Физика (часть 2, введение в основы электромагнетизма). Конспект лекций

ГЛАВА 1.  МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ  r  В основе учения об электромагнитных явлениях лежат понятия электрического  E и  r  магнитного  B векторных полей. Поэтому усвоение основ электромагнетизма наиболее  просто происходит в рамках математического аппарата векторной алгебры и векторного  анализа, основные понятия и теоремы которого приведены в приложении.  1.1.  Пот ок вект ора  1.1.1. Элементарны й поток 

r  Элементарным потоком dФ вектора  A через элемент поверхности dS называют скалярное  r  r r  произведение  Ad S , где  dS  – вектор нормали к элементарной площадке dS, по модулю  равный ее площади (рис. 1): r  r (1)  dФ =  A d S  = AdS × cosa  Скалярное произведение (1) можно трактовать двояко (рис 1б r  и в):  1) как произведение нормальной составляющей вектора  A к площадке dS на площадь dS: dФ = ( A cos a ) dS  = A n dS  2) как произведение модуля вектора A на площадь проекции площадки dS на плоскость,  r  перпендикулярную вектору  A : dФ =  A (dS cos a ) = AdS ^ 1.1.2. Поток вектора 

Рис. 1а) 

б) 

в)

r  Потоком вектора  A через конкретную поверхность S называют сумму (интеграл)  элементарных потоков dФ через элементарные площадки, на которые разбивают  поверхность S (рис. 2а): r  r Ф =  ò dФ  = ò A d S  = ò A n dS  = ò AdS ^ (2)  ( S ) 

( S ) 

( S ) 

( S ) 

Поверхность S может быть замкнутой, ограничивающей объем V S  (рис. 2б). В последнем  r  случае Ф называют потоком  A через замкнутую поверхность и обозначают:

Рис. 2а) 

Ф =  ò dФ  = ( S ) 

r  r A  ò d S  =

( S ) 

б) 

(3) 

ò A dS  = ò AdS  n 

( S ) 

^

( S ) 

1.2.  Линейны й инт ег рал  r  Линейным интегралом по кривой L от вектора  A называют криволинейный интеграл r  r A ò d l  =  ò A cos adl , (4)  ( L ) 

( L ) 

r  где  dl  – вектор элемента дуги кривой L, по которой производится интегрирование, по  модулю равный длине элементарного отрезка dl, направленный в выбранной положительным  направлением обхода кривой L (рис. 3).  r  Если L – замкнутая кривая, то интеграл (4) называют циркуляцией вектора  A по замкнутой  кривой L и обозначают:

а) 

б) 

в)

Рис. 3 

r  A ò dl  =  ò A t dl 

( L ) 

(5) 

( L ) 

r  Здесь, At  – проекция вектора  A на касательную к L в данной точке ( At  =  A cos a ). 

r  Физический смысл линейного интеграла (4) или циркуляции (5) особенно прост, если  A – 

r  r  r  r поле сил. Тогда  Ad l  – элементарная работа силы  A на перемещении  dl  , а интегралы (4), (5)  r  – работа силы  A на конечном пути (незамкнутом или замкнутом).  1.3.  Вект орны й дифференциальны й операт ор (НАБЛА)  Оператор – определенная математическая операция, выполнив которую, мы получаем вместо  ¶  данной функции новую функцию. Например, применив оператор  к функции ¶x sin (2 x - 3 y - z ) , получим 2 cos (2 x - 3 y - z ) .  Векторный дифференциальный оператор (оператор Гамильтона, или оператор "НАБЛА")  определен формулой:  ¶ r ¶ r ¶ r Ñ º i + j  + k ,  (6)  ¶x ¶y  ¶z  r  r  r  где  i ,  j ,  k – орты осей выбранной системы координат.  1.3.1. Градиент 

Примененный к скалярной функции j оператор "НАБЛА" превращает ее в вектор gradj,  направление которого показывает в трехмерном пространстве направление наискорейшего  роста j(x,y,z):  ¶j r ¶j r ¶j r Ñ j º grad j = i+ j  + k .  (7)  ¶x ¶y  ¶z  Модуль градиента характеризует "крутизну" j(x,y,z) в направлении наискорейшего роста.  dy  В трехмерном пространстве gradj играет роль, аналогичную роли производной  для  dx  функции y(x) одной переменной:  dy  –  знак  показывает направление изменения переменной x, соответствующее  dx  росту y(x);  –  модуль 

dy  характеризует "крутизну" (скорость роста) функции y(x).  dx 

Физический смысл gradj особенно прозрачен, если  j º U ( x , y , z ) – потенциальная энергия  частицы в силовом поле. В этом случае взятый с обратным знаком gradU представляет собой  вектор силы F:  r æ ¶U  ö r æ ¶U  ö r æ ¶U  ö r ÷÷ j  + ç F = -grad U  = ç ÷i  + çç ÷ k .  (8)  è ¶x  ø è ¶y  ø è ¶z  ø r  Если требуется найти приращение функции dj(x,y,z) при смещении на  dr  из точки (x,y,z) в  r  точку (x+dx,y+dy,z+dz) нужно скалярно умножить gradj на  dr  . Действительно, r ¶j r r  æ ¶j r ¶j r ¶j rö r ¶j ¶j (9)  grad j × dr  = çç i + j  + k ÷÷ dx i  + dy j  + dz k  = dx + dy + dz = d j( x , y , z )  ¶y  ¶z  ø ¶x  ¶y  ¶z  è ¶x 

(

) 

1.3.2. Дивергенция 

r  r  Математическая операция  div A , применяемая к векторному полю  A( x , y , z ) , определяется  формулой: r ¶A  ¶A y  ¶A z  r  r æ ¶ r ¶ r ¶ rö r r – скаляр !!!  (10) div A º Ñ × A = çç i + j  + k ÷÷ A x i  + A y  j  + A z k  = x  + + ¶z  ø ¶x  ¶y  ¶z  è ¶x  ¶y 

(

) 

r  r  r r Дивергенция  A ( div A º ÑA ) определяет плотность источников векторного поля  A . В  r r частности, если  A =  E  – напряженность электрического поля, то  r  1  div E = r ( x , y , z )  – уравнение Пуассона, 

e 0 

где r(x,y,z) – плотность электрического заряда. r  Пример: найти дивергенцию радиуса вектора  r . r r æ ¶ r ¶ r ¶ rö r r r ¶x  ¶y  ¶z  divr º Ñ × r  = çç i + j  + k ÷÷ x i  + y j  + z k  = + + = 3  ¶z  ø ¶x  ¶y  ¶z  è ¶x  ¶y 

(

) 

1.3.3. Ротор 

r  r  Операция  rot A, применяемая к векторному полю  A( x , y , z ) , определяется формулой:  r r æ ¶A  ¶A y  ö r æ ¶A x  ¶A z  ö r æ ¶A y  ¶A x  ö r ÷÷i  + ç ÷÷k .  (11)  rot A = Ñ ´ A = çç z ÷ j  + çç è ¶y  ¶z  ø è ¶z  ¶x  ø è ¶x  ¶y  ø Очень удобно представление этой операции в виде определителя:  r r r r r r i  j  k  i  j  k  r  ¶ ¶ ¶ Ñ ´ A = Ñ x  Ñ y  Ñ z  = (12)  ¶x  ¶y  ¶z  A x  A y  A z  A x  A y  A z  r  r  Наиболее просто выявить физический смысл  rot A можно в случае, если  A – поле скоростей  каких­либо частиц (см. рис. 4):  r  –  то, что  rotV = 0  для равномерного поступательного движения, очевидно, так как Ñ  – дифференциальный оператор;  r  –  равенство нулю  rot V в случае "деформационного" движения легко увидеть при  r  записи операции  rot V в виде определителя: r r r i  j  k  ræ ¶y  ö r  ¶ ræ ¶ ¶ ¶y ö r rotV =  = i ç 0 - l ÷ + j (0 - 0 ) + k ç l - 0 ÷ = 0 ;  ¶x  ¶y  ¶z  è ¶z ø è ¶x  ø 0  ly  0  –  в случае вращательного движения  r r r i  j  k  r ræ ¶ ¶ ¶ ¶x ö rotV =  = i ç 0 - w ÷ + ¶x  ¶y  ¶z  è ¶z ø - w y  wx  0 

r ræ ¶y  ö ræ ¶x  ¶y ö j ç - w - 0 ÷ + k çç w + w ÷÷ = 2 wk  . ¶z  ø ¶y ø è è ¶x 

Таким образом, при движении частиц (течение жидкости или газа) отличный от нуля  r  ротор линейных скоростей ( rot V ) указывает на наличие вращения (завихренности) и равен  удвоенному значению угловой скорости соответствующей частицы.  r  V = const 

r r V = ly j 

r r r V = -w × y i  + w × x j 

r  rotV  = 0

r  rotV  = 0

r r rotV  = 2w k 

Пост упат ельное  равномерное  движение 

" Деформационное  движение" 

Вращ ат ельное  движение 

4а) 

4б) 

4с)

Рис. 4 

1.4.  Инт ег ральны е т еоремы  1.4.1. теорема Остроградского 

r  r  Поток вектора  A через замкнутую поверхность S равен объемному интегралу от  div A по  объему, заключенному внутри S. r  r r ò Ad S  =  ò div A dV  (13)  ( S ) 

( V S  ) 

r  Для доказательства рассмотрим подробнее подынтегральное выражение  div AdV :  r æ ¶A  ¶A y  ¶A z  ö æ ¶A  ö ¶A  æ ¶A  ö ÷÷ dx dy dz = ç x  dx ÷dydz + çç y  dy ÷÷dxdz + æç z  dz ö÷ dxdy  div A dV = çç x + + 14 2 43 è ¶z  ø è ¶x  ø è1 ¶4x 4 4 2¶y 4 4 ¶4z 3 ø è ¶y  ø dV  r  div A 

Но 

¶ Ay  ¶ Ax  ¶ A dx = dA x ,  dy = dA y ,  z  dz = dA z . То есть,  ¶x  ¶y  ¶z  r  div AdV = dA x  × dS x  + dA y  × dS y  + dA z  × dS z  , где

ìdS x  = dydz  ï ídS y  = dxdz  ï îdS z  = dxdy 

– площади граней элементарного куба dxdydz, перпендикулярных  соответственно осям x, y и z (см. рис. 5а) 

Но dAx dS x  = ( A x  + dA x ) dS x  - A x dS x  – суммарный результирующий поток dФх  через dSx,  взятую при x + dx, и dSx, взятую при x. Элементарный поток через замкнутую поверхность  элементарного куба равен  dФ = dФ x  + dФ y  + dФ z ,  где  dФ x  = dA x dS x ,  dФ y  = dA y dS y ,  dФ z  = dA z dS z . 

При интегрировании по всему объему V s, ограниченному поверхностью S, элементарные  потоки смежных граней примыкающих друг к другу элементарных объемов будут  r  сокаращаться из­за различия в знаках (если вектор  A выходит  наруж у через какую­то грань  r  элементарного куба, то через смежную грань примыкающего элементарного куба вектор  A будет входить внутрь). Нескомпенсированными останутся потоки через внешние по  r  отношению к объему V s  грани, а это и есть поток вектора  A через замкнутую поверхность S.  Если линии векторного поля представляют собой замкнутые кривые (отсутствуют источники  поля – точки, из которых выходят (начинаются) линии поля или в которые входят  (оканчиваются) линии поля, то r  s ò Ad S  = 0 . 

проекция на плоскост ь XY  Рис 5а) 

б) 

Если же внутри объема V s, ограниченного поверхностью S, есть источники, из которых  выходят линии поля, то  r  r A ò  d S  > 0 .  И, наконец, если внутри объема V s, есть источники ("стоки"), в которых линии поля  оканчиваются, то r  r A ò  d S  < 0 .  Сказанное иллюстрируется рисунком 6а, б, в. 

r  r A ò  d S  = 0

r  r A ò  d S  > 0

r r A ò  d S  < 0

а) 

б) 

в)

Рис. 6 

1.4.2. Теорема Стокса (без доказательства) 

r  r  Циркуляция вектора  A по замкнутому контуру L равна потоку  rot A через поверхность SL,  натянутую на контур L (рис. 7): r  r r r A d  l  =  rot  A  ò ò d S .  (14)  ( L ) 

( S L ) 

Рис 7

1.5.  Линейны е (плоские) и т елесны е уг лы  1.5.1. Линейны й угол 

Угол, опирающийся на дугу какой­либо кривой, – это обычный угол между двумя лучами,  проходящими через крайние точки дуги, измеряемый в радианах.  Центральный угол j, опирающийся на дугу окружности, связан с радиусом окружности R и  длинной дуги l простым соотношением: l  = R j (15)  Из (15) видно, что если угол опирается на дугу  l =  R , то он равен 1 радиану (рис. 8) 

S = R j Рис. 8а) 

1 рад  =

180 o  » 57 , 3 o p  б)

1.5.2. Телесны й угол 

Телесный угол (обозначается обычно через W) опирается на поверхность S, его образующие  формируют подобие конической поверхности, опирающейся на замкнутую кривую,  ограничивающую поверхность S. Измеряется в стерадианах (страд).  Центральный телесный угол W, опирающийся на часть поверхности  сферы радиуса R, связан  простым соотношением с площадью S той части поверхности сферы, на которую он  опирается (рис. 9): S  =  R 2  × W .  (16)  Из (16) видно, что если угол W опирается на площадку (часть поверхности сферы) площадью  S =  R 2 , то он равен 1 страд.  Угол, под которым видна половина внутренней поверхности сферы из точки О (рис. 9в)  равен 2p страд. 

Угол под которым видна вся внутренняя поверхность сферы равен 4p страд. 

Рис 9а) 

б) 

в)

ГЛАВА 2.  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТИЗМА  2.1.  Элект рическое поле  2.1.1. Электрический заряд 

В природе существуют два т ипа элект рических зарядов – полож ит ельные (такой заряд  имеют протоны – составные "кирпичики" атомного ядра и положительные ионы – катионы)  и от рицат ельные (это заряд электронов, образующих электронную оболочку атомов, и  отрицательных ионов – анионов). *)  Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются.  Электрический заряд протона, нейтрона и электрона является основным, первичным  параметром частицы, определяющим ее электромагнитное взаимодействие с другими  частицами (вспомните о массе m – основном параметре частицы, определяющим ее  гравитационное взаимодействие с другими частицами).  2.1.2. Элементарны й заряд 

Заряд протонов и электронов является самым маленьким по величине из зарядов,  встречающихся в природе:  заряд протона  q p  = 1, 6 × 10 -19  Кл  заряд электрона  q e  =  -1, 6 × 10 -19  Кл.  Заряд  e = 1, 6 × 10 -19  Кл называют элемент арным зарядом. Все остальные заряды кратны  элементарному:  Q =  Ne , если  Q > 0 , или  Q =  - Ne , если  Q < 0 . Здесь N – число  элементарных зарядов, формирующих данный заряд Q.  2.1.3. Закон сохранения электрического заряда 

Как показывает опыт, алгебраическая (то есть с учетом знаков) сумма зарядов электрически  изолированной системы (системы, через границу которой не может пройти ни один заряд)  сохраняется:  Q эл. изолир  = const .  (17)  сист емы 

Если система не является электрически изолированной, то в нее могут входить извне и  уходить наружу носители электрического заряда. Тот факт, что электрический заряд  сохраняется, приводит к закону изменения электрического заряда в такой системе –  уравнению непрерывност и: r  r dq -  = ò j d S , (18)  dt  dq где  -  – скорость уменьшения заряда системы;  dt  r  j – вектор плотности тока, численно равный заряду, переносимому через  единичную поверхность в единицу времени (току через единичную поверхность);  r  r  r r  r r  j d S  – элементарный поток вектора  j через элемент поверхности  dS  (  j d S  = dI  –  элементарный ток через dS) 

*) 

Существуют также частицы, не обладающие электрическим зарядом (говорят, что они имеют нулевой 

заряд) – это нейтроны (которые вместе с протонами формируют атомные ядра), а также атомы и молекулы.

r  r Если  ò j d S  > 0 , то преобладает процесс выхода электрического заряда из системы, если  r  r ò j d S < 0 , то преобладает процесс прохода заряда через границу системы внутрь системы. В  первом случае заряд q системы уменьшается ( - 

dq  dq  > 0 , т.е.  < 0 ), во втором – q  dt  dt 

dq  увеличивается (  > 0 ). Так как по определению ток через поверхность S равен потоку  dt  r  dq  вектора  j через эту поверхность, то можно сказать, что в случае  > 0 преобладает  dt  dq  электрический ток внутрь системы, а при  < 0 – ток из системы (рис. 10):  dt  dq -  = I наруж  - I внут р  .(19)  dt  r  Можно дать "микроскопическое" определение вектора  j . Для этого рассмотрим процесс  протекания тока по отрезку провода с сечением S. (рис. 11): 

Рис. 11

r  Линии  j непрерывны  r  r ò j d S  = 0 ,  q = const  I внут рь  =  I наруж у 

Рис. 10 а) 

r  Часть линий  j начинается  внутри системы  r  r dq  ò j d S  > 0 ,  dt  < 0 , q – уменьшается  I внут рь  < I наруж у  б) 

За единицу времени сечение S пересекут все носители заряда, содержащиеся в цилиндре  объемом  S × V , так как V – путь, проходимый носителем за единицу времени. Их число  равно:  n × S × V ,  где n – число носителей в единице объема (концентрация носителей).  Если умножить это число на заряд одного носителя q, то мы получим заряд, переносимый  через площадку S в единицу времени. А это – не что иное, как ток, текущий по проводу:  I =  q × n × V × S (20)  I  По определению  j =  , то есть  S  j = qnV .  Если при этом учесть векторный характер плотности тока (его направление совпадает с  направлением переноса заряда), то, окончательно, получим:  r r j = qn V .  (21) 

2.1.4. Релятивистская инвариантность заряда 

Электрический заряд не зависит от выбора системы отсчета, то есть является релятивистски  инвариантным параметром (в отличие от массы, которая зависит от скорости движения  частицы). Это означает, что заряд частицы не зависит от того, движется она или покоится.  2.1.5. Закон Кулона 

Опытным путем установлен закон  взаимодействия двух точечных зарядов  (рис. 12):  r Рис. 12  1  q 1 q 2  r F12  =  r  (22)  12  4 pe 0  r 12 3 r  где  F12  – сила, действующая на заряд q2;  r  r12  – радиус­вектор заряда q2  относительно q1;  1 – коэффициент пропорциональности, при расчетах удобно использовать  4 pe 0  K=

1  Н  × м 2  ;  = 9 × 10 9  4 pe 0  Кл 2 

e 0  = 8 , 85 × 10 -12 

Кл 2  – электрическая постоянная.  Н × м 2 

2.1.6. Электрическое поле точечного заряда 

В соответствии с современными физическими представлениями взаимодействие между  зарядами осуществляется через электрическое поле. А именно, каждый заряд q1,  помещенный в данную точку, изменяет свойства окружающего его пространства. Это поле  проявляет себя так, что помещенный в какую либо другую точку другой заряд q2  испытывает  действие силы  r r F 21  = q 2  × E 1 ,  (23)  r  где  F 21  – сила, действующая на заряд q2;  r  E1  – напряженность электрического поля, созданного зарядом q1  в месте расположения  заряда q2.  Сравнивая (1) с (2), получаем:  r q 1  r E1  =  r  (24)  3  12  4 pe 0 r 12  r  Н  Размерность вектора  E – напряженность электрического поля  [ E ] =  .  Кл  Формула (24) это – закон Кулона, но записанный в полевой форме.  2.1.7. Принцип суперпозиции 

Опыт показывает , что, если электрическое поле создается совокупностью электрических  зарядов, то его напряженность в произвольной точке P равна векторной сумме  напряженностей полей, созданных каждым зарядом в отдельности в этой точке (см. рис. 13): r r N r 1 N q i r ip  E  = å E i  = (25)  å 4 pe 0  i =1  r ip 3  i =1  где  N – число зарядов, создающих  электрическое поле; 

q 1 > 0  q 2  < 0 

– радиус­вектор точки P  относительно заряда qi. 

q 3  < 0  Рис. 13

r  rip 

Замечание. Для наглядности электростатическое поле изображают геометрически с  помощью линий напряженности (силовых линий). Эти линии проводят так, чтобы  r  касательная к ним в любой точке совпадала с вектором  E по направлению, а число линий,  r  пересекающих единичную площадку, перпендикулярную  E , было бы пропорционально  v  | E | º  E .  Поля точечных положительного и точечного зарядов, а также поле электрического диполя  (совокупности двух равных по величине, но противоположенных по знаку зарядов,  разнесенных в пространстве) изображены на рисунке 14. 

Рис. 14

2.2.  Маг нит ное поле  2.2.1. Сила Лоренца 

r  Введение в теорию электромагнетизма электрического поля  E недостаточно для описания  (объяснения) всех электромагнитных явлений. Для описания центростремительных сил (сил,  перпендикулярных скорости), действующих на движущийся заряд, оказалось необходимым  ввести еще одно векторное поле – магнит ное поле, характеризуемое вектором магнитной  r  индукции  B (в системе СИ  [ B ] = Тесла  º Тл ). В частности, упомянутая выше  r  центростремительная сила (сила Лоренца) описывается с помощью поля  B следующей  формулой: r rr F Л =  q V B  (26)  r  Здесь,  q – заряд, на который действует сила  F Л  ;  r  Vr  – скорость движения заряда;  B – индукция магнитного поля в месте нахождения в данный момент заряда q.  r  r r Так как  F Л  определена векторным произведением VB  , то она всегда перпендикулярна как  r  r  V , так и  B . 

[ ] 

[ ] 

2.2.2. Отсутствие в Природе магнитны х зарядов 

Многочисленные  попытки обнаружить магнитные заряды – частицы, из которых выходили  r  бы или в которые входили бы силовые линии магнитного поля – линии индукции  B , не  увенчались успехом. В природе магнитные заряды не существуют, силовые линии  магнитного поля нигде ни начинаются, ни кончаются. Они всегда представляют собой  замкнутые кривые. Математически факт отсутствия магнитных зарядов выражается  r  теоремой Остроградского для поля  B :  r  r B ò  d S  = 0  (27)  ( S ) 

Действительно, так как магнитных зарядов нет, то они никогда не окажутся внутри объема,  ограниченного замкнутой поверхностью. 

2.2.3. Магнитное поле движущегося заряда. 

Как показал опыт, источником магнитного поля является электрический ток – движущиеся  r  направленно электрические заряды. Магнитное поле  B , создаваемое точечным движущимся  зарядом, определяется формулой (рис. 15): rr r m 0  V r  B =  q  3  ,  (28)  4 p r  m 0  где – коэффициент пропорциональности;  4 p Тл × м  m 0 = 4 p × 10 -7  – магнитная постоянная;  А  r  V – скорость движения заряда q;  r  r  r – радиус­вектор, проведенный от заряда q в точку, где определяется поле  B . 

[ ] 

2.2.4. Закон Био­Савара­Лапласа. 

r  r  Bi  , i = 1, 2, 3, 4 – векторы  B в четырех  точках: r  r  r  B1 ^ плоскости XY, содержащей V и  r1 ;  B2  =  B 3  , т.к.  a 2 = a 3  =

p

и  r3  = r 2  2  B2  >  B 1 , т.к.  a 2 > a 1  и  r1  > r 2  Рис. 15 

r  В технике связи редко встречается случай, когда необходимо рассчитать  B , созданное  одиночным точечным зарядом. Гораздо чаще мы имеем дело с магнитным полем,  создаваемым электрическим током, текущим по тонким проводам, когда направление  протекания тока совпадает с касательной к проводу. Для расчета такого поля нужно разбить  r  r  ток на так называемые элементы тока  Idl  (здесь I – ток,  dl  – элемент провода,  направленный по касательной к проводу в направлении перемещения положительного  заряда). Считая образующий ток I заряд dq, содержащийся в элементе dl, точечным, мы  можем применить формулу (28): rr r m 0  V r  dB =  dq  3  .  (29)  4 p r  r  r  Здесь  dB  – поле, образованное элементом тока  Idl  ;  r  V – скорость направленного движения носителей заряда в элементе dl;  r  r  r – радиус­вектор точки, в которой определяется поле  dB .  r  r Но  dq = q × n × Sdl , а V || d l  (см. рис. 16). Тогда, 

[ ] 

nSdl  – число носителей заряда в элементе Idl  n – концентрация носителей  qnSdl = dq  – заряд, переносящий ток в элементе dl  r Sdl – объем элемента провода  dl  Рис. 16

rr rr rr rr r m 0  V r  m 0  d l r  m 0  d l r  m 0  d l r  dB =  qnSdl  3  = (30)  (qnV ) × S  3  = j × S  3  = I  3  4 p 4 p 4 p 4 p r  r  r  r  Формула (30) носит название закона Био­Савара­Лапласа. Она позволяет рассчитать поле  r  dB , созданное элементом тока в точке, положение которой относительно Idl задано радиус­  r  вектором  r : rr r m 0  d l r  dB = I  3  4 p r 

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] 

[ ] 

2.2.5. Принцип суперпозиции для магнитного поля. 

Если магнитное поле создается совокупностью движущихся точечных зарядов, то для  определения результирующего поля необходимо, как показывает опыт, векторно сложить  вклады в общее поле каждого из зарядов: rr r N r m 0  V i r i  (31)  B = å B i  = å q i  3  4 p r i  i = 1  Если заряд предполагается распределенным непрерывно (как в предыдущем пункте), то rr r r m 0  d l r  B = ò d B = ò I  3  (32)  4 p r  æ по всему ö ç току  ÷ è ø r  Последняя формула позволяет рассчитать поле  B , созданное током I, протекающим по  тонкому проводу, если известна форма провода. 

[ ]

[ ]

2.3.  Закон элект ромаг нит ной индукции  Открытый Фарадеем закон электромагнитной индукции заключается в том, что в замкнутом  r  проводящем контуре при изменении потока вектора  B через поверхность, охватываемую  этим контуром, в последнем возникает электрический ток (индукционный ток):  1  d F B  i инд =  (33)  R  dt  Здесь,  R – сопротивление проводящего контура; r  r  r F B  = ò Bd S  – поток вектора  B через поверхность S, охватываемую контуром;  ( S ) 

d F B – скорость изменения потока ФВ.  dt  Направление индукционного тока определяется так называемым правилом Ленца:  Индукционный т ок всегда направлен т ак, чт обы прот иводейст воват ь причине, 

его вызывающей.

Другими словами, индукционный ток создает магнитный поток, препятствующий  изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток (рис. 17). 

Рис. 17 а) 

б)