Высшая математика (часть 2): Учебное пособие

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет

А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников

Высшая математика (Часть 2) Учебное пособие

Ульяновск 2009

УДК 51 (075) ББК 22.311 я7 А67

Рецензенты: кафедра прикладной математики УлГУ (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, профессор А. А. Бутов); д-р физ.-мат. наук, профессор УлГУ А. С. Андреев. Под общей редакцией д-ра физ.-мат. наук, профессора П. А. Вельмисова

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия.

Анкилов, А. В. A 67

Высшая математика (Часть 2) : учебное пособие / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников; под общей редакцией П. А. Вельмисова. – Ульяновск: УлГТУ, 2009. – 272 с.

ISBN 978-5-9795-0514-5 Пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Математика». Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ. Печатается в авторской редакции.

УДК 51 (075) ББК 22.311 я7  Анкилов А. В., Вельмисов П. А., ISBN 978-5-9795-0514-5

Решетников Ю. А., 2009  Оформление. УлГТУ, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ......................................................................................................................................

7

Глава 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ....... 8 1.1. Определение, предел и непрерывность функций нескольких переменных ................. 1.1.1. Определение функции нескольких переменных....................................................... 1.1.2. Предел функции нескольких переменных................................................................. 1.1.3. Непрерывность функции нескольких переменных ................................................ 1.2. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных .. 1.2.1. Частные производные ................................................................................................ 1.2.2. Дифференцируемость функции, полный дифференциал....................................... 1.2.3. Производные сложных функций .............................................................................. 1.2.4. Производные неявных функций ............................................................................... 1.2.5. Частные производные высших порядков ................................................................ 1.3. Экстремумы функций нескольких переменных ........................................................... 1.3.1. Необходимые условия экстремума .......................................................................... 1.3.2. Достаточные условия экстремума ............................................................................ 1.3.3. Условный экстремум ................................................................................................. 1.3.4. Метод наименьших квадратов .................................................................................. 1.4. Основные термины .......................................................................................................... 1.5. Вопросы для самоконтроля ............................................................................................. 1.6. Задачи для самостоятельного решения .......................................................................... 1.7. Итоговый контроль .......................................................................................................... 1.7.1. Тест .............................................................................................................................. 1.7.2. Задачи ..........................................................................................................................

8 8 9 10 12 12 13 15 17 18 19 19 20 21 24 26 27 27 30 30 32

Глава 2. Кратные интегралы ............................................................................................... 37 2.1. Двойной интеграл ............................................................................................................ 2.1.1. Определение и условие существования двойного интеграла ................................ 2.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла ........................................................... 2.1.3. Свойства двойного интеграла ................................................................................... 2.1.4. Вычисление двойного интеграла .............................................................................. 2.1.5. Замена переменных в двойном интеграле ............................................................... 2.1.6. Приложения двойного интеграла ............................................................................. 2.2. Тройной интеграл............................................................................................................. 2.2.1. Определение и вычисление тройного интеграла .................................................... 2.2.2. Замена переменных в тройном интеграле ............................................................... 2.2.3. Приложения тройного интеграла ............................................................................. 2.3. Основные термины .......................................................................................................... 2.4. Вопросы для самоконтроля ............................................................................................. 2.5. Задачи для самостоятельного решения .......................................................................... 2.6. Итоговый контроль .......................................................................................................... 2.6.1. Тест .............................................................................................................................. 2.6.2. Задачи ..........................................................................................................................

37 37 38 39 40 43 46 50 50 52 55 56 56 57 59 59 62

Глава 3. Криволинейные и поверхностные интегралы .............................................. 67 3.1. Криволинейные интегралы ............................................................................................. 67 3.1.1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода ......... 67 3.1.2. Определение криволинейного интеграла первого рода, его физический и геометрический смысл .................................................................................................. 68 3

3.1.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода .......................................... 3.1.4. Криволинейный интеграл второго рода и его физический смысл ........................ 3.1.5. Вычисление криволинейного интеграла второго рода .......................................... 3.1.6. Формула Грина ........................................................................................................... 3.1.7. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования .... 3.2. Поверхностные интегралы .............................................................................................. 3.2.1. Поверхностный интеграл первого рода ................................................................... 3.2.2. Поверхностный интеграл второго рода ................................................................... 3.2.3. Формула Остроградского-Гаусса ............................................................................. 3.2.4. Формула Стокса ......................................................................................................... 3.3. Основные термины .......................................................................................................... 3.4. Вопросы для самоконтроля ............................................................................................. 3.5. Задачи для самостоятельного решения .......................................................................... 3.6. Итоговый контроль .......................................................................................................... 3.6.1. Тест .............................................................................................................................. 3.6.2. Задачи ..........................................................................................................................

69 70 72 73 76 78 78 81 84 86 87 87 88 89 90 91

Глава 4. Элементы теории поля .......................................................................................... 97 4.1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент скалярного поля ........... 4.2. Векторное поле ................................................................................................................. 4.2.1. Понятие векторного поля. Векторные линии .......................................................... 4.2.2. Поток векторного поля ............................................................................................ 4.2.3. Дивергенция векторного поля ................................................................................ 4.2.4. Циркуляция векторного поля.................................................................................. 4.2.5. Ротор векторного поля............................................................................................. 4.2.6. Простейшие векторные поля .................................................................................. 4.2.7. Оператор Гамильтона .............................................................................................. 4.3. Основные термины ........................................................................................................ 4.4. Вопросы для самоконтроля ........................................................................................... 4.5. Задачи для самостоятельного решения ........................................................................ 4.6. Итоговый контроль ........................................................................................................ 4.6.1. Тест ............................................................................................................................ 4.6.2. Задачи ........................................................................................................................

97 99 99 101 102 104 106 107 109 110 110 111 112 113 115

Глава 5. Ряды ........................................................................................................................... 120 5.1. Числовые ряды ............................................................................................................... 5.1.1. Определение ряда и его сходимость ...................................................................... 5.1.2. Свойства сходящихся рядов ................................................................................... 5.1.3. Знакоположительные ряды ..................................................................................... 5.1.4. Знакопеременные ряды ........................................................................................... 5.2. Степенные ряды ............................................................................................................. 5.2.1. Степенной ряд. Область сходимости ..................................................................... 5.2.2. Разложение функций в степенные ряды ................................................................ 5.3. Ряды Фурье ..................................................................................................................... 5.3.1. Тригонометрический ряд. Ортогональность основной тригонометрической системы ........................................................................................ 5.3.2. Ряд Фурье. Сходимость ряда Фурье....................................................................... 5.3.3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций ......................................................... 5.3.4. Ряд Фурье для 2l-периодической функции ........................................................... 5.3.5. Ряд Фурье для непериодической функции ............................................................ 5.4. Основные термины ........................................................................................................ 4

120 120 122 123 126 129 129 132 136 136 137 141 143 144 146

5.5. Вопросы для самоконтроля ........................................................................................... 5.6. Задачи для самостоятельного решения ........................................................................ 5.7. Итоговый контроль ........................................................................................................ 5.7.1. Тест ............................................................................................................................ 5.7.2. Задачи ........................................................................................................................

147 148 149 150 151

Глава 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения......................................... 156 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка........................................................ 6.1.1. Основные понятия ................................................................................................... 6.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными ....................................................... 6.1.3. Однородные уравнения первого порядка .............................................................. 6.1.4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли ............................ 6.1.5. Уравнения в полных дифференциалах .................................................................. 6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков ..................................................... 6.2.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка – основные понятия ..................... 6.2.2. Уравнения, допускающие понижения порядка..................................................... 6.3. Линейные дифференциальные уравнения ................................................................... 6.3.1. Основные понятия ................................................................................................... 6.3.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.... 6.3.3. Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных ................................................................ 6.3.4. Понятие о краевой задаче........................................................................................ 6.4. Системы дифференциальных уравнений..................................................................... 6.4.1. Основные понятия ................................................................................................... 6.4.2. Метод исключения неизвестных ............................................................................ 6.4.3. Метод Эйлера ........................................................................................................... 6.5. Основные термины ........................................................................................................ 6.6. Вопросы для самоконтроля ........................................................................................... 6.7. Задачи для самостоятельного решения ........................................................................ 6.8. Итоговый контроль ........................................................................................................ 6.8.1. Тест ............................................................................................................................ 6.8.2. Задачи ........................................................................................................................

156 156 157 158 160 162 163 163 164 166 166 168 170 172 172 172 174 174 176 176 177 179 179 182

Глава 7. Численные методы и их реализация в системе MathCAD ...................... 189 7.1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса ............................................. 7.1.1. Постановка задачи ................................................................................................... 7.1.2. Задание на лабораторную работу ........................................................................... 7.1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ........................................ 7.1.4. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример .................................... 7.1.5. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера ................... 7.1.6. Основные термины .................................................................................................. 7.1.7. Вопросы для самоконтроля ..................................................................................... 7.2. Решение нелинейных уравнений .................................................................................. 7.2.1. Постановка задачи ................................................................................................... 7.2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод .............................................. 7.2.3. Метод половинного деления ................................................................................... 7.2.4. Метод Ньютона ........................................................................................................ 7.2.5. Метод хорд ............................................................................................................... 7.2.6. Комбинированный метод ........................................................................................ 7.2.7. Задание на лабораторную работу ........................................................................... 7.2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ........................................

190 190 192 193 194 200 202 202 204 204 204 205 205 206 207 208 209 5

7.2.9. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример .................................... 7.2.10. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера ................. 7.2.11. Основные термины ................................................................................................ 7.2.12. Вопросы для самоконтроля ................................................................................... 7.3. Вычисление определенных интегралов ....................................................................... 7.3.1. Постановка задачи ................................................................................................... 7.3.2. Методы прямоугольников и трапеций ................................................................... 7.3.3. Метод Симпсона ...................................................................................................... 7.3.4. Оценка погрешностей методов ............................................................................... 7.3.5. Задание на лабораторную работу ........................................................................... 7.3.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ........................................ 7.3.7. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример .................................... 7.3.8. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера ................... 7.3.9. Основные термины .................................................................................................. 7.3.10. Вопросы для самоконтроля ................................................................................... 7.4. Дифференциальные уравнения первого порядка........................................................ 7.4.1. Постановка задачи ................................................................................................... 7.4.2. Метод Эйлера ........................................................................................................... 7.4.3. Метод Рунге-Кутта .................................................................................................. 7.4.4. Выбор шага интегрирования................................................................................... 7.4.5. Задание на лабораторную работу ........................................................................... 7.4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ........................................ 7.4.7. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример .................................... 7.4.8. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера ................... 7.4.9. Основные термины .................................................................................................. 7.4.10. Вопросы для самоконтроля ................................................................................... 7.5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов ....................................................................................................... 7.5.1. Постановка задачи ................................................................................................... 7.5.2. Выбор типа кривой .................................................................................................. 7.5.3. Метод наименьших квадратов ................................................................................ 7.5.4. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов . 7.5.5. Задание на лабораторную работу ........................................................................... 7.5.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ........................................ 7.5.7. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример .................................... 7.5.8. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера ................... 7.5.9. Основные термины .................................................................................................. 7.5.10. Вопросы для самоконтроля ................................................................................... 7.6. Прикладной математический пакет «Mathcad» .......................................................... 7.6.1. О программе ............................................................................................................. 7.6.2. Основные понятия и функции ................................................................................ 7.6.3. Операторы математического анализа .................................................................... 7.6.4. Функции и операторы матриц ................................................................................ 7.6.5. Создание декартовых графиков на плоскости ...................................................... 7.6.6. Программные блоки.................................................................................................

210 216 219 220 221 221 222 223 224 226 227 228 233 236 236 237 237 238 239 239 240 241 242 246 249 249 250 250 250 251 252 253 254 255 261 264 264 265 265 265 267 268 269 270

Заключение............................................................................................................................... 272 Библиографический список................................................................................................ 272

6

ВВЕДЕНИЕ Данная книга является второй частью учебного пособия по дисциплине «Математика» и написана в соответствии с программой дисциплины для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Предназначено для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Математика». Пособие содержит следующие разделы дисциплины: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные интегралы; криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля; ряды; обыкновенные дифференциальные уравнения; численные методы. В книге каждый из перечисленных выше разделов представлен отдельной главой. Главы разбиты на подразделы, каждый из которых содержит необходимые теоретические сведения и их применение к решению типовых примеров и задач. В конце каждой из глав 1 – 6 приведены список основных терминов, вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения. Итоговый контроль по каждому разделу включает в себя тест и расчетное задание из 5–6 задач. Каждая задача предлагается в 10 вариантах, приводятся также образцы решения аналогичных задач. В главе 7 для ознакомления студентов с основными численными методами, разработан цикл из 5 лабораторных работ. Каждая лабораторная работа описывается в отдельном подразделе и предлагается в 30 вариантах. Приводятся образцы решения аналогичных работ. В конце каждого подраздела приведены контрольные вопросы и список основных терминов. В результате изучения пособия студент должен знать основные математические понятия, методы и факты, обеспечивающие широкий спектр их применения, разумную точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и использовать полученные знания для решения стандартных задач. В разделе «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» проводится ознакомление с основными понятиями и их применением к исследованию функций. Цель изучения кратных интегралов – ознакомление с понятиями двойного и тройного интеграла, с правилами их вычисления и некоторыми физическими и геометрическими приложениями этих интегралов. В следующем разделе проводится ознакомление с понятиями криволинейных и поверхностных интегралов, с правилами их вычисления и основными приложениями этих интегралов. В разделе «Элементы теории поля» проводится ознакомление с понятиями скалярного и векторного полей и основными характеристиками этих полей. Решение многих задач математики и ее приложений значительно упрощается, если рассматриваемые функции представлять как ряды, членами которых являются функции простейшего вида. Целью изучения раздела «Ряды» является ознакомление с основными понятиями теории рядов и методами представления функций рядами Тейлора и Фурье. Решение многих физических задач сводится к решению дифференциальных уравнений. Целью изучения темы «Обыкновенные дифференциальные уравнения» является ознакомление с понятием обыкновенного дифференциального уравнения и методами решения простейших дифференциальных уравнений и их систем. Математическое образование инженера в настоящее время не может ограничиваться традиционными разделами классического анализа. От инженера требуется знание многих разделов современной математики, так как решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата. В то же время решение многих задач приводит к исследованию сложных математических моделей. В тех случаях, когда не удается получить точных аналитических решений, используются численные методы, изучаемые в одноименном разделе. 7

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1.1. Определение, предел и непрерывность функций нескольких переменных 1.1.1. Определение функции нескольких переменных При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, температура тела в данный момент времени t может изменяться от точки к точке. Каждая точка тела определяется тремя координатами x , y и z , поэтому температура зависит (является функцией) от трех переменных x , y , z , а если еще учитывать зависимость температуры от времени t , то значения ее будут уже определяться значениями четырех переменных x , y , z и t . Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно. В данной главе изучаются такого рода зависимости. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. Между функциями одной и функциями нескольких переменных много общего, но имеются и существенные различия. В то же время переход от двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений. В связи с этим в дальнейшем подробно будет рассматриваться только случай функций двух переменных. Определение 1.1.1. Пусть D – множество упорядоченных пар чисел ( x, y ) . Если каждой паре ( x, y )  D поставлено в соответствие число z , то говорят, что на множестве D задана функция z  f ( x, y ) от двух переменных x и y . Переменные x и y называют независимыми переменными (аргументами), переменную z – зависимой переменной, множество D – областью определения функции. Так как каждой паре чисел ( x, y ) соответствует на плоскости точка M с координатами ( x, y ) , то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M и вместо z  f ( x, y ) писать z  f ( M ) . Областью определения функции в этом случае является некоторое множество M  точек плоскости. Как известно, графиком функции одной переменной y  f (x) является кривая, определенная уравнением y  f (x) . Функцию двух переменных z  f ( x, y ) также можно представить графиком. Это будет поверхность, z которая определяется уравнением z  f ( x, y ) , т. е. сама формула, задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности. 2 2 В аналитической геометрии рассматриваются zx y различные поверхности и их уравнения. Так, например, уравнение z  2 x  5 y  10  0 является y O уравнением плоскости. Данная плоскость есть график функции z  2 x  5 y  10 . Графиком x 2 2 Рис. 1.1 функции z  x  y является параболоид вращения (рис. 1.1). 8

Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет значительные трудности, поэтому основным способом задания функций двух переменных является аналитический. Областью определения функции в этом случае является множество точек плоскости, для которых формула, определяющая функцию, имеет смысл. Пример 1.1.1. z  2 x 2  y 2  x . Область определения этой функции – вся плоскость Oxy , так как x и y могут принимать любые значения. Пример 1.1.2. z  1  x 2  y 2 . Областью определения является множество всех точек,

1 x2  y2

для которых выражение

определено, т. е. множество точек, таких, что

1  x  y  0 , или x  y  1 . Множество всех таких точек образует круг единичного радиуса с центром в начале координат. Если вместо множества точек плоскости взять множество M  точек пространства, то аналогично можно дать определение функции трех переменных u  f (M ) или u  f ( x, y, z ) . Областью определения функции трех переменных является все пространство или его часть. Так, например, функция u  x  y 2  z 3 определена во всем пространстве, а функция u  ln xyz  – на множестве точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству xyz  0 . Определение функции n (n  3) переменных аналогично данному выше определению 1.1.1, при этом используется символическая запись u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) или u  f (M ) , где M – точка n-мерного пространства Rn. Заметим, что при n  3 область определения функции уже не имеет наглядного геометрического истолкования. 2

2

2

2

1.1.2. Предел функции нескольких переменных В дальнейшем функцию двух переменных будем рассматривать, как правило, не на произвольном множестве точек плоскости, а на множестве, которое называется областью. Областью будем называть часть плоскости, ограниченную одной или несколькими непрерывными кривыми. Совокупность этих кривых называется границей области. Введем понятие  -окрестности данной точки M 0 ( x0 , y0 ) . Определение 1.1.2. Множество всех точек M ( x, y ) , координаты которых удовлетворяют

неравенству

 x  x 0 2   y  y 0 2

<δ,

или,

короче,

 (M , M 0 )   ,

называется  -окрестностью точки M 0 ( x0 , y0 ) . Другими словами,  -окрестность точки M 0 – это все точки, лежащие внутри круга радиуса  с центром в точке M 0 ( x0 , y0 ) . Всюду далее, если говорится, что функция f ( x, y ) обладает каким-либо свойством в окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) , то под этим подразумевается, что найдется круг с центром ( x0 , y0 ) , во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством. Теперь дадим определение предела функции двух переменных. Оно аналогично определению предела функции одной переменной. Пусть функция z  f ( x, y ) определена в некоторой области D плоскости Оxy и пусть M 0 ( x0 , y0 ) – точка, лежащая в области D или на ее границе. Определение 1.1.3. Число A называется пределом функции z  f ( x, y ) при стремлении точки M ( x, y ) к точке M 0 ( x0 , y0 ) , если для любого числа   0 существует число   0 такое, что для всех точек M ( x, y ) , удовлетворяющих условию 0   ( M , M 0 )   , имеет место неравенство f ( x, y )  A   .

9

Обозначение: lim f ( x, y )  A или lim f ( M )  A . M M 0

x  x0 y  y0

Заметим, что задача нахождения предела функции двух переменных является более сложной, чем для функции одной переменной. Пример 1.1.3. Найти lim x 0 y 0

xy . 3  xy  9

Положим xy = t, тогда t  0 при x  0 и y  0 .

lim x 0 y 0

xy t t (3  t  9 ) = lim = lim =  lim (3  t  9) = –6. 9  (t  9) t 0 3  t  9 t 0 t 0 3  xy  9

Не следует думать, что предел функции двух переменных можно найти, вычисляя последовательно пределы по каждой из переменных.  xy , если x 2  y 2  0  2 2 Пример 1.1.4. Пусть f ( x, y )   x  y 0 , если x 2  y 2  0 . 

Тогда f (0, y )  f ( x,0)  0 , а f ( x, x) 

предела при ( x, y )  (0,0) , хотя lim(lim f ( x, y ))  lim 0  0 , y 0 x 0

y 0

1 при x  0. Таким образом, функция не имеет 2 lim(lim f ( x, y ))  lim 0  0 . y 0 x 0

y 0

1.1.3. Непрерывность функции нескольких переменных Понятие непрерывности функции вводится на основе понятия предела. Пусть функция z  f ( x, y ) определена в области D и точка M 0 ( x0 , y0 )  D . Определение 1.1.4. Функция z  f ( x, y ) называется непрерывной в точке M 0 ( x0 , y0 ) , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) .

(1.1)

x  x0 y  y0

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если в некоторой точке M 0 условие (1.1) не выполняется, то точка M 0 называется точкой разрыва функции z  f ( x, y ) .  x 2  y 2 , всюду, кроме x  1, y  2 Пример 1.1.5. Функция f ( x, y )   0 , при x  1, y  2 в точке M 0 (1,2) разрывна, так как lim f ( x, y )  5 , а f (1,2)  0 . x 1 y 2

Сформулируем определение непрерывности в терминах приращений. Полным приращением функции z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y0 ) называется величина z  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) , 10

где точка M ( x0  x, y0  y ) , также как и M 0 , принадлежит области определения функции. Полагая в предельном равенстве (1.1) x  x0  x, y  y 0  y , представим его в виде lim f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) , или lim z  0 . x 0 y 0

x 0 y 0

Таким образом, определение 1.1.4 равносильно следующему определению. Определение 1.1.5. Функция z  f ( x, y ) называется непрерывной в точке M 0 ( x0 , y0 ) , если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. lim z  0 .

(1.2)

x 0 y 0

Пример 1.1.6. Функция

z  x2  y2

непрерывна в любой точке

M 0 ( x0 , y 0 ) .

Действительно, полное приращение данной функции в точке M 0 имеет вид





z  ( x0  x) 2  ( y0  y ) 2  ( x02  y02 )  2 x0 x  2 y0 y  (x) 2  (y ) 2 . Очевидно, z  0 при x  0 , y  0 , т. е. согласно определению 1.1.5 функция z  x  y 2 непрерывна в точке M 0 ( x0 , y0 ) . Введенные выше понятия предела и непрерывности для функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных. Так же как для функций одной переменной, используя определение непрерывности и свойства пределов, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводят к непрерывным функциям. Отсюда следует, что элементарные функции нескольких переменных непрерывны в тех областях, в которых они определены. Приведем без доказательства основные глобальные, т. е связанные со всей областью определения, свойства непрерывных функций двух переменных. Предварительно введем понятие ограниченной замкнутой области. Пусть D – область на плоскости Оxy . 2

Определение 1.1.6. Замкнутой областью D называется множество точек, образованное областью D и ее границей, т. е. D  D  C . Определение 1.1.7. Область D (или D ) называется ограниченной, если существует круг с центром в начале координат, внутри которого она содержится. Теперь сформулируем основные свойства. 1. Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то она ограничена в этой области, т. е. существует число K такое, что для всех точек области выполняется неравенство: f ( x, y )  K .

2. Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то в области D найдется хотя бы одна точка M * ( x * , y * ) такая, что для всех точек из D будет выполняться неравенство f ( x, y )  f ( x * , y * ) , и хотя бы одна точка M * ( x* , y* ) , такая, что f ( x, y )  f ( x* , y* ) .

11

Числа M  f ( x * , y * ) и m  f ( x* , y* ) называются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции z  f ( x, y ) в D . 3. Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то она принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями, т. е. если A  C  B , где A и B – какие-то значения функции f ( x, y ) в данной области, то в этой области существует точка M 0 ( x0 , y0 ) такая, что f ( x0 , y 0 )  C . Отсюда, в частности, следует, что если M 1 и M 2 – точки данной области D и f ( M 1 )  0 , f ( M 2 )  0 , то в D найдется точка M 0 , в которой f ( M 0 )  0 . Аналогичные свойства имеют место и для непрерывных функций n переменных (n  2) .

1.2. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных 1.2.1. Частные производные Пусть функция z  f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки M ( x, y ) . Дадим переменной x приращение x , оставляя значение переменной y неизменным, т. е. перейдем на плоскости от точки M ( x, y ) к точке M 1 ( x  x, y ) . При этом x таково, что точка M 1 лежит в указанной окрестности точки M . Тогда соответствующее приращение функции  x z  f ( x  x, y )  f ( x, y ) называется частным приращением функции по переменной x в точке M ( x, y ) . Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y:  y z  f ( x, y  y )  f ( x, y ) . yz xz ( lim ) , то этот предел называется x 0 x y 0 y частной производной функции z  f ( x, y ) по переменной x (по переменной y) в точке M ( x, y ) и обозначается одним из следующих символов:

Определение 1.2.1. Если существует lim

z x/ , f x/ ,

z f / / z f , (z y , f y , , ) . x x y y

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной. z z x 3 2 Пример 1.2.1. z  x ln y ;  3x ln y ,  . y y x 3

Пример 1.2.2. z  y x ;

12

z z  y x ln y ,  xy x 1 . x y

Частные производные функции аналогично

n

переменных

u  f ( x1 , x2 ,...xn )

определяются

x u f ( x1 ,..., x k  x k ,..., x n )  f ( x1 ,..., x k ,..., x n ) u  lim k  lim , k = 1,2,…,n. 0 0 x x     k k x k x k x k Пример 1.2.3. u  x 2  yz 3  xyt 2 ;

u u u u  2 x  yt 2 ,  z 3  xt 2 ,  3yz 2 ,  2 xyt . x y z t

1.2.2. Дифференцируемость функции, полный дифференциал Пусть функция z  f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки M ( x, y ) . Определение 1.2.2. Функция z  f ( x, y ) называется дифференцируемой в точке M ( x, y ) , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

z  A  x  B  y    x    y ,

(1.3)

где A и B – некоторые не зависящие от x и y числа, а  и  – бесконечно малые при x  0 , y  0 функции от x и y . Пример 1.2.4. Пусть z  xy , тогда

z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  ( x  x)  ( y  y )  xy  y  x  x  y  x  y . Получили выражение вида (1.3). В данном случае A  y, B  x,   0,   x . Согласно определению 1.2.2 функция z  xy дифференцируема в любой точке M ( x, y ) . Известно, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке. И обратно: из существования производной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносится это свойство на функции двух переменных. Теорема 1.2.1. Если функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y ) , то она имеет в этой точке частные производные

f x/ ( x, y ) и

f y/ ( x, y ) , причем

f x/ ( x, y )  A ,

f y/ ( x, y )  B .

Доказательство. Так как функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M , то имеет место соотношение (1.3). Полагая y  0 , имеем  x z  A  x  x . Разделив на x и  z переходя к пределу при x  0 , получаем lim x  lim ( A   )  A . Следовательно, в точке x 0 x x 0 / M существует частная производная f x ( x, y )  A . Аналогично доказывается, что в точке M

существует частная производная f y/ ( x, y )  B . Обратная теорема неверна, т. е. из существования частных производных в точке M еще не следует дифференцируемость функции в этой точке. 0 на осях координат Например, функция f ( x, y )   имеет частные 1 в остальных точках плоскости производные по x и y в точке O(0,0). Это следует из того, что f ( x,0)  0 и f (0, y )  0 , поэтому f x/ (0,0)  0 и f y/ (0,0)  0 . Убедимся, что точка О(0,0) – точка разрыва функции

z  f ( x, y ) . Пусть точка M ( x, y ) стремится к точке О(0,0) вдоль прямой y  x . Тогда 13

lim f ( x, y )  1 , а f (0,0)  0 , т. е. условие непрерывности (1.1) не выполняется. С другой x 0 y 0

стороны, если предположить, что функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке О(0,0), то из (1.3) будет следовать равенство lim z  0 , т. е. непрерывность функции z  f ( x, y ) в x 0 y 0

точке О(0,0). Следовательно, предположение неверно, и данная функция недифференцируема в точке О(0,0), хотя и имеет в этой точке частные производные. Таким образом, существование частных производных в точке является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Сформулируем достаточное условие дифференцируемости. Теорема 1.2.2. Если функция z  f ( x, y ) в точке M ( x, y ) имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке. Пусть функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y ) , т. е. ее полное приращение z в этой точке может быть записано в виде (1.3). Определение 1.2.3. Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке M ( x, y ) функции z  f ( x, y ) называется главная часть ее полного приращения, линейная относительно x и y , т. е. dz  A  x  B  y .

(1.4)

Используя теорему 1.2.1, выражение (1.4) можно представить следующим образом: dz  f x/ ( x, y )x  f y/ ( x, y )y .

Дифференциалами независимых переменных x и y назовем приращения этих переменных: dx  x , dy  y . Тогда дифференциал функции запишется в виде: dz  f x/ ( x, y )dx  f y/ ( x, y )dy , или

dz 

z z dx  dy . x y

Из соотношений (1.3) и (1.4) следует, что разность z  dz    x    y есть бесконечно малая при x  0 , y  0 более высокого порядка, чем   (x) 2  (y ) 2 . z  dz x y  lim (   )  0 , так как  и  – бесконечно малые, а Действительно, lim  x  0      x0 y 0 y 0

x y x y  1,  1) функции. и – ограниченные (     Отсюда получаем: z  dz  o (  ) , или z  dz  o( ) . Отбрасывая при достаточно малых x и y величину o(  ) , получим приближенную формулу z  dz , которую широко используют в приближенных вычислениях, так как легче вычислить дифференциал, чем полное приращение. Для функции n  2 переменных дифференцируемость и полный дифференциал определяются аналогично. Как и в случае n  2 , если функция u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) в точке

14

M ( x1 , x2 ,...xn ) имеет непрерывные частные производные, дифференцируема и имеет полный дифференциал u u u du  dx1  dx2  ...  dxn . x1 x2 xn

то

она

в

этой

точке

1.2.3. Производные сложных функций Пусть z  f ( x, y ) – функция двух переменных x и y , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t : x  x(t ) , y  y (t ) . Тогда функция z  f x(t ), y (t ) является сложной функцией независимой переменной t . Переменные x и y называются промежуточными аргументами. Предполагая, что функции x  x(t ) и y  y (t ) дифференцируемы в точке t , а функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y ) , покажем, что сложная функция z  f x(t ), y (t ) дифференцируема в точке t и имеет место формула dz z dx z dy   . dt x dt y dt

(1.5)

С этой целью дадим переменной t произвольное приращение t ; тогда функции x(t ) и y (t ) получат соответственно приращения x и y , а функция z  f ( x, y ) , в свою очередь, приращение

z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) . Так как функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y ) , где x  x(t ) , y  y (t ) , то z можно записать в виде z  f x/ ( x, y )x  f y/ ( x, y )y  x  y ,

где  и  – бесконечно малые при x  0 и y  0 . Разделив обе части равенства на t , получим x y x y z  f x/ ( x, y )  f y/ ( x, y )   . t t t t t

(1.6)

x dx y dy  , lim  . Кроме того, так как функции dt t 0 t dt t 0 t x(t ) и y (t ) дифференцируемы в точке t , то они непрерывны в этой точке, т. е. x  0 и y  0 при t  0 и, как следствие,   0 и   0 . Таким образом, при t  0 существует предел правой части равенства (1.6), а следовательно, существует предел левой части Согласно предположению lim

lim t 0

z dz  , t dt

причем dz dx dy  f x/ ( x, y )  f y/ ( x, y ) , dt dt dt или, что то же самое, 15

dz z dx z dy   . dt x dt y dt Пример 1.2.5. Пусть z  x sin y , x  1  3t , y  1  t 2 . По формуле (1.5) имеем dz z dx z dy t t (1  3t )    sin y  3  x cos y   3  sin 1  t 2  cos 1  t 2 . 2 2 dt x dt y dt 1 t 1 t

Аналогично решается вопрос о производной сложной функции, когда число промежуточных аргументов более двух. Например, если u  f ( x, y, z ) , где x  x(t ) , y  y (t ) , z  z (t ) , то формула (1.5) принимает вид du u dx u dy u dz    . dt x dt y dt z dt Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть z  f (u, v) – функция двух переменных u и v , которые, в свою очередь, зависят от двух или большего числа независимых переменных. Например, пусть u  u ( x, y ) , v  v( x, y ) . Тогда функция z  f u ( x, y ), v( x, y ) является сложной функцией независимых переменных x и y , а переменные u и z v – промежуточные. Для вычисления частной производной фиксируем y . Применяя x формулу (1.5), будем иметь z z u z v   . x u x v x

(1.7)

Аналогично, фиксируя x , согласно формуле (1.5) получаем z z u z v   . y u y v y Пример 1.2.6. Пусть z  u 2 v 2 , u  2 x  y , v 

1 z  2uv 2  2  2u 2 v  , y x

(1.8)

x . По формулам (1.7), (1.8) находим y

z x  2uv 2 1  2u 2 v( 2 ) . y y

Формулы (1.7), (1.8) можно обобщить на случай любого числа промежуточных аргументов. Например, если z  f (u, v, w) – функция трех переменных u, v, w , а каждая из них зависит от x и y , то формулы (1.7), (1.8) принимают вид z z u z v z w    , x u x v x w x z z u z v z w    . y u y v y w y

16

1.2.4. Производные неявных функций Рассмотрение этого вопроса начнем с неявной функции одной переменной. Говорят, что функция y  f ( x) , x  (a, b) , неявно задана уравнением F ( x, y )  0 , если F ( x, f ( x))  0 для всех x  (a, b) . Например, уравнение 2 x  3 y  1  0 на всей оси определяет неявно функцию, которую 2x 1 ; уравнение x 2  y 2  1  0 решив данное уравнение, можно записать в явном виде y  3 неявно определяет в интервале (–1,1) две функции y  1  x 2 и y   1  x 2 . В более сложных случаях трудно сказать, для каких значений x уравнение F ( x, y )  0 определяет функцию y  f ( x) и будет ли эта функция единственной. Имеет место следующая теорема существования неявной функции. Теорема 1.2.3. Пусть в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) функция F ( x, y ) и ее частные производные

Fx/ ( x, y ) ,

Fy/ ( x, y ) непрерывны, причем

Fy/ ( x, y )  0 , и пусть

F ( x0 , y0 )  0 . Тогда существует окрестность точки x0 , в которой уравнение F ( x, y )  0 определяет единственную непрерывную функцию y  f ( x) , такую, что y0  f ( x0 ) , F  x, f ( x )   0 . Предполагая условия теоремы 1.2.3 выполненными, покажем, что производная неявной функции y  f ( x) в некоторой окрестности точки x0 выражается по формуле F / ( x, y ) dy   x/ . dx Fy ( x , y )

(1.9)

Пусть значению x соответствует значение функции y . При этом F ( x, y )  0 . Дадим независимой переменной x приращение x . Функция y получит приращение y , т. е. значению аргумента x  x будет соответствовать значение функции y  y , при этом F ( x  x, y  y )  0 . Следовательно, F  F ( x  x, y  y )  F ( x, y )  0 . Представляя полное приращение F в виде (1.3), получим Fx/ ( x, y )x  Fy/ ( x, y )y    x    y  0 .

Отсюда Fx/ ( x, y )   y .  / x Fy ( x , y )   Пусть x  0 , тогда y  0 в силу непрерывности функции y  f ( x) . Учитывая, что при этом  и  также стремятся к нулю, в пределе получим (1.9). dy , если x 2  y 2  1  0 . Здесь F ( x, y )  x 2  y 2  1 , Fx/  2 x , dx dy 2x x Fy/  2 y . По формуле (1.9) получаем:    . Как уже отмечено выше, уравнение dx 2y y x определяет в интервале (–1,1) две функции y   1  x 2 . Найденное значение y x/   y справедливо как для одной, так и для другой функции. Неявная функция двух переменных определяется уравнением вида F ( x, y, z )  0 . Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных, аналогичная теореме 1.2.3. 17 Пример 1.2.7. Найти

Предполагая, что в некоторой области уравнение F ( x, y, z )  0 определяет неявно функцию z  f ( x, y ) , найдем ее частные производные z x/ и z y/ . Чтобы найти z x/ , фиксируем y . Здесь применима формула (1.9), в которой независимая переменная по-прежнему x , а функцией является z . Следовательно, F / ( x, y , z ) z   x/ . x Fz ( x, y, z )

(1.10)

Fy/ ( x, y, z ) z  / . Fz ( x, y, z ) y

(1.11)

Таким же путем находим

Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные. z z и Пример 1.2.8. Найти , если z ln( x  z )  xy  0 . Здесь F ( x, y, z ) = x y z z  y , Fy/   x , Fz/  ln( x  z )  . Следовательно, по формулам = z ln( x  z )  xy , Fx/  xz xz (1.10) и (1.11) получаем xy  zy  z x( x  z ) z z , .   x ( x  z ) ln( x  z )  z y ( x  z ) ln( x  z )  z

1.2.5. Частные производные высших порядков Пусть функция z  f ( x, y ) определена в окрестности точки M ( x, y ) и в каждой точке этой окрестности существуют частные производные f x/ ( x, y ) и f y/ ( x, y ) . Назовем их частными производными первого порядка. Эти производные являются функциями переменных x и y , поэтому от них можно снова находить частные производные. Частные производные от функций f x/ ( x, y ) и f y/ ( x, y ) в точке M ( x, y ) , если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции z  f ( x, y ) в этой точке и обозначаются следующими символами: 2 z  f xx// ( x, y ); 2 x

2z  f xy// ( x, y ); xy

2z  f yy// ( x, y ); 2 y

2z  f yx// ( x, y ). yx

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по x , так и по y . Получим частные производные третьего порядка. В общем случае, частной производной m -го порядка ( m =2,3,…) функции u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) называется частная производная от частной производной (m  1) -го порядка. Пример 1.2.9. z  x  y 2  5x3 y  1 .

Найти

частные

производные

второго

порядка

5

Решение. Найдем частные производные

18

z z  2 y  5x3 .  5 x 4  15 x 2 y , y x

функции

Дифференцируя еще раз, получим 2 z 2z 3  20 x  30 xy ,  15x 2 , 2 x xy

2z 2, y 2

2 z  15 x 2 . yx

2z 2z и (они называются xy yx смешанными, так как берутся по разным переменным) совпадают, т. е. результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Совпадение смешанных производных не случайно, оно имеет место в широком классе случаев при соблюдении определенных условий. А именно, справедлива Теорема 1.2.4. Если производные f xy// ( x, y ) и f yx// ( x, y ) существуют в некоторой

Нетрудно заметить, что частные производные

окрестности точки M ( x, y ) и непрерывны в самой точке М, то f xy// ( x, y ) = f yx// ( x, y ) . Замечание. Для функции n переменных имеет место аналогичная теорема о равенстве смешанных производных любого порядка. 3 z 3 z Пример 1.2.10. Показать, что 2 = , если z  y 2 e x  x 2 y 3  2 . 2 x y yx Решение. Последовательно находим

z  y 2 e x  2xy 3 , x

2 z  y 2e x  2 y 3 , 2 x

z  2 ye x  3 x 2 y 2 , y

2z 3 z  2 ye x  6 xy 2 ,  2 ye x  6 y 2 . yx 2 yx

Таким образом,

3z  2 ye x  6 y 2 ; 2 x y

3 z 3 z  2 ye x  6 y 2 , что и требовалось показать. = 2 2 x y yx

1.3. Экстремумы функций нескольких переменных 1.3.1. Необходимые условия экстремума Пусть функция z  f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) . Определение 1.3.1. Функция z  f ( x, y ) имеет максимум (минимум) в точке M 0 ( x0 , y0 ) , если существует такая окрестность точки M 0 , в которой для всех точек M ( x, y ) отличных от M 0 , выполняется неравенство f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ( f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ). Максимум или минимум функции называется ее экстремумом, а точки, в которых функция имеет экстремум, называются точками экстремума (максимума или минимума). Теорема 1.3.1. (Необходимый признак экстремума). Если дифференцируемая функция z  f ( x, y ) , достигает экстремума в точке M 0 ( x0 , y0 ) , то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т. е. f x ( x0 , y 0 )  0,

f y ( x0 , y 0 )  0 .

(1.12)

Доказательство. Докажем, например, равенство нулю частной производной f x/ ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y0 ) . Для этого рассмотрим в окрестности M 0 только те точки, для которых

19

y  y0 . Получаем функцию z  f ( x, y0 ) одной переменной x , которая имеет в точке x  x0 экстремум. Следовательно, в этой точке выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: f x/ ( x0 , y0 )  0 , что и требовалось доказать. Аналогично, рассматривая функцию z  f ( x0 , y ) одной переменной y, находим f y/ ( x0 , y0 )  0 .

Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для функции n переменных (n  2) . Замечание 2. Условия (1.12) не являются достаточными условиями экстремума. Например, частные производные функции z  x 2  y 2 равны нулю в точке M 0 (0,0) , однако функция не имеет экстремума в этой точке. Действительно, z  f (0,0)  0 и ни в какой окрестности точки M 0 функция не сохраняет знак: если x  0 , то z  0 , а если y  0 , то z  0 , следовательно, значение z  0 не является ни максимумом, ни минимумом. Таким образом, условия (1.12) являются только необходимыми условиями экстремума. Точки, в которых выполняются условия (1.12), называются стационарными точками функции z  f ( x, y ) .

1.3.2. Достаточные условия экстремума Достаточные условия экстремума для функции n переменных имеют вид значительно более сложный, чем для функции одной переменной. Ограничимся формулировкой достаточного признака экстремума для функции двух переменных. Введем обозначения A  f xx// ( x0 , y0 ) , B  f xy// ( x0 , y0 ) , C  f yy// ( x0 , y 0 ) , D  AC  B 2 . Теорема 1.3.2. (Достаточный признак экстремума). Пусть M 0 ( x0 , y0 ) – стационарная точка функции z  f ( x, y ) и пусть в окрестности точки M 0 функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда:  если D  0 , то функция z  f ( x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y0 ) экстремум, а именно – максимум при A  0 ( C  0 ) и минимум при A  0 ( C  0 );  если D  0 , то экстремум в точке M 0 ( x0 , y0 ) отсутствует;  если D  0 , то требуется дополнительное исследование. Пример 1.3.1. Исследовать на экстремум функцию z  x 2  xy  y 2  3 x  6 y . Решение. Сначала применим необходимый признак экстремума (Теорема 1.3.1). Для этого найдем частные производные первого порядка

f x/  2 x  y  3 ,

f y/  x  2 y  6

и, приравняв их к нулю, получим систему уравнений 2 x  y  3  0   x  2 y  6  0. Система имеет единственное решение x  0 , y  3 , следовательно, функция имеет одну стационарную точку M 0 (0,3) . Далее воспользуемся достаточным признаком (Теорема 1.3.2). Имеем f xx//  2 , f xy//  1 , f yy//  2 , D  2  2  1  3 . Так как D  0 и A  2  0 , то в точке M 0 функция имеет минимум, равный z min  9 . Пример 1.3.2. Исследовать на экстремум функцию z  xy . 20

Решение. Имеем f x/  y , f y/  x , следовательно, M 0 (0,0) – стационарная точка. Так

как f xx//  0 , f xy//  1 , f yy//  0 , то A  0 , B  1 , C  0 , D  1  0 , следовательно, в точке M 0 (0,0) экстремума нет. Пример 1.3.3. Исследовать на экстремум функцию z  x 4  y 4 . Решение. Найдем частные производные

f x/  4x 3 , f y/  4 y 3 , f xx//  12x 2 , f xy//  0 , f yy//  12 y 2 . Решая систему уравнений 4 x 3  0 , 4 y 3  0 , находим, что M 0 (0,0) – стационарная точка. Для этой точки

A  f xx// (0,0)  0 ,

B  f xy// (0,0)  0 ,

C  f yy// (0,0)  0 . Так как

D  AC  B 2  0 , то функция в точке M 0 может иметь экстремум, но может и не иметь его. В данном случае экстремум есть, так как z  0 во всех точках, кроме M 0 , и z  0 в точке M 0 , т. е. данная функция в точке M 0 имеет минимум, равный 0.

1.3.3. Условный экстремум При отыскании экстремумов функции нескольких переменных эти переменные часто бывают связаны дополнительными условиями. Рассмотрим, например, такую задачу. Найти наибольший объем параллелепипеда при заданной сумме 12 a длин его ребер. Обозначим через x, y, z длины ребер параллелепипеда. Задача сводится к отысканию максимума функции V  xyz при условии, что x  y  z  3a . Здесь мы имеем задачу на условный экстремум: переменные x, y, z связаны условием x  y  z  3a . В данном пункте будут рассмотрены методы решения таких задач. Начнем с функции двух переменных. Пусть требуется найти экстремумы функции z  f ( x, y ) при условии, что x и y связаны уравнением

 ( x, y )  0 .

(1.13)

Уравнение (1.13) называется уравнением связи. Геометрический смысл задачи заключается в следующем: требуется найти экстремумы функции на линии, заданной уравнением (1.13). В простейших случаях уравнение связи (1.13) можно разрешить относительно y . Подставляя найденное выражение y  y (x) в формулу z  f ( x, y ) , получим функцию одной переменной z  f  x, y ( x)  . Тем самым задача сводится к отысканию экстремумов функции одной переменной. Пример 1.3.4. Найти экстремумы функции z  1  x 2  y 2 при условии x  y  1  0 . Решение. Из уравнения связи находим y  1  x , следовательно, z  1  x 2  (1  x) 2 =

=

2 x(1  x) , 0  x  1 . Исследуем полученную функцию на экстремум: dz 2  4x  0 dx 2 2 x(1  x)

при x  x0 

1 . 2 21

dz 1 меняет знак с плюса на минус, производная 2 dx 1 1 – точка максимума. Из уравнения связи находим: y0  1  x0  . Таким поэтому x0  2 2 1 1 1   образом M 0  ,  – точка условного максимума, в которой z max  . 2 2 2 Пусть функция y  y ( x) в явном виде из уравнения  ( x, y )  0 не выражается. Будем предполагать, что функции f ( x, y ) и  ( x, y ) имеют непрерывные частные производные, При переходе через точку x0 

причем  y/ ( x, y )  0 . Так как z  f ( x, y ) , а y  y ( x) , то z  f ( x, y ( x)) – сложная функция от x . Применяя формулу (1.5), получаем

dz z z dy   . dx x y dx Согласно формуле дифференцирования неявной функции (1.9) имеем

 / ( x, y ) dy   x/ , dx  y ( x, y ) следовательно, / dz / / x  fx  f y  / . y dx / dz / / x В точках экстремума  0 , т. е. f x  f y  /  0 , или dx y

f x/  x/    , f y/  y/

(1.14)

где  – вспомогательный параметр. Равенства (1.14) перепишем в виде: f x/   x/  0 , f y/   y/  0 . Добавляя сюда еще уравнение связи  ( x, y )  0 , получим три уравнения для

определения x, y,  . Таким образом, в точках экстремума необходимо выполняются условия  f x/ ( x, y )   x/ ( x, y )  0  / /  f y ( x, y )   y ( x, y )  0   ( x, y )  0. Если ввести так называемую функцию Лагранжа L( x, y,  )  f ( x, y )   ( x, y ) , то полученную систему можно записать в виде

 L/x ( x, y,  )  0  /  L y ( x, y ,  )  0  /  L ( x, y,  )  0.

22

(1.15)

Изложенный метод распространяется на функции любого числа переменных. Пусть требуется найти экстремумы функции u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) при условии, что переменные связаны m (m  n) условиями: 1 ( x1 , x2 ,..., xn )  0  ( x , x ,..., x )  0  2 1 2 n  . . . . . . . . .  m ( x1 , x2 ,..., xn )  0.

Для того чтобы найти значения x1 , x2 ,..., xn , при которых могут быть условные максимумы и минимумы, нужно составить функцию Лагранжа L( x1 , x 2 ,..., x n , 1 ,  2 ,...,  m )  f ( x1 , x 2 ,..., x n )  1 1 ( x1 , x 2 ,..., x n )   2 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )  …   m m ( x1 , x 2 ,..., x n ) и приравнять к нулю ее частные производные по x1 , x 2 ,..., x n , 1 ,  2 ,...,  m . Из полученной системы m  n уравнений найти x1 , x2 ,..., xn и вспомогательные неизвестные 1 ,  2 ,...,  m . Условия (1.15) являются только необходимыми для экстремума функции z  f ( x, y ) с уравнением связи  ( x, y )  0 , т. е. в точках условного экстремума имеют место равенства (1.15), но не при всяких x и y (и  ), удовлетворяющих уравнениям (1.15), будет иметь место условный экстремум. Требуется дополнительное исследование характера точки возможного экстремума. Сформулируем достаточный признак условного экстремума. Теорема 1.3.3. Пусть ( x0 , y 0 , 0 ) – любое из решений системы (1.15) и 0

 x/ ( x0 , y 0 )

 y/ ( x0 , y 0 )

    x/ ( x0 , y 0 ) L//xx ( x0 , y 0 , 0 ) L//xy ( x0 , y 0 , 0 )

.

 y/ ( x0 , y 0 ) L//xy ( x0 , y 0 , 0 ) L//yy ( x0 , y 0 , 0 ) Тогда, если   0 , то функция z  f ( x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y0 ) условный максимум; если   0 – условный минимум. Пример 1.3.5. Вернемся к задаче, сформулированной в начале этого пункта: найти максимум функции V  xyz при условии, что x  y  z  3a  0 ( x  0, y  0, z  0 ). Составим функцию Лагранжа L( x, y,  )  xyz   ( x  y  z  3a) . Найдем ее частные производные и приравняем их к нулю

 yz    0  xz    0    xy    0  x  y  z  3а  0. Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получим соответственно x  y и z  x . Подставляя x  y  z в четвертое уравнение, найдем x  y  z  a , следовательно, M 0 (a, a, a) – точка возможного условного экстремума. В этой точке значение функции V  a 3 . Из геометрических соображений ясно, что полученное значение является условным максимумом. Действительно, в условиях задачи объем параллелепипеда не может быть неограниченно большим, поэтому естественно ожидать, что при каких-то определенных значениях сторон этот объем будет наибольшим. 23

Таким образом, при заданной сумме 12 а длин ребер параллелепипеда наибольший объем имеет куб со стороной, равной а. Тем самым доказано неравенство V  xyz  a 3  (

x y z 3 ) , или 3

3

xyz 

x yz , 3

т. е. среднее геометрическое трех положительных чисел не больше их среднего арифметического. Пример 1.3.6. Найти условные экстремумы функции z  x  2 y при x 2  y 2  5 . Решение. Составим функцию Лагранжа L( x, y,  )  x  2 y   ( x 2  y 2  5) . Система уравнений (1.15) принимает вид 1  2x  0  2  2y  0  x 2  y 2  5  0.  1 1 Полученная система имеет два решения: x1  1, y1  2, 1   ; x2  1, y2  2, 2  . 2 2 Таким образом, имеем две точки возможного экстремума: M 1 (1,2) и M 2 (1,2) Исследуем характер этих точек с помощью достаточного признака (Теорема 1.3.3). Имеем: L//xx ( x, y,  )  2 , L//xy ( x, y,  )  0 , L//yy ( x, y,  )  2 . Так как  ( x, y )  x 2  y 2  5 , то

 x/ ( x, y )  2 x ,  y/ ( x, y )  2 y . Если x  1, y  2,  

1 , то L//xx  1 , L//xy  0 , L//yy  1 ,  x/  2 , 2

 y/  4 , следовательно, 0

2

4

   2 1 0 4 0 1

 20  0,

т. е. функция имеет условный максимум в точке M 1 (1,2) , равный z max  5 . Аналогично для точки M 2 (1,2) : L//xx  1 , L//xy  0 , L//yy  1 ,  x/  2 ,  y/  4 , 0

2 4

   2

1

0

4

0

1

 20  0,

т. е. в точке M 2 (1,2) функция имеет условный минимум, равный z min  5 .

1.3.4. Метод наименьших квадратов В различных исследованиях на основании эксперимента требуется установить аналитическую зависимость y  f (x) между двумя переменными величинами x и y . Например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. Широко распространенным методом решения этой задачи является метод наименьших квадратов. 24

Пусть в результате эксперимента получено n значений функции соответствующих значениях аргумента x . Результаты сведены в таблицу x y

x1

x2

…

xi

…

xn

y1

y2

…

yi

…

yn

y

при

Вид функции y  f ( x) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям. Пусть, например, эти точки расположены так, как показано на рис. 1.2. В данном случае, учитывая, что при проведении y эксперимента имеют место погрешности, естественно yi предположить, что искомую функцию y  f ( x) нужно искать в виде линейной функции y  ax  b . Ограничимся yn только этим случаем линейной зависимости между x и y . y1 Чтобы подобрать коэффициенты a и b, воспользуемся y2 методом наименьших квадратов, который заключается в следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений yi , даваемых экспериментом, и функции O y  ax  b в соответствующих точках x1 x2 xi xn x n

S (a, b)    yi  (axi  b) . 2

Рис. 1.2

i 1

Подберем параметры a и b так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение. Таким образом, задача свелась к исследованию функции S (a, b) на экстремум. Находим частные производные n n S S  2  yi  (axi  b)xi ,  2  yi  (axi  b) a b i 1 i 1

и, приравнивая их к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b . n n n 2   y x a x b xi  0   i  i i  i 1 i 1 i 1 n n  y  a x  bп  0.   i  i 1 i i 1

(1.16)

Из этой системы находим числа a и b , затем, подставляя их в уравнение y  ax  b , получаем искомую аналитическую зависимость. Тот факт, что функция S (a, b) в найденной точке M (a, b) имеет минимум, легко устанавливается с помощью достаточного признака экстремума. Действительно, здесь n 2S  2 xi2 ,  2 a i 1

n 2S  2 x i , ab i 1

2S  2n , b 2

следовательно, 2

n n 2S 2S  2S  2 D  2 2  n x xi ) 2 .   4 (2    i a b  ab  i 1 i 1

25

n

n

Это выражение можно представить в виде D  2 ( xi  x j ) 2 , откуда следует, что i 1 j 1

D  0 . Так как

 S  0 , то в точке M (a, b) функция S (a, b) имеет минимум. a 2 2

Пример 1.3.7. Пусть в результате эксперимента получены пять значений искомой функции y  f ( x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. x y

–2 0,5

0 1

1 1,5

2 2

4 3

Будем искать зависимость между x и y в виде y  ax  b . Чтобы составить систему (1.16) для определения параметров a и b , предварительно вычислим 5

 yi xi  16,5 , i 1

5

 xi2  25, i 1

5

 xi  5 , i 1

5

y i 1

i

8.

Система (1.16) принимает вид 25a  5b  16,5  5a  5b  8. Решая эту систему, найдем: a  0,425 , b  1,175 . Следовательно, y  0,425 x  1,175 – уравнение искомой прямой. Более подробно метод наименьших квадратов будет рассмотрен в подразделе 7.6.

1.4. Основные термины Функция нескольких переменных. Область, граница области. Окрестность точки. Предел функции. Непрерывность функции. Точки разрыва. Полное приращение. Замкнутая область. Ограниченная область. Наибольшее и наименьшее значения. Частные приращения. Частные производные. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Сложная функция. Неявная функция. Частные производные m -го порядка. Смешанные производные. Точки экстремума. Экстремумы функции. Стационарные точки. Условный экстремум. 26

Уравнение связи. Функция Лагранжа. Метод наименьших квадратов.

1.5. Вопросы для самоконтроля 1. Как определяется функция двух, трех, n переменных? 2. Как можно геометрически истолковать области определения функции двух и трех переменных? 3. Что называется пределом функции двух переменных в точке? 4. Как определяется непрерывность функции двух переменных в точке и в области? 5. Какими свойствами обладает функция двух переменных, непрерывная в ограниченной замкнутой области? 6. Как определяются частные производные? 7. В каком случае функция z  f ( x, y ) называется дифференцируемой в данной точке? 8. Следует ли из дифференцируемости функции z  f ( x, y ) существование ее частных производных? А наоборот? 9. Что называется полным дифференциалом функции нескольких переменных? dz , если z  f ( x, y ) , x  x(t ) , y  y (t ) ? 10. Как найти dt z z и , если z  f (u, v) , u  u ( x, y ) , v  v( x, y ) ? 11. Как найти y x 12. Как определяется неявная функция одной, двух, n переменных? 13. По каким формулам дифференцируются неявные функции одной и двух переменных? 14. Как определяются частные производные высших порядков? Какие из них называются смешанными? 15. Зависит ли результат дифференцирования от порядка дифференцирования? 16. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? 17. Является ли точка экстремума дифференцируемой функции ее стационарной точкой? 18. При каких условиях функция z  f ( x, y ) в стационарной точке имеет экстремум? 19. Что такое условный экстремум? Каковы его необходимые условия? 20. Какова основная идея метода наименьших квадратов?

1.6. Задачи для самостоятельного решения Задание 1. Найти область определения функции

Ответы x  1, y 1

1. z  1  x 2  y 2  1 2. z 

x

2



 y2  4 9  x2  y2



4  x2  y2  9

3. z  x sin y

2k  y  (2k  1) , k  0,1,2,...

4. z  x  y

0  y  x2 , x  0

5. z 

1 ln 1  x 2  y 2





0  x2  y2  1 27

Задание 2. Найти частные производные функции

1. z  x

Ответы

z x z x z x z x z x

y2

2. z  xe  xy 3. z  x 2 sin 2 y 4. z  arctg

y x

5. z  x sin( x  y ) 6. z 

2

 z3

x y

8. u  e  e x 9. u     y

1

,

x z x z  1  y u 1 y u 1 y y  u   2 xe  ze ,  e ,  e  z y x y y y  

z y

z

z



2

2. z  u 2 v 3 , где u  2 x  y , v 

z

z

u z  x  u z  x  u  x  x    ,     ,    ln x x  y  y y  y  z  y  y u 2 xz u 2 yz u 1 , ,    2 2 2 x y z x  y 2 x2  y2 x2  y2

z x  y2 Задание 3. Найти производные сложной функции 1. z  u  v 2 , где u  x 2  sin y , v  ln( x  y ) 10. u 

2

z 2 x sin x 2 z cos x 2   , x y y y 2 3 2 3 2 3 u u u  e x y  z ,  2 ye x  y  z ,  3z 2 e x y  z x y z

cos x 2 y

7. u  e x y

2 z  x y 2 y ln x y z  (1  xy )e  xy ,   x 2 e  xy y z  2 x sin 2 y ,  x 2 sin 2 y y x y z ,  2  2 2 x  y y x  y 2 z  sin( x  y )  x cos( x  y ) ,   x cos( x  y ) y

 y2x y







Ответы

x y

3. z  x y , где x  u 2  v 2 , y  u2  v2 4. z  x 2  y 2 , где x  u cos v , y  u sin v 5. z  eu  2v , где u  sin x , v  x3  y 2

z ln( x  y ) z ln( x  y )  cos y  2 ,  2x  2 y x x y x y x 1 z z  2uv 3  3u 2 v 2  2  4uv 3  3u 2 v 2  , x y y y z z  2u yx y 1  x y ln x ,  2v yx y 1  x y ln x u v z z  2 x cos v  y sin v  ,  2u ( x sin v  y cos v) u v z z  e u  2 v cos x  6 x 2 ,  4 ye u 2 v x y











6. z  arctg( xy ) , где x  t 2  1 , y  t3 1 7. z  sin t  x 2  y , где x  , t y  ln t

dz  2 x 1   1  2   cos t  x 2  y dt  t t

8. u  xy 2 z 3 , где x  t 2 , y  e 3t , z  tgt

dz 1  2ty 2 z 3  6 xyz 3e 3t  3 xy 2 z 2  dt cos 2 t



28



dz (2 y  3tx)t  dt 1  ( xy ) 2







Задание 4. Найти производные неявной функции

1. x 2  4 xy  2 y 2  3x  2 y  0 2. y  2 x  arctg

y 0 x

3. sin( xy )  e xy  0 4.

x2 y2 z2   1 a2 b2 c2

5. z 3  3xyz  1  0 6. x  y  tgz  0 7.

x z  ln  1 z y

8. x  yz  e z  0 Задание 5. Найти экстремумы функции 1. z  x 2  4 xy  9 y 2

2. z  x 2  xy  y 2  2 x  3 3. z  x 3 y 2 (1  x  y ) ( x  0, y  0) 4. z  x 4  y 4  x 2  2 xy  y 2

Ответы

dy 3  2 x  4 y  dx 4 x  4 y  2 dy y  dx x dy y  dx x z c 2 x z c2 y  2 ,  2 x a z y b z yz xz z z ,  2  2 x z  xy y z  xy sin 2 z z cos 2 z z   , y y 2y x z z z z2  ,  x x  z y y ( x  z ) z z 1 z ,   z z x y  e y e  y Ответы z min  0 при x  0 , y  0 4 1 4 z min   при x  , y  3 3 3 1 1 1 z max  при x  , y  432 2 3 z min  2 при x1  1 , y1  1 и x2  1 , y 2  1

5. z  x 2  xy  y 2  4 ln x  10 ln y Задание 6. Найти условные экстремумы функции

z min  7  10 ln 2 при x  1 , y  2

1. z  xy при 2 x  3 y  1

1 1 1 при x  , y  24 4 6 1 1 1 z min  при x  , y  2 2 2 z min  3 при x  1 , y  1 z max  1 при x  1 , y  1

2. z  x 2  y 2 при x  y  1 3. z  x  y  1 при x 2  y 2  2 4. z  xy при x  2 y  1 2

Ответы

z max 

z min  0 при x  1 , y  0 1 1 1 при x  , y  z max  27 3 3

29

1.7. Итоговый контроль Изучив тему, студент должен: знать:  определение функции нескольких переменных (ф. н. п.);  определения предела и непрерывности ф. н. п.;  определение частных производных, формулы и правила их нахождения;  определение полного дифференциала ф. н. п.;  определение точек экстремума ф. н. п.;  необходимый признак экстремума ф. н. п.;  достаточный признак экстремума функции двух переменных; уметь:  находить частные производные;  дифференцировать сложные и неявно заданные ф. н. п.;  находить стационарные точки ф. н. п.;  исследовать на условный и безусловный экстремум функции двух переменных; иметь представление:  о геометрическом изображении функции двух переменных и области ее определения;  о свойствах ф. н. п. в ограниченной замкнутой области;  о методе наименьших квадратов.

1.7.1. Тест





1. Какие из следующих функций определены в круге D  ( x, y ) x 2  y 2  1 ? 1 x2  y2 ;

а)





б) ln 1  x 2  y 2 ; 1 в) ; 1 x2  y2 г) arcsin( x 2  y 2 ) ; д)

4

1 x2  y2 .

2. Выберите верные утверждения. Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в точке M 0 ( x 0 , y 0 ) , то она: а) определена в этой точке; б) определена в некоторой окрестности этой точки; в) имеет предел в этой точке; г) обращается в нуль в этой точке; д) определена в любой окрестности этой точки. 3. Выберите верные утверждения. Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, в этой области: а) ограничена; б) обращается в нуль; в) принимает сколь угодно большие значения; г) принимает свое наибольшее значение. 30

4. Выберите верные утверждения. Если функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M 0 ( x 0 , y 0 ) , то в этой точке она: а) имеет частные производные; б) непрерывна; в) имеет предел, равный f ( x 0 , y 0 ) ; г) имеет частные производные любого порядка; д) имеет полный дифференциал. 5. Какие из следующих функций непрерывны в точке О(0,0)? а) sin( x 2  y 2 ) ; б) ln(1  x 2  y 2 ) ; 1 ; в) 2 x  xy sin xy г) 2 ; x  y2 2x  3y . д) 3x  2 y 6. Какие из предыдущих функций дифференцируемы в точке М(1,1)? z 7. Если z  x y , то частная производная равна: y а) yx y 1 ; б) x y ln y ; в) x y ln x ; г) x y 1 ln y ; д) yx y 1 ln x . 8. Выберите верные утверждения. Для функции z  xy 2 точка О(0,0) является: а) точкой непрерывности; б) стационарной точкой; в) точкой минимума; г) точкой разрыва; д) точкой максимума. 9. Выберите верные утверждения: а) существование частных производных является достаточным условием дифференцируемости функции; б) существование частных производных является необходимым условием дифференцируемости функции; в) непрерывность частных производных является достаточным условием дифференцируемости функции; г) существование частных производных является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции. 10. Выберите верные утверждения: а) если f x/ ( x 0 , y 0 )  0 и f y/ ( x 0 , y 0 )  0 , то M 0 ( x 0 , y 0 ) – точка экстремума функции z  f ( x, y ) ; б) если M 0 ( x 0 , y 0 ) – точка максимума дифференцируемой функции z  f ( x, y ) , то f x/ ( x 0 , y 0 )  0 и f y/ ( x 0 , y 0 )  0 ; в) если





2

D  f xx// ( x0 , y 0 )  f yy// ( x0 , y 0 )  f xy// ( x0 , y 0 )  0 ,

то

M 0 ( x0 , y 0 )

–

точка 31

экстремума функции z  f ( x, y ) ; г) если M 0 ( x 0 , y 0 ) – стационарная точка функции z  f ( x, y ) и D  0 , то M 0 – точка максимума; д) если M 0 ( x 0 , y 0 ) – стационарная точка функции z  f ( x, y ) и D  0 , f xx// ( x0 , y 0 )  0 , то M 0 – точка минимума.

1.7.2. Задачи Образцы решения задач Задача 1.1. Найти производные сложной функции

z  ln(uv 2  2u 2 v) , где u 

x , v  x sin y . y2

Решение. Выполняя действия в соответствии с формулами

z z u z v z z u z v     ,     , x u x v x y u y v y получим z v 2  4uv 1 2uv  2u 2  2    sin y, x uv  2u 2 v y 2 uv 2  2u 2 v v 2  4uv  2 x  2uv  2u 2 z    x cos y.  2 y uv  2u 2 v  y 3  uv 2  2u 2 v Вместо u и v подставим их выражения через x и y. После несложных преобразований получаем z 3 z 2 y 2 sin y ( y cos y  sin y )  8 sin y  2 y cos y   , . x x y y sin y ( y 2 sin y  2) Задача 1.2. Продифференцировать сложную функцию

u  x 3 yz 2 , где x  sin t , y  t , z  t 2 . Решение. Так как u является функцией одной независимой переменной t, то задача du . По формуле заключается в вычислении обыкновенной производной dt

du u dx u dy u dz    dt x dt y dt z dt находим du 1  3 x 2 yz 2  cos t  x 3 z 2   2 x 3 yz  2t. dt 2 t Подставляя вместо x, y, z их выражения через t, будем иметь 1 t4 du 2 4 3  3 sin t  t  t cos t  sin t   4 sin 3 t  t  t 3  t 3 t sin 2 t (6t cos t  9 sin t ). 2 dt 2 t

32

y

Задача 2. Доказать, что функция z  e x удовлетворяет соотношению 2   2 z  2  z x y   0.   x  x  y 2 Решение. Находим частные производные y

y

y

z 1 2z 1  y  z  e x    2  ,  ex  ,  ex  2 , 2 x x y x  x  y y y y    2 z    2 x  y     x  x x  e   2   x  ye    ye  x  x  x   x   x  

y

2

 y   y    2   e x   .  x  x 

Подставляя в левую часть соотношения, получаем 2

y x

y

1  y e     y 2  e x  2  0, x x что и требовалось доказать. Задача 3.1. Найти производную неявной функции y = f(x), заданной уравнением

ln(2 x  3 y )  2 x  y 3  0. Решение. Производная неявной функции y = f(x), заданной уравнением F(x,y) = 0, вычисляется по формуле

F  ( x, y ) dy  x . dx Fy ( x, y ) В Fy 

данном

F ( x, y )  ln(2 x  3 y )  2 x  y 3 .

случае

Так

как

Fx 

2  2, 2x  3 y

3  3 y 2 , то 2x  3y  2   3  dy 4x  6 y  2 2(2 x  3 y  1)     2    3 y 2    . 2 3 dx 3(1  2 xy 2  3 y 3 )  2x  3y   2x  3 y  3  6 xy  9 y

Задача 3.2. Найти частные производные неявной функции z = f(x,y), заданной уравнением

z 2 x  x 2 y  y 2 z  2 x  y  0. Решение. Частные производные

z z и найдем по формулам x y Fy ( x, y, z ) z  , y Fz( x, y, z )

F  ( x, y , z ) z ,  x Fz( x, y, z ) x

где

F ( x, y, z )  z 2 x  x 2 y  y 2 z  2 x  y.

Имеем

Fx  z 2  2 xy  2,

Fy   x 2  2 yz  1,

Fz  2 zx  y 2 , следовательно, z 2 xy  z 2  2 z x 2  2 yz  1   , . x y 2 zx  y 2 2 zx  y 2 33

Задача 4. Найти экстремумы функции z  2 x 4  2 y 4  64 x  64 y . Решение. Сначала найдем стационарные точки данной функции. Для этого составим систему уравнений  z x  8 x 3  64  0  3  z y  8 y  64  0. Система имеет единственное решение x = 2, y = 2, следовательно, функция имеет одну стационарную точку М(2,2). Далее воспользуемся достаточным признаком экстремума (теорема 1.3.2). Найдем частные производные второго порядка:

z "xx  24 x 2 , z "xy  0, z "yy  24 y 2 . Следовательно,

A  z "xx (2,2)  96,

B  z "xy (2,2)  0,

D  AC  B 2  (96) 2  0. Так как A  96  0, то по теореме 1.3.2 в точке 4 4 z  2 x  2 y  64 x  64 y имеет минимум, равный z min  z (2,2)  192.

C  z "yy (2,2)  96,

М(2,2)

функция

Задача 5. Найти условные экстремумы функции z  x  y  1 при y 3  6 xy  x 3  0. Решение. Составим функцию Лагранжа

L( x, y,  )  f ( x, y )   ( x, y ), где z = f(x,y) – исследуемая функция, (x,y) = 0 – уравнение связи, λ – параметр. В данном случае f(x,y) = x + y – 1, (x,y) = y3 – 6xy + x3 , поэтому функция Лагранжа имеет вид L( x, y,  )  x  y  1   ( y 3  6 xy  x 3 ). В точках условного экстремума  L x  1   (6 y  3 x 2 )  0  2  L y  1   (6 x  3 y )  0  3 3  L  y  6 xy  x  0.

Исключая λ из первого и второго уравнений системы, получим: 1 1 .  2 3(2 y  x ) 3(2 x  y 2 ) Отсюда 2 y  x 2  2 x  y 2 , или 2( y  x)  ( x  y )( x  y ). Рассмотрим два случая: 1. x – y = 0; подставляя y = x в третье уравнение системы, получаем: 2 x 3  6 x 2  0, или 2 x 2 ( x  3)  0, следовательно, x1  0, x 2  3. Так как y = x , то y1  0, y 2  3. Если x = 0, 1 y = 0, то система несовместна при любом λ. Если x = 3, y = 3, то    . 9 2. –2 = x + y; подставляя y = –2 – x в третье уравнение системы, будем иметь  (2  x) 3  6 x(2  x)  x 3  0,  (8  12 x  6 x 2  x 3 )  12 x  6 x 2  x 3  0, или  8  0 , что невозможно. 34

1 Таким образом, система имеет единственное решение x = y = 3,    , значит точка 9 М(3,3) – точка возможного экстремума. Воспользуемся достаточным признаком условного экстремума (теорема 1.3.3). Для  ( x, y,  )  6 x , L xy  ( x, y,  )  6 , этого найдем  x ( x, y )  6 y  3x 2 ,  y ( x, y )  3 y 2  6 x, L xx 1 2   , L yy  2,   2, Lxy L yy ( x, y,  )  6 y. Если x = y = 3,    , то  x  9,  y  9, L xx 9 3 следовательно, 0     x  y

 x  Lxx  Lxy

 y

0 9 9    9  2 2 / 3  432  0, Lxy 9 2/3  2 L yy

т. е. функция имеет условный максимум в точке М(3,3), равный z max  z (3,3)  5.

Расчетное задание Задача 1. Найти производные сложной функции.

du ? dt z z 2. z  u 2  v 2 , где u  x cos y, v  x sin y; ? ? x y 1. u  x 2 y 3 z , где x  t , y  t 2 , z  sin t;

dz ? dt z z 4. z  u 2 v  uv 2 , где u  y cos x, v  y sin x; ? ? x y 3. z  e xy ln( x  y ), где x  t 3 , y  1  t 2 ;

dz ? dt z z 6. z  u v , где u  x 2  y 2 , v  x 2  y 2 ; ? ? y x 5. z  x 2  xy  y 2 , где x  cos t , y  sin t ;

7. z  arctg

dz x 1 , где x  t 5  t , y  e1 2t ; ? dt y

yz du , где x  e 4t , y  ln t , z  cos 2 t ; ? x dt z z 9. z  u 2 v  uv 3 , где u  y x , v  y cos x; ? ? x y 8. u 

y z z ? , v  x2  y4; ? y x x Задача 2. Доказать, что функция z = f(x,y) удовлетворяет данному соотношению.

10. z  u 2 ln v, где u 

1. z  e xy , x 2 z xx  y 2 z yy  0.

6. z  sin 2 ( y  3x), 9 z yy  z xx .

2. z  e  cos( 2 x  y ) , 4 z yy  z xx .

7. z 

y y x

, x 2 z xx  y 2 z yy  0. 35

2 sin( x  y )   2 z  2  z , . x x x  x  x y 2

3. z  ln( x 2  y 2  2 y  1), z xx  z yy  0.

8. z 

y , x 2 z xx  2 xyz xy  y 2 z yy  0. x x  2 z   z  5. z  , x 2 2   y 2   0. y  y  y x

9. z  ln( x 2  y 2 ), z xx  z yy  0.

4. z 

10. z  e

x 3 y 2 2

, z x z xy  z y z xx .

Задача 3. Найти производные неявной функции.

1. z 3  3x 2 z  2 xy ; z x  ? z y  ?

6. x y  y x ; y x  ?

2. e xz  2 yz  x 2  y 2 ; z x  ? z y  ?

7. ln( x 2  y 2 )  arctg

3. x 2 y  y 2 z  xe z  0 ; z x  ? z y  ?

8. tg ( x  y ) 

y ; y x  ? x

4. xe y  ye x  2 ; y x  ?

1 ; y x  ? y 9. z  x  y arctg z ; z x  ? z y  ?

5. cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  1 ; z x  ? z y  ?

10. x 2 ln y  y 2 ln x  0 ; y x  ?

Задача 4. Найти экстремумы функции.

1. z  x 4  y 4  32 x  8 y 2  2. 1 1 2. z  3 xy   . x 3y 2 3. z  x  y 3  32 ln x  24 ln y. 4. z  x 3  x 2 y  xy 2  y 3  6 x  6 y. 5. z  4 xy 

2 1  . x y

6. z  3 x 4  3 y 4  12 x  12 y. 7. z  5 x  6 y  ln x  12 ln y. 8. z  3 x 2  x 3  3 y 2  4 y. 2 4 9. z  xy   . x y 10. z  x 3  y 3  3 ln x  24 ln y.

Задача 5. Найти условные экстремумы функции.

1. z 

1 1  , при x 3  y 3  16. x y

2. z  x 2  y 2  xy  x  y  4, при x 2  y 2  xy  12 (x>0, y>0). 3. z  3 x  y, при x 2  y 2  10. 4. z  x  y 2 , при 2 x 2  y 4  8  0 (x<0, y>0). 5. z 

x y4

, при x 2  y 2  1.

2 y  xy  x 6. z  , при x 3  y 3  2  0. xy 7. z  x 3  y 3 , при x 2 y  xy 2  16. 8. z  x 

1 , при x 4  2 y 2  8. y

9. z  4 x  3 y, при x 2  y 2  7. 10. z  x 3  2 xy 2  2 x 2 y  y 3  1, при x 2 y  xy 2  2  0. 36

ГЛАВА 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Двойной интеграл 2.1.1. Определение и условие существования двойного интеграла Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных. Пусть D – ограниченная замкнутая область, а z  f ( x, y ) – функция, определенная и ограниченная в этой области. Разобьем область D произвольно на n частей Di , не имеющих общих внутренних точек, с площадями S i (i = 1,2,…, n). В каждой части Di выберем произвольную точку M i ( xi , yi ) и составим сумму n

 f ( x , y )S , i 1

i

i

i

(2.1)

которая называется интегральной суммой для функции f ( x, y ) в области D . Назовем диаметром d (D) области D наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим через  наибольший из диаметров частичных областей Di    maxd ( Di ). 1i  n   Определение 2.1.1. Если при   0 интегральная сумма (2.1) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек M i , то этот предел называется двойным интегралом от функции f ( x, y ) по области D и обозначается одним из символов:

 f ( x, y)dS

 f ( x, y)dxdy .

или

D

D

В этом случае функция f ( x, y ) называется интегрируемой в области D . Таким образом, по определению

 D

n

f ( x, y )dS  lim  f ( xi , y i )S i .  0

i 1

Переменные x, y называют переменными интегрирования, D – областью интегрирования, f ( x, y ) – подынтегральной функцией, f ( x, y )dS – подынтегральным выражением, dS (или dxdy ) – элементом площади. При определении двойного интеграла предполагалось, что функция f ( x, y ) ограничена в области D . Как и для функций одной переменной, ограниченность функции является необходимым условием ее интегрируемости. Однако оно не является достаточным, так как существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Приведем без доказательства достаточное условие интегрируемости функции двух переменных. Теорема 2.1.1. Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то она интегрируема в этой области, т. е. существует двойной интеграл

 D

n

f ( x, y )dS  lim  f ( xi , y i )S i .  0

i 1

37

2.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла Пусть в пространстве дано тело T (рис. 2.1), ограниченное снизу областью D , сверху – графиком непрерывной и неотрицательной функции z  f ( x, y ) , которая определена в области D , с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области D , а образующие параллельны оси Оz . Тело такого вида называется цилиндрическим телом. z z  f ( x, y )

О

T y D

x

Рис. 2.1

Аналогично тому, как задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к установлению геометрического смысла определенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела T приводит к геометрическому истолкованию двойного интеграла. Действительно, интегральная сумма (2.1) представляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями оснований S i и высотами f ( xi , yi ) , которую можно принять за приближенное значение объема V тела T : n

V   f ( xi , yi )S i . i 1

Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение области D на части. Устремляя  к нулю, получаем n

V  lim  f ( xi , y i )S i .  0

i 1

Так как функция f ( x, y ) интегрируема, то предел существует и равен двойному интегралу от этой функции по области D , т. е. V   f ( x, y )dS .

(2.2)

D

Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен объему соответствующего цилиндрического тела. В частности, если f ( x, y )  1 всюду в области D , то V  S 1 , где S – площадь области D , и формула (2.2) принимает вид:

 dS  S . D

38

2.1.3. Свойства двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому ограничимся формулировкой этих свойств, не останавливаясь на их доказательствах. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

 Af ( x, y)dS  A f ( x, y)dS , D

A = const.

D

2. Двойной интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) двойных интегралов:

  f ( x, y)  g ( x, y)dS   f ( x, y)dS   g ( x, y)dS . D

D

D

3. Если область D является объединением областей D1 и D2 , не имеющих общих внутренних точек, то

 f ( x, y)dS  f ( x, y)dS   f ( x, y)dS . D

D1

D2

4. Если f ( x, y )   ( x, y ) в области D , то

 f ( x, y)dS  ( x, y)dS , D

D

т. е. неравенства можно интегрировать. В частности, если f ( x, y )  0 , то  f ( x, y )dS 0 . D

5. Если m  f ( x, y )  M в области D , то m  S   f ( x, y )dS  M  S , D

где S – площадь области D . 6. Теорема о среднем. Если функция f ( x, y ) непрерывна в области D , то в этой области найдется точка M 0 ( x0 , y0 ) такая, что

 f ( x, y)dS  f ( x , y )  S . 0

0

(2.3)

D

Свойство 6 имеет следующую геометрическую интерпретацию: если f ( x, y )  0 в области D , то объем соответствующего цилиндрического тела (левая часть формулы (2.3)) равен объему цилиндра с тем же основанием и высотой f ( x0 , y0 ) , равной значению функции f ( x, y ) в некоторой точке M 0 ( x0 , y0 ) области D . Значение функции f ( x0 , y0 ) , определяемое формулой (2.3), называется средним значением функции f ( x, y ) в области D . 7. Абсолютная величина двойного интеграла не превосходит двойного интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции:

 f ( x, y)dS   D

f ( x, y ) dS .

D

39

2.1.4. Вычисление двойного интеграла Пусть функция f ( x, y ) интегрируема в области D (рис. 2.2), которая ограничена линиями y  1 ( x) , y   2 ( x) , x  a , x  b , причем на отрезке [a, b] функции 1 ( x) и  2 ( x) непрерывны и 1 ( x)   2 ( x) . Если f ( x, y ) при любом x  a, b интегрируема по переменной y на отрезке 1 ( x), 2 ( x) , т. е. существует определенный интеграл S ( x) 

2 ( x)

x  a, b ,

 f ( x, y)dy,

1 ( x )

то справедлива формула b

2 ( x)

a

1 ( x)

 f ( x, y)dxdy   dx  f ( x, y)dy . D

(2.4)

Интеграл в правой части равенства (2.4) называется повторным интегралом. Сначала вычисляется внутренний интеграл (выполняется интегрирование по y при фиксированном x), а затем – внешний (полученный результат интегрируется по x). y

y   2 (x)

D О

b x

a y = 1(x) Рис. 2.2

Рис. 2.3

Если область D ограничена линиями x   1 ( y ) , x   2 ( y ) , y  c , y  d , причем на отрезке c, d  функции  1 ( y ) и  2 ( y ) непрерывны и  1 ( y )   2 ( y ) (рис. 2.3), то по аналогии с формулой (2.4) имеем d

 2 ( y)

c

1( y)

 f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y)dx , D

(2.5)

где интегрирование сначала выполняются по x при фиксированном y, а затем полученный результат интегрируется по y. Если область интегрирования D не удовлетворяет указанным выше условиям (рис. 2.4), ее необходимо разбить на части D1 , D2 ,..., Dn , которые допускают применение формул (2.4), (2.5), при этом

 f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy  ...   f ( x, y)dxdy . D

40

D1

D2

Dn

z y

z=f(x,y) D1 D2

S(x)

D3

y=f2 (x)

y = φ2(x)

y

О x

D yy= =f φ1(x) (x) 1

0

a

x

Рис. 2.4

x

b Рис. 2.5

Установим справедливость формулы (2.4), предполагая дополнительно, что f ( x, y )  0 в области D . В этом случае двойной интеграл в левой части равенства (2.4) есть объем V цилиндрического тела (рис. 2.5), т. е. V   f ( x, y )dxdy .

(2.6)

D

Проведем плоскость x = const ( a  x  b ), рассекающую рассматриваемое тело. сечении получим криволинейную трапецию, ограниченную снизу отрезком 1 ( x)  y   2 ( x) , а сверху – кривой z  f ( x, y ) , x = const. Ее площадь выразится интегралом

В

S ( x) 

2 ( x)

 f ( x, y)dy .

(2.7)

1 ( x )

Зная площади поперечных сечений, объем тела можно найти по формуле b

V   S ( x)dx .

(2.8)

a

Подставляя в (2.8) выражение (2.7), получаем b

2  y 

a

1  y 

V   dx

 f x, y dy.

(2.9)

В формулах (2.6) и (2.9) левые части равны, следовательно, равны и правые, т. е. формула (2.4) справедлива. Аналогично доказывается формула (2.5). Таким образом, чтобы найти двойной интеграл, надо представить его в виде повторного, применяя формулы (2.4), (2.5); затем последовательно проинтегрировать по каждой переменной. Выбор формулы приведения к повторному интегралу зависит как от вида области D , так и от вида подынтегральной функции. Пример 2.1.1. Вычислить интеграл

 xdxdy ,

где область D ограничена линиями

D

xy = 4, x+y = 5. 41

Решение. Изобразим на плоскости область D (рис. 2.6) и воспользуемся формулой 4 (2.4). В данном случае 1 ( x)  ,  2 ( x)  5  x , 1  x  4 . Согласно формуле (2.4) имеем x 4

5 x

4

1

4 x

1

 xdxdy   dx  xdy   ( xy D

5 x 4 x

4

4

5x 2 x3 64 )dx   ( x(5  x)  4)dx  (   4 x) = (40   16)  3 2 3 1 1 5 1 8 11 – (   4)    4,5 . 3 6 2 3

Данный интеграл можно вычислить и по формуле (2.5). Замечая, что область D 4 4  x  5  y , 1  y  4 , т. е.  1 ( y )  ,  2 ( y )  5  y , c  1 , определяется неравенствами y y d  4 , и применяя формулу (2.5), получаем 4

5 y

1

4 y

 xdxdy   dy  D

4

x2 xdx   ( 2 1

5 y

4 y

4

4

 (5  y ) 2 8  (5  y ) 3 8 1 32 )dy         2  8  4,5 .  2  dy   y  2 6 1 y1 6 3 1 4

y

Пример 2.1.2. Вычислить интеграл

 e x dxdy , где область D ограничена прямыми D

y  x , y  0 , x  1. Решение. Область D – треугольник (рис. 2.7), ограниченный снизу прямой y  0 , сверху – прямой y  x , 0  x  1 . y

y

5 4 y

1

y=5–x

4 x

y=x

D

D

1 О

1

x

4 5

О

Рис. 2.6

x

1 Рис. 2.7

Применяя формулу (2.4), будем иметь:

 e D

1

y x

x

dxdy   dx  e 0

0

1

y x



dy   xe

y x x 0

0



1

x2 dx    xe  x dx  e  1 2 0

1

 0

e 1 . 2

В данном случае вид подынтегральной функции не позволяет воспользоваться формулой (2.5). Действительно,

 e D

y x

1

1

0

y

dxdy   dy  e y x dx ,

но  e y x dx не выражается в элементарных функциях.

42

2.1.5. Замена переменных в двойном интеграле Метод замены переменной является одним из основных методов вычисления определенного интеграла. В двойном интеграле две переменных, поэтому правило их замены более сложное. Пусть функция f  x, y  непрерывна в ограниченной замкнутой области D . Тогда для функции f  x, y  существует двойной интеграл

 f x, y dxdy .

(2.10)

D

Введем новые переменные u, v c помощью формул: x  xu , v  , y  y u , v  .

(2.11)

Предположим, что из (2.11) единственным образом определяются u, v : u  u  x, y , v  v x, y  .

(2.12)

Согласно формулам (2.12) каждой точке М (x, y) из области D ставится в соответствие некоторая точка М* u , v  на координатной плоскости с прямоугольными координатами u и v . Если обозначить через D* множество всех точек М* u , v  , то каждой точке М* u , v  из D* будет соответствовать точка М (x, y) из D , координаты которой определяются формулами (2.11). Таким образом, формулы (2.11) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D * . Говорят также, что преобразование координат (2.11) является взаимно однозначным. При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2.11) имеют в области D* непрерывные частные производные первого порядка, то определитель x Dx, y  u  Du , v  y u

x v y v

(2.13)

отличен в D* от нуля, и для интеграла (2.10) справедлива формула D  x, y 

 f x, y dxdy   f xu, v , yu, v  Du, v  dudv . D

D

(2.14)

*

Определитель (2.13) называется функциональным определителем Якоби или якобианом функций x  xu , v , y  y u , v  по переменным u и v . Точнее, имеет место Теорема 2.1.2. Если преобразование (2.11) переводит ограниченную замкнутую область D в ограниченную замкнутую область D* и является взаимно однозначным и если функции (2.11) имеют в области D* непрерывные частные производные первого порядка, а функция f ( x, y ) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных (2.14). Доказательство теоремы достаточно сложное и здесь не приводится. Как и в определенном интеграле, замена переменных в двойном интеграле производится с целью приведения его к виду, более удобному для вычисления. Пример 2.1.3. Вычислить интеграл  2 x  y dx dy, где D  параллелограмм, D

ограниченный прямыми x + y = 1, x + y = 2, 2x – y = 1, 2x – y = 3 (рис. 2.8, а). 43

Непосредственное вычисление данного интеграла достаточно громоздкое, так как для сведения его к повторному (сначала по y, а затем по x) необходимо область D разбить на три части (штриховые линии на рис. 2.8, а) и затем вычислить соответственно три интеграла. Однако простая замена переменных x  y  u, 2 x  y  v (2.15) позволяет значительно упростить решение. Прямые x  y  1, x  y  2 в системе координат Оxy переходят в прямые u = 1, u = 2 в системе координат Ou v (рис. 2.8, б), а прямые 2 x  y  1, 2 x  y  3  в прямые v  1 и v  3 . Параллелограмм D взаимно однозначно преобразуется в прямоугольник D*, который является более простой областью интегрирования. y x+y=2

v 2x – y = 1

x+y=1

2x – y = 3 3 D* 1

D

u

x O

O

а

1

2

б Рис. 2.8

Найдем якобиан. Для этого из (2.15) выразим x и y через u и v: uv 2u  v , y . x 3 3 Следовательно, 1 1 D ( x, y ) 3 3 1 2 1     . 1 D(u , v) 2 9 9 3  3 3 По формуле (2.14) получаем 1 12 3 1 2  v 2     ( 2 x y ) dxdy vdudv du vdv      31 1 3 1 2 D D* 3 

 du   1  3

1  9 1 2 1 4     du   4  1  . 3  2 2 1 3 3

Рассмотрим важный частный случай формулы (2.14). Возьмем в качестве новых переменных полярные координаты точки M  x, y  . Как известно,

x  r cos ,

y  r sin  ,

где r – полярный радиус ( r  0 ),  – полярный угол (       ). 44

(2.16)

Если подынтегральная функция f  x, y  или уравнение границы области 2 2 интегрирования содержит сумму x  y , то во многих случаях замена переменных по формулам (2.16) значительно упрощает вычисление интеграла, так как данная сумма в полярных координатах принимает более простой вид: x 2  y 2  (r cos  ) 2  (r sin  ) 2  r 2 . Найдем якобиан преобразования (2.16): x x cos   r sin  D( x, y ) r    r (cos 2   sin 2  )  r .  r cos  sin  D(r , ) y y r  Формула (2.14) принимает вид

 f x, y dxdy   f (r cos , r sin  )rdrd .

(2.17)

D*

D

Мы получили двойной интеграл в полярных координатах (правая часть равенства (2.17)), который вычисляется путем сведения его к повторному. Пусть область D ограничена лучами    1 ,    2 и кривыми r  r1 ( ) , r  r2 ( ) ,

причем на отрезке  1 , 2  функции r1 ( ) и r2 ( ) непрерывны и r1 ( )  r2 ( ) . Тогда имеет место формула 2

r2 ( )

1

r1 ( )

 f (r cos , r sin  )rdrd   d  f (r cos , r sin  )rdr . D*

Пример 2.1.4. Вычислить интеграл



(2.18)

x 2  y 2 dxdy , где область D ограничена

D

линиями x 2  y 2  2 y , x  0 , ( x  0 ). Решение. Область интегрирования D – полукруг (рис. 2.9). Положим x  r cos  ,

y  r sin  и применим формулу (2.17). Так как x 2  y 2  r 2 , то

 D

Сведем полученный интеграл к повторному, пользуясь формулой (2.18). Уравнение окружности x 2  y 2  2 y преобразуется к виду: r  2 sin  , а уравнение  прямой x  0 принимает вид   . Таким образом, 2   0    , 0  r  2 sin  (рис. 2.9), т. е.  1  0 ,  2  , 2 2 r1 ( )  0 , r2 ( )  2 sin  . Согласно формуле (2.18) имеем  2

2 sin 

0

0

2  r drd   d D*

 2

2  r dr   ( 0

3 2 sin 

r 3

0



) d 

x 2  y 2 dxdy   r 2 drd . D*

y x2  y2  2 y ( r  2 sin  )

1

D x

О

Рис. 2.9



2

8 82 3 sin  d    (1  cos 2  )d (cos  )  3 0 3 0



8 cos3   2 8 1 8 2 16 =   cos     (1  )    . 3 3 0 3 3 3 3 9

45

2.1.6. Приложения двойного интеграла Рассмотрим некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов. 1. Вычисление объема. Как было установлено п. 2.1.2, объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z  f ( x, y )  0 , снизу – плоскостью z = 0, с боков цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси Oz, а направляющей служит граница области D, вычисляется по формуле V    f ( x, y )dxdy , D

т. е. с помощью двойных интегралов можно вычислять объемы тел. Пример 2.1.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y = x, y = 2x, x + z = 4 (рис. 2.10). Решение. Имеем V    (4  x)dxdy , D

где D – заштрихованная на рис. 2.10 треугольная область, ограниченная прямыми y =x, y = 2x, x = 4. Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем 4

2x

4



V   dx  (4  x )dy   (4  x ) y 0

x

0

2x x



4

4

4

64 32 x3 .  dx   ( 4  x) xdx   (4 x  x )dx  (2 x  )  32  3 0 3 3 0 0 2

2

z

4 z=4–x O y y = 2x D

4 x

y=x

Рис. 2.10 2. Вычисление площади. Площадь S области D может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле (см. п. 2.1.2). S    dxdy . D

Пример 2.1.7. Вычислить y  x  1, x  y  1 (рис. 2.11). 2

46

площадь

области

D,

ограниченной

линиями

y

M2 О

1

2

3 x

x+y=1

D

M1

y2  x 1

Рис. 2.11 Решение. Область D представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой y  x  1 , справа – прямой y  1  x . Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим точки их пересечения М 1 (3,  2), М 2 (0, 1) . Следовательно, искомая площадь 2

1

S    dxdy   dy D

2

1 y

1

 dx   (2  y  y

2

)dy  4,5 .

2

y 2 1

Заметим, что если в данном примере выбрать другой порядок повторного интегрирования (сначала по у, а затем по х), то область D предварительно пришлось бы разбить на две части (осью Оу), так как она ограничена сверху линией, заданной на отрезках  1  х  0 и 0  х  3 двумя различными уравнениями. Результат получился бы тот же, но вычисления оказались бы более громоздкими. 3. Вычисление массы пластинки. Рассмотрим на плоскости Оху материальную пластинку, т. е. некоторую область D, по которой распределена масса М с поверхностной плотностью  ( х, у ) . Вычислим по заданной плотности  ( х, у ) массу М этой пластинки, считая, что  ( х, у ) – непрерывная функция. Разобьем D произвольно на n частей Di (i  1, 2, ..., n) и обозначим через mi массы этих частей. В каждой части произвольно выберем точку ( xi , y i ) . Массу mi каждой такой части Di можно считать приближенно равной  ( xi , y i ) S i , где S i – площадь Di, а масса М всей пластинки приближенно равна сумме n

n

i 1

i 1

M   mi    ( xi , y i )S i , которая является интегральной суммой для непрерывной функции  ( х, у ) в области D. В пределе при   0 получим точное значение массы пластинки, равное двойному интегралу от функции  ( х, у ) по области D, т. е. M     ( x, y )dxdy .

(2.19)

D

47

Пример 2.1.8. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность  ( х, у ) в каждой точке М ( х, у ) пропорциональна квадрату расстояния от точки М до центра круга. Решение. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпадало

с центром круга. Тогда  ( x, y )  k x 2  y 2 , где k – коэффициент пропорциональности. По формуле (2.19) имеем:

M    k x 2  y 2 dxdy , D

где областью интегрирования D является круг: x 2  y 2  R 2 . Переходя к полярным координатам, получаем 2 R 2  r3 M  k  d  r  rdr  k   3 0 0 0 

R 0

 kR 3  d   3 

2

 d  0

2 kR 3 . 3

4. Вычисление координат центра масс пластинки. Найдем координаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости Оху некоторую область D. Пусть  ( х, у ) – поверхностная плотность в точке М ( х, у ) , причем  ( х, у ) – непрерывная функция. Разбив область D на части Di (i  1, 2, ..., n) , выберем в каждой из этих частей некоторую точку ( xi , y i ) и будем считать массу mi каждой из частей пластинки приближенно равной

 ( xi , y i ) S i ( S i – площадь Di ). Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в одной точке, а именно в точке ( xi , y i ) , то для координат xc и y c центра масс такой системы материальных точек получим следующие выражения: n

xc 

 xi ( xi , yi )S i i 1 n

  ( x , y )S i

i 1

i

n

,

yc 

i

 y  ( x , y )S i 1 n

i

i

i

  ( x , y )S i

i 1

i

i

,

(2.20)

i

которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат, необходимо в (2.20) перейти к пределу при   0 . При этом интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы, и мы получим, что координаты центра масс пластинки определяются формулами

xc 

  x ( x, y)dxdy D

M

, yc 

  y ( x, y)dxdy D

M

,

(2.21)

где M     ( x, y )dxdy – масса пластинки. D

Если пластинка однородная, т. е.  ( х, у )  const , то формулы координат центра масс упрощаются

xc 

  xdxdy D

  dxdy D

48

, yc 

  ydxdy D

  dxdy D

.

(2.22)

Величины M y    x ( x, y )dxdy и M x    y ( x, y )dxdy в формулах (2.21) называются D

D

статическими моментами пластинки относительно осей Оу и Ох соответственно. Пример 2.1.9. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной двумя параболами y 2  x и x 2  y (рис. 2.12). Решение. Координаты центра масс данной пластинки найдем по формулам (2.22). Сначала вычислим массу пластинки 1

x

1 M    dxdy   dx  dy  . 3 D 0 x2

y

Далее вычислим статические моменты ее относительно осей координат: 1

x

0

x2

1

x

0

2

D

x

у  х2

3 . 20

M x    ydxdy   dx  ydy 

O

Подставляя найденные значения в формулы (2.22), получаем xc 

My M

у2  х D

3 , 20

M y    xdxdy   xdx  dy  D

1

1

x

Рис. 2.12

M 9 9 . , yc  x  20 M 20



5. Вычисление моментов инерции пластинки. Как известно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси, а момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции этих точек. Пусть область D плоскости Оху занята пластинкой, непрерывная функция  ( х, у ) – поверхностная плотность вещества, распределенного в D. Разбив область D на части Di, площади которых равны S i (i  1, 2, ..., n) , и выбрав в каждой из них некоторую точку ( xi , y i ) , заменим пластинку системой материальных точек с массами mi   ( xi , y i )S i и координатами ( xi , y i ) . Момент инерции такой системы точечных масс, например, n

относительно оси Оу равен

 x  ( x , y )S i 1

2 i

i

i

i

. Примем это выражение за приближенное

значение момента инерции пластинки. Но оно же представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции x 2 ( x, y ) . Переходя к пределу при   0 , получаем для момента инерции пластинки относительно оси Оу следующую формулу: J y    x 2 ( x, y )dxdy .

(2.23)

D

Аналогично, момент инерции пластинки относительно оси Ох будет определяться формулой J x    y 2 ( x, y )dxdy . D

49

Найдем момент инерции J 0 пластинки относительно начала координат. Принимая во внимание, что момент инерции материальной точки с массой m относительно начала координат равен m( x 2  y 2 ) , и рассуждая, как и выше, получим

y

J 0    ( x 2  y 2 ) ( x, y )dxdy , D

y2  1 x

т. е. J 0  J x  J y .

D O

1

x

Пример 2.1.10. Вычислить момент инерции плоской материальной фигуры D, ограниченной линиями 2 y  1  x, x  0, y  0 (рис. 2.13), относительно оси Оу, если поверхностная плотность  ( x, y )  y .

Рис. 2.13

Решение. По формуле (2.23) имеем 1 1 1 x 1  2 2 1 x  1 x y 1 2 1  x3 x4  1  2 2  . J y    x ydxdy   dx  x ydy   dx   x (1  x)dx       2  20 2 3 4  0 24 0 0 0 D 0  

2.2. Тройной интеграл 2.2.1. Определение и вычисление тройного интеграла Тройной интеграл является непосредственным обобщением двойного интеграла на случай функции трех переменных. Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области трехмерного пространства задана ограниченная функция u  f ( x, y, z ) . Разобьем область Т на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами V1 , V 2, ..., Vn . В каждой области возьмем произвольную точку M i ( xi , y i , z i ) и составим сумму n

 f ( x , y , z )V i 1

i

i

i

i

,

(2.24)

которая называется интегральной суммой для функции f ( x, y, z ) по области Т. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей разбиения. Определение 2.2.1. Если при   0 интегральная сумма (2.24) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения области Т на части, ни от выбора точек M i , то этот предел называется тройным интегралом от функции f ( x, y, z ) по области Т и обозначается одним из символов:

   f ( x, y, z )dV T

или

   f ( x, y, z )dxdydz . T

В этом случае функция f ( x, y, z ) называется интегрируемой в области Т; Т – областью интегрирования; x, y и z – переменными интегрирования; dV (или dxdydz ) – элементом объема. 50

Если положить f ( x, y, z )  1 всюду в области Т, то из определения тройного интеграла следует формула для вычисления объема V области Т: V     dV     dxdydz . T

T

Действительно, n

   dV  lim 1  Vi  limV  V .  0

T

 0

i 1

В дальнейшем, поскольку все результаты, полученные для двойных интегралов, могут быть перенесены на тройные интегралы, ограничимся только формулировками утверждений и краткими пояснениями. Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойствам (п. 2.1.3) двойного интеграла. Для существования тройного интеграла (интегрируемости функции f ( x, y, z ) в области Т) достаточно, чтобы подынтегральная функция f ( x, y, z ) была непрерывна в области Т. Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности. Пусть область Т ограничена снизу и сверху поверхностями z  Ф1 ( x, y ) и z  Ф2 ( x, y ) , а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область D – проекция области Т на плоскость Оху (рис. 2.14), в которой определены и непрерывны функции Ф1 ( x, y ) и Ф2 ( x, y ) , причем Ф1 ( x, y )  Ф2 ( x, y ) . z  Ф 2 ( x, у )

z Т

z  Ф1 ( x, у )

О

у

а D

b х

y   2 ( x)

y  1 ( x)

Рис. 2.14 Тогда для любой функции f ( x, y, z ) , непрерывной в области Т, имеет место формула Ф2 ( x , y )

   f ( x, y, z)dxdydz    dxdy  f ( x, y, z )dz , T

D

Ф1 ( x , y )

позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных х и у) и внешнего двойного интеграла по области D. Записывая двойной интеграл по области D через один из повторных, получаем формулу b

2 ( x)

Ф2 ( x , y )

a

1 ( x)

Ф1 ( x , y )

   f ( x, y, z)dxdydz   dx  dy  f ( x, y, z)dz , T

(2.25) 51

сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Пример 2.2.1. Вычислить тройной интеграл    ( x  y  z )dxdydz , где Т – пирамида, T

ограниченная плоскостью x  y  z  1 и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0 (рис. 2.15).

z

z  1 x  y

1

T O D 1

1

у

y  1 x

х Рис. 2.15 Решение. Проекцией области Т на плоскость Оху является треугольник D, ограниченный прямыми х = 0, у = 0, у = 1 – х. По формуле (2.25) имеем 1

1 x

1 x  y

0

0

0

   ( x  y  z )dxdydz   dx  dy  ( x  y  z )dz  T

1

1 x

0

0

  dx 

 z2   xz  yz   2 0  

1 x  y

1 1 x  1 dy   dx  (1  x  y )(1  x  y )dy  20 0  

1 x 1 1 1 1 x 1 1  ( x  y) 3   1 2 x3  2        dx  1  ( x  y ) dy    y   dx  2   3  x  3 dx  20 0 2 0  3  0  0 





1

12 1 1 1 x2 x4    x       . 23 2 12  0 2 4 8

2.2.2. Замена переменных в тройном интеграле Как для двойных интегралов, так и для тройных имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат, из которых наиболее употребительными являются цилиндрические и сферические координаты. Замену переменных в тройном интеграле производят по следующему правилу. Пусть ограниченная замкнутая область Т пространства ( x, y, z ) взаимно однозначно отображается на область Т* пространства (u, ,  ) с помощью непрерывно дифференцируемых функций

x  x(u, ,  ), y  y (u, ,  ), z  z (u , ,  ) . Тогда в области Т* якобиан 52

x u D ( x, y , z ) y J  D(u, ,  ) u z u

x x   y y  0,   z z  

и имеет место формула    f ( x, y, z )dxdydz     f x(u, ,  ), y(u, ,  ), z (u, ,  ) J dudd . T

(2.26)

T*

В частности, при переходе от прямоугольных координат х, у, z к цилиндрическим r,  , z x, y , z координатам (рис. 2.16), связанным с формулами x  r cos  , y  r sin  , z  z (0  r  , 0    2 ,   z  ) , якобиан преобразования cos   r sin  0 cos   r sin  D ( x, y , z ) J  sin  r cos  0  r, sin  r cos  D(r ,  , z ) 0 0 1 и формула (2.26) принимает вид

   f ( x, y, z )dxdydz     f (r cos  , r sin  , z )rdrddz .

(2.27)

Т*

Т

z

z M ( x, y , z )

M ( x, y , z )

 z

O





M

х



O

у

r

у

M

х

Рис. 2.17 Рис. 2.16 Название «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность r = const (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату r) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси Oz. При переходе от прямоугольных координат x, y, z к сферическим координатам  ,  , (рис. 2.17), связанным с x, y, z формулами x   cos cos  , y   cos sin  , z   sin  (0    , 0    2 ,  якобиан преобразования J 

2

 

 2

),

D ( x, y , z )   2 cos , поэтому D (  ,  , )

   f x, y, z dxdydz     f  cos cos  , T



 cos  sin  ,  sin   2 cos  d d d .

(2.28)

T*

53

Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность ρ = const является сферой. Сферические координаты иначе называют полярными координатами в пространстве. При вычислении тройного интеграла путем перехода к цилиндрическим или сферическим координатам область Т* обычно не изображают, а пределы интегрирования расставляют непосредственно по виду области Т, используя геометрический смысл новых координат. Выбор новой системы координат зависит как от области интегрирования Т, так и от вида подынтегральной функции f ( x, y, z ) . Пример

Вычислить

2.2.2.

интеграл

z

x 2  y 2 dxdydz ,

где

Т

– область,

Т

ограниченная поверхностями z  x  y и z  1 (рис. 2.18). 2

2

Решение. Проекцией области Т на плоскость Оху является круг х 2  у 2  1 , поэтому координата  изменяется от 0 до 2π, координата r – от r = 0 до r = 1. Снизу область Т

ограничена поверхностью z  x 2  y 2 , сверху – плоскостью z  1 , поэтому координата z изменяется от z  r 2 до z  1 . Применяя формулу (2.27), имеем  z2 1   T  z x  y dxdydz  0 d 0 dr 2 z  r  rdr  0 d 0 r  2 2  dr  r  r  1 2 1 2 2 1 1  r 3 r 7   2 4 2 4   d  r (1  r )dr       d  d  .  2 0 2 0  3 7  0  21 0 21 0   2

2

1

2

1

1

2

2

z

z

1 T

Т

М

ρ

R

Ө

O

М'

φ

у

у

O

х

х

Рис. 2.19

Рис. 2.18

Пример 2.2.3. Найти объем шара радиуса R с помощью тройного интеграла. Решение. Поместим начало декартовой прямоугольной системы координат в центре шара Т и перейдем к сферическим координатам. Из вида области Т (рис. 2.19) следует, что координаты  ,  , меняются в следующих пределах: ρ – от 0 до R, φ – от 0 до 2π,  – от



 2

до

 2

. По формуле (2.28) искомый объем шара 2

R

V     dxdydz      2 cos ddd   d  d T*

T

R

2



  d   sin  0

54

0

2

 /2  / 2

0

0

d   d  2 d   2 R

2

R

2

0

0

0

2

 /2

 

2

cos d 

 /2

 2d  4

3 3

R

0

4  R 3 . 3

2.2.3. Приложения тройного интеграла Кратко рассмотрим типичные задачи применения тройных интегралов, ограничившись приведением необходимых формул, так как их вывод аналогичен выводу соответствующих формул в случае двойных интегралов. Как уже было отмечено в п. 2.2.1, объем V пространственной области Т равен V     dxdydz . T

Пусть область Т занимает материальное тело с плотностью  ( x, y, z ) , представляющей собой непрерывную функцию. Тогда координаты центра масс тела определяются следующими формулами:

xc 

   x ( x, y, z )dxdydz T

M

, yc 

   y ( x, y, z )dxdydz T

M

, zc 

   z ( x, y, z )dxdydz T

M

, (2.29)

где M      ( x, y, z )dxdydz – масса данного тела. Т

В частности, если рассматриваемое тело однородное, т. е. γ(x, y, z) = const, то выражения для координат центра масс упрощаются и принимают вид

xc 

   xdxdydz T

V

, yc 

   ydxdydz T

V

, zc 

   zdxdydz T

V

,

где V – объем данного тела. Величины M yz     x ( x, y, z )dxdydz, M xz     y ( x, y, z )dxdydz , M xy     z ( x, y, z )dxdydz T

T

T

в формулах (2.29) называются статическими моментами относительно координатных плоскостей Оуz, Oxz и Оху соответственно. Моменты инерции тела относительно осей координат определяются следующими формулами: J x     ( z 2  y 2 ) ( x, y, z )dxdydz , T

J y     ( z 2  x 2 ) ( x, y, z )dxdydz , T

J z     ( x 2  y 2 ) ( x, y, z )dxdydz . T

Момент инерции относительно начала координат: J 0     ( x 2  y 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz  ( J x  J y  J z ) / 2 . T

55

Пример 2.2.4. Найти координаты центра масс однородного полушара: x  y2  z2  R2 , z  0 . Решение. В силу симметрии xc  y c  0 . Координата z c определяется по формуле 2

zc 

   zdxdydz T

V

.

2 Учитывая, что V  R 3 (см. пример 2.2.3) и переходя к сферическим координатам, 3 получаем   2 R R  /2 2  2  3 3 sin  2  2 3  d   zc  d  d   sin    cos d  d  2 0  2R 3 0 2R 3 0 0 0 0   2

3 3 3 4 3 3       d d  d  0 4R 3 0 2 R 3 0 2R 3 4 R

R

R

 0

3 R4 3   R. 8 2R 3 4

В заключение отметим, что по аналогии с двойным и тройным интегралами можно ввести понятие n-кратного интеграла, т. е. интеграла от функции n переменных. В этой главе мы ограничились рассмотрением только двойных и тройных интегралов, имеющих наиболее широкое применение.

2.3. Основные термины Интегральная сумма. Диаметр плоской и пространственной областей. Двойной интеграл. Тройной интеграл. Интегрируемая функция. Цилиндрическое тело. Повторный интеграл. Взаимно-однозначное соответствие. Якобиан. Цилиндрические координаты. Сферические координаты.

2.4. Вопросы для самоконтроля 1. Как составляется интегральная сумма для функции z  f ( x, y ) в плоской области D?

2. Что называется интегралом от функции z  f ( x, y ) по плоской области D? 3. Каков геометрический смысл двойного интеграла? 4. Какими свойствами обладает двойной интеграл? 5. Может ли двойной интеграл от положительной функции быть отрицательным? 6. Как свести двойной интеграл к повторному? От чего зависит порядок интегрирования? 7. В каких случаях оправдан переход к полярным координатам в двойном интеграле? Чему равен якобиан преобразования? 56

8. Какие физические и геометрические величины можно вычислить с помощью двойного интеграла? 9. Что называется тройным интегралом от функции u  f ( x, y, z ) по пространственной области Т? 10. Зависит ли интегральная сумма от способа разбиения области Т на части? От выбора точек в каждой части? 11. Всякая ли непрерывная функция интегрируема? 12. Как формулируется теорема о среднем для двойного и тройного интегралов? 13. Как расставить пределы интегрирования в повторном (трехкратном) интеграле? 14. Как определяются цилиндрические и сферические координаты точки в пространстве? 15. Чему равны якобианы преобразований при переходе от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим координатам? 16. Каковы основные физические и геометрические приложения тройного интеграла?

2.5. Задачи для самостоятельного решения Задание 1. Вычислить двойной интеграл 1.  6 xy 2  12 x 2 y dxdy ; D : x  0, x  1, y  2, y  3 D





2.  x 3  y 3 dxdy ; D : y  x, y  D

1 x, x  4 2

3.  (1  x  y )dxdy ; D : y   x, x  y , y  2 D

4.  xy 2 dxdy ; D : x  0, y  x, y  2  x 2 ( x  0) D





1 x, y  2 x, xy  2 ( x  0) 2 D Задание 2. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл 1.  x 2  y 2 dxdy ; D : x 2  y 2  4, x  0, y  0 ( x  0, y  0) 5.  x 2  y dxdy ; D : y 

D

2.  e x

2

 y2

dxdy ; D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  4, x  0, y  0 ( x  0, y  0)

D

3.  D

dxdy x y 2

2

; D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  4

4.  ydxdy ; D : x 2  2ax  y 2  0, y  0 ( y  0) D

5.  xdxdy ; D : x 2  y 2  1, x  0 ( x  0) D

Ответы

9 752 5 44 2  65 15 67 120 13 3 Ответы 2



e 4

4

e

6

2a 3 3 2 3

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

1. y  x  2 , y 2  x , y  2 , y  2 2. y   x  1 , x 2  y 2  1 ( x  0, y  0) 2



Ответы

40 3 3  4 12 57

3. y 2  4 x , x  y  3 , y  0 ( y  0) 4. y  sin x , y  cos x , x  0 ( x  0) 5. x 2  y 2  4 x  0 , x 2  y 2  2 x  0 Задание 4. Найти массу пластинки D , заданной ограничивающими ее кривыми (  –поверхностная плотность) 1 1. D : x 2  y 2  1;   x2  y2  1

2. D : y 2  5 x, x  5, y  0 ( y  0);   2 x  3 y 2 3. D : x 2  y 2  25, x 2  y 2  36, x  0, y  0 ( x  0, y  0) ;  

10 3 2 1 3 Ответы

2 (1  ln 2) 350

x  4y x2  y2

5

Задание 5. Вычислить тройной интеграл

1.  ( x  y  z )dxdydz ; T : x  0, x  1, y  0, y  1, z  0, z  1 T

2.  xdxdydz ; T : x  0, y  0, z  0, 2 x  2 y  z  6  0 T

Ответы

3 2 27 4

3.  ( x 2  y 2 )dxdydz ; T : x  0, y  2, y  x, z  0, z  xy

8

dxdydz ; T : x  0, y  0, z  0, x  y  z  1 3 T  x  y  z  1 Задание 6. Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить тройной интеграл

ln 2 5  2 16

T

4. 

1.  ( x 2  y 2 )dxdydz ; T : x 2  y 2  2 z , z  2 T

2.  x 2  y 2  z 2 dxdydz ; T : x 2  y 2  z 2  z T

3.  x 2  y 2 dxdydz ; T : x 2  y 2  z 2 , z  1 T

4.  z dxdydz ; T : x 2  y 2  z 2  1, z  0 ( z  0) T

Задание 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 1. y  x 5 , y  5 x , z  0 , x  z  1

Ответы

16 3



10



6 8 21 Ответы

5 10

2. x  y  6 , y  x , y  0 , z  0 , z  3 x

34 2 5

3. z  4  x 2  y 2 , x 2  y 2  3z

19 6

4. x 2  y 2  z 2  16 , x 2  y 2  z 2  8 z  0 Задание 8. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями

80 3

1. x  y  z  1 , x  0 , y  0 , z  0

xc  y c  z c 

2. z  x 2  y 2 , z  1

xc  y c  0 , z c 

2

2

3. z  x 2  y 2 , x  y  1 , x  0 , y  0 , z  0 58

Ответы

1 4

3 4 7 2 xc  y c  , z c  5 30

2.6. Итоговый контроль Изучив тему, студент должен: знать:  определения кратных (двойного и тройного) интегралов;  основные свойства кратных интегралов;  правила вычисления кратных интегралов;  формулу замены переменных в кратных интегралах;  основные физические и геометрические приложения кратных интегралов; уметь:  вычислять кратные интегралы путем сведения их к соответствующим повторным интегралам;  вычислять двойные интегралы, переходя к полярным координатам;  вычислять тройные интегралы, переходя к цилиндрическим и сферическим координатам;  применять кратные интегралы к вычислению площади, объема, массы, моментов инерции, статических моментов и координат центра масс материальных тел и плоских фигур; иметь представление:  о классе интегрируемых функций;  об условиях, при которых имеет место формула замены переменных в кратных интегралах.

2.6.1. Тест

 D

1. Выберите f ( x, y )dxdy :

верные

утверждения.

Для

существования

двойного

интеграла

а) ограниченность функции z  f ( x, y ) является необходимым условием; б) ограниченность функции z  f ( x, y ) является достаточным условием; в) ограниченность функции z  f ( x, y ) является необходимым и достаточным условием; г) непрерывность функции z  f ( x, y ) является достаточным условием. 2. Пусть z  f ( x, y ) – непрерывная положительная функция в круге





D  ( x, y ) x 2  y 2  1 . Тогда двойной интеграл

 f ( x, y)dxdy

равен:

D

а) б) в) г)

f (0,0) ; 0; f ( x0 , y 0 ) , где M 0 ( x0 , y 0 ) – некоторая точка круга D ; f ( x0 , y 0 ) , где M 0 ( x0 , y 0 ) – некоторая точка круга D .

3. Если область D ограничена линиями y  25  x 2 , y  0 , то двойной интеграл

 dxdy равен: D

а) 5  ;

б) 25  ;

в)

25 ; 2

г) 25;

д)

5 . 2 59

4. Выберите верные утверждения. Результат вычисления двойного (тройного) интеграла зависит от: а) подынтегральной функции; б) порядка интегрирования; в) области интегрирования. 1

x

0

0

5. Повторный (двукратный) интеграл  dx  f ( x, y )dy равен: 1

а) б) в) г) д)

1

 dy  f ( x, y)dx ; 0

0

1

1

 dy  f ( x, y)dx ; 0

x

1

1

 dy  f ( x, y)dx ; 0

y

1

x

0

1

0 y

0

0

 dy  f ( x, y)dx ;  dy  f ( x, y)dx .

6. Если область D ограничена окружностью x 2  y 2  2 x , то, переходя в двойном интеграле

 ( x

2

 y 2 )dxdy к полярным координатам r ,   , получим повторный интеграл:

D

 2



а)



d

2 cos 

r

2

dr ;

0

2

 2



б)



0

2



в)

2

d  r 3 dr ;

2

2 cos 

0

0

 d 

r

2

2 cos 

2

 d  r

г)



dr ;

3

dr .

2 2 sin 

2

 d  r



3

0



д)

dr ;

0

2

7. Если область T ограничена поверхностями z   4  x 2  y 2 , z  0 , то тройной

интеграл

 dxdydz T

а)  60

16 ; 3

равен: б) 16 ;

в) 8 ;

г)

16 ; 3

д)  8 .

1

1 x

1

0

0

0

8. Повторный (трехкратный) интеграл  dx  dy  f ( x, y, z )dz равен: а)

1

в) г) д)

x

 dy  dx  f ( x, y, z )dz ; 0

б)

1 y

0

0

1

1

1

0

0

0

 dy  dz  f ( x, y, z )dx ; 1

1

1

 dy  dx f ( x, y, z)dz ; 0

1 y

0

1

1 y

1 x

 dx  dz  f ( x, y, z )dy ; 0

0

1

1 y

1

0

0

0

0

 dy  dx  f ( x, y, z )dz .

9. Если область T ограничена поверхностями z  x 2  y 2 , z  1 , то, переходя в

 zdxdydz к цилиндрическим координатам r ,  , z  , получим:

тройном интеграле

T

а) б) в) г) д)

2

1

1

 d  rdr  zdz ; 0

0

0

2

1

1

0

0

2

1

1

r

 d  rdr  zdz ; r

 d  dr  zdz ; 0

0

2

1

1

2  d  r dr  dz ; 0

0

2

1

r

r

0

0

0

 d  rdr  zdz .

10. Переходя в повторном интеграле

 ,  ,  , получим: а)

б)

в)

г)





a

0

a

a2 x2

a2  x2  y2

0

0

0

 dx  dy  zdz

к сферическим координатам

3  d  d   sin  cosd ; 0

0





2

2

a

0 

0 

0

2

2

a

0

 d  d   sin d ; 3  d  d   sin  cosd ; 0

0

 2

 2

a

0

0

0

2  d d  cos d ;



д)

2



a

0

0

0

2  d  d   sin  cosd .

61

2.6.2. Задачи Образцы решения задач Задача 1. Вычислить

  (9 x

2

y 2  25 x 4 y 4 )dxdy; D : x  1, y  x , y   x 2 .

D

Решение. Строим область D (рис. 2.20). Для вычисления двойного интеграла в данном случае более удобной является формула (2.4)

у 1

y x

O



D

D

1

b

2 ( x)

a

1 ( x)

f ( x, y )dxdy   dx

f ( x, y )dy.  

х

Если в повторном интеграле внешний y  x интеграл взять по у, а внутренний по х (см. формулу (2.5)), то область интегрирования –1 придется разбивать на две части, так как линию, ограничивающую область D слева, нельзя Рис. 2.20 представить одним уравнением. Найдем пределы интегрирования. Проекцией области D на ось Ох является отрезок [0, 1] . Значит, a = 0, b = 1. Снизу область D ограничена параболой y   x 2 , сверху – 2

параболой y  x , т. е. 1 ( x)   x 2 ,  2 ( x)  x . Следовательно, 1

x

1

 2 3  2 2 4 4 2 2 4 4 4 5   (9 x y  25 x y )dxdy   dx 2(9 x y  25 x y )dy   3x y  5 x y  x 2 dx  D

0

x

0

x

1

2 15 1 1 2 2 1 1 2 9    (3x  5 x  3x  5 x )dx  x 2  x 2  x 9  x 15       2. 3 3 3 0 3 3 3 3 3 0 Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 1

7

2

13

2

8

14

y  16  x 2 , y  4  16  x 2 , x  0 ( x  0). Решение.

Преобразуем

уравнение

первой

линии:

y  16  x 2 ,

y 2  16  x 2 , x 2  y 2  16 . Значит, линия – окружность радиусом R = 4 с центром в точке О(0, 0). Точнее, верхняя половина окружности, так как перед радикалом стоит знак «+» ( у  0) . Преобразуем уравнение второй линии: y  4  16  x 2 , ( y  4) 2  16  x 2 , x 2  ( y  4) 2  16 . Данная линия – нижняя половина окружности радиуса R = 4 с центром в точке А(0, 4). Линия х = 0 – прямая, совпадающая с осью Оу. Фигура изображена на рис. 2.21. y

y  16 4 xx22

A D

B

y  4  16  x 2 –4

4

O

Рис. 2.21

62

x

Находим абсциссу точки В – точки пересечения окружностей. Решая систему уравнений  y  16  x 2   y  4  16  x 2 , 16  x 2  4  16  x 2 , 16  x 2  2, x 2  12 . Так как получаем: следовательно, искомая площадь S    dxdy  D

2 3

 dx 0

16  x 2

 dy 

4  16  x 2

2 3



х  0 , то

х  2 3,

2 3

(2 16  x 2  4)dx  2

0



16  x 2 dx  8 3.

0

Получившийся интеграл вычисляем с помощью подстановки x  4 sin t : 2 3

 0

 /3

 /3

 /3

 1  16  x dx  16  cos t dt  8  (1  cos 2t )dt  8 t  sin 2t   2 0 0 0 2



2

8  2 3. 3

16  8  Таким образом, S  2  4 3.  2 3  8 3  3  3  Задача 3. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми: х2 + у2 = 25, х2 + у2 = 36, х = 0, у = 0 ( х  0, у  0) . Поверхностная плотность   ( х  4 у ) ( х 2  у 2 ) . Найти массу пластинки. Решение. Массу пластинки D (рис. 2.22) найдем по формуле (2.19). M     ( x, y )dxdy . D

Переходя в двойном интеграле к полярным координатам по формулам x  r cos  , x  r sin  , получаем x  4y dxdy  2 2 x  y D

M   

 2

6

0

5

 2

6

0

5

 d 

r cos   4r sin  rdr  r 2 (cos 2   sin 2  )

 d  (cos   4 sin  )dr 

 2



 (cos   4 sin  )d  (sin   4 cos  )

 2 0

 1  4  5.

0

y

х2 + у2 = 25

y

6 D

5

A

5

х2 + у2 = 36

yx 5 y  5x D

O

5 Рис. 2.22

6

x

O

1

x

Рис. 2.23 63

Задача 4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: y  x 5 , y  5 x , z  0, x  z  1 . Решение. Для вычисления объема воспользуемся формулой V   dxdydz . T

При переходе от тройного интеграла к повторному сначала проинтегрируем по z, затем по у и, наконец, по х. Снизу тело Т ограничено плоскостью z = 0, сверху – тоже плоскостью z = 1 – x. Проекцией тела Т на плоскость Оху является область D (рис. 2.23). Найдем абсциссу точки А – точки пересечения линий y  x 5 и y  5 x . Решая  y  x 5 систему уравнений  , находим х = 0 и х = 1, откуда хА = 1. Значит, переменная х  y  5 x изменяется от 0 до 1, переменная у – от значения на прямой y  x 5 до значения на

параболе y  5 x . Таким образом, имеем 1

5x

0

x 5

1 x

1

5x

0

x 5

V   dxdydz   dx  dy  dz   dx  (1  x)dy  T

0

1

1

  (1  x)( 5 x  x 5 )dx  5  ( x  x x  x  x 2 )dx  0

0

2 x x 2  5  x 3 2  x 5 2   5 2 3 3 2

3

 5  2 2 1 1   5       .  3 5 2 3  10 

Задача 5. Тело Т задано ограничивающими его поверхностями: x2 + y2 = z2, x2 + y2 = z, x = 0, y = 0 ( х  0, у  0) . Плотность   24 z . Найти массу тела. Решение. Сделаем чертеж (рис. 2.24). Найдем уравнение линии пересечения поверхностей: x2 + y2 = z2, x2 + y2 = z. Исключая из этих уравнений x2 + y2, получаем z2 = z, откуда z = 1, т. е. x2 + y2 = 1 (случай z = 0 дает единственную точку х = у = z = 0). Значит, линией пересечения поверхностей является окружность x2 + y2 = 1, z = 1, поэтому в проекции тела Т на плоскость Оху получается область D – четверть круга (рис. 2.24) с границей x2 + y2 = 1.

z

Массу тела Т находим по формуле M   ( x, y, z )dxdydz . T

О D х

x2 + y2 = 1

Рис. 2.24 64

у

Вычисление тройного интеграла упрощается, если перейти к цилиндрическим координатам: x  r cos  , y  r sin  , z  z . Поверхность x2 + y2 = z в цилиндрических координатах имеет уравнение z = r2, – уравнение z = r, поверхность z  x2  y2 следовательно, z изменяется от r2 до r. Переменная r изменяется от 0 до 1, переменная φ – от 0 до π/2 (рис. 2.24). Поэтому  2

1

r

 2

1

 2

0

0

r2

0

0

0

M   d  rdr  24zdz  12  d  r (r 2  r 4 )dr   d   2 .

Расчетное задание Задача 1. Вычислить:

1.

 (12 x

2

 (9 x

y 2  48 x 3 y 3 )dxdy; D : x  1, y  x , y   x 2 .

y 2  16 x 3 y 3 )dxdy; D : x  1, y  x 2 , y   x .

D

2.

2

D

3.

 (8 xy  9 x

y 2 )dxdy; D : x  1, y  3 x , y   x 3 .

2

D

4.

 (4 xy  16 x

y 3 )dxdy; D : x  1, y  x 3 , y  3 x .

3

D

5.

4

9

 ( 5 xy  11 x

2

y 2 )dxdy; D : x  1, y  x 3 , y   x .

D

6.

4

 ( 5 xy  9 x

2

y 2 )dxdy; D : x  1, y  x , y   x 3 .

D

7.

 (36 x

2

y 2  96 x 3 y 3 )dxdy; D : x  1, y  3 x , y   x 3 .

 (18 x

2

y 2  32 x 3 y 3 )dxdy; D : x  1, y  3 x , y   x 2 .

D

8.

D

9.

 ( xy  4 x

3

y 3 )dxdy; D : x  1, y  x 3 , y   x .

D

10.

 (3x D

2

y2 

50 4 4 x y )dxdy; D : x  1, y  3 x , y   x 3 . 3

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

1. x  36  y 2 , x  6  36  y 2 . 2. x 2  y 2  72, 6 y   x 2 ( y  0) . 3. x 2  y 2  36, 3 2 y  x 2 ( y  0) . 4. y  24  x 2 , 2 3 y  x 2 , x  0 ( x  0) . 5. y  12  x 2 , y  2 3  12  x 2 , x  0 ( x  0) . 6. x 2  y 2  12,  6 y  x 2 ( y  0) . 7. y  36  x 2 , y  6  36  x 2 . 8. y  6  x 2 , y  6  6  x 2 . 9. x  72  y 2 , 6 x  y 2 , y  0 ( y  0) . 10. x 2  y 2  12, x 6  y 2 ( x  0) . Задача 3. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми,  – поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

1. D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  4, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   ( x  y ) ( x 2  y 2 ) . 2. D : x 2  y 2  4, x 2  y 2  25, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   (2 x  3 y ) ( x 2  y 2 ) . 3. D : x 2  y 2  9, x 2  y 2  25, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   (2 y  x) ( x 2  y 2 ) . 65

4. D : x 2  y 2  4, x 2  y 2  16, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   (3x  y ) ( x 2  y 2 ) . 5. D : x 2  y 2  4, x 2  y 2  9, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   ( y  4 x) ( x 2  y 2 ) . 6. D : x 2  y 2  9, x 2  y 2  16, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   (2 x  5 y ) ( x 2  y 2 ) . 7. D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  16, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   ( x  y ) ( x 2  y 2 ) . 8. D : x 2  y 2  4, x 2  y 2  9, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   ( y  2 x) ( x 2  y 2 ) . 9. D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  25, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   ( x  4 y ) ( x 2  y 2 ) . 10. D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  9, x  0, y  0 ( x  0, y  0);   (2 x  y ) ( x 2  y 2 ) . Задача 4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

1. y  16 2 x , y  2 x , z  0, x  z  2 . 2. y  5 x , y  5 x 3 , z  0, z  5  5 x 3 . 3. x 2  y 2  2, y  x , y  0, z  0, z  15 x . 4. x  y  2, y  x , z  0, z  12 y . 5. x  20 2 y , x  5 2 y , z  0, z  y  1 2 . 6. x  5 y 2 , x  5 y 6 , z  0, z  7. x 2  y 2  2, x  8. x  y  2, x 

5 (3  y ) . 6

y , x  0, z  0, z  30 y . y , z  0, z  12 x 5 .

9. y  15 x , y  x 15 , z  0, z  15 (1  x ) . 10. x 2  y 2  8, y  2 x , y  0, z  0, z  15 x 11 . Задача 5. Тело Т задано ограничивающими его поверхностями,  – плотность. Найти массу тела.

1. 64( x 2  y 2 )  z 2 , x 2  y 2  4, y  0, z  0 ( y  0, z  0);   5( x 2  y 2 ) 4 . 2. x 2  y 2  1, x 2  y 2  2 z , x  0, y  0, z  0 ( x  0, y  0);   10 x . 3. x 2  y 2  z 2  1, x 2  y 2  4 z 2 , x  0, y  0, ( x  0, y  0, z  0);   20 z . 4. 36( x 2  y 2 )  z 2 , x 2  y 2  1, x  0, z  0 ( x  0, z  0);   5( x 2  y 2 ) / 6 . 5. x 2  y 2  4, x 2  y 2  8 z , x  0, y  0, z  0 ( x  0, y  0);   5 x . 6. x 2  y 2 

4 2 2 2 z , x  y 2  z , x  0, y  0, ( x  0, y  0);   28 xz . 25 5

7. x 2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  z 2 , x  0, y  0, ( x  0, y  0, z  0);   6 z . 8. 25( x 2  y 2 )  z 2 , x 2  y 2  4, x  0, y  0 z  0 ( x  0, y  0, z  0);   2( x 2  y 2 ) . 9. x 2  y 2  z 2 25 , x 2  y 2  z 5 , x  0, y  0, ( x  0, y  0);   14 yz . 10. x 2  y 2  z 2 49 , x 2  y 2  z 7 , x  0, y  0, ( x  0, y  0);   10 xz . 66

ГЛАВА 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.1. Криволинейные интегралы Криволинейные интегралы являются обобщением определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая плоская или пространственная кривая. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого и второго рода.

3.1.1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода К понятию криволинейного интеграла первого рода приводят различные физические задачи, например, задача о вычислении массы материальной линии. Пусть на некоторой плоской кривой AB непрерывно распределена масса. Предположим, что кривая AB гладкая или кусочно-гладкая. Здесь и в дальнейшем кривую будем называть гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, и при переходе от точки к точке положение этой касательной меняется непрерывно. Кусочно-гладкой кривой называется непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кривых. Найдем массу m материальной кривой AB, если известна плотность γ кривой в каждой ее точке M(x, y), т. е. γ = γ(x, y), где γ(x, y) – непрерывная функция вдоль кривой AB. Непрерывность функции γ(x, y) = γ(M) вдоль кривой AB означает, что lim  M    M 0  в M M 0

любой точке M0 кривой AB, где М также точка этой кривой. Разобьем кривую AB произвольно на n частей точками А = А0, А1, А2, …, Аn–1, Аn = В (рис. 3.1). y Mn An–1 B = An M2 M1

A1

A2

A = A0 x

О

Рис. 3.1 На каждой из дуг Аi–1Аi (i = 1, 2, …, n) произвольно выберем точку Мi(xi, yi) и найдем в этих точках плотность γ(xi, yi). Массу mi дуги Аi–1Аi можно считать приближенно равной γ(xi, yi)Δsi, где Δsi – длина дуги Аi–1Аi. Суммируя массы всех дуг разбиения, получим приближенное значение массы m кривой AB: n

m     xi , yi si .

(3.1)

i 1

67

Так как функция γ(x, y) непрерывна, то чем «мельче» разбиение кривой AB, тем точнее равенство (3.1). Массой материальной кривой называется предел правой части равенства (3.1) при λ →0, т. е. n

m  lim    xi , yi si ,  0

(3.2)

i 1

где λ – наибольшая из длин частичных дуг Аi–1Аi (λ  maxsi . Таким образом, вычисление 1i  n

массы кривой сводится к вычислению предела (3.2).

3.1.2. Определение криволинейного интеграла первого рода, его физический и геометрический смысл Рассмотрим на плоскости Оху гладкую или кусочно-гладкую кривую АВ, в каждой точке которой задана произвольная непрерывная функция z = f(x, y). Повторяя последовательно все операции, выполненные при составлении правой части равенства (3.1), составим сумму n

 f x , y s i

i 1

i

i

,

(3.3)

которая называется интегральной суммой для функции f(x, y) по кривой АВ. Определение 3.1.1. Если при λ →0 интегральная сумма (3.3) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек Мi, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, y) по кривой АВ и обозначается символом

 f x, y ds .

AB

Таким образом,



n

f x, y ds  lim  f  xi , yi si .  0

AB

i 1

Криволинейный интеграл первого рода называют также криволинейным интегралом по длине дуги. Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления кривой АВ. Действительно, в интегральной сумме (3.3) величины Δsi положительны, независимо от того, какую точку кривой АВ считать начальной, а какую – конечной, т. е.

 f x, y ds   f x, y ds .

AB

ВA

Из соотношения (3.2) следует физический смысл криволинейного интеграла первого рода: масса m материальной кривой АВ, имеющей плотность γ(x, y), равна криволинейному интегралу первого рода от γ(x, y) по кривой АВ, т. е. m     x, y ds . AB

Помимо массы материальной кривой с помощью криволинейных интегралов первого рода можно также, как это делали в случае двойных интегралов, находить статистические моменты и моменты инерции этой кривой относительно координатных осей, координаты центра масс и т. д. 68

Криволинейный интеграл первого рода, так же как и определенный интеграл, имеет b

геометрический смысл. Если определенный интеграл

 f x ds

при f(x)≥0 представляет собой

a

 f x, y ds

площадь криволинейной трапеции, то криволинейный интеграл

при f(x,y)≥0

AB

численно равен площади цилиндрической поверхности, которая составлена из перпендикуляров к плоскости Оху, восстановленных в точках М(х, у) кривой АВ и имеющих переменную длину f(x, y) (рис. 3.2). z z = f(x,y)

y

B

M(x,y) x

A

Рис. 3.2 В частности, если f  x, y   1 , то

 ds  l , где l – длина кривой АВ.

AB

3.1.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определенных интегралов. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) (α ≤ t ≤ β).

Для определенности будем считать, что точке А соответствует значение t = α, точке В – значение t = β. Тогда криволинейный интеграл выражается через определенный интеграл по формуле 

 f x, y ds   f xt , yt  x    y  dt . 2

2

t

t

(3.4)

AB

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(х), а ≤ х ≤ b, то, принимая х за параметр (t = x), из формулы (3.4) получаем



AB

b

f  x, y ds   f x, y  x  1   y x  dx . 2

(3.5)

a

69

Пример 3.1.1. Вычислить криволинейный интеграл

 x  y ds ,

где АВ – часть

AB

окружности: x = acost, y = asint (0 ≤ t ≤ π). Решение. Так как xt   a sin t , yt  a cos t ,

xt 2   yt 2

 a 2 sin 2 t  a 2 cos 2 t  a , то

по формуле (3.4) получаем 

2 2   x  y ds   acos t  sin t adt  a sin t  cos t  0  2a .

AB

0

Пример 3.1.2. Вычислить криволинейный интеграл

 x ds 2

по кривой АВ, заданной

AB

уравнением: у = lnx, 1 ≤ х ≤ 2. Решение. Имеем y x 

1 , x

1   y x   1  2

1 1 x2  . Применяя формулу (3.5), x x2

получим 2

2

2

 

1 x2 1 1 х2 2 2 2 2 2 1 1 1 x ds  x  dx  x  x dx   x d  x   1 1 2 1 3 x AB





3

2 2

 1

5 5 2 2 . 3

3.1.4. Криволинейный интеграл второго рода и его физический смысл Рассмотрим физическую задачу, которая естественным путем приводит к понятию криволинейного интеграла второго ряда и позволяет выяснить его физический смысл. Предположим, что материальная точка перемещается по плоской кривой АВ из положения А в положение В под действием силы F  F  x, y  , которая задана своими проекциями P, Q на координатные оси, т. е. F  P x, y i  Q x, y  j  P, Q .

y

Fi Mi

yi ∆yi yi–1 M2 M1

Ai-1

An–1



∆xi xi–1 xi Рис. 3.3

70

Mn B = An

A2

A1 A = A0

О

Ai

Найдем работу W силы F при перемещении точки из А в В вдоль заданной кривой. Если бы перемещение точки было бы прямолинейным, а действующая сила F – постоянной (по величине и направлению), то работа W этой силы, согласно известной из физики формуле, была бы равна скалярному произведению вектора F на вектор перемещения АВ , т. е. W  F , AB . Однако особенность задачи состоит в том, что перемещение точки является криволинейным, а действующая сила – переменной. В связи с этим разобьем кривую АВ на n частей точками Аi (i = 0, 1, …, n), А0 = А, Аn = В (рис. 3.3).

x



На каждой дуге Аi–1Аi выберем произвольно точку Мi(ξi, ηi) и найдем в ней значение силы Fi  Pi , Qi  , где Pi = P(ξi, ηi), Qi = Q(ξi, ηi). На каждом участке Аi-1Аi заменим переменную силу F ее постоянным значением Fi , а движение точки по дуге Аi–1Аi заменим движением по отрезку Аi–1Аi. Тогда приближенное значение работы Wi на i-м участке можно записать в виде скалярного произведения векторов Fi и Ai 1 Ai , т. е.





Wi  Fi , Ai 1 Ai ,

(3.6)

где Ai 1 Ai  xi , yi  – вектор перемещения, а xi  xi  xi 1 , yi  yi  yi 1 . С учетом того, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат, представим (3.6) в виде Wi  Pi xi  Qi yi . Суммируя полученные частичные работы, найдем приближенно полную работу W силы F вдоль кривой АВ: n

n

i 1

i 1

W  Wi  Pi xi  Qi yi  .

(3.7)

За точное значение работы W принимается предел, к которому стремится ее приближенное значение (3.7) при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг Аi–1Аi, т. е. n

W  lim  P i , i xi  Q i , i yi  ,  0

(3.8)

i 1

где   maxsi , Δsi – длина дуги Аi–1Аi. 1i  n

Перейдем теперь к понятию криволинейного интеграла второго рода. Пусть на плоскости Оху задана гладкая или кусочно-гладкая кривая АВ, в каждой точке которой определены две непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y). Разобьем кривую АВ на n частей точками Аi(xi, yi) (i = 0, 1, ..., n), A0 = A, An = B. Обозначим через Δхi и Δуi – проекции дуги Аi–1Аi на оси координат (рис. 3.3), при этом под проекциями дуги будем понимать проекции хорды этой дуги, т. е. xi  xi  xi 1 , yi  yi  yi 1 . На каждой дуге Аi–1Аi возьмем произвольную точку Мi(ξi, ηi) и составим интегральную сумму n

 P , x i

i 1

i

i

 Q i ,i yi  .

(3.9)

Определение 3.1.2. Если при λ → 0 интегральная сумма (3.9) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек Мi, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функций P(x, y) и Q(x, y) по кривой АВ и обозначается символом

 Px, y dx  Qx, y dy .

(3.10)

AB

Таким образом, по определению n

 Px, y dx  Qx, y dy  lim  P i ,i xi  Q i ,i yi  .

AB

 0

i 1

71

Криволинейный интеграл второго рода называют также криволинейным интегралом по координатам. В частности, если Q x, y   0 , то интеграл  Px, y dx называется AB

криволинейным интегралом по координате x. Если

Px, y   0 , то

 Qx, y dy

–

AB

криволинейный интеграл по координате у. В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) проходится кривая АВ, и меняет знак при изменении направления обхода кривой, т. е.

 Pdx  Qdy    Pdx  Qdy .

AB

BA

Действительно, изменив направление обхода кривой, мы соответственно изменим знаки проекций Δхi, Δуi в интегральной сумме (3.9) и, следовательно, сама сумма и ее предел изменит знак. В случае, когда кривая АВ замкнутая, т. е. когда точка В совпадает с точкой А, из двух возможных направлений обхода замкнутой кривой условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этой кривой, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода замкнутой кривой называется отрицательным. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру С обозначают символом

 Px, y dx  Qx, y dy .

С

Согласно определению 3.1.2 формулу (3.8) можно представить в виде W

 Px, y dx  Qx, y dy .

AB

Отсюда следует физический смысл криволинейного интеграла второго рода: если P(x, y) и Q(x, y) – проекции силы F на координатные оси, то криволинейный интеграл (3.10) численно равен работе, которую совершает сила F при перемещении материальной точки вдоль линии АВ.

3.1.5. Вычисление криволинейного интеграла второго рода Вычисление криволинейных интегралов второго рода, как и интегралов первого рода, сводится к вычислению определенных интегралов. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = х(t), у = у(t), причем изменению t от α до β соответствует движение точки (х, у) по кривой АВ от А до В. Здесь не обязательно, чтобы α было меньше β. Тогда имеет место формула 

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   Px(t ), y(t )x(t )  Qx(t ), y(t )y (t )dt.

(3.11)



AB

В частности, если кривая АВ задана уравнением у = у(х), а ≤ х ≤ b, то, принимая х за параметр (t = х), из формулы (3.11) получаем b

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   Px, y( x)  Qx, y( x)y ( x)dx.

AB

(3.12)

a

Аналогичная формула имеет место, если кривая АВ задана уравнением вида x = x(y), c ≤ y ≤d. 72

Пример 3.1.3. Вычислить интеграл

y  b sin t , 0  t 

 x dx  xydy , где АВ – четверть эллипса: 2



. 2 Решение. Так как

x(t )  a sin t , y (t )  b cos t , то по формуле (3.11) получаем





AB

2

x  a cos t ,

AB







2





x 2 dx  xydy   a 2 cos 2 t (a sin t )  a cos t  b sin t  b cos t dt   ab 2  a 3 sin t cos 2 tdt  0



 a b 2  a 2

cos3

0

 3

t

2



0





a b2  a2 . 3

Пример 3.1.4. Вычислить интеграл

 3x

2





ydx  x 3  1 dy , где

AB

1. АВ – прямая y = x, соединяющая точки (0,0) и (1,1). 2. АВ – парабола y = x2, соединяющая те же точки. 3. АВ – ломаная, проходящая через точки (0,0), (1,0), (1,1) (рис. 3.4). Решение. Согласно формуле (3.12) имеем: 1

1.

3

1





1

1

2 3 4 3 4 5 2  3x ydx  ( x  1)dy   3x  ( x  1)2 x dx   (5 x  2 x)dx  ( x  x )  2 . 0

AB

3.

0

0

AB

2.

1

3 4  3x ydx  ( x  1)dy   (4 x  1)dx  ( x  x)  2 . 2

0

0

1

1

1

0

0

0

2 3 2  3x ydx  ( x  1)dy   3x  0dx   (1  1)dy   2dy  2 .

AB

y Итак, взяв три различных пути, соединяющих одни и те же B точки, мы получим три одинаковых результата. Это 1 обстоятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта в п. 3.1.6. В заключение заметим, что криволинейные интегралы A были рассмотрены для плоских кривых. Однако их определение О x 1 нетрудно перенести и на пространственные кривые. Рис. 3.4 Пусть АВ – пространственная кривая и на этой кривой заданы функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z). Тогда по аналогии со случаем плоской кривой можно определить криволинейный интеграл первого и криволинейный интеграл второго рода рода  f ( x, y, z )ds AB

 P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz . Техника вычисления таких интегралов не отличается по

AB

существу от техники вычисления соответствующих интегралов по плоской кривой.

3.1.6. Формула Грина Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе С этой области. Докажем эту формулу для ограниченной замкнутой области, граница которой пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Для краткости будем называть такие области правильными. Линию, ограничивающую область, будем предполагать гладкой или кусочно-гладкой. 73

Теорема 3.1.1. Пусть D – правильная ограниченная замкнутая область и пусть функции P Q и P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в данной y x области. Тогда имеет место формула Грина:

 Q

P 

  x  y dxdy   Pdx  Qdy , D

(3.13)

C

где С – граничный контур области D, который обходится в положительном направлении. Доказательство. По условию теоремы D – правильная область, поэтому любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках. Следовательно, контур С, ограничивающий область, можно разбить на две части АMВ и ANB (рис. 3.5), каждая из которых имеет уравнение вида y = y(x). Пусть y  1 ( x) – уравнение кривой AMB, а уравнение кривой ANB – y   2 ( x) , a  x  b . Так как по условию P P производная непрерывна в D, то существует двойной интеграл  dxdy . y y D

у

N D

А

у

y   2 ( x)

D1

В

C

D2

y  1 ( x)

М О

х

О

х

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Сведем его сначала к повторному интегралу, а затем по формуле Ньютона-Лейбница выполним интегрирование по y. В результате будем иметь b

 ( x)

b

b

b

2 P P  y dxdy   dx  y dy   Px, 2 ( x)  Px,1 ( x)dx   Px, 2 ( x)dx   Px,1 ( x)dx. (3.14) D a a a a  ( x) 1

Преобразуем теперь криволинейный интеграл  Pdx : C

 Pdx   Pdx   Pdx   P( x, y )dx   P( x, y )dx .

C

AMB

BNA

AMB

ANB

Применяя формулу (3.12), получим: b

b

 Pdx   Px,  ( x)dx   Px,  1

C

a

2

( x) dx.

(3.15)

a

Из формул (3.14), (3.15) следует P

 y dxdy   Pdx . D

74

C

(3.16)

Аналогично доказывается, что Q

 x dxdy   Qdy . D

(3.17)

C

Вычитая (3.16) из (3.17), получим формулу (3.13). Замечание. Формула Грина остается справедливой для всякой ограниченной замкнутой области D, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число правильных областей. Действительно, пусть область D с границей С имеет вид, изображенный на рис. 3.6. Разобьем ее на две правильные области D1 и D2, для каждой из которых справедлива формула (3.13). Запишем формулу Грина для каждой из областей D1 и D2 и сложим почленно полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по всей области D, а справа – криволинейный интеграл по контуру С, так как криволинейные интегралы по вспомогательной кривой при суммировании взаимно уничтожаются. Более того, можно доказать, что формула Грина справедлива для области D, ограниченной произвольной гладкой или кусочно-гладкой кривой С. Пример 3.1.5. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл 2 2 2  ( x  y)dx  ( x  y)dy , где С – окружность x  y  R .

С

Q P  1 , 1 y x непрерывны в замкнутом круге D: x 2  y 2  R 2 . Следовательно, применима формула Грина, согласно которой имеем: Решение. Функции P(x,y) = x – y, Q(x,y) = x+y и их производные

 ( x  y)dx  ( x  y)dy   1   1dxdy  2 dxdy  2S  2R

С

D

2

.

D

Выведем, используя формулу Грина, формулы для вычисления площади произвольной области D с помощью криволинейного интеграла. Q P  1 ,  0 и формула (3.13) примет вид Если P(x,y) = – y, Q(x,y) = 0, то y x

 (0  1)dxdy    ydx  0dy , откуда D

C

S    ydx ,

(3.18)

C

где S – площадь области D. Аналогично, полагая P(x,y) = 0, Q(x,y) = x, будем иметь: S   xdy .

(3.19)

C

Из (3.18) и (3.19), как следствие, получим еще одну формулу S

1 xdy  ydx . 2 C

(3.20)

Любая из формул (3.18)–(3.20) позволяет вычислять площадь фигуры с помощью криволинейного интеграла.

75

Пример 3.1.6. Найти площадь S плоской фигуры, ограниченной эллипсом x y2 C : 2  2 1. a b Решение. Параметрические уравнения эллипса имеют вид x = a cos t, y = b sin t, где параметр t изменяется в пределах от 0 до 2 π. По формуле (3.19), используя выражение криволинейного интеграла через определенный интеграл (3.11), находим: 2

2

2

2

2

ab ab  sin 2t  S   xdy   a cos t  b cos tdt  ab  cos tdt  (1  cos 2t )dt   t    ab .  2 2 2  0 0 0 0 C 2

3.1.7. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования Пусть задана плоская область D и в ней определены непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y). Выясним, при каких условиях криволинейный интеграл

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy

(3.21)

AB

при произвольно фиксированных точках А  D и В  D не зависит от выбора кривой АВ, соединяющей эти точки и лежащей в области D. Лемма. Для того чтобы интеграл (3.21) не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы:

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 ,

(3.22)

L

где L – произвольный замкнутый контур, лежащий в области D. Доказательство. Пусть для любого замкнутого контура L  D выполняется равенство (3.22). Рассмотрим в области D два произвольных пути, соединяющих точки А и В: АМВ и АNВ – любые гладкие или кусочно-гладкие кривые (рис. 3.7). Объединение этих кривых является замкнутым контуром L =ANB  BMA. Согласно условию (3.22)  Pdx  Qdy  0 , но L

 Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   L

ANB



Pdx  Qdy 

AMB

BMA

 Pdx  Qdy,

ANB

Pdx  Qdy -

ANB

 Pdx  Qdy ,

следовательно,

AMB

т. е. криволинейный интеграл  Pdx  Qdy не зависит от пути AB

интегрирования при фиксированных АD и ВD. M

A

B

N

Рис. 3.7 Обратно, пусть  Pdx  Qdy не зависит от пути интегрирования в указанном смысле и АВ

задан произвольный замкнутый контур L  D. Выберем на нем две точки А и В, разбивающие L на две части: кривые АNВ и ВМА (рис. 3.7). По условию  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy . AMB

Отсюда  Pdx  Qdy    L

76



ANB BMA





ANB



 0.

AMB

ANB

Доказанная лемма дает необходимое и достаточное условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, но это условие трудно проверяемо. Если сузить класс рассматриваемых областей, то можно получить более простой и эффективный критерий. Определение 3.1.3. Плоская область D называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L  D, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области D. Например, односвязными областями являются круг, прямоугольник, внутренность эллипса и т. п. Простейшим примером неодносвязной области является область, заключенная между окружностями х2 + у2 = 1, х2 + у2 = 3. В самом деле, окружность х2 + у2 = 2, лежащая в этой области, содержит внутри себя точки, которые не принадлежат данной области, например, начало координат (0,0). Имеет место Теорема 3.1.2. Пусть функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными Q P производными в области D. Для того чтобы криволинейный интеграл (3.21) при и y x произвольно фиксированных точках AD и BD не зависел от пути интегрирования AB  D, необходимо, а если область D односвязная, то и достаточно, чтобы во всех точках области D P Q выполнялось равенство = . y x Q P Доказательство достаточности. Пусть в области D выполняется равенство . = y x Возьмем произвольный замкнутый контур L  D и запишем формулу Грина (здесь используется односвязность области D):  Q

P 

  x  y dxdy   Pdx  Qdy , G

L

где G – область, ограниченная контуром L. Так как Отсюда согласно лемме следует, что интеграл

P Q = в G, то y x

 Pdx  Qdy

 Pdx  Qdy

= 0.

L

не зависит от формы кривой AB,

АВ

соединяющей фиксированные точки А и В. Q P Необходимость условия можно доказать методом от противного. = y x Теорема 3.1.2 позволяет достаточно просто решать вопрос о том, зависит или не зависит криволинейный интеграл от пути интегрирования. Так, например,  e y dx  ydy в AB

P Q , а интеграл  ey  0  x y P Q 2 2 3 AB3x ydx  x  1dy (см. пример 3.1.4) не зависит, так как y  3x  x .

любой области зависит от выбора пути, поскольку

Напомним, что интеграл

 Pdx  Qdy

численно равен работе, которую совершает сила

АВ

F  P, Q при перемещении материальной точки вдоль линии АВ. Следовательно, теорема 3.1.2 дает ответ на вопрос о том, при каких условиях работа силы F  P, Q не зависит от линии перемещения АВ, а зависит только от начальной и конечной точек А и В.

77

3.2. Поверхностные интегралы В этом подразделе будут рассмотрены интегралы от функций, заданных на поверхности, так называемые поверхностные интегралы. Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Различают поверхностные интегралы первого и второго родов.

3.2.1. Поверхностный интеграл первого рода Определим сначала класс рассматриваемых в дальнейшем поверхностей. Определение 3.2.1. Касательной плоскостью P к поверхности S в ее точке М0 (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку (рис. 3.8). Определение 3.2.2. Поверхность S называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость, и при переходе от точки к точке положение этой M0 плоскости меняется непрерывно. Поверхность, состоящая из конечного числа P гладких кусков, называется кусочно-гладкой. Например, сфера является гладкой S поверхностью; поверхность кругового цилиндра, поверхность параллелепипеда Рис. 3.8 дают примеры кусочно-гладких поверхностей. Введем понятие поверхностного интеграла первого рода. Пусть на гладкой или кусочно-гладкой поверхности S определена непрерывная функция u = f(x,y,z). Разобьем поверхность S произвольно на n частей σ1, σ2, … ,σn с площадями Δσ1, Δσ2, … , Δσn. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Мi(xi,yi,zi) (Мi  σi), составим сумму n

 f ( x , y , z ) . i

i 1

i

i

i

(3.23)

Сумма (3.23) называется интегральной суммой для функции f ( x, y, z ) по поверхности S. Обозначим через λ наибольший из диаметров частей поверхности, т. е. λ = max d ( i ). 1i n

Определение 3.2.3. Если при λ  0 интегральная сумма (3.23) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения поверхности S на части, ни от выбора точек Мi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f ( x, y, z ) по поверхности S и обозначается символом (3.24)   f ( x, y, z )d , S

т. е.



n

f ( x, y, z )d  lim  f ( x, y, z ) i .  0

S

i 1

Данное определение по сути аналогично определению двойного интеграла, поэтому свойства двойных интегралов без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы (3.24). В частности, если f(x, y, z)  1, на поверхности S, то n

  d  lim  i  lim    , S

78

 0

i 1

 0

где б – площадь поверхности S, т. е. с помощью поверхностного интеграла первого рода можно вычислять площади поверхностей. Выясним физический смысл интеграла (3.24). Пусть f(x, y, z) – плотность вещества, распределенного по поверхности S. Тогда массу mi частичной поверхности бi можно считать приближенно равной f(xi, yi, zi)  i . Суммируя массы частичных поверхностей разбиения, получим приближенное значение массы всей поверхности S: n

n

i 1

i 1

 mi   f ( xi , yi , z i ) i . Массой m поверхности S естественно считать предел полученной интегральной суммы при λ  0, т. е. n

m  lim  f ( xi , yi , z i ) i ,  0

i 1

или m    f ( x, y, z )d . S

Таким образом, если f(x, y, z) – плотность вещества, распределенного по поверхности S, то интеграл   f ( x, y, z )d численно равен массе поверхности S (физический смысл S

поверхностного интеграла первого рода). Кроме массы, с помощью поверхностных интегралов первого рода можно также находить статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс и подобные величины для материальных поверхностей с известной плотностью распределения масс. Эти задачи решаются аналогично соответствующим задачам для случая материальной кривой, материальных плоской и пространственной областей. Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному по следующему правилу: Пусть поверхность S задана управлением z = z(x,y), тогда имеет место формула 2 2 (3.25)   f ( x, y, z )d    f x, y, z ( x, y) 1  ( z x )  ( z y ) dxdy, S

D

где D – проекция поверхности S на плоскость Оxy. Аналогичные формулы имеют место и в тех случаях, когда поверхность S задана уравнением y = y(x,z) или x = x(y,z). Пример 3.2.1. Вычислить интеграл   (3x  y  z  1)d , S

где S – часть плоскости 2 x  y  z  1 , лежащая в первом октанте (рис. 3.9). z 1 S: z = 1 – 2x – y D О

1 y

x

1 2

y = 1 – 2x Рис. 3.9 79

Решение. Из уравнения плоскости находим:

1  ( z x ) 2  ( z y ) 2  1  4  1  6.

z y  1,

z x  2,

z  1  2 x  y,

Проекцией S на плоскость Оxy является треугольник D (рис. 3.9). Применяя формулу (3.25), получаем 1 2

1 2 x

0

0

  (3x  y  z  1)d    (3x  y  1  2 x  y  1) 6dxdy    x 6dxdy  6  dx S

D

1 2

 6  ( xy 0

1 2 x 0

D

1 2



xdy 

1

 x 2 2 x3  2 6 )dx  6  x(1  2 x)dx  6   .   3 0 24  2 0

Пример 3.2.2. Найти площадь сферы радиуса R. Решение. Если центр сферы S совместить с началом прямоугольной декартовой системы координат (рис. 3.10), то в этой системе уравнение сферы будет иметь вид x 2  y 2  z 2  R 2 . Очевидно, площадь сферы   2 1 , где  1 – площадь верхней полусферы,

уравнение которой можно представить в виде z  R 2  x 2  y 2 . z S1 : z  R 2  x 2  y 2

D

О

R

y

x Рис. 3.10 Проекцией полусферы S1 на плоскость Оxy является круг D : x 2  y 2  R 2 . Найдем частные производные z x и z y : z x  

x R2  x2  y2

z y  

,

y R2  x2  y2

.

Полагая в формуле (3.25) f ( x, y, z )  1, получаем

 1    d    1  ( z x )  ( z y ) dxdy    2

S1

2

D

D

x2  y 2 dxdy dxdy  R   1 2 . 2 2 2 R x y R  x2  y 2 D

Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам по формулам x = r cos φ, у = r sin φ, находим 2

R

 1  R  d  0

0

2

rdr R r 2

2

 R  ( R 2  r 2 0

следовательно, площадь сферы   2 1  4R 2 .

80

2

R 0

)d  R  Rd  R 2 0

2 0

 2R 2 ,

3.2.2. Поверхностный интеграл второго рода Введем предварительно понятие стороны поверхности. В произвольной точке М гладкой поверхности S фиксируем нормальный вектор (нормаль) n , т. е. вектор, перпендикулярный касательной плоскости к поверхности S в точке М. Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру  вместе с вектором n так, чтобы при этом перемещении направление вектора n менялось непрерывно (рис. 3.11). В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным. Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на гладкой поверхности S и не пересекающему ее границу, при возвращении в исходную точку не меняет направление нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней. Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, любая поверхность, заданная уравнением z = z(x,y), где z ( x, y ), z x ( x, y ), z y ( x, y ) – функции, непрерывные в некоторой области D плоскости Оxy. n М

S Рис. 3.11 Если же на гладкой поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней. Простейшим примером односторонней поверхности является так называемый лист Мёбиуса. В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности. Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла второго рода. Пусть на гладкой поверхности S определены непрерывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Выберем на S определенную сторону и обозначим через n единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности. Так как n = 1, то n = cos  , cos  , cos  , где α, β, γ – углы, которые вектор n образует с осями координат. Определение 3.2.4. Поверхностным интегралом второго рода от функций P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) по выбранной стороне гладкой поверхности S называется число, равное

  ( P( x, y, z ) cos  Q( x, y, z ) cos   R( x, y, z ) cos  )d .

(3.26)

S

Обозначается символом

  P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dxdz  R( x, y, z )dxdy .

(3.27)

S

81

Поверхностный интеграл второго рода по кусочно-гладкой поверхности S определяется как сумма интегралов по гладким кускам, из которых состоит S. Интеграл (3.27) можно также определить как предел соответствующей интегральной суммы. Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны поверхности (при этом направление нормали n меняется на противоположное) меняет знак. Выясним физический смысл поверхностного интеграла второго рода. Обозначим через a вектор с координатами P,Q,R, т. е. a = P, Q, R. Тогда (3.26) можно записать в виде

  (a , n )d . Согласно определению 3.2.3 S

   a , n )d S

n

 lim  (ai , ni ) i ,  0

(3.28)

i 1

где  i – площадь частичной поверхности  i разбиения S на части; ai , ni – векторы a и n в точке M i   i . Каждое слагаемое суммы (3.28) ( ai , ni )  i = ai cos  i  i ,

 i  ( a i ,  ni )

(3.29)

может быть истолковано следующим образом: если  i – острый угол, то произведение равно объему цилиндра с основанием  i и высотой ai cos  i . Пусть вектор a – скорость жидкости, протекающей через поверхность S, тогда произведение (3.29) приближено равно количеству жидкости, протекающей через площадку  i за единицу времени в направлении вектора ni (рис. 3.12).

ai

ni

φi

Mi S

Рис. 3.12 Следовательно,

интеграл

  (a , n )d     P cos   cos   R cos  )d S

будет

S

представлять общее количество жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность S в направлении вектора n . Рассмотрим основные способы вычисления поверхностных интегралов второго рода. 1. Если уравнение поверхности S можно представить в виде z = z(x,y), то

  R( x, y, z ) cos d    R( x, y, z )dxdy     R( x, y, z ( x, y))dxdy , S

S

(3.30)

D1

где D1 – проекция поверхности S на плоскость Оxy, знак «+» берется в том случае, когда вектор n образует с осью Оz острый угол (cos   0) , знак «–», если этот угол тупой (cos   0) . 82

Формула (3.30) позволяет свести вычисление поверхностного интеграла второго рода от функции R(x, y, z) по поверхности S к вычислению двойного интеграла по области D1 – проекции S на плоскость Оxy. Аналогично вычисляются интегралы от функций P(x,y,z) и Q(x,y,z): (3.31)   Р( x, y, z ) cosd    P( x, y, z )dydz     P( x( y, z ), y, z )dydz, S

S

D2

  Qx, y, z cos d    Qx, y, z dxdz     Qx, yx, z , z dxdz. S

S

(3.32)

D3

Здесь x = x(y,z) и y =y (x,z) – уравнения поверхности S; D2 и D3 – проекции поверхности S на плоскости Оyz и Оxz соответственно. Таким образом, если из уравнения F (x,y,z) = 0 поверхности S однозначно выражаются z, x, y, то вычисление интеграла (3.27) сводится к применению формул (3.30) – (3.32) и последующему вычислению соответствующих двойных интегралов. Пример 3.2.3. Вычислить интеграл

  xdydz  ydxdz  zdxdy, S

где S – верхняя сторона части плоскости x + z – 1 = 0, отсеченная плоскостями y = 0, y = 4 и лежащая в первом октанте (рис. 3.13). z

n 1 S D2

О

4

D1

y

1 x Рис. 3.13 Решение. Учитывая, что вектор n образует с осями координат острые углы, по формулам (3.30) – (3.32) соответственно находим

  zdxdy  S

  xdydz  S

1

4

1

2   (1  x)dxdy   dx  (1  x)dy  4 (1  x)dx  2(1  x)

D1

0

0

0

1

4

1

2   (1  z )dydz   dz  (1  z )dy  4 (1  z )dz  2(1  z )

D2

0

0

1 0

 2,

1 0

 2,

0

  ydxdz    y cosd  0 , S

S

так как плоскость S параллельна оси Оy ( cos   0). Следовательно,

  хdydz  ydxdz  zdxdy  2  0  2  4 . S

83

2. Если уравнение поверхности S можно представить в виде z = z(x,y), то

 Pdydz  Qdхdх  Rdxdy    ( R  z   P  z   Q)dxdy , x

S

y

(3.33)

D

где D – проекция поверхности S на плоскость Оxy. В правой части формулы (3.33) переменную z в подынтегральном выражении следует заменить на z(x,y), знак перед интегралом выбирается так же, как в формуле (3.30). Аналогичные формулы имеют место и в тех случаях, когда уравнение поверхности S может быть представлено в виде x = x(y,z) или y = y(x,z). Пример 3.2.4. Вычислить

z



1

S

2

S: z = x + y n

O

2

по внешней стороне параболоида вращения z = x2+y2 (0  z  1) (рис. 3.14). Решение. По условию z меняется от 0 до 1. Подставляя z = 1 в уравнение параболоида, получаем x2 + y2 = 1. Значит проекцией поверхности S на D : x 2  y 2  1. плоскость Оxy является круг

y

1 D

x

x 2  y 2 dxdz  2 zdxdy

Рис. 3.14

Воспользуемся формулой (3.33), в правой части которой следует взять знак минус, так как нормаль n образует с осью Оz тупой угол. Учитывая, что P = 0, Q  x 2  y 2 , R  2 z , z x  2x, z y  2 y, будет иметь

I    x 2  y 2 dxdz  2 zdxy     (2( x 2  y 2 )  2 x  0  2 y  x 2  y 2 )dxdy  S

D

 2   ( x  y  y x  y )dxdy. 2

2

2

2

D

Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам, находим 2

1

0

0

I  2   ( x  y  y x  y )dxdy  2  d  (r 2  r 2 sin  )rdr  2

2

2

2

D

2

r  2  (1  sin  )   4 0

 1 d   0 2 

4 1

2

1

 (1  sin  )d  2 (  cos  )

2 0

 .

0

3.2.3. Формула Остроградского-Гаусса Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Эта формула является пространственным аналогом формулы Грина (3.13), которая связывает криволинейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой. Теорема 3.2.1. Пусть пространственная область Т ограничена гладкой или кусочногладкой поверхностью S. Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со 84

P Q R , , в замкнутой области Т  Т  S , то имеет x y z место формула Остроградского-Гаусса  P Q R  (3.34)    dxdydz    ( P cos   Q cos   R cos  )d ,  x y z  T  S где cos  ,cos  , cos  – направляющие косинусы внешней нормали. Формулу (3.34) можно также записать виде

своими частными производными

 P

R 

Q

 x  y  z dxdydz    Pdydz  Qdxdz  Rdxdy. T

(3.35)

S

Наиболее просто теорема 3.2.1 доказывается для области Т, граница которой S пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках. Идея доказательства заключается в приведении обеих частей формулы (3.34) к двойным интегралам. Для этого в левой части формулы нужно проинтегрировать первое слагаемое по x, второе – по y, а третье – по z. К такому же выражению приводится и правая часть (3.34), если воспользоваться формулами (3.30) – (3.32). С помощью формулы Остроградского-Гаусса удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям. Пример 3.2.5. Вычислить интеграл   xdydz  2 ydxdz  3zdxdy, S

где S – внешняя сторона пирамиды Т, ограниченной плоскостями x + y + z = 1, x = 0, z = 0 (см. рис. 2.15). Решение. Применяя формулу (3.35), получаем I   xdydz  2 ydxdz  3 zdxdy   (1  2  3)dxdydz  6  dxdydz  6V , S

T

T

где V – объем пирамиды Т. Так как высота пирамиды H = 1, а площадь основания 1 1 1 1 Sо   1  1  , то V  S o  H  , следовательно, I = 6·V = 1. 2 2 3 6 Пример 3.2.6. Вычислить интеграл 3 3 3  x cos   y cos   z cos  d ,





S

где S – внешняя сторона сферы x 2  y 2  z 2  R 2 . Решение. Согласно формуле (3.34) имеем









I   x 3 cos   y 3 cos   z 3 cos  d  3 x 2  y 2  z 2 dxdydz , S

T

где Т – шар: x 2  y 2  z 2  R 2 . Переходя в тройном интеграле к сферическим координатам, получаем





2

I  3 x  y  z dxdydz  3  d 2

2

2

0

T



3R 5

5 2

 2d  0



2





2

2

R

d   cos d 3  d 4

0

0



2





2

R5 cos d  5

5

6R 12  2  R 5 . 5 5 85

3.2.4. Формула Стокса Формула Стокса устанавливает связь между поверхностными и криволинейными интегралами. Теорема 3.2.2. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой пространственной области Т. Тогда для любой гладкой или кусочно-гладкой незамкнутой поверхности S, лежащей в области Т, имеет место формула Стокса  R

Q

P

R



P

Q

  ( y  z ) cos   ( z  x ) cos   x  y ) cos  d   Pdx  Qdy  Rdz , S

(3.36)

C

где С – контур, ограничивающий поверхность S. В формуле (3.36) направление обхода контура С должно быть согласовано с направлением нормали n  cos  , cos  , cos   следующим образом: если наблюдатель смотрит с конца нормали n , то он видит обход контура С совершающимся против часовой стрелки (рис. 3.15). Доказательство теоремы 3.2.2 основано на применении формул (3.30)–(3.32) и формулы Грина (3.13). Формула Стокса позволяет интеграл по замкнутой пространственной линии С заменить интегралом по поверхности S, «натянутой» на контур интегрирования. В частности, если S – область на плоскости Оxy, ограниченная контуром С, то cos   0, cos   0, cos   1, и формула Стокса переходит в формулу Грина. Пример 3.2.7. Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл

 xy

2

dx  dy  zdz ,

С

где С – линия пересечения плоскости x + y + z = 1 с координатными плоскостями. Обход контура С указан на рис. 3.16.

n

z 1

n

S

S: x + y + z = 1 C

O D

C

1 y

1 x

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Решение. В данном случае P = xy2, Q = 1, R = z, следовательно,

R Q   0, y z

P R Q P   0,   2 xy . Подставляя полученные выражения в формулу Стокса (3.36), z x x y будем иметь: I   xy 2 dx  dy  zdz  2 xy cos d , С

S

где S – часть плоскости x + y + z = 1, лежащая в первом октанте, а интеграл берется по верхней стороне поверхности S. Далее, по формуле (3.30) имеем: 86

 xy cos d   xydxdy , S

D

где D – проекция S на плоскость Оxy (треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = 0, y = 1 – x). Вычисляя полученный двойной интеграл, находим 1

1 x

1

0

0

0

I  2  xydxdy  2  xdx  ydy    x(1  x) 2 dx   D

1 . 12

Из формулы Стокса следует, что если R Q  , y z

P R  , z x

Q P  , x y

(3.37)

то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой С равен нулю:

 Pdx  Qdy  Rdz  0 .

(3.38)

С

А это значит, что в данном случае криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Как и в случае плоской кривой, условия (3.37) являются необходимыми и достаточными для выполнения равенства (3.38).

3.3. Основные термины Гладкая кривая. Кусочно-гладкая кривая. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейный интеграл второго рода (по координатам). Правильная область. Односвязная область. Касательная плоскость. Гладкая поверхность. Кусочно-гладкая поверхность. Поверхностный интеграл первого рода. Нормальный вектор. Сторона поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностный интеграл второго рода.

3.4. Вопросы для самоконтроля 1. Какая кривая называется гладкой (кусочно-гладкой)? 2. Что называется криволинейным интегралом первого рода? Укажите его физический смысл. 3. Как вычислить криволинейный интеграл первого рода, если линия интегрирования задана параметрически или уравнением у = f(x)? 4. Какие физические величины можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода? 5. Как можно геометрически истолковать криволинейный интеграл первого рода? 6. Что называется криволинейным интегралом второго рода и каков его физический смысл? 7. От чего зависит величина интеграла? 87

8. Какое из двух направлений обхода замкнутого контура считается положительным? 9. Как вычисляется криволинейный интеграл второго рода? 10. Какие интегралы связывает формула Грина? 11. При выполнении какого условия криволинейный интеграл второго рода не зависит от формы пути интегрирования? Чем определяется величина интеграла в этом случае? 12. Какая поверхность называется гладкой (кусочно-гладкой)? 13. Что называется поверхностным интегралом 1-го рода и каков его физический смысл? 14. Какие физические величины можно вычислить с помощью поверхностного интеграла 1-го рода? 15. Как свести поверхностный интеграл первого рода к двойному интегралу? 16. Какие поверхности называются двусторонними? Что такое сторона поверхности? 17. Как определяется поверхностный интеграл 2-го рода? От чего зависит величина интеграла? 18. Какой физический смысл имеет поверхностный интеграл 2-го рода? 19. Как вычисляется поверхностный интеграл второго рода? 20. Между какими интегралами устанавливает связь формула Остроградского-Гаусса? 21. Какие интегралы связывает формула Стокса? Как выбирается направление нормального вектора в этой формуле?

3.5. Задачи для самостоятельного решения Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

Ответы

1.  x 2 yds ; C : y  R 2  x 2 , 0  x  R

R4 3

2.  y 2 ds ; C : x  a cos t , y  a sin t , 0  t   2

a 3 4

C

C

ds ; C : y  ch t , 0  x  1 2 C y

3.  4.

x 2  e ds ; C : x  ln1  t  ,

y  2 arctg t  t , 0  t  3

C

2 arctg e 

0

2.  ( x 2  y 2 )dx  dy ; C : y  x 2 , 0  x  2

4 15

3.  ( x  y )dx  ( x  y )dy ; C : x  a cos t , y  b sin t , 0  t  

 ab

C

C

ydx  xdy ; C : y  x , 1 x  2 x2 y2 C Задание 3. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл (контур C обходится в положительном направлении) 1 y  1 x  2 1.    2 dx    2 dy ; C : y   x  1 , y  1 x  C y x y 

4. 

Ответы

ln 2 Ответы 0

x2 y2 2.  (2 x  y  1)dx  ( x  2 y  1)dy ; C : 2  2  1 a b C

 2ab

3.  y  e x cos y dx  e x sin ydy ; C : y  sin x , y  0 , 0  x  

2



C

88



2

12

Задание 2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 1.  y 2 dx  2 xydy ; C : x  a cos t , y  a sin t , 0  t   2 C



Задание 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода 1.  x 3 d ; S : x  y  z  a ( x  0, y  0, z  0)

Ответы

3a 5 20

S

2.  ( x  y  z )d ; S : z  a 2  x 2  y 2

a 3

3.  ( x 2  y 2 )d ; S : z 2  x 2  y 2 (0  z  1)

 (1  2 ) 2

S

S

Задание 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода (нормаль к поверхности S образует острый угол с осью Oz)

Ответы

1.  ( y 2  z 2 )dxdy ; S : z  1  x 2 0  y  1

2

2.  3 xdydz  2 ydxdz  zdxdy ; S : x  y  2 z  1 ( x  0, y  0, z  0)

12

3.  xdydz  ( y  2 z )dxdz  ( z  2 y )dxdy ; S : z  4  x 2  y 2

16

4.  x 2 dydz  2 xzdxdy ; S : z  1  x 2  y 2 ( z  0 )

0

S

S

S

S

Задание 6. Применяя формулу Остроградского–Гаусса, вычислить интеграл по внешней стороне замкнутой поверхности S 1.  xdydz  ydxdz  zdxdy ; S : x 2  y 2  a 2 , z  0, z  H S





2.  e z  x dydz 





x  y dxdz  ( xy  z )dxdy ; S : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  1

S

3.   x  y dydz   y  z dxdz  ( x  z )dxdy ; S : z  x 2  y 2 , z  1 S

Ответы

3a 2 H 4 3 3 2

3.6. Итоговый контроль Изучив тему, студент должен: знать:  определения криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода и физический смысл этих интегралов;  правила вычисления криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода;  формулу Грина;  условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования;  определения поверхностных интегралов 1-го и 2-го порядка и физический смысл этих интегралов;  правила вычисления поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода;  формулы Стокса и Остроградского-Гаусса; уметь:  вычислять криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода;  применять формулу Грина для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода по замкнутой кривой;  вычислять поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода;  применять формулу Остроградского-Гаусса для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода по замкнутой поверхности; иметь представление:  о гладких и кусочно-гладких линиях и поверхностях;  об односторонних и двусторонних поверхностях;  об условиях, при которых имеют место формулы Грина, Стокса, ОстроградскогоГаусса. 89

3.6.1. Тест 1. Результат вычисления криволинейного интеграла

 f ( x, y)ds

зависит от:

C

а) подынтегральной функции f ( x, y ) ; б) линии интегрирования С; в) способа задания линии С; г) направления обхода линии С. 2. Результат вычисления криволинейного интеграла

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy зависит от:

C

 e

а) подынтегральных функций P( x, y ) , Q( x, y ) ; б) линии интегрирования С; в) способа задания линии С; г) направления обхода линии С. 3. Если C – окружность x  5 cos t , y  5 sin t 0  t  2  , то криволинейный интеграл

x



 y dx   x  sin y dy равен:

C

а) 0; б) 20  ; в)  ; г) 50  ; д) 25  . 4. Пусть функции

P ( x, y )

и Q( x, y ) непрерывны вместе со своими частными

производными Py/ и Q x/ в области D . Тогда криволинейный интеграл

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy

AB

при произвольно фиксированных в области D точках A и B не зависит от линии интегрирования AB  D , если: а) Q x/ = Py/ в области D ; б)

 Pdx  Qdy  0 , где L – произвольный замкнутый контур, L  D ; L

в) D – односвязная область и Q x/ = Py/ в области D . 5. Площадь S области D , ограниченной линией C , можно найти по формуле (направление обхода линии C – положительное): а) S   ydx ; C

б) S   xdy ; C

в) S    ydx ; C

г) S 

1 xdy  ydx ; 2 C

д) S 

1 ydx  xdy . 2 C

6. Результат вычисления поверхностного интеграла

 f ( x, y)d S

а) подынтегральной функции f ( x, y ) ; 90

зависит от:

б) поверхности интегрирования S; в) выбора стороны поверхности интегрирования. 7. Если S – часть плоскости х + у + z = 1, лежащая в первом октанте, то поверхностный интеграл  d равен: S

а)

3 /3;

б)

3/2;

в) г)

2 /2; 3;

д) 2 / 3 . 8. Если V – объем тела, ограниченного поверхностью S, а n  cos  , cos  , cos   – ее внутренняя нормаль, то поверхностный интеграл

 ( x cos   y cos   z cos  )d

равен:

S

а) 0; б) V; в) – 2 V; г) – 3 V; д) 3 V. 9. Если линия

С

задана

уравнениями

x  cos t , y  sin t , z  sin t (0  t  2 ) ,

то

криволинейный интеграл  sin y dx  x cos y dy  z dz равен: C

а) 2π; б) π; в) 1; г) 2; д) 0. 10. Если S – внешняя сторона сферы (х – 1)2 + у2 + z2 = 4, то поверхностный интеграл z  2 x dy dz  e dx dz  z dx dy равен: S

а) б) в) г) д)

12π; 32; 24π; 32π; 0.

3.6.2. Задачи Образцы решения задач Задача 1.1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ds t t C x  y ; C : x  e (cos t  sin t ), y  e (cos t  sin t ),  3  t   2 . Решение. Так как линия интегрирования С задана параметрически, то для вычисления интеграла воспользуемся формулой (3.4) 

 f ( x, y)ds   f [ x(t ), y(t )]

( xt ) 2  ( y t ) 2 dt .

C

91

В данном случае    3 ,    2 , xt  e t (cos t  sin t )  e t ( sin t  cos t )  2e t cos t , y t  e t (cos t  sin t )  e t ( sin t  cos t )  2e t sin t ,

следовательно,  /2  /2  /2 4e 2t cos 2 t  4e 2t sin 2 t dt ds 2e t dt dt t     x  y  e t (cos t  sin t )  e t (cos t  sin t )  2e t sin t  sin t  ln tg 2 C  /3  /3  /3



 ln tg

2

 ln tg

 3

 ln 1  ln

1

 ln 3 

 /2



 /3

1 ln 3. 2

3 Задача 1.2. Вычислить криволинейный интеграл первого рода 2  ( x  2 y )ds; C : y  x ,  1  x  1 . C

Решение. Имеем y x  2 x,

1  ( y x ) 2  1  4 x 2 . Применяя формулу (3.5) b

2  f ( x, y )ds   f [ x, y ( x)] 1  ( y x ) dx ,

C

a

получим 1

1

2 2 2  ( x  2 y )ds   ( x  2 x ) 1  4 x dx   ( x  2 | x |) 1  4 x dx  1

C 1

0

0

1

1

 3 x 1  4 x 2 dx   x 1  4 x 2 dx  1

3 10 1  4 x 2 d (1  4 x 2 )   1  4 x 2 d (1  4 x 2 )   80 8 1 1

0

3 2 1 2 53 2 1 1 53 2 53 2  1   (1  4 x 2 ) 3 2   (1  4 x 2 ) 3 2      . 8 3 8 3 4 4 12 12 3 1 0 Задача 2.1. Найти работу силы F  ( x  y )i  ( x  y ) j при перемещении материальной x2 y2   1 от точки А (а, 0) к точке В (–а, 0). a2 b2 силы F  {P( x, y ), Q( x, y )} выражается интегралом

точки вдоль верхней половины эллипса Решение.

Работа

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy ,

W

который в данном случае удобно вычислить по формуле (3.11),

AB

используя параметрическое представление эллипса: x  a cos t , y  b sin t . Верхней половине эллипса соответствует изменение параметра t от 0 до π. Таким образом, имеем 

W   ( x  y )dx  ( x  y )dy   (a cos t  b sin t )( a sin t )  (a cos t  b sin t )b cos t dt  AB

0



  (a 2 cos t sin t  ab sin 2 t  ab cos 2 t  b 2 sin t cos t )dt  0



 b2  a2   b2  a2     sin 2t  ab dt    cos 2t  abt   ab. 2 4 0   0 

Задача 2.2. Найти работу силы F  ( xy  x)i 

x2 j 2

вдоль линии С, заданной

уравнением y  2 x , от точки А (0, 0) к точке В (1, 2). Решение. Применяя формулу (3.12), получим 1

1 1  5 2 x2   1 1 x2 x2 1   5 32  x    1   .  W   ( xy  x)dx  dy   ( x  2 x  x)  dx x x dx        2 2 2 0 2 2 x  0 AB 0 2 

92

Задача 3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл

 xydx  x

2

dy , где С –

C

замкнутый контур, состоящий из частей кривых y  1  x 2 , y  0 . Направление обхода контура С – положительное. Решение. Формула Грина имеет вид  Q P  C P( x, y)dx  Q( x, y)dy  D  x  y dxdy , где D – область, ограниченная контуром С. Q P  x , следовательно, В данном случае P ( x, y )  xy, Q( x, y )  x 2 ,  2 x, y x

 xydx  x

2

C

dy   xdxdy . D

Область D ограничена снизу прямой у = 0, сверху – параболой у = 1 – х2 (1  х  1) , поэтому 1 x 2

1

 x2 x4      0 . xydx x dy xdxdy dx xdy x x dx     ( 1  )   D  0  4  1  2 C 1 1 Задача 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода 1 2 2 2 2 S z 1  x  y d; S : z  2 ( x  y ) (0  z  2) . Решение. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (3.25). 2 2  f ( x, y, z )d   f [ x, y, z ( x, y)] 1  ( z x )  ( z y ) dxdy , 1

1

2

2

S

D

где D – проекция поверхности S на плоскость Оху. В данном случае поверхностью интегрирования S является часть параболоида 1 вращения z  ( x 2  y 2 ) , отсеченная плоскостью z = 2 (рис. 3.17), а область D ограничена 2 окружностью х2 + y2 = 4. z 2

D

z

1 2 (x  y 2 ) 2

у x2  y2  4

х Рис. 3.17 Уравнение окружности получается из уравнения параболоида при z = 2. С учетом того, что z x  x , z y  y , будем иметь 93

1 1 1  x 2  y 2 d   ( x 2  y 2 ) 1  x 2  y 2 1  x 2  y 2 dxdy   ( x 2  y 2 )(1  x 2  y 2 )dxdy. 2 2 D D D Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам по формулам x  r sin  , y  r sin  , находим 1 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 5  z 1  x  y d  2  d  r (1  r )rdr  2  d  (r  r )dr  0 0 0 0 S

 z

1 2  r 4 r 6   1 32  44       d   4    2  . 2 0  4 6 0 2 3 3   Задача 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода  xdydz   y  2 z dxdz  z  2 y dxdy, 2

S

где S – верхняя сторона полусферы: x 2  y 2  z 2  4  z  0 . Решение. Воспользуемся формулой (3.33)  Pdydz  Qdxdz  Rdxdy    R  z x  P  z y  Q dxdy S

D

со знаком «+», т. к. нормаль к выбранной стороне поверхности S образует острый угол с осью Oz . Для полусферы S : x y z  4  x 2  y 2 , z x   , z y   , 2 2 4 x  y 4  x2  y2 поэтому I   xdydz   y  2 z dxdz   z  2 y dxdy  S

 y 2  2 y 4  x 2  y 2  x2 dxdy 2 2    4  x  y  2 y   dxdy  4 . 2 2 2 2 2 2  D D    x  y x y  x  y 4 4 4   Поскольку D (проекция S на плоскость Oxy ) есть круг, то, переходя к полярным координатам, окончательно будем иметь: 2 2 2 dxdy rdr I  4  4  d   8 4  r 2  16 . 4  x2  y2 4  r2 0 0 0 D

Расчетное задание Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода.





1.  3 y  43 x ds; C : y  x  1,  1  x  0. С

2.  yds; C : x  at  sin t , y  a1  cos t , 0  t  2 . C

ds

3. 

C

x  y2  4 2



; C : y  2 x, 0  x  1.



4.  x 2  y 2 ds; C : x  acos t  t sin t , y  asin t  t cos t , 0  t  2 . C

5.  2 x  y ds; C : y  1  x ,  1  x  1. C

6.  xy 2 ds; C : x  a cos t , y  a sin t , 0  t   2 . C

94

x 7.  yds; C : y  a ch , 0  x  a. a С 2

2

 bx   ay  8.       ds; C:xa cos t , y b sin t , 0t 2 .  b  C  a  9.  yds; C : y  2 x, 0 x1. C

10.  x 2  y 2 ds; C : x  a ch t , y  a sh t , 0  t  1. C

Задача 2. Найти работу силы F при перемещении материальной точки вдоль линии С от точки А к точке В.



 





 



1. F  x 2  2 y i  y 2  2 x j ; C : отрезок АВ, А(–4, 0), В(0, 2). 2. F  x 3i  y 3 j; C : x 2  y 2  4 x  0, y  0, А(2, 0), В(0, 2). 3. F  x 2  2 y i  y 2  2 x j; C : y  2 

x2 , А(–4, 0), В(0, 2). 8

y2  1  x  0, y  0, А(1, 0), В(0, 3). 9 5. F  x 2 yi  yj; C : отрезок АВ, А(–1, 0), В(0, 1). 6. F   x  y i  2 xj; C : x 2  y 2  4  y  0 , А(2, 0), В(–2, 0). 7. F  xy  y 2 i  xj; C : y  2 x 2 , А(0, 0), В(1, 2). 4. F   x  y i   x  y  j; C : x 2 

 8. F  x

 i  x



x2 y2   1( y  0), А(3, 0), В(–3, 0). 9 4 9. F   yi  xj; C : y  x 3 , А(0, 0), В(2, 8). 10. F  x 2 j; C : x 2  y 2  9 x  0, y  0 , А(3, 0), В(0, 3). 2

 y2

2

 y 2 j; C :

Задача 3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл (направление обхода контура С – положительное). 1.  x 2  y dx  y 2  2 x dy; C : y  x 2  1, y  2.



С















2.  x 2  y 2 dx  x 2  y 2 dy; C : y  a 2  x 2 , y  0. C

y 3.  dx  2 ln xdx; C : 2 x  y  4, x  1, y  0. C x 4.   x  y  dx   x  y  dy; C : y  sin x, y  0, 0  x   . 2

2

C

dx dy  ; C : y  x, x  2, y  1. 2 x C y

5. 

6.  x 2 ydx  xy 2 dy; C : x 2  y 2  a 2 . C

7.   x  y  dx  x 2  y 2 dy; C : y  0, x  0, x  y  1. 2

C

8.  e x 1  cos y dx  e x 1  sin y dy; C : y  0, x  1, y  x. C

95









9.  x  y 3 dx  y  x 3 dy; C : x 2  y 2  a 2 . C

10.  xy 2 dx  x 2 ydy; C : y 2  x, y  x 2 . C

Задача 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода.

1.

S : x  y  z  1 x  0, y  0, z  0 .

 yzd; S

2.

 x  z d;

S : x 2  y 2  z 2  a 2  z  0 .

S

3.

x 2  y 2 d; S : x 2  y 2  z 2 0  z  1.

 S

d

4.  S

1  x  y 2

; S : x  y  z  1 x  0, y  0, z  0 .





5.  x 2  y 2  z 2 d; S : x 2  y 2  z 2  1 z  0. S

6.  S

7.

d 1 ; S : z  x2  y2 1  2z 2



 xd;

 0  z  1.

S : z  1 x2  y2 .

S

8.

d; S : x 2  y 2  z 2 0  z  a .

 z

2



1  4 x 2  4 y 2 d; S : z  1  x 2  y 2 0  z  1.

S

9.

S

10.   x  y d; S : x  y  z  a  x  0, y  0, z  0 . S

Задача 5. Вычислить интеграл

 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy,

где S – часть поверхности S1,

S

отсеченная плоскостью Р (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).









z  0,

P : z  1.

1.  x  xy 2 dydz  y  yx 2 dxdz  z  3dxdy; S

S1 : x  y  z 2

2

2

2.  xdydz   y  z dxdz z  y dxdy; S

S1 : x  y  z  9, P : z  0  z  0. 2

2

2

3.  xydydz  x 2 dxdz  3dxdy; S

S1 : x  y  z 2



2



2

z  0,



P : z  1.



S

S1 : x 2  y 2  z 2  9, P : z  0  z  0 .

 xzdydz  yzdxdz  z S

2



 1 dxdy;

S1 : x 2  y 2  z 2  z  0 , P : z  4.

96

S

S1 : x 2  y 2  z 2  4, P : z  0  z  0. 7.  y 2 xdydz  yx 2 dxdz  dxdy; S

S1 : x 2  y 2  z 2  z  0 , P : z  5. 8.   x  y dydz  x  y dxdz  zdxdy; S

4.  x  xy 2 dydz  y  yx 2 dxdz  zdxdy;

5.

6.   x  y dydz   y  x dxdz  zdxdy;

S1 : x 2  y 2  z 2  1, P : z  0  z  0. 9.  xyzdydz  x 2 zdxdz  3dxdy; S

S1 : x 2  y 2  z 2  z  0 , P : z  2.





10.  xdydz  y  yz dxdz  z  y 2 dxdy; S

S1 : x 2  y 2  z 2  1, P : z  0  z  0.

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u, если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определенное значение), поле давлений, поле скоростей и т. д. Поле величины u называется стационарным, если u не зависит от времени t. В противном случае поле называется нестационарным. Таким образом, величина u есть функция точки М и времени t. В физических задачах приходится иметь дело как со скалярными, так и с векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярное и векторное. Для простоты будем считать их стационарными.

4.1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент скалярного поля Пусть D – область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в области D задано скалярное поле, если в D задана скалярная функция z  f  x, y  ( u  f  x, y, z  ). Если, например, область D заполнена жидкостью или газом, и f  x, y, z  обозначает температуру в точке М(x,y,z), то говорят, что задано скалярное поле температур; если f  x, y, z  – давление, то задано скалярное поле давлений и т. д. Важнейшими характеристиками скалярного поля являются производная по направлению и градиент. Рассмотрим функцию z  f  x, y  , определенную в некоторой окрестности точки М(х,у), и произвольный вектор s , выходящий из точки М (рис. 4.1). Для характеристики изменения функции (поля) в точке М (х,у) в направлении вектора s введем понятие производной по направлению. Для этого через точку М проведем прямую L в направлении вектора s . На прямой L возьмем точку М1(х + Δх, у + Δу) на расстоянии Δs от точки М. Таким образом, s  x   y  . Функция z  f ( x, y ) получит при этом приращение 2

2

 z  f  x  x , y  y   f  x , y  .

у

s

L

М1 у О

β α М х

х+Δх

х

Рис. 4.1

z при Δs→0, если он существует, называется s производной функции (скалярного поля) z  f  x, y  в точке М (х,у) по направлению вектора s и обозначается z , т. е. s z z  lim .  s  0 s s Определение 4.1.1. Предел отношения

Производная z – скорость изменения функции (скалярного поля) вдоль выбранного s направления. 97

Предположим теперь, что функция z = f(x,y) дифференцируема в точке М(х,у). Тогда ее полное приращение в этой точке в направлении вектора s можно записать в виде

z  f x  x, y x  f y  x, y y   1 x  1 y , где α1 и β1 – бесконечно малые функции при Δs→0. Разделим обе части этого равенства на Δs. Учитывая, что x  s cos  , y  s cos  (рис. 4.1), получим z  f x  x, y  cos   f y  x, y  cos    1 cos   1 cos  . s Переходя к пределу при Δs→0, получаем формулу для производной по направлению z z z  cos   cos  . y s x

(4.1)

Из формулы (4.1) следует, что производная по направлению вектора s является линейной комбинацией частных производных, причем направляющие косинусы вектора s (cos α, cos β) играют роль весовых множителей, показывающих вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.  z z z z В частности,  при α = 0,   ;  при    , β = 0. Отсюда следует, s x 2 s y 2 z z что частные производные и – производные в направлении осей Ох и Оу x y соответственно. Пример 4.1.2. Вычислить производную скалярного поля z=x2+y2x в точке М (1,2) по направлению вектора s  MN , где N – точка с координатами (3,0). Решение. Найдем направляющие косинусы вектора MN : MN  {2,2}  2i  2 j ; MN  2 2   2   8  2 2 , cos  2

2 2 2



2 1 1 , cos    . 2 2 2 2

Вычислим частные производные функции в точке М: f x  x, y   2 x  y 2 , f y x, y   2 yx ,

откуда f x 1,2  6 , f y 1,2  4 . По формуле (4.1) получим

z 1 1 1  6  4  2  2. s 2 2 2 Определение 4.1.2. Градиентом функции (скалярного поля) z = f(x,y) в точке М(х,у) z называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным x  z и . y  z z  z z Обозначение: grad z   ,   i  j. y  x y  x Используя формулу (4.1) и учитывая, что s  { s cos  , s cos  } , найдем скалярное произведение векторов grad z и s :

98

grad z, s   xz s cos   yz s cos   s zs . С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем grad z , s  grad z  s cos  ,





(4.2)

(4.3)

где φ – угол между векторами s и grad z. Сравнивая формулы (4.2) и (4.3), получаем z  grad z  cos  . (4.4) s Из равенства (4.4) следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при cos φ=1 (φ=0), т. е. когда направление вектора s совпадает с z 2 2  grad z   z x   z y  . направлением grad z. При этом s Таким образом, градиент функции z = f(x,y) в точке М(х,у) характеризует направление и величину наибольшей скорости возрастания этой функции в данной точке. u по направлению вектора s для функции Аналогично определяются производная s трех переменных u = f(x,y,z) и выводится формула u u u u  cos   cos   cos  , s x y z где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора s . Градиентом функции u = f (x,y,z)  u u u  называется вектор grad u   , , . Связь между градиентом и производной по  x y z  направлению устанавливается формулой

u  grad u  cos  , s

  ( s,  grad u ),

вывод которой аналогичен выводу формулы (4.4). Аналогичным образом определяются градиент и производная по направлению и для функции n переменных (n – мерного скалярного поля, n  3).

4.2. Векторное поле 4.2.1. Понятие векторного поля. Векторные линии Аналогично с понятием скалярного поля вводится понятие векторного поля. Говорят, что в плоской или пространственной области D задано векторное поле, если в D задана векторная функция a  a (M ), т. е. каждой точке М из D поставлен в соответствие вектор a. Примеры векторных полей: 1. В пространстве, окружающем Землю, существует гравитационное векторное поле: на материальную точку, внесенную в любую точку М указанного пространства, действует сила тяжести P (M ). 2. Вокруг тела, заряженного электричеством, наблюдается векторное поле напряженности, которое проявляется при внесении в любую точку пространства, окружающего тело, заряженной частицы. 3. Пусть некоторая пространственная область D занята текущей жидкостью. Если любая частица жидкости, протекая через данную точку М области D, имеет один и тот же 99

вектор скорости a (М ), то в области D имеет место гидродинамическое поле a (М ) скоростей текущей жидкости. Если в пространственной области D введена система координат Oxyz, то задание пространственного векторного поля a  a (M ) равносильно заданию трех скалярных функций P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z), являющихся проекциями вектора a (М ) на оси координат: a ( M )  P ( x, y , z ) i  Q ( x , y , z ) j  R ( x, y , z ) k . Здесь x, y, z – координаты точки M  D. Если векторное поле a  a (M ) плоское (D – область на плоскости Oxy), то a ( M )  P ( x , y ) i  Q ( x , y ) j. Пример 4.2.1. Найти векторное поле напряженности, создаваемое точечным положительным зарядом величиной q. Решение. В пространстве зафиксируем систему координат Oxyz и поместим заряд в точку О. В каждой точке M (x, y, z) пространства на единичный положительный заряд действует отталкивающая сила E , которая называется напряженностью электростатического поля. Вектор E направлен вдоль линии, соединяющей заряды (рис. 4.2). Согласно закону Кулона | E | q / r 2 , где r  OM  x 2  y 2  z 2 – расстояние между зарядами. Найдем проекции вектора E на координатные оси. Заметим, что векторы E и OM  x, y, z коллинеарны и сонаправлены, следовательно, E    OM , где   0 . Отсюда



E OM



q  qx qy qz  , а тогда E    OM  x, y, z   3 , 3 , 3  – искомое векторное поле. 3 r r r r  z

E

a (M ) M (x, y, z)

O

dr

у

M (x, y, z)

x

Рис. 4.2

Рис. 4.3

Определение 4.2.1. Векторной линией поля a  a (M ) называется линия, в каждой точке М которой направление касательной совпадает с направлением соответствующего вектора поля (рис. 4.3). В силу этого определения вектор d r  dx, dy, dz, направленный по касательной к

векторной линии поля a  a (M ) в точке М, коллинеарен вектору a ( M )  P, Q, R в указанной точке. Условие коллинеарности этих двух векторов, которое записывается в форме

100

dx dy dz   , P ( x , y , z ) Q ( x , y , z ) R ( x, y , z )

(4.5)

дает систему двух дифференциальных уравнений для определения векторных линий поля a  a (M ) . Методы решения систем вида (4.5) будут рассмотрены в главе 6. Векторные линии характеризуют поле геометрически и дают определенную информацию о структуре этого поля. Так, если a  a (M ) поле скоростей текущей жидкости, то в этом поле векторные линии, очевидно, будут являться траекториями частиц жидкости; называются они в этом случае линиями тока. В силовых полях векторные линии называются силовыми линиями.

4.2.2. Поток векторного поля Пусть S – гладкая или кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, n – единичная нормаль к поверхности S. Выберем одну из сторон поверхности S, т. е. одно из двух возможных направлений нормали n . Определение 4.2.2. Потоком векторного поля a  a (M ) через поверхность S в направлении нормали n называется число K   (a, n) d .

(4.6)

S

Поскольку (a, n)  a  n cos(a,  n)  a  cos(a,  n)  an , где an – проекция вектора a на направление нормали n , то формулу (4.6) можно также записать в виде K   a n d .

(4.7)

S

Обозначим через α, β, γ углы, составленные нормалью n с осями координат. Выражая в (4.6) скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов, получаем K   ( P cos   Q cos   R cos  ) d , (4.8) S

или K   Pdy dz Qdx dz  Rdx dy.

(4.9)

S

Как было установлено в п. 3.2.2, если a – скорость течения жидкости, то интеграл K   (a, n) d определяет количество жидкости,

a

S

протекающей за единицу времени через поверхность S в направлении нормали n (физический смысл потока). Особый интерес представляет тот случай, когда поверхность S замкнута и ограничивает некоторую пространственную область Т. В этом случае за направление вектора n обычно берут направление внешней нормали (рис. 4.4), а формулу (4.6) записывают в виде

n

a

n Т

S

Рис. 4.4

K   ( a, n) d . S

101

В точках, где векторные линии выходят из области Т (жидкость вытекает), внешняя нормаль образует с вектором a острый угол и скалярное произведение ( a , n ) > 0; в точках же поверхности, где векторные линии входят в область Т (жидкость втекает), внешняя нормаль составляет с вектором a тупой угол, поэтому ( a , n ) < 0. Отсюда следует, что поток вектора, определяемый интегралом (4.6), дает разность между количествами жидкости, вытекающей из области Т и втекающей в нее за единицу времени. Пусть поток К > 0; это значит, что из области Т вытекает больше жидкости, чем втекает. Если жидкость предполагать несжимаемой, то такое возможно только тогда, когда внутри области Т существуют источники, питающие поток. Наоборот, если поток К < 0, то количество вытекающей жидкости меньше количества жидкости втекающей. Следовательно, внутри Т имеются стоки, поглощающие излишек жидкости. Если в области Т нет ни источников, ни стоков, то количества жидкости вытекающей и втекающей в Т равны и поток К = 0. Пример 4.2.2. Найти поток векторного поля Е (см. пример 4.2.1) через сферу x  y 2  z 2  R 2 в направлении внешней нормали. 2

 E n d ,

Решение. По формуле (4.7) имеем:

где

En

– проекция вектора

S

напряженности Е на направление внешней нормали к сфере S. Так как направления q векторов Е и n совпадают, то E n = Е , причем E  2 на поверхности S. Следовательно, R

K   S

q R

d  2

q R

d  2  S

q R

2

,

где  = 4 R – площадь сферы. Таким образом, K  4q . 2

4.2.3. Дивергенция векторного поля Рассмотрим векторное поле a  a( M ) и некоторую замкнутую поверхность S в этом поле. Допустим, что поток вектора через внешнюю сторону поверхности S положителен:

 (a , n )d  0 . S

Если данное векторное поле рассматривать как поле скоростей движущейся жидкости, то положительность потока означает, что количество жидкости, вытекающей из области Т, ограниченной поверхностью S, больше, чем количество жидкости, втекающей в эту область. Иначе говоря, внутри объема должны находиться источники поля, интенсивность (мощность) которых характеризуется величиной потока векторного поля через поверхность S. Аналогично обстоит дело и когда поток векторного поля отрицателен; в этом случае в области Т должны находиться стоки. Однако возможно, что в обоих случаях в области Т находятся и источники, и стоки, но при положительности потока общая интенсивность источников превосходит интенсивность стоков, а при отрицательности потока дело обстоит наоборот. Поэтому величина потока характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно. Более точной характеристикой является средняя интенсивность, которая определяется отношением потока вектора через поверхность S к объему V области Т, ограниченной этой поверхностью:

 (a , n )d s

V 102

.

(4.10)

В поле скоростей текущей жидкости при положительности потока это отношение дает среднее количество жидкости, поступающей из единицы объема за единицу времени. Если поток отрицателен, то отношение определяет количество жидкости, поглощаемой в среднем единицей объема за единицу времени. Чтобы получить характеристику интенсивности источника (стока) в точке М0  Т, будем в (4.10) стягивать поверхность S в точку М0 . Определение 4.2.3. Дивергенцией, или расходимостью, векторного поля а  аΜ  в точке М0 называется предел отношения (4.10) при условии, что поверхность S стягивается в точку М0 (S М0). Обозначается символом div аM 0  . Таким образом, по определению

div аM 0   lim

S M 0

 a, nd S

V

.

(4.11)

Дивергенция векторного поля – скалярная величина. Она образует скалярное поле в данном векторном поле. Имея в виду физическое значение потока векторного поля, можно сказать: если div а M 0  > 0, то точка М0 представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, а если div а M 0  < 0, то точка М0 – сток, поглощающий жидкость. При этом число  div аM 0   характеризует интенсивность (мощность) источника или стока. В точках поля с положительной дивергенцией векторные линии начинаются, а в точках поля с отрицательной дивергенцией – кончаются. В электростатическом или магнитном поле источниками будут, соответственно, положительные заряды или северный полюс магнита, а стоки – отрицательные заряды или южный полюс магнита. Получим формулу, удобную для вычисления дивергенции векторного поля. С этой целью преобразуем интеграл в правой части формулы (4.11). Предполагая условия теоремы 3.2.1 выполненными, согласно формуле Остроградского-Гаусса (3.34) будем иметь:

Q

 a, n d   P cos   Q cos   R cos  d    x  y  z dxdydz .  S S T   P

R 

Далее, используя теорему о среднем для тройного интеграла, получаем  P

Q

R 

 P

Q

R 

  x  y  z dxdydz   x  y  z  T

V , M1

где М1 – некоторая точка области Т. Отсюда

1 V

 a, n d S

 P Q R   . =     x  y  z   M1

Если поверхность S стягивается в точку М0 , то М1  М0 , а тогда 1 S  0 V

div a M 0   lim

 a, n d  s

 P Q R   P Q R      .     lim  M 1  M 0 x y z  M  x y z  M  1 0

Таким образом, в произвольной точке М (x,y,z) векторного поля а  аM  имеем:

div аM  =

 Q R   . x y z

(4.12) 103

Пример 4.2.3. Найти дивергенцию вектора напряженности Е электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q, помещенным в начало координат. Решение. Проекции вектора Е определяются следующими формулами (см. пример 4.2.1.): E x  qx / r 3 , E y  qy / r 3 , E z  qz / r 3 , где r  x 2  y 2  z 2 .

Для вычисления дивергенции воспользуемся формулой (4.12). Имеем: r r 3  3 xr 2  E x E x r x 1 r 2  3x 2  x , , а так как   2 x  , то q q x 2 x 2  y 2  z 2 x r x r5 r6

Аналогично, E y y

q

r 2  3 y 2 E z r 2  3z 2  q . , z r5 r5

Применяя формулу (4.12), получим: E x E y E z 3r 2  3x 2  y 2  z 2  div E     q 0, x y z r5 если r  0 . Итак, дивергенция вектора Е равна нулю всюду за исключением начала координат, где помещен заряд. Чтобы найти дивергенцию в точке, где находится заряд, воспользуемся формулой (4.11), взяв в качестве S сферу радиуса R c центром в начале координат. Как было установлено при решении примера 4.2.2, поток  ( E , n)d  4q , следовательно, S

 ( E , n)d

4q   . 4 3 V R 3 Используя выражение для дивергенции (4.12) и понятие потока вектора через поверхность (4.6), формулу Остроградского-Гаусса (3.34) можно записать в более компактной форме (4.13)  (a, n)d   diva dV . div E (O)  lim

S

R 0

 lim R 0

S

T

Формула (4.13) означает, что поток векторного поля a  a(M ) через замкнутую поверхность S в направлении ее внешней нормали равен тройному интегралу по области T, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля.

4.2.4. Циркуляция векторного поля Пусть

в

некоторой

области

D

задано

векторное

поле

a ( M )  P( x, y, z )i 

+ Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k и пусть L – гладкая или кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой области. Выберем на L одно из двух направлений движения и обозначим через d r  dx, dy, dz вектор, имеющий в каждой точке кривой L направление, совпадающее с направлением движения по этой кривой. 104

Определение 4.2.4. Линейным интегралом векторного поля a  a (M ) вдоль кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

 (a, d r )   Pdx  Qdy  Rdz . L

(4.14)

L

В том случае, когда a  a(M ) – силовое поле, линейный интеграл (4.14) равен работе сил поля при перемещении точки вдоль L (см. п. 3.1.3). Особый интерес представляет случай, когда кривая L замкнута. Определение 4.2.4. Циркуляцией векторного поля a  a(M ) вдоль замкнутой линии L называется линейный интеграл

 Pdx  Qdy  Rdz   (a, d r ) .

L

(4.15)

L

Пример 4.2.4. Пусть стационарное вращательное движение жидкости вокруг оси Oz задано вектором угловой скорости   0,0,   (рис. 4.5). Рассмотрим в пространстве, заполненном вращающейся жидкостью, векторное поле a ( M )    r линейной скорости

жидкости (здесь r  xi  y j  0  k – радиусвектор частицы жидкости, находящейся в точке M(x, y, z) пространства относительно центра ее вращения). Вычислим циркуляцию Г поля a  a(M ) вдоль окружности L: x  R cos  , y  R sin  , z  c (с = const, 0    2 ).

z



a (M )

r

c

M(x, y, z) O y

x

Рис. 4.5

Сначала найдем векторное поле a (M ) линейной скорости вращающейся жидкости:

i j k a ( M )    r  0 0    y i  xj  0  k . x y 0 2

Теперь по формуле (4.15) вычисляем циркуляцию Г =   ydx  xdy    (R 2 sin 2  + 0

L

+ R 2 cos 2  )d  2R 2  2S , где S – площадь круга, ограниченного окружностью L. Данный пример показывает, что циркуляция линейной скорости жидкости, вращающейся вокруг оси, пропорциональна угловой скорости  вращения и площади S круга, охватываемого при этом вращении. Поэтому величина Г   (a, d r ) может служить L

мерой мощности потока жидкости, движущейся вдоль окружности L с линейной скоростью a . Г Удельная циркуляция  2 (или средняя мощность рассматриваемого потока) S характеризует интенсивность вращательного движения жидкости и является мерой завихренности потока.

105

4.2.5. Ротор векторного поля Определение 4.2.6. Ротором (или вихрем) векторного поля a  a (M ) называется вектор  R Q   P R   Q P  i   k ,   rot a( M )     j    y z   z x   x y 

где P, Q, R – проекции вектора a на оси координат. Для вычисления вектора rot a можно использовать символический определитель i

j

k

   . x y z P Q R С помощью понятий ротора и циркуляции формула Стокса rot a 

 R

Q 

P

R

 Q

P 



   Pdx  Qdy  Rdz    y  z  cos    z  x  cos    x  y  cos  d     L S 

записывается в компактной векторной форме

 (a, d r )   (rot a, n)d ,

L

S

или

 (a, d r )   rot n ad ,

L

(4.16)

S

где rot n a – проекция вектора rot a на направление нормали n . Таким образом, циркуляция векторного поля a  a (M ) вдоль замкнутого контура L равна потоку вектора rot a через поверхность S, ограниченную контуром L. Пример 4.2.5. Вычислить ротор поля линейных скоростей a  yi  xj жидкости, вращающейся вокруг оси Oz . Решение. Используя определение ротора, получаем i j k          rot a   y z i  x z j  x y k  0  i  0  j  2 k  2k  2 , x y z  y 0 x 0  y x  y x 0 т. е. ротор заданного векторного поля равен удвоенной угловой скорости вращения жидкости. Данное выше определение ротора зависит от выбора rot a координатной системы. Дадим теперь инвариантное, т. е. не зависящее от выбора системы координат, определение n ротора поля. Пусть n – произвольный фиксированный единичный вектор, D – плоская фигура с границей L, M содержащая точку M и перпендикулярная вектору n D (рис. 4.6). L P Применяя теорему о среднем к интегралу в правой части формулы (4.16), будем иметь Рис. 4.6

106

 (a, d r )  S  rot n a( M 1 ) ,

L

или

rot n a ( M 1 ) 

1  ( a, d r ) , SL

(4.17)

где M 1  D , а S – площадь фигуры D. Переходя в (4.17) к пределу при условии, что контур L стягивается в точку M ( L  M ), найдем проекцию вектора rot a на направление n в точке M:

rot n a ( M )  lim

LM

1  (a , dr ). SL

(4.18)

Правая часть равенства (4.18) не зависит от выбора системы координат, следовательно, то же самое справедливо и для проекции вектора rot a ( М ) на произвольное направление n . Тогда и сам вектор rot a не зависит от выбора системы координат, поскольку для определения вектора достаточно знать его проекции на три взаимно перпендикулярные направления. Таким образом, вектор rot a – инвариантная характеристика векторного поля. Дадим физическое истолкование ротора векторного поля. Пусть a = a (М ) – векторное поле скоростей текущей жидкости. Тогда величина

1  (a , dr ) в известном смысле SL

характеризует интенсивность движения жидкости вдоль замкнутого контура L (см. пример 4.2.4). В свою очередь, предел (4.18) (т. е. rot n a ) будет характеризовать интенсивность вращательного движения жидкости в точке М в данной плоскости Ρ. Очевидно, в данной точке М предел (4.18) будет иметь наибольшее значение для такой плоскости Ρ, нормаль n к которой совпадает по направлению с вектором rot a . В такой плоскости Ρ интенсивность вращательного движения жидкости в точке М будет наибольшей. Таким образом, всякое векторное поле a = a ( M ) порождает новое векторное поле – поле ротора исходного поля, причем вектор rot a в данной точке М векторного поля a = a ( M ) характеризует тенденцию к вращению, или завихренность поля a ( M ) в рассматриваемой точке М.

4.2.6. Простейшие векторные поля Из всего многообразия векторных полей рассмотрим три типа полей, отличающихся наиболее простой структурой и особенно часто встречающихся в приложениях: потенциальное, соленоидальное и гармоническое векторные поля. Определение 4.2.7. Векторное поле a = a ( M ) , заданное в области D, называется потенциальным, если существует такая скалярная функция u  f ( М ) , что во всех точках области D будет выполняться равенство

a ( М )  grad f ( М ) .

(4.19)

Функция u  f ( M ) называется потенциалом векторного поля (для силовых полей функция u обычно называется силовой функцией, а потенциалом называется функция – u ). Пусть a = P, Q, R, тогда из (4.19) следуют равенства:

P

u u , Q , y x

R

u , z

(4.20)

107

в силу чего потенциальное векторное поле часто определяется как поле вектора, координаты которого равны соответствующим частным производным некоторой скалярной функции (потенциала). В потенциальном поле rot a = rot grad u  0 . Действительно,

R Q   u    u   2 u  2 u          0, rot x a = y z y  z  z  y  zy yz если смешанные производные непрерывны. Аналогично, rot y a  rot z a  0 . Если D – односвязная область, то можно доказать и обратное: если rot a ( M ) =0, то векторное поле a = a ( M ) будет потенциальным. В связи с этим потенциальное поле называют также безвихревым полем. Далее, циркуляция потенциального векторного поля a = a ( M ) по любому замкнутому контуру L, принадлежащему односвязной области D, в которой задано это поле, всегда равна нулю, так как в силу (4.16) для такого поля имеем

 (a , dr )    rot n a d  0.

L

(4.21)

S

Для силового потенциального поля, заданного в односвязной области D, равенство (4.21) означает, что работа сил поля вдоль кривой АВ  D не зависит от формы этой кривой, а определяется только положением точек A и B. Как следует из формул (4.20), потенциальное векторное поле a = a (M ) полностью определяется скалярной функцией u  f (М ) . Определение 4.2.8. Векторное поле a = a (M ) , заданное в области D, называется соленоидальным, если во всех точках этой области выполняется условие div a ( M )  0. Из этого определения следует, что в гидродинамической интерпретации соленоидальное векторное поле – это поле без источников и стоков, а в электростатической интерпретации – поле без зарядов. Если поле соленоидальное, а пространственная область D – односвязная, то поток вектора поля через любую замкнутую поверхность S, лежащую в D, равен нулю. Действительно, согласно формуле Остроградского-Гаусса (4.13) имеем

 (a , n )d   div a dV  0 . S

T

Определение 4.2.9. Векторное поле a = a ( M ) , заданное в области D, называется гармоническим, если оно одновременно и потенциальное, и соленоидальное, т. е. если a ( M )  grad u ( M ) , div a ( M )  0 . (4.22)

Из (4.22) следует, что в гармоническом поле

div grad u  0 . Учитывая, что

 u u u  grad u =  , , , по формуле (4.12) найдем  x y z  div grad u 

  u    u    u   2 u  2 u  2 u .          x  x  y  y  z  z  x 2 y 2 z 2

Следовательно, в каждой точке области D имеет место равенство  2u  2u  2u    0. x 2 y 2 z 2 108

(4.23)

Равенство (4.23) называется уравнением Лапласа, а функции, ему удовлетворяющие, – гармоническими функциями. Таким образом, гармоническое векторное поле полностью определяется своим потенциалом, являющимся гармонической функцией. С помощью уравнения Лапласа (4.23) описываются стационарные процессы различной физической природы, например: установившееся распределение теплоты, электростатическое поле точечных зарядов, движение несжимаемой жидкости внутри некоторой области и т. д.

4.2.7. Оператор Гамильтона Основные понятия теория поля: градиент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»:     i j  k. x y z    , Оператор  будем рассматривать как символический вектор с координатами и , x y z а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры. При этом под произведением    , и на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции x y z по x, y и z. 1. Пусть u (x,y,z) – скалярная функция. Тогда произведение оператора  на функцию u дает градиент этой функции:     u u u u   i  j  k u  i j k  grad u . y z  x y z  x 2. Пусть a ( M )  Pi  Qj  Rk – вектор-функция. Тогда скалярное произведение оператора  на вектор-функцию a (M ) дает дивергенцию этой функции:     P Q R   a ( M )   i    j  k   Pi  Qj  Rk    div a ( M ) . y z  x y z  x 3. Векторное произведение оператора  на вектор-функцию a ( M ) дает ротор этой функции: i j k     R Q   P R   Q P  i   k  rot a ( M ) .   a (M )      j x y z  y z   z x   x y  P Q R В приложениях часто встречаются так называемые операции второго порядка, т. е. попарные комбинации трех указанных выше операций. Рассмотрим наиболее важные из них. 10. div rot a ( M )  0 . Действительно, div rot a ( M ) 

  R Q    P R    Q P           x  y z  y  z x  z  x y 

 2 R  2Q  2 P  2 R  2Q  2 P       0 yx zx zy xy xz yz

109

в силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот же результат легко получить с помощью оператора  : div rot a ( M )    (  a )  0 , так как здесь имеем смешанное произведение трех «векторов»:  ,  , a , два из которых одинаковы. Такое произведение, очевидно, равно нулю. 20. rot grad u  0 . Действительно, в пункте 4.2.6 было показано, что rot a  0 , если a  grad u . Этот же результат легко получить с помощью оператора  : rot grad u    (u )  (  )u  0 , так как векторное произведение одинаковых «векторов» равно нулю.  2u  2u  2u 30. div grad u  2  2  2 (см. пункт 4.2.6). Правая часть этого равенства x y z символически обозначается так:  2  2u  2u  2u 2 2  u  2  2  2 или u   2  2  2 u . x y z y z   x 2 2 2   называется оператором Лапласа. Оператор Лапласа Δ x 2 y 2 z 2 естественно рассматривать как скалярный квадрат «вектора»  . В самом деле,

Символ



2

2

2

2 2 2                     2  2  2   , поэтому div grad u  u   2 u . x y z  x   y   z  2

4.3. Основные термины Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Векторное поле. Векторные линии. Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Потенциал векторного поля. Потенциальное поле. Соленоидальное поле. Гармоническое поле.

4.4. Вопросы для самоконтроля 1. Как определяется скалярное поле на плоскости и в пространстве? 2. Что характеризует производная функции по заданному направлению? 3. Как найти направление наибольшей скорости изменения функции в данной точке? 4. Чему равна производная функции по направлению ее градиента? 5. В каком направлении скорость изменения функции равна нулю? 6. Как определяется векторное поле на плоскости и в пространстве? Приведите примеры векторных полей. 7. Что называется потоком векторного поля и каков его физический смысл? 110

8. Как определяется и вычисляется дивергенция векторного поля в данной точке? Что она характеризует? 4. Каков физический смысл циркуляции силового поля? 5. Как найти ротор векторного поля и что он характеризует? 6. Что означает знак (плюс или минус) потока через замкнутую поверхность в поле скоростей движущейся жидкости? 7. В каком векторном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю? 8. Всякое векторное поле a (M ) порождает новое векторное поле rot a ( M ) . Будет ли это поле соленоидальным? 9. Если a (M ) = grad u ( M ) , то чему равен rot a ( M ) ? 10. В каком векторном поле циркуляция вдоль любого замкнутого контура равна нулю? 11. Какому уравнению удовлетворяет потенциал гармонического поля?

4.5. Задачи для самостоятельного решения Задание 1. Найти производную скалярного поля по направлению вектора S в точке M 0





Ответы

1. z  ln 3x 2  5 y 2 ; S  4i  3 j , M 0 (1, 1)

3 20

2. z  arctg( xy) ; S  12i  5 j , M 0 (1,  2)

 29 65

3. u  ln x  y  z ; S  2i  2 j  k , M 0 (1, 3, 2)

5 12

4. u  x  arctg( y  z ) ; S  18i  9 j  18k , M 0 (1, 1, 1)

17 15

Задание 2. Найти градиент скалярного поля в точке M 0

Ответы 1  1  ,    36 27 



2



2

1. z 

1 ; M 0 (2, 3) xy 2

2. z  arcsin

 2 1   ,   3 2 3

x2 ; M 0 (1, 2) y

z2  1 ; M 0 (0, 1, 3) 2  1 3 y2 z3  , 2, 4. u  ; M 0   2 x 2   Задание 3. Найти угол между градиентами скалярных полей u ( x, y, z ) и v( x, y, z ) в точке M 0

0,1,2

xy 2 ; M 0 (0, 2, 1) z4  1 1 1  yz 2 2. u  , v  x 2  y 2  3z 2 ; M 0  , ,  x  2 2 3 Задание 4. Найти поток векторного поля a  a ( M ) через поверхность S (нормаль к поверхности S образует острый угол с осью Oz )

 4

1. a  ( x  2 y )i  zj  (3 y  z )k ; S : z  1  x 2  y 2 ( x  0, y  0)

(  2) 3

2. a  2 xi  3 yj  4 zk ; S : 2 x  y  z  1 ( x  0, y  0, z  0)

34

3. u  x 2  yz 

1. u  2 x  yz  z 3 , v 

3. a  x i  y j  z k ; S : x  y  z 2

2

2

2

2

2

(0  z  h)

 3 3 3 3 9 2 , ,   2 2   2 Ответы

 Ответы

 h 4 2 111

Задание 5. Найти поток векторного поля a  a ( M ) через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали 1. a  yi  zj  xk ; S : x  y  z  a , x  0 , y  0 , z  0

Ответы 0

2. a  ( x  y )i  ( y  z ) j  ( z  x )k ; S : x  0 , x  1 , y  0 , y  1, z  0 , z  1

3

3. a  ( x 3  x)i  ( y 3  2 y ) j  ( z 3  3z )k ; S : x 2  y 2  z 2  1

12 5

2

2

2

2

2

2

4. a  ( x  yz )i  ( y  xz ) j  ( z  xy )k ; S : x  y  z  1 , x2  y2  z 2 ( z  0 ) Задание 6. Найти дивергенцию векторного поля a  a ( M ) в точке M0 2

2

2

2

2

2

1. a  2 xy 2i  yzj  3z 2 k ; M 0 (1,  2, 1) 2. a 

 xi  yj  zk x2  y2

; M 0 (3, 4, 5)

xi  yj  zk

; M 0 (1, 2,  2) x2  y2  z 2 Задание 7. Найти циркуляцию векторного поля a  a ( M ) вдоль контура С в направлении, соответствующем возрастанию параметра t  yi  xj  zk 1. a  2 ; C : x  R cos t , y  R sin t , z  0 x  y2  z2 3. a 

 4 Ответы

13 18 125 23

Ответы 2

2. a  y 2 z 2i  x 2 z 2 j  x 2 y 2 k ; C : x  2 cos t , y  2 sin t , z  2 cos 3t

0

3. a   yzi  xzj  xyk ; C : x  a cos t , y  a sin t , z  bt Задание 8. Найти ротор векторного поля a  a ( M ) в точке M 0 x 1. a  2 x 2 yi  yz 2 j  k ; M 0 (1, 1, 2) y

2 2 a 2b Ответы

2. a  x 2 yzi  xy 2 zj  xyz 2 k ; M 0 (0, 1, 1) 3. a  x 2  y 2  z 2 ( xi  yj  zk ) ; M 0 (1,  2,  3)

5,  1,  2

0,  1, 1 0, 0, 0

4.6. Итоговый контроль Изучив тему, студент должен: знать:  определения скалярного поля и его основных характеристик (производная по направлению, градиент);  связь между градиентом и производной по направлению;  определения векторного поля и его основных характеристик (поток, дивергенция, циркуляция, ротор);  физический смысл потока, дивергенции, циркуляции, ротора векторного поля;  формулы Стокса и Остроградского-Гаусса в векторной форме;  простейшие векторные поля (потенциальное, соленоидальное, гармоническое) и их основные свойства; уметь:  вычислять производную по направлению и градиент скалярного поля; 112

 вычислять поток, дивергенцию, циркуляцию и ротор векторного поля;  применять формулу Остроградского-Гаусса для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность;  применять формулу Стокса для вычисления циркуляции векторного поля; иметь представление:  о конкретных физических полях;  об операторе Гамильтона и правилах действий с ним.

4.6.1. Тест 1. Градиент скалярного поля U  x 3  y 3  z 3  3xyz перпендикулярен оси O z в точках, координаты которых удовлетворяют равенству: а) x  zy 2 ; б) y 2  xz ; в) z 2  xy ; г) y  xz 2 ; д) x 2  yz . 2. Если s  grad U ( x, y, z ), то производная

U равна: s

а) 0; б) s ; в) grad U ; г) grad U ; д)  grad U . 3. Если r  xi  y j  z k , то grad r равен: а) r ; б) r / r ; в) r  r ; г)  r ; 2

д) r / r . 4. Выберите верные утверждения. Если в пространственной односвязной области D задано потенциальное поле a  a( M ) , то: а) rot a( M )  0 в каждой точке M  D ; б) в области D нет источников и стоков; в) циркуляция Г   (a, d r )  0 , где L – любой замкнутый контур, лежащий в D; L

г) поток K   (a, n)d  0 , где S – любая замкнутая поверхность, лежащая в D; s

д) интеграл

 ( a, d r )

не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки

AB

А и В.

113

5. Выберите верные утверждения. Если в пространственной односвязной области D задано соленоидальное поле a  a( M ) , то: (см. варианты ответов на вопрос 4). 6. Поток вектора a  3xi  y j  z k через сферу x 2  y 2  z 2  1 в направлении внешней нормали равен: а) 0; б) 3π; в) 4π / 3; г) 4π; д) 3. 7. Если r  xi  y j  z k , а c – постоянный вектор, то дивергенция вектора a  c, r равна: а) 0; б) 3; в) 3 c ;

 

г) 1; д) c . 8. Абсолютная величина циркуляции вектора a  x 2 i  y 2 j  z 2 k вдоль окружности x 2  y 2  z 2  1 , x  y  z  1 равна: а) π; б) 1; в) 2π; г) 2; д) 0. 9. Заданное в односвязной области D векторное поле a  a ( M ) будет гармоническим, если: а) div a ( M )  0 ; б) div a ( M )  0, rot a( M )  0 ; в) rot a( M )  0 ; г) div a( M )  0, a( M )  grad U ( M ) ; д) rot a( M )  0, a( M )  grad U ( M ) .

10. Выберите верные утверждения. Если в каждой точке M ( x, y, z ) области D заданы скалярная функция U  U ( M ) и вектор-функция a  a( M ) , то: а) rot grad U ( M )  0 ; б) rot div a( M )  0 ; в) div grad U ( M )  0 ; г) div rot a ( M )  0 ; д) grad rot a ( M )  0 .

114

4.6.2. Задачи Образцы решения задач Задача 1. Найти производную скалярного поля u(x,y,z)= x 2  arctg y  z  в точке

М (1,1,1) по направлению вектора s  18i  9 j  18k . Решение.

Вычислим

grad u

в

точке

М (1,1,1) : grad u

 u u u  = , ,    x y z 

  1 1  1 1  2 x ,   , , grad u (М) = 2, ,  . 2 2  1  y  z 1  y  z   5 5  Найдем направляющие косинусы вектора s  18,9,18 . 18 2 9 1 18 2 s  18 2  9 2  18 2  27, то cos    , cos    , cos    . 27 3 27 3 27 3 Производную по направлению вычисляем по формуле

Так

как

u u u u  cos   cos   cos  : z s x y u M   2  2  1  1  1  2  17 . s 3 5 3 5 3 15 Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей u  x, y, z   2 x  yz  z 3 ,

xy 2 v x, y, z   4 в точке М (0,2,1). z Решение. Найдем градиент скалярного поля u  x, y, z  в точке М:  u u u  grad u   , ,    x y z 

 2 , z,3z

2



y,

 2 ,1,1.

grad u M   Аналогично,

 v v v   y 2 2 xy 4 xy 2  grad v   , ,    4 , 4 , 5 , z z   x y z   z grad vM   4,0,0. Пусть  – угол между векторами grad u (М) и grad v (М), grad u ( M ) , grad v( M ) –

длины этих векторов. Тогда grad u ( M ), grad v( M )   cos   grad u ( M )  grad v( M )

2  4  1 0  1 0

 2

  arccos

2

  1  12  4 2



2 , следовательно, 2

2   . 2 4

Задача 3. Найти поток векторного поля a  3xi  2 yj  zk через часть плоскости x  y  2 z  1, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

115

Решение. Поток вектора a  P, Q, R через поверхность S определяется формулой (4.9)

K   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy. S

В данном случае P  3x, Q  2 y, R  z , S – треугольник (рис. 4.7). Для вычисления поверхностного интеграла воспользуемся формулой (3.33) K   R  z x  P  z y  Q dxdy. D

По условию нормаль образует острый угол с осью Oz, поэтому перед интегралом выбран знак «+». y z 1

1/2

y =1–x

S D

О

1

y

x

О

D

x

1

1 Рис. 4.7

Рис. 4.8

1 1  x  y  , z x   1 , z y   1 . 2 2 2 Подставляем полученные значения в подынтегральное выражение: Из уравнения плоскости x  y  2 z  1 находим: z 

1 y 1   1  1  K    1  x  y   3x    2 y   dxdy    x   dxdy 2 2 2  2  2  D  D  и вычисляем двойной интеграл как повторный (рис. 4.8): 1

1 x

0

0

K   dx 

1 x

2 1 1    y 1 1 y2  1 1  x    x   dy    x   y   dx    x  1  x    dx  2 2 2 4 0 2 4   0  0 

1

1   1 x 1 x x2  3 3  x3 3 2 1  3    x  x 2      dx     x 2  dx     x     . 2 2 4 2 4  4 4 4 3 0 4 3 2 0 0 1



 



1   Задача 4. Найти поток векторного поля a   e z  x i  x  y j  x 2 y  z k через 2   2 2 2 замкнутую поверхность S : x  y  z  2 x  2 y  1 (нормаль внешняя). Решение. Поскольку S – замкнутая поверхность, то можно воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса (4.13), согласно которой поток K   div a dV , T

116

где Т – область, ограниченная поверхностью S, div a 

P Q R   – дивергенция вектора x y z

a  P, Q, R . 1 В данном случае P  e z  x , Q  x  y , R  x 2 y  z , следовательно, 2 1  2 1   1  div a   e z  x   xy  x y  z   1 1  , 2 z 2  y 2 x  1 1 1 K   div a dV   dV   dV  V . 2 2 T 2 T T









Остается найти объем V тела Т. Выясним, что собой представляет это тело. С этой целью преобразуем уравнение поверхности S, выделяя полные квадраты: x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  1 ,

x

2

 2 x  1   y 2  2 y  1  z 2  1  2 ,

x  12   y  12  z 2  1 . Таким образом, поверхность S – сфера радиуса R=1 с центром в точке (1, 1, 0), тело Т – 1 1 4 2 4 . шар, ограниченный этой сферой. Его объем V   . Тогда K  V     3 2 2 3 3 Задача 5. Найти циркуляцию векторного поля a  xzi  y j  x k вдоль контура С: x  sin t , y  cos t , z  cos t (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t). Решение. Из уравнений контура С следует, что изменению параметра t от 0 до 2π соответствует однократный обход этого контура. Циркуляция Г определяется формулой (4.15) Г   Pdx  Qdy  Rdz . C

Поскольку линия С задана параметрически, то для вычисления интеграла воспользуемся формулой (3.11) (точнее, ее обобщением на случай пространственной кривой). Учитывая, что P  xz, Q  y, R  x, x(t )  cos t , y (t )   sin t , z (t )   sin t , будем иметь Г

2

2

0

0

 P  x  Q  y   R  z dt   sin t  cos t  cos t  cos t ( sin t )  sin t ( sin t )dt 

2



 cos 0

2



2

2

0

0

t sin t  cos t sin t  sin 2 t dt    cos 2 td (cos t )   cos td (cos t ) 

1 2

2

 1  cos 2t dt  0

2

 cos t cos t 1 sin 2t     .      t 3 2 2 4  0  3

2

Расчетное задание Задача 1. Найти производную скалярного поля u (x, y, z) в точке М по направлению вектора s.

1. u  ( x 2  y 2  z 2 ) 3 / 2 , s  i  j  k , M (1, 1, 1) . 2. u  x  ln( z 2  y 2 ), s  2i  j  k , M (2, 1, 1) . 3. u  x 2 y  xy  z 2 , s  2 j  2k , M (1, 5,  2) . 117

4. u  y ln(1  x 2 )  arctg z , s  2i  3 j  2k , M (0, 1, 1) . 5. u  x(ln y  arctg z ), s  8i  4 j  8k , M (2, 1,  1) . 6. u  ln(3  x 2 )  xy 2 z , s  i  2 j  2k , M (1, 3, 2) . 7. u  sin( x  2 y )  xyz , s  4i  3 j , M ( / 2, 3 / 2, 3) . 8. u  x 2 y 2 z  ln( z  1), s  5i  6 j  2 5 k , M (1, 1, 2) . 9. u  x 3  y 2  z 2 , s  j  k , M (1,  3, 4) . 10. u  xy  9  z 2 , s  2i  2 j  k , M (1, 1, 0) . Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей u (x, y, z) и v (x, y, z) в точке М.

1. u 

 yz 2 x3 1 1  v ,   6 y 2  3 6 z 3 , M  2 , ,  . 2 2 x 2 3 

2. u  x 2 yz 3 , v  3. u 

 1 4 6 6 3   , M  2, , 9y z x  3

3 . 2 

1 z3 4z 3 y3 3 ,  9 2   , M  , 2, v x 2 xy 2 2 3 3

3 . 2 

 3 4 1 1  z ,v   , M 1, 2,  . 2 x y x y 6z 6   1 1  x2 x3  6 y 3  3 6 z 3 , M  2 , ,  . 5. u  2 , v  2 yz 2 3  4. u 

3

6. u 

1 z2 y2 2 ,  3 2   3 2 z 2 , M  , 2, v x 2 xy 2 3

7. u 

 1 1  xz 2 , v  6 6 x 3  6 6 y 3  2 z 3 , M  , , 1 . y  6 6 

2 . 3 

 1 yz 2 6 6 2 1 1   . ,v   , M  , , x 2 x 2 y 3z 2 3  2 1 y2 xy 2 2 2 . 9. u  2 , v  3 2 x   3 2 z 2 , M  , 2,  3 3 z 2   3 2  x y 3 4 1 1  10. u   . ,v   , M 1, 2, z x y 6z 6 

8. u 

Задача 3. Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

1. a  2 xi  y j  z k , P : 2 x  3 y  z  1 . 2. a  xi  3 y j  2 z k , P : x  y  z  1 . 3. a  xi  2 y j  z k , P : x / 2  y  z  1 . 4. a  xi  y j  z k , P : x  y / 2  z / 3  1 .

118

5. a  xi  y j  6 z k , P : x / 2  y / 3  z  1 . 6. a  xi  y j  z k , P : 2 x  y / 2  z  1 . 7. a  xi  3 y j  8 z k , P : x  2 y  z / 2  1 . 8. a  xi  y j  z k , P : 2 x  3 y  z  1 . 9. a  xi  9 y j  8 z k , P : x  2 y  3 z  1 . 10. a  2 xi  y j  4 z k , P : x / 3  y  z / 2  1 . Задача 4. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

 a  3z

  x  i  e

1. a  e z  2 x i  e x j  e y k , S : x  y  z  1, x  0, y  0, z  0 . 2.

2

x



 2 y j  2 z  xy  k , S : x 2  y 2  z 2 , z  1, z  4 .





3. a  ln y  7 x  i  sin z  2 y  j  e y  2 z k , S : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  2 .









4. a  cos z  3x  i   x  2 y  j  3 z  y 2 k , S : z 2  36 x 2  y 2 , z  6 .









5. a  e  z  x i   xz  3 y  j  z  x 2 k , S : 2 x  y  z  2, x  0, y  0, z  0 .





6. a  6 x  cos y  i  e x  z j  2 y  3z  k , S : x 2  y 2  z 2 , z  1, z  2 . 3   7. a  4 x  2 y 2 i  ln z  4 y  j   x  z  k , S : x 2  y 2  z 2  2 x  3 . 4  



 a



   z  x  i  x  y  j  y





8. a  1  z i  4 y  x j  xy k , S : z 2  4 x 2  y 2 , z  3 . 9.



 

2



 z k , S : 3 x  2 y  z  6, x  0, y  0, z  0 .



10. a   yz  x  i  x 2  y j  xy 2  z k , S : x 2  y 2  z 2  2 z . Задача 5. Найти циркуляцию векторного поля a вдоль контура С (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

2 2 cos t , y  cos t , z  sin t . 2 2 2. a   y  z  i   z  x  j   x  y  k , C : x  cos t , y  sin t , z  2(1  cos t ) . 1. a  yi  x j  z 2 k , C : x 

3. a  x 2 i  y j  z k , C : x  cos t , y 





2 sin t / 2, z 





2 cos t / 2 .

4. a  2 z i  x j  y k , C : x  2 cos t , y  2 sin t , z  1 . 5. a  2 yi  3x j  x k , C : x  2 cos t , y  2 sin t , z  2  2 cos t  2 sin t . 6. a  z i  y 2 j  x k , C : x  2 cos t , y  2 sin t , z  2 cos t . 7. a   z i  x j  xz k , C : x  5 cos t , y  5 sin t , z  4 . 8. a  3 yi  3x j  x k , C : x  3 cos t , y  3 sin t , z  3  3 cos t  3 sin t . 9. a  xyi  x j  y 2 k , C : x  cos t , y  sin t , z  sin t . 10. a  ( y  z ) i  ( z  x) j  ( x  y ) k , C : x  2 cos t , y  2 sin t , z  3(1  cos t ) . 119

ГЛАВА 5. РЯДЫ В данной главе будут рассмотрены ряды, являющиеся обобщением понятия суммы на случай бесконечного числа слагаемых. Ряды представляют собой важный математический аппарат, применяемый для вычислений и исследований как в различных разделах самой математики, так и во многих ее приложениях.

5.1. Числовые ряды 5.1.1. Определение ряда и его сходимость Определение 5.1.1. Пусть u1 , u 2 , ..., u n , ... . Выражение вида

дана

бесконечная

числовая

последовательность



u1  u 2  ...  u n  ...   u n

(5.1)

n 1

называется числовым рядом. Числа u1 , u 2 , ..., u n , ... называются членами ряда, член u n с произвольным номером – общим или n-м членом ряда. Определение 5.1.2. Конечная сумма n

S n  u1  u 2  ...  u n   u k , k 1

слагаемыми которой являются первые n членов ряда (5.1), называется n-й частичной суммой данного ряда, а ряд u n 1  u n  2  u n 3  ... 



u

k  n 1

k

называется n-м остатком ряда (5.1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную числовую последовательность S n  : S1 , S 2 , S 3 , ..., S n , ... .

(5.2)

Определение 5.1.3. Если последовательность частичных сумм (5.2) имеет конечный предел S, т. е. lim S n  S , то ряд (5.1) называется сходящимся, а число S называется суммой n

ряда (5.1). 

В этом случае пишут: S  u1  u 2  ...  u n  ... , или S   u n . Таким образом, символ n 1



u n 1

n

используется как для обозначения самого ряда (5.1), так и для обозначения его суммы,

если он сходится. Если последовательность (5.2) не имеет конечного предела (расходится), то ряд (5.1) называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. 120

Пример 5.1.1. Покажем, что ряд  1 1 1 1 1    ...   ...   1 2 2  3 3  4 n(n  1) n 1 n( n  1)

сходится и найдем его сумму. Возьмем сумму S n первых n членов ряда Sn 

1 1 1   ...  . 1 2 2  3 n(n  1)

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   ,   ,   , ...,   , 1 2 1 2 2  3 2 3 3  4 3 4 n(n  1) n n  1 поэтому 1 1  1  1  1 1 1 1 . S n  1            ...      1 n 1  n n  1  2  2 3  3 4 Отсюда следует, что 1  1  lim S n  lim1   1.   1  lim n n  n   n 1  n  1 Таким образом, ряд сходится и его сумма S равна 1. Пример 5.1.2. Установим, сходится или расходится ряд 

1  1  1  1  ...  (1) n 1  ...   (1) n 1 . n 1

Для данного ряда последовательность частичных сумм S1  1, S 2  0, S 3  1, S 4  0, ... не имеет предела, следовательно, ряд расходится. Пример 5.1.3. Рассмотрим ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию 

a  aq  aq 2  ...  aq n 1  ...   aq n 1 , a  0 .

(5.3)

n 1

Частичная сумма S n этого ряда при q  1 имеет вид S n  a  aq  aq 2  ...  aq n 1 

a  aq n a aq n .   1 q 1 q 1 q

Отсюда: a aq n a , т. е. ряд сходится и его сумма  lim  n n  1  q n  1  q 1 q a 1 S . Например, при a  1, q  имеем: 1 q 2

1. Если q  1 , то lim S n  lim

S  1

1 1 1  2  n 1  ...  2 . 2 2 2 121

a  aq n   , т. е. ряд расходится. n n  1  q 3. При q  1 ряд (5.3) принимает вид: a  a  ...  a  ... . В этом случае S n  na ,

2. Если q  1 , то lim S n  lim

lim S n   , т. е. ряд расходится. n

4. При q  1 ряд (5.3) принимает вид: a  a  a  a  ... . Для него S n  0 при n четном и S n  a при n нечетном. Следовательно, lim S n не существует и ряд расходится. n

Таким образом, ряд (5.3) является сходящимся при q  1 и расходящимся при q  1 . 

u

Теорема 5.1.1. (Необходимый признак сходимости). Если ряд

n 1

n

сходится, то

lim u n  0 . n 



Доказательство. По условию ряд

u n 1

n

сходится. Обозначим через S его сумму.

Рассмотрим частичные суммы ряда S n  u1  u 2  ...  u n 1  u n и S n 1  u1  u 2  ...  u n 1 . Очевидно, u n  S n  S n 1 . Так как S n  S и S n 1  S при n   , то lim u n  lim ( S n  S n 1 )  lim S n  lim S n 1  S  S  0 . n

n 

n 

n

Заметим, что условие lim u n  0 является необходимым, но не достаточным условием n 



сходимости ряда. Например, так называемый гармонический ряд

1

n

расходится (это будет

n 1

1  0. n Из необходимого признака сходимости следует, что если lim u n  0 или lim u n не

установлено ниже), хотя lim n

n 

n 



существует, то ряд

u n 1

n

расходится.

Пример 5.1.4. Рассмотрим следующие ряды:  n 1 1.  . n n 1  n 1 2.  (1) n . n n 1 n 1 n 1  1  0 , во втором случае lim(1) n Оба ряда расходятся. В первом случае lim n  n n n не существует.

5.1.2. Свойства сходящихся рядов Приведем основные свойства сходящихся числовых рядов. 

1. Если ряд

u n 1



n

сходится и его сумма равна S, то и ряд

число, также сходится, и его сумма равна с  S , т. е. 122

 сu n 1





n 1

n 1

 cu n  c u n .

n

, где с – некоторое



u

Действительно, пусть S n – частичная сумма ряда 

 сu n 1

n

n 1

n

, а  n – частичная сумма ряда

. Тогда  n  cu1  cu 2  ...  cu n  c(u1  u 2  ...  u n )  cS n . Отсюда, переходя к пределу

при n   , получаем lim  n  lim cS n  c lim S n  c  S , т. е. последовательность частичных n

сумм  n  ряда

n

n 



 сu n сходится к сS . Следовательно, n 1





n 1

n 1

 сu n  c  S  c u n .

Аналогично доказывается свойство 2. Если ряды



 un и n 1



ряды

 (u n 1

n



 n 1

n

сходятся и их суммы соответственно равны S и  , то и

 n ) сходятся и их суммы равны S   , т. е.



 (u n 1

n





n 1

n 1

 n )   u n   n .

Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы. Имеет место также свойство 

3. Если ряд

 u n сходится, то сходится и любой его остаток n 1



u

n  k 1

n

(k  1) . И обратно,

если какой-либо остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится. Из этого свойства следует, что отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

5.1.3. Знакоположительные ряды В теории рядов одним из важнейших является вопрос о сходимости ряда. Наиболее просто он решается для рядов, члены которых положительны. Для краткости будем называть также ряды знакоположительными. Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая Теорема 5.1.2. (Признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда 

 un и n 1



 n 1

n

и пусть u n  n , n  1, 2, ... . Тогда  если сходится ряд



n , то сходится и ряд n 1

 если расходится ряд



u n 1



u n 1

n

; 

n

, то расходится и ряд

 n 1

n

.

Доказательство.

1. Обозначим через S n и  n соответственно частичные суммы рядов неравенства u n  n следует, что S n   n . По условию ряд



u n 1



n

и

 n 1

n

. Из



 n 1

n

сходится, т. е. существует

lim  n   . Поскольку всякая сходящаяся последовательность является ограниченной, то n

123

найдется число M  0 , такое, что  n  M для всех n  1, 2, ... . Но тогда S n   n  M , т. е. последовательность S n  ограничена сверху. Кроме того, последовательность S n  возрастает, так как u n  0 . По теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности существует lim S n  S , т. е. ряд n

2. По условию ряд



u n 1

n



u n 1

n

сходится.

расходится. Докажем методом от противного, что ряд



 n 1

n



тоже расходящийся. Допустим, что ряд

 n 1

n

сходится. Тогда по доказанному выше ряд



u n 1

n

тоже будет сходится, а это противоречит условию теоремы.

Замечание. Из третьего свойства сходящихся рядов следует, что теорема справедлива и в том случае, когда неравенства u n  n выполняются, начиная с некоторого номера n  N  1.  1 Пример 5.1.5. Рассмотрим ряд «обратных квадратов»  2 . Сравним его со n 1 n  1 1 2 сходящимся рядом  (см. пример 5.1.1). Из неравенства  и 2 n(n  1) n n 1 n( n  1) теоремы 5.1.2 следует сходимость ряда «обратных квадратов». Во многих случаях более удобной для применения является следующая теорема, вытекающая из предыдущей. Теорема 5.1.3. (Предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных   u ряда  u n и  n и пусть 0  lim n   . Тогда данные ряды либо оба сходятся, либо оба n 1

n 

n 1

n

расходятся. 

Пример 5.1.6. Исследуем на сходимость ряд

 2n n 1

сходящимся рядом из «обратных квадратов»



1

n n 1

2

n 3

1

. Сравним данный ряд со

. Выбор такого ряда для сравнения

основан на том, что n 2n  1 3

~

1 при n   . 2n 2

Так как 1  1 1 n3  n : 2   lim 3  lim   0,  lim 3 3 n  n  2n  1 n 2  n   2n  1 n  2  1 n  n

lim

un



то по теореме 5.1.3 ряд

 2n

n

сходится. 1 Трудность применения признаков сравнения заключается в том, что для данного ряда нужно для сравнения подбирать другой ряд, о котором известно, сходится он или расходится. Обычно в качестве «эталонных» рядов, с которыми производят сравнение, выбирают следующие ряды: n 1

124

3



 aq

1. Геометрический ряд

n 1

, который сходится при q  1 и расходится при q  1

n 1

(см. пример 5.1.3). 

2. Гармонический ряд

1

n

– расходится.

n 1



3. Обобщенный гармонический ряд, или ряд Дирихле

1

 n

. Сходится при   1 и

n 1

расходится при   1 (см. пример 5.1.10 ниже). Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом. 

Теорема 5.1.4. (Признак Даламбера). Пусть дан знакоположительный ряд

u n 1

u n 1  l . Тогда при l  1 данный ряд сходится, а при l >1 n  u n

существует предел lim

n

и –

расходится. Замечание. При l = 1 необходимо дополнительное исследование ряда с применением других признаков, так как в этом случае исследуемый ряд может как сходиться, так и расходиться.  10 n Пример 5.1.7. Ряд  сходится, так как n 1 n! u n 1 n! 10 10 n 1  lim  n  lim  0  1. n  u n  ( n  1)! 10 n  n  1 n

lim

2



u 1 n2  n  Пример 5.1.8. Рассмотрим ряд  2 . Имеем lim n 1  lim  lim   1. 2 n  ( n  1) n  n  1 n  u   n 1 n n Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 5.1.5), данный ряд сходится. Теорема 5.1.5. (Радикальный признак Коши). Пусть дан знакоположительный ряд 

u n 1

n

и существует предел lim n u n  l . Тогда при l < 1 данный ряд сходится, а при l > 1 – n

расходится. При l = 1 требуется дополнительное исследование.  n  1 Пример 5.1.9. Ряд    n 1  n  

n2

расходится, так как n

n

 1  n 1 lim u n  lim  lim1    e  1 .  n  n   n  n   n  Признак Даламбера и радикальный признак Коши достаточно просты и удобны для применения, но в случае l = 1 эти признаки не дают ответа на вопрос о сходимости ряда. Более сильным (но и более сложным для применения) является следующий признак. Теорема 5.1.6. (Интегральный признак Коши). Пусть f (x) – непрерывная, положительная и невозрастающая функция при x  1 и пусть f (n)  u n , n  1, 2, ... . Тогда, n



если несобственный интеграл



f ( x)dx сходится, то сходится и ряд

1





n 1

1

 u n ; если же

 f ( x)dx



расходится, то ряд

u n 1

n

также расходится. 125



Пример 5.1.10. Исследуем сходимость обобщенного гармонического ряда

1

 n

в

n 1

зависимости от значения параметра  . При   0 поведение данного ряда выясним с помощью интегрального признака Коши. 1 Возьмем в качестве функции f (x) функцию  ( x  1) , которая удовлетворяет условиям x  dx теоремы 5.1.6, и исследуем на сходимость несобственный интеграл   . Имеем: 1 x 

 1

b

x

1

dx  lim  x  dx  lim  b  b   x 1 1

Если   1 , то



 1

b

 1 , если   1 b1  1   lim    1 b   1     , если 0    1. 1

dx  lim ln x 1b  lim ln b   . Таким образом, несобственный b   x b



 1 dx   1 сходится, а при 0    1 расходится. Следовательно, ряд при   1 x n 1 n сходится при   1 и расходится при 0    1 . 1 При   0 данный ряд также расходится, так как lim   0 , т. е. нарушается n  n необходимый признак сходимости (см. теорему 5.1.1).  1 В частности, при   2 – имеем сходящийся ряд  2 ; при   1 – расходящийся n 1 n  1 гармонический ряд  и т. д. n 1 n Заметим, что ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не решают вопроса о сходимости данного ряда, так как

интеграл



u  n   lim n1  lim   1  1, n  u n  n  1   n lim n u n  lim n 

1

 n

n  n





1  1. 1

5.1.4. Знакопеременные ряды В этом пункте рассматриваются ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами. Прежде всего рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки – так называемые знакочередующиеся ряды. Для определенности будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде 

u1  u 2  u 3  ...  (1) n 1 u n  ...   (1) n 1 u n ,

(5.4)

n 1

где u n  0 . Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

126

Теорема 5.1.7. (Признак Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (5.4) монотонно убывают, т. е. u1  u 2  u 3  ..., и lim u n  0 , n

то ряд (5.4) сходится; его сумма S положительна и не превосходит u1 (0  S  u1 ) . Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов S 2 m  u1  u 2  u 3  u 4  ...  u 2 m 1  u 2 m  (u1  u 2 )  (u 3  u 4 )  ...  (u 2 m 1  u 2 m ) . Все разности в скобках в силу первого условия теоремы положительны, поэтому с возрастанием m последовательность частичных сумм S 2 m  возрастает, причем S 2 m  0 . Представим теперь S 2 m в виде S 2 m  u1  [(u 2  u 3 )  (u 4  u 5 )  ...  (u 2 m  2  u 2 m 1 )  u 2 m ] . Отсюда следует, что S 2 m  u1 для любого m  1, 2, ... , т. е. последовательность S 2 m  ограничена сверху. Итак, последовательность S 2 m  возрастает и ограничена сверху, следовательно, существует lim S 2 m  S , причем 0  S  u1 . m 

Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечетного числа членов сходится к тому же пределу S. Действительно, S 2 m 1  S 2 m  u 2 m 1 . Переходя в этом равенстве к пределу при m   и используя второе условие теоремы, получаем lim S 2 m 1  lim ( S 2 m  u 2 m 1 )  lim S 2 m  lim u 2 m 1  S  0  S .

m 

m 

m 

m 

Таким образом, последовательность частичных сумм S n  ряда (5.4) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (5.4) сходится. Кроме того, доказано, что 0  S  u1 . Замечание. Если знакочередующейся ряд удовлетворяет условиям теоремы 5.1.7, то нетрудно оценить ошибку, которая получится, если заменить его сумму S частичной суммой Sn. При такой замене отброшенный n-й остаток ряда 

 (1)

k  n 1

k 1

u k  (1) n (u n 1  u n  2  u n 3  ...)

имеет согласно теореме 5.1.7 сумму, абсолютная величина которой не превосходит u n 1 . Значит, при замене S на Sn абсолютная погрешность не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.  (1) n 1 1 1 (1) n 1 1     ...   ... сходится по признаку Пример 5.1.11. Ряд  2 3 n n n 1 Лейбница, так как а) 1 

1 1   ... ; 2 3

1 0, n n

б) lim u n  lim n

причем 0  S  1 , где S – сумма ряда. Сумма n первых членов данного ряда 1 1 1 (1) n 1 S n  1     ...  2 3 4 n отличается от суммы ряда S на величину меньшую, чем

(1) n 1 .  n 1 n 1

127

Рассмотрим теперь произвольный знакопеременный ряд 

u n 1

n

 u1  u 2  u 3  ...  u n  ... ,

(5.5)

где числа u1 , u 2 , u 3 , ..., u n , ... могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Наряду с (5.5) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда 

u n 1

n

 u1  u 2  u 3  ...  u n  ... .

(5.6)

Имеет место следующий признак сходимости. Теорема 5.1.8. Если ряд (5.6) сходится, то сходится и ряд (5.5). Эта теорема позволяет свести вопрос о сходимости знакопеременного ряда к исследованию сходимости знакоположительного ряда.  cos n Пример 5.1.12. Исследуем сходимость знакопеременного ряда  3 . n 1 n  cos n 1 1  3 . Ряд  3 сходится (см. пример 5.1.10), Так как cos n  1 , то 3 n n n 1 n  cos n следовательно, по признаку сравнения (теорема 5.1.2) ряд  3 тоже сходится. Отсюда n n 1  cos n по теореме 5.1.8 следует сходимость исходного ряда  3 . n 1 n Сформулированный выше признак сходимости знакопеременного ряда (теорема 5.1.8) является достаточным, но не необходимым, так как существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так,  (1) n 1 согласно признаку Лейбница сходится (см. пример 5.1.11), а ряд например, ряд  n n 1  1 , составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд).  n 1 n Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся. К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды,  cos n составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся. Например,  3 – n 1 n абсолютно сходящийся ряд. К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Таковым, например, является  (1) n 1 , 0   1. ряд  n n 1 Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся существенно. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов. Условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают. Можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу. Для иллюстрации того, что сумма условно сходящегося ряда может меняться при перестановке его членов, рассмотрим следующий пример. 128

Пример 5.1.13. Ряд

(1) n 1 сходится условно. Переставим и сгруппируем члены  n n 1 

ряда следующим образом:  1 1 1 1 1 1 1 1  1               ...  2 4   3 6 8   5 10 12  Перепишем ряд в виде 1 1 1 1 1 1   1 1  1 1  1 1              ...  1       ... , 2 2 3 4 5 6   2 4   6 8   10 12  т. е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась вдвое.

5.2. Степенные ряды Решение многих задач математики и ее приложений значительно упрощается, если рассматриваемые функции представлять как ряды, члены которых являются функциями простейшего вида.

5.2.1. Степенной ряд. Область сходимости Определение 5.2.1. Ряд вида 

a 0  a1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  ...  a n x n  ...   a n x n

(5.7)

n 0

называется степенным рядом. Числа a0 , a1 , a 2 ,..., a n ,... называются коэффициентами степенного ряда. Придавая x различные числовые значения, будем получать числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений x, при которых ряд (5.7) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при x = 0. Очевидно, что частичная сумма степенного ряда S n ( x)  a 0  a1 x  ...  a n x n является функцией переменной x. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией 

переменной x, определенной в области сходимости ряда:

S  S ( x)   a n x n

(или

n 0



f ( x)   a n x n ). n 0

Сформулируем теорему, имеющую важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда. Теорема 5.2.1 (Теорема Абеля). Если степенной ряд (5.7) сходится при x  x0 ( x 0  0) , то он сходится, и притом абсолютно для всех x, удовлетворяющих условию x  x 0 ; если ряд (5.7) расходится при x  x1 , то он расходится для всех x, удовлетворяющих условию x  x1 . Терема Абеля утверждает, что если x0 – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках интервала (  x0 , x0 ) этот ряд сходится абсолютно, а если x1 – точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне отрезка [  x1 , x1 ], ряд расходится. 129

Отсюда следует, что для любого степенного ряда (5.7) существует такое неотрицательное число R, что при x  R ряд (5.7) сходится, а при x  R – расходится. Вопрос о сходимости ряда при x   R подлежит дальнейшему исследованию, так как при этих значениях переменной может иметь место как сходимость, так и расходимость ряда. Число R называется радиусом сходимости, а интервал (–R, R) – интервалом сходимости степенного ряда. Таким образом, областью сходимости степенного ряда является один из следующих промежутков: (–R, R), [–R, R), (–R, R], [–R, R]. Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R   ), у других вырождается в точку ( R  0 ). Наряду со степенными рядами вида (5.7) рассматривают также степенные ряды по степеням x  a , т. е. ряды вида 

a 0  a1 ( x  a)  a 2 ( x  a ) 2  a3 ( x  a ) 3  ...  a n ( x  a ) n  ...   a n ( x  a ) n .

(5.8)

n 0

Подстановкой x  a  t ряд (5.8) приводится к ряду (5.7). Поэтому интервал сходимости ряда (5.8) имеет вид ( a  R , a  R ). На использовании признака Даламбера (теорема 5.1.4) основана следующая теорема, дающая формулу вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Теорема 5.2.2. Если существует предел a n 1 l, n  a n

lim

(5.9)

a 1 то радиус сходимости степенного ряда (5.7) или (5.8) находится по формуле R   lim n . l n a n 1 При этом R  0 , если l   и R   , если l  0 .  xn 1 1 Пример 5.2.1. Найдем область сходимости ряда  . Здесь a n  , a n 1  , n n 1 n 1 n поэтому an n 1  1  lim  lim1    1 . n  n n  n a  n n 1

R  lim

Ряд сходится в интервале (–1;1). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости,  1 т. е. в точках x  1 . При x  1 получаем расходящийся гармонический ряд  , а при n 1 n (1) n , который сходится по признаку Лейбница.  n n 1 Таким образом, областью сходимости данного ряда является полуинтервал [–1, 1).

x  1 ряд





Пример 5.2.2. Ряд

 n! x

n

расходится на всей числовой прямой, кроме точки x  0 , так

n 1

как его радиус сходимости an n! 1  lim  lim  0. n   ( n  1)! n  n  1 n  a n 1

R  lim

Если предел (5.9) не существует, то для вычисления радиуса сходимости можно попытаться применить признак Даламбера непосредственно к степенному ряду. 130

Пример 5.2.3. Найдем область сходимости ряда

( x  3) 2 n 1 .  n2 1 n 0 

an не определена, так как все коэффициенты a n 1 ряда с четными номерами равны нулю. Обозначим через U n (x) n-й член данного ряда и Для данного ряда последовательность



применим к ряду

U n 0

lim n



n

( x)  

x3

U n ( x)

 lim n 

признак Даламбера. Имеем:

n2 1

n 0

U n 1 ( x)

2 n 1

x3

2 n 3



n2 1

2

(n  1) 2  1 x  3 2 n 1

n2  1 2  x3 . n   ( n  1) 2  1

 x  3 lim

2

Если x  3  1 , то на основании признака Даламбера и теоремы 5.1.8 исходный ряд 

U n 0

( x) сходится абсолютно. Если x  3  1 , то U n 1  x  2

n

больших n, следовательно, lim U n ( x)  0 и ряд n 

Решая неравенство

> U n x 

для достаточно



U n 0

n

( x) расходится.

2

x  3  1 , получаем интервал сходимости (2,4). Исследуем

сходимость ряда на концах этого интервала. При x  4 получаем ряд



n n 0

1 , который 1

2

 1 1 1  – сходящийся ряд. При x  2 получим ряд , а сходится, так как  2 2 2 n 1 n n 0 n   (1) 2 n 1 1   , который также сходится.   2 2 n 0 n  1 n 0 n  1 Таким образом, отрезок [2, 4] – область сходимости данного степенного ряда. В ряде случаев вместо признака Даламбера более удобным оказывается применение радикального признака Коши. Соответствующая формула для вычисления радиуса сходимости дается следующей теоремой. Теорема 5.2.3. Если существует предел

lim n a n  l , n 

то

радиус сходимости степенного ряда (5.7) или (5.8) находится по 1 1 R   lim . При этом R  0 , если l   и R   , если l  0 . l n  n a n 

Пример

5.2.4.

Рассмотрим

ряд

n

 x   .  n 1  n 

Здесь

an 

1 , nn

формуле

следовательно,

1 1  lim  0 , а тогда R   . n n n  n  n n Ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при любом x  (, ) .

l  lim n a n  lim n

131

5.2.2. Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда является функцией от переменной x: 

f ( x)   a n x n .

(5.10)

n0

Если интервал сходимости этого ряда ( R, R) , то говорят, что функция f (x) разлагается в степенной ряд в интервале ( R, R) . Для получения разложений функций в степенные ряды часто используются следующие свойства сходящихся степенных рядов: 1. Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать, т. е. если имеет место разложение (5.10), то для всех x  ( R, R ) 

f / ( x)   na n x n 1 .

(5.11)

n 1

При этом радиусы сходимости рядов (5.10) и (5.11) совпадают. Отсюда следует, что сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой функцией. 2. Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно интегрировать, т. е. для любых x0, x  ( R, R ) из равенства (5.10) следует равенство x





f (t )dt   a n n 0

x0

x n 1  x 0n 1 . n 1

В частности, при x0  0 имеем x

 0



f (t )dt   a n n 0

x n 1 . n 1

(5.12)

Радиусы сходимости рядов (5.10) и (5.12) совпадают. Теорема 5.2.4. Если функция f (x) разлагается в степенной ряд (5.10) в интервале ( R, R) , то это разложение единственно, а его коэффициенты находятся по формулам f n (0) an  , n!

n = 0,1,2,….

(5.13)

Доказательство. По условию теоремы в интервале ( R, R)

f ( x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... .

(5.14)

По свойству 1 степенной ряд (5.14) можно почленно дифференцировать в интервале ( R, R) любое число раз. Дифференцируя, получаем f / ( x)  1  a1  2a 2 x  3a3 x 2  ...  na n x n 1  ... , f // ( x)  2  1a 2  3  2a3 x  ...  n(n  1)a n x n  2  ... , f /// ( x)  3  2  1a3  4  3  2a 4 x  ...  n(n  1)(n  2)a n x n 3  ... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . f n  ( x)  n!a n  (n  1)n...3  2a n 1 x  ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Полагая в полученных равенствах и в равенстве (5.14) x  0 , имеем 132

f (0)  a 0 ,

f / (0)  1!a1 , f // (0)  2!a 2 ,

f /// (0)  3!a3 ,…,

f n  (0)  n!a n ,…,

откуда находим a 0  f (0) , a1 

f / (0) f // (0) f /// (0) f n  (0) , a2  , a3  ,…, a n  ,…, 1! 2! 3! n!

f n  (0) , n = 0,1,2,…. n! Таким образом, коэффициенты ряда (5.10) определяются единственным образом формулами (5.13), что и доказывает теорему. Подставляя полученные выражения коэффициентов в (5.10), получаем т. е. a n 

 f / ( 0) f // (0) 2 f ( n ) (0) n f ( n ) ( 0) n f ( x )  f ( 0)  x x  ...  x  ...   x . 1! 2! n! n! n 0

Итак, если функция f (x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид f ( 0) 

 f / ( 0) f // (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( n ) ( 0) n x x  ...  x  ...   x . 1! 2! n! n! n 0

(5.15)

Ряд (5.15) называется рядом Тейлора для функции f (x) . Пусть теперь f (x) – произвольная бесконечно дифференцируемая в интервале ( R, R) функция. Для нее можно составить ряд (5.15). Установим, при каких условиях сумма ряда (5.15) совпадает с функцией f (x) . Ответ на этот вопрос можно получить с помощью формулы Тейлора f ( x)  f (0) 

f / (0) f // (0) 2 f ( n ) (0) n x x  ...  x  Rn ( x ) , 1! 2! n!

(5.16)

где Rn ( x ) 

f ( n 1) (x) n 1 x , (n  1)!

0    1.

Если обозначим через S n (x) частичную сумму ряда (5.15), то формулу (5.16) можно записать в виде f ( x )  S n ( x )  Rn ( x ) . Отсюда следует, что lim S n ( x)  f ( x) тогда и только тогда, когда lim Rn ( x)  0 . Таким n

n

образом, доказана Теорема 5.2.5. Пусть f (x) – бесконечно дифференцируемая функция в интервале ( R, R) . Тогда для того, чтобы ряд Тейлора (5.15) сходился в ( R, R) и имел своей суммой функцию f (x) , необходимо и достаточно, чтобы остаточный член Rn (x) формулы Тейлора (5.16) стремился к нулю в указанном интервале при n   , т. е. lim Rn ( x)  0 для любого n 

x  (  R, R ) .

133

Все сказанное выше о разложении функций в степенные ряды относительно переменной x переносится на степенные ряды по степеням x  a . В этом случае разложение функции в ряд Тейлора имеет вид 

f ( x)   n 0

f ( n ) (a ) ( x  a) n . n!

(5.17)

Ряд (5.15), являющийся частным случаем ряда (5.17), часто называют рядом Маклорена или рядом Тейлора-Маклорена. Рассмотрим теперь разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. 1. f ( x)  e x . Так как f ( n ) ( x)  e x , n = 0,1,2,…, то f ( n ) (0)  1 , и ряд Маклорена (5.15) принимает вид 1

 x x2 xn xn   ...   ...   . 1! 2! n! n  0 n!

ex x n 1 – n  (n  1)! остаточный член формулы Тейлора для функции f ( x)  e x . По теореме 5.2.5 при любом x  R имеет место разложение

Можно показать, что lim Rn ( x)  0 при любом x  (, ) , где Rn ( x) 

ex  1

 x x2 xn xn   ...   ...   . 1! 2! n! n  0 n!

2. f ( x)  sin x . Вычисляя последовательно производные этой функции, замечаем их повторяемость: f / ( x)  cos x , f // ( x)   sin x , f /// ( x)   cos x , f 4  ( x)  sin x , f 5  ( x)  cos x  f / ( x) и т. д. Следовательно, f 4 k  ( x)  sin x , f ( 4 k 1) ( x)  cos x , f ( 4 k  2 ) ( x)   sin x , f ( 4 k 3) ( x)   cos x . Отсюда находим f 4 k  (0)  f ( 4 k  2 ) (0)  0 , f ( 4 k 1) (0)  1 , f ( 4 k 3) (0)  1 . Составим по формуле (5.15) для функции f ( x)  sin x ряд Маклорена x

x3 x5 (1) n 2 n 1   ...  x  ... . 3! 5! (2n  1)!

Применяя теорему 5.2.5, можно показать, что на всей числовой оси этот ряд сходится и имеет своей суммой функцию f ( x)  sin x , т. е. при любом x  R имеет место разложение sin x  x 

 x3 x5 (1) n 2 n 1 x 2 n 1   ...  x  ...   (1) n . 3! 5! (2n  1)! (2n  1)! n 0

3. f ( x)  cos x . Разложение этой функции дифференцирования ряда для sin x :

легко

получается

в

результате

     1n x 2 n 1   x3   x5    ... , sin x   x        ...     3!   5!   2n  1!  

откуда 134



почленного

 1 x 2 n  ...    1 x 2n . x2 x4   ...   2n ! 2n ! 2! 4! n 0 n

cos x  1 

n

Полученное разложение справедливо для всех x  R .  4. f  x   1  x  ,   R. Имеем: f  x    1  x 

 1

f

n 

, f  x      11  x 

 2

,...,

x      1...  n  11  x  n ,...,

откуда, полагая х=0, получаем f 0   1, f 0    , f 0      1,..., f n  0     1...  n  1 . Ряд (5.15) запишется в виде 1  x 

   1 2!

x 2  ... 

   1...  n  1 n!

x n  ... .

(5.18)

Пользуясь формулой (5.9), найдем радиус сходимости этого ряда an n  1!    1...  n  1 n 1  lim  lim 1, n  a n  n!    1...  n  1  n  n   n n 1

R  lim

следовательно, ряд (5.18) сходится в интервале (–1,1). Можно также показать, что его сумма f(x)=(1+х)α, т. е.

1  x 

 1  x 

   1

x 2  ... 

   1...  n  1

2! В частности, при α = –1 получим

n!



   1...  n  1

n 1

n!

x n  ...  1  

 1 n n  1  x  x 2  ...   1 x n  ...    1 x n . 1 x n 0

x n , x  (1,1)

(5.19)

Заметим, что если α=1,2,3,…, то функция (1+х)α раскладывается по биному Ньютона в многочлен, причем разложение имеет место для любого x  R. 5. f  x   ln 1  x  . Интегрируя равенство (5.19) в пределах от 0 до х (при х  1 ), получим x

x





dt n n 2 3 0 1  t  0 1  t  t  t  ...   1 t  ... dt ,

или ln 1  x   x 

n 1 n 1  x2 x3 n x n x   ...   1  ...    1 . 2 3 n 1 n 1 n 0

(5.20)

Это разложение справедливо в интервале (–1,1). В заключение отметим, что степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью с любой заданной точностью вычисляют значения функций (в частности, значения  и е); находят приближенные значения определенных интегралов в тех случаях, когда первообразная не выражается через элементарные функции или ее трудно найти. Так, a sin x dx найти не удается, так как первообразная например, точное значение интеграла  x 0 135

sin x не является элементарной функцией. В то же время эта первообразная легко x x3 x5   ..., то выражается в виде степенного ряда. Действительно, поскольку sin x  x  3 5 функции

sin x x2 x4  1    ... , x 3! 5! причем ряд сходится при любом х. Интегрируя его почленно от 0 до а , имеем a

a3 a5 sin x dx a     ... . 0 x 3!3 5!5

С помощью этого равенства можно при любом а с любой степенью точности вычислить данный интеграл. Наконец, значительную роль играют степенные ряды в приближенных методах решений дифференциальных уравнений.

5.3. Ряды Фурье 5.3.1. Тригонометрический ряд. Ортогональность основной тригонометрической системы Определение 5.3.1. Ряд вида:

a0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx  ...  2 а0    a n cos nx  bn sin nx  (5.21) 2 n 1 называется тригонометрическим рядом; а числа – a 0 , a1 , b1 , a 2 , b2 ,..., a n , bn ,... коэффициентами тригонометрического ряда. В отличие от степенного ряда, рассмотренного в подразделе 5.2, в тригонометрическом ряде вместо простейших функций 1, x, x 2 ,..., x n ,... взяты тригонометрические функции 1 2 , cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,..., cos nx, sin nx,..., (5.22) которые также хорошо изучены. Система функций (5.22) называется основной тригонометрической системой. Прежде всего отметим, что все функции системы (5.22) являются периодическими с периодом Т = 2π. Поэтому любая частичная сумма ряда (5.21) 2π – периодична (если все члены ряда не меняются от замены x на x + 2π, то и сумма его не изменяется от этой замены). Отсюда следует, что если ряд (5.21) сходится на отрезке –π, π , то он сходится на всей числовой прямой, и его сумма, будучи пределом последовательности частичных сумм, является периодической функцией с периодом Т = 2π. По этой причине тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы. Примерами периодических процессов служат колебательные и вращательные движения различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и др. =

136

Другим важным свойством функций системы (5.22) является их ортогональность на отрезке –π, π  в следующем смысле: интеграл по отрезку –π, π  от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю. Действительно, 

1

1

 2  cos kxdx  2k sin kx





0;



(5.23) 

1

1

 2  sin kxdx   2k cos kx





 0.



Далее: 

 cos kx cos nxdx 



 1 cosk  n x  cosk  n xdx  1  sink  n x  sink  n x    0 при k  n .  2  2 kn k n  

Если k = n, то 





1 1 sin 2nx          cos kx cos nxdx cos nxdx 1 cos 2 nx dx x    .   2  2 2n     2

(5.24)

Аналогично находим 

0 при k  n kx nxdx  sin sin .    при k  n. 

(5.25)

Наконец, 

 sin kx cos nxdx  0,

(5.26)



так как

1 1  cosk  n x cosk  n x       kx nxdx k n x k n x dx sin cos   sin   sin      0  k  n   2  k  n 2   



при k  n . Если k = n, то 



1 1  sin kx cos nxdx  2  sin 2nxdx   4n cos 2nx

 

 0.

Замечание. Аналогичные выкладки показывают, что функции системы (5.22) ортогональны на любом отрезке длиной 2π.

5.3.2. Ряд Фурье. Сходимость ряда Фурье Для тригонометрического ряда имеет место теорема разложения, аналогичная теореме 5.2.4. Теорема 5.3.1. Пусть 2π-периодическая функция f(x) интегрируема на отрезке –π, π. Тогда, если на отрезке –π, π функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд  a f  x   0   a n cos nx  bn sin nx  , (5.27) 2 n 1

137

который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно, а его коэффициенты находятся по формулам: an 

bn 

1

 1





 f x cos nxdx,

n  0,1,2,...,

(5.28)

n  1,2,3,....

(5.29)





 f x sin nxdx,



Доказательство. Интегрируя (5.27) по отрезку –π, π, получаем 



f  x dx 



     a0  dx a cos nxdx b    n  n  sin nxdx  ,  2  n 1    

откуда, учитывая (5.23), находим: a0 

1





 f x dx.



Для определения коэффициента a k при coskx (k – натуральное число) умножим равенство (5.27) на coskx и проинтегрируем по x от –π до π. Тогда на основании формул (5.23)–(5.26) получаем: 

      a0  2 a n  cos kx cos nxdx  bn  cos kx sin nxdx   a k  cos kxdx  a k  ,  f x cos kxdx  2  cos kxdx   n 1     

откуда ak 

1





 f x cos kxdx,

k  1,2,3,... .



Аналогично, умножая (5.27) на sinkx и интегрируя в пределах от –π до π, на основании тех же формул получаем: 

 f x sin kxdx  b  , k



откуда находим bk 

1





 f x sin kxdx,

k  1,2,3,... .



Таким образом, коэффициенты a n и bn ряда (5.27) определяются единственным образом формулами (5.28), (5.29), что и доказывает теорему. Эта терема дает основание ввести следующее определение. Определение 5.3.2. Пусть f x  – 2π-периодическая функция, интегрируемая на отрезке –π, π. Тогда числа a n , bn , найденные по формулам (5.28), (5.29), называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд 138

a0    a n cos nx  bn sin nx  2 n 1 с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции f x  . Установим, при каких условиях ряд Фурье функции f x  сходится к этой функции. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема. Теорема 5.3.2. Пусть 2π-периодическая функция f x  и ее производная f  x  – непрерывные функции на отрезке –π, π или же имеют на нем конечное число точек разрыва первого рода. Тогда ряд Фурье функции f x  сходится на всей числовой прямой, причем его сумма S x   f  x  , если x – точка непрерывности функции f  x  . Если x0 – точка разрыва f  x  , то 1 S ( x 0 )   f ( x 0  0)  f ( x0  0)  , 2 где f  x0  0   lim f  x  , f  x0  0   lim f  x  . x  x0  0

x  x0  0

Пример 5.3.1. Периодическая с периодом Т = 2π функции f x  определена следующим образом:

 1 при    x  0 f x     1 при 0  x   . Эта функция (рис. 5.1) удовлетворяет условиям теоремы 5.3.2 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье. f x 

1 – 2

–

0



2

x

3

–1 Рис. 5.1 По формуле (5.28) находим 0   1 sin nx a n   f  x  cos nxdx     1 cos nxdx   1  cos nxdx    n      0  sin nx    0, n  1,2,3,... , n 0

1



0

 

0   1 a 0   f  x dx     1dx   1  dx   0.      0 

1



139

Применяя формулу (5.29), получим   cos nx 0 cos nx 1 0   nxdx nxdx  1 sin  1  sin    0 n  n       1  cos n cos n  1 2 1  cos n   2 1   1n , n  1,2,3,... .    n n n n

1

bn 



f ( x) sin nxdx 



 0





Разложение (5.27) для данной функции будет f x  

1   1 4 sin 3 x sin 5 x  4  sin 2n  1x sin nx  sin x    ... .     n  n 1  3 5   n 1 2n  1 2

n



Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва x k  k , k  0,  1,  2,... . 1 В точках x k  k сумма ряда равна  f ( x k  0)  f ( x k  0)   0. 2 Отметим, что в силу 2π-периодичности функции f x  при вычислении ее коэффициентов Фурье по формулам (5.28), (5.29) интегрирование можно выполнять по любому отрезку длиной 2π, например, по отрезку 0,2π. В некоторых случаях это упрощает процесс нахождения коэффициентов. Пример 5.3.2. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию f x  с периодом Т = 2 π, которая на промежутке 0,2π задана равенством: f  x  =x. График функции f x  изображен на рис. 5.2. f(x)



 2



0

2

6

4

x

Рис. 5.2 Эта функция на отрезке –π, π задается двумя формулами: f  x   x  2 , x    ,0 и f  x   x, x  (0,  ]. В то же время на (0,2π] гораздо проще она задается одной формулой f  x   x . Поэтому, интегрируя по отрезку 0,2  , получаем a0 

an  

140

1



2



f  x  cos nxdx 

0

cos nx n 2

2 0

 0,

1



1



2

2



f  x dx 

0

 x cos nxdx  0

1

2

1

xdx  x   2

2 2 0

 2 ,

0

1  sin nx x n  

2 0



2 2  1 1  sin sin nxdx  nxdx    n 0 n 0 

bn 

1



2



f  x sin nxdx 

0

2 1  2 sin nx n n Следовательно,

2 0



1



2

 x sin nxdx  0

2  1 cos nx 2 1  x  cos nxdx      n 0 n 0 

2  . n 

sin nx . n n 1

f  x     2

Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, x k  k , k  0,  1,  2,... . В этих точках сумма ряда равна:

кроме

точек разрыва

. 1  f ( x k  0)  f ( xk  0)   1 (2  0)   . 2 2

5.3.3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций Из определения четной функции следует, что если   x  – четная функция, то 





0

  x dx  2  x dx .

Действительно, 

0

















0

0

0

0

0

0

  x dx    x dx    x dx     x dx    x dx    x dx    x dx  2  x dx,

так как по определению четной функции   x     x  . Аналогично доказывается, что если   x  – нечетная функция  ( x)   ( x)  , то 











0

0

0

0

 x dx    x dx   x dx    x dx   x dx  0.

Пусть в ряд Фурье разлагается нечетная функция f x  . Тогда произведение f  x  cos nx – нечетная функция, а f  x sin nx – четная. Следовательно, an  bn 

1

 1





 f x cos nxdx  0,

n  0,1,2,...,







f  x sin nxdx 



2



 0

f  x sin nxdx, n  1,2,3,...,

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы 

f  x    bn sin nx, n 1

bn 

2





 f x sin nxdx. 0

141

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение f  x  cos nx – четная функция, а f  x sin nx – нечетная и, следовательно, 2

an  bn 

 1





 f x cos nxdx,

n  0,1,2,...,

0



 f x sin nxdx 0,

n  1,2,3,...,



т. е. ряд Фурье четной функции содержит только косинусы f x  

a0    a n cos nx, 2 n 1

an 

2





 f x cos nxdx. 0

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Пример 5.3.3. Рассмотрим 2π-периодическую функцию, которая на –π, π задана формулой f  x   x 2 (рис. 5.3). Так как функция f  x  четная, то bn  0, an 

2





2 x3 a 0   x dx   0  3 2





2

0

2 2 , 3



x

2

cos nxdx, n  1,2,3,... .

0

f x 



0



2

3

4

x

Рис. 5.3 Интегрируя дважды по частям, получаем 2  x 2 sin nx an   n  

4  cos nx  x n  n 142



0



  sin nx 4 2 xdx     x sin nxdx   n n 0 0 





0

cos nx  4 4  n 4 dx  2 cos n  3 sin nx 0   1 2 , n  1,2,3,... .  n n n 0  n





Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид f x  

2 3



 4 n 1

 1n cos nx . n2

Это равенство справедливо при любом х R, так как функция f(x) непрерывна на всей числовой оси. В частности, при х    ,  имеем х  2

2 3



 4 n 1

 1n cos nx . n2

5.3.4. Ряд Фурье для 2l-периодической функции Пусть f(x) – периодическая функция с произвольным периодом Т=2l. Разложим ее в ряд Фурье. Для этого сделаем замену переменной по формуле х  lt /  . Тогда функция f (lt /  ) будет периодической функцией от t с периодом 2 . Ее можно разложить в ряд Фурье на отрезке    x   :  l  a f  t   0   an cos nt  bn sin nt  ,    2 n1

(5.30)

где 





1 1 l  l  l  a 0   f  t dt , a n   f  t  cos ntdt , bn   f  t  sin nt dt.                1

Возвратимся к старой переменной х: x

l



t, t 

 l

x , dt 

 l

dx .

Тогда будем иметь: 1 1 1 n x n x a 0   f  x dx, a n   f  x  cos dx, bn   f  x sin dx . l l l l l l l l l

l

l

(5.31)

Разложение (5.30) получит вид f x  

a0   nx nx     a n cos  bn sin , l l  2 n 1 

(5.32)

где коэффициенты a0, an, bn вычисляются по формулам (5.31). Правая часть формулы (5.32) – ряд Фурье для 2l-периодической функции f(x). Отметим, что для 2l-периодической функции f(x) теорема о возможности разложения в ряд Фурье (теорема 5.3.2) формулируется аналогично. При вычислении коэффициентов Фурье по формулам (5.31) интегрировать можно по любому отрезку длиной 2l. Для четной или нечетной функции f(x) вычисление коэффициентов Фурье упрощается так же, как и в случае 2  -периодической функции. 143

Пример 5.3.4. Пусть требуется разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом Т=2, которая на отрезке [–1,1] задается равенством f(x)= х (рис. 5.4).

f(x)

1

–2

–1

О 1

2

3

x

Рис. 5.4 Так как рассматриваемая функция – четная и l=1, то l

1

1 2 bn  0, a0   f x dx  2 xdx  x 2  1, 0 l 0 0 l 1 1  sin nx 1 1 sin nx  2 2 nx   sin nxdx  a n   f  x  cos dx  2  x cos nxdx  2 x dx      l 0 l n 0 0 n n 0 0  



1



2 cos nx 2 2 n   2 2 cos n  1  2 2  1  1 . 2 2 n n n 0

Следовательно, разложение имеет вид 1 2   1  1 1 4  cos x cos 3x cos 5x   2 cos nx   2     ...  2 2 2 2  n1 n 2   1 3 5   1 4 cos 2n  1x .   2 2  n 1 2n  12 n

f x  

5.3.5. Ряд Фурье для непериодической функции Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b ], причем функции f(x), f  (x) непрерывны на [а, b ] или имеют на этом отрезке конечное число точек разрыва 1-го рода. Покажем, что заданную функцию f(x) в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим функцию f1(x) с периодом 2l  b  a , совпадающую с функцией f(x) на отрезке [а, b ]. Разложим функцию f1(x) в ряд Фурье f1 x  

a0   nx nx     a n cos  bn sin , x   ,   . l 2 n 1  l 

Если x  a, b, то f1(x)≡ f(x), следовательно, f x  

a0   nx nx     a n cos  bn sin , x  a, b . l 2 n 1  l 

Это и есть разложение в ряд Фурье функции f(x), заданной на отрезке [а, b ]. 144

Рассмотрим два частных случая. 1. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Доопределим функцию так, чтобы при  l  x  0 было f(x)= f(–x), в результате получится четная функция  f  x ,  l  x  0 g x    .  f  x , 0  x  l В этом случае говорят, что функция f(x) продолжена четным образом (рис. 5.5). у у

y=f(x)

y=f(x) –l

l

х

–l

Рис. 5.5

l х

Рис. 5.6

Разложим функцию g(x) на отрезке  l , l  в ряд Фурье a0  nx   an cos , l 2 n1

g x   где

2 2 nx nx a n   g x  cos dx   f  x  cos dx, n  0,1,2,... . l 0 l l 0 l Коэффициенты b n=0, так как g(x) – четная функция. Если x  [0, l ] , то g(x)  f  x  , следовательно, l

l

f x  

a0  nx   an cos . l 2 n1

2. Аналогично, продолжая f  x  нечетным образом, получим нечетную функцию (рис. 5.6)  f  x ,  l  x  0 h x    0 x l,  f  x , которая разлагается в ряд Фурье по синусам. На отрезке [0,l] 

f  x   h x    bn sin n 1

nx , l

где 2 nx f  x sin dx.  l 0 l l

bn 

Таким образом, функцию f  x  , заданную на отрезке 0, l  , можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам. 145

Пример 5.3.5. Пусть требуется разложить функцию f  x   x на отрезке 0,1 в ряд по косинусам. Продолжая эту функцию четным образом, получим f  x   х ,  1  х  1

(рис. 5.4). Разлагая ее в ряд, найдем f x  

1 4  2 2



cos 2n  1x

 2n  1

2

n 1

(см. пример 5.3.4). При x  [0,1] будем иметь 1 4  2 2

x



cos 2n  1x

 2n  1 n 1

2

.

Пример 5.3.6. Разложить функцию f  x  = х на отрезке [0, 1] в ряд Фурье по синусам.  nx f  x    bn sin Решение. Искомое разложение имеет вид , l n 1 2 nx f  x  sin dx . Так как l=1, а f(x)=x 0  х  1 , то  l 0 l l

где bn 

1  cos nx 1 1 cos nx  2 cos n 2 sin nx   bn  2  x sin nxdx  2  x dx         n 0 0 n n n n 0 0   1

2 cos n 2 1 2 1    n n n

n 1

n

,

следовательно, x

2





 n 1

 1n1 sin nx, n

x  0, 1 .

5.4. Основные термины Числовой ряд. Общий член ряда. Частичная сумма ряда. Остаток ряда. Сходимость и расходимость ряда. Сумма ряда. Геометрический ряд. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд. Знакоположительный, знакочередующийся, знакопеременный ряды. Абсолютная сходимость ряда. Условная сходимость ряда. Степенной ряд. Область сходимости. Интервал сходимости. Радиус сходимости. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Тригонометрический ряд. Основная тригонометрическая система. Ортогональность функций на отрезке. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.

146

5.5. Вопросы для самоконтроля 1. Является ли необходимый признак сходимости ряда достаточным? Почему? Приведите пример. 2. Нарушится ли сходимость ряда, если отбросить конечное число его членов? Изменится ли сумма ряда? 3. С помощью каких достаточных признаков можно исследовать сходимость знакоположительного ряда? 4. Какой ряд называется обобщенным гармоническим рядом? Что можно сказать о его сходимости? 5. Сходится ли знакочередующий ряд, если абсолютные величины его членов монотонно убывают?  (1) n 1 нужно взять, чтобы найти его сумму с 6. Сколько первых членов ряда  n4 n 1 точностью   0,01 ? 7. Зависит ли сумма абсолютно (условно) сходящегося ряда от порядка его членов? 8. Что можно сказать об области сходимости степенного ряда? 9. Может ли степенной ряд всюду сходиться (всюду расходиться)? 10. Как найти радиус сходимости степенного ряда? 11. Верно ли утверждение: радиус сходимости любого степенного ряда



a x n 0

n

n

можно

an ? n  a n 1 12. Изменяется ли радиус сходимости степенного ряда при почленном дифференцировании (интегрировании) ряда? 13. Можно ли утверждать, что ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции f(x) сходится к функции f(x)? 14. Каковы основные свойства функций, образующих основную тригонометрическую систему? sin x разложить в ряд Фурье на отрезке   ,   ? 15. Можно ли функцию f  x   x 16. Функция f  x   x 3 разложена в ряд Фурье на отрезке [0,2π]. Чему равна сумма ряда в точках х = 0, х = –  ? 17. По каким функциям разлагается в ряд Фурье четная (нечетная) функция? 18. Функция f  x   x 2  1 разложена в ряд Фурье по синусам на отрезке 0, 1 . Чему 1 1 равна сумма ряда в точках х=0, х   , х  ? Чему равен период суммы ряда? 2 2

найти по формуле R  lim

147

5.6. Задачи для самостоятельного решения Задание 1. Исследовать сходимость знакоположительного ряда, применяя признаки сравнения (№1-№4), признак Даламбера (№5-№8), радикальный признак Коши (№9№12), интегральный признак Коши (№13, №14) Ответы Ответы n  n( 2n  1)  n 1 2.  Сходится Сходится 4 1.    n 1 5n  8 n 1 n  1 2  

3.  sin n 1



3

Сходится

n

n6 n n 1 2 

5. 

Сходится

5n 7.  n 1 1  3  5  ...( 2n  1)

Сходится



 n 1  9.    n 1  2n  1  

n

Сходится

1 n 1 ln(n  1)  n! 6.  n n 1 3  1  1 8.  n!sin n n 1 

4. 

Расходится Расходится Расходится

1  10.  n  arctg  n n 1  

n

2

 n2

n2

  2n  1  12.  n Расходится  n 1  3n  1    1 1 14.  13.  Сходится 3 n 1 ( n  1) ln ( n  1) n 1 ( 2n  1) ln(n  1) Задание 2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда Ответы   1 1 Сходится (1) n 1.  (1) n 1 2.  2 абсолютно ln(n  1) (2n  1) n 1 n 1  sin( n  1)  ( 1) n 1 Сходится 4.  3.  3 2n условно n 1 n 1 n

 n 1 11.    n 1  2n  

 n  1 Сходится 6.  (1) n1 ln1   абсолютно (n  1)! n 1 n 1  n Задание 3. Найти область сходимости степенного ряда Ответы n n  ( x  1)  n x ( 2 , 4 ) 1.  2.  (1) 2 3n n n 1 n 0  ( x  2) n  ( n  1) 2 x 2 n (1,1) 3.  4.  2n  1 n 1 n  n 0 n  ( 1) n x n  n2 ( 2 , 2 ] 6. 5.  xn  n n 0 n 1 n! n 2 Задание 4. Вычислить интеграл с точностью до 0,001 Ответы 0,5 1 sin x 2.  cos( x 2 )dx 1.  dx 0,946 x 0 0 

5.  (1) n

1

2

3.  e  x dx 0

148

Сходится

0,747

0 , 25





4.  ln 1  x dx 0

Сходится Расходится Ответы Сходится условно

Сходится абсолютно Сходится условно Ответы

[1,1] [3,1)

(, ) Ответы

0,497 0,071

Задание 5. Разложить в ряд Фурье 2l – периодическую функцию 2,0  x  1, 1. f ( x)   l 1 0,1  x  2;

2. f ( x)  2  3 x,  5  x  5 ; l  5 3. f ( x) 

 x 2

, 0  x  2 ; l  

 2  3x 2

,   x   ; l   12 1,  x  0, 5. f ( x)   l   2,0  x   ; 4. f ( x) 

Ответы

f ( x)  1 

sin(2n  1) x  n1 2n  1 4





nx (1) n1 sin  5  n1 n  sin x f ( x)   n 1 n  cos nx f ( x)   (1) n1 n2 n 1 f ( x)  2 

30



1 6  sin( 2n  1) x f ( x)     2  n1 2n  1

5.7. Итоговый контроль Изучив тему, студент должен: знать:  определения сходимости и суммы числового ряда, основные свойства сходящихся рядов;  необходимый признак сходимости ряда;  достаточные признаки сходимости рядов (признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши, признак Лейбница, признак сходимости знакопеременного ряда);  определения абсолютной и условной сходимости рядов;  определение степенного ряда и теорему Абеля о его области сходимости;  теорему о разложении функции в ряд Тейлора;  разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена;  определение ряда и коэффициентов Фурье;  теорему о сходимости ряда Фурье;  разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье;  разложение функции с произвольным периодом в ряд Фурье; уметь:  исследовать сходимость числовых рядов;  вычислять с заданной точностью сумму ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница;  находить области сходимости степенных рядов;  раскладывать элементарные функции в ряды Тейлора и Фурье; иметь представление:  о единственности разложения функции в ряд (степенной или тригонометрический);  о разложении в ряд Фурье непериодической функции.

149

5.7.1. Тест 

U

1. Если lim U n  0 , то ряд n 

n 1

n

:

а) сходится; б) расходится; в) может как сходиться, так и расходиться; г) сходиться условно; д) сходится только в том случае, если все его члены положительны. 2. Какие из следующих утверждений верны? а) если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю; б) если общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится; в) если общий член ряда не имеет конечного предела, то ряд расходится; г) если ряд расходится, то его общий член не стремится к нулю; д) если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. 3. Какие из следующих рядов сходятся абсолютно?  sin n а)  2 ; n 1 n  (1) n ln n б)  ; n n 1  (1) n  n 2 в)  ; n2 1 n 1 

n

 2 г)     ; 3 n 1   cos n д)  . n n 1 4. Какие из предыдущих рядов сходятся условно?  (1) n ln n : 5. Ряд  n 1 n5 а) сходится; б) расходится; в) сходится абсолютно; г) сходится условно. 6. Выберите верные утверждения: а) всякий степенной ряд сходится хотя бы в одной точке; б) всякий степенной ряд расходится хотя бы в одной точке; в) степенной ряд может всюду расходиться; г) степенной ряд может всюду сходиться; д) степенной ряд расходится при всех x > 0 и сходится при всех x ≤ 0. 7. Известно, что ряд



a n 0

n

( x  1) n сходится при х = 3. Выберите верные утверждения

для данного степенного ряда: а) ряд сходится при х = 2; б) ряд сходится при х = – 2; в) ряд расходится при х = – 2; г) о сходимости ряда при х = – 2 ничего сказать нельзя; д) ряд расходится при х = – 1 2 . 150

8. Областью сходимости степенного ряда а) б) в) г) д)



xn является промежуток:  n n 1 n  10

(– 10, 10); (– 1, 1); [– 10, 10]; (– 1, 1]; [– 10, 10).

9. Если 2 -периодическую функцию f ( x) 

 x

то сумма ряда в точке x  0 будет равна: а)



2

б) 

2

, x  0, 2  , разложить в ряд Фурье,

;

 2

;

в) 0; г)  ; д) 2 . 10. Выберите верные утверждения. Если функция f (x) задана и непрерывна на отрезке [0, l] и имеет на этом отрезке непрерывную производную f / ( x) , то на отрезке [0, l] функцию f (x) : а) можно разложить в ряд Фурье по синусам; б) можно разложить в ряд Фурье по косинусам; в) нельзя разложить в ряд Фурье; г) можно разложить в ряд Фурье по синусам и косинусам.

5.7.2. Задачи Образцы решения задач n  3 2   2  cos  n 2   Задача 1.1. Исследовать на сходимость ряд  . 2n 2  1 n 1 Решение. К данному знакоположительному ряду применим признак сравнения (теорема 5.1.2). Так как |cos x| ≤ 1, 2n2 + 1 > 2n2, то 

n  3 2   n  2  cos 33 n 2 3 1 2   Un     4/3 . 2n 2  1 2n 2 2 n Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)



1

 n

сходится при α > 1 и расходится

n 1

при α ≤ 1. Следовательно, ряд



3

2n n 1

1 4/3

сходится. Согласно признаку сравнения исходный

ряд также сходится. 151



2 . n 1 n 1 Решение. Воспользуемся предельным признаком сравнения (теорема 5.1.3). Так как 1 1 при n → ∞ , то arcsin ~ n 1 n 1 Задача 1.2. Исследовать на сходимость ряд



3

n arcsin

 23 n 1  2 1  2n 2  lim 3 n arcsin : 2 / 3   lim : 2 / 3   lim  lim 20. n  n  1 n  n    n  1 n  n  n  1 n   1  1 / n  Поскольку ряд



n n 1

2       1 расходится, то исходный ряд также расходится. 3  

1 2/3



2n n ! .  n n 1 n Решение. Применим признак Даламбера (теорема 5.1.4). Учитывая то, что 2 n 1 (n  1) ! , находим U n1  (n  1) n1

Задача 2.1. Исследовать на сходимость ряд

 2 n1 (n  1) ! 2 n n !  U n1 2 2 n1 (n  1) !n n 2n n 2   lim    lim   1. lim : lim n 1 n n 1 n n n    n  U n  n  n  n (n  1)  2 n ! n (n  1) e  1  (n  1) n 1    n

lim

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится. 

2n

 n  Задача 2.2. Исследовать на сходимость ряд    . n 1  3n  1  2n

2

2

2

 n   n   1  1 Решение. Так как lim U n  lim   lim  lim      1 , то   n  n  n  3n  1  3n  1    n   3  1 / n   3  согласно радикальному признаку Коши (теорема 5.1.5) данный ряд сходится. n

n

Задача 3. Найти область сходимости степенного ряда



3 n 1

xn n 1

n

.

Решение. Радиус сходимости данного степенного ряда находим по формуле a 1 1 , то , an1  n R  lim n . Так как an  n1 n  a 3 n 3 n  1 n 1

1 3n n  1 1   1 : n  3 lim 1   3 , R  lim n1   lim n1 n  3 n   n   n 3 n 3 n 1  n  следовательно, ряд абсолютно сходится в интервале (–3, 3). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляя в данный ряд   1 3n вместо х число 3, получим числовой расходящийся ряд  n1  3 , так как ряд n n n 1 3 n 1  1 Дирихле   расходится при α ≤ 1. При х = – 3 получим числовой знакопеременный ряд n 1 n

152



3 , который сходится по признаку Лейбница (теорема 5.1.7). Сходимость условная, n n 1   3 1 расходится.  3 поскольку ряд из абсолютных величин  (1) n n n n 1 n 1 Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является полузамкнутый интервал [–3, 3).

 (1)

n

1

Задача 4. Вычислить интеграл

x e

2  x2

dx с точностью до 0,001.

0



tn ,    t   , при t = –x2 будем иметь n0 n !

Решение. Учитывая разложение e t  

1 1 1     (1) n x 2 n  (1) n (1) n x 2 n 3 (1) n 2  x2 2 2n2        x e dx x dx x dx    0 0   n !  n ! 0 n 0 n 0 n  0 n !( 2n  3) 0 n  0 n !( 2n  3)  (1) n1 1 1 1 1 1 1        ... . 3 5 14 54 264 1560 n 1 ( n  1) ! ( 2n  1) 1

Мы получили знакочередующийся числовой ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 5.1.7. Поэтому, если в качестве приближенного значения его суммы взять сумму первых n членов, то ошибка по абсолютной величине не будет превосходить абсолютной величины 1 . первого отбрасываемого члена U n1  n ! (2n  3) 1 Так как U 6   0,000641...  65 10 5  0,001 , то с точностью до 0,001 имеем 1560 1

(1) n1 1 1 1 1 1       0,190 . 3 5 14 54 264 n 1 ( n  1) ! ( 2n  1) 5

2 x  x e dx   0

2

Задача 5. Разложить в ряд Фурье 2l-периодическую функцию f (x) = 2x + 10, – 2 < x < 2, l = 2. Построить график суммы ряда. Решение. Для вычисления коэффициентов Фурье воспользуемся формулами (5.32):

1 nx f ( x) cos dx, n  0, 1, 2, ... ,  l l l l

an 

1 nx bn   f ( x) sin dx, n  1, 2, 3, ... . l l l l

2  x2 2 1 Имеем: a 0   (2 x  10) dx    5 x   20 , 2 2  2  2

1 nx nx a n   (2 x  10) cos dx   ( x  5) cos dx . 2 2 2 2 2 Интегрируя по частям, получаем 2

2 nx a n  ( x  5) sin n 2 Аналогично находим

2

2

2

2  n

2

nx nx  2  2sin 2 dx   n  cos 2 2

2

 0, n  1, 2, 3, ....

2

153

2

bn   ( x  5) sin 2

nx 2 nx dx  ( x  5) cos 2 n 2 2

nx  2    sin 2  n 

2



2

2

2



2 n

2

 cos

2

n x 14 6 dx   cos n  cos n  2 n n

8 8(1) n cos n   , n  1, 2, 3, .... n n

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (5.33), получаем разложение функции 8  (1) n nx f (x) в ряд Фурье: f ( x)  10   . sin 2  n1 n Построим график суммы ряда. Сумма ряда S (x) имеет период T = 2l = 4 и S (x) = f (x) в точках непрерывности f (x), т. е. для всех х ≠ 4k – 2, k = 0, + 1, + 2, …. 1 1 Если x  4k  2, то S (4k  2)  S (2)   f (2  0)  f (2  0)   (14  6)  10 (рис. 5.7). 2 2 S(x) 14

10 6 –2

0

2

4

6

8

10

x

Рис. 5.7

Расчетное задание Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.

1.





sin 2 n n

.

n n cos 2 (n / 2) . 3.  n 1 n( n  1)( n  2)  2  (1) n . 5.  n 1 n  ln n n 1 

n(2  cos n) . 2n 2  1 n 1  3  (1) n . 9.  2n n 1 

7.



 1 1 . 2.  tg n 1 n n  n2  5 4.  ln 2 . n 4 n 1  1 6.  n sin . 3 n 1 n4  1 8.  3 n  arctg 3 . n n 1    10.  1  cos  . n n 1 

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд. 

n2 1.  . n 1 ( n  2)!

154

n2

 2n 2  1   . 2.   2 n 1  n  1  



3. 

arctg

n 1

n!

5 n.



1 n  4.  n   n 1 3  n  1   2 n 1 6.  n . n 1 n

(n  1)! . nn n 1   7.  n!sin n . 2 n 1

5.







8.

2

n2

.

n 1  n

e .

n 1

n

 2n  1  2 10.    . n 1  3n  1 





n! . 9.  n 1 (3n)! Задача 3. Найти область сходимости степенного ряда.

1.

 3

 n 1

3. 5. 7. 9.

(n  1) n n x . n!

2.



(2n)! x n .  nn n 1

4.



nx n .  n n 1 3 ( n  1)  1 n 1   x .  n n 1   3n x n n 1

2 n (3n  1)

2n xn .  n 1 n( n  1) 

3 n n! n x .  n n 1 ( n  1) 



5n x n

n 1

n





6.



8. .

n

n

.

(n  1) x n .  n n 1 3 ( n  2) 

( n  2) x n .  n 1 n ( n  1) 

10.

Задача 4. Вычислить интеграл с точностью до 0,001. 0 ,1

1

1.  cos x 2 dx .

2.

0 ,1

0, 2

5.

3 x  e dx . 2

4)

ln(1  x / 5) dx . x 0



0,5

6.

 0

0,5

0,5

)dx .

1

0

sin x 2 7.  2 dx . x 0

2

0

0

1  e 2 x 3.  dx . x 0

 sin(100 x

dx 3

1  x3

.

0,5

8.

 x ln(1  x

2

)dx .

0

0,5

2 ln(1  x 2 ) 10.  e  x / 3 dx . 0 x dx ; 0 Задача 5. Разложить в ряд Фурье 2l-периодическую функцию y  f (x) . Построить график суммы ряда.

9.

1. 3. 5. 7. 9.

f ( x)  2 x  1 , – 1 < x < 1, l = 1. f ( x)  1  3x , – 3 < x < 3, l = 3. f ( x)  5  x , – 2 < x < 2, l = 2. f ( x)  2 x  1 , – 4 < x < 4, l = 4. f ( x)  3x  1 , – 1 < x < 1, l = 1.

2. f ( x)  3x  2 , – 2 < x < 2, l = 2. 4. f ( x)  1  4 x , – 4 < x < 4, l = 4. 6. f ( x)  6  x , – 1 < x < 1, l = 1. 8. f ( x)  1  4 x , – 3 < x < 3, l = 3. 10. f ( x)  2 x  1 , – 2 < x < 2, l = 2. 155

ГЛАВА 6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 6.1.1. Основные понятия Дифференциальным уравнением (д. у.) называется уравнение, связывающее независимую переменную x , функцию y  y (x) переменной x и ее производные y , y ,... y ( n ) : F ( x, y, y , y ,..., y ( n ) )  0 . Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком д. у. Решением д. у. на интервале (a; b) называется функция y   (x) такая, что подстановка ее в д. у. превращает это уравнение в тождество по x на (a; b) . График решения д. у. называется интегральной кривой этого уравнения. Пример 6.1.1. Уравнение xy '  x  y имеет порядок n = 1. Функция y  x ln x является решением уравнения. Действительно, y '  ln x  1 ; подставляя в уравнение, получим x(ln x  1)  x  x ln x – тождество. Легко убедиться в том, что функция y  x ln x  x также является решением. Пример 6.1.2. Уравнение y ' ' y  0 является д. у. второго порядка. Функция y  cos x является решением. Действительно, y '   sin x , y ' '   cos x ; подставляя в уравнение, получаем тождество:  cos x  cos x  0 . Функция y  sin x также является решением, а также функции y  sin x  cos x , y  2 sin x , y  3 cos x , y  5 cos x . Рассмотренные примеры показывают, что д. у. может иметь несколько решений. Рассмотрим д. у. 1-го порядка, разрешенное относительно производной: y   f ( x, y ) , где f ( x, y ) – некоторая функция двух переменных. Пусть даны числа x0 , y 0 . Задача Коши для д. у. 1-го порядка формулируется следующим образом: найти решение д. у. y   f ( x, y ) , удовлетворяющее начальному условию y ( x0 )  y0 . Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку M 0 ( x0 , y0 ) на плоскости xOy . Пример 6.1.3. Дана задача Коши: y '  y  x 2 , y (0)  1 . В этом случае f ( x, y )  y  x 2 , x0  0 , y 0  1 , M 0 (0;1) . Теорема 6.1.1. Пусть дано д. у. y   f ( x, y ) , где функция f ( x, y ) определена в некоторой области D плоскости xOy , содержащей точку M 0 ( x0 , y0 ) . Пусть выполняются условия: 1. f ( x, y ) есть непрерывная функция двух переменных в области D ; 2. f ( x, y ) имеет частную производную f y ( x, y ) , ограниченную в D .

Тогда найдется интервал ( x0  h; x0  h) , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию y ( x0 )  y0 . 2

Пример 6.1.4. Рассмотрим задачу Коши: y   y 3 ,

y (0)  1 . Здесь f ( x, y )  y

2

3

–

2 13 y . По условию, x0  0, y0  1 . 3 В окрестности точки M 0 (0;1) частная производная f y ( x, y ) ограничена, значит, все условия теоремы 6.1.1 выполняются. Задача Коши имеет единственное решение. Заметим, что f y ( x, y ) обращается в бесконечность при y  0 , т. е. на оси Ox , поэтому в точках оси Ox возможно нарушение единственности. 156

непрерывная функция на всей плоскости xOy ; f y ( x, y ) 

Пусть дана задача Коши, и в области D выполняются условия теоремы 6.1.1. Общим решением д. у. y   f ( x, y ) называется функция y   ( x, C ) , зависящая от переменной x и константы C , удовлетворяющая условиям: 1. При любом значении C функция y   ( x, C ) является решением уравнения. 2. При любом начальном условии y ( x0 )  y0 , таком, что M 0 ( x0 ; y 0 )  D , найдется значение константы C , при котором функция y   ( x, C ) будет удовлетворять данному условию. Частным решением д. у. называется решение, полученное из общего при каком-либо фиксированном значении константы C . Общим интегралом д. у. называется уравнение вида  ( x, y, C )  0 , неявно определяющее общее решение д. у. Решение y   (x) д. у. называется особым, если в каждой точке его графика нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую точку M 0 ( x0 ; y0 ) , кроме интегральной кривой этого решения, проходит также интегральная кривая другого решения д. у. Пример 6.1.5. Доказать, что функция y  ( x  C ) 3 / 27 является общим решением д. у. y  y

2

3

в области D : y  0 .

Решение. Находим производную: y  



в уравнение: ( x  C ) 2 / 9  ( x  C ) 3 / 27



2

3

1 3( x  C ) 2  ( x  C ) 2 / 9 и подставляем y и y  27

– получили верное равенство. Пусть дано условие 1

y ( x0 )  y 0 , где y0  0 . Тогда y0  ( x0  C ) 3 / 27 , C  3 y0 3  x0 . Это означает, что при данном значении С функция y  ( x  C ) 3 / 27 удовлетворяет условию y ( x0 )  y0 . Значит, y есть общее решение. Заметим, что функция y  0 также является решением д. у., это проверяется непосредственно. Пусть начальное условие имеет вид y ( x0 )  0 . Тогда этому условию будут удовлетворять два решения: y  0 и y  ( x  C0 ) 3 / 27 , где C0   x0 . Поэтому решение y  0 есть особое решение дифференциального уравнения.

6.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными Признак. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными имеет вид dy / dx  P( x)Q( y ) или P1 ( x)Q1 ( y )dx  P2 ( x)Q2 ( y )dy  0 , где P, Q, P1 , Q1 , P2 , Q 2 – некоторые функции. Метод решения. Следует разделить переменные, то есть привести уравнение к виду Q ( y) P ( x) dy dy  1 dx и проинтегрировать обе части уравнения по  P( x)dx или  2 Q( y ) Q1 ( y ) P2 ( x) соответствующей переменной. Пример 6.1.6. Найти общий интеграл уравнения: x 2 8  y 3  y 2 1  x 3 y  . dy Решение. Производную y  представим по формуле y   как отношение двух dx dy . Разделяем в дифференциалов. Уравнение принимает вид x 2 8  y 3  y 2 1  x 3 dx уравнении переменные (т. е. все множители, содержащие y , переносим в правую часть

157

уравнения, а все множители с x – в левую), получаем:



x 2 dx

x 2 dx 1 x3



y 2 dy 8  y3

. Интегрируем:

y 2 dy

 . Вычисляем каждый из полученных интегралов методом замены 1  x3 8  y3 переменной:

 

1

1 dt 1  1 t 1/ 2 2  t  1 x       t 2 dt   C   1  x 3  C, 3 3 3 3 1 / 2 3 t 1 x y 2 dy 2  8  y 3  C. 3 3 8 y x 2 dx

3

2 2 1  x3  C   8  y 3 , где 3 3 C – произвольная постоянная. Сокращая обе части уравнения на (–2/3) и заменяя число C 3 на другую константу C1   C , получаем: 1  x 3  C1  8  y 3 . 2 Замечание: решением уравнения является также y  2 , которое не входит в общий Общий интеграл дифференциального уравнения есть: 

интеграл и которое мы потеряли, производя деление на особым.

8  y 3 . Это решение является

6.1.3. Однородные уравнения первого порядка  y Признак. Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид y   f    x или P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 , где P( x, y ) и Q( x, y ) – однородные функции от x и y одного порядка. Последнее означает, что для любых x, y,  n n P (x,y )   P( x, y ), Q(x,y )   Q( x, y ) , где n – некоторое число. Метод решения. Подстановка y  xu ( x), y   u x  u , где u (x) – новая функция переменной x . Подстановка приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными xu   f (u )  u или xu   u  P(1, u ) / Q(1, u ) . Замечание. Уравнение вида  ax  by1  dy1 ,  f  1 dx1  a1 x1  b1 y1  x  x1  h,

то

есть

 ax  by  c  dy  приводится к однородному  f  dx  a1 x  b1 y  c1   a  by1 / x1  dy1  с помощью замены  f  dx1  a1  b1 y1 / x1 

y  y1  k , если ab1  a1b  0 . Постоянные h, k определяются из системы

уравнений ah  bk  c  0, a1h  b1k  c1  0 . Если же ab1  a1b  0 (то есть его можно привести к виду  ax  by  c  dy  .  f  dx   (ax  by )  c1 

158

a1 b1    ), то a b

Последнее уравнение с помощью введения новой функции z ( x)  ax  by ( x) приводится к уравнению с разделяющимися переменными  zc   . z   a  bf   z  c1 

y . x Решение. Разделим обе части уравнения на x : y   y / x  cos 2 ( y / x) . Правая часть уравнения зависит от y / x , поэтому уравнение является однородным. Сделаем замену Пример 6.1.7. Найти общий интеграл уравнения xy   y  x cos 2

y  xu ( x),

u x  u  u  cos 2 u

y   xu ( x)  u ( x) . Получим

или

u x  cos 2 u . Разделим

du / cos 2 u  dx / x ; интегрированием находим tgu  ln x  C , где C – произвольная постоянная интегрирования. Общий интеграл исходного уравнения: tg ( y / x)  ln x  C . В процессе решения мы делили на cos 2 u , что могло привести к потере переменные:

  решения. Положим cos u  0 , тогда y  x  n , n  Z . Эти функции также являются 2  решениями исходного уравнения.

y  2x  1 . x y2 Решение. Это уравнение, приводящееся к однородному.

Пример 6.1.8. Найти общий интеграл уравнения y  

Сделаем замену x  x1  h, y  y1  k . Тогда уравнение примет вид dy1 ( y1  2 x1 )  (k  2h  1) .  dx1 ( x1  y1 )  (h  k  2) Выбирая k  2h  1  0, h  k  2  0 , т. е. h  1, k  3 , и поделив числитель и знаменатель дроби на x1 , получим однородное уравнение dy1 / dx1   y1 / x1  2  / 1  y1 / x1  , которое заменой y1  x1u ( x1 ) приводится к уравнению с разделяющимися переменными: x1du / dx1  u  u  2  / 1  u  . dx 1 u du  1 , Разделяя переменные и интегрируя, имеем 2 u 2 x1 

  u 1 2 2 In

u 2 u 2

In

2

dx 1 u   2 du   1 , x1 2 u 2

u 2 u 2



1 In u 2  2  In x1  In C , 2

 2 In u  2  2 In u  2  2 2 In x1  In C1 ,

(1  2) In u  2  (1  2 In u  2  2 2 In x1  In C1 , (u  2 )1

2

/(u  2 )1

2

 C1 x 2 2 .

159

 y y  3  , общий интеграл уравнения запишем Возвращаясь к переменным x, y u  1  x1 x  1   в виде 1 2

1 2

 y 3   2   x 1 

 y 3   2   x 1 

 C1 x 2 2 .

6.1.4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли Признак. Линейное уравнение 1-го порядка имеет вид

y   P ( x) y  Q( x) ,

(6.1)

где P ( x), Q( x) – заданные функции, непрерывные на интервале (a, b) . Метод решения. Следует искать решение уравнения в виде произведения двух функций: y ( x)  U ( x)V ( x) . Подставляя в (6.1), получим VU   PV  V U  Q . Функцию V PV  V   0

определяют из условия

(тогда





V  C exp   P( x)dx , где постоянную

интегрирования C можно без ограничения общности выбрать равной единице), затем находят U из уравнения VU   Q (тогда U   Q / V dx  C , C – произвольная постоянная интегрирования). Общее решение уравнения (6.1) имеет вид





 



y  exp   P( x)dx C   Q( x) exp  P( x)dx dx . . Замечание. Решение можно получить также методом вариации произвольной постоянной, который для линейного уравнения первого порядка эквивалентен указанному выше методу: сначала находят общее решение однородного уравнения





V   P( x)V  0, V  C exp   P( x)dx , а затем, считая произвольную постоянную C функцией, зависящей от x , общее решение полного (неоднородного) уравнения отыскивают в виде y  C ( x) exp   Pdx . Подставляя y (x) в (6.1), получим уравнение для C ( x) :









C ( x) exp   P ( x)dx  Q .

Пример 6.1.9. Найти решение задачи Коши y x ln x  y  2 x 2 ln 2 x / 1  x 2 ,

y ( e)  0 .

Решение. Будем искать общее решение уравнения в виде y  U ( x)V ( x) , тогда y   U V  UV  . Подставляя выражения для y и y  в уравнение, получим





x ln xVU    xV  ln x  V U  2 x 2 ln 2 x / 1  x 2 .

(6.2)

Функцию V находим из условия xV  ln x  V  0 . Тогда имеем dV dx  , ln V  ln ln x  ln C , V  C ln x . V x ln x Выбирая любое частное решение, например, V  ln x C  1 , и подставляя его в (6.2), получим уравнение для U (x) : x ln 2 xU   2 x 2 ln 2 x / 1  x 2 .



160



      



Откуда находим U   2 x / 1  x 2 , U  ln 1  x 2  C . Следовательно, общее решение уравнения имеет вид y  ln 1  x 2  C ln x . Для отыскания частного решения,





удовлетворяющего условию y (e)  0 , положим x  e, y  0 . Получим: 0  ln 1  e 2  C , откуда C   ln 1  e 2 .





Таким образом, решение задачи Коши имеет вид y  ln

1 x2 ln x . 1 e2

Пример 6.1.10. Решить задачу Коши

2 y ln y  y  x dy  ydx  0,

y (0)  1.

Решение. Уравнение можно привести к уравнениям вида dy y dx 2 y ln y  y  x  ,  . dx 2 y ln y  y  x dy y Первое уравнение для функции y  y (x) нелинейное, второе после элементарных преобразований приводится к виду dx 1  x  1  2 ln y. (6.3) dy y Последнее уравнение является линейным относительно функции x  x( y ) (считаем искомой функцией x , а аргументом y ). Представляем x в виде x  U ( y )V ( y ) и подставляем в (6.3): VU   V   V / y U  1  2 ln y.

Функции U и V находим из системы V  

V  0, VU   1  2 ln y. Из первого уравнения y

имеем: dV dy   , ln V   ln y  lnC  , V  C / y; V y второе уравнение системы при C  1 дает: y 1U   1  2 ln y. Отсюда

U    y  2 y ln y dy  y 2 ln y  C .

Тогда

общее

решение

имеет

вид

x  y ln y  C / y . Подставляя в это выражение значения x  0, y  1, находим C  0 . Задача Коши имеет решение: x  y ln y . Признак. Уравнение Бернулли имеет вид y   P( x) y  Q( x) y  , где  – вещественное число,   0,   1 . Метод решения: Замена z ( x)  y1 , переводящая уравнение Бернулли в линейное уравнение z   (1   ) P( x) z  1   Q( x) .

Пример 6.1.11. Найти решение задачи Коши: y   y cos x  y 2 cos x, y (0)  1 . 161

Решение. Сделаем замену z ( x)  1 / y ( x) . Получаем: 

z 1 1  cos x  2 cos x, z    z cos x  cos x . 2 z z z

Последнее уравнение – линейное. Его общее решение z  1  Ce  sin x , C произвольная постоянная. Тогда общее решение исходного уравнения

–

y   1  C exp( sin x)  . 1

Удовлетворяя начальному условию, получим C  2 . Решение задачи Коши имеет 1 вид y   1  2 exp( sin x)  .

6.1.5. Уравнения в полных дифференциалах Признак. Уравнение в полных дифференциалах имеет вид M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 , где функции M ( x, y ) и N ( x, y ) удовлетворяют условию

 M ( x , y )  N ( x, y )  . y x Метод решения. Соотношение F  F ( x, y ) , удовлетворяющей условиям:

(6.4)

равносильно

(6.4) существованию

функции

F ( x , y ) F ( x , y )  M ( x, y ),  N ( x, y ) . x y

(6.5)

Следует найти функцию F ( x, y ) . Интегрированием из первого условия (6.5) получим F ( x, y )   M ( x, y )dx   ( y ) ,

(6.6)

где  ( y ) – пока произвольная функция. Подставляя F ( x, y ) из (6.6) во второе уравнение  (6.5), имеем M ( x, y )dx   ( y )  N ( x, y ) , откуда находим  ( y ) , а затем и  ( y ) (при y  этом постоянную интегрирования в выражении для  ( y ) можно задать произвольным конкретным числом). Общий интеграл исходного уравнения имеет вид F ( x, y )  C , где C – произвольная постоянная.





Пример 6.1.12. Найти общий интеграл уравнения:  1 1   sin y  y sin x  dx   x cos y  cos x  dy  0 . x y  

Решение. Проверим, дифференциалах:

является

M  sin y  y sin x 

ли 1 , x

M  cos y  sin x, y 162

данное

уравнение

уравнением

N  x cos y  cos x 

1 , y

N  cos y  sin x . x

в

полных

Итак,

M N  – верно. Тогда имеем: y x 1 F  sin y  y sin x  , x x 1  F    sin y  y sin x  dx   ( y )  x sin y  y cos x  ln x   ( y ) . x  1 F  x cos y  cos x  , находим  ( y ) : y y

Далее, подставляя F в уравнение

x cos y  cos x   ( y )  x cos y  cos x 

1 , y

1 y

 ( y )  ,  ( y )  ln y  ln Cˆ . Тогда F ( x, y )  x sin y  y cos x  ln xyCˆ . Общий интеграл исходного уравнения имеет вид (положили Cˆ  1 ): x sin y  y cos x  ln xy  C , где C – произвольная постоянная.

6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков 6.2.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка – основные понятия Задача Коши для д. у. n -го порядка формулируется следующим образом: найти решение д. у. y ( n )  F ( x, y, y ,..., y ( n 1) ) ,

(6.7)

удовлетворяющее начальным условиям: y ( x0 )  y 0 , y ( x0 )  y1 , y ( x0 )  y 2 ,...,

y ( n 1) ( x0 )  y n 1 .

(6.8)

Теорема 6.2.1. Пусть в уравнении (6.7) функция F ( x, y, y ,... y ( n 1) ) : 1. Непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области D их изменения. 2. Имеет ограниченные частные производные 1-го порядка по переменным y, y ,..., y ( n 1) в области D . Тогда найдется интервал ( x0  h; x0  h) , на котором существует единственное решение д. у. (6.7), удовлетворяющее начальным условиям (6.8). Для уравнения 2-го порядка y   F ( x, y, y ) условия (6.8) имеют вид: y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y1 , где x0 , y 0 , y1 – заданные числа. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую на плоскости xOy , проходящую через точку M 0 ( x0 , y0 ) с заданным углом  наклона касательной ( tg  y1 ). Общим решением д. у. удовлетворяющая условиям:

(6.7)

называется

функция

y   ( x, C1 , C2 ,..., C n ) ,

163

1. При любых значениях постоянных C1 , C 2 ,..., C n эта функция является решением д. у. 2. При любых начальных условиях (6.8) найдутся значения C1 , C 2 ,..., C n такие, что функция y   ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) будет удовлетворять этим условиям. Любое решение, полученное из общего решения при каких-либо конкретных значениях C1 ,..., Cn , называется частным решением. Общим интегралом д. у. п-го порядка называется уравнение вида  ( x, y, C1 , C2 ,..., Cn )  0 , неявно определяющее общее решение.

Пример 6.2.1. Показать, что функция y  C1  C 2 e  x является общим решением уравнения y  y  0 . Решение. Находим производные: y   C 2 e  x ,

y   C 2 e  x   y  , т. е. y обращает д. у.

y   y   0 в тождество по x при любых значениях C1 и C2 . Далее, пусть даны произвольно начальные условия y ( x0 )  y 0 , y ( x0 )  y1 . Покажем, что постоянные C1 и C2 можно подобрать так, что y  C1  C 2 e  x будет удовлетворять этим условиям. Имеем: y  C1  C 2 e  x , y   C2 e  x . Полагая x  x0 , получаем систему C1  C 2 e  x0  y0 ,  C2 e  x0  y1 , из которой однозначно

определяются

C 2   y1e x0

C1  y0  y1 .

и

Таким

образом,

решение

y  y0  y1  y1e x0  x удовлетворяет поставленным начальным условиям.

6.2.2. Уравнения, допускающие понижения порядка Укажем два вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Признак 1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка (К-1) включительно, т. е. младшая производная, входящая в уравнение, есть y ( K ) . Метод решения: замена p  y ( K ) , понижающая порядок уравнения на К единиц. При этом p  p(x) есть функция переменной x . Пример 6.2.2. Найти общее решение дифференциального уравнения xy   y  x 2  ( y ) 2 ( x  0) .

Решение. Уравнение не содержит функции y и ее производной y . Введем новую неизвестную функцию p( x)  y ( x) . Уравнение примет вид 2

xp  p  x  p , 2

2

p  p p   1    . x  x

Это однородное уравнение. Введем новую функцию u ( x)  p ( x) / x : xu   u  u  1  u 2 ,

x

du  1 u2 . dx

Разделяем переменные и интегрируем du 1 u2



dx , ln u  1  u 2  ln xC , u  1  u 2  Cx, 2Cxu  C 2 x 2  1 . x

Так как u  p / x , то  2Cp  C 2 x 2  1, p( x)  164

C 2 1 . x  2 2C

(6.9)

Мы получили общее решение уравнения (6.9). Учитывая, что C 1 y   x 2  . Отсюда двукратным интегрированием находим y (x) : 2 2C y 

p  y  , имеем

C 3 1 C 4 1 2 x  x  C1 , y  x  x  C1 x  C2 . 6 2C 24 4C

Признак 2. Уравнение не содержит независимого переменного x . Метод решения: замена y   p( y ) . При этом p рассматривается как новая dy dp dp dy неизвестная функция от y : p  p( y ) . Тогда y      pp, dx dx dy dx

y 

dy d ( pp) dp dp dp dy dp dy    p  p     p  p    p  p 2  ( p) 2  p . dx dx dx dx dy dx dy dx

Аналогично находят производные более высокого порядка. Замена понижает порядок уравнения на единицу.

Пример 6.2.3. Найти решение задачи Коши: yy   ( y ) 2  y 2 y ,

y (0)  0,5,

y (0)  0,25.

Решение. Вводим новую функцию p ( y )  y  . Имеем ypp  p 2  y 2 p,

p  p / y  y .

(6.10)

Это линейное уравнение для p( y ) . Найдем общее решение однородного уравнения: p 

p  0, y

dp dy  p y



dp dy  , p y

ln p  ln y  ln C ,

p  Cy.

Считая C  C ( y ) функцией и подставляя p  C ( y )  y в уравнение (6.10), получим: C ( y ) y  y, C ( y )  1, C ( y )  y  C1 , p  y ( y  C1 ),

dy  y ( y  C1 ) . dx

Разделяем переменные и интегрируем dy y  dx, ln  xC1  C2 , y  C1 y ( y  C1 )

C1  0 .

Последнее соотношение есть общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, 1 . Удовлетворим начальным условиям. уравнение имеет решения y  C , y  Cx 1 1 1 Соотношение y   y ( y  C1 ) с учетом условия для y (0) дает     C1  , C1  1 ; 4 2 2 согласно начальному условию для y (0) из общего интеграла получаем C 2  0 . Функции y  C и y  1 / C  x  начальным условиям не удовлетворяют. Ответ: ln

ex y .  x или y  1  ex y 1

165

6.3. Линейные дифференциальные уравнения 6.3.1. Основные понятия Линейным однородным дифференциальным уравнением (д. у.) n-го порядка называется уравнение вида p n ( x) y ( n )  p n 1 ( x) y ( n 1)  p n  2 ( x) y ( n 2 )  ...  p 0 ( x) y  0 , где p n ( x),

(6.11) p n ( x)  0 .

p 0 ( x) – функции, непрерывные на интервале (a, b),

p n 1 ( x), ...,

Например, уравнение y ' '3 y '2 y  0 является линейным однородным уравнением p 2 ( x)  1 , p1 ( x)  3 , p 0 ( x)  2 . Уравнение второго порядка, причем n = 2, y ' ' ' x 2 y ' ' xy ' y  0 является линейным однородным при n = 3,

p3 ( x)  1 ,

p 2 ( x)  x 2 ,

p1 ( x)  x , p 0 ( x)  1 .

Теорема 6.3.1. Если функции y1  y1 ( x) и y 2  y 2 ( x) есть решения уравнения (6.11), то функция C1 y1  C2 y 2 также является решением уравнения (6.11) при любых значениях констант C1 и C2 . Пусть имеем систему из n функций

y1 ( x), y 2 ( x), ..., y n ( x) , определенных на

интервале (a, b) . Функции y1 ( x), y 2 ( x), ..., y n ( x) называются линейно зависимыми на (a, b) , если существуют числа C1 , C2 , ..., C n , не все равные 0 , такие, что для всех x  (a, b) справедливо тождество выполняется

только

C1 y1 ( x)  C 2 y 2 ( x)  ...  C n y n ( x)  0 . Если же C1  C 2  ...  C n =0,

при

то

функции

y1 ( x),

это

тождество

y 2 ( x), ..., y n ( x)

называются линейно независимыми на (a, b) .

Пример 6.3.1. Доказать, что функции 1, cos2 x, sin2 x образуют линейно зависимую систему на интервале (; ) .

Решение. Действительно, равенство C1 1  C 2 cos 2 x  C3 sin 2 x  0 выполняется для всех x  (; ) при C1  1, C 2  C3  1 . Значит, функции линейно зависимые.

Пример 6.3.2. Доказать, что система функций 1, x, x 2 линейно независимая на интервале (; ) . Решение. Равенство

C1  1  C2  x  C3  x 2  0

должно выполняться при любом

x  (; ) . Положим здесь x  0 , в результате получим C1  0 . Равенство примет вид C2 x  C3 x 2  0 . Дифференцируя обе части равенства, получаем C 2  2C3 x  0 , откуда, полагая x  0 , находим C 2  0 , тогда C3  0 . Так как все значения C1 , C2 , C3 равны 0, то система функций линейно независимая. Пусть n функций y1 ( x), y 2 ( x), ...,

166

y n ( x) имеют производные (n  1) -го порядка.

Определитель W ( x) 

y1 ( x) y1 ( x)

y2 ( x) y 2 ( x)

... ...

y n ( x) y n ( x)

...

...

...

...

y1( n1) ( x)

(6.12)

y 2( n1) ( x) ... y n( n1) ( x)

называется определителем Вронского, или вронскианом. Вронскиан является функцией от x , определенной в некотором интервале.

Теорема 6.3.2. Если определитель Вронского системы функций y1 ( x), y 2 ( x), ..., y n ( x) отличен от 0 в любой точке интервала (a, b) , то функции образуют линейно независимую систему на этом интервале. Пример 6.3.3. Доказать, что функции образуют линейно независимую систему на интервале (  ;  ). Решение. Находим вронскиан системы функций y1  e x , y2  e 2 x : W ( x) 

ex

e2x

( e ) ( e ) x

2x



ex e

x

e2x 2e

2x

 2e 3 x  e 3 x  e 3 x .

Так как W ( x)  0 , то система функций линейно независимая. Заметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы 6.3.2, вообще говоря, неверно.

Теорема 6.3.3. Пусть функции y1 ( x), y 2 ( x), ..., y n ( x) являются решениями линейного однородного уравнения n -го порядка (6.11). Тогда: 1. Определитель Вронского системы функций либо равен 0 в любой точке (a; b) , либо отличен от 0 в любой точке (a; b) . 2. Система функций является линейно независимой системой на (a; b) тогда и только тогда, когда вронскиан системы отличен от 0 в любой точке интервала (a; b) . 3. Система функций является линейно зависимой системой на (a; b) тогда и только тогда, когда вронскиан системы равен 0 в любой точке (a; b) . Фундаментальной системой решений линейного однородного д. у. n-го порядка (6.11) называется система функций y1 ( x), y 2 ( x), ..., y n ( x) , удовлетворяющая условиям: 1. Каждая функция системы является решением д.у. (6.11). 2. Система функций линейно независимая. Теорема 6.3.4. Общее решение линейного однородного д. у. n-го порядка (6.11) имеет вид y  C1 y1 ( x)  C 2 y 2 ( x)  ...  C n y n ( x) , где C1 , C 2 ,.., C n – произвольные константы, а функции y1 ( x), y 2 ( x), ..., y n ( x) образуют фундаментальную систему решений д. у. (6.11). Линейным неоднородным д. у. n -го порядка называется уравнение p n ( x) y ( n )  p n 1 ( x) y ( n 1)  p n  2 ( x) y ( n 2 )  ...  p 0 ( x) y  f ( x) .

(6.13)

Теорема 6.3.5. Общее решение линейного неоднородного д. у. (6.13) имеет вид суммы y  y 0.  y0.0.  y ч.н. общего решения y0.0. линейного однородного уравнения (6.11), соответствующего данному, и какого-либо частного решения y ч.н. неоднородного уравнения (6.13). Учитывая утверждение теоремы 6.3.4, общее решение линейного неоднородного д. у. _ n го порядка можно записать в виде y  C1 y1 ( x)  C 2 y 2 ( x)  ...  C n y n ( x)  y ч.н.. 167

6.3.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Признак. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

an y ( n )  an1 y ( n1)  ...  a1 y   a0 y  f ( x) ,

(6.14)

где a0 , a1 , ..., an – постоянные ( an  0 ). Метод решения. Общее решение уравнения (6.14) складывается из общего решения y0.0. однородного уравнения

an y ( n )  an 1 y ( n1)  ...  a1 y   a0 y  0

(6.15)

и частного решения y ч.н. неоднородного уравнения (6.14): y  y0.0.  y ч.н.. 1. Для нахождения y0.0. составляем характеристическое уравнение a n K n  a n 1 K n 1  ...  a1 K  a 0  0 . Пусть K1 , K 2 , ..., K n – его корни, причем корень повторяется столько раз, какова его кратность. Каждому из корней K1 , K 2 , ..., K n соответствуют в выражении для y0.0. свои слагаемые. Именно:  если корень K1  K 2  ...  K m   – действительный корень кратности m , то ему соответствуют в выражении для y0.0.

m слагаемых C1e x  C 2 e x x  ...  C m e x x m1 , где

Ci , i  1,...m – произвольные постоянные. Например, если корень имеет кратность m  1 , то ему соответствует одно слагаемое C1e x ; если m  2 – два слагаемых: C1e x  C2 e x x ;  если K1    i и K 2    i – пара комплексно-сопряженных корней кратности m , то соответствующие (2 m ) слагаемых в выражении для y0.0. имеют вид C1ex cos x  C 2 xex cos x  ...  C m x m 1ex cos x   C m 1ex sin x  C m  2 xex sin x  ...  C 2 m x m 1ex sin x,

где Ci (i  1,2,...,2m) – произвольные постоянные. Например, если K1, 2    i – корни кратности 1, то им в выражении для y0.0. соответствуют слагаемые C1ex cos x  C2 ex sin x ; если эти корни имеют кратность 2, то в выражении для y0.0. войдут слагаемые C1ex cos x  C2 xex cos x  C3ex sin x  C 4 xex sin x . Частные случаи. Рассмотрим уравнение 2-го порядка a 2 y ' ' a1 y ' a0 y  0 , a 2  0 . Его

характеристическое уравнение a 2 k 2  a1 k  a 0  0 есть квадратное уравнение. Различают три случая:  дискриминант уравнения Д  а12  4а 2 а 0  0 , тогда характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня К1 и К2, поэтому y o.o.  C1e К1x  C 2 e К 2 x ;  Д  а12  4а 2 а 0  0 ,

y o.o.  C1e Кx  C 2 e Кx x ; 168

тогда

корень

только

один:

К1 = К2 = К,

поэтому

 Д  а12  4а 2 а 0  0 , тогда квадратное уравнение имеет два различных комплексных

корня K 1, 2     i (   0 ). Поэтому y o.o.  C1ex cos x  C 2 ex sin x . 2. Частное решение y ч.н. неоднородного уравнения (6.14) находим методом подбора, который можно применить, в частности, в случае, когда вид правой части уравнения (6.14) следующий: f ( x)  ex Ps ( x) cos x  Qm ( x) sin x  ,

(6.16)

где Ps (x) и Qm (x) – многочлены степени s и m соответственно;  ,  – некоторые действительные числа. При этом y ч.н. необходимо искать в виде





~ ~ y ч.н.  x k ex P ,  ( x ) cos x  Q ( x ) sin x

где

~ ~   maxs, m; P ( x); Q ( x)

–

многочлены

степени

(6.17) с



неопределенными

коэффициентами; k есть кратность числа (  i ) как корня характеристического уравнения если (  i ) не является корнем, то k = 0 . Частные случаи. Если f ( x)  Ps ( x) – многочлен степени s (тогда в (6.16)     0 ), ~ ~ то y ч.н.  x k Ps ( x) , где Ps ( x) – многочлен степени s с неопределенными коэффициентами; k – кратность нулевого корня K    i  0 (т. е. кратность числа «ноль» как корня характеристического уравнения). Например, если K  0 не является корнем ~ характеристического уравнения, то y ч.н.  Ps ( x) ; если K  0 – корень кратности 1, то ~ ~ y ч.н.  xPs ( x) ; если K  0 – корень кратности 2, то y ч.н.  x 2 Ps ( x) ; если K  0 – корень ~ кратности 3, то y ч.н.  x 3 Ps ( x) и т. д. Если f ( x)  ex Ps ( x) (в (6.16) ~ число, то y ч.н. = x ex Ps ( x) , где коэффициентами; k – кратность

  0 ), где Ps (x) многочлен степени s ,  – некоторое

~ Ps ( x) – многочлен степени s с неопределенными числа  как корня характеристического уравнения. ~ Например, если число  не является корнем, то y ч.н. = ex Ps ( x) ; если  – корень кратности 1, ~ ~ то y ч.н.  xex Ps ( x) ; если  – корень кратности 2, то y ч.н.  x 2 ex Ps ( x) , и т. д. Все ~ рассуждения справедливы для случая s  0 , когда P ( x)  a  const , P ( x)  a~  const . s

Если f ( x)  Ps ( x) cos x  Qm ( x) sin x ~ ~ y ч.н.  x P , где k –  ( x ) cos x  Q ( x ) sin x характеристического уравнения,   maxs, m.





f ( x)  e x a cos x  b sin x  , где

Если

s

(в

(6.16)

кратность

 , a, b

числа

  0 ), K  i

как

то корня

– некоторые числа (в (6.16)

– многочлены нулевой степени, т. е. s  m  0 ), то Ps ( x), Qm ( x) ~ ~ y ч.н.  x ex a~ cos x  b sin x , где a~, b – подлежащие определению произвольные постоянные, k – кратность числа K    i как корня характеристического уравнения. ~ В частности, при   0 f ( x)  a cos x  b sin x , y  x a~ cos x  b sin x , а при   0





имеем f ( x)  ae , y ч.н.  a~x ex .

ч.н.





x

169

Замечание 1. Когда выражение (6.16) содержит или только sin x , или только cos x , частное решение y ч.н. необходимо искать в виде, содержащем слагаемые и с sin x , и с cos x . Замечание 2. Если правая часть уравнения (6.14) содержит несколько слагаемых вида (6.16), то частные решения находятся для каждого слагаемого отдельно и затем суммируются в выражении для общего решения неоднородного уравнения.

6.3.3. Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных Признак. Уравнение имеет вид y   P1 ( x) y   P2 ( x) y  Q( x) .

(6.18)

Метод решения. Согласно методу вариации постоянных общее решение уравнения (6.18) следует искать в виде y  C1 ( x) y1  C2 ( x) y2 , где y 1 , y 2 – фундаментальная система

решений соответствующего однородного уравнения y   P1 ( x) y   P2 ( x) y  0 .

(6.19)

Функции C1 ( x) и C 2 ( x) определяются из системы: y1C1  y 2C2  0, y1C1  y 2 C2  Q( x) .

(6.20)

Сначала находим C1, C 2 , затем интегрированием C1 , C 2 . Заметим, что при всяком фиксированном x система (6.20) представляет собой систему из двух линейных уравнений относительно неизвестных C1  C1 ( x) и C 2  C 2 ( x) . Определитель матрицы системы (6.20) равен определителю Вронского системы функций y1 ( x), y 2 ( x) . Так как функции y1 ( x), y 2 ( x) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (6.19), то определитель Вронского отличен от 0 при любом x . Значит, линейная система (6.20) имеет единственное решение.

Пример 6.3.4. Найти общее решение уравнения:

y   y  sin x 

5

2 cos x 

1

2.

Решение. Соответствующее однородное уравнение y   y  0 . Его характеристическое уравнение K 2  1  0 имеет корни K 1, 2  i , и общее решение однородного уравнения имеет вид y0.0.  C1 cos x  C 2 sin x , где y1  cos x, y 2  sin x . Общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде y  C1 ( x) cos x  C 2 ( x) sin x . Составляем систему уравнений (6.20) для C1, C 2 : cos xC1 ( x)  sin xC 2 ( x)  0  5 1 .  2  sin xC1 ( x)  cos xC 2 ( x)  (sin x) (cos x) 2

170

(6.21)

Решаем систему (6.21) методом Крамера: 

cos x sin x  cos 2 x  sin 2 x  1  0;  sin x cos x

1 

0 sin x 2,5 cos x 0,5

sin x 1, 5 0 , 5  sin x  cos x  ; cos x

2 

cos x 0 2,5 cos x 0,5 ;  2,5 0 , 5  sin x   sin x sin x  cos x 

получаем:   1 cos x 1, 5 0,5 0,5  2,5 C1 ( x)  1  sin x  cos x   ; C 2 ( x)  2  sin x  cos x   . 3   sin 5 x sin x cos x Интегрируя, находим dx

dx dtgx    t  tgx  2 sin 3 x cos x sin 3 x cos x cos x tg 3 x cos 4 x dt t 0,5 2 2    t 1,5 dt    D1   D1   D1  2 ctgx  D1 ;  0,5 t tgx t3

C1 ( x)   

 

C 2 ( x)   

dt t

5

1

 

cos x cos x cos 4 x dx dtgx dx    t  tgx  5 5 2  sin x sin x cos x tg 5 x



2 3 t

3

 D2  

2 3

3 tg x

 D2  

2 ctg 3 x  D2 . 3

Общее решение исходного уравнения есть





 2  y  C1 y1  C 2 y 2  2 ctgx  D1 cos x    ctg 3 x  D2  sin x   3  2  D1 cos x  D2 sin x  2 ctgx cos x  ctgx ctgx sin x  3 4  D1 cos x  D2 sin x  ctgx cos x. 3 В итоге получили y  D1 cos x  D2 sin x 

4 ctgx cos x , 3

где D1 , D2 – произвольные числа.

171

6.3.4. Понятие о краевой задаче Краевой задачей называется задача: найти функцию y = y(x), которая в интервале (a;b) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению y ' ' P1 ( x) y ' P2 ( x) y  Q( x) ,

а на концах интервала краевым условиям  0 y (a)   0 y ' (a)  A ,  1 y (b)   1 y ' (b)  B . При этом предполагается, что функции P1(x), P2(x), Q(x) определены и непрерывны на (a; b), а α0, β0, α1, β1, A, B – одновременно не равные нулю заданные постоянные. Краевые условия называются однородными, если А = В = 0. Краевая задача не всегда имеет решение. Для решения краевой задачи следует сначала найти общее решение уравнения, а затем из краевых условий составить систему для определения значений постоянных С1 и С2.

Пример 6.3.5. Найти частное решение уравнения y ' ' y  0 , удовлетворяющее краевым условиям: y(0) = 0, y(π/2)=1. Решение. Общее решение уравнения y ' ' y  0 есть y  C1 cos x  C 2 sin x . Из первого краевого условия y(0) = 0 находим: 0  C1 cos 0  C 2 sin 0 , 0 = С1, т. е. y  C 2 sin x . Из второго краевого условия y(π/2) = 1 находим: 1  C 2 sin



2

, 1 = С2. Поэтому функция y  sin x

является решением краевой задачи.

6.4. Системы дифференциальных уравнений 6.4.1. Основные понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка называется система, содержащая неизвестную переменную t, неизвестные функции x1  x 1 (t ) , x 2  x 2 (t ) , …, x n  x n (t ) и их производные x1 (t ) , x 2 (t ) , …, x n (t ) . Нормальной системой называется система вида dx k  f k (t , x1 , x 2 ,..., x n ) , k  1,..., n . dt

(6.22)

Нормальная система 2-го порядка имеет вид dx1 dx  f1 (t , x1 , x 2 ) , 2  f 2 (t , x1 , x 2 ) . dt dt

(6.23)

dx1 dx  t  x 2 , 2  x1  x 2 . dt dt Число n называется порядком системы (6.22). Решением системы (6.22) в интервале (a,b) называется совокупность функций x1  1 (t ),..., x n   n (t ) , определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a,b), если они обращают уравнения системы (6.22) в тождества, справедливые для всех t  (a, b) .

Например, нормальной является система уравнений

172

Задачей Коши для системы (6.23) называется задача нахождения решения этой системы, удовлетворяющего начальным условиям x1 (t 0 )  x10 , x 2 (t 0 )  x 20 ,

(6.24)

где t 0  (a, b) , x10 , x 20 – заданные числа. Теорема 6.4.1. Пусть имеем нормальную систему д. у. (6.23), и пусть функции f1 (t , x1 , x 2 ) и f 2 (t , x1 , x 2 ) определены в некоторой области V изменения переменных t, x1, x2. Если существует окрестность точки M 0 (t 0 , x10 , x 20 ) , в которой функции f1 и f 2 : 1. Непрерывны. 2. Имеют ограниченные частные производные по переменным x1 и x2, то найдется интервал t0 – h < t < t0 + h изменения t, в котором существует единственное решение системы (6.23), удовлетворяющее начальным условиям (6.24). Общим решением системы (6.23) называется система функций x1  x1 (t , C1 , C 2 ) , x 2  x 2 (t , C1 , C 2 ) независимой переменной t и произвольных постоянных С1, С2, если: 1. При любых допустимых значениях С1, С2 система функций х1, х2 обращает уравнения (6.23) в тождества. 2. В области, где выполняются условия теоремы 6.4.1, функции х1, х2 решают любую задачу Коши. Пример 6.4.1. Доказать, что система функций x1  C1e t  C 2 e 3t , x 2  2C1e  t  2C 2 e 3t является общим решением системы уравнений dx1 / dt  x1  x 2 , dx 2 / dt  x 2  4 x1 . Найти частное решение системы, удовлетворяющее условиям х1(0) = 0, х2(0) = –4. Решение. В данном примере область V есть:    t   ,    x1   ,    x   . Находим производные: x   C e t  3C e 3t , x   2C e t  6C e 3t , и 2

1

1

2

2

1

2

подставляя их и функции х1, х2 в систему, получаем тождества. Таким образом, условие 1 выполнено. Проверим выполнение условия 2. Заметим, что условия теоремы 6.4.1. выполняются. Возьмем произвольную тройку чисел t 0 , x10 , x 20 . Тогда начальные условия (6.24) дадут для определения С1, С2 систему x10  C1e t0  C 2 e 3t0 , x 20  2C1e t0  2C 2 e 3t0 . Определитель этой системы   4e 2t0  0 . Следовательно, она однозначно разрешима относительно С1, С2 при любых t 0 , x10 , x 20 . Это равносильно тому, что разрешима любая задача Коши. Мы доказали, что функции х1, х2 образуют общее решение системы. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х1(0) = 0, х2(0) = –4. Подставим в общее решение t 0  0, x10  0, x 20  4 . Получаем: 0 = С1 + С2, –4 = 2С1 – 2С2. Решая эту систему, находим С1 = –1, С2 = 1. Решение задачи Коши есть: x1  e t  e 3t , x 2  2e t  2e 3t . Рассмотрим систему (6.23). Будем рассматривать систему значений t , x1 , x 2 , как декартовы координаты точки пространства. Решение задачи Коши изображает в этом пространстве некоторую линию, проходящую через точку M 0 (t 0 , x10 , x 20 ) . Эта линия называется интегральной кривой. Задача Коши для системы (6.23) получает следующую геометрическую формулировку: найти интегральную кривую, проходящую через данную точку М0. Теорема 6.4.1 устанавливает существование и единственность такой линии. Нормальной системе (6.23) и ее решению можно дать еще такое толкование. Будем переменную t рассматривать как время, а систему значений х1, х2 как координаты точки плоскости х1Ох2. Эту плоскость переменных х1, х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение x1  x1 (t ) , x 2  x 2 (t ) системы изображается линией, проходящей через точку ( x10 , x 20 ) . Эту линию называют траекторией системы (фазовой траекторией). 173

Система (6.23) определяет в каждый момент времени t в данной точке фазовой плоскости координаты скорости { f1 ; f 2 } движущейся точки.

6.4.2. Метод исключения неизвестных Рассмотрим нормальную систему: x'  f1 (t , x, y ) , y '  f 2 (t , x, y ) ,

где t  (a, b) , x  x(t ) , y  y (t ) – неизвестные функции. Для того чтобы решить систему методом исключения, следует: 1. Из первого уравнения системы выразить y через t, x, x'. 2. Подставить у и у' во второе уравнение системы, в результате чего будет получено уравнение 2-го порядка относительно неизвестной функции х. 3. Решить это уравнение и найти х = х(t). 4. Найти у = у(t).

Пример 6.4.2. Решить систему методом исключения неизвестных: х' = y+1, y' = x. Решение. Из первого уравнения находим у = х' – 1, тогда у' = (x' – 1)' = x''. Подставляя у = х' – 1 и у' = x'' во второе уравнение системы, получаем уравнение x'' = х или x'' – х = 0. Это линейное однородное уравнение 2-го порядка. Его общее решение есть x  C1e t  C 2 e  t . Находя производную по t, получаем x'  C1e t  C 2 e t , откуда y  x'1  C1e t  C 2 e t  1 . Общее решение имеет вид: x  C1e t  C 2 e  t , y  C1e t  C 2 e t  1 .

6.4.3. Метод Эйлера Линейной однородной системой 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется система д. у. вида x'  a11 x  a12 y , y '  a 21 x  a 22 y ,

(6.25)

где коэффициенты aik – постоянные, а х = х(t), у = у(t) – неизвестные функции от t. Систему (6.25) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения Х' = А·Х, а а   х(t )   x' (t )  где А   11 12  , Х    , X '    . а а  y ( t ) y ' ( t )      21 22  Система частных решений  х1 (t )   х (t )   , Х 2 (t )   2  Х 1 (t )    y1 (t )   y 2 (t ) 

называется фундаментальной, на (а,b), если ее определитель Вронского W (t ) 

x1 (t ) x 2 (t ) y1 (t ) y 2 (t )

0

для всех t  (a, b) . Теорема 6.4.2. Если система частных решений однородного уравнения Х' = А·Х является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид Х = Х(t) = C1Х1(t) + C2X2(t), где С1, С2 – произвольные постоянные. 174

Для интегрирования систем (6.25) применяется метод Эйлера. Решение системы (6.25) ищем в виде x  e rt , y  e rt , где λ, µ, r – постоянные. Подставляя х, у в (6.25) и сокращая на e rt , получаем систему: (а11  r )  a12   0 , a 21  (a 22  r )   0 . (6.26) Система (6.26) имеет ненулевое решение, когда ее определитель Δ равен нулю: 

a11  r a12 a 21

a 22  r

 0.

(6.27)

Уравнение (6.27) называется характеристическим, это квадратное уравнение относительно r:   (a11  r )(a 22  r )  a 21 a12  0 . Рассмотрим три случая. 1. Пусть уравнение (6.27) имеет два различных действительных корня r1, r2. Подставив в (6.26) вместо r число r1, получим числа λ1, 1 . Затем положим в (6.26) r = r2 и найдем λ2, 2 . Общее решение системы есть: x  C11e r1t  C 2 2 e r2t , y  C1 1e r1t  C 2  2 e r2t .

Пример 6.4.3. Решить систему х' = 8у – х, у' = х + у. Решение. Выпишем систему (6.26): (1  r )  8  0 ,   (1  r )   0 .

(6.28)

(6.29)

Характеристическое уравнение:



1 r

8

1

1 r

 (1  r )(1  r )  8  0

имеет корни r1 = 3 и r2 = –3. Подставляя r1 = 3 в (6.29), получаем два уравнения для определения λ1, µ1: –4λ1 + 8µ1 = 0, λ1 – 2µ1 = 0, из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (6.29) равен нулю). Положим µ1 = 1, тогда λ1 = 2. Аналогично, подставляя в (6.29) r2 = –3, получаем 2 2  8 2  0 ,  2  4  2  0 . Полагая µ2 = 1, находим λ2 = –4. Подставляем найденные значения в (6.28), получаем общее решение системы: x  2C1e 3t  4C 2 e 3t , y C 1 e 3t  C 2 e 3t . 2. Пусть уравнение (6.27) имеет только один корень r = r1 = r2. Решение следует искать в виде x  (1  1t )e rt , y  (2   2 t )e rt . Подставляя х, у в первое уравнение системы (6.25) и сокращая на ert, получаем: 1  r (1  1t )  a11 (1  1t )  a12 (2   2 t ) . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой части, получаем: r1  a11 1  a12  2 , 1  r1  a111  a12  2 . Если а12  0 , то отсюда легко выразить λ2, µ2 через λ1, µ1. Величины λ1, µ1 остаются произвольными. Полагая λ1 = С1, µ1 = С2, находим общее решение. Если же a 12 = 0, то a 11 = a 22 = r (т. к. корень r только один), поэтому µ1 = 0, λ1 = С1, λ2 = С2, µ2 = a 21С1. 3. Пусть уравнение (6.27) имеет два комплексных корня r1, 2    i (   0 ).

r1    i в первое уравнение системы (6.26), получаем уравнение (a11    i )  a12   0 . Полагаем µ = 1, находим   (a11    i ) / a12 , тогда x1  e rt , y1  e rt . Общее решение системы имеет вид x  C1  Re x1  C 2  Im x1 ,

Подставляя

y  C1  Re y1  C 2  Im y1 , где Rez и Imz обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа z, т. е. если z    i , то Rez = α, Imz = β.

175

6.5. Основные термины Дифференциальное уравнение. Порядок д. у. Решение д. у. Интегральная кривая. Задача Коши для д. у. 1-го порядка. Общее решение д. у. Частное решение д. у. Общий интеграл д. у. Особое решение. Уравнение с разделяющимися переменными. Однородное уравнение 1-го порядка. Линейное уравнение 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Задача Коши для д. у. n-го порядка. Общее решение д. у. n-го порядка. Начальные условия. Линейное однородное дифференциальное уравнение. Линейное неоднородное д. у. Линейно зависимая система функций. Линейно независимая система функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения. Характеристическое уравнение. Краевая задача. Краевые условия. Система д. у. 1-го порядка. Нормальная система 2-го порядка. Решение системы д. у. Задача Коши для системы д. у. Начальные условия. Общее решение системы д. у. Интегральная кривая системы 2-го порядка. Фазовая плоскость, фазовая траектория. Линейная однородная система. Фундаментальная система решений линейной однородной системы д. у.

6.6. Вопросы для самоконтроля 1. Как проверить, является ли функция y   (x) решением данного дифференциального уравнения? 2. Сколько решений может иметь дифференциальное уравнение? 3. Как найти решение задачи Коши, зная общее решение д. у.? 4. Удовлетворяет ли линейное уравнение y ' P( x) y  Q( x) , y ( x0 )  y 0 P (x), Q(x) – функции, непрерывные на интервале (a, b), x0  (a, b)  условиям теоремы 6.1.1? 5. Может ли линейное уравнение y ' P( x) y  Q( x) быть уравнением в полных дифференциалах? 6. Является ли задача y ' '  y ' x , y (0)  0 – задачей Коши? 7. Является ли задача y ' '  y ' x , y (0)  0 , y (1)  1 – задачей Коши? 176

8. Является ли функция y  C1 cos x  C 2 sin x общим решением уравнения y ' ' y '  0 ? 9. Является ли функция y  C1 общим решением уравнения y ' ' y '  0 (проверить, удовлетворяет ли эта функция начальным условиям y (0)  0 , y (0)  1 )? 10. Можно ли понизить порядок уравнения y ' '  y ' xy подстановкой p ( x)  y ' ( x) ? 11. Можно ли понизить порядок уравнения y ' '  y ' xy подстановкой y '  p ( y ) ? 12. Образуют ли функции y1 ( x)  sin x , y 2 ( x)  cos x линейно независимую систему на интервале (;) ? 13. Образуют ли функции y1 ( x)  e x , y 2 ( x)  e 2 x , y 3 ( x)  3e x линейно зависимую систему на интервале (;) ? 14. Образуют ли функции y1 ( x)  sin 2 x , y 2 ( x)  cos 2 x фундаментальную систему решений уравнения y ' '4 y  0 ? 15. Следует ли частное решение уравнения y ' ' y '  2 x  1 искать в виде yч.н. = Ax + B? 16. Является ли задача y ' ' y  x , y(1) =2, y(2) = 0, x  (1;2) , краевой задачей? 17. Являются ли функции x = t, y = 2et решениями системы x' = et–x, y' = 2ex? x  3C1 cos 3t  3C 2 sin 3t , 18. Можно ли утверждать, что система функций y  C 2 cos 3t  C1 sin 3t является общим решением системы уравнений х' = –9у, у' = х? 19. Является ли задача х' = –9у, у' = х, х(0) = 1, у(1) = 0 задачей Коши? 20. Является ли система уравнений x'  2 x  y  t , y '  x  y  2t линейной однородной системой? 21. Можно ли систему уравнений x'  x 2 y , y '  x  y решить методом Эйлера? 22. Сформулируйте теорему 6.4.1 существования и единственности для линейной однородной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

6.7. Задачи для самостоятельного решения Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

1. y  sin x  y ln y









2. x  y x dx  y  x y dy  0 3. 2 x 2 y   x 2  y 2 4. ( x  y )dx  xdy  0 x y 5. y   yx2 2y 6. y    ( x  1) 3 x 1 7. xy   2 y  x 3 cos x 8. 3xy 2 y   2 y 3  x 3



2

2



Ответы

ye

C tg

x 2

x2  y2  x2 y2  C 2 x  ( x  y ) ln Cx x 2  2 xy  C y 2  2 xy  x 2  4 y  C 2 y  ( x  1) 4  C ( x  1) 2 y  x 2 (C  sin x) y 3  x 3  Cx 2

9. y 3  x y   y

y 4  4 xy  C

   sin 2 x sin 2 x  dy  0 10.   x dx   y  y 2    y 

sin 2 x x 2  y 2  C y 2

177

Задание 2. Найти решение задачи Коши   1. y  sin x  y cos x  0 , y   1 2 2. xy   y (ln y  ln x) , y (1)  e 1 3. y   y tgx  , y (0)  0 cos 3 x 1 4. y   2 xy  2 xy 2 , y (0)  2 2 2 2 xdx ( y  3 x ) 5.  dy  0 , y (1)  1 y3 y4 Задание 3. Применяя методы понижения порядка, решить дифференциальное уравнение 1. xy   (1  2 x 2 ) y 

Ответы

y  sin x y  ex y y

sin x cos 2 x 1 1  ex

2

yx Ответы 2

y  C1e x  C2

3. y   1 y 3

x3  C1 x 2  C 2 3 (C1 x  C2 ) 2  1  C1 y 2

4. yy   y  2  y 2 y 

C1 x  C2  ln

5. xy   2 Задание 4. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1. y   y  5 x  2

y  x 2 ln x  C1 x 2  C 2 x  C3

2. xy   y   x 2

y

y y  C1

Ответы

y  C1e x  C2 e  x  5 x  2

6. y   y   y   y  x 2  x

1 y  C1 cos 3x  C2 sin 3x  e 3 x 3 2 x x 3   y  C1  C 2 x e 2 x  4 2 8 1 y  C1e x  C 2 e 2 x  (6 sin 2 x  2 cos 2 x) 5 1 7 y  C1e x  C2 e 2 x   x 2  x  e 4 x 18  18  y  C1 x  C2 cos x  C3 sin x  ( x 2  3x  1)

7. y   y   2 y  4 x  2e x

y  C1e  x  C2 e 2 x  2 x  1  e x

2. y   9 y  6e 3 x 3. y   4 y   4 y  x 2 4. y   y   2 y  8 sin 2 x 5. y   y   2 y  x 2 e 4 x

8. y   2 y   5 y  4e  x  17 sin 2 x

y  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x e  x  e  x  sin 2 x  4 cos

9. y   3 y   18 x  10 cos x

y  C1  C2 e 3 x  3 x 2  2 x  cos x  3 sin x

10. y   y   2 y   4 x  3 sin x  cos x Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений  x  x  y 1.   y  y  x

y  C1  C 2 e  x  C3e 2 x  x  x 2  cos x

178

Ответы

x  C1  C2 e 2t , y  C1  C 2 e 2t

 x  y  x 2.   y   x  3 y x  x  2 y 3.   y  x  y 4 x  y   3 x  sin t 4.   x   y  cos t  x  3  2 y 5.   y   2 x  2t

x  (C1  C2t )e 2t , y  (C2  C1  C2t )e 2t x  (C1  C2 ) cos t  (C2  C1 ) sin t , y  C1 cos t  C2 sin t x  C1e t  C2 e 3t , y  C1e t  3C2 e 3t  cos t x  C1 cos 2t  C2 sin 2t  t , x  C1 sin 2t  C 2 cos 2t  1

6.8. Итоговый контроль Изучив тему, студент должен: знать:  определение дифференциального уравнения (д. у.) и связанных с ним понятий;  постановку задачи Коши для д. у. 1-го и n-го (n >1) порядков;  основные классы д. у. 1-го порядка и методы их решения;  постановку краевой задачи для д. у. 2-го порядка;  структуру множества решений линейного однородного и неоднородного уравнений;  методы решения дифференциальных систем 2-го порядка; уметь:  решать уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения 1-го порядка, уравнения в полных дифференциалах;  решать линейные д. у. с постоянными коэффициентами;  выделять из общего решения частное решение задачи Коши;  решать линейные дифференциальные системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами; иметь представление:  о теоремах существования и единственности решения задачи Коши;  об уравнениях высших порядков, допускающих понижение порядка;  о методе вариации произвольных постоянных.

6.8.1. Тест 1. Уравнение y /  x 2 y  2 является: а) линейным; б) однородным; в) с разделяющимися переменными; г) в полных дифференциалах; д) д. у. 2-го порядка. 2. Уравнение x 2 y /  ( x  1) y 2  0 является: а) линейным; б) однородным; в) с разделяющимися переменными; г) в полных дифференциалах; д) д. у. 2-го порядка. 179

3. Уравнение x 2 y /  x 2  y 2 является: а) линейным; б) однородным; в) с разделяющимися переменными; г) в полных дифференциалах; д) д. у. 2-го порядка. 4. Уравнение (3x 2 y 2  3)dx  2 x 3 ydy  0 является: а) линейным; б) однородным; в) с разделяющимися переменными; г) в полных дифференциалах; д) д. у. 2-го порядка. 5. Уравнение xy ///  y //  1 можно привести к уравнению 1-го порядка с помощью замены переменной: а) p( x)  y / ( x) ; б) p( x)  xy ( x) ; в) p ( x)  y // ( x) ; г) y /  p ( y ) ; д) y  UV . 6. Уравнение y // y 3  36  0 можно привести к уравнению 1-го порядка с помощью замены переменной: а) p( x)  y / ( x) ; б) p( x)  xy ( x) ; в) p ( x)  y // ( x) ; г) y /  p ( y ) ; д) y  UV . 7. Уравнение y ///  4 y //  4 y /  0 является: а) линейным неоднородным уравнением; б) линейным однородным д. у.; в) д. у. 2-го порядка; г) д. у. 1-го порядка; д) уравнением с разделяющимися переменными. y 8. Задача y /   5 , y (1)  0 называется: x а) краевой задачей; б) задачей Вронского; в) задачей Коши; г) фундаментальной задачей. 9. Задача y //  2 y /  y  0 , y (0)  1 , y (1)  0 называется: а) краевой задачей; б) задачей Вронского; в) задачей Коши; г) фундаментальной задачей.

180

10. Задача y //  2 y /  y  0 , y (0)  1 , y / (0)  0 называется: а) краевой задачей; б) задачей Вронского; в) задачей Коши; г) фундаментальной задачей. 11. Общее решение уравнения y //  2 y /  y  0 имеет вид: а) y  C1e x  C 2 e x ; б) y  C1 x  C 2 e x ; в) y  C1e x  C 2 xe x ; г) y  C1e x  C 2 e  x ; д) y  C1e x . 12. Какая из следующих функций является решением уравнения y /  а) y  x ;

y  x: x

б) y  x 2  5 ; в) y  x  5 ; г) y  x 2  x 3 ; д) y  x 2 . 13. Какие две следующие / x  3x  4 y , y /  2 x  5 y :

функции

являются

решением

системы

уравнений

а) x  e t , y  e t ; б) x  e t , y  e t ; в) x  2e t , y  e t ; г) x  2e t , y  e t ; д) x  2e t , y  e t . 14. Какое из следующих уравнений является характеристическим для линейной однородной системы x /   y , y /  x : а) r 2  1  0 ; б) r 2  1  0 ; в) r 3  1 ; г) r 2  r  0 ; д) r 2  r  0 . 15. Какие две следующие функции описывают общее решение системы x /   y , y /  x : а) б) в) г) д)

x  C1 cos t  C 2 sin t , y  C1 sin t  C 2 cos t ; x  C1 cos t , y  C1 sin t ; x  cos t  sin t , y  sin t  cos t ; x  sin t , y  sin t ; x  cos t , y  0 .

181

6.8.2. Задачи Образцы решения задач Задача 1. Найти общий интеграл уравнения y ' sin x  y cos x  0 . Решение. Дано уравнение с разделяющимися переменными. Заменяем у' по формуле dy и разделяем переменные: y'  dx dy dy cos x sin x  y cos x , dy  sin x  y  cos x  dx ,  dx dx y sin x (таким образом, левая часть уравнения зависит только от у, а правая зависит только от х). Интегрируем:



dy cos x  dx ; y sin x



dy  ln y , y

cos x

 sin x dx  

d sin x  ln sin x  ln C  ln C sin x ; sin x

получаем общий интеграл ln y  ln C sin x . Выражая у, находим общее решение y  C sin x , где С – произвольная константа. В процессе решения мы делили на у, поэтому могли потерять решение у = 0 (это легко проверить, подставляя у = 0 в исходное уравнение). Однако решение у = 0 входит в общее решение при С = 0. 2

Задача 2. Найти решение задачи Коши y '2 xy  2 xe  x , у(0) = 2. Решение. Дано линейное уравнение 1-го порядка. Решение уравнения ищем в виде y  U  V , где U  U ( x) , V  V ( x) – некоторые функции. Находим производную y '  (UV )'  U 'V  UV ' и подставляем у, у' в исходное уравнение: 2

2

(U 'V  UV ' )  2 xUV  2 xe  x , или U 'V  U (V '2 xV )  2 xe  x . выражение в скобках, получаем два уравнения:

Приравнивая

к

V '2 xV  0 ,

U 'V  2 xe

 x2

нулю (6.30)

.

(6.31)

Уравнение (6.30) – это уравнение с разделяющимися переменными. Подставляя в (6.30) dV и разделяя переменные, получаем V ' dx dV dV dV  2 xV  0 ,  2 xV ,  2 xdx . dx dx V Интегрируем:

dV

V

   2 xdx , ln V   x 2  C . Положим С = 0 и найдем V  e  x . 2

2

2

Подставляя полученное значение V в уравнение (6.31), находим U: U 'e  x  2 xe  x , U '  2 x , U   2 xdx  x 2  C . В итоге общее решение задачи есть y  UV  ( x 2  C )e  x , где С – 2

произвольное число. Потребуем, чтобы функция y удовлетворяла начальному условию 2

y (0) = 2. Подставим в уравнение y  ( x 2  C ) e  x значения х = 0, у = 2: 2 = (0+С)е0, или 2 = С. Значит, решение задачи Коши получается из общего решения при С = 2: 2

y  ( x 2  2) e  x .

182

Задача 3. Решить уравнение (sin xy  xy cos xy )dx  x 2 cos xydy  0 . Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Обозначим M ( x, y )  sin xy  xy cos xy , N ( x, y )  x 2 cos xy и найдем частные производные: M  x cos xy  x cos xy  x 2 y sin xy  2 x cos xy  x 2 y sin xy , y N  2 x cos xy  x 2 y sin xy , x M N  при любых значениях х и у. Значит, условие (6.4) выполняется. Таким y x образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и согласно (6.5),

так что

F ( x, y )  M ( x, y )  sin xy  xy cos xy , x F ( x, y )  N ( x, y )  x 2 cos xy . y

(6.32) (6.33)

Из соотношения (6.32) находим интегрированием по переменной х (у принимается за константу): F ( x, y )   (sin xy  xy cos xy )dx  x sin xy   ( y ) , где φ(у) – пока неопределенная функция. Подставляя F(x,y) в уравнение (6.33), получаем:

 x sin xy   ( y)   x 2 cos xy , y откуда x 2 cos xy   ' ( y )  x 2 cos xy ,  ' ( y )  0 , так что  ( y )  C  сonst . Таким образом, F ( x, y )  x sin xy  C . Общий интеграл исходного уравнения есть: x sin xy  C  0 . Задача 4.1. Найти общее решение однородного уравнения y   4 y   5 y   0 .

Решение. Характеристическое уравнение K 3  4 K 2  5K  0 имеет три простых корня: K1  0, K 2  2  i, K 3  2  i . Значит, y  y 0.0.  C1  C 2 e 2 x cos x  C3e 2 x sin x .

Задача 4.2. Найти общее решение линейного однородного уравнения y ( 4 )  4 y  4 y  0 .

Решение. Характеристическое уравнение K 4  4 K 2  4  0 имеет корни K1, 2  i 2 кратности 2. Следовательно, общее решение уравнения y  y 0.0.  C1 cos 2 x  C 2 x cos 2 x  C 3 sin 2 x  C 4 x sin 2 x .

Задача 4.3. Найти 2 y  5 y  6 y  x  x  2 .

общее

решение

дифференциального

уравнения:

183

Решение. Характеристическое уравнение K 2  5K  6  0 имеет корни кратности 1: K1  2, K 2  3 . Значит, y0.0.  C1e 2 x  C2 e 3 x . Так как   i  0 не совпадает с корнями, частное решение следует искать в виде y ч.н.  Ax 2  Bx  C . Подставляя y ч.н. в исходное уравнение, получаем тождество:





2 A  52 Ax  B   6 Ax 2  Bx  C  x 2  x  2 . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях тождества: x : 10 A  6 B  1; x 2 : 6 A  1 ; свободные члены: 2 A  5 B  6C  2 . 1 1 10 1 1 10 . Значит, y ч.н.  x 2  x  ; общее , B C 6 9 27 6 9 27 1 1 10 решение уравнения имеет вид y  y0.0.  y ч.н.  C1e 2 x  C 2 e 3 x  x 2  x  . 6 9 27 Задача 4.4. Найти общее решение уравнения: Решая систему, находим: A 

y   5 y   6 y   18 x 2  6 x .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: K 3  5K 2  6 K  0 , или K K 2  5 K  6  0 ; его корни K1  0, K 2  2, K 3  3 (все корни простые). Тогда





y0.0.  C1e 0 x  C 2 e 2 x  C3e 3 x  C1  C2 e 2 x  C3e 3 x . Так как среди корней характеристического уравнения есть корень K  0 , совпадающий с числом   i  0  i 0  0 , то





y ч.н.  x Ax 2  Bx  C  Ax 3  Bx 2  Cx . Подставляя y ч.н. в исходное уравнение, получаем





6 A  56 Ax  2 B   6 3 Ax 2  2 Bx  C  18 x 2  6 x . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x : 18 A  18, 30 A  12 B  6, 6 A  10 B  6C  0 .

Решая систему, находим: A  1, B  3, C  4 , тогда y ч.н.  x 3  3x 2  4 x , и общее решение имеет вид y  C1  C2 e 2 x  C3e 3 x  x 3  3x 2  4 x .

Задача 4.5. Найти общее решение уравнения y ( 4 )  5 y ( 3)  6 y ( 2 )  x 2 .

Решение. Имеем:

K 4  5 K 3  6 K 2  0 , или





K 2 K 2  5 K  6  0 . Корни:

(кратности 2), K 2  2 и K 3  3 (простые). Получаем y0.0.  C1  C 2 x  C3e   i  0 является корнем кратности 2 характеристического

2x

K1  0

 C 4 e . Так как уравнения, то 3x

y ч.н.  x 2 Ax 2  Bx  C  . Далее решение строится как в предыдущей задаче. Находим: y ч.н = Ax 4  Bx 3  Cx 2 , y ч.н= 4 Ax 3  3Bx 2  2Cx, y ч.н= 12Ax2  6Bx  2C,

y ч.н= 24Ax 6B, y ( 4) ч.н= 24A. Подставляя функцию yч.н. уравнение, получаем тождество:



и ее производные в исходное



24 A  524 Ax  6 B   6 12 Ax 2  6 Bx  2C  x 2 .

184

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных А, В, С: 72 A  1,

72 A  1   x  120 A  36 B  0,    10 A  3B  0 . 4 A  5B  2C  0 1 24 A  30 B  12C  0 

x2

1 5 19 1 4 5 3 19 2 , y ч.н.= , B , C x  x  x . 72 108 216 72 108 216 Общее решение уравнения есть 1 4 5 3 19 2 y  C1  C2 x  C3e 2 x  C4 e 3 x  x  x  x . 72 108 216 Задача 4.6. Найти общее решение уравнения y   3 y   2 y  xe x . Решая систему, находим: A 

Решение. Характеристическое уравнение K 2  3K  2  0 имеет простые корни K1  1 и K 2  2 . Значит, y0.0.  C1e x  C 2 e 2 x . Переходим к отысканию y ч.н.. Правая часть уравнения

имеет вид f ( x)  xe x . Здесь   1,   0, s  1 . Число   i  1 является корнем кратности 1 характеристического уравнения, значит k =1, y ч.н.   Ax  B xe x . Подставив y ч.н. и ее производные в исходное













уравнение,

получим

e x Ax 2  4 Ax  Bx  2 A  2 B  3e x Ax 2  2 Ax  Bx  B  2e x Ax 2  Bx  xe x . Сокращаем на e и приводим подобные члены:  2 Ax  2 A  B  x . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях тождества, находим: A  0,5, B  1 . x

  2 Имеем y ч.н.   x  x  e x .   2   Общее решение уравнения имеет вид  2  y  y0.0.  y ч.н.  C1e x  C2 e 2 x   x  x e x .  2    Задача 4.7. Найти общее решение уравнения y   2 y   5 y  17 cos 2 x  16e x .

Решение. K 2  2 K  5  0, K1, 2  1   4  1  2i,   1,   2,

y 0.0.  e  x C1 cos 2 x  C 2 sin 2 x  . Так как правая часть уравнения – сумма слагаемых вида (6.16), то согласно замечанию 2 пункта 6.3.2 частное решение ищем в виде суммы y ч.н.  A cos 2 x  B sin 2 x  Сe x . Подставляя y ч.н. в исходное уравнение, получаем тождество





 4 A cos 2x  4B sin 2x  Ce x  2  2 A sin 2x  2B cos 2x  Ce x 





 5 A cos 2x  B sin 2x  Ce x  17 cos 2x  16e x  0. Приравнивая к нулю суммарные коэффициенты при cos 2 x , sin 2 x и ex, получаем ex: C  2C  5C  16. cos 2 x : 4 A  4 B  5 A  17; sin 2 x : 4 B  4 A  5B  0 ; Решая систему, находим: A  1, B  4 , С = 2, тогда y ч.н.  cos 2 x  4 sin 2 x  2e x . Для общего решения получаем выражение y  C1e  x cos 2 x  C 2 e  x sin 2 x  cos 2 x  4 sin 2 x  2e x . 185

Задача 5. Найти общее решение линейной неоднородной системы д. у. 2-го порядка методом исключения неизвестных: y '  x  y  t , x'  3 x  4 y  2t . (6.34) Решение. Здесь t – независимая переменная, х = x(t), y = y(t) – неизвестные функции. Из первого уравнения системы (6.34) выражаем x  y ' y  t и находим производную x'  ( y ' y  t )'  y ' ' y '1 . Подставляем х и х' во второе уравнение (6.34): y ' ' y '1   3( y ' y  t )  4 y  2t . Приводя подобные слагаемые, получаем уравнение относительно функции у: y ' '2 y ' y  5t  1 . Общее решение этого уравнения y  (C1  C 2 t )e  t  5t  9 ( y o.o.  (C1  C 2 t )e t , y ч.н.  5t  9 , y  y o.o.  y ч.н. ). Находим x  y ' y  t  (C2 e t  (C1  C2t )e t  5)  (C1e t  C2te t  5t  9)  t  2C 2 te t  (C 2  2C1 )e  t   6t  14. Общее решение системы есть: y  (C1  C 2 t )e  t  5t  9 , x  (C 2  2C1  2C 2 t )e t  6t  14 .

Задача 6.1. Найти общее решение системы д. у. 2-го порядка методом Эйлера:

x'  x  y , y '  2 x  4 y . Решение. Согласно методу Эйлера составляем характеристическое уравнение: 0

1 r 1

2

4r

 (1  r )(4  r )  2  r 2  5r  6 .

Корни уравнения Δ = 0 есть r1 = 2, r2 = 3. Система (6.26) имеет вид: (1  r )    0 ,  2  (4  r )   0 , причем второе уравнение лишнее. Имеем:   (1  r ) . Полагая   1  1, r  r1  2 , получаем   1  1 . Полагая    2  1, r  r2  3 , получаем  2  2 . Подставляя найденные значения в (6.29), находим общее решение системы: x  C1e 2t  C 2 e 3t , y  C1e 2t  2C 2 e 3t .

Задача 6.2. Решить линейную однородную систему д. у. методом Эйлера: x'  2 x  y, y '   x  4 y . Решение. Составляем характеристическое уравнение: 0

Его корень

2r 1

1 r  r1  r2  3

 (2  r )(4  r )  1  r 2  6r  9 .

4r (кратный корень). Решение системы ищем в виде

x  ( 1 1t )e 3t , y  (2   2 t )e 3t . Подставляя х, у в первое уравнение системы получаем:

1e 3t  3(1  1t )e 3t  2(1  1t )e 3t  ( 2   2 t )e 3t , 1  3(1  1t )  2(1  1t )  (2   2 t ) , 1  31  31t  21  2  (21   2 )t . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t слева и справа, имеем: 1  31  21  2 , 31  21   2 , откуда 2  1  1 ,  2  1 . Обозначая 1  С1 , 1  С 2 , получаем общее решение системы x  (C1  C 2 t )e 3t , y  (C1  C 2  C 2 t )e 3t . 186

Задача 6.3. Решить систему x'  x  5 y, y '  2 x  y .

Решение. Характеристическое уравнение 0

1 r

5 1 r

2

 (1  r )(1  r )  10  r 2  9 .

Имеем комплексные корни: r 2  9, r    9 , r1, 2  3i (т. е.   0,   3 ). Система (6.26) есть: (1  r )  5  0, 2  (1  r )  0 . Из первого уравнения находим 1  1  3i ;   (1  r ) / 5 . Полагаем 1  5, r  3i , тогда значит, r1t r1t 3it 3it x1  1e  5e , y1  1e  (1  3i )e . Выделяем действительную и мнимую части х1, у1 с помощью формул Эйлера: x1  5(cos 3t  i sin 3t ) , поэтому Re x1  5 cos 3t , Im x1  5 sin 3t ; y1  (1  3i )e 3it  (1  3i )(cos 3t  i sin 3t )  cos 3t  3i cos 3t  i sin 3t  3i 2 sin 3t  cos 3t  3 sin 3t 

 i (3 cos 3t  sin 3t ) , так как i 2  1 , поэтому Re y1  cos 3t  3 sin 3t , Im y1  3 cos 3t  sin 3t . Общим решением системы будет x  C1 Re x 1 C 2 Im x1  5C1 cos 3t  5C 2 sin 3t ,

y  C1 Re y1  C 2 Im y1  C1 (cos 3t  3 sin 3t )  C 2 (3 cos 3t  sin 3t )  (C1  3C 2 ) cos 3t 

 (3C1  C 2 ) sin 3t.

Расчетное задание Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1. yy'x  1 . 3. 1  1  y 'e y  0 . 5. y 2  x 2 y '  0 . 7. 2 1  e x yy '  e x . 9. 2 x 2 yy ' y 2  1 .





2. x  xy  yy ' 1  x   0 . 4. tg y  dx  tg x  dy  0 . 6. e x 1  y 2  2 y 1  e x y ' . 8. e x 1  y   1  e x y '  0 . 10. e y 1  x 2 y '2 x 1  e y  0 .







 



 





Задача 2. Найти решение задачи Коши.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

xy '2 y  2 x 3e x , y 1  0 ; y ' y sin x  xe  cos x , y 0   0 ; y ' y  e x x , y 1  0 ; xy ' y  4 x 3  2 x , y  1  0 ; y xy '  2 x 2 ln x , y e   e 2 ; ln x xy ' y  4 x 3 , y 1  1 ; y '2 y  3e x  2 , y 0   1 ; xy ' y  3 x 3  2 , y 1  0 ; y ' y  e 2 x  1 , y 0   1 ; y y '  3x 3  3x , y 1  0 . x 187

Задача 3. Найти общий интеграл уравнения.

1. 2. 3. 4. 5.

 

              x3 y  x dx  3x y  6 y  1dy  0 . cos x  y sin x dx  2 y cos x  sin y dy  0 . x 2  9 xy 2 dx  4 y 2  6 x 3 ydy  0 . x 2 x 2  y 2  y x 2  2 y 2 y'  0 . x  2 y 4 xdx  1  4 x 2 y 2 ydy  0 . x 3 x  y 4  y 2 x 4 y  2 y '  0 .. 2

2

2

2 6. 7. sin y  1  y cos x dx  1  x cos y  sin x dy  0 .



 



8. 3x 2 y  y 3  cos x  x 3  3xy 2  sin y y '  0 . 9. sin y dx  1  x cos y dy  0 . 10. x  cos y sin x dx   y  sin y cos x dy  0 . Задача 4. Решить уравнение.

1. y ' ' ' y ' '2 y  2  4 x  6e  x .

2. y ' ' y '  20e 2 x  2 x .

3. y ' ' y  x  2  2e  x  2e x .

4. y ' ' ' y ' '2 y '  4 x  sin x  3 cos x .

5. y ' '2 y '2 y  5 x  4e  e .

6. y ' ' '2 y ' ' y '  2 x  2e 2 x .

7. y ' '3 y '  18 x  cos x  3 sin x .

8. y ' '2 y '8 y  9e x  4 cos 2 x  12 sin 2 x .

9. y ' ' ' y '  6e 2 x  2 x .

10. y ' '4 y  8e 2 x  3 sin x  3 cos x .

x

x

Задача 5. Решить систему методом исключения неизвестных.

1.  x'  y  t .  y'  x  t 3.  x'  2 x  4 y  cos t .  y '   x  2 y  sin t 2t  5.  x'  y  2 x  e 2t .  y '  2 y  3x  6e

7.  x'  x  2 y .  y '  x  5 sin t 9.  x'  3  2 y .  y '  2 x  2t

t  2.  x'  3x  y  e t .  y'  x  3 y  e  x'  y  x  t 4.  .  y '  3 y  4 x  2t

x'  4 x  y 6.  t .  y '  2 x  y  2e t 8.  x'  x  y  e .  y'  3x  y 2 10.  x'  t  y .  y'  t  x

Задача 6. Решить однородную систему дифференциальных уравнений методом Эйлера.

1.  x'  3x  5 y .  y '  2 x  8 y  x'  3x  y 3.  .  y'  x  y 5.  x'  3x  8 y .  y '  3 y  x 7.  x'  x  5 y .  y '  3 y  x 9.  x'  2 x  y .  y '  3x  2 y 188

2.  x'  x  4 y .  y'  x  y 4.  x'  3x  y .  y '  4 x  y 6.  x'  2 x  y .  y'  4 y  x 8.  x'  x  y .  y'  4 y  2 x 10.  x'  4 x  2 y .  y'  y  x

ГЛАВА 7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В СИСТЕМЕ MATHCAD Решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата. При этом в большинстве случаев не удается получить точных аналитических решений. Решение, полученное численными методами, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Ее источниками являются: неполное соответствие математической модели реальной задаче; погрешность исходных данных; погрешность самих численных методов; погрешности округления. Для ознакомления студентов с основными численными методами, предусмотренными программой курса высшей математики для инженерных специальностей, их особенностями и возможностями разработан цикл лабораторных работ, который включает в себя следующие работы:  решение систем линейных уравнений методом Гаусса;  решение нелинейных уравнений;  вычисление определенных интегралов;  численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;  аппроксимация функций на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. Весь теоретический материал, необходимый для выполнения работ, можно почерпнуть из конспекта лекций и из учебников [6]–[9]. В данном учебном пособии для каждой лабораторной работы (подразделы 7.1 – 7.5) приведены теоретические сведения, постановки задач и основные численные методы их решений, примеры выполнения работ, варианты заданий и вопросы по прочитанному материалу. Необходимый для выполнения лабораторных работ минимум знаний о математической системе Mathcad содержится в подразделе 7.6. Для выполнения лабораторных работ разработан специально подготовленный в прикладной системе Mathcad пакет программ Lab, включающий пять файлов: Lab1.mcd – решение систем линейных уравнений методом Гаусса; Lab2.mcd – решение нелинейных уравнений; Lab3.mcd – вычисление определенных интегралов; Lab4.mcd – численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; Lab5.mcd – аппроксимация функций на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. Для удобства реализации численных методов в системе Mathcad, в данном учебном пособии приведены тексты программ. Прежде чем приступать к выполнению своего задания, необходимо в каждом файле рассмотреть пример, для которого исследование уже проведено. Далее нужно руководствоваться подсказками, указаниями и заданиями, выделенными в тексте программ жирным шрифтом. В каждом файле помимо сведений, необходимых для выполнения работы, представлены также некоторые дополнительные возможности системы Mathcad по соответствующему разделу математики.

189

7.1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 7.1.1. Постановка задачи Пусть задана система n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными x1, x2 ,...,xn : (1) (1) a11 x1  a12 x2  ...  a1(1n) xn  b1(1) ,  (1) (1) (1) (1) a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 , (7.1)  ................................................... a (1) x  a (1) x  ...  a (1) x  b (1) , nn n n n2 2  n1 1 или в матричной форме: A  X  B , где (1) (1)  a11  b1(1)  a12 .... a1(1n)      (1) (1)  a21  b2(1)  a22 .... a2(1n)  A  – основная матрица системы, B    – столбец свободных .... .... .... .... ....      b (1)   a (1) a (1) .... a (1)  nn  n2  n   n1  x1    x  элементов, X   2  – столбец неизвестных. ....   x   n Решением системы (7.1) называется совокупность значений неизвестных x1 , x2 ,..., xn , удовлетворяющая одновременно каждому уравнению из системы (7.1). Система решена полностью, если все решения найдены. Теорема Кронекера-Капелли: Для того, чтобы система (7.1) была совместна (имела хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы A и ранг расширенной матрицы системы (основная матрица системы с добавлением справа столбца свободных элементов) (1) (1)  a11 .... a1(1n) | b1(1)  a12   (1) (1)  a21 .... a2(1n) | b2(1)  a22 (7.2) A   | .... .... .... .... ....    a (1) a (1) .... a (1) | b (1)  nn n  n2  n1 были равны: rang A  rang A  r . При этом, если ранг равен числу неизвестных r  n , то система (7.1) имеет единственное решение, т. е. определена. Если r  n , то система (7.1) имеет бесконечное множество решений, зависящих от (n–r) произвольных параметров, т. е. неопределена. Существует много методов решения таких систем [6]–[8]. В данной лабораторной работе будем решать ее методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. Суть этого метода состоит в последовательном исключении неизвестной x1 из 2, 3,…, n-го уравнений, x2 – из 3, 4,…, n-го уравнений и т. д. Для этого на каждом шаге преобразования сначала выбираем так называемое «ведущее уравнение». На i-м шаге (т. е. при исключении неизвестного xi , i=1, 2,…, n–1) в качестве ведущего уравнения нужно взять из i-го, (i+1)-

го,…, n-го уравнений то уравнение, в котором коэффициент перед xi имеет наибольшую абсолютную величину. Ведущее уравнение ставим на место i-го уравнения, и во всех ниже 190

расположенных уравнениях с помощью ведущего уравнения исключаем x i . После n–1 шага таких преобразований исходная система (1.1) будет приведена к следующему виду: (1) (1) (1) a11 x1  a12 x 2  a13 x3  ...  a1(1n) x n  b1(1) ,  ( 2) ( 2) a 22 x 2  a 23 x3  ...  a 2( 2n) x n  b2( 2) ,   ( 3) a 33 x3  ...  a 3(3n) x n  b3(3) ,   ......................................  (n)  a nn x n  bn( n ) . 

(7.3)

Преобразованной СЛАУ (7.3) соответствует треугольная расширенная матрица (1) (1) (1)  a11 a12 a13 .... a1(1n) | bn(1)    ( 2) ( 2)  0 a22 a23 .... a2( 2n) | bn( 2)   ( 3) A   0 0 a33 .... a3(3n) | bn(3)  .  .... .... .... .... .... .... ....    (n) 0 0 .... ann | bn( n )   0 Исключение одного неизвестного xk (k = 1, 2,…, n) вышеуказанным способом называется циклом процесса. Выполнение всех циклов, в результате которых получается система (7.3), называется прямым ходом метода Гаусса. Запишем расчетные формулы процесса исключения неизвестного xk на k-м цикле. Пусть уже исключены x1 ,..., xk 1 , т. е. получены элементы, равные 0 ниже главной диагонали в первых (k–1)-м столбцах расширенной матрицы системы A . Тогда остались такие уравнения с отличными от нуля элементами ниже главной диагонали: (k ) (k ) akk xk  ak( kk)1 xk 1  ...  akn xn  bk( k ) ,  ak( k1) k xk  ak( k1) k 1 xk 1  ...  ak( k1) n xn  bk( k1) , (7.4)  .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....   (k ) (k ) (k ) (k ) ank xk  ank 1 xk 1  ...  ann xn  bn . Для исключения неизвестной xk переставим уравнения подсистемы (7.4) так, чтобы верхнее уравнение имело самый большой по модулю коэффициент перед xk , т. е. выберем ведущее уравнение. Это необходимо для уменьшения вычислительной погрешности. (k ) Пусть akk – коэффициент с наибольшей абсолютной величиной среди коэффициентов, стоящих перед неизвестной xk во всех уравнениях системы (7.4). С помощью первого уравнения системы (7.4) исключим неизвестное xk из остальных уравнений. Для этого k-ое уравнение умножим на число a (k ) (7.5) C mk  mk (k ) a kk и вычтем из m-го уравнения (m = k + 1,…, n). Тогда коэффициент при xk m-го уравнения обратится в 0, а остальные получатся по следующим формулам: ( k 1) (k ) aml  aml  Cmk  akl( k ) , m  k  1, k  2,..., n, (7.6) bm( k 1)  bm( k )  Cmk  bk( k ) , l  k  1, k  2,..., n. Вычисления выполняются последовательно для всех указанных индексов. После их окончания xk окажется исключенным из k+1, k+2,…, n-го уравнений. На этом очередной 191

цикл исключения заканчивается. Процесс продолжается дальше аналогично до завершения прямого хода. В результате выполнения прямого хода метода Гаусса в случае определенной системы в последнем уравнении системы (7.3) остается одно неизвестное xn , в предпоследнем – два: xn и xn1 и т. д. Это позволяет из последнего уравнения найти xn , затем, подставив его в предпоследнее, найти xn1 , и т. д. Этот этап задачи, состоящий в нахождении xn ,..., x1 из преобразованной системы (7.3), получил название обратного хода метода Гаусса. Замечание 1. Метод Гаусса относится к точным методам решения рассматриваемых систем. Это значит, что при выполнении всех операций без округлений получится точное решение системы. Так как на практике все вычисления ведутся обычно с округлением, то значения неизвестных неизбежно будут содержать погрешности. Если матрица системы хорошо обусловлена (матрица A плохо обусловлена, если малые изменения ее элементов 1 приводят к существенным изменениям элементов обратной матрицы A ), то оценить погрешность решения можно с помощью вычисления невязок, представляющих собой модули разностей между правыми и левыми частями уравнений системы (7.1): (1) (1) r1  b1(1)  a11 x1  a12 x2  ...  a1(1n) xn , (1) (1) r2  b2(1)  a21 x1  a22 x2  ...  a2(1n) xn ,

................................................... (1) rn  bn(1)  an(11) x1  an(12) x2  ...  ann xn . Если невязки малы по модулю, то решение системы найдено достаточно точно. Замечание 2. Технически решение системы (7.1) методом Гаусса удобнее вести, применяя к расширенной матрице системы A элементарные преобразования строк: 1) перестановка двух строк местами; 2) умножение строки на действительное число, отличное от нуля; 3) сложение двух строк. Применяя конечное число этих преобразований, получим расширенную матрицу эквивалентной системы, имеющей то же самое решение. При этом этапы выполнения прямого хода обычно оформляются в виде специального расчетного бланка, как это будет показано в примере (табл. 7.2). Для контроля правильности выполнения текущих вычислений в бланк вводится дополнительный столбец, обозначенный am(i)5 . На начальном этапе заполнения бланка первые элементы этого столбца получаются суммированием других элементов строк матрицы A . Остальные элементы контрольного столбца вычисляются аналогично другим элементам по формулам (7.6) в каждом цикле. Если в текущем цикле все вычисления были выполнены правильно, то сумма элементов каждой строки (кроме последнего) должна быть равна последнему элементу am(i)5 . Возможно расхождение между

суммой и элементом am(i)5 в последнем знаке из-за ошибок округления.

7.1.2. Задание на лабораторную работу 1. Найти методом Гаусса с выбором ведущего элемента решение системы линейных уравнений: 8,30  x1  (2,62   )  x2  4,10  x3  1,90  x4  10,65   , 8,21  x1  (3,65   )  x2  1,69  x3  6,99  x4  8,35, 3,92  x1  8,45  x2  (7,78   )  x3  2,46  x4  12,21, 3,77  x1  (7,21   )  x2  8,04  x3  2,28  x4  15,45   . 192

Значения  и  берутся из табл. 7.1 и определяются номером варианта, который получает студент от преподавателя.

№ вар. 



№ вар. 



№ вар.

 

1 0 0 12 0,4 0,2 23 0,8 0,4

2 0 0,2 13 0,4 0,4 24 0,8 0,6

3 0 0,4 14 0,4 0,6 25 1,0 0,8

Значения параметров  и  4 5 6 7 0 0 0,2 0,2 0,6 0,8 0 0,2 15 16 17 18 0,4 0,6 0,6 0,6 0,8 0 0,2 0,4 26 27 28 29 1,0 1,0 1,0 1,0 0 0,2 0,4 0,6

Таблица 7.1

8 0,2 0,4 19 0,6 0,6 30 1,2 0,8

9 0,2 0,6 20 0,6 0,8 31 1,2 0

10 0,2 0,8 21 0,8 0 32 1,2 0,2

11 0,4 0 22 0,8 0,2 33 1,2 0,4

2. Решить систему уравнений методом Гаусса с помощью микрокалькулятора (МК). Вычисления на МК вести с 6 знаками после запятой. 3. Заполнить расчетный бланк. 4. Найти невязки полученного решения. 5. Продолжить выполнение работы в компьютерном классе. Решить систему с помощью ЭВМ. 6. Сравнить результаты машинного решения и полученного по расчетному бланку. 7. Оформить результаты в виде отчета, в который входят: титульный лист; исходная система уравнений; расчетный бланк; невязки; результаты сравнения машинного и ручного решения системы.

7.1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе 1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией. 2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, то открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы  Mathsoft  Mathcad). 3. Узнайте у лаборанта расположение пакета Lab и откройте файл Lab1.mcd (File  Open или, если программа русифицирована, Файл  Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту. 4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. В файле Lab1.mcd в первом разделе «Получение решения в системе Mathcad» отыскивается решение определенной системы линейных уравнений с помощью стандартной функции системы Mathcad lsolve(A,B). Во втором разделе «Метод Гаусса решения СЛАУ» в первом пункте запрограммирован одноименный метод с выбором ведущего элемента, а во втором пункте приведены примеры нахождения решения несовместных, определенных и неопределенных систем линейных уравнений методом Гаусса с помощью стандартной функции системы Mathcad rref(C). В третьем разделе «Матричный метод решения СЛАУ» запрограммирован одноименный 1

метод решения определенных систем линейных уравнений по формуле X  A 1 B , где A – обратная матрица для основной матрицы системы A . В последнем разделе «Решение линейных и нелинейных систем уравнений аналитически» приведены дополнительные сведения о возможностях системы Mathcad по нахождению точных аналитических решений 193

систем линейных и нелинейных уравнений с помощью программного блока системы Mathcad «Given – – Find(var1, var2,…)», где var1, var2,… – отыскиваемые переменные. 5. Введите вместо элементов матрицы системы A и столбца свободных элементов B в задании примера свои значения. При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 8.30, 1.90 и т. д.). 6. Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными жирным шрифтом.

7.1.4. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример В данном подразделе приведен текст программы Lab1.mcd, разработанной для решения систем линейных уравнений. В тексте разбирается применение метода Гаусса и матричного метода решения систем. Так же показано отыскание корней систем нелинейных уравнений в системе Mathcad. Для примера разбирается отыскание решения системы A  X  B , где  x1   8,30 3,12 4,10 1,90    10,15         x2   2,21 3,15 1,69 6,99    8,35  (7.7) A , X   , B   . x3 3,92 8,45 7,28 2,46  12,21         3,77 7,71 8,04 2,28   14,95  x       4

Лабораторная работа №1 «Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)» Задание на лабораторную работу

1. Записать систему уравнений четвертого порядка в соответствии с параметрами  и  своего варианта. 2. Используя калькулятор, решить эту систему методом Гаусса с выбором ведущего элемента. 3. Вычислить невязки уравнений r1 , r2 , r3 , r4 . 4. С помощью компьютера найти точное решение. 5. Вычислить погрешности решения 1 ,  2 ,  3 ,  4 . Получение решения в системе Mathcad Введите систему уравнений в матричном виде AX=B, где A – основная матрица системы, B – столбец свободных элементов, X = (x1, x2, . . . , xn) - столбец неизвестных.  8.30 3.12 4.10 1.90   10.15  2.21 3.15 1.69 6.99  8.35  A   B    3.92 8.45 7.28 2.46   12.21   3.77 7.71 8.04 2.28   14.95      n  rows ( A )

n4

m  cols ( A )

m 4

Здесь n – число неизвестных, m – число уравнений. Расширенная матрица системы имеет вид C  augment ( A  B) 3.12 4.1 1.9 10.15 

 8.3 2.21 C  3.92  3.77 

194

  8.45 7.28 2.46 12.21   7.71 8.04 2.28 14.95  3.15 1.69 6.99 8.35

rank( A )  4

rank( C)  4

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли, решение существует, и так как rank(A)=n, то решение единственное. Найдем это решение. Для определенных систем линейных уравнений используется функция X  lsolve ( A  B)  2.596325684506

  0.336112417606  X  3.117218642527  1.278823155733   Запишите это решение в свою лабораторную работу и вычислите погрешности решения 1 ,  2 ,  3 ,  4 , как модули разностей между значениями соответствующих переменных полученного компьютерного решения и приближенного решения, найденного вами с помощью калькулятора. Вычислим невязки ( r1 , r2 , r3 , r4 ), представляющие собой модули разностей между правыми и левыми частями уравнений системы: 0      15  1.7763568394  10  A X  B    15   3.552713678801  10    15   1.7763568394  10  Найдем решение СЛАУ методом Гаусса и матричным методом Метод Гаусса решения СЛАУ

По методу Гаусса с помощью элементарных преобразований строк необходимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. 1. Запрограммируем метод Гаусса с выбором ведущего элемента для определенных систем уравнений. Расширенная матрица системы равна  8.3 3.12 4.1 1.9 10.15  0 - я строка 2.21 3.15 1.69 6.99 8.35  1 - я строка C  3.92 8.45 7.28 2.46 12.21  2 - я строка  3.77 7.71 8.04 2.28 14.95    3 - я строка Введите ведущую строку k1=0,1,2 или 3 k1  0

Поменяем местами 0-ю и k1-ю строки j  0  4

G  C j

k1  j

C

k1  j

 C

0 j

C

0 j

 G

j

  2.21 3.15 1.69 6.99 8.35   C  3.92 8.45 7.28 2.46 12.21   3.77 7.71 8.04 2.28 14.95    После первого цикла метода Гаусса получим 8.3 3.12 4.1

1.9 10.15 

i  1  3 j  4  3  0 C C i 0 0  j C  C  i j i j C 0 0

195

3.12 4.1  8.3  0.598313253012 0 2.319253012048 C    0 6.976457831325 5.343614457831  0 6.292843373494 6.177710843373  Введите ведущую строку k2=1,2 или 3

 10.15

1.9 6.484096385542

 5.647409638554

1.56265060241

17.003734939759

1.416987951807

19.560301204819

     

k2  2

Поменяем местами 1-ю и k2-ю строки j  0  4

G  C

C

k2  j

j

k2  j

 C

1 j

 5.343614457831 1.56265060241 0 6.976457831325 C    0 2.319253012048 0.598313253012 6.484096385542  0 6.292843373494 6.177710843373 1.416987951807  После второго цикла метода Гаусса получим 3.12

8.3

4.1

1.9

C

1 j

 G

j

   5.647409638554   19.560301204819   10.15

17.003734939759

i  2  3 j  4  3  0 C C i 1 1  j C  C  i j i j C 1 1

 10.15 3.12 4.1 1.9  8.3   0 6.976457831325 5.343614457831  17.003734939759 1.56265060241   C  11.300129747896  0  1.178117455263 5.964608960255  0   3 4.222741181184  0 1.357710544585 7.459545528334  10  0 Введите ведущую строку k3=2 или 3

k 3 : 2

Поменяем местами 2-ю и k3-ю строки j  0  4

G  C j

C

k2  j

k2  j

 C

2 j

C

2 j

 G

j

 10.15

   0 6.976457831325 5.343614457831  17.003734939759 1.56265060241   C  11.300129747896  0  1.178117455263 5.964608960255  0   3 4.222741181184  0 1.357710544585 7.459545528334  10  0 После третьего цикла метода Гаусса получим 8.3

3.12

4.1

1.9

i  3

j  4  3  0 C C i 2 2  j C  C  i j i j C 2 2

 8.3

 10.15 1.9    17.003734939759 0 6.976457831325 5.343614457831 1.56265060241   C  0 0  1.178117455263 5.964608960255  11.300129747896   0  0 0 6.881317872211  8.79998863694   Обратный ход метода Гаусса 3.12

4.1

C X  3

3 4

C

3 3

j  2  0 3

C X  j

196

j 4





i  j 1

C

j j

C X j i

i

Получили решение

  2.596325684506 0.336112417606 X  3.117218642527   1.278823155733 

    

невязки которого r1 , r2 , r3 , r4 :

 1.7763568394  10  15    0   AX  B    15   3.552713678801  10    15    1.7763568394  10  2. Рассмотрим реализацию метода Гаусса с помощью стандартных функций системы Mathcad а) Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу неизвестных Rang(A)=Rang(C)=n, тогда решение существует и единственное (т.е. система совместна и определена)  1 0 0 0 2.596325684506 0 1 0 0 0.336112417606 rref( C)    0 0 1 0 3.117218642527  0 0 0 1 1.278823155733   Следовательно, получили решение (последний столбец в ступенчатой матрице) m X  rref( C)   2.596325684506

 0.336112417606 X  3.117218642527   1.278823155733 

    

невязки которого r1 , r2 , r3 , r4

  1.7763568394  10  15    0   AX  B    15   5.329070518201  10    15    1.7763568394  10  б) Ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системы Rang ( A )  Rang ( C), тогда по теореме Кронекера-Капелли решение не существует (т.е. система не совместна). Например, 1 2 3 1   A1  4 5 6 B1   2      7 8 9 4 1 2 3 1 C1  augment ( A1  B1) C1   4 5 6 2    7 8 9 4 rank( A1)  2

rank( C1)  3 0 1 0  1 

rref( C1)   0 1 2 0 

  0 0 0 1 197

Таким образом, получили противоречивое уравнение 0=1 (последняя строка), значит, система не совместна. в) Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, но меньше числа неизвестных Rang(A)=Rang(C)
rank( C2)  2  1 0 1 0.333333

rref( C2)   0 1 2

0.666667    0 0 0 0  Таким образом, для трех неизвестных получили два уравнения:

x  2 x 2

3

x x 1

2 3 1

3

3

Пусть x1, x2 – базисные, а x3 – свободная переменная. Считая свободные переменные произвольными (в данном примере x3 C) и выразив базисные переменные через свободные, получим общее решение x

1

C

1 3

x

2

2 3

 2 C

x

3

C

Матричный метод решения СЛАУ

Найдем определитель матрицы системы A  469.43263276

Так как определитель отличен от нуля, то обратная матрица существует 0.109827 0.172631 0.024047  0.153426  0.046862  0.693252 0.596087 0.036808 1   A   0.020652 9.201363 10 4 0.663336 0.735736    0.167474 0.186756 0.145321   0.022397 Матричным методом находим решение 1

X  A  B  2.596325684506

  0.336112417606  X  3.117218642527    1.278823155733    Для проверки погрешности решения вычислим невязки уравнений r1 , r2 , r3 , r4   1.7763568394  10 15    15   3.552713678801  10   A X  B    15    5.329070518201  10    5.329070518201  10 15    198

Решение линейных и нелинейных систем уравнений аналитически

Для этого используются ключевые слова Given - Find. Рассмотрим несколько примеров. а) Система линейных уравнений совместна и определена: 8.30  a  2.21  a  3.92  a  3.77  a 

Given 3.12  b  4.10  c  1.90  d  10.15 3.15  b  1.69  c  6.99  d  8.35 8.45  b  7.28  c  2.46  d 12.21 7.71  b  8.04  c  2.28  d 14.95  2.5963256845058706523 

  .33611241760575895077  Find ( a  b  c  d )    3.1172186425269938023    1.2788231557325874219    б) Система линейных уравнений совместна и неопределенна: Given a  2 b  3 c 4 a  5 b  6c 7 a  8 b  9c

1 2 3 1

 c    3   2 Find( a  b  c)   2 c   3  c   

Т.е. получили общее решение. в) Система уравнений несовместна (тогда функция Find будет выделена красным цветом) Given a  2 b  3 c 1 4 a  5 b  6c 2 7 a  8 b  9c 4 Find( a  b  c) 

г) Решения системы нелинейных уравнений выдаются в виде матрицы, где каждый столбец представляет одно решение этой системы Given 3

a  2 b  3 c 4 a  5 b  6c 7 a  8 b  9c

 C  Find ( a  b  c )     Т. е. получили три решения (a,b,c) C

0 T



 1 2 2    3  

C

1 T



1 2 3

 2 0 2  2 1 4  3 3 3 

1

0

0 0 1    3  

1

C

2 T



 1 2 4    3  

199

7.1.5. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера Методом Гаусса найдем решение системы (7.7):  8,30 3,12 4,10 1,90    10,15       2,21 3,15 1,69 6,99    8,35  , . A B 3,92 8,45 7,28 2,46  12,21       3,77 7,71 8,04 2,28   14,95      Выполняем расчеты с помощью МК. 1. Сначала выбираем максимальный по модулю элемент среди элементов первого столбца матрицы A. Он равен 8,30 и находится в первом уравнении. Поэтому нет необходимости в перестановке строк. 2. Заносим коэффициенты системы в первые 4 строки бланка расчета в столбцах, отмеченных буквами am(11) ,..., bm(1) (табл. 7.2). 3. Суммируем элементы в каждой строке и записываем сумму в последний, контрольный столбец, обозначенный am(15) . (1) 4. Заполняем далее столбец C mk (m – номер уравнения, m=2,3,4). Во второй – четвертой строках этого столбца записываем числа, которые вычисляются по формулам (7.5): 2,21 3,92 3,77 (1) (1) (1) C 21   0,266265; C31   0,472289; C 41   0,454217. 8,30 8,30 8,30 Первые 4 строки бланка заполнены полностью (табл. 7.2). 5. Для получения следующих трех строк применим формулы (1.6). Так, элементы первой из этих строк будут равны ( 2) a22  3,15  3,12  0,266265  2,319253;

( 2) a23  1,69  4,10  0,266265  0,598314; ( 2) a24  6,99  1,90  0,266265  6,484097;

b2( 2)  8,35  10,15  0,266265  5,647410; ( 2) a25  5,69  7,27  0,266265  3,754253. Для выполнения контроля суммируем элементы этой строки (кроме последнего). Получаем 2,311253 + 0,598314 + 6,484097 – 5,644710 = 3,754254. ( 2) . Отличие наблюдается лишь в последнем десятичном Сравниваем этот результат с a25 знаке, значит, наши вычисления верны. Аналогично находим и контролируем элементы остальных строк. Первый цикл закончен. Для выполнения второго цикла необходимо выбрать новую ведущую строку по коэффициентам при x2 . Это будет уже вторая строка ( 2) ( a32  6,976458 ). Переставляем ее на место первой и повторяем уже проделанные расчеты; и так до окончания прямого хода.

200

Таблица 7.2

Расчетный бланк метода Гаусса Номер Цикла k=1

Конец цикла

m 1 2 3 4 2 3 4

(1) C mk

0,266265 0,472289 0,454217

( 2) Cmk

k=2 Конец цикла

2 3 4 3 4

0,332440 0,902011

( 3) Cmk

k=3 Конец цикла

3 4 – 0,867723 4

am(11)

8,30 2,21 3,92 3,77 0 0 0 am( 21) 0 0 0 0 0 am(31) 0 0 0

am(12)

am(13)

3,12 4,10 3,15 1,69 8,45 7,28 7,71 8,04 2,319253 0,598314 6,976458 5,343615 6,292844 6,177711 am( 22) am( 23) 6,976458 5,343615 2,319253 0,598314 6,292844 6,177711 0 – 1,178117 0 1,357711 ( 3) am 2 am(33) 0 1,357711 0 – 1,178117 0

0

am(14)

bm(1)

1,90 – 10,15 6,99 – 8,35 2,46 12,21 2,28 14,95 6,484097 – 5,647410 1,562651 17,003734 1,416988 19,560300 am( 24) bm( 2) 1,562651 17,003734 6,484097 – 5,647410 1,416988 19,560300 5,964609 – 11,300129 0,007460 4,222742 am(34) bm(3) 0,007460 4,222742 5,964609 – 11,300129 5,971082

am(15)

7,27 5,69 34,32 36,75 3,754254 30,886458 33,447843 am( 25) 30,886458 3,754254 33,447843 – 6,513637 5,587913 am(35) 5,587913 – 6,513637

– 7,635959 – 1,664877

6. После этого выполняем обратный ход метода Гаусса. Находим неизвестные: x4   7,635959 / 5,971082   1,278823; x3  (4,222742  0,007460 1,278823) / 1,357711  3,117218; x2  (17,003734  1,5626511,278823  5,343615  3,117218) / 6,976458  0,336112; x1  (10,15  1,90 1,278823  4,10  3,117218  3,12  0,336112) / 8,30   2,596325. 7. Выписываем полученное решение: x1  2,596325; x2  0,336112; x3  3,117218; x4  1,278823. 8. Так как в ходе решения вычисления выполнялись с округлением, то полученные значения неизвестных являются неточными. Поэтому для контроля расчета вычислим невязки, представляющие собой модули разностей между правыми и левыми частями уравнений системы: (1) (1) (1) (1) r1  b1(1)  a11  x1  a12  x2  a13  x3  a14  x4  10,15  8,30  (2,596325)   3,12  0,336112  4,10  3,117218  1,90  (1,278823)  0,000001; (1) (1) (1) (1) r2  b2(1)  a21  x1  a22  x2  a23  x3  a24  x4  8,35  2,21  (2,596325) 

 3,15  0,336112  1,69  3,117218  6,99  (1,278823)  0,000001; (1) (1) (1) (1) r3  b3(1)  a31  x1  a32  x2  a33  x3  a34  x4  12,21  3,92  (2,596325) 

 8,45  0,336112  7,28  3,117218  2,46  (1,278823)  0,000003; (1) (1) (1) (1) r4  b4(1)  a41  x1  a42  x2  a43  x3  a44  x4  14,95  3,77  (2,596325) 

 7,71  0,336112  8,04  3,117218  2,28  (1,278823)  0,000003. Так как матрица системы хорошо обусловлена (во всех вариантах это условие выполняется) и невязки малы по модулю, то решение системы найдено достаточно точно. 9. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab1.mcd. Вводим столбец свободных элементов и матрицу системы уравнений: 201

  10.15   8.30 3.12 4.10 1.90        8.35   2.21 3.15 1.69 6.99  . , A :  B :  12.21  3.92 8.45 7.28 2.46       14.95   3.77 7.71 8.04 2.28      С помощью встроенной функции lsolve( A, B ) (см. п. 7.6.4) пакета Mathcad для нахождения решения определенных систем линейных уравнений находим «точное решение»   2.596325684506     0.336112417606  X : lsolve( A, B), X   . 3.117218642527      1.278823155733    10. Записываем полученное на компьютере решение x1К  2,596325684506; x2 К  0,336112417606; x3 К  3,117218642527; x4 К  1,278823155733 и вычисляем абсолютные погрешности, с какими найдены неизвестные в приближенном решении: 1 | x1К  x1 || 2,596325684506  2,596325 | 0,0000007;  2 | x2 К  x2 || 0,336112417606  0,336112 | 0,0000005;  3 | x3 К  x3 || 3,117218642527  3,117218 | 0,0000007;  4 | x4 К  x4 || 1,278823155733  1,278823 | 0,0000002,

т. е. все погрешности меньше 10 6 и решение найдено достаточно точно. 11. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

7.1.6. Основные термины Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Эквивалентные системы Основная и расширенная матрицы СЛАУ Матричная форма записи СЛАУ Решение СЛАУ Совместная и несовместная СЛАУ Метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента Ведущее уравнение Элементарные преобразования строк Прямой и обратный ход метода Гаусса Невязка уравнения

7.1.7. Вопросы для самоконтроля 1. Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений? 2. Какая система линейных алгебраических уравнений называется совместной, какая несовместной? 3. Какая совместная система линейных алгебраических уравнений определена, какая неопределена? 4. Что называется основной и расширенной матрицей системы линейных уравнений? 5. Что такое ранг матрицы A? 202

6. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли. 7. Когда система линейных алгебраических уравнений определена и когда неопределена? 8. Что такое элементарные преобразования строк матрицы? 9. Опишите структуру бланка расчета в методе Гаусса. 10. Как выполняется контроль текущих вычислений при реализации метода Гаусса? 11. Для чего предназначен контрольный столбец и как он формируется? 12. Опишите алгоритм прямого хода метода Гаусса и запишите расчетные формулы прямого хода. 13. Опишите алгоритм обратного хода метода Гаусса и запишите расчетные формулы обратного хода. 14. В чем состоит смысл выбора ведущей строки в методе Гаусса? 15. Что называется невязками уравнений системы?

203

7.2. Решение нелинейных уравнений 7.2.1. Постановка задачи Целью данной лабораторной работы является нахождение действительных корней уравнения f ( x)  0, (7.8) где f (x) – некоторая заданная функция. В некоторых частных случаях это уравнение может быть решено аналитически (например, линейное или квадратное уравнения). Однако при решении прикладных задач уравнение (7.8) обычно не может быть решено аналитически. В таких случаях используют приближенные методы решения: графический, метод половинного деления, метод касательных, метод хорд, комбинированный и другие. Приближенное нахождение действительных корней уравнения (7.8) обычно складывается из двух этапов. 1. Отделение корней, т. е. отыскание для каждого корня такого отрезка [a, b], внутри которого лежит только этот корень и отсутствуют другие корни. 2. Уточнение приближенных корней, т. е. доведение их приближенных значений до заданной точности.

7.2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод Для первого этапа работы по отделению корней полезен графический метод решения уравнения (7.8). В этом случае строится график функции y  f (x) и находятся абсциссы точек пересечения графика с осью Ox (рис. 7.1). На рис. 7.1 x1 , x2 и x3 – корни уравнения (7.8).

Рис. 7.1.

Рис. 7.2.

Если же исходное уравнение (7.8) может быть представлено в виде f1 ( x)  f 2 ( x)  0, (7.9) то строятся графики функций y  f1 ( x) и y  f 2 ( x) , и находят уже абсциссы их точек пересечения. На рис. 7.2 x1 , x2 и x3 – корни уравнения (7.9). Графический метод достаточно прост для реализации на ЭВМ, но недостаточно эффективен, так как для уточнения корня каждый раз требуется строить график y  f ( x) (или y  f1 ( x) и y  f 2 ( x) ) во все более крупном масштабе. Отрезок [a0 , b0 ] , внутри которого находится единственный корень уравнения (7.8), будем называть начальным. Для нахождения начального отрезка следует использовать следующие теоремы [6]–[8]. Теорема 7.2.1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a0 , b0 ] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. f (a0 )  f (b0 )  0 , то между a0 и b0 найдется по крайней мере одна точка x* , в которой f ( x* )  0 . Теорема 7.2.2. Если функция f ( x) непрерывна и монотонна на отрезке [a0 , b0 ] и f (a0 )  f (b0 )  0 , то между a0 и b0 имеется только одна точка x* , в которой f ( x* )  0 . 204

Пусть начальный отрезок [a0 , b0 ] уже найден. Рассмотрим численные методы, используемые для уточнения приближенных корней [6]–[8].

7.2.3. Метод половинного деления Среди численных методов решения уравнения (7.8) наиболее простым в реализации является метод половинного деления. Он позволяет находить корень уравнения (7.8) с любой заданной точностью  и применим в том случае, если f ( x) непрерывна на [a0 , b0 ] и f (a0 )  f (b0 )  0 . Суть метода состоит в следующем. Разбиваем [a0 , b0 ] пополам; среди двух получившихся отрезков выбираем тот, на концах которого f ( x) принимает значения разных знаков. Получаем новый отрезок [a1 , b1 ] , внутри которого находится точный корень уравнения. Данный процесс деления и выбора нового более узкого отрезка продолжаем до тех пор, пока на n-ом шаге длина полученного отрезка [an , bn ] не станет меньше 2 . Тогда приближенный корень уравнения может быть найден по формуле xn  (an  bn ) / 2. (7.10) При этом абсолютная погрешность найденного корня не превышает  , т. е. | xn  x* |  . Может случиться, что на некотором шаге значение f ( x) в середине отрезка равно нулю. Тогда середина отрезка – точный корень уравнения (7.8).

7.2.4. Метод Ньютона Пусть корень уравнения (7.8) отделен на начальном отрезке [a0 , b0 ] , причем f (a0 )  f (b0 )  0 и f (x) и f (x) отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке. Знак первой производной означает, что кривая y  f ( x) является графиком возрастающей ( f ( x)  0) или убывающей ( f ( x)  0) функции. Кривая будет строго выпукла вниз ( f ( x)  0) или вверх ( f ( x)  0) . Геометрический смысл метода Ньютона или иначе – метода касательных состоит в том, что к графику функции f ( x) проводится касательная в некоторой точке с абсциссой x  [a0 , b0 ] , и вместо точки пересечения графика f ( x) с осью Ox ищется точка пересечения этой касательной с осью Ox (рис. 7.3).

Рис. 7.3. В качестве начальной точки x0 выбирается тот из концов отрезка [a0 , b0 ] , в котором функция f ( x) и ее вторая производная имеют один и тот же знак f ( x)  f ( x)  0. (7.11) Затем строят касательную к графику f ( x) в точке с абсциссой x0 , находят абсциссу x1 точки пересечения касательной с осью Ox. Снова строят касательную к графику f (x) уже в 205

точке x1 и находят абсциссу x2 точки пересечения новой касательной с осью Ox. Продолжая этот процесс, получают числовую последовательность x0 , x1 , x2 ,..., xn ,.... (7.12) Можно доказать [7], что при выполнении перечисленных в начале этого параграфа условий, последовательность (7.12) сходится к корню x* уравнения (7.8). Получим расчетную формулу для метода Ньютона. Пусть xn и xn1 – предыдущее и последующее приближения корня. Запишем уравнение касательной к графику функции в точке xn : y  f ( xn )  f ( xn )( x  xn ) . В уравнении положим x  xn1 , тогда y  0 (так как это точка пересечения касательной с осью Ox). Значит 0  f ( xn )  f ( xn )( xn 1  xn ) . Разрешая это уравнение относительно xn1 , находим f ( xn ) x n 1  x n  , n  0,1,2,... (7.13) f ( xn ) Полученная рекуррентная формула (7.13) определяет сходящуюся к x* числовую последовательность. Погрешность приближенного к x* значения xn определяется из неравенства, установленного в работах [7], [8]: M | x*  xn | 2 ( xn  xn 1 ) 2 , (7.14) 2 m1 где m1  min | f ( x) |; M 2  max | f ( x) | . a 0  x  b0

a 0  x  b0

7.2.5. Метод хорд Пусть корень уравнения (7.8) отделен на начальном отрезке [a0 , b0 ] , причем f (a0 )  f (b0 )  0 и существуют и знакопостоянны f (x) и f (x) для всех x  [a0 , b0 ] . Геометрический смысл метода хорд состоит в том, что к графику функции y  f (x) на отрезке, внутри которого находится корень, проводится стягивающая его хорда и вместо точки пересечения графика f (x) с осью Ox ищется точка пересечения этой хорды с осью Ox. В качестве начального приближения x0 к корню x* выбирается тот из концов отрезка [a0 , b0 ] , в котором функция f (x) и ее вторая производная имеют противоположные знаки, т. е. f ( x)  f ( x)  0. (7.15) При этом противоположный конец отрезка [a0 , b0 ] будет неподвижен. Этот неподвижный конец отрезка обозначим через C (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Строя последовательно указанным выше способом хорды и находя их точки пересечения с осью Ox, получаем последовательность приближений искомого корня x0 , x1 , x2 ,..., xn ,.... , 206

которая, при выполнении отмеченных в начале параграфа условий, будет сходиться к корню уравнения (7.8). Получим расчетную формулу для метода хорд. Пусть xn и xn1 – предыдущее и последующее приближения корня, C – неподвижная точка. Запишем уравнение прямой (хорды), проходящей через две точки с координатами ( xn , f ( xn )) и (C , f (C )) . Получим x  xn y  f ( xn )  . C  xn f (C )  f ( xn ) В уравнении положим x  xn1 , тогда y  0 и уравнение примет вид x n 1  xn  f ( xn )  . C  xn f (C )  f ( xn ) Разрешая это уравнение относительно xn1 , получим рекуррентную формулу для последовательности приближений корня уравнения (7.7) xn  C x n 1  x n  f ( x n )  , n  0,1,2,... (7.16) f ( xn )  f (C ) При этом погрешность приближения на n-ом шаге определяется следующим неравенством [7], [8]: M  m1 (7.17) | x*  xn | 1 | xn  xn 1 |, m1 где m1  min | f ( x) |; M 1  max | f ( x) | . a 0  x  b0

a 0  x  b0

7.2.6. Комбинированный метод Пусть корень уравнения (7.8) отделен на начальном отрезке [a0 , b0 ] , причем f (a0 )  f (b0 )  0 и f (x) и f (x) отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке. Сравнивая условия выбора начального приближения x0 в методах Ньютона и хорд, несложно заметить, что для одного и того же уравнения в качестве начальных приближений выбираются разные концы отрезка [a0 , b0 ] . Учитывая это обстоятельство, можно одновременно приближать к x* оба конца начального отрезка. При этом один конец отрезка будет уточняться методом Ньютона, а другой – методом хорд. Такой метод решения уравнения называется комбинированным. Геометрическая иллюстрация этого метода дана на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Формулы, реализующие комбинированный метод решения уравнения (7.8), вытекают из формул (7.13) и (7.16).

207

Если выполняется условие f (a0 )  f (a0 )  0 , то уточнение отрезка [a0 , b0 ] ведется по формулам: f (an ) an1  an  , f (an ) (7.18) bn  an bn1  bn  f (bn )  . f (bn )  f (an ) Если же выполняется условие f (a0 )  f (a0 )  0 , то уточнение отрезка [a0 , b0 ] ведется по формулам: bn  an , an1  an  f (an )  f (bn )  f (an ) (7.19) f (bn ) . bn1  bn  f (bn ) Процесс вычисления по формулам (7.18) и (7.19) продолжается до тех пор, пока на некотором шаге n не будет выполняться неравенство (bn  an )  2 . (7.20) Тогда в качестве приближенного значения корня берется величина (an  bn ) / 2.

7.2.7. Задание на лабораторную работу 1. Из табл. 7.3 выбрать свой вариант уравнения f ( x)  0 и найти его наименьший положительный корень. Таблица 7.3 Варианты заданий № Задание № Задание № Задание 2 x x  2 sin x  0 1 23 12 x  1  ln( x  1)  0 x  2e  0 x  2 cos x  0 13 2 24 e 2 x  ln x  0 x 2  2 sin x  0

3

e 2 x  x 2  0

14

x 3  3 cos x  0

25

4

ex  x  3  0

15

x 2  2 cos x  0

26

x 3  3 sin x  0 x  sin 2 x  0

5

3x 3  e x  0

16

e  x  ln x  0

27

x  cos 2 x  0

17

e x  x3  0

28

x 3  cos 3x  0

6

x  ex  3  0

7

2e  x  x  0

18

ex  x  2  0

29

8

e  x  1  ln x  0

19

5x3  e x  0

30

x 2  cos 2 x  0 ln x  x  2  0

9

x  ex  0

20

x  ex  2  0

31

x 2  4 x  4  ln x  0

10

x 2  sin 2 x  0

21

e x  x  0

32

11

x 3  sin 3x  0

22

e  x  ln (2 x)  0

33

x 3  ln( x  1)  0 ln x  x  3  0

2. Указать область определения функции f (x) , найти f (x) и f (x) . 3. Графическим методом отделить корни уравнения; найти начальный отрезок [a0 , b0 ] длины не более 1, внутри которого находится наименьший положительный корень и такой, что f (a0 )  f (b0 )  0 и f (x) и f (x) отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке. 4. Используя микрокалькулятор, сделать 3–4 шага методом половинного деления, взяв в качестве начального отрезка [a0 , b0 ] . Результаты счета фиксировать в таблице.

208

5. Выбрав получившийся в пункте 4 отрезок в качестве исходного, найти корень уравнения с точностью   10 4 комбинированным методом. Расчеты вести с помощью микрокалькулятора, результаты фиксировать в таблице. 6. Продолжить выполнение работы в компьютерном классе. 7. Найти корень уравнения с точностью   10 15 с помощью встроенной функции системы Mathcad. 8. Сравнить результаты машинного решения и полученного комбинированным методом. 9. С помощью компьютера определить число шагов, необходимых для уточнения начального отрезка [a0 , b0 ] с точностью до   10 5 методами половинного деления, Ньютона, хорд и комбинированным методом, и выписать полученные этими методами приближенные значения корня. Выписать также первые и последние три строки из получившихся таблиц приближений корня методами половинного деления и хорд, а получившиеся таблицы методом Ньютона и комбинированным методом выписать целиком. 10. Оформить отчет, в который входят: титульный лист; область определения функции f (x) ; первая и вторая производные f (x) и f (x) ; отделение корней графическим методом; три уточненных отрезка, полученных методом половинного деления; уточнение корня комбинированным методом с точностью до   10 4 ; уточнение с помощью компьютера с точностью до   10 5 начального отрезка [a0 , b0 ] методами половинного деления, Ньютона, хорд и комбинированным методом.

7.2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе 1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией. 2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, то открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы  Mathsoft  Mathcad). 3. Узнайте у лаборанта расположение пакета Lab и откройте файл Lab2.mcd (File  Open или, если программа русифицирована, Файл  Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту. 4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. В файле Lab2.mcd в первом разделе «Отыскание корня в системе Mathcad» реализован графический метод отделения корней уравнения и получение приближенного значения корня с любой точностью с помощью стандартной функции системы Mathcad root ( f ( x), x, a, b) (см. подраздел 7.6.2). Во втором разделе «Метод половинного деления» запрограммирован одноименный метод отыскания корня с возможностью определять количество делений отрезка пополам, обеспечивающее любую заданную точность этого приближенного корня. В следующих трех разделах запрограммированы рекуррентные формулы методов Ньютона, хорд и комбинированного метода нахождения приближений корня (7.13), (7.16), (7.18), (7.19) и формулы определения погрешностей этих приближений по формулам (7.14), (7.17) и (7.20). В последнем разделе «Вычисление точных аналитических корней уравнений» приведены дополнительные сведения о возможностях системы Mathcad по нахождению точных аналитических корней уравнений в системе Mathcad. 5. Введите вместо задания примера свою функцию f (x) , т. е. левую часть уравнения f ( x)  0 . Для набора необходимой Вам функции f (x) нужно либо скопировать ее из варианта, приведенного в конце файла, либо воспользоваться всплывающим меню 209

инструментов «Calculator», либо ввести ее с клавиатуры, используя следующие символы арифметических действий и стандартных функций: сложение – ‘+’; вычитание – ‘–‘; умножение – ‘*’; деление – ‘/’; возведение в степень – ‘^’; квадратный корень – ‘\’; синус – sin(x); косинус – cos(x); экспонента – exp(x); натуральный логарифм – ln(x). С помощью графического метода определите начальный отрезок единичной длины и введите его начальную a0 и конечную b0 точки. При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 0.5, 1.5 и т. д.). 6. Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными жирным шрифтом.

7.2.9. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример В данном подразделе приведен текст программы Lab2.mcd, разработанной для вычисления действительных корней алгебраических и трансцендентных уравнений с одним неизвестным. В тексте разбирается пример отыскания наименьшего положительного корня уравнения x 3  ln [2( x  1)]  0 . (7.21)

Лабораторная работа №2 «Вычисление действительных корней алгебраических и трансцендентных уравнений с одним неизвестным» Задание на лабораторную работу

1. Найти наименьший положительный корень нелинейного уравнения f(x)=0 с помощью приближенных методов.. 2. В начале необходимо отделить корень, выделив начальный интервал [a,b], на котором функция y=f(x) является монотонной, непрерывной и на концах которого она имеет значения разных знаков. 3. Используя микрокалькулятор, сделать 3 шага методом половинного деления. Указать приближенное значение корня и погрешность, с которой найден корень. 4. Используя микрокалькулятор, найти корень уравнения комбинированным методом с точностью 10-4. 5. С помощью компьютера отделить наименьший положительный корень уравнения на начальном отрезке длиной 1. 6. Начиная каждый раз с этого начального отрезка, найти с помощью системы Mathcad корень уравнения с точностью 10-5 четырьмя разными методами: половинного деления, хорд, Ньютона, комбинированным. Определить минимальное число шагов N для каждого метода, обеспечивающее эту точность. Отыскание корня в системе Mathcad Задайте левую часть уравнения f(x)=0: 3

f ( x)  x  ln[ 2 ( x  1) ]

Введем функции первой и второй производной от функции f(x) (f1(x) – первая производная, f2(x) – вторая) f1( x) 

210

d f ( x) dx

f2( x) 

d

2 2

dx

f ( x)

2

2

f1( x)  3 x 

f2( x)  6 x 

( 2 x  2)

4

( 2 x  2) absf2 ( x)  f2( x)

absf1 ( x)  f1( x)

2

где absf1(x) и absf2(x) модули первой и второй производной. С помощью графического метода отделим начальный отрезок [a,b], на котором уравнение имеет единственный корень (точка пересечения с осью Ox) 30

20

f ( x)

10

0

10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

По графику видно, что корень уравнения (точка пересечения графика функции с осью Ox) расположен внутри отрезка [a,b], где (введите значения a и b для своего задания) a  0.5

b  1.5

Убедимся, что данный начальный отрезок выбран верно, т.е. функция имеет значения разных знаков на концах отрезка f ( a)  f ( b )  1.719

Построим график функции f(x) на начальном отрезке от a до b 2

1 f ( x)

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 x

Графики первой и второй производной на этом отрезке имеют вид 10

f1( x)

10

f2( x)

5

0.5

1 x

1.5

5

0.5

1

1.5

x

211

Убеждаемся, что на выбранном начальном отрезке действительно содержится единственный корень уравнения, а также первая и вторая производные функции f(x) знакопостоянны. Найдем его с помощью стандартной функции R  root ( f ( x)  x a  b )

R  1.13189206006462

Запишите в свою лабораторную работу точное значение корня и вычислите погрешность, с которой этот же корень найден вами. Рассмотрим несколько методов отыскания корней уравнений с одним неизвестным с заданной точностью 5

  10

Метод половинного деления

Запрограммируем самый простой метод - метод половинного деления. Начальный отрезок [a,b] разбивается пополам и среди полученных двух отрезков выбираем тот, на концах которого функция f(x) принимает значения разных знаков. К вновь получаемым уточненным отрезкам применяется эта же процедура, до тех пор, пока на n-ом шаге длина полученного отрезка не станет меньше 2 , где  – заданная точность. Зададим количество делений пополам, обеспечивающее точность  N  floor log    2 

N  16

Приближения корня будем заносить в вектор-столбцы A и B i  0  ( N  1)  A0   a        B  b



0



f ( a)  f ( b )  1.719 A B    A i  Bi   i i   0  if f A i  f  A   i 2  2    

 A i 1     B    i 1    В вектор-столбцах A и приближающих корень.

 





A B  A i  Bi   i i    0   B i i 2  2   построена последовательность

if f B  f 

 B

 0.5  1  1  1.125   1.125  1.125   1.125  1.125 augment ( A  B)   1.128906   1.130859  1.131836   1.131836  1.131836  1.131836   1.131836  1.131866  1.131882

212

  1.25   1.25  1.1875  1.15625   1.140625  1.132813  1.132813   1.132813  1.132813   1.132324  1.13208  1.131958   1.131897  1.131897  1.131897  1.5 1.5

отрезков

[ai,bi],

Приближение корня находим как середину отрезка [AN,BN], оно равно A

N

B

N

2

 1.131889343

Тогда находим значение функции  A N  BN    9.167749450922 10 6 f 2   и определяем погрешность B  

N

A

6

N

  7.6294 10

2

а также, зная точное значение корня, находим абсолютную погрешность A R

N

B

N

2

6

 2.717  10

Таким образом, получили концы нового уточненного отрезка A

N

 1.131881714

B

N

 1.131896973

Убедившись, что    , перепишите 3 первых и 3 последних строки из таблицы приближений (A,B), получившееся значение корня и количество потребовавшихся шагов N в вашу лабораторную работу. Метод Ньютона

Запрограммируем метод Ньютона (метод касательных). В качестве начального приближения выбираем тот из концов отрезка [a,b], в котором функция f(x) и ее вторая производная f"(x) имеют один и тот же знак, т.е. f(x)*f"(x)>0 f ( a)  f2( a)  3.354

f ( b )  f2( b )  16.173

Таким образом, начальное приближение X  if( f ( a)  f2( a)  0  a  b ) 0

Зададим количество шагов N  4

По формуле Ньютона приближение корня строится по рекуррентной формуле xn+1=xnf(xn)/f'(xn) i  0  1  N  1 f X i X  X  i 1 i f1 X

   i

В вектор-столбце X построена последовательность приближений корня: 1.5     1.22195872636757   X   1.13930028570913   1.13194843819878     1.13189206336642  На практике, так как точное значение корня не известно, погрешность  по методу Ньютона определяется по формуле x1  a Given x1  b x1  a x2  Minimize ( absf1  x1) m1  f1( x2) m1  0.083333333333

213

Given x1  b x1  a x3  Maximize ( absf2  x1) M2  f2( x3) M2  9.16



M2  X  

N

X

2

N1

7

  1.747  10

2 m1

Подобрав N так, чтобы было    , перепишите получившийся столбец приближений X, значение корня XN и количество потребовавшихся шагов N в вашу лабораторную работу (например, в данном примере при N  3 погрешность   2.971 10 3 ). Самое точное приближение находится в последнем элементе XN, которое равно X

 1.13189206336642

N

Зная точное значение корня, находим погрешность RX

9

N

 3.302  10

Метод Хорд

Запрограммируем метод хорд. В качестве начального приближения выбираем тот из концов отрезка [a,b], в котором функция f(x) и ее вторая производная f"(x) имеют противоположные знаки, т.е. f(x)*f"(x)<0 f ( a)  f2( a)  3.354

f ( b )  f2( b )  16.173

Таким образом, начальное приближение Y  if( f ( a)  f2( a)  0  a  b ) 0

Другой конец отрезка обозначим через с c  if( f ( a)  f2( a)  0  b  a)

Зададим количество шагов N  14

По методу хорд приближение корня строится по рекуррентной формуле xn+1=xnf(xn)*(xn-с)/(f(xn)-f(c)) i  0  1  N  1 Y c i Y  Y  f Y  i 1 i i f Y  f ( c)

    i

В вектор-столбце Y построена последовательность приближений корня. 0.5   0.855440054169422   1.03566492858268  1.10177680680892   1.12281348891187  1.12918716382619  1.13108900322369  Y   1.13165389182466  1.13182144694563   1.13187112633534  1.1318858542921  1.13189022038772   1.13189151470094  1.1318918983942  1.13189201213822 

214

                    

На практике, так как точное значение корня не известно, погрешность  по методу хорд определяется по формуле x1  a Given x1  b x1  a x2  Minimize( absf1  x1) m1  f1( x2) m1  0.083333333333 Given x1  b x1  a x3  Maximize ( absf1  x1) M1  f1( x3) M1  6.35 M1  m1 6   8.554  10    Y Y N N  1 m1

Подобрав N так, чтобы было    , перепишите получившийся столбец приближений Y, значение корня YN и количество потребовавшихся шагов N в вашу лабораторную работу (например, в данном примере при N  13 погрешность   2.885105 ). Самое точное приближение находится в последнем элементе YN, которое равно Y

N

 1.13189201213822

Зная точное значение корня, находим погрешность RY

8

N

 4.793  10

Комбинированный метод

Комбинированным методом один конец уточняется методом хорд, а другой - методом Ньютона. В качестве начального приближения методом хорд выбираем тот из концов отрезка [a,b], где f(x)*f"(x)<0. f ( a)  f2( a)  3.354

f ( b )  f2( b )  16.173

Таким образом, начальное приближение по методу хорд K  if( f ( a)  f2( a)  0  a  b ) 0

Другой конец отрезка уточняем методом касательных L  if( f ( a)  f2( a)  0  a  b ) 0

Зададим количество шагов N  4

Применяя рекуррентные формулы методов хорд и касательных, получим i  0  1  N  1

В вектор-столбцах приближающих корень.

K L   i i  Ki  f  Ki   fK   fL    Ki 1   i i      Li 1   fL  i    L   i f1 L   i   K и L построена последовательность

отрезков

[ai,bi],

0.5 1.5    0.855440054169422 1.22195872636757    augment ( K  L)   1.1020813008062 1.13930028570913   1.13165865898903 1.13194843819878     1.13189204639238 1.13189206336642  Приближение корня находим как середину отрезка [KN, LN], оно равно

215

K Rk 

N

L

N

Rk  1.1318920548794

2

Тогда вычисляем значение функции  K N  LN    1.749737155166 10 8 f 2   и находим погрешность комбинированного метода K  

N

L

9

N

  8.487  10

2

Найдем теперь абсолютную погрешность, зная точное значение корня: 9

R  Rk  5.185  10

Подобрав N так, чтобы было    , перепишите получившуюся таблицу приближений, значение корня Rk и количество потребовавшихся шагов N в вашу лабораторную работу. Вычисление точных аналитических корней уравнений

В системе Mathcad можно находить символьные значения корней. Для этого необходимо записать уравнение в следующем виде sin ( 2x)  cos ( 2x)

0

Затем мышью выделить переменную x и в верхней панели нажать кнопку Symbolics, далее в открывшемся окне Variable => Solve. После этого система автоматически выдаст решение: 1 8



7.2.10. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера Найдем наименьший положительный корень уравнения (7.21) x 3  ln [2( x  1)]  0 . 1. Область определения функции f ( x)  x 3  ln [2( x  1)]: D f  (1, ); ее производные f ( x)  3x 2 

1 , x 1

2. Строим графики функций: f1 ( x)  x 3 , пересечения графиков.

f ( x)  6 x 

f 2 ( x)  ln [2( x  1)] (рис. 7.6), находим точки

Рис. 7.6. 216

1 . ( x  1) 2

По рис. 7.6 видно, что наименьший положительный корень данного уравнения лежит внутри отрезка [0,5;1,5] . Проверим аналитически, что корень отделен на этом отрезке. Вычисляем: f (0,5)  0,974; f (1,5)  1,766. Поскольку f (0,5)  f (1,5)  0 и функция непрерывна, то в силу теоремы 7.2.1 внутри отрезка [0,5;1,5] имеются корни. Поскольку f (0,5)  0,083  0 и f ( x)  0 для всех x  0,5 , то f ( x)  f (0,5)  0 для всех x  [0.5,1.5] , т. е. функция возрастает на [0,5;1,5] . Поэтому, на основании теоремы 7.2.2, внутри этого отрезка имеется один корень уравнения, и он может быть взят в качестве начального. 3. С помощью микрокалькулятора делаем 3 шага методом половинного деления; результаты заносим в табл. 7.4. Таблица 7.4 Уточнение начального отрезка методом половинного деления N an cn bn n f ( an ) f (cn ) f (bn ) 0 0,5 1,0 1,5 1,0 – 0,974 – 0,386 1,766 1 1,0 1,25 1,5 0,5 – 0,386 0,449 1,766 2 1,0 1,125 1,25 0,25 – 0,386 – 0,023 0,449 3 1,125 1,1875 1,25 0,125 В результате получаем: уточненный отрезок [1,125; 1,250]; приближенное значение корня x  1,19 ; погрешность корня 6,25 10 2 . При этом были введены следующие дополнительные обозначения: cn  (an  bn ) / 2; n  bn  an . Дальнейшее уточнение корня проводим комбинированным методом. Так как f (1,125)  f (1,125)  0 , то левый конец отрезка [1,125; 1,250] уточняем методом хорд, а правый – методом Ньютона. Поэтому используем формулы (7.19). Результаты вычислений заносим в табл. 7.5. Таблица 7.5 Уточнение корня комбинированным методом N an bn bn  an f (an ) f (bn ) f (bn ) 0 1,125 1,250 0,125 – 0,023092 0,444045 4,243056 1 1,131114 1,144170 0,013056 – 0,002622 0,041961 3,460994 2 1,131882 1,132046 0,000164 Так как b2  a2  0,000164  2 , вычисления прекращаем на втором шаге. Находим корень уравнения 1,131882  1,132046 x0   1,131964 . 2 4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab2.mcd. Вводим функцию f ( x) : x 3  ln(2  ( x  1)). Строим график функции на найденном начальном интервале [0,5;1,5] (рис. 7.7). Характеристики графика свидетельствуют, что функция непрерывна, f (x) и f (x) существуют и знакопостоянны на этом отрезке (т. е. функция монотонна и не меняет направление выпуклости) и что корень уравнения x* , причем единственный, лежит в интервале [0,5;1,5]. Таким образом, можем применить все вышеперечисленные методы. После этого находим корень с точностью до 10 15 с помощью встроенной функции системы Mathcad root ( f ( x), x,0.5,1.5)  1.13189206006462 .

217

Рис. 7.7. 5. Выписываем точное решение R  1,13189206006462 и сравниваем полученные результаты ручного и машинного счета. Определяем погрешность: | R  x0 || 1,13189206006462  1,131964 | 7,194 10 -5 . 6. Определяем с помощью компьютера значение корня методом половинного деления с точностью   10 5 . Чтобы на N-ом шаге длина полученного отрезка [a N , bN ] стала меньше 2 , необходимо взять N  [ log2  ]  1 . При этом начальный отрезок должен быть единичной длины. Выписываем автоматически вычисленное количество шагов N П  16 и таблицу 7.6, содержащую первые и последние три строки таблицы приближений (см. подраздел 7.2.9). Таблица 7.6 Отыскание корня методом половинного деления 0 1 2 3 14 15 16 N … 0,5 1,0 1,0 1,125 1,131836 1,131866 1,131882 … an bn

1,5 Получим

1,5

1,25

корень

погрешность которого | R  x0 П

1,25

…

1,131897

1,131897

a N  bN 1,131882  1,131897   1,131889 , 2 2 | 2,717  10 6   .

x0 П 

1,131897 абсолютная

7. Получим на компьютере значение корня методом Ньютона с точностью   10 5 . Для этого вводим в начале соответствующего раздела N : 3 и с помощью запрограммированной формулы (7.14) определяем погрешность   2,971 10 3   , т. е. точность не достигнута. Увеличивая N на единицу, вводим в программу N : 4 и получаем   1,747  10 7   , и требуемая точность достигнута (если это не так, то продолжаем увеличивать N на единицу). Выписываем получившуюся таблицу 7.7 для N Н  4 . Таблица 7.7 Отыскание корня методом Ньютона 0 1 2 3 4 N 1,5 1,221958726 1,139300286 1,131948438 1,131892063 bn Получим приближенный корень x0 Н  b4  1,131892063 , абсолютная погрешность которого | R  x0 Н | 3,302  10 9   .

218

8. Вычисляем на компьютере значение корня методом хорд с точностью   10 5 . Для N : 12 и с помощью этого вводим в начале соответствующего раздела запрограммированной формулы (7.16) получим и оценим погрешность   9,737 10 5   . Следовательно, увеличиваем N на единицу, вводим N : 13 , для которого   2,885  10 5   . Увеличиваем N еще на единицу, вводим N : 14 , для которого   8,554 10 6   . Теперь требуемая точность достигнута (если это не так, то продолжаем увеличивать N на единицу). Выписываем первые и последние два шага из получившейся таблицы для N Х  14 . Таблица 7.8

N an

0 0,5 Получим

Отыскание корня методом хорд 2 13 … 1,035664929 1,131891898 …

1 0,855440054 корень

x0 Х  a14  1,131892012 ,

абсолютная

14 1,131892012

погрешность

которого

| R  x0 Х | 4,793  10 8   . 9. Вычисляем на компьютере значение корня комбинированным методом с точностью   10 5 . Для этого вводим в начале соответствующего раздела N : 3 и получаем по b  aN формуле (7.20) погрешность N  1,449  10 4   . Следовательно, увеличиваем N на 2 b  aN единицу и вводим N : 4 , для которого N  8,487  10 9   , и требуемая точность 2 достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу). Выписываем получившуюся таблицу 7.9 для N К  4 . Таблица 7.9 Отыскание корня комбинированным методом 0 1 2 3 4 N 0,5 0,8554400542 1,1020813008 1,1316586589 1,1318920464 an

bn

1,5

1,2219587264

1,1393002857

1,1319483820

1,1318920634

a N  bN 1,1318920464 1,1318920634   1,1318920549 , абсолютная 2 2 погрешность которого | R  x0 К | 5,185  10 9   . 10. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

Получим корень x0 К 

7.2.11. Основные термины Нелинейное уравнение Корень уравнения Приближенные методы решения Графический метод Метод половинного деления Метод касательных Метод хорд Комбинированный метод Начальный отрезок

219

Рекуррентная формула Погрешность метода

7.2.12. Вопросы для самоконтроля 1. Какого типа уравнения решаются в данной работе? 2. Что называется корнем уравнения f ( x)  0 ? 3. Как графически решить уравнения f ( x)  0, f1 ( x)  f 2 ( x) ? 4. Перечислите достоинства и недостатки графического метода. 5. В чем состоит этап отделения корней уравнения f ( x)  0 ? 6. Сколько корней должна иметь функция f (x) на начальном отрезке [a0 , b0 ] ? 7. Как определить аналитически: возрастает или убывает функция на промежутке? 8. Как определить аналитически: выпукла или вогнута функция на промежутке? 9. Какие условия, наложенные на f (x) , гарантируют наличие хотя бы одного корня уравнения на начальном отрезке [a0 , b0 ] ? 10. Какие условия, наложенные на f (x) , гарантируют наличие не более одного корня уравнения на начальном отрезке [a0 , b0 ] ? 11. Привести алгоритм решения уравнения f ( x)  0 методом половинного деления. Какие условия при этом должны быть наложены на функцию f (x) ? 12. Какие условия должны быть наложены на f (x) , чтобы уравнение можно было решить методом Ньютона? 13. Как выбирается начальная точка x0 в методе Ньютона? 14. Вывести формулу для вычисления последовательных приближений методом Ньютона, записать формулу оценки погрешности. 15. Какие условия должны быть наложены на f (x) , чтобы уравнение f ( x)  0 можно было решить методом хорд? 16. Как выбирается начальная точка x0 в методе хорд? 17. Вывести формулу для вычисления n последовательных приближений методом хорд, записать формулу оценки погрешности. 18. Какие условия должны быть наложены на f (x) , чтобы уравнение f ( x)  0 можно было решить комбинированным методом? 19. Выписать формулы, по которым уточняются концы начального отрезка [a0 , b0 ] комбинированным методом. В зависимости от каких условий осуществляется выбор формул? 20. Указать условие, по которому процесс уточнения отрезка комбинированным методом должен быть прерван? Как затем найти корень?

220

7.3. Вычисление определенных интегралов 7.3.1. Постановка задачи Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] называется предел последовательности интегральных сумм S n  b

Sn ;  f ( x)dx  nlim  a

d n 0

n

S n   f ( x k )x k ; x k  x k  x k 1 ; x k  [ x k 1 , x k ]; d n  max x k ; k  1  n, k

k 1

при условии, что этот предел не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] точками a0  x0  x1  x2  ...  xn  b на элементарные отрезки [ xk 1 , xk ] и от выбора точек xk на этих отрезках. К вычислению определенного интеграла сводятся многие задачи, как самой математики, так и ее приложений. В тех случаях, когда первообразная F (x) подынтегральной функции f (x) находится достаточно просто, для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница b

 f ( x)dx  F (b)  F (a). a

Замечание. Функция F (x) называется первообразной для f (x) , если выполняется равенство F ( x)  f ( x) . Однако, в подавляющем большинстве практических задач первообразную F (x) либо нельзя выразить в конечном аналитическом виде через элементарные функции, либо ее определение приводит к громоздким вычислениям, либо точное решение нецелесообразно ввиду его громоздкости. Кроме этого, часто подынтегральная функция бывает задана графическим или табличным способами, что делает невозможным применение формулы Ньютона-Лейбница. В таких случаях следует использовать приближенное вычисление определенных интегралов с помощью численных методов. Существует большое количество методов численного интегрирования. В данных указаниях и лабораторной работе рассматриваются три наиболее часто используемых метода: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона (парабол) [6]–[8]. Эти методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, находят ее приближенное значение, т. е. приближенное значение интеграла, путем вычисления площади другой фигуры, ограничивающая линия которой по возможности мало отклоняется от линии с уравнением y  f (x) . Вспомогательную линию при этом проводят так, чтобы получилась фигура, площадь которой можно вычислить. Итак, пусть требуется вычислить определенный интеграл b

I   f ( x)dx.

(7.22)

a

Если f ( x)  0 , то значение этого интеграла равно площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x  a, x  b, y  0 и графиком функции y  f (x) (рис. 7.8).

Рис. 7.8. 221

Разделим

отрезок

интегрирования

[a, b]

на n равных частей точками: ba – длина каждой части или шаг x1  a  h, x2  a  2h, ..., xn 1  a  (n  1)h , где h  n интегрирования.

7.3.2. Методы прямоугольников и трапеций Заменим исходную криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из n прямоугольников, опирающихся на частичные отрезки, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции y  f (x) в начальных или конечных точках частичных отрезков [ xi 1 , xi ] (i  1,2,..., n) (рис. 7.9). Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение интеграла (7.22). Результат будет тем более точен, чем больше число частичных отрезков разбиения.

Рис. 7.9. Если обозначить значения функции f (x) в точках деления через y0 , y1 , y2 ,..., yn , то, очевидно, будут иметь место следующие формулы: I  I ЛП  h  ( y0  y1  ...  y n1 ) , (7.23) I  I ПП  h  ( y1  y 2  ...  y n ) , (7.24) где в формуле (7.23) взяты значения функции в начальных точках, а в (7.24) в конечных точках частичных отрезков. Эти формулы называются формулами левых и правых прямоугольников. Из рис. 7.9 хорошо видно, что если брать значения функции в концах отрезков [ xi 1 , xi ] , то приближение по площади на этих отрезках будет или с избытком, или с недостатком. Поэтому для повышения точности вычисления интеграла методом прямоугольников берут значения функции f (x) в точках xi*  ( xi 1  xi ) / 2 , т. е. в серединах частичных отрезков (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Тогда по формуле средних прямоугольников I  I П  h  ( y1*  y2*  ....  yn* ), где yi* – значения f (x) в точках xi* . 222

(7.25)

Оставим разбиение отрезка [a, b] прежним, но заменим теперь дугу линии y  f (x) , соответствующей частичному отрезку, хордой, соединяющей конечные точки этой дуги. Таким образом, заменяем данную криволинейную трапецию n прямолинейными (рис. 7.11).

Рис. 7.11. Как правило, площадь такой фигуры более точно выражает искомую площадь, по сравнению с площадью n-ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников. Из рис. 7.11 ясно, что площадь каждой прямолинейной трапеции, построенной на частичном отрезке, равна полусумме площадей левого и правого прямоугольников, соответствующих этому отрезку. Суммируя все эти площади, получим I  I ПП  y  yn   h  0  y1  ...  y n1 . I  I Т  ЛП (7.26) 2  2  Эта формула носит название формулы трапеций.

7.3.3. Метод Симпсона Как и раньше, разобьем [a, b] на n равных частей, но предположим, что n – четное число: n=2m. Заменим дугу линии y  f (x) , соответствующую отрезку [ x0 , x2 ] , дугой параболы (поэтому метод и называют еще методом парабол), ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через следующие три точки: начальную точку дуги ( x0 , y0 ) , среднюю точку ( x1 , y1 ) и конечную ( x2 , y 2 ) (рис. 7.12).

Рис. 7.12. Аналитически это означает, что на отрезке [ x0 , x2 ] данная функция y  f (x) заменяется квадратичной функцией y  px 2  qx  r. (7.27) Коэффициенты p, q, r выбираются так, чтобы значения обеих функций в точках x0 , x1 и x2 были равны:  y0  px02  qx0  r ,  2 (7.28)  y1  px1  qx1  r , 2  y  px  qx  r. 2 2  2

223

Решая систему (7.28), находят коэффициенты p, q, r . Проведя подобные замены на всех отрезках [ x0 , x 2 ], [ x 2 , x 4 ],..., [ x n 2 , x n ] (рис. 7.12), будем считать, что площадь исходной трапеции приближенно равна сумме площадей получившихся параболических трапеций, которые называются элементарными. Покажем, что площадь S трапеции, ограниченной какой-нибудь параболой y  px 2  qx  r с осью, параллельной оси ординат, будет выражаться формулой h (7.29) S   ( y н  4 yc  y к ), 3 где yн – ордината начальной, yс – ордината средней и yк – ордината конечной точек дуги параболы. Предположим сначала, что основанием трапеции служит отрезок оси Ox, симметричный относительно начала координат, [h, h] (рис. 7.13).

Рис. 7.13. Для площади такой параболической трапеции имеем выражение: h

S   ( px 2  qx  r )dx  h

2 3 ph  2rh. 3

Так как здесь y н  y (h)  ph 2  qh  r , yс  y (0)  r , y к  y (h)  ph 2  qh  r , то непосредственной подстановкой этих значений в формулу (7.29) убеждаемся в ее справедливости. Эта формула справедлива для любой параболической трапеции рассматриваемого вида с основанием 2h, т. к. всегда можно выбрать декартову систему координат xOy, как показано на рис. 7.13, чтобы основание стало симметричным относительно начала координат. Тогда, применяя формулу (7.29) для всех элементарных параболических трапеций и суммируя площади этих трапеций, получим формулу Симпсона h I С   ( y 0  4 y1  2 y 2  4 y 3  2 y 4  ...  4 y n 1  y n ). (7.30) 3

7.3.4. Оценка погрешностей методов Полученные формулы интегрирования обычно дают приближенный результат. Можно показать [6]–[8], что абсолютная погрешность при вычислении интеграла (7.22) методами правых, левых и средних прямоугольников, трапеций и Симпсона удовлетворяет неравенствам: h  ПП | I  I ПП | (b  a)  M 1 , (7.31) 2 h  ЛП | I  I ЛП | (b  a)  M 1 , (7.32) 2 h2  П | I  I П | (b  a)  M 2 , (7.33) 24 224

h2 (b  a)  M 2 , 12 h4  С | I  I С | (b  a)  M 4 , 180

 Т | I  I Т |

(7.34) (7.35)

где M 1  max | f ( x) |, M 2  max | f ( x) |, M 4  max | f ( 4) ( x) | . [ a ,b ]

[ a ,b ]

[ a ,b ]

(7.36)

В ряде случаев получить оценки M 1 , M 2 и M 4 оказывается сложным. Тогда их удобнее выразить через конечные разности y, 2 y, 4 y : y  f ( )  h; 2 y  f ( )  h 2 ; 4 y  f ( 4) ( )  h 4 ,

(7.37)

где

  (a, b), yi  yi 1  yi , 2 yi  yi 1  yi , 3 yi  2 yi 1  2 yi , 4 yi  3 yi 1  3 yi , i  0,1,...n  1. С учетом (7.37) неравенства (7.31)–(7.35) примут вид: (b  a)  ПП   max | y |, [ a ,b ] 2 (b  a )  ЛП   max | y |, [ a ,b ] 2 (b  a) П   max | 2 y |, [a,b] 24 (b  a) Т   max | 2 y |, [a,b] 12 (b  a) С   max | 4 y |, 180 [ a , b ] Из условий (7.31) – (7.35) следуют ограничения на выбор величины шага h или на отрезков интегрирования n. В частности, 2 2 hПП  , , hЛП  (b  a) M 1 (b  a ) M 1 hП 

24 , hТ  M 2 (b  a )

n ПП 

(7.38)

(7.39) (7.40) (7.41) (7.42) (7.43) число

12 180 , hС  4 , M 2 (b  a ) M 4 (b  a )

M 1 (b  a ) 2 M (b  a) 2 , n ЛП  1 , 2 2

(7.44)

nП 

M 2 (b  a) 3 , 24

(7.45)

nТ 

M 2 (b  a) 3 , 12

(7.46)

M 4 (b  a) 5 . (7.47) 180 При этом n должно быть целым, а для метода Симпсона еще и четным. Проверить, достигнута ли требуемая точность метода, и заодно определить необходимую величину шага можно по методу Рунге, который заключается в следующем. Выполняются два вычисления значения интеграла – одно с выбранным шагом h, другое – с шагом h/2. Если выполняется неравенство nС  4

225

| I h / 2  I h |  (2 k  1), (7.48) где k  2 для формул средних прямоугольников и трапеций, k  4 для формулы Симпсона, то результат вычисления дает приближенное значение интеграла с требуемой точностью  . Если неравенство (7.48) не выполняется, то начальный шаг интегрирования нужно уменьшить в два раза и опять повторить вычисления. Практически для оценки точности вычислений можно пользоваться правилом: совпадающие десятичные знаки у значений интеграла, вычисленные с h и h/2, принадлежат точному значению интеграла. Полная погрешность вычисления интеграла складывается из суммы погрешности округлений  *  nh 0  (b  a ) 0 (где  0 – максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции) и погрешности метода.

7.3.5. Задание на лабораторную работу 1.

Из табл. 7.10 выбрать свой вариант задания. Таблица 7.10

Варианты заданий № a b

№

f (x)

1

ln tg x

0,2

0,44

2

ln ctg x

0,3

3

ex

4

ex

5

ln sin

6

ln tg

7 8 9

2 2

x 10 x



x 10 x ln cos 31

ln tg

3e x  2 cos x

f (x)

a

b

16

x  cos x

0,5

1,3

0,7

17

x  tg x

0,1

0,9

0,5

1,7

18

e x  cos x

0,5

1,3

0,6

1,8

19

ln tg x

0,2

1,0

3,0

4,6

20

1  x  sin x

0,1

0,9

1,7

2,9

21

4  3 x  sin x

0,2

1,0

2,0

2,8

22

arcsin e  x 7





8

15,2

1,7

2,5

23

arccos e  x 7





3

6,2

0,4

1,2

24

(arcsin x) 2

0,1

0,9 0,9

10

ln cos x

0,1

0,9

25

(arccos x) 2

0,1

11

ln sin x

0,4

1,2

26

(arctg x) 2

40,0 42,4

12

2 x  3 cos x

0,4

1,2

27

x  sin x

0,2

1,0

13

x  sin x

0,4

1,2

28

(sin x) / x

0,3

1,1

14

x  cos x

0,2

1,0

29

ln(arcsin x)

0,1

0,9

15

x  tg x

0,3

1,1

30

0,8

1,2



arccos e  x

3



2. Составить таблицу значений функции и конечных разностей, предварительно разбив отрезок интегрирования на 8 частей. 3. Вычислить на микрокалькуляторе значение определенного интеграла по формулам трапеций и Симпсона. Провести оценку погрешности полученных значений интеграла. Сравнить результаты. 4. Продолжить работу в компьютерном классе. 226

5. Выписать точное значение интеграла и найти абсолютные погрешности найденных с помощью калькулятора значений методами трапеций и Симпсона. 6. Выписать полученное на компьютере число точек разбиения n отрезка интегрирования [a, b] , обеспечивающее точность   10 4 методов левых и правых прямоугольников и значения интеграла при этих значениях n. 7. Выписать полученное на компьютере число точек разбиения n отрезка интегрирования [ a, b ] , обеспечивающее точность   10 6 методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона и значения интеграла при этих значениях n. 8. Используя полученные данные, оформить отчет по работе, в который входят: титульный лист; таблица значений функции и конечных разностей, вычисленных на МК; значения интеграла, полученные методами трапеций и Симпсона для n = 8 на МК, и их погрешности; полученное с помощью компьютера точное значение интеграла; вычисленные на МК абсолютные погрешности найденных значений интеграла; найденное на ЭВМ число точек разбиения, обеспечивающее точность   10 4 методов правых и левых прямоугольников; число точек разбиения, обеспечивающее точность   10 6 методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона; значения интеграла, полученные этими методами при найденном числе точек разбиения, и их абсолютные погрешности.

7.3.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе 1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией. 2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, то открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы  Mathsoft  Mathcad). 3. Узнайте у лаборанта расположение пакета Lab и откройте файл Lab3.mcd (File  Open или, если программа русифицирована, Файл  Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту. 4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. В файле Lab3.mcd в разделе «Основные численные методы интегрирования» запрограммированы в соответствующих пунктах методы правых прямоугольников, левых прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций и Симпсона. В конце соответствующих пунктов заложены формулы (7.44) - (7.47), позволяющие определить число точек разбиения отрезка интегрирования, обеспечивающее любую заданную точность. В последнем разделе «Вычисление неопределенных интегралов. Формула Ньютона- Лейбница» приведены дополнительные сведения о возможностях системы Mathcad по нахождению неопределенных интегралов в конечном аналитическом виде через элементарные функции и применению формулы Ньютона-Лейбница для нахождения точных значений определенного интеграла. 5. Введите вместо задания примера свои данные a, b, f ( x) . При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 0.8, 1.2 и т. д.). Для набора необходимой Вам функции f (x) нужно либо скопировать ее из варианта, приведенного в конце файла, либо воспользоваться всплывающим меню инструментов «Calculator», либо ввести ее с клавиатуры, используя следующие символы арифметических действий и стандартных функций: сложение – ‘+’; вычитание – ‘–‘; умножение – ‘*’; деление – ‘/’; возведение в степень – ‘^’; квадратный корень – ‘\’; модуль – ‘|’; число  – ‘Ctrl’+‘Shift’+‘P’; число e – ‘e’; синус – sin(x); косинус – cos(x); тангенс – tan(x); котангенс – cot(x); арксинус – asin(x); арккосинус – acos(x); 227

арктангенс – atan(x); арккотангенс – acot(x); экспонента – exp(x); натуральный логарифм – ln(x). 6. Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными жирным шрифтом.

7.3.7. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример В данном подразделе приведен текст программы Lab3.mcd, разработанной для вычисления определенных интегралов. В тексте разбирается пример отыскания интеграла 15, 2  x   e 5 dx . (7.49) arctg    8  

Лабораторная работа №3 «Вычисление определенного интеграла» Задание на лабораторную работу

1. Выбрать свой вариант задания. 2. Составить таблицу значений и конечных разностей, предварительно разбив отрезок интегрирования на n=8 равных частей. 3. Вычислить на микрокалькуляторе значение определенного интеграла по формулам трапеций и Симпсона. 4. Провести оценку погрешностей этих двух методов  T и  C . 5. Введя подынтегральную функцию f(x) и пределы интегрирования a и b, вычислить на компьютере определенный интеграл. 6. Сравнить полученный результат со значениями интеграла, вычисленными вручную по методам трапеций и Симпсона. Получить погрешности  T и  C . 7. Определить для методов правых и левых прямоугольников количество элементарных промежутков, на которые нужно разбить отрезок [a,b], чтобы вычислить интеграл с точностью 10-4. Вычислить значения этих интегралов и их абсолютные погрешности. 8. Определить для методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона количество элементарных промежутков, на которые нужно разбить отрезок [a,b], чтобы вычислить интеграл с точностью 10-6. Вычислить значения этих интегралов и их абсолютные погрешности. Вычисление интеграла с помощью стандартной функции

Необходимо вычислить определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b]. Введите данные своего варианта   x  5  f ( x)  atan  e  a  8

b  15.2

График подынтегральной функции f(x) на отрезке [a, b] имеет вид

228

0.2

f ( x)

0.1

10

15 x

Вычислим значение интеграла с точностью 10-10  I   

b

f ( x) dx

a

I  0.7658625496

Запишите в свою лабораторную работу точное значение интеграла. Сравните полученный результат со значениями интеграла, вычисленными вручную методами трапеций и Симпсона. Получите погрешности  T и  C . Основные численные методы интегрирования

Все численные методы интегрирования основаны на геометрическом смысле определенного интеграла: если f ( x)  0, то определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и линией y=f(x). Рассмотрим несколько методов и определим число точек разбиения n для обеспечения заданной точности 4

1  10

для методов левых и правых прямоугольников и точности 2  10

 6

для методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона. 1. Метод левых прямоугольников. Введите число точек разбиения отрезка [a, b] n  10057

следовательно, шаг интегрирования равен h 

ba n

4

h  7.159193 10

Вычислим значение интеграла по формуле (7.23) n

ILPr 



ILPr  0.765917

h  f [ a  ( i  1)  h ]

i1

и, зная точное значение интеграла, находим погрешность 5

I  ILPr  5.42  10

2. Метод правых прямоугольников. Вычислим значение интеграла по формуле (7.24) n

IPrPr  h 



f( a  i  h)

IPrPr  0.765808

i1

и находим погрешность 5

I  IPrPr  5.42  10

229

Найдем число точек разбиения n ( n  nlpr) отрезка [a, b], необходимое для обеспечения точности  1 . Для этого найдем максимальное значение модуля производной (функция f1(x)) M1 на этом отрезке f1( x) 

1

f1( x) 

5



d f ( x) dx 1  exp  x  5 

2   1  exp 1  x    5  

absf1 ( x)  f1( x)

x1  a Given x1  a x1  b x2  Maximize ( absf1  x1) M1  f1( x2) M1  0.038798

По формуле (7.44) находим nlpr  ceil

M1

 ( b  a)

2

nlpr  10057   21  Запишите целое число n=nlpr, обеспечивающее заданную точность  1 . Подставьте его вместо n. Запишите в свою лабораторную работу значения интеграла ILPr и IPrPr, получившиеся погрешности |I-ILPr| и |I-IPPr|. 3. Метод средних прямоугольников. Введите число точек разбиения отрезка [a, b] n  334

следовательно, шаг интегрирования равен h 

ba

h  0.021557

n

Вычислим значение интеграла по формуле (7.25) n 1

ISPr 



i0

h  f  a  i  h 



h

ISPr  0.76586198



2

и находим погрешность 7

I  ISPr  5.66  10

Найдем число точек разбиения n ( n nspr ) отрезка [a,b], необходимое для обеспечения точности  2 . Для этого найдем максимальное значение модуля второй производной (функция f2(x)) M2 на этом отрезке f2( x) 

d

2 2

dx

230

f ( x)

f2( x) 

1 25

exp 

1

 5

 x

 2

 1  1  exp  x    5  



exp

2

 5



25

1

 x

3



2  1  1  exp  x    5  

absf2 ( x)  f2( x)

2

x1  a Given x1  a x1  b x2  Maximize( absf2  x1) 3

M2  f2( x2)

M2  7.151746 10

По формуле (7.45) находим  M2  ( b  a ) 3  nspr  334   242  Запишите целое число n=nspr, обеспечивающее заданную точность  2 . Подставьте его вместо n. Запишите в свою лабораторную работу значение интеграла ISPr и получившуюся погрешность |I-ISPr|. 4. Метод трапеций. Введите число точек разбиения отрезка [a, b] nspr  ceil 

n  472

следовательно, шаг интегрирования равен h 

ba n

h  0.015254

Вычислим значение интеграла по формуле (7.26) n

ITr 



i1

h

f ( a  i  h )  f [ a  ( i  1)  h ]

ITr  0.76586312

2

и находим погрешность 7

I  ITr  5.67  10

Найдем число точек разбиения n ( n ntr) отрезка [a,b], необходимое для обеспечения точности  2 . Для этого воспользуемся найденным в предыдущем пункте значением M2. По формуле (7.46) находим  M2  ( b  a) 3 ntr  ceil ntr  472   122  Запишите целое число n=ntr, обеспечивающее заданную точность  2 . Подставьте его вместо n. Запишите в свою лабораторную работу значение интеграла ITr и получившуюся погрешность |I-ITr|. 5. Метод Симпсона. Введите четное число точек разбиения отрезка [a, b] 231

n  12

следовательно, шаг интегрирования равен h 

ba

h  0.6

n

Вычислим значение интеграла по формуле (7.30) n 1  h  i IS   f ( a)  f ( a  i  h )   3  ( 1)   f ( b ) 3   i1   и находим погрешность



IS  0.76586306

7

I  IS  5.14  10

Найдем число точек разбиения n ( n  ns) отрезка [a,b], необходимое для обеспечения точности  2 . Для этого найдем максимальное значение модуля четвертой производной (функция f4(x)) M4 на этом отрезке f4( x) 

d

4 4

dx

f ( x) 

1 625

exp



1

exp

 x

1

 x

3

exp

1

 x

5

exp

1

 x

7

26 72 48  5   5   5   5        2 2 3 4 625 625 625  2 2 2     1  exp 1  x  1   1   1       1  exp  x   1  exp  x   1  exp  x    5     5     5     5   absf4 ( x)  f4( x)

x1  a Given x1  a x1  b x4  Maximize ( absf4  x1) 4

M4  f4( x4)

M4  1.222355 10

По формуле (7.47) находим  4 M4 5 ns  ceil  ( b  a)  ns  11  1802  Запишите целое число n=ns, обеспечивающее заданную точность  2 . Подставьте его вместо n. Запишите в свою лабораторную работу значение интеграла IS и получившуюся погрешность |I-IS|. Вывод: очевидно, что метод Симпсона самый точный, требующий для достижения заданной точности наименьшее число точек разбиения и соответственно вычислений. Вычисление неопределенных интегралов. Формула Ньютона- Лейбница

В системе Mathcad можно вычислять неопределенные интегралы от некоторых классов функций. Например, 2

f ( x)  x  atan ( x)

Тогда первообразная 232





 1 3 1 2 1 2  f ( x) dx   x  atan ( x)   x   ln 1  x 3 6 6 

Необходимо скопировать получившийся результат и подставить в выражение для F(x) F( x) 

1 3

3

 x  atan ( x) 

1 6

2

x 

1 6



2

 ln 1  x



Если возможно найти какую-нибудь первообразную F(x), то можно вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница (точный аналитический результат): b

  f ( x) dx= F( b )  F( a), 

т.е.

a

a  0

b  1 1 1 F( b )  F( a)       ln( 2) 12 6 6 F( b )  F( a)  0.210657251225807 1

7.3.8. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера  x  Вычислить интеграл (7.49):  arctg e 5 dx .   8   1. Разобьем отрезок интегрирования [8; 15,2] на 8 частей. Находим шаг интегрирования 15,2  8 h  0,9 , и точки разбиения: 8 x0  8,0; x1  8,9; x2  9,8; x3  10,7; x4  11,6; x5  12,5; x6  13,4; x7  14,3; x8  15,2. 15, 2

Вычислим в этих точках значения функции f ( x)  arctg(e



x 5)

и конечные разности yi , 2 yi ,

3 yi , 4 yi по формулам (7.38). Результаты занесем в табл. 7.11.

Таблица 7.11

I

xi

0 1 2 3 4 5 6 7 8

8.0 8.9 9,8 10,7 11,6 12,5 13,4 14,3 15,2

Результаты вычислений f (x) и конечных разностей f ( xi ) yi 2 yi 3 yi 0,199218 – 0,032152 0,005024 – 0,000718 0,167066 – 0,027128 0,004306 – 0,000641 0,139938 – 0,022822 0,003665 – 0,000566 0,117116 – 0,019157 0,003099 – 0,000487 0,097959 – 0,016058 0,002613 – 0,000418 0,081901 – 0,013445 0,002195 – 0,000353 0,068456 – 0,011250 0,001842 0,057206 – 0,009408 0,047798

4 yi 0,000073 0,000075 0,000079 0,000069 0,000065

2. По формуле трапеций (7.26) находим  0,247016  I  I Т  0,9  0,729642   0,767835 . 2   3. Аналогично проводим вычисления по формуле Симпсона (7.30):

233

0,9  (0,199218  4  0,167066  2  0,139938  4  0,117116  2  0,097959  3  4  0,081901 2  0,068456  4  0,057206  0,047798)  0,765865. 4. Оценим погрешности вычислений. Погрешность округления  *  (b  a)   0  3,6 10 6 I  IС 

(значения функции f (x) вычислены с ошибкой  0  0,5 10 6 , так как округления производились в шестом знаке после запятой). Оценку погрешностей методов проводим по формулам (7.42) и (7.43). Так как max | 2 y | 0,005024 , то для метода трапеций [8;15, 2 ]

15,2  8  0,0030144 12 и полная погрешность  Т   Т   *  0,003018  0,003. Следовательно, I Т  0,768  0,003 . Соответственно для метода Симпсона имеем 15,2  8 max | 4 y | 0,000079,  С  0,000079   0,0000032 [8;15, 2 ] 180 и  С   С   *  0,0000068. Поэтому I С  0,765865  0,000007. Таким образом, метод Симпсона дает значительно более точный результат, чем метод трапеций. 5. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab3.mcd. Вводим функцию

 Т  0,005024 



x 5),

f ( x) : atan(e а также нижний и верхний пределы интегрирования a : 8, b : 15.2. Программа автоматически строит график подынтегральной функции f (x) на отрезке [a, b] (рис. 7.14).

Рис. 7.14. Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции (серая область на рис. 7.14). Программа автоматически вычисляет интеграл с точностью до 10 10 : b

I :  f ( x)dx,

I  0.7658625496

a

6. Записываем полученное на компьютере решение I К  0,7658625496 и вычисляем абсолютные погрешности, с какими найдены с помощью МК значения интеграла по методу трапеций и Симпсона: 234

 Т | I К  I Т || 0 ,7658625496  0,767835|  0,002;  С | I К  I С || 0,7658625496  0,765865 | 0,000003. 7. Используя формулы (7.44), программа в конце пункта «Метод правых прямоугольников» вычисляет число точек разбиения отрезка интегрирования [a, b] , обеспечивающее точность  1  10 4 методов левых и правых прямоугольников: n  n ПП  n ЛП  10057 . Подставляя n  10057 в начало пункта «Метод левых прямоугольников» программы, записываем решение I КПП  0,765808, I КЛП  0,765917, с абсолютными погрешностями | I  I КПП || 0,7658625496  0,765808 | 5,42 10 5 , | I  I КЛП || 0,7658625496  0,765917 | 5,42 10 5. 8. Используя формулу (7.45), программа в конце пункта «Метод средних прямоугольников» вычисляет число точек разбиения отрезка интегрирования [a, b] , обеспечивающее точность  2  10 6 метода средних прямоугольников: n  n П  334 . Подставляя n  334 в начало пункта «Метод средних прямоугольников» программы, записываем решение I КП  0,76586198, с абсолютной погрешностью | I  I КП || 0,7658625496  0,76586198 | 5,66 10 7. 9. Используя формулу (7.46), программа в конце пункта «Метод трапеций» вычисляет число точек разбиения отрезка интегрирования [a, b] , обеспечивающее точность  2  10 6 метода трапеций: n  nТ  472 . Подставляя n  472 в начало пункта «Метод трапеций» программы, записываем решение I КТ  0,76586312, с абсолютной погрешностью | I  I КТ || 0,7658625496  0,76586312 | 5,67 10 7. 10. Используя формулу (7.47), программа в конце пункта «Метод Симпсона» вычисляет число точек разбиения отрезка интегрирования [a, b] , обеспечивающее точность  2  10 6 метода Симпсона. Получим nС  11 . Следовательно, так как n должно быть четным, подставляем n  12 в начало пункта «Метод Симпсона» программы. Записываем решение I КС  0,76586306, с абсолютной погрешностью | I  I КТ || 0,7658625496  0,76586306 | 5,14  10 7. 11. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

235

7.3.9. Основные термины Первообразная Неопределенный интеграл Интегральная сумма Определенный интеграл Формула Ньютона-Лейбница Криволинейная трапеция Элементарная трапеция Шаг интегрирования Метод прямоугольников Метод трапеций Метод Симпсона Конечные разности Метод Рунге

7.3.10. Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определение определенного интеграла. 2. Дайте определение неопределенного интеграла. 3. Что такое первообразная для функции? 4. Приведите формулу Ньютона-Лейбница. 5. В каких случаях целесообразно использовать формулы численного интегрирования? 6. Используя геометрическую интерпретацию, выведите формулы левых и правых прямоугольников. 7. Приведите оценку погрешности формул левых и правых прямоугольников. 8. Выведите формулу средних прямоугольников. 9. Приведите оценку погрешности формулы средних прямоугольников. 10. Выведите формулу трапеций. 11. Приведите оценку погрешности формулы трапеций. 12. Выведите формулу Симпсона. 13. Приведите оценку погрешности формулы Симпсона. 14. Получите формулу выбора начального шага в формуле трапеций. 15. Получите формулу выбора начального шага в формуле Симпсона. 16. В чем состоит правило Рунге оценки погрешностей? Получите оценки погрешностей формул трапеций и Симпсона по правилу Рунге. 17. Как находится полная погрешность вычисления определенного интеграла?

236

7.4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 7.4.1. Постановка задачи Многие практические задачи при их математическом моделировании сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к уравнениям, в которые входят независимая переменная, искомая функция и ее производные. В данной лабораторной работе рассматриваются численные методы поиска решения y (x) для дифференциального уравнения первого порядка (7.50) y   f ( x, y ), которое удовлетворяет начальному условию y ( x0 )  y0 . (7.51) Известно [6]–[8], что для существования и единственности решения этой задачи f были (задачи Коши) достаточно, чтобы функция f ( x, y ) и ее частная производная y непрерывны в некоторой области плоскости Oxy , содержащей окрестность точки M 0 ( x0 , y0 ) . В то же время аналитическое решение задачи Коши можно найти только в отдельных, наиболее простых случаях, изучаемых в курсе высшей математики [6]. В остальных случаях решение ищется приближенными методами. Все приближенные методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно условно разделить на следующие группы: аналитические (дают приближение y (x) аналитическим выражением), графические (дают приближение y (x) графиком) и численные (дают приближение y (x) с помощью таблицы). В данной лабораторной работе рассматриваются лишь два из большого числа численных методов решения задачи Коши: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта [6]–[8]. При этом решение y  y (x) находится в виде таблицы значений: y0 , y1 , y2 ,..., yn соответственно для значений аргумента: x0 , x1 , x2 ,..., xn .

Рис. 7.15. Если соединить найденные в процессе решения точки ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ..., ( xn , yn ) гладкой кривой, то получим график приближенного решения задачи Коши (на рис. 7.15: кривая 1 – интегральная кривая y=y(x); кривая 2 – график приближенного решения задачи Коши ). Этот график по мере удаления от начальной точки ( x0 , y0 ) все более и более будет отклоняться от графика точного решения (интегральной кривой). Степень отклонения приближенного решения от точного характеризует точность численного метода.

237

7.4.2. Метод Эйлера Метод Эйлера состоит в следующем. Отрезок [a, b] , на котором ищется приближенное решение, делится точками a  x0 , x1  x0  h, x2  x0  2h,..., xn  x0  nh  b ba на n равных частей, где h  – шаг интегрирования дифференциального уравнения. Зная n значение y0 решения y  y (x) в точке x0 , можно найти приближенно y ( xi 1 )  yi 1 в точках xi 1  xi  h по следующей рекуррентной формуле: yi 1  yi  hf ( xi , yi ), i  0,1,..., n  1. (7.52) Геометрически в методе Эйлера искомую интегральную кривую на интервале ( x0 , x1 ) заменяем отрезком касательной к этой интегральной кривой в точке M 0 (на рис. 7.16: 1 – искомая интегральная кривая, 2,3 – другие интегральные кривые).

Рис. 7.16. Уравнение касательной имеет вид y  y ( x0 )  y ( x0 )  ( x  x0 ), где y( x0 )  y0 , y( x0 )  f ( x0 , y0 ), x  x1 , y  y1 , x  x0  h . Поэтому ордината касательной в точке x1 равна y1  y0  h  f ( x0 , y0 ) , т. е. получили формулу (7.52) для случая i  0 . Далее строим касательную в точке M 1 к интегральной кривой 2, которая уже не совпадает с искомой. Находим ординату y2 касательной в точке x2 , получаем формулу (7.52) уже при i  1 . И так до тех пор, пока не достигнем конца отрезка b (на рис. 7.17: 1 – ломаная Эйлера, 2 – искомая интегральная кривая).

Рис. 7.17. Для оценки локальной погрешности метода Эйлера в точке неравенство [6]–[8]  Э | yi*  y ( xi ) || yi*  yi |, 238

xi

используется (7.53)

где y ( xi ) – точное значение решения задачи Коши в точке xi , а yi , yi* – приближенные значения решения, вычисленные по формуле (7.52) с шагами h и h / 2 соответственно. Из неравенства (7.53) следует, что для достижения необходимой точности  нужно просчитать значение y по формуле (7.52) с шагом h , а затем, уменьшив шаг вдвое, снова повторить расчеты. Если при этом окажется, что для всех i  1,2,..., n выполняется неравенство | yi*  yi |  , то на шаге h достигнута необходимая точность.

7.4.3. Метод Рунге-Кутта Метод Эйлера прост в реализации, но обладает сравнительно небольшой точностью. Поэтому для решения задачи Коши с повышенной точностью обычно используют метод Рунге-Кутта [6]–[8]. Как и прежде, разбиваем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей. Зная значения yi – решение задачи Коши в точке xi , будем искать значение решения в точке xi 1 по следующей формуле Рунге-Кутта: K  2 K1  2 K 2  K 3 (7.54) y i  1  yi  0 , 6 где K 0  h  f ( xi , yi ); K1  h  f ( xi  0,5  h, yi  0,5  K 0 ); K 2  h  f ( xi  0,5  h, yi  0,5  K1 );

(7.55)

K 3  h  f ( xi  h, yi  K 2 ). Вычисления по формулам (7.54), (7.55) выполняются в следующем порядке. Для начальной точки ( x0 , y0 ) , где x0  a , вычисляют K 0 , затем последовательно K1 , K 2 и K 3 . После этого все значения подставляются в формулу (7.54) (i  0) и находится y1 при x1  x0  h . Далее процесс продолжается аналогично до конца отрезка b . Для оценки локальной погрешности метода Рунге-Кутта используется неравенство [7], [8]: 1 (7.56)  Р  К | yi*  y ( xi ) | | yi*  yi |, 15 где y ( xi ), yi , yi* имеют тот же смысл, что и в неравенстве (7.53).

7.4.4. Выбор шага интегрирования Точность методов Эйлера и Рунге-Кутта существенно зависит от величины шага интегрирования h. Можно доказать [7], [8], что погрешность метода Эйлера имеет порядок h, а метода Рунге-Кутта – порядок h 4 . Т. е. для достижения одной и той же точности в методе Эйлера нужно выбрать гораздо меньший шаг интегрирования, чем в методе Рунге-Кутта. Рассмотрим подробнее процедуру выбора и уточнения шага интегрирования на примере метода Рунге-Кутта. Пусть  – заданная точность решения задачи Коши. Поскольку  Р  К  c  h 4 (где c=const), то начальное значение h0 можно выбрать из неравенства h0  4  . (7.57) При этом, чтобы попасть после n шагов интегрирования из точки a в точку b, необходимо выполнение условия: ba n  N (натуральное число). (7.58) h0

239

Кроме того, для подсчета погрешности метода Рунге-Кутта по формуле (7.56), нужно будет сделать просчет по формулам (7.54), (7.55) с шагом 2h. Поэтому необходимо также, чтобы отношение (b  a) / h0 было четным. После выбора начального значения шага h  h0 проводится его уточнение. Для этого из точки x0  a просчет по формулам (7.54), (7.55) выполняется дважды сначала с шагом h, а затем из той же точки с шагом 2h. При этом получаются два значения решения задачи ( y2 и y2* ) в одной и той же точке x  2h . Если | y2  y2* |  , то h0 можно выбрать в качестве шага интегрирования, иначе необходимо уменьшить h в два раза и повторить процедуру проверки.

7.4.5. Задание на лабораторную работу 1.

Из табл. 7.12 выбрать свой вариант задания ( y   f ( x, y ), x  [a, b], y0  y (a) ). Таблица 7.12

Варианты заданий y (a) № b

№

f ( x, y )

a

1

 y x  sin  x

1

3,4

2

16

3

3,8

4

17

0

1,6

2

18

2 3

x  e y y x ln y

4

1 y x y

0

3,2

1

19

5

y  x  cos y

1

1,8

1

20

f ( x, y )

a

b

y (a)

 y y  sin  x

2

2,8

1

xy  y

2

4,4

3

sin x y

3

3,8

1

1

2,6

2

3

5,4

1

y

 y x  cos  x  y y  cos  x

6

x 1

x y

3

5,4

2

21

x y x y

2

3,6

2

7

e  xy  y

2

5,2

1

22

y  e x y

1

3,4

2

8

y  x2

1

1,8

4

23

x  e yx

3

3,8

1

sin y y

0

1,6

1

24

  y 

2

5,2

1

4

6,4

0.5

25

x 1  cos    y

3

4,6

1

y2  x2

2

2,8

3

9

x

10

y

y x

 x x  cos x

11

y  ln( y  x)

0

1,6

2

26

12

y  e y / x

3

4,6

0

27

y

x ln(x)

4

4,8

1

13

y2  x

1

1,8

2

28

 x   ln x y

1

2,6

1

4

5,6

3

29

2

2,8

1

3

4,6

1

30

0,6

2,2

0

14 15 240

ln x y x 1 y x y

 y x  sin   x cos( x  y ) x

2. Выбрав в качестве начального шага интегрирования h  (b  a) / 8 и h  (b  a) / 4 , решить задачу Коши на отрезке [a, b] методом Эйлера и определить по формуле (7.53) относительную погрешность найденного решения. 3. Выбрав в качестве начального шага интегрирования h  (b  a) / 4 , решить задачу Коши на отрезке [a, b] методом Рунге-Кутта. 4. Построить на миллиметровой бумаге графики решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта. 5. Продолжить работу в компьютерном классе. 6. Записать значения «точного решения», полученного на компьютере с помощью стандартной функции odesolve системы Mathcad, в промежуточных точках для n  8 . Построить график решения по этим точкам. 7. Используя найденные в п.6 значения, составить таблицу локальных абсолютных погрешностей решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта на МК. 8. Записать автоматически полученные на компьютере в разделе «Метод РунгеКутта» значения решения задачи Коши на отрезке [a, b] методом Рунге-Кутта с начальным шагом интегрирования h  (b  a) / 8 и, используя формулу (7.56), определить относительную погрешность данного решения. 9. Оформить отчет по работе, в который входят: титульный лист; таблица с решением задачи Коши методом Эйлера с шагом h  (b  a) / 8 и h  (b  a) / 4 ; относительная погрешность найденного решения методом Эйлера; таблица с решением задачи Коши методом Рунге-Кутта с шагом h  (b  a) / 4 ; полученное на компьютере точное решение задачи Коши; таблица абсолютных погрешностей решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта; абсолютные погрешности этих решений; таблица с компьютерным решением задачи Коши методом Рунге-Кутта с шагом h  (b  a) / 8 ; относительная погрешность найденного решения методом Рунге-Кутта.

7.4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе 1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией. 2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, то открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы  Mathsoft  Mathcad). 3. Узнайте у лаборанта расположение пакета Lab и откройте файл Lab4.mcd (File  Open или если программа русифицирована Файл  Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту. 4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. В файле Lab4.mcd в разделе «Решение задачи Коши с помощью встроенной функции системы Mathcad» для нахождения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, используется метод Рунге-Кутта, заложенный в программный блок «Given – – odesolve(x,b,[step])», где x – переменная интегрирования, b – конечная точка интегрирования, [step] – шаг интегрирования (по умолчанию равен 0.1). Во втором разделе «Метод Эйлера» и третьем разделе «Метод Рунге-Кутта» запрограммированы одноименные методы, с помощью которых можно проверить полученные на МК приближенные решения, и построены графики точного решения и интегральных кривых, полученных этими методами. 5. Далее введите, вместо задания примера, свои данные a, b, y 0 ( y (a)), f ( x, y ) . При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно 241

разделять точкой (например, 3.2, 1.6 и т. д.). Для набора необходимой Вам функции f ( x, y ) нужно либо скопировать ее из варианта, приведенного в конце файла, либо воспользоваться всплывающим меню инструментов «Calculator», либо ввести ее с клавиатуры, используя следующие символы арифметических действий и стандартных функций: сложение – ‘+’; вычитание – ‘–‘; умножение – ‘*’; деление – ‘/’; возведение в степень – ‘^’; квадратный корень – ‘\’; модуль – ‘|’; число  – ‘Ctrl’+‘Shift’+‘P’; число e – ‘e’; синус – sin(x); косинус – cos(x); тангенс – tan(x); котангенс – cot(x); арксинус – asin(x); арккосинус – acos(x); арктангенс – atan(x); арккотангенс – acot(x); экспонента – exp(x); натуральный логарифм – ln(x). 6. Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками, указаниями и заданиями, выделенными жирным шрифтом.

7.4.7. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример В данном подразделе приведен текст программы Lab4.mcd, разработанной для решения задачи Коши. В тексте разбирается пример отыскания решения задачи:  y (7.59) y   y  ln1  ; y (2)  1; 2  x  3,6.  x

Лабораторная работа №4 «Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка» Задание на лабораторную работу

1. Выбрать свой вариант задания. 2. Выбрав в качестве начального шага интегрирования h=(b-a)/8 и h=(b-a)/4, решить задачу Коши на отрезке [a, b] методом Эйлера и определить относительную погрешность найденного решения. 3. Выбрав в качестве начального шага интегрирования h=(b-a)/4, решить задачу Коши на отрезке [a, b] методом Рунге-Кутта. 4. Построить на миллиметровой бумаге графики этих решений. 5. С помощью компьютера получить точное решение в промежуточных точках с шагом h=(b-a)/8. 6. Определить абсолютные погрешности найденных Вами с помощью микрокалькулятора решений задачи Коши. 7. Записать полученное с помощью компьютера решение задачи Коши на отрезке [a, b] методом Рунге-Кутта с шагом интегрирования h=(b-a)/8 и определить его относительную погрешность. Решение задачи Коши в системе Mathcad

В лабораторной работе необходимо найти решение задачи Коши: y'=f(x,y), y(a)=y0 на отрезке [a,b]. Введите данные своего варианта y a  2 b  3.6 y0  1 f ( x y )  y  ln 1   x  Для нахождения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, используется метод Рунге-Кутта, заложенный в функцию odesolve(x,b,[step]), где x – переменная интегрирования, 242

b – конечная точка, [step] – шаг интегрирования (по умолчанию равен 0.1). Найдем решение задачи: Given d y ( a) y ( x) f ( x y ( x) ) dx y  odesolve ( x b  0.1 800)

y0

Интегральная кривая имеет вид 4

3 y ( x) 2

1

2

2.5

3

3.5

x

Получим точные значения решения y(x) в n промежуточных точках n  8 i  0  n I

0 i

ba

 a 

i

n

I

1 i

 0  i

 y I

2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6   2 2.2    1 1.130747 1.287785 1.475753 1.700375 1.968661 2.289162 2.672297 3.130748 Запишите в свою лабораторную работу точные значения решения y(x) для n=8. Найдите модули разностей между точными и полученными Вами приближенными значениями, вычисленными вручную по методам Эйлера и Рунге-Кутта, в соответствующих точках. Выбрав максимальные из них, получите погрешности  Э и  Р К . I

Метод Эйлера Введите число точек разбиения отрезка [a, b] n  8

Следовательно, шаг интегрирования равен h 

ba

h  0.2

n

По формуле Эйлера (7.52) получим Y  y0 0

X  a

Z  y0

0

0

 0  0

i  0  n  1 X  X  h i 1

Y

i 1

i



 Y  h  f X  Y i

i



i

i  1  n Z  y X i

i 

 i y X   Y i i 243

Здесь X – столбец точек разбиения xi; Y – столбец соответствующих им приближенных значений функции yi; Z – столбец точных значений функции y = y(x), соответствующих точкам xi;  – столбец погрешностей. Выведем таблицу со столбцами XYZ  1 1 0  2  2.2 1.118907 1.130747 0.01184    2.4 1.260453 1.287785 0.027332   2.6  1.42812 1.475753 0.047633   augment  X  Y  Z      2.8 1.626186 1.700375 0.07419   3 1.859839 1.968661 0.108822     3.2 2.135329 2.289162 0.153834   3.4 2.460154 2.672297 0.212142   3.6 2.843305 3.130748 0.287443  Построим интегральные кривые по методу Эйлера (точки, соединенные кривыми) и точное решение (однородная линия) 4

y ( x)

3

Y Y 2

1

2

2.5

3

3.5

x X  X

Видим, что найденные точки отклоняются от точного решения, максимальное значение этого отклонения, т. е. погрешность, равно   max 

  0.287443

Проверьте полученное вами с помощью МК решение задачи Коши методом Эйлера для n=8. Метод Рунге-Кутта Введите число точек разбиения отрезка [a, b] n  8

Следовательно, шаг интегрирования равен h 

ba n

h  0.2

Введем функции (7.55): K0( x y )  h  f ( x y ) h K0( x y )  K1( x y )  h  f  x   y   2 2   h K1( x y )   K2( x y )  h  f  x   y   2 2   K3( x y )  h  f ( x  h  y  K2( x y ) )

Введем обозначения: XR – столбец точек разбиения xi; YR – столбец соответствующих им приближенных значений функции yi; ZR – столбец точных значений функции y = y(x), 244

соответствующих точкам xi;  R – столбец погрешностей. Тогда, используя начальные данные, введем первые элементы этих столбцов YR  y0

XR  a

0

R0  0

ZR  y0

0

0

Согласно формуле Рунге-Кутта (7.54), найдем значения элементов столбцов YR и XR



i  0  n  1 XR  XR  h i 1





i









K0 XR  YR  2 K1 XR  YR  2 K2 XR  YR  K3 XR  YR YR

i 1

 YR 

i

i

i

i

i

i

i

i



i

6

Используя найденные точные значения решения y(x), заполним элементы столбцов ZR и  R i  1  n ZR  y XR

 i y  XR   YR i i

i

Ri 

Выведем таблицу со столбцами XR, YR, ZR,  R 1 1 0  2   2.2 1.130746226 1.130746612 3.853577075  10  7     2.4 1.287783847 1.287784804 9.570907324  10  7     6  2.6 1.475751347 1.475753143 1.796398379  10    6  augment  XR  YR  ZR  R    2.8 1.700372461 3.009108346  10 1.70037547    6   3 1.96865644 1.968661175 4.734644755  10    6   3.2 2.289155258 2.289162415 7.157285181  10   3.4 2.672286313 2.672296833 1.052058136  10  5     3.6 3.13073285 3.130747996 1.514595006  10  5    Построим интегральные кривые по методу Рунге-Кутта (точки) и точное решение (линия) 4

3 y ( x) YR 2

1

2

2.5

3

3.5

x XR

Этот метод – один из самых точных, даже небольшое количество точек разбиения обеспечивает достаточно малую погрешность:   max R

5

  1.514595 10

Проверьте полученное Вами с помощью МК решение задачи Коши методом Рунге-Кутта для n=4. Подставив n=8, выписать в свою лабораторную работу получившееся решение и определить с помощью найденного Вами решения для n=4 относительную погрешность.

245

7.4.8. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера Решить задачу Коши (7.59):  y y   y  ln1  ; y (2)  1; 2  x  3,6.  x 1. Решаем задачу методом Эйлера на микрокалькуляторе. В нашем случае a=2, b=3,6, поэтому шаг интегрирования будет равен b  a 3,6  2 h   0,2. 8 8 Записываем формулу (7.52) для нашей задачи   y  yi 1  yi  h   yi  ln1  i . xi    Выполняя последовательно по этой формуле расчеты с шагом h  0,2 и с шагом h  0,4 , заполняем табл. 7.13. Таблица 7.13 Решение задачи Коши методом Эйлера yi yi xi Э h  0,2 h  0,4 2,0 1,000 1,000 0,000 2,2 1,119 2,4 1,260 1,238 0,022 2,6 1,428 2,8 1,626 1,567 0,059 3,0 1,860 3,2 2,135 2,015 0,120 3,4 2,460 3,6 2,843 2,626 0,217

Находим максимум величин  Э , определяем, что локальная погрешность решения, полученного с шагом h  0,2 , не превышает 0,217. 2. Решаем задачу методом Рунге-Кутта на микрокалькуляторе. В нашем случае a=2, b=3,6, поэтому шаг интегрирования будет равен b  a 3,6  2 h   0,4. 4 4 Записываем формулы (7.54), (7.55) для нашей задачи K  2 K1  2 K 2  K 3 yi 1  yi  0 ; 6     y  y  0,5  K 0  ; K 0  h   yi  ln1  i ; K1  h  ( yi  0,5  K 0 )  ln1  i   x x h 0 , 5 i i       

  y  0,5  K1  ; K 2  h  ( yi  0,5  K1 )  ln1  i   0 , 5 x h i      y  K 2  . K 3  h  ( yi  K 2 )  ln1  i xi  h    246

Выполняя последовательно по этим формулам расчеты с шагом h  0,4 , заполняем табл. 7.14. Таблица 7.14 Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта

xi

yi

K0

K1

K2

K3

2,0 1,000000 0,237814 0,283092 0,289428 0,343770 2,4 1,287770 0,343287 0,405555 0,414952 0,491064 2,8 1,700330 0,490319 0,578250 0,592296 0,700948 3,2 2,289057 0,699781 0,825797 0,846849 1,003755 3,6 3,130528 3. Строим графики приближенных решений, полученных методом Эйлера (кривая 1 на рис. 7.18) и методом Рунге-Кутта (кривая 2 на рис. 7.18).

Рис. 7.18. 4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab4.mcd. Вводим функцию, стоящую в правой части уравнения (7.50), начальное условие, правую и левую границу интегрирования  y f ( x, y ) : y  ln1  ; a : 2; b : 3.6; y 0 : 1.  x 5. С помощью заложенного в файле Lab4.mcd программного блока системы Mathcad Given

d y ( x)  f ( x, y ( x)) y (a)  y 0 dx y : odesolve( x, b, step)

находим решение дифференциального уравнения с шагом интегрирования step 0.001 (в дальнейшем будем называть его точным решением). Выписываем полученные значения этого решения y ( x) в промежуточных точках (табл. 7.15) Таблица 7.15 Точное решение задачи Коши

xi 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

yi 1,0000000000 1,1307465872 1,2877847424 1,4757530270 1,7003752743 1,9686608656 2,2891619457 2,6722961416 3,1307469976 247

И по этим значениям строим график точного решения (рис. 7.19)

Рис. 7.19. 6. Используя значения табл. 7.15, вычисляем локальные абсолютные погрешности, с которыми найдены приближенные решения по методу Эйлера и Рунге-Кутта (табл. 7.16). Таблица 7.16 Таблица погрешностей решений задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта yi (точное yi (метод yi (метод xi Э  Р К решение) Эйлера) Рунге-Кутта) 2,0 1,0000000000 1,000 0,0000000 1,000000 0,0000000 2,2 1,1307466119 1,119 0,0117466 2,4 1,2877848040 1,260 0,0277847 1,287770 0,0000147 2,6 1,4757531434 1,428 0,0477530 2,8 1,7003754702 1,626 0,0743753 1,700330 0,0000453 3,0 1,9686611750 1,860 0,1086609 3,2 2,2891624149 2,135 0,1541619 2,289057 0,0001049 3,4 2,6722968333 2,460 0,2122961 3,6 3,1307479958 2,843 0,2877470 3,130528 0,0002190

Находим максимум величин  Э и  Р К , определяем, что локальная погрешность решения методом Эйлера в точках xi , полученного с шагом h  0,2 , не превышает  Э  max  Э  0,3 , а локальная погрешность решения методом Рунге-Кутта, полученного с шагом h  0,4 , не превышает  Р  К  max  Р  К  0,0003 . Даже небольшое количество точек разбиения отрезка интегрирования [a, b] обеспечивает малую погрешность решения методом Рунге-Кутта. 7. Подставив n  8 , получим с помощью компьютера решение задачи Коши методом Рунге-Кутта и, используя уже найденное решение для n  4 , определим по формуле (7.56) относительную погрешность.

248

xi 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

Таблица 7.17 Относительная погрешность решения методом Рунге-Кутта yi yi* | yi*  yi | h  0,2 h  0,4 1,000000 1,000000 0,000 1,130746 1,287784 1,287770 0,000014 1,475751 1,700372 1,700330 0,000042 1,968656 2,289155 2,289057 0,000098 2,672286 3,130733 3,130528 0,000205

Находим максимум величин | yi*  yi | , определяем, что относительная погрешность решения, полученного с шагом h  0,2 , не превышает 1 0,000205  Р  К  max | yi*  yi |  2 10 5. 15 i 15 8. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

7.4.9. Основные термины Дифференциальное уравнение (д.у.) первого порядка Начальное условие Задача Коши Интегральная кривая Шаг интегрирования Метод Эйлера Метод Рунге-Кутта Порядок точности метода

7.4.10. Вопросы для самоконтроля 1. Что называется обыкновенным дифференциальным уравнением? Записать в нормальной форме дифференциальное уравнение первого порядка. 2. Дайте определение частного и общего решения дифференциального уравнения. 3. Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка? При каких условиях эта задача имеет, причем единственное, решение? 4. Каков геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка? Что означает решить задачу Коши для д.у. первого порядка с геометрической точки зрения? 5. В каком виде представляется решение задачи Коши, найденное численным методом? 6. Записать расчетную формулу метода Эйлера. Каков геометрический смысл метода Эйлера? 7. Записать расчетные формулы для метода Рунге-Кутта. 8. Записать формулы для расчета погрешности в методах Эйлера и Рунге-Кутта. 9. Привести алгоритм выбора начального шага в методе Рунге-Кутта.

249

7.5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов 7.5.1. Постановка задачи Пусть проводится эксперимент, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины y от физической величины x (например, зависимости пути, пройденного телом, от времени и т. д.), или одним из численных методов получено решение дифференциального уравнения. В результате имеется n значений функции y при соответствующих значениях аргумента x . Результаты записаны в табл. 7.18. Таблица 7.18 Таблица результатов эксперимента n № … 1 2 … i … … x1 x2 xi xn x y … … y1 y2 yi yn Требуется установить функциональную зависимость величины y от величины x y   ( x). (7.60) Если построить график этой зависимости, то можно заметить, что экспериментальные точки обнаруживают некоторые отклонения от видимой общей закономерности (рис. 7.20). Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения или погрешностями вычислений.

Рис. 7.20. Поэтому нужно так подобрать функцию y   ( x) , чтобы по возможности точно определить общую тенденцию зависимости y от x , но вместе с тем сгладить незакономерные, случайные уклонения, связанные с названными выше ошибками. Для решения этой задачи обычно применяют расчетный метод, известный под названием «метода наименьших квадратов». Этот метод дает возможность при заданном типе зависимости y   ( x) так выбрать ее числовые параметры, чтобы кривая y   ( x) в известном смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные.

7.5.2. Выбор типа кривой Тип кривой может быть выбран из различных соображений. Часто этот вопрос решается непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости (т. е. по расположению экспериментальных точек). Пусть, например, экспериментальные точки расположены на координатной плоскости так, как изображено на рис. 7.21.

Рис. 7.21. 250

Рис. 7.22.

Естественно предположить, что такое расположение соответствует линейной зависимости вида y  ax  b . Зависимость, изображенная на рис. 7.22, может быть представлена многочленом второй степени y  ax 2  bx  c . Если речь идет о периодической функции, то можно выбрать для ее изображения несколько гармоник тригонометрического ряда и т. д. Очень часто вид зависимости y   ( x, a, b, c,...) (линейная, квадратичная, показательная и т. д.) бывает известен из физических соображений, связанных с существом решаемой задачи, а из опыта требуется установить только значения параметров a, b, c,... этой зависимости, причем выбрать их так, чтобы кривая y   ( x, a, b, c,...) в каком-то смысле наилучшим образом отображала зависимость, полученную в эксперименте.

7.5.3. Метод наименьших квадратов Общепринятым методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов, при котором требование наилучшего согласования кривой y   ( x, a, b, c,...) и экспериментальных точек сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой по оси Oy была наименьшей. Этот метод имеет перед другими методами сглаживания следующие преимущества: а) он приводит к сравнительно простому математическому способу определения параметров a, b, c,... ; б) допускает достаточно веское теоретическое обоснование с вероятностной точки зрения [9]. Перейдем к задаче определения параметров a, b, c,... , исходя из метода наименьших квадратов. Пусть имеется таблица экспериментальных данных (табл. 7.18), и пусть из какихто соображений выбран общий вид функции y   ( x, a, b, c,...) , зависящий не только от аргумента x , но и от нескольких числовых параметров a, b, c,... Эти параметры и требуется выбрать согласно методу наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов отклонений yi от  ( xi , a, b, c,...) была наименьшей. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений yi , полученных из эксперимента, и значений функции y   ( x, a, b, c,...) в соответствующих точках n

S (a, b, c,...)    yi   ( xi , a, b, c,...) . 2

(7.61)

i 1

Требуется выбрать параметры a, b, c,... так, чтобы эта сумма была минимальной. Из необходимого условия экстремума функции нескольких переменных следует, что эти значения a, b, c,... удовлетворяют системе уравнений S S S  0,  0,  0,..... (7.62) a b c или в развернутом виде  ( xi , a, b, c,...) n  0,   yi   ( xi , a, b, c,...) a i n1  ( , x  i a, b, c,...)   yi   ( xi , a, b, c,...)  0, i 1 b n  ( xi , a, b, c,...)  0,   yi   ( xi , a, b, c,...)  c  1 i   ..................................................................

(7.63)

Эта система уравнений называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Она содержит столько же уравнений, сколько неизвестных a, b, c,... Решить 251

систему (7.63) в общем виде нельзя, для каждого конкретного вида функции  ( x, a, b, c,...) исследуется вопрос о существовании решения системы уравнений (7.63) и о существовании минимума функции S (a, b, c,...). В частности, когда функция  ( x, a, b, c,...) представлена линейной комбинацией функций  ( x, a, b, c,...)  a  F1 ( x)  b  F2 ( x)  c  F3 ( x)  ... , то нормальная система примет вид n    yi  a  F1 ( xi )  b  F2 ( xi )  c  F3 ( xi )  ... F1 ( xi )  0,  in1   yi  a  F1 ( xi )  b  F2 ( xi )  c  F3 ( xi )  ... F2 ( xi )  0, i 1 n   yi  a  F1 ( xi )  b  F2 ( xi )  c  F3 ( xi )  ... F3 ( xi )  0, i 1 .................................................................. 

(7.64)

7.5.4. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов В эксперименте зарегистрированы значения ( xi , yi ) (i  1,2,..., n) (рис. 7.22). Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов описан в подразделе 1.3.4. В данном подразделе требуется методом наименьших квадратов подобрать параметры a, b, c параболы y  ax 2  bx  c , соответствующей данной экспериментальной зависимости. Имеем

y   ( x, a, b, c)  ax 2  bx  c. В этом случае выражение (7.61) имеет вид n





2

S (a, b, c)   yi  (axi2  bxi  c) . i 1

(7.65)

Это функция трех переменных a, b, c . Система уравнений (7.64) принимает вид













n 2 2  yi  (axi  bxi  c)  xi  0, i 1 n 2  yi  (axi  bxi  c) xi  0, i 1 n 2  yi  (axi  bxi  c)  0, i 1

или в развернутой форме n n n n 2 4 3    y x a x b x c xi2  0,     i i i i  i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n  3 2 (7.66)   yi xi  a  xi  b  xi  c  xi  0, i 1 i 1 i 1 i 1 n n n 2   yi  a  xi  b  xi  c  n  0. i 1 i 1 i 1 Получили систему линейных уравнений для определения неизвестных a, b, c . Можно показать, что система имеет единственное решение, и что при полученных a, b, c функция S (a, b, c) имеет минимум [8].

252

7.5.5. Задание на лабораторную работу 1. Из табл. 7.19 выбрать свой вариант задания. 2. Записать задание в виде табл. 7.18 (таблицы из 12 точек). 3. Построить на миллиметровой бумаге эти точки и, проанализировав характер их расположения на плоскости, выбрать вид функциональной зависимости. 4. Составить нормальную систему для коэффициентов a, b, c квадратичной зависимости y  ax 2  bx  c . 5. Решить полученную систему методом Гаусса. Записать вид функциональной 12

зависимости. Найти невязку     yi   ( xi , a, b, c)2 . i 1

6. Построить полученную параболу на листе, на котором в пункте 3 нанесены экспериментальные точки. 7. Продолжить работу в компьютерном классе. 8. Получить с помощью компьютера аппроксимирующие многочлены третьего и четвертого порядков и выписать их невязки. 9. Выписать полученную на ЭВМ функциональную аппроксимацию эксперимента линейной комбинацией четырех функций x, e x , sin( x), 1 и ее невязку. 10. С помощью компьютера получить восемь законов функциональной зависимости и, проанализировав их невязки, сделать вывод о двух-трех лучших законах. 11. Оформить отчет по работе, в который входят: титульный лист; таблица значений эксперимента; таблица для определения коэффициентов нормальной системы уравнений аппроксимации квадратичной зависимостью; нормальная система уравнений; вид и невязка получившейся функциональной зависимости; график получившейся параболы с экспериментальными точками; полученные с помощью компьютера аппроксимирующие многочлены третьего и четвертого порядков; функциональная аппроксимация эксперимента линейной комбинацией четырех функций x, e x , sin( x), 1 ; восемь законов функциональной аппроксимации линейной комбинацией трех функций и вывод о двух-трех лучших из них. Таблица 7.19

Варианты заданий Значения xi  i  0,1, i  1,2,...,12, одинаковы для всех вариантов № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y1 y2 2,05 1,94 2,09 2,05 2,02 1,98 1,99 2,03 2,23 2,29 2,07 2,17 2,18 2,43 -0,10 -0,21 -0,16 0,01 2,09 2,31 2,15 2,41 0,10 -0,01 0,17 0,07 0,80 0,29 0,04 0,47

y4 y3 y5 1,92 1,87 1,77 2,19 2,18 2,17 1,67 1,65 1,57 2,20 2,39 2,19 2,27 2,62 2,72 2,21 2,31 2,10 2,40 2,43 2,65 0,01 0,05 -0,13 0,10 0,16 0,05 2,72 2,77 2,78 2,58 2,84 3,28 -0,19 -0,11 -0,31 0,17 0,05 0,12 0,52 0,77 0,93 0,78 1,01 1,19

y6 1,88 2,27 1,42 2,61 2,82 2,09 2,75 -0,23 0,35 2,97 3,46 -0,78 0,00 1,20 1,60

y7 1,71 2,58 1,37 2,35 3,13 2,12 2,67 -0,21 0,19 3,00 4,02 -0,64 0,01 1,20 1,93

y8 y9 1,60 1,56 2,73 2,82 1,07 0,85 2,60 2,55 3,49 3,82 1,63 1,78 2,66 2,63 -0,43 -0,57 0,50 0,74 3,51 3,43 4,11 4,61 -0,85 -1,18 -0,05 -0,21 1,35 1,39 2,22 2,50

y10 1,40 3,04 0,48 2,49 3,95 1,52 2,75 -0,44 1,03 3,58 5,03 -1,39 -0,50 1,48 3,01

y11 y12 1,50 1,26 3,03 3,45 0,35 -0,30 2,50 2,52 4,22 4,48 1,16 1,07 2,41 2,24 -0,44 -0,83 1,06 1,49 3,58 3,54 5,34 5,86 -1,79 -2,02 -0,50 -0,86 1,52 1,71 3,22 3,71

253

Окончание табл. 7.19

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0,08 -0,02 0,14 -1,86 -1,65 3,55 0,35 1,24 -0,33 2,41 2,41 1,84 -0,31 1,33 0,15

0,14 0,44 0,23 -1,95 -2,00 3,64 0,41 1,41 -0,25 2,22 2,46 1,98 -0,98 1,48 0,23

0,37 0,36 0,44 0,48 0,51 0,67 0,69 1,04 0,44 0,54 0,72 0,76 -2,12 -2,06 -2,15 -2,00 -1,87 -1,89 -1,75 -1,59 3,72 3,77 3,50 2,88 0,85 0,99 1,34 1,35 1,55 1,52 1,36 1,22 -0,04 0,12 0,34 0,41 2,01 1,79 1,24 1,11 2,52 2,64 2,78 2,77 2,21 2,23 2,18 2,01 -1,11 -1,02 -0,18 0,33 1,55 1,59 1,41 1,32 0,39 0,51 0,67 0,87

0,27 1,14 0,37 -2,12 -1,44 2,36 1,79 1,03 0,28 0,55 2,83 1,67 0,79 1,18 0,92

0,39 0,50 1,37 1,77 0,64 0,57 -2,31 -2,29 -1,51 -1,51 1,94 1,22 2,32 2,78 0,77 0,18 0,45 0,08 0,02 -0,37 2,99 3,17 1,31 1,09 1,34 1,84 0,91 0,46 1,24 1,56

0,48 2,00 0,44 -2,57 -1,17 0,43 2,94 0,02 -0,32 -1,09 3,39 0,55 2,47 0,23 1,91

0,69 2,12 0,41 -2,56 -0,87 0,35 3,45 -0,45 -0,77 -1,65 3,65 -0,15 3,11 -0,31 2,32

0,50 2,47 0,30 -2,86 -0,47 -0,36 4,01 -0,87 -1,35 -2,33 4,33 -0,81 3,81 -1,71 2,57

7.5.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе 1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией. 2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, то открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы  Mathsoft  Mathcad). 3. Узнайте у лаборанта расположение пакета Lab и откройте файл Lab5.mcd (File  Open или если программа русифицирована Файл  Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту. 4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. В файле Lab5.mcd в разделах «Линейная зависимость» и «Квадратичная зависимость» решаются системы уравнений (1.16) и (7.66) соответственно для нахождения параметров линейной и квадратичной аппроксимирующих функций. В разделе «Стандартные функции нахождения полиномиальной зависимости» показан пример нахождения коэффициентов аппроксимирующего многочлена любого порядка с помощью стандартной функции системы Mathcad interp (см. п. 7.6.2). В разделе «Приближение данных линейной комбинацией произвольных функций» запрограммирован метод отыскания коэффициентов этой комбинации, как с помощью решения нормальной системы (7.64), так и с помощью стандартной функции системы Mathcad linfit (см. п. 7.6.2). Во всех разделах автоматически вычисляются невязки найденных зависимостей. В разделе «Анализ приближений данных системами функций» с помощью функции linfit находится аппроксимация зависимости между x и y восемью линейными комбинациями трех функций, анализируя найденные невязки которых необходимо выбрать лучшие из этих комбинаций. В разделе «Метод Лагранжа» в качестве дополнительного материала приводится одноименный метод нахождения многочлена, проходящего через все экспериментальные точки. 5. Введите вместо задания примера данные своего эксперимента, разделяя целую и дробную части точкой (например, 0.9, 3.14 и т. д.). 6. Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками, указаниями и заданиями, выделенными жирным шрифтом.

254

7.5.7. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример В данном подразделе приведен текст программы Lab5.mcd, разработанной для аппроксимации функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. В тексте разбирается пример отыскания аппроксимирующих функций для эксперимента: Таблица 7.20 Таблица экспериментальных значений № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 y 1,25 1,38 1,56 1,78 1,95 2,31 2,52 2,81 3,14 3,52 4,12 5,01

Лабораторная работа №5 «Анализ экспериментальных данных» Задание на лабораторную работу

1. Списать исходные данные (координаты 12 точек). 2. Построить на миллиметровой бумаге эти точки, проанализировать характер их расположения на плоскости. 3. Составить нормальную систему уравнений для коэффициентов аппроксимирующей квадратичной функции. Решить полученную систему на компьютере. 4. Записать полученную функциональную зависимость, найти невязку, построить график полученной функции. 5. Получить с помощью компьютера аппроксимирующие полиномы третьего и четвертого порядков и их невязки. 6. Определить функциональную зависимость линейной комбинацией четырех функций x x, e , sin(x), 1 и вычислить невязку этой зависимости. 7. С помощью компьютера провести дальнейшее уточнение аппроксимирующей функции, выбрав из 8 предложенных зависимостей две-три наиболее подходящих. 8. Построить графики выбранных функций, указать невязки аппроксимаций. Задайте данные эксперимента (свой вариант)  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2  C     1.25 1.38 1.56 1.78 1.95 2.31 2.52 2.81 3.14 3.52 4.12 5.01  Первая строка матрицы C – значения величины x, вторая строка – y. Обозначим их через вектор-столбцы X и Y: 

 T 0

X  C



 T 1

Y  C

Так как нумерация элементов строк и столбцов в системе Mathcad начинается с 0, то номер последнего элемента столбцов X и Y равен n  length ( X)  1

n  11

Рассмотрим несколько способов аппроксимации данных эксперимента полиномами и произвольными системами функций Линейная регрессия

Найдем коэффициенты уравнения линейной регрессии y = c0 x + c1, в виде вектора c(c0, c1). 255

Вычислим элементы матрицы A и столбца B (A – основная матрица, B – столбец свободных элементов системы линейных уравнений (1.16)) n  n   n  2    X X X Y    i i i i   i  0 i  0 i  0   A   B    n   n  n   X 1  Y  i i     i  0 i  0 i  0     6.5 7.8  24.844   A B    7.8 12   31.35  Найдем вектор с, как решение системы уравнений Ac=B  3.123427 c  lsolve ( A  B) c   0.582273 Функция наилучшего приближения:













y ( x)  c  x  c 0

1

Чтобы оценить погрешность, вычислим невязку: n

2  Yi  y Xi  0.9622

i0

Построим график функции y(x) (непрерывная линия) и экспериментальные точки: 6

4 Y y ( x) 2

0

0.5

1 X x

Регрессия полиномом второго порядка

Найдем коэффициенты полинома второго порядка y = c0 x2+ c1x+ c2, в виде вектора c(c0,c1,c2). Вычислим элементы матрицы A и столбца B (A – основная матрица, B – столбец свободных элементов системы линейных уравнений (7.66)) n n  n  n   4 3 2 2   X X X X  Y      i i i  i i   i  0 i  0 i  0 i  0      n   n  n n 3 2     X X X X  Y A  B   i  i i  i i    i0 i0 i  0   i0   n    n n n 2     X X 1 Y  i i i     i0 i0 i  0   i0  256

























 6.071 6.084 6.5   23.1082   A  6.084 6.5 7.8 B   24.844       6.5 7.8 12   31.35  Найдем вектор с, как решение системы уравнений Ac=B  2.401349 c  lsolve ( A  B) c   0.001673    1.310682 Функция наилучшего приближения и невязка равны 2

y ( x)  c  x  c  x  c 0

1

2

n

2  Yi  y Xi  0.395

i0

Построим график функции y(x) (непрерывная линия) и экспериментальные точки: 6

5 4

Y y ( x)

3 2

1

0

0.5

1 X x

Стандартные функции нахождения полиномиальной регрессии Задайте порядок полинома (для лабораторной работы поочередно k=3 и k=4) k  4

Найдем коэффициенты уравнения регрессии y = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + . . . + akxk, в виде вектора a(a0, a1, . . . , ak) vs  regress ( X  Y  k) a  submatrix( vs  3  length ( vs )  1  0  0) T

a  ( 1.334242 1.739054 11.962267 14.876651 6.861888)

Функция наилучшего приближения: y ( x)  interp ( vs  X  Y  x)

Чтобы оценить погрешность, вычислим невязку: n

 

2  Yi  y Xi

  0.101

i0

Построим график функции y(x) (непрерывная линия) и экспериментальные точки:

257

8

6 y ( x) 4

Y

2

0

0.5

1 x X

Запишите в свою лабораторную работу аппроксимирующие полиномы третьего и четвертого порядков с указанием невязок. Приближение данных линейной комбинацией произвольных функций

Определим совокупность функций f1(x),f2(x), . . . ,fn(x), линейная комбинация y=a1f1(x)+ +a2f2(x)+ . . . +anfn(x) которых будет использоваться для аппроксимации, в виде компонент векторнозначной функции (для примера возьмем n=4):  x   x  e  F( x)    sin ( x)     1  Замечание: в данном примере функция, аппроксимирующая данные, будет отыскиваться в виде a1·x + a2·ex + a3·sin(x)+a4 Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов и использование стандартных функций системы Mathcad. 1. Метод наименьших квадратов. Найдем коэффициенты нормальной системы метода наименьших квадратов:

  0  1

m  length F X i  0  m

m 3 j  0  m n

n

A

i j



   ki   k j F X

k 0

 F X

B  i

 F Xki  Yk

k 0

18.684824 5.542716 7.8  6.5   24.844  18.684824 55.294412 16.03177 24.380559 72.883211 A B  5.542716 16.03177 4.751323 6.837127   21.194449  7.8   31.35  24.380559 6.837127 12     Найдем коэффициенты линейной комбинации a1,a2, . . . an, как координаты вектора V из уравнения AV=B  44.940186  7.813314  1 V  A B V   34.251373  8.790875   

258

2. Стандартные функции. Найдем оптимальные коэффициенты линейной комбинации a1, a2, . . . an, воспользовавшись функцией linfit(X,Y,F), где X и Y - данные эксперимента, F(x) - столбец функций, с помощью которых аппроксимируется эксперимент  44.940186  7.813314  V  linfit( X  Y  F) V   34.251373  8.790875    Таким образом, в обоих случаях получили, что функция наилучшего приближения: y ( x)  F( x)  V

Вычислим невязку: n

 

2  y Xi  Yi

  0.2982

i0

Построим график функции y(x) (непрерывная линия) и экспериментальные точки: 6

4 y ( x) Y 2

0

0.5

1 x X

Запишите в свою лабораторную работу аппроксимирующую функцию, построенную с помощью данной системы четырех функций, с указанием невязки. Анализ приближений данных системами функций

Определим восемь совокупностей функций f1(x),f2(x),f3(x), линейная комбинация y=a1f1(x)+a2f2(x)+a3f3(x) которых будет использоваться для аппроксимации:  1   2 2 x   x  x    x    F1( x)   x  F2( x)   1  F3( x)   ln( x)  F4( x)   ex         x   1  1 1    1  x    x  x   x         x F5( x)   e  F6( x)  cos ( x) F7( x)  sin ( x) F8( x)   x         1   1   1   1   Найдем оптимальные коэффициенты линейных комбинаций a1, a2, a3  2.401   0.096    V1  linfit( X  Y  F1) V1  0.002 V2  linfit( X  Y  F2) V2   1.287       1.311   4.695  259

 4.868  V3  linfit( X  Y  F3) V3   0.88     1.112   7.767  V5  linfit( X  Y  F5) V5   8.588     7.191   9.55  V7  linfit( X  Y  F7) V7   8.366     1.171  Функции наилучшего приближения: y1 ( x)  F1 ( x)  V1 y5 ( x)  F5 ( x)  V5

y2 ( x)  F2 ( x)  V2 y6 ( x)  F6 ( x)  V6

V4  linfit( X  Y  F4)

V6  linfit( X  Y  F6)

V8  linfit( X  Y  F8)

 1.862  V4   2.513     1.282   0.365  V6   5.972     7.326   7.258  V8   6.109     2.603 

y3 ( x)  F3 ( x)  V3 y7 ( x)  F7 ( x)  V7

y4 ( x)  F4 ( x)  V4 y8 ( x)  F8 ( x)  V8

Вычислим невязки: n

1 

   i



y1 X  Y

2

i

n

1  0.3952

2 

i0

   i



y3 X  Y

2

i

n

3  0.6449

4 

i0

   i

y5 X  Y



2

7 

i

 y7 Xi  Yi

i0

4  0.3252

n

5  0.4629

6 

i0 n

2  y4 Xi  Yi

i0

n

5 

2  1.9347

i0

n

3 

2  y2 Xi  Yi

2  y6 Xi  Yi

6  0.452

i0 2

n

7  0.3139

8 

2  y8 Xi  Yi

8  0.5815

i0

Анализируя величину невязок, постройте графики трех наиболее приемлемых законов (вместо y1(x), y4(x), y7(x) для данного примера необходимо задать номера своих функций) для аппроксимации зависимости между x и y и экспериментальные точки:

260

Запишите в свою лабораторную работу все восемь законов с указанием невязок и сделайте вывод относительно наилучших зависимостей. Метод Лагранжа

Через любые n точек с абсциссами x0<x1<x2<...<xn-1 можно провести единственный полином (n-1) степени. По методу Лагранжа легко определить коэффициенты этого полинома, не используя метод наименьших квадратов n



y ( x)  Y  0

x X

i 1



j



n 1

j1



n

  X0  Xj



Y  i

i1

j1

n

  

x X  j

j0

x X



 x  Xj

j

j  i 1

i 1

n 1

Y 

n

  Xi  Xj    Xi  Xj

j0

n

j  i 1

j0 n 1

  Xn  Xj

j0

Построим график функции y(x) (линия) и экспериментальные точки: 8 6

y ( x) Y

4 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2 x X

Вычислим невязку: n

 

2  y Xi  Yi

0

i0

7.5.8. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера Дана таблица 7.20 значений x и y 1. Построим на чертеже точки, соответствующие табл. 7.20.

Рис. 7.23. 261

2. Будем искать зависимость в виде y   ( x, a, b, c)  ax 2  bx  c. Для нахождения параметров a, b, c составим нормальную систему n n n n 2 4 3    y x a x b x c xi2  0,     i i i i  i 1 i 1 i 1 i 1  n n n n 3 2  yi xi  a  xi  b xi  c  xi  0, i 1 i 1 i 1 i1 n n n 2  yi  a  xi  b xi  c  n  0. i 1 i 1 i1 Определим коэффициенты системы:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



xi

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 7,8

Таблица 7.21 Определение коэффициентов нормальной системы уравнений yi xi2 xi3 xi xi yi xi2 yi 1,25 0,01 0,001 0,0001 0,125 0,0125 1,38 0,04 0,008 0,0016 0,276 0,0552 1,56 0,09 0,027 0,0081 0,468 0,1404 1,78 0,16 0,064 0,0256 0,712 0,2848 1,95 0,25 0,125 0,0625 0,975 0,4875 2,31 0,36 0,216 0,1296 1,386 0,8316 2,52 0,49 0,343 0,2401 1,764 1,2348 2,81 0,64 0,512 0,4096 2,248 1,7984 3,14 0,81 0,729 0,6561 2,826 2,5434 3,52 1,00 1,000 1,0000 3,520 3,5200 4,12 1,21 1,331 1,4641 4,532 4,9852 5,01 1,44 1,728 2,0736 6,012 7,2144 31,35 6,50 6,084 6,071 24,844 23,1082

Нормальная система имеет вид a  6,071  b  6,084  c  6,50  23,1082,  a  6,084  b  6,500  c  7.80  24,8440, a  6,500  b  7,800  c 12  31,3500.  Решив систему методом Гаусса (см. лабораторную работу №1), получим a  2,401349; b  0,001673; c  1,310682, следовательно, функция имеет вид y  2,401349 x 2  0,001673x  1,310682. Найдем невязку 12





2

   yi  2,401349 xi2  0,001673xi  1,310682  0,395. i 1

3. Построим график функции y ( x) и экспериментальные точки (рис. 7.24).

262

Рис. 7.24. 4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab5.mcd. Вводим таблицу значений:  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2   C :  1.25 1.38 1.56 1.78 1.95 2.31 2.52 2.81 3.14 3.52 4.12 5.01 5. Вычисляем коэффициенты аппроксимации многочленами третьего и четвертого порядков. Для этого поочередно вводим в программу k : 3 и k : 4 . Для первого случая компьютер выведет вектор коэффициентов a0 , a1 ,..., ak функции y  a0  a1 x  a2 x 2  ...  ak x k :

a Т  (0.906061 3.128965  3.378954 2.964258) , и выписываем аппроксимирующий многочлен третьего порядка и его невязку y  0,906061  3,128965 x  3,378954 x 2  2,964258 x 3 ,   0,233. Для второго случая компьютер выведет вектор коэффициентов a Т  (1.334242  1.739054 11.962267  14.876651 6.861888) , и выписываем аппроксимирующий многочлен четвертого порядка и его невязку y  1,334242  1,739054 x  11,962267 x 2  14,876651 x 3  6,861888 x 4 ,   0,101. 6. Далее проводим аппроксимацию эксперимента линейной комбинацией четырех функций x, e x , sin( x), 1 . В файле Lab5.mcd запрограммировано нахождение коэффициентов этой комбинаций, как с помощью решения нормальной системы уравнений, так и с использованием стандартной функции системы Mathcad linfit (см. п. 7.6.2). Для этого вводится векторнозначная функция  x   x   e  F ( x) :  . sin( x)     1    Автоматически получаем вектор коэффициентов комбинации  44.940186      7.813314  V   34.251373     8.790875    и невязку   0,2982 . Следовательно, аппроксимирующий закон имеет вид 263

y  44,940186 x  7,813314  e x  34,251373  sin( x)  8,790875 . 7. Аналогично предыдущему пункту, проведем аппроксимацию эксперимента, используя для примера восемь систем трех функций: 1 1 1) x 2 , x, 1; 2) 2 , , 1; 3) x, ln( x), 1; 4) x, e x , 1; x x x 5) x, e , 1; 6) x, cos( x), 1; 7) x, sin( x), 1; 8) x, x , 1. Перемножая скалярно соответствующие векторнозначные функции F на вектора коэффициентов разложения V, найденные в программе, выписываем все восемь законов с указанием соответствующих невязок  : 1) y1 ( x)  2,401 x 2  0,002  x  1,311, 1  0,3952; 1 1 2) y 2 ( x)  0,096  2  1,287   4,695,  2  1,9347; x x 3) y3 ( x)  4,868  x  0,88  ln( x)  1,112,  3  0,6449; 4) y 4 ( x)  1,862  x  2,513  e x  1,282,  4  0,3252; 5) y5 ( x)  7,767  x  8,588  e  x  7,191,  5  0,4629; 6) y6 ( x)  0,365  x  5,972  cos( x)  7,326,  6  0,452; 7) y7 ( x)  9,55  x  8,366  sin( x)  1,171,  7  0,3139; 8) y8 ( x)  7,258  x  6,109  x  2,603,  8  0,5815. Анализируя величины невязок, делаем вывод, что наиболее приемлемыми законами являются 7, 4 и 1-й. На компьютере строим графики этих функций (вместо y1 ( x) , y 4 ( x) и y7 ( x) примера строим свои лучшие законы). 8. В конце файла приведен пример применения метода Лагранжа, аппроксимации экспериментальных данных многочленом 11-го порядка. Невязка данной аппроксимации будет равна нулю, так как через любые n точек с абсциссами x1  x2  ...  xn можно точно провести многочлен ( n  1 )-го порядка. 9. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

7.5.9. Основные термины Метод наименьших квадратов Необходимое условие экстремума Нормальная система Невязка аппроксимирующей функции

7.5.10. Вопросы для самоконтроля 1. Как выбирается вид функциональной зависимости (линейная, квадратичная и т.д.) между величинами x и y ? Как находится отклонение точки от аппроксимирующей кривой? 2. В чем заключается метод наименьших квадратов? 3. Сформулировать необходимое и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных. 4. Записать нормальную систему уравнений метода наименьших квадратов. 5. Записать нормальную систему уравнений аппроксимации линейной и квадратичной зависимостями. 6. Всегда ли нормальная система уравнений является линейной относительно параметров a, b, c,... ? 7. Что называется невязкой? 264

7.6. Прикладной математический пакет «Mathcad» 7.6.1. О программе Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Вначале эти расчеты выполнялись на программируемых микрокалькуляторах или с помощью программ на универсальных языках программирования, таких, как Бейсик или Паскаль. Постепенно для облегчения расчетов были созданы специальные математические компьютерные системы. Одна из самых мощных и эффективных математических систем – MathCAD. Она существует в двух вариантах: стандартном MathCAD Standard и профессиональном MathCAD Professional (PRO). Стандартная версия ориентирована на большинство пользователей, а профессиональная – на профессионалов, серьезно занимающихся математическими расчетами. Системы MathCAD традиционно занимают особое место среди множества таких систем (MatLAB, Mathematica и др.) и по праву могут называться самыми современными, универсальными и массовыми математическими системами. Они позволяют выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеют чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики. Системы класса MathCAD предоставляют уже привычные, мощные, удобные и наглядные средства описания алгоритмов решения математических задач. Преподаватели и студенты вузов получили возможность подготовки с их помощью наглядных и красочных обучающих программ в виде электронных книг с действующими в реальном времени примерами. Новейшая система MathCAD PRO настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работающему со сложнейшими научными проблемами. Система имеет достаточные возможности для выполнения наиболее массовых символьных (аналитических) вычислений и преобразований. Исключительно велика роль систем класса MathCAD в образовании. Облегчая и делая интересным решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении математики. Грамотное применение систем в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования в нашей стране.

7.6.2. Основные понятия и функции Для работы в системе Mathcad достаточно поместить курсор в желаемое место окна редактирования (красный крестик на цветном дисплее) и затем начать ввод математического выражения (черное обрамление , называемое математической областью, внутри которой это выражение набирается). Маленькая черная рамка ■ в математической области есть поле ввода. Наличие поля ввода указывает на то, что ввод математического выражения или графика не закончен. Для заполнения этого поля нужно щелкнуть по нему мышью и начать ввод. Для создания математических выражений используются следующие операции. Арифметические операции: сложение – ‘+’; возведение в степень – ‘^’; факториал – ‘!’; абсолютная величина – ‘|’; умножение – ‘*’; корень n-й степени – ‘Ctrl’+’\’ (т. е. необходимо одновременно нажать две клавиши ‘Ctrl’ и ’\’); квадратный корень – ‘\’; вычитание – ‘–‘; 265

3

суммирование – ‘Ctrl’+‘Shift’+‘4’ (например,  i 2  14 ); произведение – ‘Ctrl’+‘Shift’+‘3’ i 1

3

(например,  i 2  36 ). i 1

Логические операторы: больше – ‘>’; меньше – ‘<’; больше либо равно – ‘Ctrl’+’0’; меньше либо равно – ‘Ctrl’+’9’; не равно – ‘Ctrl’+’3’; равно – ‘Ctrl’+’=’. Символы присвоений (вводится правая и левая части): присвоение значений переменных и функций (на экране появится “ : ”) – ‘:’; булево равенство (на экране – жирный знак “=”) – ‘Ctrl’+’=’. Символы вычислений (вводятся левая часть, а правая вычисляется автоматически): получение числового значения – ‘=’; получение символьного значения (“  ”) – ‘Ctrl’+’.’. Для определения точности полученного результата необходимо два раза щелкнуть левой кнопкой мыши на поле, его содержащем (или через меню инструментов: Format  Result, или, если программа русифицирована, Формат  Результат), и во всплывающем окне «Format result» установить число десятичных знаков (Точность отображения или Number of decimal places) от 0 до 15. После нажатия кнопки «OK» результат автоматически будет округлен до необходимого числа знаков. Введение основных аналитических функций: синус – sin(x); косинус – cos(x); тангенс – tan(x); котангенс – cot(x); арксинус – asin(x); арккосинус – acos(x); арктангенс – atan(x); x

арккотангенс – acot(x); экспонента – exp(x) или e ; натуральный логарифм – ln(x); десятичный логарифм – log(x); логарифм x по основанию a – log(x,a), синус гиперболический – sinh(x); косинус гиперболический – cosh(x); тангенс гиперболический – tanh(x); котангенс гиперболический – coth(x); арксинус гиперболический – asinh(x); арккосинус гиперболический – acosh(x); арктангенс гиперболический – atanh(x); арккотангенс гиперболический – acoth(x). Все встроенные функции системы Mathcad можно получить при нажатии ‘Ctrl’+’E’ (или через меню инструментов: Insert  Function, или, если программа русифицирована, Вставка  Функция) и во всплывающем окне «Insert function» выбрать необходимую функцию. После нажатия кнопки «OK» выбранная функция будет вставлена в место, где установлен курсор. В частности, при разработке лабораторных работ были использованы функции: floor(x) – усечение числа x до наибольшего целого числа меньше либо равного x; ceil(x) – усечение числа x до наименьшего целого числа больше либо равного x; root(f(x),x,a,b) – отыскание корня уравнения f ( x)  0 по переменной x на отрезке [a, b] ; linfit(X,Y,F) – возвращает вектор, содержащий коэффициенты, используемые, чтобы создать линейную комбинацию функций из векторнозначной функции F, которая дает наилучшую аппроксимацию данных из векторов X и Y; regress(X,Y,k) – возвращает вектор, требуемый функции interp, чтобы найти многочлен порядка k, который наилучшим образом приближает данные из векторов X и Y; interp(S,X,Y,x) – возвращает оценку данных из X и Y многочленом y(x), где вектор S вычисляется с помощью функции regress; if(cond,a,b) – возвращает значение a, если условие cond истинно, и значение b, если ложно (в качестве условия cond обычно используется логический оператор, например, i  2 ).

Задание дискретных величин осуществляется при нажатии ‘;’. Например, i : 0..3 j : 1,1.1..1.5 . Чтобы набрать эти формулы, необходимо с клавиатуры набрать i : 0;3 и j : 1,1.1;1.5 . Первая формула означает, что i принимает значения 0, 1, 2, 3, а вторая, что j принимает значения 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 (т. е. вторая цифра показывает каков шаг дискретной величины). 266

С помощью дискретных величин в системе Mathcad можно организовывать простейшие циклы, с помощью которых удобно задавать матрицы и векторы (см. п. 7.6.4). Все описанные символы операторов и основных элементарных функций можно ввести с помощью мыши из всплывающего меню (View  Toolbars  Calculator, Evaluation, Boolean, Calculus или Вид  Панели инструментов  Арифметика, Вычисления, Логика, Исчисления). Если необходимо ввести символы греческого алфавита, то необходимо воспользоваться меню View  Toolbars  Greek (Вид  Панели инструментов  Греческий Алфавит).

7.6.3. Операторы математического анализа Нахождение производной первого порядка осуществляется по нажатию клавиш ‘Shift’+‘/’. При этом производную можно вычислить либо в точке, либо получить ее аналитическое выражение. Например, производная в точке d 2 x : 13 x  ln( x)  79.689, dx а аналитически d 2 x  ln( x)  2 x ln( x)  x . dx Если задана функция нескольких переменных, то данный оператор вычисляет частную производную по указанной переменной f ( x, y ) : x 2  y 2  xy d f ( x, y )  2 y  x. dy Для нахождения производных высших порядков необходимо нажать ‘Ctrl’+‘Shift’+‘/’ и задать порядок производной, переменную дифференцирования и функцию. Например, d3 2 2 x  ln( x)  . 3 x dx Для вычисления смешанных производных функции нескольких переменных необходимо находить производную по одной переменной от производных по другим переменным. Например,  d3  d2 3 6 x  ln( y )  cos( x  y )   2  sin( x  y )  y 3  x 2  6  cos( x  y )  y 2  x  6  sin( x  y )  y. 3  2 dx  dy y  Нахождение неопределенных интегралов, если это возможно, осуществляется по нажатию ‘Ctrl’+’I’. Например, 1 2 1 2  x  ln( x)dx  2  x  ln( x)  4  x . Для вычисления определенных интегралов необходимо нажать ‘Shift’+‘7’ и ввести пределы интегрирования, подынтегральную функцию, переменную интегрирования. После нажатия знака ‘=’ получим числовой результат. Например,





2

 x  ln( x)dx  0.636 .

1

Все описанные символы операторов математического анализа можно ввести с помощью мыши из всплывающего меню (View  Toolbars  Calculus или Вид  Панели инструментов  Исчисления).

267

7.6.4. Функции и операторы матриц Самый простой способ создания массива чисел состоит в создании массива из пустых полей и их последующем заполнении. Для этого нажмите ‘Ctrl’+’M’, чтобы вызвать диалоговое окно, и определите в нем нужное количество строк и столбцов. Нажмите «OK», чтобы создать массив пустых полей. Щелкните на поле, чтобы выделить его, затем введите требуемое значение. Для перемещения между полями можно также использовать клавишу «Tab». При определении больших массивов, для каждого элемента которых существует формула, через которую он выражается, удобнее использовать дискретные аргументы. Например, зададим двумерный массив (матрицу) i : 0..2 j : 0..2 j X i , j : i 2  2 (чтобы набрать последнюю формулу, необходимо с клавиатуры набрать X [i, j : i ^ 2  j / 2 ). После этого можно просмотреть получившуюся матрицу целиком, набрав X  , или любой элемент матрицы, набрав X [1,2  , и на экране автоматически появится  0 0 .5 1    X   1 1 .5 2  X 1, 2  2 .  4 4 .5 5    Для задания векторов необходимо указывать только один индекс. Например, 0   2 i : 0..2 X i : i X   1 .  4   При обращении к матрице необходимо помнить, что нумерация строк и столбцов начинается с 0. Например, если хотим получить элемент, стоящий на пересечении 2-й строки и 3-го столбца, необходимо запросить элемент X 1, 2 .

Операторы, определенные для векторов и матриц: сложение – ‘+’; векторное произведение – ‘Ctrl’+’8’; определитель – ‘|’; скалярное произведение – ‘*’; обратная матрица – ‘^-1’ (т.е. возведение в степень –1); степени матриц – ‘^’; умножение – ‘*’; нижний индекс – ‘[‘; вычитание – ‘– ‘; суммирование элементов – ‘Ctrl’+’4’; верхний индекс – ‘Ctrl’+’6’; транспонирование – ‘Ctrl’+’1’. Встроенные функции, определенные для матриц: rows(A) – число строк матрицы A; cols(A) – число столбцов матрицы A; max(A) – максимальный элемент матрицы A; min(A) – минимальный элемент матрицы A; rank(A) – ранг матрицы A; rref(A) – приведение матрицы A к ступенчатому виду; length(B) – количество элементов вектора B; augment(A,B) – объединение матриц A и B (добавлением матрицы B справа к матрице A); submatrix(A,a,b,c,d) – возвращает матрицу, состоящую из всех элементов, которые содержатся в строках с a по b и столбцах с c по d матрицы A; lsolve(A,B) – решение системы линейных уравнений с матрицей системы A и столбцом свободных элементов B. Все описанные операторы (кроме встроенных функций) можно ввести с помощью мыши из всплывающего меню (View  Toolbars  Matrix или Вид  Панели инструментов  Матрицы). 268

7.6.5. Создание декартовых графиков на плоскости Нажмите клавишу ‘Shift’+‘2’ или введите с помощью мыши из всплывающего меню декартов график (View  Toolbars  Graph или Вид  Панели инструментов  График). В открывшемся поле графика (рис. 7.25) поместите в поле ввода 1 функцию или выражение, которое будет отображаться графически, а в поле ввода 2 непрерывную или дискретную переменную по которой строится график.

Рис. 7.25. Затем нажмите клавишу F9, чтобы построить график. По умолчанию, если функция определена, график будет построен на отрезке [10, 10] . Например, необходимо ввести функцию f ( x)  e 2 x  ln( x) и построить график этой функции на интервале (0.3;1.5) . Для этого определяем функцию f ( x) f ( x) : e 2x  ln( x) и в поле ввода 5 и 6 (рис. 7.26) помещаем начальное и конечное значение интервала 0.3 и 1.5 соответственно. В поле 3 и 4 показываются максимальное и минимальное значение функции на этом интервале.

Рис. 7.26. Чтобы на одном графике изобразить несколько функций, необходимо в поле ввода 1 (рис. 7.25) через запятую перечислить функции или выражения, которые будут отображаться графически, а в поле ввода 2 (рис. 7.25) через запятую соответствующие непрерывные или дискретные переменные (если переменные совпадают, то достаточно указать только одну переменную). Например, на рис. 7.27 построены графики функций sin( x) и ln( y )  1 . 269

Рис. 7.27. Если два раза щелкнуть мышью в поле графика, то во всплывающем окне «Formatting Currently Selected X-Y Plot» можно установить параметры отображения осей и линий графика. В первой закладке «X-Y Axes» («Оси X-Y») можно выбрать вид координатных осей, наложить сеть и установить ее размер, откорректировать масштаб. Во второй закладке «Traces» («След») можно установить параметры всех отображаемых линий (trace 1, trace2 и т. д.): наименование, цвет, толщину, тип (непрерывный, пунктир или точками для дискретных функций). В третьей закладке «Labels» («Метки») можно ввести названия графика и координатных осей.

7.6.6. Программные блоки Для решения многих задач в системе Mathcad используются программные блоки. В начале любого блока обязательно должно присутствовать служебное слово Given, далее идет тело блока и в конце стандартная функция, закрывающая блок. В процессе программирования лабораторных работ были использованы четыре программных блока. В файле Lab1.mcd, в качестве дополнительной информации, показан способ получения общих решений систем линейных алгебраических уравнений и частных решений нелинейных систем с помощью программного блока «Given – Find». Например, Given a  2b  3c  1 4a  5b  6c  2 . 7 a  8b  9c  3 1     c 3    2 Find (a, b, c)    2c   3    c     Здесь телом блока является система уравнений, а с помощью функции Find(x,y,….) получаем искомое решение, где x, y,... есть скалярные переменные, значения которых ищутся в блоке решения уравнений. В файлах Lab2.mcd и Lab3.mcd для нахождения максимального и минимального значений функции в некоторой области использованы программные блоки «Given –

270

Maximize» и «Given – Minimize» соответственно. Например, для функции одной переменной f ( x) найдем минимальное и максимальное значения функции на отрезке. Для этого найдем точки, в которых функция принимает эти значения f ( x) : x 2  6 x  4 x : 0 Given x0 x5 minimize( f , x)  3 Given x0 x5 maximize( f , x)  0, где до начала блока обязательно должны быть заданы функция f ( x) и начальная точка x0 . Тогда, получаем f min  f (3)  5, f max  f (0)  4 . Здесь телом блока является система ограничений, описывающая заданную область, а с помощью функций maximize(f,x,y,…) и minimize(f,x,y,…) получаем значения переменных x,y,…, при которых функция принимает максимальное и минимальное значения. В файле Lab4.mcd для нахождения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, используется программный блок «Given – Odesolve». Например, Given d y ( x)  f ( x, y ( x)) y ( a )  y0 dx y : odesolve( x, b, step) где f ( x, y ) – некоторая заданная функция, y0 – заданное значение функции в точке a , x – переменная интегрирования, a – начальная точка интегрирования, b – конечная точка интегрирования, [step] – шаг интегрирования (по умолчанию равен 0.1). Здесь телом блока является задача Коши, т. е. дифференциальное уравнение и начальное условие, а с помощью функции odesolve(x,b,[step]) получаем искомое решение y(x).

271

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Данная вторая часть учебного пособия «Высшая математика» является продолжением его первой части [1] и вместе с ней охватывает основной курс высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Авторы ставили перед собой задачу: с необходимой полнотой, на достаточном для втуза уровне строгости создать пособие по высшей математике, доступное для самостоятельного изучения. Мы отдаем себе отчет в том, что программа по высшей математике напряжена и не все надо доказывать. Кроме того, преподаватель может помочь студенту сделать и другие разумные сокращения. Теоретический материал пособия иллюстрирован большим количеством подробно разобранных примеров и задач. Контрольные вопросы, тесты, лабораторные работы и задачи для самостоятельного решения также должны способствовать более глубокому усвоению теории и приобретению необходимых практических навыков.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Анкилов, А. В. Высшая математика (Часть 1) : учебное пособие / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. 2. Бугров, Я. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Наука, 1988. 3. Бугров, Я. С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Наука, 1985. 4. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – М. : Высшая школа, 1998. – Т. 1, 2. 5. Краснов, М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. Л. Краснов. – М. : Высшая школа, 1983. 6. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1985. – Т.1, 2. 7. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. – М. : Наука, 1970. 8. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков. – М. : Наука, 1987. 9. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. – М. : Наука, 1964. 10. Сборник задач по математике для втузов: ч. 1, 2 / под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М. : Наука, 1993–1994. Учебное издание АНКИЛОВ Андрей Владимирович, ВЕЛЬМИСОВ Петр Александрович, РЕШЕТНИКОВ Юрий Андреевич ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (Часть 2)

Учебное пособие

Ответственный за выпуск П.А. Вельмисов Подписано в печать 22.12.2009. Формат 60×90/8. Усл. печ. л. 34,00. Тираж 150 экз. Заказ 20. Ульяновский государственный технический университет, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32. Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.

272