ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента»
Доктор физико-математических наук, профессор
К. Л. САМАРОВ
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по разделу
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
© К. Л. Самаров, 2009 © ООО «Резольвента», 2009
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
СОДЕРЖАНИЕ 1
Скалярное произведение векторов ……………………………………..
3
2
Смешанное и векторное произведения векторов ……...........…………
6
3
Прямая на плоскости ………..…………………………………………..
9
4
Кривые второго порядка на плоскости ………………………………...
17
5
Плоскость и прямая в пространстве ………...…………………………. 21
6
Понятие о поверхностях второго порядка в трехмерном пространстве. Сфера и эллипсоид ……………..……………………………………….. 27
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ………………………………………... 30 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ………………………..
32
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………... 33
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
2
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ •
Скалярным произведением двух векторов a и b называется число,
которое определяется по формуле
(a ⋅ b) =
a ⋅ b ⋅ cosϕ ,
где ϕ – угол между векторами a и b . • •
(
r r a ⋅b
) = 0 ⇔ ar ⊥ b . r
Пусть r r a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 )
– декартовы координаты векторов. Тогда формула для скалярного произве-
дения векторов в трехмерном случае имеет вид
(ar ⋅ b ) = x x r
1 2
+ y1 y2 + z1 z2 ,
а в двумерном случае
( ar ⋅ b ) = x x r
1 2
•
+ y1 y 2 .
Длина вектора r a =
r
(a
r ⋅ a) ,
причем в трехмерном случае r 2 2 2 a = x1 + y1 + z1 ,
а в двумерном случае r 2 2 a = x1 + y1 .
•
Зная декартовы координаты векторов, можно найти угол между ни-
ми по формуле
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
3
ООО «Резольвента»,
(
cos ϕ =
•
www.resolventa.ru ,
)
r r a ⋅b r r a ⋅ b
[email protected],
(495) 509-28-10
x1 x 2 + y 1 y 2 + z1 z 2
=
x1 + y1 + z1 ⋅ 2
2
x2 + y2 + z2
2
2
2
2
.
r
Ортогональная проекция вектора a на направление, заданное векто-
r
ром b , вычисляется по формуле r r (a ⋅ b ) x x a= r = r
пр br
1
2
+ y1 y 2 + z1 z 2
x2 + y2 + z2
b
2
2
2
.
r
b = 1 , а угол
Пример 1.1. Даны два вектора a и b , причем a = 3 , r
r
r
ϕ между ними равен 300 . Найти длину вектора p = a − 2b .
Решение.
(
)
( )
r r2 r r r r p = a − 2b = a 2 − 4 a ⋅ b + b 2 =
2
2
a − 4 a ⋅ b ⋅ cosϕ + 4 b =
= 3 − 4 ⋅ 3 ⋅1⋅ cos300 + 4 ⋅1 = 3 − 4 3 ⋅
3 + 4 = 7 − 6 = 1. 2 r
Пример 1.2. Даны два вектора a и b , причем a = 3 ,
b = 1 , а угол
ϕ между ними равен 300 . Найти угол γ между векторами r r r r r r p = a − 2b и q = 3a + 4b .
Решение. Поскольку r q =
(3ar + 4b ) r
2
r r2 r r = 3 a + 24 a ⋅ b cos 300 + 16 b
= 3 ⋅ 3 + 24 3 ⋅1 ⋅
а в примере 1.2. установлено, что
2
=
3 + 16 ⋅1 = 9 + 36 + 16 = 61 , 2 ur
p = 1 , то
( pr ⋅ qr ) = (ar − 2b ) ⋅ (3ar + 4b ) = 3ar ⋅ ar − 6ar ⋅ b + 4ar ⋅ b − 8b ⋅ b = 3ar 2 − 2ar ⋅ b − 8b 2 = r
ООО «Резольвента»,
r
r
www.resolventa.ru ,
r
r r
[email protected],
r
r
(495) 509-28-10
4
ООО «Резольвента»,
r =3 a
2
ur
www.resolventa.ru ,
r
r 2
− 2 a ⋅ b ⋅ cos300 − 8
b
[email protected],
= 3 ⋅ 3 − 2 3 ⋅1⋅
(495) 509-28-10
3 − 8 ⋅1 = 9 − 3 − 8 = −2. 2
Следовательно cos γ =
r r −2 2 =− . r r = p ⋅ q 1⋅ 61 61
( p ⋅ q)
Поэтому
2 2 . = π − arccos 61 61
γ = arccos −
Пример 1.3. Пусть A(4; − 2), B (10; 6), C (5; − 4) – декартовы координаты вершин треугольника ABC. Найти длину высоты, опущенной из вершины С. uuur
uuur
Решение. Найдем сначала координаты векторов AB и AC : AB = (10 − 4; 6 + 2) = (6; 8) , AC = (5 − 4; − 4 + 2) = (1; − 2) . uur
uuur
Рассмотрим произвольный вектор N , перпендикулярный вектору AB , наr пример, N = (8; −6) . Тогда uur uuur uuur ( N ⋅ AC ) 8 ⋅ 1 − 6 ⋅ (−2) 8 + 12 20 uur hc = пр uuNr AC = = = = =2 . 64 + 36 100 10 N
Ответ: длина высоты, опущенной из вершины C, равна 2. N
C
hc A ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
B
[email protected],
(495) 509-28-10
5
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
2. СМЕШАННОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ •
Пусть r r r a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) , c = ( x3 , y3 , z3 )
– декартовы координаты трех векторов. Смешанным произведением этих векторов называется число, которое определяется по формуле
( •
x1 r r r a , b , c = x2
y1
z1
y2
z2 .
x3
y3
z3
)
Если ( a , b , c ) > 0 , то эти векторы образуют правую тройку (ориентиr r r
рованы так же, как и базисные векторы трехмерной системы координат). •
Если ( a , b , c ) < 0 , то три вектора образуют левую тройку.
•
Если ( a , b , c ) = 0 , то три вектора лежат в одной плоскости (компла-
r r r r r r
нарны). •
uur
r
uur
r
Если в треугольной пирамиде SABC с вершиной S SA = a , SB = b ,
uuur r SC = c , то объем пирамиды
V= •
r
(
)
1 r r r a, b , c . 6 r
r
Если на трех векторах a , b , c построен параллелепипед, то его
объем
(
)
r r r V = a, b, c .
•
Пусть r r a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 )
– декартовы координаты двух векторов. Векторным произведением этих век-
торов называется вектор, который определяется по формуле
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
6
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru , r i r r r r a , b = a × b = x1 x2
r r
[email protected], r r j k y1 z1 , y2 z 2
(495) 509-28-10
r
где символами i , j , k обозначены единичные базисные векторы декартовой трехмерной системы координат. r r r r • Вектор a × b перпендикулярен вектору a и вектору b . •
Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только
тогда, когда эти векторы лежат на одной прямой (коллинеарны). r r r r r r • Если векторы a и b неколлинеарны, то векторы a , b и a × b в указанном порядке образуют правую тройку векторов. •
Справедливо соотношение r r r r a × b = a ⋅ b ⋅ sin ϕ ,
r r где через ϕ обозначен угол между векторами a и b . •
r r Площадь параллелограмма, образованного векторами a и b , вы-
числяется по формуле r r S = a ×b . •
r r r Смешанное произведение трех векторов a , b и c связано с вектор-
ным и скалярным произведениями векторов по формуле:
(ar, b , cr ) = ar, b ⋅ cr r
r
.
Пример 2.1. Пусть P ( −4; −2;3) , A (− 1; 0; 2 ), B (3; − 3; 4 ), C (− 4; 5; 6 ) – декартовы координаты вершин пирамиды. Найти: а) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины P; б) объем пирамиды. Решение. Найдем сначала какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости ABC. В частности, таким вектором является вектор
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
7
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 r r r i j k r r uuur uuur r r N = AB × AC = 4 −3 2 = −22i − 22 j + 11k = ( −22; −22; 11) . −3 5 4
uuur
Поскольку AP = (−3; −2; 1) , то длина высоты пирамиды, опущенной из вершины P, вычисляется по формуле: uur uuur uuur ( N ⋅ AP ) uur H = пр Nr AP = = N
−22(−3) − 22( −2) + 11⋅ 1 ( −22) + ( −22) + 11 2
2
2
66 + 44 + 11
=
11 4 + 4 + 1
=
121 11 = . 11 ⋅ 3 3
Найдем теперь объем пирамиды:
VPABC
Ответ: H =
(
1 = 6
uuur uuur uuur AB, AC , AP
)
4
−3
= −3
5
−3 −2
2 4 = 1
11 . 6
11 11 ,V = . 3 6
N
P
H
C A B
3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ •
Если точка M 0 = M 0 ( x0 ; y0 ) лежит на отрезке M 1M 2 (М1= (x1; x2), М2=
(x2; y2)), причем
λ=
M 1M 0 , M 0M 2
то
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
8
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
x0 =
[email protected],
(495) 509-28-10
x1 + λx2 y + λy 2 , y0 = 1 . 1+ λ 1+ λ
M2 (x2; y2) M0 (x0, y0) M1 (x1; x2)
•
Общее уравнение прямой L на плоскости имеет вид Ax + By + C = 0.
uur
•
Вектор N = ( A; B) перпендикулярен прямой L .
•
Вектор M = ( − B; A) параллелен прямой L .
•
Уравнение прямой, проходящей через точку с координатами ( x0 ; y0 )
uur
и параллельной вектору l = (m; n) , имеет вид x − x0 y − y0 = . m n
•
Уравнение прямой, проходящей через две точки М1 = (x1; x2) и
М2 = (x2; y2), имеет вид x − x1 y − y1 = . x2 − x1 y2 − y1
•
Прямая может быть задана уравнением y = kx + b ,
в котором угловой коэффициент k = tgα , где α – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. •
Уравнение прямой, пересекающей оси координат OX и OY в точках
с координатами ( a;0 ) и ( 0;b ) , имеет вид ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
9
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
x y + = 1. a b
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках. •
Неравенства Ax + By + C > 0 и Ax + By + C < 0
задают полуплоскости. •
Расстояние от точки M 0 ( x0 ; y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 вычисля-
ется по формуле d ( M 0 ; L) = •
Ax0 + By0 + C A +B 2
2
.
Две прямых A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 параллельны тогда и uur
uur
только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1 ) и N 2 = ( A2 ; B2 ) коллинеарны. •
Две прямых A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 перпендикулярны тоuur
uur
гда и только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1 ) и N 2 = ( A2 ; B2 ) перпендикулярны. В этом случае A1 A2 + B1B2 = 0 . •
Угол ϕ между прямыми A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 находится
с помощью соотношения cos ϕ = •
(N ⋅ N ) 1
2
N1 ⋅ N 2
.
Если две прямые заданы уравнениями
y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 , то
угол между ними находится с помощью соотношения: tgϕ =
k 2 − k1 . 1 + k1k 2
Пример 3.1. Прямая L задана уравнением 5x + 4 y − 1 = 0 . Составить уравнения прямой L1 , проходящей через точку M 0 (3; −7) и параллельной прямой L.
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Решение. Пусть точка M 1 ( x; y ) лежит на прямой L1 . Тогда вектор uuuuuuur uur M 0 M 1 = ( x − 3; y + 7) лежит на прямой L1 и перпендикулярен вектору N = (5;4) .
Поэтому L1 : 5( x − 3) + 4( y + 7) = 0 , т.е. L1 : 5 x + 4 y + 13 = 0 .
Пример 3.2. Прямая L задана уравнением 5x + 4 y − 1 = 0 . Составить уравнения прямой L1 , проходящей через точку M 0 (3; −7) и перпендикулярной прямой L . Решение. Пусть точка M 1 ( x; y ) лежит на прямой L1 . Тогда вектор uuuuuuur r M 0 M 1 = ( x − 3; y + 7) лежит на прямой L1 и перпендикулярен вектору l = (4; −5) .
Поэтому L1 : 4( x − 3) − 5( y + 7) = 0 , т.е. L1 : 4 x − 5 y − 47 = 0 .
Пример 3.3. Даны прямые L1 : x − y + 2 = 0 и L2 : 2 x − y + 1 = 0 . Составить уравнение прямой L такой, что прямая L2 будет биссектрисой угла, образованного прямыми L1 и L. Решение. Найдем сначала координаты точки переL
ϕ
сечения M прямых L1 и L2 :
L2
ϕ
L1
x− y+2=0 ⇒ M = (1; 3) . 2 x − y + 1 = 0
Обозначим теперь угловые коэффициенты M
прямых L1 , L2 и L через k1 , k2 и k соответственно. Поскольку
k1 = 1, k2 = 2 ,
то из соотношения
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
11
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
tgϕ =
[email protected],
(495) 509-28-10
k 2 − k1 k − k2 = 1 + k1k 2 1 + kk 2
(см. рисунок) можно найти угловой коэффициент k . Действительно, 2 −1 k − 2 = , 1 + 2 1 + 2k 1 k −2 = , 3 1 + 2k 1 + 2k = 3k − 6 ⇒ k = 7 .
Так как прямая L проходит через точку M = (1; 3) , то L : y − 3 = 7( x − 1) , т.е. L : 7 x − y − 4 = 0 .
Пример 3.4. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(6;4) и отсекающих от координатных углов треугольники площади 6. у
b
M a
х
Решение. Воспользовавшись уравнением прямой в отрезках x y + =1, a b
перепишем условие задачи в виде следующей системы уравнений: 6 4 a + b = 1, a ⋅ b = 6. 2
Далее получаем
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
12
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
4a + 6b = a ⋅ b, a ⋅ b = ±12.
Рассмотрим 1-й случай: 4a + 6b = 12, 4a + 6b = ab, 36 ⇔ ⇒ 2a + = 6 , 12 a ab = 12, b = a .
a 2 − 3a + 18 = 0, D = 9 − 72 < 0 .
Поскольку уравнение корней не имеет, то этот случай не имеет места. Рассмотрим 2-й случай: 4a + 6b = −12, 4a + 6b = ab, 36 ⇔ ⇒ 2a − = −6 , 12 a ab = −12, b = − a , a 2 + 3a − 18 = 0, a1 = 3, a2 = −6 .
Следовательно b1 = − x 3
y 4
Ответ: L1 : − = 1 , L2 :
12 12 = −4, b2 = − = 2 . a1 a2
x y + = 1. −6 2
Пример 3.5. Дан треугольник с вершинами А(2;3), В(4;−1), С(0;−6). Найти: а) координаты точки А1, симметричной точке А относительно прямой ВС; б) координаты точки Р пересечения медианы, проведенной из вершины В, и высоты, проведенной из вершины А; в) площадь треугольника АВС; г) длину высоты, проведенной из вершины А; д) систему неравенств, задающих треугольник АВС с границей;
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
13
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
е) где расположена точка D(-2;1)? (Внутри треугольника, на границе, вне треугольника?) Решение. а) Составим уравнение прямой АА1, перпендикуляр-
B
ной к прямой ВС. Так как ВС = (− 4;−5) , то A1
АА1 : −4( х − 2) − 5( у − 3) = 0 .
K
Таким образом, прямая АА1 имеет уравнение A
4 х + 5 у − 23 = 0 .
C
Прямая ВС проходит чрез точку B в направлении uuur
вектора ВС . Поэтому ее уравнение имеет вид: х − 4 у +1 = , −4 −5
что эквивалентно уравнению 5 х − 4 у − 24 = 0 .
Найдем координаты точки пересечения прямых АА1 и ВС (точка K): 4 х + 5 у − 23 = 0 K: ⇔ 5х − 4 у − 24 = 0
4 х + 5 у = 23 16 х + 20 у = 92 41х = 212 ⇔ ⇔ . 25х − 20 у = 120 41 у = 19 5х − 4 у = 24
Таким образом, 212 19 К = ; . 41 41
Теперь можно найти координаты точки А1 :
( 41
) ( 41
)
uuuur А1 = A + 2 ⋅ AK = ( 2;3) + 2 ⋅ 212 − 2; 19 − 3 = 342 ; − 85 . 41
41
Итак, 342 85 ; − . 41 41
А1 =
б) ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
14
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
B K P
A
C
M
Найдем координаты середины стороны AC (точка M): 3 2 + 0 3− 6 M = ; = 1; − . 2 2 2
Найдем уравнение медианы ВМ: х−4 у +1 = или х − 6 у − 10 = 0 . 1− 4 − 3 +1 2
Теперь можно найти координаты точки пересечения прямых АK и ВM (точка P): 4 х + 5 у = 23 4 х + 5 у = 23 4 х + 5 у = 23 29 х = 188 ⇔ ⇔ ⇔ . х − 6 у = 10 4 х − 24 у = 40 29 у = −17 29 у = −17
Следовательно, 188 17 ; − . 29 29
Р =
в) Первый способ. Поскольку uuuur
(
) (
)
AK = 212 − 2; 19 − 3 = 130 ; − 104 , 41 41 41 41 ВС = (− 4;−5) ,
то
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
15
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected], uuuur uuuur AK = 1 ⋅ 1302 + 1042 = , BC = 41 .
(495) 509-28-10
41
Следовательно, S АВС
1 1 1302 + 104 2 1 1302 + 104 2 = ⋅ AK ⋅ BC = ⋅ ⋅ 41 = ⋅ = 13 . 2 2 412 2 41
Второй способ. Поскольку uuur uuur АВ = (2; − 4) , АС = ( −2; −9) ,
то, воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим r i
1 uuur uuur 1 S АВС = ⋅ АВ × АС = ⋅ 2 2
r j
r k
r 1 2 −4 0 = ⋅ −26k = 13 . 2 −2 −9 0
г) Первый способ. Воспользовавшись формулой для расстояния от точки до прямой, получим hA = d ( A; BC ) =
5 ⋅ 2 − 4 ⋅ 3 − 24 25 + 16
=
26 . 41
Второй способ. 130 2 + 104 2 676 26 AK = = = . 2 41 41 41
uuuur
д) Составим уравнение границ треугольника АВС: х−2 у−3 х−2 у−3 = ⇔ = ⇔ 2 х + у − 7 = 0, 4 − 2 −1 − 3 2 −4 ВС : 5 х − 4 у − 24 = 0, х−2 у−3 х−2 у−3 АС : = ⇔ = ⇔ 9 х − 2 у − 12 = 0. 0 − 2 −6 − 3 −2 −4 AB :
Для установления знаков неравенств подставим в уравнения сторон треугольника АВС координаты противоположных им вершин: АВ (С) = 2 · 0 − 6 − 7 = −13 < 0; ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
16
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ВС (А) = 5 · 2 − 4 · 3 − 24 = − 26 < 0; АС (В) = 9 · 4 − 2·(−1) − 12 = 26 > 0. Получим систему неравенств, задающих ∆АВС вместе с границами: 2 х + у − 7 ≤ 0, 5 х − 4 у − 24 ≤ 0, 9 х − 2 у − 12 ≥ 0.
е) Расположение точки D = (–2;1) относительно ∆АВС установим с помощью результатов подстановки в уравнения сторон треугольника координат противоположных им вершин и координат точки D: AB (C) = −13 < 0,
AB (D) = −10 < 0;
BC (A) = −26 < 0,
BC (D) = −38 < 0;
AC (B) = 26 > 0,
AC (D) = −32 < 0.
Из того, что знаки в третьих неравенствах различаются, вытекает, что точки D и В лежат в разных полуплоскостях, на которые прямая AC разбивает плоскость АВС. Следовательно, точка D лежит вне ∆АВС. y
A
3
D
4 2
B
x
−6 C
4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ •
Каноническое уравнение эллипса имеет вид x2 y2 + = 1; a 2 b2
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
17
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
ются полуосями;
b
если a > b, то эллипс вытянут в направ-
r2 0
(495) 509-28-10
числа a и b положительные и называ-
у
F2 −c
[email protected],
F1 r1 c
х a
лении оси OX;, в этом случае c = а 2 − b2 − фокусное расстояние;
точки F1 ( c;0) и F 2 ( − c ; 0 ) − фокусы; ε=
c − эксцентриситет, причем у эллипса ε < 1 ; a
r1 и r2 − фокальные радиусы;
фокальные радиусы удовлетворяют соотношению r1 + r2 = 2a ; в случае a = b = R эллипс превращается в окружность x 2 + y 2 = R2 .
•
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: x2 y 2 − = 1; a 2 b2
у b r2 −c
r1 0
a
c
х
числа a и b называются действительной и мнимой полуосями гиперболы соответственно; c = a 2 + b2 − фокусное расстояние;
точки F1 ( c;0) и F 2 ( − c ; 0 ) − фокусы; ε=
c − эксцентриситет, причем у гиперболы ε > 1 ; a
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
18
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
r1 и r2 − фокальные радиусы;
фокальные радиусы удовлетворяют соотношению r2 − r1 = 2a ; b a
прямые линии y = ± x являются асимптотами гиперболы; если в случае a = b = 2k (равносторонняя гипербола) сделать замену переменных 1 x = 2 ( X + Y ) , y = 1 (X −Y ) 2
то уравнение гиперболы примет «более знакомый» вид xy = k .
•
Каноническое уравнение параболы имеет вид y 2 = 2 px ; у
точка F ;0 – фокус параболы; 2 p
d r F
−
p 2
0
p 2
х
p − фокусное расстояние; 2
прямая x = −
p − директриса; 2
расстояние r от точки параболы до фокуса называется фокальным радиусом; число ε =
r , где d – расстояние от точки параболы до директрисы, называетd
ся эксцентриситетом параболы; эксцентриситет параболы ε=1.
Пример 4.1. Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет 0.6 , фокусное расстояние 3, а фокусы расположены на оси ОХ симметрично относительно начала координат.
Решение. Запишем условие задачи в виде системы уравнений
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
19
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
c = a 2 − b 2 = 3 c = a 2 − b 2 = 3 2 b = 4 25 − b 2 = 3 25 − b = 9 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ . c 3 c =5 a = 5 a = 5 a = 5 ε = = 0,6 a = = ε 0,6 a
Таким образом, уравнение эллипса имеет вид x2 y2 + =1. 25 16
Пример 4.2. Составить уравнение и определить тип кривой, для каждой точки которой расстояние до точки К (−2; 0) в 2 раза больше расстояния до точки N (1; 3). Решение. Пусть М (х; у) – точка кривой, тогда МK = 2MN . Поэтому
( x + 2)
2
+ y2 = 2
( x − 1)
2
+ ( y − 3) . 2
Преобразуем это соотношение: х 2 + 4 х + 4 + y 2 = 4 х 2 − 8 х + 4 + 4 y 2 − 24 y + 36 , 3x 2 − 12 x + 3 y 2 − 24 y + 36 = 0, x 2 − 4 х + y 2 − 8 y + 12 = 0 , x 2 − 4 x + 4 − 4 + y 2 − 8 y + 16 − 16 + 12 = 0.
Получилось уравнение ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 8 ,
задающее окружность радиусом R = 2 2 с центром в точке (2; 4). Пример 4.3. Составить уравнение, привести к каноническому виду и определить тип кривой, для каждой точки M которой отношение расстояния до точки F (3; 2) к расстоянию до прямой у = 1 равно
3.
Решение. По условию задачи
у 2 1
M
MF = 3⇒ MN
F
( x − 3)
2
+ ( y − 2) 2
y −1
= 3,
N ( x − 3) 2 + ( y − 2)2 = 3 y − 1 .
0
3
х
ООО «Резольвента»,
Возводя последнее соотношение в квадрат, получим:
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
20
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
( x − 3)2 + y 2 − 4 y + 4 = 3 y 2 − 6 y + 3, ( x − 3)2 − 2 y 2 + 2 y + 1 = 0, 1 3 ( x − 3)2 − 2 y 2 − y + + = 0, 4 2 1 3 ( x − 3)2 − 2( y − ) 2 = − , 2 2 2
( x − 3) 2 3 2
1 y− 2 − = −1 , 3 4 2
1 y − ( x − 3) 2 2 − =1. 3 3 4 2
Если в последнем уравнении сделать замену переменных x = Y , y = X
то получится уравнение 2
1 X − (Y − 3)2 2 − = 1, 3 3 4 2
задающее гиперболу с центром в точке ;3 , действительной полуосью 2 1
a=
3 , мнимой полуосью 2
X=
1 . 2
b=
3 и фокусами, расположенными на прямой 2
5. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ •
Общее уравнение плоскости L в пространстве имеет вид
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
21
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Ax + By + Cz + D = 0
•
uur
Вектор N = ( A; B; C ) перпендикулярен плоскости L . Этот вектор так-
же называют нормальным вектором плоскости. •
Две плоскости A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 параллельuur
uur
ны тогда и только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1; C1 ) и N 2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) коллинеарны. •
Две плоскости A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 перпендиuur
uur
кулярны тогда и только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1; C1 ) и N 2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) перпендикулярны. В этом случае A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 . •
Угол
ϕ
между
плоскостями
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
и
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 находится с помощью соотношения
cos ϕ = •
(N ⋅ N ) 1
2
N1 ⋅ N 2
.
Расстояние от точки M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вы-
числяется по формуле d ( M 0 ; L) =
•
Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) и перr
пендикулярной вектору l = ( a; b; c ) , имеет вид a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0 .
•
Уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 ( x1; y1; z1 ) ,
M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) и M 3 ( x3 ; y3 ; z3 ) , имеет вид
ООО «Резольвента»,
x − x1
y − y1
z − z1
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1 = 0 .
x3 − x1
y3 − y1
z3 − z1
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
22
ООО «Резольвента»,
•
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Уравнение плоскости, пересекающей оси координат OX, OY и OZ в
точках с координатами ( a;0;0) , (0; b;0) и (0;0;c ) , имеет вид x y z + + = 1. a b c
Это уравнение называют уравнением плоскости в отрезках. •
Неравенства Ax + By + Cz + D > 0 и Ax + By + Cz + D < 0
задают полупространства. •
Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через точку
r M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) и параллельной вектору l = ( a; b; c ) , имеет вид x − x 0 y − y 0 z − z0 = = . a b c
•
Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через две
точки M 1 ( x1; y1; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) , имеет вид x − x1 y − y1 z − z1 = = . x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
•
Прямая линия в пространстве, проходящая через точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) r
и параллельная вектору l = ( a; b; c ) , может быть задана при помощи параметрических уравнений x = at + x0 y = bt + y0 , z = ct + z 0
где параметр t принимает все значения −∞ < t < +∞ . Пример 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 (1; −2; 3), M 2 (0; 1; 5) и M 3 (4; −1; 2).
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 точки:
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
23
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru , x −1
y+2
z −3
0 = 0 −1
1+ 2
5−3 =
[email protected],
(495) 509-28-10
x −1 y + 2 z − 3
4 − 1 −1 + 2 2 − 3
−1
3
2
3
1
−1
.
Раскрывая этот определитель, например, по первой строке, получим 0 = −5 ( x − 1) − 5 ( y + 2) − 10 ( z − 3) .
Производя упрощения, находим уравнение плоскости: x + y + 2z − 5 = 0 .
Пример 5.2. Составить канонические уравнения прямой, заданной пересечением плоскостей П1: x − 2у + 3z = 0 и П2: 4х − у + 2z − 7 = 0. Решение. Найдем координаты ( x0 ; y0 ; z0 ) какой-нибудь точки М0, лежащей на прямой. Для этого положим, например, что z0 = 0 . Тогда из уравнений плоскостей получаем: x0 − 2 y0 = 0 x0 = 2 ⇔ . 4 x0 − y0 = 7 y0 = 1
Следовательно, M 0 = ( 2; 1; 0) . Найдем направляющий вектор прямой, вычислив векторное произведение векторов N1 = (1; − 2; 3), N 2 = (4; − 1; 2 ) , перпендикулярных плоскостям П1 и П2: r i
r j
r k
ur uur uur l = N1 × N 2 = 1 −2 3 = ( −1; 10; 7 ) . 4 −1 2
Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через точку и параллельной заданному вектору, получаем: x − 2 y −1 z = = . −1 10 7
Пример 5.3. Даны точки А(2;1;−1), В(3;4;1), С(5;0;3) и D(−1;2;2). Требуется: а) убедиться в том, что эти точки не лежат в одной плоскости;
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
24
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
б) найти проекцию D1 точки D на плоскость АВС; в) найти расстояние от точки D до плоскости АВС; г) найти площадь ∆АВС; д) составить уравнение плоскости П, проходящей через прямую АD и перпендикулярной плоскости АВС. Решение. а) Рассмотрим векторы AB = (1; 3; 2 ), AC = (3; − 1; 4 ), AD = (− 3; 1; 3) и найдем их смешанное произведение: uuuur uuur uuur ( AB, AC , AD ) =
1
3
2
−1 4 = −70 ≠ 0 .
3 −3
1
3
Отсюда следует, что точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. б) Составим уравнение плоскости АВС. Для этого сначала найдем нормальный вектор плоскости АВС: r i
s j
N = AB × AC = 1
3
r k
2 = (14; 2; − 10) .
3 −1 4
Так как точка A(2;1;−1) лежит на плоскости, то уравнение плоскости можно представить в виде 14(x − 2)+2(y − 1) − 10(z + 1) = 0,
или, произведя упрощение, – в виде 7x + y − 5z − 20 = 0. N
Прямая DD1 проходит через точку D и пер-
D
пендикулярна плоскости d
C
найти
D1 A
B
параметрические
АВС. Отсюда можно уравнения
прямой:
x = 7t − 1, y = t + 2, z = −5t + 2.
Подставив эти выражения в уравнение плоскости ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
25
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
АВС, найдем значение параметра t: 7(7t − 1) + (t + 2) − 5(−5t + 2) − 20 = 0, 75t = 35, t =
7 . 15
Следовательно, 49 34 x = 15 − 1 = 15 , 7 37 1 34 37 ; − . y = + 2 = , D1 = ; 15 15 3 15 15 7 1 z = − 3 + 2 = − 3 .
в) Воспользовавшись формулой для расстояния от точки до плоскости, получим: d ( D; ABC ) =
7( −1) + 2 − 5 ⋅ 2 − 20 49 + 1 + 25
=
35 7 = . 75 3
г) Найдем площадь ∆АВС: S ABC =
1 1 1 AB × AC = N = 14 2 + 2 2 + (−10) 2 = 49 + 1 + 25 = 75 = 5 3 . 2 2 2
д) uur
N
Найдем нормальный вектор N1 плоскости П:
D
r r r i j k uur uuur uur N1 = АD × N = −3 1 3 = ( −16;12; −20) . 14 2 −10
П С А N1
Поскольку плоскость П проходит через точку А uur
и перпендикулярна к вектору N1 , получаем: В
−16( х − 2) + 12( у − 1) − 20( z + 1) = 0 , 4 x − 3 y + 5 z = 0.
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
26
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
6. ПОНЯТИЕ О ПОВЕРХНОСТЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СФЕРА И ЭЛЛИПСОИД •
Поверхностью второго порядка в трехмерном пространстве OXYZ
называется множество точек, координаты ( x; y; z ) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второго порядка относительно переменных
( x; y; z ) . •
Простейшими из поверхностей второго порядка являются сфера и
эллипсоид. •
Сферой радиуса R в трехмерном пространстве называется множе-
ство всех точек трехмерного пространства, находящихся на расстоянии R от некоторой точки M 1 ( x0 ; y0 ; z0 ) , которая называется центром сферы. •
Уравнение сферы радиуса R с центром в точке M 1 ( x0 ; y0 ; z0 ) имеет
вид 2 2 2 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = R2 ,
(6.1)
которое можно переписать в форме
( x − x0 )
2
+
R2 •
( y − y0 )
2
+
R2
( z − z0 )
2
−1 = 0
R2
(6.2)
Если точка M ( x; y; z ) лежит вне сферы, то ее координаты удовле-
творяют неравенству
( x − x0 )
2
R2 •
+
( y − y0 )
2
R2
+
( z − z0 )
2
R2
−1 > 0 .
(6.3)
Если точка M ( x; y; z ) лежит внутри сферы, то ее координаты удов-
летворяют неравенству
( x − x0 ) R2
ООО «Резольвента»,
2
+
( y − y0 ) R2
2
+
www.resolventa.ru ,
( z − z0 ) R2
2
−1 < 0 .
[email protected],
(6.4)
(495) 509-28-10
27
ООО «Резольвента»,
•
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Эллипсоидом в трехмерном пространстве называется множество
всех точек трехмерного пространства M ( x; y; z ) , координаты которых удовлетворяют уравнению
( x − x0 )
2
+
a2
( y − y0 )
2
+
b2
( z − z0 )
2
−1 = 0
c2
(6.5)
•
Положительные числа a, b, c называются полуосями эллипсоида.
•
Точка M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) является центром симметрии эллипсоида и на-
зывается центром эллипсоида. •
Если точка M ( x; y; z ) лежит вне эллипсоида, то ее координаты удов-
летворяют неравенству
( x − x0 )
2
+
a2 •
( y − y0 )
2
+
b2
( z − z0 )
2
−1 > 0 .
c2
(6.6)
Если точка M ( x; y; z ) лежит внутри эллипсоида, то ее координаты
удовлетворяют неравенству
( x − x0 ) a2 •
2
+
( y − y0 )
2
b2
+
( z − z0 ) c2
2
−1 < 0 .
(6.7)
Если у эллипсоида все три полуоси равны, то эллипсоид представ-
ляет собой сферу. •
Если у эллипсоида две из трех полуосей равны, то эллипсоид назы-
вается эллипсоидом вращения. Пример 6.1. Составить уравнение сферы с центром в точке M 1 ( −1; 2; −4) и радиусом 5 . Решение. Воспользовавшись формулой (6.1), получаем 2 2 2 ( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 4) = 5 .
Пример 6.2. Определить тип и геометрические свойства поверхности второго порядка, заданной уравнением
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
28
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
x 2 + 2 y 2 + 3z 2 + 2 x + 8 y + 12 z = 0 .
(6.8)
Решение. Выделим в соотношении (6.8) полные квадраты по каждой из переменных x , y и z :
x 2 + 2 y 2 + 3z 2 + 2 x + 8 y + 12 z = = ( x 2 + 2 x ) + ( 2 y 2 + 8 y ) + (3z 2 + 12 z ) = = ( x 2 + 2 x ) + 2 ( y 2 + 4 y ) + 3( z 2 + 4 z ) =
= ( x 2 + 2 x + 1 − 1) + 2 ( y 2 + 4 y + 4 − 4) + 3( z 2 + 4 z + 4 − 4) =
= ( x 2 + 2 x + 1) − 1 + 2 ( y 2 + 4 y + 4) − 8 + 3( z 2 + 4 z + 4) − 12 =
= ( x + 1) + 2 ( y + 2) + 3( z + 2) − 21 = 0. 2
2
2
Далее получаем:
( x + 1) + 2 ( y + 2) + 3( z + 2) = 21, 2 2 2 ( x + 1) + 2 ( y + 2) + 3( z + 2) = 1, 2
2
2
21 21 21 2 2 2 ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 2) = 1. 21 7 21 2
Таким образом, уравнение (6.8) задает эллипсоид с полуосями a = 21, b =
21
, c = 7,
2
центр которого находится в точке M 1 ( −1; −2; −2) .
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
29
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Что называется скалярным произведением векторов? 2. Что называется смешанным произведением векторов? 3. Что называется векторным произведением векторов? 4. Каким свойством обладают два вектора, если их скалярное произведение равно нулю? 5. Каким свойством обладают два вектора, если их векторное произведение равно нулю? 6. Каким свойством обладают три вектора, если их смешанное произведение равно нулю? 7. Что называется уравнением прямой на плоскости в отрезках? 8. Что называется параметрическими уравнениями прямой на плоскости? 9. Как найти координаты нормального вектора к прямой на плоскости по ее уравнению? 10.Какова формула расстояния от точки до прямой на плоскости? 11.Что называется уравнением плоскости в отрезках? 12.Как составить уравнение плоскости, проходящей через три точки? 13.Как составить уравнение плоскости, перпендикулярной к данной прямой и проходящей через заданную точку? 14.Как найти координаты нормального вектора к плоскости по ее уравнению? 15. Как найти угол между плоскостями? 16. Какими способами можно задать прямую в пространстве? 17. Что такое эллипс? 18.Что такое парабола? 19.Что такое гипербола? 20.Что такое эксцентриситет эллипса? 21.Что такое эксцентриситет параболы?
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
30
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
22.Что такое эксцентриситет гиперболы? 23.Что такое фокусы и фокальные радиусы эллипса? 24.Что такое фокусы и фокальные радиусы гиперболы? 25.Что такое фокус и фокальный радиус параболы? 26.Что такое директриса параболы? 27.Каково уравнение сферы? 28.Что такое эллипсоид? 29.Что такое полуоси эллипсоида?
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
31
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ В пространстве Oxyz заданы три точки: A (0; −2; −4) , B ( 2;1;2) , C ( −3;4; −6) .
Найти: 1. Длину отрезка BC ; 2. Уравнение плоскости ABC ; 3. Площадь треугольника ABC ; 4. Объем пирамиды OABC ; 5. Уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендику-
лярной плоскости ABC ; 6. Угол между прямыми OA и OB ; 7. Расстояние от точки (1;1; −7 ) до плоскости ABC ; 8. Расстояние от точки B до прямой AC ; 9. Угол между плоскостями OAB и ABC ; 10. Уравнение сферы с центром в точке C , касающейся плоскости OAB .
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
32
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ЛИТЕРАТУРА Основная: 1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2006. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2001. 3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2003. 4. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. - СПб.: Издательство «Лань», 2005. Дополнительная: 5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2002. 6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. - СПб.: Издательство «Лань», 2005. 7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. 8. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. СПб.: Издательство «Лань», 2005. 9. Шипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 2002.
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
33
