Национальная академия наук Украины Институт физики горных процессов
Венгеров И.Р.
ТЕПЛОФИЗИКА ШАХТ И РУДНИКОВ МАТЕМАТИ...
5 downloads
459 Views
20MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Национальная академия наук Украины Институт физики горных процессов
Венгеров И.Р.
ТЕПЛОФИЗИКА ШАХТ И РУДНИКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Том 2. Базисные модели
Издательство «Донбасс» Донецк - 2012
УДК 536-12:517.956.4:622 ББК 22.311.33.1 Б29 Рекомендовано к печати Учёным советом Института физики горных процессов НАН Украины (Протокол №6 от 19.04.2012) Рецензенты: Профессор кафедры физики неравновесных процессов, метрологии и экологии физико-технического факультета ДонНУ, д.т.н., академик Академии наук Высшей школы Украины и Академии инженерных наук Украины Ф. В. Недопёкин; Зав. кафедрой высшей математики Донецкого госуниверситета управления, д.ф.-м. н., проф. Л. Е. Шайхет; Зав. отделом уравнений математической физики Института прикладной математики и механики НАН Украины, д. ф.-м. н., проф. А. Ф. Тедеев; Ведущий научный сотрудник отдела уравнений в частных производных Института прикладной математики и механики НАН Украины, д. ф.-м. н., проф. М. М. Маламуд. Венгеров И.Р. В 29 Теплофизика шахт и рудников. Математические модели. Том 2. Базисные модели. – Донецк: «Донбасс», 2012. – 684 c. ISBN 978-617-638-116-7 Во втором томе монографии «Теплофизика шахт и рудников. Математические модели» намеченная в первом томе программа развития теоретической геотеплофизики получает первоначальное развитие. Базисные математические модели горной теплофизики и аналитико-численные методы решения краевых задач рассматриваются на основе работ автора в областях горной теплофизики и теплофизики твердого тела. Том 2 «Базисные модели» содержит три Раздела: «Основной матаппарат», «Развитие методов моделирования» и «Модели горной теплофизики»; он будет полезен аспирантам, докторантам и исследователям, работающим в областях общей и горной теплофизики, горной науки, прикладной математики. УДК 536-12:517.956.4:622 ББК 22.311.33.1 Vengerov I.R. Thermophysics of mines. Mathematical models. Volume 2. Basic models. – Donetsk: “Donbass”, 2012. – 684 p. The program of the theoretical geothermophysics development outlined in the first volume receives the initial elaboration in the second volume of the monograph “Thermophysics of mines. Mathematical models”. Basic mathematical models of the mining thermophysics and analytical-numerical methods for solving boundaryvalue problems are considered on the base of the author’s work in the fields of mining thermophysics and thermophysics of solids. Volume 2 “Basic models” contains three sections: “Basic mathematical instruments”, “Development of modeling techniques”, and “Models of mining thermophysics”. It can be useful for PhD students, DrSci students, and researchers working in fields of general and mining thermophysics, mining sciences, and applied mathematics. ISBN 978-617-638-116-7
© И.Р.Венгеров, 2012
Автор посвящает эту книгу памяти сотрудников ДонФТИ им. А.А.Галкина НАН Украины: Жанны Воронковой, Дарьи Карпенко, Бориса Горбаченко, Кирилла Толпыго, Вениамина Тележкина, Владимира Стрельцова, Александра Боргардта, Леонида Левина, Анатолия Кожухаря, Валентина Гохфельда.
Вместо того, чтобы «пробовать и ошибаться» на реальных объектах, люди предпочитают делать это на математических моделях. Е.С.Вентцель Сила аналитических методов в такой общей форме решения, которая позволяет …оценить тепловой режим, определить влияние всех факторов… . Слабость этих методов, как это ни парадоксально, - в той же форме решения, которая, будучи общей, является иногда такой громоздкой, что без численного решения нельзя провести оценку теплового режима. Л.А. Коздоба Следует подчеркнуть, что существенные продвижения вычислительной математики могут быть получены в качестве важных достижений аналитического характера. Поэтому указанные два типа исследований – аналитического характера и развития вычислительных схем – развиваются успешно только совместно. Ю.А.Митропольский, А.Н.Боголюбов
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ....................................................................................................10 РАЗДЕЛ I. ОСНОВНОЙ МАТАППАРАТ...........................................................13 ЧАСТЬ 8. Базисные модели: постановки и решения краевых задач...............14 Глава 33 Области, функции, операции...............................................................14 §102. Области и их характеристические функции..................................14 §103. Обобщенные функции......................................................................17 §104. Кусочно-монотонные функции........................................................22 §105. Операции и операторы......................................................................24 §106. Аппроксимация функций.................................................................27 Глава 34 Постановки задач и структуры решений............................................32 §107. Обобщенная постановка задач.........................................................32 §108. Биобобщенная постановка................................................................35 §109. Решения в представлении граничных функций.............................39 §110. Решения в представлении потенциала............................................42 §111. Эквивалентность представлений решений.....................................45 Глава 35 Точные функции Грина.........................................................................47 §112. Метод определения функций Грина................................................47 §113. Функции Грина для внутренних областей.....................................50 §114. Функции Грина для внешних областей...........................................53 §115. Свойства точных функций Грина....................................................55 Глава 36 Приближенные функции Грина...........................................................58 §116. Метод П.В. Цоя...................................................................................58 §117.Функции Грина в первом приближении...........................................62 §118.Функции Грина во втором приближении.........................................65 §119.Свойства приближенных функций Грина........................................72 ЧАСТЬ 9 Базисные краевые задачи: свойства решений...................................79 Глава 37 Основные свойства................................................................................79 §120. Классификация свойств....................................................................79 §121. Интегральные и дифференциальные соотношения.......................82 §122. Корректность моделей......................................................................89 §123. Оценки решений и их невязок..........................................................95 §124. Бинормы функций Грина................................................................106 §125. Локализация решений: методология и классификация............... 112 §126. Локализация решений: анализ канонических моделей............... 119 Глава 38 Обобщенная корректность моделей..................................................134 §127. Обобщенная корректность..............................................................134 §128.Центральные области....................................................................... 143 §129. Области – слои.................................................................................148 §130. Сингулярные области..................................................................... 151 6
Глава 39. Сравнение решений............................................................................154 §131. Эквивалентность краевых задач....................................................154 §132. Оценки приближенных методов.................................................... 165 §133. Решения для малых времён............................................................ 173 §134. Решения для больших времён........................................................ 179 §135. Параметрические асимптотики......................................................189 ЗАКЛЮЧЕНИЕ – I.............................................................................................194 РАЗДЕЛ 2. РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ..............................198 ЧАСТЬ 10. Модели слоистых систем................................................................199 Глава 40 Метод функций склейки.....................................................................199 §136.Слоистые системы и модели............................................................199 §137.Уравнения склейки............................................................................203 §138. Решения уравнений склейки..........................................................208 Глава 41 Плоские слоистые системы................................................................ 213 §139. Точные решения............................................................................... 213 §140. Приближенные решения.................................................................223 §141.Усложненные модели........................................................................236 Глава 42 Сферические слоистые системы........................................................241 §142. Вывод уравнений склейки..............................................................241 §143. Двухслойные модели.......................................................................245 §144. Приближения и редукции...............................................................250 Глава 43 Цилиндрические слоистые системы.................................................257 §145. Уравнения склейки и их решения..................................................257 §146. Многослойные модели....................................................................269 ЧАСТЬ 11 Сложные одномерные модели.........................................................275 Глава 44 Модели неоднородных систем...........................................................275 §147.Непрерывно-неоднородныеи слоисто-неоднородные системы............. 275 §148.Аналитико-численные методы: приближенные функции Грина......................................................281 §149. Аналитико-численные методы: стратификация областей..........288 §150. Дискретизация краевых задач........................................................295 Глава 45 Модели нестационарных систем........................................................301 §151.Модели и методы решения...............................................................301 §152.Квазилокальные уравнения.............................................................309 §153.Методы функций Грина и бистратификации................................ 316 §154. Модели с внешней нестационарностью........................................326 Глава 46 Модели нелинейных систем...............................................................333 §155. Нелинейные модели в шахтной теплофизике...............................333 §156. Модели с внутренней нелинейностью: общая характеристика....................................................................244 7
§157. Модели с внутренней нелинейностью: однородные краевые задачи...........................................................362 §158. Модели с внутренней нелинейностью: неоднородные краевые задачи.......................................................368 §159. Модели с внешней и общей нелинейностью.................................377 §160. Задачи Стефана................................................................................387 §161.Нелинейные модели рудничной аэрологии....................................396 ЧАСТЬ 12 Неодномерные модели.....................................................................403 Глава 47 Приближенные методы.......................................................................403 §162.Краткий обзор...................................................................................403 §163.Методологические принципы.........................................................405 §164.Методы редукции задач...................................................................408 §165.Оценка зоны неодномерности поля (выработка неправильной формы)................................................... 412 §166.Оценка влияния начальной температурной неоднородности массива................................................................. 415 Глава 48 Модели сопряженного теплопереноса.............................................. 417 §167.Двумерные функции Грина............................................................. 417 §168.Формулировки сопряженных задач................................................421 §169.Методы решения задач.....................................................................426 Глава 49 Двумерные слоистые модели............................................................. 431 §170.Двухслойная система: метод функций склейки............................ 431 §171. Двухслойная система: модель квазиодномерной продольной теплопроводности......................................................435 §172. Двухслойная система: модель квазиодномерной поперечной теплопроводности......................................................441 §173.Многослойные двумерные системы...............................................443 §174.Модели с цилиндрическими слоями.............................................. 446 ЗАКЛЮЧЕНИЕ П...............................................................................................447 РАЗДЕЛ Ш. МОДЕЛИ ГОРНОЙ ТЕПЛОФИЗИКИ.........................................454 ЧАСТЬ 13 Одномерные модели технологических и аварийных режимов.......................................................................455 Глава 50 Охлажденные зоны горных массивов...............................................455 §175.Аппроксимации нестационарных температурных полей.............455 §176.Оценки ширины охлажденной зоны...............................................463 Глава 51 Технологические режимы...................................................................468 §177.Теплопритоки из массива: газонасыщенный пласт угля..............468 §178. Теплопритоки из массива: учёт теплофизической неоднородности...............................................................................471 §179. Теплопритоки из массива: переменная температура вентиляционной струи...................................................................479 8
Глава 52 Аварийные режимы............................................................................488 §180.Модель «теплового удара»...............................................................488 §181.Модель «холодового удара».............................................................495 §182.Модель «нулевого» режима.............................................................498 §183. Модель разгазирования выработки...............................................509 Глава 53 Модель холодоаккумулятора............................................................. 515 §184.Постановка задачи Стефана............................................................. 515 §185.Метод решения..................................................................................524 §186.Численная реализация метода.........................................................537 §187.Методика расчетов намораживания...............................................552 ЧАСТЬ 14 Неодномерные модели тепловых режимов участков...................559 Глава 54 Управление кровлей плавным опусканием......................................559 §188. Формулировка модели....................................................................559 §189. Метод пересчёта............................................................................... 553 §190. Методика инженерных расчётов...................................................566 Глава 55 Управление кровлей закладкой выработанного пространства.....................................................................................569 §191.Теплофизическая модель..................................................................569 §192. Решение системы краевых задач.................................................... 574 §193. Расчётные формулы........................................................................596 Глава 56 Управление тепловым режимом: термический дренаж угольного пласта..................................................................504 §194. Постановка задачи...........................................................................594 §195. Решение задачи............................................................................... 600 §196. Инженерные расчёты...................................................................... 613 Глава 57 Управление тепловым режимом: использование тепла горных пород..........................................................................625 §197. Шахтные геотермальные теплообменники (аккумуляторы тепла)......................................................................625 §198. Модель режима разрядки...............................................................629 §199. Модель режима зарядки..................................................................637 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Ш............................................................................................. 640 ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................... 646 Приложение 1. Краткое содержание тома 1.....................................................676 Приложение 2. Методологический минимум..................................................678 Приложение 3.Использованные работы автора...............................................781
9
ПРЕДИСЛОВИЕ Тот факт, что один и тот же идейный и аналитический подход служит всем поставленным целям, доставляет эстетическое удовольствие, является желательным с педагогической и научной точки зрения. Р.Беллман, Р.Калаба Тяжкий жребий – писать в наши дни математические книги… Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках…, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным. И.Кеплер В первом томе «Анализ парадигмы» предлагаемой Читателю двухтомной монографии «Теплофизика шахт и рудников. Математические модели», автором была предпринята попытка анализа парадигмы шахтной теплофизики в контексте парадигм теоретической теплофизики и парадигм других дисциплин, в которых моделируются процессы переноса (импульса, массы, тепла) в геосистемах. Предлагалось объединение (приведение в систему – построение общей теории) этих дисциплин в комплекс «теоретическая геотеплофизика», в рамках которого теплофизика шахт и рудников, теплофизика подземных сооружений, теплофизика геотехнологических систем, теплофизика пластовых систем, теплофизика атмосферы и гидросферы, теплофизика литосферы и теплофизика мантии и ядра Земли развивались бы на единой идейной, методологической и математической основе. Принципы построения теоретической геотеплофизики (§ 101),предложенные «на выходе» первого тома и сформулированные задачи развития парадигмы по различным направлениям, могли бы, по мнению автора, быть полезны в теоретическом и практическом планах, поскольку: возникает возможность использования достижений в математическом моделировании одной из дисциплин во всех других; появляется «общий язык», облегчающий научный обмен между специалистами различных дисциплин (которые «становятся геотеплофизиками» различных специализаций); наличие единого 10
подхода, базирующегося на теоретической теплофизике (включающей в себя прикладную математическую физику) привлечёт исследователей - теплофизиков и прикладных математиков ( в чём есть очевидная необходимость); облегчит подготовку «математических модельеров» из числа инженеровгорняков, геофизиков, экологов. Реализация этой программы требует многолетних усилий и многих участников; автор рискнул изложить её в первом томе, поскольку считает, что если не сейчас, то в обозримом будущем она пригодится, т.к. проблемы освоения ресурсов недр, освоения подземного пространства будут только обостряться. Трезво оценивая свои возможности, автор решил «сузить рамки» и во втором томе попытаться достичь более скромные цели, но таким образом, чтобы рассматриваемые математические модели, методы решения краевых задач, модельные задачи и задачи – модели реальных горнотеплофизических систем могли, в первом приближении, послужить «введением в теоретическую геотеплофизику». Содержание первого тома кратко изложено в Приложении 1. Во втором томе «Базисные модели» ставятся цели: дать математическое введение в моделирование процессов переноса, доступное для начинающих математиков-прикладников, теплофизиков-теоретиков и горняков (геофизиков, экологов) с повышенной математической подготовкой; развить методы построения и исследования математических моделей процессов переноса на основе изложенного основного матаппарата и классификации моделей «7НЕ» (за исключением не рассматриваемых в т. 2 неординарных, нелокальных и некорректных задач) и решить ряд модельных задач; на основе методологических принципов (излагаемых в томе 1 и в томе 2) и предложенных автором аналитико-численных методов, построить и исследовать ряд математических моделей горной теплофизики. Методологические принципы, используемые для достижения указанных целей, в томе 2 излагаются в §§ 122, 125, 140, 155, 163, 197. Они опираются на рекомендации большого числа литературных источников по теплофизике, горной теплофизике, математической физике и прикладной математике (см. Литературу к томам 1 и 2). Основополагающими из них являются: максимально возможная простота формулировок краевых задач (грубость, «карикатурность» моделей); использование различных оценок и, на их основе, разработка приближенных методов решения (приближенных функций Грина, аппроксимаций, линеаризаций, редукций). Наиболее значимые (по мнению автора) литературные источники методологического характера – «Методологический минимум»- приведены в Приложении 2. Работы автора, использованные при написании тома 2 перечислены в Приложении 3. Различные результаты из этих работ, докладывались (в разное время) на многих научных семинарах в отраслевых, учебных и академических учреждениях, включены в материалы 16 Всесоюзных и Международных конференций, использованы при написании Отчётов по НИР, норматив11
ных документов, 3-х кандидатских и докторской диссертаций (горнотехнического профиля). Структура тома 2. В соответствии с поставленными целями, т.2 содержит три Раздела, список литературы и три Приложения. Раздел І «Основной матаппарат» содержит Части 8 и 9, носящие вводный характер и излагающие постановки краевых задач, их решения, свойства решений. Раздел П «Развитие методов моделирования» содержит Части 10. 11, 12, в которых, соответственно, рассматриваются: слоистые модели переноса; одномерные сложные (для неоднородных, нестационарных и нелинейных систем) модели; неодномерные модели. В Разделе Ш «Модели горной теплофизики» две Части, 13-я и 14-я. В Части 13 рассмотрены модели технологических и аварийных процессов, а в Части 14 – неодномерные модели тепловых режимов добычных участков. Более подробное представление о содержании тома 2 даёт Оглавление. Нумерация формул, таблиц и рисунков «привязана» к Частям, нумерация которых (как глав и параграфов) продолжает таковую в томе 1. Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность директору ИФГП НАНУ, чл.-корр. НАНУ, д.т.н., проф. А.Д. Алексееву за многолетнюю моральную поддержку, ст. научн. сотр. ИФГП НАНУ к.ф.-м.н Г.А. Троицкому за помощь в численных расчётах и сотрудникам ДонФТИ им. А.А.Галкина НАНУ: зав. отделом теории динамических свойств сложных систем д.ф. - м. н., проф. Ю.Г. Пашкевичу и ст. научн. сотр. этого отдела, к.ф. - м.н. М.А. Белоголовскому за моральную поддержку и консультации, сотруднице отдела В.И. Коршиковой, выполнившей большой объём работы по компьютерному набору и вёрстке рукописей обоих томов.
12
Господа, для Гауссовской строгости у нас нет времени. К.Якоби Слава, тебе Господи, что ты создал все нужное нетрудным, а все трудноененужным. Г.Сковорода
РАЗДЕЛ I ОСНОВНОЙ МАТАППАРАТ
ЧАСТЬ 8 БАЗИСНЫЕ МОДЕЛИ: ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Глава 33. ОБЛАСТИ, ФУНКЦИИ, ОПЕРАЦИИ §102. Области и их характеристические функции Математическое моделирование процессов переноса в шахтной теплофизике заключается в постановке и решении краевых задач для пространственных областей простейших форм. В настоящей части рассматриваем одномерные области:
R( ) = { x ∈ ( −∞, ∞ )} , R+( ) = Ω+( ) = { x ∈ ( 0, ∞ )}, R ( ) = {r ∈ ( 0, ∞ )} , 1
1
1
2
R( ) = {r ∈ ( 0, ∞ )} , Ω+( ) = {r ∈ ( r0 , ∞ )} , Ω+( ) = {r ∈ ( r0 , ∞ )} , 3
2
Ωk( ) = {η ∈ (ηk −1 ,ηk )} ,
3
( k = 0,1,2,...; m = 1, 2,3) .
m
(i )
Области R ( i = 1,2,3) представляют собой, соответственно, прямую, плоскость и трехмерное пространство, процессы переноса в которых зависят только от одной координаты (от х в R(1), от r в R(2) и R(3)). Это – неограниченные
области.
( внешние. Области Ωk
m)
Области
( k ≠ 0)
Ω+( ) − полуограниченные, или m
будем называть ограниченными или
( ) внутренними, а области Ω0 − центральными (они также относятся к внутренним областям). Обобщенная координата η при m = 1 (прямая, полупрямая, отрезок) обозначается х, при m=2 (плоскость, круг и внешность круга с радиусом r0, цилиндрический слой r ∈ ( rk −1 , rk ) ( k = 1,2,) ) - r. При m=3 (трехмерное пространство, сфера и внешность сферы с радиусом r0,, сферический слой r ∈ ( rk −1 , rk ) ( k = 1,2,...) ) также η = r . В случае m=2,3 процессы, как и при m=1, одномерны, полевые функции (будем далее их называть температурами) не зависят от угловых координат (от ϕ при m=2 и от ϕ и θ при m=3): U = U (η , t ) , U = U ( x, t ) при m = 1 и U = U ( r , t ) при m=2,3. (i ) Для областей R ( i = 1, 2,3) ставятся задачи Коши, т.е. задаются уравm
нения и начальные условия U ( r ,0 ) = ϕ ( r ) . В литературе встречаются и
14
формулировки этих задач как краевых задач, для которых кроме начальных, задаются еще и граничные условия
∂U ∂r ∂U ∂r
= 0, t > 0 r =0
(8.1)
→ 0, r →∞
(8.2)
U ( r , t ) / r →∞ → 0, t > 0.
Первое из этих условий – очевидное требование симметрии поля, второе и третье также очевидны (вместо U ( r , t ) / r →∞ → 0 иногда пишут
U ( r , t ) / r →∞ → U ∞ = const ). При корректной (физически) постановке
задачи Коши, условия (8.1) и (8.2) реализуются автоматически [1]. m Далее основное внимание уделяется областям Ωk( ) , поскольку при k = 0 это – центральные, при k=1,2,…- внутренние и при " k " → "+ "− внешние области: 1 2 3 Ω(k ) = x ∈ 0, lk , Ω(k ) = Ω(k ) r ∈ rk −1, ,rk (8.3)
{ (
{ ( )}
( 2)
)}
( 3)
Запись Ωk = Ωk справедлива лишь в смысле того, что для обеих областей 2 r ∈ ( rk −1 , rk ) . Меры же (объемы) этих областей различны, поскольку Ωk( ) −
двухмерная геометрически (но одномерная с точки зрения описания в ней ( 3) процесса переноса), а Ωk - трехмерная геометрически область. Каждую из областей (8.3) можно задать ее характеристической функцией [1]: (m)
χk
1, η ∈ Ω (km ) x, m = 1, , η = (η ) = (m) r , m = 2,3. 0, η ∈ Ω k
(8.4)
(m) Для интегрируемой в Ωk функции f (η ) справедливо:
m R( )
m m χ k( ) (η ) f (η ) dω (k )(η ) =
(m)
( m) f (η ) d ω k (η ) = 2π m
Ωk
ηk
ηk −1
η m −1dη f (η ) , (8.5)
15
где
( 2π )−1 , m = 1, m = m − 1, m = 2,3,
lk , m = 1, ( m) ( m) 2 2 dωk (η ) = Ωk = π rk − rk −1 , m = 2, ( m) Ωk 4π rk3 − rk3−1 / 3, m = 3. (8.6)
( (
) )
m = 2,3: ηk −1 = rk −1 , ηk = rk . Иногда ηk −1 = η− , ηk = η+ . Кроме формального определения
При m = 1: η k −1 = 0, η k = lk , при
будем обозначать характеристических функций (8.4) нам понадобятся их конструктивные определения с помощью ассиметричных ступенчатых единичных функций Хэвисайда [2]:
0, η ≤ 0 0, η < 0 θ + (η ) = θ − (η ) = 1, η 0, > 1, η ≥ 0.
(8.7)
С помощью (8.7) легко представить характеристические функции открытых ( m)
областей Ωk
= {η ∈ (ηk −1 , ηk )}. Они сведены в таблицу (8.1)
Таблица 8.1
Характеристические функции Область
Ωk( ) 1
Ω+( ) 1
Ω0(
2)
Ωk(
Характе χ k(1) ( x ) = χ 1 x = χ ( 2) ( r ) = ( ) 0 ристиче = θ+ ( x ) − + = θ+ ( x ) = θ− ( r ) − ская −θ− ( x − lk ) −θ− ( r − r ) функция 0 области
2)
Ω+(
2)
Ω0(
3)
Ωk(
( 2) ( r ) =
3)
Ω+(
3)
χ +( 2 ) ( r ) = χ 3 r = χ 3 r = χ +( ) ( r ) = k ( ) 0 ( ) = χ +( 2 ) ( r ) = θ r − r ( ) 0 + = θ+ ( r − r ) 2 2 k −1 = χ (r ) = χ (r ) 0 k
χk
(
−θ− r − r k
3
)
Как видно из таблицы 8.1, характеристические функции для сферических областей ( m = 3) совпадают с таковыми для цилиндрических областей
( m = 2 ).
Область (и характеристическая функция)
Ω0( ) тождественна 1
(i )
области Ω1 . Характеристические функции областей R ( i = 1, 2,3) тождественно равны 1. Свойства характеристических функций продемонстрируем для случая m = 1 (при m = 2,3 все аналогично). Рассмотрим область (1)
16
= { x ∈ ( 0, L )}. Исключим из нее («выколем») точки x = x , x = x , Ω 1 2
x = xN −1 ( N < ∞ ) . Получим систему открытых областей (не имеющих попарно общих точек) ωk
(
)
= { x ∈ ( xk −1 , xk )} , k = 1, N , x0 = 0, xN = L .
Объединение всех областей ωk дает область
Ω, такую, что Ω = Ω
(поскольку N исключенных точек имеют меру нуль). Если просуммировать характеристические функции областей ωk − χ k x , то получим:
( )
1, x ∈ Ω, 0, x ∈ Ω,
N
χk ( x ) = χΩ ( x ) = k =1
(8.8)
т.е. свойство характеристических функций: сумма характеристических функций открытых областей ωk , образующих область Ω , равна характеристичес-
кой функции области Ω . Следующее, очевидное свойство характеристических функций – их идемпотентность:
χ kn ( x ) = χ kn −1 ( x ) = = χ k ( x ) , n = 2,3,
Характеристические функции а функции
χ k ( x ) / ωk
1/ 2
χk ( x )
образуют в
Ω
(8.9)
ортогональную,
− ортонормированную систему:
ωk , dx χ x χ x δ ω 0 k ( ) j ( ) = k j j = 0, L
j = k, j ≠ k.
(8.10)
§103. Обобщенные функции В фундаментальной и прикладной математике известны различные подходы к изложению теории обобщенных функций и их приложений [2-14]. Далее, используя эти источники, изложение ведем на «физическом уровне строгости». Достаточным для построения и исследования базисных моделей будет знание основных свойств δ − функций Дирака и их производных. Основное свойство δ − функции формулируется следующим образом [14]: x0 + a
f ( x )δ ( x − x ) dx = f ( x ) , 0
0
x0 − a
17
a > 0.
(8.11)
Используя обозначения [12], (8.11) можно записать в виде:
f ( x ) , δ ( x − x0 )
ω
= f ( x0 ) , ω = { x ∈ ( x0 − a, x0 + a )}
(8.12)
Из (8.12) следует соотношение
f ( x ) δ ( x − x0 ) = f ( x0 ) δ ( x − x0 ) . Если в (8.12) положить
f ( x ) = 1,
то получим:
δ ( x − x0 ) , 1 ω = χω ( x0 ) .
(8.13)
Кроме определения δ − функции как функционала – (8.12), или как предела последовательности функций [12, 13], известно также соотношение [2]:
dθ ( x ) 1, x > 0 δ ( x) = , θ ( x) = dx 0, x < 0,
(8.14)
θ ( x ) − симметричная единичная ступенчатая функция Хэвисайда. Как легко проверить, δ ( x ) по (8.14) удовлетворяет (8.13) (при x0 = 0, ∀a > 0 ).
где
Если аналогично (8.14), используя (8.7), определить асимметричные функции δ −
( x) и δ+ ( x) :
δ− ( x) =
dθ − ( x ) dθ ( x ) , δ+ ( x) = + , dx dx
(8.15)
то они будут удовлетворять соотношениям вида (8.13) (где x0 = 0 ) при несимметричных пределах интегрирования: 0
a
δ ( x ) dx = 1, δ ( x ) dx = 1, −
+
−a
Функции
δ− ( x)
δ ( x + 0 ).
a > 0.
(8.16)
0
и
δ+ ( x)
можно также записывать, как δ ( x − 0 ) и
18
Посредством асимметричных δ − функций могут быть представлены производные характеристических функций:
d χ k( ) ( x ) d = (θ + ( x ) − θ − ( x − lk ) ) = δ + ( x ) − δ − ( x − lk ) , dx dx δ + ( x ) = δ ( x + 0 ) , δ − ( x − lk ) = δ ( x − ( lk − 0 ) ) , 1
lk
(8.17)
lk
δ ( x ) dx = δ ( x − l ) dx = 1. +
−
0
(8.18)
k
0
Аналогичные соотношения следуют и для других характеристических функций из табл.8.1. Таким образом, функцииθ ( x ) , θ − ( x ) , θ + ( x ) также можно отнести к классу обобщенных, как и функции вида θ ( x ) f ( x ) , θ − ( x ) f ( x ) , θ + ( x ) f ( x ) , где f ( x ) − произвольная кусочно-непрерывная функция, определенная при x ∈ R( ) . Правило вычисления n-й производной от δ − функции имеет вид [14]: 1
f ( x), δ
(n)
( x − x0 ) ω = ( −1)
n
d n f ( x) , δ ( x − x0 ) n dx
n
ω
= ( −1) f (
n)
( x0 ) .
(8.19)
Из (8.19) следуют важные соотношения:
f ( x ) δ '( x )
ω
= − f '(0) ,
f ( x ) δ '( x ) = f ( 0 ) δ '( x ) − f '( 0 ) δ ( x ). (8.20)
Из определения трехмерной δ
− функции [2]:
δ ( x, y, z ) dx dy dz = 1, 3 R( )
можно показать, используя теорему Фубини [15], что
δ ( x, y , z ) = δ ( x ) δ ( y ) δ ( z ) .
(8.21)
Для систем координат, отличных от декартовой, выражения для неодномерных δ − функций приводятся в литературе [2,14]
19
Поскольку области
Ωk(
2)
и
Ωk(
3)
, хотя и могут быть одинаково
описаны условием r ∈ ( rk −1 , rk ) , различаются размерностью, интегралы типа (8.13) для них должны отличаться. Чтобы в обоих случаях эти интегралы равнялись единице, необходимо учитывать симметрию δ − функций (независимость их от угловых координат ϕ и θ ) и использовать нормировочные множители. В итоге δ − функции областей (иногда будем их называть слоевыми δ − функциями) принимают вид:
(m)
δk
χ k( m ) (η ) (η − η ') = m−1 δ (η − η ') , 2π m η
(8.22)
где: k=0,1,2,…; m=1,2,3; m = ( 2π ) при m=1 и m = m − 1 при Из (8.5), (8.13) и (8.22) следует: −1
(m)
δk (η − η ') dωk( m ) (η ') =
Ω k
m = 2,3.
ηk
δ (η − η ') dη ' = 1 η
(8.23)
k −1
Приведенных выше соотношений для δ − функций и их производных еще недостаточно для решения краевых задач, в частности построения функций Грина для различных областей. Предлагаемый нами простой и стандартный метод определения функций Грина для всех одномерных областей (слоев) основан на аналитическом представлении δ − функций: в (m) виде бесконечных рядов для конечных областей Ωk и в виде интегралов i m для неограниченных R , ( i = 1,2,3) и полуограниченных Ω+( ) областей.
(
)
(
)
В случае конечных областей рассмотрим классы функций m m m f (η ) ∈ L Ω( ) и q (η ) ∈ D ' Ω( ) (где L Ω( ) − класс функций с
2
(
)
k
(
( интегрируемым в Ωk
с носителями в Ω
(m)
k
f ,q
Ω( m ) k
=
m)
( m)
k
)
(
2
)
(
k
)
( m) − класс обобщенных функций квадратом, а D ' Ω
k
). Определим скалярное произведение функций:
( )
ηk
η m−1 f (η ) q (η ) dη η
f η q (η ) d ω (η ) = 2π m
k −1
Ω k
20
(8.24)
{
( m)
∞
}
(m)
− полная и f (η ) =ψ n (η ) , а система функций ψ n (η ) n=1 ( m) ортонормированная в Ω . Разложение в ряд по этим функциям функции k q (η ) имеет вид: Пусть
∞ m m m m q (η ) = qn( )ψ n( ) (η ) , qn( ) = q (η ) ,ψ n( ) (η ) . m n=1 Ω k m ( ) η − η ' ) из (8.25) находим: Положив q (η ) = δ k (
m ( m) (m) qn = δ (η − η ') ,ψ (n )(η ) k
Ω (m) k
m = ψ (n ) (η ') .
(8.25)
(8.26)
Подстановка (8.26) в (8.25) дает:
∞ m m m δ ( ) (η − η ') = ψ n( ) (η )ψ n( ) (η ') . (8.27) k n=1 ∞ (m) ( m) Конкретный вид функций ψ n (η ) определяется формой области Ω k 1
{
}
и будет найден далее, в ходе вывода выражений для всех функций Грина ( m ) ( m ) i областей Ω , Ω+ , R ( i = 1,2,3) .
k
В случае неограниченных (полуограниченных) областей, полной ∞ ( m) счетной системы функций ψ n (η ) не существует [15]. В качестве
{
}1
аналога (8.27) будем искать интегральное представление δ − функций. Вводим прямое и обратное интегральные преобразования вида:
f ( χ ) = K m ( x,η ) , f (η )
m Ω (+ )
,
−1 f (η ) = K m ( x,η ) , f ( χ )
m Ω (+ )
(8.28)
−1 ( x,η ) − ядра прямого и обратного интегральных Здесь: K m ( x,η ) и K m (m) преобразований, интегрируемые по . χ и η в Ω+ и равные нулю при χ ,η → ∞; f (η ) ∈ L1 Ω(+m) − классу функций с интегрируемым в Ω+( m )
(
)
−1 модулем. Выбирая для m = 1, 2, 3 различные K m ( x,η ) и K m ( x,η ) , можно (8.28) представить как интегральные преобразования Фурье, Ханкеля и т.д.
21
Подставляя первое из выражений (8.28) во второе и воспользовавшись теоремой Фубини, найдем:
f (η ) = K m−1 ( xη ) , K m ( xη ' ) , f (η ')
Ω (+m )
Ω( m ) +
−1 ( x,η ) , K ( xη ') = f (η ') K m , m m m Ω+ Ω+
= (8.29)
откуда следует искомое интегральное представление δ − функций для (m)
областей Ω+
: δ+( m ) (η − η ' ) = K m−1 ( χη ) , K m ( χη ' )
(8.30)
Ω+( m )
Интегрирование в (8.30) осуществляется по переменной
χ.
§104. Кусочно-монотонные функции К ним относим кусочно-непрерывные функции, у которых первая производная в каждом из интервалов непрерывности не меняет знака, иначе говоря, либо только возрастает или убывает. Такие функции характерны для решений большинства краевых задач теплофизики – полей потенциалов тепло-и массопереноса. Ими же задаются начальные распределения температур и концентраций, плотности источников (стоков) тепла и вещества [16-18]. Температурные поля (и иные, описываемые линейными уравнениями в частных производных параболического типа) в неограниченных и полуограниченных областях, характерных для моделей теплофизики шахт, инфинитны, т.е. простираются (хотя и сильно стабилизируются с расстоянием) до бесконечности. Однако для любых конечных моментов времени и на конечных расстояниях от границы области они пренебрежимо мало отличаются от начальных («фоновых») значений. Граница этой, аналогичной пограничному слою в гидродинамике,
δ ( t ) перемещается со временем и может быть определена из условия U ( δ ( t ) , t ) U 0 , где xδ = δ ( t ) − «радиус финитности», U 0 − фоновое значение поля. охлажденной (либо прогретой) зоны горного массива -
→ U ) , t > 0. (U ( x, t ) x→∞ 0
Такие
функции
U ( x, t )
квазифинитными [1], поскольку при x > δ ( t )
22
были
названы
U ( x, t ) − U 0 0 [19].
Таким образом, в класс кусочно-монотонных функций могут быть включены и квазифинитные функции.
{ (
)}
Ω = x ∈ 0, L . Характеристическая Рассмотрим область функция этой области, согласно (8.8) есть сумма характеристических
{ (
функций подобластей ω = x∈ xk −1 , xk k
)},
(
)
k =1, N , x0 = 0, x N = L . Если
задать функцию U ( x ) , ограниченную и кусочно-монотонную в Ω (монотонную в каждой из подобластей ωk ), то обобщенную функцию U ( x ) = χ ( x ) U ( x ) можно представить в виде: Ω
N 1, x ∈ ω k U ( x ) = U k ( x ) , U k ( x ) = χ k ( x ) U ( x ) , χ k ( x ) = k =1 0, x ∈ ω k
(8.31) Здесь U k ( x ) − обобщенные и финитные функции, а функция U ( x ) финитна либо квазифинитна. Выделим важные для дальнейшего, простые подклассы функций U ( x ) : 1) степенные функции -
k U ( x ) x m x ∈ ω , m ∈[0, ∞) k k
(
)
2) экспоненциальные функции. Частным случаем степенных являются кусочно-линейные функции - U
(
)
x x x ∈ω . k( ) k
Подкласс степенных функций U циями вида
x можно аппроксимировать функk( ) m
x k k U k ( x ) = χ k ( x ) ϕm( ) ( x ) , ϕ m( ) ( x ) = U k −1 + (U k − U k −1 ) , (8.32) lk где
U k −1 = U k ( x )
x = xk −1 ,
U k = U k ( x )
x = xk , lk
= xk − xk −1 , m ∈ [0, ∞).
(k )
В общем случае m = m ( k ) , а ϕ m ( x ) − возрастающая (при U k −1 < U k ) либо
(k ) x − ( ) линейная,
убывающая (при U k −1 > U k ) функция. При m = 1 функция ϕ 1
(k )
а при m = 0 из (8.32) следует ϕ 0 ( x ) = U k = C1. В случае m → ∞ имеем (т.к.
23
x k < 1 ): ϕ (∞ )( x ) = U k −1` = C2 ( C1 , C2 = const ). Функции вида (8.32) lk
являются функциями ограниченной вариации на ωk . Линейные функции – частный случай степенных, они следует из (8.32) при m = 1 :
x lk
ϕ 1( k )( x ) = U k −1 + (U k − U k −1 ) , x ∈ ωk .
(8.33)
Они весьма удобны, при решении задач методом функций Грина, для аппроксимации функций начального распределения температуры и плотности источников тепла. Еще более удобен, для этих же целей, подкласс ступенчатых функций, которые получаются из (8.32) при m = 0 и m → ∞ . Подкласс экспоненциальных функций можно представить в виде, пригодном для аппроксимации финитных и квазифинитных функций:
x k k U k ( x ) = χ k ( x ) ψ β( ) ( x ) , ψ β( ) ( x ) = U k −1 + (U k − U k −1 ) 1 − exp − β lk (8.34) Здесь параметром аппроксимации является β , а lk для квазифинитных функций имеет смысл «радиуса финитности». Независимо от способа определения параметра β , он должен удовлетворять неравенству exp ( − β ) 1.
§105. Операции и операторы
Раннее, в §§102, 103 были определены характеристические и обобщенные функции и основные операции – дифференцирование и интегрирование. Было также определено (формулой (8.24)) скалярное произведение двух функций. Пусть
() (km) = Ω (km)× R+ ( t ) , 1
(1)
R+ ( t ) = {t ∈ ( 0, ∞ )} , а D '
класс обобщенных функций с носителями в
(
m) k
( (km) ) −
. Для функций
m m fk (η , t ) = χ k( ) (η )θ + ( t ) f (η , t ) , qk (η , t ) = χ k( ) (η )θ + ( t ) q (η , t ) ,
fk , qk ∈ D '
( ( ) ) m k
обозначим:
fk , qk
Ω (m) k
= Ω
( m ) dω (η ') f (η ,η ', t ) qk (η ', t ) , k
24
(8.35)
t
f * q = f η ,η ', t − τ q η ',τ dτ . ) k( ) k (t ) k k ( 0
(8.36)
Выражение (8.35) аналогично (8.24), а (8.36) – свертка двух функций по времени. Свойства сверток функций излагаются подробно в [9,10]; основные из них:
∂fk ∂qk ∂ * * * f q = q = f . ∂t k ( t ) k ∂t ( t ) k ∂t ( t ) k
f * q = q * f , k (t ) k k (t ) k
(8.37) Композицию операций (8.35) и (8.36) вводим формулой:
fk * qk (t )
t
Ω( m ) k
ηk
=
(η ') η
= 2π m
k −1
Операция
m dω (η ') dτ fk (η ,η ', t − τ ) qk (η ',τ ) =
Ω( ) k m −1
0
(8.38)
t
dη ' dτ fk (η ,η ', t − τ ) qk (η ',τ ) . 0
усреднения
f ( x, t )
функции
{ ( k −1, xk )} записывается так:
по
области
ω = x∈ x k
f
ωk
≡ f ( x, t ) ,1 ω ωk k
−1
=
1 lk
xk
f ( x, t ) dx. x k −1
(8.39)
Подробно операции скалярного и произведения и свертывания функций изложены в [10,12,15]. Для нас представляют интерес и другие операции: дифференцирование , интегрирование и предельные переходы под знаком интеграла. Дифференцирование сверток по времени уже определено (8.37), а дифференцирование по η под интегралом обосновывается использованием свойств δ − функций и теоремой Фубини [20]. Последней обосновывается и интегрирование по параметру под знаком интеграла (в частности, по η в (8.38)). Предельные переходы по параметру под знаком интеграла также не вызывают затруднений. В классическом анализе достаточным условием возможности такого перехода является равномерная ограниченность подынтенгральной функции. Если последняя отсутствует (что возможно при работе с обобщенными функциями), то можно воспользоваться известной в функциональном анализе теоремой Лебега [15],требующей лишь интегрируемости подынтегральной функции. При физически корректном подходе, это 25
условие всегда соблюдается. Строгие и подробные обоснования рассмотренных операций имеются в [11]. Рассмотрим используемые далее операторы – символы операций. Выражения (8.28) в операторном виде:
f (ξ ) = Kˆ m { f (η )} ,
f (η ) = Gˆ m { f (ξ )} ,
(8.40)
−1, Kˆ − интегральные операторы с соответствующими где Gˆ m = Kˆ m m ядрами. Оператор интегрального преобразования Лапласа по времени t обозначается Λˆ , лаплас - трансформанты снабжаются чертой сверху, а параметр преоб-разования обозначается p :
∞ ˆ f ( t ) ≡ e− pt f ( t ) dt. f ( p) = Λ 0
{ }
(8.41)
Операторы дифференцирования по времени и по координате будем обозначать, соответственно:
∂U (η , t ) ∂U (η , t ) ∂ 2U ∂ 2U 2 ≡ ∂tU , ≡ ∂t U , = ∂ηU , ≡ ∂η2U . ∂t ∂η ∂t 2 ∂η 2 Дифференциальный оператор «лапласиан» («набла» в квадрате) Δ = ∇ 2 :
(
)
ΔU ( x, y , z ) = ∇ 2U ( x, y , z ) = ∂ 2x + ∂ 2y + ∂ 2z U .
(8.42)
В других системах координат, операторы ∇ и ∇ 2 = Δ выражаются более сложным образом [2,3] и приводятся далее, при рассмотрении неодномерных моделей. Для симметричных одномерных полей (не зависящих от ϕ в (m) полярной и от ϕ ,θ в сферической системах координат) в областях Ωk и m Ω+( ) ( m = 1, 2,3, k = 0,1, 2,) , оператор Δ можно записать в виде:
∂ m−1 ∂ 2 = 1 Δ = Δm = ∇m η m 1 − η ∂ ∂η η
где
x, m = 1, η= r , m = 2,3.
26
(
)
1−m ∂η η m−1∂η , (8.43) =η
Понимая везде далее, что U = U (η , t ) − одномерное скалярное поле, которое, не ограничивая общности, можем считать полем температуры, запишем в операторном виде основные уравнения теории теплопроводности – Фурье и Фурье – Кирхгофа. Уравнение Фурье в облас( m) ти Ωk :
∂ tU k − ak ∇ m2 U k = f k (η , t ) ,
Здесь:
U k = U k (η , t ) ,η ∈ Ωk( ) , t > 0.(8.44) m
f k (η , t ) − функция плотности источников тепла, a − коэффициент k
температуропроводности среды. Обобщение (8.44) – уравнение ФурьеКирхгофа учитывает конвективную составляющую потока тепла и его линейную конверсию (поглощение или генерацию):
∂ tU k − ak ∇ 2mU k + ϑk ∂ηU k + hkU k = f k (η , t ) , η ∈ Ωk( ) , t > 0 m
.(8.45)
Здесь: ϑk = ϑk (η , t ) − поле скоростей сплошной среды, hk − коэффициент конверсии ( hk > 0 − поглощение. hk < 0 − генерация тепла). Уравнения (8.44) и (8.45) можно записать более компактно:
L (0 ){U k } = f k , L 1( ){U k } = f k , m
m
(8.46)
( m) (m) где операторы L и L имеют вид:
0
1
L(0 ) = ∂ t − ak ∇ 2m ; L1( ) = ∂ t − ak ∇ 2m + ϑk ∂η + hk . m
m
Более сложные уравнения теплопереноса в неоднородных и нелинейных средах также могут быть записаны в операторном виде.
§106. Аппроксимация функций В качестве входных данных математических моделей теплофизики шахт (начальных и граничных функций, функций плотности источников тепла, зависимостей параметров от времени или координат) зачастую используются те, которые получены шахтными замерами (после их статистической обработки или без нее), заданные графически или таблично. Естественно подвергнуть эти, обычно «зашумленные» данные предварительной обработке – представить их (аппроксимировать) наиболее простым
27
образом. В качестве таких аппроксимаций в §104 были предложены два класса функций – степенные и экспоненциальные. Для оценки невязки (расхождения) заданной в области
ω = { x ∈ ( 0, l )} функции f ( x ) (результата описания табличных данных
либо решения «предшествующей» краевой задачи) и аппроксимирующей ее функции fˆ ( x ) , вводим нормы [15]:
f ( x)
l
L1 (ω )
= f ( x ) dx,
f ( x ) C ω = max f ( x ) . ( )
0
(8.47)
x∈ω
Знак модуля в (8.47) опускаем, как несущественный (т.к. абсолютная температура, концентрация и другие величины положительны). Не ограничивая общности, рассматриваем далее монотонно возрастающие функции. Определяем:
δ L (ω ) = l −1 f ( x ) − fˆ ( x ) 1
L1 (ω )
, δ C (ω ) = f ( x ) − fˆ ( x )
C (ω )
.
(8.48)
Знаки величин δ L (ω ) и δC (ω ) можно считать всегда положительными (в 1 противном случае достаточно в (8.48) поменять местами f ( x ) и fˆ ( x ) ).
Вводим комбинированную норму f ( x ) CL : 1
f ( x)
CL 1
=
{
1 −1 l f ( x) 2
L (ω )
+ f ( x)
C (ω )
}
(8.49)
Из (8.48) и (8.49) следует:
f ( x ) − fˆ ( x )
CL 1
=
(
)
1 δ L1(ω ) + δ C (ω ) ≡ δ CL 1 . 2
Для минимизации погрешности аппроксимации
(8.50)
f ( x ) → fˆ ( x ) по норме
... CL согласно (8.50), необходимо минимизировать δ L (ω ) и 1 1
δ C (ω ) , что
сделать одновременно затруднительно. Поэтому, исходя из физического смысла нормы L 1(ω ) − количества тепла в области ω в данный момент времени (с точностью до множителя), будем считать оптимальной
28
аппроксимацией (ОА) ту, которой соответствует случай δ L (ω ) = 0. Тогда из 1 (8.50) следует, что для ОА:
1 2
δ CL (ω ) = δ C (ω ) 1
(8.51)
Если потребовать совпадения граничных (при x = 0 и при x = l ) ˆ ˆ то обе значений функций, когда f ( 0 ) = f ( 0 ) = f − , f ( l ) = f ( l ) = f + , аппроксимации - степенная и экспоненциальная определяются, каждая, одним параметром (в первом случае - m , во втором - β ). Определение этих параметров требует одного уравнения – равенства усредненных по области ω величин:
f ( x)
ω
= fˆ ( x )
Это – случай ОА, т.к.
f
L 1(ω )
l
ω
l
1 1 = f ( x ) dx = fˆ ( x ) dx l0 l0
= fˆ
(8.52)
. Подставив в (8.52) выражение L 1(ω )
m
x fˆ ( x ) = f − + ( f + − f − ) , l находим:
m= В случае, когда
f+ − f f
ω
ω
− f−
.
(8.53)
x fˆ ( x ) = f − + ( f + − f − ) 1 − exp − β , l
(экспонен-
циальная аппроксимация), подстановка этого выражения в (8.52) дает
β=
f+ − f− , β > 1. f+ − f ω
(8.54)
Сформулированный ранее критерий – ограничение на (8.54). Аппроксимация кусочно-монотонной функции (произвольной, заданной аналитически) кусочно-постоянной (ступенчатой) функцией возможна
{ (
при разбиении области ω на N ..- подобластей ωk = x ∈ xk −1, xk
29
)}. Тогда:
lk f ( x ) Поскольку fˆ = f
k
ωk
=
xk
xk
f ( x ) dx = fˆ ( x ) dx = fˆk lk . x x
(8.55)
k −1
k −1
ω , аппроксимирующую ступенчатую функцию можно
представить в виде:
k
N ˆf ( x ) = χ ( x ) fˆ , χ ( x ) = 1, x ∈ ωk , k k k k =1 0, x ∈ ωk .
(8.56)
Погрешность ОА определяется (8.50). Если во всех подобластях ω k f ( x )
(k ) x ( )
была предварительно аппроксимирована степенной функцией ϕm согласно (8.32), то получим:
1 2
δ CL (ωk ) = max 1
{( f ( x ) − fˆ ) , ( fˆ − f ( x ))}. k
k
k −1
k
(8.57)
Рассмотрим метод аппроксимации монотонной (пусть - монотонно убывающей) функции f ( x ) в области Ω = { x ∈ ( 0, L )} кусочно-линейной функцией. Ранее изложенный подход не используем, а следуя [1], разбиваем область Ω на подобласти
{
}
Ωk = x ∈ ( xk −1, xk ) , k = 1, N , x0 = 0, xN = L. Обозначим:
f ( 0 ) = max f ( x ) = f 0 , f ( L ) = min f ( x ) = f L , f ( xi ) = fi . Ω
Потребуем равенства норм для
f
L1 Ωk
=
f ( x)
Ω f ( x ) dx = k
Ω
и
fˆ
fˆ ( x ) :
( )
L1 Ωk
=
Ω fˆ ( x ) dx.
(8.58)
k
Функция fˆ ( x ) имеет вид: N
fˆ ( x ) = χi ( x ) fˆi ( x ) , i =1
fˆi ( x ) = yi −1 + Ki ( x − xi −1 ) ,
y0 = f 0 . (8.59)
Коэффициенты Ki находятся подстановкой (8.59) в (8.58):
2 K i = ( f i − yi −1 ) , li С учетом этого, можно записать: 30
x
1 i fi = f ( x ) dx. li x i −1
(8.60)
2 fˆi ( x ) = yi−1 + ( fi − yi −1 ) ( x − xi−1 ) , l0
fˆ ( xi ) = yi .
(8.61)
Из (8.61) выражаем yi :
yi = fˆ ( xi ) = yi −1 + 2 f i − 2 yi −1 = 2 f i − yi −1 , y1 = 2 f1 − y0 = 2 f1 − f 0 ,
(8.62)
y2 = 2 f 2 − y1 = 2 f 2 − 2 f1 + f 0 , y3 = 2 f3 − y2 = 2 f3 − 2 f 2 + 2 f1 − f 0 ,... . Обозначив f 0 = 0,5 f 0 , (8.62) записываем в виде:
y0 = 2 f 0 , y1 = 2 f 2 − 2 f 0 , y2 = 2 f 2 − 2 f1 + 2 f 0 i
yi = 2 fi − 2 fi −1 + 2 fi − 2 − + ( −1) 2 f 0 = 2 ( −1) i
i+ j
fj .
j =0
(8.63) Таким образом, задача определения всех yi , а по (8.61) и всех fˆi ( x ) , сведена к задаче нахождения по (8.60) величин fi . Найдем максимальную погрешность аппроксимации на каждом из интервалов Ωk и в области Ω в целом. При x = x0 = 0 : f ( 0 ) = f 0 = fˆ1 ( 0 ) . Тогда:
(
)
δ1 = max f ( x ) − fˆ1 ( x ) = f1 − y1 = f1 − 2 f1 + f 0 = (Ω1 )
f +f f +f = 2 0 1 − f1 = 2 ( f10 − f1 ) = 2Δ1 , f10 = 0 1 , 2 2 δ 2 = max f ( x ) − fˆ2 ( x ) = f 2 − 2 f 2 + 2 f1 − f 0 = 2 ( Δ 2 − Δ1 ) , ( Ω2 ) f +f Δ 2 = f 20 − f 2 , Δ1 = f10 − f1 , f 20 = 1 2 . 2
(
)
Продолжая этот процесс далее, получаем:
31
( (Ωn )
)
n
i+n δ n = max f ( x ) − fˆn ( x ) = 2 ( −1) Δi , Δi fi 0 − fi , i =1
fi 0 =
fi −1 + fi . 2 (8.64)
(
)
Ряд в (8.64) знакопеременный (т.к. все Δ i > 0 i = 1, N ) и сходящейся при
n → ∞. Это позволяет применить этот алгоритм и к области Ω+ = { x ∈ ( 0, ∞ )}. По свойству знакопеременных рядов [2], для любого n : δ n ≤ 2Δ1 ,
(
)
max f ( x ) − fˆ ( x ) = δ1 = 2Δ1. (Ω)
Максимальная ошибка аппроксимации – в точке монотонно убывает, стремясь к нулю при n → ∞.
x = x1 ,
при
(8.65)
x > x1
она
Глава 34. ОБОБЩЕННЫЕ ПОСТАНОВКИ И СТРУКТУРЫ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ §107. Обобщенная постановка задач
В большинстве руководств по теплофизике [16-18,21-24] и по математической физике для физиков и инженеров [3,4,25-30] используются классические постановки краевых задач теплопроводности. Типичная задача теплопроводности в конечной открытой области D с границей ∂D = D − D ( D − замкнутая область) имеет, в классической постановке, вид [14]:
L0 {U ( x, t )} = f ( x, t ) , x ∈ D, t > 0, Г {U ( x, t )} = q ( x, t ) , x ∈ ∂D, t > 0, N {U ( x, t )} = U 0 ( x ) , x ∈ D, t = 0.
(8.66)
Здесь: L0 − оператор уравнения теплопроводности (первая из формул (8.46)); f ( x, t ) - функция плотности внутренних источников (стоков) тепла в области D; Г , N − операторы граничных (I-го, II-го или III-го рода) и начального f ( x, t ) , q ( x, t ) , U 0 ( x ) − интегрируемые условия соответственно; и ограниченные в D × ( 0, T ) функции ( t ≤ T < ∞ ) . Классические решения краевых задач (8.66) имеют свойства [3]: 1). Функция U = U ( x, t ) определена и непрерывна в замкнутой области D и при t ∈ [0, T ]; 2).Функция U ( x, t ) 32
удовлетворяет первому из уравнений (8.66) в области D при t > 0; 3). U ( x, t ) удовлетворяет граничным и начальному условиям (двум последним уравнениям (8.66); 4). Граничные и начальные условия согласованы. Аналогично формулируются и задачи Коши (т.е. задачи без граничных условий для бесконечных областей), задачи для полупрямой (полупространства), где задается одно граничное условие при z = 0 (область z > 0 ), краевые задачи для конечных областей различной формы и размерности [3,4,16-18, 27-30].Задачи считаются правильно поставленными (корректными по Адамару), если решения их: а) существуют; б) единственны; в) устойчивы (т.е. когда малое возмущение входных данных задачи вызывает такое же изменение решения). В моделях шахтного тепломассопереноса часто оказывается, что граничные условия не согласуются с начальными. Функции плотности источников тепла также, в общем случае, могут быть разрывными по пространственным координатам и времени. При моделировании аварийных режимов возможны разрывные краевые условия. В этих ситуациях необходимо использовать обобщенные функции (ступенчатые, δ − функции и их производные). Идеи использования обобщенных функций и поиска обобщенных решений краевых задач (формулируемых в обобщенной постановке) возникли и стали использоваться в математической физике (и, в частности, в теории теплопроводности) во второй половине ХХ-го века; исторический обзор и различные подходы излагаются в [31]. Класс обобщенных функций включает в себя и кусочно-непрерывные функции. Использование обобщенных функций позволяет моделировать сложные нестационарные процессы переноса, для которых характерны разрывные входные данные или (и) параметры моделей. При этом аппарат обобщенных функций позволяет избегать трудностей обоснования многих математических операций (при работе с непрерывными функциями) [510,12,15].Мы ограничимся далее, как достаточным для наших целей и обобщенных функций, ступенчатыми функциями, δ − функциями и их производными. Обоснование использования этих функций, правила работы с ними при решении краевых задач математической физики (и теории теплопроводности в частности) подробно изложены в [5-10, 13,14,32,33]. Переход от классической постановки к обобщенной продемонстрируем на примере первой краевой задачи для уравнения (m) теплопроводности в области Ωk . Уравнение m m m m ∂ tU k( ) = ak ∇ m2 U k( ) + f k , U k( ) = U k( ) η , t , m = 1, 2,3, t > 0 ,
(
)
(8.67)
0,
m =1
l , m = 1,
, ηk = η+ = k η ∈ Ωk( m ) = {η ∈ (η k −1 ,η k )} , η k −1 = η− = rk , m = 2,3. rk −1, m = 2,3
33
необходимо решить при начальном
U k(
m)
(η1 + 0 ) = U k( m) (η , t )t =+0 = ϕk (η ) , η ∈ (η− ,η+ )
(8.68)
и граничных условиях:
U k(
m)
(η− , t ) = μ (k− )( t ) ,
U k(
m)
(η+ , t ) = μ k( + ) ( t ) ,
t > 0.
(8.69)
Постановка задачи (8.67) – (8.69) классическая: функции ( m) ( −) (+) U k (η , t ) , f k (η , t ) , ϕk (η ) , μ k ( t ) , μ k ( t ) − «нормальные». Переход к обобщенной краевой задаче (ОКЗ) осуществляется продолжением функции m U k( ) (η , t ) нулем при t ≤ 0, для чего достаточно ввести обобщенную функцию m m U ( ) (η , t ) = θ ( t ) U ( ) (η , t ) . Здесь θ ( t ) − «правая» функция Хэвисайда, k
+
k
+
равная нулю при t ≤ 0 и единице при t > 0. Умножим соотношения (8.67) – (8.69) на θ + ( t ) и преобразуем левую часть уравнения (8.67):
θ + ( t ) ∂ t U k( m) (η , t ) = ∂ t U k( m) (η , t ) − ϕk (η ) δ + ( t ) .
(8.70)
Уравнение (8.67) принимает вид: m m ,Ψ =Ψ (η , t ) = f (η , t ) + ϕ (η ) δ ( t ) ∂ tU k( ) = ak ∇ 2m U k( ) + Ψ + k k k k k
(8.71)
(η , t ) − функция плотности обобщенного Здесь fk (η , t ) = θ + ( t ) f k (η , t ) , Ψ k источника (ФПОИ), содержащего и начальное условие. Граничные условия к обобщенному уравнению (8.71) принимают вид: m − m + U k( ) (η , t )η =η = μ (k )( t ) , U k( ) (η , t )η =η = μ (k )( t ) , −
+
μ k ( t ) = θ + ( t ) μ k ( t ) (±)
(±)
(8.72)
Задача (8.67) – (8.69) (в классической постановке) преобразована в ОКЗ (8.71), (8.72). Последняя проще, поскольку начальное условие для ( m) обобщенной функции U k (η , t ) − однородное:
U k( m ) (η , t )t =0 = θ + ( t )U k( m ) (η , t ) = 0 t =0 34
(θ ( 0 ) = 0 ) +
§108. Биобобщенная постановка задач
Решение краевых задач обычно начинают с упрощения их – приведения к однородным граничным и начальным условиям [3,4,7-9]. Последнее реализуется переходом к обобщенной постановке аналогично (8.71), (8.72), излагается во многих руководствах по математической физике [8-10] и используется (хотя и достаточно редко) в приложениях (см. том I, часть 7). Переход к однородным граничным условиям осуществляется, как правило, представлением искомого решения в виде суперпозиции нескольких (в одномерном случае – двух) функций, с выделением «главной» из них – удовлетворяющей однородным граничным условиям, тогда как другие функции удовлетворяют заданным граничным условиям [3,4,18,21]. В [14] предложен общий метод перехода к однородным граничным условиям – приведение исходной задачи (в классической постановке) к т.н. задаче в стандартной форме: L0 {U ( x, t )} = ω ( x, t ) , x ∈ D, t > 0, (8.73) Г {U ( x, t )} = 0, x ∈ ∂D, t > 0, N {U ( x, t )} = 0, x ∈ D, t = 0. Здесь все обозначения соответствуют таковым в (8.66), кроме ω ( x, t ) − стандартизирующей функции. Утверждается [14], что существует (вообще говоря, не единственная) обобщенная функция ω ( x, t ) , линейно зависящая от f ( x, t ) , q ( x, t ) , U 0 ( x ) (см. (8.66)) и такая, что задача (8.73) эквивалентна задаче (8.66). В [14] доказывается теорема, утверждающая, что для неоднородной краевой задачи (заданной, в общем, более сложном виде, чем (8.66)) существует «по крайней мере одна» стандартизирующая функция, приводящая исходную задачу к стандартному виду (8.73). Определение ω ( x, t ) довольно сложно, при этом единственность ее не гарантируется. Этот метод вызывает вопросы: 1). Если ω ( x, t ) ∈ D '− обобщенная функция, почему в (8.73) фигурирует исходная (классическая!) функция U ( x, t ) ? 2). Является ли решение задачи (8.73) единственным, если отсутствует единственность ω ( x, t ) ? 3). Нельзя ли стандартизирующую функцию ω ( x, t ) определить проще и единственным образом? Наш ответ на последний вопрос – положительный, он заключается в переходе от (8.66) не к ОКЗ (8.71), (8.72), а к «биобобщенной» краевой задаче (БОКЗ). Кавычки далее опускаем, а термин БОКЗ (введен нами; впервые БОКЗ была сформулирована и решена в [34])- используем. Рассмотрим, в m m m качестве исходной, задачу (8.67) – (8.69). Для областей Ωk( ) , Ω0( ) , Ω+( ) , в табл.8.1 приведены характеристические функции
35
1.χ k(1) ( x ) = θ + ( x ) − θ − ( x − lk ) , χ k( 2 ) ( r ) = χ k( 3) ( r ) = θ + ( r − rk −1 ) − θ − ( r − rk ) , 2.χ 0(1) ( x ) = χ k(1) ( x ) , χ 0( 2) ( r ) = χ 0( 3) ( r ) = θ − ( r ) − θ − ( r − r0 ) , 3.χ +( ) ( x ) = θ + ( x ) , χ +(
2)
1
(8.74)
( r ) = χ +(3) ( r ) = θ + ( r − r0 ) .
Находим производные от характеристических функций (8.74):
d x χ k(1) ( x ) = δ + ( x ) − δ − ( x − lk ) , d r χ k( 2 ) ( r ) = d r χ (k3)( r ) = = δ + ( r − rk −1 ) − δ − ( r − rr ) ;
( 2)
( 3)
( r ) = d r χ 0 ( r ) = δ − ( r ) − δ − ( r − r0 ) ; 1 2 3 d x χ +( ) ( x ) = δ + ( x ) , d r χ +( ) ( r ) = d r χ (+ )( r ) = δ + ( r − r0 ) . dr χ0
(8.75)
Для значений нижнего индекса k = 0;1, 2,; +, биобобщенные функции m U ( ) (η , t ) и fk (η , t ) вводим соотношениями: k
m m m m U k( ) (η , t ) = θ + ( t ) χ k( ) (η )U k( ) (η , t ) , fk (η , t ) = θ + ( t ) χ k( ) (η ) f k (η , t ) . (8.76)
( ) Если в (8.67)-(8.69) все выражения умножить на θ + ( t ) χ k (η ) и осуществить с учетом (8.75), (8.76) тождественные преобразования, получим БОКЗ (m) относительно неизвестной биобщенной функции U (η , t ) . m
k
В случае m = 1; задача (8.67) – (8.69) имеет вид:
∂ tU k( ) = ak ∂ 2xU k( ) + f k , U k( ) = U k( ) ( x, t ) , x ∈ ( 0, lk ) , t > 0 , 1
1
1
1
(8.77)
U k( ) ( x, t ) 1
1
t =0
U k( ) ( 0, t ) = μk( 1
= U k( ) ( x,0 ) = ϕk ( x ) , x ∈ ( 0, lk ) , −)
(t ) , (1)
Умножив (8.77) на θ + ( t ) χ k
U k( ) ( lk , t ) = μ (k )( t ) , t > 0. +
1
(8.78) (8.79)
( x ) , получаем, с учетом (8.20), (8.70), (8.72):
1 1 1 ∂ tU k( ) = akθ + ( t ) χ k( ) ( x ) ∂ 2xU k( ) + fk ( x, t ) + ϕ k ( x ) δ + ( t ) ,
36
(8.80)
1 1 1 1 ∂ 2xU k( ) = ∂ x χ k( ) ( x ) ∂ x U k( ) + U k( ) (δ + ( x ) − δ ( x − lk ) ) =
χ k(1) ( x ) ∂ 2x U k(1) + μ (k− )( t ) δ +' ( x ) − μ (k+ )( t ) δ −' ( x − lk ) +
(
1 + ∂ xU k( )
)
x =+0
(
δ + ( x ) − ∂ xU k(1)
)
x =lk − 0
(8.81)
δ − ( x − lk ) ,
где
ϕk ( x ) = χ k(1) ( x ) ϕk ( x ) , U k(1) ( x, t ) = θ + ( t )U k(1) ( x, t ) , μ k( ± ) ( t ) = θ + ( t ) μ k( ± ) ( t ) .
Подстановка (8.81) в (8.80) позволяет записать БОКЗ в виде: (1) (1) (1) 2 (1) где
∂ tU k = ak ∂ xU k + Ψ k + Φ k + Rk ,
(8.82)
= Ψ x, t = f x, t + ϕ x δ t , Ψ ) k( ) k( ) +( ) k k( (1) x, t = − a μ ( − ) t δ ' x − μ ( + ) t δ ' x − l , Φ ) k ( k k ( ) +( ) k ( ) −( k ) R k(1) = R k(1) ( x, t ) = − ak ∂ xU k(1) δ + ( x ) − δ − ( x − lk ) .
(8.83)
(
)
Таким образом, по терминологии [14], получено стандартизированное уравнение (8.82) с определенной единственным образом стандартизирующей функцией ω ( x, t ) :
x, t + Φ (1) x, t + R (1) x, t . ω k ( x, t ) = Ψ ( ) ) k ( ) k k (
(8.84)
() Как следует из (8.76) и определений функций θ + ( t ) и χ k ( x ) , биобобщенная 1 функция U k( ) ( x, t ) удовлетворяет однородным граничным и начальному условию: 1
1 1 1 U k( ) ( 0, t ) = U k( ) ( lk , t ) = 0, U k( ) ( x,0 ) = 0 .
(8.85)
В случаях m = 2,3, задача (8.67) – (8.69) принимает вид:
(
∂ tU k( ) = ak r1− m ∂ r r m−1 ∂ rU k( m
U k(
m)
m)
( r ,0 ) = ϕk ( r ) ,
)+ f , k
U k( ) = U k( m
r ∈ ( rk −1 , rk ) ,
37
m)
( r, t ) ,
(8.86) (8.87)
U k(
m)
( rk −1 , t ) = μ (k−)( t ) ,
U k(
m)
( rk , t ) = μ (k+ )( t ) ,
t > 0.
(8.88)
( m ) r , t = θ t χ ( m ) r U ( m ) r , t , ϕ r = χ ( m ) r ϕ r ( ) +( ) k ( ) k ( ) k( ) k ( ) k( ) и
обозначив U k
( ) умножив (8.86) на θ + ( t ) χ k ( r ) , получим, после преобразований, m аналогичных случаю m = 1, БОКЗ для областей Ωk( ) ( k ≠ 0, m = 1,2,3) : m
m m (1) + R ( m ) , ∂ tU k( ) = ak ∇ 2mU k( ) + Ψ + Φ k k k = Ψ ( r , t ) − аналогична случаю m = 1, а где Ψ k k определены формулами:
(8.89)
(1) r , t Φ ) и Rk(m) ( r , t ) k (
(1) r , t = − a μ ( − ) t δ ' r − r − μ ( + ) t δ ' r − r , Φ ) k ( k k ( ) +( k −1 ) k ( ) −( k )
(8.90)
m − 1 ( m) m m R k( ) ( r , t ) = −ak ∂ rU k( ) + U k (δ + ( r − rk −1 ) − δ − ( r − rk ) ) . (8.91) r ( m)
Для областей Ω0 получаем БОКЗ вида:
( m = 2,3) ,
используя (8.75)аналогичным образом,
(1) + R ( m) +Φ ∂ tU 0( m) = a0∇m2 U 0( m) + Ψ 0 k o
Здесь, как и ранее, Ψ 0 ( r , t ) = f 0 ( r , t ) + ϕ 0 ( r ) δ + ( t ) , а для имеем выражения:
(8.92)
(1) и R ( m ) Φ 0 k
(1) ( r , t ) = a μ ( + )( t ) δ ' ( r − r ) , μ ( + )( t ) = U ( r , t ) , Φ 0 0 0 0 0 0 k − m −1 m R0( ) ( r , t ) = a0 ∂ rU 0 + U 0 δ − ( r − r0 ) . r
(8.94) (8.95)
Формулы (8.94) и (8.95) следуют, соответственно из формул (8.90) и (8.91), в которых необходимо положить:
k = 0, rk −1 = 0, rk = r0 , δ − ( r ) = δ + ( r ) = 0.
( ) Для областей Ω+ , БОКЗ также можно получить аналогичным m
образом, однако проще в формулах (8.90) и (8.91), где
38
rk −1 = η k −1 = η − ,
а
rk = η+ → ∞,
заметить, что δ − функции обращаются в нуль. Тогда получаем:
/ δ − (η − η + ) и δ − (η − η+ )
m m + Φ (1) + R ( m ) , m = 1,2,3 ∂ tU +( ) = a+∇ 2mU +( ) + Ψ + + k
= Ψ η , t = f η , t + ϕ η δ t , Ψ ) +( ) +( ) +( ) + +(
(1) (η , t ) = −a μ ( − )( t ) δ ' (η − η ) , μ ( − )( t ) = U ( m) (η , t ) , Φ k + + + − + + −
(8.96) (8.97) (8.98)
m = 1, 0, ( m) m − 1 (m) ( m ) R+ (η , t ) = −a+ ∂ rU + + U + δ + (η − η − ) , η− = η r0 , m = 2,3. (8.99)
§109. Решения в представлении граничных функций
ОКЗ (8.71), (8.72) можно решить методом функций Грина, называемым «представление граничных функций» (ПГФ). Для этого решение уравнения (8.71) представим в виде: m m m U k( ) (η , t ) = ϑk( ) (η , t ) + M k( ) (η , t ) ,
(8.100)
( m) где M k (η , t ) - граничная функция, удовлетворяющая (8.72): m − m + M k( ) (ηk −1 , t ) = μ k( ) ( t ) , M k( ) (η k , t ) = μ k( ) ( t ) .
(8.101)
( ) Функция ϑk (η , t ) в силу (8.72), (8.100), (8.101) удовлетворяет однородным граничным условиям: ϑk( m) ηk −1 , t = ϑk( m ) ηk , t = 0. (8.102) m
(
)
(
)
Подставив (8.100) в (8.71), получим: m m − ∂ M ( m ) + a ∇ 2 M ( m ) . ∂ tϑk( ) − ak ∇ m2 ϑk( ) = Ψ k t k k m k
(8.103)
( m) Выбор функции M k (η , t ) произволен, за исключением требования удовлетворению условиям (8.101), поэтому, с целью упрощения вида правой части (8.103) полагаем, что m ∇ m2 M k( ) η , t = 0. (8.104)
(
)
39
Здесь переменная t играет роль параметра. Решая подзадачу (8.104), (8.101), положим: m − + − m M k( ) (η , t ) = μ k( ) ( t ) + μ k( ) ( t ) − μ k( ) ( t ) β k( ) (η ) .
(8.105)
Подстановка (8.105) в (8.104) с учетом (8.101) дает:
∇ 2m β k(
m)
(η ) = 0, βk( m) (ηk −1 ) = 0, βk( m) (ηk ) = 1.
(8.106)
Решения (8.106) при m = 1,2,3:
β k(1) (η ) = ( 3)
ln ( r / rk −1 ) x 2 2 , β k( ) (η ) = β k( ) ( r ) = , lk ln α k ( 3)
β k (η ) = β k
r r−r r ( r ) = k k −1 , α k = k , Δ rk = rk − rk −1. r Δ rk rk −1
Этот метод решения ОКЗ пригоден для областей Ω
(m)
k
(8.107)
и не годится для областей
m m Ω( ) и Ω+( ) , для которых, в общем случае, решения (8.106) отсутствуют 0 (однако возможен предельный переход
rr −1 = r0 , rk → ∞).
β k( 3) ( r ) → β +( 3) ( r ) = 1 − r0 / r
при
( m) Поскольку функции M k (η , t ) определены (8.105), (8.107), уравнение (8.103) с учетом (8.104) можно записать в виде:
(∂
t
m m m m − ∂ M ( m ) , − ak ∇ 2m )ϑk( ) = L(k )ϑk( ) = Wk( ) (η , t ) = Ψ k t k
(8.108)
(m)
где функция ПОИ Wk (η , t ) известна. Уравнение (8.108) есть уравнение стандартного вида, решение которого удовлетворяет однородным граничным условиям (8.102) и имеет вид:
( m)
ϑk
t
(η , t ) = dωk (η ') G k( m) (η ,η ', t − τ )Wk( m) (η ',τ ) dτ . ( ) Ωk
m
0
40
(8.109)
(m)
( ) Здесь G k (η ,η ', t ) − функция Грина первой краевой задачи для области Ωk , удовлетворяющая ОКЗ вида: m
m m m L(k )G k( ) (η ,η ', t ) = δ k( ) (η − η ') δ ( t ) ,
(8.110)
m m G k( ) (ηk −1 ,η ', t ) = G k( ) (ηk ,η ', t ) = 0
(8.111)
( m)
В (8.110) δk (η − η ') слоевая δ − функция, определенная (8.22). Проверим решение (8.109). Имеем: ( m) ( m)
Lk ϑk
(η , t ) = Lk =
(m)
Ωk
=
( m)
Ωk
t (m) ( m) d ωk (η ') Gk (η ,η ', t − τ )Wk (η 'τ ) dτ = 0 Ωk( m)
( m)
t
(
)
m m m dωk (η ') L(k )G k( ) Wk( ) (η ',τ ) dτ = 0
t
m m m dωk (η ') Wk( ) (η ',τ ) δk( ) (η − η ') δ ( t − τ ) dτ =Wk( ) (η , t.) 0
(8.112) Однородные граничные условия для ϑk (η , t ) удовлетворяются в силу (8.111), а для проверки выполнения начального условия преобразуем:
( m)
ϑk( m ) (η, + 0 ) = U k( m ) (η , +0 ) − M k( m ) (η , +0 ) = ϕ k (η ) − M k( m ) (η , +0 ) =
t m) ( m) ( = d ωk (η ' ) Gk (η ,η ', t − τ ) Ψ k − ∂ t M k (η ',τ ) dτ = 0 Ωk( m) t =+0 m dM k( ) t f k (η ',τ ) − θ + (τ ) + ( m) d τ = (m) dωk (η ') 0 dτ Gk (η ,η ', t − τ ) Ωk ϕk (η ') δ (τ ) − M k( m) (η '+ 0 ) δ (τ ) t =+0
=
m Ωk( )
d ωk (η ' ) G k( m ) (η ,η ', t )
t =+0
ϕ k (η ') − M k( m ) (η ', +0 ) = ϕ k (η ) − M k( m ) (η ', +0 ) . (8.113)
41
Таким образом, получено совпадение начального условия для функции ϑk (η , t ) , следующего из ее определения (8.100) и вытекающего из вида решения (8.109). Решение исходной ОКЗ (8.71), (8.72) следовательно, в представлении граничных функций имеет вид:
( m)
m m m m U k( ) (η , t ) = M k( ) (η , t ) + G k( ) (η ,η ', t ) * Wk( ) (η ', t )
(t )
.
(8.114)
( m)
Ωk
§110. Решения в представлении потенциала
Решения в представлении потенциала (ПП) более общие, т.к. могут (m)
быть построены не только для областей Ωk , как ПГФ, но и для областей -
Ω0( ) , Ω '(+m ) . При построении решений в ПП используется БОКЗ, где m
искомые функции автоматически удовлетворяют однородным краевым условиям. Исходя из (8.82), (8.89), (8.92) и (8.96), запишем общую (для m = 1,2,3 и m областей Ων( ) ) формулу: m Uν( ) (η , t ) =
m Ων( ) ,
t
m + Φ ( m ) + R ( m ) . d ω (η ') dτ Gν( ) (η ,η ', t − τ ) Ψ ν ν ν 0
(8.115)
Здесь:
= Ψ η ',τ , Φ Ψ ) ν( m) = Φ ν( m) (η ',τ ) , Rν( m) = Rν( m) (η ',τ ) , ν = 0; k ; +. ν (
Формула (8.115) может быть записана в более компактном виде
+ Φ ( m ) Uν( m ) = Gν( m ) (η ,η ', t ) * Ψ . ν ν m (t ) Ω ν( )
(8.116)
Проверка (8.116) осуществляется аналогично проверке (8.114), исключение в
(m) (8.116), по сравнению с (8.115), члена Rν (η ', t ) в квадратных скобках, далее обосновывается. Рассмотрим функции
( m ) η , t Φ ) и R0( m ) (η , t ). Согласно (8.83) в ν (
( m ) x, t Φ ) входят функции μ k( −) ( t ) и μ k( + ) ( t ) - температуры на границах ν ( 42
( m ) (1) η , t входят x = 0 и x = lk слоя Ωk . В выражение для функции R ν производные по координате от температур (т.е., с точностью до множителя, плотности потоков тепла) на границах области. В случае первой краевой
(
задачи,
± μ k( ) ( t )
функции
заданы,
а
функции
)
∂ U (1) x k x =0
и
( ∂ x U k( ) ) x=lk − неизвестны. В случае второй краевой задачи – напротив – 1
вторые известны, а
μ k( ± ) ( t )
- неизвестны. Для третьей краевой задачи
(−) задаются связи между μ k ( t ) и
( ∂ x U k( ) ) x=0
(
1
)
(1) (+) , и μ k ( t ) и ∂ x U k x =lk 1 позволяющие исключить из Rk( ) либо одни функции (температуры), либо другие (плотности потоков тепла). Однако во всех случаях, кроме случая
(m) первой краевой задачи, исключить неизвестные функции из Rk ( x, t ) не удается. Аналогичная ситуация и для m = 2,3 и ν = 0; k ; +, т.е. в правых частях уравнений БОКЗ для второй и третьей краевых задач остаются неизвестные функции. Естественный выход заключается в использовании первой краевой задачи, поскольку интуитивно ясно (и будет далее показано), что по ее решению возможно найти также решения второй и третьей краевых задач. При этом формы решений (8.115) (где присутствуют (где
m Rν( ) -
нет)
будут
эквивалентны,
т.к.
m Rν( ) (η , t ) и (8.116)
компоненты
решений,
(m)
определяемые Rν (η , t ) будут обращаться в нуль, для чего достаточно условий (8.111), т.е. формулировки БОКЗ как первой краевой задачи. Выписываем все частные решения (8.116). В случае m = 1 для области
Ωk( ) = { x ∈ ( 0, lk )} имеем: 1
lk
t
1 1 (ς ,τ ) + Φ (1) (ς ,τ ) , U k( ) ( x, t ) = dς dτ G k( ) ( x, ς , t − τ ) Ψ k k 0 0
(8.117) где
Ψ k ( ς ,τ )
и
(1) ς ,τ Φ ) k (
определены
Ω+( ) = { x ∈ ( 0, ∞ )} получаем: 1
43
(8.83).
Для
области
∞
t
1 1 (1) ς ,τ , + Φ U +( ) ( x, t ) = dς dτ G +( ) ( x, ς , t − τ ) Ψ ς , τ ( ) ) + + ( 0 0 ς ,τ где Ψ ) и Φ (+1) (ς ,τ ) определены соответственно, (8.97) и (8.98). +( ( 2)
{
(8.118)
}
В случае m = 2, для области Ω0 = r ∈ ( 0, r0 ) получим: r0
t
2 2 r ',τ + Φ ( 2 ) r ',τ , U 0( ) ( r , t ) = 2π r ' dr ' dτ G 0( ) ( r , r ', t − τ ) Ψ ) ) 0( 0 ( 0 0
(8.119) где функции в квадратных скобках определены (8.93) и (8.94). Для областей
Ωk( ) = {r ∈ ( rk −1 , rk )} имеем 2
2 U k( ) ( r , t ) = 2π
rk
t
rk −1
2 ( 2 ) r ',τ , ( r ',τ ) + Φ r ' dr ' G k( ) ( r , r ', t − τ ) Ψ ) k k ( 0
(8.120) где функции в квадратных скобках даны (8.89) и (8.90). Для областей
Ω+( ) = {r ∈ ( r0 , ∞ )} получаем 2
∞
t
2 2 ( 2) r ',τ , ( r ',τ ) + Φ U +( ) ( r , t ) = 2π r ' dr ' G +( ) ( r , r ', t − τ ) Ψ ) + + ( 0 r 0
8.121)
( r ', t ) и Φ где Ψ + +
( 2)
( r , t ) определены, соответственно, (8.97) и (8.98).
(3) ( 3) ( 3) ( 3) Φ В случае m = 3, для областей Ω0 , Ωk , Ω+ функции Ψ и 0 0 совпадают с таковыми при m = 2, а решения записываются аналогично (8.119), (8.120), (8.121) с тем отличием, что при m = 3 интегралы по областям 2 (2) 3 Ω0( ) вместо r ' (как у интегралов по областям Ων ) содержат r ' , а множитель 2π перед интегралами заменяется на множитель 4π . Получение явного вида всех решений в обоих представлениях (в ПГФ и в ПП) требует определения (желательно – единообразно) вида всех функций Грина
( )
m Gν( ) (η ,η ', t ) ( m = 1, 2,3; ν = 0; k ; + ) .
44
(m)
§111 Эквивалентность представлений решений для областей Ωk . (m) Для областей Ωk были получены решения двух видов: в ПГФ (8.114) и в ПП(116). Если эти решения верны (а в этом мы уже убедились), то, в силу теоремы о единственности решения краевых задач, они должны быть эквивалентны, т.е. после тождественных преобразований переходить друг в друга. В литературе представления этих двух видов одновременно практически не рассматриваются, за исключением [3], где эквивалентность 1 их продемонстрирована только для области Ω( ) = { x ∈ ( 0, l )}, причем
использован весьма громоздкий матаппарат − теория тепловых потенциалов. Продемонстрируем эквивалентность двух представлений решения переход от (8.114) к (8.116) − более простым способом. Подставим в(8.114) m Wk( ) (η ', t ) согласно (8.108):
(η ', t ) − ∂ M ( m ) (η ', t ) U k( m ) (η , t ) = M k( m ) (η , t ) + G k( m ) (η ,η ' t ) * Ψ t k (t ) m = G k( ) * Ψ k
(t )
Ω
m = G k( ) * Ψ k
(t )
= G k( m ) * Ψ k (t )
m Ω( ) k
m = G k( )
*
* (t )
(t )
k
m Ω( ) k
m m + M k( ) − ∂ t G k( )
Ω
* (t )
Ψ k
m M k( )
Ω( m )
k
= m Ω( ) k
Ω( m ) k
m M k( )
(t )
k
Ψ k
*
m − ak ∇ m2 G k( )
* (t )
m M k( )
k
( m)
(t )
m m m + M k( ) − M k( ) − ak ∇ 2m G k( )
=
=
+ M k( m ) − ak ∇ 2mG k( m ) + δk( m ) (η − η ') δ ( t ) * M k( m )
(t ) m = G k( )
( m)
m m m + M k( ) − G k( ) * ∂ t M (k )
Ω( m )
m Ω( )
=
k
Ω( m )
=
k
. Ω( m ) k
(8.122)
(m) При выводе (8.122) использовано выражение для ∂ t G k из (8.100) и формула производной по времени от свертки функций (8.37). Из (8.116) следует: m m U k( ) = G k( ) * Ψ k
(t )
m ( m ) + G k( ) * Φ k
(t )
m Ω (k )
45
. m Ω (k )
(8.123)
Поскольку первые слагаемые в правых частях (8.122) и (8.123) совпадают, невязка двух представлений принимает вид:
( m ) ε k( m ) (η , t ) = U k( m) (η , t ) − U k( m ) (η , t ) = G k( m ) * Φ k (t )
m Ω( ) k
m + ak ∇ 2mG k( )
*
m M k( )
(t )
.
m Ω( ) k
(8.124) Преобразованием Лапласа по t в (8.124) получаем:
ε k( m ) (η , p ) = Gk( m ) , Φ (km ) Φ (k
m)
m Ω( ) k
m m + ak ∇ 2mGk( ) , M k( )
m Ω( ) k
,
(8.125)
(η , p ) = −ak μk( −) ( p )δ +' (η −ηk −1 ) − μk( + ) ( p ) δ −' (η −ηk ) .
(8.126)
Интегрируя по частям второе слагаемое в правой части (8.125), получим:
ak ∇ 2mGk( ) , M k( m
m) Ω
(m)
=
k
k ηkm −1 ∂η ' , Gk( m ) = 2π ma
(
)
ηk
(
μk( + ) ( p ) − η km−−11 ∂η ' , Gk( m )
)
ηk −1
μk( − ) ( p ) (8.126)
Откуда следует:
Gk( ) , Φ (k m
ηk
× (η ' ) ηk −1
m)
m −1
m Ω( ) k
k× = −2π ma
dη ' Gk( m) μk( − ) ( p ) δ +' (η '− ηk −1 ) − μ k( + ) ( p ) δ −' (η '− ηk ) =
(
k ηkm−−11 ∂η ' , Gk( m ) = 2π ma
)
ηk −1
(
μk( − ) ( p ) − ηkm−1 ∂η ' , Gk( m)
)
ηk
μ k( + ) ( p ) .
(8.127) Поскольку (8.126) и (8.127) отличаются лишь знаком, из (8.125) следует, что m ε k( m ) (η , p ) = 0 . Следовательно, и εk( ) η , t = 0 что и требовалось доказать. Отсюда сразу же следует и эквивалентность выражений плотностей ( m) ( m) потоков тепла qk (η , t ) (ПГФ) и qk (η , t ) (ПП):
(
46
)
m m m m qk( ) (η , t ) = −λk ∂ηU k( ) (η , t ) , qk( ) (η , t ) = −λk ∂ηU k( ) (η , t ) ,
δ qk( m ) = qk( m ) (η , t ) − qk( m ) (η , t ) =
(8.128)
)
(
m m m = −λk ∂η U k( ) (η , t ) − U k( ) (η , t ) = −λk ∂η εk( ) = 0. Глава 35. ТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА §112. Метод определения функций Грина Известные методы определения функций Грина для областей простых форм рассмотрены, с достаточной полнотой, ранее [20,33]. Обнаружены недостатки используемых методов и предложен унифицированный, опирающийся на аналитические представления слоевых δ − функций, метод определения функций Грина для ряда характерных (в шахтной теплофизике) областей [33-35]. В основе метода – ОКЗ (8.110), (8.111). Применив к уравнению (8.110) интегральное преобразование Лапласа по t , получим:
pGk(
m)
(η ,η ', p ) − ak ∇ m2 Gk( m) (η ,η ', p ) = δk( m) (η − η ').
(8.129)
Решение (8.129) представим с помощью обратного оператора в виде ( m)
Gk
(η ,η ', p ) = ( p − ak ∇
2 m
) {δ ( ) (η − η ')}. −1
m
(8.130)
k
Обратное преобразование Лапласа [32] переводит (8.130) в выражение:
{
}
m m G k( ) (η ,η ', t ) = θ + ( t ) exp ( t ak ∇ m2 ) δk( ) (η − η ') .
(
2
(8.131)
)
Оператор exp t ak ∇ m в (8.131) можно представить в виде:
exp ( t ak ∇ 2m ) = 1 + t ak ∇ 2m
( t ak ) +
2
∞
2!
( ∇m2 ) + =
( m)
( m)
2
j =0
Для внутренних областей Ω0 , Ωk
( k = 1,2,)
( tak ) j!
j
( ∇m2 )
j
(8.132)
слоевая δ − функция
δk( m) (η − η ') определяется соотношениями (8.22) и (8.27). Вид функций Ψ (n
m)
(η )
(система
которых
полна
и
47
ортонормированна)
в
Ωk(
m)
(m) определяется формой области и граничными условиями для G k (η ,η ', t ) (8.111). Подставим (8.27) и (8.132) в (8.131):
( m)
Gk
∞
(η ,η ', t ) = θ+ ( t ) Ψ n
( m)
n =1
∞ ( tak ) j 2 j ( m ) ∇ m ) Ψ n (η ) . (8.133) (η ') ( j =0 j !
( Если потребовать удовлетворения Ψ n Лиувилля:
m)
∇ m2 Ψ (n
m)
Ψ (n
m)
то (8.133) примет вид:
(η )
однородной задаче Штурма-
(η ) + χ n2 Ψ (nm) (η ) = 0,
(8.134)
(η− ) = Ψ (nm) (η+ ) = 0,
8.135)
∞
m m m G k( ) (η ,η ', t ) = θ + ( t ) exp ( − χ n2 ak t ) Ψ (n ) ( χη ) Ψ (n ) ( χη ' ) .
(8.136)
n =1
Величины { χ n }1 определяются из решения задачи (8.134), (8.135) и представляют собой дискретный спектр характеристических чисел решений характеристического уравнения [25,27]. ( m) Для областей Ω0 ( m = 2,3) вместо условий (8.135) необходимо использовать смешанные однородные условия: ∞
d r Ψ (n
m)
( r =0 = Ψ n
Для внешних областей Ω+(
m)
m)
r = r0
= 0.
(8.137)
задача Штурма-Лиувилля (8.134), (8.135)
{
( сингулярна, полной счетной системы функций Ψ n
m)
(η )}
в общем случае не
существует [27]. Вместо (8.27) необходимо использовать интегральное представление δ − функций (8.30). Если потребовать, чтобы K −1 ( χη ) удовлетворяла задаче
∇ 2m K m−1 ( χη ) + χ 2 K m−1 ( χη ) = 0, K m−1 ( χη ) η =η− = K m−1 ( χη ) η →∞
= 0,
(m) то, воздействуя на δ − функцию δ+ (η − η ') , определяемую (8.30),
(8.138)
оператором exp ( ta+∇ 2m ) , получим для функций Грина внешних областей
выражения:
48
m G k( ) (η ,η ', t ) = θ + ( t ) exp ( − χ 2 a+t ) K m−1 ( χη ) , K m ( χη ' )
m Ω (+ )
. (8.139)
( ) Интеграл по области Ω+ в (8.139) берется по переменной χ . Уравнение Фурье-Кирхгофа (8.45), описывающее кондуктивноконвектив-ный теплоперенос, содержит функцию ϑk = ϑk (η , t ) − поле скоростей в среде. В случаях m = 2,3 это поле, даже при его стационарности, зависит, как следует из уравнения неразрывности, от координаты: ϑk = ϑk ( r ) . Оставляя пока эти случаи в стороне, рассмотрим (8.45) при m = 1, когда можно считать, что ϑk = const . Запишем, используя (8.46), краевую задачу в обобщенной постановке для функции Грина уравнения (8.45) ( m = 1) : m
1 1 1 1 L1( )G k( ,ϑ) ( x, x ', t ) = δk( ) ( x − x ', ) δ ( t ) , G k( ,ϑ)
x =0
1 = G k( ,ϑ)
x =lk
=0.
(8.140)
Функцию Грина для уравнения Фурье-Кирхгофа, в котором учитывается линейное поглощение тепла, ищем в виде:
G k(1,ϑ) ( x, x ', t ) = exp (α t + β x ) G k ( x, x ', t ) .
(8.141)
После подстановки (8.141) в (8.140) и приведения подобных членов, получаем: ∂ t G k − ak ∂ 2xG k + ∂ xG k (ϑk − 2 β ) + G k α + βθ k + hk − ak β 2 = (8.142)
(
)
= exp ( − β x ' ) δ k(1) ( x − x ' ) δ ( t ) .
Потребовав равенства нулю выражений - сомножителей ∂ k G k и G k , получаем систему двух алгебраических уравнений, решения которой легко находятся: ϑ2 ϑ (8.143) β = k , α = − k + hk 2ak 2ak Уравнение (8.142) с учетом (8.46) и (8.143) принимает вид: ϑ 1 1 (8.144) L(0 ) exp k x ' G k ( x, x ' t ) = δ k( ) ( x − x ' ) δ ( t ) 2ak Из (8.110) при m = 1 и (8.144) следует, что выражение в фигурных скобках в (1)
(8.144) является функцией Грина G k следует:
( x, x ' t ) .
49
С учетом (8.141) отсюда
ϑ 1 G k( ) ( x, x ', t ) = exp k x ' G k ( x, x ', t ) = 2 ak ϑk2 ϑk ϑk 1 = exp + hk t G k( ,ϑ) ( x, x ', t ) , x ' exp − x exp 2ak 2ak 2ak ϑk2 ϑk (1) Gk ,ϑ ( x, x ', t ) = exp ( x − x ') exp − + hk t G k(1) ( x, x ', t ) (8.145) 2ak 2ak Выражение (8.145) совпадает с приведенным в [14], удовлетворяет уравнению Фурье-Кирхгофа и однородным граничным условиям (8.140).
(
( Формула (8.145) справедлива как для внутренних Ωk
m)
) , так и для внешних
( Ω( ) ) областей. В последнем случае везде вместо индекса «k» необходимо m
+
поставить индекс «+».
§113. Функции Грина для внутренних областей ( Для внутренних областей Ω0
m)
( и Ωk
m)
( m = 1,2,3; k = 1,2,...)
функции
Грина уравнений с оператором L(0 ) (8.46) можно получить описанным (§112) способом, приводящим к выражениям вида (8.136). Ограничиваемся m
демонстрацией этого способа на примере
(
)
2 G k( ) ( r , r ', t ) - функции Грина для
цилиндрического слоя r ∈ rk −1, rk , как наиболее сложном; все другие функции Грина можно получить аналогично. Задача Штурма-Лиувилля имеет вид:
∇ 22 Ψ ( r ) + χ 2 Ψ ( r ) = 0, r ∈ ( rk −1, rk ) , ∇ 22 = d r2 + r −1d r , Ψ ( rk −1 ) = Ψ ( rk ) = 0.
(8.146) (8.147)
Ее решение ищем в виде [3,36]:
Ψ ( r ) = Z 0 ( χ r ) = AJ 0 ( χ r ) + BN 0 ( χ r ) ,
(8.148)
где A, B = const , J 0 ( χ r ) , N 0 ( χ r ) − функции Бесселя и Неймана соответственно (частные решения (8.146)). Подставив (8.148) в (8.147) и приравняв нулю определитель полученной однородной системы двух алгебраических уравнений, получим характеристическое уравнение:
J 0 ( χ rk −1 ) N 0 ( χ rk ) − J 0 ( χ rk ) N 0 ( χ rk −1 ) = 0 . Корни уравнения (8.149) образуют счетное множество [25]:
50
(8.149)
{χ n } = {χ1, χ 2,, χ n,} , χ1, < χ 2, < < χ n, < Имеются таблицы (в[17] в частности), содержащие первые несколько корней (8.149) для различных значений параметра α k = rk / rk −1. Ввиду однородности (8.146), собственные функции Z 0 ( χ n r ) определены с точностью до постоянного множителя и могут быть представлены в виде:
Z 0 ( χ n r ) = N 0 ( χ n rk −1 ) J 0 ( χ n r ) − J 0 ( χ n rk −1 ) N 0 ( χ n r ) . (8.150) Осуществляем нормировку собственных функций Z 0 ( χ n r ) , переходя от них к функциям Z 0 ( χ n r ) = Cn Z 0 ( χ n r )( Cn = const ) . Нормировочные множители Cn определяются формулой −1 (8.151) Cn = Z 0 ( χ n r ) ( 2 ) , Ωk
где квадрат нормы вычисляется как скалярное произведение функций Z0 ( χnr ) :
Z0 ( χ nr )
2 (2)
Ωk
= Z0 , Z0
3 Ωk( )
= 2π
rk
rdrZ ( χ r ) .
rk
Воспользуемся известными соотношениями [36]: 2 rdrZν ( χ r ) =
1
{
2 0
n
(8.152)
1
}
2
2 ' χ χ Z r r + −ν 2 Zν2 ( χ r ) , ( ) ( ) 0 2 2χ (8.153) 2 J 0 ( Z ) N 0' ( Z ) − N 0 ( Z ) J 0' ( Z ) = . πZ
(χr)
2
Из них и (8.151), (8.152) получаем:
Z0 ( χnr ) =
π χ n J 0 ( χ n rk ) N0 ( χ n rk −1 ) J 0 ( χ n r ) − J 0 ( χ n rk −1 ) N 0 ( χ n r ) 1/ 2
2 J 02 ( χ n rk −1 ) − J 02 ( χ n rk )
(8.154) Таким образом, слоевая δ − функция δ ( r − r ') принимает согласно (8.27), вид: ( 2) k
δ ( 2 ) ( r − r ' ) = k
∞
Z ( χ r ) Z ( χ r ') , 0
n
0
n
(8.155)
n =1
( 2) где Z 0 ( χ n r ) дается (8.154). Согласно (8.136), функция Грина G k ( r , r ', t ) записывается в виде: ∞
2 G k( ) ( r , r ', t ) = θ + ( t ) exp ( − χ n2 ak t ) Z 0 ( χ n r ) Z 0 ( χ n r ' ) . n =1
51
(8.156)
Характеристическое уравнение (8.149) – наиболее сложное из пяти (1)
( 2)
( 2)
( 3)
( 3)
таких уравнений, соответствующих областям Ωk , Ω0 , Ωk , Ω0 , Ωk . Эти характеристические уравнения и нормированные собственные функции
{
2
}
операторов −∇ m приводятся в таблице 8.2. Таблица 8.2 Характеристические уравнения и собственные функции Области
Характеристические уравнения
Ωk( ) x ∈ ( 0, lk )
sin χ lk = 0
Ω0( ) r ∈ ( 0, r0 )
J 0 ( χ r0 ) = 0
Нормированные собственные функции оператора {−∇ 2m }
1
Ψ n ( χn x ) =
2 x sin nπ l lk
Ψ n ( χnr ) =
J 0 ( χnr ) π r0 J1 ( χ n r0 )
2
Ωk(
1
Ψ n ( χnr ) = Z0 ( χnr ) J 0 ( χ rk −1 ) N 0 ( χ rk ) − J 0 ( χ rk ) N 0 ( χ rk −1 ) = 0Z ( χ r ) определена (8.154)
2)
r ∈ ( rk −1 , rk )
0
Ω0( ) r ∈ ( 0, r0 )
sin χ r0 = 0
Ωk(
sin χΔrk = 0
n
3
3)
Ψ n ( χnr ) =
1 sin ( nπ r / r0 ) r 2π r0
Ψ n ( χnr ) =
r ∈ ( rk −1 , rk ) ( Δrk = rk − rk −1 )
=
sin nπ ( r − rk −1 ) / Δrk 1 r 2πΔrk
Функции Грина для всех внутренних областей, полученные изложенным способом, приведены в таблице 8.3. Сравнение их с полученными другими методами функциями Грина [4,14,16] показало их (1) ( 2) ( 3) ( 2) совпадение для G ( x, x ', t ) , G ( r , r ', t ) , G ( r , r ', t ) . Для G ( r , r ', t ) и k
( 3)
Gk
( r , r ', t )
0
0
k
в [14] приведены функции Грина для третьей краевой задачи.
После предельного перехода к первой краевой задаче (α → ∞ ) они также совпали с приведенными в табл.8.3.
52
Таблица 8.3 Функции Грина для внутренних областей Функции Грина
Области
nπ 2 2θ + ( t ) ∞ x x' (1) Gk ( x, x ', t ) = exp − ak t sin nπ sin nπ lk n=1 lk lk lk J 0 ( χ n r ) J 0 ( χ n r ') θ+ ( t ) ∞ ( 2) 2 G0 ( r , r ', t ) = exp at χ − ( ) n J12 ( χ n r0 ) π r02 n=1
(1)
Ωk
Ω0(
2)
∞
Ωk(
2 G k( ) ( r , r ', t ) = θ + ( t ) exp ( − χ n2 ak t ) Z 0 ( χ n r ) Z 0 ( χ n r ')
2)
n =1
Z 0 ( χ n r ) определена (8.154) nπ θ+ (t ) 1 ∞ r r' G0 ( r , r ', t ) = a t − exp 0 sin nπ sin nπ 2π r0 rr ' n=1 r0 r0 rk 2
Ω0(
( 3)
3)
nπ r − r r '− r θ+ (t ) 1 ∞ k −1 k −1 Gk ( r , r ', t ) = exp − ak t sin nπ sin nπ 2πΔrk rr ' n=1 Δrk Δrk Δrk 2
Ωk(
( 3)
3)
§114. Функции Грина для внешних областей
Изложенную в § 112 схему вычисления функций Грина, для внешних m 2 областей Ω+( ) демонстрируем на примере области Ω+( ) (наиболее сложный случай). Задача Штурма-Лиувилля имеет вид:
∇ 22 Ψ ( r ) + χ 2 Ψ ( r ) = 0, ∇ 22 = d r2 + r −1d r , r ∈ ( r0 , ∞ ) . Ψ ( r0 ) = ( d r Ψ )r →∞ = 0
(8.158)
Ее решения – линейная комбинация функций Ханкеля
r H 0(
2)
( χr )
(8.157)
r H 0( ) ( χ r ) и 1
[25]. Соответствующие интегральные преобразования: ∞
f ( χ ) = H 0 ( χ r ) f ( r ) rdr , r0
Здесь
H0 ( χr ) =
∞
f (r ) = H0 ( χr ) f ( χ ) χd χ , 0
N 0 ( χ r0 ) J 0 ( χ r ) − J 0 ( χ r0 ) N 0 ( χ r ) J
2 0
(8.159)
( χ r0 ) + N ( χ r0 ) 2 0
1/ 2
(8.160)
.
Из сравнения (8.28) и (8.159) следует, что ядра интегральных преобразований имеют вид: 53
K 2 ( χ r ) = K 2−1 ( χ r ) =
1 H 0 ( χ r ). 2π
(8.161)
( 2) Для слоевой δ − функции δ+ ( r − r ') имеем, согласно (8.30):
( 2)
δ+
∞
1 ( r − r ') = H 0 ( χ r )H 0 ( χ r ') χ d χ , 2π 0
(8.162)
а для функции Грина согласно (8.139):
θ (t ) 2 2 G +( ) ( r , r ', t ) = + exp − χ a+t ) H 0 ( χ r )H 0 ( χ r ' ) χ d χ . ( 2π 0 ∞
(8.163)
Аналогично определяются и другие функции Грина для внешних областей и для задач Коши. Они приведены в таблице 8.4. Таблица 8.4 Функции Грина для внешних областей и задач Коши Области Ω+( ) x ∈ ( 0, ∞ ) 1`
R( ) 1
x ∈ ( −∞, ∞ ) Ω+(
2`)
r ∈ ( r0 , ∞ ) R(
2)
r ∈ ( 0, ∞ ) Ω+(
3`)
r ∈ ( r0 , ∞ ) R(
3)
r ∈ ( 0, ∞ )
Функции Грина x − x' θ + ( t ) (1) G+ ( x, x ', t ) = exp − 2 π a+ t 2 π a+ t
2
− exp − x + x ' 2 π a+t
2
x − x ' 2 θ+ (t ) (1) exp − GR(1) ( x, x ', t ) = 2 π at 2 at θ+ (t ) ∞ ( 2) G+ ( r , r ', t ) = exp ( − χ 2 a+t ) H 0 ( χ r )H 0 ( χ r ') χ d χ 2π 0
r 2 + ( r ') θ+ (t ) GR ( ) ( r , r ', t ) = exp − 4π at 4at
rr ' I0 2 2at r − r ' 2 r + r '− 2r 2 t θ ( ) 3 + 0 G +( ) ( r , r ', t ) = − exp − exp − 2 a+ t 2 a+ t 8π rr ' π a+t r − r ' 2 r + r ' 2 θ t ( ) 3 ( ) + G R(3) ( r , r ', t ) = exp − − exp − 8π rr ' π at 2 2 at at ( 2)
54
2
§115. Свойства точных функций Грина Предельные переходы для функций Грина из табл.8.3 приводят к 1
функциям Грина из табл.8.4. Рассмотрим функцию G k может быть представлена [4] в отличном от табл.8.3 виде:
x, x ', t ,
t 1 G k x, x ', t 2 ak t x x ' 2nlk exp 2 ak t n
2
exp x x ' 2nlk 2 ak t
2
которая
(8.164)
Если в (8.164) перейти к пределу lk , то все слагаемые, кроме соответствующего n 0, обратятся в нуль. Полученное выражение будет 3 совпадать с G r , r ', t из табл.8.4. Из аналогичного (8.164) представления 3 r , r ', t при r r и r следует функция Грина функции G k 1 0 k k
3 G r , r ', t из табл.8.4.
Если перенести начало координат x 0 в середину отрезка x 0, lk в (8.164), которое станет теперь выражением для функции Грина области 1 x l / 2, l / 2 , путем введения новых переменных: k k k x x x lk / 2, x ' x ' x ' lk / 2, то первая из экспонент в (8.164) не
изменится, а во второй вместо 2 nlk появится выражение 2n 1 lk . Поэтому в сумме, при lk , исчезнут все слагаемые второй экспоненты, а из слагаемых первой остается только то, для которого n 0. В итоге получаем
1 функцию Грина G R1 r , r ', t из табл. 8.4.
Аналогично осуществляются и другие предельные переходы: 2 2 2 G0 r , r ', t G R r , r ', t при r0 ; G k r , r ', t G 0 r , r ', t при rk 1 0, 3 3 2 2 r r ; G r , r ', t G r , r ', t при r r , r ; G r , r ', t G 2 r , r ', t 2 k
2
0
k 1
k
при r0 ; G r , r ', t G при rk 1 r0 , rk . 3 k
3 0
r , r ', t при
0
k
0
R
3
rk 1 0, rk r0 ; Gk
r , r ', t G 3 r , r ', t
2 2 Продемонстрируем предельный переход G r , r ', t G R 2 r , r ', t . В
2 выражении для G r , r ', t из табл. 8.4, разделим числитель и знаменатель в
(8.160) на
r0
и положим r0 0. Поскольку lim H 0 r J 0 r [3], r0 0
получаем:
55
(8.160) на
r0
и положим r0 → 0. Поскольку lim H 0 ( χ r ) = J 0 ( χ r ) [3], r0 →0
получаем:
θ (t ) 2 2 2 G R( ( 2)) ( r , r ', t ) = lim G +( ) ( r , r ', t ) = + e− χ at J 0 ( χ r ) J 0 ( χ r ') χ d χ . r0 →0 2π 0 ∞
(8.165)
Интеграл в (8.165) вычисляется [36] и в итоге получаем
r 2 + ( r ') θ+ (t ) GR( ) ( r , r ', t ) = exp − 4π at 4at
2
( 2) 2
rr ' , I 0 2at
(8.166)
где I 0 ( Z ) − модифицированная функция Бесселя [3]. Выражение (8.166) совпадает с приведенным в табл. 8.4. Все полученные изложенным методом функции Грина совпадают с приведенными в [14] (иногда – после предельных переходов в [14], где для некоторых случаев нет функций Грина для первых краевых задач, но есть для третьих). Свойство симметрии функций Грина, обусловленное их физическим смыслом и формально вытекающее из формул (8.12) и (8.22), позволяющих записать: (8.167) δ k( m ) (η − η ' ) = δ k( m ) (η '− η ) , заключается в справедливости соотношения m m G k( ) (η ,η ', t ) = G k( ) (η ',η , t ) ,
(8.168)
Равенство (8.168) сразу следует из (8.167), (8.136), (8.139). Для функции Грина уравнения Фурье-Кирхгофа (8.140) симметрия (8.168) отсутствует (нарушается присутствием в (8.140) конвективного члена). (m) (m) Экстремумы функций Грина G k (η ,η ', t ) в области Ωk состоят из
минимумов – нулей в граничных точках (η = ηk −1 и η = ηk ) и максимума. Из (8.168) следует, с учетом граничных условий для функций Грина. m m m m G k( ) (ηk −1 ,η ', t ) = G k( ) (η ,ηk −1 , t ) = G k( ) (ηk ,η ', t ) = G k( ) (η ,η k , t ) = 0
(8.169) Для определения местоположения максимума, проинтегрируем уравнение (8.110) по области ωε = {η ∈ (η '− ε , η '+ ε )} и получим:
56
η ' +ε
m ∂ t G k( ) ,1
m−1 ∂G k( m ) k η = 2π ma + δ (t ). ∂ η η ' −ε
ωε
(8.170)
Если в (8.170) перейти к пределу ε → +0, то левая часть обращается в ноль:
(η ')
m −1
m ∂G ( m ) δ (t ) ∂G k( ) k = − . η η π ma ∂ ∂ 2 k η =η ' − 0 η =η ' + 0
(8.171)
Из нечетности первой производной от δ − функции и (8.171) следует, что при (m)
t > 0 в точке η = η ' функция Грина G k (η ,η ', t ) имеет максимум и непрерывна. Граничные производные функций Грина связаны соотношениями, (m)
следующими из интеграла (8.110) по области Ωk
: η
m ∂ t G k( ) ,1
( m)
Ωk
(η ')
(m) k m −1 ∂Gk k (η ') = 2π ma + δ ( t ). η ' ∂ ηk −1
(8.172)
При t = 0, η = η k −1 , η = η k из (8.172) с учетом (8.169) следует:
η
m −1 k
∂G k( m ) (m) m −1 ∂Gk = η k −1 ∂ ∂ η η ' ' ηk ηk −1
(8.173)
Равенств (8.173) фактически два: в одном из них η = η k −1 , в другом η = η k . При m = 1 из (8.173) следуют соотношения:
∂G k(1) ( x, x ', t ) ∂G k(1) ( x, x ', t ) = , x ' x ' ∂ ∂ x '=lk x '= 0
(8.174)
∂G k(1) ( x, x ', t ) ∂G k(1) ( x, x ', t ) = ' , x '= 0 x x ' ' ∂ ∂ x ' = lk
(8.175)
x =0
x =0
x =lk
x =lk
При m = 2 получаем:
∂G k( 2 ) ( r , r ', t ) ∂G k( 2 ) ( r , r ', t ) rk , = rk −1 r ' r ' ∂ ∂ r '= rk r '= rk −1 r = rk −1
(8.176)
r = rk −1
∂G k( 2 ) ( r , r ', t ) ∂G k( 2) ( r , r ', t ) rk = rk −1 r '=r , k −1 ∂ ∂ r ' r ' r ' = r k r =rk r = rk
Для m = 3 имеем формулы: 57
(8.177)
∂G k(3) ( r , r ', t ) ∂G k( 3) ( r , r ', t ) 2 r ' , = rk −1 ∂r ∂r ' r '= rk r = rk −1
(8.178)
∂G k(3) ( r , r ', t ) ∂G k( 3) ( r , r ', t ) 2 = rk −1 r . r = rk r '= rk −1 ∂ ∂ r r
(8.179)
2 k
r = rk −1
r '= rk −1
2 k
r '= rk
r = rk −1
Поскольку формула (8.172) инвариантна относительно замен η → η ',η ' → η , их можно осуществить и во всех следствиях (8.174) – (8.179). Сингулярные свойства функций Грина обнаруживаются при δ −видном начальном условии, когда в структурах решений в ПГФ и ПП имеется член
G k( m ) (η ,η ', t ) δ k( m ) (η − η ')
m Ω( ) η '
( )
k
= G k( m ) ( 0, t ) ,
(8.180)
описывающий поле в точке, где сосредоточен δ − видный начальный источник. При t > 0 этот член – непрерывная функция. При t = 0, имеем, согласно (8.27) и (8.136) ∞
2
m m G k( ) ( 0,0 ) = Ψ (n ) (η ) . n =1
( В силу ортонормированности функций Ψ n
( m)
Ωk
m)
(η )
∞
m m m G k( ) ( 0,0 ) = Ψ (n ) , Ψ (k ) n =1
m Ω( ) k
(8.181)
и (8.22) получаем:
= 1+1+ +1+
(8.182)
Если считать N − м «приближением» сумму N членов ряда в (8.182), которым выражается функция Грина при η ' = η и t = 0, то из (8.182) получим N − е «приближение» слоевой δ − функции Дирака ( m)
( m)
Ωk δN
N
( 0) =
Ψ (n ) , Ψ (n m
n =1
m)
m Ω( ) k
= N.
(8.183)
Глава 36. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА §116. Метод П.В. Цоя Как
видно
из
табл.8.3,
функции
Грина
для
областей
m Ω( ) ( m = 1, 2,3; k = 0,1, 2) имеют сложный вид. В теплофизике шахт и k
рудников, где «входные данные» математических моделей известны всегда приближенно, целесообразны, в ряде случаев, приближенные решения краевых задач, в которых используются структуры решений в ПГФ или в ПП, но с приближенно определенными функциями Грина. 58
Прямой путь нахождения последних – решение ОКЗ (8.110), (8.111) методом П.В.Цоя – комбинацией преобразования Лапласа по переменной t и метода Бубнова – Галеркина [37-39]. Этот метод принят нами в качестве базисного [40], т.к. строго обоснован [39,41,42] и апробирован в моделях горной теплофизики [43-45]. ОКЗ (8.110), (8.111) преобразуем по Лапласу. Получаем:
(
)
(m) (m) (m) 2 η − η ' , η , η ' ∈ Ωk p − ak ∇ m Gk = δk
Gk(
m)
(
(η ,η ', p ) η =η
−
= Gk(
m)
)
(η ,η ', p ) η = η
+
(8.184)
= 0.
(8.185)
Эту граничную задачу решаем методом Бубнова-Галеркина, следуя которому ( m ) (η ,η ', p ) ищем в виде: n − e приближение решения - G k, n
( m ) (η ,η ', p ) = G k, n
Здесь:
Ck(νm ) (η ', p ) − функции
( m ) (η ', p ) Ψ( m ) (η ) C k ,ν ν ν =1 n
подлежащие определению;
(8.186)
{
Ψν(
m)
}
(η )
∞
ν =1
−
система линейно не зависимых координатных функций, обращающихся в m нуль при η = η − и η = η + полная в Ωk( ) , Из условий ортогональности операторной невязки (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (8.187) ε k ,n = L0 Gk − L0 Gk ,n = δk η − η ' − L0 Gk ,n к первым n координатным функциям
(
(m) ε k ,n ,
m Ψ (j )
m Ω( )
= 0,
)
j = 1, 2,, n
(8.188)
k
получаем систему n линейных алгебраических уравнений относительно
Ck(νm ) (η ', p ) приводящуюся к виду n
a Q (ν ) + pSν( ( ν m
k
j
m) j
=1
В (8.189) обозначены: ( m) ( m)
)C ( ) (η ', p ) = Ψ ( ) (η ') , m kν
Q jν = − Ψ j , ∇ 2m Ψν(
m j
m)
, Sν( j ) = Ψν( ) , Ψ (j m
m Ω( ) k
j = 1, 2,, n . (8.189) m
m)
m Ω (k )
(8.190)
Интегрируя первое из соотношений (8.190) по частям, приводим его к виду: m m m Q (jν ) = dη Ψ (j ) , dη Ψν( ) (m) . (8.191) Ωk
Из
(m)
(8.191) ( m)
( m)
Q jν = Qν j , Sν j
второго соотношения (8.190) следует, что = S jν . Для вычисления этих величин воспользуемся (для и
( m)
( ) областей Ωk , k ≠ 0) степенными координатными функциями [37]: m
59
η − η− m Ψ (j ) = Ψ j ( ρ ) = (1 − ρ ) ρ j , ρ = , Δηk = η+ − η − , Δη k
j = 1, 2, (8.192)
Подстановка (8.192) в (8.190) дает 1
( m)
m Q jν = N k( ) ( ρ ) ϕ jν ( ρ ) d ρ ,
(8.193)
0
2π m m −1 m N k( ) ( ρ ) = (η− + Δηk ρ ) , Δη k
(8.194)
ϕ jν ( ρ ) = jνρ j +ν −2 − ( j + ν + 2 jν ) ρ j +ν −1 + ( j + 1)(ν + 1) ρ j +ν (8.195) Интеграл (8.193) с учетом (8.194) и (8.195) приводится к виду:
Q (jν ) m
−1 ( jν ) m = 1, lk q1 , −1 ( jν ) ( jν ) , = 2π q21 + (α k − 1) q22 m = 2, (8.196) −1 ( jν ) ( jν ) ( jν ) 8π rk −1 q31 + (α k − 1) q32 + (α k − 1) q33 , m = 3.
В (8.196) обозначены: 2 jν j + ν + 2 jν ( jν ) q1( jν ) = , q21 = , ( j + ν − 1)( j + ν )( j + ν + 1) ( j + ν )( j + ν + 1)( j + ν + 2 )
( ) ( ) ( ) ( ) , q32 q22 = q1( ) , q31 = q21 = jν
( jν ) q33 =
jν
jν
jν
jν
1 ( jν ) q1 , 2
r j + ν + jν + 1 , α k = k , j, ν = 1, 2, (8.197) rk −1 ( j + ν + 1)( j + ν + 2 )( j + ν + 3)
Из (8.196) и (8.197) следует, что для всех
( j,ν ) Q(jνm) > 0.
( ) ( ) Для областей Ω0 и Ω0 используем другое семейство координатных функций, удовлетворяющих смешанным граничным условиям (8.137) 2
3
Ψ j = Ψ 0, j ( ρ0 ) = 1 − ρ02 j , ρ0 =
r , r0
j = 1, 2, d r Ψ j
r =0
=Ψj
r =r0
= 0
(8.198) Из (8.191) теперь находим:
60
( m)
Q0, jν = d r Ψ 0, j , d r Ψ 0,ν где ( ) = q02 jν
m Ω (0 )
( jν ) 2π q02 , m = 2, = ( jν ) 8π r0 q03 , m = 3,
(8.199)
2 jν 2 jν ( jν ) = , q03 . j +ν 2 ( j +ν ) + 1
(8.200)
m
( ) Из (8.199), (8.200) следует, что и Q 0, jν > 0 при всех ( j ,ν ) .
m
m ( ) Далее, используя (8.190), вычисляем S (jν ) и S 0, jν . При k ≠ 0, m = 1, 2,3 имеем: m S (jν )
= Ψ j , Ψν
η+
m Ω( ) k
= 2π m dη η m−1 (1 − ρ (η ) ) ( ρ (η ) ) 2
j +ν
η−
=
( jν ) m = 1, lk s1 ( jν ) = 2π rk2−1 (α k − 1) s21 + (α k − 1) s22( jν ) , m = 2, −1 −1 ( jν ) ( jν ) ( jν ) 8πΔrk3 (α k − 1) s31 + (α k − 1) s32 + (α k − 1) s33 , m = 3.
(8.201)
Здесь обозначены:
s1(
jν )
−1
( ) = 2 ( j + ν + 1)( j + ν + 2 )( j + ν + 3) , s21 = s1( ) , −1
jν
jν
( ) ( ) ( ) s22 = 2 ( j + ν + 2 )( j + ν + 3)( j + ν + 4 ) , s31 = s32 , Δ rk = rk − rk −1 , −1 1 jν ( jν ) ( jν ) s32 = s1( ) , s33 = ( j + ν + 3)( j + ν + 4 )( j + ν + 5 ) . 2 jν
jν
jν
(m)
Из (8.201) и (8.202) следует, что S jν > 0 при всех ( j ,ν ) .
(8.202)
Вычисление S (0,mjν) ( k = 0, m = 2,3) осуществляется с использованием координатных функций (8.198):
S (0, j)ν = Ψ 0, j Ψ 0,ν m
где ( ) s0,2 = jν
jν ( j + ν + 2 )
m Ω (0 )
( j + 1)(ν + 1)( j + ν + 1)
( jν ) π r02 s0,2 , m = 2, = 4 3 ( jν ) π r0 s0,3 , m = 3, 3
( ) , s0,3 = jν
8 jν ( j + ν + 3)
( 2 j + 3)( 2ν + 3)( 2 j + 2ν + 3)
Из (8.203) и (8.204) следует, что S (0,mjν) > 0 при всех ( j ,ν ) .
61
(8.203)
. (8.204)
Поскольку было показано, что все величины Q (jνm ) и S (jνm ) , а также Q (0,mjν) и S (0, jν) m
положительны,
заключаем,
Re p ≥ σ 0 > 0, Det ak Q (jν ) + pS (jν ) ≠ 0, m
m
т.е.
что
система
(8.189)
при имеет
единственное решение. Подстановка найденных по (8.199) функций m Ck(ν ) (η ', p ) в (8.186) и обратное преобразование Лапласа завершают схему П.В.Цоя – функции Грина в n − м приближении найдены. Кроме степенных координатных функций, которые использовал П.В. Цой, возможен и другой их выбор [37-39,41,42]. Рассмотрим случай, когда в качестве координатных функций используются собственные функции оператора −∇ 2m . Эти функции ортонормированны и удовлетворяют уравнению Штурма-Лиувилля:
−∇ 2m Ψν(
m)
(η ) = χ 2Ψν( m) (η ) .
(8.205)
Отсюда следует, что
1, m m Q (jν ) = χν2δ jν , Sν( j ) = δ jν , δ jν = δν j = 0, Ck , j (η ', p ) = ( p + ak χ ( m)
)
2 −1 j
Ψ (j
m)
(η ') ,
j =ν , j ≠ν
j = 1, n.
(8.206) (8.207)
Подставив (8.207) в (8.186) и осуществив обратное преобразование Лапласа, получим: n
m m m G k( ,n) (η ,η ', t ) = θ + ( t ) exp ( − χν2 ak t )Ψν( ) (η ) Ψν( ) (η ') . (8.208)
ν =1
Сравнение (8.208) с (8.136) показывает, что n − е приближение функций Грина оказывается суммой первых n членов бесконечных рядов, которыми выражаются точные функции Грина.
§117. Функции Грина в первом приближении
Положим в (8.186) n = 1 и осуществим обратное преобразование Лапласа: m m G k( ,1 ) (η ,η ', t ) = C k( ,1) (η ', t ) Ψ1 (η ) .
(8.209)
Из (8.189) и (8.209) следует
( m)
Q11( m ) (8.210) exp − S ( m ) ak t Ψ1 (η ) Ψ1 (η ' ) . 11
( m ) −1
Gk ,1 (η ,η ', t ) = θ + (t ) S11
По (8.197), (8.200), (8.202), (8.204) находим при j = ν = 1:
62
1 1 (11) 1 1 11 (11) (11) (11) = ; q21 = ; q22 = q1( ) = ; q31 = q21 = ; 3 6 3 6 1 11 1 (11) 1 (11) 2 (11) (11) q32 = q1( ) = ; q33 = ; q02 = 1; q03 = ; (8.211) 2 6 15 5 1 1 (11) 1 1 11 11 (11) (11) (11) s1( ) = ; s21 = s1( ) = ; s22 = ; s31 = s22 = ; 30 30 60 60 1 1 8 (11) (11) (11) 1 (11) s32 = ; s33 = ; s02 = ; s03 = . 60 210 3 35 q1(
11)
Из (8.196) и (8.211) следует:
30 / Ωk(1) = 30 / lk , m = 1, −1 S11( m ) = 30 / Ωk( 2) = 30 / π ( rk2 − rk2−1 ) , m = 2, 35C (3) (α k ) / Ωk( 3) = 105C ( 3) (α k ) / 4π ( rk3 − rk3−1 ) , m = 3. (8.212)
Q11( ) m S11( ) m
10 / lk2 , m = 1, 2 = 10 / ( Δrk ) , m = 2, 2 ( 3) 14 N (α k ) / ( Δrk ) , m = 3.
(8.213)
В (8.212) и (8.213) обозначены: 3)
(α k ) = 2 (α k2 + α k + 1)( 2α k2 + 3α k + 2 ) , α k = rk / rk −1 ,
( 3)
(α k ) = ( 2α
C( N
−1
2 k
+ α k + 2 )( 2α + 3α k + 3) , Δrk = rk − rk −1. −1
2 k
(8.214)
Из (8.199) и (8.203), используя (8.211), находим:
3/ Ω0( 2 ) = 3/ π r02 , m = 2, −1 ( m) S0,11 = 35 105 3 / π r03 , m = 3. / Ω0( ) = 32 8 ( m) 6 / r02 , m = 2, Q0,11 = ( m) 2 S0,11 10,5 / r0 , m = 3.
(8.215)
(8.216)
Подстановкой в (8.210) величин, определенных (8.212) – (8.216) получим функции Грина в первом приближении для всех областей m Ωk( ) ( m = 1,2,3; k = 0,1,2,) . Они приводятся в таблице 8.5. 63
Таблица 8.5 Функции Грина в первом приближении Области
k 1
Функции Грина
30 t 1 1 G k ,1 x, x,' t exp 10 Fok 1 x 1 x ' lk 30 t 2 2 G k ,1 r , r ,' t exp 10 Fok 1 r 1 r ' 2 k
k
2
k
3
35 t 3 3 3 3 1 r 1 r ' G k ,1 r , r ,' t C exp 14 N Fo k k k 3 k
0
2
30 t 2 G 0,1 r , r ,' t 2 exp 6 Fo 0,1 r 0,1 r ' 0
0
3
35 / 8 3 G 0,1 r , r ,' t 3 t exp 10,5Fo 0,1 r 0,1 r ' . 0
В табл.8.5 величины C
3
k
и N
3
k
определены (8.214), k
m
меры
(площади, объемы) соответствующих областей, а безразмерные времена (числа) Фурье определены формулами m
Fok
ak t / lk2 , m 1, 2 ak t / rk , m 2,3,
Fo
a0t . 2 r0
(8.217)
Сравнение точных и приближенных решений задач теплопроводности 1 2 2 k , k , 0 , областей показало [37,38], что для
для
Fok ak t / k 0,05 0,08 уже первое приближение метода П.В.Цоя дает приемлемую точность, а второе приближение пригодно для значений m
2
Fok 0,02 0,03. Поскольку метод В.П. Цоя нами модернизирован (им m
определяется не само решение краевой задачи, а ее функция Грина – это позволяет решать задачи более широкого класса, чем рассмотренные в [37,38]), были сопоставлены решения (в первом приближении) краевых задач 1 2 для областей k и k , полученные П.В. Цоем и автором (с помощью функций Грина в первом приближении). Эти решения совпали.
64
§118. Функции Грина во втором приближении Выражения для вторых приближений функций Грина сложнее, чем для первых [46], однако они более удобны для прикладных расчетов, чем точные функции Грина (табл.8.3). Особенно громоздки функции Грина для областей
Ω0(
(2)
2)
и Ωk , что практически безальтернативно требует использования приближенных функций Грина. Функции Грина во втором приближении следуют из (8.186) при n = 2. ( m) Коэффициенты Ck ,ν (η ', p )(ν = 1,2 ) находятся из системы уравнений (8.189) при n = 2 :
( a Q( ) + pS ( ) ) C ( ) + ( a Q( ) + pS ( ) ) C ( ) = Ψ ( ) (η ') , ( a Q( ) + pS ( ) ) C ( ) + ( a Q( ) + pS ( ) ) C ( ) = Ψ( ) (η '). k
m 11
m 11
m k1
k
m 12
k
m 21
m 21
m k1
k
m 22
m 12
m 22
m k2
m 1
m k2
(8.218)
m 2
(8.219)
Решение системы (8.218), (8.219) находится по формулам Крамера:
Ck(1 ) (η ', p ) = b11(
m)
( p ) Ψ1( m) (η ') + b12( m) ( p ) Ψ (2m) (η ') , m m m m Ck( 2 ) (η ', p ) = b21 ( p ) Ψ1( ) (η ') + b22( ) ( p ) Ψ (2 ) (η ' ) . m
(8.220) (8.221)
( ) ( ) ( ) ( ) m В силу симметрии Q12 = Q21 , S12 = S 21 , коэффициенты bi (j ) ( i, j = 1,2 ) имеют вид: m
m
m
m
( ) ( ) + a Q pS ( ), b ( ) ( p) = m 22
k
m 11
Dm ( p )
(m)
b21
( p ) = b12 ( p ) , (m)
( ) ( ) + a Q pS ( ), b ( ) ( p) = −
m 22
(m)
b22
m 12
Dm ( p ) = Am p + Bm p + Cm ,
(
m 12
m 12
Dm ( p )
(8.222)
a Q ( ) + pS ( ) ) ( . ( p) = k
m 11
m 11
Dm ( p )
Здесь: 2
k
(m) (m)
( ), (m)
Am = S11 S22 − S12
)
2
(
)
2 ( m) ( m) ( m) (m) Bm = ak S11( m )Q22 + S 22 Q11 − 2 S12( m )Q12( m ) , Cm = ak2 Q11( m )Q22 − Q12( m ) .
(m)
Обратное преобразование Лапласа функций – изображений bi j осуществляется [32]:
(8.223)
( p)
легко
( m) ( m) ( m) ak Q22 + S22 pi ( m) b11 ( t ) = Λ b11 ( p ) = θ + ( t ) exp pi t . (8.224) / Dm ( pi ) i =1 (m) (m) (m) Все другие функции bi j ( t ) находятся аналогично. В (8.224) p1 и p2
( m)
−1
{
( m)
}
2
(
корни квадратного уравнения 65
)
Dm ( p ) = Am p 2 + Bm p + Cm = 0,
имеющие вид
B 4A C ( m) = − m 1 1 − m2 m p1,2 Bm 2 Am а
(8.225)
,
Dm/ ( pi ) = ( dDm ( p ) / dp ) p = p( m ) = 2 Am pi(
(8.226)
m)
+ Bm .
(8.227)
i
(m) Для определения, bi j ( t ) , а потом и C kν (η ', t ) , найдем вначале числовые коэффициенты по (8.196), (8.197), (8.199)-(8.204). Получаем (при j ,ν = 1, 2 ):
1 2 (12) 7 ( 22 ) 1 (12) 1 q1(12 ) = ; q1( 22) = ; q21 = ; q21 = ; q22 = ; 6 15 60 10 6 2 (12 ) 7 ( 22) 1 (12) 1 ( 22) 1 ( 22 ) q22 = ; q31 = ; q31 = ; q32 = ; q32 = ; 15 60 10 12 15 1 ( 22 ) 3 (12 ) q33 = ; q33 = ; 20 70
(8.228)
4 4 (12 ) ( 22 ) (12 ) ( 22 ) 8 q02 = ; q02 = 2; q03 = ; q03 = ; 3 7 9
(8.229)
s1(
12 )
( ) s22 12
( ) s32 12
( ) s02 12
1 1 1 1 22 (12 ) ( 22 ) ; s1( ) = ; s21 ; = ; s21 = 60 105 60 105 1 1 1 1 ( 22 ) (1,2 ) ( 22 ) ; s22 ; s31 ; s31 ; = = = = 105 168 105 168 1 1 1 1 ( 22 ) (1,2 ) ( 22 ) ; s32 ; s33 ; s33 ; = = = = 120 210 336 504 5 8 32 32 ( 22 ) (12 ) ( 22 ) ; s03 = ; s02 = ; s03 = = . 12 15 105 77 =
(8.230)
Для m = 1 имеем из (8.196), (8.197), (8.201), (8.202):
Q11( ) =
1 ; 3lk
() = Q12( ) = Q21
1 ; 6lk
S11( ) =
lk ; 30
() S12( ) = S 21 =
lk ; 60
1
1
1
1
1
1
66
() = Q22 1
2 15lk
() S 22 = 1
lk . 105
(8.231)
Для m = 2 получаем из (8.196), (8.201), (8.203) с учетом (8.228) – (8.230):
π α k + 1 ( 2) π 7α k + 3 ( 2 ) π 3α k + 1 ( 2) ; Q12 = Q21 = ; Q22 = ; 3 αk −1 30 α k − 1 15 α k − 1
Q11( 2 ) = ( 2)
S11 =
π rk2−1 30
( 2)
S 22 =
(α
2 k
− 1) ;
π rk2−1
(α 420
( 2)
( 3)
Q22
S12 = S 21 =
π rk2−1 210
(α k − 1)( 4α k + 3) ;
( ) ( ) ( ) − 1) ( 5α k + 3) ; Q0,11 = 2π ; Q0,12 = Q0,21 =
( 2)
Для m = 3 получаем:
Q11
( 2)
2
k
Q0,22 = 4π ; S0,11 =
( 3)
( 2)
π r02 3
( ) ( ) = S0,21 = ; S0,12 2
2
2
2
8π ; 3 (8.232)
5π 2 ( 2 ) 8π 2 r0 ; S0,22 = r0 . 12 15
2α k2 + α k + 2 ( 3) 3α k2 + α k + 1 4π 2π ( 3) = rk −1 rk −1 ; Q12 = Q21 = ; 15 15 αk −1 αk −1 2 9α k2 + 3α k + 2 ( 3) 2π 4π 3 2α k + 3α k + 2 = Δ rk rk −1 ; ; S11 = (α − 1)2 105 105 αk −1 k
( 3)
( 3)
S12 = S21
( ) = Q0,11 3
( 3) = S0,11
5α 2 + 6α + 3 (3) 2 π 3 5α k + 5α k + 2 k k = Δr = Δ S r ; ; (α − 1)2 22 315 k (α − 1)2 210 k k
π
3 k
16 32π 64 ( 3) ( 3) ( 3) = Q0,21 = = π r0 ; π r0 ; Q0,12 π r0 ; Q0,22 5 7 9
(8.233)
32 3 ( 3) 128 3 (3) 128 3 ( 3) = π r0 ; S0,12 = S0,21 π r0 ; S0,22 = π r0 . 105 315 231
По формулам (8.223) с учетом (8.231) – (8.233) находятся все значения Am , Bm , Cm (таблица 8.6). В таблице 8.6 обозначены:
φ 1( 2)(α k ) = 3α k2 + 8α k + 3;φ (22)(α k ) = 11α k2 + 30α k + 11;φ3( 2) (α k ) = 11α k2 + 38α k + 11. (8.234 φ 1(3)(α k ) = 5α k4 + 20α k3 + 34α k2 + 20α k + 5;φ (23) (α k ) = 82α k4 + 246α k3 + 436α k2 + 246α k + 82; φ 3(3)(α k ) = 12α k4 + 24α k3 + 68α k2 + 24α k + 12.
67
(8.235)
Таблица 8.6
Коэффициенты уравнения Dm ( p ) = 0 Обл асти (1)
Ωk
Ωk(
2)
Am
Bm
Cm
lk2 A1 = 60 ⋅ 420
B1 = ak ⋅ 13 45 ⋅ 140
a /l C1 = ( k k )
(π r ) A 2 =
2 2 k −1
( 2)
φ1
210 ⋅ 420
(α k − 1)
2
B2
=
(
π rk −1
)
60
2 ak
2
C2
(2)
φ2
=
π 2 ak2φ3( 2 ) (α k ) 2
(α k − 1) ⋅ 30 ⋅ 30
30 ⋅ 210 2 8π 2 8π 2 2 Ω0( ) 2 A0,2 = π r a0 r0 B0,2 = C0,2 = a0 240 45 9 2 6 ( 3) 2 a Δr 3 r π Δrk π 2 ak2 rk2−1φ3 3) π ( 3 φ1 k k k −1 φ ( 3) A3 = 4 2 Ωk( ) A3 = B = 2 (α k −1) 210 ⋅ 630 (α k −1) 5 ⋅ 105 3 3 α −1 105 ⋅ 315 k 3 9 2 4 C0,3 = 1,8576π 2 a02 r02 . 3π 2 6 Ω0( ) B = π a r r0 A0,3 = 0,3 0 0 40 800 Используя значения коэффициентов из табл.8.6, по (2.226) находим корни m m p1( ) и p2( ) уравнений (8.225) (таблица 8.7). Таблица 8.7 Корни уравнений Dm ( p ) = 0 2 4 0
Корни p1( ) 10a 1 p1( ) = − 2 k lk
Корни p2( ) 42a 1 p2( ) = − 2 k lk
28 N1( ) (α k ) p1 = − ak Δ rk2 a ( 2) p0,1 = −5,78 20 r0
28 N 2( ) (α k ) p2 = − ak Δ rk2 a ( 2) p0,2 = −36,88 20 r0
Области
m
Ωk( ) 1
Ωk(
2)
Ω0(
2)
Ωk(
3)
Ω0(
3)
( 2)
( 3)
p1
2
32 N1( ) (α k ) ak =− Δ rk2 10a ( 3) p0,1 =− 20 r0 3
В табл.8.7 обозначены:
68
m
( 2)
( 3)
p2
2
32 N 2( ) (α k ) ak =− Δrk2 50a ( 3) p0,2 =− 20 r0 3
N1(
ν
2)
(
(α k ) = ν 1( 2) (α k ) 1 −
1 −ν 2(
2)
(α k )
); N
( 2)
2
(
(α k ) = ν 1( 2) (α k ) 1 +
2)
(α k )
).
(8.236)
11α k2 + 38α k + 11)( 6α k2 + 16α k + 6 ) ( 11α k2 + 30α k + 11 ( 2) ; ν 2 (α k ) = ; (α k ) = 2 2 2 12α k + 32α k + 12 (11α + 30α + 11)
( 2) 1
k
N1(
1 −ν 2(
3)
(α k ) = ν 1(3) (α k ) ( 3)
ν1
ν 2(3) (α k ) =
(
(1 −
)
1 −ν 2( ) (α k ) ; N 2( 3
3)
(α k ) = ν 1(3) (α k )
k
(1 +
(8.237)
)
1 −ν 2( ) (α k ) ; 3
41α k4 + 123α k3 + 218α k2 + 123α k + 41 ; (α k ) = 40α k4 + 160α k3 + 272α k2 + 160α k + 40
(8.238) 35α k4 + 140α k3 + 238α k2 + 140α k + 35 27α k4 + 54α k3 + 153α k2 + 54α k + 27
( 41α
)(
4 k
+ 123α k3 + 218α k2 + 123α k + 41)
2
(8.239) Из формул (8.186), (8.220)-(8.224), используя числовые коэффициенты (m) (табл.8.6) и значения корней pi ( m = 1,2,3; i = 1,2 ) из табл.8.7, получаем, после достаточно громоздких преобразований, все искомые функции Грина во втором приближении. (1) Для области Ωk :
30θ + ( t ) 1 1 G k( ,2) ( x, x ', t ) = exp −10 Fok( ) Ψ1 ( x ) Ψ1 ( x ' ) + lk
(
(
+70 exp −42 Fok(1)
) ( Ψ ( x ) − 2Ψ 1
)
2
( x ) ) ( Ψ1 ( x ') − 2Ψ 2 ( x ') ) ,
i
x x , Ψ i ( x ) = 1 − , l k lk ( 2) Для области Ωk :
i = 1, 2.
69
(8.240)
)
420θ + ( t ) 2 2 2 (11) G k( ,2) ( ρ , ρ ', t ) = exp −28 N1( ) (α k ) Fok( ) 2 B2,1 (α k ) Ψ 1 ( ρ ) Ψ 1 ( ρ ' ) − 2π rk Δrk
{ (
)
(12 ) − B2,1 (α k ) ( Ψ1 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ') + Ψ 2 ( ρ ) Ψ1 ( ρ ') ) + B2,1( 22) (α k ) Ψ 2 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ') +
(
+ exp −28 N 2(
2)
(11) (α k ) Fok( 2) ) 2 B2,2 (α k ) Ψ1 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ' ) −
(12 ) ( 22 ) − B2,2 (α k ) ( Ψ1 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ') + Ψ 2 ( ρ ) Ψ1 ( ρ ') ) + B2,2 (α k ) Ψ 2 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ')
Ψ i ( ρ ) = (1 − ρ ) ρ i , ρ =
},
r − rk −1 , i = 1, 2. Δrk (8.241)
(2)
Для области Ω0 :
θ (t ) ( 2) G 0,2 ( ρ0 , ρ0′ , t ) = + 2 {exp ( −5, 78Fo ) [7, 0776 Ψ1 ( ρ0 ) Ψ1 ( ρ0′ ) − 2π r0 −1,9932 ( Ψ1 ( ρ0 ) Ψ 2 ( ρ0′ ) + Ψ 2 ( ρ0 ) Ψ1 ( ρ0′ ) ) + 0,5658 Ψ 2 ( ρ0 ) Ψ 2 ( ρ0′ ) + + exp ( −36,88 Fo ) [120,9467 Ψ1 ( ρ0 ) Ψ1 ( ρ0′ ) −
}
−98, 0279 ( Ψ1 ( ρ0 ) Ψ 2 ( ρ0′ ) + Ψ 2 ( ρ0 ) Ψ1 ( ρ0′ ) ) + 79, 4514 Ψ 2 ( ρ0 ) Ψ 2 ( ρ0′ ) , Ψ i ( ρ0 ) = 1 − ρ02i , ρ0 =
r , i = 1, 2. r0 (8.242)
( 3)
Для области Ωk :
840θ + ( t ) 3 3 3 (11) G k( ,2) ( ρ , ρ ′, t ) = exp −32 N1( ) (α k ) Fok( ) 2 B3,1 (α k ) Ψ 1 ( ρ ) Ψ 1 ( ρ ′ ) − 2 4π rk Δrk
{ (
)
( ) −3B3,1 (α k ) ( Ψ1 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ′) + Ψ 2 ( ρ ) Ψ1 ( ρ ′) ) + 6 B3,1( ) (α k ) Ψ 2 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ′) + 12
(
22
+ exp −32 N 2( ) (α k ) Fok( 3
3)
) 2B( ) (α 11 3,2
k
) Ψ 1 ( ρ ) Ψ1 ( ρ ′ ) −
}
(12 ) ( 22 ) −3B3,2 (α k ) ( Ψ1 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ') + Ψ 2 ( ρ ) Ψ1 ( ρ ') ) + 6 B3,2 (α k ) Ψ 2 ( ρ ) Ψ 2 ( ρ ') .
(8.243)
( 3)
Для области Ω0 :
θ t ( 3) G 0,2 ( ρ0 , ρ0' , t ) = 4+ ( )3 {exp ( −10Fo ) [13,9554 Ψ1 ( ρ0 ) Ψ1 ( ρ0′ ) − π r0 3
70
(
)
−4,5155 Ψ1 ( ρ0 ) Ψ 2 ( ρ0′ ) + Ψ 2 ( ρ0 ) Ψ1 ( ρ01 ) + 1,3545Ψ 2 ( ρ0 ) Ψ 2 ( ρ0′ ) + + exp ( −50 Fo ) [183, 0624 Ψ1 ( ρ0 ) Ψ1 ( ρ0′ ) −
(
)
}
−139,9646 Ψ1 ( ρ0 ) Ψ 2 ( ρ0′ ) + Ψ 2 ( ρ0 ) Ψ1 ( ρ01 ) + 107, 0053Ψ 2 ( ρ0 ) Ψ 2 ( ρ0′ ) . (8.244) Функции Ψ i ( ρ ) в (8.243) совпадают с таковыми в (8.241), функции Ψ i ( ρ0 ) в
( m) (8.244) те же, что и в (8.242), числа Фурье Fok определены в (8.217),
m
параметры Nν( ) ( m = 2,3;ν = 1, 2 ) даны (8.236) – (8.239). Параметры ( i, j ) B2,ν (α k ) зависят от α k = rk / rk −1 и определяются формулами: (11)
B2,ν
(12 )
B2,ν
3α k + 1 − Nν( 2) (α k )( 5α k + 3) (α k ) = ( 2 ) αk , ( 2) ( 2) φ 2 (α k ) − 4φ 1 (α k ) Nν (α k )
(8.245)
7α k + 3 − 4 Nν( 2) (α k )( 4α k + 3) (α k ) = ( 2 ) αk , ( 2) ( 2) φ 2 (α k ) − 4φ 1 (α k ) Nν (α k )
(8.246)
( 22 ) 2,ν
B
(
)
(α k + 1) 10 − 28 Nν( 2) (α k ) α k , ν = 1, 2. (α k ) = ( 2 ) φ 2 (α k ) − 4φ 1( 2)(α k ) Nν( 2 ) (α k )
( 2)
Параметры φ j (α k ) ( j = 1,2 ) даны формулами (8.234). Параметры определяются формулами:
(8.247)
B3,( ν) (α k ) ij
( 3) 2 2 + + − + 5α k + 2 ) 2 3 9 α 3 α 2 8 N 5 α ( ) ( k k ν k 11 α k , (8.248) B3,( ν ) (α k ) = ( 3) ( 3) ( 3) φ2 (α k ) − 16φ1 (α k ) Nν (α k )
(12) 3,ν
B
( 22 )
B3,ν
7 ( 3α k2 + α k + 1) − 8 Nν( 3) ( 5α k2 + 6α k + 3) α k2 , (α k ) = ( 3) ( 3) ( 3) φ 2 (α k ) − 16φ 1 (α k ) Nν (α k )
(8.249)
7 ( 2α k2 + α k + 2 ) − 16 Nν( 3) ( 2α k2 + 3α k + 2 ) α k2 , ν = 1, 2 . (8.250) (α k ) = ( 3) ( 3) ( 3) φ 2 (α k ) − 16φ 1 (α k ) Nν (α k )
Здесь параметры
φ (j3)( j = 1, 2 ) даны формулами (8.235). 71
§119. Свойства приближенных функций Грина При вычислении приближенных функций Грина методом П.В.Цоя используются степенные координатные функции, которые при малых временах существенно отличаются от функций, описывающих «расплывание» (делокализацию) δ − функции. Поэтому применение приближенных функций Грина для построения решений в ПП (8.123) где используются их производные в граничных точках областей, чревато существенным (особенно для малых моментов времени) отличием приближенных решений от точных. Поэтому целесообразно сочетать приближенные функции Грина с решениями в ПГФ (8.114), где дифференциальные свойства их не существенны. Для оценки точности получаемых решений желательно иметь стандартный и простой способ сравнения точных и приближенных решений. Такой способ – «внешний» критерий оценки пригодности приближенных решений – излагается далее. Поскольку при выводе выражений для приближенных функций Грина осуществлялись достаточно громоздкие выкладки (особенно – для второго приближения) необходим и «внутренний» (структурный) критерий проверки их правильности (т.е. отсутствия ошибок в ходе реализации метода). Рассмотрим, в этой связи, следующие свойства приближенных функций Грина. А. Предельные переходы от функций Грина для областей m Ω ( )( m = 2,3) к функции Грина для области Ω (k1) (т.е. вырождение функций k Грина для цилиндрических и сферических слоев в функцию Грина для отрезка x ∈ ( 0, lk ) , формализуемого соотношениями: r −r = Δr = l , r , r → ∞, α k = rk / rk −1 → 1, 0 ). k k −1 k k k −1 k
В. Предельные переходы от функций Грина для областей Ω
(m) k
к фукциям
( m )( m = 2,3) , что формализуется соотношениями:
Грина для областей Ω k
r → 0, k −1
r = r , α = r /r → ∞, k o k k k −1
Δr → r . k 0
С. Сингулярные свойства приближенных функций Грина (рассмотренные для точных в §115). ( 2) А. Для функции Грина в первом приближении G k ,1 ( r , r ', t ) переход в (1)
функцию G k ,1 ( x, x ', t ) (табл.8.5) демонстрируется весьма просто. Координатные функции Ψ1 ( r ) и Ψ1 ( r ' ) , определенные в (8.192) при выполнении указанных соотношений и ρ → x / lk , переходят в Ψ1 ( x) и Ψ1 ( x ') .
( 2 ) = a t / Δ r 2 → a t / l 2 = Fo(1) . Завершается предельный Fo k k k k k k пер еход операцией редукции размерности. Ее смысл таков. Область
При
этом
72
Ωk(
2)
является (как и любая физическая область) трехмерной. Такова же и
Ω (k ) , что маскируется тем, что в предэкспоненциальном коэффициенте у l k имеется множитель S 0 , имеющий смысл конечной части область
1
бесконечной площади поверхности, нормальной к координате x. Этот множитель по «умолчанию» никогда не используется, т.е. считается, что αk = 1 S 0 = 1. Заметим, что фактически при
Ωk( ) = 1 × π ( rk2 − rk2−1 ) = 1 × 2π rk ⋅ lk , 2
образующей
цилиндрической
где
1
–
поверхности.
единичная Положив
( 2) (1) убеждаемся в точности предельного перехода G k ,1 → G k ,1 . ( 3)
длина
вдоль
S0 = 2π rk −1 × 1, (1)
Для осуществления перехода (при α k → 1) G k ,1 → G k ,1 , кроме уже ( ) ( ) сказанного, необходимо: а) показать, что 14 N (1) = 10, а 35C (1) = 30; б) осуществить редукцию размерности. Из (8.214) при α k = 1 следует, что, 3
3
N ( ) (1) = 5/ 7, а C ( ) (1) = 6 / 7, чем сразу подтверждается а). Пункт б) 3
3
реализуется аналогично предыдущему при S0 = 4π rk −1. 2
( 2)
(1)
Переходы для функций Грина во втором приближении G k ,2 → G k ,1 и 3 1 G k( ,2) → G k( ,2) при α k = 1, требуют знания ряда числовых коэффициентов – геометрических параметров, зависящих от α k . Поскольку они необходимы и при построении различных математических моделей процессов переноса, для «опорных» значений α k ∈ [1, ∞ ] были осуществлены соответствующие расчеты, результаты которых представлены в таблицах 8.8 и 8.9. Если ( 2) ( 3) воспользоваться выражениями для G k ,2 ( r , r ', t ) и G k ,2 ( r , r ', t ) (8.241) и (8.243), подставив в них значения коэффициентов из столбцов таблиц 8.8 и 8.9, (1) соответствующих α k = 1, то в обеих случаях получаем G k ,2 ( x, x ', t ) . В. Предельный переход α k → ∞ соответствует замене rk = r0 и переходу к пределу при rk −1 → 0 (α k = rk / rk −1 = r0 / rk −1 → ∞ ) . Имеем:
4 i Ωk( 2 ) → π r02 , Ωk( 3) → π r03 , Ψ i ( r ) → (1 − r / r0 )( r / r0 ) ( i = 1, 2 ) , Fok( m ) = Fo. 3
(8.251) Поскольку (см. табл.8.9) C ( ∞ ) = N ( ∞ ) = 1,0, для функций Грина в первом приближении в пределе α k → ∞ получаем: ( 3)
( 2) Gˆ 0,1 ( r , r ', t ) = G k( 2,1) ( r , r ', t )
( 3)
α k →∞
=
30θ + ( t )
π r02
r r' exp ( −10 Fo ) Ψ1 Ψ1 r0 r0
(8.252)
73
( 3) Gˆ 0,1 ( r , r ', t ) = G k(3,1) ( r , r ', t )
α k →∞
=
35θ + ( t ) r r' − Ψ exp 14 Fo ( ) Ψ1 . 1 4π r03 / 3 r 0 r0
(8.253) Полученные предельные функции Грина снабжены сверху значком “Λ”, ( 2)
( 3)
чтобы подчеркнуть их отличие от функций G 0,1 ( r , r ', t ) и G 0,1( r , r ', t ) . Оно обусловлено использованием, при определении последних, координатных функций Ψ 0,1 ( r ) согласно (8.198), удовлетворяющих смешанным граничным ( 2 ) ( 3) условиям. Функции же G k ,1 и G k ,1 базируются на координатных функциях Ψ1 ( r ) , удовлетворяющих граничным условиям первого рода (по 8.192). Для функций Грина во втором приближении воспользуемся крайними правыми столбцами в таблицах 8.8 и 8.9 (соответствующими α k → ∞ ) . ( 2) и G (k3,2) и описанные Подстановка этих коэффициентов в формулы для G k ,2 ранее преобразования приводят к выражениям: 210θ + ( t ) r r' 2 2 Gˆ (0,2) ( r , r ', t ) = G (k ,2) ( r , r ', t ) exp 8,3622 Fo 0, 4063 Ψ1 Ψ1 − = − { ( ) 2 α k →∞ π r0 r0 r0 r r' r − 0, 2996 Ψ1 Ψ 2 + Ψ 2 r0 r0 r0
r ' r Ψ1 + 0, 2208 Ψ 2 r0 r0
r ' Ψ 2 + r0
r r' r' Ψ − 2,3671 Ψ1 Ψ 2 + 1 r 0 r0 r0 r r ' r r ' + Ψ 2 Ψ1 + 4, 4458 Ψ 2 Ψ 2 , (8.254) r0 r0 r0 r0
r + exp ( −42,971Fo ) [1, 2603 Ψ1 r0
3 3 Gˆ (0,2) ( r , r ', t ) = G (k ,2) ( r , r ', t )
r − 0,3942 Ψ1 r0
α k →∞
=
280θ + ( t ) 4π r02 / 3
r' r Ψ2 + Ψ2 r0 r0
r + exp ( −54,5024 Fo ) [1,516 Ψ1 r0 r +Ψ 2 r0
r r' Ψ1 − r0 r0
{exp ( −11, 0976Fo ) 0, 484 Ψ1
r ' r Ψ1 + 0,321 Ψ 2 r0 r0
r ' Ψ 2 + r0
r r' Ψ1 − 2, 6058 Ψ1 r0 r0
r ' r Ψ + Ψ 4, 479 1 2 r0 r0
r' Ψ2 + r0
r ' Ψ 2 . r0
(8.255) Значки «Λ» в (8.254) и (8.255) имеют тот же смысл, что и в (8.252) и (8.253).
74
75
rk rk 1
N1
2
k 2 N 2 k 11 B2,1 k 12 B2,1 k 22 B2,1 k 11 B2,2 k 12 B2,2 k 22 B2,2 k
k
2,0924
2,0
0,0002
0,0
1,0510
0,0041
0,0
1,0
0,0395
1/28
0,2635
1,5001
3/2
1/4
0,3570
1,1
5/14
1,0
2,2249
1,1202
0,2820
0,0012
0,0106
0,0449
1,5004
0,3565
1,25
2,4093
1,2198
0,3088
0,0043
0,0216
0,0533
1,5013
0,3551
1,5
2,6918
1,3762
0,3512
0,0137
0,0432
0,0681
1,5035
0,3513
2,0
3,4865
1,8170
0,4735
0,0730
0,1321
0,1197
1,5145
0,3329
5,0
3,8954
2,0498
0,5393
0,1255
0,1956
0,1526
1,5224
0,3196
10,0
4,1485
2,1951
0,5807
0,1656
0,2407
0,1749
1,5278
0,3104
20,0
4,3208
2,2946
0,6093
0,1966
0,2741
0,1910
1,5317
0,3037
50
4,3821
2,3302
0,6195
0,2084
0,2865
0,1970
1,5332
0,3012
100
4,4138
0,3485
0,6248
0,2143
0,2929
0,2000
1,5339
0,3000
200
2
Геометрические параметры приближенных функций Грина для областей k
4,4328
2,3596
0,6280
0,2182
0,2969
0,2019
1,5344
0,2992
500
4,4458
2,3671
0,6302
0,2208
0,2996
0,2032
1,5347
0,2986
Таблица 8.8
76
rk rk 1
C
3
k 3 N k 3 N1 k 3 N 2 k 11 B3,1 k 12 B3,1 k 22 B3,1 k 11 B3,2 k 12 B3,2 k 22 B3,2 k
k
0,3124
1,3133
0,0218
0,0015
0,0001
0,1388
0,1840
0,1829
1,3125
1/56
0,0
0,0
1/8
1/6
1/6
0,7150
5/7
0,3125
0,8575
1,1
6/7
1,0
0,2059
0,2088
0,1588
0,0005
0,0041
0,0280
1,3169
0,3120
0,7183
0,8592
1,25
0,2406
0,2467
0,1897
0,0017
0,0093
0,0388
13269
0,3111
0,7273
0,8636
1,5
0,2986
0,3116
0,2439
0,0055
0,0209
0,0601
1,3527
0,3094
0,7500
0,8750
2,0
0,4829
0,5300
0,4363
0,0262
0,0703
0,1412
0,4776
0,3121
0,8507
0,9254
5,0
0,5912
0,6659
0,5626
0,0392
0,0989
0,1873
1,5663
0,3224
0,9138
0,9569
10,0
0,6616
0,7567
0,6492
0,0464
0,1151
0,2140
1,6271
0,3323
0,9536
0,9768
20,0
0,7106
0,8210
0,7114
0,0508
0,1250
0,2308
1,6707
0,3403
0,9806
0,9903
50
0,7282
0,8443
0,7342
0,0522
0,1282
0,2364
1,6866
0,3434
0,9901
0,9951
100
Геометрические параметры приближенных функций Грина для областей
0,7372
0,8563
0,7460
0,0528
0,1298
0,2392
1,6948
0,3451
0,9950
0,9975
200
3 k
0,7428
0,8637
0,7532
0,0532
0,1308
0,2409
1,6948
0,3461
0,9980
0,9990
500
0,7465
0,8686
0,7580
0,0535
0,1314
0,2420
1,7032
0,3468
1,0
1,0
Таблица 8.9
С. В §115 были получены формула (8.182) для точной функции Грина и формула (8.183) для «N-го приближения» ее. Эти формулы есть следствие представления δ − функций (8.27), базирующегося на полноте и ортонормированности системы функций
∞ ( m) Ψ n (η ) . В методе П.В.Цоя n=1
{
}
используется только полнота системы степенных координатных функций, вообще говоря, не нормированных и не ортогональных. Рассмотрим гипотезу: определение приближенных функций Грина
{
( методом П.В. Цоя на системе степенных координатных функций Ψ n
m)
(η )}
ведет к автоматической ортогонализацци и нормировке этих функций, ( m) которые в структуре функций Грина для областей Ωk ( m = 1,2,3; k = 0,1,2,) (8.208) играют роль релаксирующих мод. Будем считать эту гипотезу подтвержденной, если для полученных из приближенных функций Грина m m m G (k ,n)(η ,η ', t ) величин δk( ,n) ( 0 ) = G (k ,n)(η ,η ,0 ) будут выполняться соотношения (8.183). Рассмотрим общий случай – n-е приближение функций Грина. Имеем, используя (8.186):
( m )(η ,η ', 0 ) = lim G ( m )(η ,η ', t ) = lim pG ( m ) (η ,η ', p ) = G k, n k, n t → 0 k, n p→∞ n ( m )(η ', p ) Ψ ( m ) (η ) = n C ( m )(η ', 0 ) Ψ( m ) (η ) . = lim pC ν ν k ,ν ν = 1` k ,ν ν = 1 p → ∞ (8.256)
(m) Из (8.189) следует система уравнений относительно C k ,ν (η ',0 ) :
n ( m) ( m) ( m )(η ') , C =Ψ S ji k,i j i =1 ( m) Для элементов матриц Sij и
(
j = 1, n.
(8.257)
( m ) −1 S ν ,r имеем:
)
n ( m ) −1 ( m ) 1, ν = j , δ S = = S ν r ν j 0, ν ≠ j. rj r =1
(8.258)
Решение системы (8.257):
n ( m ) −1 ( m ) m) ( C (η ',0 ) = Sν j ⋅ Ψ j (η ') k ,ν j = 1
77
(8.259)
подставим в (8.156), где положим η ' = η . Тогда с учетом (8.190) и (8.183) получим:
( m )( 0 ) = δ k, n
n n ( m ) −1 ( m ) ( m ) (η ) , η ⋅ Ψ Ψ ( ) S ν j ν j ν = 1 j = 1
что после интегрирования по η в области
Ω (k ) дает: m
n n ( m ) −1 ( m ) , Ψ( m ) 0) = S ⋅ Ψ = ( ν j ν k, n j m) ( ν =1 j =1 Ω k n n ( m ) −1 ( m ) n δ = n. = S ⋅ S = ν ν νν j j ν = 1 j = 1 ν =1
( m ) δ( m ) Ω k
(8.260) Поскольку в (8.260) индексы m и n произвольны, этот результат, подтверждающий сформулированную выше гипотезу, носит общий характер. Рассмотрим частные случаи. Для всех функций Грина в первом приближении (табл.8.5) выражение (8.260), как легко проверить, выполняется, в правой части всегда получается 1. Функция Грина для (1) (1) области Ω k во втором приближении - G k ,2 ( x, x ', t ) (8.240) дает частную зависимость (8.260) вида: 1 1 Ω(k ) δk( ,2) ( 0 ) = 2.
( 2)
(8.261)
Аналогичные выражения следуют и для G 0,2( r , r ', t ) и G 0,2( r , r ', t ) . Для ( 2) ( 3) функций G k ,2( r , r ', t ) и G k ,2( r , r ', t ) , ввиду трудностей представления их в факторизованном («каноническом») виде, проверка (8.260) осуществляется косвенно. Вначале осуществляются предельные переходы при 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) α k → ∞ : G k ,2→ Gˆ 0,2, G k ,2→ Gˆ 0,2, а затем (8.260) подтверждается для ( 3) ( 3) функций G и Gˆ , (как и должно быть, в правой части аналога (8.260) 0,2
( 3)
0,2
ˆ (2) ( 3) получается 2). Для функций первого приближения G 0,1 , и Gˆ 0,1, также получены верные соотношения (в правой части – 1). Таким образом, рассмотренные свойства приближенных функций Грина (в общем и в частных случаях) в совокупности дают внутренний (структурный) критерий, подтверждающий правильность всех полученных выражений.
78
ЧАСТЬ 9 БАЗИСНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ: СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ Глава 37. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА §120. Классификация свойств
Термин «свойство» выражает отношение данного объекта к другим объектам, с которыми он взаимодействует [47]. Анализ литературных источников, в которых рассматриваются свойства решений краевых задач и задач Коши для линейных параболических уравнений, показывает следующее. 1. Все источники можно отнести к двум классам: руководства и монографии по математической физике (написанные как правило, математиками и предназначенные для математиков) [3,4,8,9,25,27,30,31,39,42,47-54] и книги (руководства и монографии), предназначенные для физиков, теплофизиков, инженеров [16-18, 21-24, 29, 37, 38, 55-63]. В источниках первого класса основные свойства решений формулируются как теоремы их существования, единственности, устойчивости, образующие, в совокупности, условия корректности краевых задач и задач Коши по Адамару. Доказываются теоремы о максимуме и минимуме решений в областях их определения, о предельных переходах и дифференцировании под знаком интеграла интегральных представлений решений и другие. Подробно эти свойства излагаются в [4], где в их число включены: постановка задач Коши, 1-й, 2-й и 3-ей, а также смешанных краевых задач; вырождение краевых задач (задачи без начальных условий);обобщенные краевые задачи (для областей с подвижными границами); принцип максимума, единственность и устойчивость решений краевых задач и задач Коши; функции влияния (функции Грина) и интегральные представления краевых задач; дифференциальные свойства решений; способы вычисления функций Грина для канонических областей; редукция общих краевых задач к частным; тепловые потенциалы и их свойства. Во втором классе источников, наряду с перечисленными свойствами (излагаемыми обычно менее подробно и строго), рассматриваются свойства решений, имеющие прикладное значение (построение и исследование математических моделей процессов переноса в реальных системах). Наиболее широкий набор таких свойств (для решений уравнений диффузии) дан в [57] (около 30 свойств). С точки зрения геотеплофизики, к важнейшим из них можно отнести: законы сохранения, поведение нулевого, первого и второго моментов решений (в задаче Коши); качественное поведение решений («рассасывание» максимумов, невозможность «самофокусировок»); 79
суперпозиции; локализация решений – распространение эффективной «границы» поля по закону
t ; полугрупповое свойство решений; t → 0 и при t → ∞ ); стационарные
ассимптотики решений (при решения; поведение интегралов от решений (решений, усредненных по пространственной области). Обобщить все свойства решений, рассматриваемые в источниках обоих классов, можно, классифицировав их по трем группам: А. Постановка задач. В. Общие свойства решений. С. Структурные свойства решений. Каждая из групп содержит по семь подуровней. А. Постановка задач включает: А 1. Область решения; А 2. Вид уравнения; А 3. Начальные условия; А 4.Тип и вид граничных условий. А 5. Условия корректности постановки задачи. А 6. Вырождение задач. А 7. Задачи для областей с подвижными границами. Эти классификационные подуровни представляют «входные данные» задач (кавычки далее опускаем). В. Общие свойства решений: В 1. Принципы суперпозиции. В 2. Качественное поведение решений. В 3. Стационарность нулевого момента решения для задач Коши. В 4. Изменение со временем нулевого момента решений для полуограниченных (сингулярных) областей. В 5. Изменение со временем второго момента решения. В 6. Различные, эквивалентные формы представления решения В 7. Связи решений уравнений Фурье и Фурье – Кирхгофа. С. Структурные свойства решений. С1.Структуры решений, выражение их через функции Грина. С2. Представления функций Грина и их свойства. С3. Дифференциальные и интегральные соотношения для решений. С4. Поведение решений на границах областей и внутри их (для областей
ν
( m)
= Ων( ) × R+( ) ( t ) , m = 1,2,3, R+( ) ( t ) = {t ∈ ( 0, ∞ )} , ν = 0, k , +).С m
1
1
5. Полугрупповое свойство решений. С 6.Свойства и оценки норм решений. С 7. Влияние на свойства решений размерностей задач. Вторая и третья группы свойств решений дают, в совокупности, зависимость решений и производных от них по координатам (т.е. плотностей тепловых потоков), а также интегралов от решений (т.е. от средних по областям температур) от входных данных задач, характеризуют структурные области и формы представления решений. В настоящем, втором томе, где рассматриваются базисные математические модели теплофизики шахт и рудников, все вышеперечисленные свойства агрегируем, т.е. сведем их к меньшему числу с одновременной конкретизацией формулировок. Иначе говоря, используем, на основе приведенной, другую, «рабочую» классификацию свойств по таким трем классам: 1: Основные свойства решений. 2. Свойства обобщенной корректности решений. 3. Сравнение решений. К основным свойствам решений относим: а) интегральные и дифференциальные соотношения; b) физическую и математическую
80
корректность; с) виды оценок решений; d) виды и свойства точных функций Грина; е) свойства локализации решений. К свойствам обобщенной корректности решений относим: а) классическая (т.е. по Адамару) корректность краевых задач и задач Коши; b) обобщенная корректность всех базисных задач; с) устойчивость оценок зон влияния. Под сравнением решений понимаем: а) демонстрацию эквивалентности 1-й, 2-й, 3-ей краевых задач; b) оценку точности приближенных методов; с) сравнение асимптотики малых и больших времен с точными решениями; d) сравнение точных решений с решениями для случаев асимптотического поведения параметров. Рассмотрение основных свойств осуществляется далее в настоящей главе, обобщенной корректности – в главе 38, сравнение решений –в главе 39. Некоторые, использованные выше термины, в литературе не встречающиеся, введены нами и имеют следующий смысл. Физическая корректность математических моделей (т.е. постановок и решений краевых задач) рассматривалась в [1]. Она включает: выполнение законов сохранения энергии и массы; исключение бесконечных значений для физических величин (температур, концентраций, потоков тепла и массы внутри и на границе областей; интенсивностей источников тепла и массы (или их стоков); существование стационарных решений для краевых задач и задач Коши (т.е. законность переходов к пределу t → ∞ в решении задач и величин, по ним построенным). Последнее условие сужает класс рассматриваемых моделей, которые можно назвать «эволюционными», в отличие от моделей взрывных и колебательных процессов. ( m) Бинормы функций Грина для областей Ων используются далее для оценок и сравнения решений. Это – повторные нормы, берущиеся по переменной η ' от норм функций Грина, ранее найденных по переменной η Gν( m ) = Gν( m ) η ,η '; t , которые представляют собой убывающие
(
(
))
функции времени. Обобщенная корректность краевых задач отличается от классической тем, что последняя предполагает (в тех источниках, где она упоминается) установление существования, единственности и устойчивости решений по отношению к малым возмущениям начальных и граничных условий, а также функций плотности источников тепла (т.е. входных данных в «узком смысле»), а обобщенная корректность оперирует входными данными в «широком смысле», включающими в себя пространственновременные координаты и параметры модели (коэффициенты уравнения). Прямое указание на необходимость определения устойчивости решений по отношению к входным данным в широком смысле имеется в [48], однако в известных нам источниках такая программа ранее никем не была реализована. 81
Устойчивость оценок зон влияния (локализации полей) означает, что при изменении (возмущении) факторов, определяющих данную оценку, последнея также получает изменение, норма которого не превышает норму возмущения. Параметрические асимптотики характеризуют те особенности решений краевых задач, которые обусловлены экстремальностью (т.е.очень малыми или очень большими значениями) теплофизических и геометрических параметров задачи.
§121. Интегральные и дифференциальные соотношения
В Части 8, носящей вводный характер, были получены структуры ( m) решений краевых задач для областей Ων m = 1,2,3; ν = 0, k , + −
(
)
представления граничных функций (ПГФ) – (8.114) и представления (1) потенциала (ПП) – (8.116). Решение для области Ω0 не приводилось, (1) поскольку оно может быть получено из решения для области Ω1 . Поэтому (1) x, x ', t в табл.8.3 отсутствует. Оно выражение для функции Грина G 0
(
)
понадобится нам далее, как и дополнительное к ПГФ и ПП некоторое «общее представление» (ОП) для всех решений. ( m)
Общее представление решения (ОП), обозначенное далее Uν , получим, осуществив структуризацию ПГФ Из (8.108) и (8.114) имеем:
m Uν( ) (η , t )
и ПП
m Uν( ) (η , t ) .
( m ) (η , t ) = U ( m ) (η , t ) + U ( m ) (η , t ) + U ( m ) (η , t ) , U ν ν1 ν2 ν3
где
( m ) (η , t ) = G ( m ) (η ,η ', t ) , ϕ (η ') U ν1 ν ν
( m)
Ω 0
( m ) = M ( m ) (η , t ) − G ( m ) (η ,η ', t ) , * ∂ M ( m ) (η , t ) U ν2 ν ν (t ) t ν ( m ) (η , t ) = G ( m ) (η ,η ', t ) , * f (η ', t ) U ν3 ν (t ) ν В (9.2): u
( m ) (η , t ) -
ν1
(9.1)
(9.2) (m) Ω 0
(m) Ω 0
релаксирующее поле, описывающее убывающий со
m временем вклад в общее решение U ( ) (η , t ) начального распределения ν1
82
температуры
ϕν (η ) ;Uν( m2 ) (η , t ) -
граничное поле – компонента решения,
μν( −) ( t ) и μν( + ) ( t ) (через которые M ν( m ) (η , t ) ; Uν( m3,) (η , t ) − источниковое поле, выражается функция генерируемое источниками с функцией плотности распределения fν (η , t ) . (m) Согласно (8.116), функцию Uν (η , t ) (ПП) также можно записать: m m m m Uν( ) (η , t ) = U ( ) (η , t ) + U ( ) (η , t ) + U ( ) (η , t ) , (9.3) зависящая от .граничных температур
ν1
где
ν2
ν3
m m m m Uν( 1 ) (η , t ) = Uν( 1 ) (η , t ) , Uν( 3 ) (η , t ) = Uν( 3 ) (η , t ) ,
m) m) ( ( ∂G ∂G ν η −m−1 ν * μν( − ) ( t ) − η +m −1 ν * μν( + ) ( t ) , Uν( m2 ) (η , t ) = 2π ma (t ) (t ) ∂η ' η '=η ∂η ' η '=η − + (9.4) Представления (9.1) и (9.3) эквивалентны, т.к. как было показано в §111,
Uν( m2 ) = Uν( m2 ) .
Придавая в (9.4) значения m = 1, 2,3, а затем
ν = 0 , и ν = +,
получим:
∂G (1) +) (1) ( 0 * μ 0 ( t ) , U 02 ( x, t ) = − a0 ( ∂x ' x '=l t ) 0 (1) (1) , = ∂G + (−) U 0 + ( x t ) a+ (*t ) μ + ( t ) . ∂x ' x '=0
(9.5)
( m ) ( m ) (+) m −1 ∂G0 0 r0 U 02 ( r , t ) = −2π ma * μ 0 ( t ) , ∂r ' r '=r ( t ) 0 m = 2, 3.(9.6) ( m ) ∂ G m − ( ) ( ) m 1 − U +2 ( r , t ) = 2π ma+ r0 + * μ + ( t ) . ∂r ' r '=r ( t ) 0 Из (8.172) следует: 83
(9.7) m) ( ∂G 0 r0m−1 0 ∂ t G 0( m ) ,1 ( m ) = 2π ma + δ + ( t ) , Ω ( r ') 0 ∂r ' r '=r0 m = 2, 3 (m) ∂ G m ( ) m − 1 + r0 + ∂ t G + ,1 (1) = −2π ma + δ + (t ) Ω+ ( r ') ∂r ' r '=r0 (1) ∂ G 0 ∂ t G ,1 (1) = a0 + δ + ( t ) , Ω ( x ') ∂ x ' 0 x '=l0 m = 1 1 ( ) ∂G + (1) ∂ t G+ ,1 (1) = − a0 + t δ , ( ) + Ω+ ( x ') ∂ x ' x '= 0 (1) 0
Если подставить два первых соотношения (9.7) в (9.5) соответственно, а два последних соотношения (9.7) в (9.6) соответственно, то получим:
U 02(1) ( x, t ) = μ 0( + ) ( t ) − G 0(1) * ∂ t μ 0( + ) (t )
1 − 1 − U +( 2) ( x, t ) = μ +( ) ( t ) − G +( ) * ∂ t μ +( ) (t )
m + + m U 02( ) ( r , t ) = μ 0( ) ( t ) − G 0( ) * ∂ t μ 0( ) (t )
m m U +( 2 ) ( r , t ) = μ +( − ) ( t ) − G +( ) * ∂ t μ +( − ) (t )
, (1) Ω ( x ') 0 m = 1 , (1) Ω+ ( x ' ) (9.8) , Ω( m ) ( r ' ) 0 m = 2, 3 Ω+( m ) ( r ' )
Представления для граничных полей (9.8), будучи подставлены в (9.3) дают искомое ОП. При этом выводе мы исходили из ПП (9.4). Покажем, что стартуя от ПГФ (9.1), можно также получить ОП. Во втором из соотношений (9.2) функция
M ν( m ) (η , t )
определена (8.105) и (8.107). Для областей
задача нахождения функций
β k( m ) (η ) ранее формулировалась так:
∇ m2 β k( m ) (η ) = 0, β k( m) (η− ) = 0, β k( m ) (η+ ) = 1. 84
Ωk( m )
Для областей
Ω0( m ) (m)
∇ β0 2 m
эту задачу надо формулировать иначе:
d β 0( dη
m)
(η ) = 0,
Решение (9.9) имеет вид
= 0, β 0( m ) (η0 ) = 1.
(9.9)
η =0
β 0( m ) (η ) ≡ 1, ,
что дает
M 0( m) (η , t ) = μ 0( + ) ( t ) .
m = 1, 2, 3 ): t = U
Тогда из второго уравнения (9.2) следует (для m + m + U 02( ) (η , t ) = μ 0( ) ( t ) − G 0( ) * ∂ μ 0( ) (
(t ) t
Для областей
Ω+( m ) ( m)
∇ β+ 2 m
Задача
(9.11)
)
m Ω( )
02
(η , t ) .
(9.10)
→ 0.
(9.11)
0
задача (9.9) видоизменяется:
(η ) = 0, β +
имеет
M +( m) (η , t ) = μ +( − ) ( t )
( m)
d β +( m) (η0 ) = 0, dη
единственное и для
m = 1, 2, 3
решение:
η →0
β +( m ) (η ) ≡ 0.
Тогда
получаем:
U +( m2 ) (η , t ) = μ +( − ) ( t ) − G +( m) * ∂ μ +( − ) (t ) t
Ω( m ) 0
= U +( m2 ) (η , t ) .
(9.12)
Формулы (9.10) и (9.12) устанавливают эквивалентность ОП и ПГФ, как ранее (9.8) была установлена эквивалентность ОП и ПП. Таким образом, далее, при оценках решений и их невязок можно пользоваться ОП как ( m)
( m)
( m)
наиболее универсальным (пригодным для областей Ω0 , Ωk Ω+ ) и удобным (поскольку не содержит производных от функций Грина). (1) (1) x , x ', t может быть получена Функция Грина для области Ω − G 0
0
(
)
1 G из функции 0 ( x , x ', t ) . Проще однако, использовать стандартный способ (§112). Следуя ему, решаем задачу Штурма-Лиувилля, определяя
ортонормированную
систему
удовлетворяющих в области граничным условиям:
собственных
Ω0(1) = { x ∈ ( 0, l0 )}
85
функций
ψ n( 0) ( x )
,
смешанным однородным
0 dψ n( ) dx
В итоге получаем:
x=0
0 = ψ n( ) ( x )
= 0,
x=l
n = 1, 2,
0
2 ∞ 2 (1) G0 ( x, x ', t ) = exp − ( n − 0,5 ) π 2 Fo × l0 n =1 π x π x' × cos ( 2n − 1) cos ( 2n − 1) , l l 2 2 0 0
Ω0(1) ,
т.е. функцию Грина для области краевым условиям: 1 G 0( ) ( x, x ', t )
t =0
1 ∂G 0( ) = δ + ( x − x ') , ∂x
удовлетворяющую необходимым
∂G 0( ) = ∂x ' 1
x =0
(9.13)
1 = G 0( )
x '= 0
x =l0
1 = G 0( )
x '=l0
= 0.
Выражением (9.13) дополняется таблица 8.3, что позволяет, используя (8.172) и (9.7) вычислить нормы функций Грина для всех областей
( m)
G0
η (η ,η ', t ) L (η ) = 2π ma G k( m ) (η ,η ', t )
L1(η )
∂G 0( m ) 0 ∂η dt '+ θ + ( t ) , (9.14) η =η0 t
m −1 0 0
1
Ων( m ) :
≡
t t ∂G k( m ) ∂G k( m ) − 1 − 1 m m k η k = 2π ma dt '− η k −1 dt ' + θ + ( t ) , ∂ η ∂ η 0 0 η =ηk η =ηk −1 m G +( ) (η ,η ', t )
L1(η )
+η ≡ −2π ma
∂G 0 ∂η dt '+ θ+ ( t ). η =η0 t
m −1 0
( m) +
(9.15) (9.16)
Оценки для норм всех функций Грина следуют сразу из (9.14) – (9.16). Поскольку из (8.171) вытекает, что
∂G 0( m ) ∂G k( m ) ∂G k( m ) ∂G +( m ) > 0, < 0, > 0. < 0, η η η η ∂ ∂ ∂ ∂ η =0 η =ηk −1 η =ηk η =η0
при
η ' ∈ Ων( m ) ( m = 1, 2, 3; ν = 0, k , + ) , , то заключаем, что 86
m Gν( )
L1 (η )
< θ+ (t ) ,
η ' ∈ Ω0( m ) ,
Поскольку для задач Коши производные по η
t > 0.
(9.17)
функций Грина на границах
областей ( x → −∞ и x → ∞ для m = 1 и r → ∞ для m = 2,3 ) равны нулю, то для функций Грина задач Коши в соотношении (9.17) (при ν = ∞ ) знак < должен быть заменен на знак =. Интегральные соотношения для решений удовлетворяют уравнениям (8.71) при
k =ν :
Uν( m ) (η ,η ', t ) . Они
m m ∂ tUν( ) = aν ∇ m2 Uν( ) +ψν , ψν = ψν (η , t ) = ϕν (η ) δ + ( t ) + fˆν (η , t ) .
Ων( m ) и по t ' от 0 до t
Интегрируя (9.18) по η в областях m Uν( ) ,1 ( m ) Ω (η ) 0
( m)
≡ Uν
m = Qν( ) L1(η )
(9.18) получаем:
t
( t ) + ψν ,1 Ων( m ) (η )dt ,
где
(9.19)
0
η =η
+ (m) ∂ U m ν η m −1 ν Qν( ) ( t ) = 2π ma dt '. ∂ η 0 η =η− t
(9.20)
Если обе части (9.19) умножить на удельную объемную теплоемкость
Cν
Ων( m ) , то слева получаем теплосодержание в области в ( m ) − суммарный поток тепла в момент времени t , а в правой части: Cν Q ν ( m) области Ων , прошедшего через ее границы за время t , а произведение Cν среды в области
на второй интеграл в правой части (9.19) есть сумма начального теплосодержания в области и количество тепла, переданного области за время t тепловыми источниками. Т.е. (9.19) является уравнением теплового баланса в области
Ω+( ) .
Ων( m ) .
Аналогично обстоит дело и для областей
Ω0(
m)
и
m
( m) Оценка приближенного решения Uˆν
(η , t ) задачи, точное решение
( m) (η ,t ) в обоих случаях, которой - Uν (η , t ) , с учетом совпадения функций Ψ следует из (9.19)
87
m m m m m m δ Uν( ) ≡ Uν( ) − Uˆν( ) = Qν( ) − Qˆν( ) = δ Qν( ) , L,(η ) L,(η )
(9.21)
( m) ( m) ( m) где Qˆν ( t ) определяется по (9.20) при Uν = Uˆν . Т.о., невязка точного и
( )
приближенного решений в нормах L1 η определяется невязкой функций m Qν( ) , имеющей ясный физический смысл: невязки теплопоступлений в область в двух случаях. Это свидетельствует о целесообразности использования L1 - норм для оценки решений и их невязок. Плотности потоков тепла на границах областей часто представляют основной интерес при исследованиях математических моделей теплопереноса. Вычисление их осуществим, используя решение в ПП. В ( m) произвольной точке η области Ων , как следует из (9.3), имеем:
( m ) ∂ U m m m ν qm ,ν (η , t ) = −λν = −λν ∂η Uν( 1 ) + Uν( 2 ) + Uν( 3 ) . ∂η ( m ) = U ( m ) i = 1, 3 , Поскольку U из (9.2) находим: νi
νi
(
m m −λν ∂ηUν( i ) = −λν ∂ηUν(i )
(
)
)
−λν ∂η Gν( m ) ,ϕν , i = 1, (m) Ω ν = ( m) , i = 3. −λν ∂η Gν * fν m) t) ( ( Ων
(9.22)
(9.23)
Из (9.4) следует:
2 ( m) − m −1 ∂ Gν ν λν η − * μν( ) − −λν ∂ηUν 2 = −2π ma t ∂η∂η ' η '=η− ( )
{
2 ( m) +) ( m −1 ∂ Gν − η+ * μν t ( ∂η∂η ' η '=η+ )
88
(9.24)
Обозначив получим: − qm( ,ν) = −λν
− + qm( ,ν) = qm ,ν (η− , t ) , qm( ,ν) = qm ,ν (η+ , t ) ,
( ∂ G ( ) ) m
η
ν
η =η−
, ϕν
( m)
Ων
− λν
из (9.22) – (9.24)
( ∂ G ( ) )
* fν
m
η
ν
η =η− ( t )
m Ω( )
−
ν
2 ( m) 2 ( m) m−1 ∂ Gν + ( − ) m −1 ∂ Gν * μν − η + * μν( ) −2π maν λν η − (t ) ∂η∂η ' η '=η+ ( t ) ∂η∂η ' η '=η− = η η = η η − − + qm( ,ν) = −λν
( ∂ G ( ) ) m
η
ν
η =η+
,ϕν
( m)
Ων
− λν
( ∂ G ( ) ) m
η
ν
(9.25)
* fν
η =η+ ( t )
m Ω( )
−
ν
2 ( m) 2 ( m) ∂ Gν ( − ) m−1 ∂ Gν (+) ν λν η −m−1 * μ η * μ −2π ma − ν + ∂η∂η ' η '=η ( t ) ν η '=η− ( t ) η η ' ∂ ∂ + η η η η = = + + (9.26) Поскольку ПГФ и ПП для плотностей потоков тепла, как и для решений, эквивалентны друг другу, формулы (9.25) и (9.26) дают, соответственно, − + qm( ν) t и qm( ν) t .
()
()
§122. Корректность моделей В этом параграфе рассматриваются классическая корректность краевых задач (корректность по Адамару) и физическая корректность [1]. Классическая корректность включает в себя существование решения, его единственность, устойчивость решения к возмущениям входных данных в узком смысле. Как фундаментальный элемент парадигмы математической физики, она излагается (в большинстве руководств) однотипным образом. В [52] доказывается теорема о наименьшем значении решения уравнения теплопроводности при t = 0 или на границе S области Ω для
t ∈ [ 0, T ] (T < ∞ ) F ( x, y, z ) ≥ 0 . Из
при
неотрицательной
правой
части
уравнения
F ( x, y , z ) ≤ 0 решение достигает максимума либо при t = 0 , либо на границе S области Ω; 2. Если уравнение однородно (т.е. F ( x, y, z ) ≡ 0 ), то при t ∈ [ 0, T ) как максимум, так и минимум решение достигается при t = 0 либо на границе S области Ω. Из этой теоремы и ее следствий выводятся теоремы вытекает следствие: 1. Для
89
единственность решения краевой задачи и его непрерывная зависимость от начальных и граничных условий. В другой теореме [52] доказывается, что для
t ∈ ( 0, T ]
решение
U ( M , t ) первой краевой задачи с начальными U ( M ,0 ) = ϕ ( M ) , M ∈ Ω
( M = M ( x, y , t ) )
(
)
правой частью F ( M ) при выполнении условий
ε ϕ < ,
для всех
(
и граничным U P, t = f P, t
t ∈ ( 0, T ] и
ε
f < , 2
F <
)( P ∈ S )
условиями и
ε
, 2 2T M ∈Ω имеет место неравенство U < ε .
(9.27)
Аналогичные теоремы доказаны в [3,4,27] и многих других источниках. В [51] рассмотрена задача Коши, а вместо принципа максимума использовано интегральное представление решения. Для одномерной задачи Коши
с нулевым начальным условием и правой частью
доказана теорема: для любых
ε ,T > 0
существует
F ( x, t ) ≠ 0,
δ = δ (ε ,T ) ,
такое,
U1 ( x, t ) и U 2 ( x, t ) правые x и t ∈ ( 0, T ] таковы, что
что если в задачах Коши для двух функций
F1 ( x, t ) и F2 ( x, t ) при всех F1 − F2 ≤ δ ( ε , T ) , то U1 − U 2 ≤ ε . В ходе доказательства выясняется, что ε и δ связаны зависимостью ε = δ ⋅ T . Возникает вопрос: если части
величина δ конечна (а для любых экспериментальных условий это всегда так), а момент времени T велик, то как понимать невязку решений ε = δ T , которая может оказаться большой величиной. Четкие формулировки относительно величин ε и δ у многих авторов, как и в [51] отсутствуют. Говорят о «сколь угодно малых», о просто «малых» возмущениях входных данных, а в [48, с. 229] утверждается что «…считать, что математическая задача правильно описывает физическое явление, можно только в случае, когда изменение данных задачи в достаточно малых пределах приводит к произвольно малому (выделено мной – И.В.) изменению решения». Ясно, что эта формулировка не приемлема. Констатируем, что в парадигмообразующих источниках: 1) отсутствует четкость в формулировках норм функций и их невязок – как для входных данных задач, так и для их решений; 2) не указывается, что возмущения входных данных и обусловленные ими вариации решений – конечные величины, «малость» которых должна формализовываться; 3) формулировки теорем либо слишком общие [4,52], либо, напротив, носят частный характер [3, 27, 51]; 4) игнорируется факт зависимости возмущений входных данных (кроме начальных условий) и невязок решений от времени, не предлагается и не реализуется метод учета этой зависимости; 5) не рассматривается 90
устойчивость решений по отношению к возмущениям (погрешностям определения) теплофизических параметров и размеров областей. Далее, в §123, предлагаются способы оценки решений и их невязок, позволяющие устранить указанные недостатки, т.е. придать понятию классической корректности более строгую форму. Затем, в главе 38, вводится и реализуется понятие обобщенной корректности при определении устойчивости решений по отношению к возмущениям входных данных в широком смысле. Две другие составляющие понятия корректности не рассматриваются, поскольку существование и единственность решений очевидным образом следует из полученных структур решений в областях
Ων(
m)
. Физическая корректность решений предусматривает использование законов сохранения (первых принципов) для исключения всех видов бесконечностей и других математических «монстров» [66], или артефактов [1]- математически возможных, но физически запрещенных соотношений, Ряд физически некорректных моделей ранее уже рассматривался в [1], где указаны были методы их «нормализации». Это осуществлялось на основе методологических принципов прикладной математики и математической физики [23,57,64-67]. Рассмотрим физически корректные компоненты математической модели процесса линейной теплопроводности (краевой задачи) – ее входные (1) данные в широком смысле. А. Размеры области ( l0 и lk для областей Ω0 и 1 2 2 3 3 Ωk( ) ; r0 − для областей Ω0( ) , Ω+( ) , Ω0( )Ω+( ) ; Δrk = rk − rk −1 и α k = rk / rk −1 − для областей Ωk( 2) , Ωk(3) ). В. Теплофизические параметры
( λν , Cν
,
= ρ C , aν = λν / Cν , ν = 0, k , + ) .
температуры
С. Начальные распределения
(ϕ (η ) = U ( ) (η ,0)). D. Граничные условия m
ν
ν
( μ ( ) (t ) = U ( ) (η , t ) , −
k
m
k
−
μ k( + ) ( t ) =U k( m ) (η + , t ) ,
μ 0( + ) ( t ) = U 0( m ) (η + , t ) , μ +( − ) ( t ) = U +( − ) (η − , t ) Е. Функции плотности источников (стоков) тепла
( fν (η ,t ) ) .
)
А. Размеры области. В рассматриваемые базисные модели краевые задачи для областей с подвижными границами не входят (кроме задач Стефана); линейные размеры фиксированы и в каждом конкретном случае могут быть измерены. Однако сложность таких измерений для областей горного массива не позволяет полностью исключить ошибки, т.е. измеренные Δl0 , Δlk , Δr0 , Δrk . величины будут содержать погрешности:
91
Соответствующие им относительные погрешности
ε l , ε l , ε r , ε r , εα 0
k
будем считать такими, что для любой из них (назовем ее выполняться условие
εe
0
εe )
k
k
будет
≤ 2, 5%.
В. Теплофизические параметры. В томе 1 настоящей монографии (т.е. в [40]), в § § 42,81 приведены данные о теплофизических параметрах горных пород, измерявшихся в лабораторных и натурных условиях, свидетельствующие об их достаточно плавном изменении с температурой. На интервалах в 50-100K эти изменения можно аппроксимировать кусочнолинейными функциями, а в более широких интервалах – степенными функциями вида (8.32), либо экспоненциальными (вида 8.34). Вообще же, как это было отмечено в [59], нелинейность теплопроводности существенна при 3
5
высоких температурах ( T 10 ÷ 10 K). В § § 42, 81 рассмотрено также влияние на теплофизпараметры угля и пород других факторов: давления, влажности, плотности, минералогического состава, структуры, скорости звука. Даже в близкорасположенных зонах горного массива (пласта угля или породы) указанные факторы случайным образом варьируют [68-70]. Известные лабораторные методы определения теплофизпараметров твердых тел [71-77] дают погрешность 10-20% и более. При этом погрешности измерений объемной удельной теплоемкости и коэффициентов теплопроводности обычно одного знака и порядка [68,76,77]. Это ведет к более точному определению a = λ / Cν , поэтому считаем ошибку измерения
Δa
такой, что ε a
= Δa / a ≤ 15%.
( m) С. Начальное распределение температуры в областях Ων m ( m) (краевые задачи) и R ≡ Ω∞( ) (задачи Коши) может, очевидно, рассматриваться как решение задачи переноса в предшествующий период или как результат мгновенного теплового воздействия на систему. Реальные системы всегда конечны, а их идеализации – задачи Коши – приближение «малых времен». Поэтому, во всех случаях, количество тепла в системе в любой момент времени конечно, что формализуется условиями:
m
Ω ν( )
ϕν (η ) dω (η ) < ∞,
m
Ω (∞ )
ϕ∞ (η ) dω (η ) < ∞.
(9.28)
Неравенства (9.28) необходимы, но недостаточны для физической корректности, поскольку еще требуется, чтобы при t > 0 температуры были ограниченными и непрерывно переходили при t → +0 в начальные распределения. Как показано в [1] это требует обобщенных формулировок краевых задач, т.е. использования δ − функций. Для всех же начальных
92
условий, задаваемых при классической постановке задач необходимо потребовать:
max ϕ (η ) = ϕν (m) ν
η∈Ω ν
Здесь
ϕν
= ϕν
C (η )
C (η )
(
m C Ων( )
)
< ∞, max ϕ (η ) = ϕν (m) ν η∈Ω ∞
- С – норма функции
(
m C Ω (∞ )
ϕν (η )
) < ∞. (9.29)
в области
Ων(
m)
.
Неравенства же (9.28) можно записать в виде:
ϕν где
ϕν
(
(
m L1 Ων( )
m L1 Ων( )
Нормы
)
-
L1
) ≤ N1 , ϕν L ( Ω ( ) ) ≤ M1 , N1 , M 1 < ∞, m ∞
1
L1 − норма функции ϕν (η ) в области Ων( m) . и
C
функций
ϕν (η ) ,
являющиеся ограниченными
(конечными), дают необходимые и достаточные условия физической корректности начальных распределений температуры. Они же характеризуют поведение решений базисных задач в любой момент времени t > 0. В механике, электродинамике, других областях физики широко распространены нормы L2 (интегралы по области от квадрата функции), однако для процессов тепло- и массопереноса они лишены физического смысла, в то время как нормы L1 , C определяют непосредственно законы сохранения. Далее используем упрощенные обозначения, отбрасывая «1» у L1 и заменяя символы областей переменными, по которым берется норма:
( m ) (η , t ) ≡ U ( m ) max U k k (m)
η∈Ωk
C (η )
,
m
Ω( ) k
m m U k( ) (η ', t ) dη ' ≡ U k( )
L(η ')
(9.31)
Д. Граничные условия. Согласно выработанным принципам построения математической геотеплофизики [40, § 101], для всех базисных моделей используем граничные условия І-го рода, в которых граничные температуры
Ω0( m ) , Ω+( m ) )
μ k( −) ( t ) , μ k( + ) ( t ) , (области Ωk(m) )
– известные функции времени
и
μ0( + ) ( t ) , μ+( − ) ( t ) (области
t ( t > 0 ).
Ограничений в
произволе выбора вида этих функций нет в литературе ( как по математической физике, так и по теплофизике). В ряде работ рассматривались неограниченно возрастающие со временем граничные температуры (растущие как
t m ( m > 0 ) − в [54,79]). В [1] было показано, что
такие постановки задач противоречат принципу физической корректности. Граничные функции, соответствующие этому принципу должны, очевидно, удовлетворять условию 93
± max μν( ) ( t ) < ∞, t > 0 (ν = 0, k , + ) ,
которое можно записать в виде: μν( ± ) t ≤ M , t > 0, M = const C (t ) (±) t при t > 0 монотонна, то Если функция μν
()
()
μν( ± ) ( t )
C(t )
(
)
< ∞.
≤ M = max μν( ± ) ( +0 ) , μν( ±s ) , μν( ±s ) = lim μν( ± ) ( t ) . t →∞
(9.32)
(9.33)
Е. Функции источников (стоков) тепла. Источники тепла в горных массивах, выработанных пространствах лав, пластах угля и т.п. могут быть экзогенными и эндогенными [40,79,80]. Наиболее характерные для моделей горной теплофизики приведены в табл.4.5 [40]. Это – тепловыделения от гидратации цемента, окислительных процессов, радиоактивного распада. В более широком, теплофизическом аспекте, можно указать и на другие источники тепла в геосистемах. Это: геотермы, тепло диссипации механических процессов, радиоактивный распад и другие [81-87]. Поскольку использование неограниченной временной шкалы
t ∈ ( 0, ∞ )
в моделях теплофизики является удобной идеализацией реальных
процессов, протекающих в течение конечных промежутков времени [67,68], эту конечность необходимо учесть. Принцип физической корректности требует, чтобы интенсивность любого источника тепла была ограничена, а полное количество выделенного им за любое время тепла было конечным. ( m) ν = 0, k условиями: Эти требования формализуются для областей Ων
max fν (η , t ) ≤ N 2 , ( m)
t
η∈Ων
(
)
N 2 = const < ∞ ,
(9.34)
,t > 0
m fν (η , t ' ) dt ' = Fν (η , t ) ≤ M 2 , t > 0,η ∈ Ων( ) , M 2 = const < ∞.
0
( m) (9.35)Для сингулярных областей Ω+ условие (9.34) остается в силе, а (9.35) должно быть изменено (ужесточено) следующим образом:
m Ω+( )
t
dω (η ) f+ (η , t ') dt ' ≤ Q +( m ) ( t ) < ∞, t > 0.
(9.36)
0
Аналогично для задач Коши (9.34) остаётся в силе, а (9.36) принимает вид:
( m)
Ω∞
t
m dω (η ') fν (η , t ') dt ' ≤ Q ∞( ) < ∞, t > 0. 0
94
(9.37)
В (9.36) и (9.37):
m Q +( ) ( t )
и
m Q ∞( ) ( t ) − интегральные
источники тепла,
которые при t > 0 ограничены по величине и при оценке решений и их невязок позволяют отбросить ограничение t ∈ ( 0, T )(T < ∞ ) , используемое при рассмотрении классической корректности.
§123. Оценки решений и их невязок
В настоящем параграфе рассматриваем: А. Оценки в L − нормах решений краевых задач и задач Коши и их невязок. В. Оценки в С – нормах решений и их невязок. Используем ОП решений. А. Оценки в L − нормах. Базисные модели (краевые задачи для m ( m) ( m) ( m) ( m) областей Ω0 , Ωk , Ω+ и задачи Коши для областей R ≡ Ω∞( ) ) ( m) образуют четыре группы: А1. Модели для центральных областей Ω0 ; ( m) А2. Модели для сингулярных областей Ω+ ; А3. Модели для областей – ( m) (m) слоев Ωk ; А4. Модели – задачи Коши для областей Ω∞ . ( m) А1. Центральные области Ω0 . Решения в ОП для этих областей ( m) ( m) имеют вид (9.3) с компонентами U 01 η , t и U 03 η , t данными (9.2):
(
( m) U 01 (η , t ) = G 0( m) ,ϕ0
( m) Компоненты U 02
m Ω ( )(η '), 0
)
(
)
( m) U 03 (η , t ) = G 0( m) , * f0 (t )
(η , t ) , согласно (9.8), имеют вид:
μ 0( + ) ( t ) − U 02( m ) (η , t ) = G 0( m ) * ∂ t μ 0( + ) (t )
m Ω0( ) (η '),
m Ω ( ) η' 0
( )
( m) = U 02,1 (η , t ) .
. (9.38)
(9.39)
Обозначим:
ϕ (η )θ ( t ) , i = 1, + 0 (9.40) + m q0( i ) (η , t ) = μ0( ) ( t ) , i = 2, t F0 (η , t ) , i = 3, F0 (η , t ) = f0 (η ,τ ) dτ . 0 Теперь функции
m U 0( i ) (η , t )( i = 1, 3 )
и функцию
записать единообразно:
95
( m) U 02,1 (η , t )
можно
m m m U 0( i ) (η , t ) = G 0( ) * ∂ t q0( i )
(t )
Находим
L − нормы: m U ( ) (η , t ) 0i
L(η )
m Ω0( ) (η ')
m = G 0( )
m 02
m * ∂ t q0( i )
L (η ) ( t )
m * q0( i )
m = ∂ t G 0( )
(U ( ) = U ( ) ).
,
m 02,1
( m)
Ω0
(η ')
(9.41)
= (9.42)
.
L (η ) ( t )
m Ω0( ) (η ')
Оценивая (9.42), получаем: m U 0( i ) (η , t )
=
L (η )
( m)
q0i
C (t )
C (η )
Находим все величины ( m) N 01 = ϕ0 (η )
( m)
N 03 = F0 s (η )
(
( ) ≤ max max q i 0 ( m) η∈Ω0
⋅
m N 0( i )
m
t >0
)
( m)
G0i
m ∂ t G 0( )
(m)
L(η )
L (η ')
*1 =
L(η ) ( t )
( m)
= N 0i ⋅ W0
(t ).
из (9.43):
( m) = ϕ0 ; N 02 = max μ 0( + ) ( t ) = μ 0( + ) ( t )
C (η )
(9.43)
t >0
C(t )
= μ0( + ) ;
∞
C (η )
= F0 s , F0 s ( t ) = f0 (η ,τ ) dτ 0
При монотонном изменении
(
μ 0( + ) ( t ) :
(9.44)
)
μ0( + ) = max μ 0( + ) ( +0 ) , μ 0( +s ) , ( m) Как следует из (9.43), функции W 0 W0( m ) ( t ) =
μ 0( +s ) = lim μ 0( + ) ( t ) . t →∞
( t ) определяются по функциям Грина: G 0( m )
L(η )
L (η ')
Оценки (9.43) можно представить теперь в виде:
96
, t ≥ 0.
(9.45)
m U 0( )
L(η )
( m) = U 01
L(η )
( m) + U 02,1
L(η )
( m) + U 03
≤
L(η )
.
(9.46)
Невязки решений определим как разницы между решениями
m U 0( ) ( t )
(
)
+ m ≤ ϕ0 + μ0( ) + Fos W0( ) ( t )
невозмущенных входных данных (в узком смысле + m ( ) ( ) ϕ0 η , f0 η , t , μ 0 t ) и решениями Uˆ 0 η , соответствующими (+) возмущенным входным данным (ϕˆ0 = ϕ 0 + δϕ 0 , fˆ0 = f0 + δ f 0 , μˆ 0 = μ 0( + ) + δμ0( + ) . Ясно, что оценки невязок следуют из (9.46) где решения при
( )
(
)
()
( )
)
следует заменить на невязки, а входные данные - на их невязки:
δ U 0( m )
L(η )
( m) = δ U 01
(
L (η )
(m) + δ U 02,1
)
L (η )
(m) + δ U 03
L(η )
+ m ≤ δϕ0 + δμ0( ) + δ Fos W0( ) ( t )
≤
. (9.47)
Таким образом, полученная оценка (9.47) позволяет: 1) установить меру вариации решений при возмущениях (определенных с погрешностью) входных данных в узком смысле; 2) выявить динамику устойчивости ( m ) t убывают со временем. («забывания» возмущений), т.к. функции W 0
()
Эти функции, как и их аналоги, далее рассматриваемые, будем, в силу (9.43) называть бинормами. Оценки (9.47) позволяют более строго оценивать ( m) классическую корректность краевых задач в областях Ω0 . Аналогичным образом оцениваем решения и их невязки и для других областей. ( m) ( m) А2. Сингулярные области Ω+ . Решения в ОП для Ω+ даются (9.3) и (9.8). Сопоставление их с решениями в ОП для центральных областей показывает, что первые следуют из последних после замен
μ 0( + ) ( t ) → μ +( − ) ( t ) ; G 0( m ) (η ,η ', t ) → G +( m ) (η ,η ', t ) ; Ω0(
m)
(η ') → Ω+( m) (η ') ,ϕ0 (η ) → ϕ+ (η ) ; f0 (η , t ) →
(9.48)
f+ (η , t ) .
При этом осуществляются также и замены: (m)
( m)
q0i (η , t ) → q+ i
t
(η , t ) ; Fo (η , t ) → F+ (η , t ) = f+ (η ,τ ) dτ ; 0
δϕ0 → δϕ + ; δμ0( + ) → δμ +( − ) ; δ Fos → δ F+ s 97
(9.49)
Исходя из (9.39), (9.41) можно по аналогии записать: m m m U +( i ) (η , t ) = G +( i ) * ∂ t q +( i )
(t )
m Ω+( )
(U ( ) = U ( ) ) m +2
(η ')
m +2,1
(9.50)
Далее, в п.А1 записывалось выражение (9.42), в котором затем осуществлялся переброс оператора ∂ t в свертке функций, что позволяло ( m) получить искомые оценки. Этот подход для сингулярных областей Ω+ , к сожалению, некорректен. Вычисление бинорм W+( m ) ( t ) =
m G +( )
L (η )
L (η ')
показало, что они не существуют (обращаются в бесконечность) из-за расходимости повторного интеграла. Используем иной подход. На основе (9.50) имеем: m U +( i )
L (η )
m = G +( )
* ∂ t q+( i ) m
L(η )
(t )
(9.51) m Ω+( ) (η ')
Возвращаясь к неравенству (9.17), справедливому для сингулярных областей m Ω+( ) , замечаем, что
G +( m )
L (η )
< θ + ( t ) , η ' ∈ Ω+( m ) , t > 0.
(9.52)
Тогда:
U +( mi ) (η , t )
L(η )
< ∂ tθ + ( t ) * q+(Lmi(η)) (t )
=
m q+( i ) ,1
m Ω+( ) (η ')
m Ω+( ) (η ')
m = q+( i )
=
L(η ')
δ ( t ) * q+( mi ) (t )
m = q+( i )
m Ω+( ) (η ')
=
L (η )
(9.53) Получаем оценки норм компонентов решения и норм их невязок:
U +( mi ) (η , t )
L (η )
δ U +( mi ) (η , t )
< q+( mi )
L (η )
L(η )
< δ q+( mi )
98
, i = 1, 3,
L (η )
, i = 1, 3.
(9.54)
(9.55)
Оценки (9.55) существенно отличаются от оценок (9.47). В последних в правой части неравенств имелись фиксированные величины умноженные на убывающую функцию
m W0( ) ( t ) . Это t → ∞ правые
(δϕ ,) , 0
позволяет оценки
(9.47) назвать релаксирующими: при части неравенств стремятся к нулю. Оценка (9.55) содержит в правой части величины, в общем случае со временем не убывающие, т.е. инвариантные относительно хода времени. Такие оценки будем называть изохронными. Имеем:
δ U +( m )
L (η )
m = δ U +( 1 )
L (η )
m + δ U +( 2,1)
L (η )
m + δ U +( 3 )
3
L (η )
≤ δ q+( i ) i =1
m
L (η )
,
(9.56)
где:
δ q+( m1 )
L (η )
= δϕ +
; δ q+( 2 ) m
L (η )
L (η )
− = δμ +( )
; δ q+( 3 ) m
L (η )
L (η )
= δ F+
L (η )
(9.57) В (9.57) первая и последняя нормы конечны в силу условий физической ( −) корректности (9.28),(9.36). Норма δμ + не существует, ввиду неограL (η ) ( m) ниченности Ω+ . Это, однако, не ведет к ошибочности соответствующего неравенства, поскольку заменив
Ω+(
m)
→ Ωk(
m)
и осуществив предельный
δμ +( − ) = δμ +( − ) . Таким ( m) образом, для граничных полей и их невязок в областях Ω+ нет L − норм. переход
η+ → ∞,
приходим просто к тождеству
Далее будет показано, что для сингулярных областей и граничных полей отсутствуют и C- нормы. Для релаксирующих и источниковых полей m m U +( 1 ) η , t и U +( 3 ) η , t и их невязок можно использовать L − нормы
(
)
(
)
(оценки (9.54), (9.55)) или, иначе говоря, L − оценки. Оценки же для облас( m) тей Ω0 естественно назвать LL − оценками. Чтобы заполнить возникший пробел (отсутствие оценок для граничных ( m) полей и их невязок в областях Ω+ ), используем иной подход, т.е. не будем прибегать к LL − оценкам или соотношения (9.8) в общем виде:
L−
оценкам. Запишем второе и последнее
99
μ +( − ) ( t ) − U +( m2 ) (η , t ) = ∂ t G +( m ) * μ +( − ) (t )
(9.58)
Ω+( m ) (η ')
( −) В (9.58) рассмотрим два случая: 1) μ + t монотонно возрастает; 2) μ +( − ) t монотонно убывает. В первом случае из (9.58) следует
()
()
m − m − m U +( 2 ) (η , t ) < μ +( ) ( t ) , δ U +( 2 ) (η , t ) < δμ +( ) ( t ) , t > 0, η ∈Ω+( ) .
Для второго случая, ввиду отрицательности
∂ t μ +(
−)
(9.59)
( t ) , из (9.58) имеем:
m − m − m U +( 2 ) (η , t ) < 2 μ +( ) ( t ) , δ U +( ) (η , t ) < 2δμ +( ) ( t ) , t > 0, η ∈ Ω+( ) .
(9.60) Оценки (9.59), (9.60), как и оценки (9.55), полученные выше, являются изохронными и относятся к нестационарным оценкам. ( m) А3. Области – слои Ωk . По аналогии с п.А.1:
ϕ (η )θ ( t ) , i = 1, + k m m qki( ) (η , t ) = M k( ) (η , t ) , i = 2, t Fk (η , t ) , i = 3, Fk (η , t ) = fk (η ,τ ) dτ . 0 U ki( m ) (η , t )
L(η )
= ∂ t G k( m )
m m N ki( ) = qki( )
C (t )
N k( 1m ) = ϕ k (η ) ( m)
N k 3 = Fks (η )
C (η )
C(t )
* qki( m)
L(η ) ( t )
m Ω( ) (η ' ) k
≤ N ki( m )Wk( m) ( t ) ,(9.62)
m m , Wk( ) ( t ) = G k( )
(
(9.61)
L(η )
(9.63) L(η ')
)
= ϕk , N k( m2 ) = max μ k( − ) ( t ) , μ k( + ) ( t ) = M k , t >0
t
C(t )
= Fks , Fks (η ) = fk (η ,τ ) dτ . 0
100
(9.64)
При монотонности
μ k( − ) ( t )
и
μ k( + ) ( t )
имеем:
{
}
− − + + ± ± M k = max μ k( ) ( +0 ) , μ ks( ) , μ k( ) ( +0 ) , μ ks( ) , μ ks( ) = lim μ k( ) ( t ) . t →∞
Оценки (9.46), (9.47) принимают, в случае областей вид: m U k( )
L (η )
m = U k(1 )
L(η )
m + U k( 2 )
L(η )
m + U k( 3 )
L(η )
Ωk(
m)
, соответственно
(
)
m ≤ ϕ k + M k + Fks Wk( ) ( t )
(9.65)
δ U k( m )
L (η )
m = δ U k( 1 )
m + δ U k( 2 )
L(η )
(
)
L (η )
( m)
≤ δϕ k + δ M k + δ Fks Wk
LL −
Полученные оценки являются бинормах
Wk( m ) ( t ) = G k( m )
L (η )
m + δ U k( 3 )
L (η )
≤ (9.66)
(t )
оценками, т.к. базируются на
. В п. А2 вместо них для граничных L (η ')
полей были использованы LC − оценки, когда вначале находились L − нормы функций Грина, а затем - C − нормы. Возможны LC оценки и для ( m) (m) областей Ωk , Ω0 . Возвращаясь к (9.42), имеем: m U 0( i ) (η , t )
L(η )
G 0( m )
≤
m = G 0( )
L(η )
m m = V0( ) ( t ) * ∂ t q0( i )
(t )
m * ∂ t q0( i )
L (η ) ( t )
* ∂ t q0( mi )
(t ) C (η )
( m)
Ω0
(η ')
C(t )
C (η )
(η ')
m Ω0( ) (η ')
m m = ∂ tV0( ) ( t ) * q0( i )
V0( m ) ( t ) ,1
101
Ω0
≤
=
(t )
( m) ( m ) ( t ) *1 = = max max q ∂ V 0i t 0 t >0 (t ) η '∈Ω0( m) = q0( mi )
( m)
m Ω0( ) (η ')
=
(m)
Ω0
(η ')
=
m m m m m = N 0( i ) Ω0( ) V0( ) ( t ) , V0( ) = G 0( )
. (9.67)
L( t )
C (η ')
Сравнивая (9.67) с (9.63) видим, что LC − оценка следует из LL − оценки m m ( m) t → Ω0( ) V0( ) t . Формулы – аналоги при замене в последней Wk
()
()
(9.46) и (9.47) следуют для LC − оценок тривиально. Ясно, что и для ( m) областей Ω0 можно записать:
U ki( m ) (η , t )
L(η )
≤ N ki( m ) Ωk( m ) Vk( m ) ( t ) ,
( m ) уже определены (9.63). Переход от где N ki вновь прост:
LL −
(9.68)
оценок к
Wk( m ) ( t ) → Ωk( m ) Vk( m ) ( t ) = Ωk( m ) ⋅ G k( m )
L (η )
LC − оценкам .
(9.69)
C (η )
(m) (m) Таким образом, для центральных областей Ω0 , областей – слоев Ωk ( m) и сингулярных областей Ω+ получены L − оценки решений и их невязок:
1) LL − оценки ( m)
G0
L C
функций
( m)
= Wν
на
основе
( t )(ν = 0, k ) ;
m G 0( )
бинорм
функций
2) LC − оценки (на основе бинорм
m = Vν( ) ( t ) ), пригодные, кроме областей Ω0( m)
L C ( m) и для областей + (частично – (m) ( m) А4. Области ∞ ( m) ет, поэтому положив ν 2
Ω
R
U
=Ω .
и
Ωk(
m)
кроме граничного поля). В задачах Коши граничное поле отсутству-
(η , t ) = 0 в (9.1) и в (9.2) получаем (ν = ∞ ) :
m m m U ∞( ) (η , t ) = U ∞( 1 ) (η , t ) + U ∞( 2) (η , t ) = m = G ∞( ) ,ϕ∞
(m) Ω∞ (η ' )
m + G ∞( ) * f∞
(t )
Получаем, с учетом (9.17) (и комментария к ней): m U ∞( 1 ) (η , t )
Грина
L (η )
=
m G ∞( )
102
L (η )
,ϕ∞
m Ω (∞ )
(9.70)
(m) η Ω∞ ( ')
= θ + ( t ) ϕ∞
L (η )
(9.71)
m U ∞( 2) (η , t )
L (η )
∂ tθ + ( t ) * F∞ (t )
m = G ∞( )
m Ω (∞ )
L (η )
* f∞
(t )
= δ ( t ) * F∞ (t )
( m)
Ω∞
m Ω (∞ )
m = ∂ t G ∞( )
= F∞ ,1
(t )
L(η )
(m)
Ω∞
* F∞
( m)
=
Ω∞
= F∞ (η , t )
(9.72)
L (η )
Для невязок решений из (9.71) и (9.72) следует:
δ U ∞( m1 )
L(η )
= δϕ∞
L(η )
δ U ∞( m2)
,
L (η )
= δ F∞
L (η )
.
(9.73)
Нормы невязок решений согласно (9.73) равны нормам невязок соответственно начального распределения температуры и интегрального источника тепла, а в соответствии с (9.28) и (9.36) последние ограничены при всех t > 0. В. Оценки в С - нормах. Следуя структуре раздела А, последователь( m) но рассматриваем С – оценки для областей Ων (ν = 0, k , +, ∞ ). ( m) В 1. Центральные области Ω0 . Используя (9.41), находим: m U 0( i ) (η , t )
m = ∂ t G 0( )
C (η )
Здесь величины
m * q0( i )
(t )
m N 0( i )
m Ω( ) 0
C (η )
m = G 0( )
m
C (η )
m m ≤ N 0( i ) G 0( )
даны (9.44), а
* ∂ t q0( i )
C (η )
(t )
L (η )
функций Грина
m G 0( ) (η ,η ' t ) .
Формулы для
δ U 0( mi )
max G 0( m )
= G 0( m ) (η ',η '+ 0 ) = δ ( 0 ) = ∞,
t >0
C (η )
C (η )
(9.74)
m ( m) = N 0( i )Φ 0 ( t ).
( m ) ( t ) = G ( m ) Φ 0 0
Получена
m Ω( ) 0
=
CL −
C (η )
−
бинормы
L (η )
оценка для
U 0( im )
C (η )
.
аналогичны ранее приведенным. Поскольку
невозможно.
103
получение СС - оценок
В2. Сингулярные области бинормы
m G +( )
m
m G +( )
и
C (η )
Ω+( ) .
L (η ')
CL −
В этом случае, как легко проверить, не существуют, поэтому ни
C (η )
C (η ')
оценок и СС – оценок нет. (m) В3. Области – слои Ωk . . Формулы (9.60) справедливы, а из (9.61) (по аналогии) следует: m U ki( )
C (η )
m = ∂ t G k( )
m * qki( )
C (η ) ( t )
m Ω( ) k
m ( m) ≤ N ki( )Φ k (t ) ,
(9.75)
где
N ki( m ) = qki( m )
C (t )
( m ) ( t ) = G ( m ) Φ k k
, C (η )
C (η )
(9.76) L (η ')
Т.о., получена релаксирующая CL − оценка на основе CL − бинормы ( m ) η ,η ', t , аналогично (9.74). В данном случае CC − функции Грина G k
(
)
оценки также не существуют. (m) В4. Области Ω∞ . По аналогии с (9.71) и (9.72): m U ∞( 1 ) (η , t )
C (η )
=
m G ∞( )
m U ∞( 2) (η , t )
C (η )
C (η )
, ϕ∞
m Ω (∞ )
m G ∞( )
=
* f∞
L (η ) ( t )
= ∂ t G ∞( m ) m = ∂ t G ∞( )
C (η )
* F∞
(t )
L(η )
≤
m = G ∞( ) (η ',η ', t ) ϕ∞
= F∞s
C (η )
L(η )
C (t )
= (m) Ω∞
m ⋅ G ∞( )
m ⋅ G ∞( ) ( 0, t ) .
Поскольку функция Грина задач Коши имеет вид: [3]:
104
=
* F∞
C (η ) ( t )
m F∞( )
(m) Ω∞
L
, (9.77)
C (η )
= (9.78)
' 2 m − x x m i i − G ∞( ) ( xi − xi' , t ) = exp , m/2 ( 4π at ) i =1 2 at xi = ( x, y, z ) ; m = 1, 2, 3.
θ+ (t )
Из (9.79) следует m G ∞( )
Функция Грина
C (η )
m S∞( ) ( t ) ,
m = G ∞( ) ( 0, t ) =
θ+ (t )
( 4π at )
m/2
определяется (9.80), является
m = S∞( ) ( t ) .
C−
(9.79)
(9.80)
нормой функции
m G ∞( ) (η ,η ', t ) . Как легко убедиться, СС – и CL −
бинорм для задач
Коши не существует. Т.о., С – оценки решений даются (9.77) и (9.78), а для невязок решений они принимают, с учетом (9.80), вид:
δ U ∞( m1 )
C (η )
= δϕ∞
L(η )
m m S∞( ) ( t ) , δ U ∞( 2)
C (η )
≤ δ Fks
L(η )
m ⋅ S∞( ) ( t ) . (9.81)
Оценки (9.81) – релаксирующие и, как и ранее, при t → ∞ они дают нулевую правую часть. Все бинормы функций Грина приведены в табл. 9.1. Таблица 9.1 Бинормы функций Грина Области
Ω0(
m)
Оценки(релаксирующие) LL − оценки
LC − оценки CL − оценки
LL − оценки
Ωk(
m)
LC − оценки CL − оценки
Бинормы функций Грина
W0(
m)
(t ) =
m G 0( )
m m V0( ) ( t ) = G 0( )
L (η )
( m ) ( t ) = G ( m ) Φ 0 0 m m Wk( ) ( t ) = G k( )
m m Vk( ) ( t ) = G k( )
( m ) ( t ) = G ( m ) Φ k 0
105
L(η )
L(η ')
C (η ')
C (η )
L (η )
L (η )
C (η )
L (η ')
L (η ')
C (η )
L (η ')
§124. Бинормы функций Грина
( ) и слоевых ( Ω( ) )
(m) Из табл.9.1 следует, что для центральных Ω0
m
k
областей есть релаксирующие оценки трех типов: LL −, LC − и CL − оценки. Они осуществляются, соответственно, функциями m m ( m ) ( t ) (ν = 0, k ) − Wν( ) ( t ) , Vν( ) ( t ) , Φ бинормами функций Грина ν ( m)
Gν
(η ,η ', t ).
( m ) и ( m ) получены изохронные L− Для сингулярных областей Ω+ Ω∞ оценки и релаксирующие C − оценки (а также оценки для граничных полей ( m) m m m в Ω+ ). Здесь используются нормы G 0( ) = θ + ( t ) , G ∞( ) = S∞( ) ( t ) C (η ) L(η ) , зависящие от времени тривиально, что устраняет необходимость их (m) численного расчета. Поскольку оценки по функциям Vν ( t ) дублируют ( m) ( m ) ( t ) , ограничиваемся численным оценки по функциям Wν ( t ) и Φ ν ( m) ( m) расчетом только последних. Согласно табл.8.2, Wν ( t ) = Wν ( Fo ) , ( m) (t ) = Φ ( m ) ( Fo ) , где Fo = at / Δη 2 − безразмерное время (число Φ ν ν Фурье). На основании графиков решений различных задач, отражающих темп выхода их на стационарный режим [17,18,56,88] при численном счете ограничиваемся диапазоном изменения Fo : Fo ∈ [0,04;2,0] (m) Бинормы Wν ( Fo )( m = 1, 2,3; ν = 0, k ) . В выражение (9.45) функ( m) ции Грина G 0 (η ,η ', t ) при m = 1 подставляем согласно (9.13), а при m = 2,3 − согласно табл.8.3. В первом случае, после интегрирования по x и x ' находим: 1 W0( ) ( Fo ) =
8θ + ( t ) l0
π
2
2 exp − ( n − 0,5 ) π 2 Fo , Fo = a0t . n =1 l02 ( 2n − 1)2 ∞
(9.82)
Для m = 2,3 интегрирование по r и r ' дает:
(
∞
2 exp − μn2,0 Fo( )
n =1
μn2,0
2 W0( ) ( Fo ) = 4πθ + r02
106
) , Fo( ) = a t , 2
0 r02
(9.83)
3 W0( ) ( Fo ) =
{
8θ + ( t ) r03
π
}
2 3 exp − ( nπ ) Fo( ) , Fo( 3) = Fo( 2 ) . n =1 n2 ∞
(9.84)
В (9.83) − μ n ,0 − характеристические числа, первые 10 значений которых (чего достаточно) вычислены нами (при этом первые 6 значений совпали с точностью до 10-5, с ранее известными [17]). ( m) Функции Грина G k (η ,η ' t ) в (9.45) подставляем согласно табл.8.3. Двукратное интегрирование (по x и x ' для m = 1 и по r , r '− для m = 2,3 ) дает: 2 1 exp − ( 2n − 1) π 2 Fo( ) ∞ 8 θ t l ( ) 1 , Fo(1) = ak t Wk( ) ( Fo ) = + 2 k (9.85) 2 2
π
( 2n − 1)
n =1
∞
(
2 ( 2) Wk( ) ( Fo ) = θ + ( t ) exp − μn2 Fo n =1
)Z
l1
2 o L Ωk2
(
( 2 ) = (α − 1)2 ak t , , Fo k ) Δrk2 (9.86)
θ (t ) ∞ 2 ( 3) 3 Wk( ) ( Fo ) = + × exp − ( nπ ) Fo 2πΔrk n=1 r − rk −1 × r −1 sin nπ Δ r k
2
( )
( 3) = Fo ( 2) . , Fo
(9.87)
L Ωk3
( 3) Численные расчеты показывают, что с ошибкой менее 2%, Wk ( Fo ) можно представить в виде 2 2 ( 3) − ( 2n − 1)2 π 2 Fo exp 8 θ t α 1 r − ( ) ∞ + k k −1 ( 3)
Wk
(
( Fo ) =
)
π
( 2n − 1)
n =1
( m)
( m)
2
, α k = rk / rk −1.
( m)
(9.88)
Φ Бинормы ν ( t ) = Φν ( Fo ) , ν ( Fo )( m = 1, 2,3; ν = 0, k ) вычисляются по (9.74), (9.76), подстановка в которые соответствующих функций Грина приводит, после учета (8.171), т.е. соотношения m m max Gν( ) (η ,η ', t ) = Gν( )
η∈Ων( m )
C (η )
m = Gν( ) (η ,η ', t ) ,
( m) и интегрирования по η ' в области Ων , к выражениям: 107
∞
φ0( ) ( Fo ) = θ + ( t ) exp − ( n − 0,5 ) π 2 Fo , Fo = 1
2
n =1
(
a0t l02
,
(9.89)
)
∞ at 2 2 ( 2) (m) (m) Φν ( t ) = Φν ( Fo ) ,0 ( Fo ) = θ + ( t ) exp − μ n2,0 Fo( ) , Fo( ) = 02 , r0 n =1 ∞
(m) (t ) = Φ ( m ) ( Fo ) , ( 3)( Fo ) = θ ( t ) exp − ( nπ )2 Fo( 3) , Φ + ν ν 0 n =1 Величины
μn2,0
(9.90) 3 2 Fo( ) = Fo( ) . (9.91)
в (9.90) совпадают с таковыми в (9.83). Для ν = k (области –
слои) следует:
a t (1) ( Fo ) = Φ ( 3) Fo , Fo = k , Φ k k 0 k Δrk2
(9.92)
)
(9.93)
(
(
)
(
∞
)
( )
( 2 ) Fo( 2 ) = θ ( t ) exp − μ 2 α 2 − 1 Fo( 2 ) , Fo( 2 ) = Fo , Φ + k k k k k n,2 k n =1 ( 3) ( 3) ( 2) ( 3) ( 3)
Φk
( Fo ) = Φ 0
{
}
( Fo ) , k
Fok = Fok = Fok .
(9.94)
( 2) В (9.93) - μ n ,2 − корни характеристического уравнения для области Ωk , они также найдены численно, причем первые 5 значений их совпали с ранее известными. ( m) ( m ) ( Fo ) Наличие в выражениях для функций Wν ( Fo ) и Φ ν множителей
θ + ( t ) (унаследовано от функций Грина) приводит к их
обнулению при t = 0. С другой стороны, в интервале Fo ∈ [ 0,04;2,0] все бинормы,
как
показал
численный
счет,
убывающие
функции ( m)
Fo.
Следовательно в области малых Fo ∈ ( 0, 0,04; ) функции Wν ( Fo ) и ( m ) ( Fo ) имеют максимум. Пусть, для определенности, функции Φ ν m ( m ) . Тогда при Wν( ) ( Fo ) имеют такие максимумы в точках Fo = Fo ν m ( ) все бинормы возрастают, т.е. имеется «полоса неустойчивости» Fo ≤ Fo ν по отношению к входным данным в узком смысле. Дальнейшие расчеты показали, что и по отношению к входным данным в широком смысле имеет место такое же явление. Это обстоятельство необходимо учитывать при построении приближенных решений – асимптотик «малых времен», которые должны удовлетворять двум требованиям: 1) при t = 0 переходить в (−) начальное распределение температуры −ϕν (η ) ; 2) при Fo ∈ 0,04; Fo
108
( −)
быть непрерывными функциями времени ( Fo − максимальное значение Fo, присущее каждой конкретной модели, при котором асимптотическое решение близко, в оговоренном смысле, к точному). Для анализа поведения бинорм при Fo ∈ [ 0,04;2,0] , множитель
θ + ( t ) может быть опущен, индекс " k " заменен на индекс "1" . Бинормы
( m ) ( Fo ) − ряды из убывающих с ростом Fo экспонент, которые, Φ ν учитывая (9.89)- (9.94), обозначим соответственно: R1 , R2 , R3 , R4 , т.е. имеем ( m ) ( Fo ) получены при оценке решений четыре различных ряда. Бинормы Φ
(
(m) в норме C Ων
)
ν
( CL −
оценки), размерность которых совпадает с
m m Uν( ) (η , t ) . Бинормы Wν( ) ( Fo ) позволяют
размерностью решений
(
(m) получать оценки решений и их невязок в нормах L Ων размерность
которых
не
совпадает
с
)
( LL − оценки),
размерностью решений. Для m ( m) → Uν( ) ( m ) , согласования размерностей осуществим замену: Uν L (η ) Ων т.е. введем усредненные по областям решения: (m) ( m ) −1 ( m ) Uν = Ων ⋅ Uν . (9.95) m L(η ) Ων( ) Если для LL − оценок использовать средние решения
m Uν( )
m Ων( )
то
( m) необходимо и бинормы Wν ( Fo ) умножить на обратные меры областей
( m)
Ων
−1
, учитывая, что:
(
)
1 1 2 2 Ω0( ) = l0 , Ω1( ) = l1 , Ω0( ) = π r02 , Ω1( ) = π r02 α12 − 1
( 3)
Ω0
=
4π r03 / 3,
( 3)
Ω1
=
4π r03
(
α13
В итоге получаем:
109
)
− 1 / 3.
(9.96)
1 1 W0( ) Ω0( ) 2 2 W1( ) Ω1( )
−1 −1
1 1 = 0,81R5 , W1( ) Ω1( )
(
)
= 4 α12 − 1
−1
3 3 W1( ) Ω1( )
−1
R8 , −1
2 2 = 0,81R6 , W0( ) Ω0( )
3 3 W0( ) Ω0( )
−1
(
)
= 0, 61R9 ,
−1
= 4 R7 , (9.97)
α +1 2 1 R . = 0, 61 2 6 α1 + α1 + 1
В этом случае имеем пять различных рядов, фигурирующих в формулах (9.82) – (9.88). Из (9.97) видно, что ряды R5 , R6 , R7 , R9 , не имеют, как и все
(
)
ряды R j j = 1, 4 , множителей, зависящих от геометрии областей, в то
( 2) ( 3) время, как для областей Ω1 и Ω1 перед рядами R8 и R6 такие множители ( 3) имеются (зависящие от параметра α1 = r1 / r0 ). Для области Ω1 эта зависимость слабая, т.к. выражение в квадратной скобке изменяется от 1,33 при α1 → 1 до 1,0 при α1 → ∞ . При α1 → 1 множитель перед R6 ≈ 0,81, , т.е. имеет место совпадение узкого сферического слоя с плоским. Для области 2 Ω1( ) (цилиндрического слоя) при возрастании α1 (т.е. росте ширины этого слоя) соответствующая бинорма, умноженная на обратную меру области, стремится к нулю при α1 → ∞.
(
)
Ряды Ri i = 1,9 табулированы вычислением их значений на ПК в диапазоне Fo ∈ [ 0,04;2,0]. Учитывалась от 10 до 50 членов рядов, что оказалось достаточным для принятого уровня точности (до 10-4). В таблице 9.2 приведены (с округлением до 10-3) значения рядов R1 , R2 , R3 , R5 , R6 , R7 , R9 , , зависимость которых от геометрических параметров содержится только в числах Фурье. В таблице 9.3 даны значения двухпараметрических рядов R4
и R8 (зависящих от Fo и от α1 ).
Как следует из таблицы 9.2, ряды R1 и R5 , для значений Fo ≤ 0, 4 , медленно убывают до значений 0,009 при Fo = 2,0. Аналогично и ряды R2 и R6 практически совпадают, уже начиная с Fo = 0, 2 . Убывают они более быстро и обращаются в нуль (как и ряд R9 ) при Fo ≤ 1,0. Ряды R3 и R7 обращаются в нули при Fo ≤ 1, 25 , отличаясь друг от друга при меньших значениях Fo. Все ряды из табл.9.2, кроме R1 и R3 уже при Fo = 0,04 меньше «порогового» значения, равного единице. Ряд R1 < 1 при Fo = 0,1 , а ряд R3 < 1 при Fo ≥ 0,06 . 110
111
3 0
2 0
1 1
1 0
Области
3 0
2 0
1 1
1 0
Области
R1 R5 R2 R6 R3 R7 R9
Ряды
R1 R5 R2 R6 R3 R7 R9
Ряды
0,008
0,006
0,011
0,009
0,037
0,004
0,009
0,069
0,004
0,255
0,310
0,009
0,60 0,255
0,50 0,310
0,597
0,130
0,153
0,797
0,910
0,571
0,691
1,152
0,682
0,902
0,962
0,948
0,06 1,182
0,04 1,448
0,004
0,004
0,021
0,001
0,001
0,194
0,70 0,194
0,485
0,115
0,747
0,473
0,524
0,850
0,08 1,023
0,001
0,002
0,012
0,001
0,001
0,154
0,80 0,154
0,398
0,102
0,634
0,392
0,416
0,805
0,10 0,916
0,000
0,001
0,004
0,000
0,000
0,096
1,00 0,096
Fo
0,263
0,076
0,652
0,245
0,249
0,708
0,15 0,746
Fo
Однопараметрические ряды
0,000
0,000
0,001
0,000
0,000
0,054
1,25 0,054
0,154
0,058
0,336
0,156
0,159
0,628
0,20 0,641
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,030
1,50 0,030
0,096
0,094
0,259
0,096
0,096
0,557
0,25 0,562
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,017
1,75 0,017
0,060
0,033
0,193
0,060
0,060
0,996
0,30 0,497
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,009
2,0 0,009
0,024
0,019
0,111
0,024
0,024
0,392
0,40 0,392
Таблица 9.2
Двухпараметрические ряды, как видно из тaбл.9.3 убывают быстрее. При всех значениях α1 (1, 2; 2,0; 3,0 ) уже для Fo = 0,04 все значения
рядов R4 и R8 меньше единицы, а при Fo ≥ 0,8 обращаются, практически в нули. Влияние геометрического параметра α1 для R4 слабо, а для R8
выра-жается в увеличении его значений при росте α1 , что при оценке ( 2) усреднен-ного решения по бинорме W1 в значительной мере компенсируется сом-ножителем
(
)
α12 − 1
−1
перед R8 ( Fo ) (9.97).
§125. Локализация решений: методология и классификация В математической физике при исследовании свойств гиперболических уравнений в частных производных, давно обнаружено, что решения не зави-сят от всей совокупности входных данных [48]. В областях имеются точки, в которых решения зависят только от значений входных данных, заданных в некоторых подобластях их определения. Это обусловлено конечной скоро-стью распространения возмущений, характерной для данного класса моделей. Для моделей, базирующихся на задачах Коши и краевых задачах для параболических уравнений в частных производных, в известных нам источниках анализ, аналогичный осуществленному с использованием понятий «область зависимости», «область влияния» в [48], отсутствует. Для параболических уравнений в большинстве руководств рассматривается «парадокс бесконечной скорости распространения тепла» (или массы – в уравнениях диффузии), однако он является артефактом [1]. В задачах Коши температурные поля (релаксирующие и источниковые – см. (9.2) в §121) зависят от входных данных в узком смысле – начальных распределений температур и функций плотностей источников (стоков) тепла. В краевых задачах добавляются граничные поля, зависящие от граничных условий (І-го, П-го или Ш-го родов). Все поля по мере удаления контрольной точки от источника, их обусловившего, и со временем достаточно плавно изменяются. Для различного рода математических моделей процессов переноса, особенно имеющих прикладной характер, большой интерес представляет оценка зон влияния различных факторов на температурные поля и их локализацию. В ряде случаев такого рода оценки должны предшествовать решению задачи (быть априорными), поскольку они необходимы для самой ее постановки. В качестве основы для оценок локализации полей (зон влияния) было предложено понятие квазифинитной функции [1]. Методология последующего анализа, основанная на теплофизической парадигме [1,16 – 18, 23,30, 55 – 62, 88-92] содержится в следующих положениях.
112
113
3,0
2,0
1,2
1
0,06
0,08
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,50
0,022 0,008 0,012 0,005
0,412 0,337 0,277 0,228 0,140 0,086 0,053 0,032
R8
0,017 0,010
0,026 0,008
0,002 0,001
0,019 0,007
0,40
0,921 0,663 0,508 0,403 0,246 0,147 0,091 0,056
0,148 0,128 0,112 0,099 0,073 0,055 0,041 0,031
0,915 0,650 0,502 0,397 0,234 0,143 0,087 0,054
0,060 0,049 0,040 0,033 0,020 0,012 0,008 0,005
0,888 0,648 0,497 0,392 0,231 0,140 0,085 0,052
0,04
Fo
R4
R8
R4
R8
R4
Ряды
2 Двухпараметрические ряды (область 1 )
0,002
0,003
0,005
0,009
0,000
0,009
0,60
0,001
0,001
0,002
0,009
0,010
0,001
0,70
0,000
0,020
0,001
0,000
0,000
0,000
0,80
Таблица 9.3
(
1. Аналитические оценки размеров зон влияния x = xф = δ
(1)
(t )
при
m m = 1 и r = rф = δ ( ) ( t ) при m = 2,3) проводятся для одномерных
( m) областей Ω0
(
m δ 0( ) ( t )
)
(
(m) (m) и Ω+ δ + ( t )
)
при одностороннем (через
η = η0 ) термическом воздействии на них; для областей
границу
(
m m Ω∞( ) δ ( ) ( t )
)
функции плотностей источников тепла постоянны и
сосредоточены в областях η ≤ η 0 , а функции начального распределения температуры для всех областей постоянны в них. 2. Из теплофизической парадигмы и вида решений канонических задач следует, что основными факторами, определяющими η ф , являются: максимальный температурный перепад ΔТ , существующий в системе и порождающий процесс теплопроводности; безразмерное время Fo , характеризующее длительность процесса; размерность (форма) рассматриваемой области (т.е. параметр m , который равен 1 для одномерной декартовой, m = 2 − для (2) двумерных симметричных областей Ων (ν = 0, +, ∞ ) , m = 3 − для областей 3 Ων( ) ). 3. В моделях с граничными условиями І- го или П – го рода (преобразуемых друг в друга – [93]) процесс теплопроводности обычно протекает более интенсивно, чем в моделях с граничными условиями Ш-го рода, поэтому оценки для ηф ( t ) , найденные в первом случае, мажорируют таковые для последнего. 4. Граничные условия І− го рода вида T ( 0, t ) = μ ( t ) ≤ Tc = const ( t > 0 ) порождают поля, распространяющиеся медленнее, чем поля в задачах о «температурном ударе» («скачке»), когда при t = 0 на границе устанавливается и далее поддерживается температура Tc . Целесообразно поэтому рассматривать оценки ηф ( t ) для моделей «скачка», которые будут
мажорантными для оценок локализации полей в случаях T ( 0, t ) = μ ( t ) . С практической точки зрения, некоторое завышение оценки размера зоны влияние более приемлемо, чем ее занижение. ( m) 5. Поскольку при m = 2,3 в областях Ω0 потоки тепла, распростра-
няющегося от границы η = η0 к центру области (η = 0 ) , «фокусируются», зона влияния распространяется (и отсчитывается) от границы области к ее ( m) ( m) центру δ 0 ( t ) , δ 0 ( 0 ) = 0 . Она, возрастая со временем, в некоторый
(
)
114
момент времени t = tδ достигают центра области
(δ ( ) (t ) = η ) , после m
0
δ
0
( m) ( m) чего теряет смысл, в то время как для областей Ω+ и Ω∞ зона влияния ( m) определена для всех t > 0 . В областях Ω+ ( m = 2,3) поток тепла, входя-
щего в область на границе η = η0 , распространяется во все возрастающем объеме среды и «дефокусируется», поэтому прогретая зона (зона влияния δ +( m ) ( t ) , δ +( m ) ( 0 ) = η0 ) со временем замедляет своё движение, а его ( m) скорость (т.е. d δ + ( t ) / dt ) стремится к нулю при t → ∞ . Для областей m (m) Ω∞( ) оценки локализации δ + ( t ) отсчитываются от точки η = 0 или от точки η = η 0 - границы начальной температурной неоднородности или локализованного источника тепла. (m)
6. Оценки зон влияния для граничных полей в областях Ωk
(
m Ωk( ) = {η ∈ (η− ,η+ )} , т.е.η − = 0, η + = l для m = 1 и η − = rk −1 , η + = rk
(m) при m = 2,3 ) осуществляются оценками δ 0 ( t ) (для границы η = η + ) и δ +( m ) ( t ) (для границы η = η− ). 7. Оценки зон влияния классифицируются по трем группам: 1. Априорные оценки для задач Коши (получение которых основано только на уравнениях теплопроводности и поведении их решений «на бесконечности»). 2. Квазиаприорные оценки для краевых задач (используются – без получения точных решений – аппроксимации температурных полей). 3. Апостериорные оценки для всех видов моделей (по точным решениям). 8. Поскольку определение ηф ( t ) как такого значения η , которому соответствует некоторое соотношение максимальной температуры системы Tmax ( t ) и температуры в точке η = ηф (что встречается довольно часто) дает переменную точность оценки зона влияния, то целесообразно различать относительные оценки и абсолютные, для которых используется понятие «порога различимости» Δδ T = T
(ηф ( t ) , t ) − T0 = const , где T (ηф ( t ) , t ) −
температура на «фронте» поля, а T0 − постоянная начальная температура системы. При этом величина Δδ T принимается из рациональных соображений, для конкретной модели (обычно Δδ T − порог чувствительности измерительного устройства, Δδ T = 0, 05 − 0,5 K [94] ). 115
9. Относительные и абсолютные оценки относим далее к двум видам: слабым и сильным. Последние, которые можно назвать эффективными, в отличие от первых, обеспечивают выполнение одного (как минимум) из
(
)
T ηф ( t ) t / Tmax ( t ) ≤ 1%, Δδ T / ΔT ≤ 1%, Δδ T ≤ 0,1K .
неравенств:
Далее рассматриваем оценки локализации решений согласно трем классификационным признакам, указанным в п.7. Априорные оценки локализации полей, встречающиеся в литературе, можно отнести к двум группам: 1) размерностные оценки; 2) аналоговые оценки. Размерностные оценки встречаются в физической литературе, основаны на соображениях размерности и весьма просты. В [60], в частности, характерное время прогрева поля t* , средний размер («диаметр») которого −l* , определяется (оценивается) так t* l*2 / a , где a − коэффициент полупроводности тела. Часто эту оценку используют в виде:
l* at* , именуя при этом l* глубина проникновения поля в тело за время t* [95].Ясно, что точность этих оценок – в лучшем случае – до порядка. Иногда эти формулы «уточняют», полагая (без достаточных обоснований):
xф ( t ) = 2 at , rф ( t ) = 2 at (для случаев m = 1, 2,3) [59]. Как видно, учет влияния параметров ΔT и m в этих оценках отсутствует.
Аналоговые оценки встречаются двух видов: использующие аналогию с броуновым движением [96-98]; использующие аналогию с теорией вероятностей [57, 99-101] (при совпадении этих оценок в простейших случаях). Для однородной диффузии (задача Коши) использовалась оценка [99]: ∞ M 2 (t ) = , M n ( t ) = x nC ( x, t ) dx, n = 0, 2, t > 0 . M 0 (t ) −∞
x (t ) 2
Здесь
(9.98)
x 2 ( t ) = δ 2 ( t ) − квадрат длины зоны влияния поля, M 0 ( t ) ,
M 2 (t ) −
нулевой и второй моменты поля C ( x, t ) − концентрации приме-
(1)
{
}
си в области Ω∞ = x ∈ ( −∞, ∞ ) при t > 0. Формула для (9.98) при вычислении d x
2
источников.
интегрирование
Двукратное
δ ( t ) следует из
/ dt с учетом уравнения диффузии в среде без по
частям
выражения
dM 2 / dt ( M 0 ( t ) = M 0 = const ) приводит к элементарному уравнению: d x2 dt
= 2 D,
x 2 ( 0 ) = 0,
116
x 2 ( t ) = 2 Dt , δ ( t ) = 2 Dt .
для
(9.99)
(1) Здесь D − коэффициент диффузии в области Ω∞ . Оценка (9.99) – априорная, т.к. при ее выводе не использовалось ни точное ни приближенное решение задачи Коши. При этом, однако, существенно использовалось допущение M 0 ( t ) = M 0 = const и соотношения. ∞
xC ( x, t ) −∞
∞
∂c = x 2 = 0, t > 0. ∂x −∞
(9.100)
Начальная функция C ( x,0 ) произвольна (что само по себе странно) и огра-
ничена только требованием постоянства нулевого момента ( M 0 ≠ 0; M 0 ≠ ∞ ) В случае общей (формулируемой для m = 1, 2,3 ) задачи Коши: m ∂T ( ) m m m m 2 = a∇ m T ( ) , T ( ) = T ( ) (η , t ) , η ∈ Ω∞( ) , t > 0, ∂t
(9.101)
( m) ( m) с произвольным, но удовлетворяющим требованию M 0 ( t ) = M 0 ( 0 ) = m (m) = M 0( ) = co n s t ≠ 0 начальным распределением T (η , 0 ) = ϕ (η ) , η ∈ Ω∞( m ) имеем:
(
d δ
(m)
dt =
(t ))
2
m ∂T ( ) (m) = d η ω (η ) = ( m ) ( m) ∂ t M 0 Ω∞
1
a
( m ) (m ) M 0 Ω∞
2
(9.102)
η 2∇ m2 T ( m ) (η , t ) ∂ω ( m ) (η ) ,
Последний интеграл здесь вычисляется двукратным интегрированием по частям, что даёт:
(
d δ
( m)
dt
(t ))
2
(
m = 2ma, δ ( ) ( t )
)
2
2at , m = 1, = 2mat = 4at , m = 2, 6at , m = 3.
Здесь кроме (9.100)(что соответствует случаю m = 1 ) предполагается выполнение аналогичных условий для m = 2,3 :
117
(9.103)
∞
∞ m +1 ∂T ( m ) m (m) η = η T (η , t ) = 0, m = 2,3 . 0 ∂ η 0
(9.104)
Формулы (9.103) совпадают с формулами броуновского движения на прямой ( m = 1) , на плоскости ( m = 2 ) и в пространстве ( m = 3) . Они же ( m) следуют, при подстановке в M 2 ( t ) при использовании формулы (9.98) и
ее аналогов при m = 2,3 , аналитических решений задач Коши с δ − видным начальным условием, т.е. совпадают с соответствующими апостериорными оценками [100]. Как апостериорные, оценки (9.103) более обоснованы, поскольку принятые «вручную» соотношения (9.100) и (9.104) теперь следуют из вида решений задач Коши. Оценки (9.103) являются абсолютными, но, как и предыдущем случае, не зависят от ΔT и m . В ряде работ рассматривалось движение изотермических поверхностей T (η , t ) = Tk = const [17,18,72,102 − 104]. Если бы можно было, не решая задачи (Коши или краевой), т.е. априорно найти выражение для скорости движения изотермической поверхности ϑn ( t ) , то оценка локализации решения сразу бы вычислялась: t
δ n = δ n ( t ) = ϑ ( t ') dt ', t > 0. 0
(9.105)
Скорость движения изотермической поверхности в (9.105) не зависит от пространственных координат, как это и предполагается в [17,77,102]. В [77] приводится соотношение вида ϑn ( t ) = A ⋅ a, где A = const , a −
температуропроводность среды. Но тогда δ u ( t ) = Aat , т.е. «фронт» распространяется как у волны с постоянной скоростью, что не соответствует характеру распространения температурных полей. В [102] эта константность постулируется для вывода гиперболического (волнового) уравнения теплопроводности. Попытки, предпринятые в [103,104] – учесть переменную скорость «волны» и построить эффективный алгоритм решения уравнений температуропроводности исходя из уравнения движения изотермической поверхности, как и найти, на этой основе, оценки локализации полей, считать успешными трудно. Вопрос о «волновых заблуждениях» в термодинамике ранее рассматривался в [1]. Квазиаприорные оценки локализации полей, основанные на аппроксимациях (приближенных решениях) рассматривались во многих работах, продолжающих направления, изложенные в обзоре [55], используется понятие термического слоя (аналога пограничного слоя в гидродинамике) [105-107]. Для этих работ характерны недостатки, на 118
которые указывал еще Т. Гудмен [55]: 1) выбор аппроксимирующего температурное поле профиля (степенного, экспоненциального и др.) неоднозначен и, во многом, произволен; 2) ошибка в приближенном решении краевой задачи сильно зависит от выбранного вида температурного профиля; 3) нет возможности решать задачи с произвольной начальной температурой; 4) в задачах с импульсным изменением входных данных, при каждом моменте времени, соответствующем max или min входных величин, необходимо находить новую глубину проникновения; 5) нет возможности решать многомерные задачи; 6) нет строгой обоснованности сходимости интегрального и родственных ему методов. Для задачи теплопроводности на полупрямой ( x > 0 ) в [55] использовались различные аппроксимации температурного поля в зоне
(
)
термического влияния x ∈ 0, δ ( t ) . При квадратичном профиле найдено
δ ( t ) = 2, 45 at , что дает ошибку (при сравнении с точным решением
температуры при x = 0 в задаче с граничными условиями ІІ – го рода) ε ≈ +8,6% . Для кубического профиля двумя различными методами найдено
δ ( t ) = 3,45 at и δ ( t ) = 3,56 at (в последнем случае ε ≈ −0,5% ).
Предложенное Т. Гудменом [35] повышение степени аппроксимирующего полинома осуществлялось в [105-107], при этом игнорировались два важных обстоятельства: 1) увеличение числа граничных условий (осуществляемое для получения нужного числа уравнений для определения коэффициентов полиномов) ведет задачу к переопределенности, т.е. некорректности; 2) получение дополнительных условий путем дифференцирования уравнений также некорректно [1]. Апостериорные оценки, следующие из точных решений задач Коши и краевых задач двойственны: с одной стороны, они дают адекватную картину локализации решения, а с другой – этого и только этого решения. Все же представляется полезным осуществить анализ представленной совокупности канонических моделей (т.е. типичных краевых задач и задач Коши с известными аналитическими решениями). Нами использовались решения задач Коши и краевых задач из [3,17,56,109]. В ходе анализа определялись оценки зон влияния, выявлялись их эффективность и влияние на них основных факторов − Fo, ΔT , m .
§ 126. Локализация решений: анализ канонических моделей (1) А. Задачи Коши. Модель 1. Область Ω∞ = { x ∈ ( −∞, ∞ )}. Начальное распределение температуры T ( x,0 ) описывается δ − функцией:
T ( x, 0 ) = ϕ ( x ) = Aδ ( x ) , A =
119
ΔQ0
Cν L20
= T0 L0 ,
(9.106).
() где: Cν − удельная объемная теплоемкость среды в области Ω∞ , в которую 1
при t = 0 внесено количество тепла ΔQ0 = const; T0 L0 − имеющие, соответственно, размерности температуры и длины постоянные, выбор 3
величин которых произволен при соблюдении условия T1 L0 = ΔQ0 / Cν . Решение задачи имеет вид:
x2 (1) T ( x, t ) = exp − , x ∈ Ω∞ , t > 0. 2 π at 4at T0 L0
(9.107)
Поскольку максимальное значение T ( x, t ) равно T1 ( 0, t ) = T0 L0 ( 4π at ) , относительную оценку зоны локализации (далее – з. л.) из условия:
T (δ 0 ( t ) , t ) T1 ( 0, t )
−1/ 2
δ 0 ( t ) можно найти
δ ( t ) 2 = exp − 0 = ρ = const. 2 at
(9.108)
Параметр ослабления поля на «фронте» (так будем называть границу з. л.) ρ можно выбрать произвольным, но желательно малым; в [54, 79], в частности, принято ρ = 0,5 , что неприемлемо. При подстановке в (9.108) априорной
оценки (9.103) −δ 0 ( t ) = 2at получим ρ = 0,61 , что также не соответствует представлению о существенно меньшей, по сравнению с максимальным значением, величина поля на «фронте». Указанные оценки – неэффективны. Можно рассматривать аналоговую оценку "3σ " (по аналогии с теорией вероятностей) δ 3σ = 3 ⋅ 2at = 4, 24 at . В этом случае в (9.108)
ρ ≈ 10−2 , т.е. эта оценка – эффективна. Можно наглядно показать, что оценка δ 0 = 2at не может характеризовать положение «фронта». Определим максимум температуры при t = t0 :
∂T ∂t
t = t0
x02 1 = 0, t0 = , x0 = δ 0 ( t0 ) = 2at 0 , x ∈ Ω∞( ) . 2a
(9.109)
Таким образом, при δ 0 ( t0 ) = 2at 0 имеем максимум температуры, намного превышающий ее значение на «фронте». Легко показать, что и в двух - и в трехмерных задачах Коши ( 2) ( 3) соответствующие априорные оценки δ ( t ) = 4at и δ ( t ) = 6at также не эффективны, поскольку описывают прохождение соответствующих температурных максимумов. Оценки "3σ " в этих случаях эффективны. Во
120
всех случаях относительных оценок влияние ΔT (каковую роль здесь играет T0 ) и Fo отсутствует.
δ a ( t ) вводим
Для получения абсолютной апостериорной оценки «порог различимости» Δδ T , записывая на основе (9.107):
δ ( t ) 2 exp − a . (9.110) Δδ T = T (δ a ( t ) , t ) − ϕ ( x ) = T0 L0 ( 4π at ) 2 at Здесь учтено, что при всех x > 0 ϕ ( x ) = 0. Поскольку в задаче −1/ 2
отсутствует
характерный
(
линейный
)
2
размер
(решение
зависит
от
автомодельной переменной x / 4at , вводим, его положив T0 = Δδ T . Тогда
1/ 3
L30 = ( ΔQ / Cν ) / Δδ T , L0 = ( ΔQ0 / Cν Δδ T )
.
Линейный размер L0 используем для введения безразмерных переменных
x = η, L0 / 2
xф δa (t ) 4at Fo η , = = = = δ a ( Fo ) . (9.111) ф 2 L0 / 2 L0 / 2 L0
Теперь (9.110) принимает вид: 1/ 2
Fo 1= T Fo
δ ( Fo ) a exp − 4 Fo
(
)
2
, Fo = 1 0,32 . T π
(9.112)
Логарифмируя (9.112), получаем:
(δa ( Fo ))
2
Fo = 2 Fo ln T Fo
, Fo ∈ [ 0, FoT ].
(9.113)
Последнее соотношение ранее в литературе не приводилось, а ограниченность диапазона изменения Fo не отмечалась. Предполагалось, «по-умолчанию», что Fo ∈ ( 0, ∞ ) и функция δ ( Fo ) не ограничена. Это верно только для относительных оценок, для абсолютных же, как видно из (9.113), существует период (время «жизни») оценки - Fo ∈ [ 0, FoT ] . Как следует из (9.113), δa ( 0 ) = 0 и δ a ( FoT ) = 0 . Это означает, что существует значение Fo = Fos , при возможному значению.
котором
δ a ( Fos ) = δ a max − максимально
121
Физический
смысл
этого
ясен:
при
Fo = Fos
начальный
«температурный импульс» расплывается так, что для всех η > ηф ( Fos ) значения температур оказываются меньше порога различимости, т.е. поле считается отсутствующим. При Fo > Fos , точка, в которой температура, снижаясь достигла значения Δδ T , начинает возвращаться к началу координат, т.е. имеет координату, изменяющуюся от η = ηф до η = 0 , чем и завершается процесс движения з. л. (вырождение з. л.). Этому соответствует значение Fo = FoT ; индекс "T " у Fo , таким образом, означает период (время существования) оценки з.л. Величины Fos и δa ( Fos ) легко находятся из (9.113): 1/ 2
Fo 1 2 Fos = T = 0,117, δa ( Fos ) = 2 Fos = 0, 484 .(9.114) e πe πe Влияние на δa ( Fo ) фактора Fo заключается в наличии в (9.113) множителя ln ( FoT / Fo ) , «модулирующего» сомножитель 2 Fo , характерный для
относительных оценок и «отражающего» фронт при Fo = Fos от ηф ( Fos )
в сторону η = 0 . Фактор ΔT (здесь это Δδ T ) также присутствует, «спрятан» в безразмерных величинах. ( m) Модель 2. Области Ω∞ ( m = 1, 2,3 ) . Случай m = 1 уже рассмотрен в Модели 1. Обобщение на случаи m = 2,3 легко осуществляется. Начальное условие принимает вид:
Tm (η ,0 ) = ϕ m (η ) = Amδ (η ) , Решение:
Am =
ΔQ0 m = T L . 0 3− m 0 Cν L0
Lm 1 3 2. 0 Tm (η , t ) = T0 exp xi 1/ 2 − 4at i =1 ( 4π at )
(9.115)
Формула (9.115) обезразмеривается аналогично Модели 1, а соотношение (9.113) принимает вид: 2 δ ( m ) ( Fo ) = 2mFo ln FoT a Fo
Отсюда следует:
122
, m = 1, 2,3, Fo ∈ [ 0, FoT ].
(9.116)
(m)
δa
1/ 2
2m ( Fos ) = πe
( 2 / π e )1/ 2 , m = 1, 1 (9.117) 1/ 2 m = 2, Fos = = ( 4 / π e ) πe ( 6 / π e )1/ 2 m = 3.
Влияние факторов Fo, ΔT , m аналогично предыдущей модели. ( 3) Модель 3. Область Ω∞ . В задаче Коши начальное распределение температуры – нулевое, а температурное поле обусловлено, при t > 0 , точечным источником тепла постоянной мощности ω , расположенным в начале координат ( r = 0 ) и включаемым при t = +0 . Решение задачи имеет вид [3]:
T ( r, t ) =
ω r erfc 4πλ r 2 at
, r ∈ ( 0, ∞ ) , t > 0.
(9.118)
Обезразмерим (9.118), полагая известным параметр r0 :
r = η, r0
Здесь
rф r0 + δ at Fo = η = = = 1 + δ ( Fo ) . , ф 2 r0 r0 r0
(9.119)
δ = δ ( t ) - ширина зоны влияния (з. л.) теплового источника,
отсчитываемого от условной границы r = r0 . Поскольку T ( r , t ) при r = 0 обращается в бесконечность, в качестве максимальной температуры используем T ( r0 , t ) (имеющую смысл ΔT , т.к. ϕ ( r ) = T ( r ,0 ) = 0 ). Для определения r0 заметим, что обычно интерес представляет нахождение зоны
(
)
влияния для всех t ∈ t0, ∞ , где t0 > 0 − некоторое минимальное время, имеющее смысл начала отсчёта для процесса оценки поля (для процесса 1/ 2
распространения поля это t = 0 ). Положим r0 = ( at0 )
( Fo )0 =
at0 r02
и получим, что
= 1,0 . Поэтому в численных расчетах, осуществляемых далее,
полагаем Fo = 1, 2,3, Безразмерный вид (9.118):
123
θ (ηф , Fo ) = Fo T0 =
ω 8πλ r0 ,
По (9.120) были рассчитаны значения изменении параметра K (частично) в таблице 9.4.
(
)
T rф , t , , θ ηф , Fo = T0 K ηф 1 + δ K= . = 2 Fo 2 Fo
−1/ 2 erfcK
(
)
(9.120)
θ (ηф , Fo ) при Fo = 1, 2,3, 4,5 и
от 1 до 3. Результаты расчетов приведены
(ηф , Fo ) θ (ηф.t )
Таблица 9.4
Значения θ
Fo 1 2 3 4 5
K = 1,5
K =1
0,1573 0,1116 0,0909 0,0786 0,0702
0,0230 0,0163 0,0133 0,0115 0,0103
K = 2,0 0,0024 0,0019 0,0016 0,0014 0,0012
Как видно из табл. 9.4, критерий «обрезания» температурного поля при
η = ηф − θ (ηф , Fo ) ≤ 102 выполняется (с запасом) при K = 2,0 . Отсюда следует относительная оценка:
δ0 ( Fo ) = 4 Fo − 1, Fo ≥ 1,0, Fo =
at , t ≥ t0 . 2 r0
(9.121)
Эта оценка эффективна и не зависит от параметров m, ΔT . Она также пригодна для произвольного r0 ≠ 0 . Найдем абсолютную оценку для данной модели. В (9.120) положим
( )
T rф,t = Δδ T , а T0 фиксируем, считая что T0 = 100 K (произвольный выбор T0 всегда возможен за счет подбора соответствующего r0 ). Получаем:
at Δδ T erfcK = Fo −1/ 2 , Fo = 2 , t ≥ t0 . 100 r0 K
(9.122)
Выбрав Δδ T = 0,1K , из (9.122) можно, как и ранее, найти значение правой части. Для Fo = 1 − 5 и K = 1,0; 1,5; 2,0 эти значения приведены в табл. 9.4. 124
Среди
них
отсутствуют
требуемые,
соответствующие
−3
условию
3
Δδ T /100 ≈ 10 . Для случаев T0 = 10 K , T0 = 10 K можно определить −2
соответствующие Δδ T : Δδ T = 10 K , Δδ T = 1K . Тогда левая часть в (9.122) неизменна, а для правой при Fo = 1,0 и K = 2,15 находим значение ≈ 0,001 . Для всех Fo > 1,0 и K = 2,15 значения правой части будет еще меньше. В итоге приходим к оценке:
δa ( Fo ) = 4,3 Fo − 1, Fo ≥ 1,0,
t > t0 .
(9.123)
Оценку (9.123) уместно трактовать как квазиабсолютную, т.к. сравнение температуры на фронте с некоторой эталонной (T0 ) присутствует,
а принятое условие T0 = 100 K маскирует произвол в выборе t0 (или r0 ). Как и в предыдущем случае оценка не зависит от параметра m , а влияние Fo заключается в том, что при возрастании Fo оценка δa ( Fo ) реализуется с нарастающим «запасом» (что эквивалентно уменьшению параметра K при росте Fo ). (1) Модель 4.Начальный конечный тепловой «импульс» в области Ω∞ (1) . Решение задачи Коши для области Ω∞ без источников тепла при начальном распределении температуры вида
T , x ≤ L0 / 2 1 T ( x,0) = ϕ ( x) = 0 , T0 = const, x ∈ Ω∞( ) , 0, x > L0 / 2
(9.124)
таково:
T0 x + L0 / 2 x − L0 / 2 1 erf erf , t > 0, x ∈Ω∞( ) . (9.125) − 2 2 at 2 at Из уравнения ∂T / ∂t = 0 , принимающего вид T ( x, t ) =
L x L L x (9.126) x sh 0 − 0 ch 0 = 0 4at 2 4at 2 и имеющего решение x = x0 , положив x0 / L0 = η , at / ( L0 / 2 ) = Fo, находим:
L0 (9.127) , Fo > 0. 2 (1) 2 Решение (9.127) в первом приближении (для t ≥ 4,17 L0 / a ) : x0 = 2at . 2η th (η / Fo ) = 1,
x >
(
)
2
Во втором приближении t ≥ 1,15 L0 / a имеем:
125
( 2)
(1)
(
( 2)
x0 = x0 1 + L0 / 24at
)
1/ 2
≈ x0( ) . 1
(9.128)
Последнее приближенное равенство выполняется с ошибкой ≤ 3,6%. . Т.о. апостериорные оценки границы распространения температурного максимума совпадают с таковой в Модели 1 (приближенно). Относительная оценка ширины з.л. δ 0 ( t ) может быть выбрана двумя (1) (2) способами: δ 0 ( t ) = L0 / 2 + 2at и δ 0 ( t ) = L0 / 2 + 4, 24 at . В первом
(δ ( ) (t ) t ) / T = 0,112 (t ≥ 1,15L / a ) − оценка не ( ) Во втором случае (оценки "3σ " ) −T (δ ( t ) , t ) / T =
случае получаем, что T эффективна.
1 0
1
2 0
0
2
0
0
= 1,35 ⋅10−3 − оценка эффективна. Для получения абсолютной оценки в (9.125) необходимо: 1) выбрать значение Δδ T = T δ a ( t ) , t (например, Δδ T = 0,1K ); 2) заменить
(
)
x → L0 / 2 + 2 K at ; 3) выбрать характерные значения T0 (например, T0 = 10 K , 100 K , 1000 K ). Затем (9.125) необходимо решить относительно параметра K , т.е. найти его из уравнения: Δδ T 1 1 = Φ ( Fo, K ) = erf + K − erf ( K ) . T0 2 Fo
(9.129)
Ограничимся нахождением квазиабсолютной оценки δ a ( Fo ) = L0 / 2 + 2 K at (соответствующая безразмерная оценка δa ( Fo ) = (δ a ( Fo ) − L0 / 2 ) / ( L0 / 2 ) = 2 K Fo ). Положим Δδ T / T0 = const = 10
−3
(что равносильно условиям: при T0 = 10 K ,
Δδ T = 10−2 K ; при T0 = 100 K , Δδ T = 0,1K ; при T0 = 103 K , Δδ T = 1K ; ). Результаты численных расчетов величины Φ ( Fo, K ) по (9.129) для
Fo = 1,5 приведены в таблице 9.5
Из табл.9.5 следует, что для всех Fo ≥ 1,0 можно принять, с достаточной точностью, что K = 2,15 , что дает искомую оценку:
δa ( Fo ) = 4,3 Fo, Fo ≥ 1,0 .
126
(9.130)
Таблица 9.5
Значения Φ ( Fo, K )
Fo 1 2 3 4 5
1,0 0,076 0,071 0,066 0,062 0,059
1,5 0,017 0,016 0,015 0,014 0,014
K
2,0 0,0024 0,0023 0,0022 0,0022 0,0021
2,15 0,0012 0,0012 0,0011 0,0010 0,0010
2,25 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006
−3
Если же ослабить требование Δδ T / T0 = 10 , заменив его условием Δδ T / T0 ≤ 1% (что также вполне приемлемо), то получим:
δa ( Fo ) = 4 Fo, Fo ≥ 1,0 .
(9.131)
Здесь, как и ранее, влияние Fo заключается в том, что при росте Fo убывает К. (1) Модель 5. Начальная температурная «ступенька» в области Ω∞ . В этой задачи Коши начальное распределение температуры имеет форму «ступеньки»:
T = const, x > 0, 1 T ( x,0) = ϕ ( x) = 1 T1 < T2 , x ∈Ω∞( ) . T2 = const,x < 0,
(9.132)
() При t > 0 формируются два «фронта» (две границы з.л): xф ( t ) = δ + ( t ) и 1
2 xф( ) ( t ) = δ − ( t ) , двигающиеся, соответственно, от x = 0 в сторону x → ∞ и от x = 0 в сторону x → −∞ . В силу симметрии задачи рассматриваем оценки только для δ + ( t ) . Из решения задачи
T1 + T2 T1 − T2 x (1) , , t > 0 (9.133) + ∈ Ω x ∞ erf 2 2 2 at x = 0 и t > 0 T ( 0, t ) = (T1 + T2 ) / 2 = const . В
T ( x, t ) = следует,
что
при
подобласти x > 0 температура изменяется от T1 до (T1 + T2 ) / 2 . Априорная оценка −δ + ( t ) =
2at неэффективна и в данном случае, поскольку 127
T (δ + ( t ) , t ) = T1 + 0,16ΔT , ΔT = T2 − T1, t > 0. Оценка "3σ " дает:
(
)
T (δ 3σ ( t ) , t ) = T 4,24 at ,t = T1 + 1,35 ⋅10−3 ΔT . Оценка δ + ( t ) = 4 at приводит к выражению
(
)
T 4 at ;t = T1 + 2,35 ⋅10−3 ΔT .
(9.134)
Две последние оценки эффективны, если ΔT не превышает первых сотен К, поскольку иначе критерий эффективности Δδ T = T δ + ( t ) , t − T1 < 1K не
(
)
выполняется, хотя, конечно, для ΔT = 103 K всегда можно считать приемлемой величиной Δδ T = 2,35 K и, тем более Δδ T = 1,35 K . Найдем абсолютную (строго говоря, квазиабсолютную) эффективную оценку δ + a ( t ) , для чего в (9.133) положим x = δ + a ( t ) :
Δδ T = T (δ + a ( t ) , t ) − T1 =
δ (t ) ΔT erfc + a . 2 2 at
(9.135)
Вводя параметр K = δ + a ( t ) / 2 at , представим (9.135) в виде:
Δδ T 1 (9.136) = erfc ( K ) ΔT 2 −3 Аналогично предыдущему, полагаем Δδ T / ΔT = 10 , что соответствует
тому, что при ΔT = 10 K , Δδ T = 10 при
ΔT = 103 K , Δδ T = 1K .
Из
−2
K ; , при ΔT = 100 K , Δδ T = 0,1K ; таблиц
[109]
erfc ( K ) 2 ⋅10−3 при K = K1 = 2,19 . Таким образом: (1)
δ + a ( t ) = 2 K1 at = 4,38 at .
находим,
что
(9.137)
При K = K 2 = 2,0 для Δδ T / ΔT получаем значение 0,0024, что также приемлемо ( Δδ T / ΔT < 0, 25% ) , . Таким образом, наряду с (9.137) эффективна и оценка
δ +( 2a) ( t ) = 2 K 2 at = 4,0 at . 128
(9.138)
В.
Краевые ( m) сингулярных Ω+
(
)
задачи.
Рассмотрим канонические модели для (m) и центральных Ω0 областей, обозначая в первом
( )
(m) ( m) (m) случае оценки з.л. δ + ( t ) и во втором −δ − ( t ) . З.л. δ + ( t ) при t > 0 двигаются от границ областей
η = η0 ( x = 0 и r = r0 ) в сторону
(m) возрастающих значений η , а з. л. δ − ( t ) от границ η = η0 к центрам
областей η = 0 ( x = 0, r = 0 ) .
( m) Модель 6. Область Ω+ . Температурный «скачок» при t = 0 на границе области x = 0 . Краевые условия задачи
T ( x,0 ) = ϕ ( x ) = T0 = const,
x ∈ Ω+( ) , . 1
(9.139)
T ( 0, t ) = Tc = const, t > 0, Tc > T0 Решение имеет вид:
x T ( x, t ) = T0 + ΔTerfc 2 at
, = Δ T = Tc − T0
(9.140)
В отличие от задач Коши, будем искать абсолютные эффективные оценки, фиксируя Δδ T и рассматривая варианты с ΔT = 10;100;1000 K . Из (9.140) имеем:
{
Δδ T = T (δ + ( t ) , t ) − T0 = ΔTerfc ( K ) , K = Принимаем:
Δδ T = 0,1K .
Каждому
ΔTi
}
δ+ (t ) 2 at
.
соответствуют свои
δ + i ( t ) = 2 Ki at i = 1,3 . По таблицам [109] находим ΔT = ΔT1 = 10 K ,
Δδ T = erfc K1 = 10−2 , K1 = 2,19, δ +1 ( t ) = 4,38 at , ΔT1
(9.141)
Ki
и
ΔT = ΔT2 = 100 K ,
(9.142) Δδ T = erfc K 2 = 10−3 , K 2 = 2,33, δ +2 ( t ) = 4,66 at . ΔT2
ΔT = ΔT3 = 103 K ,
Δδ T = erfc K 3 = 10−4 , K 3 = 2,75, δ +3 ( t ) = 5,5 at , ΔT3
129
Зависимость
δ +i ( t )
от
ΔTi
выражена слабо, что наглядно видно из
формулы, аппроксимирующей погрешность – 5%):
результаты
(9.142)
(максимальная
1/ 6 ΔTi . δ + i ( t ) = δ + ( ΔTi , t ) = 4, 2 at 1,0 + lg 10 (m)
Аналогичную, слабую зависимость оценок
m Ω+( ) ( m = 2,3) мы покажем далее (Часть 13).
Модель 7. Область
δ+
(t )
от
ΔT
(9.143)
для областей
2 Ω+( ) . Температурное поле в области r > r0 (r0
-
( 2)
радиус цилиндрической, бесконечной длины полости в области Ω∞ ) формируется при краевых условиях, аналогичных Модели 6. Используя граничное представление аналитического решения задачи [56], обрабатывая кривые зависимости безразмерных температур от координаты r для 2
различных значений Fo = at / r0 и определяя границы з.л. визуально, в итоге находим значения
K = δ + ( t ) / 2 at = (δ + ( Fo ) / r0 ) / 2 Fo = K ( Fo ) : Fo K
0,1 3,95
0,2 3,35
0,5 2,80
1,0 2,50
Таблица 9.6 5,0 10,0 2,10 2,05
2,0 2,30
K превышает ранее неоднократно K = 2,0 , убывая с ростом Fo . Это 2 говорит о том, что в данной задаче значения Fo = at / r0 в интервале от 0,1 Как видно, при малых Fo параметр фигурировавшее характерное значение
до 10,0 могут считаться «малыми». Заметим, что для средних значений теплофизических параметров горных пород и размеров горных выработок
( r0 ) , значению
Fo = 10,0
соответствует срок существования выработки
(т.е. время охлаждения горного массива) Модель 8. Область
≈ 1 году [89].
3 Ω+( ) . Постановка задачи и ее анализ аналогичны
Модели 7. Тем же методом находим значения K ( Fo ) .
Fo K
0,1 6,05
0,2 4,50
0,5 3,15
130
1,0 2,30
4,0 1,90
Таблица 9.7 10,0 1,60
K ( Fo ) в моделях 7 и 8 показывает, что в значений Fo ≤ 0,5 величины K для сферической
Сопоставление таблиц для
данном случае для полости превышают таковые для случая цилиндрической полости, т.е. «сферическое» поле в начальные моменты времени распространяется быстрее. При Fo ≥ 1,0 напротив, большую скорость распространения имеет «цилиндрическое» поле (з.л. превышает таковую у «сферического
( m ) наиболее проявляется. 1 Ω0( ) = { x ∈ ( 0, l0 )} . Граница
поля»).В моделях 7 и 8 геометрический фактор Модель 9. Центральная область
x=0
x = l0
t =0 устанавливается и далее поддерживается постоянная температура Tc . Начальная температура постоянна и равна T0 , причем T0 < Tc . При t > 0 теплоизолирована, а на границе
от границы
x = l0
в сторону границы
x = l0
в момент времени
(1)
распространяется з.л. δ −
1 1 Полагая δ −( ) ( t ) = 2 K ( ) at и действуя аналогично модели 7, получаем:
Fo δ (1)
0,005 0,3
0,01 0,42
0,02 0,60
0,03 0,68
0,04 0,80
K
2,15
2,10
2,10
2,0
2,0
−
(1)
Здесь δ− вует
(t ) .
Таблица 9.8 0,06 1,0 2,10
= δ −( ) ( t ) / l0 . Из данных этой таблицы следует: 1) сущест-
конечное
1
значение
Fo = 0, 06 , по достижении которого з.л. 1 K ( ) изменяется слабо, (1) K = 2, 07 среднего значения
вырождается; 2) в диапазоне Fo ∈ [ 0, 005, 0, 06 ] его максимальное составляет 3,5%;
отклонение от
3) влияние размерности
( m = 1) заключается в K (1) ( Fo )
Полученная средняя оценка з.л.: (1) δ ( Fo ) 1 ( ) (1) −
δ−
( Fo ) =
l0
= 2K
at = 4,14 Fo , Fo =
является абсолютной и эффективной.
131
и K
at l02
(1) = 2, 07 . (9.144)
Модель 10.Центральная область
2 Ω0( ) = {r ∈ ( 0, r0 )} .
Постановка
задачи аналогична Модели 9. Зона локализации движется от границы к центру области
r = r0
r = 0, Fo = at / r02 . Получаем, аналогично предыдущему
Таблица 9.9
Fo δ ( 2)
0,005 0,28
0,01 0,40
0,02 0,60
0,03 0,78
0,04 1,0
2 K( )
1,97
2, 0
2,15
2,24
2,50
−
Из этих данных следует: 1) вырождение з.л. наступает при Fo = 0, 04 ; 2) изменение K максимальная
( 2)
более сильно, по сравнению с предыдущим случаем, т.к. погрешность по сравнению со средним значением
2 K ( ) = 2,17
составляет
обнаруживается
( 2)
δ−
в
( Fo ) = δ−( ) / r0 2
15%;
3)
влияние
«кумуляции»
-
с увеличением
Fo
( m = 2) 2 K ( ) ( Fo ) и
размерности
возрастании
(по мере приближения к центру
увеличивается скорость движения з. л.). 4) в интервале Fo ∈ [ 0,005;0,02] размер з.л. в моделях 9 и 10 близок друг другу, т.е. при
области
Fo ≤ 0,02
геометрия области еще не сказывается; 5) средняя оценка зоны локализации
at δ −( ) 2 ( 2) = 2 K ( ) Fo = 4,34 Fo , Fo = 2 , δ − ( Fo ) = r0 r0 2
также абсолютная и эффективная. Модель 11. Центральная область
(9.145)
3 Ω0( ) {r ∈ ( 0, r0 )} .Все аналогично
модели 10, получаем значения параметров:
Таблица 9.10
Fo δ ( 3)
0,005 0,28
0,01 0,42
0,02 0,60
0,03 0,80
0,04 1,0
3 K( )
1,97
2, 10
2,15
2,31
2,50
−
132
K
Отличия от предыдущего случая: 1) «Кумуляция» проявляется при меньших ). Для 3 3 K( ) = K( )
( 3)
δ−
Fo
( 3) = 2, 23, ε max = 12,1%;
3 2 K( ) > K( )
(при Fo = 0,03,
имеем среднюю оценку, абсолютную и эффективную:
δ −( 3)
( Fo ) =
r0
at 3 = 2 K ( ) Fo = 4, 46 Fo , Fo = 2 . r0
Модель 12. Составная область двух сингулярных областей
{R( ) , R( ) } 1 +
2 +
R+( ) = { x ∈ ( 0, ∞ )} 1
и
2 R+( ) = { x ∈ ( −∞,0 )} .
( a1 ≠ a2 , λ1 ≠ λ2 ) .
постоянны R+( ) Ti ( x,0 ) = ϕi ( x ) = Ti 0 , Ti 0 = const, T10 ≠ T20 , i = 1, 2 . температуры
i
в
(9.146)
. Модель для системы из
Теплофизические параметры в областях различны Начальные
2)
и
различны В
силу
(1)
симметрии рассматриваем только область R+ , решение для которой имеет вид: x x 1 T1 ( x, t ) = + T10 Kε + erf (9.147) T20 1 − erf 1 + Kε 2 a1t 2 a1t Здесь:
Kε = ε1 / ε 2 , ε i = λi ( ρ C )i −
активности [17] ( i = 1,2 ) . Действуем,
«пробуя»
коэффициенты
термической
δ1 ( t ) = 3, 6 a1t ; δ 2 ( t ) = 4,0 a1t ;
оценки:
δ 3 ( t ) = 4, 24 a1t . Из (9.147), куда подставляем последовательно вместо x величины
(
)
δ i ( t ) i = 1,3 , получаем: T1 (δ1 ( t ) , t ) − T10 = Δδ( )T = 1
0, 01ΔT , ΔT = T20 − T10 , 1 + Kε
0, 0047 ΔT 2 , T1 (δ 2 ( t ) , t ) − T10 = Δδ( )T = 1 + Kε 0, 0027 ΔT 3 T1 (δ 3 ( t ) , t ) − T10 = Δδ( )T = . 1 + Kε
Как следует из (9.148), при Δ T ≤ 100 K оценки δ 2 эффективны. 133
(t ) и δ3 (t )
(9.148)
Глава 38. ОБОБЩЕННАЯ КОРРЕКТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ § 127. Обобщенная корректность Сформулируем понятие об обобщенной корректности для рассматриваемых базисных моделей и изучим вопросы устойчивости решений краевых задач и задач Коши для областей m Ων( ) ( m = 1, 2,3; ν = 0, k , +, ∞ ) .
Обобщенная корректность (устойчивость) решений предполагает, что: 1) устойчивость решений имеет место, когда вариация решения («отклик») не превышает вариации входных данных (возмущений входных данных); 2) входные данные понимаются в широком смысле, включая в себя наряду с входными данными в узком смысле (классическими) – функцию начального распределения, граничные функции, функцию плотностей источников (стоков) тепла, также и дополнительные входные данные – теплофизические параметры среды в области и ее геометрические размеры; 3) мерой вариаций (возмущений) входных данных и вариаций решений являются нормы
L
и
C , ранее введенные;
4) используются бинормы функций Грина, позволяющие получить динамические (изменяющие со временем) оценки устойчивости, т.е. наряду с классическими (стационарными) используются и динамические (оказывающиеся релаксирующими –убывающими при росте значений Fo ) оценки. А. Возмущения начальных функций задаем их конечными вариациями: m δϕ (η ) = ϕ (η ) − ϕ ' (η ) , η ∈Ω0( ) .
(9.149)
(η ) − начальная функция, ϕ ' (η ) − ее возмущенное значение. Используем, в качестве мер δϕ (η ) нормы видов: δϕ (η ) L η = δϕ ,1 Ω( m ) , δϕ (η ) L η = max δϕ (η ) (9.150) ( ) ( ) ν Здесь ϕ
η∈Ων( m )
134
В центральных областях
m Ω0( ) , релаксирующие поля (компоненты
(η ) ) записываются в виде m m G 0( ) , ϕ ( m ) , ϕ = ϕ (η ) ,η ,η ' ∈ Ω0( ) .
решений, зависящие от ϕ
(m) U 01 =
Ω 0(η ' )
Согласно (9.96), (9.97) имеем:
( m) U 01
L
m ≤ ϕ ⋅ W0( ) ( Fo ) , ϕ = ϕ
( m ) ( Fo ) = G ( m ) , W 0 0 C
L(η )
L(η ')
(9.151)
( m) U 01
C
( m ) ( Fo ) , Φ ( m ) ( Fo ) = G ( m ) ≤ϕ ⋅Φ 0 0 0
Полагая в (9.151),(9.152) ϕ
( m) U 01
L
(m) (m) → δϕ , U 01 → δ U 01 ,
m ≤ δϕ ⋅ W0( ) ( Fo ) ,
( ) δ U 01 m
C
C (η )
.
(9.152)
L(η ')
получаем:
m ≤ δϕ ⋅ Φ (0 ) ( Fo ) .
(9.153)
Формулы (9.153) дают оценки абсолютных возмущений решений, а соответствующие относительные возмущения (вариации) определяем так:
( ) δ U 01 m
( ) ε01 ( L) = m
( m)
ε 01 ( C ) =
L
δϕ
(9.154)
(m)
δ U 01
δϕ
m ≤ W0( ) ( Fo ) ,
C
( m ) ( Fo ) . ≤Φ 0
( m ) ( Fo ) , а, соответственно и у ε ( m ) ( C ) В (9.154) размерность у Φ 0 01
( m) m отсутствует, а оценка ε01 ( L ) имеет размерность меры области Ω0( ) . Если в ней от
( ) δ U 01 m
(m)
L
перейти к среднему значению δ U 01 , т.е. разделить
135
m левую и правую части первого из соотношений (9.154) на Ων( ) , то,
( m) согласно (9.97), опуская знак «тильда» у ε01 ( L ) , получим:
( ) ,1 δ U 01 m
( ) ε 01 ( L) = m
где
( m)
Ω0
δϕ
≤
m W0( ) ( Fo ) m Ω0( )
R5 ( Fo ) , R7 ( Fo ) , R9 ( Fo ) −
0,81R5 ( Fo ) , m = 1, = 4 R7 ( Fo ) , m=2, 0,61R ( Fo ) , m = 3, 9
(9.155) табулированные (см. табл. 9.2 и табл. 9.3)
ряды из убывающих со временем экспонент. Все ряды в (9.155) – ( m) ( Fo ) (см.(9.89 – (9.91). Функции безразмерные, как и все Φ 0 (1) ( Fo ) Φ ( 2 ) ( Fo ) Φ ( 3) ( Fo ) равны, соответственно, рядам: Φ 0 0 0
R1 ( Fo ) , R3 ( Fo ) , R2 ( Fo ) . Из (9.155) следует, что существуют (различные для m = 1, 2,3 ) значения безразмерного времени Fo = Fo1 , такие, что при Fo ≥ Fo1 будет
( m) выполняться условие ε 01 ( L ) ≤ 1. Будут такие существовать Fo = Fo1 (отличные от указанных и различные для m = 1,2,3 ), при которых такое же ( m) ( m) условие будет иметь место и для , т.е.
ε 01 ( C ) ,
ε 01 ( C ) ≤ 1.
Соответствующие значения всех Fo1 уместно назвать порогами устойчивости (по нормам L и C ). Другие (большие) значения Fo = Fo2 будут таковы, что при Fo ≥ Fo2 m начнут выполняться условия ( ) . Последнее ( m)
ε 01 ( L ) ≤ 1%, ε 01 ( C ) ≤ 1%
означает, что влияние возмущения начальной функции δϕ на решение «забыто» (с погрешностью ≤ 1% ). Соответствующие Fo = Fo2 будем называть безразмерными временами релаксации. В областях – слоях (9.152) принимают вид: m U k( 1 )
m U k( 1 )
L
C
m Ωk( ) ( m = 1, 2,3; k = 1, 2,) формулы (9.151),
, L(η ) L(η ') ( m ) ( Fo ) , Φ ( m ) = G ( m ) ≤ ϕ ⋅Φ . k k k C (η ) L(η ')
m m m ≤ ϕ ⋅ Wk( ) ( Fo ) , Wk( ) ( Fo ) = G k( )
136
(9.156)
Формулы (9.153) видоизменяются так:
δ U k( 1 ) m
L
m m ≤ δϕ ⋅ Wk( ) ( Fo ) , δ U k( 1 )
C
( m ) ( Fo ) , ≤ δϕ ⋅ Φ k
(9.157)
а формулы (9.154) и (9.155) принимают, соответственно, вид:
δ U k( 1 ) m
εk(1 ) ( L ) = m
L
δϕ
(9.158)
( m)
( m)
ε k1 ( C ) =
δ U k1
m ≤ Wk( ) ( Fo ) ,
C
δϕ
m ≤ Wk( ) ( Fo ) ,
0,81R ( Fo ) , m = 1, 6 ( m) W ( Fo ) m ε k( 1 ) ( L ) ≤ k m = 2, (9.159) = 4 α k2 − 1 R8 ( Fo ) , (m) Ωk (α + 1)2 k R6 ( Fo ) m = 3. 0, 61 2 α k + α k + 1
(
)
В (9.159) использованы, как и в (9.155), формулы (9.97). Ряды R6 , R8 (1) ( Fo ) Φ ( 2 ) ( Fo ) , Φ ( 3) ( Fo ) табулированы (см. табл.9.2 и табл.9.3). Функции Φ k
k
k
равны, соответственно, рядам R2 ( Fo ) , R4 ( Fo ) , R2 ( Fo ) . Оценки (9.157) – релаксирующие, для них, как для предыдущего случая, можно найти соответствующие Fo1 и Fo2 . ( m) В сингулярных областях Ω+ нет релаксирующих оценок (т.к. отсутствуют CL − и LL − бинормы функций Грина). Из легко проверяемого m неравенства U ( ) < ϕ следует классическая оценка +1
L
L
δ U +( 1 ) m
δ U +( 1 ) m
L
m < δϕ L , ε+( 1 ) ( L ) =
137
δϕ
L
L
<1
(9.160)
m Оценка для δ U +( 1 )
C (η )
в этом случае отсутствует (§ 123).
( m) В областях Ω∞ (Задачи Коши) имеем, согласно (9.71):
δ U ∞( 1 ) m
δ U +( 1 ) m
= θ+ ( t ) ϕ L ,
L
Из (9.77) следует оценка
δ U ∞( 1 ) m
C (η )
L
θ+ (t )
=
( 4π at )
= δϕ L , t > 0.
δϕ L ,
m/2
t > 0.
(9.161)
(9.162)
В этом случае имеем различные оценки: классическую (9.161) и релаксирующую (9.162). m − Uν( 2 ) (η− , t ) = μν( ) ( t ) и
В. Возмущения граничных функций
m + Uν( 2 ) (η+ , t ) = μν( ) ( t ) обуславливают вариации граничных полей -
( m)
решений Uν 2
(η , t )(ν = 0, k , +, ∞ ).
В центральных областях Ω0( m ) имеем, согласно (9.39) – (9.41):
( m) U 02,1 (η , t )
L
(m)
+ ( m) ≡ μ 0( ) ( t ) − U 02 (η , t )
(+)
μ0
N 02 = max t >0
(+)
( t ) = μ0 ( t )
Отсюда следуют оценки: (+)
( ) δμ0 − δ U 02
( m)
m
ε 02 ( L ) =
L
(+)
δμ0
( ) ε 02 (C ) = m
C
(+)
(+)
≤ δμ
(+)
δμ 138
(9.163)
.
(9.164) L
m ≤ W0( ) ( Fo ) .
( m ) ( Fo ) , ⋅Φ 0
+ ( m) δμ 0( ) − δ U 02
(+)
=μ
(+)
m ⋅ W0( ) ( Fo ) ,
(m) − δ U 02
δμ
Из (9.74) находим: + (m) δμ 0( ) − δ U 02
≤ δμ
C (t )
L
( m) ( m) ≤ N 02 ⋅ W0 ( Fo ) ,
(9.165) C
( m ) ( Fo ) . ≤Φ 0
( m)
Переход от ε02
( L ) к безразмерной оценке ε 02( m) ( L ) в (9.164)
осуществляется аналогично (9.159). Обе полученные оценки (9.164) и (9.165) являются релаксационными, для которых, как и ранее, можно найти пороговые значения Fo1 и Fo . 2 m В областях – слоях ( ) согласно (9.62) имеем:
Ωk
δ U K( 1) m
L
m m ≤ δ N K( 2) ⋅ WK( ) ( Fo ) ,
{
(m)
( −)
(+)
δ N K 2 = max δμ K , δμ K t >0
Для δ U ( m ) K2
}=δM
(9.166) K.
из (9.75) следует C
δ U K( 2) m
C
m (m) ≤ δ N K( 2)Φ K ( Fo ) .
(9.167)
Относительные возмущения в этом случае:
δ U K( 2) m
ε K( 2) ( L ) = m
L
δM K
(9.168)
( m)
(m)
ε K 2 (C ) =
δU K 2
m ≤ W K( 2 ) ( Fo ) ,
C
δM K
( m ) ( Fo ) . ≤Φ K
Здесь обе оценки релаксирующие, а переход к безразмерной относительной m оценке ( ) соответствует (9.159).
ε K 2 ( L)
В сингулярных областях Ω+( m ) согласно (9.60) имеем:
δ U +( 2 ) (η , t ) m
Оценки в нормах
C(t )
L(η )
и
− < δμ +( ) ( t )
C (η )
C ( t ),
m t > 0, η ∈ Ω+( ) .
(9.169)
для граничных полей в сингулярных
областях отсутствуют (§ 123). Оценка (9.169) является классической, свидетельствующей об устойчивости решения, т.к.
ε +( 2 ) ( C ) = δ U +( 2 ) m
m
C(t )
δμ +( − )
139
C(t )
< 1.
( m)
В областях Ω∞ (задачи Коши) граничные поля, а, следовательно, и их оценки, отсутствуют. С. Возмущения функций плотности источников (стоков) тепла
( m)
порождают возмущение источниковых полей Uν 3 Для центральных областей
(m) U 03 ( m) N 03 = Fs (η ) Отсюда следует:
L
m Ω0( )
(η , t )(ν = 0, k , +, ∞ ).
согласно (9.43), (9.44) имеем:
(m) (m) ≤ N 03 W0 ( Fo ) , ∞
= Fs , Fs (η ) = f (η , t ) dt. C (η ) 0 ( ) δ U 03
(9.170)
m
( ) δ U 03
m (m) ≤ δ Fs ⋅ W0( ) ( Fo ) , ε03 ( L) =
m
L
L
δ Fs
m ≤ W0( ) ( Fo ) ,
( m) причем переход к безразмерной оценке ε 03 ( L ) = ε03( m) ( L ) Ω0( m)
(9.171)
осуществляется, как и ранее. Из (9.74) получаем:
( ) δ U 03 m
( ) δ U 03
( m ) ( Fo ) , ε ( m ) ( C ) = ≤ δ Fs ⋅ Φ 0 03
m
C
Для областей – слоев
δ U k( 3 ) m
L
m Ωk( )
C
δ Fs
( m ) ( Fo ) . ≤Φ 0 (9.172)
из (9.62) – (9.64) следует:
m m m ≤ δ N k( 3 ) ⋅ Wk( ) ( Fo ) , δ N k( 3 ) = δ F s = δ Fs (η )
C (η )
.
(9.173) Из (9.75), (9.76) получаем:
δ U k( 3 ) m
δ U k( 3 )
C
( m ) ( Fo ) , ≤δ Fs ⋅Φ k
εk( 3 ) ( L ) = m
δFs
δ U k( 3 )
(9.174)
m
m
L
m m ≤ Wk( ) ( Fo ) , ε k( 3 ) ( C ) =
δFs
C
( m ) ( Fo ) ≤Φ k
) ( m) (m) ( m ) аналогичен предыдущим Переход εk( m 3 ( L ) → ε k 3 ( L ) = εk 3 ( L ) Ωk случаям. 140
Для сингулярных областей m δ U +( 3 )
L
m Ω+( )
= δ F+ s
< δ F +s
согласно (9.49) и (9.50): ∞
, F+ s (η ) = f + (η , t ) dt. C (η )
(9.175)
0
Из (9.175) следует, что относительное возмущение меньше единицы при любых t > 0 − классическая устойчивость. Для областей Ω∞( m ) (задачи Коши) из (9.81) следуют оценки: m δ U ∞( 3 )
δ U ∞( 3)
L
m
C
< δ F ∞ = δ F∞ (η )
< δ F∞
L
∞
, F∞ (η ) = f ∞ (η , t ) dt , (9.176) C (η ) 0
m m ⋅ S∞( ) ( t ) , S∞( ) ( t ) =
θ+ (t )
( 4π at )
m/2
.
(9.177)
Здесь L − оценка (9.176) – классическая, а C − оценка (9.177) – релаксирующая (обобщенная). Относительные возмущения имеют, соответственно вид:
δ U ∞( 3 )
ε∞( 3 ) ( L ) = m
δ F∞
δ U ∞( 3 ) m
m
L
m ≤ 1, ε∞( 3 ) ( C ) =
L
δ F∞
C
m ≤ S∞( ) ( t ) . (9.178)
L
( m) ( m) Переход ε∞3 ( C ) → ε ∞3 ( C ) − очевиден. D. Возмущения величин теплофизических и геометрических параметров. В структуре решений всех базисных моделей – в выражениях для
m Uν( i ) (η , t )( m = 1, 2,3; i = 1, 2,3; ν = 0, k , +∞ )
теплофизические
параметры присутствуют в виде коэффициента температуропроводности aν = λν / Cν . Параметр a , как и геометрические параметры областей
−η0 , Δη = η + − η−
(или, подробнее
−l0 , lk , r0 , Δrk = rk − rk −1 )
безразмерную комбинацию – число Фурье
Fo = at /η02
(или
входят в m Fo( ) =
2 = at / ( Δη ) , где Δη = l при m = 1, Δη = Δr при m = 2,3 ). Последнее же
входит в выражения для всех функций Грина Gν( m ) (η ,η ', Fo ) .
141
Пусть «нормальные» значения параметров возмущенные
−a,η0 , Δη , а
− a ',η0' , Δη '. Их вариации будут
δ a = a − a ', δη0 = η0 − η0' , δ ( Δη ) = ( Δη ) − ( Δη ) '. Относительные
вариации этих параметров (погрешности задания входных данных) будут:
εa
δa a
Обозначим:
=1−
δη η ' a' Δη . , εη = 0 = 1 − 0 , ε Δη = 1 − a Δη ' η0 η0
(9.179)
a '/ a = ξ a , η0' / η0 = Δη '/ Δη = ξη . Последнее равенство
формализует допущение об одинаковости погрешности определения всех геометрических параметров. Из (9.179) вытекает, что
ξa = 1 − ε a , ξη = 1 − εη .
(9.180)
При разумных ограничениях можно принять:
ε a ≤ 15%, εη ≤ 2,5%.
[
]
[
]
Тогда ξ a ∈ 0,85;1,15 , ξη ∈ 0,975;1, 025 . Произвольному значению числа ( m) Фурье Fo Fo будет соответствовать возмущенное значение − Fo ' :
(
Fo =
at
)
; Fo ' = 2
η0
a 't
ξ a at
=
(η ) (ξηη ) ' 0
2
2
=
0
Параметр возмущения числа Фурье
ξa Fo = ξ Fo ⋅ Fo. 2 ξη
(9.181)
−ξ Fo − Fo '/ Fo принимает значения
( min ) ( max ) ( min ) ξ a min = 2 ≈ 0,80; ξ Fo ∈ ξ Fo ; ξ Fo , ξ Fo ξη max ( max ) ξ a max = 2 ≈ 1, 20 ξ Fo ξη min По аналогии с (9.180) заключаем, что ε Fo ≤ 20% − относительная суммарная погрешность задания параметров a и η0 . Таким образом, при численных расчетах можно полагать, что ξ Fo ∈ [ 0,8;1, 2] или ξ Fo = ξ [i ] = 0,8 + 0,05(i − 1), i = 1,9 . Каждое из значений
ξ [i ] , таким образом, характеризует целый ряд значений параметров ξ a и ξη , описывающих возмущения коэффициента температуропроводности a и
142
геометрического параметра η 0 (или Δη ). Этим обстоятельством объясняется совместное рассмотрение двух видов возмущений в п.D. Более подробный анализ обобщенной устойчивости будет изложен в последующих параграфах настоящей главы. m § 128. Центральные области Ω0( )
Устойчивость релаксирующих полей в этих областях
(m)
( ) характеризуется относительными возмущениями ε 01 ( C ) и ε 01 ( L) (формулы (9.154) и (9.155) соответственно). Формула (9.154) может быть записана в виде, аналогичном (9.155): m
R1 ( Fo ) , m = 1, (m) ε 01 ( C ) ≤ Φ (0m ) ( Fo ) = R3 ( Fo ) , m = 2, R ( Fo ) , m = 3. 2
(9.182)
( m ) ( Fo ) Аналитические выражения бинорм ( LL − норм) функций Грина Φ 0
(
)
даны формулами (9.89) – (9.91), а значения рядов Ri ( Fo ) i = 1,3 приведены в табл.9.2. Из этой таблицы следует, что ряд R1 ( Fo ) убывает достаточно медленно, так, что первое пороговое время Fo1 ≈ 0,1 а второе Fo2 ≈ 2,0 . Т.о., (1) ε 01 ( C ) ≤ 1,0 при Fo ≥ Fo1 = 0,1 и ε 01(1) ( C ) ≤ 0, 01 при Fo ≥ Fo2 = 2,0 т.е. (1) устойчивость релаксирующего поля по критерию ε 01 ( C ) ≤ 1,0 имеется при всех Fo ≥ 0,1 . ( 2) Для области Ω0 имеем ряд R3 ( Fo ) , для которого, согласно табл.9.2.: Fo1 = 0,06, Fo2 = 1,25 . Устойчивость существует для всех Fo ≥ 0,06 (по ( 2) ( 3) ( 3) критерию ε 01 ≤ 1,0 ). В области Ω0 устойчивость по критерию ε 01 ≤ 1,0 определяется поведением ряда R2 ( Fo ) . Из табл. 9.2 следует: Fo1 = 0,04, Fo2 = 0,5, т.е. устойчивость имеется для всех Fo ≥ 0,04 . Видно существенное влияние геометрического фактора (т.е. значения 1 2 3 параметра m ): в последовательности областей ( ) ( ) ( ) все пороговые
Ω0 , Ω0 , Ω0 ,
значения Fo1 и Fo2 убывают, что указывает на рост скорости релаксации начального распределения температуры с увеличением «кривизны» областей. (m) Это согласуется с поведением зон локализации δ − ( t ) при m = 1, 2, 3 .
143
При использовании, в качестве критерия устойчивости, относительных ( m) (1) возмущений ε 01 ( L ) , из (9.153) и табл. 9.2 и 9.3 следует: 1) в области Ω0
(ряд R5 ( Fo ) ) − Fo1 = 0,02, Fo2 = 2,0 , т.е. устойчивость есть для всех
хотя «забывание» возмущения начальной функции δϕ ( 2) замедленно ( Fo2 = 2,0 ) ; 2) в области Ω0 (ряд R7 ( Fo ) ) пороговые времена: ( 3) Fo1 = 0,02, Fo2 = 1,0 ; 3) в области Ω0 (ряд R9 ( Fo ) ): Fo1 = 0, 02,
Fo2 ≥ 0,02,
( m) Fo2 = 0,5 . Таким образом, ε 01 ( L ) ≤ 1,0 при Fo ≥ 0,02
( m = 1,2,3) и
(m) ε 01 ( L ) ≤ 0,01, при Fo ≥ 2,0 ( m = 1) , Fo ≥ 1,0 ( m = 2 ) , Fo ≥ 0,5 ( m = 3) .
Устойчивость граничных полей характеризуется относительными m (m) возмущениями ε 02 ( C ) и ε 02( ) ( L ) (формулы (9.165) и (9.164) соответственно). Поскольку бинормы функций Грина, как и в предыдущем ( m ) ( Fo ) и W ( m ) ( Fo ) , то вновь используем ряды R ( Fo ) i = 1,3 для случае Φ 0
0
i
(
)
( m) ( m) оценок ε 03 ( C ) и ряды R5 ( Fo ) , R7 ( Fo ) R9 ( Fo ) − для оценок ε 02 ( L ) . В ( m) итоге убеждаемся в том, что все пороговые значения Fo1 и m Fo2( ) ( m = 1,2,3) остаются прежними. Устойчивость источниковых полей характеризуется относительными ( m) ( m) оценками ε 03 ( L ) . Как следует из вторых формул в (9.171) и в ( C ) и ε 03 (9.172), пороговые значения Fo1 и Fo2 остаются такими же, что и в предыдущих случаях. Устойчивость решений по отношению к возмущениям коэффициента температуропроводности ( a ) и размеров области (η 0 или
Δη ) сводится, как это показано в предыдущем параграфе, к устойчивости
решения по отношению к возмущениям числа Fo : Fo ' = ξ Fo Fo, ξ Fo ∈ [ 0,8;1,2] . При этом остальные входные данные задач считаем фиксированными. Согласно (9.43), (9.44), (9.74) для всех компонент решений: m U oi( ) m U oi( )
L(η )
m m ≤ N oi( ) ⋅ W0( ) ( Fo ) ,
C (η )
m ( m ) ( Fo ) , i = 1, 2, 3. ≤ N oi( ) ⋅ Φ o
Здесь обозначены:
144
(9.183)
( ) N 01 = ϕ (η ) m
C (η )
+ ( m) , N 02 = μ 0( ) ( t )
( m) N 03 = Fs (η )
C (η )
C(t )
+ = μ0( ) ,
(9.184)
= Fs .
Обозначая возмущенные значения величин значком «^" сверху, из (9.183) получим: m m m ˆ , Uˆ oi( ) ≤ N oi( ) ⋅ Wˆ0( ) Fo L(η ) (9.185)
( )
m Uˆ oi( )
δ Uˆ oi( m ) ( L ) = U oi( m )
C (η )
L(η )
( )
m ˆ , i = 1, 2, 3. ˆ ( m ) Fo ≤ N oi( ) ⋅ Φ o
m − Uˆ oi( )
( )
m m m ˆ , ≤ N oi( ) W0( ) ( Fo ) − Wˆ0( ) Fo L(η )
(9.186)
δ Uˆ oi( m ) ( C ) = U oi( m )
C (η )
m − Uˆ oi( )
( )
m ˆ , ( m ) ( Fo ) − Φ ˆ ( m ) Fo ≤ N oi( ) Φ 0 0 C (η )
(9.187) Относительные возмущения вводим формулами: m εˆ0( i ) ( L ) =
m δ Uˆ 0( i ) ( L )
m m N 0( i ) Ω0( )
≤
m Ω0( )
( ) , ( ) ( ) ,
0,81 R ( Fo ) − Rˆ Fo ˆ 5 5 ˆ , = 4 R7 ( Fo ) − Rˆ7 Fo ˆ 0, 61 R9 ( Fo ) − Rˆ9 Fo
ˆ( m)
ε 0i
(C ) =
m δ Uˆ 0( i ) ( C ) m N 0( i )
( )=
m m ˆ W0( ) ( Fo ) − Wˆ0( ) Fo
m = 1,
(9.188)
m = 2, m = 3,
( )
ˆ = ( m ) ( Fo ) − Φ ˆ ( m ) Fo ≤Φ 0 0
( Foˆ ) , ( Foˆ ) , ( Foˆ )
R1 ( Fo ) − Rˆ1 = R3 ( Fo ) − Rˆ3 R2 ( Fo ) − Rˆ 2
145
m = 1, m = 2, m = 3.
(9.189)
( )
ˆ = Rˆ (ξ Fo ) ( n = 1,2,3,5,7,9 ) . В (9.188) учтена формула (9.155), а Rn Fo n Fo
проведены численные расчеты Rn (ξ Fo Fo ) для значений Fo ∈ [ 0,04, 2,0] и ξ Fo ∈ [ 0,8;1, 2]. Соответствующие таблицы, ввиду их громоздкости, не приводим, ограничиваемся графическими иллюстрациями. На рисунках 9.1, 9.2, 9.3 показано изменение со временем величин ( m) E0 ( C ) − правых частей неравенств (9.189) для двух граничных значений ( min ) ( max ) параметра ξ Fo : ξ Fo = ξ + = 1, 2 (соответственно нижняя и = ξ − = 0, 8 и ξ Fo верхняя кривые на рисунках). Кривые, соответствующие промежуточным значениям параметра ξ Fo (счёт осуществлялся с шагом такими Δξ = 0,5 ), практически равномерно заполняют область между ξ − и ξ + . Из этих Были
ε ξ Fo = 1 − ξ Fo ≤ 20%, в диапазоне Fo ∈ [0,04; 2,0] изменения относительных возмущений в нормах C L не превышают ( ) рисунков видно, что при
12,5%, что говорит об обобщенной устойчивости (с запасом) решений при возмущениях ε a ≤ 15% и εη ≤ 2,5% . При этом пороговые значения Fo1 и 1 2 3 Fo2 в ряду Ω0( ) , Ω0( ) , Ω0( ) , изменяются аналогично предыдущему.
(m)
E0
На рисунках 9.4, 9.5, 9.6 изображено изменение со временем величин ( L ) − правых частей неравенств (9.188). Кривые для промежуточных
значений
ξ Fo также равномерно заполняют область между граничными ξ− и ξ+ . Как следует из этих рисунков, L − оценки дают для
кривыми возмущений решений меньшие значения, чем C − оценки (в соответствующих случаях). Для всех кривых характерно наличие экстремумов –максимумов (по абсолю-тной величине) возмущений, что общую картину устойчивости не изменяет,
Рис. 9.1. Граничные С-кривые для области Ω0(1). 146
Рис. 9.2. Граничные С-кривые для области Ω0(2).
Рис. 9.3. Граничные С-кривые для области Ω0(3).
Рис. 9.4. Граничные L-кривые для области Ω0(1). 147
Рис. 9.5. Граничные L-кривые для области Ω0(2).
Рис. 9.6. Граничные L-кривые для области Ω0(3). но выявляет наличие характерных времен Fo = Foe , в окрестностях которых имеются временные области пониженной (но всё же достаточной!) устойчивости. Для рис.9.4 Foe = 0,4 , для рис.9.5 Foe = 0,15 и для рис.9.6 Foe = 0,1 . Это явление, ранее не известное, может в ряде случаев оказаться важным при построении асимптотических решений «малых времен». Значения параметра Fo2 для областей различны; их изменение соответствует ранее замеченной тенденции влияния на скорость релаксации параметра m .
( m) §129. Области – слои Ωk Устойчивость
релаксирующих полей характеризуется (m) ( m) относительными возмущениями ε k1 ( C ) и ε k1 ( L ) (вторая из формул m (9.158) и формула (9.159). Неравенство для ( ) можно записать в виде
ε k1 ( C )
148
R2 ( Fo ) , m = 1, m ( m ) ( Fo ) = R ( Fo ) , m = 2, ε k( 1 ) ( C ) ≤ Φ 4 k R ( Fo ) , m = 3. 2
(9.190)
Ряды R2 ( Fo ) и R4 ( Fo ) табулированы (табл.9.2 и 9.3). Ряд R2 ( Fo ) уже встречался ранее, в §128, при анализе устойчивости релаксирующего поля в области Ω0( 3) . Пороговые времена для: R2 ( Fo ) : Fo1 = 0,04, Fo2 = 0,05 . Устойчивость по критериям
1 ε k( 1) ( C ) и ε k( 31) ( C ) (т.е. для полей в областях
1 3 Ωk( ) и Ωk( ) ) имеет место при всех Fo = 0,04 .
Ряд R4 ( Fo ) , как следует из табл. 9.3, имеет для значений α1 = r1 r0
(область
2 Ω0( ) ) равных 1,2; 2,0; 3,0 пороговые времена Fo1 = 0,04 . При
α1 > 3,0, R4 ( Fo ) медленно возрастает, что для α1 = 15 − 20
может
«отодвинуть» Fo1 до Fo1 = 0,06 − 0,1. Для Fo2 (при тех же значениях α1 ) из табли- цы 9.3 следует значение Fo2 = 0,5 , при этом для α1 = 3,0 R4 ( 0,5 ) = 0,008 и возрастает весьма медленно. Таким образом, по
( 2)
критерию ε k( 12) ( C ) (т.е. для области Ωk ) релаксирующее поле устойчиво при всех Fo ≥ 0,04.
По критериям ε k( 12 ) ( L ) , согласно (9.159), устойчивость релксирующих
полей определяется рядами R6 ( Fo ) и R8 ( Fo ) (с учетом множителей, зависящих от
α k = rk rk −1 ). Для области Ωk(1)
(критерий ε k(11) ( L ) ) из табл.
9.2. следует: Fo1 = 0,04, Fo2 = 0,5 (с «запасом», т.к. есть множитель 0,81). Для области умноженным
3 Ωk( ) критерий ε k( 31) ( L ) определяется рядом R6 ( Fo ) ,
на
2
(
)
0,61(α k + 1) / α k2 + α k + 1 . Этот множитель, при
увеличении α k от 1,1 до 50 убывает от ≈ 1,33 до ≈ 1,02 и при α k → ∞ обращается в 1. Поскольку 1,33 ⋅ 0,61 ≈ 0,81, устойчивость аналогична случаю 1 области Ωk( ) , т.е. Fo1 = 0,04 Fo2 = 0,5 для всех α k ≥ 1,1 .
149
Для области
2 Ωk( ) ,
( 2) критерий ε k1 ( L ) предполагает оценку рядом
(
)
R8 ( Fo ) , умноженным на 4 α k2 − 1 . Последнее выражение изменяется от
≈ 9,0 при α k = 1,2 до ≈ 0,0016 при α k = 50, убывая далее при α k → ∞ . Из таблицы 9.3 следует, что и в «наихудшем» случае (α k = 1, 2 ) Fo1 = 0,04, Fo2 = 0,5. m Ωk( )
Таким образом, устойчивость релаксирующих полей в областях – слоях при
«наихудших»
ситуациях
(характерных
для
«тонких»
цилиндрических и сферических слоев – с близкими к 1 значениями α k ) ( m) имеет место для всех Fo ≥ 0,04, как по критерию ε k1 ( C ) , так и по ( m) критерию ε k1 ( L ) . Устойчивость граничных полей характеризуется критериями m m ε k( 2 ) ( C ) и ε k( 2 ) ( L ) (формула 9.168). Поскольку обе оценки осуществляются (и в (9.158) и в (9.159) посредством бинорм функций Грина ( m ) ( Fo ) и Wk( m ) ( Fo ) , т.е. тех же рядов, которые «работали» в случае Φ k
релаксирующих полей, то всё вышеизложенное верно и в данном случае. Устойчивость источниковых полей определяется оценками (9.174) в которых также используются ряды R2 ( Fo ) , R4 ( Fo ) , R6 ( Fo ) , R8 ( Fo ) . И в этом случае устойчивость аналогична устойчивости релаксирующих полей. Устойчивость решений по отношению к возмущениям коэффициента температуропроводности и размеров области рассматриваем по аналогии со случаем центральных областей. Для всех m U ki( ) (η , t )( i = 1, 2,3) из формул (9.183) при замене индекса "0" на индекс
" k " , следует m U ki( )
L(η )
m m m ≤ N ki( ) ⋅ Wk( ) ( Fo ) , U ki( )
C (η )
m ( m ) ( Fo ) . (9.191) ≤ N ki( ) ⋅ Φ k
Здесь обозначены:
N k( 1 ) = ϕ (η ) m
C (η )
m m , N k( 2 ) = M k , N k( 3 ) = Fs (η )
C (η )
= Fs .
(9.192)
( m) Для относительных возмущений – критериев устойчивости εˆki ( L ) и m εˆki( ) ( C ) по аналогии с (9.188) и (9.189) получаем
150
m εˆk( 1 )
( L) ≤
( )=
m m ˆ Wk( ) ( Fo ) − Wˆk( ) Fo m Ωk( )
( )
0,81 R ( Fo ) − Rˆ Fo ˆ , m = 1, 6 6 −1 ˆ , m = 2, = 4 α k2 − 1 R8 ( Fo ) − Rˆ8 Fo 0, 61 α 2 + 1 2 / α 2 + α + 1 R ( Fo ) − Rˆ Fo ˆ m = 3. k k k 6 6
(
)
(
( ) )
) (
(9.193)
( )
R2 ( Fo ) − Rˆ 2 m) m) m) ˆ ( ( ( ˆ εˆk1 ( C ) ≤ Φ k ( Fo ) − Φ k Fo = R4 ( Fo ) − Rˆ 4 R2 ( Fo ) − Rˆ 2
( )
( Foˆ ) , ( Foˆ ) ( Foˆ )
m = 1, m = 2, (9.19 4) m = 3.
Правые части неравенств (9.193) и (9.194) были вычислены при тех же ˆ / Fo и Fo, что и в случаях диапазонах изменения параметров ξ Fo = Fo ( m) Ω 0 (§ 128). Графики функций Fo − правых частей неравенств не приводим, поскольку от ранее приведенных (рис.9.1-9.6) они отличаются меньшими, по модулю, значениями и более быстрым убыванием с ростом Fo (т.е. качественно кривые идентичны, отличия (незначительные) – количественные). Это обусловлено более быстрой сходимостью рядов в (9.193), (9.194) по ( m) и (m) сравнению с рядами Пороговые значения
R1, R3 , R5 , R7 , R9 .
( m)
примерно вдвое меньше, чем в случаях областей Ω0
Fo1
Fo2
.
( m)
В целом устойчивость решений в областях Ωk аналогична таковой в m областях ( ) , но в данном случае «отклик» на возмущения входных данных
Ω0
несколько слабее, а релаксируют (убывают с ростом
Fo ) они – быстрее.
m §130.Сингулярные области Ω+( ) и Ω∞( m )
Релаксирующие поля в областях Ω+( m) устойчивы всегда, поскольку m имеется классическая оценка (9.160): ε +( 1 ) ( L ) < 1. Оценка по критерию m ε +( 1 ) ( C ) отсутствует (§123). Для областей Ω∞( m) (задачи Коши) имеются
классическая (9.161) и релаксирующая (9.162) оценки. Последняя имеет вид:
151
m δ U ∞( ,1)
C (η )
=
δϕ
L
( 4π at )
m/2
, t > 0.
Для малых t ( t → 0 ) они не годятся, а для использования ее при достаточно больших
t
2
(т.е. t ≥ t1, at1 / η0 = Fo1 ) необходимо определить пороговые ( m ) Для этого полагаем возмущения начальной температуры
значения Fo1 .
δϕ (η ) локализованными в областях Ω0( m ) , что позволяет ввести средние
значения:
δϕ ,1 =
δϕ L(η ) ( m)
Ω0
,
m = 1, l0 , m Ω0( ) = π r02 , m = 2, 3 4π r0 / 3, m = 3. (m)
Для относительного возмущения ε ∞ ,1
δ U ∞( ,1)
( C ) имеем:
m
ε ∞( ,1) ( C ) = m
C (η )
=
δϕ ,1
(9.195)
m Ω0( )
( 4π at )
m/2
, t > 0.
(9.196)
Из (9.195) и (9.196) заключаем, что при m = 1, 2,3:
ε ∞( ,1) ( C ) =
1
1
Из условий
1 2 π Fo( )
, ε ∞( ,1) ( C ) =
ε ∞( ,1) ( C ) = 1 1
2
1
, ε ∞( ,1) ( C ) = 3
2 4 Fo ( )
1
(
6 π Fo
(определяющих пороговые значения
(1)
)
2/3
(9.197)
m Fo1( ) )
и
(9.197) следует:
1 2 3 Fo1( ) = 0, 08; Fo1( ) = 0, 25; Fo1( ) 0, 21
Т.о., релаксирующие поля в областях
m Ω∞( )
устойчивы при Fo
(9.198)
( m)
m ≥ Fo1( ) .
(m) Граничные поля в областях Ω+ устойчивы согласно классической m оценке (9.169), которую можно представить в виде ε +( 2 ) ( C ) < 1. Другие оценки отсутствуют. В областях Ω∞( m) граничные поля отсутствуют. 152
Источниковые поля. В области Ω+( m ) устойчивость устанавливается классической оценкой (9.175). Оценки обобщенной устойчивости
( m)
отсутствуют. В областях Ω∞ имеются обобщенные оценки устойчивости m ε ∞( 3) ( L ) и ε ∞( m3) ( C ) (9.178). Для первой из них получено ε ∞( m3) ( L ) ≤ 1 при
Fo > 0, а вторая – релаксирующая оценка, аналогичная (9.196):
δ U ∞( ,3) m
ε ∞( 3) ( C ) = m
C (η )
δ F∞ ,1
≤
m Ω0( )
( 4π at )
m/2
, t > 0.
(9.199)
Ясно, что и в этом случае величины Fo1( m ) даются (9.198). Устойчивость по отношению к возмущениям теплофизических параметров. Поскольку размеры сингулярных областей бесконечны, рассмотрение устойчивости по отношению к возмущениям размеров областей не имеет смысла. Из (9.196) и (9.199) следует, что при любых значениях a («нормального» - a и «возмущенного» − a ) как релаксирующие, так и источниковые поля устойчивы. При этом меняются лишь значения пороговых времен:
m ( m) : Fo1( ) → Fo 1
a 0,08 , m = 1, a a at a ( m ) a ( m ) = at = = = 0, 25 Fo Fo m = 2, 2 1 1 2 a η 0 a η0 a a 0, 21 , m = 3. a ( m)
Поскольку использование моделей для областей Ω+
(9.200)
и Ω∞( m ) является,
как правило, приближением малых времен для моделей в областях Ωk( m ) , m (m) (m) ( m) . возникает вопрос обоснования замен Ω → Ω( ) и k
+
Ωk
→ Ω∞
Последнее возможно на основе оценок локализации полей, устойчивость которых ранее не рассматривалась. Поскольку влияние температурного перепада ΔT и параметра размерности m на оценки локализации относительно мало (§126), ограничиваемся рассмотрением устойчивости оценок зон локализации по отношению к возмущениям коэффициента температуропроводности a . Полагаем, что ε a = a − a / a ≤ 20%. Поскольку 153
( at )1/ 2
величина числового коэффициента при
в формулах (§126) для
( t ) роли не играет, положим, что δ ( t ) = 4 at , t > 0 .
ширины зоны локализации δ
(9.201)
Найдем возмущенное значение δ ( t ) = 4 at и относительную невязку:
4 Δδ Δδ = δ ( t ) − δ ( t ) , ε δ = = δ (t )
(
− at at 4 at
)=
a − 1, (9.202) a
Отсюда, с погрешностью, не превышающей 1%, следует:
εδ =
a ε ε −1 1+ a −1 = a , 2 2 a
(9.203)
т.е. относительная погрешность в определении ширины зоны локализации равна половине относительной погрешности определения a , что является показателем устойчивости.
Глава 39. СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ §131. Эквивалентность краевых задач
В §111 была показана эквивалентность двух представлений решений базисных краевых задач – представления граничных функций (ПГФ) и представления потенциала (ПП). В §120 получено третье, общее представление (ОП), эквивалентное двум первым. Эквивалентность понималась как взаимозаменяемость. Аналогично будем трактовать эквивалентность краевых задач первого, второго и третьего родов для каждой из рассматриваемых областей, выделяя три вида эквивалентности: А. Точная эквивалентность второй и третьей краевых задач первой краевой задаче; В. Точная эквивалентность граничных полей источниковым и обратно (т.е. возможность, в зависимости от имеющихся исходных данных модели и целей моделирования, исключасть граничные условия, заменяя их некоторыми «эффективными» источниками (стоками) тепла, либо наоборот – «пересчитывать» функции плотности источников в «эффективные» граничные условия). Релаксирующие поля при этом не изменяются; С. Приближенная эквивалентность краевых задач для ( 3) 2 уравнения теплопроводности (Фурье) в областях Ωk( ) и Ωk краевым задачам для уравнений кондуктивно - конвективного теплопереноса
(1)
(уравнений Фурье-Кирхгофа) в областях Ωk . 154
Эквивалентность краевых задач (ЭКЗ) типа А будем называть внешней, ЭКЗ типа В – внутренней, а ЭКЗ типа С – приближенной эквивалентностью. А. Внешняя эквивалентность. Запишем (9.22) в виде
qm,ν (η , t ) = qm ,ν ,1 (η , t ) + qm ,ν ,2 (η , t ) + qm ,ν ,3 (η , t ) ,
(9.204)
где в правой части стоят соответственно (9.2), компоненты плотности потока тепла (релаксирующая, граничная и источниковая). Согласно (9.25), (9.26), (m) плотности потоков тепла на границах областей Ων :
(−) ( − ) (−) ( −) ( + ) (+ ) ( − ) (−) qm ,ν = qm,ν ,1 + qm,ν ,2 + qm,ν ,3 , qm,ν = qm,ν ,1 + qm,ν ,2 + qm,ν ,3. (9.205) Здесь обозначены: − qm( ,ν) ,1 = −λν + qm( ,ν) ,1 = −λν
( ∂ G ( ) )
,ϕν
( ∂ G ( ) )
,ϕν
r ν
r ν
m
η =η−
m
η =η+
155
(9.206)
m Ω( )
,
ν
( −) * μ − η '=η− (t ) ν η =η −
(9.207)
+) ( * μ , η '=η+ (t ) ν = η η−
m−1 ∂ 2G ( m ) + ( ) ν ν λν η− qm,ν ,2 = −2π ma ∂η ∂η ' m−1 ∂ 2Gν( m ) − η + ∂η ∂η '
,
ν
m−1 ∂ 2G ( m ) ν q ( − ) = −2π ma ν λν η− m ,ν ,2 ∂η ∂η ' m−1 ∂ 2Gν( m ) − η+ ∂η ∂η '
m Ω( )
− * μν( ) − η '=η− ( t ) η =η+
+) ( * μ , η '=η+ ( t ) ν η =η+
(9.208)
− qm( ,ν) ,3 = −λν + qm( ,ν) ,3 = −λν
)
* fν
(∂ G ( ) )
* fν
(
m ∂η Gν( )
η ν
η =η− ( t )
m
η =η+ ( t )
( m)
,
Ων
m Ω( )
(9.209)
.
ν
Рассматриваем эквивалентность І – й и П – й краевых задач. Во второй краевой задаче на границах областей Ων( m ) (т.е. при η = η− и η = η+ ) задаются плотности потоков тепла:
( −) ( +) qm ,ν = q− ( t ) , qm,ν = q+ ( t ) , t > 0.
Функции
q− ( t ) и q+ ( t )
(9.210)
считаются заданными. ЭКЗ будет установлена,….,
если удастся определить функции неизвестные), выразив их через
μν( − )
q− ( t )
и и
μν( + )
(во второй краевой задаче -
q+ ( t ) .
Соотношения (9.205) –
(9.210) преобразуем с помощью интегрального преобразования Лапласа ( по переменной t ), снабжая функции – трансформанты чертой сверху и обозначая параметр преобразования Лапласа – p:
( =) (−) p + g ( ±) p μ(+) p = b (−) p gm p μ ( ) ,ν m,ν ( ) ν ( ) m,ν ( ) ν ( )
(9.211)
( −) (+) (+) () gm ,ν ( p ) μν ( p ) + m,ν ( p ) μν ( p ) = bm,ν ( p ) ,
(9.212)
+ g +
где обозначены:
( (
( −) ( −) (−) bm ,ν ( p ) = q− ( p ) − qm,ν ,1 ( p ) + qm,ν ,3 ( p ) (+) (+) (+) bm p q p q p q = − + ( ) ( ) ( ) + ,ν m,ν ,1 m,ν ,3 ( p )
) , ) ,
2 ( m) (=) m −1 ∂ Gν g m,ν ( p ) = −2π maν λνη− ∂η ∂η ' η '=η− η =η− 2 (m) G ∂ (±) ν ν λνη +m−1 gm , ,ν ( p ) = 2π ma ∂η ∂η ' η '=η + η =η− 156
(9.213)
(9.214)
∂ 2G ( m ) ) ( ν ν λν , g m,ν ( p ) = 2π ma ∂η ∂η ' η '=η−
(9.215)
η =η+
∂ 2G ( m ) ν ν λν . m,ν ( p ) = 2π ma ∂η ∂η ' η '=η+
+ ( ) g +
η =η+
Если определитель системы алгебраических уравнений (9,211), (9.212)
m Dν( ) ( p ) =
(=) (±) gm ,ν ( p ) g m,ν ( p )
( ) () gm ,ν ( p ) g m,ν ( p ) + +
≠ 0,
(9.216)
она однозначно разрешима по формулам Крамера. Обратные преобразования − ( −) Лапласа найденных μν( ) p и μν( + ) ( p ) , дают искомые μν t и μν( + ) ( t ) . Проверку выполнения условий (9.216) осуществляем, положив m = 1, ν = k , поскольку в иных случаях имеем аналогичные результаты. Имеем: = ± g1,( k) ( p ) g1,( k) ( p ) 1 (9.217) Dk( ) ( p ) = , + (+) ()
()
( )
g1,k ( p ) g1,k ( p )
где
∂ 2G (1) ∂ 2G (1) (±) ν k , g1,k ( p ) = − ak λk , g1,k ( p ) = ak λk ∂x ∂x ' x '=0 ∂x ∂x ' x '=l k ( =)
x =0
x =0
+ ∂ 2G (1) ∂ 2G (1) ( ) k k , g1,+k ( p ) = ak λk . g1,k ( p ) = − ak λk ∂x ∂x ' x '=0 ∂x ∂x ' x '=lk
()
x =l
x =l
k
(1) Лаплас – трансформанта функции Грина G k имеет вид [32]:
157
k
( x, x ', t )
при
x, x ' ∈ ( 0, lk )
p p x sh ( lk − x ' ) sh a a k k p ak p sh lk a k 1 G k( ) ( x, x ', p ) = sh p x ' sh p l − x (k ) ak ak p ak p sh lk a k
0 ≤ x < x ' ≤ lk (9.219)
lk ≥ x > x ' ≥ 0.
Подстановка (9.219) в (9.218) дает:
ε p = ± g1,( k ) ( p ) = ε k p cth δ k p , g1,( k ) ( p ) = k , sh δ k p εk p ± , g1,( k ) ( p ) = ε k sh δ k p
g1,( k ) ( p ) =
δk
Определитель Dk(1) ( p ) : Dk( ) ( p ) = 1
=
p cth δ k
p,
(9.220)
lk , ε k = λk ( ρ c )k , ak
ε k p cth δ k p
εk p sh δ k p
(9.221) = pε k2 ≠ 0.
εk ε k p cth δ k p sh δ k p В (9.221) учтено необходимое условие применимости преобразования Лапласа: Re p ≥ σ 0 > 0 [32]. Таким образом, система уравнений + относительно μ ( − ) ( p ) и μk( ) ( p ) однозначно разрешима и обратное k
преобразование Лапласа позволяет найти.связь функций μ ( − ) ( p ) и μ ( + ) ( p ) k k с функциями
q − ( t )
и
q+ ( t ) , т.е. установить эквивалентность П-й краевой
задачи І-й. Рассмотрим эквивалентность Ш-ей и І-й краевой задач. Для этого запишем на границах области Ωk(1) (иные случаи рассматриваются по аналогии) граничные условия Ш-го рода: − − + + q1,( k) = α − μ − ( t ) − μ k( ) ( t ) , q1,( k) = α k μ + ( t ) − μ k( ) ( t ) , (9.222)
158
α − ,α + = const − коэффициенты μ − ( t ) , μ + ( t ) − заданные функции, а
где
теплообмена
на
границах,
функции μ k( − ) ( t ) и μ k( + ) ( t ) необходимо определить. Конкретизирующая систему (9.211), (9.212) соответствующая рассматриваемому случаю алгебраическая система приводится к виду:
( g ( ) + α ) μ ( ) ( p ) + g ( )μ ( ) ( p ) = β ( ) ( p ) , = 1,k
Здесь а
−
k
−
± 1,k
k
+
− 1,k
+ − + + ( ) ( ) + g1,k μk ( p ) + g1,k + α + μ k( ) ( p ) = β1,( k ) ( p ) . ( − ) отличается от ( − ) тем, что q p заменено на α
β1,k
b1,k
( p)
−
( )
(9.223)
− μ−
( p),
( + ) содержит вместо q p величину α μ p . Определитель β1,k +( ) + +( )
системы (9.223):
Dk( , ) ( p ) = pε k2 + α −α + + α − + α + ε k p cth δ k p ≠ 0.(9.224) 1
Ш
− μk( ) ( p )
+ μ k( ) ( p ) однозначно выражаются через параметры Ш-й краевой задачи – константы α − ,α + и функции μ− ( p ) , μ+ ( p ) . Обратное преобразование Лапласа дает μ k( − ) ( t ) и μ k( − ) ( t ) ,
Таким образом, функции
и
т.е. устанавливает ЭКЗ. В. Внутренняя эквивалентность. Опуская релаксирующую компоненту решения краевой задачи теплопроводности в области Ων( m ) , решение в ПП записываем в виде: m m m ν× Uν( ) (η , t ) = Uν( 2 ) (η , t ) + Uν( 3 ) (η , t ) = 2π ma
(m) m −1 ∂Gν −) ( × η− * μν ( t ) − t ∂η ' η '=η− ( )
( m) G ∂ + m * μν( ) ( t ) + Gν( ) * fν − η +m −1 ν ∂η ' t (t ) η '=η+ ( )
159
. Ων(m)
(9.225)
Первое слагаемое в правой части (9.225) (ограниченное фигурными скобками) – граничное, а второе – источниковое поле. Первая задача получить выражение для «эффективной» плотности источников fν e (η , t ) ,
позволяющее вместо граничного поля записать второе источниковое поле.
Иначе говоря, надо найти fν e
(m)
Gν
* fν e
(t )
Ων(m)
(η , t ) , такое, что
(m) m−1 ∂Gν −) ( ν η− = 2π ma * μν ( t ) − ∂η ' (t ) ' η η = − (9.226)
(m) G ∂ + * μν( ) ( t ) . − η+m−1 ν ∂η ' t η '=η+ ( ) Преобразуя (9.226) по Лапласу, получаем:
(m)
Gν
(m) m −1 ∂Gν − ν η− fν e = 2π ma ⋅ μν( ) ( p ) − ∂η ' Ω η η ' = − ( m) ∂ G + (9.227) − η +m −1 ν ⋅ μν( ) ( p ) . ∂η ' ' η η = + ( m)
ν
Подстановкой в (9.227) выражения
+ − fν e (η , p ) = aν μν( ) ( p ) δ ' (η − η− ) − μν( ) ( p ) δ ' (η − η+ ) , (9.228)
убеждаемся в том, что оно обращает (9.227) в тождество. Обратное преобразование Лапласа в (9.228) даёт: + − fν e (η , t ) = aν μν( ) ( t ) δ ' (η − η − ) − μν( ) ( t ) δ ' (η − η + ) , (9.229)
Эквивалентная плотность источников выражается, согласно (9.229), через
μν( − ) ( t ) и μν( + ) ( t ). Эквивалентная форма записи (9.225): (m) (m) Uν (η , t ) = Gν * fν (t )
(m) + Gν * fν e (m) (t )
Ων
т.е. граничное поле заменено эффективным источником. 160
(m) Ων
, (9.230)
Вторая задача – найти эффективные μ ( − ) ( t ) и μν( +,e) ( t ) , такие, чтобы ν ,e источниковое поле можно было заменить вторым граничным, т.е. записать m m m Uν( ) (η , t ) = Uν( 2 ) (η , t ) + Uν( 2e) (η , t )
(9.231)
В отличие от первой задачи, теперь требуется найти две функции с помощью одного имеющегося у нас уравнения (равенства граничного поля источниковому). Однозначное решение возможно, если перейти от областей m Ων( ) m = 1,2,3;ν = 0, k , +, ∞ к областям Ω0( m ) и Ω+( m) , в структурах
(
)
решений для которых имеется только одна граничная функция ( для Ω0( m ) и μ +( − ) ( t ) для
m Ω+( ) ).
+ μ 0( ) ( t )
( m ) и ( m) рассматриваются Рассмотрим область Ω+( 2) (области Ω0 Ω+ аналогично). Условие эквивалентности полей в этом случае имеет вид: 2 G +( ) * f+
(t )
( 2)
Ω+
( 2) ∂ G (9.232) − = 2π a+ r0 + * μ +( ,e) ( t ) . ∂r ' (t ) r '= r 0
Лаплас – трансформанта уравнения (9.232):
( 2)
G+ , f +
( 2)
Ω+
∂G ( 2 ) − = 2π a+ r0 + ⋅ μ +( ,e) ( p ) . ∂r ' r '= r
(9.233)
0
Отсюда находим:
( 2) ∂G μ+( −,e) ( p ) = 2π a+ r0 + ∂r ' r '=r 0
−1 2 G+( ) , f +
( 2) . Ω
(9.234)
+
Обратное преобразование Лапласа в (9.234) завершает решение второй задачи. С. Приближенная эквивалентность. Каноническое уравнение теплопроводности в областях Ωk( m ) ( m = 2,3) имеет, при отсутствии источников тепла, вид: 161
m ∂ 2U ( m ) ( m − 1) ∂U ( m ) ∂U k( ) k k = ak + , r ∈ ( rk −1, rk ) . (9.235) 2 r ∂t ∂r ∂r
Второе слагаемое в правой части (9.235), определяющее отличие полей в цилиндрических ( m = 2 ) и сферических ( m = 3) слоях от полей в плоских
слоях ( m = 1) в последнем случае отсутствует. Поставим задачу – заменить уравнение (9.235) на более простые, соответствующие плоским слоям m (1) уравнения (иначе говоря перейти от ( ) ) таким образом,
Uk
( r , t ) → U k ( x, t )
чтобы относительная погрешность такой замены не превышала 5%. Введем классификацию цилиндрических и сферических слоев в зависимости от параметра α k = rk / rk −1 (далее выясняется, что этого
параметра, достаточно, т.к. параметр Δrk = rk − rk −1 роли не играет). Ультратонкими слоями Ωk( 2 ) и Ωk( 3) будем называть такие, для которых ( 3) ( 2) m α k ∈ 1,α k( ) , где предельные величины α k и α k таковы, что в (9.235)
(
)
можно, с оговоренной погрешностью, положить m = 1 , т.е. опустить второе слагаемое в квадратных скобках. Тонкими слоями будем называть слои Ωk( 2 ) и Ωk( 3) тогда, когда α k ∈ 1,α k( m ) , где предельные значения α k( m ) таковы, что
) ( ∂U ( ) / ∂r ) , (
множитель перед
m
k
( m − 1) / r
т.е.
можно, с оговоренной
погрешностью, заменить некоторым постоянным числом −ϑk( m ) = const , т.е. перейти от уравнения (9.235) к одномерному уравнению Фурье-Кирхгофа с квазиконвективным членом ϑ ( m ) ∂U (1) / ∂x в левой части. Решение k
(
k
)
последнего также существенно проще, чем исходного уравнения (9.235). (m) ;3 будем называть нормальными, а в случаях α k ≥ 3, 0 Слои с α k ∈ α
(
k
)
- толстыми. Рассмотрим вначале тонкие слои Ωk( m) ( m = 2,3) . При r ∈ ( rk −1, rk ) второй член в правой части уравнения (9.235) принимает граничные и «среднее» (при r = rk ) значения:
(m) m − 1 ∂U k , rk −1 ∂r
(m) m − 1 ∂U k , rk ∂r
(m) m − 1 ∂U k (9.236) . rk ∂r
Образуем для выражений (9.236) абсолютные и относительные разности 162
∂U k( δ − = ( m − 1) ∂r
m)
m 1 ∂U k( ) 1 1 1 − , δ + = ( m − 1) − , r r r ∂ k −1 k rk rk 1 1 1 δ− 1 δ+ = rk − , ε+ = = rk − . ε− = ( m) (m) rk −1 rk rk rk m − 1 ∂U k m − 1 ∂U k rk ∂r rk ∂r
Потребуем выполнения условий: ε −
= ε+ = ε ; ε
(9.237) ≤ 5%. Тогда получим:
2α α −1 (9.238) ≤ 0,05, α k ≤ 1,1. rk = 2 k Δrk , ε = k αk + 1 αk −1 (m) Таким образом, независимо от m и Δrk , при α k = α k = α k = 1,1, слои ( 3)
2 Ωk( ) и Ωk относятся к тонким. При этом rk = 1, 048rk −1 = 0, 952rk , а второе из выражений (9.236) принимает вид: ( m) m − 1 ∂U k(1) m − 1 ∂U k , x = r − rk −1, x ∈ ( 0, Δrk ) (9.239) = 0,954
∂r
rk
rk −1 ∂x
m Уравнение (9.235) в тонких слоях Ωk( ) ( m = 2,3) принимает вид: + 1 (1) ∂U k( ) ∂ 2U k( ) ( m ) ∂U k
∂t
где
+ ϑk
∂x
= ak
∂x
2
, x ∈ ( 0, Δrk ) , t > 0,
(9.240)
m −1 (9.241) ϑk = −0,954 ak rk −1 (1) ( m) Решение (9.240) подстановкой U k ( x, t ) = U k ( x, t ) exp (α t + β x ) (m)
сводится к решению элементарного уравнения теплопроводности, m (m) следующего из (9.240) при В итоге решение для ( )
ϑk
= 0.
Uk
m в тонком слое Ωk( ) ( m = 2,3) принимает вид:
( )
( x, t ) − поле
( m) 2 m) ( ϑ t k ϑk ( m) (1) (9.242) Vk ( x, t ) = U k ( x, t ) exp x− , x ∈ ( 0, Δrk ) , t > 0. 4ak 2ak
( m)
Здесь ϑk
определено (9.241). 163
На основе (9.242) теперь легко рассматривать эквивалентирование
(m)
( m)
ультратонкими слоями и определить граничные значения α k . такой замены (на ультратонкие слои) будет, очевидно ( m) (1) приближенное равенство ,выполняющееся, если слоев Ωk Условием
( x , t ) U k ( x, t )
Vk
экспоненциальный множитель в (9.242) будет ≈ 1 (при всех возможных x и t ). Поскольку x ∈ ( 0, Δrk ) , а для tmax можно принять такое значение t , при котором ( m ) (Глава 37), то необходимо потребовать выполнения
= 2,0
F0
условия
( )
2 m) ( m ϑk t ϑk( ) exp x− 1 2 4 a a k k
(9.243)
в самом неблагоприятном случае. Для первого из аргументов экспоненты имеем (m)
ϑk Δrk 2ak
а для второго
= 0, 477 ( m − 1) (α k − 1) ,
( )
2 m ϑk( ) tmax
4 ak
2
2
= 0, 455 ( m − 1) (α k − 1) .
Отсюда следует, что необходимо потребовать, чтобы exp ϑk( m ) Δrk / 2ak ≈ 1. Разлагая (m)
(ϑ
k
)
экспоненту
в
ряд
и
полагая
его
близким
к
1
при
Δrk / 2ak ≤ 10−2 , находим:
2,1 ⋅10−2 , m = 2, ≤ 1+ −2 1,05 ⋅10 , m = 3. ( 2) цилиндрические слои имеют α k ≤ 1,02,
m α k = α k( )
Т.о. ультратонкие ( 3) сферические
(9.244) а такие же
−α k ≤ 1,01, т.е. меры «ультратонкости» для них разные (здесь
параметр m важен). Параметр тонких слоев.
Δrk
164
также не играет роли, как и в случае
§132. Оценки приближенных решений Осуществляются эти оценки сравнением приближенных и точных решений базисных краевых задач. Рассматриваются: А. Решение в ПГФ, в которых используются приближенные функции Грина (в первом и во втором приближениях). В. Аппроксимации (см. §106) решений канонических краевых задач горной теплофизики (для областей Ω+( m ) ); С. Приближенные асимптотические решения (малые и большие времена, параметрические асимптотики). Решения из группы С. Рассматриваются в последующих параграфах настоящей главы. А. Сравнение решений с точными и приближенными функциями Грина. Оцениваются невязки L − норм и C − норм решений на основе аппарата бинорм функций Грина (§§123,124). Поскольку последние зависят от безразмерного времени Fo и параметров, характеризующих форму и размеры областей ( m, α k = rk / rk −1 ) , перебор всех возможных комбинаций затруднен. В этой связи заметим следующее. Во-первых, сравнение точных и приближенных решений частично было осуществлено П.В. Цоем [37,38] для ряда краевых задач с граничными условиями І-го, П-го и Ш-го родов. Критерием качества приближенных решений было визуальное сравнение расположения расчётных величин температурных полей в ряде точек областей (для приближенных решений) с кривыми на графиках температурных полей, найденных по точным решениям. Близость точек с кривыми достигалась при Fo ≥ 0,08 ÷ 0,1 (в первом приближении) и при Fo ≥ 0,04 ÷ 0,08 (во втором приближении). Во – вторых, ранее (§119) было показано, что выражения для приближенных функций Грина для различных областей переходят друг в друга при соответствующих преобразованиях форм областей. Поэтому, исключая влияние параметра m далее рассматриваем только области Ωk( 2) (цилиндрические слои), для которых точные и приближенные функции Грина наиболее сложны. Фактор Fo учитываем, сравнивая решения для значений Fo ∈ [0,04;2,0]. В третьих, с целью избежать перебора всех возможных значений параметра α α ∈ (1, 0; ∞ ) используем классификацию, относящую все k
(
k
)
цилиндрические слои к одной из групп: ультратонкие слои (α ≤ 1,02) ; тонкие k слои (α ≤ 1,1) ; нормальные слои (α k < 2, 0 ) ; толстые слои (α k ∈ [ 2,0;10, 0]) , k ультратолстые слои
(αk ∈ (10, ∞ ) ) .
Для двух первых групп оценки
погрешности приближенных решений были осуществлены ранее, а для остальных групп рассмотрим «представительные» случаи: α = 1, 2; k α k = 2, 0; α k = 3, 0; . α k = 100 При этом два последних случая, с целью
165
определения разброса невязок точных и приближенных решений по мере утолщения слоев, сопоставим между собой. Для областей Ωk( 2 ) после определения (согласно (9.61) величин
ϕk ( r )θ + ( t ) , i = 1, 2 2 g ki( ) ( r , t ) = M k( ) ( r , t ) , i = 2, t Fk ( r , t ) , i = 3, Fk ( r , t ) = fk ( r , t ' ) dt '. 0 где i = 1, 2, 3 соответственно для релаксирующих,
(9.248)
граничных
и
источниковых полей, имеем, согласно (9.62): 2 U ki( )
L( r )
2 = ∂ t G k( )
* g ki( ) 2
L( r ) ( t )
2
Ωk
2 2 ≤ N ki( )Wki( ) ( Fo ) .
(9.249)
Здесь величины в правой части неравенства являются бинормами: 2 2 N ki( ) = g ki( )
C(t )
C(r )
2 2 , Wk( ) ( Fo ) = G k( )
L( r )
L( r ' )
)
(
(9.250)
,
2 2 − + N k( 1 ) = ϕk C ( r ) = ϕ k , N k( 2) = max μ k( ) ( t ) , μ k( ) ( t ) = M k , t >0 2 N k( 3) = Fks
∞
(9.251)
= Fks , Fks ( r ) = fk ( r ,τ ) dτ C( r ) 0
В соответствии с (9.75) запишем: 2 U ki( )
C( r )
2 = ∂t U k( )
* g ki( ) 2
C( r ) ( t )
( ) ( Fo) , i = 1,2,3, ≤ Nki( )Φ k 2
Ω (k ) 2
( 2) ( Fo) = G ( 2) Φ k k
C( r )
2
(9.252) L( r ')
Обозначим приближенные функции Грина: в первом приближении 2 ( 2) G k( ,1) ( r , r ', t ) ; во втором приближении - G k ,2 ( r , r ', t ) . Первая из них дана в таблице 8,5, а вторая – формулой (8.241). Невязки точных и приближенных решений вводим формулами: 2 2 2 2 1 1 (9.253) , Δ (i ) ( C ) = U ki( ) Δ (i ) ( L ) = U ki( ) − Uˆ ki( ,1) − Uˆ ki( ,1) L( r ) L( r ) C( r ) C( r ) 166
2 2 Δ (i ) ( L ) = U ki( )
L( r )
2 − Uˆ ki( ,2)
L( r )
2 2 , Δ i( ) ( C ) = U ki( )
C(r )
2 − Uˆ ki( ,2)
C( r )
(9.254)
Здесь Δ(i1) ( L, C ) и Δ(i 2 ) ( L, C ) − соответственно невязки решений в первом
)
(
)
(
приближении Uˆ ( 2 ) ( r , t ) и во втором Uˆ ( 2 ) ( r , t ) и точных решений. Ввиду ki ,1 ki ,2
идентичности структур точных и приближенных решений (в последних вместо точных функций Грина G k( 2) ( r , r ', t ) используются приближенные ( 2) 2 −Gˆ k( ,1) ( r , r ', t ) и Gˆ k ,2 ( r , r ', t ) , для приближенных решений можно, по аналогии с (9.249) и (9.252) записать:
ˆ ( ) ( Fo ) . ≤ N ki( )Φ kν
(9.255)
ˆ ( 2) ( Fo ) - бинормы приближенных функций Здесь Wˆk(ν2 ) ( Fo ) и Φ kν
Грина
U ki ,ν
L( r )
2 2 ≤ N ki( )Wˆk(ν ) ( Fo ) ,
U ki ,ν
2
C( r )
2
2 Gˆ k(ν ) ( r , r ', t ) , ν = 1 для первого, а ν = 2 для второго приближения бинормы
2 ˆ ( 2 ) ( Fo ) определяются по последним из формул (9.250) и (9.252) Wˆk(ν ) ( Fo ) и Φ kν при подстановке в них вместо точных функций Грина - ′( 2 )
Gkν
( r , r ', t )
приближенных G k(ν2) (ν = 1,2 ) . Теперь формулы (9.253), (9.254), (9.255) можно объединить, записав неравенства для невязок Δ( 2) L, C : i
(
)
2 2 2 ν Δ (i ) ( L ) ≤ N ki( ) Wk(ν ) ( Fo ) − Wˆk(ν ) ( Fo ) , 2 ν ( 2 ) ( Fo ) − Φ ˆ ( 2 ) ( Fo ) . Δ(i ) ( C ) ≤ N ki( ) Φ kν kν
Если ввести относительные невязки
(ν )
εi
( L) =
ν Δ (i ) ( L )
2 N ki( )
2 Ωk( )
(ν )
, εi
ν Δ (i ) ( C ) . ( C ) = ( 2) N ki
(9.256)
(9.257)
и принять, в качестве допустимой, пятипроцентную их величину, то критерии близости точного и приближенных решений принимают вид: ( 2 ) −1 ( 2 ) ˆ ( 2)
Ωk
W kν
( Fo ) − Wkν ( Fo ) ≤ 0,05,
(9.258)
ˆ ( 2 ) ( Fo ) ≤ 0,05. ( 2 ) ( Fo ) − Φ Φ kν kν Поскольку все бинормы в (9.258) убывают с ростом Fo (что следует из вида как точных, так и приближенных функций Грина), при достаточно больших величинах Fo левые части неравенств (9.258) могут стать произвольно малыми. 167
Нас будут интересовать такие характерные значения Fo = Fo
(ν )
, при которых
(ν )
начинают выполняться условия (9.258). При всех Fo > Fo относительные невязки будут иметь заведомо меньшее, чем 5%-е значение. ( 2) ( Fo) уже вычислены, они выражаются, Бинормы Wk( 2 ) ( Fo ) и Φ k
соответственно, рядами R8 ( Fo ) и R4 ( Fo ) , которые нами табулированы (см. табл.9.3). Для вычисления бинорм второго приближения функции Грина воспользуемся табл.8.8 для определения необходимых числовых коэффициентов. Они приведены в таблице 9.11. Таблица 9.11 Значения коэффициентов в формуле (8.241)
αk
2 N1( )
2 N 2( )
( ) B2,1 11
( ) B2,1
( ) B2,1 22
( ) B2,2 11
( ) B2,2
( ) B2,2
1,2 2,0 3,0 100
0,356 0,350 0,345 0,301 0,299
1,500 1,505 1,510 1,530 1,535
0,040 0,068 0,085 0,197 0,203
0,010 0,043 0,073 0,280 0,300
0,001 0,014 0,033 0,208 0,221
0,280 0,351 0,392 0,620 0,630
1,100 1,376 1,523 2,330 2,367
2,200 2,692 2,957 4,382 4,446
∞
12
12
22
Бинормы функций Грина в первом приближении легко находятся, т.к. не зависят от параметра α k . Получаем:
( 2) Ω k
−1
( 2) ˆ ( 2 ) ( Fo ) = exp ( −10 Fo ) . (9.259) Wˆk ,1 ( Fo ) = 0,833exp ( −10 Fo ) , Φ k ,1
Бинормы функции Грина во втором приближении, вычисление которых несколько громоздко (требует использования ПК и данных табл.9.11), имеют вид: −1 2 2 Ωk( ) Wˆk(,2) ( Fo ) = 0,749exp ( −9,97 Fo ) + 1,924exp ( −42 Fo ) , (9.260) . α k = 1, 2 ˆ ( 2 ) ( Fo ) = 0,906exp ( −9,97 Fo ) − 2,757 exp ( −42 Fo ) , Φ k ,2
α k = 2, 0 2 ˆ ( ) ( Fo ) = exp ( −9,8Fo ) + 0,984 exp ( −42 Fo ) , Φ k ,2 ( 2)
Ωk
−1
2 Wˆk(,2) ( Fo ) = 0, 789 exp ( −9,8 Fo ) ,
(9.261)
−1 2 2 Ωk( ) Wˆk(,2) ( Fo ) = 0,775exp ( −9,66 Fo ) + 0,025exp ( −42,28 Fo ) , (9.262) . α k = 3,0. ˆ ( 2 ) ( Fo ) = 0,956exp ( −9,66 Fo ) − 1, 259exp ( −42, 28Fo ) Φ k ,2
168
Как видно из таблицы 9.11, числовые коэффициенты в (8.241) при α k = 100 и α k = ∞ мало отличаются друг от друга. Поэтому слой Ωk( 2) при
α k = 100 может моделировать собой область Ω+( 2) . Сравним по критериям
2 (9.258) близость между собой приближенных решений в областях Ωk( ) в
двух случаях: 1)α k = 3, 0; 2)α k = 100. При α k = 100 расчеты дают для бинорм выражения: −1 2 2 Ωk( ) Wˆk(,2) ( Fo ) = 0,744exp ( −8, 43Fo ) + 0,119exp ( −42,84 Fo ) , α k = 100. ˆ ( 2) ( Fo ) = 0,994exp ( −8,43Fo ) − 0,998exp ( −42,84 Fo ) Φ k ,2
(9.263) Из критериев (9.258) и формул (9.262) и (9.263) следует, что относительные невязки обеих бинорм достигают 5%-го уровня с последующим убыванием
(ν )
= 0, 06. Таким образом, приближенные решения (во для значений Fo = Fo втором приближении) для толстых (α k = 3,0 ) и ультратолстых
(
)
цилиндрических слоев α k = 100 для всех Fo ≥ 0, 06 близки в указанном ранее смысле (относительная невязка ≤ 5% ).
[
]
Расчеты на ПК невязок для различных Fo ∈ 0, 02; 2, 0 даны значения характерных чисел Фурье Fo(ν ) Как следует из табл. 9.12, второе приближение по критерию ε i( 2) ( C ) (оценки решений в C − нормах) дает меньшие значения характерных безразмерных времен, чем по критерию ε i( 2) ( L ) (оценки решений в L нормах). Это свидетельствует о справедливости замечания П.В.Цоя [37] о квазистационарном характере приближенных решений, получаемых комбинированным методом (преобразования Лапласа по t и метода БубноваГалеркина). Тем не менее, для всех Fo ≥ 0,2 рассматриваемый приближенный метод дает удовлетворительную точность. В. Аппроксимации решений канонических задач. К этим задачам относятся используемые в горной теплофизике для расчета температурных полей в охлажденных зонах горного массива первые краевые задачи для m областей ( ) . Их аналитические решения известны [17,89]: Ω+
( m = 1, 2, 3)
x 1 (9.264) U +( ) ( x, t ) = U п − ΔU erfc , x > 0, t > 0, 2 at r r − r0 2 U +( ) ( r , t ) = U п − ΔU 0 erfc , r ∈ ( r0 , ∞ ) , t > 0, (9.265) r 2 at 169
r − r0 r 3 U +( ) ( r , t ) = U п − ΔU 0 erfc r 2 at
, r ∈ ( r0 , ∞ ) , t > 0. (9.266)
Здесь обозначены: U п − температуры горных пород на данной глубине; температура вентиляционного воздуха в горной ΔU = U п − U в , U в −
выработке; r0 − приведенный радиус цилиндрической ( m = 2 ) и сферической ( m = 3) полостей (выработок) в массиве.
Характерные значения Значения параметра
αk α k = 1, 2
(нормальный слой) α k = 2, 0 (толстый слой) α k = 3, 0 (толстый слой)
ν Fo( )
Таблица 9.12 по критериям (9.258)
І-е приближение Критерий Критерий (1) ε i(1) L εi C
( )
( )
1 Fo( ) = 0,02
Fo
(1)
1 Fo( ) = 0, 20
Fo
( 2)
1 Fo( ) = 0, 20
= 0, 08 = 0,10
1 Fo( ) = 0,10
П-е приближение Критерий Критерий ( 2) ( 2) εi ( L) εi C
( )
= 0, 08
Fo
( 2)
2 Fo( ) = 0, 20
Fo
( 2)
Fo
Fo
( 2)
( 2)
= 0, 20 Fo
( 2)
= 0, 02 = 0, 06 = 0,10
Температурные поля (9.264) – (9.266) описывают тепловое состояние охлажденной зоны массива [89] и ее размеры. Эти функции часто являются начальными условиями в краевых задачах – моделях переходных (в т.ч. – аварийных) процессов. Такие модели могут содержать более сложные граничные условия и функции плотности источников (стоков) тепла в правых частях уравнений. Решения канонических задач также используются для оценок ширины охлажденных зон в массиве в различные моменты времени, определения конечных размеров расчетных областей неограниченного массива при аналоговом и физическом моделировании [110-112]. Представляют интерес поэтому приближенные решения канонических задач – аппроксимации полей (9.264) – (9.266) более простыми функциями, удовлетворяющие требованиям: 1)удовлетворение граничным условиям задач; 2) близость, в определенном смысле, точным решениям; 3) квазифинитное поведение, т.е. отличие от нуля только внутри областей конечных (в каждый момент времени) размеров −Ωδ( m ) = η ∈ η0 ,ηф ( t ) , где
{ (
170
)}
ηф ( t ) = η0 + δ ( t ) ,
δ ( t ) = δ m ( t ) = 2 K m at , K m = const.
числовых параметров
K m ( m = 1,2,3)
Значения
должны быть найдены в ходе
аппроксимации. Ранее, в §104. рассмотрены два подкласса квазифинитных функций – степенных (8.32) и экспоненциальных (8.34). Был предложен метод аппроксимации – оптимальная аппроксимация, при которой L – нормы аппроксимируемой и аппроксимирующей функций (т.е. интегралы от них по областям Ωδ( m ) совпадают, а невязка их определяется формулой (8.51), и является, в отличие от оценок п. А, единственной мерой близости приближенного и точного решений. Реализацию этого подхода продемонстрируем на примере поля ( 3) 1 2 U ( ) ( x, t ) данного (9.264). Для полей U ( ) ( r , t ) и U ( r , t ) метод аналогичен, +
+
+
но более громоздок; эти поля будут аппроксимированы далее, в главе 50, при моделировании охлажденных зон горного массива. На первом этапе переходим от сингулярной области Ω+(1) = { x ∈ ( 0, ∞ )} , к квазифинитной
{
}
области Ωδ(1) = x ∈ ( 0, δ1 ( t ) ) ,ширина которой δ1 = 2K1 at . Формула (9.264)
теперь принимает вид:
Kx 1 1 U +( ) ( x, t ) → U δ( ) ( x, t ) = U п − ΔUerfc 1 , x ∈ ( 0, δ1 ( t ) ) , t > 0. (9.267) δ1 ( t ) (1) K
( x, t )
1 (что идентифицирует Uδ квазифинитную функцию) из (9.267) получим: Для определения параметра
(
)
U п − U (1) δ1 ( t ) , t Δ U (1) δ = δ = erfc ( K1 ). ΔU ΔU
как
(9.268)
По таблицам [109] находим, что при. K1 = 2, 0 :
Δδ U (1) = 0,0047 < 0,5%. ΔU
(9.269)
Ясно, что (9.269) удовлетворяет требованию малости Δδ U ( ) / ΔU , т.е. малости (относительно ΔU ) отличая температуры на «фронте» финитности (при x = δ1 ( t ) ) от U п (температуры «на бесконечности»). Т.о., имеем: 1
δ1 ( t ) = 2 K1 at = 4 at , t > 0 . Ранее, в §126, выражения вида (9.270) встречались неоднократно. 171
(9.270)
На втором этапе осуществляем аппроксимацию функции U δ(1) ( x, t ) степенной функцией U (1) x, t следующего вида: п
( )
n x U n ( x, t ) = U п − ΔU 1 − , x ∈ ( 0, δ1 ( t ) ) , t > 0 . (9.271) δ1 ( t ) 1 Интегрируя функции U δ( ) ( x, t ) и U п(1) ( x, t ) по области Ωδ(1) = { x ∈( 0, δ1 ( t ) ) и приравнивая эти интегралы, получим, вводя безразмерные переменные (1)
η = xδ1−1 ( t ) , ξ = 2η :
1
(
)
n 1 − η dη = I1 =
0
12 erfc (ξ ) dξ . 20
(9.272)
Из (9.272) легко находим: n = 0,392 ,
x 0,392 (9.273) U п ( x, t ) = U п − ΔU 1 − 4 at Оценим невязку аппроксимации (приближения) δ (1) = U (1) ( x, t ) − U (1) ( x, t ) . (1)
n
Имеем:
δ
n
δ n(1) = ΔU erf ( 2η ) − η 0,392 , η ∈ [ 0,1]. (1)
Относительная невязка ε n будет: (1) (1) δ n
εn =
ΔU
= erf ( 2η ) − η 0,392 .
(9.274)
(9.275)
Ее максимальное значение достигается на границе области η = 1 . Положив в (9.275) η = 1 и взяв из таблиц [109] значение erf 2 ≈ 0,995, находим, что
ε n(1) ≈ 0,5% .
Экспоненциальная аппроксимация имеет вид x (1) (9.276) U β ( x, t ) = U п − ΔU exp − β , δ1 = 4 at , β > 0. δ t 1 ( ) Для определения параметра β вновь приравниваем интегралы от функций (1) 1 (1) U β( ) ( x, t ) и U δ ( x, t ) по области Ωδ : 1
12
exp ( − βη ) dη = erfc (ξ )dξ =
1
(
)
1 − exp ( − β ) . (9.277) 2 β 0 0 Приближенное решение (9.277) дает β = 3,551. Формула (9.276) принимает вид: 172
x 1 U β( ) ( x, t ) = U п − ΔU exp −3,551 . 4 at
(9.278)
Для величины δ β(1) имеем соотношения
1 1 1 δ β( ) = U δ( ) ( x, t ) − U β( ) ( x, t ) = ΔU erfc ( 2η ) − exp ( −3,551η ) (9.279)
Для относительной ошибки экспоненциальной аппроксимации получаем [109]
ε β(1) = erfc 2 − exp ( −3,551) 0, 005 − 0, 030 = 2,5%.
(9.280)
§133. Решения для малых времён
В парадигме математической физики решения (или, как иногда говорят, асимптотики) для малых времен получают либо оценкой порядка членов в уравнениях либо редукцией (упрощением) аналитических решений для случаев t → 0 или t << t0 (где t0 − некоторое характерное время задачи). В теплофизических моделях (особенно – в прикладных) есть потребность знать (хотя – бы приближенно) величину t0 или ( 0) , поскольку соответствующую ей величину безразмерного числа Фурье они задают временную границу интервала
t ∈ ( 0, t0 ) ,
Fo
для которого
справедливо асимптотическое (т.е. – приближенное) решение. Практически, определение «порогового» значения t0 , осуществляется одновременно со сравнением точного и асимптотического решений. Иерархия характерных времен в краевых задачах сложна и зависит, в общем случае, от вида функций времени: функций Грина, функций, определяющих граничные условия, функций плотности источников (стоков) тепла. Два последних вида функций полагаем удовлетворяющими условиям физической корректности (§122). Далее рассматриваем временное поведение функций Грина и решений в ПП для релаксационных, граничных и ( 0) . источниковых полей и устанавливаем пороговые значения
(
t0 Fo
)
( m ) они имеют
А. Релаксирующие поля. В центральных областях Ω0 в ПП вид (9.2):
( m) U 0,1 (η , t ) = G 0( m ) (η ,η ', t ) , ϕ0 (η ')
Ω 0(m)
.
(9.281)
Функции Грина G 0( 2,3) ( r , r ', t ) приведены в табл.8.2 (§113), а функция 1 G 0( ) ( x, x ', t ) дана (9.13). Функция начального распределения ϕ0 (η ) одинакова для m = 1, 2,3 . 173
Случай m = 1. В §115 было показано, что функция G k(1) ( x, x ', t ) в
представлении (8.164) при lk → ∞ переходит в функцию Грина G +(1) ( x, x ', t ) − (1) 2 увеличение для области Ω(1) . Поскольку число Фурье l
Fok = ak t / lk ,
+
t. уменьшению Т.о., переход ( x, x ', t ) → G +(1) ( x, x ', t ) является для G k(1) ( x, x ', t )
эквивалентно (1)
Gk
k
1 1 Ωk( ) → Ω+( ) ,
приближением
малых времен. Такую редукцию функции Грина будем называть редукцией сингулярного вида. В §115 также было показано, что после переноса начала 1 координат x = 0 с левой границы отрезка – области ( ) в ее середину, так
Ωk
что Ωk(1) = { x ∈ ( −lk / 2, lk / 2 )} , и перехода к пределу lk → ∞ , осуществляется редукция G k(1) ( x, x ', t ) → G ∞(1) ( x , x ', t ) , т.е. замена области Ωk(1) на область 1 Ω∞( ) (задача Коши). Эта редукция – также сингулярная. Отсюда следует, что
решения краевой задачи для области Ω+(1) и задачи Коши для области Ω∞( ) − изначально являются асимптотиками (приближенными решениями для 1 1 малых t ) решений для областей ( ) ( ) 1
Ω0 , Ωk .
1 Пусть нас интересует поведение решения в точке x = h0 области Ω0( ) . При h0 < l0 / 2 эта точка ближе к границе области x = 0 , а при h0 > l0 / 2 −
ближе к границе x = l0 . В первом случае, поскольку граница x = 0 области 1 Ω0( ) является адиабатической (по определению), влияние на поле в точке
x = h0 температурного режима на границе x = l0 будет эффективным только
(1)
по прошествии некоторого времени t0 . Поэтому в (9.281) можно использовать редукцию – приближенную, пригодную для интервала (1) функцию Грина.
(
t ∈ 0, t0
)
Расстояние от точки x = h0 до границы x = l0 будет равно δ 0 = l0 − h0 . Используем, для оценки ширины зоны локализации поля, ранее часто встре-
(
)
() чавшуюся зависимость: δ ( t ) = 4 at = δ 0 . . Тогда при t ∈ 0, t0 ,
t0( ) = δ 02 /16a = ( l0 − h0 ) /16a 2
1
Ω+( )
можно
считать,
что
1
область
где 1 Ω0( )
функции Грина G 0(1) ( x, x ', t ) использовать ее асимп-тотику – функцию Грина G +(1) ( x, x ', t ) (с заменой в эквивалентна
области
1
и
вместо
174
(9.281) также и области интегрирования). Это приближение справедливо для 2 1) ˆ (1) h0 (1) at 1 ( ) ( ˆ всех Fo ∈ 0, Fo , где Fo = 0,062 1 − Fo = l0 l02 Во втором случае, когда h > l / 2 (точка x = h0 ближе к границе 0 области x = l0 ), можно, осуществив инверсию оси 0x , для интервала
(1) t ∈ 0, t0 вновь перейти к области Ω+(1) и функции Грина G +(1) ( x, x ', t ) .
Аналогично ( 2)
( 2)
t0 0,06 l0
первому
случаю,
получаем
оценки
(
)
t ∈ 0, t0( 2 ) ,
( ) ( 2 ) at0 ˆ / a Fo = 2 0,06 . Для точки x, близкой к центру области l0 2
(
)
1 3 Ω0( ) ( h0 l0 / 2 ) для интервала времени t ∈ 0,t0( ) можно перейти в (9.281) к
1 1 (1) (1) задаче Коши, осуществив замены: Ω0 → Ω∞( ) , G 0 ( x, x ', t ) → G ∞( ) ( x, x ', t )
(
)
1 ( 3) ( 2) ˆ ( 3) , Fo ˆ ( 3) 0, 016 . При этом t0 = 0, 25t0 , Fo( ) ∈ 0, Fo
Случай m = 2 . Приближенные (асимптотические) выражения для ( 2) функций Грина G 0 ( r , r ', t ) можно получить аналогично случаю m = 1, , для точек r = rh при rh < r0 / 2, rh > r0 / 2 и rh ≈ r0 / 2. . В первом случае, когда
r = r0 становится ощутимым при влияние границы области 2 1 t = t0( ) = ( r0 − rh ) / 25a (поскольку вместо δ = 4 at использована оценка
для «сходящегося» поля δ − ( t ) = 5 at ), можно, для моментов времени
(
)
1 2 t ∈ 0, t0( ) перейти к задаче Коши, заменив: G 0( ) ( r , r ', t ) → G ∞( 2) ( r , r ', t ) .
В случае rh > r0 / 2 , когда контрольная точка близка к границе области r = r0 , применить, как при m = 1, инверсию оси нельзя ввиду специфики геометрии задачи. Если, однако, rh достаточно велико, так – что r0 − rh = δ h мало, то можно заменить приграничной круговой (цилиндрический) слой r ∈ [ rh , r0 ] на плоский слой ширины δ h . Ранее, в §131, были определены ультратонкие (α = r1 / r0 ≤ 1, 02 ) и тонкие (α ≤ 1,1) цилиндрические слои. Было показано, что ультратонкие цилиндрические слои можно приближенно заменить на плоские при сохранении вида уравнения теплопроводности, т.е. осуществить замену 2 1 G 0( ) ( r , r ', t ) → G +( ) ( x, x ', t ) ( x, x ' = 0 при r = r0 и x, x ' = δ h при r = rh ).
(
( 2) Оценим временной интервал t ∈ 0, t0
) правомочности этого приближения. 175
r0 = rh + δ h , то α = r0 / rh = 1 + δ h / rh ≤ 1, 02 , δ h / rh ≤ 0, 02 .
Поскольку
( )
( 2) −6 2 Положим δ h = δ − t0( 2 ) = 5 at0( 2 ) , тогда t0 16 ⋅ 10 rh / a .
Для тонких цилиндрических слоев, когда δ h / rh ≤ 0,1 , также возможна редукция Ω( 2) → Ω( 2 ) , G ( 2 ) ( r , r ', t ) → G (1) ( x, x ', t ) , но требуется перейти к +
0
+
0
другому уравнению теплопроводности – квазиконвективного переноса (Фурье-Кирхгофа) (9.243), содержащему вместо конвективного члена выражение (9.242). Соответствующая функция Грина и будет приближением ( 3) малых времен в этом случае, а пороговое значение t0 находится аналогично
предыдущему: t0( 3) 4 ⋅10−4 rh2 / a = 25 t0( 2 ) . Случай m = 3 . Все, ранее сказанное, справедливо и в этом случае, за исключением приближения ультратонкого слоя. В сферическом случае ( m = 3) требование к «тонкости» ужесточается:α ≤ 1, 01 . Это ведет к тому, что ( 2) ( 2) 2 2 t0( ) = 0, 25 t0( ) . ( t0 обозначает t0 в случае m = 3 ). Встретившиеся нам редукции вида G 0( 2) → G +(1) будем называть редукциями размерностного типа (хотя здесь присутствует и сингулярная компонента). ( m) В областях – слоях Ωk релаксирующие поля имеют вид m m U k( ,1 ) (η , t ) = G k( ) (η ,η ', t ) , ϕ k (η ' )
m Ω( ) k
(9.282)
т.е. отличается от выражения (9.281) только индексами. (1) Случай m = 1. Аналогично области Ω0 здесь возможны редукции 1 1 1 1 Ω( ) → Ω( ) , Ω( ) → Ω( ) , т.е. сингулярного типа. Характерные пороговые k
+
k
∞
времена t0( i ) ( i = 1, 2 ) определяются аналогично. Построение асимптотических
выражений для функций Грина, когда нет перехода к сингулярной области (т.е. редукции сингулярного типа) или перехода к области другой размерности (редукции размерностного типа), а меняется сама структура функции Грина (как это, например, было в случаях с тонкими цилиндрическими слоями, или при оставлении конечного числа членов бесконечного ряда и т.п.) будем называть редукцией структурного типа. Примеры структурных редукций (самих решений, а не функций Грина) имеются в [17], где Лаплас-трансформанты решений разлагаются в ряды (как
(
)
правило, по степеням p или exp −α p , α = const ), а затем из условий «малости» или «большой величины» параметра преобразования Лапласа p разлагаются в ряды с удержанием в них нескольких первых членов. Обратные преобразования Лапласа затем дают представления решений, удобные, соответственно, для больших и малых t . 176
(1)
Асимптотическая редукция структурного типа функции Грина ( x, x ', t ) может быть осуществлена и иначе. Используем представление
Gk 1 G k( ) ( x, x ', t ) (8.164), где факторизуем экспоненты. Получаем:
( x − x ') θ+ ( t ) ∞ 2 ( x − x ' ) nlk Gk ( x, x ', t ) = + En ( Fo ) exp − 2 π at n =−∞ at 4at 2
(1)
( x + x ' )2 2 ( x + x ' ) nl k − exp − + at 4at
−
n2 , En ( Fo ) = exp − . Fo
(9.283) Из (9.283) видно, что число членов ряда, значимо отличающихся от нуля при малых Fo, невелико. Численные расчеты показали, что при Fo ∈ [ 0, 0,19]
достаточно только члена ряда, отвечающего n = 0 . При этом ряд в (9.283) (т.е. функция G k(1) ( x, x ', t ) ) переходит в функцию G +(1) ( x, x ', t ) , т.е. имеет смешанный, сингулярно-структурный тип редукции. При этом второй и третий члены ряда (с множителями E1 ( Fo ) и E−1 ( Fo ) ) меньше остающегося члена ( E0 ( Fo ) ) более, чем на два порядка, а отношение четвертого и пятого
членов ко второму и третьему еще меньше и т.д. При Fo ∈ [ 0,19, 0, 75] члены с (1) E ( Fo ) и E ( Fo ) необходимо учитывать, так что эта редукция G ( x, x ', t ) 1
k
−1
уже не сводится к G +(1) ( x, x ', t ) . При Fo > 0,75 значимы уже 5 членов ряда в
(9.283) (с E0 ( Fo ) , E+1 ( Fo ) , E+2 ( Fo ) ). Таким образом, возможен ряд редукций для постепенно возрастающих «малых» времен. Случай m = 2 . Для функций Грина G k(1) ( r , r ', t ) асимптотические редукции размерностного и сингулярного типа могут быть осуществлены аналогично уже рассмотренным случаем. Редукции структурного типа
возможны
для
цилиндрических
случаев: слоев,
1)
при
выделении
примыкающих
к
в
2 Ωk( )
границам
ультратонких
r = rk −1
и
r = rk (α − = rk / rk −1 ≤ 1, 02, α + = rk / rh ≤ 1, 02 ) ; 2) при выделении пограничных
( 2) тонких слоев (α − ; α + ≤ 1,1) 3) при изначальном статусе Ωk в качестве ультратонкого или тонкого слоя. В первом случае имеем редукцию G k( 2 ) ( r , r ', t ) → G +(1) ( x, x ', t )
(сингулярно-размерностную).
Во
втором
2 1,c −G k( ) ( r , r ', t ) → G +( ) ( x, x ', t )
(смешанная редукция, в которой есть сингулярный компонент " k " → "+ "; размерностный компонент – "2" → "1"; структурный компонент - верхний 177
индекс " c " указывает, что используется функция Грина для уравнения квазиконвективной теплопроводности (8.145). 3 Случай m = 3. Поскольку функция Грина G k( ) ( r , r ', t ) структурно
1 близка к функции Грина G k( ) ( x, x ', t ) , анализ всех случаев асимптотической редукции не вызывает затруднений и аналогичен проведенному для m = 1. (m) (m) ( m) В сингулярных областях Ω+ и Ω∞ функции Грина G + (η ,η ', t )
и G ∞( ) (η ,η ', t ) изначально уже являются асимптотическими малых времен, поскольку им соответствуют соответствующие модели. Сингулярная функция Грина G +( 2 ) ( r , r ', t ) , в отличие от других, в качестве 1
асимптотического приближения для конечных областей Ωk( 2) не годится, поскольку очень сложна. Здесь возможна «обратная» редукция – от области 2 Ω+( ) к области Ωk( 2) , которая может рассматриваться в те промежутки
времени, в которые поле локализовано в конечной области. Границы этой конечной области могут быть определены по оценкам ширины зон локализации поля (типа δ ( t ) = 4 at ). В.Граничные поля. Используя общее представление (ОП) решений для граничных полей, можем, с учетом (9.2) и (9.8) записать для m = 1, 2,3 и ν = 0, k , + : m m m m Uν( 2 ) (η , t ) = M ν( ) − Gν( ) (η ,η ', t ) * ∂ t M ν( ) (η ', t )
(t )
(m) Для центральных областей Ω0 :
Ων
( m) U 02 (η , t ) = μ 0( + ) ( t ) − G 0( m ) (η ,η ', t ) * ∂t μ 0( m ) ( t ) (t )
Для областей-слоёв
Ω
m Ωk( ) :
m + m m U k( 2 ) (η , t ) = M k( ) (η , t ) − G k( ) (η ,η ', t ) * ∂ t M k( ) (η , t )
(t )
Для сингулярных (внешних) областей
m Ω+( ) :
m − m − U +( 2 ) (η , t ) = μ +( ) ( t ) − G +( ) (η ,η ', t ) * μ +( ) ( t )
(t )
( m)
Ω+
(9.284)
( m)
( m)
(9.285)
0
Ω
( m)
(9.286)
k
(9.287)
Поскольку граничные функции μ 0( + ) ( t ) , M k( m ) ( t ) (т.е. μ k( − ) ( t ) и − μ k( + ) ( t )) , а также μ +( ) ( t ) считаются произвольными, никаких предположений относительно иерархии характерных для них времен мы не делаем. 178
Поэтому редукции (приближения малых времен) осуществляются аналогично тому, как это делалось в п. А. Таким же образом определяются характерные пороговые времена, т.е. анализируется только поведение функций Грина. ( m) В случаях областей Ω+ , редукция не проводится (разве что – «обратная»), поскольку функции Грина G ( m) (η ,η ', t ) ( m = 1,3) , будучи функциями, +
достаточно простого вида, дальнейшему упрощению не подлежат. С. Источниковые поля. Для них все, сказанное в п.п. А и В, остается в силе. Анализ редукций – по функциям Грина.
§134. Решения для больших времен
Установим иерархию характерных (пороговых) времен процессов (m)
теплопроводности в областях Ων
( m = 1, 2,3; ν
= 0, k ) . Пусть первое
m пороговое время tν( ,1 ) завершает период, когда работает приближение малых
(
)
времен −t ∈ 0, tν( m,1 ) . Ему соответствует безразмерное время – число Фурье
Foν( ,1) : m
aν t1,(1ν) 2 , m = 1; ν = 0, k , ( m ) (1) lν ( m ) aν ,1 t1,ν Foν ,1 = = (m) 2 ( Δr ) aν t1,ν , m = 2,3; ν = 0, k ; Δr0 = r0 . 2 ( Δr )
(
Интервал значений Foν( m ) ∈ 0, Foν( m,1)
(
m m m Foν( ) ∈ Foν( ,1) , Foν( ,2)
)
(9.288)
) будем называть стартовым. Интервал
будем именовать релаксационным, поскольку второе
( m) пороговое значение − Foν( m,2) (и, соответственно, tν ,2 ) означает завершение m второго (релаксационного) периода, когда релаксационные поля U ( ) (η , t ) , ν ,1
со временем, станут меньше или равны 1% от своих убывающие начальных значений (т.е. начальных распределений температуры): m m Uν( ,1 ) η , tν( ,2) ≤ 0,01ϕν (η ) . В данном случае, как и в последующих, сравнение
(
)
функций осуществляем комбинированной CL − нормой, введенной (8.49).
(
)
Третий, квазистационарный интервал Foν( m ) ∈ Foν( m,2) , Foν( m,3) , пред-
m m полагается начинающимся при Foν( ) > Foν( ,2) и заканчивающимся третьим
пороговым значением Foν( m,3) , при котором решения отличаются от своих 179
стационарных значений менее или на 1%. Если последующий анализ m m покажет, что Foν( ,3) = Foν( ,2) или ненамного больше, будем полагать, что квазистационарный период практически совпадает с релаксационным, однако начальными для него, в зависимости от оценок граничных значений применения квазистационарных приближений решений - чисел
(
)
m m m m Foν( ,c) Foν( ,1) ≤ Foν( ,c) < Foν( ,2) будут не числа Foν( m,1) ,а Foν( m,c) .
(
)
В четвертый, финишный период, когда Foν( m ) ∈ Foν( m,3) , ∞ будем считать решения стационарными, поскольку они отличаются от последних более, чем на 1%. В настоящем §134 мы рассматриваем решения для больших времен, т.е. квазистационарные решения, однако решение этой задачи тесно связано с конкретизацией временной иерархии (т.е. установлением численных оценок для пороговых величин Foν( m,i ) ( i = 2,3, c ) . Необходимо также найти
)
m стационарные решения для всех областей - Uν( ,∞) (η ) . Пороговые значения
m Foν( ,1) уже установлены в предыдущем §133.
А. Релаксационный (второй) период
(
)
m m m Foν( ) ∈ Foν( ,1) , Foν( ,2) . Для
приближенных решений, пригодных для этого периода используются (как и всегда далее) структуры точных решений в различных представлениях (ПГФ, ПП, ОП), в которые подставляются приближенные функции Грина. Для m областей Ων( ) ( m = 1,3;ν = 0, k ) в качестве последних применимы структурные редукции точных функций Грина – первые члены бесконечных рядов, которыми они выражаются (см. табл.8.2) или приближенные (во втором приближении) функции Грина, ранее найденные (гл. 36). ( 2)
Для областей Ω0( ) и Ωk рационально использовать приближенные (по П.В. Цою.) функции Грина, но для цилиндрических тонких слоев возможно применение квазиконвективной функции Грина (см. §133). Для 2 функции G k( ) ( r , r ', t ) , в первом и втором приближениях, в §132 были найдены L − и C − невязки и было показано, что для толстых 2
( 2)
цилиндрических слоев (α k ≥ 2, 0 ) они не превышают 5% при Fok ≥ 0, 2 . При этом для C − невязок этот временной порог оказался ниже 2 Fok( ) = 0, 06 − 0,10. Отсюда следует, что использование упомянутых приближений функций Грина для нахождения решений в релаксационном периоде оправдано. Оценим величины Foν( 2,2) ,используя (9.62) и (9.75): 2 Uν( ,1)
m 2 ( m ) ( Fo ) . (9.289) ≤ ϕν C (η ) Wν( ) ( Fo ) , Uν( ,1) ≤ ϕ C (η ) Φ ν L(η ) C (η )
180
Комбинированная CL − норма согласно (8.49): m Uν( ,1 )
CL
−1 1 m m m = Uν( ,1 ) + Ων( ) Uν( ,1 ) . C (η ) L(η ) 2
(9.290)
Из (9.289) и (9.290) следует: m Uν( ,1 )
CL
1 ( m) ( m ) −1 ( m ) Wν ( Fo ) . ≤ ϕν C (η ) Φν ( Fo ) + Ων 2
(9.291)
(m) Искомые Fov ,2 должны удовлетворять неравенствам: m Uν( ,1 )
ϕν
CL C
(
)
(
)
1 (m) m ( m) ( m ) −1 ( m ) ≤ Φν Foν ,2 + Ων Wν Foν( ,2) ≤ 10−2 2
(9.292)
( m ) ( Fo ) и Wν( m ) ( Fo ) выражаются (см.§124) через Бинормы функций Грина Φ ν
(
)
ряды Ri ( Fo ) i = 1,9 , табулированные для Fo ∈ [ 0, 04, 2, 0 ] (табл.9.2 и 9.3). Используя формулы связи бинорм с рядами Ri ( Fo ) (§124), находим: (1) ( 2) (1) ( 2) ( 3) ( 3)
Fo0,2 = 2, 0; Fo0,2 = 1, 0; Fo0,2 = 0,5; Fok ,2 = Fok ,2 = Fo0,2 = 0,5. (9.293)
Эти оценки хорошо согласуются с вытекающими из графических представлений решений канонических задач [17,56]. Для областей – слоев m Ωk( ) они не зависят от m и α k = rk / rk −1. В. Квазистационарный период. В этот период целесообразно использование тех же приближений, что и в релаксационном периоде, но требуется уточнение пороговых значений Foν( m,c) , таких, что при m m Foν( ) ≥ Foν( ,c) возможна структурная редукция функций Грина – оставление в соответствующих рядах только первых членов. Требуется также оценить значения Foν( m,3) , пограничные между квазистационарным (третьим) и финишным (четвертым) периодами. Необходимо также найти стационарные решения. m Стационарные решения для областей Ωk( ) получим, положив в (8.108) и (8.109): ( m) (m) (m) (m) ( m) ( m)
M k ∞ = lim M k t →∞
(η , t ) = M k∞ (η ) , ϑk∞
= lim ϑk t →∞
m m fk ∞ = lim fk( ) (η , t ) = fk(∞ ) (η ) . t →∞
181
(η , t ) = ϑk∞ (η )
(9.294)
t
ϑk(∞m ) (η ) = lim dωk (η ') G k( m ) (η ,η ', t − τ ) fk (η ',τ ) dτ m t →∞ Ω (k )
(9.295)
0
Поскольку все функции Грина G k( ) (η ,η ', t )( m = 1, 2,3; ν = 0, k ) при t → ∞ обращаются в нули, все релаксационные компоненты полей в стационаре отсутствуют. Из (8.100), (8.114) следует: m
m m m m U k( ∞ ) (η ) = lim U k( ) (η , t ) = M k( ∞ ) (η ) + lim G k( ) (η ,η ', t ) * fk (η ', t ) t →∞
(t )
t →∞
m Ω( ) k
(9.296) С помощью известных соотношений операционного исчисления [32]: ∞
lim f ( t ) = lim pF ( p ) , t →∞
F ( p ) = e − pt f ( t ) dt ,
p →0
(9.297)
0
получаем: m m M k( ∞ ) = lim pM k( ) (η , p ) , p →0
m lim G k( ) (η ,η ', t ) * fk (η ', t )
m = lim p Gk( ) (η ,η ', p ) , f k (η ', p ) p →0
(t )
t →∞
(m)
Ω k
функции
Ω k
=
m = lim p Gk( ) (η ,η ', p ) , pf (η ', p ) p →0
m = Gk( ) (η ,η ', 0 ) , fk ∞ (η ' )
Стационарные
(m)
m M k( ∞ ) (η )
m Ω( ) k
являются
решениями
m Ω( ) k
=
(9.298) уравнения
m ∇ m2 M k( ∞ ) (η ) = 0, при выполнении граничных условий (при η = η − и η = η + ).
Функции fk ∞ (η ) считаем известными (как входные данные краевой задачи). ( m) Стационарные решения в областях Ωk следует из (9.296) после
) (m) подстановки в эту формулу M k( m ∞ (η ) и Gk (η ,η ', 0 ) . В §109 были m приведены граничные условия для M ( ) (η , t ) − (8.101). Решения k∞
записывались в виде (8.105), где функции – «переключатели» β k( m ) (η ) определялись (8.107). Из (9.297) и (8.105) следует:
(
)
m − + − m M k( ∞ ) = μk( ∞) + μk( ∞) − μk( ∞) β k( ) (η ) ,
182
x m = 1, , l k ln ( r / r ) ( m) k −1 β k (η ) = , m = 2, α k = rk / rk −1 , α ln k r r − r k −1 k , m = 3, Δrk = rk − rk −1. r Δrk Здесь
(9.299)
μk( −∞) = lim μ k( − ) ( t ) , μk( +∞) = lim μ k( + ) ( t ) , − стационарные значения t →∞
t →∞
граничных температур (функций). Для случая m = 1 из (9.297) и (9.219) получаем:
lk x ' x 1 − , 0 ≤ x < x ' ≤ lk α k lk lk 1 1 Gk( ) ( x, x ', 0 ) = lim Gk( ) ( x, x ', p ) = (9.300) p →0 l x x ' k 1− 0 ≤ x ' < x ≤ lk a l l k k k Из таблицы 8.2 следует, что при заменах
( x '/ lk ) → ρ ' = ( r '− rk + ) / Δrk следует: ( 3)
Gk
( x / lk ) → ρ = ( r − rk + ) / Δrk ,
Gk( ) ( x, x ' p ) ( r, r ' p ) = 4π rr ' 1
Это позволяет сразу записать:
Δrk 4π a rr ' (1 − ρ ') ρ , rk −1 ≤ r < r ' ≤ rk 3 3 k (9.301) Gk( ) ( ρ , ρ '0 ) = lim Gk( ) ( ρ , ρ ' p ) = p →0 Δrk (1 − ρ ) ρ ' r ≤ r ' < r ≤ r . k −1 k 4π ak rr ' В случае m = 2 ввиду сложности выражения для функции Грина, воспользуемся приближенным ее видом (в первом приближении) согласно табл.8.5. Имеем, преобразуя по Лапласу: −1
10ak 30 2 p+ Ψ1 ( r ) Ψ1 ( r ') , Gk( ) ( r , r ' p ) = 2 ( 2) Ωk ( Δrk ) 3 αk −1 2 Gk( ) ( r , r '0 ) = Ψ ( r ) Ψ1 ( r ') . π ak α k + 1 1 183
(9.302)
Здесь
Ψ1 ( r ) , Ψ1 ( r ' ) -
первые
координатные
приближения, Ψ1 ( r ) = Ψ1 ( ρ ) = (1 − ρ ) ρ , (9.298)-(9.302) получаем: (−) (+) ( −) ( m) (m)
)
(
U k ∞ (η ) = μ k ∞ + μ k ∞ − μ k ∞ β k
(η ) +
функции
галеркинского
ρ = ( r − rk −1 ) / Δrk . Из (9.296), m Gk( ) (η ,η ', 0 ) fk ∞ (η ')
m Ω( ) k
,
(9.303)
x ak x x x' 1 − + − U k( ∞) (η ) = μ k( ∞) + μ k( ∞) − μk( ∞) + 1 − fk ∞ ( x ') dx '+ lk lk 0 lk lk
(
)
l k
lk x x ' 1 − f k ∞ ( x ' ) dx ', ak x lk lk 2 − + − ln ( r / rk −1 ) U k( ∞) ( r ) = μ k( ∞) + μk( ∞) − μ k( ∞) + α ln k +
(
(9.304)
)
r
6 α −1 k + k r 'dr ' Ψ1 ( r ) Ψ1 ( r ' ) f k ∞ ( r ' ) , ak α k + 1 r k −1 3 − + − r r − rk −1 U k( ∞) ( r ) = μ k( ∞) + μ k( ∞) − μ k( ∞) k + r Δrk
(
(9.305)
)
(9.306)
Δrk 2 2 − + − ' ' 1 ρ ρ ' ' ' ' ρ 1 ρ ' ' r dr f r r dr f r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . k∞ k∞ ak r rk −1 r Чтобы избежать оценок «вилок» (для f = min и f = max ) и получить +
rk
r
k∞
k∞
конкретные результаты, в (9.304) – (9.306) положим fk ∞ (η ) = fk ∞ = const и вычислим все интегралы по штрихованным переменным. В итоге получим:
f k ∞ lk2 xx (1) ( −) (+) (−) x + − 1 U k ∞ ( x ) = μ k ∞ + μk ∞ − μ k ∞ , 2ak lk lk lk
(
)
(9.307)
2 ( 2) ( −) (+) ( − ) ln (1 + (α k − 1) ρ ) f k ∞ Δrk U k ∞ ( r ) = μ k ∞ + μk ∞ − μ k ∞ + (1 − ρ ) ρ , (9.308) ln α k 2ak
(
)
αk ρ 3 − + − U k( ∞) ( r ) = μ k( ∞) + μ k( ∞) − μ k( ∞) + + − α ρ 1 1 ( ) k αk +1 f k ∞ Δrk2 + (1 − ρ ) ρ 1 + . + − α ρ 6ak 1 1 ( ) k
(
184
)
(9.309)
Проверку стационарных решений (9.307) – (9.309) осуществляем двумя способами: 1) подстановкой в граничные условия; 2) проверкой правильности переходов решений при m = 2,3 в решение для m = 1 при вырождении (α k → 1) цилиндрического и сферического слоев в плоский. Первый способ легко реализуем и дает положительный результат. Второй способ осуществим отдельно для первого и второго слагаемых решений. Рассмотрим функцию – «переключатель» в (9.308). В пределе α k → 1 имеем неопределенность 0/0. Применение правила Лопиталя дает:
lim
ln (1 + (α k − 1) ρ ) ln α k
α →1 k
=
αk ρ lim = ρ. α →1 1 + (α k − 1) ρ k
(9.310)
Поскольку при вырождении цилиндрического слоя в плоский имеют место соответствия: r − rk −1 → x, Δrk → lk , ρ = ( r − rk −1 ) / Δrk → xk / lk , переход к (9.307) осуществлен. Аналогично убеждаемся в верности перехода второго слагаемого в (9.308) во второе слагаемое (9.307) и в верности переходов обоих слагаемых в (9.309) в их аналоги в (9.307). m Ων( ) ( m = 1, 2,3; ν = 0, + ) Стационарные поля в областях определим на основе ОП решений (9.8). Для центральных областей Ω0( m ) :
( m) U 02 (η , t ) = μ 0( + ) ( t ) − G 0( m ) * ∂t μ0( + ) (t )
( m)
(9.311)
.
(9.312)
Ω0
( m) Для сингулярных областей Ω+ : m − − m U +( 2 ) (η , t ) = μ +( ) ( t ) − G +( ) * ∂ t μ +( )
(t )
.
(m)
Ω+
( m) + Здесь: μ 0( ) ( t ) - заданная на поверхности области Ω0 (при x = l0 , r = r0 ) (−) m температура; μ + ( t ) − то же для области Ω+( ) ( x = 0, r = r0 ) . ( m) Источниковые поля в областях Ων (ν = 0, + ) даны (9.2): m m Uν( 3 ) (η , t ) = Gν( ) (η ,η ', t ) * fν (η ', t )
(t )
Эту
формулу,
с
учётом
(9.35),
m m Uν( 3 ) (η , t ) = Gν( ) (η ,η ', t ) * ∂ t Fν (η ', t )
(t )
можно
m Ων( )
представить
в
виде
t
m Ων( )
, Fν (η , t ) = fν (η , t ' ) dt ' 0
.(9.313)Источниковые и граничные поля, таким образом, в ОП имеют одинаковую структуру, что позволяет, найдя стационарное источниковое 185
поле, сразу же выписать выражение для стационарного граничного поля (или наоборот). Имеем из (9.297): m m m U +( 2∞) (η ) = lim U +( 2 ) (η , t ) = lim pU +( 2 ) (η , t ) = t →∞
p →0
m − − = lim pμ+( ) ( p ) − p G+( ) , p μ+( ) ( p ) p →0 − − (−) = μ∞( ) − lim pG+( ) , μ+∞ p →0
Аналогично: ( m )
m = Ω+( )
(9.314)
( ) . = μ+∞ −
m Ω+( )
+ m U 02,∞ (η ) = μ 0( ∞) , Uν( 3 ) (η ) = 0, m = 1, 2,3; ν = 0, +.
(9.315)
Таким образом, граничные стационарные поля для центральных и сингулярных областей обращаются в постоянные, равные стационарным значениям граничных функций. Стационарные источниковые поля обращаются в нули (при соблюдении условий Fν (η , ∞ ) ≤ M < ∞ или
fν ,∞ (η ) = fν (η , ∞ ) = 0). Полученные выражения для стационарных полей в областях ( m) Ων (ν = 0, + ) позволяют еще раз проверить их выражения для областей m m m m m Ωk( ) путем предельных переходов от Ωk( ) к Ω0( ) и от Ωk( ) к Ω+( ) . В
η− = 0,η+ = {l0 , при m = 1 и r0 при m = 2,3} , α k → ∞. Во втором условие α k → ∞ реализуется фиксацией η − = {0 при m = 1 и r0 при m = 2,3} и переходом η + → ∞ . Пожив в первом случае надо полагать и
(1) (+) (9.307) fk ∞ = 0, lk = l0 , x = l0 , получим U 0,∞ ( x ) = μ 0∞ , что совпадает с fk ∞ = 0 перейти к пределу при α k → ∞.. Здесь имеем неопределенность ∞ / ∞ , преодолеваемую по
(9.315). В (9.308) необходимо кроме Лопиталю, что дает:
ln 1 + (α k − 1) ρ αk ρ lim (9.316) = lim = 1. α k →∞ α →∞ + − ln α 1 α 1 ρ ( ) k k k ( 2) (+) В (9.309) аналогичные операции дают U ( r ) = μ , т.е. правильность всех 0∞
0∞
m выражений для стационарных полей в Ωk( ) подтверждается.
186
( m) ( m) Во втором случае проверяем правильнеость переходов Ωk → Ω+ . ( −) (1) Из (9.307) при lk → ∞ следует, что U +∞ = μ k ∞ , а из (9.308) при α k → ∞.
( 3) ( 2) ( −) следует, что ρ → 0 и U +∞ Для области Ωk из (9.309) следует, что ( r ) = μ +∞
β +( 3) ( r ) → 1 − r0 / r
при ( 3)
«переключатель» β +
α k → ∞ . Это связано с тем, что функция
(r )
получена именно для случая конечных Δrk . Если ( 3) ( 3) же взять выражения для β + ( r ) , получив (9.11) для областей Ω+ , то ( 3) ( −) находим, что U +∞ ( r ) = μ +∞ . Это обстоятельство связано с известным парадоксом «размерности» в математической физике [4], который попутно здесь устраняется. Возвращаясь к основной задаче данного параграфа – определению граничных значений Foν( m,3) (ограничивающих сверху квзистационарный ( m) ( m) период), оценим граничные поля при Foν = Foν ,2 − втором пороговом значении, «закрывающем» релаксационный период (ранее это было сделано только для релаксационных полей, что и позволило найти численные значения Foν( m,2) ). Используя соотношения §124 и (9.311), получаем:
( ) ε 02 (C ) = m
( m)
ε 02
(
( L) =
( m) ( +) U 02 − μ0
(+)
μ0
Ω0
(+)
μ0
( m ) ( Fo ) , ≤Φ 0
(9.317)
C(t )
( m) ( +) U 02 − μ0 ( m)
C (η )
L(η ) C(t )
≤
m W0( ) ( Fo )
( m)
Ω0
,
(9.318)
)
−1 1 (m) 1 (m) ε 02 ( C ) + ε 02 ( L ) ≤ Φ (0m ) ( Fo ) + Ω0( m ) W0( m ) ( Fo ) . (9.319) 2 2 По табулированным рядам (табл.9.2), подставляя в (9.319) соответствующие значения Foν( m2 ) (9.293), находим: (1) ε 02 ( CL ) ≤ 0,8%; ε 02( 2) ( CL ) ≤ 0, 2%; ε 02( 3) ( CL ) ≤ 0, 7%. (9.320)
(m) ε 02 ( CL ) =
( m) Для граничных полей в областях Ωk , аналогом неравенства (9.319) для ( m) центральных областей Ω0 будет:
187
)
(
1 (m) 1 ( m) m ( m ) −1 ( m ) ε k 2 ( C ) + ε k( 2 ) ( L ) ≤ Φ Fo Wk 2 ( Fo ) (9.321) + Ω ( ) k k 2 2 m) ( Используя табл. 9.2 и 9.3 для Fok 2 = 0,5 (согласно (9.293) для m = 1, 2,3 ),
ε k( 2) ( CL ) = 1
получим (1)
ε k 2 ( CL ) ≤ 3,56%; ε k( 2) ( CL ) ≤ 0,52%; ε k( 2) ( CL ) ≤ 3,54%. 2
3
(9.322)
( 2) ( 3) В оценках для областей Ωk и Ωk принято, что α k = 3, 0 (что соответствует слоям средней существенно не изменяются).
толщины;
при
росте
αk
результаты
( m) Из (9.320) следует, что в центральных областях Ω0 граничные поля приближаются к своим стационарным значениям быстрее, чем элиминируются релаксирующие поля, т.е. что верхнее пороговое значение ( m ) меньше такового для релаксирующшего квазистационарного периода
Fo03
периода, т.е. имеет место ситуация, на возможность которой указывалось в начале параграфа. Можно принять, с некоторым запасом, что ( m) ( m) Fo03 = Fo02 = 2, 0 при m = 1;1, 0 при m = 2 и 0,5 при m = 3 ( 2) Из (9.322) следует, что для области Ωk это остается в силе, а для 1 3 областей и Ωk( ) Ωk( ) , у которых ε k( m2 ) ( CL ) 3,5% ( m = 1,3) квазистационарный период оканчивается после релаксационного, т.е. m m m Fok( 3 ) > Fok( 2 ) = 0,5 . Для выполнения условий ε k( 2 ) ( CL ) ≤ 1% ( m = 1,3) требуется дополнительное время, которое было найдено аналогичным предыдущему случаю способом и оказалось равным ΔFk(3m ) = 0,3 . Таким m ( m) образом, по критерию ε k( 2 ) ( CL ) ≤ 1% , получено значение Fok 3 = 0,8. (1) В целом же, граничные поля во всех областях, кроме Ω0 для значений m Fo( ) ≥ 1, 0 можно считать стационарными и описывать их полученными выше формулами. ( m) (m) m Источниковые поля при Fo( ) = Foν 2 в центральных областях Ω0 рассматриваются аналогично граничным, с учетом несколько иного вида относительных невязок: ( m) U 03 C (η ) ( m) ( m) (9.323)
ε 03 ( C ) =
F0
≤ Φ0
C (η )
188
C(t )
( Fo ) ,
( m)
ε 03
( L) =
( m) U 03 m Ω0( )
F0
L(η ) C (η )
≤ C(t )
m W0( ) ( Fo )
( m)
Ω0
.
(9.234)
Здесь F0 (η , t ) определена (9.313). Для комбинированной нормы: ( m)
ε 03
)
(
1 ( m) 1 (m) (m) ( m ) −1 ( m ) ( CL ) = ε 03 ( C ) + ε 03 ( L ) ≤ Φ 0 ( Fo ) + Ω0 W0 ( Fo ) 2 2
(9.325) Поскольку правые части неравенств совпадают, все результаты, полученные для граничных полей, остаются в силе и для источниковых полей. ( m) Для источниковых полей в областях – слоях Ωk три последних неравенства, после замены индекса «0» на индекс «к», остаются в силе, а с ними сохраняются и полученные результаты.
§135. Параметрические асимптотики
Параметрами в краевых задачах теплопроводности в областях Ων( m) являются: 1) размер области, т.е.величины при Δη ( Δη = l0, lk
m = 1, Δη = r0, Δrk при m = 2,3) ; 2) удельная объемная теплоемкость Cν среды в данной области; 3)коэффициент теплоемкости среды −λ . Два последних параметра в функциях Грина Gν( m ) (η ,η ', t ) и в решениях Uν( m ) (η , t ) образуют комбинацию a = λ / Cν − коэффициент температуропроводности. Рассмотрим особенности функций Грина (а, следовательно, и особенности решений), обусловленные асимптотическим (экстремальным) поведением параметров Δη и a , когда они принимают значения, намного меньше или больше некоторых характерных «средних» значений Δη и a : . Δη << Δη , Δη >> Δη ; a << a a >> a (9.326) Значения Δη и a в (9.236) будем называть аномальными, а значения Δη и a − нормальными значениями параметров. ( m) ( m) А. Аномальные Δη . В случае Δη << Δη , в областях Ω0 и Ωk 2 (m) значения чисел Foν = aν t / ( Δη ) даже при малых t могут оказаться настолько большими, что возможно применение для них приближений больших времен (квазистационарных и стационарных решений). Аналогично будут вести себя решения при Δη = Δη , , но a >> a . Таким образом, влияния m на величины Fo( ) аномально малых Δη и аномально больших a
ν
качественно совпадают (хотя количественно могут оказаться различными, m т.к. Δη входит в Fo( ) квадратично). ν
189
Для областей Ωk( ) и Ωk( ) , при достаточно больших rk −1 и rk , условие Δη << Δη соответствует случаю α k → 1 , что позволяет использовать все, связанные с этим пределом приближения (размерностные, сингулярные и структурные редукции функций Грина). В случае Δη >> Δη облегчается построение асимптотик малых времен, т.к. при всех видах редукций функций Грина случаю α k − 1 << 1 соответствуют достаточно «толстые» пограничные слои, выделяемые в m областях Ω (0m ) и Ω (km)( m = 2,3) . Возрастет число Foν( 1 ) , т.е. приближение малых времен становится приемлемым и для достаточно больших значений физического времени t . Сингулярные области имеют, по определению, Δη = ∞ , поэтому здесь возможны «обратные» редукции (к конечным областям для малых времен). Случай Δη Δη качественно эквивалентен (по влиянию на величину 2
3
m Foν( ) ) случаю Δη = Δη , но a << a . В. Аномальное a . Поскольку a = λ / Cν , случай a << a реализуется
следующими
вариантами:
1)λ << λ ,
3)λ λ , Cν Cν .
2) λ = λ , Cν >> Cν ;
Cν = Cν ;
Третий вариант лишь усиливает первый количественно, поэтому его не рассматриваем. Аномальное поведение λ и Cν допускает различные физические интерпретации, однако для наших целей достаточно рассмотреть интегральный случай − a << a . При a >> a такая же (с изменением знаков неравенств) картина; ограничиваемая анализом самой ситуации a >> a (не интересуясь поведением λ и Cν ). Пусть в некоторой нормальной области
m Ων( )
функция Грина
( )
2 m Gν( ) (η ,η ', t ) зависит от Foν( m ) = Foν( m ) = atν( m ) / Δη . В §133 для первого
порогового значения Foν( 1 ) были получены значения от 0,06 до 0,19 (в m разных случаях). Примем среднее значение Foν( 1 ) = 0,125 . Для второго (m) 1 2 порогового значения Foν 2 найдены значения 2,0 (для Ω (0 ) ), 1,0 (для Ω0( ) ), ( 3) (1) ( m ) 0,5 (для Ω0 , Ωk , Ωk , m = 2, 3 ) . Третье пороговое значение Foν( m3 ) для m
( 2) ( m) ( m) центральных областей Ω0 и для Ω k совпадает с Foν 2 , а для областей (1) ( 3) 1 Ωk( ) и Ωk равно 0,8. Таким образом, для всех областей, кроме Ω0 , релаксационный (и совпадающий с ним квазистационарный) режим ( m) (m) завершается, переходя в стационарный, при Foν 2 = Foν 3 = 1, 0.
190
ˆ ( m ) (значком « ∧ » над величиной будем Для аномальных областей Ω ν обозначать ее аномальность) имеет место та же временная иерархия: первый ˆ ( m ) ∈ ( 0;0,125] ; второй (квазистационарный) (стартовый) период − Fo ν ˆ ( m ) > 1, 0. ˆ ( m ) ∈ ( 0,125;1, 0] ; − Fo третий (финишный) Здесь − Fo ν ν 2 (1) ˆ ( m ) = at ˆ ˆ . При aˆ << a имеем: aˆ = ξ a a , где ξ a(1) ∈ 10−2 ;10−1 , при Fo Δ η / ν 2 2 aˆ a : aˆ = ξ a( ) a , где ξ a( ) ∈ [10;100] .
( )
В первом случае ( aˆ >> a ) имеем: ˆν(1m ) a tν (1m ) ˆ a t m ( ) ( m) ˆ = = Fo Fo ν 1 = 0,125 = ν 1` ; 2 2
( Δη ) ( Δη )
( )
a m m 1 tˆν(1 ) = tˆν(1 ) = ξ a( ) aˆ
−1
(9.327)
m m tν (1 ) = (10 ÷100 ) tν( 1 ) .
Следовательно, при равенстве чисел Фурье, аномальное физическое время в 10-100 раз больше нормального, а решения для малых времен пригодны для таких его значений, которые на порядок – два превышают соответствующие времена в нормальных областях. Второе пороговое физическое время tν(2m ) (соответствующее Foν( m2 ) = 1,0
) для нормальной области выражается через нормальные параметры: 2 2 m m tν (2 ) = Foν( 2 ) Δη / a = Δη / a . Из (9.327) следует:
( )
m tˆν(1 ) = 0,125
( )
( ) Δη
(1)
2
ξa a
=
0,125 ( m ) ( m) 1, 25 12,5 t ÷ t = ( ) ν ν 2 2 , 1 ()
ξa
(9.328)
т.е. первое пороговое время в аномальной области равно или на порядок превышает второе пороговое время в нормальной области. Второе же пороговое время в аномальной области tν( m2 ) будет в 1/0,125 = 8 раз больше: m m m tˆν( 2 ) = 8tν (1 ) = (10 ÷100 ) tν (2 ) . (9.329) Во втором случае ( aˆ >> a ) аналогично имеем: ˆν(1m ) a tν (1m ) ˆ a t m m ( ) ˆ Fo = = Foν( 1`) ; ν 1 = 0,125 = 2 2 Δη Δη
( ) ( )
( )
a m m 1 tˆν(1 ) = tν (1 ) = ξ a( ) aˆ
−1
m m tν (1 ) = ( 0, 01 ÷ 0,1) tν (1 ) ,
191
(9.330)
т.е. первое пороговое время для аномальной области на один – два порядка меньше такового для нормальной области. Аналог (9.328): m tˆν(1 ) = 0,125
( Δη )
2
( 2)a
ξa
=
0,125 ( m ) ( m) = ÷ 0,125 0, 01 0,1 t t ( ) 2 2 , ν ν 2 ( )
ξa
(9.331)
т.е. первое пороговое время в аномальной области на два-три порядка меньше второго порогового в нормальной области. Аналог (9.329): m m m tˆν( 2 ) = 8tˆν(1 ) = ( 0, 08 ÷ 0,8 ) tν (1 ) , (9.332) что означает, что стационарный режим в аномальной области наступает через промежуток времени, равный или на порядок меньший, чем первый период в нормальной области. С. Редукция для аномально больших a , как ясно из изложенного, эквивалентны редукциям для нормальных a по при достаточно больших t . Эти квазистационарные приближения целесообразно осуществлять структурными редукциями – переходом к приближениям функций Грина, содержащим лишь первый член бесконечного ряда, которым выражаются точные функции Грина всякой конечной области. В §133, для случая малых времен такая редукция была осуществлена для функции Грина G k(1) ( x, x ', t ) , представленной в виде (9.283). Рассмотрим стандартные представления функций Грина конечных областей (табл.8.2). Они имеют вид рядов, члены которых – релаксирующие моды, содержащие «временные амплитуды» Eˆ n ( Fo ) следующих видов: - для областей Ω (k1), Ω (03), Ω (k3):
(
)
2 Eˆ n ( Fo ) = exp −n 2π 2 Fo , Fo = at / ( Δη ) , n = 1, 2,
(9.333)
(1) - для области Ω0 (см. (9.13)): 2 Eˆ n ( Fo ) = exp − ( n − 0,5 ) π 2 Fo , Fo = at / l02 , n = 1, 2,
( 2) ( 2) -для областей Ω0 и Ωk :
(
(9.334)
)
at 2 2 Eˆ n ( Fo ) = exp − χ n2ν rν2−1Foν( ) , ν = 0, k ; r−1 = r0 , Foν( ) = 2 . (9.335) rν −1 2
В (9.335) входят характеристические числа μ n 0 = χ n 0 r0 (область Ω0( 2) ) и μ n 0 = χ nk rk −1 (область Ωk( 2) ), которые были вычислены нами для n = 1,10 . Первые 5 значений этих чисел с точностью до 10-4 совпали с ранее найденными [17]. Поскольку условием редукции - сохранения лишь первого члена ряда, является требование Eˆ 2 / Eˆ1 < 10−2 , нам понадобятся только два
192
( 2) первых характеристических числа (точнее – их квадраты). Для области Ω0 2
2 μ 20 = 30, 472.
имеем: μ10 = 5, 783,
( 2) ( 2) 2 Для области Ωk необходим переход от Fok = at / rk −1 к «нормали ( 2 ) = at / ( Δr )2 . Очевидно, что при этом зованному» числу Фурье − Fo k k Eˆ ( Fo ) в (9.335) примет вид: n
(
)
)
(
( 2 ) = exp − μ 2 Fo ( 2) , Eˆ n Fo nk k k
μ nk = μnk (α k − 1) .
(9.336)
По найденным нами (совпадающими с приведенными в [17]) первым 2
значением μ1k , μ 2 k были рассчитаны, для ряда значений α k , величины μ nk . Таблица 9.13 2
Первые два значения величины μ nk
αk
1,2
1,5
2,0
3,0
4,0
μ1k2
9,86
9,82
9,75
9,59
9,44
2 μ 2k
39,47
39,4
39,36 39,16
39,0 2
Из таблицы (9.13) видно, что с ростом α k величины μ nk меняются ( m) незначительно, что позволяет взять для оценки пороговых значений Foν c ( m) (стартовые значения Foν для квазистационарного периода и соответствующего приближения функций Грина), любое α k . Задаваясь значением Eˆ / Eˆ = 0,995 ⋅10−2 ( < 1% ) , по таблицам [109] 2
1
m легко определяем величины Foν( c ) для всех областей. В итоге получено, что 1 3 2 3 m для областей Ωk( ) , Ω0( ) , Ωk( ) , Ωk( ) − Foν( c ) 0,16; для области 1 2 (1) 2 Ω( ) − Fo( ) 0,19; для области Ω − Fo( ) = 0, 24 . 0
νc
νc
0
Таким образом, начальные пороговые значения для квзистационарных m приближений − Fo( ) оказываются больше первого порогового значения (для νc
малых времен; максимальные Foν( 1 ) = 0,19 ), однако всё же достаточно невелики. Настоящий п. С данного параграфа важен не только для случая аномального aˆ >> a , но и для всех случаев приближений больших времен в нормальных областях, поскольку критерии сформулированы в безразмерных временах. m
193
ЗАКЛЮЧЕНИЕ - I В ЧАСТИ 8 содержатся главы 33÷36. В главе 33 «Области, функции»: операции:
( )
m 1. Перечислены рассматриваемые области – центральные Ω0( ) , области
– слои
( Ω( ) ) , m
k
внешние области
( Ω( ) ) ( m = 1, 2,3; k = 1, 2) m +
и
приведены их характеристические функции (§102). 2. Охарактеризован класс простейших обобщенных функций, определены операции с ними, введены слоевые δ − функции (зависящие от параметра « m ») и получены представления их в виде бесконечных рядов (для конечных областей) и в интегральном виде (для сингулярных областей) (§103). 3. Определены кусочно-монотонные функции и выделен класс квазифинитных функций, для аппроксимации которых предложены функции двух видов – степенные и экспоненциальные (§104).
2
4. Определены операции свёртки и усреднения функций, оператор ∇ и интегральные операторы, в операторном виде приведены уравнения Фурье и Фурье-Кирхгофа (§105). 5. Для оценки невязок «точных» и аппроксимирующих их функций введены L1 (ω ) и C (ω ) − нормы ( ω − область определения функций). Предложены комбинированная норма CL1 и оптимальная аппроксимация. Для последней, при использовании степенной и экспоненциальной аппроксимаций, получены формулы для параметров ( m и β соответственно). 6. Предложены методы построения кусочно-постоянной (ступенчатыми функциями) и кусочно-линейных аппроксимаций (§106). В глава 34 «Постановки задач и структуры решений»: 7. Определены классические и обобщенные постановки задач, продемонстрирован способ перехода от первой ко второй, приведена обобщенная формулировка краевой задачи линейной теплопроводности в области Ω( m) (§107).
(k )
8. Предложена биобобщенная формулировка краевых задач и получены биобобщенные уравнения теплопроводности для всех видов областей (§108). 9. Предложен термин «представление граничных функций» для структуры решения обобщенного уравнения теплопроводности методом функций Грина. Получены структуры решений для всех областей (областей – слоёв) (§109). 10. Предложен термин «представление потенциала» для структур решений биобобщенных уравнений методом функций Грина. 194
Получены структуры решений для всех областей (центральных и сингулярных) (§110). 11.Показана эквивалентность двух представлений решений для областей
( )
( m ) и выражений для плотностей тепловых потоков, следующих из Ωk
этих представлений (§111). В Главе 35 «Точные функции Грина»: 12. Предложен унифицированный метод вычисления функций Грина для внутренних и внешних областей по соответствующим δ − функциям. Получена функция Грина для уравнения Фурье-Кирхгофа (§112). 13. Получены точные выражения для функций Грина внутренних
(
)
областей Ω( m ) , Ω( m ) (§113). 0 k
14. Получены точные выражения для функций Грина внешних областей (i ) m Ω+( ) и для задач Коши (области R , i = 1, 2, 3 ) (§114).
( )
15. Получены соотношения, выражающие свойства точных функций Грина: предельные переходы, симметрии, экстремумы. Введено понятие сингулярного свойства функции Грина (§115). В Главе 36 «Приближенные функции Грина»: 16. Предложен метод вычисления приближенных функций Грина. Получено общее выражение для n − го приближения и формулы расчёта числовых коэффициентов (§116). 17. Получены выражения для функций Грина в первом приближении для всех конечных областей и соответствующие числовые коэффициенты (§117). 18. Получены выражения для функций Грина во втором приближении и числовых коэффициентов (§118). 19. Получены выражения, характеризующие свойства приближенных функций Грина: предельные переходы от функций Грина для цилиндрический и сферических слоёв к таковым для плоских слоёв; переходы областей – слоёв к центральным слоям; сингулярное свойство (§119). В ЧАСТИ 9 содержатся главы 37÷39 В Главе 37 «Основные свойства»: 20. Предложена классификация основных свойств решений краевых задач. Даны определения обобщенной корректности краевых задач и устойчивости оценок зон влияния (§120). 21. Получены дифференциальные и интегральные соотношения для орешений. Введены компоненты решения: релаксирующие, граничные и источниковые поля (§121). 22. Введено понятие физической корректности решений на основе методологических принципов прикладной математики (математической физики).
195
23. Введено понятие «входных данных задачи в широком смысле» Найдены L1 и C − нормы для компонент решения (§122). 24. Получены оценки решений и их невязок в нормах L1 и C для всех рассматриваемых областей. Введено понятие бинорм функций Грина (§123). 25. Введены понятия об изохронных и релаксирующих оценок, которые (i ) (m) получены для общей R и Для бинорм Ω+ ( m ) t , V ( m ) t , Φ ( m ) t ν = 0, k получены выражения в виде Wν ( ) ν ( ) ν ( )( ) бесконечных рядов экспонент. Члены этих рядов вычислены (§124). 26.Предложены методология анализа и классификация случаев локализации решений. Введены понятия априорных (размерностных и аналоговых) и апостериорных оценок локализации, а также относительных и абсолютных оценок (§125). 27. Выполнен анализ локализации решений для 12-ти «канонических» моделей, получены формулы для размеров зон локализации (§126). В Главе 38 «Обобщенная корректность моделей»: 28. Дано определение обобщенной корректности моделей. Вариации входных данных краевых задач и решений определены посредством L1 и C − норм. Использованы бинормы функций Грина. Получены абсолютные и относительные вариации решений при вариации входных данных всех видов во всех областях (§127). 29. Для
центральных
областей
( m) Ω0
исследована
(
устойчивость
)
релаксирующих полей. Найдены первое Fo1 и второе ( Fo2 ) пороговые значения числа Фурье, при которых, соответственно, относительная вариация решения в С- норме меньше или равна 1,0 и меньше или равна 0,01. Исследована устойчивость всех компонент решений по отношению к вариациям теплофизических параметров и размеров области (§128). ( m ) исследована устойчивость решений по 30. Для областей – слоёв Ωk отношению ко всем видам вариаций входных данных (§129). 31. Аналогично тому, как это было сделано в §§ 128,129, исследована ( m) (i ) устойчивость решений для областей Ω+ и R (§130). В Главе 39 «Сравнение решений»: 32. Показаны: эквивалентность краевых задач с граничными условиями первого, второго и третьего ряда для всех рассматриваемых областей; эквивалентность граничных и источниковых полей; приближенная эквивалентность краевых задач для уравнений Фурье в областях
196
( 2) Ωk
( 3) Ωk краевым задачам для уравнений Фурье – Кирхгофа в областях (1) Ωk (§131). 33. Вычислены характерные значения чисел Fo , при которых начинает и
выполняться условие менее чем на 5%-го отличия приближенных решений от точных по критериям ε L1 и ε C (относительные
( )
( )
вариации по нормам L1 и C соответственно) для цилиндрических слоёв; для канонических задач (термического скачка на границах ( m) областей Ω+ ) осуществлена аппроксимация аналитических решений степенной и экспоненциальной функциями; для случая m = 1 найдены параметры аппроксимаций ( m = 0, 392, β = 3, 551) (§132). 34. Получены приближения «малых времён» и найдены соответствующие пороговые значения чисел Fo , для которых эти приближения корректны (§133). 35. Установлена иерархия пороговых времён процессов
( m ) m = 1, 2,3;ν = 0, k . .Первое ( )
теплопроводности в областях Ων
( m ) определено, как завершающее период
пороговое значение − Foν ,1
пригодности
приближения
( ) ( ) ( ) ( ) Fo ∈ ( Fo , Fo ) m (m) Foν( ) ∈ 0, Foν ,1 m ν ,2
m ν ,1
m ν ,2
малых
времён,
а
«стартовым».
назван
интервал Интервал
назван релаксационным, т.к. при втором
(m)
пороговом времени Foν ,2 релаксирующее поле не превышает 1% своей первоначальной величины (в норме CL1 ). Интервал
(
)
m ( m) (m) Foν( ) ∈ Foν ,2 , Foν ,3 − квазистационарный
третьем
порогоаом
значении
( m) Foν ,3
, поскольку при
решение
отличается
от
стационарного менее или на 1%. Найдены все стационарные решения
( m)
(
)
и вычислены все пороговые значения Foν ,1 i = 1,3 (§134). 36. Рассмотрены параметрические асимптотики – случаи экстремального поведения теплофизических и геометрических параметров (§135). Полученные в РАЗДЕЛЕ I результаты далее используются при построении математических моделей и решении краевых задач в РАЗДЕЛАХ П и III. Работы, использованные при написании РАЗДЕЛА I, приведены в Приложении 3. 197
Это может показаться парадоксальным, но вся наука подчинена идее аппроксимации. Б.Рассел Успехи прикладного анализа последних десятилетий в основном связаны с возможностями дальнейшей алгебраизации аналитических структур. А.Б.Бартман
Р А З Д Е Л II РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
198
ЧАСТЬ 10 МОДЕЛИ СЛОИСТЫХ СИСТЕМ Глава 40. МЕТОД ФУНКЦИЙ СКЛЕЙКИ §136. Слоистые системы и модели Обзор слоистых моделей процессов переноса по публикациям прошлого века до 80- годов был нами осуществлен в [33]. На основе его слоистые модели переноса (или модели переноса в слоистых системах) классифицировались по следующим признакам: - по природе процесса переноса ( теплопроводность, диффузия, фильтрация); - по числу слоев в системе: двухслойные, трехслойные, многослойные; - по форме слоев: системы с плоскими, цилиндрическими, сферическими слоями; - по наличию и виду функций начального распределения и плотностей источников (стоков): однородные (нулевые или постоянные) функции, неоднородные функции (произвольные функции координаты и произвольные функции координаты и времени); - по числу эффектов, (ординарные и неординарные модели); - по размерности полей в слоистых системах: одномерные и неодномерные; - по линейности или нелинейности моделей; - по виду условий сопряжения полей на границах слоев: условия IV – го рода и другие; - по виду внешних граничных условий: I-го и II-го и Ш- го родов; - по наличию (или отсутствию) нестационарного поведения систем: изменения со временем теплофизических параметров и (или) размеров слоев; - по методам решения краевых задач: аналитические, численные, смешанные; - по типам решаемых проблем: прямые задачи и обратные. Обзор работ за последние четверть века по переносу в слоистых системах был осуществлен в Гл.1 [40, §§20, 35, 52, §92]. Наряду с работами общетеплофизического характера были подробно рассмотрены модели этого класса в горной теплофизике. Обзор подтвердил достаточность ранее осуществленной классификации, выявил два вида основных горнотеплофизических слоистых систем – эндогенные и экзогенные. Первые – природные системы осадочной толщи горных пород (слои плоские, сферические); вторые – техногенного происхождения (возникающие при строительстве и эксплуатации подземных сооружений). Эти системы могут содержать плоские, цилиндрические, сферические слои или быть непрерывно – неоднородными (при плавном изменении теплофизпараметров с координатой). 199
Краткие выводы из указанных обзоров [33, 40]: - в парадигмах моделирования процессов переноса в теплофизике и в горной теплофизике слабо представлены модели с произвольно зависящими от координат и времени входными данными; - отсутствуют усложненные модели, учитывающие наряду с теплопроводностью (диффузией) конвективный перенос и конверсию (линейное по полю поглощение тепла или массы) в слоях; - используемые методы аналитического решения (преобразование Лапласа по времени, конечные интегральные преобразования на пространственной координате, метод клеточных функций Грина и др.) ведут к крайне громоздким, практически бесполезным формулам; - приближенные методы, как правило слабо обоснованы, а численные дают информацию узкого характера; - методы моделирования, доступные инженерам и экспериментаторам, сочетающие относительную простоту с математической строгостью, отсутствуют. На основе этих выводов в [33, 113÷116] , был предложен и реализован для плоских слоистых систем метод функций склейки, свободный от указанных недостатков. В последующем этот метод был модифицирован и обобщен на цилиндрические и сферические слоистые системы [1, 34, 117÷122]. Здесь он излагается в новой трактовке, включающей: − обобщенную и биобобщенную постановку краевых задач при произвольных входных функциях; − нахождение решений в каждом из слоев в представлении потенциала; − вывод уравнений склейки одновременно для всех видов слоев; − решение слоистых задач в общем виде и для различных видов слоёв; − построение слоистых моделей с конвекцией и конверсией; − разработку приближенных методов решения задач. Метод является аналитико – числовым, базируется на математических основах, изложенных в разделе I настоящего тома 2. Для общности (и краткости) анализа слоистых моделей для плоских ( m = 1) , цилиндрических ( m = 2 ) и сферических ( m = 3) систем, введем следующие обозначения.
m Двухслойные системы из слоев Ωk( ) ( m = 1, 2,3; k = 1, 2,) будем обозначать,
при внешних граничных условиях i − го рода ( i = 1, 2,3 ) −
{Ω( ) , Ω( )} . m
i
1
m
2
i
Двухслойные системы, содержащие центральную область Ω0( m ) , обозначаем 2
{Ω ( ), Ω ( )} . При замене конечного слоя Ω m 0
m 1
i
( m) (слой) Ω+ имеем систему
{Ω( ) , Ω( )} . m
2
0
200
+
m
i
(m) 1
на сингулярную область
Систему, составленную из
{
сингулярных слоев − Ω+(11) , Ω+(12)
}
{Ω( ) , Ω( )} , m
конечного и сингулярного слоёв, обозначаем i
1
+
m
а для двух
(для m = 2,3 таких систем нет). Таким
образом, имеем пять различных базисных двухслойных систем (далее – слоистых модулей СМ) при m = 1 и по четыре – для m = 2 и m = 3. Таким же будет число и трехслойных СМ и N − слойных Ω1( m ) , Ω2( m ) , ΩN( m ) . i i Таким образом всего имеем 39 СМ. Слои, в которых имеют место процессы конвекции и конверсии (т.е. поля описываются уравнением типа Фурье – Кирхгофа) обозначаем Ω0,( mc ) , Ωk( ,mc ) , Ω+( m,c ) .
{
}
Слоистые системы с плоскими слоями ( m = 1) изображены на рисунке 10.1, а с цилиндрическими и сферическими слоями – на рисунке 10.2. На этих (+) ( −) рисунках обозначены функции склейки μ k ( t ) = μ k +1 ( t ) − значения
полевых величин (далее – температур) на границе между слоями. Для m = 1 системы координат локальные (своя в каждом слое), а для m = 2,3 − общие, (1) так что Ωk = x = xk ∈ ( 0, lk ) , k = 1, 2, и Ωk( m ) = {r ∈ ( rk −1 , rk ) ; m = 2,3} .На рис.10.1 и рис.10.2 изображены системы с произвольным числом слоев; при решении конкретных задач это число ограничивается (см.§140).
{
}
Рис. 10.1 Система N плоских слоёв.
Рис. 10.2 Системы N сферических и цилиндрических слоёв.
{
}
Рассмотрим N − слойную систему Ω0( m ) , Ω1( m ) , , ΩN( m−)2 , Ω+( m ) . Система уравнений теплопроводности для неё, в биобобщенной постановке (§108):
201
m m η , t + Φ ∂ tUν( ) (η , t ) = aν ∇ 2mUν( ) (η , t ) + Ψ ) ν( m ) (η , t ) , ν (
(10.1)
ν = 0, k , +; m = 1, 2,3. Ψ ν (η , t ) = ϕν (η ) δ + ( t ) + fν (η , t ) , ( m ) η , t = −a μ ( − ) t δ ׀η − η − μ ( + ) t δ ׀η − η . Φ ) ν ( ν ν ( ) +( −) ν ( ) −( + )
(10.2)
В (10.1) второе и третье слагаемые правой части – обобщенный источник, в
котором: Ψ ν
(η ,t )
описывает начальную температуру ϕν (η ) и функцию ( m ) η , t плотности источников тепла fν (η , t ) , а Φ ) содержит функции ν ( ( −) (+) склейки μν ( t ) и μν ( t ) − соответственно температуры на левой
(η = η− )
и правой
(η = η+ )
m границах слоя Ων( ) = {η ∈ (η− , η+ )} ( при
m = 1, η − = 0, η + = lν , при m = 2,3, η − = rν −1 , η + = rν ).
Решения уравнений (10.1) в представлении потенциала (§110) имеют, при ν = k , вид: m m (η ', t ) U k( ) (η , t ) = G k( ) (η ,η ', t ) * Ψ k
(t )
( m)
Ω
( m)
∂η '
k
(−)
* μk
η '=η−
(t )
−
∂G kη +m−1 k −2π ma
∂η '
( m)
∂G kη −m−1 k + 2π ma
( 2π )−1 , m = 1, , m = m = 2,3. m − 1,
(+)
* μk
η '=η+
(t )
(10.3)
При ν = 0 имеем: m m U 0( ) (η , t ) = G 0( ) * Ψ 0
(t )
Ω0
а при ν = + получаем: m m U +( ) (η , t ) = G +( ) * Ψ +
(t )
(m)
m Ω( )
(m) m −1 ∂G+ − 2π m a0 η0 ∂η '
( m) m −1 ∂G+ +η0 + 2π ma ∂η '
+
* μ0
η '=η0
(t )
(−)
* μ+
η '=η0
(+)
(t )
( t ) , (10.4)
( t ) . (10.5)
202
Заметим, что (10.4) можно получить из (10.3), для чего надо положить: k = 0, η + = η0 и учесть, что ∂G0( m ) / ∂η ' = 0 при η ' = η − = 0 . Выражение (10.5)
)
(
также следует из (10.3) при k = +, η − = η 0 , η + → ∞
η ' → ∞ ).
((∂G ( ) / ∂η ') → 0 при m +
Поскольку (10.3) ÷ (10.5) определяют поля во всех СМ через входные (+) ( −) данные, функции Грина (Гл.35) и функции склейки μν ( t ) = μν −1 ( t ) и + μν( + ) ( t ) = μν( +1) ( t ) , задача исчерпывается определением последних. Метод функций склейки, далее излагаемый, позволяет находить их для всех СМ. Для этого на основе (10.3)÷(10.5) выводятся уравнения склейки – (+) интегральные уравнения типа свертки относительно μν ( t ) , которые затем алгебраизуются преобразованием Лапласа по t , что приводит к системе (+) алгебраических уравнений относительно Лаплас - трансформант μν ( p ) . Эти системы уравнений (которые также называют уравнениями склейки) могут, для широкого класса слоистых моделей, рассматриваться как «стартовые» при решении различных прикладных задач, существенно снижая их трудоемкость.
§137. Уравнения склейки Общие уравнения склейки получим, используя граничные условия IV-го рода – непрерывности полей температур и плотностей тепловых ( m) ( m) потоков на границах между слоями Ων и Ων +1 :
( +)
μν
m ∂Uν( ) ( t ) = μν +1 ( t ) , qν ,m (t ) = −λν ∂η ( −)
m ∂Uν( +1) = qν +1,m (t ) = −λν +1 ∂η ( −)
(+)
η =η+
η =η−
(10.6)
Выражения (9.25) и (9.26) записываем в виде: + + qν( ,m) (t ) = −λν gν( ,m) * Ψ ν
(t )
m Ων( )
ν λν η−m−1hν( +,m,− ) * μν( − ) − − 2π ma (t )
+ ,+ + − η+m−1hν( ,m ) * μν( ) , (t ) (10.7)
203
− − qν( +)1,m (t ) = −λν gν( +)1,m * Ψ ν +1
(t )
m Ω( )
ν +1
,− ) (−) ν +1 λν +1 η−m−1hν( −+1, − 2π ma * μ ν +1 − m t ( )
−,+ + − η+m−1hν( +1,m) * μν( +)1 , (t ) (10.8) где обозначены: m ∂Gν( ) gν ,m (η ', t ) = ∂η 2 ( m) h ( +,− ) (t ) = ∂ Gν ν ,m ∂η ∂η '
2 ( m) h ( −,− ) (t ) = ∂ Gν +1 ν +1, m ∂η ∂η '
m ∂Gν( +1) , gν +1, m (η ', t ) = ∂η
( −)
(+)
η =η+
η =η+ η '=η−
η =η− η '=η−
m ∂ 2Gν( ) ( + ,+ ) , hν , m (t ) = ∂η ∂η '
, η =η−
η =η+ η '=η+
m ∂ 2Gν( +1) ( −,+ ) , hν +1, m (t ) = ∂η ∂η '
(10.9)
η =η− η '=η+
(10.10)
(10.11)
Подставив в (10.6) выражения (10.7) и (10.8), получаем уравнение склейки – интегральное уравнение типа свертки относительно неизвестных функций (+) (+) (+) склейки − μν −1 ( t ) , μν ( t ) , μν +1 ( t ) :
ν λν η−m−1 hν( ,+m,− ) * μν( +−1) + 2π m ( aν λν η+m−1hν( ,+m,+ ) + 2π ma (t ) − ,− + ν +1 λν +1 η+m−1 hν( −+1,,+m) * μν( ++1) = + aν +1λν +1η−m−1 hν( +1, )m * μν( ) + 2π ma (t ) (t )
)
+ = −λν gν( ,m) * Ψ ν
(t )
m Ω ν( )
− + λν +1 gν( +1,) m * Ψ ν +1
(t )
Ω ν( +1) m
(10.12)
Алгебраизация (10.12) осуществляется преобразованием Лапласа по t , которое позволяет представить уравнение склейки в виде: + + m m m + m aν( ,ν )−1 μν( −1) + aν( ,ν ) μν( ) + aν( ,ν )+1 μν( +1) = bν(,ν +) 1 .
В (10.13) обозначены:
204
(10.13)
m ν λν η−m −1 hν(,+m,− ) ( p ) , aν( ,ν )−1 ( p ) = 2π ma
ν +1λν +1η +m −1 hν(+1,m) ( p ) , aν( ,ν )+1 ( p ) = 2π ma −,+
m
(10.14)
)
(
−,− + ,+ m aν( ,ν ) ( p ) = −2π m aν λν η +m −1 hν(,m ) ( p ) + aν +1λν +1η −m −1 hν(+1,m) ( p ) ,
bν(,ν +) 1 = −λν gν( , m) , Ψν +
m
m Ω ν( )
+ λν +1 gν( +1,) m , Ψν +1 −
m . Ων( +1)
(10.15)
Алгебраическое уравнение (10.13). коэффициенты и правая часть которого зависят от параметра преобразования Лапласа, будем именовать общим уравнением склейки, поскольку: 1) при ν = k = 1, 2,, N − 1 из него следуют уравнения склейки для всех внутренних границ между слоями в системе Ω1( m ) , Ω2( m ) , , ΩN( m ) ; 2) при ν = 0 получаем уравнение склейки для 1
систем 2
{
{Ω
2
{Ω
1
(m)
0
1
(m)
(m)
, Ω1
0
системы
{
}
} ; 3) при ν = N − 1, ν + 1 = + имеем уравнение склейки для 1
m m ΩN( −1) , Ω+( )
}
} ; 4) при ν = 0, ν + 1 = + следует уравнение для системы
m , Ω+( ) ; 5) при ν = +1, ν + 1 = +2 и m = 1 получаем то же для системы
{Ω( ) , Ω( )} ; 6) при m = 1, 2,3 и всевозможных ν = 0, k , + ( k = 1, 2,) получаем 1 +1
1 +2
уравнения склейки для всех 39 СМ. Частные уравнения склейки рассмотрим для двухслойных систем m m при m = 1, 2,3 . Для системы в (10.13) положим Ω (0 ), Ω 1( ) 2
( m)
{
}
1
ν = 0, a0,−1 ( p ) = 0 . Получаем уравнение ( m) ( +) ( m)
(10.16) ( p ) μ0 ( p ) + a0,1 ( p ) μ1( + ) ( p ) = b0,1( m) ( p ) ( + ,− ) m a0,( −1) ( p ) = 0 следует из (10.14), поскольку h0,m ( p ) = 0 . Функция
a0,0
Равенство
+ склейки μ0( ) ( p ) (так будем называть собственно функции склейки μν( + ) ( t ) и их Лаплас – трансформанты μ ( + ) p ) описывает температурную динамику на
ν
( )
(+) ( m) границе слоев Ω0 и Ω1( m ) , а функция склейки μ1 ( p ) в данном случае является граничным условием первого рода на правой (внешней) границе слоя m Ω1`( ) , т.е. считается известной. Из (10.16) сразу находим: (+)
μ0
( p ) = ( a0,0 ( p ) ) (m)
−1
(b ( ) ( p ) − a ( ) ( p ) μ ( ) ( p )) . m 0,1
205
m 0,1
1
+
(10.17)
( m) ( m) Замена Ω1` → Ω+ ` позволяет для системы
{Ω( ) , Ω( )} m
2
+
0
m
легко найти
(m) ( m) функцию склейки. В (10.13) надо положить: ν = 0, ν + 1 = +, a0,1 = 0, a0,1 =0 В итоге получаем:
(
+ ( m) μ0( ) ( p ) = a0,0 ( p)
( m)
где «тильда» у a0,0
( p)
)
−1
b0,( + ) ( p ) , m
(10.18)
( m)
обозначает ее отличие от a0,0 из (10.17), т.к. в
( m) ( m) a0,0 ( p ) входят, согласно (10.14) параметры a0 , λ0 , и a1, λ1 , а в a0,0 входят a0 , λ0 , a+ , λ+ . Для системы Ω1( m ) , Ω2( m ) уравнение (10.13) дает, при ν = 1: 1
{
( m) ( + ) a1,0 μ0
}
1
( m) ( + ) + a1,1 μ1
( m) ( + ) ( m) + a1,2 μ2 ( p ) = b1,2
(10.19)
Здесь μ0( + ) ( p ) и μ2( ) ( p ) следует полагать известными (условия на внешних границах). Перенос их в правую часть (10.19) дает решение: +
(+)
μ1
( p ) = ( a1,1
(m)
( p)
) (b ( ) ( p ) − a ( ) μ ( ) ( p ) − a ( )μ ( ) ( p )) (10.20) −1
+ 1,2
m 1,0
0
+
m 1,2
2
+
Аналогично могут быть найдены функции склейки всех других двухслойных систем, для которых достаточно одного уравнения склейки. Для трехслойных систем, в которых две неизвестные функции склейки, необходимо уравнение (10.13) записать дважды (для каждой из границ между слоями). Для этого достаточно в (10.13) положить ν = k , а затем ν = k + 1 . Ясно, что определение всех функций склейки N − слойной системы потребует решения системы из ( N − 1) - го уравнения вида (10.13). Решение этой системы всегда существует и единственно. Для N − слойной системы Ω1( m ) , Ω2( m ) , , ΩN( m ) уравнений (10.13) 1
{
образуют систему из ( N − 1) − го уравнений:
}
1
( m) ( +) (m) (+ ) ( m) ( + ) ( m) a1,0 μ1 + a1,1 μ1 + a1,2 μ1 = b1,2
.............................................................. m + m + m + m ak( ,k )−1 μk( −1) + ak( ,k ) μ k( ) + ak( ,k )+1 μk( +1) = bk(,k +) 1 , ................................................................... m + m + m + m aN( −1,) N −2 μ N( −)2 + aN( −1,) N −1 μ N( −)1 + aN( −1,) N μ N( ) = bN( +1,) N .
(10.21)
(+) (+) В системе (10.21) функции μ0 ( p ) и μ N ( p ) известны, поэтому в первом и в последнем уравнениях их можно перенести в правую часть, 206
обозначая
(b ) = b (m)
1,2
/
(m)
1,2
( m)
(+)
− a1,0 μ0
(
( m)
и bN −1, N
) = b( ) /
m N −1, N
m + − a N( −1,) N μ N( ) .
Таким образом, в первом и в последнем уравнениях будет по две неизвестных функции, а в остальных – по три. В матричном виде система (10.21): + Am ( p ) μ ( ) ( p ) = Bm ( p ) ,
(10.22)
где Am ( p ) − трехдиагональная матрица порядка N − 1 с элементами (10.23) а
μ + ( p ) и Bm ( p ) вектор – столбцы:
(+) / b1,2 (+) μ (+) ( p ) b2,3 2 + ( ) . , ⋅ (10.24) Bm ( p ) = μ ( p) = . ⋅ . ⋅ (+) μ ( p) / N −1 (+) bN −1, N Уравнение (10.22) будем называть матричным уравнением склейки (основным). Если в N − слойной системе осуществить замены: 1) Ω( m ) → Ω( m ) ;
( )
μ (+) ( p ) 1
(
)
1
2) Ω( m ) → Ω+( m ) ; 3) комбинация вариантов 1) и 2); 4)для m = 1 заменить N
0
первый и последний слои на Ω+1 и Ω+2 соответственно, то структура (10.21)
не изменится, матрица Am ( p ) остается трехдиагональной. Матричное уравнение (10.22) обобщает все частные случаи слоистых систем (т.е. справедливо для всех 39 СМ). В ряде случаев есть необходимость в определении на границах слоев плотностей потоков тепла. Для этого получим матричное уравнение склейки для потоков (дополнительное). Для системы Ω1( m ) , Ω2( m ) , , ΩN( m ) имеем, 1
преобразовав по Лапласу (10.7):
{
}
1
+ + + + + + qν( ,m) ( p ) = Qν( ,m) ( p ) + Cν( ,ν)−1μν( −1) ( p ) + Cν( ,ν) μν( ) ( p ) , ν = 1, N − 1, (10.25)
где
207
Qν( ,m) ( p ) = −λν gν( ,m) , Ψν +
+
m Ω( )
ν
m ν λν η−m −1hν(,+m,− ) , , Cν( ,ν )−1 = −2π ma
m ν λν hν(,+m,+ ) . Cν( ,ν ) = 2π ma Уравнение (10.25) в матричном виде: ( +) ( +)
q
= Cm μ
+ Qm
где матрица коэффициентов Cm = Cij( m )
q
(+)
ные (+)
,μ
1 N −1
(10.26)
(10.27)
− двухдиагональная, содержащая
от нуля коэффициенты только на диагонали и на поддиагонали, а
, Qm − вектор – столбцы вида:
(
+ + q ( ) ( p ) = qν( ,m) ( p )
)
1 N −1
(
+ + , μ( ) ( p) = μ( ) ( p)
)
1 N −1
(
, Qm ( p ) = Qν( ,m) ( p ) +
)
1 N −1
(10.28) Матричное уравнение (10.27) позволяет связать все потоки на границах слоистой системы с функциями склейки. Можно записать решение (10.27) в виде, исключающем функции склейки. Уравнение (10.22) решается обращением матрицы Am ( p ) :
μ ( + ) ( p ) = Am−1 ( p ) Bm ( p ) .
(10.29)
Если теперь подставить (10.29) в (10.27), получим: (+) (+) −1
(10.30) ( p ) = Cm ( p ) Am ( p ) Bm ( p ) + Qm . −1 Если уравнение (10.27) умножить слева на матрицу Cm ( p ) , то получим ( ) μ ( p ) = Cm−1 ( p ) q ( + ) ( p ) − Qm ( p ) (10.31)
q
+
Чтобы реализовать (10.29), надо вычислить элементы обратной матрицы Am−1
( p) =
(a ) ( m)
−1 1
i, j
. Тогда (10.29) дается решение (10.22), а (10.30) –
N −1
решение (10.27) с исключением функций склейки. Чтобы найти функции склейки по известным потокам согласно (10.31), необходимо вычислить
( )
элементы обратной матрицы C −1 ( p ) = C ( m ) m α ,β
−1 1
.
N −1
§138. Решение уравнений склейки Как сказано в последнем абзаце, предыдущего параграфа, решение всех матричных уравнений склейки исчерпывается обращением матриц Am и Cm . Индекс «m» далее опускаем. Обращение основной и вспомогательной матриц. Получим формулы для элементов матриц, обратных основной ( Am ) и вспомогательной ( Cm ). 208
Основная матрица тельная A −1 = ai−, 1j
C = Ck , j 1 N
1 N
A = ak , j
1
является трехдиагональной, а вспомога-
N
- двухдиагональной. Вычислим элементы матрицы
−1 −1 , а затем – как частный случай – элементы матрицы C = Ci , j
1 N
.
Используем известную формулу [2]:
Ak , i
ai−,k1 = В
1
AN
(10.32): Ak ,i , M k ,i
,
Ak ,i = ( −1)
− алгебраические
k +i
M k ,i .
дополнения
(10.32) и
миноры
1
соответствующих элементов матрицы A, A − ее определитель. N Вычисление определителя основной матрицы осуществляем методом Гаусса, приводя трехдиагональный определитель к верхнему или нижнему треугольному виду, т.е. преобразуя под - или наддиагональные элементы к нулевым. Полученный таким образом верхний или нижний треугольный определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 1 Умножая первый столбец A на a1,2 / a1,1 и вычитая его из второго, N получаем в последнем: вместо
a1,2 − ноль,
вместо a2,2 элемент d 2 =
= ( a2,1a1,2 ) / a1,1. Продолжая эту процедуру далее, т.е. умножая к-й столбец на
ak ,k +1 / d k
и вычитая его из (к + Ι) - го, получим выше главной диагонали
( на наддиагонали) нулевые элементы, а на главной -
d k = ak , k − При
k =1
ak ,k −1ak −1,k d k −1
в (10.33) полагаем:
процедуру приведения
dk :
, k = 1, 2, , N .
a1,0 = a0,1 = 0, d 0 = 1.
(10.33) Описанную
1
A N к нижнему треугольному виду (с отличными от
нулевых элементами на главной диагонали и поддиагонали) будем называть верхним алгоритмом Гаусса. Получаем:
A
N
1 N
= d1d 2 d N = Π d k . k =1
(10.34)
( N − 1) − го столбца, элементы на поддиагонали, на a N , N −1 / a N , N и вычитая его из ( N − 1) -го
Если исключать, начиная с умножив N
−й
столбец
столбца и т.д., то реализуем нижний алгоритм Гаусса, получая на главной диагонали элементы
PN − k : 209
PN − k = aN − k , N − k −
aN − k , N − k +1aN − k +1, N − k
,
k = 0,1 , N − 1. (10.35)
PN − k +1 При k =0 в (10.35) полагаем: a N , N +1 = aN +1, N = 0, PN +1 = 1. Нижний алгоритм Гаусса приводит к выражению: 1
N −1
N
N
k =0
i =1
A = PN PN −1 P1 = Π PN − k = Π Pi .
A
Рассмотрим вычисление
1 N
(10.36)
смешанным алгоритмом Гаусса, который
строим следующим образом. Для столбцов от первого до N − го (включительно) реализуем верхний, а для столбцов от N − го до ( i + 1) − го – нижний алгоритм Гаусса. В результате в окрестности
i − го
столбца
A
1 N
получаем структуру:
di −2 ai −1,i −2 0 0 0
0 d i −1 ai , i −1 0 0
0 0 di ai +1,i 0
0 0 ai ,i +1 Pi +1 0
0 0 0 ai +1,i + 2 Pi + 2
0 0 0 0 ai + 2,i +3
(10.37)
Определитель в левом верхнем квадрате (ограниченном, как и остальные, жирной линией) обозначим 1
i +1
1
D i , а в первом нижнем - P N . Имеем: i
i +1
D i = Π dk ,
N −i
P N = Π Pi + k .
k =1
(10.38)
k =1
1
Для приведения A к квазидиагональному (блочно-диагональному) виду, N после чего он вычисляется как произведение определителей необходимо вместо
ai +1, i
(или
алгоритм Гаусса исключает элемента
ai , i +1 )
ai ,i +1
i +1
иметь нулевой элемент. Верхний
и приводит к появлению вместо
Pi +' 1 = Pi +1 −ai , i +1ai +1, i / di = di +1 + Pi +1 −ai +1, i +1 , 210
i
DN и P , N
а
Pi +1
нижний
алгоритм исключает
ai +1,i ,
при этом вместо
di' = di −ai +1,i ai ,i +1 / Pi +1 = di + Pi −ai ,i
di
получаем элемент
. Из (10.34), (10.36) и (10.38)
следует, что
1
i +1
1
1
i+2
A N = di' D i −1 P N = D i P N Pi +' 1. Алгебраические дополнения находим, вырезая в
(10.39)
A
1 N
i- ю строку и j-й
столбец и смыкая края разрезов. Получаем трехблочный квазидиагональный определитель. В верхнем левом и нижнем правом углах его остаются трехдиагональные определители, которые «окаймляют» центральный (порядка
i− j
)
трехугольный
определитель.
Рассмотрим
отдельно
следующие случаи: 1) i = j; 2) i − j ≥ 1; 3) j − i ≥ 1 соответственно для диагональных, поддиагональных и наддиагональных элементов. При i = j центральный треугольный определитель отсутствует, определитель
Ai ,i
приобретает двухблочный квазидиагональный вид 1
Ai ,i =
D i −1 0
0 i +1
(10.40)
PN
и легко вычисляется: 1
i +1
Ai ,i = D i −1 ⋅ P N .
(10.41)
При i − j ≥ 1 получаем, в качестве центрального, нижний треугольный определитель порядка i − j , на главной диагонали которого стоят элементы ak −1,k ( k = j + 1, j + 2, i ) . Поскольку квазидиагональный определитель равен произведению составляющих его определителей, получаем с учетом (10.38):
Ai , j = ( −1)
i+ j
= ( −1)
i− j
i i +1 A j −1 Π ak −1,k A N = k = j +1 1 i i +1 D j −1 Π ak −1,k P N . k = j +1 1
211
(10.42)
j − i ≥ 1: 1 j j −i j +1 Ai , j = ( −1) D i −1 Π ak ,k −1 P N k =i +1 Из (10.42), (10.43) при ak −1, k = ak ,k −1 следует Ai , j = A j ,i , Аналогично предыдущему, получаем при
Таким образом, из симметричности основной матрицы метричность обратной матрицы
A −1 .
(10.43) т.е.
A
a.i−,1j = a j−,1i .
следует сим-
−1
Элементы обратной матрицы A получим, подставляя в (10.32) выражения (10.38), (10.39), (10.41), (10.42) и (10.43). Элементы на диагонали обратной матрицы: i +1
1
ai−,i1 =
D i −1 P N 1
i +1
D i −1 P N
=
d' i
−1 1 = ( di + Pi − ai ,i ) , d'
(10.44)
i
Поддиагональные элементы:
ai−, 1j = ( −1)
i− j
( i − j ≥1)
i a ai−,i1 Π k −1,k k = j +1 d k −1
.
(10.45)
Наддиагональные элементы:
a (10.46) Π k −1,k . k =i +1 d k −1 −1 Найдем элементы обратной матрицы C . Вспомогательная матрица −1 i, j ( j −i ≥1)
a
C = Ci ,k
1 N
= ( −1)
j −i
j
−1 i ,i
a
является двухдиагональной, т.е. представляет собой частный
случай трехдиагональной матрицы A . Если в полученных формулах положить ak ,k −1 = Ck ,k −1 , ak , k = Ck , k , ak −1,k = 0 , то из (10.44) ÷ (10.46) получаем:
1 , Ci ,i i C i− j Ci−, 1j = ( −1) Ci−, i1 Π k ,k −1 , i − j ≥ 1, C j−,1i = 0 k = j +1 C k −1,k −1 Ci−,i1 = ( di + Pi − Ci ,i ) = −1
−1
(10.47) (10.48)
Матрица C является нижней треугольной, элементы ее вычисляются по (10.47), (10.48). Полученные выражения для элементов обратных матриц проверены прямым вычислением для матриц от второго до пятого порядка включительно.
212
Глава 41. ПЛОСКИЕ СЛОИСТЫЕ СИСТЕМЫ §139. Точные решения для двух – и трехслойных моделей
Двух – и трехслойные модели представляют особый интерес, так, как: а) для Лаплас – трансформант функций склейки можно найти выражения без помощи общего, но громоздкого метода обратной матрицы; б) найти (+) функции – оригиналы (т.е. функции склейки μ k ( t ) ) удается точными методами операционного исчисления [32]; в) для моделей цилиндрических и сферических слоистых систем в ряде случаев (тонкие и ультратонкие слои) возможна редукция к плоским слоистым моделям; г) сопоставление точных и приближенных решений осуществляется достаточно просто; д) двух- и трехслойные модули в парадигме составляют 90 – 95%. Основное уравнение склейки для плоских слоистых систем получим из (10.13), где положим: m = 1 (далее индекс m = 1 опускаем), ν = k = 1, N . Имеем: + + + ak ,k −1 μ k( −1) + ak ,k −1 μ k( ) + ak ,k +1 μk( +1) = bk ,k +1 .
(10.49)
Коэффициенты akj = akj ( p )( j = k − 1, k , k + 1) и правые части bk ,k +1 ( p ) уравнения (10.49) находим по (10.14), (10.15), а входящие в них функции – Лаплас- трансформанты от выражений (10.9) ÷ (10.11) обозначаем:
h(
+ ,− )
k ,1
( p),
h(
−,+ )
( p), k +1,1
h(
+ ,+ )
k ,1
−) ( p ) , h k( −+,1,1 ( p ) , g (k+,1) ( p ) , g (k−+)1,1 ( p ) .
Бесконечные ряды, которыми выражаются производные функций Грина, свертываются в конечные выражения [123]. В итоге получаем:
ak ,k −1 = −
εk p ε p , ak ,k +1 = − k +1 , ε k = λk ( ρ c )k , sh δ k p sh δ k +1 p
ak ,k = ε k p cth δ k p + ε k +1 p cth δ k +1 p , δ k = + bk ,k +1 = ( ρ c )k K k( ) ( p, ξ ) , Ψ k ( p, ξ )
Ωk
+ ( ρ c )k +1 K k( +1) ( p, ξ ) , Ψ k +1 ( p, ξ )
lk ak
+
−
(+)
Kk
( p, ξ ) =
(
sh δ k pξ / lk sh δ k p
),
( −)
K k +1 ( p, ξ ) =
213
(10.50)
Ωk +1
,
sh δ k +1 p (1 − ξ / lk +1 ) sh δ k +1 p
(10.51)
Полученные по решениям в форме потенциала, выражения (10.50), (10.51) полностью совпали с полученными ранее по решениям в представлении граничных функций [33]. Дополнительная проверка (10.49)÷(10.51) может быть осуществлена предельным переходом к непрерывно - неоднородной модели, для чего достаточно положить: + + + μ k( ) ( p ) → U ( x, p ) , μ k( −1) ( p ) → U ( x − dx, p ) , μ k( +1) ( p ) → U ( x + dx, p ) ,
lk → dx, ε k = ε ( x ) = λ ( x )( ρ c )( x ) , δ k → dx / a ( x ) , ( ρ c )k → ( ρ c )( x ) . Несложные выкладки приводят тогда (10.49) к виду:
( ρ c )( x ) pU ( x, p ) =
d dU λ x ( ) dx dx
+ ( ρ c )( x ) Ψ ( x, p ) .
(10.52)
Обратное преобразование Лапласа в (10.52) дает «правильное» уравнение:
( ρ c )( x )
∂U ∂ ∂U = λ ( x) ∂t ∂x ∂x
+ ( ρ c )( x ) ϕ ( x ) δ + ( t ) + f ( x, t ) . (10.53)
Уравнение для Лаплас – трансформант плотностей потоков тепла на границах слоя Ωk приводятся к виду:
ε p (+) − − − qk( ) ( p ) = −ε k p cth δ k p μ k( ) ( p ) + k μ p ) + bk( ) ( p ) , ( k sh δ p k
(
)
(10.54)
ε p (−) + (+) (+) + + qk( ) ( p ) = − k μ p ε p cth δ p μ p b ( ) ( ) ( p) , k k k k sh δ p k k
(
)
− − bk( ) ( p ) = ( ρ c )k K k( ) ( p, ξ ) , Ψ k ( p, ξ )
(+)
bk
( p ) = ( ρ c )k
(+)
Kk
( p , ξ ) , Ψ k ( p, ξ )
Ωk
, (10.55)
Ωk
Двухслойные системы 1 {Ω1 , Ω2 }1 , 1 {Ω1 , Ω+ } , {Ω+1 , Ω+2 } рассматриваем на основе (10.49) ÷(10.51). Система 1 {Ω1 , Ω2 }1 . При k =1 из (10.49) следует: + + + a1,0 μ0( ) + a1,1μ1( ) + a1,2 μ2( ) = b1,2 ,
где
214
(10.56)
ε p ε2 p = − a1,0 = − 1 , a , sh δ p 1,2 1 sh δ 2 p a1,1 = ε1 p cth δ1 p + ε 2 p cth δ 2 p , + b1,2 = ( ρ c )1 K1( ) , Ψ1
Ω1
− + ( ρ c )2 K 2( ) , Ψ 2
Ω2
.
(10.57)
(+) (+) Полагая в (10.56) μ0 ( p ) и μ 2 ( p ) известными (найденными по (+) (+) заданным μ 0 ( t ) и μ 2 ( t ) ), находим:
( +) μ1( + ) ( p ) + L0 ( p ) μ0( + ) ( p ) + L1 ( p ) b1,2 ( p ) + L2 ( p ) μ2( + ) ( p ) , (10.58) где:
L0 ( p ) =
K 2 /1 sh2 sh2 sh1 sh2 , L1 ( p ) = , L2 ( p ) = , Δ1,2 Δ1,2 ε1 p Δ1,2
shi = shδ i p , chi = chδ i p , ( i = 1, 2 ) , K 2 /1 =
ε2 , ε1
(10.59)
(10.60)
Δ1,2 = ch1 sh2 + K 2 /1 ch2 sh1 (+) Из (10.58) видно, что функция-оригинал μ1 ( t ) есть сумма трех сверток, в которых одна из функций известна. Функции – оригиналы L ( t ) , L ( t ) , L ( t ) 0
1
2
необходимо найти, осуществив обратные преобразования Лапласа функций L0 ( p ) , L1 ( p ) и L2 ( p ) .
Если Лаплас – трансформанта F ( p ) некоторой функции F ( t ) может быть представлена правильной дробью, знаменатель которой имеет счетное число простых нулей, то справедлива формула [32]: ∞
F ( t ) = L−1 { F ( p )} = θ + ( t )
n =1
N ( pn )
( dM / dp ) p= p
exp ( pnt ) , F ( p ) =
n
N ( p) . M ( p)
(10.61) Здесь { pn } - счетное множество корней уравнения M ( p ) = 0 . Используя (10.61), находим: ∞ j L j ( t ) = θ + ( t ) An( ) exp −α n2t , j = 0,1, 2 , (10.62) где
n =1
(
215
)
2α sin δ α 0 An( ) = n 1 2 n ,
θ n( )
An( ) = 1
2sin (δ1α n ) sin (δ 2α n )
ε1θ n(1)
2 K 2 /1α n sin (δ1α n ) 2 An( ) = , 1
,
θ n( )
θ n(1) = (δ1 + K 2 /1δ 2 ) sin (δ1α n ) sin (δ 2α n ) − (δ 2 + K 2 /1δ1 ) cos (δ1α n ) cos (δ 2α n ) , а {α n } − счетное множество корней характеристического уравнения
(10.63)
(10.64) cos (δ1α ) sin (δ 2α ) + K 2 /1 cos (δ 2α ) sin (δ1α ) = 0 . Корни xn = δ1α n уравнения (10.64) табулированы нами для значений параметров: δ 2 / δ1 = 0,1 − 0,9; K 2 /1 = 0,1 − 10, 0. . Первые три корня x j ( j = 1, 2,3 ) для каждого сочетания параметров приведены в Таблице 10.1. Система
1
{Ω1 , Ω+ } .
Осуществляя в (10.56) предельный переход
l2 → ∞ , получаем:
μ1( + ) ( p ) = L0( + ) μ0( + ) ( p ) + L1( + ) ( p ) b1,(++ ) ( p ) ,
(10.65)
где:
1 sh1 + + L0( ) ( p ) = , L1( ) ( p ) = , Δ1,+ ( p ) = ch1 + K 2 /1sh1, Δ1,+ ε1 p Δ1,+ + b1,+ ( p ) = ( ρ c )1 K1( ) , Ψ1
Ω1
− + ( ρ c )+ K +( ) , Ψ +
p − , K +( ) ( p, ξ ) = exp − ξ . Ω+ a + (10.66)
(+) (+) Функции – оригиналы L0 ( t ) и L1 ( t ) находим разложением в ряды функций –изображений. Умножая числители и знаменатели функций - транс-
(
)
формант на exp −δ1 p , получаем: + L(0 ) =
2 e −δ1 p 1 + K 2 /1 1 − q1
K 2 /1 =
1 − e−2δ1 1 (+) , L1 = 1 − q1 + ε 1 K p ( ) 1 2 /1
p
, (10.67)
K −1 ε+ , q1 = q ( p ) = 2 /1 exp −2δ1 p . ε1 K 2 /1 + 1
(
)
Поскольку q1 ( p ) < 1 , воспользуемся формулой геометрической прогрессии:
( + )
L0
n
∞ K −1 2 = 2 /1 exp − ( 2n + 1) δ1 p , 1 + K 2 /1 n =0 K 2 /1 + 1
216
(10.68)
Таблица 10.1 Первые три корня уравнения (10.64)
K 2 /1 0,1 0,2
0,4
0,6
0,8
1,2
1,5
2,5
5,0
10,0
δ 2 / δ1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
2,024 4,898 7,952 2,282 5,059 8,044 2,562 5,310 8,210 2,708 5,488 8,352 2,797 5,617 8,470 2,898 5,785 8,751 2,942 5,866 8,751 3,018 6,015 8,961 3,078 6,143 9,169 3,110 6,212 9,292
1,743 4,728 7,760 1,878 4,742 7,676 2,078 4,769 7,535 2,222 4,792 7,422 2,331 4,814 7,328 2,486 4,851 7,183 2,568 4,874 7,100 2,736 4,935 6,912 2,908 5,023 6,689 3,015 5,100 6,524
1,662 4,622 6,283 1,738 4,545 6,283 1,860 4,423 6,283 1,955 4,328 6,283 2,031 4,252 6,283 2,149 4,135 6,283 2,214 4,069 6,283 2,366 3,917 6,283 2,556 3,727 6,283 2,712 3,571 6,283
1,618 4,223 4,983 1,658 4,095 5,115 1,722 3,936 5,284 1,773 3,831 5,296 1,814 3,755 5,479 1,876 3,648 5,597 1,912 3,592 5,661 1,991 3,473 5,800 2,084 3,345 5,961 2,151 3,258 6,082
1,585 3,455 4,758 1,598 3,426 4,796 1,617 3,882 4,854 1,632 3,350 4,898 1,644 3,326 4,933 1,661 3,292 4,983 1,671 3,273 5,011 1,692 3,239 5,071 1,713 3,196 5,136 1,728 3,171 5,180
(
+ L1( ) = ε1 (1 + K 2 /1 ) p ∞ K −1 × 2 /1 n =0 K 2 /1 + 1
n −1
)
−1
2 × ε (1 + K )2 2 /1 1
1 exp − 2n ⋅ δ1 p . p
(
217
)
(10.69)
Используя таблицы обратного преобразования Лапласа [32], получаем:
( + )
L0
n ( n + 0,5 )2 K 2 /1 − 1 , (t ) = ( n + 0,5) exp − Fo π δ12 Fo13/ 2 (1 + K 2 /1 ) n =0 K 2 /1 + 1 1
2θ + ( t )
+ L1( ) ( t ) =
θ+ (t )
ε1 (1 + K 2 /1 )
∞
(10.70) 2 ∞ K − 1 n −1 n2 2 /1 1 − , exp − 1 1 K K Fo + + πt 2 /1 n =1 2 /1 1
Fo1 = a1t / l12 (10.71) Система {Ω+1 , Ω+2 } . В этом случае можно в (10.65), (10.66) перейти к
пределу l1 → ∞ , предварительно обратив ориентацию 0x1 в области Ω1 . (+) Переобозначив μ1 ( p ) → μ1 ( p ) , находим:
μ0 ( p ) = L+ ,+ ( p ) b+ ,+ ( p ) , L+ ,+ ( p ) = b+ ,+ ( p ) = ( ρ c )+1 K +( 1 ) , Ψ +1 −
Функция – оригинал L+,+ ( t ) [32]:
L+ ,+ ( p ) =
1
( ε1 + ε 2 )
p
+ ( ρ c )+2 K +( 2 ) , Ψ +2
,
(10.72)
−
Ω+1
θ+ (t ) ( ε1 + ε 2 ) π t .
Ω+2
(10.73)
(10.74)
Трехслойные системы 1 {Ω1 , Ω2 , Ω3 } 1 , 1 {Ω1 , Ω2 , Ω+ } , {Ω+1 , Ω2 , Ω+2 } рассматриваем на основе систем из двух уравнений склейки, следующих из (10.49) при k =1,2 с последующими переходами и Система 1 {Ω1 , Ω2 , Ω3 }1 . При k =1,2 из (10.49) находим систему: + + + a1,0 μ0( ) + a1,1μ1( ) + a1,2 μ2( ) = b1,2 , + + + a2,1μ1( ) + a2,2 μ2( ) + a2,3 μ3( ) = b2,3 .
(10.75)
Решение системы (10.75) легко находится: + / / / / μ1( + ) = L1,1b1,2 + L1,2b2,3 ; μ2( ) = L2,1b1,2 + L2,1b2,3
(10.76) 218
где
+ + ׀ ׀ b1,2 , = b1,2, −a1,0 μ0( ) , b2,3 = b2,3 − a2,3 μ3( ) ,
L1,1 =
Δ 2,3 sh1
ε 2 pD3
, L1,2 =
Δ sh sh1 , sh2 , L2,1 = L1,2 , L2,2 = 2,1 3 , ε 2 pD3 ε 2 pD3
Δ 2,i = ch2 shi + K i / 2 sh2 chi , K i / 2 = ε i / ε 2 , i = 1,3, (10.77)
D3 = d 2,3 sh1 + K1/ 2 Δ 2,3 ch1 , d 2,3 = sh2 sh3 + K3 / 2 ch2 ch3 . Функции – оригиналы L1,1 ( t ) , L1,2 ( t ) , L2,2 ( t ) , находим тем же
методом, что и в случае двухслойной системы 1 {Ω1 , Ω2 }1 . В итоге получаем:
(
)
∞ n Li , j ( t ) = θ + ( t ) Ri(, j) exp −ν n2t , i, j = 1, 2 n =1
(10.78)
Здесь обозначены:
( ) 2sin δ ν ( cos δ ν sin δ ν + K R ( ) = ( Q( )ε ) 2sin δ ν ( cos δ ν sin δ ν + K R ( ) = 2 ( Q( )ε ) sin δ ν sin δ ν , R ( ) = R( ) , −1
3 ( n) R1,1 = Qn( )ε 2 n 2,2
n 1,2
1 n
2 n
3 n
3 / 2 sin δ 2ν n
cos δ 3ν n ) ,
3 n
2 n
1 n
1/ 2 sin δ 2ν n
cos δ1ν n ) ,
−1
3 n
2
−1
3 n
2
1 n
3 n
n 2,1
n 1,2
3 Qn( ) = C1 cos δ1ν n sin δ 2ν n sin δ 3ν n + C2 sin δ1ν n cos δ 2ν n sin δ 3ν n +
(10.79)
+C3 sin δ1ν n sin δ 2ν n cos δ 3ν n + C4 cos δ1ν n cos δ 2ν n cos δ 3ν n , C1 = δ1 + K1/ 2δ 2 + K3/ 2 K1/ 2δ1 , C2 = δ 2 + K1/ 2δ1 + K3/ 2δ 3 , C3 = δ 3 + K3/ 2δ 2 + K3/ 2 K1/ 2δ1 , C4 = − ( K3/ 2δ1 + K1/ 2 K3/ 2δ 2 + K1/ 2δ 3 ) . Величины {ν n } уравнения
(10.80) образуют счетное множество корней характеристического
K1/ 2 cos δ1ν cos δ 2ν sin δ 3ν + K3 / 2 sin δ1ν cos δ 2ν cos δ 3ν + + K1/ 2 K 3 / 2 cos δ1ν sin δ 2ν cos δ 3ν − sin δ1ν sin δ 2ν sin δ 3ν = 0. Система
1
{Ω 1Ω 2Ω + } .
(10.81)
Осуществив в (10.77) предельные переходы
l3 → ∞ , получим:
219
+ + (+) / (+) (+) / ( +) μ1( ) = L1,1 b1,2 + L1,2 b2,+ , μ2( ) = L2,1 b1,2 + L2,2 b2,+ ,
(10.82)
где
( ) = L1,1
Δ 2,+ sh1
+
( ) = , L1,2 +
ε 2 p D2,+ Δ 2,1
( ) L2,2 = +
ε 2 p D2,+
ε2
sh1 (+) (+) = L1,2 , L2,1 , p D2,+
, D2,+ = d 2,+ sh1 + K1/ 2 Δ 2,+ ch1 ,
d 2,+ = sh2 + K3/ 2 ch2 , Δ 2,+ = ch2 + K3/ 2 sh2 , + b2,+ = ( ρ c )2 K 2( ) , Ψ 2
Ω2
− + ( ρ c )+ K +( ) , Ψ +
Ω+
.
(10.83).
Получение функций – оригиналов в этом случае требует разложения функций – изображений в двойные ряды по степеням
(
)
qi = exp −2δ i p , i = 1, 2 . Выделяем эти суммы, обозначая: ( ) = L1,1
1
+
ε2 p
( ) = S1 , L1,2
1
+
ε2 p
S2 , L(2,2) =
1
+
ε2 p
S3 ,
−1
d Δ 2,1 1 S1 = 2,+ + K1/ 2cth1 , S2 = S1 , S3 = S1. Δ Δ Δ ch 2,1 2, + 1 2,+
(
)
(10.84)
Все суммы S j = ( p ) j = 1,3 представляются в виде: ∞
∞
S j ( p ) = Sn( ,m) q1n q2m . j
n =0 m = 0
(10.85)
Выясним быстроту сходимости рядов S j ( t ) − функций – оригиналов изображений
(q q ) / n m 1 2
S j ( .p ) Общий член всех рядов S j ( p ) имеет вид
p . По таблицам обратного преобразования Лапласа [32]
находим:
2 θ+ (t ) q1n q2m 1 n m = + exp −2 ( nδ1 + mδ 2 ) p exp − , p p pt Fo1 Fo2
(10.86)
Fo1 = a1t / l12 , Fo2 = a2t / l22 . По таблицам [109] находим численные
(
)
2
значения величин En = exp − n / Fo для Fo ≤ 1, 0, n = 1,5 . Результаты приведены в табл..10.2, где величины, меньше 10-8 обозначены нулями. 220
Значения величин En ( Fo
Fo 0,1 0,25 0,5 1,0
1
Таблица 10.2
)
n 3 0
2 0
0, 45 ⋅10−4 0 183 ⋅10−4 10−7 0,135 ≈ 10−8 0,335 ⋅10−3 0,368 0, 0183 1, 23 ⋅10−4
4 0
5 0
0
0
0
0
≈ 10−8
0
Из таблицы 10.2 видно, что при Fo ≤ 1, 0 в (10.85) достаточно найти оригиналы одного – двух первых членов рядов. Вычисление постоянных 2 Sn,m − коэффициентов при (π t )−1/ 2 exp − n + m в рядах Fo1 Fo2
( j)
S j ( t ) довольно сложно, но для n, m = 0,1, 2 вполне осуществимо. Приводим эти коэффициенты. Для ряда S1 ( t ) :
() () () S0,0 = (1 + K3/ 2 ) , S1,0 = −2 K1/ 2 (1 + K1/ 2 ) , S0,1 = −2 Kε 3 (1 + K1/ 2 ) , −1
1
−2
1
−2
1
() () () S0,0 = (1 + K3/ 2 ) , S1,1 = 8K1/ 2 Kε 3 (1 + K1/ 2 ) , S2,0 = 2 K1/ 2 K ε 3 (1 + K1/ 2 ) , −1
1
−3
1
(
−1
1
)(
)
() S0,2 = −2 Kε 1Kε23 (1 + K1/ 2 ) , Kε j = Kε j − 1 K j / 2 + 1 Для ряда S ( t ) : −2
1
−1
, j = 1,3.
2
( ) ( ) S0,0 = 2 (1 + K3 / 2 ) , S1,0 = −4 K1/ 2 (1 + K3 / 2 ) −2
2
( ) S0,1 = 2
( ) S1,1 = 2
2
−1
(1 + K1/ 2 )−2 ,
2 Kε 3 −1 −2 1 + K3 / 2 ) − 2 (1 + K1/ 2 ) , ( 1 + K3 / 2 4 K1/ 2 Kε 3
2 (1 + K )−1 − K , 1/ 2 ε1
(1 + K3/ 2 )(1 + K1/ 2 )2 −1 −1 ( 2) S2,0 = 4 K1/ 2 Kε 1 (1 + K1/ 2 ) (1 + K 3/ 2 ) , ( 2)
S0,2
2 Kε23 −1 −2 1 + K3 / 2 ) − 4 K1/ 2 (1 + K1/ 2 ) . = ( 1 + K3 / 2
Для ряда S3 ( t ) :
221
( ) S0,0 = (1 + K1/ 2 )(1 + K 3/ 2 ) , −2
3
( ) S1,0 = 2 K1/ 2 ( K1/ 2 − K3/ 2 )(1 + K1/ 2 ) 3
( ) S0,1 =
2
3
( ) S1,1 = 3
(1 + K3/ 2 )2
−1
(1 + K3/ 2 )
−1
,
K 3/ 2 − K1/ 2 1 − K 3/ 2 + , K K 1 1 + + 3/ 2 1/ 2
4 K1/ 2 ⋅ Kε 1 1 + K3/ 2 − Kε−i1 , 3/ 2 (1 + K3/ 2 ) 1 + K1/ 2
2 K1/ 2 ( K3/ 2 − K1/ 2 ) , K K − ε 1 3/ 2 2 2 (1 + K1/ 2 ) (1 + K3/ 2 ) (1 + K )2 2 Kε 3 Kε23 K1/ 2 − K 3/ 2 ( 3) 1/ 2 S0,2 = − 2 − 1 . (1 − K1/ 2 )(1 − K1/ 2 ) (1 + K1/ 2 )(1 + K3/ 2 ) 1 + K3 / 2 ( ) S2,0 = 3
2 K1/ 2
Система {Ω+1 , Ω2 , Ω+2 } . Изменив направление оси 0x в слое Ω1 на
противоположное и положив в (10.82), (10.83) l1 → ∞ , получим:
μ1( + ) ( p ) = Г1,1b1,+ + Г1,2b2,+ ; μ2( + ) = Г 2,1b1,+ + Г 2,2b2,+ , (10.87) где
Δ(2,3) +
Г1,1 =
ε 2 pD2
,
Г1,2 =
ε2
Δ(2,1) +
1 , pD2
Г 2,1 = Г1,2 , Г 2,2 =
ε 2 pD2
Δ(2,i) = ch2 + K i / 2 sh2 , i = 1,3, D2 = d 2 + K1/ 2 Δ(2,3) , d 2 = sh2 + K 3 / 2 ch2 , +
+
b1,+ = ( ρ c )+1 K +( 1 ) , Ψ +1 −
− b2,+ = ( ρ c )2 K 2( ) , Ψ 2
Ω+1
+ + ( ρ c )2 K 2( ) , Ψ 2
+ ( ρ c )+2 K +( 2 ) , Ψ +2
Ω2
.
−
Ω2
Ω+2
, (10.88)
Аналогично предыдущему, получаем:
Г1,1 =
Г1,2 =
1 − Kε ,2 q2
ε 2 (1 + K +1/ 2 ) q2
K+ j / 2 −1 1 , Kε , j = , K+ j / 2 + 1 p 1 − Kε ,1Kε ,2 q2 ⋅
ε 2 (1 + K +1/ 2 )(1 + K +2 / 2 )
j = 1, 2 ,
1 , q2 = exp −2δ 2 p , p 1 − Kε ,1Kε ,2 q2 ⋅
222
(
)
Г 2,1 = Г1,2 , а выражение для Г 2,2 аналогично Г1,1 . Поскольку Kε 1Kε 2 q2 < 1 , вновь используем геометрическую прогрессию и получаем:
Г1,1 = Г1,2
1 ε 2 (1 + K +1/ 2 ) p
∞ n −1 − − 1 2 exp 2 , K K K n δ p ( ) 2 1 2 2 ε ε ε n =1
(
)
∞ 1 n = ( Kε 1Kε 2 ) exp − ( 2n + 1) δ 2 p , ε 2 (1 + K +1/ 2 )(1 + K +2 / 2 ) p n =1
Г 2,2 =
1 ε 2 (1 + K +2 / 2 ) p
∞ n −1 − − 1 2 exp 2 K K K n δ p ( ) ε ,1 ε1 ε 2 2 n =1
(
)
Соответствующие функции – оригиналы находятся [32]
Г1,1 ( t ) = Г1,2 ( t ) = Г 2,2 ( t ) =
θ+ (t )
ε 2 (1 + K +1/ 2 )
∞ n2 n −1 1 − 2 Kε 2 ( Kε 1Kε 2 ) exp − , Fo t n =1 2
θ+ ( t )
ε 2 (1 + K +1/ 2 )(1 + K +2 / 2 ) t θ+ ( t )
ε 2 (1 + K +2 / 2 )
∞
( K ε 1Kε 2 )
n =0
n
( n + 0,5 )2 , exp − Fo 2
∞ n2 n −1 1 − 2 Kε ,1 ( Kε 1Kε 2 ) exp − Fo t n =1 2
(10.89) Проверку найденных решений с помощью известных литературных аналогов осуществить затруднительно, так как: а) в литературе отсутствуют решения трёхслойных задач в столь общей постановке, как наша; б) в литературе решение двухслойных задач в упрощенной постановке тем не менее весьма громоздки; в) даже практически идентичные задачи, решенные различными методами, имеют решения различного вида. Поэтому ограничимся сравнением наших решений двухслойных задач для систем 1 {Ω1 , Ω2 }1 1 {Ω1 , Ω+ } без источников тела и с однородными начальными условиями с имеющимися в фундаментальной монографии [17]. Опуская необходимые преобразования, приходим к полному совпадению наших решений для функций склейки с таковыми в [17].
§140. Приближенные решения Приближенные решения уравнений склейки, согласно изложенному в трех последних параграфах главы 39, можно искать следующими способами: 1) редукцией матричного уравнения склейки (10.22) к матричным урав-нениям меньшего порядка; 2) заменой граничных слоев Ω1 и ΩN N − слойной системы на слои Ω+1 и Ω+2 (что особенно 223
эффективно для двух – и трехслойных задач); 3) упрощениям вида коэффициентов и правых частей (10.22) за счет использования приближенных функций Грина; 4) использованием асимптотик функций Грина для малых и больших времен; 5) упрощением уравнений склейки при экстремальных значениях параметров (случаи вырождения переноса в одном или нескольких слоях); 6) комбинациями приведенных случаев. Понижение порядка (10.22), т.е. редукция исходной слоистой системы к двум системам меньшего порядка: {Ω1 , Ω2 ..., ΩN } → {Ω1 , Ω2 ..., Ωj−1 Ω1+ } + 1 1
{
+ Ω+2, Ω j +1 ,..., ΩN
}1 возможна, если слой Ω j
l j l1 , l2 , , l j −1 , l j +1 , , lN .
Для
слой
Ωj
существенно шире других, т.е.
моментов
соотношением для зон локализации поля
δ − ( t ) = δ + ( t ) ≤ l j / 2,
1
времени,
определяемых
δ − ( t ) = 4 at , δ + ( t ) = 4 at , при можно
представить
как
два
полубесконечных слоя Ω1+ и Ω2+ . Редукция слоистой модели при вырождении переноса (экстремальном поведении параметров) в Ω j , как следует из (10.49) при всевозможных комбинациях параметров
( l j , λ j / a j = λ j / cν j )
приписывающих нулевые
или бесконечные значения. Использование приближенных функций Грина. Для первого приближения(§118) оно сводится к подстановке в (10.49) выражений для коэффициентов (10.50) и правых частей (10.51), вычисленных по (10.9) ÷ (1) (10.11), (10.14), (10.15) по функциям Грина (табл.8.5) для слоя Ωk (верхние индексы далее опускаем). 30θ + ( t ) G k ,1 ( x, x ', t ) = exp ( −10 Fok ) Ψ1 ( x ) Ψ1 ( x ') , lk (10.90) at x x Fok = k2 , Ψ1 ( x ) = 1 − . lk lk lk Для системы, 1 {Ω1 , Ω2 }1 используя (10.90) и вышеуказанные формулы,
принимая отсутствие в слоях источников тепла и начальную температурную
(
)
однородность u1 ( x, 0 ) = ϕ10 = const , u2 ( x, 0 ) = ϕ20 = const , находим уравнение склейки в первом приближении: (1) ( + ) (1) ( + ) (1)
a1,0 μ0
( p ) + a1,1 μ1 ( p ) + a1,2 μ2( + ) ( p ) = b1,2(1) ( p ) ,
где
224
(10.91)
λ2 2,5 p 2,5 p (1) a1,0 = − 1− , a1,2 = − 1− l1 l2 p + 10a1 / l12 p + 10a2 / l22 λ 2,5 p 2,5 p (1) λ1 2 + 1 + , a1,1 = 1+ 2 2 l1 l p + 10a1 / l1 p + 10a2 / l2 2
λ1
(1)
(
)
(
(1)
b1,2
(
)
(
)
ϕ10 ϕ10 λ λ2 = 5 1 + l1 p + 10a1 / l12 l2 p + 10a2 / l22
(
)
)
, (10.92)
(
)
.
(10.93)
Решение уравнения первого приближения (10.91) имеет вид:
( )
(1) −1 (1) (1) ( + ) (1) ( + ) (+) μ1(1) ( p ) = a1,1 b1,2 − a1,0 μ0 − a1,2 μ2 . (10.94) Сравнение точной и приближенной функции склейки при t → ∞ осуществляем, используя известное соотношение операционного исчисления [32]:
f ( p ) = L { f ( t )} .
f s = f ( ∞ ) = lim f ( t ) = lim pf ( p ) , t →∞
p →0
(10.95)
Из (10.58) и (10.94) с помощью (10.95) получаем:
λ1 ( + ) λ2 ( + ) μ 0,s + μ 2,s
l + + + μ1,( s ) = lim μ1( ) ( t ) = lim pμ1( ) ( p ) = 1 t →∞
p →0
λ1 l1
l2
+
λ2
( +)
+
+
(10.96)
l2
μ1((1)),s = lim μ1((1)) ( t ) = lim p μ1((1)) ( p ) = μ1,( s ) , t →∞ p →0 +
,
+
(10.97)
(+)
где μ 0,s , μ 2,s − стационарные (при t → ∞ ) значения граничных функций. Это же сравненье для значений Fo∈ [ 0; 2, 0] осуществили для модельной
(+) двухслойной задачи при ϕ10 = ϕ10 = 0, μ 0 ( t ) = u0 = const , μ 2( + ) ( t ) = u2 =
= const , Cν 1 = Cν 2 = Cν ,
l1 = l2 = l , λ2 / λ1 = K λ = K a = a2 / a1 ,
1/ 2
+ . Точная функция склейки μ1( ) ( t ) , как и решения задач теплопроводности, может быть представлена в двух видах: 1) удобном при численных расчетах для малых t ( Fo ≤ 0,1) ; 2) удобном при расчетах
δ1 / δ 2 = K 2 /1 = K a
225
для больших t ( Fo ≥ 0, 2 ) [17]. В первом случае, обозначая μ1( + ) ( p ) = μ1,τ ( p ) ,
и разлагая функцию – изображения μ1,τ ( p ) в ряд, быстро сходящийся при
больших p , находим:
μ1,τ ( p ) = u0Φ 0,τ ( p ) + u2 Φ 2,τ ( p ) , Φ 0,τ
2 e−δ1 ( p ) = 0,5 1 + K a p 2 K a0,5 − 1 + K 0,5 a
Φ 2,τ
e
p
K a0,5 − 1 e−3δ1 + 0,5 K +1 p a
−(δ1 + 2δ 2 ) p
p
2 K a0,5 e−δ 2 ( p ) = 0,5 p + 1 K a
p
2 K a0,5 e−(δ 2 + 2δ1 ) − 0,5 p 1 + K a
(10.98)
− (10.99)
+ R0,4 ( p ) ,
K a0,5 − 1 e−3δ 2 + 0,5 p Ka + 1 p
p
p
− (10.100)
+ R2,4 ( p ) .
Здесь R0,4 ( p ) , R2,4 ( p ) − суммы рядов, начинающиеся с членов пятого
(
порядка по qi = exp −δ i
)
p ( i = 1, 2 ) . Поскольку известен табличный
ea p a erfc оригинал [32]: , то находим: p 2 +
e
5δi p
p
2,5 erfc . Fo i
(10.101)
Из таблиц [109] следует, что для Foi ≤ 0,1 значения (10.101) на несколько
1,5 −1 порядков меньше erfc p exp −3δ i p . Остальные члены Fo i рядов R0,4 ( p ) и R2,4 ( p ) дают (при обратном преобразовании Лапласа) еще
(
)
меньшие вклады, Поэтому эти ряды могут быть опущены и в итоге получаем: 2 ( Fo ) + u Φ μ1,τ ( t ) = u0Φ 0,τ 1 2 2,τ ( Fo2 ) , Fo1 = a1 t / l1 , Fo2 = K a Fo1 , (10.102)
226
0,5 K a0,5 − 1 1,5 2 Φ 0,τ ( Fo1 ) = + erfc erfc − 0,5 0,5 K Fo K Fo + + 1 1 1 a 1 a (10.103) 0,5 + K a−0,5 2 K a0,5 erfc − , 0,5 Fo1 1 + Ka 0,5 K a0,5 − 1 1,5 2 K a0,5 erfc erfc Φ 2,τ ( Fo2 ) = + − 0,5 1 + K 0,5 Fo K 1 Fo + 2 a 2 (10.104) a 0,5 + K a−0,5 2 K a0,5 − erfc 1 + K 0,5 Fo 2 a
(+) Для больших t из (10.62), (10.63) получаем, обозначая μ1 ( t ) = μ1T ( t ) :
( Fo ) + u Φ μ1T ( t ) = u0Φ 0,T 1 2 2,T ( Fo2 ) , ∞
sin K a−0,5 xn
n =1
xnQn
)
(10.106)
∞ K 0,5 sin x n 1 − exp − xn2 Fo2 . Φ 2,T ( Fo2 ) = a xn Qn n =1
(10.107)
( Fo ) = Φ 0,T 1
(
(10.105)
1 − exp − xn2 Fo1 ,
(
)
Здесь:
Qn = sin xnsin
(
K a−0,5 xn
)
K a0,5 + K a−0,5 −0,5 − cos xn cos K a xn , (10.108) 2
(
)
xn ( n = 1, 2,3) согласно табл.10.1 имеют значения: при K a = 1, 0 : x1 = 1,57, x2 = 3,12, x3 = 4, 67; K a = 4, 0 : x1 = 2, 29, при x2 = 3,99, x3 = 6, 28; при K a = 11, 0 : x1 = 2, 79, x2 = 4,96, x3 = 7, 76. Оценки показывают, что при Fo ≥ 0, 2 в рядах (10.106), (10.107) можно а величины
ограничиться первыми тремя членами.
Приближенная функция склейки μ1((+1)) ( t ) может быть представлена аналогично:
227
μ1((1)) ( t ) = μ1(1) ( t ) = u0Φ 0(1) ( t ) + u2 Φ 2(1) ( t ) . +
(10.109)
Функции-оригиналы Φ 0(1) ( t ) и Φ 2(1) ( t ) легко (хотя и громоздко) вычисляются по своим Лаплас-трансформантам:
( Φ ( ) ( p) = ( N
) )W ( p ) ,
Φ 0(1) ( p ) = N 0,0 + N 0,1 p + N 0,2 p −1 W0 ( p ) , 21
2,0
+ N 2,1 p + N 2,2 p −1
0
(10.110) (10.111)
где
(
W0 ( p ) = p + 2 Bp + C 2
)
−1
(1 + K )2 + 5 K a a a 21 , , B = 1, 4286 1 + Ka l
2 − 3K a a1 a12 C = 28,5714 K a 4 , N 0,0 = 1, 4286 2 , 1 + K l a l 28, 5714 K a a12 0, 4286 N 0,1 = − , N 0,2 = 4, + 1 + Ka 1 K a l 2K − 3 N 2,0 = a K a N 0,0 , N 2,1 = K a N 0,1 , N 2,2 = K a N 0,2 . − 2 3 K a
Функции-оригиналы Φ 0(1) ( t ) и Φ 2(1) ( t ) приводятся к виду: A0 0, 2143 1 1 − t N Fo exp 1 Φ = + − + ( 1 1) 0(1) ( ) A1 K a A1 (1 + K a ) 0,035K a−1 N12 − 1 (10.112) A0 0, 2143 1 1 + 1 , − exp ( N 2 Fo1 ) + + 1 − −1 2 A1 K a A1 (1 + K a ) 0,035K a N 2 − 1 1 + K a
A0 2 K a − 3 1 t exp N Fo K 0, 2143 1 Φ = + − ( ) ( ) a + 1 1 2(1) A 2 3 K A − 1 a 1 Ka − exp ( N 2 Fo1 ) A0 2 K a − 3 K a + (10.113) + (1 + K a ) 0, 035K a−1N12 − 1 A1 2 − 3K a 1 Ka + Ka . +0, 2143 + 1 − −1 2 A1 (1 + K a ) 0, 035 K a N 2 − 1 1 + K a 228
Численные расчеты осуществлялись для случаев противоположного направления тепловых потоков в системе 1 {Ω1 , Ω2 }1 : A. u0 > 0, u2 = 0;
B. u0 = 0, u2 > 0 . Вычислялись значения функций склейки для точного решения при малых t ( μ1,τ ( t ) ) , для точного решения при больших
(
)
t ( μ1,T ( t ) ) и для приближенного решения μ1,(1) ( t ) , которые
обезразмеривались. В случае А:
μ1,τ ( t ) u0
= θ 1 j ,i ;
μ1,т ( t )
= θ 3 j ,k ;
u0
μ1,(1) ( t ) u0
= θ 5 j ,k
(10.114)
В случае В:
μ1,τ ( t ) u2
= θ 2 j ,i ;
μ1,т ( t ) u2
= θ 4 j ,k ;
μ1,(1) ( t ) u2
(
= θ 6 j ,k . . (10.115)
В (10.114),(10.115) индексы у расчетных величин θ N N = 1, 6
)
соответственно: j = 1, 2,3 − для K a = 1, 0; 4, 0;11, 0; i = 0,10, Fo1 = 0, 01i;
(
)
k = 0,18, Fo2 = 0, 2 + 0,1k . Величины θ N N = 1, 6 совпадают с вели (t ) и Φ ( t ) ν = τ , т, (1) , определенными по (10.103), чинами Φ 0,ν 2,ν
(
)
(10.104), (10.106), (10.107), (10.112), (10.113). Результаты расчетов воспроизведены (частично) на рисунках 10.3÷10.6. На рис. 10.3 приведены графики функций θ 1 j ,i и θ 2 j ,i − безразмерных функций
склейки в «стартовый» период времени ( Fo ≤ 0,1) . При K a = 1, 0 эти кривые совпадают, т.к. однородная система
1
{Ω1, Ω2 }1
не «чувствительна» к
направлению теплового потока. При K a = 4, 0 кривые ведут себя различно: θ 12 проходит ниже, а θ 22 − выше совпадающих кривых θ 11 и θ 22 . Это связано с тем, что при потоке тепла от слоя Ω1 к слою Ω2 , в котором температуропроводность в 4 раза больше, подходящее к границе между Ω1 и Ω2 тепло быстро «перекачивается» в Ω2 . Поэтому θ 12 < θ 11 . При обратном направлении теплового потока (от Ω2 к Ω1 ) напротив, от внешней границы слоя Ω2 , тепло, распространяясь в среде с повышенной теплопроводностью, быстрее
229
достигнет границы между Ω1 и Ω2 , от которой распространяется по слою Ω1 замедленно. В результате θ 22 > θ 21 . Качественно аналогично ведут себя и функции θ 13 и θ 23 (случай
K a = 11, 0 ). Первое из них, как и следовало ожидать, проходит еще ниже, чем θ 12 , а второе – выше θ 22 .Из рис. 10.3 также видно, что существует время задержки, в течение которого функции склейки остаются близкими к начальному, т.е. нулевому значению. При Fo1 = 0, 06 значения всех
θ N ≤ 5 ⋅10−3 , что согласуется с оценкой зоны локализации поля δ = 4 at , 2 т.к. при δ = l , Fo = at / l = 1/16 ≈ 0, 06 . На рис.10.4 приведены кривые θ 5 и θ 6 для приближенного решения уравнения склейки. Кривые K a = 1 вновь совпадают, качественное поведение кривых соответствует предыдущему случаю. Для оценки количественного отличия приближенного решения от точного, на рис.10.5 и рис.10.6 приведены кривые невязок θ 7 = θ 3 − θ 5 и θ 8 = θ 4 − θ 6 для случаев K a = 1, 0 и K a = 4, 0 (для K a = 11 отличие от последнего несущественное). Из рис.10.5 видно, что отличие приближенного решения от точного практически не зависит от времени. Невязка отрицательна, для K a = 1 она, в среднем, составляет 5%, а для K a = 4, 0 ≈ 3,5% . Из рис.10.6 заключаем, что для K a = 1, 0 невязка отрицательна и равна, в среднем, 5,6%, а для K a = 4, 0 невязка положительна и ≈ 8,3%.
Рис. 10.3 Функции θ1(Fo) и θ2(Fo).
230
Рис. 10.4 Функции θ5(Fo) и θ6(Fo). Вырождением переноса в слое Ω j называется, как уже говорилось, быстрая редукция в нем поля к квазистационарному или стационарному
(
)
видам за счет экстремального поведения параметров Ω j a j , l j . Эти параметры присутствуют в решениях в виде безразмерной комбинации – 2
2
числа Фурье Fo j = a j t / l j = t / tr , j , tr , j = l j / a j − время макрорелаксации в слое Ω j (поскольку финишный режим (§134) характеризуется значением
Fo j = Fo j ,3 = 1, 0 ).
Рис. 10.5 Функция θ7(Fo) =θ3(Fo) - θ5(Fo). 231
Рис. 10.6 Функция θ8(Fo) =θ4(Fo) – θ6(Fo). Таким образом, многообразие комбинаций экстремального поведения параметров сводится к двум случаям: 1) tr , j → ∞, tr , j → 0 Первый из них можно трактовать как случай l j → ∞ , т.е. редукции Ω j → Ω+ . Это ситуация «расцепления» слоистой системы на две меньшей размерности. Второй случай – «быстрого» времени в Ω j , в котором можно выделить: а)полное вырождение - tr , j = 0 ; б) частичное вырождение −tr , j ≠ 0 , но tr , j tr ,ν (где ν соответствует всем слоям системы, кроме Ω j ).
При полном вырождении в уравнениях склейки надо осуществить 2 предельный переход tr , j = δ j → 0 . Рассмотрим фрагмент N − слойной
системы – систему
1
{Ωj −1,Ωj ,Ωj +1, }1 . Для неё, согласно (10.75) имеем:
+ + + a j −1, j −2 μ (j −2) + a j −1, j −1 μ (j −1) + a j −1, j μ (j ) = b j −1, j ,
(+)
( +)
(+)
a j , j −1, μ j −1 + a j , j μ j + a j , j +1 μ j +1 = b j , j +1, . Здесь, согласно (10.50), (10.51)
232
(10.116)
a j −1, j − 2 = −
ε j −1 p shδ j −1
p
, a j −1, j = −
ε j −1 p shδ j p
,
a j −1, j −1 = ε j −1 p cthδ j −1 p + ε j p cthδ j p , a j , j −1 = a j −1, j , a j , j +1 = −
ε j +1 p shδ j +1 p
(10.117)
,
a j , j = ε j p cthδ j p + ε j +1 p cthδ j p ,
(
sh δ j −1 pξ / l j −1
b j −1, j = cν j −1
+ cν j
shδ j −1 p
) ,Ψ
+
j −1 Ω j −1
(
)
sh δ j p 1 − ξ / l j ,Ψ j shδ j p
(10.118)
. Ωj
Выражение для b j , j +1 следует из (10.118) при заменах: j − 1 → j , j → j + 1 . Умножая (10.116) на δ j / ε j и переходя к пределу δ j → 0 получаем:
μ (j −1) − μ (j + ) = 0,
+ + − μ (j −1) + μ (j ) = 0,
+
(10.119) т.е. оба уравнения склейки дают соотношение
μ (j +−1) ( p ) = μ (j + ) .
(10.120)
Из последнего следует:
(
)
μ (j ,0) ( p ) = 0,5 μ (j − ) ( p ) + μ (j + ) ( p ) = μ (j − ) ( p ) = μ (j + ) ( p ) = μ j ( p ) +
.(10.121)
Последнее выражение в правой части (10.121) соответствует температуре в точечной (сосредоточенной) модели для Ω j .Температура однородна по слою и зависит только от времени. Найдем, используя (9.19), (9.20) при m = 1, среднюю по слою Ω j температуру V j ( t ) , опуская в (9.19) второе слагаемое
в правой части
233
1 V j ( t ) = u j ,1 lj
t −1 −1 = l j a jλ j λ j Ωj 0
∂u j ∂x
(
= cν j l j
)
−1 t
(−)
q j 0
dt '− λ j dt ' = ∂x x =0 0 (10.122) t
x =l j
∂u j
t
0
( t ') dt ' − q (j+ ) ( t ') dt ' .
Для граничных потоков тепла имеем (10.54), (10.55):
ε j −1 p ( − ) + + q j ( p) = q j ( p) = − μ j −1 + ε j −1 p cth δ j −1 p μ (j −1) + b j(−1) , sh δ j −1 p − ( − ) ε j +1 p ( + ) ( +) ( −) q j ( p ) = q j ( p ) = − ε j +1 p cth δ j +1 p μ j +1 + μ j +1 + b j(+1) . sh δ j +1 p ( −)
(
(+)
(
)
)
(10.123) Учитывая, что (+) ( −)
μ j −1 ( p ) = μ j
( p ) = μ (j+ ) ( p ) = μ (j−+1) ( p ) = μ j ( p )
= V j ( p ) , преобразуя
(10.122) по Лапласу и затем, подставляя (10.123), находим:
a j −2, j −2 μ (j −2) + a j/ −1, j −1 V j + a j , j +1 μ (j +1) = b j/ ( p ) , +
+
(10.124)
где
a j/ −1, j −1 = ε j −1 p cthδ j −1 p + ε j +1 p cthδ j +1 p − γ j p, b j/
( −)
(+)
= b j +1 − b j −1 , γ j = cν j l j
(10.125)
Уравнение (10.124) в этом приближении заменяет систему уравнений (10.116), так что число уравнений склейки и число неизвестных функций склейки уменьшается на единицу. Оценим соотношение характерных времен, при котором приближение полного вырождения дает ошибку ~ 1% (здесь учитывается, что случай tr , j = 0 есть идеализация, а практически данное приближение годится при достаточно малых tr , j ; мера этой малости и устанавливается). Согласно § 134, первое пороговое значение (т.е. верхняя граница стартового интервала в иерархии пороговых времен) Fo j +1,1 = 0, 06 .
Этому
значению
Fo j +1,1
должно
соответствовать
значение
Fo j = Fo j ,3 = 1, 0 (верхняя граница квазистационарного интервала в Ω j ). Из условия совпадения размерных (физических) значений t следует: 234
t = Fo j +1,1tr , j +1 = 0, 06tr , j +1 = Fo j ,3 tr , j = tr , j , tr , j = 0, 06 tr , j +1 . (10.126) Последнее в (10.126) соотношение при поочередной фиксации (на уровне значений параметров в Ω j+1 ) параметров a j и l j , дает:
l j = 0, 245l j +1 , a j = 16, 667 a j +1 .
(10.127)
Это приближение, по аналогии со случаем быстрого перемешивания жидкой среды, может быть названо «конвективной ячейкой» в Ω j . При частичном вырождении tr , j < tr , j +1 , но таково, что Fo j +1,1 = 0, 06 соответствует
верхняя
граница релаксационного интервала Fo j ,2 = 0,5
(§ 134). Это, аналогично предыдущему, даёт оценки:
t = Fo j +1,1tr , j +1 = 0, 06tr , j +1 = Fo j ,2tr , j = 0,5tr , j ; tr , j = 0,12tr , j +1 . (10.128) l j = 0,346l j +1 , a j = 8,333a j +1 .
(10.129)
Температурное поле в Ω j будет при этом квазистационарным:
x − + − u j ( x, t ) = μ (j ) ( t ) + μ (j ) ( t ) − μ (j ) ( t ) . lj
(10.130)
Граничные плотности потоков тепла будут совпадать: − + q (j ) ( t ) = q (j ) ( t ) = −λ j
∂u j ∂x
= −λ j x =0
∂u j ∂x
=− x =l j
λj
μ ( + ) ( t ) − μ ( − ) ( t ) , j j lj (10.131)
что приводит к упращению системы (10.116):
λ j (+) λ j (+) +) ( a j −2, j −2 μ j −1 + ε j −1 pcth δ j −1 p − μ j −1 + μ j −1 = −b j −1 , l j lj λ j (+) λ j (+) + + μ j −1 + ε j +1 pcth δ j +1 p − μ j + a j , j +1μ (j +1) = b j(+1) . (10.132) lj l j (+)
Приближение (10.132) – частичное вырождение переноса в Ω j - описывает математически единообразно две физически различные модели. Первая 235
модель - «оболочки» - возникает при малости tr , j за счет малости l j или большой величины случаев малых l j
λ j . Вторая модель - «прослойки» - характерна для и cν j , когда слой Ω j
моделирует термическое
сопротивление между слоями Ω j−1 и Ω j+1 (т.е. ситуацию «неидеального теплового контакта»). В последнем случае в исходные данные задачи обычно входит термическое сопротивление R j = l j / λ j , которое и надлежит подставить в (10.132).
§141. Усложнённые модели Рассматриваются усложненные модели переноса в плоских слоистых системах. Это модели с неоднородными условиями склейки и модели, учитывающие конвекцию и конверсию в слоях. Поскольку асимптотические и вырожденные случаи переноса могут быть рассмотрены по аналогии с § 140, ограничиваемся получением уравнений склейки. Неоднородные условия склейки. Неоднородными, в отличие от использовавшихся ранее однородных, будем называть условия склейки с отличным от нуля скачком температур и потоков тепла на границах между слоями. В теории диффузионных процессов [124÷126], например, встречается условие C1 ( x, t ) = mC2 ( x, t ) , m ≠ 1, в котором Ci ( x, t )
( i = 1, 2 ) −
г-0
г+0
концентрация диффузанта в двух средах, m именуется коэффициентом распределения, а г - граница между разнородными диффузионными средами. Неоднородное условие склейки потоков тепла возникает при наличии сосредоточенных на границе источников (стоков) различной природы и т.п. Обобщая все аналогичные случаи, рассмотрим для границы слоев Ωk и Ωk +1 преобразованные по Лапласу неоднородные условия склейки следующего вида: + − 1 + 2 − μk( ) − μ k( +1) = α k( ) μk( ) + α k( ) μk( +1) , (10.133) + − 1 + 2 − 0 1 + 2 − qk( ) − qk( +1) = α k( ) μk( ) + α k( ) μk( +1) + β k( ) jk ,k +1 + β k( ) qk( ) + β k( ) qk( +1) ,
(10.134)
(1) ( 2 ) (1) ( 2 ) (1) ( 2 ) ( 0 ) где α k , α k , β k , β k − безразмерные, а α k , α k , β k − размерные коэффициенты, определяемые конкретной моделью переноса. Функция jk ,k +1 ( t ) описывает динамику граничных источников. Переопределив коэффициенты, в правые части оригиналов (10.133), (10.134) можно также включить линейные комбинации производных и интегралов по времени от всех функций. Перепишем (10.133) в виде: 236
(−)
1 − α k( ) 1
(+)
μk −1 = mk ,k +1 μk , mk ,k +1 =
(10.135)
( 2)
1 + αk
Подставив в (10.134) выражения (10.54), (10.55) и (10.135), получим обобщение уравнения склейки (10.49) на случай неоднородных условий (10.133), (10.134): n + n + n + n ak( ,k)−1μk( −1) + ak( ,k) μk( ) + ak( ,k)+1 μk( +1) = bk( ) ,
где
)
(
n 1 ak( ,k)−1 = 1 − β k( ) mk −1,k ak ,k −1 ,
)
(
)
(
n 2 ak( ,k)+1 = 1 + β k( ) ak ,k +1 , (10.137)
)
(
(10.136)
)
(
n 1 2 1 2 ak( ,k) = − 1 − β k( ) ak ,k −1chδ k p + 1 + β k( ) mk ,k +1 ak ,k +1chδ k p + α k( ) + α k( ) mk ,k +1 , (10.137)
n 0 1 + 2 − bk( ) = bk + β k( ) jk ,k +1 + β k( )bk( ) + β k( )bk(+1) .
(10.138)
Если в (10.137), (10.138) перейти к однородным условиям склейки, т.е. положить
1 0 1 2 mk −1,k = mk ,k +1 = 1, α k( ) = β k( ) = β k( ) = β k = β k( ) = 0,
(10.136) совпадет с (10.49). Из (10.136) следует, что матрица A
( n)
то
= ai(, j ) , n
как и A = ai , j , является трехдиагональной, но симметричности в общем
( n)
( n)
случае нет: ak ,k +1 ≠ ak +1,k . Рассмотрим два характерных частных случая неоднородных условий склейки. А. «Диффузионное» условие (10.135) для склейки температур и однородное – для потоков. Положив в (10.137), (10.138) (1) ( 2) ( 0) α k = α k = β k = β k(1) = β k( 2 ) = 0 , находим:
ak( ,k)−1 = mk −1,k ak ,k −1 , ak( ,k)+1 = ak ,k +1 , n
n
ak ,k
n = − ak ,k −1chδ k p + mk ,k +1 ak ,k +1chδ k +1 p , bk( ) = bk .
Б.
Однородное
( n)
условие
(10.133)
для
склейки
неоднородное (10.134) – для потоков. В (10.133) положим
(10.139)
температур (1) ( 2 )
и
αk = αk = 0 ,
тогда, согласно (10.135), mk −1,k = mk ,k +1 = 1. Рассматривая неоднородность, обусловленную (1) ( 2) (1)
α k = α k = βk
граничным источником, положим: 2 = β k( ) = 0 . Тогда из (10.137) и (10.138) следует:
237
ak( ,k)−1 = ak ,k −1 , ak( ,k)+1 = ak ,k +1 , ak( ,k) = ak ,k , n
n
n
(n)
bk , = bk + jk ,k +1.
(10.140)
Полученное для уравнения склейки в этом случае единственное отличие от (10.49) (наличие «добавки» jk ,k +1 в правой части) легко может быть устранено «включением» граничного источника в любой из слоев (или в оба). (n) Действительно, в любом из трех случаев замены Ψν → Ψν (ν = k , k + 1) :
jk ,k +1 (n) 1) Ψ k = Ψ k +
( ρ c )k
δ ( x − lk ) , Ψ (k +)1 = Ψ k +1 , n
jk ,k +1 (n) ( n) Ψ = Ψ , Ψ = Ψ + δ ( x) 2) k k k +1 k +1 ( ρ c )k +1 1 jk ,k +1 ( n) 3) Ψ k = Ψ k + 2 ( ρ c )k
δ ( x − lk ) , Ψ (k +)1 = Ψ k +1 + n
1 jk ,k +1 δ ( x) , 2 ( ρ c )k +1
получаем совпадение уравнений склейки (10.136) и (10.49). Модели с конвекцией и конверсией возникают при наличии в среде (горном массиве) фильтрации флюида и (или) линейных по температуре источников (стоков) тепла. Ранее приводилось уравнение (8.45), учитывающее эти эффекты в линейном приближении. При установившемся режиме фильтрации, ее скорость, в зависимости от параметров пористой (трещиновато-пористой) среды, может быть различной в различных зонах горного массива. Для слоистых моделей переноса естественно считать скорость фильтрации в каждом из слоев системы различной и постоянной. Уравнение теплопереноса (уравнение Фурье-Кирхгофа) в слое Ωk уравнение (8.45) в обобщенном виде – таково: c c ( x, t ) , L( c ) = ∂ + ϑ ∂ + h − a ∂ 2 . L(k )uk( ) ( x, t ) = Ψ k t k x k k x k
(10.141)
(c) (c) Здесь uk ( x, t ) = θ + ( t ) uk ( x, t ) ,
c uk( ) ( x, t ) − решение первой краевой задачи в области Ωk для уравнения (8.45), ϑk − скорость фильтрации флюида в Ωk , hk − коэффициент конверсии, положительный в Ωk при
поглощении тепла. Полная плотность потока тепла (состоящая из кондуктивной и конвективной компонент) записывается в виде [17,18]: c ∂uk( ) c qk ,c = −λk + ( ρ c )k ϑk uk( ) , (10.142)
∂x
что несколько усложняет получение уравнения склейки. Необходимо во второе из граничных условий IУ - го рода (условие склейки на границе слоев 238
Ωk и Ωk +1 плотностей потоков тепла) подставлять выражение (10.142) в
(c) котором полевая функция −uk ( x, t ) не совпадает по виду с uk ( x, t ) . Воспользуемся представлением решения в форме потенциала
(см. § 110), в котором функция Грина для уравнения (10.141) - G k ,c ( x, x ', t ) определяется решением краевой задачи (8.140) и имеет вид (8.145) (в этих
(1)
формулах G k ,c ( x, x ', t ) обозначена как G k ,ϑ ( x, x ', t ) ). Условие склейки плотностей потоков тепла (10.142) на границе слоев Ωk и Ωk +1 принимает вид: c c ∂uk( ) ∂uk( +)1 (+)
−λk
∂x
+ λk +1
∂x
x =lk
= ( ρ c )k +1 ϑk +1 − ( ρ c )k ϑk μ k
(t ).
x =0
(10.143) Выражение (10.143) преобразуется по Лапласу и в него подставляются выражения для Лаплас-трансформант слагаемых в левой части. Обозначаем: c c ∂uk( ) ∂uk( +1) +) −) ( ( (10.144) −qk ,c = − λk , qk +1,c = − λk +1
∂x
∂x
x =lk
x =0
и для этих выражений записываем, по аналогии с (10.7), (10.8): + + + ,− + + ,+ + qk( ,c) = − λk g k( ,c) , Ψ k − ak λk hk(,c ) ⋅ μk( −1) − hk(,c ) ⋅ μk( ) , (10.145)
Ωk
qk( +1,) c = − λk +1 g k( +1,) c , Ψ k +1 −
−
(
(
) (
) (
)
−,− + − ,+ + − ak +1λk +1 hk(+1,c) ⋅ μk( ) − hk(+1,c) ⋅ μk( +1) Ωk +1
) ,
(10.146) Из (10.143) – (10.146) следует искомое уравнение склейки:
c + c + c + c ak( ,k)−1 μk( −1) + ak( ,k) μk( ) + ak( ,k)+1 μk( +1) = bk(,k)+1 ,
где
(10.147)
c + ,− c −,+ ak( ,k)−1 = − ak λk hk(,c ) , ak( ,k)+1 = −ak +1λk +1hk(+1,c) ,
c + ,+ c − ,− ak( ,k) = −ak λk hk(,c ) + ak( +1) λk +1hk(+1,c) + δ ak ,k , δ ak ,k = ( ρ c )k ϑk − ( ρ c )k +1 ϑk +1 ,
bk(,k)+1 = λk g k( ,c) , Ψ k c
+
− λk +1 g k( +1,) c , Ψ k +1 −
Ωk
Ω k +1
(10.148)
Параметры h и g в (10.147) и (10.148) определяются по формулам (10.9) – (10.11), в которых учитывается, что Лаплас – трансформанта функции Грина Gk ,c ( x, x ', p ) имеет, в соответствии с (8.145), вид: 239
ϑ Gk ,c ( x, x ', p ) = exp k ( x − x ') Gk , ( x, x ', pk ) , 2ak
(10.149)
pk = p + β k , β k = hk + ϑk2 / 4ak . В итоге находим: (+)
+ g k ,c = exp (ϑk lk / 2ak ) exp (ϑk x '/ 2ak ) g k( ) ( x ', pk ) ,
g k( +1,) c = exp (ϑk +1 x '/ 2ak +1 ) g k( +1) ( x ', pk +1 ) , −
( + ,− )
hk ,c
−
( + ,− )
= exp (ϑk lk / 2ak ) hk
( pk ) ,
( + ,+ )
hk ,c
( + ,+ )
= hk
( pk ) ,
(10.150)
−,+ − ,− −,− − ,+ hk(+1,c) = hk(+1 ) ( pk +1 ) , hk(+1,c) = exp ( −ϑk +1lk +1 / 2ak +1 ) hk(+1 ) ( pk +1 )
Подстановка (10.150) в (10.148) дает: (c)
ak ,k −1 = ak ,k −1 ( pk ) exp (ϑk lk / 2ak ) ,
ak( ,k)+1 = ak ,k +1, ( pk +1 ) exp ( −ϑk +1lk +1 / 2ak +1 ) , c
(10.151)
(c)
ak ,k = ak ,k ( pk , pk +1 ) + δ ak ,k , ak ,k ( pk , pk +1 ) =
(
)
= − ak ,k −1 ( pk ) chδ k pk + ak ,k +1 ( pk +1 ) chδ k +1 pk +1 ,
ϑ c + bk(,k)+1 = ( ρ c )k K k( ) ( x ', pk ) , Ψ k exp k ( lk − x ') 2ak ϑ x' − + ( ρ c )k +1 K k( +1) ( x ', pk +1 ) , Ψ k +1 exp k +1 2ak +1
+ Ωk
Ω k +1
(10.152)
Таким образом, для модели переноса с конвекцией и конверсией получено уравнение склейки стандартного вида (10.147), но с модифицированными коэффициентами (10.151) и правой частью (10.152). Модели такого типа, наряду с горной теплофизикой (перенос примесей по цепи горных выработок), встречаются при инженерных расчетах процессов переноса в неоднородных средах и в химико-технологических процессах. [127÷129].
240
Глава 42. СФЕРИЧЕСКИЕ СЛОИСТЫЕ СИСТЕМЫ
§142. Вывод уравнений склейки Уравнения склейки получим, определив коэффициенты и правую часть в (10.13) по формулам (10.14) и (10.15), в которых учтены Лаплас-трансформанты (10.9) – (10.11). Используются также Лаплас-трансформанты функций ( 3)
Грина Gγ
(η ,η ', p )(ν = 0, k , + ) .
{
( 3)
( 3)
}
Уравнение склейки для системы Ωk , Ωk+1 . Функция Грина для ( 3)
слоя Ωk
имеет вид:
nπ θ+ (t ) 1 ∞ ( 3) Gk ( r , r ', t ) = exp − 2πΔrk rr ' n =1 Δrk
2 r − r r '− r k −1 k −1 ak t sin nπ sin nπ Δ Δ r r k k
Сопоставление (10.153), после замен r − rk −1 = x, r '− rk −1
(10.153) = x ', Δr − rk = l ,
(1)
(1)
с выражением для функции Грина плоского слоя Ωk − G k позволяет записать:
( 3)
Gk
( 3)
( r , r ', t ) = Gk ( x, x ', t ) =
Из (10.9) и (10.154) следует:
1 G k( ) ( x, x ', t )
.
4π ( rk −1 + x )( rk −1 + x ' )
3 ∂G k( ) g k ,3 ( r , ' t ) = ∂r
(+)
r = rk
3 ∂G k( ) = ∂x
( x, x ', t ) (10.154)
= x =lk
−1 ∂ 1 = 4π ( rk −1 + x )( rk −1 + x ' ) G k( ) ( x, x ' t ) + (10.155) = x l ∂x x =lk k 1 ∂G k( ) 1 + 4π rk ( rk −1 + x ' ) ∂x
= x =lk
+ g k( ,1) ( x, ' t )
4π rk ( rk −1 + x ' )
.
По аналогии с (10.155) (т.е. положив k → k + 1 ) находим:
∂G k( +)1 g k + `1,3 ( r , ' t ) = ∂r ( −)
3
∂G k( +)1 = ∂x 3
r = rk
= x =0
−) g k( +1,1 ( x ', t )
4π rk ( rk + x ' )
.
Правая часть искомого уравнения склейки, после замен x → r − rk −1 , 241
(10.156)
x → r − rk , lk → Δrk , lk +1 = Δrk +1 , согласно (10.15) и (10.51) принимает вид:
bk(,k)+1 ( p ) = ( ρ c )k K k( ,3) , Ψ k +
3
( ) 3) + ( ρ c ) k +1 K k +1,3 , Ψ k +1 ( Ω −
k
( 3) Ω k +1
=
3 r '− rk −1 sh δ k( ) p rk r Δ 2 k = ( ρ c )k dr ' ( r ') Ψ k + 3 rk −1 rk shδ k( ) p 3 r '− rk sh δ k( +)1 p 1 − rk +1 Δrk 2 + ( ρ c )k +1 dr ' ( r ' ) Ψ k +1 3 rk rk sh δ k( +)1 p
(10.157)
.
( 3) ( 3) В (10.157): δ k + Δrk / ak , δ k +1 = Δrk +1 / ak +1 . Находим коэффициенты уравнения склейки. Из (10.14) имеем: 3 + ,− 3 −,+ ak( ,k)−1 = 4π ak λk rk2−1 hk(,3 ) , ak( ,k)+1 = 4π ak +1 λk +1 rk2+1 hk(+1,3) , (10.158)
(
3 + ,+ − ,− ak( ,k) = −4π rk2 ak λk hk(,3 ) + ak +1 λk +1 hk(+1,3)
)
(10.159)
Согласно (10.9) ÷(10.11):
( + ,− )
hk ,3
+
=
( + ,+ )
hk ,3
∂ g k( ,3) ∂r '
,
hk +1,3 =
r '= rk −1
∂g k( ,3) +
=
( −,+ )
∂r '
( −,− )
, hk +1,3 = r '= rk
) ∂ g k( +1,3 −
∂r '
,
(10.160)
r '= rk +1
) ∂g k( +1,3 −
∂r '
.
(10.161)
r '= r
Преобразив по Лапласу (10.155) и (10.156) и вернувшись к первоначальным обозначениям, получим: + −) g k( ,1) ( r ', p ) g k( +1,1 ( r ', p ) (10.162) (+) ( −) g k ,3 ( r ', p ) = , g k +1,3 ( r ', p ) = .
4π rk r '
4π rk r '
Из равенства функций Грина на границах слоев нулю, следует, что
242
g k( ,1) ( r ', p ) +
) = g k( +1,1 ( r ', p ) −
r '=rk −1,r '=rk
r '= rk ,r '=rk +1
= 0.
(10.163)
Из (10.160) ÷ (10.163) следует:
( + ,− )
hk ,3
ak( ,k) −1 1
=
r + ,− 3 1 , ak( ,k)−1 = 4π ak λk rk2−1 hk(,3 ) = k −1 ak( ,k) −1 . rk −1rk ak λk rk
Аналогично находим: rk +1 (1) ( 3)
ak ,k +1 =
rk
ak ,k +1 , ak( ,k) = ak( ,k) + 3
(1)
Здесь коэффициенты ai , j
1
( p )( i = k ,
Δλk , Δλk = λk +1 − λk . rk
(10.164)
(10.165)
j = k − 1, k , k + 1) определены (10.50), в
( 3) которых осуществлены замены δ i → δ i = Δri / ai ( i = k , k + 1) . Таким образом, получено уравнение склейки, после умножения обеих частей которого на rk имеем:
( 3)
3 + 3 + 3 + 3 ak( ,k)−1 μk( −1) + ak( ,k) μk( ) + ak( ,k)+1 μk( +1) = bk(,k)+1 .
(10.166)
Здесь bk ,k +1 совпадает с (10.157), умноженным на rk , а коэффициенты имеют вид: r ε p 3 1 ak( ,k)−1 ( p ) = rk −1ak( ,k) −1 ( p ) = − k −1 3k , ( ) sh δ k p (10.167)
ak( ,k)+1 ( p ) = rk +1ak( ,k) +1 ( p ) = − 3
1
rk +1ε k +1 p sh δ k( +)1 p 3
,
(
3 3 3 ak( ,k) ( p ) = Δλk + rk ε k p cth δ k( ) p + ε k +1 p cth δ k( +)1 p
)
(10.168)
Рассмотрим (10.166) при предельном переходе к случаю непрерывнонеоднородной сплошной среды (для плоских слоистых систем это было осуществлено в § 139 и привело к «правильному» уравнению в частных производных). Полагаем:
μk( + ) ( p ) → u ( r , p ) , μk( +−1) ( p ) → u ( r − dr , p ) , μ k( ++1) ( p ) → u ( r + dr , p ) , Δrk → dr , ε k → ε ( r ) = λ ( r )( ρ c )( r ) , δ k( ) → dr / a ( r ) 3
В итоге (10.166) приводится к виду
243
( ρ с ) pu ( r , p ) =
d du λ r ( ) dr dr
2λ ( r ) du + ( ρ c )( r ) Ψ ( r , p ) (10.169) + r dr
и после обратного преобразования Лапласа переходит в «правильное» уравнение:
∂u 1 ∂ 2 ∂u = 2 r λ ( r ) + ( ρ c )( r ) Ψ ( r , t ) . (10.170) ∂t r ∂r ∂r . Также легко проверяется, что после замен Δrk → lk , Δrk +1 → lk +1 и перехода rk → ∞ в (10.167), (10.168), уравнение склейки для сферических
( ρ с )( r )
слоев (10.166) переходит в уравнение склейки для плоских слоев (10.49). Если в (10.166) умножить обе части на p и перейти к пределу p → ∞ , то получим, что при t → +0 из этого уравнения следует:
μ k( + ) ( +0 ) =
ε k ϕk ( rk − 0 ) + ε k +1ϕk +1 ( rk + 0 )
(10.171)
ε k + ε k +1
Что совпадает с ранее полученной такой же формулой для уравнения склейки для плоских слоев [20]. Уравнение склейки для системы
{Ω( ) , Ω( ) } . 3
3
0
1
Поскольку ранее
(§115) было показано, что функции Грина для конечных слоев Ων( m) (ν = 0, k ) путем переобозначений и предельных переходов преобразуются в функции Грина центральных
{Ω( ) } m
0
{Ω } m +
и сингулярных
{
( 3)
( 3)
уравнения склейки (10.166) для систем Ω0 , Ω1
слоев, модефикация
} ,{Ω( ) , Ω( ) } ,{Ω( ) , Ω( ) } 3
0
3
+
3
1
3
+
не вызывают затруднений. Для первой из этих систем, в частности, положив в (10.166) ÷ (10.168):
k = 0, r−1 = 0, r0 − r−1 = Δr0 = r0 , r1 − r0 = Δ r1 , ak(,3k)−1 = 0,
Получаем:
( 3) ( + ) ( 3) ( + ) a0,0 μ0 + a0,1 μ1 = b0,1(3)
.
Аналогично можно найти и другие уравнения склейки.
244
(10.172)
(10.173)
§143. Двухслойные модели
{Ω( ) , Ω( ) } ,{Ω( ) , Ω( ) } , 3
Для двухслойных сферических систем,
3
1
2
3
0
3
1
{Ω( ) , Ω( ) }{Ω( ) , Ω( ) } , как и для их аналогов с плоскими слоями, имеется 3
0
3
3
+
3
+
1
одно уравнение склейки, содержащее одну неизвестную функцию склейки.
{
( 3)
( 3)
Для системы Ω1 , Ω2
} из (10.166) при k = 1 находим:
( ) ( ) ( ) ( ) a1,0 μ0 + a1,1( ) μ1( ) + a1,2 μ2 = b1,2( ) , +
3
где
3
+
+
3
3
(10.174)
( 3) (1) ( 3) (1) a1,0 = r0 a1,0 , a1,2 = r2 a1,2 , a1,1(3) = Δλ2 + r1a1,1(1) ,
b1,2( ) 3
3 r '− r0 sh δ1( ) p Δr1 2 = ( ρ с )1 dr '⋅ (r ') Ψ1 + ( 3) sh p δ r 1
(10.175)
r1
0
+ ( ρ с )2
(10.176)
3 r '− r0 sh δ 2( ) p Δ r 2 2 , 3 r dr '⋅ (r ') Ψ 2 sh δ 2( ) p
r2 1
() a1,0 =− 1
ε1 p ε2 p (1) , a = − , 1,2 3 3 sh δ1( ) p sh δ 2( ) p
(10.177)
a1,1(1) = ε1 p cthδ1( 3) p + ε 2 p cthδ 2( 3) p . Функции
μ0( + ) ( p ) и μ2( + ) ( p ) в (10.174) полагаются известными (граничные
условия), что позволяет сразу найти (+)
( p ) = ( a1,1 )
( 3)
(+)
μ1 L0 где ( 3)
L0
( p) = −
( 3)
−1
μ1( + ) ( p ) :
( 3) ( + ) ( 3) ( + ) b1,2( 3) − a1,0 a − μ μ2 = 0 1,2 ( 3)
( 3)
( 3)
(+)
( p ) μ0 ( p ) + L1 ( p ) b1,2 ( p ) + L2 ( p ) μ2 ( p ) , ( 3) r0 a1,0
Δλ2 + r1 a1,1(1)
( 3)
, L1
(10.178)
(1) r2 a1,2 1 ( 3) , L2 = − = (10.179) Δλ2 + r1 a1,1(1) Δλ2 + r1 a1,1(1)
Обратное преобразование Лапласа в (10.178) довольно трудоёмко, в ( 3)
( +)
особенности при произвольных b1,2 ( t ) , μ0
245
( t ) , μ2( +) ( t ) . При рассмотрении
конкретных моделей, в (19.178) возможны различные упрощения. Рассмотрим случаи решений, удобных при малых и больших t . Первые справедливы для значений Fo ≤ 0,1, а вторые – для Fo ≥ 0, 2 . Решения для малых t получим, разлагая функции – изображения
(
)
Li( 3) ( i = 0,1, 2 ) в ряды по степеням exp −δ i( 3) p и ограничиваясь двумя первыми членами разложения. Получаем:
L0( ) ( p ) L0,( τ) ( p ) = 3
2r0ε1 p
3
Δλ2 + r1 p ( ε1 + ε 2 )
(
exp −δ1(
3)
)
p ,
−1
L1( 3) ( p ) L1,(3τ) ( p ) = Δλ2 + r1 p ( ε1 + ε 2 ) ,
L(2 ) ( p ) L2,( τ) ( p ) = 3
2r2ε 2 p
3
Δλ2 + r1 p ( ε1 + ε 2 )
.
(10.180) (10.181) (10.182)
( 3) Функция – оригинал L1 ( t ) может быть легко найдена по таблицеам [32], ( 3)
( 3)
для функций L0 ( p ) и L2 ( p ) задача нахождения функций – оригиналов также разрешима [130], однако выражения для них будут весьма громоздкими. Для получения обозримого решения, в рассматриваемой модельной задаче будем предполагать отсутствующими источники тепла, а начальные условия – однородными. Граничные функции задаём в виде:
μ 0( + ) ( t ) = u0 = const , μ 2( + ) ( t ) = u2 = const ( t > 0 ) . В этом случае имеем: ( ) Ψ1 ( r , p ) = Ψ 2 ( r , p ) = 0, b1,2 ( p ) = 0, μ 0( 3
(+)
μ1
+)
( p) =
u0 u + , μ2( ) ( p ) = 2 p p
L0,(3τ) ( p ) L(2,3τ) ( p ) ( 3) ( 3) u0 + u2 = u0 Φ 0,τ ( p ) + u2 Φ 2,τ ( p ) ( p ) = p p ( 3)
( 3)
(10.183)
(t ) и Φ ( t ) , с учетом (10.180), (10.181), (10.183) Функции-оригиналы Φ 0,τ 2,τ находятся с помощью таблиц обратного преобразования Лапласа [130]: ( 3) ( t ) = Φ 0,τ
1 2 exp ( A02 Fo1 + A1 ) ⋅ erfc + A0 Fo1 , (10.184) 2 Fo α1 (1 + Kε ) 1
( 3) ( t ) = 2α 2 Kε exp ( A2 Fo + A ) ⋅ erfc 1 + A Fo , Φ 2 2 2 2 2 2,τ 2 Fo 1 + Kε 2
246
(10.185)
где
α i = ri / ri −1 , Foi = ai t / ( Δri ) , Δri = ri − ri −1 , i = 1, 2 2
(
A0 = ( K λ − 1) 1 + K ε ε
2
1
) (1 − α ) , A −1
2
−1 1
a
1
2
2
= ( K λ − 1) (1 + Kε ) K a−0,5 (α 2 − 1) , −1
1
K = ε / ε , Kλ = λ / λ , K = a / a .
(10.186)
Решение для функции склейки имеет вид:
(3) ( Fo ) + u Φ ( 3) μ1,( τ+ ) ( t ) = u0 Φ 0,τ 1 2 2,τ ( Fo2 )
(10.187)
Решения (10.187), как легко убедиться, удовлетворяет принятым начальным условиям. Решения для больших t получим, разлагая функции – изображения
Φ (0, т) ( p ) = p −1 L0( ) ( p ) и Φ (2, т) ( p ) = p −1L2( ) ( p ) в ряды, сходящиеся при малых p и ограничиваясь членами второго порядка по p 3
3
3
Получаем:
Φ (0,т) ( p )
r0ε1
3
Φ (2, т) ( p )
3
ε ε r δ p Δλ2 + r1 1 + 2 + 1 (δ1ε1 + δ 2ε 2 ) p δ1 p 1 + 6 δ1 δ 2 3 2 1
(10.188)
r2ε 2
3
,
ε ε r δ δ 2 p 1 + p Δλ2 + r1 1 + 2 + 1 (δ1ε1 + δ 2ε 2 ) p 6 δ1 δ 2 3 2 2
.
(10.189) Осуществив обратные преобразования Лапласа в (10.188) и (10.187), находим: где
( 3) ( Fo ) + u Φ ( 3) ( Fo ) , μ1,( +т) ( t ) = u0 Φ 0, т 1 2 2, т 2
(10.190)
( 3) ( Fo ) = B 1 − exp ( − B Fo ) , Φ (3) ( Fo ) = B 1 − exp ( − B Fo ) , Φ 0, т 1 0 01 1 2, т 2 2 21 2
(10.191)
−1
−1
α −1 α −1 −1 B0 = 1 + 1 α 2 K λ , B2 = 1 + 2 (α 2 K λ ) , α2 −1 α1 − 1
(10.192)
−1
α − 1 (α − 1) + (α 2 − 1) α1 K c B01 = 6 1 + 2α1 2 1 , K − − + − α 1 α 1 α 1 α 1 ( 2 ) ( 1 ) 2 λ 247
(10.193)
−1
2 K a α1 − 1 (α1 − 1) + (α 2 − 1) α1 K c B21 = 6 1 + , − − + − α α 1 α 1 α 1 α K ( 2 ) ( 1 ) 2 λ 1 2
(10.194)
αi = ri / ri −1 , Kc = ( ρ c )2 / ( ρ c )1 , Foi = ai t / ( Δri ) , i = 1, 2. (10.195) 2
Аналогичным образом могут быть получены решения для малых и больших t для других двухслойных систем. Для трехслойных сферических систем, как и для цилиндрических, целесообразно (ввиду существенного упрощения хода и вида решения) использовать приближенный метод, т.е. определять компоненты уравнений склейки на основе приближенных функций Грина (Глава 36). Осуществим проверку соответствия (10.190) при t → ∞ решению стационарного уравнения склейки. Полагаем, что + + + lim μ1,( т) ( t ) = μ1,( s) = μ1,( s) ( u0 , u1 ) = const.
(10.196)
t →∞
Поскольку при t → ∞ и Fo1 , Fo2 → ∞ , из (10.190) ÷ (10.192) следует:
μ1,( +s) = u0 B0 + u2 B2 =
u0 α1 − 1 + α 1 K 2 λ α2 −1
+
u2 α2 −1 −1 + α 1 K ( ) 2 λ α1 − 1
{
( 3)
( 3)
Стационарное поле в двухслойной системе Ω1 , Ω0 тепла удовлетворяет граничной задаче:
(10.197 )
} без источников
λ1 d
2 du1 r (10.198) = 0, u1 = u1 ( r ) , r ∈ ( r0 , r1 ) , r 2 dr dr λ2 d 2 du2 (10.199) r = 0, u2 = u2 ( r ) , r ∈ ( r1 , r2 ) , r 2 dr dr u1 ( r0 ) = u0 , u1 ( r1 ) = u1, s u2 ( r1 ) = u1 ( r1 ) = u1, s , u2 ( r2 ) = u2 . (10.200)
Граничными условиями (10.200) учитывается непрерывность поля температур на границе r = r1 между слоями, а u1, s является неизвестным параметром (стационарной функцией склейки). Интегрируя уравнения (10.198), (10.199) с учетом условий (10.200), находим:
r r − r0 r2 r − r1 , u1 ( r ) = u0 + ( u1, s − u0 ) 1 u r u u u = + − ( ) ( ) . 2 1, s 2 1, s r r1 − r0 r r2 − r1
(10.201)
248
Для определения входящего в (10.200) неизвестного параметра воспользуемся вторым из граничных условий 1У-го рода – непрерывности плотности потока тепла на границе r = r1 :
λ1
du1 du 2 = λ2 dr r = r dr r = r 1 1
(10.202)
Подстановка (10.201) в (10.202) даёт:
λ1
u0 +
λ2α 2
Δr2 α Δr u1, s = 1 1 λ1 λα + 2 2 α1Δr1 Δr2
u2 .
(10.203)
Из (10.195) и (10.197) после простых преобразований следует:
μ1,( +s) = u1, s
(10.204)
Таким образом убеждаемся в том, что (10.190) при t → ∞ ведет себя «правильно». Если в (10.203) осуществить предельный переход к системе двух плоских слоев (для чего достаточно положить: Δr1 = l1 , Δr2 = l2 ,
r0 , r1 , r2 → ∞, α1 , α 2 → 1) то эта формула совпадает с (10.97).
{
}
Для системы Ω0( 3) , Ω1(3) имеем уравнение склейки (10.173). При ранее принятых модельных упрощениях, оно принимает вид:
a
(3) μ ( + ) + a ( 3) μ ( + ) = 0,
0, 0
0
0,1
(10.205)
1
где ( ) a0,1 =− 3
r1ε1 p
, 3 sh δ1( ) p
(
)
3 3 ( 3) ( 3) a0,0 = Δλ1 + r0 a0,0 = Δλ + r0 ε 0 p cthδ 0( ) p + ε1 p cthδ1( ) p , 1
3 3 Δλ1 = λ1 − λ0 , δ1( ) = Δr1 / a1 , δ 0( ) = Δr0 / a0 = r0 / a0 .
(10.206) Из (10.205) получаем: (1)
μ0
( p) =
( 3) a0,1 ( 3)
a0,0
μ1( + ) .
(10.207)
Обратное преобразование Лапласа в (10.207) осуществляется аналогично
{
( 3)
( 3)
тому, как это было сделано для системы Ω1 , Ω2 249
}.
§144. Приближения и редукции Приближенные решения уравнений склейки для сферических слоистых систем строятся аналогичными, использованными для плоских слоистых систем, способами. Рассмотрим применение приближенных функций Грина на примере системы Ω1( 3) , Ω2( 3) (при однородных начальных условиях и
{
}
отсутствии источников). Уравнение склейки (10.174) принимает вид:
( 3) ( 3) ( + ) ( 3) p −1a1,0 u0 + a1,1 μ1 + p −1a1,2 u2 = 0 .
(10.208)
+ μ1( ) ( p ) = M 0 ( p ) u0 + M 2 ( p ) u2 ,
(10.209)
Решение (10.208):
M0 ( p) = −
( ) a1,0 ( p) 3
( ) p a1,1 ( p) 3
, M2 ( p) = −
( ) a1,2 ( p) 3
( ) p a1,1 ( p) 3
(10.210)
Коэффициенты уравнения (10.208) (для точного решения определяемые (10.175)) находим, подставляя в (10.175) приближенные выражения для
ai(, j) ( p ) , полученные ранее (см. (10.92) в §140). Приходим к выражениям: 1
( 3)
(1)
( 3)
(1)
a1,0 ( p ) = r0 a1,0
a1,2 ( p ) = r2 a1,2
( 3)
a1,1
λ1r0
, ( p ) = − 1 − 2 Δr1 p + 10a1 / ( Δr1 )
λ2 r2
2,5 p
1 − , ( p) = − 2 Δr2 p + 10a2 / ( Δr2 ) 2,5 p
(10.211)
(10.212)
λ λ 2,5 p 2,5 p 1 2 + 1 + . ( p ) = Δλ2 + r1 1 + 2 2 Δ Δ r r 1 p + 10a1 / ( Δr1 ) p + 10a2 / ( Δr2 ) 2 (10.213)
Подстановка (10.211) ÷ (10.213) в (10.210) дает: λ1 2,5 p 1 − α1 − 1 p + 10a1 / ( Δr1 )2 , M0 ( p) = λα λ2 2,5 p 2,5 p + + 1 p Δλ2 + 1 1 1 + α1 − 1 p + 10a1 / ( Δr1 )2 α 2 − 1 p + 10a2 / ( Δr2 )2 (10.214) 250
λ2α 2 2,5 p 1 − α 2 − 1 p + 10a2 / ( Δr2 )2
M2 ( p) =
. 2,5 p 2,5 p λα λ + 2 1 + p Δλ2 + 1 1 1 + 2 α1 − 1 p + 10a1 / ( Δr1 ) α 2 − 1 p + 10a2 / ( Δr2 )2 (10.215) Выражения для M 0 ( p ) и M 2 ( p ) после несложных преобразований приводятся к виду:
M0 ( p) =
m00 + m01 p + m02 p −1 2
ap + bp + c
, M2 ( p) =
m20 + m21 p + m22 p −1 2
ap + bp + c
,
(10.216) где обозначены: 2, 5α1 + 1 α 2 + 2,5 a1a2 λ1 α 2λ2 a= + λ1 + λ2 , c = 100 , 2 α 1 α 1 α 1 α 1 − − − − 2 1 2 ( Δr1Δr2 ) 1 a a a λ a αλ α λ λ2 b = 10 12 + 22 1 + 2 2 + 25 12 + 22 1 1 . Δr1 Δr2 α1 − 1 α 2 − 1 Δr1 α 2 − 1 Δr2 α1 − 1
(10.217)
λ a a 1,5λ1 a1a2 λ1 m00 = 10 1 12 − 1,5 22 , m01 = − , m02 = 100 , 2 − − − α 1 α 1 α 1 Δ Δ r r 1 1 1 ( Δr1Δr2 ) 1 2 α λ a a 1,5α 2λ2 a1a2 α 2λ2 m20 = 10 2 2 22 − 1,5 12 , m21 = − , m22 = 100 . α2 −1 Δr1 α 2 − 1 Δr2 ( Δr1Δr2 )2 α 2 − 1
(10.218) Обратное преобразование Лапласа в (10.209), с учетом структуры формул (10.216) осуществляется аналогично (10.110), (10.111). (+) Рассмотрим поведение функции склейки μ1 ( t ) при t → ∞ . Имеем из (10.209) и (10.216): (+) (+) (+)
lim μ1
t →∞
( t ) = μ1,S
= lim pμ1 p →0
( p ) = lim ( u0 p M 0 ( p ) + u2 pM 2 ( p ) ) = p →0 λ1
u0 +
α 2λ2
α Δr Δr2 = ( m02u0 + μ22u2 ) c −1 = 1 1 λ1 α λ + 2 2 α1Δr1 Δr2
u2 = u1,S .
(10.219) Таким образом, получено совпадение приближенных стационарных функций склейки с точным решением стационарной граничной задачи (10.203). 251
В полученном приближенном решении уравнения склейки, как и в таковом же для системы Ω1(1) , Ω2(1) , использованы функции Грина в первом
{
}
приближении. Ранее (см. табл. 9.12 в §132) было показано, что невязка приближенного решения с этой функцией Грина с точным решением не превышает 5% при значениях чисел Фурье, больших или ровных пороговым 1 (1) значениям: Fo = 0, 2 (по критерию близости решений ε ( L ) ) и Fo( ) = 0,1 (по критерию ε ( C ) ). Поэтому можно полагать, что во всех случаях при Fo ≥ 0, 2 использование функции Грина в первом приближении является достаточным. Анализ иерархии характерных времен (§134) показал, что имеются четыре интервала времени. Первый – стартовый – завершается при 1 Fo( ) ≅ 0,1 (здесь «работает» приближение малых t ). Второй –
( m)
релаксационный – завершается при Fo = Foν ,2 , когда с точностью в 99% элиминируется (m)
Ωk
начальное распределение
( k = 1, 2,; m = 1, 2,3)
температуры. Для
областей
при этом получено (по критерию δ ( CL ) , что
m Fok( ,2) = 0,5 . Для этого периода подходят как первое, так и второе
приближения. Третий (квазистационарный) период завершается при m Fo = Foν( ,3) , когда отличие решения от стационарного (по критерию δ ( CL ) )
( m) ( m) не превышает 1%. Для слоев Ωk , Foν ,3 = 0,8 − 1, 0 . Для этого периода возможно использование функций Грина в первом приближении (по П.В. Цою) и приближенных выражений функций Грина, получающихся отбрасыванием в бесконечных рядах, которыми они выражаются, всех членов, кроме первых. Оценим, для каких Fo ≥ Fo* возможен последний случай. ( 3) Релаксационная компонента поля в Ωk имеет вид: rk
( 3)
2 3 uk ,r ( r , t ) = 4π dr ' ( r ' ) ϕ k ( r ' ) G k( ) ( r , r ' t ) .
Имеем: ( 3)
uk , r ( r , t )
(10.220)
rk −1
( )
3 C Ω (k )
3 = max uk( ,r) ( r , t ) ≤ ϕk ( r ) ( 3)
r∈Ω k
( ) ⋅ 4π J k ( r , t ) ,
C Ω (k ) 3
(10.221)
где − J k ( r , t ) интеграл (10.220) при ϕ k ( r ) = 1, 0. С учетом (10.153):
Jk ≤
2
π
(1 + α k ) exp ( −π
2 *
(k )
t / tr
252
)
2 rk ( k ) Δrk , αk = , tr = . rk −1 ak
(10.222)
Полагая правую часть неравенства (10.222) равной 0,01 для α k ∈ [1,05;2,0] находим:
αk
1,05
k t * / tr( ) 0,49
1,1
1,25
1,75
2,0
0,50
0,50
0,52
0,53 (10.223)
* (k ) ростом t / tr
Поскольку
при увеличении α k будем пренебрегать,
( m)
*
считаем, что Fo = Fok ,2 = 0,5 . Таким образом, для квазистационарного периода Fo ∈ [0,5;1, 0] возможны приближения: с использованием первого приближения функции Грина; второе такое же приближение; первое приближение на основе точной функции Грина. Четвертый (финишный) период, для которого Fo ∈ [1, 0; ∞] (практически Fo ∈ [1, 0; 2, 0] ) может быть, при квазистационарных (медленно меняющихся) граничных функциях, промоделирован квазистационарными полями второго рода – выражениями для стационарных полей, но с переменными граничными функциями (иначе – финишными полями). Модификация указанным образом стационарных полей (9.309) дает:
α k ρk 3 − + − + uk( , )f ( r , t ) = μ k( ) ( t ) + μ k( ) ( t ) − μ k( ) ( t ) 1 + (α k − 1) ρ k +
(k )
f k ∞ tr 6
αk +1 (1 − ρk ) ρk 1 + , + − α ρ 1 1 ( ) k k
(10.224)
( m) где f k ∞ − постоянное значение функции плотности источников тепла в Ωk
при t → ∞, ρ k = ( r − rk −1 ) / Δrk , ρ k ∈ [0,1] . Заменой в (10.224) k → k + 1 ( 3) ( m) получаем выражение для uk +1, f ( r , t ) − поля в Ωk +1 . Полагая
3 3 f k ∞ = f k +1,∞ = 0 и подставляя uk( , )f ( r , t ) и uk( +)1, f ( r , t ) в (10.202),
получаем:
λk
α Δr + μ k( ) ( t ) = k k
α λ − + μ k( ) ( t ) + k +1 k +1 μk( +1) ( t ) λk
α k Δrk
Δrk +1
+
α k +1λk +1 Δrk +1
253
.
(10.225)
Положив
в
− + + k = 1, μ1( ) = u0 , μ 2( ) = u2 , μ k( ) = u1,S
(10.225)
получаем совпадение (10.203) и (10.225), что свидетельствует о верности (10.224). Последнее может быть использовано для получения уравнения склейки N − слойной системы Ω1( 3) , Ω2( 3) , , ΩN( 3) для финишного периода:
λ − k α k Δrk
{
}
λk α k +1λk +1 ( + ) α k +1λk +1 ( + ) μ μ p p + + − ( ) ( ) k −1 k μk +1 ( p ) = 0 . α r r r Δ Δ Δ k +1 k +1 k k
(10.226) Используя (10.224) при f k ∞ ≠ 0, можно получить аналог (10.226) для системы с источниками тепла. Обращение трехдиагональной матрицы в системе уравнений (10.226)
( k = 1, N )
осуществимо ранее предложенным
методом (см.§138). Наряду с рассмотренными видами приближений, рассмотрим также структурные приближения – редукции. Структурные редукции в слоистых системах включает в себя: понижение порядка матричного уравнения склейки («расщепление» исходной слоистой системы на несколько других, меньшего порядка); ( 3) ( 3) взаимозамену конечных и сингулярных слоев −Ωk Ω+ ; замену центрального слоя на конечный (переход к задаче Коши сингулярным
плоским
( Ω ( )→ Ω ( ) ) 3 0
3 1
или на все пространство
3 3 −Ω0( ) → Ω∞( ) ); переход к конечным или
слоям
( Ω( ) → Ω ( ) , Ω ( ) → Ω ( ) ) ; 3
k
1
k
3 +
1 +
замену
«нормального» или «толстого» слоя на систему из N1 ультратонких плоских
слоев или на систему из N 2 тонких плоских слоев ( N1 N 2 ) . Последний вид редукции, в силу того, что «нормальная» редукция понижает порядок системы уравнений (уменьшает число слоев), может быть назван «обратной» редукцией. При осуществлении структурных редукций используется локализации поля δ = 4 at . 3 3 Рассмотрим двухслойную подсистему Ωk( ) , Ωk( +)1 N − слойной системы.
универсальная
оценка
ширины
зоны
{
}
(+) Для того, чтобы функция склейки μ k ( t ) − температура на границе слоев 3 3 ( −) (+) Ωk( ) и Ωk( +)1 не зависела от функций μ k ( t ) и μ k ( t ) − температур на наружных границах этих слоев, температурные поля, «индуцированные» этими граничными функциями не должны перекрываться с полями,
254
(+) ( 3) ( 3) «индуцированными» функцией μ k ( t ) в слоях Ωk и Ωk +1 . Для ширины (+) ( 3) ( 3) зон влияния μ k в Ωk и Ωk +1 имеем, соответственно: − + δ k( ) ( t ) = 4 ak t , δ k( +1) ( t ) = 4 ak +1t , t > 0.
(10.227) − 3 μ k( ) ) и в Ωk( +)1
( 3) Ширины зон локализации в Ωk (индуцирована + μ k( +1) ) (индуцирована аналогично будут: + − δ k( ) ( t ) = 4 ak t , δ k( +1) ( t ) = 4 ak +1t . Получим два условия перекрытия этих зон локализации: + − + − δ k( ) ( t ) + δ k( ) ( t ) ≤ Δrk , δ k( +1) ( t ) + δ k( +1) ( t ) ≤ Δrk +1 . (k ) ( k +1) Из этих первенств следует: Foδ ≤ 0, 016, Foδ ≤ 0, 016 или k k +1 tδ k / tr( ) ≤ 0, 016, tδ k +1 / tr( ) ≤ 0, 016 . Здесь tδ k и tδ k +1 − пороговые
(
)
(
)
времена, по превышении которых поля начинают перекрываться, возникает (+) (−) (+) ( 3) ( 3) влияние на μ k ( t ) функций μ k ( t ) и μ k +1 ( t ) и редукции Ωk → Ω+1 и 3 3 Ωk( +1) → Ω+( 2) становятся невозможными, Для осуществления обеих редукций одновременно необходимо использовать критерий: k k +1 t ≤ tδ ≤ 0, 016tr min , tr min = min tr( ) , tr( ) . (10.228)
{
}
Реализуем указанную редукцию, для чего в (10.166) коэффициенты и правую часть определим, положив в (10.167), (10.168) Δrk , Δrk +1 → ∞ и
изменив на противоположное направление r в первом из интегралов (10.168). В результате получаем:
ak( ,k)−1 ( p ) = ak(,k)+1 ( p ) = 0, ak(,k) = Δλk + rk ( ε k + ε k +1 ) p , 3
3
3
μk( + ) ( p ) = μk( +,k) ( p ) + μk( +,k)+1 ( p ) ,
μk( +,k) ( p ) = ( ρ c )k
Выражение
для
p exp ξ − ∞ a k (10.229) r d p ξ ξ ξ , + Ψ ( ) ( ) k k 0 Δλ + r ( ε + ε ) p k +1 k k k
μk( +,k)+1 ( p )
следуют
( ρ c )k → ( ρ c )k +1 ak → ak +1 , Ψ k → Ψ k +1 .
из
μk( +,k) ( p )
после
замен:
Выражение в квадратной скобке в 255
(10.229) имеет табличный оригинал [130] , что позволяет записать выражение
( ) ( ) для μ k ,k ( t ) (и аналогично для μ k ,k +1 ( t ) ) в виде интеграла по ξ от свертки +
+
(ξ , t ) . найденной функции – оригинала и Ψ k
Для достаточно малых t ≤ t0 , таких, что
(δ ( t ) / r ) 1 , 0
k
(1)
можно в
(1)
(10.229) перейти к плоским сингулярным слоям Ω+1 и Ω+2 , для чего достаточно положить rk → ∞ . В этом случае формула (10.229) переходит в аналогичное выражение, полученные ранее для плоских слоев [20]. Представляет интерес вопрос о возможности замены сферических слоев на плоские для всего диапазона t ∈ ( 0, ∞ ) . Ясно, что для этого сферические слои должны быть весьма тонкими. Меру этого надлежит найти. Поскольку зона локализации со временем растет, то наихудшим будет случай t → ∞ , т.е. стационарного поля. Таким образом, если мы оценим минимальные α k и α k +1 , при которых с заданной погрешностью замена сферических слоев плоскими осуществима, то тем самым получим критерий, пригодный для произвольных t . Сравним (10.203) с (10.96)справедливым для плоских слоев, с учетом (+)
соответствий: μ1, S = u1, S , выражений возможно, если
λ1
α1Δr1 Чтобы
μ 0,( +S) = u0 , μ 2,( +S) = u2. Совпадение указанных =
λ1 l1
,
α 2λ2 Δr2
=
λ2 l2
.
(10.230) были Δr2 = l2 , α1 = α 2 = 1, требуется (если соотношения
(10.230) точными,
т.е. чтобы
Δr1 = l1 , Δr1 , Δr2 ≠ 0 ) r0 , r1 , r2 → ∞ . Поскольку этот случай не имеет практического интереса,
ослабим требование (10.230), заменив их приближенными выражениями, отличающимися от (10.230) наличием знаков ≈ вместо знаков = . Тогда, при Δr1 = l1 , Δr2 = l2 должно быть:
1
α1
= 1 − ε 2 , α 2 = 1 + ε 2 , 0 < ε1 , ε 2 1.
(10.231)
Полагая ε1 = ε 2 = ε = 1% = 0, 01, находим: α1 = α 2 = 1, 01. Таким образом, требуемые толщины сферических слоев Δr1 и Δr2 должны быть весьма малы: Δr1 = 0, 01r0 ,
Δr2 = 0, 01r1 . Осуществление обратной редукции, т.е. ( 3)
замена некоторого сферического слоя Ωk
на ультратонкие плоские слои,
{
}
( 3) число которых N1 , потребует N1 1. . Пусть Ωk = r ∈ ( rk −1 , rk ) ,
256
α k = rk / rk −1 = 2, 0 . Разобьем Δrk на N1 плоских слоев, таких, что все
(
)
α j = rj / rj −1 = 1, 01 j = 1, N1 . Тогда имеем: N1 rN 1 r1 r2 r3 rN 1 N α k = 2, 0 = = = ∏ α j = α1N1 = (1, 01) 1 r0 r0 r1 r2 rN −1 j =1
ln 2, 0 0, 70 ≈ = 70. N1 = ln1, 01 0, 01 Аналогичный расчет для обратной редукции которых
α j = 1,1( j = 1, N 2 ) )
дает
(10.232)
н а сферические сло и (для N 2 = 7 70 = N1. значение
Преимущества последней редукции очевидны, однако использование ЭВМ дает возможность реализации и первого случая. Вырождение переноса (разновидность редукции при экстремальных значениях параметров) в сферических слоистых системах может быть рассмотрено по аналогии с плоскими слоистыми системами (§140). Опуская выкладки, приводим результаты – аналоги соотношений при частичном вырождении (10.128), (10.129): (10.233) tr , j ≤ 0, 09tr , j +1 , Δr j ≤ 0, 29Δr j +1, a j ≥ 11, 6a j +1 . Как видно из сравнения (10.233) с упомянутыми аналогами, вырождение
( 3)
переноса в Ω j
характеризуется более жесткими неравенствами.
Глава 43. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ СЛОИСТЫЕ СИСТЕМЫ §145. Уравнения склейки и их решения Ранее уравнения склейки были получены на основе решений краевых задач в представлении потенциала. Далее вывод уравнений склейки осуществляем с использованием представлений граничных функций. Эквивалентность представлений потенциала и граничных функций была ранее продемонстрирована (см.§111). Рассматриваем
N-слойную
систему
{Ω( ) , Ω( ) , Ω( ) } . 2
1
2 2,
2 N,
Представление граничных функций для решения краевой задачи в слое
(
)
Ωk( 2 ) k = 1, N имеет, согласно (8.105), (8.107), (8.108), (8.114), вид: 2 2 2 ( r ', t ) − ∂ M ( 2) ( r ', t ) uk( ) ( r , t ) = M k( ) ( r , t ) + G k( ) ( r , r ', t ) * Ψ t k k
(t )
r ∈ ( rk −1 , rk ) , t > 0.
257
2 Ω k
,
(10.234)
( 2)
( 2)
Подставив выражения для uk ( r , t ) и uk +1 ( r , t ) в (8.106), осуществив преобразование Лапласа по t , учитывая (8.107), получаем:
qk( + ) = ν k( + ) − μk( +−)1 pI k ,1 − Δμk( + ) I k ,2 = qk( −+1) = ν k( −+1) − μk( + ) pI k +1,1 − Δμk( ++)1 p I k +1,2 (10.235) где:
ν k( + ) =
λk λk +1 + − + + + + Δμk( ) , ν k(+1) = Δμ k( +1) , Δμk( ) = Δμ k( ) − μ k( −1) , rk ln α k rk ln α k +1 rk + , I k ,1 = g k( ) ,1 rk −1
Δμk( +1) = μk( +1) − μk( ) , α k = +
+
+
I k +1,1 = g k( +1) ,1 −
−
Ωk( 2+)1
(+)
gk
, I k +1,2 = g k( +1) , β k( +1)
∂Gk( = λk ∂r
2)
2
Ωk
, β k( ) = 2
Ωk( 2+)1
∂Gk( +1) , g k +1 = λk +1 ∂r
2)
Ωk( 2 )
,
ln ( r / rk −1 ) , ln α k
2
( −)
r =rk
, I k ,2 = g k( ) , β k( +
( 2)
. r = rk
(10.236) При вычислении интегралов в (10.236) используем выражения для функций Грина из табл. 8.5 (§117), что дает −1
(+)
gk
30λk Ψ1,k ( r ') 10ak =− + p , Δrk = rk − rk −1. 2 2 2 Δ r πΔrk rk −1 (α k − 1) k
(10.237)
( −) Выражение для g k +1 следует из (10.237), где отбрасывается знак «-» и « k » заменяется на « k +1». Вычислив интегралы, находим:
−1 −1 5λ 5λ k p + 10a / Δr 2 , J =− k N α , p + 10a / Δr 2 k ,1 k k k ,2 k k k Δr Δr k k −1 −1 5λ 5λ = − k +1 p + 10a / Δr 2 , J = k +1 N α / Δr 2 , J p + 10a k +1,1 k +1 k +1 k +1,2 Δr k +1 k +1 k +1 Δr k +1 k +1 2 20α − 7α − 7 k k . N α = k 2 12 α − 1 ln α k k J
=−
)
(
)
(
( )
)
( )(
(
(
)(
)
)
(10.238)
Искомое уравнение склейки следует из (10.235) ÷ (10.238)
ak( ,2k)−1 μ k( +−1) + ak(,2k) μk( + ) + ak(,2k)+1 μk( ++1) = bk(,+k )+1 . 258
(10.239)
В (10.239):
−1 λk 5λ p + k (1 − N (α k ) ) ( p + 10ak / Δrk2 ) , Δrk rk ln α k −1 λk +1 5λ p 2 + k +1 N (α k +1 ) ( p + 10ak +1 / Δrk2+1 ) , ak(,k)+1 = − Δrk +1 rk ln α k +1
ak(,k)−1 = − 2
ak(,k) 2
−1 (10.240) λ N (α ) λk 5 λk +1 p a k k k = + +5p p + 10 2 + Δ Δrk r ln α r ln α r k k k +1 k k
. Правая часть (10.239) при Ψ k = Ψ k ( p ) , Ψ k +1 = Ψ k +1 ( p ) приводится, с a + 1 − N (α k +1 ) ) p + 10 k +21 ( Δrk +1 Δrk +1
λk +1
−1
учетом (10.237), к виду:
10ak / Δrk2 bk ,k +1 = 0, 5 Δrk ( ρ c )k Ψ k ( p ) + 2 p 10 a / r + Δ k k ( 2)
(10.241)
10ak +1 / Δr , + Δrk +1 ( ρ c )k +1 Ψ k +1 ( p ) 2 p 10 a / r + Δ k +1 k +1 дающему при t → ∞ : 2 k +1
bk( 2,k) +1 ( t )
t →∞
= bk( 2,s) = lim p bk(,2k) +1 ( p ) = p →0
+ Δr ( ρ c ) Ψ . = 0,5 Δrk ( ρ c )k Ψ k ,s k +1 k +1 k +1, s Решение
системы
уравнений
склейки
(10.239)
(10.242)
( k = 1, N − 1)
осуществляется методом обратной матрицы (см.§138). Стационарные значения
функций
склейки
− μk( +,s) = lim μ k( + ) ( t ) = lim pμk( + ) ( p ) t →∞
p →0
определяются из системы (10.239), после умножения ее уравнений на p с последующим переходом к пределу при p → 0 . Полученная система уравнений имеет вид:
ak( ,k) −1 μk( −1,) s + ak( ,k) μk( ,s) + ak( ,k) +1 μk( +1,) s = bk( ,s) , 1, N − 1, s
где
ak( s,k) −1 = −
+
s
+
s
+
2
(10.243)
λk λk +1 λk λk +1 , ak( s,k) +1 = − , ak( s,k) = + . (10.244) rk ln α k rk ln α k +1 rk ln α k rk ln α k +1 259
{Ω( ) , Ω( ) } 2
Для двухслойной системы
2 k +1
k
без источников тепла, в которой
μk( +−1,) s и μk( s+)1,s считаются известными, из (10.243) и (10.244) следует:
μk( +, s)
λk ln α k =
(+) λk +1 ( + ) + μ k −1, s μk +1, s ln α k +1 .
(10.245)
λk λ + k +1 ln α k ln α k +1
Аналогично случаю сферических слоев, из (10.245) следует, что ультратонкие цилиндрические слои, эквивалентные плоским слоям, должны удовлетворять условиям α k ≤ 1,02, менее «жестким», чем для сферических
слоёв (где α k ≤ 1,01 ). Для финишного периода времени, когда поля в слоях описываются зависимостями, следующими из (9.308) при замене стационарных функций склейки их квазистационарными (медленно меняющимися) значениями μi( + ) t i = k − 1, k , k + 1 , система уравнений склейки принимает вид (+) (+) t . (10.243), в котором вместо μi , S присутствуют μi
( )(
)
{
( 2)
( 2)
Система Ω1 , Ω2
( 2)
()
} . Из (10.240) при k = 1 получаем: ( 2)
( +)
(+)
a1,0 μ0 + a1,1 μ1
( 2)
( +)
+ a1,2 μ2
( 2)
= b1,2 ,
(10.246)
−1 λ 5λ p 2 a = − 1 + 1 1− N α p + 10a / Δr 2 1,0 1 1 1 Δr r ln α 1 1 1 −1 λ2 5λ p 2 + 2 N α p + 10a / Δr 2 a = − 1,2 1 2 2 (10.247) Δr r ln α 1 2 2 λ λ −1 λ2 2 +5p 1 N α + a = 1 + p + 10a / Δr 2 1,1 r ln α r ln α 1 1 1 Δr 1 1 1 1 2 −1 λ . + 2 1− N α p + 10a / Δr 2 2 2 2 Δr 2
(
( )) (
)
( )(
)
( )(
(
( )) (
)
260
)
Как и ранее, рассматриваем модель с однородными начальными условиями и без источников тепла. Функции (+)
(граничными) функциями: μ0 Решение (10.246): (+)
μ1
μ0( + ) ( p ) и μ2( + ) ( p ) являются известными
( p ) = u0 / p, μ2( +) ( p ) = u2 / p ( u1 , u2 = const ) .
( p ) = − ( pa1,1
( 2)
) ( a ( )u −1
2 1,0
0
)
( 2) + a1,2 u2 ,
(10.248)
или, аналогично случаю сферической системы: (+)
( 2)
( 2)
( p ) = u0 Φ 0 ( p ) + u 2 Φ 2 ( p ) ,
μ1
( 2)
Φ0
( p) = −
( 2) a1,0 ( 2)
pa1,1
( 2)
, Φ2
( p) = −
( 2) a1,2
pa1,1( ) 2
(10.249) Обратное образование Лапласа в (10.249) не вызывает затруднений, хотя и несколько громоздко. Опуская соответствующие выкладки, записываем результаты: 2 t ( 2) dW0( ) ( t ) 2 ( 2) Φ 0 ( t ) = b0,0W0 ( t ) + b0,1 + b0,−1 W0( ) ( t ') dt ' , dt 0 2 t ( 2) dW0( ) ( t ) 2 ( 2) Φ 2 ( t ) = b2,0W0 ( t ) + b2,1 + b2,−1 W0( ) ( t ') dt ' . dt 0
(10.250)
(10.251)
Здесь: 2
b0,0
10a M 00 M 10a M , = 21 01 , b0,1 = 02 , b0,−1 = 21 N 02 r N Δr1 N 02 Δ 1 02
b2,0
10a M 20 10a M M , = 21 21 , b2,1 = 22 , b2,−1 = 21 N 02 Δr1 N 02 Δr1 N 02
2
W0(
2)
N1 =
(t ) =
exp ( p1t ) − exp ( p2t ) , p1 − p2
p1t = −10 N1 Fo1 ,
(
)
p2t = −10 N 2 Fo1 ,
(
)
N 01 N 1 − 1 − 4 N 00 N 02 / N 012 , N 2 = 01 1 + 1 − 4 N 00 N 02 / N 012 , 2 N 02 2 N 02
M 00 = K a A1 A22 , M 01 = A1 (1 + K a A22 ) − 5 K a A22 (1 − N (α1 ) ) , M 02 = A1 − 5 (1 − N (α1 ) ) , 261
M 20 = K a A1 A22 K λ
ln α1 , M 21 = K λ A2 A3 (1 + K a A22 ) − 5 N (α 2 ) , ln α 2
M 22 = K λ A2 ( A3 − 5 N (α 2 ) ) ,
ln α1 ln α1 2 N 00 = K a A1 A22 1 + K λ N A K A K , 1 1 = + + ( ) + a 2 λ 01 1 ln α ln α 2 2 ln α1 +5 A2 K a A2 N (α1 ) + K λ ( 1 − N (α 2 ) ) , N 02 = A1 1 + K λ + ln α 2 at a λ +5 N (α1 ) + K λ A2 (1 − 5 N (α 2 ) ) , Fo1 = 1 2 , K a = 2 , K λ = 2 a1 λ1 Δr1
A1 =
α1 − 1 α1 − 1 α −1 , A2 = , A3 = 2 . ln α 2 α1 ln α1 α1 (α 2 − 1) (10.252)
В итоге решение принимает вид:
( 2) ( t ) + u Φ ( 2) μ1( + ) ( t ) = u0 Φ 0 2 2 (t ) ,
(10.253)
где:
( 2) ( t ) = E + E exp(−10 N Fo ) + E exp(−10 N Fo ), Φ 0 00 01 1 1 02 2 1 ( 2) ( t ) = E + E exp(−10 N Fo ) + E exp(−10 N Fo ), Φ 2 20 21 1 1 22 2 1 E00 =
(10.254)
M 00 M 01 M N M 00 − 02 1 − , E01 = , N 00 N 02 N12 N 02 N12 N 02 N12 N1
E02 = −
M 01 M ⋅N M 00 M + 01 2 + , E20 = 20 , N 02 N12 N 02 ⋅ N12 N 02 N12 N 2 N 00
M 20 M 21 M ⋅N − 22 1 − , N 02 N12 N 02 ⋅ N12 N 02 N12 N1 M 20 ⋅ M 21 M N E22 = − + 22 2 + , N12 = N 2 − N1. N 02 N12 N 02 N12 N 02 ⋅ N 2 N12 E21 = −
Найдем стационарное значение
(10.255)
μ1,( +s) + lim μ1( + ) ( t ) из (10.254), где положим t →∞
Fo1 → ∞. Получаем: 262
Φ (0, s) 2
−1
−1
λ λ λ λ λ λ 2 = E00 = 1 1 + 2 , Φ (2, s) = E20 = 2 1 + 2 , ln α1 ln α1 ln α 2 ln α 2 ln α1 ln α 2 μ1,( +s)
λ1 λ u0 + 2 u 2 ln α1 ln α 2 = . λ1 λ2 + ln α1 ln α 2
(10.256) Если решить граничную задачу определения стационарного поля в системе из двух цилиндрических слоев (аналогично задаче (10.198) ÷ (10.200) для сферических слоев) и найти выражение для функции склейки на их общей границе, то получим выражение (10.256). Система Ω1( 2 ) , Ω+( 2) . Решение в этом случае получить непосредственно
{
}
{Ω( ) , Ω( ) } , 2
из решения для системы
1
2
2
действуя «в лоб», т.е. положив
Δr2 → ∞ , нельзя, поскольку метод приближенного вычисления функций Грина, нами используемый, для сингулярных областей не работает. Поэтому воспользуемся «обходным путем» с тем, чтобы все же найти решение на
{
}
основе такового для Ω1( 2) , Ω2( 2) . ( 2)
Модель переноса в слое Ω+ является канонической в горной теплофизике «задачей Кремнёва», изложенной в первом томе настоящей монографии (§43, с.266). В ней принято, что: 1)горный массив однороден,
(
)
изотропен и неограничен Ω+( 2) = {r ∈ ( r0 , ∞ )} ; 2)начальное распределение
температуры
в
гор-ном
массиве
T ( r , 0 ) = Tп = const ;
охлаждения горного массива движущимся по выработке
3)
процесс
( r ∈ ( 0, r ) ) 0
вентиляционным воздухом не ограничен по времени ( t > 0.) . С учетом этих предположений трансформируем уравнение склейки (10.246). При отсутствии в слоях источников тепла и постоянных начальных температур
( в Ω( ) − T ( r , 0 ) = T 2
1
( 2)
b1,2
1
10
)
, в Ω2( 2) − T2 ( r , 0 ) = T20 получаем:
10a1 / Δr12 10a2 / Δr22 = 0,5 Δr1 ( ρ c )1 T10 + Δr2 ( ρ c ) 2 T20 . 2 2 + Δ + Δ p 10 a / r p 10 a / r 1 1 2 2 (10.257)
Формула (10.248) при u2 = T20 принимает вид:
263
(
μ1( + ) ( p ) = pa1,1( 2)
)
−1
( 2) ( 2) b1,2( 2) ( p ) − a1,0 − u a 0 2,1 T20 .
(10.258)
Найдем добавочное слагаемое в (10.258) в пространстве оригиналов. Из (10.247), (10.257) следует: (+)
δμ1 ( 2)
где W0
2 b1,2( 2 ) dW0( ) ( t ) ( 2) , ( t ) = L ( 2) = β0W0 ( t ) + β1 dt a1,1 −1
(10.259)
( t ) дано ранее (10.252), а параметры β 0 и β1 имеют вид:
β 0 = 5 A1 ( K λ T20 + K a A2T10 ) 10
a1 −1 N 02 , Δr12
(10.260)
β1 = 51 (T10 + K λ A2T20 ) N 02−1. (+)
Дополнительное слагаемое δ μ1
δ μ1( + ) ( t ) =
{
( t ) имеет вид:
5 ( K a A22 − N1 ) T10 + K λ A2 (1 − N1 ) T20 exp ( −10 N1 Fo1 ) + N 02 N12
}
+ ( N 2 − K a A22 ) T10 + K λ A2 ( N 2 − 1) T20 exp ( −10 N 2 Fo1 )
(10.261) Здесь все обозначения соответствуют (10.252). Из (10.253), (10.254) и (10.261) следует выражение для функции склейки двухслойной системы
{Ω( ) , Ω( ) } с начальными температурами в слоях T 2
1
2
2
10
и T20 .
( 2) ( t ) + T Φ ( 2 ) ( t ) + δμ ( + ) ( t ) . μ1( + ) ( t ) = u0Φ 0 20 2 1
(109.262) Теперь необходимо учесть два последних предположения задачи Кремнёва – неограниченность горного массива и неограниченность времени его охлаждения. Модель для системы
{Ω( ) , Ω( ) } содержит их (для слоя 2
1
2
+
Ω+( ) ) и дополнительное – наличие второго слоя Ω1( 2
2)
(интерпретируемое, в частности, как сплошная бетонная крепь горной выработки). В системе
{Ω( ) , Ω( ) } 2
1
2
+
( 2)
имеем Ω2
= {r ∈ ( r1 , r2 )} и граничная
температура u ( r2 , t ) = Tп = const (начальная температура горных пород на соответствующей глубине). Требование точности используемого приближенного метода решения заключается в ограничении на расчетные времена процесса: Fo ≥ Fo2 min = 0, 2 . Для двухслойной системы
{Ω( ) , Ω( ) } 2
1
2
2
при u ( r2 , t ) = uп = const , функция склейки может быть
найдена для всех Fo ∈ [ 0, 2; ∞ ] . Адаптация этой модели к задаче Крёмнева 264
(т.е. трансформация
{Ω( ) , Ω( ) } → {Ω( ) , Ω( ) } ) накладывает ограничение 2
2
1
2
2
2
+
1
Fo ≤ Foδ . Значение Foδ определяется скоростью распространения по горному
массиву
δ ( t ) = rφ ( t ) − r1
охлажденной сравняется
u ( r2 , t ) = u2 = Tп = const
с
зоны,
поскольку
шириной
перестанет
слоя
когда
ее
ширина
Ω2 − Δr2 ,
условие
выполняться.
( 2)
При
наступлении
Δr22 Foδ в точке r = r2 температура начнет меняться, момента времени tδ = a2 принимая значение T2 ( r2 , t ) < Tп . Поэтому с точки зрения адаптации к задаче Кремнёва, модель
{Ω( )Ω( )} 2
1
2
2
адекватна только в интервале
Fo ∈ [ 0, 2; Foδ ] . Оценим Foδ . Для максимальной допустимой ширины охлажденной ( 2)
зоны в Ω2
имеем:
δ ( tδ ) = Δr2 = r2 − r1 = 2 a2tδ .
(10.263)
Коэффициент z = 2 в формуле δ ( t ) = z at выбран потому, что наиболее часто встречающееся в различных задачах теплопроводности (см. § 126) значение z = 4 соответствует весьма малому перепаду Tп − T ( r2 , t ) (ниже точности инженерных измерений температуры горного массива). Кроме того (см. § 125), z = z ( t ) и со временем убывает. Поэтому значение z = 2 создает определенный «запас», эффективно учитывая все факторы ( 2)
«торможения» охлажденной зоны (в т.ч. – наличие слоя Ω1 ). Из (10.263) следует,
что
Foδ = 0, 25 > Fo2 min = 0, 2 .
Таким
образом,
система
{Ω( ) , Ω( ) } адекватна задаче Кремнёва (т.е. соответствует {Ω( ) , Ω( ) } ) при 2
1
2
2
2
2
+
1
Fo2 ∈ ( 0, 2;0, 25] .
Рассмотрим бесконечный ансамбль (набор) систем растущими значениями
{Ω( ) , Ω( ) } 2
1
2 2j
с
r2 = r2 j > r2 j −1 . ( j = 1, 2,) . Тогда вычисление ( j)
функций склейки в моменты времени Fo2 min = 0, 2 можно рассматривать как использование
для моментов времени t2 j = 0, 2
последовательно моделей из «набора»
Δr22j a2
( j = 1, 2,)
{Ω( ) , Ω( ) } . Практически удобнее, 2
1
265
2 2j
исходя из конкретных условий, находить решения для необходимых моментов физического времени, задавая ряд их значений
{t } = {t } = {t 1j
2j
t
21, 22,
Ω2( j ) :
}
и вычисляя соответствующие им ширины слоев
2
Δr22j =
r2 j 2 2 a2 r t2 j = 5a2t2 j = ( r2 j − r1 ) = r12 (α 2 j − 1) , α 2 j = , α1 = 1 . r1 r0 0, 2
Отсюда получаем:
5a2t2 j
a1t1 j α −1 1/ 2 Fo1 j , Fo1 j = 2 . (10.264) = 1 + 1 ( 5K a ) r1 Δr1` α1 (+) Таким образом, при расчете значений функции склейки μ1 ( t ) в моменты времени t = t1 j , безразмерное время Fo1 (его значения Fo1 j )
α2 j = 1+
входит не только в экспонентах, но и в коэффициентах при них, содержащих
(
параметр принимающий значения α 2 = α 2 j = α 2 j Fo1 j
{
)
согласно (2.64).
} к модели {Ω( ) , Ω( ) } исчерпывается. ( ) ( ) Численные расчеты. Конкретизируем параметры модели {Ω , Ω } ( 2)
( 2)
2
Этим адаптация модели Ω1 , Ω2
2
+
1
2
2
+
1
(1)
полагая, что слой Ω1
( 2)
бетонная крепь выработки, а слой Ω+ - горный
массив из песчаника. Из табл.4.3 и 4.4 тома 1 находим: λ1 = 1, 0 ккал/м. час. −4 −4 град; λ2 = 2, 2 ккал/м. час. град; a1 = 21,5 ⋅10 м2/час; a2 = 43, 7 ⋅10
K1 = 2, 0. м2/час. Т.о.: K λ = 2, 2, рассматриваем моменты
Полагаем времени
{t } = 5, 0; 7,5;10, 0; 20, 0;30, 0; 60, 0;90, 0;182; 1j
j = 1, N , N = 12
и сутках):
(в
365;730;1460;
2920.
Это соответствует диапазону времени от 5 суток до 8 лет. Параметры выработки: эквивалентной радиус сечения - r0 = 2, 0 м, толщина крепи
Δr1 = r1 − r0 = 0,5 м. Получаем: α1 = r1 / r0 = 2,5 / 2, 0 = 1, 25 . a1t1 j числа Фурье Fo1 j = , соответствующие значениям {t1 j } : Δr12
Расчетные
Формула (10.264) с учетом значений параметров принимает вид:
α 2 j = α 2 [ j ] = 1 + 0, 6325 Fo1 [ j ] ,
266
j = 1,12 .
(10.265)
{
( 2)
( 2)
Модель Ω1 , Ω+
} позволяет находить температуру на границе крепи
и горного массива, а, следовательно, и температурные поля и напряжения в крепи и массиве для любых моментов времени и различных наборах параметров u0 , T10 , T20 (для u2 было принято u2 = T20 ). Например: начальная 0
температура горного массива T20 = 40 C ; начальная температура крепи
T1`0 = 200 C ; u0 = 160 C − режим охлаждения (эксплуатационный) горного массива. Преобразуем (10.262) к виду:
ˆ ( 2) ( t ) , ( 2) ( t ) + T Φ ( 2) ( t ) + T Φ μ1( + ) ( t ) = u0 Φ 0 10 11 20 2
(10.266)
( 2) ( t ) дана первой из формул (10.254), а остальные функции: где Φ 0 ( 2) ( t ) = Φ 11
5 ( K a aA22 − N1 ) exp ( −10 N1 Fo1 ) + ( N 2 − K a A22 ) exp ( −10 N 2 Fo1 ) . N 02 N12 (10.267)
ˆ ( 2 ) ( t ) = E + Eˆ exp ( −10 N Fo ) + Eˆ exp ( −10 N Fo ) , Φ 2 20 21 1 1 22 2 1
(10.268)
5 K λ A2 5K A Eˆ 21 = E21 + (1 − N1 ) , Eˆ 22 = E22 + λ 2 ( N 2 − 1) . N 02 N12 N 02 N12
(10.269)
ˆ ( 2) ( t ) расчетные значения которых для ( 2) ( t ) , Φ ( 2) ( t ) и Φ Функции Φ 0 11 2 j = 1,12
обозначаем
Φ 0 j , Φ11 j , Φ 2 j , ,
соответственно
описывают
( +) переменное во времени влияние на μ1 ( t ) параметров u0 , T10 , T20 : (+) (+) (+) ∂ μ ∂ μ ∂ μ 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 ˆ (t ) = (t ) = (t ) = Φ ,Φ ,Φ 0 1' 2 ∂u0 ∂Т10 ∂Т 20 ( 2)
(10.270)
Численные значения этих функций даны в табл.10.4. Из табл. 10.4 следует, что для всех моментов времени Fo j сумма функций
Φ 0 j , Φ11 j , Φ 2 j ,
близка или равна единице. Эти функции можно назвать нестационарными коэффициентами: Функция
Φ2 j −
0 j граничной, а нестационарный
11 j начальной температуры (крепи). весовой
температуры горных пород. 267
коэффициент начальной
Таблица 10.3 Расчетные моменты времени
j t1 j Fo1 j
1 5 сут. 1,05
2 7,5 сут. 1,58
3 10 сут. 2,1
4 5 20 1 сут. мес. 4,2 6,3
6 2 мес. 12,6
7 3 мес. 18,9
8 6 мес. 37,8
9 1 год 75,6
10 2 года 151,2
11 12 4 8 года лет 302,4 604,8 Таблица 10.4
Значения функций
Fo j
1,05
1,5
2,1
4,2
6,3
18,9
Φ0 j
0,777
0,722
0,677
0,614
0,593
0,628
Φ11 j
0,05
0,043
0,037
0,025
0,017
0,0048
Φ2 j
0,172
0,233
0,285
0,361
0,389
0,366
Φ0 j + Φ11 j + Φ 2 j
0,999
0,998
1,0
0,999
0,999
0,999
Fo j
37,8
75,6
151,2
302,4
604,8
Φ0 j
0,681
0,732
0,773
0,805
0,831
Φ11 j
0,0018
0,0007
0,0002
0,0001
0,00003
Φ2 j
0,316
0,267
0,226
0,194
0,169
0,999
1,0
0,999
0,999
1,0
Φ0 j + Φ11 j + Φ 2 j
Ранее, в §139, была получена формула (10.58) для функции склейки в двухслойной плоской системе. Если в (10.58) исключить обобщенный тепловой источник (т.е. положить b12 ( p ) = 0 ), то сумма весовых
коэффициентов L0 ( p ) + L2 ( p ) в квазистационарном режиме (когда p мало
и ch δ1 p ≈ ≈ ch δ 2 p ≈ 1, 0 ) также будет равна единице. Здесь коэффициенты уравнения склейки найдены по точным функциям Грина. При использовании приближенных функций Грина (уже в первом приближении) из (10.92) следует (10.96), где сумма весовых коэффициентов также равна единице. Для сферической двухслойной модели (§143) была получена формула (10.203), также обладающая этим свойством. Аналогичный результат получен и для цилиндрической двухслойной системы (§145, (10.256)). Таким образом, для всех видов двухслойных систем, в формулах для функций склейки в стационарном режиме, сумма весовых коэффициентов равна единице, а в квазистационарном и финишном режимах - это равенство приближенное. Это позволяет заключить, что значения суммы весовых 268
коэффициентов в табл.10.4, близкие и равные единице, не случайны, а соответствуют общей закономерности, которая может быть использована как критерий точности приближенных решений.
§146. Многослойные модели Моделирование многослойных цилиндрических систем осуществляется таким же образом, как и моделирование плоских и сферических многослойных систем. Поэтому в настоящем параграфе рассматриваем все виды многослойных систем, под которыми понимаем системы с числом слоев превышающем три. А. Плоские многослойные модели. Для N − слойных моделей ( N ≥ 4 ) общее решение дано(10.29), где элементы обратной матрицы A1−1 −1
вычисляются по формулам (10.44)÷(10.46). Аналогично для матриц Am ( m = 2,3 − цилиндрические и сферические слоистые системы). Доведение результатов до числа в методе обратной матрицы при больших N затруднено необходимостью нахождения функций – оригиналов сложных Лаплас – трансформант. Рассмотрим четыре возможных варианта обхода этих затруднений. 1. Элементы матрицы A1 преобразуются таким образом, чтобы не p .Тогда он будет содержать параметр преобразования Лапласа −1
и обратные отсутствовать и в элементах обратной матрицы A1 преобразования Лапласа выражений для Лаплас – трансформант функций склейки сведутся к определению оригиналов правых частей уравнений склейки. Этот подход реализует предельный переход p → ∞ в уравнениях t → ∞. склейки, соответствующей асимптотике В системе
{Ω( ) , Ω( ) ,, Ω( )} толщины слоев образуют набор {l } 1
1
1 2
1 N
j
N j =1
, а размер системы
в целом LN : N
LN = l j = N l j ,
lj
j =1
1 = N
N
l .
(10.271)
j
j =1
(
Пусть коэффициенты температуропроводности в слоях a j j = 1, N
) одного
порядка, т.е. a j aL . Число Фурье системы − FoL = a2t / L2N , а его пороговое значение FoL , s , начиная с которого в системе в целом наступает финишный режим, равняется единице:
FoL , s =
2 N
lj
2
aL t s ts L 2 2 = 1, = 1, = = = t N N tN . r ε L2N t rε aL aL 269
(10.272)
Здесь t N = l j
2
/ aL − среднее время макрорелаксации в одном из слоев
(
)
системы, для слоя Ω (j1) равное trj = l 2j / a j j = 1, N . Для получения кривых зависимостей температур склейки от времени, достаточно найти значения последних в десяти точках интервала времени t ∈ ( 0,tr ) . В качестве первого, следующего за t = 0 , значения момента времени t1 можно взять t1 = 0,1tr . Если этот минимальный расчетный
(
)
момент времени будет равен или больше t N max = max trj j = 1, N , т.е. при выполнении условия tr max ≤ 0,1tr = 0,1N 2 tr , (10.273) локальное поле в каждом из слоев будет финишным, т.е. вычисляемым по формуле (9.307). Практически удобное вместо (10.273) использовать более сильное неравенство.
tr max ≤ 0,1N 2 tr
, min
tr
min
2
= lj
(
)
/ amax , amax = max a j j = 1, N .
(10.274) Коэффициенты матрицы A1 определяются при этом из (10.50) после осуществления предельного перехода p → 0 :
ak(,k) −1 = − 1
λk lk
, ak( ,k) +1 = − 1
Т.к. эти коэффициенты A1
λk +1 lk +1
, ak(,k) = 1
λk lk
+
λk +1 lk +1
, k = 1, N − 1. (10.275)
не содержат p (являются числами), то и
−1
коэффициенты A1 − числа. Подстановка (10.278) в (10.44)÷(10.46) решает задачу определения функций склейки в многослойной плоской системе. 2.В этом варианте условие (10.274) не выполняется. Выполнение его,. Сведения к варианту 1 достигается увеличением числа слоев в системе, т.е. заменой N → N ' > N . Для этого достаточно один или несколько наиболее широких слоев системы представить двумя слоями половинной толщины. 3. Промежуточный между точным и приближенным (когда используются (10.275)) вариантами заключается в переходе от N − слойной системы к эквивалентной ей системе из N1 слоев ( N1 > N ) . Этот переход осуществляется таким образом, что у всех N1 «новых» слоев параметр
δ k = lk / ak будет одинаковым: δ k = δ 0 = inϑ , k = 1, N . Такие слоистые системы
будем
называть
поскольку параметры ε k =
частично
унифицированными
(частично
–
λk ( ρ c ) у слоев остаются различными). Из
(10.50) для N1 − слойной системы следует: 270
ak ,k −1 = −
εk p p = −ε k S0 ( p ) , S0 ( p ) = , sh δ 0 p sh δ 0 p
(10276)
ak ,k +1 = −ε k +1S0 ( p ) , ak ,k = ( ε k + ε k +1 ) S0 ( p ) ch δ 0 p . Преобразование правой части уравнения склейки при Ψ k = Ψ k ( p ) ,
Ψ k +1 = Ψ k +1 ( p ) дает:
(
)
bk ( p ) = p −1S0 ( p ) ch δ 0 p − 1 ( ε k Ψ k ( p ) + ε k +1Ψ k +1 ( p ) ) . (10.277) Уравнение склейки, после сокращения S0 ( p ) в обеих его частях, принимает вид: + + + −ε k μk( −1) + ( ε k + ε k +1 ) chδ 0 p μ k( ) − ε k +1μk( +1) =
(
)
= p −1 chδ 0 p − 1 ( ε k Ψ k + ε k +1Ψ k +1 ) .
(10.278)
В этом случае определение элементов обратной матрицы существенно проще, чем в общем, а какие-либо ограничения по t отсутствуют. Усложненные слоистые модели, учитывающие наличие в слоях конвекции и конверсии (базирующиеся на уравнениях Фурье-Кирхгофа - § 141) также могут быть многослойными. Коэффициенты уравнения склейки при этом даются формулами (10.151), когда могут быть преобразованы по варианту 1 (при p → 0 ). Из (10.151) тогда следует:
ak( ,k)−1 = − c
ε k βk ε β c exp (ϑk lk / 2ak ) , ak( ,k)+1 = − k +1 k +1 exp ( −ϑk +1lk +1 / 2ak +1 ) , sh δ k β sh δ k +1 β k +1 (10.279)
(c)
ak ,k = ε k β k cth δ k β k + ε k +1 β k +1 cthδ k +1 β k +1 + δ ak ,k ,
β k = hk + ϑ / 4ak , δ ak ,k = ( ρ c )k ϑk − ( ρ c )k +1 ϑk +1. 2 k
(10.280)
Поскольку в (10.279) – (10.280) не содержится параметр p , численное определение элементов обратной матрицы не вызывает затруднений. Ограничения по времени могут быть оценены (с запасом) по (10.274). В.Сферические многослойные системы. Вариант 1 построения многослойной модели совпадает с таковым для плоских систем. Выражение (10.274) модифицируется:
271
Δrj
tr → tr( ) = N 2 3
aL
2 3 3) 3 = N 2 tr( ) , tr max → tr( max = max trj( ) , j = 1, N .
(10.281) Коэффициенты матрицы A3 из общих формул (10.164), (10.165) после осуществления в них предельного перехода p → 0 :
ak(3,k)−1 = −
λk αk −1
, ak( ,3k)+1 = −
λk +1
α k +1 − 1
, ak( ,3k) =
λk
λk +1α k +1 . (10.282) α k − 1 α k +1 − 1 +
Выражения (10.282) получены после умножения обеих частей уравнения склейки на rk и согласуются с формулой (10.203). Второй вариант аналогичен первому, после увеличения числа слоев ранее описанным способом. Третий вариант построения многослойной модели со сферическими слоями заключается в обратной редукции (т.е. увеличении числа слоев) к системе из плоских слоев. Он может быть осуществлен двумя способами: 1) заменой N → N1 N , , где N1 − число ультратонких сферических слоев, определяемых ограничениями α k ≤ 1, 01, k = 1, N1 − 1 (см.§144); 2) заменой
N → N 2 > N , где N 2 − число тонких сферических слоев, определяемых ограничениями α k ≤ 1,1, k = 1, N 2 − 1 . В этом случае N 2 N1 . При первом способе коэффициенты матрицы A1 эквивалентной плоской системы находится по (10.275). При втором способе за основу берем формулы (10.279) – (10.280). Их необходимая модификация заключается в учете того, что: а) hk = 0; б) δ ak , k = 0 . Последнее соотношение вытекает из того, что используется однородное условие склейки потоков тепла на границах между слоями, а не условие (10.143). Формула (9.241) приводится к виду:
ϑ = −2,1 Подстановки: lk = Δrk ,
ak , k = 1, N 2 rk
λk rk
)
α k = α 0 = 1,1 k = 1, N 2 − 1 β k = ϑk2 / 4ak в (10.279)
÷ (10.280) приводят к выражениям:
ak(,3k)−1 = −21, 0
(
(10.283)
, ak(,3k)+1 = −25,385
λk +1 rk +1
λ λ , ak(3,k) = 11, 05 k + k +1 rk rk +1
(10.284)
272
С
учетом
того,
что
(
приводится к виду:
ak(,3k)−1 = −21, ( 0,91) ak(,3k)
)
α k = α 0 = 1,1 k = 1, N 2 − 1 , rk = r0α 0k k
λk r0
, ak( 3,k)+1 = −25,385 ( 0,91)
k
λk +1 r0
(10.284)
, (10.285)
k λ k +1 λk +1 = 11, 05 ( 0,91) k + ( 0,91) . r r 0 0
С. Цилиндрические многослойные системы. Первый вариант построения многослойных моделей аналогичен таковому для систем со сферическими слоями. Коэффициенты матрицы A2 (согласующиеся с (10.256) вычисляются по (10.244) после умножения обеих частей уравнения склейки на rk :
ak(,2k)−1 = −
λk λ λ λ , ak(,2k)+1 = − k +1 , ak(,2k) = k + k +1 . ln α k ln α k +1 ln α k ln α k +1
(10.286)
Второй вариант построения многослойной модели также аналогичен ранее рассмотренному. Третий вариант, как и в случае многослойных сферических систем имеет две разновидности – обратная редукция к ультратонким (α k ≤ 1, 02 ) и к тонким
(α k ≤ 1,1) плоским слоям. В последнем случае формула (10.283) ( с
учетом (9.241) и того, что m = 2 ) принимает вид:
ϑk = −1, 05
ak . rk
(10.287)
В итоге формулы (10.285) для случая цилиндрических слоев принимают вид:
ak(,2k)−1 = −9,975 ( 0,91) ak(,2k)
k
λk r0
, ak(,2k)+1 = −11, 025 ( 0,91)
k λ k +1 λk +1 = 10,5 ( 0,91) k + ( 0,91) r0 r0
k +1
λk +1 r0
, (10.288)
Этим рассмотрение многослойных моделей исчерпывается, поскольку во всех случаях вычисление элементов обратных матриц по формулам (10.44)÷ (10.46) легко осуществимо на ПК. В заключение рассмотрим возможные представления решений (полей) в многослойных системах в целом – глобальные решения. Для двух – и трехслойных моделей определение функций склейки не вызывает затруднений. Пусть в плоской трехслойной системе
273
{Ω( ) , Ω( ) , Ω( ) } 1
1
1 2
1
3
(1)
на левой границе слоя Ω1
( x = 0)
задано граничное
(−) условие I - го рода – функция μ1 ( t ) = u− ( t ) , а на правой границе слоя
1 + Ω3( ) ( x = l3 ) − то же, при μ 3( ) ( t ) = u+ ( t ) . После вычисления неизвестных
(+)
(+)
функций склейки μ1 ( t ) и μ 2 ( t ) − локальные решения во всех трех слоях могут быть записаны в представлении граничных функций. Каждая функция (1)
– поле в слое Ωi
( i = 1,3) − u ( ) ( x, t ) 1
i
будет выражена через функции
μ i(−+1) ( t ) и μ i( + ) ( t ) , функцию Грина G i(1) ( x, x ' t ) и обобщенную правую часть соответствующего уравнения. Решение для трехслойной системы в целом (глобальные решения) может быть записано в виде:
(1)
U
3
( x, t ) = χ i ( x ) i =1
U i(1)
1, x ∈ Ωi(1) , . ( x, t ) , χi ( x ) = (1) i = 1,3 0, x ∈ Ωi (10.289)
В случае многослойной ( N − слойной) системы, функции склейки
(
)
μ i( + ) ( t ) i = 1, N − 1
также
могут
быть
найдены
во
всех
выше
рассматриваемых вариантах. Локальные решения записываются в представлении граничных функций, а глобальные имеют вид, аналогичный (10.289) (при i = 1, N ). Это представление в ряде случаев удобно заменить,
(+) (+) учитывая «близость» μ i −1 ( t ) и μ i ( t ) в многослойной системе из «тонких» слоев. Положим, что
(1)
Ui
ˆ (1)
(+)
( x, t ) U i ( x, t ) = μi ( t )
=
μ i(−+1) ( t ) + μ i( + ) ( t ) 2
, i = 1, N (10.290)
Теперь глобальное решение можно представить ступенчатой функцией:
ˆ (1)
U
N
( x, t ) = χ i ( x ) i =1
μi( + )
(t )
,
1, x ∈ Ωi(1) , χi ( x ) = (1) 0, x ∈ Ωi .
(10.291)
Для некоторых расчетов (теплосодержание и теплопотери в слоистой системе в целом и др.) желательно (10.291) аппроксимировать кусочномонотонной функцией (функциями) степенного или экспоненциального вида, что легко осуществимо (§§ 104,106). Перенесение изложенного на многослойные цилиндрические и сферические системы очевидно.
274
ЧАСТЬ 11. МОДЕЛИ СЛОЖНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ К моделям этого класса относим теплофизически неоднородные , нестационарные и нелинейные модели и их комбинации. Соответствующие уравнения (Фурье, Фурье – Кирхгофа, телеграфные), полученные анализом парадигмы шахтной теплофизики [40,§89] приведены в первом томе настоящей монографии (уравнения (7.1), (7.2), (7.3)). Далее рассматриваются частные базисные модели – неоднородные, нестационарные, нелинейные.
Глава 44. МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ §147. Непрерывно – неоднородные и слоисто – неоднородные системы В первом томе [40] теплофизически неоднородные системы шахтной теплофизики были классифицированы на слоистые, простые неоднородные (далее – непрерывно – неоднородные) и слоисто – неоднородные (§20). Для процессов переноса в горных массивах характерны эндогенные и экзогенные слоистости (§39), а также слоистость с непрерывным изменением параметров в каждом из слоев (слоисто – неоднородные системы) (§§42, 46). При моделировании процессов переноса тепла и массы в шахтной вентиляционной ветви (т.е. вдоль цепи горных выработок различной длины, поперечного сечения, с различным аэродинамическим сопротивлением и т.д.) также рассматриваются слоистые и слоисто-неоднородные системы (§35). В более широком (геотеплофизическом) аспекте анализируются, на основе данных бурения горных пород, лабораторных экспериментов и теоретических гипотез, закономерности изменения с глубиной и в зависимости от горного давления и плотности горных пород такие величины как коэффициент теплопроводности, проницаемость, мощность источников тепла и др.[70÷73, 80÷87, 131]. В такого рода работах содержится много информации, необходимой для построения различных моделей переноса в непрерывно-неоднородных и слоисто-неоднородных геосистемах, однако самих моделей мало (в основном – работы А.Ф. Чудновского и его учеников [131]). Более широкое применение находят такие модели в прикладной физике твердого тела [120,132÷135] и в исследованиях термоустойчивости подземных и других инженерных сооружений [136÷146]. Для построения моделей переноса тепла и массы в неоднородных горных массивах и вентиляционных ветвях шахт, необходимо сформулировать базисные модели переноса для непрерывно-неоднородных
( m) ( m = 1, 2,3; областей Ω ν
ν = 1, 2,) и слоисто-неоднородных областей 275
( m ) и указать методы приближенного решения краевых задач. = Ω N i i=1 m ( ) Области Ω отличаются от ранее рассматривавшихся областей – слоев Ων( m ) ν только переменностью вдоль координаты η теплофизических параметров в них. Геометрически они эквивалентны.
( m)
N
m = 1, 0, l , m = 1, ( m ) = η ∈ (η η ) ,η = x, m = 1, Ω η− = η+ = ν −, + ν r , m = 2,3, rν −1 , m = 2,3, rν , m = 2,3. (11.1)
{
}
( m ) рассматриваем: А. Модели на основе уравнения Фурье; Для областей Ω ν
(
m)
В. Модели на основе уравнения Фурье – Кирхгофа. Для областей N рассматриваем аналогичные случаи (соответственно А1 и В1). В настоящем параграфе формулируем модели и устанавливаем общие структуры решений с использованием функций Грина, а в последующих – предлагаются приближенные методы решения краевых задач. ( m ) с монотонно изменяющимися А. Уравнение Фурье в областях Ω ν теплофизическими параметрами Cν (η ) и λν (η1 ) и содержащими источники
(стоки) тепла с мощностью Fν (η , t ) : :
∂uν( m) ∂uν( m) 1 ∂ m−1 ( m) ( m) Cν (η ) = m−1 η λν (η ) + Fν (η, t ) , uν = uν (η, t ) , t > 0. (11.2) ∂t ∂η η ∂η Краевые условия к (11.2):
uν(
m)
(η , +0 ) = ϕν (η ) ,η ∈ Ων( m) ; uν( m) (η−1 , t ) = μν( −) (t ), uν( m) (η+1 , t ) = μν( +) (t ), t > 0
(11.3) Переходим к обобщенной формулировке краевой задачи (11.2), (11.3), ( m)
полагая uν
(η , t ) = θ + ( t ) uν( m) (η , t )
(θ + ( t ) = 0 при t ≤ 0 и
t > 0 ). Уравнение (11.2) принимает вид:
θ + ( t ) = 1 при
∂uν( m) ∂uν( m) 1 ∂ m−1 ( m) , t > 0, (11.4) = η λν (η ) + Ψν (η , t ) , η ∈Ω ν m−1 Cν (η )η ∂η ∂t ∂η (η , t ) = ϕ (η ) δ ( t ) + f (η , t ) , Ψ ν ν + ν
F (η , t ) dθ ( t ) fν (η , t ) = ν , δ + ( t ) = + , (11.5) Cν (η ) dt
276
uν( m ) (η − , t ) = μν( − ) ( t ) , uν( m ) (η + , t ) = μν( + ) ( t ) , μν( ± ) ( t ) = θ + ( t ) μν( ± ) ( t ) .
(11.6)
Уравнение (11.4) в операторной записи:
(η, t ) , L( m) = ∂ −∇ 2,∇ 2 , = ( C (η )η m−1 )−1 ∂ (η m−1λ (η ) ∂ ) . (11.7) Lν( m)uν( m) (η, t ) = Ψ ν ν ν η ν η t m m
( m)
Его решение можно, как это делалось ранее для однородных областей Ων , найти в виде двух эквивалентных структур: представление граничных функций (ПГФ) и представление потенциала (ПП). Представление граничных функций строим, полагая
uν( m) (η, t ) = ϑν( m) (η, t ) + M ν( m) (η, t ) , ϑν( m) (η− , t ) = ϑν( m) (η+ , t ) = 0, t > 0, M ν( m) (η− , t ) = μν( −) ( t ) , M ν( m) (η+ , t ) = μν( +) ( t ) , t > 0. ( m)
Подстановка (11.8) в (11.7) дает для ϑν
(11.8)
(η , t ) уравнение:
m m m m (η , t ) − L( m) M ( m ) (η , t ) (11.9) Lν( )ϑν( ) (η , t ) = Wν( ) (η , t ) , Wν( ) (η , t ) = Ψ ν ν ν
( m)
(η , t )
Функции M ν Ων(
m)
находим аналогично случаю однородных областей
(см.(8.105)÷(8.107)):
2 M ( m) (η , t ) = 0, M ( m) (η , t ) = μ ( − ) ( t ) + μ ( + ) ( t ) − μ ( − ) ( t ) β ( m ) (η ) . ∇ ν ν ν ν m ν ν Для функций
( m)
βν
(11.10)
(η , t ) имеем задачу
2 β ( m) (η , t ) = 0, β ( m ) (η ) = 0, β ( m ) (η ) = 1, ∇ ν − ν + m ν
(11.11)
решение которой имеет вид:
η+ dη (m) βν (η ) = m −1 η λ η ( ) ν η−
−1
η
η (η ' )
dη '
.
λν (η ') ( m) Решение (11.9) записываем, используя функцию Грина G n ,ν (η ,η ', t ) : −
277
m −1
(11.12)
ϑν( m ) (η , t ) = G n( m,ν ) (η ,η ', t ) ∗ Wν( m) (η ', t ) (t )
( m) n ,ν
для G
~
m Ων( )
m m , Wν( ) (η , t ) = Ψν (η , t ) − ∂ t M ν( ) (η , t )
(11.13)
(η ,η ', t ) из (11.13) следует уравнение m m m Lν( )G n( ,ν ) (η ,η ', t ) = δν( ) (η − η ') δ + ( t ) .
(11.14)
( m) Граничные условия для G n ,ν (η ,η ', t ) : m m m m G n( ,ν ) (η − ,η ', t ) = G n( ,ν ) (η + ,η ', t ) = G n( ,ν ) (η ,η −' , t ) = G n( ,ν ) (η ,η +' , t ) = 0 (11.15)
Окончательно, структура решения G n ,ν функций записывается в виде:
( m)
(η ,η ', t )
– представление граничных
m − m m uν( ) (η , t ) = M ν( ) (η , t ) + G n( ,ν ) (η ,η ' t ) ∗ Wν( ) (η ', t )
(t )
m Ων( )
.
(11.16)
Представление потенциала следует из биобобщенной формулировки
( m) и Ω ( m) краевой задачи (11.4) ÷ (11.6). Характеристические функции Ω ν ν совпадают: ( m)
χν
( m) 1, η ∈ Ω ν ( m ) = Ω( m ) = x ∈ ( 0, lν ) , m = 1, , Ω (11.17) (η ) = ν ν ( m) r r , r m 2,3. ∈ = ( ) ν −1 ν 0, η ∈ Ων
Согласно (8.75)
d χν( ) ( x ) = δ + ( x ) − δ − ( x − lν ) , dx 1
Биобобщенная
функция
d χν( ) d χν( ) = = δ + ( r − rν −1 ) − δ − ( r − rν ) . dr dr 2
3
(11.18)
m m m uν( ) (η , t ) = χν( ) (η ) uν( ) (η , t )
удовлетворяет
уравнению, следующему из (11.4) после его умножения на
χν( m ) (η ) и
простых преобразований (с учетом свойств δ − функций, в частности – (11.18)):
278
∂ uν( m ) + Φ ( m ) + R ( m ) . = ∇ m2 uν( m ) + Ψ ν ν ν ∂t
(11.19)
В уравнении (11.19):
= χ ( m ) η Ψ (η , t ) Φ (m) = Φ ( m ) (η , t ) = a (η ) × Ψ ( ) ν ν ν ν ν ν × μν(
+)
( t ) δ −' (η − η+ ) − μν( −) ( t ) δ +' (η − η− ) , (11.20)
m − 1 1 d λν m m Rν( ) = Rν( ) (η , t ) = aν (η ) + × η λ d η ν × μν( − ) ( t ) δ + (η − η− ) − μν( + ) ( t ) δ +' (η − η + ) .
Решение уравнения (11.19) в ПП выражается через функцию Грина
Gν( m ) (η ,η ', t ) = Gν( m ) (η ,η ', t ) , определяемую (11.14), (11.15):
m m ( m ) (η ', t ) + Φ uν( ) (η , t ) = G n( ,ν ) (η ,η ', t ) ∗ Ψ η ', t ( ) ν (t ) ν
m Ω( )
.
(11.21)
ν
Формулой (11.21) дается искомое ПП, в ней учтено, что в силу условий (11.15)
m m Gν( ) (η ,η ', t ) ∗ Rν( ) (η ', t ) (t )
Ων( m )
= 0.
(11.22)
( m) : В. Уравнение Фурье – Кирхгофа в областях Ω ν ∂uν( m ) ∂uν( m ) ∂uν( m ) 1 ∂ m −1 Cν (η ) + Vν (η ) η λν (η ) + Fν (η , t ) , t > 0. = m−1 t η η η η ∂ ∂ ∂ ∂ (11.23) Краевые условия такие же, как и для уравнения Фурье. В операторном виде обобщенное уравнение (11.23) принимает вид:
Lν( ,v) uν( m
m)
(η , t ) = Ψ ν (η , t ) ,
Lν( ,v) = Lν( ) + Vν (η ) ∂η . m
279
m
(11.24)
( m)
При наличии в Ων
процессов конверсии (т.е. наличия стока тепла,
пропорционального температуре), оператор Lν( m,v) переходит в оператор Lν( ,v,) h : m
Lν( ,v,) h = Lν( ,v) + hν = Lν( ) + Vν (η ) ∂η + hν , hν > 0. m
m
m
(11.25)
Решение (11.24) с оператором Lν( ,v,) h строится в ПГФ аналогично случаю А. m
m Функции Wν( m ) (η , t ) при этом заменяются на функции Wν(,v,)h : m) ( m) ( m) Wν(,v, (η , t ) = Wν( m ) (η , t ) − (Vν (η ) ∂η + hν ) M ν( m ) (η , t ) h (η , t ) = Ψν (η , t ) − Lν ,v, h M ν
(11.26)
Таким образом, решение в ПГФ: m m m m uν( ) (η , t ) = M ν( ) (η , t ) + Gν( ,v,)h (η ,η ', t ) ∗ Wν(,v,)h (η , t )
(t )
В (11.27) функция Грина
m Gν( ,v,)h
m Ων( )
. (11.27)
удовлетворяет уравнению
m m m Lν( ,v,) h Gν( ,v,)h (η ,η ', t ) = δν( ) (η − η ' ) δ + ( t )
(11.28)
и однородным граничным условиям (11.15). В представлении потенциала, следующем из биобобщенной формулировки краевой задачи, имеем, аналогично предыдущему случаю:
(η ', t ) + Φ ( m ) (η , t ) uν( m ) (η , t ) = Gν( m,v,)h (η ,η ', t ) ∗ Ψ ν ν ,v, h (t ) ( m ) (η , t ) = Φ ( m ) (η , t ) . Здесь Φ ν ,v, h
m Ω( )
.
(11.29)
ν
ν
Полученные для случаев А и В структуры решений в ПГФ и ПП дают точные решения, если известны точные выражения для функций Грина. Далее рассматриваются приближенные решения, следующие из этих структур при использовании в них приближенных функций Грина. А.1. Уравнения Фурье
для областей
(
m) N
, состоящих
(
( m ) ν = 1N ( m ) ,записываются для каждой из подобластей Ω подобластей Ω ν ν
из
)
в
виде (11.19). Структура решений для всех ν = 1, N − ПП, содержащее в − + обобщенном источнике функции μν( ) ( t ) и μν( ) ( t ) , являющиеся (кроме
280
+ μ1( − ) ( t ) и μ N( ) ( t ) ) неизвестными. Для их нахождения используется метод
функций склейки (Часть 10). Уравнения склейки выводятся ранее изложенным методом, однако их коэффициенты и правые части модифицируются с учетом того, что во все выражения, содержащие функции Грина и их производные, в качестве функций Грина подставляются, вместо фигурировавших в Части 10, функции Грина, определяемые задачей (11.14), (11.15). Также осуществляются замены:
λν → λν( + ) = λν (η+ ) , aν → aν( + ) = aν (η+ ) , λν +1` → λν( +−1) = λν +1 (η− ) , aν +1 → aν( −+)1 = aν +1 (η − ) . В1. Уравнение Фурье – Кирхгофа для областей ( m)
(
m) N
также
. Решения в ПП используются для записываются для каждой подобласти Ω ν реализации метода функций склейки при подстановке во все формулы ( m)
функций Грина Gν ,v, h (η ,η ', t ) , определенных из (11.28),(11.15). Этим
исчерпываются формулировки базисных моделей для непрерывно – неоднородных и слоисто – неоднородных систем и установление структур решений краевых задач.
§148. Аналитико – численные методы: приближенные функции Грина Высказывание А.В.Лыкова о трудности теплофизического моделирования процессов переноса в неоднородных твердых средах [17] подтвердилось в ходе исследований последующего периода. Несмотря на актуальность таких моделей для геотеплофизики [40] и различных технологических систем [101, 127, 133,146], фундаментальные «профильные» монографии [101, 126 ÷ 129] эти модели не рассматривают. В работах по диффузии в твердых неоднородных средах [58, 147, 148] используются, как правило, немногочисленные известные методы решения краевых задач [16, 17, 62] Предложенные в литературе по теплофизике другие методы (функций Грина, в частности) крайне сложны [14,93, 135, 150 ÷ 155], что затрудняет их использование в прикладных исследованиях. Численные методы (конечных разностей, конечных элементов и др.) также имеют недостатки и трудности в реализации [23, 156 ÷ 165]. Ранее, в томе 1 [40, §101], уже высказывались, применительно к моделям шахтной теплофизики и геотеплофизики, аналогичные соображения. Ставилась цель разработки гибридных, аналитико – численных методов решения краевых задач, сочетающих математическую строгость с простотой реализации, т.е. доступностью их для физиков –экспериментаторов и инженеров – теплотехников и горняков. Предлагаются следующие аналитико – численные методы: 1) приближенных функций Грина; 2) стратификации; 3) дискретизации. Два последних метода можно именовать алгебраизацией 281
краевых задач. В настоящем параграфе рассматривается первый, а в последующих – второй и третий методы. Метод приближенных функций Грина применим к задачам переноса ( m)
в непрерывно-неоднородных системах (в областях Ων , m = 1, 2,3; ν = 1, 2, ) при использовании уравнений Фурье (11.2) и Фурье – Кирхгофа (11.23). При обобщенной записи этих уравнений ((11.4) и (11.24)) соответственно) решения находятся в представлении граничных функций ((11.16) и (11.27)). Биобобщенной формулировке краевых задач соответствуют решения в представлении потенциала ((11.21) и (11.29)). В обоих представлениях используются функции Грина:
m m Gν( ) (η ,η ', t ) = G h( ,ν ) (η ,η ', t ) − для уравнения Фурье и Gν( m,v,)h (η ,η ', t ) − для
уравнения Фурье - Кирхгофа. Эти функции Грина находятся из обобщенных краевых задач с однородными граничными условиями первого рода, по уравнениям (11.14) и (11.28) соответственно. Метод приближенных функций Грина (см. Гл.36) является модификацией метода П.В. Цоя [37, 38]. Методика применения его к задачам с переменными (по координате) параметрами такая же, как в случае постоянных параметров. Поскольку уравнения (11.28) обобщают уравнения (11.14) (совпадая с последним при Vν (η ) = hν (η ) = 0 ), будем находить ( m)
( m)
выражения для Gν ,v, h (η ,η ', t ) − имея в виду, что Gν ,v, h (η ,η ', t ) при
Vν (η ) = hν (η ) = 0 переходит в G h( m,ν ) (η ,η ', t ) . Ограничимся нахождением (m) первого приближения G (η ,η ', t ) = G ( m) (η ,η ', t ) . Полагаем: ν ,v, h
ν ,v,1
m ( m) Gν( ,v,1) (η ,η ', t ) = C1,v, (η ', t ) Ψ1( m) (η ) ,
(11.30)
( m) (m) где C1,v, (η ', t ) − коэффициент, подлежащий определению, а Ψ1 (η ) −
первая координатная функция метода Бубнова – Галеркина:
(1) x xx 1 Ψ = − 1 , m = 1, l l ν lν ν Ψ1( m ) (η ) = Ψ (1) ( ρ ) = (1 − ρ ) ρ , ρ = r − rν −1 , m = 2,3. ν ν ν ν 1 rν − rν −1 Операторная невязка первого приближения:
282
(11.31)
ε 1( m )
= Lν( m, v), h G ν( m, v ),1 (η , η ', t ) − Lν( m, v), h G 1(,mv ,1) (η ', t ) = (m )
= δν
(11.32)
(η − η ' ) δ + ( t ) − Lν , v , h G ν( m, v ),1 (η , η ', t ) . (m )
Преобразовав (11.32) по Лапласу (по t ), получим с учетом (11.30):
ε1( m ) = δν( m) (η − η ') − Lν( m,v,) hGν( m,v,1) (η ,η ', p ) , m ( m) Gν( ,v,1) (η ,η ', p ) = C1,v, (η ', p ) Ψ1( m) (η ) , 2 +V ∂ + h , ∇ 2 = (C ( m ) ) −1 (η ) η 1− m (η m −1λ (η ) ∂ ) . Lν( m,v,) h = p − ∇ m m ν η ν ν ν η
(11.33)
( m)
Из условия ортогональности в области Ων
ε1( m) Ψ1( m )
m Ων( )
ε1( m ) и Ψ1( m ) :
= 0,
(11.34)
Следует, что m m m C1,v (η ' p ) = Ψ1( ) , Lν( ,v,) h Ψ1( )
−1
Ψ ( m ) (η ' ) . m) 1 ( Ων
(11.35)
Находим:
Гν( ,v,)h ≡ Ψ1( ) , Lν( ,v,) h Ψ1( m
( m)
m
( m)
m
( m)
где S11 = Ψ1 , Ψ1
m Ων( )
m)
m Ων( )
m m m m = pS11( ) + Q11( ) + U11( ) + M 11( ) ,
(11.36)
− ранее вычисленные (см. §§116, 117)
( m) ( m) ( m) коэффициенты, а другие величины Q11 , U11 , H 11 определяются по формулам: m m m Q11( ) = − aν (η ) Ψ1( ) , ∇ m2 Ψ1( )
m Ων( )
m m m , H 11( ) = hν (η ) Ψ1( ) , Ψ1( )
dλ m U11( ) = Vν (η ) − Cν−1 (η ) ν dη
( m ) d Ψ1( m ) Ψ1 , dη
Все интегралы в (11.37) при «нормальных» aν ( h ) , hν вычисляются без затруднений.
283
. m Ων( )
m Ων( )
(11.37)
(η ) ,Vν (η , ) , Cν (η )
( m) Для уравнения Фурье, когда ищем функцию Грина Gν ,1 (η ,η ', t ) ,
положим в (11.37) hν (η ) = Vν (η ) = 0 . Тогда определяемая (11.36) величина m Гν( m,v,)h переходит в величину Гν( ) :
(m)
Гν
(m)
≡ pS11
dλ + Q11( m ) + U11( m ) , U11( m ) = − Cν−1 (η ) ν dη
( m ) d Ψ1( m ) Ψ1 , dη
( m)
.
Ων
(11.38) Из (11.35) ÷(11.37) следует:
C1,(νm) (η ', p ) =
1 1 ( m) ( m) ( m) η D S ' , Ψ = ( ) 1 11 11 m m S11( ) p + D11( )
( ) (Q ( ) +U ( ) + H ( ) ) , −1
m 11
m 11
m 11
(11.39)
C1(
m)
(η ', p ) =
( m) 1 1 ( m) (m) ' , η D S Ψ = ( ) 1 11 11 S11( m ) p + D11( m )
( ) ( Q ( ) + U ( ) ) , −1
m 11
m 11
(11.40) ( m)
где U11 определено (11.38) и ровно нулю при λν (η ) = λν o = const. Обратное преобразование Лапласа в (11.39) и в (11.40) дает:
θ+ (t ) ( m) η ', = C1,v t ( ) ( m) exp − D11( m)t Ψ1( m) (η ') , S11
(11.41)
θ (t ) C1( m ) (η ', t ) = + ( m) exp − D11( m )t Ψ1( m ) (η ') . S11
(11.42)
(
(
)
)
Таким образом, структурно выражения для функций Грина, для уравнений Фурье и Фурье- Кирхгофа, аналогичны друг другу и выражениям для функций Грина в первом приближении для однородных теплофизических ( m)
областей Ων
. Поэтому можно, используя табл.8.5 (§117), сразу выписать
( m) выражение для функций Грина уравнений Фурье-Кирхгофа Gν ,v,1 (η ,η ', t ) .
( m) Для функций Грина уравнение Фурье Gν ,v,1 (η ,η ', t ) выражения будут те же,
( m ) → D ( m ) . Имеем: но с заменой D 11 11
284
30θ ( t ) x x' ) Gν(1,v,1 ( x, x ', t ) = + exp − D11( m)t Ψ1 Ψ1 , lν lν lν
(11.43)
30θ t 2) Gν( ,v,1 ( ρν , ρv' , t ) = +( 2() ) exp − D11( 2)t Ψ1 ( ρν ) Ψ1 ( ρν′ ) , Ων
(11.44)
(
)
(
)
35θ + ( t ) ( 3) 3) ' (3)t Ψ ( ρ ) Ψ ( ρ ′ ) . (11.45) Gν( ,v,1 , , t C exp D ρ ρ α = − ( ) (ν v ) 11 1 1 ν ν ν Ων(3)
(
( m)
Здесь Ων
)
( m = 2,3) − меры соответствующих областей, величины C( ) (αν ) 3
определены (8.214). Из (11.37)÷(11.40) следует: m m m m m Q11( ) H 11( ) U11( ) Q11( ) U11( ) (m) (m) D11 t = ( m ) t + ( m ) t + ( m ) t , D11 t = ( m ) t + ( m ) t , S11 S11 S11 S11 S11
aν (η ) Ψ1( ) , ∇ 2m Ψ1( ( m) Q11 t=− m m m S11( ) Ψ1( ) Ψ1( )
m)
m
m Ων( )
( m)
m
(
A1( m ) = − Δην( m )
)
aν( ,e)t m
( Δη ) ( m)
2
,
ν
aν (η ) Ψ1( ) , ∇ m2 Ψ1(
m)
Ψ1( )∇ 2m Ψ1( Ψ1( ) , ∇ 2m Ψ1( Ψ1( ) , Ψ1(
m Ων( )
m)
m Ων( )
hν (η ) Ψ1( ) , Ψ1( ) ( m) H11 t = hν( em )t , hν( em )t = ( m) m m S11 Ψ1( ) Ψ1( ) ( m) m
,
m Ων( )
m)
m
m Ων( )
m)
m
m
2
( m)
t = A1 Foν ,e , Foν ,e =
m
aν( e ) =
( m)
(11.46)
10, m = 1, = 10, m=2, ( 3) 14 N (αν ) , m = 3.
m
Ων
(11.47)
m Ων( )
m = 1, l , Δην( m ) = ν Δrν , m = 2,3.
(m) (m) U11( m ) ( m ) Vν l − Vν l t = A2 ( )t , (m) (m) Δην S11
285
(11.48)
(m)
Ψ1 A2( m ) = Δην( m )
( m)
Vν Ψ1 Vν(lm ) =
Ψ1( ) , m
d Ψ1( , dη
m)
(m)
( m)
Ψ1 Ψ1
d Ψ1( , dη
m Ων( ) m Ων( )
0, α −1 = − ν , αν + 1 3,5 α 2 − 1 (ν ) − 2αν2 + 3αν + 2
m)
m=2, m = 3.
(m)
m Ων( )
(m) 1
dΨ dη
m = 1,
m d Ψ1 Vν Ψ1( ) , dη
, Vν(lm ) =
Ψ1( ) , m
m Ων( )
m Ων( )
(m) 1
dΨ dη
,
(11.49)
m Ων( )
m (m) U11( ) ( m ) Vν e t −1 d λν (η ) t A V η C = − = , . ( ) ν ν 2 ( m) d η S11( m ) η Δ νe
(11.50)
(m) (m) (m) (m) Постоянные величины aν e , hν e ,Vν e Vν e являются эффективными параметрами, определяющими функции Грина при переменных параметрах. С учетом (11.46)÷(11.50) можем записать вместо (11.43)÷(11.45):
30θ t ) Gν(1,v,1 ( x, xv' , t ) = l+ ( ) exp −hν(1e)t exp −10Foν(1e) Ψ1 lx Ψ1 lx ' . (11.51) ν ν ν
(
) (
)
30θ + ( t ) ) ( 2) ( 2) ' = − − Gν( 2,v,1 ρ , ρ , t exp h t exp 10 Fo (ν v ) ν e ν e × ( 2) Ων
(
αν − 1 Vν e − Vν e × exp α 1 + Δrν ν ( 2)
286
( 2)
) (
' t Ψ1 ( ρν ) Ψ1 ( ρν ) ,
)
(11.52)
Gν ,v,1 ( ρν , ρ , t ) = ( 3)
' v
35C (
3)
(αν )θ + ( t ) exp
Ων(
3)
( −h( )t ) exp −14 N ( ) Fo( ) × 3
3
νe
3,5 (αν2 − 1) V ( 3) − V ( 3) ' νe νe × exp 2 t Ψ1 ( ρν ) Ψ1 ( ρν ) . 2αν + 3αν + 2 Δrν Здесь N
( 3)
3
νe
(11.53)
(αν ) определено (8.214). Выражения (11.51)÷(11.53) при
Vν (η ) = 0, hν (η ) = 0 (и, соответственно, Vν(,me ) = 0, hν( m,e) = 0 ) переходят в выражения для функций Грина уравнения Фурье: 30θ + ( t ) x x' (11.54) Gν(1,1) ( x, x ', t ) = exp −10 Foν(1e) Ψ1 Ψ1 , lν l l ν ν 2 αν − 1 Vν(e )t 30θ + ( t ) ( 2) ( 2) ′ Gv,1 ( ρν , ρν , t ) = exp − exp −10 Foν e Ψ1 ( ρν ) Ψ1 ( ρν′ ) , ( 2) Ων αν + 1 Δrν (11.55)
(
( 3)
Gv,1 ( ρν , ρν′ , t ) =
35C ( 3) (αν ) θ + ( t ) Ων(
3)
× exp −14 N (
3)
)
3,5 (αν2 − 1) V ( 3)t ν e × exp − 2 2αν + 3αν + 2 Δrν
(αν ) Foν(3e) Ψ1 ( ρν ) Ψ1 ( ρν′ ) .
(11.56) В частном случае aν (η ) = aν o = const , hν (η ) = hν o = const , Vν (η ) = Vν o = const ,Vν (η ) = Vν o = const , для эффективных параметров получаем значения: m m m m aν( e ) = aν o , hν( e ) = hν o ,Vν(e ) = Vν o ,Vν(e ) = Vν o , m = 1, 2,3.
(11.57)
Последнее из соотношений (11.57) имеет место только при выполнении условия:
d λ (η ) d ln λν (η ) d ln λν (η ) Vν (η ) = Cν−1 (η ) ν = aν (η ) = aν 0 = const , dη dη dη что возможно, если функция
= const , Vν ,0 = 0.
λν (η ) exp (η ) . При λν (η ) = λν 0 = .
Построением приближенных функций Грина (11.51)÷(11.56) завершается решение поставленной в данном параграфе задачи. Решение же исходных краевых задач переноса в теплофизически неоднородных областях 287
Ων(
m)
, следует при подстановке полученных функций Грина в структуры решений , приведенные в предыдущем параграфе. В случае, когда интегралы в выражениях для эффективных параметров оказываются расходящимися (что возможно для достаточно узкого класса «экзотических» функций
aν (η ) , λη (η ) , Cν (η ) ,Vν (η ) , hν (η ) ,
необходимо редуцировать задачу, разбив область
Ων(
m)
на подобласти
Ων(i
m)
,
в которых эти интегралы вычислимы. При i=2,3 т.е. сведении задачи к двух – или трехслойной, возможно использование метода функций склейки. При i≥4 целесообразна редукция к многослойной (с достаточно узкими слоями) системе с последующим применением приближенного метода функций ( m) (m) склейки. Разбиение области Ων на подобласти – слои Ων i будем ( m) называть стратификацией задачи (системы, модели), если размеры Ων i таковы, что температурное поле в каждом слое описывается уравнением Фурье или Фурье-Кирхгофа с постоянными или переменными параметрами. Если слои достаточно узки, так что для описания температуры в них достаточно одного, некоторого среднего ее значения, то такое разбиение будем называть дискретизацией задачи (системы, модели).
§149.Аналитико-численные методы: стратификация областей Метод стратификации заключается в редукции модели переноса в ( m) области Ων с параметрами –функциями координат – к модели переноса в двух-, трех- или многослойной системе с переменными или постоянными параметрами. В первом случае получаем слоисто-неоднородную систему с более простой (в результате стратификации) зависимостью параметров от координаты (желательно линейной). Во втором случае – имеем слоистую систему, в каждом из слоев которой параметры постоянны. Далее ограничиваемся одним классом функций, описывающих изменение параметров уравнений Фурье и Фурье-Кирхгофа с координатой, а именно бимонотонными функциями. Бимонотонными функциями называем непрерывные в областях m Ων( ) функции, изменяющиеся, как и их первые производные, монотонно ( m) (говоря проще, это только возрастающие или только убывающие в Ων функции, у которых производные также только возрастают или только убывают). Ранее уже приводились простейшие бимонотонные функции – степенные (8.32) и экспоненциальные (8.34) (см. § 104, 106). При использовании их в качестве аппроксимирующих, эти функции
ϕ− = ϕ (η− ) ,ϕ+ = ϕ (η+ ) , n (ранее n − показатель степени степенной функции обозначался m ) – для
определяются тремя параметрами: параметр
288
степенной функции и ϕ− ,ϕ+ , β − для экспоненциальной функции ( β − постоянный числовой коэффициент в показателе экспоненты). В формулы для n и β (соответственно (8.53) и (8.54) входят «левое» и «правое» значения
аппроксимируемой
f (η− ) = f − = ϕ − , значение
f
m Ω( )
ν
f (η ) (т.е.
функции
f (η + ) = f + = ϕ + )
и ее среднее по области
. Из этих формул следует простая связь:
Ων(
m)
β = 1 + n −1 , что
позволяет далее ограничиться только степенными функциями вида:
ϕ n ( ξ ) = ϕ − + Δ ϕ nξ n , Δ ϕ = ϕ + − ϕ − ,
ϕ − = ϕ n ( 0 ) , ϕ + = ϕ n (1) , ξ ∈ [ 0,1] , n ∈ ( 0, ∞ ) .
В (11.58): ξ
= x / lν
(m=1) и ξ
= ρν = ( r − rν −1 ) / ( rν − rν −1 )
(11.58)
при m=2,3.
Параметры уравнений Фурье и Фурье-Кирхгофа предполагаем заранее представленными в виде (11.58), т.е.
λν (ξ ) = λ− + Δλξ nλ , Cν = C− + ΔCξ nc ,
Vν (ξ ) = V− + ΔV ξ nv , hν (ξ ) = h− + Δhξ
nh
(11.59)
( m) Стратификацию областей Ων осуществляем двумя способами: 1) находим такое необходимое число слоев N1 , чтобы в каждом из них
( )
( )
( )
( )
параметры-функции λν η , Cν η ,Vν η , hν η можно было, с оговоренной погрешностью, заменить кусочно-постоянными функциями, т.е. ( m) редуцировать Ων к слоистой системе. 2) Находим такое необходимое число слоев N 2 , чтобы в каждом из них все параметры зависели от ( m) координаты простейшим – линейным – образом, т.е. редуцируем Ων , к слоисто-неоднородной системе. Ясно, что всегда будем N 2 < N1 , но критерий выбора способа стратификации должен, видимо, учитывать и другие факторы, т.е. определяться конкретной моделью. Анализ обоих указанных способов осуществляем на основе (11.58), учитывая следующие соображения. При различных значениях параметров ηλ ,η c ,η v hh в (11.59) оба способа стратификации приведут к совокупностям: N1 = { N1λ , N1c , N1v , N1h } и N 2 = { N 2 λ , N 2 c , N 2v , N 2 h } . Тогда необходимо выбрать максимальные значения в каждом из наборов: N1 = N1max , N 2 = N 2 max , т.е. число слоев выбирать так, чтобы назначенный критерий погрешности аппроксимации соблюдался в самом «тяжелом» случае. Все другие аппроксимации пересчитываются на этот случай.
289
Функция ϕ n (ξ ) может быть возрастающей (ϕ − < ϕ + , Δϕ > 0, Kϕ = ϕ + / ϕ − > 1)
(
)
или убывающей ϕ − > ϕ + , Δϕ < 0, Kϕ < 1 . Как легко проверить в обоих
этих ситуациях формулы (8.53) и (8.54) остается в силе, а ϕ n (ξ ) сохраняет свой вид. Поэтому далее ограничиваемся случаем Kϕ > 1 .
Первый способ стратификации: редукция к слоистой системе. Обозначим аппроксимирующую кусочно-постоянную функцию ϕˆn (ξ ) , запишем: N1
ϕˆn (ξ ) = χ k (ξ ) ϕˆk , ϕˆk = const , k =1
1, ξ ∈ ωk χ k (ξ ) = ωk = {ξ ∈ (ξ k −1 , ξ k )} , k = 1, N1. ∈ ξ ω 0, , k
(11.60)
Введем обозначения:
ϕ k = ϕn (ξ k ) , θ k = (ϕ k − ϕ− ) / (ϕ + − ϕ− ) , ϕ0 = 0, ξ N = 1, 0. θ k ∈ [0,1] . Интервал значений θ k ∈ [0,1] разбиваем на N1 одинаковых отрезков Δθ k = (ϕk − ϕk −1 ) / Δϕk = 1/ N1. . 1
Имеем:
θ1 = Δθ1 , θ 2 = 2Δθ1 , ,θ k = k Δθ1 , , θ N = N1Δθ1 = 1, 0. 1
Полагаем:
ϕˆ1 =
ϕ− + ϕ1 2
, ϕˆ2 =
ϕ1 + ϕ2
, , ϕˆk =
ϕk −1 + ϕk
, , ϕˆ N1 =
ϕ N −1 + ϕ+ 1
2 2 2 1 2 k = ξ1n , θ 2 = = ξ 2n , ,θ k = = ξ kn , Поскольку θ1 = Δθ1 = N1 N1 N1
(11.61)
. (11.62)
Для всех k = 1, N1 можем записать: 1/ n
k k ξ = , ξk = . (11.63) N1 N 1 Формулами (11.62) определены значения ϕˆn (ξ ) в каждом из N1 слоев, а n k
толщины этих слоев следуют из (11.63):
1/ n
k = Δξ k = ξ k − ξ k −1 = lν N1
δk Находим ϕˆk :
290
1/ n
k −1 − N1
, k = 1, N1.
(11.64)
ϕˆk =
ϕk −1 + ϕk 2
= ϕ−
ξ ( + Δϕ
n k −1
+ ξ kn )
2k − 1 = ϕ − + Δϕ 2 N1
(11.65)
2 и невязку аппроксимирующей величины ϕˆk с меньшим из значений ϕ k (ξ ) на интервале ξ ∈ ωk :
ξ kn − ξ kn−1 Δϕˆk = ϕˆk − ϕ k −1 = Δϕ . 2
(11.66)
Относительную погрешность аппроксимации на слое ωk вводим обычным образом:
Δϕˆk
εk =
−1
k − 1 Δϕ = + Δ ϕ ϕ − . 2 N1 N 1
(11.67)
ϕk −1 Из (11.67) видно, что ε k убывает с ростом номера слоя и максимальному значению ε k соответствует k = 1, а минимальному − k = N1 , т.е.: Δϕ Δϕ (11.68) ε max = ε1 = , ε min = ε N = . −1 2 N1ϕ− 2 N1 ϕ − + Δϕ (1 + N1 ) Если зафиксировать ε max (будем далее полагать, ε max = ε1 = 5% = 0, 05 ), то 1
из (11.68) получаем:
N1 =
Δϕ 2ϕ−ε max
= 10 ( Kϕ − 1) , Kϕ =
ϕ+ . ϕ−
(11.69)
Таким образом, число слоев N1 зависит от одного параметра − Kϕ :
Kϕ = 1,5; 2, 0; 2,5; N1 = 5;
10;
15;
3, 0; 20.
(11.70)
Численные расчеты стратификации по первому способу заключались в определении безразмерных толщин слоев δ k / lν и были проведены для значений параметров (11.70) для n =0,25; 0,33; 0,5; 1,0; 2,0; 3,0; 4,0. Результаты расчетов частично (для Kϕ = 1,5, N1 = 5 ) приведены в табл.11.1 Второй способ стратификации: редукция к слоисто-неоднородной системе с кусочно-линейной аппроксимацией. Разбиваем отрезок ξ ∈ [0,1] на N 2 слоя – подобласти
ωi = {ξ ∈ (ξi −1 , ξi )} , i = 1, N 2 . В точках ξ 0 = 0,
ξ1 , ξ 2 ,, ξi ,ξ N , значения ϕn (ξ ) известны: ϕ− , ϕn (ξ1 ) = ϕ1 , ϕn (ξ 2 ) = 2
291
( )
= ϕ 2 , , ϕ n (ξi ) = ϕi , , ϕ n ξ N 2 = ϕ + . . Если соединить эти значения отрезками прямых, то получим кусочно-линейную аппроксимацию:
1, ξ ∈ ωi , 0, ξ ∈ ωi ,
N2
ϕˆn (ξi ) = χ i (ξ ) ϕˆi (ξ ) , χ i (ξ ) = i =1
(11.71)
ξ − ξi −1 . − ξ ξ i i −1
ϕˆi (ξi ) = ϕi −1 + (ϕi − ϕi −1+ )
Таблица 11.1 Расчет стратификации по первому способу
n δ1 / lν δ 2 / lν δ 3 / lν δ 4 / lν δ 5 / lν 5
0,25 0,002
0,33 0,007
0,50 0,040
1,0 0,200
2,0 0,447
3,0 0,585
4,0 0,668
0,024
0,055
0,120
0,200
0,185
0,152
0,127
0,104
0,150
0,200
0,200
0,142
0,107
0,085
0,280
0,296
0,280
0,200
0,120
0,085
0,066
0,590
0,492
0,360
0,200
0,106
0,071
0,054
1
1
1
1
1
1
1
δk
l
k =1 ν
Для явной записи (11.71) необходимо найти значения ξ1 , ξ 2, , ξi , , ξ N 2 −1 .
Величины ϕi известны: ϕˆi = ϕ n (ξi ) = ϕ− + Δϕξi , i = 1, N 2 . В отличие от предыдущего случая, где близость функций аппроксимируемой и аппроксимирующей (погрешность аппроксимации) оценивалась в С- нормах, в рассматриваемом случае удобнее использовать L- нормы, т.е. рассматривать, в качестве невязки, разность интегралов по подобластям ωi от аппроксимируемой и аппроксимирующей (линейной) функции. Т.о., имеем: n
Δi Iˆi ˆ ˆ Δ i = ϕn (ξ )dξ − ϕn (ξ )dξ = I i − I i , ε i = = 1 − , (11.72) I Ii i ωi ωi Δϕ n+1 n+1 Ii = ϕn (ξ )d ξ = (ϕ− + Δϕξ n ) d ξ = ϕ− ξi − ξ ξ + −ξ , i −1 n + 1 i i −1 ωi ωi
(
(
)
ξi ξ −ξ i 1 − ˆI = ϕˆ (ξ ) dξ = ϕ + ϕ − ϕ d ξ = ξ − ξ i ω n i i i −1 i −1 i −1 ξ − ξ ξi −1 i −1 i i Kϕ − 1 n 1+ ξi −1 + ξin Iˆi 2 εi = 1 − = 1 − . n + 1 n + 1 Ii +ξ Kϕ − 1 ξi i −1 1+ n + 1 ξi + ξ i − 1
)
(
(
(
292
)
)
)
+ ϕi ϕ i −1 2
,
(11.73)
Как видно из (11.73), для случаев, когда n < 1, Δ i > 0, а когда n > 1,
Δ i < 0. Соответственно и ε i будет либо > 0 , либо < 0 . Для этих двух различных ситуаций ( n < 1 − ϕ n (ξ ) − «выпуклые» функции, n > 1 − ϕ n (ξ ) − «вогнутые» функции), (11.73) принимает два различных вида. При n < 1
а при n > 1
Φ ( Kϕ , n / ξi −1 , ξi ) − 1 + ε i = 0,
(11.74)
Φ ( Kϕ , n / ξi −1 , ξi ) − 1 − ε i = 0.
(11.75)
Здесь Φ () обозначает дробь в правой части (11.73). В качестве примера
расчетов по (11.74) и (11.75) рассмотрим случаи: 1) n = 0, 25; 0, 33; 0, 5;
Kϕ = 1,5; 2)n = 2;3;5; Kϕ = 1,5 . При выборе значений n учтены некоторые ограничения, рассматриваемые далее.
(m)
При относительно умеренном возрастании в Ων
ϕ n (ξ ) ( Kϕ = 1,5 ) , ( m)
можно предположить, что достаточным будет разбить Ων
всего на два слоя
− ω1 = {ξ ∈ [ 0, ξ1 ]} и ω2 = {ξ ∈ [ξ1 ,1]} (т.е. N 2 = 2, ξ N2 = ξ 2 = 1, 0 ). Уравнение (11.74) при ε i = ε 1 , ξ i −1 = ξ 0 = 0, ξ i = ξ1 легко разрешимо относительно ξ1 : ε1 ξ1 = ξˆ1 = 0,5 1 − ε1 1 + nˆ
1/ nˆ
− 0, 25
( nˆ < 1)
(11.76)
Уравнение (11.75) также разрешимо относительно ξ1 = ξ1 ( ξˆ , ξ соответственно выпуклая и вогнутая функции).
ε1 ξ1 = ξ1 = 0, 25 − 0,5 1 + ε1 1 n +
293
1/ n
, ( n > 1)
(11.77)
В формулах (11.76) и (11.77) выражения в фигурных скобках должны принимать значения только в интервале (0,1), что и дает ограничения – неравенства:
1 − 6 ε1 , 1 + 4 ε1
(11.78)
1 + 6 ε1 nˆ > 1 + 2 ε1 , n > , 1 − 4 ε1
(11.79)
nˆ < 1 − 2 ε1 , nˆ <
Вторые из неравенств (11.78) и (11.79) поглощают первые, поэтому их и используем для оценок. При ε1 = 5% = 0, 05 получаем: nˆ < 0,583, n > 1, 625 (11.80) При ε1 = 1% = 0, 01 имеем: nˆ < 0,903, n > 1,105. (11.81) Таким образом, значения ε1 и n должны быть согласованы, что ограничивает произвол в выборе их. Поскольку при N 2 = 2, ξ 2 = 1, 0 известно, уравнения (11.74) и (11.75) можно использовать (т.к. и ξ1 − известно) для «обратного» расчета – определения погрешности ε 2 имеющей смысл погрешности вычисления ξ 2 = 1, 0 . Численные расчеты стратификации по второму способу (т.е. определение безразмерных толщин слоев δ1 / lν = ξ1 и δ 2 / lν = 1 − ξ1 ) были проведены для вышеприведенных значений параметров. Результаты их приведены в таблице 11.2 Таблица 11.2 Расчеты стратификации по второму способу
n δ1 / lν δ 2 / lν
0,25 0,023
0,33 0,104
0,5 0,562
2,0 0,815
3,0 0,750
4,0 0,766
5,0 0,771
0,977
0,896
0,438
0,185
0,250
0,234
0,229
ε2 , %
4,2
2,2
0,2
0,3
1,0
1,6
3,9
Использование методов стратификации, приводящих к редукции исходной модели к моделям для слоистых систем (первый метод) или к моделям для слоисто-неоднородных систем (второй метод) позволяет применить метод функций склейки (см. Часть10) в одной из его разновидностей. С точки зрения простоты расчетов, целесообразна редукция к многослойной системе (с достаточно узкими слоями), для которой уравнения склейки сильно упрощаются (квазистационарные или финитные режимы во всех слоях). 294
§ 150. Дискретизация краевых задач Методы стратификации, в сочетании с методом функций склейки, непрерывно редуцируют исходную модель краевую задачу для неоднородной или для слоисто-неоднородной системы – к алгебраическим системам уравнений относительно Лаплас – трансформант функций склейки. Таким образом, исходные краевые задачи алгебраизуются. Дискретизация краевой задачи (или «ультрастратификация») также о алгебраизации, редуцирующим является краевую задачу к системе весьма тонких слоев, в пределах которых температура считается однородной по слою и переменной во времени. При математическом моделировании процессов тепло– и массопереноса уже более полувека применяются и другие методы дискретизации (конечных разностей, конечных элементов и др. [157-160,162-166]). Используется и комбинированная дискретизация, когда дискретно изменяется одна (одни) координата и непрерывно – другая (другие) [1,167-170]. Для одномерных задач можно различать классы моделей непрерывным (континуальном) изменением обеих координат x и t ( K x K t − модели
с дискретным изменением t и континуальным x ( K x , Dt −
модели
с дискретным изменением x и континуальном t ( Dx , K t −
модели); 4) с дискретным изменением обеих координат ( Dx Dt − .модели). Модель K x , Dt часто используется при моделировании нестационарных процессов переноса, а также при доказательстве теорем существования и единственности решений краевых задач в математической физике (метод Ротэ [31]). Существенным моментом конечно-разностной разновидности дискретизации является обоснование размеров дискретных шагов [170]. Сравнение результатов расчетов по Dx K t − модели и соответствующей
, − модели показало [58], что при малых временах 2 (t~0,1t0,t0=h /2D,h - шаг дискретизации по x,D- коэффициент диффузии) ей
расхождение между относительными концентрациями (в точке локализации начального распределения концентрации) составляет 35% и возрастает при возрастании x ; 2) при t t0 указанное расхождение 7% и ≈ 3% при удалении на несколько шагов (3 – 4 h ); 3) при t = 10t0 − расхождение всего 0,2% и убывает при росте x . Таким образом, уменьшение шага h чревато потерей точности, которая возрастает при достаточно больших t* t0 − 10t0 2
и h* ≥ 2 Dt* . Наш метод дискретизации, в качестве исходного пункта, базируется не на дифференциальном уравнении в частных производных, как это общепринято, а на рассмотрении диссипаторов и цепочек, из них составленных [1]. Диссипатор является малым конечным одномерным 295
элементом сплошной среды – аналогом физически бесконечно малого объема dV . Цепочка из N диссипаторов – аналог N − слойной системы из узких, имеющих каждый одну (свою) температуру слоев. Диссипаторы обозначаем M k , цепочки диссипаторов − {M 1 , M 2 , M k , M N } . Ширины (толщина)
M k − lk , характерное время наблюдаемого изменения 2 температуры ΔT0 в нем −τ rk = lk / 2ak (где ak − температуропроводность среды в M k ). Это характерное время – время, за которое начальная температура диссипатора повысится (понизится) на ΔT0 за счет его диссипатора
теплового
взаимодействия с термостатом, имеющим T3 = T0 + ΔT0 , назовем собственным временем диссипатора.
температуру
Рассмотрим цепочку из N1 диссипаторов {M 1}1 с постоянными и одинаковыми теплофизическими параметрами и толщинами lk = l0 , k = 1, N1 . Граничные диссипаторы M 1 и M N1 имеют температуры N1
Ts1 = const , Ts 2 = const (Ts1 ≠ Ts 2 ). . Выведем уравнения теплопроводности
для диссипаторной цепочки (УДЦ), для чего рассмотрим три дисспатора: M k −1 , M k , M k +1 . Время считаем изменяющимся дискретно, с шагом
τ j ( j = 1, 2,) . Уравнение теплового баланса в M k на j − м шаге: ΔQk , j = ΔQk( , j) , ΔQk , j = S0l0Cv ΔTk , j , ΔTk , j = Tk , j − Tk , j −1 +
(11.82)
Здесь: ΔQk , j − количество тепла, пришедшего (ушедшего) в M k за период
(
)
(+)
времени τ ∈ 0,τ j ; ΔQk , j − количество тепла, пришедшего за этот период из «соседних» диссипаторов M k −1 и M k +1 ; S0 − площадь теплообмена, далее принимаемая единичной; Cv − удельная объемная теплоёмкость в M k ; ΔTk , j − прирост температуры в M k на j- м временном шаге, в начале которого
(τ = 0 ) температура была Tk , j −1 , а конце (τ = τ j ) − Tk , j
:
Плотность потока тепла между M k −1 и M k :
q((kj−) 1)− k (τ ) =
λ Tk −1, j (τ ) − Tk , j (τ ) , k = 2, N1 ,
l0
(
где Tk −1, j (τ ) и Tk , j (τ ) − переменные в интервале τ ∈ 0,τ j
(11.83)
) температуры
M k −1 и M k ,λ- коэффициент теплопроводности (одинаковый для всех M k ). Плотность потока тепла между M k и M k +1 соответственно
в
296
записывается аналогично (11.83) (после замен k − 1 → k , k → k + 1). Для граничных диссипаторов M 1 и M N1 аналоги (11.83):
qs( −j1) (τ ) =
λ
λ TS 1 − T1, j (τ ) , qN( 1j )− S (τ ) = TN1 , j (τ ) − TS 2 . (11.84) l0 / 2 l0 / 2
(
)
Начальная температура во всех диссипаторах −Tk 0 = T0 j = 0, k = 1, N1 .
(
)
Изменение температуры в M k при τ ∈ 0,τ j может быть принято линейным [1]:
τ Tk , j (τ ) = Tk , j −1 + ΔTk , j . τ j Поэтому средняя за j − й временной шаг температура: Tk , j =
(11.85)
τj
ΔTk , j (τ ) dτ = T . T + k , j −1 2 τ j 0 k , j 1
(11.86)
налогичное (11.86) усреднение плотностей потоков тепла даёт
qS( −j 1) = j q((k −)1)− k
qk(−j () k +1)
=
=
( j) qS −1 (τ ) dτ = 0
( ) q( k −1)−k (τ ) dτ = j
τj
τj
τj
τj
τj
1
1
1
0
τj
( j) qk −( k +1) (τ ) dτ = 0
qN( 1)−S =
1
j
τj
λ l0
λ l0
τj
k −1, j
(T
k, j
0
− T1, j ) ,
(11.87)
− Tk , j ) , k = 2, N1 ,
(11.88)
l0 / 2
(T
() q N 1−S (τ ) dτ = j
λ
(T
S1
− Tk +1, j ) , k = 1, N1 − 1,
λ
T ( l /2 0
N1, j
)
−TS2 .
(11.89)
(11.90)
Результирующий теплоприток в M k :
λ ΔQk( +, j) = τ j q((kj−)1)− k − qk( −j () k +1) = τ j (Tk −1, j − 2Tk , j + Tk +1, j ) . l0 Из (11.91) при k = 1 следует: ΔQ1,( j ) = +
λ
(11.91)
τ j 2 (Ts1 − T1, j ) − (T1, j − T2, j ) ,
(11.92)
τ j 2 (TS 2 − TN1 , j ) − (TN1 , j − TN1 −1, j ) .
(11.93)
l0
a при k = N1 :
ΔQN( +1 ), j =
λ l0
297
Из условия баланса тепла в M k (11.92) получаем: ΔTk , j a = 2 Δ2 Tk , j , Δ2 Tk , j = Tk −1, j − 2Tk , j + Tk +1, j , k = 2, N1 − 1. (11.94) τj l0 ( k ) (k )
( )
( )
Здесь a = λ / cv . Уравнение (11.94) отличается от типичных конечноразностных аппроксимаций уравнения теплопроводности тем, что фигурирующие в нём величины Tv , j ( v = k − 1, k , k + 1) − усредненные по
j − му временному шагу, а не относящиеся к моменту времени τ = τ j . Это обстоятельство позволяет получить из (11.94) (нелокального уравнения) целый класс т.н. квазилокальных уравнений [1], в который, в качестве нулевого приближения (по параметру
τ j = l02 / 2a ) входит обычное
локальное уравнение Фурье. Уравнение (11.94) при достаточно малых l0 (таких, что теоретические сопротивления плоского, цилиндрического и сферического тонких слоев приближенно совпадают) может быть использовано при m = 1, 2,3 . При больших величинах l0 , необходимо для m = 2,3 , в (11.87) ÷(11.92– (11.92) вместо l0 / λ (и l0 / 2λ ) подставить выражения для термических сопротивлений в случаях цилиндрических и сферических слоёв. Для численных расчетов УДЦ (11.94) преобразуем, записывая ΔT ΔT ΔT Tk −1, j = Tk −1, j −1 + k −1, j , Tk , j = Tk , j −1 + k , j , Tk +1, j = Tk +1, j −1 + k +1, j (11.95) 2 2 2 Подставив эти выражения в (11.94) получим:
− X k −1, j + R j X k , j − X k +1, j = bk , j , k = 2, N1 − 1
(11.96)
где
X k, j =
Аналоги (11.96) для
(R
b1, j =
j
τ 2 , R j = 2 2 r + 1 , bk , j = Δ2 (Tk , j −1 ) τ k ΔT0 Δ T ( ) 0 j
ΔTk , j
k = 1 и k = N1 имеют вид:
+ 1) X 1, j − X 2, j = b1, j ; − X N1 −1, j + ( R j + 1) X N1, j = bN1 , j , (11.98)
2 2 (2Ts1 −3T1, j−1 +T2, j−1); bN1, j = (2Ts2 −3TN1, j−1 +TN1−1, j−1). (11.99) ΔT0 ΔT0
{τ } ) образуют систему неизвестных X ( k = 1, N ) ,
Уравнения (11.96) и (11.98) при заданных из
(11.97)
N1 − го уравнения относительно N1
Ri
(т.е.
j
k, j
1
которую можно записать в матричном виде:
Aj X j = B j , 298
(11.100)
где
X j = {X k, j}
k =1, N1
−
вектор – столбец неизвестных, B j
= {bk , j }
k =1, N1
вектор – столбец правых частей, содержащих начальные температуры временного шага. Матрица
Aj = ak( ,ν) i
, ak( ,ν) i
kθ =1, N1
Aj
−
j − го
трехдиагональная и симметричная:
ν = k − 1, ν < k − 1,
−1, 0, = R jδ kν , ( R + 1)δ kν j
ν = k + 1, ν > k + 1,
k = 2, N1 − 1,
(11.101)
k = 1, N1 .
Уравнение (11.100) может быть решено методом обратной матрицы (§ 138). При этом в выражении для R j может быть подставлено значение
τ j = (1 − 10 )τ r [58]. Осуществим проверку УДЦ (11.96) путём сравнения результатов численных расчетов по K x K t − моделям для двух канонических краевых задач [17] с результатами расчетов для этих же задач по Dx Dt − моделям на основе (11.96). Рассматриваем задачи: 1) «Тепловой удар» на границах симметричной пластины шириной 4 l0 с постоянной начальной температурой
T0 и граничной при t > 0 температурой Tc = const , (Tc > T0 ) ; 2). Задача
Коши о «расплывании» начального теплового импульса с температурой Ts = T0 + N ΔT0 , локализованного в области x ∈ [ −l0 , l0 ] при начальной в
области x > l0 температуре T0 . Аналитические решения этих задач достаточны просты для численных расчетов [17]. Для первой из задач Dx Dt − модель состояла из четырех диссипаторов
{M −2 , M −1 , M 1 , M 2 } с шириной l0 у каждого. Система симметрична
относительно оси x = 0 , что позволило ограничиться двумя уравнениями
( 3R
j
(
)
2 1 + 1) X 1, j − R j X 2, j = F1, j = R j 4 N + 2σ (j −1) − 6σ (j −)1 ,
(
)
(11.102)
j
− R j X 1, j + ( R j + 1) X 2, j = F2, j = 2 R j σ j −1 − 6σ j −1 , σ j = X i ,ν . (11.103) (1)
( 2)
(i )
ν −1
Расчет осуществлялся шагами ( N = 10 ) по X1,j : X1,j =X1,2…=X1,10 =10,0
с последующим определением R j и τ j . При j = 1÷8 относительная погрешность определения безразмерных температур (т е расхождения . . между K x K t − и Dx Dt − моделями, отнесенные к K x K t − модели) изменялась от 36,3% до 1,7% для M 1
299
и от 75,5% до 2,5% для M 2 . Суммарное время первых 8-и временных шагов
τ Σ8 4τ r (τ r = l02 / 2a ) .
Были также рассчитаны плотности тепловых потоков для K x K t − и
Dx Dt − моделей. Погрешность убывала до 2% уже при i = 7,τ Σ 7 2τ r . Для второй задачи Dx Dt − модель состояла из 14-и диссипаторов, т.е. рассматривалась цепочка {M −7 , M −6 , , M 1 , M 2 , , M 7 } . В начальный момент времени температуры диссипаторов, кроме M −1 и M 1 , равны T0 . Диссипаторы M −1 и M 1 при t = 0 имели температуру T0 + N ΔT0 .В силу симметрии, расчеты проводились для семи диссипаторов. Шаги по времени были
τ j = τ r = l02 / 2a, R j = 6, 0 ( j = 1, 2,) .
одинаковы:
Система
уравнений (УДЦ) решалась методом исключения неизвестных, начиная с Tk , j при k = 7 . Невязка K x K t − и Dx Dt − моделей убывала с каждым шагом по времени и по мере удалении от начала координат, что согласуется с [58]. Результаты показали, что при t ≤ 4τ r погрешность становится несущественной
( ≤ 1% ) .
Таким образом, в обоих случаях, для t ≥ 4τ r
результаты расчетов по K x K t − и Dx Dt − моделям практически совпадают, что подтверждает правильность полученных УДЦ. Осуществим обобщение на случай неоднородных цепочек диссипаторов. Полагаем, что
l0,k ≠ l0,k +1 , Cν ,k ≠ Cν ,k +1 , λk ≠ λk +1 ,τ r ,k ≠ τ r ,k +1 для всех k = 1, N1 − 1 . Методом баланса тепла в диссипаторе M k , аналогичном предыдущему случаю однородной цепочки, получаем:
ΔQk , j = ΔQk( , j) , ΔQk , j = Cν ,k lν ,k ΔTk , j , +
(+)
ΔQk , j = τ j j q((k −)1)−k
где
Rk −k ,k =
ρ k −1 + ρ k 2
=
q((kj−)1)
Tk −1, j − Tk , j Rk −1,k
, ρk =
l0,k
λk
(11.104)
j − qk(−()k +1) ,
, qk(−j ()k +1)
, Rk ,k +1 =
=
Tk , j − Tk +1, j Rk ,k +1,
ρ k + ρ k +1 2
,
, ρ k +1 =
(11.105)
l0, k +1
λk +1
.
(11.106)
300
Уравнение теплового баланса приводится к виду:
ΔTk , j
τj
=
ak Δ ( γ k Tk , j ) , l0,2 k ( k )
ρk
γ k −1 =
Rk −1,k
ak =
ρk
, γ k +1 =
λk Cν ,k
,
Rk +1,k
, (11.107)
γ k = γ k −1 + γ k +1.
Уравнение (11.107) переходит в уравнение (11.94) при
ak = a, l0,k = l0 ,
γ k −1 = γ k −1 = γ k = 1,0 ( k = 1, N1 − 1) . Переход в (11.107) от средних
температур к приращениям температуры приводит к УДЦ вида:
ak(−1,) k X k −1, j + ak(,k) X k , j + ak(,k)+1 X k +1, j = bk , j , j
j
j
(11.108)
где
X k, j =
ΔTk , j ΔT0
,
ak(−1,) k = −γ k −1 , j
ak( ,k)+1 = −γ k +1 , j
τ j ak( ,k) = 2 r ,k + γ k . τ j (11.109)
Матрица системы (11.108)
− Aj
переходит в матрицу
Aj
при вырождении
неоднородности (т.е. при γ k −1 = γ k +1 = γ k = 1,0 ). Как и в предыдущем случае, решение может быть найдено методом обратной матрицы. Изложенный метод дискретизации, основанный на моделях диссипатора и диссипаторных цепочек [1], применен в теплофизике твердого тела [120,122,171-174]. При моделировании геотемпературных полей, когда характерные размеры систем велики (в шахтной теплофизике – первые десятки метров, в теплофизике геотехносферы – сотни метров; в теплофизике геосфер – десятки и сотни километров) градиенты этих полей обычно малы (2÷5K) на 100 метров – см.том.1, Часть 4). Поэтому возможна аппроксимация этих полей кусочно – постоянными или кусочно-линейными функциями в больших областях – «макродиссипаторах» (в макрослоях) с характерными размерами l0 10÷100 м и более, что позволяет принять изложенный метод в шахтной теплофизике и в геотеплофизике.
Глава 45. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ §151. Модели и методы решения задач Нестационарность теплофизических и геометрических параметров реальных горных массивов и выработок, наблюдаемая в ряде случаев, должна учитываться при построении соответствующих моделей процессов переноса в шахтной теплофизике (§§ 39,45 в [40]). В обзоре литературы [40, §91] были выделены модели: 1) с переменными (во времени) теплофизическими параметрами; 2) с переменным коэффициентом 301
теплообмена в граничных условиях Ш-го рода
(α = α ( t ) ) ;
3) с
подвижными границами областей. Там же изложены кратко известные методы решения соответствующих краевых задач. В настоящем параграфе (и далее) будем говорить – в первом случае – о моделях с внутренней, а во втором и третьем – о моделях с внешней нестационарностью. Задачи с подвижными границами, на которых происходит фазовый переход – задачи типа Стефана – относим к нелинейным задачам и в настоящей главе не рассматриваем. Модели с внутренней нестационарностью базируются на уравнениях Фурье и Фурье-Кирхгофа с параметрами, зависящими от времени:
∂uν( m) Cν ( t ) = λν ( t ) ∇2m uν( m) + Fν (η, t ) , uν( m) = uν( m) (η, t ) , η ∈Ων( m) , t ∈( 0,T ) , (11.110) ∂t
m ∂uν( m) ∂uν( ) ( m) 2 ( m) Cν ( t ) = Vν ( t ) + hν ( t ) uν = λν ( t ) ∇m uν + Fν (η, t ) , hν ( t ) > 0. (11.111) ∂η ∂t Здесь: Cν ( t ) , λν ( t ) aν ( t ) = λν ( t ) / Cν ( t ) , Vν ( t ) , hν ( t ) − функции времени,
монотонные на интервале t ∈ ( 0, T )(T < ∞ ) ; Fν
(η , t ) − функция плотности ( m) ( m) источников (стоков) тепла в Ων ; Ων = {η,∈(η− ,η+ )} ; ( m = 1,2,3;ν = 0, k, +) . Уравнение (11.110) легко редуцируется к уравнению Фурье с постоянным коэффициентом a0 подстановкой t
θν ( t ) = a0 a0−1aν ( t ') dt ' , 0
вводящей «эффективное» время te = a0 θν ( t ) . Однако при этом: 1) в граничных условиях (любых, в данной модели используемых) необходимо все функции времени t выразить в виде функции от te ; 2) в граничных условиях ІV рода (используемых в моделях слоистых систем), когда в −1
( m)
контактирующих слоях Ωk
( m)
и Ωk +1 функции ak ( t ) и ak +1 ( t ) различны,
(
)
различны будут и соответствующие эффективные времена te, k ≠ te, k +1 , что не соответствует условию непрерывности потоков тепла на границе между слоями в один и тот момент времени; 3) к уравнению (11.110) и соответствующим выражениям для граничных потоков тепла нельзя применять преобразование Лапласа по t , т.е. метод функций склейки. Все сказанное справедливо и по отношению к уравнению (11.111), которое, кроме того, не подлежит указанной редукции. Поскольку это уравнение используется, в основном, в моделях тепломассопереноса, сочетающих градиентный перенос с конвективным, методы решения его рассмотрим позднее отдельно. 302
Анализ литературных источников, указанных в [40], а также [21, 26, 28, 31, 58, 131, 150, 151, 153, 175÷182] приводит к выводам: 1)Метод подстановки (введения te ) используется в небольшом числе работ, в которых изложение процедуры пересчета граничных условий отсутствует; 2)При использовании теории возмущений (разложения решений в ряды по степеням малого параметра) ограничиваются, как правило, первым приближением; при зависимости параметров модели от пространственной координаты и времени, последние берут в факторизованном виде (без должных обоснований); 3)Методы интегральных преобразований и функций Грина ведут к весьма громоздким выкладкам и конечным выражениям для ядер интегральных преобразований и функций Грина; 4)Доступный прикладникам (физикам - экспериментаторам, инженерам, технологам) метод решения задач отсутствует. Такие методы решения задач с внутренней нестационарностью методы алгебраизации – аналогичные предложенным ранее для неоднородных систем, излагаются далее. Дадим характеристику моделям с внешней нестационарностью. Модели с переменным по времени коэффициентом теплообмена α = α ( t ) формулируются для уравнений (11.110) и (11.111) с постоянными ( m)
коэффициентами для областей Ων (ν = 1, 2,) , на одной из границ (или на обеих) которых задается граничное условие вида:
∂uν( ) = α ( t ) uν (η− , t ) − uν ( t ) , uν( m ) = uν( m ) (η , t ) . (11.112) λk ∂η η =η m
−
Применительно к моделям шахтной теплофизики, здесь обозначены:
uν(
m)
(η , t ) −
температура
в
области
Ων(
m)
горного
массива;
λν − α (t ) −
эффективный коэффициент теплопроводности последнего; переменный во времени коэффициент теплообмена между обнаженной поверхностью массива (стенкой горной выработки) и вентиляционным воздухом, движущимся по горной выработке в турбулентном режиме; u0 ( t ) − переменная, в общем случае, температура вентиляционного воздуха.
Зависимость α = α ( t ) в условиях шахт обусловлена различными факторами и момент носить быстропеременный малоамплитудный характер или представлять собой различные переходные режимы (технологические и аварийные), в том числе – скачкообразные. Анализ источников [40, §91] показал: 1) Модели этого класса весьма трудны при аналитическом решении; 2) Такие «решения» обычно заключаются в сведении краевой задачи к интегральному уравнению или бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений; 3).Используемые методы – вариационные, тепловых потенциалов, асимптотической оценки контурных интегралов – 303
весьма громоздки; 4).Используемые приближенные аналитико – численные методы − R − функций, Бубнова-Галёркина, разложений в ряды, Ротэ и др. также достаточно сложны. В работах [183÷186], в обзор [40] не вошедших, также используются аналогичные методы, что приводит к выводу об отсутствии достаточно простого аналитико-численного приближенного метода, доступного для прикладников. Модели с подвижной границей области являются наиболее сложными [21, 40, 187, 188], а вопросы корректности их пока не ясны [1,187]. В [40] дан краткий обзор и перечислены известные методы решения этих задач: сведение к интегральным уравнениям, функциональные преобразования, тепловые потенциалы, метод квазифункций Грина В.А. Рвачева, метод обобщенного интегрального преобразования Э.М.Карташова и др. В недавнем фундаментальном обзоре [187] отмечено наличие большого числа приложений, требующих использования моделей этого класса, их сложность и «неклассичность». Рассмотрены ранее перечисленные методы, методы обобщенных рядов, обобщенного интегрального преобразования, дифференциальных рядов и др. Все они весьма сложны для прикладников. Далее излагается предлагаемый нами один из методов алгебраизации – метод дискретизации, пригодный для задач, как с внутренней, так и с внешней нестационарностью, базирующейся на методах дискретной неравновесной термодинамики [1]. Метод дискретизации для решения задач теплопроводности в нестационарных системах заключается в установлении системы конечноразностных уравнений для цепочки диссипаторов с переменными параметрами. Нестационарность параметров некоторого диссипатора M k
( k = 1, N ) 1
на
j−
временном
соотношениями:
τ lk , j (τ ) = lk , j −1 1 + ε k( l,)j τ j
формализуется
ck , j − ck , j −1 (c) ε , , = k, j c k , j −1
τ τ j
λk , j (τ ) = λk , j −1 1 + ε k( λ, j)
( j = 1, I )
lk , j − lk , j −1 (l ) , τ ∈ 0,τ j , (11.113) , ε k , j = l k , j −1
τ ck , j (τ ) = ck , j −1 1 + ε k( c, )j τ j
шаге
304
λk , j − λk , j −1 (λ ) ε , . = k, j λk , j −1
(11.114)
(11.115)
(
)
Поскольку каждый временной шаг достаточно мал τ j = (1 − 10 )τ r , изменение параметров со временем на нем – линейное [1]. По этой же причине полагаем, что
(ε ) (ν )
2
k, j
1,
(ε ( ) ⋅ ε ( ) ) 1, ν
μ
k, j
k, j
(ν , μ = lk , ck , λk ) .
(11.116)
(
Изменение температуры в M k со временем на интервале :τ ∈ 0,τ j
)
τ Tk , j (τ ) = Tk , j −1 + ΔTk , j , τ j а количество тепла, пришедшего (ушедшего) в M k :
(11.117)
τj
ΔQk , j = lk , j (τ ) c k , j (τ ) d Tk , j = ΔQk( 0, j)−1 ⋅ Φ1,( jk) ,
(11.118)
0
где
dτ ΔQk( 0,j)−1 = lk , j −1 ck , j −1 ΔTk , j , Φ1,( jk) = 1 + 0,5 ε k( l,)j + ε k( c, )j , dTk , j = ΔTk , j . (11.119)
(
)
τj
Количество тепла, перешедшего (ушедшего) к M k от «соседей» − M k −1 и
M k +1 за время τ j будет:
Δ Q k( +, j) = τ j q k( +, j) − q k( −, j) ,
(11.120)
где: (+) k, j
q
τj Tk +1, j (τ ) − Tk , j (τ ) Tk , j (τ ) − Tk −1, j (τ ) 1 − ( ) = dτ , qk , j = dτ , τ j 0 Rk ,k +1 (τ ) τ j 0 Rk −1,k (τ )
1
τj
(11.121)
l (τ ) 1 R k −1,k (τ ) = ρ k −1, j (τ ) + ρ k , j (τ ) , ρ k , j (τ ) = k , j . λk , j (τ ) 2
(11.122)
Формулы (11.121) после несложных преобразований принимают вид:
qk( +, j) =
Tk +1, j − Tk , j Rk( ,k +1) j −1
−T ΔT − ΔTk , j ( j ) T − k +1, j −1 k , j −1 + k +1, j Φ 2,k +1 , 2 3
305
(11.123)
qk( −, j) =
Tk , j − Tk −1, j Rk( −1,k) j −1
Здесь обозначены:
(
)
(
ρ k , j −1 ε k( l, )j − ε k( λ, j) + ρ k +1, j −1 ε k( l+)1, j − ε k( λ+1,) j
Φ(2,jk) +1 = Φ (2,jk) −1 =
−T ΔT − ΔTk −1, j ( j ) T − k , j −1 k −1, j −1 + k , j Φ 2,k −1. 2 3
2 ( j −1)
2 Rk ,k +1
(
)
(
ρ k −1, j −1 ε k( l−)1, j − ε k( λ−1,) j + ρ k , j −1 ε k( l, )j − ε k( λ, j) 1 2 R k( −j 1,− k)
2
(11.124)
),
(11.125)
),
(11.126)
1 R k( −j 1,−1k) = ( ρ k −1, j −1 + ρ k , j −1 ) . 2
(11.127)
Подстановка полученных выражений в уравнение теплового баланса для: + M k : ΔQk , j = ΔQk( , j) приводит к уравнению:
2τ r ,k , j −1 ( j ) 1 j −1 j j Φ1,k ΔTk , j = Δ 2 γ k( ) − Ek( ) Tk , j + Δ 2 Ek( )Tk , j −1 (11.128) 4 (k ) (k ) τj
(
)
Здесь обозначены:
τ r ,k , j −1
(l ) =
Ek( ) = j
2
k , j −1
2ak , j −1
, γ k( −j 1−1) =
ρ k , j −1
ρ k , j −1
Rk −1,k
Rk ,k +1
( j −1) γ , k +1 = ( j −1)
( j −1) ( j −1) ( j −1) γ γ γ , 2 = + k k − k +1 , 1 ( j −1)
2 2 ρ k , j −1 Φ (2,jk) −1 , Ek( +j 1) = ρ k , j −1 Φ (2,jk) +1 , 2 Ekj = Ek( −j 1) + Ek( +j 1) . (11.129) 3 3
Уравнение (11.128) можно привести к виду, содержащему приращение температур на j − м шаге: j j j ak( ,k) −1 X k −1, j + ak( ,k) X k , j + ak( ,k) +1 X k +1, j = bk , j ,
где
(
)
(
j j −1 j ak( ,k) −1 = − γ k( −1 ) − Ek( −1) ,
τ r ,k , j −1 ak ,k −1 = 2 τ j ( j)
(11.130)
)
j j −1 j ak( ,k) +1 = − γ k( +1 ) − Ek( +)1 ,
( j) ( j −1) ( j) Φ1,k + γ k − Ek
(
)
, (11.131)
2 i −1 3 j Δ 2 γ k( ) − Ek( ) Tk , j −1 . bk , j = ΔT0 ( k ) 4 306
(11.132)
Полученное уравнение нестационарной диссипаторной цепочки (11.130) аналогично предыдущим; оно применимо для расчетов температурных полей в нестационарных системах. Для случая α = α ( t ) , в зависимости от того, задано ли граничное условие Ш-го рода в начале или в конце диссипаторной цепочки, можно ввести дополнительные диссипаторы (
M 0 или M N1 +1 ) и свести случай α = α ( t ) к случаю λ0 = λ0 ( t ) (или λN1+1(t)).
При выводе (11.130) была, для общности, учтена зависимость длин диссипаторов от времени. Физический смысл этого – деформация элемента системы при механическом (упругость, пластичность) или термическом (тепловое расширение) воздействии на него. Учет таких воздействий осуществляется обычно, в рамках неординарных моделей, методами теорий термоупругости и термопластичности [21,24], которые мы не рассматриваем. Под задачами с подвижными границами мы будем понимать такие, в которых области не сжимаются или растягиваются, а «обрезаются» или «наращиваются» (кавычки далее опускаем). Характерный пример обрезаемой области - разрабатываемый угольный пласт, а наращиваемой – сооружаемая в выработанном пространстве участка сплошная закладка. Уравнение диссипаторной цепочки переменной длины получим, исходя из следующих предпосылок. Для всех диссипаторов цепочки полагаем Теплофизические параметры всех lk (τ ) = l0 = const . диссипаторов одинаковы. Наращивание (обрезание) цепочки происходит при присоединении (отсоединении) к ней диссипатора. Цепочка M k k = 1N1
( j − 1)
после окончания
{ }(
)
го временного цикла (шага) имеет на левой своей
) температуру Ts1 , а на правой (на границе (т.е. на внешней границе M 1
) – температуру T . Температуры диссипаторов внешней границе M N1 s2
(
)
−Tk , j −1 k = 1, N1 . Полагаем левый конец цепочки неподвижным и
неизменным. Для правого 1).удлиняющаяся цепочка пристыковывается
диссипатор
конца – к
цепочки рассматриваем случаи: M N1 диссипатору мгновенно
M N1 +1 , а затем
M N1 + 2
и
т.д.;
2)
от цепочки отрезается, затем обрезается укорачивающаяся цепочка − M N1 M N1 −1 и т.д.
, Удлиняющаяся цепочка. В момент τ=0 j-го временного шага к M N1
мгновенно присоединяется M N1 +1 , имеющий температуру TS 2, j −1 , которая при
τ ∈ ( 0,τ j ) изменяется по закону TS 2 = TS 2 (τ ) . Записываем уравнения и M балансов тепла в M N1 N1 +1 на j − м временном шаге:
307
+ − + − ΔQN1 , j = l0 cν ΔTN1 , j = ΔQN( 1 ), j − ΔQN( 1), j = τ j q((N1) +1)− N1 , j − q N( 1)−( N1 +1), j ,
(11.133)
ΔQN1+1 , j = l0 cν ΔTN1+1 , j = ΔQN( +1+) 1 , j − ΔQN( −1+) 1 , j = τ j qS( +2,) j − q((N−1) +1)− N1, j , (11.134) где:
q((N1)+1 ) − N1 , j = +
qS( 2,) j = +
λ l0
(T
)
qN( 1)−( N1−1 ), j = −
N1+1 , j − TN1 , j ,
λ l0 / 2
(T
S 2, j
λ l0
(T
N1 , j
)
− TN1 +1, j . (11.135)
Из (11.133)÷(11.135) следует уравнение
− X N1 , j + ( R j + 1) X N1 +1, j = bN1 +1, j ,
(11.136)
2 bN1 +1, j = TN , j −1 − TS 2, j −1 . ΔT0 1
(11.137)
отличающееся от уравнения (11.98) заменой N1 → N1 + 1 и видом правой части:
(
)
Таким образом, все уравнения цепочки (11.96) сохраняются, кроме последнего, принимающего вид (11.136). Пусть задана динамика наращивания цепочки. Тогда величину τ j
можно выбрать такой, чтобы присоединение M N1 + 2 к M N1 +1 произошло в момент времени
τ = τ j . Для
( j + 1) −
го временного шага будем иметь
систему на единицу большого порядка и т.д. Если динамику наращивания аппроксимировать ступенчатой функцией
ϑD( + ) = ϑD( + ) ( t ) , ϑD( + ) ( t j −1 ) = ϑ (j + ) ≠ ϑ (j ++1) , τ j ≠ τ j +1
(11.138)
и определить параметр τ j условием:
ϑ (j + ) =
l0
,
(11.139)
τj то система уравнений цепочки на j − м шаге по времени будет разрешима. (+) (+) Если ϑ j = ϑ0 = const при j = 1, I , то будут одинаковы и все τ j :
τ j = τ0 =
l0
(+)
ϑ0
.
(11.140)
В этом случае для элементов трехдиагональной матрицы (11.101) системы цепочных уравнений получаем: 308
)
− TN1 −1, j ,
( j)
ak ,k
R , k = 2, N1 , = j R j +1 , k = 1, k = N1 + 1,
l0ϑ0( + ) Rj = 2 + 1 . a
(11.141)
Укорачивающаяся цепочка. В этом случае порядок системы уравнений (11.101) на каждом временном шаге уменьшается на единицу. Все уравнения, кроме последнего, сохраняют прежний вид, а последнее модифицируется аналогично предыдущему случаю . Рассмотренный метод дискретизации моделей нестационарных систем (с внутренней и с внешней нестационарностью) сводит решение краевой задачи к численным расчетам – обращению трехдиагональных матриц и представляет собой развитие известного в математической физике метода Ротэ. Аппроксимация функций времени кусочно-постоянными и кусочнолинейными функциями ранее, иным образом, использовалась также [180, 181, 189]. Для случая сочетания в системе нестационарности с теплофизической неоднородностью будет далее изложен метод бистратификации - стратификации по пространственной координате (η − стратификации) с одновременной стратификацией по времени (хроностратификация или τ − стратификация). Для установления связи изложенных кусочно-разностных (нелокальных) уравнений со следующими из них в первом, втором и последующих приближениях уравнениями в частных производных с возрастающим порядком старшей производной (квазилокальными уравнениями) – базисными для моделей шахтной теплофизики и геотеплофизики, воспользуемся далее приемами континуализации дискретных моделей [1].
§152. Квазилокальные уравнения Для неоднородной цепочки диссипаторов конечно-разностное уравнение теплопроводности дано (11.108). Для его континуализации, т.е. перехода от Dx Dt − модели к K x K t − модели сделаем следующие предположения: 1) l0, k = l0 , k = 1, N1 ; 2) величины λk и λk +1 , Ck и Ck +1
k = 1, N1 − 1, так что функции
имеют близкие значения при всех
λ ( x ) , C ( x ) , a ( x ) = λ ( x ) / C ( x ) непрерывны. Отсюда следует:
γ k −1 =
l0
1
λk Rk −1,k
=
2
λ 1+ k λk −1
, γ k +1 =
l0
λk +1 Rk ,k +1
1 d λ ( x) l 1. λ ( x ) dx 2 2 2
1
2 0
309
=
2
λ 1+ k λk +1
, (1.142)
Обозначая D − K переходы стрелкой, имеем:
λk → λ ( x ) , λk −1 → λ ( x − l0 ) ≅ λ ( x ) − dλ ( x) l0 . λk +1 → λ ( x + l0 ) ≈ λ ( x ) + dx
dλ ( x) l0 , dx
(11.143)
Из (11.142) и (11.143) следует:
γ k −1 → 1 − γ ( x ) , γ k +1 → 1 + γ ( x ) , 2γ k = γ k −1 + γ k +1 → 2, 0, γ ( x) =
dλ . 2λ ( x ) dx l0
(11.144)
С учетом приведенных соотношений, правая часть (11.107) приводится к виду:
Δ 2 ( γ k Tk ) → Dt DxT ( x, t ) ,
(11.145)
(k )
где T ( x, t ) − непрерывное температурное поле в системе, а операторы Dt и
Dx имеют вид:
Dt = 1 +
τj 2
∂t +
τ 2j 6
∂ 2t + ;
Dx = 2 ( ch l0 ∂ x + γ ( x ) sh l0 ∂ x − 1) (11.146)
Полагая τ j = 2τ r и обрывая ряды в (11.146) последовательно на первой, второй и последующих степенях τ r , получим континуальные аналоги конечно-разностного УДЦ различного порядка. Для первого приближения имеем:
L(1)T ( x, t ) = 0, L(1) = (1 + τ r ( x ) ∂ t ) C ( x ) ∂ t − ∂ x ( λ ( x ) ∂ x ) (11.147)
Второе приближение:
λ2 ( x) 3 ∂ x + 2C ( x ) ∂ t ∂ 2x ( λ ( x ) ∂ x ) L T ( x, t ) = 0, L = L − ∂t ∂ x 3C ( x ) 2 ( 2)
( 2)
(1)
τ r2 ( x )
(11.148)
/ 2a ( x ) − время микрорелаксации (установление Здесь τ r ( x ) равновесия в диссипаторе). Продолжая, можно получить третье, четвертое и последующие приближения, которые будут весьма громоздкими и, ввиду малости параметра τ r ( x ) , практически не существенными. = l02
Первое приближение (11.147) при τ r ( x ) 0 дает нулевое приближение
c ( x)
∂T ∂ ∂T = λ ( x) ∂t ∂x ∂x 310
,
(11.149)
т.е. уравнение Фурье для неоднородной среды, давно успешно апробированное. При весьма малых a ( x ) , когда τ r ( x ) не очень мало, возможно использование первого приближения (11.147). Для однородной цепочки диссипаторов аналоги (11.147) и (11.149) следуют из последних очевидным образом. Для неоднородной и нестационарной цепочки диссипаторов континуализация осуществляется аналогично. Опуская достаточно громоздкие выкладки, приводим квазилокальное уравнение для неё в первом приближении
l l 1 (1 + τ r ∂ t ) ∂ t − a ∂ x ln ∂ x + τ r ∂ t ( lc ) ∂ t + a ∂ x ∂ t ln ∂ x + lc λ λ 1 l + ∂ t λ∂ x ln ∂ x T ( x, t ) = 0. λ λ Здесь: l = l ( x, t ) , λ = λ ( x, t ) , c = c ( x, t ) , a = a ( x, t ) = λ ( x, t ) / c ( x, t ) ,
(11.150)
τ r = τ r ( x, t ) = l 2 ( x, t ) / 2a ( x, t ) .При τ r 0
из (11.150) следует нулевое приближение для нестационарной и неоднородной цепочки:
∂ 2T ∂ l ∂T ∂T = a 2 − ln . ∂t ∂x λ ∂x ∂x
(11.151)
Из уравнения (11.150) следует 14 частных случаев – различные квазилокальные уравнения при комбинациях параметров (различных видах зависимостей λ , c, a, l от x и t ). Эти комбинации (варианты) приведены в таблице 11.3, а соответствующие им уравнения – в таблице 11.4. Индекс «0» обозначает постоянство данного параметра. Если во всех уравнениях табл.11.4 положить τ r = 0, l = l0 = 0 то получим локальные уравнения (нулевое приближение) для: неоднородных и нестационарных систем (уравнение (11.149) при c ( x ) → c ( x, t ) , ;
λ ( x ) → λ ( x, t ) ); нестационарных систем (уравнение (11.149) при c ( x ) → c ( t ) , λ ( x ) → λ ( t ) ). Эти, базисные, уравнения представляют
наибольший интерес для построения макромоделей систем с большими характерными временами (технологические режимы в шахтной теплофизике, многие модели геотеплофизики). Уравнения первого приближения содержат вторые производные по времени и точнее описывают относительно быстрые (аварийные) процессы. Простейшие из них:
311
(1 + τ r ∂t ) ( ∂t − a∂ 2x ) T ( x, t ) = 0, (1 + τ r ∂ t ) c ( x ) ∂ t − ∂ x ( λ ( x ) ∂ x ) T ( x, t ) = 0, (1 + τ r ∂t ) c ( t ) ∂t − λ ( x ) ∂ 2x T ( x, t ) = 0.
(11.152) (11.153) (11.154)
Уравнение (11.152) следует из уравнения 14-го варианта в табл.(11.4) при l = l0 = const и описывает быстрые процессы теплопроводности в однородной и стационарной системе. Уравнение (11.153) следует из уравнения варианта 10 табл.11.4 и пригодно для построения моделей переноса в неоднородных средах. Уравнение (11.154) следует из уравнения варианта 15 табл. 11.4 и описывает процессы переноса в нестационарных системах. Таблица 11.3 Варианты моделей первого приближения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Модели систем І. Неоднородные нестационарные системы, τ r = τ r ( x, t )
l = l ( x, t )
λ = λ ( x, t ) λ = λ ( x) λ = λ (t ) λ = λ0
c = c ( x, t )
l = l ( x)
λ = λ ( x, t )
c = c ( x, t )
l = l ( x)
λ = λ ( x) λ = λ ( x) λ = λ0 λ = λ0
c = c ( x) c = c0
λ = λ ( x)
c = c ( x)
l = l (t )
λ = λ (t ) λ = λ0
c = c (t )
l = l (t )
λ = λ (t ) λ = λ0
l = l ( x, t ) l = l ( x, t ) l = l ( x, t )
12 13 14 15
c = c (t ) c = c0
П. Неоднородные стационарные системы, τ r = τ r ( x )
l = l ( x) l = l ( x) l = l ( x) l = l0
Ш. Нестационарные системы, τ r = τ r ( t )
11
c = c ( x)
l = l (t ) l = l (t ) l = l0
λ = λ (t ) 312
c = c ( x) c = c0
c = c (t ) c = c0 c = c0
c = c (t )
Таблица 11.4 Уравнения первого приближения № вариант а 1 2
3
Вид уравнения Уравнение (11.150)
(1 + τ r ∂t ) ∂t − a ∂ 2x − ∂ x ln
l −1 ∂ x T + τ r l ∂t l ∂ tT = 0 λ
(1 + τ r ∂t ){∂ t − a ∂ 2x − l −1∂ x l ∂ x }T + τ r ( lc )
)
−1
l ∂ t ( lc ) ∂ t + a ∂ t ln ∂ 2x + λ
+ ( l λ ) −1 ∂ t λ ∂ xl ∂ t T = 0
4 5
(1+τ r∂t ) {∂t − a ∂2x − l −1∂x l ∂x }T +τ r l −1∂tl∂t + a∂x (l −1∂t )λ∂x ) T = 0
(1 + τ r ∂ t ) {∂ t − a ∂ 2x − l −1∂ xl ∂ x } T +
(
6
7 8 9 10 11 12 13 14 15
)
+τ r c −1∂ t c ∂ t − a∂ x λ −1∂ t λ∂ x + λ −2 ∂ t λ∂ x λ∂ x T = 0 2 l 1 τ a + ∂ ∂ − ∂ − ∂ ( r t ) t x x ln ∂ x T = 0 λ Вариант 6 при
c = c0
Вариант 8 при
c = c0
(1 + τ r ∂ t ) {∂ t − a ∂ 2x − l −1∂ x (l )∂ x } T = 0
(1 + τ r ∂ t ) {∂ t − a ∂ 2x − λ −1∂ x λ ∂ x } T = 0
l 2 ∂x T = 0 λ (1 + τ r ∂ t ) ∂t − a∂ 2x T + τ r ( lc )−1 ∂ t ( lc ) ∂t + al −1∂ t l∂ 2x T = 0 l (1 + τ r ∂ t ) ∂ t − a∂ 2x T + τ r l −1∂ t l ∂ t + a∂ t ln ∂ 2x T = 0 λ (1 + τ r ∂t ) ∂t − a∂ 2x T + τ r l −1∂t l ∂t + al −1∂t l ∂ 2x T = 0 (1 + τ r ∂t ) ∂t − a∂ 2x T + τ r c −1∂t c ∂t + aλ −1∂t λ ∂ 2x T = 0
(1 + τ r ∂ t ) ( ∂ t − a∂ 2x ) T + τ r ( lc )−1 ∂ t ( lc ) ∂ t + a∂ t ln
(
)
(
(
)
(
) )
313
Учет источников (стоков) тепла во всех рассмотренных диссипаторных цепочках отсутствовал не по принципиальным причинам, а для простоты формул. Осуществить такой учет, т.е. ввести в D − и K − модели функции плотности источников не составляет затруднений. Баланс тепла в отдельном диссипаторе, содержащем источник тепла с удельной мощностью fω (τ ) , на интервале времени τ ∈ ( 0,τ ω ) : + (11.155) l0 cΔ T0 = 2q ( )τ ω + l0 fω τ ω , где
q
(+)
=
1
τω
τω
λ
l0 / 2 Ts − T (τ ) dτ = 0
λΔT0 l0
,
fω =
1
τω
τω
f (τ ) dτ .
(11.156)
0
Уравнение диссипаторной цепочки с источниками тепла, с учетом (11.155) обобщается очевидным образом, в каждом из УДЦ (например, в «к» - м) будут присутствовать члены с f k −1 , f k , f k +1 . Для цепочек диссипаторов рассмотрим источники тепла следующих видов: 1) с постоянной интенсивностью; 2) с интенсивностью, изменяющейся линейно со временем; 3) с интенсивностью, пропорциональной температуре; 4) случай 3) при переменном во времени коэффициенте пропорциональности; 5) с интенсивностью, являющейся бимонотонной функцией температуры. В первом случае:
fω =
1
τω
τω
fω (τ ) dτ = fω 0 = const.
(11.157)
0
Во втором случае:
fω =
1
τω
τω
0
1 fω (τ ) dτ = ( fω1 + fω 2 ) , fω1 = fω ( 0 ) , fω 2 = fω (τ ω ) . (11.158) 2
В третьем случае:
fω =
1
τω
τω
( 3)
f (τ ) dτ = fω
= γT , T =
0
1
τω
τω
T (τ ) dτ .
(11.159)
0
В четвертом случае:
fω =
1
τω
τω
0
1 f (τ )dτ =
τω
τω
γ (τ )T (τ )dτ = γ 1T0 1 + 0,5 (ε γ + εT ) , 0
(11.160) где: γ 1 = γ ( 0 ) , T0 = T ( 0 ) , ε γ = Δγ / γ 1 ,
γ 2 = γ (τ ω ) ; T (τ ω ) = T0 + ΔT0 .
314
ε T = ΔT0 / T0 , Δγ = γ 2 − γ 1,
В пятом случае:
fω =
τω
1
τω
1
τω
fω (T ) dτ = τ ω 0
0
m τ Δf fω1 + Δfω dτ = fω1 + ω . m +1 τ ω
(11.161) Пусть Δfω / fω1 ≤ 0,1. Тогда:
0,1 . (11.162) m +1 и при m ∈ [1, ∞ ) . В первом интервале
fω = fω1 (1 + ε m ) , ε m ≤ Оценим ε m
при m ∈ [ 0,1)
максимальное значение
ε m − ε m = 0,1 (при m = 0 ). Во втором интервале
ε m = 0,5 (при m = 1, 0 ). Т.о., для любого значения m , погрешность
(отключения от случая m = 1) не превышает 5%. Рассмотрим, переходя к K − моделям, цепочку диссипаторов (однородную). В диссипаторе M k функция плотности источников тепла
− fk (τ ) , поэтому
fk , j =
1
τj
τj
fk (τ ) dτ .
(11.163)
0
Баланс тепла в M k , обменивающимся ним с M k −1 и M k +1 принимает вид:
l02 aτ j
l02 ΔTk , j = Δ 2 Tk , j + f k , j . (k ) ac
( )
(11.164)
Из (11.164) легко получить УДЦ относительно приращений температур. Для перехода в (11.164) к K − модели положим:
Fk , j
l02 = f k , j → F ( x, t ) . ac
(11.165)
Из (11.163) следует:
fk , j →
1
τj
τj
0
τ j ∂f f ( x, t + τ )dτ = f ( x, t ) + + (11.166) 2 ∂t
Ограничиваясь в (11.166) первым приближениям и полагая (как и ранее) τ j = 2τ r , получаем:
l ∂f F ( x, t ) = 0 f ( x, t ) + τ r . ∂t ac
315
(11.167)
Ранее, при выводе первого K − приближения для однородной цепочки, левая и правая части уравнения теплового баланса сокращались на 2τ r . С учетом этого:
F ( x, t ) 1 ∂f F ( x, t ) = = f ( x, t ) + τ r . ∂t 2τ r c
(11.168)
Таким образом, в квазилокальных уравнениях первого приближения вид
функции плотности источников тепла меняется и вместо c f ( x, t ) в локальном уравнении (нулевого приближения) получаем (11.168). В случае неоднородной диссипаторной цепочки в (11.168), как легко проверить, достаточно осуществить замену: c → c ( x). При пропорциональности функции плотности источников тепла температуре (третий случай), легко получить, для нулевого и первого приближений соответственно: −1
γ γ ∂T 0 1 F ( ) ( x , t ) = T ( x , t ) , F ( ) ( x , t ) = T ( x, t ) + τ r . c c ∂t
(11.169)
Для четвертого случая вместо (11.169) имеем:
γ (t )T ( x, t ) 1 ∂ 0 1 F ( ) ( x, t ) = , F ( ) ( x, t ) = γ ( t ) T ( x, t ) + τ r ( γ ( t ) T ( x, t ) ) . c c ∂t (11.170)
В пятом случае при m = 1 получаем:
f ( T , x, t ) ∂f ∂T 1 0 1 F ( ) ( x, t ) = , F ( ) ( x, t ) = f ( T , x, t , ) + τ r . (11.171) ∂T ∂t c c Методы решения полученных уравнений излагаются далее.
§153. Методы функций Грина и бистратификации Базисное квазилокальное уравнение первого приближения (11.152) при наличии в системе источников тепла с интенсивностью (см.(11.168)) вид: m m ∂u ( ) ∂ 2u ( )
∂t
+τ r
∂t 2
f (η , t )
принимает
m m = a (1 + τ r ∂ t ) ∇ 2mu ( ) + F (η , t ) ,η ∈ Ω( ) , t > 0 , 11.172)
1 ∂f m m u ( ) = u ( ) (η , t ) , F (η , t ) = f (η , t ) + τ r . cν ∂t
Для моментов времени t τ r в (11.172) можно опустить члены, содержащие множитель τ r , т.е.осуществить редукцию к нулевому приближению – параболическому уравнению Фурье. Для последнего функции Грина в
316
(m) областях Ων ( m = 1, 2,3; ν = 0, k , + ) найдены ранее (Глава 35). Мы
рассматриваем «быстрые» процессы, для которых t τ r ( t не превышает τ r более чем на порядок). Для таких моделей адекватны уравнение (11.172) и 2 ( m) − телеграфное его частные случаи: а) при отсутствии члена aτ r ∂ t ∇ m u уравнение [4,17,18], широко используемое в моделях шахтной теплофизики и 2 ( m) − геотеплофизики [40,§§ 23,29,79,94,100]; б) при отсутствии члена τ r ∂ t u уравнение фильтрации флюида в трещиновато пористых горных породах [190,191], используемое также в моделях других процессов переноса в геотеплофизике и геофизике [40,192÷195]. Оценки порядка величин членов уравнения (11.172) показывают, что телеграфное уравнение адекватно для моделирования «быстрых», но плавно изменяющихся с координатой η , полей. При неоднородности среды, когда градиенты поля достаточно велики, используется уравнение фильтрации. m ( m) = u1( ) (η , t ) , решение «усеченного» Обозначим решение (11.172) −u ( m) телеграфного уравнения −u1,1 (η , t ) , а решение фильтрационного уравнения
( ) −u1,2 (η , t ) . m
Уравнения
соответственно, вид: ( m) 2 ( m)
∂u1,1 ∂t
+τ r
∂ u1,1 2
∂t ( m) ∂u1,2
∂t
относительно
двух
последних
m ( m) = a∇ 2mu1,1 + F (η , t ) , η ∈ Ων( ) , t > 0,
(11.173)
( ) = a (1 + τ r ∂ t ) ∇ 2m u1,2 + F (η , t ) .
(11.174)
m
Начальные условия для уравнений (1.172) и (11.173): ( m) m ∂u1,2 ∂u1( ) ( m) ( m)
u1
имеют,
(η , +0 ) = u1,1 (η , +0 ) = ϕ (η ) ,
∂t
=
t =0
∂t
m = Ψ (η ) ,η ∈ Ων( ) .
t =0
(11.175)
Для уравнения (11.174), содержащего только первую производную по времени, начальное условие исчерпывается первым из соотношений (11.175). Граничные условия принимаем, как и ранее, в виде: ( m) ( m) ( m) ( −)
u1
( m)
u1
(η− , t ) = u1,1 (η− , t ) = u1,2 (η− , t ) = μ ( t ) , (m)
( m)
(+)
(η+ , t ) = u1,1 (η+ , t ) = u1,2 (η+ , t ) = μ ( t ) ,
t > 0.
(11.176)
Обобщенная формулировка уравнений (11.172)÷(11.174) следует после умножения на «правую» единичную функцию Хэвисайда θ + ( t ) и простых преобразований с учетом соотношений: 317
dθ ( t ) 1, t > 0 m m u1( ) (η , t ) = θ + ( t ) u1( ) (η , t ) , θ + ( t ) = δ+ (t ) = + . dt 0, t ≤ 0, (11.177) Аналогично и для других уравнений, запись которых в операторном виде: m m m 2 L1( )u1( ) (η , t ) = W1 (η , t ) , L1( ) = ∂ t + τ r ∂ t2 − a (1 + τ r ∂ t ) ∇ m , (11.178) ∂f W1 (η , t ) = f (η , t ) + τ r − f (η , +0 ) δ + ( t ) + ϕ (η ) δ + ( t ) + τ rδ +' ( t ) + ∂t
(
)
2 ϕ (η ) δ + ( t ) , + τ r Ψ (η )δ + ( t ) − aτ r ∇ m
( m) ( m) ( m) 2 , L1,1 u1,1 (η , t ) = W1,1 (η , t ) , L1,1 = ∂ t + τ r ∂ t2 − a∇ m (11.179)
∂f W1,1 (η , t ) = f (η , t ) + τ r − f (η , +0 ) δ + ( t ) + ϕ (η ) δ + ( t ) + τ r δ +' ( t ) + ∂t + τ r Ψ (η )δ + ( t ) ,
(
)
(m) (m) (m) 2 L1,2 u1,2 (η , t ) = W1,2 (η , t ) , L1,2 = ∂ t − a (1 + τ r ∂ t ) ∇ m ,
∂f 2 W1,2 (η , t ) = f (η , t ) + τ r − f (η , +0 ) δ + ( t ) + ϕ (η ) δ + ( t ) − aτ r ∇ m ϕ (η ) δ + ( t ) . ∂t (11.180)
( m) ( m) ( m) Здесь L1 , L1,1 , L1,2 − операторы, а W1 (η , t ) ,W1,1 (η , t ) , W1,2 (η , t ) − обобщенные источники (правые части) уравнений. Структуры решений уравнений (11.178)÷(11.180) аналогичны таковым для уравнений Фурье, т.е. возможны представления граничных функций и потенциала. Функции Грина для уравнений (11.178) ÷(11.180) обозначим ( m) (m) ( m) соответственно G1 (η ,η ', t ) , G1,1 (η ,η ', t ) , G1,2 (η ,η ', t ) . Они удовлетворяют уравнениям: (m) ( m ) ( m )
L1 G
1
=δ
m (m) ( m) L1,1 G1,1 = δ ( ) (η − η ' ) δ + ( t ) ,
(η − η ') δ + ( t ) , ( m ) ( m )
L1,2 G1,2 = δ
(m)
(η − η ') δ + ( t ) .
(11.181)
Граничные условия для всех функций Грина такие же, как и ранее: на границах областей η = η− и η = η+ они обращаются в нуль. Преобразуем уравнения (11.181) по Лапласу (по переменной t ): m m m m m ( m) ( m) ( m) ( m) L1( )G1( ) = δ ( ) (η − η ' ) , L1,1 G1,1 = δ ( ) (η − η ' ) , L1,2 G1,2 = δ ( ) (η − η ') . (11.182) 318
Здесь чертой сверху обозначены Лаплас – трансформанты, которые для операторов имеют вид: ( m) (m) 2 2 2
L1
(
)
= (1 + τ r p ) p − a∇ m , L1,1 = p + τ r p − a∇ m , ( m)
L1,2 = p − a (1 + τ r p )
(11.183)
a∇ 2m .
Запишем для функции Грина уравнения Фурье G 0 (η ,η ', t ) : (m) (m) (m) (m) ( m ) ( m )
L0 G0
(η − η ') δ + ( t ) ,
=δ
(η − η ') , L0( m ) = p − a∇ m2 , δ ( m ) (η − η ') .
m G0( ) (η ,η ', p ) =
Последнее из выражений (11.184) для аналогично: (m)
G1
=
δ ( m ) (η − η ' )
(
(1 + τ r p ) p − a∇ 2m
)
( m)
, G1,1
=δ
L0 G0
2 p − a∇ m
m ( m) ( m) G1( ) , G1,1 , G1,2
(11.184) запишем
δ ( m ) (η − η ') δ ( m ) (η − η ') ( m) = , G1,2 = . 2 2 p + τ r p 2 − a∇ m p − a (1 + τ r ) ∇ m
(11.185) Из (11.184) и (11.185) следуют, как легко показать, соотношения между Лаплас – трансформантами функций Грина: −1
−1
m 1 1 + τ p G0( ) τ r p2 τ r p2 (m) (m) ( m) r , G1,1 = m + m G1 = , G1,2 = − m m 1+τr p G0( ) δ ( ) (η − η ') G0( ) δ ( ) (η − η ') 2 +τ r p 1 1 1 1 + = + = m m m (m) ( m) G0( ) G1( ) G1,1 G1,2 G0( ) (11.186) Как следует из (11.186), все Лаплас – трансформанты функций Грина для квазилокальных уравнений выражаются через Лаплас – трансформанту
( m) функции Грина локального уравнения Фурье G0 (η ,η ', p ) . Получим ( m) (m) ( m) выражения для функций Грина G1 (η ,η ', t ) , G1,1 (η ,η ', t ) , G1,2 (η ,η ', t )
(m) через функции Грина G 0 (η ,η ', t ) (ранее уже найденные для всех областей m Ων( ) ). Из первого соотношения (11.186) следует:
(m)
G1
(η ,η ', t ) = L
−1
{
( m)
G1
(η ,η ', p )}
G ( m ) 1 =L 0 = 1 + τ r p τ r −1
319
−t / τ r ( m ) (η ,η ', t ) * e G 0 (t ) (11.187)
( m) Функцию Грина G1,1 находим из второго уравнения (11.182), куда (m)
подставляем G1,1
(η ,η ', p ) , представленную в виде:
(m)
( m)
G1,1 (η ,η ', p ) = G0 (m)
Исключив G0 выражению
∞
(η ,η ', p ) + τ rk g1,1( k ) (η ,η ', p ) .
(11.188)
k =1
(η ,η ', p ) последним из соотношений (11.184), приходим к ∞
τ rk Ak = 0.
(11.189)
k =1
Для выполнения (11.189), в силу произвольности параметра τ r , необходимо положить Ak = 0 при k = 1, 2, . Получаем цепочку уравнений: m p 2G0( ) (1) (1) 2 2 ( m) . A1 = p − a∇ m g1,1 + p G0 = 0, g1,1 = − (11.190) 2
(
)
p − a∇ m
2
p 2 ( m) ( 2) ( 2) 2 (1) 2 ( 2) A2 = p g1,1 + pg1,1 − a∇ m g1,1 = 0, g1,1 = 2 G0 , (11.191) p − a ∇ m
------------------ ------- ------- --- ------ ----- -
Ak =
( k −1) p 2 g1,1
(k ) pg1,1
+
(k ) − a∇ 2m g1,1
= 0,
(k ) g1,1
k
p 2 ( m) G0 . = ( −1) 2 p − a∇ m k
(11.192)
Подставив (11.192) в (11.188), находим:
(m)
( m)
G1,1 (η ,η ', p ) = G0
k
p2 (m) k G0 (η ,η ', p) (η ,η ', p) + τ r ( −1) 2 k =1 p − a∇ m ∞
k
(11.193) Обратное преобразование Лапласа в (11.193) дает искомое выражение для функции Грина телеграфного уравнения: 2k ∞ k ∂ ( m) ( m) k G1,1 (η ,η ', t ) = G0 (η ,η ', t ) + τ r ( −1) ∂t 2 k k =1
θ + ( t ) t k −1 at∇ 2 (m) m e G * . 0 t ( ) k − 1 ! ) ( (11.194)
( m)
Функция Грина G1,2 (η ,η ', t ) для фильтрационного уравнения находится аналогично, при этом общий член ряда в выражении
( m)
∞
( m)
( ) G1,2 (η ,η ', p ) = G0 (η ,η ', p) + τ rk g1,2 (η ,η ', p ) k =1
имеет вид:
320
k
(11.195)
(k ) g1,2
k
ap∇ 2m ( m ) G p (η ,η ', p ) = 2 0 (η ,η ', ). p a − ∇ m
(11.196)
После обратного преобразования Лапласа в (11.195), куда подставлено выражение (11.196), следует:
( m)
( m)
G1,2 (η ,η ', t ) = G0
∞
(η ,η ', t ) + a τ rk ∇ 2mk k =1
∂k ∂t k
θ + ( t ) t k −1 at∇2 m e m * G 0( ) (t ) ( k − 1) !
В силу малости параметра τ r , в рядах (11.194) и (11.197) достаточно оставить по одному члену. Соответственно получаем:
(11.197)
2 ∂2 m ( m) ( m) G1,1 (η ,η ', t ) = G0 (η ,η ', t ) − τ r 2 θ + ( t ) eat∇m * G 0( ) , (11.198) (t ) ∂t 2 ∂ (m) G1,2 (η ,η ', t ) G 0( m ) (η ,η ', t ) + aτ r ∇ 2m θ + ( t ) eat∇m *t G 0( m ) (11.199) () ∂t
Метод бистратификации. Уравнение (11.149) для теплопроводности в неоднородной среде при его обобщении на случай и нестационарности её, (m) имеет для области Ωk ( k = 1, 2,) обобщенную запись вида: m m ∂uk( ) ∂uk( ) ∂ m−1 1 ( m) = + Ψ ∈Ω t t , , , η λ η η η ( ) ( ) k k k , t ∈ ( 0,T ] . m−1 ∂t ∂ ∂ η η cv,k (η , t )η
(11.200)
Здесь:
(η , t ) = ϕ (η ) δ ( t ) + f (η , t ) , Ψ + k k k
f (η , t ) = Fk (η , t ) . k cν ,k (η , t )
(11.201)
Рассматривая внутреннюю нестационарность системы, граничные условия формулируем обычным образом – по (11.176). Функции cν ,k (η , t ) и
λν ,k (η , t ) полагаем на интервале t ∈ ( 0, T ] бимонотонными по t и
предоставленными в виде:
n
tc (+) ( −) cν ,k (η , t ) = cν ,k (η ) + cν ,k (η ) − cν ,k (η ) , nc ∈ ( 0, ∞ ) , (11.202) T nλ t + − ( −) ( ) ( ) λν ,k (η , t ) = λν ,k (η ) + λk (η ) − λk (η ) , nλ ∈ ( 0, ∞ ) . (11.203) T Если функции cν ,k (η , t ) и λν ,k (η , t ) в области t ∈ ( 0, T ] не представимы в ( −)
виде (11.202), (11.203), то интервал (0,T] разбивается на несколько таких, что в каждом из них эти представления интервалов (0,T1],(T1,T2], справедливы.
321
Здесь очевидна аналогия с (11.59) – представлением бимонотонных функций координаты (§ 149). Стратификацию в (11.202) и (11.203) осуществляем аналогично, по первому способу (аппроксимация кусочнопостоянными функциями – «хроностратификация». Обобщая (11.202) и (11.203) функцией ϕ n (η , t ) , записываем: n
t ϕn (η , t ) = ϕ ( − ) (η ) + ϕ ( + ) (η ) − ϕ ( − ) (η ) , T
(11.204)
ϕ ( − ) (η ) = ϕn (η , +0 ) , ϕ ( + ) (η ) = ϕn (η , T ) . Аппроксимируем ϕ n (η , t ) кусочно-постоянной функцией:
ξ ∈ (ξ k −1 , ξ k ) 0, ξ ∈ (ξ k −1 , ξ k ) , 1,
Nt
ϕˆn (ξ ) = χ k (ξ ) ϕˆk , ϕˆk = const , χ k (ξ ) = k =1
ϕn (η , tk ) = ϕn,k , ξ =
t t , ξ k −1 = k −1 , k = 1, Nt , ξ0 = 0, ξ Nt = 1. T T
По аналогии с § 149, легко находим:
ϕˆ1 =
ϕn,0+ϕn,1 2
, ϕˆ2 =
ϕn,1+ϕn,2 2
,ϕˆk =
ϕn,k −1+ϕn,k
1/ n
2
(11.205)
,
1/ n
1/ n
k k k −1 Δt k = − , ξ k = , k = ξ k − ξ k −1 = , Nt N T N N t t t Δϕˆk Δϕn + − εk = = , Δϕn = ϕ ( ) (η ) − ϕ ( ) (η ) . ϕn,k −1 − k − 1 2 Nt ϕ ( ) (ξ ) + Δϕn N t
ξ kn
(11.206)
(+) ( −) Из (11.206) при ε k max = ε1 = 5% и kϕ = ϕ ( k ) / ϕ (η ) получаем, как и n в § 149:
Kϕn = 1,5; 2, 0; 2,5; 3, 0 Nt = 5; 10; 15; 20.
(11.207)
Таким образом, в зависимости от степени роста (убывания) функции ϕn (η , t ) при t ∈ ( 0, T ] , характеризуемой параметром Kϕn , осуществляется хроностратификация на то или иное количество «хронослоёв» (т.е. интервалов Δtk , на каждом из которых ϕˆn (ξ ) = ϕˆk = const . Если для функций cν ,k (η , t ) и
λk (η , t ) число хронослоёв оказывается разным ( N t1 и
N t 2 соответственно), то надо принять максимальное значение Nt . 322
В результате хроностратификации мы сводим задачу к совокупности задач для неоднородной среды, которые можно решать методом функций Грина (с различными для каждого хронослоя параметрами) для неоднородных систем (§§ 147, 148). На этом пути имеется сложность – в структуру решения задачи на интервале t ∈ ( tk , tk +1 ) необходимо подставлять, в качестве начального условия, полное решение задачи для предыдущего хронослоя t ∈ ( tk −1 , tk ) , взятое в момент t = tk . Это ведет к весьма громоздким выкладкам. Метод бистрафикации является альтернативным методу функций Грина, он заключается в одновременной стратификации как по времени, так и по пространственной координате. Интервал Δη = η + − η − разбивается на
Nη слоев, на каждом из которых cν ,k = const , λk = const . Алгоритм этой η − стратификации был изложен в § 149. Число η − слоёв образующейся слоистой системы может быть различным для каждого хронослоя, но уравнение склейки для всех хронослоев универсально по форме. Максимально упростить последнее можно, воспользовавшись выражениями для полей на финишном режиме (асимптотика больших времен) (9.307)÷(9.309) (§ 134). Необходимым условием этого является выполнение
( m)
(m)
2
для каждого η − слоя требования Fo j ,3 ≥ 1, 0, , где Fo j ,3 = atr , j / Δη j − безразмерное характерное время начала финишного режима в j − м η − слое
( j = 1, Nη ) .
Число слоёв
Nη можно найти двумя способами:
( m) стратификацией области Ωk (см.§ 141), что может привести к значению 1 2 Nη = Nη( ) , и путем выбора числа Nη = Nη( ) таким, чтобы ширина каждого
из слоёв Δη j
я
2
неравенству Δη j ≤ a j min ⋅ tr ,,j где a j min −
минимальное значение a на каждом хронослое и η − слое. Возможны ситуации: 1)tr , j ≤ Δtk ; 2)tr , j > Δtk .
В первой - ширина хронослоя
превышает время наступления финишного режима в j − м η − слое (либо совпадает с ним), что ведет к тому, что решение для момента t = tk ,
максимального для k − го хронослоя, будет являться решением на интервале
(
)
t ∈ tr , j , ∞ , т.е. в границах финишного режима, что приемлемо. Во второй ситуации – характерное время наступления финишного режима tr , j заходит за границу k − го хронослоя. Это требует пересчета η − стратификации –
( 2)
увеличения числа слоёв Nη
настолько, чтобы вновь имела место ситуация
323
(1)
( 2)
1). Затем сравнением величин Nη
и Nη
определяется большая из них,
которая и используется в расчетах. Уравнения склейки на k − м хронослое получим из ((.307) ÷ (9.309), ( m) в которых функции склейки на границах j − го слое Ωk , j и функции плотности источников тепла отнесена к максимальному моменту времени t = tk хронослое t ∈ ( tk −1 , tk ) т.е. из уравнений:
f j ( tk ) l 2j x xx −) + − ( ( ) ( ) + u j , k ( x ) = μ j ( t k ) + μ j ( tk ) − μ j ( t k ) 1 − , (1)
lj
2aˆk , j
l j l j
(11.208)
2 − + − u (j ,k) ( ρ ) = μ (j ) ( tk ) + μ (j ) ( tk ) − μ (j ) ( tk ) × ln 1 + α − 1 ρ f ( t ) Δr 2 (11.209) j j k j + × (1 − ρ ) ρ , ln α j 2aˆk , j 3 − + − u (j ,k) ( ρ ) = μ (j ) ( tk ) + μ (j ) ( tk ) − μ (j ) ( tk ) × 11.210) f ( t ) Δr 2 α jρ α 1 + j j + j k . × (1 − ρ ) ρ 1 + ˆ a 6 1 + (α j − 1) ρ 1 + (α j − 1) ρ k, j
(
Здесь:
aˆk , j −
)
величина коэффициента температуропроводности на k-м
(
)
j − м η − слое; αj =rj /rj−1, ρ= r−rj−1 /Δrj, Δrj =rj −rj−1, fj ( tk) − усреднённые по j − му η − слою функции плотности источников тепла. (1) Для области Ωk уравнение склейки на η − м хронослое для контакта
хронослое и
подслоёв η − стратификации граничных условий IV-го рода:
λˆk , j
Ωk( , )j 1
∂u (j ,k) 1
∂x
и
Ωk( , )j+1
= λˆk , j +1 x =l j
1
следует из второго из
∂u (j +)1,k 1
∂x
,
(11.211)
x =0
λˆk , j , λˆk , j +1 − постоянные значения (полученные бистратификацией) коэффициентов теплопроводности в j − м и j + 1 − м η − слоях. где
Подстановка в (11.211) (11.208) приводит к уравнению склейки вида: 1 + 1 + 1 1 + aˆ (j ,)j −1μ (j −1) ( tk ) + aˆ (j ,)j μ (j ) ( tk ) + aˆ (j ,)j +1μ (j +1) ( tk ) = bˆ(j , )j +1 ,
324
(11.212)
где
ˆ (1)
a j , j −1 = −
λˆk , j lj
ˆ (1)
, a j , j +1 = −
λˆk , j +1 l j +1
ˆ (1)
, a j, j =
λˆk , j lj
+
λˆk , j +1 l j +1
,
1 1 bˆ(j , )j +1 = l j cˆvj f j ( tk ) + l j +1cˆv, j +1 f j +1 ( tk ) . 2
(11.213)
(11.214)
Система уравнений (11.212) решается методом обратной матрицы (см. § 138), + что позволяет найти все ( ) в момент времени t = t (в
μj
( tk ) ( j = 1, Nη )
k
конце k − го хронослоя). Эта процедура осуществляется для k = 1, 2,, вплоть до момента t=T, чем решение поставленной задачи исчерпывается.
( m)
Для областей Ωk осуществить замену склейки при.m=2,3
( m = 2,3) в условиях (11.211) достаточно
x → r . Аналогично предыдущему, находим уравнение
2 + 2 + 2 2 + aˆ (j , j)−1 μ (j −1) ( tk ) + aˆ (j , j) μ (j ) ( tk ) + aˆ (j , j)+1μ (j +1) ( tk )( tk ) = bˆ(j , j)+1 , (11.215) 3 + 3 + 3 3 + aˆ (j , )j −1 μ (j −1) ( tk ) + aˆ (j , )j μ (j ) ( tk ) + aˆ (j , )j +1μ (j +1) ( tk ) = bˆ(j , j)+1.
(11.216)
Здесь:
λˆk , j λˆk , j +1 λˆk , j +1 1 λˆk , j 2) 2) ( ( a j , j −1 = − , aˆ , 1 = − , aˆ j , j = + , r j ln α j j j + r j ln α j +1 r j ln α j ln α j +1 ˆ ( 2)
1 2 bˆ(j , j)+1 = Δr j cˆv, j f j ( tk ) + Δr j +1cˆv , j +1 f j +1 ( tk ) , 2 3 aˆ (j , )j −1 = −
(11.217)
1 1 1 1 3 3 , aˆ (j , )j +1 = − , aˆ (j , )j = , + α j Δ rj α j +1Δ r j +1 α j Δ r j α j +1Δ r j +1
2 +α j 1 2α j + 1 3 ˆ bˆ(j , j)+1 = r c f t Δ + j v, j j ( k ) 2 3α j 3
ˆ r c f t Δ j +1 v, j +1 j +1 ( k ) .
(11.218) Коэффициенты всех уравнений склейки совпадают, как это и должно быть, с полученными ранее для финишного режима. Правые части bˆ(j m, j )+1 также совпадают с найденными ранее. Таким образом, метод бистрафикации позволяет свести задачу к совокупности задач для слоистых систем.
325
§154. Модели с внешней нестационарностью Рассматриваем случаи: А. Системы с коэффициентом теплообмена в граничных условиях третьего рода, зависящем от времени; В. Системы с подвижными границами. В случае А, имея в виду модели шахтной
теплофизики, ограничимся рассмотрением области Ω+( ) без источников тепла и с граничным условием третьего рода на границе x = 0 . В случае В рассматриваем ту же область, но с движущейся границей x0 = x0 ( t ) , x0 ( 0 ) = 0 на которой задано граничное условие первого рода. 1
{
}
В этом случае будем говорить об области Ωϑ( ) = x ∈ ( x0 ( t ) , ∞ ) , x0 ( t ) = 0, t > 0 , 1
«наращиваемой» при x0 ( t ) < 0 и
ϑ ( t ) = dx0 / dt < 0 и «обрезаемой» при
x0 ( t ) > 0, ϑ ( t ) = = dx0 / dt > 0 . Выбор областей Ω+(1) , Ωϑ(1) обусловлен тем, что модели с α = α ( t )
)
(
характерны для быстрых (переходных) процессов, когда зона локализации воздействия граничного режима в массиве не велика (случай А), а системой с подвижной границей обычно является либо разрабатываемый пласт угля, либо закладочный массив, сооружаемый в выработанном пространстве (случай В.). А. Модель с переменным коэффициентом теплообмена имеет, т.о. вид:
∂u ∂ 2u (11.219) = a 2 , u = u ( x, t ) , x ∈ ( 0, ∞ ) , t > 0, ∂t ∂x ∂u u ( x, +0 ) = ϕ ( x ) , x ∈ ( 0, ∞ ) ; λ = α ( t ) u ( 0, t ) − uB ( t ) , t > 0. ∂x x=0 Здесь u ( 0, t ) = ucm ( t ) − температура стенки горной выработки (поверхности массива),
(11.220)
uB ( t ) − переменная, в общем случае, температура
вентиляционного воздуха, движущегося по выработке. В базисной модели горной теплофизики – краевой задаче охлаждения горного массива [89], принято, что в начальный момент времени охлажденная зона в массиве отсутствует, т.е. ϕ
( x ) = uп = co n s t ( uп −
температура горных пород на глубине заложения выработки). Будем считать, что в интервале времени t ∈ ( 0, t 0 ) в массиве формируется охлажденная
(
)
зона, т.к. uB ( t ) < uп t ∈ ( 0, t0 ) при постоянном значении α
= α 0 = co n s t .
В момент времени t = t0 начинается переходный режим (изменяется скорость движения вентиляционной струи) и коэффициент теплообмена 326
= α ( t ) . Переходный режим оканчивается при t=T, когда α(t) стабилизируется на значении α (T ) = α s = co n s t . Функцию α(t)
начинает изменяться: α
полагаем представимой в бимонотонной форме: n
τ α αˆ (τ ) = α 0 + (α s − α 0 ) , τs α 0 = α ( 0 ) , α s = α (τ s ) ,τ = t − t0 ,τ s = T − t0 .
(11.221)
α (t ) , значения от 0 до ∞ .Случаю nα=0 соответствует скачок α 0 → α s при t = t0 , а случаю nα = ∞ − скачок α 0 → α s при t=T (в интервале t ∈ ( t0 , T ) , α ( t ) = α 0 = const ). Т.о., можем записать: α 0 , t ∈ ( 0, t0 ) , α ( t ) = αˆ (τ ) , t ∈ ( t0 , T ) , (11.222) α , t ≥ T. s Здесь
nα
может принимать, в зависимости от первичного вида
uB ( t ) , следуя [89], при t ∈ ( 0, t0 ) считаем постоянной uB ( t ) = uB0 = const . В интервале t ∈ ( t0 , T ) считаем uB ( t )
Функцию величиной:
произвольной (убывающей, возрастающей, меняющейся скачкообразно) функцией. На интервале
t ∈ ( 0, t0 )
известно аналитическое решение
(11.219),(11.220) [89], однако ввиду его сложности, воспользуемся экспоненциальной аппроксимацией температурного поля (см. §132, (9.278)). Её можно представить в виде:
x u ( x, t ) = ucm ( t ) + uп − ucm ( t ) 1 − exp −3,551 . (11.223) 4 at Функция ucm ( t ) определяется подстановкой (11.223) в граничное условие третьего рода
q0 ( t ) = λ
∂u ∂x
x =0
= α 0 ( ucm ( t ) − uB0 ) , t ∈ ( 0, t0 ) .
В результате этого находим:
u cm ( t ) =
(
)
u B 0 + 0,888εα 0−1t −1/ 2 u п 1+
0,888εα 0−1t −1/ 2
,
327
ε = λ cν ,
(11.224)
(11.225)
В отсутствие переходного режима (т.е. при t0 → ∞ ) формула (11.225) справедлива для всех t > 0 . Подстановка (11.225) в (11.223) даёт:
u ( x,t ) = uп − ( uп − uB0 )
(
1+ 0,888εα0−1t −1/2
)
−1
x exp −0,888 . (11.226) at
Формула (11.226) описывает температурное поле в охлажденной зоне горного массива
x ∈ ( 0, δ ( t ) , где δ ( t ) = 4 at . При
x > δ ( t ) , u ( x, t ) ≈ uп .
Используя (11.224) и (11.225), найдем плотность потока тепла из
массива к вентиляционному воздуху на интервале если t0
→ ∞ ):
t ∈ ( 0, t0 )
(и при
−1
q0 ( t ) = ( uп − uВ0 ) α 0−1 + 1,14ε −1 t . Из (11.227) следует «правильное» асимптотическое поведение q0
t > 0, (11.227)
(t ) :
lim q0 ( t ) = q0 ( 0 ) = α 0 ( uп − uВ0 ) , lim q0 ( t ) = ( 0 ) .
(11.228)
t →∞
t →0
Для описания температурного поля в переходном режиме, когда
α = α ( t ) и uВ = uВ ( t ) при t ∈ ( t0 , T ) , воспользуемся (11.223), где температуру в охлажденной зоне обозначим uδ
( x, t ) , а температуру стенки
−uсm,δ ( t ) . Температуру вентиляционного воздуха обозначаем uBδ ( t ) и вводим «сдвинутое» время tδ = t0 + τ . Имеем: горной выработки
0,888 x uδ ( x, t ) = uсm,δ ( t ) + uп − uсm,δ ( t ) 1 − exp − . at
(11.229)
Вместо (11.224) записываем:
qδ ( t ) = λ
∂uδ ∂x
x =0
= α (τ ) uсm ( tδ ) − uB ( tδ ) .
Подстановка (11.229) в (11.230) дает:
uсm,δ ( t ) =
(
)
uп + 1,14ε −1α (τ ) tδ uBδ ( tδ ) 1 + 1,14ε α (τ ) tδ −1
.
(11.230)
(11.231)
При τ = 0 ( tδ = t0 ) (11.231) переходит в (11.225) при t = t0 . Из (11.229) и (11.231) следует выражение для температурного поля в переходном режиме: 328
(
uδ ( x, t ) = uп − ( uп − uBδ ( tδ ) ) 1 + 0,888εα −1 (τ ) tδ−1/ 2
)
−1
x exp −0,888 . at
(11.232) Для плотности потока тепла на стенке выработки в переходном режиме, получаем, аналогично предыдущему: −1
qδ ( tδ ) = uп − uBδ ( tδ ) α −1 (τ ) + 1,14ε −1 tδ . Из (11.233) следует, что qδ
( m)
Для областей Ω+
(11.233)
( t0 ) = q0 ( t0 ) .
( m = 2,3) задача решается аналогично, на основе
аппроксимаций вида (11.283), найденных для этих областей. Сравним плотности потоков тепла на стенке выработки в отсутствие переходного режима и при его наличии. Составим отношение
q0 ( t ) uп − uB0 α −1 (τ ) + 1,14ε −1 = σ (t ) = qδ ( tδ ) uп − uBδ ( tδ ) α 0−1 + 1,14ε −1 tδ В (11.234):
t > t0
σ (t )
t
(11.234)
t ∈ ( t0 , T ) , τ = tδ − t0 . При t = t0 , σ ( t0 ) = 1,0 , а при изменяется (уменьшаясь или увеличиваясь, в зависимости от
поведения функций α
(τ ) и u δ ( tδ ) ). Представим (11.234) в виде: B
σ ( t ) = σ1 ( t ) ⋅ σ 2 ( t ) , σ 2 (t ) =
α
−1
σ1 ( t ) =
(τ ) + 1,14ε
uп − uB0 , uп − uBδ ( t )
−1
α 0−1 + 1,14ε −1 t
tδ
(11.235)
.
Выражение для σ 2 ( t ) приводится, с учетом (11.221), к виду: n
τ α ( Kα −1) αs τs , K ,τ ∈( 0,τs ) . (11.236) = σ2 ( t ) =1− α n α α0 τ 1 − 1+ ( Kα −1) 1+1,14α0ε t τ s
Из (11.236) получаем граничные значения σ 2
( t ) в переходном режиме:
1 − Kα−1 σ 2 ( t0 ) = 1, σ 2 (T ) = 1 − . −1 1 + 1,14α 0ε T Формулы (11.234)÷(11.236) позволяют анализировать динамику теплопритоков из массива и оценивать влияние на нее параметров
329
(11.237)
переходного режима, при котором коэффициент теплообмена и температура воздуха изменяются со временем (в частности – скачкообразно). Задачи с переменным коэффициентом теплообмена можно также решать методом дискретизации (см.§151), на основе уравнений для нестационарной цепочки диссипаторов [1], где достаточно вместо граничного условия третьего рода добавить к цепочке диссипатор с
λ = λ ( t ) = α ( t ) l0 . Еще один метод решения излагается далее в Главе 54;
он базируется на методе пересчета – аналоге метода Дюамеля [196]. В. Системы с подвижными границами рассматриваем по отдельности для двух вариантов – В1 – область «наращивается» и В2 – область «обрезается». Вариант В1 – с наращиваемой областью – рассматриваем, формулируя краевую задачу:
∂u ∂ 2u 1 = a 2 , u = u ( x, t ) , x ∈ Ωϑ( ) = x ∈ ( x0 ( t ) , ∞ ) , ∂t ∂x (11.238) x0 ( 0 ) = 0, x0 ( t ) < 0, t ∈ ( 0, T ) ,
{
}
u ( x, +0 ) = uп = сonst , x > 0; u ( x0 ( t ) , t ) = uB0 = const. Функцию x0
(11.239)
( t ) представим в виде t
x0 ( t ) = ϑ ( t ') dt ', ϑ ( t ) = dx0 ( t ) / dt. Здесь ϑ
(11.240)
0
( t ) − переменная, в общем случае, скорость наращивания, которую
представим в бимонотонной форме. Осуществив хроностратификацию, представляем ее в виде кусочно-постоянной аппроксимации:
ϑˆ ( t ) =
1, t ∈ ( ti −1 , ti )
N
χi ( t )ϑi , ϑi = const , χi ( t ) =
0, t ∈ ( ti −1 , ti )
i =1
, i = 1, N . (11.241)
Здесь t0 = 0, t N = T , а величины ϑi и Δti = ti − ti −1 находятся способом, изложенным ранее (§149, первый способ стратификации). Из (11.240) и (11.241) находим: tj
j (11.242) N x0 t j = xi ( t ') ϑi dt ' = ϑi Δti . i =1 0 i =1 Т.о., на каждом временном шаге Δti , массив получает приращение Δxi = ϑi Δti = li , которое будем называть шириной i − го нарощенного слоя. Величины ϑi и Δti будем, соответственно, называть шаговой скоростью
( )
наращивания и его характерным временем.
330
Каждый наращиваемый слой (НС) характеризуется и двумя другими характерными временами: а) стартового режима Δtδ ,i , определяемого равенством ширины НС радиусу финитности (ширине зоны локализации температурного влияния правой границы) −li = 4 a Δtδ ,i ; б) границы финишного режима
Δtr ,i = li2 / a . Пороговой скоростью i − го шага 1/ 2
наращивания будем называть величину ϑi = ( a / Δti ) *
, поскольку: 1) при
Δti ≥ Δtr ,i , ϑi ≤ ϑi* ; 2) при Δti < Δtr ,i ,ϑi > ϑi* . В первом случае (скорость наращивания не превышает пороговую скорость) в каждом i − м НС к моменту времени t = ti = ti −1 + Δti наступает финишный режим распространения температурного поля . На первом временном шаге i = 1 имеем двухслойную систему Ω1(1) , Ω+(1) , в которой на левой
границе слоя
Ω1 = { x ∈ ( 0, l1 )}
{
}
на интервале
t ∈ ( 0, Δt1 )
поддерживается температура u B 0 , а на левой границе базисного (первоначального) массива имеем неизвестную температуру – функцию (+) склейки μ 0 ( t ) . Она определяется из уравнения склейки потоков тепла на (1) (1) (1) границе x = 0 между Ω1 и Ω+ , при этом температурное поле в Ω+
записывается в виде аппроксимации (11.223) для момента t = ti , а поле в 1 Ω1( ) (в первом НС) записывается в форме, соответствующей финишному
режиму при t = t1 (в виде (11.208)). На втором временном шаге имеем трехслойную систему 1 1 1 Ω0( ) , Ω1( ) , Ω+( ) , для которой функции склейки – температуры на границах
{
}
(1) между вторым НС и первым НС, между первым НС и Ω+ определяются аналогично. На последующих временных шагах таким же образом рассматриваются четырехслойная, пятислойная и другие слоистые системы, (1) в котором поле в базисном слое Ω+ для моментов времени t3 , t4 ,... аппроксимируется экспонентой, для поля в нарощенных слоях – в форме, соответствующей финишным режимам для тех же моментов времени. Во втором случае (скорость наращивания превышает пороговую), *
*
*
когда Δtr ,i > Δti , возможны две ситуации: 1) ϑi < ϑi ≤ 4ϑi ; 2) ϑi > 4ϑi . В
(
первой Δtr ,i ∈ Δti ,16Δt , а во второй −Δtr ,i > 16Δti . При этом в первой i
ситуации δ ( Δti ) ≥ li (зона локализации совпадает или превышает ширину
331
i − го НС). Во второй ситуации, напротив, δ ( Δti ) < li . Следовательно, в
первой ситуации использовать аппроксимацию температурного поля в финишном режиме для каждого из НС нельзя. Нельзя также использовать (1) (1) вместо НС (первого, второго и последующих) модель вида Ω+1 , Ω+2 ,
{
}
поскольку не соблюдается условие ограниченности зоны влияния, которая должна быть (для правомочности такого приближения) меньше ширины НС. Выходом из этих трудностей может служить следующая модификация метода, изложенного для случая «медленного» наращивания
(ϑ < ϑ ) . Вся i
* i
структура алгоритма сохраняется, но на каждом i − м временном шаге поля во всех НС аппроксимируются экспоненциальными функциями. Возникающие двухслойная (на первом шаге), трехслойная (на втором шаге) и последующие слоистые системы будут иметь уравнения склейки более сложного вида, чем в «медленном» случае (поскольку вместо кусочнолинейных будем иметь дело с кусочно-экспоненциальными функциями), но гораздо более простого, чем при точном решении. Во второй ситуации, когда δ ( Δti ) < li , задача сводится к системе
{
}
1 1 (+) Ω+( 1) , Ω+( 2) , для которой функция склейки μ 0 ( t ) легко находится. При
этом температурное поле, как в базовом, так и в наращиваемом массиве может быть записано в экспоненциальном представлении (в первом случае (+) «опирающемся» на температуры μ 0 ( t ) и uп , а во втором – на (+) температуры μ 0 ( t ) и uB0 ). (1) В2. Случай обрезания области Ω+ . Формулировка краевой задачи в этом случае отличается от (11.238), (11.23) только изменением знака у x0 ( t ) : x0 ( t ) > 0 . При движении границы x0 ( t ) вправо, в сторону x > 0, , на этой границе постоянно поддерживается температура uB0 < uп , что (1) формирует в Ω+ охлажденную зону шириной δ + ( t ) = 4 at . Если скорость обрезания достаточно велика, а именно
1/ 2 dx0 ( t ) d δ + ( t ) a ϑ (t ) = (11.243) ≥ = 2 , dt dt t так, что t ≥ t * = 4a / ϑ 2 уже для относительно небольших t , то во всей * области x ∈ ( x0 ( t ) , ∞ ) для всех t ≥ t будет иметь место начальная
( ) в тонком, примыкающем к
температура uп . Для краткого периода t ∈ 0, t
*
границе x0 ( t ) слое массива с переменной толщиной l0 ( t ) = δ + ( t ) − x0 ( t ) будет температурное поле, возрастающее от u = uB0 при x = x0 ( t ) до 332
u = uп при x = δ + ( t ) = 4 at . Это поле можно аппроксимировать
экспоненциальной функцией вида (11.223), где необходимо осуществить замену:
x − x0 ( t ) (11.244) . → 4 at − x0 ( t ) При малой скорости обрезания, когда x0 ( t ) < δ + ( t ) при всех t ∈ ( 0, T ) , приграничный слой шириной l0 ( t ) сдвигается вправо. Параметр l0 ( t ) при t = T может принять либо минимальное ( l (T ) = 0 ) , либо максимальное ( l (T ) = δ + (T ) − x0 (T ) ) значение в зависимости от вида функции ϑ ( t ) = dx0 / dt , определяющей величину x0 ( t ) . Температурное поле вне приращенного слоя, т.е. в области x ∈ (δ + ( t ) , ∞ ) , совпадает с его начальной величиной u ( x, t ) = uп , а в приграничном слое может быть представлено x 4 at
экспоненциальной аппроксимацией (11.223) с учетом замены (11.244). Как и в случае с переменным коэффициентом теплообмена, модели для областей с подвижными границами, рассмотренные в настоящем параграфе с позиций аппроксимации и стратификации, могут также анализироваться методами дискретизации, на основе уравнений для нестационарных цепочек диссипаторов (§ 151). В случае теплофизической неоднородности (возникающей при наращивании массива материалом с теплофизпараметрами, отличными от таковых у базисного массива), возможна простая модификация изложенных подходов на основе слоистых моделей.
Глава 46. МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ §155. Нелинейные модели в шахтной теплофизике Рассматриваются принципы построения моделей с внутренней и внешней нелинейностью и задач Стефана, широко представленных в первом томе [40] . Они описывают процессы диффузии и фильтрации в горных массивах, переноса примесей по горным выработкам, эндо - и экзогенные пожары, протаивание горных массивов на шахтах и рудниках Севера. Аналогичные нелинейные модели встречаются при изучении технологических и аварийных режимов, сопровождающихся фрикционной и джоулевой теплогенерацией. Нелинейные модели играют важную роль и в смежных областях геотеплофизики [40]: 1) в геофизике (теплофизике геосфер) [85,197,198]; 2) в теплофизике геотехносферы [46,199-201]. Эти модели формулируются и исследуются в рамках общетеплофизической парадигмы [40, Гл.31]. Число публикаций по нелинейным моделям тепломассопереноса необозримо [202], поэтому, пополняя перечень источников, использованных в [40], достаточно случайно сформулированной выборкой, рассмотрим, полагая последнюю 333
репрезентативной, основание направления в моделировании нелинейных процессов переноса. Предварительный анализ показал, что все работы из выборки можно представить тремя группами. Первая группа – работы теоретико-математического характера (М – группа), авторы которых математики [54, 59, 145, 203-214]. Вторая группа – работы по общей и прикладной теплофизике (Тгруппа), выполненные в парадигме прикладной математики [22-24, 38, 63, 215-224]. Третья группа – прикладные работы (П-группа), содержащие модели технических систем, реализуемые, как правило, численными методами [101, 146, 159-161, 163, 165, 169, 225-234]. Работы М-группы составляют, в большинстве, два направления: а) доказательства теорем существования и единственности решений краевых задач, использование теоретико-групповых методов и методов теории возмущений, поиск «анзацев» (подстановок) для функциональных преобразований, автомодельных и волновых решений; б) «решение» краевых задач, заключающееся в сведении их к системам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, к системам нелинейных интегральных уравнений и другим сложным математическим структурам. При этом часто статья оканчивается заключением о том, что «дальнейшее решение может быть осуществлено численно». В работах Т-группы нелинейные краевые задачи теплопроводности, диффузии, фильтрации решаются точными и приближенными методами. Это – аналитические, аналитико – численные [22, 63, 202, 217, 222] и численные (конечных разностей и элементов) методы [23, 24, 202, 215, 216, 218-221, 223, 224]. Рассматриваются нелинейные модели для однородных и слоистых систем [217-223] и непрерывно – неоднородных систем [215,216,224],задачи типа Стефана [22-24, 202]. В работах П-группы моделируются тепловые режимы конкретных технических систем с доведением, как правило, решения до числа (графика). Превалируют численные методы решения задач [169, 225-228, 230-234]. Используются также аналитико-численные методы (Бубнова-Галёркина, вариационные и др.) [38,101,146,169,229]. На основании анализа работ трёх указанных групп, можно сделать следующие выводы: 1. Работы М-группы находятся вне теплофизической парадигмы. Встречающиеся теоремы об оценках и сравнении решений методологически полезны, но алгоритмически сложны. 2. Работы Т-группы, с точки зрения содержащихся в них постановок и решений задач, более полезны для развития методов моделирования проблем шахтной теплофизики и геотеплофизики. Избыточное число используемых методов решения свидетельствует об отсутствии надежных, обоснованных и простых методов, число которых должно быть небольшим, а применение доступно для прикладников.
334
3. Работы П-группы также демонстрируют такое же, избыточное многообразие методов решения, затрудняющее выявления очевидно полезных связей и аналогий между «смежными» областями. Поскольку число известных точных решений нелинейных задач ограничено, оценка близости к ним решений, получаемых приближенными методами, затруднена. В ряде работ, где осуществлялась линеаризация нелинейных уравнений, приводятся оценки их погрешности. Автор [23], обобщив большой опыт моделирования процессов теплопереноса, заключает, что погрешность частичной линеаризации зачастую превышает таковую при полной линеаризации. Погрешность линеаризации квадратичного члена уравнения линейным составила ≤ 5% [63]. Поинтервальная линеаризация в [226] функций cν (T ) и λ (T ) (замена их на кусочно-постоянные) обеспечила погрешность ≤ 4%. Краевые задачи с внешней и внутренней нелинейностью мы будем решать приближенными аналитико-численными методами алгебраизации: стратификацией (в двух вариантах:1) аппроксимацией функций температуры кусочно-постоянными, т.е. линеаризацией; 2) аппроксимацией кусочнолиней-ными функциями) и дискретизацией. Эти методы рассматриваются в последующих параграфах. Конкретизируем, основываясь на [40], постановку нелинейных краевых задач – моделей шахтной теплофизики, где, в большинстве случаев, они используются при моделировании подземных пожаров (эндо – и экзогенных). При этом внутренняя нелинейность (т.е. зависимость теплофизических параметров от температуры −c = c ( T ) , λ = λ ( T ) , и внешняя нелинейность (в граничных условиях и при зависимости от температуры функций плотности внутренних источников тепла − F = F (T ) ) обусловлены большими температурными перепадами (в нагреваемых при пожарах и охлаждаемых при их тушении) горных массивах и большими ( 1300K ) температурами пожарных газов. ( m) Уравнение нелинейной теплопроводности в области Ω1 с нелинейным источником тепла имеет вид:
c (T )
∂T 1 ∂ m−1 ∂T = m−1 η λ ( T ) ∂t η ∂η ∂t
+ F (T ) , T = T (η , t ) ,
(11.245)
m η ∈ Ω1( ) = {η ∈ (η − ,η+ )} , t > 0.
Начальное условие к (11.245)
T (η , +0 ) = ϕ (η ) ,
335
m η ∈ Ω1( )
(11.246)
Граничное условие в глубине горного массива (т.е.при
m = 1 и η+ = r1 при m = 2,3) :
η = η+ ,η + = l при
T (η+ , t ) = Tп = сonst , t > 0.
(11.247)
Здесь TП- температура горных пород на данной глубине (геотермическая). Граничное условие на стенке массива, прилагающей к пожару (η = η− ,
η− = 0, m = 1 и η− = r0 при m = 2,3 ) можно записать в трёх вариантах: T (η− , t ) = TГ ( t )( a ) , λ (T )
∂T = α T f Tсm − TП ( t ) ( b ) , ∂η η =η
( )
−
λ (T )
(11.248)
∂T 4 = c0σ (T ) Tcm − TГ4 ( c ) . ∂η η =η
(
)
−
Здесь: TГ ( t ) −
температура
прилегающем
Tсm
пожарных
газов;
Tf −
температура
в
стенке выработки пограничном слое; = Tсm ( t ) = T (η− , t ) − температура стенки выработки (поверхности
горного массива);
к
c0 = const ; σ ( T ) −
эффективная степень черноты.
Теплофизпараметры c ( T ) и λ (T ) для горных пород (отвалов, грунтов) относительно медленно меняются [40, 68,70,72, 80,131, 235÷239] и в большинстве моделей аппроксимируются линейными функциями температуры. Об этом, в частности, свидетельствуют экспериментальные данные [237]: теплопроводность песчаника λ ( BT / МК ) в температурном диапазоне 295К ÷ 1000К уменьшилась только в 2,5 раза, а в «пожарном» диапазоне 510К ÷ ÷1000К – в 1,7 раза. По данным [238] температуропроводность a (м2/час) песчанистого сланца при изменении его температуры от 473К до 973К увеличилась в ≈ 2 раза, а глинистого сланца ≈ 2,4 раза при росте температуры от 273К до 1123К. Авторы [239] аппроксимировали теплофизпараметры горного массива в пожарном диапазоне температур линейными зависимостями :
с (T ) = 138,353 + 0,1858T , λ (T ) = 0,0133 + 0,000114T (T , K ) . Известны и другие корреляции, где λ (T ) линейно убывает, а c (T ) линейно возрастает с ростом T [40, § 42].
Если выйти за рамки шахтной теплофизики, рассмотрев линейные модели процессов переноса в других областях, то обнаруживается, что встречаются случаи аппроксимаций c (T ) и λ (T ) степенными или экспоненциальными функциями [22, 202, 211, 212, 214, 215]. В моделях диффузии, где роль λ (T ) играет коэффициент диффузии D, часто 336
используется формула Аррениуса, согласно которой D (T ) exp ( − A / T )
или её редуцированный вариант D exp ( − B / T ) (преобразование Д.А.
Франк-Каменецкого [61]). Здесь A, B = const [22, 58, 101, 148, 202, 206, 207, 209, 229, 232]. При малых изменениях T последняя зависимость иногда заменяется линейной. Далее полагаем, что теплофизические параметры, как и функции плотности источников тепла и эффективные коэффициенты теплообмена α (T ) и степени черноты σ (T ) в (11.248) могут быть
представлены одной из зависимостей (либо их комбинациями).
A
λ1 (T ) = λ10T s , λ2 (T ) = λ20 exp − , λ3 (T ) = λ30 exp ( − BT ) .(11.249) T λi (T ) − зависимость i − го вида параметра от температуры; s = const , λio = const > 0, A, B = const , i = 1, 2,3.
Здесь:
В варианте (а) в (11.248) имеем граничное условие первого рода, характерное для стадии развитого пожара, когда Tcm ( t ) Tr ( t ) . В варианте
(b) (11.248) имеем граничное условие третьего рода в котором коэффициент эффективного теплообмена (включающий в себя естественную и вынужденную конвекцию и излучение) считают зависящим от Tcm ( t ) (т.е. принимают T f = Tcm ). В варианте (c) (11.248) имеем граничное условие лучистого (радиационного) теплообмена. В варианте (а) (11.248) TГ ( t ) в широком смысле – температура
нагревающей среды – задаётся в различных моделях либо как постоянная ( TГ ( t ) = TГ 0 = co nst при t ≥ 0 ) (модель «термического удара»), либо как некоторая, эмпирически подбираемая функция. По данным различных авторов [40,Часть 6] в ходе развития пожара функция TГ ( t ) возрастает от
TГ = 350 ÷ 500 K до 1000 ÷1300K . При расчете огнестойкости надземных и подземных строительных конструкций [234] используются формулы для «стандартного» пожара, согласно которым TГ ( t ) lg t , либо (в случае
горения углеводородов) TГ ( t ) описывается монотонно возрастающей
(
)
функцией, содержащей три exp − β j t ( j = 1, 2,3) .Для пожаров в закрытых памещениях и подземных сооружениях, в [234] рекомендуется эмпирическая формула α
TГ ( t ) = T0 ( t / t0 ) exp ( − β t / t0 ) ,
T0 , t0 , α , β = const
337
(11.250)
Далее будем полагать функцию TГ ( t ) нормализованной, т.е. представленной бимонотонной возрастающей функцией времени (содержащей, в частности, случай «термического удара»). В варианте (b) (11.248) иногда полагают α T f = α (Tcm , TГ ) [88,226].
( )
Мы
будем
считать
всегда,
что
α (T ) = α (Tcm , ( t ) ) . В ряде работ
осуществляется синтез условий (b) и (c), т.е. рассматривается конвективнорадиа-ционный теплообмен [40, § 81]. При этом вводится коэффициент α ε = α k + α л , где α k коэффициент конвективного, а α л − лучистого теплообмена. Коэффициент α л выражается через расход пожарных газов, их температуру и геометрические параметры выработки:
G 0,8V 0,2 0,35 TГ . α k = 0,36ε S
(11.251)
Здесь ε − коэффициент шероховатости стенок выработки; G − расход газов; V , S − периметр и площадь сечения выработки. Расчеты α k для двух различных химических составов пожарных газов показали близость их численных значений, что послужило выводом о слабой зависимости α k от горючих материалов . Для суммарного эффективного коэффициента αε , нами, путем обработки графических данных П.Ф. Гавриленко [40],получена формула, справедливая для «среднего» пожара (т.е. пригодная для предварительных, ориентировочных расчётов):
3, 0 + 14, 0V , V ∈ [ 0,5;1,5] V ∈ [ 0,5; 4, 0] , 10,8 8,8 V , V 1,5; 4, 0 + ∈ ( ]
αε (V ) =
(11.252)
где V − скорость газового потока ( м / с ) , [α ε ] = Вт/мК .
Коэффициент лучистого теплообмена α л определяется формулой [40, §81]:
α л = с0σ (Tcm )(TГ − Tcm )
−1
4 4 TГ Tcm − , 100 100
(11.253)
где c0 =5,7 Вт/м2К4 – коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела,
σ (Tcm ) − эффективная степень черноты стенок выработки и пожарных
газов (σ = σ cm ⋅ σ Г ) . Для диапазона температур получена
корреляция
TГ = 323 ÷ 1473К была
2 + BT + С A, B, C = const . σ (Tcm ) = ATcm ( ) cm
Коэффициенты А,В,С выражены через приведенный радиус выработки, т.е. учитывают её геометрическую форму. Влияние геометрического фактора 338
отмечено в [226], где α ε 1 и α ε 2 (соответственно для цилиндрической и сферической теплообменных поверхностей) при Т=333К отличались только на 10%, а при Т=553К уже в 1,5 раза (α ε 2 > α ε 1 ) . Влияние температур из этого диапазона было более сильным: α ε 1 увеличился ≈ в 2 раза, а α ε 2 примерно в 3 раза. Поскольку α = α (Tcm ) , а Tcm = Tcm ( t ) , то в некоторых моделях
пожаров полагают
α = α ( t ) . В [241], в частности, использовалась
α ( t ) = At −1/ 2 ( A = const ) и указывалось, что α ( t ) быстро уменьшался. В пределе t → ∞ это дает α = 0 , т.е. условие эмпирическая формула
теплоизоляции стенки пожарной выработки, что неприемлемо. По смыслу эффективного коэффициента α ε (T ) , он должен с ростом температуры возрастать. Поскольку нелинейные процессы более интенсивны по сравнению с линейными, для них должна, еще в большей степени, проявляться тенденция линейной теплопроводности: при росте α до значений, при которых соответствующее безразмерное число Bi ставится ≈ 30, решение третьих краевых задач мало отличаются от решений первых краевых задач (т.е. Bi → 30 практически означает Bi → ∞ ) [17,18, 56, 77,112]. Поэтому будем считать, что
αˆ (Tcm ) , Tcm ∈ (T1,T2 ) , αε (Tcm ) = ∞,
Tcm > T2
(11.254)
Здесь αˆ (Tcm ) − бимонотонная функция Tcm при изменении Tcm в диапазоне
T1,T2 , а T2 − температура, при которой αˆ (Tcm ) принимает значение, обеспечивающее выполнение условия Bi = 30 . Таким образом, имеем: (−)
αˆ (T ) = αε
+ − T − T1 + αε( ) − αε( ) T2 − T1
nα
− , αε( ) = αˆε (T1 ) , αε+ = αˆε (T2 ) .
(11.255)
Вариант (c) в (11.248) представляет собой случай лучистого теплообмена, что маловероятно для ситуаций в шахтах и рудниках. В моделях геотеплофизики это условие может стать востребованным. Функция плотности источников тепла F (T ) в (11.245) может иметь различный физический смысл, быть обусловлена многочисленными физикохимическими процессами, фазовыми переходами, выделением радиогенного, барического, фрикционного и джоулева тепла [40, 61, 63, 81, 85, 87, 101, 146]. 339
Как уже сказано, будем считать возможным её представление в одном из трёх видов (11.249). Представление всех параметров базисной модели (11.245)-(11.248), имеющих первоначальный вид (11.249) в бимонотонной форме (11.255) будем называть нормализацией модели. Если диапазон T ∈ [T1 , T2 ] , в котором возможна нормализация, уже полного диапазона изменения температур в данной модели, то последний разбивается на поддиапазоны: [T1, T2 ] , [T2 , T3 ] , [T3 , T4 ] и т.д. Нормализованное представление (11.249) имеет вид: n
λi −) (+) − ) T − T1 ( ( ˆ , nλi ∈ [0, ∞), λi (T ) = λi + λi − λi T2 − T1 λ ( − ) = λˆ (T ) , λ ( + ) = λˆ (T )
i
i
i
1
i
(11.256)
2
Конкретизация (11.256) требует определения только nλi , поскольку λi( − ) = λi (T1 ) , λi( + ) = λi (T2 ) − известны. Ранее (§ 106) была получена формула:
λi( + ) − λi
nλ = , λi = (T2 − T1 ) ( −) i λi − λi
−1
T2
λi (T ) dT ,
i = 1, 2,3
(11.257)
T1
Интегралы в (11.257) вычисляются [240] и получаем:
λ1 =
λ10 T2s +1 − T1s +1
(11.258) , T2 − T1 s +1 A λ T A λ2 = 20 A ln 1 + T2 exp − − T1 exp(− ) + T2 − T1 T1 T2 T2 ∞
+ k =1
λ3 =
λ30 T2 − T1
( −1)
k
k +1
A k ⋅k!
1 1 k − k , T2 T1
B −1 exp ( − BT1 ) − exp ( − BT2 ) .
(11.259)
(11.260)
По завершении нормализации базисной модели (11.245) – (11.248) можно, на её основе, сформулировать частные базисные модели (таблица 11.5) 340
Таблица 11.5 Базисные краевые задачи Внутренняя Задача Н1: C (T ) = Cˆ (T ) , λ (T ) = λˆ (T ) ,
Вид нелинейности Внешняя Задача Н4.
С (T ) → C0 = const
λ (T ) → λ0 , F (T ) = Fˆ (T ) ,
Общая Задача Н7. Задача Н1. при
F (T ) = Fˆ (T )
F (T ) → F (η , t ) Граничное условие – Граничное условие – (11.248)( a ). (11.248)( a ) Задача Н2: То же, но Задача Н5: То же, но Задача Н8. Задача Н2. граничное условие – граничное условие – при (11.248)(b) с (11.248)(b) с α (T ) = αˆ ( T ) . α (T ) = αˆ (T ) .
α = α 0 = const.
Задача Н9. Задача Н3: То же, но Задача Н6: То же, но условие – Задача Н6, но при система двухслойная граничное m m с суперпозиция (b) и (c) λ (T ) = λˆ (T ) , {Ω1( ) , Ω2( ) } ˆ граничным условием (11.248) при σ (T ) = σ (T ) .
c(T ) = cˆ(T )
ІV – го рода.
Задачи типа Стефана также представлены в [40]. Основанные на них модели описывают промерзание и протаивание горных массивов шахт и рудников Севера, горнотехнологические процессы, связанные с разупрочнением мёрзлой горной массы и термическими методами проходки скважин и выработок, формированием ледопородных ограждений при строительстве шахт и подземных сооружений [40, § 51]. В кратком обзоре [40, § 97] упоминаются работы, в которых моделируются процессы замерзания и оттаивания в системах со связанной влагой , процессы плавления и затвердевания при наличии двухфазной зоны, плавления и термической деструкции твердых тел и др. Аналогично моделям с внутренней и внешней нелинейностью, на основе источников [40] и ряда других, выбранных случайным образом, была сформирована выборка из 47 работ, в которых рассматриваются задачи типа Стефана. Выборка была структурирована таким же образом; М- группу составили источники [199, 242-250261], T- группу – [22, 55, 187, 202, 207, 251÷263], П – группу – [24, 264÷281]. Содержание работ из этих групп также аналогично, и выводы из их анализа следующие, совпадают с ранее приведенными. Приводим, как характерное, высказывание автора [261]: « Необычайно высокого уровня достигло развитие качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных в проблеме Стефана: теоремы существования и единственности… вопросы устойчивости и 341
асимптотического поведения свободной границы (при t → 0 и t → ∞ ), вопросы структуры и качественных свойств решений… Тем не менее в вопросах аналитической теории достигнутые успехи весьма незначительны». Ряд работ из Т – и П − групп содержит представляющие интерес простые (относительно), но, безусловно, надежные методы решения краевых задач. Это – замена условия Стефана эквивалентным источником тепла, модификации методов Л.С. Лейбензона и Ротэ и др. [253, 254, 255, 261, 262, 266, 269, 273, 277, 278, 280, 281]. Интерес представляют работы в областях металлургической теплофизики [263, 267, 272, 279] и геофизики [254, 265, 276]. В этих работах рассматривают усложняющие классическую задачу Стефана факторы и с общей, геотеплофизической точки зрения, они представляют большой интерес. Поскольку на данном этапе мы вынуждены ограничиться построением и исследованием простейших базисных моделей, адекватных при анализе проблем шахтной теплофизики, то вышеуказанные модели, которые относятся к классу неординарных [40] . являются, по сути, «большими» задачами, в которых много неизвестных полевых функций и параметров, мы не рассматриваем. Рассматриваем задачу протаивания (задачи промерзания ( m) математически эквивалентны) горных массивов (области Ω+ ) вокруг выработок различной формы: m m ∂T1( ) a1 ∂ m −1 ∂T1( ) ( m ) m = m−1 η , T1 = T1( ) (η , t ) , η ∈ η0 ,ηф ( t ) , t > 0, ∂t ∂η ∂η η
(
)
(11.261) m ( m) ∂T2( ) a1 ∂ m−1 ∂T1 ( m ) m = m−1 η , T2 = T2( ) (η , t ) , η ∈ ηф ( t ) , ∞ , t > 0, ∂t ∂η ∂η η
(
)
(11.262)
( m)
T1
∂T1( ) (η0, t ) = Tcm ( t ) > Tф ( a) , λ1 ∂η m
= α (Tcm ( t ) −TB ( t ) ) ,TB ( t ) > Tф ( b) , η=η0
(11.263) m m T1( ) (η0, 0 ) = Tcm ( 0 ) , T2( ) (η , 0 ) = Tм = сonst , Tм < Tф ,
(11.264)
(
)
(
)
m m T1( ) ηф ( t ) , t = T2( ) ηф ( t ) , t = Tф = сonst ,
342
( m)
lim T2
η →∞
m ∂T ( m ) dηф ( t ) ∂T1( ) 2 ,η ф ( 0 ) = 0 − λ2 =L (η , t ) = Tм , λ2 η η ∂ ∂ dt η =η ( t ) ф
(11.265)
( m) ( m) t T η , , ( ) 1 2 (η , t ) − температурные поля в талой и мерзлой зонах горного массива соответственно; ηф ( t ) − координата подвижного фронта фазового перехода «лёд – вода»; Tф − температура фазового перехода Здесь: T
(Tф 273K ) ; (a) и (b) – варианты граничных условий на стенке выработки
– первого рода (условие (a) с Tcm ( t ) − заданной при t > 0 функцией) и третьего рода (условие (b), где
α = const , TB ( t ) − заданная при t > 0
температура воздуха, а Tcm ( t ) − подлежащая определению температура на стенке выработки); Tм − постоянная температура мерзлой зоны горного
массива
(Tм < 273K ) ; L − постоянный
произведением массы льда в 1 м
3
коэффициент,
определяемый
массива, удельной влажности его и
удельной (массовой) теплотой фазового перехода
([ L] = Дж / м ) ; λ , λ 3
1
2
−
a1 , a2 − коэффициенты коэффициенты теплопроводности, температуропроводности соответственно талой и мерзлой зон массива. Последнее выражение в (11.265) – условие Стефана. Поскольку имеем два варианта граничных условий при η = η 0 , , а (m) решение необходимо найти для областей Ω+ ( m = 1, 2,3 ) краевая задача (11.261) ÷ (11.265) содержит в себе шесть базисных задач Стефана – задачи m m C((a )) и C((δ )) . Эти задачи решаются далее. Оценка погрешности линеаризации задач с внутренней и внешней нелинейностью осуществляется на основе ранее полученных результатов. В Главе 38 получены (в нормах L и C ) оценки вариаций решений линейных (m) задач для областей Ων ( m = 1, 2,3;ν = 0, k , + ) . Вызывающие их возмущения входных данных также выражены в этих нормах и в (m) относительных величинах ε ( L ) и ε ( C ) . Для областей Ωk ( k = 1, 2,) нас будут интересовать вариации решений – «отклики» на вариации функций плотности источников и коэффициентов температуропроводности в диапазоне ±20% . Согласно §§ 127, 129 эти «отклики» для возмущений функций плотности источников тепла даются выражениями:
343
0,81R ( Fo ) , m = 1, 6 −1 m ε k( 3 ) ( L ) = 4 α k2 − 1 R6 ( Fo ) , m = 2, 0, 61[(α k + 1)2 / α k2 + α k + 1 ]R6 ( Fo ) , m = 3, R2 ( Fo ) , m = 1, ε k( m3 ) ( C ) = R4 ( Fo ) , m = 2, R ( Fo ) , m = 3. 2
(
)
(
(11.266)
)
(11.267)
Здесь ряды R2 ( Fo ) , R4 ( Fo ) , R6 ( Fo ) , R8 ( Fo ) , табулированные в § 124
(табл.9.1 и 9.2) дают значения бинорм функций Грина; α k = rk / rk −1 ; (m) (m) величины ε k 3 ( L ) и ε k 3 ( C ) выражены в %. Для возмущений коэффициента температуропроводности модификация (11.266) и (11.267)
Ri ( Fo ) → Ri ( Fo ) − Rˆi ( Fo ) , где Rˆi ( Fo ) ˆ , обусловленном представляют собой Ri ( Fo ) при «сдвиге» Fo → Fo заменой a → aˆ , i = 2, 4, 6,8 . Поскольку все ряды Ri ( Fo ) убывают с ростом Fo , а величины R ( Fo ) − Rˆ ( Fo ) убывают еще более быстро, решения к вариациям
заключается
i
в
заменах
i
температуропроводности слабочувствительны. Оставляя это обстоятельство в «запас», определим, анализируя ряды Ri ( Fo ) , те значения пороговых m ( m) (m) ( m) величин Fo2 , для которых при Fo ≥ Fo2( ) величины ε k 3 ( L ) и ε k( m3 ) ( C ) как для возмущений функций плотности источников, так и для
возмущений коэффициентов температуропроводности (в ±20% ) не превышают 1%. В случаях m = 2, 3 эти оценки необходимо получить для самых «плохих» ситуаций – когда величины α k не сильно отличаются от 1. заключаем, что На основе данных §§ 127÷129 (1) ( 2) ( 3)
Fo2 1, 0, Fo2 0, 62, Fo2 0, 25 (α k ≥ 1, 2 ) .
§156.
Модели
с
внутренней нелинейностью: характеристика
общая
Перед рассмотрением методов решения задач с внутренней нелинейностью, остановимся на некоторых результатах дискретной неравновесной термодинамики [1]. Хроногенерация диссипаторов. Диссипатор – это термодинамический аналог механического осциллятора – представляет собой малый, но 344
конечный объем твердого тела, характеризуемый некоторой температурой, изменяющейся дискретно с «шагами» ΔT0 , величина которых обусловлена точностью используемого термометра. Диссипатор – «макроточка», помещенная в термостат с температурой Ts = T0 + N ΔT0 , где T0 − начальная температура диссипатора, а N 1 . Температурная эволюция диссипатора заключается в поднятии его температуры от T0 до Ts за счет теплопритока в него из термостата. Температура диссипатора изменяется дискретно, увеличиваясь на ΔT0 на каждом из N временных шагов – т.н. D- периодов, с возрастающей продолжительностью. Т.о., формируется дискретная временная шкала с отчетами τ 1 ,τ 2 , ,τ N .В отличие от осциллятора – механических часов, генерирующих шкалу времени с одинаковыми интервалами – периодами, диссипатор, как термодинамические часы, генерирует неравномерную D- шкалу с продолжительностью перехода Tk → Tk +1 = Tk + ΔT0 температуры диссипатора равной
τ k = τ r [2 ( N − K ) + 1]−1 .Здесь τ r = l02 / 2a − «собственное» время диссипатра, l0 − его размер, a − коэффициент температуропроводности среды в нем, k = 1, N . Внутри любого D- периода можно рассматривать виртуальную
однородную шкалу времени. Установлено [1], что в этой шкале температура диссипатора возрастает линейно по времени, а сама шкала аддитивна: время перехода от температуры Ti к температуре Tk равно сумме D − периодов переходов Ti → Ti +1, Ti +1 → Ti + 2,,Tk −1 → Tk . Нестационарные диссипаторы. При изменении параметров диссипатора (размера, удельной теплоёмкости, коэффициент теплопроводности) и его температуры на k − м D − периоде со временем бимонотонно, с показателями степеней α , β , γ , n соответственно, продолжительность D- периода изменяется: (11.268) τk = τ k Φ 0,k , Φ 0,k = Φ 0,k (α , β , γ , n ) , k = 1, N . Здесь Φ 0,k − алгебраические функции параметров α , β , γ , n и параметров
Ki ( i = l , c, λ ) , характеризующих степень изменения lk , ck , λk на k-м Dпериоде: l λ c (11.269) Kl = 0,k , K c = k , K λ = k . λk −1 l0,k −1 ck −1 Для частных случаев: 1) скачкообразного изменения всех параметров при τ = 0 (т.е. вначале D- периода), когда α = β = γ = 0 ; 2) скачкообразного изменения всех параметров при τ = τk (т.е. в конце D- периода), когда
345
α = β = γ = ∞ ; 3) линейного по времени изменения параметров, когда α = β = γ = 1, 0 , получено, соответственно: 1 + ( K l + K c − 2 ) Ψ n−1 Kl + Kc − 1 ( 2 ) ( 3) Φ 0,k = ; Φ = 1, 0; Φ 0,k = , K l + K λ − 1 0,k 1 + ( K l + K λ − 2 ) Rn ( N , k ) −1 −1 Ψn = ( n +1) / n, Rn ( N, k ) = ( N − k ) n + n( n + 2) 2( N − k ) + 2Ψ−n1 . (11.270) (1)
Отсюда следует, что при скачкообразном изменении параметров при τ = τk , т.е. в конце текущего D- периода, τ k = τk , т.е. длительность произвольного
D- периода нестационарного диссипатора совпадает с таковой у стационарного. При линейном изменении параметров со временем, хроношкалы нестационарного и стационарного диссипаторов не совпадают,
т.к. Φ(0,k) зависит от N − k (т.е. температурного перепада между термостатом 3
и диссипатором). При больших температурных перепадах, когда ( N − k ) 1 , из (11.270) следует, что
Φ(0,k) 3
K + Kc Kl + K c 3 , τk( ) = l Kl + K λ Kl + K λ
τ k .
(11.271)
Как видно из (11.271), при синхронном изменении Ck и λk , когда K c = K λ ,
( 3 ) = τ т.е. хроношкалы совпадают. k
τk
Нелинейные диссипаторы. При нормализованных (приведенных к бимонотонной форме) зависимостях параметров диссипатора от температуры:
l0 (T ) = l0 1+ ( Ke −1)θα ' , C (T ) = C0 1+ ( Kc −1)θ β ' ,
λ (T ) = λ0 1+ ( Kλ −1)θ γ ' ,
(11.272)
где l0 , C0 , λ0 соответствуют T=T0, а Kl = l (Ts ) / l0 , Kc = C (Ts ) / C0 , K λ = λ (Ts ) λ0 , Ts = T0 + ΔT0 , α′,β,′γ′, = const, θ (τ ) =(Tμ (τ ) −T0 ) / (Ts −T0 ) =(τ /τ0 )n ,
а для собственного времени нелинейного диссипатора τˆ0 выражение:
τˆ0 = τ r 0Φ 0 (α ', β ', γ ', n ) , τ r 0 =
346
l0 . 2a0
получено (11.273)
Здесь Φ0 (α ', β ', γ ', n ) соответствует нестационарному диссипатору (11.268). n
Если в (11.272) подставить θ (τ ) = (τ / τ 0 ) , то получим (11.268) после
α = nα ', β = nβ ', γ = nγ '.Т.о., обозначений: (11.268) формально эквивалентны, а нелинейного диссипатора при n = 1 совпадает с таковой у линейного. При больших температурных перепадах (Ts − T0 = N ΔT0 , N 1) всё сказанное остаётся в силе. В частных случаях: 1) линейного по температуре роста параметров (α = β = γ = n = 1) ; 2) скачкообразного изменения параметров в конце перехода (метод Ротэ [31] ), когда α = β = γ = ∞, n = 1 , получено соответственно:
Φ1,( k) 1
(1)
Φ0,k = 2 Φ (0,k)
1 (1) 4 Kλ −1 + 7 Kl −1 +3 Kc −1 (11.274) ε ε ε , 1 ,1 , Φ ∈ − + = [ ] k k k 0,k (1) 6 Φ2,k Φ1,( k) 2
=
Φ (2,k) 2
2 1 2 , Φ1,( k) = Φ (2,)k = Φ (0,k) = 1, 0, τk = τ k , k = 1, N .
(11.275)
Т.о., при скачкообразном изменении параметров в момент завершения k − го D − перехода, собственные времена нелинейного и линейного диссипаторов совпадают. Энтропогенерация диссипаторов В термодинамике необратимых процессов существуют, фактически два вида энтропии: термостатическая (аккумулируемая) S A и термодинамическая (потоковая) Sq : N
ΔS A =
k =1
Δσ A,k = l03C N
N
k −1
k =1
N Tk
ΔSq = Δσ q ,k = k =1
T
ln T k
k =1 Tk −1
= l03C ln
Ts , Ts = T0 + N ΔT0 , (11.276) T0
dQk( ) q = τ k( ,n) I ( k , n ) , Tk (τ ) +
(11.277)
(q) где τ k ,nτ k ( 4S0λ / l0 ) и I ( k , n ) − достаточно громоздкий определенный
интеграл, величина которого зависит от k и n , т.е. «траектории» перехода Tk −1 → Tk . При непрерывном изменении температуры диссипатора Tk (τ ) согласовать два выражения для энтропий не удается. В случае дискретного изменения температуры:
347
Tk −1, τ ∈ 0,τ c ,k ) , (11.278) Tk (τ ) = τ ∈ τ c,k ,τ k ,n , Tk такое согласование осуществимо [1] . При этом найденное «время скачка» τ c,k оказывается равным lim τ k ,n = τ k ,∞ , т.е. соответствует скачку n→∞ температуры в конце D − периода. Полное изменение дискретной энтропии D ΔSq( ) будет равно. ( D)
ΔSq
( D)
= ΔS A
N
=
k =1
( D)
Δσ A,k = l03C
N
ΔT0 (Tk −1 ) . −1
(11.279)
k =1
Переход в последней формуле к континууму ( ΔTk −1 → dT , N ΔT0 = Ts − T0 ,
N → ∞, ΔT0 → 0 ) дает:
T D lim ΔSq( ) = ΔSq = ΔS A = l03C ln s . N →∞ T0
(11.280)
Равенство термодинамической и термостатической энтропий является подтверждением адекватности дискретной термодинамики и её следствий, одним из которых является обоснование метода Ротэ – возможности описания процесса теплопроводности «скачками» температуры в малых масштабах (пространственных и временных). Цепочки нелинейных диссипаторов. Из уравнений цепочки нестационарных диссипаторов (11.130) вытекает, что для расчета приращений температуры каждого из диссипаторов на j − м временном шаге
необходимо
( )
( )
для
всех
их
( )
( M k , K = 1, N1 )
знать
значения
l0,k τ j , Ck τ j , λk τ j , т.е. параметров в конце j − го шага. Несмотря на формальную аналогию нелинейных цепочек нестационарным, в случае первых найти, к примеру, λk τ j → λk T j нельзя, поскольку до расчета j −
( )
( )
го шага, значения температур в конце его неизвестны. Поэтому для нелинейных цепочек единственной практически реализуемой возможностью будет скачкообразное изменение параметров диссипаторов в конце каждого шага, т.е. расчет температуры на j − м шаге проводится по величине параметров, сформировавшимся в конце ( j − 1) – го шага . Это условие достаточное, но одновременно оно же и необходимое: скачкообразное изменение параметров в конце D − периода гарантирует согласование 348
потоковой и аккумулируемой энтропий и временных шкал при линейных и нелинейных процессах. Этот подход эквивалентен локальной (на каждом временном шаге) линеаризации - функции C (T ) , λ (T ) аппроксимируются кусочно-постоянными (в период шага). Изложенное может, на наш взгляд, служить обоснованием для применения методов дискретизации и стратификации при решении нелинейных задач. Последние отличаются от известных конечно-разностных методов тем, что не требуют преобразований уравнений в частных производных, считаемых точными. Напротив, метод дискретизации исходит из первичности конечно-разностных уравнений, из которых, как приближения, следуют известные континуальные уравнения (см. §152). Методы стратификации при решении однородных краевых задач (т.е. с постоянными начальными функциями и без источников тепла) с внутренней нелинейностью можно разделить их на две группы: методы пространственной стратификации (η − стратификации) и методы хроностратификации ( t − стратификации). Выбор метода диктуется спецификой задачи, анализом её на предварительном этапе моделирования. Предварительный этап моделирования (решения краевой задачи и его анализа) строим на уточнении и детализации постановок задач H1,H2,H3 (табл.(11.5)). Необходимо ответить на вопросы: 1) какой процесс моделируется – нагревание или охлаждение области Ωk( m ) ; 2) каковы минимальная
(T )
и максимальная
(T )
температуры в области и на её
границах в моделируемый период t ∈ [ 0, ts ] , t s < ∞; 3) как с изменением температуры изменяются теплофизпараметры; 4) как оценивается зона локализации температурного поля; 5) как находятся аппроксимации температурного поля. Первый вопрос актуален потому, что в отличие от процессов линейной теплопроводности, при нелинейной теплопроводности нет эквивалентности задач на нагревание и охлаждение из-за явлений термического гистерезиса горных пород. Вид функций C (T ) и λ (T ) при нагревании до высоких температур и остывании затем до умеренных, различен [40,§81]. В частности, при моделировании подземных пожаров, необходимо рассмотрение двух подзадач: первая должна обеспечить прогноз температур горного массива при возникновении, развитии и стабилизации пожара, характеризуемого динамикой температуры нагревающей массив среды (пожарных газов и др.) TГ ( t ) , t ∈ ( 0, t s ) . Вторая подзадача решает ту же задачу в период затухания пожара, его тушения и последующей вентиляции выработки ( t ∈ ( ts , ∞ ) ) . Мы
рассматриваем только первую подзадачу, полагая, что горный массив нагревается. Функция TГ ( t ) при этом должна быть представлена в нормализованном (бимонотонном) виде: 349
n t T + − TГ ( t ) = TГ ( t ) + TГ ( ts ) − TГ ( 0) , TГ ( 0) = Tr( ) , Tr ( ts ) = TГ( ) . (11.281) ts
Формулой (11.281) описывается и случай «термического удара»: при t > 0 и + nT = 0, TˆГ ( t ) = TГ( ) = const . Он является мажорантным, представляя «правую» (верхнюю) границу оценочной вилки для величины зоны локализации поля. Ответ на второй вопрос следует из того факта, что максимальная (+) температура в горном массиве не может превышать TГ при отсутствии в нём тепловых источников. При наличии их, что характеризуется заданием m функции их плотности F (η , t ) ≤ F при η ∈ Ω+( ) и t ∈ ( 0, ts ) , будем иметь:
T ( m ) (η , t ) ≤ Здесь:
F + ts = TF( ) , Cmin = min C (T ) , T ∈ T , T . Cmin
(11.282)
T = min T ( m) (η , t ) = min ϕ (η ) , η ∈ [η− , ∞ )
(11.283)
+ + T = max TГ( ) , TF( ) .
(11.284)
{
}
( m) Следовательно, в любой точке области Ω+ и для любого момента времени
t ∈ ( 0, ts ) , имеет место вилка
m T ≤ T ( m) (η , t ) ≤ T , ΔT = max ΔT ( ) = T − T .
(11.285)
Здесь ΔT − температурный диапазон модели (ширина вилки). Для ответа на третий вопрос достаточно нормализовать (представить бимонотонными аппроксимациями) первичные зависимости c (T ) и λ (T ) : n
T −T с − + − ˆc (T ) = cˆ (T ) + c T − c (T ) , c (T ) = c( ) , c T = c( ) = Kc c( ) , (11.286) ΔT
()
n
()
T −T λ − + − ˆ λ (T ) = λ (T ) + λ T − λ (T ) , λ (T ) = λ( ) , λ T = λ( ) = Kλλ( ) . (11.287) ΔT
()
()
Масштабные множители K c и K λ , определяемые ΔT , могут принимать значения меньше или больше единицы. Для коэффициента теплопроводности a = a (T ) получаем: 350
nλ T −T ( −) λ( −) −) 1+( Kλ −1) θ ( aˆ (T) = =a , θ= , a =a T = − , nc cˆ(T) K θ + − 1 1 ( ) c( ) ΔT c
λˆ (T)
( )
(11.288)
Kλ ( −) λ( +) +) − + − ( a = a T = a = + , aˆ (T) = a( ) + a( ) −a( ) θna , na = na ( nλ , nc, Kc, Kλ ) . K c( )
()
(
c
)
Для ответа на четвертый вопрос заметим следующее. Как показано в §126, при линейной теплопроводности в отсутствие источников тепла, для δ + ( t ) − зон локализации полей в областях Ω+( m ) можно использовать
выражение: δ + ( t ) = 4 at ( a = const ) . В нелинейных средах, где a = a (T ) , как показано в [59], приведенная формула справедлива при учете в ней переменности a . Поэтому возможен «вилочный» подход:
δ ( t ) ≤ δ + ( t ) ≤ δ ( t ) , δ ( t ) = η− + 4 at , δ ( t ) = η− + 4 at , (11.289) 0, m = 1, − + a = a( ) , a = a( ) , η− = t ∈ ( 0, ts ) . r0 , m = 2,3,
(11.290)
На основе (11.289) осуществляем переход от сингулярной области к конечной: Ω+( m ) → Ωδ( m ) = η ∈ Ω+( m ) , Ω+( m ) + δ ( t ) . Область Ωδ( m) может
{ (
)}
быть далее преобразована, процедурой стратификации, в слоистую систему (двух-, трех- или многослойную). Пятый вопрос корректен только для случая однородного начального условия (ϕ (η ) = Tп = const ) при отсутствии источников тепла в Ω+( m ) . Для этого случая записываем вилку, граничные значения которой – ранее уже использованные экспоненциальные аппроксимации: m T ( m ) (η , t ) ≤ T ( m ) (η , t ) ≤ T ( m ) (η , t ), η ∈ Ωδ( ) , t ∈ ( 0, ts ) ,
(11.291)
m η −η− T (m) (η, t ) = Tп + (TГ ( t ) − Tп ) exp −β ( ) , t δ η − ( ) − η −η m − . T ( m) (η , t ) = Tп + (TГ ( t ) − Tп ) exp − β ( ) δ η t − ( ) −
Из последних формул для полуширины вилки Rˆ (η , t ) получаем:
351
(11.292)
(11.293)
Rˆ (η , t ) = 0,5 T ( m ) (η , t ) − T ( m) (η , t ) = η −η ( m ) η − η − m) ( − = ΔT ( t ) exp − β − exp − β , δ t η − ( ) δ t η − − ( ) −
(11.294)
+ ΔT ( t ) = TГ ( t ) − Tп ≤ ΔT , ΔT ( ts ) = TГ ( t s ) − Tп = TГ( ) − Tп = ΔT .
Теперь, уяснив ответы на сформулированные вопросы, можно уточнить (конкретизировать) классификацию и количество решаемых задач. Из табл. 11.5 следует, что задачи с внутренней нелинейностью Н1, Н2, Н3 могут иметь варианты: а) однородная краевая задача с граничным условием первого рода двух видов – термического удара ( TГ ( t ) = TГ( + ) = const при t ≥ 0)
или при бимонотонном возрастании функции TГ ( t ) → TˆГ ( t ) согласно (11.281); б) то же, но в двух вариантах граничного условия третьего рода (когда TГ ( t ) − температура «греющей среды»); в) неоднородная краевая задача с произвольными функциями начальной температуры и плотности источников тепла с теми же вариантами граничных условий; г) слоистые краевые задачи (для двух- и трёхслойных систем). Всего, таким образом, для случаев m = 1, 2,3 будет тридцать шесть краевых задач. Поскольку методы решения для m = 1, 2,3 идентичны, далее рассматриваем случай m = 1, т.е. области 1 1 1 Ω1( ) , Ω+( ) , Ωδ( ) .
§157. Модели с внутренней нелинейностью: однородные краевые задачи Из изложенного в предыдущем классификация решаемых задач:
параграфе
вытекает
рабочая
Таблица 11.6 Задача Н1 Задача №1 (Н1А). Граничное условие 1- го рода – «термический удар»
Однородные модели Задача Н2 Задача №3 (Н2А). Граничные условия 3го рода с постоянной температурой греющей среды
Задача №2 (Н1В). Граничные условия 1го рода, заданные бимонотонной функцией TГ ( t )
Задача №4 (Н1В). Граничные условия 3го рода – температура греющей среды бимонотонная функция 352
Задача Н3 Задача №5 (Н3А). Слоистая система (1) (1) 1
{Ω
1
, Ω+
}
Задача №6 (Н3B). Слоистая система (1) (1) (1)
{Ω
+1
, Ω0 , Ω+2
}
Содержанием настоящего параграфа является решение этих шести задач. (1) Задача №1 ( H1A ) . Для m = 1 β = 3, 551 (см. §132) и формулы (11.292), (11.293) принимают вид:
)
(
x + T ( x, t ) = Tп + TГ( ) − Tп exp −3,551 , x ∈ 0, 4 at , t > 0, 4 at
(11.295)
x + T ( x, t ) = Tп + TГ( ) − Tп exp −3,551 , x ∈ 0, 4 at , t > 0. 4 at
(
)
(11.296) Формула (11.294) принимает вид:
x 1 ΔTˆ ˆ R ( x, t ) = = 0,5 exp −3,551 − 2 ΔT 4 at
−
x 4 at
+ ΔTˆ ( x, t ) = T ( x, t ) − T ( x, t ) , ΔT = TГ( ) − Tп .
(11.297)
Здесь Rˆ ( x, t ) − относительная полуширина аппроксимационной вилки T − T . Положим в (11.297): x / at = η ,
a / a = K a , тогда:
(
)
Rˆ ( x, t ) = Rˆ (η , K a ) = 0,5 exp ( −3,551η ) − exp −3,551K a0,5η (11.298)
Численные расчеты по (11.298) при η ∈ ( 0,1] , Ka ∈ [1, 2; 1, 5] , Δη = 0, 01, ΔK = 0,1 дают значения Rˆ (η , K ) , приведенные в таблице 11.7. a
a
Таблица 11.7 Относительная полуширина аппроксимационной вилки
Ka 1,2 1,3 1,4 1,5
η 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,01 0,015 0,015 0,015 0,01 0,01 0,01 0,005 0,005 0,005 0,015 0,022 0,022 0,022 0,015 0,015 0,012 0,008 0,008 0,005 0,02 0,03 0,03 0,03 0,02 0,02 0,015 0,01 0,01 0,005 0,025 0,035 0,037 0,035 0,022 0,018 0,012 0,01 0,01 0,007 Из таблицы 11,7 следует: 1) в принятом диапазоне значений η и K a ,
Rˆ (η , K a ) ≤ 3, 7%; 2) в качестве приближенного решения задачи №1 −T(1) (x,t)
можно принять полусумму Tср( ) ( x, t ) = 0, 5 T ( x, t ) + T ( x, t ) ; 3) с ростом
(
1
)
параметра Ka полуширина вилки возрастает (и, как показали расчеты, при 353
достигает значений ≥5%). При K a ≤ 1, 5 решение задачи №1 исчерпывается использованием одного из двух практически эквивалентных выражений K a > 1,5
) (
(
)
+ 1 T ( ) ( x, t ) = Tп + 0,5 TГ( ) − Tп exp −3,551Ka0,5η + exp ( −3,551η ) , (11.299) x (+) (1) T ( x, t ) = Tп + TГ − Tп exp −3,551 , δ1,ср (11.300)
)
(
δ1,ср
1 + Ka 0,5 = δ (t ) , 2
δ ( t ) = 4 at .
В случае, если условие задачи №1 таковы, что K a = a / a > 1, 5 (1) применим стратификацию области Ωδ = x ∈ ( 0, δ ( t ) ) на две подобласти (слоя) переменной ширины: (1) (1) (1) (1) (1)
{
{
}
{
}
}
{
}
Ωδ → Ωδ1 ,Ωδ2 , Ωδ1 = x∈( 0,δ1( t) ) , Ωδ2 = x∈(δ1( t) ,δ2 ( t) ) .
Здесь параметр
δ1 ( t ) − расстояние, пройденное после начала процесса
(+) изотермой T = TГ 0 < TГ за время t , а параметр δ 2 ( t ) − ширина зоны локализации температурного поля к этому моменту времени, т.е. T δ1 ( t ) , t = TГ 0 , T δ 2 ( t ) , t Tп . . Оба эти параметра могут быть
(
)
(
представлены в виде:
)
δ i ( t ) = Zi at (i = 1, 2),
определения ( i = 1, 2 ) . Поскольку a = a (T ) построим вилку):
Z1 − требует воспользуемся оценками (т.е., Z 2 = 4,
а
δ1 ( t ) ≤ δ1 ( t ) ≤ δ1 ( t ) , δ 2 ( t ) ≤ δ 2 ( t ) ≤ δ 2 ( t ) , ˆ , δ1 ( t ) = Z1 at , δ 2 ( t ) = 4 at , δ 2 ( t ) = 4 at ˆ , δ1 ( t ) = Z1 at
( ), (+)
aˆ = a (TГ 0 ) , a = a (Tп ) , a = a TГ
(11.301)
K a = K a1 ⋅ K a 2 , K a1 = a / aˆ , K a 2 = aˆ / a . Поскольку K a1 ≤ 1, 5, K a 2 ≤ 1, 5, то K a ≤ 2, 25. . Если K a > 2, 25 , то двухслойную стратификацию надо заменить на трёхслойную, которая будет 3 справедлива при K a = K a1 ⋅ K a 2 ⋅ K a3 ⋅ ≤ (1, 5 ) 3, 38 . Если же K a > 3, 38 необходима четырёхслойная стратификация и т.д.
354
( ) находится из (11.290), а значение
(+) Значения a = a (Tп ) и a = a TГ
(
)
aˆ = a TГ 0 определяется (а по нему и значение «промежуточной» температуры TГ 0 ) из условия:
Ka2 =
aˆ a (TГ 0 ) = = 1,5. a a (Tп )
(11.302)
Для оценки параметра Z1 воспользуемся решением линейной задачи о термическом ударе (§126,(9.140)), принимающем в задаче №1 вид:
)
(
x + T ( x, t ) = Tп + TГ( ) − Tп erfc 2 at
.
(11.303)
Если в (11.303) положить T ( x, t ) = TГ0 , x = Z1 at , то получим:
T −T
Z
θ Г 0 = (Г0+ ) п = erfc 1 . 2 TГ − Tп
(11.304)
(+) Из (11.304), по известным Tп , TГ , TГ0 , параметр Z1 легко находится, так что далее считаем его известным. Теперь параметры δ1 ( t ) и δ 2 ( t ) в (11.301) определим как среднеарифметические граничных значений вилок:
(
)
δ1,cp ( t ) = 0,5 δ1 ( t ) + δ1 ( t ) =
Z1 2
(
(
)
ˆ + at = K1δ ( t ) , at
δ 2 ( t ) = δ 2,cp ( t ) = 0,5 δ 2 ( t ) + δ 2 ( t )
)
(11.305)
1 + K a0,5 2 = δ ( t ) = K 2δ ( t ) , (11.306) 2
1 1 0,5 K1 = Z1 1 + K a0,5 Ka K = , 1 + K a0,5 1 2 2 2 , δ ( t ) = 4 at . (11.307) 8 2
(
)
(
Температурное поле в слое
)
1 Ωδ( ) 2
можно представить в виде
экспоненциальной аппроксимации для T (1) ( x, t ) (см.11.295), осуществив в ней замены T Г( + ) → T Г 0 ,
x → x − δ 1, c p ( t ) ,
δ
(t ) → ( K 2
) (t ) :
− K1 δ
x − K1δ ( t ) 1 T2,( cp) = Tп + (TГ 0 − Tп ) exp −3,551 , x ∈ K1δ , K2δ . (11.308) K K δ t − ( ) ( ) 2 1 355
В
Ωδ 1
слое
потребовав (1)
можно
воспользоваться
выполнение ( + ) (1)
для
(
аналогичной T1,(cp) ( x, t ) 1
поля
)
аппроксимацией,
граничных
условий:
T1,cp ( 0, t ) = TГ , T1,cp δ1,cp ( t ) , t = TГ 0 . Сопряжение температурных полей
на общей границе слоёв Ωδ(11) и Ωδ(12) будет автоматическим, но условие равенства производных, вытекающее из физики процесса
∂T1,(cp) 1
∂x
∂T2,( cp) 1
=
∂x
x =δ1,cp ( t )
, t > 0,
(11.309)
x =δ1,cp ( t )
может оказаться не соблюдающимся. Чтобы обеспечить выполнение (11.309) (1) воспользуемся для поля в Ωδ 1 полиномиальной (квадратичной) аппроксимацией: 1 T1,(cp) ( x, t ) = A ( t ) + B ( t ) x + C ( t ) x 2 , x ∈ 0, δ1,cp ( t ) , t > 0. (11.310)
Коэффициенты A ( t ) , B ( t ) , C ( t ) определяем из (11.309) и условий T1,(cp) ( x, t ) 1
x =0
+ 1 = TГ( ) , T1,(cp) ( x, t )
x =δ1, cp ( t )
= TГ 0 .
(11.311)
В итоге получаем: (+)
A ( t ) = Tr ,
2T ( ) − T ( B (t ) = − Г
+
Г0
)
− Tп − Ψ ( K ) (TГ 0 − Tп ) K1δ ( t )
)
(
,
+ TГ( ) − Tп − Ψ ( K ) (TГ 0 − Tп ) K 2 + 2,51K1 Ψ(K ) = , C (t ) = , K 2 − K1 K12δ 2 ( t )
(
)
(11.312)
2T ( + ) − T − T − Ψ ( K ) (T − T ) Г Г0 п Г0 п 1 + x + T1,(cp) ( x, t ) = Tr( ) − δ (t ) K1 (11.313) 2 T ( + ) − T − Ψ ( K ) (T − T ) п Г0 п Г x , x ∈ ( 0, K1δ ( t ) ) . + 2 δ (t ) K1
(
)
356
Т.о., функции T1,(1cp) ( x, t ) (11.313) и T2,(1cp) ( x, t ) (11.308) представляют
приближенное решение задачи №1 – о термическом ударе в области Ωδ(1) с теплофизпараметрами, зависящими от температуры. Это решение, при t = 0 , (1) когда δ1,cp ( t ) = K1δ ( t ) = 0 и T1,cp ( x, t ) не существует, за счет T (1) ( x, t ) , как 1,cp это следует из (11.308), обращается в Tп , т.е. удовлетворяет начальному условию. При t → ∞ , когда напротив, решение T1,( cp) ( x, t ) распространяется 1
на область x ∈ ( 0, ∞ ) , из (11.313) следует, что lim T1,(1cp) ( x, t ) = TГ( + ) , как это t →∞
вытекает из постановки задачи. Общий вид решения:
T
(1)
( (
)
T (1) ( x, t ) , x ∈ 0, δ ( t ) , t > 0, 1,cp 1,cp . x , t = ( ) (1) T2,cp ( x, t ) , x ∈ δ1,cp ( t ) , δ 2,cp ( t ) , t > 0.
)
(11.314)
В этом случае функция TГ ( t ) бимонотонно (+) возрастает от TГ ( 0 ) = Tп до TГ ( ts ) = TГ согласно (11.281), а решение соответствующей линейной задачи не позволяет найти, в достаточной простой форме, закон движения изотермы T ( x, t ) = TГ 0 . В отсутствие этого Задача №2 (Н1В).
закона построить аппроксимации полей T1 ( x, t ) ≤ TГ 0 и T2 ( x, t ) > TГ 0 нельзя. Это обстоятельство требует отказа от пространственной стратификации, использованной в задаче №1, и осуществления хроностратификации – разбиения всего интервала времени задачи t ∈ ( 0, ts ] на два: t ∈ ( 0, t Г ) и t ∈ [t Г , t s ] . Решение будем искать в виде:
)
( (
T ( 2 ) ( x, t ) , x ∈ 0, δ ( 2 ) ( t ) , t ∈ [ 0, t ] , Г 1,cp 1 2 T ( ) ( x, t ) = T2( 2 ) ( x, t ) , x ∈ 0, δ 2,( 2cp) ( t ) , , t ∈ [t Г , ts ].
)
(11.315)
Пусть, как и в предыдущем случае, температуре TГ 0 = TГ ( t Г ) будет
соответствовать значение aˆ = a (TГ 0 ) такое, что aˆ / a = K a1 =1, 5. Тогда по аналогии с задачей №1, можем записать: ( 2)
1
(
,
)=
п
+(
r
( ) − п ) exp
−3, 5
(11.316) 357
Здесь:
(
( 2)
( 2)
δ1,cp ( t ) = 0,5 δ1
( t ) + δ1 ( t ) ) ( 2)
1 + Ka10,5 ( 2 ) ˆ = = 0,5 4 at + 4 at δ (t ) , 2
(
)
δ ( 2 ) ( t ) = δ ( t ) = 4 at .
(11.317)
(+) Если TГ 0 = TГ ( t s ) = TГ , т.е. K a = a / a ≤ 1,5 для всего периода процесса, то (11.316) будет приближенным решением задачи №2. Если же + TГ ( t s ) = TГ( ) > TГ 0 , K a 2 = a / aˆ ≤ 1,5 , то можно находить решения на ( 2) интервале t ∈ [t Г 0 , t s ] − T2 ( x, t ) . Если окажется, что K a 2 > 1,5 , необходимо хроностатификацию осуществлять на три временных слоя. Пусть K a 2 > 1,5 , т.е. соблюдено требуемое условие достаточности получаемого приближенного решения (т.е. «узости» соответствующей ( 2) вилки). Тогда решение T2 ( x, t ) можно представить в виде:
( 2)
T2
x ( x, t ) = Tп + (TГ ( t ) −Tп ) exp −3,551 ( 2) , x ∈ 0,δ2,( 2cp) ( t ) , t ∈( tГ , ts ) . δ2,cp ( t )
)
(
(11.318) Здесь:
( 2)
(
( 2)
δ 2,cp ( t ) = 0, 5 δ 2
( 2)
(t ) + δ 2 (t )
)
(
ˆ + 4 at = 0, 5 4 at
)
1 + K a0,5 0,5 2 = K a1 δ ( t ) . 2 (11.319)
( 2) ( 2) Т.о., решение задачи №2 имеет вид (11.315), где T1 ( x, t ) и T2 ( x, t ) определены, соответственно, (11.316) и (11.318). Параметр δ ( t ) = 4 at известен,
т.к
(
( 2) a = a (Tп ) , δ1,cp ( t ) = 1,11δ ( t )
(т.к.
K a1 = 1,5 ),
)
2 K a 2 находится из соотношения δ 2,( cp) ( t ) = 0, 612 1 + K a0,5 2 δ ( t ) . Параметр
( )
Ka 2 = a / aˆ , где a = a TГ( + ) , aˆ = a (TГ 0 ) . Величина TГ 0 следует из условия
K a1 = aˆ / a = 1,5 ( aˆ = a (TГ 0 ) ) . Значение t = t Г находится из (11.281):
358
1/ nT
T −T t Г = Г+0 п T( ) −T п Г
× ts .
(11.320)
Задача №3 (Н2А). Здесь предполагается, что в граничном условии третьего рода на границе x = 0 области Ωδ(1 ) в момент времени t = 0 скачком устанавливается и далее сохраняется постоянная температура границей (+) среды −TГ :
( )
λ T
Здесь:
(
( 3) ∂T
( 3)
( x, t )
∂x
x =0
3 T ( ) ( x, t ) −
)
+ 3 = α 0 T ( ) ( x, t ) − TГ( ) , t ∈ ( 0, ts ) . (11.321) x =0
температурное
1 + 3 Ωδ( ) T ( ) ( x, t ) < TГ( ) , α 0 = const −
( )
теплообмена, λ T ( 3)
x =0
(
поле
в
коэффициент
области
конвективного
)
+ 3 = λ μ ( ) ( t ) , μ ( ) ( t ) − переменная температура на
границе области x = 0 . Использовать решение задачи №1 нельзя, т.к. нет оценки для движения изотермической поверхности, позволившей осуществить двухслойную стратификацию по координате. Воспользуемся аналогией с задачей №2, где граничная функция TГ ( t )
бимонотонно возрастает при t ∈ ( 0, ts ) . В настоящей задаче №3 эту роль
играет функция μ ( 3) ( t ) , которую, в духе метода функций склейки, будем считать известной, сводя третью краевую задачу к первой. Осуществляем хронострафикацию на два временных слоя: t ∈ ( 0, t Г ) и t ∈ [t Г , t s ] . Для адаптируя к настоящей задаче, решений на этих слоях используем, выражения (11.316) и (11.318): ( 3)
T1
x ( 3) ( x, t ) = Tп + μ1 ( t ) − Tп exp −3,551 (3) , δ1,cp ( t )
(
)
(11.322)
x ∈ 0, δ1,( cp) ( t ) , t ∈ ( 0, t Г ) , ( 3)
T2
3
, 3 ( ) δ 2,cp ( t )
( x, t ) = Tп + μ2( 3) ( t ) − Tп exp −3,551
(
)
x ∈ 0, δ 2,( cp) ( t ) , t ∈ ( t Г , ts ) . 3
359
x
(11.323)
Здесь:
T
( 3)
μ ( 3) ( x, t ) , t ∈ ( 0, t ) , T ( 3) ( x, t ) Г 1 3) 1 ( , μ (t ) = ( x, t ) = ( 3 ) ( 3) T2 ( x, t ) μ 2 ( x, t ) , t ∈ [t Г , ts ] .
(11.324)
Параметры δ i(,3cp) ( t )( i = 1, 2 ) формально совпадают с
δ i(,2cp) ( t ) , но входящие в
пик
определены
(
величины,
кроме
)
a = a (Tп ) ,
(
3 3 aˆ = a μ ( ) ( t Г ) = a (TГ 0 ) , a = a μ ( ) ( ts )
)
иначе:
μ ( 3) ( t Г ) = TГ 0 −
.Здесь
такое
значение, которое обеспечивает выполнение условия aˆ / a = K a1 = 1,5, а + μ ( 3) ( ts ) = μs( 3) ≤ TГ( ) .
Функция μ ( 3) ( t ) должна быть определена с помощью граничного условия (11.321) с учетом (11.324), т.е. представленного для каждого из двух хронослоёв:
(
( 3)
(
( 3)
λ μ1
λ μ2
(t ))
∂T1( ) ∂x
(t ))
∂T2( ) ∂x
3
(
)
(11.325)
(
)
(11.326)
+ 3 = α 0 μ1( ) ( t ) − TГ( ) , t ∈ ( 0, t Г ) , x =0
3
3 + = α 0 μ2( ) ( t ) − TГ( ) , t ∈ [ t Г , ts ] . x =0
Подстановка в (11.325) и (11.326) решений (11.322) и (11.323) даёт:
(
)
(
)
3,551λ μ ( 3) ( t ) 1 θ μ1 ( t ) = 1 + ( 3) α δ 0 1, cp ( t )
3,551λ μ ( 3) ( t ) 2 θ μ 2 ( t ) = 1 + ( 3) α δ 0 2, cp ( t )
−1
( 3) , θ t = μ1 ( t ) − Tп , t ∈ 0, t , ( Г) μ1 ( ) (+) TГ − Tп
(11.327) −1
,θ μ 2 ( t ) =
3 μ2( ) ( t ) − Tп
(+)
TГ − Tп
, t ∈ [t Г , ts ]. (11.328)
В температурном диапазоне задачи T ( 3) ( x, t ) ∈ Tп , TГ( + ) зависимость λ = λ (T ) в нормализованном виде даётся (11.256).В более узких 3 температурных диапазонах μ1( 3) ( t ) ∈ [Tп , Tr 0 ] и μ 2( ) ( t ) ∈ Tr 0 , Tr( + ) можно воспользоваться линейными аппроксимациями λ = λ (T ) :
360
(
( 3)
λ μ1
(t ))
(
3 λ μ 2( ) ( t )
)
( 3) ( − ) μ1 ( t ) − Tп ˆ , = λ + λ −λ TГ 0 − Tп μ ( 3) ( t ) − T + ( ) п , = λˆ + λ − λˆ 2 + ( ) T −T Г0 Г
(
( −)
)
(
)
(11.329)
(11.330)
Последние зависимости приводятся, как легко проверить, к видам:
(
)
)
(
3 3 λ μ1( ) ( t ) = Δλ1R1 (θ μ1 ( t ) + θ 01 ) , λ μ 2( ) ( t ) = Δλ2 R2 (θ μ 2 ( t ) + θ 02 ) , (11.331)
где
TГ( ) − Tп TГ( ) − Tп ˆ ˆ Δλ1 = λ − λ , Δλ2 = λ − λ , R1 = , R2 = + , TГ0 − Tп TГ( ) − TГ0 (11.332) λ λˆ − R1−1. , θ 02 = θ 01 = Δλ1R1 Δλ2 R2 +
+
Поскольку, в соответствии с ранее сказанным,
δ1,( cp) ( t ) = 4, 45 at 3
а
δ 2,( cp) ( t ) = 5, 45 at , выражения (11.327) и (11.328) с учетом (11.331) и (11.332) 3
приводятся к виду:
где
θ μ2i ( t ) + ( χi ( t ) + θ 0i )θ μi ( t ) − χ i ( t ) = 0, i = 1, 2,
(11.333)
α0 α0 at , χ 2 ( t ) = 1,553 at . (11.334) λ λ R R Δ Δ 1 1 2 2
χ1 ( t ) = 1, 267
Отбросив, вторые корни уравнений (11.333) как не имеющие физического смысла, решения последних приводим к виду:
χ ( t ) + θ 0i θ μi ( t ) = i 2
4 χi ( t ) − 1 . 1+ 2 ( χi ( t ) + θ0i )
( 3) Т.о., функции μi ( t )( i = 1, 2 ) найдены:
(
)
+ μi( 3) ( t ) = Tп + TГ( ) − Tп θ μi ( t ) .
(11.335)
(11.336)
Поскольку при t → 0 θ μ1 ( t ) = 0 , а при t → ∞, θ μ 2 ( t ) → 1, найденные ( 3) функции μi ( t ) удовлетворяют условиям начального и конечного состояний. 361
Задача №4(Н2В). Ход решения повторяет задачу №3, но в итоге формулы (11.333) несколько видоизменяются, принимая вид: где
θ μ2i ( t ) + ( χi ( t ) + θ 0i )θ μi ( t ) − χi ( t )θ r ( t ) = 0, i = 1, 2
θr ( t ) =
TГ ( t ) − Tп (+)
TГ − Tп
, θ Г ( t ) ∈ [ 0,1]
при
(11.337)
TГ ( 0 ) = Tп и t ∈ ( 0, ∞ ) .
Все другие обозначения соответствуют задаче №3. Решения уравнений (11.337) соответствуют (11.335), где под знаком квадратного корня в числителе дроби надо осуществить замену: χ i ( t ) → χ i ( t ) θ Г ( t ) . Сравнение ( 3) формул для μi ( t ) в задачах №3 и №4 показывает, что в последнем случае
эти функции в задаче №4 меньше таковых в задаче №3 при всех t ∈ ( 0, ∞ ) , что соответствует физике процесса и подтверждает мажорантный характер решений задач о термическом ударе. Задача
№5((Н3А)
Рассматривается
система
{Ω( ) , Ω( )} , 1
1
1 +
соответствующая, в частности, теплофизически неоднородной ( a1 = a1 (T1 ) ,
a2 = a2 (T2 ) ≠ a1 ) системе «сплошная крепь-горный массив». На левой
границе Ω1(1) = { x ∈ ( 0, l1 )} (т.е. на внутренней поверхности «крепи») в момент времени t = 0 скачкообразно устанавливается «пожарная» температура (1) (1) + Tr( ) Tп ( Tп − начальная температура в Ω1 и в Ω+ ). Согласно методу функций склейки, на общей границе крепи и массива ( x = l1 ) температуру обозначаем μ ( t ) и считаем неизвестной функцией, подлежащей определению из условия склейки плотностей потоков тепла (при x = l1 )
Во временной эволюции функции μ ( t ) можно выделить два периода.
На первом −t ∈ ( 0, t1 ) идёт прогрев слоя Ω1(1) , а зона термического влияния (+) граничной температуры TГ возрастает от 0 до l1 . В этом период времени μ ( t ) = μ ( 0 ) = Tп и T2 ( x, t ) = Tп . Второй период −t ∈ ( t1 , ts ) характеризуется
(1) возрастанием μ ( t1 ) = Tп до μ ( ts ) = μ s > Tп , а в слое Ω+ формируется температурное поле T2 ( x, t ) > Tп . Величина порогового времени t = t1
1 Ω1( ) ( l1 , a1 (T1 ) ) . Описанная двухслойная хроностратификация позволяет записать:
зависит от параметров слоя
362
T ( x, t ) , t ∈ ( 0, t1 ) μ ( t ) = Tп , t ∈ ( 0, t1 ) , T1 ( x, t ) = 10 μ (t ) = 0 (11.338) T x , t , t ∈ t , t , μ t , t ∈ t , t . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 s 1 s 11 1
{ (
)}
( 2) t : Решение в слое Ω+(1) , после замены Ω+(1) → Ωδ(1) = x ∈ l1, l1 + δ cp ()
Tп , t ∈ ( 0, t1 ) T2 ( x, t ) = T21 ( x, t ) , t ∈ ( t1, ts )
x − l T21 ( x, t ) = Tп + ( μ1 ( t ) − Tп ) exp −3,551 2 1 ( ) δ cp ( t )
(11.339)
( 2) Параметр δ cp ( t ) определяем, как и ранее: ( 2)
(
δ cp ( t ) ≡ 0,5 δ
( 2)
(t ) + δ
( 2)
(t ))
1 + Ka20,5 ( 2 ) = 0,5 4 a2t + 4 a2t = δ (t ) , 2
(
)
2 K a 2 = a2 / a2 = a2 ( μ ( tS ) ) / a2 (Tп ) , δ ( ) ( t ) = 4 a2t .
(11.340)
(+) Для умеренных значений t s ,когда μ ( ts ) < Tr , примем, что K a 2 = 1,5 , т.е.
δ cp( 2) = 4, 45 a2t . Из условия Ka 2 = a2 / a2 = 1,5 и заданной зависимости a2 = a2 (T2 ) можно найти μ ( t s ) = μ s . Для конкретизации решения (11.339) необходимо найти μ1 ( t ) . Пусть это сделано, тогда из зависимости μ1 ( t ) находим t s : μ1 ( t s ) = μ s .Пороговое значение t = t1 оцениваем, используя условие совпадений зоны влияния и ширины слоя Ω1(1) : δ ( t ) = 4 a1t = l1 . Для характерных значений параметров [40]: l1 = 0,35 м, a1 = 20 ⋅10−4 м2/час, получаем t1 3,8 часа. При a1 = a1 = −4 40×10-4 м2/час −t1 1,9 часа, а при a1 = a1,cp = 30 ⋅ 10 м2/час −t1 2,6 часа. Эти оценки показывают, что в определении T10 ( x, t ) нет необходимости. Пороговое время наступления в Ω1( ) финишного режима, когда для поля 1
достаточно квазистационарного приближения, составляет τ 1s l12 / a1,cp 41 час. Для t ≥ 41 часа решение в Ω1( ) − T11 ( x, t ) можно заменить стационарным −T11 ( x ) , которое определяется граничной задачей: 1
363
∂ ∂T11 (+) T T T λ 0, 0 , T11 ( l1 ) = μ ( t ) , t > τ1,s (11.341) = = ( ) ( ) 1 11 11 Г ∂x ∂x Зависимости λ1 (T11 ) и
λ2 (T21 ) представим в форме (11.331)
λi (Ti1 ) = Ai (Ti1 + Tλi ) , Ki =
(+)
λi
Tλi =
,
Ai =
( Ki − 1) λi (Tп ) , + TГ( ) − Tп
(11.342)
(+)
TГ − K λiTп , i = 1, 2 K λi − 1
λi( − ) Подстановка (11.342) в (11.341) даёт:
2 d2 + T x T ( ) ( ) 11 λ1 = 0, T11 ( x ) = −Tλ1 + c1 x + c2 dx 2
(11.343)
а из (11.341) и (11.343) следует:
T11 ( x, t ) = −Tλ1 + Для определения
(
+ TГ( ) + Tλ1
(
) − (T ( ) − μ (t )) (T ( ) + 2T 2
Г
+
Г
+
λ1 + μ
(t ))
x . (11.344) l1
)
μ ( t ) t ∈ (τ1,s , ts ) имеем условие:
∂T11 ∂T , t ≥ τ 1,s , = λ2 ( μ ( t ) ) 21 ∂x x=l ∂x x=l 1 1 приводящее к квадратному уравнению:
λ1 ( μ ( + ) )
(11.345)
μ (t ) + T θ 2 ( t ) + Pθ ( t ) + Q = 0, θ ( t ) = ( + ) λ1 , TГ + Tλ1
где
P=
С + B (t ) K −1 λ С1 , Q= 2 , B ( t ) = λ1 1 1 + B (t ) 1 + B (t ) K λ 2 − 1 λ2
(11.346)
Fo2 ,
(T − T )(T + T ) T + 2T − T at Fo2 = 22 , С1 = − п + λ1 λ 2 , С2 = λ1 λ 2 п 2 λ1 . + l1 Tr( ) + Tλ1 T( ) +T
(
Г
λ1
(11.347)
)
Решив квадратное уравнение (11.346), находим μ ( t ) , подстановка, которой в (11.339) и в (11.344) исчерпывает решение задачи №5. Задача №6(Н3В) Рассматривается трехслойная система Ω+(11) , Ω+(10) , Ω+(12)
{
}
, моделирующая процесс теплопередачи от нагретого слоя Ω0 (пласт угля, 364
(1) закладочный массив в выработанном пространстве и т.п.) к слоям Ω+1 и 1 Ω+( 2) (неограниченные горные массивы – теплофизически различные породы
кровли и почвы пласта). Начальные температуры в Ω0(1) − TГ( + ) , в + 1 Ω+( i ) − Tп ( i = 1, 2 ) , TГ( ) > Tп . В силу обычно встречающегося малого отличия теплофизпараметров пород кровли и почвы, будем считать температурное 1 поле в слое ( ) симметричным, максимум которого всё время
Ω0 = { x ∈ ( 0, l0 )}
остается в точке x = 0 . Задача редуцируется:
{
} {
}{
() Ω+( 1) , Ω+( 0) , Ω+( 2) → Ω+( 1) , Ω01 + Ω+( 02) , Ω+( 2) 1
1
1
1
1
{
1
}
1
} {
(1) (т.к. для системы Ω(1) , Ω(1) Далее рассматриваем только систему Ω+(11) , Ω01 +02 +2
{ (
)}
}
(1) решение строится аналогично), перейдя от Ω+1 к Ωδ(11) = x ∈ l0 , l0 + δ1,( +cp) . В слое Ωδ(11) решение записываем в виде:
x − l0 T1 ( x, t ) = Tп + ( μ1 ( t ) − Tп ) exp −3,551 , x ∈ l0 , l0 + δ1,cp ( t ) . δ1,cp ( t )
(
(1) В слое Ω01 воспользуемся квадратичной аппроксимацией:
)
(11.348)
T01 ( x, t ) = a ( t ) + b ( t ) x + c ( t ) x 2 ,
(11.349) ∂T01 T01 ( 0, t ) = μ0 ( t ) , T01 ( l0 , t ) = μ1 ( t ) , = 0. ∂x x =0 Последнее из условий (11.349) отображает постулированную симметрию задачи. Из соотношений (11.349) следует: 2
x T01 ( x, t ) = μ0 ( t ) − μ0 ( t ) − μ1 ( t ) , x ∈ ( 0, l0 ) , t > 0. (11.350) l0 В отличие от задачи №5, здесь имеются две неизвестные функции склейки - μ0 ( t ) и μ1 ( t ) . При использовании двух независимых условий 1 непрерывности (при x = l ) потоков тепла и теплового баланса в слоях ( )
Ω01
0
и Ωδ(11) , и в предположении линейной зависимости теплофизпараметров от температуры, переходим к системе из двух квадратных уравнений относительно μ0 ( t ) и μ1 ( t ) . Решение этой системы возможно, но весьма громоздко. Поэтому для решения воспользуемся вилкой μ1 ( t ) ÷ μ1 ( t ) . Левой 365
границе этой вилки − μ1 ( t ) соответствуют минимальные (в диапазоне + ΔT = TГ( ) − Tп )
температур
значения
параметров
областей
() Ω01 1
и
1 Ωδ( 1) : c0 = c0 (Tп ) , λ0 = λ0 (Tп ) , и c1 = c1 (Tп ) , λ1 = λ1 (Tп ) . Правой границе
вилки − μ1 ( t ) соответствуют:
( )
( )
( )
( )
+ + + + c0 = c0 TГ( ) , λ0 = λ0 TГ( ) , c1 = c1 TГ( ) , λ1 = λ1 TГ( ) .
Воспользуемся двумя условиями – непрерывности тепловых потоков
∂T0 ∂T = λ1 1 , t >0 ∂x x =l ∂x x =l 0 0 и условием баланса тепла:
(11.351)
λ1
l0
c0 0
T ( + ) − T ( x, t ) dx = c 0 1 Г
l0 + 4 a ,t
l0
T1 ( x, t ) − Tп dx, t > 0.
(11.352)
Условие (11.351) и (11.352) записаны для минимальных значений параметров, сверху чертой. Имеем точно такие же условия, но при двух чертах над параметрами – для их максимальных значений. Подставив в (11.351) и (11.352) и в их аналоги (с выражения, получим:
(
λ , c и т.д.)
соответствующие
)
( )
−0,5 θ1 ( t ) = θ 0 ( t ) 1 − 0, 394 K λ ( Fo1 ) , θ1 ( t ) = θ 0 ( t ) 1 − 0,394 K λ Fo1 , μ −T μ −T μ −T μ −T θ 0 ( t ) = ( +0 ) п , θ1 ( t ) = ( 1+ ) п ,θ 0 ( t ) = ( +0 ) п ,θ1 ( t ) = ( +1 ) п . TГ − Tп TГ − Tп TГ − Tп TГ − Tп −0,5
(11.353) Здесь обозначены:
Kλ =
λ1 λ at at , Kλ = 1 , Fo1 = 12 , Fo1 = 12 = K a1Fo1 , λ0 l0 l0 λ0
K a1 =
a1 . (11.354) a1
Выражения для θ1 ( t ) и θ1 ( t ) приводятся к видам:
θ1 ( t ) = 1 + 1,05 K С ( Fo1 )
0,5
( )
0,5
θ1 ( t ) = 1 + 1,05 K С Fo1
c λ , Kλ = 1 , c0 λ0 −0,5 −1 c λ1 , KС = , Kλ = , Fo1 c0 λ0
+ 0, 293K λ ( Fo1 ) + 0, 293K λ
−0,5 −1
, KС =
( )
(11.355)
366
(
Rˆ1 ( t ) = 0,5 θ1 ( t ) − θ1 ( t )
При достаточно малой полуширине вилки качестве
приближенного
(
θˆ1 ( t )
решения
)
можно
взять
)
в
полусумму:
θˆ1 ( t ) = 0, 5 θ1 ( t ) + θ1 ( t ) , или, что проще (а потому – предпочтительней),
воспользоваться выражением (11.355) (одним из них), в которое подставить среднее значение параметров: Kˆ c = 0,5 KС + K С , Kˆ λ = 0,5 K λ + K λ . Для оценки
полуширины
вилки
Rˆ1 ( t )
(
(
)
учтем
)
следующее.
Параметры
K c , K λ , K c , K λ , могут, в общем случае, принимать произвольные значения.
Осуществляя «привязку» задачи №6 к горнотеплофизическим ситуациям, для которых характерны соотношения: λ0 < λ1 ,c0 < c1 будем считать, что
Kc , Kc , Kλ , Kλ > 1. Как видно из (11.355), увеличение значений этих параметров только «сужает» вилку. Поэтому, на основании литературных данных [40] примем достаточно реалистические значения K c ∈ [1,5; 2,5] , K λ ∈ [ 2,0;3,0 ] , K c ∈ [1,5;3,0 ] , K λ ∈ [3,0;50 ]. Далее заметим, что для определения мажорантной полуширины вилки Rˆ1,max ( t ) , такой, что при других значениях параметров, отличных от тех, которые использованы для вычисления Rˆ1,max ( t ) , будем получать Rˆ1,i < Rˆ1,max , надо положить;
(
Rˆ1,max ( t ) = 0,5 θ1,max ( t ) − θ1,min ( t ) , θ1,max ( t ) − θ1 t , K c ,min , K λ ,min
θ1,min ( t ) = θ1 ( t , K c,max , K λ ,max ) , K c ,max = 2,5; K λ ,max = 3, 0
)
K c ,min = 1,5; K λ ,min = 3, 0. Результаты численных расчетов на основе (11.356) при K a1
(11.356) = 1,5 (что
(1) обосновано расчетом вилки для решения в слое Ωδ − см.табл.11.7) и
Fo1 = a1t / l02 ∈ [ 0,5;10, 0] показали, что Rˆ1,max ( t ) монотонно убывает от
значения Rˆ1 = 0, 026 при Fo1 = 0,5 до Rˆ1 = 0, 016 при Fo1 = 10, 0 .Таким образом, вилка для θ1 ( t ) = ( μ1 ( t ) − Tп ) / TГ( + ) − Tп , а, следовательно, и вилка
)
(
для μ1 ( t ) уже, чем найденная ранее (см.табл.11.7). Это позволяет записать для приближенного выражения функции склейки μˆ1 ( t ) :
μˆ1 ( t ) − Tп
( )
ˆ = 1 + 1, 05 Kˆ c Fo θˆ1 ( t ) = ( + ) 1 TГ − Tп
0,5
( )
ˆ + 0, 293Kˆ λ Fo 1
367
−0,5 −1
, (11.357)
где
(
)
(
)
(
)
ˆ = 0,5 Fo + Fo . Kˆ c = 0,5 K c + K c , Kˆ λ = 0,5 K λ + K λ , Fo 1 1 1 Подстановка (11.357) в (11.353) позволяет найти вторую функцию склейки −θˆ0 ( t ) . Тем самым выражения для решений в общих слоях конкретизируются, чем исчерпывается решение задачи № 6. §158.
Модели с внутренней нелинейностью: неоднородные краевые задачи
В неоднородных краевых задачах, при неравномерности начального температурного поля и действия источников (стоков) тепла, нельзя использовать оценки зон локализации и экспоненциальные аппроксимации полей. Поэтому рассматриваем иные методы решения задач для областей m Ω1( ) = {η ∈ (η − ,η + )}. На этапе предварительного анализа моделей (см. §156) функции λ (T ) , c (T ) и TГ ( t ) представлены в нормализованном виде, для
значений t ∈ ( 0, ts ) оценен температурный диапазон модели ΔT = T − T . Также считаем проведенной температурную стратификацию второго типа, т.е. определено число интервалов ΔTi ( i = 1,2,, I ) линейной аппроксимации теплофизических параметров λˆ (T ) , cˆ (T ) . Если на всем интервале ΔT можно найти λˆ (T ) и cˆ (T ) , то будем говорить о методе глобальной линеаризации
(МГЛ). Используем его для решения первых краевых задач в областях m Ω1( ) − в задаче №7. Если же нормализованные λ (T ) и c (T ) сильно изменяются в диапазоне ΔT , то аппроксимируем их кусочно-линейными функциями. Метод решения, основанный на η − стратификации областей
( m ) (т.е. замены их двух-, трёх- или многослойными системами) или на Ω1
бистратификации (т.е. при совместных η − и хроностратификации) именуем методом локальной (поинтервальной) линеаризации (МЛЛ). Эти методы рассмотрены в задачах №№ 8,9. При нежелательности (по тем или иным причинам) температурной
стратификации, когда для всего диапазона ΔT используются нормализованные выражения λ (T ) и c (T ) , решения строим комбинированием методов Ротэ и функций Грина для неоднородных (по координате) систем – задача №10. (m) Задача №7. Первая краевая задача для областей Ω1 с граничными функциями TГ ( t ) при η = η− (η− = 0 при m = 1 и η− = r0 при m = 2,3) и
Tп = const
при
η = η + (η + = l , при m = 1 и η+ = r1 при m = 2,3). В 368
диапазоне ΔT функциями:
теплофизпараметры
(
аппроксимированы
) ΔT
линейными
T − T ( −) ( +) = = λ T , (11.358) , T , λˆ (T ) = λ ( −) + λ ( +) − λ ( −) λ λ λ ( )
()
− + − T − T ( −) (+) cˆ (T ) = c( ) + c( ) − c( ) , c = c (T ) , c = c T . (11.359) ΔT
)
(
( )
Выражения (11.358), (11.359) представим в виде (11.331): Δλ λ ( + )T − λ ( − )T (11.360) (+) (−) ˆ λ (T ) = , (T − T ) , Δλ = λ − λ , T = λ
ΔT
cˆ (T ) =
Δc ΔT
λ
(T − Tc ) , Δc = c
(+)
−c
(−)
Δλ (+)
− c T − c( )T , Tc = . Δc
(11.361)
Подстановка (11.360) и (11.361) в уравнение (11.245), где осуществлена замена F (T ) → F (η , t ) даёт:
∂ (T − Tλ ) ∂ (T − Tλ ) 1 ∂ m−1 Δλ η T T = m−1 − ( ) + F (η , t ) . λ η η t ∂ ∂ ∂ η ΔT ΔT (11.362) После очевидных преобразований получим: Δc
(T − T0 )
1 ∂V 1 ∂ m−1 ∂V = m−1 η ∂η ∂t aˆ (T ) ∂η η
2ΔT F (η , t ) , + Δλ
(11.363)
Δλ T − Tλ . Δc T − Tc Линеаризуем (11.363), положив aˆ (T ) = a* = const . Краевые условия V = V (η , t ) = (T (η , t ) − Tλ ) , aˆ (T ) = 2
для этого линейного уравнения:
V (η , t ) = u (η ) = (ϕ (η ) − Tλ ) , V (η− , t ) = VГ ( t ) = (TГ ( t ) − Tλ ) , (11.364) 2
2
2
V (η + , t ) = Vп = (Tп − Tλ ) = const. Линеаризацию (глобальную) условий:
( −)
ε
aˆ (T ) = a*
( −) ( −) a* −a =ε , ε = − , () ( +)
Находим отсюда:
a
проводим, потребовав выполнения
( +) ( −) ( +) ( +) a −a* ( −) λ ( +) λ (11.365) ε = ( +) , a = ( +) , a = ( +) .
a
c
c
+ + 2 (+) a( ) Kλ c( ) λ (+) a* = , K λ = − , K c = − . (11.366) a , Ka = ( −) = + K K 1 a c( ) λ( ) a c
369
Подставив a* из (11.366) в (11.365) и потребовав выполнения условия ε ( − ) = ε ( + ) ≤ 20% , получим ограничение K a ≤ 1,5 на глобальную линеаризацию. Если K a = Kλ / lc < 1, это ограничение имеет вид: K a ≥ 0,667 . Максимальная погрешность глобальной линеаризации
ε ( + ) = 20% приводит (см. §155) к погрешности решения ≤ 1% для значений безразмерных времён равных или превышающих пороговые значения 1 2 3 Последние находятся для Fo2( ) 1,0; Fo2( ) 0, 62; Fo2( ) 0, 25 . ( − ) . При необходимости нахождения значений полей для
a = amin = a
моментов времени Fo( m ) < Fo2( m ) , необходима стратификация областей Ω1( m ) , т.е. переход к слоистой системе, для каждого из слоёв которой значения m размерного времени t2( ) , соответствующего Fo2( m ) , будет меньше. Линеаризованное уравнение принимает вид: m m 2a ΔT ∂V( ) a* ∂ m−1 ∂V ( ) ˆ ˆ = η + F (η,t ) , F (η,t ) = * F (η,t ) . (11.367)
ηm−1 ∂η
∂t
Δλ
∂η
Краевые условия к (11.367) даны (11.364). Для задач (11.367), (11.364) решения были ранее найдены (в двух эквивалентных представлениях). Не
m выписывая их здесь повторно, считаем, что функции V ( ) (η , t ) нам известны. Тогда решения задачи №7 легко находятся: (m) (m) (m) (11.368)
T
(η , t ) = Tλ
+ V
, t ∈ ( 0, t s ) .
(η , t ) , η ∈ Ω1
Задача №8 представляет собой усложненный вариант задачи №7, в котором температурный диапазон модели шире и K a = a / a > 1,5. . Полагаем, что в ходе процесса области температур ΔT1 = TГ 0 − T и разделены, так что осуществив (m) ( m ) , для каждого стратификацию исходной области на две: Ω1( m ) → Ω11 + Ω12 ( m ) ( m ) будем иметь: из слоёв полученной двухслойной системы
ΔT2 = T − TГ 0
пространственно
{Ω
Ω12
11
K a1 = aˆ / a ≤ 1,5; K a 2 = a / aˆ ≤ 1,5.
Здесь
}
a = a (Tп ) , a = a (Tr ) ,
aˆ = a (TГ 0 ) , Tп < TГ 0 < TГ . Это позволяет получить, аналогично задаче ( m)
№7, линеаризованные уравнения для областей Ω1i , в которых обоих слоёв определяются аналогично задаче №7 ( i = 1,2 ) .
a∗i
для
m m 2a ΔT ∂Vi( ) a∗i ∂ m−1 ∂Vi( ) ˆ = m−1 η + Fi (η , t ) , Fˆi (η , t ) = ∗i i Fi (η , t ) , (11.369) ∂t ∂η η η Δλi
370
Vi
(m )
(η , t ) = (Ti
(m)
(η , t ) − Tλ i )
2
+ − , Δ λi = λi( ) − λi( ) ,
λi( + )Ti − λi( − )Ti Tλ i = , T1 = T , Δ λi
T1 = TГ 0 ,
+ − Δ ci = ci( ) − ci( ) ,
T2 = TГ 0 ,
T2 = T . (11.370)
Начальные условия для (11.369): 2 2 m m V1( ) (η,0) = (ϕ1 (η ) − Tλ1 ) , η ∈(η− ,η1 ) ;V2( ) (η,0) = (ϕ2 (η ) − Tλ 2 ) , η ∈ (η1,η+ ) .
(11.371)
( m) и ( m ) , полученная в результате Здесь η = η1 − граница между слоями Ω11 Ω12 стратификации, обеспечивающей выполнение условий K a = K a1 ⋅ K a 2 ≤ 2,25 . Если это условие обеспечить не удается, требуется стратификация на три слоя.
(η = η− ,η = η+ ) :
Граничные условия на внешних границах системы
2 2 m m V1( ) (η − , t ) = VГ = (TГ ( t ) − Tλ1 ) ,V2( ) (η + , t ) = Vп = (Tп − Tλ 2 ) , t ∈ ( 0, t s ) .
(11.372)
На общей границе слоёв
(η = η1 ) имеем условие склейки потоков тепла:
m Δλ1 ∂V1( ) ΔT1 ∂η
η =η1 ( m)
Условие равенства функций V1
m Δλ2 ∂V2( ) = ΔT2 ∂η
, t ∈ ( 0, ts ) . η =η1
(η1, t ) = V2( m) (η1, t ) не имеет места, т.к:
(
m m m V1( ) (η1 , t ) ≡ M1( ) ( t ) = T1( ) (η1 , t ) − Tλ1
( m)
≠ V2
( m)
(11.373)
(η1, t ) ≡ M 2 ( t ) =
(T
( m)
2
)
2
(η1, t ) − Tλ 2
≠
), 2
(11.374)
+ + m m T1( ) (η1, t ) = μ1( ) ( t ) = T2( ) (η1, t ) = μ2( ) ( t ) = μ ( t ) , Tλ1 ≠ Tλ 2 .
Решения линеаризованных уравнений (11.369), удовлетворяющие краевым условиям (11.371), (11.372), в представлении граничных функций и для (m)
Foi
≥ Fo∗ = 1,0, Fo∗ =
min( Fo1(∗m ) , Fo2( m∗ ) ),
(m)
Fo1∗ =
a1∗t
(η1 − η− )2
(m)
, Fo2∗
, = (η+ − η1 )2 a2∗t
т.е. для финишного режима, будут иметь вид:
x 1 1 V1( ) ( x, t ) = VГ ( t ) + M1( ) ( t ) − VГ ( t ) + x1
Fˆ1 ( t ) ,1
2 1) x1 ( Ω11
2a1∗ 371
x x (11.375) 1 − , x1 x1
x 1 1 1 V2( ) ( x,t) = M2( ) ( t) +Vп −M2( ) ( t) + l1 −x1 ( 2)
V1
2 1) (l1 −x1) ( Ω12
2a2∗
x x 1 , − l1 −x1 l1 −x1 (11.376)
ln 1 + (α1 − 1) ρ1 ( 2) ( r , t ) = V Г ( t ) + M 1 ( t ) − VГ ( t ) + ln α 1 (11.377) Fˆ1 ( t ) ,1 ( 2) x12 Ω1 + (1 − ρ1 ) ρ1, 2a1∗
( 2)
V2
Fˆ2( t) ,1
( 2)
( r,t ) = M 2 + ( 3)
V1
( 2 ) ln 1 + (α 2 − 1) ρ 2 ( t ) + Vп − M 2 ( t ) + ln α 2 (11.378)
Fˆ2 ( t ) ,1
( 2)
Ω12
( Δr1 − x1 )2
2a2∗
(1 − ρ2 ) ρ 2 ,
α1ρ1 ( 3) ( r , t ) = VГ ( t ) + M 1 ( t ) − VГ ( t ) + + − α ρ 1 1 ( ) 1 1 Fˆ1 ( t ) ,1
2 ( 2 ) x1 Ω11
α1 + 1 1 + , α ρ 6a1∗ 1 1 + − ( 1 ) 1 α 2 ρ2 3 3 3 V2( ) ( r , t ) = M 2( ) ( t ) + Vп − M 2( ) ( t ) + 1 + (α 2 − 1) ρ 2 +
+
Fˆ2 ( t ) ,1
( 3) Ω12
(11.379)
(11.380)
( Δr1 − x1 )2
α2 +1 1 + . α ρ 1 1 + − ( 2 ) 2
6a2∗
Здесь обозначены ρ1=(r-r0)/x1, ρ2=(r-(r0+x1))/(Δr1-x1), α1=1+x1/r0, α2=r1(r0+x1). Подставив в (11.373) выражения (11.375) –(11.380) получаем:
Δλ1 (1) Δλ1 Δλ2 1 (1) Δλ2 1 − + + V t M t Г ( ) 1` ( ) M 2` ( t ) − Vп ( t ) = T x T x T l x T l x Δ Δ Δ − Δ − 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 Δλ x = 1 1 Fˆ1 ( t ) ΔT1 2a1∗
(1) Ω11
372
+
Δλ2 l1 − x1 ˆ F2 ( t ) ,1 ΔT2 2a2∗
(1) Ω12
(11.381)
( 2) ( 2) Δλ1 Δλ1 Δλ2 − + + V t M t ( ) ( ) 1` M2` ( t ) − ΔT ( r + x ) lnα Г T r x T r x α α ln ln Δ + Δ + ( ) ( ) 1 1 2 1 0 1 1 0 1 2 0 1 Δλ1 x1 Δλ2 ( Δr1 − x1 ) ˆ Δλ2 ˆ V F t F t ,1 ,1 − = + ( ) ( ) 2 ( 2) (1) ΔT ( r + x ) lnα п 2ΔT a 1 Ω11 Ω12 T a 2 Δ ∗ ∗ 2 1 1 2 2 2 0 1
(11.382)
Δλ1 (3) Δλ2α2 (3) Δλ1 V t M t − + + ( ) ( ) M2` ( t ) − Г 1` Δ Δ Δ Δ − α α T x T x T r x ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 1
(
Δλ x 2 +α −1 Δλ2α2 1 1 1 − Vп = 6ΔTa 1 1∗ ΔT2 ( r1 − x1 )
) Fˆ (t ) ,1
Δλ2 ( Δr1 − x1 )( 2 +α2 ) ˆ F2 ( t ) ,1 Ω(3) ( 3) + Ω11 1 Δ T a 6 12 2 2∗ (11.383) Последние выражения, после учета в них (11.369) и (11.369), приводятся к виду: 2 (11.384) μ ( m ) ( t ) + 2 p( m ) μ ( m ) ( t ) + q ( m ) = 0, m = 1, 2,3.
(
Здесь:
)
−1
Δλ2 Δλ1 Δλ2 (11.385) (1) Δλ1 + + p = T T , λ1 λ2 T x T l x T x T l x Δ Δ − Δ Δ − ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 Δλ1 Δλ2 2 2
(
)
(
)
1 q( ) = − TГ ( t ) − 2Tλ1TГ ( t ) + Tп − 2Tλ 2Tп + T x T l x Δ Δ − ( ) 2 1 1 11
(11.386) −1
Δλ Δλ2 + x1 Fˆ1 (η , t ) ,1 (1) + ( l1 − x1 ) Fˆ2 (η , t ) ,1 (1) 1 + Ω11 Ω12 ΔT x 1 1 ΔT2 ( l1 − x1 ) Δλ1 Δλ2 2 p ( ) = T T × + ΔT ( r + x ) ln α λ1 ΔT ( r + x ) ln α λ 2 1 2 1 0 1 (11.387) 2 0 1 −1
Δλ1 Δλ2 × + , α α T r x ln T r x ln Δ + Δ + 1 2( 0 1) 2 1( 0 1)
Δλ1 Δλ2 2 q( ) = − TГ2 ( t ) − 2Tλ1TГ ( t ) + Tп2 − 2Tλ 2Tп + ΔT2 ( r0 + x1 ) lnα2 ΔT1 ( r0 + x1 ) lnα1
(
)
(
)
−1
+ x1 Fˆ1 (η, t ) ,1
( 2) Ω11
+ ( Δr1 − x1 )
Δλ1 Δλ2 + Fˆ2 (η, t ) ,1 ( 2) . Ω12 ΔT ( r + x ) lnα Δ + α T r x ln ( ) 1 2 0 1 2 1 0 1 (11.388) 373
p
( 3)
Δλ Δλ2α 2 1 = Tλ 2 × Tλ1 + T x T r x α Δ Δ Δ − ( ) 1 1 1 2 1 1
(11.389)
−1
Δλ1 Δλ2α 2 × + , α T x T r x Δ Δ Δ − ( ) 2 1 1 11 1 Δλ1 Δλ2 3 q( ) = − TГ2 ( t ) − 2Tλ1TГ ( t ) + Tп2 − 2Tλ 2Tп + ΔT2 ( Δr1 − x1 ) ΔT1 x1α1 (11.390) 2 + α1−1 2 + α2 ˆ F , t ,1 + x1 η ( ) Fˆ1 (η , t ) ,1 Ω(3) + ( Δr1 − x1 ) ( 2) × 2 Ω12 3 3 11
(
)
(
)
−1
Δλ1 Δλ2 × + . Δ Δ Δ − α T x T r x ( ) 2 1 1 1 1 1 Как легко убедиться, при предельных переходах в (11.387)-(11.390) к плоским слоям (что ранее уже осуществлялось), получаем: Определив из уравнения (11.384) функции
μ ( m ) ( t ) (отрицательный корень отбрасывается), по формулам (11.375)m (11.380) находим решения линеаризованных уравнений −V ( ) η , t .Решения i
(
)
(приближенные) исходных нелинейных уравнений теперь следуют из (11.370): m m Ti( ) (η , t ) = Tλi + Vi( ) (η , t ) ,
m = 1, 2, 3; i = 1, 2. (11.391)
Формулой (11.391) решение задачи №8 исчерпано. В ходе его исходная область Ω1( m) была cтратифицирована и сведена к двухслойной системе. При необходимости учета усложняющих факторов и с целью уточнения расчетов, этот подход можно обобщить, использовав стратификацию на N слоёв: ( m) ( m) ( m) ( m ) . При этом будем иметь N - 1 уравнение
Ω1
{
→ Ω11 , Ω12 ,, Ω1N
}
склейки вида (11.381)÷(11.383), в которые вместо VГ ( t ) будут входить + функции склейки ν k(−1) ( t ) , а вместо Vп − функции склейки ν k( ++1) ( t ) − для линеаризованных
уравнений
относительно
функций
m Vk( ) (η , t ) .
Диагональные элементы матричного уравнения склейки, содержащего ( m) функции M k( m ) ( p ) и M k +1 ( p ) (аналоги M1( m) ( p ) и M 2( m ) ( p ) ) формально (+) представляем в виде и решаем систему уравнений склейки
ak ,k ν k
( p)
374
методом
обратной
матрицы.
Определив
+ ν k( ) ( p ) ,
приравниваем
+ m ak ,kν k( ) ( p ) диагональному члену, содержащему M k( ) ( p ) и M k( m+1) ( p ) .
После обратного преобразования Лапласа приходим к квадратному уравнению вида (11.384), содержащему параметры слоёв Ω1,( mk ) и Ω1,( mk+)1 . Таких квадратных уравнений будет N - 1, как и функций склейки. Задача №9. Отличие этой задачи от предыдущей состоит в том, что ввиду предполагаемого широкого диапазона изменения температур даже в малых областях (слоях Ω1,( mk ) , k = 1, N ), полученных стратификацией
исходной области Ω1,( mk ) , нельзя ограничиться процедурой, примененной в задаче №8. Мы вынуждены использовать бистратификацию, т.е. наряду с ηстратификацией осуществить и хроностратификацию – интервал времени необходимо разбить на интервалов t ∈ ( 0, ts ) N1
( 0, t1 ) , ( t1, t2 ) , , ( t N −1, t N
)( t N
)
= ts .
На каждом из хронослоёв используются другие значения параметров, т.е. после каждого из временных шагов заново рассчитываются величины τ j = t j − t j −1 i = 1, N1 1
(
1
(
1
)
)
Δλk , j ; ΔTk , j ;Tλ k , j k = 1, N , j = 1, N1 .Это ведет к тому, что в уравнениях вида (11.384) для N- слойной системы коэффициенты p после каждого временного шага, т.е.
{ }
( m ) и ( m) изменяются q ( m) ( m) .Величины
{ }
m m p( ) → p(j ) , q
τj
→ qj
и число хронослоёв ( N1 ) определяются длительностью процесса t s и поведением функций TГ ( t ) и F (η , t ) , задающих динамику температурных диапазонов ΔTk , j . Число слоёв N определяется как и ранее. Задача №10. На предварительном этапе определяется температурный диапазон модели ΔT = T − T и выписываются нормализованные представления для λ (T ) , c (T ) , a (T ) вида (11.256). Первая краевая задача для уравнения (11.245) (где F (T ) = F (η , t ) ) с краевыми условиями (11.246) – (11.248)(а) решается методом хроностратификации. Решения находятся для моментов времени t = t j j = 1, N , а в интервалах t ∈ t j −1 , t j нелинейная задача сводится к линейной, но с коэффициентами, зависящими от координаты. На первом временном слое, т.е. при t ∈ ( 0, t1 ) : λ (T ) → λ1 (η ) ,
(
( )
( ) ( )
(
)
(m)
( )
)
(m)
c T → c1 η , a T → a1 η .Обозначим: T (η , t1 ) = ϕ1 (η ) . При t ∈ ( t1 , t 2 ) (на втором хронослое): λ (T ) , c (T ) , a (T ) → λ2 (η ) , c2 η a2 η ,
( ) ( )
(m)
а решение в момент t = t 2 : T ( ) (η , t 2 ) = ϕ 2 (η ) . Аналогичным образом, на j- м хронослое имеем: λ (T ) , c (T ) , a T → λ j η , c j η a j η , (m ) (m ) T η,t j = ϕ j η , j = 1, N . m
(
)
( )
( )
375
( )
( )
( )
Практическая реализация этого метода требует определить: 1) как осуществлять пересчеты λ T → λ j η и другие? 2)как решать, на каждом
( )
( )
хронослое, краевую задачу для уравнения с коэффициентами, зависящими от координаты? Ответы на эти вопросы и дадут практические рекомендации по реализации данного аналитико-численного метода. Переход от нелинейной задачи к линейной, но для теплофизически неоднородной среды с различными зависимостями параметров от координат на каждом хронослое, осуществляем с помощью нормализованных представлений. Начальное условие (11.246) записываем в виде:
T
( m)
(η , +0 ) = ϕ (η ) = ϕˆ0 (η )
− = ϕ0( )
− + ϕ0( ) = ϕˆ0 (η− ) , ϕ0( ) = ϕˆ0 (η+ ) ,
+
(
+ ϕ0( )
− − ϕ0( )
n0 ∈ [ 0, ∞ ) ,
)
n
η − η− 0 , (11.392) − η η + −
n0 = const.
Для теплофизических параметров имеем зависимости: nλ ( m) T −T ( −) (+) λˆ (T ) = λ ( − ) + λ ( + ) − λ ( − ) , λ = λ (T ) , λ = λ T , (11.393)
)
(
(
− + cˆ (T ) = c( ) + c( ) − c
)
)
(
параметры
(m)
( )
(−) (+) , c = λ (T ) , c = c T , T − T
T ( m) − T −) +) −) ( ( ( aˆ (T ) = a + a − a T −T Все
( )
T − T nc (m) −T (−) T
[
(11.394)
n
a ( −) λ ( −) ( + ) λ ( + ) , a = (−) , a = (+) . c c
)(
)
nν ∈ 0, ∞ ν = λ , c , a .Поскольку
в
(11.395)
(11.393)÷(11.395)
(η , t ) принимает в моменты времени t = t j значения (m) ϕ j (η ) ( j = 1, N ) , а последние определяются (11.392) при замене индекса T
«0» на «j», для всех параметров получаем выражения вида:
(m) (−) (+) ( − ) ϕ j (η ) − T ˆ ˆ λ (T ) → λ j (T ) = λ + λ − λ T −T
)
(
− = λ (j )
+
(
λ (j + )
− − λ (j )
)
η −η− η+ − η−
nλ j
nλ
=
(11.396) − + , λ (j ) = λˆ j (η− ) , λ (j ) = λˆ j (η+ ) ,
)
(
− − − + nλ j = nλ j n j , nλ , λ ( ) , λ ( ) ,ϕ (j ) , ϕ (j ) , T , T .
376
Для
cˆ (T ) и λˆ (T ) аналогично:
(
( −)
cˆ (T ) → cˆ j (T ) = cˆ j (η ) = c j + a j − a j
aˆ (T ) → aˆ j (T ) = aˆ j (η ) =
− a (j )
+
(
+ a (j )
) η
( − ) η − η−
( +)
− − a (j )
)
ncj
, (11.397) + − η− n
η − η − aj . (11.398) η+ − η−
Краевая задача с зависящими от координат теплофизическими параметрами
λˆ j (η ) , cˆ j (η ) , aˆ j (η )
(согласно (11.396)-(11.398)) может
быть решена, как и любая линейная задача, методом функций Грина. Последние значений
m G (j ) (η ,η ', t )
(
на каждом хронослое, определяются для
)
t ∈ 0, Δt j , Δt j = t j − t j −1 ,
поэтому необходим пересчет
граничных функций и функций плотности источников тепла к «специальному» времени (локальному времени хронослоя) t . В выражение для релаксирующего поля на j − м временном шаге ( j − м хронослое) подставляется решение, полученное на предшествующем шаге – суперпозиция релаксирующего, граничного и источникового полей, т.е. ϕ j −1 η . Таким образом, для каждого j-го шага входные данные краевой
( )
задачи определены решением такой же задачи на j-1-м шаге. Поскольку для однородных систем функции Грина в первом приближении дают (m) удовлетворительную точность при (см. §132, табл.9.12), а для
Fo j
≥ 0,1
ˆ ( m ) можно оценить по неоднородных систем характерные времена Fo j
минимальным значениям aˆ j (η ) , «ширины хронослоёв», т.е. интервалы ˆ ( m ) ≥ 0,1 . t j −1 , t j можно определить, потребовав выполнения условия Fo j Этим решением задачи №10 исчерпано.
(
)
§159. Модели с внешней и общей нелинейностью В таблице 11.5 (§155) приведены задачи с внешней и с общей нелинейностью. Таких задач для m = 1, 2,3 будет 18.Поскольку методы решения этих задач при m = 1, 2,3 одинаковы (отличаются лишь выражения для финишных полей вида (11.208)-(11.210) в §153), ограничимся случаем m=1. Продолжая нумерацию задач, приходим к перечню решаемых в настоящем параграфе.
377
Задача №11 – теплофизпараметры постоянны ( C = C0 , λ = λ0 ) , граничные условия при x = 0 и x = l 1-го рода, функция плотности источников (стоков) тепла зависит от температуры и координаты: F = F (T , x ) . Задача №12 (Н5) – в задаче №11 граничное условие при x = 0 заменяется на граничное условие 3-го рода с α = α (T ) . Задача №13 – в задаче №12 в правой части граничного условия 3-го рода, наряду с конвективным потоком тепла учитывается и лучистый (суперпозиция условий (11.248) (б) и (в) при α = α (T ) , β = β (T ) ). Задача №14 – в задаче №11 теплофизпараметры
зависят от температуры: c = c (T ) , λ = λ (T ) . Задача №15 – в задаче №12 теплофизпараметры также зависят от температуры. Задача №16 – учет зависимостей c = c (T ) , λ = λ (T ) в задаче №13. Задача №11 (Н4). Используем метод бистратификации, переходя от (1) (1) (1) (1) Ω1 , Ω2 , , ΩN и от системы Ω .к многослойной системе
{
}
непрерывной временной шкалы - к дискретной. Будем предполагать (и в случае других задач также), что период времени, после начала процесса, для которого модель должна давать прогноз, равен τ 0
(τ 0 1, 2,,12 час.) .
Поскольку на предварительном этапе решения уже установлены нормализованные выражения для всех параметров и величин
( λ (T ) → λˆ (T ) , α (T ) → αˆ (T ) .
и
температурный
диапазон
модели
ΔT = T − T ,
легко находим минимальное значение коэффициента температуропроводности amin = a . Ширину всех слоёв Δx0 многослойной 2
модели определяем из условия Fo = aτ 0 / ( Δx0 ) = 1, 0 (т.е. из условия применимости аппроксимации температурных полей в слоях финишными полями вида (11.208) – (11.210)).Тогда число слоёв N в многослойной
[
1/ 2
]
системе будет: N = l / Δx0 , Δx0 = ( aτ 0 ) Дискретная
(
шкала
t = tk = kτ 0 k = 1, K
).
.
времени
состоит
из
моментов
Значение
K : K = ts / τ 0 ,
ts −
где
продолжительность процесса. Решение задачи осуществляется длительностью шагов Δt k = t k − tk −1 = τ 0 , на протяжении которых функция плотности источников тепла «заморожена» (1) неизменным своё среднее по каждому слою Ω j j = 1, N конце каждого из шагов длительностью изменяется, т.е. её величина в конце 378
τ0
(
)
времени полная
пошагово, с каждого из - сохраняет значение. В
эта функция скачкообразно
( K − 1) − го шага, зависящая от tk −1,
остаётся таковой до момента
t = tk = tk −1 + τ 0 ,
в которой принимает
значение, зависящее от tk . На первом шаге, в его начале, при t = t0 = 0 , функция плотности источников в j − м слое − f j ,0 определяется по начальной температуре, усредненной по этому слою:
(1) −1
( )
f j ,0 = f j ,0 ϕ j , ϕ j = Ωj
( )
(
)
Здесь: ϕ x = T x , +0 ,
ϕ ( x ) ,1 Ω(1) j
x j = j Δx0 ,
(1) Δx0 = Ω j , j = 1, N . Ввиду малости
1 = Δx0
xj
ϕ ( x ) dx. (11.399)
x j −1
(1) x N = N Δx0 = l = Ω j ,
Δx0 / l = N −1 используем
приближенное равенство:
ϕj =
ϕ ( x j −1 ) + ϕ ( x j ) 2
,
ϕ ( x0 ) = ϕ ( 0 ) ,
(11.400)
j = 1, N
(
)
Поскольку имеем нормализованное представление Fˆ x j , T , функции
( )
f j ,0 ϕ j
легко определяются. Уравнение (11.208) для слоя Ω (j 1 ) после
первого временного шага, т.е. при t = t1 = τ 0 принимает вид: (1)
( −)
u j ,1 = μ j
( )
f j ,0 ϕ j Δx02 x x x + − ( ) ( ) 1 . − ( t1 ) + μ j ( t1 ) − μ j ( t1 ) + Δx0
2a0
Δx0 Δx0
(11.401) Здесь a0 = λ0 / cv0 − коэффициент теплопроводности, μ (j− ) ( t1 ) и μ (j+ ) ( t1 ) − температуры, соответственно, на левой и правой границах слоя
1 Ω(j ) .
Из условий склейки потоков тепла на общей границе слоёв
Ω(j+)1 , 1
используя (11.401) и его аналог для
Ω(j+)1 , 1
1 Ω(j )
и
получаем уравнение
склейки – аналог (11.212) вида: 1 + 1 + 1 1 + a (j ,)j −1μ (j −1) ( t1 ) + a (j ,)j μ (j ) ( t1 ) + a (j , )j +1μ (j +1) ( t1 ) = b(j , )j +1 ,
379
(11.402)
где
a (j , )j −1 = − 1
λ0 Δ x0
= a (j , )j +1 , 1
a (j , )j = − 1
( ( )
2 λ0 , Δ x0
))
(
(11.403)
b (j , )j +1 = 0,5 Δ x0 c v0 f j ,0 ϕ j + f j +1,0 ϕ j +1 . 1
Система уравнений (11.402)
( j = 1, N − 1)
решается методом обратной
матрицы, в результате чего находим все μ (j+ ) ( t1 ) . Затем осуществляем пересчёт от
( )
f j ,0 ϕ j
и
(
)
f j ,1 μ j ,1 − значениям функций плотности
источников тепла, определяемым по значениям функций склейки μ (j + ) ( t1 ) : +
( )
f j ,1 = f j ,1 μ j ,1 , μ j ,1 = Поля в слоях
1 Ω(j )
μ (j −1) ( t1 ) + μ (j+ ) ( t1 ) 2
,
j = 1, N . (11.404)
после второго шага по времени определяется (11.401),
заменено на f j ,1 . Соответственно изменяется и уравнение склейки (11.402). Решение системы уравнений где индекс «1» заменён на «2», а
f j ,0
склейки на втором временном шаге даёт значения
(
)
μ (j+ ) ( t2 ) j = 1, N − 1 , по
которым вновь пересчитываются функции плотности источников (в (11.404) осуществляется замена «1» → «2»). Третий и все последующие шаги осуществляются аналогично. Расчет завершается на K − м шаге ( K = t s / τ 0 ) . Если ошибку «замораживания» функций плотности источников трактовать как возмущения входных данных локальной (для
(1)
задачи) Fo j = 1,0 т.е. к концу шага Δtk = tk − tk −1 как показано в §129, нивелируется с ошибкой ≤ 1%.
1 Ω(j ) - линейной
= τ 0 . Это возмущение,
Задача №12(Н5). При решении этой задачи необходимо предварительно (1) рассмотреть смешанную краевую задачу теплопроводности в области Ω , на границе x=0 которой задано граничное условие третьего рода с переменной температурой нагревающей среды TГ (t ) , а на границе x=l – первое граничное условие
u (l , t ) = TП = const.
Цель этого предварительного
анализа – определить влияние величины коэффициента теплообмена α на (1) граничное температурное поле в Ω . (1) в представлении Решения первой краевой задачи в области Ω потенциала имеет, согласно (9.2)÷(9.4), вид:
380
1 (1) (1) u( ) ( x, t ) = u1,3 ( x,t ) + u2(1) ( x,t ) , u1,3 ( x,t ) = G (1) ( x, x 't ) * Ψ ( x ',t ) (t )
(1) (1) u(1) ( x, t ) = a ∂G * μ ( t ) − ∂G * T , 0 п 2 ∂x ' (t ) ∂x ' x'=0 (t ) x '=l ( x, t ) = ϕ ( x) δ ( t ) + f ( x, t ) . Ψ
1 Ω( )
,
(11.405)
+
(1) u1,3
( x, t ) - суперпозиция релаксационного и источникового полей, 1 u2( ) ( x, t ) − граничное поле, μ ( t ) = u (1) ( 0, t ) , Tп = u (1) ( l , t ) . Неизвестная функция μ ( t ) определяется из граничного условия третьего рода: В (11.405):
∂u ( ) λ0 = α μ ( t ) − Tг ( t ) , t ∈ ( 0, ts ) . ∂x 1
Преобразование по Лапласу (по t ) в (11.406) даёт:
∂ 2G(1) 1 1 A (α , p ) μ ( p ) = B (α , p ) , A (α , p ) = α − b ( ) ( p ) , b ( ) ( p ) = λ0a0 ∂x ∂x '
B (α , p ) = α Tг ( p ) + λ0
∂G(1) , Ψ ( x ' p) ∂x x=0
Для двух различных значений
− 1 Ω( )
α = α1 и α = α 2
, x=0 x '=0
(11.407)
λ0a0Tп ∂ 2G(1) p
(11.406)
. ∂x ∂x ' x=0 x '=l
и соответствующих им
μ1 ( p ) и μ2 ( p ) из первого уравнения (11.407) получаем:
Tг ( p) − μ1 ( p) , δμ ( p) = μ2 ( p) − μ1 ( p) , δα = α2 −α1 (11.408) (1) α2 − b ( p) (1)
δμ ( p) = δα
( x, p ) в случае α = α1 (1) (1) будет u2,1 ( x, p ) , а в случае α = α 2 − u2,2 ( x, p ) . Находим: Лаплас-трансформанта граничного поля
(1)
δ u2
−u 2
∂G(1) δμ ( p ) = u2,2 ( x, p ) − u2,1 ( x, p ) .(11.409) ( x, p ) = a0 ∂x ' x '=0
Из (9.219) (§131) следует:
∂G (1) a0 = ∂x ' x '=0
sh
p (l − x ) a0 shδ p 381
, δ=
l . a0
(11.410)
α 2 − b (1) ( p ) = α 2 + ε 0 p cth δ p , ε 0 = λ0 cv 0 .
(11.411)
Подстановка (11.410) и (11.411) в (11.409) и (11.408) даёт:
p − sh l x ( ) Tг ( p ) − μ1 ( p ) a (1) 0 . δμ ( p ) = δα , δ u2 = δμ sh δ p α 2 + ε 0 pcthδ p
δ u2( ) ( x, p ) 1
Вычисляем нормы (1)
δ u2
( x, p )
l
( )
1 L1 Ω( )
( )
1 L1 Ω( )
1
( )
1 c Ω( )
Поскольку
(
)
(1)
δ u2
cL
1
( x, p )
:
)
1
x∈( 0,l )
1
то для нормы
( )
1 c Ω( )
= max : δ u2( ) ( x, p ) = δμ ( p ) .
) δ u2,( cp ( x, p ) ≡ l −1 δ u2( ) ( x, p ) ,1 1
1
chδ p − 1 1 = δ u2( ) ( x, p ) dx = lδμ ( p ) = δ pshδ p (11.413) 0 l th δ p / 2 , = δμ ( p ) 2 δ p /2
(
δ u2( ) ( x, p )
δ u2( ) ( x, p )
и
(11.412)
1 Ω( )
1 = l −1 δ u2( ) ( x, p )
(11.414)
( )
1 L1 Ω( )
,
, введенной (8.49) (§106), получаем:
cL1
(
)
δμ ( p ) th δ p / 2 = 0,5 + δμ ( p ) (11.415) 2 δ p / 2
(
)
Как показано в [282], различие решений третьих краевых задач с разными значениями безразмерного коэффициента теплообмена (числа Био− Bi = α l / λ0 ) возрастает со временем и максимально в стационарном режиме ( t
→ ∞)
.Поскольку для значений
382
1 Fo( ) = a0t / l 2 = 1,0
и
1 Fo( ) → ∞ отличие решений несущественно, полагаем, что требуемая нам (1) (1) оценка для Fo = 1,0 приближенно совпадает с оценкой для Fo → ∞ .
Последняя может быть легко найдена:
Tгs − μ1,s lim δμ ( t ) = δμ s = lim pδμ ( p ) = δα . t →∞ p →0 + α ε δ / 2 0
(11.416)
Находим также:
(1)
δ u2
( x, t )
(S ) cL1
1 = lim δ u2( ) ( x, t ) t →∞
cL1
1 = lim p δ u2( ) ( x, p ) p →0
cL1
= 0,75δμ s , (11.417)
pB (α, p) Tгs + Bi−1Tп μ1,s = lim μ1 ( t ) = lim pμ1 ( p) = lim .(11.418) = −1 t →∞ p→0 p→0 A(α , p ) 1+Bi Комбинируя найденные стационарные значения величин, получаем:
() = max δ u2( ) ( x, t ) δ u2,max 1
1
x∈( 0,l ),t >0
ε Bi = δBiBi = δα , α
cL1
ε Bi
= 0,75
BiΔT
(1+ Bi )
2
α2l , λ0
δ Bi = Bi2 − Bi1, Bi2 =
, ΔT = Tгs − Tп , Bi1 =
α1l . λ0
(11.419)
Как следует из (11.419), с ростом Bi максимальная погрешность граничного (1) поля u2 ( x, t ) (а с ним – и всего решения) убывает, стремясь к нулю при
( )
1 Bi → ∞ . Вычислим относительную погрешность ε u2( ) для ряда значений
Bi , полагая, что ε Bi = ε α = δα / α 2 = 0, 2(20%) :
Имеем:
) ε ( u( ) ) ε ( u( ) ) ε(
1 u2( ) 1 2
1 2
() δ u2,max 1
=
Bi =30 Bi =10
ΔT
= 0,15
Bi
(1 + Bi )
= 0,0047 = 0, 47%, = 0,0124 = 1, 24%,
, 2
ε ( u2(1) )
ε (u2(1) )
ε ( u2
(1)
)
Bi →∞
Bi =20
Bi =1
383
→0
= 0,0068 = 0,68%,
= 0, 037 = 3,7%.
(11.420)
Как
легко
видеть,
для
всех
( )
1 Bi < 1, ε u2( )
Bi =1
= ε max = 3, 7% .
Подтверждено также условие (11.254) об эквивалентности значений Bi = ∞, и Bi = 30 , ранее обоснованные по литературным данным. Таким образом, даже для малых значений Bi , относительная погрешность граничного поля (оцениваемого по норме ), CL1
обусловленная погрешностью α в 20%, достаточно мала. Возвращаясь к 1) задаче №11 и процессу перехода от области Ω( к N − слойной системе (стратификации области) и перенося всё изложенное на слой (1) Ω1 = { x ∈ ( 0, Δx0 )} , заменяем: + + l → Δx0 , Tп = μ ( ) , Tгs → Tг ( t ) , ΔT → Tг ( t ) − μ1( ) ( t ) = ΔT1 ( t ) . 1 1 Для всех слоёв Ω( ) ( j = 1, N ) минимальное время прогноза τ 0 таково, что j
(+) (1) 2 Fo j = aτ 0 / ( Δx0 ) = 1,0 , переменная t в μ1 ( t ) и ΔT 1 ( t ) играет роль
медленно меняющегося параметра. Все вышеприведенные оценки остаются в силе,
а
абсолютная
погрешность
δ u2(1)
убывает,
поскольку
для
t > τ 0 ΔT 1 ( t ) < ΔT . Таким образом, применение в задаче №12 метода решения задачи №11, обосновано. В задаче №11 на каждом временном шаге решается матричное уравнение склейки. Т.к. задача №11 – первая краевая, все уравнения (11.402) кроме первого ( j = 1) и последнего ( j = N − 1) содержат по три неизвестных функции склейки, а первое и последнее – по две (+) (+) (+) (+) (соответственно μ1 ( tk ) , μ2 ( tk ) и μ N − 2 ( tk ) , μ N −1 ( tk ) , k = 1, K ). (+) (+) Функции μ0 ( tk ) и μ N ( tk ) переходят в правые части уравнений склейки, т.к. они – заданные граничные функции. Матрица системы уравнений –
(
)
трехдиагональная для всех t = tk k = 1, K . Переходя к задаче №12 замечаем, что для неё все уравнения (11.402), кроме первого, остаются в силе, а первое необходимо изменить в соответствии с граничным условием 3-го рода. Для первого шага по времени из (11.401) и (11.406) следует:
384
(1)
q1,1 ( t1 ) = λ0
Здесь
() ∂u1,1 1
∂x
x =0
μ ( + ) ( t ) − μ ( t ) f1,0 (ϕ1 ) Δx0 1 1 = = λ0 1 + x a 2 Δ (11.421) 0 0 = α ( 0 ) ( μ ( t1 ) − Tг ( 0 ) ) .
− + μ ( t1 ) = μ1( ) ( t1 ) = μ0( ) ( t1 ) − значение в момент t = t1 температуры
(1) на границе x = 0 слоя Ω1 , α ( 0 ) = α находим:
μ ( t1 ) =
μ ( t1 ) + Bi ( 0 ) Tг ( t1 ) + 1 + Bi ( 0 )
( μ ( 0 ) ) = α (ϕ ( 0 ) ) .
Δx02 f1,0 (ϕ1 ) 2a0
, Bi ( 0 ) =
Из (11.421)
α ( 0 ) Δx0 . (11.422) λ0
Подстановка (11.422) в (11.402) при j = 1 даёт:
(1) ( + ) (1) ( + ) (1) ˆ (1) 1 + 2 Bi ( 0 ) (1) , a1,1 = μ1 ( t1 ) + aˆ1,2 μ 2 ( t1 ) = bˆ1,2 aˆ1,1 a1,1 , 2 1 0 + Bi ( ) ) ( λ Bi ( 0 ) (1) = 0,5Δx0 cv 0 fˆ1,0 (ϕ1 ) + fˆ2,0 (ϕ2 ) + 0 bˆ1,2 Tг ( 0 ) , (11.423) Δx0 1 + Bi ( 0 )
(
)
Bi ( 0 ) + 3 ˆ fˆ1,0 (ϕ1 ) = f1,0 (ϕ1 ) . 0 1 Bi + ( ) Таким образом, первое из уравнений склейки в задаче №12 (с граничным условием 3-го рода) приведено к стандартному виду, соответствующему задаче первого рода, но с модифицированными выражениями для (1) (1) (1) (1) и b1,2 → bˆ1,2 . a1,1 → aˆ1,1 На втором временном шаге уравнение (11.423) принимает вид:
ˆ ( 2) ( + )
a1,1 μ1
ˆ ( 2) ( + )
( t2 ) + a1,2 μ2
( 2 ) ˆ ( 2 ) 1 + 2 Bi ( μ ( t1 ) ) ˆ ( t2 ) = b1,2 , a1,1 = 2 1 + Bi ( μ ( t1 ) )
(
385
)
( 2) a1,1 ,
λ Bi ( μ ( t1 ) ) ( 2) = 0,5Δx0 cv 0 fˆ1,1 ( μ1,1 ) + fˆ2,1 ( μ2,1 ) + 0 bˆ1,2 Tг ( t1 ) , Δx0 1 + Bi ( μ ( t1 ) ) Bi ( μ ( t1 ) ) + 3 λ (11.424) ( 2 ) 2λ0 ( 2) (1) , a1,2 = = a1,2 =− 0 , fˆ1,1 ( μ1,1 ) = a1,1 f1,1 ( μ1,1 ) , Δx0 Δx0 Bi ( μ ( t1 ) ) + 1 μ1,1 =
+ μ ( t1 ) + μ1( ) ( t1 )
+ + μ1( ) ( t1 ) + μ2( ) ( t1 )
, μ2,1 = . 2 2 Все остальные уравнения склейки на втором шаге имеют тот же вид, что и в задаче №11. Продолжая процесс вычислений, для момента времени t = tk = kτ 0 имеем первое из уравнений склейки:
1+ 2Bi ( μ ( t ) ) k −1 (k) a1,1 a1,1 μ1 ( tk ) + a1,2 μ2 a1,1 = , 2 1+ Bi ( μ ( tk −1 ) ) λ0 Bi ( μ ( tk −1 ) ) (k) ˆ ˆ ˆ b1,2 = 0,5Δx0 cv0 f1,k −1 ( μ1,k ) + f2,k −1 ( μ2,k ) + Tг ( tk −1 ) , Δx0 1+ Bi ( μ ( tk −1 ) ) Bi ( μ ( tk −1 ) ) + 3 λ0 ( k ) 2λ0 (k) ˆf = = − μ f μ , a , a1,1 = , ( ) ( ) 1,k −1 1,k 1,k −1 1,k 1,2 Δ Δ x x + Bi t μ 1 ( ) ( k −1 ) 0 0 (11.425) ˆ ( k ) ( +)
μ1,k =
ˆ ( k ) ( +)
( tk ) = bˆ1,2( k ) ,
+ μ ( tk −1 ) + μ1( ) ( tk −1 )
2
ˆ( k )
, μ2,k =
(
+ + μ1( ) ( tk −1 ) + μ2( ) ( tk −1 )
2
)
.
Остальные уравнения склейки на k − м шаге совпадают с таковыми в задаче №11. Этим решение задачи №12 исчерпано. Задача №13 (Н6). В этой задаче, по сравнению с задачей №12, имеется третий вид нелинейности – в правой части граничного условия третьего рода добавляется лучистый поток тепла в результате чего она приобретает вид:
α ( μ ) ( μ ( t ) − Tг ( t ) ) + β ( μ ) μ 4 ( t ) − Tг
4
( t ) ,
где β ( μ ) соответствует c0σ (T ) . Метод решения в этом случае таков же, как и в задаче №12, но с некоторыми модификациями. Все уравнения склейки, на всех временных шагах, те же, что и в задаче №11. Получим первое из уравнений склейки на первом временном шаге, для чего в правую часть (11.421) добавим «лучистое» слагаемое
(
β ( 0 ) μ 4 ( 0 ) − Tг
4
( 0 ) ) , β ( 0 ) = β ( μ ( 0 ) = β (ϕ )( 0 ) )
(1) (1) Уравнение склейки будет иметь вид (11.423) после замены bˆ1,2 → b1,2 : 386
(1) ˆ(1) = b1,2 + b ( 0 ) Tг4 ( 0 ) − μ 4 ( 0 ) . b1,2
(11.426)
( k ) ˆ( k ) = b1,2 + β ( μk −1 ) Tг4 ( tk −1 ) − μ 4 ( tk −1 ) , k = 1, K . b1,2
(11.427)
Соответственно, для k − го шага по времени, первое уравнение склейки (k ) (k ) будет иметь вид ((11.425) после замены bˆ1,2 → b1,2 : Задача №14. Эта задача, как и последующие задачи №№ 15,16 характеризуется наличием общей нелинейности – сочетанием внутренней и внешней нелинейностей. В данной задаче №14 учёт внутренней нелинейности – зависимости параметров λ и cv от температуры – осуществляется на основе задачи №11. Схема решения сохраняется, но уравнения склейки модифицируются, т.к. теперь в каждом из слоёв 1 Ω(j ) j = 1, N будут различные значения параметров, т.е. вместо λ0 и cvo
(
)
(
будем иметь λ j μ j ,k
)
(
)
и c j μ j ,k − зависимости от средней по каждому
j − му слою температуры в моменты времени
t = tk . Величины
теплопараметров, т.о., пересчитываются после каждого шага по времени. В
( )
уравнениях склейки для первого шага будут присутствовать λ j ϕ j
(
( )
)
и
− + − + c j ϕ j , где ϕ j = 0,5 ϕ (j ) + ϕ (j ) , а ϕ (j ) , ϕ (j ) − значение начальной
( ) и правой границах (ϕ ( ) )
(−) температуры на левой ϕ j
j
+
j − го слоя. В
(
уравнениях склейки для второго шага будут фигурировать λ j μ j ,1
(
)
(
) (
)
)
и
c j μ j ,1 , а для k − го шага −λ j μ j ,k −1 , c j μ j ,k −1 , где средние по слою 1 Ω(j ) температуры после k − 1 − го шага μ j ,k −1 находятся по (11.404) после замены t1 → t k −1 . Указанной модификацией уравнений склейки решение
задачи №14 исчерпывается. Задача №15. Представляет собой такую же, как в задаче №14, модификацию задачи №12. Задача №16. Решается той же модификацией задачи №13. Все задачи с внутренней, внешней и общей нелинейностью могут быть также решены методом дискретизации (§156). §160. Задачи Стефана Ранее в §156, излагался метод дискретизации (метод диссипаторных цепочек), позволяющий решать задачи с внутренней и внешней нелинейностью путем компьютерного расчета температур в любых точках (диссипаторах) одномерных систем на основе конечно-разностных уравнений. Недостатком метода является большое число этих уравнений, т.к 387
оно определяется числом N диссипаторов, образующих цепочку, длиной L . Если L 10м, , то т.к. размеры диссипаторов малы l0 10−5 м , будет
(
)
необходимо на каждом временном шаге решить N = L / l0 = 106 уравнений. Тем не менее, современные компьютеры это позволяют, поэтому рассмотрим кратко этот метод для задач Стефана. Метод дискретизации. Пусть есть цепочка диссипаторов
{M k } ( k = 1, N1 ) , в которой в начальный момент локального времени τ = 0 j −1
j − го временного шага (т.е. при t = t j −1 = τ j ) все диссипаторы M i при
(
j =1
)
i < k i = 1, k − 1 находятся в фазе «1» с параметрами λ1 , c1 , a1 = λ1 / c1. . На внешней левой границе цепочки (т.е. на левой границе дисспатора M 1 ) поддерживается температура Ts1 . Все диссипаторы M v при
ν = k + 1, N 1
находятся в фазе «2» с параметрами λ2 , c2 , a2 = λ2 / c2 . Температура на внешней правой границе цепочки (т.е. на правой границе M N ) равна 1
Ts 2 > Ts1 . Диссипатор M k находится в «промежуточном» состоянии: его температура Tk , j −1 = Tф (температура фазового перехода), а параметры
соответствуют фазе «2».Температуры остальных диссипаторов Ti , j −1 ( i ≠ k ) ,
причем при i = 1, k − 1 они меньше Tф , а при i = k + 1, N1 − больше Tф . Т.о. фазу «1» можно считать «твердой», а фазу «2» - «жидкой». На протяжении D − периода ( j − го шага по времени), когда
τ ∈ ( 0,τ j ) , под действием теплоперетоков, обусловленных разностью между в
( ΔQ( ) = s τ
qф( )
− ф
0 j
(
+ + M k ΔQф( ) = s0τ j qф( )
поступившим
−
)
)
и
отведенным
от
него
теплом, фаза «2» переходит в фазу «1», а параметры
изменяются: При этом Mk l2 → l1 , λ2 → λ1 , c2 → c1 , a2 → a1 . Tk , j (τ ) = Tk , j −1 = Tф = const . Пусть начальные и граничные условия таковы, что на j − м временном шаге от диссипатора M k в фазу «1» отводится тепла больше, чем его поступает в M k из фазы «2»: − + Qф( ) − ΔQф( ) = s0 ρ1σ l1.
Здесь
(11.428)
σ − удельная теплота фазового перехода «2»→«1», s0 − площадь
поперечного сечения диссипатора (всегда можно принять 388
s0 = 1м 2 ).
Балансовое соотношение (11.428) – дискретный аналог условия Стефана (11.265).
(
В момент времени t = t j τ = τ j
)
диссипатор M k «затвердел», т.е.
перешел в твердую фазу «1». Жидкая фаза «2», соответственно, стала на один диссипатор меньше. В отличие от случаев, удлиняющихся или укорачивающихся (нестационарных) цепочек, интервал τ j здесь не задаётся, а определяется в ходе решения задачи, присутствуя в коэффициентах уравнений как
l1ϑфj l + 1 , τ j = 1j . Rj = 2 a1 ϑф
(11.249)
{ } описывается системой ( k −1) уравнений, а ( ) цепочка {M } системой ( N − k ) уравнений
(1) Удлиняющаяся цепочка M v укорачивающаяся
v
{
2
1
}(
)
относительно неизвестных Xν , j ν = 1, k − 1; ν = k + 1, N1 и R j (т.е. всего
N1 неизвестных). Из числа неизвестных выпадает X k , j , т.к. температура диссипатора
M k − Tф = const .
Недостающее,
N1 − е
уравнение,
замыкающее систему, получаем из (11.428), приведя его к виду:
λ1 λ2 λ1 λ + − Tk −1, j + 2 Tk +1, j . l2 l1 l2 l1
ρ1σϑф( ) = Tф j
(11.430)
τ j температуры диссипаторов.
Здесь Tk −1, j − усредненные за период
( j) Уравнение (11.430) содержит одну неизвестную −ϑф = l1 / τ j , поскольку
величины Tk −1, j и Tk +1, j уже выражены через неё с помощью других (m) (m) уравнений. Далее на задачах C( a ) и C( b ) (§156) рассматриваем метод хроностратификации – модификацию метода Ротэ. Метод хроностратификации. Поскольку при m = 1, 2,3 алгоритм (1) решения одинаков, ограничимся далее областью Ω+ , которую в ходе (1) решения заменим на Ωδ = x ∈ 0, δ ( t ) . Классическая задача Стефана
{ (
)}
для системы «лед – вода» в режиме промерзания (перехода в лёд) воды при 1 Tф = const = 0o C и занимающей область Ω+( ) = x ∈ ( 0, ∞ ) , на границе
{
389
}
x = 0 которой поддерживается постоянная температура Tг < 0 , имеет вид [17]:
∂T1 ∂ 2T1 = a1 2 , T1 = T1 ( x, t ) , x ∈ 0, xф ( t ) , t > 0, ∂t ∂x
(11.431)
∂T2 ∂ 2T2 = a2 2 , T2 = T2 ( x, t ) , x ∈ xф ( t ) , ∞ , t > 0 ∂t ∂x
(11.432)
(
)
(
)
T1 ( x, 0 ) = T1 ( 0, 0 ) = Tф = 0, T2 ( x, 0 ) = T0 = const , T0 > 0, (11.433)
T1 ( 0, t ) = Tг = const , λ1
∂T1 ∂x
Tг < 0,
x = xф ( t )
− λ2
∂T2 ∂x
∂T2 ∂x
→ 0, t > 0,
(11.434)
x→∞
x = xф ( t )
= ρ1σ
dxф dt
, t > 0.
(11.435)
Здесь: T1 ( x, t ) , T2 ( x, t ) − температурные поля в твердой («1 – лёд») и в жидкой
(«2-вода»)
теплофизпараметры,
фазах,
λ1 , a1 , λ2 , a2 −
соответствующие
σ − удельная теплота фазового перехода, xф ( t ) −
фронт фазового перехода. Из анализа работ по задачам Стефана [249,250,256-258,261,262,269,280, 283-285] следует: 1) практически приемлемые приближенные решения имеются только для однородных (с постоянными начальными температурами и без источников тепла) краевых задач с постоянными граничными условиями; 2) попытки решений более сложных задач путём перехода к нелинейному интегральному уравнению [249], применение интегральных преобразований и дифференциальных рядов [250,257, 258,261] или численные методы [24,262,279] приводили к весьма сложным алгоритмам; 3) наиболее простые, но достаточно точные для инженерных приложений методы базируются на методе Л.С. Лейбензона «смены стационарных состояний» [17,285] и его модификациях [280,283,284]; 4) в этих методах используются различные, но простые аппроксимации температурных полей, удовлетворяющие граничным условиям [256,290]. Метод хроностратификации, предлагнаемый нами, представляет собой комбинацию модифицированного метода Л.С.Лейбензона и метода «замораживания» Ротэ. Применение метода демонстрируем на двух задачах промерзания воды при переменных граничных условиях: задаче №17 – первой краевой и задаче №18 – с граничным условием третьего рода: 390
∂T1 = α ( t ) Tг ( t ) − Tc ( t ) , Tг ( t ) = T1 ( 0, t ) , t > 0. (11.436) ∂x x =0 Здесь Tc ( t ) − отрицательная (по Цельсию) температура охлаждающей среды
λ1
( Tc ( t ) > Tг ( t ) ) , α ( t ) − переменный коэффициент теплообмена.
В качестве основы дальнейших построений, рассмотрим решение (11.431) – (11.435). Решение Л.С.Лейбензона [17,285] базировалось на аппроксимациях температурных полей. В твёрдой фазе (лёд):
T1 ( x, t ) = Tг + (Tф − Tг )
x xф ( t )
(
)
, x ∈ 0, xф ( t ) , t > 0,
(11.437)
В жидкой фазе (вода):
(
T2 ( x, t ) = Tф + T0 − Tф
)
Подстановка (11.437), кристаллизации вида:
λ1 Здесь
учтено,
Tг
xф ( t )
x − xф ( t ) erf , x ∈ xф ( t ) , ∞ , t > 0. (11.438) a t 2 2
(
(11.438)
− λ2
T0
π a2t
в
(11.435)
= ρ1σ
dxф dt
)
приводит
( β = const ) в (11.439) даёт уравнение λ1
Tг
β
− λ2
ρσ = 1 π a2 2 T0
уравнению
, xф ( 0 ) = 0.
Tг < Tф = 0, T0 > 0 . Подстановка
что
к
(11.439)
xф ( t ) = β t
β,
(11.440)
приводимое к квадратному уравнению, имеющему один, физически корректный корень для набора параметров Tг , T0 , . Решение (11.440) в [17] отсутствует, нами оно получено в виде:
{
}
β = β1 = γ 1 T0 1 + γ 2 Tг / T02 − 1 , λ2 2πλ1a2 ρ1σ , γ2 = . γ1 = 2 ρ1σ π a2 λ2
(11.441)
Для численных расчетов использовались значения параметров, принятые в литературе по льдогенераторам [284]:
ρ1 = 0,917 ⋅103
кг , м3
λ1 =2,22
BT кДж , c v1 =1906 3 , м⋅К м ⋅К
391
м2 кДж a1 = 4,1 ⋅10 , σ = 334 , час кг 2 BT −4 м 3 кДж , c v2 =4,2 ⋅10 3 , a2 = 4,85 ⋅10 . λ2 =0,567 м⋅К час м ⋅К Расчеты проводились для сочетаний температур { Tг , T0 } , , следующих из −3
значений: Tг = 5,10,15, 20 приведены в таблице 11.8
( 0C ) , T0 = 5,10,15, 20 ( 0C ) . Результаты расчетов
Значения параметра β1 по (11.441)
Tг , 0C
Таблица 11.8
T0 , 0C
5 10
5 0,0152 0,0219
10 0,0145 0,0211
15 0,0136 0,0203
20 0,0130 0,0196
15
0,0270
0,0262
0,0254
0,0246
20
0,0313
0,0305
0,0297
0,0289
В известных нам публикациях, классическое решение Стефана до числа не доводится. Имеется работа [256], где сделана попытка найти соответствующие значения β = β 0 , однако в ней не указаны значения расчетных параметров и допущена ошибка. Поэтому нами были проведены расчеты для диапазонов температур согласно табл. 11.8 и указанных значений теплофизпараметров. Результаты этих расчетов, т.е. значения β 0
для решений xф ( t ) = β 0 t классической задачи Стефана, приведены в таблице 11.9. Там же приведены относительные погрешности (i ) (i )
εi =
β1 − β 0 (i )
β0
⋅100%, i = 1,16
Как видно из таблицы 11.9, относительная погрешность зависит от T0 сильнее, чем от Tг , слабо возрастая при изменении Tг от 5 до 20oC. . Среднеарифметические погрешности для столбцов табл.11.9, в которых o T0 = 5,10,15, 20 C , будут, соответственно 4,4%, 6,6%, 8,2%, 9,9%. Это обстоятельство и приведенные в [17]данные о положительных результатах экспериментов по проверке решения Л.С.Лейбензона, позволяют считать последнее надёжной основой для разработки различных модификаций метода в инженерных расчетах. 392
Таблица 11.9 Значения параметра β 0 по решению Стефана [17]
Tг , 0C 5 10 15 20
T0 , 0C 5 0,0147 3,4 0,0210 4,3 0,0258 4,6 0,0297 5,4
10 0,0137 5,8 0,0198 6,5 0,0245 6,9 0,0284 7,4
15 0,0128 6,2 0,0188 8,0 0,0233 9,0 0,0271 9,6
20 0,0121 8,3 0,0178 10,1 0,0223 10,3 0,0260 11,1
Задача №17. Вначале решается задача Стефана в классической (1) постановке в режиме промерзания области Ωδ = x ∈ 0, δ ( t ) ,
)} { ( заполненной водой. Температурное поле в жидкой фазе ( x ∈ ( xф ( t ) , δ ( t ) ) )
будем, в отличие от метода Л.С.Лейбензона, аппроксимировать уравнением прямой:
x − xф ( t ) T2 ( x, t ) = Tф + T0 − Tф , t > 0. 2 a t 2
(
)
(11.442)
Подстановка (11.442) в (11.435), наряду с (11.437), даёт уравнение:
λ1
Tг
xф ( t )
− λ2
T0 2 a2 t
= ρ1σ
dxф dt
.
(11.443)
Отличие (11.443) от (11.439) невелико: в знаменателе второго слагаемого в
π = 1, 772 в (11.439). Уравнение (11.443), как и уравнение (11.439), решается подстановкой xф ( t ) = β t , приводящей к квадратному уравнению относительно β .Решение последнего приводится к виду (11.441) с γ1 = 0,886γ 1 и γ2 = 1, 273γ 2 , , где γ 1 , γ 2 даны в (11.441). Численные расчёты показали, что отличия от β1 величин β1'
левой части в (11.443) стоит «2», вместо
полученных из (11.443), выражаются в нескольких единицах четвертого знака после запятой. Это позволяет в задачах, где важно оценить динамику
фазового перехода, т.е. найти xф ( t ) = β t , а определение температурного поля в жидкой фазе малосущественно, использовать указанную, упрощенную аппроксимацию температурного поля в жидкой фазе. 393
Заметим
Δxф ( t ) =
также,
0 xф( )
(t ) −
1 xф( )
«цена»
что
( t ) = ( β 0 − β1 )
t
абсолютной меньше,
погрешности «цена»
чем
относительной погрешности β1 при замене β 0 → β . Для максимальной погрешности из табл.11.9, соответствующие значения max = 11,1% параметров β будут β 0 = 0, 0260, β1 = 0, 0289 :. Вычислив Δxф ( t ) для
ε
моментов времени (в часах): 1,100,1000, получим:
( )
( )
Δxф (1) = 0, 29см; Δxф 102 = 2,9см; Δxф 104 = 29см. Переходя к особенности задачи №17 – переменным граничным условиям Tг = Tг ( t ) , T0 = T0 ( t ) , исходя из вышеизложенного в качестве уравнения кристаллизации воспользуемся аналогом (11.443):
λ.
Tг ( t )
− λ2
xф ( t )
Подстановка xф ( t ) = β t хроностратификации,
T0 ( t ) 2 a2 t
= ρ1σ
dxф dt
.
(11.444)
в (11.444) невозможна, поэтому прибегнем к вводя
дискретную
k
(
)
t = {tk } , tk = tk −1 + τ k = τ i , t0 = 0, k = 1, K . i =1
шкалу В
духе
времени метода
Ротэ
τ ∈ ( 0,τ k )( τ ∈ (τ k −1 , tk ) левая часть (11.444) k −1 «заморожена», т.е. t = t k −1 , Tг ( t ) = Tг ( tk−1 ) , T0 ( t ) = T0 ( tk −1 ) , xф ( t ) = xф ( tk −1 ) = li ,
считаем,
что
при
i=1
а фронт фазового перехода движется с постоянной скоростью где
lk − продвижение фронта на k- м временном шаге.
ϑф = lk / τ k ,
Тогда (11.444)
принимает вид:
T t г ( k −1 ) λ1 k −1 li i =1
− λ T0 ( tk −1 ) = ρ σ lk . 1 2 2 a2tk −1 τk
(11.445)
Из (11.445) находим:
−1
T (t ) T t ( ) k г − 1 k 0 − 1 . τ k = ρ1σ lk λ1 k −1 − λ2 2 a2tk −1 l i i =1 394
(11.446)
Параметр li в (11.446) может на каждом шаге меняться и может оставаться постоянным: lk = l0 = L / N N = 8 − 10 ). Т.о., закон движения
( L − максимальная
фронта
фазового
толщина перехода
слоя
льда,
вычисляется
( )
«обратным» образом: ищется дискретная реализация закона t = t xф , шаги
lk задаются, а соответствующие им времена τ k вычисляются по (11.446).
Этот метод применим и для задач протаивания, когда Tг ( t ) и T0 ( t ) таковы, что выражения в квадратных скобках в (11.446) становится отрицательным. Этот минус переносится на lk , и ( −lk ) трактуется как шаг движения фронта в обратном направлении. Этот метод применен (с некоторыми усложнениями, обусловленными спецификой задачи) для построения и исследования математической модели аккумулятора атмосферного холода (льдогенератора) [284], рассматриваемой в Разделе 3. Задача №18. Сводится к модификации уравнения (11.446) с учетом граничного условия 3-го рода (11.436). Подставив в последнее (11.437), получим: −1
Tг ( t )
λ1 λ1 = α ( t ) Tc ( t ) − Tг ( t ) , Tг ( t ) = Tc ( t ) 1 + .(11.447) α xф ( t ) t x t ( ) ( ) ф Подстановка последнего выражения, записанного в дискретном виде, в (11.446) даёт: −1
λ1 Tc ( tk −1 ) λ2T0 ( tk −1 ) − τ k = ρ1σ lk , k = 1, K . (11.448) + x t λ α t / ( ) ( ) a t 2 ф k −1 1 k −1 2 k −1 Формулой (11.448) даётся алгоритм расчета зависимости t = xф (с
( )
последующим «обращением», т.е. переходом к зависимости xф = xф ( t ) ), чем задача №18 и исчерпывается.
395
§161. Нелинейные модели рудничной аэрологии Методами математического моделирования в рудничной аэрологии изучают процессы переноса импульса и массы в горных массивах и выработках при технологических и аварийных режимах в шахтах и рудниках [40]. Модели переноса импульса базируются, в большинстве случаев, на линейных уравнениях в частных производных [40,46]. Для горных массивов такие модели рассмотрены во второй части первого тома настоящей монографии [40]. Они классифицированы на x − нелинейные и t − нелинейные, т.е. сводятся к двум видам задач с внутренней нелинейностью. Методы решения их изложены в §§ 157, 158. Там же (в [40]) рассмотрены модели быстропротекающих (аварийных) процессов и процессов тампонирования горных пород, которые после линеаризации какой-либо разновидностью известных методов [40,63,145], приводятся к краевым задачам для гиперболического уравнения теплопроводности (телеграфного уравнения). В третьей части первого тома рассмотрены модели движения газовоздушных смесей в горных выработках с постоянным и переменным расходом при технологических и аварийных режимах. Приведены соответствующие нелинейные уравнения, в ряде случаев, после линеаризации, сводящиеся к телеграфным уравнениям. Модели переноса массы в горных массивах (часть 2 [40]) и в горных выработках (часть 3 [40]), при технологических и аварийных (в т.ч. и пожарных – часть 6 [40]) режимах являются, в большинстве случаев, моделями с внутренней и общей нелинейностью, для которых методы решения краевых задач также рассматривались ранее. Исходя из изложенного, в настоящем параграфе рассматриваются две базисные задачи рудничной аэрологии: линеаризованная краевая задача для телеграфного уравнения, являющаяся моделью быстрого аварийного режима изменения параметров вентиляционной струи в выработке (давление, расхода) – задача №19; нелинейная краевая задача технологического (медленного) переходного аэродинамического процесса в выработке – задача №20. Задача №19. Рассматривается полубесконечная горная выработка (1) (область ). В момент времени в сечении
Ω+ = { x ∈ ( 0, ∞ )}
t=0
x=0
выработки скачкообразно возрастает расход воздуха u ( x, t ) = ϑ ( x, t ) ⋅ S
(ϑ ( x, t ) − средняя в сечении скорость вентиляционной струи, м/сек; S − площадь поперечного сечения выработки, м2). Начинается быстрый переходный процесс, описываемый телеграфным уравнением вида [40]:
∂u ∂ 2u ∂ 2u + τ г 2 + γ u = D 2 + f ( x, t ) , u = u ( x, t ) , x ∈ ( 0, ∞ ) , t > 0. (11.449) ∂t ∂t ∂x 396
Здесь: τ r , γ , D − параметры уравнения [40], f ( x, t ) − функция плотности внутренних источников (стоков), описывающая распределенные вдоль выработки утечки (притечки) воздуха, обусловленные проницаемостью стенок выработки. Краевые условия к уравнению (11.449):
u ( x1 + 0 ) = ϕ ( x ) , u ( 0, t ) = uг = сonst , Здесь
∂u + Ψ ( x ) , x ∈ ( 0, x ) , ∂t t =+0 ∂u ∂x
t > 0,
→ 0,
(11.450)
t > 0.
(11.451)
x →∞
ϕ ( x ) , Ψ ( x ) , u Г − известные величины. Перейдем к обобщенной
формулировке краевой задачи (11.449),(11.450), вводя функции u ( x, t ) =
= θ + ( t ) u ( x, t ) (где θ+ ( t ) − «правая» ступенчатая функция Хэвисайда).
Уравнение (11.449) записываем в операторном виде:
( x, t ) = W ( x, t ) , L = ∂ + τ ∂ 2 + γ − D∂ 2 , x > 0, t ≥ 0. (11.452) Lu t x r t Обобщенный источник W ( x, t ) имеет вид:
∂f W ( x, t ) = f ( x, t ) + τ г − f ( x1 , +0 ) δ + ( t ) + ϕ ( x ) δ + ( t ) + ∂t
(
+τ г Ψ ( x ) δ + ( t ) + ϕ ( x ) δ +' ( t )
)
(11.453)
Оператор L запишем в виде
L = Lγ + τ r ∂ t2 , Lγ = ∂ t + γ − D∂ 2x .
(11.454)
Функцию Грина для уравнения (11.452) получим методом, изложенным в 2 [1], заменив оператор L0 = ∂ t − D∂ x на оператор Lγ . Обозначая её
γ G +( ) ( x, x ', t ) , запишем краевую задачу, которой она должна удовлетворять:
γ γ γ L G +( ) = δ ( x − x ') δ + ( t ) , G +( ) ( 0, x ', t ) = 0, ∂ x G +( )
397
x →∞
→ 0. (11.455)
(γ ) Функция Грина G +0 ( x, x ' t ) удовлетворяет задаче: γ γ γ Lγ G +( 0) ( x, x ', t ) = δ ( x − x ') δ + ( t ) , G +( 0 ) ( 0, x ', t ) = ∂ x G +( 0)
Преобразовав (11.456) по Лапласу (по t ), получим:
Lγ G+( 0 ) = δ ( x − x ' ) , G+( 0 ) = G+( 0 ) ( x, x ', p ) = γ
γ
γ
x→∞
= 0 (11.456)
δ ( x − x ') . 2 p + γ − D∂ x
(11.457)
Обратное преобразование Лапласа в (11.457) даёт:
(
)
γ G +( 0 ) ( x, x ', t ) = θ + ( t ) exp ( −γ t ) exp tD∂ 2x δ ( x − x ') = e−γ t G + ( x, x ', t ) , γ где G +( ) ( x, x ' t ) - функция Грина для области
(11.458)
1 Ω+( )
и оператора задачи
L0 = ∂ t − D∂ 2x . Если теперь повторить выкладки, приведенные в § 153, с (γ ) учетом замены G ( x , x ', t ) → G ( x , x ', t ) , то получим: +
+0
k −1 ∞ k k 2 k θ + ( t ) t γ (γ ) (γ ) exp tD∂2x * G +( 0) G+ ( x, x ', t ) = G+0 ( x, x ', t ) + ( −1) τ r ∂t (t ) k =1 ( k −1)!
(
)
(11.459) Поскольку параметр τ r в моделях, основанных на телеграфных уравнениях, обычно мал по величине [1], ограничиваясь в сумме в (11.459) первым, линейным по τ r членом, можно записать:
γ γ γ G +( ) ( x, x ', t ) G +( 0 ) ( x, x ', t ) − τ r ∂ t2 θ + ( t ) exp tD∂ 2x * G +( 0 ) ( x, x ', t ) . (t )
(
)
(11.460) Подстановка (11.460) в структуру решения в представлении потенциала, содержащую функцию Грина, функцию обобщенного источника W ( x, t ) и граничные условия (11.451), позволяет получить решение задачи №19. Задача №20. Рассматривается переходный аэродинамический режим в полубесконечной выработке с утечками (притечками) воздуха при медленном изменении расхода воздуха в начальном сечении x = 0 . Для
(
расхода воздуха Q ( x, t ) = Vcp ( x, t ) ⋅ S Vcp ( x, t ) − средняя по сечению
398
площадью S скорость вентиляционной струи), Л.П.Фельдманом на основе уравнения Навье –Стока получено [40, §25] уравнение:
∂Q θ ∂Q 2 S ∂Pcp λQ 2 , x > 0, t > 0, + = Φx − − ρ ∂x SR0 ∂t S ∂x
(11.461)
где θ − коэффициент, учитывающий неравномерность поля скоростей в сечении выработки и утечки воздуха (по величине близкий к единице [286]). Φ x − проекция на ось выработки вектора массовых сил; ρ − плотность, а
ρcp ( x, t ) − среднее по сечению давление воздуха в вентиляционной струе; λ − коэффициент сопротивления из формулы Дарси-Фейсбаха [287]; R0 −
гидравлический радиус выработки (равный четверти приведенного диаметра выработки). Уравнение (11.461) отличается от ранее рассмотренных нелинейных уравнений тем, что в нём наряду с внешней нелинейностью источникового тепла
(член
λ Q 2 / SR0 ) присутствует конвективно-нелинейный член
∂Q2 / ∂x , характерный для уравнений гидродинамики. Такого типа уравнения в [286] и других источниках обычно решаются только численно, в то время как в ряде случаев интерес представляет получение приближенного аналитического решения. Краевые условия к (11.461):
Q ( x, 0 ) = Q0 ( x ) , x ∈ ( 0, x ) ; Q ( 0, t ) = Qг ( t ) ,
∂Q ∂x
= 0, t > 0. (11.462) x→∞
Используя метод И.С. Громеки [38], полагаем:
Φx −
S ∂pcp = F = const , x > 0, ρ ∂x
t > 0.
(11.463)
Вводим обозначения:
Q 2 ( x, t ) = u ( x, t ) ,
θ
λ = W , = h, Q02 ( x ) = u0 ( x ) , Qг2 ( t ) = uг ( t ) . S SR0
(11.464)
В новых обозначениях задача (11.461)÷(11.463) принимает вид:
∂ u ∂u +W + hu = F , ∂t ∂x
x > 0, t > 0, 399
(11.465)
u ( x, 0 ) = u0 ( x ) , u ( 0, t ) = uг ( t ) , u0 ( 0 ) = uг ( 0 ) ,
∂u ∂x
= 0, x > 0, t > 0. x→∞
(11.466) В краевой задаче (11.465), (11.466) переходим к безразмерной функции:
ϑ ( x, t ) =
u ( x, t ) u ( x, ∞ ) u s ( x ) , ϑ ( 0, 0 ) = 1, ϑ ( x, ∞ ) = ϑs ( x ) = = . uг ( 0 ) uг ( 0 ) uг ( 0 )
(11.467)
Рассматриваем переходный процесс убывания расхода воздуха, QГ ( t ) −
убывающая функция времени. Пусть QГ ( ∞ ) = QГs = 0, 2QГ ( 0 ) . Тогда
ϑ ( x, t ) ∈ [0,04;1,0]. Краевая задача (11.465), (11.466) принимает вид:
1 ∂ϑ ∂ϑ 2F +W + hϑ = F, W = 2 uг ( 0) W , h = 2 uг ( 0) h, F = , (11.468) ∂ t ∂ x ϑ uг ( 0)
ϑ ( x, 0 ) = ϑ0 ( x ) = Линеаризуем
u0 ( x ) u ( t ) ∂ϑ , ϑ0 ( 0, t ) = ϑг ( t ) = г , uг ( 0 ) uг ( 0 ) ∂x (11.468),
уравнение
полагая
= 0. x →∞
(11.469)
ϑ = ϑ* = const ,
ϑ* t = τ . Оно принимает вид: ∂ϑ ∂ϑ (11.470) +W + hϑ = F , ϑ = ϑ ( x,τ ) , x > 0, τ > 0. ∂τ ∂x Значение ϑ* = const будет определено далее, а уравнение (11.470) с учетом краевых условий (11.469) решаем методом двукратного преобразования Лапласа по переменным x ∈ ( 0, ∞ ) и τ ∈ ( 0, ∞ ) . Функция – изображение
ϑ ( s, p ) :
∞∞
ϑ ( s, p ) = Lτ Lx {ϑ ( x,τ )} = dx dτ exp − ( sx + pτ ) ϑ ( x,τ ) . (11.471) 0 0
Уравнение (11.470) принимает вид:
(
)
pϑ ( s, p ) + W sϑ ( s , p ) − ϑг ( p ) + hϑ ( s , p ) =
F + ϑ0 ( s ) . (11.472) sp
Решение (11.472): −1
p h F ϑ ( s, p ) = W s + + ⋅ + ϑ0 ( s ) + W ϑг ( p ) . (11.473) W W ps 400
Двукратное обратное преобразование Лапласа в (11.473) даёт ϑ ( x, t ) :
F x = − − + − − ≤ ϑ x , τ 1 exp h τ ϑ x W τ exp h τ , τ , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 h W ϑ ( x, τ ) = ϑ2 ( x,τ ) = F 1 − exp − hx + ϑг τ − x exp − hx , τ > x . h W W W W (11.474)
В силу условия согласования («быстрое» поле) и
ϑ0 ( 0) = ϑг ( 0) , решения (11.474) ϑ1 ( x, t )
ϑ2 ( x, t ) (квазистационарное поле) при τ =
x W
, что обеспечивает непрерывность решения во всем временном диапазоне τ > 0. Получим численные оценки для момента времени τ L = L / W , в который в точке x = L функция ϑ1 ( x,τ ) переходит в функцию ϑ2 ( x1τ ) совпадают:
x x = ϑ2 x, W W
ϑ1 x,
ϑ0 , сменяется на квазистационарный, зависящий от граничной функции ϑг ).
(т.е. начальный режим, на который влияет начальное распределение 2
Принимаем значения: S = 7,0м ; R0 = 0,75м . Параметр λ связан с табулированным коэффициентом аэродинамического сопротивления [40] зависимостью: λ = 65, 4α . Выбираем выработки α кг/м 4 ⋅ с 2
(
)
характерное для закрепленных штреков значение α = 10−3 кг / м 4 с 2 , так что λ = 0, 0654 , h = λ / SR0 ≈ 0,0125 . Поскольку параметр θ ≈ 1 [63,286],
W 1/ S 0,1429, W / h 11,43. Поскольку ϑ* ∈ [0, 04;1, 0] , примем , 3 что ϑ* = 0,52 . Полагаем Qг ( 0 ) = 28,0 м /с (т.е. скорость вентиляционной
струи в начальный момент времени равна 4 м/с ). Тогда W = 2 uг ( 0 ) ×
× W = 2 ⋅ 28 / 7 = 8 ( м/с ) .
Для значений L = {10,25,50,100,200,300,400,500}( м) рассчитываем
значения t L = L / W ϑ* при ϑ* = ϑ*min = 0, 04; ϑ* = ϑ* = 0, 52; ϑ* = ϑ*max = 1,0, обозначая их соответственно tL min , tL max . Результаты этих расчетов приведены в таблице 11.10.
401
Таблица 11.10 Характерные времена t L Характерные времена, с
tL min tL tL max
L, м
10
25
50
100
200
300
400
500
1,250
3,125
6,250
12,5
25,0
37,5
50,0
62,5
3,75
9,375
18,75
37,5
75,0
112,5
150,0
187,5
6,25
15,625
31,25
62,5
125,0
187,5
250,0
312,5
Как видно из таблицы 11.10, максимальное время «подхода начального возмущения» ≈ 5 минутам, в то время как характерные времена переходных процессов рассматриваемого вида – 30-60 мин.[40]. Этим подтверждается принятое ранее интуитивно значение ϑ* = 0,5 (ϑ*min + ϑ*max ) = 0,52 . Таким образом, практически для всего периода переходного процесса (кроме первых 5 минут) использовать функцию ϑ2 ( x, t ) − квазистационарное решение. Найдем отличие этого квазистационарного решения от стационарного −ϑs ( x ) = ϑ2 ( x, t )t →∞ . Имеем:
F
hx hx x hx ϑ2 ( x,τ ) − ϑs ( x ) = Δϑs = ϑг τ − − ϑгs exp − . W W
ϑs ( x) = lim ϑ2 ( x,τ ) = 1− exp − +ϑгs exp − ,ϑгs = lim ϑг (τ ) , (11.475) τ →∞ τ →∞ h W W (11.476)
Поскольку разность величин, стоящих в квадратной скобке в (11.476) всегда
hx 0, exp − S = 10−4 − дает то значение x = xS , которое W отделяет область x ∈ ( 0, xS ) , где отличие Δϑs мало, но ощутимо, от области x > xs , где можно считать Δϑs 0 . Получаем: 4W W W (11.477) xs = ln10 = 9, 2 = 9, 2 = 105, 2 ( м ) . h h h Поскольку ϑs ( x ) соответствует τ = θ* t → ∞ , ϑ* может быть взято произвольным из диапазона ϑ* ∈ [0, 04;1, 0] , и, в частности, ϑ* = 0,52 . Возврат от промежуточных функций ϑ ( x, t ) и u ( x, t ) к расходам
<1, 10
−4
Q ( x, t ) тривиален; им исчерпывается задача №20. 402
ЧАСТЬ 12 НЕОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ Глава 47. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§162. Краткий обзор Развитие теоретических основ горной теплофизики начиналось с актуальных для периода углубления действующих и строительства глубоких шахт задач, связанных с прогнозом теплового режима выработок. В последние 40−50 лет учет теплопритоков к рудничному воздуху от горного массива осуществляется посредством коэффициентов нестационарного теплообмена Kτ, для которого получены различные формулы [40,89,288,289]. При этом модели, на основе которых рассчитываются Kτ, являются одномерными краевыми задачами теплопроводности в области r ∈ [R0, ∞) горного массива. Здесь r − координата, отсчитываемая от центра сечения выработки, приведенного к круговому, R0 − эквивалентный радиус такого сечения. Однако уже достаточно давно стало ясно, что одномерные идеализации недостаточны и необходима разработка двух- и трехмерных моделей: взаимосвязанного тепломассопереноса во влагосодержащих массивах; термоупругости и термопластичности (устойчивости) массивов; сопряженного теплопереноса в системах выработка−массив; развития и тушения подземных пожаров [290-295]. В настоящее время в общей и прикладной теплофизике целостная методология построения и упрощения (редукции) неодномерных моделей отсутствует, имеются лишь отдельные работы, в которых многомерные краевые задачи решаются весьма сложными методами [18,29,30,137,282] либо редуцируются без должных оценок и обоснований. В настоящей главе на основе краткого обзора формулируются методологические принципы редукции и приближенного решения задач. Впервые двумерная краевая задача (в связи с моделированием температурного поля в массиве вокруг выработки прямоугольного сечения) была, видимо, рассмотрена в [89]. Ширина и высота сечения выработки составляли соответственно 2a = 4,8 м и 2b = 2,4 м. Коэффициент теплообмена между стенкой выработки и вентиляционным воздухом был постоянным и равным α = 10 ккал/м2·ч·град. Коэффициенты теплои −4 2 температуропроводности: λ = 1,0 ккал/м·ч·град, a = 20,3·10 м /ч. Ввиду симметричности задачи температурное поле рассчитывалось только в первом квадранте, который разбивался на элементарные квадратные ячейки (Δx = Δy =1,2 м). Использовался метод элементарных балансов, определялись температуры в узлах расчетной сетки и теплопритоки от массива к стенкам 403
выработки. Последние сравнивались с таковыми, найденными по аналитическим формулам для кругового сечения с эквивалентными радиусами R1,э = V/2π и R2,э = (S/π)1/2, где V, S − периметр и площадь сечения прямоугольной выработки. Для R1,э значения теплопритоков оказались несколько ниже, а для R2,э − выше, чем для кругового сечения, однако во всех случаях (для времён проветривания от 725 ч до 2000 ч) относительные погрешности не превышали 2,5%. При существенном превышении шириной выработки ее высоты прямоугольное сечение в ряде работ заменялось щелью. Такая редукция осуществлялась для очистных выработок (лав) и выработанных пространств [40]. Х. Луригом рассматривалась двумерная задача, аналогичная [89], но решение ее было численным. Оно показало, что при a/b = 2,0 теплопритоки к кровле и почве на 10% превышают теплопритоки к боковым стенкам. Моделирование двумерных полей на гидроинтеграторе (для выработок кругового, квадратного, прямоугольного и сводчатого сечений) показало [296], что средневзвешенная температура поверхности кругового сечения выработок (вводимая в силу начальной температурой асимметрии, обусловленной учетом геотермии) превышает таковые для всех других форм сечений. Выработка некругового сечения, форма которого задавалась аналитической функцией, рассматривалась в [297]. Уравнение теплопроводности в массиве записывалось в полярных координатах {ρ, ϕ} и решалось преобразованием Лапласа по времени t. Решение получено в форме бесконечного ряда, первый член которого соответствовал круговому сечению. Сложные формы сечений (для усеченных дискообразных, шаровых, эллипсоидных) выработок (подземных сооружений) рассматривались А.С. Галицыным [30]. Уравнения записывались в специальных системах координат, решались интегральными преобразованиями. Вид решений весьма сложен (ряды и интегралы от комбинаций спецфункций) и для практических расчетов непригоден. Весьма сложные методы (тепловых потенциалов, граничных интегральных уравнений) использовались также в [137], где рассматривались температурные поля в массивах вокруг выработок некругового сечения и с учетом геотермии. Для нескольких частных случаев решение было доведено до конца, в частности было показано, что использование для определения радиуса R0 эквивалентного кругового сечения формулы R0 = 2S/V (рекомендуемой в ряде руководств) ведет к завышению среднеинтегральных значений K τ , ср . Для прямоугольных выработок, в частности, при отношениях ширины к высоте 1; 2; 3; 4, погрешности K τ , ср составляют соответственно 2,5; 10,2; 17,3; 26,3% . В упомянутых моделях двумерные температурные поля возникали под действием двух факторов: отличия формы сечения выработки от кругового; 404
учета геотермической начальной температурной неоднородности массива. К двух- и трехмерным моделям ведут и другие факторы − неоднородность (слоистая плоская или радиальная) и (или) анизотропия теплофизических свойств горных массивов [40,290-293,137,298]. Другая группа неодномерных моделей возникает при рассмотрении сопряженного теплопереноса в системах массив−выработка (различные технологические и аварийные режимы вентиляции) [40,291,293-298]. Обычно такие модели упрощаются без достаточно строгих оценок и обоснований. Неодномерные модели теплопереноса используются в многочисленных теплофизических приложениях. Анализ источников (более восьмисот) показал [40, Часть 7], что: 1) двух- и трехмерные краевые задачи ставятся как для линейных, так и для нелинейных уравнений переноса; 2) они решаются аналитическими, численными и гибридными методами; 3) эти методы сводятся к двум группам − без понижения и с понижением размерности (редукцией) задачи; 4) методы без понижения размерности ведут к весьма громоздким вычислениям и конечным результатам; 5) методы с понижением размерности используют различные упрощающие предположения и оценки порядков величин для обоснования редукции исходной задачи. Исходя из вышеизложенного, далее на основе работ [1,34,116118,122,289,301-308] излагаются методологические принципы построения различных приближений, метод точного (без понижения размерности) решения неодномерных краевых задач методы решения сопряженных задач, задач со слоистой теплофизической неоднородностью.
§163. Методологические принципы Методологические принципы моделирования неодномерных температурных полей в горных массивах формулируем, рассматривая некоторые количественные характеристики двумерного температурного поля в горном массиве вокруг выработки прямоугольного сечения [89]. Двумерная охлажденная зона имеет неодинаковую протяженность вдоль осей Ox, Oy и луча, исходящего из центра кровли под углом 45° к Oy (центры начала координат и сечения выработки совпадают; оси Ox, Oy нормальны соответственно боковой стенке и кровле выработки). Длину векторов, отложенных от точек на стенках выработки по трем указанным направлениям до точек массива, температура в которых отлична от Tп на 10−3°C и менее, обозначим δi; это и будут размеры охлажденной зоны в различных направлениях (i = x − вдоль Ox, i = y − вдоль Oy, i = 0 − вдоль луча под < 45° к Oy). Для времени охлаждения массива τ1 = 725 ч (≈ 1 месяц) согласно [89] (1) (1) имеем: δ x = δ y = 6,0 м; δ (01) = 6,72 м. Для времени охлаждения τ2 = 2000 ч (≈ 405
( 2)
( 2)
2,8 месяца): δ x = δ y = 9,6 м; δ (02 ) = 10,15 м. Температуры массива на осях Ox и Oy вблизи стенок выработки несколько отличаются, сближаясь по мере удаления от них. Перепады температур ΔTx и ΔTy между этими точками и температурами в точках, отстоящих на 1,2 м от осей Ox и Oy и лежащих на линиях, параллельных координатным осям, невелики и максимальны на (1) ( 2) стенках выработки. Для кровли ΔTy = 23·10−4°C, ΔTy = 24·10−4°C. Для боковой стенки ΔTx(1) = 4·10−2°C, ΔTx( 2 ) = 3·10−2°C. Отношения плотностей (1) (1) потоков тепла к центру кровли (qy) и к центру боковой стенки (qx): qy / qx = ( 2) ( 2) 0,9; q y / qx = 0,83. Отношения этих величин на границах охлажденных зон (1) (1) к таковым на стенках выработки: qδ(1, )x / q x(1) = 1,3·10−3; qδ, y / q y = 2·10−3;
qδ( 2, x) / q x( 2 ) = 1,2·10−3; qδ(2, y) / q (y2) = 2,5·10−3. Из этих данных следуют принципы A1, B1, C1 (первая группа). A1. Охлажденная зона в массиве имеет максимальную протяженность в направлении, где охлаждающие действия кровли и боковой стенки суммируются; по осям Ox и Oy ее протяженность примерно одинакова; границы охлажденной зоны являются практически адиабатическими. B1. Температурные различия по мере удаления от стенок выработки для равноотстоящих от них точек нивелируются. C1. Оси Ox и Oy являются практически адиабатическими границами (АГ); для «адиабатических стержней» − полос шириной 0,1 м, содержащих в себе АГ Ox и Oy как оси симметрии, можно считать соответственно ∂T/∂y ≃ 0
и ∂T/∂x ≃ 0. Полагая далее, что эти принципы справедливы для двумерных температурных полей в массивах вокруг выработок всех симметричных форм (круговой, прямоугольной, квадратной, эллиптической). Обоснование понятия «охлажденная зона» было дано в [89], а обоснованность принципов A1, B1, C1 вытекает также из известных в теплофизике (но сформулированных позднее) принципов «поэтапного моделирования», «местного влияния», «локализации» [90,92]. Вторая группа методологических принципов содержит способы априорных оценок возможностей редукции краевых задач (понижения размерностей трех- и двумерных задач). A2. Один из методов редукции − покоординатного спуска [48], требует обоснования утверждения, что T ( x, y, t ) ≃ T ( x, t ) (далее, не ограничивая общности, рассматриваем редукцию двумерных задач к одномерным). Для выполнения последнего приближенного равенства необходимо, чтобы в области ω определения T ( x, y, t ) (x, y ∈ ω) было: ∂T/∂y ≃ 0 (или ∂T/∂y << ∂T/∂x). Для осуществления этих (дифференциальных) оценок необходимо постулировать аппроксимацию температурного поля в ω − Tˆ ( x, y, t ) , 406
удовлетворяющую краевым условиям (всем или частично). Тогда для оценок можно воспользоваться условиями ∂Tˆ / ∂y ≃ 0 или ∂Tˆ / ∂y << ∂Tˆ / ∂x . Возможно также использование конечных (алгебраических) оценок типа [Tп(H2) − Tп(H1)]/(H2 − H1) << [Tп(Hср) − T0]/Rз, где T(H2), Tп(H1) − температуры в нетронутом массиве на глубинах H2 и H1 вокруг вертикального ствола, Hср = (H1 + H2)/2, Rз = Rз(t) − ширина охлажденной зоны вокруг ствола. Это неравенство показывает, что вертикальная компонента потока тепла существенно меньше радиальной, т.е. можно считать (полагая вертикальной ось Oz) T ( z, r , t ) ≃ T ( r , t ) . B2. Другой, широко распространенный метод понижения размерности краевых задач теплофизики − усреднение температуры по одной из координат. Вводится оператор усреднения [299] (для примера − по y; x, y ∈ ω = {x ∈ (0, L1), y ∈ (0, L2)})
1 L2 S {T ( x, y, t )} = U ( x, t ) = T ( x, y, t )dy L2 0
(12.1)
При применении его к краевым задачам относительно функций T ( x, y, t ) возможны случаи: 1) заданы граничные условия II рода − λ(∂T / ∂y) y =0 = q( −) ( x, t ) , λ(∂T / ∂y) y =L2 = q (+) ( x, t ) ; 2) заданы те же, но однородные условия АГ − q ( − ) ( x, t ) = q ( + ) ( x, t ) = 0 ; 3) заданы (при y = 0, y = L2) граничные условия I, III или IV родов. В первом случае оператор S {T ( x, y, t )} переводит краевую задачу в одномерную относительно функции U ( x, t ) , но в краевой части уравнения появляется «источник тепла» (функция плотности которого задана, так как q ( + ) ( x , t ) и q ( − ) ( x, t ) известны). Во втором случае (границы y = 0 и y = L − «адиабатические стержни») уравнение одномерно, а функция U ( x, t ) − квазиодномерное приближение). По квазиодномерному приближению U ( x, t ) можно приближенно найти T ( x, y, t ) , если известны граничные температуры T ( x,0, t ) = μ ( − ) ( x, t ) и T ( x, L2 , t ) = μ ( + ) ( x, t ) . Последнее требует реализации одного из вариантов: 1) в случае 3), когда при y = 0 и y = L2 задано какое-либо из граничных условий − «переопределенная задача» (так как эти границы − АГ); 2) частный случай варианта 1) − y = 0 и y = L2 − границы охлажденной зоны, на которых T ≈ Tп = const и которые, кроме того, являются АГ; 3) граничные условия I рода − функции μ ( − ) ( x, t ) и μ ( + ) ( x, t ) заданы; 4) граничные условия III или IV родов − функции μ ( − ) ( x, t ) и μ ( + ) ( x, t ) вводятся (как неизвестные) и затем определяются из граничных условий. Приближенное решение двумерной задачи записывается в виде: T ( x, y, t ) = μ ( − ) ( x, t ) + [ μ ( + ) ( x, t ) − μ ( − ) ( x, t )]Ψ ( y ), x ∈ (0, L ), y ∈ (0, L ). (12.2) 1 2 Здесь Ψ(y) − функция «восстановления» (размерности), удовлетворяющая условиям: 407
dΨ dΨ Ψ ( 0 ) = 0, Ψ (L ) = 1; = = 0. . (12.3) 2 dy y =0 dy y = L 2 Два последних условия − дополнительные, они обязательны, если y = 0 и y = L2 − «адиабатические стержни». Функция Ψ(y) обычно выбирается в классе элементарных функций, в частности степенных [299]. Третья группа методологических принципов − оценка методов решения (аналитических) неодномерных задач: A3 − при использовании редукции; B3 без использования редукции. A3. Анализ источников [40] показывает, что к модели редукции относятся: покоординатный спуск, усреднение, бесконечные и конечные интегральные преобразования, автомодельность. Два первых нами рассмотрены, последний имеет узкую область применяемости, третий и четвертый весьма громоздки как в ходе решения, так и по форме конечных результатов. Для решения задач горной теплофизики полагаем перспективными два первых метода. B3. Методы решения неодномерных краевых задач теплофизики без предварительного понижения их размерности [40]: разделение переменных; преобразование Лапласа по времени; тепловые потенциалы; функции Грина; прямые методы математической физики. Первый метод требует «хорошей геометрии» задачи; второй и третий (в особенности!) − громоздки. Предпочтение необходимо отдать методу функций Грина и методу Бубнова−Галеркина (как наиболее «прозрачному» из прямых методов математической физики).
§164. Методы редукции задач Рассмотрим методы редукции на основе оценок «зон одномерности» − частей горного массива, в которых температурное поле можно приближенно описывать одномерными моделями. Аналогичная задача решалась в [91] численно; использовался термин «зона регионального влияния». Ограничиваясь теплофизически однородными и изотропными массивами, рассмотрим две группы выработок, для которых есть отличия в формировании охлажденной зоны в массиве: проходимые (тупиковые) и эксплуатируемые (выработки сквозного проветривания). Проходимые выработки. Используем методологические принципы A1 и B1. Пусть проходка выработки кругового сечения осуществляется с постоянной скоростью ϑпр , текущая длина выработки − L. Координата x отсчитывается от начального сечения выработки в сторону забоя и совпадает с осью выработки. Температура воздуха в выработке TB = const. Разобьем
{
}
область массива Ω = x ∈ [0, L), r ∈ [ R0 , Rз max ) , выработке, на подобласти
примыкающую
ω = ω ( xi ) = { x ∈ [ xi − Δx, xi + Δx], r ∈ [ R0 , Rз max ]} ,
где R0 − радиус сечения выработки,
408
к
Rзmax − максимальный радиус охлажденной зоны з
ϑпр , i = 0, N , N = L/2Δx >> 1. Для времени охлаждения ω(xi), tох(i)
имеем: (i ) tох = tох ( xi ) =
L − xi
ϑпр
, tох (0) = tох,max =
L
ϑпр
, tох ( xN ) = tох,min =
2Δx
ϑпр (12.4)
Уравнение теплопроводности в области Ω: 1 ∂ ∂T ∂ 2 T ∂T (12.5) = a + 2 , T = T (r , x, t ) , x, r ∈ Ω , t > 0. r r r r ∂t ∂ ∂ ∂x Вводим оператор усреднения температурного поля в подобласти ω(xi):
1 xi + Δx S {T (r , x, t )} = U (r , t ) = T (r , x, t )dx . 2Δx xi − Δx
(12.6)
Применив (12.6) к (12.5), получим:
∂U a ∂ ∂U a ∂T = r + ∂t r ∂r ∂r 2Δx ∂x
∂T − ∂x x +Δx i
. xi −Δx
(12.7)
Второе слагаемое в правой части (12.7) преобразуем, заменив производные конечно-разностными соотношениями (что, возможно, так как Δx/L << 1). Поскольку TB = const, все подобласти ω(xi) (кроме i = 0 и i = N) имеют приближенно одинаковую «термическую историю»: эволюция температурного поля в ω(xi) повторяет таковую в ω(xi−1) с временным запаздыванием Δτ = 2Δx / ϑпр ( t ох( i −1) = t ох(i ) + Δτ ). Перетоки тепла (вдоль Ox) из ω(xi) в ω(xi−1) (поскольку соответствующие точки в ω(xi−1) охлаждаются на Δτ больше) компенсируются примерно такими же перетоками из ω(xi+1) в ω(xi). Если перейти к пределу N → ∞, то вторая конечно-разностная 2 2 производная в (12.7) примет вид (− τr∂ U/∂t ), а само уравнение (12.7): ∂U ∂ 2U a ∂ ∂U + τr 2 = r r ∂r ∂r ∂t ∂t
,
U = U (r , t ) , τ r =
a
ϑпр2
.
(12.8)
Уравнение (12.8) является гиперболическим уравнением теплопроводности, для которого показано, что при t ≳ 8τr его решение практически совпадает с таковым для параболического уравнения (т.е. (12.8) без второго члена в левой части) [18]. Таким образом, при t ≳ 8τr член τ r ∂ 2U / ∂t 2 , описывающий теплоперетоки в массиве вдоль оси Ox можно опустить, т.е. использовать одномерное параболическое уравнение, где U = U ( r , t ) . Из (12.4) и (12.8) следует: 409
tох ( x) =
L−x
ϑпр
≳8
a
ϑпр2
, x ≲ L − l, l =
8a
ϑпр
.
(12.9)
Получена оценка зоны одномерности поля (его зависимости только от (r, t)): x ≲ L − l. При x > L − l − поле двумерно. Для диапазонов изменения параметров: a = (5−40)·10−4 м2/ч, ϑ пр = 0,1−2,0 м/ч получаем:
lmin =
8amin
ϑпр,max
= 0,02 м,
lmax =
8amax
ϑпр,min
= 0,32 м.
(12.10)
Таким образом, в режиме проходки выработки с постоянной температурой воздуха температурное поле в окружающем ее массиве практически одномерно. Этот случай является идеализацией реальных условий проходки, когда вентиляция тупиковой выработки осуществляется вентиляторами местного проветривания в одном из трех режимов: нагнетательном, всасывающем и комбинированном. В первом из них, в предположении герметичности воздуховода, охлаждаемый воздух движется, постепенно нагреваясь, от забоя к началу выработки. При этом у всех слоев ω(x) «термическая история» приблизительно одинакова, и вновь можно использовать предыдущий способ оценки, базирующаяся на переходе к гиперболическому уравнению теплопроводности. При других режимах работы вентиляторов местного проветривания такую аналогию провести нельзя и оценка (12.9) не работает. Если рассматривать выемку полосы в лаве комбайном, движущимся с постоянной скоростью ϑk как «проходку», то оценка (12.9) применима для определения зоны, в которой температурное поле (строго говоря, трехмерное) в пласте угля, породах почвы и кровли приближенно не зависит от координаты Ox , отсчитывают вдоль лавы (от ее начала к концу). Поскольку ϑk > ϑпр оценки l, выполненные ранее, дадут еще меньшие величины и исключение координаты x будет еще более обоснованным. Другим аналогом «проходки» является движение вслед за лавой зоны выработанного пространства при управлении кровлей плавным опусканием. Роль ϑпр играет скорость подвигания забоя ϑ л. Исключается, при должном результате оценки (12.9), координата, перпендикулярная плоскости забоя (направленная в глубь пласта по его простиранию). Таким образом, возможность редукции неодномерной задачи установлена методом усреднения. Эксплуатируемые выработки. В горной теплофизике, начиная с [89], принято считать, что проходка осуществлена мгновенно, а температурное поле в массиве одномерно: T = T (r , t ) . Как следует из предыдущего, эта 410
гипотеза весьма правдоподобна. Встречаются, однако, ситуации, когда эта гипотеза нуждается в проверке (оценке одномерности). Рассмотрим в качестве критерия одномерности отношение продольной qx и радиальной qr компонент теплового потока в массиве. Согласно принципу А2 полагаем поле одномерным, т.е. T = T (r , t ) при выполнении условия qx/qr << 1. Выражения для qx и qr найдем, воспользовавшись полиномиальной (квадратичной) аппроксимацией температурного поля в массиве [40]: 2
T (2)
R (t ) − r = T (2) (r , x, t ) = Tп − (Tп − Tст ( x, t ) ) з , Rз (t ) = R0 + 4 at . R ( t ) − R 0 з .
(12.11)
Здесь Tст ( x, t ) − температура стенки выработки; x ∈ ( 0, L ) ; r ∈ [ R0 , Rз (t )) ; a − температуропроводность массива; t − время его охлаждения. Из (12.11) следует:
q x ∂T (2) / ∂x 1 Rз (t ) − r ∂Tст = = .. qr ∂T (2) / ∂r 2 Tп − Tст ( x, t ) ∂x
(12.12)
Поскольку правая часть здесь максимальна при r = R0, для qx / qr имеем оценку
qx qx 1 R (t ) − R0 ∂Tст < = з = q. . qr qr r = R 2 Tп − Tст ( x, t ) ∂x 0
(12.13)
Чтобы конкретизировать критерий одномерности q << 1, рассмотрим случай задания на стенках выработки граничных условий III рода:
∂T λ ∂r
r = R0
Tп − Tст ( x, t ) = α [Tст ( x, t ) − Tв ( x, t )] = 2λ . R ( t ) R − 0 з
Отсюда следует:
2λ T δ з (t ) ∂Tв δ з (t ) п , q= . 2λ 2 ( , ) − ∂ T T x t x ( ) п в α+ δ з (t )
α Tв ( x, t ) + Tст ( x, t ) =
411
(12.14)
Здесь α − коэффициент теплообмена между стенкой выработки и воздухом; λ − коэффициент теплопроводности горного массива; δ з (t ) = Rз (t ) − R0 − ширина охлажденной зоны массива. Оценим qi, воспользовавшись данными измерений и расчетов «макроградиентов» температуры воздуха ηi [40].
0, 24 − 1, 0, i = 1, ηi ∂Tв , ηi = 0,1 − 0,55, i = 2, (12.15) ≃ ∂x i 100 0,1 − 3, 3, i = 3. Размерность [ηi] = °C/100 м, i = 1, 2, 3 − соответственно для участковых (без
транспорта), откаточных и очистных выработок. Для времен эксплуатации этих выработок τj (j = 1 − 1 месяц, j = 2 − 1 год для j = 1, 2 и j = 3 − 1 сутки для лав), средних значений теплофизпараметров, Tп, Tво (температур воздуха на входе в выработку), L1 = L2 = 103 м, L3 = 200 м, находим:
10 C, i = 1, ηL ΔT ( Li ) = min (Tп − Tв ( x, t ) ) = Tп − Tво − i i = 14,5 C, i = 2, 100 13,5 C, i = 3,
q1(τ1) = 2,74·10−3; q1(τ2) = 9,48·10−3; q2(τ1) = 10−3; (12.16) q2(τ2) = 3,4·10−3; q3(τ3) = 1,9·10−4. Таким образом, во всех случаях условие q << 1 соблюдается, т.е. зависимостью температурного поля в массиве от продольной координаты Ox можно пренебречь, считая, что T ( x, r , t ) ≃ T ( r , t ) , т.е. применять метод покоординатного спуска для редукции исходной задачи.
§165.Оценка зоны неодномерности поля вокруг выработки некруговой формы Одним из факторов неодномерности температурного поля массива вокруг эксплуатируемых выработок является отличие формы их фактического сечения от кругового [137]. Используя методологические принципы A2 и B2, рассмотрим выработку с произвольным сечением на плоскости xOy . Третью координату Oz (вдоль выработки) считаем уже исключенной из рассмотрения. Начало координат O расположено так, чтобы минимальное расстояние от него до стенки выработки было lmin, а максимальное − lmax. Рассматриваем три круговых сечения выработок с общим центром в точке O, имеющие радиусы: R1 = lmin, R2 = lmax, R0 = (R1 +R2)/2. Для характеристики формы сечения вводим коэффициент 412
асимметрии K a = R2/R1. Расчеты K a были проведены для выработок круглого ( K a = 1), квадратного ( K a = 1,41), эллиптического ( K a = 1,0−4,0), прямоугольного ( K a = 1,41−4,12), трапециевидного ( K a = 1,0−2,92) и арочного ( K a =0,99−2,75) сечений при максимальном отношении a/b = 4,0 (a − горизонтальный, b − вертикальный максимальные размеры сечений). Параметр K a связан с параметром η0 = ΔR/R0 (ΔR = R2 -− R0 = R0 − R1):
Ka =
1 + η0 1 − η0
,
Ka −1 . Ka + 1
η0 =
(12.17)
Введем меры близости температур массива T1 и T2 и безразмерных соответствующих температур θ1 и θ2 (θi = (Ti − Tв)/(Tп − Tв) (i = 1, 2):
δT = T2 − T1 , δθ = θ 2 − θ1 = δT /(Tп − Tв ) , δT = (Tп − Tв )δθ .
(12.18)
−2
Если δθ = ε << 1, то δT = (Tп − Tв )ε и при ε = 5·10 , Tп − Tв = 20°C получим δT = 1°C. Поскольку погрешность в 1°C вполне допустима для оценок и приближенных расчетов, считаем, что погрешность δθ = 0,05 также допустима. Определим влияние параметра K a (считая K a ∈ [1, 0; 4, 0]) на δθ, полагая критерием одномерности δθ ≲ 0,05. Величины θi определим для трех случаев: R1, R0, R2. В силу известных свойств решений уравнения теплопроводности («локализация» и др.) разница температур в соответствующих точках массива при сечениях с радиусами R1, R0, R2 будет, по мере увеличения отношения r/R0, уменьшаться, приближаясь к нулю. Значение rз 0 , такое, что при r ≳ rз 0 , будет выполняться δθ << 0,5 для всех значений безразмерного времени F0 ( F0 = at / R02 ) и будем считать границей зоны одномерности. Таким образом,
поле в точках
(r/R0) < ( rз 0 / R0 )
будет двумерным, а в точках (r/R0) ≳ ( rз 0 / R0 ) приближенно одномерным (т.е. влияние условий R2 > R0 > R1 можно не учитывать). Воспользуемся двумя аппроксимациями температурного поля: согласно (12.11) и экспоненциальной функцией T
T (e) = T
(e)
( r , t ) [40]:
( e ) (r , t ) = T (t ) + T − T (t ) 1 − exp −4, 61(r − R ) /( R (t ) − R ) ( п ст ) ( ст з 0 0 )
(12.19)
413
где обозначения соответствуют (12.11). Использование одновременно двух аппроксимаций преследует две цели: повысить надежность оценок rз0 / R0 и сравнить точность (12.11) и (12.19). По мере развития полей во времени происходит сближение значений Rз (t ) = R0 + δ з (t ) , Rз(1) (t ) = R1 + δ з (t ) , Rз(2) (t ) = R2 + δ з (t ) . Оценку влияния Kа на rз 0 / R0 можно проводить лишь для значений F0 ≳ F0*, где F0* соответствует
моменту, когда начинают соблюдаться условия:
Rз(2) (t ) / Rз (t )
≃ 1,
Rз (t ) / Rз(1) (t ) ≃ 1. Последнее возможно с различной точностью, но мы потребуем, чтобы отклонение приведенных отношений от 1 не превышало 0,05. Имеем: −1
Rз(2) (t ) R ΔR 1 + 0 = 1 + β 2 , β2 ≲ 0,05. =1+ δ з (t ) δ з (t ) Rз (t )
(12.20)
Другое отношение, Rз (t ) / Rз(1) (t ) , дает такой же результат. С учетом (12.17) и (12.209) получаем: 2
K −1 at * η0 * − 1 . ≲ 0,05, F0 = 2 = 0,0625 20 а 1 R0 K + 1 + 4 F0 а
(12.21)
Подсчеты по (12.21) при средних по Донбассу [288] значениях a, R0 дали следующие значения характерных времен. Таблица 12.1 Kа F0* t*, мес.
1,5 0,56 0,67
2,0 1,96 2,38
2,5 3,59 4,37
3,0 5,06 6,21
3,5 6,38 7,80
4,0 7,56 9,21
Из условий δθ ≲ 0,05 для случаев R1, R0, R2 в точках r/R0 = 2−10 массива для различных F0 ≳ F0*(Kа) были рассчитаны значения rз0 / R0 . Аппроксимация (с точностью в 5%) расчетных данных, полученных с помощью (12.11) и (12.19), позволила установить формулу
rз 0
K −1 . = 10 + 0,8( 4 − K а ) 2 а R0 K + 1 а
[
]
(12.22)
При расчетах выявилась большая точность (12.19) по сравнению с (12.11) (для контроля производилось сравнение θст(F0) с [89]). По (12.22) для F0 ≳ F0*(Kа) в зависимости от величины Kа можно установить границу зоны одномерности (r ≳ rз 0 ) температурного поля, в которой влияние формы сечения выработки практически отсутствует. В области массива r ∈ [R0, rз 0 ) 414
поле двумерно, в частности при симметричной форме сечения выработки (когда достаточно рассмотрения поля в первом квадранте) оно будет зависеть от полярных координат {ρ, ϕ} (ϕ ∈ [0, π/2]).
§166. Оценка влияния начальной температурной неоднородности массива Случай двумерного температурного поля в массиве, когда T = T(ρ, ϕ), возможен не только при отличии формы сечения выработки от круговой, рассмотренной выше. В силу наличия в земной коре геотермического градиента температуры, начальная температура массива Tп = Tп(y) (y − вертикальная координата, отсчитываемая от поверхности вглубь). Часто используемое [40,89] начальное условие T (r , t ) t =0 = Tп = const является, таким образом, приближением, в ряде случаев − грубым. Найдем, используя принципы A1, B1, C1, приближенное решение краевой задачи охлаждения температурно-неоднородного (при Tп = Tп(y)) массива вокруг выработки эллиптического сечения (при равенстве горизонтальной а и вертикальной b полуосей которого (a = b = R0) имеем круговое сечение). Начало координат системы xOy помещаем в центр эллипса и рассматриваем первый квадрант плоскости. Поле температур U ( x, y , t ) в массиве, обусловленное охлаждающим действием выработки, возмущает начальное геотермическое поле (температура линейно нарастает в глубь Земли). В силу симметрии эллипса, U ( x, y , t ) также симметрично, а границы квадранта x = 0 и y = 0 − адиабатические. Рассмотрим первую краевую задачу T ( x, y , t ) для суммарного температурного поля (суперпозиции геотермического и возмущающего полей): ∂T 2 2 2 = a∇ 2 T , T = T ( x, y , t ) , ∇ = ∂ x + ∂ y , ∂t
~
T ( x, y,0) = Tп ( y ) ,
~ x, y ∈ Ω ,
~ x, y ∈ Ω , T ( x, y, t ) x, y∈γ = Tв
(12.23) (12.24)
Здесь Ω − область, дополняющая область, ограниченную кривой γ − эллипса ( x / a ) 2 + ( y / b) 2 = 1 до всего первого квадранта; Tв = const − температура воздуха в выработке; Tп(y) − геотермическая температура массива. Для U ( x, y, t ) = T ( x, y, t ) − Tп ( y) используем конечную область Ω и конечный интервал времени t ∈(0, ts]. Границы Ω: кривая γ и прямые x = xδ и y = yδ. Последние − границы охлажденной зоны, формирующейся на момент времени t = ts: xδ = a + δз(ts), yδ = b + δз(ts). Для U ( x, y, t ) вместо (12,23), (12.24) получаем задачу: ∂U (12.25) = a∇ 2U , U = U ( x, y, t ) , x, y ∈ Ω , t ∈ (0, t s ] , ∂t
415
U ( x, y,0) = 0 ,
∂U ∂x
x, y ∈ Ω , U ( x, y, t ) x, y∈γ = Tв − Tп0 ,
= x = xδ
∂U ∂y
= 0. y = yδ
(12.26) Здесь Tп 0 = Tп (0) , ∇ = ∂ + ∂ . Приближенное решение задачи (12.25), (12.26) ищем, используя понятие «адиабатических стержней». Таковыми в данной задаче являются: АГx (y = 0, x ∈ [a, xδ]) и АГy (x = 0, y ∈ [b, yδ]). При t ∈ (0, ts], x = a, y = b имеем U ( x, y , t ) = U в = Tв − Tп . На других концах этих стержней (т.е. на 2
2 x
2 y
0
границах
охлажденных
0
зон)
имеем:
U
x = xδ
=U
y = yδ
= 0.
Переходя
к
координатам x′ = x − a и y′ = y − b, получаем для АГx и АГy: ∂U ∂ 2U =a 2 ∂t ∂η
,
x′ ∈ (0, δ з (t s )], АГ x η= , ′ ∈ y ( 0 , δ ( t )], АГ з s y
U = U (η, t ) ,
t ∈ (0, t s ] ,
U (η , t ) t =0 = 0 , η ∈ [0, δ з (ts )] , U (η , t ) η = 0 = U в , U (η , t ) η =δ 0
(12.27)
з ( ts )
= 0.
(12.28)
Здесь можно принять δз (t s ) = 4 at s . Таким образом, исходная краевая задача редуцирована к одномерной задаче (12.27), (12.28), решение которой элементарно. Пусть это решение найдено, т.е. функция U(η, t) нам известна. Это квазиодномерное решение, и, используя принцип B2, по нему можно построить (восстановить) приближенное двумерное решение. Функция восстановления в данном случае имеет вид: a − ρφ Ψ = Ψ (φ) = − a b
2
,
b2 2 ρφ = b 1 − 1 − 2 cos φ a
−1/ 2
,
(12.29)
где {ϕ, ρ} − полярная система координат, начало которой совпадает с таковым у системы xOy, а связи {x, y} → {ϕ, ρ} имеют обычный вид. Здесь ρϕ ∈ [b, a], ϕ ∈ [0, π/2]. Легко убедиться, что функция Ψ(ϕ) удовлетворяет всем ранее сформулированным требованиям:
Ψ(0)=0, Ψ(π/2)=1,
dΨ dΨ = = 0. dφ φ =0 dφ φ =π / 2
Решение задачи исчерпывается записью аналога (12.2), где μ ( − ) ( x, t ) соответствует U ( x′, t ) , а μ ( + ) ( x , t ) − U ( y ′, t ) . Вместо Ψ(y) при это в (12.2) стоит Ψ(ϕ) по (12.29). 416
Завершая главу 47, заметим следующее. Предложенные методы понижения размерности (покоординатного спуска, усреднения использования функций «восстановления») не исчерпывают все возможные; считать их строго обоснованными также оснований нет. Однако в горной теплофизике (и в геотеплофизике) они, в силу их простоты, могут быть полезны не только в качестве оценочных, но и, в силу «зашумленности» исходных данных моделирования, дать полезную количественную информацию. В большинстве работ, в которых моделируются неодномерные поля температур или концентраций, используются сложные подходы: численные методы [309,310]; громоздкие интегральные преобразования [311-313]; двукратное преобразование Лапласа [314] (осуществляемое обычно после сильного упрощения исходной задачи). О присущих этим методам недостатках ранее уже говорилось.
Глава 48. МОДЕЛИ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА §167. Двумерные функции Грина Трёхмерные краевые задачи превышают по сложности решения двумерные несущественно, т.к. исключение одной или двух пространственных координат (интегральными преобразованиями или редукцией) однотипно. Поэтому в настоящей и следующих главах ограничиваемся рассмотрением двумерных краевых задач. m Двумерные области D( ) , представляющие интерес с точки зрения ij
горной теплофизики, образуются «произведением» одномерных областей
m Ων( ) ( m = 1,2; ν = i, j; i, j = 0,1, +, ∞ ) . Они образуют два типа (1) ( 2) декартовы Dij и цилиндрические Dij . К первым относим:
( )
( )
{
областей:
( )}
1 1 1 1 (1) D0,0 = Ω0,( x) × Ω0,( y) = x ∈Ω0,( x) = x ∈ ( 0, l0, x ) , y ∈Ω0,( y) = y ∈ l0, y − - прямоугольная область, границы x = 0 и y = 0 которой – адиабатические, а на остальных – заданы граничные условия первого рода; 1 1 1 1 (1) D0,1 = Ω0,( x) × Ω1,( y) = x ∈Ω0,( x) = x ∈ ( 0, l0, x ) , y ∈Ω1,( y) = y ∈ 0, l y − - прямоугольная область с граничными условиями первого рода на всех границах, кроме x = 0 , которая является адиабатической; 1 1 1 1 (1) D1,1 = Ω1,( x) × Ω1,( y) = x ∈Ω1,( x) = x ∈ ( 0, lx ) , y ∈Ω1,( y) = y ∈ 0, l y − - прямоугольная область с граничными условиями первого рода на всех границах;
{
(
)}
{
(
)}
{
}
D0,( +) = Ω0,( x) × Ω+( y) = x ∈Ω0,( x) , y ∈Ω+( y) = x ∈ ( 0, ∞ ) − 1
1
1
1
1
417
-полуполоса шириной l0,x с граничными условиями первого рода при x = l0,x и y = 0 и адиабатическими границами x = 0 и y = ∞ . Аналогично строятся области
D1,( +) = Ω1,( x) × Ω+( , )y , D0,( ∞) = Ω0,( x) × Ω∞( ,)y , D1,( ∞) = Ω1,( x) × Ω∞( ,)y , D+( ,)+ = Ω+( x) × Ω+( y) , и другие. Таких областей, как легко убедиться, будет 16 (т.е. области, образующиеся заменой x → y, y → x эквивалентны). Таким же образом могут быть описаны области второго класса – цилиндрические, образующиеся «умножением» базисных одномерных цилиндрических областей 1 1 2 2 1 1 2 2 Ω0( ) , Ω1( ) , Ω+( ) , Ω∞( ) на декартовы (одномерные) области Ω0( ) , Ω1( ) , Ω+( ) , Ω∞( ) . Областей второго класса также будет 16. В нахождении всех 32-х функций Грина для двумерных областей необходимости нет, т.к. их компоненты – функции Грина для одномерных различных областей легко находятся, путём предельных переходов, из небольшого числа базисных функций Грина (для конечных областей). В 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
() ( ) () ( ) качестве таковых рассматриваем области D1,1 и D1,1 = Ω1 × Ω1 . Структуры решений краевых задач для этих областей получим, осуществив их обобщенную постановку и найдя выражения для соответствующих функций Грина. (1) Задача №21. Рассматриваем область D1,1 = x ∈ ( 0, l x ) , y ∈ ( 0, l y ) . Для 1
2
1
{
2
}
характеристической функции этой области и её производных имеем (см.Гл.33, 34): 1, x ∈ ( 0, lx ) , y ∈ ( 0, l y ) , (1) (1) (1) (12.30) χ1,1 ( x, y ) = χ ( x ) ⋅ χ ( y ) = 0, x 0, l , y 0, l , ∈ ∈ ( ) ( y) x 1, y ∈ ( 0, l y ) , 1, x ∈ ( 0, l x ) , (1) (1) (12.31) χ ( x) = χ ( y) = 0, 0, , x l ∈ ( ) x 0, y ∈ ( 0, l y ) ,
(1) d χ ( ) ( x) dθ ( x ) ∂χ11 1 (1) = χ ( y) = χ ( ) ( y ) δ + ( x ) − δ − ( x − lx ) , δ + ( x ) = + , ∂x dx dx 1
(1) d χ( ) ( y) dθ ( y ) ∂χ11 1 (1) = χ ( x) = χ ( ) ( x ) δ + ( y ) − δ − y − l y , δ + ( y ) = + , dy dy ∂y 1
(
)
(12.32) Используем также соотношения для функций нескольких переменных (см. (8.21) в §103): δ + ( x, y ) = δ + ( x ) δ + ( y ) . (12.33) (1) Классическая постановка краевой задачи теплопроводности в области D11 : 418
(1) ∂u11 ( x, y, t ) = a ∂ 2u11(1) ( x, y, t ) + ∂ 2u11(1) ( x, y, t ) + f (1) x, y, t , ( ) ∂t ∂x 2 ∂y 2
(1) u11 ( x, y , +0 ) = ϕ (1) ( x, y ) ,
() , x , y ∈ D11 1
(12.34) (12.35)
(
)
(1) u11 ( 0, y, t ) = μ ( −) ( y, t ) , u11(1) ( lx , y, t ) = μ ( + ) ( y, t ) , y ∈ 0, l y , t > 0, (12.36)
(
)
(1) u11 ( x,0, t ) = ν ( −) ( x, t ) , u11(1) x, l y , t = ν ( +) ( x, t ) , x ∈ ( 0, lx ) , t > 0 .(12.37) Для перехода к биобобщенной формулировке задачи (12.34)÷(12.37) вводим биобобщенное решение
(1) u11 ( x, y, t ) = θ+ ( t ) χ1,1(1) ( x, y ) u11(1) ( x, y, t ) , x, y ∈ D1,1(1) .
(12.38)
(1)
Умножив уравнение (12.34) на θ + ( t ) χ1,1 ( x, y ) и выполнив преобразования, Получим: (1)
∂u1,1 ∂t
(1) (1) (1) = a∇ 2x , y u1,1 + W , ∇ 2x , y = ∂ 2x + ∂ 2y , x, y ∈ D1,1 , t ≥ 0,
(12.39)
1 1 (1) W ( ) = W ( ) ( x, y, t ) = Ψ ( x, y, t ) + Φ (21) ( x, y, t ) , (1) ( x, y, t ) + ϕ (1) ( x, y ) δ ( t ) + f (1) ( x, y, t ) , ϕ (1) ( x, y ) = χ (1) ( x, y ) ϕ (1) ( x, y ) , Ψ + 1,1 1 (1) f ( ) ( x, y, t ) = θ + ( t ) χ1,1 ( x, y ) f (1) ( x, y, t ) ,
(1) ( x, y, t ) = a μ ( + ) ( y, t ) δ ' ( x − l ) − μ ( − ) ( y, t ) δ ' ( x ) , Φ x − + 1 (1) ( x, y, t ) = a ν ( + ) ( x, t ) δ ' ( y − l ) −ν ( − ) ( x, t ) δ ' ( y ) . Φ x − + 2
(12.40) (12.41)
Уравнение (12.39) в операторном виде: 2 (1) (1) (1) (1)
1 1 Lu1,1 = W , L = ∂t − a∇ x, y , u1,1 = u1,1 ( x, y, t ) ,W ( ) = W ( ) ( x, y, t ) . (12.42) (1) −1 (1) −1 Обратным оператором L , таким, что u1,1 ( x, y, t ) = L W ( x, y, t ) ,
{
}
(1) ( x, y, t ) . будет интегральный оператор, ядро которого – функция Грина G 1,1 (1)
u1,1 ( x, y, t ) =
( ) 1
D1,1
t
(1) dx ' dy ' dt ' G1,1 ( x, x ', y, y ' t − t ')W (1) ( x ', y ', t ') . (12.43) 0
419
Поскольку выполняется соотношение
(1) L1u1,1 =
( ) 1
t
)
(
1 (1) (1) dx ' dy ' dt ' L1G1,1 W ( x ', y ', t ' ) = W ( ) ( x, y, t ) , 0
D1,1
(12.44)
из (12.44) следует:
(1) L1G1,1 ( x, x ', y, y ' t ) = δ ( x − x ', y − y ') δ + ( t )
(12.45)
Преобразовав (12.45) по Лапласу (по t ) и учитывая (12.33), находим:
() G1,1 ( x, y , p ) = 1
δ ( x − x ' ) δ ( y − y ') p − a∇ 2x , y
,
(12.46)
откуда, после обратного преобразования Лапласа, следует: (1) G1,1 ( x, x ', y, y ', t ) = θ + ( t ) exp ta∂ 2x δ ( x − x ') × θ + ( t ) exp ta∂ 2y δ ( y − y ') = 1 1 (12.47) = G ( ) ( x, x ', t ) × G ( ) ( y, y ', t )
(
1
Таким
)
(
)
1
образом,
функция
Грина
для
двумерной
области
1 1 (1) D1,1 = Ω1( ) ( x ) × Ω1( ) ( y ) найдена, она равна произведению одномерных
(1) (1) функций Грина для областей Ω1 ( x ) и Ω1 ( y ) . Подстановка (12.47) в (12.43) даёт исходную структуру решения в форме потенциала: lx
ly
t
0
0
0
1 1 1 u1,1 ( x, y, t ) = dx ' dy ' dt ' G1( ) ( x, x ', t − t ' ) G1( ) ( y, y ', t − t ' ) W ( ) ( x ', y ', t ' ) .
(1)
(1)
(12.48)
Перенесение результата (12.48) на область D1,+ тривиально: lx
∞
t
0
0
0
1 1 1 u1,+ ( x, y, t ) = dx ' dy ' dt ' G1( ) ( x, x ', t − t ' ) G +( ) ( y , y ', t − t ' ) W ( ) ( x ', y ', t ' )
(1)
(12.49) Этим решение задачи №21 исчерпано.
( 2)
Задача №22. Рассматриваем область D1,1 . Граничные условия (12.37) принимают вид:
( 2) ( 2) u1,1 ( x, r0 , t ) = ν ( − ) ( x, t ) , u1,1 ( x, r1 , t ) = ν ( + ) ( x, t ) . Повторяя схему решения задачи №21, приходим к аналогу (12.48) – решению в форме потенциала: lx
r1
t
0
r0
0
( 2) u1,1 ( x, r , t ) = 2π dx ' r ' dr ' dt ' G1(1) ( x, x ', t − t ') G1( 2 ) ( r , r ', t − t ')W ( 2) ( x ', r ', t ') .
420
Здесь функция Грина
2 G1( )
(12.50)
( r , r ', t )
соответствует одномерной области
Ω1( ) = {r ∈ ( r0 , r1 )} . Функция обобщенного источника в (12.50) аналогична 1 W ( ) ( x, y, t ) : 2 ( 2) x, r , t + Φ ( 2) x, r , t + Φ ( 2) x, r , t W ( ) x, r , t = Ψ 2
Здесь:
(
)
(
)
1
(
)
2
(
).
(12.51)
( 2 ) ( x, r , t ) = a μ ( + ) ( r , t ) δ ' ( x − l ) − μ ( − ) ( r , t ) δ ' ( x ) , Φ x − + 1 (12.52) 2 + − ( ) ( ) ( ) ' ' ( x, r , t ) = a ν ( x, t ) δ ( r − r ) −ν ( x, t ) δ ( r − r ) . Φ 1 0 − + 2 ( 2)
Переход к области D1,+ здесь, как и в задаче №21, тривиален: в (12.50) 2 (2) достаточно положить r1 → ∞ , G1 ( r , r1 , t ) = G+( ) ( r , r ', t ) . Прост также
( 2)
переход в (12.50) к области D+ ,1, , для чего достаточно осуществить замены: 1 1 l x → ∞ , G1( ) ( x , x ', t ) → G+( ) ( x , x ', t ) . Таким образом, решение задачи №22 также можно считать исчерпанным. Выражения для функций Грина двумерных областей и структуры решений в форме потенциала необходимы при исследовании моделей неодномерного теплопереноса, к которым относятся модели сопряженного теплопереноса и переноса в двумерных слоистых системах.
§168. Формулировки сопряженных задач Обзор по краевым задачам сопряженного теплообмена в горной и общей теплофизике показал [40,§§67,93], что несмотря на значительное время прошедшее после появления пионерских работ А.В.Лыкова и его сотрудников [17,18,315], новых, достаточно простых и доступных прикладникам, методов решения задач не появилось, хотя вербальноформальные постановки их в общей и горной теплофизике давно известны[300, 316, 317]. Модели горной теплофизики основаны на внутренних краевых задачах сопряженного теплообмена между движущимся в подземной полости (выработке, скважине, трещине) теплоносителем (газообразным или жидким) и окружающим полость горным массивом [40, §67].Близкие модели – конвективного теплообмена при вынужденном движении теплоносителя в трубах различного сечения – также известны [318÷322]. Сопряженные модели, как правило, линейны. Методы решения сопряженных задач – численные [320÷324], аналитические [17,18, 317, 325] и аналитико-численные [318,319, 326, 327]. Анализ этих работ, работ [328, 329] и цитированных в [40, §§67,93], 421
позволяет заключить, что: 1) аналитические решения обычно осуществляются двукратными (по x и по t ) интегральными преобразованиями и сводятся к определению неизвестной функциитемпературы на границе «жидкость-твёрдое тело» - из решений сложных интегральных уравнений; получение формулы весьма громоздки и малопригодны для конкретных расчетов; 2) численные методы, наряду с известными их недостатками, сталкиваются с трудностями, связанными с различием математической структуры уравнений конвективного теплопереноса в движущемся теплоносителе и уравнений теплопроводности в твёрдых телах; сведение уравнения конвективного теплопереноса к эквивалентному уравнению теплопроводности [324] требует введения неравномерной сетки; 3) аналитико-численные методы – приближенные, использующие упрощающие исходную задачу допущения:о пуазейлевом или стержневом скоростном профиле в жидкости, о возможности упрощения уравнения теплопереноса в жидкости либо аппроксимации в ней температурного профиля квадратичными или кубическим полиномом, об аппроксимации температурного поля в твёрдом теле; применяются квазистационарные приближения, разбиение области решения на ряд зон или (и) разделение времени процесса на ряд фаз; 4) модели с турбулентным поперечным переносом в каналах, использующие представления о турбулентных числе Прандтля и коэффициенте теплопроводности проблематичны, т.к. последние зависят от многих факторов, неустойчивы и экспериментально трудноопределимы; 5) влияние теплофизических параметров твердой стенки канала [328] на коэффициент теплообмена для движущихся газов пренебрежимо мало; 6) известные численные эксперименты показали, что зависимость t существенна лишь в малый начальный период (30÷40 сек [320]), а изменение
x ( x маршевая координата) имеет порядок 10
калибров x / D [40]. Учёт изложенного и специфики задач геотеплофизики – «зашумленности» исходных данных, позволяет сформулировать (вначале – вербально, а затем и формально) модель сопряженного теплообмена горной теплофизики. 1. Рассматривается технологический процесс – охлаждение горного массива при нормальном вентиляционном режиме. Начальная температура горных пород Tп 35 50o C, температура вентиляционной струи на входе в выработку T0 5 20o C . 2. Выработка считается прямым круговым цилиндром полубесконечной протяженности, а движения в ней вентиляционной струи – турбулентным со стержневым скоростным профилем V=const . 3. Температурное поле в выработке (в вентиляционной струе) T' x, r , t усредняется по радиальной координате r 0, r0 и считается
422
зависящим
только
T = T ( x, t ) ; T ( x , t )
от продольной (маршевой) координаты: связана с температурой на охлаждаемой границе
горного массива (на стенке горной выработки) TcT ( x,t ) = Tм ( x, r0 , t ) ( Tм ( x, r , t ) − граничным условием третьего рода с α = const температурное поле в горном массиве). 4. Примыкающую к выработке часть горного массива (его охлажденную зону) считаем цилиндрической оболочкой конечной ширины
( r ∈ ( r0 , r1 ) )
и полубесконечной протяженности
( x ∈ ( 0, ∞ ) ) ),
имеющей
постоянные теплофизические параметры aм , λм = const . 5. На основании оценок [300], кондуктивным потоком тепла в вентиляционной струе пренебрегаем по сравнению с конвективным. 6. Начальные распределения температур в массиве и в вентиляционной струе и функции плотности источников тепла произвольны Tм ( x, r , +0 ) =
= ϕм ( x, r ) , T ( x, +0 ) = ϕ ( x ) ( x ∈ ( 0, ∞ ) , r ∈ ( r0 , r1 ) ) fм = f м ( r , x, t ) , f = f ( x, t ) ,
что требует использования метода функций Грина.
7. Для области горного массива рассматриваем область
2 D+( ) :
2 2 1 D+( ) = Ω+( ) ×Ω1( ) { x ∈ ( 0, ∞ ) , r ∈ ( r0 , r1 )} и формулируем краевые задачи:
задачу №23 – общий случай сопряженной задачи; задачу №24 – однородную сопряженную краевую задачу, решаемую приближенно. Первую из этих задач рассматриваем в настоящем параграфе. Температурное поле в горном массиве является решением краевой задачи, классическая формулировка которой в общем случае имеет вид:
1 ∂ ∂Tм ∂Tм = aм r ∂t r ∂ r ∂r
2 ∂ Tм + 2 + f м ( x, r , t ) , Tм = Tм ( x, r , t ) , t > 0 (12.53) ∂x
Краевые условия к (12.53):
Tм ( x, r , +0 ) = ϕм ( x, r ) , Tм ( 0, r , t ) = Tм0 ( r , t ) ,
∂Tм ∂x
→ 0, x →∞
Tм ( x, r0 , t ) = TcT ( x, t ) , Tм ( x, r1 , t ) = Tп , x ∈ ( 0, ∞ ) , r ∈ ( r0 , r1 ) , t > 0
(12.54) В частном случае однородной задачи необходимо положить fм ( x, r1, t ) = 0, ϕм ( x, r ) = Tп . Граничная функция Tм0 ( r , t ) (температура в начальном сечении
( x = 0)
массива) может быть найдена как решение
вспомогательной одномерной (в области r ∈ ( r0 , r1 ) ) задачи. Эта вспомогательная задача имеет вид:
423
∂Tм0 1 ∂ = aм ∂t r ∂T
∂Tм0 r ∂r , Tм0 = Tм0 ( r , t ) , r ∈ ( r0 , r1 ) , t > 0 , (12.55)
Tм0 ( r , +0 ) = ϕм ( 0, r ) = ϕм0 ( r ) , Tм0 ( r0 , t ) = TcT ( 0, t ) , Tм0 ( r1, t ) = Tп
(12.5З)Задачу (12.55), (12.56) необходимо решить, выразив Tм0 ( r , t ) через
TcT ( 0, t ) , однако поскольку последняя функция также неизвестна (она даёт граничные условия при x = 0 для температуры в выработке T ( x, t ) ), для замыкания этой задачи необходимо ещё одно условие – граничное условие третьего рода вида:
λм
∂Tм0 ( r , t ) = α TcT ( 0, t ) − T ( 0, t ) , t > 0 . ∂r r =r
(12.57)
0
Решение задачи (12.55)-(12.57) затруднений не вызывает, в особенности в случае однородной задачи теплопроводности в массиве; в общем случае (задача №23) будем считать функции Tм0 ( r , t ) и TcT ( 0, t ) известными. Температурное поле в выработке (в вентиляционной струе) определяется из краевой задачи конвективного теплопереноса, уравнение которого [40]:
∂T ∂T +V = β TcT ( x, t ) − T ( x, t ) + f ( x, t ) , x ∈ ( 0, ∞ ) . (12.58) ∂t ∂x Здесь β = α П / ρ c p ⋅ S , , а П , S − периметр и площадь сечения выработки,
ρ ,c p −
плотность и удельная теплоёмкость вентиляционной струи. Краевые
условия имеют вид:
T ( x, +0 ) = T0 В = const , T ( 0, t ) = T0 ( t ) ,
∂T ∂x
→ 0.
(12.59)
∂T + V ∂T = β T x, t − T x, t + Ψ ) ( ) ( x, t ) + VT0 ( t ) δ ( x ) , c T ( ∂t ∂x ( x, t ) = T0 Bδ ( t ) + f ( x, t ) , T ( x, t ) = θ+ ( t )θ+ ( x ) T ( x, t ) , Ψ + f ( x, t ) = θ+ ( t )θ+ ( x ) f1 ( x, t ) , T0 (t ) = θ+ ( t ) T0 ( t ) .
(12.60)
x →∞
Биобобщенная формулировка краевой задачи (12.58), (12.59):
Решение (12.60) в форме потенциала ∞
t
T ( x, t ) = dx ' dt 'G v ( x, x ' t − t ' ) Wv ( x ', t ') , 0
0
где Wv ( x, t ' ) − плотность обобщенного источника тепла: 424
(12.61)
( x, t ) + V T δ ( x ) , Wv ( x, t ' ) = β TcT ( x, t ) + Ψ 0
(12.62)
а G v ( x, x ' t ) − функция Грина для (12.60), удовлетворяющая нулевым граничным условиям и уравнению
∂G v ∂G v +V + β G v = δ + ( x − x ' ) δ + ( t ) . ∂t ∂x Выражение для G v ( x, x ' t ) известно [14]:
(12.63)
β G v ( x, x ' t ) = θ+ ( x − x ') exp − ( x − x ') δ (Vt − ( x − x ') ) . V
(12.64)
Таким образом, имеем: ∞
t
β T ( x, t ) = dx ' dt 'exp − ( x − x ' ) δ V ( t − t ' ) − ( x − x ' ) Wv ( x ' t − t ') , V 0 0 (12.65) где
Wv ( x ', t ') , x ' < x, (12.66) Wv ( x ', t ') = θ + ( x − x ') Wv ( x ', t ' ) = 0, x ' x . ≥ Из (12.65), (12.66) следует, что все значения функции T ( x, t ) зависят только
от величины всех источников поля, локализованных в области значений x ' < x (т.е. отсутствует влияние на температуру всех факторов, расположенных «ниже по потоку» от данной точки x ). Определение неизвестной функции склейки TcT ( x, t ) может быть осуществлено решением системы уравнений, одно из которых – (12.65). Второе уравнение даёт решение обобщенной краевой задачи теплопроводности в горном массиве в форме потенциала. Поскольку переход к обобщенной формулировке краевой задачи (12.53), (12.54) затруднений не вызывает, выписываем сразу: ∞
r1
t
0
r0
0
Tм ( x, r , t ) = 2π dx ' r ' dr ' dt ' G м ( x, x ', r , r ', t − t ' ) Wм ( x, r ', t ' ), (12.67) где
G м ( x, x ', r , r ', t − t ') −
двумерная
функция
Грина
для
области
2 D+( ) = { x ∈ ( 0, ∞ ) , r ∈ ( r0 , r1 )} . Для замыкания системы уравнений (12.65), (12.67), содержащей три неизвестные функции −T ( x, t ) , Tм ( x, r , t ) , T ( x, t ) необходимо третье уравнение – аналог (12.57): cT
425
∂Tм ( x, r , t ) = α TcT ( x, t ) − T ( x, t ) , t ≥ 0. λм ∂r r =r
(12.68)
0
Используя (12.68), приходим к системе двух интегральных уравнений: x
t
( x, t ) , T ( x, t ) − β dx ' dt 'K ( x, x ', t − t ' ) TcT ( x ', t ') = Φ 0
α cT
x
− 0
(12.69)
0
t
м
−
cT
=α
+ q ( x, t ) (12.70)
0
( x, t ) и q ( x, t ) − известные функции, а ядра K ( x, x ', t ) и где Φ K ( x, x ', t ) имеют вид: м
β K ( x, x ', t − t ) = exp − ( x − x ') δ + V ( t − t ') − ( x − x ') , V ∂ 2G м ( x, x ', r , r ', t − t ' ) K м ( x, x ', t − t ' ) = 2πλм aм . ∂ ∂ r r ' r =r0
(12.71)
r '= r0
В выражениях (12.69), (12.70) учтено условие совместимости интегральных уравнений – «обрезание» интеграла по x ' в пределах x ' ∈ ( 0, ∞ ) − замена
его интегралом в пределах x ' ∈ ( 0, x ) (форма проявления принципа «местного влияния» в процессах теплопроводности [23]). Таким образом, в рассмотренной нами задаче №23 – неоднородной краевой задаче сопряженного теплообмена (общий случай), завершающий этап решения – определенные функции TcT ( x, t ) сводятся к решению системы двух интегральный уравнений (12.69) и (12.70), что может быть осуществлено одним из известных методов [2].
§169. Методы решения задач Решая задачу №23, сведенную к системе двух интегральных уравнений (12.69) и (12.70), используем первый комбинированный метод, а для решения задачи № 24 – второй комбинированный метод. Задача №23. Первый комбинированный метод заключается в применении к указанной системе уравнений интегрального преобразования Лапласа по t , с последующей стратификацией по координате x . На первом этапе получаем: x
T ( x, p ) − β dx ' K ( x − x ', p ) TcT ( x ', p ) = Φ ( x, p ) , 0
426
(12.72)
x
αTcT ( x, p ) − dx ' K м ( x − x ', p ) TcT ( x ', p ) = αTcT ( x, p ) + q ( x, p ) , (12.73) ∞
0
∞
K ( x, p ) = exp ( − pt )K ( x, t ) dt , K м ( x, p ) = exp ( − pt ) K м ( x, t ) dt. (12.74) 0
0
Исключив из (12.72), (12.73) функцию T ( x, p ) , получим: x
TcT ( x, p ) = dx ' R ( x − x ', p ) TcT ( x ', p ) + F ( x, t ) ,
(12.75)
0
где
R ( x, p ) = α −1K м ( x, p ) + β K ( x, p ) , F ( x, p ) = Φ ( x, p ) + α −1q ( x, p ) . (12.76) На втором этапе интегральное уравнение (12.76) решаем методом
стратификации области, разбивая интервал
{ (
)} (
x ' ∈ ( 0, x )
ωn = x ' ∈ xn' −1 , xn' , n = 1, N , x0' = 0
)
на подобласти – слои
xn' − xn' −1 = ln .
с шириной
Разбиение оси 0 x ' соответствует предварительному разбиению оси 0x , определяемому спецификой задачи и целями моделирования. Обычно даже для длинной выработки достаточно найти 3-4 опорные значения
(
TcT ,i = TcT ( xi , p ) i = 1, 4
) , чтобы по ним интерполировать поле на всём (
)
(
)
его протяжении. Это обусловлено связью TcT x , t с T x , t , а последняя обычно изменяется вдоль выработки достаточно плавно [40, §56]. Вводим характеристические функции
1, x ∈ ( xi −1, x1 ) , i = 1, N , χi ( x ) = 0, x ∈ ( xi −1 , x1 ) . x0 = 0. Функцию TcT ( x ', p ) аппроксимируем кусочно-линейной:
(12.77)
N
TcT ( x ', p ) → TˆcT ( x ', p ) = χ1 ( x ) TˆcT ,i ( x ', p ) ,
(12.78)
i =1
' (−) (+) ( − ) x '− xi −1 ˆ TcT ,i ( x ', p ) = TcT ,i ( p ) + TcT ,i − TcT ,i , li
(
)
(
)
Tc(T ,i) ( p ) = TcT xi' −1, p , Tc(T ,i) ( p ) = TcT xi' , p = Tc(T ,i)+1 ( p ) . −
+
427
−
(12.79) (12.80)
x , определим Tc(T+,i) ( p ) на двух первых шагах, когда x1 = l1 = L1, x2 = l1 + l2 = L2 . На первом шаге, положив в (12.75) x = L1 ,
Осуществляя шаги по получаем:
(+)
L1
TcT ( L1 , p ) = TcT ,1 ( p ) = dx ' R ( L1 − x ', p ) TˆcT ,1 ( x ', p ) + F ( L1 , p ) . (12.81) 0
Подстановка в (12.81) выражения (12.79) даёт:
где
R ( p ) − R12 ( p ) ( − ) F ( L1, p ) + + Tc(T ,1) ( p ) = 11 T p , cT ,1 ( ) 1 − R12 ( p ) 1 − R12 ( p ) L1
(12.82)
L
1 1 R11 ( p ) = dx 'R ( L1 − x ', p ) , R12 ( p ) = dx 'x ' R ( L1 − x ', p ) . (12.83) L1 0 0 На втором шаге полагаем в (12.75) находим:
Tc(T ,2) ( p ) = (1 − R32 ( p ) ) +
−1
x = L2
и аналогично первому шагу
{F ( L2 , p ) + R21 ( p ) − R22 ( p ) Tc( −) ( p ) + T ,1
}
+ R22 ( p ) + R31 ( p ) − R32 ( p ) Tc(T ,1) , +
(+)
(12.84)
( p ) выражено через граничную функцию Tc(T−,1) ( p ) = TcT ( 0, p ) (+) и уже найденную ((12.82)) функцию TcT ,1 ( p ) . В (12.84) обозначены: т.е. TcT ,2
L1
L
1 1 R21 ( p ) = dx ' R ( L2 − x ', p ) , R22 ( p ) = dx '⋅ x ' R ( L2 − x ', p ) , L1 0 0 R31 ( p ) =
L2
dx ' R ( L2 − x ', p ) ,
R32 ( p ) = ( L2 − L1 )
L1
−1
L2
dx ' ( x '− L1 ) R ( L2 − x ', p ).
L1
(12.85) Проведение обратных преобразований Лапласа в (12.82) и в (12.84) достаточно громоздко, но осуществимо [32,130]. Для решения уравнения (12.72) применяется тот же способ, поскольку
Tc(T ,1) ( p ) +
и
Tc(T ,2) ( p ) +
теперь известны. Третий и последующие шаги этапа
стратификации (если в них есть необходимость), осуществляются аналогично. Задача №24 – сопряженная однородная краевая задача решается вторым комбинированным методом – аппроксимацией температурного поля 428
в горном массиве и нахождением его в выработке путём преобразования Лапласа по x . Биобобщенная постановка задачи конвективного теплопереноса по полуограниченной горной выработке:
∂T ∂T +V = β TcT ( x, t ) − T ( x, t ) + Tнδ + ( t ) + VT0 ( t ) δ ( x ) , (12.86) ∂t ∂x Tн = T ( x,0 ) = const , T0 ( t ) = θ + ( t ) T0 ( t ) = θ + ( t ) T ( 0, t ) .
Для горного массива рассматривается область переменной ширины – охлажденная зона
2 Dδ( ) :
(
)
2 Dδ( ) { x ∈ ( 0, ∞ ) , r ∈ ( r0 , rδ )} rδ = r0 + δ ( t ) , δ ( t ) = 2 aмt .
2 Температурное поле в области Dδ( ) аппроксимируется функцией:
r − r0 Tм ( x, r , t ) = θ + ( t ) TcT ( x, t ) + Tп − TcT ( x, t ) 1 − exp −4,61 , t δ ( ) (12.87)
−Tм ( x, r , +0 ) = Tп и граничному условию на границе с выработкой −Tм ( x, r0 , t ) = TcT ( x, t ) .
точно удовлетворяющей начальному условию Граничному
условию
на
внешней
границе
охлажденной
r = rδ = r0 + δ ( t ) , функция (12.87) удовлетворяет −T ( x, r , t ) T , но с погрешностью, меньшей 0,5% от м
δ
п
перепада в массиве
ΔT = Tп − TcT ( x, t ) .
Для исключения из (12.86) неизвестной функции
приближенно: температурного
TcT ( x , t ) , выразим
( x, t ) , воспользовавшись (12.68) и (12.87). Находим: α T ( x, t ) + 4,61λмδ −1 ( t ) Tп . (12.88) ( x, t ) = −1 α + 4,61λмδ ( t )
её через функцию T
TcT
зоны
Уравнение (12.86) после подстановки в него (12.88) принимает вид:
∂T ∂T +V = β ( t ) Tп − T ( x, t ) + Tнδ + ( t ) + VT0 ( t ) δ ( x ) , ∂t ∂x
где
429
(12.89)
−1
αδ ( t ) β ( t ) = 1 + ⋅ β , δ ( t ) = 2 aмt . λ 4,61 м
(12.90)
Оценки порядка величин – членов уравнения (12.89) показали
[40, §67],что учет члена ∂T / ∂t необходим только при моделировании «быстрых» (как правило, аварийных) режимов с продолжительностью начальной фазы процессов в 5-10 минут. Для «медленных» (в большинстве своём – технологических) режимов, члены
∂T / ∂t
и
Tмδ + ( t )
в (12.89)
могут быть опущены. В этом случае получаем уравнение квазистационарного теплопереноса в горной выработке вида:
Оно
∂T = β ( t ) Tп − T ( x, t ) + VT0 ( t ) δ ( x ) . V (12.91) ∂x параметрически (через β ( t ) и T0 ( t ) − медленно меняющиеся
функции времени) зависит от t . Квазистационарные уравнения вида (12.91) достаточно широко используются при моделировании тепловых режимов шахт, рудников, скважин [40, 330]. Таким образом, имеем «расщепление» задачи №24 на две подзадачи: №24А – прогноз температур в выработке и в массиве при «медленных» процессах – на основе уравнения (12.91); №24В – то же, но для «быстрого» процесса – на основе уравнения (12.89). Подзадачу №24В рассматриваем далее, в Разделе Ш (модель «теплового удара» в выработке), а подзадачу №24А решаем далее, используя преобразование Лапласа по переменной x . Обозначая Лаплас – трансформанты функций чертой сверху, а параметр преобразования Лапласа по x посредством s, находим из (12.91):
T VsT ( s, t ) = β ( t ) п − T ( s, t ) + VT0 ( t ) , s
(12.92)
и −1 T0 ( t ) + β ( t )(Vs ) Tп T ( s, t ) = . s + β ( t ) / V
(12.93)
Обратное преобразование Лапласа в (12.93) даёт:
β ( t ) T ( x, t ) = T0 ( t ) + Tп − T0 ( t ) 1 − exp − x . (12.94) V Подстановка (12.94) в (12.88) даёт выражение для TcT ( x , t ) , а подстановка последнего в (12.87) – выражение для Tм ( x , r , t ) , чем задача №24 А исчерпывается. Благодаря простоте всех полученных формул, они весьма 430
удобны для анализа влияния на процесс параметров модели и проведения различных инженерных расчётов.
Глава 49. ДВУМЕРНЫЕ СЛОИСТЫЕ МОДЕЛИ §170. Двуслойная система: метод функций склейки (1)
Рассмотрим систему (1) (1) (1)
двух
плоских (1)
двумерных
слоёв
D2 = Ω11 + Ω12 , Ω11 = { x ∈ ( 0, l ) , y1 ∈ ( 0, l1 )} , Ω12 = { x ∈ ( 0, l ) , y2 ∈ ( 0, l2 )} ,
изображенную на Рис.12.1. В настоящем параграфе решаем Задачу №25 – случай произвольных начальных функций, функций плотности источников (стоков тепла, граничных функций. Решение находим методом функций склейки (часть 10). В последующих параграфах рассмотрены модели квазиодномерной продольной (вдоль осей Oi x , i = 1, 2 ) и поперечной (вдоль осей Oi y ) теплопроводности и их аналоги для систем с цилиндрическими слоями.
Рис. 12.1 Двумерная двухслойная система. Задача №25
Классическая постановка задачи осуществляется как (1) (1) система краевых задач для областей Ω11 и Ω12 , взаимосвязанных через
функцию склейки – температуру на общей границе y1 = l1, y2 = 0 слоёв + − μ ( x, t ) = μ1( ) ( x , t ) = μ 2( ) ( x, t ) (см. Рис.12.1). (1) Краевая задача для области Ω11 :
∂ 2T1 ∂ 2T1 ∂T1 = a1 2 + 2 + f1 ( x, y1 , t ) , T1 = T1 ( x, y1 , t ) , ∂t ∂y1 ∂x 431
(12.95)
− + T1 ( x, y1 , +0 ) = ϕ1 ( x, y1 ) , T1 ( x, 0, t ) = μ1( ) ( x, t ) , T1 ( x, l1 , t ) = μ1( ) ( x, t ) , − + T1 ( 0, y1 , t ) = ν1( ) ( y1, t ) , T1 ( l , y1 , t ) = ν 1( ) ( y1 , t ) .
Для области
(1) Ω12
(12.96)
имеем задачу:
∂ 2T2 ∂ 2T2 ∂T2 = a2 2 + 2 + f 2 ( x, y2 , t ) , T2 = T2 ( x, y2 , t ) , ∂t ∂y2 ∂x
(12.97)
− + T2 ( x, y2 , +0 ) = ϕ 2 ( x, y2 ) , T2 ( x, 0, t ) = μ2( ) ( x, t ) , T2 ( x, l2 , t ) = μ2( ) ( x, t ) , − + T2 ( 0, y2 , t ) = ν 2( ) ( y2 , t ) , T2 ( l , y2 , t ) = ν 2( ) ( y2 , t ) .
(12.98) Аналогично задаче №21 (§ 167), для краевой задачи (12.95), (12.96) записываем биобобщенную формулировку:
∂T1 (1) , t ≥ 0, = a1∇12T1 + W1 , ∇12 = ∂ 2x + ∂ 2y1 , x, y1 ∈ Ω11 (12.99) ∂t + Φ (1) + Φ (1) , T1 = T1 ( x, y1 , t ) = θ + ( t ) χ11 ( x, y1 ) T1 ( x, y1 , t ) , W1 = Ψ 1 1 2 = Ψ x, y , t = ϕ x, y δ t + f x, y , t , Ψ ( 1) + ( ) 1 ( 1 ) 1 1( 1 )
(1) = Φ (1) x, y , t = a ν ( + ) y , t δ ' x − l −ν ( − ) y , t δ ' x , Φ ) 1 ( 1 ) + ( ) 1 ) 1 1 ( 1 ) −( 1 1 ( (1) = Φ (1) x, y , t = a μ ( + ) x, t δ ' y − l − μ ( − ) x, t δ ' y . Φ ( ) − ( 1 ) 1 ( ) + ( 1 ) 1 ) 1 2 2 ( 1 (12.100) Для задачи (12.97), (12.98) имеем биобобщенную формулировку:
∂T2 (1) = a2∇ 22T2 + W2 , ∇ 22 = ∂ 2x + ∂ 2y2 , x, y2 ∈ Ω12 , t ≥ 0, ∂t + Φ ( 2 ) + Φ ( 2 ) , T2 = T2 ( x, y2 , t ) = θ + ( t ) χ12 ( x, y2 ) T2 ( x, y2 , t ) , W2 = Ψ 2 1 2 Ψ 2 = Ψ 2 ( x, y2 , t ) = ϕ2 ( x, y2 ) δ + ( t ) + f2 ( x, y2 , t ) ,
(12.101)
( 2 ) = Φ ( 2 ) x, y , t = a ν ( + ) y , t δ ' x − l −ν ( − ) y , t δ ' x , Φ ( 2 ) − ( ) 2 ( 2 ) + ( ) 2 ) 2 1 1 ( 2 ( 2 ) = Φ ( 2 ) x, y , t = a μ ( + ) x, t δ ' y − l − μ ( − ) x, t δ ' y . Φ ( ) − ( 2 2 ) 2 ( ) + ( 2 ) 2 ) 2 2 2 ( 2 (12.102) 432
Следуя (12.43), решения уравнений (12.99) и (12.101) записываем в представлении потенциала: l1
l
t
(
) (
)
T1 ( x, y1 , t ) = dx ' dy1' dt ' G11 x, x ', y1 , y1' , t − t ' W1 x ', y1' , t ' , 0
r0
0
l
l2
t
0
r0
0
(
) (
(12.103)
)
T2 ( x, y2 , t ) = dx ' dy2' dt ' G12 x, x ', y2 , y2' , t − t ' W2 x ', y2' , t ' . (12.104) Здесь
(
)
G1i x, x ', yi , yi' , t − функции Грина для двумерных областей
Ω1(i ) ( i = 1, 2 ) , имеющие, согласно (12.47), вид: ' (1) (1) 1
(
)
(
(12.105) ) (1) ( x, x ', t ) и G ( ) ( y , y , t ) приведены Одномерные функции Грина G 1,i
G1i x, x ', yi , yi , t = G1,i ( x, x ', t ) G1,i yi , yi' , t . 1 1,i
' i
i
в табл. 8.3 или в табл.8.5. Воспользуемся условием непрерывности потока тепла на общей границе слоёв ( y1 = l1 , y2 = 0 ) − вторым из граничных условий IУ-го рода:
∂T1 λ1 ∂y1
y1 =l1
∂T2 = λ2 ∂y2
, t > 0.
(12.106)
y2 =0
Подставив в (12.106) решения (12.103), (12.104), находим: l
l1`
0
0
λ1 dx ' l
dy1' l2`
∂G11 ' dt ' ∂y1 ×W1 x ', y1, t ' = 0 y1 =l1 t
(
t
)
∂G = λ2 dx ' dy2' dt ' 12 × W2 x ', y2' , t ' . ∂y2 y2 =0 0 0 0
(
(12.107)
)
Если в интегральное уравнение (12.107) подставить выражения для
Wi ( x ', yi , t ') ( i = 1, 2 ) , следующие из (12.100) и (12.102), то получим: l
t
dx ' dt 'Г12 ( x, x ', t − t ') μ ( x ', t ') = Φ 12 ( x, t ) , 0
0
где:
433
(12.108)
∂ 2G11 ∂ 2G12 Г12 ( x, x ', t ) = λ1a1 ' y =l + λ2 a2 ' y =0 , 1 1 ∂y1∂y ∂y2∂y2 2 y1′ =l1 y2' =0
(12.109)
( x, t ) = F ( x, t ) + N ( x, t ) + M ( x, t ) , Φ 12 12 12 12 F12 ( x, t ) = F1 ( x, t ) − F2 ( x, t ) , N 12 ( x, t ) = N 1 ( x, t ) − N 2 ( x, t ) , (12.110) M ( x, t ) = M ( x, t ) + M ( x, t ) 12
1
li `
l
Fi ( x, t ) = λi dx ' 0
0
dyi'
2
∂G1i ' dt ' ∂yi y1=l1 × Ψ i x ', yi , t , i = 1, 2 , 0 t
(
(12.111)
y2 =0
∂ 2G1i ' Ni ( x, t ) = λi ai dyi dt ' ∂x ' ∂yi 0 0 li `
)
t
x '=l y1 =l1
y2 =0
∂ G1i +) ( ' νi yi , t − ∂x ' ∂yi 2
( )
( −) ' y t ν , ' x '=0 i i y1 =l1 y2 =0
(
)
(12.112) l
t
∂ 2G11 − M1 ( x, t ) = λ1a1 dx ' dt ' ' μ1( ) ( x ', t ) , ∂y1∂y1 y1 =l1 0 0 y1′ =0
l
t
∂ 2G12 + × μ 2( ) ( x ', t ) . M 2 ( x, t ) = λ2 a2 dx ' dt ' ' ∂y2∂y2 yy2′ ==0l 0 0 2
(12.113)
2
В интегральном уравнении (12.108) ядро Г12 ( x, x ' t ) и правая часть
( x, t ) − известные функции (определяемые (12.109)÷(12.113). Чтобы −Φ 12
свести его к уравнению Фредгольма 1-го рода, осуществим в (12.108) преобразование Лапласа по t , учитывая, что все интегралы по t ' являются свёртками. Получим: l
dx 'Г12 ( x, x ' p ) μ ( x ' p ) = Φ12 ( x, p ) , 0
Φ12 ( x, p ) = F12 ( x, p ) + N12 ( x, p ) + M12 ( x, p ) .
434
(12.114)
Уравнение (12.114) при всех p может быть решено известными методами. Обратное преобразование Лапласа тогда позволяет найти искомую функцию склейки
=
−1
{ (
)}
подстановка которой в структуры решений (12.103) и (12.104) и завершает решение задачи №25. Сложность этого решения обусловлена общей постановкой двухслойной двумерной задачи с входными данными общего вида. Упрощение этой постановки и применение методов усреднения осуществим в квазиодномерных слоистых моделях, весьма полезных при инженерном анализе процессов горного теплообмена.
§171. Двухслойная система: модель квазиодномерной продольной теплопроводности Задача №26. Эта модель предполагает упрощение входных данных задачи № 25, включающих в себя: а) функции начальных распределений температуры, граничные функции и функции плотности источников (стоков) тепла; б) теплофизические ( λi , ai ) и геометрические ( l , li , i −1,2) параметры.
Суммарный поток тепла через систему − q , , а суммарный поток тепла поперек слоёв q⊥ ≈ 0 (рис. 12.1). Внутренние теплоперетоки в системе 1 (между слоями (1) и ( ) ) отличны от нуля. Задача №26 рассматривается в
Ω11
Ω12
двух вариантах: №26 А и №26 В. Задача №26 А. Теплофизические и геометрические параметры системы произвольны, но есть ограничения на входные данные задачи (группа а)). Эти ограничения таковы: 1). Начальные распределения температур в слоях:
ϕ1 ( x, y1 ) = ϕ2 ( x, y2 ) = T0 = const , x, yi ∈ D2( ) .
(12.115)
f1 ( x, y1, t ) = f 2 ( x, y2 , t ) = 0, x, yi ∈ D2( ) , t > 0.
(12.116)
1
2). Источники (стоки) тепла в слоях отсутствуют:
1
3). Внешние границы системы
∂T1 ∂y1
= y1 =0
∂T2 ∂y2
D2( ) − y1 = 0 1
y2 =l2
и
y2 = l2 − адиабатические:
= 0, x ∈ ( 0, l ) , t > 0.
(12.117)
4). Граничные функции удовлетворяют условиям:
+ − + − max μ 2( ) ( x, t ) − μ1( ) ( x, t ) min ν 2( ) ( yi , t ) −ν 1( ) ( yi , t ) , i = 1, 2 .
x∈( 0,l )
yi ∈( 0,li )
(12.118)
435
5). Функции функциями
ν i( ± ) ( yi , t )
зависят только от времени и согласованы с
− + μ1( ) ( x, t ) и μ2( ) ( x, t ) :
− − ν i( ± ) ( yi , t ) = ν i( ± ) ( t ) , ν i( − ) ( t ) = μ1( ) ( 0, t ) ,ν i( + ) ( t ) = μ1( ) ( l , t ) ,
(−)
ν2
(+)
(+)
(+)
( t ) = μ 2 ( 0, t ) , ν 2 ( t ) = μ 2 ( l , t )
(12.119)
Обычная классическая формулировка задачи №26А, с учётом (12.115) – (12.119), имеет вид:
∂ 2T1 ∂ 2T1 ∂T1 = a1 2 + 2 , T1 = T1 ( x, y1 , t ) , x ∈ ( 0, l ) , y1 ∈ ( 0, l1 ) , (12.120) ∂t1 ∂y1 ∂x
− + T1 ( x, y1,0 ) = T0 , T1 ( 0, y1, t ) = ν 1( ) ( t ) , T1 ( l , y1, t ) = ν 1( ) ( t ) ,
(−)
T1 ( x,0, t ) = μ1
( x, t ) ,
(+)
T1 ( x, l1, t ) = μ1
∂T ( x, t ) , 1 ∂y1
= 0.
(12.121)
y1 =0
∂ 2T2 ∂ 2T2 ∂T2 = a2 2 + 2 , T2 = T2 ( x, y2 , t ) , x ∈ ( 0, l ) , y2 ∈ ( 0, l2 , ) ∂t ∂y2 ∂x
(12.122)
− + T2 ( x, y2 , +0 ) = T0 , T2 ( 0, y2 , t ) = ν 2( ) ( t ) , T2 ( l , y2 , t ) = ν 2( ) ( t ) ,
∂T − + T2 ( x,0, t ) = μ2( ) ( x, t ) , T2 ( x, l2 , t ) = μ2( ) ( x, t ) , 2 ∂y2
= 0. y2 =l2
(12.123)
Задачу «расцепляем», вводя неизвестную функцию склейки
− μ ( x, t ) :
+ − μ ( x, t ) = μ1( ) ( x, t ) = μ2( ) ( x, t ) , x ∈ ( 0, l ) , t > 0 .
(12.124)
К этому, первому из граничных условий 1У-го рода, задаваемому на общей границе слоёв тепла:
λ1
( y1 = l1, y2 = 0 ) , добавим второе – условие склейки потоков ∂T1 ∂y1
= λ2 y1 =l1
∂T2 ∂y2
, x ∈ ( 0, l ) , t = 0. y 2 =0
436
(12.125)
Для
вывода
«расцепленных»
квазиодномерного (по оси
0x )
(автономных)
уравнений
(1)
теплопереноса в слоях Ω11
усредняем уравнения (12.120) и (12.122) по
yi
(1)
и Ω12 ,
и обозначая:
l
1i Ti = Ti ( x, t ) = Ti ( x, yi , t ) dyi , i = 1, 2. li 0
Получаем:
∂T1 ∂ 2T1 a1 ∂T1 , x ∈ ( 0, l ) , = a1 2 + l y ∂t ∂ ∂x 1 1 y =l
t > 0,
(12.127)
∂T2 ∂ 2T2 a2 ∂T2 = a2 2 + , x ∈ ( 0, l ) , t > 0. ∂t l2 ∂y2 y =0 ∂x 2
(12.128)
1
Искомые
(12.126)
поля
полиномами:
Ti ( x , yi , t ) ( i = 1, 2 )
1
аппроксимируем
квадратичными
T1 ( x, y1, t ) = A1 ( x, t ) + B1 ( x, t ) y1 + C1 ( x, t ) y12 , x ∈ ( 0, l ) , y1 ∈ ( 0, l1 ) , (12.129)
T2 ( x, y2 , t ) = A2 ( x, t ) + B2 ( x, t ) y2 + C2 ( x, t ) y22 , x ∈ ( 0, l ) , y2 ∈ ( 0, l2 ) . (12.130) Используя условия (12.121) и (12.123), находим коэффициенты в (12.129) и (12.130), что позволяет представить последние в виде:
( −)
T1 ( x, y1, t ) = μ1
( −)
( x, t ) + μ ( x, t ) − μ1
2
y ( x, t ) 1 , l1
(12.131)
2
y + + T2 ( x, y2 , t ) = μ2( ) ( x, t ) + μ ( x, t ) − μ2( ) ( x, t ) 1 − 2 . (12.132) l2
Вычислив в (12.131) и (12.132) производные по y1 в точках y1 = l1 и y2 = 0 и подставив их в (12.127) и (12.128), приводим последние к виду:
∂T1 ∂ 2T1 2a1 − = a1 2 + 2 μ ( x, t ) − μ1( ) ( x, t ) , ∂t ∂x l1 ∂T2 ∂ 2T2 2a2 + = a2 2 + 2 μ ( x, t ) − μ2( ) ( x, t ) ∂t ∂x l2 437
(12.133)
(12.134)
− + При μ1( ) ( x , t ) > μ ( x , t ) > μ 2( ) ( x , t ) в (12.133) имеем в правой части эффективный сток тепла, а в (12.134) – источник тепла (при обратных неравенствах источник и сток меняется местами). Эффективные сток и
μ ( x, t ) . Её можно
источник тепла выражены через неизвестную функцию
найти, решив интегральное уравнение, следующее из записи решений в форме потенциала. Мы воспользуемся более простым, «обходным» путём, для чего проинтегрируем (12.131) по
y1 (от
0 до l1), а (12.132) по
до l2 ), что даёт:
T1 ( x, t ) =
− μ ( x, t ) + 2μ1( ) ( x, t )
3
, T2 ( x, t ) =
+ μ ( x, t ) + 2μ2( ) ( x, t )
3
y2
(от 0
(12.135)
Выразив из этих соотношений μ ( x, t ) через T1 ( x, t ) и T2 ( x, t ) , подставим
μ ( x, t ) в (12.133) и (12.134). Получим автономные, не содержащие μ ( x, t )
уравнения:
∂T1 ∂ 2T1 6a − = a1 2 + h1 T1 ( x, t ) − μ1( ) ( x, t ) , h1 = 21 , ∂t ∂x l1
∂T2 ∂ 2T2 6a + = a2 2 + h2 T2 ( x, t ) − μ2( ) ( x, t ) , h2 = 22 . ∂t ∂x l2
(12.136)
(12.137)
Для решения этих уравнений вводим функции:
ϑ1 ( x, t ) = T1 ( x, t ) − μ1( ) ( x, t ) , ϑ2 ( x, t ) = T2 ( x, t ) − μ 2( ) ( x, t ) . (12.138) Подстановки Ti ( x , t ) с учётом (12.138) в (12.136), (12.137) дают: ∂ϑi ∂ 2ϑi (12.139) = ai 2 + hiϑi + ω i , i = 1, 2 , ∂t ∂x − − + + ( ∂ 2 μ1 ) ∂μ1( ) ∂ 2 μ2( ) ∂μ2( ) .(12.140) ω i = ω i ( x, t ) , ω1 = a1 , ω 2 = a2 − − 2 2 −
+
∂x
После
подстановки
принимают вид:
∂t
∂x
ϑ1 ( x, t ) = ϑ1 ( x, t ) exp ( hi t ) ,
∂t
уравнения
(12.139)
∂ϑi ∂ 2ϑi = ai 2 + ωi , ωi = ωi ( x, t ) = ω i ( x, t ) exp ( − hit ) , i = 1, 2 . (12.141) ∂t ∂x
Начальные условия для уравнений (12.141): (−)
ϑ1 ( x, +0 ) = T0 − μ1
( x, +0 ) , ϑ2 ( x, +0 ) = T0 − μ 2( + ) ( x, +0 ) . 438
(12.142)
В силу однородности граничных условий для ϑi ( x, t ) , решения (12.141) в форме потенциала будет суперпозицией релаксирующих источниковых ϑi ,3 ( x, t ) полей:
ϑi,1 ( x, t ) и
ϑi ( x, t ) = ϑi ,1 ( x, t ) + ϑi ,3 ( x, t ) , i = 1, 2 ,
(12.143)
которые выражаются через одномерные функции Грина. l
ϑi1 ( x, t ) = dx ' G1,( i) ( x, x ', t ) ϑi ( x ', +0 ) , 1
(12.144)
0
l
t
ϑi 3 ( x, t ) = dx ' dt ' G1,( i) ( x, x ', t − t ) ωi ( x ', t ') . 0
Таким
образом,
1
0
квазиодномерные
поля
Ti ( x, t )
после
(12.145) простых
преобразований найдены, а двумерные поля Ti ( x , yi , t ) «восстанавливаются»
по форму лам (12.131) и (12.132), в которые подставляются выражения для μ ( x, t ) , следующие из (12.135).
Задача №26 В. Рассматривается случай, когда ограничений на входные данные группы (а) нет (кроме (12.115), (12.116), а имеются ограничения на входные данные группы (б). Эти ограничения формализуются условиями:
l1 l2 , li << l , i = 1, 2 . параметры λi и ai анизотропны
– ортотропны при
λix << λiy , aix << aiy , i = 1, 2
(12.147)
Теплофизические
l1 l2 l
(12.146)
и
Эти условия можно объединить, введя безразмерные числа Фурье, характеризующие скорость изменения x − и y − компонент полей:
Foix =
t (i )
trx
, Foiy =
t (i )
try
(i )
, trx
2 l2 ( i ) li , try = , i = 1, 2 . = aix aiy
(12.148)
Условия быстрого изменения температурных полей в поперечном слоям направлении и относительно «медленного» изменения в продольном направлении имеют вид:
(i ) (i ) Foix << Foiy , try << trx , t > 0.
439
(12.149)
(i ) ( i ) эквивалентны, при a Неравенства try << trx ix а при
li l
они дают
aiy , неравенствам li << l ,
aiy >> aix ( i = 1, 2 ) ,
т.е. (12.146) и (12.147)
эквивалентны (12.149). Пусть величина минимального прогнозного времени модели t = t1 t0 = 0 такова, что «поперечное» («быстрое») время Foiy = 1
(
)
, т.е. для y − компоненты поля наступил финишный режим
(
() t1 = try i
)
.
«Продольное» («медленное») время Foix в (12.149) пусть при этом совпадает с характерным временем завершения начальной фазы процесса, т.е.
(
)
i Foix ≤ 0,1 t1 ≤ 0,1trx( ) .
Из
условия
() () trx ≥ 10try i
i
следуют
два
взаимодополнительных соответствия:
l ≥ 3, 16 li , aix ≤ 0,1aiy .
(12.150)
При выполнении одного из условий (12.150), поперечные компоненты потоков тепла в обоих слоях можно считать квазистационарными, а температурные поля аппроксимировать линейными по yi функциями:
T1 ( x, y1 , t ) = μ1(
−)
( x, t ) + μ ( x, t ) − μ1( − ) ( x, t )
T2 ( x, y2 , t ) = μ ( x, t ) + μ2(
+)
Из последних выражений следует, что: (−)
T1 ( x, t ) =
μ ( x, t ) + μ1
( x, t ) , T
2
y1 , l1
y2 − x , t μ x , t ( ) ( ) , . l2
( x, t ) =
2 Уравнения (12.136) и (12.137) принимают вид:
μ ( x, t ) + μ 2( + ) ( x, t )
(12.151) (12.152)
(12.153)
2
∂T1 ∂ 2T1 2a1x − = a1x 2 + 2 T1 ( x, t ) − μ1( ) ( x, t ) , x ∈ ( 0, l ) , t > 0, (12.154) ∂t ∂x l1 ∂T2 ∂ 2T2 2a2 x + = a2 x + 2 T2 ( x, t ) − μ 2( ) ( x, t ) , x ∈ ( 0, l ) , t > 0.(12.155) 2 ∂t l2 ∂x
Полученные автономные уравнения (12.154) и (12.155) решаются аналогичным предыдущему случаю методом, после чего по (12.153), (12.154) и (12.151), (12.152) «восстанавливаются» двумерные поля Ti ( x, yit ) ( i = 1, 2 ) . Этим решение задачи №26 (в двух вариантах) исчерпывается.
440
§172. Двухслойная система: модель квазиодномерной поперечной теплопроводности Задача №27. Как и ранее, рассматриваем два варианта при
q = 0
и
(1) и (1) направлении потока тепла через систему q⊥ (поперек слоёв Ω11 Ω12 Рис.12.1). В задаче №27А квазиодномерность обусловлена ограничениями типа (12.115) – (12.119), а теплофизические ( λi , ai ) и геометрические
( l1, li , i = 1, 2 )
параметры
произвольны.
В
задаче
№27В
напротив,
ограничения аналогичны тем, которые встречались в задаче №26В, т.е. теплофизическим и геометрическим. Задача №27.А. Аналоги ограничений (12.115)-(12.119) в данном случае таковы: 1)ϕ1 ( x , y1 ) = T01 = const , ϕ 2 ( x , y 2 ) = T02 = const , T01 ≠ T02 (12.156) 2)
f1 ( x, y1, t ) = f 2 ( x, y2 , t ) = 0, x, yi ∈ D2( ) , t > 0.
(12.157)
3)
∂Ti ∂x
(12.158)
1
4) max
yi∈( 0,li )
5)
= x =0
∂Ti ∂x
= 0, x =l
y1 ∈ ( 0, li ) , t > 0, i = 1, 2.
+ − ν i( + ) ( yi , t ) −ν i( − ) ( yi , t ) min μ 2( ) ( x, t ) − μ1( ) ( x, t ) , i = 1, 2. x∈( 0,l )
− − − + μ1( ) ( x, t ) = μ1( ) ( t ) = ν 1( ) ( 0, t ) = ν 1( ) ( 0, t ) ,
(+)
μ2
(+)
(−)
(+)
( x, t ) = μ2 ( t ) = ν 2 ( l2 , t ) = ν 2 ( l2 , t ).
(12.159) (12.160)
Уравнения теплопроводности в слоях те же, что и в задаче №26А. Интегрируя их по x в пределах от 0 до l , получим:
∂Ti ∂ 2Ti = ai 2 , Ti = Ti ( yi , t ) , yi ∈ ( 0, li ) , i = 1, 2, ∂t ∂yi
(12.161)
где l
1 Ti ( yi , t ) = Ti ( x, yi , t ) dx, i = 1, 2. . l0 Краевые условия к (12.161) имеют вид: 441
(12.162)
− Ti ( yi , +0 ) = T0i , T1 ( 0, t ) = μ1( ) ( t ) ,
T1 ( l1, t ) = μ ( t ) ,
∂T + T2 ( 0, t ) = T1 ( l1, t ) = μ ( t ) , T2 ( l2 , t ) = μ2( ) ( t ) , λ1 1 ∂y1
= λ2 y1 =l1
∂T2 ∂y2
. y2 = 0
(12.163) Таким образом, задача №27А сведена к двухслойной одномерной задаче, решение которой было ранее получено. В ходе этого решения определяется и функция
μ ( t ) . Для «восстановления» двумерных полей в обоих слоях, по
найденным квазиодномерным полям, предполагаем что: 1) квазиодномерные поля Ti ( yi , t ) близки к двумерным полям на линии x = l / 2 , т.е.
Ti ( yi , t ) Ti ( l / 2, yi , t ) ; 2) в областях x ∈ ( 0, l / 2 ) и x ∈ ( l / 2, l ) двумерные
поля можно аппроксимировать квадратичными полиномами (с учётом (12.158)). Указанные аппроксимации, как легко показать, имеют вид:
( −)
Ti1 ( x, yi , t ) = ν i
( −)
( yi , t ) + Ti ( yi , t ) −ν i
2
x ( yi , t ) , x ∈ ( 0, l / 2) , l/2
(12.164)
2
x + Ti 2 ( x, yi , t ) = Ti ( yi , t ) + ν i( ) ( yi , t ) − Ti ( yi , t ) 1 − 4 1 − , x ∈ ( l / 2, l ) . l
(12.165) Двумерные решения, удовлетворяющие всем граничным условиям и выраженные («восстановленные») через квазиодномерные поля Ti имеют вид:
( x, yi , t ) ,
Ti1 ( x, yi , t ) , x ∈ ( 0, l / 2 ) , Ti ( yi , t ) = Ti 2 ( x, yi , t ) , x ∈ ( l / 2, l ) , i = 1, 2
(12.166)
Задача №27В. Используем аналогию с задачей №26В и полагаем, что возможны два варианта квазиодномерности: 1) при ширине слоёв
() Ω12 существенно меньшей, чем толщина наиболее тонкого из них: l min {l1, l2 }.
() Ω11 1
и
1
2) При ортотропии (анизотропии по осям параметров и выполнении неравенств:
λix λiy ,
aix aiy ,
0i x
и
0i yi )
теплофизических
i = 1, 2.
(i ) (i ) . Как и в задаче №26В, эти условия эквивалентны одному −t rx try 442
(12.167)
(12.168)
Положим, не ограничивая общности, l2 < l1 Тогда условия (12.167), (12.168) и эквивалентное им общее условие можно конкретизировать аналогично тому, как это было сделано в задаче №26В и получить:
() () try ≥ 10trx , l2 ≥ 3,16l , aiy ≤ 0,1aix . i
i
(12.169)
При выполнении любого из условий (12.169), поле можно считать (для Foix 1,0 ) квазиоднородным и выписать решения Ti ( yi , t ) для двухслойной одномерной задачи. Для «восстановления» двумерных полей применяется тот же приём, что и в задаче №27А, но поля Ti ( x, yi , t ) аппроксимируются
линейными функциями x . В итоге приходим к выражению вида (12.166), в котором x − − , x ∈ ( 0, l / 2 ) ,(12.170) T ( x, y , t ) = ν ( ) ( y , t ) + T ( y , t ) −ν ( ) ( y , t ) i1
i
i
i
i
i
i
i
l/2
x + Ti 2 ( x, yi , t ) = Ti ( yi , t ) + ν i( ) ( yi , t ) − Ti ( yi , t ) − 1 , x ∈ ( l / 2, l ) .(12.171) l / 2 Этим решение задачи №27 исчерпывается.
§173. Многослойные двумерные системы
В§ 170, при моделировании двумерной двухслойной системы, был использован метод функций склейки, для определения которой служило интегральное уравнение сложного вида. Этот подход, будучи применён к N − слойной системе, приведёт к необходимости решать систему из N − 1 − го интегрального уравнения, что, практически, невозможно. Известные другие методы решения слоистых задач, как уже отмечалось, существенно более громоздки и сложны, чем метод функций склейки. 1 1 (1) (1) Поэтому для N − слойных систем DN(1) = Ω11 , Ω12 ,, Ω1( j ) , Ω1(N)
{
}
ограничимся рассмотрением моделей квазиодномерной продольной и поперечной теплопроводности, т.е. обобщениями на случай N − слоёв задач №№26,27 (§§171,172). Задача №28А. Модель квазиодномерной продольной теплопроводности в системе (1) при ограничениях на входные данные вида
DN
(12.115) ÷ (12.119). Вносимые в последние изменения: i = 1, N , а в (12.117) записывется условие адиабатичности на внешней границе N − го слоя:
∂TN ∂y N
= 0, TN = TN ( x, y N , t ) .
(12.172)
yN =lN
Задача №26А решалась методом усреднения полей в слоях по координатам yi ( i = 1, 2 ) с последующим «восстановлением» двумерных полей по 443
усредненным (одномерным) полям при квадратичной (по y1 ) аппроксимации. Для N − слойной системы это невозможно, т.к. построение квадратичной аппроксимации на каждом из N слоёв требует нахождения 3N неизвестных коэффициентов, для чего имеются 2 N + 2 условия (2 условия адиабатичности внешних границ, 2 условия первого рода, 2 ( N −1) = 2N − 2
условия склейки на границах слоёв). Поэтому при N > 2, 2 N + 2 < 3 N , построить квадратичные аппроксимации нельзя. Отсюда следует, что задача №26А не может служить аналогом для решения задачи №28А. Таким аналогом (опорной задачей) может быть задача №26В при реализации любого из двух вариантов: 1)задача №28А стратифицируется по координатам , т.е.каждый из слоёв (1)
(
yi i = 1, N
)
Ω1i
разбивается на ni достаточно тонких подслоёв с шириной li 0 выполнении условия, обобщающего (12.146):
li 0 l , li 0 =
= li / ni
li , i = 1, N , ni
при
(12.173)
N т.е. система DN(1) заменяется системой из N1 слоёв − D(1) , N = n . В вари1 i N1 i =1
анте 2) задача №28А не подвергается стратификации, но предполагается, что для всех N слоёв справедливо условие (12.147) при i = 1, N , которое, по аналогии с (12.150), эквивалентно условиям: l ≥ 3,16li , aix ≤ 0,1aiy . (12.174) В обоих этих вариантах решение задачи №28А сводится к решению задачи №28В, т.е. обобщению задачи №26В. Решение осуществляется усреднением полей по толщине слоёв (которых N1 − в первом и N − во втором варианте) с линейной аппроксимацией по yi двумерных «восстанавливаемых» полей. Задача №28В. Модель квазиодномерной продольной
теплопроводности при выполнении условия
() () try trx i
i
( i = 1, N
или
i = 1, N1 ). Это условие, как и в §171 понимается как эквивалентное условию () () trx ≥ 10try .
Рассмотрим
в
Ω 1(i )− Ti ( x, yi , t ) ( x ∈ ( 0, l ) , yi ∈ ( 0, li ) ) .
i
i
областях
систему
1
444
(1) DN
с
двумерными
полями
Вводим средние поля: l
1i Ti ( x, t ) = Ti ( x, yi , t ) dyi , i = 1, N . li 0 Тогда, усредняя уравнение ортотропной теплопроводности в
(12.175)
Ω1(i ): 1
λiy λ ∂Ti ∂ 2Ti ∂ 2Ti = aix 2 + aiy 2 , aix = ix , aiy = , ∂t c c ∂x ∂yi i i
(12.176)
получаем:
∂Ti ∂ 2Ti aiy ∂Ti = aix 2 + li ∂yi ∂t ∂x Производные в соотношениями
∂Ti ∂yi
yi =li
скобках
в
T −T 2 i +1 i li + li +1
yi =li
(12.177)
,
∂T − i ∂yi
. yi =0
заменяем
∂Ti ∂yi
yi 0
(12.177)
конечно-разностными
T −T 2 i i −1 , li −1 + li
(12.178)
что позволяет представить (12.177) в виде i ∂Ti ∂ 2Ti trx Li {Ti } = − 2 = i Γ 2 {Ti } , try ∂Foix ∂ξ
(12.179)
где:
Foix =
t (i )
trx
,
x ξ= , l
(i )
trx
l2 = , aix
(i )
try
li2 = , aiy
Γ 2 {Ti } = γ i −1Ti −1 − 2γ iTi + γ i +1Ti +1 ,
γ i −1 =
2 , li −1 1+ li
γ i +1 =
(12.180)
2 , 2γ i = γ i −1 + γ i +1. li +1 1+ li
Оценки порядка величин в уравнении (122.179) показывают, что для малых Foix 1 можно использовать приближение вида
t (i ) ∂Ti = rxi Γ 2 {Ti } , () ∂Foix try а для больших Foix 1 приближения вида 445
(12.181)
(i ) ∂ 2T1 trx + i Γ 2 {Ti } = 0. 2 () try ∂ξ
(12.182)
Решение дифференциально-разностного уравнения (12.179) (путём двукратного осуществляется алгебраизацией оператора Li Ti
{ }
интегрального преобразования – Лапласа по t и sin− Фурье по ξ ), что сводит задачу к обращению трёхдиагональной матрицы с последующими обратными интегральными преобразованиями. Для решения асимптотических (приближенных) уравнений (12.181) и (12.182) работает тот же метод, но в более простых вариантах (для (12.181) – алгебраизация осуществляется преобразованием Лапласа по t , а для (12.182) – преобразованием sin− Фурье по ξ ). Задача №29. Модель квазиодномерной, поперечной слоям теплопроводности в N − слойной системе – обобщение задачи №27. В варианте А (задача №29А) повторяются все выкладки задачи №27А, всё сводится к одномерной задаче для N − слойной системы, решение которой
может быть осуществлено стратификацией по всем yi («измельчением» 1 слоёв ( ) до уровня, когда в каждом из них решение можно представить
Ω1i
финишным режимом). «Восстановление» двумерных полей по квазиодномерному осуществляется аналогично задаче №27А (по (12.164)÷(21.166)). В варианте В (задача №29В) используется аналогия с задачей №27В. После решения одномерной задачи для N − слойной системы «восстановление» двумерных полей следует из (12.170), (12.171). Для многослойных систем также применим метод дискретизации (двумерной системы цепочек диссипаторов), приводящей задачу к обращению пятидиагональной матрицы [1].
§174. Модели с цилиндрическими слоями Базисные двумерные слоистые модели с цилиндрическими слоями ( 2 ) ( 2 ) изображать которую рассматриваются на основе системы D2( 2 ) = Ω11 Ω12 ,
{
}
нет необходимости. Достаточно на рис. 12.1 осуществить замены:
Ti ( x, yi , t ) → Ti ( x, r , t ) ( i = 1,2 ) , l1 → Δr1 − r1 − r0 , l2 → Δr2 − r2 − r1, 0i yi → 0i r ,
причем точка 01 соответствует r = r0 , а точка 02 − r = r1. Уравнения теплопроводности в двумерных цилиндрических слоях уже приводились. Биобобщенные формулировки краевых задач для тех аналогичны (12.99), (12.100) и (12.101), (12.102), а структуры решений в представлениях потенциала аналогичны (12.67) (где интегрирование по r '
446
для T1 ( x, r ) ведётся от r0 до r1 , а для T2 ( x, r , t ) − от r1 до r2 ). Двумерные функции Грина, как и ранее, находятся как произведение одномерных. Решение в общем случае (без ограничений на входные данные задачи) и квазиодномерные приближенные решения для двух – и многослойных систем могут быть получены аналогично методам §§170÷173, в чём Читатель может убедиться самостоятельно. Перечислим задачи для цилиндрических слоистых моделей, указывая их соответствующие аналоги – задачи для плоских слоёв. Задача №30. Двухслойная модель общего вида. Постановка и решение аналогичны задаче №25. Задача №31. Модель квазиодномерной продольной (вдоль 0i x, i = 1, 2 ) теплопроводности в двухслойной системе в двух вариантах – А и В. Аналоги – задачи №26А и №26В. Задача №32. Модель квазиодномерной поперечной (по оси 0r ) теплопроводности в двухслойной системе в двух вариантах – А и В. Аналоги – задачи №27А и №27В. Задача №33. Модель квазиодномерной продольной теплопроводности в N − слойной системе в двух вариантах – А и В. Аналоги – задачи №28А и №28В. Задача №34. . Модель квазиодномерной поперечной теплопроводности в N − слойной системе в двух вариантах – А и В. Аналоги – задачи №29А и №29В.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ – П. В ЧАСТИ 10 содержатся главы 40-43. В Главе 40 «Метод функций склейки»: 1. Предложена классификация слоистых моделей и аналитикочисленный «метод функций склейки»; дана биобобщенная формулировка системы краевых задач теплопроводности для Nслойной системы общего вида (для плоских ( m = 1) , цилиндрических
( m = 2 ) , сферических ( m = 3)
слоёв). Найден общий вид решений в каждом из слоёв в представлении потенциала (т.е. с использованием слоевых функций Грина) (§ 136). 2. Получены общие уравнения склейки – система алгебраических уравнений относительно Лаплас – трансформант функций склейки (температур на межслоевых границах). Найдены частные (для двухслойных систем) уравнения склейки. Получены матричные уравнения относительно температур и плотностей теплоыих потоков на межслоевых границах. (§137).
447
3. Найден общий вид решения матричного (N-порядка) уравнения склейки (с трёхдиагональной матрицей), получены формулы для вычисления элементов обратной матрицы.(§138). В Главе 41 «Плоские слоистые системы»: 4. Получены уравнения склейки для плоских слоистых систем и выражения для его коэффициентов. Предельным переходом к бесконечно тонким слоям установлено верное уравнение теплопроводности для непрерывно-неоднородной среды. Найдены решения для трёх двухслойных и трёхслойных систем (§139). 5. Изложены методологические принципы приближенных решений слоистых задач (понижение порядка исходной системы, редукции, использование приближенных функций Грина). Найдено решение для 1 1 двухслойной системы Ω1( ) , Ω2( ) на базе первых приближений
{
}
функций Грина слоёв. Численные расчёты показали, что невязка решений (относительная) порядка 5%. Рассмотрены решения для малых и больших значений времени. Исследованы случаи полного и частичного вырождения переноса в одном из слоёв трёхслойной системы (§140). 6. Предложены модели «усложнённого» переноса в слоистой системе (при неоднородных условиях склейки и при конвективнокондуктивном теплопереносе). Получены уравнения склейки, найдены выражения для их коэффициентов (§141). В Главе 42 «Сферические слоистые системы»: 7. Получено уравнение склейки общего вида (для N – слойной системы). Найдены выражения для коэффициентов этого уравнения. Осуществлён предельный переход к уравнению теплопроводности для непрерывно-неоднородной среды. Показано, что при t → 0 функция склейки совпадает с таковыми для плоской слоистой системы. 3 3 Получено уравнение склейки для двухслойной системы Ω0( ) , Ω1( ) .
{
{
}
}
3 3 Для системы Ω1( ) , Ω2( ) получено уравнение склейки и найдены его
коэффициенты. (§ 142). 8. Получены решения для малых и больших t . Показано, что при t → ∞ решения совпадают с таковыми для стационарных полей в системах (§143). 3 3 9. Найдена функция склейки для системы Ω1( ) , Ω2( ) при вычислении
{
}
коэффициентов уравнения склейки по приближенным функциям Грина. Получена оценка характерного (порогового) времени, по превышении которого первое приближение является достаточным. Найдены выражения для полей в слоях на финишном режиме эволюции поля (когда Fo ∈ ( Fo3 , ∞ ) , где Fo3 − пороговое время 448
завершения квазистационарного режима). Введено понятие структурной редукции слоистой системы, установлены условия для возможности перехода от сферических к плоским слоям. (§144). В Главе 43 «Цилиндрические слоистые системы»: 10. Получено уравнение склейки общего вида (для N − слойной системы). Найдены выражения для коэффициентов уравнения склейки по приближенным функциям Грина. Рассмотрена двухслойная система ( 2 ) ( 2 ) , найдено выражение для функции склейки, которое при Ω ,Ω
{
1
2
}
t → ∞ совпадает с выражением, следующим из стационарной задачи.
{
}
2 2 Рассмотрена система Ω1( ) , Ω+( ) , найдено выражение для функции
склейки. Проведены численные расчёты. (§145). 11.Рассмотрены многослойные системы с плоскими, цилиндрическими и сферическими слоями. Предложены различные подходы к получению приближенных решений. Получены приближенные уравнения склейки, указаны методы их решения. Для многослойный цилиндрических систем предложен метод редукции к многослойным плоским системам. (§146). В ЧАСТИ 11 содержатся главы 44 ÷ 46 В Главе 44 «Модели неоднородных систем»: 12. Предложены модели и найдены структуры решений на базе приближенных функций Грина для непрерывно-неоднородных систем. Получены решения уравнений Фурье и Фурье-Кирхгофа с зависящими от координаты коэффициентами в представлениях граничных функций и потенциала (§147). 13. Получены аналитико-численные методы вычисления приближенных функций Грина и решения краевых задач: метод П.В. Цоя, метод стратификации, метод дискретизации. Приближенные функции Грина найдены для различных областей; при введении «эффективных» параметров они приводятся к виду, соответствующему однородным средам (§148). 14. Метод стратификации областей заключается в редукции краевой задачи теплопроводности в неоднородной среде с непрерывной неоднородностью к задаче нахождения поля в n − слойной системе ( n = 1, 2, , N ) . Введено понятие бимонотонных функций, позволяющих осуществлять стратификацию областей двумя способами: редукцией к слоистой системе и редукцией к слоистонеоднородной системе (с линейно зависящими от координаты параметрами в каждом из слоёв). Выполнены численные расчёты. (§149). 15. Метод дискретизации – разновидность метода алгебраизации краевой задачи при которой область заменяется многослойной системой с тонкими слоями (такими, что в каждом из них поле зависит только от 449
времени). Введены понятия диссипатора и диссипаторной цепочки. Получены алгебраические уравнения относительно температур диссипаторов, образующие систему с трёхдиагональной матрицей. (§150). В Главе 45 «Модели нестационарных систем» 16. Введены понятия внутренней и внешней нестационарности моделей. Для моделей с внутренней нестационарностью предложен метод дискретизации – редукции краевой задачи к системе конечноразностных уравнений с трёхдиагональной матрицей, описывающей перенос в диссипаторной цепочке с переменными во времени теплофизическими параметрами. Получено уравнение диссипаторной цепочки переменной длины (т.е. для случая внешней нестационарности – изменения со временем размеров области). Получены частные его виды – для укорачивающихся и для удлиняющихся цепочек. (§151). 17. Осуществлён предельный переход от диссипаторной цепочки с параметрами, зависящими от координаты и времени, к семейству континуальных моделей –локальной (нулевое приближение) и к квазилокальным (первое и последующее приближения – уравнения с высшими производными). Предложен метод учёта в моделях наличия источников (стоков) тепла. (§152). 18. Получено базисное уравнение первого приближения, из которого получены его частные разновидности – «телеграфное» и «фильтрационное» уравнения. Последние представлены в биобобщенной форме в операторном виде и решены методом функций Грина. Функции Грина для базисного уравнения и его частных случаев найдены; установлена связь между ними. Предложен метод бистратификации – стратификации как по пространственной координате, так и по времени (хроностратификация). Получены уравнения склейки на k − ом хронослое стандартного (трёхдиагонального) вида. (§153). 19. Рассмотрены модели с внешней нестационарностью двух видов: 1) с зависящим от времени коэффициентом теплообмена в граничном условии третьего рода (α = α ( t ) ) ; 2) с подвижными границами
системы. Предложены методы аппроксимации для решения указанных задач. (§154). В Главе 46 «Модели нелинейных систем»: 20. Рассмотрены нелинейные модели шахтной теплофизики, сформулированы методологические принципы. Для решения краевых задач с внутренней и внешней нелинейностью предложены аналитико-численные методы: стратификации (с кусочнопостоянными и кусочно-линейными аппроксимациями) и дискретизации. Сформулирована базисная нелинейная краевая задача, приведены три варианта нелинейных граничных условий, дана
450
классификация нелинейных задач. Сформулирована базисная задача Стефана. Оценена погрешность линеаризации. (§155). 21. Дана общая характеристика моделей с внутренней нелинейностью. Изложен ряд результатов дискретной неравновесной термодинамики, ранее полученных автором [1]. Предложены методы стратификации и дискретизации. (§156). 22. Сформулированы шесть краевых задач с внутренней нелинейностью. Задача №1 решена построением «вилки» из двух экспоненциальных аппроксимаций температурных полей. При отношении максимального (в рассматриваемом температурном диапазоне) значения коэффициента температуропроводности к минимальному, превышающем 1,5, осуществляется стратификация области решения на две подобласти (на два слоя). Задача №2 решена методом хроностратификации – разбиением всего моделируемого интервала времени на две подобласти (хронослоя). Аналогично решены и задачи №№ 3÷5. (§157). 23. Рассмотрены неоднородные краевые задачи с внутренней нелинейностью – задачи №№ 6÷10. Задачи решены с использованием методов аппроксимации, стратификации и бистратификации (§158). 24. Рассмотрены модели с общей и внешней нелинейностью. Решены задачи №№11÷16 методами аппроксимации, стратификации и бистратификации (§159). 25. Для решения базисной задачи Стефана предложены методы: дискретизации, стратификации, модифицированный метод Л.С Лейбензона. Решены задачи №№17,18. (§160). 26. Рассмотрены нелинейные модели рудничной аэрологии. Решены задачи №№19,20. Для решения линеаризованной краевой задачи (№19) для телеграфного уравнения – модели аварийного, быстропротекающего вентиляционного режима - найдена функция Грина. Решение задачи №20 (переходной аэродинамический процесс в полубесконечной выработке с утечками воздуха) найдено использованием метода И.С. Громеки и нескольких, линеаризующих задачу, подстановок.(§161). В ЧАСТИ 12 содержатся главы 47÷49. В Главе 47 «Приближенные методы»: 27. Дан краткий обзор двумерных моделей шахтной теплофизики (§162). 28. Сформулированы методологические принципы построения приближенных решений неодномерных краевых задач. В первой группе методологических принципов используется анализ качественного поведения температурных полей и вводится понятие «адиабатического стержня». Во второй группе обосновываются методы «покоординатного спуска» и усреднения полей. В третьей группе осуществляются оценки решений задач при использовании редукции и без неё. Введено понятие «функции восстановления» - аппроксимации зависимости поля от координаты, по которой осуществляется усреднение. Получена оценка зоны неодномерности поля. (§163). 451
29. Рассмотрены редукции двумерных полей к одномерным на основе оценок зон одномерности полей для двух моделей: теплопритоков из горного массива в тупиковую (проходимую) выработку и теплопритоков из массива в выработку сквозного проветривания. Получены оценки, позволяющие осуществить редукцию двумерных задач к одномерным (§164). 30. Получены оценки влияния отличия формы сечения выработки от кругового на величину зоны неодномерности поля. (§165). 31. Получена оценка влияния начальной температурной неоднородности массива (§166). В главе 48 «Модели сопряженного теплообмена»: 32. Описаны двумерные области, приведены их характеристические
(1)
{
(
)}
функции. Для области D1,1 = x ∈ ( 0, lx ) , y ∈ 0, l y сформулирована двумерная биобобщенная краевая задача теплопроводности (Задача №21). Получено её решение в форме потенциала. Функция Грина для двумерной области найдена методом факторизации (представления её в виде произведения двух одномерных функций Грина). Аналогичным образом найдены функция Грина и решение задачи для области
( 2) D1,1 = { x ∈ ( 0, lx ) , r ∈ ( r0 , r1 )} . (§167).
33. Предложены формулировки сопряженных задач шахтной теплофизики. Краевая задача теплопереноса в горной выработке сформулирована в биобобщенном виде, решение её, в представлении потенциала, выражено через функцию Грина. Для температуры воздуха в выработке и температуре стенки выработки (функции склейки) получена система двух интегральных уравнений.(§168). 34. Для решения сопряженных задач предложены комбинированные методы. Первый из них применяется к полученной системе двух интегральных уравнений и заключается в преобразовании Лапласа по t с последующей стратификацией по продольной координате x (Задача №23). Второй метод заключается в аппроксимации температурного поля в горном массиве с последующим применением преобразования Лапласа по x для поля в выработке (Задача №24). (§169). В Главе 49 «Двумерные слоистые модели»: 35. Рассмотрена система из двух контактирующих прямоугольников (задача №25). Использована обобщенная формулировка краевой задачи и найдено решение в представлении потенциала, содержащее двумерную функцию Грина. Получено интегрально уравнение относительно неизвестной функции склейки – температуры на общей границе областей, которое приведено к уравнению Фредгольма I-го рода (§170). 36. Предложены две модели квазиодномерной продольной теплопроводности в двухслойной двумерной системе. Решены два 452
варианта задачи №26 (Задача №26А и задача №26В). В задаче №26А использован метод усреднения полей в каждом из слоёв по поперечной координате, позволившей свести задачу к системе двух автономных уравнений. В задаче №26 В использовано «разделение времён» различия в величинах времён макрорелаксации x − и y − компонент полей. По координате y (поперечная координата с «быстрой» релаксацией поля) осуществлена линейная аппроксимация. (§171). 37. Предложены две модели квазиодномерной поперечной теплопроводности (Задачи №№27А, 27 В) в двухслойной двумерной системе. В задаче №27 А использован метод усреднения по продольной координате, редуцировавший задачу к одномерной двухслойной с квадратичной функцией восстановления. В задаче №27 В применён метод решения задачи №26 В с восстановлением зависимости от исключенной координаты линейной аппроксимацией.(§172). 38. Предложены модели квазиодномерной продольной и поперечной теплопроводности в N − слойной системе. Решены задачи №№ 28А, 28В, 29А, 29В с использованием методов решения §§171,172 (§173). 39. Получены обобщенные формулировки краевых задач для моделей с двумерными цилиндрическими слоями. Перечислены задачи №№30÷34 – аналоги задач №№ 25 ÷ 29.(§174). 40. Полученные в РАЗДЕЛЕ П результаты далее используются при построении математических моделей и решении краевых задач в РАЗДЕЛЕ Ш. Работы, использованные при написании РАЗДЕЛА П приведены в Приложении 3.
453
…более грубая модель, легко поддающаяся математической обработке, может привести к более глубокому пониманию природы естественнонаучного явления или технологического процесса, чем более тонкая, но тяжеловесная с математической точки зрения, модель.. У.Прагер …у этих [численных] методов, кроме преимуществ, есть и существенные недостатки, к которым можно отнести отсутствие наглядности при получении решения и неспособность представить его в виде аналитических функций, описывающих поведение данной системы. Ф.В.Недопёкин, В.В. Дрёмов
Р А З Д Е Л III МОДЕЛИ ГОРНОЙ ТЕПЛОФИЗИКИ
ЧАСТЬ 13 ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ И АВАРИЙНЫХ РЕЖИМОВ Глава 50. ОХЛАЖДЕННЫЕ ЗОНЫ ГОРНЫХ МАССИВОВ §175. Аппроксимации нестационарных температурных полей Прогноз нестационарных температур в прилегающих к выработкам областях горного массива, именуемых [89] охлажденными зонами, необходим при решении многочисленных инженерных задач: определения теплопритоков в выработки в связи с тепловыми расчётами выработок (в случаях наличия либо отсутствия систем кондиционирования); определения теплоаккумуляции в массивах при подземных пожарах при расчёте времени остывания массива; расчёта термоупругих напряжений в крепи и массиве с целью прогноза устойчивости стволов шахт и капитальных горных выработок; при построении математических моделей переходных термических процессов (технологических или аварийных); при построении моделей управления тепловым режимом участков термическими воздействиями на массив (управление кровлей плавным опусканием и закладка выработанного пространства, тепловой дренаж пласта, теплоаккумуляция в массиве). Для случаев полостей в массиве прямоугольной ( m = 1) , цилиндрической
( m = 2)
и сферической
( m = 3)
форм, окружающие эти
полости области массива −Ω+( m ) , для которых известны аналитические решения первой и третьей краевых задач теплопроводности [17,40,89]. Эти решения, с точки зрения использования их в качестве исходных (входных) данных в других моделях, имеют недостатки: а) громоздкую математическую структуру; б) определены в полубесконечных областях, в то время как при аналоговом или физическом моделировании работают с конечными областями. Возникает двуединая задача: найти достаточно простые аппроксимирующие эти поля функции в областях
Ωδ(
m)
{
}
= η ∈ η0 ,η0 + δ m ( t ) и предложить формулы для δ m ( t ) − ширины
охлажденной зоны массива, увеличивающейся со временем. Первую часть этой задачи решаем на основе §§106, 132, а вторую – на основе §§125, 126. Первые краевые задачи являются моделями интенсивного теплообмена горного массива с вентиляционным воздухом, когда при большой скорости его движения или при испарении влаги на стенках выработки безразмерный коэффициент теплообмена велик ( Bi ≥ 30) и 455
возможно на границе массива (на стенке выработки) задать граничное условие 1-го рода m u+( ) (η0 , t ) = uB = const , t > 0.
(13.1)
uB − температура вентиляционной струи. Начальная температура горного массива считается постоянной u П = const и равной естественной
Здесь
температуре пород на данной глубине [89]. Аналитические решения первых краевых ( m) +
Ω
задач
для
областей
( m = 1, 2,3) даны формулами (9.264), (9.265) и (9.266). Если ввести для
ширин охлажденных зон (зон локализации решений – «на языке» §§ 125,126) выражения
δ m ( t ) = 2 K m at , t > 0, m = 1, 2,3,
(13.2)
то подстановкой (13.2) в указанные выражения для решений u+( m ) (η , t ) легко убедиться, что апостериорная оценка (13.2) при
Km = 2,0
годится для всех
m = 1,2,3 , хотя при m = 2 является завышенной, а при m = 3 − еще в большей степени (поскольку в решении при m = 2 входит множитель
( r0 / r )
1/ 2
, а при m = 3 − ( r0 / r ) ). Тем не менее, удобство использования
для различных геометрий областей одинаковой оценки для
δ m ( t ) позволяет
пренебречь фактически несколько различным определением в этих случаях зоны локализации (оценки являются относительными – см. §125). ( m) Решения u+ η , t представим в квазифинитной (локализованной) форме:
(
)
x 1 uδ( ) ( x, t ) = u П − Δuerfc 2 , δ1 ( t ) = 4 at , Δu = u П − u B , (13.3) δ1 ( t ) 1/ 2 r − r0 r0 ( 2) (13.4) uδ ( r , t ) = u П − Δu erfc 2 , δ 2 ( t ) = δ1 ( t ) , δ r t 2( )
r − r0 r 3 uδ( ) ( r , t ) = un − Δu 0 erfc 2 , δ 3 ( t ) = δ1 ( t ) . r δ3 (t )
Аппроксимации этих функций будем искать в степенном
456
(13.5)
x n1 1 uˆn( ) ( x, t ) = u П − Δu 1 − , n1 ∈ ( 0,1) , δ1 ( t ) nm r−r (m) 0 uˆn ( r , t ) = u П − Δu 1 − , nm ∈ ( 0,1) , m = 2,3 δ m (t )
(13.6)
(13.7)
и экспоненциальном видах
x uˆβ ( x, t ) = u П − Δu exp − β1 , β1 ∈ [3,551, ∞ ) , t δ 1 ( ) (1)
(m)
uˆβ
(13.8)
r − r0 ( r , t ) = uП − Δu exp − β m , β m ≥ β1 , m = 2,3. (13.9) δ m ( t )
Минимальное допустимое значение β1 = 3,551 уже было ранее обосновано (§ 132). Параметры nm и β m ( m = 1, 2,3 ) находим методом приравнивания нулевых моментов функций
m uδ( ) (η , t )
и функций
так же, как это было сделано в § 132, где для
M 0 uδ( было получено:
m)
m m uˆn( ) (η , t ) , uˆβ( ) (η , t )
m = 1 из условий
(η , t ) = M 0 uˆn(1) ( x, t ) = M 0 uβ(1) ( x, t ) n1 = 0,392; β1 = 3,551.
(13.10)
(13.11)
Из (13.10) также следует, что β1 = 1 + n1 , , т.е. β1 и n1 связаны друг с другом обратной зависимостью. Несколько забегая вперёд, отметим, что для m = 2,3 такой простой связи нет, хотя качественное поведение – −1
аналогичное (при росте значениях
Fo
β m , nm
убывает). Постоянство
n1
обусловлено автомодельностью (13.3). При
457
и
β1
при всех
m = 2,3 этого
m нет, поэтому интегралы M 0 uˆδ( m) ( r , t ) , M 0 uˆn( m) ( r , t ) и M0 uˆβ( ) ( r, t )
зависят от Для
Fo . m=2
из соотношений – аналогов (13.10) получаем уравнения
относительно n2 и
β2 :
n2 n2 2 + 2 Fo 2 = 1 + 2η Fo erfc (η ) dη , n2 + 2 0 n2 + 1
(
(13.12)
)
2β2−1 (1 − exp ( −β2 ) ) + 8 Fo β2−2 + β2−1 1 + β2−1 exp ( −β2 ) = (13.13)
2
= 1 + 2η Fo erfc (η ) dη. 0
Как видно из этих уравнений, n2 = n2 ( Fo ) , β 2 =
β 2 ( Fo ) , n2 ( 0 ) =
= 0,392, β 2 ( 0 ) = 3,551. Уравнения решались численно, на ПК, после чего
n2[i], β2[i], Fo[i], i = 1,2,
по полученным дискретным значениям
осуществлялась аппроксимация функций n2 ( Fo ) , β 2 ( Fo ) . Для
m = 3 аналогично получены уравнения n 16 n n3 + 4 Fo 3 + Fo 3 = n3 + 1 n3 + 2 3 n3 + 3 2
=
2
1 erfc (η )dη + Fo η erfc (η )dη , 20 0
(13.14)
β 3−1 (1 − exp ( − β 3 ) ) + 8 Fo β 3−2 + β 3−1 (1 + β 3−1 ) exp ( − β 3 ) + +16 Fo 2 β 3−3 − β 3−1 (1 + 2 β 3−1 + 2 β 3−2 ) exp ( − β 3 ) = 2
2
1 = erfc (η )dη + Fo η erfc (η )dη . 20 0
(13.15)
Fo = 0 , переходят в уравнение для η1 и β1 , т.е. n3 ( 0 ) = n1 , β 3 ( 0 ) = β1 . Эти уравнения были решены и результаты
Они также, при
обработаны аналогично случаю
m = 2. 458
Полученные аппроксимации (максимальная ошибка по сравнению с данными численных расчетов ε < 1,6% ) имеют вид:
n2 ( Fo ) = 0,135 + 0,132exp ( −8,522 Fo ) + 0,125exp ( −0,349 Fo ) ,
(13.16) β 2 ( Fo ) = 6,0311 − exp ( −7,053Fo ) − 0,294exp ( −0,251Fo ) , (13.17)
1 n3 ( Fo) = 0,0372 + 0,251exp( −4,261Fo) + (13.18) n ( Fo) = +0,102exp( −0,184Fo) , Fo∈[ 0,20] , 3 2 n3 ( Fo) = 0,016 + 0,046exp( −0,054Fo) , Fo∈[ 20,100] ,
β3 = 11,374 − 3,041exp ( −0,852 Fo ) − 4,771exp ( −0,026 Fo ) , Fo ∈ [ 0,100].
(13.19) Все полученные аппроксимации позволяют просто вычислять температуры в различных точках горного массива и в различные моменты времени. Однако для вычисления плотностей потоков тепла из массива к вентиляционному воздуху (далее – теплопритоков из массива) обычным путём, т.е. по формулам
∂uˆn( ) =λ ∂η m
( m)
qˆn
(m)
, qˆβ = λ η =η0
∂uˆβ(
m)
∂η
,
(13.20)
η =η0
они не годятся. Казалось бы, в силу интегрального соотношения (9.19), величины
m qˆn( ) ( t )
и
m qˆβ( ) ( t ) ,
найденные
по
(13.20)
и
путём
дифференцирования по времени интегралов по областям Ωδ( m ) от функций
m m uˆn( ) (η, t ) и uˆβ( ) (η , t ) должны совпадать, однако это не так. Дело в том,
что (9.19) получено для
m u+( ) (η , t ) −
уравнению теплопроводности. удовлетворяют. Кроме того, m u+( ) (η , t )
и
Аппроксимации этому уравнению не дифференциальные свойства функций
m m uˆn( ) (η , t ) , uˆβ( ) (η , t )
их производные (по
η
и по
точных решений, удовлетворяющих
различны, поэтому, вообще говоря,
t ) не обязаны совпадать (в частности, в точке 459
η = η 0 как в (13.20)). Поэтому при необходимости m m необходимо воспользоваться qˆn( ) ( t ) , qˆβ( ) ( t ) ,
найти величины интегральным
соотношением (9.19), в которое под интеграл следует подставить,
соответственно, функции
m m uˆn( ) (η , t ) и uˆβ( ) (η , t ) .
Для использования (13.20) (что безальтернативно при решении сопряженных и слоистых задач) возможна аппроксимация методом (который для
m uˆ β( ) (η , t ) другим
m uˆ n( ) (η , t ) не годится). Потребуем совпадения
плотностей потоков тепла на стенках выработки, аналитическим решениям и по их аппроксимациям:
∂uδ( ) q ( t ) = qˆβ , q ( t ) = λ ∂η ( m) 0
( m)
( m) 0
m
( m)
, qˆβ ( t ) = λ η=η0
Подстановка в (13.21) выражений для
m uδ( ) (η , t )
найденных
∂uˆβ(
по
m)
∂η
, (13.21) η=η0
((13.3) – (13.5)) и для
m uˆβ( ) (η , t ) ((13.8), (13.9)), где δ m ( t ) = 2 K m at , даёт:
2 2 (13.22) K, β2 = + Fo K2, β3 = + 2 Fo K3. π π π нормировочного условия β m ( 0 ) = β1 = 3,551 при m = 1, 2,3 2
β1 =
Из
следует, что
K1 = K2 = K3 = 3,146 .
метода аппроксимации, где следует, что
Параметры
В отличие от ранее использованного
δ m ( t ) = 4 at
при всех m, теперь из (13.22)
δ m ( t ) = 2Km at = 6,29 at , m = 1,2,3.
(13.23)
βm ( Fo ) теперь выражаются более просто:
β1 = 3,551, β 2 = 3,551 + 3,146 Fo , β 3 = 3,551 + 6, 29 Fo .
(13.24) Третьи краевые задачи более распространены в горной теплофизике, они содержат в себе первые краевые задачи как частный случай (при Bi → ∞ ). При аппроксимации решений этих задач для областей горного ( m)
массива Ω+ , ограничимся классом экспоненциальных аппроксимирующих 460
m функций uˆβ( ) (η , t ) , допускающим применение второго метода, ведущего к
m m более простым выражениям. В силу линейной связи q0( ) ( t ) и qˆ β( ) ( t ) с
соответствующими температурами стенок выработок uc(т ) ( t ) и uˆc(т,β) ( t ) (граничное условие 3-го рода), условие (13.21) можно заменить эквивалентным ему условием m
m
m m uc(т ) ( t ) = uˆc(т,β) ( t ) , m = 1,2,3, t > 0.
(13.25)
m Для функций uc(т ) ( t ) известны [17, 89] выражения:
( )
1 uc(т) = uП − Δuf1 ( z1 ) , f1 ( z1 ) = 1 − exp z12 erfcz1, z1 =
2 uc(т ) = uП −Δuf2 ( z2 ) , f2 ( z2 ) =
α at , λ
(13.26)
Bi f1 ( z2 ) , z2 = Bi ' Fo, Bi ' = Bi + 0,375, (13.27) Bi '
3 uc(т ) = uП − Δuf3 ( z3 ) , f3 ( z3 ) =
Bi f1 ( z3 ) , z3 = ( Bi + 1) Fo. Bi + 1
(13.28)
Здесь выражения (13.26) и (13.28) справедливы для значений Fo ∈ [ 0,500] (от начала охлаждения массива до 50 лет), а (13.27) справедливо при Fo ∈ [ 0,10 ] (проветривание выработок до 1-го года). Поэтому воспользуемся
приближенным выражением [89], справедливым при Bi ∈ [ 0,25;25,0] и
Fo ∈ [10,500] :
3 uc(т,)∞ ( t ) = uП −Δuf2,∞ ( z2′ ) , f2,∞ ( z2′ ) = 1− z′2 , z2′ = 0,5Bi−0,85Fo−0,2. (13.29)
( m) Аппроксимации uˆβ
(η , t ) ищем в виде:
β (t ) m m uˆβ( ) (η, t ) = uп − uп − uˆc(т,β) exp −Bm ( t ) (η −η0 ) , Bm ( t ) = m .(13.30) δ (t )
(
)
m
Подстановкой (13.30) в граничное условие третьего рода находим: −1
λ B (t ) λ B (t ) m uˆc(т,β) ( t ) = 1 + m ⋅ u B + m uп . α α Приравнивая выражения (13.31) к (13.26) – (13.29), находим: 461
(13.31)
βm ( zm ) = 2Km Fm ( zm ) , Fm ( zm ) = zm ( f1−1 ( zm ) − bm ) , αL at (1) (1) m Bi Fo = = = 1, 1, , , 2 2λ ( L / 2) αr at Bi bm = , m = 2, Bi (2) = 0 , Fo (2) = 2 , λ r0 Bi ' Bi , m = 3, Fo (3) = Fo(2) = Fo. Bi + 1
(13.32)
(13.33)
В (13.33) параметр L имеет смысл мощности угольного пласта или высоты выработки прямоугольного сечения. Для (13.29) имеем:
(
)
−1
β2,∞ ( z2′ ) = 2K2,∞F2,∞ ( z, z2′ ) , F2,∞ ( z, z2′ ) = z ( z2′ ) −1 , z = Bi Fo.(13.34) −1
Таким образом, в этих случаях нет необходимости в аппроксимации зависимостей β m ( Fo ) ,поскольку (13.32) и (13.34) они уже выражены аналитически. Однако численные расчеты
β m ( zm ) для диапазона z m ∈
[0,200] были нами проведены, имея целью определение в каждом случае тех минимальных значений ( β m ) , которые не удовлетворяют условию min
βm ≥ 3,551. Перенормировка этих
( βˆ ) m
min
( β m )min , т.е. приведение их к значениям
, потребовала изменения величин K m , различных при разных m . В
итоге получено, что
K1 = 3,35; K2 = 2,57; K3 = 2,08; K2,∞ = 1,23.
(13.35)
Из (13.35) следует, что β − аппроксимация решений третьих краевых задач ведёт к различию в выражениях для ширины охлажденной зоны в разных областях:
δ1 ( t ) = 6,70 at , δ2 ( t ) = 5,14 at , δ3 ( t ) = 4,16 at , δ2,∞ ( t ) = 2,46 at , (13.36)
Этим построение аппроксимаций нестационарных температурных полей в охлажденных зонах массивов различной формы исчерпано.
462
§ 176. Оценки ширины охлажденной зоны В предыдущем параграфе, при аппроксимации нестационарных температурных полей (решений первых и третьих краевых задач, моделирующих формирование охлажденных зон в областях Ω+( m ) ( m = 1,2,3) горного массива), были одновременно найдены выражения для ширины соответствующих охлажденных зон. Для первых краевых задач, при построении аппроксимаций и
m uˆβ( ) (η , t )
δm (t ) −
m uˆn( ) (η , t )
первым методом (совпадения нулевых моментов полей) было
( m) получено, что (для m = 1, 2,3 δ m ( t ) = 4 at ). Аппроксимация uˆβ η , t , полученная вторым методом (совпадения плотностей потоков тепла на границе массива
(
η = η0 )
также дала не зависящее от
m
)
выражение:
( m) δ m ( t ) = 6,29 at . Эта же функция ( β − аппроксимация uˆβ (η , t ) ) для
третьих краевых задач, найденная по второму методу, дала наличие
m ; для δ m ( t ) были различные
зависимости ширины охлажденной зоны от значения числовых коэффициентов при Эта вариативность
δm (t )
( at )
1/ 2
(от 2,46 до 6,70).
обусловлена тем, что все использованные
аппроксимации – двухпараметрические, содержащие по два параметра (
nm ,δ m
βm ,δm ), допустимые условиями nm ≤ 0, 392, β m ≥ 3, 551 . или
комбинации которых ограничены
В научных и инженерных расчетах, при аналоговом и физическом моделировании, зачастую требуется найти
δm (t )
как самостоятельный
параметр (вне связи с задачей аппроксимации) [40]. Возникает задача выбора из различных вариантов (либо получения расчетной формулы) одного – двух выражений для
δm (t ),
опираясь на физику процесса формирования
охлажденной зоны и оценки её ширины, полученные различными авторами. Суммируем кратко изложенное по этому вопросу в [40]. 1.При определении зон распространения в горных массивах жидкостей (закачка воды в угольные пласты, закачка в горные породы тампонажных растворов). Из уравнений фильтрации следовал (и экспериментально был подтвержден) «Закон квадратного корня» δ t . Численные множители перед корнем принимали, в различных случаях, значения 3,6÷4,0 (§12, [40]). 2. При аналитических и экспериментальных исследованиях температурных полей в горных массивах вокруг шахтных стволов и капитальных горных выработок, аппроксимация поля полиномом второй степени вела к оценке 463
δ ( t ) = 3,46 at (А.Ф.Воропаев), а при аппроксимации поля функцией Гаусса – к оценке
δ ( t ) = 4 at (М.М. Вяльцев) (§44, [40]). 3. При
моделировании условий нагрева трущихся поверхностей, для зон распространения повышенной температуры, рядом авторов были получены оценки вида δ ( t ) = K at , в которых для параметра K приводились
значения: K=1,75; 1,94; 2,0; 3,39;3,56 (§83,[40]). Для выбора предпочтительных оценок для зон локализации температурных полей (на «инженерном» языке – для выбора оптимальных выражений для ширины охлажденной зоны массива), была осуществлена их классификация (§ 125). Из этой классификации следует, что наиболее предпочтительны эффективные квазиаприорные и апостериорные абсолютные оценки. Для выявления влияния на δ m ( t ) геометрии области
( m) , максимального температурного перепада в системе ΔT , безразмерного
времени Fo , были проанализированы типичные («канонические») задачи (§126). Рассматривались относительные и абсолютные оценки. Для первых (1)
( 3)
было установлено: 1) в задачах Коши (области Ω∞ , Ω∞ ) параметр формуле
2Km в
δ m = 2K m at принимал значения: 2 K m = 4,0; 4,24; 4,30; 4,38.; 2) в
первой краевой задаче для области
(
)
1 Ω+( ) , оценки при различных
ΔT ΔT ∈[10;103 K ] ведут к значениям K m ( ΔT ) , которые в указанном диапазоне значений
ΔT
интерполируются функцией
1/ 6 ΔT K m ( ΔT ) = 2,1 1,0 + lg , 10
которая слабо зависит от ΔT . Для вторых оценок (абсолютных, с «порогом различимости» Δ δ T = 0, 05K ) были получены, на основе решений первых краевых задач в (2) (3) и Ω+ [89,331], следующие результаты. Для областях Ω+ технологического диапазона температур ΔT = (Tп − TВ ) ∈ [5,0;40,0 K ] ,
коэффициенты
Km
формул
δ m ( t ) = 2 K m at
определялись численными
2 Ω+( ) , соответствующие значение K 2T = 1,7 , т.е.
расчётами по аналитическим решениям. Для области значения
K 2 T ∈ [1, 45;1,95] ,а
среднее
464
( 3) δ 2 T = 3, 4 at . Для области Ω+ : K3T ∈ [1,83;2,28] , K3T = 2,05 , т.е
δ 3T = 4,1 at . (пожарного) температурного диапазона ΔTA = (TA − TП ) ∈ [100;1000 K ] (где TA − температура пожара) в случае (2) имеем K 2 A ∈ [ 2,15;2, 40] , K 2 A = 2,3, δ 2 A = 4,6 at . Для области Ω+ ( 3) области Ω+ аналогично: K 3A ∈ [ 2, 47;2,88] , K 3A = 2,67, δ 3A = 5,34 at . Для
аварийного
Параметр a является средней в пожарном температурном диапазоне температуропроводностью массива. Для представляющих наибольший интерес в горной теплофизике оценок
δ2 (t )
(в
технологическом
диапазоне
температур)
были
проанализированы данные: а) по натурным измерениям ширины охлаждения зон
[332-335];
моделирования формулам для δ 2
б)
по
[111,296];
определению в) по
( t ) [25,110,336].
δ2 (t )
полученным
методами
аналогового
различными
методами
В работе [110] вторым методом экспоненциальной аппроксимации температурного поля была получена формула:
δ ( Fo )
1/ 2
ΔT = 4 Ku Fo + 1 − 1 ln 0,05
R0 где
R0 −
радиус
выработки
(ствола),
,
(13.37)
ΔT =Tп −TB, 0,05 =ΔδT( K) ,
Fo = at / R02
q0 ( t ) R0 . Ku = Fo Ku ( Fo ') dFo ', Ku ( Fo ) = λ Δ T 0 −1
Fo
(13.38)
Здесь q 0 ( t ) − плотность потока тепла из массива на стенках выработки,
Ku −
критерий Кирпичёва. При численных расчетах по (13.37), величина Ku находилась графическим интегрированием кривых Ku = Ku ( Fo, Bi ) , приведенных в [89]. По данным этих расчётов была построена номограмма [110], позволяющая находить δ ( Fo ) / R0 для различных значений
Fo, Bi, ΔT
соответствующих
встречающимся
(Рис.13.1).
465
в
шахтных
условиях
В работе [336] двухсторонняя оценка:
δ ( Fo ) R0
<
δ ( Fo ) R0
<
,была
получена
δ ( Fo ) δ ( Fo ) R0
,
R0
аналоговая
= 2 Fo ,
δ ( Fo ) R0
относительная
= 4 Fo .(13.39)
Рис. 13.1 Номограмма для определения ширины охлаждённой зоны горного массива Было
предложено
использовать
выражения
δ ( Fo )
для
для
математического, аналогового и физического моделирования, как соответствующее «математическому» порогу разрешимости Δ δ T = 0,05 K
δ ( Fo ) − при Δδ T = 0,1 − 0,2K −
(который практически измерить трудно), а выражения для инженерных и проектных расчётах «практический» порог разрешимости). Из номограммы (Рис.13.1) видно, что
(когда
δ ( Fo ) / R0
слабо зависит от
(при Bi ∈ [ 4,32 ] , ΔT ∈ [ 6,32 ] , Fo ≥ 1, 0 − практически не зависит). Сопоставления экспериментальных, расчётных и полученных аналоговым моделированием данных осуществлено на Рис.13.2. Экспериментальные данные [333] хорошо соответствуют кривой 2 δ ( Fo ) / R0 = 2 Fo , а данные [334] (получены для Fo ∈ [ 0, 5;1, 2 ] )
ΔT
и
Bi
описываются функцией δ ( Fo ) / R0 = 3 Fo . Данные [332] (точки 1 на
Рис.13.2)
приближаются
формулой 466
δ ( Fo ) / R0 = 3,66 Fo .
Данные
моделирования на кривой
RC −
δ ( Fo ) / R0 = 2,54 Fo . Результаты моделирования температурного
поля на
ИГЛ-2 [111]
гидроинтеграторе
δ ( Fo ) / R0 = 3 Fo
13.1):
сетках [296] при Bi = 9,0 (точки 3) описываются описываются
кривой
Bi = 16,0 ). Данные номограммы (Рис. точки 5 – соответствуют Bi = 16, ΔT = 15; точки 6 − Bi = 13, (точки 2,
ΔT = 30; точки 7 − Bi = 9, ΔT = 15 слабо рассеяны относительно кривой δ ( Fo ) / R0 = 3,5 Fo . Точки 8 получены по приближенному решению [89],
а точки 4 – по точному, табулированному в [25]. Эти точки соответствуют кривой 1 Рис.13.2 −δ ( Fo ) / R0 = 4 Fo .
Рис 13.2 Экспериментальные и расчетные данные по ширине охлаждённой зоны горного массива различных авторов.1 − δ / R0 = 4 Fo : 2 − δ / R0 = 2 Fo Из изложенного заключаем: 1.Оценку ширины охлажденной зоны горного массива на « инженерном» уровне осуществляем по формуле
δ ( Fo ) R0
=
δ ( Fo ) R0
= 2 Fo .
(13.40)
2. На уровне моделирования и теоретических расчетов используем оценку
δ ( Fo ) R0
=
δ ( Fo ) R0
= 4 Fo .
(13.41)
3. При необходимости детального учёта влияния на ширину охлаждённой зоны величин Bi и ΔT (что может оказаться нужным на любом уровне), следует использовать номограмму (рис.13.1). 467
4. Ширину прогретых (при пожарах) зон массива можно оценивать, для (2) (3) областей Ω+ и Ω+ , соответственно формулами
δ 2 A ( t ) = 4, 60 at , δ 3A ( t ) = 5,34 at .
(13.42)
5. Приведенные формулы могут быть также использованы при оценке охлажденных и прогретых зон в закладочных массивах, угольных пластах, бутовых полосах, в грунте вокруг подземных сооружений, тоннелей, трубопроводов, теплотрасс.
Глава 51. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ПРОВЕТРИВАНИЯ §177.Теплопритоки из массива: газонасыщенный пласт угля Температурные режимы газонасыщенных угольных пластов изучаются уже длительное время [337-339], главным образом в связи с попытками прогнозирования выбросоопасных ситуаций. Кроме экспериментального исследования температурной зональности поверхности угольного пласта и соответствующих расчётов поверхностных температур, были попытки расчётов теплопритоков из пластов с учётом десорбции метана. В связи с проведением в МакНИИ плановой НИР, в отделе по борьбе с внезапными выбросами была сформулирована (вербально) задача: построить математическую модель теплового режима пласта угля, содержащего приповерхностную зону пониженной, в силу процесса десорбции метана, температуры. На основе этой модели было необходимо вычислить температуру стенки пласта
TcT ( t )
и коэффициент нестационарного
теплообмена − Kτ ( t ) . Такая модель была нами построена и использована при разработке способа и технических средств дистанционного контроля температуры угольного забоя [118,339]. При построении этой модели было принято, что: 1) модель теплопроводности в угольном пласте является одномерной (координата x направлена от поверхности пласта, где x = 0 , в глубину его, где при x → ∞ температура совпадает с температурой пород на данной глубине Tп = const ); 2) призабойная зона пласта (шириной L = 6-12м) после его обнажения быстро дегазируется; десорбция метана создаёт в этой зоне начальную температурную неоднородность; 3) начальная температура поверхности угольного пласта
TcT ( 0 )
и ширина зоны десорбции
L−
входные данные задачи (определяемые экспериментально); 4) в силу непригодности ранее предложенной аппроксимации температурного поля в призабойной зоне [40], используется экспоненциальная аппроксимация; 5)
468
рассматривается
Ω+ = { x ∈ ( 0, ∞ )} . (1)
полуограниченная
область
угольного
пласта
Уравнение теплопроводности в обобщенной постановке имеет вид:
∂T ∂2T = a 2 + ϕ ( x) δ ( t ) , T ( x, t ) = θ+ ( t ) T ( x, t ) , x ∈( 0, ∞) , t > 0. (13.43) ∂t ∂x
Начальное распределение температуры в пласте:
x ϕ ( x ) = Tп − (Tп − TcT ( 0) ) exp −β , x ∈ ( 0, L ) , (13.44) L T ( x,0) = ϕ ( x ) = T = const , x ∈ ( L, ∞ ) . п Как и ранее, принимаем условие третьего рода:
∂T q ( t ) = λ ∂x
β = 3,551. На границе пласта задаём граничное
x =0
= α T ( 0, t ) − TВ , TВ = const , t > 0.
(13.45)
Преобразовав (13.45) по Лапласу (по t ), получим:
q1 ( p ) = λ Для области
∂T ∂x
x =0
T = α TcT ( p ) − В . p
(13.46)
+ ΩK( ) при x = 0 , имеем выражения для Лаплас – трансформанты
− q+( ) ( t ) индекса: " K " → "+ ") :
плотности потока тепла
(следующее из (10.54) (§ 139) при замене
ε p Tп − − q+( ) ( p ) = −ε + pcthδ + p TcT ( p ) + + + b+( ) ( p ) .(13.47) shδ p p +
(
)
Здесь обозначены: ( −)
b+
( p ) = ( ρ c )+
K +(
−)
( p, ξ ) , (1) K
Ψ + ( p, ξ ) = ϕ ( ξ ) , ξ ∈ Ω ,
469
Ψ + ( p, ξ )
(1)
ΩK
, (13.48)
( −)
K+
( p, ξ ) =
Для перехода от
sh δ + p (1 − ξ / l+ ) shδ + p
.
(13.49)
ΩK( ) к Ω+( ) , кроме замены индекса «к» на индекс «+», 1
1
необходимо осуществить предельные переходы "l+ (13.47) – (13.49). В итоге получаем:
(
→ ∞, δ + → ∞ в
)
− − q+( ) ( p ) = −ε + p TcT ( p ) + b+( ) ( p ) ,
( −)
b+
p ( p ) = ( ρ c )+ ϕ (ξ ) exp − ξ dξ . 0 a+
(13.50)
∞
Вычисляя последний интеграл с учетом малости exp(-β) и exp − (т.к. малым t, нас интересующим, соответствуют большие
p
L a+
p ), получаем
приближенную формулу:
b+(
−)
Tп Tп − TcT ( 0 ) = ε p ( ) + − , b = β a+ / L. b+ p p
(13.51)
− Используем граничное условие третьего рода в виде: q1 ( p ) = q+( ) ( p ) , приравнивая правые части (13.46) и (13.50) и находим:
(
TcT ( p ) = α + ε + p
)
−1
T − ⋅ α B + b+( ) ( p ) = Φ1 ( p ) ⋅ Φ2 ( p ) . (13.52) p
С помощью таблиц [130] находим функции – оригиналы:
( t ) = L−1 {Φ ( p )} = 1 θ + ( t ) − α W α t , Φ 1 1 ε + π t ε + ε + ( t ) = L−1 {Φ ( p )} = Φ 2 2
T θ (t ) θ (t ) = α TB + ε + п + − (Tп − TcT ( 0 ) ) + − bW b t , πt π t
( )
470
(13.53)
(13.54)
1, t > 0, 2 W ( z ) = exp z erfc( z ), θ+ ( t ) = 0, t ≤ 0.
( )
Температура поверхности пласта TcT
(13.55)
( t ) теперь определяется свёрткой: t
(t ) * Φ (t ) = Φ TcT ( t ) = Φ 1 2 1 ( t −τ ) Φ 2 (τ ) dτ . (t )
(13.56)
0
а коэффициент нестационарного теплообмена формулой [89]:
TcT ( t ) − TB Kτ ( t ) = αθcT ( t ) , θcT ( t ) = . Tп − TB Осуществим проверку (13.56), вычисляя значения TcT ( 0 ) = lim t →0
(13.57)
TcT ( t ) и
TcT,s = lim TcT ( t ) известным в теории преобразования Лапласа способом [32]:
t →∞
TcT ( 0) = lim TcT ( t ) = lim ( pTcT ( p ) ) ,TcT,s = limTcT ( t ) = lim( pTcT ( p ) ) . (13.58) t →0
p→∞
t →∞
p→0
Подставляя в (13.58) выражения (13.52) и вычисляя пределы, получаем:
TcT ( 0 ) = TcT ( 0 ) , TcT,s ( 0 ) = TB , что соответствует физике и постановке задачи. Численные расчёты по приведенным формулам были выполнены О.Г. Кременевым. Было проведено сравнение экспериментальных данных с расчётами по предложенной и традиционной (не учитывающей десорбцию метана) моделями. Данные традиционной модели на 50% превышают экспериментальные для первых четырёх часов охлаждения забоя, а рассогласование с экспериментом данных предложенной модели ≤5% [339].
§178. Теплопротоки из массива: учёт теплофизической неоднородности Краевые задачи горной теплофизики формулируются, как правило, для внешних цилиндрических областей Ω+( 2) = {r ∈ [ r0 , ∞ )} . Известны решения
задач теплообмена между горным массивом и вентиляционным воздухом при граничных условиях первого и третьего родов [89]. Наличие дополнительных 471
прослоек на границе между массивом и воздухом (при ( r = r0 ) учитывается введением коэффициента теплопередачи, т.е. «включением» на границе «воздух-массив» термических сопротивлений. Упомянутые прослойки представляют собой крепи выработок и стволов, тепло- и гидроизоляцию, бутовые полосы и т.п. Совершенствование методов расчета теплового режима шахт делает актуальным более строгий учет теплофизической неоднородности, обусловленной наличием прослоек – использование слоистых моделей, содержащих в простейшем случае два цилиндрических слоя [43,45]. Оценка ширины охлажденных зон, формирующихся в горном массиве при различных сроках проветривания выработок, позволяет перейти (для ( 2)
времени проветривания 10 − 15 лет) к использованию вместо Ω+
конечного слоя Ω2( 2 ) = {r ∈ ( r1 , r2 )}. При этом r2 не превышает 30 – 40 м. ( 2)
Слой Ω1
= {r ∈ ( r0 , r1 )} будем именовать «крепью» (опуская кавычки и
пока не конкретизируя). Заметим, что однородные конечные цилиндрические области в горной теплофизике использовались [340, 341]. Таким образом,
{Ω( ) , Ω( ) } , ( ) ( ) основным преимуществом которой по сравнению с моделью {Ω , Ω } , будем рассматривать двухслойную цилиндрическую модель
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
+
является возможность применения приближенного метода решения (см.§140). Вычисление элементов уравнения склейки по приближенным функциям Грина позволит получить достаточно простые конечные формулы, что является необходимым условием использования их в инженерных расчетах. ( +)
В уравнении склейки (10.239) положим k = 1, μ0
μ1( +) ( p ) = TC ( p ) , μ2( +) ( p ) = TΠ / p и получим:
( p ) = TB / p,
( ) ( ) p −1a1,0 TB + a1,1( )TC ( p ) + p −1a1,2 TΠ = b1( ) . 2
Здесь
2
2
2
(13.59)
TB и TΠ соответственно постоянные температуры вентиляционного
воздуха и горных пород, а TC ( p ) − изображение по Лапласу температуры на границе крепь-массив. Предположение о постоянстве температуры воздуха близко к реальности и не ограничивает общности. Коэффициенты в (13.59)
( 2) (см. вычисляем по слоевым функциям Грина в первом приближении G i ,1
табл.8.5) i = 1,2 . Коэффициенты приводятся к виду:
472
( ) a1,0 =−
λ1 1 −1 −1 N p p α α τ − + ( ) ( 1 1 1 ) , r1 ln α1
( 2) a1,2 =−
λ2 1 −1 −1 D p p α τ − + ( ) ( 2 2 ) , r1 ln α 2
2
λ1 1 −1 −1 D p p α α τ + + ( ) ( 1 1 1 ) + r1 ln α1
a1,1( 2 ) = +
(13.60)
λ2 1 −1 −1 α τ N p p + + ( ) ( 2 2 ) , r1 ln α 2
где
7α i2 − 20α i + 7 2α i − 1 ri N (α i ) = , α , + = i 3 2 12 ln α α 1 r − (α i − 1) i i i −1 10ai 5 − N (α i ) ,τ i−1 = D (α i ) = , Δri = ri − ri −1 , i = 1, 2. 2 αi − 1 Δ r ( i) 5
(13.61)
( 2)
При вычислении b1 ограничимся для простоты случаем отсутствия в слоях тепловых источников и предположим постоянство начальных температур: U i ( r , 0 ) = Ti 0 = co n s t , (T20 = TΠ ) . В результате получаем:
b1( ) = 2
5T10λ1 5T20λ2 −1 −1 −1 −1 + + + p τ p τ ( 1 ) Δr ( 2 ) . Δr1 2
(13.62)
Используя уравнение связи потока тепла с функциями склейки (10.54) и выразив TC ( p ) из (13.59), получим изображение по Лапласу теплового потока на границе крепи с воздухом ( r = r0 ) :
q1( где
−)
( p ) = q1,1 ( p ) + q1,2 ( p ) + q1,3 ( p ) ,
q1,1 ( p ) = − p −1 f 2 ( p ) TB +
5T10 λ1 −1 −1 p τ + ( 1) , r0 (α1 − 1)
( ) b ( ) f ( p), ( p ) = − ( pa ( ) ) f ( p ) (T a ( ) + Tп a ( ) ) .
q1,2 ( p ) = a1,1( 2)
−1
q1,3
2 1,1
2
1
(13.63)
1
−1
2 B 1,0
1
473
2 1,2
(13.64)
В (13.64) обозначено:
f1 ( p ) = f1,1 + f1,2 p ( p + τ 1−1 ) , f 2 ( p ) = f 2,1 + f 2,2 p ( p + τ 1−1 ) , −1
−1
λ1 λ λ f1,1 = , f1,2 = − 1 D (α1 ) , f 2,1 = f1,1 , f 2,2 = 1 N (α 2 ) . r0 ln α1 r0 r0
(13.65)
Обратные преобразования Лапласа для функций-изображений (13.64) осуществляем по формуле (10.61) и получаем, опуская несколько громоздкие выкладки:
(
)
(
)
q1( − ) ( t ) = qs ,2 1 + E1 exp −10ω1F0(1) + E2 exp −10ω2 F0(1) , qs ,2 =
λ1ΔT ρ1,2 r0 ln α1 Ei = ( −1)
ΔT = TΠ − TB , Fo(1) = i +1
(
a1t
r (α1 − 1) 2 0
2
(13.66)
, i = 1, 2.
)
R( ) S1( )TB + S2( )T10 + S3( )TΠ ΔT −1 , i
i
i
i
1 −1 i R ( ) = ωi D (α i ) ln α1 + − 1 (1 − K aα1,2ωi−1 ) ( ρ1,2ω0 A ) , ωi (i )
S1
−1
−1
1 1 5α1 1 i = + α1 N (α1 ) − 1 , S2( ) = − − 1 , ln α1 α1 − 1 ωi ωi
−1 1 λ a i S3( ) = K λ + N (α 2 ) (1 + K aα1,2ωi −1 ) , K λ = 2 , K a = 2 , λ1 a1 ln α 2
−1
ρ1,2
ω1 = A=
2
1 − α1−1 −1 ln α 2 = 1 + K λ , α1,2 = , − ln α α 1 2 1
B−R B+R , ω2 = , ω0 = ω2 − ω1 , 2A 2A
1 1 + α1 D (α1 ) + K λ + N (α 2 ) , ln α1 ln α1 474
−1 B = K aα1,2α1 D (α1 ) + K λ N (α 2 ) + (1 + K aα1,2 )( ρ1,2 ln α 2 ) ,
C = Ka Kλα1,2 ( ρ1,2 ln α 2 )
−1
R = ( B2 − 4 AC ) . 1/ 2
(13.67)
Формула (13.66) позволяет находить тепловой поток от горного массива к вентиляционному воздуху с учетом теплофизической неоднородности ( −)
системы «массив-крепь». Заметим, что при t → ∞, q1 ( t ) → qs ,2 , а выражение для последнего совпадает с известным для стационарного поля в двухслойном цилиндре ((10.245)). Необходимые для конкретных расчетов параметры N (α ) и D (α ) , найденные по (13.61), приводятся в табл.13.1. Таблица 13.1
Значения N (α ) и D (α ) 1,05 1,25 α N (α ) 136,0 9,283
D (α ) -36,0
1,5 4,40
2,5 2,00
5,0 0,361
8,0 0,166
10,0 0,125
15,0 0,072
25,0 0,0364
10,717 5,60
3,00
0,889
0,548
0,430
0,285
0,2100
Рассмотрим следующие модели горной теплофизики, соответствующие широко распространенным вариантам теплообмена в шахтах. Модель І – «Теплоизоляция». Теплоизоляция стенок горных выработок пенополимерами является эффективным средством снижения
( ( ) ) имеет
тепловыделений горного массива [342]. Слой теплоизоляции Ω1
2
толщину 0,05-0,1 м и плотно прилегает к стенкам выработки, т.е.условия склейки температур и потоков на границе теплоизоляция-массив ( r = r1 ) соблюдаются. Модель 2 – «Ствол». Крепь шахтных стволов и различных туннелей ( 2)
сооружается, как правило, из бетона или железобетона. Толщина слоя Ω1
в
этом случае 0,5-1,5 м, а граничные условия четвёртого рода также реализуются. Модель 3 – «Реальный массив». Проходка горных выработок сопровождается образованием в окружающем горном массиве зоны повышенной трещиноватости и осушения, что приводит к изменению теплофизических параметров массива в этой зоне [343, 344]. Таким образом, реальный массив, даже отвлекаясь от крепи, нельзя считать однородным и 475
изотропным. Мы рассматриваем простейшую (двухслойную) модель реального массива с теплофизическими параметрами, средними по зоне нарушения сплошности горных пород. Наиболее характерные геометрические и теплофизические параметры ( 2)
( 2)
слоев Ω1 и Ω2 для описанных моделе й 1-3, приведены в табл.13.2 По формулам (13.66), (13.67) и данным табл.13.1 и 13.2 были
( −) вычислены безразмерные тепловые потоки q ( t ) = q1 ( t ) / qs ,2 для моделей ( 2)
1-3. Для начальной температуры T10 слоя Ω1
были приняты два граничных
значения: T10 = TB и T10 = TΠ . Результаты расчетов приведены на рис.13.3, где сплошные кривые 1-3 (соответствующие рассматриваемым моделям) безразмерные тепловые потоки при T10 = TB , а пунктирные кривые 2’, 3’- то же при T10 = TΠ (кривая 1’ практически совпадает с кривой 1). Из рис.13.3 ( 2)
видно, что влияние начальной температуры слоя Ω1 существенно лишь в первые полгода для модели 2 и в течение года для модели 3. Рассмотрим несколько подробнее особенности теплового режима стволов, сравнивая следствия модели 2 с общепринятым методом расчета теплопритоков из массива [288]:
λ λ + qα ( t ) = −1 −1 1 + λ ( 2α r0 ) 2r0 at 1 2 r π λ α + ( ) 0 ΔT
(
)
.
Рис 13.3 Динамика безразмерных потоков тепла в моделях 1÷3.
476
(13.68)
477
Модель 3 «Реальный массив»
Модель 2 «Ствол»
Модель 1 «Теплоизоляция»
Модели
1,5
4,0
1,5
r0 ,м
4,5
5,0
1,575
r1 ,м
45
40
40
r2 ,м
α2
3,0
1,25
10,0
8,0
1,05 25,0
α1
1,0
1,0
1,50
1,50
1,50
ккал м ⋅ ч ⋅ град
ккал м ⋅ ч ⋅ град 0,03
λ2 ,
λ1 ,
Параметры
Параметры моделей 1-3.
м2 a2 , ч
1,5
1,5
20 10-4 30 10-4
20 10-4 30 10-4
50,0 15 10-4 30 10-4
Kλ
м2 a1 , ч
1,5
1,5
2,0
Ka
C
20
20
20
o
TB ,
С
40
40
40
o
Tп
Таблица 13.2
В (13.68): λ , a, α − коэффициенты теплопроводности и температуропроводности массива и теплообмена соответственно: r0 − радиус цилиндрического сечения выработки (ствола) ΔT = TΠ − TB . Формула (13.68) является приближенной и рекомендуется для времени проветривания свыше полугода. Учет крепи при использовании (13.68) осуществляется заменой коэффициента теплообмена α на коэффициент теплопередачи K [288]:
1 δ кр K = + α λкр Здесь
−1
, δ кр = r1 − r0 = Δr1.
(13.69)
λкр - коэффициент теплопроводности крепи ( λкр = λ1 в модели 2).
Метод расчета тепловыделений из массива по (13.68),(13.69) имеет следующие недостатки: 1) Формула (13.68) не является приближением для больших времен, так как при t → ∞ дает неверное выражение. 2) Учет крепи с помощью замены α → K означает использование «термического сопротивления» понятия, характерного для стационарной теплопроводности.3) Формула (13.69) не годится для достаточно «толстой» цилиндрической крепи, в частности, для ствола. Остановимся сначала на последнем. Действительно, термическое сопротивление цилиндрического слоя определяется, как известно, выражением ( r0 ln α1 / λ1 ) , а не Δr1 / λ1 , как в (13.69). В частном случае «тонкого» цилиндрического слоя, т.е. при Δr1 / r0 1, ln α1 α1 − 1, r0 ln α1 Δr1 , его термическое сопротивление совпадает с таковым для плоского слоя и (13.69) верно. При ( 2)
α1 ≤ α* = 1,05 (1)
цилиндрический слой Ω1 может быть заменен на плоский Ω1 , т.е. использование (13.69) допустимо. Однако для ствола (модель 2, табл.13.2) α1 = 1,25 > α* и необходима указанная выше модификация (13.69). Таким образом, недостаток 3 легко устраним, в отличие от первых двух. Для демонстрации этого, по формулам (13.68) и модифицированной (13.69), рассчитаны тепловые потоки для параметров модели 2. Расчет проведен для двух вариантов: при наличии крепи (поток qk ( t ) ) и без нее
(поток q0 ( t ) ). При этом в обоих случаях на границе r = r0 предполагался интенсивный теплообмен, т.е. использовалось граничное условие первого рода. Аналогичный расчет был выполнен для модели 2 по (13.66), (13.67), ( −)
причем при определении q1,0 ( t ) − потока из однородного массива было
положено: Kλ = Ka = 1, T10 = TΠ .Оба расчета – по традиционному и предлагаемому методам – приводят к меньшим теплопритокам из массива при учете крепи. Вводим функции ослабления теплового потока, 478
представляющие собой отношения потоков, найденных при учете крепи, к потокам из однородных массивов (соответственно σ k
σ k (t ) ≡
qk ( t ) q0 ( t )
, σ 2 (t ) ≡
q1(
−)
(t ) . (−) q1,0 (t )
( t ) и σ 2 ( t ) ):
(13.70)
Результаты расчетов по формулам (13.70) приведены в табл.13.3.
t , годы 0,5
σ k ( t ) 0,93 σ 2 ( t ) 0,25
1,0 0,93
2,0 0,94
3,0 0,94
5,0 0,94
8,0 0,94
Таблица 13.3 10,0 t →∞ 0,94 0,95
0,27
0,31
0,35
0,46
0,62
0,72
0,95
Из этих данных следует, что традиционный метод расчета не учитывает наличие или отсутствие крепи, так как ослабления теплового потока в первом случае практически нет. Таким образом, использование формул (13.68), (13.69) приводит к существенно завышенным значениям теплопритоков из массива во всем рассматриваемом интервале времен проветривания – от полугода до 10 лет, что свидетельствует о необходимости учета теплофизической неоднородности реальных горных массивов [43, 45,118].
§179.Теплопритоки из массива: переменная температура вентиляционной струи
(
В случае переменной во времени температуры вентиляционной струи TB = TB ( t ) , характеризующий теплопритоки из массива коэффициент
)
нестационарного теплообмена
Kτ ( t )
был найден из решения третьей
(2) краевой задачи теплопроводности в области Ω+ горного массива [89]. Рассматривалась модель без источников тепла и с однородным начальным распределением температуры T ( r ,0 ) = Tп = const для двух вариантов –
(
)
синусоидальной и экспоненциальной функций TB
(t ) .
В дальнейшем в ряде работ (см краткий обзор в §45 [40]) рассматривались аналогичные модели со ступенчатым или скачкообразным изменением
TB ( t ) .
Аналитически
и
аналоговым
находилась ширина теплоуравнивающей оболочки
моделированием
δω ( t ) −
расстояние от
стенки выработки, на котором в горном массиве практически затухали температурные колебания, обусловленные синусоидальным изменением
TB ( t ) . Там же (§45 [40]) указаны причины, не позволяющие считать вопрос
решенным в должном объёме и на должном уровне. 479
В настоящем параграфе формулируются и решаются задачи: А. Найти аналитическое решение задачи [89] в обобщенной постановке, допускающей произвольный вид начального распределения температур 2 T r ,0 = ϕ r , r ∈Ω+( ) , произвольный вид функции TB t t > 0 и
(
(
)
функции
( )
(
плотности ( 2)
)
( )(
внутренних
− f ( r , t ) r ∈ Ω+ , t > 0
источников
тепла
в
)
массиве
) . В. На основе решения задачи А получить
выражения для коэффициентов нестационарного теплообмена: а) в общем случае; б) при ступенчатом изменении функции
TB ( t ) ;
С. на основе
приближенного решения задачи А в упрощенной постановке (при ϕ r = Tп = = const , r ∈ Ω+( 2) ; f r , t = 0, t > 0 ) при синусоидальном
( ) изменении функции TB ( t ) , найти Kτ ( t ) и δω ( t ) . ( )
Задача А. Обобщенная формулировка краевой задачи имеет вид:
∂ a ∂ ∂ L U = F ( r , t ) , L = − r , ∂t r ∂r ∂r 2 U = θ + ( t )U ( r , t ) , r ∈ Ω+( ) , t ≥ 0, ∂U − αU = 0. l U = λ ∂r r =r0 Здесь: функция обобщенного источника
(13.71)
(13.72)
F ( r , t )
d TB ( t ) F ( r, t ) = θ+ (t ) f ( r, t ) − + ϕ ( r ) − TB ( t ) δ ( t ) , (13.73) dt а U
( r , t ) − обобщенные решения третьей краевой задачи
2 U ( r, t ) = θ+ ( t ) T ( r, t ) − TB ( t ) , T ( r, +0) = ϕ ( r ) , r ∈Ω+( ) ,t ≥ 0. 13.74) Смысл оператора уравнения L и оператора граничных условий третьего рода l ясен из (13.71) и (13.72). Как и ранее, здесь
480
1, t > 0, 0, t ≤ 0,
θ+ (t ) =
δ + (t ) =
dθ + ( t ) . dt
(13.75)
Решение краевой задачи (13.71), (13.72) находим методом функций Грина:
U ( r , t ) = G 3 * F (t )
Ω+( ) 2
∞
t
r0
0
≡ 2π r ' dr ' dτ G 3 ( r , r ', t − τ ) F ( r ',τ ) . (13.76)
Функция Грина третьей краевой задачи (13.71) и (13.72) при
G 3 ( r , r ', t ) , удовлетворяющая
2 2 F ( r , t ) = δ ( ) ( r − r ') δ ( t ) , где δ ( ) ( r − r ') =
= δ ( r − r ') / 2π r ' , имеет вид [14]:
∞ t θ ( ) + G 3 ( r , r ', t ) = H 3 ( ry ) H 3 ( r ' y ) exp ( − y 2 at ) dy , 2π 0
(13.77)
где
α α I 0 ( ry ) yY1 ( r0 y ) + Y0 ( r0 y ) − Y0 ( ry ) yI1 ( r0 y ) + I 0 ( r0 y ) λ λ H 3 ( ry ) = 1/ 2 2 2 α α yI1 ( r0 y ) + I 0 ( r0 y ) + yY1 ( r0 y ) + Y0 ( r0 y ) λ λ
(13.78)
Из (13.72) следует, что
∂U q (t ) = λ ∂r
= αU ( r0t ) = α G 3 ( r0 , r ', t ) * F ( r ', t ) (t )
r = r0
2 Ω( )
(13.79)
+
Выражением (13.79) даётся плотность потока тепла (теплопритоки) из массива к вентиляционному воздуху, а для определению [89], имеем:
Kτ ( t ) =
Kτ ( t ) , согласно его
q( t ) α = G3 (r0 , r ', t) * F ( r ', t ) 2 ΔT ( t ) = Tп − TB ( t ) . (13.80) () (t) ΔT ( t ) ΔT Ω+ ,
481
Если
(13.76)
в
и
(13.80)
f ( r , t ) = 0, ϕ ( r ) = Tп =
положить:
= const , TB ( t ) = TB 0 = const , Δ T = Tп − TB 0 = Δ T0 ,
то
после
несколько громоздких преобразований получаем выражения, совпадающие с найденными О.А. Кремнёвым [89]. Задача В. Первый из частных случаев, которые здесь необходимо рассмотреть, а именно – общий случай – уже исчерпан (13.80). Входящая в выражение для
Kτ ( t )
F ( r , t ) ,содержит,
обобщенная функция источника
как видно из (13.73) произвольные функции
f ( r , t ) , TB ( t ) , ϕ ( r ) .
TB ( t ) Kτ ( t ) .
Поэтому подстановка в (13.80) любой функции даёт возможность вычисления соответствующего В случае б), когда функция
TB ( t )
(синусоидальной)
ступенчатая (иначе говоря –
изменяющаяся скачкообразно) т.е. имеет вид:
TB1 = const , t ∈ ( 0, t1 ] , TB ( t ) = TB 2 = const , t ∈ ( t1 , ∞ ) ,
(13.81)
(TB 2 ≠ TB1 ) ,
её можно также записать в виде:
TB ( t ) = TB1 − ΔT2θ + ( t − t1 ) , Δ T2 = TB1 − TB 2 . При «холодовом скачке» (включении при
TB1 > TB2 ,
а
ΔT1 − Tп − TB1, .
t = t1
воздухоохладителя)
Подставив (13.82) в (13.80) находим
коэффициент нестационарного теплообмена при скачке
t = t1 : Kτ c ( t ) = Здесь:
α ΔT 1
(13.82)
TB ( t )
− T δ ( t ) + ΔT δ ( t − t ) G3 ( r0 , r ', t ) * Ψ B1 + 2 + 1 (t )
=Ψ ( r , t ) = θ ( t ) f ( r , t ) + ϕ ( r )δ (t ). Ψ + +
в момент
( 2) Ω
(13.83)
+
(13.84)
Формулой (13.83) обобщается ранее рассмотренный [345] частный случай; если положить, как в [345], следует выражение
f ( r , t ) = 0, ϕ ( r ) = Tп , то из (13.83)
482
Kτ c ( t1 + τ ) = Kτ 0 ( t1 + τ ) +
ΔT2 K (τ ) , ΔT1 τ 0
(13.85)
после согласования обозначений совпадающее с приведенным в [345]. Величины
Kτ 0 ( t1 + τ ) и Kτ 0 (τ ) в (13.85) имеют смысл коэффициентов
нестационарного теплообмена, вычисленных для случая TB ( t ) = TB1 =
= const и определяются формулой:
Kτ 0 ( t ) = α G 3 ( r0 , r ', t ) * δ + ( t ) (t )
( 2) Ω
.
(13.86)
+
Задача С. Принимаем следующие ограничения. 1.Выработка расположена на большой глубине, где температура горных пород Tп 50о С ; 2. Рассматриваются сезонные колебания температуры воздуха в пределах TB ( t ) ∈ 10 o C , 30 o C с годовым периодом t0 . 3. Нулевому
(начальному)моменту времени соответствует середина теплого (летнего) периода, так - что функция TB
( t ) имеет вид:
TB ( t ) = TB 0 + ΔTB ( t ) , ΔTB ( t ) = ΔTω cos ωt , ω =
2π . t0
(13.87)
4. Для параметров (13.87) принимаем значения: TB 0 = 20 o C , Δ Tω = 10 o C 5. Поскольку температурный перепад ΔT ( t ) = Tп − TB ( t ) не превышает 40оС,
для которых ширина охлажденной зоны от него зависит слабо (§176), считаем, что ширина охлажденной зоны массива, как и при ΔT = Tп − TB 0 = const , может быть определена формулой:
δ 2 ( t ) = 2 K 2 at , t > 0.
Перечисленные предпосылки, в сочетании с изначальным упрощением общей постановки задачи в случае А (начальная температура массива равна
Tп = const
, источники тепла отсутствуют) позволяют, в качестве приближенного решения, использовать аппроксимацию температурного поля (13.33), обозначая её
Tˆω ( r , t )
и определяя
TCT ,ω ( t ) = Tˆω ( r0 , t ) −
температуру стенки выработки из граничного условия третьего рода:
483
β2 ( t ) ˆ Tω ( r, t ) = Tп − Tп −TCT ,ω ( t ) exp −B2 ( t ) ( r − r0 ) , B2 ( t ) = , (13.88) δ2 ( t ) −1 T t + α λ B2 ( t ) Tп ( ) B Tˆω ( r0 , t ) = TCT ,ω ( t ) = . −1 1 + α λ B2 ( t )
(13.89)
Параметр δ 2 ( t ) определяется, согласно (13.39), выражениями:
5,14 at , Fo ∈ [ 0,10] , δ 2 (t ) = 2, 46 at , Fo ∈ [10,500 ].
(13.90)
Параметр β 2 ( t ) , согласно (13.36), (13.38):
Bi −1 5,14z2 f1 ( z2 ) − Bi ' , z2 = Bi ' Fo, Bi ' = Bi + 0,375, Fo ∈[ 0,10) , (13.91) β2 ( t ) = 2,46z z−1 −1 −1 , z = Bi Fo, z = 0,5Bi−0,85Fo−0,2 , Fo ∈ 10,500 . [ ] 2 2
(
Здесь
)
( )
f1 ( z ) = 1 − exp z 2 erfc ( z ) −
функция, табулированная в [89].
Поскольку рассматриваем сезонные (с периодом в 1 год) колебания температуры вентиляционного воздуха, интересующие нас величины – безразмерное число Кирпичёва
Kuω ( Fo )
(характеризующие теплопритоки
из массива при переменной (синусоидальной) температуре воздуха) и безразмерную ширину теплоуравнивающей оболочки δω ( Fo ) будем
рассчитывать для периода времени от одного года до пяти лет (что, для средних по Донбассу условий, соответствует диапазону Fo ∈ [10,50] [89]). Это означает, что в (13.90) и (13.91) мы используем нижние (для Fo ∈ [10,500]) выражения. Безразмерные величины ширины охлажденной зоны
δ ( Fo )
и ширины теплоуравнивающей оболочки
обычным образом:
δ ( Fo) =
δ2 (t ) r0
= 2,46 Fo , δω ( Fo ) =
484
δω ( Fo )
δω0 ( Fo ) r0
определяем
,δω 0 ( t ) = rω − r0 (13.92)
Здесь Fo = at / r02 , а rω − значение расстояния от центра выработки до точки практического гашения температурных колебаний в горном массиве. Число Кирпичёва при переменной температуре воздуха Ku ω Fo определяем по аналогии со случаем постоянной температуры
(
)
воздуха [89]:
TcT ,ω ( t ) − TB ( t ) qω ( t ) ⋅ r0 Kuω ( t ) = = Bi = T t ΔT ( t ) ⋅ λ Δ () −1 αr = Bi −1 + ( r0 B2 ( t ) ) , Bi = 0 . λ −1
(13.93)
Поскольку, согласно(13.88) и (13.91):
(
r0 B2 ( t ) = Bi 2 Bi для
0,85
Fo
0,2
)
−1
−1
,
(13.94)
( t ) = Ku ( Fo ) получаем: Ku ω ω ( Fo ) = 0,5 Bi 0,15 Fo −0,2 . Ku ω
(13.95)
Для сравнения величин теплопритоков из массива при переменной температуре воздуха (изменяющейся согласно (13.87) с таковыми при постоянной температуре
TB = TB0 , плотность потока тепла в коэффициенте
Kτω = qω ( t ) / Δ T ( t ) необходимо отнести температур Δ T ( t ) = Tп − TB ( t ) , а к перепаду
нестационарного теплообмена не
к
перепаду
ΔT0 = Tп − TB0 − Соответствующая
при постоянной температуре воздуха [89]. модификация (13.94) осуществляется заменой
( Fo ) → Ku ( Fo ) : Ku ω ω
( Fo) ⋅ ΔT ( t ) = Ku ( Fo) 1 − ΔTω cos ( 0,628Fo) (13.96) Kuω ( Fo) = Ku ω ΔT0 Δ T 0 Численные расчёты по (13.96) при Δ Tω / Δ T0 = 10 / 30 = 1/ 3 были проведены в диапазоне значений Fo ∈ [10,50] для Bi = =5; 10; 15; 20; 25. Результаты их приведены на Рис.13.4, где монотонно убывающие кривые – 485
функции
Ku ( Bi, Fo )
(возрастающие, как функции числа
Bi = 5,
нижней кривой соответствует Колеблющиеся
кривые
различных значений
Bi
представляют
(кривая 1
а самой верхней функции
Bi − самой − Bi = 25).
( Bi , Fo ) Ku ω
− Bi =5, кривая 2 − Bi
для
=10 и т.д.)
Рис 13.4 Динамика безразмерных теплопритоков из массива при
) и при её синусоидальных колебаниях температуры воздуха ( Ku ω постоянном значении ( Ku ) для различных значений Bi
Ширину
теплоуравнивающей
оболочки
δω 0 (t )
(размерную)
определим из требования практического затухания колебаний температуры массива в точке
r = rω = r0 + δω 0 ( t ) . Амплитуда колебаний температуры
r = r0 TB = TB0 = const ,
в массиве будет максимальной на стенке выработки (на границе массива). Для случая постоянной температуры воздуха аналоги выражений (13.88), (13.89) будут иметь вид:
Tˆ0 ( r , t ) = Tп − Tп − TCT ,0 ( t ) exp − B2 ( t ) ( r − r0 ) , TB 0 + α −1λ B2 ( t ) Tп ˆ T0 ( r0 , t ) = TCT ,0 ( t ) = . 1 + α −1λ B2 ( t ) Находим невязку ΔTˆ ( t ) : ω0
486
(13.97) (13.98)
ΔTˆω 0 ( t ) ≡ Tˆω ( rω , t ) − Tˆ0 ( rω , t ) =
(13.99)
= TCT ,ω ( t ) − TCT ,0 ( t ) exp − B2 ( t ) δω 0 ( t ) . Формализуем критерий затухания колебаний в виде:
ΔTˆω 0 ( t ) = exp − B2 ( t ) δω 0 ( t ) = 5% = 0,05 TCT ,ω ( t ) − TCT ,0 ( t )
(13.100)
Из (13.100) сразу следует, что
δω ( Fo ) =
δω 0 ( Fo ) r0
(
)
= 3 Ku −1 ( Bi, Fo ) − Bi −1 = δω ( Bi, Fo )
(13.101) Численные расчёты по (13.101) были проведены для тех же значений параметров, что и ранее, при расчётах по (13.96). Их результаты приведены на Рис.13.5, где верхняя кривая – безразмерная ширина охлажденной зоны
Рис. 13.5 Динамика безразмерных ширин теплоуравнивающих оболочек при различных значениях Bi
δ ( Fo ) = 2,46 Fo ,
а расположенные ниже кривые (от нижней – для
Bi = 5, , до верхней – для Bi = 25 ) – безразмерные ширины соответствующих теплоуравнивающих оболочек δω = δω ( Bi , Fo ) . Из рисунка видно, что все значения значения δ
( Fo ) .
δω ( Bi, Fo )
487
существенно меньше, чем
Глава 52. АВАРИЙНЫЕ РЕЖИМЫ §180. Модель «теплового удара »
По определению, данному в [145], тепловой удар – это кратковременный процесс интенсивной теплопередачи от нагретой подвижной среды (газа, жидкости) к твердому телу через его поверхность. При этом существенное изменение температуры в твердом теле будет наблюдаться только в тонком приповерхностном слое («приграничном термическом слое» [145]). В §179 под «холодовым ударом» мы понимали случай скачкообразного изменения (уменьшения) температуры вентиляционного воздуха в выработке. При авариях в шахтах (взрывах, пожарах) возникает ситуация, когда от некоторого, принимаемого за начальное вдоль неё
( x > 0)
( x = 0)
сечения выработки,
распространяется высокотемпературная газовая струя,
которая интенсивно охлаждается, передавая тепло горному массиву. Эту ситуацию и будем считать «тепловым ударом» и при построении её математической модели предполагать, что: 1) процесс является быстро протекающим τ ∈ ( 0,τ a ) ,τ a − порядка нескольких минут [40]); 2)
температурное поле в горном массиве в момент начала «удара» (т.е. при значении «технологического» предшествующего момента времени t = t0 и соответствующего этому моменту «аварийного» времени τ = 0 ) описывается аппроксимацией вида (13.96):
β2 ( t0 ) ˆ T0 ( r, t0 ) = Tп − Tп −TCT ( t0 ) exp − ( r − r0 ) , r ∈r0, r0 + δ2 ( t0 ) ,(13.102) δ2 ( t0 ) где:
Tп = const −
естественная температура горного массива на глубине
заложения выработки;
TCT ( t0 ) − времени;
r0 −
радиус эквивалентного сечения выработки;
температура стенки выработки в начальный (аварийный) момент
δ 2 ( t0 )
определяется согласно (13.90), а
β 2 ( t0 ) −
(13.91) (в
Fo0 = at0 / r02 ); 3) вентиляция выработки, в технологический период времени ( t ∈ ( 0, t0 ) ) осуществлялась воздухом постоянной температуры TB 0 , при коэффициенте теплообмена α 0 = const , V0 ; соответствовавшем средней скорости воздушного потока 4)температурное поле в массиве весь период аварии τ ∈ ( 0,τ a ) вне зависимости от величины
приграничного термического слоя а внутри этого слоя
( r > r2 (τ ) ) не меняется («заморожено»),
r ∈ ( r0 , r0 + δ 2 (τ ) ) аппроксимируется функцией: 488
Tˆa ( r ,τ ) = Tˆ0 ( ra (τ ) , t0 ) + (13.103) r − r0 ˆ + TCT ,a ( x,τ ) − T0 ( ra (τ ) , t0 ) exp −6,91 , δ 2 (τ ) где Tˆ0 ( ra (τ ) , t0 ) соответствует (13.102) при r = ra (τ ) = r0 + δ 2 (τ ) ,
δ 2 (τ ) = 4,6 aτ , 6,91 - численный параметр аппроксимации, обеспечивающий выполнение условия Tˆa ( ra (τ ) ) Tˆ0 ( ra (τ ) , t0 ) с
погрешностью ≤ 0,1%; 5) поток нагретого газа при тепловом ударе движется с постоянной скоростью Va (стержневой профиль скоростей в сечении выработки), а кондуктивно-конвективный теплоперенос в нём описывается уравнением вида [40]:
∂T ∂T ∂2T αΠ +Va = aT 2 + TCT ,a ( x,τ ) − T ( x,τ ) , x > 0,τ ∈( 0,τ a ) , (13.104) ∂τ ∂x ∂x ρcpS где aT - коэффициент турбулентной теплопроводности газовой струи,
ρc p −
удельная объёмная теплоёмкость её (принимаем значение
воздуха),
α−
ρc p
для
коэффициент теплообмена струи со стенкой выработки
(α ≠ α 0 ) , Π, S − соответственно периметр и площадь сечения выработки;6)
краевая задача теплопереноса в системе «выработка – массив» рассматривается в «полусопряженной» постановке, когда первое из граничных условий четвертого рода – равенство температур на границе массива (на стенке выработки) и в газовой струе выполняется, а второе из условий четвертого рода – «склейки» плотности потоков тепла на этой границе заменяется граничным условием третьего рода:
∂Tˆa λ ∂r
r = r0
= α TCT ,a ( x,τ ) − T ( x,τ ) , x > 0,τ ∈ ( 0,τ a ) ,
(13.105)
λ − коэффициент теплопроводности массива, T ( x,τ ) соответствует уравнению (13.104); 7) функция T ( x,τ ) должна удовлетворять уравнению
где
(13.104) и граничному условию в начальном сечении выработки:
T ( 0,τ ) = Ta (τ ) , τ ∈ ( 0,τ a ) ,
(13.106)
(τ ) рассматриваем как произвольную функцию времени начальное условие и условие при x → ∞ для T ( x,τ ) берём в виде:
где Ta
489
T ( x,0) = TB 0 = const , x ∈ ( 0, ∞ ) ,
( ∂T / ∂x ) x→∞ = 0, τ ∈ ( 0,τ a ). (13.107)
Оценку порядков величин в (13.104) осуществляем с целью упрощения этого уравнения и сопряженной краевой задачи (13.102) – (13.107) в целом. Имеем:
∂T Δ1T ∂ 2T ΔT , aT 2 aT 2 2 , Va Va D ∂x D ∂x aT ∂ 2T / ∂x 2 a ΔT T 2 , Va ∂T / ∂x Va D Δ1T где
(13.108)
Δx D (диаметр выработки), Δx / L = D / L 1 ( L − длина
выработки),
Δ1T , Δ2T − соответственно первая и вторая конечные
разности. Поскольку Δ 2T < Δ1T , то положив в (13.108) искомую оценку с «запасом»:
Δ 2T ≈ Δ1T , найдем
∂ 2T ∂T aT , aT 2 Va 1, PeT = ReT PrT 1, ∂x Va D ∂x
(13.109)
где ReT ,PrT ,PeT − турбулентные числа соответственно Рейнольдса, Прандтл я 3 PrT 1,0, ReT 103[40], то PeT 10 1 ( ReT = Va D /ν T , PrT = ν T / aT , ν T − турбулентная вязкость). Из
и
Пекле.
Поскольку
(13.109) следует, что уравнение (13.104) можно использовать в упрощенном виде: ∂T ∂T αП + Va = A TCT ,a x,τ − T x,τ , A = = const. (13.110)
∂τ
∂x
(
(
)
(
))
ρсp S
Оценка характерного времени τ a может быть получена сравнением порядков членов в левой части (13.110). Имеем:
∂T Δ1T ∂T ΔT V ∂T / ∂x Vτ a L τ a Va 1 , γ = a = = , (13.111) , Va ∂τ τ a ∂x ∂T / ∂τ D D D τ L где τ a − характерная продолжительность аварийного режима (длительность «теплового удара»), τ L = L / Va − характерное время распространения изотермы по выработке с длиной L ( м ) . Поскольку D / L 1, в (13.111) могут быть варианты: 1) Вариант 2)
γ 1 (при τ a /τ L 1); 2) γ 1 (при τ a ≥ τ L ).
γ 1 означает возможность отбрасывания в уравнении (13.110) 490
члена
∂T / ∂τ , т.е перехода к квазистационарному случаю. Вариант 1)
γ 1 требует выполнения условия τ a τ L , при котором в уравнении 3 (13.110) член ∂T / ∂τ необходимо сохранить. При L 10 м, Va 1м/сек, τ L 103сек ≈ 17 минут. Отсюда следует, что можно считать τ a ≈ 0,5 – 2,0 мин. Принимаем, что (τ a ) = 2,0 мин., (τ a )min = 0,5 мин. max Оценим ширину приграничных термических слоёв, формирующихся за эти граничные значения продолжительности «теплового удара». a = 16 ⋅10-4м2 Принимаем, что /час [40]. Тогда
δ a (τ a ) = 4, 6 aτ a , δ a (τ a min ) = δ a min = 1,7см, δ a (τ a max ) = = δ a max = 3,4см . Если продолжительность аварийного режима τ a ≥ τ L ≈
17мин., то будем говорить о «медленном» тепловом ударе, в то время как для
τ a ≤ 2 мин. используем термин «быстрый» тепловой удар. Для медленного теплового удара
δ a (τ a ) = δ a
(17 мин)
≈
10,0см, т.е. приграничный
термический слой, оставаясь, в масштабах горного массива, весьма узким, в то же время существенно превышает величины, соответствующие «быстрому» тепловому удару. Рассмотрим далее обе модели – модель «Взрыв» (или «быстрый» тепловой удар) и модель «Пожар» (т.е. случай «медленного» теплового удара). В последнем случае уравнение (13.110) используется в «усеченном» виде:
Va
∂T = A TCT ,a ( x,τ ) − T ( x,τ ) , x > 0,τ ∈ ( 0,τ a ) . ∂x
(13.112)
Для обеих моделей используем приём – исключение из уравнений (13.110) и (13.112) неизвестной функции TCT , a (13.105), найдём:
( x,τ ) . Подставив (13.103) в
−1Tˆ ( r (τ ) , t ) T ( x,τ ) + 1,5Bi 0 a 0 = Bi Fo , (13.113) TCT ,a ( x,τ ) = , Bi τ − 1 1 + 1,5Bi где
Bi = α r0 / λ , Foτ = aτ / r02 . Из (13.113) находим:
T0 ( ra (τ ) , t0 ) − T ( x,τ ) TCT ,a ( x,τ ) − T ( x,τ ) = . 1 + 0,67 Bi
491
(13.114)
(δ a (τ a ) / r0 ) ( 0,034 /1,5 ) 1, используем приближение: T0 ( ra (τ ) , t0 ) T = = T ( t0 ) = const. После замены в (13.114) T0 ( ra (τ ) , t0 ) → T ( t0 ) и Модель «Взрыв». Поскольку ra (τ ) = r0 + δ a (τ ) , a
CT ,0
CT
CT
подстановки затем (13.114) в (13.110), последнее принимает вид:
∂T ∂T −1 . (13.115) +Va = A(τ ) TCT ( t0 ) − T ( x,τ ) , A(τ ) = A 1+ 0,67Bi ∂τ ∂x Поскольку решение (13.115) T ( x,τ ) будет заключено в «вилку» из
(
решений
T ( x,τ )
T ( x,τ ) ,
и
)
которым
соответствуют
A = min A (τ ) (τ ∈ (τ a ) ) и A = max A (τ ) (τ ∈ ( 0,τ a ) ) , можно было бы,
если
бы
эта
«вилка»
оказалась
достаточно
«узкой»,
приближенного решения (13.115) принять среднюю величину
в
качестве
T ( x,τ )
,
определив её как решение уравнения
∂T ∂T +Va = A TCT ( t0 ) − T , ∂τ ∂x Здесь A определяется формулами:
A = const, x > 0,τ ∈( 0,τ a ) .(13.116)
max )−1 , A = 0,5 A + A , A = A (1 + 0, 67 Bi
(
)
min ) −1 , A = A (1 + 0, 67 Bi
A = 0,94 A ,
A = A ,
(13.117)
A = 0,97 A .
Уравнение (13.116) при краевых условиях (13.106), (13.107) решается методом двойного преобразования Лапласа (по t и по x ), что приводит к выражению:
T ( x, t )
A x + − − τ exp T t T T t x , x ≤ Vaτ , CT ( 0 ) a CT ( 0 ) − V V = a a T t − T − T exp − A τ , x > Vaτ . ( ) BO ] CT ( 0 ) [ CT
(13.118) Выражение (13.118) удовлетворяет уравнению и краевым условиям, а его компоненты для
x ≤ Vaτ
и
x > Vaτ
при
x = Vaτ − совпадают (т.к.
Ta ( 0 ) = TB 0 ). Формулу (13.118) представим в виде: 492
θ ( x,τ )
T − TCT ( t0 ) A x , x ≤ Vaτ , = exp − θ1 = V x a Ta τ − − TCT ( t0 ) = Va T − TCT ( t0 ) θ2 = x > Vaτ . = exp ( − A τ ) , TB 0 − TCT ( t0 ) (13.119)
Используя аналогии, записываем формулы вида (13.119) для соответствующей решению (13.116) после замены в нём
θ ( x,τ ) , A → A,
T ( x,τ ) → T ( x,τ ) и для θ ( x,τ ) , следующем из (13.116) после замены в нём
A → A T ( x,τ ) → T ( x,τ ) : A θ exp = 1 − x , θ ( x ,τ ) = Va θ = exp − Aτ , ( ) 2
x ≤ Vaτ ,
(13.120)
x > Vaτ .
A = θ exp 1 − x , x < Vaτ , θ ( x,τ ) = Va x > Vaτ . θ 2 = exp − Aτ ,
(13.121)
( )
Из (13.119), (13.120) и (13.121) следует:
x θ x θ1 = exp − ( A − A ) , 1 = exp − A − A , (13.122) Va θ1 Va θ1
(
)
θ θ2 = exp − ( A − A )τ , 2 = exp − A − A τ . θ2 θ2
(
493
)
(13.123)
Максимальное отклонение от единицы дробей в (13.122) и в (13.123) будет
иметь место при τ
= τ a и x = Vaτ a . Тогда получим:
θ1 θ = 2 = exp − ( A − A )τ a = exp ( 0,03 Aτ a ) , θ1 θ2
θ1 θ1
=
θ2 θ2
(
)
(
)
= exp − A − A τ a = exp 0,03 Aτ a .
(13.124)
(13.125)
Из последних формул следует, что при τ < τ a отклонение «вилочных» значений от средней величины (безразмерных температур) будут меньшими, чем при τ
=τa.
Оценим величины z = 0,03 Aτ a и exp ( z ) . Предположим, что средняя
ρ c p ≈ 0,173 ккал/м3.град [345]. Положим: r0 = 2м, α =20,0 ккал/м2час·град, τ a = (1/30) часа. Тогда из (13.124), (13.125) следует, что z ≈ 0,11, exp ( z ) ≈ 1,11, т.е. максимальная
температура газовой струи 773К, тогда
погрешность среднего решения по отношению к значениям «вилки»
составляет ± 11%. Для τ a = 1-й минуте, эта погрешность будет ± 6%. Для прогнозных инженерных расчётов этой точности очевидно, достаточно, хотя возможно также использование более сложных моделей типа [346÷350], в которых возникает необходимость в проведении на порядок более сложных аналитических и численных процедур. Модель «Пожар». Используем уравнение (13.112), которое после исключения в нём посредством (13.114) функции TCT ,a виду:
( x,τ ) приводится к
∂T = A (τ ) T0 ( ra (τ ) , t0 ) − T ( x,τ ) ) , x > 0,τ ∈ (τ 0 ,τ a′ ) , (13.126) ∂x где τ 0 = 17 мин., τ a′ − предельное время развития пожара (τ a′ > τ o ) , а A (τ ) определено (13.115). Поскольку теперь τ − «медленное» время Va
(порядка часов), усреднения
A (τ )
необходимость в приближении
не проводим. Отпадает теперь и
T0 ( ra (τ ) , t0 ) TCT ( t0 ) . Температурное
поле в горном массиве вне термического приграничного поля (т.е. при r > ra (τ ) ) считаем, как и ранее, «замороженным». 494
Уравнение (13.126) рассматриваем как обыкновенное x и дифференциальное уравнение с независимой переменной коэффициентом A (τ ) , зависящем от параметра τ . В используемом для
получения решения (13.126) граничном условии (13.106) τ также играет роль параметра. Это решение легко найти, используя преобразование Лапласа по x :
A (τ ) T ( x,τ ) = T0 ( ra (τ ) , t0 ) + Ta (τ ) − T0 ( ra (τ ) , t0 ) exp − x . V a
(13.127) Получено квазистационарное, зависящее от τ как от параметра, экспоненциально убывающее с ростом x решение, единое, в отличие от предыдущей модели, в областях
x ≤ Vaτ
x > Vaτ (τ ∈ (τ 0 ,τ a′ ) ) .
и
Следует отметить, что параметр τ в (13.127) является «медленным», по
сравнению с предыдущим случаем, временем (τ
>
17 мин.,
τ ∈ (17,τ a′ ) ,
τ a′ часов), но «одновременно с тем, «быстрым» временем по сравнению с
«технологическим»
(τ a′ t0 ) .
Этим обстоятельством и обосновывается
«замораживание» температурного поля в массиве вне приграничного термического слоя в этом случае. Выражение (13.127), как решение (приближенное) сопряженное краевой задачи может быть использовано и для больших
τ и T0 ( ra ( 0 ) , 0 ) = Tп ,
τ a′ ,
значений
t0 = 0, Ta ( 0 ) = TB 0 ,
считать
если массив
положив температурно-
однородным в начальный момент процесса, поскольку при этом «замороженность» поля вне слоя r ∈ r0 , ra (τ ) будет автоматической (т.к.
(
везде при
)
r > ra (τ ) = r0 + δ 2 (τ ) , температура будет постоянна и равна Tп ).
§181. Модель «холодового удара»
В §179 рассмотрена модель, позволяющая находить теплопритоки из массива в период времени, прошедшего после скачкообразного понижения температуры вентиляционного воздуха, обусловленного технологическими причинами (включение или перенос воздухоохладителя). «Холодовым ударом» (кавычки далее опускаем) будем называть аварийную ситуацию типа теплового удара, но при резком понижении температуры воздуха. Характерным примером такого аварийного режима вентиляции является отказ (остановка) калориферов воздухоподающего ствола шахты в зимний период при отрицательной (в 0С) температуре атмосферного воздуха. В рамках НИР по головным темам МакНИИ, С.В.Фроловым исследовались закономерности тепломассообменных процессов в системах утилизации вторичной тепловой энергии сжатого воздуха, с целью 495
повышения безопасности и экономической эффективности, шахтных воздухоподающих стволов в зимний период [351]. Были проанализированы случаи обмерзания воздухоподающих стволов при отказе в зимний период калориферов и предложена методика прогноза их численности [352]. При этом потребовалось разработать метод прогноза времени τ об прошедшего после отключения калориферов до начала обмерзания стволов (начала роста слоя льда на влажных стенках стволов). Была предложена модель холодового удара, позволяющая оценить величины τ об для различных (по размерам) стволов и отрицательных температур атмосферного воздуха [353]. Модель строилась на следующих предпосылках: 1) под величиной τ об понималось время, прошедшее после холодового удара (отказа калориферов) до снижения температуры стенки ствола до температуры 00С; 2) за основу принимается модель [89] теплообмена массива с вентиляционным воздухом; 3) определение величин Kτ в этой модели для периода времени после температурного скачка проводится согласно §179. Поскольку формулировка задачи О.А.Кремнёва хорошо известна [40,89], опуская её, запишем закон изменения температуры воздуха:
TB1 TB = TB ( t ) = TB 2 где
t = t1 − момент
(T (T
аварии ( t
B1 B2
= t1
) ≤ 0 C ),
> 0o C ,
t ∈ [ 0, t1 ) ,
o
t ∈ [t1 , ∞ ) ,
соответствует
o o −30 C ≤ TB 2 ≤ 0 C . Для коэффициента формула
Kτ c
τ = 0 ).
(13.128)
Полагаем, что
в §179 была получена
ΔT2 Kτ 0 (τ ) , (13.129) ΔT1 где ΔT1 = Tп − TВ1 , ΔT2 = TВ1 − TВ 2 ( ΔT2 > 0 − величина скачка температуры). Поскольку τ t1 (τ ∈ ( 0,τ об )τ об 1 часа, t1 несколько лет), а Kτ ( t ) быстро убывает с ростом t , в (13.129) можно принять, что ΔT Kτ 0 ( t1 + τ ) 2 Kτ 0 (τ ) , (13.130) ΔT1 Kτ c ( t1 + τ ) = Kτ 0 ( t1 + τ ) +
т.е. использовать (13.129) в виде:
Kτ c ( t1 + τ )
496
ΔT2 Kτ 0 (τ ) . ΔT1
(13.131)
Kτ ( t )
Т.к.
пропорционален температуре стенки ствола
(13.131) следует, что
TCT ( t )
[89], из
ΔT2 TCT (τ ) − TB1 ) . (13.132) ( ΔT1 o такую величинуτ , при которой TCT ( t1 + τ об ) = 0 C
TCT ( t1 + τ ) = TB 2 +
τ об
Обозначим
и из (13.132) найдём:
TCT (τ об ) = TB1 + Поскольку [89]:
ΔT1 TB 2 . ΔT2
(13.133) −1
параметр
ηc
TCT (τ об ) − TB1 T = θ CT (τ об ) = 1 + B1 = ηc , Tп − TB1 TB 2
можно назвать коэффициентом температурного скачка. Для
определения θ CT
(τ ) имеем, согласно [89]:
θ CT (τ ) = 1 −
Bi f ( z ), Bi '
( )
f ( z ) = 1 − exp z 2 erfc ( z ),
z = Bi ' Fo , Bi ' = Bi + 0,375, Bi = Здесь:
(13.134)
R0 ( м ) −
(13.135)
α R0 aτ , Fo = 2 . λ R0
α − коэффициент теплообмена между λ , a − коэффициенты теплопроводности и
радиус ствола,
воздухом и стенками ствола, температуропроводности бетонной крепи ствола. Из (13.134) и (13.135) следует:
(
)
f ( zоб ) = (1 − η c ) 1 + 0,375 Bi −1 ,
(13.136)
где
zоб = Bi −1 Foоб , Fоб = aτ об / R02 . Поскольку если задать значения
ηc
и
Bi
правая часть (13.135) известна, а функция
f (z)
табулирована в
[89], то можно, построив её график, решить уравнение (13.136) относительно zоб графически. Если zоб найдено, то из (13.135), следует, что
τ об
2 R02 zоб = a ( Bi + 0,375 )2
497
(13.137)
f ( z ) была построена номограмма (Рис.13.6), позволяющая при заданных η c и Bi находить соответствующие значения zоб , а затем – по (13.137), и значения τ об . Численные расчёты были По таблице [89] значений
проведены
для −4
характерных
для
стволов
значений
2
a = 40 ⋅10 м /час, Bi = 10 и различных TB 2 и R0 . На основе их были построены графики зависимостей
τ об = τ об (TB 2 , R0 ) ,
приведенные на
Рис.13.7. Из него видно, что при TB 2 < −10o C влияния размера ствола
( R0 )
на τ об практически нет. При этих же температурах резерв времени на восстановление обогрева ствола (запуск калориферов) становится весьма малым. Номограмма (Рис.13.6) и графики на Рис. 13.7, полученные из модели холодового удара, представляют собой инженерную методику прогноза времени начала обмерзания ствола.
Рис 13.6 Номограмма для определения безразмерного параметра Z(Bi,ηС ).
Рис 13.7 Зависимость времени начала обмерзания шахтного ствола от температуры вентиляционной струи и радиуса ствола.
§182. Модель «нулевого» режима
«Нулевой» режим проветривания горной выработки (далее без кавычек) – это аварийная ситуация, при которой расход воздуха в выработке равен нулю. Такой режим – некоторая идеализация, поскольку даже при остановке вентиляторов, в глубоких шахтах присутствует «естественная 498
тяга» - движение воздуха под воздействием разности его температур ( и давлений) в различных пунктах вентиляционной сети [40]. В семидесятые годы прошлого века предпринимались попытки моделирования нулевого режима: рассматривался теплообмен в системе «замкнутая подземная полость – горный массив» [40,354, 355]. В этих моделях не учитывались источники тепла в подземной полости и начальная температурная неоднородность горного массива. В последнее десятилетие такие модели вновь привлекли к себе внимание, в связи с разработками «модулей – укрытий», размещаемых в горных выработках [356, 357]. Актуальным является также построение таких моделей (сопряженного теплопереноса в системе «полость – массив» при наличии в полости источников тепла и массы и теплофизической неоднородности массива) в связи с проектированием и строительством подземных хранилищ радиоактивных отходов, подземных атомных электростанций и полигонов захоронения вредных веществ [358 – 362]. Принимаемые характеристики модели. Рассматривается изолированная кислородная выработка, имеющая близкую к сферической форму, окруженная сплошным однородным (теплофизически) горным массивом. Теплоперенос в массиве осуществляется теплопроводностью. В полости процессы более сложны: поскольку слабое движение воздуха всё же присутствует, имеется вынужденная конвенция. Ввиду температурной неоднородности (различие температур воздуха и поверхности тела горнорабочих, воздуха вблизи кровли и почвы камеры) имеется естественная температурная конвекция. Работа системы терморегуляции организмов горнорабочих ведёт к выделению и испарению влаги (пота), т.е. имеют место также процессы массообмена. Моделирование процессов естественной конвекции в трубах и полостях правильных форм требует задания большого числа параметров, в шахтных условиях не известных и весьма сложных математических конструкций [88,160, 363, 364]. Моделирование теплообмена организма горнорабочего с окружающей средой, даже при упрощенном, инженерном подходе, также требует знания многих эмпирических (практически отсутствующих) данных [281, 365]. Эти обстоятельства диктуют изначальный отказ от попыток «учесть всё» и ограничения претензий на «строгость и окончательность» модели. Рассматривается упрощенная, «рамочная» модель, предпосылки построения которой следующие. 1.Теплоперенос в полости (область Ω0( 3) = r ∈ ( 0, r0 ) ) осуществляется теплопроводностью с температуропроводности ae = λ0 / c0 , теплопроводности
воздуха,
(c ) p
}
коэффициентом коэффициент
c0 = A−1ρ c p − эффективная теплоёмкость
воздуха, зависящая от его плотности постоянном давлении
эффективным где λ0 −
{
( ρ ),
удельной теплоёмкости при
и теплового коэффициента влагообмена 499
( A)
[40, §59]. 2. Выделение тепла организмом одного горнорабочего постоянно и соответствует состоянию покоя, составляя Q0 = 100 ккал/час [366]. 3.
(τ = 0)
Моменту начала нулевого режима
соответствует время
t = t1 −
продолжительность предварительного, технологического доаварийного периода охлаждения горного массива вентиляционным воздухом со средней температурой TB 0 0C при коэффициенте теплообмена его с массивом −α и
( )
( )
начальной температуре массива на данной глубине Tп 0C . 4. Реакция организма горнорабочего на повышение температуры и изменение газового состава воздуха в полости не рассматривается. Численные значения параметров, используемые для оценок и расчётов
приняты
следующими.
V0 = ( 4 / 3) π r03 = 33,5 м3 − объём
Для
Ω0( ) : r0 = 2,0 м, объём, ω0 = 0,15 м 3 − 3
области
полости,
занимаемый одним горнорабочим, n = {1,2,3} −
варианты количества
горнорабочих в полости, W0 = Q0 n / (V0 − ω0 n ) − плотность источников тепла в полости (ккал/м3 ·час),
ρ=
1,206 кг/м3,
c p = 0,241 ккал/кг. град.
λ0 = 2,11.10-2ккал/м. час. град – теплофизические параметры воздуха [367],
A=0,4 – тепловой коэффициент влагообмена А.Ф.Воропаева [40,368-370]. Для области Ωδ( 3) = r ∈ r0 , ra (τ ) ra (τ ) = r0 + δ 3 (τ ) ; δ 3 (τ ) = 4 a мτ :
λ м = 1,5 параметры
{ (
)} (
)
aм = 27,0·10-4м2/час – теплофизические [40], t1 = {t1i } = {t11 , t12 , t13 } − варианты
ккал/м. час. град, массива
продолжительности периодов предварительного (доаварийного) охлаждения горного массива ( t11 = 1 год, t12 = 5 лет, t13 = 10 лет), TB0 = 18,0 0C − средняя температура вентиляционного воздуха в период предварительного охлаждения, Tп = 45 0С − температура горного массива вне зоны влияния выработки, α = 15,0 ккал/ м2.час.град – коэффициент теплообмена на этапе предварительного охлаждения, Bi = α r0 / λМ = 20,0 - безразмерное число Био,
(
)
Fo1 ={Fo1i} i =1,3 −безразмерные
временам
числа
t1i : Fo1i = aмt1i / r02 , Fo11 = 10;
Фурье,
соответствующие
Fo12 = 50; Fo13 = 100;
продолжительность нулевого режима τ 0 = 5 суток = 120 часов. Математическая формулировка модели. Модель нулевого режима формулируем как краевую задачу теплопроводности в двухслойной системе
{Ω( ) , Ω( )} . Уравнение теплопроводности в области Ω 3
0
3
δ
( 3)
0
500
:
c0
∂T0 λ0 ∂ 2 ∂T0 = 2 r + W0 , T0 = T0 ( r ,τ ) , r ∈ ( 0, r0 ) ,τ ∈ ( 0,τ 0 ) , ∂τ r ∂r ∂τ
(13.138)
где
c0 = A −1 ρ c p , а краевые условия к (13.138) имеют вид:
T ( r ,0 ) = TB 0 , T ( r0 ,τ ) = TCT (τ ) = Tм ( r0 ,τ ) , ( ∂T0 / ∂r )r =0 = 0. (13.139)
Второе из условий (13.139) вводит неизвестную заранее температура поверхности горного массива TCT (τ ) − функцию склейки температурных
(
)
(
)
полей в полости T0 ( r ,τ ) и в массиве Tм ( r ,τ ) . Это условие – первое из граничных условий четвертого рода, характерных для слоистых моделей. (3) Второе условие – склейки потоков тепла на границе слоёв (областей Ω0 и 3 Ωδ( ) ) – имеет вид:
∂T + − + q0( ) (τ ) = qм( ) (τ ) , q0( ) (τ ) = λ0 0 ∂r qм( ) (τ ) = λм −
∂Tм ∂r
r =r0
, r =r0
(13.140)
,τ ∈ ( 0,τ 0 ) .
(3 )
В области Ωδ (в горном массиве) имеем уравнение теплопроводности
∂Tм aм ∂ 2 ∂Tм = 2 r , Tм = Tм ( r ,τ ) , r ∈ ( r0 , ra (τ ) ) ,τ ∈ ( 0,τ 0 ) (13.141) ∂τ r ∂r ∂r
и краевые условия к нему:
(
)
Tмi ( r ,0 ) = ϕмi ( r ) i = 1,3 , r ∈ ( r0 , ra (τ ) ) ,
Tм ( r0 ,τ ) = TcT (τ ) , Tм ( ra , (τ ) ,τ ) = ϕм ( ra (τ 0 ) ) . Здесь
ϕмi ( r )
начальное
(для
нулевого
режима)
(13.142)
распространение
температуры в горном массиве, соответствующее температурному полю, сформировавшемуся в нём к моменту t = t1i (к концу периода предварительного охлаждения). Сделаем некоторые оценки. Поскольку δ 3 (τ ) = 4 aмτ , то
максимальная ширина прогретой зоны в массиве (обусловленной тепловыделением и подъёмом температуры воздуха в полости) будет
501
() δ3 (τ0 ) = 4 aмτ0 = 4 27⋅10−4 ⋅120 2,25(м) В области Ωδ ={r∈( r0,r0 +2,25)} 3
массива температура в ходе нулевого режима
(τ ∈ ( 0,τ 0 ) ) будет меняться,
а вне её (при r > r0 +2,25), в силу применения «принципа замораживания» оставаться постоянной по времени и зависящей от r согласно решению краевой задачи предварительного охлаждения массива на промежутке
t ∈ ( 0, t1i ) .
Охлажденная зона в массиве к моменту времени
t = t1i
будет
δ м ( t1i ) = 4 aмt1i , т.е. для i = 1,3 составит, соответственно, 61,5м. Поскольку даже для δ м min = δ м ( t1i ) = 19,5м имеем
иметь ширину 19,5м, 43,6м,
δ 3 (τ 0 ) δ м min ,
решение краевой задачи предварительного охлаждения
массива (приведенное в [89]) аппроксимируем в области прямыми. Используем
номограмму
построенную
аналитическому
по
(Рис.
13.1,§176)
r ∈ ( r0 , r0 + 2, 25 ) Ku ( Bi, Fo ) ,
для
решению третьей краевой задачи (1) (2) охлаждения горного массива (области Ω+ ) [89]. При Bi = 20 и Fo = 10 (один год), Fo ( 2 ) = 50 (пять лет), находим: Ku (1) = 0,5; Ku ( 2 ) = 0,35;
Fo( ) = 100 (десять лет) из номограммы 3 Ku( ) = 0,31. Поскольку Ku = Bi θ c , где 3
T
θcT = (TcT ( t ) − TB 0 ) / (Tп − TB 0 ) − безразмерная температура стенки выработки,
(1) ( 2) i i соответственно находим θ c(T ) = Bi −1 Ku ( ) ( i = 1, 2,3 ) , т.е. θ cT = 0,025; θ cT = ( 3) 0,0175; θ cT = 0,0155. Поскольку Tп − TB 0 = 45-18=27(0С), отсюда следует, что 1 2 3 Tc(T ) = TB0 + 0,68 oC; Tc(T ) = TB0 + 0,47 oC; Tc(T ) = TB0 + 0,42 oC; (13.142)
(
)
(
)
(
)
С достаточной для инженерных расчетов точностью, на основе (13.142), далее полагаем i Tc(T ) TB 0 = 18 oC , i = 1, 2,3. (13.143)
(i)
Отсюда, из найденных значений Ku , и принятой аппроксимации температурных полей массива в начальный момент периода нулевого режима
ϕмi ( r ) следует:
502
(
ϕмi ( x ) = TB 0 + TП′ ( t1,i ) − TB 0 x = r − r0 ,
) xx ,
(13.144)
a
r ∈ r0 , ra (τ 0 ) , xa = ra (τ 0 ) − r0 = 2, 25 ( м ) .
В (13.144) :
TП′ ( t1,1 ) = 33,2 0C, TП′ ( t1,2 ) = 28,6 0C, TП′ ( t1,3 ) = 27,4 0C. (13.145)
Из (13.145) видно, что
(T ′ ( t )) − T ′ ( t ) / 4 = 4,6 / 4 = 1,15( C ) , 0
1,1
П
1,2
П
т.е.
0
изменение температуры TП′ за один месяц менее 0,1 C . Это подтверждает гипотезу о «замороженности» фонового (возникшего во время предварительного охлаждения массива) температурного поля на протяжении всего периода τ 0 нулевого режима (τ 0 =120 часов). (3) Решение для области Ω0 будем искать методами усреднения и аппроксимации. Плотность внутренних источников тепла в Ω0( 3) − W0 зависит от количества горнорабочих в полости n . Рассматриваем случаи n = 1, n = 2 и n = 3 и получаем формулу
W0 = W0 ( n ) = 2,985n (1 + 0,0448n ) .
(13.146)
Из (13.146) находим:
W0 (1) 3,12; W0 ( 2 ) 6,50; W0 ( 3) 10,16 (ккал/м3.час).
Интегрируем уравнение (13.146) по области
3 Ω0( ) и получаем:
dT0 (τ ) W ( n) 3 (+) q0 (τ ) + 0 , τ ∈ ( 0,τ 0 ) , = dτ r0c0 c0
(13.147)
где r0
T0 (τ ) =
4π ( r ' ) dr 'T0 ( r ',τ ) 0
2
( 3)
Ω0
,
4 3 Ω0( ) = π r03 . 3
Используем степенную (по r ) аппроксимацию поля T0 ( r ,τ )
503
(13.148)
m
r Tˆ0 ( r ,τ ) = T0 (τ ) − T0 (τ ) − TcT (τ ) , m ≥ 2, r ∈ [ 0, r0 ) , (13.149) r0 удовлетворяющую граничным условиям (13.138) и содержащим неизвестную (3) функцию T0 (τ ) = Tˆ0 ( 0,τ ) . Полагаем, усредняя (13.149) по области Ω0 и
приравнивая средние величины
3 3 1 = − + T τ ( ) 0 TcT (τ ) . (13.150) 3 Ω0( ) + + 3 3 m m (3) фактическое перемешивание воздуха в области Ω0 , полагаем
T0 (τ ) = Tˆ0 ( r ,τ )
Учитывая температурный профиль в полости «квазисредним» (по аналогии с квазистержневым скоростным профилем в выработке), формализуя это предположение условием 3/ ( m + 3) = 0,1. Из последнего следует: В итоге + q0( ) (τ ) .
T0 (τ ) = 0,9T0 (τ ) + 0,1TcT (τ ) , m = 27,0. (13.151) имеем четыре неизвестные функции: T0 (τ ) , T0 (τ ) , TcT (τ ) , Для их определения необходимы четыре уравнения, два из
которых – (13.147) и (13.151). Два недостающих уравнения даёт граничное (3) (3) условие четвертого рода на границе области Ω0 с областью Ω0 : это второе из условий (13.139) и (13.140). Чтобы воспользоваться ими, ( 3) необходимо найти решение для области Ω0 . Решение
для
области
{
}
3 Ωδ( ) = r ∈ ( r0 , ra (τ 0 ) ) . Поскольку
аналитическое решение для переменной (расширяющейся со временем ( 3) области Ωδ можно априори считать избыточно сложным, используем для
функции Tм ( r ,τ ) экспоненциальную аппроксимацию температурного поля вида (13.9), принимающую, в данном случае, вид:
r − r0 ˆ Tм,i ( r,τ ) = ϕм,i ( x) − ϕм,i ( x) − TсT ,i (τ ) exp −β3 ( Fo) , (13.152) t δ ( ) 3 где i = 1, 2,3 соответствуют t1i , а ϕ м,i ( x ) и TП′ ( t1i ) даны (13.144) и (13.145). Поскольку
δ 3 ( t ) = 4 aмτ
, а
β3 ( Fo )
определено формулой
(13.19) (§ 175), выражение (13.152) можно представить в виде:
504
r ˆ Tм,i ( x, r,τ ) = ϕм,i ( x) − ϕм,i ( x) − TсT ,i (τ ) exp −B3 ( Fo) −1 , (13.153) r0
где x играет роль параметра, постоянного при дифференцировании в (13.153) по r , а
B3 ( Fo ) =
β3 ( Fo ) 4 Fo
= ( Fo )
−0,5
2,844 − 0,760exp ( −0,852 Fo ) − 1,193exp ( −0,026 Fo )
(13.154) Поскольку Fomax = Fo0 = aмτ 0 / r = 0,081 и 0,852 х 0,081 = 0,069 << 1,0, в (13.154) можно разложить экспоненты в ряды и ограничиться двумя первыми членами разложений. Выражение для B3 ( Fo ) тогда упрощается: 2 0
B3 ( Fo ) = Fo−0,5 [ 0,891 + 0, 678 Fo] , Fo ∈ 1, 35 ⋅ 10−3 ;81, 0 ⋅ 10−3 (13.155) Изменению Fo в (13.155) соответствует изменение τ от 2-х часов до 5-ти
суток.
По выражению (13.153) находим
( −)
qм ( x,τ ) = λм
∂Tˆм,i ( x, r,τ ) ∂r
r=r0
qм( ) ( x,τ ) : −
= λм ϕм,i ( x) −TсT ,i (τ )
B3 ( Fo) (13.156) r0
+ q0( ) (τ ) имеем из (13.149): ∂Tˆ0 ( r ,τ ) 1 (+) q0 (τ ) = λ0 = λ0 m TсT ,i (τ ) − T0 (τ ) . ∂r r0
Для
(13.157)
r =r 0
Из граничного условия
+ − q0( ) (τ ) = qм( ) ( x,τ )
B ( Fo ) λм TсT ,i (τ ) = 1 + 3 m λ 0
−1
и (13.156), (13.157) находим:
B3 ( Fo ) λм + T τ ϕ x 0( ) м,i ( ) . m λ0 (13.158)
Исключив из системы уравнений (13.151) и (13.158) функцию получаем:
505
T0 (τ ) ,
TсТ ,i (τ ) =
T0 (τ ) + 0,9s ( Fo )ϕм,i ( x ) 1 + 0,9s ( Fo )
λм B3 ( Fo ) , s ( Fo ) = . λ0 m
(13.159)
Подстановка (13.159) в (13.156) даёт
(−)
qм
ϕм,i ( x ) − T0 (τ ) mλ0 s ( Fo ) (τ ) = , + 1 0,9 r0 s Fo ( )
(13.160)
а подстановка (13.160) в (13.147):
3B3 ( Fo) dT0 ( Fo) W0 ( n) r02 cм = Kc − + = ϕ x T Fo , K .(13.161) ( ) ( ) м,i 0 c λм dFo c0 1+ 0,9s( Fo)
(
ϕм,i ( x ) x = x ( Fo ) = δ 3 ( Fo ) = 4r0
Поскольку
)
(13.144),
определена
Fo ,
учёт
где
последнего
параметр
соотношения
численных значений величин, входящих в (13.161), приводит виду:
и
(13.161) к
dT ( Fo ) = 2035,763W0 ( n ) + dFo (13.162) 2040,598 + 1552,778Fo + 18 + (TПi′ − 18 ) ⋅ 3,514 Fo − T0 ( Fo ) . + + 2,111 1,607 Fo Fo В полученном обыкновенном дифференциальном уравнении с переменными коэффициентами (13.162) содержатся два режимных параметра: n− число горнорабочих в полости Ω 0( 3 ) и теплового
погранслоя
TПi′ = TП′ ( t1,i ) − температуры на границе
r = ra (τ 0 ) ,
обусловленные
предшествующим
размерность W0 ( n ) − градусы Цельсия, а их численные значения: Величины W0 (1) = 3,12; W0 ( 2 ) = 6,50; W0 ( 3) = 10,16. технологическим режимом.
(
)
TПi′ i = 1,3 :
(13.162)
В
TП′ ,1 = 33,2 0C,
Уравнение (13.162) безразмерного времени:
TП′ ,2 = 22,6 0C, TП′ ,3 = 27,4 0C.
решаем
численно,
506
вводя
дискретную
шкалу
Fo → Fo j = 1,35 ⋅10−4 ⋅ j , −4
ΔFo = Fo j +1 − Fo j = 1,35 ⋅10 , j = 0,600.
(13.163)
Левая часть уравнения (13.162) записывается в виде:
(
)
(
T0 Fo j +1 − T0 Fo j ΔFo
(
),
Расчёт значений T0 Fo j
)
T0 ( Fo0 ) = T0 ( 0 ) = TB 0 = 18 0C. (13.164) осуществлялся по конечно – разностной
аппроксимации уравнения (13.162):
(
)
(
)
T0 Fo j +1 = T Fo j + 0, 2748W0 ( n ) + 0, 2775 + 0, 2906 Fo j + 2,111 + 1,607 Fo j + Fo j
18 − T0 Fo j + 3,514 (TП′ ,i − 18 ) Fo j
(
)
(13.165) при постоянном временном шаге ΔFo = 1,35 ⋅10 −4 . Результаты расчётов по (13.165)
для
′ 2 = 28, 6 0C , TП
Tпi' i = 1, 3
) ); 3)
′ 3 = 27, 4 0C ; TП
n=3
13.8,
13.9,
(
рисунках
2)
(при тех же 13,10,
n = 1,
1)
случаев:
где
n=2
′ 1 = 33, 2 0 C , TП
(при тех же значениях
Tпi' ) приведены, соответственно, на T1 = T
0
( n = 1) , T 2 = T0 ( n = 2 ) ,
T 3 = T0 ( n = 3) , а номера кривых 1,2,3 - соответствуют временам
предварительного охлаждения массива в один год, пять и десять лет. Из этих рисунков следует, что: 1. Во всех случаях температуры растут вначале быстро (примерно первые шесть часов), а затем – достаточно медленно; 2. Рост температур на первом этапе определяется величиной n : при n = 1 они достигают значений 27÷280С, при n = 2 − 34÷350С, при n = 3 − 42÷440С. 3. Этот рост обусловлен наличием источников тепла, при том, что стоки тепла (уход его в массив) в этот период ещё не эффективны; 4.На протяжении последующего периода времени температурная динамика определяется совместным действием источников и стоков тепла. 5. Влияние времени предварительного охлаждения массива свыше пяти лет несущественно.
507
508
§. 183. Модель разгазирования выработки. При внезапных выбросах угля из забоя тупиковой горной выработки в рудничную атмосферу выделяется большое количество метана, что создает взрывоопасную ситуацию. Ликвидация ее, или разгазирование горной выработки, осуществляется проветриванием, параметры которого (расход воздуха, длительность «вымывания» газового облака) определялись эмпирически. Поэтому актуальной была задача прогноза концентрационной динамики метана в любом пункте маршрута исходящей струи (с целью обоснования мест расстановки датчиков аппаратуры газовой защиты в частности). Рассмотрим трехслойную модель
{Ω( ) , Ω( ) , Ω( ) } 1
1
1 2
1
1
3
1
для процесса (1)
разгазирования. После выброса образуется вывал угля (слой Ω1 ), который (1)
характеризуем средней толщиной l1. Слой Ω2 , длиной l2 , образует участок выработки от конца трубопровода (вентилятора местного проветривания) до (1)
вывала угля. Слой Ω3 образует дальнейший расчетный участок выработки
( l3 l1 , l2 ).
(1)
Интенсивное выделение десорбированного метана в Ω1
характеризуем функцией плотности источников
f1 ( x1 , t ) . Объемную (1)
концентрацию метана на непроветриваемой границе слоя Ω1
считаем
(1)
максимальной, а на внешней границе слоя Ω3 − известной (измеренной):
C1 ( x1 , t )
x1 =0
= 1,
C3 ( x3 , t )
x3 =l3
= Cu ( t ) , t > 0.
(1)
(1)
(13.166)
(1)
Механизм переноса в Ω1 − диффузионный, в Ω2 и Ω3 − конвективнодиффузионный, который, как показано в ряде работ [371-375], может быть описан уравнением параболического типа (аналогом уравнения ФурьеКирхгофа). При этом коэффициенты турбулентной диффузии определяются эмпирическими функциями скоростей движения газовоздушной смеси [40]. Из уравнений склейки (10.147) при k = 1, 2 получаем с учетом (10.148), (13.166): ( s) (+)
(s) (+)
( s)
a1,1 μ1, + a1,2 μ2, = b1
( ) a1,0 − p s
( s) (+) (s) (+) ( s) a2,1 Cu ( p ) . μ1, + a2,2 μ2, = b2( s ) − a2,3
509
(13.167)
(+)
Из системы (13.167) по формулам Крамера легко найти μi затем и концентрационные поля в слоях −C j ( x j , t ) ( j = 1, 2,3) .
( i = 1, 2 ) , а
Конкретизируем систему (13.167), одновременно упростив ее. Учтем, (1)
нет движения среды, т.е. V1 = 0. В отсутствие конверсии
что в Ω1
h1 = h2 = h3 = 0. Хаотическое перемешивание метана с воздухом в Ω2(1) описываем коэффициентом турбулентной диффузии D2 , полагая при этом V2 = 0. В области Ω3(1) существенны и конвективный перенос (V3 ≠ 0 ) и
( D3 ≠ 0). Источники метановыделения имеются f2 ( x2 , t ) = f3 ( x3 , t ) = 0, а начальные распределения
турбулентная диффузия (1)
только в Ω1 , так что концентрации во всех слоях будем считать, не ограничивая общности, нулевыми. С учетом этих допущений, система (13.167) после вычисления ее коэффициентов и правых частей приводится к виду:
(+) (+) (+) a1,1μ1, + a1,2 μ2, = − g1 , f1
( (
)
Ω1
+
ε1 , pshδ1 p
)
(+) (+) a1,2 μ1, + a2,2 p + V32 / 4a3 + ( ρ c )3 V3 μ 2 = =−
( (
a2,3 p + V32
)
)
(s) / 4a3 + Δa2,3 Cu .
(13.168)
(13.169)
Система (13.168), (13.169) легко разрешима; для рудничной аэрологии большой интерес представляет и «обратная» задача: по известным функциям + Cu ( t ) и μν( ) ( t )(ν = 1 или 2) найти другую функцию склейки, а затем из интегрального уравнения (13.168) найти f1 ( x1 , t ) [376]. Дальнейшее упрощение системы (13.168), (13.168) состоит в переходе к приближению (1)
конвективной ячейки в Ω2 (так называемая «зона смешения» [377]), где коэффициент турбулентной диффузии существенно превышает таковые в 1 1 Ω1( ) и Ω2( ) , т.е. D2 D1 , D2 D3 [375, 378]. Складываем (13.168) и (13.169) и переходим к пределу при D2 → ∞ . Получаем:
D pcthδ p + l p + V + D p + V 2 / 4 D cthδ p + V 2 / 4 D C p = 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 b( )
(+) = − g1 f1
Ω1
( (
)
)
(s) − a2,3 p + V32 / 4 D3 + Δa2,3 Cu ( p ) +
510
D1 , pshδ1 p
(13.170)
где
δi
li / Di
(i 1, 3).
Уравнение
(13.170)
связывает
функцию
плотности источников метановыделения f1 ( x1 , t ) с концентрацией метана в зоне смешения C b ( t ) и с функцией C u ( t ) - концентрацией метана на
удалении l3 (м) от зоны смешения. Последняя наиболее доступна для
измерений, а если, преодолев технические трудности, найти и Cb ( t ) , то из (13.170) можно найти f1 ( x1 , t ) . В (13.170) можно исключить Cu ( p ) , для () () чего надо положить l3 → ∞, т.е. от слоя Ω3 перейти к слою Ω+ . 1
1
(1)
Предположив также однородность распределения источников в Ω1
т.е.
f1 ( x1 , t ) ≡ f1 ( t ) , получим вместо (13.170):
D pcthδ p + l p + V + D p + V 2 / 4 D C p = 1 1 2 3 3 3 3 b( ) D1 1 + chδ1 p − 1 f1 ( p ) . pshδ1 p
(
)
(13.171)
Уравнение (13.171) является максимально упрощенным соотношением, содержащим минимум параметров слоев ( D1 , D3 , l1 , l2 ,V3 ) и позволяющим
найти f1 ( t ) по известной Cb ( t ) . Напротив, при известной f1 ( t ) из (13.171) можно получить Cb ( t ) , подстановка которой в решение задачи переноса в 1 Ω+( ) позволяет найти C 3 ( x3 , t ) - концентрационную динамику в тупиковой
выработке. Решение этой задачи было необходимо для обоснования мест установки датчиков аппаратуры газовой защиты и определения оптимальных параметров аварийного разгазирования. Поскольку определение даже минимального набора параметров уравнения (13.171) и вида f1 ( t ) − сложные экспериментальные задачи, решение которых находится в начальной стадии, функция Cb ( t ) была аппроксимирована по материалам многолетних шахтных наблюдений зависимостью [379, 380]:
Cb ( t ) = Ate−α t ,
A, α = const > 0.
511
(13.172)
Для определения C 3 ( x3 , t ) воспользуемся структурой решения в ПП для (1)
задачи переноса в Ω+ . С учетом однородности начальных условий и принятых обозначений, находим:
где
(c) G ∂ C3 ( x3 , t ) = D3 + * Cb ( t ) , ∂ξ (t ) ξ =0
(13.173)
2 V3 V 1 c c ( ) ( ) 3 G + = G + ( x3 , ξ , t ) = exp x3 − ξ ) − t G +( ) ( x3 , ξ , t ) , ( 2 D3 4 D3
(13.174)
(1) а G + ( x3 , ξ , t ) - функция Грина уравнения диффузии для полупрямой:
θ (t ) 1 G +( ) ( x3 , ξ , t ) = 2 π D3t
x3 − ξ exp − 2 D3t
2
− exp − x3 + ξ 2 D3t
2
.
(13.175) Подставив (13.174),(13.175), в (13.173), последнее выражение приводим к виду:
xV C3 ( x3 , t ) = Cb ( t ) exp 3 3 Bs ( z ) , 2 D3
(13.176)
где ∞
2 s z2 − Bs ( z ) = 1 exp − y + 2 dy, 2 π z y y 2
z=
x V , s= 3 3 2 D3t 4 D3 x3
2
4 D3α 1 − 2 . V3
(13.177)
Формулой (13.176) описывается динамика разгазирования горной выработки произвольной длины. Поскольку функциями аналогичного (13.172) вида (с другими значениями параметров A и α ) описываются многие процессы газовыделения при взрывных работах, самообрушениях 512
больших масс угля и т.п. [371,381], формулой (13.176) можно пользоваться для газодинамического прогноза и в этих случаях. Необходимое для этого подробное исследование функции Bs ( z ) и табулирование ее при значениях z и s соответствующих реальным процессам, одна из задач дальнейших исследований. Здесь же ограничимся некоторыми полезными оценками. При s ≥ 0 имеем: 2
а при
e−s / z B0 ( Z ) ≤ Bs ( z ) ≤ B0 ( z ) ,
s ≤ 0:
B0 ( z ) ≤ Bs ( z ) ≤ e
− s / z2
(13.178)
B0 ( z ) .
(13.179)
В неравенстве (13.179) обозначено B0 ( z ) = Bs ( z ) s =0 : ∞
z2 2 2 2 −z2 − − = + − Bs ( z ) = 1 exp y dy 1 2 z erfcz ze , 2 π z y π 2
( )
(
)
(13.180)
а аргументы экспонент приводятся к виду:
V 4 / 3 s − 2 = −α t 3* − 1 , V3 z
V3 α t = * z2 V3 s
4/3
−1 .
(13.181)
Для исключения в формулах (13.181) D3 было использовано наиболее апробированное выражение для коэффициента турбулентной диффузии [382,383]:
(
D3 = 4, 43 d прV3
)
2/3
( м/с ) ,
d пр = 4 F / П .
(13.182)
В (13.182): d пр , F , П − соответственно приведенный диаметр, площадь *
сечения и периметр выработки. Величина V3 , содержащаяся в (13.181), имеет смысл «критической» скорости и определяется из условия s = 0:
V3* ≅ 8, 61d 1/ 2α 3 / 4 ( м/с ) . пр
513
(13.183)
*
При ы > 0, V3 > V3 и темп снижения концентрации возрастает, а случаю
ы < 0 или V3 < V3* ,
напротив, соответствует замедление убывания концентрации. Поэтому оптимальным режимом разгазирования (областью эффективного управления процессом) является случай При t → ∞, z → 0 и из (13.178) следует оценка: ∞
s > 0 или V3 > V3* .
2 s exp − y − 2 dy = exp −2 s . (13.184) π 0 y
2
Bs ( z ) ≤ Bs ( 0 ) =
(
)
Полезные для приближенных расчетов и оценок асимптотические выражения B0 ( z ) следуют из (13.180):
B0 ( z )
e− z
2
πz
, z 1;
B0 ( z ) 1 −
4
π
z , z 1.
(13.185)
Приводим далее, на рис.13.11, графики функций C 3 ( x3 , t ) ≡ CCH 4 , описывающие процесс разгазирования при выбросах малой (сплошные кривые), средней (штриховые кривые) и большой (штрих-пунктирные кривые) интенсивностей. Расчеты по приведенным выше формулам, осуществлялись для следующих величин параметров (наиболее характерные, средние значения): α = 0,25 мин-1, F = 10,3 м2, V3 = 15 м/мин. Параметр A вычислялся по газовому балансу, причем было принято, что для выбросов малой, средней и большой интенсивности общее количество выделившегося метана составляло соответственно 1500м3, 3000 м3 и 15000 м3.
Рис 13.11 Динамика разгазирования протяженной горной выработки.
514
Анализ результатов моделирования показал [379, 380 ] следующее. 1.Темп нарастания концентрации метана на близких от мест выброса расстояниях велик, но ее взрывоопасные значения сохраняются непродолжительное время. 2. На больших расстояниях от места выброса взрывоопасная концентрация возникает значительно позже, но удерживается дольше, что согласуется с шахтными замерами. 3. Поскольку вероятность воспламенения метана P = 1 − exp ( −λt ) , где λ −
малая величина, а t − время, то можно полагать, что P ≈ λt , т.е. вероятность воспламенения метана пропорциональна времени сохранения его избыточной концентрации. Отсюда следует, что вероятности взрыва метана вблизи и вдали от места выброса одного порядка. 4. Датчики газовой защиты должны устанавливаться не только вблизи мест вероятного выброса угля и газа, но и далее по сети горных выработок, в т.ч. и в околоствольных выработках.
Глава 53. МОДЕЛЬ ХОЛОДОАККУМУЛЯТОРА §184. Постановка задачи Стефана Введение. Потенциально весомым фактором энергосбережения в шахтных системах кондиционирования является аккумуляция холода атмосферного воздуха (в зимний период) посредством различных устройств льдогенераторов. Одно из эффективных новых технических решений, не требующее эксплуатационных энергозатрат – тепловые трубы (термосифоны). Имеется опыт разработки и использования таких устройств в других областях техники [384-390]. В настоящей главе изложены теоретические основы (математические модели) расчета льдогенераторов на термосифонах, что позволяет заполнить пробел, связанный с тем, что ранее задачи расчета термосифонов и кинетики намораживания (задачи типа Стефана) решались порознь. Математические модели сформулированы нами как краевые нелинейные задачи теплопередачи в многослойных средах и решены модифицированным методом Л.С. Лейбензона. Получены простые расчетные зависимости и номограммы. Необходимость теоретического и экспериментального исследования льдогенераторов на термосифонах, в рамках работ по оптимизации систем кондиционирования рудничного воздуха, была обоснована зав. отделом МакНИИ к.т.н. Черниченко В.К. Тепловые трубы (ТТ) различного назначения постоянно совершенствуются, их конструкциям, методам теплового расчета и различным аспектам их эксплуатации посвящено большое количество исследований [385-390]. В технике строительства, для предотвращения оттаивания вечномерзлых грунтов, применяются вертикально располагаемые ТТ без фитиля – термосифоны. Имеются термосифоны жидкостные, паровые (конвективного типа) и парожидкостные – наиболее эффективные. Принцип работы последних заключается в испарении хладагента в нижней части 515
устройства – испарителе и конденсации в верхней части устройства конденсаторе, обычно оребрённом для интенсификации теплопередачи к атмосферному воздуху. Термосифон позволяет охлаждать среду, в которую погружен испаритель, за счет атмосферного холода. Применение термосифона для намораживания льда позволяет использовать подземные полости либо иные, прямо не сообщающиеся с атмосферным воздухом, резервуары. Аналитические исследования предполагают математическое моделирование аккумуляторов холода с термосифонами. Подобного рода публикаций не выявлено. Имеются работы, посвященные методам расчета и моделированию работы СОУ (сезоннодейструющих охлаждающих устройств) используемых в строительстве [385-390], а также расчетам аккумуляторов холода с принудительным охлаждением (от холодильной машины) и замораживанию грунтов при специальном строительстве [391-402].Тепловые расчеты СОУ базируются на экспериментально подтверждаемой предпосылке об их малой тепловой инерционности. Это позволяет ввести для СОУ эффективное тер-1 мическое сопротивление Rэф= эф , а для эф – эффективного коэффициента теплообмена - имеется ряд формул, полученных различными исследователями. Имеющиеся малозначимые отличия обусловлены использованием различных экспериментальных зависимостей для коэффициентов теплообмена в испарительной и конденсаторной частях СОУ. Такие зависимости получены экспериментально для СОУ различных конструкций, использующих различные типа хладонов (аммиак, фреоны). Анализ работ теоретического характера показывает, что достаточно простые, надежные и проверенные методы расчета процессов испарения и конденсации отсутствует, что обусловлено их чрезмерной сложностью [403-404]. Более широкое, по сравнению с СОУ, распространение для замораживания грунтов, оснований фундаментов и плотин нашли методы формирования ледогрунтовых ограждений с помощью холодильных колонок [400-402]. Последние работают с холодильными машинами или автономно. Поскольку температура хладагента в колонках задается, основными вопросами теплового расчета в этих случаях является определение температурного поля в ледогрунтовой стенке и скорость ее формирования - [400,405]. При этом используются различные приближенные инженерные методы расчета и аналоговое моделирование. Работы, в которых бы излагались попытки решить задачу сопряженного теплообмена, т.е. найти температурные поля и тепловые потоки в охлаждающей колонке (или СОУ) и ледогрунтовом массиве с учетом их взаимовлияния, малочисленны [402], что обусловлено чрезмерной, как отмечено в [385], сложностью этой задачи. Основной задачей теплового расчета льдоаккумуляторов различного назначения является определение времени намораживание слоя льда определенной толщины и формы. Наиболее употребимы в практических расчетах так называемые формулы Планка и их модификации [391,406-409]. Эти формулы сочетают в себе простоту с низкой точностью расчета, обусловленной способом их вывода. При этом используется конечноразностная аппроксимация граничного условия Стефана, причем выражения для тепловых потоков к межфазной границе принимаются постоянными за весь период намораживания, что является грубым допущением. 516
Предпринимаются такие попытки использования отдельных простейших решений Стефана в сочетании с введением термических сопротивлений и других присущих стационарным процессам представлений [392-394]. Методы, связанные с разложением в степенные ряды выражений для температурных полей и тепловых потоков [410-411], не является математически обоснованными, поскольку отсутствуют строгие доказательства сходимости таких рядов. Наиболее надежным, сочетающим относительную простоту и достаточную точность, является в настоящее время метод смены стационарных состояний Л.С.Лейбензона [412]. Он широко используется при решении задач типа Стефана в металлургической теплотехнике, при математическом моделировании других, связанных с фазовыми переходами процессов. Исходя из изложенного, для математического моделирования аккумулятора холода, представляющего собой систему «термосифон – лед – вода» целесообразно использовать новую, нами разработанную модификацию метода Л.С.Лейбензона. Математические модели льдогенераторов. Сформулируем основные предположения, принимаемые при моделировании. – Аккумулятор холода (АХ) представляет собой систему, состоящую из стандартных кубических ячеек аккумуляторов – модулей (АМ). Величина ребра принята 1м. – В начальный момент времени АМ заполняется водой с температурой t0 (0С). В процессе льдообразования (т.е. все время зарядки АМ - τ3) вода неподвижна, естественной конвекцией пренебрегаем. Теплопередача в жидкой и твердой (лед) фазах обусловлена теплопроводностью, коэффициенты которой постоянны и равны соответственно 1 и 2 . Температурные поля в обеих фазах считаем одномерными, температуру фазового перехода постоянной и равной tф. – Отвод теплоты фазового перехода из АМ осуществляется одним из двух способов. Первый: охлаждаемая поверхность – испарительная часть термосифонов имеет цилиндрическую форму (рис.13.12) и помещена в центре АМ. При этом поверхность r = R0 является адиабатической (рис.13.13). Второй: охлаждаемая поверхность развита («оребрена»), таковой является грани 1 и 2 АМ, которые могут содержать внутри себя один или несколько термосифонов, либо охлаждаться непосредственным контактом своих внешних оребренных сторон с атмосферным воздухом (рис.13.14) – Растущие слои льда считаем смыкающимися в центре АМ, т.е. вытекающей из симметрии адиабатической границей будет x=R0 (рис.13.14). Конденсаторную часть термосифонов считаем равной (по длине и площади) испарительной (Lк=Lи=1м) и оребренной. –Термосифон считаем практически безинерционным теплопередающим устройством. Температура пара в зоне испарения совпадает с таковой в зоне
517
конденсации, температурные перепады обусловлены лишь термическими сопротивлениями металла и пленок кипящего и конденсирующего хладагента (рис.13.15). Рассмотрим цилиндрический охладитель – первый из двух возможных типов отвода теплоты кристаллизации в АМ (рис.13.13). Имеем систему уравнений теплопроводности в твердой (лед) и жидкой (вода) фазах:
Рис.13.12. Расчетная ячейка (модуль) льдоаккумуляторов. Здесь r0 – внешний радиус испарителя термосифона (первый способ); 1,2 – элементы плоских охлаждающих поверхностей (второй способ).
Рис.13.13. Расчетная схема для цилиндрической охлаждающей поверхности. Здесь R0 , r, rф (τ) – полуразмер ячейки, текущий радиус, радиус фронта кристаллизации соответственно. 518
Рис.13.14. Расчетная схема для плоской охлаждающей поверхности. Здесь R0 , (τ) – полуразмер ячейки, координата фронта кристаллизации соответственно; 1,2 – границы ячейки.
Рис.13.15. К расчету поля температур в системе « атмосфера – термосифон». Здесь: Ra , Rст , Rкон, Rn Ru – термические сопротивления: между воздухом и оребренной поверхностью стенки конденсатора, пленки конденсатора, паров испоряющейся пленки соответственно; ta , tp , tk , tx , tu , t1 – температуры: воздуха, оребренной поверхности внутренней стенки конденсатора, паров хладагента, внутренней стенки испарителя, охлаждающей поверхности соответственно.
519
∂ 2ti 1 ∂ti ∂ti = ai 2 + , τ > 0, ∂τ r ∂r ∂r
(13.186)
Ω1 ∈ 0 , ф , 1,
, , ∈ Ω , Ω Ω2 ∈ ф , 0 , 2. Индекс «1» относится к твердой, «2» - к жидкой среде, а ф - координата фронта кристаллизации (rф(0)=r0) .Граничные условия для системы (13.186):
, | , ф 1 2
1 |
2 | 1 , ф ф 1 , |ф 2 , |ф
ф , | 0.
(13.187)
Первое условие (13.187), в силу неизвестности заранее температуры на охлаждающей поверхности, носит условный характер. Функция ଵ вводится как функция склейки, т.е. должна быть найдена в результате использования дополнительного граничного условия – равенства плотностей потоков тепла через охлаждающую поверхность ଵ и отводимого из твердой фазы потока:
λ1
∂t1 = q1 (τ ) , τ > 0. ∂r r = r
(13.188)
0
Второе из условий (13.187) – так называемое условие Стефана, относящее рассматриваемую задачу к классу существенно нелинейных задач. Постоянная 334 кДж/кг – удельная теплота кристаллизации. Третье
условие отражает постоянство температуры фазового перехода tф . Последнее из условий (13.187) отражает адиабатичность границы r=R0 . Поскольку при = 0 ф 0, начальное условие в твердой среде не задаем, а в жидкой фазе:
2 , | 0 0 , r∈ , . 520
(13.189)
В случае плоского охладителя (рис.13.14) имеем:
డ௧ డ ଶ ௧ ଶ , 0; డఛ డ௫
(13.190)
Ω ! ∈ 0, " , 1, , , ∈ Ω , Ω 1 Ω2 ! ∈ " , , 2. Здесь также индексы «1» и «2» обозначают твердую и жидкую среды соответственно. Граничные условия к системе (13.190):
1 , | 0 1 ,
# 0,
డ௧ డ௧ ௗఋ ሺఛሻ , $1 ଵ | " % $2 ଶ | " &1 ' డ௫ డ௫ ௗఛ
(13.191)
( 1 , | " 2 , | " ф , 2 | ( 0. Смысл и вид граничных условий (13.191) совпадает (при замене x →r,
δ (τ ) → rф (τ ) )
с таковым для предыдущего случая.
Для термосифона, ввиду чрезвычайно сложного математического описания динамики тепло- и массообменных процессов в них и с учетом их практической безинерционности, уравнение переноса не используем. Разбиваем весь тракт теплопередачи термосифона на отдельные слои (рис.13.15) и на каждом выписываем уравнение квазистационарной теплопередачи вида:
tν 2 (τ ) − tν 1 (τ ) qν (τ ) = , ν = 1, 5, R (τ )
(13.192)
где номер слоя, )2 , )1 - температуры на их границах, – термическое сопротивление слоя, ௩ - плотность потока тепла через него. На внешней оребренной поверхности конденсатора термосифона имеем граничное условие 3-го рода:
= в !, " 0,
521
(13.193)
где *в - коэффициент теплообмена оребренной поверхности, зависящий от переменной скорости ветра; + - средняя температура - оребренной поверхности, имеющей площадь ,+ ; - температура атмосферного о
воздуха ( # 0 C). На внешней поверхности испарителя термосифона, т.е. на охлаждающей поверхности , , плотность потока тепла от твердой фазы, как это уже оговорено - 1 . Нарастающий на поверхности слой льда является для теплового потока переменным термическим сопротивлением , вид которого будет далее конкретизирован для двух анализируемых случаев. Поэтому можно записать:
q1 (τ ) =
tф − t1 (τ ) Rδ (τ )
,
(13.194)
Количество тепла, в единицу времени отводимое термосифоном, обозначаем -+ . В квазистационарном приближении:
-+ = + . ,+ = 1 . , =-1 ,
(13.195)
т.е. все отводимое от твердой среды тепло передается к атмосферному воздуху. При этом для всех слоев:
-) = ) . ,) =-1 = -+, ) 00000 1,5.
(13.196)
Перенумеруем все слои, начиная с металлической стенки оболочки испарителя, и выпишем соответствующие -) с учетом (13.192): и -1 =1 $% & ' $ , ст.
/2 &
+ст. ;
и
$ =2 ( ´ * 1, 0´ 0
' $ , /3 /2 ;
и / & ' $% , ст
-4 &
кон
/ &
в
' $ ,
' $ ,
Здесь "ст. - толщина трубы термосифона или стенки плоского испарителя. С учетом (13.194) – (13.196) из последних соотношений находим:
522
ф % 1 1 " 1 ; , 1 % 4 -1
ст , 1 5 ст 6 ; ,0 ,0
4 4 , и % -2 -1 1 5 4 6 ; ,0 ,0 ,0 % 8 -4
кон кон , -1 1 5 кон 6 ; ,0 ,0 ,0
8 % + -5
ст ст -1 1 ст ; , ,
в в , + % -в -1 1 5 в 6 ; ,+ ,+ ,0 Просуммировов левые и правые части выписанных равенств, получим искомую модель термосифона:
ф % 1 ∑ ;
(13.197)
, , , ∑ " = 51 = 6 ст = 4 = ,0 ,0 кон ,0 , = в , ,+
1в 2 в 3-1 .
(13.198)
В полное переменное термическое сопротивление термосифонов ∑ , входят две группы слагаемых. Первая группа – линейные термические сопротивления ст и в . Они целиком определяются конструкцией термосифона и скоростью воздуха, омывающего конденсатор. Вторая группа – существенно нелинейные сопротивления " , 4 , кон . Их значения зависят нелинейно от 523
теплового потока. В литературе имеются различные выражения для коэффициентов теплообмена при испарении (αu) и конденсации (αкон), обратными к которым и являются 4 и кон :
14
,
1кон
.
кон
Воспользуемся далее наиболее обоснованными и апробированными выражениями для термосифонов с хладоном R 22 [390]. −0,224 0,7 S αu τ = 22,1⋅ q1 τ , αкон τ = 9, 7 ⋅ 103 x q1 τ . (13.199)
( )
( )
( )
S0
( )
§185. Метод решения Сложную нелинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую сопряженный теплоперенос в системе «атмосферный воздух – АМ», которая является математической моделью аккумулятора холода, аналитически решить видимо невозможно. Численные методы, используемые «в лоб» , также весьма громоздки и труднореализуемы. Поэтому для решения задачи воспользуемся модификацией метода смены стационарных состояний Л.С.Лейбензона. Весь временной промежуток ∈ 0, 3 , на котором ищется решение, разобъем на N неравных интервалов ∆к :
ே A ∆к 3, ∆ B ∆C B C ,
ୀଵ
∆ 1 , 0 0; 3 ; 1, .(13.200) Все функции времени 5 () в момент 8 будем обозначать 5 , т.е. D (8 )= D8 . В момент 8 , 8 00000 1, E используем соотношение стационарной теплопроводности. В промежутках между моментами 8 и
ାଵ , т.е. при ̃ k ∈ (0, ∆ାଵ ) (̃ k – «быстрое» время), температура и
потоки в различных частях системы меняются, при этом для определения полей температуры в жидкой фазе используем уравнение теплопроводности, а для потоков тепла в твердой фазе используем соотношения типа (13.192). Температурное поле в жидкой фазе. Пусть в некоторый момент времени 8 жидкая фаза занимает область Ω2={x∈ [" , ]} (рассматриваем вначале случай плоской охлаждающей поверхности). Если ввести граничную температуру 2 2 0 , , то при 524
она будет равна 2 2, 8 , а при τ = ାଵ % ଶ ାଵ . Стационарное решение уравнения (13.190) при i=2 выражается, как известно, прямой, т.е. такой температурный профиль не удовлетворяет последнему из граничных условий (13.191). Поэтому для определения всех {, 7 , . , воспользуемся уравнением: ,
∂t2 ( x,τk ) ∂ 2t2 ( x,τk ) = a2 , x ∈ (δ k , R0 ) . 2 ∂τ k ∂x
(13.201)
Функция 2 , ̃ 8 должна удовлетворять, кроме уравнения (13.201), двум последним граничным условиям (13.191). Будем искать ее в виде:
t2 ( x,τk ) = tф + t2 (τk ) − tф Фk ( x,τ )
(13.202)
Граничные условия налагают на функцию Ф8 , следующие требования:
Ф8 , | " 0,
∂Φ k ∂x
Ф8 , | 1, x = R0
= 0.
(13.203)
Как легко проверить, всем условиям (13.203) удовлетворяет функция
.
Ф8 , =
(13.204)
С учетом (13.203), подстановка (13.202) в (13.201) приводит к уравнению
2 ̃ . 2 ф
(13.205)
где:
2
Ф 2 2 2 Ф 2
. (13.206)
При выводе (13.205) учтено, что функция «медленного» времени не зависят от «быстрого»: 525
0. ̃ Начальным для уравнения (13.205) является условие:
̃ | , , ,
(13.207)
Решение (13.205) с учетом (13.207) имеет вид:
̃ ф , ф exp ̃ , откуда при
̃ ∆
находим:
, ф , ф exp ∆ ,
(13.208)
а поток тепла от жидкой фазы к фронту кристаллизации:
Ф
≡ | ф
ф .
(13.209)
Переходя к дискретным значениям величин, получаем:
2 , ≡
ф 2 2,
=
πλ2
2 ( R0 − δ k
() t2,k −1 − tф ) exp ( −ωk2−1Δτ k ).
(13.210)
В случае цилиндрической охлаждающей поверхности, определение температурного поля и теплового потока от жидкой фазы существенно усложняется. Это обусловлено отсутствием среди квазистационарных решений уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах такого, которое бы удовлетворяло условию адиабатичности при r=R0. Воспользуемся следующим приемом. Область Ω2={r ∈ [ф , ]} ሺଵሻ ሺଶሻ разобъем на две подобласти: Ωଶ ={r ∈ [ф , в ]} и Ωଶ ={r ∈ [в , ]}, 526
ሺଵ ሻ ሺଶ ሻ обозначив температуры в них: t ଶ , и t ଶ , соответственно. ሺଵሻ Квазистационарный температурный профиль в Ωଶ имеет вид:
t 2 , ф в ̃ ф
/ф
, (12.211)
в /ф
где
в ̃ =t 2 в , ̃
- неизвестная функция, используемая в
Ω
дальнейшем как функция «склейки» температурных полей в
и
Ω .
Область Ω представляет собой «тонкий» цилиндрический слой, что достигается при условии:
в ≪ 1
в Можно конкретизировать последнее неравенство, заметив, что справедлива оценка:
|2 t 2 , | ≃
ሺమሻ
1
, (13.212)
,
в
.
При I 1,05 из (13.212) следует, что с погрешностью меньшей 5% в
Ω
- «тонком» цилиндрическом слое – можно использовать r в качестве декартовой, а не цилиндрической координаты. Поэтому по аналогии с
2 2 :
(13.202) имеем для температурного поля в Ω
t 2 , в ̃ 2 ̃ в ̃ Ф ,
Ф sin
в . в
527
(13.213) (13.214)
Из (13.213), (13.214) следует
( 2) t2 ( r ,τk )
r = rВ
( 2) = tВ (τk ) , t2
Для определения функции t
r = r0
2 , ̃
( 2) ∂t2 = t2 (τk ) , ∂r
=0 r = R0
ሺଶሻ
имеем в Ω
2 уравнение:
( 2) ( 2) ∂t2 ∂ 2t2 , r ∈ [ rВ , R0 ] , τk ∈ [ 0, Δτ k +1 ]. = a2 2 ∂τ k ∂r
(13.215)
Воспользуемся также условием склейки потоков тепла на границе в ሺଵሻ ሺଶሻ областей Ωଶ , Ωଶ . Поскольку в обеих областях коэффициент теплопроводности одинаков (λ2), это условие принимает вид:
M JKL | NONв JN
L JKL | NONв . JN
(13.216)
Постановка в (13.216) выражений (13.211) и (13.213) приводит к соотношению
в ̃ 2 ̃ 1 в ф в ()1 = Pв ିଵ ,
(13.217)
где :
в
в = |
|
,
ф
,
в
.
(13.218)
Полученная система трех уравнений (13.213), (13.215), (13.217) содержит три
неизвестные функции: t , ̃ , в ̃ , ̃ . Поскольку из них нас интересует только последняя, упомянутую систему решаем методом исключения. Для этого уравнение (13.213) и (13.215) усредняем по ,
интегрируя от в до 0 . Затем, исключая функции t получаем уравнение:
528
̃ и в ̃ ,
2 2 ̃ ф , ̃ ∈ 0, ∆ , (13.219)
−1 2 ln η τ − ln ms ( ) ms 4 2 ω (τ ) = 2+ − m 1 ms − 1 π s
−1
⋅
a2 R02
.
(13.220)
Решение (13.219) с учетом перехода к дискретным отсчетам времени имеет вид аналогичный (13.208):
2, 1 ф 2, ф ! exp% & ∆ , , (13.221):
Для вычисления потока тепла от жидкой среды к фронту кристаллизации воспользуемся (13.211):
≡ 2 |ф
= в в ̃ ф ф ln в /ф
. (13.222)
Для исключения в (13.222) функции в ̃ , воспользуемся соотношениями (13.217) и (13.221) и перейдем к дискретным временным отсчетам:
,
≡
в, ! ∆ # $ в, %в &
, ф . (13.223)
Теплопередача в твердой фазе. Температурное поле в твердой фазе (лед) определяем в квазистационарном приближении. В случае плоской охлаждающей поверхности Ω1 = {x ∈[0," ]}, имеем выражение, удовлетворяющее первому и второму граничным условиям (13.191):
(, ф ! . 529
(13.224)
Тепловой поток к охлаждающей поверхности совпадает в этом случае с потоком от границы фазового перехода:
) * =
+ * | ( 0 ! +( . ф
' '
| ≡ (13.225)
Последнее соотношение можно записать так:
ф #
"
(
.
(13.226)
Для дискретных моментов времени 8 :
, ,
ф , # ,
, ",
(
.
(13.227)
Для цилиндрической охлаждающей поверхности в области Ω1 (Ω1 = {r ∈[ ,ф ]}, имеем квазистационарное решение уравнения (13.186):
, # $ ф % &
)*/,
'. (13.228) )* ф /, Выражение (13.228) удовлетворяет первому и третьему граничным условиям (13.187). По (13.228) определяем тепловые потоки к охлаждающей поверхности:
' '
| ,
( -ф . , )* ф /,
(13.229)
и поток тепла, отводимого от фронта кристаллизации: (−)
qФ
λ1 tф − t1 (τ ) ∂t1 (τ ) ≡ λ1 . = ∂ r r = rф (τ ) rф (τ ) ln( rф (τ ) / r0 )
Выражения (13.229) и (13.230) можно представить в виде: 530
(13.230)
ф
ф
#ф
"ф,
;
ф
# ф
"ф
, )* ф /, (
ф )* ф /, (
; (13.231)
. (13.232)
Для дискретных моментов времени 8 имеем:
1,
ф,
ф 1,
ф,
ф 1,
ф,
; ф,
0 ф, / 1 (13.233)
; ф,
ф, ф, / 1
.
Уравнения кристаллизации, описывающие кинетику фазового перехода, т.е. позволяющие найти функции " , ф получим на основе
условий Стефана – вторых из граничных условий (13.187) и (13.191), ранее не использованных. Для этого проинтегрируем их по от 8 до :
ф ф
ф ф , (13.234)
! # " " 531
$% % &. Используя «замороженность» фронта кристаллизации на промежутке ∆ и введенные ранее обозначения, имеем из последних уравнений и формул (13.210), (13.223), (13.227), (13.234):
ф ,
∆ &
# ф,
ф ,
∆ &
#,
, ф
# ф, , ф
# ,
' ( )ф, ф, ,
(13.235)
' ( )* * .
(13.236)
В (13.235) и (13.236) введены обозначения, следующие из (13.210) и (13.223):
"ф,
#, & $ в, % в, (
",
#, / (
, + + ;
, -
#,
;
(13.237)
(13.238)
определяются Входящие в (13.235) и (13.236) выражения , ф соответственно формулами (13.221) и (13.208). Из (13.208) имеем:
2 2, ф 2, ф exp , 1 ∆ .
(13.239)
Если в (13.239) индексу «k» давать значения, уменьшающиеся на единицу вплоть до k=1, то приходим к формуле:
(
t2, k − tф = t0 − tф
)
k 2 exp − ωi −1 Δτ i . i =1
(13.240)
2
Аналогичное (13.240) выражение получаем и из ( 13.221), где Q 2 заменено ω i .
532
1, 8 , являющиеся значениями при 8 функции
Величины
1 , могут быть определены лишь при совместном решении уравнений
(13.235), (13.236) с уравнением теплопередачи через термосифон. Ранее такое уравнение (13.197) было получено, оно является нестационарным трансцендентным уравнением относительно ଵ . Перейдя к дискретным отсчетам времени, получим вместо (13.197):
,
∑, = , - 1 -
ст.
ф , #∑,
-
,
(13.241)
,
,
-
,
×0,103 ⋅10 −3 q1,0,224 k .
0 (13.242)
Практика расчетов сезоннодействующих охлаждающих устройств (СОУ) (термосвай), а также, имеющиеся оценки величин показывают, что коэффициент теплообмена при конденсации на 1,5-2 порядка больше такового при испарении. Отсюда следует, что четвертое слагаемое в (13.242) существенно меньше третьего и может быть опущено. Имеем с учетом этого:
ф 1, 1, ∑, ! ∑, - 1 ,
Или, полагая ,
2 2 1 , ст - 3 4 # , = 0,0450,3 1, 8 . ,0 2 2 1в, /
≃ 1 и обозначая , =" :
/k01 # В /k0 ;
ф 0, А
7K , - 1 - ст - , А
7K 0,045 . В
Приведем (13.243) к безразмерному виду, положив
533
в,
(13.243)
1/ 3
1/ 3 X k = q1,max
t −t a,k ф = Sx 1 + RсТ S0
xk = Yk . Xk
,
Уравнение (13.243) принимает вид:
1 − Bk Yk = Ak Yk3 , R 1
(13.244)
S, TU V
в, WMT XSст
,
52/3
3
В2 0,045 3
0
4ф 54,
0 ст
W17 X
.
(13.245)
Решив уравнение (60) и определив Y , получим :
q1, k
t −t 3 a k ф , Y 3. = xk3 = (Yk X k ) = Sx k 1 + RсТ S0
Таким образом, определяемая (13.246) величина
(13.246)
,
зависит от
параметров аккумулятора холода Sx, S0, Sp Sст , от переменных температуры атмосферного воздуха , 8 и коэффициента теплообмена оребренной поверхности конденсатора термосифона
в,
и переменного
термического сопротивления слоя льда , , образовавшегося на охлаждающей поверхности. Используя условия «склейки» потоков тепла, выражение для , (13.246), полученное решением уравнения теплопередачи через термосифон, приравниваем выражениям для следующим из вида температурных полей в твердой фазе: 534
,
,
t −t ф a , k Y 3 = tф − t1, k , Sx k Rδ , k + R 1 сТ S 0
(13.247)
t −t ф a, k Y 3 = tф − t1, k . (0) Sx k R ф ,k 1 + RсТ S0
(13.248)
Равенство (13.247) соответствует плоскому фронту кристаллизации, (13.248) – круговому (случай цилиндрической охлаждающей поверхности). С помощью (13.247), (13.248) функция «склейки» 1, 8 исключается из уравнений кристаллизации (13.235), (13.236), которые принимают вид:
R( 0 ) − − t t t t a k k ф,k ф , 2, ф = Y 3 − Δτ k +1 k (-) S ( +) R R x ф,k ф,k 1 + RсТ S0
(
= ρ1σ rф,k+1 − rф,k tф − ta , k Δτ k +1 S 1 + x RсТ S0
(13.249)
)
t t − Y 3 − 2, k ф = ( +) k Rф,k
(13.250)
= ρ1σ (δ k+1 − δ k ) Уравнения (13.249), (13.250) трудно решать традиционно, т.е. задавая временной шаг ∆ାଵ , находить по нему и предыдущему (уже найденному) значению " или ф новое значение "ାଵ и ф ାଵ . Это связано с тем, что ,
,
535
величины " и ф входят в выражение в квадратных скобках сложным, нелинейным образом. Поэтому будем решать обратную задачу, т.е. вместо функций " , ф ищем функции " , Zф [, т.е. задавая величины (" "ାଵ ) и (ф , ф ାଵ ) , находим соответствующие им значения ∆ାଵ . Упростим уравнения (13.249), (13.250) и приведем их к безразмерному виду. Фигурирующая в ранее полученных формулах температура фазового перехода ф для аккумуляторов, использующих не воду (а, скажем рассол), не равна нулю. Это обстоятельство и учитывалось нами, так что уравнения (13.249), (13.250) пригодны для любых аккумуляторов. Ограничиваясь далее аккумуляторами холода «вода-лед», полагаем ф 0, а для температуры ,
,
,
атмосферного
,
воздуха
ta
( \ 0°^) полагаем
Вводим безразмерные величины:
% , 8 ≡ ` , 8 ` .
ф, ст , , 2 , 2 , , ст ,
, ∆
భ ∆ೖ
∆ = , ∆ = , | | С учетом (13.254), а также (13.231), (13.232), (13.237), (13.238), приводим (13.249) к виду:
∆ାଵ
, ст 1 / 2 ଷ
1 ଵ / ଵ /
= 1 .
|, | 1, (13.252)
где a1 , a0 - соответственно наружный и внутренний диаметры испарителя термосифона, b$, ст $ст ⁄$1 , $ст - коэффициент теплопроводности стали, а ,1, 8 определяется по формуле:
,
exp ∑ Ω ∆!" , , 2#$ 1%1 1/' , −1
2 a2 = Ω 1 − 1 + , = , Z k i −1 s,k a 2 a1 ( ms − 1) π ka ms
536
(13.253)
2#$( 1% )*#1/ % '(, + 1. . )* $( ln $(
Уравнение (13.250) преобразуется к виду: ,ст బ
∆!" /
ст
0 |
,
బ , |
, 1 # % , (13.254)
exp ∑ Ω ∆!" 2#1 %
Ω
. (13.255)
Уравнения (13.252) и (13.254) и есть искомые уравнения кристаллизации для двух рассматриваемых случаев.
§186. Численная реализация метода
Полученные уравнения кристаллизации (13.252) и (13.254) позволяют осуществить имитационное моделирование работы аккумулятора холода при переменных во времени температуре атмосферного воздуха (в модели - , 8 и коэффициенте теплообмена между воздухом и оребренной
поверхностью конденсатора термосифона - в (в модели - в, 8 Для упрощения анализа и получения в настоящей работе первых такого рода результатов, выявлению влияния на кинетику процесса основных факторов, вместо переменных по времени и в ݇ будем изучать различные режимы – придавая этим величинам ряд характерных значений. Исходя из климатологических данных о среднемесячных значениях температуры воздуха и скорости ветра в зимний период в Донбассе [414, 415], принимаем ,
,
2 #°4 % |2 |#6% 72; 5; 8; 11;, 6 ==== 1,4.
(13.256)
Коэффициент теплообмена *в является величиной, зависящей как от скорости движения воздуха и его физических параметров, так и от вида и параметров оребренной поверхности, им обтекаемой [413]. Исходя их характерных значений скорости ветра и результатов многих экспериментальных работ, обобщенных в [413], принимаем для *в следующий параметрический ряд значений.
ВТ = α В ( s ) = {20, 40, 60,80} , s = 1, 4. м2 ⋅ k
αВ
Для начальной температуры воды в аккумуляторе холода 0 °^ принимаем следующий ряд значений: 537
(13.257)
2 #°4 % 2 #>% 71; 3; 5; 7;, > ===== 1,4. Коэффициент оребрения β = s p / sx принимает значения: A A#B% 71; 3; 5; 7;, B ==== 1,4 .
(13.258)
(13.259) Принимаем по литературным данным [391] значения теплофизических параметров (приведены в таблице 13.4). Таблица 13.4.
Материалы
Значения теплофизических параметров. Теплофизические параметры 2 кДж Вт м С , λ, м К a, м3 К
Сталь
45,36
%
Вода
0,567
4,2·103
Лёд
2,22
1906
ч % 4,85·10 – 4 4,1·10 – 3
Как следует из таблицы 13.4, параметры , , ,ст имеют значения:
0,255;
kλ ,СТ =
0,1183; (13.260)
λСТ = 20, 43. λ1
Как было упомянуто ранее, R0 = 0,5 м , а для других имеющихся геометрических параметров приняты значения:
D1 0,1 м; D0 0,092 м; ст 0,004 м;
mS =
R0 = 1, 05. rВ
(13.261)
Далее проводим раздельно расчеты для случаев цилиндрической (А) и плоской (В) охлаждающих поверхностей и для термосифона (С). А. Цилиндрический охладитель. С учетом численных значений параметров, для комплексов, фигурирующих в уравнении (13.252), получаем: 8$, ст aଵ ⁄a dଵ 128,2 Z1 = aଵ ⁄a [eaଵ ⁄a ିଵ lnZ1/l8 [ 2I % 1 ିଵ ⁄
Pв, 8 5 6 j % 1m 31,352 lnZ1 l8 [ % 1,53 g ln I ln I n % 1 o0,9435 lnZ1⁄l % 1 [ % 0,0269r % 1. Ω 538
ିଵ ିଵ n % 1 ∆w x ,1, 8 o3,9156 lnZ1⁄l8 [ % 0,0662r exp v% A Ω ୀଵ
Уравнение (13.252) приводится к виду:
t (ν ) ΔFok +1 128, 2Yk3 − 0 S1,k = χ kηk (ηk +1 − ηk ) , ta ( j )
(13.262)
где Y8 – корень уравнения (13.250). Для коэффициентов этого уравнения А8 и В8 получаем выражения:
, (13.263) в
А А #B, (% 296,24 128,2 ln#1⁄ %
Так как:
max }8 C } 1 ≅ 10ିସ ,
,
/ | |
.
(13.264)
Y8 \ 1, }1 Y8 I \ 10ିସ ≪ 1,
ሺ ሻ
то уравнения (13.244) и (13.246) принимают вид:
J #B, (%0 1,
(13.265)
| | . , С учетом (13.265) уравнение (13.262) приводится к виду:
, , , , 56,82 10 ∆
, ,| | , బ
JK #B, (%
(13.266)
(13.267)
0,814 , J #B, (%
K1, 1 L
exp M N Ω
,
%
L, #616,9 ln#1⁄ % 10,43
∆!"O P .
====== , 1, Q.
(13.268)
Расчеты по формуле (13.267) проводим, задавая следующие значения безразмерной координаты фронта кристаллизации.
00000 l 0,1, lଵ 0,2, l lିଵ = 0,05, 8 2, E. (13.269) Число N шагов определим из следующих соображений. Как известно,
движение фронта кристаллизации описывается качественно «законом квадратного корня». При этом, начиная с некоторого момента времени или соответствующей ему координаты фронта, процесс существенно замедляется, т.е. становится неэффективным. Выбрать практически 539
приемлемое время зарядки 3 априорно нельзя, поэтому зададим соответствующее ему предельное значение координаты фронта кристаллизации - l3 lE 3 0,55. Выбор последней величины в достаточной мере произволен и может быть оправдан апостериорно, т.е. полученными по нему значениями 3 . Эти соображения и (13.269) определяют N=8. При подсчете по (13.267) ∆w8
000000 будем на каждом шаге находить два значения: 8 1,8 , ∆w8, I , ∆w8, I . При этом для всех 8 1,8, и любых и 0
из рассматриваемого диапазона будем иметь нижнюю и верхнюю границы: ∆!" #4; 1; B; (% R ∆!" #6; >; B; (% R ∆!" #1; 4; B; (%. (13.270) Безразмерные времена процесса на момент окончания k-го шага и конца зарядки аккумулятора: k
ΔFok = ΔFoi , FoN = Fo3 = Fo8 .
(13.271)
i =1
Соответствующие размерные (в часах) времена: R02 τk = , Fok = 60,976ΔFok , Δτ 3 = τ 8 = 60,976 ΔFo8 . (13.272) a1 Расчетный анализ показывает, что зависимость комплекса 8 , от
000000 становится несущественной. При 8 1 параметров #B, (% при 8 2,8 , (на первом шаге) комплекс 0 , изменяется от 0 1,1 0,6317 при 1 Wт. е.
1, *в 20 Вт⁄м2 . КX до 0 4,4 0,806
Wт. е.
7, в 80 Вт⁄м2 . КX). Последнее значение уже близко к асимптотическому: ∞, ∞ 0,814. Поэтому при 4
учет параметров #B, (% необходим лишь на первом шаге расчета, т.е. при определении ∆wଵ . Получаем: ସ ∆w1, I ∆wଵ 4; 4; 4; 1 11,28 . 10ି, ∆ 1, I 4,1 мин., ସ ∆w1, I ∆wଵ 1; 1; 1; 4 79,46 . 10ି, ∆ 1, I 29,1 мин.,
(13.273)
ሺ ሻ ሺ ሻ Если ввести «приведенные» времена ∆wଵ , ∆ଵ , определив их как ሺ ሻ решение уравнения (13.267) при 1, 2 =0 то получим: ∆
1, I
4,1 мин., 540
ሺ ሻ
∆1, I 29 мин., что в сопоставлении с (13.273) позволяет сделать вывод об отсутствии влияния величины 0 на ∆wଵ ∆ଵ . Таким образом, суммируя сказанное, имеем:
∆ , , , ≃ ∆ , , , , (13.274) , | | , ∆ , , ∆ , 2,8 . | | (13.275) Введем безразмерный параметр теплообмена оребренной поверхности конденсатора с атмосферным воздухом , . , в , 0,0357, ! 1,0. (13.276)
в
С учётом (13.276) формула (13.274) приводится к виду:
∆ ,
1,2285 | |
," #
.
(13.277)
Результаты расчетов по формуле (13.277) приведены на рис.13.16, а по формуле (13.267) в таблице 13.5 (где размерное время выражено в часах). Таблица 13.5. Граничные значения чисел Фурье и размерных интервалов времени. Номер шага, k Координата фронта кристаллиза ции, ߟ
ΔFok min Δτ k min ΔFok max Δτ k max
1
2
3
4
5
6
7
8
0,2
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
11,28·10-4
0,101
0,1679
0,2419
0,3219
0,07
6,2
10,24
14,75
19,6
79,46·10-4
0,9056
1,3296
1,546
1,8296
2,2176 2,6814
3,1848
0,458
55,2
81,1
94,3
111,6
135,2
194,2
0,4062 0,4928 24,8
30,0
163,5
0,5834 35,6
Как видно из таблицы 13.5, выбор N = 8, 0,55 явился приемлемым, поскольку дальнейший рост ΔFo , ∆ лишен смысла. Полные времена зарядки составляют:
541
Рис.13.16. Зависимость времени намораживания первого слоя льда от параметра теплообмена при различных температурах атмосферного воздуха.
,
,
∆
,
141,27ч ≃ 5,9сут. ,
∆
,
835,7ч ≃ 34,8сут. ,
Вводим относительные времена:
,
, ,
,
,
, ,
,
(13.278)
что позволяет по данным табл.13.5 рассчитать следующие величины: а) толщину льда, намороженного к моменту τ = τk и за период зарядки τЗ :
k rф k r0 k 0 R0 , 3 0, 225м ;
б) объем льда к моменту
и всего за период зарядки 3 :
542
1 ф2
≅ 0,23м
в) относительную (безразмерную) толщину слоя льда
2,22 ,
1,0
г) отношение объема льда в момент времени к объему, накапливаемому за время зарядки (коэффициент зарядки):
Поскольку
3,413 , 1,0 (k ) (k ) Δτ и Δτ определенные (13.278), изменяются 0,max 0,min
в интервале [0,1], их можно заменить единой переменной ∈ 0,1. Тогда функциям: , , , ,
можно сопоставить функции
, .
Вид этих функций, а также функции 0 0 0 приведены на рис.13.17, который фактически является номограммой, позволяющей определять для любого момента времени коэффициент зарядки. Ключ к номограмме на рис.13.17, показан пунктиром. Расчеты «приведенных» интервалов времени по формулам (13.274) и (13.275) показывают, что ошибка (занижение), возникающая за счет принятого в этих формулах условия 0, составляет для 3,
1,4%, а для 3, 8,2%. Таким образом, расчет времени зарядки - 3
можно, с приемлемой точностью, осуществлять по «приведенному» времени ሺ ሻ
. Из (13.274) и (13.275), имеем:
3
( 0) = Fo 3
8 10−2 0, 05ηi −1 C3 + = , ta ( j ) A0 ( μ , s ) i =2 Ai −1 ta ( j )
1
(13.279)
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ! # где Сଷ . Поскольку " , 3 3 3, 12,56, для нормированных значений времени зарядки получаем:
о
ሺబሻ
య ሺబሻ
య
ሺబሻ
య ሺబሻ
య
̃ 543
. | ೌ |
(13.280)
Зависимость (13.280) для |
|
2
20 изображена на рис.13.18.
Рис.13.17. Кинетика намораживания льда на цилиндрической поверхности
1
|
|
0,09; 2
|
|
3,5, 3 – кривая относительного объема
намороженного льда.
Рис.13.18. Зависимость относительного времени зарядки от температуры атмосферного воздуха. Для некоторого значения | | величину ̃ 3 , т.е. соответствующее значение времени зарядки 3 | | , находим по формуле (13.280)
3 | |
12,56 60,967 ̃ 3 | | 544
31,9 3 , /сут/
(13.281)
В. Плоский охладитель. При анализе предыдущего случая было получено, что приближение & 0 вносит погрешность, составляющую около 8% для самого неблагоприятного сочетания параметров. Поскольку условие 0 существенно упрощает получение численных результатов, принимаем его. Уравнение (13.254) при этом упрощается и принимает вид:
///// ∆ ()2 * ଷ | |!"#, - - 1 , 1, ..
(13.282)
Здесь: , D2 =
K λ ,СТ R0 315,1δ СТ
= 8,1047, ξ k = 0, 05k ,
а * - корень уравнения (13.244). Для коэффициентов этого уравнения получаем 0,2252- 1 !23 #ିଵ 1,4 6 10ିସ
в 176 6 10ି 0,882 10ିସ ≪ 1. 0 1 1
, 7
8| |!"#9
ଶ⁄ଷ ;
Таким образом, как и в предыдущем случае, уравнение (13.244) упрощается:
0 * ଷ 1, * ଷ
ଵ
.
(13.283)
Выражение для 0 преобразуется к виду:
0 1 1 1279,6 - 1 10,1461 < ିଵ ,
(13.284)
где < - безразмерный параметр теплообмена оребренной поверхности конденсатора, определенный (13.276). С учетом (13.283), (13.284) получаем из (13.282): ∆ ∆ ሺଵሻ !"# 1 ∆ ሺଶሻ !", < #, (13.285) где
ሺଵ ሻ ∆ !"#
∆ , ! Находим:
∆
ሺ2ሻ
∆
ଵା ଼ଽସଶ కିଵ ,
,
| ௧ | ሺ ሻ
ೌ
,
0,0626 . !|$ |
1 1 Г <, Г 0,09856 1 126,105 % 1 ,
545
(13.286)
k
k
( 2) Fok = ΔFoi = ΔFok (1 + Г k γ ) i =1
(13.287)
i =1
N
N
2 Fo3 = FoN = ΔFoi = ΔFok( ) (1 + Г k γ ) i =1
(13.288)
i =1
Для времен зарядки (безразмерного ଷ и относительного ) имеем из (13.287), (13.288):
>? >?
@ @
A ∑ Г
E !F#G CAD
k
, &'( i=1 Гi .
13.289)
Задаваясь для соответствия предыдущему случаю значением ே ଷ 0,23м (что обеспечивает тот же объем намороженного льда I ! ଷ # E!.# 25,32. Для 0,23мଷ #, получаем . 9. Отсюда следует, что J относительной толщины слоя льда имеем:
0,05J J 0 0 8 9 , 8 3 9 0,05. 9 так что (13.289) приобретает вид:
బ ೖ షభ ∑ಿ సభ Г ,
.
(13.290)
ሺଵ ሻ (13.290) зависимости ! # - при < < ሺଶ ሻ 0,0357 и ! # - при < <௫ 1,0 приведены на рис.13.19. Как следует из (13.288), безразмерное время зарядки ଷ зависит от j и <, т.е. температуры атмосферного воздуха и параметра теплообмена. Эту зависимость представим в виде:
Следующие из
, ! ̃ , !,
(13.291)
где ̃ 3 !"# - нормированное значение времени зарядки, определяемое по 3, !<# - максимальное (в (13.280) или графику на рис.13.18. рассматриваемом диапазоне температур) значение времени зарядки зависящее от !< #: 546
3, При γ
0,2817 25,32
.
(13.292)
= γmin=0,0357 имем: FoЗ,max 14,18 З,max 60,976 14,18
864,64ч. 36сут. В предыдущем случае было получено 3, 34,8 сут. Зависимость (13.292) изображена графически на рис.13.20. Таким образом, задавая значения параметра , по рис.13.20 находим 3, , а по параметру | | из рис.13.18 находим ̃ 3 . После чего по формуле (13.291) находим 3, , что позволяет для любого определить ⁄ , , а значит, используя рис.13.19, и толщину льда, образовавшегося в аккумуляторе к этому моменту времени. Поскольку для 1 м , плоской охлаждающей поверхности определение величины относительного объема (коэффициент зарядки осуществляется по формуле 0 0.
Рис.13.19. Кинетика намораживания льда на плоской поверхности .1 0,0357; 2 1,0.
547
Рис.13.20. Зависимость безразмерного максимального времени зарядки от параметра теплообмена оребренной поверхности. С. Термосифон. Такие параметры термосифона, как геометрические размеры, материал (сталь), вид и величина оребренной поверхности полагаем известными. Для определения давления паров хладона и его объема, требуется значение средней температуры паров , а для определения температурного К.П.Д. термосифона – температуры . Найдем эти величины. Имеем: ф
,
∑
откуда
ф
1
∑
∑
,
(13.293)
Из соотношения М
М
ст
исключаем М
, учитывая (13.293):
548
,
ф N௫ ! # ! # ! # 1 M O 8Pст 1 PS 9 T V N P∑ ! #
1 1
బ ഃ ೣ ст ೠ బ ∑
బ ഃ ೣ ст ೠ .(13.294) బ ∑
В формулах (13.293), (13.294) положим ф 0 , тогда:
1 | | . , ∑
(13.295)
ст
| |
∑
.
(13.296)
Температурный К.П.Д. термосифона характеризует степень передачи атмосферного холода к охлаждаемой среде и определяется формулой:
.
(13.297)
Вводим аналогичную величину – относительную температуру хладагента:
.
(13.298) Для определения величин W1 , W воспользуемся формулами (13.295), (13.296), в которых перейдем к дискретным интервалам времени. Случаи цилиндрической и плоской охлаждающих поверхностей рассмотрим отдельно. В первом из этих случаев имеем, воспользовавшись ранее полученными соотношениями для термических сопротивлений:
,
, ,
, , , , | | | |
(13.299)
ሺଵ ሻ X !< # 1 1
0,0078 1 0,0793 < ln810 9
549
,
(13.300)
ሺଵሻ [ !<# 1 1
0,0041 ln810 9
Расчетный анализ показывает, что величина
,
, / ,
при //// 1,8
(т.е.при изменениях ! # до ! ଷ ## изменяется в пределах 0,993 – 0,998. С достаточной точностью поэтому можно принять, что
θ1,(1)k θ x(1), k , а расчет W
ሺଵሻ
, провести по (13.299). Результаты таких расчетов при < < 0,04, < 0,1, < 0,5, < < 1,0 представлены на рис.13.21. Задаваясь определенными значениями и
времени намораживания, можно, используя ранее полученные результаты, определить соответствующие , а затем по и < по рис.13.21 найти
соответствующее | ⁄ | . Во втором случае (для плоской охлаждающей поверхности) имеем:
,
, ,
1
, షర ೖ
1
,
1
3,92 10
,
, # ,
и величину
,
(13.302)
.
В этом случае, как следует из вычислений для , изменяется в пределах
(13.301)
! """"" 1,9, , /
1,009 \ 1,008, т.е. вновь можно считать найти по (13.301). Результаты расчетов
при < 0,04, < 0,1, < 0,5, < 1,0, используемом аналогично предыдущему.
550
приведены
на рис.13.22,
Рис.13.21. Зависимость безразмерной температуры паров хладагента от безразмерной толщины слоя льда на цилиндрической охлаждающей поверхности 1 - = 0,04; 2 - = 0,1; 3 - = 0,5; 4 - = 1,0
Рис.13.22. Зависимость безразмерной температуры паров хладагента от безразмерной толщины слоя льда на плоской охлаждающей поверхности 1 - = 0,04; 2 - = 0,1; 3 - = 0,5; 4 - = 1,0
551
§187. Методика расчетов намораживания Полученные на основе математической модели зависимости и графики представляют собой методику теплотехнического расчета льдо-водяного аккумулятора холода. Эта методика позволяет оценивать влияние на темп намораживания (аккумулирования) льда различных факторов, сравнивать различные варианты. Для получения упрощенной методики инженерных расчетов рассмотрим ранее полученные результаты. А. Упрощение расчетных формул. Кинетические кривые или кривые кинетики кристаллизации (намораживания) льда приведены на рис.13.17. и 13.19. Для случая цилиндрической охлаждающей поверхности на рис.13.17 приведены кривые 1 и 2 – соответственно «быстрой» и «медленной» кинетики. Эти кривые получены численным счетом для двух предельных случаев: «оптимального» (кривая 1), когда | | 11°С, 1°С и «неблагоприятного» (кривая 2), когда | | 2°С, 7°С. Время зарядки
ଷ для этих случаев существенно различно:
3,
34,8 сут. ≃ 5,9. 5,9 сут.
3, Тем не менее, в координатах { , } эти кривые весьма близки. Это
позволяет предположить существование квазиавтомодельности, т.е. некоторого универсального закона намораживания. Такой закон известен в теории задач типа Стефана – закон «квадратного корня»:
$ %& ,
(13.303)
где 0 . Чтобы учесть отклонения от закона (13.303), справедливого для задач Стефана « в чистом виде», т.е. не учитывающего специфику нашей конкретной задачи, аппроксимацию зависимостей (рис.13.17). будем искать в виде: $ % & ,
δ 0(1) (τ 0 ) и δ 0(2) (τ 0 ) -
$ % & .
(13.304) Расчетный анализ формул показывает, что с погрешностью, не превышающей 7%, они могут быть представлены в виде: $ ' $ , ' 1 0,3 1 2 , $ % & (1 0,126 1 *& .
Эти зависимости справедливы в интервале 0,05 ` ` 1,0. В случае плоской охлаждающей поверхности для кинетических кривых рис.13.19. аналогично получаем (с a b 6,5 %#:
$ + & , $ $ & , + 1 0,41 1 , 1 0,562 1 ,
552
Последние формулы также справедливы в интервале 0,05 ` ` 1,0. Как следует из (13.291) и рис.13.18, безразмерное время зарядки ଷ убывает с изменением параметра < от 0,0357 до 1,0. При < 0,25 это уменьшение ଷ (а значит и ଷ ) становится неэффективным: при увеличении < на 300% ( (1, 0 − 0, 25) / 0, 25 = 3) , ଷ уменьшится лишь на 9,8% . Таким
образом, увеличение степени оребрения лимитируется значением < 0,25. Представим полученные расчетные зависимости в факторизованном виде, т.е.формулами, содержащими определяющие параметры в качестве сомножителей, что упростит расчет и позволит расширить диапазон изменения параметров. Поскольку определение нормированного времени ̃ 3 ሺ ሻ ведется для «приведенного» 3 c , т.е. рассчитываемого при
3
условии 0, необходим соответствующий расчет кинетических кривых рис.13.17. Безразмерное время определено как отношение текущего времени к полному времени зарядки 3 ! , #:
τ0 =
τ
τ 3 ( t0 , ta )
,
(13.305)
3 , . , 3 , 31,9 ̃ сут Коэффициент . ,
3 1, учитывающий несовпадение истинного времени зарядки , с приведенным −τ3 ( ta ) , определим из
следующих соображений. Расширяя диапазоны изменения 0 и , положим
0, 0°d, 0, 10°d, | | 1°d, | | 20°d., При 0, =0 имеем: J !0, # 1,0, ̃3 !0, # 3 ! # . (13.306)
7°6, | | 2°6 (наихудший из рассмотренных ранее случаев) погрешность замены 3 ! , # на −τ3 ( ta ) составляет, как показали
При
расчеты, 8,2%, т.е.
, ≃ 0,082,
, 1,082
Из последней формулы и (13.306) следует, что
J !0, # 1,0, J !7,2# 1,082, т.е. коэффициент J !0, # возрастает по мере «ухудшения» параметров , (т.е. роста и уменьшения | |.). В качестве параметра, 553
характеризующего это «ухудшение», можно использовать безразмерную температуру W :
0 [ , W !0, # 0, W W0 80 , 9 W!7,2# 3,5 [ | | Таким образом, увеличению J ! , # от 1,0 до 1,082 соответствует увеличение W !0, # от 0 до 3,5 . Согласование шкал изменения этих двух параметров, описывающих изменение одной величины - 3 80 , 9,
приводит к соотношению:
J80 , 9 1 1 0,0234 W 80 , 9. (13.307) Поскольку принято, что 0°d ` ` 10°d, 1°d ` | | ` 20°d, имеем: 0, 10,0 W0, 0, W0, 10,0 | | 1,0 Отсюда следует, что 1,0 ` J80 , 9 ` 1,234. Таким образом, формула (13.305) может быть представлена в виде:
3 90 , : 31,9 1 0,0234 | | ̃ 3 , сут.
(13.308)
Если вместо ̃ представить его выражение согласно (13.280), получим:
,
, 1 0,0234 | | | | , сут.
(13.309)
Для расширения диапазона параметров , при использовании кинетических кривых 1 и 2 рис.13.17, заметим следующее. Кривая ሺଵ ሻ «оптимальной» кинетики ! #, построенная для 1°С, практически
совпадает, как показывает расчет, с предельной кривой $ $ , для которой 0, а | | принимает любое значение из расширенного диапазона | | ∈ 1,20°d. ሺ ሻ Таким образом, кривой ! # соответствует минимальное значение параметра W 0. При всех других соотношениях , | |, т.е.изменения
W от 0 до W0, 10,0, соответствующие кривые $
$
ሺнሻ будут проходить ниже $ . Нижней предельной кривой ሺн ሻ ሺн ሻ ! # соответствует W 10. Для расчета и построения ! # ሺଶሻ ሺଶ ሻ воспользуемся рис.13.17, где для кривой 2 ! #, построенной для 7, | | 2 имеем:
Образуем разность:
W 80 , 9 0 3,5 | |
554
∆
0, 1,2 …. н 0 н с ростом j от 0 до 0 0 0 0
При изменении ∆
параметр изменяется от 0 до 10. Можно, следовательно, 0, предположить связь вида:
∆
.
и
Для определения в (13.310) параметров
0,
∆
0, ,
∆
∆
3,5.
0, а из второго имеем:
Из первого следует, что н
(13.310) имеем два условия:
∆ 3,5
0
,
2,857∆
,
н
.
(13.311)
Предельные кинетические кривые – верхняя и нижняя приведены на рис.13.23 (кривые 1 и 2 соответственно). Пунктирными линиями со стрелками на этом рисунке показан порядок решения двух основных задач расчета холодоаккумулятора : а). Прямой задачи – определение толщины намороженного слоя при времени процесса ∗ , т.е. нахождения отображения ∗ → ∗ ;
Рис.13.23. Номограмма теплотехнического расчета льдоаккумулятора
555
н
1
0, | |
2
10, | |
«П», «О» - ключи решения прямой и обратной задач соответственно. б). Обратной задачи – определения времени ∗ 0 , необходимого для ∗ намораживания льда с толщиной , т.е. отображение ∗ → ∗ .
Индексы «П» и «О» на рис.13.23. соответствуют прямой и обратной задачам. При решении прямой задачи для заданного ∗ находим : ∆$ 9 ∗ : $ 9 ∗ : $н 9 ∗ :,
после чего для произвольного значения W ∈ 0,10 находим: ! $∗ $ 9 ∗ : బ ∆$ 9 ∗ :, т.е. ∗ → $∗ .
(13.312)
Решение обратной задачи также не вызывает затруднений. Для заданного ሺн ሻ ሺ ሻ ∗ находим ∆ 8∗ 9 8∗ 9 8∗ 9, затем получаем:
ఏ
∗ 0, 1 బ ∆ 8∗ 9, т.е. ∗ → ∗ . ଵ
(13.313)
B. Инженерные расчеты. Зависимости, нами ранее полученные, обобщены в нескольких формулах и в одной номограмме (рис.13.23.), которая является основой инженерной методики расчета льдоаккумулятора на термосифонах диаметром 100мм. Методика позволяет по заданному времени намораживания н определить объем льда Iн и наоборот – находить время намораживания по заданному объему льда. Принято, что лед по длине испарительного конца намораживается равномерным слоем толщины . При построении номограммы использованы безразмерные координаты
, :
н / , $ $н /$ , $ 0,225 м. Максимальное время зарядки 3 , являясь функцией температур воды (начальной) и атмосферного воздуха , в диапазонах 0°d ` ` 10°d, 1°d ` | | ` 20°d записывается в виде: , 1 |
3 |
0,0234 | | , (сут.)
556
(13.314
Алгоритм решения прямой задачи следующий. По заданным величинам и определяется максимальное время зарядки τ 3 (13.314) . Используя
заданное время намораживания н , вычисляется относительное время , по величине которого на номограмме находится относительная толщина слоя льда Например, если 0,55 (см.пунктирную линию «П» на рис.13.23.), то 0, 0,8 и 0, 0,68. Искомое значение находится по формуле: .
,# ,#
%$$ $,#
| | .
(13.315)
Искомое значение толщины слоя льда составит: н 0,225 !м#. В обратной задаче толщина слоя льда н задана. Ее относительная толщина составит н /0,225. Двигаясь от величины по пунктирной линии «О», на пересечениях с кривыми 1 и 2 находятся 0, и 0, соответственно. Искомое значение находится по формуле: ,# ,#
%$
| | .
(13.316)
Затем определяется н где величина ଷ находится по формуле (13.314). Приведенная инженерная методика позволяет оценить различные режимы работы льдоаккумулятора. Зимний период в Донбассе характеризуется среднесуточной температурой в морозные дни – 5,9°d и средней продолжительностью морозов 7,6 сут. [415]. Исходя из этого, по разработанной методике выполнен ряд расчетов, результаты которых сведены в табл.13.6, и 13.7. Таблица 13.6. Толщина намороженного слоя льда (м.) при 5,9°d. Начальная Время намораживания, сутки температура 3 5 7 воды , °С 0 0,137 0,164 0,191 5 0,131 0,162 0,187 10 0,128 0,159 0,174 Анализ расчетных данных показывает, что толщина намороженного слоя льда мало зависит от начальной температуры воды, принятой для реального диапазона величин охлаждения ее в градирне в зимний период времени. За средний период сохранения морозов (7,6 суток) при средней величине среднесуточной температуры воздуха (-5,9°С) можно наморозить слой льда толщиной 0,19м. Толщина слоя льда 0,135м за 7 суток может наморозиться при температуре атмосферного воздуха – 2,2°С.
557
Таблица 13.7. Время намораживания слоя льда толщиной 0,135 м при начальной температуре воды 2 °С. Температура атмосферного воздуха, °С Время намораживания, сутки
-2
-2,2
-4
-6
-8
-10
9,2
7,0
4,4
2,9
2,1
1,7
Заключение. Математическое моделирование льдоаккумуляторов осуществлялось при изменении всех определяющих параметров в диапазонах:
!°d # ∈ 1,7 , | |!°d # ∈ 2,11, < ∈ 0,04, 1,0
Для цилиндрической охлаждающей поверхности исследование различных
ଷ модуля режимов дало следующие результаты. Время «зарядки» льдоаккумулятора, при котором формируется слой льда толщиной ଷ 0,225 м и Iଷ 0,23 мଷ , зависит, главным образом, от | |. Факторы 0 и < влияют на 3 в существенно меньшей степени. Отличие начальной температуры воды от нуля приводит к увеличению ଷ с уменьшением | |. Изменения параметра < сказываются лишь в начальной стадии процесса, порядка нескольких часов. Расчет двух граничных расчетов зарядки льдоаккумулятора 3, 5,9 сут. и 3, 34,8 сут, показал , что безразмерные кривые кинетики намораживания располагаются с малым интервалом (рис.13.17). Это свидетельствует о квазиавтомодельности процесса и приближенном выполнении «закона квадратного корня». Температура хладагента со временем асимптотически приближается к , причем < существенно влияет на скорость этого приближения. Для плоской охлаждающей поверхности получено, что время зарядки
ଷ несколько превышает таковое для цилиндрической охлаждающей поверхности, (5÷8%). Безразмерный параметр теплообмена здесь влияет на кинетику намораживания более выражено, вплоть до значения < 0,25. При дальнейшем увеличении < изменение (уменьшение) времени зарядки не существенно. Сопоставление эффективности двух рассмотренных типов охлаждающих поверхностей сделано на основе удельной льдогенерации, которая определяется как отношение объема намороженного льда к площади охлаждающей поверхности: g I3 /N .При одинаковой толщине льда (было принято 0,225 м ) для цилиндрической охлаждающей поверхности g ц 0,735 , а для плоской g ц 0,23, т.е. очевидно, что первый тип поверхности для льдоаккумуляторов является предпочтительным. Разработанная методика теплового расчета льдоаккумулятора в режиме «зарядки» позволила оценить реальные режимы работы, подтвердила возможность практической реализации льдоаккумулятора [284]. ,
,
558
ЧАСТЬ 14 НЕОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОВЫХ РЕЖИМОВ УЧАСТКОВ Глава 54. УПРАВЛЕНИЕ КРОВЛЕЙ ПЛАВНЫМ ОПУСКАНИЕМ §188. Формулировка модели Расчетная схема к построению математической модели теплообмена в системе «породы кровли и почвы пласта – воздух, движущийся в выработанном пространстве» приведена на рис. 14.1. Части массива горных пород – породы кровли и почвы представляют собой трехмерные области Ω1+ и Ω2+ , сечение z = 0 которых изображено на рис. 14.1. Мощность пласта угля m постоянная величина, не меняющаяся весь расчетный период. Ось координат 0x нормальна поверхности очистного забоя, оси 0 yi (i = 1 − кровля, i = 2 − почва) нормальны к поверхности кровли и почвы, ось 0z направлена вдоль лавы. Выработанное пространство в сечении z = 0 (и во всех других его z − сечениях) представляет собой прямоугольный треугольник ОАВ. В процессе очистной выемки область ОАВ сдвигается влево, в область значений x < 0. В системе отсчета, связанной с выработанным пространством, наоборот, области Ω1+ и Ω2+ двигаются вправо вдоль оси 0x с постоянной скоростью подвигания лавы ϑ л . .
Рис. 14.1 Расчетная схема.
559
На основании известных данных [89,289,367,337,416,417], принимаем следующие допущения: 1. Области Ω1+ и Ω2+ (на рис.14.1 – области 1 и 2) имеют постоянные, но различные значения теплофизических параметров: λi = const , ai = const , i = 1, 2, λ1 ≠ λ2 , a1 ≠ a2 .
Начальные температуры пород кровли и почвы одинаковы и равны tп = tп ( H ) , H = 0,5 ( H1 + H 2 ) , где H1 и H 2 − соответственно минимальная и максимальная глубины для данного выемочного участка. 3. Температура воздушной струи в выработанном пространстве характеризуется ее средним по сечению ОАВ значением, изменяясь лишь вдоль лавы: tв = tв ( z ) . 4. Средняя по высоте выработанного пространства скорость воздушной струи изменяется по ширине выработанного пространства (т.е. в области 2.
(
x ∈ 0, Lут.
ϑут. = ϑ0
(
)
по
( м /с ) −
линейному
закону,
убывая
скорость струи в лаве, до значения
x = Lут. Lут. = ОВ на рис.14.1
–
от
значения
ϑут. = 0 при
ширина зоны утечек или выработанного
пространства). 5. Площади поверхностей кровли и почвы, образующие выработанное пространство, через которые тепло горного массива передается воздушной струе, примерно одинаковы: АВ ≈ ОВ = Lут . 6. Изменением температур пород кровли и почвы вдоль лавы (т.е. по координате 0z ) можно пренебречь, т.е. редуцировать исходную трехмерную задачу к двумерной, заменив: ti ( x, yi , z ,τ ) → ti ( x, yi ,τ ) , i = 1,2. 7. Изменением температур пород кровли и почвы вдоль оси 0x (вдоль которой в системе координат, связанной с выработанным пространством движутся области 1 и 2) можно пренебречь, т.е. осуществить редукцию двумерной краевой задачи к одномерной: ti ( x, yi ,τ ) → ti ( yi ,τ ). 8. Поскольку движение воздушной струи в выработанном пространстве турбулентно, используем аналогию Рейнольдса, полагая коэффициент теплообмена между воздухом и породами кровли и почвы пропорциональным средней скорости струи:α ∼ ϑут . Обоснование допущений 5,6,7 требует ряда числовых оценок. Для допущения 5 заметим, что на рис.14.1 tq β = m / Lут. ≈ 1/ 20 = 0,05 1. Поэтому cos β ≈ 1 и AB ≈ OB. 560
Анализируя допущение градиентов в областях 1 и 2.
6,
оценим компоненты температурных
∂ti tп ( Н ) − tв 40 − 20 ≈ ≈ = 40(град./м). ∂yi 0,5 m/2
∂ti tп ( Н 2 ) − tп ( Н1 ) 3 ≈ ≈ = 0,03(град./м). ∂z Lл 100
(14.1)
м
Здесь при оценке ∂ti / ∂z принято (с запасом), что длина лавы Lл = 100 , а значение перепада температур соответствует средней по Донбассу геотермической константе. Из (14.1) следует:
∂ti / ∂z 0,03 ≈ = 0,75 ⋅10−3 ∂ti / ∂yi 40
1,
что позволяет пренебречь зависимостью функций ti
(
)
( x, y , z , t )
от z, т.е.
принять: ti = ti x, yi ,τ . Допущение 7 обосновывается аналогично тому, как это было сделано для случая проходки горной выработки (см.§164). Критический интервал времени:
amax 2
(a
цикла
–
τ L = Lут / ϑл
(L
* τ max =8
Время
ϑлmin
max
= max ( a1 , a2 ) = 40 ⋅10−4 м 2 / ч, ϑлmin = 0,1м / ч
подвигания ут
лавы
на
расстояние
)
≈ 20м, ϑл = 0,1 − 0, 2м/ч .
Lут
−
)
τL:
Имеем:
40 ⋅10−4 =8 = 3, 2 ( часа ) ,τ L = 20 / 0,1 = 200 ( час.) ≈ 8 суток. 0, 01 Таким образом, τ *max / τ L = 3, 2 / 200 = 1, 6 ⋅ 10−2 1 , что позволяет для * времен τ > τ max перейти от двумерного уравнения теплопереноса к * τ max
одномерному, т.е. осуществить редукцию ti ( x, yi ,τ ) → ti ( yi ,τ ) .
При движении областей 1 и 2 вправо ( x > 0 ) координата сечения x связана со временем простой зависимостью x = ϑ лτ . Сечение x = 0 при
τ = τ к занимает положение х = хк , хк ∈ ( 0, Lут ) . В силу допущения 561
4
скорость ϑут = ϑут ( x ) есть линейная функция, а в силу допущения α ∼ ϑут . Таким образом, имеем: ⎛ x ϑут x = ϑ0 ⎜1 − ⎜ Lут ⎝
( )
⎞ ⎛ ϑ лτ ⎟ = ϑ0 ⎜1 − ⎟ ⎜ Lут ⎠ ⎝
⎛
α = α ( x ) = α 0 ⎜1 − ⎜ ⎝
ϑлτ
⎞ ⎟ =α Lут ⎟⎠
Здесь ϑ0 - скорость движения воздуха в лаве;
α0
8,
⎞ ⎟, ⎟ ⎠
(τ ) .
(14.2)
ϑл - скорость движения лавы;
- коэффициент теплообмена между воздухом в лаве и горным массивом, определяемый известными методами [288,367]. В итоге приходим к формулировке третьей краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности с зависящим от времени согласно (14.2) коэффициентом теплообмена:
∂ti ∂ 2ti = ai 2 , ∂τ ∂yi
ti ( yi ,τ )
λi
∂ti ∂yi
τ =0
yi =0
yi ∈ ( 0, ∞ ) , τ > 0, i = 1, 2
(14.3)
= tп ( Н ) = const , yi ∈ ( 0, ∞ ) ,
(14.4)
= α (τ ) ⎡⎣ti ( 0,τ ) − tв ⎤⎦ , τ > 0.
(14.5)
Краевая задача (14.3-14.5) сформулирована для значений τ > 0 , но её решение нас будет интересовать только для периода τ ∈ ( 0,τ L ) , τ L = Lут / ϑл , поскольку после завершения цикла он вновь повторяется. Поскольку коэффициенты нестационарного теплообмена для пород кровли ( Кτ 1 ) и почвы ( Кτ 2 ) определяются по формулам [89]: Kτ i = qi ( 0,τ ) ⎡⎣tп ( Н ) − tв ⎤⎦ , qi ( 0,τ ) = λi −1
562
∂ti ∂yi
, yi =0
(14.6)
то, как это следует из (14.3) – (14.6), для достижения нашей конечной цели вычисления τ1 и τ 2 , достаточно решить краевую задачу при i = 1.
К К Тогда получим Кτ 2 из Кτ 1 при заменах: λ1 → λ2 , a1 → a2 .
Аналитическое решение задачи (14.3) – (14.5), относящейся к классу краевых задач для нестационарных систем, известными методами весьма трудоёмко и громоздко [40]. Для получения достаточно простых, пригодных для инженерных расчетов, формул был предложен метод пересчета [196] – аналог известного метода Дюамеля.
§189.
Метод пересчета
Первым этапом метода является решение краевой задачи (14.3) – (14.5) при α = const. Её решение известно [17]: ⎛α tп -t ( y,τ ) α2 ⎞ ⎛ y ⎞ ϑ ( y ,τ ) = = erfc ⎜ ⎟ − exp ⎜ y + 2 τ ⎟ × tп − tв ε ⎠ ⎝ 2 aτ ⎠ ⎝λ
y α + ε ⎝ 2 aτ
⎛
×erfc ⎜
2
(14.7)
⎞
τ ⎟ , y ∈ ( 0, ∞ ) , τ > 0. ⎠
В (14.7) опущен индекс « i » у ti ( y1,τ ) , ai , λi и введено обозначение для величины термической активности ε = λ ( ρ c ) ( ρ c = λ / a ) [17]. Безразмерная температура стенки θ ст ( y,τ ) связана с коэффициентом нестационарного теплообмена
Kτ :
Kτ = α (1 − ϑст ) , Kτ = Kτ (τ ) ,ϑст = ϑст (τ ) = ϑ ( 0,τ )
ϑст (τ ) Введем функцию W
⎛α2 ⎞ ⎛α = 1 − exp ⎜ 2 τ ⎟ × erfc ⎜ ⎝ε ⎝ε ⎠
τ
⎞ ⎟ ⎠
(14.8)
(14.9)
( Z ) где Z = α τ / ε :
( )
W ( Z ) = exp Z 2 erfcZ = 1 − ϑст (τ ) Тогда (14.8) запишется в виде:
563
(14.10)
⎛α
Kτ = αW ( Z ) = αW ⎜ ⎝
ε
τ
⎞ ⎟ ⎠
(14.11)
Функция W ( Z ) зависит от безмерной (автомодельной) координаты Z . Функции такого типа часто встречаются в качестве решений задач теории тепломассопереноса и гидродинамики или являются их следствиями. В общем случае такие функции имеют вид:
F = F ( Z ) , Z = Cx1α1 x2α 2
(
…x
αn β n
τ ,
(14.12)
)
где C , α i i = 1, n , β − постоянные, такие, что Z безразмерна. При традиционном подходе автомодельность используется для представления посредством F ( Z ) сразу большой совокупности зависимостей, в каждой из которых всякому фиксированному Z соответствуют множества наборов { xi } и τ j . В частности, при Z = Fox = aτ / x 2 автомодельная функция
F ( Fox ) , заданная аналитически или графически, позволяет найти все
значения x и τ для которых F ( Fox ) = F* (задано). Метод пересчета использует иное свойство (14.12), а именно: возможность одновременного изменения независимой переменной (τ − в частности) и константы С таким образом, чтобы, как и в «классической» автомодельности выполнялось условие Z = inν ar . Рассмотрим функцию W ( Z ) , определенную (14.10). Одновременно варьируем здесь независимую переменную τ и постоянную α . Параметр ε при этом остается фиксированным. Всякому значению Z = Z* ,однозначно определяющему
{ },
W ( Z* ) = W* , соответствуют множества M α = {α i } , и M τ = τ j
такие, что для любых индексов i и j , Zij = αi τ j / ε = inν ar . Пусть, для определенности, функция α (τ ) − монотонная и убывающая при τ > 0 . Возьмем интервал τ ∈ ( 0,τ L ) и разобьем его на N одинаковых
промежутков Δτ = τ L / N . Аппроксимируем функцию α (τ ) ступенчатой функцией αˆ (τ ) .
564
⎧α1, τ ∈ ( 0,τ1 ) , ⎪ ⎪α 2 , τ ∈ (τ1 ,τ 2 ) , ˆ α (τ ) → α (τ ) = ⎨ ⎪ ⎪α N ,τ ∈ (τ N −1 ,τ N ) . ⎩
………………
Здесь:
(
)
α i = const i = 1, N , τ 1 = τ 2 − τ1 = τ 3 − τ 2 = τ 0 = 0, τ N = τ L .
(14.13)
τ N − τ N −1 = Δτ 1,
Величины α1 определяются формулами:
1 τi αi = i = 1, N . ∫ α (τ ) dτ , Δτ τ i −1
При
N → ∞, Δτ → 0
W (Z )
N Δτ → τ L ,αˆ (τ ) = α (τ ) .
= W1 , Z1 = α1 τ 1 / ε .
Z = Z1
было бы
так, что
α = α 2 , то W ( Z ) '
некотором τ 1
Z1 = inν ar :
(τ
' 1
Если бы на интервале
приняла бы значение
при α 2
> τ1
(14.14)
Находим
τ ∈ ( 0,τ1 )
W1 не при τ = τ 1 , а при
< α1 ) . Значение τ1' можно найти из условия 2
α1 τ1 α 2 τ1' ⎛α ⎞ = , τ1' = ⎜ 1 ⎟ τ1. ε ε ⎝ α2 ⎠
(14.15)
Далее процесс теплообмена продолжается при α = α 2 в течение промежутка Δτ , по истечении которого, т.е. в момент времени
(
)
τ = τ 2 = τ1' + Δτ = ⎡ α12 + α 22 / α12 ⎤ Δτ ⎣
⎦
функция W ( Z ) примет
α2 τ . Вновь осуществляем пере2 ε 2 счет (приведение к α 3 ). Аналогично предыдущему, находим:
значение W2 = W ( Z ) Z =Z , Z 2 =
565
⎛α ⎞ τ 2' = ⎜ 2 ⎟ ⎝ α3 ⎠
2
τ 2 , W3 = W ( Z ) z = z '
3
(
)
z3 =
α3 τ3 , ε
(14.16)
τ 3 = τ 2' + Δτ = ⎡ α12 + α 22 + α 32 / α12 ⎤ Δτ . ⎣
⎦
Продолжив этот процесс, для n < N получаем:
αn ⎡⎛ n 2 ⎞ ⎤ τ n , τ n = ⎢⎜ ∑ αi ⎟ / α n2 ⎥ Δτ . Wn = W ( Z n ) , Z n = ε ⎠ ⎣⎝ i =1 ⎦
(14.17)
В формуле (14.17) осуществляем предельный переход n → ∞, Δτ → 0, n Δτ = τ . В силу непрерывности степенной функции имеем: 1/ 2 ⎡ 1 τ 2 ⎤ (14.18) Wn → W ⎡⎣ Z (τ ) ⎤⎦ , Z (τ ) = ⎢ 2 ∫ α (τ ' ) dτ '⎥ ⎣ε 0 ⎦ Таким образом, функция W ( Z ) из (14.10) при переменном параметре α = α (τ ) , может быть записана в виде (14.18). §190.
Методика инженерных расчетов
Методом пересчета получена функция Wτ (τ ) = W ⎡⎣ Z (τ )⎤⎦ (14.18). Формула для вычисления коэффициента нестационарного теплообмена Kτ i (определенного (14.6)) может теперь быть представленной в виде: Kτ i (τ ) = α (τ )Wτ i (τ ) = α (τ ) exp ⎡⎣ Z i2 (τ ) ⎤⎦ erfc ⎡⎣ Z i (τ ) ⎤⎦ , где
Z i (τ ) дается (14.18) при ε = ε i = λi ( ρ c )i .
(см. допущение 3) необходимо усреднить величину
τL
(14.19)
В рамках нашей модели
Kτ i (τ )
по интервалу
(что соответствует введению единого, среднего для теплообмена кровли или почвы коэффициента нестационарного теплообмена). Определим с учетом (14.2):
566
Kτ i =
1
τL
τL
0
∫
1 Kτ i (τ ) dτ = Lут
Lут
⎛ x ⎞ ∫ Kτ i ⎜ ⎟ dx ϑ 0 ⎝ л⎠
1
= α 0 ∫ (1 − ξ )Wτ i ⎣⎡ Z i (ξ ) ⎦⎤ d ξ , ξ = 0
Здесь:
Zi (ξ ) =
⎡ξ / ϑл 2 ∫ α ε i ⎣⎢ 0
1
1/ 2
(τ )
⎤ dτ ⎥ ⎦
=
x . Lут
1/ 2
α 0 ⎛ Lут ⎞ = ⎜ ⎟ ε i ⎝ 3ϑл ⎠
(14.20)
⎡1 − ⎣
(1 − ξ )
3 ⎤1/ 2
⎦
(14.21)
Формулу (14.21) можно представить в виде: 1/ 2
α 0 ⎛ Lут ⎞ Z i (ξ ) = Z 0iϕ ( ξ ) , Z 0i = ⎜ ⎟ ε i ⎝ 3ϑл ⎠ Fo1/2 Li
⎛ α0 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ εi ⎠
= 0,577 Fo1/2 Li , (14.22)
2
ϕ (ξ ) =
τL,
⎡1 − ⎣
(1 − ξ )
3 ⎤1/ 2
⎦
.
Тогда средний (для каждого i = 1, 2 ) коэффициент нестационарного теплообмена: 1
Kτ i = α 0 A ( Z 0i ) , A ( Z 0i ) = ∫ (1 − ξ )Wτ i ⎡⎣ Z 0iϕ (ξ ) ⎤⎦ dξ .
(14.23)
0
Интеграл в (14.23) вычисляется численно, для диапазона значений параметра Z 0i ∈ [ 0,1;40] , обоснованного анализом возможных численных значений определяющих величину Z 0i параметров α 0 , ε i , Lут ,ϑ л . В предельных случаях Z 0i = 0 и Z 0i → ∞ , из (14.23) следует:
A ( Z 0i ) Z
0 i →0
→ 0,5;
A ( Z 0i ) Z
0 i →∞
→ 0;
(14.24)
Численные значения A ( Z 0i ) приведены в таблице 14.1. Поскольку могут встретиться и промежуточные, отсутствующие в табл.14.1 значения Z 0i , построен график функции A ( Z 0 ) , который 567
приводится на рис.14.2. Среднее значение коэффициента нестационарного теплообмена для выработанного пространства в целом определяется полусуммой величин Kτ 1 и Kτ 2 . Таблица 14.1 Значения A Z 0i .
(
Z 0i A ( Z 0i ) Z 0i A ( Z 0i )
)
0,1
0,25
0,50
0,75
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
0,399
0,347
0,280
0,233
0,198
0,151
0,121
0,086
0,066
5,0
7,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30, 0
40,0
∞
0,054
0,039
0,028
0,019
0,015
0,012
0,010
0,008
0,000
Рис. 14.2 Значения функции А(z0) Для приближенных расчетов (максимальная погрешность 11%) рекомендуется формула: ⎧0,40 − 0,27 ( Z 0 − 1) , ⎪ ⎪0,23 − 0,09 ( Z 0 − 0,75) , ⎪ A ( Z0 ) = ⎨ 2 ⎤1/ 2 ⎡ ⎪0,141 − ⎣0,015 − ( 0,01Z 0 − 0,141) ⎦ ⎪ −2 ⎪⎩0,19 − 0,44 ⋅ 10 ( Z 0 − 15 ) ,
Z 0 ∈ [ 0,1;0,75] , Z 0 ∈ ( 0,75;2,0] , Z 0 ∈ ( 2,0;15,0]
(14.25)
Z 0 ∈ (15,0;40]
Изложенные в настоящей главе результаты [118,196,418] вошли в нормативные документы [289, 419] и широко используется при тепловых расчетах шахт Донбасса [370, 420, 421]. 568
Глава 55. УПРАВЛЕНИЕ КРОВЛЕЙ ЗАКЛАДКОЙ ВЫРАБОТАННОГО ПРОСТРАНСТВА §191. Теплофизическая модель
Основные положения. На основе анализа технологии закладочных
работ на угольных шахтах [422-431], а также шахтных наблюдений, приняты следующие упрощающие допущения при формулировке теплофизической модели. – Теплообмен закладочного массива с вмещающими породами (кровлей и почвой) осуществляется теплопроводностью. Кровля, почва и закладочный массив рассматриваются как сплошные среды, неоднородность и анизотропность которых учитывается усредненными значениями теплофизических характеристик. - Утечки вентиляционного воздуха через закладочный массив отсутствуют. Фильтрацию воды (при гидрозакладке выработанного пространства) считаем происходящий лишь в течении непродолжительного промежутка времени. Процессы массопереноса и их влияние на теплопередачу между закладочным массивом, вмещающими породами и вентиляционным воздухом, таким образом, исключаем из анализа. - Теплообмен между закладочным массивом и вентиляционным воздухом в лаве и в вентиляционной выработке осуществляется через дополнительные термические сопротивления (отшивка закладочного массива и т.п., а также крепь). Таким образом, как для пневматического, так и для гидравлического способов закладки используем для описания теплообмена на границе закладочного массива с вентиляционным воздухом граничное условие III рода. - При всех способах возведения закладочного массива, на его границах с кровлей и почвой пренебрегаем образованием пустот. Это позволяет на границах закладка – кровля и закладка – почва формулировать граничные условия IV рода. – Процессами десорбции и окисления во вмещающих породах, а также выделением тепла гидратации в закладке пренебрегаем, т.к. для Донбасса не характерно использование твердеющих закладочных шихт, содержащих цементные добавки. Таким образом, источники (равно как и стоки) тепла во всех рассматриваемых средах отсутствуют. Движущей силой теплопереноса являются поэтому лишь перепады температуры между закладочным массивом, вентиляционным воздухом и вмещающими породами. - Процесс очистной выемки считаем равномерным, а скорость подвигания лавы ܸл связанной с периодом закладочных работ м⁄сут .
следующим соотношением:
Vл = lmax / τ 3 ,
где
lmax −
максимальное
расстояние закладочного массива от груди забоя ( lmax измеряется в метрах,
- в сутках).
569
- Закладочный массив имеет форму параллелепипеда (область Ω на х, рис.14.3) неограниченной протяженности вдоль координаты и задают, отсчитываемой от границы закладки в лаве. Оси соответственно, расстояния по нормали к закладочному массиву в кровле (область 1 ) и почве (область 2 ). Лава простирается вдоль оси (перпендикулярно к плоскости рисунка) и имеет длину л . Толщина закладочного массива не совпадает, вообще говоря, с мощностью вынимаемого пласта, но принимается постоянной. − Используется подвижная система координат, начало которой движется со скоростью л в направлении области 0. Задача определения температурного поля в системе «кровля – закладка – почва» сводится к решению задачи теплопроводности в трехмерной трехслойной системе {Ω , Ω , Ω }.
Рис.14.3. Расчетная схема теплообмена при полной закладке выработанного пространства лав.
Ω1 Ω3 Ω2
∈ 0, ∞ , 1 ∈ 0, ∞ , ∈ 0, л ∈ 0, ∞ , ∈ 0, , ∈ 0, л ∈ 0, ∞ , 2 ∈ 0, ∞ , ∈ 0, л
Расчетная схема (рис.14.3) используется и при описании теплообмена с воздухом, движущимся по вентиляционной выработке. В последнем случае задает расстояние не от начала лавы вдоль нее, а от конца лавы вдоль ось вентиляционной выработки. Зависимостью температуры закладки от , в этом случае, как будет показано далее, можно пренебречь для всех практически возможных значений скоростей подвигания лавы. Математическая формулировка задачи. Исходя из принятой физической модели процесса нестационарного теплообмена закладочного массива с вентиляционным воздухом и вмещающими породами, математическую модель формулируем следующим образом. Температурные поля в кровле и почве описываются уравнением:
570
డଶ ௧ሚ ଵ డ௫ ଶ
డ௧ డ௧
డଶ ௧ሚ డ௬ ଶ
, ଵ ,
(14.26)
ti = θ + (τ ) ti ( x, yi ,τ ) , τ ≥ 0, x, yi ∈Ωi , i = 1, 2 1, 0 ௗఏశ ሺఛሻ 0, 0 ௗఛ . Значения индекса i соответствуют: i=1 –кровля, i = 2 – почва. Величины, относящиеся к закладке, пишем без индексов. Температурное поле в закладочном массиве описывается аналогичным уравнением:
డ௧ డఛ
డଶ ௧ሚ డ௫ ଶ
డଶ ௧ሚ డ௬ ଶ
, ା ,
(14.27)
t = θ + (τ ) t ( x, y,τ ) , τ ≥ 0, x, y ,∈ Ω3
и , описывают начальные распределения температур во вмещающих породах и в закладочном массиве. Если для , можно, с учетом технологии ведения закладочных работ, принять , , то считать начальные температуры в кровле и почве постоянными (для данной средней глубины выемки), т.е. , П Н чревато завышением расчетного количества тепла, поступающего к вентиляционному воздуху. Поскольку втечение времени породы кровли и почвы охлаждаются воздухом, движущимся по лаве, в них формируется охлажденные зоны, которые даже при обычно небольших 2 4 суток являются фактором, снижающим теплопередачу из вмещающих пород в закладку, а из нее – в воздух. Особенно это должно сказываться для небольших промежутков времени ~, т.е. максимальной будет погрешность расчета теплопритоков в лаву. Граничные условия для функции t1 ( x, y ,τ ) :
,
Функции
λ1
∂t1 ∂y1
̃ , , | ̃ , , | , 0, 0, (14.28) భ
=λ y1 = 0
∂t ∂y
y =m
= q1 ( x,τ ) , x ≥ 0,τ > 0,
̃ , , | → П , భ
∂t1 ∂x
x =0
=
∂t1 ∂x
x →∞
డ௧ሚభ | 0, (14.30) డ௬భ 1→∞
= 0, t1 ( x, y1,τ ) 571
(14.29)
x →∞
= tп
(14.31)
Для функции ̃ , , имеем граничные условия (14.28) ÷(14.31) и аналогичные им условия склейки температур и потоков тепла на границе закладки с почвой: t1 ( x, y1,τ ) = t2 ( x, y2 ,τ ) , x ≥ 0,τ > 0, (14.32) y1 =0
λ
∂t ∂y
y =0
= − λ2
y2 =0
∂t2 ∂y2
y2 = 0
= q2 ( x,τ ) , x ≥ 0,τ > 0 .
(14.33)
Знак « - » в (14.33) обусловлен противоположной ориентацией осей ܱܻଵ и , , должна удовлетворять условиям : ܱܻଶ , кроме того, функция , , В 0 , (14.34)
, ≡ | 0 ∈ 0, , 0,
∂t ∂x
= 0, t ( x, y ,τ )
x →∞
→ t∞ ( y,τ ) , y ∈ ( 0, m ) ,τ > 0
(14.35)
x →∞ Здесь В - температура вентиляционного воздуха. Коэффициент теплопередачи определяется обычным образом: от (14.36) от где α - коэффициент теплообмена, ߜот и ߣот - соответственно толщина и коэффициент теплопроводности «отшивки» (в последнее понятие, далее без кавычек, включаем и крепь, если она имеется). , , на границе почвы Граничные условия для функции с ଶ ଶ закладкой (т.е. при ଶ 0 даны в (14.32), (14.33), а остальные совпадают с (14.30), (14.31) (при замене индекса «1» на «2»). Наиболее прямым аналитическим методом решения системы краевых задач (14.26)-(14.35), являющейся математической моделью процесса нестационарного теплообмена закладочного массива с вмещающими породами и вентиляционным воздухом, является метод функций Грина [40, 115,118]. Для его применения целесообразно переформулировать краевую задачу, перейдя к её биобобщенной постановке. В результате получаем:
෩ డ డఛ డ෩ డఛ
෩ డଶ డ௫ ଶ
డଶ ෩ డ௫ ଶ
డଶ ෩ డ௬ ଶ
෩ డଶ డ௬ଶ
,
, , ,
1,2
(14.37)
, , , 0, , ∈ Ωଷ (14.38)
572
Уравнения (14.37), (14.38) эквивалентны краевой задаче (14.26) них введены обозначения:
(14.35);
в
U U , , Ω , , , Ω , , , , Ω3 , U Ux, y, τ Ω3 1, 0, 1, ∈ 0, 0, ∈ 0, 0, 0. F , , ! , " # R , , # N , , , Fx, y, τ t 3 δ# τ # Rx, y, τ # Nx, y, τ, ,̃ ,̃ R , , () * + . " # + . " /, , , + N i ( x, yi ,τ ) = − ai ⎡θ ( yi ) ti ( 0, yi ,τ ) δ ' ( x ) + θ ( x ) μ ( ) ( x,τ ) δ ' ( yi ) ⎤ ⎢⎣
⎥⎦
, , Rx, y, τ () * " # " ( " ( /, , , Nx, y, τ () 0 ст , " # 3 ൫–൯, ᇱ ᇱ
ሺାሻ, ᇱ
μ ( − ) ( x,τ ) = t ( x,0,τ ) = t2 ( x,0,τ ) , μ
(+)
( x,τ ) = t ( x, m,τ ) = t1 ( x,0,τ ) , tcT ( y,τ ) = t ( 0, y,τ )
, , при В выражениях для N
2 ሺିሻ , .
(14.39)
1 ሺାሻ , , а при
Полученная биобобщенная формулировка (14.37)(14.39) краевой задачи позволяет сразу выразить решение через функции Грина областей Ωଵ , Ωଷ и краевые условия (т.е. через обобщенные источники
F , , .
Редукция задачи к двумерной (исключение координаты 0Z ) осуществляется аналогично тому, как это было сделано в предыдущей главе. 573
Она справедлива для времен τ ≥ 8a / VΛ2 ≈ 1 сут. При оценке использованы значения величин: a = 15 ⋅10−4 м 2 / ч, VΛ min = 0,5 м / сут.
§192. Решение системы краевых задач Решения уравнений (14.37), (14.38) могут быть представлены в виде:
U i ( x, yi ,τ ) = Gi * Fi (τ ) τ
∞
∞
0
0
0
≡ Ωi
(
) (
)
(14.40)
≡ ∫ dτ ' ∫ dx ' ∫ dyi' Gi x, x ', yi , yi' ,τ − τ ' Fi x ', yi' ,τ ' , U ( x , y ,τ ) = G * F (τ )
τ
∞
m
0
0
0
≡ Ω3
≡ ∫ dτ ' ∫ dx '∫ dyi'G ( x, x ', y, y ' ,τ − τ ') F ( x ', y ' ,τ ' ).
Функции Грина
и
в (14.40), (14.41) имеют
следующий вид:
Gi ( x, x ', yi , yi' ,τ ') = θ + (τ ) Gi ( x, x ',τ ) ⋅ Gi ( yi , yi' ,τ ) , где:
(14.41)
, ᇱ , , ᇱ , , ᇱ, , ′, ,
(14.42) (14.43)
2 2 ′ ′ 1 ᇱ , , 2 exp 2 exp 2 ,
(14.44)
, , ᇱ
∞ 2 ′ 1 ! cos cos &. 1 2 exp ୀଵ
С учетом (14.39)-(14.44) получаем: * ሺଶሻ +, , ,, * +, , , U * ሺଵሻ +, , , U U
574
i = 1, 2 ,
(14.45)
4
U ( x, y ,τ ) = ∑U (
j)
j =1
где:
(1)
Ui ( 2)
Ui
∞
( x, yi ,τ ) = ∫ dx ' ∫ dyi'G ( x, x ' yi , yi' ,τ )ϕi ( x, yi' ) , 0
0
τ
⎡ ' dx ' ⎢Gi ⎢ 0 ⎣ ∞
0
(1)
∞
U
U
τ
m
⎡ ' dy ' ⎢G ⎣ 0
( x, y,τ ) = −a ∫ dτ ∫ τ
∞
⎡ ' dx ' ⎢G ⎢ 0 ⎣
( x, y,τ ) = −a ∫ dτ ∫
U
τ
∞
⎡ ' dx ' ⎢G ⎢ 0 ⎣
( x, y,τ ) = a ∫ dτ ∫ 0
(14.49)
0
0
(4)
⎤ ⎛ ∂t ⎞ i ⎥, ⎜ ' ⎟ ⎝ ∂yi ⎠ yi' =0 ⎥⎦ (14.48)
( x, y,τ ) = ∫ dx ' ∫ dy ' G ( x, x ' y, y ',τ ) t3
0
(3)
( x, x ', yi ,0,τ − τ ')
(14.47)
m
0
( 2)
(14.46)
∞
( x, yi ,τ ) = −ai ∫ dτ ∫
U
( x, y,τ ) ,
( x, 0, y, y ,τ − τ ') '
( x, x ' y,0,τ − τ ')
( x, x ' y, m,τ − τ ')
⎤ ⎛ ∂t ⎞ ⎥, ⎜ ⎟ x ∂ ' ⎝ ⎠ x ' =0 ⎦ (14.50)
⎤ ⎛ ∂t ⎞ ⎥ ,(14.51) ⎜ ⎟ y ∂ ' ⎝ ⎠ y '=0 ⎥ ⎦
⎤ ⎛ ∂t ⎞ ⎥ . (14.52) ⎜ ⎟ ⎝ ∂y ' ⎠ y '= m ⎥ ⎦
Решения (14.45) и (14.46), конкретизируемые (14.47)-(14.52), содержат неизвестные функции – тепловые потоки на границах. Эти функции могут быть найдены методом, использующим условия склейки температур (14.28), (14.32) и (14.34) (с учетом последнего из соотношений (14.39)). Подставив в упомянутые условия (14.45)-(14.52), получим после преобразований:
11 , , ∗ 3 , 12 , , ∗ 1 , ( ρ c ) q y,τ + f y,τ , (14.53) + K13 ( x ', y ,τ ) * q2 ( x ',τ ) = ) 1( ) 3( τ ᇱ
ᇱ
( )
ᇱ
ᇱ
x'
Ka
575
ᇱ
ᇱ
21 , , ∗ 3 , 22 , ′, ∗ 1 , ᇱ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
+ K 23 ( x, x ',τ ) * q2 ( x ',τ ) (τ )
x'
= f 2 ( y,τ ) ,
ᇱ
(14.54)
31 , , ∗ 3 , 32 , ′, ∗ 1 , ᇱ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
+ K 33 ( x, x ',τ ) * q2 ( x ',τ ) (τ )
x'
= f 3 ( y ,τ ) .
ᇱ
(14.55)
В полученной системе интегральных уравнений (14.53)-(14.55) использованы обозначения, определенные в (14.40) и (14.41). Вычисление ядер и правых частей интегральных уравнений осуществляется по определяющим их граничным значениям функций Грина и их производных. Имеем:
11 , , G|, 0 , , , √ 21 , , G| , 0 2 exp 0, , ,
2√ √ ᇱ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
2 31 , , G| 0
exp , , , 2√ √ ᇱ
ᇱ
ᇱ
2 ′ 12 , , G| 0 exp ! " # $ , , . 2 √ ′ √ ᇱ
22 , , 33 , , = ∞ 2) 12 2 & exp ( * + , ′, , √ ୬ୀ ᇱ
ᇱ
32 , ᇱ , 576
∞ 4)2 ,( & exp - * /+ ା , ᇱ , √ ୀିஶ
ᇱ , , 13
ା √
exp
2
′ 2√
ሺଵሻ
ሺଵሻ
ା , ᇱ , ,
ஶ
exp
ୀିஶ
, ᇱ , 23 ∞ 4!2 ା )$ ା , ᇱ , % exp & ( √
ሺଶሻ
2!" 2√
ሺଶሻ
(14.56)
В формулах (14.56) обозначены: at
( m / 2)
(1) K ; = ε 2
ε ε ; Kε( 2) = ; ε1 ε2
ߝ݅ ൌ ඥߣ݅ ሺߩܿ ሻ݅ ;
Правые части
# $,
ା , ᇱ , ,
ୀିஶ
F0 =
2
1,2.
уравнений
(14.53)-(14.55)
составляющих решений U i(1) , , и
образуются из
ሺଵሻ
, , , определяемых формулами (14.47), (14.49) и не содержащих тепловых потоков. Их физический смысл – источники температурного поля, обусловленные начальной температурной неоднородностью – существованием в кровле и почве к моменту возведения закладочного массива охлажденной зоны. Имеем: ሺଵሻ 0, , , 1 , в U ሺଵሻ , 0, U ሺଵሻ , 0, , 2 , U 2
ሺଵሻ , 0, U ሺଵሻ , , , 3 , U 1
1 U ( ) ( 0, y,τ ) = G+
x =0
,ϕ
Ω3
= t3 θ (τ ) G+ ( 0, x ',τ ) Gm ( y, y 'τ ) ,1
∞
m
0
0
Ω3
=
= t3 ∫ dx '⋅ G+ ( 0, x ',τ ) ∫ dy '⋅ Gm ( y, y ',τ ) = t3
Последние
(14.57) интегралы в (14.57) равны единице каждый, как легко проверить.
577
U1( ) ( x,0,τ ) = G+ 1
y1 = 0
, ϕ1
, U 2( ) ( x, 0,τ ) = G2 1
Ω1
y2 = 0
, ϕ2
Ω2
(14.58) первым.
Интегралы (14.58) вычисляются одинаково, поэтому ограничимся Функция 1 1 , 1 описывает распределение температуры в кровле к моменту возведения закладочного массива. Кровля охлаждалась в течение времени вентиляционным воздухом с температурой t BO , что обусловило формирование в ней охлажденной зоны и нарушение температурной однородности. Таким образом, естественная температура горных пород на данной глубине, п п Н будет на некотором расстоянии от обнаженной поверхности, а на стенке кровли (и почвы) будет некоторая температура ст во ст п . Для определения , заметим следующее. Градиенты температуры (параллельный и перпендикулярный обнаженной поверхности кровли) можно оценить следующим образом: డ෩భ డ௫
~ , భ~ . При (m/ ) ~0,01 0,02 имеем: п Н1 п Н2
/ ~
~ . л л п Нср 3
|п Н п Н |
л
п
л
Так как ξ ∼ ( 2 ÷ 3) / (10 ÷ 20 ) , ( m / Lл ) ∼ 10−2 ÷ 2 ⋅ 10−2 , то получим: ଵ
/
ଵ
≃ 10
3
3 6 10 ≪ 1.
(14.59)
Таким образом, температурной неоднородностью кровли вдоль оси 0x (т.е. параллельно обнаженной поверхности) можно пренебречь и считать, что , . Для определения воспользуемся известным
решением 3-ей краевой задачи теплопроводности тела [17]: , во 0
для полуограниченного
п во , 0 ,
(14.60)
exp 0 erfc , 0 erfc 0 , 2 0 2 0
(14.61)
578
2 # # & $ +, . , 0 % ' ()* , & $ В (14.61) - # - коэффициент теплообмена пород кровли с вентиляционным воздухом в период ( . ()* , предшествовавший закладочным работам, ()* (3 - периоду закладочных работ. В силу сложного вида функции , 0 , вычисление интеграла в (14.58) затруднительно. Для такого вычисления была произведена аппроксимация функции , 0 кусочнолинейной функцией 0 , 0 :
(
θˆ y1, F0i
)
( ) ( )
( ) ( )
⎧α1 F0i + β1 F0i yi , yi ∈ ⎡0, yi ,1 ⎤ , ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ = ⎨α 2 F0i + β 2 F0i yi , yi ∈ ( yi ,1, yi ,2 ⎤⎦ , ⎪ yi > yi ,2 . ⎪⎩1,
Здесь , 1 1,77 , (14.58) получаем: 1 U1( ) ( x,0,τ ) = G1
, 2 4 ,
(14.62) Подставив (14.62) в
(
, ⎡t BO + ( tп − t BO )θˆ y1 , Fo1
y1 =0 ⎣
(
= tBO + ( tп − tBO ) ⎣⎡1 − Φ1 Fo1 ,τ / τ 0 x
)⎤⎦
Ω1
)⎤⎦ ,
= (14.63)
и совершенно аналогично:
U2ሺଵሻ , 0, 2 |௬ଶୀ , 2 2 ષଶ =
(
= t BO + ( tп − t BO ) ⎡⎣1 − Φ 2 Fo2 ,τ / τ 0 x где:
(
)
( )
)⎤⎦ ,
Φi Foi ,τ / τ 0 x = A Foi B (τ / τ 0 x ) + C (τ / τ 0 x )
579
(14.64) (14.65)
0,02
0,237 0 0,007 0
0
5 10 Функция
/
4
0
0,18, 0 ∈ 0; 3; 2 .
0
0,02
0
0,5576, 0 ∈ 3,2; 25,0 .
0,02
0
0,7175, 0 ∈ 25,0; 72,0 .
(14.66) 0 имеет практически ступенчатый вид (рис.14.4), а функции и / имеют вид:
erf 0,885
В / 3
0,638
/
/ 1
exp
0,783 /
(14.67)
0,18
/ 3
2
0,052
/
/ 1
exp
4 /
. (14.68)
Рис. 14.4 Функция
) A( Fo
В итоге получаем:
1 2
,
,
̃в
, п
3 580
U п
0, , во Ф2
, 0 , / 3 ,
(
1 f3 ( x,τ ) = ( ρ c ) ⎡( tп − t3 ) − ( tп − tBO ) Φ1 Fo( ) ,τ / τ 3
⎢ ⎣
) . (14.69) ⎤ ⎦⎥
Величина
во в (14.69) имеет смысл температуры воздуха, омывающего обнаженные вмещающие породы в период времени, ሺሻ ଶ 2 предшествующий закладке, 0 3 / 1,2 , 0 коэффици ент теплообмена для лавы.
Рассмотрим асимптотические свойства функций
(
)
Φi Foi ,τ / τ 3 ,
которые описывают влияние начальной температурной неоднородности
0, 0 0 и , 0 1. Тогда из (14.60) следует ଵ ଵ ଵ п. , т.е. охлажденной зоны нет.
вмещающих пород. При
При этом следует:
(
)
Φi Foi ,τ / τ 0 x = 0, U1( ) ( x, 0,τ ) = tп .
При
i
/ → ∞ получаем, раскрывая неопределенности по Лопиталю : Φi = 0 . Таким образом, функции Φi Foi ,τ / τ 0 x обращаются в ноль не
(
)
только при 0, но и при 0, но → ∞, демонстрируя тем самым затухание начального температурного возмущения (т.е. образование
. Пусть охлажденной зоны) со временем. Оценим возможные значения 0 ଶ ଶ / 15 ккал⁄м ч . град, 25 ккал⁄м . град. ч ,τ ox = 3cут. 2
=72часа. Тогда: Fo = (α 0 / ε ) τ ox = 25,9. Даже при = 24 часа и 0 10 ккал/мଶ .ч.град, получаем 0 3,9, т.е. вновь попадаем на «плато»
рис.14.4. Это означает, что для реальных условий в лавах, 0 0,61 , а функция Ф 0 , ⁄ является, практически, функцией лишь ⁄ : Ф Ф⁄ . Полученная универсальность функции Ф⁄ весьма полезна, т.к. дает динамику
«забывания»
начальной температурной неоднородности для любых вмещающих пород, скоростей движения воздуха в лаве и при различной технологии закладочных работ (параметры не входят в
Φ (τ / τ ox ) ) .Ф⁄
ε i , α 0 ,τ ox , определяющие 0 ,
аппроксимирована кусочно-линейной
функцией вида:
581
⎧0,75 − 0, 4 (τ / τ ox ) , ⎪ ⎪0,35 − 0,04 ⎡⎣(τ / τ ox ) − 1⎤⎦ , Φ (τ / τ ox ) = ⎨ ⎪0, 23 − 0,011 ⎡⎣(τ / τ ox ) − 4 ⎤⎦ , ⎪0,1, ⎩
(τ /τ ox ) ∈ ( 0;1] (τ /τ ox ) ∈ (1;4] (τ /τ ox ) ∈ ( 4;16] (τ /τ ox ) ∈ (16;30]. (14.70)
Из (14.70) видно, что Ф⁄ быстро убывает, уменьшаясь по сравнению с максимальным значением в 7,5 раза при ⁄ 16. Это значение
⁄
считаем пороговым, полагая что для
(τ / τ 0 x ) ≥ 16
влиянием
начальной температурной неоднородности уже можно пренебречь. Полученная система интегральных уравнений (14.53)-(14.55)
с
правыми частями дает полное математическое описание процесса нестационарного теплообмена в системе «вмещающие породы закладочный массив – рудничный воздух». Поскольку интегральные уравнения (14.53)-(14.55) не является уравнениями Фредгольма, Вольтера либо других видов, методы решения которых разработаны, наиболее перспективно использование численных методов. Учитывая, что рассматривается первая математическая модель такого рода (существенно более сложная, чем существующие в горной теплофизике), а также имея в виду получение достаточно простых зависимостей, пригодных для инженерных расчетов, использовался приближенный метод решения задачи. Метод опирается на выполненные исследования кинетики формирования охлажденных зон в горном массиве (см. §§ 175,176). Ширина зоны в закладочном массиве, на которую распространяется термическое возмущение, обусловленное разностью температур закладочного массива и рудничного воздуха, может быть найдена по формуле:
в в 2 ,
(14.71)
в которой в - ширина охлажденной зоны, м; - температуропроводность закладочного массива, мଶ ⁄ч ; - время, прошедшее после начала процесса при 15 104 мଶ⁄ч, теплообмена. Оценим величину
1 5 суток 120часов, Имеем:
в
и
2 30суток 720часов.
в 1 21 215 10ିସ 120 ≃ 0,85 м,
582
в 2 22 215 10ିସ 720 ≃ 2,08 м.
Таким образом, возмущение рудничным воздухом температурного поля в закладочном массиве эффективно проникает в него весьма незначительно (менее 1м в первые 5 суток и около 2м за месяц). На основании этого, в пределах зоны термического возмущения, аппроксимируем температурное поле в закладочном массиве, усредненное по его ширине, линейной функцией координаты: ! 'ст ( ) 3 !, ст " # ∞ % & *, в
где:
(14.72)
∞ 3, | в. 3 !, , &̃ ,, , + 0 На расстоянии в от лавы термическое возмущение воздухом не 1
проникает и температурное поле в закладке формируется только за счет теплопритоков из кровли и почвы. Введем подвижную систему координат, связанную с закладочным массивом - { ,} где в . Тогда расчетная схема рис.14.3. сохраняется, причем положив , отсчет можем вести от нуля. Поскольку перетоками тепла во вмещающих породах, параллельных закладке, можно пренебречь, а отток тепла из закладки вне зоны термического возмущения в эту зону отсутствует, для определения потоков , 1,2 необходимо воспользоваться уравнениями (14.54) и (14.55), в которых положить 3, 0, 0. Получаем:
220, , ∗ 1 , 230,′, ∗ 2 , = "#2 , 320, , ∗ 1 , 330,′, ∗ 2 , = "#3 . (14.73) Система интегральных уравнений (14.73) может быть решена точно при учете следующего обстоятельства. Вне зоны термических возмущений процесс теплообмена между вмещающими породами и закладочным массивом одномерный, т.е. потоки тепла в двух любых смежных сечениях , ′ одинаковы и меняются лишь со временем. Необходимо, следовательно, положить: 583
1, 1∞ , 2, 2∞ , Система (14.73), таким образом, преобразуется к виду:
$#21 ∗ 1∞ $#22 ∗ 2∞ "#3 $#11 ∗ 1∞ $#12 ∗ 2∞ "#2
Здесь:
(14.74)
$#11 % ′ 220, , ,
$#12 % ′ 230, , ,
∞
A21 (τ ) = ∫ dx 'K 32 ( 0, x ',τ ) , 0
∞
A22 (τ ) = ∫ dx 'K33 ( 0, x ',τ ) 0
(14.75)
Вычисление интегралов (14.75) приводит к выражениям:
11 2 3 0, 0 1 3 0, , 2 4 1 12 3 0, , 4 2 √
(14.76)
⎡1 ( ρc ) ⎤ , ⎛ Fo ⎞ A21 (τ ) = θ (τ ) ⎢ θ3 ⎜ 0, + ⎥ ⎟ m 4 ε πτ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 1
A22 (τ ) = A11 (τ ) , Fo =
Функция 3 0, 0 формулой [32]:
–
at
( m / 2)
2
, ε i = λi ( ρ c )i , i = 1, 2.
функция Якоби третьего рода, определяемая ାஶ
2
1 ,
exp . 3 √ ୀିஶ
Складывая уравнения (14.74), находим:
∞, 1 ∗ 1∞ 2 ∗ 2∞ 584
(14.77)
где:
1 2 30, 0 с, 1 √ 2 2 30, 0 с, 2 √
(14.78)
f ∞ (τ ) = 2 ( ρ с ) ⎡⎣( tп − t3 ) − 0,5 ( tп − t B ) ⋅ ( Φ1 + Φ 2 ) ⎤⎦ .
Поскольку даже существенно упрощенная по сравнению с исходной, полученная система двух сверточных уравнений приводит при решении (методом интегрального преобразования Лапласа) к чрезвычайно громоздким выражениям для функций 1∞ , затрудняя использование
их при определении коэффициента нестационарного теплообмена, сделаем дополнительное упрощающее предположение. Из физических соображений следует, что величины теплопритоков к закладке линейно зависят от тепловых активностей
кровли
и почвы. С другой стороны, для
большинства крутопадающих пластов, эти величины отличаются не более, чем на
20 30%.
1 2 п. Тогда 1∞ 2∞ ∞ ввиду симметрии. Пусть при п 1 найдено ሺ1ሻሺ ሻ, ( 2) а при ε п = ε 2 найдено q∞ (τ ) Тогда приближенное к Поэтому
будем
предполагать,
что
ሺଵሻ
«истинному» значение функции ∞ 1 2 ஶ
изложенного в приводит к уравнению:
ஶሺଶሻ . Учет
∗∞ ср ,
где:
A (τ ) =
(14.79)
2θ (τ )( ρ c ) 4 θ (τ )θ3 ( 0, Fo ) + , m ε п πτ
ср 2 ∆ ∆ Фср , Фср Ф Ф /2, 1 2 1 2 ∆ п , 1 3
∆
2
п в.
Преобразовав (14.79) по Лапласу (обозначая функции – изображения чертой сверху), получим: ,
̅ ̅ !∞ ср
585
2
̅
2
& ' %
) (& '
#$
+ # /2,
,' 2
*п #
̅ 2 ∆ ⁄ ∆ Ф ср . 1 2
Имеем: * # (& ' !∞ .
& ' /* (& '
Обозначив оригиналы функций ! 3
0 1∆ ⁄ ∆ Фср 2 , /* 1 2
! 3
# (& ' 1
1
3
, & ' /* (& '
посредством
4 3
(14.80):
1
и
4 3
2
2
и
* . *п
(14.80)
! 3
2
:
* 1∆ ⁄ ∆ Ф ср 2 1 2
и определив их, получим решение уравнения
5 ∞ 6
4 ′ 3 4 ′9′. 3 1 2
0
(14.81)
§193. Расчетные формулы
Теплофизические параметры
закладочных материалов и массивов представляют собой «эффективные» величины, значения которых определяются сочетанием большого числа различных факторов. Это плотность, гранулометрический и петрографический состав, увлажненность, наличие связующих компонентов, технология возведения закладочного массива [298, 422-425]. В настоящей работе использованы литературные и фондовые данные [298, 426-431], согласно которым главным фактором, определяющим теплофизические параметры закладочных массивов, является плотность. Среднее значение последней может быть принято равным
[298]: ߩଷ
1800 кг/м Соответствующие такому значению плотности величины теплофизических параметров [298]:
3 0,59 ккал⁄м . ч. град, с3 0,22 ккал⁄кг . град, ଷ.
( ρ c3 ) = 398 ккал/м3 ⋅ град, a3 = 14.8 ⋅ 10−4 м2 /ч, ε 3 = λ ( ρ с ) = 15, 3 ккал/ ( м 2 ⋅ град.ч1/2 )
Согласно [288], средние значения теплофизических параметров вмещающих пород Донбасса: 586
− для песчанистых или глинистых сланцев:
сп 552,12 ккал⁄мଷ . град,
п 1,52 ккал⁄м . ч. град, п 29,3 10 4 м2 ч, 2 1/2
(
ε п = λп ( ρ с )п = 29, 05 ккал./ м ⋅ град.ч
− для известняков:
( ρ c )п = 525,33 ккал/м3 ⋅ град,
);
λ п =0,846 ккал/м.ч. ⋅ град,
16 104 м2 ч,
п псп 20,07 ккал./ м2 , град. ч1/2 . Относительные коэффициенты термической активности ! для этих п
случаев будут:
15,3
15,3 ! ሺଵሻ 3 ≃ 0,53, ! ሺଶሻ 3 ≃ 0,74.
п 29,05
п 20,07
Максимально возможной для закладки из дробленных горных пород величиной будет п т.е. 1. Поэтому при выводе расчетных формул и при анализе процесса теплообмена закладки с массивом и воздухом полагаем, что 0,5 ≤ Kε ≤ 1, 0. Коэффициенты нестационарного теплообмена. Коэффициенты нестационарного теплообмена, по определению, выражаются формулой [89]:
Kτ з = где
qср (τ ) tп − tB
,
(14.82)
ݍср - средняя плотность теплового потока от закладочного массива к
рудничному воздуху. Если среднюю по ширине закладки температуру на гра-
( )
нице между отшивкой (крепью) и закладочным массивом обозначить tСТ τ , то можно записать: −1 ⎛ 1 δ OТ ⎞ (14.83) qср τ = K a tcТ τ − tB τ , K a = ⎜ + ⎟ . α λ OТ ⎠ ⎝
( )
( ( )
( ))
С другой стороны, из (14.72) получаем: ∂ϑ ( x,τ ) λ ⎡ϑ∞ (τ ) − tcТ (τ ) ⎤ = = q 'ср (τ ) = λ 3 ⎣ ⎦ ∂x δ τ ( ) B x =0 = Kδ ⎡⎣ϑ∞ (τ ) − tcТ (τ ) ⎤⎦ , Kδ =
Приравнивая ср
λ ε λ = = δ B (τ ) 2 aτ m Fo
и ′ср из (14.83) и (14.84), получаем: 587
(14.84)
tcТ (τ ) =
Kδ ϑ∞ (τ ) + Kα tB (τ ) Kδ + Kα
ср ∑ ∞ в
где 1 ∑
1
1
1
от
, ∑
от
,
0
1
.
(14.85)
Таким образом, получаем, объединяя последние формулы: в , ф ∑ ф . (14.86)
п в Для получения пригодного для инженерных расчетов и достаточно простого выражения для
,
эту формулу необходимо конкретизировать,
подставив в нее функцию ∞ , имеющую смысл средней по ширине закладке температуры на границе охлажденной зоны. Для ее определения имеем формулу:
τ
2 ϑ∞ (τ ) = t з + q∞ (τ ') dτ ' . ∫ ( ρc ) m 0 Преобразуем её по Лапласу: 2 q∞ ( p ) t ϑ∞ ( p ) = з + . (14.87) p ( ρc) m p Исходную функцию ϑ∞ (τ ) найдем, осуществив в (14.87) обратное преобразование Лапласа: 1 ∞ ̅ 1 3 2 ∞ 2 3 1 ∞ . Из (14.80) находим: ∆ ! ср . (14.88) ∆2 Ф √ Функция - оригинал для выражения в первых скобках в (14.88) была найдена ранее [33]. Она имеет вид:
588
⎛ 2 ⎜ ⎝m
a
⎞ ⎟ ⎠
εθ (τ )
×
(1 + Kε ) Fo ଶ ିଵ 1 ଶ ∞ exp ி . 1 ఌ ାଵ ∑ୀଵ ఌ ାଵ π
(14.89)
В итоге получаем:
∆ ∞ 3 ∆1 ′ 1 ∆2 Ф#ср ′ '′, 0 1
(14.90)
где:
∞
1 2 2 ) * + 1
# exp 012. .1 + 1 / + 1 + 1√- ୀଵ
Выражению (14.90) можно придать вид:
ϑ∞ ( Fo ) = t3 + Δ t1ξ + ( Fo ) − Δ t2ξ − ( Fo ) . ξ + ( Fo ) =
Fo
∫ R ( Fo ') dFo ' 0
ξ − ( Fo ) =
(14.91)
Fo
∫ R ( Fo ') Φср ( Fo − Fo ') dFo '. 0
Δ t1 = tп − t3 , Δ t 2 = tп − t В Функция ∞ , определяемая по (14.91), удовлетворяет физическим требованиям: при → 0, ∞ → 3 , а при → ∞, ∞ →
п .
Величины ∆ 1 и ∆ 2 в (14.91) имеют следующий смысл. Первое из них дает даёт динамику приращения температуры закладки за счет теплопритоков из вмещающих пород, а второе описывает ослабление этого прироста (поэтому знак " " ), обусловленное существованием в начальный момент во вмещающих породах охлажденной зоны. Это следует из свойства функции начальной температурной неоднородности Фср , которая равна нулю при отсутствии охлажденной зоны во вмещающих породах, т.е. при τ 3 → 0 . Таким образом, функции и при → ∞ ведут себя по разному: → 1, → 0. Случай 3 → 0 практически не реализуется: поскольку τ 3 = lmax / Vл , (т.е. время формирования охлажденной зоны может стремиться к нулю только при совмещении очистных и закладочных работ без отставания закладочного массива от забоя). Интегралы (14.91) вычисляются численно. 589
Поскольку функция описывает прирост температуры закладки при отсутствии в начальный момент времени охлаждененой зоны ∞ во вмещающих породах (т.е. при начальной температурной однородности массива, когда температура в кровле и почве одинакова и равна п ), ее уместно назвать максимальным фактором теплопритоков. Функция , описывающая влияние охлажденной зоны на темп увеличения температуры закладки, может быть названа фактором начальной температурной неоднородности массива. Динамика максимального фактора теплопритоков и фактора начальной температурной неоднородности приведены на рис. 14.5 и рис. 14.6 соответственно. Необходимые для построения кривых значения и расчитаны для характерных значений параметра относительной тепловой активности . Динамика функции ∆ = - фактора теплопритоков в закладку при ее начальной температуре, равной температуре воздуха, представлена на рис.14.7. Для диапазона изменения параметра относительной тепловой активности ∈ 0,5 , 1,0 , соответствующего реальным условиям возведения закладочного массива (как для пневмо-, так и для гидрозакладки), семейство прямых на рис.14.7 может быть описано функцией вида:
∆
,
0,435
0,26 0,75
0 ⁄ 03 .
(14.92)
Рис. 14.5 Динамика максимального фактора теплопритока. Таким образом, влияние на ∞ параметра описывается линейной функцией, что подтверждает сделанное ранее предложение о возможности учета различия теплофизических параметров кровли и почвы путем , полученных для двух различных значений усреднения величин ∞ параметра .
590
Рис. 14.6 Динамика фактора начальной температурной неоднородности массива. Рис. 14.7 Динамика фактора теплопритоков при равенстве температур воздуха и закладки. K для лав. Получим формулу для расчета коэффициента нестационарного теплообмена между закладочным массивом и вентиляционным воздухом, движущимся по лаве. После простых преобразований получаем:
3
ψ0 1
√
∆
,
(14.93)
где:
ψ0
з п
в , 3 в
.
Формула (14.93) описывает зависимость коэффициента нестационарного теплообмена от времени и параметров математической модели. Если начальная температура закладки, как это часто бывает, равна температуре воздуха, ψ0 0 и формула упрощается, принимая вид:
K 3
K Fo
1 Bi3 Fo
.
(14.94)
Для практических расчётов теплового режима в лавах основной интерес представляют не значения K 3 для отдельных моментов времени, а его усредненные значения. Специфика рассматриваемой задачи такова, что для нахождения этого среднего значения нельзя воспользоваться «расчетным временем проветривания». Поэтому усреднение осуществим следующим образом:
1 K 3 Fo3
Fo3
0
K 3 Fo dFo. 591
(14.95)
⁄ 03 , представим последнее выражение в виде:
Вводя переменную
3
1 0
,
∆ √
. (14.96)
Вычисление этого интеграла приводит к выражению [123]:
где:
1
ψ0 1
3 3
03
0,41
2
,
(14.97)
1/2
4 л
,
∈ 0,5; 10,0 ,
Величина принимает значения в диапазоне от 0,5 до 1,0, а функции и 2 определяются по графикам (рис.14.8) или расчитываются 1 по приближенным формулам:
0,35 0,04 Z , Z 0,5;2 , N1 Z 0,85 0, 21Z , Z 2;3 , 0, 28 0,02 Z , Z 3;10.
0, 253 0,067 Z , Z 0,5;2 , N 2 Z 0,166 0,023Z , Z 2;5 , 0,05, Z 5;10.
Рис. 14.8 Функции N1(z) и N2(z).
592
Формула (14.97) позволяет выявить влияние на коэффициент нестационарного теплообмена как теплофизических параметров , , , так и технологических , л . 3 для вентиляционных выработок. Получим выражение для коэффициента нестационарного теплообмена между закладочным массивом ሺВ и воздухом, движущимся по вентиляционной выработке 3 . Согласно
3 равен произведению двух функций, одна из которых ቀ ∑ܭሺ временем уменьшается, а другая Ф - увеличивается. Анализ
(14.86),
со полученных результатов позволяет заключить следующее. При значениях ⁄ 03 1,5 2,0, функция становится менее 0,1 и медленно
→ ∞. Это позволяет, при получении приближенሺВ ሻ формулы для 3 , принять 0,05.
стремится к нулю при ной
расчетной
Функция напротив, при 0 03 возрастает, изменеяясь от 0,6 до 1,0. При → , → 1 при всех K ε . Различием в значениях
∞
для ∈ 0,5; 1,0 пренебрегаем, полагая = const = 0,8 . Тогда получим следующую формулу:
ξ + ( Fo ) = ξ +cp =
, , ሺВ 3 , 3 03, 0⁄03 .(14.98)
√ Рассмотрим выделенный элемент закладочного массива. Если перейти в подвижную систему координат, связанную с лавой, то со временем этот элемент сдвигается вдоль вентиляционной выработки и к моменту времени 3 будет находится от лавы на расстоянии л л 3 В . Таким образом, усреднение 3 вдоль вентиляционной В выработки на участке длиной , эквивалентно усреднению 3 по времени от 3 до 3 . Поскольку естественная температура вмещающих пород восстанавливается за время порядка 15 3 , положим 15 и ሺВ ሻ среднее значение 3 определим по формуле:
(B)
Kτ 3
1 = 15 Fo3
16 Fo3
∫
Fo3
K Kτ 3 ( Fo ) dFo = α 15 ( B)
16
∫ 1
[0, 2Ψ 0 + 0, 75] dx.
(1 + Z x )
(14.99)
Вычисление интеграла в (14.99) дает [123] искомую формулу: ሺВ ሻ
где:
3 0,08ψ0 0,3 3 , 593
(14.100)
3 ଵ 1 ଷଵ
ln . ଵ
3 03
1/2 . л
Полученные расчетные формулы были апробированы и включены в нормативные документы [34, 118, 289, 418,420].
Глава 56. УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫМ РЕЖИМОМ: ТЕРМИЧЕСКИЙ ДРЕНАЖ УГОЛЬНОГО ПЛАСТА §194. Постановка задачи
Основные допущения. При формулировке математической модели
термического дренажа исходим из следующего: — Пласт угля, породы кровли и почвы являются однородными и изотропными сплошными средами. Их теплофизические свойства не зависят от температуры и постоянны для каждого материала. — На протяжении всего дренируемого участка пласт имеет постоянную мощность. Расстояние между дренажными скважинами и их диаметр постоянны по длине лавы. Ось скважины равноудалена от почвы и кровли и параллельна линии очистного забоя. — При любом расходе воды через дренажную скважину на ее поверхности и реализуются граничные условия Ι – го рода. — Рассматриваемая система» почва – пласт – кровля» теплофизически симметрична, т.е. параметры почвы и кровли совпадают. Температуры в любых точках системы в начальный момент времени одинаковы и равны. С целью изучения предельных случаев, когда вместо скважин используются трещины, а также для использования результатов моделирования в теплофизике горных выработок, форма скважин принята прямоугольной. Расчетная схема задачи приведена на рис. 14.9. Ось Ox перпендикулярна границе раздела пласт – кровля, ось Oy проходит посередине пласта мощностью m, OABC − рассматриваемая часть пласта, ограниченная прямыми x = 0, x = m / 2, y = 0, y = M / 2, где M - расстояние между двумя соседними скважинами. Линия BC ( y = M / 2 ) является адиабатической границей. Таковыми же являются в силу симметрии и прямые x = 0, y = 0. (На рисунке это условие обозначено как qx = q y = 0 ). Область OFED − дренажная скважина, границы которой поддерживаются при постоянной температуре t0 , равной температуре воды в скважине. Решение уравнения теплопроводности будем искать в областях Ω1 , Ω+ , и Ω0 : 594
Ω1 = { x ∈ [l0 , m / 2 ) ,
y ∈ [ 0, M / 2 )} ;
Ω0 = { x ∈ [ 0, l0 ) ,
y ∈ [ h0 , M / 2 )} ;
Ω+ = { x ∈ [ m / 2, ∞ ) ,
y ∈ [ 0, M / 2 )} ;
Разбив каждую из областей Ω1 и Ω+ на две подобласти прямой y = h0, получим:
Ω1(1) = { x ∈ [l0 , m / 2 ) ,
y ∈ [ 0, h0 )} ;
Ω1( 2) = { x ∈ [l0 , m / 2 ) ,
y ∈ [ h0 , M / 2 )} ;
Ω+( 2) = { x ∈ [ m / 2, ∞ ) ,
y ∈ [ h0 , M / 2 )}.
Ω+(1) = { x ∈ [ m / 2, ∞ ) , (i )
В областях Ω0 , Ω1
( i = 1,2 )
y ∈ [ 0, h0 )} ;
имеем теплофизические параметры
λ1 , ( ρ c )1 , a1 − соответственно коэффициент теплопроводности, удельная
объемная
теплоемкость
и
температуропроводность
Ω+(1) − λ2 , ( ρ c )2 , a2 (то же для пород).
Рис. 14.9 Расчетная схема задачи.
Система краевых задач
угля,
а
(1)
в
(1)
теплопереноса в областях Ω0 , Ω1 , Ω+ записывается с учетом изложенного в следующем виде. В области Ω0 :
∂t = a1∇ 2t , t = t ( x, y,τ ) , τ > 0, x, y ∈Ω0 . ∂τ 595
(14.101)
t ( x, y ,0 ) = tп ,
∂2 ∂2 x, y ∈Ω0 , ∇ = 2 + 2 , ∂x ∂y 2
(14.102)
t ( x, h0 ,τ ) = t0 , τ > 0, x ∈ [0, l0 ) ,
(14. 103)
∂t ( 0, y ,τ ) ∂t ( x, M / 2,τ ) = = 0, τ > 0 : ∂x ∂y
(14.104)
∂t ( l 0 , y , τ ) ∂t1( 2) ( l0 , y ,τ ) λ1 = λ2 , τ > 0. ∂x ∂x
(14.105)
В области Ω1(1) :
∂t1( ) 1 1 1 1 = a1∇2t1( ) , t1( ) = t1( ) ( x, y,τ ) , τ > 0, x, y,∈Ω1( ) ; (14.106) ∂τ 1 1 (14.107) t1( ) ( x, y , 0 ) = tп , x, y ,∈ Ω1( ) ; 1
t1( ) ( l0 , y ,τ ) = t0 , τ > 0,
y ∈ [ 0, h0 ) ;
(14.108)
∂t1(1) ( x,0,τ ) = 0, τ > 0, ∂y
x ∈ [l0 , m / 2 ) ;
(14.109)
1
∂t1( ) ( x, h0 ,τ ) ∂t1( = ∂y 1
2)
( x, h0 ,τ ) , τ > 0, ∂y
x ∈ [ l0 , m / 2 ) .
∂t1(1) ( m / 2, y,τ ) ∂t2(1) ( m / 2, y ,τ ) λ1 = λ2 , τ > 0, ∂x ∂x
(14.110)
y ∈ [ 0, h0 ) . (14.111)
В области Ω1( 2) :
∂t1( ) 2 2 2 2 = a1∇ 2t1( ) , t1( ) = t1( ) ( x, y,τ ) , τ > 0, x, y. ∈ Ω1( ) ; ∂τ 2
596
(14.112)
t1( t1(
2)
2)
( x, y,0 ) = tп ,
x, y ,∈ Ω1( ) ; 2
(14.113)
y ∈ [ h0 , M / 2 ) ;
(14.114)
∂t1( 2 ) ( x, M / 2,τ ) = 0, τ > 0, x ∈ [l0 , m / 2 ) ; ∂y
(14.115)
∂t1( 2) ( m / 2, y,τ ) ∂t2( 2) ( m / 2, y,τ ) λ1 = λ2 , τ > 0. ∂x ∂x
(14.116)
( l0 , y ,τ ) = t ( l0 , y ,τ ) , τ
> 0,
Кроме (14.114) –(14.116) граничным условием для t1( 2 ) ( x, y ,τ ) является ранее записанное (14.110). Краевые задачи для функций i (i) t2( ) ( x, y ,τ )( i = 1, 2 ) в областях Ω+ формулируются аналогично, появляются лишь дополнительные условия: t2( i ) ( x, y,τ ) x→∞ → tп , τ > 0, y ∈ [ 0, M / 2 ) .
Понижение размерности задачи. Для использования методов теории
переноса в слоистых системах, к которым относится рассматриваемая система «пласт-порода», необходимо переформулировать исходную систему краевых задач, представив уравнения теплопроводности в квазиоднородном виде. Воспользуемся для исключения переменной y методом квадратичной аппроксимации. Вводим функции: (1) ⎧ ⎪t1 ( x,0,τ ) . ν 0 ( x,τ ) ≡ ⎨ (1) ⎪ ⎩ t2 ( x,0,τ ) ,
x ∈ [l0 , m / 2 ) ;
x ∈ [ m / 2, ∞ ) .
x ∈ [ l0 , m / 2 ) ;
(1) ⎧ ⎪t1 ( x, h0 ,τ ) . ν1 ( x,τ ) ≡ ⎨ (1) ⎪ ⎩ t2 ( x, h0 ,τ ) ,
x ∈ [ m / 2, ∞ ) .
( 2) ⎧ ⎪t1 ( x, M / 2,τ ) . ν 2 ( x,τ ) ≡ ⎨ ( 2 ) ⎪ ⎩ t2 ( x, M / 2,τ ) ,
597
x ∈ [ l0 , m / 2 ) ;
x ∈ [ m / 2, ∞ ) .
(14.117)
(14.118)
(14.119)
Функции t1(i ) ( x, y,τ ) , и t2( i ) ( x, y,τ ) считаем квазиодномерными по x, аппроксимируя зависимость их от y квадратичной функцией: ti(
j)
( x, y,τ ) = a j ( x,τ ) + b j ( x,τ ) y + c j ( x,τ ) y 2 ,
j = 1, 2.
(14.120)
Для определения шести функций – коэффициентов в (14.120) имеем 6 условий (14.109), (14.110), (14.115) и их аналоги для функций t2(i ) ( x, y,τ ). В результате преобразований находим: ti( ) ( x, y,τ ) = ν 0 ( x,τ ) + β1 ⎡⎣ν 2 ( x,τ ) −ν 0 ( x,τ ) 1
y ∈ ( 0, h0 ] , β1 = ( 2)
ti
( x, y,τ ) = ν 2 ( x,τ )
⎡ν −⎢ 2 ⎣
⎛ y ⎞ ⎤ ⎟ ⎦⎜ ⎝ h0 ⎠
2
, (14.121)
h0 ; M /2
( x,τ ) −ν 0 ( x,τ ) ⎤ ⎛1 − 1 − β1
y ∈ ( h0 , M / 2 ].
⎥⎜ ⎦⎝
2
y ⎞ ⎟ , M /2⎠
(14.122)
Вводим усредненные функции: l
1 0 tcр ( y ,τ ) = ∫ t ( x, y,τ ) dx, τ > 0, l0 0 1 1 ti( ) cр ( x,τ ) = h0
h0
1 ti cр ( x,τ ) = h1
M /2
( 2)
y ∈ ( h0 , M / 2];
() t i ∫ ( x, y,τ ) dy, τ > 0, x ∈ [l0 , ∞ ) ; 1
(14.123)
(14.124)
0
∫
ti(
2)
( x, y,τ ) dy, τ > 0,
h0
x ∈ [ l0 , ∞ ) ;
(14.125)
h1 = M / 2 − h0 .
С учетом (14.123) – (14.125) исходная система краевых задач преобразуется и получаем систему 598
a1 ⎡ ∂t ( l0 , y,τ ) ⎤ = a1 2 + ⎢ ⎥ , τ > 0, y ∈ ( h0 , M / 2 ) ; ∂t ∂y ∂x l0 ⎣ ⎦
∂t cр
∂ 2t cр
∂t1,( c)р
∂ 2t1,( c)р
1
1
= a1
∂t ∂t1,( c)р 2
∂τ
∂x 2 ∂ 2t1,( c)р
+
a1 ( − ) q1 ( x,τ ) , τ > 0, x ∈ [l0 , m / 2 ) ; h0λ1
(14.127)
−
a1 ( − ) q1 ( x,τ ) , τ > 0, x ∈ [l0 , m / 2 ) ; h1λ1
(14.128)
2
= a1
∂t2,( c) р
∂x 2
1
∂ 2t2,( c) р 1
= a2
∂τ ∂t2,( c)р 2
∂τ
∂x 2
+
∂ 2t2,( c)р
a2 ( − ) q2 ( x,τ ) ,τ > 0, x ∈ [ m / 2, ∞ ) ; h0λ2
2
= a2
(14.126)
∂x 2
−
a2 ( − ) q2 ( x,τ ) , τ > 0, x ∈ [ m / 2, ∞ ) ; h1λ2
(14.129)
(14.130)
В уравнениях (14.127) – (14.130) обозначено: ( −)
q1
∂t1(1) ( x, h0 ,τ ) ∂t2(1) ( x, h0 ,τ ) ( −) , q2 ( x,τ ) = λ2 . (14.131) ( x,τ ) = λ1 ∂y ∂y
Начальные и граничные условия к уравнениям (14.126) – (14.130) инвариантны относительно произведенного усреднения, кроме граничных условий по y, которые выпадают, войдя в уравнение посредством (14.131). Исключаем в уравнениях (14.126) – (14.130) тепловые потоки, для чего подставим в (14.123) – (14.125) представления (14.121) и (14.122). Получаем: ti(1)cр ( x,τ ) = ν 0 ( x,τ ) + ti( 2 )cр ( x,τ ) = ν 2 ( x,τ ) −
β1 3
⎡ ⎣ν 2
( x,τ ) −ν 0 ( x,τ )⎤⎦ ,
(14.132)
1 − β1 ⎡ ⎣ν 2 ( x,τ ) −ν 0 ( x,τ ) ⎤ ⎦ , i = 1,2; (14.133) 3
Из последних соотношений следует: 599
∂ti(,cp) 1
∂τ
∂ti(,cp)
1
= ai
2
∂τ
∂ 2ti(,cp) ∂x
2
∂ 2ti(,cp) ∂x
2
)
(14.134)
(
)
(14.135)
3ai β1 ( 2 ) (1) ti ,cp − ti , cp ; 2 h0
−
3ai β1 ( 2) (1) ti,cp − ti ,cp ; h0 h1
2
= ai
(
+
⎧1, x ∈ [l0 , m / 2 ) τ > 0, i = ⎨ ⎩2, x ∈ [ m / 2, ∞ ) .
Уравнения (14.134), (14.135) и являются искомыми уравнениями для средних температур. Они должны быть проинтегрированы при следующих краевых условиях: j t i(, cp) ( x, 0 ) = tΠ , x ∈ [l0 , ∞ ) , i, j = 1, 2; (14.136)
( 2 ) l , τ = μ τ , τ > 0; (1) t1cр l , τ = t , t ( ) 1, cр 0 0 0 1, 2
(14.137)
t1,( c) р ( m / 2,τ ) =t 2( c)р ( m / 2, τ ) = μ 2,1 (τ ) , τ > 0;
(14.138)
( )
( )
1
1
t1,( 2 ) cр ( m / 2,τ ) =t2( 2c)р ( m / 2, τ ) = μ 2,2 (τ ) , τ > 0.
(14.139)
§195. Решение задачи
Функция μ1,2 (τ ) из граничного условия (14.137) может быть определена в результате решения вспомогательной задачи, для формулировки которой заметим следующее. Если ввести функции (14.140) μ 0( 2 ) ( y,τ ) =t ( 0, y,τ ) , τ > 0, y ∈ [ h0 , M / 2 ], Решение вспомогательной задачи.
и её среднюю по y 1 μ0,cp (τ ) = h1 ( 2)
M /2
600
∫
h0
2 μ0( ) ( y,τ ) dy ,
(14.141)
то, как можно показать разложением в ряд Маклорена, 2i
l0 ⎞ ⎟ Ci . i =1 h1 ⎝ ⎠ ⎛
∞
) μ (τ ) =μ0,( ср (τ ) + ∑ ⎜ 2
1,2
(14.142)
В (14.142) Ci – ограниченные по модулю производные разных порядков, усредненные по y. Для характерных значений параметров: l0
0,1м, h1 = 2,5 м
можно принять
( l0 / h1 )
2
16 ⋅10 −4 1,
μ1,2 (τ ) ≈ μ 0,( 2ср) (τ ) ,
(14.143)
а последнюю найти по (14.141), получив уравнение для μ 0( 2 ) ( y ,τ ) . Из (14.126), где при l0 → 0 имеем: ( 2)
tср ( y,τ ) → μ0 Это дает
1 ∂t ( l0 , y,τ ) → 0. ( y ,τ ) , l0 ∂x
∂μ0( 2 ) ∂ 2 μ0( 2 ) , τ > 0, = a1 ∂τ ∂y 2
y ∈ [ h 0, M / 2 ) ;
μ0( 2) ( y,0 ) = tΠ , y ∈ [ h0 , M / 2 ) ,
μ0( 2) ( h0 ,τ ) = t0 , τ > 0, ∂μ 0( 2 ) ( M / 2,τ ) = 0, τ > 0. ∂y
(14.144)
(14.145)
(14.146) (14.147)
(14.148)
Решение вспомогательной задачи (14.145) – (14.148) может быть получено различными методами. Однако, поскольку в силу (14.141), (14.143) ( 2) необходимо определить μ0,ср (τ ) , воспользуемся некоторыми из результатов [33]. Имеем, преобразовав по Лапласу: 601
μ 0( 2 ) ( p ) =
⎛ t − t ⎞ thδ p tΠ h − V0 ( p ) , V0 ( p ) = ⎜ Π 0 ⎟ , δ= 1 p a1 ⎝ p ⎠ δ p
(14.149)
τ
где
⎡ ⎛1 ⎞⎤ V0 (τ ) = ( tΠ − t0 ) ∫ ⎢ −θ1 ⎜ / iπ Fo1' ⎟ ⎥ dFo1' , ⎝2 ⎠⎦ 0⎣ p − параметр преобразования Лапласа, Fo1' = a1τ / h12 , ∞
⎛1 ⎞ θ1 ⎜ / iπ Fo1 ⎟ = 2 exp ⎡ − ⎣ ⎝2 ⎠ n =1
∑
(14.150)
( n − 1/ 2 ) π 2 Fo1 ⎤ . 2
⎦
(14.151)
Тем самым исчерпано решение вспомогательной задачи и определены) граничные условия для осредненных уравнений (14.134) – (14.135). Последние преобразуем следующим образом. Вводим функции: ) ui ( x,τ ) = β1 ti(,1ср (14.152) ( x,τ ) + (1 − β1 ) ti(,2ср) ( x,τ ) , (2)
(1)
Vi ( x ,τ ) = ti ,ср ( x ,τ ) − ti ,ср ( x ,τ ) ,
i = 1, 2.
(14.153)
Функции ui ( x,τ ) - имеют смысл температур, усредненных по y в областях
Ω1 и Ω+ . Пусть функции ui ( x,τ ) и Vi ( x,τ ) найдены. Тогда, обратив систему (14.152), (14.153), получим ) ti(1,ср ( x,τ ) = ui ( x,τ ) − (1 − β1 )Vi ( x,τ ) ,
(14.154)
ti(,2ср) ( x,τ ) = ui ( x,τ ) + β1Vi ( x,τ ) .
(14.155)
Используя (14.154), (14.121), (14.122) имеем: ⎛
β1 ⎞
⎝
2
ν 0 ( x,τ ) = ui ( x,τ ) − ⎜ 1 −
⎟Vi ⎠
( x ,τ ) ,
⎛ 1 + β1 ⎞ ⎟Vi ⎝ 2 ⎠
ν 2 ( x,τ ) = ui ( x,τ ) + ⎜
602
( x,τ ).
(14.156)
(14.157)
Таким образом, определение ui ( x,τ ) и Vi ( x,τ ) полностью решает задачу нахождения функций ti( j ) ( x, y ,τ ) . Ограничимся определением средних температур - ui ( x,τ ) , что позволяет получить достаточно простые расчетные зависимости. Подставив (14.154) в (14.134) – (14.135), получим: ∂ui ∂ 2ui = ai 2 , τ > 0, x ∈ [l0 , ∞ ) , i = 1, 2. ∂τ ∂x
(14.158)
Краевые условия для (14.158) имеют вид u1 ( x,0 ) = u2 ( x,0 ) = tΠ , x ∈ [ l0 , ∞ ) ; ) u1 ( l0 ,τ ) = β1t0 + (1 − β1 ) μ0,( ср (τ ) , τ > 0; 2
(14.159) (14.160)
u1 ( m / 2,τ ) = u2 ( m / 2,τ ) = β1μ 21 (τ ) + (1 − β1 ) μ 22 (τ ) , τ > 0;
(14.161)
⎛ ∂u 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ x →∞
→ 0, τ > 0.
(14.162)
Краевая задача (14.158) – (14.162) представляет собой математическую модель одномерного нестационарного теплопереноса в двухслойной системе {Ω1 , Ω+ } . 1 Решение двухслойной задачи. Рассмотрим двухслойную систему {Ω1 , Ω+ } , температурные поля в которой описываются функциями ui ( x,τ ) . Перейдем к однородным начальным условиям, положив
ui(
0)
( x,τ ) = t
Π
− ui ( x,τ ) , τ > 0, x ∈[l0 , ∞ ) .
(14.163)
Функции ui( 0) ( x,τ ) удовлетворяют однородным начальным условиям, уравнениям (14.158) и соответствующим образом трансформированным граничным условиям (14.160) – (14.162). Обозначим: u1(
0)
( l0 ,τ ) = μ1( − ) (τ ) ,
u1(
0)
( m / 2,τ ) = u2( 0) ( m / 2,τ ) = μ1( + ) (τ ).
(14.164)
603
Введенные (14.164) функции μ1( ± ) (τ ) являются функциями склейки, для Лаплас - трансформант которых можно сразу записать: μ1( + ) ( p ) = μ 2( − ) ( p ) = L0( + ) ( p ) μ1( − ) ( p ) ,
где (+)
L0
Kε =
( p ) = N1 ( p ) = ( chδ1
p + Kε sh δ 1 p
)
(14.165)
−1
,
l ε2 , εi = λi ( ρ c )i . δ1 = 1 , l1 = m − l0 , i = 1, 2. 2 ε1 a1
(14.166)
(14.167)
Если среднюю по толщине пласта температуру l 11 V1 (τ ) = ∫ u1 ( x,τ ) dx, τ > 0 l1 0 преобразовать по Лапласу:
∞
V1 ( p ) = ∫ e − pτ V1 (τ ) dτ , 0
то получим:
(
th δ1 p / 2 1 ⎡ ( −) (+ ) ⎤ V1 ( p ) = ⎣ μ1 ( p ) + μ1 ( p ) ⎦ 2 δ1 p / 2
(
Таким образом, определив из (14.165) (14.152) и (14.168) функциюV1
μ 2( + ) (τ ) ,
)
)
(14.168)
получаем с помощью
(τ ). Тем самым будет найдено изменение со
временем средней температуры пласта угля и температуры на границе «пласт-порода» Этих параметров вполне достаточно для прогнозирования температурного режима. Преобразовав по Лапласу (14.152), получим: ⎛ tп
μ (−) ( p ) = N 2 ( p ) = ⎜ 1
⎝
− t0 ⎞ ⎡1 − (1 − β1 ) pf 0 ( ρ ) ⎤ , ⎦ p ⎠⎟ ⎣ 604
(14.169)
μ ( + ) ( p ) = N1 ( p ) N 2 ( p ) ,
(14.170)
1
(
th δ1 p / 2 1 V1 ( p ) = (1 + N1 ( p ) ) N 2 ( p ) F ( p ) , F ( p ) = 2 δ1 p / 2
(
)
) (14.171)
Для осуществления обратного преобразования Лапласа в формулах (14.170), (14.171) учтем следующее. Функция N1 ( p ) , определенная в (14.166), может быть обращена точно и представлена в виде бесконечного ряда [33]. Члены этого ряда при больших τ (времени порядка нескольких месяцев) убывают крайне медленно, поэтому «обрезать» этот ряд затруднительно. Будем искать приближенное обратное преобразование Лапласа для функции N1 ( p ) , подходящее для достаточно больших времен процесса. Оценим период времени, по истечении которого вносимая погрешность будет не 2 существенна. Если определить число Фурье F0 = a1τ / ( m / 2 ) и считать первую, существенно нестационарную фазу процесса определяемой неравенством F0 ≥ F0* = 0,3, то для значений параметров [432, 433]. a1 = 6, 25 ⋅10−4 м 2 / ч,
получим: *
Fo =
a1τ ∗
( m / 2)
0,3, τ
2
( m / 2)
∗
2
a1
⋅ 0,3 ≡
m = 0,5м, 2 0,25 ⋅ 0,3 ≈ 120 ( ч.) 5(cут.) −4 6, 25 ⋅10
Таким образом, искомое приближение «больших времен» будет справедливым для величин времени дренирования τ q ≥ 5 суток. Для получения функции N1 (τ ) преобразуем N1 ( p ) воспользовавшись формулами [434]: Имеем:
z z z chz = 1 + 2 sh 2 , shz = 2 sh ch . 2 2 2
N1 ( p ) = D −1 ( p), D( p ) = chδ1 p + Kε sh δ1 p = = 1 + 2sh
δ1 p ⎛
δ1 p
2
2
sh ⎜ ⎜ ⎝
+ Kε ch 605
δ1 p ⎞ 2
⎟ ⎟ ⎠
(14.172)
Продолжая в (14.172) процесс уменьшения гиперболических функций, приходим к формуле
вдвое
∞
2m
⎛δ
i =1
⎜ ⎝
D ( p ) = 1 + (1 + Kε ) ∑ 2 S m , S m = Π si , si = sh ⎜ 2m
m =1
аргументов
p⎞ . (14.173) i ⎟ ⎟ 2 ⎠
1
Поскольку приближению «больших времен» соответствуют малые значения p , в (14.175) разлагаем si ( p ) в ряды по степеням p и, ограничиваясь первыми тремя членами, находим N1 ( p ) =
⎛ ⎞ −1 24 1 12 24 = = + , c , c 1 K ( ) ε (1 + Kε ) δ14 ⎜⎝ p 2 + c1 p + c0 ⎟⎠ 1 δ12 0 δ14
(14.174)
Обратное преобразование Лапласа в помощью таблиц [32]: N1 (τ ) = L−1 { N1 ( p )} =
4
(1 + Kε )δ12 Δα
(14.174)
осуществляется с
⎡ ⎛ 6α1τ ⎞ ⎛ 6α 2τ ⎞ ⎤ − − exp exp , ⎢ ⎜ ⎜− 2 ⎟ 2 ⎟⎥ δ δ ⎝ ⎝ ⎠⎦ 1 ⎠ 1 ⎣
3 Kε + 1 α1 = 1 − Rε , α 2 = 1 + Rε , Δα = α 2 − α1 = 2 Rε , Rε = . 3 Kε + 3
Обратное преобразование Лапласа в (14.170) дает:
{
}
(14.175)
μ1( + ) (τ ) = L−1 μ1( + ) ( p ) = N1 (τ ) ∗ N 2 (τ ) = τ
(τ )
= ∫ dτ ' N1 (τ ') ⎡⎣( tп − t0 ) (1 − (1 − β1 ) f 0 (τ − τ ') ) ⎤⎦.
(14.176)
0
Вычисление последнего интеграла с учетом (14.175) и (14.153) приводит к выражению: μ1( + ) (τ ) = ( tп − t0 ) θ1( + ) (τ ) , (14.177) где:
606
(+)
θ1
(τ )
= 1 + exp ⎡⎣ −6
(1 + Rε ) B3 ( β )
− exp ⎣⎡ −6 (1 − Rε ) B3 ( β )
⎡1 − Rε ⎤ Fo ⎦ ⎢ ⎣ 2 Rε
⎡1 + Rε Fo ⎦⎤ ⎢ ⎣ 2 Rε
∞
∞
+ (1 − β1 ) ∑ n =1
(+) ⎤ Гn ⎥ − ⎦
∞
⎤
n =1
⎦
+ (1 − β1 ) ∑ Г n( − ) ⎥ −
− (1 − β1 ) ∑ ΔГ n exp ⎡ − ( ( 2n − 1) π / 2 ) B2 ( β ) Fo ⎤ , (14.178) 2
⎣
n =1
⎦
4 ( Rε−1 ∓ 1)
Г n( ± )
( 2n − 1)
⎡ 2 2 π ⎢ ⎢ ⎣
( 2n − 1) π 24 (1 ± R2 ) 2
2
2
⎤ ⎛ l1 ⎞ ⎜ ⎟ − 1⎥ ⎥ ⎝ h1 ⎠ ⎦ 2
ΔГ n = Г n( ) − Г n( ) ; B2 ( β ) +
−
B3 ( β )
B1 ( β )
⎛ =⎜ ⎜ ⎝
⎛ ⎛ m/2 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ h ⎝ 1 ⎠ ⎝
⎛ m/2 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ l1 ⎠
2
, Fo =
ατ
( m / 2)
β1 (1 − β1 ) β3
⎞ ⎟ ⎠
2
=
2
,
(14.179)
B1 ( β )
(1 − β 2 )
2
;
B2 ( β ) ; = B1 ( β )
2
(1 − β 2 ) β1 ⎞ , β = h0 , β = l0 , β = h0 . (14.180) ⎟ (1 − β1 ) β3 ⎟⎠ 1 M / 2 2 m / 2 3 m / 2
Если перейти от функции склейки μ1( + ) (τ ) двухслойной задачи с однородными начальными условиями к «истиной» температуре границы«пласт - порода» u1 ( m / 2,τ ) ≡ tm (τ ) согласно (14.163), то получим
tm (τ ) = t0 + ( tп − t0 ) T ( Fo ) , T ( Fo ) = 1 − θ1(
+)
( F0 ) .
(14.181)
Если соответствующее времени дренирования τ q безразмерное число Фурье обозначить Foq , то получим выражение
607
tm ( Foq ) = t0 + ( tп − t0 ) T ( Foq ) ,
(14.182)
описывающее зависимость температуры t m , которую будем именовать характерной, от длительности дренажа. Из (14.182) с учетом (14.178) при Foq = 0 имеем T 0 = 1 и tm ( 0 ) = tп , т.е. начальное условие
()
выполняется. При
Foq → ∞, T ( Foq ) → 0 и tm → t0 , т.е. путем достаточно
длительной циркуляции воды с температурой
t0
можно как угодно близкой к
этой температуре сделать и tm . Соответствие между τ q и Foq , следующее из ранее использованных характерных численных значений a1 и m (температуропроводность угля и мощность пласта), дано в таблице 14.2.
Таблица 14.2
Соответствие τ q и Foq
τq ,месяцы
Foq
1/3
1
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
6
0,6
1,8
2,7
3,6
5,4
7,2
9,0
10,0
Анализ решения. характерная температура
Rε ) Fo,
и геометрических
Как следует из (14.178), (14.181), безразмерная
T ( Fo )
зависит от теплофизических (комплекс
( β1, β 2 , β3 )
параметров и безразмерного времени
которые могут изменяться в широких диапазонах значений. Пользоваться при этом формулой (14.178) затруднительно из-за её громоздкости. Поэтому для ряда характерных, определенных по литературным данным [432,433,435], значений всех параметров была составлена и реализована программа вариантных расчетов на ЭВМ, результаты которых приведены (частично) на рис.14.10. «Базовые» значения геометрических параметров системы были приняты с учетом реальных значений этих величин в эксперименте [436, 437]: диаметр дренажной скважины d 0 = 0, 2м , мощность пласта угля m = 1м, расстояние между соседними скважинами M = 5 м. Для этих значений получено:
β1 = 0,03; β 2 = 0,16; ( h0 = l0 = 0,08м ) ;
B1 ( β ) = 0,0263; B2 ( β ) = 0,0373; B3 ( β ) = 1, 417. 608
(14.183)
Теплофизические характеристики угля и пород [432]: ккал λ1 = 0,175 ; a1 = 6, 25 ⋅ 10−4 м 2 / ч; м.ч.град
λ2 = 1,52
ккал
; a2 =39,2 ⋅ 10-4м 2 /ч; м.ч.град
Параметры Kε и Rε :
Kε =
λ2 ( ρ c )2 ε2 = ε1 λ1 ( ρ c )1
3,5, Rε =
3 Kε + 1 3Kε + 3
0,923.
(14.184)
Рис. 14.10 Динамика безразмерной характерной температуры дренажа. Безразмерное время дренирования Foq изменялось от 0 до 9, что соответствует физическому времени до 5 месяцев. Результаты расчетов приведены на рис.14.10 (кривая K ε = 3, 5 ). На этом же рисунке, с целью демонстрации влияния на tm ( Fo ) теплофизической неоднородности системы «пластпорода» приведены кривые для Kε = 1, 0 , Kε = 2, 0, Kε = 5, 0. Случай K ε = 1, 0 соответствует одинаковым теплофизическим параметрам пласта и породы. Такое предположение принято, по-существу, в [433,436], где авторы 609
приводят расчетные формулы, не содержащие параметра Kε . Рассмотрим ошибку, возникающую за счет пренебрежения теплофизической неоднородностью. Пусть τ q = 3 месяца. По графику (рис.14.10) находим для (1) (2) K ε = 1 значение T1 = 0, 51, а для Kε = 3, 5 значение T2 = 0, 56. Характерную температуру в первом случае обозначим tm1 , во втором - tm 2 . Ошибка в определении t m составит согласно (14.182):
δ tm = tm1 − tm 2 = δ t0 + ( Δ1t ) T1 − ( Δ 2t ) T2 ,
(14.185)
δ t0 = t01 − t02 , Δ1t = tΠ1 − t01 , Δ 2t = tΠ 2 − t02 . Пусть
два
рассматриваемых
случая
различаются
только
температуры пород и воды одинаковы и равны [436]: tп1 = tп 2
Kε ,
= tп = 280 С,
0 t01 = t02 = 210 С . Тогда δ t0 = 0, Δ1t = Δ 2t = Δt = tΠ − t0 = 7, 0 C , δ tm = Δt ⋅ δ T = 7 ( 0, 51 − 0, 56 ) = −0, 350 C. Таким образом, пренеб-
режение теплофизической неоднородностью, допущенное указанными авторами, как будто бы справедливо. Однако для условий глубоких шахт значения величин tп и t0 будут иными, что приведет к существенному увеличению
t
01
=t
02
ошибки.
= t = 150 С .
= −1, 5o C ,
0
Действительно
пусть
t
п1
=t
п2
o
= t = 45
п
С,
' получаем: δ tm = Δt 'δ T = −30 ⋅ 0, 05 =
Тогда
т.е. занижение температуры, обусловленное ложным предположением Kε = 1, 0 достигает 1,50С, или более чем в четыре раза превосходит предыдущую величину. Эти оценки противоречат, на первый взгляд, допущению 4, сделанному при формулировке матмодели. Однако фактически, постулируя симметрию системы, т.е. полагая Kε 1 = Kε 2 (где Kε 1 = ε 2 / ε1 , Kε 2 = ε 3 / ε1 , ε 3 ≠ ε 2 − термическая активность почвы), допущена существенно большая ошибка, чем в предыдущем случае, когда считали ε1 = ε 2 = ε 3 . Погрешность в 1,50С для tm , полученная в предыдущем примере, обусловлена разностью ΔKε = Kε( 2) − Rε(1) = 3,5 − 1,0 = 2,5. В шахтных же условиях, породы кровли и почвы, хотя часто и различаются (например, кровля-песчанистый, а почва – глинистый сланец), но теплофизические параметры их варьируют слабо. В частности, в условиях шахты им. Менжинского [437] породы кровли – глинистый сланец ( Kε = 3,5 ) , а почвы 610
( ( )
)
– песчанистый сланец Kε = 3, 7 . Таким образом, ΔK ε = 0, 2. Поскольку в выражение для T Fo величина K ε входит посредством комплекса
(
)(
)
1/ 2
Rε = ⎡ ⎣ 3 Kε + 1 / 3Kε + 3 ⎤⎦ , весьма слабо меняющегося с изменением Kε Rε = 0,815 при K ε = 1, 0 и Rε = 0, 946 при K ε = 5, 0), вариация ΔK ε − 0, 2 , связанная с тем, что фактически ε 2 ≠ ε 3 , не оказывает, практически, влияния на результаты расчетов.
(
Уточнение принятой симметричной модели возможно следующим образом. При ε 2 ≠ ε 3 находим вначале T1 ( Fo ) для Kε 1 = ε 2 / ε1 , затем
T2 ( Fo ) − для Kε 2 = ε 3 / ε1 и полагаем T ( Fo ) = 0, 5 (T1 ( Fo ) + T2 ( Fo ) ) .
Изложенное позволяет считать допущение 4 достаточно обоснованным. Сравним результаты расчета по формуле (14.182) с экспериментальными данными [436,437]. При осуществлении дренажа на горизонте 777 м шахты им. Менжинского (ПО «Первомайскуголь»), циркуляция воды с температурой t0 210 C в течение трех месяцев привела к снижению температуры на границе пласта с породой от Воспользуемся
графиком
( )
на
рис.14.10.
tп = 28,10 C до Для τq = 3
25,50С. месяца:
Foq = 5, 4, T Foq = 0, 56. По формуле (14.182) находим:
tm = t0 + ( tп − t0 ) T ( F0 q ) = 21 + ( 28,1 − 21) ⋅ 0,56
250 C ,
т.е. относительная погрешность расчета 2%.
Инженерные задачи теплового расчета системы дренажа. Харак-
терная температура tm в процессе циркуляции по скважинам холодной воды снижается. Поскольку темп этого снижения (см. рис.14.10) уменьшается, целесообразно определить, за какое время и при какой температуре воды t0 ∗ возможно довести tm до некоторого заданного значения tm . Для полной нейтрализации теплопритоков от горного массива естественно выбрать ∗ 0 tm = 26 C . Таким образом, первая задача теплового расчета системы дренажа формулируется так: определить, при каких значениях температуры воды t0 можно снизить температуру tm до значения tm∗ = 26 o C в технически реализуемое время τ q , равное, например, 3 месяцам. Вторая задача теплового расчета системы дренажа может быть сформулирована так: определить величины tm , которые можно получить за 611
заданное время
τq
при различных значениях
tп
и
t0 .
Для решения обеих
задач необходимо воспользоваться основной расчетной формулой (14.182). ∗ 0 Для первой задачи, положив в (14.182) m q m 26 C получим:
( Fo ) = t = 26 = t (1 − T ( Fo ) ) + tпT ( Fo ) , t
0
откуда
t0 =
q
,
q
26 − tпT ( Foq )
(14.186)
1 − T ( Foq )
Графическое изображение зависимости (14.186) представлено на рис.14.11. Из графиков (см.рис.14.11) следует в частности, что при 0 0 tп = 50 C для обеспечения условия tm = 26 C даже при длительном охлаждении массива (τ q
= 110
суток) требуется низкая температура воды
t0 = 2 0 C .
При подаче воды с температурой же цели уже потребуется 150 суток.
t0 = 100 C
для достижения той
Рис. 14.11 Необходимая начальная температура воды в скважине в зависимости от начальной температуры массива и периода дренирования, * обеспечивающего t m =26°С. (i ) Вторая задача решается с использованием (14.182). При tп = tп имеем: i i tm( ) Foq = t0 + tп( ) − t0 T Foq i = 1, 2, . (14.187)
(
(
)
)
(
) ( )
j Если обозначить T Foq( ) = K j , то получим из (14.187)
612
…
(
() tm Foq( i
j)
) = K tп( ) + (1 − K ) t , i
j
j
{
(14.188)
0
}
() т.е. семейство прямых в координатах t0 , tm . По формуле (14.188) для i
i i любого Foq( j ) и tп = tп( ) можно найти tm( ) в зависимости от t0 . Результаты
{
}
() () таких расчетов при Foq = 5, 4, tп = 300 , 400 , 500 C i
i
приведены на
t =100C, снизить tm
0 рис.14.12. Тогда, например, при tп = 50 C и 0 месяца возможно лишь до величины +32,40С.
за три
Рис. 14.12 Зависимость характерной температуры tm от температур воды и пород для τq = 3 месяца.
§196. Инженерные расчеты
Теплоперенос в дренажной скважине. Движение воды в дренажной скважине имеет сложный характер, обусловленный ее неправильной формой, шероховатостью и проницаемостью стенок, нерегулярностью скорости. Ввиду этого целесообразно, при построении модели, принять такие упрощающие предположения, которые бы обеспечивали ее максимальную простоту, отображая вместе с тем все главные, существенные черты процесса. Предполагаем: - течение в скважине стержневое, с постоянной скоростью Vb и расходом G0 = Vb ⋅ Sc , Sc = π rc2 , ( rc − приведенный радиус скважины); 613
- температура воды на входе в скважину (в циркуляционную систему)
постоянна и равна t 0 = tн ; - течение носит турбулентный характер, так что в малых объемах жидкости перемешивание обеспечивает быстрое выравнивание температур, т.е. конечность теплопроводности воды не учитывается. Отвечающим этим предположениям моделью является тепловой баланс для элемента жидкости с объемом dw :
dw = Sc dx = ScVb dτ = G0 dτ .
(14.189)
Пусть плотность теплового потока от массива к скважине на расстоянии
x
τ будет q ( x,τ ) .Элемент поверхности dS = 2π rc ⋅ dx за время dτ пропустит количество
от ее устья и в момент времени скважины с площадью тепла, равное
dQm = q ( x,τ ) ⋅ 2π rc dxdτ
Это количество тепла воспримет элемент жидкости
(14.190)
dw, имеющий удельную
( ρ C )b . Если температура воды в точке с координатой x была t0 ( x ) , то в точке x + dx она будет равна t0 ( x + dx ) = t0 ( x ) + dt0 ( x ) . Теплосодержание элемента dw возрастает на dQm : dQm = ( ρ C )b dwdt0 ( x ) = ( ρ C )b G0 dτ dt0 ( x ) . (14.191) объемную
теплоемкость
Приравнивая, левые и правые части (14.190) и (14.191), получаем искомое уравнение теплопереноса:
dt0 ( x ) 2π rc q ( x,τ ) . = dx ( ρC )b G0
(14.192)
По аналогии с подходом, принятым в теплофизике горных выработок [89], введем коэффициент нестационарного теплообмена для скважины.
Kτ , c =
q ( x,τ )
tп − t0 ( x )
, q ( x,τ ) = Kτ , c ( tп − t0 ( x ) ) .
Подставив (14.193) в (14.192) получим:
614
(14.193)
dt0 ( x ) dx
B=
Kτ , c 2π rc
( ρ C )b G0
+ Bt0 ( x ) = Btп ,
=
(14.194)
q0 2π rc , q0 = Kτ , c . G0 ( ρ C )b
(14.195)
Решение уравнения (14.194), удовлетворяющее граничному условию
tc ( x ) имеет вид:
x =0 = t н
(14.196)
t0 ( x ) = tн + ( tп − tн ) ⎡⎣1 − exp ( − Вx ) ⎤⎦ .
(14.197)
Введем безразмерную температуру воды Q0 ( x ) , принимающую значения в интервале [0,1]: t 0 ( x ) − tн Q0 ( x ) = = 1 − exp ( − Bx ) . (14.198) t п − tн Если длину скважины обозначить Lc , то безразмерная температура воды в конце скважины t −t Q0 ( Lc ) = Qok = k н = 1 − exp ( − BLc ) . (14.199) tп − tн Таким образом, температура воды в конце скважины будет
tk = tн + ( tп − tн ) Qоk = tk + ( tп − tн ) ⎡⎣1 − exp ( − BLс ) ⎤⎦ , (14.200) а температурный перепад между выходом и входом скважины
(
)
Δtc = tk − tн = tп − tн Q0 k . Для использования всех полученных теплопритоки к скважине от массива.
615
формул
(14.201) необходимо
найти
Теплопритоки к скважине. Для определения количества тепла, вышедшего или вошедшего за некоторый период времени из области Ω, используются два метода: - интегрирование по времени и поверхности, ограничивающей Ω, плотности потока тепла; - подсчет изменения теплосодержания в области Ω за соответствующий временной промежуток. В рассматриваемой задаче более быстро приведет к решению второй метод. Рассмотрим сечение системы «пласт-порода» (см. рис.14.9), т.е. области Ω1 и Ω+ . Изменение теплосодержания области Ω1 в единицу времени определяется соотношением прихода тепла через границу x = m / 2 и его расходом, обусловленным теплооттоком к скважине. Этот баланс имеет вид dV m1C1 1 = q1( + ) S1 − q0 S0 , (14.202) dτ
где m1 − масса угля в области Ω1; C1 − удельная теплоемкость угля; + V1 (τ ) − средняя температура; q1( ) (τ ) − плотность потока тепла через границу x = m / 2; S1 − площадь границы (единичной длины вдоль скважины); q0 − плотность теплопритоков к скважине; S0 − площадь одного погонного метра поверхности скважины. Проинтегрируем (14.202) по времени, учитывая, что
τ
τ
mC 1 (+) Q0 (τ ) = ∫ q0 (τ ') dτ ' = 1 1 ⎡⎣tп − V1 (τ ) ⎤⎦ + q (τ ') dτ '. 1 ∫ 2 β1S1 2 β1 0 0
Преобразовав (14.203) по Лапласу, получим: ⎡t ⎤ 1 q1 ( p ) Q0 ( p ) = ⋅ + γ 1 ⎢ п − V1 ( p ) ⎥ . 2 β1 p ⎣p ⎦
(14.203)
(+)
где:
γ1 = а
( ρ C )1 m / 2 2 β1
β1 , β 2 , β 3 − были определены ранее. 616
(1 − β1β 3 ) ,
(14.204)
(14.205)
Используя уравнения связи функции склейки с потоками тепла в слоистых системах [33], находим
⎞ q1( ) ε 2 ⎛ tп (+) μ p = − ( ) 1 ⎜ ⎟, p p⎝ p ⎠ +
(14.206)
μ1( + ) ( p ) = L {tm (τ )} = tm ( p ) . Подставив (14.206) в (14.204), обратное преобразование Лапласа осуществляем, используя теорему о свертке [32]. При вычислении последней, функцию
T ( Fo ) аппроксимируем кусочно-линейной: ⎧a1 − b1 Fo, Fo ∈ ( 0;3] , ⎪ T ( Fo ) = ⎨a2 − b2 Fo, Fo ∈ ( 3;6] , ⎪ a − b Fo, Fo ∈ ( 6;9] , ⎩ 3 3
где:
(14.207)
a1 = 1,0; a2 = 0,93; a3 = 0, 79; b1 = 0,09; b2 = 0, 067 b3 = 0,043.
После несколько громоздких выкладок получаем выражение:
Q0 ( Fo ) = ( ρ C )1 ( tп − t0 ) S q Z ( Kε , Fo ) , где
Q0 ( Fo ) − количество
(14.208)
тепла, перешедшее из массива к одному метру
( m / 2) скважины за время, прошедшее от τ = 0 до τ = a1
2
⋅ Fo; S q = mM −
площадь сечения части пласта, приходящейся на одну скважину (без учета сечения
скважины).
Комплекс
теплопритоков, имеет вид:
Z ( Kε , Fo ) где
S c = π rc2 −
⎛ = ⎜1 − ⎜ ⎝
Z ( Kε , Fo ) ,
описывающий
Sc ⎞ ⎟ Qcp ( Fo ) + Kε A ( Fo ) , Sq ⎟⎠
сечение скважины,
табулированная нами функция,
A ( Fo ) −
tп − V1 ( Fo ) θср ( Fo ) = . t п − t0 617
динамику
(14.209)
имеющая сложный вид и
(14.210)
Обращая по Лапласу полученное ранее выражение для V1 ( p ) , находим V1 ( Fo ) и θ ср ( Fo ) . Полученные формулы, ввиду их громоздкости не приводятся. Для «базисных» значений параметров и K ε = 3, 5 численный расчет дает динамику средней безразмерной температуры (рис.14.13). Для тех же условий рассчитаны и Z ( Kε , Fo ) , (рис.14.14). Значения функции A ( Fo ) приведены в табл.14.3.
Рис. 14.13 Зависимость безразмерной средней температуры пласта угля от безразмерного времени дренирования при Kε =3.5.
Fo A ( Fo )
Значения функции A ( Fo )
Таблица 14.3.
0,3 0,6 1,2 1,8 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 0,011 0,031 0,082 0,162 0,352 0,559 0,828 0,851 0,915
Рис. 14.14 Функция Z ( Kε , Fo) при Kε = 3.5. 618
Для удобства использования при K ε = 3, 5 функции рис.14.14), она аппроксимирована кусочно-линейной:
(
Z Kε , Fo
⎧0, 4 Fo, Fo ∈ ( 0;1,25] , ⎪ Z ( 3,5; Fo ) = ⎨−0, 263 + 0,61Fo, Fo ∈ (1, 25; 6,0] , ⎪ 2,6 + 0,133Fo, Fo ∈ ( 6,0; 9,0]. ⎩
) (см.
(14.211)
Количество тепла, перешедшее из массива к одному погонному метру скважины в единицу времени, находим, дифференцируя (14.208): 2πτ c q0 (τ ) =
dQ0 ( Fo ) dQ ( Fo ) ⎛ dFo ⎞ = ⎜ ⎟= dτ dFo ⎝ dτ ⎠ M ⎞ dZ ( tп − t0 ) . ⎟ m dFo ⎝ ⎠
(14.212)
⎛
= 4λ1 ⎜
Если от выделенного сечения, в котором температура воды в дренажной скважине t0 , перейти к произвольному сечению t0 ( x ) , то получим из (14.212), (14.193) - (14.195):
q ( x ,τ ) =
⎛ M ⎞ dZ ⎡⎣tп ⎟ m dFo ⎝ ⎠
2λ1 ⎜
− t0 ( x ) ⎤⎦
π rc
Kτ , c =
,
2λ1 ⎛ M ⎞ dZ , ⎜ ⎟ π rc ⎝ m ⎠ dFo
K 2π rc 4λ1 ⎛ M ⎞ dZ g0 = τ c . = ( ρ C )b ( ρ C )b ⎜⎝ m ⎟⎠ dFo
(14.213)
(14.214)
(14.215)
Подстановка численного значения g 0 в (14.195) позволяет рассчитать по формуле (14.199) значения температур воды на выходе из скважины в зависимости от ее длины Lc и расхода G0 . Согласно (14.211) для Fo ∈ (1, 25; 6, 0 ) (т.е. для τ q от 20 до 100 суток), имеем dZ / dFo = 0, 61, откуда по формуле (14.215) находим g0 = 2,135 ⋅10−3 м 2 / ч. Рассчитанные с 619
учетом этого значения
g0
функции
рис.14.15.
θ ok = θ ok ( Lc )
приведены на
Рис. 14.15 Зависимость безразмерной температуры воды в скважине от её длины и величины расходов. При рассмотрении второй задачи расчета теплового дренажа была получена зависимость вида tm = tm ( tп , t0 ) (см. рис.14.12.). Эти зависимости
справедливы для сечения скважины, в котором температура воды t0 . Используя полученные формулы, теперь можно установить изменение харак-
t m вдоль скважины, т.е. tm = tm ( tп , t0 ( x ) ) . Имеем согласно (14.182)
терной температуры
получить зависимость
tm ( x ) = t0 ( x ) + ⎡⎣tп − t0 ( x ) ⎤⎦ T ( Fo ) .
(14.216)
Подставив в (14.216) выражение 14.197), получим:
(
)
t m ( x ) = t mн + ( t п − t mн ) 1 − e − B х , где
tmн = tm ( 0 ) = tн + ( tп − tн ) T ( Fo ) -
(14.217)
начальное значение характерной
температуры (ее значение на входе в скважину). Если в конце скважины
( x = Lc )
tm = tm ( Lc ) = tп , то с учетом (14.182) имеем:
(
)
tmk = tmн + ( tп − tmн ) 1 − e − BLc , 620
(14.218)
θ mk =
tmk − tmн tп − t m н
= 1 − e − BLc = θ 0 k ,
(14.219)
т.е. безразмерная характерная температура в конце скважины совпадает с таковой для воды (см. рис.14.15). Формула (14.219) позволяет решить следующую задачу. Пусть, по тем или иным причинам, желательно
t
t
обеспечить в конце скважины значения mk , отличающееся от mн не более о чем на заданную величину, например. mk Необходимо mн
t
выяснить,
при
различных
значениях
≤t
+2
длины
С.
скважины
Lc ,
каков
необходимый расход воды через скважину. Ответ следует из формулы (14.219), которая с учетом (14.195) дает:
G0 = g0 Lc
⎡ln ⎣
(1 − θok )
Формула (14.220) позволяет для различных
Δtm = tmk − tmн = ( tп − tmн )θ ok ,
−1 −1
⎤ ⎦
.
(14.220)
Lc и допустимых перепадов вычислять
соответствующие
значения расходов G0 (м3/ч). Результаты таких расчетов приведены на рис.14.16.
Рис. 14.16 Зависимость необходимого расхода воды в дренажной скважине от её длины и безразмерного комплекса θok. Результаты, полученные при анализе математической модели теплапереноса в одиночной скважине, позволяют перейти к решению основного
621
вопроса теплового расчета дренажа – определению холодопотребности дренируемого участка массива в целом.
Холодопотребность дренируемого участка. Определим количество тепла, отводимого от массива одной скважиной длиной Lc . Если температуры воды в начале ( tн ) и в конце скважины ( tk ) − известны, то в единицу времени имеем изменение теплосодержания воды: ΔQC = ( ρ C )b G0 ( tk − tн )
(14.220)
Если осуществлять циркуляцию воды в замкнутом контуре, содержащем водоохладитель, то формулой (14.221) выражается и необходимая на одну скважину холодопотребность, поскольку возможны, в принципе, три схемы построения контура циркуляции: последовательное, параллельное и групповое соединение дренажных скважин. Рассмотрим их отдельно. А. Последовательное соединение дренажных скважин. Пусть длина дренируемого участка Lq , м. Тогда на нем располагается N q дренажных скважин, имеющих длину, равную длине лавы - Lл : Lq Nq = . M
(14.222)
Длина сети, или «эффективная длина» скважины, будет
Lc = N q Lл
(14.223)
Холодопотребность участка составит:
( (
( )
)
)
ΔQуч. = ΔQс Lс = ( ρ C )b G уч t0 N q Lл − tн , где
G уч. = G0 − расход воды на
(14.224)
участок. Используя (14.199), представим
(14.224) в виде
ΔQуч. = ( ρC ) b ( tп − tн ) G учθ 0 ( N q Lл ) ,
G уч = G0 .
(14.225)
В. Параллельное соединение скважин. Холодопотребность одной
скважины составит
622
ΔQс = ( ρ C )b ( tп − tн ) G0θ0 ( Lл ) ,
(14.226)
для N q скважин, т.е. для участка:
ΔQуч. = N q ΔQc = ( ρ C )b ( tп − tн ) Gучθ0 ( Lл ) , Gуч = N q G0 .
(14.227)
С. Групповое соединение скважин. Скважины запараллелены
группами по n штук в группе. Группы соединены последовательно. Если на участке N q дренажных скважин, то имеем N 2 групп: N 2 = N q / n. Пусть ΔQc , ΔQ2, ΔQ уч . − соответственно холодопотребности одной скважины, группы скважин и всего участка. Внутри группы имеем параллельное соединение скажин, поэтому
ΔQ2 = nΔQc = ( ρ C )b ( tп − tн ) Gnθ 0 ( Lл ) , Gn = nG0 , где
Gn −
(14.228)
расход воды на одну группу. Так как группы соеденены
последовательно, имеем
ΔQуч. = ( ρC )b ( tп − tн ) Gучθ 0 ( N 2 Lл ) , Gуч = Gn = nG0 .(14.229) Формулы (14.225), (14.227), (14.229), по которым определяется холодопотребность участка при различных схемах включения скважин, допускают обобщенную, унифицированную запись. Действительно имеем:
θ 0 ( N q Lл )
⎛ = 1 − exp ⎜ − ⎝ ⎛
θ 0 ( Lл ) = 1 − exp ⎜ − ⎝
g0 N q Gc
Lл
⎞ ⎟, ⎠
G уч. = Gc ,
g0 ⎞ Lл ⎟ , G уч. = N q Gc , Gc ⎠ ⎛
g0 N q
⎝
Gc n
θ 0 ( N 2 Lл ) = 1 − exp ⎜ −
(14.230)
⎞
Nq
⎠
N2
Lл ⎟ , Gуч. = nG0 =
G0 ,
Если в каждой из формул (14.230), G0 выразить через Gуч. , то у всех экспонент аргументом будет величина ξ i :
623
θ 0(i ) = 1 − exp ( −ξ i ) , ξ i = g 0 N q Lл / G уч( i ). ,
(14.231)
где
⎧G0 i = 1 − последовательное соединение (i ) ⎪ G уч. = ⎨ N q G0 , i = 2 − параллельное соединение ⎪( N / N ) G , i = 3 − групповое соединение ⎩ q 2 0
(14.232)
Введем безразмерную холодопроизводительность (функцию холодопроизводительности)
-Ψ :
() ΔQуч . i
Ψ=
( ) Δ Q , уч . = ( ρ C )b g 0 Lл N q ( tп − t н ) (o) o
ΔQуч.
(14.233)
Из (14.230), (14.231) следует, что для всех видов соединения скважин ( i = 1,2,3) можно записать Ψ = Ψ (ξ i ) =
1− e
−ξ i
ξi
.
(14.234)
Безразмерный аргумент ξ i определяется по формулам (14.231), (14.232) и может изменяться в широких пределах. Можно показать, что с достаточной точностью при ξi ≥ 5 : Ψ (ξ i ) ≈
1
ξi
.
(14.235)
Для ξ i ∈ [0;5] произведены расчеты по формуле (14.234), результаты которых представлены графически на рис.14.17. Таким образом, холодопроизводительность участка во всех случаях может быть найдена по формуле ΔQуч. = ΔQуч( 0.) Ψ ξ i . (14.236) В таблице 14.3 приводятся найденные расчетом на ЭВМ значения безразмерной температуры Т при Kε = 3,5 для различных комбинаций геометрических параметров модели дренажа. Полученные математическим моделированием результаты были апробированы и использованы МакНИИ для подготовки технико-экономических обоснований мероприятий по совершенствованию техники безопасности и охраны труда в угольной промышленности [117, 304, 438].
( )
624
Рис. 14.17 Функция холодопроизводительности Ψ (ξ ) .
Глава 57. УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫМ РЕЖИМОМ: ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕПЛА ГОРНЫХ ПОРОД §197. Шахтные геотермальные теплообменники (аккумуляторы тепла)
В настоящее время большое значение приобрели исследования в областях энергосбережения и экологии. Существенную часть их составляют работы по использованию низкопотенциального технологического тепла, рассеиваемого в атмосферу из различных подземных сооружений, метрополитенов, шахт, рудников [439÷452]. Наряду с работами инженерноэксперименталь-ной и технико-экономической направленности [439,440,443,444,446,447,449, 452] встречаются и посвященные математическому моделированию различных «аккумуляторов тепла» [441,442,445,448]. В русле работ последнего вида, автором, совместно с д.т.н., проф. Костенко В.К. (Дон НТУ) был опубликован цикл статей [305,306,9,453÷455] по математическому моделированию шахтных аккумуляторов тепла ( ШАТ), предложенных В.К.Костенко. Далее предлагается обобщенная, с учетом результатов глав 47 и 48, версия указанных работ. Геотермальный теплообменник (далее шахтный аккумулятор тепла – ШАТ) представляет собой систему каналов (выработок, скважин большого диаметра) в горном массиве, соединенных последовательно, с движущимся по ним теплоносителем (воздухом) – Рис.14.18 [453]. Двигаясь по каналу, воздух нагревается в силу теплообмена с горным массивом, температура которого на данной глубине tп ( оС ) должна быть достаточно высокой 625
(t
п
)
≈ 45 − 50 оС . Нагретый до температуры, близкой к tп , воздух подаётся в
«тепловой
трансформатор» (тепловой насос, вихревая труба и т.п.)где осуществляется дальнейшее повышение его температуры.
Рис. 14.18 Схема «последовательного» геотермального теплообменника в выработанном пространстве.
Целью
математического
моделирования
ШАТа
является первоначальная оценка (уточняемая на втором этапе – оптимизации параметров ШАТа) его эксплутационных параметров: общей длины теплообменного канала
L ( м ) ( L = NL0 , N − число «каналов-модулей» КМ,
L0 − длина KM ( L0 ≈ 100 − 200 м ) ) ; M ( м ) между стенками двух смежных KM в горном массиве;
сумма которых и образует ШАТ, а расстояния
(
)
продолжительности периодов эксплуатации («разрядки» ШАТа τ p , ( сут ) и восстановления первоначального температурного поля массива (самоликвидации охлажденной зоны в нём, возникшей в период разрядки), или – «зарядки» (τ 3 , ( сут ) ) . Режимы работы ШАТа (подготовительный, разрядки и зарядки) характеризуется своей продолжительностью. Отсчет времени ведётся от значения
τ =0
в начале каждого из режимов до значения
τ = τ i ( i = 1, 3 ) ,
при котором данный режим завершается. На подготовительном периоде осуществляется проходка и закрепление выработок (первая фаза) и восстановление в массиве первоначального (принимаемого однородным с температурой tп ) температурного поля, так что τ 1 = τ с + τ п , где τ с − продолжительность строительства ШАТа (формирования «стартовой» охлажденной зоны), а τ п − продолжительность её ликвидации (подготовка к работе в эксплуатационном режиме). В период эксплуатации (разрядки
626
ШАТа) в массиве вновь образуется охлажденная зона, а температура воздушной струи на выходе из ШАТа tBN (τ ) изменяется от принимаемого за «стартовое» значения tBN (τ 0 )(τ 0 = 1 сут.) до финишного значения
( ) . По достижении финишного значения температуры струи t (τ p ) , эксплутационный режим завершается и
t BN (τ 2 ) = t BN τ p
воздушной
BN
начинается режим зарядки ШАТа, вплоть до момента времени τ 3 − »почти полного» восстановления в массиве температуры tп («почти» - т.к. точное
tм (τ ) = tп возможно лишь в стационарном τ = τ 3 → ∞ ). Зарядка осуществляется теплоизоляцией
значение температуры массива
состоянии – при каналов, т.е. реализацией в них нулевых режимов проветривания. Таким образом, имеем аналогии: первая фаза подготовительного режима и режим разрядки заключаются в формировании в массиве охлажденных зон («малой» - за время τ = τ с и «большой» - за время τ p ); вторая фаза подготовительного режима и режима зарядки состоят в ликвидации этих зон, т.е. повышении температуры массива до значений tм ≈ tп (соответственн0 за времена τ п и τ 3 ). Следовательно, имеем фактически два модельных режима – 1) разрядки; 2) зарядки. Строго говоря,
краевые задачи теплопроводности в горном массиве и конвективного теплопереноса в каналах ШАТа, должны решаться как двумерные и в сопряженной постановке. Однако опыт математического моделирования аналогичных систем в ранее указанных работах и в работах последнего времени [456, 457] и требования оптимальной сложности моделей, их адекватности реальным системам, указывают на возможность и необходимость принятия следующих методологических принципов моделирования, существенно его упрощающих. , вытекающие из результатов Части 12: 1) температурное поле в горном массиве в режимах разрядки является квазиодномерным, когда зависимость его от продольной координаты x содержится в таковой зависимости температуры поверхности горного массива (т.е. температуры стенки горной выработки):
Принципы моделирования ШАТа
tм ( x, r0 ,τ ) = tст ( x,τ ) ;
2) в этих режимах ширина охлажденной зоны в
массиве является усредненной по
δ = δ (τ )
величина
x,
т.е. зависит только от времени :
(при первой фазе подготовительного периода её максимальная
( ) ) ; 3) на
−δ m = δ (τ c ) , а в режиме эксплуатации −δ m = δ τ p
основании результатов §176 принимаем: δ
/ r0 = 3 Fo ,
627
Fo = aτ / r02 ; 4)
решение краевой задачи охлаждения массива на подготовительном периоде не осуществляется, поскольку период строительства τ c считается заданным, а, следовательно, известна и ширина охлажденной зоны
aм − температуропроводность
δ (τ c ) = 3 aмτ c
(
горного массива), а последней достаточно
для определения времени зарядки τ п ; 5) краевую задачу охлаждения горного
массива в режиме эксплуатации рассматриваем в полусопряженной постановке [40] , когда температурные поля в массиве и в выработке связаны между собой граничным условием третьего рода с коэффициентом теплообмена α , определенным согласно [89] ; 6) достаточным при этом является использование не решения краевой задачи охлаждения массива (т.е. задачи О.А.Кремнёва [89]), а лишь выражения для величины температуры стенки горной выработки
(вытекающее из выражения для
tст (τ ) ,
имеющегося в [89] после замены его на tст ( x,τ ) ); 7) ширина образующейся при этом охлажденной зоны массива будет
δ (τ p ) = 3 aмτ p ;
8)
уравнение теплопереноса по каналу ШАТа используется в виде, ранее полученном для квазистационарных (т.е. продолжительностью более нескольких часов) процессов (см.(12.58), (12.59) с учётом ∂t / ∂τ = 0 и f ( x,τ ) = 0 ) ; 9) Теплопотерями в соединениях КМ пренебрегаем, так что температура воздуха на входе во второй КМ температуре на выходе из первого КМ:
t B(02) (τ ) будет равна его
tB( 02) (τ ) = tB1 (τ ) и т.д., т.е.
( 0) (τ ) = t t BK BK −1 (τ ) , ( K = 2, N ) ; 10) Критерием «почти полного» восстановления
первоначального температурного поля в горном массиве (т.е. завершения режима зарядки) будем считать отличие теплосодержания массива (в пределах образовавшейся охлажденной зоны) от его первоначального ( при tм =tп ) значения не более, чем на 1%. В следующих параграфах рассмотрим модели режимов разрядки ШАТа и его зарядки, руководствуясь перечисленными методологическими положениями и используя для оценок и численных расчетов следующие значения параметров: эквивалентный радиус выработки длина
-
КМ
(КМ)
− r0 = 1м;
− L0 = 100м ; коэффициент температуропроводности горного aм = 27 ⋅10-4м2/час, коэффициент температуропроводности
массива
-
воздуха
− aB = 7, 26 ⋅ 10 −2 м 2 / час ;
628
удельная
объёмная
теплоёмкость
массива воздуха
§198.
−СVм = 552,12 ккал/м 3 ⋅ град ; удельная объёмная теплоёмкость
−СV 0 = 0, 29 ккал/м3 ⋅ град
[40].
Модель режима разрядки
Эта модель, как уже говорилось, обобщает случаи формирования в горном массиве охлажденных зон в первой фазе подготовительного периода (продолжительностью τ c ) и в эксплуатационном режиме работы ШАТа (продолжительностьюτ p ). Поскольку температура воздуха в выработке в
период её строительства (τ c ) нас не интересует, в решении задачи сопряженного теплообмена в системе «массив-выработка» необходимости нет. Достаточной для определения времени зарядки в подготовительном периоде (τ п ) оказывается величина δ (τ с ) − ширина охлажденной зоны, возникающей при строительстве КМ. Согласно ранее сделанным предположениям: ⎧2,4м, τ с = 10сут, ⎪ δ (τ с ) = 3 aмτ с = ⎨3, 4м, τ с = 20сут, ⎪4,2м, τ = 30сут. с ⎩ Значение
τп,
(14.237)
δ (τ с ) , будет найдено далее методом, τ 3 = τ 3 (δ (τ с ) ) − зависимости времени
соответствующее
излагаемым при определении
зарядки от ширины охлажденной зоны, формирующейся в период зарядки (в эксплуатационном режиме при τ
∈ ( 0,τ з ) .
При рязрядке ШАТа в эксплутационном режиме, для определения
его продолжительности т.е. функцию t B
V
τ p,
необходимо найти температуру воздуха в КМ,
( x,τ ) , удовлетворяющую краевой задаче:
∂t B = β0 ⎡⎣tcT ( x,τ ) − tB ( x,τ ) ⎤⎦ + Vt B ( 0,τ ) δ ( x ) , x > 0, ∂x
t B ( 0,τ ) = t B 0 (τ ) ,
( ∂t / ∂x ) x →∞ → 0, τ > 0
(14.238)
(14.239)
Здесь: V = const − скорость движения воздуха по КМ (принят стержневой профиль скорости); tcT x,τ − температура стенки горной выработки (т.е.
(
)
629
поверхности горного массива:
tм ( x, r0 ,τ ) = tcT ( x,τ ) ) , определяемая из
( )
параметризованной по x задачи О.А. Кремнёва [89]; t B 0 τ − температура воздуха во входном сечении ШАТа (т.е. первого КМ при их последовательном соединении); β 0 = αΠ / cV 0 S , где α − коэффициент теплообмена при эксплуатационном режиме, Π , S − соответственно периметр и площадь сечения КМ, cv 0 − удельная объёмная теплоёмкость воздуха. Краевую задачу охлаждения горного массива не формулируем и не решаем, поскольку используем решение этой задачи, данное в[89], из которого следует: ⎛
tcT ( x,τ ) = tB ( x,τ ) + ⎡⎣tп − t B ( x,τ ) ⎤⎦ ⎜1 − ⎝
Bi ⎞ f ( z)⎟ Bi ' ⎠
(14.240)
Bi = α r0 / λм − безразмерное число (критерий теплообмена) Био; Bi ' = Bi + 0, 375 ; коэффициент теплообмена α и f ( z ) определяются
где:
выражениями
[89]:
Nu = 0,0195Re0,8 , Nu =
2α r0
λB
,Re =
2Vr0 vB
( )
(14.241)
f ( z ) = 1 − exp z 2 erfc ( z ) , z = Bi ' Fo . В
(14.241):
= 2,1 ⋅ 10
−2
λB -
коэффициент теплопроводности воздуха
ккал / м ⋅ час ⋅ град ) ;
vB −
= 14, 7 ⋅ 10−6 м2 / cек ) ; ε − коэффициент (ε ≈ 2, 0 [89]) .
вязкость
(14.242)
( λB = cV 0 ⋅ aB = воздуха
шероховатости
( vB =
стенок
КМ
Подстановка (14.240) в (14.238) преобразует последнее к виду:
V
∂t B = β ( z ) ⎡⎣tп − t B ( x,τ ) ⎤⎦ + Vt B 0 (τ ) δ ( x ) , x > 0 , ∂x
(14.243)
где
⎛
β ( z ) = β 0 ⎜1 − ⎝
Bi ( z ) ⎞⎟ . Bi ' ⎠
(14.244)
Решение уравнения (14.243) находим преобразованием Лапласа по x
(см.§169) и получаем:
630
⎡
⎛
tB ( x,τ ) = tB 0 (τ ) + ⎡⎣tп − tB 0 (τ ) ⎤⎦ ⎢1 − exp ⎜ −
β (z)
V ⎝ (14.241) и
⎢ ⎣
Аргумент экспоненты в (14.245) с учётом ⎡ккал / м 2час×град ⎤ и V [м/сек] , приводится к виду: ⎣ ⎦ -
β ( z) V
⎞⎤
x ⎟⎥
(14.245)
⎠⎥ ⎦
размерностей α
x = − K ( Re, Fo ) ξ , (14.246)
Bi x ⎞ f ( z ) ⎟ ,ξ = . Bi ' L0 ⎠
⎛
K ( Re, Fo ) = 10,72 Re −0,2 ⎜1 − ⎝
Вводим температурные перепады между tп и температурами на выходе из первого t B1 τ = t B L0 ,τ , второго t B 2 τ = t B 2 L0 ,τ и
( ( )
последующих КМ:
(
))
( ( )
… Δt
Δt1 (τ ) = tп − t B1 (τ ) , Δt2 = tп − t B 2 (τ ) ,
))
(
n
= tп − t Bn (τ ) , n =1,N
(14.247)
Тогда из (14.245), (14.246) и (14.247) следует: где
n
Δtn = tп − t B ( z ,ξ ) = Δt0 ⎡⎣ E ( Re, Fo ) ⎤⎦ , ξ =n Δt0 = ⎡⎣tп − t B 0 (τ ) ⎤⎦ ,
(14.248)
E ( Re, Fo ) = exp ⎡⎣ − K ( Re, Fo ) ⎤⎦
(14.249)
Формула (14.248) предполагает, что все КМ соединены в ШАТе последовательно, последующие расчёты также базируются на модели «последовательно» ШАТа. Затем, в §199 рассмотрим модель «параллельного» ШАТа (вернее комбинированного, т.к. будем моделировать схему ШАТа как параллельные соединения групп, состоящих из последовательных КМ). Формулы (14.248), (14.249) могут служить основой дальнейших расчётов, поскольку следуют из (14.245) и (14.246). Решение (14.245) удовлетворяет качественно физическим требованием и краевым условиям поскольку: tB ( x,τ )
tB ( x,τ )
x =0
= t B 0 (τ ) + ⎡⎣tп − tB 0 (τ ) ⎤⎦ ⋅ 0 = t B 0 (τ ) ,
x →∞
= tB 0 (τ ) + ⎡⎣tп − t B 0 (τ ) ⎤⎦ ⋅1 = tп , 631
∂t B ∂x
x →∞
→ 0.
Из последних выражений следует, что начиная от входного сечения ШАТа, температура воздуха возрастает монотонно, стремясь к величине tп при x → ∞ ; производная
∂tB ∂x
с ростом
x убывает, т.е. прирост температуры
воздуха при больших x мал и эффективность ШАТа не может быть обеспечена увеличением суммарной длины всех КМ − L = NL0 . Численные расчёты осуществляем для различных скоростей воздуха в КМ:
V ∈ ⎢V ,V ⎥ , V = 0,5 м/сек, V = 4,0 м/сек. , ⎣⎢
⎦⎥
ΔV=0,5м/сек . Выражение (14.246) для
с
шагом
изменения
K ( Re, Fo ) представим в виде:
K ( Re, Fo ) = K1 ( Re ) − K 2 ( Re ) f ( z ) , z = K 3 ( Re ) Fo ,(14.250) где
Bi ⎞ ⎟ K1 ( Re ) , K 3 ( Re ) = Bi ', ⎝ Bi ' ⎠ ⎛
K1 ( Re ) = 10,72 Re−0,2 , K 2 ( Re ) = ⎜
Bi ' = Bi + 0,375, Bi = Bi ( Re ) = 2,73 ⋅ 10−4 Re0,8 . Полагая, что
τ 0 =1
(14.251)
сут.= 24 часа – «стартовое» время (т.е. начальное для
режима эксплуатации ШАТа), а
τf =
90 сут.= 2160 часов – «финишное »
время (которое, по результатам расчётов, будет далее уменьшено), находим 2 пределы изменения параметра Fo = aмτ / r0 : Fo ∈ ⎡ Fo, Fo ⎤ , ⎣ ⎦
Fo = 0, 06, Fo = 6, 0 .(где Fo Для диапазона значений изменения параметра
несколько уменьшено, а
z = Bi ' Fo : z ∈ ⎡ z , z ⎤ , где z = 0,5, z = 50 . Из ⎣
⎦
f ( z ) , приведенной в [89], для полученного
диапазона получаем величины, приведенные в таблице Значения функции
f ( z)
0,5
0,6
0,9 3
увеличено).
Bi ' ∈ [ 2,0;2,0] получаем границы диапазона
таблицы значений функции
z
Fo
1,4 5
2,5 4
632
Таблица
f ( z) 5,0
8
14.4.
10,0 2
6
16,0 7
24,0 5
14.4
50,0 7
Необходимые
(
Ki ( Re ) i = 1,3
для
)
расчётов
по
(14.250)
14.5. Значения коэффициентов
м ⎞ ⎟ ⎝ сек ⎠ K1 ( Re ) K 2 ( Re ) K3 ( Re ) ⎛
V⎜
коэффициентов
(14.251). Результаты этих расчётов
выяем по формулам
приведены в таблице
значения
K i ( Re )
Таблица
14.5
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
1,158
1,108
0,933
0,879
0,836
0,804
0,783
0,761
0,976
0,910
0,865
0,828
0,795
0,769
0,753
0,735
2,385
3,865
5,205
6,455
7,645
8,785
9,885
10,96
Из данных таблиц 14.4 и 14.5 видно, что величина K ( Re, Fo ) , определённая (14.250), при всех значениях Re и Fo положительна, а диапазон её изменения: K ( Re, Fo ) ∈ ⎡ K , K ⎤ , где K = 0, 026, K = 0, 782 . Принимаем
для
K ( Re, Fo )
⎣
⎦
расширенный диапазон изменения K ( Re, Fo ) ∈ [ 0;1, 0] . Значения величины E ( Re, Fo ) определённой (14.249), находим по таблицам экспоненциальной функции [109] и сводим в таблице 14.6. Таблица 14.6. Значения E = exp ⎡⎣ - K ( Re, Fo ) ⎤⎦ К 0,05 0,1 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Е
0,951 0,905 0,861 0,819 0,779 0,741 0,705 0,670 0,638 0,606
К
0,55
Е
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
0,577 0,549 0,522 0,497 0,472 0,449 0,427 0,407 0,387
1,0 0,368
Значения величин f ( z ) , Ki ( Re ) , E ( Ki ) для промежуточных (отсутствующих в табл.14.4÷14.6) значения параметров z , Re, K i можно находить линейной интерполяцией табличных данных.
Определение длины цепочки КМ (ШАТа) для различных значений скорости воздуха Vk ( k = 1,3; V1 = 0,5м/с,V2 = 2, 0м/с,V3 = 3,5м/с ) 633
легко осуществить, установив критерий оптимальности для
L = NL0 . При
L → ∞, t B ( L,τ ) → tп , но необходимо разумное ограничение. В качестве
( )
такового будем считать, что температура на выходе из ШАТа t BN τ в «стартовый» момент τ = τ 0 = 1 сутки должна отличаться от tп не более, чем на 10%. Принимая tп
= 50 0 С , получаем формализацию этого условия:
( )
0 Δt N (τ 0 ) = tп − t ВN (τ 0 ) = 5 0 С , τ 0 = 24 часа → Fo(м ) = 0, 065 (14.252)
Из (14.248) следует:
( )
⎛ Δt N τ 0 ⎞ ⎜ ⎟ Δt0 ⎠k ⎝
где
= ⎡E ⎢⎣
(
)
0 Re k , Foм( ) ⎤ ⎥⎦
Re k соответствуют Vk ,
случаев
(т.е.
а
k = 1, 3 ),
для
N
⎛ Δt N
ln ⎜
, N=
⎟ ⎝ ⎠ 0 ln ⎡ E Re k , Foм( ) ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
0 Foм( ) = 0, 065 .
tп = 50 0С ,
( Δt N (τ 0 ) / Δt0 ) = 5 / 30 = 1/ 6, а ln (1/6) = −1, 792 .
(
0 ln ⎡ E Re k , Foм( )
⎢ ⎣ Т.о., имеем:
)
⎤ ⎥ ⎦
)
(
(τ 0 ) ⎞
Δt 0
(
)
,
(14.253)
Положим, что для всех а
(
t BO = 20 0 С . Тогда Согласно (14.249),
)
0 0 = − K Rek , Foм( ) = − K Foм( ) = − K ( 0, 065) .
N = NK =
1,792 , k = 1,3. K k ( 0,065 )
(14.254)
Определяем коэффициенты K1, k , K 2, k , K 3, k . . Из табл.14.5 находим:
⎧1,158, k = 1, ⎧0, 976, k = 1, ⎧2, 385, k = 1, ⎪ ⎪ ⎪ K1,k = ⎨0, 879, k = 2, K 2, k = ⎨0, 828, k = 2, K3,k = ⎨6, 453, k = 2, ⎪0, 783, k = 3, ⎪0, 753, k = 3, ⎪9, 885, k = 3. ⎩ ⎩ ⎩
Из (14.250) следует, с учётом (14.255): 634
(14.255)
⎧ ( 0 ) = 0, 608, k = 1, k Fo 3,1 м ⎪ 0) ⎪ 0 ( Z k = ⎨k3,2 Foм( ) = 1, 646, k = 2, ⎪ 0 ⎪k3,3 Foм( ) = 2, 512, k = 3. ⎩
(14.256)
Из таблицы 14.4 находим:
⎧0, 462, k = 1, ( 0) ( 0) ⎪ f zk = f k = ⎨0, 691, k = 2, ⎪0, 793, k = 3. ⎩
( )
(14.257)
Формулу (14.250) записываем в виде:
(
)
0 (0) (0) K Re k , Foм( ) = K k = K1, k − K 2, k f k
(14.258)
и подставляя в неё (14.255) и (14.257), находим:
⎧0, 707, k = 1, ⎪ 0) ( K k = ⎨0, 307 k = 2, ⎪ ⎩0,186 k = 3.
(14.259)
Подстановка этих величин в (14.254) даёт:
⎧2, 535, k = 1, ⎪ N k = ⎨5, 837 k = 2, ⎪ ⎩9, 634 k = 3,
(14.260)
или, округляя до целых значепний N k (т.е. в «запас»), N1 = 3, N 2 = 6, N3 = 10 . Соотственно l1 = N1l0 = 300м, l2 = N 2l0 = 600м,
l3 = N 3l0 = 1000м. . Итак, с возрастанием скорости (расхода) воздушной
струи, требуется удлинение цепочки КМ (т.е. длины ШАТа).
Продолжительность эксплуатационного периода (т.е. режима
разрядки ШАТа), τ p можно найти, вновь обратившись к (14.253), где теперь 635
необходимо полагать N = N k согласно(14.260), Fo( 0) необходимо заменить на Fo p = aмτ p / r02 , Δt N (τ 0 ) − Δt N (τ p ). В качестве критерия завершения периода разрядки ШАТа, примем условие увеличения температурного перепада Δt N (τ 0 ) на 10 oC (т.е.падения tBN (τ p ) на
10 oC по сравнению со стартовым Δt N τ p = tп − tBN (τ 0 ) + 10 = 5 + 10 = 15 oC ,
значением. Тогда: а Δt N (τ p ) / Δt0 =
( )
( )
= 15 / 30 = 0, 5, ln ( 0,5 ) = −0, 693 .
Формула (14.254) представлена (с учётом (14.260)) в виде:
теперь может
⎧0,273, k = 1, 0,693 ⎪ ( p) K k = K k Fo p = = ⎨0,119, k = 2, Nk ⎪0,072, k = 3. ⎩
(
)
Формула (14.258) для τ
=τ p
быть
(14.261)
принимает вид:
( )
(
( p) ( p) = 1 K − K ( p) f k = f zk 1, k k K 2, k Подставляя в (14.262) значения
K1, k , K 2, k
)
(14.262)
из (14.255), а
( p) Kk −
из
(14.261), находим:
⎧0,907, k = 1, ( p) ⎪ f k = ⎨0,918, k = 2, ⎪0,944, k = 3. ⎩ С помощью табл.14.4, определяем соответствующие
( p) ( p) ( p) zk = Bik' Fok = K3,k Fok :
636
(14.263)
( p) fk
значения
⎧6,755, k = 1, ( p) ⎪ zk = ⎨7,730, k = 2, ⎪10,008, k = 3. ⎩ Поскольку
aм =
(
( p) ( p) / r02 = z /K = aмτ Fo k p,k k 3,k
27 ⋅ 10
м / час, из (14.264) следует, что
−4 2
τ p,k
(=
( p) z /K k
3, k
27 ⋅10
−4
)
2
(14.264)
)
2
, r0 = 1м,
⎧124 сут., k = 1, ⎪ ≈ ⎨22 сут., k = 2, ⎪16 сут., k = 3. ⎩
(14.265)
Таким образом, время разрядки ШАТа (продолжительность его эксплуатационного режима) резко сокращается с увеличением скорости (расхода) воздуха.
Модель режима зарядки
§199. Зарядка каждого из КМ (восстановление в окружающем его горном массиве температуры, близкой к tп ) осуществляется его теплоизоляцией, достигаемой организацией в КМ нулевого режима проветривания. За время зарядки τ 3 температуры в горном массиве и воздуха в КМ должны, в
{
( 2)
(
} ))
( 2)
результате теплопроводности в двухслойной системе Ω0 , Ω1
( 2) ( 2) Ω0 = {r ∈ ( 0, r0 )} , Ω1 = {r ∈ ( r0 , r1 )} , r1 = r0 + δ τ p
(
в состояние, близкое к стационарному, когда t B ≈ tп , tм ≈ tп .
, прийти
2 2 Квазистационарные поля в областях Ω0( ) и Ω1( ) переходят в финишные при достижении, соответственно числами Fo (0) = a Bτ ( 0 ) / r02 и
(
Fo (1) = aмτ (1) / Δr12 Δr 2
( r1 − r0 )
= δ 2 (τ p )
)
значений, равных третьему пороговому значению (см.§135). Таким образом, 1
=
2
637
0,5,
т.е.
τ
(0)
τ (1)
r02 ( 0 ) r02 Fo = ⋅ 0,5 = 6,9 ( час ) = aB aB
2 Δr12 (1) δ (τ p ) Fo = = ⋅ 0,5 = 0,5 ⋅ 9τ p = 4,5τ p . aм aм
Поскольку для рассмотренных в предыдущем параграфе случаев τ p = τ p ,k ( k = 1,3) согласно (14.265), получаем, выбирая, как наибольшие
{
}
из τ (0 ) ,τ (1) , значения:
⎧558 сут., k=1, ⎪ 1 τ k( ) = τ 3,k = 4,5τ p,k = ⎨99 сут., k=2, ⎪72 сут., k=3. ⎩
(14.266)
Таким образом, время зарядки ШАТа, состоящего из цепочки последовательно соединённых КМ, весьма велико во всех случаях, что элиминирует идею «последовательного» ШАТа для k = 1.
Модель режима зарядки «параллельного» ШАТа рассмотрим на
примере случая k = 2, т.е. V2 =2,0м/сек. Соответствующее значение времени разрядки равно, согласно (14.265), 22-суткам (для последовательно соединённых 6-ти КМ). Возможны следующие ситуации: а) объёмный расход 2 воздуха G2 = S 0 V2 = π r0 V = 6,28м3/сек достаточен для принятой схемы и устройства «теплового трансформатора» (потребителя нагретого в ШАТе воздуха); б) этот расход воздуха избыточен, необходимо иметь ( −) 3 G2 = 0, 5G2 = 3,14м / сек; в) этот расход воздуха недостаточен, (+) необходимо, чтобы он был равен G2 =1,5 G2 =9,42м3/сек. В случае а) требуемый расход воздуха G2 могут обеспечить четыре параллельно соединённых группы, в каждой из которых есть три последовательно соединённых КМ с расходом воздуха 1,57м3/сек. Время разрядки такого G1 = S0V1 = π r02 ⋅ 0,5 = «параллельного» ШАТа, согласно (14.265), равно 124–м суткам. Всего, т.о., требуется 12 КМ. Время зарядки такого ШАТа неприемлемо велико : τ 3 = 4, 5τ p = 558 сут. Если же уменьшить продолжительность разрядки (эксплуатационного периода) до 10 суток (что одновременно ведёт к
638
увеличению температуры воздуха на выходе из ШАТа, которая теперь будет меньше tп не на 150С, а на 6 ÷ 70С), то время зарядки составит 45 суток. За этот период, при условии непрерывности работы ШАТа, разрядятся 45/10 = 4,5 первоначально, рассмотренных ШАТов. Таким образом, для непрерывной работы ШАТа с периодом эксплуатации одной «обоймы» из 12 КМ в 10 суток, понадобится всего 4,5 × 12 = 54 КМ. При отказе непрерывного режима работы ШАТа, и переходе к режиму работы в период пиковой потребности в энергии (т.е.в зимний период), длительность эксплуатационного режима (разрядки) ШАТа из 12 КМ может быть выбранной такой, чтобы за оставшуюся часть года успел пройти режим
(п)
зарядки. Если продолжительность работы ШАТа в пиковом режиме τ p , то из условия
τ (pп ) + 4,5τ (pп ) = 365 (сут.), следует, что τ (pп) ≈ 66 суток.
В случае б) требуемый расход могут обеспечить 2 группы из трёх последовательных соединений КМ, соединённые параллельно. Дальнейший анализ аналогичен случаю а) и в итоге приходим к следующим требованиям: В режиме непрерывной работы ШАТа, с временем разрядки одной «обоймы » из 6 КМ равным 10 суткам, требуется наличие 4,5 ⋅6 = 27 КМ. В режиме пиковой нагрузки, как и ранее, достаточно ШАТа из 6 КМ с тем же
(п) −
«пиковым» периодом - τ p
66 суток.
В случае в) требуется иметь шесть параллельно соединённых групп КМ по 3КМ в каждой, т.е. «обойма» должна состоять из 18 КМ. Непрерывный режим работы ШАТа в течение года потребует теперь 4,5 ⋅18 = 81 КМ. В режиме пиковой нагрузки достаточно 18 КМ, а время загрузки, как и ранее, 66 суток. Определение время зарядки
τп
после периода строительства КМ
(длительностью τ с ) находится аналогично, т.е. τ п =4,5 τ с . Расстояние между стенками двух смежных КМ
продолжительностью периода разрядки: рассчитано по формуле
М > 2δ (τ p )
M = 6 aмτ p + 1( м )
определяется
и может быть
Приведенные расчеты и их результаты являются ориентировочными поскольку требуется оптимизация ШАТа как части энергосберегающей системы.
639
ЗАКЛЮЧЕНИЕ – Ш.
В ЧАСТИ 13 содержатся главы 50÷53. В Главе 50 «Охлаждение зоны горных массивов»: 1.
Получены
аппроксимации нестационарных температурных полей в охлажденных зонах горных массивов (для краевых задач с граничными условиями первого и третьего родов). параметры аппроксимаций экспоненциального типа. (§ 175). 2. Проанализированы известные формулы – оценки ширины
Вычислены
охлажденной зоны горного массива
−δ ( t ) .
Предложены
способы
получения оценок: 1) учитывающих зависимость их от максимального температурного параметра в системе ΔT и коэффициента теплообмена между стенкой выработки и вентиляционным воздухом δ = δ ( ΔT , α , t ) ; 2) упрощенный способ оценки, когда безразмерная
(
ширина
охлажденной
временем и
)
зоны
определяется
только
безразмерным
(δ / r0 = Φ ( Fo ) ) . Показано, что δ ( t ) слабо зависит от ΔT
α . Получены оценки δ ( t ) при подземных пожарах (когда в массиве
формируется прогретая зона). (§ 176).
В Главе 51 «Технологические режимы»: 3. Предложена модель теплообмена газонасыщенного угольного пласта с вентиляционным воздухом, движущимся по лаве. Получены выражения для температуры забоя и коэффициента нестационарного теплообмена
Kτ . Численные расчёты [339] показали, что в отличие от
существующего метода расчёта, плохо согласующегося с экспериментальными данными, предложенная модель даёт невязку результатов расчёта с экспериментом ≤ 5% . (§ 177). 4. модель теплообмена теплофизически неоднородного горного массива с вентиляционным воздухом. Для системы из двух ( 2 ) (крепь, теплоизоляция, нарушенная зона цилиндрических слоёв Ω1 ( 2 ) (конечная область горного массива) массива) и Ω2 уравнение склейки. выражения для плотностей потоков тепла из массива для трех частных случаев, показано, что известные ранее выражения сильно завышают теплопритоки из массива. (§ 178). 5. модель теплообмена горного массив с воздухом, температура которого меняется во времени. Решение третьей краевой задачи (в обобщенной постановке) методом функций Грина. выражение для Kτ , при постоянной температуре воздуха
Предложена
решено
Найдены
получено и
Предложена
найдено
Получено
совпадающее с результатом О.А. Кремнёва [89]. Рассмотрены частные случаи: 1) ступенчатого изменения температуры воздуха; 2)
640
косинусоидального (по времени) изменения температуры воздуха. В первом случае точное, а во втором – приближенное решение. формула для определения ширины теплоуравнивающей оболочки (области массива, в которой затухают колебания температуры). (§ 179).
получено
Получена
В Главе 52 «Аварийные режимы»: 6. Предложена модель «теплового
удара», описывающая аварийные режимы в выработке. Краевая задача решается в сопряженной постановке. Рассмотрены два варианта модели: «взрыв» и «пожар». В первом, описывающем быстрый температурный режим, использовано нестационарное уравнение конвективного теплопереноса в горной выработке. Решение путём построения «вилки» с последующим двукратным преобразованием Лапласа. Во втором варианте модели использовано квазистационарное уравнение конвективного теплопереноса по выработке. Решение найдено преобразованием Лапласа по x (§ 180). 7. модель «холодового удара» – резкого понижения температуры воздуха в воздухоподающем стволе шахты в зимний период (при аварийном отказе калориферов). Использована задача О.А.Кремнёва [89] и найденная ранее формула для Kτ при
найдено
Предложена
скачкообразном изменении температуры воздуха. Из решения найдено выражение для времени, по истечении которого температура стенки
ствола снизится до значения 0 oC (что означает начало обмерзания ствола). номограмма, позволяющая определить это критическое время для различных температур атмосферного воздуха и размеров ствола.(§ 181). 8. модель «нулевого» режима проветривания – процесса повышения температуры воздуха в замкнутой (в результате аварии) полости горного массива, в которой находятся горнорабочие.
Построена
Предложена
Модель
сформулирована как двухслойная задача для системы
{Ω( ) , Ω( )} 0
3
δ
3
.Решение осуществлено усреднением температуры воздуха в полости
по ее объему и экспоненциальной аппроксимацией температурного поля в массиве. Выполнены численные расчёты, позволившие определить температурную динамику в замкнутой полости в зависимости от числа горнорабочих в ней и времени. (§ 182). 9. модель разгазирования горной выработки после
Предложена
{
(1)
(1)
}
(1) .
внезапного выброса угля и газа – трехслойная система Ω0 , Ω1 , Ω+
Модель редуцируется к краевой задаче конвективно-диффузионного турбулентного массопереноса в области x > 0 . Граничные условия на концентрацию метана при x = 0 соответствует данным шахтных замеров. функция Грина для диффузионного аналога уравнения Фурье-Кирхгофа и построено аналитическое решение.
Найдена
641
Численные расчёты
поля концентраций вдоль выработки для различных моментов времени показали, что опасная (взрывоопасная) метана может наблюдаться достаточно далеко от места выброса – в соответствии с данными замеров [379, 380]. (§ 183).
В Главе 53 «Модель холодоаккумулятора»: 10. Обоснована модель аккумулятора холода
– льдогенератора на воздухом (в зимний
термосифоне, охлаждаемого атмосферным период). Задачи Стефана сформулированы для случаев плоской и цилиндрической охлаждающих воду поверхностей. Коэффициент теплообмена между оребрением термосифона и атмосферным воздухом принимал ряд различных значений. Термосифон был представлен цепочкой из семи теплообменных участков (§ 184). 11. метод решения нелинейной краевой задачи в системе «атмосферный воздух – термосифон – аккумулятор холода». Температурное поле в воде было описано обыкновенным дифференциальным уравнением (относительно времени) после проведенной аппроксимации его. Температурное поле в ледяной оболочке в случае плоской её конфигурации аппроксимировалось прямой, а в случае цилиндрического ледяного слоя – логарифмической кривой. На всех внутренних границах системы были записаны условия склейки температур и потоков тепла, а на границе фазового перехода условия Стефана, из которых были получены
Предложен
кристаллизации (§ 185). 12. По уравнениям кристаллизации были расчёты. Установлены количественные
уравнения численные
выполнены характеристики работы холодоаккумулятора: времена каждого из шагов (продвижения на заданную величину фронта льдообразования), общее время процесса намораживания льда, ширина намороженных слоёв для охладителей обоих видов как функция времени, режимные характеристики термосифона и проч. (§ 186). 13. упрощение полученных формул расчёта, приведение их к простому инженерному виду. Совместно с построенной они представляют . численные расчёты, выявившие большую эффективность (объём намораживаемого за одинаковый временной интервал льда) льдогенераторов с цилиндрическими охладителями по сравнению с плоскими охладителями. Подтверждена (В.К.Черниченко) возможность и полезность практической реализации льдоаккумуляторов [284].
Проведено намораживания Проведены
номограммой методику инженерных расчётов
(§ 187).
В ЧАСТИ 14. содержатся главы 54 ÷ 57. В Главе 54 «Управление кровлей плавным опусканием»: 14. Обоснована математическая формулировка модели
процесса теплообмена горного массива (пород кровли и почвы пласта угля) с воздухом, движущимся в выработанном пространстве участка при управлении кровлей плавным опусканием. Оценкой порядка величины
642
тепловых потоков вдоль осей
0 x, 0 y, 0 z показана
возможность
редукции первоначально трёхмерной задачи к одномерной – третьей краевой задаче для полупространства с коэффициентом теплообмена, зависящим от времени
15.
(α = α (τ ) ) .(§ 188).
Предложен метод решения этой задачи, родственный методу Дюамеля - метод пересчёта, сводящий задачу к третьей краевой с постоянным α . Получено выражение для автомодельной функции W ( z ) , с
точностью
до
множителя
нестационарного теплообмена
(
совпадающей
с
коэффициентом
kτ . При α = const , z = α τ / ε ,
)
а
при α = α (τ ) , W ( z ) = W z (τ ) (§ 189).
16. Получена формула для
kτ − коэффициента
нестационарного
теплообмена, усредненного по выработанному пространству, содержащая интеграл от функции W z (τ ) . Последний был
(
)
вычислен
численно. Предложена методика инженерных расчётов, включенная в нормативные документы [289] (§190). В Главе 55 «Управление кровлей закладкой выработанного пространства»: 17. Обоснована модель теплопередачи в системе «горный массив -
закладочный массив – рудничный воздух». Первоначальная модель – трёхслойная трёхмерная система – далее редуцируется соответствующими оценками. Температурные поля в породах кровли и почвы и в закладочном массиве описаны двумерными обобщенными уравнениями. На границах «кровля-закладка» и «закладка-почва » использованы граничные условия четвертого рода. (§ 191). 18. осуществляется поэтапно. На первом этапе найдены двумерные функции Грина для всех областей. На втором – выписаны решения всех краевых задач в представлениях потенциала. На третьем – подстановкой решений в граничные условия четвертого рода получена система интегральных уравнений относительно функций склейки - граничных температур. На четвертом этапе найдены ядра интегральных уравнений. На пятом этапе осуществлены оценки, позволившие свести задачу к одномерной. На шестом этапе система интегральных уравнений приведена к системе свёрточных уравнений. На завершающем, седьмом этапе, эта система решена преобразованием Лапласа по t . (§ 192). 19. По полученным решениям выражения для коэффициентов нестационарного теплообмена kτ для расчётов теплопритоков из
Решение системы краевых задач
найдены
закладочного массива в лаву и в выработку (вентиляционную). три вспомогательных функции времени, входящие в
Вычислены
формулы для
kτ .
Для инженерных расчётов формулы для
643
kτ
усреднены по продолжительности закладочного цикла. Проведены числовые расчёты. Результаты были включены в нормативные документы [289]. (§ 193).
В Главе 56 «Управление тепловым режимом: термический дренаж угольного пласта»: 20. Обоснована модель процесса охлаждения высокотемпературного
угольного пласта водой, циркулирующей по системе скважин, пробуренных с постоянным шагом параллельно линии забоя. Рассматриваемая система «почва – пласт со скважинами – кровля» трактуется как двумерная трёхслойная. Для редукции задачи к одномерной трёхслойной исключена поперечная координата (с использованием, в качестве функции восстановления, квадратичной аппроксимации). Исходная система краевых задач приводится к двум одномерным задачам для двухслойных моделей. (§ 194). 21. осуществлено поэтапно. На первом этапе решена вспомогательная краевая задача – с использованием приближения
Решение задачи
«адиабатического стержня» находится функция склейки затем граничная функция
μ (τ ) −
результат усреднения
μ ( y,τ ) ,
μ ( y,τ )
а
по
y . На втором этапе усредненные уравнения преобразуются введением «функций смешивания», что приводит к одномерной двухслойной модели. На третьем этапе осуществляется решение краевой задачи преобразованием Лапласа по t . На четвертом этапе из этого решения получена усредненная по мощности пласта «характерная температура дренажа» - основная величина для инженерных расчётов системы дренажа. Сравнение этой температуры с известной из шахтного эксперимента (для соответствующих условий), показало хорошее о согласие (отличие расчётной и опытной температур было 0,5 С) (§ 195). 22. Построена модель теплового режима дренажной скважины – основа для проведения инженерных расчётов системы дренажа. По полученным ранее зависимостям (для характерной температуры и другим) найден аналог коэффициента kτ − параметр, определяющий теплопритоки от дренируемого пласта к скважине. Для скважины получено уравнение теплопереноса, по решению которого оценена длина скважины для заданного температурного перепада. Проведены
численные расчёты холодопотребности скважин. (§ 196).
и даны формулы для определения общей участка при различных схемах соединения
В Главе 57 «Управление тепловым режимом: использование тепла горных пород»: 23. Приведены
сведения о шахтном аккумуляторе тепла (ШАТ). Сформулированы цели математического моделирования ШАТа,
644
методологические принципы
описаны режимы его работы. Изложены построения модели, основанные на результатах Части 12. (§ 197). 24. модель режима разрядки ШАТа (эксплуатационного режима). Модель представляет собой задачу сопряженного теплообмена в системе «горный массив – канал ШАТа». Температурное поле в массиве определяется из квазиодномерной задачи О.А.Кремнёва [89]. Температурное поле в канале ШАТа описано квазистационарной граничной задачей конвективного теплопереноса. Последняя решена преобразованием Лапласа по x . Проведены , определены параметры ШАТа (общая длина всех каналов, расстояние между каналами, длительность эксплуатационного режима). (§ 198). 25. Модель режима зарядки ШАТа на основе модели «нулевого» режима проветривания, реализуемого при теплоизоляции каналов ШАТа. Критерием для определения времени окончания режима зарядки являлось безразмерное время наступления финишного
Обоснована
численные расчёты
сформулирована
режима
Fo3 ,
когда температурное поле в горном массиве отличается
от стационарного (равного естественной температуре пород
Получена Численными расчётами Обоснована
tп на
данной глубине) менее, чем на 1%. формула для вычисления длительности режима зарядки. показана неэффективность ШАТа с последовательным соединением теплообменных каналов. «параллельная» структура построения ШАТа, позволяющая реализовать его как в непрерывном, так и в «пиковом» режиме.(§ 199). Полученные в результаты были использованы при написании отчётов по НИР, статей, нормативных документов, диссертаций. Работы, использованные при написании приведены в Приложении 3.
РАЗДЕЛЕ Ш
РАЗДЕЛА Ш
645
ЛИТЕРАТУРА 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
Венгеров И.Р. Хроноартефакты термодинамики. – Донецк: НордПресс, 2005.- 236с. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – Пер. с англ.- М.: Наука, 1968.- 720с. Тихонов А.Н., Самарский А.А. – Уравнения математической физики.Изд-е 4-е, исправл.- М.: Наука, 1972.- 73с. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. – М.: Высшая школа, 1964. – 560с. Соколов А.А. Дельта – функция и её применение к решению некоторых математических задач геофизики. //Труды Горногеологического института, вып.10.- Свердловск: Изд-во Ур.ф. АН СССР, 1946.- 43с. Иваненко Д.Д., Соколов А.А. Классическая теория поля. – Изд-е 2-е, М. – Л.: Гостехтеориздат, 1951. – 480с.
δ−
Мочалин А.И.Применение функции Дирака к решению дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. – В кн.: Тепло- и массообмен в процессах испарения.- М.: Изд-во АН СССР, 1958, с.181-197. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1967. – 436с. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. Изд-е 2-е, исправл. и доп.- М.: Наука, 1979. – 320с. Шварц Л. Математические методы для физических наук. – Пер. с англ.- М.: Мир, 1965.- 412с. Соболев Л.С. Уравнения математической физики.–Изд-е 4-е – М.: Наука, 1966.- 444с. Гельфанд И.Н., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Гос. изд-во физ.- мат.литературы, 1958.- 440с. Кеч В., Теодореску П. введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. – Пер. с румынск.- М.: Мир, 1978. – 518с. Бутковский А.Г.Характеристики систем с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1979 – 224с. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – Изд-е 4-е, перераб.- М. Наука, 1976. – 544с. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – Пер. с англ. – М.: Наука, 1964. – 488с. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 600с. Лыков А.В. Тепломассообмен. //Справочник.- М.:Энергия, 1972.-560с. Хургин Я.К., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. – М.: Наука, 1971. – 408с.
646
20. Венгеров И.Р. Теория линейного переноса в слоистых системах.//Дисс. … к.ф.-м.н., Донецк: ДонФТИ АН УССР, 1982. -278с. 21. Карташов Э.М.Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. – Изд-е 2-е, доп.- М.: Высшая школа, 1985. – 480с. 22. Колесников П.М. Методы теории переноса в нелинейных средах.Минск: Наука и техника, 1981. – 336с. 23. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. - Киев: Наукова думка, 1992. – 352с. 24. Никитенко Н.И. Теория тепломассопереноса. - Киев: Наукова думка, 1983. – 352с. 25. Галицын А.С., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. - Киев: Наукова думка, 1976. – 284с. 26. Бабич В.И., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики. – М.: Наука, 1964. – 368с. 27. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970. – 712с. 28. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. – Пер. с англ.- М.: Гостехтеориздат, 1956. – 204с. 29. Белоносов С.М., Овсиенко В.Г., Карачун В.Я. Применение
интегральных представлений к решениям задач теплопроводности и динамики вязкой жидкости. - Киев: Высшая школа, 1989 - 164с. 30. Галицын А.С. Краевые задачи теплофизики подземных сооружений.Киев: Наукова думка, 1983. – 236с. 31. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 1973. – 408с. 32. Дёч Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и z − преобразования. – Пер. с немец. – М.: Наука, 1971. – 288с. 33. Венгеров И.Р. Теория линейного переноса в слоистых системах. // Препринт № 27 Дон ФТИ АН УССР, Донецк: Дон ФТИ АН УССР, 1982. – 64с. 34. Венгеров И.Р. Теплофизические модели полной закладки выработанного пространства угольных шахт. // Препринт Дон ФТИ 95 - 4- Донецк: Дон ФТИ им. А.А.Галкина НАН Украины, 1995. – 46с. 35. Кузин В.А. Венгеров И.Р. О применении метода функций Грина при решении задач горной теплофизики. – В кн.: Геомеханические проблемы высокопроизводительной разработки тонких и средней мощности угольных пластов на глубоких горизонтах. //Материалы Всесоюзн. научно-техн. конф. - Донецк: ДПИ, 1980, с. 167 – 168. 36. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. Изд-е 2-е, испр. – М.: Наука, 1972. – 688с. 37. Цой П.В. Методы расчёта отдельных задач тепломассопереноса. – М.: Энергия, 1971. – 384с.
647
38. Цой 39. 40. 41. 42. 43.
44. 45.
П.В. Методы расчёта задач тепломассопереноса. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 416с. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. - Киев: Наукова думка, 1985. – 240с. Венгеров И.Р. Теплофизика шахт и рудников. Математические модели. – В 2-х томах, том 1: Анализ парадигмы. - Донецк: НордПресс, 2008. – 632с. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – Изд-е 5-е, исправл. М.-Л.: Физматгиз, 1962. – 708с. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965. – 384с. Венгеров И.Р., Краморов А.С., Морева А.Г. К вопросу определения коэффициента нестационарного теплообмена при теплоизоляции стенок горных выработок. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып. 4. //Сб-к научн. трудов. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1975, с.71-76. Венгеров И.Р., Морева А.Г. Инженерный метод расчёта теплообмена в глубоких шахтах. – Депонир. рукоп.: ЦНИЭИуголь, 28.12.1976. – РЖ «Угольная промышленность», №900, Реф. 6В111 – 77, с.18. Кузин В.А., Венгеров И.Р. Двухслойная теплофизическая модель горного массива. – Промышленная теплотехника, 1984, т.6, №1, с.30-
34.
46. Венгеров И.Р. Нелинейные модели теплофизики геотехносферы. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства //Сб- к научн. Трудов, вып.9.- Донецк ИФГП НАНУ, 2006, с.121-140. 47. Большой энциклопедический словарь. – В 2-х томах. – М.: Советская энциклопедия, 1991. –т.2 – 768с. 48. Курант Р.Уравнения с частными производными. – Пер. с англ.- М.: Мир, 1964. – 832с. 49. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. – Изд-е 2-е. – М.: Наука, 1983. – 432с. 50. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. – М.: Наука, 1980. – 208с. 51. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. – М.: Наука, 1974. – 432с. 52. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. Изд-е 4-е. – М.: Наука, 1966. – 444с. 53. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. – М.: Наука, 1991. – 352с. 54. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. – М.: Наука, 1987. – 480с.
648
55. Гудмэн Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена. – В кн.: Проблемы теплообмена. // Сбк статей. – Пер. с англ. – М.: Атомиздат, 1967, с.41-96. 56. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчёты теплового режима твердых тел. – Изд-е 2-е, переработ. и доп. – Л.: Энергия, 1976. – 352с. 57. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. – М.: Наука, 1973. – 352с. 58. Райченко А.И. Математическая теория диффузии в приложениях. Киев: Наукова думка, 1981. – 396с. 59. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. – Изд-е 2-е, доп.М.: Наука, 1966. – 688с. 60. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. // Теор.физика в 10 – и томах, т.VІ – Изд –е 4–е, стереотип. – М.: Наука, 1988 – 736с. 61. Франк – Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. – М.: Наука, 1967. – 492с. 62. Карслоу Г.С. Теория теплопроводности. – Пер. с англ. – М.- Л.: Гостехтеориздат, 1947. – 288с. 63. Чарный И.А. Основы газовой динамики. – М.: Гостоптехиздат, 1961. – 200с. 64. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. – М.:Наука, 1973. – 416с. 65. Брусиловский Б.Я. Теория систем и система теорий. - Киев: Вища школа, 1977. – 192с. 66. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. – М.: Наука, 1983. – 328с. 67. Харламов П.В. Очерки об основаниях механики. Мифы, заблуждения и ошибки. - Киев: Наукова думка, 1995. – 408с. 68. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций. – Пер. с франц. - М.: Мир, 1968. – 464с. 69. Дмитриев А.П., Гончаров С.А. Термическое и комбинированное разрушение горных пород. – М.: Наука, 1978. – 142с. 70. Антипов И.В., Лебедев Н.В. Генерация тепла в массиве грунта или горных пород от очагового источника тепла. – В кн.: Физикотехнические проблемы горного производства. // Сб-к научн. трудов, вып.7. - Донецк: ИФГП НАНУ, 2004, с.91-99. 71. Трофимов В.Д., Богинский П.Д., Скакун А.П. Исследование теплофизических свойств пород в условиях всестороннего гидростатического сжатия. – В кн.: Физические процессы горного производства. //Межвуз. Сб-к научн. работ, вып.4 – Л.: Изд-во ЛГИ, 1977, с.13-15. 72. Скакун А.П. Влияние температуры, минерального состава и плотности на теплопроводность горных пород. – Там же (см.[71]), с.16 – 19.
649
73. Вачаев А.В. Определение коэффициента теплопроводности горных пород. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1985, №1, с.1 – 3. 74. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент.//Справочник под общ. ред. В.А.Григорьева и В.М.Зорина. – М.: Энергоиздат, 1982. – 512с. 75. Федоров В.Г. Основы тепло – и массометрии. - Киев: Вища школа, 1987. – 184с. 76. Охотин А.С.,Боровикова Р.П., Нечаева Т.В., Пушкарский А.С. Теплопроводность твёрдых тел.//Справочник. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 320с. 77. Шашков А.Г., Волохов Г.М., Абраменко Т.Н., Козлов В.П. Методы определения теплопроводности и температуропроводности. – М.: Энергия, 1973. – 336с. 78. Гинзбург И.Ф. Нерешенные проблемы фундаментальной физики. – Успехи физических наук, 2009, т.179, №5, с.525 – 529. 79. Кудинов В.М., Макаренко А.С. Граничные режимы с обострением в задачах теплопроводности с учётом эффектов памяти. – ДАН УССР, Сер. А, 1984, №11, с.59-61. 80. Лебедев М.В. Обгрунтовання способів видобутку енергії з
81. 82. 83. 84. 85. 86. 87.
осередкових джерел тепловиділення і утилізації складових відходів вугільного виробництва. //Автореф. ... к.т.н. -Донецьк: Інститут фізики гірничих процесів НАН України, 2005. – 20с. Любимова Е.А. Термика Земли и Луны. –М.: Наука, 1968. -280с. Жарков В.Н., Паньков В.Л., Калачников А.А., Оснач А.И. Введение в физику Луны. – М.: Наука, 1969. – 312с. Гогель Ж. Геотермия. – Пер. с франц. – М.: Мир, 1978. – 178с. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. – М.: Наука, 1978. – 192с. Александров Ю.В. Введение в физику планет. - Киев: Вища школа, 1982. – 304с. Цвященко В.А., Мейцин Д., Кутас Р.И., Цвященко А.В. Моделирование стационарного теплового поля неоднородных сред. – Доповіді НАН України, 2000, №4, с.134-138. Летников Ф.А.Об одном из возможных источников тепловой энергии эндогенных процессов Земли. – Докл. РАН, 2004, т.398, №6, с.792-
794.
88. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. – Изд-е 5-е, допол.- М.: Атомиздат, 1979. -416с. 89. Щербань А.Н., Кремнёв О.А. Научные основы расчёта и регулирования теплового режима глубоких шахт. – В 2-х томах. – Том 1. - Киев: Изд-во АН УССР, 1959. – 430с. 90. Дульнев Г.Н., Сахова Е.В., Сигалов А.В. Принцип местного влияния в методе поэтапного моделирования. – ИФЖ, 1983, т.45, №6, с. 10021008.
650
91. Фиалко
Н.М., Прокопов В.Г., Сариогло В.Г.Особенности математического моделирования температурных режимов печатных узлов в условиях индивидуальной газовой пайки электронных компонентов. – Промышленная теплотехника, 1997, т.10, №2-3, с.43-
46.
92. Прокопов В.Г., Фиалко Н.М., Шеренковский Ю.В. Основные принципы теории локализации. – Докл. НАНУ, 2002, №6, с.98-104. 93. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчёта тепловых и диффузионных потоков. – Л.: Химия, Л.о., 1986.-144с. 94. Температурные измерения. Справочник.//Геращенко О.А., Ерёмина А.К. и др. - Киев: Наукова думка, 1989. – 704с. 95. Домбровский Л.А., Зайчик Л.И., Зейгарник Ю.А. и др. Формирование ванны кориума при расплавлении активной зоны реактора ВВЭР – 440.- Теплоэнергетика, 2005, №5, с.40-46. 96. Эйнштейн А., Смолуховский М. Брауновское движение. // Сб-к статей – Пер. с немецк. – М.:ОНТИ МКТП СССР, 1936.-608с. 97. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. – Пер. с англ.- М.: Госинлитиздат, 1947.-168с. 98. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. – М.: Изд-во МГУ, 1987. – 560с. 99. Туницкий Н.Н., Каминский В.А., Тимашев С.Ф.Методы физикохимической кинетики. – М.: Химия, 1972.- 198с. 100. Бубнов В.А.Замечания к волновым уравнениям теплопроводности. – В кн.: Проблема тепло- и массопереноса. // Сб-к научн. работ. - Минск : Наука и техника, 1976, с.168-175. 101. Таганов И.Р. Моделирование процессов массо - и энергопереноса. Нелинейные системы.- Л. Химия, Л.о., 1979. – 204с. 102. Предводителев А.С. Учение о теплоте и римановы многообразия. – В кн.: Проблема тепло- и массопереноса. // Сб-к научных трудов ИТМО АН БССР. – М.: Энергия, 1970, с.151-192. 103. Кривошей Ф.А. Обобщение решений параболических уравнений типа бегущей волны на случай переменной скорости. – Докл. АН Украины, Сер. А., 1992, №5, с.83-85. 104. Цирельман Н.М. Формулировка и решение задач нестационарной
теплопроводности в терминах перемещения изотермических поверхностей. – В кн.: Тепломассообмен VII, том 7.// Материалы VII-й Всесоюзн. Конф. По тепломассобмену. - Минск: Изд-во ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1984, с.54-57. 105. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. – ИФЖ, 2007, т.80, №3, с.27-35. 106. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Аналитические решения задач теплообмена при течении жидкости в
651
107.
108. 109. 110.
111. 112. 113. 114. 115.
116.
117. 118. 119.
плоскопараллельных каналах на основе определения фронта температурного возмущения. – ИФЖ, 2007, т.80, №5, с.176-186. Антимонов М.С., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности для цилиндра и шара на основе определения фронта температурного возмущения. – ЖВМ и МФ, 2008, т.48, №4, с.681-692. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. -Киев: Наукова думка, 1982.-360с. Кочанов Н.С. Компактные шестизначные математические таблицы.Изд-е 2-е, дополн. – Л.: Машиностроение, 1973. – 264с. Черниченко В.К., Венгеров И.Р. Метод определения ширины охлажденной зоны породного массива. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах.// Сб-к научн. работ, вып.3. - Макеевка: Изд-во МакНИИ. 1973, с.29-33. Венгеров И.Р. К гидромоделированию горного теплообмена. – В кн.:[110], с.92-94. Кремнёв О.А., Журавленко В.Я. Тепло- и массообмен в горном массиве и подземных сооружениях. - Киев: Наукова думка, 1986. – 344с. Венгеров И.Р. К обобщению задачи Зоммерфельда о теплопроводности в кольце. – ИФЖ, 1878, т.35, №1, с.150-154. Венгеров И.Р.Расчёт теплопереноса в неоднородном горном массиве.В кн.: Борьба с высокими температурами рудничного воздуха.//Сб-к научн. трудов. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1980, с.53-56. Венгеров И.Р. К теории тепло- и массопереноса в слоистонеоднородных горных массивах и геотехнологических системах.- В кн.: Проблемы горной теплофизики. Горно-технологическая теплофизика.//Материалы П-й Всес. научно-технической конф.- Л.: Изд-во ЛГИ им. Плеханова, 1981, с.117-118. Аверин Г.В., Венгеров И.Р. Развитие теоретических основ горной теплофизики в МакНИИ. – В кн.: Материалы 2-й Междунар.научнопрактич. конф. «Пути повышения безопасности горных работ в угольной отрасли»- Макеевка: Изд-во МакНИИ, 2007, с.89-91. Венгеров И.Р., Черниченко В.К. Определение характерной температуры при тепловом дренаже горных массивов. – Промышленная теплотехника, 1988, т.10, №6, с.49-52. Венгеров И.Р. Расчёт коэффициентов нестационарного теплообмена на основе слоистых моделей теплопереноса. – Промышленная теплотехника, 1995, т.17, №6, с.32-39. Морев А.М., Венгеров И.Р. Универсальный метод математического моделирования процессов тепломассопереноса в шахтах и подземных сооружениях. – В кн.: Труды Междунар. Конгресса по проблемам автоматизации в угольной промышленности. – Польша, Краков, 1995, с.167-168.
652
120. Венгеров И.Р. Скалярные поля в многослойных плёночных системах.В кн.: Тезисы Междунар.конф. «Nansys-2007».-Киев : Академпериодика, 2007, с.112. 121. Венгеров И.Р. Теплофизические модели слоисто-неоднород-ных горных массивов. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства.// Сб-к научн. трудов, вып.12. - Донецк: ИФГП НАНУ, 2009, с.85-96. 122. Венгеров И.Р. Некоторые задачи теоретической и прикладной теплофизики. – В кн.: Труды Междунар. научно-практич. семинара «Гидродинамика и экология» //К 100-летию со дня рождения чл.-корр. НАНУ, проф. И.Л. Повха.- Донецк: Изд-во Дон НУ, 2009, с.138-139. 123. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – М.: Наука, 1981.-800с. 124. Бэррер Р. Диффузия в твёрдых телах. – Пер. с англ. – М.: Госинлитиздат, 1948. – 504с. 125. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах. – М.: Металлургия, 1978. – 248с. 126. Гегузин Я.Е. Диффузионная зона. – М.: Наука, 1979.- 344с. 127. Берд А., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. – Пер. с англ.- М.: Химия, 1974. – 688с. 128. Слеттери Дж. С.Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. – Пер. с англ. – М.:Энергия, 1978. – 448с. 129. Шервуд Т., Пигфорд Р., Уилки Ч. Массопередача. – Пер.с англ. – М.: Химия, 1982. – 696с. 130. Бейтмен Г. и Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том.1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. – Пер. с англ. – М.: Наука, 1969. – 344с. 131. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв.- М.: Наука, 1976. – 352с. 132. Венгеров И.Р. Теплофизика деформируемых твердых тел: 4. Модели макроуровня. – Физика и техника высоких давлений, 2008, т.18, №1, с.7-24. 133. Барьяхтар В.Г., Буравлев Ю.М., Шевченко В.П. и др. О роли химических процессов в формировании реакционно-диффузионной зоны при газовой химико-термической обработке металлов и сплавов. Вісник Донецького Національного університету, Сер. А: Природничі науки. – 2006, вып.2, с.195-200. 134. Клецкий С.В. Стохастическое распределение температур в случайнонеоднородных слоистых средах с неидеальными тепловыми контактами. – В кн.: Тепломассообмен – VI, том IХ.// Материалы к VIй Всесоюзн. конф. по тепломассообмену. - Минск: ИТМО им. А.В.Лыкова АН БССР, 1982, с.41-44. 135. Колесников П.М. Математические методы в теории распространения полей в неоднородных средах. – Там же (см. [134]), с.179-184. 136. Мельник В.К., Добрянский Ю.П., Щербань А.Н. Моделирование температурного режима при остывании зоны внутренних взрывов. – ДАН УССР, Сер. А, №12, с.1129-1132.
653
137. Ревва В.Н. Влияние температуры на предельное состояние породного массива в окрестности горной выработки. – Физика и техника высоких давлений,1997, т.7, №2, с.133-136. 138. Габишева Л.Н., Каниболотский М.А.Оптимизация теплозащитных конструкций из конечного набора материалов. – В кн.: Тепломассообмен – VП, т.8 //Материалы VП-й Всесоюзн. конф. по тепломассобмену. - Минск: ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1984, с.19-23. 139. Семерак М.М., Бейзим І.А. Термостійкість залізобетонних конструкцій при зміні температури. - Вісті Донецького гірничого інституту Донецк: ДВНЗ «Дон НТЦ», 2007, №2, с.46-68. 140. Гусев Е.И. Оптимальный синтез композиционных структур, обеспечивающих гашение температурных волн. - Математическое моделирование, 2007, т.19, №12, с.81-88. 141. Кривошей Ф.А., Клецкий С.В. Тепловые режимы многослойных корпусов теплообменных аппаратов. - Промышленная теплотехника, 1980, №2, с.72-77. 142. Тютькин А.А. Исследование взаимодействия слоистого массива с конструкцией пилонной станции метрополитена. –В кн.:[139], с.125133. 143. Семерак М.М., Суббота А.В. Термонапружений стан твелів ядерних реакторів -.Там же (см.[142]), с.157-161. 144. Круковский П.Г., Рассамакин А.Б., Полубинский А.С. Теплофизический анализ системы «Короб-кабель» в условиях
145. 146. 147. 148. 149. 150.
151.
стандартного температурного режима пожара и выбор оптимального технического решения по обеспечению их огнестойкости. – Промышленная теплотехника, 2004, т.26, №5, с.41-47. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Механика физических процессов. – М.: Изд-во МГУ, 1976. – 370с. Матрос Ю.Ш. Нестационарные процессы в каталитических реакторах. - Новосибирск: Наука, С.о., 1982.-258с. Егерев В.К. Диффузионная кинетика в неподвижных срадах. – М.: Наука, 1970. – 228с. Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. – М.: Наука, 1981. – 296с. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло – и массопереноса. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 536с. Розеншток Ю.Л., Чудновский А.Ф. Применение интегрального однопараметрического метода к решению задач теплопроводности для среды с переменными теплофизическими характеристиками.- В кн.: Тепло - и массоперенос, т.6 //Минск: Наука и техника, 1966, с.159-164. Новиков В.С. Новые конечные интегральные преобразования задач тепломассопереноса с переменными коэффициентами. – В кн.:[134],
c.193-196.
654
152. Агаев С.Г. Синтез модели теплопроводности в анизотропных средах при определении физических свойств горных пород. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1988, №4, с.3-8. 153. Новиков В.С. Конечные интегральные преобразования для задач тепломассопереноса в нестационарных и неоднородных средах. – ИФЖ, 1981, т.41, №1, с.149-157. 154. Карачун В.Я. Решение краевых задач теплопроводности с переменными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа. – В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. // Сб-к научн. трудов. - Киев: Институт математики АН УССР,1982, с.28-31. 155. Васильева Т.В., Дударев Ю.И., Кашин А.П., Максимов М.З.
156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169.
Приближенные методы решения задач нестационарной теплопроводности в неоднородных средах. – ИФЖ, 2000, т.73, №6, с.1358-1363. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. – М.: Наука, 1971. – 552с. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. – Пер. с англ.- М.: Мир, 1976. – 464с. Джеймсон Э., Мюллер Т., Боллхауз У. и др. Численные методы в динамике жидкостей. – Пер. с англ.- М.: Мир, 1981. – 408с. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса. – М.: Наука, 1984.- 288с. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. – Пер. с англ.- М.: Энергоатомиздат, 1984.- 152с. Михайлов Ю.А., Глазунов Ю.Т. Вариационные методы в теории нелинейного тепло - и массопереноса. - Рига: Зинатне, 1985. – 190с. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. –Пер.с англ. – М.: Мир, 1986. – 318с. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена.- Пер.с англ. – М.: Мир, 1988. – 544с. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен.// В 2-х томах. – Пер. с англ. – М.: Мир,1990, т.1 – 384с., т.2 – 392с. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. – Пер. с англ.- М.: Мир, 1990. -660с. Жаблон К., Симон Ж.-К. Применение ЭВМ для численного моделирования в физике. – Пер. с франц.- М.: Наука, 1983. – 236с. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. – В 3-х томах. – Пер. с англ.- М.: Мир, 1970, т.3 – 344с. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. -392с. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 328с.
655
170. Четверушкин Б.Н. Минимальные размеры в задачах механики сплошной среды. – Математическое моделирование, 2005, т.17, №4, с.27-39. 171. Белоусов М.Н., Венгеров И.Р. Теплофизические аспекты получения и применения деформируемых наноматериалов: II. Предварительные результаты. – Физика и техника высоких давлений, 2007, т.17, №4, с.64-73. 172. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в неоднородных наносистемах. – В кн.: Труды Междунар. Научн. конф. «Nansys-2007». - Киев: НАН Украины, 2007, с.111-112. 173. Венгеров И.Р. Диффузия электромагнитных полей в неоднородных твердых телах. – Физика и техника высоких давлений, 2008,т.18, №3, с.62-66. 174. Венгеров И.Р. Метод приближенного решения краевых задач теплофизики неоднородных твердых тел. – Вестник ДонНУ, Сер.А., 2009, вып.2, с.133-137. 175. Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.М., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса.- М.: Факториал, 1998.- 368с. 176. Новиков В.С. Функции Грина некоторых задач переноса в нестационарных средах. – ИФЖ, 1982, т.42, №6, с.1020-1023. 177. Федоткин И. М., Айзен А.М. Асимптотические методы в задачах тепломассопереноса. - Киев: Вища школа, 1975. – 200с. 178. Зацкис Г. Об одной задаче теории теплопроводности. – В кн.:[28], c.141-145. 179. Азелтейн Дж.А. Метод интегральных преобразований в применении к линейным системам, параметры которых являются функциями времени. – В кн.:[28], c.146-155. 180. Земаньян А. Приближенный метод вычисления интегральных преобразований. - В кн.:[28], c. В кн.:[28], c.156-169. 181. Майерс Г.Е. Построение решений нестационарных задач теплопроводности с переменными во времени входными воздействиями на больших промежутках времени. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1980, т.102, №1, с.125-133. 182. Федоткин И.М., Гурский Н.Г., Клявлин В.В., Щербина В.Ю. Эффект теплового гистерезиса и накопление неоднородности свойств композиционных материалов в условиях повторных тепловых воздействий. – ИФЖ, 1985, т.49, №4, с.689-690. 183. Вик Б., Эзишик М.Н. Квазистационарное распределение температуры в периодически контактирующих стержнях конечной длины.- Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, т.103, №4, с.149-156. 184. Трофимов А.С., Козлов А.В., Головина А.В. Теплопроводность при переменном во времени коэффициенте теплоотдачи. – ИФЖ, 1987, т.53, №1, с.156-157.
656
185. Зудин
Ю.Б. Осреднённая теплопередача при периодических пульсациях интенсивности теплообмена на поверхности пластины, цилиндра и шара. – ИФЖ, 1995, т.68, №2, с.225-228. 186. Аттенков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Температурное поле полупространства с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой.- ИФЖ, 2001, т. 74, №3, с.81-
86.
187. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач 188.
189. 190. 191. 192.
193. 194. 195. 196.
нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами. – ИФЖ, 2001, т.74, №2, с.171-195. Аттенков А.В., Власов П.А, Волков И.К. Влияние подвижности границы на температурное поле полупространства в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой. – ИФЖ, 2002, т.75, №6, с.172-178. Похориллер В.Л. Решение задач теплопроводности методом дискретного Z- преобразования. – ИФЖ, 1980, т.39, №5, с.909-915. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. – ПММ, 1960, т.24, вып. 5, с.852-864. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра, 1984. – 212с. Бакиевич Н.И. Некоторые интегральные представления решений краевых задач для уравнения фильтрации в трещиноватых породах. – В кн.: Нелинейные краевые задачи.//Сб-к научн. трудов.- Киев : Институт математики АН УССР, 1980, с.13-16. Райченко Л.М. Фильтрация жидкости к скважине в трещиноватопористом пласте.- В кн.: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. // Сб-к научн. трудов.- Тула: Изд-во ТПИ, 1986, с. 141-145. Райс Дж. Механика очага землетрясения. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 218с. Шейдеггер А.Е. Основы геодинамики. – Пер. с англ.- М.:Недра, 1987. – 384с. Венгеров И.Р. Метод пересчёта для решения задач горной теплофизики.- В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах.//Сб-к научн. трудов. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1985, с. 50-
52.
197. Шолпо В.Н. Структура Земли: упорядоченность или беспорядок? – М.: Наука, 1986. – 160с. 198. Лобковский Л.И., Никишин А.М., Хаин В.Е. Современные проблемы геотектоники и геодинамики. – М.: Научный мир, 2004.- 612с. 199. Чистяков В.К., Саламатин А.Н., Фомин С.А., Чугунов В.А. Тепломассоперенос при контактном плавании. - Казань: Изд-во КГУ, 1984. – 176с. 200. Аренс В.Ж., Дмитриев А.П., Дядькин Ю.Д. и др. Теплофизические аспекты освоения ресурсов недр. – Л.: Наука, Л.о., 1988. – 336с.
657
201. Черняк В.П., Киреев В.А., Полубинский А.С. Нестационарный тепломассоперенос в разрушаемых массивах горных пород. - Киев: Наукова думка, 1992. – 224. 202. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. – М.: Наука, 1975.- 228с. 203. Нелинейные задачи математической физики. // Сб-к научн. работ.- Донецк: Изд-во ИПММ АН УССР, 1987. – 178с. 204. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – Пер. с англ.- М.: Мир, 1968. – 184с. 205. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 398с. 206. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. – В 2-х томах. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР. – т.1 – 452с. 207. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. – В 2-х томах. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР. – т.2 – 292с. 208. Бартман А.Б. Точные асимптотические решения в нелинейных задачах теплопроводности и теории перноса. – В кн.: Тепломассообмен – VI, т.6.// Материалы Всесоюзн.конф.- Минск: Изд-во ИТМО им. А.В.Лыкова АН БССР, 1984, с.3-10. 209. Баклан Б.В.,Греков С.П.,Калюсский А.Е., Невмержицкая М.В.
210.
211.
212. 213. 214. 215.
Решение квазилинейной задачи диффузии примеси в слое зернистого материала с адсорбцией и химической реакцией – В кн.: Математическое моделирование физических процессов. // Сб-к научн. трудов. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1989, с.4-7. Березовский А.А., Леженин Ф.Ф., Рыбалко В.М. Одномерные задачи теплопроводности. – В кн.: Нелинейные краевые задачи математической физики. //Сб-к научн. трудов. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1973, с.31-40. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Распространение тепловой волны в нелинейной неоднородной среде. В кн.: Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах. // Сб-к научн. трудов. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1991, с.80-81. Егорченко И.А., Воробьёва А.И. Условная инвариантность и точные решения одного нелинейного уравнения теплопроводности. – ДАН Украины, 1992, №3, с.20-22. Гриценко А. Е., Ляшко О.В. Алгоритм решения нелинейных краевых задач. – ДАН УССР, Сер.А., 1987, №9, с.16-18. Кудряшов Н.А., Чмыхов В.А. Приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке. – ЖВММФ, 2007, т.47, №1, с.110-120. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. – Пер.с англ.- М.: Недра, 1982.- 408с.
658
216. Добрянский Ю.П. Локально-одномерные конечно-разностные схемы для нелинейных переходных задач теплопроводности. – Препринт № 383 ИЭД АН УССР, Киев: 1984. – 48с. 217. Березовская Л.М., Борзаковский В.М., Леженин Ф.Ф. Расчёт
218.
219. 220. 221. 222. 223. 224. 225. 226.
227.
228.
нестационарного несимметричного температурного поля плоскослоистого нагревателя при нелинейных граничных условиях.- В кн.: Дифференциальные уравнения в частных производных в прикладных задачах. // Сб-к научн. трудов. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1982, с.28-31. Березовская Л.М. Нестационарные тепловые поля слоистых цилиндрических стенок. – В кн.: Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. // Сб-к научн. трудов. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1977, с.112 – 119. Коган М.Г., Захарин С.И. Нестационарная теплопроводность в неоднородных материалах, осложнённая экзотермическими реакциями. – ИФЖ, 1983, т.45, №6, с. 970-974. Тихонов А.М., Кальнер В.Д., Шкляров И.Н. и др. Об эффектах высокотемпературного нагрева биметаллических стальных заготовок.ИФЖ, 1990, т.58, №3, с.392-401. Имбер М. Нелинейный теплообмен в твердых телах при теплоизоляции одной из поверхностей. – Пер. с англ. - Теплопередача, 1981, т.103,№4, с.156-164. Коляно Ю.М., Пришляк В.Я. Нелинейная нестационарная задача теплопроводности для кусочно-однородного тела. – ИФЖ, 1990, т.59, №2, с. 319-320. Цулая Т.С. Численное решение нелинейных краевых задач тепло- и электропереноса в многослойных системах. – ИФЖ, 1977, т.32, №3, с.544-545. Будачова Я. Метод конечных элементов для решения некоторых задач теплопроводности. – ИФЖ, 1977, т.33, № 4, с. 728-733. Березовский А.А. Нелинейные краевые задачи теплоизлучающего тела. - Киев: Наукова думка, 1968. – 166с. Клецкий С.В. Численные решения задач нестационарной теплопередачи через многослойную стенку с неидеальными тепловыми контактами между слоями. – В кн.: Теплообмен в одно- и двухфазных средах. // Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. - Киев: Наукова думка, 1981, с.67-72. Черняк В.П., Фиалко Н.М., Меронова Н.О. Об учёте нелинейностей при математическом моделировании процессов теплопереноса в условиях нагрева горного массива пожарными газами. – ДАН Украины, Сер. А., 1994,№10, с.67-70. Захаров Е.И., Панфёрова И.В., Шкловер С.В. Аналитическое исследование развития самонагревания угольных скоплений в начальной стадии эндогенного пожара. – В кн.: Дифференциальные
659
229.
230. 231. 232. 233. 234. 235. 236. 237.
238.
239.
240. 241.
уравнения и прикладные задачи. //Сб-к научн. трудов. - Тула: Изд-во ТПИ, 1986, с.100-107. Березовский А.А., Бондарчук В.Т. Взаимная диффузия системы двух металлических пластин. В кн.: Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. // Сб-к научн. трудов. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1977, с.17-20. Стельмах Л.С., Зиненко Ж.А., Радугин А.А., Столин А.М. Численное исследование тепловой неустойчивости при нагреве керамических материалов.- ИФЖ, 1991, т. 61, №3, с.452-457. Буров И.С., Голубев В.В., Демидович А.Б. и др. Закономерности нагрева цилиндрического тела высокотемпературной гетерогенной струёй.- ИФЖ, 1989, т.56, №6, с. 970-974. Монастырский Л.С., Савицкий В.Г., Соколовский Б.С. Координатное распределение состава в варизонных структурах. ДАН УССР, Сер. А., 1985, №6, с.81-83. Михайлов В.В. Оптимизация многослойной изоляции. –ИФЖ, 1980, т.39, №2, с.286-291. Каледин В.О., Каледин Вл.О., Страхов В.Л. и др. Анализ системной прочности оборудования и сооружений при огневом поражении. – Математическое моделирование, 2006, т.18, №8, с.93-100. Дмитриев А.П., Кузяев Л.С., Протасов Ю.И., Ямщиков В.С. Физические свойства горных пород при высоких температурах.М.:Недра, 1969. – 160с. Басок Б.І., Воробйов Л.Й., Михайлик В.А., Лупіна А.О. Теплофізичні властивості природного грунту. - Промышленная теплотехника, 2008, т.30, № 4, с.38-42. Тельной А.П., Стукало В.А.Исследование зависимости теплопроводности осадочных горных пород от температуры. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. //Республ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 22 - Киев: Техника, 1971, с.60-62. Мосин И.М. Определение теплофизических констант углей и пород при высоких температурах. – В кн.: Материалы Семинара по горной теплотехнике, вып.5. - Киев: Изд-во Института технич. информ., 1964, с.173-176. Медведев Б.,И., Лапко В.В., Павловский В.А., Кондрацкий В.Л. Разработка методов математического моделирования на АВМ процессов теплообмена в горной выработке при пожарах.- В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. // Республ. межвед. Научно-техн.сб-к, вып. 49 - Киев: Техника, 1978, с.101-106. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.Пер. с англ.- М.: Наука, 1966.- 228с. Откидач В.В., Лапко В.В. Об одной краевой задаче расчёта температурного поля массива горных пород при переменных теплофизических параметрах. – В кн.: Физико-технические
660
242. 243.
244. 245.
246. 247. 248.
249.
250. 251. 252. 253.
254. 255.
приложения нелинейных краевых задач. //Сб-к научн. трудов. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1987, с. 43-45. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об асимптотическом поведении решения одной задачи Стефана. – ДАН УССР, Сер.А., 1978, №12, с.1059-1061. Березовский А.А., Довбня В.Д. Математические модели тепловых процессов в автотигле при электронно-лучевой гарнисажной плавке. – В кн.: Нелинейные краевые задачи. //Сб-к научн. трудов. - Киев: Издво Института математики АН УССР, 1980, с. 41-57. Леонтьев Ю.В. Математическая модель кристаллизующегося цилиндрического слитка. – В кн.:[192], c. 75-82. Леонтьев Ю.В. Об одной квазистационарной задаче Стефана. – В кн.: Диффренциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. //Сб-к научн. трудов. - Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1982, с. 54-57. Данилюк И.И. Математическое моделирование фазовых превращений в двухкомпонентных средах. – ДАН УССР, Сер. А, 1984, №12, с.10-13. Данилюк И.И. Олейник В.И. Двухслойная нестационарная задача Стефана при наличии теплового удара. - ДАН УССР, Сер. А, 1986, №5, с.3-7. Салей С.В. Об асимптотическом поведении свободной границы при t → ∞ в одной задаче Стефана на полуоси при наличии теплоисточников. – В кн.:Математическая физика и нелинейная механика.//Сб-к научн. трудов ИМ АН УССР, вып.11.- Киев: Наукова думка, 1989, с.83-89. Юртин И.И. Метод Ротэ в одномерных задачах кристалллизации. – В кн.: Математическое моделирование физических процессов. // Сб-к научн. трудов.- Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1989, с.107-112. Гамаюнов И.И., Гамаюнов С.Н. Перенос тепла и влаги при промерзании грунтов. – ИФЖ, 2004, т.77, №5, с.72-81. Портнов И.Г. Задача о деструкции и оплавлении с учётом скачкообразного изменения плотности. В кн.: Тепло- и массоперенос, т.2.// Сб-к научн. трудов.- Минск: Наука и техника, 1968, с.75-84. Лыков А.В. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопереноса. – В кн.: Проблемы тепло- и массопереноса.// Сб-к научн. трудов.- Минск: Наука и техника, 1976, с.9-82. Эзишик М.Н., Юзелл Д.К.мл. Точное решение задачи об осесимметричном процессе затвердевании вещества с расширенным диапазоном температур затвердевания. –Пер. с англ.- Теплопередача, 1979, т.101, №2, с.167-171. Меламед В.Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых переходах. – М.:Наука, 1980. – 224с. Коздоба Л.А., Мельник В.К. Анализ методик численного моделирования задач затвердевания (плавления).-В кн.: Тепломассообмен – VI, т.9.// Материалы VI-й Всес. конф. по
661
тепломассообмену.- Минск: Изд-во ИТМО им. Лыкова АН БССР, 1980, с.96-99. 256. Гориславец В.М., Митрохин В.А. Использование классической задачи Стефана для организации начальных данных при численном исследовании задач мерзлотного прогноза. ИФЖ, 1982, т.43, №5, с.
847-851.
257. Ковальков 258. 259.
260. 261. 262. 263. 264. 265. 266. 267. 268.
В.П. О продолжительности промерзания тел при переменной температуре среды. – ИФЖ, 1984, т.46, №1, с. 93-100. Мухетдинов Н.А. Численно-аналитический алгоритм решения задачи Стефана. – ИФЖ, 1991, т.60, №1, с.145-150. Козлов В.П., Мандрик П.А., Юрчук Н.И. Об одном подходе к аналитическому решению двумерной нестационарной задачи теплопроводности в областях с движущимися границами. – ИФЖ, 2002, т.75, №1, с. 181-185. Бровка Г.П., Иванов С.Н. Расчёт температурных полей в грунте с фазовыми переходами вода-лёд в спектре температуры.- ИФЖ, 2004, т.77, №6, с.112-119. Карташов Э.М., Кротов Г.С. Аналитическое решение однофазной задачи Стефана. – Математическое моделирование, 2008, т.20, №3, с.77-86. Васильев В.И., Попов В.В. Численное решение задачи промерзания грунта. – Математическое моделирование, 2008, т. 20, №7, с.119-128. Недопёкин Ф.В., Белоусов В.В. Моделирование гидродинамических и тепломассообменных процессов при естественной и вынужденной конвекции. – В кн.:[122], с.54-62. Метенин В.И., Шафеев М.Н. Исследование процесса замораживания грунта при бурении скважин. – В кн.: .:[251], с. 85-88. Иванов Н.С. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. – М.: Наука, 1969. – 240с. Юшков П.П., Ржевская В.Б. Намораживание слоя льда заданной толщины при натекании жидкости на охлажденную цилиндрическую поверхность. – ИФЖ, 1974, т.27, №4, с.667-672. Журавлёв В.А., Китаев Е.М. Теплофизика формирования непрерывного слитка. – М.: Металлургия, 1974, - 216с. Леонтьев Ю.В., Сусляк А.Ф. Об одной математической модели нагрева толстой металлической плиты. – В кн.: Нелинейные краевые задачи теплопроводности. //Препринт 82-3 ИМ АН УССР - Киев:1982, с.31-
35.
269. Галкин А.Ф., Киржнер Ф.М., Скуба В.Н. Определение параметров
прогрева пород при переходе геологических нарушений в условиях многолетней мерзлоты. – ФТПРПИ, 1982, №2, с.112-115. 270. Лингарт Ю.К., Штипельман Я.И.Исследование температурных полей в установках для выращивания монокристаллов лейкосапфира с помощью математического моделирования. – ИФЖ, 1982, т. 43, №2, с.
306-314.
662
271. Чола Т.К., Педерсен Д.Р., Лиф Г. И др. Метод адаптивной коллокации 272. 273. 274. 275.
276. 277.
278. 279. 280. 281. 282. 283. 284. 285. 286. 287.
для задач одновременной диффузии тепла и массы при фазовых превращениях. – Пер. с англ. - Теплопередача, 1984, т. 106, №3, с.6-13. Шмрга Л. Затвердение и кристаллизация стальных слитков.- Пер. с чешск.- М.: Металлургия, 1985. – 248с. Муг Д.Б., Рубински В. Аналитическая модель диффузии тепла и водяного пара при промерзании влажного угля. – Пер. с англ.Теплопередача, 1985, т. 107, №1, с.1-8. Бардыбахин А.И. Моделирование окисляющегося металла. – ИФЖ, 1985, т. 48, №4, с.688-689. Чжан Г.П., Вайнбаум С., Джиджи Л.М. Приближенное решение трехмерной задачи о плавлении или затвердевании грунта вокруг заглубленного трубопровода. – Пер. с англ.- Теплопередача, 1986, т. 108, №4, с. 145-152. Григорян С.С., Красс М.С., Гусева Е.В., Геворкян С.Г. Количественная теория геокриологического прогноза. – М.: Изд-во МГУ, 1987. – 266с. Дихтиевский О.В., Конюхов Г.В., Мартыненко О.Г., Юревич И.Ф. Численное моделирование оптимального теплового аккумулятора на фазовом переходе.- ИФЖ, 1991, т. 61, №5, с.749-755 Гухман А.А., Зайцев А.А., Камовников Б.П. Обобщенная задача Стефана. – ИФЖ, 1992, т.62, №2, с.317-324. Недопёкин Ф.В. Математическое моделирование гидродинамики и тепломассопереноса в слитках. – Ижевск, 1995. – 110с. Дремов В.В., Недопёкин Ф.В. Аналитический расчет затвердения расплава в изложнице. – ИФЖ, 2002, т.75, №6, с.179-184. Марийчук И.Ф., Попов В.Н., Положий В.О., Онасенко А.А. Теплообменные процессы в аккумуляторе холода противотепловой одежды. – Горноспасательное дело, 2007, вып.44, с.139-146. Козлов В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. - Минск: Наука и техника, 1986. – 392с. Саломатов В.В., Горбунов А.А. Аналитическое исследование теплопереноса в телах с подвижными границами. – Известия АН СССР, сер. Энергетика и транспорт, 1973, №1, с.138-147. Венгеров И.Р. Теория и расчёт аккумуляторов атмосферного холода на термосифонах. // Препринт ДонФТИ 97-1. – Донецк: 1997 - 60c. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Том Ш. Нефтепромысловая механика. – М.: Изд-во АН СССР, 1955. – 678с. Абрамов Ф.А., Фельдман Л.П., Святный В.А. Моделирование динамических процессов рудничной аэрологии. - Киев: Наукова думка, 1981. – 284с. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. – Изд-е 2-е, перераб. и дополн. – М.: Недра, 1982. – 224с.
663
288. Кузин В.А., Величко А.Е., Хохотва Н.Н. и др. Единая методика прогнозирования температурных условий в угольных шахтах. Макеевка. Изд-во МакНИИ, 1979. – 196с. 289. Кузин В.А., Пучков М.М., Вегеров И.Р., Мартынов А.А. Методика прогнозирования температурных условий в выработках вентиляционных горизонтов глубоких шахт. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1984. -64с. 290. Щербань А.Н. Проблемы прогноза теплового режима шахт и подземных сооружений.- В кн.: Проблемы горной теплофизики. //Материалы Всесозн. научно-техн. конф.- Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, с.
127-132.
291. Дядькин Ю.Д., Щербань А.Н. Горная теплофизика и её проблемы. – В кн.:[290], c. 5-12. 292. Дядькин Ю.Д. Актуальные проблемы горной теплофизики. В кн.: Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова, т. 67, вып.1.-Л.:Изд-во ЛГИ, 1975, с.20-30. 293. Щербань А.Н., Черняк В.П. Состояние тепловых условий и задачи в области горной теплофизики. – В кн.: Теплофизические процессы в подземных сооружениях. // Труды Междунар. Бюро по горной теплофизике. - Киев: Наукова думка, 1980, с.6-22. 294. Медведев Б.И. Тепловые основы вентиляции шахт при нормальных и аварийных режимах проветривания. – Киев-Донецк: Вища школа, 1978.- 156с. 295. Горб В.Ю., Клейнер А.А., Макаренко В.Л., Семко В.К. О динамике охлаждения нагретого горного массива. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. // Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 65. - Киев: Техника, 1983, с. 98-105. 296. Ониани Ш.И., Николаишвили Н.С. Охлажденная зона горного массива вокруг выработки при постоянной температуре рудничного воздуха. – Уголь Украины, 1976, №11, с.21-23. 297. Ябко И.А. Нестационарное температурное поле вокруг выработки некругового сечения.- М.:ВИНИТИ, Деп. №1792, 1974. – 12с. 298. Ониани Ш.И. Тепловой режим глубоких шахт при гидравлической закладке выработанного пространства и сложном рельефе поверхности. - Тбилиси: Мецниереба, 1973. – 308с. 299. Березовский А.А., Березовский С.А., Цыганкевич Я.М. Математическая модель самонагревания цилиндрического слоя угля. – Доповіді НАН України, 2002, №6, с.93-98. 300. Брайчева Н.А., Добрянский Ю.П., Щербань А.Н. К постановке задач о тепловом режиме теплоносителя, движущегося в горной выработке. – Промышленная теплотехника, 1986, т.8, №1, с.19-22. 301. Черниченко В.К., Венгеров И.Р. Расчёт теплового поля, обусловленного плоским источником. – В кн.: Кондиционирование рудничного воздуха в глубоких шахтах, вып.6. // Сб-к научн. трудов. Макеевка:Изд-во МакНИИ, 1978, с.24-27.
664
302. Венгеров И.Р., Старик Ю.М. К тепловому расчёту насосов МГД – аппаратов.- В кн.: Десятое Рижское Всесоюзн. совещ. по магнитной гидродинамике.// Материалы совещания, Рига, 1981, с. 112-113. 303. Венгеров И.Р., Старик Ю.М.Вопросы расчёта тепловых полей в
304.
305. 306. 307. 308. 309. 310.
311. 312. 313. 314.
жидкометаллическом коммутационном аппарате с индивидуальным МГД - насосом. – В кн.: Материалы Всес. семинара по жидкометаллическим контактам. - Каунас, 1982, 12-14 октября. //Депониров. сб-к научн. докладов, Деп. № 1117 ЛиД83, с. 91-97. Черниченко В.К., Венгеров И.Р. Математическое моделирование теплового дренажа горных пород в глубоких шахтах. // Рук., депонир. ЦНИЭИуголь, 1988.- М.: Библ.указатель ВИНИТИ «Депонированные научные работы», 1988, вып.№8 (202), Рег. № 4440 от 01.03.1988. – 44с. Венгеров И.Р., Костенко В.К., Горожанкин В.Б. Математическое моделирование режимов работы шахтного геотермального теплообменника. – Известия Дон НТУ, 2007, вып.1, с. 10-15. Костенко В.К., Венгеров И.Р. Математическая модель эксплуатационного режима шахтного геотермального теплообменника. – Известия Дон НТУ, 2007, вып. 2, с.86-89. Венгеров И.Р. Неодномерные модели горной теплофизики. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства.// Сб-к научн. трудов, вып. 10.- Донецк: ИФГП НАНУ, 2007, с.60-80. Венгеров И.Р. Математическое моделирование экологически чистых геотехнологических систем. – Вісті Донецького гірничого інституту, вип.2.- Донецьк: ДВНЗ «ДонНТУ», 2007, с.172-177. Ковалёв Л.К., Полтавец В.Н. Исследование двумерных температурных полей в электродных блоках с керамическим модулем. – ИФЖ, 1977, т.32, №1, с.116-123. Валиуллин Р.П. Шарафутдинов Т.Р., Шарафутдинов Р.Ф. Математическое моделирование азимутально - радиального распределения температуры в скважине при наличии источников тепла. – ИФЖ, 2006, т.79, №5, с. 80-82. Галазюк В.А., Коляно Я.Ю. Исследование нестационарных температурных полей в телах сферической формы методом полиномов Чебышева - Лагерра. – ИФЖ, 1987, т.52, №5, с. 844-851. Слесаренко А.П., Ноша Ю.В. Математическое моделирование температурных полей в многослойном анизотропном теле сложного сечения. – Доповіді НАН України, 2003, №5, с.82-85. Мельников В.В. Нестационарный теплообмен в системе трёх коаксиальных конечных цилиндров. – ИФЖ, 2007, т.80, №1, с.140-148. Мальковский В.И., Пэк А.А. Влияние ограничивающих водоупорных пластов с высокими сорбционными свойствами на миграцию загрязнителя в водоносном горизонте. - Геоэкология. Инженерная геология. Гидрогеология. Геокриология, 2005, №3, с. 227-233.
665
315. Лыков В.А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. – В кн.:Проблемы тепло- и массопереноса. //Сб-к научн. трудов. - Минск: Наука и техника, 1976, с. 83-98. 316. Дядькин Ю.Д. Основы горной теплофизики для шахт и рудников Севера. – М.: Недра, 1968. – 256с. 317. Коздоба Л.А., Черняк В.П. Физическая характеристика и математическое описание системы «массив-выработка» в связи с
318. 319. 320. 321.
322. 323. 324. 325.
326. 327. 328.
проблемой прогноза и регулирования теплового режима глубоких шахт. – В кн.: Тепловой режим глубоких угольных шахт и рудников. // Материалы Междунар. Симпозиума «Градиент -77». - Киев: Наукова думка, 1977, с.40-49. Корольков Б.П. Специальные функции для исследований динамики нестационарного теплообмена. – М.: Наука, 1976. – 168с. Корольков Б.П. Динамика сопряженного теплообмена в каналах. – В кн.: Теплообмен – VI, т.9.://Материалы VI-й Всес. конф.- Минск: Издво ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1980, с. 45-48. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача. – М.: Высшая школа, 1988. – 480с. Бубнович В.И., Карпова Т.А., Колесников П.М. и др. Нестационарный сопряженный теплообмен в каналах различной геометрии при течении вязкой несжимаемой жидкости. – В кн.:Энергоперенос в нелинейных, неоднородных и неравновесных средах. //Сб-к научн. трудов.Минск:Изд-во ИТМО им. А.В.Лыкова АН БССР, 1984, с.5-13. Рядно А.А. Применение методов конечных элементов и разностей для решения сопряженных задач конвективного теплообмена в трубах сложного сечения. – В кн.:[321], c.14-19. Сэбиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен.- Пер. с англ. М.: Мир, 1987.- 592с. Давыденко В.П. Конечно-разностное решение сопряженных задач теплообмена методом сведения к эквивалентной задаче теплопроводности. – Промышленная теплотехника, 1984, №3, с. 55-59. Трусов В.П. Сопряженная задача теплообмена при течении жидкости в трещине гидроразрыва подземной циркуляционной системы.- В кн.: Физические процессы горного производства.// Всесоюзн. межвуз. сбк, вып.12. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1982, с. 81-91. Калинников Л.Д., Шумаков Н.В. Решение сопряженной задачи в последовательных интервалах.- ИФЖ, 1977, т. 33, №6, с.1031-1036. Сусек Дж. Теплообмен в переходном режиме между пластиной и жидкостью с периодически меняющейся со временем температурой. – Пер. с англ.- Теплопередача, 1980, т.102, №1, с . 139-146. Кириллов П.Л. О влиянии теплофизических свойств поверхности на теплоотдачу при турбулентном течении. – ИФЖ, 1986,т.50, №3, с.501-
512.
666
329. Поляков А.Ф. Об экспериментальных данных и прикладных моделях турбулентного переноса теплоты в пристенных течениях. – ИФЖ, 1993, т.64, №6, с. 689 – 697. 330. Филиппов К.А. Квазистационарное температурное поле в стволе действующей скважины. – ИФЖ, 2004, т. 77, № 6, с. 13-19. 331. Чунту Г.И., Калюсский А.Е., Гусар Г.А. Исследование нестационарного температурного поля при эндогенном пожаре.Безопасность труда в промышленности, 1979, №8, с. 44-45. 332. Щербань А.Н., Ягельский А.Н. Кондиционирование рудничного воздуха.- М.: Углетехиздат, 1956. – 352с. 333. Баратов Э.И., Терещенко В.Г. Экспериментальные исследования образования охлажденной зоны горных выработок. – В кн.: Труды Семинара по горной теплотехнике, вып.4.- Киев: Изд-во АН УССР, 1962, с. 66-71. 334. Кузин В.А. Экспериментальное определение коэффициента нестационарного теплообмена в горных выработках. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып.3. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1973, с. 86-88. 335. Вяльцев М.М. Исследование теплового поля вокруг стволов шахт с исходящей струёй. – В кн.: Вопросы повышения эффективности разработки месторождений полезных ископаемых. // Труды НПИ, т. 256. –Новочеркасск:1972, с. 59-67. 336. Кузин В.А., Венгеров И.Р. О формировании температурных полей вокруг выработок глубоких шахт. – Уголь Украины, 1982, № 7, с. 4041. 337. Щербань А.Н., Цырульников А.С., Ерёмин И.Я. Прогноз газоносности угля и давления газа в призабойной зоне. – В кн.: Борьба с внезапными выбросами в угольных шахтах. – М.: Госгортехиздат, 1962, с.497-514. 338. Эттингер И.Л., Лидин Г.Д. и др. Изменение температуры угольного пласта как показатель происходящих в нём механических физических процессов.- ФТПРПИ, 1984, № 5, с. 65-69.
и
339. Кременев О.Г. Способ и средство контроля нарушенности структуры угольных пластов в очистных забоях. // Автореф. дис. … к.т.н., Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1985. – 17с. 340. König H. Matematische Untersuchungen uber das Grubenklima. – Bergbau – Arch, 1952, 13, Heft 3/4, s.1-14. 341. Щербань А.Н., Киреев В.А., Черняк В.М. Задача нестационарной теплопроводности горного массива вокруг горизонтальной выработки. – ДАН УССР, Сер. А, 1977, №2, с.182-185. 342. Кара В.В., Криворучко А.М., Сальников В.К. Применение вспенивающихся пластмасс на шахтах. – М.: ЦНИЭИуголь, 1975. – 38с.
667
343. Волощук С.Н., Андреев Г.Г., Мальниченко В.М. Кондиционирование воздуха на глубоком руднике. – М.: Недра, 1975. – 152с. 344. Ониани Ш.И., Лебанидзе З.Б. Влияние радиального изменения
345.
346.
347. 348.
349. 350. 351.
352.
353.
теплофизических свойств пород на микроклимат выработок шахт каменноугольных месторождений. – В кн.: Теплообмен и теплофизические свойства веществ.// Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. - Киев: Наукова думка, 1984, с. 86-89. Гущин А.М., Лобов В.Л. Расчёт температуры воздуха в стволах глубоких шахт в реверсивном режиме проветривания.- В кн.: Тепловой режим глубоких угольных шахт и металлических рудников. // Материалы междунар. Симпозиума «Градиент-77» - Киев: Наукова думка, 1977, с.116-120. Баранов П.А., Голиков А.Д., Исаев С.А., Снегирёв А.Ю. Численное и физическое моделирование температурного режима в путевом тоннеле метрополитена при пожаре в движущемся вагоне поезда.- ИФЖ, 2000, т. 73, № 5, с. 918-921. Красюк А.М., Лугин И.В. Исследование режимов вентиляции при возгорании поезда в тоннеле метрополитена. – ФТПРПИ, 2005, №4, с.84-93. Карташов Э.М., Ремизова О.И. Модельные представления термического удара при импульсных и пульсирующих тепловых нагрузках на основе обобщенного уравнения энергии.Математическое моделирование, 2005, т. 17, № 4, с.81-95. Красноштейн А.Е., Казаков Б.П., Шалимов А.В. Математическое моделированиме процессов теплообмена рудничного воздуха с массивом горных пород при пожарах. – ФТПРПИ, 2006, №3, с. 94-102. Красноштейн А.Е., Казаков Б.П., Шалимов А.В. Моделирование процессов теплообмена между рудничным воздухом и массивом горных пород. – ФТПРПИ, 2007, №5, с. 77-85. Фролов С.В. Утилизация тепловой энергии сжатого воздуха при повышении безопасности эксплуатации шахтных воздухоподающих стволов в зимний период. - Автореф….к.т.н. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1988. – 17с. Фролов С.В., Черниченко В.К. Оптимизация системы обогрева шахтного ствола и повышение её надёжности. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. // Сб-к научн. трудов. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1987, с. 158-166. Фролов С.В., Венгеров И.Р.,Черниченко В.К. Оценка времени обмерзания шахтного ствола при сбросе тепловой мощности на калориферной установке. – В кн.: Способы и технические средства обеспечения безопасных и здоровых условий труда в угольных шахтах. // Сб-к научн. трудов. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1988, с. 78
- 83.
668
354. Венгеров И.Р., Черниченко В.К. Применение гидроинтегратора для решения некоторых инженерных задач горной теплофизики. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. // Материалы Всесоюзн. научно-техн. совещ. - Донецк: 1974, с. 58-59. 355. Мельник В.К., Добрянский Ю.П., Щербань А.Н. Моделирование температурного режима при остывании зоны внутренних взрывов. – ДАН УССР, Сер. А, 1978, № 12, с. 1129-1132. 356. Ильинский Э.Г., Конопелько Е.И., Овчаров В.К. Требования к оборудованию и размещению камер-убежищ в горной выработке. В кн.: Тезисы докладов второй межд. научно-практ. конф. «Пути повышения безопасности горных работ в угольной отрасли». Макеевка: Изд-во МакНИИ, 2007, с.65-67. 357. Голик А.С., Зубарева В.А., Апальков А.С. Обеспечение безопасности жизнедеятельности в аварийных условиях на угольных шахтах. – Безопасность жизнедеятельности, 2009, №7, с.10-12. 358. Черняк В.П. Теплофизическое обеспечение безопасной изоляции радиоактивных отходов. – Промышленная теплотехника, 2000, т.22, №3, с.47-51. 359. Письменный Е.Н., Гершуни А.М., Нищик А.П. Состояние и развитие систем охлаждения отработанного ядерного топлива. – Промышленная теплотехника, 2000, т.22, №5-6, с. 82-87. 360. Абубекеров Р.А., Домашев Е.Д., Домашев В.Е. и др. Основа будущей энергетики Украины – в строительстве региональных подземных
361.
362.
363. 364.
365.
атомных теплоэлектростанций на базе судового оборудования и судостроительных технологий. – Промышленная теплотехника, 2000, т.22, № 5-6, с. 92-97. Лаверов Н.П., Величкин В.И., Омельяненко Б.И., Юдин цев С.В. Проблемы безопасного хранения облученного ядер ного топлива: геологогеохимические аспекты. – Геоэкология Инженерная . геология. Гидрогеология. Геокриология, 2006, №4, с.293-304. Амосов П.В., Наумов А.В., Новожилова Н.В. Диффузионный перенос радионуклидов в инженерных барьерах объектов долговременного хранения отработанного ядерного топлива и захоронения радиоактивных отходов. – Геоэкология. Инженерная геология. Гидрогеология. Геокриология, 2008, №3, с.244-252. Бежан А., Имбергер Дж. Теплообмен при вынужденной и свободной конвекции в горизонтальном канале с различно нагретыми концами.Пер. с англ. - Теплопередача, 1979, т.101, №3, с.40-46. Травкин В.С. Стационарная естественная конвекция в полости с переменной температурой стенки. – В кн.: Теплообмен в одно- и двухфазных средах. //Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. - Киев : Наукова думка, 1981, с.15-19. Щербань А.Н., Примак А.В., Поляков В.Н. Новый метод оценки комфортных условий труда горнорабочих в шахтах. – Уголь, 1972, №12, с.9-12.
669
366. Витте Н.К. Тепловой обмен человека и его гигиеническое значение. Киев: Медгиз, 1956. – 144с. 367. Щербань А.Н., Кремнёв О.А., Журавленко В.Я. Руководство по регулированию теплового режима шахт. – Изд-е 3-е, перераб. и доп. – М.: Недра, 1977.- 360с. 368. Бобров А.И., Кузин В.А., Кузьмин Д.В. Определение расхода воздуха для проветривания выработок по тепловому фактору. – Уголь Украины, 1986, №12, с.31-33. 369. Руководство по проектированию вентиляции угольных шахт. – Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1989. – 152с. 370. Кузин В.А. Методы прогноза и способы регулирования теплового режима вентиляционных горизонтов глубоких угольных шахт. // Диссер. … д.т.н. в форме научного доклада. – М.:ИГД им. А.А. Скочинского, 1993. – 40с. 371. Божко В.Л., Греков С.П., Осипов С.Н. Описание процесса выноса метана из тупиковой выработки после ведения взрывных работ. – В кн.: Вопросы безопасности в угольных шахтах. // Сб-к Трудов МакНИИ, т.18. – М.: Недра, 1968, с.30-48. 372. Жаворонков Ю.М. Исследование закономерностей формирования полей концентраций газа в горных выработках. – Автореф. диссер….к.т.н. - Кемерово: Изд-во ВестНИИ, 1973.- 18с. 373. Греков С.П., Калюсский А.Е. Газодинамика инертныхсред и разгазирование горных выработок при авариях. М.: Недра, 1975. – 122с. 374. Кремлёв Н.Д. Исследование и разработка методов расчёта процессов проветривания сложных вентиляционных сетей. - Автореф. Дисс. … к.т.н.- Л.:ЛГИ им. Г.В. Плеханова, 1980. – 15с. 375. Колмаков В.А. Теоретические основы и методология расчётов 376.
377. 378. 379.
380.
процессов переноса метана в деформируемых массивах горных пород и атмосфере выработок.- Автореф. дисс… д.т.н.- М: 1980. – 32с. Греков С.П., Калюсский А.Е., Пясецкий Б.П., Шевченко Ю.А. Прогноз состава рудничной атмосферы при ведении горноспасательных работ.В кн.: Краевые задачи теории теплопроводности.// Сб-к научн. трудов.- Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1975, с. 29-34 Бурчаков А.С., Мустель П.И., Ушаков К.З. Рудничная аэрология. – М.: Недра, 1971.-376с. Айруни А.Г., Скобунов В.В. Об особенностях продольной диффузии примесей в горных выработках большой протяженности. – ФТПРПИ, 1974, №6, с. 93-97. Верховский Е.И., Венгеров И.Р. Оценка содержания метана в атмосфере горных выработок после внезапного выброса угля. – В кн.:Борьба с газом, пылью и выбросами в угольных шахтах. // Сб-к научн. трудов, вып. 12.- Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1976, с.100-102. Верховский Е.И. Исследование характера газопроявлений при выбросах угля и газа и определение исходных данных для
670
381. 382. 383. 384.
385. 386.
387. 388. 389. 390.
391. 392. 393. 394. 395. 396.
быстродействующей газовой защиты.- Автореф. дисс. … к.т.н. Кемерово: Изд-во ВостНИИ, 1978. – 17с. Кашуба В.С., Лошкарёв Л.В., Поддубный А.И. Газовый режим на участке при самообрушении больших масс угля.- Уголь Украины, 1978, № 6, с. 9-11. Осипов С.Н., Греков С.П. Определение коэффициента перемешивания в ограниченном потоке газа.- ФТПРПИ, 1968, № 4, с.127-130. Ярембаш И.Ф. Определение коэффициента перемешивания в турбулентных потоках горных выработок.- Известия ВУЗов. Горный журнал, 1970, №5, с. 64-67. Черниченко В.К., Дрига Я.И., Венгеров И.Р. Исследовать целесообразность кондиционирования шахтного воздуха с использованием атмосферного холода.// Отчёт по НИР МакНИИ, в 2- х томах.- Макеевка: Макеевка: МакНИИ, 1987. – т.1 – 128с., т.2 – 89с. Термосваи в строительстве на Севере. //Под ред. С.С. Вялова.Л.:Стройиздат,1984. – 148с. Хрусталёв Л.М., Янченко О.М., Наумова Л.А. Опыт и перспектива использования парожидкостных охлаждающих устройств –В кн.: Регулирование температуры грунтов основания с помощью сезоннодействующих охлаждающих устройств. // Сб-к научн. трудов Института мерзлотоведения СО АН СССР.- Якутск: 1983, с. 3-12. Ивановский М.Н., Соркин В.П. и др. Технологические основы тепловых труб. – М.: Атомиздат, 1980.- 196с. Чи С. Тепловые трубы: теория и практика. – Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1984. – 208с. Гролль М. Работы по тепловым трубам в Европе (Обзор) – ИФЖ, 1975, т. 28, №1, с.155-162. Бучко Н.А. Система критериев и обобщенные зависимости для расчётов процессов замораживания грунта с помощью сезоннодействующих охлаждающих устройств. - Холодильная техника, 1978, №1, с.19-22. Бобков В.А. Производство и применение льда. – М.: Пищевая промышленность, 1977. – 230с. Пархаладзе Э.Г. Метод теплового расчёта водоледяных аккумуляторов холода. – Холодильная техника и технология, 1973, №17, с.10-12. Московченко В.В. Процесс замораживания воды в льдогенераторе послойного намораживания. – Холодильная техника и технология, 1976, № 23, с 84-87. Московченко В.В. Исследование процесса переохлаждения льда в льдогенераторах послойного намораживания. – Холодильная техника и технология, 1977, № 24, с 90-93. Ржевская В.Б., Гуйко Э.И. Интенсификация работы льдогенератора чешуйчатого льда. – Холодильная техника, 1980, № 11, с.43-45. Иванова Р.Б., Корбов А.Б. Аккумуляторы холода с льдогенераторами чешуйчатого льда. – Холодильная техника, 1980, № 11, с. 23-24.
671
397. Гончарова Г.Ю., Медовар Л.Е. Анализ процессов в льдоаккумуляторах с децентрализованным хладоснабжением. – Холодильная техника, 1986, № 2, с.16-21. 398. Медникова Н.М., Юрьев С.М., Ланцман Н.П. Сравнительный анализ вариантов систем хладоснабжения с аккумуляторами холода и капельными испарителями. - Холодильная техника. – 1986, № 2, с.22-
26.
399. Носов И.Д., Щуплин М.Н., Ресин В.И. Исследование параметров замораживания при проведении горизонтальных выработок. – М.: Недра, 1980. – 248с. 400. Трупак Н.Г. Замораживание грунтов при строительстве подземных сооружений.- М.: Недра, 1979. – 334с. 401. Носов И.Д., Замораживание фильтрующих горных пород. – М.: Недра, 1968. – 188с. 402. Житомирский И.С., Фенченко В.Н. и др. Экономико-математическое 403. 404. 405. 406. 407. 408. 409. 410. 411. 412. 413. 414. 415.
моделирование и оптимизация процесса замораживания водоносных пород жидким азотом.- Холодильная техника, 1984, № 8, с.25-29. Толубинский В.И. Теплообмен при кипении. - Киев: Наукова думка, 1980. – 316с. Кутепов А.М., Стерман Л.С., Стюшин Н.Г. Гидродинамика и теплообмен при парообразовании. – М.:Высшая школа, 1986.- 448с. Новиков Ф.Я. Температурный режим мерзлых горных пород за крепью шахтных стволов. – М.: Изд-во АНСССР, 1959. - 78с. Аршанский С.Н., Синкевич Э.Я. Льдозаводы. – М.: Пищевая промышленность, 1968.- 148с. Мещареков Ф.Е. Основы холодильной техники и технологии. – М.: Пищевая промышленность, 1975. – 264с. Чижов Г.Б. Приближенное вычисление продолжительности замораживания тел правильной формы.- Холодильная техника, 1977, № 1, с. 42-46. Альяновский И.Г. Уточнение формулы для определения продолжительности замораживания продуктов. - Холодильная техника, 1982, №7, с. 37-39. Иодко Э.А. Метод аналитического расчёта затвердевания тел простейшей формы. – ИФЖ, 1963, № 7, с.107-111. Любов Б.Я.Теория кристаллизации в больших объёмах. – М.: Наука, 1975. – 254с. Лейбензон Л.С. Руководство по нефтепромысловой механике. – М. Л.: Изд-во АН СССР, 1931. – 148с. Захаров Ю.В. Судовые установки кондиционирования воздуха и холодильные машины. – Л.: Судостроение, 1972. – 568с. Справочник по климату СССР, Вып.10. Ветер. – Л.: Гидрометеоиздат, 1967. – 689с. Справочник по климату СССР, Вып.11. Температура воздуха и почвы. – Л.: Гидрометеоиздат, 1967. – 607с.
672
416. Развитие горной науки в области безопасности труда. // Коллективная монография. – М.: Недра, 1979.- 168с. 417. Борисов А.А., Матанцев Ф.И., Овчаренко Б.П., Воскобоев Ф.Н. Управление горным давлением. – М.: Недра, 1983. – 168с. 418. Кузин В.А., Мартынов А.А., Венгеров И.Р. Влияние способа управления кровлей на тепловой режим выемочных участков. – Уголь Украины, 1985, № 1, с. 36-37. 419. Кузин В.А., Алабьев В.Р., Песок С.А. и др. Руководство по выбору
горнотехнических способов нормализации климатических условий на выемочных участках глубоких шахт. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1995. – 44с. 420. Кузин В.А., Мартынов А.А., Костина Г.П., Бузовская Л.М. Прогресивные способы управления тепловым режимом выемочных участков глубоких шахт. – В кн.: Способы и технические средства обеспечения безопасных и здоровых условий труда на угольных шахтах. // Сб-к научн. трудов. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1989, с.
98-105.
421. Кузин В.А. Исследование процессов нестационарного теплообмена в выработанном пространстве выемочных участков. – В кн.: Физикотехнические проблемы горного производства. // Сб-к научн. трудов, вып. 11. - Донецк: ИФГП НАНУ, 2008, с. 58-68. 422. Фосс И. Влияние теплоотдачи транспортируемого угля и закладочного материала на тепловой режим очистных забоев. – Глюкауф, 1964, № 6, с.349-361. 423. Фосс И. Исходные данные для предварительных расчётов параметров климатических условий в шахтах. - Глюкауф, 1973, № 13, с.29-38. 424. Фосс И. Улучшение климатических условий в результате применения пневматической закладки. – Глюкауф, 1974, № 4, с.8. – 12. 425. Линде Ф.К. Пневматическая закладка выработанного пространства на шахте «Хуго». - Глюкауф, 1982, № 14, с.6. – 13. 426. Бурчаков А.С., Гринько Н.К., Черняк И.Л. Процессы подземных горных работ.- М.: Недра, 1982.- 424с. 427. Борисов А.А. Механика горных пород и массивов. – М.: Недра, 1980. – 360с. 428. Краткий справочник горного инженера угольной шахты. – Изд-е 3-е, перераб. и доп.- М.: Недра, 1982. – 454с. 429. Симонов В.И., Гайко Э.И. Разработка требований и предложений по составам шихт для ведения закладочных работ под охраняемыми объектами центрального района Донбасса. // Отчёт по НИР ИГД им. А.А. Скочинского. – Москва – Люберцы, 1976. – 187с. 430. Методологические рекомендации по выбору параметров закладочного массива и закладочных материалов для отработки пластов под охраняемыми объектами центрального района Донбасса. // Под ред. М.И. Вескова, В.И.Симонова, Э.И. Гайко. – М.: ЦНИЭИуголь, 1979.30с.
673
431. Добровольский В.В., Симонов В.И. и др. Применение гидрозакладки в Донбассе (Обзор) – М.:ЦНИЭИуголь, 1974. – 36с. 432. Близнец Л.А., Шувалов Ю.В.Температурное поле вокруг циркуляционной скважины. – В кн.: Новые исследования в горном деле, вып.5. // Сб-к научн. трудов. – Л.: ЛГИ им.Г.В. Плеханова, 1975, с. 61-66. 433. Близнец Л.А., Шувалов Ю.В. Температурное поле вокруг выработки. – В кн.:[432], c. 67-73. 434. Градштейн Н.С., Рыжик И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.:Наука, 1971.- 1108с. 435. Близнец Л.А. Исследование эффективности локального теплового дренажа угольных пластов в условиях шахты им. Менжинского. Автореф. Дисс. … к.т.н. – Л.: ЛГИ им Г В Плеханова, 1973. – 23 с . 436. Дядькин Ю.Д., Андрющенко В.Н., Шувалов Ю.В. и др. Тепловой дренаж горного массива. – М.: ЦНИЭИуголь, 1975. – 33с. 437. Андрющенко В.Н., Татур А.С. Нормализация микроклимата в глубокой шахте. - Донецк: Донбасс, 1976. – 39с. 438. Черниченко В.К., Дрига Я.И., Венгеров И.Р. Установить технически целесообразные способы и средства нормализации тепловых условий в высокопроизводительных лавах глубоких шахт.- Отчёт по НИР МакНИИ, том.2 - Макеевка: 1985. – 98с. 439. Фиалко Н.М., Зимин Л.Б., Дубовский С.В. Утилизация энергии выбросов системы местной вентиляции метрополитенов с помощью тепловых насосов. – Промышленная теплотехника, 2000, т.22, № 1, с.
90-93.
Р
440. Зимин Л.Б. Опытная установка для утилизации низкопотенциальной теплоты вентиляционных выбросов метрополитенов. – Промышленная теплотехника, 2001, т. 23, № 1-2, с. 92-95. 441. Зимин Л.Б., Фиалко Н.М., Коныгин В.И., Струченко Г.Е. К оценке теплоаккумулирующей способности грунта, вмещающего подземные сооружения метрополитена. - Промышленная теплотехника, 2001, т.23, № 6, с. 130-135. 442. Накорчевский А.И., Басок Б.И., Беляева Т.Г. Проблемы грунтового аккумулирования теплоты и методы их решения. – Промышленная теплотехника, 2003, т. 25, № 3, с.42-50. 443. Зимин Л.Б. Теплонасосная утилизация энергии исходящих вентиляционных потоков угольных шахт. - Промышленная теплотехника, 2004, т.26, № 3, с.68-75. 444. Недбайло А.Н. Экспериментальная установка по исследованию грунтового аккумулирования теплоты. - Промышленная теплотехника, 2004, т.26, № 6, с.182-185. 445. Накорчевский А.И., Динамика разрядки теплового аккумулятора в неограниченном грунтовом массиве. – ИФЖ, 2006, т. 78, № 6, с. 70-77.
674
446. Костенко В.К. „Способ одержання геотермальної енергії” //Патент на корисну модель № 17751, опубл. 16.10.2006, бюл № 10. . 447. Фиалко Н.М., Зимин Л.Б. Оценка эффективности применения тепловых насосов в условиях метрополитенов и угольных шахт. – Промышленная теплотехника, 2006, т.28, №2, с.111-119. 448. Накорчевский А.И. Рациональные решения в теплоаккумулирующей системе «грунтовой массив-тепловой насос».-Промышленная теплотехника, 2007, т.29, № 4, с.77-82. 449. Драганов Б.Х,Морозюк Т.В.,Никульшин Р.К.,Гулько Т.В. Теплонасосные системы с подземными аккумуляторами теплоты.Промышленная теплотехника, 2000, т. 22, № 5-6, с. 46-49. 450. Сулковский Ю, Дренда Я., Розаньский З. Поиск и использование дополнительной энергии в шахтах./ Netradični metody Využti ložisek/Vysoká škola báňska – Technická univerzita Ostrava.// Ostrava, 1213 listopad 1998, s. 259-267. 451. Knechtel J. Badania geotermalnego wynoszoneg z powetrzem Kopalnianym na powierzchnie/ Zeszyty naykowe Politechniki Slaskiej. Seria: GORNICTWO, s.270. // Gliwice, 2005, s.257-264. 452. Бубялис Э., Марцинаускас К., Шкема Р. Возможности и перспективы 453.
454. 455.
456. 457.
применения тепловых насосов в производстве низкопотенциальной теплоты. – Промышленная теплотехника, 2000, т.22, № 3, с. 53-56. Костенко В.К., Венгеров И.Р. Определение параметровкогенерационного геотермального теплообменника. – В кн.: Безопасность в промышленности. // Сб-к статей - докладов на 6-й Междунар. конф. // Чехия, Острава, 12-13.04. 2007, с.147-153. Венгеров И.Р., Костенко В.К., Толкачёв О.Э. Определение эффективности шахтного геотермального теплообменника. – Проблеми екології, 2008, №2, с. 12-17. Костенко В.К., Венгеров И.Р. О режимах работы шахтных геотермальных теплообменников. – В кн.: Аэрология, вып.5. //Горный информ. – аналитич. бюлл. – Сб-к научн. работ. – М.: Мир горной книги, 2008, с. 85-93. Дреус А.Ю., Кожевников А.А., Чайка А.И. О моделировании процессов теплопереноса на забое при бурении скважин. – Промышленная теплотехника, 2007, т. 29, № 3, с.29-35. Басок Б.И., Авраменок А.А., Резакова Т.А. Теплообмен и гидродинамика жидкости в системе «вертикальный цилиндрический канал – грунт». – Промышленная теплотехника, 2008, т. 30, № 5, с. 69-
75.
675
Приложение 1.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1. В Части
1 «Введение»: уточнены некоторые научные термины, введены понятия: структура парадигмы, ядро, базис и оболочка парадигмы; предложена методология анализа парадигмы шахтной теплофизики как совокупности частных парадигм по схеме «объекты-системы-процессы – модели»; дана классификация математических моделей по 14-и признакам («7НЕ»). Использованы 112 литературных источников. В Части 2 «Массоперенос в горных массивах»: приведены соотношения для газоносности и газопроницаемости угольных пластов и описана кинетика газовыделения; приведены уравнения диффузии и фильтрации метана; приведены сведения об эндогенных и экзогенных жидкостях в массивах, изменении, с глубиной, давления водяных паров, закономерностях нагнетания через скважины воды и тампонажных растворов; приведены основные факты и зависимости для параметров массопереноса; изложены классические модели (Л.С. Лейбензон, Р.М. Кричевский) газо- и метанопереноса и газодинамических явлений, рассмотрены модели массопереноса в нарушенных горных массивах, выработанных пространствах и модели влагопереноса; все модели упорядочены по объектам, системам и процессам, выявлены их разновидности (двухслойные и двухслойные с подвижной границей системы, N -слойные, непрерывно – неоднородные); для всей совокупности моделей подтверждена классификация «7НЕ» и приведены базисные уравнения, обобщающие всю их совокупность; изложены методы решения краевых задач – моделей массопереноса; выделены 6 направлений развития парадигмы и сформулированы (вербально) 40 задач дальнейших исследований. Использовано 169 литературных источников. В Части 3 «Массоперенос в горных выработках»: приведены основные сведения по аэродинамике горных выработок и режимах вентиляции; даны характерные величины и основные соотношения для коэффициентов турбулентной диффузии; изложены модели переноса пассивных и активных примесей, переноса при переменном расходе смеси в выработке; изложены модели технологического и аварийного массопереноса; приведены сведения о параметрах массопереноса; выделены классы объектов и систем во всех рассмотренных моделях, выявлены их аналогии и различия; подтверждена классификация моделей «7НЕ»; приведены обобщенные (содержащие в себе все модели как частные случаи) уравнения массопереноса; сформулированы 7 направлений развития парадигмы моделирования и 25 базисных задач этого развития. Использован 171 литературный источник. В Части 4 «Теплоперенос в горных массивах»: приведены основные сведения о горных массивах (источники тепла, эффективные
676
теплофизические параметры, типы неоднородностей); приведены различные зависимости для коэффициентов нестационарного теплообмена ; рассмотрены модели термомеханических явлений и теплопереноса в однородных и изотропных массивах (однородные и неоднородные, одно - и неодномерные, нестационарные и в сопряженной постановке краевые задачи); рассмотрены модели теплопереноса в неоднородных горных массивах (радиально и слоисто-неоднородных) и в анизотропных массивах; приведены модели теплопере-носа во влагосодержащих массивах (модели «канал», фильтрующие среды», с фазовыми переходами «вода-пар», «водалёд»). Подтверждена классификация моделей «7НЕ»; сформулированы 8 направлений развития парадигмы и 64 базисные задачи. Использовано 278 литературных источников. В Части 5 «Теплоперенос в горных выработках»: приведены экспериментальные данные и расчётные характеристики теплового режима горных выработок; рассмотрены модели стационарного теплопереноса на основе алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений, учёта массообменных явлений; рассмотрены модели теплопереноса при регулировании теплового режима горнотехническими и теплотехническими методами; рассмотрены «модернизированные» модели (учитывающие переменность расхода воздуха в выработке, с иным учётом массообменных процессов, базирующиеся на уравнениях в частных производных, в сопряженной постановке); подтверждена классификация моделей «7НЕ»; сформулированы обобщенные модели теплопереноса, 8 направлений развития и 44 базисные задачи развития парадигмы. Использованы 233 литературных источника. В Части 6 «Модели подземных пожаров»: приведены общие сведения о подземных пожарах, процессах самовозгорания угля, теплообмена в выработанных пространствах, профилактике и тушении пожаров; приведен ряд эмпирических зависимостей; рассмотрены модели массопереноса при подземных пожарах, приведены сведения о параметрах массопереноса; изложена модель эндогенного пожара Е.И. Глузберга; рассмотрены модели пожарного теплопереноса в горных массивах и выработках, модели фрикционной и джоулевой теплогенерации (в источниках пожаров); выявлена специфика моделей массо- и теплопереноса при пожарах; приведены данные по параметрам переноса при пожарах; рассмотрены модели – аналоги (самонагревания породных отвалов и штабелей угля, влажных пиритосодержащих пород, аварийных температурных режимов конвейеров); определены 7 направлений развития парадигмы. Использовано 140 литературных источников. В Части 7 «Принципы развития парадигмы»: дана обобщенная характеристика парадигмы шахтной теплофизики (объекты, системы, процессы) и приведены обобщенные уравнения процессов тепломассопереноса; дан обзор математических моделей современной теплофизики – ядра формулирующейся парадигмы теоретической геотеплофизики (на основе классификации «7НЕ»); рассмотрены объекты,
677
системы, процессы и модели геотеплофизики, показана их связь с их аналогами в шахтной теплофизике; сформулированы принципы построения теоретической геотеплофизики – системы взаимосвязанных моделей, базирующейся на едином методологическом и математическом базисе. В части 7 использовано 849 литературных источников. В Дополнении: дан обзор работ последнего десятилетия по актуальным направлениям: метано-, газо-, влагоперенос в массивах; подземные пожары. Показано соответствие этих работ ранее проанализированной парадигме. Использованы 62 литературных источника. В Томе 1: использовано около 1900 литературных источников, сформулированы 36 направлений развития парадигмы и 173 базисные задачи её развития.
Приложение 2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ МИНИМУМ (Основные, по мнению автора, методологические литературные источники). 1. В области горной теплофизики: 1. Щербань А.Н., Кремнёв О.А. Научные основы расчёта и регулирования теплового режима глубоких шахт. – Том 1.-Киев: Изд-во АН УССР, 1959.-430с. 2. Ониани Ш.И. Тепловой режим глубоких шахт при гидравлической закладке выработанного пространства и сложном рельефе поверхности. – Тбилиси: Мецниереба, 1973.-308с. 3. Дядькин Ю.Д., Щербань А.Н. Горная теплофизика и её проблемы.- В кн.: Проблемы горной теплофизики //Материалы Всесоюзн. научн.техн. конф.- Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, с.5-12. 4. Щербань А.Н. Проблемы прогноза теплового режима шахт и подземных сооружений.- В кн.: [3], с.127-132. 5. Дядькин Ю.Д. Актуальные проблемы горной теплофизики.- В кн.: Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова, т.67, вып.1. - -Л.: Изд-во ЛГИ, 1975, с.20-30. 6. Греков С.П., Калюский А.Е. Газодинамика инертных сред и разгазирование горных выработок при авариях. – М.: Недра, 1975. – 122с. 7. Коздоба Л.А., Черняк В.П. Физическая характеристика и математическое описание системы «массив-выработка» в связи с проблемой прогноза и регулирования теплового режима глубоких шахт. – В кн.: Тепловой режим глубоких шахт и металлических рудников//Материалы Международ. Симпозиума «Градиент – 77». – Киев: Наукова думка, 1977, с.40-49.
678
8. Рогов Е. И., Грицко Г.И., Вылегжанин В.Н. Математические модели адаптации процессов и подсистем угольной шахты. – Алма – Ата : Наука, Казах. ССР, 1979.-240с. 9. Кузин В.А., Величко А.Е., Хохотва Н.Н. и др. Единая методика прогнозирования температурных условий в угольных шахтах.Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1979.-196с. 10. Щербань А.Н., Черняк В.П. Состояние тепловых условий и задачи в области горной теплофизики.-В кн.: Теплофизические процессы в подземных сооружениях //Труды Междунар. Бюро по горной теплофизике. – Киев: Наукова думка, 1980, с.6-22. 11. Абрамов Ф.А., Фельдман Л.П., Святный В.А. Моделирование динамических процессов рудничной аэрологии. – Киев: Наукова думка, 1981.- 284с. 12. Величко А.Е., Дубина П.П., Близнюк В.Г. Анализ методов теплового расчёта горных выработок.- Промышленная теплотехника, 1984, т.6, №1, с.22-30. 13. Брайчева Н.А., Добрянский Ю.П., Щербань А.Н. К постановке задач о тепловом режиме теплоносителя в горной выработке. – Промышленная теплотехника, 1986, т.8, №1, с.19-22. 14. Аренс В.Ж., Дмитриев А.П., Дядькин Ю.Д. и др. Теплофизические аспекты ресурсов недр. – Л.: Недра, Л.о., 1988. – 336 с. 15. Черняк В.П., Полубинский А.С. Достижения и новые задачи горной теплофизики. – Промышленная теплотехника, 1997, т.19, №2-3, с.9-19. 16. Алексеев А.Д. Физика угля и горных процессов. – Киев: Наукова думка, 2010.- 424 с. 17. Венгеров И.Р. Теплофизика шахт и рудников. Математические модели. – В 2-х томах. – Том 1.Анализ парадигмы. – Донецк: Норд – Пресс, 2008.- 632с. 2. В области общей теплофизики: 18. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена //Сб-к статей.- Пер.с англ. – М.:Атомиздат, 1967, с.41-96. 19. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса.- Пер. с англ.- М.: Химия, 1974. – 688с. 20. Лыков А.В. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопереноса. – В кн.: Проблема тепло – и массопереноса // Сб-к научн. Трудов.- Минск: Наука и техника, 1976, с.9-82. 21. Лыков А.В. Сопряженные задачи конвективного теплообмена.- В кн.:[20], с.83-98. 22. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена.- Изд.-е 5-е, доп.- М.: Атомиздат, 1979.- 416с. 23. Дульнев Г.Н., Потягайло А.Ю., Ушаковская Е.Д. Численно аналитический метод расчёта температурных полей в сложных
679
−
объектах. – В кн.: Тепломассообмен – VІ, том. IΧ.// Материалы VІ й Всесоюзн. Конф.- Минск: Изд-во ИТМО им. А.В.Лыкова АН БССР, 1980, с.56-61. 24. Дульнев Г.Н., Сахова Е.В., Сигалов А.В. Принцип местного влияния в методе поэтапного моделирования. – ИФЖ, 1983, т.45,№6, с.1002-1008. 25. Цой П.В. Методы расчёта задач тепломассопереноса. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 416с. 26. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. – Киев: Наукова думка, 1992.-224с. 27. Прокопов В.Г., Фиалко Н.М., Шеренковский Ю.В. Основные принципы теории локализации. – Доклады НАН Украины, 2002, №6, с.98-104. 28. Венгеров И.Р. Хроноартефакты термодинамики. – Донецк: Норд-Пресс, 2005,- 236с.
3. В прикладной математической физике: 29. Шварц Л. Математические методы для физических наук. – Пер. с англ.М.: Мир, 1965. – 412с. 30. Крон Г. Диакоптика. Исследование сложных систем по частям. – Пер. с англ. – М.: Наука, 1972. -544с. 31. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. –М.: Наука, 1973.-416с. 32. Брусиловский Б.Я Теория систем и система теорий. – Киев: Вища школа, 1977.-192с. 33. Вентцель Е.С.Методологические особенности прикладной математики на современном этапе. – В кн.: Математики о математике//Сб-к статей.М.: Знание Р , 1982, с.37-62. 34. Касти Дж. Большие системы. – Пер. с англ. – М.:,1982.-216с. 35. Блехман И.М., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики.- М.: Наука, 1983.- 328с. 36. Никольский В.А., Никольская Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. – М.: Наука, 1983.-304с. 37. Митропольский Ю.А.,Боголюбов А.Н. Роль математики в развитии техники.- Киев: Знание УССР, 1984. – 48с. 38. Четверушкин Б.Н. Минимальные размеры в задачах механики сплошной среды.- Математическое моделирование, 2005, т.17, №4, с.27 – 39. 39. Митенков Ф.М., Знышев В.А., Сабаев Е.Ф. и др. Проблемы и принципы
математического моделирования динамики сложных уникальных систем. Математическое моделирование, 2007, т.19, №5, с.39 – 44.
680
Приложение 3.
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ РАБОТЫ АВТОРА * В РАЗДЕЛЕ I:
1. Черниченко В.К., Венгеров И.Р. Метод определения ширины охлажденной зоны породного массива. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах//Сб-к научн. Трудов, вып.3.-Макеевка:Изд-во МакНИИ, 1973, с.29-33. 2. Венгеров И.Р. К гидромоделиролванию горного теплообмена. – Там же (см.[1]), с.92-94. 3. Черниченко В.К., Венгеров И.Р.Применение гидроинтегратора для решения некоторых инженерных задач горной теплофизики.- В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках // Материалы Всесоюзн. Совещания.-Донецк, 1974, с.58. 4. Крамаров А.С., ., Венгеров И.Р, Морева А.Г. К вопросу определения коэффициента нестационарного теплообмена при теплоизоляции стенок горных выработок.- В кн.:Охлаждение воздуха в глубоких шахтах //Сб-к научн. Трудов, вып.4.- Макеевка. Изд-во МакНИИ, 1975, с.91-93. 5. Венгеров И.Р, Морева А.Г. Инженерный метод расчёта теплообмена в глубоких шахтах.//Депон.рук., 28.12.76 Деп., №900 РЖ «Угольная промышленность», Ред.:В111-77, с.18-20. 6. Кузин В.А., Венгеров И.Р. О применении метода функций Грина при решении задач горной теплофизики. В кн.:Геомеханические проблемы
высокопроизводительной разработки тонких и средней мощности угольных пластов на глубоких горизонтах.//Материалы Всесоюзной научн.- техн. конф.-Донецк: Изд-во ДПИ, 1980,с.166-167. 7. Венгеров И.Р. К обобщению задачи Зоммерфельда о теплопроводности в кольце.- ИФЖ, 1978, т.35, №1, с.150-154. 8. Венгеров И.Р.Теория линейного переноса в слоистых системах //Препринт №27 ДонФТИ АН УССР.-Донецк :Изд-во ДонФТИ, 1982.-64с. 9. Морев А.М., Венгеров И.Р.Универсальный метод математического моделирования процессов теплопереноса в шахтах и подземных сооружениях.-В кн.:Труды Междунар.Конгресса по проблемам автоматизации в угольной промышленности .-Краков, 1995, с.167-168. 10. Венгеров И.Р. Хроноартефакты термодинамики.-Донецк: Норд-Пресс, 2005.- 236с.
_______________________________ * Автор благодарен всем соавторам, которые,
в большинстве случаев, (кроме работ [34,38,45,49]) участвовали в вербальной формулировке задач, обсуждении и интерпретации результатов, проведении численных расчётов. Математические формулировки, разработка методов решения, аналитическое решение задач, написание текстов разделов отчётов, статей, тезисов осуществлялось автором. 681
11. Венгеров
И.Р.Теплофизика деформируемых твердых тел : 1. Структура парадигмы. - Физика и техника высоких давлений, 2006, т.16, №1, с.7-25. 12. . Венгеров И.Р.Теплофизика шахт и рудников. Математические модели. – В 2-х томах. – Том 1.- Донецк : Норд-Пресс, 2008.-632с.
В РАЗДЕЛЕ П: 13. Черниченко
В.К., Венгеров И.Р. Расчёт теплового поля, обусловленного плоским источником. – В кн.: Кондиционирование рудничного воздуха в глубоких шахтах // Сб-к научн. Трудов, вып. 6. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1978, с.24-27. 14. Венгеров И.Р. Расчёт тепломассопереноса в неоднородном горном массиве. – В кн.: Борьба с высокими температурами рудничного воздуха // Сб-к научн.Трудов. -Макеевка: Изд-во МакНИИ, 1980, с. 53-56. 15. Венгеров И.Р. К теории тепло- и массопереноса в слоисто-неоднородных горных массивах и геотехнологических системах. - В кн.: Проблемы горной теплофизики. Горнотехнологическая теплофизика.// Материалы П-й Всесоюзн.научно-техн. конф. –Л.: Изд-во ЛГИ им. Г.В.Плеханова, 1981, с.117-118. 16. Кузин В.А., Венгеров И.Р. Методы расчёта температурных полей в слоисто-неоднородных массивах.- В кн.:Физические просессы горного производства.//Сб-к научн.трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ им.Г.В. Плеханова, 1983, с.30-33. 17. Венгеров И.Р. Нелинейные модели теплофизики геотехносферы.- В кн.: Физико-технические проблемы горного производства. // Сб-к научн. трудов, вып.9. - Донецк: Изд-во ИФГП НАН Украины, 2006, с. 121-140. 18. Аверин Г.В., Венгеров И.Р. Развитие теоретических основ горной теплофизики в МакНИИ. – В кн.:Материалы 2-й Международной научн.техн. конф., посвящ. 100-ю МакНИИ. - Макеевка: Изд-во МакНИИ, 2007, с.89-91. 19. Венгеров И.Р. Математическое моделирование экологически чистых геотехнологических систем.- Известия ДНТУ, 2007, вып.2, с.172-177. 20. Венгеров И.Р. Неодномерные модели горной теплофизики.- В кн.: Физико-технические проблемы горного производства.// Сб-к научн. трудов, вып. 10.- Донецк:Изд-во ИФГП НАН Украины, 2007, с.60-80. 21. Венгеров И.Р.Теплофизические модели слоисто-неоднородных горных массивов. В кн.:Физико-технические проблемы горного производства. //Сб-к научн. Трудов, вып.12.- Донецк:Изд-во ИФГП НАН Украины 2009, с.85-96. 22. Венгеров И.Р. Некоторые задачи теоретической и прикладной теплофизики.-В кн.:Труды Междунар. Научно-практического семинара «Гидродинамика и экология», посв. 100-ю со дня рождения чл.-корр. НАНУ, проф. И.Л. Повха.- Донецк:Изд-во ДонНУ, 2009, с.138-139. 682
23. Венгеров И.Р. Теплофизика деформируемых твердых тел: 4. Модели макроуровня. - Физика и техника высоких давлений, 2008, т.18, №1, с.7-24. 24. Венгеров И.Р. О факторе вязкости в моделях сжатия и растяжения. – В кн.: Высокие давления – 2006. Фундаментальные и прикладные аспекты.//Тезисы 9-й Междунар. Конф. (Судак, Крым, Украина, 17-22 сентября 2006) - Донецк:Норд-Пресс, 2006, с.31. 25. Венгеров И.Р. Теплоперенос в неоднородных наносистемах. – В кн.: Тезисы Междунар. Конф. «Nansys - 2007».-Киев Изд-во НАНУ, 2007, с.112. 26. Венгеров И.Р. Скалярные поля в многослойных плёночных системах.Там же (см.[25]) c.149. 27. Белоусов Н.Н., Венгеров И.Р.Теплофизические аспекты получения и применения деформируемых наноматериалов:2. Предварительные –результаты – Физика и техника высоких давлений, 2007, т.17, №4, с.64-73. 28. Венгеров И.Р. Диффузия электромагнитных полей в неоднородных твердых телах.-Физика и техника высоких давлений, 2008, т.18,№3, с.62-66. 29. Венгеров И.Р. Метод приближенного решения краевых задач теплофизики неоднородных твердых тел.- Вестник ДонНУ, 2009, вып.2, с.121-127. 30. Венгеров И.Р. Старик Ю.М.К тепловому расчётов МГД- аппаратов. //Тезисы докладов 10-го Рижского Всесоюзн.совещ.по магнитной гидродинамике. – Рига, 1981, с.112-113. 31. Старик Ю.М., Венгеров И.Р. Вопросы расчёта тепловых полей в
жидкометаллическом коммутационном аппарате с индивидуальным МГД-насосом.//Депонированный сб-к «Материалы Всесоюзн.семинара по жидкометаллическим контактам», Каунас, 12-14 октября 1982г. – Каунас, 1983 (Деп.№1117 Ли – Д83), с.91-93. Кроме этих, использованы и источники [4,5,7,9-12].
В РАЗДЕЛЕ Ш 32. Верховский
Е.И., Венгеров И.Р. Оценка содержания метана в атмосфере горных выработок после внезапного выброса угля. – В кн.: Борьба с газом, пылью и выбросами в угольных шахтах.//Сб-к научн. трудов, вып.12.-Макеевка:Изд-во МакНИИ, 1976, 100-102. 33. Кузин В.А., Венгеров И.Р.О формировнии температурных полей вокруг выработок глубоких шахт. – Уголь Украины, 1982, №7, с.40-41. 34. Кузин В.А., Мартынов А.А., Венгеров И.Р.Влияние способа управления кровлей на тепловой режим участков.- Уголь Украины, 1985, №1, с.36-37. 35. Венгеров И.Р.,Фролов С.В., Черниченко В.К.Оценка времени обмерзания шахтного ствола при сбросе тепловой мощности на калориферной установке. В кн.:Способы и технические средства обеспечения 683
безопасных и здоровых условий труда на угольных шахтах.// Сб-к научн. трудов. - Макеевка:Изд-во МакНИИ, 1988, с.78-83. 36. Кузин В.А., Венгеров И.Р. О коэффициенте нестационарного теплообмена при скачкообразном изменении температуры воздуха в горной выработке. – ДАН УССР, Сер.А, 1983, №4, с.81-83. 37. Кузин В.А., Венгеров И.Р. Двухслойная теплофизическая модель горного массива. –Промышленная теплотехника, 1984, т.6, №1, с.30-34. 38. Кузин В.А., Пучков М.М., Венгеров И.Р., Мартынов А.А. Методика прогнозирования температурных условий в выработках вентиляционных горизонтов глубоких шахт.-Макеевка:Изд-во МакНИИ, 1984.- 62с. 39. Венгеров И.Р. Метод пересчёта для решения задач горной теплофизики. - В кн.:Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. // Сб-к научн. Трудов. - Макеевка:Изд-во МакНИИ, 1985, с.50-52. 40. Черниченко В.К., Венгеров И.Р. Математическое моделирование теплового дренажа горных пород в глубоких шахтах. – Депон.рук., ЦНИЭИуголь.- М.:Библ.указ.ВИНИТИ «Депонированные научные труды», 1988, вып.№8(202), Рег.№4440 от 01.03.1988.- 44с. 41. Венгеров И.Р., Черниченко В.К.Определение характерной температуры при тепловом дренаже горных массивов. – Промышленная теплотехника, 1988, т.10, №6, с.49-52. 42. Венгеров И.Р. Расчёты коэффициентов нестационарного теплообмена на основе слоистых моделей теплопереноса.- Промышленная теплотехника, 1995, т.17, №6, с.32-39. 43. Венгеров И.Р. Теплофизические модели полной закладки выработанного пространства угольных шахт.// Препринт №4 ДонФТИ им.Гал кина НАН Украины. - Донецк:Изд-во ДонФТИ, 1995. -46с. 44. Венгеров И.Р. Теория и расчёт аккумуляторов атмосферного холода на термосифонах.//Препринт №1 ДонФТИ им.А.А.Галкина НАН Украины. - Донецк:Изд-во ДонФТИ, 1997. – 60 с. 45. Костенко В.К., Венгеров И.Р. Определение параметров когенерационного геотермального теплообмена. – В кн.:Безопасность труда в промышленности//Сб-к докладов на 6-й Междунар.конф., 12-13.04.07.Острава, Чехия, с.147-153. 46. Венгеров И.Р., Костенко В.К., Горожанкин В.В. Математическое моделирование режимов работы шахтного геотермального теплообменника. – Известия ДНТУ, 2007, вып.1, с.10-15. 47. Костенко В.К., Венгеров И.Р. Математическая модель эксплуатационного режима шахтного геотермального теплообменника. – Известия ДНТУ, 2007, вып.2, с.81-89. 48. Костенко В.К., Венгеров И.Р., Толкачёв О.Э. определение эффективности шахтного геотермального теплообмена. – Проблемы экологии, 2008, №2, с.12-17. 49. Костенко В.К., Венгеров И.Р. О режимах работы шахтных геотермальных теплообменников. – В кн.:Аэрология, вып.5. Горный информ. – аналитич.бюллетень. //Сб-к научн.работ.- М.:Мир горной книги, 2008, с.85-93. Кроме этих, также использовались [10,12,18,21, 22]. 684
Наукове видання Венгеров І.Р. ТЕПЛОФІЗИКА ШАХТ І РУДНИКІВ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ Том 2. Базисні моделі Монографія у 2-х томах. Російською мовою. Редактор В.Л. Білявський Технічний редактор О.В. Пилипенко
Видавництво «Донбас». Просп. Тітова, 10, м. Донецьк, 93048. Тел. (062) 311-89-70
Підписано до друку 26.06.2012 р. Формат 60х90 /16. Папір офсетний. Гарнітура Times New Roman. Ум. друк. арк.. 36,81. Обл.-вид. арк. 32,95. Наклад 300 прим. Зам. 39/06.
Надруковано у друкарні «Цифровий друк» м. Донецьк, вул. Челюскінців, 291а.
