Высшая математика. Часть 2. Математический анализ: Практическое руководство

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

В Ы С ШАЯ М АТ Е М АТ И КА ЧАС Т Ь II

М АТ Е М АТ И ЧЕ С КИ Й АН АЛ И З П рактическоеруководство по специаль н ости « М атем атика» 010100 (510100), 010101 (010100)

В орон еж 2005

2 У тверж ден о н аучн о-м етодическим советом м атем атического ф ак уль тета В орон еж ского государствен н ого ун иверситета. П ротокол № 4 от 27 декабря 2004 г.

С оставители: У ксусов С .Н ., У доден ко Н .Н .

П рактическое руководство подготовлен о н а каф едре алгебры и топологических м етодов ан ализ а м атем атического ф ак уль тета В орон еж ского государствен н ого ун иверситета. Реком ен дуется для студен тов1-го к урсабиолого-почвен н ого ф ак уль тета.

3

С О Д ЕР Ж А Н И Е В веден ие… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...3 П рограм м а2-го сем естра… … … … … … … … … … … … … … … … … … ....................3 §1. П редел числовой последователь н ости и ф ун кции..… … … … … … … … … ..… .4 §2. П ервы й и второй з ам ечатель н ы епределы их следствия… … … … … … … ..… .9 §3. Н епреры вн ость ф ун кции… … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … ..11 §4. П роиз водн ая ф ун кции одн ой перем ен н ой . Д иф ф ерен циал… … … ...… … … .14 §5. П роиз водн ы евы сших порядков. П равило Л опиталя Ф орм улы Т ей лораи М аклорен а… … … … … … … … … … … … … … … … … .....21 §6. П олн оеисследован иеф ун кции и построен иеграф ика… … … … … … … … … 25 П рим ерн ы й вариан ткон троль н ой работы № 1… … … … .… … … … … … … ...28 Л итература… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..29

ВВЕ ДЕ НИЕ Д ан н оепрактическоеруководство составлен о для студен тов первого к урсабиолого-почвен н ого ф ак уль тетаи является продолж ен ием практического руководства « В ы сшая м атем атика. Часть 1. Ан алитическая геом етрия и лин ей н ая алгебра». Ц ель и з адачи дан н ого руководства сф орм улирован ы в его первой части. П оэтом у в дан н ой части м ы огран ичим ся приведен ием програм м ы второго сем естра. П осле чего рассм отрим осн овн ы е способы решен ия ряда типовы х з адач

П рограм м а второго с ем ес тра 1. П ределы числовы х последователь н остей и ф ун кций . 0 ∞ 2. Раскры тиен еопределен н остей вида   ,   и ( ∞ − ∞ ) . 0 ∞ 3. П ервы й и второй з ам ечатель н ы епределы и следствия из н их. 4. Н епреры вн ы еи раз ры вн ы еф ун кции классиф икация точек раз ры ва. 5. П роиз водн ая ф ун кции. Т аблица произ водн ы х элем ен тарн ы х ф ун кций и осн овн ы еправиладиф ф ерен цирован ия. 6. П роиз водн ая обратн ой ф ун кции. 7. Л огариф м ическоедиф ф ерен цирован ие. 8. Д иф ф ерен циал ф ун кции и его прим ен ен иек приближ ен н ы м вы числен иям . 9. П равило Л опиталя. В ы числен иепределовс его пом ощ ь ю . 10. Ф орм улы Т ей лораи М аклорен а. 11. П он ятие м он отон н ости ф ун кции. Д остаточн ы е условия воз растан ия и убы ван ия ф ун кции. 12. П он ятиеэкстрем ум аф ун кции. Н еобходим оеусловиеэкстрем ум а. 13. Д остаточн оеусловиеэкстрем ум а 14. В ы пуклость и вогн утость граф икаф ун к ции. Т очки перегиба. 15. Д остаточн ы е условия вы пуклости и вогн утости. Н еобходим ое и достаточн оеусловиеперегиба.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.

4 Асим птоты плоской кривой . Н ахож ден ие вертикаль н ы х, гориз он таль н ы х и н аклон н ы х асим птот. П олн оеисследован иеф ун кции и построен иеееграф ика. П ервообраз н ая ф ун кции. Т еорем а об общ ем виде всех первообраз н ы х. П он ятиен еопределен н ого ин теграла. С вой стван еопределен н ого ин теграла. Т аблицаин тегралов. П ростей шие прием ы ин тегрирован ия. П одведен ие м н ож ителя под з н ак диф ф ерен циала. Зам ен аперем ен н ой вн еопределен н ом ин теграле. И н тегрирован иепо частям вн еопределен н ом ин теграле. О пределен иеопределен н ого ин тегралаи его осн овн ы есвой ства. Ф орм улаН ь ю тон а-Л ей бн ица. Зам ен аперем ен н ой вопределен н ом ин теграле. И н тегрирован иепо частям вопределен н ом ин теграле. В ы числен ие площ ади криволин ей н ой трапеции с пом ощ ь ю определен н ого ин теграла. В ы числен иеобъ ем ателас из вестн ы м поперечн ы м сечен ием . О бъ ем телавращ ен ия. О пределен иеф ун кции н есколь ких перем ен н ы х. О бласть определен ия ф ун кции н есколь ких перем ен н ы х. Л ин ии уровн я ф ун кции двух перем ен н ы х, их геом етрический см ы сл. Частн ы епроиз водн ы епервого порядка. Д иф ф ерен циал ф ун кции н есколь ких перем ен н ы х и его прим ен ен ие к приближ ен н ы м вы числен иям . Частн ы епроиз водн ы евы сших порядков. Э кстрем ум ф ун кции н есколь ких перем ен н ы х. Н еобходим ое условие экстрем ум а. Д остаточн ы еусловия экстрем ум аф ун кции двух перем ен н ы х. Числовы еряды . П риз н аки Д алам бераи Коши сходим ости рядов. Зн акочередую щ иеся ряды . Абсолю тн ая и условн ая сходим ость рядов. П риз н ак Л ей бн ица. С тепен н ы еряды . Радиус сходим ости степен н ого ряда. Раз лож ен иеф ун кции встепен н ой ряд. Д иф ф ерен циаль н ы е уравн ен ия. О пределен ие порядка диф ф ерен циаль н ого уравн ен ия, решен ия общ его и частн ого решен ий . ЗадачаКоши.

§1. П ределчис ловой пос ледовательнос ти и функции О пределен ие. Числовой последователь н ость ю н аз ы вается бескон ечн ое м н ож ество чисел {an }, каж дое из которы х является з н ачен ием н екоторой ф ун кции f (n ) н атураль н ого аргум ен та ( an = f (n ), n ∈ N ). П ри этом an н аз ы вается член ом последователь н ости, а n – его н ом ером . О пределен ие. Число A н аз ы ваю т пределом числовой последователь н ости {a n } при n, стрем ящ им ся к бескон ечн ости ( A = lim an ), если для лю бого n→∞

5 ε > 0 н ай дется такой н ом ер n0 , н ачин ая с которого (т.е. при n ≥ n0 ) будет вы полн ен о н еравен ство an − A < ε . П рим ерн о такж е м ож н о сф орм улировать определен ие предела числовой последователь н ости в том случае, когда он равен плю с или м ин ус бескон ечн ости. П редоставляем это читателям . П роиз воль н ая последователь н ость м ож ет стрем ить ся к кон ечн ом у или бескон ечн ом у пределу или совсем н еим еть пределапри n → ∞ . 2n − 1 = 2. П рим ер 1.1. Д оказ ать , что lim n→∞ n + 1 Решен ие. Д ля лю бого числа ε > 0 н ам достаточн о ук аз ать такой н ом ер n0 = n0 (ε ) , н ачин ая с которого (т.е. при n ≥ n0 ) будетвы полн ен о н еравен ство 2n − 1 −2 <ε . Решим дан н ое н еравен ство отн оситель н о n: n +1 2n − 1 − 2 n − 2 3 3 < ε, < ε , ⇒ n > − 1 . С ледователь н о, в качестве n0 n +1 n +1 ε 3 м ож н о вы брать лю бое н атураль н ое число, превосходящ ее − 1 . Н априм ер, ε 3 3  м ож н о вз ять целую часть числа − 1 плю с един ица ( n0 =  − 1 + 1 ). ε  ε В качествен еслож н ого упраж н ен ия докаж ите, что 1) lim n + 2 = +∞ . n →∞

2)

последователь н ость

− 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,... с

общ им

член ом

an = (− 1)n вообщ ен еим еетн икакого предела. О пределен ие. Число А н аз ы вается пределом ф ун кции y = f(x), при x стрем ящ им ся к x0, если для лю бого ε > 0 сущ ествует такое δ > 0, что для лю бого x ≠ x0, удовлетворяю щ его н еравен ству | x – x0 | < δ вы полн ен о н еравен ство | f(x) – А | <ε. П риведем без доказ атель стван екоторы етеорем ы о пределах: Т еорем а1.1. Е сли lim f ( x ) = A , lim g (x ) = B , где А и В – н екоторы е x → x0

x → x0

кон стан ты , то lim ( f ( x ) ± g ( x )) = lim f ( x ) ± lim g (x ) = A ± B . x → x0

x → x0

x → x0

Т еорем а1.2. Е сли lim f ( x ) = A , lim g (x ) = B , где А и В – н екоторы е x → x0

x → x0

кон стан ты , то lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lim f ( x ) ⋅ lim g (x ) = A ⋅ B . x → x0

x → x0

x → x0

Т еорем а1.3. Е сли lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B , где А и В – н екоторы е x → x0

x → x0

lim f ( x )  f (x )  x → x0 A  = = . кон стан ты , причем В ≠ 0, то lim  x → x0  g (x )  lim g ( x ) B x → x0

6

Т еорем а1.4. Е сли lim f ( x ) = A , lim g ( y ) = B , то

(

)

x → x0

y→ A

lim g ( f ( x ) ) = lim g ( y ) = B .

x → x0

y→ A

∞ 1. Ра ск р ы т и е неопр едел енност и ви да   . ∞ П рим ер 1.2. Н ай ти предел числовой последователь н ости 8n 2 − 5n + 3 . lim 3 2 n → ∞ 2n + n − 3n Решен ие. О чевидн о, что при n → ∞ числитель и з н ам ен атель дроби стрем ятся к бескон ечн ости. Д ей ствитель н о, с ростом n слагаем ы е м н огочлен ов, содерж ащ иестаршиестепен и n будутн ам н ого боль шеосталь н ы х слагае∞ м ы х. Д ля раскры тия н еопределен н ости вида   раз делим числитель и з н а∞ м ен атель дроби н а n в сам ой вы сокой (старшей ) степен и, для обоих м н огочлен ов (т.е. н а n2). П олучим : 4 n 2 5n 3 4 5 3 − 3+ 3 − 2+ 3 2 3 4n − 5n + 3  ∞  n . =   = lim n 3 n2 n = lim n n lim 3 2 1 3 n →∞ 2 n + n − 3n n 3n n→∞ 2 + −  ∞  n →∞ 2n + 3− 3 3 n n2 n n n 4 5 3 1 3 , , , , стрем ятся к н улю . П оследователь n n 2 n3 n n 2 н о прим ен яя теорем ы 1.3 и 1.1, получим :

С ростом n вы раж ен ия

3  4 5 4 5 3 − 2 + 3 lim  − 2 + 3  n n n  = 0−0+0 =0 n = n →∞  n n . lim 1 3 1 3  2+0−0  n →∞ 2+ − 2 lim  2 + − 2  n n n n  n →∞  4 x2 + 3x − 8 . П рим ер 1.3. Н ай ти предел lim x →∞ 2 x 2 + 4 x 4 + x

∞ Решен ие. Д ля раскры тия н еопределен н ости вида   раз делим чис∞ 2 литель и з н ам ен атель дроби н а x . П олучим :

4 x + 3x − 8

∞ =   = lim x →∞ 2 x 2 + 4 x 4 + x  ∞  x →∞ 2

lim

4+ 2+

3 8 3 8 − 2 4+ − 2 x x x x = 4 = 1, = lim 2+2 4 x 4 + x x →∞ 2 + 4 + 1 3 x x4

7 8 и x2

3 , x

так как при x → ∞ вы раж ен ия

3 стрем ятся к н улю . x3

0 2. Ра ск р ы т и е неопр едел енност и ви да   . 0

5x 2 + 6 x + 1 . П рим ер 1.4. Н ай ти предел lim 2 x → −1 2 x + 5 x + 3 Решен ие. П ри подстан овке вм есто x числа –1 м ы получаем н еопреде0 лен н ость вида   . Д ля раскры тия этой н еопределен н ости раз лож им м н ого0 член ы , стоящ ие в числителе и з н ам ен ателе дроби, н а м н ож ители. П ри этом один из корн ей как числителя, так и з н ам ен ателя равен –1. В торой корен ь 1 1 н ай дем по теорем еВ иета. Д ля числителя − 1 ⋅ x2 = ⇒ x2 = − . Д ля з н ам ен а5 5 3 3 теля − 1 ⋅ x2 = ⇒ x2 = − . И так, 2 2 1  5( x + 1) ⋅  x +  5x + 6 x + 1  0  5x + 1 − 5 + 1 5  =   = lim = lim = = −4 . lim 2 3  x → −1 2 x + 3 − 2 + 3  x → −1 2 x + 5 x + 3  0  x → −1 2 ⋅ ( x + 1) ⋅  x +  2  П ослесокращ ен ия числителя и з н ам ен ателя н а ( x + 1) н еопределен н ость пропадаети предел легко вы числяется с пом ощ ь ю подстан овки вм есто x числа 1. x3 − 8 . П рим ер 1.5. Н ай ти предел lim x→2 x 2 + 6x − 4 Решен ие. П ри подстан овке вм есто x числа 2 м ы получаем н еопреде0 лен н ость вида   . Д ля раскры тия этой н еопределен н ости сн ачалаиз бавим ся 0 от иррацион аль н ости в з н ам ен ателе дроби, а з атем раз лож им вы раж ен ия, стрем ящ иеся к н улю , н ам н ож ители: 2

x3 − 8

0 =   = lim lim x →2 3 x 2 + 2 x − 4  0  x→2

= lim

(x

3

x→2

)(

3x 2 + 2 x + 4

3x 2 + 2 x − 16

x→2

= lim

−8

(x

2

)(

+ 2x + 4 ⋅

(

(x

)(

−8 ⋅

3x 2 + 2 x + 4

)(

3x + 2 x − 4 ⋅ 2

) = lim ( x − 2 ) ( x

2

)

3x + 2 x + 4 2

+ 2x + 4

)(

)

) = 12 ⋅ 8 = 48 = 6 6 . 14

7

7

=

3x 2 + 2 x + 4

8   3( x − 2 )  x +  3  

x→2

3x 2 + 2 x + 4

( 3x + 8 )

3

)=

8 3. Ра ск р ы т и е неопр едел енност ей ви да

(∞ − ∞ ), (∞ ⋅ 0 ) .

П ределы , содерж ащ ие н еопределен н ости вида (∞ − ∞ ) или (∞ ⋅ 0 ) , обы чн о с пом ощ ь ю алгебраических преобраз ован ий сводят к пределам , содер∞ 0 ж ащ им н еопределен н ости вида   или   . ∞ 0 П рим ер 1.6. Н ай ти предел lim

x→∞

(x

2

)

+ 6 x − 5 − x 2 + 3x + 8 . .

Решен ие. О чевидн о, что при x → ∞ ум ен ь шаем ое и вы читаем ое стрем ятся к бескон ечн ости. Д ля раскры тия н еопределен н ости (∞ − ∞ ) сн ачала превратим раз н ость в частн ое двух ф ун кций , ум н ож ив и раз делив ее н а сопря∞ ж ен н ое вы раж ен ие. П олучив н еопределен н ость вида   , раскроем ее с по∞ м ощ ь ю делен ия числителя и з н ам ен ателя получен н ой дроби н а старшую степен ь x: lim

x →∞

(

x + 6 x − 5 − x + 3x + 8 2

= lim

x →∞

(x

2

)

( ∞−∞ )

= lim

x →∞

3 x − 13 2

+ 6 x − 5 + x + 3x + 8 2

)

( )

(

(

x 2 + 6 x − 5 − x 2 + 3x + 8

x2 + 6 x − 5 + x2 + 3x + 8

∞ ∞

3−

= lim

x + 6x − 5 2

x→∞

x

3−

= lim

x →∞

1+

13 x

6 5 3 8 − 2 + 1+ + 2 x x x x

=

)

2

)

13 x

+

x + 3x + 8 2

=

=

x2

3 = 1,5 . 1+1

П рим ер 1.7. Н ай ти предел lim x ⋅ x→∞

( 4x

2

)

+ x + 2 − 4x 2 + x − 1 . .

Решен ие. Н етрудн о устан овить , что предел второго сом н ож ителя равен н улю (проверь тесам остоятель н о). С ледователь н о, вдан н ом прим ерем ы им еем дело с н еопределен н ость ю вида (∞ ⋅ 0 ) . Д ля раскры тия этой н еопределен н ости ум н ож им и раз делим исходн ую ф ун кцию н асум м у 4 x 2 + x + 2 + 4 x 2 + x − 1 . ∞ П олучивн еопределен н ость вида   , раскроем еес пом ощ ь ю делен ия числи∞ теля и з н ам ен ателя получен н ой дроби н а x: lim x

x →∞

(

)

( ∞⋅0)

4 x + x + 2 − 4 x + x − 1 = lim 2

2

x →∞

(

)=

x ⋅ 4 x2 + x + 2 − 4 x2 − x + 1

(

4x2 + x + 2 + 4 x2 + x − 1

)

9 3 ∞ = =   = lim 2 2 ∞ 1 2 1 1 x → ∞ x →∞   4 x + x + 2 + x + 3x + 1 4+ + 2 + 4+ − 2 x x x x 3 3 = = . 2+2 4 = lim

3x

(

)

§2. П ервы й и второй з ам ечательны е пределы их с ледс твия sin x =1 x→0 x

Пер в ы м з а м еча т ел ьны м пр еделом н аз ы вается предел lim Сл едст в и я и зпер вого з а м еча т ел ьного пр едела . tgx 1. lim = 1. x→0 x arcsin x 2. lim = 1. x→0 x arctgx 3. lim = 1. x→0 x sin 3x . x → 0 arctg 5 x

П рим ер 2.1. Н ай ти предел lim

0 Решен ие. Д ля раскры тия н еопределен н ости вида   восполь з уем ся 0 первы м з ам ечатель н ы м пределом и следствием 3. Д ля этого раз делим числитель и з н ам ен атель дроби н а x: sin 3x sin 3x sin 3x ⋅3 ⋅3 lim sin 3x 3 0 x 3 x x → 0 3x =   = lim = = . = lim lim arctg 5 x x → 0 arctg 5 x  0  x → 0 arctg 5 x x → 0 arctg 5 x ⋅ 5 lim ⋅5 5 x 5x 5x x→0 П рим ер 2.2. Н ай ти предел lim

π x→ 2

cos 2 x π   −x 2 

2

.

0 Решен ие. М ы им еем дело с н еопределен н ость ю вида   . П роиз ведем 0 π π з ам ен у перем ен н ой : x − = t , тогда x = t + и t → 0. 2 2 π   cos 2  t +  2 cos x sin 2 t 2 0  sin t   =   = lim = lim 2 = lim  lim  = 1. 2 2 π π 0 t t → 0 t → 0 t → 0 t     ( −t )  x→ −x 2  2  2

10 Д адим рядполез н ы х определен ий : О пределен ие. Е сли lim f (x ) = 0 , то ф ун кция y = f ( x ) н аз ы вается бесx → x0

к онечно м а л ой в ел и чи ной пр и x→x0. О пределен ие. Бескон ечн о м алая величин а y = f ( x ) н аз ы вается беск онечно м а лой вели чи ной бол ее в ы сок ого пор ядк а по сравн ен ию с бескон ечн о м аf ( x) лой величин ой y = ϕ ( x ) (обоз н ачается f ( x ) = o (ϕ ( x ) ) ), если lim = 0. x → x0 ϕ ( x ) О пределен ие. Д вебескон ечн о м алы евеличин ы f ( x ) и ϕ ( x ) н аз ы ваю тf (x ) ся беск онечно м а л ы м и вел и чи на м и одного пор ядк а , если lim = const ≠ 0 . x → x0 ϕ (x ) О пределен ие. Д вебескон ечн о м алы евеличин ы f ( x ) и ϕ ( x ) н аз ы ваю тf (x ) ся эк в и в а л ент ны м и беск онечно м а л ы м и в ел и чи на м и , если lim = 1. x → x0 ϕ (x ) П ервы й з ам ечатель н ы й предел и его следствия даю т н ам прим еры эквивален тн ы х бескон ечн о м алы х величин при x → 0 : y = x,

y = sin x,

y = tgx,

y = arcsin x,

y = arctgx .

П ри решен ии н екоторы х з адач бескон ечн о м алы е величин ы м ож н о з ам ен ять эквивален тн ы м и. sin 2 x + 3tg 2 x . П рим ер 2.3. Н ай ти предел lim 2 x → 0 8 x + 5arctgx 0 Решен ие. М ы им еем дело с н еопределен н ость ю вида   . Зам ен им бес0 кон ечн о м алую величин у tg2 x н аэквивален тн ую бескон ечн о м алую величин у 2 x , бескон ечн о м алую величин у sin 2 x н аэквивален тн ую бескон ечн о м алую величин у x 2 , и бескон ечн о м алую величин у arctgx 2 н а эквивален тн ую бес-

кон ечн о м алую величин у x 2 . П олучим : lim

sin 2 x + 3tg 2 x

x → 0 8x

+ 5arctgx

2

= lim

x→0

x2 + 3 ⋅ 2x 8x + 5x

2

x ⋅ (x + 6 ) x+6 6 3 = lim = = . 8 4 x → 0 x ⋅ (5 x + 8 ) x → 0 5 x + 8

= lim

В т ор ы м з а м еча т ельны м пр еделом н аз ы вается предел x

( )

 1 lim 1 +  = 1∞ = e ≈ 2,72 . x → ∞ x С пом ощ ь ю второго з ам ечатель н ого предела решаю тся м н огие з адачи н а раскры тиен еопределен н ости вида 1∞ .

( )

11 Сл едст в и я и зв т ор ого з а м еча т ел ьного пр едела . 1

1. lim (1 + y ) y = e . y →0

log a (1 + x ) ln(1 + x ) 2′. lim = log a e . = ln e = 1 . x →0 x→0 x x ax −1 = ln a (a > 0 ) . lim x →0 x (1 + x )q − 1 = q . lim x →0 x

2.

lim

3. 4.

 3x − 2  П рим ер 2.4. Н ай ти предел lim   x → ∞  3x + 4   3x − 2  Решен ие. lim   x → ∞  3x + 4 

5 x +1

( ) ∞

= 1

(5 x +1)⋅ 3 x + 4 ⋅ − 6 − 6 3x + 4 

  1   = lim 1 + 3x + 4  x →∞    −6  

5 x +1

.

 3x + 4 − 6  = lim   x → ∞  3x + 4 

5 x +1

3x + 4  −6

   1   = lim  1 + 3x + 4  x→∞      −6  

3x + 4  −6

  1    1 + lim 3x + 4  x →∞    −6  

=

−30 x − 6  3x + 4

     

− 30 −

− 30 x − 6 = lim 4 x → ∞ 3x + 4 x→∞ 3+ x ln (1 + 4 x ) П рим ер 2.5. Н ай ти предел lim . 5x x →0

так как

=e

и

lim

= e −10 ,

6 x = −10 .

Решен ие. П роиз ведем з ам ен у перем ен н ой 4x = t, тогда x =

ln (1 + t ) 4 ln (1 + t ) 4 0 =   = lim = ⋅ lim = . 5x 5 x →0 t 5 x →0  0  x →0 5 ⋅ t 4 Здесь м ы восполь з овались следствием 2 из второго з ам ечатель н ого предела. lim

ln (1 + 4 x )

t и 4

§3. Н епреры внос ть функции Д адим два эквивален тн ы х определен ия н епреры вн ости ф ун кции. П редполож им , что ф ун кция y = f(x) определен а н ан екотором ин тервале (a, b), и пусть в точке x0 ∈(a, b) ф ун кция прин им аетз н ачен ие f(x0). П ерей дем отз н ачен ия x0 к другом у з н ачен ию x∈(a, b). П ри этом говорят, что з н ачен ию x0 придан о приращ ен ие ∆x = x – x0. Раз н ость ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) м еж ду н о-

12 вы м и стары м з н ачен иям и ф ун кции н аз ы вается приращ ен ием ф ун кции в точке x0, соответствую щ им приращ ен ию ∆x. О пределен ие1. Ф ун кция y = f(x), определен н ая н ан екотором ин тервале (a, b), н аз ы вается н епреры вн ой в точке x0∈(a, b), если бескон ечн о м алом у приращ ен ию аргум ен та x0 отвечает бескон ечн о м алое приращ ен ие ф ун кции, т.е. lim ∆y = lim ( f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )) = 0 . ∆x → 0

∆x → 0

Д ля второго определен ия н епреры вн ости н ам пон адобится пон ятиеодн осторон н их пределов. Число А н аз ы вается пределом ф ун кции y = f(x) при x, стрем ящ им ся к x0 спр а в а , если для лю бого ε > 0 сущ ествуеттакое δ > 0, что для лю бого x > x0, удовлетворяю щ его н еравен ству x – x0 < δ вы полн ен о н еравен ство | f(x) – А | <ε. И ли, сокращ ен н о, A = lim f ( x ) , если x → x0 + 0

∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) > 0 : ∀ x > x0 : x − x0 < δ ⇒ f (x ) − A < ε . Число А н аз ы вается пределом ф ун кции y = f(x), при x стрем ящ им ся к x0 сл ев а , если для лю бого ε > 0 сущ ествует такое δ > 0, что для лю бого x < x0, удовлетворяю щ его н еравен ству x0 – x < δ, вы полн ен о н еравен ство | f(x) – А | <ε. И ли, сокращ ен н о, A = lim f ( x ), если x → x0 − 0

∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) > 0 : ∀ x < x0 : x0 − x < δ ⇒ f (x ) − A < ε . И н ы м и словам и, lim

x → x0 + 0

f (x ) = lim f (x ) , x → x0 x > x0

lim

x → x0 − 0

f ( x ) = lim f ( x ) . x → x0 x < x0

О пределен ие2. Ф ун кция y = f(x), определен н ая н ан екотором ин тервале (a, b), н аз ы вается н епреры вн ой вточке x0∈(a, b), если (3.1) lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 − 0

x → x0 + 0

Читателям предлагается сам остоятель н о проверить эквивален тн ость двух предлож ен н ы х определен ий н епреры вн ости. Е сли lim f ( x ) = lim f ( x ) = const , а в точке x0 ф ун кция x → x0 − 0

x → x0 + 0

y = f(x) н е определен а или прин им ает з н ачен ие, отличн ое от одн осторон н их пределов, то говорят, что в точке x0 ф ун кция y = f(x) терпитраз ры в первого родатипа« устран им ая особен н ость ». Е сли lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , н о при этом одн осторон н ие пределы x → x0 − 0

x → x0 + 0

сущ ествую т и кон ечн ы , то говорят, что в точке x0 ф ун к ция y = f(x) терпит раз ры впервого родатипа« скачок». Е сли хотя бы один из одн осторон н их пределов равен бескон ечн ости или н есущ ествует, то говорят, что вточке x0 ф ун кция y = f(x) терпитраз ры в второго рода.

13 Ф ун кция н аз ы вается н епреры вн ой н а н екотором м н ож естве, если он а н епреры вн авкаж дой точкедан н ого м н ож ества. С ум м а, раз н ость и произ веден ие двух н епреры вн ы х ф ун кций является н епреры вн ой ф ун кцией (н атом м н ож естве, н акотором н епреры вн ы дведан н ы е ф ун кции). Частн ое двух н епреры вн ы х ф ун кций является н епреры вн ой ф ун кцией в тех точках, в которы х н епреры вн ы две дан н ы е ф ун кции, и при этом з н ам ен атель отличен отн уля. П усть ф ун кция t = ϕ(x) н епреры вн ан ан екотором м н ож естве D и пусть Е – м н ож ество тех з н ачен ий ф ун кции t = ϕ(x), которы еон априн им аетн ам н ож естве D. Е сли н а м н ож естве Е н епреры вн а н екоторая ф ун кция y = f(t), то суперпоз иция этих ф ун кций y = f(ϕ(x)) будетн епреры вн ой н ам н ож естве D. В се элем ен тарн ы еф ун кции н епреры вн ы в тех точках, в которы х он и определен ы . Н априм ер, ф ун кции y = sin x, y = cos x, y = x n , y = a x н епреры вн ы н авсей числовой оси, ф ун кция y = lg a x н епреры вн апри x ∈ (0; + ∞ ) , π  π  ф ун кция y = tgx н епреры вн а н а лю бом из ин тервалов  − + nπ ; + nπ  , 2  2  n∈Z . sin x П рим ер 3.1. И сследовать ф ун кцию y = н ан епреры вн ость . x sin x Решен ие. Ф ун кция y = как частн ое двух н епреры вн ы х ф ун кций x н епреры вн аво всех точках числовой оси, з аисклю чен ием точки x = 0. В точке x = 0 ф ун кция н е определен а и, следователь н о, терпитраз ры в. И сследуем характер раз ры ва. Д ля этого н ай дем одн осторон н иепределы : sin x sin x = lim = 1, x→0−0 x x → −0 x lim

sin x sin x = lim = 1. x →0 + 0 x x → +0 x lim

П редел слеваравен пределу справа, следователь н о, вточкеx = 0 ф ун кция им еетраз ры впервого родатипа« устран им ая особен н ость ». Е сли доопределить ф ун кцию вточке x = 0 един ицей , то он астан овится н епреры вн ой . Т о есть  sin x , x≠0  y= x – н епреры вн ая ф ун кция.  1, x=0 П рим ер 3.2. И сследовать ф ун кцию н ость .

 x 2 + 1, x ≤ 1  y =  2 x, 1 < x ≤ 3 н а н епреры в 4, x>3 

14 Решен ие. О чевидн о, что ф ун кция н епреры вн а н а каж дом из трех ин тервалов x ≤ 1, 1 ≤ x < 3 и x ≥ 3. Т очки x =1 и x = 3 являю тся подоз ритель н ы м и н ан аличиераз ры ва. Н ай дем одн осторон н иепределы :

(

)

lim y ( x ) = lim x 2 + 1 = 1 + 1 = 2,

x →1− 0

x →1− 0

lim y (x ) = lim 2 x = 2 .

x →1+ 0

x →1+ 0

Зн ачен иеф ун кции вточке x =1 равн о: y( 1 )= 12+ 1=2. П редел слеваравен пределу справа, и равен з н ачен ию ф ун к ции вточке x = 1, следователь н о, вточке x = 1 ф ун к ция н епреры вн а. И сследуем поведен ие ф ун кции в точке x = 3: lim y ( x ) = lim 2 x = 6 , x →3 − 0

x →3 − 0

x →3 + 0

x →3 + 0

lim y ( x ) = lim 4 = 4 .

П редел слева н е равен пределу справа, следователь н о, в точке x = 3 ф ун кция терпит раз ры в первого рода типа « скачок». Г раф ик ф ун кции из ображ ен н арис. 3.1: Рис. 3.1 П рим ер 3.3. У стан овить характер раз ры ва ф ун кции y

1 2 − =5 x

в точке

x = 2. Решен ие. Н ай дем одн осторон н иепределы вточке x = 2: 1 П ри x → 2 − 0 з н ам ен атель дроби стрем ится к н улю , н о остается 2− x 1 при этом боль ше н уля. С ледователь н о, сам а дробь стрем ится к плю с 2− x бескон ечн ости. Т огда lim

x →2−0

1 52− x

= +∞ . 1

1 → −∞ и lim 5 2 − x = 0 . П ри x → 2 + 0 дробь x→2−0 2− x Т ак как один из одн осторон н их пределовравен бескон ечн ости, то вточке 1 2 − =5 x

x = 2 ф ун кция y терпит раз ры в второго рода. Зам етим , что в осталь н ы х точках ф ун кция н епреры вн акак суперпоз иция н епреры вн ы х ф ун кций .

§4. П роиз водная функции одной перем енной. Д ифференциал П роиз водн ой ф ун кции y = f(x) вточке x0 н аз ы вается предел отн ошен ия приращ ен ия ф ун кции к приращ ен ию аргум ен та, когда приращ ен ие аргум ен та стрем ится к н улю :

15 f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) f ′( x0 ) = lim , (4.1) ∆x ∆x → 0 если предел (4.1) сущ ествуети кон ечен . Е сли вн екоторой точке x0 ф ун кция y = f(x) им еетпроиз водн ую f ′( x0 ) , то сущ ествуеткасатель н ая к граф ик у ф ун кции в точке А (x0; y0). У равн ен ие касатель н ой м ож н о н ай ти, исполь з уя уравн ен ие прям ой , проходящ ей через з адан н ую точк у с з адан н ы м угловы м коэф ф ициен том : y − f (x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) . (4.2) Та бли ца пр ои з в одны хи основны е пр а ви ла ди ффер енци р ов а ни я П оль з уясь определен ием произ водн ой , ф ун кции м ож н о н ай ти произ водн ы ен аиболеепросты х ф ун кций .

( ) (a )′ = a

′ 1. x n = n ⋅ x n −1 .

⋅ ln a . 1 . 3. (log a x )′ = x ⋅ ln a 4. (sin x )′ = cos x . 1 6. (tgx )′ = . cos 2 x 1 . 8. (arcsin x )′ = 1 − x2 1 10. (arctgx )′ = . 1 + x2 2.

x

x

1′.

( x )′ = 2 1 x .

( )

′ 2′. e x = e x . 1 3′. (ln x )′ = . x ′ 5. (cos x ) = − sin x . 7. (ctgx )′ = −

1 sin 2 x

9. (arccos x )′ = −

. 1

1 − x2 1 11. (arcctgx )′ = − . 1 + x2

.

С ф орм улируем осн овн ы е правила, которы м и м ы будем поль з овать ся при н ахож ден ии произ водн ы х ф ун кций (диф ф ерен цирован ии). 1. (c ⋅ f ( x ))′ = c ⋅ f ′( x ) . 2. (u (x ) ± v( x ))′ = u ′( x ) ± v′( x ). 3. (u (x ) ⋅ v( x ))′ = u ′( x ) ⋅ v( x ) + u (x ) ⋅ v′( x ) .

′  u ( x )  u ′(x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) 4.   = . v 2 (x )  v( x )  5. ( f (ϕ ( x )))′ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ) , где u = ϕ ( x ) . 1. Та бли чное ди ффер енци р ова ни е. В простей ших случаях произ водн ую ф ун кции м ож н о н ай ти, исполь з уя толь ко таблицу произ водн ы х и осн овн ы е правиладиф ф ерен цирован ия. П рим ер 4.1. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y = 2 sin x − 3 x .

16 В осполь з уем ся правилом диф ф ерен цирован ия раз н ости, Решен ие. учиты вая, что вы читаем оеявляется слож н ой ф ун кцией : ′ 2  1 − ′ ′ 1 ′ sin x sin x x sin 3   y′ = 2 − x =2 ⋅ ln 2 ⋅ (sin x ) − x 3 = 2 ⋅ ln 2 ⋅ cos x − ⋅ x 3 .   3   П рим ер 4.2. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y = 53 x ⋅ lg(4 x − 7 ) . Решен ие. В осполь з уем ся правилом диф ф ерен цирован ия произ веден ия двух ф ун кций , учиты вая, что каж ды й сом н ож итель является слож н ой ф ун кцией : ′ y ′ = 5 3 x ⋅ lg (4 x − 7 ) + 5 3 x ⋅ (lg (4 x − 7 ))′ = 53 x ⋅ ln 5 ⋅ (3 x )′ ⋅ lg(4 x − 7 ) +

(

) ( )

( )

+ 53 x ⋅

1 4 ⋅ (4 x − 7 )′ = 53 x ⋅ ln 5 ⋅ 3 ⋅ lg(4 x − 7 ) + 53 x ⋅ . (4 x − 7 ) ⋅ ln10 (4 x − 7 ) ⋅ ln10

arccos x 2 − e x . arctg 3x Решен ие. В осполь з уем ся правилом диф ф ерен цирован ия частн ого, учиты вая при этом , что вчислителедроби стоитраз н ость двух ф ун кций . П рим ер 4.3. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y =

(arccos x y′ =  1  −  1 − x2  =

( )

2

2

)

(

arctg 2 3 x 2

′

=

 ′ 1 − e  ⋅ arctg 3 x − arccos x 2 − e x ⋅ ⋅ (3x )′ 2 1 + (3x )   = arctg 2 3 x

( ) ( )

⋅ x

)

′ − e x ⋅ arctg 3x − arccos x 2 − e x ⋅ (arctg 3 x )′

(

x

(

)

)

   − 2 x − e x  ⋅ arctg 3 x − arccos x 2 − e x ⋅ 3   1 + 9x2 1 − x4   = . arctg 2 3 x

2. Пр ои з в одна я обр а т ной функ ци и . П усть 1) ф ун кция y = f(x) им еет обратн ую ф ун кцию x = ϕ(y) н а ин тервале (a; b), 2) в точке x0∈(a; b) им ееткон ечн ую и отличн ую отн уля произ водн ую f ′ (x0). Т огда обратн ая ф ун кция ϕ(y) им еет произ водн ую в точке y0 = f(x0), причем 1 ϕ ′( y0 ) = . Т аким образ ом , им еетм есто ф орм ула f ′( x0 ) 1 x′y = . (4.3) y ′x

17 П рим ер 4.4. И споль з уя правило (4.3) диф ф ерен цирован ия обратн ой 1 1 ф ун кции, вы вести табличн ы еф орм улы (log a x )′ = и (arcsin x )′ = . x ⋅ ln a 1 − x2 Решен ие. 1. Н ай дем произ водн ую ф ун кции x = log a y (y > 0), являю щ ей ся обратн ой к ф ун кции y = a x . 1 1 1 1 = x = , то есть (log a y )′ = x′y = . y ′x a ⋅ ln a y ⋅ ln a y ⋅ ln a 2. Н ай дем произ водн ую ф ун кции y = arcsin x (− 1 < x < 1) , являю щ ей ся π  π обратн ой к ф ун кции x = sin y н аин тервале  − < y <  . 2  2 1 1 1 1 1 = = = = . y ′x = x′y (sin y )′ cos y 1 − sin 2 y 1 − x2 3. Пр ои з в одна я неявной функ ци и . П редполож им , что з н ачен ия двух перем ен н ы х x и y связ ан ы м еж ду собой уравн ен ием F(x; y) = 0. (4.4) Е сли для каж дого з н ачен ия x в н екотором ин тервале сущ ествует одн о или н есколь ко з н ачен ий y, которы есовм естн о с x удовлетворяю т уравн ен ию (5.9), то этим определяется одн оз н ачн ая или м н огоз н ачн ая ф ун кция y = f(x), для которой равен ство F(x; f(x)) = 0 вы полн яется тож дествен н о отн оситель н о x. Д иф ф ерен цируя тож дество (4.4) по перем ен н ой x, н ай дем произ водн ую н еявн ой ф ун кции. П рим ер 4.5. Н ай ти произ водн ую y′(x) н еявн ой ф ун кции:

(

)

xy 2 + cos 3 x + y + 5 x = 0.

Решен ие. П родиф ф ерен цируем дан н оеравен ство по перем ен н ой x. П ри этом произ водн ая x′ = 1, апроиз водн ая y′ покан ам н еиз вестн а. Е ем ы как раз и н ай дем из получен н ого равен ства: ' xy 2 + cos 3 x + y + 5 x x = 0.

(

(

)

)

1 −2  1 ⋅ y + x ⋅ 2 y ⋅ y ′ − sin x + y ⋅  ⋅ x 3 + y ′  + 5 x ⋅ ln 3 = 0 . 3    Раскроем скобки и сгруппируем слагаем ы е, содерж ащ ие в левой части равен ства:

(

2

y + 2 xy ⋅ y ′ − 2

(

y ′ ⋅ 2 xy − sin

)

3

(

3

sin

(3 x + y ) − sin (3 x + y )⋅ y′ + 5 x ⋅ ln 3 = 0 .

3 ⋅ 3 x2

))

x+y =

(

sin 3 x + y 3 ⋅ 3 x2

) − y 2 − 5 x ⋅ ln 3 .

18 И з последн его равен стван аходим произ водн ую н еявн ой ф ун кции

(

sin 3 x + y y′ =

) − y 2 − 5 x ⋅ ln 3

33 x 2 2 xy − sin 3 x + y

(

)

=

(

)

sin 3 x + y − 33 x 2 ⋅ y 2 − 33 x 2 ⋅ 5 x ⋅ ln 3 6 x ⋅ y − 3 x ⋅ sin 3

5

3

2

(

3

x+y

)

.

4. Пр ои з в одна я функ ци и , з а да нной па р а м ет р и ческ и . Зависим ость м еж ду перем ен н ы м и x и y м ож етбы ть з адан апосредством н екоторого парам етра. Н априм ер, координ аты точки н а плоскости м огут з ависеть от врем ен и. В общ ем случае парам етрическое з адан ие ф ун кции вы глядит следую щ им образ ом  y = y ( t ) . (4.5)  x = x t ( )  П роиз водн ую ф ун кции, з адан н ой парам етрически, м ож н о н ай ти по ф орм уле: y′ (t ) y′ ( x ) = . (4.6) x′ ( t ) Как это видн о из ф орм улы (4.6), произ водн ая y′(x), так ж е как и перем ен н ы е x и y з ависитотпарам етра t. П оэтом у произ водн ая ф ун кции, з адан н ой парам етрически, сн ова является ф ун кцией , з адан н ой парам етрически. Т о есть он адолж н абы ть з адан аввиде: y′ ( t )   y′ ( x ) = ′ x (t ) .  x = x t () 

(4.7)

П рим ер 4.6. Н ай ти произ водн ую y′(x) ф ун кции, з адан н ой парам етрически:  y = 8 sin 3 t ,  3  x = 4 cos t. Решен ие. П о ф орм уле (4.6), получим

( (

) )

′ y ′(t ) 8 sin 3 t t 8 ⋅ 3 ⋅ sin 2 t ⋅ cos t 2 sin t ′ y (x ) = = = = − = −2tgt. x′(t ) 4 cos 3 t ′ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 2 t ⋅ (− sin t ) cos t t  y ′ ( x ) = −2tgt С ледователь н о,  . 3  x = 4cos t 5. Л ога р и фм и ческ ое ди ффер енци р ова ни е. П редполож им , что требуется н ай ти произ водн ую ф ун кции y = f (x )ϕ ( x ) . Д ан н ую ф ун кцию н ель з я диф ф ерен цировать , исполь з уя табличн ы е ф орм улы

19 (1) и (2). Д ело в том , что ф орм ула (1) предполагаетпостоян н ы й показ атель степен и (степен н ая ф ун кция), а ф орм ула (2) – постоян н ое осн ован ие степен и (показ атель н ая ф ун кция). П рологариф м ируем равен ство y = f (x )ϕ ( x ) : ( )

ln y = ln f ( x )ϕ x . ln y = ϕ ( x ) ⋅ ln f (x ) . В м есто явн ой м ы получили н еявн ую ф ун кцию . О дн ако правая часть получен н ого равен ства является обы чн ы м произ веден ием двух ф ун кций и, следователь н о, легко диф ф ерен цируется: 1 1 (ln y )′ = (ϕ (x ) ⋅ ln f (x ))′ . ⋅ y ′ = ϕ ′( x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ ⋅ f ′( x ). y f (x ) И з последн его равен стван аходим y′(x):   1 y ′ = y ⋅  ϕ ′( x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ ⋅ f ′( x ) , или f (x )     1 y ′ = f ( x )ϕ ( x ) ⋅  ϕ ′(x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ ⋅ f ′( x ) . f (x )   П рим ер 4.7. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y = arcsin x (ctg 2x ) . Решен ие. Л огариф м ируя дан н оеравен ство, получим н еявн ую ф ун кцию : ln y = ctg 2 x ⋅ ln (arcsin x ). Д иф ф ерен цируя дан н оеравен ство по x, н аходим y′(x): 1 1 1 1 ⋅ y ′ = − 2 ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x. y arcsin x 1 − x 2 sin 2 x

  1 1 1 . 2 ln arcsin 2 y ′ = (arcsin x )ctg 2 x ⋅  − ⋅ ⋅ x + ⋅ ⋅ ctg x 2  2 arcsin x 1− x   sin 2 x Л огариф м ическое диф ф ерен цирован ие н аряду с диф ф ерен цирован ием показ атель н о-степен н ы х ф ун кций часто исполь з уется для н ахож ден ия произ водн ы х ф ун кций , содерж ащ их боль шоеколичество сом н ож ителей . e − x ⋅ sin 2 x ⋅ x 3 ⋅ lg x . П рим ер 4.8. Н ай ти произ водн ую ф ун кции y = 25 x ⋅ arcctgx Решен ие. П рологариф м ируем дан н оеравен ство: ln y = ln e − x + ln sin 2 x + ln x 3 + ln lg x − ln 25 x − ln arcctgx .

ln y = − x + ln sin 2 x + 3ln x + ln lg x − 5 x ⋅ ln 2 − ln arcctgx . Д иф ф ерен цируя дан н оеравен ство по x, н аходим y′(x): y′ 2cos 2 x 3 1 1 1 1   = −1 + + + ⋅ − 5ln 2 − ⋅− . y sin 2 x x lg x x ⋅ ln10 arcctgx  1 + x 2 

20  3 1 1 e− x sin 2 x ⋅ x3 lg x  1 2 2 5ln 2 y′ = − + ctg x + + − + x x lg x ⋅ ln10 25 x arcctgx  arcctgx 1 + x 2 

(

)

 .  

6. Ди ффер енци а л функ ци и . Пр и м енени е ди ффер енци а ла дл я пр и бли ж енны х в ы чи сл ени й. Д иф ф ерен циал ф ун кции y = f(x) в точке x0 равен dy = f′(x0)⋅∆x. П риращ ен иен ез ависим ой перем ен н ой ∆x в точке x0 часто н аз ы ваю тдиф ф ерен циалом н ез ависим ой перем ен н ой и обоз н ачаю т сим волом dx. Т аким образ ом , м ы приходим к ф орм уле dy = dy(x0) =f′(x0)⋅dx.

(4.8)

И з ф орм улы (4.8) следует, что произ водн ую ф ун кции м ож н о н ай ти как частн оедиф ф ерен циалов: dy f ′( x0 ) = . (4.9) dx В о м н огих з адачах, н е требую щ их повы шен н ой точн ости, диф ф ерен циал м ож н о исполь з овать для приближ ен н ого вы числен ия з н ачен ий ф ун кции. П редполож им , что н ан екотором ин тервале (a, b) определен аи н епреры вн ан екоторая ф ун кция y = f(x). П усть в н екоторой точке x0 ∈(a, b) ф ун кция y = f(x) является диф ф ерен цируем ой и пусть н ам из вестн о з н ачен ие ф ун кции y0 = f(x0). Т ребуется н ай ти з н ачен ие ф ун кции y1 = f(x1) в точке x1 ∈ (a, b), достаточн о близ кой к точке x0. О боз н ачим через ∆x = x1 – x0 приращ ен ие аргум ен таф ун к ции вточке x0. И ском ое з н ачен ие ф ун кции y1 м ож н о н ай ти приближ ен н о, з ам ен ив приращ ен иеф ун кции диф ф ерен циалом : y1 = y0 + ∆y ≈ f(x0) + dy(x0). Т аким образ ом , м ы приходим к следую щ ей приближ ен н ой ф орм уле: f(x1) ≈ f(x0) + f′(x0)⋅( x1 – x0) П рим ер 4.9. В ы числить

4

(4.10)

16,6 приближ ен н о, с пом ощ ь ю диф ф ерен циа-

ла. Решен ие. Рассм отрим ф ун кцию y = 4 x . П усть x0 = 16, x1 = 16,6 . Т огда ∆x = x1 − x0 = 16,6 − 16 = 0,6. y0 = f ( x0 ) = 16 = 2. 4

3

1 − f ′(x0 ) = ⋅ x 4 4

= x =16

1

( )3

4 ⋅ 4 16

=

1 1 = . 4 ⋅ 8 32

Д ля н ахож ден ия y1 = 4 x1 = 4 16,6 восполь з уем ся ф орм улой (4.10). 1 П олучим 4 16,6 ≈ y0 + f ′( x0 ) ⋅ ∆x = 2 + ⋅ 0,6 ≈ 2 + 0,019 = 2,019. 32

21

§5. П роиз водны е вы с ших порядков. П равило Лопиталя. Ф орм улы Тейлора и М аклорена П редполож им , что ф ун кция y = f(x) им еет кон ечн ую произ водн ую y′ = f ′(x) во всех точках н екоторого ин тервала (a, b). Т огдапервая произ водн ая y = f ′(x) сам аявляется н екоторой ф ун кцией , з адан н ой в ин тервале (a, b). Е сли в н екоторой точке x0 ∈(a, b) сущ ествуетпроиз водн ая ф ун кции f ′(x), то он а н аз ы вается произ водн ой второго порядка, или второй произ водн ой ф ун кции y = f(x). В торая произ водн ая обы чн о обоз н ачается сим волам и f ′′(x0), y′′, d2y . Ан алогичн о определяю тся произ водн ы е ф ун кции более вы сокого dx 2 порядка. П рим ер 5.1. Н ай ти треть ю произ водн ую ф ун кции y = arccos x . Решен ие. П оследователь н о н ай дем первую , вторую , а з атем треть ю произ водн ую : 1

y′ = −

1−

 1 y′′ =  − x − x 2  2 

(

( x)

2

)

−

1 2

⋅

1 2 x

=−

1

=−

2 x ⋅ 1− x

′  1 1   = −  −  x − x2  2 2  

(

)

−

3 2

1 2 x−x

(

8 x − x2

)

)

( (

(

(

))

) (

2

Т аким образ ом , y ′′′ = −

x2 − x +

.

1 ( 1 − 2x ) = x − x2 4

5 3 1 3 2 −2 2 −2 ′′′ y = − x−x ⋅ ( 1 − 2x ) ⋅ ( 1 − 2x ) − 2 ⋅ x − x 4  2 1 1 = −3 1 − 4 x + 4 x 2 − 4 x − x 2 = 5

(

2

)

(

8 x−

)

 =  

5 2 2 x

)

( −8 x

2

−

3 2

(1 − 2x ) .

)

+ 8x − 3 .

3 8.

5 2 2 x

(x− )

 y = arctg t . П рим ер 5.2. Н ай ти вторую произ водн ую ф ун кции   x = 1 + t Решен ие. И споль з уя ф орм улу (4.6), н ай дем первую произ водн ую :

1 1 ⋅ y ′(t ) 1 + t 2 t 1 1 y ′( x ) = = = = . 2 1 x′(t ) 1 + t ⋅ t t + t ⋅1 2 1+ t

22 П ервая произ водн ая, так ж екак и исходн ая ф ун кция, является ф ун кцией , з адан н ой парам етрически: 1  ′  y ( x) = 2 t +t .   x = 1 + t С ледователь н о, для н ахож ден ия второй произ водн ой м ож н о вн овь исполь з овать ф орм улу (4.6): 1 ′  2 −  3  t +t 2 − 1 2  − t + t 2 ⋅ (2t + 1) y ′( x ))t'  ( 2t + 1  = 2 y ′′( x ) = =− 2 = . 1 1 x′(t ) t +t 2 1+ t 2 1+ t 2t + 1  ′′  y ( x) = 2 О кон чатель н о получим :  t +t . x = 1 + t  Пр а ви ло Л опи т а л я. П редел частн ого двух диф ф ерен цируем ы х вточке x0 f ( x) 0 ф ун кций при x → x0 , в случае н аличия н еопределен н ости вида   g ( x) 0 f ′( x) ∞ или   , равен пределу частн ого произ водн ы х дан н ы х ф ун кций при g′( x) ∞ x → x0 , если последн ий предел сущ ествует: f ( x)  0  f ′( x) ∞ lim =   или   = lim . (5.1) x → x0 g ( x ) 0  ∞  x → x0 g ′ ( x ) x − sin x П рим ер 5.3. Н ай ти предел lim . x →0 x3 0 Решен ие. М ы им еем дело с н еопределен н ость ю вида   . П рим ен яя 0 правило Л опиталя (5.1), получим : x − sin x )′ ( x − sin x  0  1 − cos x 1 1 − cos x  0  lim =   = lim = lim = lim =  . 3 2 x →0 x →0 3 x 3 x →0 x 2 x  0  x →0 0 3 ′ x

(

)

(

)

( )

0 П оследн ий предел вн овь даетн ам н еопределен н ость вида   . Е щ е один раз 0 прим ен им правило Л опиталя: 1 − cos x )′ 1 ( 1 1 − cos x  0  1 sin x 1 sin x 1 1 lim =   = lim = lim = lim = ⋅1 = . 2 3 x →0 x 3 x →0 2 x 6 x →0 x 6 6 ′  0  3 x →0 x2

( )

23 П рим ер 5.4. И споль з уя правило Л опиталя, н ай ти предел lim

x →+∞

x3 ex

.

∞ Решен ие. Д ля раскры тия н еопределен н ости вида   триж ды прим е∞ н им правило Л опиталя: ′ x3 x3  ∞  3x 2  ∞  6x  ∞  6 lim x =   = lim = lim x =   = lim x =   = lim x = 0 . x →+∞ e  ∞  x →+∞ e x ′ x →+∞ e  ∞  x →+∞ e  ∞  x →+∞ e

( ) ( )

Ф ор м ул ы Тейлор а и Ма к л ор ена . П усть ф ун кция y = f ( x ) определен аи им еет произ водн ы е всех порядков до n-го вклю читель н о в н екоторой окрестн ости ( a − δ ; a + δ ) точки а . Т огдаим еетм есто ф орм улаТ ей лора: f ( x) = f (a) +

f ′(a) 1!

( x − a) +

f ′′ ( a ) 2!

( x − a)

(

где x ∈ ( a − δ ; a + δ ) , ачерез o ( x − a )

n

2

+L+

)

n f ( ) (a)

n!

( x − a )n + o ( ( x − a ) n ) ,

обоз н ачен абескон ечн о м алая вели-

чин аболеевы сокого порядка, чем ( x − a ) . П ри а = 0 ф орм улаТ ей лораполучилан аз ы ван иеф орм улы М аклорен а: n

f ( x ) = f (0) +

f ′ ( 0) 1!

x+

f ′′ ( a ) 2!

x +L+ 2

n f ( ) (a)

n!

( )

xn + o xn .

(5.2)

Х орошо из вестн ы раз лож ен ия н екоторы х элем ен тарн ы х ф ун кций по ф орм улеМ аклорен а: x x2 xn x +L+ + o xn . 1. e = 1 + + 1! 2! n!

( )

2. sin x = x −

2 n −1 x 3 x5 x 7 n −1 x + − + L + ( −1) + o x 2 n −1 . 3! 5! 7! ( 2n − 1)!

(

)

( )

2n x2 x4 x6 n −1 x + − + L + ( −1) + o x 2n . 3. cos x = 1 − 2! 4! 6! ( 2n ) !

4. (1 + x ) = 1 + mx + m

m ( m − 1) 2!

x2 + L +

m ( m − 1)L ( m − n + 1) n!

( )

n x 2 x3 x 4 n −1 x + − + L + ( −1) + o xn . 2 3 4 n 3 5 7 2 n −1 x x x n −1 x 6. arctgx = x − + − + L + ( −1) + o x 2 n −1 . 3 5 7 2n − 1

5. ln (1 + x ) = x −

(

)

( )

xn + o xn .

24 П рим ер 5.5. Раз лож ить по ф орм улеМ ак лорен аф ун кцию y = e − x . Решен ие. П одставляя – x вм есто x вф орм улу М аклорен адля ф ун кции x e , получим иском оераз лож ен ие: e

−x

2 n −x) (−x) −x) ( ( =1+ + +L+

1!

2!

n!

( )

+ o xn =

( −1) x + o x n . x x 2 x3 =1− + − +L+ 1! 2! 3! n! n

n

( )

П рим ер 5.6. Н аписать три первы х, отличн ы х от тож дествен н ого н уля слагаем ы х ф орм улы М аклорен адля ф ун кции y = sin 2 x . Решен ие. П одставляя 2x вм есто x в ф орм улу М аклорен а для ф ун кции y = sin 2 x , получим 3 5 2x ) 2x) ( ( sin 2 x = 2 x − + +o

( x ) = 2 x − 3!8 x

( )

32 5 x + o x5 . 3! 5! 5! 8 32 Т аким образ ом , при достаточн о м алы х x, м н огочлен y = 2 x − x3 + x5 = 3! 5! 4 3 4 5 = 2 x − x + x с точн ость ю до бескон ечн о м алой величин ы o x 5 м ож ет 3 15 з ам ен ить ф ун кцию y = sin 2 x . П рим ер 5.7. Раз лож ить по степен ям x – 2 м н огочлен 5

3

+

( )

f ( x ) = x 4 − 5 x3 + 5 x 2 + x + 2 . Решен ие. Н ай дем з н ачен ия f ( 2 ) ,

f ′ ( 2) ,

f ′′ ( 2 ) ,

f ′′′ ( 2 ) ,

n f ( ) ( 2) :

f ( 2 ) = 24 − 5 ⋅ 23 + 5 ⋅ 22 + 2 + 2 = 16 − 40 + 20 + 4 = 0 ,

(

)

f ′ ( 2 ) = 4 x3 − 15 x 2 + 10 x + 1

(

f ′′ ( 2 ) = 12 x 2 − 30 x + 10

)

x=2

x=2

= 32 − 60 + 20 + 1 = −7 ,

= 48 − 60 + 10 = −2 ,

f ′′′ ( 2 ) = ( 24 x − 30 ) x = 2 = 48 − 30 = 18 ,

f IV ( 2 ) = 24 .

О сталь н ы е произ водн ы е м н огочлен а четвертой степен и тож дествен н о равн ы н улю . П одставляя н ай ден н ы епроиз водн ы евф орм улу Т ей лора, получим : f ( x ) = 24 ( x − 2 ) + 18 ( x − 2 ) − 2 ( x − 2 ) − 7 ( x − 2 ) . 4

3

2

25

§6. П олное ис с ледование функции и пос троение графика 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

П олн оеисследован иеф ун кции обы чн о проводится о следую щ ей схем е: Н ай ти область определен ия ф ун кции D( y ) . Н ай ти область з н ачен ий ф ун кции E ( y ) (если это воз м ож н о), точки пересечен ия граф икаф ун кции с осям и координ ат, участки з н акопостоян ства. О пределить видф ун кции (четн ая, н ечетн ая, общ его вида). О пределить периодичн ость ф ун кции. Н ай ти вертикаль н ы е, н аклон н ы еили гориз он таль н ы еасим птоты . Н ай ти критическиеточки первого рода. Н ай ти критическиеточки второго рода. Заполн ить таблицу исследован ия. П о рез уль татам исследован ия построить граф ик ф ун кции.

П рим ер 6.1. П ровести полн оеисследован иеи построить граф ик ф ун кции x −3 y= . x−2 Решен ие. 1. О бласть определен ия D ( y ) = (− ∞; 2 ) ∪ ( 2; + ∞ ). 2

2. П усть x = 0, тогда y = 1,5. П усть y = 0, тогда x = ± 3 . Т о есть точки (0; 3/2 ) и ( ± 3 ; 0 ) – являю тся точкам и пересечен ия граф икаф ун кции с осям и координ ат. Е сли x ∈ − ∞; − 3 ∪ 3; 2 , то y(x) < 0. Е сли

(

)

(

) (

)

x ∈ − 3; 3 ∪ ( 2; + ∞ ), то y(x) > 0. 3. Ф ун кция общ его вида, т. е. н е является н и четн ой , н и н ечетн ой . Д ей стви2 ( − x) − 3 x2 − 3 тель н о, y (− x ) = =− . Т о есть y(–x) ≠ y(x) и y(–x)≠ – y(x). x+2 −x−2 4. Ф ун кция н еявляется периодической , так как он аим ееттоль ко одн у точк у раз ры ва. 5. А) Н ай дем вертикаль н ы е асим птоты граф ика ф ун кции. В ертикаль н ы е асим птоты бы ваю ттоль ко в точках раз ры вавторого рода. В н ашем случаеподоз ритель н ой является точка x = 2. Н ай дем одн осторон н иепределы : x2 − 3  + 1  x2 − 3  + 1  lim = = (− ∞ ), lim =   = (+ ∞ ). x →2 − 0 x − 2 x → 2+ 0 x − 2 − 0 + 0 Т ак как одн осторон н иепределы вточке x = 2 равн ы бескон ечн ости, то прям ая лин ия x = 2 является вертикаль н ой асим птотой . Б) У равн ен ия н аклон н ы х (гориз он таль н ы х) асим птот граф ика ф ун кции будем искать в виде: y=kx+b, где k и b определяю тся по ф орм улам (6.1) – (6.2): f ( x) k1,2 = lim , (6.1) x →±∞ x b1,2 = lim ( f ( x ) − k1 ⋅ x ) . (6.2) x →±∞

26 П ри x → −∞ по ф орм улам (6.1) – (6.2) определяю тся коэф ф ициен ты левой асим птоты граф ика ф ун кции y = k1 x + b1 , а при x → +∞ – правой y = k2 x + b2 . Е сли хотя бы один из пределов (6.1) – (6.2) н е сущ ествует или равен бескон ечн ости, то соответствую щ ей асим птоты н ет. О чевидн о, что гориз он таль н ы еасим птоты являю тся частн ы м случаем н аклон н ы х (при k = 0). В н ашем случае 3 1− 2 2 2 x −3 x −3 ∞ x = 1, k1,2 = k = lim = lim 2 =   = lim x →±∞ ( x − 2 ) ⋅ x x →±∞ x − 2 x  ∞  x →±∞ 1 − 2 x 2 2 2  x −3  2x − 3  ∞  x − 3 − x + 2x − 1 ⋅ x  = lim = lim = = b1,2 = lim  x →±∞ x − 2 x →±∞ x →±∞ x − 2 − 2 x ∞   3 x = 2. = lim 2 x →±∞ 1− x Т аким образ ом , прям ая y = x + 2 – является н аклон н ой асим птотой граф ика ф ун кции как при x → −∞ , так и при x → +∞ . 6. Н ай дем первую произ водн ую ф ун кции: ′  x 2 − 3  2 x ⋅ (x − 2 ) − (x 2 − 3) 2 x 2 − 4 x − x 2 + 3 x 2 − 4 x + 3  = y ′ =  = = . 2 2 2 x − 2 ( ) ( ) ( ) x x x − 2 − 2 − 2   1− 3 9−3 y ′ = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 3. y( x1 ) = = 2, y ( x2 ) = = 6. 1− 2 3−2 Т очки, в которы х первая произ водн ая равн ан улю или н есущ ествует, н аз ы ваю ткритическим и точкам и первого родаили точкам и, подоз ритель н ы м и н а экстрем ум . Т екритическиеточки, в которы х f′(x) = 0, н аз ы ваю тстацион арн ы м и. В стацион арн ы х точках касатель н ая, проведен н ая к граф ик у ф ун кции, параллель н аоси OX. В н ашем случаекритическим и точкам и 1-го родаявляю тся точки x = 1 и x = 3. Т очка x=2 критической н е является, т. к. он а н е прин адлеж ит области определен ия ф ун кции. Т очки x = 1, x=2 и x = 3 раз биваю т область определен ия исходн ой ф ун кции н а четы ре ин тервала, н а каж дом из которы х первая произ водн ая сохран яетз н ак. П о з н ак у первой произ водн ой м ож н о судить о воз растан ии (убы ван ии) ф ун кции н акаж дом из этих ин тервалов, атакж ео н аличии экстрем ум ов вкритических точках. Е сли f′(x) > 0 (f′(x) < 0) н а ин тервале (a; b), то ф ун к ция воз растает (убы вает) н а (a; b). Е сли произ водн ая f′(x) м ен яетз н ак с плю сан ам ин ус при переходечерез точк у критическ ую точк у первого рода x0, то в точке x0 ф ун кция им еет локаль н ы й м аксим ум . Е сли произ водн ая м ен яетз н ак с м ин уса н а плю с, то м ин и2−

27 м ум . Е сли ж е произ водн ая при переходе через точк у x0 з н ака н е м ен яет, то в точке x0 ф ун кция экстрем ум ан еим еет. И сследован ие первой произ водн ой н а з н ак будет произ веден о поз дн ее (впун кте № 8). 7. Н ай дем вторую произ водн ую ф ун кции: ′  x 2 − 4 x + 3  (2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 )2 − 2 ⋅ ( x − 2 ) ⋅ (x 2 − 4 x + 3)  = y ′′ =  = 2 (x − 2)4  (x − 2 ) 

( 2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 ) − 2(x 2 − 4 x + 3) 2 x 2 − 8 x + 8 − 2 x 2 + 8 x − 3 2 = = = ≠ 0. 3 3 (x − 2) (x − 2) (x − 2)3

Т очки, в которы х исходн ая ф ун кция определен а, а вторая произ водн ая равн а н улю или н есущ ествует, н аз ы ваю ткритическим и точкам и второго рода. Критические точки второго рода раз биваю т область определен ия ф ун кции н а ин тервалы , в каж дом из которы х граф ик ф ун кции сохран яет н аправлен ие вы пуклости. Е сли f′′(x) > 0 (f′′(x) < 0) н а ин тервале (a; b), то граф ик ф ун кции является вогн уты м (вы пуклы м ) н аин тервале (a; b). Критические точки второго рода, в которы х вторая произ водн ая м ен яет з н ак, являю тся точкам и перегибаграф икаф ун кции. В дан н ом прим ере критических точек второго рода н ет, следователь н о, н ети точек перегибаграф икаф ун кции. 8. С оставим таблицу исследован ия ф ун кции. Д ля этого раз обь ем область определен ия ф ун кции точкам и раз ры ва, а такж е критическим и точкам и первого и второго рода (если таковы е им ею тся) н а н есколь ко ин тервалов (первая строка таблицы ). В каж дом из получен н ы х ин тервалов определим з н ак первой и второй произ водн ой (соответствен н о вторая и треть я строки таблицы ). П о сочетан ию з н аков первой и второй произ водн ой м ож н о судить о поведен ии ф ун кции н асоответствую щ ем ин тервале. Н априм ер, н аин тервале (–∞; 1) первая произ водн ая исходн ой ф ун кции боль ше н уля, а вторая произ водн ая м ен ь ше н уля. Э то оз н ачает, что н а дан н ом ин тервалеф ун кция воз растает, аграф ик ееявляется вы пуклы м . С хем атически поведен ие ф ун кции н а каж дом из получен н ы х ин тервалов из ображ ается в последн ей строкетаблицы . Здесь ж еопределяю тся экстрем ум ы и точки перегиба граф ика ф ун кции. В точках экстрем ум а и перегиба вы числяю тся з н ачен ия исходн ой ф ун кции. И так, вн ашем прим ерем ы получим следую щ ую таблицу исследован ия: x y′(x) y″(x) y(x)

(–∞; 1 ) + –

1 ( 1; 2 ) 0 – – – Max y= 2.

2 Н есущ . Н есущ . Н есущ .

Т абл. 6.1.

( 2; 3 ) – +

3 0 + Min y= 6.

( 3; ∞) + +

28 9. П о рез уль татам исследован ия строим граф ик ф ун кции (рис.6.1). П ри построен ии граф ика предваритель н о н еобходим о из образ ить асим птоты , точки пересечен ия граф икас осям и координ ат, точки экстрем ум аи точки перегиба.

Рис. 6.1.

Пр и м ер ны й ва р и а нт к онт р ол ьной р а бот ы № 1 1. Н ай ти предел ф ун к ции а) lim

3x 2 + 4 x 4 + 3

; б) lim

2 x2 + 5x − 8 2. Н ай ти произ водн ую

x →∞

(

x 2 − 12 − 2

x →4

y′ ( x )

)

3x + 4 − x

а) y = arccos 3x − ctg 2 2 x ⋅ 5− x ; б) y = ( tg 2 x ) 3. В ы числить

3

1 sin 3 x ; г) lim ( x − 1) x − 2 . x →π tg15 x x →2

; в) lim

4x

; в)

x − 2 y + ln

27.34 приближ ен н о, с пом ощ ь ю диф ф ерен циала.

(

4. П ровести полн оеисследован иеф ун кции y = 1 + x 2 граф ик.

x = 0. y

)

и построить ее

29

ЛИ ТЕР А ТУР А 1. Д ем идовичБ.П . Краткий к урс вы сшей м атем атики / Б.П . Д ем идович, В .А. К удрявцев. – М .: Астель . АС Т , 2001. – 655 с. 2. М ин орский В .П . С борн ик з адач по вы сшей м атем атике: учеб. пособие для втуз ов/ В .П . М ин орский . – 14-е из д. – М .: И з д-во ф из .-м ат. лит., 2001. – 366 с. 3. ШипачевВ .С . О сн овы вы сшей м атем атики : учеб. пособиедля втуз ов/ В .С . Шипачев; подред. акад. А.Н . Т ихон ова. – 2-еиз д. С тереотипн ое.– М .: В ы сш. шк., 1994.– 352 с. 4. ШипачевВ .С . С борн ик з адачпо вы сшей м атем атике: учеб. пособие/ В .С . Шипачев. – М .: В ы сш. шк., 1994.– 192 с. 5. ШипачевВ .С . В ы сшая м атем атика: учеб. для студен товвтуз ов/ В .С . Шипачев. – 5-еиз д., стереотипн ое– М .: В ы сш. шк., 2000.– 479 с. 6. П ись м ен н ы й Д .Т . Кон спектлекций по вы сшей м атем атике: Т ридцать шесть лекций / Д .Т . П ись м ен н ы й . – М : Ай рис-пресс, 2000.– Ч. 1.– 279 с. 7. Г усак А.А. В ы сшая м атем атика: учеб. для студен товвтуз ов: В 2 т. / А.А. Г усак. – 3-еиз д., стереотипн ое. – М ин ск: Т етраС истем с, 2001. – Т . 2.– 447 с.

30

Дл я з а м ет ок

31

С оставители: ст. преп. У ксусовС ергей Н иколаевич. преп. У доден ко Н иколай Н иколаевич, Редактор: Т ихом ироваО .А.