоящая из всех инвертируемых инволюцией j элементов из Я ; 3) Cj ~~~ конечная группа нечетного порядка с циклическими

силов-

скими подгруппами, и любой неединичный элемент с £ Cj почти регуля­ рен в группе Я ; 4) для любого р £ K(CJ) силовские р-подгруппы в Hj конечны или черниковские; 5) множество инволюций в Я бесконечно; 6) если а £ Hj и подгруппа Сс (а) П Hj бесконечна, то а £ Tj. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию 2 теоремы и лемме 2.1 для неко­ торой инволюции k £ G\H

подгруппа Я& = Я П Нк бесконечна. В силу

бесконечной изолированности подгруппы Я в G (условия теоремы), сопря­ женности всех инволюций в G (лемма 2.1) и условия 1 теоремы подгруппа Сн(к) не может быть бесконечной. Следовательно, Ни содержит бесконеч­ но много строго вещественных относительно к элементов. По лемме 2.1, Я имеет бесконечно много инволюций, и подгруппы Я , , Tj бесконечны для произвольной инволюции j £ G \ Я . Из бесконечной изолированно­ сти Я и отсутствия в CG{J) бесконечных подгрупп, состоящих из почти регулярных элементов (условие 1 теоремы), следует почти регулярность инволюции j в группе В = HjX(j). По предложению 1.4, В является ло­ кально конечной группой, и FC-радикал F группы В имеет конечный индекс в В. Отсюда и из бесконечной изолированности Я в G вытека­ ет равенство Cp(j) = 1. Поэтому все элементы из F строго вещественны относительно инволюции j , подгруппа F абелева и содержится в Tj. От­ сюда подгруппа F совпадает с Tj и не содержит инволюций, при этом В ~ FXCB(J)

— TJXCB(J)

(п. 2 доказан). Так как Св{з) конечна и ее под-

610

А. И. Созутов

группа индекса 2, Cj = Cjjj (j), не содержит инволюций, то Св (j) = Cj x (j) и JBTJ = TjXCj (п. 1 доказан). Далее, если R — элементарная абелева подгруппа ранга 2 из C J? то из бесконечности абелевой подгруппы Tj вытекает бесконечность Ст{т) для некоторого элемента г 6 Л*, что противоречит бесконечной изоли­ рованности Я в (?. Следовательно, силовские подгруппы в Су цикличе­ ские (теор. 12.5.2 [20]), и каждый элемент из Cj почти регулярен в В (п. 3 доказан). В частности, из известной теоремы Блэкберна теперь следует, что силовские р-подгруппы в Т3 конечны или черниковские для любого р£тт{С3)Пк(Т3)

(п. 4).

Как доказано выше, множество J инволюций подгруппы Я беско­ нечно. Пусть а — произвольный элемент из Hj с бесконечным централи­ затором С#. (а). Так как индекс \Hj : Tj\ конечен (п. 1, 3), централизатор D — CTJ{O) бесконечен. По п. 1, а — гЪ, где г G Cj и 6 £ Tj. Поскольку Tj абелева (п. 2), то D < Сн{г) и г = 1 по п. 3 леммы. Следовательно, а 6 Tj и лемма доказана. • Л Е М М А 3.3. Можно считать, что элемент b 6 Tj из условия 3 теоремы инвертируется некоторой инволюцией из Н. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим вначале, что централизатор некоторой инволюции в группе G конечен, и пусть г — инволюция из Н. В силу леммы 2.1 инволюция г почти регулярна и конечна в Я . По предло­ жению 1.4, Н — локально конечная группа с FC-радикалом R конечного индекса. В силу леммы 3.2, V = Tjf) R — подгруппа конечного индекса в Tj и Д; D — Vf)V% — подгруппа конечного индекса в Я . Согласно леммам 2.2 и 3.2, г инвертирует D. Ясно, что ij E Cc{d) \ H для каждого элемента d G D&. Поэтому в качестве элемента b в условии 3 теоремы можно взять произвольный элемент из D * , в данном случае лемма доказана. Пусть теперь централизаторы инволюций в группе G бесконечны. По лемме 3.2, b £ Tj < Cc(b), поэтому подгруппа CG(&) бесконечна. Далее, по лемме 2.1 инволюция j содержится в некоторой сопряженной с Я под­ группе М группы G, которая согласно условиям теоремы сильно вложена и бесконечно изолирована, как и подгруппа Я .

О некоторых бесконечных группах

611

Если Tj < М, то в силу леммы 3.2 и очевидного включения Cj < < CG(J) < М выполняется Я J < М. По лемме 2.1 найдется инволюция k Е G \ Я такая, что М = Нк, и в силу вышедоказанного Hj < HkИз леммы 3.2 легко следует, что Tj < IV Поэтому условие 3 теоремы справедливо для элемента Ь) инволюции к и подгруппы М = Нк, при этом инволюция j Е М инвертирует элемент Ь. Таким образом, в этом случае лемма справедлива. Она верна также при условии jTj С М, поскольку Tj < (jTj). Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что множество jTj \ М непусто и содержит инволюцию к, которая инвертирует элемент b (лемма 3.2). Рассмотрим подгруппу L = Со{Ь)Х(у). Если Cx(jf) Ф (j), то суще­ ствует 1 ф с Е CG{J) П CG{b), и в силу условия 1 теоремы и бесконечной изолированности подгруппы М имеем 6 Е CG(C) < М. В этом случае усло­ вие 3 теоремы выполняется для выделенной ранее инволюции &, элемента Ь, подгруппы М и инволюции j E М, что и доказывает лемму в данном случае. Пусть Сь{з) = 0'). По п. 1 леммы 2.1 инволюция j конечна в 1 , и нетрудно убедиться, что Co(b) = R — периодическая абелева группа без инволюций, инвертируемая инволюцией j . В частности, jTj < jR и Tj < R. Как было отмечено ранее, Tj ф Д, значит, R < Co{t) ^ Я для любого элемента t Е Г * . Если для некоторого t Е Т- справедливо неравенство С<з(£) ф R, то в силу доказанного выше для инволюции к1 элемента У = t и подгруппы М выполняется условие 3 теоремы. При этом V = t~l, j E Е М, и лемма верна. Таким образом, остается рассмотреть случай, когда Co{t) ~ R для любого t E Tf.

Поскольку R ф Tj = Д П Я , то в Д \ Я

можно выбрать элемент г. Имеем Tj < Н П Я г , и по лемме 2.1, г = /i&, где h £ Н, к — инволюция из G \ Я , и, значит, Ту < Я& = Я П Я*\ С учетом леммы 3.2 получаем, что Tj < Т&, в частности, к инвертирует Tj. Поскольку г ~ hk, подгруппа Т3 инвертируется элементом h E Я . В силу условия Cc(t) = Д для любого t Е Т- , подгруппа Tj сильно изолирована в Н. Поэтому h — инволюция. Лемма доказана. • Л Е М М А 3.4. Силовские 2-подгруппы из G являются либо локально

612

А. И. Созутов

циклическими

(циклическими или квазициклическими),

либо обобщенны­

ми группами кватернионов (конечными или бесконечными), ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 3.3 в Я найдется инволюция г, ин­ вертирующая элемент Ь, Так как, по лемме 3.2, Г, < С#(Ь) и, в силу лемм 2.1, 2.2, г я = iTJ — множество всех инволюций из Я , то любая инволю­ ция из Я инвертирует элемент Ъ. Поэтому в Я нет четверных подгрупп, и по предложению 1.3 силовские 2-подгруппы в Я будут либо локально ци­ клическими (циклическими или квазициклическими), либо обобщенными группами кватернионов (конечными или бесконечными). Таковы они и в G, поскольку из леммы 2.1 следует, что любая силовская 2-подгруппа из G сопряжена с некоторой силовской 2-подгруппой из Я . Лемма и вместе с ней теорема 3.1 доказаны. •

§ 4 . Характеризация группы L2(Q) над локально конечным полем Q характеристики 2 В данном параграфе доказывается Т Е О Р Е М А 4 . 1 . Пусть группа G содержит конечную инволюцию и бесконечную элементарную абелеву 2-подгруппу 5, причем

нормализатор

Я = NQ(S) = 5AT сильно вложен в G и является группой Фробениуса с локально циклическим

дополнением Т. Тогда G изоморфна L2(Q)

над

подходящим локально конечным полем Q характеристики 2. Поскольку в периодической группе всякая инволюция конечна, из теоремы 4.1 вытекает положительное решение вопроса 10.76 (а) В. П. Шункова из [14]: С Л Е Д С Т В И Е 4.2. Пусть G — периодическая группа с бесконечной элементарной абелевой силовской 2-подгруппой S, причем NQ(S)

нормализатор

сильно вложен в G и является группой Фробениуса с локально

циклическим

дополнением. Тогда G — локально конечная группа.

Леммы 4.3—4.6 доказываются в условиях теоремы 4.1. Обозначим NG(S)

= Я И воспользуемся обозначениями лемм 2.1, 2.2.

613

О некоторых бесконечных группах Л Е М М А 4.3. Для любой инволюции j Е G\H

подгруппа Hj =

7

— Я Г) Я- состоит из всех инвертируемых инволюцией j элементов из Н, является дополнительным, множителем

Фробениуса в группе Я и

при сопряжении действует транзитивно на множестве

S*.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 2.1 подгруппа Hj не содержит ин­ волюций и, значит, входит в некоторый неинвариантный множитель Т группы Я , В силу леммы 2.1, Tj < Hj и Tj при сопряжении действует транзитивно на множестве s* инволюций из 5. Отсюда Tj — Т = Я^, и лемма доказана. • Л Е М М А 4.4. Подгруппа Я сильно изолирована eG, uG действует двасисды транзитивно на множестве всех сопряженных с Я подгрупп. В частности, для любой инволюции v Е G \ Я имеет место равенство G = H{v)H. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Исходя из леммы 4.3, теоремы 3.1 и строения Я получаем, что Т сильно изолирована в G. Покажем, что Я действует при сопряжении транзитивно на множестве всех инволюций из G \ Я . Пусть г, j Е G \ Я — произвольные инволюции. По лемме 4.3, Hi = ™ Я П Нг и Яу = Я П Я-7 -~ сопряженные с Т подгруппы из Я . Если Hi = Я^, то учитывая лемму 4.3 и сильную изолированность подгруппы Hi в G, заключаем, что ЯгЛ{г) = Hi\(j).

Из леммы 4.3 следует, что г и j

сопряжены с помощью элемента из Н{. Пусть Hi ф Hj. Легко убедиться, что для любого h £ Я имеет место Hj = Hh~\jh.

По лемме 4.3, Я, = Hh-\jh

показано выше, j

,/l

для подходящего /i E Я . Как

г

= г для некоторого г Е Hi и, значит, г = j * * r

.

Таким образом, Я действует транзитивно на множестве всех инволю­ ций из G\H'. Тем более, Я действует транзитивно на множестве силовских 2-подгрупп из G \ Я * . Следовательно, Я транзитивна на множестве всех других, сопряженных с ней подгрупп группы G. Как хорошо известно [20], в этом случае G является 2-транзитивной на множестве Я с ' , и G — H(v)H для любого элемента v E G\H.

Лемма доказана. D

Л Е М М А 4.5. 5AT изоморфна подгруппе Вореля группы ^ ( Q ) , где Q — локально конечное поле характеристики 2.

А. И. Созутов

614

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условиям теоремы и лемме 4.3, Я

=

= SXT —- группа Фробениуса, и Г — локально циклическая периодическая группа, транзитивно действующая на множестве 5 # . По лемме из [21], Н изоморфна афинной группе некоторого поля <2, чья мультипликативная группа изоморфна Т. При этом понятно, что аддитивная группа поля Q изоморфна подгруппе 5, а в силу периодичности Г поле Q локально ко­ нечно. Поскольку char (Q) = 2, Н изоморфна подгруппе Бореля группы L2 (Q). Лемма доказана. • Л Е М М А 4.6. G изоморфна группе L2{Q)

на

>д локально

конечным

полем Q из леммы 4.5. В частности, G — локально конечная группа, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть v е NG(T) и z G S - инволюции. Из лемм 4.3 и 4.4 следует, что для подходящих элементов 5 , Ж Е 5 И £ £ Т В группе G выполняется соотношение vzv = stvx. Будучи локально циклической, мультипликативная группа Т поля Q является счетной. Следовательно, поле Q будет обьединением возрастаю­ щей цепи конечных подполей Qn: Qi С Q2 С Q 3 С ...,

Q = (jQn.

(1)

Цепи (1) соответствуют цепь подгрупп # „ , изоморфных подгруппам Бо­ реля групп L2{Qn) над полями Qn: Нг < Н2 < # з < ..., Н = у я и цепь конечных подмножеств Gn =

п

, Нп = 5ПАГП,

(2)

Hn(v)Hn:

Gr C G 2 C G 3 C ...,

(3)

при этом G' = U ^ n в силу леммы 4.4. Поскольку Н = |J # „ , то начиная с некоторого номера га элементы z, 5, £, ж принадлежат подгруппам Нп (n ^ m), и без ограничения общности можно считать, что га = 1. Покажем, что G n — Hn{v)Hn

— конечная

подгруппа группы G для любого п. Понятно, что множество Gn конечно и G" 1 = G n . Достаточно доказать, что Gn • Gn = Gn. Учитывая леммы 4.3, 4.5 и 4.4, получаем Gn-Gn

= Gn\J HnvHnvHn

= Gn\J

HnvSuvSn.

(4)

615

О некоторых бесконечных группах Пусть у — произвольный элемент из Sn. Если у = 1, то HnvyvHn

= Яп С

С СУП. Пусть у ф 1. Поскольку Я п = Sn\Tn изоморфна подгруппе Бореля группы L2{Qn), то у = z d , где d € Т п . Используя соотношение vzv = stv» и равенство dv = с?*"1 (лемма 4.3), имеем vyv = vd~lzdv = dstvxd"1 и HnvyvHn

= dvzvd"1

=

= (ff n dst)v(xd" 1 ff„) = HnvHn С G n . Элемент у E

E £ выбран произвольно, поэтому G n • G„ = G n и G n - конечная подгруппа в G. Таким образом, группа G является объединением цепочки (4) конечных подгрупп G n и потому локально конечна. По лемме 1.5, Я„ = <2„ПЯ сильно вложена в G n . Поскольку Я силь­ но изолирована в G (лемма 4.4), Я п сильно изолирована в Gn. Ясно также, что Нп = S n AT n — группа Фробениуса с абелевым ядром 5„ (5 П = 5 П Я П ) . Поэтому к группе Gn и ее подгруппам Я п , 5 П применимы леммы 4.3, 4.4. В частности, Gn действует 2-транзитивно на множестве Qn всех сопряжен­ ных с Я„ подгрупп из G n , при этом Hn = G a совпадает со стабилизатором точки a = Я Е fin- В силу леммы 4.3, Т п максимальна в Я п , и ее нормаль­ ная подгруппа Sn транзитивна на £ln \ {a} [22]. Так как Sn абелева, она регулярна на П \ {а}. Отсюда Я п = Sn\Ga{3, где а ф /3 Е fin- Поскольку Я п — группа Фробениуса, то стабилизатор двух точек Gap совпадает с некоторой подгруппой, сопряженной с Т п ; не ограничивая общности рас­ суждений, можно считать, что Тп — Gap. Если у £ Q,n\ {<*, /5}, то 7 = Ру для подходящего 1 ^ у Е 5 П , поэтому (?а/з7 = ТПС\Т% = 1, и только едини­ ца группы G n фиксирует три точки из fin. По теореме Цассенхауза (см. [1, теор. 3.18]) Gn ~ LziQn), n -- 1,2,.... С помощью известных результатов теории локально конечных групп (см., например, [23, 24]) получаем, что

G~L2{Q). Однако у нас есть все для прямого обоснования этого изоморфизма. Из доказанного выше и (3.5) из [1, § 3.2], для инволюции v Е NQ(T) в 5 су­ ществует единственная инволюция щ Е (~}Sn, удовлетворяющая структур­ ному тождеству Сузуки: VUQV = UQVUO. Пусть z — произвольная инволюция из S. Тогда zl = и0, где t — однозначно определенный элемент из Т (лемма 4.3). Поскольку tv = t~~l по той же лемме, то vzv = vtuot~lv = ut0t~2vut0. Остается заметить, что эти равенства для элементов z E 5 # вместе с со-

616

А. И. Созутов

отношениями tv — t"1 д л я элементов t е Т, формулами умножения в Н (лемма 4.5) и разложением G = H{v)S

(леммы 4.3, 4.4) задают однозначно

определенные формулы умножения группы G. Значит, G ~ L2 (Q)- Л е м м а и вместе с ней теорема доказаны. • Автор благодарен профессору В. Д . Мазурову за участие в интенсив­ ных и плодотворных дискуссиях, в результате которых первоначальный текст работы был значительно улучшен и сокращен.

ЛИТЕРАТУРА 1. Д. Горенсшейн, Конечные простые группы, М., Мир, 1985. 2. R. Brauer, M, Suzuki, On finite groups of even order whose 2-Sylow group is a quaternion group, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 45, N 12 (1959), 1757-1759. 3. H. Zassenhaus,

Kennzeichnung

endlichen

linearen

Gruppen

als

Permutationsgruppen, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., 11 (1936), 17— 40. 4. M. Suzuki, A new type of simple groups of finite order, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 46 (1960), 868-870. 5. M.Suzuki, Finite groups with nilpotent centralizers// Trans. Am. Math. Soc, 99, N 3 (1961), 425-470. 6. M.Suzuki, On a class of doubly transitive groups. I, II, Ann. Math. (2), 75, N 1 (1962), 105-145; 79, N 3 (1964), 514-589. 7. H. Bender, Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jede Involution genau einen Punkt festlasst, J. Algebra, 17, N 4 (1971), 527—554. 8. В. П. Шунков, О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодиче­ ские группы, Алгебра и логика, 6, N 3 (1967),ИЗ—124. 9. В. П. Шунков, О проблеме минимальности для локально конечных групп, Алгебра и логика, 9, N 2 (1970), 220-248. 10. В. Л. Шунков, Мр-группы, М., Наука, 1990. 11. В. П. Шунков, О вложении примарных элементов в группе, Новосибирск, ВО Наука, 1992. 12. А.Н.Измайлов,

В.П.Шунков,

Два признака непростоты группы с беско­

нечно изолированной подгруппой, Алгебра и логика, 2 1 , N 6 (1982), 647— 669.

О некоторых бесконечных

617

группах

13. А. Н, Измайлов, Характеризация групп SL2(K) и Sz(K) над локально ко­ нечным полем характеристики 2, Алгебра и логика, 24, N 2 (1985), 127—172. 14» Коуровская тетрадь, 14-е изд., Новосибирск, Ин-т математики СО РАН, 1999. 15. В. В. Беляев, Группы с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика, 26, N 5 (1987), 531-535. 16. В,М.Бусаркин}

Ю. М. Горчаков, Конечные расщепляемые группы, М., На­

ука, 1968. 17. В. Д. Шунков, Об абстрактной характеризации простой проективной груп­ пы PGL(2,K)

над полем характеристики р ф О, 2, ДАН СССР, 164, N 4

(1965), 837-840. 18. А. Г. Куроги, Теория групп, М., Наука, 1967. 19. А.Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, М., Наука, 1989. 20. М. Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1962. 21. В. Д. Мазуров, О дважды транзитивных группах подстановок, Сиб. матем. ж., 3 1 , N 4 (1990), 102-104. 22. D. Gorenstein, Finite groups, New York, Harper and Row, 1968. 23. O. TV. Kegel, B. A. Wehrfritz, Locally finite groups, Amsterdam, North-Holland Publ. со., 1973. 24. A. В» Боровик, Вложения конечных групп Шевалле и периодические линей­ ные группы, Сиб. матем. ж., 24, N 6 (1983), 26—35.

Адрес автора: С О З У Т О В Анатолий Ильич, РОССИЯ, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82, КрасГАСА, кафедра высшей математики. Тел.: (3912) 49-83-69. e-mail: [email protected]

Поступило 18 сентября 1998 г. Окончательный вариант 22 ф е в р а л я 2000 г.