Высшая математика (часть 2). Конспект лекций

Наибольшее и наимень шее значения функции  Функция z=f(x; y), дифференцируемая в ограниченной замкнутой области D,  достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в  точке на границе области.  Пример 23. Определить наибольшее и наименьшее значения функции  z = x 2  + y 2  - xy + x +  y в области D  = { ( x ;  y );  x £ 0 ;  y £ 0 ;  x + y ³ - 3 } .  Решение. Указанная область показана на рис. (2.12.1)  Находим стационарные точки ì z x ¢ = 2 x - y + 1 = 0  .  í î z ¢y  = 2 y - x + 1 = 0 

Отсюда получаем  x=­1,  y=­1.  Точка M(­1; ­1) входит в область D. Находим значение  Рис. 2.12.1

функции в точке M:  f(M)=1+1­1­1­1=­1.  Исследуем функцию на границах области.  1.  При x=0 имеем  z=y 2 +y,  где ­3£y£0. 1  1  æ 1 ö 1  1  z ¢y  = 2 y + 1 =  0 ;  y 0  = -  ;  zç - ÷ = - = -  ;  è 2 ø 4  2  4  2 z(­3)=9­3=6,  z(0)=0.  Сравнивая эти значения, получаем, что  zнаиб=6 в точке (0; ­3);  1 ö 1  æ z наим = -  в точке  ç 0 ; - ÷ .  è 2 ø 4  2.  При y=0 имеем  z=x 2 +x,  где  ­3£y£0. 1  z x ¢ = 2 x + 1 = 0 ;  x 0  = -  ;  2

1  æ 1 ö zç - ÷ = -  ;  z(­3)=9­3=6,  z(0)=0.  è 2 ø 4  Сравнивая эти значения, получаем, что  zнаиб=6  в точке (­3; 0);  1  æ 1  ö z наим = -  в точке ç - ;  0 ÷  .  è 2  ø 4  2 

3.  При x+y=­3 имеем  y=­x­3  и  z = x 2  + ( - x - 3 ) 2  - x ( - x - 3 ) + x + ( - x - 3 ) = x 2  + x 2  + 6 x + 9 + x 2  + 3 x + x - x - 3 =  = 3 x 2  + 9 x + 6 ,  где ­3£x£0. 3  3  æ 3 ö 27  27  z x ¢ = 6 x + 9  =  0 ;  x 0  = -  ;  zç - ÷ = + 6 = -  ,  è 2 ø 4  2  4  2 z(­3)=27­27+6=6,  z(0)=6.  Сравнивая эти значения, получаем, что  zнаиб=6 в точке (­3; 0) и в точке (0; ­3);  3 ö 3  æ 3  z наим = -  в точке ç - ;  - ÷ .  è 2  2 ø 4  Сравнивая полученные значения, получаем, что  zнаиб=6 в точках (­3; 0) и (0; ­3);  zнаим=­1 в стационарной точке (­1; ­1).  Заметим, что исследование стационарной точки на максимум или минимум при  нахождении наибольшего и наименьшего значений оказывается ненужным.  14. Условны й экстремум. Метод Лагранжа  Определение.  Говорят , чт о в т очке M0(x0; y0), удовлет воряющей уравнению связи F( x , y )  = 0 , 

(2.14.1) 

функция f(x, y) имеет  условный максимум (минимум), если неравенст во  f ( x ,  y ) < f ( x 0 ,  y 0 )  ( > )

(2.14.2) 

выполняет ся в некот орой окрест ност и т очки M0  для всех ее т очек,  удовлет воряющих уравнению связи, кроме самой т очки M0. Точка M0(x0; y0) при  эт ом называет ся т очкой условного максимума (минимума). Точки условного  максимума или минимума называют ся т очками условного экст ремума.  Пример 24. Найти условный максимум и условный минимум функции z=x 2 +y 2  при  условии, что имеется уравнение связи  x 2  y 2  + - 1 = 0 ,  (a>b). a 2  b 2 

3 

Решение. Уравнение связи есть уравнение эллипса  x 2  y 2  + = 1 .  a 2  b 2  Величина (x 2 +y 2 ) есть квадрат расстояния точки M(x,  y) от начала координат O(0, 0). Очевидно, что среди  всех точек эллипса точки M1(a; 0) и M2(­a; 0)  наиболее удалены от начала координат, а точки M3(0;  b) и M4(0; ­b) наименее удалены от начала координат.  Поэтому условный максимум M равен a 2  и  достигается в точках M1(a; 0) и M2(­a; 0), а условный  минимум m равен b 2  и достигается в точках M3(0; b) и  M4(0; ­b). На рис. 2.13.1 значения функции z=x 2 +y 2  при условии, что 

x 2  y 2  + - 1 = 0 определяется  a 2  b 2 

пересечением параболоида вращения z=x 2 +y 2  с  Рис. 2.14.1

x 2  y 2  эллиптическим цилиндром  2  + 2  = 1 . Очевидно,  a  b 

что точки M1(a; 0), M2(­a; 0) есть точки условного максимума, а точки M3(0; b) и M4(0; ­b) ­  точки условного минимума. Заметим, что, если рассматривать все точки M(x; y) на  плоскости, то функция z=x 2 +y 2  имеет минимум (безусловный) равный нулю в точке O(0;  0), а максимума не имеет.  В приведенном выше примере условные экстремумы были найдены  непосредственно по определению условного экстремума. Такая ситуация бывает весьма  редко. Как правило точки условного экстремума ищутся аналитически с помощью  необходимых условий экстремума и достаточных условий.  Теорема (необходимы е условия условного экстремума).  Пуст ь M0(x0; y0) ­ т очка условного экст ремума функции f(x; y) при наличии  уравнения связи (2.14.1), причем функции f(x; y) и Ф(x; y) имеют  непрерывные  част ные производные в т очке M0(x0; y0) и в некот орой ее окрест ност и и F ¢y ( x ,  y ) ¹ 0  в т очке M0(x0; y0). Тогда координат ы (x0; y0) т очки M0  являют ся 

4 

част ью решения (x0, y0, l0) сист емы уравнений ì f x ¢( x ,  y ) + lF ¢x ( x ,  y )  = 0  ï í f y ¢ ( x ,  y ) + lF ¢y ( x ,  y )  = 0  ï  îF ( x ,  y ) = 0 

(2.14.3) 

Доказат ельст во. По теореме о неявной функции уравнение связи Ф(x; y)=0 определяет неявным  образом в некоторой окрестности точки x0  дифференцируемую функцию y=j(x). Подставляя эту функцию в  f(x, y), получаем функцию одной переменной x: g ( x ) = f ( x ,  j ( x ) ) . 

Очевидно, что, если M0(x0; y0) ­ точка экстремума функции f(x, y), то x0  ­ точка экстремума функции g(x). По  теореме о производной сложной функции полная производная функции f(x, y), где y=j(x), существует и  равна g ¢( x ) = f x ¢( x ,  y ) + f y ¢ ( x ,  y ) j ¢ ( x ) . 

В соответствии с теоремой Ферма точка x0  удовлетворяет условию g ¢( x ) = f x ¢( x ,  y ) + f y ¢( x ,  y ) j ¢ ( x ) = 0 . 

(2.14.4) 

Продифференцируем по x обе части уравнения связи (2.14.1), имея в виду, что y=j(x): F ¢x ( x ,  y ) + F ¢y ( x ,  y ) j ¢( x ) = 0 . 

(2.14.5) 

Умножим обе части этого уравнения на неопределенный множитель l и затем сложим с уравнением (2.14.4):

( f ¢( x ,  y ) + f ¢( x ,  y ) j ¢ ( x ) ) + l (F ¢ ( x ,  y ) + F ¢ ( x ,  y ) j ¢( x )) = 0 .  x 

y 

x 

x 

y 

Отсюда получаем

( f x ¢( x ,  y ) + lF ¢x ( x ,  y ) ) + ( f y ¢( x ,  y ) + lF ¢y ( x ,  y ) )j ¢ ( x ) = 0 . 

(2.14.6) 

f y ¢( x ,  y ) + lF ¢y ( x ,  y ) = 0 

(2.14.7) 

Выберем l так, чтобы

(это можно сделать, так как F ¢y ( x ,  y )  ¹ 0 ). Но тогда и первое слагаемое в формуле (2.14.6) равно нулю f x ¢( x ,  y ) + lF ¢x ( x ,  y ) = 0 . 

(2.14.8) 

Объединяя формулы (2.14.8), (2.14.7) и (2.14.1), получаем требуемый результат (формулы (2.14.3))n 

Замечание 1. Необходимые условия (2.14.3) можно сформулировать по другому.  Образуем функцию  L ( x ,  y ,  l ) = f ( x ,  y ) + lF ( x ,  y ) . 

(2.14.9) 

Функция L(x, y, l) называется функцией Лагранж а, а множитель l ­ множителем  Лагранжа. Очевидно, что необходимые условия экстремума функции L(x, y, l),  определяемые системой уравнений ì L x ¢ ( x ,  y ,  l )  = 0  ï í L y ¢ ( x ,  y ,  l )  = 0 ,  ï  î L l¢  ( x ,  y ,  l ) = 0 

(2.14.10)

5 

приводят к системе уравнений (2.14.3). Поэтому нахождение условного экстремума  функции f(x, y) при наличии уравнения связи (2.14.1) сводится к нахождению обычного  (безусловного) экстремума функции L(x, y, l), определяемой формулой (2.14.9).  Замечание 2. Условия (2.14.3) (или (2.14.10)) являются необходимыми, но не  достаточными. Для определения типа условного экстремума можно воспользоваться  следующим правилом:  если  d 2 L ( x 0 ,  y 0 ,  l0 ) < 0 , т о M0(x0, y0) ­ т очка условного максимума;  если  d 2 L ( x 0 ,  y 0 ,  l0 ) > 0 , т о M0(x0, y0) ­ т очка условного минимума. 

(2.14.11) 

если  d 2 L ( x 0 ,  y 0 ,  l0   ) мож ет  быт ь как полож ит ельной, т ак и от рицат ельной  величиной при различных dx и dy, т о M0(x0, y0) не являет ся  т очкой условного экст ремума.  Здесь дифференциал второго порядка  d 2 L ( x 0 ,  y 0 ,  l0   ) , определяемый формулой  d 2 L ( x ,  y ,  l ) = L xx  ¢¢ dx 2  + 2 L xy  ¢¢ dxdy + L yy  ¢¢ dy 2  , 

(2.14.12) 

вычисляется в стационарной точке P 0(x0, y0, l0) функции L(x, y, l), т.е. в точке координаты  которой удовлетворяют системе уравнений (2.14.10). При этом дифференциалы dx и dy в  формуле (2.14.12) зависимы и их связь (что следует из уравнения связи (2.14.1))  определяются формулой F ¢x ( x 0 ,  y 0 ) dx + F ¢y ( x 0 ,  y 0 ) dy = 0 ,  ( dx 2  + dy 2  ¹  0) .  С доказательством изложенного правила можно ознакомится в [3. п.п. 211­213].  В некоторых случаях тип условного экстремума можно установить, исходя из  существа рассматриваемой прикладной задачи.  Замечание 3. Подытоживая сказанное, можно сказать следующее:  для нахождения условного экстремума функции f(x, y) при наличии уравнения связи  (2.14.1), нужно:  –  образовать функцию Лагранжа L(x, y, l);  –  найти ее стационарные точки (xi, yi, li) путем решения системы уравнений  (2.14.10);  –  определить тип экстремума в каждой точке, исходя из физических соображений  или по правилу (2.14.11);  –  подсчитать значения функции f(x, y) в точках (xi, yi).  Пример 25. Найти аналитически точки условного экстремума в примере 24.  Решение. 6 

1.  Составляем функцию Лагранжа:  æ x 2  y 2  ö L ( x ,  y ,  l ) = x 2  + y 2  + l ç 2  + 2  - 1 ÷ .  b  è a  ø

2.  Составляем уравнения (2.14.10): ì lö æ ï L x ¢ ( x ,  y ,  l )  = 2 x çè 1 + a 2  ÷ø = 0  ï ï lö æ í L y ¢ ( x ,  y ,  l )  = 2 y çè 1 + 2  ÷ø = 0  b  ï 2  ï x  y 2  ï L l¢  ( x ,  y ,  l ) = 2  + 2  - 1 = 0  a  b  î a)  Пусть x¹0. Тогда ì lö æ 2  ï L x ¢ = 2 x çè 1 + a 2  ÷ø = 0 Þ l = - a  ï ï lö æ í L y ¢ = 2 y çè 1 + 2  ÷ø = 0 Þ y = 0  b  ï 2  ï x  y 2  ï L l¢  = 2  + 2 - 1 = 0 Þ x = ± a  a  b  î Cтационарные точки (±a; 0; ­a 2 ).  b)  Пусть y¹0. Тогда ì lö æ 2  ï L x ¢ = 2 x çè 1 + a 2  ÷ø = 0 Þ l = -b  ï ï lö æ í L y ¢ = 2 y çè 1 + 2  ÷ø = 0 Þ x = 0  b  ï 2  ï x  y 2  ï L l¢  = 2  + 2 - 1 = 0 Þ y = ±b  a  b  î Стационарные точки (0; ±b; ­b 2 ).  3.  Находим производные второго порядка

l  ö l  ö æ æ L xx  ¢¢ = 2 ç 1 + 2 ÷  ; L xy  ¢¢ =  0 ; L yy  ¢¢ = 2 ç 1 + 2 ÷ .  è a  ø è b  ø 4.  Находим дифференциал второго порядка 

lö lö æ æ d 2 L ( x ,  y ,  l ) = 2 ç 1 + 2  ÷ dx 2  + 2 ç 1 + 2  ÷ dy 2  .  è a  ø è b  ø Для стационарных точек (±a; 0; ­a 2 ):  æ a 2  ö 2  d  L ( ± a ,  0 ,  - a  ) = 2 ç 1 - 2  ÷ dy  < 0 , т.к. a>b. b  ø è 2 

2 

7 

Поэтому точки (±a; 0) ­ точки условного максимума. Условный максимум M  равен:  M  =  a 2 .  Для стационарных точек (0; ±b; ­b 2 ):  æ b 2  ö 2  d  L ( 0 ,  ± b ,  - b  ) = 2 ç 1 - 2  ÷ dx  > 0 , т.к. a>b.  a  ø è 2 

2 

Поэтому точки (0; ±b) ­ точки условного минимума. Условный минимум m  равен:  m = b 2 .  Пример 26. [7] Фирма решила ежемесячно ассигновать 100 тысяч долларов на  производство некоторой продукции. Средняя зарплата ­ 2000 долларов, стоимость  единицы сырья ­ 1000 долларов. Определить, какое число рабочих N и какое количество  сырья C необходимо приобрести фирме для получения наибольшего объема продукции Q,  если известно, что объем продукции Q прямо пропорционален N и C с коэффициентом  пропорциональности 5.  Решение. Задача об условном экстремуме формулируется следующим образом:  найти максимум функции Q=5NC при условии  2000N+1000C=100000. 

(2.14.13) 

Функция Лагранжа имеет вид  L=5NC+l(2N+C­100)  (при составлении функции Лагранжа в уравнении связи был опущен общий множитель  1000). Составляем уравнения, для нахождения стационарных точек: ì L N  ì5 C + 2 l = 0  ¢ = 5 C + 2 l = 0  ï ï Û í5 N + l = 0  .  í L C ¢ = 5 N + l = 0  ï L ¢ = 2 N + C - 100 = 0  ï 2 N + C  = 100 î î l  Решая эту систему уравнений, получаем  N=25, C=50, l=­125.  Находим вторые производные L NN  ¢¢ = 0 , L NC  ¢¢ = 5 , L CC  ¢¢ =  0 .  Находим второй дифференциал  d 2 L = L NN  ¢¢ dN 2  + 2 L NC  ¢¢ dNdC + L CC  ¢¢ dC 2  = 10dN × dC . 

(2.14.14) 

Из уравнения связи 2N+C­100=0 следует, что  2dN=­dC или dC=­2dN. 8 

Подставляя это выражение в формулу (2.14.14), получаем  d 2 L = -20 dN 2  < 0 .  Отсюда следует, что величина Q максимальна при условии (2.14.13). Таким образом,  оптимальным для фирмы является наем 25 рабочих и покупка 50 единиц сырья.  15. О функциях нескольких переменны х  Изложенные выше понятия и методы анализа естественным образом обобщаются  на функции нескольких переменных  z =  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n ) ,  где n>2.  Например, определение d­окрестности точки M 0 ( x 1 ( 0 ) ,  x 2 (0 ) , K  ,  x n ( 0 ) ) дается следующим  образом:  Определение.

d­окрест ност ью т очки M0  в n­мерном прост ранст ве R n  называет ся совокупност ь  всех т очек M, леж ащих внут ри n­мерного шара радиуса d с цент ром в т очке M0,  т .е. по определению

{

} 

E d = ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n ):  M 0 M  < d = 

{

= ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n ): 

}

( x 1  - x 1 ( 0 ) ) 2  + ( x 2  - x 2 ( 0 ) ) 2 +K + ( x n  - x n ( 0 ) ) 2 < d  , 

где  M 0  M  ­ длина вект ора  M 0  M .  Предел функции при M®M0  определяется аналогично тому, как это делалось в  первом параграфе данного раздела:  Определение.  Пуст ь функция  z =  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n )  определена в некот орой окрест ност и т очки  M0, кроме, мож ет  быт ь, самой т очки M0. Число A называет ся пределом функции  z =  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n )  при ст ремлении т очки M к т очке M0, если для любого числа

e> 0 найдет ся т акое число d> 0, чт о для всех т очек M в d­окрест ност и т очки M0,  кроме самой т очки M0, выполняет ся условие  f ( M ) - A < e . 

Обозначает ся предел функции т ак  lim  f ( M )  =  A или

M ® M 0 

lim  f ( x 1 ,  x 2 , K  , x n ) =  A . ( ) 0 

x 1 ® x 1  -- -x n ® x n ( 0 ) 

9 

Разумеется, все основные свойства пределов, сформулированные для функций двух  переменных, сохраняются.  Определение непрерывности функции  z =  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n )  аналогично  определению для функции двух переменных (см. формулу (2.4.2)). Формула (2.4.1)  видоизменяется следующим образом: lim  f ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n )  = f ( x 1 ( 0 ) ,  x 2 ( 0 ) , K  ,  x n ( 0 )  ) .  ( 0 )

x 1 ® x 1  -- -x n ® x n ( 0 )

Понятно, что частных производных первого порядка для функции  z =  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n )  будет n:

¶z  (i=1, 2,¼, n)  ¶x    i  или, в другой записи, z x ¢  (i=1, 2,¼, n).  i 

Частных производных второго порядка будет n 2 :

¶ 2 z  (i, j=1, 2,¼, n)  ¶x i ¶x    j  или, в другой записи, z x x  ¢¢ i  j  (i, j=1, 2,¼, n). 

Определение.  Функция  z =  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n )  дифференцируема в т очке M0  если ее полное  приращение Dz мож ет  быт ь предст авлено в виде

¶f  Dx i  + o (Dr ) ,  i = 1  ¶x i  n

Dz = å n 

где Dr =

å ( Dx  ) i 

2 

(сравнит е с формулой (2.6.1')). 

i =1 

Полный дифференциал dz теперь равен  n

¶f  dx i  i =1  ¶ x  i 

dz = å или, в другой записи,  n 

dz = å z ¢x  dx i  i =1 

i

по аналогии с формулой (2.6.4). 10 

Если дана функция  z=F(u1, u2,¼, uk),  где переменные  ui(1,2,¼, k)  в свою очередь  являются функциями n переменных ui=ui(x1, x2,¼, xn), то, по аналогии с формулой (2.8.1),  производная слож ной функции выглядит следующим образом

¶F  k ¶F  ¶u i  (j=1, 2,¼, n).  = å  × ¶x j  i =1  ¶u i  ¶x    j  Полная производная в n ­ мерном случае дается формулой (2.8.4). По аналогии с  формулой (2.11.2) для второго дифференциала имеем  2

æ ¶ ö ¶ ¶ d  z = ç dx 1  + dx 2  +K + dx n ÷ f  ¶x 2  ¶x n  è ¶x 1  ø 2 

и для  d k z :  k

æ ¶ ö ¶ ¶ d  z = ç dx 1  + dx 2 +K + dx n ÷ f  .  ¶x 2  ¶ x n  è ¶x 1  ø k 

Если обозначить через M точку с координатами (x1, x2,¼, xn) и через M0  точку с  координатами ( x 1 (0 ) ,  x 2 ( 0 ) , K  ,  x n (0 ) ) , то формулу Тейлора (2.12.8) можно обобщить  следующим образом:  f ( M )  = f ( M 0 ) + df ( M 0 ) +

1  2  1 d  f ( M 0 ) +K + d n  f ( M 0 ) + r n  ,  2 !  n ! 

где r n  ­ остаточный член разложения.  Остаточный член r n  в форме Пеано записывается следующим образом:

(

r n  = o ( D r )

n

) ,   где Dr = M  M  = 0 

n 

å ( x  - x ( ) )  0 

i 

i 

2 

. 

i = 1 

Остаточный член r n  в форме Лагранжа записывается следующим образом: r n  =

1  ~  d n + 1  f ( M ) ,  ( n + 1 ) ! 

~  где  M  ­ точка с координатами ( x 1 ( 0 ) + q ( x 1  - x 1 ( 0 ) ),  x 2  + q ( x 2  - x 2 ( 0 ) ), K  ,  x n ( 0 ) + q ( x n  - x n ( 0 ) )) ,  0
(2.15.1) 

Точки M0  из области определения f(M), удовлетворяющие условию (2.15.1), называются  ст ационарными.  Достаточны е условия экстремума формулируются следующим образом: 11 

если в стационарной точке M0  выполняется условие  d 2  f ( M 0 ) <  0 , то M0  ­ точка  максимума;  если в стационарной точке M0  выполняется условие  d 2  f ( M 0 ) >  0 , то M0  ­ точка  минимума;  если в стационарной точке M0  величина  d 2  f ( M 0 )  может принимать как  положительные, так и отрицательные значения, то M0  не является точкой  экстремума.  Задача об условном экстремуме в случае функции n переменных обобщается следующим образом:  Пусть  z =  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n )  ­ функция n переменных. Требуется найти экстремум этой функции при  условии, что имеется m уравнений связи: F 1 ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n ) = 0  F 2 ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n )  = 0  -------------

. 

(2.15.2) 

F m ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n )  = 0 

Предполагается, что ранг матрицы частных производных

¶F æ ¶F j  ö ( i  = 1, 2, K , n )  =ç ÷ ,  ¶x  è ¶x i ø ( j  = 1, 2 , K  , m)  равен m.  Функция Лагранжа имеет вид  m 

L ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n ,  l1 ,  l2 , K ,  lm )  = f ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n ) +

å l F  ( x  ,  x  , K ,  x  ) .  j 

j 

1 

2 

n 

j = 1

Необходимые условия экстремума имеют вид ìï L x ¢ = 0  ( i  = 1, 2 , K , n )  .  í L ¢ = 0  ( j  = 1, 2 , K , m ) îï  l  i 

(2.15.3) 

j 

Тип экстремума, по аналогии со случаем двух переменных (см. Замечание 2 в предыдущем параграфе)  определяется следующим образом:  ( )

( )

( )

( ) 

если в стационарной точке P 0 ( x 1 0  , K ,  x n 0  ,  l1 0  , K ,  lm   0  ) , удовлетворяющей уравнениям (2.15.3),  имеем  d 2 L ( P 0 ) < 0 , то M 0 ( x 1 ( 0 ) , K  ,  x n ( 0 ) ) ­ точка условного максимума;  если в точке P 0  имеем  d 2 L ( P 0 ) > 0 , то M 0 ( x 1 ( 0 ) , K  ,  x n ( 0 ) ) ­ точка условного минимума;  если  d 2 L ( P 0 )  может быть положительной или отрицательной величиной, то M0  не является точкой  условного экстремума.  При этом второй дифференциал  d 2  L  определяется формулой  2

æ ¶ ö ¶ d  L = ç dx 1 +K + dx n ÷ L ,  ¶ x  ¶ x  è 1  ø n  2 

где дифференциалы dx1,¼, dxn  связаны соотношениями:

12 

n 

¶F 1 

å ¶x  i = 1 

dx i  = 0 

i 

n 

¶F 2  dx i  = 0  i = 1  ¶x i 

å

--------n

¶F m

å  ¶x  i = 1 

dx i  = 0 , 

i 

вытекающими из уравнений связи (2.15.2).  Пример 27. [3] Требуется найти наибольшее и наименьшее значения квадратичной формы  n 

f ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n )  =

n 

å å a  x x  ,   (aik=a ki).  ik  i  k 

i = 1 k = 1 

При условии, что F( x 1 , K ,  x n )  = x 1 2  + x 2 2 +K + x n 2  = 1 . 

(2.15.4) 

Решение. Одно уравнение связи (формула (2.15.4)) определяет уравнение n ­мерной сферы.  Требуется определить наибольшее и наименьшее значения квадратичной формы на n ­ мерной сфере.  Поскольку сфера представляет собой ограниченной замкнутое множество, квадратичная форма, являющаяся  непрерывной функцией, достигает на этом множестве наибольшего и наименьшего значений в соответствии  с теоремой Вейрштрасса. Составим функцию Лагранжа  n 

L ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n ,  l )  =

n 

å å a  x x  - l ( x  + x  +K + x  - 1) .  ik  i  k 

2  1 

2  2 

2  n 

i = 1  k = 1 

(Здесь перед множителем l записан знак (­), в отличие от ранее принятого знака (+)).  Запишем необходимые условия экстремума ì ¶L  ï ¶x  = 2 ( a 11  - l ) x 1  + 2 a 12 x 2  +K +2 a 1 n x n  = 0  ï 1  ï ¶L  ï ¶x  = 2 a 21 x 1  + 2 ( a 22  - l ) x 2  +K +2 a 2 n x n  = 0  ïï 2  í- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ï  ¶L  ï = 2 a n 1 x 1  + 2 a n 2 x 2  +K +2 ( lm  - l ) x n  = 0  ï ¶x n  ï ï ¶L  = x 2  + x 2  +K + x 2  - 1 = 0. 1  2  n  ï  î ¶l 

Первые n уравнений после сокращения на 2 приводят к системе линейных однородных уравнений:  ì( a 11  - l ) x 1  + a 12 x 2  +K + a 1 n x n  = 0  ïa  x  + ( a  - l ) x  +K + a  x  = 0  ï 21  1  22  2  2 n  n  í ---ï ïîa n 1 x 1  + a n 2 x 2  +K + ( a nn  - l ) x n  = 0. 

(2.15.5) 

Из курса алгебры известно, что система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение, если  определитель системы равен нулю

13

a 11  - l

a 12 

K

a 1 n 

a 21 

a 22  - l

K

a 2 n 

--

--

--

--

a n 1 

a n 2 

K 

a nn  - l

= 0 . 

(2.15.6) 

Решением этого уравнения являются собственные числа l1, l2,¼, ln  матрицы A=(a ik). Умножая равенства  (2.15.5), соответственно, на x1, x2,¼, xn  и почленно складывая, приходим к равенству  f ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n ) - l ( x 1 2  + x 2 2 +K + x n 2 )  = 0 . 

Отсюда, в силу условия (2.15.4), получаем  f ( x 1 ,  x 2 , K ,  x n )  = l .  Таким образом, если l удовлетворяет уравнению (2.15.6), т.е. если l есть одно из собственных  чисел l1, l2,¼, ln  матрицы A=(a ik), то значение функции  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n )  и равно этому значению l. Таким  образом, приходим к выводу:  искомые наибольшее и наименьшее значения квадратичной формы  f ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n )  при  соблюдении условия (2.15.4), совпадают с наибольшим и наименьшим собственными числами lmax  и lmin  матрицы A=(a ik). эти значения достигаются на нормированных собственных векторах матрицы  A, соответствующих этим собственным числам, т.е. на векторах ( x 1 ,  x 2 , K  ,  x n ) , которые являются  решениями системы (2.15.5) при lmax  и lmin  с последующей нормировкой такой, чтобы выполнялось  условие (2.15.4).  Пример 28. [3] Имеется электрическая цепь с параллельным включением приемников тока  P 1, P 2,¼, P n, потребляющих токи i1, i2,¼, in. Между точками  A и B включен источник тока. Требуется при заданном  допустимом общем падении потенциала в цепи 2u,  определить сечения проводов так, чтобы на всю магистраль  пошло наименьшее количество меди.  Решение. Достаточно ограничиться рассмотрением 

Рис. 2.15.1

верхнего провода A.  Обозначим через l1, l2,¼, ln  длины частей AA 1, A 1A 2,¼, A n­1A n  (в м), через  q1, q2,¼, qn  ­ площади их  поперечных сечений (в мм 2 ).  Тогда выражение  V  = l q  1  1  + l 2 q 2 +K + li q i  +K + l n q n дает объем затраченной меди (в м 3 ). Величина V должна быть минимальной при условии, что общее падение  потенциала в проводе A должно быть равно u. Легко подсчитать, что токи I1, I2,¼, Ii,¼, In  протекающие в  отрезках AA 1, A 1A 2,¼, A i­1A i,¼, A n­1A n, раны  I 1  = i 1  + i 2  + L  + i n  I 2  = i 2  + L + i n  ---------

. 

I n  = i n 

Обозначим через r сопротивление медной проволоки длиной в 1 м. и сечением в  2 

1 мм  . Тогда сопротивление отрезков будут равны  14 

r 1  =

rl  1  q 1

,  r 2  =

r l 2  q 2

,¼,  r i  =

r l i  q i

,¼,  r n  =

r l n  q n

, 

а падения потенциала в этих отрезках, согласно закону Ома, равны 

r l 1 I 1 

u 1  = I 1 r 1  =

q 1

;  u 2  = I 2 r 2  =

rl  2 I 2  q 2

;¼;  u n  = I n r n  =

rl  n I n  q n

. 

Уравнение связи имеет вид æ l 1 I 1

r ç

è q 1 

l 2 I 2 l I  l  I  ö +K + i  i  +K + n  n ÷ - u = 0 .  q 2  q i  q n  ø

+

(2.15.7) 

Составим функцию Лагранжа  l I  l  I  u ö 2 æ l 1 I 1 L q  (  1 ,  q 2 , K ,  q n ,  l 2 ) = l q  +K + i  i  +K + n  n - ÷  .  1  1 +K + l q  i  i  +K + l n q n  + l ç q i  q n  rø è q 1

(Для удобства неопределенный множитель взят в виде l 2 ). Запишем необходимые условия экстремума ì ¶L  l 2 l i  I i  = l  = 0  ï i  q i 2  ï ¶q i  í l n I n u ö ï ¶L  æ l 1 I 1 ï ¶l 2  = çè q  +K + q  - r ÷ø = 0.  1  n î

Отсюда получаем:  ì q 1 2  q 2 2  q i 2  q n 2  = = K + = K = = l 2  ï I  I  I  I  ï 1  2  i  n  í æ ö ïr ç l 1 I 1 +K + l n I n ÷ = u .  ï è q  q n  ø 1 î

Отсюда имеем  q 1  = l  I 1 ,  q 2  = l  I 2 ,¼,  q i  = l  I i ,¼,  q n  = l  I n , 

(2.15.8) 

причем, отсюда и из уравнения связи (2.15.7) легко найти множитель l:

r l  I  +L + l n  I n  = u , l  1  1

(

l=

)

r u 

(l 

1 

)

I 1 + K  l n  I n  . 

(2.15.9) 

Искомые значения сечений определяем из формул (2.15.8) и (2.15.9): q i  =

r  u 

(l 

1

I 1  + K  + l n  I n 

)  I  .  i 

(2.15.10) 

Можно показать, что найденные значения qi  обеспечивают минимум объема затраченной меди V при  условии (2.15.7).

15 

ЛИТЕРАТУРА.  Основная литература.  1.  Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления (для ВТУЗ ­ ов).  Том I, "Наука", М., 1984.  2.  Задачи и упражнения по математическому анализу (для ВТУЗ ­ ов). Под ред.  Б.П. Демидовича. Изд. 7­е, "Наука", М., 1970.  Дополнительная литература.  3.  Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том  I, изд. 7­е, "Наука", М., 1969.  4.  Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисления.  Изд. 2­е, "Наука". М., 1984.  5.  О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. "Высшая школа", М.,  1986.  6.  Сборник задач по математике (для ВТУЗ ­ ов). Под ред. А.В. Ефимова. Линейная  алгебра и основы математического анализа. Часть I, изд. 2­е, "Наука", М., 1986.  7.  В.Г. Власов Конспект лекций по высшей математике. "Айрис". М. 1997.

16