E麺 巴瞠面圃磯棚劉團
熱力学 考え方 解 き方 小林恒和 著
東京電機大学出版局
本書 の全 部 また は一 部 を無 断 で 複 写 複製(コ
ピー)す る こ とは,著 作 権
法上 での 例外 を除 き,禁 じ られ て い ます 。 小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の管 理 につ き委 託 を受 けて い ます ので,本 書 か らの複 写 を希 望 され る場 合 は,必 ず 小 局(03-5280-3422)宛 ご連絡 くだ さい。
ま え が き 熱 力 学 は 機 械 関 係 学 科 で は 重 要 な 基 礎 科 目の 一 つ で あ る が,理 解 しに くい 科 目あ るい は とっ つ き に くい 科 目 と して 敬 遠 され る傾 向 が あ る よ うに 感 じ る。 本 書 は 工 業 熱 力学 の 入 門 書 と な る よ うに そ の 基礎 的 な事 項 を わ か りや す く記 述 し た もの で あ る。 本 書 を ま とめ る に 当 た っ て は 、 次 の よ うな 点 に 留 意 した。 ① 工 業 熱 力 学 の 範 囲 に し た の で 、 微 視 的(ミ
ク ロ)な み か た をす る統 計 熱 力
学 に は触 れ な い。 ② 式 の もつ 意 味 が 理 解 で き る よ うにす る。 ③ 熱 力 学 で は 微 分 ・積 分 な どの 式 を 多 く使 用 す るが 、 平 易 に す る た め に それ を必 要 な最 小 限 に とどめ る。 ④ 熱 力学 の 理 解 を深 め る に は 演 習 問題 を解 く こ とが 大 切 で あ るか ら、例 題 を 解 き、 章 ご とに 演 習 問題 を載 せ る。 例 題 は そ れ を解 くた め の 「 考 え方 」 「解 き方 」 を示 す 。 ⑤SI単
位 を用 い、 重 力 単 位 は 必 要 な最 小 限 に触 れ る に と どめ る。
しか し、 熱 力 学 をわ か りや す く解 説 す る こ とは 容 易 で は な く、 筆 者 の 力 不 足 も あ っ て そ の 目的 を達 しえ な い か も知 れ な い。 ま た、 思 わ ぬ 誤 謬 が あ っ た り、 繁 簡 当 を得 な い虞 も あ る の で 、 大 方 の ご叱 正 を得 られ れ ば 幸 甚 です 。 本 書 を編 集 す るに 当 た っ て は 、 数 多 く出版 され て い る 先 輩 諸 賢 の熱 力 学 の専 門 書 や 参 考 書 を参 考 に させ て 戴 い た。 これ らは 読 者 諸 氏 が よ り深 く熱 力 学 を学 習 しよ う と志 す と きに 、 大 い に 参 考 に な る と考 え るの で 、 そ の 主 な もの を後 に 掲 げ て 深 く感 謝 の 意 を表 し ます 。 本 書 を刊 行 す るに 当 た っ て 絶 大 な る ご支 援 を戴 い た 東 京 電 機 大 学 出 版 局 の 岩 下 行 徳 氏 、 石 沢 岳 彦 氏 を 始 め とす る関係 各 位 に 厚 くお礼 申 し上 げ ます 。
も く じ
１.基 礎 的 な 知 識
２.熱
力学 第 一法 則
1・1
温 度 と熱 平 衡
１
1・2
熱 量 と比 熱
４
1・3
仕 事 と動 力
７
1・4
エ ネ ル ギー
10
1・5
圧 力
13
演習 問題 Ｉ
14
略 解
15
2・1
状 態 量 と状 態 式
17
2・2
熱力 学第一 法 則
18
2・3
静 止 し た物 体 に 対 す る 一 般 エ ネ ル ギー 式
2・4
３.理
想気 体
21
定 常 流 れ を行 う流 体 に 対 す る 一般 エ ネル ギー式
23
2・5
可 逆 変 化 と可 逆 サ イクル
29
2・6
pV線
32
図 と仕 事
演 習問題 Ⅱ
35
略 解
36
3・1
理想 気体 の状 態式
39
3・2
理 想 気 体 の 内 部 エ ネ ル ギー, 熱
44
3・3
理想 気体 の状 態変化
49
3・4
混合 気体 の性 質
64
演 習問題 Ⅲ
69
略 解
70
エ ン タ ル ピ ー,比
４.熱
５.蒸
６.気
７.ガ
力 学第二 法則
気
体 の流 れ
スサ イ クル
4・1
熱力学 第 二法 則
77
4・2
カ ル ノー サ イ クル
81
4・3
熱力学 温度
85
4・4
エ ン トロ ピー
87
4・5
理 想 気 体 の エ ン トロピー
92
4・6
有効 エネル ギーと最 大仕 事
97
演 習問題 Ⅳ
101
略 解
102
5・1
蒸 気 の一般 的 性質
107
5・2
蒸 気 の状 態量
111
5・3
蒸 気 表 お よび蒸気 線図
116
5・4
蒸気 の状 態変 化
121
演 習問題 Ⅴ
126
略 解
127
6・1
気体 の 流れ に関す る 一般 エ ネル ギー式
130
6・2
ノズル 内の 流れ
135
6・3
円 管 内の流 れ
145
演 習問題 Ⅵ
151
略 解
152
7・1
ス ター リン グサ イ ク ル と
エ リクソンサ イ クル 7・2
155
容 積形 内燃機 関 の理論 サ イ クル 158
7・3
速 度 形 内 燃 機 関 の サ イ クル 172
7・4
８.蒸
空 気 圧 縮 機 の サ イ クル
181
演習 問題Ⅶ
191
略
192
解
気による
8・1
ラ ン キ ン サ イ クル
197
理論サイクル
8・2
再 熱 サ イ クル
200
8・3
再 生 サ イ クル
203
8・4
再 熱 再 生 サ イ クル
206
8・5
冷凍機
・ヒー トポ ン プ の
理論 サ イ クル
208
演習 問題Ⅷ
213
略 解
214
１
基礎 的 な知 識 熱 力 学(thermodynamics)は
各 種 の エ ネ ル ギー とエ ネ ル ギー 間 の 変 換 お よ び
エ ネ ル ギ ー と物 質 の 性 質 と の 間 の 関 係 な ど を 取 扱 う学 問 で あ る 。 特 に 各 種 の 熱 機 関,冷
凍 機,圧
力 学(engineering
縮 機 そ の 他 の熱 と仕 事 との 関係 な ど を主 に 取 扱 うの が 工 業 熱 thermodynamics)で
あ る。
本 書 は工 業 熱 力学 の 基 本 につ い て 述 べ るが,ま ず,そ
れ を理 解 す る に 必 要 な
温 度,熱 量,比 熱,エ ネ ル ギー な どの 基 礎 的 な知 識 を再 確 認 して お こ う。
1・1温
度 と熱 平 衡
わ れ わ れ は 物 体 か ら 温 か い と か 冷 た い と か と い う感 覚 を 受 け る 。 こ の 温 冷 の 度 合 を 表 す 尺 度 が 温 度(temperature)で 境 や 条 件 に よ っ て 変 わ る し,数
あ る。 わ れ わ れ の 感 覚 は そ の と き の 環
量 的 で も な い 。例 え ば,ほ
ぼ 同 じ 温 度 の 水 で も,
夏 は 冷 た く冬 は 温 か く感 じ る 。 そ こ で 温度 の 測 定 に は 温 度 計(thermometer)を 用 い る。
温 度 計 は,物 体 の 長 さ,体 積,電 気 抵 抗,熱 起 電 力,熱 放 射 な ど の 温 度 に よ っ て 変 化 す る性 質 を利 用 し て温 度 を測 定 す るが,い
ろ い ろ な 温 度 や 測 定 環 境 に対
応 で き る よ うに,各 種 の もの が つ く られ て い る。 温 度 が 異 な る二つ の 物 体 を接 触 させ,周
囲 か ら の影 響 を遮 断 して お く と,温
度 が 高 い 物 体 は低 くな り,低 い物 体 は高 くな っ て,十 分 な時 間 が経 過 す る と ２ 物 体 が 同 じ温 度 に な る こ とを,わ れ わ れ は 経 験 か ら知 って い る。 こ の 同 一 温 度 に な っ た状 態 を,２ 物 体 は 熱 平 衡(thermal equilibrium)の 状 態 に な っ た とい う。「 物 体 Ａ と物 体 Ｂ が 熱 平 衡 の 状 態 に あ り,ま た 物 体 Ａ と物 体 Ｃ が 熱 平 衡 の
状 態 に あ る と き,物 体 Ｂ と物 体 Ｃ も 熱 平 衡 の 状 態 に あ る。」と い え る 。 こ れ は 熱 力 学 第 零 法 則(the zeroth low of thermodynamics)と
も 呼 ば れ,熱
び 温 度 測 定 の 基 礎 と な る 重 要 な 法 則 で あ る 。 し た が っ て,Ｂ
力 学 お よ
と Ｃ を直 接 接 触 さ
せ な く て も Ａ を仲 介 し て 熱 平 衡 の 状 態 を調 べ る こ と が で き,Ａ に 適 当 な 目盛 り を つ け て 温 度 計 と す れ ば,Ｂ
や Ｃ な ど他 の物 体 の 温 度 を測 る こ とが で き る。
温 度 の 目 盛 に は い ろ い ろ な 規 約 が 作 ら れ て い る 。 国 際 単 位 系(略 称SI)で そ の 基 本 単 位 の 一 つ に 熱 力 学 温 度*1を 〔Ｋ 〕 と 定 め,1〔K〕
位 の 名 称 は ケ ル ビ ン,記
は 水 の 三 重 点 の 熱 力 学 温 度 の1/273.16と
力学温度 ケル ビ ン 〔 Ｋ 〕の 代 わ りに,セ 号:℃)を
採 用 し,単
用 い て も よ く,T〔K〕
ル シ ウ ス 温 度(名
は, 号 は
定 義 し て い る 。熱
称:セ
ル シ ウ ス 度,記
とt〔 ℃ 〕 と の 関 係 は 次 の よ う に 規 定 さ れ て1
〔K〕=1〔 ℃ 〕 で あ る 。 t=T-273.15
(1・1)
温 度 差 は 〔 Ｋ〕ま た は 〔℃ 〕で 表 され る。 セ ル シ ウ ス 温 度 は従 来 用 い ら れ て き た摂 氏 温 度 と同 じ と考 え て よ い。 熱 力 学 に よ る と,温 度 に は 最 低 の 限 界 が あ る こ と が 証 明 さ れ る*2。 こ の 最 低 限 界 の 温 度 は 絶 対 零 度(absolute 絶 対 温 度(absolute
zero point)と
temperature)と
上 絶 対 零 度 を0〔K〕,水
呼 ば れ,こ
れ を零 点 とす る温 度 を
い う。SIの 熱 力 学 温 度
の 三 重 点 を273.16〔K〕
〔ケ ル ビ ン 〕 は,実 際
と 定 め た セ ル シ ウ ス(摂
氏)温
度 系 の 絶 対 温 度 と い え る。 ア メ リ カ や イ ギ リ ス な ど で は 華 氏 温 度 〔° Ｆ〕が 使 用 さ れ て い る 。 セ ル シ ウ ス (摂 氏)温
度 ｔ と 華 氏 温 度tfと
t=5/9(tf-32)
華 氏 温 度 系 の 絶 対 温 度TF(単 tfお よびT〔K〕
４章4・3を
参 照。
の 関 係 が あ る。
tf=9/5t+32
位 の 名 称:ラ
との 間 に 次 の 関 係 が あ る。
TF=tf+459.67
*1,*2第
の 間 に は,次
(1・2)
ン キ ン,記 号:Ｒ)は,華
氏温度
TF=9/5T
な お,華
氏 温 度 はSIで
は 認 め られ て い な い。
〔 参 考 〕 セ ル シ ウ ス(摂
氏)温
度 ｔ と華 氏 温 度tfと
摂 氏 温 度 目盛 は セ ル シ ウ ス(Celsius)氏,華 ト(Fahrenheit)氏
こ こ で は,摂
氏 温 度 目盛 は フ ァー レ ンハ イ
が 創 案 し た も の で あ る が,科
に は そ の 規 約 は 改 正 さ れ,今
の関 係 に つ い て
学 技術 の 進 歩 に伴 っ て厳 密
日に 至 っ て い る。
氏 温 度 目 盛 と 華 氏 温 度 目盛 が 次 の よ う に 規 定 さ れ た も の と
し て, そ の 関 係 を 求 め て み る 。 摂 氏 温 度 目 盛:標
準 大 気 圧(760㎜Hg=101325
が 融 解 す る 温 度 す な わ ち 氷 点 と,水
Pa)に
お け る純 水 の 氷
が 沸 騰 す る温 度 す な わ ち蒸 気 点 を温 度
の 定 点 に と り,氷 点 を ０°,蒸気 点 を100° と し,そ の 間 を100等
分 し て1〔 ℃ 〕
と定 め る。 華 氏 温 度 目盛:摂
氏 温 度 目 盛 と 同 じ 温 度 の 定 点 を と り,氷 点 を32°,蒸 気
点 を212° と し,そ
の 間 を180等
し た が っ て,摂
氏 温 度 ｔと 華 氏 温 度tfと
212°Fで あ る か ら,こ
れ をt=Atf+Bの
の 関 係 は,０ ℃ が32°F,100℃
が
式 に代 入 して解 け ば 求 め られ る。
0=32A+B
(１)
100=212A+B
(２)
と な り,式(１)と
式(２)を
0-32A=100-212A 212A-32A=100
A=5/9∴B=-160/9
ゆえに
分 し て1〔 ° Ｆ〕 と 定 め る。
連 立 方程 式 と して解 け ば
と な り,式(1・2)の
例 題1・1あ
関 係 が 得 られ る。
る 人 の 体 温 が36.5℃
で あ っ た 。 こ の 体 温 は 何 〔K〕か 。 ま た 何
〔°F〕 か 。
〔 考 え方 〕 温 度 目盛 の 規 定 に よ っ て 式(1・1)と 〔解 〕 t=36.5℃
で あ る か ら 式(1・1)を
式(1・2)を
用 い て 解 く。
変形 して
T=t+273.15 =36
.5+273.15=309.65〔
式(1・2)か
°C〕
ら
1・2 熱 量 と比 熱
温 度 の 異 な る ２物 体 を 接 触 さ せ て お く と,高 体 は 温 ま る 。 こ れ は 熱(heat)が は エ ネ ル ギ ー(energy)の
温 度 の 物 体 は 冷 え て 低 温度 の 物
高 温 物 体 か ら 低 温 物 体 に 移 っ た た め で あ り,熱
一 形 態 で あ る。
あ る物 体 に 熱 を 加 え た 場 合,加
え た 熱 量 に 比 例 し て 温 度 の 変 化 が 表 れ る と き,
こ の 熱 を 顕 熱(sensible heat)と
い う。 熱 を 加 え て も 融 解 や 蒸 発 な ど に 使 わ れ て
温 度 の 変 化 が 表 れ な い と き は,こ 熱 量(quantity を 規 定 し,エ
れ を 潜 熱(latent hert)と
of hert)の 単 位 は, SIで
い う*1。
は 単 位 の 名 称 は ジ ュ ー ル,記 号 は 〔J〕
ネ ル ギー や 仕 事 と同 じで あ る。
1〔J〕=1〔N・m〕=1〔W・s〕 熱 量 が 大 き い 場 合 に は 〔J〕の103倍 こ れ ま で,工 1〔kcal〕
の 〔MJ〕 な ど を用 い る 。
業 上 で は 熱 量 の 単 位 は キ ロ カ ロ リ 〔kcal〕 が 用 い ら れ て い た 。
は,標
*１ こ の 節 で は,潜
の 〔kJ〕や106倍
準 気 圧(101325Pa)の
熱 は 取 り扱 わ ない。
下 で 重 量1〔kgf〕
の純 水 の 温 度 を １
〔℃ 〕だ け 上 昇 さ せ る の に 必 要 な 熱 量 で あ る 。 こ れ に は 〔 計 量 法kcal〕,〔15° kcal〕,〔 国 際 蒸 気 表(IT)kcal〕
な ど が あ る が,そ
の 差 は わ ず か で あ り,一
般 工
業 上 で は特 に 区別 す る必 要 は な い 。 1〔計 量 法kcal〕=4186.05〔J〕=4.18605〔kJ〕 1〔15°Kcal〕=4185.5〔J〕=4.1855〔kJ〕 1〔ITKcal〕=4186.8〔J〕=4.1868〔kJ〕
ア メ リ カ や イ ギ リ ス な ど で は,〔Btu〕(1〔1b〕 る に 必 要 な 熱 量)や 量)が
の 水 の 温 度 を1〔 °F〕上 昇 さ せ
〔Chu〕(1〔lb〕 の 水 の 温 度 を1〔 ℃ 〕上 昇 さ せ る に 必 要 な 熱
熱 量 の単 位 と して用 い られ て い る。
物 体 を 加 熱 し た と き の 温 度 上 昇 は そ の 物 体 の 質 量 ば か り で な く,そ よ っ て も 相 違 が あ る 。 こ れ は 物 体 に よ っ て 比 熱(specific hert)が あ る 。単 位 質 量(1kg)の
物 体 の 温 度 を 単 位 温 度(1 K)だ
熱 をC〔J/kg・K〕
か らT2〔K〕 と す れ ば,次
(1・3)は T2〔K〕
量m〔kg〕
の物
ま で 上 昇 さ せ る の に 必 要 な 熱 量Q〔J〕
は,比
の 式 で求 め られ る。 (1・3)
Q=mC(T2-T1)〔J〕 し か し,物
異な るか らで
け上 昇 させ るに 必 要 な
熱 量 〔J〕を,そ の 物 体 の 比 熱 〔J/kg・K〕 と い う 。 し た が っ て,質 体 の 温 度 をT1〔K〕
の種 類 に
体 の 比 熱 の 値 は 一 定 で は な く,一
般 に温 度の 関数 で あ るか ら式
狭 い 温 度 範 囲 しか 成 り立 た な い こ と に な る 。 そ こ で 温 度T1〔K〕
ま で の 平 均 比 熱(mean
ば,式(1・3)と
specific heat)をCm〔J/kg・K〕
か ら
と して用 い れ
同 じよ うな 次 の 式 で 計 算 で き る。 Q=mCm(T2-T1)〔J〕
(1・4)
ま た,物 体 の 比 熱 の 値 は,加 熱 す る際 の 条 件 に よ って も異 な る。 加 熱 す る条 件 は い ろ い ろ考 え られ るの で,比 熱 に も各 種 の 比 熱 が あ る こ とに な るが,実
用
上 重 要 な の は 圧 カ 一 定 の 場 合 の定 圧 比 熱 と,容 積 一 定 の場 合 の 定 容 比 熱 で あ る 。 定 圧 比 熱 は 熱 膨 張 に よ る仕 事 の分 だ け 定 容 比 熱 よ り大 き い が,固 体 の 場 合 に は 熱 膨 張 が わず か で あ るの で,ふ つ う両 者 の 差 を 無視 し て も さ しつ か え な い 。 な お,こ れ まで 工 業 上 で は,単 位 重 量(1kgf)の
物 体 の 温 度 を単 位 温 度(１ ℃)
だ け 上 昇 さ せ る に 必 要 な 熱 量 〔kcal〕が 比 熱 〔kcal/kg・℃ 〕 と し て 用 い られ て
きた。
例 題1・2質
量3kgの
を 求 め よ 。 ま た,ア
銅 の 温度 を,25℃ か ら150℃ ま で上 げ るの に 必 要 な熱 量
ル ミニ ウ ム に つ い て 同 じ く求 め よ 。 た だ し,銅
ウ ム の 平 均 比 熱 は そ れ ぞ れ398J/kg・K,942
J/kg・Kと
とア ル ミニ
す る。
〔 考 え 方 〕 銅 と ア ル ミニ ウ ム の 平 均 比 熱 が 与 え ら れ て い る か ら,式(1・4)に
それ を
代 入 し て 計 算 す る。 〔 解 〕 ま ず 温 度 の 単 位 〔℃ 〕を 〔 Ｋ〕に す る と式(1・1)か
ら
T1=25+273.15=298.15〔K〕 T2=150+273.15=423.15〔K〕 と な る か ら,銅
はm=3kg,
Cm=398
ア ル ミ ニ ウ ム の 場 合 はm=3kg,
J/kg・Kで
Cm=942
あ るか ら
J/kg・Kで
Q=mCm(T2-T1)=3×942×(423.15-298.15) =353250〔J〕=353
.25〔kJ〕
〔 注 〕 こ こ で は 〔℃ 〕 を 〔 Ｋ〕に し た が,1℃=1Kで
あ る か ら 〔℃ 〕の ま ま で 計 算 し
て も同 じで あ り,そ の 方 が 容 易 で あ る。
例 題1・3温
度295K,質
塊 を 焼 入 れ て,そ
量10 kgの
水 の 中 に,温
度1120 K,質
量0.5kgの
鋼
の ま ま 熱 平 衡 の 状 態 に 達 し た と き の 温 度 は い く ら か 。 た だ し,
水 と鋼 の 比 熱 は そ れ ぞ れ4180J/kg・K,465
J/kg・K一
定 と し,水 の 蒸 発 や 水 の
容 器 と の熱 交 換 そ の他 の 熱 損 失 は す べ て無 視 す る もの とす る。 〔 考 え方 〕 水 の 蒸 発 や 水 の 容 器 との 熱 交 換 そ の 他 の 熱 損 失 を 無 視 す るの で,高 温 の 鋼 塊 が 放 出 した 熱 量 と低 温 の 水 が 受 取 っ た 熱 量 が 等 し い と考 え る 。 した が っ て,水 鋼 の 量 を そ れ ぞ れ 添 字 １お よ び ２を つ け て 表 し,熱 平 衡 後 の 温 度 をTmと m1C1(Tm-T1)=m2
とな り,こ れ に 数 値 を代 入 し てTmを 〔解 〕 式(１)を T2=1120
変 形 し,与
K, C1=4180 m1C1(Tm-T1)=m2
す れば
C2(T2-Tm)
(１)
計 算 す る。
え ら れ た 数 値m1=10kg,m2=0.5kg,
J/kg・K,
C2=465 C2(T2-Tm)
J/kg・Kを
いれ て計算 す る と
T1=295
K,
と
1・3 仕 事 と動 力
力(force)が
物 体 に 作 用 し て 物 体 を 動 か し た と き,力
い う 。仕 事 Ｗ の 大 き さ は,力F〔N〕 S〔m〕
は 仕 事(work)を
した と
と 物 体 の 力 の 方 向 の 変 位(displacement)
との 積 で 表 され る。
仕 事 の 単 位 は,SIで
は熱 量 と同 じジ ュ ー ル 〔 Ｊ〕 で あ り,1〔J〕=1〔N・m〕
であ
る 。 こ れ ま で の 重 力 単 位 系 で は 〔kgf・m〕 が 用 い ら れ て き た 。 1〔kgf・m〕=9.80665〔J〕
≒9.81〔J〕
図1・1(a)の よ うに 力 Ｆ と変位 ｓの 方 向 が 一 致 す る場 合 の仕 事 Ｗ は W=Fs〔J〕 図1・1(b)の
(1・5)
よ う に 力 Ｆ と 変 位 ｓ の 方 向 が 角 θ を な す 場 合 に は, W=Fs
cos θ 〔J〕
(1・6)
(ａ)
(ｂ) 図1・1
図1・2の よ う な 回転 運 動 に な る場 合 は W=Fs=Fγ こ こ に,T=Fγ
θ=Tθ
〔J〕 を ト ル ク(torque)と
(1・7) い う。
仕 事 の 時 間 に 対 す る割 合 す な わ ち単 位 時 間 に な す 仕 事 量 を動 力(power)と い,工 率 また は仕 事 率 と もい う。
い
動 力 の単 位 は,SIで
は 単位 の 名 称 ワ ッ ト,記
号 〔 Ｗ 〕 と定 め て い る。 1〔W〕=1〔N・m/s〕=1〔J/s〕 動 力 が 大 き い 場 合 に は,〔 Ｗ 〕の103倍 や106倍
の 〔MW〕
の 〔kW〕
な ど が 用 い ら れ る。
重 力 単 位 系 で は 動 力 の 単 位 は 〔kgf・m/s〕 で あ る が,〔kW〕,〔PS〕
な どが 一 般 に 用 い ら れ て
い る。 図1・2
1〔kW〕=103〔W〕=103(J/s) ≒102〔kgf・m/s〕
≒1.36〔PS〕
1〔PS〕=75〔kgf・m/s〕=0.7355〔kW〕*1 な お,仕
事 の 単 位 と し て 〔kW・h〕,〔PS・h〕
を用 い る こ と もあ る。
図1・1(a)の よ う に 力 と変 位 の 方 向 が 一 致 す る場 合,仕 〔s〕とす れ ば,動
力P〔W〕
事 に 要 した 時 間 をt
は 次 の 式 で表 され る。
P=W/t=Fs/t=Fc〔W〕 こ こ に,C=s/t〔m/s〕
図1・2の
(1・8)
は 速 度(velocity)で
回 転 運 動 の 場 合 に は,角
式(1・8)と
あ る。
θ 〔rad〕 を 回 転 す る 時 間 をt〔s〕 と す れ ば,
同 じよ うに
P=W/t=Tθ/t=Tω
こ こ に,ω=θ/t〔rad/s〕
〔W〕
は 角 速 度(angular
*１ こ こ に 掲 げ た 馬 力 は メ ー トル 系 馬 力(仏 も あ る が,本
(1・9)
馬 力)で
velocity)で
あ り,他
あ る。
に フ ィ ー ト・ポ ン ド系 馬 力 な ど
書 で は 必 要 な 場 合 に は メ ー トル 系 馬 力 を 用 い る。
例 題1・4質 ま た,こ
量500kgの
物 体 を垂 直 に8m持
の と き 等 速 で 持 ち 上 げ,40秒
ち上 げ る と きの 仕 事 を求 め よ。
間 か か っ た と す る と動 力 は い く ら か 。
〔 考 え 方 〕 物 体 を垂 直 に 上 げ る の で 力 と変 位 の 方 向 は 一 致 す る か ら,仕 事 は 力 を F=mgか
ら 求 め,式(1・5)を
利 用 す る。 動 力 は 式(1・8)に
〔 解 〕 重 力 加 速 度 はg=9.80665m/s2≒9.81
m/s2と
数値 をいれ て計算 す る。
し,式(1・5)か
ら仕 事 はm=
500kg, s=8mで W=Fs=mgs=500
× 9.81×8
=39240〔J〕=39 動 力 は 式(1・8)か
.24〔kJ〕
らt=40sで
P=W/t=39240/40=981〔W〕=0.981〔kW〕
ま たは P=W/t=39.24/40=0.981〔kW〕
例 題1・5 あ る 自動 車 用 ガ ソ リン機 関 の 最 大 トル クは,機 の と き160N・mで 〔考 え 方 〕 ま ず,角 〔解 〕
速 度 ω 〔rad/s〕 を 求 め て か ら,式(1・9)を
毎 分 １ 回 転(1rpm)は2π/60〔rad/s〕
用 い る。
であ るか ら
n〔rpm〕=2πn/60〔rad/s〕
こ れ を 式(1・9)に
関 が 毎 分2800回
あ る と い う。 こ の と き の 軸 出 力 は い く ら か 。
代 入 し て,n=2800
〔注〕 重 力単 位 で解 くと
rpm,
T = 160 N・mか
ら
転
エネル ギ ー
1・4
物 体 が 仕 事 を で き る 状 態 に あ る と き,物 体 は エ ネ ル ギ ー(energy)を る と い う。 し た が っ て,エ に は 位 置 エ ネ ル ギ ー,運 エ ネ ル ギ ー,放
もっ て い
ネ ル ギ ー と仕 事 と は 同 質 の も の で あ る 。 エ ネ ル ギ ー 動 エ ネ ル ギ ー,熱
エ ネ ル ギ ー,電
気 エ ネ ル ギ ー,化
学
射 エ ネ ル ギ ー な ど い ろ い ろ な 種 類 が あ る。 こ れ ら の エ ネ ル ギ ー
は そ の 形 態 が 異 な る だ け で,本
質 は 全 く 同 じ も の で あ り,一
つ の 形 態 か ら他 の
形 態 に 変 換 す る こ と は で き る が,創 造 し た り消 滅 さ せ た りす る こ と は で き な い 。 エ ネ ル ギ ー の 単 位 は,SIで
は 熱 量 や 仕 事 と 同 じ ジ ュ ー ル 〔Ｊ〕で あ り,重
力単
位 系 で は 〔kgf・m〕 が 使 わ れ て い た 。
周 囲 か ら 隔 て られ た物 体 の 集 ま り(こ れ を系 とい う)が 各 種 の 形 態 の エ ネ ル ギー を保 有 し,そ れ らの 間 で い ろ い ろ な エ ネ ル ギー の 変 換 が 行 わ れ た と して も, 次 の よ う な関 係 が 成 立 す る。
「一 つ の 系 の 保 有 す る エ ネ ル ギ ー の 総 和 は,外
定 不 変 で あ り,外
部 と の 間 に 交 換 の な い 限 り一
部 と の 間 に 授 受 が あ る 場 合 に は,そ
こ れ を エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則(low of conservation
の 量 だ け 増 減 す る 。」 of energy)と
然 科 学 で は 最 も 基 本 的 な 法 則 の 一 つ で あ る 。 仕 事 の 原 理,ベ 熱 力 学 第 一 法 則 な ど は,エ
い い,自
ル ヌ ー イ の 定 理,
ネ ル ギ ー保 存 の 法 則 をそ れ ぞ れ の 場 合 に つ い て 適 用
した もの と考 え て よ い。
例 題1・6質
量m〔kg〕
の 物 体 を高 さz〔m〕 持 ち上 げ る仕 事 を,垂 直 に 持 ち上
げ る場 合 と,水 平 面 と角 θ を なす 斜 面 上 を水 平 な 力 で 押 し上 げ る場 合 に つ い て 比 較 せ よ。 た だ し,摩 擦 な どの 抵 抗 は 無 視 す る。 〔考 え 方 〕 二 つ の 場 合 の 仕 事 を そ れ ぞ れ 求 め て 比 べ る。 〔 解〕 ま ず,垂
直 に 持 ち上 げ る場 合 の 仕 事 を求 め る 。
質 量 ｍ の 物 体 を 垂 直 に 持 ち 上 げ る に 要 す る 力 はmgで る仕 事 をW1と
す れ ば,式(1・5)か
ら
あ る か ら,高
さ ｚ上 げ
W1=Fs=mgz〔J〕
斜 面 上 を 押 し上 げ る場 合 は,摩 擦 を考 え な い と,図 の よ うに 物 体 に 作 用 す る 重 力mgの
斜面 に平 行 な分 力
mg sinθ と,水 平 に 加 え る 力 Ｆ の 斜 面 に 平 行 な 分 力Fcosθ
とが 等
し く な る よ う に,力 Ｆ を加 え れ ば よ い。 し た が っ て mg sin θ=Fcos
θ
F=mgtanθ
高 さ ｚだ け 上 げ る た め に,Ｆ
を 作 用 させ る長 さ を ｌ とす れ ば,図 か ら明 ら か な よ う
に z=lsinθ
ゆ え に,斜
面 上 を水 平 な 力 Ｆ で 物 体 を 押 し上 げ る仕 事W2は,式(1・5)か
し た が っ て,W1=W2で
あ り,仕
ら
事 は 等 しい 。
〔 注 〕 実 際 に は,摩 擦 な どの 抵 抗 が あ る の で 仕 事 は 等 し くな ら な い 。
例 題1・7物
体 が 自由 落下 す る場 合 に つ い て,機 械 エ ネ ル ギー の保 存 を説 明せ
よ 。
〔 考 え方〕 自 由 落 下 す る物 体 の エ ネ ル ギー と し て は,重 と,落
力 に よ る位 置 エ ネ ル ギー
下 中 の 運 動 エ ネ ル ギー の 二 つ を考 え る。機 械 エ ネ ル ギ ー とは 位 置 エ ネ ル ギ ー と
運 動 エ ネ ル ギ ー の 総 称 で あ るか ら,落 下 中 に 二 つ の エ ネ ル ギ ー の 和 が 一 定 に な る こ と を確 か め れ ば,エ
ネ ル ギ ー の保 存 を 説 明 で き る 。 な お,空
気 の 抵 抗 な どは 無 視 して 考
え る。 〔 解 〕 図 の よ うに,質 量 ｍ の 物 体 が 高 さz1か
ら 自 由 落 下 す る も の と し,高 さz1と
落 下 途 中 の 高 さz2, z3に お け る位 置 エ ネ ル ギーEp1, Ep2, Ep3と 運 動 エ ネ ル ギ ーEk1, Ek2,Ek3を Ep=mgz,運
求 め,そ
れ ぞ れ の 和 を求 め て み る 。 な お,重 力 に よ る位 置 エ ネ ル ギ ーEpは
動 エ ネ ル ギ ーEkは
がc1=0,C22=2g(z1-z2),
速 度 を ｃ とす れ ばEk=mc2/2で
C32=2g(z1-z3)と
z1に お け る位 置 エ ネ ル ギ ー Ep1=mgz1
あ り,落 下 す る速 度
な る こ と を確 か め る。
運 動 エ ネ ル ギ ー Ek1=0
〃
z2に お け る位 置 エ ネ ル ギ ー Ep2=mgz2 〃
運 動 エ ネル ギー
z3に お け る 位 置 エ ネ ル ギ ー Ep3=mgz3
〃
運動 エ ネル ギー
〔例 題1・7〕 の 図
したが って
こ の 結 果,位
置 エ ネ ル ギ ー と運 動 エ ネ ル ギー の 和 は い ず れ も等 し い 。 こ れ は 自 由 落
下 に よ っ て 重 力 に よ る位 置 エ ネ ル ギ ー が 減 少 し た分 だ け 運 動 エ ネ ル ギー が 増 加 し,そ の 和 が 常 に 一 定 に保 た れ る,す な わ ち,機 械 エ ネ ル ギ ー が保 存 さ れ る こ と を示 し て い る。 〔 注 〕 この 例 題 で は 空 気 の 抵 抗 な ど を無 視 し た が,そ け 落 下 速 度 が 遅 く な るが,減
れ を考 え た場 合 は,そ
の分 だ
少 し た運 動 エ ネ ル ギー は 摩 擦 に よ っ て 熱 エ ネ ル ギ ー に 変
わ る の で,全 体 と し て エ ネ ル ギ ー は 保 存 さ れ る。 ま た,地 面 を基 準 面 と す れ ば,地 に 達 し た と きの 位 置 エ ネ ル ギ ー は ０に な り,運 動 エ ネ ル ギー も ０に な る が,運 ル ギ ー は 地 面 に い く らか の 穴 を あ け た りす る仕 事 や,そ
面
動 エネ
の際 の大 きな摩擦 抵抗 に うち
か つ ため な どに 費 や され る こ と に な り,エ ネ ル ギー 保 存 の 法 則 は成 立 し て い る 。
圧力
1・5
圧 力(pressure)と
は,単
圧 力 の 単 位 は,SIで が,バ
位 面 積 あ た り に 働 く力 で あ る 。
は 単 位 の 名 称 は パ ス カ ル,記
号 は 〔Pa〕 と規 定 し て い る
ー ル 〔bar〕 も併 用 し て よ い こ と に な っ て い る 。 1〔Pa〕=1〔N/㎡
〕
1〔bar〕=105〔Pa〕
圧 力 が 大 き い 場 合 に は,〔Pa〕 の103倍
の 〔kPa〕 や106倍
の 〔MPa〕
が用 い ら れ
る。 こ れ ま で 工 業 上 で は,圧 圧(ま
た は 単 に 気 圧)と
トル 〔 ㎜Hg〕
力 の 単 位 と し て 〔kgf/㎝2〕
も 呼 び,記
が 広 く用 い ら れ,工
号 は 〔at〕も 使 わ れ た 。 ま た,水
や 水 柱 ミ リ メ ー トル 〔 ㎜H2Oま
た は ㎜Aq〕
学気
銀 柱 ミ リメー
な ど も用 い られ
て い た。
圧 力 の 表 し 方 に は 基 準 の 取 り方 に よ っ て,完 対 圧(absolute pressure)と
pressure)と,大
全 真 空 を 基 準 に し て ０ とす る絶
気 圧 を 基 準 に と っ て ０ と す る ゲ ー ジ 圧(gauge
が あ り,二 つ の 圧 力 系 の 圧 力 差 を 表 す た め に は 差 圧 を 用 い る こ と も
あ る 。 絶 対 圧pabsと Pabs=Pg+大
ゲ ー ジ圧pgと
の 関係 は 次 の 式 に な る。
気 圧
(1・10)
圧 力 が 大 気 以 下 の状 態 を真 空(vacuum)と
い い,そ の 圧 力 を真 空 圧 力 とい う。
真 空 圧 力 に も絶 対 圧 とゲ ー ジ圧 とが あ り,真 空 度 と い う表 し方 もあ る。 な お,標 る。
準 気 圧(standard
atmospheric
pressure)(1
atm)は101325
Paで
あ
例題
大 気 中 に あ る 直 径50㎝
1・8
の お も り を の せ た と き,シ し,ピ
の シ リ ン ダ 内 の ピ ス トン 上 に 質 量50 ㎏
リ ン ダ 内 の 気 体 の ゲ ー ジ 圧 と絶 対 圧 を 求 め よ 。 た だ
ス ト ン の 質 量 は 無 視 し,大 気 圧 は101.3kPa,重
力 加 速 度 ｇ は9.81 m/s2
とす る。 〔 考 え方 〕 こ の 課 題 で は,シ い の で,シ
リン ダ は 大 気 中 に あ っ て そ の 内部 の 圧 力 を 与 え て い な
リン ダ 内 の 圧 力 は 大 気 圧 と釣 合 っ て い る と考 え て よ い 。 した が っ て,ゲ
ジ圧 は お も りに よ る圧 力 だ け を 考 え れ ば よ く,絶 対 圧 は 式(1・10)の
ー
よ うに ゲ ー ジ圧
に 大 気 圧 を加 え れ ば よ い 。な お,計 算 す る際 に 単 位 を揃 え る こ と を忘 れ て は い け な い 。 〔 解 〕 お も りに よ る 圧 力 は,お も り に か か る重 力 ㎎ ば 求 め られ る 。 シ リン ダ の 径 はd=50㎝=0.5mと
絶 対 圧 は 式(1・10)か
ら
Pabs=pg+大 =2
気 圧
.5+101.3=103.8〔kPa〕
〔演
１.500℃
お よ び1000℃
２.500° Ｆ お よ び1000° ３.質
量1.5㎏
を シ リンダの 断面積 Ａ で割 れ し て ゲ ー ジ 圧Pgは,
問
題1〕
は そ れ ぞ れ 何 Ｋ か 。 ま た,何 Ｆは そ れ ぞ れ 何 ℃ か 。 ま た,何
の 水 を18℃
こ の 加 熱 に600Wの
習
か ら100℃
° Ｆか 。 Ｋ か。
ま で 加 熱 す る の に 必 要 な 熱 量 を 求 め よ 。 ま た,
電 熱 器 を使 用 し,電 熱 器 の 発 生 す る 熱 量 の60%が
れ る も の と して,加
有 効 に使 わ
熱 に 要 す る 時 間 を 求 め よ。 た だ し,水 の 比 熱 は4186J/㎏
・K一
定 と し,水 は 蒸 発 しな い も の とす る。 ４.90℃
の 水5㎏
と30℃ の 水10 ㎏ を 混 合 し て 攪 拌 す る と,熱 平 衡 後 の 水 の 温 度 は
何 ℃ か 。 た だ し,水 の 容 器 の 熱 容 量 や 混 合 の 際 の 熱 損 失 な どは 無 視 す る。 ５.0.008m3の 328Kに
水 に1100 Kの 鋼 塊3㎏
を投 入 し て 攪 拌 し た ら,熱
平衡 後 の温 度 が
な っ た 。水 の 温 度 上 昇 は い く らか 。た だ し,水 の 比 熱 は4186 J/㎏ ・K,鋼 塊
の 比 熱 は489J/㎏
・Kそ れ ぞ れ 一 定 と し,水
の 蒸 発 や 水 の 容 器 との 熱 交 換 そ の 他 の
熱 の 損 失 に つ い て は無 視 す る。 ６.ホ イ ス トで1000㎏
の 物 体 を垂 直 に10 m揚
か 。 この 仕 事 を １分30秒 効 率 が68%で
げ る 。ホ イ ス トの な し た仕 事 は い く ら
で 行 っ た とす れ ば 動 力 は い く らか 。 ま た,こ の ホ イ ス トの
あ る とす れ ば,巻
上 げ 用 電 動 機 は 最 低 何kW必
７.あ る 自 動 車 用 ガ ソ リン機 関 の 軸 出 力 は,毎 分5600回 う。 こ の と き の 機 関 の 軸 トル ク を 重 力 単 位 とSI単 ８.蒸 気 ボ イ ラ の 圧 力 計 が12㎏f/㎝2を
示 し,そ
要か。
転 の と き100PSで
あ るとい
位 で 求 め よ。 の と き の 大 気 圧 が755 ㎜Hgで
あ った。 ボ イラ内 の蒸気 の絶 対圧 は い くらか。
〔 略
１.式(1・1)お
よ び 式(1・2)か
解
〕
ら
T=500+273.15=773.15≒773〔K〕 T=1000+273.15=1273.15≒1273〔K〕
２.式(1・2)お
よ び 式(1・1)か
ら
T=260+273.15=533.15≒533〔K〕 T=537.8+273.15=810.95≒811〔K〕
３.加 熱 に 要 す る 熱 量 は 式(1・3)か Q=mC(t2-t1)=1.5×4186
×(100-18) =514878〔J〕
加 熱 に 必 要 な 時 間 は1W=1J/sな 効 に 使 わ れ る の で,
ら
≒514
.9〔kJ〕
の で,600 W=0.6kJ/sと
な り,そ の60%が
有
４.例 題1・3と
同 じ よ うに 解 く。 こ の 課 題 で はc1=c2で
あ り,温 度 は セ ル シ ウ ス 度
の ままで よい。
５.例
題1・3に
な ら っ て,0.008m3の
６.ホ
イ ス トの な す 仕 事 は 式(1・5)か W=Fs=㎎s=1000
水 の 質 量 は8㎏fで
ら
× 9.81×10=98.1×103〔J〕 =98
動 力 は 式(1・8)か
あ るか ら
.1〔kJ〕
ら
巻上 げ用 電動 機 の所用 動 力は
７.式(1・9)か
ら 解 く。
重力単 位:
SI単 位:
８.
1㎏f/㎝2=9.80665 し た が っ て,式(1・10)に pabs=9.80665 =1
× 104Pa,1㎜Hg=1.3332
× 102Pa
よ って
× 104×12+1.3332×102
.277×106〔Pa〕=1.277〔MPa〕
× 755
２
熱 力学 第 一 法 則 熱 力 学 第 一 法 則 は 第 二 法 則 と と も に工 業 熱 力 学 の基 礎 で あ る。1840年 代 に熱 の本 性 が エ ネ ル ギー で あ る こ とが 確 か め られ,第 一 法 則 が 生 まれ た。 こ の章 で は 第 一 法 則 と そ れ か ら導 か れ る 第 一 法 則 の 式 お よ び そ の 応 用 に つ い て 説 明 す る。
2・1
状態量 と状態式
熱 力 学 で 対 象 とす る物 体 の 集 ま り を熱 力 学 的 系 とい い,単 に 系(system)と
も
い う。 熱 力 学 的 系 は他 の 部 分 か ら独 立 させ て 考 え るの で,境 界 を 明確 に定 め て 周 囲(外
界 また は環 境 と も い う)と 区別 され る。 しか し,系 や 境 界 は 固 定 され
た もの で は な く,考 え て い る課 題 の解 決 に最 も都 合 が よ い よ うに選 ぶ こ とが で き る。 熱 力 学 的 系 に は境 界 を通 して 周 囲 との 間 に,熱 や 仕 事 な どの エ ネ ル ギー の交 換 は あ るが 物 体(ま
た は質 量)の
流 出や 流 入 の な い閉 じた 系 と,エ ネ ル ギー と
物 体 の 両 方 が 出 入 りす る開 い た 系 とが あ る。 特 に エ ネ ル ギー も物 体 も一 切 出 入 り し な い系 を孤 立 系 とい う。 温 度,圧
力,容 積 な どの よ うに 熱 力 学 的 系 の 状 態 を規 定 す る物 理 量 を状 態 量
(quantity of state)と い う。状 態 量 は系 の現 在 の 状 態 の み に よ って 定 ま る量 で あ り,過 去 に どの よ うな過 程 を経 て 現 在 の状 態 に な った か とい う こ とは無 関係 で あ る。 熱 量 や 仕 事 の よ うに 現 在 の 状 態 に な る ま で の 変 化 の 経 路 に よ っ て値 が 異 な る量 は 状 態 量 で は な い 。 状 態 量 は,温
度,圧
力 な どの よ うに物 体 の 質 量 の 大 き さに 関 係 しな い もの を
示 強 性 状 態 量 とい い,容 積,内
部 エ ネ ル ギー な どの よ うに質 量 の 大 き さに よ っ
て増 減 す る もの を示 量 性 状 態 量 とい う。 状 態 量 は数 多 くあ るが,そ
れ らの 間 に は 互 い に 決 ま っ た 関係 が あ り,個 々 の
状 態 量 が 独 立 に変 化 で き る もの で は な い 。 例 え ば,一 定 の 成 分 の 一 定 量 の 気 体 の 容 積 は,そ
の圧 力 や 温 度 が 変 わ れ ば 変 化 し,圧 力や 温 度 が 一 定 に な る と一 定
の 値 に な る。この よ うに,状 態 量 の うち ２個 だ け が 独 立 に 変化 す る こ とが で き, ２個 の状 態 量 が 定 ま る と他 の状 態 量 も定 ま って しま い,系 の状 態 が 決 定 す る。し たが っ て,単 位 質 量 の容 積 す な わ ち比 容 積 υは 圧 力 ｐ と温 度 Ｔ の 関 数 で あ り, 次 の 式 で 表 され る。 υ=f(p.T)
あ る い は F(P.T.υ)=0
こ れ を状 態 式(equation
of state)と
(2・1)
い う。 状 態 式 は 熱 平 衡 に お け る 状 態 量 の 関
係 を 表 して い る。
熱力学第一法則
2・2
熱 の本 性 に つ い て は,18世
紀 頃 は熱 素 とい う質 量 が 測 定 で きな い 微 少 な 物 質
が あ っ て,そ れ が 一 つ の 物 体 内 あ る い は一 つ の 物 体 か ら他 の 物 体 に 移 動 して 増 減 す る こ とに よ っ て,温 度 の 上 昇 や 下 降 が起 こ る と考 え られ て い た 。18世 紀 終 り頃 か ら,熱 は 物 質 で は な くエ ネ ル ギ ー の 一種 で あ る こ と を証 明 す る実 験 が 行 わ れ た が,そ の 後1840年
代 に マ イ ヤ ー(R.Mayer)氏
や ジ ュー ル(J.P.Joule)氏
に よ っ て,「 熱 と機 械 的 仕 事 とは 形 態 は 異 な るが 本 質 は 同 じエ ネ ル ギー で あ っ て,熱
と仕 事 との 間 に は 一 定 の数 値 的 関係 が あ る」と い うこ とが 確 か め られ て,
これ が 今 日の 熱 力 学 の 基礎 に な っ た。
「熱 と仕 事 と は 形 態 は 異 な る が,そ
仕 事 に 変 え る こ と も,逆
の 本 質 は 同 等 な エ ネ ル ギ ー で あ り,熱
に 仕 事 を 熱 に 変 え る こ と も で き る 。」
一 法 則(the first law of thermodynamics)と 熱 と仕 事 と の 数 値 的 関 係 は,SI単 か ら,熱
量 Ｑ と仕 事
Ｗ
を
こ れ を熱 力 学 第
い う 。
位 で は 同 一 の 単 位(ジ
と は 同 一 の 数 値 に な り,換
ュール 〔 Ｊ〕)で あ る
算 の必 要 は な い。
重 力 単 位 で は 熱 量 Ｑ の単 位 は 〔kcal〕,仕 事 Ｗ の 単 位 は 〔 ㎏f・m〕 で あ るか ら,熱 の 仕 事 当 量 Ｊ や 仕 事 の 熱 当 量1/Jを W=JQ〔 た だ し,熱
用 い,次
の 式 で 表 して い る。
㎏f・m〕 また はQ=W/J〔kcal〕
の 仕 事 当 量J=426.8≒427〔
(2・2)
㎏f・m/kcal〕
仕事 の熱 当量 エ ネ ル ギー に は 熱 や 仕 事 の ほか に,位 置 エ ネ ル ギー,運 動 エ ネ ル ギ ー,電 気 的 エ ネ ル ギー,化
学 的 エ ネ ル ギー,放
射 エ ネ ル ギ ー な どい ろい ろ な エ ネ ル ギー
が あ る。 こ れ らの エ ネ ル ギー は形 態 は 異 な るが,そ
の 本 質 は全 く同 じで あ り,
一 つ の 形 態 か ら他 の形 態 に 変 わ る こ とは で き る が
,創 造 した り消 滅 させ た りす
る こ とは で きな い 。 こ の こ とか らヘ ル ム ホ ル ツ(Helmholtz)氏
が 第 １章1・4節
に 掲 げ た エ ネ ル ギー 保 存 の 法 則 を提 唱 し,そ れ は正 し い と認 め られ た。 熱 力 学 第 一 法 則 は エ ネ ル ギー 保 存 の 法 則 を熱 と仕 事 との 間 に 適 用 し た もの で あ る。 動 力 を発 生 す る機 械 に エ ネ ル ギー 保 存 の 法 則 を 当 て はめ て考 え る と,機 械 が 動 力 を発 生 して 外 部 に 与 え る に は,同 時 に 必 ず 他 か らの エ ネ ル ギー を消 費 しな け れ ば な ら な い 。 も し,他 か らな ん らの エ ネ ル ギ ー の 供 給 を受 け な い で 運 動 を 続 け,外
に 仕 事 を な しつづ け る こ とが で き る とす れ ば,そ
れは第一種 の永久運
動 をす る とい うが,エ ネ ル ギー 保 存 の法 則 は そ れ を 否 定 して い る。 したが っ て, 次 の よ う な表 現 が で き る。 「エ ネ ル ギ ー を消 費 し ない で,引 続 き仕 事 を発 生 す る機 械 をつ くる こ と は で き な い。」 「第一 種 の 永 久 運 動 は 不 可 能 で あ る。」 こ れ らは,熱 例 題2・1鋼
力 学 第一 法 則 を別 の 形 で 言 い表 した もの とい え る。 球 を50mの
高 さか ら落 と して床 に 衝 突 させ た と き,運 動 エ ネ ル
ギ ー が 全 部 熱 に 変 わ り,そ の50%が 昇 を 求 め よ 。 た だ し,鋼
鋼 球 に 与 え られ る もの と して鋼 球 の 温 度 上
球 の 比 熱 は0.465kJ/㎏
・K一 定 とす る 。
〔 考 え方 〕 鋼 球 が 床 に 衝 突 して な す 仕 事 は,衝
突 直 前 の 運 動 エ ネ ル ギ ー に 等 し く,
そ れ は 落 下 す る前 の 重 力 に よ る位 置 エ ネ ル ギー に 等 し い。 し た が っ て,位 ギ ー の50%を
求 め,式(1・3)で
温 度 上 昇 を計 算 す る。
〔 解 〕 重 力 に よ る 位 置 エ ネ ル ギ ー は,質 ㎎z=50
こ の50%が
量m,高
さz=50mか
ら
〔J〕
鋼 球 に 与 え られ る熱 量 Ｑ に な る の で Q=50㎎
ゆ え に,温
㎎
置エネル
×0.5〔J〕
度 上 昇 は 式(1・3)か
〔 注 〕 重 力 単 位 系 で解 け ば,鋼 Gz=50 式(2・2)か
C=0.465kJ/㎏
例 題2・2質
ら,C=0.465
kJ/㎏
・K=465
J/㎏
・Kと
して
球 の 重 量 をG〔 ㎏f〕 と して
G〔 ㎏f・m〕 ら
・K=0.111kcal/㎏f・
量1050㎏
℃ で あ る か ら,式(1・3)と
の 自動 車 を速 度40 ㎞/hの
状 態 か ら,ブ
け て 停 止 させ た。 こ の と き,各 種 の 摩 擦 抵 抗 な どを 無視 して,ブ よ っ て制 動 され た もの とす れ ば,ブ
同 じよ うに
レー キ をか レー キ の み に
レー キか ら発 生 す る熱 量 は い くらか 。
〔 考 え方 〕 自動 車 を停 止 させ る た め に ブ レ ー キ の す る仕 事 は,自 動 車 の 運 動 エ ネ ル ギ ー1/2mc2に
等 し く,そ れ が す べ て 熱量 に 変 わ る と考 え れ ば よ い 。
〔 解〕 時速 を秒速 に換 算 して
したが って
2・3
静 止 した物 体 に対 す る一 般 エ ネル ギ ー式
静 止 した物 体 に 熱 を加 え る と,そ の 熱 は一 般 に 次 の 三 つ に 消 費 され る。 ① 物 体 の分 子 の運 動 エ ネ ル ギ ー を増 し,温 度 を上 昇 させ る た め に。 ② 物 体 の分 子 相 互 間 の 引 力 に 打 ち勝 つ た め に,あ
る い は分 子 の 集 合 状 態 を変
化 させ るた め に 。 ③ 物 体 の体 積 を膨 張 させ て,外 部 に対 して 仕 事 をす る た め に 。 体 積 の 膨 張 が ① や ② に 関 連 し て 起 こ る よ う に,三 る の で は な く,相
つ は そ れ ぞれ が 独 立 して い
互 に 関 連 し た も の で あ る 。 ① と② に 費 や さ れ た 熱 量 は,物
内 に 蓄 え ら れ る こ と に な り,こ れ を 内 部 エ ネ ル ギ ー(internal energy)と
体
い う。
これ に 対 し て外 部 へ の仕 事 を外 部 エ ネ ル ギー とい う こ と もあ る。
この よ う に静 止 した物 体 に 外 部 か ら加 え ら れ た 熱 は,内
部 エ ネ ル ギー と して
蓄 え られ る と同 時 に外 部 に 対 して仕 事 をす る。 内部 エ ネ ル ギ ー とは,物 体 の保 有 す る総 エ ネ ル ギー か ら力 学 的 エ ネ ル ギー(運 動 エ ネ ル ギー と外 力 に よ る位 置 エ ネ ル ギー)と
電 気 的 エ ネ ル ギー を差 し引 い た
残 り をい う。 熱 力 学 で は 一 般 に 電気 的 エ ネル ギ ー は 考 え な くて も よ いか ら,静 止 して い て 外 力 の 作 用 を受 け な い 物 体 の保 有 す る総 エ ネ ル ギ ー が 内 部 エ ネ ル ギー で あ る。 内 部 エ ネ ル ギー は状 態 量 で あ る。 し たが っ て,他 温 度,圧
力,容
つ う,質 量m〔 ギー(比
積 な どの うち二 つ が 決 ま る と,内 部 エ ネ ル ギー も決 定 す る。 ふ ㎏ 〕の 内 部 エ ネ ル ギ ー はU〔J〕,単
内 部 エ ネ ル ギ ー とい う)はu〔J/㎏
静 止 し て い る物 体 に 微 小 な 熱 量dQを dUだ
の状態量例 えば
位 質 量 あ た りの 内部 エ ネ ル
〕で表 す 。 与 え る と,内 部 エ ネ ル ギ ー が 微 小 量
け 増 加 し,同 時 に 外 部 に対 して微 小 な仕 事dWを
す る こ と に な り,熱 力
学 第 一 法 則 か ら次 の 式 が 成 り立 つ 。 dQ=dU+dW〔J〕
(2・3)
単 位 質 量 あ た りで は,Q,U,Wを dq=du+dw〔J/㎏
小 文 字 で 表 して 〕
こ の 式 は 熱 力 学 上 重 要 な 基 礎 式 で あ り,第 式(energy
equation)と
(2・4)
一 法 則 の 式 あ る い は エ ネ ル ギー の
い う。
した が っ て,物 体 に 熱 量 Ｑ を与 え て 状 態 １か ら状 態 ２に 変 化 させ る と,内 部
エ ネ ル ギ ー はU1か 式(2・3)と
らU2に
増 加 し,外 部 に 対 し て 仕 事 Ｗ
を す る 。こ の 場 合 は,
同 じ よ う な 形 の 次 の 式 で 表 さ れ る。 Q=U2-U1+W〔J〕
(2・5)
〔参 考 〕 内部 エ ネ ル ギー の本 質 は 静 止 して い て外 力 の 作 用 を受 け な い物 体 の 保 有 す る総 エ ネ ル ギ ー が 内部 エ ネ ル ギ ー で あ り,熱 を加 え る と一 般 に 内部 エ ネ ル ギー は増 加 す る とい う。 内 部 エ ネ ル ギー の 本 質 は何 だ ろ うか 。 こ の質 問 に 答 え るに は,物 体 は 原 子 や 分 子 で 成 り立 つ こ とが 知 られ て い るが,こ
れ らの 粒 子 に つ い て の微 視(ミ
ク ロ)的 な考 察 が 必 要 で あ る。 本
書 で は微 視 的 な理 論 に は ほ とん ど触 れ な い が,内 部 エ ネ ル ギー の 本 質 につ い て き わめ て 簡 単 に説 明 し てお く。 物体 を構 成 す る原 子 や 分 子 は絶 え ず 運 動 して い る の で運 動 エ ネ ル ギー を 持 ち,分 子 間 引 力 に も とつ く位 置 エ ネ ル ギー も持 っ て い る。 物体 に外 部 か ら熱 を与 え た り仕 事 を加 え た りす る と,運 動 は い っ そ う激 し くな る。 この 原 子 や 分 子 の運 動 エ ネ ル ギ ー や 位 置 エ ネ ル ギ ー が 内 部 エ ネ ル ギー で あ る。 す な わ ち,物 体 を構 成 す る原 子 や 分 子 とい う微 細 な 世 界 の 力 学 的 エ ネ ル ギー が 内部 エ ネ ル ギー で あ り,こ れ は 巨視(マ
ク ロ)的 な物 体 全 体 と して
の 力学 的 エ ネ ル ギ ー と は全 く性 質 の 異 な る もの で あ る。 内部 エ ネ ル ギ ー は そ の絶 対 量 は決 め られ な い の で,あ
る基 準 の 状 態 の 内 部 エ ネ ル ギ ー を ０ と
決 め て,数 量 的 に は 表 す 。
例 題2・3静 1800Jを
止 し て い る 物 体 に 熱 量4100Jを
与 え た ら,外 部 に 対 し て 仕 事
な し た。 物 体 の 内 部 エ ネ ル ギー の 増加 は い くらか 。
〔 考 え方 〕 静 止 した 物 体 に 与 え ら れ た熱 量 は,内 部 エ ネ ル ギ ー と し て 蓄 え ら れ る と 同 時 に 外 部 に 対 して 仕 事 をす る。 し た が っ て,外
部 に 対 して な し た仕 事 以 外 は 内 部 エ
ネ ル ギ ー の 増 加 と な る。 〔解 〕
式(2・5)を
U2-U1=Q-W
変 形 し,Q=4100J,
W=1800Jを
入れ ると
=4100-1800 =2300〔J〕=2
例 題2・4静
止 し た 物 体 を 加 熱 し た ら,内 部 エ ネ ル ギ ー が2.4kJ増
に 外 部 に 対 し て1.1kJの 〔 考 え方 〕 例 題2・3と 〔解 〕
.3〔kJ〕
式(2・5)か
加 し,同 時
仕 事 を した とい う。 こ の と きの加 熱 量 は い くらか 。 同 様 に 式(2・5)に
らU2-U1=2.4kJ,
よ っ て 解 く。 W=1.1kJを
入 れ て
Q=U2-U1+W =2
2・4定
.4+1.1=3.5〔kJ〕
常 流 れ を行 う流 体 に対 す る一般 エ ネル ギ ー式
管 路 を定 常 流 れ す る流 体 の エ ネ ル ギー に つ い て 考 え て み よ う。 〔 参 考 〕 管 路 … 流体 を流 す場 合,そ れ を導 く管 や その 系 統 を管 路 とい う。 定 常 流 … 管 路 を流体 が 流 れ る場 合,任 度,方
意 の 場 所 で 流 れ の 状 態(圧 力,速
向 な ど)が 時 間 に よ って 変 化 の な い 常 に一 定 な流 れ を定 常 流 とい う。
こ れ に 対 して 時 間 に よ っ て変 化 す る流 れ は 非 定 常 流 とい う。 流 体 が 図2・1の よ う な 管 路 を 定 常 流 れ し て い る場 合,そ
の 質 量 流 量 をqm
〔㎏/s〕 とす れ ば,流 量 は 時 間 的 に変 化 し な いか ら,管 路 の 断 面 の ど こ で も一 定 で あ る。 しか し,任 意 の 一 つ の 断 面 の 流 速 を み る と,図2・2の
図2・1
図2・2
よ う に管 の 中 央
部 分 が 最 も大 き く,管 壁 に近 づ くと次 第 に小 さ くな り,管 壁 で は きわ め て 小 さ くな るの で,流 速 は そ れ ぞ れ の 断 面 の 平 均 流 速 を とっ て考 え る。 図2・1に
示 す よ う に 管 路 の 断 面 Ⅰお よ び 断 面 Ⅱ に お け る 断 面 積 をA1お
A2〔 ㎡ 〕,平 均 流 速 をc1お 体 の 体 積 は 毎 秒A1c1お
よ びc2〔m/s〕
よ びA2c2〔m3/s〕
とす れ ば,こ
れ らの 断 面 を通 過 す る流
と な る 。 こ の と き,断 面 Ⅰお よ び Ⅱ を
通 過 す る 流 体 の 比 容 積 を υ1お よ び υ2〔m3/㎏ 〕 と す れ ば,次 (equation of continuity)が
よび
の流れの連 続の 式
成 り立 つ こ と に な る 。
(2・6)
流体 が 管 路 を定 常 流 れ す る場 合,そ
の 任 意 の 断 面 を 流体 と と もに 単位 時 間 に
通 過 す るエ ネ ル ギー につ い て 考 え て み よ う。 断 面 を流 体 と と も に通 過 す る エ ネ ル ギー は,そ の 断 面 の管 の 中心 を基 準 にす れ ば位 置 エ ネ ル ギー は ０と して よい の で,流 体 の もつ 内部 エ ネ ル ギー と運 動 エ ネ ル ギー とに な るが,そ
れだけ では
な い 。 断 面 を流 体 が 通 過 す る に は,そ の 点 の 圧 力 に打 ち勝 って 背 後 か ら押 し込 ま れ る こ とに な るの で,こ の 押 し込 み の 仕 事 に 相 当す るエ ネ ル ギー を もっ て い る 。図2・3(a)に 示 す よ うな水 平 管 路 を,流 体 が 断 面 Ⅰか ら Ⅱ ま で定 常 流 れ す る 場 合,こ れ は 図2・3(b)の よ うに 管 内 に ピ ス トン が あ って,ピ ス トン は 質 量 が な く,管 壁 との 間 に隙 間 も摩 擦 もな く,ピ ス トンの右 側 の圧 力 は ０(完全 真 空)で, 左 側 か ら ピス トン に加 わ る力 と釣 り合 う力 Ｆ で 支 え な が ら,ピ ス トン を断 面 Ⅰか ら Ⅱ まで 移 動 させ た 場 合 と同 じ と 考 えて よ い 。 ピ ス トン を断 面 Ⅰか ら Ⅱ まで 移 動 させ る仕 事 は,断 面 Ⅰか ら Ⅱ の 距 離 を ｌ とす れ ばFlで
(ａ)
あ る。断 面
Ⅰの 断 面 積 を Ａ,圧 力 を ｐ とす れ ば, F=pAで Alは
あ るか らFl=PAlと
な り,
断 面 Ⅰと Ⅱ との 間 の容 積 Ｖ で,
Fl=PAl=pVと
な る。こ れ が 押 し込
(ｂ)
図2・3
み の 仕 事 で あ る 。 し た が っ て,断 通 過 す る エ ネ ル ギ ーE〔J/s〕
面 Ⅰを 定 常 流 れ す る 流 体 と と も に 単 位 時 間 に
は,内 部 エ ネ ル ギ ー と 運 動 エ ネ ル ギ ー と 押 し込 み
の 仕 事 の 相 当 す る エ ネ ル ギ ー の 和 で あ っ て,流 体 の 質 量 流 量 をqm〔 ㎏/s〕,内
部
エ ネ ル ギ ー をU〔J〕,比
qm
の 体 積 をV〔m3〕,比
内 部 エ ネ ル ギ ー をu〔J/㎏
〕,平
容 積 を υ 〔m3/㎏ 〕 と す れ ば ,次
均 流 速 をc〔m/s〕,
の 式 で 表 さ れ る。
(2・7)
この よ うに,管
内 を流 れ るエ ネ ル ギー は三 つ の 部 分 か ら成 り立 っ て い る。 そ
の う ち,内 部 エ ネ ル ギー と運 動 エ ネ ル ギー は 流体 に 保 有 され るが,押
し込 み の
仕 事 に 相 当す るエ ネ ル ギー は流 体 自身 に保 有 され る もの で は な く,流 体 が 流 れ る こ とに よ っ て 管 内 を伝 わ る エ ネ ル ギー で あ る。 流 れ て い る 流体 の エ ネ ル ギー を取 り扱 う と きは,内 部 エ ネ ル ギ ーuと 押 し込 み の仕 事pυ は 結 び つ い て 出 て くる の で,こ の 和 を考 え る と便 利 で あ り,こ れ を 単 位 質 量 あ た りで は ｈで 表 して h=u+pυ
〔J/㎏
〕
(2・8)
任 意 の 質 量m〔 ㎏ 〕に対 して は Ｈ で 表 し H=mh=m(u+pυ)=U+pV〔J〕 こ の Ｈ を エ ン タ ル ピ ー(enthalpy)と alpy)と あ り,工
(2・9)
い い, ｈ を 比 エ ン タ ル ピ ー(specific enth
い う 。 エ ン タ ル ピ ー ｈ はp,υ,uが
状 態 量 で あ る か ら,同
じ く状 態 量 で
業 上 重 要 な状 態 量 の 一 つ で あ る。
〔参 考 〕
エ ン タル ピー に つ い て
エ ン タ ル ピー は0〔K〕 現 在 の 圧 力p〔Pa〕
の 無 の 状 態(0Kで
一 定 の 下 に,現
は 気 体 の 容 積 は ０に な る)か ら
状 のp〔Pa〕,υ
〔m3〕, T〔K〕
の気体 を
つ く り だ す の に 必 要 な エ ネ ル ギ ー に 相 当 す る 熱 量 と い う こ とが で き ,全 量,熱
含 量,熱
熱
力 学 的 ポ テ ン シ ャル な ど と呼 ば れ た こ と も あ る。
物 体 の エ ン タ ル ピー はh=u+pυ
で,ｕ は 物 体 に保 有 され るが, pυ は物
体 の 状 態 に よ っ て エ ネ ル ギー と して 同 じで は な い 。 流 体 が 流 れ て い る場 合
は,流 体 と とも に管 内 を伝 わ るが,静
止 して い る場 合 は 異 な る。 例 えば,
容 器 に 入 れ た流 体 を場 所 Ａ か ら場 所 Ｂ に移 して も,流 れ で は な い か らpυ は エ ネ ル ギ ー と して 問題 に な らな い。静 止 して い る物 体 のpυ は,気 体 で は ｐ よ り低 い 圧 力 の 周 囲 に 対 して,あ
る程 度 仕 事 をす る能 力 を持 って い る と
い え る 。 しか し,圧 縮 率 が きわ め て小 さい 液 体 や 固体 で は 仕 事 をす る能 力 が あ る とは い え な い 。 こ の よ うに,エ
ン タル ピー は 流 体,特
に 気 体 が 流 れ て い る場 合 に,重 要
な状 態 量 で あ る。 エ ン タ ル ピー は 内部 エ ネ ル ギー と同 様 に,絶 対 値 は決 め ら れ な いの で,適 当 な基 準 状 態 の 値 を ０ と定 め て,数 量 的 に扱 う。 工 業 上 は絶 対 値 で は な く,エ ン タル ピー の 増 減 した 量 が 問 題 に な る。
図2・4に 示 す よ うな管 路 を,流 体 が 質 量 流量qm〔 ㎏/s〕 で 断 面 Ⅰ か ら断 面 Ⅱ まで(こ の 間 に機 械 装 置 が あ る と考 えて よ い)定 常 状 態 で 流 れ る 問 に,外 部 か ら 熱 量Q 〔J/s〕を受 取 り,ま た 外 部 に 対 し て 仕 事Wt〔J/s〕
をなす 場合 の エ
ネ ル ギー に つ い て考 え て み よ う。 図2・4
断 面 Ⅰの 基 準 面 か らの 高 さ をZ1 〔m〕 と し,流
入 す る 流 体 の 圧 力,比
流 速 を そ れ ぞ れp1〔Pa〕,υ1〔m3/㎏
容 積,温
度,比
内 部 エ ネ ル ギ ー お よ び平 均
〕, T1〔K〕, ul〔J/㎏
〕お よ びc1〔m/s〕
る 。 断 面 Ⅱ か ら 流 出 す る 流 体 に つ い て も 同 様 にz2, p2,υ2, T2, u2お
とす
よ びC2と
す る 。 摩 擦 そ の 他 の 損 失 は な い も の と す れ ば 断 面 Ⅰお よ び 外 部 か ら 単 位 時 間 に 供 給 され るエ ネ ル ギー は
断 面 Ⅱお よ び外 部 へ 単 位 時 間 に 流 出 す るエ ネ ル ギ ー は
熱 力 学 第 一 法 則 に よ っ て両 者 は等 しい か ら
エ ン タ ル ピー はh=u+pυ
で あ る か ら,そ
れ ぞ れ をh1お
よ びh2と
す れ ば,
(2・10)
こ の 式 が 定 常 流 れ を行 う流体 に対 す る一 般 エ ネ ル ギ ー 式 で あ る。 こ の 式 は応 用 が 広 い の で そ の例 を考 え て み る。 管 路 が 水 平 か そ れ に 近 く,Zl=Z2と
み なせ る と きは,
(2・11)
さ ら に,c1=c2,Zl
= Z2と
み な せ る と き は,
Q=Wt+qm(h2-h1)=Wt+H2-H1〔J/s〕
(2・12)
Wt=Q+qm(h1-h2)=Q+H1-H2〔J/s〕
(2・13)
と な り,c1=c2,Zl=Z2と
み な せ る 場 合 は,外 部 か ら の 熱 量 Ｑ は 仕 事 と エ ン タ ル
ピ ー の 増 加 に な り,外 部 へ の 仕 事Wtは こ と を表 して い る。
熱 量 Ｑ と エ ン タ ル ピー を 消 費 し て 行 う
ま た,外
部 と の 間 に エ ネ ル ギ ー の 授 受 が な い,す
な わ ち Ｑ もWtも
と もに ０
な ら ば,式(2・11)は
(2・14)
流 体 の 単位 質 量 あ た りに す れ ば, (2・15)
と な り,外
部 と の 間 に エ ネ ル ギ ー の 授 受 が な く,位
き る 管 路 の 定 常 流 で は,エ
置 エ ネ ル ギー の 差 が 無 視 で
ン タ ル ピー と運 動 エ ネ ル ギー の 和 が 保 存 さ れ る こ と
を示 し て い る。 こ れ ら の 式 に お け るWtは
例 題2・5図2・1に 100㎜ た,内
工 業 仕 事(technical
い う。
示 す よ う な管 路 内 を気 体 が 定 常 流 れ して い る。管 の 内 径 が
の 断 面 に お け る 平 均 流 速 が2m/sで 径 が150㎜
損 失 は な く,気
work)と
あ る と き,質 量 流 量 は い く ら か 。ま
の 断 面 に お け る 平 均 流 速 は い く ら か 。 た だ し,摩 体 の 比 容 積 は0.84m3/㎏
一 定 とす る 。
〔 考 え方 〕 定 常 流 な の で連 続 の 式 が 成 り立 つ か ら,式(2・6)を 平 均 流 速 も求 め る 。 単位 を揃 え る こ と を忘 れ な い 。 〔 解〕 質 量 流 量qmは
d=100㎜=0.1m,υ=0.84
こ の 課 題 で は,比
m3/㎏
と し て
容 積 一 定 す な わ ち υ1=υ2で あ る か ら,式(2・6)は
A1c1=A2c2
ゆ え に,平
を代 入 し,
式(2・6)に
均 流 速c2は d12cl=d22c2
,
擦 な どの
使 用 して 質 量 流 量 も
例 題2・6あ kPa,容
る 物 体1㎏
積0.2m3の
が,圧
力98 kPa,容
積0.85 m3の
状 態 に 変 化 し た。 こ の 変 化 で 内部 エ ネ ル ギー に 変 化 が な
か っ た とす れ ば,エ
ン タル ピー の 増 加 は い くらか 。
〔 考 え方 〕 式(2・8)に
よ っ て 変 化 前 後 の エ ン タ ル ピ ー の 差 を求 め れ ば よ い 。
〔 解 〕 変 化 前 後 の 状 態 量 を添 え 字 １と ２をつ け て 表 せ ば,エ 変化 前 のエ ンタル ピー
h1=u1+p1υ1
変化 後 のエ ン タル ピー
h2=u2+p2
した が っ て,状
状 態 か ら,圧 力480
ン タ ル ピー は
υ2
態 変 化 に よ る エ ン タ ル ピー の 増 加 は
h2-h1=(u2-u1)十(P2υ2-Plυ1) こ の 課 題 で は,u2=u1で
あ る か
p2=480kPa=480×103
らp1=98
Pa,υ2=0.2m3を
h2-h1=P2υ2-p1
入 れ て
.7〔kJ/㎏
〕
力 の 単 位 を 〔kPa〕 の ま ま で
h2-h1=480×0.2-98×0.85=12.7〔kJ/㎏
〕
る蒸 気 ター ビ ンが 毎 時600㎏
の 蒸 気 の 供 給 を受 け て動 力 を発 生
し て い る。 蒸 気 の 比 エ ン タ ル ピ ー が 入 り 口 で は3367kJ/㎏,出 ㎏
.85 m3,
.2-98×103×O.85
=12700〔J/㎏)=12
例 題2・7あ
Pa,υ1=0
v1
=480×103×O
あ る い は,圧
kPa=98×103
口 で は2803 kJ/
で あ る 時,発 生 す る 動 力 は い く ら か 。た だ し,入 り 口 と 出 口 の 運 動 エ ネ ル ギ ー
の 差 は 無 視 し,外
部 へ の 熱 損 失 は な い もの とす る。
〔 考 え方 〕 蒸 気 は タ ー ビ ン 内 を定 常 流 れ す る と して 解 く。 こ の 課 題 はCl = C2で,外 部 か らの 供 給 熱 量Q=0と 〔解 〕
式(2・12)を
し て よ い か ら,式(2・12)に
変 形 し て,hl =3367 kJ/㎏,
よ っ て 計 算 す る。
h2=2803
kJ/㎏
を いれて 計算 す る。
Wt=qm(hl-h2) =600(3367-2803)=338400〔kJ/h〕=94〔kW〕
2・5
可逆変化 と可逆サ イクル
物 体 に 熱 を加 え る と,内 部 エ ネ ル ギー が 増 加 し,膨 張 して外 部 に対 して 仕 事
をす る 。この 膨 張 は 固体 や 液体 よ り気 体 の 方 が 大 き い。ま た,気 体 は 圧 力 に よ っ て も容 積 が 大 き く変 化 す る。 工 業 上 で は 気 体 を膨 張 させ て仕 事 を させ る こ とが 多 い。 気 体 の 膨 張 に よ る仕 事 は,膨 張 の仕 方,い い か え れ ば 状 態 の変 化 の 方 法 に よ っ て 変 わ る。 こ こで は理 想 的 な 可 逆 変 化 と その と きの 仕 事 につ い て考 え る。 可 逆 変 化(reversible change)は,力
学 的 に も熱 的 に も常 に平 衡 を保 ち な が ら
無 限 に ゆ るや か に 進 め られ る状 態 変 化 で,こ
れ は 途 中か ら逆 の 方 向 に 同 じ よ う
に 平 衡 状 態 を保 って 行 う と完 全 に 元 の状 態 に 戻 す こ とが で き,周 囲 に 全 く何 の 変 化 を残 す こ とが な い。 た と えば,気 体 の 可 逆 変 化 に お い て は,気 体 の あ らゆ る部 分 の 速 度 が き わ め て遅 く ０で あ る と と もに 同 一 の 温 度 と同 一 の 圧 力 で あ り,他 の 物 体 と熱 交 換 を行 う と きは 両 者 の 温 度 が 同 じで な け れ ば な ら な い。 こ の よ う な変 化 は理 想 的 に 考 え られ るが,実
際 に は 不 可 能 な こ とで あ り,自 然 界
に 起 こ る 変 化 は す べ て 不 可 逆 変 化(ir reversible change)で 図2・5に
あ る。
示 す よ う に,シ
リン ダ内 に気 体
を封 入 して 可 逆 変 化 させ る。 ピス トン は シ リン ダ との 間 に 漏 れ も摩 擦 もな い もの とす る 。 シ リ ン ダ 内 の 圧 力 を ｐ,断 面 積 を Ａ と す れ ば,ピ
ス トン 面 に 働 く力 はpAで
あ り,
図2・5
ピ ス トンの 右 側 に これ と釣 り合 う力 Ｆ を作 用 させ て,ピ ス トン を無 限 に緩 や か に(無
限 に 時 間 をか け て)平 衡 状 態 を保 っ た ま ま移 動 させ る と,こ れ は可 逆 変
化 と考 え て よ い°膨 張 の 場 合 は,ピ ス トン の 微 小 移 動 距 離 をdx,そ リン ダー 内 の 容 積 の微 小 増 加 をdVと 事dWは
れ によ るシ
す れ ば,気 体 の 可 逆 膨 張 に よ る微 小 な仕
次 の 式 に よ っ て表 さ れ る。 dW=Fdx=pAdx=pdV
(2・16)
こ の 式 は圧 縮 の 場 合 も成 り立 つ が,容 積 が 減 少 す る の でdWは こ の 仕 事dWは
絶 対 仕 事(absolute work)と
負 の値 に あ る。
い い,工 業 仕 事 と区 別 す る。
しか し,不 可 逆 変 化 の場 合 に は,例 え ば膨 張 で は圧 力 ｐ の低 下 を伴 うの で,
仕 事 は 減 少 して,次
の 式 に な る。
dW
(2・17)
逆 変 化 で は 第 一 法 則 の 式(2・3)dQ=dU+dWは
次 の よ うに
表 さ れ る。
dQ=dU+pdV=m(du+pdυ)
(2・18)
dQ=dH-Vdp=m(dh-υdp)
(2・19)
単 位 質 量 あ た りで は dq=du+pdυ
(2・20)
dq=dh-υdp
(2・21)
〔参 考 〕 式(2・19)の U=H-pVと
誘 導 を 簡 単 に 説 明 す る と,H=U+pVか
ら
なるか ら dQ=dU+pdV=d(H-pV)+pdV=dH-d(pV)+pdV
図2・6に
=dH-(pdV+Vdp)+pdV=dH-Vdp
示 す よ う に,物
体 が あ る 状 態 か ら 出 発 し て,途
中 い ろ い ろ な変 化 を
行 い な が ら再 び 元 の 状 態 に 戻 る よ う な 変 化 を サ イ ク ル(cycle)と
い う 。サ イ ク ル
を構 成 す る 部 分 的 変 化 が す べ て 可 逆 変 化 で あ るサ イ ク ル を 可 逆 サ イ ク ル (reversible cycle)と
い う。 サ イ ク ル の 一 部 で も不 可 逆 変 化 が 含 ま れ れ ば,そ
は 不 可 逆 サ イ ク ル で あ る。
熱 機 関 な どで動 力 を発 生 させ るに は,動 作 す る 流 体 に サ イ ク ル を行 わせ る 必 要 が あ る が,実 際 に起 こ る変 化 は すべ て不 可 逆 変 化 で あ るか ら,実 際 に 行 わ れ るサ イ クル もす べ て 不 可 逆 サ イ クルで あ る。
図2・6サ
イ クル
れ
pV線
2・6
図2・7の よ う に,圧
図 と仕 事
力 ｐ と容 積 Ｖ を 直
交 座 標 の両 軸 に と って,物 体 の状 態 変 化 を 表 し た 線 図 をpV線
図(pV diagram)と
い
い,単 位 質 量 あ た りに 対 して はpυ 線 図 と な る。 可 逆 変 化 の場 合 は こ の線 図 の 面 積 は 仕 事 を表 す の で,こ れ を仕 事 線 図 と もい う。 図 に お い て 気 体 が 状 態 １か ら状 態 ２に可 逆 変 化 した とす れ ば,そ の 間 に外 部 に 対 し て な し た絶 対 仕 事 は,式(2・16)を
積分 し
て次 の 式 で 表 さ れ る。 (2・22)
した が っ て,可 逆 変 化 の絶 対仕 事 はpV線
図 上 の 変 化 を表 す 曲線 と横 軸 との
間 の 面 積 で 表 され る。 これ か ら点 １と ２の位 置 が 同 じで も,状 態変 化 の 経 路 に よ っ て 曲 線1-2の
形 状 が 変 わ っ て,絶 対 仕 事 Ｗ の値 が 変 わ る こ とが わ か る。ま
た,仕 事 が 変 化 の 経 路 に よっ て 異 な る の で,状 態 量 で は な い こ と も理 解 で き る。 工 業 仕 事 に つ い て は,式(2・19)を
こ れ を 式(2・13)に
図2・7の1-2の
変 化 に対 して積 分 す れ ば
応 用 す る と,
(2・23)
した が っ て,可 逆 変 化 の工 業 仕 事 はpV線
図上 の 変 化 を表 す 曲線 と縦 軸 との
間 の 面 積 で表 され る。 絶 対 仕 事 Ｗ と工 業 仕 事Wtと
の 関 係 は,図2・7か
ら明 らか な よ うに 次 の 式 で
示 さ れ る。 Wt=W+p1V1-p2
V2
(2・24)
〔参 考 〕 工 業 仕 事 に つ い て わ れ わ れ が 熱 機 関 か ら仕 事 を取 り出 し,空 気 圧 縮 機 の よ うな作 業 機 に仕 事 を させ る場 合 の仕 事 は,絶 対 仕 事 で は な く工 業 仕 事 で あ る。 これ に つ い て 図2・7に よ っ て,蒸 気 機 関 を例 に そ の あ ら ま しを簡 単 に説 明 す る。 こ こ で は 蒸 気 機 関 の 蒸 気 は 可 逆 変 化 を行 い,ピ ス トンが シ リ ン ダ の最 上 部 に達 した と き に 隙 間 が な い と考 え る。 蒸 気 は ボ イ ラか ら蒸 気 管 を通 して シ リン ダ 内 に 供 給 され,圧 力 一 定 の ま ま ピス トン を押 し動 か して,面 積C1 aoに 相 当す る絶 対仕 事 をす る。 こ こ で蒸 気 の供 給 は止 ま るが,蒸 気 は 引 続 き ピ ス トン を 押 し動 か して 曲 線1-2の
よ うに 膨 張 し,面 積12baの
絶対仕
事 をす る。こ れ で 蒸 気 は仕 事 が 終 わ り,そ の圧 力 一 定 の下 に ピ ス トン に よ っ て シ リン ダ 外 に 押 し出 され る が,こ の 面積d2boの
絶 対 仕 事 は,蒸 気 に は ピ
ス トン に よ って な さ れ た負 の仕 事 で あ る。 した が っ て,蒸 気 が ピ ス トン に 対 し て な した絶 対 仕 事 は 面 積c12boで ス トンか ら受 け 取 る の で,そ
あ るが,面 積d2boの
の 差 の 面 積c12dに
絶対 仕事 を ピ
相 当 す る仕 事 が 取 り出せ
る こ とに な る。 これ が 工 業 仕 事 で あ る。 実 際 の機 関 で は,可 逆 変 化 は不 可 能 で あ り,い ろ い ろ な 損 失 も加 わ る の で,取
り出せ る仕 事 は 面積c12dよ
例題 2・8
圧 力240kPa,容
積 が0.6m3に
り小 さ くな る。
積0.35 m3の
気 体 が,圧
力 一 定 の 下 に 膨 張 して容
な っ た 。 気 体 が 外 部 に 対 し て な し た 仕 事 は い く ら か 。 ま た,こ
と き の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 増 加 が950kJな
ら ば,供
給 した 熱 量 は い く らか 。
〔 考 え 方 〕 気 体 が 膨 張 し て外 部 に 対 し て な した 仕 事 は,式(2・22)で う条 件 で 求 め る。 供 給 し た 熱 量 は 式(2・5)で 〔 解 〕 式(2・22)に て,p=240kPa=240×103
お い て,圧 Pa,
の
圧 力 一 定 とい
計 算 す る。
力 一 定 で あ るか ら変 化 前 後 に 添 字 １お よ び ２を つ け V1=0.35
m3,V2=0.6m3か
ら
=240×103
×(0
.6-0.35)
=60×103〔N・m〕 =60〔kJ〕 供 給 し た 熱 量 は 式(2・5)で,U2-U1=950〔kJ〕
で あ るか ら
Q=U2-U1+W=950+60=1010(kJ)
例題
2・9
と な り,内
圧 力0.4MPa,容
積0.5m3の
部 エ ネ ル ギ ー が250kJだ
気 体 が 圧 力 一 定 の 下 に 容 積 が0.3m3
け 減 少 し た 。 こ の と き,気 体 に 外 部 か ら な
され た仕 事 お よ び 気 体 が 外 部 へ放 出 した 熱 量 は い く らか 。 2・8
〔 考 え方〕 例 題
答 に 負 号 が つ くの で,そ 〔 解〕
と 同 じ に 式(2・22)と
式(2・5)を
使 っ て 解 く。 こ の 課 題 で は
の 意 味 を よ く理 解 す る。
式(2・22)にp=0．4MPa=0.4×106Pa,
V1=0．5m3,
V2=0.3m3を
入 れ
る
と外 部か らの仕事 は
=0
.4×106×(0.3-0.5)
=-80×103〔N・m〕 =-80〔kJ〕
負号 は外部 か ら仕事 が加 え られ た こ とを意味 す る。 式(2・5)で,U2-U1=-250〔kJ〕,
W=-80〔kJ〕
とす れ ば
外部 へ の放 出熱 量 は Q=U2-U1+W=-250-80=-330〔kJ〕
負 号 は 外 部 へ 熱 を放 出 した こ と を 意 味 す る。
例題 2・10
空 気 圧 縮 気 で290K,101
kPaの
空 気 を500 kPaま
ず つ 圧 縮 す る。 この と き,圧 縮 機 を運 転 す る動 力 が25kWで,空 ル ピの 増 加 が160kJ/㎏
で,毎
分6㎏
気 の比エ ンタ
で あ る とす れ ば,圧 縮 機 か らの 熱 損 失 は い く らか 。 た
だ し,圧 縮 機 の 入 口 お よび 出 口 に お け る空 気 の 速 度 は ほ ぼ 等 しい もの とす る。 〔考 え 方 〕 こ の 課 題 は,C1=C2で
あ り,ま
たz1=z2と
し て よ い か ら 式(2・13)に
よ っ
て解 くが,Ｑ
は 外 部 に 放 出 さ れ, Wtは
こ と に な る 。 な お,単
外 部 か ら加 え られ るの で, と もに 負 号 が つ く
位 も揃 え な け れ ば な ら な い 。
〔 解 〕 式(2・13)に
次 の 数 値 を い れ て,
Wt=-25kW=-25×103J/S, h2-h1=160
qm=6㎏/min=0.1㎏/s
kJ/㎏=160×103
J/㎏
Q=Wt+qm(h2-h1) =-25×103+0
.1×160×103
=-9×103
〔J/s〕=-9〔kJ/s〕
負 号 は 熱 が 外 部 に 放 出 さ れ た こ と を示 す 。
〔 演
１．水 が150mの
習
高 さ か ら落 ち る場 合,水
と全 く熱 交 換 が な い とす れ ば,水
問
題Ⅱ
〕
の 落 下 の 全 エ ネ ル ギー が 熱 に 変 わ り,周 囲
の 温 度 上 昇 は い く らか 。 ま た,水 銀 の 場 合 に は い
く らか 。た だ し,水 お よ び 水 銀 の 比 熱 は4.186kJ/㎏
・Kお よ び0．139 kJ/㎏
・K一 定
とす る。 ２.ホ イ ス トで3000㎏
の荷 重 を垂 直 に10m下
キ で荷 重 の 降 下 速 度 を制 御 しつ つ30秒 を無 視 す る と,ブ
ろ す もの とす る 。こ の と き摩 擦 ブ レ ー
で 下 ろ す とす れ ば,軸
受摩 擦 その他 の 損 失
レー キ や ホ イ ス トの 機 構 か ら放 散 され る熱 量 は い く らか 。
３.静 止 して い る あ る気 体 に3kJの
熱 量 を与 え た と こ ろ,内 部 エ ネ ル ギ ー が2.2kJ増
え た と い う。 外 部 に 対 して な した 仕 事 は い く らか 。 ４.シ リ ン ダ 内 に あ る0.3㎏ て2200Jの
の 気 体 が,3500 Jの 熱 量 を受 け る と と もに,外 部 に 対 し
仕 事 を し た。 こ の と き,比
内 部 エ ネ ル ギ ー の 増 加 は い く らか 。
５.管 路 内 を流 体 が 定 常 流 れ して い る。 直 径 が50㎜ m/sで
あ る と き,直 径 が100㎜
の 断面 に お け る平 均 流 速 が,2
の 断 面 の 平 均 流 速 は い く らか 。 た だ し,流 体 の 比
容 積 は 一 定 とみ な して よ い。 ６.圧
力1100kPa,比
容 積0.22
エ ン タ ル ピ ー は 何kJか
７.圧 力200kPa,容
m3/㎏,比
内 部 エ ネ ル ギ ー2740 kJ/㎏
積1.66 m3の
の
状 態 に あ る気 体 を,等 圧 の 下 に容 積 を ２倍 に し た 。
こ の と き,内 部 エ ネ ル ギ ー の 増 加 が410kJで は い く らか 。
の 気 体10 ㎏
。
あ っ た とす れ ば,エ ン タル ピー の 増 加
８.あ m3の
る気 体3㎏
が 圧 力105 kPa,容
積2.2m3の
状 態 か ら,圧 力400 kPa,容
積0.6
状 態 に 変 化 した 。こ の 変 化 で 内 部 エ ネ ル ギー に 変 化 が な い とす れ ば,エ ン タ ル
ピー の 増 加 は い く らか 。 ９.あ る気 体 が 圧 力250kPa一
定 の 下 に,容 積 が0.005 m3だ
け 膨 張 し た 。こ の と きの
仕 事 を求 め よ。 10.質
量3㎏,容
積3m3の
気 体 が 等 圧 の 下 に,外
容 積 が ２倍 に な る と共 に外 部 に7.5kJの
部 か ら10 kJの
熱 量 を供 給 さ れ て,
仕 事 を し た とす る。こ の と き の 内部 エ ネ ル
ギ ー の 変 化 と気 体 の 圧 力 を求 め よ。 11.あ
る蒸 気 タ ー ビ ン が 毎 秒14㎏
の 蒸 気 の 供 給 を受 け て 動 力 を発 生 して い る。 蒸 気
の 比 エ ン タ ル ピー が 蒸 気 タ ー ビ ン の 入 口 で は3160kJ/㎏,出 す る と,発 生 す る動 力 は何kWか
口 で は2660 kJ/㎏
と
。 た だ し,タ ー ビ ン の 入 口 と 出 口の 蒸 気 の 力 学 的
エ ネ ル ギ ー の 差 は 無 視 で き る もの と し,タ ー ビ ンか ら の 熱 損 失 も な い も の と し,蒸 気 は 定 常 流 れ し て い る と考 え る。 12.あ
る 蒸 気 タ ー ビ ン は,蒸 気 の 比 エ ン タ ル ピー が ター ビ ン の 入 口 で3060kJ/㎏,出
口 で2430kJ/㎏
で あ り,発 生 す る 動 力 が 蒸 気1㎏
タ ー ビ ン か ら周 囲 に 放 散 した 熱 量 は 蒸 気1㎏
あ た り580 kJ/㎏
とす る と,
あ た りい く ら に な る か 。た だ し,タ ー
ビ ンの 入 口 と出 口 の 蒸 気 の 力 学 的 エ ネ ル ギ ー の 差 は 無 視 し,蒸 気 は 定 常 流 れ す る も の と考 え る。
〔
略
解
〕
１.落 下 の 全 エ ネ ル ギ ー は位 置 エ ネ ル ギー に 等 し く,そ れ が 全 部 熱 に 変 わ るの で,単 位 質 量 あ た りを 考 え て Q=Ep=mgz=1×9.81
式(1・3)か
ら,水
T2-T1=Q/C＝1471
× 150=1471.5〔J〕
の場 合 は
．5/41 86=0.352〔K〕
水銀 の場合 は T2-T1=Q/C=1471.5/139=10.59〔K〕
２.荷 重 の位 置 エ ネ ル ギ ー の 減 少 が す べ て 熱 に 変 わ るか ら
Q=mgz=3000×9.81×10=294300〔J〕 =294 ３.式(2・5)か
.3〔kJ〕
ら W=Q-(U2-U1)=3-2.2=0.8〔kJ〕
４.式(2・5)か
ら U2-U1=Q-W=3500-2000=1500〔J〕=1.5〔kJ〕
５.式(2・6)で
解
６.式(2・9)で
く が,υ1=υ2で
あ る か ら,A1c1=A2
C2と
な り
解 く。 H=m(u+pυ)=10×(2740+1100×0.22) =29820〔KJ〕
７.式(2・9)か
ら,等
圧 な の でp1=p2=pと
して
H2-H1=(U2-U1)+(pV2-pV1) =(U2-U1)+p(V2-V1) =410+200×(3.32-1.66) =742〔kJ〕 ８.式(2・9)か
ら,
H2-H1=p2V2-p1V1 =400×0 ９.式(2・22)か
.6-105×2.2=9〔kJ〕
ら 等 圧 な の で,W=p(V2-V1)と W=p(V2-V1)=250
=1 10.式(2・5)を
な り
× 0.005
.25〔kJ〕
変形 して U2-U1=Q-W=10-7.5=2.5〔kJ〕
式(2・22)か
11.式(2・13)か
ら 等 圧 な の で,W=p(V2-V1)と
ら
な るの で
Wt=(ｑ ｍ(h1-ｈ2)=14×(3160-2660)
=7000〔kJ/S〕=7000〔kW〕=7〔MW〕 12.式(2・13)か
ら
Q=Wt+h2-h1=580+2430-3060 =-50〔kJ/㎏
〕
負号 は熱 が外部 へ放 散 され た こ とを意味 す る。
３理
想
体
気
熱 を動 力 に 変 換 す る際 に 気 体 の 膨 張 を利 用 す る な ど,工 業 上 い ろ い ろ な面 で 気 体 を使 用 す る。 実 在 の 気 体 の性 質 は 複 雑 で簡 単 な状 態 式 に 表 す こ とは で き な い 。 理 想 気体 は簡 単 な状 態 式 で表 され る仮 想 上 の気 体 で あ るが,熱
力学上重 要
な 気 体 で あ る。 こ の章 で は そ の性 質 や 状 態 変 化 な どに つ い て 説 明す る。
3・1
理想気体の状態式
工 業 上 あ る い は 日常 生 活 で取 り扱 う気 体 は,ガ ス と蒸 気 に大 別 され るが,こ の 区 別 は 明確 な もの で は な い。 蒸 発 や 凝 縮 の状 態 に近 い 気 体 を蒸 気 とい い,そ の 状 態 か ら相 当 に離 れ た 気体 を ガ ス とい う。 し た が っ て,一 種 の 気 体 が 温 度 と圧 力 に よ っ て 蒸 気 に もガ ス に もな る。こ の 章 で取 り扱 う気 体 は す べ て ガ ス で あ る。 理 想 気 体(ideal gas)ま た は 完 全 ガ ス(perfect gas)は,ボ
イ ルーシ ャル ル の 法
則 が 完 全 に 成 立 す る理 想 的 な気 体 で,そ の ため 状 態 式 は 簡 単 な 形 で 表 さ れ る。 理 想 気 体 は 厳 密 に い えば 存 在 しな い仮 想 上 の 気 体 で は あ るが,熱 な気 体 で あ る。 実 在 の 気 体 の う ちガ ス と呼 ば れ る気 体 は,多
力学上 は重要
くの場 合 は近 似 的
に 理 想 気体 とみ な して 取 り扱 っ て 差 し支 え な い。蒸 気 の場 合 も低 圧,高 温 で あ れ ば 理 想 気 体 とみ な す こ と もで き る。 理 想 気 体 の 状 態 式 は,温 積 をυ 〔m3/㎏ 〕,質
度 をT〔K〕,圧
量 をm〔
力 をP〔Pa〕,容
積 をV〔m3〕,比
㎏ 〕とす れ ば
質 量m〔 ㎏ 〕あ た り pV=mRT
(3・1)
容
表3・1主
要 な理 想気 体 のモ ル 質 量(分 子 量),ガ
日本機 械 学 会 「機械 工 学 便 覧(新 版)」 に よる
ス定数,標 準 密 度 お よ び比 熱
pυ=RT こ こ で,R〔J/㎏
(3・2)
・K〕は ガ ス 定 数(gas constant)と
呼 ば れ る 定 数 で,そ の 値 は
気 体 の 種 類 に よ っ て 異 な る 。 主 な 気 体 の ガ ス 定 数 の 値 を 表3・1に ま た,気
体 の 分 子 量(モ ル 質 量)を
で 与 え ら れ る か ら,理
Ｍ で 表 せ ば,モ
想 気 体 の 状 態 式(3・1)は
ル
示す。
数n〔mol〕
はn=m/M
次 の よ うに表 す こ と も で き る。
pV=nMRT (3・3)
〕は 一 般 ガ ス 定 数 と呼 ば れ,気 体 の種 類 に 関 わ らず
こ こ で, R0=MR〔J/mol・K 一 定に な り ,次
の 値 に な る。
R0=MR=8.31433〔J/mol・K〕 =8314
(3・4)
.33〔J/kmol・K〕
ゆ え に,任 意 の 気 体 の分 子 量 を Ｍ とす れ ば,ガ ス定 数 Ｒ は 次 式 で 求 め られ る。
(3・5)
〔 参 考 〕 ボ イ ルーシ ャ ル ル の 法 則 と理 想 気 体 の 状 態 式 につ い て ボ イ ル ーシ ャ ル ル の 法 則 か ら 理 想 気 体 の 状 態 式 の 誘 導 に つ い て 説 明 す る 。 理 想 気 体 の 質 量 は1㎏ ボ イ ル(Boyle)の
とす る。
法 則 は マ リ オ ッ ト(Mariotte)の
法 則 と も い わ れ,次
の
よ うに 表 され る。
「温 度 が 一 定 な ら ば,理
し た が っ て,T1=T2=Tな シ ャ ル ル(Charles)の
想 気 体 の 比 容 積 は 圧 力 に 反 比 例 す る 。」 ら ば, p1υ1=p2υ2=pυ
と な る。
法 則 は ゲ イ リュ サ ッ ク(Gay Lussac)の
法 則 と も
呼 ば れ, 「圧 力 一 定 な ら ば,理 想 気 体 の 比 容 積 は 温 度 の 変 化 に 比 例 し て 増 減 す る 。」 ゆ え に,初
め の 温 度 をt1,比
容 積 を υ1と し,温 度 がt2に
変 わ っ た と き の比
容 積 を υ2と し て,０ ℃ の 比 容 積 を υ0,気 体 の 膨 張 係 数 を α と す れ ば,次
の
関係 が 成 り立 つ 。 υ1=υ0(1+αt1),
υ2=υ0(1+αt2)
こ こ に α は 気 体 の 膨 張 係 数 で,α=1/273.15で し た が っ て,P1=P2=Pな
あ る。
ら ば ， υ1/T1=υ2/T2=υ/Tに
な り,次
の よ う
に い い 表 す こ と も で き る。
「圧 力 一 定 な らば ,理 想 気 体 の 比 容 積 は 絶 対 温 度 に 比例 す る。」 ボ イ ル の 法 則 と シ ャル ル の 法 則 を結 合 す る と,温 度 と圧 力 が と もに 変 わ っ た 場 合 の 関 係 式 が得 られ,そ
れ が理 想 気 体 の 状 態 式 で あ る。
初 め の 状 態 １ をP1,υ1, T1,終
りの 状 態 ２ をP2, υ2,T2と
し,１ か ら ２の
変 化 を ２段 に 分 け て 考 え る 。 ま ず 温 度 一 定 の 下 に 圧 力 がP1か し,そ
れ に と も な っ て 容 積 が υ1か ら υ に 変 わ っ た と す れ ば,ボ
らP2に
変化
イルの法則
か ら (１)
P1υ1=P2υ
と な る 。次 に 圧 力P2一
定 の 下 に 温 度 がT1か
υ2に 変 化 し た と す れ ば,シ
らT2に
変 わ り,容 積 も υか ら
ャルルの法則 に よ り
(２)
式(１)と(２)を
し た が っ て,一
結 合すれ ば
般 にpυ/T=Rと
す れば (３)
pυ=RT
この よ うに して 得 られ た 式(３)が
理 想 気 体 の 状 態 式 で あ る。
〔参 考 〕 絶 対 零 度 に つ い て 理 想 気体 の 状 態 式 お よ び そ の 誘 導 の過 程 か ら,温 度 がT=0〔K〕 ちt=-273.15〔
す なわ
℃ 〕の 状 態 につ い て考 え る と,圧 力 ｐ が 一 定 な らば 比 容 積
υは ０ とな り,υ が一 定 な らば ｐ は ０と な る。圧 力や 比容 積 が 負 の値 に な る こ とは あ りえ な い。 し たが っ て,T=0〔K〕(t=-273.15〔
℃ 〕)が 最 低 温
度 す な わ ち絶 対 零 度 で あ っ て,こ れ よ り低 い温度 は 存 在 しな い こ とに な る｡ ま た,気 体 分 子 運 動 論 に よ る と気 体 分 子 の 並 進 運 動 の 運 動 エ ネ ル ギー は 絶 対 温 度 に 比 例 す る。 した が っ て,温 度 が低 下 す る に し たが っ て分 子 の運 動 は 小 さ くな り,絶 対 零 度 に な る と運 動 は停 止 す る。 ま た気 体 の圧 力 は分 子 が 器 壁 に衝 突 す るこ とに よ っ て 生 じる の で,運 動 が 止 まれ ば圧 力 は ０に な る。 運 動 が 負 に な る こ とは 考 え られ な い の で,絶 対 零 度 よ り低 い 温 度 は 存 在 しな い 。
例題
物 理 学 上 の 標 準 状 態(273.15K,101.325
3・1
質 量 と 比 容 積 を 求 め よ 。 ま た,1kmolの 数 は287.03J/kg・Kと
kPa)に
お け る空 気 の 比
容 積 を 求 め よ 。 た だ し,空
気 の ガ ス定
す る｡
〔 考 え 方 〕 空 気 を理 想 気 体 とみ な し,そ の 状 態 式 か ら求 め る。 〔 解 〕 式(3・1),(3・2),(3・3)を T=273.15K,
R=287.03J/kg・K,
比質 量 は
比容積 は
1kmolの
容 積Vは
p=101.325
そ れ ぞ れ 変 形 し,次 × 103 Pa,
V=1m3,
R0=8314.33〔J/kmol・K〕
n=1
の 数 値 を 入 れ て 計 算 す る。
=22
.414〔m3〕
例題
3・2
た,こ
の 酸 素 を 温 度383K,1.01MPaの
温 度283K,圧
力101 kPa,容
積1.5m3の
酸 素 の 質 量 を 求 め よ.ま
状 態 に 変 化 さ せ る と,容 積 は い く ら に
な るか 。 〔 考 え方 〕 酸 素 を理 想 気 体 とみ な し,式(3・1)で
解 く。 酸 素 の ガ ス 定 数 は 表3・1を
見 て 調 べ る。 〔 解 〕 式(3・1)を
質 量 お よ び 容 積 が 求 め られ る よ う に 変 形 し て 計 算 す る。
T1=283K, p2=1.01
p1=101×103 × 106 Pa,
Pa,
V1=1.5m3,
T2=383
K,
R=259.833J/kg・K
質量は
変化 後 の容積 は
3・2
理 想気 体 の 内部 エ ネ ル ギー, エ ン タ ル ピー,比
熱
内部 エ ネ ル ギー に 関 す る ジ ュ ー ル の 法 則 か ら 「理 想 気 体 の 内 部 エ ネ ル ギ ー は ,容
積 に は 無 関 係 で,温
度 の み の 関 数 で あ る 。」
内 部 エ ネ ル ギ ー が 温 度 の み の 関 数 で 容 積 に 無 関 係 で あ れ ば,圧 あ る こ と に な る 。 こ の 法 則 は 理 想 気 体 に は 厳 密 に 成 り 立 つ が,実
力 に も無 関 係 で 在の気体 には
近 似 的 に しか 成 立 し な い 。 内 部 エ ネ ル ギ ー に 関 す る ジ ュ ー ル の 法 則 が 厳 密 に 成 立 す る と い う こ と は,理
想 気 体 の 特 性 の 一 つ で あ る 。 ま た,理
ル ピ ー はh=u+Pυ=u+RTと
想気体 のエ ンタ
な る か ら,理 想 気 体 の エ ン タ ル ピ ー も温 度 の み
の 関数 で あ る。 理 想 気 体 の 比 熱 で 重 要 な の は 容 積 一 定 の 場 合 の 定 容 比 熱(specific hert at constant volume)Cυ
と,圧
力 一 定 の 場 合 の 定 圧 比 熱(specific hert at con
stant pressure)Cpで
あ る。 比 熱 は1・2節 で 「単 位 質 量 の物 体 の 温 度 を,単 位 温
度 だ け 上 昇 させ る熱 量 」と定 義 したが,単 位 質 量(1㎏)の を与 え て,微 小 な 温度dTだ
物 体 に微 小 な熱 量dq
け 上 昇 した と して,比 熱 Ｃ を次 の 式 で 表 した方 が
厳 密 な 定 義 に な る。
(3・6)
Cυ とCpに
つ い て も それ ぞ れ容 積 一 定 お よび 圧 力 一 定 とい う条件 で,同
じよ う
な 形 の 式 で 表 す こ とが で き る。 第 一 法 則 の 式(2・20),(2・21)の
dq=du+pdυ,
dq=dh-υdp
と内部 エ ネ ル
ギ ー に 関 す る ジ ュー ル の 法 則 とか ら,理 想 気体 に対 して は次 の よ う に表 せ る。
(3・7)
(3・8)
し た が っ て,Cυ
と Ｃpに 値 が わ か れ ば,上
の 二 つ の 式 を積 分 し て,理 想 気 体 の 内
部 エ ネ ル ギー とエ ン タ ル ピー が 求 め られ る。
理 想 気 体 の 比 熱 は 温 度 の み の 関 数 で あ るが(比
熱が温度 のみの関数 で あるこ
と も理 想 気 体 の特 性 の 一 つ で あ る),比 熱 が 一 定 の 場 合 と温度 の 関 数 で あ る場 合 とは,そ
の 取 り扱 い 方 が 違 っ て くる。 比 熱 一 定 の場 合 を狭 義 の 理 想 気 体,温
度
の 関 数 の 場 合 を半 理 想 気 体 と区別 す る場 合 も あ る。 比 較 的 低 温 の 範 囲 で は 比 熱 一 定 と考 え て よ く ,ま た あ る温 度 範 囲 につ い て 平 均 比 熱 を とっ て 取 り扱 う こ と もで き る。 比 熱 一 定 す な わ ちCυ
とCpが
一 定 とす れ ば,式(3・7),(3・8)を
積 分 し て,
理 想 気体 の 内 部 エ ネ ル ギ ー とエ ン タル ピー は 次 の 式 に な る。
こ こ に,u0は
u=Cυ
T+u0
h=Cp
T+u0
(3・9) (3・10)
積 分 定 数 で 適 当 な 基 準 状 態 で,u=0ま
め る 。 し た が っ て,理
た はh=0に
な る よ うに定
想 気 体 が 状 態 １か ら ２ に 変 わ っ た と き の 内 部 エ ネ ル ギ ー
お よ び エ ン タ ル ピー の変 化 量 は,次 の 式 で求 め られ る。 (3・11)
(3・12)
第 一 法 則 の 式(2・20),(2・21)に を代 入 す れ ば,理
式(3・7),(3・8)あ
る い は 式(3・9),(3・10)
想気体 では第一法則の式 は
(3・13)
(3・14)
こ こ で,式(3・14)か
ら 式(3・13)を
引 い てPυ=RTを
利 用 す る と, Cυ とCp
の 関 係 を示 す 次 の 式 が 得 ら れ る 。 (3・15)
(3・16)
こ れ はCpがCυ
よ り も温 度1〔K〕 の 上 昇 に よ る膨 張 の 際 の 外 部 仕 事 の 分 だ け
大 き い こ と を示 して い る。 定 圧 比 熱 と定 容 比 熱 の 比 を 比 熱 比 と い い,κ=Cp/ 16)に
入 れ る と,次
Cυ で 表 し て 式(3・15),(3・
の 関係 式 が 得 られ る。
(3・17)
こ こ ま で 比 熱 は 質 量 あ た り と し て き た が,モ
ル あ た り で 扱 う と便 利 な 場 合 も
あ り,１ モ ル の 気 体 の 比 熱 を モ ル 比 熱 と い う 。 モ ル 定 圧 比 熱 をCpM,モ 熱 をCυM,分
子量 を Ｍ
とす れ ば,式(3・16)(3・17)と
ル定 容 比
同 じ形 で
(3・16′)
と な り,両 モ ル 比 熱 の 差 は す べ て の 気 体 に 対 し て 等 し く,ま た κ=CpM/CυMと
す
れ ば
(3・17′)
〔 参 考 〕 比 熱 比 κに つ い て 気 体 分 子 運 動 論 に よ る と比 熱 比 κの 値 は,気 体 分 子 の 運 動 の 自 由 度 に よ っ て 定 ま り,気 体 の種 類 に よ り次 の よ う に な る。 単 原 子 気 体(自 ２原 子 気 体(自
由度 ３)
: κ=5/3=1.667
由 度 ５)
３原 子 以 上 の 気体(自
:κ=7/5=1.40
由度 ６)
: κ=8/6=1.333
この 値 は 表3・1に 示 され る よ うに 単 原 子 気体 お よび ２原 子 気 体 に 対 して は 相 当 に よ く合 致 す るが,３ 原 子 以 上 の 多原 子 気 体 に 対 して は 多 少 の相 違 が み られ る。
例題 3・3
空 気3kgを
る 熱 量 と,内
圧 力 一 定 の 下 に273 Kか
ら373 Kま
で加 熱 す る に 要 す
部 エ ネ ル ギ ー お よ び エ ン タ ル ピー の 変 化 を 求 め よ 。 た だ し,空
は理 想 気 体 とみ な し,そ の定 圧 比 熱 は
気
定容 比熱 は 0.718kJ/
1.005kJ/kg・K,
㎏ ・K そ れ ぞ れ 一 定 とす る。 〔考 え 方 〕 加 熱 に 要 す る熱 量 は 式(1・3)の
Ｃ をCpと
お よ び エ ン タ ル ピ ー の 増 加 量 は 式(3・11),(3・12)で
〔 解 〕 式(1・3),(3・11),(3・12)に m=3kg,
T2=273
計 算 す る｡
そ れ ぞ れ 数 値 を 入 れ て 計 算 す る。
K, T2=373
K, Cp=1.005
加 熱 に 要 す る熱 量 Ｑ は Q=mCp(T2-T1)=3×1.005
×(373-273) =301
.5〔kJ〕
内部 エ ネル ギー の増加 は U2-U1=mCυ(T2-T1)=3×0.718×(373-273) =215
エ ン タ ル ピー の 増 加 は
して 求 め る。 内 部 エ ネ ル ギ ー
.4〔kJ〕
kJ/kg・K,
Cυ=0.718
kJ/kg・K
H2-H1=mCp(T2-T1)=3×1.005×(373-273) =301
例題
分 子 量44の
3・4
熱 す る の に287kJの
.5〔kJ〕
理 想 気 体5kgを
圧 力一 定 の 下 に10℃ か ら80℃ ま で加
熱 量 を要 した 。この 気 体 を容 積 一 定 の 下 に10℃ か ら100℃
ま で加 熱 す る に 要 す る 熱 量 を求 め よ。 ま た,こ の と き の 内部 エ ネ ル ギー お よび エ ン タ ル ピー の 増 加 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 容 積 一 定 で あ り,加 熱 に 要 す る熱 量 は 式(1・3),内 タ ル ピー の 増 加 は 式(3・11)と(3・12)に 要 に な る。そ こ で 式(1・3)か
部 エ ネ ル ギ ー とエ ン
よ っ て求 め られ るが,そ
らCp,式(3・5)か
れ に はCp, Cυが 必
ら Ｒ を 求 め,そ れ を利 用 して 式(3・15)
でCυ を求 め る。 そ の 結 果 を使 っ て 計 算 す る。 な お,温
度 差 は1K=1℃
で あ るか ら セ
ル シウス度 の ま まで よい。 〔 解 〕 ま ず,Cp, M=44,m=5kg, 式(1・3)を
Ｒ, Cυ を 求 め る 。 式(1・3)のCをCpと t1=10℃,
式(3・15)か
お よ び100℃,
Q=287
kJ
変 形 して
=0 式(3・5)か
t2=80℃
して
.82〔kJ/kg・K〕=820〔J/kg・K〕
ら
ら Cυ=Cp-R=820-188.96=631〔J/kg・K〕
加 熱 に要 す る熱 量 は 式(1・3)を
利 用 して
Q=mCυ(t2-t1)=5×631×(100-10) =283950〔J〕=283
.95〔kJ〕
内 部 エ ネ ル ギ ー と エ ン タ ル ピ ー の 増 加 は 式(3・11)と(3・12)か U2-U1=mCυ(t2-t1)=5×631×(100-10) =283950〔J〕=283 H2-H1=mCp(t2-t1)=5×820×(100-10)
.95〔kJ〕
ら
=369000〔J〕=369〔kJ〕
例題
あ る理 想 気 体10kgの
3・5
温 度 を200℃ だ け 上 げ る に要 す る熱 量 は,圧
力 一 定 の 場 合 と容 積 一 定 の場 合 との 間 に375kJの
差 が あ る。この 気 体 の ガ ス 定
数 を求 め よ。 〔考 え 方 〕 圧 力 一 定 と容 積 一 定 との 間 に あ る 必 要 な 加 熱 量 の 差 は,CpとCυ に よ っ て 生 じ る 。 式(1・3)の 式(3・15)のCp-Cυ=Rの
〔解 〕
m=10
式(1・3)のCの
Ｃ の 代 わ り にCpとCυ
を 入 れ て, Cp-Cυ
との 差
を 求 め れ ば,
関 係 で Ｒ が わ か る。
kg, t2‐t1=200℃,加
代 わ りにCpとCυ
熱 量 の 差=375
kJ
を入 れ る と加 熱 量 の 差 は
mCp(t2-t1)-mCυ(t2-t1)=m(Cp-Cυ)(t2-t1) =mR(t2-t1)=375〔kJ〕
ゆ えに
3・3
理想気体の状態変化
理 想 気 体 の状 態 変 化 は 次 に 示 す よ うな 可 逆 変 化 と不 可 逆 変 化 に大 別 され る。
可 逆変化
(１) １)
等温変化
２)
定圧変化
４)
可逆 断熱変化
５)
ポ リ トロー プ 変 化
２)
絞り
３)
定容変化
３)
気体 の混合
不 可逆変化
(２) １)
不可逆 断熱変化
本 節 で は,主 質 量m〔kg〕
に可 逆 変 化 に つ い て 説 明 す る。 の 理 想 気 体 が状 態 １か ら状 態 ２ま で 変 化 す る場 合,外
て な す絶 対 仕 事 を Ｗ,工 業 仕 事 をWt,外
部 に対 し
部 か ら供 給 さ れ る熱 量 を Ｑ と し,圧
力 Ｐ,容 積 Ｖ,温 度 Ｔ,内 部 エ ネ ル ギ ー Ｕ,エ ン タル ピー Ｈ な どの 状 態 量 は, 状 態 １お よ び ２を添 え 字 に よ っ て表 す 。 ま た,υ,ｕ, ｈの小 文 字 は 単位 質 量 あ
た りを示 し,ｔ は セ ル シ ウ ス 度 を表 す もの とす る。な お,こ こ で は 膨 張 の場 合 を 正 とす るの で,逆 〔１〕
の 圧 縮 の場 合 は 負 と して 扱 えば よ い。
等温変化
等 温 変 化(isothermal
change)は
一 定 とい う変 化 で あ るか ら ,理 p1V1=p2
と な り,PV線
V2=pV=定
気 体 の 温 度 が 一 定 す な わ ちT1=T2=T=
想 気 体 の 状 態 式(3・1)か
ら (3・18)
数
図 は 図3・1の
よ うに 直 角 双 曲線 に な る。
等 温 膨 張 の 際 に外 部 に 対 して す る絶 対 仕 事 Ｗ は, 式 (2・22) に
の 関係 を入 れ る と,
図3・1等
温 変化 (3・19)
こ こ にV2/V1を 膨 張 比 と い い,
p1/P2を 圧 力 比 とい う。 等 温 膨 張 の絶 対 仕事 Ｗ は T1が 高 い ほ ど大 き く,膨 張 比 や 圧 力 比 に 関係 す る。 等 温 変 化 で はp1V1=P2
V2で
あ る か ら,式(2・24)は
Wt=W〔J〕
(3・20)
とな り,絶 対 仕 事 と工 業 仕 事 は 等 しい 。 理 想 気体 の 内部 エ ネ ル ギ ー Ｕ は 温 度 の み の 関数 で あ る か ら,等 温 膨 張 で は Ｕ は変 化 し な い の で,外 部 か ら供 給 し た熱 量 Ｑ は す べ て が 仕 事 Ｗ に な る。す な わち (3・21)
等 温 圧 縮 の 場 合 に は,外 部 か らの 仕 事 は(-Ｗ)で
あ るか ら,熱 量 も(-Ｑ)
に な り,外 部 か ら加 え た仕 事 は全 部 熱 と して 取 り出せ る こ とに な る。 例 題3・6あ
る 理 想 気 体 が 圧 力300kPa,容
積0.3m3の
状 態 か ら,等 温 膨 張 し
て容 積 が ５倍 に な っ た。 こ の 気体 の 膨 張後 の 圧 力,外
部 に対 して な した仕 事 お
よ び 外 部 か ら供 給 され た熱 量 を求 め よ。 〔 考 え方 〕 等 温 変 化 で あ るか ら,膨 張 後 の 圧 力 は 式(3・18),膨 張 に よ る仕 事 は 式(3・ 19),膨
張 に 必 要 な 熱 量 は 式(3・21)か
ら求 め る。
〔 解〕 与 え られた 次の状 態量 をそれ ぞれの 式に 入れ て計 算す る。 p1=300×103
式(3・18)か
ら
式(3・19)か
ら
Pa,
V1=0.3m3,V2/V1=5
W=p1V1lnV2/V1=300×103×0.3×ln5 =144850〔J〕=144 式(3・21)か
.85〔kJ〕
ら Q=W=144．85〔kJ〕
例 題3・7あ
る 理 想 気 体 を 圧 力100kPa,容
圧 力 を1600kPaに
積0.8m3の
状 態 か ら,等 温 の 下 に
した。 この と き,圧 縮 後 の 容 積,外 部 か ら加 えた 仕 事 お よび
外 部 に放 散 した 熱 量 を求 め よ。 〔 考 え方 〕 等 温 変 化 で あ る か ら,例 題3・6と る点 に 気 を つ け る。 圧 力 はkPaの
同 じ よ う に し て解 く。た だ し,圧 縮 で あ
ま ま で計 算 す る。
〔 解 〕 与 え られ た 状 態 量 を そ れ ぞ れ の 式 に い れ て 計 算 す る。 p1=100kPa,
式(3・18)か
ら
式(3・19)か
ら
V1=0.8m3,
p2=1600
kPa
W=p1V1lnp1/p2=100×0.8×ln
=-221 式(3・21)か
100/ 1600
.8〔kJ〕
ら Q=W=-221.8〔kJ〕
Ｗ と Ｑ の 負号 は そ れ ぞれ外 部 か ら加 え られ た仕 事 お よ び外 部へ 放 散 した熱 量 で あ るこ とを示 す。 〔２〕
定圧変化
定 圧 変 化(constant で あ る か ら,pV線
pressure change)は
図 で は 図3・2の
圧 力 ｐ=一
定,す
な わ ちp1 = p2=p
よ う に 横 軸 に 平 行 な 直 線 に な り,温 度 は 容 積
に 比 例 す る。
(3・22)
理 想 気 体 の定 圧 膨 張 に お け る仕 事 は,
W=p1(v2-V1) =mR(T2-T1)〔J〕 工 業 仕 事 は 図3・2の
(3・23)
よ うに
Wt=O
図3・2定
圧変化
理 想 気 体 の 定 圧 変 化 に 間 に 外 部 か ら加 え ら れ る 熱 量 は,式(2・21)でdp=0か らdq=dhと
な り, Q=mCp(T2-T1)=H2-H1〔J〕
(3・24)
し たが っ て,定 圧 変 化 で は 外 部 か ら加 え た 熱 量 は,エ ン タ ル ピー の変 化 に な る。 例 題3・8空
気3㎏
を圧 力200kPa,温
度320Kの
状 態 か ら,圧 力 一 定 の 下 に
容 積 が ２倍 に な る ま で加 熱 す るの に 必 要 な 熱 量 を求 め よ。 ま た,こ の 変 化 の 間 に 外 部 に対 して な した仕 事 お よび 内 部 エ ネ ル ギー の 増 加 を求 め よ。 〔 考 え方 〕 空 気 を 理 想 気 体 とみ な し,ま ず 式(3・22)か 加 熱 に 要 す る熱 量 Ｑ は 式(3・24),外
ら変 化 後 の 温 度T2を
部 に 対 す る仕 事 は 式(3・23),内
求 め,
部 エ ネル ギー は
式(3・11)に
よ っ て そ れ ぞ れ 計 算 す る 。CpとCυ
は 表3・1か
ら と り,と
も に一 定 とみ
なす。
〔 解 〕 こ の 課 題 で は m=3kg, 表3・1か
T2は
らCp=1.005
式(3・22)か
p1=200
kPa,
kJ/kg・K,Cυ=0.718
T1=320
K
kJ/kg・K
ら
T2=T1V2/V1=320×2=640〔K〕
加 熱 量 Ｑ は 式(3・24)か
ら
Q=mCp(T2-T1)=3×1.005
×(640-320) =964
外 部 に 対 す る 仕 事 は 式(3・23)か
.8〔kJ〕
ら
W=mR(T2-T1)=3×287.03
×(640-320) =275550〔J〕=275
内 部 エ ネ ル ギ ー の 増 加 は 式(3・11)か
.55〔kJ〕
ら
U2-U1=mCυ(T2-T1)=3×0.718×(640-320) =689
〔 ３〕
.3〔kJ〕
定容変化
定 容 変 化(constant
volume
Vで
図 で は 図3・3に
あ る か ら,pV線
change)は
容 積V=一
定,す
な わ ちV1=V2=
示 す よ う に 縦 軸 に 平 行 な 直 線 に な り,温
度 が 圧 力 に 比 例 す る。
(3・25)
容 積 が 一 定 で あ る か らdυ=0と の よ う に 絶 対 仕 事 はW=0と
な り,図3・3
な る が,工
業仕事
は 次 式 で 表 さ れ る。 Wt=V(p2-p1)〔J〕
(3・26)
理 想 気 体 の 定 容 変 化 で は 外 部 か ら加 え られ る 熱 量 は,式(2・20)に
お い てdυ=0で
あ るか ら
図3・3
定 容変化
dq=duと
な り Q=mCυ(T2-T1)=U2-U1〔J〕
(3・27)
した が って,定 容 変 化 で は外 部 か ら加 え た 熱 量 は全 部 が 内部 エ ネ ル ギー の 増 加 とな り,温 度 の 上 昇 に 使 わ れ る。 例 題3・9容
積0．5m3の
タ ン ク に 圧 力300kPa,温
度280Kの
い る。 こ の 酸素 の 質 量 を求 め よ。 また,こ の 酸 素 を360Kま
酸素 が 入 って
で加 熱 した場 合,
加 熱 後 の圧 力 と加 熱 に 要 す る熱 量 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 酸 素 を 理 想 気 体 と み な し,タ ば,質
量 は 式(3・1),加
熱 後 の 圧 力 は 式(3・25),加
求 め られ る。 酸 素 の Ｒ やCυ は 表3・1か 〔解 〕 p1=300 表3・1か
ン ク の 膨 張 は 無 視 し て 定 容 変 化 と考 え れ
与 え ら れ て い る 状 態 量 は,V1=0.5m3, kPa=300×103
熱 に 要 す る熱 量 は 式(3・27)か
ら
ら求 め る。 T1=280
K, T2=360
K,
Pa
ら R=259.833J/kg・K,
質 量 ｍ は 式(3・1)を
加 熱 後 の 圧 力p2は
Cυ=0.654
kJ/kg・K
変 形 して
式(3・25)か
ら
加 熱 に要 す る熱 量 Ｑ は 式(3・27)か
ら
Q=mCυ(T2-T1)=2.06×0．654×(360-280) =107
〔４〕
.8〔kJ〕
可逆断熱変化
可 逆 断 熱 変 化(reversible
adiabatic change)は
く熱 の 出 入 の な い 可 逆 変 化 で,工
理 想 気 体 と周 囲 との 間 に 全
業 熱 力 学 で は 重 要 な 変 化 で あ り,ふ
つ う単 に
断 熱 変 化 と も呼 ん で い る。断 熱 変 化 に お け る圧 力 ｐ,容 積 Ｖ,温 度 Ｔ の 間 の 関 係 式 は 次 の よ うに 表 され る。 また,pV線
図 で は図3・4に 示 す よ う に な る。 (3・28) (3・29)
(3・30)
こ こに
κ は 比 熱 比 で,κ=Cp/Cυ
で あ る。
ゆえに
(3・31)
理 想 気 体 が 断 熱 変 化 の 際 に外 部 に 対 して なす 絶 対 仕 事 Ｗ は,式(2・22)に
式(3・28)か
ら
p=p1(V1/V)κ の 関 係 を 入 れ て
図3・4可
逆断熱変化
(3・32)
す な わ ち,断 熱 膨 張 で は外 部 に なす 絶 対 仕 事 は 内部 エ ネ ル ギ ー の 減 少 に 等 しい。 い い か えれ ば 内 部 エ ネ ル ギー を消 費 し て仕 事 をす る の で 温 度 が 低 下 す る。 逆 の 断 熱 圧 縮 で は 内 部 エ ネ ル ギー の増 加 とな っ て温 度 が 上 昇 す る。 工 業 仕 事Wtは
式(2・24)と
式(3・32)か
ら (3・33)
断 熱 変 化 で あ る か ら外 部 か ら供 給 す る熱 量 Ｑ は,Q=0で 〔 参考 〕 断 熱 変 化 に お け るp,V,Tの ま ず,ｐ
あ る。
関係 式につ いて
と Ｖ の 関係 を求 め る。 断 熱 変 化 で あ るか ら式(3・13)は
(１)
理想気体 の状 態式 (２)
を微 分 して (３)
式(１)に
式(３)を
代 入 して
(４)
Cυ+R=Cpで
あ り,ま
たCp/C υ=κ で あ る か ら
(５)
式(５)を
積分 すれ ば
定数 (６)
した が って (７)
次 に Ｔ,Ｖ
の 関係 は,断
つ か ら,式(６)を
熱 変 化 で は 式(２)と 式(６)と は 同 時 に成 り立
変 形 して 式(２)に
代 入す る と
TVκ-1=定
ま たT,pの
数=B2
(８)
関 係 を, Ｔ, Ｖ の 関 係 と 同 様 に し て 求 め る と
ゆ えに
定数 し た が っ て,式(8)(9)の
関係 か ら
〔 参 考 〕 断 熱 変 化 の工 業 仕 事 につ い て 断 熱 変 化 の 工 業 仕 事 の 式 は,式(2・24)に
例 題3・10質
量3kgの
空気 が圧 力450kPa,温
式(3・32)を
代 入すれば よい。
度575Kの
状 態 か ら断 熱 膨 張
して容 積 が ５倍 に な っ た 。 この 断熱 変化 につ い て 変 化 前 の容 積,変 化 後 の 容 積 と圧 力 お よ び外 部 に 対 して な した絶 対 仕 事 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 空 気 は 理 想 気 体 とみ な し,変 化 前 の 容 積 を 式(3・1)か 後 の 容 積 は そ れ を ５倍 す れ ば よ い 。 変 化 後 の 圧 力 は 式(3・28)か 式(3・32)か
ら求 め る。
〔 解 〕 この 課 題 で 与 え られ て い るの は
ら求 め る と,変 化
ら,外 部 へ の 仕 事 は
m=3kg,p1=450
表3・1か
まず,変
kPa,
ら,R=287．03
化 前 の 容 積V1は
T1=575
K,
V2=5V1
J/kg・K,κ=1.400
式(3・1)か
ら
ゆ えに V2=5V1=5×1.1=5.5〔m3〕
変 化 後 の 圧 力p2は
式(3・28)か
ら
外 部 に 対 し て な し た仕 事 は 式(3・32)か
例 題3・11あ
ら
る シ リ ン ダ ー 内 に 吸 い 込 ま れ て い る 圧 力0.1MPa,容
m3,温 度40℃ の 空 気 を,容 積 が1/16に
積0．008
な る まで 断 熱 圧 縮 した 。圧 縮 後 の 圧 力 と
温 度 お よ び圧 縮 に 要 した絶 対 仕 事 を求 め よ。 〔 考 え方 〕 例 題3・10で ら,同
は膨 張 であ った 断熱 変化 が圧 縮 に代 わ っ ただ け で あ る が
じよ う に 考 え て 解 け ば よ い 。 答 の 負 号 に 注 意 す る。
〔解 〕 こ の 課 題 で 与 え ら れ て い る の は,p1=0.1MPa=100 v2=V1/16=0.0005m3, 表3・1か
kPa,
T1=(273.15+40)K
ら,κ=1.400
断 熱 圧 縮 後 の 圧 力 と温度 は 式(3・28)お
断 熱 圧 縮 に 要 し た 仕 事 は 式(3・32)か
よ び(3・29)か
ら
ら
V1=0.008
m3,
負 号 は仕 事 が外部 か ら供給 された こ とを示す. 〔５〕
ポ リ トロ ー プ 変 化
ポ リ ト ロ ー プ 変 化(polytropic
change)と
は 圧 力 ｐ と容 積
Ｖ と の 関 係 が,次
の 式 で 表 さ れ る 変 化 で あ る。 p1V1n=p2V2n=pVn=定
数
こ の 式 の 形 は 断 熱 変 化 の 式(3・28)と て,そ
(3・34)
同 じ で あ る が,指
数 ｎ は任 意 の数 で あ っ
の 値 の と り方 に よ っ て い ろ い ろ な 変 化 に な る の で,実
際 に起 こ る変 化 に
近 似 さ せ る こ と が で き る 。ｎ は ポ リ ト ロ ー プ 指 数 と い い, ｎ の 値 は ∞ か ら-∞ で と れ る が,そ
の 特 定 の 場 合 は 次 の よ うに な る。
n=0
pv0=定
数
定圧 変化
n=1
pV1=定
数
等 温変 化
n=k
pVκ=定
数
可逆 断熱変化
n=∞
pV∞ →V=定
数
定容変 化
こ の よ う に ポ リ ト ロ ー プ 変 化 で は,ｎ に,い
ま
の 値 の と り方 に よ っ て 図3・5に
示 す よ う
ろ い ろ な 方 向 に 向 い た線 で表 され る。 ポ リ トロー プ変 化 とは 多 方 向 の変
図3・5ポ
リ トロー プ変 化
化 と い う意 味 を も って い る。 ポ リ ト ロ ー プ 変 化 に お け るp,V, 断 熱 変 化 の 式(3・29),(3・30)と
Ｔ の 関 係 は,κ が ｎ に 変 わ る だ け で 可 逆
同 じ形 の 式 で表 さ れ る。 (3・35)
(3・36)
したが っ て
(3・37)
理 想 気体 の ポ リ トロー プ 変 化 に お け る絶 対 仕 事 の 式 も,終 わ りに 示 す ２式 以 外 は κが ｎ に 変 わ る だけ で可 逆 断 熱 変 化 の 式(3・32)と
同 じ形 の 式 とな る。
(3・38)
ポ リ ト ロ ー プ 変 化 の 際 の 工 業 仕 事 は 式(2・24)と(3・38)か
ら (3・39)
ポ リ ト ロ ー プ 変 化 の 間 に 加 え る 熱 量 は,第 ら れ る 式Q=mCυ(T2-T1)+Wに
一 法 則 の 式(3・13)を
式(3・38)を
積 分 して 得
代 入 す れ ば 求 め られ る。
(3・40)
こ こに
Cn=Cυn-k/n
(3・41)
-1
は ポ リ ト ロ ー プ 変 化 の 比 熱 で あ り,理 は,ポ
リ ト ロ ー プ 変 化 の 比 熱Cnも
想 気 体 の 定 容 比 Cυ が 一 定 で あ る と き
一 定 で あ る。 ｎ と κの 値 の 関 係 に よ っ てCn
の 値 は正 負 い ず れ の値 に もな る。 ポ リ トロ ー プ 変 化 の 際 の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 変 化 は 次 の 式 で表 され る。 U2-U1=mCυ(T2-T1)
(3・42)
エ ン タ ル ピー の 変 化 は 次 の 式 で 表 さ れ る。
H2-H1=mCp(T2-T1)
(3・43)
例 題3・12質
量2㎏
の 空 気が 圧 力100kPa，
温 度288Kの
定 数 に し た が っ て 変 化 し,内 部 エ ネ ル ギ ー が220kJだ
状 態 か ら,pv1.25=
け 増 加 し た 。終 り の 圧 力,
容 積 お よ び 温 度 を 求 め よ。 〔 考 え方 〕 空 気 は 理 想 気 体 とみ な し,ポ
リ トロ ー プ 変 化 で あ るか ら まず 式(3・42)
か ら終 りの 温 度 を 求 め る。 そ の 温 度 を用 い て 式(3・36),(3・1)に
よ っ て 圧 力,容
計 算 す る。 〔 解 〕 こ の 課 題 で 与 え ら れ た の は m=2㎏,
表3・1か
p1=100
kPa,
ら Cυ=0.718kJ/㎏ R=287.03J/㎏
ま ず,終
り の 温 度T2は
T1=288
K,
n=1.25,
・K ・K
式(3・42)か
ら
U 2-U1=maCυ(T2-T1) T2=U
終 り の 圧 力p2は
2-U1/mCυ+T1=220/2×0.718+288=441.2〔K〕 式(3・36)か
ら
U2-U1=220
kJ
積 を
終 りの 容 積V2は
例
題3・13容
pV1.3=定
式(3・1)か
ら
積0.03m3の
シ リ ン ダ に圧 力103kPa,温
数 に し た が っ て 容 積 が1/20に
度10℃
の 空 気 を入 れ ，
な る ま で 圧 縮 し た 。圧 縮 後 の 温 度 ，圧 力
お よび 圧 縮 に 要 した絶 対 仕 事 を求 め よ。 〔 考 え方 〕 空
理 想 気 体 とみ な し,ポ
に 考 え て,式(3・35),(3・36)か
ら温 度,圧
リ トロ ー プ 変 化 な の で 例 題3・12と 力 を 求 め,圧
縮 に要 した仕 事 は 式(3・38)
に よっ て計算 す る。 〔 解 〕 与 え られ て い る の は V1=0.03m3,
V2=V1/20,
温 度 は 式(3・35)か
p1=103
kPa,
ら
T2=T1(V1/V 2)1.3-1=283・15×1.3-1
=695
圧 力 は 式(3・36)か
.5〔K〕
ら
圧 縮 に 要 し た仕 事 は 式(3・38)か
ら
同 じ
T1=273.15+10=283.15
K
〔６〕 不 可 逆変 化 代 表 的 な 不 可 逆 変 化 で あ る不 可 逆 断 熱 変 化,絞
りお よび 気 体 の 混合 につ い て
簡 単 に触 れ る。 (１)不 可 逆 断 熱 変 化 管 内や ノ ズル 内 を気 体 が 高 速 で 流 れ る場 合 な ど は,外 部 との 間 に 熱 交 換 は な い の で,ほ
と ん ど 断 熱 的 で あ る と 考 え ら れ る。 し か し,高
ず な ど に よ る エ ネ ル ギ ー の 損 失 を 生 じ,そ る の で,内
速の ために摩擦や う
れ が 熱 とな っ て再 び 気 体 に 与 え られ
部 的 に は 不 可 逆 変 化 に な る 。 こ の よ う な 場 合 を 不 可 逆 断 熱 変 化(ir
reversible adiabatic change)と 化 と し て 式(3・34)∼(3・37)に
い う。 こ の 変 化 は 近 似 的 に は ポ リ ト ロ ー プ 変 よ っ て 表 す こ と が で き る 。 し た が っ て,理
想気
体 の 不 可 逆 断 熱 変 化 の 際 の 内 部 エ ネ ル ギ ー お よ び エ ン タ ル ピー の 変 化 も, ポリ ト ロ ー プ 変 化 に お け る 式(3・42),(3・43)で
表 す こ とが で き る 。 ま た,不
断 熱 変 化 は 定 常 流 れ の 場 合 に も起 こ る が,こ
の 場 合 に も定 常 流 れ に 対 す る 一 般
エ ネ ル ギ ー 式(2・10)が
可逆
成 り立 っ 。
(２)絞 絞 り 絞 り(throttling)と
は,気 体 が 通 路 の 狭 い 部 分 を 通 過 す る 際 な ど に 流 れ の 方 向
に圧 力 が 下 が る現 象 を い い,不 可 逆 変 化 の 一 つ で あ る。 絞 りは 通 路 の一 部 を狭 くす れ ば 起 こ り,弁
や コ ッ ク な ど で も起 こ る 。
定 常 流 れ の 場 合 の絞 りは,絞 し い の で,気
りの起 こ る前 後 の 断面 の エ ネ ル ギー の流 量 は等
体 の 単 位 質 量 あ た り で は 式(2・15)の
関係 が あ る。
もし速 度 の 差 が 小 さ い 場 合 や 速 度 が あ ま り大 き くな い 場 合 は,運 動 エ ネ ル ギ ー は エ ン タ ル ピー に 比 べ て 省 略 で き る の で 次 の 式 で 表 さ れ て,絞 も エ ン タ ル ピ ー は 変 わ ら な い 。 し た が っ て,絞 h1=h2
あ るいは
h=一
りが 起 っ て
りは 等 エ ン タ ル ピー 変 化 に な る 。
定
非 定 常 流 れ の 場 合 の絞 りに対 して は一 般 的 な解 法 は な く,個 々 の 問 題 に つ い
て 熱 力 学 の 基 本 法 則 に基 づ い て 解 か な け れ ば な ら な い。 理 想 気 体 の エ ン タ ル ピー は 温 度 の み の 関 数 で あ るか ら,理 想 気 体 の絞 りで は その 前 後 の 温度 は 等 しい が,一 般 の気 体 の 絞 りで は圧 力 の低 下 と と もに 温度 も 降 下 す る。 これ を ジ ュ ー ル ・ トム ソ ン効 果 とい い,気 体 の 絞 りに よ る温 度 の低 下 は そ の 液 化 な ど に も応 用 され る。 しか し,絞
りに よ る温度 の 降下 は 常 に 起 こ
る の で は な く,逆 転 温度 と呼 ば れ る 温 度 よ り低 い 場 合 は低 下 し,高 い 場 合 は逆 に上 昇 す る。 逆 転 温 度 は 気体 に よ っ て 異 な り,逆 転 温 度 が 常 温 よ り低 い 水 素 な ど は 常 温 で絞 る と加 熱 され る。
③
理 想気体 の混合
種 類 の 異 な っ た気 体 を混 合 す る過 程 も不 可 逆 変 化 の 一 つ で あ る。 混 合 の 方 法 に は 容 積 一 定 に お け る混 合 と定 常 流 れ に お け る混 合 とが あ る。 容 積 を一 定 に 保 っ て 混 合 す る場 合 は,外 部 との 間 に 仕 事 は な く また 熱 交 換 も な い と考 え る と,混 合 の 前 後 で 内 部 エ ネ ル ギ ー の 和 が 変 わ ら な い の で,こ
の条
件 か ら混 合 後 の 温度 を定 め られ るの で他 の状 態 量 も求 め ら れ る。 定 常 流 れ の 混 合 の 場 合 に は,速 度 が あ ま り大 き くな け れ ば,混 合 の 前 後 に お け る気 体 の もつ エ ネ ル ギー の総 和 が 変 わ らな い こ と を利 用 して解 くこ とが で き る 。
3・4 混 合気 体 の性 質 空 気 は 窒 素,酸 素 その 他 の 気体 の 混 合 し た もの で あ る。 こ の例 の よ うに,工 業 上 で は 混 合 気 体 を取 り扱 う こ とが きわ め て 多 い 。 した が っ て,混 合 気 体 の ガ ス定数
分 子 量,内
部 エ ネ ル ギ ー,エ
ン タル ピー お よ び 比 熱 な ど を,各 成 分 気
体 の そ れ ら との 関係 につ い て 調 べ て お く必 要 が あ る。 各 成 分 気 体 が 理 想 気 体 な らば 混 合 気 体 も理 想 気 体 で あ り,そ れ ぞ れ につ い て 理 想 気 体 の 状 態 式(3・1)は 成 立 す る。
こ こ で,各 成 分 気 体 の質 量,圧 力,容 容 比 熱 を そ れ ぞ れmi,pi,Vi，Ri,
積,ガ
ス 定 数,分
Mi，Cpi,Cυi（i=1,2,3,…,
子 量,定 圧 比 熱,定 n)と
し,
混合 気体 の そ れ らに は添 え字 をつ け な い で表 す 。 今,同
温,同
圧 の 気 体 が 図3・6(a)の
よ う
に初 め は分 離 さ れ て い るが ， 境 の薄 膜 を取 り去 って 混 合 す る と,各 成分 気 体 は化 学 反 応 を起 こす こ とな く,互 い に 拡 散 し合 って (ａ)
均 質 な混 合 気 体 に な る。 この と き気 体 全 体 と して は外 部 に 対 す る仕 事 は な く,ま た熱 交換 も な い の で 内 部 エ ネ ル ギー は変 わ ら な い。 内部 エ ネ ル ギー は 温 度 の み の 関数 で あ るか ら,混 合 の 前 後 で 温度 も変 わ らな い こ
(ｂ)
図3・6
とに な る。
混 合 気 体 に 対 す る ダ ル トン(Dalton)の 法 則 に よれ ば,理 想 気 体 の 混合 気 体 で は 各 成 分 気 体 は 互 い に干渉 す るこ と な く,そ れ ぞ れ が 単 独 に 存 在 す るの と同 じ よ う に な る。 そ こで 混 合 気体 の圧 力(全 圧 とい う)は 各 成 分 気 体 が 単 独 に存 在 す る と き の 圧 力(分
圧 と い う)の
和 に 等 しい。
(3・44)
混 合気体 の質量お よび容積 は (3・45)
(3・46)
ゆ え に,質
量 比giお
よ び 容 積 比 γiは
gi=mi/m
(3・47)
γi=Vi/V
(3・48)
各 成 分 気 体 の 状 態 式 は ，pVi=miRiT,/piV=miRiT
と な る の で,
(3・49)
と な り,圧
力 比 は 容 積 比 に 等 しい 。
各成分 気体 の状 態式か ら
ゆ え に,混
合 ガ スの 質 量 ｍ は
(3・50)
こ の 式 か ら,混 合 気 体 の ガ ス定 数 Ｒ は容 積 比 γiを用 い て 表 す と (3・51)
ま た,Ｒ
を 質 量 比giで
表 す に は, Ｖ とViの
関係か ら
し た が っ て, (3・51')
各 成分 気体 と混合 ガ スの状 態式か ら
さ ら に ， 式(3・4)か
ら
関係
が 得 られ る の で ，
giM=γiMi
(3・52)
この 式 で 質 量 比 と容 横 比 を互 い に 変 換 す る こ とが で き る。
混 合気体 の分 子量 Ｍ は (3・53)
混 合 気 体 の1〔 ㎏ 〕を1〔K〕 加 熱 す る に 必要 な熱 量 は ，定 圧,定 容 い ず れ の 場
合 も混 合 の 前 で も後 で も同 じで あ るか ら, (3・54)
(3・55)
混合 気 体 の1〔 ㎏ 〕の 内部 エ ネ ル ギ ー お よ びエ ンタ ル ピー も,混 合 の 前 で も後 で も 同 じ で あ る か ら,
(3・56)
(3・57)
例 題3・14空 21%,窒 た,両
気 を酸 素 と窒 素 だ け の 混 合 ガ ス とみ な し,そ の 容 積 割 合 を酸 素
素79%と
す る。 こ の と き の 空 気 の 分 子 量 お よ び ガ ス 定 数 を 求 め よ 。 ま
気 体 の 質 量 比 を 求 め よ 。 た だ し， 分 子 量 は 酸 素32,窒
素28と
〔考 え 方 〕 容 積 比 が 与 え られ て い るか ら， 空 気 の 分 子 量 は 式(3・53)か 数 は 式(3・51)か 比 は 式(3・52)か 〔解 〕 表3・1か
ら求 め る。 ガ ス 定 数 は 式(3・4)で
ら,ガ
らR1=259.833J/㎏
分 子 量 は 式(3・53)か
・K, R2=296
ら
ガ ス 定 数 は 式(3・51')か
ら
ら
ス定
求 め て も よ い 。 酸 素 と窒 素 の 質 量
ら計 算 で き る 。
酸 素 を １,窒 素 を ２ とす る と,γ1=0．21,
あ る い は 式(3・4)か
す る。
γ2=0.79,
. 798 J/㎏
・K
M1=32,
M2=28
質 量 比 は 式(3・52)か
ら
23.3%
76.7% 例 題3・15圧
力101.3kPa,温
度300Kの
空 気1㎏
の 中 に,水
蒸 気0.01㎏
が 含 まれ て い る とす れ ば,水 蒸 気 の分 圧 は い く らか 。 た だ し,分 子 量 を空 気 は 29,水
蒸 気 は18と
〔考 え 方 〕 53)か
す る。
空 気0.99㎏
ら求 め,そ
と水 蒸 気0.01 ㎏ の 混 合 気 体 と考 え て,そ の 分 子 量 を式(3・
の 結 果 を使 っ て 式(3・52)に
よ っ て 容 積 比 を 求 め れ ば,容
積 比 と圧
力 比 は 等 し い か ら水 蒸 気 の 分 圧 が 求 め られ る。 〔 解 〕 空 気 を １， 水 蒸 気 を ２とす れ ば p=101.3kPa,
g1=0.99,
g2=0.01,
混 合 気 体 の 分 子 量 は 式(3・53)か
水 蒸 気 の 容 積 比 は 式(3・52)か
し た が っ て,水
M1=29,
M2=18
ら
ら
蒸 気 の分圧 は
p2=γ2p=0.016
× 101.3=1.621〔kPa〕
(別解) 混 合気 体 と成分 気体 の状 態式 は 同時 に成 り立 つの で
式(１)を
pV=mRT
(１)
p2V=m2R2T
(２)
変 形 したV=mRT/pを p2=m2R2p/mR
式(２)に
代 入 して
混 合気 体 の ガス定数 R=g1R1+g2
Ｒは 式(3・51')と
表3・1か
ら
R2=0.99×287.03+0.01×461.517
=288
.77
したが って，水 蒸気 の分 圧 は
=1
.619〔kPa〕
〔 演
習
問
１.圧 力101.3kPa,温
度20℃
２.床 面 積9m×8m,天
井 ま で の 高 さ3.5mの
題
Ⅲ 〕
の 空 気 の 比 質 量 と 比容 積 を求 め よ 。 空 室 が あ る 。こ の 室 の 空 気 が100 kPa,
290Kの
状 態 に あ る と き,空 気 の 全 質 量 は い くら か 。ま た,こ の 室 を密 閉 し て 室 温 を
305Kに
上 げ た とす れ ば,内
３.空 気5㎏
部 エ ネ ル ギ ー とエ ン タ ル ピ ー の 増 加 は い く ら か 。
を圧 力 ー 定 の 下 に20℃
か ら200℃ ま で 加 熱 す る に要 す る熱 量 と,内 部 エ
ネ ル ギ ー お よ び エ ン タ ル ピー の 増 加 を求 め よ。 た だ し,平 均 定 圧 比 熱 は1.0116kJ/ ㎏ ・K,平
均 定 容 比 熱 は0,7246
４.分 子 量M=28,比 よ。 また,定
KJ/㎏
熱 比 κ=1.4の
圧 比 熱Cpと
５.圧 力400KPa,容
・Kと
す る。
理 想 気 体 が あ る。 こ の 気 体 の ガ ス 定 数 Ｒ を求 め
定 容 比 熱Cυ を求 め よ。
積0.8m3の
状 態 に あ る理 想 気 体 を温度 一 定 の 下 に,圧 力100 kPa
ま で 膨 張 させ た とす る。 膨 張 後 の 容 積 は い くら か 。 ま た,膨 張 に よ る外 部 へ の 仕 事 お よ び供 給 し た 熱 量 は い く ら か 。 ６.250kPa,298
Kの
空 気4㎏
を等 温 の 下 に 容 積 が1/8に
な る ま で圧 縮 し た 。始 め の
容 積 を 求 め よ。 ま た,圧 縮 に 要 した 仕 事 お よ び 外 部 に 放 出 した 熱 量 を求 め よ。 ７.空 気2㎏
を120kPa,580
Kの 状 態 か ら圧 力 一 定 の 下 に 容 積 を 半 分 に した 。 こ の
と きに 外 部 か ら加 え た 熱 量 と 内 部 エ ネ ル ギ ー の 変 化 お よ び 外 部 へ の 仕 事 を 求 め よ 。 た だ し,空 気 の 平 均 定 圧 比 熱 は1.019kJ/㎏
・K,平 均 定 容 比 熱 は0.728 kJ/㎏
・Kと
す る。 ８.容
積0.5m3の
タ ン ク に 圧 力320 kPa,温
の 質 量 を 求 め よ。 ま た,こ 熱 量 を求 め よ 。
の 空 気 を343Kに
度293
Kの
空 気 が 入 っ て い る。 こ の 空 気
した 場 合 の 圧 力 と空 気 の 加 熱 に 要 し た
９.空 気1㎏
を110 kPa,288 Kの 状 態 か ら，30kJの
熱 量 を与 え て 定 容 変 化 させ た 後,
30kJの 熱 量 を放散 す るまで定圧 変化 させ た とす る。 この 場合 につ い て次 の値 を求 め よ。① 最初 の 比容積,② 定容 変化 後 の温６ 度 と圧 力,③ 定容 変化 に おけ る工 業仕 事, ④定 圧 変化 後 の温度 と比容積,⑤ 定 圧変化 にお け る外 部へ の絶 対仕事,⑥ 定圧 変化 に お け る 内 部 エ ネ ル ギー の 変 化. 10.圧 力750KPa,温 合,膨
度550Kの
空 気1㎏
を 容 積 が ５倍 に な る ま で 断 熱 膨 張 させ た 場
張 後 の 温 度 と圧 力 を求 め よ。 ま た,膨 張 に よ る仕 事 お よ び 内 部 エ ネ ル ギ ー の
変 化 を 求 め よ。 た だ し,空 気 の ガ ス 定 数 は0.291kJ/㎏ 11.船
用 デ ィ ー ゼ ル 機 関 の シ リ ン ダ容積 が0.125m3で
す る。 こ の機 関 が 圧 力100kPa,温 とす れ ば,圧 た だ し,空 12.問
0.728kJ/㎏
空 気 を 吸 入 して 可 逆 断 熱 圧 縮 を行 う
・Kと
・Kと す る。
ポ リ ト ロ ー プ 変 化 と し て 解 け 。 た だ し,空
気 の定 容 比熱 は
す る。
題11をn=1.3の
14.空
あ ると
縮 後 の圧 力 と温 度 は い く らか 。 ま た,圧 縮 に 要 し た 仕 事 は い くら か 。
気 の 定 容 比 熱 は0.728kJ/㎏
題10をn=1.25の
13.問
度303 Kの
・Kと す る 。 圧 縮 比 がV1/V2=16で
ポ リ トロー プ 変 化 と し て 解 け 。
気 を 容 積 比 で 窒 素78.09%,酸
素20.95%,ア
ル ゴ ン0.93%,二
酸 化 炭 素0.03%
の 混 合 ガ ス とみ な す 。 空 気 の 分 子 量 お よ び ガ ス 定 数 を 求 め よ。 ま た,各 成 分 気 体 の 質 量 比 を求 め よ 。 た だ し,分 子 量 は 窒 素28,酸
素32,ア
ル ゴ ン40,二
酸 化 炭 素44
とす る。
15.圧
力101kPa,温
度305 Kの 乾 い た 空 気3㎏
に,同 圧 同 温 の 水 蒸 気0.02 ㎏ を 混
合 した 場 合,水 蒸 気 の 分 圧 は い く らか 。た だ し,分 子 量 は 空 気29,水
〔
１.比
質 量 は 式(3・1)か
比 容 積 は 式(3・2)か
ら
ら
略
解
〕
蒸 気18と
す る。
=0
.8306〔m3/㎏
２.空 気 の 全 質 量 は 式(3・1)か
〕
ら
内 部 エ ネ ル ギ ー と エ ン タ ル ピ ー の 増 加 はCpとCυ 式(3・12)に
を 表3・1か
ら と り,式(3・11)と
よ って U2-U1=mCυ(T2-T1)=302.7×0.718×(305-290) =3260〔kJ〕 H2-H1=mCp(T2-T1)=302.7×1.005
×(305-290)
=4563〔kJ〕
３.加 熱 に 要 す る熱 量 は 式(1・4)で 計 算 す るが,温
度 差 は1K=1℃
なの でセ ル シュー
ス度 の ま ま で よ い 。 Q=mCp(t2-t1)=5×1.0116×(200-20) =910
.4〔kJ〕
内 部 エ ネ ル ギ ー と エ ン タ ル ピ ー の 増 加 は 式(3・11)と(3・12)か U2-U1=mCυ(t2-t1)=5×0.7246×(200-20) =652
.1〔kJ〕
H2-H1=mCp(t2一tl)=5×10116×(200-20) =910 ４.ガ
ス 定 数 は 式(3・5)か
.4〔kJ〕
ら
定 圧 比 熱 と定 容 比 熱 は 式(3・17)か
ら
ら
５.容
積 は 式(3・18)か
ら
膨 張 の 仕 事 は 式(3・19)か
ら
供 給 し た 熱 量 は 式(3・21)か
ら
Q=W=443.6〔kJ〕
６.始 め の 容 積 は 式(3・1)か
ら
圧 縮 に 要 し た仕 事 は 式(3・19)か
ら
負 号 は外 部 か ら加 え ら れ た こ と を意 味 す る。 外 部 へ 放 出 し た 熱 量 も負 号 が つ い て 式(3・21)か
ら
Q=W=-711.5〔kJ〕
７.ま ず 変 化 後 の 温 度T2を
求 め る。 式(3・22)か
外 部 か ら加 え た 熱 量 は 式(3・24)か
ら
ら
Q=mCp(T2-T1)=2×1.019×(290-580) =-591〔kJ〕
内 部 エ ネ ル ギ ー の 変 化 量 は 式(3・11)か
ら
U2-U1=mCυ(T2-T1)=2×O.728
×(290-580) =-422
外 部 へ の 仕 事 は 式(3・16)と(3・23)か R=Cp-Cυ=1.019-0.728
.2〔kJ〕 ら
=0
.291〔kJ/㎏
・K〕
W=mR(T2-T1)=2×O.291
×(290-580) =-168
８.空
気 の 質 量 は 式(3・1)か
.78〔kJ〕
ら
加 熱 後 の 圧 力 は 式(3・25)か
ら
加 熱 に要 した 熱 量 は 式(3・27)か Q=mCυ(T2
ら
T1)=1.903
９.① 最 初 の 比 容 積 は 式(3・2)か
× O.718 ×(343-293)=68.32〔kJ〕
ら
② 定 容 変 化 後 の 温 度 と圧 力 は 式(3・27)と(3・25)か
③ 定 容 変 化 に お け る工 業 仕 事 は 式(3・26)か
らm=1㎏
で
ら
Wt=υ(p2-p1)=0・7515×(126-110) =12
.024〔kJ/㎏
〕
④ 定 圧 変 化 後 の 温度 と比 容 積 は 式(3・24)(3・22)か
⑤ 定 圧 変 化 に お け る 外 部 へ の絶 対 仕 事 は 式(3・23)か W=p2(υ3一
υ2)=126
×(0.6834-0.7515)
らm=1㎏
ら υ1=υ2で
で
=-8
.581〔kJ/㎏
〕
負 号 は外部 か ら仕 事 が なされ た こ とを意味す る. ⑥ 定 圧 変 化 に お け る 内 部 エ ネ ル ギー の 変 化 は 式(3・11)か
ら
u3-u2=Cυ(T3-T2)=0.718×(299.9-329.8) =-21 10.膨
.47〔kJ/㎏)
張 後 の 圧 力 と 温 度 は 式(3・28),(3・29)か
膨 張 に よ る 外 部 へ の 仕 事 は 式(3・32)か
内部 エ ネ ル ギー の 変 化 は 式(3・32)か u1-u2=W=190〔kJ/㎏
11.圧
ら
ら
〕
縮 後 の 圧 力 と 温 度 は 式(3・28),(3・29)か
圧 縮 に 要 す る仕 事 は 式(3・32)に
12.膨
ら
ら
よ る が,圧
張 後 の 圧 力 と 温 度 は 式(3・34),(3・35)か
膨 張 に よ る 外 部 へ の 仕 事 は 式(3・38)か
縮 な の で 負 号 が つ く。
ら
ら
=212〔kJ/㎏
内部 エ ネ ル ギー の 変 化 は 式(3・42)か
〕
ら
u2-u1=mCυ(T2-T1)=1×0.728×(367
.8-550) =-132
13.圧
圧 縮 に 要 す る仕 事 は 式(3・32)に
14.窒
.6〔kJ/㎏
〕
縮 後 の 圧 力 と 温 度 は 式(3・34),(3・35)か
素 を １,酸 素 を ２,ア
分 子 量 は 式(3・53)か M=Σ
縮 な の で 負 号 が つ く。
酸 化 炭 素 を ４ とす る 。
ら
=0
M2+γ3
M3+γ4
M4
.7809×28+0.2095×32+0.0093×40+0.0003×44
=28
質 量 比 は 式(3・52)か
よ るが,圧
ル ゴ ン を ３,二
γiMi=γ1 M1+γ2
ガ ス定 数 は 式(3・4)か
ら
.95
ら
ら
75.53%
23.16%
15.空
気 を １,水 蒸 気 を ２ とす れ ば,質
混 合 気 体 の分 子 量 は 式(3・53)か
水 蒸 気 の 容 積 比 は 式(3・52)か
し た が っ て,水
量比 は
ら
ら
蒸 気 の分圧 は
p2=γ2p=0.01059
× 101=1.0696〔kPa〕
４ 熱 力学 第 二 法 則 熱 力 学 第 一 法 則 は熱 と仕 事 は と もに エ ネ ル ギ ー で 相 互 に 変 換 で き る こ とを 明 らか に して い るが,そ
の変 換 の 難 易 に は 全 く触 れ て い な い。 熱 を仕 事 に 変 換 す
るに は制 約 が あ り,仕 事 を熱 に 変 え る よ う に簡 単 で は な い。 ま た,同
じ大 き さ
の 熱 量 で も そ の温 度 に よ っ て エ ネ ル ギ ー と して の価 値 に 差 が 生 じる。 こ の よ う な 関 係 を 表 す の が 熱 力 学 第 二 法 則 で あ る。 熱 力 学 上 重 要 な状 態 量 で あ る エ ン ト ロ ピー は 熱 力 学 第 二法 則 か ら導 か れ る。 こ こで は そ れ らの 基 本 に つ い て 説 明 す る。
4・1
熱 力 学 第 一 法 則 に よ っ て,熱
熱力学第二法則
と仕 事 は 形 態 は 異 な るが 本 質 は 同 じエ ネ ル ギー
で,相 互 に 変 換 で き る こ とが 明 らか に さ れ て い るが,こ
れ は 熱 と仕 事 との 量 的
な 関係 を示 して い るだ け で,変 換 の 難 易 に は 触 れ て い な い。 仕 事 を熱 に変 え る こ とは 容 易 で,摩 擦 の例 で もわか る よ うに 自然 的 な現 象 で も行 わ れ,ま
た仕 事
の 全 部 を熱 に変 え る こ と もで き る。 しか し,熱 を仕 事 に 変 え る こ とは それ ほ ど 簡 単 で は な い。 熱 が あ る だ け で は 仕 事 に は で き な い。 水 車 が 高 い 所 か ら低 い所 へ の水 の 流 れ に よ っ て 回 る よ うに,熱
を仕 事 に 変 え るに は,高
温 度 の 物 体(低
熱 を移 動 させ る こ とが 必 要 で あ る。 し たが っ て,高 低
熱 源)へ
温 度 の 物 体(高
二 つ の 熱 源 と熱 を運 ぶ 物 体(動 作 流 体 ま た は 作 業 物)が
熱 源)か
ら低
必 要 で あ り,こ れ を備
え て 熱 を連 続 的 に仕 事 に 変 え る の が 熱 機 関(heat engine)で あ る。 熱 機 関 で は動 作 流 体 と して,温 度 や 圧 力 に よ る容 積 変 化 の 大 きい 気 体 を用 い
る 。 い ま,図4・1の
①
まず,シ
例 で 考 え て み る と,
リン ダ 内 に 動 作 流体 を閉 じ こめ,こ
れ に 高 熱 源 か ら熱 量Qlを
与 え る と,動 作 流 体
は 高 温,高 圧 に な っ て 膨 張 し,ピ ス トン を押 し 動 か して 仕 事 Ｗ を行 う。 ②
一 定 の 膨 張 を した ら,低 熱 源 へ 熱 量Q2を
捨
て て動 作 流 体 の 温 度,圧 力 を下 げ て収 縮(圧 縮) させ,最
初 に 状 態 に戻 す 。
① だ け で は 一 回 の 作 動 で 終 わ り,連 続 して 仕 事 を
図4・1
させ るに は② を加 え て繰 り返 す 必 要 が あ る。 熱 機 関 は こ の繰 り返 し を行 う こ と に よ っ て 目的 を達 して い るが,繰
り返 し を行 うに は低 熱 源 に 熱 を捨 て る こ とが
必 要 で あ り,高 熱 源 か ら得 た熱 量 の 全 部 を有 効 な仕 事 の変 え る こ とが で き な い。 熱 機 関 は,動 作 流 体 が い ろ い ろ な状 態 変 化 を した の ち始 め の 状 態 に戻 る。 す な わ ち サ イ クル(cycle)を 行 う。 動 作 流体 が １サ イ クル ご とに 高 熱 源 か ら 熱 量 C1を 得 て仕 事 Ｗ を行 い,低 熱 源 に熱 量Q2を
捨 て る とす れ ば,こ れ らの 間 の 関
係 は 熱 力 学 第一 法 則 か ら次 の 式 で表 さ れ る。 W=Q1-Q2〔J〕 熱 機 関 で は,高 仕事
Ｗ
(4・1)
熱 源 か ら得 た 熱 量Qlに
対 して そ の うち の どれ だ け を有 効 な
に 変 換 で き た か が 重 要 で あ り,こ の 割 合 を 熱 効 率(thermal
と い い,こ
れ を η で 表 す と次 の 式 に な り,そ
efficiency)
の 値 が 大 き い ほ ど望 ま し い 。
(4・2)
熱 機 関 の サ イ クル をPV線
図 に 表 す と,図4・2の
て,曲 線① → ③ → ② の下 方 の 面 積 は 熱 量Q1を 線② → ④ →① の 下 方 の 面 積 は 熱 量Q2を
よ うに な る。 こ の 図 に お い
得 て の 膨 張 に よ る仕 事 で あ り,由
捨 て て収 縮(圧 縮)さ せ る ため の仕 事 を
表 す 。し た が って,１ サ イ クル に お け る有 効 仕 事 Ｗ は 閉 曲 線① → ③ →② → ④ 一 ① 内 の 面 積 で表 され る。 図4・2に 示 す サ イ ク ル を図 中の 矢 印 と反 対 の 方 向(反 時 計 方 向)に 行 う と,
冷 凍 機(refrigerating
machine)や
(ヒ ー トポ ン プ)(heat
pump)の
熱 ポ ンプ サ イ クル に
な る 。 こ の サ イ ク ル で は,外
部 か ら仕 事 Ｗ を
加 え て,低 熱 源 か ら熱 量Q2を
吸 収 し,高 熱 源
へ 熱 量Ql=Q2+Wを
与 え る こ と に な り,こ
の と き の 動 作 流 体 を 冷 媒(refrigerant)と
い
う。 冷 凍 機 で は 外 部 か ら 供 給 す る 仕 事W= Ql-Q2に
対 し て,低
量Q2が
温 物 体 か ら吸 収 す る 熱
多 い ほ ど よ い 。 し た が っ て,
図4・2熱
機 関 の サ イ クル
(4・3)
こ こ に εγを 冷 凍 機 の 動 作 係 数(coefficient
of performance)と
い い,こ
の値 が
大 きい ほ ど よい 。 熱 ポ ン プ の 場 合 に は,暖 房 な ど に 用 い る の で 外 部 か ら の 仕 事 温 部 に 放 出 す る 熱 量Qlが
多 い ほ ど よ く,次
Ｗ に 対 し て,高
の 式 で 表 され る熱 ポ ン プ の 動 作 係
数 εhが 大 き い こ とが 望 ま し い 。
(4・4)
な お,動
作 係 数 は 成 績 係 数 と もい う。
熱 機 関 と は,熱 エ ネ ル ギー を機 械 的 エ ネ ル ギ ー に 変 え て動 力 を発 生 させ る 原 動 機 の総 称 で あ る。 蒸 気 機 関,蒸 が,い
気 ター ビ ン,内 燃 機 関 な どは その 代 表 で あ る
ず れ もそ れ ぞ れ の サ イ クル を繰 り返 して 連 続 的 に熱 を仕 事 に 変 え て い る
が,高 低 二 つ の 熱 源 が あ って その 間 に 動 作 流 体 が働 い て い る こ とは 同 じで あ る。 こ れ は,仕 事 が 比 較 的 自由 に熱 に 変 え られ るの に対 し て,熱
を仕 事 に変 え る に
は制 約 が あ っ て,し か も熱 の 全 部 を仕 事 の 変 え る こ とは で きな い こ と,す な わ ち熱 を高 温部 か ら低 温 部 へ 移 動 させ る過 程 の 中 で そ の 一 部 を仕 事 に 変 え られ る だ け で あ る こ と表 して い る。 こ の よ う な熱 を仕 事 に 変 換 す る 関係 な どの 基本 を 明 らか に した の が 熱 力 学 第 二 法 則(the second law of thermodynamics)で
あ
る。 熱 力 学 第 二 法 則 は 第 一 法 則 と共 に 熱 力 学 の 基礎 と な る重 要 な法 則 で あ り,熱 を仕 事 に 変 え る関 係 だ け で は な い広 い 意 味 を もち,す べ て の 自然 現 象 に も応 用 す る こ とが で き る。 熱 力 学 第二 法 則 に は い ろ い ろ な い い 表 し方 が あ る。 ク ロ ジ ュー ス(Clausius)氏
に よると
「熱 は そ れ 自身 で は低 温 度 の物 体 か ら高 温度 の 物 体 へ は移 動 で き な い。」 こ こで 重 要 な の は 「そ れ 自身 で は 」 とい う言 葉 で,低
温 物 体 か ら高 温 物 体 へ の
熱 の 移 動 は 絶 対 に不 可 能 な の で は な く,冷 凍 機 や 熱 ポ ンプ の よ う に外 部 か ら仕 事 を加 え れ ば,低 温 物 体 か ら熱 を吸 収 して 高 温 物体 に移 す こ とは で き る。「熱 は そ れ 自 身 で は」 い い か え れ ば 自然 の ま まの状 態 で は,熱
は高 温物 体 か ら低 温 物
体 へ は常 に 移 る が,低 温 物 体 か ら高 温物 体 へ は移 動 しな い こ と を示 し,こ れ は 経 験 上 か ら も 明 らか な事 実 で あ る。 ケ ル ビ ン(Kelvin)氏 に よ れ ば 「熱 機 関 に お い て ,そ の動 作 流 体 に仕 事 を させ るに は,そ
れ よ りさ らに低 い温
度 の物 体 を必 要 とす る。」 熱 機 関 の 動 作 流 体 は 高 熱 源 か ら熱 を受 け 取 り,仕 事 を した 後 に低 熱 源 に熱 を 捨 て る。 熱 は 自然 の ま まで は高 温物 体 か ら低 温物 体 へ の 一 方 向 しか移 動 しな い か ら,動 作 流体 が 熱 を捨 て る に は そ れ よ り低 温 の 物 体 が な け れ ば な ら な い。 ゆ え に,海 水 や 大 気 の保 有 す る熱 量 は,第 一 法 則 か ら は仕 事 に 変 え られ る よ うに 考 え られ る が,第 二 法 則 に よっ て 海 水 や 大 気 よ り常 に低 い 温 度 に保 た れ る物 体 が な け れ ば,そ の エ ネ ル ギー は 利 用 で きな い こ とに な る。 オ ス トワ ル ド(Ostwald)氏
は
「第 二 種 の 永 久 運 動 は 不 可 能 で あ る。」 一 つ の 熱 源 か らの 熱 を温 度 の 降 下 が な く,ま た 他 に な ん らの変 化 を及 ぼ す こ と な く機 械 的 仕 事 の 変 え る運 動 を,第 二 種 の 永 久 運 動 とい う。 熱 力 学 第 二 法 則 は この 第 二種 の 永 久 運 動 の 可 能 性 を否 定 して い る。 熱 力学 第 二 法 則 に は他 の い い表 し方 もあ るが 省 略 す る。
カル ノ-サ イ クル
4・2
熱 機 関 に は,高 低 二 つ の 熱 源 とそ の 間 で エ ネ ル ギー 運 搬 の 役 をす る動 作 流 体 が 必 要 で あ る。 高 低 両 熱 源 の 温 度 が与 え られ た と き,そ の 間 で 作 用 す るサ イ ク ル に は い ろ い ろ な形 が考 え られ る が,そ れ らの 中 で理 論 的 に 最 高 の 熱効 率 を示 す 熱 機 関 の理 想 的 な サ イ クル は カ ル ノー サ イ クル(Carnot cycle)で あ る。 カ ル ノ ー サ イ ク ル は カ ル ノ ー(Sadi Carnot)氏 イ ク ル で,図4・3に
が1824年
に考 案 し た 可 逆 サ
示 す よ う に 二 つ の 等 温 変 化 と 二 つ の 可 逆 断 熱 変 化 か ら な り,
逆 カ ル ノー サ イ ク ル は冷 凍 機 や 熱 ポ ン プ の 理 想 的 なサ イ クル で あ る。
い ま,理 想 気体 ｍ 〔㎏ 〕を動 作 流 体 と し て カ ル ノー サ イ ク ル を行 わせ る と, ①
動 作 流 体 は 無 限 の 熱 容 量 を もつ 温 度 T1の
高 熱 源 か ら 熱 量Q1を
状 態 １(圧 力p1,容 Ｖ2)ま で 温 度T1一
②
積V1)か
受 け 取 っ て, ら 状 態 ２(p2,
定 の 等 温 膨 張 をす る。
状 態 ２で 高 熱 源 か ら離 れ,状 態 ３(p3, Ｖ3)ま で 可 逆 断 熱 膨 張 して 温 度 はT2ま 図4・3カ
で低 下 す る。 ③
状 態 ３か ら無 限 の 熱 容 量 を もつ 温 度T2の 低 熱 源 に 熱 量Q2を ４(p4,V4)ま
④
ル ノー サ イ クル
で 温 度T2一
捨 て て,状 態
定 の 等 温 圧 縮 をす る。
状 態 ４で低 熱 源 か ら離 し,可 逆 断 熱 圧 縮 して初 め の状 態 １に も どす 。 こ の １サ イ クル で外 部 に 対 して なす 仕 事 Ｗ は W=Q1-Q2〔J〕
とな り,こ の仕 事 は 面積1234に る か ら 式(3・19)に
よって
等 しい。受 熱 量Q1と
放 熱 量Q2は
等温変化 で あ
Q1=mRT1lnV2/V
1〔 Ｊ〕
Q2=mRT2lnV3/V4〔
し た が っ て,カ
ル ノー サ イ ク ル の 熱 効 率 ηcは
こ こ に 断 熱 変 化2∼3お T1V2
Ｊ〕
よ び4∼1で
κ-1=T2V3κ-1
は T1V1κ-1=T2V4κ-1
の 関係 が 成 り立 つ の で
∴V3/V2=Ｖ 4/V1ま
ゆ え に,カ
た はV2/V1=Ｖ3Ｖ4
ル ノー サ イ クル の熱 効 率 は 次 の 式 で 表 され る。 (4・5)
した が っ て,理 想 気 体 を動 作 流体 とす る カ ル ノー サ イ クル の熱 効 率 は,高 低 両 熱 源 の 温 度 の み に よ って 定 ま り,高 熱 源 の 温 度 が 高 い ほ ど,低 熱 源 の 温度 が 低 い ほ ど 大 き く な る。
また,逆 カ ル ノー サ イ クル を行 う冷 凍機 お よ び 熱 ポ ンプ の動 作 係 数 εγお よび εんは 次 の 式 で 表 さ れ る。
(4・6)
(4・7)
カ ル ノー サ イ クル の 性 質 を考 え てみ よ う。まず,高 熱 源 の 温 度T1と 且度T2の
低 熱源の
間 で働 くカ ル ノー サ イ クル と任 意 の サ イ クル との 熱 効 率 を比 較 し て
み る。
図4・4の T2の
よ う な 共 通 の 高 低 両 熱 源T1,
間 に 作 用 す るA, B二
一 つ の 機 械 装 置 と考 え る 熱 源 か ら 熱 量Q1を 事 を な し,低
つ の サ イ クル を
。サ イ ク ル Ａ は 高
得 てW=Q1-Q2の
熱 源 に 熱 量Q2を
関 で あ り,サ
仕
捨 て る熱 機
イ ク ル Ｂ は 仕 事W=Q1'-
Q2'を 費 や し て 低 熱 源 か ら 熱 量Q2'を
吸 収
図4・4
し,高 熱 源 に熱 量Q1'を 放 出 す る熱 ポ ン プ とす る。こ こ で サ イ ク ル Ａ は任 意 の サ イ クル で,サ イ クル Ｂ は カ ル ノー サ イ クル と し,任 意 の サ イ ク ル Ａ の 熱機 関 で 辱 られ る仕 事 Ｗ で,カ ル ノー サ イ ク ル Ｂ の 熱 ポ ンプ を運 転 す る もの とす る。 も し,任 意 の サ イ クル の 熱効 率 が カ ル ノー サ イ クル の そ れ よ り高 い と仮 定 す る とW/Ｑ1>W/Ｑ1'と
な り,Q1とQ1'と
または
Q1
の 関 係 は 次 の よ うに な る。
(Q1'-Q1)>0
意 の サ イ クル Ａ の 熱 機 関 と カ ル ノー サ イ ク ル Ｂ の 熱 ポ ン プ を組
合 わせ た 機 械 装 置 に よっ て,熱 量(Q1'-Q1)が
低 熱 源 か ら高 熱 源 に外 部 か らの
仕 事 な しで 伝 え られ た こ と を示 し,熱 力 学 第 二 法 則 に反 す る。 した が って,任 意 の サ イ ク ル の 熱 効 率 が カル ノー サ イ クル の 熱 効 率 よ り高 い とい う仮 定 は 誤 り で あ り,カ ル ノー サ イ クル よ りも熱 効 率 の 高 い 熱 機 関 は 存 在 しな い 。 な お,任 意 の サ イ ・ ル Ａ が カル ノー あ る か らQ1>Q1'ま (Q1'-Q1)を
サ イクル Ｂ よ り熱 効 率 が 低 暢
た は(Q1'-Q1)<0と
合 はW/Q1〈W/Q1'で
な り,こ れ は高 熱 源 か ら低 熱 源 に 熱 量
伝 え る こ とに な る の で,熱 力 学 第 二 法 則 に 抵 触 す る こ とな く運 転
で き る が,任 意 の サ イ クル Ａ は 不 可 逆 サ イ クル で あ る。 この 結 果,不 可 逆 サ イ クル の 熱 効 率 は カル ノー サ イ クル の 熱 効 率 よ り常 に 低 い。 ま た可 逆 サ イ クル で あ る と き も カ ル ノー サ イ クル の 熱 効 率 に 等 し く,そ れ よ り高 くな る こ とは な い 。 ゆ え に 高 低 両 熱 源 の 温 度 が 決 ま る と,そ の 間 で作 用 す るサ イ ク ル の 中 で 熱 効 率 が 最 高 に な る の は カ ル ノー サ イ ク ル で あ る。
次 に ２種 類 の 異 な る動 作 流体 に よ る カ ル ノー サ イ ク ル を考 え る。 図 ４・ ４に示
す よ うな 共 通 の 高 低 両 熱 源 の 温 度T1,T2の
問 に 作 用 す る Ａ, B二 つ の 異 な る動
作 流体 に よ る カ ル ノー サ イ クル を一 組 とす る機 械 装 置 と考 え る。サ イ クル Ａ は 高 熱 源 か ら熱 量Q1を
得 てW=Q1-Q2の
仕 事 を な し,低 熱 源 に 熱 量Q2を
る熱 機 関 で あ り,サ イ クル Ｂ は 仕 事 Ｗ=Q1'-Q2'を Q2'を吸 収 し,高
熱 源 に 熱 量Q1を
費 や して 低 熱 源 か ら熱 量
放 出 す る 熱 ポ ン プ とす る。
W=Q1-Q2=Q1'-Q2'ゆ
え にQ1'-Q1=Q'2-Q2
こ の と きサ イ クル Ａ の 熱機 関 で得 られ る仕 事 Ｗ を 運 転 す れ ば,Ａ
捨て
で,サ イ ク ル Ｂ の 熱 ポ ン プ
が 発 生 す る 仕 事 と Ｂ が 消 費 す る 仕 事 と は 等 し く,他 か ら エ ネ
ル ギ ー を 補 充 し な く て も 運 転 を 継 続 で き る こ と に な る。 も しQ'2>Q2と で る と 同 時 にQ1'>Q1と
と,低
熱 源 か ら 熱 量(Q2'-Q2)が
Q1)が
高 熱 源 に 入 る こ と に な る 。 こ れ は 外 部 か ら何 の 作 用 も な し に 熱 が 低 熱 源
か ら 高 熱 源 に 移 っ た こ と に な り,熱
な っ て,熱
す る 量(Q1'-
力 学 第 二 法 則 に 反 す る の でQ2'>Q2に
な る
こ と は な い 。ま た 逆 に Ａ を 熱 ポ ン プ,Ｂ を 熱 機 関 と し て Ｂ で Ａ を 運 転 す る 場 合 を 考 え て も,同
様 にQ2>Q2'あ
Q1'お よ びQ2=Q'2で るA,B両
る い はQ1>Q1'と
あ り, Q2/Q1=Q2'/Q1'と
な る こ と は な い 。 ゆ え にQ1= な る 。 す な わ ち,動
カ ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 等 し い 。 し た が っ て,温
作 流体 の 異 な 度T1,T2の
高
低 両 熱 源 の 間 に 作 用 す る カ ル ノー サ イ クル の 熱 効 率 は 動 作 流 体 に 無 関 係 で あ り,動
作 流 体 の 如 何 に か か わ ら ず,常
例 題4・1 高 熱 源 温 度800K,低
に 式(4・5)で
表 さ れ る。
熱 源 温 度300 Kの 間 に作 用 す る カ ル ノー サ イ
ク ル機 関 の 熱 効 率 お よ び放 熱 量 と受 熱 量 の 比 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 熱 効 率 は 式(4・5)か ら求 め る。放 熱 量 と受 熱 量 との 比 も同 じ式 か らQ2/Q 1= T2 /T1で
求 め られ る 。
〔解 〕 T1=800K,
ηc=1-T2/T
T2=300
Kで
1=1-300/800=0.625
放 熱量 と受 熱 量の 比は
あ る か ら 熱 効 率 ηcは 式(4・5)で
62.5%
37.5%
例 題4・2
高 熱 源 温 度920K,低
機 関 の 熱 効 率 を求 め よ。 また,こ の 供 給 熱 量 が25kJで
熱 源 温 度288 Kの
間 で働 くカ ル ノー サ イ ク ル
の カ ル ノー サ イ ク ル機 関 の １サ イ クル あ た り
あ る とす れ ば,１ サ イ クル あ た りの 正 味 仕 事 は い く らか 。
〔 考 え 方 〕 熱 効 率 ηｃは 式(4・5)で
求 め られ る。 正 味 仕 事 も ηcがわ か れ ば 式(4・2)
で 計 算 で き る。 〔解 〕
T1=920K,
T2=288
Kで
あ る か ら 熱 効 率 ηcは 式(4・5)で
68．7%
正 味 仕 事 はQ1=25kJで
あ る か ら,式(4・2)に
W=Q1ηc=25×0.687=17
よ って
.18〔kJ〕
熱力学温度
4・3
可 逆 カ ル ノー サ イ ク ル の 熱効 率 は 前 節 で 説 明 した よ うに,高 熱 源 の 温 度T1, 低 熱 源 の 温 度T2の
と き次 の 式 で 表 さ れ,動 作 流 体 の 種 類 に 関 係 な く高 低 両 熱
源 の 温 度 だ け で定 ま る。
した が っ て
上 の ３式 は,高 低 両 熱 源 の 温 度 Ｔ1お よ びT2と
受 熱 量Q1お
との 関 係 を示 し,こ れ に よれ ば Ｔ1を 基 準 と してQ1とQ2を
よ び 放 熱 量Q2
測 定 す れ ばT2が
決 め られ る こ とに な る。 この よ うに して 定 義 さ れ た 温度 Ｔ が 熱 力 学 温 度 で あ り,絶対 温 度 あ る い は ケ ル ビ ン 温 度 と も呼 ば れ る。 上 式 の T1お
よ びT2は
熱 力 学 温 度 で あ る。
熱 力 学 温 度 の 目盛 を 決 め る に は,図4・5の よ う に 熱 力 学 温 度T1,T2,T3,…
の 等 温 線 と,
こ れ に 交 わ る ２本 の 断 熱 線A,Bを
か き,相
接 す る カ ル ノ ー サ イ ク ル1243,3465,5687, … … を 考 え る 。 等 温 変 化12,34,56,…
図4・5
… に
お い て 出 入 す る 熱 量 をQ1,Q2,Q3,…
… と し,各
仕 事 をW1,W2,W3,…
ル ノー サ イ ク ル 機 関 の 熱 効 率 の 式(4・5)
と す れ ば,カ
カ ル ノー サ イ クル の 外 部 へ の
から
W1=Q1-Q2=面
積1243,W2=Q2-Q3=面
し た が っ て,W1=W2=Ｗ3=…
積3465で
あ るか ら
… す な わ ち 面 積1243=面
積3465=面
積5687
に な る よ うに各 等 温 線 をひ け ば T1-T2=T2-T3=……
とな り,各 温 度 差 を等 し くす る こ とが で き,こ れ を温 度 の 目盛 とす る こ とが で き る。 この 温 度 目盛 は選 ぶ 仕 事 の大 き さ に よ っ て 異 な る が,例
え ば純 水 の 氷 点
と蒸 気 点 に 対 応 す る温 度 の 間 を100等 分 す れ ば,こ の ２定 点 の 温 度 差 は100度 に な る。 この よ うに 考 え て 熱 力 学 温 度 目盛 は定 め られ た。 カ ル ノー サ イ クル の 熱 効 率 は 動 作 流体 の 種 類 に 無 関 係 で あ るか ら,熱 力 学 温 度 も温 度 計 の 種 類 や 構 造 に 無 関 係 に定 義 され た絶 対 性 を もつ 温 度 で あ る。 カ ル ノー サ イ クル は実 現 で きな い が,熱
力 学 温 度 は理 想 気 体 に よ る気 体 温度 計 の 温
度 と一 致 す る こ とは 証 明 で き る。 理 想 気体 温 度 計 も実 現 で き な い が,実 際 の水
素 や 窒 素 の気 体 温度 計 の 読 み を補 正 す る こ とに よ っ て代 用 す る こ とが で き る。 カ ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 式(4・5)で り,絶 対 零 度 に な れ ば ηc=1に る が,こ
低 熱 源 の 温 度T2を
下 げ れ ば 高 くな
な る 。さ ら に 下 げ れ ば １ よ り大 き く な る こ と に な
れ は 加 え た 熱 量 よ り大 き な 仕 事 が で き る こ と に な り,熱
に 反 す る の で あ り え な い 。 こ の こ と は 絶 対 温度 ０ 〔Ｋ〕(-273.15℃)が 温 度 で あ り,こ の 温 度T2を
力学 第 一 法 則 最低 限 の
れ よ り低 い 温 度 は 存 在 し な い こ と を 示 し て い る 。 な お,低
絶 対 零 度 に す る こ と は で き な い の で,ηc=1に
熱源
な る こ と は な く,カ
ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 必 ず １ よ り小 さ い 。
4・4
可 逆 カ ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 の 式(4・5)を
エ ン トロ ピ ー
変 形 す る と次 の よ うに な る。
または こ れ ま で は 動 作 流体 が 受 取 っ た熱 量 と放 出 した 熱 量 に 適 当 に正 負 の 符 号 をつ け て 取 り扱 って きた が,こ こ で は熱 量 Ｑ に 対 して受 熱 は正,放 熱 は 負 と し,そ の 符 号 が Ｑ 自身 の 中 に含 まれ る もの とす れ ば,上
式 は 次 の よ うに 表 さ れ る。
(4・8)
一 般 に 可 逆 サ イ ク ル は 図4・6のpV線 図 に示 す よ うに 無 数 の 小 さ い カ ル ノー サ イ クル の 集 合 とみ な す こ とが で き る。 い ま一 つ の 小 カ ル ノー サ イ ク ル が 温 度T1の
高熱
源 か ら熱 量dQ1を
低熱
源 に 熱 量dQ2を (4・8)と
受 取 り,温 度T2の
放 熱 す る もの とす れ ば,式
同 様 に 次 の 式 に な る。
図4・6任
意 の可 逆 サ イ クル
この 小 サ イ クル を寄 せ 集 め た 全 サ イ クル に 対 して は 次 の 式 で 表 さ れ ΣdQ/T=0
(4・9)
これ を積 分 の 形 で表 し,全 サ イ クル に対 す る積 分 を ∮ で表 す と,次 の 式 に な る 。
dQ
∮ /T=0
(4・10)
こ の 積 分 を 可 逆 サ イ ク ル に 対 す る ク ラ ウ ジ ウ ス の 積 分(Clausius'integral)と い
う 。
不 可 逆 サ イ クル の 場 合 に はQ1/T1-Q2/ T2<0と な るの で,一 般 に 不 可 逆 サ イ クル に対 す る ク ラ ウ ジ ウス の積 分 は 次 の よ うに な る。 ∮ dQ/ T<0
(4・11)
可 逆 サ イ ク ル のpV
図 を4・7図
ウ ジ ウ ス の 積 分 は 式(4・10)で 経 て １に 戻 る と 考 え れ ば,こ
の よ う に 閉 曲 線13241と
す れ ば,そ
の クラ
表 さ れ る。 こ の 積 分 の 経 路 を １か ら3-2-4を れ を1-3-2と
２-4-1に
分 け る こ とが で き る の
で,
ゆえに
図4・7
可逆 サ イ クル
す な わ ち １か ら ２ま で の 状 態 変 化 が 可 逆 変 化 な らば
定数
(4・12)
で あ り,初 め の 状 態 １ と終 りの 状 態 ２に の み 関係 し,そ の 間 の 変 化 の 経 路 に は
無 関 係 で あ る 。 こ れ は(dQ/T)が ト ロ ピー(Entropy)と
い い,熱
状 態 量 で あ る こ と を 表 し,こ
の状 態 量 をエ ン
力 学 上 き わ め て 重 要 な 状 態 量 で あ る 。ふ つ う,m
〔 ㎏ 〕 の 物 体 の エ ン トロ ピ ー は 記 号 Ｓ で 表 し,単 位 は 〔J/K〕 で あ る 。ま た 単 位 質 量 の 物 体 の エ ン ト ロ ピー は 記 号 ｓ で 表 し て 単 位 は 〔J/㎏ ・K〕 で あ る。
い ま物 体 が 温 度 Ｔ で 微 小 な 熱 量dQを ピー の 微 小 な 変 化dSは
受 け て 可 逆 変 化 し た と き,エ
ン トロ
次 の式 で表 され る。 または
(4・13)
こ の 可 逆 変 化 に 第 一 法 則 の 式(2・18)お
よ び(2・19)を
応用 すれば,
(4・14)
(4・14')
と な る 。 ま た,物 の 変 化 は,状
体 が 状 態 １か ら 状 態 ２ ま で 可 逆 変 化 し た と き の エ ン ト ロ ピ ー
態 １お よ び ２の エ ン トロ ピー をS1お
よ びS2と
すれ ば次の式 に な
る 。
(4・15)
不 可 逆 変 化 の場 合 に は エ ン トロ ピー は 必 ず 増 加 し,次 の よ うに な る。 ま たは
(4・16)
カル ノー サ イ クル に お け るエ ン トロ ピー の 変 化 に つ い て考 えて み る。 断 熱 変 化 で はdQ=0で
あ るか らdS=0で
あ る。 等 温 膨 張 で は 高 熱 源 は 熱 量 を失 うの
で エ ン トロ ピー も失 い,熱 量 を受 け 取 っ た動 作 流 体 は エ ン トロ ピー が 増加 す る が,高 熱 源 が 失 っ たエ ン トロ ピー と動 作 流体 で増 え たエ ン トロ ピー とは 等 しい。 等 温 圧 縮 で も同 じ よ うに 動 作 流 体 が 失 っ た エ ン トロ ピー と低 熱 源 が 得 た エ ン ト ロ ピー とは 等 しい 。 ゆ えに 高 低 両 熱 源 と動 作 流体 との エ ン トロ ピー の 総 和 は変 わ ら な い 。 しか し,一 部 で も不 可 逆 変 化 の あ る不 可 逆 サ イ ク ル で は,不 可 逆 変
化 の 際 にエ ン トロ ピー が 増 え る の で,両 熱 源 と動 作 流 体 との エ ン トロ ピー の 総 和 は 増 大 す る。 この こ とか ら熱 源 と動 作 流 体 が外 部 か ら完 全 に 遮 断 さ れ た 閉 じ た 系 と考 え る と,「 閉 じた 系 の エ ン トロ ピー の和 は,そ の 系 内 に 可 逆 変 化 が 起 こ っ た と きは不 変 で あ り,不 可 逆 変 化 が 起 こ っ た と き は増 加 す る。 い ず れ に し て も減 少 しな い 。」とい う こ とが で き る。 こ れ は 熱 力 学 第 二 法 則 を別 の 面 か ら表 現 し た もの とい え る。 自然 界 に起 こ る変 化 は すべ て 摩 擦 や 伝 熱 な どに よ る不 可 逆 変 化 を 伴 う の で,ク
ラ ウ ジ ウ ス 氏 は こ れ を次 の よ うに い い 表 して い る。
「自 然 界 の エ ン トロ ピ ー は そ の 極 大 値 に 向 か っ て 増 大 し て い る 。」 温 度 を 縦 軸 に と り,エ T-S線 い,よ
ン トロ ピ ー を 横 軸 に と っ た 図4・8に
図(T-Sdiagram)あ
示 す よ う な線 図 を
る い は エ ン ト ロ ピ ー 線 図(entropy
diagram)と
い
く用 い ら れ る 。 こ の 線 図 上 の 面 積 は 可 逆 変 化 に 対 し て は 熱 量 を 表 す の で,
熱 線 図 と も 呼 ば れ る。図4・8(a)の 式(4・13)か
らdQ=TdSで
可 逆 変 化1-2で
あ り, dQは
は,そ の 微 小 部 分 を 考 え れ ば
微 小 部 分 の両 端 を通 る縦 軸 に平 行 な 直
線 の 間 に 挟 ま れ た 面 積 に 等 し い 。ゆ え に 可 逆 変 化1-2で こ の 微 小 部 分 を 寄 せ 集 め た 面 積1234で イ ク ル のT-S線
図 で,面
熱 源 へ の 放 熱 量Q2を,面
加 え ら れ た 熱 量 Ｑ は,
表 さ れ る 。ま た,図4・8(b)は
カ ル ノー サ
積1265は
高 熱 源 か ら の 受 熱 量Q1を,面
積4365は
積1234は
１サ イ ク ル の 仕 事 量Q1-Q2を
表 す。
(ｂ)
(ａ) 図4・8エ
ン トロ ピー 線 図
低
〔 参 考 〕 不 可 逆 変 化 の エ ン トロ ピー の 増 加 に つ い て 熱 伝 導 を例 に して 不 可 逆 変 化 に お け る エ ン トロ ピー の 増 加 を 考 え る。 温 度T1の
物 体 Ａ と 温 度T2の
物 体 Ｂ を 接 触 させ た と き, T1>T2と
す れば Ａ
か ら Ｂ に 熱 が 伝 わ り,両 者 が 同 一 温 度 に な る ま で 伝 導 さ れ る 。 し か し,接 触 時 間 が き わ め て 短 い と き は,伝
導 さ れ る 熱 量 は き わ め て 少 な く両 者 と も
温 度 は ほ とん ど変 わ ら な い と考 え て よ い。 この と き Ａ か ら Ｂ に 伝 わ る熱 量 を ⊿Qと
す れ ば,Ａ
の 失 う エ ン トロ ピ ー は ⊿S1=⊿Q/T1で
た エ ン ト ロ ピ ー は ⊿S2=⊿Q/T2で あ り,エ
あ る。 T1>T2で
あ り,Ｂ の 得
あ る か ら ⊿S1<⊿S2で
ン ト ロ ピ ー の 増 加 ⊿Sは ⊿S=⊿S2-⊿S1>0
と な っ て エ ン トロ ピー は 増加 す る。 エ ン トロ ピー の 増 加 ⊿Sは 同 じ伝 熱 量 に 対 して 温 度 差 が 大 き い ほ ど大 き く,温 度 差 が 少 な い ほ ど小 さ い。 温 度 差 が ０に 近 づ け ば ⊿Sも ０に 近 づ き,極 限 に お い て は ⊿S=0に
な る。こ の と
き Ａ と Ｂ は 温 度 が 等 しい。す な わ ち 熱 的 平 衡 状 態 で あ り,変 化 は 可 逆 変 化 とな る。 不 可 逆 変 化 で は この 熱 伝 導 の例 の よ うに 必 ず エ ン トロ ピー は 増 大 す る。
例 題4・3圧
力0.101325MPaの
に 変 え る に 必 要 な 熱 量 が2256.9kJで
下 に 温 度100℃ あ る と き,蒸
の 水1㎏
を同圧 同温 の蒸気
発 に よ るエ ン トロ ピー の 増
加 を求 め よ。 〔 考 え方 〕 蒸 発 中 は 温 度 一 定 で あ る か ら,エ
ン トロ ピ ー の 増 加 は 式(4・15)に
よっ
て 計 算 す る。 〔 解 〕 T=100+273．15=373.15K,
Q=2256.9kJで
あ る か ら,式(4・15)か
ら
例 題4・4
１サ イ クル あ た り理 想 気 体1㎏
を動 作 流 体 と し,高 熱 源 温 度750
K,低
熱 源 温 度300Kの
た,等
温 膨 張 で は 容 積 が ２倍 に な る も の と し て,こ
を 求 め よ。 た だ し,理
間 に 作 用 す る カ ル ノー サ イ ク ル の 熱 効 率 を 求 め よ 。 ま
想 気 体 の ガ ス 定 数 は0.287kJ/㎏
〔 考 え方 〕 カル ノー サ イ クル の 熱 効 率 は 式(4・5)で 等 温 膨 張 に お け る受 熱 量 を 式(3・21)で 〔解 〕 T1=750K,
の 際 の エ ン トロ ピー の 増 加
T2=320
Kで
・Kと す る 。
求 め る。 エ ン トロ ピ ー の 変 化 は
求 め て か ら,式(4・15)で
あ る か ら,カ
計算 す る。
ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 式(4・5)
か ら
57.3% 等 温 膨 張 に お け る 受 熱 量Q1は
し た が っ て,エ
式(3・21)か
ら,υ2/υ1=2で
ン ト ロ ピ ー の 増 加 は 式(4・15)に
4・5
よって
理 想 気体 の エ ン トロピー
単 位 質 量 の 理 想 気 体 の 可 逆 変 化 に 対 す る エ ン トロ ピー は 式(4・13)お (3・13)か
よび式
ら
(4・17)
上 式 に状 態 式(3・2)を
代 入す る と (4・18)
さ ら に,式(3・14)のdq=CpdT-υdpか
ら
(4.19) な ど と表 す こ とが で き る 。 こ れ ら の 式 をCpとCυ υ1,T1)か
ら 任 意 の 状 態2(p2,υ2,
T2)ま
を一 定 と し て 基 準 状 態1(p1
で 積 分 す る と ,次
,
の よ うな単 位 質 量
の 理 想 気 体 の エ ン トロ ピー の 式 が得 られ る。
(4・20)
(4・21)
(4・22)
こ こ で,S0 1，S02, S03は 積 分 定 数 で あ る が,特
定 の 状 態 に お け る気 体 の エ ン ト
ロ ピ ー を ０ と お け ば 消 去 で き る。 単 位 質 量 の 理 想 気 体 が 状 態 １か ら ２ ま で 各 種 の 状 態 変 化 を 行 っ た 場 合 の エ ン ト ロ ピ ー の 変 化 は,式(4・20)∼(4・22)か
等 温 変 化 dT=0で
ら求 め られ る。
あ るか ら
(4・23)
定 圧 変化 dp=0で
あ るか ら
(4・24)
定 容 変 化 dυ=0で
あ るか ら
(4・25)
可 逆 断 熱 変 化 dQ=0で
あ る か ら, S2-S1=0で
あ り,可 逆 断 熱 変 化 は 等 エ
ン トロ ピ ー 変 化 と も 呼 ば れ る 。 ポ リ ト ロ ー プ 変 化 式(3・40)(3・41)に
よって
(4・26)
図4・9に 各種 の 可 逆 変 化 のTs線
図 を示 す。
不 可 逆 断 熱変 化 ポ リ トロー プ 変 化 と して 表 せ る場 合 は 式(4･26)で め られ る が,エ ン トロ ピー は 必 ず 増 加 す るか らS2-S1>0で
あ り,そ の ため に は
次 の 関 係 が 必要 で あ る。 圧 縮 す る場合 に は(p2>p1)
n>κ
膨 張 す る場 合 に は(p2
n
(ａ)等 温 変 化
(ｂ)定 圧 変 化
(ｃ)定 容 変 化
(ｄ)断 熱 変 化
(ｅ)ポ リ トロ ー プ 変 化 図4・9各
種 状 態 変 化 のTs線
図
求
例 題4・5圧
力450kPa,温
度305Kの
空 気 が100kPaま
で 等 温 膨 張 した 。こ
の と き 単 位 質 量 あ た りの 外 部 に 対 す る 仕 事 と エ ン ト ロ ピ ー の 変 化 を 求 め よ 。 た だ し,空
気 の ガ ス 定 数 は0.287kJ/㎏
・Kと す る 。
〔 考 え 方 〕 等 温 膨 張 で あ るか ら,仕 事 を 式(3・19)で しい の で,エ
ン トロ ピー の 変 化 は 式(4・23)に
〔解 〕p1=450kPa,
p2=100
kPa,
外 部 へ の 仕 事 は 式(3・19)に
気3㎏
kJ/㎏
・K, m=1㎏
ら
を 温 度298Kか
ら575Kま
に 要 す る 熱 量 とエ ン トロ ピー の 変 化 を,定 め よ 。 た だ し,空
よ っ て 求 め ら れ る。 K, R=0.287
よ って
エ ン ト ロ ピ ー の 変 化 は 式(4・23)か
例 題4・6空
T=305
求 め る と,仕 事 と受 熱 量 は 等
で 加 熱 す る。 こ の と きの 加 熱
圧 加 熱 と定 容 加 熱 の 場 合 に つ い て求
気 の 定 圧 比 熱 は1.Ol9 kJ/㎏
・K一 定 と し,比
熱 比 は1.4と
す
る。 〔 考 え方 〕 加 熱 に 要 す る 熱 量 と エ ン トロ ピー の 変 化 は,定 圧 加 熱 の 場 合 は 式(3・24) と式(4・24)か
ら,定 容 加 熱 の 場 合 も同 様 に 式(3・27),(4・25)で
加 熱 の 計 算 に 必 要 な 定 容 比 熱 が 与 え られ て い な い が,こ
求 め られ る。 定 容
れ は 比 熱 比 が あ るの で 定 圧 比
熱 か ら求 め て 用 い る 。 〔解 〕 m=3㎏,
T1=298
K, T2=575
K, κ=1.4,
定 圧 加 熱 の 場 合 は 式(3・24),(4・24)か
Cp=1.019
kJ/㎏
・K
ら
Q=mCp(T2-T1)=3×1.019×(575-298) =846
.8〔kJ〕
S2-S1=mCplnT2/T1=3×1.019×ln575/298 =2
.01〔kJ/K〕
定 容 加 熱 の 場 合 は 式(3・27),(4・25)に
よ る が,ま
ず 定 容 比 熱Cυ
を 求 め ると ，Cp/C υ=
κで あ るか ら
と な るの で Q=mCυ(T2-T1)=3×0.728×(575-298) =605〔kJ〕
例 題4・7圧
力600kPa,温
度425Kの
温 度287Kま
で 膨 張 さ せ た 場 合,膨
ロ ピ ー の 変 化 を 求 め よ 。 た だ し,空
空 気1㎏
をpυ1・25=定 数 に し た が っ て
張 後 の 圧 力 と膨 張 に よ る 仕 事 お よ び エ ン ト 気 の 定 容 比 熱 は0.721kJ/㎏
・Kと す る 。
〔 考 え方 〕 ポ リ トロー プ 変 化 で あ るか ら,膨 張 後 の 圧 力 は 式(3・37),膨 事 は 式(3・38),エ 比 は κ=1.4と
〔解 〕p1=600
kJ/㎏
ン トロ ピー の 変 化 は 式(4・26)で
張 に よ る仕
求 め られ る 。 空 気 で あ る か ら比 熱
して よ い 。 kPa,T1=425
K, T2=285
・K
膨 張 後 の 圧 力 は 式(3・37)か
膨 張 に よ る仕 事 は 式(3・38)か
ら
ら
エ ン トロ ピ ー の 変 化 は 式(4・26)で
K, n=1.255,κ=1.4,
m =1㎏,Cυ=0．721
有効エネルギー と最大仕事
4・6
〔１〕
有 効エネルギー
温 度 Ｔ の 高 熱 源 か ら熱 量 Ｑ を受 熱 し,温 度T0の
低 熱 源 に 熱 量Q0を
る カ ル ノー サ イ クル に つ い て考 え る。 そ の 熱効 率 ηcは式(4・5)か
放 熱す
ら
(１)
こ の 式 は,受 り,Q0を
熱 量 Ｑ の う ち 有 効 な仕 事 に 変 え ら れ るの はQa=Q-Q0で
あ
低 熱 源 に 捨 て な け れ ば な らな い こ と を表 し,熱 効 率 は Ｔ が 高 い ほ ど,
T0が 低 い ほ ど大 きい こ と を示 して い る。 し たが っ て, T0を 一 定 と考 え れ ば Ｔ が 高 い ほ ど熱 効 率 が 大 き い。 カ ル ノー サ イ クル(可
逆 サ イ クル)に お い て動 作 流 体 が 高低 両 熱 源 と熱 交 換
す る と きの エ ン トロ ピー の 増 加 と低 熱源 に 放 熱 され るQ0と
⊿Sと す れ ば,有 効 に 仕 事 に 変 え られ るQa
は 式(4・13)と(１)か
ら
⊿S=Q/T=Q0/T0
(4・27)
Qa=Q-Q0=Q(1-T0/T)=(T-To)⊿S
(4・28)
Q0=QTo/T=To⊿S
(4・29)
こ の と き,Qaを
有 効 エ ネ ル ギ ー(available
(unavailable
energy)と
ネ ル ギ ーQ0と
の 関 係 を 図4・10のTS線
energy),
Q0を
無 効 エネ ル ギー
い う。カ ル ノー サ イ ク ル の 有 効 エ ネ ル ギ ーQaと
無効 エ
図 を 示 す 。こ の 図 はT0を
一 定 と し て受
熱 量 Ｑ が 等 し い 二 つ の カ ル ノ ー サ イ ク ル を 比 較 し た も の で,高
熱源 温度 が Ｔ
か ら Ｔ'に 低 下 す る と,Qaが
したが って,同
減 少 し てQ0が
増 加 す る こ と が わ か る。
じ大 き さ の 熱 量 で も熱 を仕 事 に変 え る場 合 に は,温 度 が 高 い
ほ ど有 効 エ ネ ル ギーQaが
大 き くな る の で そ の 価 値 は 高 く,温 度 が低 い場 合 は 価
値 が 小 さ い とい え る。 式(4・29)に
よ る と無 効 エ ネ ル ギ ー は エ ン
トロ ピ ー の 増 加 に 比 例 す る 。 し た が っ て,エ ン トロ ピ ー の 増 加 は 無 効 エ ネ ル ギ ー が 増 え て 有 効 エ ネ ル ギー が 減 少 す る こ と を意 味 す る。 す な わ ち エ ン ト ロ ピ ー が 必 ず 増 加 す る不 可 逆 変 化 で は 無 効 エ ネ ル ギ ー が 増 加 し,有
効 エネ
ル ギー が 減 少 す る。 これ を有 効 エ ネ ル ギ ー の 散 逸 と い う。 ま た こ の こ と か ら,「 エ ン ト ロ ピ ー は エ ネ ル ギ ー(熱
〔２〕
量)の
図4・10
無 効 性 を表 す 尺 度 で あ る 」 と い う こ とが で き る 。
最大仕事
熱 を仕 事 に変 換 す る と き,動 作 流 体 に い ろ い ろ な状 態 変 化 を行 わ せ て仕 事 を 得 て い るが,そ
の と き発 生 させ られ る最 大 の 仕 事 を考 え てみ よ う。
動 作 流 体 に 状 態 変 化 を行 わせ て 外 部 に 対 して 発 生 で き る 最 大 仕 事(maxi mum work)の
大 き さは,そ
の系 の 種 類 や 初 期 の 条 件 お よび 周 囲 の 条 件 な どが
関 係 す る。 ま た,最 大 仕 事 が 得 られ る の は 変 化 が 可 逆 変 化 の場 合 に 限 られ,不 可 逆 変 化 の 場 合 は仕 事 の 損 失 を生 じ るの で得 られ な い 。 い ま,大 気,海 水,河 川 水 な ど を周 囲物 体 と考 え る と,周 囲物 体 の 熱 容 量 は き わめ て大 き い の で,そ の 圧 力p0や
温 度T0は
一 定 で あ る と考 え て よ い。 し たが っ て,動 作 流 体 の圧 力
や 温 度 が 周 囲 の そ れ よ り高 け れ ば,状 態 変 化 を行 わせ て 仕 事 を得 られ る が,周 囲 のp0,T0と (１)非 変 化(閉 積V1,内
平 衡 の状 態 に な る と状 態 変 化 は 止 ま り仕 事 は 得 られ な くな る。
定 常 変 化 の 場 合 一 定 量 の動 作 流 体 が 一 度 だ け 変 化 を行 う非 定 常 じ た 系)の
場 合 に は,動
部 エ ネ ル ギ ーU1,エ
膨 張 さ せ て 状 態 ２(p2,T0, p2か
らp0ま
作 流 体 を初 め の 状 態 １(圧 力p1,温 ン ト ロ ピーS1)か
ら 周 囲 の 温 度T0ま
V2, U2, S2)と し,さ
ら に 温 度T0一
で 等 温 膨 張 させ る と,周
囲 と平 衡 な 状 態 ０(p0,T0,
度T1,容 で まず 断 熱
定 の 下 に圧 力 V0, U0,S0)
に な っ て 最 大 仕 事 を 発 生 さ せ る こ とが で き る 。 こ の 状 態 変 化 をpV線
図に表す
と,図4・11の
よ うに な る。
こ の と き,動 作 流 体 が 発 生 す る 仕 事W10は 断 熱 膨 張 の 仕 事W12と
等 温 膨 張 の 仕 事w20
の 和 で あ る 。 こ の 場 合,断
熱 膨 張 で はS1=S2
で あ り,等 温 膨 張 の 際 の 受 熱 量 Ｑ は 式(4・13) に よ っ てQ=T0(S0-S1)と 則 の 式(2・5)か
な る の で,第
らW10は
一 法
次 の 式 で表 され る。
W10=W12+W20
=(U1-U2) +｛U2-U0+T0(S0-S1)}
図4・11非
定常変 化の最大仕事
=U1-U0+T0(S0-S1)〔J〕
この 状 態 変 化 で は 動 作 流体 が 初 め の容 積V1か らV0に 膨 張 す る の で,そ の 際 一 定 圧 力p 0の 周 囲物 体 を(V0-V1)だ け 押 しの け る仕 事 が 必 要 で あ り,こ の 仕 事 をW0と
す れ ば 次 の 式 に な る。 W0=p0(V0-V1)〔J〕
し たが っ て,こ
の よ う な非 定 常 変 化 に お い て 動 作 流 体 が 発 生 す る最 大 仕 事
WmはW1 0か らW0を
差 し引 い た もの た な り,次 の 式 で表 され る。
Wｍ=W10-W0 =U1-U0+T0(S0-S1)-p0(V0-V1)〔J〕
(4・30)
(２) 定 常 変 化 の 場 合 工 業 上 で は,新 しい 動 作 流 体 を連 続 的 に供 給 して 状 態 変 化 を継 続 的 に 行 わ せ る場 合,す
な わ ち定 常 的 な流 動 の過 程 を行 わ せ る(開
い た系)場 合 が 多 い。 この よ うな 場 合 に動 作 流体 が 外 部 に対 して な す 仕 事 は, 2・4節 お よ び2・6節 で 説 明 し た工 業 仕 事 で表 さ れ る。 定 常 変 化 の 場 合 も非 定 常 変 化 の 場 合 と 同 じ よ う に,最 め の 状 態1(圧
力p1,温
か ら 周 囲 の 温 度T0ま さ ら に 温 度T0一 態0(p0,T0,
度T1,容
積V1,エ
大 仕 事 は 動 作 流 体 を初
ン タ ル ピ ーH1,エ
ン ト ロ ピ ーS1)
で ま ず 断 熱 膨 張 させ て 状 態 ２(p2, T0, V2, H2, S2)と
定 の 下 に 圧 力p2か V0, H0, S0)に
らp0ま
し,
で 等 温 膨 張 させ て,周 囲 と 平 衡 な 状
す れ ば 発 生 させ る こ とが で き る。 こ の状 態 変 化
を 図4・12に
示 す。
こ の よ う な 定 常 変 化 に よ っ て 発 生 す る最 大 の 工 業 仕 事Wtmは 仕 事Wt12と
断熱膨 張 に よ る工業
等 温 膨 張 の 工 業 仕 事Wt20の
和 で あ り,式(2・13),(4・13)お 23)を
よ び(4・
用 いて Wtm=Wt12+Wt20 =H1-H2+H2
-H0+T0(S0-S1)
図4・12
定常変化の最大仕事
=H1-H0+T0(S0-S1)〔J〕 な お,最
(4・31)
大 仕 事 を エ ク セ ル ギ ー(exergy)と
も い う。 エ ク セ ル ギ ー と は,あ
エ ネ ル ギ ー の う ち,仕 事 に 変 え 得 る部 分 を い い,残 gy)と
る
りの 部 分 を ア ネ ル ギ ー(aner
い う。
例 題4・8高
熱 源 温 度900K,低
熱 源 温 度288Kの
間 で作 用 す る カ ル ノー サ イ
ク ル に お い て,１ サ イ ク ル あ た り の 受 熱 量 が10kJで
あ る と き,有 効 エ ネ ル ギ ー
と無 効 エ ネ ル ギ ー お よ び エ ン トロ ピー の 変 化 を 求 め よ 。 ま た,高 熱 源 温度 が450 Kの
場 合 に つ い て も求 め よ。
〔考 え 方 〕 有 効 エ ネ ル ギー と無 効 エ ネ ル ギー は 式(4・28)と(4・29)で 高 低 両 熱 源 の 温 度 が 与 え ら れ て い るか ら,ま ず 無 効 エ ネ ル ギ ー を 求 め,そ エ ネ ル ギー を 計 算 す る｡エ
〔解〕 高 熱源 温 度900Kの T=900K,
ン トロ ピー の 変 化 は 式(4・27)で
場合
T0=288
K, Q=10
無 効 エ ネ ル ギ ー は 式(4・29)か
ら
Q0=QT0/T=10×288/900=3.2〔kJ〕
有 効 エ ネ ル ギ ー は 式(4・28)に
よ って
Qa=Q-Q0=10-3.2=6.8〔kJ〕 エ ン ト ロ ピ ー の 変 化 は 式(4・27)か
ら
kJ
求 め る。
求 め ら れ る。 れ か ら有 効
⊿S=Q/T=10/900=0.0111〔kJ/K〕
高 熱 源 温 度450Kの
場 合 も同 じよ うに
Q0=QT0/T=10×288/450=6.4〔kJ〕 Qa=Q-Q0=10-6.4=3.6〔kJ〕 ⊿S=Q/
T=10/450=0.0222〔kJ/K〕
〔注 〕 エ ン トロ ピー の 増 加 に 比 例 し て 無 効 エ ネ ル ギ ー が 増 大 す る こ と が 理 解 で き よ う。
〔 演
習
問
題IV〕
１.理 想 気 体 を動 作 流 体 と して カ ル ノー サ イ クル を 行 う機 関 が あ る。 そ の 高 熱 源 温度 が1500K,1000K,500Kの
場 合 に つ い て,低 熱 源 温 度 を300K一
定 としてそ れ ぞ
れ の 熱 効 率 を求 め よ。 ２.高 温550℃,低
温25℃ の 温 度 範 囲 で 働 くカ ル ノー サ イ ク ル の 熱 効 率 を 求 め よ。 こ
の カ ル ノー サ イ クル に お い て サ イ クル あ た り供 給 さ れ る熱 量 が15kJで ば,サ
あ る とす れ
イ ク ル あ た りの 正 味 仕 事 は い く らか 。
３.１サ イ クル あ た り空 気0.4㎏
を動 作 流 体 と し,高 熱 源 温 度430℃,低
熱 源 温 度20℃
の 間 で作 用 す る カ ル ノー サ イ クル の 熱 効 率 を求 め よ.こ の サ イ クル で 等 温 膨 張 の 際 に 容 積 が2.5倍
に な る と す れ ば,受 熱 量 は い く らか 。ま た,こ の と きの エ ン トロ ピー
の 増 加 は い く らか 。 た だ し,空 気 の ガ ス 定 数 は0.287kJ/㎏ ４.圧 力360kPa,温
度288Kの
空 気3㎏
が 圧 力120kPaま
・Kと す る 。 で等 温 膨 張 し た 。 この と
き の 加 熱 量 お よ び エ ン トロ ピー の 増 加 を求 め よ。 ５.あ る理 想 気 体2㎏
を圧 力150kPa,温
度15℃
の 状 態 か ら圧 力 一 定 の も とに150kJ
の 熱 量 を 与 え て 加 熱 し た。 加 熱 後 の 温 度 お よ び エ ン トロ ピー の 変 化 を求 め よ 。 た だ し,理 想 気 体 の 定 圧 比 熱 は0.922kJ/㎏ ６.温 度10℃
の理 想 気 体4㎏
・K一 定 とす る。
を 容 積 一 定 の も とに300kJの
熱 量 を 与 え て 加 熱 し た。
加 熱 後 の 温 度 と エ ン トロ ピー の 変 化 を求 め よ。た だ し,理 想 気 体 の 定 容 比 熱 は0.743 kJ/㎏
・K一 定 とす る。
７.圧 力1400kPa,温
度450Kの
理 想 気 体5㎏
がpV1.2=定
数 に したが って容積 が ８
倍 に な る ま で 膨 張 した 。 この 変 化 に 要 す る 熱 量 お よ び エ ン ト ロ ピー の 変 化 を求 め よ。 た だ し,定 容 比 熱 は0.694kJ/㎏ ８.ガ ス 定 数0.297kJ/㎏
・K一 定 と し,比
・K,比 熱 比1.4の
の 状 態 か ら圧 力2000kPaま
熱 比 は1.4と
理 想 気 体1㎏
でpV1.25=定
す る。
を圧 力150kPa,温
度20℃
数 に し た が っ て 圧 縮 し た。 エ ン トロ ピー
の 変 化 お よ び 圧 縮 後 の 温 度 を 求 め よ。 ９.圧
力101kPa,温
度295Kの
空 気1㎏
に36kJの
熱 量 を 与 え た と き の エ ン トロ
ピー の 変 化 を,定 圧 変 化 と定 容 変 化 の 場 合 に つ い て 求 め よ。 10.標
準 大 気 圧 の 下に ０℃ の 水5㎏
を100℃
加 は い く ら か 。 水 の 比 熱 は4.189kJ/㎏
11.100℃
の 水1㎏
ま で 加 熱 す る と,水 ・K一
の エ ン トロ ピー の 増
定 とす る。
を 同 温 度 の 蒸 気 に 変 え る に 要 す る 熱 量 が2256.9kJ/㎏
であ る場
合,蒸 発 に よ る エ ン トロ ピー の 増 加 を求 め よ 。ま た,低 熱 源 温 度 を ０℃ と して 蒸 発 に 要 し た熱 量 の 有 効 エ ネ ル ギ ー と無 効 エ ネ ル ギ ー を求 め よ。 12.高 熱 源 温 度 が1200K,800K,400Kの 1MJの
た だ し,低
熱 源 温 度 は280Kと
す る。
〔
１.カ
三 つ の カ ル ノー 機 関 を考 え る。 そ れ ぞ れ に
熱 量 を与 え て仕 事 を発 生 させ る と き,有 効 エ ネ ル ギ ー は そ れ ぞ れ い く らか 。
略
ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 式(4・5)か T1=1500Kの
ら
80%
1=1-300/1500=0.8
場 合
70%
ηc=1-T2/T1=1-300/1000=0.7 T1=500Kの
〕
場 合
ηc=1-Ｔ2/T
T1=1000Kの
解
場合
40%
ηc=1-T2/T1=1-300/500=0.4
２.カ ル ノ ー サ イ クル の 熱 効 率 は 式(4・5)か
ら
63.8%
ηc=1-T2/T1=1-298/823=0.638
正 味 仕 事 は 式(4・2)か
ら
W=ηcQ=0.638×15=9.57〔kJ〕 ３.カ
ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 式(4・5)か
ηc=1-T2/T
ら
58.3%
1=1-293/703=0．583
等 温 膨 張 に お け る 受 熱 量Q1は
式(3・21)か
ら,υ2/υ1=2.5で
Q1=mRT1lnυ2/υ1=0.4×0.287×703×ln2.5 =73
.95〔kJ〕
エ ン ト ロ ピ ー の 増 加 は 式(4・23)に
よって
S2-S1=Q1/T1=73.95/703 =0 4.加
熱量
.1052〔kJ/K〕
Ｑ は 式(3・21)か
ら
エ ン ト ロ ピ ー の 変 化 は 式(4・23)か
ら
S2-S1=Q/T=272.4/288=0.946〔kJ/K〕
５.加 熱 後 の 温 度 は 式(1・3)を
t2=Q/mC
応 用 して
p+t1=150/2×0.922+15 =96
.3〔 ℃ 〕
定 圧 変 化 で あ るか らエ ン ト ロ ピー の 変 化 は 式(4・24)に S2-S1=mCplnT2/T
1=2×0.922×ln369/288 =0
６.加 熱 後 の 温 度 は 式(1・3)を
.457〔kJ/K〕
応 用 して
よって
t2=Q/mCυ+t1=300/4×0 =111〔
.743+10
℃〕
定 容 変 化 で あ る か らエ ン トロ ピー の 変 化 は 式(4・25)に
よって
S2-S1=mCυlnT2T1=4×0．743×1.384/283 =0
７.ポ
.907〔kJ/K〕
リ トロ ー プ 変 化 で あ るか ら変 化 後 の 温 度 は 式(3・35)に
よって
=297〔K〕
変 化 に 要 した 熱 量 は 式(3・40)か
ら
=531〔kJ〕 エ ン ト ロ ピ ー の 変 化 は 式(4・26)か
=1 ８.式(3・17)か
.442〔kJ/K〕
らCυ
=0
を 求 め,式(4・26)に
.7425〔kJ/㎏
=0
=-0
ら
・K〕
.7425×1.25-1.4/1.25×ln2000/150
.2308〔kJ/㎏
変 化 後 の 温 度 は 式(3・36)か
ら
・K〕
よ っ て エ ン トロ ピー の 変 化 を計 算 す る。
９.CpとCυ
は 表3・1か
ら 求 め て,一
定 と して 計 算 す る。
定 圧 変 化 の 場 合 は 式(3・24)と(4・24)か
ら
定容 変化 の場 合 は
ら
10.式(4・15)か
11.蒸
式(3・27)と(4・25)か
ら計 算 す る 。
発 中 は 温 度 一 定 で あ るか ら,エ
ン トロ ピー の 増 加 は 式(4・23)を
利 用 して
蒸 気 が 凝 縮 し て蒸 発 熱 を放 出 し,そ の 温 度 の ま ま熱 源 に な る と考 え る と,無 効 エ ネ ル ギ ー と有 効 エ ネ ル ギー は 式(4.29)と(4・28)か
12.有
効 エ ネ ル ギ ー は 式(4・28)か
ら
ら
Qa=Q(1-T0/T)=1×(1-280/1200)=0.767〔MJ〕 Qa=Q(1-T0/T)=1×(1-280/800)=0.65〔MJ〕 Qa=Q(1-T0/T=1×(1-
280/400)=0.3〔MJ〕
５
蒸
気
蒸 気 原動 機 そ の他 に 用 い る水 蒸 気,冷 凍 機 で使 う各 種 の 冷 媒 な どの よ うに工 業 上 蒸 気 を使 用 す る例 は 多 い。 蒸 気 とは凝 縮 や 蒸 発 が起 こ る状 態 に近 い気 体 で あ り,そ の 性 質 は複 雑 で 簡 単 な状 態 式 で 表 す こ とが で きな いの で,そ れ ぞ れ の 蒸 気 につ い て 蒸 気 表 や 蒸 気 線 図 を作 って 用 い るの が ふ つ う で あ る。 こ の 章 で は 水 蒸 気 を例 と して蒸 気 の 性 質 につ い て 説 明 す る。
5・1 蒸 気 の 一 般 的 性質
一 般 に 気 体 は ガ ス(gas)と 蒸 気(vapor)に
大 別 して 取 り扱 わ れ て い る。 しか
し,ガ ス と蒸 気 とは取 り扱 い の 便 宜 上 分 け られ て い る もの で,両 者 の 間 に 明 確 な 区 別 が あ るわ け で は な い。 ふ つ う,凝 縮 や 蒸 発 が 起 こ る状 態 か ら相 当 に 離 れ た気 体 を ガ ス とい い,凝 縮 や 蒸 発 が 起 こ る状 態 に 近 い気 体 を蒸 気 とい う。 ゆ え に任 意 の 気 体 は そ の 温度 お よび 圧 力 を変 えれ ば,ガ え ば,水
ス に も蒸 気 に も な る。 た と
は常 温 で は 液体 で あ るが,加
熱 して 高 温 に す れ ば 蒸 気 に な り,さ らに
高 温 に す る あ るい は低 圧 にす れ ば,ガ
ス の 状 態 に な る。 こ の よ うに 蒸 気 とガ ス
は厳 密 に は 区別 で き な いが,実
用 上 は蒸 気 とガ ス に分 け て取 り扱 うの が 便 利 で
あ る。ガ ス は 近 似 的 に理 想 気体 とみ な して そ の 状 態 式pυ=RTを と して,き
満 足 す る もの
わめ て簡 単 な 取 り扱 い をす る こ とが で き る。 しか し蒸 気 は 比 較 的 高
温,低 圧 の 場 合 以外 は理 想 気 体 の よ うに 簡 単 な状 態 式 を満 足 せ ず,は
なはだ複
雑 な変 化 を示 す 。 した が っ て,蒸 気 は性 質 を簡 単 な状 態 式 で表 す こ と は 困 難 で あ り,実 用 上 は各 種 の蒸 気 に対 して 実 験 結 果 を基 礎 に して 蒸 気 表 や 蒸 気 線 図 を 作 り,そ れ を必 要 に 応 じて 使 用 す るの が ふ つ うで あ る。
工 業 上 使 用 さ れ る蒸 気 に は い ろ い ろ な 種 類 が あ る が,本
節 で は蒸 気 を水 蒸 気
(steam)を 例 に し て 説 明 す る。 一 定 量 の 水 を一 定 圧 力 の も とに加 熱 す る場 合 を考 え る。図5・1(a)に 示 す よ うに シ リ ン ダー 内 に 水 を入 れ,気 密 で摩 擦 も (ｂ)
(ａ)
な く 自由 に動 く ピス トン とそ の上 に 載 せ
図5・1蒸
気 の発生
た お も りに よ っ て常 に 一 定 圧 力 に保 っ て 加 熱 す る 。 水 の 温 度 は 次 第 に 上 昇 し,そ
れ と と も に 容 積 も 膨 張 す る が,液
体 の
状 態 の ま ま で は あ る一 定 の 温 度 以 上 に は な ら な い。 た とえ ば標 準 大 気 圧 の下 で は 水 の 温 度 は100〔
℃ 〕 ま で は 上 が る が,そ
は 液 体 の 種 類 と圧 力 に よ っ て 定 ま り,こ ration temperature)と point)と
呼 び,特
れ 以 上 に は な らな い。 こ の一 定 温 度
れ を そ の 圧 力 に 対 す る 飽 和 温 度(satu
に 大 気 圧 の 下 の 飽 和 温 度 を 沸 点(boiling
い う。
飽 和 温 度 に あ る 水 を 飽 和 水(saturated と の 間 に は 一 定 の 関 係 が あ り,そ
water)と
い う。 飽 和 水 の 圧 力 と温 度
の 圧 力 が 定 ま れ ば 温 度 も 定 ま り,ま
た 温度 を
定 め れ ば 圧 力 も 定 ま る 。 こ の 飽 和 水 の 圧 力 を そ の 温 度 に 対 す る 飽 和 圧 力(satu ration pressure)と
い う 。1〔 ㎏ 〕の 液 体 を 定 圧 の も と に ０ 〔 ℃ 〕 か ら飽 和 温 度 ま
で 加 熱 す る に 要 す る 熱 量 を 液 体 熱(heat of liquid)と 呼 ぶ 。
飽 和 水 を な お 加 熱 す る と,そ の 一 部 が 同 温 同圧 の 気 体 に 変 わ り,容 積 が 急 に 増 大 す る。 こ の よ うに 液体 が 気 体 に 変 わ る こ と を 蒸 発(evaporation,vaporiza tion)と い い,そ の 発 生 気体 が 蒸 気 で あ る。加 熱 が 急 速 で あ る と きは,水 の 表 面 か ら蒸 発 す るば か りで な く,水 の 内 部 で も蒸 発 し て気 泡 が 発 生 し,そ れ が 水 の 内部 を上 昇 す る の で 水 面 が 躍 動 す る。 この 蒸 発 の 現 象 を沸 騰(boiling)と 呼 ん で い る。 蒸 気 の 温 度 は 水 が 全 部 蒸 発 し終 わ る まで は 飽 和 温 度 に保 た れ,水 とは 密 度 が 異 な るの で上 下 に分 か れ,図5・1(b)の
と蒸 気
よ うに境 界 面 が で き る。 この
よ う に 飽 和 水 と共 存 し,こ れ と平 衡 状 態 に あ る 蒸 気 を 飽 和 蒸 気(saturated steam)と
い い,水 の 全 部 が蒸 発 し終 わ っ て水 分 を少 し も含 ま な い飽 和 蒸 気 を乾
き 飽 和 蒸 気(dry saturated steam)と (wet steam)と
x=0の
分 を含 む もの は湿 り蒸 気
い う。1〔㎏ 〕の 湿 り蒸 気 の う ちx〔 ㎏ 〕が 蒸 気 の 状 態 で,(1-x)
〔 ㎏ 〕 が 液 体 の 状 態 で あ る と き,ｘ 度(wetness
い う。 ま た,水
fraction)と
を 乾 き 度(dryness
い う。 す な わ ちx=1の
fraction),(1-x)を
湿 り
と き は 乾 き 飽 和 蒸 気 で あ り,
と き は 飽 和 水 で あ る。飽 和 蒸 気 の 圧 力 と 温 度 の 関 係 は,飽
和水 のそれ と
等 し く,圧 力 が 定 ま れ ば 温 度 も定 ま り,温 度 を 定 め れ ば 圧 力 も定 ま る 。1〔㎏ 〕の 飽 和 水 を 圧 力 ー 定 の も と に 乾 き 飽 和 蒸 気 に す る に 要 す る 熱 量 を 蒸 発 熱(latent heat of vaporization,heat
of vaporization)と
い う。
乾 き飽 和 蒸 気 を さ らに 加 熱 す る と,蒸 気 の 温度 は飽 和 温 度 以 上 に 上 昇 す る。 こ の よ う に飽 和 温 度 以上 に 加 熱 さ れ た蒸 気 を過 熱 蒸 気(superheated steam)と い う。 過 熱 蒸 気 の 温 度 とそ の 圧 力 に 相 当 す る飽 和 温 度 との 差 を過 熱 度(degree of superheat)と
い う。過 熱蒸 気 は過 熱 度 が 高 い ほ ど そ の性 質 が 理 想 気体 に近 く
な り,十 分 に過 熱 さ れ た蒸 気 は 理 想 気 体 とみ な して も さ しつ か え な い。1〔 ㎏ 〕 の 乾 き飽 和 蒸 気 を飽 和 温 度 か ら任 意 の 温度 ま で過 熱 す る に要 す る熱 量 を過 熱 の 熱(heat of superheating)と 図5・2お
よ び 図5・3に
a1b1c1d1,a2b2c2d2,…
図5・2
呼 ぶ。
蒸 気 のpυ 線 図 お よ びTs線
図 を示 す 。 図 中の 屈 折 線
… … はpυ 線 図 で は 等 温 変 化,Ts線
蒸 気 のpυ 線 図
図5・3
図 で は 定 圧 変 化 を示
蒸 気 のTs線
図
し て い る 。a1b1,a2b2,…
… の 範 囲 は 液 体 の 状 態 で, b1c1,b2c2,…
…の範囲 は
液 体 と蒸 気 が 共 存 す る 状 態 す な わ ち 湿 り蒸 気 の 状 態 で あ り,c1d1, c2d2,… 範 囲 は 過 熱 蒸 気 の 状 態 で あ る 。 し た が っ て,b1,
b2,b3の
表 し,こ れ を 結 ん だ 線 を 飽 和 液 線 と い い,c1,c2,c3の 飽 和 蒸 気 の 状 態 を 示 し,こ
… の
点 は飽 和 液 の 状 態 を
点 は 蒸 発 が終 わ っ た 乾 き
れ を 結 ん だ 線 を 飽 和 蒸 気 線 と い う。 こ の 両 者 を合 わ
せ て 飽 和 限 界 線 あ る い は 飽 和 曲 線(saturation
curve)と
線 図 に お け る 液 体 範 囲 の 等 圧 線a1b1,a2b2,…
… は 便 宜 上 離 し て か い て あ る が,
実 際 に は き わ め て 接 近 し て い る の で,飽
呼 ん で い る 。 な お,Ts
和 液 線b1,b2,b3…
… に一 致 す る と考
えて さ しつ か え な い 。 図5・2お
よ び 図5・3に
示 さ れ る よ う に 飽 和 液 線 と飽 和 蒸 気 線 は 圧 力 が 高 く な
る に し た が っ て 次 第 に 接 近 し,あ
る特 定 の圧 力 に な る と一 点 ｃで合 致 す る。 こ
れ は 高 圧 に な る に つ れ て 飽 和 液 と 飽 和 蒸 気 の 比 容 積 の 差 が 少 な くな り,蒸 も 小 さ く な っ て,点
ｃで は 飽 和 液 と飽 和 蒸 気 の 比 容 積 が 等 し く な り,蒸
発 熱
発 熱が
０に な る こ と を 示 し て い る 。 こ の 特 定 の 圧 力 を 臨 界 圧(critical pressure)と い,点
ｃ を 臨 界 点(critical point)と
い う。 ま た,臨
積 を そ れ ぞ れ 臨 界 温 度(critical temperature)お ume)と
界 点 に お け る温 度 お よび 容 よ び 臨 界 容 積(critical vol
い う。 液 体 を 等 圧 の も と に 加 熱 し て 蒸 気 に す る と き,圧 力 が 臨 界 圧 以 下
の 範 囲 で は 蒸 発 の 現 象 を と も な い 蒸 発 熱 が 必 要 で あ る が,臨 象 は 認 め ら れ ず,液
界点 では蒸発 の現
体 か ら 蒸 気 へ の 変 化 が 連 続 的 に 行 わ れ て 蒸 気 が 発 生 し,蒸
発 熱 は ０ に な る 。 臨 界 圧 以 上 の 圧 力(超 と,臨
い
臨 界 圧)で
等 圧 の も とに水 を加 熱 す る
界 圧 の も と の 加 熱 と全 く同 じ よ う に 蒸 発 の 現 象 を と も な わ ず に 液 体 か ら
蒸 気 に 状 態 変 化 し,さ
ら に 加 熱 す れ ば 過 熱 蒸 気 に な る 。 こ の と き,液
気 に 連 続 的 に 変 わ る の で,液 5・2お よ び 図5・2に
体 と 蒸 気 と の 明 確 な 境 界 は な い が,近
体 か ら蒸
似 的 には図
示 さ れ る 臨 界 等 容 線 に 一 致 す る と考 え て よ い 。 超 臨 界 圧 の
も と で 液 体 か ら 蒸 気 に 変 わ る 温 度 を 遷 移 点 と い う。 水 の 臨 界 圧 は22.12 〔MPa〕,臨
界 温 度 は374.15〔
℃ 〕,臨 界 比 容 積 は0.00317〔m3/㎏
〕で あ る。
1〔㎏ 〕の 水 を 圧 力 一 定 の も と に 加 熱 し て 任 意 の 温 度 の 過 熱 蒸 気 に す る と き, 液 体 熱 をql,蒸
発 熱 を γ,過 熱 の 熱 をqsと
す れ ば,こ
れ ら のql,γ,qsの
熱 量
は 図5・4のTs線
図 に よ うに,等 圧 線 の 下 方 の
面積 で 表 され る。 この 図 か ら も蒸 発 面積 は,圧
γ を表 す
力 が 高 くな る に した が って 減 少 し,
臨 界 圧 に な る と蒸 発 の 現 象 を と もな わ な い の で γ=0に な る こ とが わか る。 液 体 と過 熱蒸 気 は そ の 圧 力 と温度 が 与 え られ る と,状 態 が定 ま る。 しか し,飽 和 蒸 気 は 圧 力 と温 度 の 間 に一 定 の 関係 が あ るの で,そ の 状 態
図5・4qι,
γ, qsの 関 係
を定 め る に は圧 力 と温 度 の いず れ か 一 方 と乾 き度 ｘ を与 え る の が ふ つ う で あ る。
5・2蒸
気 の状 態 量
蒸 気 の 性 質 は は な は だ 複 雑 で あ り,簡 単 な状 態 式 で表 す こ とは で き な い。 そ こ で,蒸 気 の い ろ い ろ な 性 質 を実 際 に 測 定 し た結 果 あ る い は それ を基礎 に して 作 られ た 状 態 式 に 基 づ い て 作 成 さ れ た 詳 細 な蒸 気 表 や 蒸 気 線 図 を,必 要 に 応 じ て 使 用 す る の が ふ つ うで あ る。 した が って,蒸 気 の 熱 力 学 的状 態 量 は蒸 気 表 や 蒸 気 線 図 か ら求 め ら れ るが,こ
こ で は そ れ らの 基 本 的 な考 え 方 につ い て水 を例
に し て簡 単 に 説 明 す る。 蒸 気 の 熱 力 学 的 状 態 量 は 飽 和 水 お よ び 乾 き飽 和 蒸 気 の 比 容 積,比 ギ ー,比
エ ン タ ル ピ ー,比
内部 エ ネ ル
エ ン トロ ピ ー を そ れ ぞ れ υ',ｕ', ｈ', ｓ'およ び υ",
ｕ",ｈ", ｓ"で 表 す の が ふ つ う で あ る 。 工 業 上 の 応 用 で は エ ン タ ル ピ ー と エ ン ト ロ ピ ー が 重 要 で あ り,内
部 エ ネ ル ギ ー は あ ま り重 要 で は な い 。 ま た,一
エ ン タ ル ピー や エ ン ト ロ ピ ー は そ の 絶 対 値 は さ し て 問 題 で は な く,物 変 化 す る 間 に ど れ だ け 増 減 し た か が 必 要 で あ る 。 な お,蒸 量 あ た りにつ い て 考 え るの が ふ つ うで あ る。
般 には
体 が状 態
気の状 態量は単位質
〔１〕 飽 和 水 現 在 は 水 蒸 気 の 状 態 を 表 す た め に 水 の 三 重 点(0.01℃=273.16K,611.2Pa) を 基 準 に と り,そ
の 飽 和 水 の 比 内 部 エ ネ ル ギ ーu'と 比 エ ン ト ロ ピ ーS'を
め て い る 。 以 前 に は0〔 ℃ 〕の 飽 和 水(圧
力610.8Pa)を
０ と定
基 準 と して その 比 エ ン
タ ル ピ ーh0'と 比 エ ン ト ロ ピ ーS0'を ０ と し て い た 。 基 準 の 定 め 方 は 大 切 で あ る が,こ
の 場 合 の 両 方 法 の 結 果 の 差 異 は 次 に 示 す よ う に 僅 少 で あ る。
水 の 三 重 点 の 飽 和 水 の 比 エ ン タ ル ピ ーh'は 比 容 積 を0.001〔m3/kg〕 す とu'=0で
とみ な
あ るか ら h'=u'+pυ'=0+611.2×0.001
=0
.6112(J/kg)=0.0006112〔kJ/kg〕
０ 〔℃ 〕の 飽 和 水 の 比 エ ン タ ル ピ ーh0'=0と はh0'=0で
し た 場 合 の 比 内 部 エ ネ ル ギ ーu0'
あるか ら u0'=-p0υ0'=-610.8×0.001 =-0
と な り,ｈ'とu0'の
.6108〔J/kg〕=-0.0006108〔kJ/kg〕
値 は 微 小 で 実 用 上 と も に ０ と み な し て 差 し支 え な い 。
０ 〔℃ 〕の 水 を 等 温 の も と に 加 圧 し て も圧 力 が あ ま り 高 く な い 範 囲(10MPa く ら い ま で)で
は,比
内 部 エ ネ ル ギ ーu0の
値 は 実 際 上 ０ とみ な し て よ い 。
ゆ え に, u0=0，h0=pυ0,(p＜10MPa)
とな り,こ の 程 度 の圧 力 範 囲 で は ０〔℃ 〕の水 の エ ン タ ル ピー は 圧 力 に 比 例 す る こ とに な る。圧 力 が 高 い 場 合 に はu0=0と
は み なせ ない の で,ま ずu0の
値 を定
め て か らエ ン タ ル ピー を求 め な け れ ば な らな い 。 任 意 圧 力 の不 飽 和 水(圧 縮 水)の エ ン タル ピーh0の 値 が 決 ま る と,そ の 圧 力 の飽 和 水 の エ ン タル ピー ｈ'はh0と 液 体 熱qι の和 で あ るか ら h'=h0+qι
〔J/㎏
〕
(5・1)
液体 熱qι は水 の 比 熱 を Ｃ,飽 和 温 度 をtsと す れ ば,次 の 式 で 表 さ れ る。
水 の 比 熱 Ｃ は あ ま り圧 力 の 高 くな い範 囲 で は加 熱 の 条 件 に 関係 な く温 度 の み の 関 数 と考 え て よい が,高 圧 に な る と温度 お よ び圧 力 の 関 数 に な る。 任 意 圧 力 の 下 に ０〔℃ 〕の 水 を飽 和 温 度 ま で 加 熱 す る変 化 に,第 dq=du+pdυ
を適 用 す る と qι=u'-u0+p(υ'-υ0)〔J/㎏
と な り,液
一法 則 の式
〕
(5・2)
体 熱 ｑ の 大 部 分 は 内 部 エ ネ ル ギ ー の 増 加(u'-u0)と
部 分 が 外 部 に 対 す る 仕 事p(υ'-υ0)に
な り,残
りの小
な る。
任 意 の 圧 力 で ０〔℃ 〕の不 飽 和 水 を圧 力一 定 の 下 に,そ の 圧 力 に相 当す る飽 和 温 度Tsま
で加 熱 す れ ば,飽 和 水 の状 態 に な る。 この と きの 比 エ ン トロ ピー ｓ'は
次 の 式 で表 され る。 (5・3)
こ こ に,S0は
０ 〔℃ 〕 の 不 飽 和 水 の 比 エ ン トロ ピ ー で あ り,Ｃ
は水 の 定 圧 比 熱 で
あ る 。 な お,飽
和 状 態 の水 の 比 熱 Ｃ は あ ま り高 温 で な い 限 りほ とん ど一 定 で あ
る の で,約150〔
℃ 〕以 下 で は 飽 和 水 の エ ン トロ ピ ー ｓ'を次 の 式 で 近 似 的 に 計 算
す る こ とが で き る。
〔２〕 飽 和 蒸 気 1〔㎏ 〕の 飽 和 水 を圧 力 一 定 の も とに 加 熱 して 乾 き飽 和 蒸 気 に す るに 要 す る 熱 量 が 蒸 発 熱 γで,こ
の 変 化 に 第 一 法 則 の 式dq=du+pdυ=dh-υdpを
適用
す る と,次 の 式 に な る。 γ=(u"-u')+p(υ"-υ')=h"-h'〔J/㎏
〕
(5・4)
この 式 は 蒸 発 熱 γが,液 体 か ら蒸 気 に 変 わ る際 に分 子 間 の 引 力 に 打 ち勝 っ て そ の 距 離 を大 き くす るた め に 用 い られ る 内 部 エ ネ ル ギ ー の 増 加 φ=(u"-u')
と,容
積 の 膨 張 に と も な う外 部 仕 事 ψ=p(υ"-υ')と
の 和 で あ る こ と を 示 し,
前 者 を 内 部 蒸 発 熱(internal latent heat of vaporization)と 蒸 発 熱(external
latent heat of vaporization)と
飽 和 蒸 気 の エ ン タ ル ピ ーh"と
い い,後
者 を外 部
い う 。 ま た,蒸 発 熱 γ は 乾 き
飽 和 水 の エ ン タ ル ピ ー ｈ'との 差 で あ る 。
蒸 発 に よ るエ ン トロ ピー の 増 加 は,飽 和 温 度 をTsと
す れば次 の式 で表 され
る。 (5・5)
湿 り蒸 気 の 比 容 積 υ,比 内 部 エ ネ ル ギ ー ｕ,比 エ ン タ ル ピ ー ｈお よ び 比 エ ン ト ロ ピ ー ｓは,乾
き度 を ｘ とす れ ば 次 の 式 で与 え られ る。
(5・6)
な お,蒸 発 熱 と蒸 気 の 比 容 積 お よ び圧 力 と飽 和 温 度 との 間 に は ク ラペ イ ロ ン (Clapeyron)の
式 と呼 ば れ る関 係 が あ るが,本 書 で は 省 略 す る。
〔３〕 過 熱 蒸 気 過 熱 蒸 気 の エ ン タ ル ピ ー ｈ は 乾 き 飽 和 蒸 気 の エ ン タ ル ピ ー ｈ"と 過 熱 の 熱qs と の 和 で あ り,次
の式 で 計 算 で き る。
h=h"+qs〔J/㎏
〕
過 熱 の 熱qsは 飽 和 温 度Tsの
(5・7)
乾 き飽 和 蒸 気 を等 圧 の も とに任 意 の 温 度 Ｔ の
過 熱 蒸 気 に す るに 必 要 な 熱 量 で,過 熱 蒸 気 の 定 圧 比 熱 をCpと
す れば次 の式 で
表 され る。 (5・8)
し た が っ て,式(5・7)は
h=h"+∫
TsT CpdT〔J/㎏
〕
過 熱 蒸 気 の エ ン ト ロ ピ ー ｓ は 次 の 式 で 表 さ れ る。
(5・9)
な お,蒸 気 の 定 圧 比 熱Cpの
値 は 温 度 に よ っ て 変 化 す る だ け で な く,圧 力 に
よ っ て も変 化 す る。 過 熱 蒸 気 の 内 部 エ ネ ル ギー ｕは エ ン タ ル ピー ｈか ら u=h-Pυ
〔J/㎏ 〕
(5・10)
で求 め られ るが,工 業 上 は ｕの値 を用 い るこ とは 少 な い 。 例 題5・1圧 ピー は
力800kPaの
飽 和 水 と乾 き飽 和 蒸 気 の 比 容 積 お よ び 比 エ ン タル
υ'=0.00111498m3/㎏,υ"=0.240257
2767.5kJ/㎏
m3/㎏,
で あ る 。 こ の 蒸 気 の 蒸 発 熱,内
h'=720.935kJ/㎏,
h"=
部 蒸 発 熱 お よ び外 部 蒸 発 熱 を求 め
よ。
〔考 え 方 〕 蒸 発 熱 は 等 圧 の も と に 飽 和 水 を 乾 き 飽 和 蒸 気 に す る に 必 要 な 熱 量 で あ り,式(5・4)に
よ っ て 求 め る。 内 部 蒸 発 熱 は 内 部 エ ネ ル ギー が 与 え られ て い な い が,
外 部 蒸 発 熱 を計 算 して 蒸 発 熱 か ら差 し引 け ば 求 め られ る。 〔 解 〕 式(5・4)に
状 態 量 を そ れ ぞれ い れ て 計 算 す る 。
蒸 発 量 γは
外 部 蒸 発 熱 ψ=p(υ"-υ')は
内部 蒸 発 熱 φ=(u"-u')は
例 題5・2
温 度200℃,乾
き 度x=0.9の
湿 り蒸 気 の 比 容 積,比
よ び 比 エ ン トロ ピー を 求 め よ 。た だ し,200℃ 容 積,比
エ ン タ ル ピー お
の 飽 和 水 お よ び乾 き飽 和 蒸 気 の 比
エ ン タ ル ピ ー お よ び 比 エ ン トロ ピ ー は 次 の 通 り とす る 。
〔 考 え 方 〕 温 度 と乾 き度 が 与 え ら れ て い る の で,湿 が っ て,式(5・6)に
よ って 与 え ら れ た 比容 積,比
り蒸 気 の 状 態 は 定 ま る.し
た
エ ン タル ピー お よ び 比 エ ン トロ ピー
と乾 き度 か ら 求 め る。 〔 解 〕 式(5・6)に
状 態 量 を そ れ ぞ れ い れ て 計 算 す る。
比容 積 υは
比 エ ン タ ル ピー ｈは
比 エ ン ト ロ ピ ー ｓは
5・3蒸
気 表 お よび 蒸気 線 図
蒸 気 の 性 質 は前 に も述 べ た よ うに は な は だ 複 雑 で,理 想 気 体 の よ うに 簡 単 な 状 態 式 で 表 す こ とは で き な い。 蒸 気 な どの 実 在 気 体 の 熱 力 学 的 性 質 を表 す た め に フ ァ ン デ ル ワ ー ル ス(van der Waals)の
状 態 式 な ど い くつ か の 状 態 式 が 作
成 さ れ て い るが,い ず れ も実 用 上 十 分 な 計 算 結 果 が得 ら れ る とは い え な い の で, 個 々 の物 質 につ い て 固 有 の 熱 的 状 態 式 を作 成 し,そ れ に 基 づ い て蒸 気 表 や い ろ い ろ な 線 図 をつ くっ て 利 用 して い る。 こ こで は水 蒸 気 を例 に して 説 明 す る が, 他 の 物 質 の 場 合 も考 え 方 は 同様 で あ る が,状 態 量 の 基 準 点 や 基 準 値 の 定 め 方 に は相 違 が あ るの で数 値 は 異 な って い る。
〔１〕 蒸 気 表 わ が 国 で は 日本 機 械 学 会 の蒸 気 表 が 用 い られ る。 巻 末 の付 表 は1980SI日
本
機 械 学 会 蒸 気 表 の 抜 粋 で あ る。 この 蒸 気 表 は,国 際 蒸 気 性 質 会 議 で 精 密 な実 験 値 に 基 づ い て 決 定 さ れ た国 際 蒸 気 骨 組 表 に準 拠 し て作 成 され た実 用 国 際 状 態 式 に よ って 計 算 さ れ た もの で あ り,実 用 国 際 状 態 式 を基 礎 式 に してSI単 位 を採 用 した 他 の 国 の 蒸 気 表 と内 容 は 同 じ で あ る。 蒸 気 表 は飽 和 蒸 気 表 と圧 縮 水 と過 熱 蒸 気 の 表 とか らな って い る。 飽 和 蒸 気 表 に は 飽 和 水 と乾 き飽 和 蒸 気 の飽 和 温 度 お よ び 圧 力,比 容 積,比 ン タ ル ピー,蒸
発 熱,比
エ
エ ン トロ ピー な どの諸 性 質 が 示 され,温 度 基 準 の もの
と圧 力 基 準 の もの との ２種 が あ る。 飽 和 蒸 気 は そ の 温 度 と圧 力 の い ず れ か 一 方 と乾 き度 が 与 え られ る と状 態 が 定 ま るの で,温 度 が 与 え られ た と きは 温 度 基準 を,圧 力 が 与 え られ た と き は圧 力 基 準 を用 い れ ば よ い。 湿 り蒸 気 の 性 質 は示 さ れ て い な いが,乾
き度 ｘ が わか れ ば 式(5・6)に よ って 飽 和 水 と乾 き飽 和 蒸 気 の
性質 か ら湿 り蒸 気 の 諸 性 質 を計 算 して 求 め る こ とが で き る。 圧 縮 水 と過 熱 蒸 気 の 表 は 巻 末 の付 表 の よ うに,そ れ ぞ れ の 圧 力 に 対 して 温度 を基 準 に して圧 縮 水 と過 熱 蒸 気 の 比容 積,比
エ ン タル ピー,比
エ ン トロ ピー を
与 え て い る。 日本 機 械 学 会 蒸 気 表 に は 水 と水 蒸 気 の 諸 性 質 に つ い て 詳 し い記 述 が あ り,諸 性 質 の数 値 も詳 細 に 与 え て い る。 巻 末 の 付 表 は そ の 抜 粋 で あ り,表 に 与 え られ て い な い 温 度 お よ び圧 力 に 対 す る蒸 気 の 性 質 は 比例 配 分 の 法 則 に よ って,そ
れ
に 近 い 温度 お よ び 圧 力 に 対 す る値 か ら求 め れ ば よ い 。 〔２〕 蒸 気 線 図 精 密 な 計 算 を 行 う と き は 蒸 気 表 を使 用 す る が,そ を 用 い た 方 が,蒸 に は 温 度-エ -s線
図)
,圧
うでない場合 には蒸気線 図
気 の 諸 性 質 が 一 目 で は っ き りす る の で 便 利 で あ る。 蒸 気 線 図
ン トロ ピ ー 線 図(T-s線
図),エ
力-エ ン タ ル ピ ー 線 図(P-h線
ン タ ル ピ ー-エ ン トロ ピ ー 線 図(h 図)な
どが あ る。
T-s線
図 は 図5・5に 示 す よ う に縦 軸 に 温 度,横 軸 に エ ン トロ ピー を とっ た 線
図 で あ る。 線 図 に は 等 乾 き度 線 あ る い は 等 湿 り度 線,等 圧 線,等 容 線
等エン
タル ピー 線 な どの 等状 態 線 あ るい は 等 性 線 が 与 え られ て い る。 等 温 線 は 水 平 な 直 線 で,等 エ ン トロ ピー 線(断 熱 線)は 縦 軸 に 平 行 な 直 線 で 表 され る こ とは 当 然 で あ り,等 圧 線 は液 体 範 囲 で は飽 和 水 線 とほ とん ど一 致 す る と考 え て よ く, 湿 り蒸 気 範 囲 で は 水 平 な 直 線 に な る。 な お,図5・5は
日本 機 械 学 会 の 蒸 気T-s
線 図 で あ る。
図5・5蒸
h-s線
気T-s線
図
図 は 縦 軸 に エ ン タ ル ピ ー,横 軸 に エ ン ト ロ ピ ー を と っ た 線 図 で,ド イ ツ
の モ リエ(Mollier)教 線 図 に はT-s線
授 に よ っ て 創 案 さ れ た の で モ リエ 線 図 と も 呼 ば れ る。 h-s
図 と同 じ よ うに い ろ い ろ な 等 状 態 線 あ るい は 等 性 線 が 与 え ら
れ て い る 。 熱 量 の 関 係 を 求 め る と き,T-s線 い が,h-s線
図 で は 面積 を測 らな け れ ば な ら な
図 で は 縦 軸 に 平 行 な 長 さ を 測 る だ け で 求 め ら れ る 特 徴 が あ り,実 用
上 はT-s線
図 よ り も こ のh-s線
械 学 会 の 蒸 気h-s線 得 る速 度w〔m/s〕
図 が も っ ぱ ら 用 い ら れ る 。 巻 末 に1980日
図 を 示 す 。 な お,h-s線
本機
図 に は蒸 気 が ノズ ル を通 る とき に
と,そ の と き の エ ン タ ル ピ ー の 減 少 ⊿h〔kJ/㎏
〕 との 関 係 を
示 す 図 をつ け る の が 通 例 で あ る。 P-h線
図 は 縦 軸 に 圧 力,横
軸 に エ ン タ ル ピ ー を と っ た 線 図 で あ り,冷
媒 の線
図 に よ く用 い ら れ る 。
例 題5・3圧
力0.5MPa,乾
き 度0.93の
湿 り蒸 気 の 比 容 積,比
エ ン タ ル ピー
お よ び 比 エ ン トロ ピ ー は い く ら か 。 〔 考 え 方 〕 蒸 気 表 か ら0．5MPaの
飽 和 水 と乾 き 飽 和 蒸 気 の 比 容 積,比
ピー お よ び 比 エ ン トロ ピー を得 て,式(5・6)に
エンタル
よ っ て計 算 す る。 な お,蒸 気 線 図 に よ っ
て求 めて もよい。 〔 解 〕0.5MPaの
飽 和 水 と乾 き飽 和 蒸 気 の 比容 積,比 エ ン タ ル ピ ー お よ び 比 エ ン ト
ロ ピー は υ'=0.00109284m3/㎏,υ"=0.374676m3/㎏,h'=640.115kJ/㎏, h"=2747.5KJ/㎏, 0.5MPa, 式(5・6)に
s'=1.86036kJ/㎏
x=0.93の
湿 り蒸 気 の 比 容 積,比
・K,
S"=6.81919kJ/㎏
・K
エ ン タ ル ピー お よ び 比 エ ン トロ ピ ー は
よって υ=υ'+x(υ"-υ') =0
.00109284+0.93×(0.374676-0.00109284)=0.348525〔m3/㎏
〕
h=h'+x(h"-h') =640
.115+0.93×(2747.5-640.115)=2600〔kJ/㎏
〕
s=s'+x(S"-s') =1
.86036+0.93×(6.81919-1.86036)=6.47207〔kJ/㎏
蒸 気 線 図 に よれ ば,次
の 図 の よ うに 読 み と る こ とが で き る。
・K〕
例 題5・4容
積0.4m3の
タ ン ク 内 に 温 度300℃
の 湿 り 蒸 気20㎏
が入 って い
る 。 こ の 湿 り蒸 気 の 乾 き 度 を 求 め よ 。 〔考 え 方 〕300℃
の飽 和 水 と乾 き 飽 和 蒸 気 の 比 容 積 を 蒸 気 表 か ら得 て,タ
湿 り蒸 気 の 比 容 積 を 計 算 して,乾
き度 は 式(5・6)に
ン ク内の
よ っ て 求 め る。
〔解〕300℃ の飽和水 と乾 き飽 和蒸 気 の 比容積 は蒸 気表 か ら υ'=0.00140406m3/㎏
,
υ"=0.0216487m3/㎏
タ ン ク 内 の 湿 り蒸 気 の 比 容 積 υ は,V=0.4m3,
m=20㎏
で あ るか ら
υ=V/m=0.4/20=0.02m3/㎏ 乾 き度 ｘ は 式(5・6)か
例 題5・5圧
力1MPa,乾
ら
き 度0.85の
湿 り蒸 気 の 比 容 積 お よ び 比 エ ン タ ル
ピー を求 め よ。ま た,こ の 蒸 気 を定 圧 の も とに400℃ の過 熱 蒸 気 に す る に 必要 な 熱 量 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 湿 り蒸 気 の 比 容 積 と比 エ ン タ ル ピー は1MPaの の 比 容 積 と 比 エ ン タ ル ピー を蒸 気 表 か ら得 て,式(5・6)に
飽 和 水 と乾 き飽 和 蒸 気 よ って 求 め る 。 過 熱 蒸 気 に
す る に 必 要 な 熱 量 は 定 圧 で あ る か ら,過 熱 蒸 気 表 か ら1MPa,400℃ タ ル ピー を得 て,湿
の過 熱蒸 気 のエ ン
り蒸 気 の エ ン タ ル ピー を 差 し引 け ば よ い 。 な お,蒸
気線 図 に よっ
て求 め て もよい。 〔 解 〕1MPaの
飽 和 水 と乾 き飽 和 蒸 気 の 比 容 積 と 比 エ ン タ ル ピー を蒸 気 表 か ら
υ'=0.00112737m3/㎏ h'=762.605kJ/㎏
,υ"=0.194293m3/㎏
, h'=2776.2kJ/㎏
湿 り蒸 気 の 比 容 積 と比 エ ン タ ル ピ ー は 式(5・6)か
ら
1MPa,400℃
の過熱蒸気のエン タ
ル ピー は 過 熱 蒸 気 表 か ら3264.4kJ/ ㎏ で あ るか ら,過 熱 蒸 気 に す る に 必 要 な 熱 量 ｑは エ ン タ ル ピ ー の 差 で1 ㎏ あた り
蒸 気 線 図 に よ っ て 求 め る と右 図 の ようにな る。
5・4蒸
気 の状 態 変化
蒸 気 の状 態 変 化 を調 べ るに は,蒸 気 表 や 蒸 気 線 図 を利 用 す る の が 便 利 で あ る。 特 に過 熱 蒸 気 の 場 合 に は 実 際 上 の 問 題 はh-s線
図 か ら状 態 量 を求 め て 解 決 す
るの が ふ つ う で あ る。 飽 和 蒸 気 の 場 合 に は蒸 気 表 を使 用 す るが,湿
り蒸 気 で は
乾 き度 ｘ が 与 え られ る と式(5・6)に よ っ て状 態 量 の 値 が 求 め られ る。 主 な蒸 気 の状 態 変 化 に つ い て簡 単 に説 明 す る。 〔１〕 定 圧 変 化 湿 り蒸 気 の 範 囲 内 で は 定 圧 変 化 は 等 温 変 化 で もあ る。 定 圧 変 化 に よ っ て乾 き 度 がx1か
らx2に 変 化 させ る場 合(図5・6参 照),加
熱 に要 す る熱 量 ｑは 蒸 発 熱
を γ とす れ ば (5・11)
この と きの 内部 エ ネ ル ギ ー の 増 加 は 内部 蒸 発 熱 を φ とす れ ば (5・12)
また,外 部 に 対 す る仕 事 ｗ は 外 部 蒸 発 熱 を ψ とす れ ば
図5・6
蒸気の定圧 変化
wニp(xz-x,)(υ"ez〆)=(xz-x,)ψ
(5.13)
〔J/kg〕
これ らの 熱 量 の 比 は次 の 式 に な る。
(5.14)
4:(uz-u,):w=r:φ:ψ
定 圧 の ま まで 加 熱 を続 け る と湿 り蒸 気 は乾 き飽 和 蒸 気 に な り,さ らに加 熱 す れ ば過 熱 蒸 気 に な る。 過 熱 蒸 気 の 範 囲 で は,蒸 気 線 図 か ら等 圧 線 に沿 って 状 態 量 な ど を求 め る方 が実 際 的 で あ る。
〔2〕 定 容 変化 湿 り蒸 気 が 状 態1か と き,式(5・6)か
で あ り,v,ニ
ら 状 態2に
定 容 変 化 し,乾
ら(図5・7参
き 度 がx,か
らx2に
増 加 した
照)
υ2で あ る か ら 範 は
(5.15) こ の と き,加 熱 に要 す る 熱 量Rは 図5・7
4=ua-u, =吻'eu,'十
詔2φ2eユ
と な る 。 比 容 積vl,,υ1",υ2',
コ1φ1〔J/kg〕
v2"は
蒸 気 の 定容 変 化
(5.16)
湿 り 蒸 気 の 圧 力 ρ星 と ρ2が 与 え ら れ る と,
蒸 気 表 に よ っ て 知 る こ と が で き る。
さ ら に加 熱 す る と等 容 線 に 沿 っ て 乾 き飽 和 蒸 気 か ら過 熱蒸 気 に な る。過 熱 蒸 気 の場 合 は,蒸 気 線 図 の 等容 線 に 沿 って 状 態 量 な ど を求 め れ ば よ い。 しか し,始 め の 乾 き度 が 非 常 に 小 さ く,そ の 比容 積 が 臨 界 比容 積 υ。よ り小 さ い と き は,等 容 線 は 臨 界 点Cよ
り左 方 に な り,乾 き度xは
加 熱 す る こ とに よ り
減 少 し,さ らに 加 熱 して 等容 線 が 飽 和 水 線 に 交 わ る と,蒸 気 は 全 部 液 体 に な る。
〔3〕 等 温 変化 湿 り蒸 気 の 範 囲 の 等 温 変 化 は 定 圧 変 化 と一 致 す る。過 熱 蒸 気 の 場合 は蒸 気 線
図 の等 温 線 に沿 っ て 状 態 量 を求 め て解 決 す る。
〔４〕 断 熱 変化 断 熱 変 化 は 等 エ ン トロ ピー 変 化 で あ る の で,T-s線
図 あ る い はh-s線
図 を用
い る と縦 軸 に 平 行 な 直 線 で表 され る。 図5・8 に示 す よ うに,点 ① の 状 態 の 過 熱 蒸 気 を断 熱 膨 張 させ る と② で 乾 き飽 和 蒸 気 に な り,さ ら に膨 張 させ る と湿 り蒸 気 ③ に な る。 ま た,図 の 点 ②'の 飽 和 水 を断 熱 膨 張 させ る と き は,湿 り蒸 気 の③'に な り,圧 力 が 低 下 す る と乾 き度 が 増 加 す る。
図5・8
蒸気 の断熱変化
湿 り蒸 気 範 囲 内 の 断 熱 変 化 に よ る乾 き度 ｘ の変 化 は 式(5・6)か
ら
で あ り,変 化 後 の 乾 き度x2は (5・17)
と な る 。x2が
わ か れ ば 変 化 後 の 比 容 積 υ2は 式(5・6)で
求 め られ る。 こ の変 化
に よ っ て外 部 に 対 して す る仕 事 ｗ は 次 の 式 で 表 され る。 (5・18)
ま た,蒸 気 の 断 熱 変 化 は近 似 的 に次 の 式 の 関 係 が 成 り立 つ もの と して 計 算 す る こ と もで き る。 pυn=定
数
ｎ の 値 は あ ま り高 圧 で な い 過 熱 蒸 気 に 対 し て はn=1.3 飽 和 蒸 気 に 対 し て は ｘ の 関 数 でn=1.035+0.1x
pυn=定 数 の 関 係 が 成 立 す る もの とす れ ば,蒸 気 の 断 熱 膨 張 に よ る外 部 に 対
す る 仕 事 は 式(3・38)と
同 様 に計 算 で きる。
しか し,断 熱 線 が飽 和 限 界 線 を横 切 る と きは ｎの 値 が 変 わ るか ら,計 算 を分 け て行 う必 要 が あ る。 〔５〕 蒸 気 の 絞 り 絞 りは3・3の 〔６〕で述 べ た よ う に,エ ン タル ピー が 不 変 の変 化 で あ り,絞 り の 変 化 はT-s線
図 あ る い はh-s線
図 のh=一
定 の 線 をた ど っ て い け ば 明 らか
に な る。 絞 りは 不 可 逆 変 化 で あ るか ら常 に圧 力 が 減 少 す る方 向 に起 こ る。 湿 り 蒸 気 を絞 る と一 般 に冷 却 す る と同 時 に 乾 き度 の値 が 増 加 す る。 た だ し,臨 界 点 の 近 くか ら絞 る と乾 き度 は初 め 少 し減 少 した の ちに 増 加 す る。 湿 り蒸 気 を絞 る と乾 き度 ｘ の 値 は増 加 し,つ い にx=1に
な り,さ らに絞 れ ば
過 熱 蒸 気 に な る。 この 現 象 を利 用 して 湿 り蒸 気 の 乾 き度 を測 定 す る もの が 絞 り 熱 量 計 で あ る。 例 題5・6圧
力1.6MPa,乾
き 度0.6の
湿 り蒸 気5㎏
を 乾 き度 が0.97に
なる
ま で定 圧 加 熱 した 。 加 熱 に要 した熱 量 お よ び外 部 に 対 す る仕 事 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 湿 り蒸 気 の 範 囲 で あ るか ら定 圧 変 化 で あ る と同 時 に 等 温 変 化 で もあ る。 ゆ え に,蒸
気 表 か ら必 要 な 状 態 量 を得 て,式(5・11)と
〔解 〕p=1.6MPa=1600kPa
,ｘ1=0.6
式(5・13)に
, x2=0.97
よ っ て 計 算 す る。
, m=5㎏
圧 力 基準 の飽和 蒸 気表 か ら υ'=0.00115864m3/㎏
加 熱 に 要 し た熱 量 Ｑ は 式(5・11)に
υ"=0.123686
m3/㎏,
よって
Q=mq=m(ｘ2-x1)γ =5×(0
.97-0.6)×1933.2=3576.4〔kJ〕
外 部 に 対 す る膨 張 仕 事 は 式(5・13)に W=mw=mp(ｘ2-ｘ1)(υ
=5×1600 =362
よっ て ″-υ')
×(0 .97-0.6)×(0.123686-0.00115864)
.7〔kJ〕
γ=1933.2kJ/㎏
例 題5・7圧
kPaに
力30kPa,乾
き 度0.5の
湿 り 蒸 気 を 容 積 一 定 の 下 に 圧 力 を50
変 化 させ た。 変 化 後 の 乾 き度 を求 め よ。
〔 考 え方 〕 湿 り蒸 気 の 範 囲 内 の 定 容 変 化 と考 え て,必 要 な 状 態 量 を蒸 気 表 か ら得 て 式(5・15)に
よ っ て 計 算 す る。
〔解 〕p1=30
蒸 気表 か ら
kPa
, p2=50
, x1=0.5
υ1'=0.00102232m3/㎏,
υ1"=5.2293
υ2'=0.00103009
変 化 後 の 乾 き度x2は
例 題5・8圧
kPa
m3/㎏,
式(5・15)に
力3MPaの
m3/㎏
υ2"=3.24022
m3/㎏
よって
乾 き飽 和 蒸 気 を0.05 MPaま
で 断 熱 膨 張 させ た場 合
の 乾 き度 を求 め よ。 〔 考 え方 〕 断 熱 変 化 は 等 エ ン トロ ピー 変 化 で あ るか ら,初 め の 乾 き飽 和 蒸 気 の エ ン トロ ピーs1″と変 化 後 の 湿 り蒸 気 の エ ン トロ ピーs2=s2'+x2γ2/T2が等
しいの で,必 要 な状
態 量 を蒸 気表か ら得 て計算 す る。 な お,h-s線
図 に よ っ て も求 め られ る 。
〔解 〕p1=3MPa,
p2=0.05
s1"=6.18372
γ2=2305.4kJ/㎏
kJ/㎏
MPaで ・K
あ る か ら蒸 気 表 に よ っ て , s2'=1.09121
kJ/㎏
, T2=81.35+273.15=354.5K
変 化 の 前後 の エ ン ト ロ ピ ー が 等 し い の で,s1″=s2'+x2γ2/T
h-s線
・K
図 で 求 め る に は,図 の よ うに 飽 和 限 界 線 と3MPaの
線 との 交 点 か ら,縦 軸 に 平 行 な 直 線 を ひ い て0.05MPaの
2と
な り
等圧 等圧 線
との 交 点 を求 め る と,こ の 点 が 変 化 後 の 状 態 を 表 す 。し た が っ て, こ の 点 の 乾 き度 を読 み とれ ば よ い 。 x2=0.783
例 題5・9絞
り熱 量 計 で 蒸 気 管 内 の 圧 力500kPaの
湿 り蒸 気 を80 kPaま
で
絞 る と,温 度 は110℃
に な っ た 。熱 損 失 は 無 視 し て,湿
り蒸 気 の 乾 き度 を 求 め よ 。
〔 考 え 方 〕 絞 り で は エ ン タ ル ピー の 変 化 が な い の で,500kPaの kPa,110℃
湿 り蒸 気 と80
の 蒸 気 の エ ン タ ル ピー が 等 し い と し て解 く。
〔解 〕 蒸 気 表 か ら50OkPaの h1'=640.115kJ/㎏,
80kPa,110℃
圧 力基 準 で h1"=2747.5kJ/㎏,
γ1=2107.4kJ/㎏
の 蒸 気の エ ン タ ル ピー は 過 熱 蒸 気 表 か ら h2=2698.7kJ/㎏
エ ン タ ル ピー は 等 し い か ら h1=h1'+x1γ1=h2
と な るの で,乾
h-s線
き度x1は
図 に よ っ て 解 く と,図
の よ うにな る。
〔 演
１.p=2.5MPaの
習
はh'=961.961kJ/㎏, 力300kPaに
Ｖ
〕
飽 和 水 お よ び 乾 き飽 和 蒸 気 の 比 エ ン タ ル ピー
h"=2800.9kJ/㎏
お け る 蒸 発 熱 は2163.2kJ/㎏
熱 を 求 め よ 。 た だ し,300kPaに
き度0.95の
と す る。 で あ る。外 部蒸 発 熱 お よび 内部 蒸 発
お け る 飽 和 水 お よ び 乾 き飽 和 蒸 気 の 比 容 積 は υ'=
0.0010735m3/㎏,υ"=0.605562
３.温 度250℃,乾
題
定 圧 の 下 に10 ㎏ の 飽 和 水 の 全 部 を 乾 き飽 和 蒸 気 に す る に 要 す る
熱 量 を求 め よ。た だ し,p=2．5MPaの
２.圧
問
m3/㎏
とす る。
湿 り蒸 気 の 比 容 積,比
エ ン タ ル ピー お よ び 比 エ ン トロ
ピー を求 め よ。 た だ し,飽 和 水 お よ び 乾 き飽 和 蒸 気 の 状 態 量 は 蒸 気 表 に よ る 。 ４.圧 力10MPaの
飽 和 水 を圧 力 一 定 に保 っ て 加 熱 し,500℃
蒸 気 の 過 熱 度 を求 め よ 。 また,こ
の 過 熱 蒸 気 に し た 。過 熱
の と き加 熱 に 要 し た 熱 量 を求 め よ 。
５.圧 力1.6MPaの
湿 り蒸 気 の 比 エ ン タル ピー が2400 kJ/㎏
で あ る と き,こ の 湿 り
蒸 気 の 乾 き度 を求 め よ 。 ６.温 度240℃
の 湿 り蒸 気 の 比 容 積 が0.05m3/㎏
で あ る と き,こ の 湿 り蒸 気 の 乾 き度
を求 め よ。 ７.内 容 積5m3の
容 器 内 に 圧 力1.2MPaの
湿 り蒸 気50 ㎏ が 入 っ て い る 。 こ の 蒸 気
の 乾 き度 を 求 め よ。 ８.圧 力400kPa,乾
き度0.6の
湿 り蒸 気 を 定 圧 の 下 に 加 熱 し て 乾 き飽 和 蒸 気 に し た 。
こ の と き,加 熱 に 要 し た 熱 量 と外 部 に 対 し て な し た 仕 事 を 蒸 気1㎏
あ た りにつ い
て 求 め よ。 ９.圧 力800kPa,乾
き 度0.3の
湿 り蒸 気 を定 圧 の 下 に加 熱 し て,容 積 を ３倍 に し た。
乾 き度 は い くら に な っ た か 。 ま た,与 10.圧 力1000kPa,温
度400℃
え た熱 量 は 蒸 気1㎏
あ た りい くら か 。
の 過 熱 蒸 気 を圧 力10kPaま
で 断 熱 膨 張 させ た 場 合 の 乾
の 過 熱 蒸 気 を圧 力0 .5MPaま
で断熱膨 張 させ た。この変
き度 を求 め よ 。 11.圧 力3MPa,温
度450℃
化 に よ っ て外 部 に 対 し て な す 仕 事 を,h-s線
図 ま た は 蒸 気 表 を 利 用 し た 場 合 と,
pυn=定 数 の 関 係 が 成 立 す る と し た 場 合 に つ い て 求 め よ。 12.絞
り熱 量 計 で 蒸 気 管 内 の 圧 力1MPaの
湿 り蒸 気 を100 kPaま
で 絞 っ た ら,温 度 が
120℃ に な っ た。 こ の 湿 り蒸 気 の 乾 き度 を 求 め よ。 13.圧
力2MPa,乾
き度0.95の
湿 り蒸 気 を0.1MPaま
で 絞 っ た場 合,そ
ン トロ ピー の 増 加 を 求 め よ。
〔
１.蒸 発 熱 を式(5・4)に
解
略
よ っ て 求 め て,質
２.外 部 蒸 発 熱 ψ は 式(5・4)か
〕
量 をか け れ ば よ い 。
ら
内 部 蒸 発 熱 φ は 同 じ く式(5・4)か
ら
３.必 要 な状 態 量 は 蒸 気 表 か ら と り,式(5・6)に
よって
の 温 度 とエ
４.蒸 気 表 に よ る と10MPaの 500-310.96=189.04〔
飽 和 温 度 は310.96℃
で あ り,過 熱 度 は
℃ 〕
加 熱 に要 した 熱量 はエ ン タル ピーの差 で あ り,過 熱蒸 気表 と圧 力基 準の飽 和蒸 気 表 から
５.蒸
気 表 か らh'とh"を
読 み と り,式(5・6)を
変 形 して
６.蒸
気 表 か ら υ'と υ"を 読 み と り,式(5・6)を
変 形 して
７.蒸
気 表 か ら υ'と υ"を 読 み と り,式(5・6)を
変 形 して計算 す る。
ま ず,υ
８.蒸
を 求 め る と υ=5/50=0.1m3/㎏
気 表 か ら υ',υ ″,γ
を 読 み と り,式(5・11)(5・13)か
９.変 化 前 の 比 容 積 を υ1と す れ ば,変 υ1"を 読 ん で,式(5・6)に
と な るの で
よ って
化 後 の 比 容 積 は υ2=3υ1で
ら
あ り,蒸 気 表 か ら υ1',
与 え た 熱 量 は 式(5・11)に
10.断
よ って
熱 変 化 で あ るか ら変 化 前 後 の エ ン トロ ピー は 等 し い。 した が っ て
蒸 気表 か ら必要 な状態 量 を読 み とって
h-S線 11.h-s線
図 によ って求め て もよい。 図 に よ っ て 求 め る と, h1=3345kJ/㎏ υ1=0.108m3/㎏,
, h2=2864
kJ/㎏
υ2=0.43 m3/㎏
こ の と きの 仕 事 は 内 部 エ ネ ル ギ ー の 差 に な るの で,
pυn=定 数 の 関 係 が 成 り立 つ と した 場 合,過 式(3・38)に
12.絞
熱 蒸 気 な の でn=1.3に
よって
り で は エ ン タ ル ピ ー の 変 化 が な い か ら,h1=h1'+x1γ1=h2
蒸 気 表 か ら 必 要 な 状 態 量 を 読 み と っ て,
13.h-s線
図 に よ っ て 解 く と,図 t2=113℃
の よ う に な る。
s2-s1=1.29〔kJ/㎏
・K〕
な り,仕 事 は
６ 気体の流れ 工 業 上 で は ガ ス ター ビ ンや 蒸 気 ター ビ ン な どの例 で わ か る よ うに,ガ スや 蒸 気 の 流 れ を応 用 す る場 合 が 多 く,そ れ ぞれ に複 雑 な現 象 が 生 じる。 流 れ は 流 体 力 学 の 問 題 で あ り,そ れ に熱 や 仕 事 の 関 係 が加 わ る と一 層 難 解 な 問 題 に な る が, こ こ で は 熱 力 学 の 問題 と して ガ スや 蒸 気 の 流 れ に つ い て,エ ネ ル ギー に 関 す る 基 本 的 な事 項 に つ い て簡 単 に 考 え て み る。
6・1気
体 の 流 れ に関 す る一 般 エ ネ ルギ ー式
熱 の 出 入 り を伴 う気 体 の 流 れ に つ い て は,こ
れ ま での 第一 法 則 の 式 や 状 態 式
あ る い は エ ン トロ ピー の 式 な ど を考 え る と同 時 に,流 体 と と もに エ ネル ギー の 移 動 が 生 じる こ と を考 え な け れ ば な らな い 。な お,本 節 の 内容 は 第 ２章 の2・4節 と同 じ事 項 が あ るが,重
ね て 説 明 す る。
流 体 の 流 れ は 定 常 流 と非 定 常 流 とに 分 け ら れ る。 定 常 流(steady flow)と は 2・4節 で述 べ た よ うに 流 路 に沿 っ て 同 じ場 所 で は 流 れ の 状 態 が 時 間 に 対 して変 化 の な い よ うな 流 れ で あ り,非 定 常 流 は時 間 的 に変 動 す る流 れ で あ る。 流 れ を 考 え る と き基 本 に な るの は定 常 流 で あ り,本 章 で は 気体 の 定 常 流 に つ い て取 り 扱 う。 また,流
れ に は層 流 と乱 流 とが あ る。 層 流 は 流 線 が 管 路 に平 行 な 整 然 と した
流 れ で,比
較 的 低 速 度 の 流 れ に起 こ る。 こ れ に 対 して 乱 流 は 流線 が 乱 れ て 小 さ
な 渦 を生 じた りす る流 れ で,比 較 的 高 速 度 の場 合 に起 こ る。 流 れ が 層 流 に な る か 乱 流 に な るか は実 験 に よ る と レイ ノル ズ 数 に 関 係 し,レ イ ノ ル ズ 数 が お よ そ 3000以 下 の 場 合 は 層 流 で あ り,3000以
上 な らば 乱 流 に な る が,そ の 境 界 は 明 確
な わ け で は な い 。 レ イ ノル ズ 数Reと
は 次 の 式 で表 され る無 次 元 数 で あ る。
(6・1)
た だ し,ρ 径,μ
〔㎏/m3〕
は 密 度, c〔m/s〕
〔Pa・s〕は 粘 度, υ 〔 ㎡/s〕
は 平 均 流 速, d〔m〕
は 円 管 の場 合 は 直
は 動 粘 度 で あ る。
工 業 上 取 り扱 わ れ る流 れ は 乱 流 の場 合 が 多 い と考 え て よ い。 管 路 を流 れ る流 体 は2・4節 で 述 べ た よ うに,流 体 の 速度 は そ の粘 性 に よ る内 部 摩 擦 や 管 壁 との摩 擦 な ど に よ って,管 路 断 面 上 で壁 面 に 近 い部 分 は 遅 く中 央 部 で は速 くな る。 した が っ て,流 速 は 流路 断 面 上 の 各 点 の 平 均 値,す
なわち平
均 流 速 を用 い るの が ふ つ うで あ る。 図6・1に 示 す よ うな管 路 内 を気 体 が 充 満 して 流 れ,流 れ の 方 向 に 直 角 な 同 一 断 面 で は圧 力p〔Pa〕,比 容 積 υ〔m3/㎏ 〕,温 度T〔K〕,内
部エ ネ
ル ギ ーu〔J/㎏ 〕お よ び エ ン タ ル ピーh〔J/㎏ 〕な ど の 値 が ほ ぼ 一 定 で あ る とす る。 こ の 管 路 に 流 れ の 方 向 に 直角 な任 意 断面 Ⅰお よ び Ⅱ を と り,そ の 断 面 積 をA1〔 s〕 と し,ま
た,水
㎡ 〕お よ びA2〔
図6・1
㎡ 〕,そ の 速 度 をc1〔m/s〕
平 基 準 面 か ら の 高 さ をz1〔m〕
お よ びz2〔m〕
お よ びc2〔m/ と す る 。 な お,
断 面 Ⅰお よ び Ⅱ に お け る圧 力 ｐ,比 容 積 υ,温 度 Ｔ な ど の 状 態 量 は 添 え 字 １お よ び ２をつ け て 表 す 。
〔１ 〕
連続の式
流 れ が 定 常 流 で 管 路 の 途 中 で 気 体 の 出 入 りが な け れ ば,断
面 Ⅰか ら流 れ 込 ん
だ 質 量qm〔 ㎏/s〕 は,断 面 Ⅱか ら流 れ 出 な け れ ば な らな い 。こ れ は他 の 任 意 の 断 面 を通 過 す る質 量 流 量 も等 しい こ とで あ り,断 面 Ⅰお よ び Ⅱ に お い て
(6・2)
(6・2')
と な り,ρ
〔 ㎏/m3〕
式(6・1)は
は密 度 で あ る。
す べ て の 断 面 を 単 位 時 間 に 通 過 す る質 量 が 一 定 で あ る こ と を示 し,
こ れ は 質 量 の 保 存 を 表 し た も の で 連 続 の 式(equation
〔２ 〕
of continuity)と
い う。
一般 エ ネ ル ギ ー式
図6・1の よ うな 管 路 内 を定 常 流 れ す る気 体 の エ ネ ル ギー につ い て考 え る。 気 体 が 質 量 流 量qm〔 ㎏/s〕 で 断面 Ⅰか ら Ⅱ まで 流 れ る間 に,外 部 か ら受 け 取 る 熱 量 をQ=qmq〔J/s〕
と し,外 部 に対 して す る工 業 仕 事 をWt=qmwt〔J/s〕
とす る。 こ の と き,断 面 Ⅰで後 方 の 気 体 か ら押 し込 まれ る仕 事 と,断 面 Ⅱ で前 方 の 気 体 を押 し出 す仕 事 も加 え て,断 面 Ⅰを通 過 した エ ネ ル ギー お よび 外 部 か ら加 え ら れ た 熱 量(流
入 した エ ネ ル ギー)と,断
よ び 外 部 に 対 す る工 業 仕 事(流
面 Ⅱ を通 過 した エ ネ ル ギー お
出 し たエ ネ ル ギー)を
ま とめ る と,摩 擦 損 失 を
無 視 す れ ば 次 の よ うに な る。 流 入 し た エ ネ ル ギ ー=内
部 エ ネ ル ギ ーqmu1 +運
動 エ ネ ル ギ ーqmc12/2
+位
置 エ ネ ル ギ ーqmgz1
+押
し 込 み の 仕 事qmp1 υ1
+外 部 か ら受 け 取 った 熱 量Q〔J/s〕 流 出 し た エ ネ ル ギ ー=内
部 エ ネ ル ギ ーqmu2 +運 動 エ ネ ル ギ ーqmc22/2 +位
置 エ ネ ル ギ ーqmgz2
+押
し 出 し の 仕 事qmp2υ2
+外 部 に 対 して な し た仕 事Wt〔J/s〕 流 入 した エ ネ ル ギー と流 出 し たエ ネ ル ギ ー は 第一 法 則(エ 則)に
よ って 等 しい 。 ゆ え に
ネ ル ギー 保 存 の 法
エ ン タ ル ピ ーh=u+pυ
を 用 い る と,
(6・3)
したが っ て,外 部 か ら加 え た熱 量 Ｑ は (6・4)
と な り,単 位 質 量 あ た りで は 次 の 式 で 表 さ れ る。 (6・5)
断 面 Ⅰか ら断 面 Ⅱへ の 変 化 が 微 小 で あ る と考 え て,式(6・5)を
微 分 の 形 にす
ると dq=dh+cdc+gdz+dwt 式(6・4)と
(6・5')
第 一 法 則 の 式(2・21)q=h2-h1-∫
υdpと
を 組 み 合わ
せ る と,次
の 式 に な る。
(6・6)
こ こ ま で摩 擦 損 失 を無 視 して き たが,も
し摩 擦 作 用 が あ る場 合 に は,摩 擦 の
た め に 失 わ れ る仕 事 は 熱 とな っ て 再 び気 体 に 与 え られ る。 した が って,摩 擦 損 失 の 仕 事 を気 体1〔 ㎏ 〕あ た りR〔J/㎏
〕 とす れ ば,こ れ は 外 部 か ら受 け 取 った
熱 量 ｑに加 え られ るの で,第 一 法 則 の 式 は
q+R=h2-h1-∫
と な っ て,式(6・6)は
υdp
次 の よ うに な る。
(6・7)
(6・8)
微 分 の 形 に す る と,次 の 式 で表 さ れ る。 cdc+gdz+dwt+dR+υdp=0
(6・8')
管 路 に よ って 位 置 エ ネ ル ギー の 差 を無 視 で き る と きは,式(6・5)は (6・9)
式(6・5)∼(6・9)は
例題
圧 力200kPa,温
6・1
30m/sで 75㎜
気 体 の 定 常 流 に 対 す る 一 般 エ ネ ル ギ ー 式 で あ る。
度200℃ の蒸 気 が 内径100 ㎜
の 管 内 を平 均 流 速
定 常 流 れ して い る と きの質 量 流 量 を求 め よ。 ま た,同 じ流 量 で 内径 が の 管 を使 用 す る場 合 の 平 均 流 速 を求 め よ。 た だ し,蒸 気 の圧 力 や 温度 は
変 化 し な い もの とす る。 〔 考 え 方 〕 蒸 気 表 か ら圧 力200kPa,温 式(6・2)に
度200℃
よ っ て 流 量 を求 め る 。
〔解 〕 c=30m/s,
d=100
蒸 気 表 か ら圧 力200kPa,温
㎜=0.1m
度200℃
の蒸 気 の 比 容 積 は υ=1.08 m3/㎏
式(6・2)に
よ っ て質 量 流 量qmは
内 径75㎜
の 場 合 の 平 均 流 速 は 式(6・2)に
例題
の 蒸 気 の 比 容 積 を読 み と り,連 続 の
よっ て
短 い 管 路 内 を乾 き飽 和 蒸 気 が 断 熱 的 に流 れ て そ の 間 に エ ン タ ル
6・2
ピー が220kJ/㎏
だ け減 少 し た。 管 路 入 口 の 速 度 は無 視 で き る もの と して 管 路
出 口の 速 度 を求 め よ。ま た,管 路 内 の 流 量 を3㎏/s,出 m3/㎏
とす れ ば,出
無 視 す る。
口 の 蒸 気 の 比容 積 を0.9
口の 断面 積 は い くら にす べ き か。 た だ し,摩 擦 損 失 な どは
〔 考 え方 〕 管 路 内 の 蒸 気 の 流 れ は 断 熱 的 で あ り,外 部 に 対 す る仕 事 も な く,位 置 ェ ネ ル ギ ー の差 も無 視 で き,摩 擦 損 失 も考 え な くて も よ い か ら,そ 9)に
い れ て 出 口速 度 を求 め る 。 出 口 断 面 積 は 式(6・2)に
〔 解〕
q=0,c1=0,wt=0,
z2-z1=0,
h1-h2=220
出 口速 度c2は
kJ/㎏
,qm-3
R=0で
式(6・2)か
よって求 め る。
あ り,
㎏/s ,υ2=0.9m3/㎏
上 の 条 件 を い れ て 式(6・9)を
出 口 断 面 積A2は
れ らの 条 件 を 式(6・
変 形 して
ら
6・2
ノズル内の流れ
ノ ズ ル(nozzle)は
流体 の 圧 力 エ ネ ル ギー や 熱 エ ネ ル ギー を運 動 エ ネ ル ギー に
変 換 す る も の で,蒸
気 タ ー ビ ン や ガ ス タ ー ビ ン な ど で は 重 要 で あ り,ま
体 の 流 量 測 定 に も 重 要 で あ る 。 な お,ノ
ズ ル とは 逆 に流 れ を減 速 させ て圧 力 を
上 昇 さ せ る 管 路 を デ ィ フ ユ ー ザ(diffuser)と
い う。
流出速度
〔１〕
流 体 は ノ ズ ル 内 を 高 速 で 流 れ る の で,そ
の
間 に 熱 の 出 入 り が な い 断 熱 変 化 と 考 え ら れ, 外 部 に 対 し て の 仕 事 も な く,位
置 エ ネ ル ギー
の 差 も 無 視 し て よ い 。 し た が っ て,図6・2の よ うに ノ ズ ル の 入 口 お よ び 出 口 の 状 態 量 な ど は 添 え 字 １お よ び ２ を つ け て 表 す と,q=0, wt=0,
z2=z1と
(6・9)は
な る の で,式(6・5)あ
た,流
るいは
次 の よ うに 表 され る。
(6・10)
図6・2
ゆ え に,ノ
ズ ル 出 口 の 流 出 速 度c2は 次 の 式 で求 め られ る。 (6・11)
一 般 に ノ ズ ル 入 口 の 状 態 は 与 え ら れ る の で そ の エ ン タ ル ピ ーh1の る か ら,出
口 の エ ン タ ル ピ ーh2の
値 が わ か れ ば,速
度c2は
式(6・11)で
値 はわか 計算 で
き る。 蒸 気 の 場 合 に は,h2はh-s線
図 に よ って 求
め ら れ る。 こ の 変 化 が 摩 擦 の な い 可逆 断 熱 変 化 で あ る 場 合 は,エ
ン トロ ピー は変 わ ら な い
の でs1=s2で
あ る 。 し た が っ て,ノ
口 圧 力p2が
わ か っ て い れ ば,図6・3に
う にh-s線
図 上 に お い て,入
ズル の 出 示す よ
り 口の状 態 の 点
１か ら 縦 軸 に 平 行 な 直 線 を 引 き,出
口圧 力p2
の 等 圧 線 と の 交 点 ２ を 求 め れ ば,h2を
読み と
る こ とが で き る。 この 摩 擦 の な い 可 逆 断 熱 流 れ に 対 す るh1-h2=hadを
図6・3
断 熱 熱 落 差
(adiabatic heat drop)と
い う。
ノ ズ ル 入 口 の 速 度 は 小 さ い 場 合 が 多 い の でc1を せ ば 式(6・11)は
省 略 し,c2をcadに
代 えて表
次 の 式 に な る。 (6・12)
ふ つ うh-s線
図 に はhadとcadと
の 関 係 を与 え る 尺 度 が か い て あ る の で,熱
落 差 か ら 速 度 は 計 算 し な くて も 求 め ら れ る 。 実 際 に は 必 ず 摩 擦 作 用 が あ る の で,ノ ズ ル 内 の 変 化 は 図6・3に は な く,曲
線12'と
had'=(h1-h2')で,出
な り,出
口 の エ ン タ ル ピ ー はh2'に
口 速 度c2は
式(6・11)のh2の
き る 。図 で も 明 ら か な よ う にh1-h2>h1-h2'で 可 逆 断 熱 流 れ の と き の 速 度cadよ c2=φcad
示 す 直 線12で
な る。 こ の と き熱 落 差 は 代 り にh2'を
おけば計算 で
あ る か ら,実 際 の 出 口 速 度c2は
り小 さ い 。 こ こ に
(6・13)
と お い て,φ
を ノ ズ ル の 速 度 係 数 と い い,η
理 想 気 体 の 場 合 に はh-s線 が で き る 。定 圧 比 熱Cp=一 状 態 式pυ=RTお
を ノ ズ ル 効 率 と い う。
図 が な くて も ノ ズ ル の 出 口 速 度 を計 算 す る こ と 定 と し て,理 想 気 体 の エ ン タ ル ピ ー の 式h=CpTと
よ びCp=Rκ
/κ-1の 関 係 を 式(6・11)に
適 用 す れ ば,出
口速 度
c1を 省 略 し た と き次 の 式 が 得 ら れ る 。
(6・14)
可 逆 断 熱変 化 の 場 合 は,圧 力 比 を用 い て 表せ ば 式(3・31)か
ら
(6・15)
が 得 られ る。 こ の 式 は 理 想 気 体 が 断 熱 膨 張 した と きの 最 大 速 度 を表 す もの で あ る が,比
熱 比 κの 値 を 空 気 に は κ=1.4,過
は κ=1.135と
〔２ 〕
き飽 和 蒸 気 に
す れ ば 近 似 的 に 計 算 で き る.
流出量
ノ ズ ル の 単 位 断 面 積(1㎡)を s㎡)と
熱 蒸 気 に は κ=1.3,乾
い い,qm/A=c/
と な る の で,こ
υ(㎏/s㎡)で
れ を 式(6・15)に
単 位 時 間(1 s)に 通 過 す る 流 量 を 比 流 量(㎏/ 与 え ら れ る 。 断 熱 変 化 の 式p1υ1κ=p2υ2κ か ら
代 入 す る と次 の 式 に な る。
(6・16)
ここで
(6・17)
と お け ば,式(6・16)は
次 の式 の 形 で 表 さ れ る。
(6・18)
こ こ に ψ を 流 量 関 数(flow function)と し た が っ て,ノ
い う。
ズ ル か ら の 流 出 流 量qm〔
㎏/s〕 は 次 の 式 で 表 さ れ る 。
(6・19)
〔３ 〕
臨 界状 態 の 流 れ
ノ ズ ル の 比 流 量 の 値 は 式(6・16)に 一 定 な ら ば 圧 力 比p2/ p1の ズ ル 出 口 の 圧 力(背 な り,p2=p1の p2/ p1の
お い て,ノ
ズ ル 入 口 の 状 態p1,υ1と
み の 関 数 と な る 。p1,υ1と
圧)p2を
下 げ て い く と,圧
と き はp2/p2=1に
な っ て,と
κが 変 わ ら な い も の と し て ノ
力 比 はp2=0の
と き はp2/p 1=0と
も に 比 流 量 に 値 は ０ と な る。
こ れは
値 が ０ か ら １の 間 に 比 流 量 を 極 大 に す る あ る 圧 力 比 が 存 在 す る こ と を 意
味 し て い る 。 こ の 比 流 量 を 極 大 に す る 条 件 は,p1,υ1,κ を 一 定 と す れ ば,式(6・16)の
は
κが
の と き で あ る。 し た が っ て,
と ノ ズル 出 口の 断 面 積
が 極 大 で あ る か ら,こ の 条 件
(6・20)
と な り,こ
こ でp2=pcと
お け ば,次
の 式 に な る。
(6・21)
こ の 比 流 量 が 極 大 に な る と き の 状 態 を 臨 界 状 態(critical state)と と き の 圧 力pcを p1と
臨 界 圧(critical pressure)と
ズ ル 出 口 の 圧 力p2に
な い 。 ま た,pc/p 1を 臨 界 圧 力 比(cricalpressureratio)と
な お,臨
よ っ て あ ま り変 化 せ ず,表6・1の
界 圧pcに
の
い う。 臨 界 圧 は ノ ズ ル 入 口 の 圧 力
気 体 の 種 類 に よ る κ だ け の 関 数 に な り,ノ
種 類(κ)に
い い,こ
い い,そ
よ う に0.53∼0.58の
お い て 比 流 量 が 極 大 に な る と い う こ と は,そ
は関係 し
の値 は 気 体 の 範 囲 で あ る。
こ で は ノズ ル の
断 面 積 が最 小 に な る と い うこ とで あ る。
表6・1臨
次 に 臨 界 流 速Ccは,式(6・15)に
界 圧 力 比
式(6・21)の
関 係 を 代 入 す れ ば 求 め ら れ,
次 の 式 に な る。
(6・22)
臨 界 状 態 の 圧 力pcと 21)に
よって
比 容 積 υcは 断 熱 変 化 で あ る か ら,p1υ1κ=pcυcκ と 式(6・
(6・23)
と な る の で,こ
れ を 式(6・22)に
代 入 す る と,
(6・24)
と な り,こ ち,ノ
れ はpc,υcの
状 態 に お け る 音 速(sound
velocity)に
ズ ル の 臨 界 状 態 に お け る 最 大 流 速 は 音 速 に 等 し く,そ
等 しい 。 す な わ れ以上 にな るこ と
は ない。 つ づ い て 臨 界 流 量qmcを 流 量 の 式(6・19)に
求 め る に は,臨
式(6・21)を
界 圧 の ノ ズ ル の 断 面 積 をAcで
表 し,
代 入す る と
(6・25)
とな る。 また,臨
界 状 態 で の 流 量 関 数 ψcは次 の 式 で 表 され る。
(6・26)
な お,ψcの
値 の 例 は 表6・1に
掲 げ て あ る。
こ こ で は 流 体 は 理 想 気 体 と して 取 り扱 って き た が,実 在 の 気 体 で も表6・1に 示 す 例 の よ うに κの値 を選 べ ば近 似 的 に計 算 で き る。
以 上 ノ ズ ル の 臨 界 状 態 の 流 れ に つ い て 述 べ た が,こ 圧 力p2が
臨 界 圧pcよ
の こ とか ら ノ ズ ル の 出 口
り も大 き い か あ る い は 小 さ い か に よ っ て,ノ
ズルの 形状
が 異 な って くる。
〔４ 〕
先 細 ノズ ル と末 広 ノズ ル
先 細 ノ ズ ル(convergent
nozzle)は,ノ
ズ ル の 出 口 圧 力p2が
大 き い か あ る い は 等 し い と き に 用 い ら れ る ノ ズ ル で,図6・4の 単 な 形 状 の 先 細 形 の ノ ズ ル で あ る。p2>pcの qmが
与 え ら れ る と,式(6･16)あ
度 は 式(6・15)で
場 合,ノ
る い は(6・18)で
求 め る こ とが で き る｡p2=pcの
状 態 に な る の で,流
臨 界 圧pcよ
りも
よ うに比 較 的 簡
ズ ル の 出 口 面 積A2は
流量
計 算 で き る。 ま た,流
出速
場 合 は,ノ
出 速 度 お よ び 出 口 面 積 は 式(6・24)お
ズルの出 口が臨界 よ び(6・25)で
計算
す れ ば よい 。
p2
場 合 に 先 細 ノ ズ ル を使 用 す る と,気 体 は ノ ズ ル 出 口で 臨 界 圧 に な っ
た の ち低 圧 の 室 内 に 噴 出す る が,こ れ は安 定 した 平行 流 動 に は な らず,振
動的
な圧 力 変 動 を繰 り返 し なが ら室 内 の 圧 力 まで 膨 張 す るの で,有 効 なエ ネ ル ギー の 損 失 を生 じる。 また,末 広 部 分 を設 け て も噴 流 の 周 囲 に うず が 発 生 す る な ど の 損 失 が 起 こ る。 末 広 ノ ズ ル(convergent
and divergent nozzle)は
ル の 先 に 広 が り 流 路 を つ け た ノ ズ ル で,ド
い う 。末 広 ノ ズ ル で は 流 入 し
ど 部 で 臨 界 圧 に な っ て 流 速 が 音 速 に な り,
広 が り流 路 に 入 る と 流 れ は さ ら に 加 速 さ れ て 音 速 を超 え,そ
図6・4先
細 ノ ズル
よ うに 先 細 ノ ズ
ラ バ ル ノ ズ ル(de Laval nozzle)と
も 呼 ば れ,そ の 最 小 断 面 積 の 部 分 を の ど(throat)と た 気 体 は ま ず 先 細 部 で 加 速 さ れ,の
図6・5の
図6・5末
広 ノズル
れ に 応 じて圧 力 も
低 下 して 出 口圧 力 に な る。 末 広 ノ ズ ル は の ど部 で 臨 界 圧 に な る の で,そ 25)で
求 め ら れ,流
量 は 出 口 圧 力p2が
の 流 速 と流 量 は 式(6・24)と(6・
臨 界 圧Pcよ
り 高 い 場 合 以 外 はp2の
さ に 関 係 な くの ど部 の 流 量 に よ って 定 ま る 。 出 口 速 度 は 式(6・15)で ノ ズ ル で は 初 め の 状 態p1,υ1と 式(6・25)か 両式
ら定 め ら れ,出
流 量qmは
口 面 積A2は
与 え ら れ る の で,の
式(6・19)か
大 き
求 め られ る。 ど の 面 積 Ａcは
ら 求 め ら れ る の で,こ
の
に よ っ て 断 面 広 が り率Ac/A2を 求 め る と次 の 式 で 表 さ れ る｡
(6・27)
す な わ ち,断 面 広 が り率 は 比 熱 比 と圧 力 比 の み に 関係 す る。 末 広 ノズ ル の 形 状 は図6・5の よ うに,ノ 積Acと
ズ ル 入 口か ら先 細 ノ ズル の よ う に 急 に 縮 小 して の ど面
な り,そ れ か らゆ るや か に 拡 大 し て 出 口面積A2に
な る。末 広 部 を急 に
拡 大 す る と流 れ が 壁 か らは く離 して 損 失 が 増 加 し,ま た,末 広 部 を あ ま り長 く す る と壁 表 面 との摩 擦 が 増 して 損 失 が 増 え る。 末 広 ノズ ル をpc
場 合 に用 い る と,の どの 面 積 を 出 口 面 積 とす る先 細 ノ
ズル と同 じ よ うに作 用 し,先 細 ノ ズ ル に末 広 部 をつ け た 場 合 と同 じ損 失 を生 じ る。また,pc>p2の
場 合 も外 部 圧 力p0と
を生 じる。す な わ ち,p0
p2の
出 口圧 力p2と が 等 し くな い と きは 損 失
場 合 は不 足 膨 張 で ノ ズル を 出 て か ら急 に 膨 張 し,
場 合 は ノ ズ ル 内 で 外 部 圧 力 以下 に 下 が る超 過 膨 張 に な り,ノ ズ ル の 内
ま たは 外 で衝 撃 波 な ど を発 生 す る。 〔５〕
摩 擦 が あ る流 れ
これ ま で ノ ズ ル は 流 路 が 短 い の で 熱 の 出 入 りが な く摩 擦 も な い も の と して 扱 って きた が,実
際 の 流 れ で は 流体 の 粘 性 に よ る流 体 摩 擦 や 壁 面 との 摩 擦 の他
うず の 発 生 も伴 うの で,流 体 の もつ エ ネ ル ギ ー の 一 部 が 熱 とな っ て消 費 され, 損 失 を生 じ る。 流 体 の 摩 擦 に よ る熱 は流 体 に戻 る の で エ ン トロ ピー が 増 加 し,
等 エ ン トロ ピー 流 れ の 場 合 よ り も ノ ズ ル の エ ネ ル ギ ー 変 換 率 は低 下 す る。 理 想 気 体 が 摩 擦 を伴 い なが ら膨 張 す る場 合 ， そ の変 化 を便 宜 上 p1υ1m=p2υ2m=定
で表 せ る もの とす れ ば,ノ 略 す れ ば,次
数
(6・28)
ズ ル か らの 噴 出 速 度Cfは
ノ ズ ル 入 口の 速 度C1を 省
の 式 で 表 され る。
(6・29)
ま た,速 度 係 数 を φ とす れ ば
(6・30)
し た が っ て,流
量qmfは
出 口 断 面 積 をA2と
す れ ば,次
の 式 で 表 さ れ る｡
(6・31)
な お,pυm=定 数 の 関 係 は ポ リ トロー プ 変化 のpυn=定
数 と形 は似 て い るが 同
じで は な い 。 ポ リ トロー プ変 化 は 可 逆 変 化 で あ る が,式(6・28)は
摩擦作用 の
あ る不 可 逆 変 化 を表 した もの で 本 質 的 に 異 な っ て い る。 ｍ は 流 出指 数 と呼 ば れ,次
の 式 で表 さ れ る。 ζ:摩 擦 損 失 係 数
流 体 が 蒸 気 で あ る 場 合 は,〔 は(6・12)のh2の
(6・32)
１〕流 出 速 度 で 説 明 し た よ う に 式(6・11)あ
代 わ りにh2'を
入 れ て 計 算 す れ ば,流
るい
出 速 度 を求 め る こ と が
で き る。
例 題6・3圧 MPaに
力1MPa,温
度300℃ の 過 熱 蒸 気 を 可 逆 断 熱 流 れ で 圧 力0.6
向 か っ て 噴 出 す る場 合 の最 大 速 度 を求 め よ。 た だ し,初 速 は無 視 す る。
〔考 え 方 〕 可 逆 断 熱 流 れ で あ る か ら,蒸 気 表 ま た はh-s線 ン タ ル ピー を読 み と り,式(6・12)で 〔解 〕 h-s線
図 か らh1お
よ びh2を
計 算 す る。 読 み と る と,
図に よって 変化 前後 のエ
h1=3052
kJ/kg，
し た が っ て,式(6・12)か
例 題6・4圧
h2=2928kJ/kg
らkJを
力2MPa,温
度450℃
熱 的 に 噴 出 させ た と き,出 を求 め よ 。 た だ し,初
Ｊに 換 算 して
の 過 熱 蒸 気 を 圧 力0.2MPaに
口 の 速 度 が1020m/sで
向か って断
あ っ た。この と きの 速 度 係 数
速 は無 視 す る。
〔 考 え方 〕 出 口 速 度 が 与 え られ て い る か ら,可 逆 断 熱 流 れ の 場 合 の 速 度 をh-s線 を利 用 し て 式(6・12)に 〔解 〕h-s線
よ って 求 め れ ば,速
図 か らh1お
よ びh2を
h1=3358kJ/kg
した が っ て,可
ゆ え に,速
例 題6・5圧
力1.2MPaの
〔考 え 方 〕 κ とpcは 〔解 〕
示 さ れ て い る の で,κ,pc,υcを
式(6・23)で
p1=1.2MPa=1.2×106Pa
例 題6・6圧 0.2MPaの して,ノ
よ る と κ=1.135,pc/p1=0.5774で , υ1=0.1632
m3/kg
あ り,
(蒸 気 表 よ り)
p1=0.5774×1．2×106=692880〔Pa〕
臨 界 比 容 積 υcは式(6・23)か
界 速 度Ccは
求 め て 計 算 す る。
求 め ら れ る。
乾 き 飽 和 蒸 気 で あ る か ら,表6・1に
ゆ え に,臨
Ｊに換算 して
乾 き飽 和 蒸 気 に対 す る臨 界 速 度 を求 め よ｡
ら,υcは
し た が っ て,pc=0.5774
らkJを
よ って
臨 界 速 度 は 式(6・24)に
表6・1か
kJ/kg
逆 断 熱 流 れ の 場 合 の 速 度 は 式(6・12)か
度 係 数 は 式(6・13)に
よ っ て 計 算 で き る。
読 み と る と,
h2=2771
,
度 係 数 は 式(6・13)に
図
ら
式(6・24)か
力1.5MPa,温
ら
度300℃ の 過 熱 蒸 気 を末 広 ノ ズ ル を 通 して 圧 力
室 に 噴 出 させ る。 こ の と き ノ ズル の の ど部 の 直径 が2㎝
であ る と
ズ ル の の ど部 と出 口の 速 度 お よび 毎 時 の 流 出 量 を求 め よ。 た だ し,ノ
ズ ル 入 口の 速 度 と摩 擦 損 失 は 無視 す る。 〔 考 え 方 〕 例 題6・5と
同 じ よ うに 考 え て κ,pc,υcを 求 め れ ば,の
界速 度 と 同 じ な の で 式(6・24)に ま る か ら,式(6・25)で
よ っ て 計 算 で き る。 末 広 ノ ズ ル の 流 量 は の ど部 で 定
求 め られ る。 ノズ ル 出 口の 速 度 は 入 口お よび 出 口 の エ ン タ ル
ピー を 蒸 気 表 ま た はh-s線 〔解 〕
図 か ら読 み とれ ば,式(6・12)で
過 熱 蒸 気 で あ る か ら 表6・1に
p1=1.5MPa=1.5×106
出 口 速 度C2はh-s線 り,式(6・12)に
1=0．5457 m3/kg
(蒸 気 表 よ り)
ら
式(6・24)か
ら
図 か ら 入 口 お よ び 出 口 の エ ン タ ル ピ ーh1お
よ びh2を
読 み と
よ って
h1=3039kJ/kg
噴 出 流 量qmは
,υ1=0.1697
求 め る こ とが で き る。
= 0.5457×1.5×106=818550〔Pa〕
臨 界 比 容 積 υcは式(6・23)か
ど 部 の 速 度Ccは
よ っ て κ=1.3,pc/p
Pa
し た が っ て,pc=0.5457p1
ゆ え に,の
ど部 の 速 度 は 臨
, h2=2625
の ど部 の 直 径 が2㎝=0．02
kJ/kg
mで
あ るか ら,式(6・25)で
6・3
円管 内の流れ
流体 が 管 内 を流 れ る と き,摩 擦 に よ る圧 力 の低 下 が 問 題 に な る。 気 体 が管 内 を 流 れ る場 合,そ
の粘 性 に よ る 内部 摩 擦 や 管壁 との 摩 擦 な ど の摩 擦 抵 抗 が あ る
の で,そ れ に 打 ち勝 つ た め にエ ネ ル ギ ー が 消 費 され,圧
〔１〕
力 の 低 下 を生 じ る。
管 内の 流 れ に対 す る基 礎 式
管 内 の 流 れ に も気 体 の 流 れ に 対 す る一 般 エ ネ ル ギー 式 は 適 用 で き る。 管 内 に
摩 擦 の 作 用 が あ る 場 合,摩 び 気 体 に 与 え ら れ,流 と考 え れ ば,一
擦 の ため に失 わ れ た エ ネ ル ギー は 熱 に 変 換 され て再
れ の 途 中 に お い て 外 部 に 対 す る 仕 事 は な く,水
般 エ ネ ル ギ ー 式(6・8)に
お い てwt=0,(z2-z1)=0と
平 であ る なるか ら
(6・33)
この 式 を微 分 の 形 に す る と (6・33')
摩 擦 損 失dRは
実 験 に よ る と,速 度Cの
２乗 と管 の 長 さdlに
比例 し,管 の 直径
ｄ に 反 比例 す る。 す な わ ち (6・34)
こ こ に 比 例 定 数 λ を 摩 擦 係 数(friction coefficient)と (6・33')は
い う 。 し た が っ て,式
次 の よ う に 表 さ れ る。
(6・35)
この 式 は 気体 が 管 内 を摩 擦 の 作 用 を受 け な が ら流 れ る場 合 に,圧 力 が 降 下 す る問 題 を解 く とき の 基礎 式 で あ る。 摩 擦 係 数 λ の値 は 流 体 の種 類,流 れ の状 態,管 の 状 態 な ど に よ って 変 化 す る が,一 般 に レ イ ノル ズ数Reの
関 数 の 形 で表 さ れ る。流 れ が 層 流 の 場 合 に は 次 の
式 が 与 え られ て い る。
乱 流 の 場 合 に は管 内 面 の 平 滑 度 や 管 の 内径 な どに よ っ て 異 な り,明 確 に 式 で 表 す こ とは 困 難 で あ る。 参 考 に なめ らか な 円 管 に 対 す る実 験 式 の 例 を あ げ る。
〔２ 〕
圧 力 降 下 の小 さい場 合
管 の 内面 が き わ め て 平 滑 で摩 擦 が 少 な い場 合 や 管 が あ ま り長 くな い場 合 は, 圧 力 の 降 下 が 小 さ い。 し たが っ て,比 容 積 の変 化 が 少 な くな り,速 度 の 変 化 も 小 さ い の で省 略 で き る。 ゆ え に,式(6・35)に
お い てdC=0に
で き るの で, (6・36)
と な り,あ
る い は 密 度 を ρ=1/υ と す れ ば 次 の 式 に な る 。
(6・37)
し た が っ て,ρ
と ｃ を 一 定 と考 え て 管 の 長 さlに
つ いて積分す る と
(6・38)
と な っ て,管
〔３〕
長 ｌに 対 す る 圧 力 低 下(p1-p2)を
求 め られ る。
圧 力降 下 の 大 きい場 合
長 い管 の 場 合 な ど に は圧 力 の 降 下 が 大 き くな り,流 体 の 比容 積 や 速 度 の変 化 が 大 き くな る の で,基 礎 式(6・35)に 題 を解 くに は等 温 流 れ(地
よ っ て解 くこ とは 容 易 で は な い。 こ の 問
中 に 埋 設 さ れ て い る場 合 な ど)や 断 熱 流 れ(保
温が
十 分 に行 わ れ て外 部 との熱 交 換 が 無 視 で き る よ うな場 合 な ど)と か い う条 件 を 与 えれ ば,理 想 気 体 の 場 合 に は解 析 的 に解 くこ とは で き るが,蒸
気 な ど の一 般
気 体 で は 図 式 解 法 に よ ら な け れ ば な ら な い。 本 書 で は 省 略 す る。 例 題6・7圧
力1.5MPa,温
送 る とす れ ば,管
度300℃
の 過 熱 蒸 気18000kg/hを
の 直 径 は い く ら に す べ き か 。 ま た,管
き圧 力 降 下 は い く ら か 。 た だ し,摩
擦 係 数 は λ=0.02と
あ ると
す る｡
〔 考 え方 〕 蒸 気 表 か ら過 熱 蒸 気 の 比 容 積 を読 み と り,式(6・2)に 求 め る 。 管 の 径 が わ か れ ば,圧
速 度30m/sで
の 長 さ が20mで
よ っ て 管 の 直径 を
力 降 下 が 小 さ い 場 合 と し て 式(6・38)に
よって計 算す
る 。
〔解 〕
蒸 気 表 か ら1.5MPa,300℃
管 の 直 径 は 式(6・2)に 30m/S,断
の 過 熱 蒸 気 の 比 容 積 は υ=0.1697
よ っ て 求 め る が,流
面 積 はA=πd2/4と
圧 力 降 下 は 式(6・38)に
量 はqm=18000
kg/h=5kg/s,速
m3/kg 度 はc=
して
よって
〔 参 考 〕 音 速 とマ ッハ 数 音 速(acoustic velocity)と は圧 縮 性 の気 体 の 中 を微 小 な 圧 力 変 動 す な わ ち波 動 が 伝 わ っ て い く速 度 をい う。 音 が 伝 わ って い く圧 力 変 動 は 非 常 に 小 さ く,等 エ ン トロ ピー 変 化 で あ る と考 え て よ いか ら,音 速 をCaと す れ ば 次 の 式 で表 さ れ る(式 の 誘 導 に つ い て は省 略 す る)。
理 想 気 体 に お い て は,等 エ ン トロ ピー 変 化 は 可 逆 断 熱 変 化 で あ るか ら pυκ=P(1/ρκ)=定
数 で あ り,対
数 微 分 を とれ ば
lnp-κlnρ=0
ゆ えに
とな り,音 速 は 圧 力 と密 度(比 容 積)の く影 響 され る こ とが わ か る。
関 数 で あ り,気 体 の 温 度 に も大 き
気 体 の 流 速 ｃ と 音 速Caと
の 比 を マ ッ ハ 数(Mach
number)と
い い,こ
れ
を Ｍ で表 せ ば 次 の 式 に な る。
マ ッハ 数 が １ よ り小 さ い 流 れ を 亜 音 速 流 れ(subsonic い 流 れ を 超 音 速 流 れ(supersonic 速 流 れ(transsonic
flow)と
flow)と
flow),１
よ り大 き
い い,そ の 中 間 領 域 の 流 れ を 遷 音
い う 。マ ッハ 数 は 流 れ に お け る 圧 縮 性 の 影 響 を
考 え る場 合 に重 要 な尺 度 に な る。
ふ つ うで は,気 体 中 を圧 力 変 動 が 伝 わ る速 度 は 最大 が 音 速 で あ り,こ れ を超 え て 伝 わ る こ とは な い。
〔 参 考 〕 全 圧 ・全 エ ン タ ル ピ ー ・全 温 度 気 体 の 流 れ に 対 す る一 般 エ ネ ル ギー 式 の 特 別 の 場 合 の一 つ に つ い て考 え て み よ う。 式(6・8)に お い て 外 部 に対 す る仕 事 は な く,摩 擦 損 失 も無 視 で き,圧 力 差(p1-p2)が
比 較 的 小 さ く比容 積 あ る い は 密 度 が 一 定 とみ な せ る もの と
し,そ の 平 均 圧 力pm=p1+p2/2に
お け る比 容 積 お よ び 密 度 を υmお よ び ρm
とす れ ば, (6・8)
と な り,こ
れ は 水 力 学 に お け るベ ル ヌ ー イ の 式 で あ る 。 さ ら に 気 体 の 場 合
に は 位 置 エ ネ ル ギ ー を 省 略 で き る こ とが 多 い の で,z1=z2と 式 に な る。
み なせ ば 次 の
こ の と き,ふ.つ
う の 圧 力 ｐ を 静 圧(static pressure),運
ρmC2/2に 相 当 す る 圧 力pdを の 和p0を sure)と
動 圧(dynamic
全 圧(total pressure)ま
動 エ ネ ル ギー
pressure)と い い,静 圧 と動 圧 と
た は よ ど み 点 圧 力(stagnation
pres-
い う。ベ ル ヌ ー イ の 式 は 高 さ が 一 定 な ら ば 管 内 の ど こ で も 全 圧 が 等
しい こ と を表 して い る。 ベ ル ヌ ー イ の 式 は 気 体 の 場 合 に も圧 力 の 変 化 が 小 さ い と き に は 用 い る こ とが で き る の で,こ
れ を 応 用 し て 流 速 や 流 量 の 測 定 が 行 わ れ る 。 ピ トー 管,
オ リフ ィ ス,ノ ズ ル,ベ ン チ ュ リ管 な ど が そ れ で あ る。 式(6・5)に
お い て,外
る 仕 事 も な く(wt=0),位
部 か ら の 熱 量 の 供 給 が な く(q=0),外
部 に対 す
置 エ ネ ル ギ ー の 差 も 無 視 で き る(z1=z2)場
合 に
は 次 の よ うに 表 され る こ とに な る。
こ こ で,h0を
全 エ ン タ ル ピ ー(total enthalpy)ま
ピ ー(stagnation
enthalpy)と
呼 ば れ,エ
が 一 定 に 保 た れ る こ と を 表 し,等 は,こ
の 全 エ ン タ ル ピ ーh0が
た は よ ど み 点 エ ン タル
ン タ ル ピ ー と運 動 エ ネ ル ギ ー の 和
エ ン トロ ピ ー 流 れ の よ ど み 点(C=0)で
実 現 され る。
理 想 気 体 の場 合 を考 え る と,h=CpTの
関 係 が あ る の で,上 の 式 は つ ぎの
よ うに 表 す こ とが で き る。
こ こ で,T0は
全 温 度(total temperature)ま
tion temperature)と
呼 ば れ,全
ピー 流 れ の よ どみ 点 に現 れ る。
た は よ ど み 点 温 度(stagna-
エ ン タ ル ピ ーh0と
同 じ よ う に 等 エ ン トロ
〔 演
１.内 径150㎜
習
問
題
Ⅵ
〕
の なめ ら か な 円 管 内 を30℃ の 水 が 平 均 流 速0.1m/sで
流 れ て い る場
合 の レ イ ノ ル ズ数 と質 量 流 量 を求 め よ。 ま た,平 均 流 速 が2m/sで て 求 め よ 。 た だ し,水 の 動 粘 度 は8×10-7㎡/sと ２.圧 力300kPa,温
度300℃
あ る場 合 につ い
す る。
の 蒸 気 が 内 径200 ㎜
の 管 内 を 平 均 流 速40 m/sで
定常
の 間 に エ ン タ ル ピー が320kJ/kgだ
け
流 れ して い る と きの 質 量 流 量 を 求 め よ。 ３.ノ ズ ル 内 を過 熱 蒸 気 が 断 熱 的 に 流 れ て,そ
減 少 した 。 ノ ズ ル 入 口 の 速 度 は 無 視 で き る もの と し て ノ ズ ル 出 口 の 速 度 を求 め よ 。 ４.ノ ズ ル を 通 し て 蒸 気 を膨 張 さ せ て500m/sの
噴 出 速 度 を得 る た め に は,必
要な
熱 落 差 は い く ら か 。 た だ し,ノ ズ ル 入 口 の 速 度 は 無 視 す る。 ５.圧 力2MPa,温
度400℃
の 過 熱 蒸 気 を理 想 的 な 断 熱 流 れ で 圧 力1.2MPaに
向か っ
て 噴 出 させ た場 合 の 最 大 速 度 を求 め よ 。 た だ し,初 速 は 無 視 す る。 ６.圧 力4MPa,温
度500℃
の 過 熱 蒸 気 を末 広 ノ ズ ル を通 し て 圧 力0.1MPaに
て 断 熱 的 に 噴 出 させ た と き,ノ ズ ル 出 口 の 速 度 が1260m/sで
向か っ
あ っ た。こ の と きの 速
度 係 数 を求 め よ 。 た だ し,初 速 は 無 視 す る。 ７.温 度 が20℃
で 臨 界 圧 力 が101.3kPaの
８.圧 力3MPaの
空 気 の 臨 界 速 度 を求 め よ 。
乾 き飽 和 蒸 気 に 対 す る臨 界 圧 力,臨 界 比 容 積 お よ び 臨 界 速 度 を求 め
よ。 ９.圧 力1.5MPa,温
度350℃
の 過 熱 蒸 気 を流 量2kg/sで
向 か っ て 噴 出 させ る 場 合,ノ だ し,ノ
ズ ル の 形,噴
ノ ズ ル を 通 して0.9MPaに
出 速 度 お よ び 出 口 の 断 面 積 を 求 め よ。 た
ズ ル 入 口の 速 度 と摩 擦 は 無 視 す る。
10.圧 力500kPa,温
度400 Kの
圧 縮 空 気 を圧 力100 kPaの
大 気 中 に 噴 出 させ る場 合,
こ の 変 化 が 断 熱 的 で あ る とす れ ば 噴 出 す る 空 気 の 速 度 お よ び 温 度 を 求 め よ 。 た だ し,最 初 の 速 度 は ０ とす る。 11.内 径100㎜,長 速40m/sで
さ25 mの 水 平 な 管 内 を圧 力700 kPa,温
度200℃
の蒸 気 が平均 流
流 れ る 場 合 の レ イ ノ ル ズ数 お よ び 圧 力 降 下 を求 め よ。た だ し,動 粘 度 は
5.4×10-6㎡/s,摩
擦 係 数 は0.012と
12.内
さ20 mの
径200㎜,長
す る。
水 平 な 管 内 を速 度50 m/sで
の 蒸 気 が 流 れ る場 合 の 圧 力 降 下 を求 め よ。 ま た,毎 擦 係 数 は0.011と
す る。
圧 力1MPa,温
度400℃
時 の 流 量 を求 め よ 。 た だ し,摩
〔
１.レ
イ ノ ル ズ 数 は 式(6・1),質
２.蒸
気 表 か らυ=0.8753m3/kgを
略
ら
読 み と り,式(6・2)に
すれ ば
４.式(6・11)をc1=0と
して変形 すれ ば
６.h-s線
〕
量 流 量 は 式(6・2)か
３.式(6・11)でc1=0と
５.式(6・11)に
解
お い てc1=0と
し,h-s線
図 あ る い は 蒸 気 表 に よ っ てh1=3445
よ って
図 ある いは蒸気 表 に よって
kJ/kg,h2=2575
kJ/kgと
な る か ら,
噴 出 速 度 は 式(6・12)で
ゆ え に,速
度 係 数 は 式(6・13)に
７.式(6・24)に
８.3MPaの
よ って
お い て κ=1.4,R=287.03
J/kg・K,Tc=293.15
Kで
あ るか ら
乾 き飽 和 蒸 気 の 比 容 積 を蒸 気 表 か ら読 み とれ ば,臨 界 圧 力 と臨 界 比 容 積
は 式(6・23)で
求 め られ,臨
界 速 度 は 式(6・24)で
計 算 で き る。 な お,臨
界 圧 力Pc
は 表6・1で
９.表6・1を
求 め る 方 が 容 易 で あ る。
利 用 し て 臨 界 圧 力 を求 め る と
ゆ え に,先
細 ノ ズ ル を用 い る 。
噴 出 速 度 はh-s線
図 あ る い は 蒸 気 表 か らh1お
よ っ て 計 算 す る 。 h1=3149kJ/kg
よ びh2を
,h2=3014
出 口 断 面 積 は 出 口 の 蒸 気 の 比 容 積 を求 め て,式(6・16)で h-s線 図 あ る い は 蒸 気 表 に よ る と,圧 力 は0.9MPaで そ の 比 容 積 は0.2769m3/kgで 過 熱 蒸 気 な の で,初
とな り,こ
10.噴
計 算 す る。 出 口の 蒸 気 は 温 度 は約281℃
とな る か ら,
あ る。また,断 熱 変 化 と して 計 算 す る と き は 出 口で も
め の 比 容 積0.1865m3/kgを
読 み と り,比 熱 比 は κ=1.3と
の 場 合 は 両 者 の 誤 差 は 小 さ い。
出 速 度 は 式(6・15)で
計 算 す る 。 κ=1.4,R=287.03
出 口の 温度 は断熱 変化 であ るか ら
11.レ
読 み と っ て,式(6・11)に
kJ/kg
イ ノ ル ズ 数 は 式(6・1)に
よって
J/kg・Kと
して
して
圧 力 降 下 は 式(6・38)で,蒸
気 の 比容 積 は 蒸 気 表 か らυ=0.2999m3/kg
=8003〔Pa〕
12.圧
力 降 下 は 式(6・38)で,蒸 υ =0
気 の比容 積 は蒸気 表 か ら
.3065m3/kg
=4486〔Pa〕
毎 時 の 流 量 は 入 口 の 比 容 積 を使 っ て 式(6・2)か
Qm=5.125×3600=18450〔kg/h〕
ら
７
ガス サ イ ク ル サ イ ク ル を行 う動 作 流 体 が理 想 気 体 で あ る場 合 の サ イ クル を ガ ス サ イ クル と い う。 第 ４章 で 説 明 し た理 想 気 体 を動 作 流 体 と し た カ ル ノー サ イ クル もガ ス サ イ ク ル で あ る。 カ ル ノー サ イ クル は 熱 機 関 の理 想 的 なサ イ ク ル で,同 一 の 高 低 両 熱 源 の 間 で は最 高 の 熱効 率 を示 す が,実 現 させ る こ とは で き な い 。 実 際 に用 い ら れ て い る 内 燃 機 関 な ど に は そ れ ぞ れ に 基 本 と され る サ イ ク ル が あ る。 こ れ らの 基 本 サ イ クル を考 え る と き,動 作 流体 の 理 想 気 体 を密 閉 し た 可逆 サ イ ク ル と し て扱 う と比 較 的 簡 単 に解 析 が で き,こ れ を理 論 サ イ クル と い う。 特 に 空 気 を動 作 流体 と して考 え る場 合 を空 気 理 論 サ イ クル とい う。 実 用 さ れ て い る容 積 形 内 燃機 関,速 度 形 内 燃 機 関,空
気 圧 縮 機 な どの サ イ ク
ル は,近 似 的 に ガ ス サ イ クル と考 え る こ とが で き る。
7・1
スタ ー リン グ サ イ ク ル と エ リ ク ソ ンサ イ クル
カ ル ノー サ イ ク ル と同 じ理 論 熱 効 率 を有 す る サ イ クル と して提 案 され て い る の が,ス
ター リン グサ イ クル とエ リク ソ ンサ イ クル で あ る。
〔１〕 ス タ ー リ ン グ サ イ ク ル ス タ ー リ ン グ サ イ ク ル(Stirling cycle)は
図7・1に
示 す よ う に,二 つ の 可 逆 等
温 変化 と二 つ の 可 逆 定 容 変 化 か ら な るサ イ クル で あ る。 熱 機 関 と し て 用 い る 場 合,質 でQ12〔J〕,等 Q34〔J〕,等
量m〔kg〕
温 変 化(2-3)でQ23〔J〕 温 変 化(4-1)でQ41〔J〕
の 動 作 流 体 に つ い て,定 容 変 化(1-2) の 熱 量 が 与 え ら れ,定
容 変 化(3-4)で
の 熱 量 が 放 出 さ れ る 。 定 容 変 化1-2,3-4に
(ａ)pV線
図
(ｂ)TS線 図7・1ス
図
ター リ ン グサ イ クル
お け る 受 熱 量Q1 2と 放 熱 量Q34は,定
容 比 熱 をCυ 〔J/kg・K〕,各
〔K〕 は 図 中 の 数 字 を 添 字 に つ け て 表 せ ば,次
点 の 温 度T
の 式 に な る。
こ の と き 等 温 変 化 な の で 図7・1(b)で
も 明 ら か な よ う にT2=T3,
り,Q12=Q34と
交 換 器 に よ っ て 完 全 な 再 生 が で き れ ば,
な る 。 し た が っ て,熱
サ イ ク ル の 受 熱 と放 熱 は 等 温 変 化 だ け に な り,受 熱 量Q23と 19)か
T1=T4で
放 熱 量Q41は
あ
式(3・
ら次 の 式 で求 め ら れ る。
こ こ で 図7・1(a)で
も わ か る よ う にV3/V2=V4/V1で
ク ル の 理 論 熱 効 率 ηthは
あ る か ら， ス タ ー リ ン グ サ イ
次の 式 で 表 さ れ る 。
(7・1)
した が っ て,理 論 熱 効 nthは 決 ま り,同
高 熱 源 温 度T2と
低 熱 源 温 度T1の
みに よって
じ温 度 範 囲 で 作 用 す る カ ル ノー サ イ クル の 熱 効 率 と一 致 す る。
〔２〕 エ リ ク ソ ン サ イ ク ル エ リ ク ソ ン サ イ ク ル(Ericsson
cycle)は
図7・2に
示 す よ う に,ス
ター リン グ
サ イ クル の 二 つ の 定 容 変 化 を定 圧 変 化 に 置 き換 え た サ イ ク ル で あ る。 こ の サ イ ク ル で は,質 (1-2)のQ12〔J〕,等 のQ34〔J〕,等 熱 量Q12と
量m〔kg〕
の 動 作 流 体 に つ い て,受
温 変 化(2-3)のQ23〔J〕
温 変 化(4-1)のQ41〔J〕
放 熱 量Q34は,定
で あ り,放
点 の 温 度T〔K〕
T1=T4で
あ り,Q12=Q34と
交 換 器 に よ っ て 完 全 な 再 生 が で き れ ば,サ
放 熱 は 等 温 変 化 だ け に な り,受
お け る受 は図中
の 式 に な る。
等 温 変 化 な の で 図(ｂ)で わ か る よ う にT2=T3, る 。 し た が っ て,熱
熱 量 は 定 圧 変 化(3-4)
で あ る 。 定 圧 変 化1-2,3-4に
圧 比 熱 をCp〔J/kg・K〕,各
の 数 字 を 添 字 に つ け て 表 せ ば,次
熱 量 は定圧 変 化
熱 量Q23と
放 熱 量Q41は
な
イ クル の 受 熱 と
式(3・19)か
ら次 の 式 で
求 め られ る。
こ こ で 図7・2(a)で
も わ か る よ う にp2/ p3=p1/p4で
あ る か ら，エ リ ク ソ ン サ イ ク ル
の 理 論 熱 効 率 ηthは 次 の 式 で 表 さ れ る。
(ａ)pV線
図
(ｂ)TS線 図7・2エ
リ ク ソ ンサ イ クル
図
(7・2)
し たが っ て,理 論 熱 効 率 ηthは高 熱 源 温 度T2と
低 熱 源 温 度T1の
み に よ って
決 ま り,ス ター リン グサ イ クル と同 様 に 同 じ温 度 範 囲 で作 用 す る カ ル ノー サ イ クル の 熱 効 率 と一 致 す る。
7・2
容積形内燃機関の理論サイクル
容 積 形 内 燃機 関 は シ リン ダー 内 で ピ ス トン を往 復 運 動 させ るか,ま
た は これ
と類 似 の機 構 に よ っ て,１ サ イ クル ご とに新 しい気 体 を取 り入 れ,閉 じ込 ん だ 空 間内で圧縮
，燃焼,膨 張 の過 程 を行 わ せ る機 関 で,往 復 動 ピス トン機 関 と ロー
タ リー 機 関 とが あ る。 容 積 形 内 燃機 関 は点 火 方 式 に よ る と火 花 点 火機 関 と圧 縮 点 火 機 関 に 大別 され る。 火 花 点 火 機 関 は 空気 と燃 料 の 混 合 気 を火 花 で 点 火 して 燃 焼 させ る 形 式 で,ガ
ソ リン機 関 は そ の 代 表 例 で あ る。 圧 縮 点 火 機 関 は 圧 縮 さ
れ て 高 温 ・高 圧 に な っ た 空 気 中 に 燃 料 を噴射 して 自己 点 火 させ る形 式 で,デ ィー ゼ ル機 関 が こ れ で あ る。 また,容 積 形 内 燃 機 関 に は １サ イ クル を ４行 程(ピ トンの ２往 復)で 往 復)で
行 う四 サ イ ク ル機 関 と,１ サ イ クル を ２行 程(ピ
ス
ス トン の １
完 結 させ る二 サ イ クル 機 関 との 別 もあ る。
実 用 され て い る容 積 形 内 燃機 関 の 空 気 理 論 サ イ クル に は オ ッ トー サ イ ク ル, デ ィー ゼ ル サ イ クル,サ 〔１ 〕
バ テ サ イ クル が あ る。
オ ッ トー サ イ ク ル
オ ッ トー サ イ ク ル(Otto cycle)は
火 花 点 火 機 関 で あ るガ ソ リン機 関 の 基 本 サ
イ ク ル で あ る 。オ ッ トー サ イ ク ル は 図7・3に
示 すpV線
図, TS線
図 の よ う に受
熱 と放 熱 の 二 つ の 定 容 変 化 と,圧 縮 と膨 張 の 二 つ の 断 熱 変 化 に よ っ て 構 成 さ れ, 受 熱 が 定 容 過 程 で あ る の で 定 容 サ イ ク ル(constant る。
volume
cycle)と
も呼 ば れ
(ｂ)TS線
(ａ)pV線
図
図 図7・3
オ ッ トー サ イ ク ル
四サ イ クル 機 関 と二 サ イ クル 機 関 とは理 論 上 の サ イ クル は 同 じで あ るが,四 サ イ クル機 関 に は 吸 気 の0-1と
排 気 の1-0の
過 程 が 付 け 加 え られ る。
図7・3の オ ッ トー サ イ クル に お い て,質 量m〔kg〕 比 熱 をCυ 〔J/kg・K〕 と し,各 点 の温 度T〔K〕 せ ば,受 熱 量Q1〔J〕 は定 容 過 程2-3で
の 動 作 流体 に つ い て,定 容
は 図 中 の 数 字 を添 字 に つ け て 表
供 給 され るこ とか ら,次 の 式 で 表 され る。
Q1=mCυ(T3-T2)〔J〕
放 熱 量Q2は
同 じ定 容 過 程4-1で
放 出 され るか ら次 の 式 に な る。
Q2=mCυ(T4-T1)〔J〕
圧 縮 過 程1-2と 量Qlと に
な
る
膨 張 過 程3-4は
放 熱 量Q2の
断 熱 変 化 で あ るか ら熱 の 出 入 りは な く,受 熱
差 が 仕 事 に 変 換 され るの で,そ の仕 事 量Wth〔J〕 は 次 の 式
。
(7・3)
し た が っ て,オ
ッ トー サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 ηthoは 次 の 式 で 表 さ れ る 。
(7・4)
往 復 動 ピ ス トン 機 関 で は,上
死 点(ピ
ス ト ン が 最 も上 昇 し た 位 置)と
(ピ ス トン が 最 も下 降 し た 位 置)と の 距 離 を 行 程(stroke)と を 行 程 容 積(stroke 容 積V1〔m3〕
volume)と
下死点
い い,そ の 間 の 容 積
い う。 圧 縮 行 程 で は ピ ス トン が 下 死 点 の と き の
か ら,上 死 点 の と き の 容 積 す な わ ち す き ま 容 積V2〔m3〕
る こ と に な り， そ の 圧 縮
前後の 容 積 の 比 を
と い う 。 行 程 容 積Vs〔m3〕
は(V1-V2)で
に圧縮す
圧 縮 比(compressionratio) あ る か ら,圧
縮 比 は 次 の よ う に も表
さ れ る。
(7・5)
圧 縮 行 程1-2と
こ こ でV2=V3,
膨 張 行 程3-4は
V1=V4で
断 熱 変 化 で あ る か ら式(3・31)に
よ って
あ るか ら
(ａ)
とな る。 した が っ て
定 容 加 熱 過 程2-3に ち圧 力 比(ま
定 容 変 化 の 関係
た は爆 発 比)を
と,そ の圧 力上 昇 の 割 合 す な わ と し て,上
のT3,
T4の
式 に代 入 す れ ば
以 上 の よ うな 関 係 を式(7・4)に 代 入 す る と， オ ッ トー サ イ クル の 理 論 熱 効 率 ηthoは 次 の 式 で 表 さ れ る こ と に な る 。
(7.6) な お,式(7・4)に
式(ａ)の 関 係 を 代 入 し て も,式(7・6)の
結 果 を誘 導 す る こ
と が で き る。
ゆ えに,オ
ッ トー サ イ クル の理 論 熱 効 率 は 比 熱 比 κの 値 を一 定 とす る と,圧
縮 比 ε だ け に 関 係 し,圧 縮 比 を 高 くす る ほ ど熱効 率 は高 くな る こ とに な る。 し か し,実 際 の ガ ソ リン機 関 で は圧 縮 比 を あ る限 度 以 上 に 高 くす る と,異 常 燃 焼 を生 じた り して 効 率 や 出 力 が 低 下 す る。 した が っ て,実 際 に採 用 さ れ る圧 縮 比 は10を
あ ま り上 回 る こ と は な い 。
１サ イ クル の 間 に な す仕 事 を行 程 容 積 で 割 る と,仕 事 を なす に あ た っ て ビ ス ト ン 上 に 作 用 す る 圧 力 の 平 均 値 が 得 ら れ る 。 こ れ を 平 均 有 効 圧 力(mean tive pressure)と
effec-
い い,機 関 の 出 力 性 能 を 評 価 す る 要 素 の 一 つ で あ る 。オ ッ トー
サ イ クル の理 論 平 均 有効 圧 力Pmo〔Pa〕 は
と な り， こ の 式 に 式(7・6)と
状 態 式 か ら のV1=mRT1/P1
,を
代 入 して
(7.7) 上 式 にQ1=mCυ(T3-T2),
力 比)と して 式 を整 理 す れ ば,オ
(圧
を 代 入 し,
ッ トー サ イ クル の理 論 平 均 有 効 圧 力pmo〔Pa〕
は次 の式 の よ うな 形 で も表 せ る。 (7・8)
こ れ は 圧 縮 比 が 大 き い ほ ど ，圧 力 比 が 大 き い ほ ど， い い か え れ ばT3,p3が
い ほ ど オ ッ トー サ イ ク ル の 理 論 平 均 有 効 圧 力pmoは
高
高 くな る こ と を表 して い
る 。
例 題7・1圧
縮 比 ε=9,圧
力 比 φ=2.5，
最 初 の 圧 力p1=0.1MPaの
オ ッ トー
サ イ クル の 理 論 熱効 率 お よ び理 論 平 均 有 効 圧 力 を求 め よ。 た だ し， 比 熱 比 κ= 1.4と
す る。
〔 考 え 方 〕 理 論 熱 効 率 は 式(7・6),理
論 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・8)に よ っ て 計 算 す る。
〔解 〕 ε=9,φ=2.5,p1=0.1MPa,κ=1.4で
あ る か ら 理 論 熱 効 率 ηthoは 式(7・6)
に よ って
ηtho=1-
58.5〔%〕
1/ε κ-1=1-1/91.4-1=0.585
理 論 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・8)か
ら
〔２〕 デ ィ ー ゼ ル サ イ ク ル デ ィ ー ゼ ル サ イ ク ル(Diesel cycle)は
圧 縮 点 火 機 関 で あ る大 型 船 用 な どの
デ ィ ー ゼ ル 機 関 の 基 本 サ イ ク ル で あ る 。図7・4に に 受 熱 の 定 圧 変 化,放
熱 の 定 容 変 化 と圧 縮,膨
示 すpV線
図
pressure cycle)と
(ｂ)TS線 図7・4デ
図の よ う
張 の 二 つ の 断 熱 変 化 か ら構 成 さ
れ ，受 熱 が 定 圧 過 程 で あ る の で 定 圧 サ イ ク ル(constant
(ａ)pV線
図,TS線
ィー ゼ ルサ イ ク ル
図
も呼
ば れ る。
デ ィー ゼ ル機 関 に も四 サ イ クル 式 と二 サ イ クル 式 とが あ る が,理 論 サ イ ク ル は 同 じで あ る 。 図7・4の
デ ィ ー ゼ ル サ イ ク ル に お い て,質 量m〔
圧 比 熱 をCp〔J/㎏
・K〕と し,各 点 の 温 度T〔K〕
表 せ ば,受 熱 量Q1〔J〕 は 定 圧 過 程2-3で
㎏ 〕の 動 作 流 体 に つ い て,定
は 図 中 の 数 字 を添 字 に つ け て
供 給 され るの で，次 の 式 で 表 さ れ る。
Q1=mCp(T3-T2)=mκCυ(T3-T2)〔J〕
放 熱 量Q2〔J〕 は 同 じ定 容 過 程4-1で
放 出 され るか ら次 の 式 に な る。
Q2=mCυ(T4-T1)〔J〕
圧 縮 過 程1-2と 量Q1と
膨 張 過 程3-4は
放 熱 量Q2の
断 熱 変 化 で あ るか ら熱 の 出 入 りは な く,受 熱
差 が 仕 事 に 変 換 さ れ るの で,そ の 仕 事 量Wthは
次の式 にな
る 。
wth=Q1-Q2=mCυ{κ(T3-T2)-(T4-T1)}〔J〕
し た が っ て,デ
(7・9)
ィ ー ゼ ル サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 ηthdは 次 の 式 で 表 さ れ る。
(7・10)
圧 縮 行 程1-2は
断 熱 変 化 で あ る か ら式(3・19)に
こ こ で 圧 縮 比 ε=V1/V 2の
定 圧 加 熱 の 過 程2-3に
よって
関 係 を用 い る と
お け る容 積 の 比ξ=V3/V 2を 締 切 比(cut-Offratio)ま
た
は 噴射 締 切 比 とい う。 定 圧 過 程 に こ れ を用 い る と T3=T2ξ=T1ε
膨張 行 程3-4は る と
κ-1ξ
断 熱 変 化 で あ るか ら式(3・31)に
よ る関 係 に,上 式 を代 入 す
さ らに 放 熱 過 程4-1は
定 容 変 化 でV1=V4に
な るか ら
ゆえに
こ れ ら のT2, T3, T4を
式(7・10)に
代 入 す る と,デ
ィー ゼ ル サ イ ク ル の理 論
熱 効 率 ηthdは 次 の 式 で 表 さ れ る こ と に な る 。
(7・11)
ゆ え に,デ ィ ー ゼ ルサ イ クル の 理 論 熱 効 率 ηthdは比 熱 比 κの値 を一 定 とす れ ば,圧 縮 比 εが 大 き い ほ ど高 くな る が,締 切 比 ξの 大 き さに も関 係 す る こ と に な る。 同 じ圧 縮 比 な らば締 切 比 が 小 さ い ほ ど,同
じ締 切 比 で は圧 縮 比 が大 き い
ほ ど,理 論 熱 効 率 は高 くな る。 デ ィー ゼ ル サ イ ク ル の 理 論 平 均 有 効 圧 力pmd〔Pa〕 は オ ッ トー サ イ クル と 同 様に
と な り， こ の 式 に 式(7・11)と
状 態 式 か ら のV1=mRT1/p1を
代 入 して
(7・12)
上 式 にQ1=mCp(T3-T2)，Cp=κR/κ-1，T2=T1ε
κ-1，T3=T2ξ=T1ε
κ-1を
代 入 して 式 を整 理 す れ ば ，デ ィー ゼ ル サ イ ク ル の理 論 平 均 有 効 圧 力pmd〔Pa〕 は 次 の 式 の よ う な形 で も表 す こ とが で き る。
(7・13)
こ の 結 果,デ
ィ ー ゼ ル サ イ ク ル の 理 論 平 均 有 効 圧 力pmdは
め の 状 態 と 受 熱 量 が 同 じ な ら ば,ε,ξ,κ き い ほ ど,ξ
例題
7・2
が 小 さ い ほ ど,pmdは 圧 縮 比 ε=16，
動 作 流体 の圧 縮 始
に よ っ て 変 わ る こ と に な り,ε
が大
高 くな る 。
締 切 比 ξ=2,最
初 の 圧 力p1=0.1MPaの
デ ィー ゼ
ル サ イ クル の理 論 熱 効 率 お よ び理 論 平 均 有 効 圧 力 を求 め よ。た だ し,比 熱 比 κ= 1.3と す る。 〔 考 え方 〕 理 論 熱 効 率 は 式(7・11),理
論 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・13)に
よって計 算す
る 。
〔解 〕
ε=16,ξ=2,p1=0.1MPa,κ=1.3で
あ る か ら 理 論 熱 効 率 ηthdは 式(7・11)
に よって
51〔%〕 理 論 平 均 有 効 圧 力pmdは
〔３〕
式(7・13)か
ら
サバ テ サ イ ク ル
サ バ テ サ イ クル(Sabathe cycle)は 圧 縮 点 火 機 関 で あ る 高 ・中 速 デ ィー ゼ ル 機 関 の 基 本 サ イ ク ル で あ る。図7・5に 示 すpV線 容 ・定 圧 の 両 変 化,放
熱 の 定 容 変 化 と圧 縮,膨
図, TS線
図 の よ うに 受 熱 の 定
張 の二 つ の 断 熱 変 化 か ら構 成 さ
れ る。こ のサ イ クル は受 熱 が 定 容 ・ 定 圧 の両 過 程 で,オ ッ トー サ イ クル とデ ィー ゼ ル サ イ ク ル の 組 合 わ せ で あ る か ら複 合 サ イ クル(combined cycle)ま た は合 成 サ イ クル と も呼 ば れ る。 図7・5の サ バ テ サ イ ク ル に お い て 質 量m〔 ㎏ 〕の 動 作 流 体 に つ い て 考 え,各 点 の状 態 量 は 図 中の 数 字 を添 字 に つ け て表 す と,受 熱 量Q1〔J〕 は 定 容 過 程2-2'
(ａ)pv線
(ｂ)TS線
図 図7・5サ
と定 圧 過 程2'-3で
供 給 さ れ る の で,次
図
バ テサ イ ク ル
の 式 で表 され る。
Q1=mCυ(T2'-T2)+mCp(T3-T2') =mCυ{(T2'-T2)+κ(T3-T2')}〔J〕
放 熱 量Q2は
同 じ定 容 過 程4-1で
放 出 され るか ら次 の 式 に な る。
Q2=mCυ(T4-T1)〔J〕
圧 縮 過 程1-2と 量Q1と
膨 張 過程3-4は
放 熱 量Q2の
断 熱 変 化 で あ るか ら熱 の 出入 りは な く,受 熱
差 が 仕 事 に変 換 さ れ るの で,そ の仕 事 量Wth〔J〕 は次 の 式
に な る。 Wth=Q1
- Q2=mCυ{(T2'-T2)+κ(T3-T2')-(T4-T1)}〔J〕 (7．14)
し た が っ て,サ
バ テ サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 ηthsは 次 の 式 で 表 さ れ る 。
(7・15)
圧 縮 行 程1-2に
断纈
化 の 式(3・31)と
圧 縮 比 ε=V1/V 2を 用 い る と
定 容 加 熱 の 過 程2-2'に 定 容 変 化 の 式(3・25)と 定 容 加 熱 に よ る圧 力 比 φ=p2'/p2 を用 い る と
,T2'=T2p2'/p2=T2φ=T1ε
定 圧 加 熱 の 過 程2'-3に
κ-1φ
定変
化 の 式(3・22)と
定 圧 加 熱 の 際 の 締 切 比 ξ=V3/V2'
を用い る と
T3=T2'V3/V2
膨 張行 程3-4は
こ の と き,V1=V4,
ゆ え に,こ
'=T2'ξ=T1εκ-1φ
ξ
断 熱 変 化 で あ るか ら
V2=V2'で
れ ら のT2,
あ るか ら
T2', T3, T4を
式(7・15)に
代 入 す る と,サ
バ テサ イ
ク ル の 理 論 熱 効 ηthsは 次 の 式 で 表 さ れ る こ と に な る 。
(7・16)
上 式 か らサ バ テサ イ ク ル の理 論 熱 効 率 は,比 熱 比 κを一 定 と して も,圧 縮 比 εの ほ か,圧 力 比 φ や 締 切 比 ξ の 影 響 を受 け る こ とに な る。 サ バ テ サ イ ク ル の理 論 平 均 有 効 圧 力Pms〔Pa〕 は
と な り,こ
の 式 に 式(7・16)と
状 態 式 か らの
を代 入 して (7・17)
上 式 にQ1=mcv{(T2'-T2)+κ(T3-T2')},Cυ=R/κ-1，T2=T1ε T1ε κ-1φ, T3=T1ε 均 有 効 圧 力Pmsは
κ-1φ ξ を代 入 し て 式 を 整 理 す れ ば,サ
κ-1， T2’= バ テ サ イ クル の 理 論 平
次 の 式 の よ う な 形 で も 表 す こ と が で き る。
(7.18) サ バ テ サ イ クル の 理 論 熱 効 率 の 式(7・16)お 17),(7・18)は,ξ=1と
よ び 理 論 平 均 有 効 圧 力 の 式(7・
す れ ば オ ッ トー サ イ ク ル,φ=1と
す れ ば デ ィー ゼ ル
サ イ クル の 式 に一 致 す る。
三 つ の サ イ クル の理 論 熱 効 率 の 比 較 は与 え る条 件 に よ っ て 異 な るが,い
ずれ
も圧 縮 比 が 大 きい ほ ど熱 効 率 が 高 い 。吸 気 の温 度 と圧 縮 比 が 同 じ場 合,図7・6の よ うに オ ッ トー サ イ クル が 最 も高 く,サ バ テサ イ クル が こ れ に 次 ぎ， デ ィー ゼ ル サ イ クル が 最 も低 い こ とに な る。サ バ テサ イ クル は ξが 小 さい ほ ど熱 効 率 が よ くな る。 また,最 高 圧 力 ま た は最 高 温度 を一 定 に して ε を変 え た場 合 の 熱 効 率 は,デ ィー ゼ ル サ イ ク ルが 最 も よ く,サ バ テ サ イ クル が これ に 次 ぎ,オ ッ トー サ イ ク ル が 最 も悪 い 。
図7・6
例 題7・3圧
MPaの
縮
比 ε=16,圧
圧縮比 と熱効率
力 比 φ=2.5,締
切 比 ξ=2，
最 初 の 圧 力p1=0.1
サ バ テ サ イ クル の理 論 熱 効 率 お よ び理 論 平 均 有 効 圧 力 を求 め よ。 た だ
し， 比 熱 比 κ=1.3と
す る。
〔 考 え 方 〕 理 論 熱 効 率 は 式(7・16),理
論 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・18)に
よ って計算 す
る。 〔解 〕 式(7・16)に
ε=16,φ=2.5,ξ=2,p1=0.1MPa,
κ=1.3で
あ る か ら理 論 熱 効 率
ηthsは
よって
52.8〔%〕
理 論 平 均 有 効 圧 力pmsは
=2
〔４〕
式(7・18)か
ら
.047〔MPa〕
実 際 の容 積 形 内燃 機 関 の サ イ クル
実 際 の容 積 形 内燃 機 関 で は ポ ンプ 損 失,冷
却 損 失,摩 擦 損 失 な どが 避 け られ
な いの で,そ の 仕 事,熱 効 率,平 均 有 効 圧 力 な ど は,理 論 サ イ ク ル に 比 べ る と 相 当に 低 くな る。 笑 除 の 機 関 に お け る シ リン ダー 内 の圧 力 と ピス トン変 位 の 関係 は イ ン ジ ケー タ に よ っ て記 録 で き るの で,こ の イ ン ジ ケー タ線 図 か ら動 作 ガ ス が ピ ス トン に 対 して な した仕 事 は 求 め られ る。この 仕 事 を図 示仕 事Wi〔J〕 と い い,こ れ は 理 論 仕 事Wth〔J〕 よ り小 さ い。 １サ イ クル あ た り質 量m〔 ㎏ 〕の 動 作 流 体 に供 給 され る熱 量 をQ1〔J〕 とす れ ば,図 示 熱 効 率 ηiは次 の 式 で 表 され る。
(7・19)
図 示 熱 効 率 と理 論 熱 効 率 の 比 ηgを効 率 比 ま た は機 関効 率 とい い,次 の 式 で表 され る。
(7・20)
機 関 か ら発 生 す る正 味 仕 事We〔J〕 は,図 示 仕 事Wi〔J〕 か ら機 関 の 摩 擦 仕 事 Wf〔J〕 を差 し引 い た もの で あ り， 正 味 熱効 率 ηeは次 の 式 で 表 され る。 (7・21)
摩 擦 仕 事Wf〔J〕
は機 関 の 摩 擦 や 補 機 駆 動 に 費 や さ れ る仕 事 で,そ
の割合 は
機 械 効 率 ηmに よ って 表 さ れ (7・22)
し た が っ て,正
味 熱 効 率 ηeは 次 の 式 で 表 さ れ る 。 (7・23)
ηe=ηiηm=ηthηgηm
１サ イ クル の 間 に なす 仕 事 に 図 示 仕 事 や 正 味 仕 事 が あ るの で,平 均 有 効 圧 力 に も図示 平 均 有 効 圧 力や 正 味 平 均 有 効 圧 力 が あ る。 図 示 平 均 有 効 圧 力pmi〔Pa〕
は 行 程 容 積 をVs〔m3〕
とす れ ば
(7・24)
こ こ にpthは
理 論 平 均 有 効 圧 力 で あ る。
ま た ， 図 示 出 力 をPi〔W〕
とす れ ば (7・25)
こ こ にn/60zは
数,ｚ
単 位 時 間(毎 秒)の
サ イク ル 数 で,n〔rpm〕
は 機 関 の毎 分 回 転
は 四 サ イ ク ル 機 関 で は ２,二 サ イ ク ル 機 関 で は １で あ る 。
正 味 平 均 有 効 圧 力pme〔Pa〕
は
(7・26)
ま た,正
味 出 力 をPe〔W〕
とす れ ば,次
の 式 で 表 さ れ る。
(7・27)
ゆ えに (7・28)
正 味 熱 効 率 ηeは,機 関 が行 っ た正 味 の仕 事 と機 関 に供 給 され た 燃料 が 完 全 燃 焼 した と きに 発 生 す る熱 量 との 比 で あ る か ら,正 味 出 力 をPe〔kW〕,燃 量 をB〔 ㎏/h〕,燃 料 の低 発 熱 量Hl〔kJ/㎏
料供 給
〕,燃 料 消 費 率 をbe〔g/kW・h〕
とす
れば (7・29)
で あ り,燃 料 消 費率be〔g/kW・h〕
は機 関 の 燃 料 消 費 性 能 を表 し,次 の 式 で求 め
ら れ る。
(7・30)
例 題7・4あ
る 自動 車 用 四 サ イ クル ガ ソ リン機 関 の行 程 容 積2000 ㏄ で,回 転
数 が4800 rpmの
と きの正 味 出力 が76.8kWで
圧 力 を求 め よ。 また,機 械 効 率 が80%で
あ る。 この と きの 正 味 平 均 有 効
あ る と して 図 示 出力 お よび 図 示 平 均 有
効 圧 力 を求 め よ。 〔 考 え方 〕 正 味 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・27)で ば 図 示 出 力 と図 示 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・26)を 〔解 〕Vs=2000
㏄=0.002
サ イ クル 機 関 な の でz=2と
m3, n=4800
計 算 す る。 正 味 平 均 有 効 圧 力 が わ か れ 利 用 す れ ば 求 め られ る。
rpm, Pe=76.8kW=76800
な り,正 味 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・27)に
図 示 出 力 と 図 示 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・26)を
利 用 し て,ηm=0.8か
Wで
よ って
ら
あ り,四
例 題7・5あ
る ガ ソ リン機 関 の 燃 料 消 費率 が280g/kW・hで
熱 効 率 を求 め よ。 また,こ の と きの 機 械 効 率 を0.78機 こ の機 関 の 図 示 熱 効 率,理
あ る ときの正 味
関 効 率 を0・65と して,
論 熱 効 率 お よ び圧 縮 比 を求 め よ。 た だ し,ガ ソ リ ン
の 低 発 熱 量 は44000 kJ/㎏,動
作 流 体 の 比 熱 比 は1.4と
〔 考 え 方 〕 正 味 熱 効 率 は 式(7・29)に
す る。
よ っ て 計 算 で き,そ
効 率 お よ び 理 論 熱 効 率 は 式(7・23)で,圧
の 結 果 を利 用 して 図 示 熱
縮 比 は オ ッ トー サ イ クル と し て 式(7・6)で
求 め られ る。 〔解 〕be=280g/kW・h,
Hl=44000
kJ/㎏
で,正
味 熱 効 率 は 式(7・29)に
よって
29.2(%) 図 示 熱 効 率 お よ び 理 論 熱 効 率 は 式(7・23)に
よ っ て,ηm=0.78,ng=0.65か
ら
ηe=ηiηm=ηthηgηm
37．4〔%〕
57．6〔%〕
圧 縮 比 は 式(7・6)ηtho=1-1/κ-1を
変 形 して
7.3
速度形内燃機 関のサイクル
速 度 形 内燃 機 関 は,高 温 高 圧 の 動 作 ガ ス を膨 張 させ て 熱 エ ネ ル ギー を運 動(速 度)エ
ネ ル ギ ー に 変 換 して,動 力 を発 生 させ る機 関 で あ る。 高 速 噴 流 の 動 圧 を
利 用 す るの で動 圧 形 と も呼 ば れ る。 ガ ス ター ビ ン,タ ー ボ ジ ェ ッ トエ ン ジ ン, タ ー ボ フ ァ ン エ ン ジ ン な ど が 実 用 さ れ て い る例 で あ る 。
ガ ス ター ビ ン で現 在 最 も使 用 さ れ て い る の は 定 常 流 形 で 内燃 式 の ガ ス ター ビ ン で あ り,そ の 基 本 サ イ クル とさ れ て い る の が ブ レ イ トンサ イ クル で あ る。
〔１〕
ブ レ イ トン サ イ ク ル
ブ レイ
ト ン サ イ ク ル(Brayton
呼 ば れ,定 圧 加 熱(燃
焼)の
cycle)は
ジ ュ ー ル サ イ ク ル(Joule
cycle)と
も
ガ ス ター ビ ンの 基 本 サ イ クル で あ る。
ブ レ イ トンサ イ クル に は 動 作 流体 に 新 気 を取 り入 れ て 排 気 を大 気 中 に 放 出 す る内 燃 式 の 開 放 サ イ クル と,空 気 な ど の動 作 流体 を密 閉 して い る外 燃 式 の 密 閉 サ イ クル とが あ るが,熱 力 学 的 に は 同 じ取 り扱 い をす る こ とが で き る。図7・7に 開 放 サ イ クル と密 閉 サ イ クル の 構 成 を示 す 。 ブ レ イ トン サ イ クル は 図7・8に 示 すpV線
図, TS線
図 の よ う に受 熱 と放 熱
の 二 つ の 定 圧 変 化 と,圧 縮 と膨 張 の 二 つ の 断 熱 変 化 に よ っ て構 成 され ,受 熱 す な わ ち 燃 焼 過 程 が定 圧 で あ るの で定 圧 燃 焼 サ イ クル とも呼 ば れ る。
(ａ)開 放 サ イ クル
(ｂ)密 閉 サ イ クル
図7・7
(ａ)pV線
ブ レ イ トンサ イ クル の 構 成
図 図7・8
(ｂ)TS線 ブ レ イ トンサ イ クル
図
図7・8の ブ レ イ トン サ イ クル に お い て,質 量m〔 圧 比 熱 をCp〔J/㎏
・K〕と し,各 点 の 温 度T〔K〕
表 せ ば,受 熱 量Q1〔J〕 は定 圧 過 程2-3で
㎏ 〕の 動 作 流体 に つ い て,定 は 図 中 の 数 字 を添 字 に つ け て
供 給 さ れ る こ とか ら,次 の式 で 表 され
る 。
Q1=mCp(T3-T2)〔J〕
放 熱 量Q2は
同 じ定 圧 過 程4-1で
放 出 され るか ら次 の 式 に な る。
Q2=mCp(T4-T1)〔J〕
圧 縮 過 程1-2と 量Q1と
膨 張過 程3-4は
放 熱 量Q2の
断熱 変 化 で あ るか ら熱 の 出 入 りは な く,受 熱
差 が 仕 事 に変 換 され る の で,そ の 仕 事 量Wth〔J〕 は 次 の 式
に な る。 Wth=Q1-Q2=mCp{(T3-T2)-(T4-T1)}〔J〕 し た が っ て,ブ
(7・31)
レ イ トン サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 ηthbは 次 の 式 で 表 さ れ る 。
(7・32)
圧 縮1-2,膨
張3-4の
と な り,2-3,4-1の
過 程 は 断 熱 変 化 で あ る か ら 式(3・31)に
過 程 は 定 圧 変 化 で あ る か らp2=p3,
p1=p4と
よって
な る。 こ こで
p2/p1=p3/p4-=ρを 圧 力 比 と す る と
(7・33) こ の 関 係 を 式(7・32)に
代 入 す る と,ブ
レ イ ト ン サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 ηthbは
次 の 式 に な る。
(7・34)
し た が っ て,ブ よ って 決 定 され,κ な お,式(7・31)は
レ イ トン サ イ クル の 理 論 熱 効 率 は,比 熱 比 κ と圧 力 比 ρ に と ρ を大 き くす れ ば 熱効 率 は 向 上 す る。 変 形 す る と,
Wth=mCp{(T3-T4)-(T2-T1)}=Wt-Wc〔J〕 と な り,Wt=mCp(T3-T4)は 事 で あ り,そ
例 題
7・6
50℃,圧
(7・35)
タ ー ビ ン 仕 事, Wc = mCp ( T2-T1)は
圧 縮機仕
の 差 が １サ イ ク ル あ た り の 理 論 仕 事 で あ る こ と を 表 し て い る。 ブ レ イ ト ン サ イ ク ル に お い て 空 気 の 圧 縮 前 の 圧 力0.1MPa,温
縮 後 の 圧 力0.5MPa,定
圧 加 熱 後 の 温 度 が750℃
度
で あ る と き,圧 縮 機 仕
事,タ ー ビ ン仕 事,理 論 仕 事 お よ び 理 論 熱 効 率 を 求 め よ 。た だ し,比 熱 比 κ=1.4, 定 圧 比 熱Cp = 1.05 kJ/㎏
・K一
定 とす る。
〔 考 え 方 〕 動 作 流体 の 質 量 な どが 与 え られ て い な い が,こ の よ う な 課 題 の 場 合 は 単 位 質 量 あ た り １サ イ ク ル あ た りに つ い て 求 め れ ば よい 。 まず 式(7・33)に T4を 求 め れ ば,圧 縮 機 仕 事,タ ー ビ ン 仕 事,理 論 仕 事 は 式(7・35)で 熱 効 率 は 式(7・34)で
〔解 〕p1=0.1MPa,
1.4,Cp=1.05
よ っ てT2,
計 算 で き る。 理 論
計 算 す る。 p2=0.5MPa,
kJ/kg・Kか
T1=50℃=323
ら,ρ=p2/p1=0.5/0．1で
K,T3=750℃=1023 あ
り,T2,T4は
K,κ= 式(7・33)に
て
し た が っ て,圧
縮 機 仕 事,タ ー ビ ン 仕 事,理 論 仕 事 は 式(7・35)に
ωc=Cp(T2-T1)=1.05×(512-323)=198
・5〔kJ/kg〕
we=Cp(T3-T4)=1.05×(1023-646)=395.9〔kJ/kg〕 wth=wt-wc
= 395.9-198・5=197．4〔kJ/kg〕
理 論 熱 効 率 は 式(7・34)で
36・9〔%〕
よって
よ つ
〔２〕
再 生 ブ レ イ トンサ イ ク ル
ブ レ イ トン サ イ クル は一 般 に排 気 が 高 温 な の で,再 生 熱 交 換器 に よ っ て そ の 排熱 を利 用 して 圧 縮 機 か らの動 作 流 体(空 気)を
予 熱 す れ ば,熱 効 率 を 改善 で
き る 。 こ れ が 再 生 ブ レ イ ト ン サ イ ク ル(regenerative
Brayton
図7・9に 再 生 ブ レ イ トンサ イ クル の構 成 を示 し,図7・10に よびTS線
そ のpV線
あ る。
図お
図 を示 す 。 図7・10(b)に お い て理 想 的 な再 生 熱 交 換 器 を用 い る とす
れば,圧 縮 空気 は 温 度T2か は 温 度T4か
cycle)で
ら排 気 温 度T4と
ら 空 気 温高 度T2と
し た が っ て,再
同 じ 温 度 のT4'に
同 じ温 度 のT2'ま
で 上 昇 し,排 気
低 下 す る こ と に な る。
生 熱 交 換 器 で は 過 程4-42の 排 気 の 放 熱 と過 程2-2'の 圧 縮 空 気
の受 熱 が行 わ れ,理 想 的 な再 生 で あ る か ら放 熱 量(面 積c4'4d)と
図7・9
(ａ)pV線
再 成 ブ レ イ ン トサ イ クル の 構 成
図 図7・10
(ｂ)TS線 再 生 ブ レ ィ トン サ イ クル
図
受 熱 量(面 積
a22'b)と
は 等 し く,T4=T2',T2=T4'に
な る 。 こ の 結 果,質
流 体 に つ い て 定 圧 比 熱 をCp〔J/㎏ を 添 字 に つ け て 表 せ ば,受
・K〕 と し,各
熱 量Q1〔J〕
量m〔
点 の 温度T〔K〕
は 定 圧 過 程2'-3で
㎏ 〕の 動 作 は図 中の数 字
供 給 さ れ る こ と か ら,
次 の 式 で 表 され る。
放 熱 量Q2〔J〕
は 同 じ定 圧 過 程4'-1で
圧 縮 過 程1-2と
膨 張 過 程3-4は
量 た と放 熱 量Q2の
放 出 さ れ るか ら次 の 式 に な る。
断 熱 変 化 で あ る か ら熱 の 出入 りは な く,受 熱
差 が 仕 事 に 変 換 され るの で,そ の仕 事 量Wth〔J〕 は 次 の 式
に な る。 (7・36)
し た が っ て,再
生 ブ レ イ トン サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率
ηthrは次 の 式 で 表 さ れ
る 。
(7・37)
圧 縮1-2,膨
張3-4の
過 程 は 断 熱 変 化 で,2-3,4-1の
過 程 は 定 圧 変 化 で あ り,
ブ レ イ トンサ イ クル の 場 合 と同 じに圧 力 比 を ρ=p2/p1とす れ ば
と な り,こ
の 関 係 を 式(7・37)に
代 入 す る と,再
生 ブ レ イ トン サ イ ク ル の 理 論
熱 効 率 ηthrは 次 の 式 に な る 。
(7・38)
こ こに
τ=T3/T 1を
温 度 比 とい う。
した が っ て,再 生 ブ レイ トンサ イ クル の 理 論 熱効 率 は,比 熱 比 κ を一 定 とす
れ ば 圧 力 比 ρ と 温 度 比 τ に よ っ て 変 わ り,ρ を 一 定 とす れ ば τが 大 き い ほ ど,
τ を一 定 とす れ ば ρ が 小 さ い ほ ど,熱 効 率 は増 大 す る。 なお,ブ
レ イ トンサ イ ク ルの 理 論 熱効 率 の 改 善方 法 に は,再 生 ブ レ イ トンサ
イ ク ル の ほ か に,膨 張 過 程 の 途 中 で再 熱 を行 う再 熱 サ イ クル,圧 縮 過 程 の 途 中 で 中 間冷 却 を行 う 中 間 冷 却 サ イ クル な どが あ る が,本 書 で は 省 略 す る。
例題
再 生 ブ レ イ トンサ イ ク ル に お い て 空 気 の 圧 縮 前 の 圧 力0.1MPa,
7・7
温 度50℃,圧
縮 後 の 圧 力0.4MPa,定
圧 加 熱 後 の 温 度 が600℃
で あ る と さ,排 熱
を 利 用 す る 再 生 熱 交 換 機 が 完 全 で あ る と し て 理 論 熱 効 率,受 熱 量 お よ び 放 熱 量 を 求 め よ 。 た だ し,比
クル あ た り1㎏
熱 比 κ=1.4,定
圧 比 Cp=1.04
kJ/㎏
・Kと し,毎
サ イ
の 空 気 を使 用 す る もの とす る。
〔 考 え 方 〕 再 生 ブ レ イ トンサ イ ク ル の 熱 効 率 は 与 え られ て い る数 値 を 用 い て 式(7・ 38)で 計 算 す る。 受 熱 量 と放 熱 量 は 式(7・33)に よ っ てT2,T4を
求 め れ ば,式(7・36)
を利 用 して 求 め ら れ る。 〔解 〕p1=0.1MPa,
Cp=1.04
kJ/㎏
p2 = 0.4MPa,T1=50℃=323
・Kか
ら,ρ=p2/0.4/0.1=4で
K,T3=600℃=873
あ り,温
る か ら 再 生 ブ レ イ ト ン サ イ ク ル の 熱 効 率 は 式(7・38）
K,κ=1.4,
度 比 τ=T3/T1=873/323=2.703と
な
に よっ て
45〔%〕 T2,T4は
式(7・33)に
し た が っ て,受
〔３〕
よって
熱 量 と放 熱 量 は 式(7・36)を
利用 して
実 際の ガ ス タ ー ビンサ イ クル
実 際 の ガ ス タ ー ビ ン で は 比 編 機 や タ ー ビ ン に お け る 動 作 流 体 の 変 化は 不 可 逆
で あ り,そ の 他 に も種 々 の 損 失 を避 け られ な いの で,ブ
レ イ トン サ イ クル の 空
気 理 論 サ イ クル よ り熱効 率 が 低 下 す る。 こ こ で は圧 縮 機 とター ビ ンの 断 熱 効 率 だ け を考 え る簡 単 な 形 に して,実 際 の 単 純 な ガ ス ター ビ ンサ イ クル の 熱 効 率 の 式 を導 い て み る。
(ａ)pV線
図7・11に
示 すpV線
で あ り,1-2'-3-4'は サ イ ク ル で,2'は
(ｂ)TS線
図
図7・11実
際 の ガ ス ター ビ ンサ イ クル
図, TS線
図 に お い て1-2-3-4は
図
ブ レ イ トンサ イ クル
圧 縮 機 と ター ビ ンの 効 率 だ け を考 え た 実 際 の ガ ス ター ビ ン 圧 縮 後 の 状 態,4'は
膨 張後 の 状 態 を表 す 。
圧 縮 機 の 断 熱 効 率 ηcは理 論 的 な 断 熱 圧 縮 仕 事 と実 際 の圧 縮 仕 事 との 比 で,次 の 式 で表 さ れ る。
(7・39)
ター ビ ン の 断 熱 効 率 す な わ ち ター ビ ン効 率 ηtは実 際 の ター ビ ンの 膨 張 仕 事 と理 論 的 な 断 熱 膨 張 仕 事 との 比 で,次 の 式 に な る。 (7・40)
した が っ て,圧 縮 機 と ター ビ ン の効 率 を考 えに 入 れ た 単 純 ガ ス タ ー ビ ン の効 率 ηGは
(7.41) と な る 。 こ の 式 に 過 程1-2,3-4の
断 熱 変
化の 式,圧
力 比 ρ=p2/p1,温
度 比
τ=T3/T1
を代 入 して 整 理 す れ ば,次 の よ うに 表 され る。
(7・42)
例題 7・8
例題
7・6
で圧 縮 機 効 率 とター ビ ン効 率 だ け を考 慮 し,と もに0.85
と し た場 合 の そ れ ぞれ の値 を求 め よ。 〔 考 え方 〕
例題
7・6
の 解 答 の 数 値 を使 っ て 式(7・39)∼(7・41)に
よって求 めれ ば
よ い 。
〔 解〕 kJ/kg,
例 題 7・6
か らT1=323K,T2=512
wt=395.9kJ/kgが
K,T3=1023
得 ら れ, ηt=ηc = 0.85で
圧 縮 機 仕 事=Wc/ηc=198.5/0.85=233.5〔kJ/㎏
K,T4=646
あ るか ら
〕
タ ー ビ ン 仕 事=wtηt=395.9×0.85=336.5〔kJ/㎏
〕
正 味 仕 事=wtηt-Wcηc=336.5-233.5=103〔kJ/㎏
〕
ガ ス タ ー ビ ン の 熱 効 率 は 式(7・42)で 求 め,式(7・41)で
K, wc=198.5
求 め られ るが,こ
こ で は 式(7.39)か
計算 す る。
20.5%
らT2'を
7・4
気 体 の 圧 縮 に用 い る圧 縮 機 の サ イ クル は,ガ
空気圧縮機 のサイ クル ス を動 作 流 体 とす る熱 機 関 の サ
イ ク ル の 逆 サ イ クル で あ り,空 気 な ど の ガ ス を圧 縮 す る場 合 は近 似 的 に ガ ス サ イ ク ル と考 え る こ とが で きる, 圧 縮 機 に は 圧 縮 す る気 体 の 圧 力 範 囲 や 圧 縮 機 の 構 造,形
式 な どに よ っ て い ろ
い ろ な種 類が あ る。 こ こ では 主 に 空 気 圧 縮 機 の 往 復 圧 縮 機 につ い て,そ の 理 論 サ イ ク ル を考 え て み よ う。 〔 １〕
す き まの な い一 段圧 縮 機 のサ イ クル
往 復 圧 縮 機 で は ピ ス トンが 上 死 点 位 置 の と きす き ま容 積 が確 保 さ れ るが,ま ず す き ま の な い 理 想 的 な一 段 圧 縮 機 の サ イ クル を考 え て み る。 これ は往 復 圧 縮 機 に は 近 似 的 に しか 成 り立 た な いが,す
き ま の な い ター ボ 形圧 縮 機 の サ イ ク ル
に 対 して は成 立 す る。 圧 縮 機 の 理 論 サ イ クル の場 合 に も内 燃機 関 と同様 に,動 作 流体(空 熱 が 一 定 の 理 想 気 体,流 の 状 態 に 添 え 字1,2を
比
れ は定 常 流 と して 取 り扱 う° 圧 縮 機 の 入 口お よ び 出 口
つ け て 表 せ ば,圧 縮 機 で は 空 気1㎏
あ た り外 部 か ら仕 事
wtを 与 えて 熱 量 ｑ を放 出す るこ とに な るか ら,式(6・5)(6・8)でwtと 負 の 符 号 を変 えZ1=Z2と
気)は
ｑの 正
すれば (7・43)
ま た,第
一法則 の式か ら
(7・44)
の よ う に,圧
縮 機 の一 般 エ ネ ル ギー 式 が 与 え られ る。
す き ま の な い一 段 圧 縮 機 や ター ボ 形 圧 縮 機 に よ っ て質 量m〔 ㎏ 〕の 空 気 を圧 力Pl〔Pa〕 か らp2〔Pa〕 まで圧 縮 す るに 要 す る理 論 仕 事 は,摩 擦 を無 視 す る と
式(7・43)か
ら
等温圧縮 の場合
(7・45)
断熱圧 縮 の場合
(7・46)
ポリ トロ ー プ 圧 縮 の 場 合
(7・47)
こ れ ら の仕 事 は 図7・12か ら明 らか な よ うに 等 温 圧 縮 の 場 合 が最 も小 さ い 。し か し,実 際 に は 圧 縮 途 中 で冷 却 す る こ とは 困難 で 等 温 圧 縮 は 不 可 能 で あ り,断 熱 圧 縮 か ポ リ トロー プ 圧 縮 に近 くな る。 ま た,実 際 に圧 縮 に 要 す る仕 事 は摩 擦 の た め に 大 き くな る。 特 に ター ボ形 圧 縮機 で は摩 擦 が 大 きい の で必 要 な仕 事 も
(ａ)PV線
図
図7・12
(ｂ)TS線 す き まの な い一 段 圧 縮 機
図
大 き くな る。 な お,圧 縮 機 の 入 口 と出 口の 速 度 の 差 が 無 視 で き る場 合 は右 辺 第 １項 は省 略 で き る。
圧縮後 の空 気の温度 は 等 温圧縮
T2=T1
(7・48)
断熱圧縮
(7・49)
ポ リ トロ ー プ 圧 縮
(7・50)
等 温 圧 縮 お よ び ポ リ ト ロー プ 圧 縮 の 際,途 〔J〕お よ びQ1''〔J〕
中 で 空 気 か ら吸 収 す る 熱 量 をQ1
とす れ ば
(7・51)
(7・52)
ま た,断
熱 圧 縮 お よ び ポ リ ト ロ ー プ 圧 縮 後 の 温 度 か ら 初 温T1ま
に 奪 う 熱 量Q2'〔J〕
唾
題7・9温
で冷 却 す る
お よ びQ2''〔J〕 は
Q2'=mCp(T2'-T1)
(7・53)
Q2''=mCp(T2''-T1)
(7・54)
度15℃
の 空 気1㎏
を圧 力0.1MPaか
ら0.25 MPaま
で,す き ま
の な い 一 段 圧 縮 機 で 圧 縮 す る と き の 理 論 仕 事 お よ び 圧 縮 後 の 温 度 を,(１)等 温 圧 縮,(２)断 し,速
熱 圧 縮,(３)n=1.3の
度 エ ネ ル ギ ー は 無 視 し,空
ポ リ トロ ー プ 圧 縮 の 場 合 に つ い て 求 め よ 。 た だ 気 の ガ ス 定 数 は287J/㎏
〔 考 え 方 〕 圧 縮 に 要 す る理 論 仕 事 は 式(7・45)∼(7・47)に
・Kと す る 。 よ っ て 求 め るが,速
度エ
ネ ル ギ ー を無 視 す るの で 右 辺 第 一 項 は 省 略 す る。 圧 縮 後 の 温 度 は 式(7・48)∼(7・50) に よって計 算 す る。 〔 解 〕 m=1㎏, 287J/㎏ (１)等
T1=15℃=288
K, pl=0.1MPa,
p2=0.25 MPa,
・Kが 与 え ら れ て い るか ら,そ れ ぞ れ の 式 に よ っ て 温圧 縮
n=13,
R=
=75740〔J/㎏
〕=75
.74〔kJ/㎏
〕
T2=T1=288K=15C (２) 断 熱 圧 縮
(３) ポ リ ト ロー プ 圧 縮
〔２〕
す きまの あ る一 段 圧 縮機
実 際 の 往 復 圧 縮 機 で は ピ ス トン が 上 死 点 位 置 に あ る と き,シ お 若 干 の す き ま 容 積 が 運 転 上 必 要 で あ る ° こ の す き ま容 積Vcは 程 容 積 をVs,す
き ま 比(clearance
Vc=ε0
ratio)を
リン ダー 内 に な ピ ス トン の行
ε0と す れ ば 次 の よ う に 表 さ れ る 。
Vs
(7・55)
す き ま容 積 が あ る場 合 は 図7・13の よ うに ピ ス トン が 上 死 点 か ら吸 込行 程 に 移 る際 に,ま
ず す き ま容 積 に 残 留 した 圧 縮 空 気 が3-4の
よ う に膨 張 し,シ
リン
ダー 内 の圧 力 が 外 圧 と等 し くな る点 ４か ら初 め て 吸 込 が 始 め られ るか ら,吸 込 の 有 効 容 積 は行 程 容 積 よ り小 さ くな る。この 吸 込 の 有 効 容 積Vs'=V1/V4と 程 容 積Vsと
の 比 を圧 縮 機 の 容 積 効 率(volumetric efficiency)と い い,λ
行 で表
せ ば 次 の よ うに な る。
(7・54)
圧 縮 機 は こ の容 積 効 率 λ が 大 きい ほ ど よ い が, そ の化直は圧 力 比P2/P 1の 値 に よ っ て変 わ る。 図7・13 の 膨 張3−4の 過 程 がpVn=定 数 の ポ リ ト ロー プ 変 化 で あ る と仮 定 す る と
した が っ て 図7・13す
き まの あ る一 段 圧 縮 機
(7・57)
・の 式 か ら容 積 辮
λ の値 は す き ま比 ε0と圧 力 比P2/P 1の 値 が 大 き くな る に した が っ て 小 さ くな り,そ の 極 限 に お い て は λ=0と な る こ とが わ か る。 λ=0 に な る と,シ
リン ダー 内 の 一 定 量 の 空 気 が ピス トン の往 復 運 動 に した が っ て,
圧 縮 され た り膨 張 した りす る だ け で,圧 縮 空 気 は 送 り出 され な い こ と に な る。 こ の よ う に圧 力 比 が 大 き くな る と容 積 効 率 が 低 下 す る の で,多 断 圧 縮 に す る必 要 が あ る。 圧 縮 に 要 す る仕 事 Ｗ は,圧 縮 も膨 張 もpVn=定 る とす れ ば,次
数 の ポ リ トロー プ変 化 で あ
の 式 で表 さ れ る。
(7・58)
こ の 式 は す き ま の あ る一 段 圧 縮 機 の所 要 仕 事 は,行 程 容 積 がV'sで
あ るす き
まの な い 一 段 圧 縮 機 の所 要 仕 事 と等 しい こ と を示 して い る。 例 題7・10行 MPa,温
度25℃
程 容 積0.022m3,す
き ま 比5%の
の 空 気 を 圧 力0・75 MPaま
一 段 圧 縮 機 に よ っ て 圧 力0.1
で 圧 縮 す る 。 空 気 の 圧 縮 ,膨 張 と も
にpυ1.3=定
数 に従 う と して 容 積 効 率 お よび 圧 縮 機 仕 事 を求 め よ。
〔考 え 方 〕 か ら,圧
圧 縮,膨
〔解 〕 Vs=0.022 n=1.3で
張 と も に ポ リ ト ロ ー プ 変 化 で あ る か ら,容
縮 機 仕 事 は 式(7・58)か
あ り,容
m3,ε0=0.05,
T1=25℃=298
積 効 率 は 式(7・57)か
圧 縮 機 仕 事 は 式(7・58)に
積 効 率 は 式(7・57)
ら求 め る。 K, p1=0.1MPa,
p2=0.75
MPa,
ら
よっ て
〔３ 〕
す き まの な い 多段 圧 縮 機
圧撒
に 要 求 さ れ る圧 力 比P2/P1の 値 が 大 き い と き は 多 段 圧 縮 に す れ ば,容 積
効 率 λ が 小 さ くな る の を防 ぎ,段 と段 との 間 で 中 間 冷 却 を行 って 等 温 圧 縮 に近 づ け,圧 縮 に 要 す る仕 事 を少 な くす る こ とが で き る。 す き まの な い 二 段 圧 縮 機 の サ イ クル を考 え る と 図7・14の p1か
よ う に,ま ず 低 圧 シ リ ン ダ ー で 初 圧
ら 中 間 圧paま
で 圧 縮 し(1-a),中
中 間 冷 却 器 に よ っ て 温 度 がTaか ま で 冷 却 し(a-a'),さ paか
らp2ま
らTa'に
間圧 で な る
ら に高 圧 シ リン ダー で
で 圧 縮 す る(a'-2)の
で あ る。 この
よ うに 二 段 圧 縮 に す る と一 段 圧 縮 に比 べ て容 積 効 率 の 低 下 を 防 ぐ と と も に,面 積 〔a2''2a'〕に 相
図7・14
す きまのない二段圧縮機
当 す る仕 事 を節 約 す る こ とが で き る。
この と きm〔 ㎏ 〕の 空 気 を圧 縮 に要 す る仕 事W〔J〕 圧 縮 が と もにpVn=定
は,低 圧 段 と高 圧 段 の
数 の ポ リ トロー プ変 化 で あ る と し,速 度 エ ネ ル ギー は無
視 し て,点
１お よ び ａ'が同 じ 等 温 線 上 に あ る(T1=Ta')と
すれば
(7・59)
で 表 さ れ る。 こ の 圧 縮 に要 す る仕 事 Ｗ は
の 値 が 最 小 な ら ば 最 小 に な る 。 た だ し,m=n-1 分 し てdy/dp a=0の
と き のpaの
∴ pa2=p1p2
/nで
つ い て微
値 は
, pa=√p1p2
あ るい は
(7・60)
とな り,各 段 の 圧 力 比 が 等 し く に な り,各
あ る 。 ゆ え にpaに
とな る と き,圧 縮 に 要 す る什 事 の 和 が 最 小
段 の 仕 事 の 大 き さ も等 し くな る。
以 上 は 二 段 圧 縮 の 場合 で あ る が,三 段 あ るい は それ 以上 の 多段 圧 縮 の 場 合 に も 同様 に,圧 縮 に要 す る仕 事 を最 小 に す る に は,各 段 の圧 力 比 を等 し くして ， それ ぞれ
…
とす れ ば よ い
。
Ｎ 段 圧 縮 を行 う場 合 の 圧 縮 に 要 す る 仕 事W〔J〕
は 速 度 エ ネ ル ギー を無 視
し,中 間冷 却 が理 想 的 に行 わ れ る とす れ ば,
(7・61)
と な り,各
段 に お け る 仕 事 は こ の1/Nで
あ る。
各 段 の 圧 力 比 を同 一 に して 各 段 ご と に初 温T1ま 温 度 も ま た 等 し い。 した が っ て,Ｎ 〔K〕は
で 冷 却 す れ ば,圧 縮 終 りの
段 圧 縮 し た と き の各 段 の圧 縮 後 の 温 度T2
(7・62)
で 表 され る。 ま た,圧 縮 の 途 中 で放 熱 す る熱 量 も各 段 と も等 しい 。 さ らに 中間 冷 却 器 お よ び最 終 の冷 却 器 に捨 て る熱 量 も また 各 段 に お い て 等 しい 。 例 題7・11圧 合,二
力0.101MPa,温
度30℃
の 空 気 を 圧 力1MPaま
段 圧 縮 に す れ ば 一 段 圧 縮 の と き に 比 べ て,圧
約 で き る か 。 た だ し,空
気 の 状 態 変 化 はpυ1.3=定
で 圧 縮 す る場
縮 に要 す る仕 事 を い くら節 数 に従 う も の とす る。
〔 考 え方 〕 単 位 質 量 の 空 気 に つ い て 一 段 圧 縮 お よ び 二 段 圧 縮 の 圧 縮 機 の 所 要 仕 事 を式(7・47)と(7・61)に な お,す
よ っ て 算 出 し,二 段 圧 縮 に よ る仕 事 の 節 約 の 割 合 を求 め る。
き ま の な い 一 段 圧 縮 を考 え,速 度 エ ネ ル ギ ー は 無 視 す る。
〔 解 〕 T1=30℃=303K,
p1=0.101 MPa, p2=1MPa,
㎏ ・Kと して 一 段 圧 縮 機 の 所 要 仕 事 は 式(7・47)か
二 段 圧 縮 機 の 所 要 仕 事 は 式(7・61)でN=2と
ゆ え に,二
〔４〕
n=1.3で
あ り,R=287
J/
ら
して
段 圧 縮 に し た こ とに よ っ て 節 約 で き る仕 事 の 割 合 は
圧 縮 機 の所 要 動 力 と効率
実 際 の圧 縮 機 の サ イ クル で は 理 論 サ イ クル と異 な って,い
ろい ろ な 原 因 に よ
る損 失 が 生 じる た め に,実 際 の 圧 縮 機 に 供 給 す べ き動 力 は理 論 サ イ クル の 所 要 動 力 よ り大 き くな る。 実 際 の圧 縮 機 の所 要 動 力 を理 論 サ イ クル の そ れ と比 較 して 性 能 を判 断 す る と き,圧 縮 機 の 理 論 サ イ クル と して は 等 温 圧 縮 サ イ クル,断
熱圧 縮 サ イ クル お よ
び 完 全 な 中間 冷 却 を行 う多 段 断 熱 圧 縮 サ イ ク ル お よ び ポ リ トロー プ 圧 縮 サ イ ク ル を と る 。 そ れ ぞ れ の 所 要 動 力P〔W〕 〔K〕,終 温T2〔K〕,毎 m〔 ㎏/s〕
は 初 圧p1〔Pa〕,終
秒 の 吸 込 容 積V1〔m3/s〕,行
圧p2〔Pa〕,初
程 容 積Vs〔m3/s〕,吸
温T1 込質量
とす れ ば
等温圧 縮動 力 〔W〕
(7・63)
断熱圧縮 動 力 〔W〕
(7・64)
断熱圧縮動 力 (Ｎ 段圧 縮) 〔W〕
(7・65)
ポ リ トロー プ圧 縮 動 力 〔W〕
(7・66)
圧 縮 機 の 効 率 は 実 際 の所 要 動 力 と理 論 サ イ ク ル の 所 要 動 力 の 比 で 表 され る が,そ
れ ぞ れ に 上 記 の よ う な い ろ い ろ な種 類 が あ る の で,効 率 に も次 の よ うに
い ろ い ろ な種 類 が あ る。 実 際 に圧 縮 機 に 供 給 す る動 力 す な わ ち正 味圧 縮 動 力 を Peと す れ ば
全 等温効 率
(7・67)
全 断熱効 率
(7・68)
全 ポ リ トロー プ効 率
(7・69)
ま た,イ ン ジ ケー タ線 図か ら得 られ る 図示 動 力 をPiと
し,摩 擦 損 失 動 力 をPf
と す れば ， 機械 効率 は ηm=Pi
/Peで あ り
等 温効率
(7・70)
断 熱効率
(7・71)
ポ リ トロー プ 効 率
(7・72)
な お,フ
ァ ンや 送 風 機 の 場合 は圧 力 上 昇(p2-p1)が
初 圧p1に
比 較 して 微 小
で あ る か ら,空 気 の容 積 は変 わ ら な い と考 え る と所 要 動 力 は (7・73)
で表 さ れ,こ れ を 空 気 動 力 とい う。送 風 機 効 率 考ηfanは 空 気 動 力 を基 準 に して, 次 の 式 で表 され る。 (7・74)
例 題7・12圧
力0.1Mpa温度30℃
の 空 気 を 毎 分3㎏
一 段 圧 縮 す る。 こ の圧 縮 機 の 全 断 熱 効 率 が75%な か 。 ま た,機 械 効 率 が85%な
らば 図 示 動 力 は い くらか。
〔 考 え方 〕 まず,式(7・64)に 味 圧 縮 動 力 が 計 算 で き,次 〔解 〕
よ っ て 断 熱 圧 縮 動 力 を 求 め る と,式(7・68)か
い で 式(7・71)に
T1=30℃=303K,
p1=0.1MPa,
ηoad=0.75,ηm=0.85,κ=1.4で
あ
断 熱 圧 縮 動 力 は 式(7・64)か
=8880〔W〕=8
した が っ て,正
ず つ 圧 力0.5MPaに
らば 正 味 圧 縮 動 力 は い く ら
p2=0.5MPa, り, R=
287 J/㎏
ら
.88〔kW〕
味 圧 縮 動 力 は 式(7・68)か
ら正
よ っ て 図 示 動 力 が 求 め られ る。
ら
m=3㎏/min=0.05 ・Kと
す れ ば,
㎏/s,
Pe =Pad
ま た,図
/ηoad=8.88/0.75=11
.84〔kW〕
示 動 力 は 式(7・71)か
ら
Pi=Pad/ηoadηm=Peηm=11．84×0.85=10.06〔kW〕
〔 演
１.圧 縮 比 が10の
習
問
題
Ⅶ 〕
オ ッ トー サ イ クル の 理 論 熱効 率 を 比 熱 比 が1.4と1
.25の 場 合 に つ
い て 求 め よ。 ２.圧 縮 比 が8.8の
オ ッ トー サ イ クル に お い て,圧 縮 始 め の 空 気 の圧 力 が0 .1MPa,
最 高 圧 力 が5MPaで だ し,比
あ る と して,理 論 熱 効 率 お よ び 理 論 平 均 有 効 圧 力 を 求 め よ。た
熱 比 は1.3と
３.圧 縮 比18,締
す る。
切 比 ２の デ ィー ゼ ル サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 と理 論 平 均 有 効 圧 力 を 求
め よ。 た だ し,比 熱 比 は1.4と ４.圧 縮 比 ε=15,締 0.095MPaの
し,圧 縮 始 め 球 空 気 の 圧 力 は0 .1MPaと
切 比 ξ=1.5,圧
力 比 φ=1.8,比
熱 比 κ=1.4,最
サ バ テ サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 お よ び 理 論 平 均 有 効 圧 力 を求 め よ。
５.圧 縮 比8.5の
オ ッ トー サ イ クル に お い て,そ の機 関 効 率 が63%,機
で あ る とみ な して 燃 料 消 費 率 を求 め よ。た だ し,比 熱 比 は1.4,燃 44000kJ/㎏
械 効 率 が87% 料 の低位 発熱 量 は
とす る。
６.行 程 容 積2000㏄
の ４サ イ ク ル ガ ソ リン 機 関 に お い て,毎 分 回 転 数 が4800,正
平 均 有 効 圧 力 が1MPaな 機 械 効 率 が0.84な ７.あ
す る。 初 の 圧 力p1=
ら ば,図
示 出 力 お よ び 図 示 平 均 有 効 圧 力 は い く らか 。
るデ ィー ゼ ル 機 関 の 燃 料 消 費 率 が190 g/kW・hで
ら か 。 た だ し,燃 料 の 低 位 発 熱 量 は40000kJ/㎏
あ る と き,正 味 熱 効 率 は い く
とす る。
８.空 気 を動 作 ガ ス とす る ブ レ イ トン サ イ ク ル に お い て,最 高 圧 力 が0 .48MPa,最 圧 力 が0.102MPaと
味
らば,こ の 機 関 の 正 味 出 力 は い く らか 。 また,こ の 機 関 の
す れ ば 理 論 熱 効 率 は い く らか 。 た だ し,κ=1.4と
９.再 生 ブ レ イ トン サ イ ク ル の 最 高 圧 力 が0.45MPa,最
低
す る。
低 圧 力 が0 .1MPa,温
度比
が ３で あ る と し て 理 論 熱 効 率 を求 め よ。 た だ し,再 生 熱 交 換 器 は 理 想 的 に 作 用 す る もの と し,κ=1.4と 10.前
す る。
問 ９に お い て 再 生 熱 交 換 器 は 完 全 で あ る もの と し,圧 縮 機 の 断 熱 効 率 と タ ー ビ
ン効 率 だ け を考 え て と も に0.87で
あ る と す れ ば ,実
際 のサ イ クルの 熱効 率 は い く
らか 。
11.温 度25℃
の 空 気1㎏
を圧 力0.1MPaか
ら0.35 MPaま
で,す
きまの ない一 段圧
縮 機 で圧 縮 す る と き の 理 論 仕 事 お よ び圧 縮 後 の 温 度 を,等 温圧 縮 と断 熱 圧 縮 の 場 合 につ い て 求 め よ。た だ し,速 度 エ ネ ル ギー の 差 は 無 視 し,空 気 の ガ ス 定 数 は 287J/ ㎏ ・Kと す る 。 12.行 程 容 積0.002m3,す
き ま比 ７%の 一 段 圧 縮 機 に よ っ て圧 力0.1MPa,温
の 空 気 を圧 力0.85MPaま
度20℃
で圧 縮 す る 。 空 気 の 圧 縮 膨 張 と も にpν1.3=定 数 に従 う
と し て容 積 効 率 お よ び 圧 縮 機 仕 事 を求 め よ 。 13.す
き ま 比 ４%の 一 段 圧 縮 機 に お い て 空 気 の 圧 縮， 膨 張 と もにpν1.25=定 数 の ポ リ ト
ロ ー プ 変 化 で あ る とす れ ば,容 積 効 率 が ０に な り空 気 が 送 り出 さ れ な くな る圧 力 比 は い く らか 。 14.圧 力0.1MPa,温
度30℃
の 空 気 を圧 力3MPaま
で 圧 縮 す る 空気 圧 縮 機 に お い て,
こ れ を一 段,二 段 お よ び 三 段 とす る と き,そ れ ぞ れ に つ い て 圧 縮 後 の 温 度 お よ び 圧 縮 に 要 す る仕 事 を求 め よ 。 た だ し,空 気 の 状 態 変 化 がpν1.3=定 数 に従 うす き ま の な い 多段 圧 縮 機 に つ い て 考 え る も の とす る 。 15,圧
力0.1MPa,温
度30℃
の 空 気 を 毎 分6㎏
こ の 圧 縮 機 の 全 断 熱 効 率 が77%な 85%な
ず つ 圧 力0.8MPaに
らば 正 味 圧 縮 動 力 は い く らか 。 ま た,機 械 効 率 が
ら ば 図 示 動 力 は い く らか 。
〔
１． 式(7・6)に
p2はp1V1κ=p2V2κ
略
よって
２.理 論 熱 効 率 は 式(7・6)に
か ら
一 段 圧 縮 す る。
よ って
解
〕
した が っ て,圧
ゆ え に,理
力比 φ は
論 平 均 有 効 圧 力 は 式(7・8)に
理 論 熱 効 率 は 式(7・11)に
理 論 平 均 有 効 圧 力peaは
よ って
式(7ん13)か
理 論 熱 効 率y/th、 は 式(7.16)に
論 熱 効 率 を 式(7n6)に
正 味 熱 効 率 は 式(7ん23)か
ら
よ って
理 論 平 均 有 効 圧 力 ρη8は 式(7・18)か
5.理
よって
ら
よって求 め
ら
し た が っ て,燃
６.正
料 消 費 率 は 式(7・29)に
味 出 力 は 式(7・28)か
よって
ら
図示 出 力 と図示平均 有効 圧 力 は
７.式(7・29)か
ら
47.4〔%〕
８.理 論 熱 効 率 は 式(7・34)で
９.再 生 ブ レ イ トンサ イ クル の 熱 効 率 は 式(7・38)に
よって
48.8〔%〕 10.式(7・42)に
よって
21.3〔%〕
11.等
温 圧 縮 の 場 合 は 式(7・45),(7・48)か
ら,断
熱 圧 縮 の 場 合 は 式(7・46),(7・49)
に よ って
等温圧 縮
断熱圧 縮
12.容
積 効 率 は 式(7・57)か
圧 縮 機 仕 事 は 式(7・58)に
13.式(7・57)を
14.式(7・62)(7・61)で
一段
二段
λ=0と
ら
よ って
して変 形す れば
そ れ ぞ れ1V=1,2,3を
入れ て
段 三 一段
段 二
三段
15.断
熱 圧 縮 動 力 は 式(7・64)でm=6㎏/min=0.1㎏/sと
し た が っ て,正
ま た,図
味 圧 縮 動 力 は 式(7・68)か
示 動 力 は 式(7・71)か
ら
して
ら
８
蒸 気 に よ る理 論 サ イ ク ル 蒸 気 を動 作 流体 と して 動 力 を発 生 す る装 置 を ま とめ て 蒸 気 原 動 所 と い う。 蒸 気 原 動 所 に は 蒸 気 ボ イ ラ,蒸 気 ター ビ ン ま た は 蒸 気 機 関,復 水 器,給 水 ポ ンプ の 四つ の部 分 が 最 低 必 要 で あ り,蒸 気(水)は
こ れ らの 間 を循 環 す る。 した が っ
て,蒸 気 原 動 所 の サ イ クル は こ の 四 つ の 部 分 を含 む 閉 じた サ イ クル に な る。 本 章 で は蒸 気 原動 所 の 理 論 サ イ クル に つ い て 基本 的 な事 項 を説 明 す る。 な お,蒸 気 に よ る 熱機 関 の理 論 サ イ ク ル の逆 サ イ ク ル は,作
用 す る温 度 範 囲
は 異 な るが 冷 凍 機 の 理 論 サ イ ク ル で あ る。 こ の サ イ クル も冷 媒 の 圧 縮 機,凝 縮 器,膨 張 弁 お よ び蒸 発 器 の 四 部 分 か らな る閉 じた サ イ クル で あ り,冷 凍 機 の サ イ クル に つ い て も触 れ る。
8・1 ラ ン キ ンサ イ ク ル
ラ ン キ ン サ イ ク ル(Rankine
cycle)は
ーク ラ ウ ジ ウ ス サ イ ク ル と も呼 ば れ
,蒸
クラ ウ ジ ウ ス サ イ ク ル ま た は ラ ン キ ン 気 原 動 所(steam
powerplant)の
基本サ
イ ク ル で あ る。
図8・1に ラ ン キ ンサ イ クル を行 うに 必 要 な 設 備 の配 置 を示 す。蒸 気 ボ イ ラ Ｂ で発 生 し た 飽 和 蒸 気 は 過 熱 器 Ｓ で過 熱 蒸 気 に な り,蒸 気 ター ビ ン Ｔ ま た は 蒸 気 機 関 で 膨 張 して 仕 事 を行 っ た の ち,復 水 器 Ｃ に 送 ら れ て凝 縮 し, 水 に な って 給 水 ポ ン プ Ｐ で 加 圧 され て 再 び 蒸 気 ボ イ ラ に押 し込 まれ て,始
め の 状 態 に戻
図8・1ラ
ン キ ンサ イ クル の 構 成
る 。
図8・2は
ラ ン キ ン サ イ ク ル の(ａ)pν 線 図,(ｂ)T-s線
図 お よ び(ｃ)h-s線
図 を
示 す 。 図 に お い て,１ サ イ ク ル の 間 に 単 位 質 量 の 蒸 気 が 授 受 す る 熱 量 や 仕 事 は, 次 の よ うに な る。
1∼2は 飽 和 水 を給 水 ポ ン プ で圧 力p1か
らp2ま で 断 熱 圧 縮 して 蒸 気 ボ イ ラ
に送 り込 む過 程 で,こ の 間 に給 水 ポ ン プ が 消 費 す る仕 事wpは (8・1)
2∼2'∼3'∼3は
蒸 気 ボ イ ラ お よ び 過 熱 器 に お け る加 熱 の 過 程 を 示 し,３'で 乾
き飽 和 蒸 気 に な り,３ で は 過 熱 さ れ て 過 熱 蒸 気 に な る 。 こ の 間 に 供 給 さ れ たq1 は (8・2)
3∼4は 蒸 気 ター ビ ン(ま
た は機 関)内
に お け る圧 力p2か
らp1ま で の 断 熱 膨
張 の過 程 で,こ の 変 化 に よ っ て 発 生 す る仕 事wtは
(ａ)pν 線 図
(ｂ)T-s線
(ｃ)h-s線 図8・2ラ
図
ン キ ンサ イ クル
図
(8.3) 4∼1は 復 水 器 で 等 圧p1の 下 に放 熱 して 飽 和 水 に な る過 程 で,こ の 間 に 放 出 す る 熱 量 q2は (8・4)
し たが っ て,１ サ イ クル の 間 に発 生 す る理 論 仕 事w〔J/㎏
〕は (8・6)
ゆ えに,ラ
ン キ ン サ イ クル の理 論 熱 効 率 ηRは 次 の 式 で 表 さ れ る。
(8・7)
こ こ で,給
水 ポ ン プ 仕 事wp=h2-h1は
く な い 限 り,wtや(h3-h1)に え に,こ
タ ー ビ ン 入 口 の 圧 力p2が
はな はだ高
比 較 し て 小 さ い の で 省 略 す る こ と が で き る。 ゆ
れ を省 略 す れ ば ラ ン キ ンサ イ クル の理 論 熱 効 率 は 次 の 式 に な る。
(8・8)
上 式 か ら ラ ン キ ン サ イ クル の理 論 熱 効 率 ηRを 大 き くす る に は,h3を
大 きく
しh4を 小 さ くす れ ば よ い こ とが わ か る。h3を 大 き くす るに は ター ビ ン入 口の 圧 力,温 度 す な わ ち 蒸 気 の 初 圧p2お
よ び初 温 を高 く し, h4を 小 さ くす る に は
ター ビ ン 出 口の 圧 力 す な わ ち復 水 器 圧 力(排 圧)p1を
低 くす れ ば よ い こ とに な
る。 しか し,蒸 気 の 初 温 を高 くす る こ とに は使 用 材 料 の 耐 熱 性 の 面 な どか ら制 約 が あ り,蒸 気 の 初 圧 だ け を 高 くす る と ター ビ ン 出 口 の蒸 気 の 湿 り度 の増 加 な ど の 問 題 が 生 じ,復 水 器 圧 力 を低 くす る に は 冷 却 水 温 度 に よ る制 限 が あ るな ど, それ ぞれ に適 当 な 限 度 が あ る こ と に な る。
例題8・1ラ MPa,温
ン キ ン サ イ ク ル に お い て タ ー ビ ン に 供 給 さ れ る 蒸 気 が 圧 力5
度500℃
で,復 水 器 圧 力 が50 kPaで
器 入 口 の蒸 気 の 乾 き度 お よ び 出 力1kWhあ
あ る とす れ ば,理 論 熱効 率,復 水 た りの 蒸 気 消 費 量 を求 め よ。
〔 考 え 方 〕 理 論 熱 効 率 は 蒸 気 表 ま た はh-s線
図 に よ っ て 必 要 な エ ン タ ル ピー を読
み と り,こ の 課 題 で は 式(8・7)と
式(8・8)の
気 の 乾 き 度 は 蒸 気 表 ま た はh-s線
図 か ら読 み と る 。 蒸 気 消 費 量 は1kWhの
気1㎏
両 方 で 計 算 し て み る 。 復 水 器 入 口の 蒸 仕 事 を蒸
あ た りの 仕 事 で 割 れ ば 求 め ら れ る。
〔解 〕p2=5MPa,
p1=50
h3=3433.7kJ/㎏
給水
ポ ン プ 仕 事 は50kPaに
ゆ え に,ラ
kPa,t3=500℃ ， h4=2427
か ら,蒸 kJ/㎏
気 表 お よ びh-s線
， h1=340.564
お け る比 容 積 を0.001 m3/㎏
ン キ ン サ イ クル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・7)に
図 で kJ/㎏
とす れ ば,式(8・1)か
ら
よって
給 水 ポ ンプ仕事 を省 略 した場 合 は式(8・8)で
復 水 器 入 口 の 蒸 気 の 乾 き度 はh-s線 出 力1kWhあ
図 に よ っ てx=0.905
た りの 蒸 気 消 費 量 は1kWh=3600
kJで
あ るか ら
(注) こ の 例 題 の 程 度 で は 給 水 ポ ン プ 仕 事 を省 略 し て も誤 差 が わ ず か で あ る こ と が わか る。
8・2再
熱サイクル
ラ ン キ ン サ イ クル の理 論 熱 効 率 を大 き くす る ため に,タ ー ビ ン 入 口の 蒸 気 の 温度 す な わ ち初 温 を高 め る こ とは使 用 材 料 の 耐 熱 性 か ら制 約 さ れ,ま
た復 水 器
圧 力 を低 くす る こ とは冷 却 水 温 度 に よ っ て制 限 され る。 蒸 気 の 最 高 温 度 と復 水 器 圧 力 を一 定 とす れ ば,蒸 気 の 初 圧 を高 め れ ば よ い こ とに な るが,初 圧 を 高 く す るほ ど ター ビ ン 出 口 の蒸 気 の 乾 き度 が 低 下 す る こ とに な る。 蒸 気 の 乾 き度 が 低 下 す る と,タ ー ビ ン低 圧 部 で損 失 が 増 加 す るば か りで な く,タ ー ビ ン羽 根 の
侵 食 な どの 問 題 も生 じる の で,乾
き度 をあ る 限度 以 上 に 保 つ 必 要 が あ る。
高 圧 の蒸 気 を タ ー ビ ン で 適 当 な圧 力 まで 膨 張 させ た 後,ボ
イ ラに 送 って再 熱
器(reheater)で 再 加 熱 し,再 び これ を ター ビ ン に導 い て 復 水 器 圧 力 ま で膨 張 さ せ る。 こ の よ うに蒸 気 を再 熱 す る 過 程 を入 れ た サ イ クル を再 熱 サ イ ク ル(reheating
cycle)と
い い,
タ ー ビ ン 出 口 の 蒸 気 の 乾 き度 が 大 き く な る ば か りで な く,熱
効率 も
向 上 す る。
再 熱 サ イ クル の 蒸 気 原 動 所 の 設 備 の 配 置 を図8・3に 示 す 。 ター ビ ン は 高 圧 部 と低 圧 部 に分 け られ, そ の 間 に再 熱 器 が 設 け られ るほ か は,ラ 図8・4に 圧 力P2か
再 熱 サ イ ク ル のT-s線 ら 途 中 の 圧 力Paま
を 行 っ て ｂの 状 態 と し,再
再熱サ イ クルの構成
図8・3
ン キ ンサ イ クル と同 じで あ る。
図 とh-s線
図 を 示 す 。蒸 気 を3∼aの
で 膨 張 さ せ た の ち,再
過程 で
熱 器 に 送 っ て 再 加 熱a∼b
び タ ー ビ ン に 戻 し てb∼4の
復 水 器 圧 力P1ま
図
h-s線
で膨張
させ る。
(ａ)
T-s線
(ｂ)
図8・4
図
再 熱 サ イ クル
こ の と き給 水 ポ ンプ の 仕 事 を省 略 して考 え る と,蒸 気1〔 ㎏ 〕あ た りの 受 熱 量 q1〔J/㎏ 〕は q1=(h3-h1)+(hb-ha)〔J/㎏
〕
タ ー ビ ン か ら発 生 す る仕 事wt〔J/㎏
〕は
wt=(h3-ha)+(hb-h4)〔J/㎏
し た が っ て,理
〕
論 熱 効 率 ηthは 次 の 式 で 表 さ れ る 。
(8・9)
こ こ ま で は １段 再 熱 の場 合 で あ る が,２ 段 以 上 の 再 熱 に つ い て も同 じよ う に 考 え れ ば よ い。 再 熱 の 段 数 は １段 が ふ つ うで あ り,超 臨 界 圧 の場 合 に は ２段 再 熱 を行 う こ と も あ る。 再 熱 温 度 は蒸 気 の初 温 と 同 じか い くぶ ん低 い温 度 に す る こ とが 多 く, 再 熱 圧 力 は蒸 気 の 初 圧 の15∼30%く
ら い に す る こ とが 多 い 。一般 に再 熱 サ イ ク
ル にす るか 否 か は 羽 根 の速 度 や 材 料 な どに よ り,タ ー ビ ン 出 口の 蒸 気 の湿 り度 が10%く
らい を 限度 と して考 え る の が ふ つ うで あ る。 な お,再 熱 の み を行 う こ
と は な く,次 の再 生 サ イ クル と併 用 す るの が ふ つ う で あ る。
例題
8・2
圧 力10MPa,温
度600℃
の 蒸 気 を 供 給 し,圧
力2MPaま
で膨張 さ
せ た の ち,そ の圧 力 の 下 に初 め の 温 度 ま で再 熱 し,再 び復 水 器 圧 力0.005MPa ま で膨 張 させ る再 熱 サ イ クル の 理 論 熱効 率 とター ビ ン 出 口の 蒸 気 の乾 き度 を求 め よ。 ま た,再 熱 しな い場 合 す な わ ち ラ ン キ ン サ イ クル の場 合 に つ い て も求 め よ。 た だ し,給 水 ポ ン プ仕 事 は 省 略 す る。 〔 考 え 方 〕 給 水 ポ ン プ 仕 事 を省 略 した 理 論 熱 効 率 は,再
熱 サ イ ク ル は 式(8・9),ラ
ン キ ン サ イ ク ル は 式(8・8)で 求 め ら れ る か ら,必 要 な 各 点 の エ ン タ ル ピ ー を蒸 気 表 ま た はh-s線
図 か ら読 み と っ て 計 算 す る 。 排 気 の 乾 き度 はh-s線
〔 解 〕 必 要 な 各 点 の エ ン タ ル ピー は 蒸 気 表 ま た はh-s線
再 熱 サ イ クル
h3=3622.7kJ/㎏ h4=2349kJ/㎏
ラ ンキ ンサ イ クル
h3=3622.7kJ/㎏
，ha=3103kJ/㎏
図 か ら読 み とる 。
図 を利 用 して ,hb=3689.2kJ/㎏
, h1=137.77kJ/㎏ ,h4=2103kJ/㎏
再 熱 サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・9)に
よっ て
, h1=137.77kJ/㎏
=0 .457
45.7〔%〕
排 気 の 乾 き 度 はh-s線
図 か らx=0.912
ラ ン キ ンサ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・8)に
排 気 の 乾 き度 はh-s線
図から
よ って
x=0.811
再生サイクル
8・3
ラ ン キ ン サ イ ク ル で は 受 熱 量q1に 大 き い 。 こ の 放 熱 量q2を
対 し て 復 水 器 に 放 出 す る 熱 量q2の
割合 が
軽 減 す る た め に,膨
張 過 程 の 途 中 で蒸 気 の一 部 を ター
ビ ン か ら 抽 出 し て 給 水 の 加 熱 に 用 い る と,熱
効 率 を向 上 させ る こ とが で きる。
こ の よ う な サ イ ク ル を 再 生 サ イ ク ル(regenerative
cycle)と
い う。
再 生 サ イ クル は膨 張 途 中 で蒸 気 の 一 部 を抽 出す る の で,全 部 を復 水 器 圧 力 ま で 膨 張 させ た 場 合 よ りター ビ ンの 仕 事 は 少 な くな る が,そ れ 以 上 に 復 水 器 に捨 て る熱 量 が 減 少 す るの で,熱 効 率 が 改 善 され る。 ま た,抽 気 す る こ とに よ っ て ター ビ ン低 圧 部 の 蒸 気 流 量 が 減 少 す る の で,タ ー ビ ン の 設 計 上 も運 転 上 も都 合 が よ い。 そ の た め 大 出 力 の 蒸 気 原 動 所 で は ほ とん どが こ れ を採 用 して い る。 図8・5に ２段 抽 気 の 再 生 サ イ クル のT-s線
図 とh-s線
図 を示 す 。 蒸 気 の 一
部 は 膨 張 途 中 のe1点 で抽 出 され,高 温 給水 加 熱 器 に 入 っ て給 水 を加 熱 し,復 水 してf1の 状 態 に な る。 ほ か の 一 部 の 蒸 気 はe2点 で 抽 出 され て 低 温 給 水 加 熱 器 に送 られ,給 水 を加 熱 してf2の 状 態 に な る。残 りの 蒸 気 は排 圧 ま で膨 張 して ４ の 状 態 で復 水 器 に 入 り,復 水 し て １の状 態 とな り,そ れ か ら低 温 給 水 加 熱 器 で f2ま で 加 熱 され,さ
らに 高 温 給 水 加 熱 器 でf1ま で 加 熱 さ れ て ボ イ ラ に 入 る。
給 水 加 熱 器 に は 混 合 給 水 加 熱 器 と表 面 給 水 加 熱 器 とが あ る。 混 合 給 水 加 熱 器 は 抽 気 と給 水 を 直接 混 合 す る形 式 で,表 面 給 水 加 熱器 は 抽 気 と給 水 と を直 接 混 合 しな い もの で,そ の ど ち ら を用 い るか に よ っ て 抽 気 量 が 異 な る。 混 合 給 水 加 熱 器 の場 合 は,タ ー ビ ン に 流 入 す る蒸 気1〔 ㎏ 〕に つ い て,第
１抽
(ａ) T-s線
(ｂ) h-s線
図
図8・5
気 点e1でm1〔
図
再 生 サ イ クル
㎏ 〕の蒸 気 を抽 出 して 高 温 給 水 加 熱 器 に 送 り,そ の復 水 す る と
きに 吐 き 出 す 熱 で給 水 をf2か らf1ま で加 熱 し,第
２抽 気 点e2でm2〔
㎏ 〕を抽
出 して 低 温 給 水 加 熱 器 に 送 り,そ の復 水 す る と き に 吐 き出 す 熱 で給 水 を １か ら f2ま で加 熱 す る。この と き,図 中 の各 点 を添 字 に つ け て そ れ ぞれ の エ ン タル ピー を表 せ ば,抽
気 量m1お
よ びm2は
次 の 式 で表 され る。
m1(he1-hf1)=(1-m1)(hf1-hf2) (8・10)
(8・11)
表 面 給 水 加 熱 器 の 場 合 は,第
１抽 気 点e1で 抽 出 し たm1〔 ㎏ 〕の 蒸 気 は高 温
給 水 加 熱 器 で 給 水 を加 熱 して 飽 和 水 に な り,第
２抽 気 点e2で の 抽 気m2〔 ㎏ 〕
と と もに低 温 給 水 加 熱 器 で給 水 を加 熱 した の ち,低 温給 水 加 熱 器 の 復 水 と と も に復 水 器 に 入 る とす れ ば,抽
気 量m1お
よびm2は
次 の 式 で 表 され る。
m1(he1-hf1)=(hf1-hf2) (8・12)
m2(he2-hf2)+m1(hf1-hf2)=hf2-h1
(8・13)
抽 気 に よ っ て ター ビ ンの 仕 事 の 減 少 は す るが,そ れ は蒸 気1〔 ㎏ 〕あ た り ⊿w 〔J/㎏〕とす れ ば ⊿w=m1(he1-h4)+m2(he2-h4)〔J/㎏
〕
し たが っ て,２ 段 抽 気 の 再 生 サ イ ク ル の理 論 熱 効 率 ηthは,給 水 ポ ンプ仕 事 を 省 略 す る と次 の 式 で表 さ れ る。
(8・14)
抽 気 の段 数 を 多 く した 場 合 も同 じよ うに考 えれ ば よい の で,ｎ 段 抽 気 の 再 生 サ イ クル の理 論 熱 効 率 は 次 の式 に な る
(8・15)
再 生 サ イ クル の理 論 熱 効 率 は 蒸 気 の 抽 気 圧 力 に よ って 異 な るが,効 率 を最 大 に す る最 も適 当 な 抽 気 圧 力 が あ る。混 合 給 水加 熱 器 を用 い る場 合,ｎ 段 抽 気 の 最 適 圧 力 は ター ビ ン の全 断 熱 熱 落 差 を(n+1)等
分 した と きの 各 分 割 点 の圧 力 に
等 しい 。 抽 気 段 数 を増 す と熱 効 率 は 向上 す るが,建
設 費 もか さ む の で1∼8段
が ふ つ うで あ る。
例題
8・3
圧 力10MPa,温
水 器 圧 力 が0.005MPaの
度600℃ の 蒸 気 を供 給 す る ２段 再 生 サ イ クル の復 場 合 に つ い て,混 合 給 水 加 熱 器 を 使 用 す る も の と し て
理 論 熱 効 率 を 求 め よ 。 た だ し,第 0.19MPaと
し,給
１抽 気 点 は 圧 力2.1MPa,第
２抽 気 点 は 圧 力
水 ポ ンプ 仕 事 は省 略 す る。
〔 考 え 方 〕 抽 気 点 は 与 え られ て い る の で 蒸 気 表 ま た はh-s線
図 か ら必 要 な 各 点 の
エ ン タ ル ピー を読 み と り,混 合 給 水 加 熱 器 で あ る か ら 式(8・10)(8・11)で
第 １,第 ２
抽 気 点 の 抽 気 量 を求 め れ ば,給 水 ポ ンプ 仕 事 を省 略 した 場 合 の 再 生 サ イ ク ル の 理 論 熱
効 率 は 式(8・14)に
よ っ て 計 算 で き る。
〔 解 〕 必 要 な 各 点 の エ ン タ ル ピ ー は蒸 気 表 ま た はh-s線 h3=3622.7kJ/㎏,
497.85kJ/㎏,
he1=3116kJ/㎏,
h4=2103kJ/㎏
he2=2609kJ/㎏
，hf1=919.96kJ/㎏,
hf2=
， h1=137.77kJ/㎏
第 １抽 気 点 の 抽 気 量m1㎏
は 式(8・10)か
ら
第 ２抽 気 点 の 抽 気 量m2㎏
は 式(8・11)か
ら
した が っ て,再
図 を利 用 し て
生 サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・14)に
8・4
再 生 サ イ ク ル は 理 論 熱 効 率 は 改 善 さ れ る が,膨
よって
再熱再生サイクル 張 終 りの 蒸 気 の 乾 き 度 の 低 下
は 避 け ら れ な い 。 そ こ で 再 熱 サ イ ク ル と 組 み 合 わ せ た 再 熱 再 生 サ イ ク ル(re heating and regenerative
cycle)が
高 圧 大 容 量 の 蒸 気 原 動 所 で採 用 され て い
る。
図8・6に １段 再 熱 ２段 抽 気 の再 熱再 生 サ イクル のT-s線
図 を示 す 。各 段 の 抽
気 量 の 選 び 方 は再 生 サ イ ク ル の場 合 と同 じで あ り,抽 気 点 は再 熱 圧 力 よ り低 く と るの が ふ つ うで あ る。こ の場 合 の １段 再
ｎ段 抽 気 の再 熱 再 生 サ イ クル の理
論 熱 効 率 は,給 水 ポ ンプ 仕 事 を無視 す る と次 の 式 で表 され る。
(8・16)
再 熱 再 生 サ イ クル は 再 熱 サ イ クル と再 生 サ イ クル の 両 方 の長 所 を兼 ね備 え たサ イ クル で あ る。 再 熱 ・抽 気 と もに そ の段 数 が 多 い ほ ど 熱 効 率 は 大 き くな る が,段 数 を多 くす る と建 設 費 な どが か さむ こ とに な る。 そ の ため 再 熱 は １段 が ふ つ う で,超 臨 加 圧 の場 合 に は ２段 再 熱 が 採 用 さ れ る場 合 も あ る。 抽 気 段 数 は 5∼8段 が 多 く用 い られ る。
例題
8・4
圧 力10MPa,温
図8・6
再 熱 再 生 サ イ クル
度600℃ の 蒸 気 の供 給 を受 け る １段 再 熱 ２段 抽 気
の再 熱再 生 サ イ クル に お い て,復 水 器 圧 力 が0.005MPaで 率 を 求 め よ。た だ し,再 熱 は 圧 力2MPaま
あ る場 合 の 理 論 熱 効
で 膨 張 させ て か ら等 圧 の 下 に初 温 ま
で行 い,抽 気 は 混 合 給 水 加 熱 器 を使 用 し て全 断 熱 熱 落 差 を ３等分 す る 点 で行 い, 給 水 ポ ンプ 仕 事 は省 略 す る もの とす る。 〔 考 え 方 〕 与 え ら れ た 条 件 に よ っ て 蒸 気 表 ま た はh-s線
図 か ら必 要 な 各 点 の エ ン
タ ル ピー を読 み と り,混 合 給 水 加 熱 器 で あ る か ら 式(8・10),(8・11)で
第 １,第 ２抽 気
点 の 抽 気 量 を 求 め れ ば,給 水 ポ ン プ 仕 事 を省 略 し た場 合 の再 熱 再 生 サ イ クル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・16)に
１段 再 熱 ２段 抽 気 を 適 用 す れ ば 計 算 で き る。
〔 解 〕 必 要 な 各 点 の エ ン タ ル ピー は 蒸 気 表 ま た はh-s線 h3=3622.7kJ/㎏, he=2796kJ/㎏,
ha=3103kJ/㎏, hf1=655.8kJ/㎏,
hb=3689 hf2=405
図 を利 用 し て
.2kJ/㎏,
.2kJ/㎏,
he1=3243kJ/㎏,
h4=2349kJ/㎏,
h1=137.77kJ/㎏
第 １抽 気 点 の 抽 気 量m1は
式(8・10)か
ら
第 ２抽 気 点 の 抽 気 量m2は
式(8・11)か
ら
した が っ て,再
熱 再 生 サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・16)に
よって
冷凍 機 ・ヒー トポ ンプ の理 論 サ イ クル
8・5
外 部 か ら仕 事 を 与 え て 低 温 物 体 か ら 高 温 物 体 に 熱 を移 動 さ せ る 装 置 に,冷 機(refrigerating
machine)と
ヒ ー トポ ン プ(heat pump)が
熱 の 吸 収 を 目 的 と す る の が 冷 凍 機 で,高 ヒ ー トポ ン プ で あ り,目
あ る 。低 温 物 体 か ら
温物 体 へ の 熱 の放 出 を 目的 とす るの が
的 が 違 うだ け で 基 本 的 な原 理 は 同 じで あ る。 冷 凍 機 の
サ イ ク ル を 冷 凍 サ イ ク ル(refrigerating (refrigerant)と
凍
cycle)と
い い,そ
の 動 作 流 体 を冷 媒
い う。
理 想 の 冷 凍 サ イ クル は 逆 カ ル ノー サ イ クル で あ る こ とは 前 に述 べ た が,こ れ は実 現 で き な い。 実 用 され て い る冷 凍 サ イ クル に は蒸 気圧 縮 冷 凍 サ イ クル,吸 収 式 冷 凍 サ イ ク ル,蒸 気 噴 射 式 冷 凍 サ イ クル,空 気 冷 凍 サ イ ク ル,熱 電 冷 凍 サ イ クル な どが あ るが,こ
こ で は蒸 気 圧 縮 冷 凍 サ イ クル の 基 礎 的 な事 項 に つ い て
説 明 す る。 〔１ 〕
蒸気 圧 縮 冷 凍 サ イ クル
蒸 発 しや す い 動 作 流体 す な わ ち冷 媒 に 蒸 発 熱 を吸 収 させ る こ とに よ っ て,冷 凍 効 果 を発 揮 させ るの が 蒸 気圧 縮 冷 凍 サ イ クル で あ る。 図8・7に 一 段 圧 縮 冷 凍 サ イ クル の 装 置 の 配 置 を 示 し,図8・8に
そ のT-s線
図
お よ びp-h線
図 を 示 す 。冷 凍 サ イ クル で は
一 般 にp-h線
図 が よ く用 い られ る。図 に お
い て,１ の 状 態 の 冷 媒 の 乾 き飽 和 蒸 気 を蒸
図8・7
一 段 圧 縮 冷 凍 サ イ クル の構 成
気 圧 縮 機 で圧 力p1か
らp2ま で 断 熱 圧 縮 して ２の 状 態 と し,そ れ を凝 縮 器 で 冷
却 して飽 和 液 ３の 状 態 と した の ち,膨 張 弁(絞
り弁)で 圧 力p1ま で 絞 っ て ４の
状 態 に し た もの を,蒸 発 器 に 送 っ て 冷 凍 効 果 を発 揮 させ て初 め の 状 態 １に戻 す 。 こ れ が 基 本 的 な 冷 却 サ イ クル で あ り,冷 媒 の 循 環 量1〔 ㎏ 〕あ た りに つ い て, 1∼2の 過 程 で断 熱 圧 縮 に要 す る仕 事 ｗ は w=h2-h1〔J/㎏
〕
2∼3の 過 程 で 凝 縮 器 で 等 圧p2の 下 に放 熱 す る熱 量q1は q1=h2‐h3=h2-h4〔J/㎏
(ａ)
〕
Ts線 図
(ｂ)
図8・8
3∼4の 過 程 の絞 りは等 エ ン タ ル ピー 変 化 で 4∼1の 過 程 で 等圧p1の q2=h1-h4=h1-h3〔J/㎏
ph線 図
一 段 圧 縮 冷 凍 サ イ クル
h3=h4〔J/㎏
〕
下 に得 られ る冷 凍 効 果q2〔J/㎏ 〕は 〕
ゆ え に,冷 凍 機 の動 作 係 数 εγは次 の 式 で表 され る。
(8・17)
ヒー トポ ン プ と して使 用 した 場 合 の 動 作 係 数 εhは次 の 式 に な る。 (8・18)
な お,図8・8に
破 線 で 示 した よ うに,凝
縮 器 で飽 和 液 の 点 ３よ りさ ら に冷 却
さ れ る と 点 ３'にな り(点 ４は 点 ４'にな る),ま
た,蒸
発 器 で 吸 収 熱 量 が 多 い と乾
き 飽 和 蒸 気 の 点 １か ら加 熱 蒸 気 の 点 １'に移 る 場 合 が あ る 。こ の と き,T3-T3'を 過 冷 却 度,T1'-T1を
過 熱 度 と い い,こ の 場 合 の 冷 凍 機 の 動 作 係 数 は 次 の 式 で 表
され る。
(8・19)
冷 凍 機 の 冷 凍 能 力 は 図8・8ま た は 式(8・17)か 蒸 発 温 度,過
冷 却 度,過
ら わ か る よ うに,凝 縮 温 度,
熱 度 な どの 運 転 条 件 に よ っ て変 化 す る。
蒸 発 器 温 度 が 低 くな る と ，
圧 力 比p2/p1が大 き くな って 圧 縮 機 の容 積 効 率 や 断
熱 圧 縮 効 率 が 低 下 し,ま た,圧 縮 機 出 口 の冷 媒 ガ ス の 温 度 上 昇 に よ る潤 滑 油 の 劣 化 な ど の 問 題 が 起 こ る。これ は 多段 圧 縮,中 間 冷 却 を行 うこ とに よ っ て,圧 縮 機 の所 要 動 力 を節 約 し,容 積 効 率 の低 下 を 防 ぐこ とが で き る。 図8・9は 二 段 圧 縮 一 段 膨 張 冷 凍 サ イ クル のT-s線
図 を示 す 。 図 の よ うに 冷 媒 の 乾
き飽 和 蒸 気 １を低 圧 シ リン ダー で 中 間圧 力 pmま で 断 熱 圧 縮 した の ち, ａか ら ｂ まで 等 圧 中 間 冷 却 を行 い,次 い で 高 圧 シ リン ダー で圧 力p2ま
で 断 熱 圧 縮 して ２の 状 態 に す
る。 これ を凝 縮 器 で 冷 却 して飽 和 液 ３に し て か ら膨 張 弁 で絞 って ４の 状 態 に して,蒸 発 器 に 送 り,冷 凍 効 果 を発 揮 させ て 初 め の
図8・9
二 段 圧 縮一 段 膨 張 サ イ クル
状 態 １に戻 す 。 し たが っ て,一 段 圧 縮 の 場合 に 比べ て 圧 縮 機 仕 事 は 図 の斜 線 を 施 した 面 積 の 分 だ け 節 約 で き るが,冷 凍 効 果 は 同 じで あ る。 した が っ て,二 段 圧 縮 一 段 膨 張 冷 凍 サ イ クル の動 作 係 数 は (8・20)
こ の ほ か に 二段 圧 縮 二 段 膨 張,三 段 圧 縮,多 効 圧 縮 な どの 冷 凍 サ イ クル も あ る が,本
書 で は 省 略 す る。
〔２〕
吸 収 冷凍 サ イ クル
吸 収 冷 凍 サ イ ク ル(absorption
refrigeration cycle)は
冷 媒 の 溶液 に対 す る
溶 解 度 が 温 度 や 圧 力 に よ っ て 異 な る 性 質 を利 用 す る サ イ ク ル で あ る 。 こ こ で は ア ン モ ニ ア 水 溶 液 を 利 用 す る 場 合 に つ い て 簡 単 に 説 明 し て お く。
図8・10に 吸 収 冷 凍 サ イ クル の 構 成 の 説 明 図 を示 す 。発 生 器 内 に は 濃 い ア ン モ ニ ア 水 溶 液 が 入 っ て い て,こ れ を加 熱 す る と濃 い ア ン モ ニ ア蒸 気 が 発 生 し て, 残 りは薄 い ア ン モニ ア水 溶 液 に な る。 発 生 した ア ン モニ ア蒸 気 は で き るだ け 水 分 を除 か れ て 凝 縮 器 に送 られ,そ こ で冷 却 され て液 化 した の ち膨 張弁 で 絞 られ, 蒸 発 器 に 導 か れ て冷 凍 効 果 を発 揮 して 蒸 気 に な る。 この ア ンモ ニ ア 蒸 気 は 吸 収 器 に 送 られ て 薄 いア ン モ ニ ア 水 溶 液 に 吸 収 さ れ る｡吸 収 器 は冷 却 水 が循 環 して い て,こ
こ で 濃 くな っ た ア ン モ ニ ア 水 溶 液 は ポ ンプ で 加 圧 さ れ て 熱 交 換 器 を
通 っ て発 生 器 に 送 ら れ る。 熱 交 換 器 で は発 生 器 か ら吸 収 器 に戻 され る薄 い ア ン モ ニ ア 水 溶 液 と熱 交 換 を行 う。 発 生 器 か ら 出 る1〔 ㎏ 〕の 冷 媒 蒸 気 に 対 して,発 生 器 に 入 る濃 い 冷 媒 の 溶 液 の 質 量 をf〔 ㎏ 〕,冷媒 の 濃 度 を ξ と し,冷 媒 の 諸 量 は 濃 い 溶 液 は γ,薄 い 溶 液 はa,過 気 はdを
熱蒸
添 字 に つ け て 表 す もの
と して 熱 の 出 入 りを考 え て み る。 定 常 状 態 で考 え る と冷 媒 の発 生 器 に 入 る量 と出 る量 は 等 しい か ら 図8・10
(8・21)
吸 収 冷 凍 サ イ クル
発 生 器 か ら吸 収 器 に戻 る薄 い 溶 液 の 量 は
(8・22)
冷 媒 蒸 気 １〔kg〕あ た りに つ い て,外 部 か ら受 け 取 る熱 量 を蒸 発 器 でqr,発 生 器 でQhお
よ び ポ ンプ の仕 事 を熱 量 に換 算 してQPと
縮 器 でqc,吸 収 器 でqaと
し,外 部 に 捨 て る熱 量 を凝
し,ま た各 箇 所 の エ ン タ ル ピー を図 中の 数 字 を添 字 に
つ け て 表 せ ば, (8・23)
で あ り,熱 交 換 器 で 交 換 され る熱 量Qtは,熱
交 換 が完 全 に行 わ れ る もの とす れ
ば, (8・24)
と な っ て,発
生 器 に 入 る 濃 い 溶 液 の エ ン タ ル ピ ーh1は
次 の 式 で表 さ れ る。
(8・25)
し た が っ て,
発生器 で受 け取 る熱量
(8・26)
吸収器 で捨 て る熱量
(8・27)
蒸 発器 で受 け取 る熱量(冷 凍効果)
(8・28)
凝 縮器 で捨 て る熱量
(8・29)
ゆ え に,吸
収 冷 凍 サ イ ク ル の動 作 係 数 εは 次 の 式 で 求 め られ る。
(8・30)
一 般 に 吸 収 冷 凍 サ イ クル の 熱 計 算 は 比 エ ン タル ピーhと 濃 度 ξ を基 準 に し た か ξ 線 図 を用 い て行 わ れ,ポ
ン プ の仕 事QPは
無視 で き る。
理 想 的 冷 凍 サ イ クル に お い て 凝 縮 器 温 度 が30℃,蒸 発器 温度 が 例 題8・5 一15℃ で あ る と き ,冷 凍 機 の 動 作 係 数 を求 め よ。 ま た,ヒ ー トポ ンプ と して使 用 し た場 合 の 動 作 係 数 を求 め よ。
〔考 え 方 〕 理 想 的 な 冷 凍 サ イ ク ル は 逆 カ ル ノー サ イ ク ル で あ るか ら,そ の 動 作 係 数 は 式(4・6)お
よび(4・7)に
よ っ て 求 め る。
〔解 〕 T1=30+273=303〔K〕,T2=-15+273=258〔K〕 は 式(4・6)に
と し て,冷
凍 機 の動 作係 数
よって
ヒー トポ ンプ と して の 動 作 係 数 は
〔 演
１.圧 力3MPa,温
度400℃
習
問
題
Ⅷ
〕
の蒸 気 の 供 給 を受 け,復 水 気圧 力0.01 MPaま
で膨張 さ
せ る ラ ン キ ン サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 を求 め よ。た だ し,給 水 ポ ンプ 仕 事 は 省 略 す る。 ２.圧 力5MPa,温
度450℃
の 蒸 気 を復 水 器 圧 力0.005 MPaま
で 膨 張 させ る ラ ン キ ン
サ イ ク ル につ い て 次 の値 を 求 め よ。(１)給水 ポ ン プ 仕 事,（ ２)蒸気1㎏ 仕 事,(３)理
あ た りの 理 論
論熱効 率
３.圧 力4MPa,温
度400℃
の 蒸 気 が ター ビ ン に 入 り,復 水 器 圧 力0．005 MPaま
張 す る ラ ン キ ン サ イ クル の 蒸 気 原 動 所 の 理 論 熱 効 率 を 求 め よ｡ま た,こ 所 の 蒸 気 消 費 量 が1kWhあ
た り6㎏
で あ っ た とす れ ば,正
で膨
の蒸 気 原動
味 熱 効 率 は い くら が。
た だ し,給 水 ポ ン プ 仕 事 は 省 略 す る。 ４．圧 力8MPa,温
度500℃ 蒸 気 を圧 力1.5MPaま
と に 初 め の 温 度 に 再 熱 し,再
で 膨 張 さ せ た の ち,そ の 圧 力 の も
び 復 水 器 圧 力0.005MPaま
で 膨 張 させ る再 熱 サ イ ク
ル が あ る。 この サ イ クル の 理 論 熱 効 率 と タ ー ビ ン出 口の 蒸 気 の 乾 き度 を 求 め よ 。 ５.圧 力10MPa,温 0.003MPaの
度500℃
の 蒸 気 を供 給 す る １段 再 生 サ イ ク ル の 復 水 器 圧 力 が
場 合 につ い て,混 合 給 水 加 熱 器 を使 用 す る も の と して 理 論 熱 効 率 を求
め よ。 ま た,タ ー ビ ン 出 口 の 蒸 気 の 乾 き度 を 求 め よ。 た だ し,抽 気 点 は 全 断 熱 熱 落 差 の1/2と
し,給 水 ポ ン プ 仕 事 は省 略 す る 。
６.前 問 ５に,蒸 気 を圧 力2MPaま
で 膨 張 させ た の ち,そ の 圧 力 の 下 で初 め の 温 度 ま
で再 熱 す る過 程 を加 え て,１ 段 再 熱 １段 抽 気 の 再 熱 再 生 サ イ ク ル と して,理 論 熱 効 率 お よ び ター ビ ン 出 口 の 蒸 気 の 乾 き 度 を 求 め よ。
〔
略
解
〕
１.給 水 ポ ン プ 仕 事 を 無 視 し た ラ ン キ ンサ イ クル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・8)か れ る の で,必
要 な エ ン タ ル ピ ー を蒸 気 表 ま た はh-s線
必 要 な エ ン タ ル ピー を蒸 気 表 ま た はh-s線
２.
(１)給
水 ポ ン プ 仕 事 は0.005MPaの
ら求 め ら
図 で 読 み 取 って
図 で読 み取 っ て
比 容 積 を0.001
m3/㎏
と す れ ば,式(8・1)か
ら wp=υ1'(p2-p1)=0.001×(5000-5)=4.995〔kJ/㎏
(２)
１ サ イ ク ル の 間 に 発 生 す る 理 論 仕 事w〔kJ/㎏
(３)
〕
〕 は 式(8・6)に
w=(h3-h4)-wp=(3317.5-2080)-4.995=1232.5〔kJ/㎏
よって 〕
ラ ン キ ン サ イ クル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・7)に
よって
給 水 ポ ンプ仕事 を省略 した場合 は式(8・8)で
給 水 ポ ン プ 仕 事 を 省 略 す るの で 式(8・8)に
３.
蒸 気 消 費 量 が6㎏/kWhと ㎏ 〕=600〔kJ/㎏
４.
い う こ と は 蒸 気1㎏
あ た りの 正 味 仕 事 が1/6〔kWh/
〕で あ る こ と を 意 味 す る の で,正
再 熱 サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・9)に
排 気 の 乾 き度 はh-s線 ５.
よ って
味 熱 効 率 ηeは
よって
図 か ら x=0.896
必 要 な 各 点 の エ ン タ ル ピ ー は 蒸 気 表 ま た はh-S線
図 を利 用 して
h3 = 3374.6kJ/㎏,
he1=2666
kJ/㎏,
hf1 = 655.8kJ/㎏,
h4=1957
kJ/㎏,
kJ/㎏
抽 気 量m1〔
㎏ 〕は １段 抽 気 で あ る か ら,式(8・10)のhf2をh1に
した が っ て,再
生 サ イ ク ル の 理 論 熱 効 率 は 式(8・14)に
排 気 の 乾 き 度 はh-S線
h3=3374.6kJ/㎏,
ha=2931
J/㎏,
hf1=501．3kJ/㎏,
h4=2205
kJ/㎏,
抽 気 量m1㎏
した が っ て,再
よって
図 か ら x=0.759
必 要 な 各 点 の エ ン タ ル ピ ー は 蒸 気 表 ま た はh-S線
６.
変 えて
図 を利用 して
hb=3467.3kJ/㎏, h1=101
は １段 抽 気 で あ るか ら,式(8・10)のhf2をh1に
熱 再 生 サ イ ク ル の理 論 熱 効 率 は 式(8・16)に
タ ー ビ ン 出 口 の 蒸 気 の 乾 き度 はh-S線
he1=2836
kJ/㎏
kJ/㎏
図 か ら x=0.861
変 えて
よって
hl=101
参 考 文献 日本機械学会編
機械工学便覧
日本機械学会
SI蒸 気 表
日本機械学会
菅原菅雄著
蒸気工学原論
養賢堂
小林 明著
工学熱力学
養賢堂
谷下 市松著
工学熱力学 基礎編
裳華房
〃
工学基礎熱 力学
裳華房
宮部 英 也,斉 藤 孟編 著
工業熱力学
実教出版
松永省吾著
工業熱力学
東京電機大学出版局
熱力学教育研 究会編
機 械 技術 者 の ため の熱 力 学
産業図書
斎 間 厚,江 良嘉 信,増 田哲 三,庄 司秀 夫著
基礎 熱力学
産業図書
〃
付表 (1980 SI日 本 機 械 学 会 蒸 気 表 の 抜 枠) 付表 １
飽和 表(温 度基準)
付 表 ２ 飽 和表(圧 力 基準)
付 表 ３ 圧縮 水 と過 熱蒸 気の 表(そ の １)
υ:比 体 積 〔m3/㎏ 〕,ｈ:比
エ ン タ ル ピ 〔kJ/㎏ 〕,ｓ:比
エ ン トロ ピ 〔kJ/(㎏
．K)〕
付表 ３ 圧縮 水 と過 熱蒸 気 の表(そ の ２)
索引 ■ あ行
ゲ ー ジ圧
亜音速流れ
系
13
149
17
顕熱
圧縮比
160
圧力比
50,160
４
工業仕事 エ ネ ル ギー
10
エ ネ ル ギー保 存 の 法 則
10
エ リク ソンサ イ クル エ ンタ ル ピー
157 25
エ ン トロピー 線 図
液体熱
28
行程
160
行程容積
160
孤立系
17
■ さ行 90
サ イ クル
108
31
サバ テサ イ クル オ ッ トー サ イ ク ル
音速
140,148
温度
１
158
165
再 生 サ イ クル
203
最大仕事
98
201
再 熱 サ イ クル
■
か行
再 熱 再 生 サ イ クル
ガス
41
外部蒸発熱
ジュ ー ル の法 則
31
可逆変化
30
過熱蒸気
109
過熱度
ジ ュ ー ル ・ トム ソ ン効 果
114
可 逆 サ イ クル
仕事
乾 き度
７
絞り
163
湿 り蒸 気
108
109
湿 り度
109
23
蒸気 機械効率
107
蒸 気 圧 縮 冷 凍 サ イ クル
170
吸 収冷 凍 サ イ クル
19
63
締切 比
109
乾 き飽和蒸気
18
仕事 の熱 当量
109
211
64
44
示強性状態量
109
過熱の熱
管路
206 141
先 細 ノズ ル
107
ガ ス定 数
176
再 生 ブ レイ トンサ イ クル
蒸気原動所
197
208
蒸気表
117
状態式
18
状態量
超音速流 れ
149
17
蒸発
T-s線
108
109
蒸発熱 正味熱効率
90 135
定圧比熱
170
示量性状態量 真空
図
デ ィフ ュー ザ 5,44
定常流
18
23,130
定容 サ イ クル
13
158
定容比熱 ス ター リン グサ イ クル
末広 ノ ズル
155
等温圧縮動力
184
図示熱効率
169
静圧 成績係数
13 30
絶対零度
43
17
21 114
150
遷音速流れ
149 150
潜熱
７
内部蒸発熱
全 エ ン タ ル ピー
全等温効率
79,209
内 部 エネ ル ギー
150
全 断熱効率
動作係数
■ な行
絶対仕事
全 温度
190
閉 じた系
79
全圧
189
等温効率 動力
150
絶対圧
150
動圧
141
す きま比
5,44
熱機 関
77
熱効率
78
189
熱の仕事当量
189
熱平衡
19 １
熱力学温度
４
全 ポリ トロー プ 効 率
189
２
熱 力学 第 一 法則
18
熱力学第零法則 層流 ■
燃料消費率
130
た行
ノズ ル
ダ ル トンの法 則
65
断熱圧縮動力 断熱効率 断熱熱落差
189
135
のど
141
■
は行
pV線
図
190 136
２
171
32
ヒー ト ポ ン プ
208
比 内部 エ ネ ル ギー
比熱
13
開いた系
17
146
モ ル 比熱
46
21
５
標準気圧
摩擦係数
■
や行
有 効 エ ネ ル ギー ブ レ イ トン サ イ ク ル
不 可逆 サ イ クル
31
容積効率
不 可逆断熱変化
63
よ どみ 点圧 力
不可逆変化
30
108
沸騰
108
184 150
よ ど み 点 エ ン タ ル ピー
複 合 サ イ クル 沸 点
97
173
165
よ どみ点 温 度
■
ら行
ラ ン キ ンサ イ クル
平均有効圧 力
161
乱流
ボ イルーシ ャ ル ルの 法 則
39,41
ポ リ トロー プ圧 縮 動 力
189
197
130
理想気体
39
流量関数
138
ポ リ トロ ー プ効 率
190
臨界圧
ポ リ トロー プ 変 化
59
臨界圧力比
膨 張比
110,139 139
臨界温度
110
飽和圧力
108
臨界状態
139
飽和液腺
110
臨界点
飽和温度
108
臨界容積
飽和 曲線
110
飽和蒸気
108
50
110 110
レイ ノル ズ数
飽和限界線
110
冷凍機
飽和蒸気線
110
冷凍 サ イ クル
飽 和水
■
108
マ ッハ 数
冷媒 連続の式
ま行 149
150
150
130 208 208
208 24,132
〈著者 紹 介 〉
小 林 恒 和 学 職
歴 歴
東 京 工 業 専 門学 校 機 械 科 卒 業(1949)
著
書
「 工 業 熱 力 学演 習 」(産 業 図書) 「ボ イ ラお よび蒸 気 ター ビン」(彰 国社) そ の他
東京都立中野工業高等学校 教諭 東京都立多摩工業高等学校 教諭
わか りや す い機 械 教 室
熱力学 考 え方解 き方 l997年
１ 月20日
2006年
４ 月10日
第 １版 １刷 発 行 第 １版 ６刷 発 行
著
者 小 林 恒和
学校法人 東京電機大学
発行所
東 京電機大 学出版 局 代 表 者 加藤 康太郎 〒101
-8457
東 京都 千 代 田区 神 田錦 町2-2
振替口座 00160-5- 電話 (03)5280-3433(営 (03)5280-3422
印刷 三立工芸㈱ 製本 渡辺製本㈱ 装 丁 高橋 壮 一
C Kobayashi
Printed
Tsunekazu
in Japan
*無 断 で転 載 す る こ と を禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁 本 はお 取 替 え い た します 。 ISBN 4-501-41350-6
C3353
71715
業) (編 集)
1997
基礎機械工学図書 わ か りやすい機械教室
わか りやすい機械教 室
機 械 力 学 考 え方 ・解 き方
演習付
材 料 力 学 考 え方 ・解 き方
演習付
小山十郎 著 A5判 214頁 ２色刷
萩原 國雄 著 A5判 278頁 ２色刷
好評の 「 機 械 の 力 学 考 え方 解 き 方I機 械 力 学 編 」を 全 面 的 に見 直 し，SI単 位 系 に切 り換 え る と共 に 書 名を 「 機 械 力 学 考 え 方 解 き方 」 と した 。 講 習 会 の テ キス ト と して も 自習 書 と して も活 用 で き る。
前書 「 機 械 の 力学 考 え 方 解 き方 Ⅱ 材 料 力 学 編 」を 全 面 的 に見 直 し,SI単 位 系 に切 り換 え る と共 に 書 名を 「 材 料 力 学 考 え 方 解 き方 」 と した。
わか りやす い機械 教室
わか りやす い機械 教室
改訂 流 体 の基 礎 と応 用
熱 力 学 考 え方 ・解 き方
森 田泰 司 著 A5判 214頁
小林恒和 著 A5判 242頁
流 体 に つ い て や さ し く理 解 で きる よ う に,難 解 な 数 式 の展 開 を さ け,多 くの 図 表 に よ り解 説 。 例 題 と詳 しい解 答 に よ り理 解 が 深 め られ る。
例 題 を多 く取 り入 れ,各 例 題 に そ れ ぞ れ 「考 え方 」, 「解 き方 」 を 詳 し く解 説 し,実 力 が 身 に 付 く よ う
わか りやすい機械教室
わか りや すい機械教室
空気圧の基礎と応用
油 圧 の 基 礎 と応 用
高橋徹 著 A5判 210頁
高橋徹 著 A5判 226頁
流体 の基礎 事項か ら卓 上空気圧 プレスの設 計例 ま でを例 題や練習問題 を用 いて空気圧 の基礎 と応 用 を解説。
多 くの図や表に よ り,油 圧 の基礎 事項か ら応用 ま で学生 や初級技術者 に容 易に理解 で きるようや さ しく解説 した。
機 械計算法 シリー ズ
機械 計算法 シリーズ
機械の力学計算法
流体の力学計算法
橋 本広明 著 A5判 120頁
森 田泰 司 著 A5判 176頁
基礎的な公式や数 式をで きるだけわか りやす く解 説 して あ り,各 章 とも例題 と解答 を豊 富に取 り入 れ,こ れ を基 に練 習問題 を解 き実力 をつ ける。
水 力学を中心 に して,空 気や油な どの流体 に関す る基礎 的 な事項 を計算 問題を通 じて修得で き るよ うにや さ しく解説。
機械計算法 シ リーズ
機械 計算法 シリー ズ
熱力学の計算法
熱 ・流体 ・空調 の計 算 法
松村篤躬/越後雅 夫 共著 A5判 200頁
越後 雅夫 著 A5判 232頁
熱 力 学 の基 礎 的 な 公 式 や 数 式 を わ か りや す く説 明 。 改 訂 に あ た っ て 内 容 を見 直 す と と もに,よ り理 解 しや す く編 集 した 。
熱 ・流 体 ・空 調 の 基礎 に つ い て,公 式や 数 式 をわ か りや す く説 明 。例 題 や 応 用 問 題 に つ い て も,詳 し く解 説 した。
配 慮 した。
＊定 価 ,図 書 目録 の お 問 い合 わ せ ・ご要 望 は出版 局 まで お 願 い い た し ます。 URL
http://www.dendai.ac.jp/press/
MK-001
