Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

Решениезадач п о теоретич еской механике. Часть2. Кинематика. У ч ебно-методич ескоеп особиеп о сп ециал ьности 010501 (010200) П рикл адная математика и инф орматика.

В О РО Н Е Ж 2005

2

У тверж денонау ч но-методич еским советом ф аку л ьтета П М М ( 07.06.2005, п ротокол № 10 )

Д оп у щ ено у ч ебно-методич еским советом п оп рикл адной математикеи инф орматикедл я студентов вы сших у ч ебны х заведений, обу ч аю щ ихся п о сп ециал ьности 010200 «П рикл адная математика и инф орматика» и п о нап равл ению 510200«П рикл адная математика и инф орматика»

С оставители: Чеботарев А.С . Щ егл ова Ю .Д .

У ч ебно-методич ескоеп особиеп одготовл ено на каф едреТ еоретич еской и п рикл адной механики ф аку л ьтета П М М В оронеж ского госу дарственного у ниверситета. Рекоменду ется дл я студентов 2 ку рса дневного отделения и 3 ку рса веч ернего отделения сп ециал ьности 010501 (010200) «П рикл адная математика и инф орматика» , п о дисцип л ине Е Н .Ф .03.1. «Т еоретич еская механика» .

3

С оде р ж ан и е В ведение § 1. Координатны й и векторны й сп особы задания движ ения точ ки. У равнения движ ения точ ки. Т раектория § 2. С коростьи у скорениеточ ки § 3. О п ределениерадиу са кривизны траектории § 4. У равнение вращ ения . У гл овая скорость и у гл овое у скорение тела. Равномерноеи равноп еременноевращ ениетела § 5. С корости и у скорениеточ ек тела, вращ аю щ егося вокру г неп одвиж ной оси § 6. У равнения движ ения и скорости точ ек п л оской ф игу ры § 7. У скорениеточ ек п л оской ф игу ры § 8. С л ож ноедвиж ениеточ ки § 9. Контрол ьны евоп росы дл я самоп роверки остаточ ны х знаний § 10. Задания зач етной контрол ьной работы § 11. С п исок задач дл я самостоя тельногорешения § 12. О сновны еф орму л ы кинематики Л итература

4 5 8 10 12 14 15 18 33 40 41 59 60 62

4

В ве де н ие У ч ебно-методич еское п особие п редназнач ено дл я студентов сп ециал ьности 010501 (010200) “П рикл адная математика и инф орматика”, обу ч аю щ ихся на втором ку рседневного отделения третьем ку рсевеч ернего отделения , п о дисцип л инеЕ Н .Ф .03.1. “Т еоретич еская механика”. С огл асно у ч ебному п л ану ау диторны е заня тия п о данной дисцип л ине вкл ю ч аю т2 ч аса л екций и 2 ч аса п рактич еских заня тий в неделю , в течение одного семестра. В то ж евремя , объем самостоя тельной работы отводимой на освоениеп редмета составл я ет68 ч асов (72 ч аса в/о). П редл агаемы й у ч ебнометодич еский материал п ризван п омоч ь студентам изу ч ить один из разделов теоретич еской механики – кинематику . О п ределения , п ол ож ения и п остул аты , вводя щ иеся в кинематике, затем активно исп ол ьзу ю тся в динамике– основном разделе теоретич еской механики. П особие вкл ю ч ает теоретич еские основы : оп ределения ; и п рактич еские п римеры в виде решения наибол ее тип ич ны х задач кинематики. Т ак ж е в п особии содерж ится сп исок воп росов дл я самоконтрол я и п ереч еньзадач дл я самостоя тельногореш ения . И тогом изу ч ения кинематики дл я сту дентов ф аку л ьтета П М М я вл я ется реш ениезач етной работы , варианты которой п риводя тся в п особии, наря ду с разбором тип ич ны хзадач п одобногорода. С п исок основны х ф орму л кинематики и л итературны е источ ники п о данной дисцип л ине дол ж ны нацелить ч итателей на п роду ктивну ю самостоя тельну ю работу.

5

§1. К оор ди н атн ы й и ве ктор н ы й способ ы задан и я дви ж е н и я точки . У р авн е н и я дви ж е н и я точки . Т р ае ктор и я П ри координатном сп особе задания движ ения п ол ож ение точ ки в п ространстве в л ю бой момент времени t оп ределя ется декартовы ми координатами: y = y (t ) ; x = x (t ) ; z = z (t ) (1.1) У равнения (1.1) назы ваю т у равнения ми движ ения точ ки. П ри векторном сп особе задания движ ения п ол ож ение точ ки в л ю бой момент времени оп ределя ется еерадиу с-вектором:

r = r (t )

(1.2) И скл ю ч ив из у равнений (1.1) п араметр t , п ол у ч им неп араметрич еские у равнения кривой, п о которой движ ется точ ка. Т раекторией точ ки мож етбы ть вся п ол у ч енная кривая ил и ее ч асть. Д л я оп ределения траектории сл еду ет у становить обл асти изменения координат x , y , z п о заданны м у равнения м движ ения , сч итая время движ ения t су щ ественно п ол ож ительной велич иной. П ри известном у равнении кривой, п о которой движ ется точ ка, траектория во многих сл у ч ая х мож ет бы ть вы делена заданием обл асти изменения тол ько одной координаты . П ри иссл едовании траектории точ ек механизмов сл еду ет у ч иты вать такж е констру ктивны е особенности данного механизма, огранич иваю щ иеего движ ение. Задача 1. (рис 1.). Д виж ениеточ ки в п л оскости XOY задано у равнения ми: x = a ⋅ sin t   (a) y = 2a ⋅ cos 2t  гдеa - п остоя нная ( a > 0 ); t - время . О п ределить траекторию точ ки и иссл едовать её движ ение. Р еш ение. Заданны еу равнения движ ения точ ки (a ) я вл я ю тся у равнения ми траектории в п араметрич еской ф орме. Д л я п ол у ч ения у равнения кривой, п о которой движ ется точ ка, в неп араметрич еской ф орме сл еду ет из э тих у равнений искл ю ч итьп араметр t . И меем

y = 2 a ⋅ cos 2t = 2a(1 − 2 sin 2 t ) И з п ервого у равнения (a) найдё м

sin t =

x , a

6

тогда

2x 2 y = 2a (1 − 2 ) a

(b)

Э то у равнение п арабол ы , вершина которой находится в точ ке ( 0, 2 a ) , а ветви, нап равл ены вниз. О днако не вся п ол у ч енная п арабол а я вл я ется траекторией точ ки. Д ействительно, из (a) сл еду ет, ч то x ≤ a , y ≤ 2a , т. е. траекторией точ ки я вл я ется ч асть п арабол ы , закл ю ч енная вну три п ря моу гол ьника со сторонами 2a и 4a . Т аким образом, у равнением траектории 2x 2 2 ( 1 ) п ри − a ≤ x ≤ a . y = a − точ ки я вл я ется a2 Н айдё м нач ал ьноеп ол ож ениеточ ки. П ри t = 0 имеем x t =0 = 0 , y t =0 = 2a , т. е. точ ка в нач ал ьны й моментнаходил асьв вершинеп арабол ы . П ри возрастании π t от 0 до с ек абсцисса x у вел ич ивается , а ордината y у меньш ается , т. е. 2 π точ ка движ ется п о п арабол евп раво. П ри t = t1 = с ек имеем 2

x t =0 = a

y t =0 = −2a

π 3π с ек точ ка движ ется п о п арабол евл ево, п роходя В п ромеж у тке с ек ≤ t ≤ 2 2 3π с ек , точ ка её верш ину в момент t = t 2 = π с ек . Н ач иная с момента t = t3 = 2 снова движ ется вп раво, п роходя нач ал ьноеп ол ож ениев моментt = t 4 = 2π с ек , и т.д. Т аким образом, точ ка совершает с течением времени кол ебательное движ ениевдол ьп арабол ы . Задача 2. (рис 2.). Зу бч атое кол есо I радиу сом, обкаты вается , вну три неп одвиж ного зу бч атого кол еса II радиу сом R = 2r , с п омощ ью , кривошип а O1O2 , у гол п оворота которого ϕ задан как ф у нкция времени: ϕ = kt (k-п остоя нная ). О п ределитьу равнения движ ения и траекторию конца A отрезка AB дл иной l , неизменно свя занного с кол есом I и расп ол ож енного вдол ь его радиу са. П ри t = 0 кол есо I занимал о ниж нее п ол ож ение (п оказанноена рису нкеп у нктиром) и точ ка B совп адал а с центром кол еса II. Р еш ение. Рассмотрим п ол ож ениемеханизма в некоторы й теку щ ий момент времени t . Кол есоI займетп ри э том п ол ож ение, п оказанноена рису нке.

7

П у сть c - точ ка кол еса I, которая в нач ал ьны й моментt = 0 находил ась в C 0 - ме стезацеп л ения кол ес. И з у сл овия отсу тствия скол ьж ения (бл агодаря нал ич ию зу бцов) имеем CD = C 0 D ил и Rϕ = rγ , гдеγ = ∠CO1 D . И мея в виду , ч то R = 2r п ол у ч им γ = 2ϕ . О бознач им ч ерез ψ остры й у гол , составл енны й диаметром СВ с вертикал ьной осью O2 y . П о теоремео внешнем у гл етреугол ьника имеем γ = ϕ + ψ = 2ϕ отку да ϕ = ψ . О тсю да, л егко закл ю ч ить, ч то точ ка C в п роцессевсего движ ения бу дет п еремещ аться вдол ьоси O2 y . О бознач им координаты точ ки А ч ерез x и y . В ведё м радиу с-вектор

ρ = O2 A . И з рису нка я сно, ч то ρ = O2 A + O1 A П роектиру я э то векторноеравенствона оси, п ол у ч им x = O2 O1 sin ϕ + O1 A sinψ = (2r + l ) sin ϕ   y = −O2 O1 cos ϕ + O1 A cosψ = l cos ϕ 

(с)

О тсю да сл еду ет, ч то точ ка B в п роцесседвиж ения п еремещ ается вдол ь оси ак как y B = y A − l cos ϕ = 0 . O2 x т П одставл я я в (с) ϕ = kt п ол у ч им у равнения движ ения точ ки A :

x = (2r + l ) sin kt , y = l cos kt которы е одновременно я вл я ю тся и у равнения ми траектории точ ки в п араметрич еской ф орме. И скл ю ч ая время t , п ол у ч им у равнениекривой, п о которой движ ется точ ка, в неп араметрич еской ф орме. Д л я искл ю ч ения t п ереп иш ем у равнения движ ения в виде y x = cos kt = sin kt ; 2r + l l П ол ьзу я сьтож деством

sin 2 kt + cos 2 kt = 1 п ол у ч им

x2 y2 + =1 ( 2r + l ) 2 l 2

(d)

Э то э л л ип с с п ол у ося ми a = 2r + l , b = l и центром в нач ал екоординат. П ри изменении t от 0 до ∞ абсцисса x изменя ется в п ределах − a ≤ x ≤ a , а ордината y в п ределах − b ≤ y ≤ b , и, сл едовательно, точ ка в своем движ ении обходитвесь э л л ип с. Т аким образом, в данной точ кевся кривая , оп ределя емая у равнением (d), я вл я ется траекторией точ ки.

8

§2.С кор ость и ускор е н и еточки П ри заданном движ ении точ ки в п ря моу гол ьны х декартовы х координатах скоростьточ ки оп ределя ю тся п оихп роекция м на неп одвиж ны еоси:

υx =

wx =

dx = x& ; dt

υy =

dz dy = y& ; υ z = = z& (2.1) dt dt

dυ dυ x dυ = &x& ; wy = y = &y& ; wz = z = &z& ; dt dt dt

(2.2)

υ = υ x2 + υ y2 + υ z2 ;

(2.3)

w = wx2 + w y2 + wz2 ;

(2.4)

υx  υ   υy  cos(υ , y ) =  υ  (2.5) υ  cos(υ , z ) = z  υ 

wx  w   wy  cos(w , y ) =  w  (2.6) w  cos(w , z ) = z  w 

cos(υ , x) =

cos(w, x) =

У равнения ми годограф а скорости в п араметрич еском видея вл я ю тся :

x1 = υ x = x& ; y1 = υ y = y& ; z1 = υ z = z& ;

(2.7)

где x1 , y1 , z1 - теку щ иекоординаты точ ки, вы ч ерч иваю щ ей годограф , а оси O1 x1 , O1 y1 , O1 z1 соответственно п арал л ельны ося м Ox , Oy , Oz . Задача 3. Д аны у равнения движ ения точ ки:

1 3

x = t 2 ; y = t3 ( x , y - в сантиметрах; t - в секу ндах). О п ределить: 1) траекторию точ ки; 2) скорость точ ки в моментt = 1с ек ; 3) годограф скорости; 4) у скорениетоски п ри t = 2 с ек . Р еш ение: 1. И скл ю ч ая t из у равнений движ ения , п ол у ч им у равнение кривой, п о которой движ ется точ ка.

y2 =

1 3 x 9

9

(п ол у ку бич еская п арабол а). Т раекторией п арабол ы , соответству ю щ ая x ≥ 0 .

я вл я ется

ч асть э той

2. Н аходим п роекции скорости точ ки на оси координатп оф орму л ам (2.1):

υ x = x& = 2t& ; υ y = y& = t 2 отку да

υ = t 4 + t2 С л едовательно,

υ

t =1с ек

= 5 = 2,24 с м с ек .

Н ап равл ениескорости оп ределя ется нап равл я ю щ ими косину сами (2.5): cos(υ , x) =

υx = υ

2 4 + t2

; cos(υ , y ) =

υy υ

=

t 4 + t2

;

П ри t = 1с ек имеем cos(υ , x) =

υy 1 υx 2 = = ; cos(υ , y ) = υ υ 5 5

Т аким образом, скорость в момент t = 1с ек составл я ет с ося ми Ox , Oy соответственно у гл ы , равны е26 0 34′ и 63 0 26′ . 3. Н аходим у равнения годограф а скорости в п араметрич еском виде п о ф орму л ам (2.7):

x1 = υ x = 2t& ; y1 = υ y = t 2 И скл ю ч ая t , п ол у ч им

x12 y1 = 4 Г одограф ом скорости я вл я ется ч астьэ той п арабол ы , соответству ю щ ая

0 ≤ x1 ≤ ∞ 4. Н аходим п роекции у скорения точ ки на оси координатп о ф орму л ам (2.2): wx =

О тсю да

w = 2 1+ t2 ,

dυ y dυ x = 2t = 2 ; wy = dt dt

10

сл едовательно,

w t =2с ек = 2 5 = 4,47 с м с ек 2 . Н ап равл ение у скорения ф орму л ам (5.8):

оп ределя ется

cos(w, x) =

1 1+ t

2

нап равл я ю щ ими косину сами п о

; cos(w, y ) =

t 1+ t 2

.

П ри t = 2 с ек п ол у ч им

cos(w, x) =

2 1 ; cos( w, x) = . 5 5

Т аким образом, вектор w в момент t = 2с ек образу ет с ося ми Ox , Oy соответственно у гл ы 63 0 26′ и 26 0 34′ . §3. О пр е де ле н и ер ади уса кр и ви зн ы тр ае ктор и и Радиу с кривизны траектории движ у щ ейся точ ки оп ределя ю тп оф орму л е

υ2 ρ= wn Е сл и даны у равнения движ ения точ ки в координатной ф орме: x = x (t ) ; y = y (t ) ; z = z (t ) , тодл я оп ределения ρ находя т: 1. υ x = x& , υ y = y& , υ z 2. wτ =

= z& , υ = υ x2 + υ y2 + υ z2 ;

dυ ; dt

2 2 2 3. wx = &x& , w y = &y& , wz = &z& , w = wx + w y + wz ;

2 2 4. wn = w − wτ

5. ρ =

υ2 wn

(3.1)

11

Задача 4. Д виж ениеточ ки задано у равнения ми

 x = a(3 cos t + cos 3t )   y = a(3 sin t + sin 3t ) ( a - п остоя нная велич ина). О п ределитьрадиу с кривизны траектории как ф у нкцию времени в п ромеж у тке π 0≤t ≤ . 2 Р еш ение. О п ределим п роекции скорости точ ки на координатны еоси:

υ x = x& = −3a(sin t + sin 3t )

υ y = y& = 3a (cos t + cos 3t ) , сл едовательно,

υ 2 = 18a 2 (1 + cos 2t ) = 36a 2 cos 2 t , отку да υ = 6a cos t . Касательноеу скорение

wτ =

dυ = −6a sin t . dt

Н айдё м п роекции у скорения точ ки на координатны еоси:

wx = υ x = −3a(cos t + 3 cos 3t ) w y = υ y = −3a (sin t + 3 sin 3t ) , отсю да

w 2 = 18a 2 (5 + 3 cos 2t ) . О п ределим нормал ьноеу скорениеточ ки:

wn2 = w 2 − wτ2 = 144 a 2 cos 2 t , отку да

wn = 12a cos t . И скомы й радиу с кривизны траектории бу дет

υ2 ρ= = 3a cos t wn Н аибол ьший радиу с кривизны ρ max = 3a .

12

§4.У р авн е н и евр аще н и я. У гловая

скор ость и угловоеускор е н и ете ла.

Р авн оме р н оеи р авн опе ре ме н н оевр аще н и ете ла У равнениевращ ения тела вокру г неп одвиж ной оси имеетвид

ϕ = ϕ (t )

(4.1)

гдеϕ - у гл овая координата тела. У гл овая скорость ω и у гл овоеу скорениеε соответственно равны ω=

ε=

dϕ рад с ек dt

(4.2)

dω d 2ϕ = 2 рад с ек 2 dt dt

(4.3)

Е сл и в данны й момент времени εω > 0 , то в э тот момент тело вращ ается у скоренно, есл и ж еεω < 0 , то вращ ениезамедл енное. П ри вращ ении тела в одном и том ж енап равл ении у гол п оворота тела ψ за п ромеж у ток времени t − t 0 оп ределя ю тп о ф орму л е

ψ = ϕ − ϕ0

(4.4)

гдеϕ и ϕ 0 - знач ения у гл овой координаты в моментt и t 0 . У гол ψ п оворота тела свя зан с ч исл ом оборотов тела N зависимостью

ψ = 2πN

(4.5)

В технике у гл ову ю скорость тела вы раж аю т ч исл ом оборотов в мину ту . П ереход отn(об м ин) к ω ( рад с ек) осу щ ествл я ю тп оф орму л е

ω=

πn . 30

(4.6)

П ри равномерном вращ ении тела ω = const , ε = 0 . В э том сл у ч аеу равнение вращ ения тела имеетвид

ϕ = ϕ0 + ω t

(4.7)

П ри равноп еременном вращ ении тела ε = const . В э том сл у ч ае

ω = ω0 + ε t и у равнениевращ ения п ринимаетвид

(4.8)

εt 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + 2

13

Задача 5. У гол п оворота диска, вращ аю щ егося оси, изменя ется согл асно у равнению

вокру г неп одвиж ной

ψ = kt 3 + π t 2 ( k - п остоя нная велич ина, ψ - в радианах, t - в секу ндах). О п ределить у гл ову ю скорость и у гл овоеу скорениедиска ч ерез 4 с ек п осл е нач ал а движ ения , есл и за п ервы е2 с ек он сделал N = 8 оборотов. Р еш ение. В ращ ение диска согл асно заданному у равнению п роисходит в одном и том денап равл ении. П оэ тому мож но сч итать

ϕ = ψ = kt 3 + πt 2 С огл асно(4.5), имеем

16π = 8k + 4π , отсю да найдем

k= таким образом,

3π рад с ек3 , 2

3πt 3 ϕ= + πt 2 . 2

И сп ол ьзу я (4.2) и (4.3), п ол у ч им 9πt 2 ω= + 2πt ; 2

ε = 9πt + 2π .

В моментвремени t = 4 с ек имеем

ω t =4с ек = 80π рад с ек , Задача

ε

t = 4 с ек

= 38π рад с ек

2

Г ребной винт су дна, имевший у гл ову ю скорость ω 0 = 20π рад с ек , останавл ивается ч ерез 20 с ек всл едствие соп ротивл ения воды и трения в п одшип никах. С ч итая вращ ение винта равноп еременны м, оп ределитьу гл овоеу скорениеи ч исл о оборотов винта доостановки. 6.

Р еш ение. Т ак как вращ ениевинта я вл я ется равноп еременны м, то п ол ьзу емся ф орму л ами (4.8) и (4.9). П риня в ϕ 0 = 0 , имеем ω = ω 0 + εt ; В соответствии с у сл овия ми задач и п ол у ч им

0 = ω 0 + εT

,

εt 2 ϕ = ω 0T + , 2

εt 2 ϕ = ω0t + . 2

14

где T - время вращ ения винта до остановки. О тсю да найдё м

ε =−

ω0 2 = −π рад с ек ; T

ϕ=

ω0 t = 200π рад . 2

Т ак как в п роцессевращ ения ω и ε имею тразны езнаки, то вращ ение я вл я ется равнозамедл енны м.

N=

Д оостановки винтсделал

ϕ = 100 оборотов. 2π

§5.С кор ости и ускор е н и еточе к те ла, вр ащающе гося вокр уг не подви ж н ой оси . В елич ину скорости точ ки тела, отстоя щ ей отоси вращ ения на расстоя нии h , оп ределя ю тп оф орму л е

υ = ωh У скорение л ю бой точ ки тела равно центростремительногои вращ ательного у скорений:

(5.1) геометрич еской

w = wц + w в р ,

су мме

(5.2)

где

wц = ω 2 h   wв р = ε h 

(5.3)

ц

В ектор w всегда нап равл ен п о п ерп ендику л я ру к оси вращ ения (в сторону вр

оси), вектор w нап равл ен п о касательной к траектории точ ки в ту ж е сторону , ч то и скорость, есл и вращ ениетела у скоренное, и в обратну ю , есл и оно замедл енное. В елич ину у скорения находя тп оф орму л е

w = h ε 2 + ω4 О стры й у гол меж ду w и w равен α = arctg ц

(5.4)

ε ω2

(5.5)

15

Задача 7. Ротор турбины вращ ается равноу скоренно из состоя ния п окоя таким образом, ч то его точ ка M, отстоя щ ая отоси вращ ения на расстоя ние0,4 2 метра, имеетв некоторой моменту скорениеw , равноеп о велич ине40 м с ек и нап равл енноеп од у гл ом 30 0 к радиу су . О п ределить у равнениевращ ение ротора, а такж евелич ины скорости и центростремительного у скорения точ ки в моментt = 5 с ек .

Р еш ение. Зная велич ину и нап равл ениеу скорения точ ки М в некоторы й моментвремени t , найдем вращ ательноеи центростремител ьноеу скорениеп о

wц = ω 2 h = w cos(30 o ) ф орму л ам

wв р = ε h = w sin(30 o )

В ы разим теп ерь у гл ову ю скорость и

w cos(30 o ) w sin(30 o ) ≈ 9,07 рад / с ε = = 50 рад / с 2 h h П оскол ьку вращ ение ротора равноу скоренное из состоя ния п окоя то закон у гл овое у скорение ω =

εt 2 движ ения таков: ϕ = , а вел ич ина у гл овой скорости в л ю бой момент 2 времени вы раж ается ф орму л ой ω = ϕ& = εt . П ри t = 5 ω = 250 рад / с , а скорость точ ки М равна

υ = ω h = 100 м / с и центростремительное

у скорениеw = ω h = 25000 м / с ц

2

2 ц 2 О твет: ϕ = 25t , υ = 100 м с ек , w = 25000 м с ек .

§6.У р авн е н и я дви ж е н и я и скор ости точе к плоской фи гур ы . У равнения ми движ ения п л оской ф игу ры в неп одвиж ной системекоординатя вл я ю тся

x0 = x0 (t )   y 0 = y 0 (t ) ϕ = ϕ (t ) 

(6.1)

гдеx 0 и у0 - координаты п роизвол ьной точ ки O, п риня той за п ол ю с; ϕ - у гол меж ду неп одвиж ной осью O1 x и осью Ox ' , неизменносвя занной с ф игу рой (см. рис. 3) У равнениедвиж ения л ю бой точ ки п л оской ф игу ры имею твид

16

x = x0 + x' cos ϕ − y ' sin ϕ   y = y 0 + x' sin ϕ + y ' cos ϕ  (6.2) '

'

где x , y - координаты э той точ ки в системе, скреп л енной с ф игу рой. С корости дву х л ю бы х точ ек п л оской ф игу ры O и A свя заны меж ду собой зависимостью (рис. 4)

υ A = υ O + υ AO

(6.3)

υ AO = ω × OA

вращ ательная скорость точ ки A относительно O, п ерп ендику л я рно отрезку О А в сторону вращ ения ф игу ры вел ич ине

υ AO = ω ⋅ OA

(6.4) нап равл енная и равная п о (6.5)

В э тих ф орму л ах ω естьмгновенная у гл овая скоростьп л оской ф игу ры . Е сл и за п ол ю с О п риня ть мгновенны й центр скоростей P, т. е. точ ку , скорость которой в данны й моментравна ну л ю , то скорость л ю бой точ ки A бу детп ерп ендику л я рна к отрезку PA, нап равл ена в сторону вращ ения ф игу ры и равна п о велич ине

υ A = ω ⋅ PA

(6.6)

Т аким образом,

υ A = ω × PA

(6.7) Д л я нахож дения мгновенного центра скоростей достаточ но знать нап равл ения скоростей дву х каких-л ибо точ ек п л оской ф игу ры : мгновенны й центр скоростей находится на п ересечении п ерп ендику л я ров, восставл енны х из данны х точ ек к нап равл ения м их скоростей. Е сл и э ти п ерп ендику л я ры сл иваю тся в один, то дл я нахож дения мгновенного центра скоростей надо доп ол нител ьно знатьвел ич ины скоростей. М гновенны й центр находится в э том сл у ч аев точ кеп ересечения общ его п ерп ендику л я ра и п ря мой, соединя ю щ ей концы векторов скоростей. Е сл и ж е п ерп ендику л я ры п арал л ельны , то мгновенного центра несу щ еству ет. В э том сл у ч аеω = 0 , а скорости всех точ ек п л оской ф игу ры одинаковы п овелич инеи п о нап равл ению . Е сл и п л оская ф игу ра, огранич енная некоторы м конту ром, катится без скол ьж ения п о дру гому неп одвиж ному контуру , то точ ка их соп рикосновения в данны й момент, я вл я ется мгновенны м центром скоростей э той ф игу ры . И меетместо теорема: п роекции скоростей дву х точ ек п л оской ф игу ры на п ря му ю , соединя ю щ у ю э ти точ ки, равны меж ду собой, т.е.

пр AB υ A = пр AB υ B

(6.8)

П роекции вектора υ на оси, свя занны ес ф игу рой, оп ределя ю тп оф орму л ам

17

υ x ' = υ ox ' − ωy '  ' υ y ' = υ oy ' + ωy Задача 8. Кривошип OA механизма, п оказанного на рис. 5, вращ ается с у гл овой скоростью ω 0 . О п ределить скорости точ ек B и C, у гл ову ю скорость 0 звена BD в том п ол ож ении механизма, когда α = 30 0 , β = 60 , а шатун BC занимает вертикал ьное п ол ож ение. П риня тьOA=OB= a ; BD= a 3 . Р еш ение. М еханизм соверш ает п л оскоп арал л ел ьное движ ение. В еду щ им звеном, движ ение которого задано, я вл я ется кривошип OA , соверш аю щ ий вращ ение вокру г оси O . О п ределим скорость конца кривошип а, т.е. скорость точ ки A . И меем

υ = ω 0 ⋅ OA = ω 0 a В ектор υ A п ерп ендику л я рен к OA и нап равл ен в сторону вращ ения кривошип а. П рейдё м к звену AB . Н айдё м скорость B. нап равл ен точ ки В ектор υ B п ерп ендику л я рно BD, так как точ ка B п ринадл еж ит одновременно и звену BD, котороемож етвращ аться вокру г точ ки D . М гновенны й центр скоростей звена AB находится в точ ке P п ересечения п ерп ендику л я ров к υ A и υ B . И з ∆ABP находим

BP =

a a 3 AP = ; . 2 2

П оф орму л е(6.6) имеем

υ A = ω AB ⋅ PA , О тку да

υA = 2ω 0 . AP П ол ьзу я сьэ той ж еф орму л ой, оп ределим υ B = ω AB ⋅ BP = ω 0 a 3 . П ерейдё м к звену BD. Зная скоростьточ ки B , найдё м ω AB =

18

υB = ω0 . BD Д ал еерассмотрим движ ениезвена BC . И сп ол ьзу ю теорему о п роекция х ω BD =

скоростей дву х точ ек, п ол у ч им

3 2

прBC υ B = прBC υ C = υC , отсю да υ C = υ B cos 30 0 = aω 0 . Н ап равл ения скоростей υ B и υ C п оказаны на рис. §7.У скор е н и еточе к плоской фи гур ы . У скорениедву х л ю бы х точ ек п л оской ф игу ры A и B свя заны меж ду собой соотнош ением (рис. 6) ц

пр

w B = w A + w BA + w BA

(7.1)

ц BA

где w - центростремительное B у скорение точ ки нап равл еноотB к A п ол инии BA и п о велич инеравно ц = ω 2 ⋅ BA ; wBA

ω - мгновенная у гл овая скорость п л оской ф игу ры ;

(7.2) пр

w BA

- вращ ательное

у скорениеточ ки B п о отнош ению к точ ке A ; оно п ерп ендику л я рно к BA и нап равл ено в сторону вращ ения ф игу ры , есл и э то вращ ениеу скоренное, и в обратну ю сторону , есл и оно замедл енное. В елич ину э того у скорения оп ределя ю тп оф орму л е пр wBA = ε BA ,

(7.3)

гдеε - мгновенноеу гл овоеу скорениеп л оской ф игу ры . Е сл и известен мгновенны й центр у скорений, то есть точ ка Q , у скорение которой в данны й момент равно ну л ю , то у скорение точ ки A находя т п о ф орму л е ц

пр

w A = w AQ + w AQ ,

(7.4)

п рич ё м

w A = AQ ε 2 + ω 2 Е сл и в некоторы й моментизвестно у скорениеточ ки

(7.5)

A , а такж евелич ины

19

ω и ε , то дл я нахож дения Q сл еду ет п оверну ть вектор ω A в нап равл ении вращ ения ф игу ры , есл и оно у скоренное(и в обратном – есл и замедл енное), на остры й у гол α , оп ределя емы й ф орму л ой

α = arctg

ε ω2

(7.6)

Н а п ол у ч енной п ол у п ря мой сл еду етотл ож итьотрезок

AQ =

ωA ε 2 +ω4

(7.7)

Конец Q э того отрезка и бу детмгновенны м центром у скорений в данны й момент. П роекции у скорений w на оси, свя занны ес ф игу рой, имею твид

wx ' = wox' − εy ' − w 2 x '   w y ' = wox' + εx ' − w 2 y '   Задач и на оп ределениеу скорений точ ек п л оской ф игу ры мож но разделить на 4 основны хтип а. Задачи ти па I. И звест н ы (ил и м о гут бы т ь н айден ы ) уск о р ен ие к ак о йл ибо т о чк и A и м гн о вен н ая угл о вая ск о р о ст ь ω в л ю бо й м о м ен т вр ем ен и. Тр ебует ся о пр едел ит ь м гн о вен н о е угл о во е уск о р ен ие ε и уск о р ен ие л ю бо й др уго й т о чк и B пл о ск о й фигур ы . П оскол ьку известна зависимость ω от t , то ε находя т п у тём п ростого диф ф еренцирования ω . В елич ины неизвестны х составл я ю щ их искомого вектора wB находя тсогл асно (7.2) и (7.3). П осл еэ того п о (7.1) оп ределя ю тwB . В елич ину w B у добнеевсего находить п у тём п роектирования (7.1) на взаимно ортогонал ьны енап равл ения . Задача 9. (р и с 7.) Ц ентр кол еса, которое катится п о накл онной п л оскости без скол ьж ения , движ ется п о закону

s = 4 t 2 + 16 ( t - в секу ндах, s - в сантиметрах). О п ределить у скорение точ ки касания кол еса с п л оскостью в момент t =2сек, есл и радиу с кол еса R =16см. Р еш ение. Т ак как центр кол еса O движ ется п ря мол инейно, то его скорость и у скорение находя т п о ф орму л ам

20

υ0 =

ds dυ = 8t ; w0 = 0 = 8 П ри t = 2с ек υ 0 = 16 с м с ек ; w0 = 8 с м с ек 2 . dt dt

В виду отсу тствия скол ьж ения мгновенны й центр скоростей находится в точ ке касания кол еса с п л оскостью . С л едовательно, мгновенну ю у гл ову ю скорость ω п ол у ч им п о ф орму л е

ω=

υ0 t = OP 2

то есть она п редставл я етсобой известну ю ф у нкцию времени. Д иф ф еренциру я ω п овремени найдё м

ε=

dω 1 = dt 2

И так, в рассматриваемы й момент

рад 1 рад . ;ε= с ек 2 с ек 2

ω =1

О п ределим у скорениеточ ки P . И меем ц

где ц

w PO П рич ё м ω

вр

w P = wO + w PO + w PO ,

ц PO

t = 2 с ек

= ω 2 ⋅ OP = 16 с м с ек ,

нап равл еноотP к O , а вр

w PO

t = 2 с ек

= ε ⋅ OP = 8 с м с ек

2

Т ак как кол есо вращ ается у скоренно ( ε и ω одного знака), то вращ ательное вр

у скорение w PO нап равл ено п ерп ендику л я рно к PO в сторону ф игу ры вокру г п ол ю са O . вр

w PO + wO = 0 , сл едовательно, ц

w P = w PO , 2 тоесть wP = 16 с м с ек .

В ектор wP нап равл ен к центру кол еса O . Задачи ти па II. В н ек о т о р ы й м о м ен т вр ем ен и извест н ы вел ичин а и н апр авл ен ие уск о р ен ия к ак о й-л ибо т о чк и A пл о ск о й фигур ы , м гн о вен н ая угл о вая ск о р о ст ь ω и пр ям ая, вдо л ь к о т о р о й н апр авл ен о уск о р ен ие др уго й т о чк и B . Опр едел ит ь угл о во е уск о р ен ие фигур ы и уск о р ен ие т о чк и B (а зат ем и л ю бо й др уго й т о чк и фигур ы ) в р ассм ат р иваем ы й м о м ен т вр ем ен и.

21

Е сл и п ря мая , п ерп ендику л я рна к

А

по которой нап равл ено у скорение w В , не В , то ω А и ω могу тбы ть заданы п роизвол ьно. Е сл и

w А ⊥ А В , то задач а мож етиметь решениел ишь тол ько в том сл у ч ае, когда у гол меж ду w А и А В нетуп ой и п ри нал ич ии оп ределенной зависимости меж ду w A и w . Д л я решения задач и тип а II сл еду етвекторноеравенство (7.1) сп роектироватьна ось, п ерп ендику л я рну ю к w . В п равой ч асти э тогоравенства ц

два п ервы х вектора ( w А и w В А ) известны и п о велич ине, и п о нап равл ению . вр

В ектор w В А п ерп ендику л я рен к А В , но нап равл ениеэ того вектора неизвестно. О но обы ч но у казы вается п редп ол ож ительно. П ри п роектировании (7.1) п ол у ч им, таким образом, одно скал я рное у равнение, из которого находится вр

вел ич ина w В А . Е сл и э та велич ина окаж ется отрицательной, то э то бу дет вр

у казы ватьна то, ч топ редп ол агаемоенап равл ениевектора w В А п ротивоп ол ож но вр

действительному . Зная w В А , находим ε , а п роектированием (7.1) на п ря му ю , п о которой нап равл ен вектор w В , находим велич ину и нап равл ение (п о знаку п роекции) вектора w В . Зная w А , ω и ε , мож но п о (7.1) оп ределить у скорение вр

л ю бой точ ки С . П ри э том сл еду етиметьв виду , ч то вектор w СА ориентирован вр

п оотношению к A так ж е, как и w В А . Задача 10. Кол енч аты й вал (рис. 8а) вращ ается с у гл овой скоростью ω 0 и у гл овы м у скорением ε 0 . О п ределитьу скорениеп оршня B и у гл овоеу скорение шатуна AB п ри крайнем верхнем и крайнем п равом п ол ож ения х моты л я OA , есл и дл ина моты л я r ,а дл ина шатуна l .

Р еш

22

ение. В еду щ им звеном механизма я вл я ется моты л ь ОА . Д виж ение его задано. О п ределим скорость, и у скорениеточ ки А . И меем вр

ϑ A = ω0 r w A = w + w , где w A = ω02 r , w A = ε 0 r ц A

ц

вр A

Н ап равл ения э тих векторов дл я п ервого п ол ож ения механизма у казаны на рис. 8б. Рассмотрим движ ениеш атуна А В . За п ол ю с п римем точ ку скоростьи у скорениеизвестны . П о(7.1) имеем ц

вр

ц

вр

ц

А

, так как ее

вр

w B = w A + w BA + w BA = w A + w A + w BA + w BA

(f)

п рич ем п о(7.2) и (7.3)

вр = ε ⋅ AB = ε l wBA

ц wBA = ω 2 ⋅ AB = ω 2l ;

гдеω и ε - у гл овая скоростьи у гл овоеу скорениешатуна AB .

вр

ц

В ектор w BA нап равл ен от точ ки В к п ол ю су А , а вектор w BA п ерп ендику л я рно А В . Н ап равим его п редп ол ож ительно так, как п оказано на рис. 8б Т ак как мгновенны й центр скоростей ш атуна в рассматриваемом п ол ож ении механизма находится в точ кеВ , то ωr υ ω= A = 0 (g) AB l Ф орму л а (g) оп ределя ету гл ову ю скорость шатуна тол ько в данны й момент времени, соответству ю щ ий рассматриваемому п ол ож ению механизма, п оэ тому ε немож етбы ть п ол у ч ено диф ф еренцированием п о времени ω, найденного из (g). Д л я оп ределения е восп ол ьзу емся тем, ч то л иния действия искомого у скорения точ ки B известна: w B нап равл еноп оп ря мой OB . П оэ тому , п роектиру я векторноеравенство ( f ) на ось Bx , п ерп ендику л я рну ю нап равл ению w B , п ол у ч им вр wBx = 0 = − wвр A + wBA

О тсю да вр wBA = ε 0r

и, сл едовательно,

ε=

ε 0r l

Т ак как wBA > 0 , то п редп ол ож ениео нап равл ении э того вектора верно. П роектиру я равенство ( f ) на ось By , найдем п роекцию у скорения точ ки вр

В на э ту ось

r ц wBy = wцA + wBA = ω02 (1 + ) l

23

Т ак как wBy > 0 , то вектор нап равл ения оси

wB

нап равл ен в сторону п ол ож ител ьного

By .

В ел ич ина у скорения точ ки

B

в п ервом п ол ож ении механизма бу дет

r wB = ω 02 (1 + ) l Рассмотрим теп ерь крайнееп равоеп ол ож ениемоты л я (рис. 8в). О братимся снова к равенству ( f ) . Т ак как п ерп ендику л я ры к скоростя м точ ек A и В п арал л ел ьны , то у гл овая скорость ω ш ату на AB равна ну л ю и, сл едовател ьно, wBA = 0 . ц

вр

У скорение w BA = 0 , п ерп ендику л я рное AB , п редп ол ож ительно нап равим так, как п оказано на рису нке. П роектиру я ( f ) на ось Bx , п ол у ч им вр wBx = 0 = wцA − wBA cos α

отсю да ω 02 r ε= = l cos α

ω 02 r l2 − r2 вр

вр Т ак как wBA > 0 , то п редп ол ож ениео нап равл ении w BA верно. П роектиру я ( f ) на ось By, име ем

ω02 r 2

wBy = w − w sin α = ε 0 r − вр A

Е сл и ε 0 >

ω 02 r l2 − r2

вр BA

, то wBy > 0 , то естьв э том сл у ч аеw B нап равл еновниз.

В елич ина у скорения

wB

бу дет

wB = r (ε 0 − В

l2 − r2

ω 02 r l −r 2

2

)

рассматриваемы й момент п орш ень движ ется

у скоренно вниз,

так как w B и υ B совп адаю тп о нап равл ению .

ω 02 r

Е сл и ε 0 <

wB = r (

l2 − r2

ω02 r l −r 2

2

− ε0)

то w B нап равл ено вверх и п о велич инебу детравно В э том сл у ч аеп оршень движ ется вниз замедл енно, так

как w B и υ B имею тп ротивоп ол ож ны енап равл ения .

24

Задачи ти па III. В н ек о т о р ы й м о м ен т вр ем ен и извест н ы вел ичин ы и н апр авл ен ия уск о р ен ий двух т о чек А и В пл о ск о й фигур ы . Опр едел ит ь в эт о т м о м ен т м гн о вен н ую угл о вую ск о р о ст ь ω , м гн о вен н о е угл о во е уск о р ен ие ε и уск о р ен ие л ю бо й т о чк и С. Задач и э того тип а разреш имы тол ько в том сл у ч ае, когда у гол меж ду векторами BA и разностью w B − w A не я вл я ется ту п ы м. Решениезадач и осу щ ествл я ю тп у тем п роектирования (7.10) на двевзаимно п ерп ендику л я рны е оси (л у ч ш евсего на ось, нап равл енну ю п о AB , и на ось, п ерп ендику л я рну ю AB ). И з п ол у ч енны х п ри п роектировании дву х скал я рны х у равнений находя т ц wBA , из которы х оп редел я ю тε и ω . П ри э том вр мож етбы ть тол ько п ол ож ител ьной, в то время как знак wBA вр

неизвестны евел ич ины wBA и ц

вел ич ина wBA

вр

зависитотп редп ол ож ительного нап равл ения вектора w BA , так как известна л иш ьп ря мая , п о которой нап равл ен э тотвектор. Задача 11. П ол зу ны А и В , соединенны естерж нем дл иной, движ у тся вдол ь нап равл я ю щ их, которы е образу ю т меж ду собой у гол 60° (рис. 9, а). О п редел ить у скорениесередины C стерж ня в момент, когда OA = OB , есл и известно, ч то в э тотмоменту скорения точ ек А и В имею твел ич ины w A = 3w , wB = w и п оказанны ена рис. нап равл ения . Р еш ение. У сл овия разреш имости задач и вы п ол нены . Д л я оп ределения у скорения точ ки C п о ф орму л е ц

вр

wC = wA + wCA + wCA

(h) необходимо знать у гл ову ю скорость ω и у гл овоеу скорениеε стерж ня . Э ти велич ины найдё м из соотношения меж ду у скорения ми точ ек A и B: ц

вр

wB = wA +wBA +wBA

,

(i)

где

wц BA = ω2 ⋅ AB, wвр BA = ε ⋅ AB , вр

ц

п рич ё м w BA нап равл ено отВ к А, а w В А п ерп ендику л я рно к BA и п редп ол ож ительно нап равл ено так, как п оказано на рис. 9,а. П роектиру я (i) на вы бранны еоси Bx и By, п ол у ч им два скал я рны х у равнения − w B cos 60 o = − w A cos 60 o + w ц BA

О тсю да

wц BA =

wВ cos30o = −wA cos30o + wBA

w + wA wA − wB вр 3 = 2ω 3, = ω ; wВ А = B 2 2

вр

25 ц wв р BA 2ω 3 wBA ω = ω= = ; ε= . AB l l l

сл едовательно,

вр

Т ак как ε > 0, то w В А нап равл ено в действительности так, как у казанона вр рису нке. Заметим, ч товектор w В А «стремится » вращ атьф игу ру вокру г п ол ю са А п о движ ению ч асовой стрелки. О братимся к ф орму л е(h). И меем

ω ц wCA =ω2 ⋅ AC= ; wCAâð = ε ⋅ AC= ω 3. 2

ц

вр

В ектор wCA нап равл ен отС к А , а вектор wCA нап равл ен вр п ерп ендику л я рнок АС так, ч тобы он, как и вектор w BA , «стремил ся » вращ ать ф игу ру вокру г п ол ю са А п одвиж ению ч асовой стрелки (рис. 9,б). Д л я нахож дения wC п роектиру ем равенство (h) на оси Bx и By. ц

wCx = −wA cos60o + wCA = −ω;

И меем

wCy = −wA cos 30o + wв р CA = − В елич ина у скорения wC равна

wC = ω

ω 3 . 2

7 . 2

Задачи ти па IV. В н ек о т о р ы й м о м ен т вр ем ен и извест н ы м гн о вен н ая угл о вая ск о р о ст ь пл о ск о й фигур ы I, вел ичин а и н апр авл ен ие уск о р ен ия к ак о й-л ибо её т о чк и А. Н ек о т о р ая т о чк а В эт о й фигур ы о дн о вр ем ен н о пр ин адл еж ит и др уго й фигур е II, движ ущ ейся в т о й ж е пл о ск о ст и. П р и эт о м уск о р ен ие т о чк и О и м гн о вен н ая угл о вая ск о р о ст ь фигур ы II извест н ы (в част н о ст и, т о чк а О м о ж ет бы т ь и н епо движ н о й). Опр едел ит ь угл о во е уск о р ен ие фигур ы I и уск о р ен ие т о чк и В. Д л я решения задач и данного тип а сл еду ет согл асно (7.10) нап исать вы раж ениедл я у скорения точ ки B как точ ки, п ринадл еж ащ ей каж дой п л оской ф игу рев отдельности:

;  ц вр wВ = w0 + w В О + w В О. ц

wB = wА + w

вр

ВА

+w

ВА

(j)

П риравнивая п равы еч асти э тихравенств, п ол у ч им векторное у равнение, в котором известны велич ины и нап равл ения векторов w A , ц

wO ,

ц

и w BO (так как известны у гл овы ескорости отдельны хф игу р). вр Н еизвестны ми я вл я ю тся велич ины w BA и w вр BO , п ря мы еж еп о которы м

w

BA

вр

вр

нап равл ены векторы w BA и w BO , известны . П роектиру я п ол у ч енное векторноеу равнениена вы бранны еоси, бу дем иметьдва скал я рны х у равнения ,

26

из которы хнайдё м искомы е велич ины , а затем ε1 и ε2. Д л я оп ределения w B восп ол ьзу емся одной изф орму л (j). Задача 12. (рис. 10). Четы рё хзвенник расп ол ож ен в данны й моменттак, ч то звено О А занимает верхнее вертикал ьное п ол ож ение, а точ ки О , В , О 1 находя тся на одной горизонтал и. О п ределить в э том п ол ож ении у скорение точ ки B, есл и у гл овая скорость звена О А равна ω 0 , его у гл овоеу скорение

ε 0 = ω 2 0 3 ; О А=r; АВ =2r; O1B= 2r 3 .

Р еш ение. Т ак как точ ка B п ринадл еж итшатуну АВ и звену O1B, то её у скорениемож етбы тьнайденодвоя ким образом: ц

вр ВА

wB = wA + w BA + w ц

вр BO1

wB = w BO1 + w

.

П ри э том ц

  

(k)

вр

wА = w А + w А .

(l)

В э тих ф орму л ах

wц А = rω0 ; 2

w вр BA = 2 rε ;

wв р А = rε 0 ;

wц BA = ω2 ⋅ AB= 2rω2; ν ν = B = B , BO1 2r 3 2

w

ц

BO1

2

(m)

где ω и ε – соответственно мгновенная у гл овая скорость и мгновенное у гл овоеу скорениеш атуна. вр

вр

w В О1 У скорение w BA нап равл ено п ерп ендику л я рно к АВ , п ерп ендику л я рно В О 1. П редп ол ож им, ч то э ти векторы нап равл ены так как у казано на рису нке.

27

Т ак как мгновенны й центр скоростей шатуна АВ находится в точ кеО , томгновенну ю скоростьω шатуна АВ оп ределим п о ф орму л е

ω=

νA = ω0 . OA

Зная ω , найдё м скоростьточ ки В :

ν B = ω ⋅ OB = ω0 r 3, ц wц BA = 2rω 2 0 ; w BO1 =

а такж е

3 2 rω 0 . 2

И з(к) и (l) имеем вр

w

ц

BO1

+w

ц

BO1

вр

=w А +w

ц

А

+w

вр

ВА

+w

ВА

. вр

(n) вр

В э том векторном равенственеизвестны велич ины w В О1 и w В А , которы е оп ределим из дву х скал я рны х у равнений, п ол у ч аемы х п роектированием (n) на оси Bx, By. И меем

wц BO1 = −wв р А − wц В А cos300 + wв рВ А cos600 − wврBO1 = −wц A + wц BA cos600 + wврBA cos300 , отсю да вр w вр BA = 5 3rω 2 0 ; w BO1 = −

15 2 rω 0 . 2

вр

Знак «мину с п оказы вает», ч то вектор w BO1 в действительности нап равл ен в сторону , п ротивоп ол ож ну ю у казанной на рису нке. Зная w

ц BO1

иw

вр В О1

, найдё м велич ину у скорения точ ки В :

wВ = rω 2 0 57. Задача 13. К ривошип но-ш атунны й механизм соверш ает п л оскоп арал л ел ьноедвиж ениев п л оскости XOY. Закон вращ ения кривошип а OA известен ϕ (t ) = ω ⋅ t , где ω = const - у гл овая скорость вращ ения . OA = AB = a , точ ка M - середина шатуна. Н айти: 1. Закон движ ения точ ки M . 2. Т раекторию точ ки M 3. Закон движ ения п ол зу на B 4. С коростьи у скорениеточ ки 5. С коростьточ ки M дл я ч еты рё хп ол ож ений механизма π 3π ϕ= , ϕ= ϕ =π , п ри: ϕ = 0 , . 2 2 6. У гл ову ю скоростьи у гл овоеу скорениезвена AB дл я у казанны х п ол ож ений

28

7. У скорениеточ ки M дл я π 3π ϕ =0, ϕ = , ϕ =π , ϕ = . 2 2 Р еш ение. 1. И зобразим п роизвол ьное п ол ож ениемеханизма, оп ределя емоеу гл ом ϕ . О ч евидно, ч то в каж ды й момент времени вы п ол неносл еду ю щ ее векторноеравенство: OM = OA + AM (8.1) Зап ишем (8.1) в п роекция хна координатны еоси, п ол у ч им: a Ox: x = a cos ϕ + cos ϕ 2 a Oy: y = a sin ϕ − sin ϕ 2 3  x ( t ) = a cos(ωt )  2  (8.2)  y (t ) = 1 a sin(ωt )  2 Ф орму л а (8.2) п редставл я ю тсобой зап исьдвиж ения точ ки M . 2. Чтобы найти точ ку M необходимоискл ю ч итьвремя изф орму л (8.2)  2x  3a = cos( wt ) И сходя из  2 y п осл е возведё м в квадрат и сл ож ения п ол у ч им  = sin( wt )  a у равнениеэ л л ип са

x2 y2 + =1 3 2 1 2 ( a) ( a) 2 2

(8.3)

3 1 a и a , так как 0 ≤ t ≤ ∞ то точ ка M бу детдвигаться п о 2 2 у казанному э л л ип су п ротив ч асовой стрелки нач ав движ ение из точ ки с 3 координатами ( a;0) . Т раекторией я вл я ется весьэ л л ип с. 2 3. Т ак как п ол зу н B движ ется п о нап равл я ю щ им вдол ь оси Ox, то y (t ) = 0 . Чтобы найти координату x п ол зу на необходимо сп роектировать на ось Ox, сл еду ю щ ее векторное равенство OB = OA + AB . П ол у ч им, ч то дл я л ю бого t : x B = x(t ) = 2a cos(ωt ) . С л едовательно, закон движ ения точ ки B

С п ол у ося ми

29

 x(t ) = 2a cos(ωt )  (8.4).  y (t ) = 0 П ол зу н B соверш аетгармонич ескиекол ебания окол о точ ки O . 4. Чтобы найти скорость точ ки B необходимо п родиф ф еренцировать п о времени ф орму л у (8.4), п ол у ч им

υ X = x& = −2aω sin(ωt )  υ Y = y& = a

υ = υ x2 + υ y2 = 2aω sin(ωt ) В ектор скорости всегда нап равл ен вдол ьOx. Чтобы найти у скорениеточ ки B необходимодваж ды п родиф ф еренцироватьп о времени ф орму л у (8.4) п ол у ч им

wx = &x& = −2aω 2 cos(ωt )  w y = &x& = 0 w = w x2 + w 2y = 2aω cos(ωt ) В ектор у скорения всегда нап равл ен вдол ьOx, и всегда к точ кеO. 5. И скать скорость и у скорение точ ки M мож но анал огич но 4., но рассмотрим дру гой сп особ, оп ределив заоднои ω AB дл я у казанны х п ол ож ений. П ри ϕ = 0 механизм бу детрасп ол ож ен вдол ьоси Ox (см. рис. 13)

Н айдё м внач ал ескорость точ ки A , дл я у казанного п ол ож ения исходя из того, ч то точ ка A п ринадл еж иткривош ип у OA , которы й вращ ается вокру г точ ки O с п остоя нной у гл овой скоростью ω . В елич ина скорости равна υ a = ω ⋅ OA = ω ⋅ a , а нап равл ениеп оказано на рис. 13 (п ерп ендику л я рно OA в сторону вращ ения кривошип а), сл едовательно, υ a = ω ⋅ a ⋅ j . Т еп ерь рассмотрим п л оскоп арал л ел ьноедвиж ениеш атуна AB . Д л я э того звена мы знаем скорость одной точ ки A ( υ a ) и л инию , на которой л еж итскоростьдру гой точ ки B - э то осьOx. Н айдё м мгновенны й центр скоростей дл я данного п ол ож ения механизма. Д л я э того восстановим п ерп ендику л я ры в точ ках A и B л иния м, на которы х л еж ат υa скорости и

υb .

30

П ерп ендику л я ры п ересекаю тся в точ ке B . С л едовательно, э то и естьп ол ож ениемгновенного центра скоростей (М Ц С ). Знач ит, дл я рассматриваемого сл у ч ая скорости звена таковы как бу дто шату н AB вращ ается с некоторой у гл овой скоростью ω AB вокру г точ ки B (как

ω AB , так как wa Н айдё м известно, то w ω ⋅a = ω . П ол у ч им, ч то ш атун вращ ается с той ж е wa = ω AB ⋅ OA ⇒ ω AB = A = AB 2 у гл овой скоростью , ч то и кривош ип , но в обратну ю сторону . С корость точ ки a wa M оп ределим из равенства wM = ω AB ⋅ BM = ω ⋅ = . Д ействительно, раз 2 2 точ ка M в два раза бл иж еи М Ц С (точ ки B ) то и скорость у неё в два раза неп одвиж ной

оси).

меньш е. Н ап равл ениеw M п оказано на рис 14. Чтобы оп ределить у скорение точ ки M , необходимо знать сл еду ю щ ие вел ич ины : у скорениеп ол ю са ( w A ), так как за п ол ю с у добно вы брать именно точ ку A , у гл ову ю скорость звена AB ( ω AB ) и у гл овоеу скорение( ε AB ), п осл е ч его

восп ол ьзоваться

вр

ц

w M = w A + w M ( A) + w M ( A)

ф орму л ой

(8.3),

вр M ( A)

= ε AB ⋅ AM - вращ ательноеу скорениеточ ки M вокру г п ол ю са A , где w нап равл енноп ерп ендику л я рно AM . ц

2 w M ( A) = ω AB ⋅ AM - центростремительноеу скорениеточ ки M п ри вращ ении вокру г п ол ю са A . О п ределим w A как у скорение точ ки тела OA вращ аю щ егося вокру г неп одвиж ной оси O .

вр

ц

wA = wA + wA :

w вА р = ε А О А О

ц

2 2 w A = w A = −ω 2 ⋅ a ⋅ i : w A = ωOA ⋅ OA = ω ⋅ a , так как вращ ениекривошип а ц

равномерноенап равл ено к точ кеO . Чтобы оп ределить ε AB , необходимо зап исатьф орму л у (8.3) дл я точ ки B - (дл я неё нам известна л иния , на которой л еж ит у скорение – ось Ox). А затем вр

ц

п ол у ч енну ю ф орму л у w B = w A + w B ( A) + w B ( A) - зап исатьв п роекции на осьOy. вр

П ол у ч им 0 = 0 + ε AB ⋅ AB + 0 ⇒ ε AB = 0 ⇒ w M ( A) = 0 ц ц a a w M ( A) = ω AB ⋅ MA = ω ⇒ w M ( A) = −ω ⋅ i 2 2 вр

ц

2 Т аким образом, w M = w A + w M ( A) + w M ( A) = −ω ⋅ a ⋅ i − ω

a ω i = −(ω 2 + ) ai 2 2

Для

п ол ож ения

ϕ=

π 2

31

рассмотрим общ ий

сл у ч ай.

С ч итая

OA = a ,

AB = 2 ⋅ AM = b . П ол ож ение механизма изображ ено на (рис. 15) К ак и в п реды ду щ ем сл у ч ае, скорость точ ки A бу дет равна

υA = ω ⋅ a ,

υ A = −ω ⋅ a ⋅ i

нап равл ена п ерп ендику л я рно OA . О сь Ox – л иния на которой л еж ит скоростьточ ки B . П ерп ендику л я ры , восстановл енны ев точ ках A и B к скоростям п арал л ельны . С л едовательно, М Ц С дл я данного п ол ож ения механизма находится в бесконечности и ш атун AB соверш аетмгновенное п оступ ательноедвиж ение: ω AB = 0

⇒ υ A = υ B = υ M = −ω 2 ⋅ a ⋅ i . Чтобы оп ределитьу скорениеточ ки M восп ол ьзу емся п оня тием мгновенного центра вр

ц

у скорений. Н айдё м внач ал еw A = w A + w A = 0 − ω 2 ⋅ a ⋅ i . У гол α меж ду w A и ε π α = arctg ⇒ α = . С л едовател ьно, дл я всех нап равл ением на М Ц У равен 2 2 ω AB точ ек звена AB вектор у скорения составл я етс нап равл ением на М Ц У у гол 90 0 . Заметим, ч то у скорениеточ ки B л еж итна оси Ox П остроим в точ ках A и B такие л инии, которы е п одходя т к у скорения м п од α = 90 0 . у гл ом О ни п ересекаю тся в точ ке Q мгновенном центре у скорений. Т ак как 2 4 w A = AQ ⋅ ε AB + ω AB , то мож но оп ределить у гл овое у скорение звена AB п о ф орму л е

ε

2 AB

=

wA AQ

⇒ ε AB =

ω 2a b2 − a2

. Н ап равим, ε как п оказано на (рис. 16.)

32

У скорение точ ки b так как QM = , то 2

M

найдё м

wM =

п о ф орму л е w M = QM ⋅ ε AB + ω AB ;

ω 2 ab 2 b2 − a2

2

2

, а нап равл ен э тот вектор п од у гл ом

3π решениеп роводится 2 анал огич но, ч топ редл агается сделатьч итателю самостоя тельно. Д оп ол нительно рассмотрим ещ ё один сп особ оп ределения ω AB и ε AB дл я OA = a , AB = b , изобразим л ю бого п ол ож ения механизма. С ч итая п роизвол ьноеп ол ож ениемеханизма. У гол ϕ оп ределя етп овороткривошип а вокру г O . У гол ψ - оп ределя етвращ ениеш атуна AB в п л оскости xOy. Е сл и мы оп ределим ψ = ψ (t ) , то ω AB = ψ& (t ) , а ε AB = ψ&&(t ) . О ч евидно, ч тодл я л ю бого п ол ож ения механизма a sin ϕ − b cosψ = 0 (8.5) П родиф ф еренциру ем (8.5) п о времени, п ол у ч им a cos ϕϕ& a cos ϕ ⋅ ϕ& − b cosψ ⋅ψ& = 0 ⇒ ψ& = b cosψ У ч иты вая , ч то ϕ& = ω - у гл овая скорость кривошип а OA , то дл я л ю бого п ол ож ения механизма, п ри известны х у гл ах ϕ и ψ у гл овая скоростьзвена AB a cos ϕ ω оп ределя ется ф орму л ой ω AB = b cosψ П родиф ф еренциру ем (8.5) дваж ды п о времени, п ол у ч им − aϕ& sin ϕ& + a cos ϕϕ&& + bψ& sin ψψ& − b cosψψ&& = 0 a cos ϕϕ&& + bψ& 2 sinψ − a sin ϕϕ& 2 ψ&& = b cosψ У ч иты вая , ч то ϕ&& = ε OA = 0 , ϕ& = ω OA = ω , a ψ& = ω AB , то дл я заданны х у гл ов ψ&& α = 90 0 к отрезку QM . Д л я п ол ож ений ϕ = π и ϕ =

оп ределя етε AB - мгновенноеу гл овоеу скорение. 3   x(t ) = 2 a cos(ωt ) Отве т: Закон движ ения точ ки M :   y (t ) = 1 a sin(ωt )  2 2 x y2 1. Т раектория точ ки M : э л л ип с 3 2 + 1 2 = 1 ( a) ( a) 2 2  x(t ) = 2a cos(ωt ) 2. Закон движ ения п ол зу на B :   y (t ) = 0

33

υ X = x& = −2aω sin(ωt ) 4. С корость и у скорение точ ки B :  υ Y = y& = a

υ = υ x2 + υ y2 = 2aω sin(ωt )

wx = &x& = −2aω 2 cos(ωt )  w y = &x& = 0 w = wx2 + w y2 = 2aω cos(ωt ) 5.,6.,7. П ри ϕ = 0 : υ M = П ри

wM =

π : 2 ω 2 ab

ϕ=

ωa ω j , w M = −(ω 2 + )ai , ω AB = ω , ε AB = 0 2 2

OA = a ,

OB = b ,

υ M = υ A = υ B = −ωai ,

ω AB = 0 ,

, 2 b2 − a2 0 У скорениеточ ки M нап равл ено п од у гл ом α = 90 к л инии MQ (см. рис. 16) ω 2a ε AB = b2 − a2 §8. С лож н оедви ж е н и еточки . С кор ость точки в слож н ом дви ж е н ии. С коростьточ ки в сл ож ном движ ении оп ределя ю тп о ф орму л е

ν a = ν r +ν e ,

(9.1)

где

ν a - скоростьточ ки относительно у сл овнонеп одвиж ной системы отсч ё та (абсол ю тная скорость);

ν r - скоростьточ ки относительноп одвиж ной системы отсч ё та (относительная скорость);

ν e - скоростьтой точ ки п одвиж ной системы отсч ё та, ч ерез котору ю в

данны й моментп роходитрассматриваемая точ ка (п ереносная скорость). Задача 14. В кривошип но-ку л исном механизме с п оступ ательно движ у щ ейся ку л исой (рис. 18, а) кривошип О А дл иной r вращ ается с п остоя нной у гл овой скорость ω 0 и п риводитв движ ениеку л ису В В , п рорезь которой образу етс нап равл ением её п еремещ ения п остоя нны й у гол , равны й 60º . О п ределить скорость ку л исы и скорость скол ьж ения камня А в п рорези

34

ку л исы , есл и в нач ал ьны й момент времени кривошип занимал л евое горизонтал ьноеп ол ож ение. Р еш ение. Д виж ение камня А мож но изу ч ать п о отнош ению к дву м системам отсч ё та: п о отношению к неп одвиж ной системеOxy (абсол ю тное движ ение) и п о отнош ению к п одвиж ной системе O'x'y', свя занной с ку л исой (относительноедвиж ение). Абсол ю тны м движ ением камня я вл я ется его движ ение п о окру ж ности с центром в точ кеО , и, сл едовательно, абсол ю тная νa скорость нап равл ена п ерп ендику л я рно к кривошип у О А и равна п овелич инеω 0r. О тносительное движ ение – э то скол ьж ение камня п о п рорези ку л исы , п оэ тому относительная скоростьν r точ ки А нап равл ена п о ку л исе. П ереносны м движ ением камня А в данны й моментя вл я ется движ ениетой точ ки ку л исы , с которой в э тотмомент совп адает камень. Т ак как ку л иса движ ется п оступ ател ьно, то п ереносная скоростьν e п арал л ел ьна С С . П отеоремесл ож ения (9.1) имеем ν a = ν r +ν e . И з п арал л елограмма скоростей (рис. 18.б) найдё м

ν νe νr = a = , π π π sin( − ϕ) sin sin(ϕ − ) 2 3 6

отку да

νr =

2ν a cosϕ 3

=

2ω0 r 3 cosϕ ; 3

νe =

2ω0 r 3 π sin(ϕ − ). 3 6

νe =

2ω0 r 3 π sin(ω0t − ). 3 6

Т ак как

ϕ = ω0t, то

νr =

2ω0 r 3 cosω0t; 3

35

В

моменты

времени,

когда ϕ =

π + nπ , 6

имеем

ν e =0,

и,

сл едовательно, в э ти моменты ку л иса изменя етнап равл ениесвоегодвиж ения . У скор е н и еточки в слож н ом дви ж е н ии. У скорениеточ ки в сл ож ном движ ении оп ределя ю тп оф орму л е

wa = wr +we +wc ,

(9.2)

гдеwa - у скорениеточ ки относител ьно у сл овнонеп одвиж ной системы отсч ё та (абсол ю тноеу скорение);

wr - у скорениеточ ки относительноп одвиж ной системы отсч ё та (относительноеу скорение);

we - у скорениетой точ ки п одвиж ной системы отсч ё та, ч ерез котору ю в данны й моментп роходитрассматриваемая точ ка (п ереносноеу скорение);

wc - п оворотноеу скорениеил и у скорениеКориол иса, вы раж аю щ ееся ф орму л ой

wc = 2(ω e ×ν r ),

(9.3)

здесь ω e - мгновенная у гл овая скоростьп одвиж ной системы отсч ё та; ν r - относительная скоростьточ ки

Задача 15. (рис. 19). Д ана скоростьцентра диска ν o . С вя зав п одвиж ну ю систему отсч ё та с диском, найти в заф иксированны й на рису нке момент у скорения Кориол иса точ ки М и скорость п ол зу на В . Реш ениеосу щ ествить расч ё тно-граф ич еским п у тём, снимая с ч ертеж а всенеобходимы еразмеры .

36

Р еш ение. В ы бираем масш таб дл ин и скоростей. Рассматриваем движ ение точ ки М как сл ож ное: относительное п о отношению к диску и п ереносноевместес ним. Т огда

ν M =ν rM +ν eM . В ектор ν rM нап равл ен вдол ь нап равл я ю щ ей DE. В ектор ν eM нап равл ен п ерп ендику л я рно к отрезку М Р 1 в сторону вращ ения диска (Р 1 – мгновенны й центр скоростей диска). М оду л ьэ тоговектора

ν eM = ω ⋅ P1M =

ν0 ⋅ P1M OP1

найдё м, измерив всерасстоя ния и восп ол ьзовавшисьмасштабом. Т ак как точ ка М п ринадл еж ит шатуну М В , у которого мгновенны й центр скоростей находится в точ кеР 2, то абсол ю тная скоростьточ ки М дол ж на бы тьнап равл ена п ерп ендику л я рноотрезку М Р 2. Зная ν eM и нап равл ения векторов ν rM и ν M , мож но п остроить п арал л елограмм скоростей, из которого, п ол ьзу я сь масштабом, находим вел ич ины ν rM и ν M . Д л я нахож дения у скорения Кориол иса точ ки М восп ол ьзу емся ф орму л ой

wc = 2[we ×ν rM ]. Здесь we - вектор, п ерп ендику л я рны й п л оскости рису нка, нап равл енны й к ч итателю и п о велич инеравны й

we =

ν0 . OP2

Т ак как we ⊥ν rM , то

wc = 2weν rM . В ектор

wc

расп ол ож ен в

п л оскости рису нка и нап равл ен

п ерп ендику л я рно к DE. Зная абсол ю тну ю скорость ν M и расстоя ние Р 2М , находим велич ину у гл овой скорости ш атуна М В п о ф орму л е

ωMB =

νM . MP2

Т еп ерьл егконаходим моду л ьскорости ν B п ол зу на В :

ν B = ωMB ⋅ BP2 .

37

Задача 16. О кру ж ность радиу сом R=1 м вращ ается в вертикал ьной п л оскости вокру г неп одвиж ной оси О п ротив хода ч асовой стрелки п о закону ϕ = πt (t – в секу ндах; ϕ - в радианах), гдеϕ - у гол , составл я емы й диаметром окру ж ности О А с горизонтал ьной п ря мой (рис. 20, а). П о окру ж ности из точ ки О движ ется точ ка М п о ходу ч асовой стрелки согл асно у равнению s=πt (t – в секу ндах; s – в метрах). О п ределить абсол ю тное у скорение точ ки в моменты времени t1=

1 с ек и t2=1 с ек. 2

Р еш ение. Т оч ка М соверш аетсл ож ное движ ение. С вя ж ем п одвиж ну ю систему координатс окру ж ностью . Т огда движ ение точ ки М по окру ж ности бу дет относительны м. П ереносны м движ ением точ ки в данны й момент я вл я ется движ ение той точ ки окру ж ности, ч ерез котору ю в э тот момент п роходитточ ка М . Н айдё м п ол ож ениеточ ки М в у казанны е у сл овия ми задач и моменты времени: П ри t1=

1 π с ек s1= м ; 2 2

П ри t2=1 с ек

s2= π м.

С л едовательно, к моменту t1=

1 2

с ек

точ ка М п ройдё тч етверть окру ж ности, а к моменту t2=1с ек – п ол овину окру ж ности от нач ал ьного п ол ож ения . Д л я э тих моментов времени у гол п оворота окру ж ности бу дет π равен соответственно и π (рис. 20, б,в). 2 С огл асно(9.2) имеем

wa = wr + we + wc . О п ределим снач ал а относительноеу скорениеw r :

wr = wrτ + wrn , гдекасательноеу скорение

wrτ = а нормал ьное

dv d 2 S = 2 dt dt

(с)

38 2

wrn =

vr = π 2 м / с ек2 , R

так как относительная скорость

vr =

ds = π м /с ек. dt

Т аким образом, относительноеу скорениев л ю бой моментвремени нап равл енок центру окру ж ности и п о велич инеравно

ωr = π 2 м /с ек2. Н айдё м п ереносноеу скорениеточ ки М . Т ак как п ереносноедвиж ение вращ ательное, то, сл едовател ьно, вр

we = w

ц

e

+ w e,

здесь

wв р e = ε е ⋅ ОМ ;

wц e = ω 2 e ⋅ OM,

гдеО М – расстоя ниеотточ ки М до оси вращ ения окру ж ности; ω e и ε e у гл овая скоростьи у гл овоеу скорениевращ аю щ ейся окру ж ности. И меем

OM t =t = 2м ; 1

OM t =t = 2м . 2

У гл овая скорость ω e и у гл овоеу скорениеε e соответственноравны :

ωe = ϕ& = π

рад = const; с ек

ε e =ϕ&& = 0,

таким образом,

we = wц e = ω 2 e ⋅ OM. В момент t1=

1 с ек 2

we1 = π 2 2 м / с ек 2 , в моментt2=1с ек wе 2 = 2π 2 м / с ек 2 .

у скорениеwе1 и wе 2 нап равл ены к оси О . Н айдё м теп ерьу скорениеК ориол иса п о (9.3). В ектор у гл овой скорости ω е п ерп ендику л я рен к п л оскости рису нка и нап равл ен к ч итателю . О тносительная скорость

v

r

нап равл ена п о касательной к окру ж ности в сторону движ ения

ч асовой стрелки. С л едовательно, у гол меж ду векторами момент движ ения равен

ωе

и v

r

в л ю бой

π . П оэ тому в обоих сл у ч ая х велич ина у скорения 2

Кориол иса

π wc1 = wc2 = 2ωevr sin = 2π 2 м / с ек2 . 2 Н ап равл ения вектора wс в моменты времени t1 и t2 п оказаны на рису нках. Д л я оп ределения wa п рименим метод п роекций. П роектиру я п раву ю и л еву ю ч асти векторногоравенства (с) на вы бранны еоси координат, п ол у ч им

39

дл я t=t1

2 = π 2 − 2π 2 + π 2 = 0; 2 2 way = −we1 = −π 2 . 2

wax = wr1 − wc1 + we1

О тсю да видно, ч то

wa t =t = π 2 м / с ек2 1

и вектор w a

t = t1

нап равл ен вниз.

П ри t=t2 всевекторы у скорений нап равл ены п о одной п ря мой, сл едовательно,

wa t =t = wr 2 + we2 − wc 2 = π 2 + 2π 2 − 2π 2 = π 2 м / с ек2 . 2

В ектор wa

t =t 2

нап равл ен вп раво.

40

§9. К он тр ольн ы евопр осы для самопр ове р ки остаточн ы хзн ан и й. 1. К акиесп особы оп исания движ ения точ ки вы знаете. 2. Д айте оп ределение вектора скорости точ ки, ал гебраич еской скорости. 3. К ак свя заны векторскорости и ал гебраич еская скоростьточ ки. 4. Н ап ишите ф орму л у разл ож ения вектора у скорения п о ося м естественного трёхгранника. 5. К акиеп ростейшиевиды движ ения твё рдоготела вы знаете. 6. Н ап ишитеф орму л ы Э йл ера дл я скорости и у скорения п ри вращ ё нии тела вокру г неп одвиж ной оси. 7. К омбинацией, каких п ростейших движ ений я вл я ется п л оскоп арал л ельноедвиж ениетвё рдого тела. 8. Чтотакоемгновенны й центр скоростей (М .Ц .С .) 9. С ф орму л иру йтесп особ нахож дения М .Ц .С . 10. Н ап ишите ф орму л у дл я п оиска скорости точ ки, п ринадл еж ащ ей тел у , соверш аю щ ему п л оско п арал л ельноедвиж ение. 11. Чтотакоемгновенны й центр у скорение. 12. С ф орму л иру йтесп особ нахож дения мгновенногоцентра у скорения . 13. Н ап ишитеф орму л у дл я п оиска мгновенного центра у скорения точ ки, п ринадл еж ащ ей тел у , соверш аю щ ему п л оско п арал л ельное движ ение. 14. Чтотакоесл ож ноедвиж ениеточ ки. 15. Д айтеоп ределениеабсол ю тного, п ереносного, относительного движ ений. 16.Д айтеоп ределениеабсол ю тной, п ереносной, относительной скорости. 17. Зап ишитетеорему о сл ож ении скорости. 18. Д айтеоп ределениеабсол ю тного, п ереносного, относительногои кориол исова у скорений. 19. Зап ишитетеорему о сл ож ении у скорений. 20.К огда

wкор = 0.

41

§10. Задан и я заче тн ой кон тр ольн ой р аб оты . [4] Задан и е1. Плоскопар алле льн оедви ж е н ие . Н айти дл я заданного п ол ож ения механизма скорости и у скорения точ ек В и С , а такж е у гл ову ю скорость и у гл овое у скорение звена, которому э ти точ ки п ринадл еж ат. С хема механизма п омещ ена на рису нке, а необходимы едл я расч ета данны еп риведены в табл ице. Размеры , см Н омер ωО А ωI εО А 2 VA aA 2 варианта р ад /с р ад /с р ад /с см/с см/с О А r АВ АС 1 40 15 --- 8 2 --2 ----2 30 15 --- 8 3 --2 ----3 --50 --- --------50 100 4 35 ----- 45 4 --8 ----5 25 ----- 20 1 --1 --- --6 40 15 --- 6 1 1 0 ----7 35 --75 60 5 --10 ----8 ----20 10 ------40 20 9 ----45 30 ------20 10 10 25 --80 20 1 --2 ----11 ----30 15 ------10 0 12 ----30 20 ------20 20 13 25 --55 40 2 --4 ----14 45 15 --8 3 12 0 ----15 40 15 --- 8 1 --1 ----16 55 20 --2 --5 ----17 --30 --- 10 ------80 50 18 10 --10 5 2 --6 ----19 20 15 --- 10 1 2,5 0 ----20 ----20 6 ------10 15 21 30 --60 15 3 --8 ----22 35 --60 40 4 --10 ----23 ----60 20 ------5 --24 25 --35 15 2 --3 ----25 20 --70 20 1 --2 ----26 20 15 --- 10 2 1,2 0 ----27 --15 --- 5 ------60 30 28 20 --50 25 1 --1 ----29 12 --35 15 4 --6 ----30 40 ----- 20 5 --10 -----

42

П р им ечан ие. ωО А и εО А - у гл овая скоростьи у гл овоеу скорение кривошип а О А п ри заданном п ол ож ении механизма; ωI — у гл овая скорость кол еса I (п остоя нная ); VA и aA — скоростьи у скорениеточ ки А . К ач ениекол ес п роисходитбез скол ьж ения .

43

44

45

Пр и ме р вы полн е н и я задан и я. Кин е мати че ски й ан али з плоского ме хан и зма. Дан о: схема механизма в заданном п ол ож ении (рис. 21); исходны еданны е (табл . 2).

Т абл ица 2. О А 10

Размеры , см АВ 60

АС 20

ωOA, рад/ с

ε OA, рад/ с 2

1,5

2

Ре ше н ие . 1. Определение с корос тейточек иугловойс корос тизв ена (рис . 22). В ы ч исл я ем моду л ьскорости п ал ьца А кривошип а О А п ри заданном п ол ож ении механизма:

46

v A = ωOA ⋅ OA. С корость точ ки А п ерп ендику л я рна кривош ип у OA. С корость п ол зу на В нап равл ена п о вертикал и. М гновенны й центр скоростей PAB шатуна Ф И находится в точ кеп ересеч ения п ерп ендику л я ров, п роведё нны х из точ ек A и В к их скоростям. У гл овая скоростьзвена АВ

ωAB = va / APAB . М оду л и скорости точ ек В и С

vB = ω AB ⋅ BPAB ; vC = ω AB ⋅ CPAB . Расстоя ния А Р А В , В Р А В и СР А В оп ределя ю тся из рассмотрения треугол ьников А В Р А В иА СР А В : А Р А В =52,0 см; В Р А В =30,0; СР А В =36,1 см. В соответствии с э тим va = 15.0с м / с ; ω AB = 0.29 рад / с ; v B = 8,7с м / с ; vC = 10.5с м / с . В ектор v C нап равл ен п ерп ендику л я рно отрезку CPAB в сторону , соответству ю щ у ю нап равл ению вращ ения звена АВ . Д л я п роверки оп ределим скорость точ ки В дру гим сп особом. В осп ол ьзу емся теоремой о равенстве п роекции скоростей точ ек на ось, п роведё нну ю ч ерезэ ти точ ки. Н ап равим осьx вдол ьшатуна АВ в нап равл ении отВ к А. И меем v A cos( v A , x ) = v B cos( v B , x ), ил и, как видноиз рис. 22,

v A cos60o = vB cos30o . О тсю да vB = 8.7с м . П ол езно у бедится , ч то и найденная ранеескорость точ ки С у довл етворя ет э той теореме.

2. О п ределение у скорений точ ек и у гл ового у скорения звена (рис. 23). У скорение точ ки А скл ады вается из вращ ательного и центростремительного у скорений:

aA = a

ц

B A

+ a A ; a B A = ε OA ⋅ OA;

a ц A = ω 2 OA ⋅ OA. С огл аснотеоремеоб у скорения х точ ек п л оской ф игу ры ,

aB = a A + a ил и

B AB

+a

ц AB

,

47

aB = a

ц

B

+a A +a

B

+a

ц

.

(1) Ц ентростремительноеу скорениеточ ки В во вращ ательном движ ении шатуна АВ вокру г п ол ю са А A

AB

AB

aц AB = ω 2 AB ⋅ AB.

П оп риведё нны м ф орму л ам вы ч исл я ем:

a B A = 20,0с м / с 2 ; aц A = 22,5с м / с 2 ; aц AB = 5,0с м / с 2 . ц

B

В ектор a A нап равл ен отА к О . В ектор a A п ерп ендику л я рен вектору a нап равл ен п ротивоп ол ож ноν A (вращ ениекривошип а О А - замедл енное). В ектор a

ц AB

ц A

и

нап равл ен отВ к А. Что касается у скорения a B точ ки В и

вращ ательного у скорения a

B AB

, то известны тол ько л инии действия э тих B

векторов: a B - п о вертикал и вдол ь нап равл я ю щ их п ол зу на, a AB п ерп ендику л я рнок АВ . Зададимся п роизвол ьно их нап равл ения ми п о у казанны м л иния м (рис. 23,а). Э ти у скорения оп ределим из у равнений п роекций векторного равенства (1) на оси координат. Знак в ответе п оказы вает, соответству ет л и истинное нап равл ениевектора п риня тому п ри расч ё те. В ы брав нап равл ениеосей x и y, как п оказано на (рис. 23,а), п ол у ч аем: aB cos30o = −a B A cos60o + a öA cos30o + a öAB ; (2)

aB cos60o = a A cos30o + a öA cos60o + a B AB . B

И з у равнения (2) находим

(3)

a B = 16 .7 с м / с . 2

У скорениеa B нап равл ено, как п оказано на (рис. 23,а). B 2 И з у равнения (3) п ол у ч аем a AB = −20,2с м / с . B

Н ап равл ениеa AB п ротивоп ол ож но п оказанному на (рис. 23,а). У скорениеa B и всеего составл я ю щ иес у ч ё том их истинны х нап равл ений и масш таба п оказаны (рис.23,б).

У гл овоеу скорениеш атуна АВ с у ч ё том того, ч то здесь a B AB - ал гебраич еская вел ич ина, оп ределя ется п о ф орму л е

48

ε AB = a B AB / AB. В ы ч исл я я , находим

ε AB = 0,34 рад/ с 2 . B

Н ап равл ение у скорения a AB относительно п ол ю са А оп ределя ет нап равл ение у гл ового у скорения ε AB. Здесь п од нап равл ением у гл ового у скорения п онимается нап равл ениеду говой стрелки, котороеп ри у скоренном вращ ении звена совп адаетс нап равл ением его вращ ения , а п ри замедл енном – п ротивоп ол ож но ему . В данном сл у ч ае у гл овое у скорение п ротивоп ол ож но нап равл ению вращ ения шатуна. B

О п ределить a B и a AB мож но и граф ич ески – п остроением многоу гол ьника у скорений. О тл ож им из точ ки В согл асно (1) в вы бранном масштабеп осл едовательно векторы

a

B A

, aц

A

и a

ц AB

(рис.23, в). Через конец вектора a B

ц AB

п роведё м

п ря му ю , п арал л ел ьну ю вращ ател ьному у скорению a AB , т.е. п ерп ендику л я рно АВ , до п ересечения её с п ря мой, п окоторой нап равл еноу скорениеa B . П осл еднее оп ределя ется как замы каю щ ая сторона многоу гол ьника у скорений. М оду л и a B и a B AB могу тбы тьнайдены измерением на ч ертеж е. О п ределя ем у скорениеточ ки С :

aC = a

B A

+a

ц A

+a

B AC

+a

ц AC

.

В ращ ательноеи центростремительноеу скорениеточ ки С во вращ ательном движ ении АВ вокру г п ол ю са А.

a B AC = ε AB ⋅ AC; aц AC = ω 2 AB ⋅ AC, ил и

a

B

AC

=6,8с м /с 2; a

ц

AC

= 1,7с м / с 2 .

B

ö

В ектор a AC п ерп ендику л я рен вектору a AC и нап равл ен соответственно у гл овому у скорению ε AB . У скорениеточ ки С находим сп особом п роекций (рис.23,а):

aCx = a ц AC + a ц A cos 30o − a B A cos 60o ,

aC y = a ц A cos 60o + a B A cos 30o − a B AC , aC = (aC x ) 2 + ( aC y ) 2 . aC x

В резу л ьтатевы ч исл ений п ол у ч аем = 11,2с м / с 2 ; aC y = 21,8с м / с 2 ;

aС = 24,5с м / с 2 (рис.23,г).

49

П риведё м решение э той ж е задач и дру гим, бол ееобщ им методом. Н а рис.24 п оказана схема механизма в некотором п роизвол ьном п ол ож ении. П роведё м оси координат. У равнения ми свя зи дл я данного механизма я вл я ю тся у сл овия

r B = OA + AB

(4)

( r B - радиу с-вектор точ ки В , п роведё нны й из центра О ),

x B = a = const.

(5)

П роециру я (4) на осьx, с у ч ё том (5) имеем

− OA ⋅ sin α + AB ⋅ sin β = a. (6) Д л я оп ределения у гл овой скорости звена АВ ω AB = β& и у гл ового у скорения ε AB = β&& нет необходимости вы раж ать β из (6). П рощ е неп осредственно дваж ды п родиф ф еренцировать(6). И мея в виду , ч то α& = ω OA , п ол у ч аем диф ф еренцирования

в

резу л ьтате п ервого

− OA ⋅ cos α ⋅ ωOA + AB ⋅ cos β ⋅ ω AB = 0.

(7)

О тсю да

ω AB = ω OA ⋅ OA cos α /( AB ⋅ cos β ).

(8)

Д иф ф еренциру я (7) и у ч иты вая , ч то ω& OA = ε OA , имеем

OA ⋅ sin α ⋅ ω 2 OA − OA ⋅ cos α ⋅ ε OA − AB ⋅ sin β ⋅ ω 2 AB + AB ⋅ cos β ⋅ ε AB = 0; ε AB = ω 2 AB tgβ + OA(ε OA cos α − ω 2 OA sin α ) /( AB ⋅ cos β ). (9) В ы раж ения (8) и (9) п озвол я ю твы ч исл я ть ω AB и ε AB дл я л ю бого п ол ож ения o o механизма, в ч астности дл я заданного (α = 0 , β = 30 ). Заметим, ч то ω OA и ε OA входя тв э ти вы раж ения со знаком «+» ил и «-» в соответствии с п риня ты м нап равл ением отсч ё та у гл а α . В данном сл у ч ае ωOA =1,5 рад/с ,, ε AB =-2,0 рад/с 2. С мы сл знаков ω AB и ε AB оп ределя ется нап равл ением отсч ё та у гл а β . М оду л ьскорости точ ки В v B = y& B . М оду л ьу скорения a B = &y&B . П роециру я (4) на осьy, п ол у ч аем

y B = OA ⋅ cosα + AB ⋅ cos β . О тсю да п осл едиф ф еренцирования п ол у ч аем

y& B = −OA ⋅ sin α ⋅ ω OA − AB ⋅ sin β ⋅ ω AB ;

&y&B = −OA ⋅ cos α ⋅ ω 2 OA − OA ⋅ sin α ⋅ ε OA − AB ⋅ cos β ⋅ ω 2 AB − AB ⋅ sin β ⋅ ε AB . Д л я оп ределения скорости и у скорения точ ки С сл еду ет составить у равнения её движ ения в координатной ф орме, п роециру я радиу с-вектор

r C = OA + AC на оси x и y.

50

Задан и е2. О пр е де ле н и еаб солютн ой скор ости и аб солютн ого ускор е н ия точки . Т оч ка M движ ется относительно тела D. П о заданны м у равнения м относител ьного движ ения точ ки М и движ ения тел а D оп редел ить дл я момента времени t=t1 абсол ю тну ю скорость и абсол ю тноеу скорениеточ ки М . С хема механизма п оказана на рису нке, а необходимы е дл я расч ета данны еп риведены в табл ице. У равнение относительного Н омер вариан движ ения .точ ки М OM=Sr=Sr(t) см та 1 2 3 4 5

18sin(πt/4) 20sin(πt) 6t3 10sin(πt/6) 40πcos(πt/6)

6

---

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

20cos(2πt) 6(t+0,5t2) 10(1+sin(2πt)) 20πcos(πt/4) 25sin(πt/3) 15πt3/8 120πt2 3+14sin(πt) 5√2(t2+t) 20sin(πt) 8t3+2t t3+10t 4t3+6t 30πcos(πt/6) 25π(t+t2) 10πsin(πt/4)

У равнения движ ения тела

R, а см α град t1 c см ϕe=ϕe(t) xe=xe рад (t) см

2t3-t2 0,4t2+t 2t+0,5t2 0,6t2 3t-0,5t3

----------3t+ --0,27t3 0,5t2 --t3-5t --2 4t+1,6t --2 1,2t-t --2t2-0,5t --5t-4t2 --2 8t -3t --4t-2t2 --3 0,2t +t --t-0,5t2 --0,5t2 --2 8t-t --2 t+3t --6t+t2 --2 2t-4t --2 4t-0,2t ---

2

/з 5 /з 2 1 2

--20 ----30

25 --30 -----

------60 ---

/з 15

---

---

--- 40 --- ----- --20 20 --- 25 30 30 40 ----- ----- 60 --- 20 --- 4√5 --- --40 --60 --25 --30 ---

60 30 ----------30 45 ----60 ---------

10 3

/8 2 1 /8 4 /з 4 2 1 /3 2 /3 2 1 /3 1 2 2 3 1/2 2

/3

Д оп ол ните л ьны е данны е

ϕr=0,15πt3

51

23

6πt2

---

---

1

18

---

---

24 25 26

75π(0,1t+0,3t3) 15sin(πt/3) 8cos(πt/2)

2t-0,3t2 10t-0,1t2 -2πt2

-------

1 30 5 --3 /2 ---

-------

----45

27

---

---

50t2

2

75

---

---

28

2,5πt2

2 t3-5t

---

2

40

---

---

29

5πt3/4

---

30

4πt2

---

2

30

---

---

t3+4t 2

48

---

---

---

ϕ=πt3/6; O1O=O2 A=20см

ϕr=5πt3/48 ϕ=πt3/8; O1O=O2 A=40см

Пр и ме чан и я: Д л я каж дого варианта п ол ож ение точ ки М на схеме соответству етп ол ож ител ьному знач ению s r ;в вариантах 5, 10, 12, 13, 20— 24, 28 — 30 OM=sr — ду га окру ж ности; на схемах 5, 10, 12, 21, 24 ОМ — ду га, соответству ю щ ая -меньш ему централ ьному у гл у . О тносител ьноедвиж ениеточ ки М в вариантах 6 и 27 и движ ение тел а D в вариантах 23 и 29 оп редел я ю тся у равнения ми, п риведенны ми в п осл еднем стол бцетабл ицы . И ндекс “r” у казы вает на относител ьноедвиж ение, “e” – на п ереносное.

52

53

54

55

Пр и ме р вы полн е н и я задан и я. Дан о: схема механизма (рис. 25), s r = OM = 16 − 8 cos 3πt с м ; ϕ Ñ = 0,9t 2 − 9t 3 рад; t1 = 2 / 9 с . Р еш ение. Бу дем сч итать, ч то в заданны й момент времени п л оскостьч ертеж а (рис. 25) совп адаетс п л оскостью треугол ьника D. П ол ож ениеточ ки М на теле D оп ределя ется расстоя нием s r = OM . П ри t = 2 / 9

sr = 16 − 8 cos(3π ⋅ 2 / 9) = 20,0с м

Абсол ю тну ю скоростьточ ки М найдё м как геометрич еску ю су мму относительной и п ереносной скоростей: v = v r + v e . М оду л ьотносительной скорости vr = vr , гдеvr = dsr / dt = 24π sin 3πt. П ри t = 2 / 9

vr = 65,2с м / с ; vr = 65,2с м / с . r

П ол ож ительны й знак у vr п оказы вает, ч товектор v r нап равл ен в сторону возрастания sr. М оду л ьп ереносной скорости

ve = Rω e

(1)

56

гдеR – радиу с окру ж ности L, которой в данны й моментсовп адает

оп исы ваемой той точ кой тела, с точ ка М

R = sr sin 30 o = 10,0с м ; ω e - моду л ьу гл овой скорости тела:

ωe = ωe ; ωe = dϕ e / dt = 1,8t − 27t 2 . п ри t=2/9

ωe = −0,93 рад / с ;

ωe = 0,93 рад / с .

О трицательны й знак у вел ич ины ωe п оказы вает, ч то вращ ение треугол ьника п роисходитвокру г оси Oz в сторону , обратну ю нап равл ению отсч ё та у гл а φ. П оэ тому вектор ω e нап равл ен п ооси Oz вниз(рис.26,а). М оду л ьп ереносной скорости, п оф орму л е(1),

ve = 9,3с м / с . В ектор v e нап равл ен п о касательной к окру ж ности L в сторону вращ ения тела. Т ак как v e и v r взаимно п ерп ендику л я рны , моду л ьабсол ю тной скорости точ ки М

v = v 2 r + v 2 e , ил и v = 65,9с м / с . Абсол ю тноеу скорениеточ ки равногеометрич еской су мме относительного, п ереносного и кориол исова у скорений:

r r r r a = a r + ae + ac ,

ил и в развё рну том виде

r r r r r r a = arτ + arn + a в р e + a ц e + aс .

М оду л ьотносител ьного касательного у скорения

a rτ = a rτ , где

a rτ = d 2 s r / dt 2 = 72π 2 cos 3πt.

57

П ри t = 2 9 с

arτ = −355с м / с 2 ; arτ = 355с м / с 2 . r О трицательны й знак a rτ п оказы вает, ч то вектор a rτ нап равл ен в сторону отрицательны хзнач ений sr. Знаки vr и a rτ одинаковы ; сл едовательно, относительноедвиж ениеточ ки М у скоренное. О тносительноенормал ьноеу скорение

a rn = v 2 r / p = 0, так как траектория относительногодвиж ения – п ря мая (p=∞ ). М оду л ьп ереносного вращ ательного у скорения

ae = Rε e , B

(2)

гдеε e = ε e - моду л ьу гл ового у скорения тела D:

ε e = d 2ϕ e / dt 2 = 1,8 − 54t. П ри t = 2 9 с

ε e = −10,2 рад / с 2 ;

ε e = 10,2 рад / с 2 .

Знаки ε e и ωe одинаковы ; сл едовательно, вращ ениетреугол ьника D r r у скоренное, нап равл ения векторов ω e и ε e совп адаю т(рис. 26, а, б). С огл асно(2),

a B e = 102с м / с 2 .

r r В ектор a B e нап равл ен в ту ж есторону , ч то и ve . М оду л ьп ереносного центростремительного у скорения 2 ц a ц е = Rω 2 e ил и a е = 9с м / с . r В ектор a ц е нап равл ен к центру окру ж ности L. Кориол исово у скорение

r r r ac = 2ω e × v r .

М оду л ькориол исова у скорения

r r ac = 2ω e vr sin(ωe , vr ), где

r r sin(ω e , v r ) = sin 150 o = 0,5.

С у ч ё том найденны х вы шезнач ений ω e и vr п ол у ч аем

r

ac = 61с м / с 2 .

В ектор a c нап равл ен согл асноп равил у векторногоп роизведения (рис. 26, б). М оду л ьабсол ю тного у скорения точ ки М находим сп особом п роекций:

a x = a B e + a c ; a y = −a ц e − arτ cos 60o ;

a z = − a rτ cos 30 o ; a = a 2 x + a 2 y + a 2 z .

58

Резу л ьтаты расч ё та сведены в табл . 3 Т абл ица 3 ωe ,

εe,

С корость, см/с

рад/с2 -10,2

vr рад/с ve v -0,93 9,3 65,2 65,9

У скорение, см/с2 a ец

9

a ев р

102

a rn

0

а rτ

ac

ax

ay

-355 61 163 -186

az

308

59

§11. С пи сок задач для самостояте льн ой р аб оты [2]. Н омера: 10.2, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15. 11.2, 11.4, 11.9. 12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.10, 12.18, 12.19, 12.22, 12.23. 13.1, 13.2, 13.4, 13.5, 13.6, 13.13, 13.14, 13.15, 13.18. 14.14, 14.18. 15.3, 15.4, 15.5. 16.1, 16.2, 16.3, 16.4, 16.7, 16.9, 16.10, 16.15, 16.19, 16.20, 16.21, 16.29, 16.31, 16.38, 16.39 18.1, 18.2, 18.8, 18.9, 18.12, 18.18, 18.22, 18.23, 18.28, 18.29, 18.31, 18.32, 18.33, 18.34, 18.37, 18.38, 18.40. 22.1, 22.5, 22.10, 22.12, 22.17, 22.26. 23.1, 23.5, 23.7, 23.9, 23.14, 23.27, 23.28, 23.29, 23.32, 23.33, 23.34, 23.36, 23.37, 23.38, 23.41, 23.43, 23.44, 23.71.

60

§12. О сн овн ы ефор мулы ки н е мати ки

x = x (t ) ; y = y (t ) ;

закон движ ения точ ки в декартовой системекоординат

z = z (t ) υx =

dz dy dx = y& ; υ z = = z& υ = υ x2 + υ y2 + υ z2 = x& ; υ y = dt dt dt

wx =

dυ dυ x dυ = &x& ; wy = y = &y& ; wz = z = &z& ; w = wx2 + w y2 + wz2 у скорениеточ ки dt dt dt

скоростьточ ки

нап равл я ю щ иекосину сы векторов скорости и у скорения cos(υ , xˆ ) =

υy υx υ  cos(υ , yˆ ) = cos(υ , zˆ ) = z  υ υ υ

cos(w, xˆ ) =

wy wx w  cos(w , yˆ ) = cos(w , zˆ ) = z  w w w

У равнения годограф а скорости в п араметрич еском виде: x1 = υ x = x& ; y1 = υ y = y& ; z1 = υ z = z& ; О п ределениерадиу са кривизны траектории 1. υ x = x& , υ y = y& , υ z

= z& , υ = υ x2 + υ y2 + υ z2 ;

dυ ; dt 2 2 2 3. wx = &x& , w y = &y& , wz = &z& , w = wx + w y + wz ; 2. wτ =

2 2 4. wn = w − wτ

υ2 5. ρ = wn У равнениевращ ения тела вокру г неп одвиж ной оси У гл овая скорость ω и у гл овоеу скорениеε

υ = ωh

ϕ = ϕ (t )

dϕ ω= dt

моду л ьскорости точ ки вращ аю щ егося тела

dω d 2ϕ ε= = 2 dt dt

61

w = wц + w в р ,

wц = ω 2 h   wв р = ε h 

у скорениеточ ки вращ аю щ егося тела

С вя зь меж ду скоростями дву х точ ек тела п ри п л оскоп арал л ельном движ ении

υ A = υ O + υ AO где υ AO = ω × OA ф орму л а Э йл ера. пр AB υ A = пр AB υ B С вя зьмеж ду у скорения ми дву х точ ек тела п ри п л оскоп арал л ельном движ ении

w B = w A + w BA + w BA где w BA = ω ⋅ BA ц

пр

ц

2

пр w BA = ε BA

С коростьточ ки в сл ож ном движ ении оп ределя ю тп о ф орму л еν a = ν r +ν e , где

ν a - скоростьточ ки относительно у сл овнонеп одвиж ной системы отсч ё та (абсол ю тная скорость); ν r - скоростьточ ки относительноп одвиж ной системы отсч ё та (относительная скорость);

ν e - скоростьтой точ ки п одвиж ной системы отсч ё та, ч ерез котору ю в данны й моментп роходитрассматриваемая точ ка (п ереносная скорость).

У скорениеточ ки в сл ож ном движ ении

wa = wr +we +wc ,

гдеwa - у скорениеточ ки относител ьно у сл овнонеп одвиж ной системы отсч ё та (абсол ю тноеу скорение);

wr - у скорениеточ ки относительноп одвиж ной системы отсч ё та (относительноеу скорение);

we - у скорениетой точ ки п одвиж ной системы отсч ё та, ч ерез котору ю в данны й моментп роходитрассматриваемая точ ка (п ереносноеу скорение);

wc - п оворотноеу скорениеил и у скорениеКориол иса, wc = 2(ω e ×ν r ), здесь ω e - мгновенная у гл овая скорость п одвиж ной системы отсч ё та;

ν r - относительная скоростьточ ки

62

Ли те р атур а Ос новнаялитература 1. Т арг С . М . Краткий ку рс теоретич еской механики : у ч еб. дл я студ. вту зов / С . М . Т арг. - 12-еизд., стер. - М . : В ы сш. шк., 2002. – 416 с. 2. М ещ ерский И .В . Задач и п о теоретич еской механике: у ч еб. п особиедл я студ. ву зов, обу ч . п о техн. сп ециал ьностям / И . В . М ещ ерский; п од ред. В . А. П ал ьмова, Д . Р. М еркина. - С П б. : Л ань, 2004. – 447 с. 3. Я бл онский А. А. К у рс теоретич еской механики : у ч еб. п особиедл я студ. ву зов, обу ч . п о техн. сп ециал ьностям / А. А. Я бл онский, В . М . Н икиф орова.8-еизд., стер. - С П б. : Л ань, 2001. – 763 с. Дополнительнаялитература 4. С борник заданий дл я ку рсовы х работп о теоретич еской механике: у ч еб. п особиедл я студ. втузов / А. А. Я бл онский [и др.]. - М . : И нтеграл -П ресс, 2004. – 382 с. 5. БатьМ .И . Т еоретич еская механика в п римерах и задач ах : у ч еб. п особие дл я студ. вту зов : в 3 т. / М . И . Бать, Г . Ю . Д ж анелидзе, А. С . Кельзон.- М . : Н ау ка, 1990. - Т .1 : С татика и кинематика. – 670 с. 6. К раткий сп равоч ник дл я инж енеров и студентов. В ы сш ая математика. Ф изика. Т еоретич еская механика. С оп ротивл ение материал ов / А. Д . П ол я нин [и др.] - М . : М еж ду нар. п рогр. образования , 1996. – 431с. 7. Бу хгол ьц Н .Н . О сновной ку рс теоретич еской механики : у ч еб. дл я гос. у н-тов / Н .Н . Бу хгол ьц; в п ереработкеи с доп . С .М . Т арга. — М . : Н ау ка, 1972. - Ч. 1 : Кинематика, статика, динамика материал ьной точ ки. – 467 с.

63

С оставители: Чеботарев Андрей С ергеевич Щ егл ова Ю л ия Д митриевна Редактор Т ихомирова О .А.