kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
s n tRONIN .
.
wwedenie w teori` grupp zada~i i teoremy ~astx 2
kazanx | 2006
...
17 downloads
200 Views
475KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
s n tRONIN .
.
wwedenie w teori` grupp zada~i i teoremy ~astx 2
kazanx | 2006
pE^ATAETSQ PO REENI@ U^ENOGO SOWETA MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu
nAU^NYJ REDAKTOR D F M N PROFESSOR i i sAHAEW :
.
.-
.
.,
.
.
tRONIN s n .
.
wWEDENIE W TEORI@ GRUPP. zADA^I I TEOREMY.~ASTX 2 : u^EBNOE POSOBIE. / s.n. tRONIN.| kAZANX: kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET, 2007. | 97 S. dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW MLADIH KURSOW. oNO MOVET BYTX ISPOLXZOWANO DLQ RABOTY NA PRAKTI^ESKIH ZANQTIQH PO KURSU ALGEBRY KAK DOPOLNENIE K UVE IME@]EJSQ LITERATURE, A TAKVE DLQ SAMOSTOQTELXNOJ RABOTY. mATERIAL POSOBIQ W CELOM OHWATYWAET WSE RAZDELY TEORII GRUPP, SODERVA]IESQ W DEJSTWU@]EJ NA DANNYJ MOMENT PROGRAMME KURSA ALGEBRY.
sodervanie
wWEDENIE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5. dEJSTWIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6. pREDSTAWLENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 7. gRUPPY WRA]ENIJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 8. kWATERNIONY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68 9. kWATERNIONY I WRA]ENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 literatura : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95
wWEDENIE
dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW, IZU^A@]IH KURS ALGEBRY. w \TOT KURS WHODQT W KA^ESTWE SOSTAWNOJ ^ASTI NEKOTORYE NA^ALXNYE SWEDENIQ IZ TEORII GRUPP. oSNOWAM TEORII GRUPP I POSWQ]QETSQ DANNOE POSOBIE. oPIEM WKRATCE SODERVANIE WTOROJ ^ASTI. oTMETIM, ^TO NUMERACIQ RAZDELOW QWLQETSQ OB]EJ DLQ OBEIH ^ASTEJ, TAK ^TO WTORAQ ^ASTX NA^INAETSQ S PQTOGO RAZDELA. zADA^I I TEOREMY PQTOGO RAZDELA SWQZANY S DEJSTWIEM GRUPP NA MNOVESTWAH. |TO FUNDAMENTALXNAQ KONSTRUKCIQ, RABOTA@]AQ WO MNOGIH OBLASTQH MATEMATIKI, A NE W ODNOJ TOLXKO ALGEBRE. tEHNIKA DEJSTWIJ ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE MNOGIH WAVNYH TEOREM. w DANNYJ PARAGRAF WKL@^ENY ZADA^I, OSNOWANNYE NA TEOREMAH sILOWA, PROQSNQ@]IMI SSTROENIE KONE^NYH GRUPP. w ESTOM RAZDELE RASSMATRIWA@TSQ LINEJNYE DEJSTWIQ I SAMYE PROSTEJIE PONQTIQ TEORII LINEJNYH PREDSTAWLENIJ GRUPP. tO OBSTOQTELXSTWO, ^TO MY SOZNATELXNO OGRANI^ILISX IMENNO PROSTEJIMI PONQTI3
QMI, SU]ESTWENNO POWLIQLO NA TEMATIKU ZADA^ \TOGO RAZDELA. sEDXMOJ RAZDEL SODERVIT NEKOTORYE TEOREMY I ZADA^I O GRUPPAH WRA]ENIJ W DWUMERNOM I TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWAH, I SOWSEM NEMNOGO | O KONE^NYH PODGRUPPAH GRUPP WRA]ENIJ. w KONE^NOM S^ETE RE^X IDET OB MATEMATI^ESKIH OSNOWAH PONQTIQ SIMMETRII. wOSXMOJ RAZDEL POSWQ]EN KWATERNIONAM | ^ETYREHMERNOMU OBOB]ENI@ POLQ KOMPLEKSNYH ^ISEL. nA PERWYJ WZGLQD, \TA TEMA NE OTNOSITSQ PRQMO K TEORII GRUPP. nO, WO-PERWYH, ONA INTERSNA SAMA PO SEBE, I STUDENTU-MATEMATIKU BUDET POLEZEN TOT MINIMUM SWEDENIJ, KOTORYJ PRIWEDEN W DANNOM RAZDELE. wO-WTORYH, KWATERNIONY SU]ESTWENNEJIM OBRAZOM ISPOLXZU@TSQ PRI DOKAZATELXSTWE OSNOWNYH TEOREM SLEDU@]EGO, DEWQTOGO RAZDELA, GDE WYQSNQETSQ STROENIE SPECIALXNOJ UNITARNOJ GRUPPY SU (2) I SPECIALXNOJ ORTOGONALXNOJ GRUPPY SO(3) | GRUPPY WRA]ENIJ W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. w OTLI^IE OT NEKOTORYH DRUGIH U^EBNIKOW (NAPRIMER, 3]), GDE \TI VE REZULXTATY DOKAZYWA@TSQ S ISPOLXZOWANIEM SSYLOK NA OB]IE TEOREMY LINEJNOJ ALGEBRY, MY PRIWODIM PRQMOE DOKAZATELXSTWO, GDE SSYLKI NA LINEJNU@ ALGEBRU SWEDENY K MINIMUMU, A IZWESTNYJ FAKT O PREDSTAWLENII KAVDOGO POWOROTA W WIDE SUPERPOZIJII TREH POSLEDOWATELXNYH WRA]ENIJ WOKRUG OSEJ OX , OZ I OX (\UGLY |JLERA") WYWODITSQ KAK SLEDSTWIE. dANNOE POSOBIE OHWATYWAET WESX MATERIAL TEORII GRUPP, WKL@^ENNYJ W NYNE DEJSTWU@]U@ UNIWERSITETSKU@ PROGRAMMU. oNO, RAZUMEETSQ, NE MOVET ZAMENITX PODROBNYH U^EBNIKOW, I NE QWLQETSQ ALXTERNATIWOJ ZADA^NIKU 4], NE GOWORQ UVE O SPECIALIZIROWANNOM ZADA^NIKE 5]. aWTOR NADEETSQ TOLXKO, ^TO EGO KNIGA HOTQ BY W NEKOTORYH OTNOENIQH MOVET SLUVITX IM DOPOLNENIEM.
4
5.
dEJSTWIQ
nAPOMNIM (SM. RAZDEL 3), ^TO LEWYM DEJSTWIEM GRUPPY G NA MNOVESTWE X NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE G X ;! X
(g x) 7! gx
TAKOE, ^TO 1) (g1g2)x = g1(g2x) DLQ WSEH g1 g2 2 G , x 2 X 2) 1x = x DLQ L@BOGO x 2 X . zDESX 1 2 G | EDINICA GRUPPY G . pRAWOE DEJSTWIE OPREDELQETSQ ANALOGI^NO. pUSTX X | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO, I SX | GRUPPA, SOSTOQ]AQ IZ WSEH BIEKCIJ : X ! X . |TA GRUPPA BYLA OPREDELENA W RAZDELE 2. oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.1.
SX X ;! X
POLAGAQ ( x) 7! x = (x) . dOKAZATX, ^TO \TO OTOBRAVENIE QWLQETSQ DEJSTWIEM. w SLEDU@]IH ZADA^AH OBOB]A@TSQ DWA PRIMERA DEJSTWIJ, IZU^AWIHSQ W RAZDELE 3 | DEJSTWIQ SDWIGAMI I DEJSTWIQ SOPRQVENIQMI. pUSTX G | GRUPPA, X | MNOVESTWO WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW G . oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.2.
G X ;! X
KOTOROE SOPOSTAWLQET PARE IZ \LEMENTA g 2 G I PODMNOVESTWA A G PODMNOVESTWO gA G , SOSTOQ]EE IZ WSEH ga 2 G , GDE a 2 A . dOKAZATX, ^TO \TO | LEWOE DEJSTWIE G NA X . 5
w \TOJ SITUACII PRINQTO GOWORITX, ^TO G DEJSTWUET LEWYMI SDWIGAMI NA MNOVESTWE SWOIH PODMNOVESTW.
pODOBNYM VE OBRAZOM MOVNO OPREDELITX DEJSTWIE G NA MNOVESTWAH Xn , SOSTOQ]IH IZ PODMNOVESTW X , W KOTORYH ROWNO n \LEMENTOW ( n = 1 2 : : : jGj ). dAJTE TO^NOE OPREDELENIE, OBOSNUJTE EGO KORREKTNOSTX, I DOKAVITE, ^TO \TO I W SAMOM DELE DEJSTWIE GRUPPY G . 5.3.
pUSTX, KAK I WYE, G | GRUPPA, X PODMNOVESTW G . oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.4.
| MNOVESTWO WSEH NEPUSTYH
G X ;! X
KOTOROE SOPOSTAWLQET PARE IZ \LEMENTA g 2 G I PODMNOVESTWA A G PODMNOVESTWO g A G , SOSTOQ]EE IZ WSEH g a = gag;1 2 G , GDE a 2 A . dOKAZATX, ^TO \TO | LEWOE DEJSTWIE G NA X .
dLQ \TOGO DEJSTWIQ PRINQTO TAKOE NAZWANIE: GRUPPA G DEJSTWUET SLEWA SOPRQVENIQMI NA MNOVESTWE SWOIH PODMNOVESTW. aNALOGI^NYM OBRAZOM MOVNO OPREDELITX DEJSTWIE G NA MNOVESTWAH Xn , SOSTOQ]IH IZ PODMNOVESTW X , W KOTORYH ROWNO n \LEMENTOW ( n = 1 2 : : : jGj ). sFORMULIRUJTE TO^NOE OPREDELENIE, OBOSNUJTE EGO KORREKTNOSTX, I DOKAVITE, ^TO \TO I W SAMOM DELE DEJSTWIE GRUPPY G . 5.5.
pUSTX G | PODGRUPPA GRUPPY X , Sub(X ) PODGRUPP X . oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.6.
| MNOVESTWO WSEH
G Sub(X ) ;! Sub(X )
KOTOROE SOPOSTAWLQET PARE IZ \LEMENTA g 2 G I PODGRUPPY A X PODMNOVESTWO g A = gAg;1 G , SOSTOQ]EE IZ WSEH g a = gag;1 2 G , 6
GDE a 2 A . dOKAZATX, ^TO gAg;1 | PODGRUPPA GRUPPY X , TAK ^TO OTOBRAVENIE G Sub(X ) ;! Sub(X ) OPREDELENO KORREKTNO. dOKAZATX, ^TO \TO OTOBRAVENIE | LEWOE DEJSTWIE G NA Sub(X ). dLQ \TOGO DEJSTWIQ PRINQTO TAKOE NAZWANIE: GRUPPA G DEJSTWUET SLEWA SOPRQVENIQMI NA MNOVESTWE PODGRUPP GRUPPY X .
pODOBNYM VE OBRAZOM MOVNO OPREDELITX DEJSTWIE G NA MNOVESTWAH Sub(X )n , SOSTOQ]IH IZ PODGRUPP X , ^EJ PORQDOK RAWEN n ( n = 1 2 : : : jX j ). iSPOLXZUQ PREDYDU]U@ ZADA^U, DAJTE TO^NOE OPREDELENIE, OBOSNUJTE EGO KORREKTNOSTX, I DOKAVITE, ^TO \TO DEJSTWIE GRUPPY G . 5.7.
pUSTX K I H | PODGRUPPY GRUPPY G (DOPUSTIM SLU^AJ K = H ). oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.8.
(K H ) G ;! G DEJSTWU@]EE PO PRAWILU:((x y) g) 7! (x y)g = xgy; . zDESX x 2 K , y 2 H , g 2 G . dOKAZATX, ^TO \TO DEJSTWIE GRUPPY K H NA MNOVESTWE G. 1
oRBITY \TOGO DEJSTWIQ NAZYWA@TSQ DWOJNYMI SMEVNYMI KLASSAMI GRUPPY G PO K I H , I IME@T WID KgH = f xgy j x 2 K y 2 H g (OPREDELENIE ORBITY SM. NIVE ILI W RAZDELE 2). dWOJNYE SMEVNYE KLASSY IROKO ISPOLXZU@TSQ W KNIGE 7]. dLQ LEWYH DEJSTWIJ, POSTROENNYH W PREDYDU]IH ZADA^AH, SU]ESTWU@T I PRAWYE ANALOGI (OPREDELITE IH W QWNOM WIDE!). pUSTX ZADANO LEWOE DEJSTWIE G NA X , I x 2 X . nAPOMNIM, ^TO ORBITOJ \TOGO DEJSTWIQ NAZYWAETSQ MNOVESTWO Gx WSEH \LEMENTOW WIDA 7
gx , GDE g PROBEGAET WS@ GRUPPU G . bUDEM S^ITATX IZWESTNYM, ^TO 1) x 2 Gx 2) ESLI y 2 Gx , TO Gy = Gx 3) ESLI Gx I Gy | DWE ORBITY, TO LIBO Gx = Gy , LIBO Gx I Gy NE PERESEKA@TSQ 4) MNOVESTWO X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ
ORBIT. dEJSTWIE NAZYWAETSQ TRANZITIWNYM, ESLI U NEGO WSEGO ODNA ORBITA. mNOVESTWO X WMESTE S DEJSTWIEM GRUPPY G BUDEM NAZYWATX G MNOVESTWOM (LEWYM ILI PRAWYM). gOMOMORFIZM IZ G -MNOVESTWA X W G -MNOVESTWO Y | \TO OTOBRAVENIE f : X ;! Y , TAKOE, ^TO f (gx) = gf (x) DLQ WSEH g 2 G I x 2 X .
pUSTX Y | NEKOTOROE G -MNOVESTWO, X | NEKOTORAQ EGO ORBITA. o^EWIDNO, ^TO OGRANI^ENIE NA X DEJSTWIQ G NA Y QWLQETSQ DEJSTWIEM G NA X , A WKL@^ENIE X Y , RASSMATRIWAEMOE KAK OTOBRAVENIE, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM G -MNOVESTW.
pRIMER
5.1.
iZOMORFIZM G -MNOVESTW | \TO GOMOMORFIZM, QWLQ@]IHSQ BIEKCIEJ, PRI^EM OBRATNAQ BIEKCIQ TAKVE DOLVNA BYTX GOMOMORFIZMOM G MNOVESTW. pUSTX Xi | SEMEJSTWO G -MNOVESTW, i 2 I . oPREDELIM KOPROIZWEDENIE \TOGO SEMEJSTWA (OBOZNA^ENIE: i`2I Xi ) KAK DIZ_@NKTNOE OB_EDINENIE MNOVESTW Xi (PODMNOVESTWA Xi WNUTRI \TOGO OB_EDINENIQ POPARNO NE PERESEKA@TSQ). dEJSTWIE G NA X = i`2I Xi OPREDELQETSQ TAK: ESLI g 2 G , A x 2 X , TO SU]ESTWUET ODNOZNA^NO OPREDELENNYJ INDEKS i 2 I TAKOJ, ^TO x 2 Xi . w G -MNOVESTWE Xi OPREDELENO PROIZWEDENIE gx 2 Xi . |TOT \LEMENT PO OPREDELENI@ I BUDET REZULXTATOM DEJSTWIQ g NA x WO WSEM MNOVESTWE X . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO WYPOLNENY OBA SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ DEJSTWIQ GRUPPY NA MNOVESTWE. 8
dOKAZATX, ^TO L@BOE G -MNOVESTWO QWLQETSQ KOPROIZWEDENIEM SWOIH ORBIT. 5.9.
pROIZWEDENIE SEMEJSTWA G -MNOVESTW X1 : : : Xn | \TO OBY^NOE PRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW X1 : : : Xn , A DEJSTWIE G NA X = X1 : : : Xn OPREDELQETSQ FORMULOJ: g(x1 : : : xn) = (gx1 : : : gxn). w SLU^AE PROIZWOLXNOGO (BESKONE^NOGO) SEMEJSTWA MNOVESTW OPREDELENIE, PO SUTI, TO^NO TAKOE VE. lEGKO PROWERQETSQ, ^TO SWOJSTWA DEJSTWIQ WYPOLNENY. pUSTX DANO G -MNOVESTWO X I PUSTX x 2 X . oPREDELIM STABILIZATOR St(x) \LEMENTA x KAK MNOVESTWO TEH g 2 G , DLQ KOTORYH gx = x . 5.10.
5.11.
dOKAZATX, ^TO St(x)
| PODGRUPPA GRUPPY G . dOKAZATX, ^TO St(gx) = gSt(x)g; . w ^ASTNOSTI, OTS@DA SLEDU1
ET, ^TO GRUPPA G DEJSTWUET SLEWA SOPRQVENIQMI NA MNOVESTWE SWOIH PODGRUPP WIDA St(x) , GDE x PROBEGAET FIKSIROWANNOE G -MNOVESTWO. (oDNAKO WZAIMNO-ODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIQ MEVDU x I St(x) MOVET NE BYTX. pOPROBUJTE NAJTI PRIMER!)
| G -MNOVESTWA, x 2 X , : : : , xn 2 Xn I PUSTX St(x ) , : : : , St(xn) | IH STABILIZATORY. dOKAZATX, TO STABILIZATOR \LEMENTA (x : : : xn) 2 X : : : Xn RAWEN St(x ) \ : : : \ St(xn ). pUSTX GRUPPA G DEJSTWUETSOPRQVENIQMI NA MNOVESTWE Sub(G) SWOIH PODGRUPP. pOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ PODGRUPPY H 2 Sub(G) 5.12.
pUSTX X1 , : : : , Xn
1
1
1
1
1
1
5.13.
9
1) H St(H ) 2) H QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ W St(H ) 3) H | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI St(H ) = G . zAMETIM, ^TO PODGRUPPA St(H ) = fg 2 GjgHg;1 = H g IZ PREDYDU]EJ ZADA^I NAZYWAETSQ NORMALIZATOROM PODGRUPPY H , I OBOZNA^AETSQ ^EREZ NG(H ). sLEDU@]IJ PRIMER DEJSTWIQ QWLQETSQ O^ENX WAVNYM DLQ OB]EJ TEORII. pUSTX G | GRUPPA, I H | EE PODGRUPPA. oBOZNA^IM ^EREZ G=H MNOVESTWO RAZLI^NYH LEWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H , T.E. MNOVESTW WIDA xH (\TO NE OBQZATELXNO FAKTORGRUPPA!). oPREDELIM OTOBRAVENIE G G=H ;! G=H POLAGAQ (g xH ) 7! gxH . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO \TO OTOBRAVENIE QWLQETSQ DEJSTWIEM. o^EWIDNO TAKVE, ^TO \TO DEJSTWIE TRANZITIWNO: L@BOJ \LEMENT xH MNOVESTWA G=H ESTX PROIZWEDENIE x 2 G I H 2 G=H .
pRIMER
tEOREMA
5.2.
pUSTX GRUPPA G DEJSTWUET NA MNOVESTWE X , x 2 X , I H = St(x) . tOGDA SU]ESTWUET IZOMORFIZM MEVDU G -MNOVESTWOM Gx (ORBITOJ x ) I G -MNOVESTWOM G=H , POSTROENNNOM W PRIMERE 5.2. |TO OTOBRAVENIE f : Gx ! G=H SOPOSTAWLQET \LEMENTU gx SMEVNYJ KLASS gH . 5.1.
10
dOKAZATELXSTWO dOKAVEM SNA^ALA KORREKTNOSTX OPREDELENIQ f . sUTX .
DELA W TOM, ^TO NEQSNO, PO^EMU IZ g1x = g2x SLEDUET, ^TO g1H = g2H . eSLI BY \TO BYLO NE TAK, TO POLU^ALOSX BY, ^TO ZNA^ENIE f ZAWISIT NE OT \LEMENTA ORBITY Gx , A OT SPOSOBA EGO ZAPISI W WIDE gx . pOLOVENIE SPASAET TO, ^TO H = St(x) . iBO ESLI g1x = g2x , TO g1;1g2x = x , A \TO ZNA^IT, ^TO g1;1g2 2 St(x) = H , ^TO RAWNOSILXNO RAWENSTWU g1H = g2H . ~TOBY POKAZATX BIEKTIWNOSTX f , POSTROIM OBRATNOE OTOBRAVENIE r : G=H ! Gx , KOTOROE BUDET SOPOSTAWLQTX KLASSU gH \LEMENT gx . kORREKTNOSTX \TOGO OPREDELENIQ OBOSNOWYWAETSQ PRIMERNO TAK VE, KAK I KORREKTNOSTX OPREDELENIQ f . a IMENNO, ESLI g1H = g2H , TO g1;1g2 2 H = St(x) , ^TO OZNA^AET RAWENSTWO g1;1g2x = x , ILI g1x = g2x . wZAIMNAQ OBRATNOSTX f I r O^EWIDNA IZ OPREDELENIJ. pOKAVEM, ^TO f ESTX GOMOMORFIZM G -MNOVESTW. w SAMOM DELE, PUSTX x0 2 Gx . eSLI x0 = g0x , TO f (x0 ) = g0H I, KAK TOLXKO ^TO BYLO USTANOWLENO, \TO ZNA^ENIE NE ZAWISIT OT WYBORA g0 . wOZXMEM L@BOJ \LEMENT g 2 G . tOGDA gx0 = gg0x , I f (gx0 ) = gg0H = g(g0H ) = gf (x0 ) , ^TO I TREBOWALOSX. tO^NO TAK VE POKAZYWAETSQ, ^TO ESLI H 0 2 G=H , TO r(gH 0) = gr(H 0). 2 bIEKCI@ MEVDU Gx I G=St(x) MOVNO TAKVE PREDSTAWLQTX SEBE W FORME, KOTORAQ OPISYWETSQ SLEDU@]EJ ZADA^EJ. pUSTX y 2 Gx . pOKAZATX, ^TO SMEVNYJ KLASS PO St(x) , KOTORYJ SOOTWETSTWUET \LEMENTU y , ESTX MNOVESTWO f g 2 G j gx = y g . 5.14.
u TEOREMY 5.1 ESTX NESKOLXKO PROSTYH, NO WAVNYH SLEDSTWIJ.
sLEDSTWIE
5.1.
pUSTX G
|
KONE^NAQ GRUPPA, DEJSTWU@]AQ NA MNO11
VESTWE X . tOGDA MO]NOSTTX L@BOJ ORBITY Gx RAWNA INDEKSU jG : St(x)j STABILIZATORA St(x) \LEMENTA x . w ^ASTNOSTI, MO]NOSTX KAVDOJ ORBITY DELIT PORQDOK GRUPPY jGj .
dOKAZATELXSTWO w SAMOM DELE, ESLI H = St(x) , TO jGj = jG : H j .
jH j , NO PO TEOREME 5.1 jG : H j = jG=H j = jGxj . 2
pUSTX jGj = pk , I p | PROSTOE ^ISLO. tOGDA CENTR GRUPPY G SOSTOIT BOLEE ^EM IZ ODNOGO \LEMENTA.
sLEDSTWIE
5.2.
dOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM DEJSTWIE G NA G SOPRQVENIQMI, I .
PUSTX X1 : : : Xm | ORBITY \TOGO DEJSTWIQ. tOGDA G = X1 : : : Xm , I TAK KAK ORBITY NE PERESEKA@TSQ, TO jGj = pk = jX1j + + jXmj . iZ PREDYDU]EGO SLEDSTWIQ WYTEKAET, ^TO WSE jXij QWLQ@TSQ DELITELQMI jGj = pk , TO ESTX \TO KAKIE-TO STEPENI PROSTOGO ^ISLA p . oDNAKO PO KRAJNEJ MERE U ODNOJ ORBITY MO]NOSTX RAWNA EDINICE. |TA ORBITA | MNOVESTWO f1g . eSLI BY MO]NOSTI WSEH OSTALXNYH ORBIT BYLI BOLXE EDINICY, TO POLU^ILOSX BY PROTIWORE^IE: LEWAQ ^ASTX RAWENSTWA jGj = jX1j + + jXmj DELITSQ NA p , A PRAWAQ NET. sLEDOWATELXNO, KOLI^ESTWO ORBIT, MO]NOSTX KOTORYH RAWNA EDINICE, BUDET BOLXE EDINICY. nO OB_EDINENIE WSEH TAKIH ORBIT I QWLQETSQ CENTROM GRUPPY G . 2 pUSTX G | KONE^NAQ GRUPPA, jGj = p2 . dOKAZATX, ^TO LIBO G QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ, LIBO G
= Up Up . w ^ASTNOSTI, G KOMMUTATIWNA. uKAZANIE. pUSTX G NE QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ. wO-PERWYH, NADO POMNITX, ^TO L@BAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA PORQDKA n IZOMORFNA Un , TAK ^TO FAKTI^ESKI NADO ISKATX W G DWE CIKLI^ESKIE PODGRUPPY K I H , jK j = p jH j = p , UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM RAZLOVENIQ W PRQMOE PROIZWEDENIE. wO-WTORYH, MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ SLEDSTWIEM 5.2, W KOTOROM 5.15.
12
UTWERVDAETSQ, ^TO CENTR GRUPPY PORQDKA p2 OTLI^EN OT EDINICY. wYBEREM W CENTRE \LEMENT x PORQDKA p (PO^EMU \TO MOVNO SDELATX?), I RASSMOTRIM K = hxi = f1 x : : : xp;1 . tAK KAK jGj = p2 , TO NAJDETSQ y 62 K , PORQDOK KOTOROGO RAWEN p (PO^EMU?). pOLOVIM H = hyi . tOGDA G = KH , K \ H = f1g (PO^EMU \TO TAK?), I DLQ L@BYH a 2 K , b 2 H BUDEM IMETX ab = ba (OBOSNUJTE I \TOT FAKT). rASSMOTRIM PROIZWOLXNOE DEJSTWIE GRUPPY G NA MNOVESTWE X , G X ! X , (g x) 7! gx . pUSTX g 2 G . oBOZNA^IM ^EREZ Fix(g) MNOVESTWO TEH x 2 X , DLQ KOTORYH gx = x .
tEOREMA Im
|
5.2.
(bERNSAJD) pUSTX GRUPPA G I MNOVESTWO X KONE^NY
KOLI^ESTWO ORBIT DEJSTWIQ G NA X . tOGDA m = jG1 j
X g2G
,
jFix(g)j:
dOKAZATELXSTWO pUSTX X : : : Xm | RAZLI^NYE ORBITY DEJSTWIQ .
1
G NA X . w ^ASTNOSTI, jX j = jX1j + + jXmj . rASSMOTRIM MNOVESTWO Y
= f (g x) j g 2 G x 2 X gx = x g
I PREDSTAWIM EGO W WIDE NEKOTORYH OB_EDINENIJ NEPERESEKA@]IHSQ PODMNOVESTW DWUMQ RAZNYMI SPOSOBAMI. s ODNOJ STORONY,
= i x2X f(g x)jgx = xg (1) o^EWIDNO, ^TO ESLI x 6= y , TO f(g x)jgx = xg \ f(g y)jgy = yg = . zAMETIM E]E, ^TO ESLI ZAFIKSIROWATX x , TO SU]ESTWUET O^EWIDNOE WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU MNOVESTWOM f(g x)jgx = xg I St(x) = fgjgx = xg . kROME TOGO, ESLI x y PRINADLEVAT ODNOJ I TOJ VE ORBITE Xi , TO IZ STABILIZATORY SOPRQVENY, I POTOMU IH PORQDKI Y
m =1
i
13
(MO]NOSTI) ODINAKOWY. nAPOMNIM, ^TO ESLI x 2 Xi , TO (PO TEOREME lAGRANVA I PO TEOREME 5.1) jGj = jXij jSt(x)j . pO\TOMU PORQDKI STABILIZATOROW WSEH \LEMENTOW, PRINADLEVA]IH K ODNOJ I TOJ VE ORBITE, RAWNY jGj=jXij . wY^ISLQQ MO]NOSTI MNOVESTW, STOQ]IH W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA (1), POLU^IM RAWENSTWO: m m m m jY j = X X jjXGjj = X jjXGjj ( X 1) = X jjXGjj jXij = X jGj = mjGj (2) i i x2X i i x2X i i i s DRUGOJ STORONY, PREDSTAWIM Y TAKIM OBRAZOM: Y = f(g x)jgx = xg (3) g2G o^EWIDNO, ^TO PRI FIKSIROWANNOM g 2 G SU]ESTWUETWZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU MNOVESTWOM f(g x)jgx = xg I MNOVESTWOM Fix(g) = fxjgx = xg . eSLI g 6= g FIKSIROWANY, TO MNOVESTWA f(g x)jg x = xg I f(g x)jg x = xg NE PERESEKA@TSQ. tAKIM OBRAZOM, WY^ISLQQ MO]NOSTI MNOVESTW W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA (3), POLU^IM SLEDU@]EE: jY j = X jf(g x)jgx = xgj = X jFix(g)j (4) g2G g2G sRAWNIWAQ (2) I (4), PRIHODIM K RAWENSTWU: X mjGj = jFix(g)j g2G IZ KOTOROGO I SLEDUET UTWERVDENIE TEOREMY. 2 =1
=1
i
1
2
=1
i
2
=1
1
1
2
sLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ TAKVE QWLQETSQ O^ENX WAVNOJ. pUSTX DANO DEJSTWIE G NA X . oBOZNA^IM ^EREZ ' OTOBRAVENIE G X ! X . tAKIM OBRAZOM, SWOJSTWA DEJSTWIQ ZAPISYWA@TSQ W WIDE:
1) '(g g x) = '(g '(g x)) 2) '(1 x) = x . 1 2
1
2
14
zAFIKSIRUEM g 2 G , I RASSMOTRIM OTOBRAVENIE T'(g) : x 7! '(g x). |TO OTOBRAVENIE BIEKTIWNO: OBRATNYM K NEMU QWLQETSQ OTOBRAVENIE T'(g;1) : x 7! '(g;1 x) . tAKIM OBRAZOM, T'(g) 2 SX DLQ WSEH g 2 G , I SOOTWETSTWIE T' : g 7! T'(g) ZADAET OTOBRAVENIE T' : G ;! SX . nAPOMNIM, ^TO GRUPPA SX OPREDELENA W RAZDELE 1. oBRATNO, PUSTX DAN GOMOMORFIZM GRUPP T : G ;! SX . sOPOSTAWIM EMU OTOBRAVENIE 'T : G X ! X , POLAGAQ 'T (g x) = T (g)(x) . |TO NADO PONIMATX TAK. |LEMENTU g 2 G SOPOSTAWLQETSQ \LEMENT T (g) 2 SX , KOTORYJ SAM QWLQETSQ OTOBRAVENIEM IZ X W X . eGO ZNA^ENIE NA ARGUMENTE x 2 X I OBOZNA^AETSQ ^EREZ T (g)(x) .
tEOREMA
oTOBRAVENIE T' , POSTROENNOE WYE PO DEJSTWI@ ' , QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. oTOBRAVENIE 'T , POSTROENNOE PO GOMOMORFIZMU T , QWLQETSQ DEJSTWIEM G NA X . iMEET MESTO WZAIMNOODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU DEJSTWIQMI G NA X , I GOMOMORFIZMAMI IZ G W SX , KOTOROE OPREDELQETSQ TAK: ' 7! T' , T 7! 'T .
5.16.
5.3.
pROWEDITE PODROBNOE DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY.
pUSTX ' : G X ! X | NEKOTOROE DEJSTWIE, I T' : G ! SX | SOOTWETSTWU@]IJ EMU GOMOMORFIZM. dOKAZATX, ^TO 5.17.
Ker(T') = x2\X St(x):
pUSTX G | GRUPPA, KOTORAQ DEJSTWUET NA SEBE SAMOJ SOPRQVENIQMI, I T : G ;! SG | GOMOMORFIZM, SOOTWETSTWU@]IJ \TOMU DEJSTWI@. dOKAZATX, ^TO Ker(T ) = C (G) (NAPOMNIM, ^TO C (G) | CENTR GRUPPY G ). 5.18.
15
pUSTX X | GRUPPA, G | PODGRUPPA GRUPPY X , I ZADANO DEJSTWIE G NA X LEWYMI SDWIGAMI. rASSMOTRIM SOOTWETSTWU@]IJ \TOMU DEJSTWI@ GOMOMORFIZM T : G ;! SX . dOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIE T IN_EKTIWNO. 5.19.
sDELAEM E]E NESKOLXKO ZAME^ANIJ O GRUPPAH WIDA SX . sUTX DELA W TOM, ^TO ESLI ESTX BIEKCIQ MEVDU MNOVESTWAMI X I Y , TO ESTX I IZOMORFIZM MEVDU GRUPPAMI SX I SY . eGO FORMALXNOE POSTROENIE TAKOWO. pUSTX : X ;! Y | BIEKCIQ. tOGDA OTOBRAVENIE e : SX ;! SY ZADAETSQ PRAWILOM: e () = e = ;1 . oBRATNOE OTOBRAVENIE OPREDELQETSQ TAK: 7! ;1 .
pROWERITX, ^TO POSTROENNYE WYE OTOBRAVENIQ WZAIMNO OBRATNY, I e | GOMOMORFIZM GRUPP, A SLEDOWATELXNO | IZOMORFIZM. 5.20.
nA PRAKTIKE WSE WYGLQDIT O^ENX PROSTO. rASSMOTRIM, NAPRIMER, WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU MNOVESTWAMI f1 2 : : : ng I X = fx1 x2 : : : xng , GDE i 7! xi . |LEMENTY GRUPPY SX MOVNO, KAK I \OBY^NYE" PODSTANOWKI, IZOBRAVATX W TABLI^NOJ FORME. zAPISX BIEKCII : X ! X W WIDE 0 @ x1
1
= x xx2 :: :: :: xxn A i i in OZNA^AET, ^TO (x1) = xi , (x2) = xi , : : : , (xn) = xin . i TOGDA IZOMORFIZM MEVDU Sn I SX ZADAETSQ SOOTWETSTWIEM: 0 1 0 1 1 2 : : : n x x : : : x 1 2 n @ A 7! @ A: i1 i2 : : : in xi xi : : : xin 1
2
1
2
1
2
wSLEDSTWIE \TOGO BUDEM W DALXNEJEM NAZYWATX GRUPPAMI PODSTANOWOK L@BYE GRUPPY WIDA SX DLQ KONE^NYH X . wSE METODY I REZULXTATY 16
RAZDELA 1 SPRAWEDLIWY I DLQ \TIH GRUPP. w ^ASTNOSTI, MOVNO OPREDELITX CIKLY, A \LEMENTY IZ SX MOVNO RASKLADYWATX W PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH CIKLOW. eSLI, KAK I WYE, PERENUMEROWATX \LEMENTY X , TO SUPERPOZICIQ IZOMORFIZMA Sn
= SX I GOMOMORFIZMA sgn : Sn ! f 1g NE ZAWISIT OT WYBORA BIEKCII MEVDU X I MNOVESTWOM f1 2 : : : ng . w SAMOM DELE, IZ REZULXTATA ZADA^I 5.20 SLEDUET, ^TO ESLI ESTX DWA IZOMORFIZMA MEVDU SX I Sn , POSTROENNYE IZ DWUH RAZNYH BIEKCIJ MEVDU X I f1 2 : : : ng , TO SU]ESTWUET PODSTANOWKA ! 2 Sn , TAKAQ, ^TO OBRAZY 1 I 2 ODNOGO I TOGO VE SWQZANY SOOTNOENIEM 2 = !1!;1 . nO W \TOM SLU^AE sgn(2) = sgn(1) . 5.21.
dOKAVITE POSLEDNIE UTWERVDENIQ.
iTAK, GOMOMORFIZM sgn (ZNAK PODSTANOWKI) KORREKTNO OPREDELEN DLQ PROIZWOLXNOGO SX , A \TO ZNA^IT, ^TO W \TOM OB]EM SLU^AE SU]ESTWU@T I ZNAKOPEREMENNYE GRUPPY, KOTORYE MOVNO OBOZNA^ITX ^EREZ AX . pRI \TOM AX
= An (DOKAVITE \TO!). sLEDSTWIEM ZADA^I 5.19 QWLQETSQ IZWESTNAQ TEOREMA k\LI:
tEOREMA
5.4.
PODSTANOWOK.
l@BAQ KONE^NAQ GRUPPA IZOMORFNA PODGRUPPE GRUPPY
bOLEE KONKRETNO, ESLI G = fg1 g2 : : : gng I g 2 G , TO fg1 g2 : : : gng = fgg1 gg2 : : : ggng , I IMEET MESTO IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM IZ G W Sn
= SG , KOTORYJ SOPOSTAWLQET \LEMENTU g 2 G PODSTANOWKU 1
0 @
g1 g2 : : : gn A: gg1 gg2 : : : ggn
oBRAZ \TOGO GOMOMORFIZMA | PODGRUPPA GRUPPY PODSTANOWOK, IZOMORFNAQ G . bUDEM DLQ UDOBSTWA NAZYWATX \TOT GOMOMORFIZM GOMOMORFIZ17
MOM k\LI DLQ GRUPPY G . w LITERATURE MOVNO WSTRETITX BOLEE GROMOZDKOE NAZWANIE: LEWOE REGULQRNOE (PODSTANOWO^NOE) PREDSTAWLENIE GRUPPY G .
uTO^NITX WID GOMOMORFIZMA k\LI SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX g 2 G , I k | PORQDOK g . pUSTX x1 : : : xm | POLNAQ SISTEMA PREDSTAWITELEJ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW G PO PODGRUPPE hxi = f1 g g2 : : : gk;1g . zDESX jGj = n = km . dOKAZATX, ^TO PODSTANOWKA 5.22.
0 @
1
g1 g2 : : : gn A gg1 gg2 : : : ggn
RAZLAGAETSQ W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW SLEDU@]IM OBRAZOM:
(x gx g x : : : gk; x ) : : : (xm gxm g xm : : : gk; xm): 1
1
2
1
1
2
1
1
rASSMOTRETX SUPERPOZICI@ GOMOMORFIZMOW k\LI G ! SG I SG ! SSG . pOKAZATX, ^TO OBRAZ G W SSG PRINADLEVIT K ZNAKOPEREMENNOJ GRUPPE ASG . uKAZANIE. oBRAZ \LEMENTA g 2 G W GRUPPE SG TAK VE, KAK I g , IMEET PORQDOK k . ~EMU RAWEN INDEKS W SG PODGRUPPY, POROVDENNOJ \TIM \LEMENTOM? w PROIZWEDENIE SKOLXKI CIKLOW RASKLADYWAETSQ W SSG OBRAZ g I KAKOWY DLINY \TIH CIKLOW? zNAQ WSE \TO, MOVNO WY^ISLITX ZNAK \TOGO OBRAZA KAK PODSTANOWKI IZ SSG . 5.23.
tAKIM OBRAZOM, L@BAQ KONE^NAQ GRUPPA G IZOMORFNA PODGRUPPE NEKOTOROJ GRUPPY ^ETNYH PODSTANOWOK. rASSMOTRIM TEPERX DEJSTWIE G G=H ! G=H , (g xH ) 7! gxH , I IZU^IM SOOTWETSTWU@]IJ EMU GOMOMORFIZM T : G ;! SG=H . pRI H = f1g \TO W TO^NOSTI GOMOMORFIZM k\LI. wWIDU \TOGO BUDEM NAZYWATX T GOMOMORFIZMOM k\LI GRUPPY G PO PODGRUPPE H . 18
pOKAZATX, ^TO ESLI fx1 : : : xmg | NEKOTORAQ POLNAQ SISTEMA PREDSTAWITELEJ LEWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H , TO GOMOMORFIZM k\LI T OTOBRAVAET \LEMENT g 2 G W PODSTANOWKU 5.24.
T (g ) =
0 @
1
x1H x2H : : : xmH A: gx1H gx2H : : : gxm H
sOHRANIM USLOWIQ I OBOZNA^ENIQ PREDYDU]EJ ZADA^I. dOKAZATX, ^TO Ker(T ) H , I RAWENSTWO Ker(T ) = H IMEET MESTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA H | NORMALXNAQ PODGRUPPA. dOKAZATELXSTWO MOVNO NA^ATX S PROWERKI TOGO, ^TO Ker(T ) = g\2G gHg;1: wYWESTI OTS@DA, ^TO ESLI H | NORMALXNAQ PODGRUPPA, TO OBRAZ T (PODGRUPPA SG=H ) IZOMORFEN FAKTORGRUPPE G=H . 5.26. pUSTX K I H | PODGRUPPY GRUPPY G . rASSMOTRIM DEJSTWIE K H NA G , OPREDELENNOE PO PRAWILU (x y)g = xgy;1 . pUSTX T : K H ! SG | SOOTWETSTWU@]IJ \TOMU DEJSTWI@ GOMOMORFIZM. dOKAZATX, ^TO Ker(T )
= K \H . 5.25.
w SLEDU@]EJ SERII ZADA^ IZU^AETSQ GRUPPA G PORQDKA jGj = pr l , GDE p | PROSTOE ^ISLO I l NE DELITSQ NA p . zAFIKSIRUEM CELOE ^ISLO k , 1 k r , I PUSTX X ESTX MNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW G , SOSTOQ]IH ROWNO IZ pk \LEMENTOW. dOKAZATX, ^TO MO]NOSTX X ESTX CELOE ^ISLO, KOTOROE DELITSQ NA pr;k , I NE DELITSQ NA pr;k+1 . uKAZANIE. uSTANOWITX SNA^ALA FORMULU pkY ;1 pr l ; j k p r ; k : jX j = C r = p l 5.27.
pl
j =1
19
j
rASSMOTRIM DEJSTWIE LEWYMI SDWIGAMI G NA X , OPREDELQEMOE FORMULOJ (g A) 7! gA = f ga j a 2 A g (PROWERXTE KORREKTNOSTX OPREDELENIQ I SWOJSTWA DEJSTWIQ). dOKAZATX, ^TO U \TOGO DEJSTWIQ SU]ESTWUET ORBITA, MO]NOSTX KOTOROJ NE DELITSQ NA pr;k+1 . uKAZANIE: PREDPOLOVITX PROTIWNOE, I ISPOLXZOWATX REZULXTAT PREDYDU]EJ ZADA^I. 5.28.
pUSTX Y = fA1 : : : Asg | ORBITA, SU]ESTWOWANIE KOTOROJ USTANAWLIWAETSQ W PREDYDU]EJ ZADA^E (T.E. s NE DELITSQ NA pr;k+1 ). iZ OB]IH SWOJSTW ORBIT SLEDUET, ^TO Y = GA1 . pOLOVIM H = St(A1), t = jH j . tOGDA jGj = pr l = st (PO^EMU?). pO OPREDELENI@ H KAK STABILIZATORA A1 DLQ KAVDOGO a 2 A1 IMEET MESTO WKL@^ENIE Ha A1 . oTS@DA SLEDUET, ^TO t = jH j pk (PO^EMU?). dALEE, SOPOSTAWXTE DWA OBSTOQTELXSTWA: s NE DELITSQ NA pr;k+1 I pr l = st . ~TO MOVNO SKAZATX TEPERX O WELI^INE t = jH j ? 5.29.
iZ \TIH TREH ZADA^ WYWODITSQ SLEDU@]AQ TEOREMA pUSTX G | KONE^NAQ GRUPPA, jGj = pr l , GDE p | PROSTOE ^ISLO I l NE DELITSQ NA p . tOGDA DLQ KAVDOGO k , 1 k r W GRUPPE G SU]ESTWUET PODGRUPPA PORQDKA pk .
tEOREMA
5.5.
|TU TEOREMU NAZYWA@T E]E \PERWOJ TEOREMOJ sILOWA" (SM. 10], S. 14.). wPRO^EM, ^A]E POD \PERWOJ TEOREMOJ sILOWA" PONIMA@T SLEDU@]EE UTWERVDENIE:
pUSTX G | KONE^NAQ GRUPPA, jGj = pr l , GDE p | PROSTOE ^ISLO I l NE DELITSQ NA p . tOGDA DLQ KAVDOGO k , 1 k r W GRUPPE G SU]ESTWUET PODGRUPPA PORQDKA pk . kAVDAQ PODGRUPPA H
tEOREMA
5.6.
20
PORQDKA pk PRI k < r SODERVITSQ PO KRAJNEJ MERE W ODNOJ PODGRUPPE K PORQDKA pk+1 , PRI^EM K MOVNO WYBRATX TAK, ^TOBY H BYLA NORMALXNOJ PODGRUPPOJ GRUPPY K .
pUSTX p | PROSTOE ^ISLO. gRUPPA NAZYWAETSQ p -GRUPPOJ, ESLI PORQDOK KAVDOGO EE \LEMENTA RAWEN NEKOTOROJ STEPENI ^ISLA p . iZ PERWOJ TEOREMY sILOWA SLEDUET, ^TO PORQDOK L@BOJ KONE^NOJ p -GRUPPY ESTX STEPENX ^ISLA p . pUSTX jGj = pr l , I l NE DELITSQ NA p . pODGRUPPY GRUPPY G , IME@]IE PORQDOK pr , KOTORYE SU]ESTWU@T PO PERWOJ TEOREME sILOWA, NAZYWA@TSQ SILOWSKIMI p -PODGRUPPAMI GRUPPY G .
tEOREMA
5.7.
(wTORAQ TEOREMA sILOWA). w KONE^NOJ GRUPPE G L@BYE
DWE SILOWSKIE p -PODGRUPPY SOPRQVENY.
nAPOMNIM, ^TO \TO OZNA^AET SLEDU@]EE. eSLI H1 I H2 | SILOWSKIE p -GRUPPY, TO SU]ESTWUET g 2 G TAKOJ, ^TO H2 = gHg;1 .
(tRETXQ TEOREMA sILOWA). w KONE^NOJ GRUPPE G KOLI ^ESTWO SILOWSKIH p PODGRUPP RAWNO 1+ pj DLQ NEKOTOROGO j PRI^EM tEOREMA
-
5.8.
-
\TO ^ISLO DELIT PORQDOK GRUPPY G .
,
pUSTX p1 I p2 | PROSTYE ^ISLA, DELQ]IE PORQDOK GRUPPY jGj , I p1 6= p2 . dOPUSTIM, ^TO H1 | p1 -PODGRUPPA, I H2 | p2 - PODGRUPPA GRUPPY G . dOKAZATX, ^TO H1 \ H2 = f1g . 5.30.
pUSTX p1 I p2 | PROSTYE ^ISLA, DELQ]IE PORQDOK GRUPPY jGj , I p1 6= p2 . dOPUSTIM, ^TO H1 | SILOWSKAQ p1 -PODGRUPPA, I H2 | SILOWSKAQ p2 - PODGRUPPA GRUPPY G . pREDPOLOVIM E]E, ^TO jGj = pr1ps2 . dOKAZATX, ^TO H1H2 = G . 5.31.
21
pUSTX p1 I p2 | PROSTYE ^ISLA, DELQ]IE PORQDOK GRUPPY jGj , I p1 6= p2 . pUSTX H1 | SILOWSKAQ p1 -PODGRUPPA, I H2 |SILOWSKAQ p2 - PODGRUPPA GRUPPY G . pREDPOLOVIM, KAK I WYE, ^TO jGj = pr1ps2 , I DOPUSTIM, ^TO GRUPPA G KOMMUTATIWNA. . dOKAZATX, ^TO G
= H1 H2 . 5.32.
pUSTX G | KONE^NAQ KOMMUTATIWNAQ GRUPPA. dOKAZATX, ^TO GRUPPA G IZOMORFNA PRQMOMU PROIZWEDENI@ SWOIH SILOWSKIH p -PODGRUPP PO WSEM PROSTYM p , DELQ]IM PORQDOK G . 5.33.
pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jX j = m , jGj = pn , p | PROSTOE ^ISLO I m NE DELITSQ NA p . dOKAZATX, ^TO U \TOGO DEJSTWIQ SU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNA ODNO\LEMENTNAQ ORBITA. 5.34.
pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jX j = m , jGj = pn , p | PROSTOE ^ISLO. dOKAZATX, ^TO ESLI U \TOGO DEJSTWIQ NET ODNO\LEMENTNYH ORBIT, TO m DELITSQ NA p . 5.35.
pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jGj = pnl , p | PROSTOE ^ISLO I l NE DELITSQ NA p . dOPUSTIM, ^TO STABILIZATORY WSEH \LEMENTOW X IME@T PORQDKI WIDA pk . dOKAZATX, ^TO jX j DELITSQ NA l . 5.36.
pUSTX K , H | PODGRUPPY KONE^NOJ GRUPPY G , jK j = pr , jG : H j = m , p | PROSTOE ^ISLO I m NE DELITSQ NA p . rASSMOTRIM DEJSTWIE K LEWYMI SDWIGAMI NA MNOVESTWE G=H = fx1H : : : xmH g : x(xi H ) = xxi H . dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET ORBITA IZ ODNOGO \LEMENTA. wYWESTI OTS@DA, ^TO GRUPPA K IZOMORFNA NEKOTOROJ PODGRUPPE H . 5.37.
uKAZANIE. pUSTX xiH | ODNO\LEMENTNAQ ORBITA DEJSTWIQ K NA G=H . pOKAVITE, ^TO DLQ KAVDOGO x 2 K IMEET MESTO WKL@^ENIE x;i 1xxi 2 H . 22
iSHODQ IZ \TOGO, MOVNO OPREDELITX OTOBRAVENIE : K ! H SLEDU@]IM OBRAZOM: (x) = x;i 1 xxi . oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO | IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPP.
6.
pREDSTAWLENIQ
~ASTO WSTRE^A@TSQ SLU^AI, KOGDA GRUPPA G DEJSTWUET NE NA PROIZWOLXNOM MNOVESTWE, A NA LINEJNOM PROSTRANSTWE V NAD POLEM F . tO^NOE OPREDELENIE TAKOWO. dANO OTOBRAVENIE G V ;! V SOPOSTAWLQ@]EE PARE (g v), GDE g 2 G , v 2 V , \LEMENT gv 2 V . |TO OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ LINEJNYM DEJSTWIEM G NA V , ESLI WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE TRI SWOJSTWA:
1) (g g )v = g (g v) 2) 1v = v 3) g(v + v ) = (gv ) + (gv ) , GDE v v 1 2
1
2
2 V , 1 2 2 F . zDESX ISPOLXZUETSQ PRAWOSTORONNQQ FORMA ZAPISI UMNOVENIQ NA SKALQRY (\LEMENTY POLQ) W LINEJNOM PROSTRANSTWE. |TA FORMA QWLQETSQ SAMOJ ESTESTWENNOJ, KOGDA RASSMATRIWA@TSQ WEKTORY-STOLBCY (WEKTORYSTROKI, NAPROTIW, ESTESTWENNO UMNOVATX NA SKALQRY SLEWA). wPRO^EM, WO MNOGIH SLU^AQH (NAPRIMER, KOGDA NE WOZNIKAET NEOBHODIMOSTI RASSMATRIWATX MATRICY LINEJNYH PREOBRAZOWANIJ), FORMA ZAPISI UMNOVENIQ WEKTOROW NA \LEMENTY POLQ NE IGRAET OSOBOJ ROLI, I MOVNO ISPOLXZOWATX LEWOSTORONNEE UMNOVENIE. tEM BOLEE, ^TO ZAPISX WIDA 3v WYGLQDIT GORAZDO PRIWY^NEE, ^EM v3 . pROSTRANSTWO V WMESTE S ZADANNYM LINEJNYM DEJSTWIEM G NAZYWAETSQ E]E (LEWYM) G -MODULEM. qSNO, ^TO L@BOJ G -MODULX QWLQETSQ 1 1
2 2
1
1
2
23
2
1
2
I G -MNOVESTWOM, TAK ^TO K G -MODULQM W PRINCIPE PRIMENIMY WSE OPISANNYE WYE KONSTRUKCII I REZULXTATY. oDNAKO, KAK PRAWILO, W TEORII G -MODULEJ POQWLQETSQ MNOGO SWOJSTWENNYH TOLXKO EJ OSOBENNOSTEJ. nAPRIMER, ESLI V1 I V2 | DWA G -MODULQ, TO GOMOMORFIZMOM G -MODULEJ NAZYWAETSQ LINEJNOE OTOBRAVENIE h : V1 ;! V2 , QWLQ@]EESQ TAKVE GOMOMORFIZMOM G -MNOVESTW. rOLX KOPROIZWEDENIJ IGRA@T PRQMYE SUMMY LINEJNYH PROSTRANSTW, A PONQTIE ORBITY OTHODIT NA WTOROJ PLAN. wMESTO NEGO ISPOLXZUETSQ PONQTIE PROSTOGO G -MODULQ, T.E. G -MODULQ, U KOTOROGO OTSUTSTWU@T NETRIWIALXNYE PODMODULI. w RQDE WAVNYH SLU^AEW UDAETSQ DOKAZATX ANALOGI UTWERVDENIQ O TOM, ^TO G -MNOVESTWO QWLQETSQ OB_EDINENIEM NEPERESEKA@]IHSQ ORBIT. nAPRIMER, ESLI POLE F QWLQETSQ POLEM KOMPLEKSNYH ^ISEL C , GRUPPA G KONE^NA, I G -MODULX V KAK LINEJNOE PROSTRANSTWO IMEET KONE^NU@ RAZMERNOSTX, TO ON QWLQETSQ (TO^NEE, IZOMORFEN) PRQMOJ SUMME PROSTYH G -MODULEJ. |TO DOKAZYWAETSQ W TEORII LINEJNYH PREDSTAWLENIJ GRUPP (SM., NAPRIMER, 17], A TAKVE GLAWY O PREDSTAWLENIQH W KNIGAH
3], 7], 10], 11]). wYQSNIM, KAK DLQ LINEJNYH DEJSTWIJ WYGLQDIT ANALOG WZAIMNOODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIQ MEVDU DEJSTWIQMI I GOMOMORFIZMAMI. tU ROLX, KOTORU@ W \TOM SOOTWETSTWII IGRALI GRUPPY SX , W DANNOM SLU^AE BUDUT IGRATX DRUGIE GRUPPY, KOTORYE OPISYWA@TQ NIVE. pUSTX V | LINEJNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM F . oBOZNA^IM ^EREZ GL(V ) MNOVESTWO WSEH BIEKTIWNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ V W V . oPREDELIM NA \TOM MNOVESTWE STRUKTURU GRUPPY. pUSTX ' 2 GL(V ). tOGDA IH SUPERPOZICIQ ' SNOWA QWLQETSQ BIEKTIWNYM LINEJNYM OTOBRAVENIEM IZ V W V . tAKIM OBRAZOM, OPREDELENA BINARNAQ OPERACIQ (UMNOVENIE): GL(V ) GL(V ) ;! GL(V ) (' ) 7! ' : 24
sUPERPOZICIQ FUNKCIJ QWLQETSQ, KAK IZWESTNO, ASSOCIATIWNOJ OPERACIEJ. tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE 1V : V ! V QWLQETSQ LINEJNYM, I IGRAET ROLX EDINICY DLQ \TOJ OPERACII. nAKONEC, ESLI ' | LINEJNAQ BIEKCIQ, TO OBRATNOE OTOBRAVENIE ';1 TAKVE BUDET I BIEKTIWNYM, I LINEJNYM. sLEDOWATELXNO, WSE SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ GRUPPY DLQ GL(V ) WYPOLNENY. o^EWIDNO TAKVE, ^TO GL(V ) QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY SV . 6.1.
rASSMOTRIM OTOBRAVENIE
GL(V ) V ;! V
KOTOROE SOPOSTAWLQET PARE (' v) \LEMENT '(v) . dOKAZATX, ^TO \TO | LINEJNOE DEJSTWIE GL(V ) NA V . pUSTX ZADANO NEKOTOROE LINEJNOE DEJSTWIE G NA V . oBOZNA^IM EGO ^EREZ : G V ! V . tAKIM OBRAZOM, DOLVNY WYPOLNQTXSQ SOOTNOENIQ:
1) (g g v) = (g (g v)) 2) (1 v) = v 3) (g v + v ) = (g v ) + (g v ) . rASSUVDAQ TAK VE, KAK I DLQ NELINEJNYH DEJSTWIJ, MOVNO POSTROITX GOMOMORFIZM GRUPP T : G ;! SV , SOPOSTAWLQ@]IJ \LEMENTU g 2 G BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE T(g) : V ;! V , KOTOROE DEJSTWUET PO PRAWILU T(g)(v) = (g v) . nO IZ USLOWIQ 3) SRAZU SLEDUET, ^TO T(g)(v + v ) = T(g)(v ) + T(g)(v ) . tAKIM OBRAZOM, T(g) 2 GL(V ) , A \TO OZNA^A^AET, ^TO IMEET MESTO GOMOMORFIZM T : G ;! GL(V ) . oBRATNO, PUSTX DANO GOMOMORFIZM T : G ;! GL(V ) . rASSMATRIWAQ EGO SNA^ALA KAK GOMOMORFIZM W SV (WWIDU TOGO, ^TO GL(V ) | PODGRUP1 2
1
1 1
2
2 2
1
1
2
2
1 1
2 2
1
1
2
2
25
PA W SV ), STROIM DEJSTWIE T : G V ! V GRUPPY G NA MNOVESTWE V PO PRAWILU: T (g v) = T (g)(v) . sWOJSTWO LINEJNOSTI OTOBRAVENIQ T (g) (T.E. SWOJSTWO T (g)(v1 1 + v2 2) = T (g)(v1 ) 1 + T (g)(v2 ) 2 ) PREWRA]AETSQ W USLOWIE LINEJNOSTI DEJSTWIQ: T (g v1 1 + v2 2) = T (g v1) 1 +
T (g v2) 2 .
w KONE^NOM S^ETE IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA
sU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU LINEJNYMI DEJSTWIQMI G NA V , I GOMOMORFIZMAMI GRUPP G ;! GL(V ) . |TO SOOTWETSTWIE ZADAETSQ OPISANNYMI WYE KONSTRUKCIQMI: 7! T , T 7! T . 6.1.
nAPOMNIM, ^TO ESLI W PROSTRANSTWE V ZADAN BAZIS (NAPRIMER, e1 : : : en ), TO SU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU LINEJNYMI OTOBRAVENIQMI ' : V ! V I KWADRATNYMI n n -MATRICAMI NAD POLEM F . pOSTROENIE \TOGO SOOTWETSTWIQ NA^INAETSQ S SOOTNOENIQ '(ej ) =
n X
i=1
ei aij
GDE aij 2 F . lINEJNOMU OTOBRAVENI@ ' STAWITSQ W SOOTWETSTWIE MATRICA M' S KOMPONENTAMI aij . pRI \TOM SUPERPOZICII LINEJNYH OTOBRAVENIJ ' SOOTWETSTWUET UMNOVENIE MATRIC: M' = M'M . zAMETIM, ^TO ZDESX PRAWOSTORONNEE UMNOVENIE WEKTOROW NA \LEMENTY POLQ WESXMA OBLEG^AET DOKAZATELXSTWO. tOVDESTWENNOMU LINEJNOMU OTOBRAVENI@ SOOTWETSTWUET EDINI^NAQ MATRICA. iZ WSEGO \TOGO SLEDUET, ^TO SOOTWETSTWIE ' 7! M' QWLQETSQ IZOMORFIZMOM MEVDU GRUPPOJ GL(V ) I GRUPPOJ GLn(F ) WSEH NEWYROVDENNYH n n -MATRIC NAD POLEM F . gOMOMORFIZMY WIDA T : G ! GL(V ) ILI T : G ! GLn(F ) NAZYWA@TSQ LINEJNYMI PREDSTAWLENIQMI GRUPPY G NAD POLEM F (TO^NEE, n -MERNYMI PREDSTAWLENIQMI, n = dim(V )). 26
6.2.
kAKOWO PREDSTAWLENIE, SOOTWETSTWU@]EE LINEJNOMU DEJSTWI@ GL(V ) V ;! V (' v) 7! '(v) ?
pO L@BOMU MNOVESTWU X MOVNO POSTROITX LINEJNOE PROSTRANSTWO S BAZISOM X . eGO \LEMENTAMI QWLQ@TSQ (FORMALXNYE) LINEJNYE KOMBINACII xP2X x x , GDE x 2 F I PO^TI WSE x = 0. eSLI NA X ZADANO DEJSTWIE GRUPPY G , TO NA VX ESTESTWENNYM OBRAZOM OPREDELQETSQ LINEJNOE DEJSTWIE G : g(
X
x2X
6.3.
x x) =
X
x2X
(gx) x
pROWERITX, ^TO FORMULA (*) ZADAET LINEJNOE DEJSTWIE.
()
pREDPOLOVIM, ^TO GRUPPA G DEJSTWUET NA KONE^NOM MNOVESTWE X jX j = n . dOKAZATX, ^TO LINEJNOE PREDSTAWLENIE GRUPPY G , SOOTWETSTWU@]EE DEJSTWI@ (*), MOVNO PREDSTAWITX KAK SUPERPOZICI@ DWUH GOMOMORFIZMOW: 6.4.
T : G ;! Sn I M : Sn ;! GLn(F )
GDE T | GOMOMORFIZM, SOOTWETSTWU@]IJ DEJSTWI@ G NA X , A M SOPOSTAWLQET PODSTANOWKE MATRICU M () , OPREDELENNU@ W KONCE RAZDELA 2 (TAM VE POKAZANO, ^TO 7! M () | IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPP).
pUSTX V1 I V2 | DWA G - MODULQ. rASSMOTRIM PRQMU@ SUMMU V1 V2 PROSTRANSTW V1 I V2 . |LEMENTY V1 V2 BUDEM ZAPISYWATX W WIDE (v1 v2), GDE v1 2 V1 , v2 2 V2 . nAPOMNIM, ^TO OPERACII SLOVENIQ, WY^ITANIQ I UMNOVENIQ NA \LEMENTY POLQ OPREDELQ@TSQ W V1 V2 POKOMPONENTNO. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE 6.5.
G
(V
1
V2) ;! V1 V2 27
ZADAWAEMOE PO PRAWILU (g (v1 v2)) 7! g(v1 v2) = (gv1 gv2). dOKAVITE, ^TO \TO | LINEJNOE DEJSTWIE G NA V1 V2 . oPREDELENNYJ TAKIM SPOSOBOM G -MODULX V1 V2 NAZYWAETSQ PRQMOJ SUMMOJ G -MODULEJ V1 I V2 . wYBEREM W V1 BAZIS e1 : : : en , A W V2 | BAZIS en+1 : : : en+m . tOGDA MOVNO S^ITATX, ^TO PREDSTAWLENIQ, SOOTWETSTWU@]IE G -MODULQM V1 I V2 | \TO GOMOMORFIZMY T1 : G ! GLn(F ) I T2 : G ! GLm (F ) . kAK IZWESTNO IZ LINEJNOJ ALGEBRY, MNOVESTWO e1 : : : en en+1 : : : en+m BUDET BAZISOM PRQMOJ SUMMY V1 V2 ( ZDESX MY UVE S^ITAEM V1 I V2 PODPOSTRANSTWAMI V1 V2 I OTOVDESTWLQEM ei S (ei 0) PRI 1 i n , I ej S (0 ej ) PRI n + 1 j n + m ). dOKAVITE, ^TO PREDSTAWLENIE, SOOTWETSTWU@]EE G -MODUL@ V1 V2 , T.E. W DANNOM SLU^AE GOMOMORFIZM T : G ;! GLn+m(F ) IMEET PRI DANNOM WYBORE BAZISA SLEDU@]IJ WID: 0 BB @
0 0 T (g) pUSTX V | NEKOTORYJ G -MODULX ( n = dim(V ) < 1 ), I V | G PODMODULX MODULQ V . |TO OZNA^AET, ^TO DLQ KAVDOGO g 2 G I L@BOGO v 2 V \LEMENT gv SNOWA PRINADLEVIT V , TO ESTX OGRANI^ENIE DEJSTWIQ G S V NA V BUDET LINEJNYM DEJSTWIEM G NA V . wYBEREM KAKOJ-NIBUDX BAZIS e : : : ek W V , I DOPOLNIM EGO \LEMENTAMI ek : : : en DO BAZISA V . rASSMOTRIM PREDSTAWLENIE T , SOOTWETSTWU@]EE G -MODUL@ V . |TO GOMOMORFIZM G GLn(F ) . dOKAVITE, ^TO MATRICY T (g) W WYBRANNOM BAZISE IME@T SLEDU@]IJ BLO^NO-TREUGOLXNYJ WID: 0 1 T (g) B (g) CC T (g) = BB@ 0 T (g) A GDE T (g) | BLOKI RAZMEROM k k , T (g) | BLOKI RAZMEROM (n ; k) (n ; k) . dOKAVITE, ^TO OTOBRAVENIE g 7! T (g) QWLQETSQ LINEJNYM PREDSTAWLENIEM, SOOTWETSTWU@]IM G -MODUL@ V , A OTOBRAVENIE T (g) =
T1(g)
1 CC A:
2
6.6.
1
-
1
1
1
1
1
1
+1
1
2
1
2
1
1
28
g 7! T2(g) QWLQETSQ LINEJNYM PREDSTAWLENIEM, SOOTWETSTWU@]IM LINEJNOMU DEJSTWI@ G NA V2 = V=V1 , KOTOROE STROITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: UMNOVENIE g 2 G NA SMEVNYJ KLASS v + V1 OPREDELQETSQ PO PRAWILU g(v + V1) = gv + V1 . nEOBHODIMO PREDWARITELXNO DOKAZATX KORREKTNOSTX \TOGO OPREDELENIQ (TO, ^TO gv + V1 NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ SMEVNOGO KLASSA v ) I PROWERITX WSE SWOJSTWA LINEJNOGO
DEJSTWIQ. pOSTROENNYJ TAK G -MODULX V=V1 NAZYWAETSQ FAKTORMODULEM MODULQ V PO PODMODUL@ V1 .
s POMO]X@ MATRIC PODSTANOWOK ZADA@TSQ IN_EKTIWNYE GOMOMORFIZMY IZ Sn W GLn(F ) . oKAZYWAETSQ, ^TO MOVNO OPREDELITX IN_EKTIWNYE GOMOMORFIZMY Sn I W GLn;1(F ) . pREVDE WSEGO, ZAMETIM, ^TO GOMOMORFIZM M : Sn ! GLn(F ) | \TO PREDSTAWLENIE, SOOTWETSTWU@]EE DEJSTWI@ Sn NA n -MERNOM LINEJNOM PROSTRANSTWE V S BAZISOM e1 : : : en , KOTOROE OPEREDELQETSQ PO PRAWILU: ei = e(i) (PROWERXTE \TO!). tEPERX MOVNO ISPOLXZOWATX TEHNIKU PREDYDU]EJ ZADA^I. nA^NEM SO SLU^AQ n = 3.
pUSTX n = 3, I F { ODNO IZ POLEJ Q R C . rASSMOTRIM W V = he1 e2 e3i PODPROSTRANSTWO V1 S BAZISOM v1 = e1 ; e2 , v2 = e1 ; e3 . dOKAZATX, ^TO \TO PODPROSTRANSTWO SOSTOIT IZ WSEH TEH LINEJNYH KOMBINACIJ e1 1 + e2 2 + e3 3 , W KOTORYH 1 + 2 + 3 = 0. dOKAZATX DALEE, ^TO V1 QWLQETSQ S3 -PODMODULEM W V . pOSTROITX W QWNOM WIDE SOOTWETSTWU@]EE EMU PREDSTAWLENIE (GOMOMORFIZM IZ S3 W GL2(F ) ) I USTANOWITX EGO IN_EKTIWNOSTX. 6.7.
pUSTX F { ODNO IZ POLEJ Q R C . rASSMOTRIM n -MERNOE PROSTRANSTWO V S BAZISOM e1 e2 : : : en KAK Sn - MODULX, LINEJNOE DEJSTWIE NA KOTOROM ZADAETSQ PO PRAWILU (e1 1 + e2 2 + + en n) = 6.8.
29
e(1) 1 + e(2) 2 + + e(n) n . pUSTX V1
| PODPROSTRANSTWO V , SOSTOQ]EE IZ WSEH TEH LINEJNYH KOMBINACIJ e + e + + en n , DLQ KOTORYH + + + n = 0 . dOKAZATX, ^TO \TO Sn -PODMODULX, I ^TO BAZISOM V QWLQETSQ MNOVESTWO v = e ; e , v = e ; e , : : : , vn; = e ; en . nE STROQ W QWNOM WIDE SOOTWETSTWU@]EE EMU PREDSTAWLENIE (GOMOMORFIZM T : Sn ! GLn; (F ) ), DOKAZATX EGO IN_EKTIWNOSTX. uKAZANIE. dOSTATO^NO WY^ISLITX QDRO T , KOTOROE SOSTOIT IZ WSEH TEH 2 Sn , DLQ KOTORYH T () RAWEN EDINI^NOJ MATRICE. tO ESTX DOLVNY WYPOLNQTXSQ RAWENSTWA T ()(v ) = v , T ()(v ) = v , : : : , T ()(vn; ) = vn; . dLQ KAKIH PODSTANOWOK WYPOLNENY WSE \TI RAWENSTWA? 1 1
1
2
1
1
1
2 2
1
2
2
1
3
1
1
1
1
1
2
2
1
pUSTX V ESTX PROSTRANSTWO WSEH MNOGO^LENOW OT PEREMENNYH P a x x . gRUPPA S DEJSTWUET LINEJNO NA \TOM x1 x2 x3 x4 WIDA 1i<j 4 4 ij i j PROSTRANSTWE PO PRAWILU (xi xj ) = x(i) x(j) (OBOSNUJTE \TO). dOKAZATX, ^TO PODPROSTRANSTWO W = hx1x2 ;x3 x4 x1x3 ;x2 x4 x1x4 ;x2 x3i QWLQETSQ S4 -PODMODULEM V . pOSTROITX SOOTWETSTWU@]EE PREDSTAWLENIE. bUDET LI \TOT GOMOMORFIZM IN_EKTIWNYM? 6.9.
pUSTX V ESTX PROSTRANSTWO WSEH MNOGO^LENOW OT PEREMENNYH P a x x . gRUPPA S DEJSTWUET LINEJNO NA \TOM x1 x2 x3 x4 WIDA 1i<j 4 4 ij i j PROSTRANSTWE PO PRAWILU (xi xj ) = x(i) x(j) (OBOSNUJTE \TO). rASSMOTRIM PODPROSTRANSTWO W = hw1 w2i , GDE w1 = x1x2 + x3x4 ; x2x3 ; x1x4 , w2 = x1x3 + x2x4 ; x1x4 ; x2x3 . dOKAZATX, ^TO W QWLQETSQ S4 PODMODULEM V . pOSTROITX SOOTWETSTWU@]EE PREDSTAWLENIE. bUDET LI \TOT GOMOMORFIZM IN_EKTIWNYM? 6.10.
pUSTX V ESTX PROSTRANSTWO WSEH MNOGO^LENOW OT PEREMENNYH P aijkxi xj xk . gRUPPA S4 DEJSTWUET LINEJNO NA x1 x2 x3 x4 WIDA 1i<j
30
\TOM PROSTRANSTWE PO PRAWILU (xi xj xk ) = x(i) x(j) x(k) . dOKAZATX, ^TO PODPROSTRANSTWO W = hx1x2x3 ; x1x3x4 x1x2x3 ; x1x2x4 x1x2x4 ; x2 x3x4i QWLQETSQ S4 -PODMODULEM V . pOSTROITX SOOTWETSTWU@]EE PREDSTAWLENIE. bUDET LI \TOT GOMOMORFIZM IN_EKTIWNYM? wERNEMSQ K SITUACII, KOGDA G DEJSTWUET NA X , I LINEJNO DEJSTWUET NA PROSTRANSTWE VX , BAZISOM KOTOROGO QWLQETSQ MNOVESTWO X , PO FORMULE (*). oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQET SLU^AJ, KOGDA X = G . dLQ VG IMETSQ OB]EUPOTREBITELXNOE OBOZNA^ENIE FG (NAPOMNIM, ^TO F | POLE), I NA \TOM LINEJNOM PROSTRANSTWE MOVNO WWWESTI STRUKTURU ASSOCIATIWNOGO KOLXCA S EDINICEJ SLEDU@]IM OBRAZOM:
(xX2G x x)(yX2G x x) = (gX2G g xyXxy g x y ):
=
kOLXCO FG NAZYWAETSQ GRUPPOWYM KOLXCOM GRUPPY G NAD POLEM F , ILI VE GRUPPOWOJ ALGEBROJ G NAD F . fAKTI^ESKI BAZISNYE \LEMENTY x , y PEREMNOVA@TSQ KAK \LEMENTY GRUPPY G , PROIZWEDENIE \LEMENTOW x x I y y RAWNO (xy) x y (KO\FFICIENTY x I x PEREMNOVA@TSQ KAK \LEMENTY POLQ F ), A UMNOVNIE PROIZWOLXNYE LINEJNYH KOMBINACIJ PROIZWODITSQ PO OBY^NYM PRAWILAM UMNOVENIQ SUMM S U^ETOM SPOSOBA UMNOVENIQ SLAGAEMYH. dALEE PROSTO NADO \PRIWESTI PODOBNYE ^LENY". eDINICEJ KOLXCA FG QWLQETSQ EDINICA GRUPPY G . pOLE F OTOVDESTWLQETSQ S PODKOLXCOM FG , SOSTOQ]IM IZ \LEMENTOW WIDA 1G , 2 F ( 1G | EDINICA GRUPPY G , W DALXNEJEM OBOZNA^AEMAQ PROSTO KAK 1 ). gOMOMORFIZM F W FG , OSU]ESTWLQ@]IJ \TO OTOVDESTWLENIE, DEJSTWUET PO PRAWILU 7! 1G . wWIDU \TOGO WYRAVENIQ x x MOVNO RASSMATRIWATX KAK PROIZWEDENIQ \LEMENTOW KOLXCA, PRI^EM x x = xx , TAK ^TO WMESTO ZAPISI KO\FFICIENTOW SPRAWA OT BAZISNYH \LEMENTOW MOVNO ISPOLXZOWATX I ZAPISX IH SLEWA OT BAZISNYH \LEMENTOW. tAKIM 31
OBRAZOM,
X x2G
x x =
X x2G
xx:
lINEJNOE DEJSTWIE G NA FG , SOOTWETSTWU@]EE DEJSTWI@ G NA G LEWYMI SDWIGAMI, NAZYWAETSQ LEWYM REGULQRNYM (LINEJNYM) PREDSTAWLENIEM GRUPPY G NAD POLEM F . wO MNOGIH WAVNYH SLU^AQH (NAPRIMER, KOGDA G KONE^NA I F = C ) OKAZYWAETSQ, ^TO WSE KONE^NOMERNYE G MODULI QWLQ@TSQ (IZOMORFNY) PRQMYMI SUMMAMI G -PODMODULEJ G MODULQ FG . pUSTX G | KONE^NAQ GRUPPA, I Z1 , : : : , Zm | KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . w KOLXCE FG MOVNO OPREDELITX \LEMENTY Ci =
X
g2Zi
g i = 1 2 : : : m:
|TI \LEMENTY OBLADA@T SLEDU@]IM SWOJSTWOM: DLQ KAVDOGO v 2 FG IMEET MESTO RAWENSTWO aCi = Cia . 6.12. dOKAVITE POSLEDNEE UTWERVDENIE. uKAZANIE. sNA^ALA MOVNO PROWERITX, ^TO DOSTATO^NO RASSMOTRETX LIX SLU^AJ a 2 G . eSLI \E a 2 G , TO aCi = Cia RAWNOSILXNO aCia;1 = Ci . dALEE MOVNO PREDSTAWITX Ci KAK b1+ +bk , GDE fb1 : : : bkg = Zi , ZAPISATX aCia;1 KAK SUMMU, I WSPOMNITX, ^TO VE TAKOE KLASS SOPRQVENNYH \LEMENTOW. oPREDELIM CENTR KOLXCA FG KAK MNOVESTWO C (FG) , SOSTOQ]EE IZ WSEH TAKIH w 2 FG , ^TO DLQ L@BOGO a 2 FG IMEET MESTO RAWENSTWO aw = wa .
dOKAZATX, ^TO C (FG) QWLQETSQ PODKOLXCOM KOLXCA FG . pRI \TOM F C (FG) (NAPOMNIM, ^TO POLE F S^ITAETSQ PODKOLXCOM FG ). pROWERITX, ^TO C (FG) | LINEJNOE PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA 6.13.
FG .
32
tEOREMA
|LEMENTY C1 , : : : , Cm QWLQ@TSQ BAZISOM CENTRA GRUPPOWOGO KOLXCA FG KAK LINEJNOGO PROSTRANSTWA NAD POLEM F . 6.2.
kRATKOE DOKAZATELXSTWO pUSTX w = xP2G xx 2 C (FG) . lEGKO PRO.
WERQETSQ, ^TO USLOWIE aw = wa DLQ WSEH a 2 FG RAWNOSILXNO USLOWI@ gw = wg DLQ WSEH g 2 G , ^TO, W SWO@ O^EREDX, \KWIWALENTNO SOOTNOENI@ gwg;1 = w DLQ WSEH g 2 G . sOPOSTAWLQQ W RAWENSTWE g(
X
x2G
xx)g;1 =
X
x2G
xgxg;1 =
X
x2G
x x
KO\FFICIENTY PRI ODNIH I TEH VE BAZISNYH \LEMENTAH, POLU^AEM RAWENSTWO x = gxg; WYPOLNQ@]EESQ DLQ WSEH x I g . iZ NEGO SLEDUET, ^TO ESLI x I y 1
PRINADLEVAT K ODNOMU I TOMU VE KLASSU SOPRQVENNYH \LEMENTOW, TO x = y . tAKIM OBRAZOM, KO\FFICIENTY x ZAWISQT TOLXKO OT KLASSOW Zi , TAKIH, ^TO x 2 Zi . pOLOVIM i = x PRI x 2 Zi , TOGDA \LEMENT w MOVNO ZAPISATX W WIDE X x2G
xx =
m X X i=1 x2Zi
i x =
m X i=1
i(
X
x2Zi
x) =
m X i=1
iCi:
tAKIM OBRAZOM, \LEMENTY Ci POROVDA@T C (FG) KAK LINEJNOE PROSTRANSTWO. lINEJNAQ NEZAWISIMOSTX \TIH \LEMENTOW SLEDUET IZ TOGO, ^TO ONI QWLQ@TSQ SUMMAMI BAZISNYH \LEMENTOW FG , PRI^EM NI W ODNOJ PARE Ci , Cj NET OB]IH SLAGAEMYH. 2 tO, ^TO \TOM DOKAZATELXSTWE SKALQRY (\LEMENTY POLQ) ZAPISANY SLEWA OT WEKTOROW, REZULXTAT (W DANNOM KONKRETNOM SLU^AE) NE POWLIQLO. |LEMENTY C1 , : : : , Cm IGRA@T OSOBU@ ROLX W OPISANII STROENIQ FG . pOKAVEM \TO DALEE NA TREH PROSTYH PRIMERAH. w KA^ESTWE POLQ F WO WSEH SLU^AQH MOVNO BRATX POLE Q . 33
pUSTX G = S3 = f1 a b b2 ab ab2g , GDE a2 = b3 = 1, ba = ab2 . dLQ \TOJ GRUPPY C1 = 1 , C2 = b + b2 , C3 = a + ab + ab2 . pOSKOLXKU \TI \LEMENTY OBRAZU@T BAZIS PODKOLXCA, IH PROIZWEDENIQ ZAPISYWA@TSQ W WIDE IH LINEJNYH KOMBINACIJ. w DANNOM SLU^AE TABLICA UMNOVENIQ \LEMENTOW C1 C2 C3 WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM (PROWERXTE \TO): 6.14.
C1 C2 C1 C1 C2 C2 C2 2C1 + C2 C3 C3 2C3
pOLOVIM
C3 C3 2C3 3(C1 + C2)
e1 = 16 (C1 + C2 + C3) = 16 (1 + C2 + C3) e2 = 13 (2C1 ; C2) = 13 (2 ; C2) e3 = 16 (C1 + C2 ; C3) = 16 (1 + C2 ; C3): qSNO, ^TO e1 e2 e3 2 C (FG) .
1) pRQMYM WY^ISLENIEM POKAVITE, ^TO ei = ei , eiej = 0, e +e +e = 1 DLQ WSEH i I j 6= i . 2) pROWERXTE, ^TO dim(FG)e = 1, dim(FG)e = 1 , dim(FG)e = 4. 3) dOKAVITE, ^TO FG = (FG)e (FG)e (FG)e . 4) dOKAVITE, ^TO (FG)e , (FG)e , (FG)e | PODMODULI G -MODULQ FG . pUSTX G = Q = f1 u x ux y uy z uz g , GDE u = 1 , x = y = u , xu = ux , uy = uy , xy = z , xy = uyx . dLQ \TOJ GRUPPY C = 1 , C = u , C = x + ux , C = y + uy , C = z + uz . sOSTAWXTE TABLICU 2
1
1
2
1
1
6.15.
2
2
2
3
3
3
2
8
2
2
1
2
3
4
5
34
3
UMNOVENIQ \LEMENTOW C1 C2 C3 s4 C5 . pOLOVIM
e1 = 18 (C1 + C2 + C3 + C4 + C5) e2 = 18 (C1 + C2 ; C3 ; C4 + C5) e3 = 18 (C1 + C2 ; C3 + C4 ; C5) e4 = 18 (C1 + C2 ; C3 + C4 ; C5) e3 = 12 (C1 ; C2): 1) pOKAZATX, ^TO e2i = ei , eiej = 0, e1 + e2 + e3 + e4 + e5 = 1 DLQ WSEH i I j 6= i .
2) wY^ISLITX RAZMERNOSTI dim(FG)ei , 1 i 5 . 3) dOKAZATX, ^TO FG = (FG)e (FG)e (FG)e (FG)e (FG)e . 4) dOKAZATX, ^TO (FG)ei | PODMODULI G -MODULQ FG DLQ WSEH 1 i 5. pUSTX G = f1 x x x y y xy xy g , GDE x = 1, x = y , y = xyx , x = yxy . bUDEM S^ITATX IZWESTNYM, ^TO DLQ \TOJ GRUPPY C = 1 , C = x , C = x + x , C = y + y , C = xy + xy . sOSTAWXTE TABLICU UMNOVENIQ \LEMENTOW C C C s C . pOLOVIM e = (C + C + C + C + C ) e = (C + C + C ; C ; C ) e = (C + C ; C ; C + C ) e = (C + C ; C + C ; C ) e = (C ; C ): 1) pOKAZATX, ^TO ei = ei , eiej = 0, e + e + e + e + e = 1 DLQ WSEH i I j 6= i . 2) wY^ISLITX RAZMERNOSTI dim(FG)ei , 1 i 5 . 3) dOKAZATX, ^TO FG = (FG)e (FG)e (FG)e (FG)e (FG)e . 1
2
6.16.
1
2
2
3
2 3 4 3
1 8 1 8 1 8 1 8 1 2
3
2
3
4
4
5
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
1
2
2
35
2
3
2
1
5
2
5
1
2
4
3
4
1
1
3
3
3
3
2
3
4
3
5
4
5
4) dOKAZATX, ^TO (FG)ei | PODMODULI G -MODULQ FG DLQ WSEH 1 i 5. pUSTX G = f1 x x x y xy x y x yg , GDE x = 1 , y = 1 , yx = x y . tAK KAK GRUPPA G | \TO GRUPPA DI\DRA D , TO IZWESTO, ^TO DLQ NEE C = 1 , C = x , C = x + x , C = y + x y , C = xy + x y . sOSTAWXTE TABLICU UMNOVENIQ \LEMENTOW C C C s C . pOLOVIM e = (C + C + C + C + C ) e = (C + C + C ; C ; C ) e = (C + C ; C + C ; C ) e = (C + C ; C ; C + C ) e = (C ; C ): 1) pOKAZATX, ^TO ei = ei , eiej = 0, e + e + e + e + e = 1 DLQ WSEH i I j 6= i . 2) wY^ISLITX RAZMERNOSTI dim(FG)ei , 1 i 5 . 3) dOKAZATX, ^TO FG = (FG)e (FG)e (FG)e (FG)e (FG)e . 4) dOKAZATX, ^TO (FG)ei | PODMODULI G -MODULQ FG DLQ WSEH 1 i 5. 2
6.17.
3
2
3
4
3
2
4
1
2
2
3
3
2
4
1
1
2 3 4 3
1 8 1 8 1 8 1 8 1 2
2
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
1
2
2
1
2
3
4
4
3
3
5 5
5
4
5
rASSMOTRIM PODROBNEE NAIBOLEE PROSTOJ WID PREDSTAWLENIJ | ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ. dLQ OPREDELENNOSTI PUSTX POLEM F DO KONCA \TOGO RAZDELA BUDET TOLXKO POLE KOMPLEKSNYH ^ISEL C . tAK KAK GL1(C) = C , TO ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G | \TO GOMOMORFIZMY IZ G W C . tRADICIONNO TAKIE GOMOMORFIZMY OBOZNA^A@TSQ BUKWOJ (DRUGOE IH NAZWANIE | ODNOMERNYE HARAKTERY GRUPPY G ). oTMETIM ODNO SU]ESTWENNOE SWOJSTWO ODNOMERNYH PREDSTAWLENIJ: 36
ESLI : G ! C | PREDSTAWLENIE, TO (gxg;1) = (x) DLQ L@BYH g x 2 G . |TO ZNA^IT, ^TO PRINIMAET ODNI I TE VE ZNA^ENIQ DLQ \LEMENTOW IZ ODNOGO I TOGO VE KLASSA SOPRQVENNYH \LEMENTOW. dRUGOE NABL@DENIE SOSTOIT W TOM, ^TO ESLI GRUPPA G KONE^NA, PORQDKI WSEH EE \LEMENTOW KONE^NY. sLEDOWATELXNO, ESLI g 2 G , TO gn = 1 DLQ NEKOTOROGO n . oTS@DA (gn) = (g)n = 1 . tAKIM OBRAZOM, (g) 2 Un U . oTS@DA SLEDUET, ^TO (G) Ul , GDE l ESTX NAIMENXEE OB]EE KRATNOE PORQDKOW \LEMENTOW G . w SLEDU@]EM PRIMERE, I PRI REENII DALXNEJIH ZADA^, ISPOLXZUETSQ ODNA KONSTRUKCIQ, KOTORAQ W DANNOM POSOBII PRINIMAETSQ BEZ OBOSNOWANIQ. a IMENNO, PUSTX W GRUPPE G ZADANO MNOVESTWO OBRAZU@]IH X , I DLQ KAVDOGO \LEMENTA g 2 G ZAFIKSIROWANA NEKOTORAQ EGO ZAPISX W WIDE g = x 1 : : : xr1 , W KOTOROJ x : : : xr 2 X . nAZOWEM TAKU@ ZAPISX STANDARTNOJ FORMOJ g . dOPUSTIM E]E, ^TO IZWESTNO NEKOTOROE KOLI^ESTWO SOOTNOENIJ MEVDU \LEMENTAMI X , IME@]IH WID w1 = w2 , GDE w1 = xi 1 : : : xik1 , w2 = xj 1 : : : xjs1 , xi : : : xjs 2 X . |TIH SOOTNOENIJ DOLVNO BYTX DOSTATO^NO DLQ TOGO, ^TOBY MOVNO BYLO S IH POMO]X@ PRIWESTI PROIZWEDENIE STANDARTNYH FORM \LEMENTOW g1 I g2 K STANDARTNOJ FORME \LEMENTA g1g2 , I PO STANDARTNOJ FORME g WY^ISLITX STANDARTNU@ FORMU g;1 . pUSTX KAVDOMU \LEMENTU xi 2 X SOPOSTAWLENO KOMPLEKSNOE ^ISLO ui 2 C . tEOREMA, O KOTOROJ IDET RE^X, UTWERVDAET, ^TO ESLI \TI ^ISLA TAKOWY, ^TO DLQ KAVDOGO SOOTNOENIQ w1 = w2 , O KOTOROM GOWORILOSX WYE, IMEET MESTO RAWENSTWO WIDA 1
1
1
1
ui 1 : : : uik1 = uj 1 : : : ujs1 1
1
1
TO SU]ESTWUET, PRITOM ODNOZNA^NO OPREDELENNYJ, GOMOMORFIZM (ODNOMERNOE PREDSTAWLENIE) : G ;! C , TAKOJ, ^TO (xi ) = ui DLQ WSEH 37
xi 2 X . pRI \TOM, ESLI g = x 1 : : :xr1 , TO h(g) = u 1 : : : ur1 . dOKAZA-
TELXSTWO (I BOLEE TO^NU@ I OB]U@ FORMULIROWKU) MOVNO NAJTI W TEH RAZDELAH KNIG PO TEORII GRUPP, GDE GOWORITSQ O SWOBODNYH GRUPPAH I O ZADANII GRUPP OBRAZU@]IMI I OPREDELQ@]IMI SOOTNOENIQMI. fAKTI^ESKI NA POSLEDNEM \TAPE \TOGO DOKAZATELXSTWA PRIMENQETSQ TEOREMA O GOMOMORFIZME. tO, ^TO PRIMENQETSQ NE WHODQ]IJ W PROGRAMMU KURSA REZULXTAT, NE DOLVNO KAZATXSQ ^EM-TO NEOBY^NYM. nAPRIMER, DEJSTWITELXNYE ^ISLA NA^INA@T ISPOLXZOWATXSQ PRI IZU^ENII MATEMATIKI NAMNOGO RANXE TOGO MOMENTA, KOGDA STUDENTY UZNA@T (ESLI \TO WOOB]E PROISHODIT!), KAKOWO VE IH (DEJSTWITELXNYH ^ISEL) STROGOE POSTROENIE, KOTOROE DALEKO NE TRIWIALXNO. 1
pRIMER
1
nAJDEM WSE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY DI\DRA D2m . nAPOMNIM, ^TO \TO GRUPPA, POROVDENNAQ DWUMQ \LEMENTAMI a I b , KOTORYE UDOWLETWORQ@T SOOTNOENIQM: a2m = b2 = 1, ba = a2m;1b . pOSLEDNEE SOOTNOENIE RAWNOSILXNO RAWENSTWU (ab)2 = 1 (OBOSNUJTE \TO!). |LEMENTY D2m | \TO 1 a a2 : : : a2m;1 b ab a2b : : : a2m;1b . kLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW | f1g , famg , fak a2m;kg , 1 k m ; 1, fb a2b a4b : : : a2m;2bg , fab a3b a5b : : : a2m;1bg . |TA INFORMACIQ POZWOLQET OPISATX ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ W KOMPAKTNOM WIDE: DLQ KAVDOGO DOSTATO^NO ZNATX EGO ZNA^ENIQ LIX DLQ ODNOGO \LEMENTA IZ KAVDOGO KLASSA SOPRQVENNYH \LEMENTOW. iTAK, PUSTX : D2m ;! C | NEKOTOROE ODNOMERNOE PREDSTAWLENIE. pOLOVIM (a) = x 2 C , (b) = y 2 C . tOGDA IZ a2m = b2 = 1 SLEDUET, ^TO x2m = y2 = 1 , A IZ (ab)2 = 1 SLEDUET (xy)2 = 1 . tAK KAK a I b POROVDA@ WS@ GRUPPU D2m , A | GOMOMORFIZM GRUPP, TO PO ZNA^ENIQM x I y ODNOZNA^NO WY^ISLQETSQ ZNA^ENIE NA L@BOM 6.1.
38
\LEMENTE D2m . sLEDOWATELXNO, NAHOVDENIE SWODITSQ K NAHOVDENI@ x I y , TO ESTX K REENI@ SISTEMY URAWNENIJ: 8 > 2m x > > < 2 y > > > : xy 2
=1 =1 ( ) =x y =1 2 2
o^EWIDNO, \TA SISTEMA RAWNOSILXNA SLEDU@]EJ: 8 > < x2 > : y2
=1 =1
|TA SISTEMA LEGKO REAETSQ. iMEETSQ 4 REENIQ, I \TO WSE WOZMOVNYE KOMBINACII ZNA^ENIJ x = 1 , y = 1 . oKON^ATELXNO POLU^AEM TABLICU ZNA^ENIJ DLQ ^ETYREH ODNOMERNYH PREDSTAWLENIJ D2m : 1 2 3 4
1 1 1 1 1
a
1 1 ;1 ;1
b
1 ;1 1 ;1
am
1 1 (;1)m (;1)m
: : : ak ::: 1 ::: 1 : : : (;1)k : : : (;1)k
: : : ab ::: 1 : : : ;1 : : : ;1 ::: 1
w WERHNEJ STROKE UKAZANY PREDSTAWITELI KLASSOW SOPRQVENNYH \LEMENTOW, 2 k m ; 1 . nAJTI ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPP D2m+1 . w ^ASTNOSTI, ^TO PREDSTAWLQ@T IZ SEBQ ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ D3 = S3 ? 6.18.
nAJTI ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY S4 . nAPOMNIM, ^TO \TA GRUPPA POROVDAETSQ \LEMENTAMI S T , DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ S 4 = T 2 = 1 , (ST )3 = 1 (PODROBNOSTI SM. W RAZDELE 2). 6.19.
39
nAJTI ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY A4 . nAPOMNIM, ^TO \TA GRUPPA POROVDAETSQ \LEMENTAMI S R , DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ S 3 = R2 = (SR)3 = 1 (PODROBNOSTI SM. W RAZDELE 2). 6.20.
nAJTI ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY A5 . |TA GRUPPA POROVDAETSQ \LEMENTAMI R S , DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ 6.21.
R2 = S 3 = (RS )5 = 1 .
nAJTI ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY Q8 . nAPOMNIM, ^TO \TA GRUPPA POROVDAETSQ \LEMENTAMI a b , DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ a4 = 1 , b2 = a2 , bab;1 = a2 . ( PODROBNOSTI SM. W RAZDELE 6.22.
3).
nAJTI ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY Un . nAPOMNIM, ^TO \TA GRUPPA QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ. oNA POROVDAETSQ ODNIM \LEMENTOM u , TAKIM, ^TO un = 1 . 6.23.
nAJTI ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY Z . nAPOMNIM, ^TO \TO BESKONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA (PO SLOVENI@), POROVDENNAQ \LEMENTOM 1 (NEJTRALXNYJ \LEMENT ZDESX | NULX!). 6.24.
kAK WYRAVA@TSQ ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ PREDSTAWLENIQ GRUPPY G1 G2 ^EREZ ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ G1 I G2 ? uKAZANIE. pUSTX 1 : G1 ! C , 2 : G2 ! C | PREDSTAWLENIQ. oPREDELIM FUNKCI@ : G1 G2 ! C PO PRAWILU (g1 g2) = 1(g1)2(g2) . dOKAVITE, ^TO \TO PREDSTAWLENIE GRUPPY G1 G2 . kAVDOE LI PREDSTAWLENIE G1 G2 IMEET TAKOJ WID? 6.25.
gRUPPY IZ SLEDU@]EJ SERII ZADANIJ DOLVNY BYTX PODROBNO ISSLEDOWANY W ZADA^AH IZ RAZDELA 3. w ^ASTNOSTI, PRI REENII TEH ZADA^ 40
DOLVNY BYLI BYTX WY^ISLENY KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW \TIH GRUPP, INFORMACIQ O KOTORYH NEOBHODIMA I DLQ REENIQ ZADA^ 6.26 {
.
6.47
6.26.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S S S S S S T ST S T S T S T S T S T S T KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S = T = 1 TS = S T: 2
3
4
5
6
7
8
2
3
2
4
5
6
7
3
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.27.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S S S S S S T ST S T S T S T S T S T S T KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S = T = 1 TS = S T: 2
3
4
5
6
8
7
2
3
2
4
5
6
7
5
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.28.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S S T T T TS TS TS T S T S T S T S T S T S KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S = T = 1 ST = TS : 2
3
2
3
2
4
3
4
2
2
2
2 3
3
3 2
3
3
3
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 41
6.29.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 R R R S S S SR SR SR S R S R S R S R S R S R KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R = S = 1 RS = S R R S = S R: 2
3
2
3
2
4
3
4
2
3
2
3
2
2
3
3
3
3
2
3
3
3
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.30.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 R S T RS RT TR SR ST TS A A A B C D KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R = S = T = 1 RST = TRS = STR (RST ) = 1 TRT = SRS RTR = STS TST = RSR A = RST B = TRT C = RTR D = TST: 2
2
2
3
2
4
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.31.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S S S S S S T ST S T S T S T S T S T S T KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S = T = 1 S = T TS = S T ST = TS : 2
3
8
4
5
4
6
7
4
2
2
3
7
4
5
6
7
7
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 42
6.32.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S S S S S S X SX S X S X S X S X S X S X KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S = X = 1 S = X XS = S X: 2
3
4
5
6
7
8
2
4
4
3
4
2
5
6
7
3
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.33.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S S S S S S X SX S X S X S X S X S X = X S X KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S = X = 1 X = S X = S X = S XS = S X: 2
3
4
5
8
6
8
7
3
2
2
6
4
4
4
6
5
6
2
3
7
5
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.34.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X Y Z XY XZ Y Z (Y Z ) (Y Z ) Y ZY ZY Z XY Z XZY XY ZY XZY Z X (Y Z ) KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X = Y = Z = 1 XY = Y X XZ = ZX ZY = (Y Z ) : 2
3
2
2
2
2
3
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.35.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S S S S S S R SR S R S R S R S R S R S R 2
3
4
5
6
7
2
43
3
4
5
6
7
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM:
S 8 = R4 = 1 S 4 = R2 RS 2 = S 2R3 RS 3 = S 5R:
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.36. dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 R S T R R S S RS SR TR TS TR TRS TR TS TSR KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R = T = 1 R = S = (RS ) RT = TR TS = ST: 2
3
4
3
3
2
2
2
2
3
3
2
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.37. dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 A B A A A A A A B AB A B A B A B A B A B A B KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: A = B = 1 BA = A B: 2
3
4
5
6
7
8
2
2
3
7
5
4
5
6
7
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.38. dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 P Q P P P P P P Q PQ P Q P Q P Q P Q P Q P Q KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: P = Q = 1 QP = P Q: 2
3
4
5
6
8
7
2
2
3
7
3
4
5
6
7
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 44
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
6.39.
1 U U U V V 2
3
2
V 3 V U V U 2 V U 3 V 2U V 3U V 3U 2 V 2U 2 V 2U 3 V 3U 3
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: U 4 = V 4 = 1 U 3V 3 = V 3U:
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
6.40.
1 X X X Y Y Y XY XY XY X Y X Y 2
3
2
2
3
3
2
2
2
X 2Y 3 X 3Y X 3Y 2 X 3Y 3
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 4 = Y 4 = 1 X ;1 = Y XY Y
= XY ; X: 1
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.41.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X Y Z XY XZ ZX Y X Y Z ZY XY Z (XY Z ) (XY Z ) XY X XZX Y XY KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X = Y = Z = 1 XY = Z (XY )Z ZX = Y (ZX )Y ZY = X (ZY )X XY X = ZY Z XZX = Y ZY Y XY = ZXZ: 2
2
2
3
2
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.42.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X Y X X X X X X Y XY X Y X Y X Y X Y X Y X Y 2
3
4
5
6
7
2
45
3
4
5
6
7
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM:
X 8 = 1 X 4 = Y 2 Y XY ;1 = X ;1 XY X = Y:
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.43. dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 U U U U U U U V V UV U V UV U V KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: U = 1 V = U V U V ; = U: 2
3
4
5
6
7
8
3
2
2
4
3
3
2
3
U 3V U 3V 3
1
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.44. dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 C C C C C C C Y CY C Y C Y C Y C Y C Y C Y KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: C = Y Y = C Y = C Y = C Y CY = C : 2
3
8
4
5
8
6
2
7
6
2
4
4
3
6
4
5
6
7
3
2
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.45. dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 A B C AB AC BC (BC ) (BC ) BCB CBC ABC ACB ABCB ACBC A(BC ) KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: A = B = C = (BC ) = 1 AB = BA AC = CA: 2
3
2
2
2
2
4
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 46
6.46.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X X X X X X X Y XY X Y X Y X Y X Y X Y X Y KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: Y = 1 Y = X Y X = X Y Y X = X Y: 2
3
4
5
6
4
7
2
2
4
2
3
4
6
5
6
7
7
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G . 6.47. dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X X X Y Y Z XY Y X ZX ZY ZX ZXY ZX ZY ZY X KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X = Y = (XY ) Z = (XY ) = 1 ZXZ ; = X ZY Z ; = Y: 2
2
3
2
3
2
2
2
4
3
1
3
1
wY^ISLITX W QWNOM WIDE WSE RAZLI^NYE ODNOMERNYE PREDSTAWLENIQ GRUPPY G .
7.
gRUPPY WRA]ENIJ
nAPOMNIM, ^TO MATRICA A S DEJSTWITELXNYMI \LEMENTAMI, DLQ KOTOROJ A;1 = tA , NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ. mNOVESTWO WSEH ORTOGONALXNYH n n -MATRIC OBOZNA^AETSQ ^EREZ O(n) I NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ GRUPPOJ. pODMNOVESTWO O(n), SOSTOQ]EE IZ MATRIC S EDINI^NYMI OPREDELITELQMI, NAZYWAETSQ SPECIALXNOJ ORTOGONALXNOJ GRUPPOJ I OBOZNA^AETSQ ^EREZ SO(n). 7.1. dOKAZATX, ^TO O (n) I SO (n) QWLQ@TSQ PODGRUPPAMI GRUPPY GLn(R) . dOKAZATX, ^TO SO(n) | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY O(n), I WY^ISLITX FAKTORGRUPPU O(n)=SO(n). 47
pUSTX J | PROIZWOLXNAQ n n -MATRICA S KOMPONENTAMI IZ POLQ R . rASSMOTRIM MNOVESTWO GJ , SOSTOQ]EE IZ WSEH TEH X 2 GLn (R), KOTORYE UDOWLETWORQ@T RAWENSTWU 7.2.
t XJX
= J:
dOKAZATX, ^TO GJ QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY GLn(R) .
zAMETIM, ^TO PRI J = En GRUPPA GJ SOWPADAET S O(n). wYBIRAQ MATRICY J INYMI SPOSOBAMI, MOVNO POLU^ITX MNOGO DRUGIH INTERESNYH PRIMEROW GRUPP. nAA CELX | PODROBNO IZU^ITX GRUPPY SO(2) I SO(3). nA^NEM S SO(2). pUSTX 0 1 A = B@ a b CA 2 SO(2): c d
tOGDA IZ A(tA) = E2 I det(A) = 1 SLEDUET, ^TO a2 + b2 = c2 + d2 = 1 , ac + bd = 0 , ad ; bc = 1 . 7.3.
wYWESTI OTS@DA, ^TO MATRICU A MOVNO PREDSTAWITX W WIDE 0 1 cos ' ; sin ' CA ' 2 0 2): A = A(') = B@
sin ' cos ' tAKIM OBRAZOM, GRUPPA SO(2) SOSTOIT IZ WSEH MATRIC TAKOGO WIDA. gEOMETRI^ESKAQ INTERPRETACIQ LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ, ZADAWAEMOGO MATRICEJ A | POWOROT NA UGOL ' PROTIW ^ASOWOJ STRELKI. pROWERXTE \TO. dALEE NAM POTREBUETSQ OPREDELENIE KOLXCA. pRIMERY KOLEC I POLEJ WSTRE^A@TSQ STUDENTU-MATEMATIKU NA^INAQ S PERWOGO KURSA, TAK ^TO IH POQWLENIE NE DOLVNO OKAZATXSQ ^EM-TO NEOVIDANNYM I SOWERENNO NEZNAKOMYM. 48
aSSOCIATIWNOE KOLXCO R | \TO MNOVESTWO S DWUMQ BINARNYMI OPREACIQMI, SLOVENIEM I UMNOVENIEM. oTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ R QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ (ILI ABELEWOJ) GRUPPOJ, NEJTRALXNYM \LEMENTOM KOTOROJ QWLQETSQ NULX, A OTNOSITELXNO UMNOVENIQ | POLUGRUPPOJ (W NAIH PRIMERAH WSEGDA S EDINICEJ). oPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ SWQZANY DRUG S DRUGOM SLEDU@]IM SWOJSTWOM: x(y z ) = xy xz (x y)z = xz yz
DLQ L@BYH x y z 2 R . oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO x0 = 0x = 0 DLQ KAVDOGO x 2 R . aSSOCIATIWNYE KOLXCA ^ASTO NAZYWA@TSQ PROSTO KOLXCAMI. kOLXCO NAZYWAETSQ KOMMUTATIWNYM, ESLI xy = yx DLQ WSEH x y 2 R . kOMMUTATIWNOE KOLXCO NAZYWAETSQ POLEM, ESLI KAVDYJ EGO NENULEWOJ \LEMENT IMEET OBRATNYJ PO UMNOVENI@, TO ESTX DLQ KAVDOGO x = 6 0 SU]ESTWUET y , TAKOJ, ^TO xy = yx = 1 . iNYMI SLOWAMI, MNOVESTWO R n f0g OKAZYWAETSQ (KOMMUTATIWNOJ) GRUPPOJ PO UMNOVENI@. wOT PRIMERY KOLEC I POLEJ, KOTORYE DOLVNY BYTX IZWESTNY KAVDOMU STUDENTU-MATEMATIKU, OKON^IWEMU PERWYJ KURS. pREVDE WSEGO, KOLXCO CELYH ^ISEL Z . dALEE, POLQ Q R C . zATEM KOLXCO KWADRATNYH n n -MATRIC NAD POLEM F , OBOZNA^AEMOE ^EREZ Mn(F ) . oNO NEKOMMUTATIWNO. nAKONEC, KOLXCA MNOGO^LENOW OT n PEREMENNYH NAD POLEM F , OBOZNA^AEMYE KAK F x1 : : : xn]. pODKOLXCOM R0 KOLXCA R NAZYWAETSQ EGO PODMNOVESTWO, KOTOROE QWLQETSQ PODGRUPPOJ R PO SLOVENI@, SODERVIT EDINICU KOLXCA R I ZAMKNUTO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ, TO ESTX ESLI x y 2 R0 , TO xy 2 R0 . gOMOMORFIZM h IZ KOLXCA R1 W KOLXCO R2 (GOMOMORFIZM KOLEC)| \TO OTOBRAVENIE h : R1 ;! R2 , QWLQ@]EESQ GOMOMORFIZMOM ABELEWYH GRUPP (T.E. h(x + y) = h(x) + h(y) I h(0) = 0), I OBLADA@]EE, KROME 49
TOGO, SWOJSTWAMI h(xy) = h(x)h(y) , h(1) = 1 . iZOMORFIZM KOLEC OPREDELQETSQ TO^NO TAK VE, KAK IZOMORFIZM GRUPP. w KONE^NOM S^ETE \TO BIEKTIWNYJ GOMOMORFIZM. bUDEM S^ITATX, ^TO ^ITATELX ZNAKOM S POLEM KOMPLEKSNYH ^ISEL C I EGO SWOJSTWAMI. oBY^NOE OPREDELENIE SOSTOIT W TOM, ^TO C | \TO LINEJNOE (ILI WEKTORNOE) PROSTRANSTWO RAZMERNOSTI 2 NAD POLEM DEJSTWITELXNYH ^ISEL R , PRI^EM SAMO POLE R SODERVITSQ W C KAK PODPROSTRANSTWO, I SU]ESTWUET BAZIS C NAD R IZ DWUH \LEMENTOW: 1 2 R I i . tAKIM OBRAZOM, KAVDYJ \LEMENT z 2 C ODNOZNA^NO ZAPISYWAETSQ KAK LINEJNAQ KOMBINACIQ BAZISNYH WEKTOROW z = a 1 + b i S KO\FFICIENTAMI a b 2 R . tEOREMA 7.1. pOLE KOMPLEKSNYH ^ISEL IZOMORFNO I KAK KOLXCO, I KAK LINEJNOE PROSTRANSTWO NAD R , KOLXCU KWADRATNYH MATRIC WIDA 0 1 a ; b B@ CA S \LEMENTAMI a b 2 R .
b a
dOKAZATELXSTWO wWEDEM OBOZNA^ENIE: ESLI z = a + bi , TO .
A(z ) =
0 B@ a
1 ;b CA :
b a
|LEMENTARNYE WY^ISLENIQ S MATRICAMI WTOROGO PORQDKA POKAZYWA@T, ^TO A(1) = E , A(0) = 0 , A( z ) = A(z ) DLQ 2 R , A(z1 + z2) = A(z1) + A(z2) , I, NAKONEC, A(z1z2) = A(z1)A(z2) . wSE \TO OZNA^AET, ^TO SOOTWETSTWIE z 7! A(z ) ESTX GOMOMORFIZM KOLEC I LINEJNYH PROSTRANSTW NAD POLEM R . o^EWIDNO, ^TO ON IN_EKTIWEN I S@R_EKTIWEN. 2 lEGKO PROWERQETSQ, ^TO jz j2 = a2 + b2 = det(A(z )) . o^EWIDNO TAKVE, ^TO SO(2) SODERVITSQ W KOLXCE MATRIC WIDA A(z ) , z 2 C . 50
dOKAZATX, ^TO OGRANI^ENIE IZOMORFIZMA KOLEC z 7! A(z ) NA PODGRUPPU U GRUPPY C QWLQETSQ IZOMORFIZMOM MEVDU GRUPPAMI U I 7.4.
SO(2).
eSLI z 2 U , TO z = cos ' + i sin ' , TAK ^TO A(z ) = A(') . pEREJDEM K IZU^ENI@ SO(3). dLQ PROIZWOLXNOJ n n -MATRICY A PUSTX fA (x) | EE HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN, RAWNYJ det(xEn ; A) . nAPOMNIM, ^TO \TO MNOGO^LEN n -J STEPENI I EGO SWOBODNYJ ^LEN RAWEN (;1)n det(A). tAK KAK OPREDELITELX TRANSPONIROWANNOJ MATRICY SOWPADAET S OPREDELITELEM ISHODNOJ MATRICY, TO det(xEn ; A) = det(t(xEn ; A)) = det(xEn ; tA) . tAKIM OBRAZOM, fA(x) = f(tA)(x) . eSLI VE A;1 = tA , TO PREDSTAWLQQ En KAK A(tA) , POLU^IM xEn ; A = xA(tA) ; A = xA(tA ; x1 E ): wY^ISLIM OPREDELITELX OT LEWOJ I PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA: fA (x) = det(xA(tA ; x1 E )) = det(xA)det(tA ; x1 E ) = = xndet(A)(;1)ndet( x1 En ; tA) = (;1)nxndet(A)f(tA)( x1 ) = = (;1)nxndet(A)fA( x1 ) eSLI K TOMU VE det(A) = 1, TO 0 NE QWLQETSQ KORNEM fA (x) , I ESLI fA( ) = 0, TO fA( 1 ) = 0. iNYMI SLOWAMI, ESLI | SOBSTWENNOE ZNA^ENIE MATRICY IZ SO(n), TO I 1 | TAKVE SOBSTWENNOE ZNA^ENIE. lEMMA 7.1. u L@BOJ NEEDINI^NOJ MATRICY IZ SO(3) ODNO (I TOLXKO ODNO) IZ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ RAWNO EDINICE. dOKAZATELXSTWO. pONQTNO, ^TO U EDINI^NOJ 3 3 -MATRICY EDINICA QWLQETSQ EDINSTWENNYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM, IME@]IM KRATNOSTX TRI, I ^TO \TO SWOJSTWO HARAKTERIZUET TOLXKO EDINI^NU@ MATRICU. dOPUSTIM, ^TO A = 6 E3 , I PUSTX 1 2 3 | SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ A . 51
tOGDA 1 2 3 = det(A) = 1 . pREDPOLOVIM, ^TO WSE TRI KORNQ WE]ESTWENNY. eSLI, NAPRIMER, 3 6= 1 (\TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TO 3 6= 1 ), 3 1 TO 3 = . w ^ASTNOSTI, TOGDA I 2 6= 1 , A TAK KAK W \TOM SLU2 ^AE 2 3 = 1 I 1 2 3 = 1, TO 1 = 1. eSLI VE DLQ WSEH i = 1 2 3 IME@T MESTO RAWENSTWA i = 1 , TO 2i = 1 , i = 1 . eDINSTWENNAQ i DOPUSTIMAQ ZDESX (S U^ETOM TOGO, ^TO 1 2 3 = 1 ) KOMBINACIQ: ODNO SOBSTWENNOE ZNA^ENIE RAWNO EDINICE, DWA DRUGIH RAWNY MINUS EDINICE. eSLI NE WSE SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ WE]ESTWENNY, TO NADO ISPOLXZOWATX TO, ^TO U MNOGO^LENA S DEJSTWITELXNYMI KO\FFICIENTAMI ^ISLO, SOPRQVENNOE K KOMPLEKSNOMU KORN@, TAKVE QWLQETSQ KORNEM. sLEDOWATELXNO, WSE TRI KORNQ 1 2 3 U MNOGO^LENA S DEJSTWITELXNYMI KO\FFICIENTAMI fA (x) NE MOGUT BYTX KOMPLEKSNYMI. nAPRIMER, 1 | DEJSTWITELXNOE ^ISLO, 2 I 3 | KOMPLEKSNYE (TO ESTX NE DEJSTWITELXNYE), 3 = 2 . tOGDA 1 2 3 = 1j 22j = 1 . oTS@DA SDEDUET, ^TO 1 > 0 . u^ITYWAQ, ^TO ^ISLO 1 TAKVE DOLVNO BYTX KORNEM fA (x) , PRIHODIM 1 1 K WYWODU, ^TO 1 = , OTKUDA 1 = 1 . dWA DRUGIH SOBSTWENNYH ZNA1 ^ENIQ PO PREDPOLOVENI@ NE QWLQ@TSQ DEJSTWITELXNYMI, I PO\TOMU NE RAWNY EDINICE. 2 rASSMOTRIM V = Rn KAK EWKLIDOWO PROSTRANSTWO SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM (v1 v2) . lINEJNOE PREOBRAZOWANIE : V ! V NAZYWAETSQ ORTOGONALXNYM, ESLI DLQ L@BYJ v1 v2 2 V WYPOLNQETSQ RAWENSTWO ( (v1) (v2)) = (v1 v2) . oRTOGONALXNOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE WSEGDA OBRATIMO. w SAMOM DELE, DOPUSTIM, ^TO NE IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE. tOGDA SU]ESTWUET WEKTOR v 2 V , v = 6 0, TAKOJ, ^TO (v) = 0 . sLEDOWATELXNO, ( (v) (v)) = (0 0) = 0. nO, S DRUGOJ STORONY, DOLVNO BYTX ( (v) (v)) = (v v) > 0. zNA^IT, LINEJNOE OTOBRAVENIE IN_EKTIWNO, 52
I OTOBRAVAET L@BOE MNOVESTWO IZ m n LINEJNO NEZAWISIMYH \LEMENTOW W m RAZLI^NYH NEZAWISIMYH \LEMENTOW. nO PROSTRANSTWO V KONE^NOMERNO, I OBLADAET BAZISOM IZ n \LEMENTOW. oTOBRAVENIE PEREWODIT \TOT BAZIS W MNOVESTWO IZ n LINEJNO NEZAWISIMYH \LEMENTOW, KOTOROE W SILU \TOGO TOVE OBQZANO BYTX BAZISOM. oTS@DA SLEDUET, ^TO
S@R_EKTIWNO. dOKAVITE, ^TO ESLI | ORTOGONALXNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE, TO LINEJNOE OTOBRAVENIE ;1 TAKVE ORTOGONALXNO, I ^TO ESLI : V ! V | DRUGOE ORTOGONALXNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE, TO ORTOGONALXNA I SUPERPOZICIQ . 7.5.
tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE 1V : V ! V , O^EWIDNO, TOVE ORTOGONALXNO. iZ WSEGO \TOGO SLEDUET, ^TO MNOVESTWO WSEH ORTOGONALXNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ V W V OBRAZU@T GRUPPU, KOTORU@ MY BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ O(V ). iZ LINEJNOJ ALGEBRY IZWESTNO, ^TO ESLI WYBRATX W V KAKOJ-NIBUDX ORTONORMIROWANNYJ BAZIS, TO MATRICA W \TOM BAZISE QWLQETSQ ORTOGONALXNOJ. i NAOBOROT, ESLI ZAFIKSIROWATX W PROSTRANSTWE WEKTOROWSTOLBCOW Rn STANDARTNYJ BAZIS I OTOVDESTWLQTX KAVDU@ ORTOGONALXNU@ MATRICU A S LINEJNYM OTOBRAVENIEM v 7! Av , TO \TO OTOBRAVENIE BUDET ORTOGONALXNYM OTNOSITELXNO SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ (x y) = Pn xi yi , GDE i=1 x=
0 BB BB B@
x1
..
xn
1 CC CC CA
y=
0 BB BB B@
y1
..
yn
1 CC CC : CA
oTS@DA SLEDUET, ^TO TEM VE SPOSOBOM, KOTORYM W RAZDELE 6 STROILSQ IZOMORFIZM MEVDU GL(V ) I GLn(F ) , MOVNO POLU^ITX IZOMORFIZM 53
MEVDU O(V ) I O(n) . oTLI^IE SOSTOIT TOLXKO W TOM, ^TO BAZIS W PROSTRANSTWE V DOLVEN WYBIRATXSQ ORTONORMIROWANNYM. oPREDELITELEM PROIZWOLXNOGO LINEJNOGO OTOBRAVENIQ QWLQETSQ OPREDELITELX MATRICY A \TOGO OTOBRAVENIQ W L@BOM BAZISE. oPREDELITELX MATRICY A NE MENQETSQ PRI PEREHODE K MATRICE XAX ;1 , I \TO POKAZYWAET, ^TO OT WYBORA BAZISA OPREDELITELX NE ZAWISIT. tEM SAMYM ZADAETSQ PODGRUPPA SO(V ) GRUPPY O(V ) , SOSTOQ]AQ IZ ORTOGONALXNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ, OPREDELITELI KOTORYH RAWNY EDINICE. oGRANI^ENIE OPISANNOGO WYE IZOMORFIZMA MEVDU O(V ) I O(n) NA PODGRUPPU SO(V ) QWLQETSQ IZOMORFIZMOM MEVDU SO(V ) I SO(n) . pO MERE NEOBHODIMOSTI UDOBNO NE DELATX RAZLI^IJ MEVDU ORTOGONALXNYMI MATRICAMI I ORTOGONALXNYMI LINEJNYMI OTOBRAVENIQMI (PRI FIKSIROWANNOM ORTONORMIROWANNOM BAZISE). nAPOMNIM E]E NESKOLXKO NEOBHODIMYH DLQ DALXNEJEGO FAKTOW. pUSTX V1 | INWARIANTNOE OTNOSITELXNO PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA V . |TO ZNA^IT, ^TO (v) 2 V1 DLQ L@BOGO v 2 V1 . oGRANI^ENIE
NA INWARIANTNOE PODPROSTRANSTWO V1 BUDET ORTOGONALXNYM LINEJNYM OTOBRAVENIEM 1 : V1 ! V1 . nAPRIMER, INWARIANTNYMI PODPROSTRANSTWAMI BUDUT PODPROSTRANSTWA SOBSTWENNYH WEKTOROW, OTWE^A@]IH SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM . rASSMOTRIM DALEE ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE V2 PODPROSTRANSTWA V1 . oNO SOSTOIT IZ WSEH TEH v2 2 V , DLQ KOTORYH (v1 v2) = 0 DLQ KAVDOGO v1 2 V1 . iME@T MESTO DWA WAVNYH FAKTA. wO-PERWYH, V = V1 V2 . wO-WTORYH, PODPROSTRANSTWO V2 , KAK I V1 , QWLQETSQ INWARIANTNYM. pUSTX 2 : V2 ! V2 | ORTOGONALXNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE, QWLQ@]EESQ OGRANI^ENIEM NA V2 . wYBEREM KAKIENIBUDX ORTONORMIRWANNYE BAZISY W V1 I V2 , I PUSTX Ai ( i = 1 2) | MATRICY i W \TIH BAZISAH. tOGDA MATRICA W ORTONORMIROWANNOM BAZISE V , QWLQ@]EMSQ OB_EDINENIEM WYBRANNYH BAZISOW V1 I V2 , 54
IMEET SLEDU]IJ BLO^NYJ WID:
0 B@ A1
0
0
A2
1 CA :
eSLI PERWONA^ALXNO BYL WYBRAN KAKOJ-TO DRUGOJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS V , I A ESTX LINEJNOGO OTOBRAVENIQ W \TOM BAZISE, TO SU]ESTWUET OBRATIMAQ (TAKVE ORTOGONALXNAQ) MATRICA X , TAKAQ ^TO XAX ;1 =
0 B@ A1
0
0
A2
1 CA :
w SLU^AE MATRICY A 2 SO(3) I SOOTWETSTWU@]EGO LINEJNOGO OTOBRAVENIQ SITUACIQ WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX V1 | ODNOMERNOE INWARIANTNOE PODPROSTRANSTWO, BAZISNYJ WEKTOR KOTOROGO QWLQETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM , OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ EDINICA. tOGDA 1 | TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE S MATRICEJ (1) , A PODPROSTRANSTWO V2 DWUMERNO, TAK ^TO MATRICA A2 OTOBRAVENIQ 2 PRINADLEVIT GRUPPE SO(2) (PO^EMU det(A2) = 1?). iSPOLXZUQ TO, ^TO UVE IZWESTNO O MATRICAH IZ SO(2), PRIHODIM K SLEDU@]EMU WYWODU.
A 2 SO(3) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI DLQ NEKOTOROJ ORTOGONALXNOJ MATRICY X IMEET MESTO RAWENSTWO:
tEOREMA
7.2.
XAX ;1
1 0 0 1CC = 0 cos ' ; sin ' CCCA 0 sin ' cos ' 0 BB BB B@
wWEDEM ODIN SPECIALXNYJ TIP LINEJNYH PREOBRAZOWANIJ. pUSTX w 2 V | NENULEWOJ WEKTOR. oPREDELIM OTOBRAVENIE w : V ;! V PO FORMULE: v w) w: w (v) = v ; 2 ((w w) 55
dOKAVITE, ^TO w
7.6.
| LINEJNOE OTOBRAVENIE, I ^TO w; = w . 1
~TOBY PROWERITX, ^TO (w (v1) w (v2)) = (v1 v2) , PRODELAEM SLEDU@]IE WYKLADKI.
(w(v ) w(v )) = (v ; 2 ((vw ww)) w v ; 2 ((vw ww)) w) = = (v v ) ; 2 ((vw ww)) (w v ) ; 2 ((vw ww)) (v w) + 4 ((vw ww)) ((vw ww)) (w w) = = (v v ): tAKIM OBRAZOM, w | ORTOGONALXNOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE. pUSTX V = hwi | PODPROSTRANSTWO S BAZISOM w . lEGKO PROWERITX, ^TO w (w) = ;w , TAK ^TO \TO PODPROSTRANSTWO INWARIANTNO OTNOSITELXNO w . pUSTX V | ORTOONALXNOE DOPOLNENIE K V . pOKAVITE, ^TO v 2 V TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI w (v) = v . 1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
7.7.
1
2
wWIDU WSEGO \TOGO OTOBRAVENIQ w NAZYWA@TSQ (ZERKALXNYMI) OTRAVENIQMI OTNOSITELXNO GIPERPLOSKOSTI V2 . dRUGOE NAZWANIE DLQ TAKIH OTOBRAVENIJ | PEREWERTYWANIQ. oTMETIM E]E ODNO SWOJSTWO OTRAVENIJ: ESLI 2 R = 6 0 , TO w = w (PROWERXTE!). wWIDU \TOGO SWOJSTWA WEKTOR w MOVNO PRI NEOBHODIMOSTI S^ITATX NORMIROWANNYM, T.E. (w w) = 1 . wY^ISLIM OPREDELITELX w . wYBEREM ORTONORMIROWANNYJ BAZIS V , WZQW W KA^ESTWE PERWOGO BAZISNOGO WEKTORA e1 = w (KOTORYJ MOVNO S^ITATX NORMIROWANNYM), A W KA^ESTWE n ; 1 DRUGIH | KAKOJ-NIBUDX ORTONORMIROWANNYJ BAZIS e2 : : : en PROSTRANSTWA V2 . tOGDA PO OPREDELENI@ w POLU^IM w (e1) = ;e1 , w (e2) = e2 , : : : , w (en) = en . 56
sLEDOWATELXNO, MATRICA w W \TOM BAZISE TAKOWA: 0 1 BB ;1 0 : : : 0 CC
1 : : : 0 CCCC .. . . . .. CCC 0 ::: 1 A oPREDELITELX \TOJ MATRICY RAWEN ;1 , I, TAKIM OBRAZOM, w 2= SO(n). oDNAKO IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA. BB BB BB B@
tEOREMA SO(2) VENIJ.
0 .. 0
kAVDOE NETOVDESTWENNOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE IZ I SO(3) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUPERPOZICII DWUH OTRA7.3.
dOKAZATELXSTWO pUSTX 2 SO(2) . tAK KAK 6= 1 , TO SU]ESTWU.
@T DWA WEKTORA a 6= b , TAKIE, ^TO b = (a) . pOLOVIM c = a ; b I RASSMOTRIM OTRAVENIE c . wY^ISLIM S (b) = b ; 2 ((cb cc)) c: iZWESTNO, ^TO W L@BOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE (v1 v2) = 12 (k v1 + v2 k2 ; k v1 k2 ; k v2 k2): (pRAWAQ ^ASTX | \TO WYRAVENIE 21 ((v1 + v2 v1 + v2) ; (v1 v1) ; (v2 v2)) = 1 ((v1 v1) + (v1 v2) + (v2 v1) + (v2 v2) ; (v1 v1) ; (v2 v2)) , I PRI \TOM 2
(v v ) = (v v ).) pUSTX v = b , v = c , TOGDA v + v = a , I MY PRIHODIM K RAWENSTWU: 2(b c) =k a k ; k b k ; k c k : tEPERX WSPOMNIM, ^TO OTOBRAVENIE ORTOGONALXNO. |TO ZNA^IT, ^TO k a k = (a a) = ( (a) (a)) = (b b) =k b k . w KONE^NOM S^ETE POLU^AETSQ, ^TO 2(b c) = ; k c k = (c c) . pODSTAWLQQ \TO W WYRAVENIE DLQ (b) , PRIHODIM K RAWENSTWU: c (b) = b + c = b + a ; b = a: 1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
S
57
tEPERX RASSMOTRIM ORTOGONALXNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE = c . pO POSTROENI@ (a) = c( (a)) = c(b) = a . wYBEREM WEKTOR w 6= 0 TAK, ^TOBY (a w) = 0 . pOSKOLXKU WSE PROISHODIT POKA W DWUMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE, TO WEKTORY a w BUDUT EGO BAZISOM. wWIDU TOGO, ^TO PODPROSTRANSTWO V1 = hai INWARIANTNO OTNOSITELXNO , INWARIANTNYM BUDET I EGO ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE V2 = hwi . sLEDOWATELXNO, (w) = w DLQ NEKOTOROGO 2 R . iZ ORTOGONALXNOSTI SLEDUET, ^TO ( (w) (w)) = (w w) > 0 . nO, S DRUGOJ STORONY, ((w) (w)) = ( w w) = 2(w w). oTS@DA 2 = 1 . eSLI = +1, TO = 1 , T.E. c = 1 , A TAK KAK c = c;1 , TO = c . nO \TO PROTIWORE^IT WYBORU 2 SO(2). sLEDOWATELXNO, (w) = ;w , A \TO ZNA^IT, ^TO = w . iZ w = c TEPERX POLU^AEM = c w . pUSTX TEPERX V | TEHMERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, I 2 SO(3) | NETOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE. kAK UVE BYLO POKAZANO, U IMEETSQ SOBSTWENNOE ZNA^ENIE, RAWNOE EDINICE. wYBEREM KAKOJ-NIBUDX SOBSTWENNYJ WEKTOR e1 , OTWE^A@]IJ \TOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@, I PUSTX V1 = he1i | POROVDENNOE IM PODPROSTRANSTWO. o^EWIDNO, ^TO (v) = v DLQ KAVDOGO v 2 V1 . pUSTX V2 | ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE V1 . |TO | DWUMERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, I ONO INWARIANTNO OTNOSITELXNO
. oGRANI^ENIE NA V2 QWLQETSQ \LEMENTOM GRUPPY SO(2) . oBOZNA^IM EGO ^EREZ 0 . o^EWIDNO, ^TO \TO | NETOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE. k 0 2 SO(2) PRIMENIMO UVE DOKAZANNOE WYE UTWERVDENIE O TOM, ^TO \TO | SUPERPOZICIQ DWUH OTRAVENIJ. nO \TO OTRAVENIQ W V2 , A NE W V ! oBOZNA^IM IH ^EREZ c0 w0 . zDESX w c 2 V2 . tAKIM OBRAZOM, PUSTX
0 = c0w0 . tEPERX RASSMOTRIM OTRAVENIQ c I tv , DEJSTWU@]IE WO WSEM PROSTRANSTWE V . pOSKOLXKU FORMULY, PO KOTORYM ONI ZADA@TSQ, T.E. c) c I (v) = v ; 2 (v w) w c(v) = v ; 2 ((v w c c) (w w) 58
TE VE SAMYE, ^TO I U c0 I w0 , A OTLI^IE SOSTOIT TOLXKO W TOM, ^TO ARGUMENTY v PRINIMA@T ZNA^ENIQ WO WSEM PROSTRANSTWE V , TO OGRANI^ENIQ c I w NA V2 SOWPADA@T S c0 w0 . sLEDOWATELXNO, ESLI v 2 V2 , TO (v) = 0 (v) = c0(t0w (v)) = c (tw(v)) . eSLI VE v 2 V1 , TO, TAK KAK c w 2 V2 , A V2 | ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE K V1 , TO (v c) = (v w) = 0, I c(v) = w(v) = v = (v) . iTAK, ESLI v 2 V1 ILI v 2 V2 , TO
(v) = c(w (v)) . tAK KAK V = V1 V2 , TO \TO WERNO I DLQ WSEH v 2 V . sLEDOWATELXNO, = cw . 2 oPIEM NEKOTORYE KONE^NYE PODGRUPPY GRUPPY SO(3) . pRIMER 7.1. pUSTX Zn | CIKLI^ESKAQ GRUPPA PORQDKA n . eSLI x | KAKOJ-NIBUDX OBRAZU@]IJ Zn , TO xn = 1 I Zn = f1 x : : : xn;1g . oPREDELIM OTOBRAVENIE h : Zn ;! SO(3), POLAGAQ 1 2 k 2 k cos n ; sin n 0 CCC C h(xk ) = sin 2k cos 2k 0 CCC n n CCA 0 0 1 0 BB BB BB BB B@
lEGKO UBEDITXSQ, ^TO h QWLQETSQ IN_EKTIWNYM GOMOMORFIZMOM. oBRAZ h , TAKIM OBRAZOM, CIKLI^ESKAQ PODGRUPPA PORQDKA n GRUPPY SO(3), PRI^EM n > 0 | PROIZWOLXNOE CELOE ^ISLO. dOKAVITE, ^TO h DEJSTWITELXNO QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM, I \TO OTOBRAVENIE IN_EKTIWNO. 7.8.
pRIMER
7.2.
nAPOMNIM, ^TO GRUPPA DI\DRA Dn OPISYWAETSQ KAK
59
PODGRUPPA GL2(R) , POROVDENNAQ MATRICAMI
1 2 k 2 k 0 1 cos n ; sin n CCC 0 1 CA : CC I b = B@ a= 2k A 10 sin 2k cos n n bUDEM S^ITATX IZWESTNYM, ^TO GRUPPA Dn SOSTOIT IZ SLEDU@]IH 2n \LEMENTOW: 1 a a : : : an; b ab a b : : : an; b: pRI \TOM an = 1 , b = 1 , ba = an; b . s POMO]X@ \TIH TREH SOOTNOENIJ MOVNO PROIZWESTI L@BYE OPERACII S \LEMENTAMI Dn , NE OBRA]AQSX K IH MATRI^NOJ FORME. rASSMOTRIM SLEDU@]IE \LEMENTY SO(3): 0 1 2 2 0 1 BB cos CC ; sin 0 0 1 0 n n CC BB BB CC B C B A = BB sin 2 cos 2 0 CC B = BB 1 0 0 CCC : BB @ A n n CCA @ 0 0 ; 1 0 0 1 pRQMYM WY^ISLENIEM MOVNO POKAZATX, ^TO PODGRUPPA GRUPPY SO(3), POROVDENNAQ MATRICAMI A I B , SOSTOIT IZ 2n \LEMENTOW: 0 BB BB B@
2
2
1
2
1
1
E A A2 : : : An;1 B AB A2B : : : An;1B:
pRI \TOM An = B 2 = E I BA = AB n;1 . oTS@DA LEGKO SLEDUET, ^TO \TA PODGRUPPA SO(3) IZOMORFNA GRUPPE Dn , PRI^EM PRI IZOMORFIZME SOOTWETSTWU@T DRUG DRUGU \LEMENTY A I a, B I b. pROWEDITE PODROBNO WY^ISLENIQ I DOKAZATELXSTWA, OPU]ENNYE W PRIMERE 7.2. 7.9.
60
pUSTX ; R3 | NEKOTOROE PODMNOVESTWO W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE (NAPRIMER, GEOMETRI^ESKAQ FIGURA: SFERA, AR, KUB, TETRA\DR I T.P.). oPREDELIM G; KAK MNOVESTWO WRA]ENIJ 2 SO(3), OBLADA@]IH SWOJSTWOM (;) = ; . iNYMI SLOWAMI, POWOROT (A MY UVE ZNAEM, ^TO \TO POWOROT WOKRUG NEKOTOROJ OSI) SOWME]AET MNOVESTWO ; S SAMIM SOBOJ. |LEMENTY S TAKIM SWOJSTWOM ESTESTWENNO NAZWATX SIMMETRIQMI MNOVESTWA (GEOMETRI^ESKOJ FIGURY) ; . hOTQ WRA]ENIQ NE QWLQ@TSQ EDINSTWENNYM WIDOM SIMMETRII GEOMETRI^ESKIH FIGUR, MY NE BUDEM RASSMATRIWATX ZDESX DRUGIE WIDY SIMMETRIJ, A SOSREDOTO^IMSQ NA MNOVESTWAH G; . dOKAVEM, ^TO G; ESTX PODGRUPPA SO(3). w SAOM DELE, QSNO, ^TO TOVDESTWENNOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE (EDINICA GRUPPY SO(3)) OTOBRAVAET ; W ; , I POTOMU PRINADLEVIT G; . eSLI (;) = ; I (;) = ; , TO (;) = ( (;)) = (;) = ; , A ZNA^IT 2 G; . i, NAKONEC, ESLI
(;) = ; , TO ;1 ( (;)) = ;1 (;) , OTKUDA ; = ;1(;) I ;1 2 G; . bUDEM NAZYWATX G; GRUPPOJ SIMMETRIJ ILI GRUPPOJ WRA]ENIJ FIGURY ; . oTMETIM E]E, ^TO OPREDELENO DEJSTWIE G; ; ;! ;: pARE 2 G; SO(3) I v 2 ; R3 SOPOSTAWLQETSQ TO^KA (WEKTOR)
v = (v) . pROWERKU OPREDELENIQ DEJSTWIQ ^ITATELX DOLVEN RASSMATRIWATX KAK (NETRUDNU@) ZADA^U.
pRIMER
pRIMER
7.3.
pRIMENIM OB]U@ KONSTRUKCI@ PREDYDU]EGO PRIMERA K PROSTOMU, NO INTERESNOMU ^ASTNOMU SLU^A@. pUSTX ; | KUB, GEOMETRI^ESKIJ CENTR KOTOROGO POME]EN W NA^ALO KOORDINAT. mOVNO PREDSTAWLQTXS SEBE \TOT KUB WPISANNYM W SFERU EDINI^NOGO RADIUSA, HOTQ 7.4.
61
\TO I NE PRINCIPIALXNO. gRUPPA G; W DANNOM SLU^AE NOSIT NAZWANIE GRUPPY WRA]ENIJ KUBA I OBOZNA^AETSQ W NEKOTORYH KNIGAH (NAPRIMER, W 3]) ^EREZ O . dLQ TOGO, ^TOBY OCENITX SNIZU PORQDOK \TOJ GRUPPY, MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ GEOMETRI^ESKIMI SOOBRAVENIQMI, I NAJTI W KUBE NESKOLXKO OSEJ SIMMETRII, WRA]ENIQ WOKRUG KOTORYH PEREWODQT KUB SAM W SEBQ. wO-PERWYH, \TO MNOVESTWO IZ TREH OSEJ, SOEDINQ@]IH CENTRY PROTIWOPOLOVNYH GRANEJ KUBA. gRANEJ WSEGO 6, I \TO KWADRATY. sLEDOWATELXNO, OSEJ BUDET TRI TUKI. oBOZNA^IM MNOVESTWO TAKIH OSEJ ^EREZ X . wOKRUG KAVDOJ OSI IZ X MOVNO OSU]ESTWITX TRI NETRIWIALXNYH POWOROTA KUBA: NA 90 , 180 I 270 . pOWOROT NA 360 PEREMESTIT KUB W ISHODNOE POLOVENIE, I PO\TOMU EGO DEJSTWIE \KWIWALENTNO DEJSTWI@ EDINICY GRUPPY O (A ZNA^IT, ON I ESTX \TA SAMAQ EDINICA). tAKIM OBRAZOM, POLU^AEM 9 RAZLI^NYH \LEMENTOW O (TRI OSI TRI POWOROTA WOKRUG KAVDOJ IZ NIH). lEGKO PROWERITX, ^TO WSE \TI 9 WRA]ENIJ RAZLI^NY. wO-WTORYH, RASSMOTRIM OSI SIMMETRII, SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPOLOVNYH REBER KUBA. rEBER U KUBA 12, PO\TOMU TAKIH OSEJ BUDET 6. oBOZNA^IM MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ NIH, ^EREZ Y . ~ITATEL@ REKOMENDUETSQ NARISOWATX KARTINKU, GDE IZOBRAVENA HOTQ BY ODNA TAKAQ OSX, ^TOBY LEG^E BYLO PONQTX, ^TO WOKRUG KAVDOJ TAKOJ OSI WOZMOVEN LIX ODIN NETRIWIALXNYJ POWOROT NA 180 . sLEDOWATELXNO, POLU^AEM E]E 6 \LEMENTOW GRUPPY O . w-TRETXIH, RASSMOTRIM DIAGONALI KUBA. |TO MNOVESTWO (OBOZNA^IM EGO ^EREZ Z ) SOSTOIT IZ ^ETYREH \LEMENTOW. wYBRAW ODNU IZ DIAGONALEJ, I NARISOWAW KUB TAKIM OBRAZOM, ^TOBY \TA DIAGONALX BYLA PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI RISUNKA, LEGKO UWIDETX, ^TO NETRIWIALXNYH POWOROTOW WOKRUG \TOJ OSI WSEGO DWA: NA 120 I NA 240 . tAKIM OBRA62
ZOM, POLU^AEM E]E 8 \LEMENTOW GRUPPY O . dOBAWLQQ K UVE PERE^ISLENNYM EDINICU GRUPPY, DELAEM WYWOD, ^TO W \TOJ GRUPPE NE MENEE 24 \LEMENTOW. 7.10. ~TOBY SNQTX WOZNIKA@]IJ WOPROS O TOM, A NET LI SREDI NAJDENNYH \LEMENTOW (WRA]ENIJ) NA SAMOM DELE SOWPADA@]IH, MOVNO POSTUPITX SLEDU@]IM OBRAZOM. oBOZNA^IM ^EREZ V ert MNOVESTWO WSEH WERIN KUBA. iH WSEGO 8, I MOVNO PERENUMEROWATX IH ^ISLAMI OT 1 DO 8. kAVDOE WRA]ENIE IZ O KAKIM-TO OBRAZOM PERESTAWLQET MESTAMI \TI WERINY, I \TO OPREDELQET DEJSTWIE O V ert ;! V ert: |TOMU DEJSTWI@ SOOTWETSTWUET GOMOMORFIZM O ;! S8 , SOPOSTAWLQ@]IJ WRA]ENI@ SOOTWETSTWU@]U@ EMU PODSTANOWKU (PERESTANOWKU MNOVESTWA WERIN). o^EWIDNO, ^TO \TOT GOMOMORFIZM IN_EKTIWEN. tEPERX MOVNO WY^ISLITX WSE PODSTANOWKI IZ S8 , SOOTWETSTWU@]IE OPISANNYM WYE WRA]ENIQM. pRODELAJTE \TI WY^ISLENIQ, I UBEDITESX, ^TO WSEM DWADCATI ^ETYREM WRA]ENIQM SOOTWETSTWU@T RAZNYE PODSTANOWKI IZ S8 .
dOKAZATX, ^TO OPISANNOE WYE DEJSTWIE O NA V ert TRANZITIWNO, TO ESTX IMEET WSEGO ODNU ORBITU. uKAZANIE. tRANZITIWNOSTX W DANNOM SLU^AE OZNA^AET, ^TO DLQ L@BYH DWUH v1 v2 2 V ert NAJDETSQ 2 O TAKOJ, ^TO v2 = (v1 ). oKAZYWAETSQ, ^TO MOVNO OBOJTISX TOLXKO SUPERPOZICIQMI WRA]ENIJ WOKRUG OSEJ IZ MNOVESTWA X . w SAMOM DELE, ESLI v1 I v2 RASPOLOVENY NA ODNOJ GRANI KUBA, TO DOSTATO^NO ODNOGO TAKOGO WRA]ENIQ. eSLI v1 I v2 RASPOLOVENY NA SMEVNYH GRANQH, TO NAJDETSQ WERINA KUBA v , KOTORAQ PRINADLEVIT ODNOWREMENNO GRANI, SODERVA]EJ v1 , I GRANI, SODERVA]EJ v2 . w \TOM SLU^AE NADO SNA^ALA OSU]ESTWITX POWOROT, PEREWODQ]IJ 7.11.
63
v1 W v , A ZATEM POWOROT, PERWODQ]IJ v W v2 . oSTAETSQ RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA v1 I v2 PRINADLEVAT NESMEVNYM GRANQM. pRODOLVIM IZU^ENIE DEJSTWIQ O NA MNOVESTWE V ert WERIN KUBA. pUSTX v 2 V ert . ~TO MOVNO SKAZATX O STABILIZATORE St(v) \TOJ WERINY? eSLI 2 St(v) , TO DOLVNA SU]ESTWOWATX OSX WRA]ENIQ ,
I ONA SOSTOIT W TO^NOSTI IZ WSEH TEH TO^EK R3 , KOTORYE NE MENQ@TSQ POD DEJSTWIEM . sLEDOWATELXNO, SAMA WERINA v DOLVNA LEVATX NA \TOJ OSI. nO IZWESTNA E]E ODNA TO^KA OSI WRA]ENIQ : NA^ALO KOORDINAT, GEOMETRI^ESKIJ CENTR KUBA. oSX, PROHODQ]AQ ^EREZ \TI DWE TO^KI, SODERVIT DIAGONALX KUBA, I, SLEDOWATELXNO, WSE WRA]ENIQ WOKRUG \TOJ OSI (I TOLXKO ONI), SODERVA]IESQ W O , BUDUT OSTAWLQTX NA MESTE WERINU v . tAKIH WRA]ENIJ WSEGO 3, I ONI OBRAZU@T WS@ PODGRUPPU St(v) . pRIMENIM K \TOJ SITUACII IZWESTNYJ REZULXTAT: MO]NOSTX ORBITY RAWNA INDEKSU O PO STABILIZATORU L@BOGO \LEMENTA ORBITY. w NAEJ SITUACII MO]NOSTX ORBITY IZWESTNA I RAWNA 8, A INDEKS RAWEN jOj=jSt(v)j = 31 jOj . oTS@DA POLU^AEM jOj = 3 8 = 24 . iZ \TOGO SLEDUET, ^TO O SOSTOIT TOLXKO IZ OPISANNYH RANEE WRA]ENIJ, I DRUGIH \LEMENTOW W GRUPPE O NET. 7.12. uBEDITESX, ^TO WRA]ENIQ, PEREWODQ]IE KUB SAM W SEBQ, OTOBRAVA@T OSI SIMMETRII IZ MNOVESTW X , Y , Z W OSI SIMMETRII IZ TEH VE SAMYH MNOVESTW. tEM SAMYM OPREDELENY TRI DEJSTWIQ GRUPPY O : O X ;! X O Y ;! Y O Z ;! Z I TRI SOOTWETSTWU@]IH IM GOMOMORFIZMA O ;! S3 O ;! S6 O ;! S4: wY^ISLITE W QWNOM WIDE, W KAKIE PODSTANOWKI IZ S3 , S6 I S4 OTOBRAVA@TSQ OPISANNYE WYE QWNO WRA]ENIQ IZ GRUPPY O . dOKAVITE, ^TO DEJSTWIQ O NA X , Y , Z TRANZITIWNY. 64
rASSMOTRIM BOLEE PODROBNO DEJSTWIE GRUPPY WRA]ENIJ KUBA NA MNOVESTWE IZ ^ETYREH DIAGONALEJ KUBA, I SOOTWETSTWU@]IJ EMU GOMOMORFIZM h : O ;! S4 . wY^ISLIM QDRO \TOGO GOMOMORFIZMA. oNO DOLVNO SOSTOQTX IZ WRA]ENIJ, OSTAWLQ@]IH NEPODWIVNYMI WSE ^ETYRE DIAGONALI KUBA. nO KROME TOVDESTWENNOGO LINEJNOGO OTOBRAVENIQ, NIKAKOJ IZ PERE^ISLENNYH WYE 23 NETRIWIALXNYH \LEMENTOW GRUPPY O TAKIM SWOJSTWOM NE OBLADAET (PROWERXTE \TO). tAKIM OBRAZOM, IMEET MESTO IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPPY O , SOSTOQ]EJ IZ 24 \LEMENTOW, W GRUPPU S4 , TAKVE SOSTOQ]U@IZ 24 \LEMENTOW. sLEDOWATELXNO, \TOT GOMOMORFIZM QWLQETSQ BIEKCIEJ. tEM SAMYM DOKAZANA SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA
7.4.
gRUPPA WRA]ENIJ KUBA
O
IZOMORFNA GRUPPE S4 .
oPIEM WKRATCE, W KAKIE PODSTANOWKI OTOBRAVAET GOMOMORFIZM IZ I 270 WOKRUG OSEJ IZ MNOO W S4 \LEMENTY O . wRA]ENIQ NA 90 VESTWA Y OTOBRAVA@TSQ W CIKLY DLINY 4. wRA]ENIQ NA 180 OTOBRAVA@TSQ W PROIZWEDENIQ DWUH NEZAWISIMYH TRANSPOZICIJ. wRA]ENIQ NA 180 WOKRUG OSEJ IZ MNOVESTWA Y OTOBRAVA@TSQ W TRANSPOZICII. nAKONEC, WRA]ENIQ WOKRUG DIAGONALEJ OTOBRAVA@TSQ W TROJNYE CIKLY. wSE \TO PROWERQETSQ PRQMYMI WY^ISLENIQMI, PRI^EM UDOBNEE WSEGO W KAVDOM SLU^AE RISOWATX KARTINKU. rASSMOTRIM GRUPPU WRA]ENIJ TETRA\DRA, GEOMETRI^ESKIJ CENTR KOTOROGO NAHODITSQ W NA^ALE KOOORDINAT. uDOBNO PREDSTAWLQTX SEBE TETRA\DR WPISANNYM W KUB. tOGDA DIAGONALI KUBA OKAVUTSQ WYSOTAMI TETRA\DRA, T.E. LINIQMI, PROWEDENNYMI IZ WERIN TETRA\DRA PERPENDIKULQRNO PROTIWOLEVA]IM GRANQM.
pRIMER
7.5.
65
oBOZNA^IM ^EREZ T GRUPPU WRA]ENIJ TETRA\DRA. eSLI PREDSTAWITX SEBE KUB WMESTE SO WPISANNYM W NEGO TETRA\DROM KAK VESTKU@ KONSTRUKCI@, TO STANOWITSQ QSNO, ^TO L@BOE WRA]ENIE TETRA\DRA, SOWME]A@]EE EGO S SAMIM SOBOJ, BUDET TAKVE I WRA]ENIEM KUBA, T.E. \LEMENTOM GRUPPY O . tAKIM OBRAZOM, T KAK PODGRUPPA SO(3) BUDET TAKVE I PODGRUPPOJ O SO(3). bIEKTIWNYJ GOMOMORFIZM O ! S4 BIEKTIWNO OTOBRAVAET PODGRUPPU T NA NEKOTORU@ PODGRUPPU S4 . wYQSNIM, ^TO \TO ZA PODGRUPPA. lEGKO PROWERQETSQ, ^TO WRA]ENIQ NA 180 WOKRUG OSEJ SIMMETRII KUBA, SOEDINQ@]IH SEREDINY PROTIWOPOLOVNYH GRANEJ KUBA (MNOVESTWO Y ) NE QWLQ@TSQ SIMMETRIQMI TETRA\DRA. nE QWLQ@TSQ SIMMETRIQMI WPISANNOGO TETRA\DRA TAKVE WRA]ENIQ NA 90 I 270 WOKRUG OSEJ, SOEDINQ@]IH SEREDINY PROTIWOPOLOVNYH GRANEJ KWADRATA. |TI OSI SOEDINQ@T SEREDINY PROTIWOPOLOVNYH (WZAIMNO PERPENDIKULQRNYH) REBER TETRA\DRA, I WRA]ENIQ WOKRUG NIH NA 180 SIMMETRIQMI TETRA\DRA QWLQ@TSQ. nAKONEC, KAK UVE BYLO SKAZANO, DIAGONALI KUBA SODERVAT W SEBE WYSOTY WPISANNOGO TETRA\DRA, I KAVDOE WRA]ENIE KUBA WOKRUG \TIH OSEJ (NA 120 I 240 ) SOOTWETSTWUET WRA]ENI@ TETRA\DRA WOKRUG SWOEJ SOOTWETSTWU@]EJ WYSOTY, SOWME]A@]]EMU TETRA\DR S SAMIM SOBOJ. dRUGIH WRA]ATELXNYH SIMMETRIJ U TETRA\DRA NET. wSPOMINAQ, W KAKIE PODSTANOWKI IZ S4 OTOBRAVA@TSQ OPISANNYE TOLXKO ^TO WRA]ENIQ, WIDIM, ^TO \TO WSEWOZMOVNYE CIKLY DLINY 3 I PROIZWEDENIQ CIKLOW DLINY 2. wSE \TI PODSTANOWKI (WMESTE S EDINI^NOJ) OBRAZU@T ZNAKOPEREMENNU@ GRUPPU A4 . tAKIM OBRAZOM, DOKAZANA SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA
7.5.
gRUPPA
T
WRA]ENIJ TETRA\DRA IZOMORFNA GRUPPE A4 .
66
kROME KUBA I TETRA\DRA, W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IME@TSQ E]E TRI PRAWILXNYH MNOGOGRANNIKA: OKTA\DR, IKOSA\DR I DODEKA\DR. |TO TAK NAZYWAEMYE \PLATONOWY TELA". nEKOTORYE PODROBNOSTI O NIH MOVNO UZNATX W 22]. oKTA\DR TESNO SWQZAN S KUBOM: ESLI SOEDINITX OTREZKAMI SEREDINY GRANEJ KUBA, TO POLU^ITSQ KONTUR OKTA\DRA | PRAWILXNOGO 8-GRANNIKA, WSE GRANI KOTOROGO QWLQ@TSQ RAWNOSTORONNIMI TREUGOLXNIKAMI. wRA]ATELXNYE SIMMETRII OKTA\DRA I KUBA POLNOSTX@ SOWPADA@T, \TO ODNA I TA VE PODGRUPPA GRUPPY SO(3) , OBOZNA^ENNAQ WYE ^EREZ O . sAMO NAZWANIE, KSTATI, UKAZYWAET NA OKTA\DR. iKOSA\DR | \TO PRAWILXNYJ 20-GRANNIK, WSE GRANI KOTOROGO RAWNOSTORONNIE TREUGOLXNIKI, A DODEKA\DR | PRAWILXNYJ 12-GRANNIK, WSE GRANI KOTOROGO PRAWILXNYE PQTIUGOLXNIKI. iKOSA\DR SWQZAN S DODEKA\DROM PRIMERNO TAK VE, KAK OKTA\DR S KUBOM: SOEDINENIE CENTROW GRANEJ IKOSA\DRA OTREZKAMI PRQMYH OBRAZUET KONTUR DODEKA\DRA, A SOEDINENIE CENTROW GRANEJ DODEKA\DRA OBRAZUET IKOSA\DR. pO\TOMU U \TIH MNOGOGRANNIKOW ODNA I TA VE GRUPPA WRA]ATELXNYH SIMMETRIJ, NAZYWAEMAQ GRUPPOJ IKOSA\DRA I OBOZNA^AEMAQ ^EREZ I . rASSUVDENIQ, ANALOGI^NYE TEM, KOTORYE BYLI ISPOLXZOWANY PRI IZU^ENII GRUPPY O (TOLXKO BOLEE DLINNYE) POKAZYWA@T, ^TO SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ TEOREMA:
tEOREMA
7.6.
iMEET MESTO IZOMORFIZM: I
= A5 :
oKAZYWAETSQ, ^TO DRUGIH KONE^NYH PODGRUPP, KROME GRUPP, IZOMORFNYH Zn , Dn , O , T , I , W GRUPPE SO(3) NET. pODROBNOE DOKAZATELXSTWO \TOGO FAKTA MOVNO NAJTI W x 3 GLAWY 3 KNIGI 3]. kNIGA 3], WPRO^EM, NE QWLQETSQ PERWOJ, GDE PRIWEDENO \TO DOKAZATELXSTWO: SM., NAPRIMER, 67
KNIGU 23]. sU]ESTWENNYE PODROBNOSTI O GRUPPAH SIMMETRII GEOMETRI^ESKIH FIGUR MOVNO NAJTI TAKVE W GLAWE 11 KNIGI 24]. o PRIMENENIQH TEORII GRUPP W FIZIKE, KOTORYE TAKVE SWQZANY S PONQTIEM SIMMETRII, MOVNO UZNATX IZ KNIG 26], 27], 28]. iDEQ SIMMETRII I NEKOTORYE DRUGIE PRIMENENIQ TEORII GRUPP (NAPRIMER, W KRISTALLOGRAFII) NA POPULQRNOM UROWNE OBSUVDAETSQ W KNIGE 25]. oTMETIM, NAKONEC, PEREWOD STAROJ KNIGI f.kLEJNA 18], GDE OPISYWA@TSQ SWQZI MEVDU GRUPPOJ WRA]ENIJ IKOSA\DRA I TAKIMI, NA PERWYJ WZGLQD, SLABO SWQZANNYMI S NEJ TEORIQMI, KAK DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ, TEORIQ INWARIANTOW I T.D.
8.
oBOZNA^IM ^EREZ GDE z1 z2 2 C
tEOREMA
H
kWATERNIONY
MNOVESTWO WSEWOZMOVNYH MATRIC WIDA 0 B@
z1 z2 ;z 2 z 1
1 CA
| KOMPLEKSNYE ^ISLA.
mNOVESTWO H QWLQETSQ PODKOLXCOM KOLXCA WSEH KOMPLEKSNOZNA^NYH 2 2 -MATRIC M2(C) , A TAKVE PODPROSTRANSTWOM M2(C) KAK LINEJNOGO PROSTRANSTWA NAD POLEM R . 8.1.
dOKAZATELXSTWO o^EWIDNO, ^TO NULEWAQ I EDINI^NAQ MATRICY SO.
. iZ RAWENSTW 1 0 1 0 w w z w CA B@ CA = B@ ;w w (;z ) (;w )
DERVATSQ W MNOVESTWE 0 B@
z1 z2 ;z 2 z 1
H
1
2
2
1
1
0 B@
1
2
= ;(zz
ww ) 68
1
1
2
2
1
z2 w2 CA = z 1 w11 2 z2 w2 CA (z1 w1)
I
0 B@
10
1
z1 z2 CA B@ w1 w2 CA ; z 2 z 1 ;w 2 w 1
= =
0 B@ z1w1 ; z2w2 ;z w ; z w 0 2 1 1 2 B@ z1w1 ; z2w2
1
z1w2 + z2w1 CA = ;z 2w2 + z 1w1 1 z1w2 + z2w1 CA ;(z2 w1 + z1w2) (;z2w2 + z1w1)
SLEDUET, ^TO MNOVESTWO H ZAMKNUTO OTNOSTITELXNO SLOVENIQ, WY^ITANIQ I UMNOVENIQ. tAKIM OBRAZOM, ONO QWLQETSQ PODKOLXCOM KOLXCA M2(C) . pUSTX 2 R , z1 z2 2 C . tOGDA 0 B@
z1 z2 ;z2 z1
1 C A
=
0 B@
z1 z2 ; z2 z1
1 CA
=
0 B@
z1 z2 ; z2 z1
1 CA :
iTAK, ADDITIWNAQ PODGRUPPA GRUPPA H LINEJNOGO PROSTRANSTWA M2(C) ZAMKNUTA OTNOSTITELXNO UMNOVENIQ NA \LEMENTY POLQ R . sLEDOWATELXNO, ONA QWLQETSQ LINEJNYM PROSTRANSTWOM NAD \TIM POLEM | PODPROSTRANSTWOM M2(C) . 2 |LEMENTY KOLXCA H NAZYWA@TSQ KWATERNIONAMI. kOLXCO KWATERNIONOW W NEKOTORYH OTNOENIQH POHODIT NA POLE KOMPLEKSNYH ^ISEL. w DALXNEJEM BUDEM OBOZNA^ATX KWATERNIONY PODUVIRNYMI BUKWAMI, NAPRIMER, q . pUSTX q
tOGDA q
pOLOVIM 1
0 t B@
1 C A
=
0 B @
1
t + ix y + iz CA : ;y + iz t ; ix
0 x B@
1 CA
= 10 01 + 0i ;0i +
0 B @
= 10 01
1 CA
i
0 B@
= 0i ;0i
1 CA
j
69
0 y B@ 0 B@
1 CA
0 z B@
0 1 + 0i ;1 0 i 0
= ;01 10
1 CA
k
0 B@
1 CA :
= 0i 0i
1 CA
TAK ^TO q = t1 + xi + yj + z k . o^EWIDNO, ^TO 1 i j k | BAZIS R LINEJNOGO PROSTRANSTWA H . |LEMENT 1 QWLQETSQ EDINICEJ KOLXCA H , A SOOTWETSTWIE 7! 1 ESTX IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM POLQ R W KOLXCO H . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO wq = qw DLQ KAVDOGO q TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI w = 1 DLQ NEKOTOROGO 2 R (ESLI ^ITATELX WSE VE ISPYTAL ZATRUDNENIQ, TO ON MOVET POSMOTRETX DOKAZATELXSTWO TEOREMY 9.1 IZ SLEDU@]EGO RAZDELA). wWIDU \TOGO, KOGDA RE^X IDET O KWATERNIONAH, PRINQTO OTOVDESTWLQTX \LEMENTY 1 S \LEMENTAMI 2 R . tAKIM OBRAZOM, BUDEI ISPOLXZOWATXSQ ZAPISX q = t + xi + yj + z k . \tABLICA UMNOVENIQ" DLQ \LEMENTOW BAZISA H WYGLQDIT TEPERX SLEDU@]IM OBRAZOM: 2 2 2 i = j = k = ;1 ij = k = ;ji jk = i = ;kj ki = j = ;ik: iZ \TOGO SLEDUET, WO-PERWYH, ^TO KOLXCO H NEKOMMUTATIWNO. wOWTORYH, ^TO L@BOE IZ PODPROSTRANSTW R + Ri , R + Rj , R + Rk ESTX PODKOLXCO, IZOMORFNOE POL@ C . tAKIM OBRAZOM, KOLXCO H SODERVIT W SEBE I POLE R , I POLE C . dLQ PROIZWOLXNOGO KWATERNIONA q = t + xi + yj + z k OPREDELIM SOPRQVENNYJ K NEMU KWATERNION q = t ; xi ; yj ; z k . w MATRI^NOJ FORME, ESLI 0 1 q
= B@ ;zz 1
2
TO q
=
0 B@ z1
z2 CA z1
;z2
z2 z1
1 CA :
o^EWIDNO, ^TO, KAK I DLQ SOPRQVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL, 1q1 + 2q2 = 1q1 = 2q2 PRI 1 2 2 R . 70
q
= , q
8.1.
pROWERITX, ^TO
0 B@ jz1j2
1 CA
+ jz j 0 = = 0 jz j + jz j = = (jz j + jz j ) = jz j + jz j = t + x + y + z : wWIDU \TOGO LOGI^NO NAZWATX ^ISLO = KWADRATOM MODULQ KWATERNIONA I OBOZNA^ITX ^EREZ j j . eSLI MYSLITX KWATERNION qq
qq
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
qq
q
q
2
2
2
2
qq
2
q
KAK WEKTOR W ^ETYREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE S KOORDINATAMI (t x y z), TO EGO MODULX jqj = pqq = pt2 + x2 + y2 + z2 QWLQETSQ DLINOJ \TOGO WEKTORA. ~ASTO ^ISLO qq = qq 2 R H NAZYWAETSQ TAKVE NORMOJ KWATERNIONA q I OBOZNA^AETSQ ^EREZ N (q) . i NORMA, I MODULX KWATERNIONA | NEOTRICATELXNYE DEJSTWITELXNYE ^ISLA, N (q) = jqj2 . 8.2.
pROWERITX, ^TO N (q) = 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI
zAMETIM E]E, ^TO
q
= 0.
1 CA
0 det B@
z1 z2 = jz j2 + jz j2: 1 2 ;z2 z1 tEOREMA 8.2. kAVDYJ NENULEWOJ \LEMENT KOLXCA RATNYM (PO UMNOVENI@) \LEMENTOM.
H
OBLADAET OB-
dOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM 2 , 6= 0. tOGDA
=1 = N ( ) > 0 . wWIDU TOGO, ^TO N ( ) 2 , SU]ESTWUET \LEMENT N ( ) 2 . uMNOVIM \TOT \LEMENT NA WSE ^ASTI RAWENSTW = = N ( ) . pOLU^IM ( N 1( ) ) = ( N 1( ) ) = 1: sLEDOWATELXNO, ; = N 1( ) . zAMETIM, ^TO \TA FORMULA OBOB]AET FORMULU DLQ OBRATNOGO K KOMPLEKSNOMU ^ISLU. 2 .
q
q
q
H
q
R
qq
q
q q
1
q
q
q
71
qq q
R
q
qq
q
q
qq
q
kOLXCO H POHODIT NA POLE, NO POLQ PO OPREDELENI@ KOMMUTATIWNY. aSSOCIATIWNYE KOLXCA, KOTORYE NE OBQZATELXNO KOMMUTATIWNY, NO OBLADA@T TEM SWOJSTWOM,^TO KAVDYJ IH NENULEWOJ \LEMENT IMEET OBRATNYJ PO UMNOVENI@, NAZWYA@TSQ TELAMI. tAKIM OBRAZOM, KOLXCO H NAZYWAETSQ TELOM KWATERNIONOW (ILI GAMILXTONOWYH KWATERNIONOW). ~EREZ H OBOZNA^IM MNOVESTWO NENULEWYH KWATERNIONOW. |TO GRUPPA PO UMNOVENI@. |LEMENTY 1 , i , j , k OBRAZU@T PODGRUPPU GRUPPY H . |TA PODGRUPPA IZOMORFNA GRUPPE Q8 , WWEDENNOJ WYE W RAZDELE 2. 8.3.
oPIEM ODIN SPOSOB WY^ISLENIJ S KWATERNIONAMI. oTOVDESTWIM POLE C S PODKOLXCOM R + Ri TELA H . pUSTX u = t + xi v = y + z i | DWA KOMPLEKSNYH ^ISLA. tOGDA t + xi + yj + z k = t + xi + yj + xij = (t + xi) + (y + z i)j = u + vj
(1)
pRI \TOM jv = yj + z ji = yj ; z ij = (y ; z i)j = vj . |TOGO SOOTNOENIQ WMESTE S RAWENSTWOM j2 = ;1 (PL@S SWOJSTWA KOMPLEKSNYH ^ISEL) WPOLNE DOSTATO^NO DLQ TOGO, ^TOBY PROWODITX WY^ISLENIQ S KWATERNIONAMI, ZAPISANNYMI W FORME (1). zAMETIM, ^TO ZAPISX (1) MOVNO ISTOLKOWATX E]E I TAK: H ESTX LINEJNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM C S BAZISOM IZ DWUH \LEMENTOW: 1 (ILI 1 ) I j . oTMETIM, ^TO q
=u;v : j
pRIMENIM \TU TEHNIKU DLQ REENIQ NESKOLXKIH ZADA^.
pRIMER
8.1.
dOKAVEM, ^TO ^TO
q1 q2
72
=
q2 q1
DLQ L@BYH q1 q2 2 H .
pREDSTAWIM KWATERNIONY q1 I u2 + v2j , u1 v1 u2 v2 2 C . tOGDA q1 q2
q2
W FORME (1):
q1
= (u u
; v1v2) + (u1 v2 + u2v1)j
= (u u
; v 1v2) ; (u1 v2 + u2v1)j
1 2
=u +v , = 1
1j
(2)
wY^ISLQEM SOPRQVENNYJ KWATERNION: q1 q2
s DRUGOJ STORONY,
1 2
q2
= us ; vs s = 1 2: sLEDOWATELXNO, SOGLASNO (2), POLU^IM q q = (v u ; v v ) + (;v u ; u v ) : tAKIM OBRAZOM, IMEET MESTO TREBUEMOE RAWENSTWO. qs
2 1
2 1
8.4.
j
2 1
2 1 j
2 1
dOKAZATX, ^TO N (q1q2) = N (q1)N (q2) I jq1q2j = jq1j jq2j .
rEIM URAWNENIE q2 = ;1 . pUSTX q = u + vj , u = t + xi , v = y + z i . iSPOLXZUQ (2), POLU^AEM RAWENSTWO:
pRIMER
8.2.
q
2
= (u ; vv) + v(u + u) 2
(3)
j
pRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH BAZISNYH WEKTORAH U q2 I ;1 = (;1)1 + 0j , POLU^AEM SISTEMU URAWNENIJ S DWUMQ KOMPLEKSNOZNA^NYMI NEIZWESTNYMI u I v : 8 > < u2 ; jvj2 = ;1
(u + u) = 0 nA^NEM SO WTOROGO URAWNENIQ. iZ v(u + u) = 0 SLEDUET, ^TO LIBO v = 0 , LIBO u + u = 0 . iTAK, PUSTX u + u = 0 . tAK KAK u = t + x , TO \TO > :v
i
73
RAWNOSILXNO RAWENSTWU t = 0 . w \TOM SLU^AE u2 = (xi)2 = ;x2 , I PERWOE URAWNENIE PREWRA]AETSQ W
;x2 ; jvj2 = ;x2 ; y2 ; z 2 = ;1 ILI
x2 + y2 + z 2 = 1
(4)
iTAK, REENIQMI URAWNENIQ q2 = ;1 BUDUT WSE q = u + vj , TAKIE, ^TO u = xi , v = y + z i , I x y z UDOWLETWORQ@T SOOTNOENI@ (4). rAZBEREM SLU^AJ v = 0 . tOGDA PERWOE URAWNENIE PREWRA]AETSQ W u2 = ;1 . eSLI u = t + xi , TO POLU^AEM SISTEMU IZ DWUH URAWNENIJ S DWUMQ NEIZWESTNYMI t x , PRINIMA@]IMI DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ: 8 > < t2 ; x2 = ;1 (5)
2tx = 0 iZ WTOROGO URAWNENIQ (5) SLEDUET, ^TO LIBO t = 0, LIBO x = 0 (WOZMOVNO, ^TO I TO, I DRUGOE). eSLI t = 0 , TO x = 1, A TAK KAK v = 0 OZNA^AET y = z = 0, TO POLU^ILISX REENIQ IZ MNOVESTWA, OPISYWAEMOGO RAWENSTWAMI t = 0 I (4). eSLI VE x = 0 , TO PRIHODIM K PROTIWORE^I@: t = ;1 ( NAPOMNIM, ^TO t MOVET BYTX TOLXKO DEJSTWITELXNYI). > :
2
2
8.5.
rEITX URAWNENIE
q
8.6.
rEITX URAWNENIE
q
2 2
= +1 . + +1= 0. q
iSSLEDOWATX KWATERNIONNYE REENIQ URAWNENIQ GDE a b 2 R . 8.7.
74
q
2
+a +b = 0, q
pRIMER
8.3.
+ = 2t = a , TOVDESTWO:
q
q
zAMNENQQ
q
+
= t + x + y + z . tOGDA = t ; x ; y ; z , = t + x + y + z = b , a b 2 . rASSMOTRIM
pUSTX qq
q
i
2
2
j
2
k
q
2
i
j
k
R
; (q + q)q + qq = 0: NA a , I qq NA b , POLU^AEM RAWENSTWO: 2
q
q
2
q
; aq + b = 0:
iTAK, KAVDYJ KWATERNION QWLQETSQ KORNEM NEKOTOROGO KWADRATNOGO URAWNENIQ S DEJSTWITELXNYMI KO\FFICIENTAMI.
tEOREMA
pUSTX TOMU, ^TO q2 0 . 8.3.
q
= t+x +y +z i
j
k.
uSLOWIE t = 0 RAWNOSILXNO
0 OZNA^AET W ^ASTNOSTI, ^TO KWATERNION q2 QWLQETSQ SKALQRNYM, T.E. PRINADLEVIT MNOVESTWU R = f 1j 2 Rg , T.E. q2 = 1 , GDE 2 R , I PRI \TOM < 0 . wY^ISLQQ 2 q I PRODELYWAQ WYKLADKI, ANALOGI^NYE TEM, ^TO BYLI PRODELANY W PRIMERE 8.2, POLU^AEM SISTEMU IZ NERAWENSTWA I URAWNENIQ: 8 > < u2 ; jvj2 0 (6)
dOKAZATELXSTWO uSLOWIE .
q
> :v
2
(u + u) = 0
iTAK, \TA SISTEMA RAWNOSILXNA USLOWI@ q2 0 . eSLI t = 0 , TO u = xi , u = ;xi , u + u = 0 , I WTOROE RAWENSTWO IZ (6) WYPOLNENO. s DRUGOJ STORONY, u2 = ;x2 , I PERWOE NERAWENSTWO IZ (6) PREWRA]AETSQ W
;x2 ; y2 ; z 2 0
A \TO WERNO DLQ L@BYH DEJSTWITELXNYH x y z . 75
oBRATNO, REAQ SISTEMU (5), NA^INAEM SO WTOROGO URAWNENIQ. sLU^AJ u + u = 0 AWTOMATI^ESKI WLE^ET t = 0 . sLU^AJ v = 0 PRIWODIT K u2 0, OTKUDA POLU^AEM SISTEMU, POHOVU@ NA (5): 8 > < t2 ; x2 > : tx
0
2 =0 eSLI t = 0 , TO WSE DOKAZANO. sLU^AJ x = 0 PROTIWORE^I@. 2 8.8.
I t 6=
kAKIE KWATERNIONY UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWU
0 2
q
PRIWODIT K
0?
kWATERNIONY WIDA v = xi + yj + z k BUDEM NAZYWATX WEKTORAMI. dRUGOE NAZWANIE | ^ISTO WEKTORNYE KWATERNIONY. mNOVESTWO WSEH KWATERNIONOW {WEKTOROW BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ V . |TO | TREHMERNOE LINEJNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM R S BAZISOM i j k . w PROIZWOLXNOM KWATERNIONE q = t + xi + yj + z k SLAGAEMOE t NAZYWAETSQ SKALQRNOJ ^ASTX@ KWATERNIONA, A xi + yj + z k | WEKTORNOJ ^ASTX@ KWATERNIONA 2 q . iTAK, v 2 V TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI v 0. pUSTX v1 = x1i + y1j + z1k , v2 = x2i + y2j + z2k | DWA WEKTORA. wY^ISLIM W QWNOM WIDE IH PROIZWEDENIE. v1 v2 = ;(x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 )+ +(y1z2 ; z1y2)i+ +(z1x2 ; x1z2)j+ +(x1y2 ; y1x2)k sKALQRNAQ ^ASTX \TOGO KWATERNIONA | NE ^TO INOE, KAK SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW v1 I v2 , WZQTOE SO ZNAKOM MINUS. wEKTORNU@ ^ASTX 76
v1 v2
MOVNO (NESKOLXKO USLOWNO) ZAPISATX KAK OPREDELITELX:
i
x1
x2
j
k
y1 z1 y2 z2
o^EWIDNO, ^TO \TO KOORDINATNAQ ZAPISX IZWESTNOGO IZ KURSA GEOMETRII WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ v1 v2] WEKTOROW v1 I v2 . w KONE^NOM S^ETE POLU^AETSQ WAVNOE SOOTNOENIE: v1 v2
= ;(
v1 v2
rASSMOTRIM DRUGOE PROIZWEDENIE:
(
v2 v1
)=(
v1 v2
v1 v2
= ;( ) + ) , A ] = ; = ;( ) ;
v2 v1
tAK KAK
)+
v2 v1
v2 v1
v2 v1
]:
v1 v2
) = ; 21 ( ] = 21 (
v1 v2
] , TO POLU^IM ]
v1 v2
iZ (7) I (8) POLU^AEM SLEDU@]IE RAWENSTWA:
(
+
v2 v1
)
; v2 v1 ) pRIMER 8.4. nEPOSREDSTWENNYE WY^ISLENIQ POKAZYWA@T, ^TO
v1 v2
v1 v2
(7)
v2 v1
v1 v2
v1 v2
]
(8) (9) (10)
( ) = ( ) = ( ) = 1 , ( ) = ( ) = ( ) = 0, ]= , ]= , ]= . i i
i j
j j
k
k k
j k
i
i j
k i
j k
k i
j
nA QZYKE KWATERNIONOW LEGKO POLU^ITX DOKAZATELXSTWA OSNOWNYH TOVDESTW WEKTORNOJ ALGEBRY TREHMERNOGO PROSTRANSTWA. pRI REENII DALXNEJIH ZADA^ ISPOLXZUETSQ TOT FAKT, ^TO v1v2 + v2v1 OTLI^AETSQ OT SKALQRA (v1 v2) TOLXKO SKALQRNYM MNOVITELEM. sLEDOWATELXNO, v1v2 + 77
TOVE SKALQR. |TO ZNA^IT, ^TO DLQ PROIZWOLXNOGO KWATERNIONA IMEET MESTO RAWENSTWO:
v2 v1
(
q
+ )=( + ) (11) pUSTX 2 . dOKAZATX, ^TO IMEET MESTO RAWENSTWO: ( ] ) = ( ]) pUSTX 2 . dOKAZATX, ^TO IMEET MESTO RAWENSTWO: ]] = ( ) ; ( ) pUSTX 2 . dOKAZATX, ^TO IMEET MESTO RAWENSTWO: ( ] ]) = ( )( ) ; ( )( ) |TO RAWENSTWO NAZYWAETSQ TOVDESTWOM lAGRANVA. pUSTX 2 . dOKAZATX, ^TO IMEET MESTO RAWENSTWO: ] ]+ ] ] + ] ] = 0 |TO RAWENSTWO NAZYWAETSQ TOVDESTWOM qKOBI. dOKAZATX, ^TO EGO MOVNO ZAPISATX TAKVE W SLEDU@]NJ \KWIWALENTNOJ FORME: ]] = ] ] + ]]: q v1 v2
8.9.
v1 v2 v3
v2 v1
v1 v2 v3 v1
8.11.
8.12.
v2 v 3
v3 v4
v1 v2 v3 v1 v2
v1
v3
v1
v2 v3
V
v1 v2 v3 v4
v1 v2
v2 v1 q
V
v1 v2
8.10.
v1 v2
v2 v1 v3
v3 v1 v2
V
v1 v3
v2 v4
v2 v3
v1 v4
V
v3
v3 v1
v 2 v3
v2
v1 v2
v3
v2 v 3
v2
v1
v1 v3
pRODOLVIM IZU^ENIE SWOJSTW KWATERNIONOW { WEKTOROW. pROWERITX, ^TO ESLI TOVE WEKTOR). 8.13.
v
| WEKTOR, TO = ; (\TO, RAZUMEETSQ, v
78
v
8.14.
WEKTOR.
dOKAZATX, ^TO ESLI
| WEKTOR, I =6 0 , TO
v
v
v
;1
| TAKVE
dOKAZATX, ^TO L@BOJ NESKALQRNYJ KWATERNION MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH WEKTOROW. 8.15.
rEENIE pUSTX = t + , GDE t | SKALQRNAQ ^ASTX , A 6= 0 | .
q
v
q
v
WEKTORNAQ. wYBEREM WEKTOR w 6= 0 TAK, ^TOBY (v w) = 0 , I UMNOVIM q SPRAWA NA w . pREOBRAZUEM RAWENSTWO qw = tw + vw , ZAMENIW vw NA ;(v w)+v w] = v w]. pOLU^IM qw = tw +v w]. w PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA STOIT NENULEWOJ WEKTOR. oSTAETSQ UMNOVITX OBE ^ASTI RAWENSTWA SPRAWA NA WEKTOR w;1 :
= (t + ]) ; : dOKAZATX, ^TO ESLI | WEKTOR, I 2 (PROIZWOLXNYJ NE; | TAKVE WEKTOR. NULEWOJ KWATERNION), TO uKAZANIE. iSPOLXZUJTE TO, ^TO ESLI 2 = f j 2 g , TO = DLQ L@BOGO KWATERNIONA . dOKAZATX, ^TO ESLI | WEKTOR, TO = ;( ) . iZ \TOGO RAWENSTWA WYTEKAET WAVNOE SLEDSTWIE: ESLI | WEKTOR, A | KAKOJ UGODNO KWATERNION, TO = . oBOSNUJTE \TO. q
8.16.
w
v w
w
v
qvq
q
H
1
a
aw
1
wa
R
1
R
H
w
8.17.
v
v
2
v v
v
2
q
v q
pRIMER
8.5.
bUNQKOWSOGO:
qv
2
dOKAVEM S POMO]X@ KWATERNIONOW NERAWENSTWO kOI-
(
) ( )( ): tAK KAK ( ) = ; , ( ) = ; , TO DOKAZYWAEMOE NERAWENSTWO RAWNOSILXNO SLEDU@]EMU: ( ) :
v1 v2
v1 v1
2
v1
2
v1 v1
2
v2 v2
v1 v2
v2 v2
v2
2
79
2 2
v1 v2
iZ TOVDESTWA (7) SLEDUET, ^TO v1 v2] = v1v2 +(v1 v2) . tAK KAK v1 v2] WEKTOR, TO v1 v2]2 0. sLEDOWATELXNO, (v1v2 + (v1 v2))2 0 . pREOBRAZUEM LEWU@ ^ASTX \TOGO NERAWENSTWA.
(
+(
v1 v2
v1 v2
zAMETIM, ^TO
2
v1 v2 v1 v2
)
v1 v2 v1 v2
(
=
+ 2(
)
v1 v2 v1 v2
+(
v1 v2
) 0: 2
; (v1v2 + v2v1 )v1v2 = 2 2 2 v2 v1 v1 v2 = ;v2 v1 v2 = ;v1 v2 : pOSLEDNEE RAWENSTWO SLEDUET IZ UTWERVDENIQ PREDYDU]EJ ZADA^I O TOM, ^TO v12 MOVNO PERESTAWLQTX S L@BYM KWATERNIONOM. oTS@DA v1 v2 v1 v2
+ 2( =;
)) =
v1 v2
^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.
)
v1 v2 v1 v2
2
; v12v22 0
pUSTX v1 v2 v3 2 V . dOKAZATX, ^TO v1v2v1 , v1v3v3 WEKTORY, I ESLI v12 = ;1 , TO (v1 v2v1 v1v3v1) = (v2 v3) . 8.18.
| TAKVE
pUSTX v1v2v3 | WEKTOR. dOKAZATX, ^TO TOGDA v3v1v2 I v2 v3v1 | WEKTORY, I (v1v2v3 v1v2v3) = (v3v1v2 v3v1v2) . zAMETIM, ^TO ZDESX NE PREDPOLAGAETSQ, ^TO WEKTORAMI QWLQ@TSQ v1 v2 I v3 . 8.19.
pUSTX v1 v2 v3 I v1v2v3 | WEKTORY. dOKAZATX, ^TO TOGDA WEKTOROM QWLQETSQ I v3v2v1 , PRI^EM v1v2v3 v3v2v1] = 0. 8.20.
tEOREMA
pUSTX v1 v2 v3 STWA V . tOGDA 8.4.
1) = = = ;1 2
v1
2
v2
2
v3
|
ORTONORMIROWANNYJ BAZIS PROSTRAN-
80
2) 3)
v1 v2
=;
v1 v2 |
v2 v1 , v1 v3
=;
v3 v1 , v3 v2
WEKTOR, PRI \TOM
v1 v2
=;
v2 v3
=
v3 ,
GDE = 1 .
dOKAZATELXSTWO pO USLOWI@, ( l m) = ; 21 (
+ m l ) = lm (SIMWOL kRONEKERA), l m = 1 2 3. oTS@DA SLEDUET, ^TO ( l l) = ; l = ;1 . tAK KAK ( l m) = 0 PRI l 6= m , TO l m = ; m l . iSPOLXZUQ \TO, WY^ISLIM ( ) : =; = ; = ;1: ( )= iTAK, 0 = | SNOWA WEKTOR. lEGKO PROWERQETSQ, ^TO WEKTORY 0 OBRAZU@T ORTONORMIROWANNYJ BAZIS . nAPRIMER, ( ) = ; 21 ( + ) = ; 21 ( ; ) = 0 TAK KAK = ; . wEKTORY I 0 PERPENDIKULQRNY K PLOSKOSTI, NATQNUTOJ NA I , I OBA IME@T EDINI^NU@ DLINU. pO\TOMU ONI MOGUT OTLI^ATXSQ TOLXKO ZNAKOM. 2 iSSLEDOWANIE KWATERNIONOW BUDET PRODOLVENO W SLEDU@]EM RAZDELE. dOPOLNITELXNU@ INFORMACI@ MOVNO NAJTI W KNIGAH 20], 21], 19]. .
v
v1 v2
v
v
v v
vl vm
v
v
v
v
v
v
2
v
2
2
v1 v2
v3
v
v1 v2 v1 v2
v1 v1 v2 v2
2 2
v1 v2
v1 v2
v1 v2 v3
V
v1 v1 v2 v1 v2
v1 v1 v2
v2 v 1 v1
9.
v1 v2 v1 v3
v1 v1 v2
v1 v1 v2
v3
v2
kWATERNIONY I WRA]ENIQ
mATRICA A 2 GLn(C) NAZYWAETSQ UNITARNOJ, ESLI A;1 = A = tA . mNOVESTWO UNITARNYH n n -MATRIC OBOZNA^AETSQ ^EREZ U (n). ~EREZ SU (n) OBOZNA^AETSQ PODMNOVESTWO U (n) , SOSTOQ]EE IZ UNITARNYH MATRIC S OPREDELITELQMI, RAWNYMI EDINICE. 9.1.
dOKAZATX, ^TO U (n) GRUPPA, A SU (n) EE NORMALXNAQ PODGRUPPA. 81
oTMETIM, ^TO U (1) = U . w SAMOM DELE, U (1) GL1(C) = C PO OPREDELENI@, SOSTOIT IZ WSEH TEH z 2 C , DLQ KOTORYH z ;1 = z . nO \TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TO jz j = 1. gRUPPA U (n) NAZYWAETSQ UNITARNOJ GRUPPOJ n -J STEPENI, A SU (n) | SPECIALXNOJ UNITARNOJ GRUPPOJ n -J STEPENI. nAA CELX W \TOM PARAGRAFE | RAZOBRATXSQ W STROENII SU (2). mATRICA A PRINADLEVIT GRUPPE SU (2) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI 0 1 A = B@ u v CA ;v u GDA u v 2 C I juj2 + jvj2 = 1 .
lEMMA
9.1.
dOKAZATELXSTWO pUSTX .
0 B@ u
1
v CA 2 SU (2) A= z w wWIDU TOGO, ^TO det(A) =
GDE u v z w 2 C . OBRATNAQ K A MATRICA IMEET WID: A;1 =
0 B@
zAPIEM USLOWIE UNITARNOSTI A :
1 , T.E.
uw ; vz
= 1,
1
w ;v CA : ;z u
A;1 = tA =
0 B@ u
z v w
1 CA :
sOPOSTAWLENIE \LEMENTOW MATRIC NA ODNIH I TEH VE MESTAH DAET (POSLE ISKL@^ENIQ POWTORENIJ) SLEDU@]IE RAWENSTWA: w = u v = ;z: 82
|TO IMENNO TO, ^TO TREBOWALOSX DOKAZATX. oBRATNOE UTWERVDENIE O^EWIDNO. 2 nEPOSREDSTWENNYM SLEDSTWIEM \TO LEMMY QWLQETSQ TO, ^TO GRUPPA SU (2) OKAZYWAETSQ PODGRUPPOJ H | GRUPPY OBRATIMYH \LEMENTOW TELA KWATERNIONOW, PRI^EM \TO W TO^NOSTI WSE KWATERNIONY u , NORMA N (u) KOTORYH RAWNA EDINICE. 9.2.
dOKAZATX, ^TO
= (2)
SU
H
R+
.
rASSMOTRIM MNOVESTWO M2(C) KWADRATNYH 2 LEKSNYMI KOMPONENTAMI. eSLI 9.3.
0 B@ u
v z w
A=
1 CA 2 M 2
2 -MATRIC S KOMP-
( ) C
TO NORMOJ \TOJ MATRICY NAZYWAETSQ ^ISLO k A k= juj2 + jvj2 + jz j2 + jwj2 . dOPUSTIM, ^TO det(A) = 1 . dOKAVITE, ^TO A 2 SU (2) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI k A k= 2 . pOLOVIM 0 B@
1 C ' A
= cos +0 i sin cos ' ;0 i sin = cos '2 + sin '2 1 0
B cos i sin CA = cos + sin
=@ 2 2 i sin cos
lEGKO UBEDITXSQ, ^TO ' 2 SU (2) . b'
'
'
2
2
2
c
b
2
2
2
2
c
83
2
k
i
(1) (2)
lEMMA
W WIDE
9.2.
kAVDAQ MATRICA IZ SU (2) MOVET BYTX PREDSTAWLENA b' c b
DLQ NEKOTORYH ' , , . UGLY ' , , MOVNO WYBRATX TAK, ^TO 0 ' < 2 , 0 , ; 2 < 2 .
dOKAZATELXSTWO pUSTX A 2 SU (2). pREDSTAWIM A W WIDE: .
1
0 B @
0
1
A = u v CA = B@ juj(cos + i sin ) jvj(cos + i sin ) CA jvj(; cos + i sin ) juj(cos ; i sin ) ;v u sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA uv 6= 0 . pRQMYM WY^ISLENIEM PO-
KAZYWAETSQ, ^TO 0 B@
1 CA
cos (cos + i sin ) sin (cos + i sin ) ; sin (cos ; i sin ) cos (cos ; i sin ) pOPYTAEMSQ PRIRAWNQTX A I , I PO IZWESTNYM juj jvj , NAJTI NEIZWESTNYE ' I . iTAK, RASSMOTRIM RAWENSTWA: juj(cos + i sin ) = cos (cos ' + i sin ' ) jvj(cos + i sin ) = sin (cos '; + i sin '; ) tAK KAK juj + jvj = 1 , TO MOVNO PREDSTAWITX MODULI juj jvj W WIDE: juj = cos 2 jvj = sin 2 : i SINUS, I KOSINUS POLOVITELXNY, ESLI 0 < < , TO ESTX PRI 0 < < . s DRUGOJ STORONY, POPYTAEMSQ REITX SISTEMU URAWNENIJ:
= ' +2 = + 2 ; : fORMALXNOE REENIE TAKOWO: ' = + ; 2 = ; + 2 : b c b
=
2
2
'+ 2 +'; 2
'+ 2 +';
2
2
2
+'; 2 '+ 2
b c b
2
2
2
+ 2 + 2
+ 2
2
2
84
2
+
2
+'; 2 '+ 2
tAK KAK 0 < 2 , I DOPUSTIMO OTBRASYWATX WELI^INY, KRATNYE 2 , TO ZNA^ENIQ ' I MOVNO WYBRATX W PROMEVUTKAH 0 ' < 2 , ;2 < 2 . rASMOTRIM SLU^AJ uv = 0, TO^NEE, DWA SLU^AQ: u = 0 v = 6 0 I u =6
0 v = 0 .
eSLI u = 0, TO jvj = 1 , I A=
rASSMOTRIM
0 B @
0 cos + i sin ; cos + i sin 0 c
0 B@
= = 0i 0i k
1 CA :
1 CA
I POPROBUEM PREDSTAWITX MATRICU A W WIDE A = c b . iNYMI SLOWAMI, NEOBHODIMO REITX OTNOSITELXNO SLEDU@]EE URAWNENIE: 0 B@
1 CA
0 B@
1 CA
0 cos + i sin = 0 sin + i cos 0 ; cos + i sin 0 ; sin + i cos iSPOLXZUQ FORMULY PRIWEDENIQ, POLU^AEM REENIE 2 = 2 ; , ILI = ; 2 . eSLI 0 < 2 , TO ; < < . eSLI VE U^ESTX, ^TO = , TO MOVNO S^ITATX, ^TO A SNOWA IMEET WID A = ' . sLU^AJ v = 0 QWLQETSQ BOLEE LEGKIM. tAK KAK juj = 1, TO A = . pOSKOLXKU = I = , TO FORMALXNO BUDEM IMETX I W \TOM SLU^AE A= . 2 2
2
b0
1
2
2
b c b
b
c0
1
b0
1
b c0b0
oBOSNOWATX FORMULU DLQ LEMMY. 9.4.
b c b
, PRIWEDENNU@ W DOKAZATELXSTWE
dOKAZATX, ^TO L@BU@ MATRICU IZ SU (2) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE ub'u;1 DLQ PODHODQ]EGO ' I u 2 SU (2). 9.5.
85
w DALXNEJEM BUDUT NEOBHODIMY SLEDU@]IE FORMULY.
= ; = cos ' + sin ' ' ; = ; sin ' + cos ' ' ; = cos + sin
; = ; sin + cos
; =
;1
b' ib' b' jb
i
1
j
b' kb
1
c ic
1
c jc
1
c kc
j
i
k
j
i
1
(3)
k
(4)
j
k
|TI RAWENSTWA USTANAWLIWA@TSQ NEPOSREDSTWENNYMI WY^ISLENIQMI. nAPRIMER, ;1 = (cos ' + sin ' i)i(cos ' ; sin ' i) = b' ib' 2 2 2 2
= (cos ' + sin ' )(cos ' + sin ' ) = = cos ' sin ' ; sin ' cos ' + (cos ' + sin ' ) = 2i
2
dALEE,
2
2
2i
2
2
2
2
2
2
2 i
:
i
= (cos ' + sin ' ) (cos ' ; sin ' ) = = (cos ' + sin ' )(cos ' + sin ' ) = = (cos ' ; sin ' ) + 2sin ' cos ' = = cos ' + sin ' : nAKONEC, ;
= (cos + sin ) (cos ; sin ) = = (cos + sin )(cos ; sin ) = = (cos ; sin ) ; 2sin cos = = cos ; sin : pROWERITX OSTALXNYE RAWENSTWA IZ SEMEJSTW (3),(4). ;1
b' jb'
2
2 2
i j
2
2i 2 2 j
2j
2
2
j
c jc
1
2k
2k
2
k j
2
2 2
2 2
j
i
k
2
k
2
2
2 j
2
k
j
2
i
2
2
2
2k
k
9.6.
nAPOMNIM, ^TO ^EREZ V OBOZNA^AETSQ LINEJNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM R S BAZISOM i j k , T.E. PROSTRANSTWO KWATERNIONOW { WEKTOROW. 86
lEMMA
pUSTX NEJNOE OTOBRAVENIE KAVDOGO v 2 V . 9.3.
2 H . tOGDA SU]ESTWUET ORTOGONALXNOE LI q : V ;! V , TAKOE, ^TO q(v) = qvq;1 DLQ q
dOKAZATELXSTWO nA^ATX NEOBHODIMO S OBOSNOWANIQ KORREKTNOSTI OPRE.
DELENIQ, TO ESTX S PROWERKI TOGO, ^TO q (v) 2 V DLQ KAVDOGO v 2 V . dLQ \TOGO DOSTATO^NO UBEDITXSQ, ^TO (qvq;1 )2 0 . w SAMOM DELE,
(
= ; = ; = 0: zDESX ISPOLXZOWANO TO, ^TO ESLI | WEKTOR, TO 0 | SKALQR, I EGO MOVNO PERESTAWLQTX S L@BYMI KWATERNIONAMI. pROWERIM LINEJNOSTX. pUSTX 2 , 2 . tOGDA ( + ) = ( + ) ; = ( ) ; + ( ) ; = = ; + ; = ( ) + ( ): dALEE NEOBHODIMO PROWERITX ORTOGONALXNOSTX. ( ( ) F ( )) = ; 12 (( ; )( ; ) + ( ; )( ; )) = ; + ; ) = ;1 ( ; = = ; 12 ( + ) 2 = ; 12 ( + ) ; = ; 12 ( + ) = = ( ): zDESX ISPOLXZOWANO TO, ^TO KWATERNION WIDA + MOVNO PERSTAWLQTX S L@BYM DRUGIM KWATERNIONAM. 2 qvq
;1
)= 2
qvq
;1 qvq;1
2
qv q
1
2
v
v1 v2
q
U
2v2
1 v1
1
1 v1
1 qv1 q
q
v1
q
v2
v
v
2
2
R
2
q
1
v qq
qv1 q
2v2 q
1
q
2qv2 q
1
qv1 v2 q v1 v 2
1
qv2 q
1
1
v2 v1 qq
1
1
qv2 v1 q
1
1
1 v1 q
q
qv2 q
q
v1
1
1
2 v2 q
qv1 q
q v 1 v2
v1 v2
v2 v1
v1 v2
v1 v2
lEMMA
9.4.
iME@T MESTO RAWENSTWA:
1) = q1 q2
q1 q2 87
q
2
v2 v1
1
v2
1
v2 v1 q
1
2) = 1 3) =
V |
1
q
q,
TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE IZ
V
ESLI 2 R , 6= 0 .
W
V
dOKAZATELXSTWO ~TOBY DOKAZATX 1), DOSTATO^NO WY^ISLITX ZNA^E.
NIQ FUNKCIJ, STOQ]IH W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA 1), NA PROIZWOLXNOM ZNA^ENII ARGUMENTA v 2 V . iTAK, S ODNOJ STRONY, q q (v) = (q1q2)v(q1q2);1 . s DRUGOJ STORONY, q ( q (v)) = q1(q2vq;2 1)q;1 1 . qSNO, ^TO \TI ZNA^ENIQ SOWPADA@T. sWOJSTWO 2) O^EWIDNO. nAKONEC, WY^ISLIM ZNA^ENIQ FUNKCIJ, STOQ]IH W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA 3) NA PROIZWOLXNOM ARGUMENTE 1 2
1
v
.
( ) = ( ) ( ); = ( q
v
q v
q
1
) =
;1 ;1
qvq
2
qvq
;1
= ( ), q
v
TAK KAK 2 R MOVNO PERESTAWLQTX S L@BYMI KWATERNIONAMI. sLEDOWATELXNO, FUNKCII q I q SOWPADA@T. 2 sOOTWETSTWIE u 7! u OPREDELQET GOMOMORFIZM GRUPP : SU (2) ;! SO(3) . qDRO \TOGO GOMOMORFIZMA SOSTOIT IZ DWUH \LEMENTOW: 0 1 0 1 1 0 ; 1 0 B CA B@ CA : @ 01 0 ;1 dOKAZATELXSTWO. tO, ^TO PRI u 2 SU (2) OTOBRAVENIE u PRINADLEVIT O(3) , I SOOTWETSTWIE u 7! u QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP, SLEDUET IZ PREDYDU]IH LEMM. pOKAVEM, ^TO NA SAMOM DELE u 2 SO(3) . rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AI u = b' I u = c . iZ RAWENSTW (3) SLEDUET, ^TO MATRICA b' W
tEOREMA
9.1.
88
BAZISE i j k WYGLQDIT TAK:
1 CC ' CCC A
0 BB BB B@
1 0 0 (5) = B' = 0 cos ' ; sin 0 sin ' cos ' tO^NO TAK VE IZ (4) POLU^AEM MATRICU : 0 1 BB cos ; sin 0 CC = C = BBB@ sin cos 0 CCCA (6) 0 0 1 o^EWIDNO, ^TO B' C 2 SO(3). kAK UVE BYLO POKAZANO, KAVDYJ \LEMENT 2 SU (2) PREDSTAWIM W WIDE = ' . pRIMENQQ K GOMOMORFIZM , POLU^AEM = = b'
c
c
u
u
u
ILI
b' c b
b c b
b' c b
= B'C B u
u
(7)
tAKIM OBRAZOM, MATRICA u PREDSTAWLQETSQ W WIDE PROIZWEDENIQ TREH MATRIC IZ SO(3) I, SLEDOWATELXNO, SAMA QWLQETSQ MATRICEJ IZ SO(3). oSTAETSQ RAZOBRATXSQ S QDROM. tO, ^TO 1 I ;1 SODERVATSQ W QDRE , O^EWIDNO. dOPUSTIM, ^TO w 2 Ker( ). |TO ZNA^IT, ^TO OTOBRAVENIE ;1 QWLQETSQ TOVDESTWENNYM, TO ESTX DLQ KAVDOGO WEKTORA v 2 v 7! wvw ;1 = v , ILI wv = vw . pOLOVIM V IMEET MESTO RAWENSTWO v = wvw w = t + xi + y j + z k I POSMOTRIM, ^TO POLU^ITSQ, ESLI WZQTX v = i j k . iZ wi = iw POLU^IM URAWNENIE: ;x + ti + z j ; yk = ;x + ti ; z j + yk: sRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI \LEMENTAH BAZISA, POLU^IM y = z = 0 . iTAK, w = t + xi . iZ wj = jw BUDEM IMETX SOOTNOENIE: tj + xk = tj ; xk 89
OTKUDA POLU^AEM x = 0 , I
= t = t , T.E. \TO MATRICA 0 1 B@ t 0 CA 0t S OPREDELITELEM t . nO U \LEMENTOW GRUPPY SU (2) OPREDELITELI RAWNY EDINICE. oTS@DA t = 1 , t = 1 , I = , ^TO I UTWERVDALOSX. 2 w
1
2
2
w
1
nAPOMNIM, ^TO OTRAVENIEM W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE ETSQ LINEJNOE OTOBRAVENIE w , DEJSTWU@]EE PO PRAWILU:
V
NAZYWA-
w (v) = v ; 2 ((wv ww)) w:
lEMMA
oTRAVENIE w W PROSTRANSTWE DU@]IM OBRAZOM: w (v) = ;wvw;1 : 9.5.
V
ZAPISYWAETSQ SLE-
dOKAZATELXSTWO kAK UVE IZWESTNO (SM. RAZDEL O KWATERNIONAH), ( ) = .
;w2 . sLEDOWATELXNO, w (v)
= =
1 = ; ; . oTS@DA ( ) ) = + 2( ) ; = ) + ) ; = ; ; ; =; w w
; 2 ((wv ww w v 1 v ; (vw wv w v
w w
2
w
v w w
v
v
2
w
www
1
wvw
;1 :
2
tEOREMA gOMOMORFIZM : SU (2) ;! SO(3) S@R_EKTIWEN dOKAZATELXSTWO sOGLASNO TEOREME 7.3, KAVDYJ \LEMENT GRUPPY SO(3) .
9.2.
.
ESTX SUPERPOZICIQ DWUH OTRAVENIJ, NAPRIMER, c I w . zNA^IT, KAK TOLXKO ^TO POKAZANO, \TO OTOBRAVENIE DEJSTWUET TAK: v
7! c(w (v)) = ;c(;wvw;1 )c;1 = (cw)v(cw);1: 90
oBOZNA^AQ KWATERNION cw ^EREZ q , WIDIM, ^TO NAE PROIZWOLXNO WYBRANNOE WRA]ENIE SOWPADAET S OTOBRAVENIEM q . oSTAETSQ ZAMENITX 1 q GRUPPY SU (2) . sOGLASNO UVE DOKAZANNOMU, W q NA \LEMENT u = N (q) \TOM SLU^AE q = u . |TO OZNA^AET, ^TO WYBRANNOE WRA]ENIE QWLQETSQ OBRAZOM \LEMENTA u 2 SU (2) PRI GOMOMORFIZME . 2 dRUGOE DOKAZATELXSTWO MOVNO NAJTI W KNIGE 29] NA S. 80 { 82. wAVNYM SLEDSTWIEM QWLQETSQ SLEDU@]AQ TEOREMA. kAVDU@ MATRICU A IZ SO(3) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ TREH MATRIC POWOROTOW, OPREDELENNYH WYE W (5) I (6): A = B' C B GDE 0 1 0 1 1 0 0 CC B BB cos ; sin 0 CC B B' = BBB 0 cos ' ; sin ' CCC C = BBB sin cos 0 CCC @ @ 0 sin ' cos ' A 0 0 1A pRI \TOM 0 ' < 2 , 0 , ;2 2 .
tEOREMA
9.3.
dOKAZATELXSTWO kAK BYLO POKAZANO WYE, L@BAQ MATRICA WIDA u .
PREDSTAWLQETSQ W WIDE B'C B . s DRUGOJ STORONY, TAK KAK GOMOMORFIZM S@R_EKTIWEN, TO KAVDAQ MATRICA A 2 SO(3) RAWNA u DLQ NEKOTOROGO u 2 SU (2) . 2 9.7.
dOKAZATX, ^TO ESLI q
=
0 B@
u v ;v u 91
1 CA 2 SU
(2)
TO
+ u ; v i u + v ; u ; v ! ;uv ; u v 1CC CC 2+ u ; v ! u + v +2 u + v CC + = CC i ( uv ; u v ) 2 2 CA uv + uv i(uv ; uv) uu ; vv pUSTX ^ISLO l | CELOE ILI \POLUCELOE", T.E. IME@]EE WID l = k2 DLQ NEKOTOROGO CELOGO k . oBOZNA^IM ^EREZ Hl MNOVESTWO WSEH ODNORODNYM MNOGO^LENOW STEPENI 2l OT PEREMENNYH x y S KOMPLEKSNYMI KO\FFICIENTAMI, I ZADADIM OTOBRAVENIE SU (2) Hl ;! Hl SOPOSTAWLQ@]EE PARE g 2 SU (2) I f (x y) 2 Hl MNOGO^LEN g f , OPREDELQEMYJ PO SLEDU@]EJ FORMULE: ESLI 0 1 g = B@ CA q
0 2 2 BB u ; v BB BB ;u2 v2 BB i B@
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9.8.
TO
gf
(x y) = f ( x + y x + y):
dOKAZATX, ^TO \TA FORMULA OPREDELQET LINEJNOE DEJSTWIE SU (2) NA Hl . dOKAZATX, ^TO dim(Hl ) = 2l + 1 . pOPYTATXSQ DOKAZATX, ^TO Hl NE IMEET NETRIWIALXNYH SU (2)-PODMODULEJ (\TO BOLEE TRUDNAQ ZADA^A REENIE MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W KNIGE 29], S. 83 { 84). k 9.9. pUSTX ^ISLO l | CELOE ILI \POLUCELOE", T.E. IME@]EE WID l = 2 DLQ NEKOTOROGO CELOGO k . oBOZNA^IM ^EREZ Pl MNOVESTWO WSEH MNOGO^LENOW STEPENI NE WYE 2l OT PEREMENNOJ z S KOMPLEKSNYMI KO\FFICIENTAMI, I ZADADIM OTOBRAVENIE SU (2) Pl ;! Pl 92
SOPOSTAWLQ@]EE PARE g 2 SU (2) I f (x) 2 Pl MNOGO^LEN g f , OPREDELQEMYJ PO SLEDU@]EJ FORMULE: ESLI g=
TO
0 B@
1
CA
! + (z) = (z + ) f z + : dOKAZATX, ^TO \TA FORMULA OPREDELQET LINEJNOE DEJSTWIE SU (2) NA Pl . dOKAZATX, ^TO dim(Pl ) = 2l + 1. bOLEE SLOVNAQ ZADA^A: DOKAZATX, ^TO Pl NE IMEET NETRIWIALXNYH SU (2)-PODMODULEJ, I ^TO FAKTI^ESKI SU (2)-MODULI Hl I Pl IZOMORFNY. gf
2l
z
tERMIN \POLUCELYE ^ISLA" ^ASTO UPOTREBLQETSQ FIZIKAMI, I IMEET OTNOENIE K TAKOJ HARAKTERISTIKE \LEMENTARNYH ^ASTIC, KAK SPIN (SM., NAPRIMER, KNIGU 30], S. 433 { 438). rASSMOTRIM KWATERNION q = a + bi + cj + dk , a b c d 2 R . dOPUSTIM, ^TO NORMA q RAWNA EDINICE, T.E. a2 + b2 + c2 + d2 = 1. pREDPOLOVIM, ^TO q NE SKALQR, I PUSTX q0 = bi + cj + dk . tOGDA a2 + jq0 j2 = 1 . oTS@DA SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET UGOL ' TAKOJ, ^TO a = cos '2 , A jq0 j = sin '2 . pOLOVIM p = jq10j q0 . o^EWIDNO, jpj = 1 . kROME TOGO, p2 = ;1 . w \TIH OBOZNA^ENIQH OKAZYWAETSQ, ^TO q
q
tEOREMA p
9.4.
NA UGOL ' .
= cos '2 + sin '2 ; = cos ' ; sin ' 2 2 p
1
lINEJNOE PREOBRAZOWANIE 93
:
p
q
ESTX POWOROT WOKRUG OSI
dOKAZATELXSTWO pUSTX V = h i , I V | ORTOGONALXNOE DOPOLNE.
p
1
2
NIE V1 . tAKIM OBRAZOM, V = V1 V2 . pREDSTAWIM ARGUMENT v OTOBRAVENIQ q : v 7! qvq;1 W WIDE SUMMY v = v1 + v2 , GDE v1 2 V1 , v2 =2 V2 . |TO ZNA^IT, ^TO v1 = p , GDE 2 R , A (v2 p) = 0. tAK KAK (v2 p) = ; 12 (v2p + pv2) , OTS@DA SLEDUET v2p = ;pv2 . kROME TOGO, IZ RAWENSTWA pv2 = ;(p v2)+p v2 ] SLEDUET, ^TO pv2 = p v2]. iSPOLXZUQ \TO, PRODELAEM SLEDU@]IE WY^ISLENIQ:
= ( + ) ; = ; + ; ; = (cos ' + sin ' )( )(cos ' ; sin ' ) = ( ) ; = 2 2' ' 2 ' 2 ' ; = (cos + sin ) (cos 2 ; sin 2 ) = 2 2 = (cos '2 ; sin '2 ) + 2sin '2 cos '2 ] = = cos ' + sin ' ]: iZ KURSA GEOMETRII ^ITATEL@ DOLVNO BYTX IZWESTNO, ^TO ESLI WEKTORY I PERPENDIKULQRNY (T.E. ( ) = 0), TO WEKTOR ] PERPENDIKULQREN K NIM OBOIM, PRI^EM NAPRAWLEN TAK, ^TO TRI WEKTORA ] OBRAZU@T \PRAWU@ TROJKU": NABL@DATEL@, RASPOLOVENNOMU NA KONCE WEKTORA ] KRAT^AJIJ POWOROT OT K KAVETSQ IDU]IM PROTIW ^ASOWOJ STRELKI. oTS@DA SLEDUET, ^TO S TO^KI ZRENIQ NABL@DATELQ, NAHODQ]EGOSQ NA KONCE WEKTORA , PREOBRAZOWANIE WEK; = cos ' + sin ' ] ESTX POWOROT PROTIW TORA W WEKTOR ^ASOWOJ STRELKI NA UGOL ' . iTAK, DEJSTWIE NA WEKTOR OPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: PROEKCIQ NA OSX, NAPRAWLENNU@ PO WEKTORU , NE MENQETSQ, A PROEKCIQ NA PLOSKOSTX, PERPENDIKULQRNU@ WEKTORU , ESLI SMOTRETX NA NEE S KONCA WEKTORA , POWORA^IWAETSQ PROTIW ^ASOWOJ STRELKI NA UGOL ' . ;1
qvq
qv1 q
q v1
v2 q
1
1
p
qv2 q
qv2 q
1
p
p qq
p v2
2
v2
p v2
1
p
1
2
v2
qv1 q
1
v1
p
v2
p v2
p v2
p
p v2
p v2
p v2
p v2
p
v2
p
v2
qv2 q
q
1
v2
p v2
v
v
p
p
p
|TO I OZNA^AET POWOROT WSEGO WEKTORA ^ASOWOJ STRELKI. 2 94
v
WOKRUG
p
NA UGOL ' PROTIW
literatura 1] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX I. oSNOWY ALGEBRY. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 272 S. 2] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX II. lINEJNAQ ALGEBRA. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 368 S. 3] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX III. oSNOWNYE STRUKTURY. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 272 S. 4] sBORNIK ZADA^ PO ALGEBRE / pOD RED. a.i. kOSTRIKINA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1987. | 352 S. 5] bELONOGOW w.a. zADA^NIK PO TEORII GRUPP. | m.: nAUKA, 2000. | 239 S. 6] kURO a.g. tEORIQ GRUPP. | 3-E IZD. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.MAT. LIT., 1967. | 648 S. 7] hOLL m. tEORIQ GRUPP. | m: il, 1962. | 468 S. 8] kARGAPOLOW m.i., mERZLQKOW `.i. oSNOWY TEORII GRUPP. | 3-E IZD., PERERAB. I DOP. | m.: nAUKA, 1982. | 288 c. 9] bOGOPOLXSKIJ o.w. wWEDENIE W TEORI@ GRUPP. | mOSKWA-iVEWSK: iNSTITUT KOMPX@TERNYH ISSLEDOWANIJ, 2002. | 148 S. 10] wAN-DER-wARDEN b.l. aLGEBRA. | m.:nAUKA, 1976. | 648 S. 11] lENG s. aLGEBRA. | m.: mIR, 1968 | 564 S. 95
12] sKORNQKOW l.a. |LEMENTY ALGEBRY. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1980. | 240 S. 13] bAHTURIN `.a. oSNOWNYE STRUKTURY SOWREMENNOJ ALGEBRY. | m.: nAUKA, 1990. | 320 S. 14] fADDEEW d.k. lEKCII PO ALGEBRE. | iZD. 3-E, STER. | spB.: lANX, 2004. | 415 S. 15] wINBERG |.b. kURS ALGEBRY. | 3-E IZD., PERERAB. I DOP. | m.: fAKTORIAL pRESS, 2002. | 544 S. 16] kOKSETER g.s.m., mOZER u.o. pOROVDA@]IE \LEMENTY I OPREDELQ@]IE SOOTNOENIQ DISKRETNYH GRUPP. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1980. | 240 S. 17] k\RTIS ~., rAJNER i. tEORIQ PREDSTAWLENIJ KONE^NYH GRUPP I ASSOCIATIWNYH ALGEBR. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1980. | 668 S. 18] kLEJN f. lEKCII OB IKOSA\DRE I REENII URAWNENIJ PQTOJ STEPENI. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1989. | 336 S. 19] dXEDONNE v. lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1972. | 336 S. 20] bRANEC w.n., {MYGLEWSKIJ i.p. pRIMENENIE KWATERNIONOW W ZADA^AH ORINTACII TWERDOGO TELA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT., 1973. | 320 S. 21] kANTOR i.l., sOLODOWNIKOW a.s. gIPERKOMPLEKSNYE ^ISLA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT., 1973. | 144 S. 96
22] gILXBERT d., kON-fOSSEN s. nAGLQDNAQ GEOMETRIQ. | 3-E IZD. | m.: nAUKA, 1981. | 344 S. 23] wEJLX g. sIMMETRIQ. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1968. | 192 S. 24] gOLOWINA l.i. lINEJNAQ ALGEBRA I NEKOTORYE EE PRILOVENIQ. | iZD. 2-E, DOPOLN. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1975. | 408 S. 25] {UBNIKOW a.w., kOPCIK w.a. sIMMETRIQ W NAUKE I ISKUSSTWE. | iZD. 3-E, DOPOLN. | mOSKWA-iVEWSK: iN-T KOMPX@TERN. ISSLED., 2004. | 560 S. 26] |LLIOT dV., dOBER p. sIMMETRIQ W FIZIKE. tOM 1. oSNOWNYE PRINCIPY I PROSTYE PRILOVENIQ. | m.: mIR, 1983. | 368 S. 27] |LLIOT dV., dOBER p. sIMMETRIQ W FIZIKE. tOM 2. dALXNEJIE PRILOVENIQ. | m.: mIR, 1983. | 416 S. 28] l@BARSKIJ g.q. tEORIQ GRUPP I FIZIKA. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1986. | 224 S. 29] wINBERG |.b. lINEJNYE PREDSTAWLENIQ GRUPP. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1985. | 144 S. 30] mEDWEDEW b.w. nA^ALA TEORETI^ESKOJ FIZIKI. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1977. | 496 S.
97
