Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионально...
26 downloads
209 Views
625KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е.Р.Ляликова, Л.И.Спинко
Несобственные интегралы
Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета РГУ отделений «Математика» и «Механика»
г. Ростов-на-Дону 2004
Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 7 от 9 марта 2004 года.
3
Методическая разработка по теме «Несобственные интегралы» содержит базовый материал для проведения лабораторных занятий на втором курсе механико-математического факультета РГУ по специальностям «Математика» и «Механика». Она также содержит основные теоретические факты, необходимые для решения рассматриваемых задач.
1 Исследование сходимости несобственных интегралов по определению и их вычисление Определение 1. Если f -- локально интегрируемая функция на [a; b) и t
существует конечный предел
∫ f ( x) dx = L ,
lim
то говорят, что функ-
t → b, t < b a
ция f интегрируема на [a; b) в несобственном смысле, а величину L обоb
значают символом
∫ f ( x) dx
и называют сходящимся несобственным инте-
a
гралом. Сформулируем основные свойства несобственных интегралов. 1.1
f ∈ ℜ[a; b), g ∈ ℜ[a; b), λ , µ ∈ R1 , то λ f + µ g ∈ ℜ[a; b) и
Если b
b
b
a
a
a
∫ (λ f ( x) + µ g ( x)) dx = λ ∫ f ( x) dx + µ ∫ g ( x) dx .
1.2
Если f -- локально интегрируемая функция на [a; b) и c ∈ [a; b) , то
f ∈ ℜ[a; b) ⇔ f ∈ ℜ[c; b) , при этом
f ∈ ℜ[a; b) , то
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .
b
lim
∫ f ( x) dx = 0 .
1.3
Если
1.4
Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
Пусть
t → b, t < b t
f : [a; b) → R1 , b -- единственная особая точка f на
[a; b) . Для то-
b
го , чтобы
∫ f ( x) dx
a
сходился необходимо и достаточно, чтобы
4
∀ε > 0 ∃b0 = b0 (ε ) ∈ [a; b) :
t ′′
∫ f ( x) dx < ε ,
t′
∀t ′, t ′′ ∈ (b0 ; b) .
1.5 Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегра-
лов Пусть f : [a; b) → R1 , b -- единственная особая точка f на [a; b) и на [a; b) функция f имеет первообразную F (x) такую, что существует конечный предел lim F ( x) . Тогда f ∈ ℜ[a; b) и x → b, x < b b
F ( x) − F (a ) . ∫ f ( x) dx = x →lim b, x < b
a
1.6 Замена переменных в несобственном интеграле Пусть f : [a; b) → R1 , f -непрерывная функция на [a; b) . Пусть ϕ :[α ; β ) → [a; b) , причем а) ϕ (t ) -- непрерывно дифференцируемая на [α ; β ) функция; б) ϕ (t ) -- строго монотонная функция на [α ; β ) ; в) ϕ (α ) = a, lim ϕ (t ) = b . t→β
β
b
Тогда интегралы
∫ f ( x) dx , ∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ ′(t ) dt
сходятся или расходятся од-
α
a
новременно и, в случае сходимости они равны.
1.7 Интегрирование по частям в несобственном интеграле Пусть u ( x), v( x) -- непрерывно дифференцируемые функции на [a; b) и существует конечный предел lim u ( x) ⋅ v( x) = E . Если один из несобстb
венных интегралов
x → b, x < b b
∫ u ′( x) ⋅ v( x) dx, ∫ u ( x) ⋅ v′( x) dx
a
сходится, то сходится и
a
второй, и справедливо равенство b b b b ′ u ( x ) ⋅ v ( x ) dx = u ( x ) ⋅ v ( x ) − ∫ u ′( x ) ⋅ v( x) dx , где u ( x)v( x) = E − u (a )v(a) . ∫ a a a a
5
Перейдем к решению задач, в которых требуется исследовать несобственный интеграл на сходимость и, в случае сходимости вычислить его. +∞
∫
e x dx
. 2x 1 + e 0 ex ∈ C ([0;+∞)) ( f -- частное двух непрерывных на R Функция f ( x) = 1 + e2x функций). Следовательно x = +∞ -- единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла имеем:
Пример 1.
+∞
e x dx
t
e x dx
t
d (e x )
xt lim = = arctg e ∫ x 2 t → +∞ 2 x t → +∞ ∫ 2 x t → +∞ ∫ 0 1 1 1 ( ) + + + e e e 0 0 0 π π π π = lim (arctg e t − ) = − = ∈ R . 4 2 4 4 t → +∞
= lim
= lim
Следовательно, исходный интеграл сходится по определению. π
Пример 2.
2
cos x
∫3
dx . sin x 0 cos x ⎛ π ⎞ Функция f ( x) = ∈ C ⎜ (0; ] ⎟ , в точке x = 0 f ( x) не определена, 3 sin x ⎝ 2 ⎠ причем lim f ( x ) = +∞ . Следовательно, функция f (x) не ограничена в праx → +0
восторонней окрестности точки x = 0 , а потому точка x = 0 -- единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла π
π
2
2
cos x
∫3
π
cos x
2
dx = lim ∫ (sin x) dx = lim ∫ 3 sin x 0 t t → +0 t → + x sin 0 t ⎛3 3 2 ⎞ 3 = lim ⎜⎜ − sin 3 t ⎟⎟ = ∈ R . t → +0⎝ 2 2 ⎠ 2
−1
3 d (sin x ) =
2π 3 lim (sin x) 3 2 = t t → +0 2
Следовательно, исходный интеграл сходится по определению. +∞
Пример 3.
∫ x sin x dx .
0
6
Функция f ( x) = x sin x ∈ C ([0;+∞ ) ) , следовательно, x = +∞ единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла +∞
∫ x sin x dx = lim
∫ x sin x dx =
t → +∞ 0
0
u=x
t
du = dx
dv = sin x dx v = − cos x
=
⎞ ⎛ t t ⎜ = lim − x cos x + ∫ cos x dx ⎟ = lim (−t cos t + sin t ) . ⎟ t → +∞ 0 0 t → +∞⎜ ⎠ ⎝ Здесь мы использовали теорему I.7 об интегрировании по частям несобственного интеграла. Так как последний предел не существует, то по определению несобственный интеграл расходится. +∞
dx . ( x + 1 ) x 1 1 ∈ C ([1;+∞) ) , следовательно, x = +∞ единственная Функция f ( x) = ( x + 1) x особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла
Пример 4.
∫
+∞
t x=z dx dx lim ∫ = ∫ ( x + 1) x = t → +∞ 1 ( x + 1) x x = z2 1 t
dx = 2 zdz
x=t → z = t
x =1→ z =1
=
π⎞ π ⎛ = 2 lim ⎜ arctg t − ⎟ = . 4⎠ 2 t → +∞ 1 ( z 2 + 1) ⋅ z t → +∞⎝
= lim 2 ∫
z dz
Здесь мы применили теорему I.6 о замене переменной (заметим, что все условия этой теоремы выполнены).
Упражнения Исследовать на сходимость и в случае сходимости вычислить следующие несобственные интегралы: 1 1.
∫
0
arctgx x2
1 3
dx
2.
∫3
x dx
0 1 − 3x
+∞
3.
∫
dx
2 3 x x −1
+∞ 4.
∫
dx
2 e x ⋅ ln x
7
1 5.
∫3
x dx
6.
3
0 x −1
∫
∫ ln x dx
10.
0
2
dx 2
0 x + 2x + 2
+∞
1 9.
π
+∞
2
∫
1
dx 2
x +x−2
cos x
∫
7.
3
1 8.
dx
−π
sin x
+∞
(arctgx) p
2
∫
11.
0
1+ x
2
∫
e x dx
x 0 e −1
e
dx
12.
∫
dx
1 x ln
p
.
x
2 Несобственные интегралы от неотрицательных функций 2.1 Первый признак сравнения (непредельная форма признака сравнения) Пусть f : [a; b) → R1 , g : [a; b) → R1 , 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x) ∀x ∈ [a; b) , и пусть b -единственная особая точка f и g на [a; b) . Тогда b
а) если
∫ g ( x) dx
b
сходится, то
a b
б) если
∫ f ( x) dx
сходится;
a
b
∫ f ( x) dx
расходится, то
a
∫ g ( x) dx
расходится.
a
2.2 Второй признак сравнения (предельная форма признака сравнения) Пусть f : [a; b) → R1 , g : [a; b) → R1 , b --единственная особая точка f и g на [a; b) . Если f (x) и g (x ) сохраняет знак в окрестности точки b f ( x) = γ , γ ∈ (0;+∞) , то несобственные интеграи существует предел lim x →b g ( x) b
лы
∫ f ( x) dx
b
и
a
∫ g ( x) dx
сходятся или расходятся одновременно.
a
2.3 Следствие Если в условиях второго признака сравнения f ( x) ~ g ( x ) , то есть x→ b
f ( x) = 1 , то указанные несобственные интегралы сходятся или расхоx →b g ( x) дятся одновременно. lim
8
На практике применение признаков сравнения часто приводит изучение сходимости рассматриваемого интеграла к эталонным несобственным интегралам, о которых известно следующее: +∞
∫
dx
сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
α 1 x b dx
∫
α a (b − x)
сходится при α < 1 и расходится при α ≥ 1.
Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов. +∞
∫
Пример 1.
arctg 5 x x +1
0
f ( x) =
Функция
arctg 5 x
f ( x) =
arctg x 3
x +1
=
∈ C ([0;+∞) ) , следовательно, x = +∞ -- единствен-
3
x +1 f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [0;+∞) .
ная особая точка. 5
dx
3
5
arctg x 3 x2
⋅ 1+
3 Так как α = > 1 , то 2
~ 1 x → +∞
x3
(π2 )5 = g ( x) . 3
x2
+∞
∫ g ( x) dx
сходится, а, следовательно, по признаку
1
сравнения в предельной форме исходный интеграл сходится.
+∞
∫
Пример 2.
2 x ⋅ tg
1
dx x 5 0 1 Функция f ( x) = 2 x ⋅ tg ∈ C ([0;+∞) ) , следовательно, x = +∞ -- единствен5x ная особая точка. f ( x) > 0, ∀x ∈ [0;+∞) . x
⎛ 2⎞ f ( x) = 2 ⋅ tg ~ ⎜ ⎟ = g ( x) . 5 x x → +∞⎝ 5 ⎠ x
1
9
Исследуем на сходимость интеграл от функции g (x) по определению. +∞
x
(52 )x t =
x
t
⎛ 2⎞ ⎛2⎞ lim ∫ ⎜ ⎟ dx = lim ∫ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ dx = t → t → +∞ ln 2 0 +∞ 0 ⎝ 5 ⎠ 0 5
⎛ ⎛ 2 ⎞t ⎞ ⎜ lim ⎜ ⎟ − 1⎟ = − log 2 e ∈ R , 2 ⎟ ln t → +∞⎜⎝ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎠ 5 1
+∞
∫ g ( x) dx
следовательно,
сходится по определению, тогда по признаку
1
+∞
сравнения в предельной форме
∫ f ( x) dx
сходится.
1
1
Пример 3
∫
ln x
01 − x
2
dx ln x
∈ C ((0;1) ) , в точках x = 0 и x = 1 функция не оп1 − x2 ределена. Исследуем поведение функции в односторонних окрестностях этих точек: Функция
f ( x) =
x −1 1 ⎛0⎞ = ⎜ ⎟ = lim = − , то есть в ле2 x →1− 0 x →1− 0 1 − x 2 ⎝ 0 ⎠ x →1− 0 − ( x − 1)( x + 1) восторонней окрестности x = 1 функция ограничена, следовательно, x = 1 - не является особой точкой.
1)
2)
lim f ( x ) = lim
ln x
lim f ( x ) = −∞ . Поэтому в окрестности(правосторонней) точки x = 0
x → +0
функция не ограничена, а значит x = 0 --особая точка функции f (x) на (0;1] . Так как f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ (0;1] , то рассмотрим функцию − f (x) . α
1 ⎛1⎞ 0 ≤ − f ( x) = − ~ ln < ⎜ ⎟ , где α --любое положительное число. 1 − x 2 x → +0 x ⎝ x ⎠ Чтобы применить признак сравнения в непредельной форме, выберем ln x
1 0 < α < 1 , например α = , тогда 2
g ( x) =
1 1 x2
1
и
∫ g ( x) dx
сходится,
0
1
тогда по признаку сравнения в непредельной форме сходится
1
∫ ln x dx ,
0
а по
10
1
признаку сравнения в предельной форме сходится
∫ − f ( x) dx ,
а, следова-
0
1
∫ f ( x) dx .
тельно, и
0
+∞
dx
∫
Пример 4.
0
f ( x) =
Функция
x + x3 1 x+x
∈ C ((0;+∞) ) . В точке x = 0 функция не опреде-
3
1
lim f ( x) = lim
лена. Рассмотрим
x → +0
3
x → +0
= +∞ . Следовательно, в
x+x правосторонней окрестности точки x = 0 функция не ограничена, а это значит, что x = 0 -- особая точка. Следовательно, интеграл имеет две особые точки: x = 0 и x = +∞ . Представим исходный интеграл в виде суммы: +∞
∫
0
1
dx x+x
3
=∫
0
dx x+x
1
Пусть
3
+
dx
I1 = ∫
+∞
∫
1
и
3
x+x Исследуем сходимость I1 : 0
f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ (0;1]
dx x+x I2 =
+∞
dx
∫
3
.
x+x x = 0 --единственная особая точка, 1
1
f ( x) =
и
.
3
x+x
3
1
=
1 x 1 + x 2 x →0 x 2
∫ g ( x) dx
0
∫ f ( x) dx
сравнения в предельной форме
сходится.
0
Исследуем сходимость I 2 :
x+x
3
=
1 3 x2
= g ( x) .
сходится. Следовательно, по признаку 1
1
1
1
1 Так как α = < 1 , то 2
f ( x) =
~
f ( x) > 0 ∀x ∈ [1;+∞) . ~
1
1 x → +∞ 32 1+ x 2 x
= ϕ ( x) .
11
3 Так как α = > 1 , то 2 +∞
+∞
∫ ϕ ( x) dx
1
∫ f ( x) dx
предельной форме
сходится. Тогда по признаку сравнения в
сходится. Учитывая все эти рассуждения,
1
получим, что исходный интеграл сходится как сумма двух сходящихся интегралов.
+∞
cos10 x Пример 5. ∫ x x + 3 dx . 1 cos10 x Функция f ( x) = ∈ C ([1;+∞) ) , поэтому x = +∞ -- единственная осоx x +3 f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [1;+∞) , бая точка. cos10 x = f ( x) = x x +3
Так как
cos10 x 3⎛ 3 x 2 ⎜1 + 3 ⎜ x 2 ⎝
3 α = > 1 , то 2
~
cos10 x
⎞ x → +∞ x 3 2 ⎟ ⎟ ⎠
1
≤ x
3
= g ( x) . 2
+∞
∫ g ( x) dx -сходится, следовательно,
1
сравнения в непредельной форме сходится
+∞
∫
1
знаку сравнения в предельной форме сходится
cos10 x x
3
по признаку
dx . А значит по при-
2
+∞
∫ f ( x) dx .
1 1
Пример 6.
Функция
∫
dx x
0 e − cos x
f ( x) =
1 x
.
∈ C ((0;1]), она не определена при x = 0 и
e − cos x lim f ( x ) = +∞ , следовательно x = 0 --единственная особая точка.
x → +0
f ( x) > 0 ∀x ∈ (0;1] ,
12
f ( x) =
1 e x − cos x
=
1 1 1 = ~ = g ( x) . 1 + x − 1 + o( x) ⎛ o ( x ) ⎞ x → +0 x x ⎜1 + ⎟ x ⎠ ⎝
Здесь мы применили разложение по формуле Тейлора функций e x , cos x . 1
α = 1 , то
Так как
∫ g ( x) dx - расходится, поэтому по признаку сравнения в
0
1
∫ f ( x) dx .
предельной форме расходится
0
+∞
x +1 − x
∫
Пример 7.
x +2
1
f ( x) =
Функция
особая точка. f ( x) =
x +1 − x 4 3
∈ C ([1;+∞) ) , поэтому x = +∞ -- единственная
x +2 f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [1;+∞) и
x +1 − x 4 3
x +2
=
4 3
x +2⋅
(
= x
Так как α =
dx .
4 3
5 > 1 , то 4
+∞
1
3
x +1 + x
4
)
=
1 1 1 ~ ⋅ = g ( x) 2 1 ⎛ 1 ⎞ x→+∞ 2 x 5 4 4 1+ ⋅ ⋅ ⎜⎜ 1 + + 1⎟⎟ x ⎠ x3 x 2 ⎝
∫ g ( x) dx --сходится, следовательно, по признаку
1
сравнения в предельной форме сходится
+∞
∫ f ( x) dx .
1
+∞
∫
Пример 8.
1
Функция делена и
1 1 ⋅ sin dx . x x −1
1 1 ⋅ sin ∈ C ((1;+∞) ) , в точке x = 1 функция не опреx x −1 lim f ( x ) = +∞ . Следовательно, x = 1 и x = +∞ -- особые точки. f ( x) =
x →1+ 0
13
Представим исходный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов: +∞
∫
1
2 +∞ 1 1 1 1 1 1 ⋅ sin dx = ∫ ⋅ sin dx + ∫ ⋅ sin dx x x x x −1 1 x −1 2 x −1 2
1 1 ⋅ sin dx и Пусть I1 = ∫ x 1 x −1
I2 =
+∞
∫
2
1 1 ⋅ sin dx . x x −1
x = 1 -- единственная особая точка, 1 1 1 f ( x) > 0 ∀x ∈ (1;2] , так как ≤ < 1 и поэтому sin > 0 , 2 x x 1 1 sin 1 1 , то есть . Так как f ( x) = ⋅ sin ~ g ( x ) = 1 x x →1 ( x − 1) 12 x −1 ( x − 1) 2
Исследуем сходимость I1 :
2 1 α = < 1 , то ∫ g ( x) dx -сходится, а по признаку сравнения в предельной 2 1 форме I1 -сходится.
Исследуем сходимость I 2 : x = +∞ - единственная особая точка, f ( x) > 0 ∀x ∈ [2;+∞) , 1 1 1 1 1 ⋅ sin = ⋅ sin ~ = g ( x) . f ( x) = x x → +∞ x 3 2 x 1 x −1 x ⋅ 1− x +∞ 3 Так как α = > 1 , то ∫ g ( x) dx --сходится, поэтому по признаку сравнения в 2 2 предельной форме I 2 сходится. Тогда исходный интеграл сходится как сумма двух сходящихся интегралов.
+∞
Пример 9.
∫
1
Функция
f ( x) =
ln x 4
x −x
dx .
ln x 4
x −x
∈ C ((1;+∞) ) , в точке x = 1 функция не определе-
14
на, но
ln x 1 x −1 ⎛0⎞ lim f ( x ) = ⎜ ⎟ = lim = lim = 0. x →1+ 0 ⎝ 0 ⎠ x →1+ 0 x( x − 1)( x 2 + x + 1) 3 x →1+ 0 x − 1
Значит, x = 1 не является особой точкой, и x = +∞ -- единственная особая точка. f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [1;+∞) (в точке x = 1 функция доопределена по закону непрерывности).
f ( x) =
ln x 4
x −x
=
ln x
~
ln x
1 x → +∞ x 2 x ⋅ 1− x3 2
<
x x2
1
= x
3
= g ( x) . 2
+∞ 3 Так как α = > 1 , то ∫ g ( x) dx --сходится. Тогда по признаку сравнения в 2 1 +∞ ln x dx , который влечет за собой в силу непредельной форме сходится ∫ 2 x 1 +∞
признака сравнения в предельной форме сходимость
∫ f ( x) dx .
1 + ∞ sin
Пример 10.
∫
2
1 ⋅ cos 2 x x dx . x ⋅ ln x
1 sin ⋅ cos 2 x x ∈ C ([2;+∞) ), поэтому x = +∞ -единственная Функция f ( x) = x ⋅ ln x 1 1 1 особая точка. f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [2;+∞) , так как 0 < ≤ и поэтому sin > 0 . x x 2 1 sin ⋅ cos 2 x cos 2 x 1 x f ( x) = ~ < = g ( x) . x ⋅ ln x x → +∞ x 3 2 ⋅ ln x x 3 2
+∞ 3 Так как α = > 1 , то ∫ g ( x) dx --сходится. Тогда по признаку сравнения в 2 2 +∞ cos 2 x dx . Следовательно, по признаку непредельной форме сходится ∫ 3 2 2 x ⋅ ln x сравнения в предельной форме сходится исходный интеграл.
15
+∞
1 sin ⋅ 2cos x dx . x 1
∫
Пример 11.
1 f ( x) = sin ⋅ 2 cos x ∈ C ([1;+∞) ) , следовательно x
Функция
x = +∞ -
единственная особая точка. f ( x) > 0 ∀x ∈ [1;+∞) , так как 0 <
1 ≤ 1 и поx
1 > 0. x 1 1 cos x 1 1 f ( x) = sin ⋅ 2 cos x ~ ⋅2 ≥ ⋅ . 2 x x x → +∞ x
этому sin
+∞
dx -- расходится, то по признаку сравнения в непредельной форx 1 + ∞ cos x +∞ 2 dx . Следовательно, ∫ f ( x) dx расходится по приме расходится ∫ x 1 1
Так как
∫
знаку сравнения в предельной форме.
1 x dx . Пример 12. ∫ 10 e ln x 1 ln cos x ∈ C ([e;+∞) ) , следовательно, x = +∞ -единственная Функция f ( x) = 10 ln x 1 особая точка. f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ [e;+∞) , так как ln cos ≤ 0. x Тогда − f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [e;+∞) и + ∞ ln cos
1 1 1 1 − cos 2 sin 2 1 x ~ x = 2 x ~ 1⋅ − f ( x) = − = g ( x) . ln10 x x → +∞ ln10 x ln10 x x → +∞ 2 x ⋅ ln10 x ln cos
Рассмотрим +∞
∫
dx
10 e x ln x
=
+∞
∫
d (ln x)
10 e ln x
t
⎛ 1 1⎞ 1 = lim ⎜⎜ − + ⎟⎟ = ∈ R . 10 9 9⎠ 9 e ln x t → +∞⎝ 9 ln t
∫ t → +∞
= lim
d (ln x)
16
+∞
Следовательно,
∫ g ( x) dx -- сходится.
e
Тогда по признаку сравнения в пре-
+∞
∫−
дельной форме сходится
+∞
f ( x) dx , а, значит, и
e
∫ f ( x) dx -- сходится.
e
Упражнения Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов: +∞
1
dx 1. ∫ ln x 0 +∞ 4.
+∞ 5.
dx
1 ⎞ 2 ⎜ x 7. ∫ x − 1⎟dx ⎟ ⎜ 1 ⎝ ⎠
10.
∫
+∞ 13.
8.
11.
p 2 0 1 − x ⋅ ln x
∫
14.
19.
∫
ln x ⋅ 1 + x
∫
+∞
1 ⎞ ⎛ 1 ∫ ⎜⎝ x − sin x ⎟⎠dx 1
+∞
( x 2 + 1)
x
e
0
+∞ 16.
+∞
+ ∞ 10
2 1 x + ln x
3
17.
2 1 1 arctgx ⋅ (1 − x ) 5
∫
−1 +1 x
x
1
dx
20.
2
∫π 0
2
2
x + 1⎞ ⎛ 1 ⎜ sin − ln ⎟dx x x ⎝ ⎠ 1
∫
9.
∫
x arcrgx 3
0
+∞ 12.
dx
15.
dx
∫
0
+∞
1 2x
dx − arccos x
.
dx
18.
1+ x
4
dx
dx
∫ x x 0 3 −2
1 ln
a ⋅ arcsin
1
2
6.
2 5 2 x ln x
x
0 2x − x
+∞
∫
∫
dx
∫
+∞
dx
0 e
dx
3.
dx
x x 0 2 +3
+∞
dx
2
dx
∫
+∞ ⎛
1
x5 + x
0
x3 + x 4 + 1
0
∫
2.
arctg ( x 2 )
∫
x3 + 1
1 x dx x
1+ x dx x ln x 1
∫
17
3
Несобственные интегралы от функций, меняющих знак
Если | f |∈ ℜ [a; b) , то функция
f называется абсолютно интегрируемой b
∫ f ( x) dx --
на [a; b) в несобственном смысле, а несобственный интеграл
a
абсолютно сходящимся. Если
f ∈ ℜ [ a; b ) , а
| f |∉ ℜ [a; b) , то говорят, что несобственный инте-
b
грал
∫ f ( x) dx
сходится условно.
a
3.1 Признак Вейерштрасса (признак абсолютной сходимости). Если | f |∈ ℜ [a; b) , то
f ∈ ℜ [a; b) и при этом
b
∫ f ( x) dx
a
b
≤ ∫ | f ( x) | dx . a
3.2 Признак Дирихле. Пусть f : [a; b) → R1 , g : [a; b) → R1 и а) f -- локально интегрируемая функция на [a; b) и β
∫ f ( x) dx
∃K > 0 :
≤ K , ∀β ∈ [a; b) ;
a
б) g (x) -- монотонная на [a; b) функция; в) ∃ lim g ( x ) = 0 . x →b − 0
b
Тогда несобственный интеграл
∫ f ( x) ⋅ g ( x) dx
сходится.
a
3.3 Признак Абеля. Пусть
f ∈ ℜ [a; b) , g (x) -- монотонная и ограниченная на [a; b) функция. b
Тогда
∫ f ( x) ⋅ g ( x) dx
сходится.
a
Рассмотрим несколько примеров, в которых применяются приведенные выше признаки для исследования на абсолютную и условную сходимость несобственные интегралы.
18
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие несобственные интегралы.
⎛ x 1⎞ + ⎟ ⎝ 5 2 ⎠ dx . 2 ln x + 1
+ ∞ cos⎜
∫
Пример 1.
1
f ( x) =
(5 2 )∈ C ([1;+∞)), следовательно,
cos x + 1
x = +∞ -- единст2 ln x + 1 венная особая точка. Функция не сохраняет знак на [1;+∞ ) , так как x 1 ⎛ x 1⎞ + → + ∞ и поэтому cos⎜ + ⎟ меняет знак. 5 2 x → +∞ ⎝5 2⎠ 1. Исследуем рассматриваемый интеграл на условную сходимость. Для это-
Функция
+∞
го рассмотрим
∫ | f ( x) | dx .
1
x 1 ⎛ x 1⎞ ⎛ x 1⎞ ⎛ x 1⎞ cos⎜ + ⎟ cos⎜ + ⎟ cos⎜ + ⎟ cos 2 ⎛⎜ + ⎞⎟ 1 ⎝5 2⎠ ⎝5 2⎠ ⎝5 2⎠ ⎝5 2⎠ = | f ( x) |= ~ ≥ ⋅ = 1 ⎞ x → +∞ 2 2 ln x + 1 ln x 2 ln x ⎛ ln x ⋅ ⎜ 2 + ⎟ ln x ⎠ ⎝ ⎛ cos 2 x + 1 ⎞⎟ 1⎜ 1 5 = ⎜ + ⎟⎟ . 4 ⎜ ln x ln x ⎝ ⎠ cos 2 x + 1 1 5 Обозначим через ϕ ( x) = и ψ ( x) = . ln x ln x
(
)
(
)
+∞ dx 1 1 1 Так как ϕ ( x) = > 0 ∀x ∈ (1;+∞) и > 1 , причем ∫ 1 ln x x 2 ln x 1 x 2 ходится, то по признаку сравнения в непредельной форме расходится
рас-
+∞
∫ ϕ ( x) dx .
1
Покажем, что рихле: а) ∀t ∈ [2;+∞)
(
)
+ ∞ cos 2 x + 1 5 dx ∫ x ln 2
сходится, используя для этого признак Ди-
19 t
5 t ⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞ 5 ⎛ 2x ⎞ t ∫ cos⎜⎝ 5 + 1⎟⎠dx = 2 ∫ cos⎜⎝ 5 + 1⎟⎠ d ⎜⎝ 5 + 1⎟⎠ = 2 sin ⎜⎝ 5 + 1⎟⎠ 2 = 2 2 =
9 9 5⎛ 5 ⎛ 2t ⎞ ⎛ 2t ⎞ sin ⎜ + 1⎟ − sin ≤ ⎜⎜ sin ⎜ + 1⎟ + sin 5 5 2⎝ 2 ⎝5 ⎠ ⎝5 ⎠
б) в)
1 убывает ln x 1 lim = 0. x → +∞ ln x
g ( x) =
Итак: +∞
⎞ ⎟⎟ ≤ 5 ; ⎠
на [2;+∞) ;
(
)
x 1 +∞ 1 cos 5 + 2 ≥ ϕ ( x) + ψ ( x) , где ∫ ϕ ( x) dx - расходится, а | f ( x) | ~ 2 ln x 2
∫ψ ( x) dx - сходится.
+∞
∫ (ϕ ( x) + ψ ( x)) dx - расходится. Следовательно,
Тогда
2
2
по признаку сравнения в непредельной форме расходится
∫
2
+∞
Отсюда следует, что
∫ | f ( x) | dx
(
+ ∞ cos x + 1 5 2
ln x
+∞
дельной форме, а, значит, расходится и +∞
∫ f ( x) dx ,
2. Исследуем сходимость
∫ | f ( x) | dx .
1
используя для этого признак Ди-
1
рихле.
⎛ x 1⎞ g ( x) = cos⎜ + ⎟, ⎝5 2⎠
x ∈ [1;+∞) , а
h( x ) =
Тогда а) g (x) -- локально интегрируема на [1;+∞) и t
1 , 2 ln x + 1
x ∈ [1;+∞) .
∀t ∈ [1;+∞)
t 3 ⎛ x 1⎞ ⎛ x 1⎞ ⎛ x 1⎞ ⎛ t 1⎞ ∫ cos⎜⎝ 5 + 2 ⎟⎠ dx = 5 ∫ cos⎜⎝ 5 + 2 ⎟⎠ d ⎜⎝ 5 + 2 ⎟⎠ = 5 sin ⎜⎝ 5 + 2 ⎟⎠ − sin 2 ≤ 10 ; 1 1
б) h(x) убывает на [1;+∞ ) ;
dx .
расходится по признаку сравнения в пре-
2
Пусть
)
20
в)
lim h( x) = 0 .
x → +∞
+∞
∫ f ( x) dx
Следовательно,
сходится по признаку Дирихле, а так как
1
+∞
∫ | f ( x) | dx
расходится, то исходный интеграл сходится условно.
1
+∞
∫
Пример 2.
cos x ⋅ arctg
0
x dx . x +1
x ∈ C ([0;+∞) ) , следовательно, x = +∞ -- единx +1 ственная особая точка; f (x) не сохраняет знак на [0;+∞) . Поэтому исследуем сначала интеграл на абсолютную сходимость. Функция
f ( x) = cos x ⋅ arctg
x x | cos x | cos 2 x | f ( x) | = | cos x | ⋅arctg ~ ⋅ cos x ~ 1 ≥ 1 = x + 1 x → +∞ ⎛ 1 ⎞ x 2 x 2 x ⎜1 + ⎟ x⎠ ⎝ 1⎛ 1 cos 2 x ⎞ = ⎜ 1 + 1 ⎟. ⎟ 2 ⎜⎝ x 2 x 2 ⎠ +∞
∫
dx 1
расходится, так как α =
1 x 2
+∞
cos 2 x dx сходится по приx 1
1 < 1, а 2
∫
знаку Дирихле. Обоснуем последнее: а)
t
∫ cos 2 x dx
∀t ∈ (1;+∞)
1
б)
функция g ( x ) =
в)
1 = 0. x → +∞ x
=
1 | sin 2t − sin 2 |≤ 1 ; 2
1 убывает на [1;+∞) ; x
lim
+∞
Итак, имеем:
1 ⎛⎜ 1 cos 2 x ⎞⎟ ϕ ( x ) dx , где ϕ ( x ) = + ∫ 1 1
расходится как ⎟ x ⎠ 1 сумма расходящегося и сходящегося интеграла. Следовательно, по призна2 ⎜⎝ x
2
2
+∞
ку сравнения в непредельной форме расходится
∫
1
| cos x | x
1
2
dx . Тогда по
21
+∞
признаку сравнения в предельной форме расходится
1
+∞
∫ | f ( x) | dx .
расходится и
∫ | f ( x) | dx , а, значит,
Значит, исходный интеграл не имеет абсолютной
0
сходимости.
+∞
∫ f ( x) dx .
2. Исследуем
0
x ∀x ∈ [0;+∞) . Тогда x +1 a) g (x) -- локально интегрируема на [0;+∞) и ∀t ∈ (0;+∞) Пусть g ( x) = cos x, h( x) = arctg t
∫ cos x dx
=| sin t |≤ 1;
0
б)
h(x) является суперпозицией двух функций: arctg t -- монотонно воз-
растающей и t =
x . Исследуем последнюю на монотонность при помоx +1
щи производной: 1 ( x + 1) − x x + 1 − 2x 1− x x 2 t ′( x) = = = < 0 ∀x ∈ (1;+∞) ; ( x + 1) 2 2 x ( x + 1) 2 2 x ( x + 1) 2 x 1 lim h( x) = lim arctg = lim = 0. в) ⎛ 1 ⎞ x → +∞ x x → +∞ x → +∞ x ⎜1 + ⎟ x⎠ ⎝ +∞
Следовательно,
∫ f ( x) dx
1
+∞
1
сходится по признаку Дирихле, а, значит,
+∞
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx 0
0
сходится как сумма интегралов Римана и
1
сходящегося несобственного интеграла. И так как абсолютной сходимости +∞
нет, то
∫ f ( x) dx
сходится условно.
0
x 2 ∫ ln(1 + x) ⋅ arctg x dx . 1
+ ∞ cos
Пример 3.
22
x 2 ⋅ arctg x ∈ C ([1;+∞) ) , следовательно, x = +∞ -Функция f ( x) = ln(1 + x) единственная особая точка. Функция f (x) не сохраняет знак на [1;+∞) . cos
+∞
∫ | f ( x) | dx .
1. Исследуем
1
x x cos 2 2 arctg x = ⎛ 1⎞ ⎛ ln 1 + 1 ln x + ln⎜1 + ⎟ x ln x ⋅ ⎜⎜1 + x⎠ ⎝ ln x ⎜ ⎝ x x cos cos 2 π 2 π 2 = π ⎛⎜ 1 + cos x ⎞⎟ . ~ ⋅ ≥ ⋅ ln x 2 ln x 4 ⎝ ln x ln x ⎠ x → +∞ 2
x | cos | 2 ⋅ arctg x = | f ( x) | = ln(1 + x)
ϕ ( x) =
Так как
1 1 > ln x x
cos
( )⎞⎟
arctg x ~
⎟⎟ ⎠
∀x ∈ [2;+∞) , то по признаку сравнения в непре-
+∞
+∞ dx cos x dx сходится по признаку расходится, а ∫ дельной форме ∫ x ln x ln 2 2 Дирихле. Покажем последнее:
а)
t
∫ cos xdx
∀t ∈ [2;+∞)
=| sin t − sin 2 |≤ 2 ;
2
б) в)
функция
[2;+∞) ;
1 = 0. x → +∞ ln x lim
+∞
Итак,
1 монотонно убывает на ln x
∫ψ ( x) dx ,
2
где ψ ( x) =
1 cos x , расходится как сумма расходя+ ln x ln x
щегося и сходящегося интегралов. Следовательно, по признаку сравнения в x + ∞ cos 2 dx расходится. Тогда по признаку сравнения непредельной форме ∫ ln x 2 +∞
в предельной форме расходится
∫ | f ( x) | dx , а, значит
2
ходится.
+∞
и
∫ | f ( x) | dx
1
рас-
23
+∞
∫ f ( x) dx .
2. Исследуем
1
x 1 , r ( x) = arctg x . Пусть g ( x) = cos , h( x) = ln( x + 1) 2 +∞
∫ g ( x) ⋅ h( x) dx
сходится по признаку Дирихле, так как
1
t
x
∫ cos 2 dx
а) ∀t ∈ [1;+∞)
= 2 sin
1
б) в)
t 1 − sin ≤ 4 ; 2 2
h(x) убывает на [1;+∞ ) ; lim h( x) = 0 .
x → +∞
Функция
r (x) возрастает на [1;+∞) и ограничена, так как
π
∀x ∈ [1;+∞)
4
≤ arctg x < +∞
∫ f ( x) dx
Следовательно,
π 2
.
сходится по признаку Абеля, и так как абсолют-
1
ной сходимости нет, то сходится условно. +∞
sin πx dx . x + cos x
∫
Пример 4.
0
sin π x ∈ C ([0;+∞ ) ) , поэтому x = +∞ -- единственная x + cos x особая точка; функция не сохраняет знак на [0;+∞) .
Функция
f ( x) =
+∞
1. Исследуем сходимость
∫ | f ( x) | dx .
0
| f ( x) | =
| sin π x | | sin π x | sin 2 π x 1 ⎛ 1 cos 2π x ⎞ ~ ≥ = ⋅⎜ − ⎟ = ϕ ( x) . 2 ⎝ x ⎛ cos x ⎞ x → +∞ x x x ⎠ x ⎜1 + ⎟ x ⎠ ⎝ +∞
Очевидно, что
∫ ϕ ( x) dx
1
расходится, так как это сумма расходящегося ин-
24
+∞
+∞ dx cos 2π x dx . теграла ∫ и сходящегося по признаку Дирихле ∫ x x 1 1 Обоснуем последнее утверждение:
∀t ∈ [1;+∞ )
а)
t
∫ cos 2π x dx
1 1 ; | sin 2π t − sin 2 |≤ 2π 2π
=
1
1 монотонно убывает на [1;+∞) ; x 1 в) → 0. x x → +∞ Следовательно, по признаку сравнения в непредельной форме расходится
б)
+∞
| sin π x | dx , а, значит, по признаку сравнения в предельной форме расхоx 1
∫
+∞
дится
∫ | f ( x) | dx
+∞
и вместе с ним
1
+∞
2. Исследуем сходимость
∫ | f ( x) | dx .
0
∫ f ( x) dx .
1
Заметим, что использовать для исследования признак Дирихле не представ1 не является монотонной. ляется возможным, так как функция x + cos x Поэтому исследование проведем, используя формулу Тейлора: −1
⎛ cos 2 x ⎞ ⎞ sin π x ⎛⎜ cos x cos 2 x = + + o⎜ 3 ⎟ ⎟ = 1− ⎟⎟ ⎜ ⎜ x ⎝ x x x ⎝ x 2 ⎠⎠ ⎛ cos 2 x ⋅ sin π x ⎞ ⎞ sin π x cos x ⋅ sin π x ⎛⎜ cos 2 x ⋅ sin π x ⎟⎟ = − + + o⎜ 2 2 ⎜ ⎟⎟ ⎜ x x x x ⎝ ⎠⎠ ⎝ cos x (здесь мы учли, что lim = 0 , поэтому такое разложение имеет место). x → +∞ x sin π x sin π x ⎛ cos x ⎞ = ⎜1 + ⎟ x + cos x x ⎝ x ⎠
Разобьем исходный интеграл на сумму трех интегралов: +∞
+∞
+∞ sin π x sin π x ⋅ cos x dx − ∫ dx + ∫ f ( x) dx = ∫ x x 0 0 0 +∞ ⎛ ⎛ cos 2 x ⋅ sin π x ⎞ ⎞ cos 2 x ⋅ sin π x ⎟ ⎟dx . + ∫ ⎜ + o⎜ 2 2 ⎜ ⎟⎟ ⎜ x x ⎝ ⎠⎠ 0 ⎝
25
Заметим, что во всех интегралах суммы точка x = 0 не является особой, так как подынтегральная функция ограничена в правосторонней окрестности точки x = 0 . Первый интеграл этой алгебраической суммы сходится по признаку Дирих1 монотонно стремится к нулю при x → +∞ , а ле, так как x t
∫ sin π x dx
∀t ∈ [0;+∞ )
=
0
1
π
| cos π t − 1 |≤
2
π
.
Второй интеграл также сходится по признаку Дирихле, так как t
1 t а) ∀t ∈ [0;+∞) ∫ sin π x ⋅ cos x dx = 2 ∫ (sin(π + 1) x + sin(π − 1) x) dx = 0 0 2π 1 1 1 ; = (cos(π − 1)t − 1) ≤ (cos(π + 1)t − 1) + π −1 2 π +1 π 2 −1
1 , монотонно убывая, стремится к нулю при x → +∞ . x Третий интеграл сходится абсолютно, так как 2 ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎜ o⎜ cos x sin π x ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎛ cos 2 x ⋅ sin π x ⎞ cos 2 x⋅ | sin π x | ⎜ x2 cos 2 x ⋅ sin π x ⎠⎟ ~ ⎝ ⎟ ⎜ = ⋅ ⎜1 + +o ⎟ ⎜ ⎜ cos 2 x ⋅ sin π x ⎟ x2 x2 x2 ⎠ ⎝ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 x ⎝ ⎠
б)
функция
~
x → +∞
cos 2 x⋅ | sin π x |
x2
≤
1
x2
. +∞
∫
dx
по признаку сравнения в непредель2 x 1 +∞ cos 2 x⋅ | sin π x | dx . Тогда по признаку ной форме следует сходимость ∫ 2 x 1 сравнения в предельной форме сходится и третий интеграл, составляющий Следовательно, из сходимости
+∞
рассматриваемую сумму. Значит,
∫
0
1
f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + 0
+∞
∫ f ( x) dx
1
как сумма интеграла Римана и исследованного интеграла.
сходится
26 π 2
Пример 5.
∫ (tgx + 2) ⋅ sin (tgx) dx .
0
π ⎛ π ⎞ f ( x) = (tgx + 2) ⋅ sin (tgx ) ∈ C ⎜ [0; ) ⎟ , в точке x = функция не 2 ⎝ 2 ⎠ определена. Заметим, что для исследования интеграла удобнее сделать замену переменной t = tg x ( все условия для проведения такой замены соблюдены), тогда Функция
π 2
∫ (tgx + 2) ⋅ sin (tgx) dx =
0
x = arctg t , x = 0 → t = 0,
dx =
1 1+ t
2
dt
x = π → t = +∞
=
2
+∞
∫
t+2
0 1+ t
2
⋅ sin t dt .
Нетрудно видеть, что поведение подынтегральной функции более «прозрачно» и привычно для нас в плане исследования. t+2 Заметим, что f (t ) = ⋅ sin t ∈ C ([0;+∞) ) , следовательно, t = +∞ -- един1+ t2 ственная особая точка, функция f (t ) не сохраняет знак на [0;+∞ ) . +∞
1. Исследуем
∫ | f (t ) | dt .
0
2 t
1+
| sin t | sin 2 t 1 ⎛ 1 cos 2t ⎞ | f (t ) | = ⋅ | sin t | ~ ≥ = ⋅⎜ − ⋅ | sin t | = ⎟. 2 ⎝t t t ⎠ ⎞ ⎛1 t → +∞ t 1+ t2 t ⎜⎜ + 1⎟⎟ ⎠ ⎝ t2 Так же, как это было сделано в предыдущих примерах нетрудно показать, t+2
+∞
+∞
cos 2t dt сходится по признаку Дирихле. t 1 +∞ +∞ | sin t | dt , а, значит, расходится и ∫ | f (t ) | dt . Следовательно, расходится ∫ t 1 0 что
dt ∫ t -- расходится, а 1
+∞
2. а)
Исследуем ∀t ∈ [0;+∞)
∫
t+2
2 0 1+ t
∫
⋅ sin t dt .
z
∫ sin t dt
=| cos z − 1 |≤ 2 ;
0
б)
Покажем, что функция
ϕ (t ) =
t+2 1+ t2
монотонна.
27
ϕ ′(t ) =
1 + t 2 − 2t (t + 2) (1 + t 2 ) 2
− t 2 − 4t + 1
=
(1 + t 2 ) 2
=−
t 2 + 4t − 1 (1 + t 2 ) 2
< 0 при
t >1
(корни квадратного трехчлена в числителе t1,2 = −2 ± 5 ). Следовательно,
ϕ (t ) монотонно убывает на [1;+∞) . в)
lim ϕ (t ) = 0 .
t → +∞
+∞
∫
Отсюда следует, что
t+2 2 2
0 (1 + t )
⋅ sin t dt сходится условно (так как нет аб-
солютной сходимости). +∞
cos( x + 2)
1 ⋅ sin dx . 2 x 1 ln ( x + 1)
∫
Пример 6.
cos( x + 2)
1 ⋅ sin ∈ C ([1;+∞) ) , следовательно, x = +∞ -- единx ln 2 ( x + 1) ственная особая точка, функция не сохраняет знак на [1;+∞ ) . f ( x) =
Функция
+∞
Исследуем
∫ | f ( x) | dx .
1
| f ( x) | =
| cos( x + 2) | ln 2 ( x + 1)
+∞
Рассмотрим +∞
То есть
∫
∫
⋅ sin
1 ~ x x → +∞
| cos( x + 2) | ⎜⎜ ⎝
dx
2 2 x ln x
t
ln x
| cos( x + 2) | x ln 2 x
≤
1 x ln 2 x
.
⎟⎟ ⎠
1 ⎞ 1 ⎛ 1 = lim ⎜ − . ⎟= 2 ln 2 ln t ln 2 t → +∞ ⎠ ⎝ x ln 2
∫ t → +∞
= lim
( )
2 ⎛ ln 1 + 1 ⎞ x ⎟ x ln 2 x ⋅ ⎜1 +
~
d (ln x)
dx
сходится по определению, следовательно, 2 x ln x 2 +∞ | cos( x + 2) | dx сходится по признаку сравнения в непредельной форме. А, ∫ 2 2 ln ( x + 1) +∞
значит,
2
+∞
∫ | f ( x) | dx = ∫ | f ( x) | dx + ∫ | f ( x) | dx
1
1
-- сходится как сумма интеграла
2
Римана и рассмотренного несобственного интеграла. Следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
28
Упражнения Исследовать следующие несобственные интегралы на абсолютную и условную сходимость: +∞
+∞
cos3 x ∫ x dx 1
1.
+∞
sin(ln x) dx 4. ∫ ( + 1 ) ln x x 2 +∞ 7.
∫
0
x sin 3x dx 3x + 2
+∞
cos 2 x dx 10. ∫ − sin x x 1 +∞
1
⎛ sin x ⎞ ∫ ln⎜⎝1 + x ⎟⎠ dx 1
2.
+∞
sin x dx 5. ∫ + cos x x 1
16.
+ ∞ ⎛⎜
1
+∞
∫
⎜e 1 ⎜ ⎝
⎞ ⎟ 3 x − 1⎟ dx ⎟ ⎠
3x
+∞
17.
(
1 sin 1 22. ∫ 3 x dx 0 x 2
2 sin 1 x dx 23. ∫ 3 2 0 x −1
26.
∫
1
cos x 3x
⋅
+∞ 21.
sin x dx x + cos x ⋅ ln x 1
∫
+∞ 24.
∫
1
3x 3x − 2 x
x
sin 5 x 3 x +1 18. ∫ ⋅e dx + x 1 0
+∞
+∞
)
+∞
x
sin( 2 x) 1 x ⋅ x dx 20. ∫ x 1 + 1
sin x dx 25. ∫ x x − 2 ln 2
cos 6 x 2 x + 1 ⋅ dx + 3 1 4 x x 1
∫
+ ∞ sin x − π 6 dx 15. ∫ ln x 0
sin x dx 19. ∫ x + 2 0
+∞
x dx 2x − 1
cos(π x − 2) ⋅ arctg x 2 dx 1 2 ln x + x + 1
12.
3 dx x − ln x 1
∫
x2 + x + 1
⋅ sin
+∞
+∞
π
sin 3x
1 dx x −1
∫
9.
cos x 11. ∫ ⋅ 2 x +1 dx x + 1 1
+ ∞ cos
( x − 1) 2
⋅ sin
+∞
ln 5 x dx 8. ∫ cosπ x ⋅ x 1
ln 3 x
∫
6.
x cos x dx dx 14. ∫ 13. ∫ sin x ⋅ 2 2 x + 15 x +1 0 0 x
arcsin( x − 1)
0
+∞
+∞
∫
3.
dx
cos x dx x ln x + cos x
(
)
+ ∞ sin x + π 3 ⋅ cos x + 1 dx 27. ∫ ln(1 + 2 x) 2x + 1 1
29
+∞ 28.
∫
1
+∞ 31.
∫
0 +∞ 33.
∫
1
sin(3x 2 + 1) 4
x +x cos(2 x ) x + x2
+∞
dx
29.
∫
0
x sin( x 2 + x) e
x
⎛ 1 ⎞ ⎟ cos x ⎜ x ln x − 2 1 30. ∫ ⎜ ⎟ dx ln x 1 + ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ +∞
dx
+∞
dx
sin x ⋅ arcsin
32.
x sin x dx ⋅ arctg x x 2 + 1 + 2 1
∫
x 1 ⎞ ⎛ ⋅ ln⎜1 + ⎟dx . x +1 ⎝ x⎠
Литература 1. Кудрявцев А.Д. // Курс математического анализа. –М.: «Высшая школа».-- Т.1.--1981.-- С. 511--544. 2. Абанин А.В., Епифанов О.В., Кирютенко Ю.А., Спинко Л.И. Несобственные интегралы и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Методические указания.—Ростов н/Д: УПЛ РГУ.-- 1986.
