Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений: Учебно-методическое пособие

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè

Âîðîíåæñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò

Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ÷àñòü II (íåïîäâèæíûå òî÷êè ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé)

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïî ñïåöèàëüíîñòè "ìàòåìàòèêà", 010100.

Âîðîíåæ  2004

Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà 2 ñåíòÿáðÿ 2004, ïðîòîêîë N2

Ñîñòàâèòåëü: Ãåëüìàí Á.Ä.

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå òåîðèè ôóíêöèé è ãåîìåòðèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 4-ãî êóðñà.

Ñîäåðæàíèå 1 Ñæèìàþùèå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. 1.1 1.2 1.3

2

Ìåòðèêà Õàóñäîðôà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Íåïîäâèæíûå òî÷êè ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Ìíîãîçíà÷íûå ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Óðàâíåíèÿ ñ ñþðüåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè.

2.1 2.2 2.3

Îñíîâíûå ñâîéñòâà çàìêíóòûõ ëèíåéíûõ ñþðúåêòèâíûõ îïåðàòîðîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Óðàâíåíèÿ ñ çàìêíóòûìè ñþðúåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè âî âñåì ïðîñòðàíñòâå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Óðàâíåíèÿ ñ çàìêíóòûìè ñþðúåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè íà ñôåðå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ 3.1 3.2 3.3

Îòêðûòîñòü ìíîæåñòâà ñþðúåêòèâíûõ îïåðàòîðîâ. . . . . . . . Óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 5 8

11 11 14 14

16

16 16 18

Ââåäåíèå. Õîðîøî èçâåñòíà âàæíàÿ ðîëü, êîòîðóþ èãðàåò ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé (òåîðåìà Áàíàõà è åå îáîáùåíèÿ) â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå.  1969 ãîäó áûëà äîêàçàíî óòâåðæäåíèå, îáîáùàþùåå òåîðåìó Áàíàõà íà ñëó÷àé ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé (ñì. [10]). Íåêîòîðûå âàðèàíòû äîêàçàííîé òåîðåìû òàêæå íàõîäÿò ïðèëîæåíèÿ â ðàçëè÷íûõ çàäà÷àõ. Íàïðèìåð, ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ëþñòåðíèêà (ñì. [6], [5]), ïðè äîêàçàòåëüñòâå îáîáùåííîé òåîðåìû î íåÿâíîì îòîáðàæåíèè (ñì. [9], [4]) è ò.ä. Íàñòîÿùàÿ íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïîñâÿùåíà èçëîæåíèþ ñîâðåìåííîé òåîðèè ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé è ïðèëîæåíèþ ýòîé òåîðèè ê èçó÷åíèþ ðàçðåøèìîñòè îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõ ãëàâíîé ÷àñòüþ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûé çàìêíóòûé ñþðúåêòèâíûé îïåðàòîð. Òàêèå óðàâíåíèÿ åñòåñòâåííî âîçíèêàþò â ðàçëè÷íûõ ðàçäåëàõ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè (ñì., íàïðèìåð, ðàçäåë 3). Ýòà ðàçðàáîòêà ñîäåðæèò êàê èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû (òåîðåìà Íàäëåðà, òåîðåìà Ðè÷åðè è äð.), òàê è íîâûå, ïîëó÷åííûå àâòîðîì. Íà âñå ðåçóëüòàòû, íå ïðèíàäëåæàùèå àâòîðó, äàþòñÿ ññûëêè. Ýòà íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçðàáîòêè [2], è èñïîëüçóåò îáîçíà÷åíèÿ è ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå â íåé.

1 Ñæèìàþùèå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. 1.1

Ìåòðèêà Õàóñäîðôà.

Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî , Y - çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî â X . Îáîçíà÷èì P (Y ) - ñîâîêóïíîñòü âñåõ íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ Y . 3

Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî ìíîæåñòâà A ∈ P (Y ) åñòü

ρ (x, A) = inf { ρ (x, y) | y ∈ A }. Ïóñòü A, B ∈ P (Y ).

Îïðåäåëåíèå 1. Âåëè÷èíó (êîíå÷íóþ èëè áåñêîíå÷íóþ) ρ∗ (A, B) = sup ρ (a, B) a∈A

íàçûâàþò ïîëóîòêëîíåíèåì ìíîæåñòâà A îò ìíîæåñòâà B . Ïðåäëîæåíèå 1. Ôóíêöèÿ ρ∗ : P (Y ) × P (Y ) → R ∪ ∞ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. ρ∗ (A, B) ≥ 0 äëÿ ëþáûõ A, B èç P (Y ); 2. ρ∗ (A, B) = 0 âëå÷åò A ⊂ B ; 3. â îáùåì ñëó÷àå ρ∗ (A, B) 6= ρ∗ (B, A); 4. ρ∗ (A, B) ≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (B, C) äëÿ ëþáûõ A, B, C èç P (Y ); 5. ρ∗ (A, B) = inf{ε | A ⊂ Uε (B)} äëÿ ëþáûõ A, B èç P (Y ). Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ. 2. Èç ρ∗ (A, B) = 0 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ A âûïîëíåíî ρ (x, B) = 0. Òîãäà, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê èç B òàêàÿ, ÷òî x ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, A ⊂ B . 3. Ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåðû òàêèõ ìíîæåñòâ. 4. Äëÿ ëþáîãî x ∈ A â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà âûïîëíåíî

ρ (x, B) = inf ρ (x, y) ≤ inf (ρ (x, z) + ρ (z, y)) = y∈B

y∈B

= ρ (x, z) + ρ (z, B), ãäå z - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà C . Òîãäà äëÿ ëþáîãî z ∈ C ρ (x, B) ≤ ρ (x, z) + ρ∗ (C, B). Ñëåäîâàòåëüíî ,

ρ (x, B) ≤ inf ρ (x, z) + ρ∗ (C, B) = ρ (x, C) + ρ∗ (C, B) ≤ z∈C

≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (C, B). Òîãäà ρ∗ (A, B) ≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (C, B). 5. Ïóñòü ε > ρ∗ (A, B), òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ A íàéäåòñÿ òî÷êà y ∈ B òàêàÿ, ÷òî x ∈ Uε (y). Ñëåäîâàòåëüíî, A ⊂ Uε (B), òî åñòü

ρ∗ (A, B) ≥ inf { ε | A ⊂ Uε (B) }. Åñëè æå ε > 0 òàêîå, ÷òî A ⊂ Uε (B), òî äëÿ ëþáîãî x ∈ A âûïîëíåíî ρ (x, B) < ε. Òîãäà ρ∗ (A, B) < ε , òî åñòü ρ∗ (A, B) ≤ inf { ε | A ⊂ Uε (B) }. Îáúåäèíÿÿ ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà , ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ñâîéñòâî. 4

Ïóñòü C(X) - ìíîæåñòâî íåïóñòûõ çàìêíóòûõ ïîäìíîæåñòâ â X . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h : C(X) × C(X) → R ∪ ∞ ,

h (A, B) = max { ρ∗ (A, B) ; ρ∗ (B, A) }. Ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êâàçèìåòðèêîé íà ìíîæåñòâå C(X). Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáûõ A, B ∈ C(X) âûïîëíåíî : 1. h (A, B) ≥ 0. 2. åñëè h (A, B) = 0 , òî A = B . 3. h (A, B) = h (B, A). 4. h (A, B) ≤ h (A, C) + h (C, B) äëÿ ëþáûõ A, B, C èç C(X). 5. Åñëè A = { x◦ } , B = { y◦ } , òî h (A, B) = ρ (x◦ , y◦ ). Äîêàçàòåëüñòâà ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè h(A, B) è ñâîéñòâ ρ∗ (A, B). Ëåììà 1. Ïóñòü M1 , M2 - ëèíåéíûå ìíîãîîáðàçèÿ â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå E , ÿâëÿþùèåñÿ ñäâèãàìè îäíîãî è òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà L ⊂ E , òîãäà h (M1 , M2 ) = ρ∗ (M1 , M2 ) = ρ∗ (M2 , M1 ) =

= inf{ ||x1 − x2 || | x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 }.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ρ(x1 , M2 ) = ρ(x2 , M1 ) äëÿ ëþáûõ x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 . Ïóñòü x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 , ïîëîæèì α1 = 0 0 ρ(x1 , M2 ), α2 = ρ(x2 , M1 ). Åñëè x2 ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç M2 è x1 = x2 + 0 0 (x1 − x2 ), òî x1 ∈ M1 . Òîãäà èìååì ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî: 0

0

α2 ≤ ||x2 − x1 || = ||x1 − x2 ||. 0

Ýòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî x2 ∈ M2 . Ïîýòîìó α2 ≤ α1 . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ îáðàòíîå íåðàâåíñòâî, ñëåäîâàòåëüíî, α2 = α1 . Ëåììà äîêàçàíà.

1.2

Íåïîäâèæíûå òî÷êè ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé.

Ïóñòü X - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, BR [x◦ ] - çàìêíóòûé øàð â X ñ öåíòðîì â òî÷êå x◦ . Ïóñòü F : BR [x◦ ] → C(X) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Îïðåäåëåíèå 2. Òî÷êó x∗ ∈ BR [x◦ ] áóäåì íàçûâàòü íåïîäâèæíîé òî÷êîé ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F åñëè x∗ ∈ F (x∗ ). Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå. Òåîðåìà 1. Ïóñòü X - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, F : BR [x◦ ] → C(X) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî k ∈ [0, 1) òàêîå, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: (1) ρ(x◦ , F (x◦ ) < R(1 − k), 5

(2) äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ BR [x◦ ] ïåðåñå÷åíèå F (x) ∩ BR [x◦ ] 6= ø, (3) äëÿ ëþáûõ x ∈ BR [x◦ ] è y ∈ (F (x) ∩ BR [x◦ ]) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

ρ∗ (F (x) ∩ BR [x◦ ], F (y)) ≤ kρ(x, y). Òîãäà, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà R1 óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâó

ρ(x◦ , F (x◦ ) < R1 < R(1 − k), ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x∗ îòîáðàæåíèÿ F òàêàÿ, ÷òî

ρ(x◦ , x∗ ) ≤

R1 . 1−k

(1)

Áîëåå òîãî, ñðåäè íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ F ñóùåñòâóåò òî÷êà xˆ∗ òàêàÿ, ÷òî 2 ρ(x◦ , xˆ∗ ) ≤ ρ(x◦ , F (x◦ )). (2) 1−k

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê x◦ , x1 , ... òàêóþ,

÷òî

xn ∈ BR [x◦ ]

n = 0, 1, ...,

xn ∈ F (xn−1 )

n = 1, 2, ...,

n

ρ(xn+1 , xn ) < k R1

n = 0, 1, ... .

Ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåì ñòðîèòü èíäóêòèâíî. Ïóñòü òî÷êà x◦ - öåíòð íàøåãî øàðà, òî÷êà x1 - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç ïåðåñå÷åíèÿ F (x◦ ) ∩ BR [x◦ ] òàêàÿ, ÷òî ρ(x◦ , x1 ) < R1 . Äîïóñòèì, ÷òî óæå ïîñòðîåíû n + 1 òî÷êà íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x◦ , x1 , ..., xn . Òîãäà

ρ(xn , F (xn )) ≤ ρ∗ (F (xn−1 ) ∩ BR [x◦ ], F (xn )) ≤ kρ(xn−1 , xn ) < k n R1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà xn+1 ∈ F (xn ), ÷òî

ρ(xn , xn+1 ) < k n R1 . Ïðîâåðèì, ÷òî òî÷êà xn+1 ïðèíàäëåæèò øàðó BR [x◦ ]. Äåéñòâèòåëüíî,

ρ(x◦ , xn+1 ) ≤

n X

ρ(xi , xi+1 ) <

i=0

n X

k i R1 <

i=0

R1 < R. 1−k

Òàêèì îáðàçîì òî÷êà xn+1 ïîñòðîåíà, èíäóêöèÿ çàêîí÷åíà. Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé. Äåéñòâèòåëüíî, n+p−1

ρ(xn , xn+p ) ≤

X

n+p−1

ρ(xi , xi+1 ) <

i=n

X i=n

k i R1 <

k n R1 , 1−k

÷òî è äîêàçûâàåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü. Òàê êàê ïðîñòðàíñòâî X ïîëíî, à ìíîæåñòâî BR [x◦ ] çàìêíóòî, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå x∗ ∈ BR [x◦ ]. Òàê êàê 6

R1 ρ(x◦ , xn+1 ) < 1−k , òî ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ýòîì íåðàâåíñòâå, ïîëó÷àåì, ÷òî R1 ρ(x◦ , x∗ ) ≤ 1−k . Ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà x∗ ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F . Äåéñòâèòåëüíî,

ρ(xn+1 , F (x∗ )) ≤ ρ∗ (F (xn ) ∩ BR [x◦ ], F (x∗ )) ≤ kρ(xn , x∗ ). Ñëåäîâàòåëüíî, lim ρ(xn+1 , F (x∗ )) = 0. Òàê êàê ìíîæåñòâî F (x∗ ) çàìêíóòî, n→∞

òî x∗ ∈ F (x∗ ), ò.å. x∗ ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé F . Òàê êàê ∞ ∞ X X R1 ρ(x0 , x∗ ) ≤ ρ(xn , xn+1 ) < k n R1 = , 1−k n=0 n=0 òî íåðàâåíñòâî (1) äîêàçàíî. Äîêàæåì òåïåðü íåðàâåíñòâî (2). Åñëè òî÷êà x◦ ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ F , òî íåðàâåíñòâî (2) ñïðàâåäëèâî. Ïóñòü ρ(x◦ , F (x◦ )) > 0. Âûáåðåì ÷èñëî R1 òàê, ÷òîáû

R1 ≤ ρ(x◦ , F (x◦ )) < R1 < (1 − k)R. 2 Äëÿ ýòîãî ÷èñëà R1 íàéäåì íåïîäâèæíóþ òî÷êó xˆ∗ îòîáðàæåíèÿ F , óäîâëåòâîðÿþùóþ íåðàâåíñòâó (1). Òîãäà

ρ(x◦ , xˆ∗ ) ≤

R1 2 ≤ ρ(x◦ , F (x◦ )). 1−k 1−k

Òåîðåìà äîêàçàíà. Ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îäíîãî èç óòâåðæäåíèé êíèãè [6] (ñòð. 42) è ïî÷òè ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò åãî äîêàçàòåëüñòâî. Òàêæå îíà îáîáùàåò îäíî èç óòâåðæäåíèé ðàáîòû [9]. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç ýòîé òåîðåìû. Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, A - ïîäìíîæåñòâî â X . Îïðåäåëåíèå 3. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : A → C(X) íàçûâàåòñÿ ëèïøèöåâûì, åñëè ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x è y èç A âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:

h(F (x), F (y)) ≤ kρ(x, y).  ýòîì ñëó÷àå k íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà. Åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì îòîáðàæåíèåì ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà ìåíüøå åäèíèöû, òî îíî íàçûâàåòñÿ ñæèìàþùèì. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ( ñì. [6]). Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü X - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, F : BR [x◦ ] → C(X) ìíîãîçíà÷íîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà k ∈ [0, 1).Ïóñòü âûïîëíåíî ñëåäóþùèå óñëîâèå: ρ(x◦ , F (x◦ ) < R(1 − k). Òîãäà, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà R1 , óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâó

ρ(x◦ , F (x◦ ) < R1 < R(1 − k), 7

ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x∗ îòîáðàæåíèÿ F òàêàÿ, ÷òî

R1 . 1−k Áîëåå òîãî ñðåäè íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ F ñóùåñòâóåò òî÷êà xˆ∗ òàêàÿ, ÷òî 2 ρ(x◦ , xˆ∗ ) ≤ ρ(x◦ , F (x◦ )). 1−k ρ(x◦ , x∗ ) ≤

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ åñòåñòâåííî âûòåêàåò èç òåîðåìû 1, ò.ê.

ρ∗ (F (x) ∩ BR [x◦ ], F (y)) ≤ ρ∗ (F (x), F (y)) ≤ h(F (x), F (y)) ≤ kρ(x, y). Èç äîêàçàííîé òåîðåìû òàêæå âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, ( ñì. [10]). Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü X - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, F : X → C(X) ìíîãîçíà÷íîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà k ∈ [0, 1). Ïóñòü x◦ - íåêîòîðàÿ òî÷êà èç ïðîñòðàíñòâà X è ρ(x◦ , F (x◦ )) < δ . Òîãäà ó îòîáðàæåíèÿ F ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x∗ òàêàÿ, ÷òî δ ρ(x◦ , x∗ ) < 1−k . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî R òàêîå, ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ρ(x◦ , F (x◦ ) < δ < R(1 − k). Ðàññìîòðèì øàð BR [x◦ ]. Î÷åâèäíî, ÷òî ñóæåíèå îòîáðàæåíèÿ F íà ýòîò øàð áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì ñëåäñòâèÿ 1, ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå F áóäåò èìåòü íåïîäâèæíóþ òî÷êó δ x∗ òàêóþ, ÷òî ρ(x◦ , x∗ ) < 1−k . Ñëåäñòâèå äîêàçàíî. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîãîçíà÷íûå ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ, â îáùåì ñëó÷àå, èìåþò ìíîãî íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü X - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, F : X → C(X) ìíîãîçíà÷íîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà k ∈ [0, 21 ), ïóñòü x◦ - íåïîäâèæíàÿ òî÷êà F . Åñëè ìíîæåñòâî F (x◦ ) 6= {x◦ }, òî ó F ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå åùå îäíà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x 6= x◦ - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç F (x◦ ), òîãäà

ρ(x, F (x)) ≤ h(F (x), F (x◦ )) ≤ kρ(x, x◦ ) < δ, ãäå δ = k1 ρ(x, x◦ ), k < k1 < 12 . Òîãäà, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2, ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà X∗ îòîáðàæåíèÿ F òàêàÿ, ÷òî

δ k1 ρ(x, x◦ ) = < ρ(x, x◦ ). 1−k 1−k Ñëåäîâàòåëüíî, x◦ = 6 x∗ , è ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå âòîðîé íåïîäâèæíîé òî÷êè. ρ(x, x∗ ) <

1.3

Ìíîãîçíà÷íûå ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà.

Ïóñòü E - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, X - çàìêíóòîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî â E , Y - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Îáîçíà÷èì Cv(X) - ìíîæåñòâî íåïóñòûõ çàìêíóòûõ âûïóêëûõ ïîäìíîæåñòâ â X . 8

Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X × Y → Cv(X) óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: (1) ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî k ∈ [0, 1), ÷òî äëÿ ëþáûõ x0 , x00 ∈ X è ëþáîãî y ∈ Y ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:

h(F (x0 , y); F (x00 , y) ≤ k||x0 − x00 ||; (2) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F - ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2, äëÿ ëþáîãî y ∈ Y ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Fy = F (·, y) : X → Cv(X) èìååò íåïîäâèæíûå òî÷êè. Îáîçíà÷èì F ix(y) = {x | x ∈ Fy (x)}. Âîçíèêàåò ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ix : Y → C(X). Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (1), (2), ïóñòü A - çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî â Y , f : A → X - íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå òàêîå, ÷òî f (y) ∈ F (f (y), y) äëÿ ëþáîãî y ∈ A. Òîãäà ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå g : Y → X óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì: à) g - íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F ix, ò.å. g(y) ∈ F (g(y), y) äëÿ ëþáîãî y ∈ Y ; á) îòîáðàæåíèå g ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïðîäîëæåíèåì îòîáðàæåíèÿ f , ò.å. g|A = f . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé gn : Y → X , n = 0, 1, 2, ..., óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì: 1) gn (y) ∈ F (gn−1 (y), y) äëÿ ëþáîãî y ∈ Y è n = 1, 2, ..., 2) ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ r : Y → R+ , ÷òî äëÿ ëþáîãî y ∈ Y è n = 0, 1, 2, ... âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî ||gn+1 (y) − gn (y)|| < k n r(y), 3) gn |A = f äëÿ ëþáîãî n = 0, 1, 2, .... Ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåì ñòðîèòü èíäóêòèâíî. Ïóñòü îòîáðàæåíèå g0 : Y → X ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì íåïðåðûâíûì ïðîäîëæåíèåì îòîáðàæåíèÿ f íà âñå ïðîñòðàíñòâî Y . Òàêîå ïðîäîëæåíèå âñåãäà ñóùåñòâóåò â ñèëó òåîðåìû Äóãóíæè. Îïðåäåëèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Ψ1 : Y → Cv(E) óñëîâèåì, Ψ1 (y) = F (g0 (y), y). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó è èìååò âûïóêëûå çàìêíóòûå îáðàçû. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû Ìàéêëà, îòîáðàæåíèå Ψ1 èìååò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå q : Y → E . Ïóñòü r(y) = ||g0 (y) − q(y)|| + 1. Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ r : Y → R ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Q : Y → V (E), Q(y) = {x ∈ E | ||g0 (y) − x|| < r(y)}. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå èìååò âûïóêëûå îáðàçû è åãî ãðàôèê îòêðûò â ïðîñòðàíñòâå Y × E , ò.å. Q ÿâëÿåòñÿ U -îòîáðàæåíèåì. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî Q(y) ∩ Ψ1 (y) 6= Ø äëÿ ëþáîãî y ∈ Y è f (y) ∈ (Q(y) ∩ Ψ1 (y)) äëÿ ëþáîãî y ∈ A. Òîãäà, â ñèëó òåîðåìû 8 î ñå÷åíèè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ( ñì. [2] ñòð. 23), ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå g1 : Y → E , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ñå÷åíèåì Ψ1 , ñîâïàäàåò ñ îòîáðàæåíèåì f íà ìíîæåñòâå A è ||g1 (y) − g0 (y)|| < r(y). Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1-3. 9

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïîñòðîèëè îòîáðàæåíèÿ g0 , g1 , ..., gn , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì 1-3. Ïóñòü Ψi+1 (y) = F (gi (y), y). Òîãäà äëÿ âñåõ y ∈ Y èìååì,

ρ(gn (y), Ψn+1 (y)) ≤ h(F (gn−1 (y), y); F (gn (y), y)) ≤ ≤ k||gn (y) − gn−1 (y)|| < k n r(y). Òîãäà, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 6 î ñå÷åíèè ( ñì. [2] ñòð. 25), ó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ Ψn+1 ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå gn+1 (y), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1-3. Ýòî è çàêàí÷èâàåò ïîñòðîåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {gn }. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî äëÿ ëþáîãî y ∈ Y ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = gn (y) ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé. Äåéñòâèòåëüíî,

||xn+p − xn || ≤ ||xn+1 − xn || + ||xn+2 − xn+1 || + ... + ||xn+p − xn+p−1 || < r(y) n k . 1−k Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è âûòåêàåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn . Îáîçíà÷èì g(y) = lim gn (y), äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ýòîãî îòîáðàæån→∞ íèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü y0 - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç Y , òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè V ýòîé òî÷êè äëÿ ëþáîãî y ∈ V ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ||r(y)|| ≤ ||r(y0 )|| + 1. Òîãäà íà ìíîæåñòâå V ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {gn } ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê îòîáðàæåíèþ g , ÷òî è ãàðàíòèðóåò íåïðåðûâíîñòü g íà ýòîì ìíîæåñòâå ( ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå y0 ). Òàê êàê òî÷êà y0 âûáèðàëàñü ïðîèçâîëüíî, òî g ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèåì. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ôèêñèðîâàííîì y â óñëîâèè 1 ïîñòðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè , ïîëó÷àåì âêëþ÷åíèå g(y) ∈ F (g(y), y). Óñëîâèå g|A = f âûòåêàåò èç ñâîéñòâà 3 ïîñòðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òåîðåìà äîêàçàíà.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ ýòîé òåîðåìû, äîêàæåì òåîðåìó Ðè÷åðè (ñì. [12]), î ñòðóêòóðå ìíîæåñòâà íåïîäâèæíûõ òî÷åê ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, A - ïîäìíîæåñòâî â X . Îïðåäåëåíèå 4. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ ðåòðàêòîì X , åñëè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå τ : X → A òàêîå, ÷òî τ (x) = x äëÿ ëþáîãî x ∈ A.  ýòîì ñëó÷àå îòîáðàæåíèå τ íàçûâàåòñÿ ðåòðàêöèåé. Çíàÿ òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà X ìîæíî ìíîãî ñêàçàòü î òîïîëîãè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ åãî ðåòðàêòîâ. Íàïðèìåð, åñëè ìíîæåñòâî X ñâÿçíî, òî åãî ðåòðàêò òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ìíîæåñòâîì è ò.ä. Òåîðåìà 3. Ïóñòü X - çàìêíóòîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà E , F : X → Cv(X) - ìíîãîçíà÷íîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå. Òîãäà ìíîæåñòâî K íåïîäâèæíûõ òî÷åê ýòîãî îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåòðàêòîì X . Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Fˆ : X × X → Cv(X) îïðåäåëåííîå óñëîâèåì: Fˆ (x, y) = F (x). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 2. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f : K → X , f (y) = y . Î÷åâèäíî, ÷òî f (y) ∈ Fˆ (f (y), y) äëÿ ëþáîãî y ∈ K . Òîãäà, â ñèëó < r(y)(k n + k n+1 + ... + k n+p−1 ) <

10

òåîðåìû 2, ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå g : X → X óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: à) g(y) ∈ Fˆ (g(y), y) = F (g(y)), ò.å. g(y) ∈ K äëÿ ëþáîãî y ∈ X ; á) îòîáðàæåíèå g ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïðîäîëæåíèåì îòîáðàæåíèÿ f , ò.å. äëÿ ëþáîãî y ∈ K ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî, g(y) = f (y) = y . Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå g ÿâëÿåòñÿ ðåòðàêöèåé ïðîñòðàíñòâà X íà K . Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 3, òîãäà ìíîæåñòâî K íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ F ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ìíîæåñòâîì.

2

Óðàâíåíèÿ ñ ñþðüåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè.

 íàñòîÿùåì ðàçäåëå òåîðåìû î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé áóäóò ïðèìåíåíû äëÿ èçó÷åíèÿ îäíîãî êëàññà îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé.

2.1

Îñíîâíûå ñâîéñòâà çàìêíóòûõ ëèíåéíûõ ñþðúåêòèâíûõ îïåðàòîðîâ.

Ïóñòü E1 , E2 - äâà áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâà, D(a) - ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå â E1 , a : D(a) ⊂ E1 → E2 - ëèíåéíûé îïåðàòîð. Îïðåäåëåíèå 5. Îïåðàòîð a íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè èç òîãî, ÷òî xn → x è a(xn ) → y ñëåäóåò, ÷òî x ∈ D(a) è a(x) = y . Îïåðàòîð a íàçûâàåòñÿ ñþðúåêòèâíûì, åñëè îáëàñòü çíà÷åíèé ýòîãî îïåðàòîðà Im(a) = {y ∈ E2 | y = a(x), x ∈ D(a)}

ñîâïàäàåò ñî âñåì E2 . Îñíîâíûå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ñîäåðæàòñÿ, íàïðèìåð, â [3]. Ïóñòü a - çàìêíóòûé ëèíåéíûé ñþðúåêòèâíûé îïåðàòîð,

L = Ker(a) = {x ∈ D(a) | a(x) = 0} ÿäðî îïåðàòîðà a. Ðàññìîòðèì ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî E = E1 /Ker(a) ïðîñòðàíñòâà E1 ïî ÿäðó Ker(a). Ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà E ÿâëÿþòñÿ ôàêòîðêëàññû [x] = x + Ker(a). Èçâåñòíî, ÷òî íîðìà â ïðîñòðàíñòâå E îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè [x] = x + Ker(a) ∈ E , òî ||[x]|| = inf ||x + u||. u∈Ker(a)

Ïóñòü p - ïðîåêöèÿ ïðîñòðàíñòâà E1 íà E , p(x) = [x]. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå a1 : D(a1 ) ⊂ E → E2 , ãäå D(a1 ) = p(D(a)) è a1 ([x]) = a(x). Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî îòîáðàæåíèå a1 ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, èìååò íóëåâîå ÿäðî è ñþðúåêòèâíî (ñì., íàïðèìåð, [7]). Ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå a1 ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì è èìååò ìåñòî êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììà:

D(a) ⊂ E1 p&

a

−→

E2 % a1 D(a1 ) ⊂ E .

11

Ïî îïðåäåëåíèþ íîðìû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà èìååì:

||a−1 1 || = sup

y∈E2

||a−1 inf{||x|| | x ∈ E1 , a(x) = y} 1 (y)|| = sup ( ). ||y|| ||y|| y∈E2

Îáîçíà÷èì ||a−1 1 || = β(a). Îïðåäåëåíèå 6. ×èñëî β(a) áóäåì íàçûâàòü íîðìîé ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ a−1 è îáîçíà÷àòü ||a−1 ||. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ íîðìû ìíîãîçíà÷íîãî îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ. Ïðèìåð 1. Ïóñòü C[a,b] - ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ âåêòîð-ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [a, b] ñî çíà÷åíèÿìè â åâêëèäîâîì n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå E n . Ðàññìîòðèì îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ d : D(d) ⊂ C[a,b] → C[a,b] , ãäå D(d) - ìíîæåñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ âåêòîð-ôóíêöèé. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàòîð d ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ñþðúåêòèâíûì îïåðàòîðîì. Âû÷èñëèì äëÿ íåãî ||d−1 ||. Ïðåäëîæåíèå 3.×èñëî ||d−1 || = b−a . 2 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y = y(t) ∈ C[a,b] , ||y||C = max ||y(s)||. s∈[a,b]

Ðàññìîòðèì

Zt −1

y(s)ds, α ∈ E n }.

d (y) = {x = x(t) ∈ C[a,b] | x(t) = α + a

Òîãäà

Zt inf {||x||C | x ∈ d−1 (y)} = infn ||α +

α∈E n

y(s)ds||C ≤

α∈E

a a+b

Zt ≤ ||

Z2 y(s)ds −

a

Zt y(s)ds||C ≤

y(s)ds||C = || a

a+b 2

Zt ≤ max |

||y(s)||ds| =

a≤t≤b

b−a ||y||C . 2

a+b 2

Ñëåäîâàòåëüíî, ||d−1 || ≤ b−a . 2 b−a −1 Ïîêàæåì, ÷òî ||d || = 2 . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âåêòîð-ôóíêöèþ y0 (t) = (1, 0, ..., 0) äëÿ ëþáîãî t ∈ [a, b]. Òîãäà

d−1 (y0 ) = {x = x(t) ∈ C[a,b] | x(t) = (α1 + t − a, α2 , ..., αn ), αi ∈ R}. Ñëåäîâàòåëüíî,

inf ||x||C = infn

α∈E n

α∈E

v u n X u 2 t αi2 = inf 1 max |α1 + t − a| = max (α1 + t − a) +

a≤t≤b

i=2

12

α1 ∈R

a≤t≤b

b−a . 2

= inf 1 max{|b − a + α1 |, |α1 |} = α1 ∈R

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ||y0 ||C = 1. Ñëåäîâàòåëüíî,

b−a ||y0 ||C = infn {||x||C | x ∈ d−1 (y0 )}. α∈E 2 Òàêèì îáðàçîì, ||d−1 || = b−a . Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. 2 1 Ïðèìåð 2. Ïóñòü L[a,b] - ïðîñòðàíñòâî ñóììèðóåìûõ âåêòîð-ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [a, b] ñî çíà÷åíèÿìè â åâêëèäîâîì n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå E n . Ïóñòü C[a,b] - ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ âåêòîð-ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [a, b] òàêæå ñî çíà÷åíèÿìè â E n . Ðàññìîòðèì îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ d : D(d) ⊂ C[a,b] → L1[a,b] , ãäå D(d) - ìíîæåñòâî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ âåêòîð-ôóíêöèé. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàòîð d ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ñþðúåêòèâíûì îïåðàòîðîì. Âû÷èñëèì äëÿ íåãî ÷èñëî ||d−1 ||. Ïðåäëîæåíèå 4.×èñëî ||d−1 || = 12 . Rb Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y = y(t) ∈ L1[a,b] , ||y||L1 = ||y(s)||ds. Òîãäà ñóùåa

ñòâóåò òàêîå ÷èñëî c, ëåæàùåå ìåæäó a è b, ÷òî

Zc

Zb ||y(s)||ds =

a

1 ||y(s)||ds = ||y||L1 . 2

c

Ðàññìîòðèì

Zt −1

y(s)ds, α ∈ E n }.

d (y) = {x = x(t) ∈ C[a,b] | x(t) = α + a

Òîãäà

Zt inf {||x||C | x ∈ d−1 (y)} = infn ||α +

α∈E n

y(s)ds||C ≤

α∈E

a

y(s)ds −

≤ ||

y(s)ds||C ≤ max |

y(s)ds||C ||

a≤t≤b

1 ||y(s)||ds| = ||y||L1 . 2

c

c

a

a

Zt

Zt

Zc

Zt

Ñëåäîâàòåëüíî, ||d || ≤ 12 . Ïîêàæåì, ÷òî ||d−1 || = 12 . −1

Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âåêòîð-ôóíêöèþ y0 (t) = (1, 0, ..., 0) äëÿ ëþáîãî t ∈ [a, b]. Òîãäà

d−1 (y0 ) = {x = x(t) ∈ C[a,b] | x(t) = (α1 + t − a, α2 , ..., αn ), αi ∈ R}. Ñëåäîâàòåëüíî,

inf ||x||C = infn

α∈E n

α∈E

v u n X u 2 t αi2 = inf 1 max |α1 + t − a| = max (α1 + t − a) +

a≤t≤b

i=2

13

α1 ∈R

a≤t≤b

= inf 1 max{|b − a + α1 |, |α1 |} = α1 ∈R

b−a . 2

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ||y0 ||L1 = b − a. Ñëåäîâàòåëüíî,

1 ||y0 ||L1 = infn {||x||C | x ∈ d−1 (y0 )}. α∈E 2 Òàêèì îáðàçîì, ||d−1 || = 12 . Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Èçó÷èì òåïåðü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå a−1 : E2 → Cv(E1 ), a−1 (y) = {x ∈ E1 | a(x) = y}. Ëåììà 2. Îòîáðàæåíèå a−1 ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì ñ êîíñòàíòîé ëèïøèöà ||a−1 ||, ò.å.

h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )) ≤ ||a−1 || ||x1 − x2 ||.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x1 , x2 ∈ E2 , âû÷èñëèì h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )). Î÷å-

âèäíî, ÷òî:

h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )) = inf{ ||z1 − z2 || | z1 ∈ a−1 (x1 ), z2 ∈ a−1 (x2 ) } = = inf{ ||z1 − z2 || | z1 − z2 ∈ a−1 (x1 − x2 ) } ≤ ||a−1 || ||x1 − x2 ||.

2.2

Óðàâíåíèÿ ñ çàìêíóòûìè ñþðúåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè âî âñåì ïðîñòðàíñòâå.

Ïóñòü E1 , E2 - äâà áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâà, a : D(a) → E2 - çàìêíóòûé ëèíåéíûé ñþðúåêòèâíûé îïåðàòîð, f : E1 → E2 - ëèïøèöåâî îòîáðàæåíèå, ò.å. ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà c > 0, òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ E1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî: ||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ c||x1 − x2 ||. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

a(x) = f (x).

(1)

Îáîçíà÷èì N (a, f ) ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1), ò.å.

N (a, f ) = {x ∈ E1 | a(x) = f (x)}.

Òåîðåìà 4. Åñëè c <

1 , ||a−1 ||

òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé N (a, f ) óðàâíåíèÿ (1) íåïóñòî è ÿâëÿåòñÿ ðåòðàêòîì ïðîñòðàíñòâà E1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (1) ýêâèâàëåíòíî âêëþ÷åíèþ x ∈ F (x), ãäå F (x) = a−1 (f (x)). Ïîêàæåì, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F èìååò íåïîäâèæíûå òî÷êè. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì. Äåéñòâèòåëüíî,

h(F (x); F (y)) = ρ∗ (F (x), F (y)) = ρ∗ (F (y), F (x)) = = inf{ ||z1 − z2 || | z1 ∈ F (x), z2 ∈ F (y) } = = inf{ ||z1 − z2 || | a(z1 − z2 ) = f (x) − f (y) } ≤ ≤ ||a−1 || ||f (x) − f (y)|| ≤ ||a−1 || c||x − y||. 14

Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû ||a−1 ||c < 1, òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì. Òåïåðü ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ 2 è òåîðåìû 3. Ïîäîáíîå óòâåðæäåíèå, â ñëó÷àå, êîãäà a ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì, äîêàçàíà â ðàáîòå [12].

2.3

Óðàâíåíèÿ ñ çàìêíóòûìè ñþðúåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè íà ñôåðå.

Ïóñòü E1 , E2 - äâà áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâà, a : E1 → E2 - íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé ñþðúåêòèâíûé îïåðàòîð. Ïóñòü Sr - ñôåðà ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â íóëå ïðîñòðàíñòâà E1 , f : Sr → E2 - ëèïøèöåâî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà c. Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ðàçðåøèìîñòü ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ: a(x) = f (x). (2). Ïóñòü x0 - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ñôåðû Sr . Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ Sr ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

||f (x)|| ≤ ||f (x0 )|| + ||f (x) − f (x0 )|| ≤ ||f (x0 )|| + c · 2r, ò.å. f ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì îòîáðàæåíèåì íà Sr . Ïóñòü M - íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî ||f (x)|| ≤ M . Ïðîäîëæèì îòîáðàæåíèå f íà âñå ïðîñòðàíñòâî E1 ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: ½ ||x|| rx f ( ||x|| ), åñëè x 6= 0, ˆ r f (x) = 0, åñëè x = 0.

Ëåììà 3. Îòîáðàæåíèå fˆ ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì îòîáðàæåíèåì ñ êîí-

ñòàíòîé Ëèïøèöà c1 = Mr + 2c. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, y ïðîèçâîëüíûå òî÷êè èç E1 , íå ðàâíûå íóëþ. Òîãäà 1 rx ry ||fˆ(x) − fˆ(y)|| = || ||x||f ( ) − ||y||f ( ) || ≤ r ||x|| ||y|| 1 rx 1 rx ry ≤ ||( ||x|| − ||y||)f ( ) || + ||y|| ||f ( ) − f( )|| ≤ r ||x|| r ||x|| ||y|| ||y|| rx ry M x y M | ||x|| − ||y|| | + c || − || ≤ ||x − y|| + ||y|| c || − ||. ≤ r r ||x|| ||y|| r ||x|| ||y|| Òàê êàê x y 1 || − || ≤ || ||y|| x − ||x|| y || = ||x|| ||y|| ||x|| ||y|| 1 2 = || (||y|| − ||x||) x + ||x||(x − y)|| ≤ ||x − y||, ||x|| ||y|| ||y|| òî M ||fˆ(x) − fˆ(y)|| ≤ ( + 2c)||x − y||. r Íåñëîæíî ïðîâåðÿåòñÿ ëèïøèöåâîñòü îòîáðàæåíèÿ fˆ â ñëó÷àå, åñëè îäíà èç òî÷åê ÿâëÿåòñÿ íóëåâîé. Ýòî è äîêàçûâàåò ëåììó. 15

Òåîðåìà 5. Ïóñòü f : Sr → E2 - ëèïøèöåâî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà c < 4||a1−1 || − M . Åñëè dim(Ker a) ≥ 1, òî óðàâíåíèå 2r (2) èìååò ðåøåíèå íà ñôåðå Sr . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü îòîáðàæåíèå fˆ : E1 → E2 , îïðåäåëåíî óñëîâèåì ½ ||x|| rx f ( ||x|| ), åñëè x 6= 0, r fˆ(x) = 0, åñëè x = 0. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

a(x) = fˆ(x).

(20 ).

Åñëè c < 4||a1−1 || − M , òî êîíñòàíòà Ëèïøèöà c1 îòîáðàæåíèÿ fˆ óäîâëåòâîðÿåò 2r íåðàâåíñòâó c1 < 12 ||a−1 ||. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F = a−1 · fˆ : E1 → Cv(E1 ) ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà k < 12 . Î÷åâèäíî, ÷òî íîëü ïðîñòðàíñòâà E1 ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ F , îäíàêî, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2, ýòî îòîáðàæåíèå èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå x0 , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2'). Òîãäà a( ||xr0 || x0 ) = f ( ||xr0 || x0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà y0 = ||xr0 || x0 ∈ Sr ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2). Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü f : E1 → E2 - ëèïøèöåâî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà c < 4||a1−1 || . Åñëè (i) dim(Ker a) ≥ 1; (x)|| (ii) lim ||f||x|| = 0, ||x||→∞

òî ñóùåñòâóåò òàêîå r0 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî r > r0 óðàâíåíèå (2) èìååò ðåøåíèå íà ñôåðå Sr . Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ε0 = 4||a1−1 || − c > 0.  ñèëó óñëîâèé ñëåäñòâèÿ, ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî r0 , ÷òî äëÿ ëþáîãî ||x|| ≥ r0 (x)|| ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ε0 = 4||a1−1 || − c > ||f||x|| . Òîãäà, åñëè r ≥ r0 , òî M M = sup ||f (x)|| ≤ r · ε0 . Ñëåäîâàòåëüíî, 2r < ε0 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè r ≥ r0 x∈Sr

íà ñôåðå Sr âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 5, ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.

3 Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ äîêàçàííûõ òåîðåì.

3.1 Îòêðûòîñòü ìíîæåñòâà ñþðúåêòèâíûõ îïåðàòîðîâ. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ñâîéñòâî îáðàòèìîñòè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå âñåõ îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìàëûõ ïî íîðìå âîçìóùåíèé. Êëàññè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îïåðàåòñÿ íà ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé Áàíàõà. Äîêàçàòåëüñòâî óñòîé÷èâîñòè ñâîéñòâà ñþðúåêòèâíîñòè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà îòíîñèòåëüíî ìàëûõ ïî íîðìå âîçìóùåíèé, òàêæå îïåðàåòñÿ íà òåîðåìó î íåïîäâèæíîé òî÷êå, íî äëÿ ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. 16

Òåîðåìà 6. Ïóñòü a : D(a) ⊂ E1 → E2 - çàìêíóòûé ñþðúåêòèâíûé 1 ëèíåéíûé îïåðàòîð. Ïóñòü b ∈ L(E1 , E2 ) è ||b|| < ||a−1 , òîãäà îïåðàòîð || a + b : D(a) ⊂ E1 → E2 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâíûì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y0 - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà E2 . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå a(x) = y0 − b(x). Î÷åâèäíî, ÷òî îòîáðàæåíèå f (x) = y0 −b(x) ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì è êîíñòàí1 òà Ëèïøèöà c = ||b|| < ||a−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå, || ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå. Ñëåäñòâèå 5. Ïóñòü a : D(a) ⊂ E1 → E2 - çàìêíóòûé ñþðúåêòèâíûé îïåðàòîð b ∈ L(E1 , E2 ). Åñëè óðàâíåíèå a(x) = y ðàçðåøèìî äëÿ ëþáîãî y ∈ E2 , òî ñóùåñòâóåò òàêîå µ0 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî 0 < µ < µ0 óðàâíåíèå a(x) + µb(x) = y òàêæå èìååò ðåøåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî. Ñëåäñòâèå 6.Ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ñþðúåêòèâíûõ îïåðàòîðîâ S(E1 , E2 ) îòêðûòî â ïðîñòðàíñòâå L(E1 , E2 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè îïåðàòîð a ∈ S(E1 , E2 ), òî ëþáîé îïåðàòîð c ∈ 1 L(E1 , E2 ), òàêîé, ÷òî ||a − c|| < ||a−1 , òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâíûì. Ýòî è || äîêàçûâàåò ñëåäñòâèå.

3.2

Óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû.

Ïóñòü AC[0,1] ⊂ C[a,b] - ïîäìíîæåñòâî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [0, 1], ñî çíà÷åíèÿìè â Rn , L∞ [0,1] - ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ïî÷òè âñþäó îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [0, 1], ñî çíà÷åíèÿìè â Rm , L1[0,1] - ïðîñòðàíñòâî ñóììèðóåìûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [0, 1], ñî çíà÷åíèÿìè â Rn . Ðàññìàòðèì óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó:

n

x0 − A(t)x − B(t)u = 0,

(3)

x(0) = x0 , x(1) = x1 ,

(4)

n

m

n

ãäå A : [0, 1] → L(R , R ), B : [0, 1] → L(R , R ) - ñóììèðóåìûå îòîáðàæåíèÿ. Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è áóäåì íàçûâàòü òàêóþ ïàðó (x = x(t), u = u(t)), x ∈ AC[0,1] , óïðàâëåíèå u ∈ L∞ [0,1] , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (3) äëÿ ïî÷òè âñåõ t ∈ [0, 1] è êðàåâûì óñëîâèÿì (4). Îïðåäåëåíèå 7. Áóäåì ãîâîðèòü ÷òî ñèñòåìà (3), (4) âïîëíå óïðàâëÿåìà, åñëè îíà ðàçðåøèìà äëÿ ëþáûõ x0 , x1 ∈ Rn . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ∞ D(L) = AC[0,1] × L∞ [0,1] ⊂ C[0,1] × L[0,1] .

Ïóñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð L : D(L) → L1[0,1] × Rn × Rn îïðåäåëåí óñëîâèåì,

L(x, u)(t) = (x0 (t) − A(t)x(t) − B(t)u(t), x(0), x(1)). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî L ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ëèíåéíûì îïåðàòîðîì. 17

Ëåììà 4. Ñèñòåìà (3), (4) âïîëíå óïðàâëÿåìà, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îïåðàòîð L ÿâëÿåòñÿ ñþðüåêòèâíûì. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü î÷åâèäíà. Ïîêàæåì íåîáõîäèìîñòü. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó (h, z0 , z1 ) ∈ L1[0,1] × Rn × Rn è ïîêàæåì, ÷òî ýòà òî÷êà ïðèíàäëåæèò îáëàñòè çíà÷åíèé îïåðàòîðà L. Ïóñòü v(t) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ èç L∞ [0,1] Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

x0 (t) − A(t)x(t) − B(t)v(t) = h(t). Ïóñòü y(t) - ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ. Îáîçíà÷èì x0 = z0 − y(0), x1 = z1 − y(1).  ñèëó òîãî, ÷òî ñèñòåìà (3), (4) ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïðàâëÿåìîé, ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (x, u) óðàâíåíèÿ (3) òàêîå, ÷òî x(0) = x0 , x(1) = x1 . Òîãäà L((y, v) + (x, u)) = (h, z0 , z1 ), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Íåêîòîðûå êðèòåðèè óïðàâëÿåìîñòè ëèíåéíûìè ñèñòåìàìè ñîäåðæàòñÿ â [8]. Èçó÷èì òåïåðü íåëèíåéíûå ñèñòåìû. Ïóñòü f : [0, 1] × Rn × Rm → Rn îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: I1 ) äëÿ ëþáûõ x ∈ Rn , u ∈ Rm îòîáðàæåíèå fx,u = f (·, x, u) : [0, 1] → Rn ÿâëÿåòñÿ ñóìèðóåìûì; I2 ) äëÿ ïî÷òè âñåõ t ∈ [0, 1] îòîáðàæåíèå ft = f (t, ·, ·) : Rn × Rm → Rn ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì; I3 ) ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî c > 0, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Rn , u, v ∈ Rm è ïî÷òè âñåõ t ∈ [0, 1] âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

||f (t, x, u) − f (t, y, v)|| ≤ c(||x − y|| + ||u − v||). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ïîðîæäàåò îïåðàòîð ñóïåðïîçèöèè fˆ : 1 ˆ C[0,1] × L∞ [0,1] → L[0,1] , ïî ïðàâèëó, f (x, u)(t) = f (t, x(t), u(t)). Ðàññìàòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:

x0 − A(t)x − B(t)u = f (t, x, u),

(5)

x(0) = x0 , x(1) = x1 ,

(6)

ãäå A : [0, 1] → L(Rn , Rn ), B : [0, 1] → L(Rm , Rn ) - ñóììèðóåìûå îòîáðàæåíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü ÷òî ñèñòåìà (5), (6) âïîëíå óïðàâëÿåìà, åñëè îíà ðàçðåøèìà äëÿ ëþáûõ x0 , x1 ∈ Rn . 1 n n Ïóñòü îòîáðàæåíèå g : C[0,1] ×L∞ [0,1] → L[ 0, 1]×R ×R îïðåäåëåíî óñëîâèåì:

g(x, u) = (fˆ(x, u), x0 , x1 ). Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà (5), (6) ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïðàâëÿåìîé, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ x0 , x1 ∈ Rn èìååò ðåøåíèå îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå

L(x, u) = g(x, u). Ïðèìåíèì ê èçó÷åíèþ óðàâíåíèÿ (7) ðåçóëüòàòû ïîëó÷åííûå ðàíåå. 18

(7)

Òåîðåìà 7. Ïóñòü ñèñòåìà (3), (4) ÿâëÿåòñÿ óïðàâëÿåìîé. Ïóñòü îòîáðàæåíèå f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì I1 , I2 è I3 . Åñëè ÷èñëî c èç óñëîâèÿ I3 ìåíüøå ||L1−1 || , òî ñèñòåìà (6), (7) ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïðàâëÿåìîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì íîðìó â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ êàê ñóììó íîðì ñîìíîæèòåëåé. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå òî÷êè x, y ∈ AC[0,1] , n u1 , u 2 ∈ L ∞ [0,1] , x0 , x1 ∈ R . Òîãäà ||g(x, u1 ) − g(y, u2 )|| = ||fˆ(x, u1 ) − fˆ(y, u2 )|| = Z1 ||f (t, x(t), u1 (t)) − f (t, y(t), u2 (t))||dt =

= 0

Z1 =c

(||x(t) − y(t)|| + ||u1 (t) − u2 (t)||)dt ≤ c(||x − y|| + ||u1 − u2 ||), 0

ò.å. g ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì îòîáðàæåíèåì ñ êîíñòàíòîé c. Òàê êàê îïåðàòîð L ÿâëÿåòñÿ ñþðüåêòèâíûì, òî, â ñèëó òåîðåìû 4, óðàâíåíèå (7) èìååò ðåøåíèå, ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.

3.3

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.

Ïðèìåíèì òåîðåìó 4 ê èçó÷åíèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íåðàçðåøåííûõ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå x0 = f (t, x, x0 ), (8) ãäå f : [a, b] × Rn × Rn → Rn è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: a) f - íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå; b) ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî c > 0, ÷òî

||f (t, x, u) − f (t, y, v)|| ≤ c(||x − y|| + ||u − v||) äëÿ ëþáûõ t ∈ [a, b], x, y, u, v ∈ Rn . 2 Òåîðåìà 8. Ïóñòü ÷èñëî c óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó c < b−a+2 , òîãäà óðàâíåíèå (8) èìååò ðåøåíèå íà ïðîìåæóòêå [a, b]. 1 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü C[a,b] - ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ âåêòîð-ôóíêöèé íà ïðîìåæóòêå [a, b]. Ðàññìîòðèì îïåðàòîð äèôôåðåí1 öèðîâàíèÿ d : C[a,b] → C[a,b] . Î÷åâèäíî, ÷òî d ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íåïðåðûâíûì ñþðúåêòèâíûì îïåðàòîðîì è dim(Ker(d)) = n. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ñ÷èòàëàñü íîðìà îáðàòíîãî ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ â ïðèìåðå 1, ìîæíî + 1. äîêàçàòü, ÷òî ||d−1 || = b−a 2 1 Ðàññìîòðèì îïåðàòîð ñóïåðïîçèöèè fˆ : C[a,b] → C[a,b] , ïîðîæäåííûé îòîáðàæåíèåì f . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì, è êîíñòàíòà Ëèïøèöà ðàâíà c. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå d(x) = fˆ(x).

19

1  ñèëó óñëîâèé òåîðåìû, î÷åâèäíî, ÷òî c < ||d−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå || èìååò ðåøåíèå, ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðèëîæåíèå òåîðåìû 5 ê âîïðîñó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà ñôåðàõ â ïðîñòðàíñòâå C[a,b] , ò.å. íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ðàçðåøèìîñòü ñëåäóþùåé çàäà÷è:

x0 = f (t, x),

(9)

max ||x(t)|| = r,

(10)

t∈[a,b]

ãäå r - íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (àïðèîðè çàäàííîå), f : [a, b] × Rn → Rn è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: a) f - íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå; b) ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ c||x − y|| äëÿ ëþáûõ t ∈ [a, b], x, y ∈ Rn , c) ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî m òàêîå, ÷òî ||f (t, x)|| ≤ m äëÿ ëþáîé òî÷êè (t, x) ∈ [a, b] × Rn . m(b−a) 1 Òåîðåìà 9. Ïóñòü c < 2(b−a) . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà r > 4−2c(b−a) çàäà÷à (9), (10) èìååò ðåøåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ d : D(d) ⊂ C[a,b] → C[a,b] , ãäå D(d) - ìíîæåñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ âåêòîðôóíêöèé. Äëÿ íåãî óæå áûëî âû÷èñëåíî ÷èñëî ||d−1 || = b−a (ñì. ïðèìåð 1). 2 ˆ Ðàññìîòðèì îïåðàòîð ñóïåðïîçèöèè f : C[a,b] → C[a,b] , ïîðîæäåííûé îòîáðàæåíèåì f . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì, è êîíñòàíòà Ëèïøèöà ðàâíà c. Ïóñòü Sr - ñôåðà ðàäèóñà r â ïðîñòðàíñòâå C[a,b] . Çàäà÷à (9), (10) ýêâèâàëåíòíà òîìó, ÷òî óðàâíåíèå d(x) = fˆ(x) èìååò ðåøåíèå íà ñôåðå Sr . m Ïðèìåíèì òåîðåìó 5, ò.å. èçó÷èì íåðàâåíñòâî c < 4||d1−1 || − 2r . Ïîäñòàâëÿÿ

||d−1 || = b−a è ðåøàÿ ýòî íåðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì, ÷òî r > 2 äîêàçûâàåò òåîðåìó.

m(b−a) . 4−2c(b−a)

Ýòî è

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé/ Þ.Ã.Áîðèñîâè÷, Á.Ä.Ãåëüìàí, À.Ä.Ìûøêèñ è äð. - Âîðîíåæ: Èçä-âî ÂÃÓ, 1986. - 102ñ. [2] Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé (îäíîçíà÷íûå àïïðîêñèìàöèè è ñå÷åíèÿ) ×àñòü 1. Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå/ Á.Ä.Ãåëüìàí. Âîðîíåæ: Èçä-âî ÂÃÓ, 2003. - 27ñ. [3] Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç/ Â.À.Òðåíîãèí. - Ì:Íàóêà, 1980. - 495 ñ. [4] Ãåëüìàí Á.Ä. Îáîáùåííàÿ òåîðåìà î íåÿâíîì îòîáðàæåíèè// Á.Ä.Ãåëüìàí. - Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, ò.35, â.3, 2001.- ñ.183-188. [5] Äìèòðóê À.Â., Ìèëþòèí À.À., Îñìîëîâñêèé Í.Ï. Òåîðåìà Ëþñòàðíèêà è òåîðèÿ ýêñòðåìóìà// À.Â.Äìèòðóê, À.À.Ìèëþòèí, Í.Ï.Îñìîëîâñêèé. ÓÌÍ, ò.35, N6(210), 1980. - ñ.11-46. 20

[6] Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷/ À.Ä.Èîôôå, Â.Ì.Òèõîìèðîâ. - Ì: Íàóêà, 1974. - 479ñ. [7] Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå/ Ñ.Ã.Êðåéí. - Ì:Íàóêà, 1971. - 104ñ. [8] Îñíîâû òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ/ Ý.Á.Ëè, Ë.Ìàðêóñ. - Ì: Íàóêà, 1972, 574 ñ. [9] Dontchev A.L., Hager W.W. An inverse mapping theorem for set-valued maps// A.L.Dontchev, W.W.Hager. - Proc. Amer. Math. Soc., v.121, N2, 1994. - p.481-490. [10] Nadler S.B. Multi-valued contraction mappings// S.B.Nadler. - Pasif. J. Math., v.30, N 2, 1969. - p.475-488. [11] Raymond S.J. Points xes des contractions multivoques// S.J.Raymond. Fixed Point Theory and Appl. Pitman Rescarch Notes in Math. Ser. v.252. p.359-375. [12] Ricceri B. Une propri
et
e topologique de l'ensemble des points xes d'une contraction multivoque
a valeurs convexes// B.Ricceri. - Atti Accad. Nas. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., v.81, 1987. p.283-286.

21

Ñîñòàâèòåëü Ãåëüìàí Áîðèñ Äàíèëîâè÷ Ðåäàêòîð Òèõîìèðîâà Î.À.

22