Компьютерный практикум по общей физике. Часть 2. Механические колебания и волны. Термодинамика и молекулярная физика: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ×ÀÑÒÜ 2 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ÎÁÍÈÍÑÊ 2004

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ЧАСТЬ 2 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ÎÁÍÈÍÑÊ 2004

УДК 537 (075) :004.3 Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 2. Механические колебания и волны. Термодинамика и молекулярная физика: Учебное пособие по курсу «Общая физика». – Обнинск: ИАТЭ, 2004. – 80 с.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса, изучающих общую физику. Оно содержит задания компьютерного практикума и примеры выполнения заданий с использованием специализированных пакетов (MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA). Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Ф.И. Карманов к.ф.-м.н., доцент В.В. Бурмистров Темплан 2004, 21

© Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2004 г. © А.В. Тихоненко, 2004 г. Редактор О.Ю. Волошенко Компьютерная верстка А.В. Тихоненко ЛР № 020713 от 27.04.1998 Подписано к печати 22.11.2004 Печать ризограф. Бумага KYMLUX Заказ № Тираж 120 экз.

Формат бум. 60х84/16 Печ. л. 5.0 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ. 249040, г. Обнинск, Студгородок, 1 2

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА __________________________ 5 ×ÀÑÒÜ 1. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ ______________ 5 ТЕМА 1. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ_______________________ 5 Задание 1.1. Уравнение гармонических колебаний________________________5 Задание 1.2. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях__________5 Задание 1.3. Учет начальных условий колебаний ________________________10 Задание 1.4. Решение уравнения свободных незатухающих колебаний ______10

ТЕМА 2. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ _________________ 11 Задание 2.1. Механическая энергия осциллятора ________________________11 Задание 2.2. Энергия и вычисление периода колебаний __________________12 Задание 2.3. Фазовый портрет осциллятора_____________________________12 Задание 2.4. Фазовый портрет колебательной системы ___________________14

ТЕМА 3. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ________________________ 15 Задание 3.1. Уравнение затухающих колебаний _________________________15 Задание 3.2. Энергия затухающих колебаний ___________________________15 Задание 3.3. Фазовый портрет маятника с затуханием ____________________19 Задание 3.4. Решение уравнения свободных затухающих колебаний________19

ТЕМА 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ _________________________________ 20 Задание 4.1. Общее решение уравнения вынужденных колебаний __________20 Задание 4.2. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики ______21 Задание 4.3. Амплитуда дисперсии и амплитуда поглощения______________21 Задание 4.4. Резонансные частоты и резонансные кривые_________________23 Задание 4.5. Решение уравнения вынужденных колебаний ________________23 Задание 4.6. Колебания с кусочно-постоянными внешними силами ________24

ТЕМА 5. НАЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ____________________________________ 25 Задание 5.1. Биения ________________________________________________25 Задание 5.2. Сложение колебаний одного направления ___________________25 Задание 5.3. Сложение перпендикулярных колебаний ____________________30

ТЕМА 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ _____________________________________ 31 Задание 6.1. Решение волнового уравнения. Профили волн _______________31 Задание 6.2. Сложение бегущих плоских волн __________________________31 Задание 6.3. Стоячие волны__________________________________________32

×ÀÑÒÜ 2. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ _____ 33 ТЕМА 7. ПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ _______________________________ 33 Задание 7.1. Процессы в идеальном газе _______________________________33 Задание 7.2. Работа и энтропия идеального газа _________________________33

ТЕМА 8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ___________________________ 36 Задание 8.1. Нормальное распределение _______________________________36 Задание 8.2. Распределение Максвелла по скоростям ____________________36 Задание 8.3. Распределение Максвелла по кинетическим энергиям _________37

3

ТЕМА 9. ГАЗ ВАН ДЕР ВААЛЬСА_______________________________________ 39 Задание 9.1. Уравнение Ван дер Ваальса _______________________________39 Задание 9.2. Изотермы и адиабаты ____________________________________40 Задание 9.3. Работа, энтропия и теплоемкость газа Ван дер Ваальса ________40

ТЕМА 10. УРАВНЕНИЕ КЛАПЕЙРОНА-КЛАУЗИУСА _______________________ 42 Задание 10.1. Переход жидкость- твердое тело __________________________42 Задание 10.2. Переход жидкость-пар __________________________________42 Задание 10.3. Переход жидкость-пар в реальной атмосфере _______________43

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ _____________ 44 ×ÀÑÒÜ 1. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ _____________ 44 Пример к заданиям 1.1 и 1.2 _________________________________________44 Пример к заданиям 1.1, 3.1 и 4.1 ______________________________________45 Пример к заданию 2.1_______________________________________________47 Пример к заданию 2.3_______________________________________________49 Пример к заданиям 1.4 и 3.4 (Maple) __________________________________51 Пример к заданиям 1.4 и 3.4 (Mathematica) _____________________________52 Пример к заданиям 3.2 и 3.3 _________________________________________52 Пример к заданию 4.3 (Maple)________________________________________55 Пример к заданию 4.4 (Mathematica) __________________________________56 Пример к заданию 4.5 (Maple)________________________________________57 Пример к заданию 4.6 (Maple)________________________________________58 Пример к заданию 5.1 (Mathematica) __________________________________61 Пример к заданию 5.2_______________________________________________63 Пример к заданию 5.3_______________________________________________64 Пример к заданию 5.3 (Mathematica) __________________________________67 Пример к заданию 6.3_______________________________________________69

×ÀÑÒÜ 2. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ _____ 70 Пример к заданию 7.1_______________________________________________70 Пример к заданию 8.2_______________________________________________70 Пример к заданию 8.3_______________________________________________73 Пример к заданию 9.1_______________________________________________74 Пример к заданию 9.2_______________________________________________76 Пример к заданию 9.3_______________________________________________78 Пример к заданию 10.2______________________________________________79

4

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА ×ÀÑÒÜ 1. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ ТЕМА 1. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé

d 2 x (t ) + ω 02 ⋅ x ( t ) = 0 . 2 dt Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé I:

x ( t ) = A ⋅ cos (ω 0 ⋅ t + ϕ 0 ) ,

ãäå A – àìïëèòóäà êîëåáàíèé, ω0 – ÷àñòîòà êîëåáàíèé, ϕ0 – íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèé. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé II:

x ( t ) = A1 ⋅ cos (ω 0 ⋅ t ) + A2 ⋅ sin (ω 0 ⋅ t )

ЗАДАНИЕ 1.1. УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1.1.1. Выразить величины в решении I и решении II: а) A1 и A2 через A и ϕ0; б) A и ϕ через A1 и A2. 1.1.2. Построить двумерные x(t) графики для различных значений параметров: а) амплитуда A; б) циклическая частота ω0; в) начальная фаза ϕ0. 1.1.3. Смоделировать колебания, заданные зависимостью x(t): подобрать амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний (рис. 1.1). ЗАДАНИЕ 1.2. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1.2.1. Получить выражения для скорости и ускорения:

v _ x (t ) =

dx ( t ) dv _ x ( t ) d 2 x ( t ) , w _ x (t ) = = dt dt 2 dt

1.2.2. Построить (в одних осях) двумерные графики: смещение x(t), скорость v_x(t) и ускорение w_x(t). 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

5

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 1.1.а

Рис. 1.1.б

Рис. 1.1.в

Рис. 1.1.г 6

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 1.1.д

Рис. 1.1.е

Рис. 1.1.ж

Рис. 1.1.з 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

7

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 1.2.а

Рис. 1.2.б

Рис. 1.2.в

Рис. 1.2.г 8

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 1.3.а

Рис. 1.3.б

Рис. 1.3.в

Рис. 1.3.г 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

9

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

1.2.3. Смоделировать колебания, заданные зависимостью v_x(t): подобрать амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний (рис. 1.2). 1.2.4. Смоделировать колебания, заданные зависимостью w_x(t): подобрать амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний (рис. 1.3). ЗАДАНИЕ 1.3. УЧЕТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ КОЛЕБАНИЙ 1.3.1. Исходя из начальных условий x0 = x(0), v0 = v_x(0), получить выражения величин: а) A и ϕ0; б) величины A1 и A2. 1.3.2. Построить двумерные x(t) графики для различных значений параметров: а) начальная координата x0; б) начальная скорость v0. 1.3.3. Смоделировать колебания, заданные зависимостями x(t), v_x(t) и w_x(t): подобрать начальную координату и начальную скорость колебаний (рис. 1.1- 1.3). ЗАДАНИЕ 1.4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

1.4.1. Решить аналитически уравнение свободных незатухающих колебаний в общем виде:

d 2 x (t ) + ω 02 ⋅ x ( t ) = 0 . dt 2

1.4.2. Решить аналитически уравнение свободных незатухающих колебаний с учетом начальных условий:

x0 = x ( 0 ) , v0 = v ( 0 ) .

10

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 2. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ЗАДАНИЕ 2.1. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА ВВЕДЕНИЕ

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà

⎛ dx ( t ) ⎞ 1 E _ kin ( t ) = ⋅ m ⋅ ⎜ ⎟ . 2 dt ⎝ ⎠ 2

Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà

E _ pot ( t ) =

1 2 ⋅ k ⋅ x (t ) . 2

Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà

E ( t ) = E _ kin ( t ) + E _ pot ( t ) , ãäå

x ( t ) = A ⋅ cos (ω 0 ⋅ t + ϕ 0 ) - ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé;

ω0 =

k m

- öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.1.1. Получить выражение для Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t). 2.1.2. Построить (в одних осях) двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для различных значений параметров: а) амплитуда; б) циклическая частота. 2.1.3. Построить (в одних осях) двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для смоделированных колебаний, заданных зависимостями x(t), v_x(t) и w_x(t) (рис. 1.1- 1.3).

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

11

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАНИЕ 2.2. ЭНЕРГИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ ВВЕДЕНИЕ

Ïåðèîä äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â îêðåñòíîñòè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû x2

T=

m dx ⋅∫ , 2 x1 E − E _ pot ( x )

ãäå x1 è x2 – òî÷êè ïîâîðîòà. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.2.1. Подобрать параметры a и b для случая возникновения колебаний в системах с потенциальной энергией: 2 а) E _ pot ( x ) = a ⋅ x ; б) E _ pot ( x ) = a ⋅ x + b ⋅ x ; 2

в) E _ pot ( x ) = a ⋅ x ; г) E _ pot ( x ) =

a b + x2 x

и построить графики Е_pot(x). 2.2.2. Определить точки поворота для полной механической энергии E. 2.2.3. Вычислить период колебаний для маятника. 2.2.4. Построить график T(E). ЗАДАНИЕ 2.3. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ОСЦИЛЛЯТОРА ВВЕДЕНИЕ

Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà â ïåðåìåííûõ ñêîðîñòüêîîðäèíàòà

E ( x, v _ x ) =

1 1 ⋅ m ⋅ v _ x2 + ⋅ k ⋅ x2 . 2 2

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.3.1. Построить фазовый портрет гармонического осциллятора как зависимость v_x(t) от x(t), задав параметры колебаний. 2.3.2. Построить фазовый портрет гармонического осциллятора как линии уровня для полной энергии Е(v_x, x). 2.3.3. Построить фазовый портрет гармонического осциллятора как зависимость v_x(t) от x(t) для смоделированных колебаний, заданных зависимостями x(t), v_x(t) и w_x(t) (рис. 1.1- 1.3).

12

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 2.1.а

Рис. 2.1.б

Рис. 2.1.в

Рис. 2.1.г 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

13

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАНИЕ 2.4. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ â ïåðåìåííûõ ñêîðîñòü-êîîðäèíàòà ВВЕДЕНИЕ

1 E ( x, v _ x ) = ⋅ m ⋅ v _ x 2 + E _ pot ( x ) 2 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.4.1. Построить фазовый портрет маятника как линии уровня для колебательных систем с потенциальной энергией:

a b + ; x2 x б) E _ pot (ϕ ) = m ⋅ g ⋅ l ⋅ (1 − cos (ϕ ) ) .

а)

E _ pot ( x ) =

2.4.1. Смоделировать колебания, заданные зависимостью v_x(t): подобрать амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний (рис. 2.1).

14

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 3. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАДАНИЕ 3.1. УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé

d 2 x (t ) dx ( t ) + 2⋅γ ⋅ + ω 02 ⋅ x ( t ) = 0 . 2 dt dt Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîáîäíûõ çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé:

x ( t ) = A ⋅ e −γ ⋅t ⋅ cos (ω ⋅ t + ϕ ) ; x1 ( t ) = + a ⋅ e −γ ⋅t , x 2 ( t ) = − a ⋅ e −γ ⋅t . ×àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé

ω = ω 02 − γ 2 , ω 0 > γ

.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

3.1.1. Получить решение уравнения затухающих колебаний с помощью подстановки:

x = A ⋅ ei⋅α ⋅t . 3.1.2. Построить двумерные графики x(t), x1(t), x2(t) для различных значений коэффициентов затухания γ. Сравнить со случаем незатухающих колебаний (γ = 0). 3.1.3. Получить выражения для скорости и ускорения: v_x(t), w_x(t). 3.1.4. Построить в одних осях двумерные графики: смещение x(t), скорость v_x(t) и ускорение w_x(t). 3.1.5. Смоделировать колебания, заданные зависимостью x(t): подобрать амплитуду, частоту, начальную фазу колебаний и коэффициент затухания (рис. 3.1). ЗАДАНИЕ 3.2. ЭНЕРГИЯ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

3.2.1. Получить выражение для Е_pot(t), Е_kin(t), Е (t). 3.2.2. Построить в одних осях двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для различных значений коэффициента затухания γ. Сравнить со случаем незатухающих колебаний (γ = 0). 3.2.3. Построить (в одних осях) двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для смоделированных колебаний, заданных зависимостями x(t) (рис. 3.1).

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

15

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 3.1.а

Рис. 3.1.б

Рис. 3.1.в

Рис. 3.1.г 16

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 3.1.д

Рис. 3.1.е

Рис. 3.1.ж

Рис. 3.1.з 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

17

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

18

Рис. 3.1.а

Рис. 3.1.б

Рис. 3.1.в

Рис. 3.1.г

Рис. 3.1.д

Рис. 3.1.е 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 3.3. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ МАЯТНИКА С ЗАТУХАНИЕМ 3.3.1. Построить фазовый портрет маятника с затуханием как зависимость v_x(t) от x(t) для различных значений коэффициента затухания γ. Сравнить со случаем незатухающих колебаний (γ = 0). 3.3.2. Построить фазовый портрет маятника с затуханием с анимацией: а) по коэффициенту затухания γ; б) по времени t. 3.3.3. Смоделировать колебания, заданные фазовым портретом: подобрать амплитуду, частоту, начальную фазу колебаний и коэффициент затухания (рис. 3.2). ЗАДАНИЕ 3.4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

1.4.1. Решить аналитически уравнение свободных затухающих колебаний в общем виде:

d 2 x (t ) dx ( t ) + 2⋅γ + ω 02 ⋅ x ( t ) = 0 . 2 dt dt

1.4.2. Решить аналитически уравнение свободных затухающих колебаний с учетом начальных условий:

x0 = x ( 0 ) , v0 = v ( 0 ) .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

19

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАДАНИЕ 4.1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé

d 2 x (t ) dx ( t ) + 2 ⋅ γ ⋅ + ω 02 ⋅ x ( t ) = f 0 ⋅ cos ( Ω ⋅ t ) , 2 dt dt ãäå ω0 – ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà, γ - êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ, f0 è ω - àìïëèòóäà è ÷àñòîòà âíåøíåé âûíóæäàþùåé ñèëû. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé:

X ( t ) = x _ dm ( t ) + x _ tr ( t ) , ãäå

x _ dm ( t ) = a ⋅ e −γ ⋅t ⋅ cos (ω ⋅ t + ϕ ) - çàòóõàþùàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ðåøåíèÿ,

x _ tr ( t ) = A0 ( Ω ) ⋅ cos ( Ω ⋅ t + Φ ( Ω ) )

- óñòàíîâèâøàÿñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ðåøåíèÿ. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

4.1.1. Получить решение уравнения вынужденных колебаний для установившегося режима с помощью подстановки:

x ( t ) = Ac ⋅ ei⋅α ⋅t .

4.1.2. Построить двумерные графики X(t) для различных значений: а) собственной частоты ω0; б) коэффициента затухания γ, в) частоты вынуждающей силы Ω. 4.1.3. Построить фазовый портрет колебаний как зависимость VX(t) от X(t) с анимацией: а) по коэффициенту затухания γ; б) по времени t. 4.1.4. Смоделировать вынужденные колебания, заданные зависимостью X(t): подобрать амплитуды, частоты и начальные фазы колебаний (рис. 4.1). 4.1.4. Построить фазовый портрет вынужденных колебаний как зависимость v_x(t) от x(t) для смоделированных колебаний (рис. 4.1). 20

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 4.2. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ И ФАЗО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВВЕДЕНИЕ

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé

x ( t ) = A ( Ω ) ⋅ cos ( Ω ⋅ t + Φ ( Ω ) ) ,

A (Ω) =

f0

(ω

2 0

− Ω2 ) + 4 ⋅ Ω2 ⋅ γ 2 2

⎛ 2⋅Ω ⋅γ 2 2 ⎝ Ω − ω0

, Φ ( Ω ) = atan ⎜

⎞ ⎟. ⎠

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

4.2.1. Получить решение уравнения вынужденных колебаний для установившегося режима с помощью подстановки:

x = A ⋅ ei⋅β ⋅t Получить выражения для амплитуды и фазы вынужденных колебаний. 4.2.2. Построить двумерные графики A(Ω) для различных значений коэффициента затухания γ. 4.2.3. Построить двумерные графики φ(Ω) для различных значений коэффициента затухания γ. ЗАДАНИЕ 4.3. АМПЛИТУДА ДИСПЕРСИИ И АМПЛИТУДА ПОГЛОЩЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé

x ( t ) = A ( Ω ) ⋅ cos ( Ω ⋅ t + ϕ ( Ω ) )

= A _ D ( Ω ) ⋅ cos ( Ω ⋅ t ) + A _ R ( Ω ) ⋅ sin ( Ω ⋅ t )

,

ãäå A_D(Ω) - àìïëèòóäà äèñïåðñèè, A_R(Ω) - àìïëèòóäà ïîãëîùåíèÿ. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

4.3.1. Получить выражения для амплитуды дисперсии A_D(Ω) и амплитуды поглощения A_R (Ω). 4.3.2. Построить двумерные графики A_D(Ω) и A_R (Ω) для различных значений коэффициента затухания γ.

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

21

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 4.1.а

Рис. 4.1.б

Рис. 4.1.в

Рис. 4.1.г

Рис. 4.1.д 22

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 4.4. РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ И РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ 4.4.1. Вычислить резонансную частоту смещения Ω_R. 4.4.2. Построить двумерные графики амплитуды A(Ω) вынужденных колебаний для различных значений: а) собственной частоты ω0; б) коэффициента затухания γ. 4.4.3. Вычислить амплитуду скорости V(Ω) и амплитуду ускорения W(Ω) вынужденных колебаний. 4.4.4. Вычислить резонансную частоту: а) скорости Ω_V; б) ускорения Ω_W. 4.4.5. Построить двумерные графики A(Ω), V(Ω), W(Ω) для различных значений: а) собственной частоты ω0; б) коэффициента затухания γ. ЗАДАНИЕ 4.5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 4.5.1. Решить аналитически уравнение вынужденных колебаний в общем виде:

d 2 x (t ) dx ( t ) + 2⋅γ + ω 02 ⋅ x ( t ) = f ( t ) , 2 dt dt

где f(t) равна:

а) f ( t ) = f 0 ⋅ cos ( ω 0 ⋅ t ) ; б) f ( t ) = f 0 ⋅ cos

(

ω 02 − 2 ⋅ γ 2 ⋅ t

(

) (резонанс);

в) f ( t ) = f 0 ⋅ cos ( Ω ⋅ t ) Ω ≠ ω 0, Ω ≠

ω 02 − 2 ⋅ γ 2

),

г) f ( t ) = f 1 ⋅ cos ( Ω1 ⋅ t ) + f 2 ⋅ cos ( Ω 2 ⋅ t ) , д) f ( t ) = f 0 ⋅ cos

(

)

ω 02 − 2 ⋅ γ 2 ⋅ t + F 0 ⋅ cos ( Ω ⋅ t )

4.5.2. Решить аналитически уравнение вынужденных колебаний с учетом начальных условий (п. 4.5.1):

x0 = x ( 0 ) , v0 = v ( 0 ) .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

23

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАНИЕ 4.6. КОЛЕБАНИЯ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ВНЕШНИМИ СИЛАМИ

4.6.1. Решить аналитически уравнение вынужденных колебаний для кусочно-постоянных внешних сил:

⎧⎪0, ( t < t1) ; ⎪⎩ f 0, ( t > t1)

а) f ( t ) = ⎨

⎧⎪ f 0, ( t < t1) ⎪⎩0, ( t > t1)

б) f ( t ) = ⎨

⎧ f 1, ( t < t1) ⎪ в) f ( t ) = ⎨0, ( t1 < t < t 2 ) ; ⎪ ⎩ f 2, ( t > t 2 ) ⎧0, ( t < t1) ⎪ г) f ( t ) = ⎨ f 1, ( t1 < t < t 2 ) . ⎪ ⎩ f 2, ( t > t 2 ) 4.6.2. Построить графики внешних сил и вынужденных колебаний для различных начальных условий.

24

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 5. НАЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЗАДАНИЕ 5.1. БИЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Áèåíèÿ

x12 ( t ) = x1 ( t ) + x 2 ( t ) ,

ãäå

x1 ( t ) = A ⋅ cos (ω1 ⋅ t + ϕ1) , x 2 ( t ) = A ⋅ cos (ω 2 ⋅ t + ϕ 2 ) ,

ω1 = ω −

Δω Δω , ω2 = ω + 2 2

( Δω << ω ) .

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

5.1.1. Получить выражение для амплитуды биений A12(t). 5.1.2. Построить в одних осях двумерные графики x1(t), x2(t), x12(t), для различных значений фазы ϕ2. 5.1.3. Смоделировать биения, заданные зависимостью x(t): подобрать амплитуду, частоты и начальные фазы колебаний (рис. 5.1). 5.1.4. Синтезировать звуковые биения средствами пакета MATHEMATICA. ЗАДАНИЕ 5.2. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Ñëîæåíèå êîëåáàíèé îäíîãî íàïðàâëåíèÿ

x12 ( t ) = x1 ( t ) + x 2 ( t ) ,

ãäå

x1 ( t ) = A1 ⋅ cos (ω1 ⋅ t + ϕ1) , x 2 ( t ) = A2 ⋅ cos (ω 2 ⋅ t + ϕ 2 ) , A12 ( t ) = A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos ( (ω 2 − ω1) ⋅ t + (ϕ 2 − ϕ1) ) . ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

5.2.1. Построить в одних осях двумерные графики x1(t), x2(t), x12(t), A12(t), -A12(t) для различных значений (или с анимацией) параметров: а) частоты ω2; б) амплитуды A2; в) фазы ϕ2. 5.1.3. Смоделировать сложение колебаний одного направления, заданные зависимостью x(t): подобрать амплитуды, частоты и начальные фазы колебаний (рис. 5.2). 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

25

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 5.1.а

Рис. 5.1.б

Рис. 5.1.в

Рис. 5.1.г

Рис. 5.1.д 26

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 5.2.а

Рис. 5.2.б

Рис. 5.2.в

Рис. 5.2.г

Рис. 5.2.д 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

27

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

28

Рис. 5.3.а

Рис. 5.3.б

Рис. 5.3.в

Рис. 5.3.г

Рис. 5.3.д

Рис. 5.3.е 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 5.3.ж

Рис. 5.3.з 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

29

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАНИЕ 5.3. СЛОЖЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВВЕДЕНИЕ

Ôèãóðû Ëèññàæó Äâóìåðíûå ôèãóðû Ëèññàæó çàäàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêè:

⎧⎪ x ( t ) = A _ x ⋅ cos (ω _ x ⋅ t + ϕ _ x ) . ⎨ ⎪⎩ y ( t ) = A _ y ⋅ cos (ω _ y ⋅ t + ϕ _ y ) Òðåõìåðíûå ôèãóðû Ëèññàæó çàäàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêè:

⎧ x ( t ) = A _ x ⋅ cos (ω _ x ⋅ t + ϕ _ x ) ⎪ ⎨ y ( t ) = A _ y ⋅ cos (ω _ y ⋅ t + ϕ _ y ) ⎪ ⎩ z ( t ) = A _ z ⋅ cos (ω _ z ⋅ t + ϕ _ z ) ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

5.3.1. Построить двумерные фигуры Лиссажу как зависимости y(t) от x(t), для различных значений (или с анимацией) параметров: а) амплитуды A_y; б) частоты ω_y; в) начальной фазы ϕ_y. 5.3.2. Построить трехмерные фигуры Лиссажу как параметрически заданные кривые [x(t), y(t), z(t)]. 5.1.3. Смоделировать двумерные и трехмерные фигуры Лиссажу: подобрать амплитуды, частоты и начальные фазы колебаний (рис. 5.3).

30

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ЗАДАНИЕ 6.1. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. ПРОФИЛИ ВОЛН ВВЕДЕНИЕ

Ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ïëîñêàÿ âîëíà:

ψ ( t , z ) = A ⋅ cos (ω ⋅ t ± k _ z ⋅ z + ϕ 0 ) .

Öèëèíäðè÷åñêàÿ âîëíà:

ψ (t, ρ ) =

A_ ρ

ρ

⋅ cos (ω ⋅ t ± k _ ρ ⋅ ρ + ϕ 0 ) .

Ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà:

ψ (t, r ) =

A_ r ⋅ cos (ω ⋅ t ± k _ r ⋅ r + ϕ 0 ) . r ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

6.1.1. Построить профили волн t = Const: а) плоская волна; б) цилиндрическая волна; в) сферическая волна. 6.1.2. Построить профили волн: а) плоская волна: профиль z = Const; б) цилиндрическая волна: профиль ρ = Const; в) сферическая волна: профиль r = Const. 6.1.3. Построить профили волн t = Const в форме поверхностей: а) плоская волна; б) цилиндрическая волна; в) сферическая волна. 6.1.4. Выполнить анимацию профилей по координатам или времени. ЗАДАНИЕ 6.2. СЛОЖЕНИЕ БЕГУЩИХ ПЛОСКИХ ВОЛН ВВЕДЕНИЕ

Ñëîæåíèå áåãóùèõ ïëîñêèõ âîëí

ψ 1 ( t , z ) = A1 ⋅ cos (ω1 ⋅ t ± k1 ⋅ z + ϕ1) , ψ 12 ( t , z ) = ψ 1 ( t , z ) + ψ 2 ( t , z ) ,

ψ 2 ( t , z ) = A2 ⋅ cos (ω 2 ⋅ t ± k 2 ⋅ z + ϕ 2 ) . 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

31

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

6.1.2. Построить профили t = Const для волн ψ1(z, t), ψ2(z, t), ψ12(z, t) и выполнить анимацию: а) по частоте ω2; б) по фазе ϕ2. 6.2.2. Выполнить анимацию по времени для волн ψ1(z, t), ψ2(z, t), ψ12(z, t): а) волны движутся в одном направлении; б) волны движутся навстречу друг другу. ЗАДАНИЕ 6.3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ ВВЕДЕНИЕ

Ñòîÿ÷èå âîëíû

ψ ( t, z ) = ψ 1(t, z ) + ψ 2 ( t, z ) , ψ 1 ( t , z ) = A ⋅ cos (ω ⋅ t − k ⋅ z + ϕ ) , ψ 2 ( t , z ) = A ⋅ cos (ω ⋅ t + k ⋅ z ) . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñòîÿ÷èõ âîëí Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ I: ψ ( t , 0 ) = 0, ψ ( t , L ) = 0 . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ II: ψ ( t , 0 ) = 0, ψ ( t , L ) − max . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ III: ψ ( t , 0 ) − max, ψ ( t , L ) − max . Здесь v - скорость волны, L - длина струны (звуковой трубы). ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

6.3.1. Получить формулы, связывающие частоты (длины волн), длина трубы и номер гармоники (i) для стоячей волны. 6.3.2. Получить выражение для стоячей волны ψ(z, t) и ее амплитуды для граничных условий I, II и III. 6.3.3. Построить стоячую волну для ψi(z, t) и выполнить анимацию по времени для i-той гармонике: а) граничные условия I; б) граничные условия II; в) граничные условия III. 6.3.4. Построить стоячие волны и выполнить анимацию по времени для гармоник ψi, ψi+1, ψi+2.

32

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ ТЕМА 7. ПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ ЗАДАНИЕ 7.1. ПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ ВВЕДЕНИЕ

Íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà

{ p0, V 0, T 0} → { p, V , T } . Óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà-Êëàïåéðîíà

p ⋅V =

m

μ

⋅ R ⋅T .

Óðàâíåíèå ïîëèòðîïíîãî ïðîöåññà

p0 ⋅ V 0n = p ⋅ V n . ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

7.1.1. Получить уравнения в координатах (p, V), (p, T), (V, T): а) изотермы; б) изохоры; в) изобары; г) адиабаты; д) политропы. 7.1.2. Построить двумерные графики (изотерма, адиабата, политропа с показателем n = 1.5, 2, 4): а) p(V) при различных значениях температуры и найти точку пересечения кривых для заданного значения V. б) p(T) при различных значениях объема и найти точку пересечения кривых для заданного значения T. в) V(T) при различных значениях давления и найти точку пересечения кривых для заданного значения T. ЗАДАНИЕ 7.2. РАБОТА И ЭНТРОПИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ВВЕДЕНИЕ

Ðàáîòà è ýíòðîïèÿ èäåàëüíîãî ãàçà Èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ:

ΔA _ T (V ) =

⎛V ⎞ ⋅ R ⋅ T 0 ⋅ ln ⎜ ⎟, μ ⎝V0 ⎠

m

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

33

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

⎛V ⎞ ΔS _ T = R ⋅ ln ⎜ ⎟, ⎝V0 ⎠ ⎛ p ⎞ ΔS _ T = − R ⋅ ln ⎜ ⎟ ⎝ p0 ⎠ Ïîëèòðîïíûé ïðîöåññ:

ΔA _ C =

n −1 m R ⋅V 0 ⎡ ⎛ V 0 ⎞ ⎤ ⋅ ⋅ ⎢1 − ⎜ ⎥, μ n − 1 ⎢⎣ ⎝ V ⎟⎠ ⎥⎦

ΔS _ C = R ⋅

n −γ ⎛ T ⎞ , ⋅ ln ⎜ (γ − 1) ⋅ ( n − 1) ⎝ T 0 ⎟⎠

ΔS _ C = R ⋅

γ −n ⎛V ⎞ . ⋅ ln ⎜ ( γ − 1) ⎝ V 0 ⎟⎠

Àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ:

ΔA _ Q =

γ −1 m R ⋅V 0 ⎡ ⎛ V 0 ⎞ ⎤ ⋅ ⋅ ⎢1 − ⎜ ⎥, μ γ − 1 ⎢⎣ ⎝ V ⎟⎠ ⎥⎦ ΔS _ Q = 0 .

Èçîáàðè÷åñêèé ïðîöåññ:

ΔA _ p = p 0 ⋅ (V − V 0 ) = R ⋅ (T − T 0 ) ,

γ ⋅R ⎛V ⎞ ⋅ ln ⎜ , γ − 1 ⎝ V 0 ⎟⎠ γ ⋅R ⎛ T ⎞ ΔS _ p = ⋅ ln ⎜ . γ − 1 ⎝ T 0 ⎟⎠

ΔS _ p =

Èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ:

ΔA _ V = 0 , ΔS _ V =

34

⎛ p ⎞ R R ⎛ T ⎞ . ⋅ ln ⎜ ⋅ ln ⎜ ⎟= γ − 1 ⎝ p0 ⎠ γ − 1 ⎝ T 0 ⎟⎠ 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Òåïëîåìêîñòü ïîëèòðîïíîãî ïðîöåññà

C ( n, γ ) =

(n − γ ) ⋅ R , (γ − 1) ⋅ ( n − 1)

ãäå

n=

C −c_ p C −c_v

- ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

7.2.1. Построить двумерные графики для работы идеального газа: а) изотерма: ∆A_T(V2); б) адиабата: ∆A_Q(V2); в) политропа: ∆A_C(V2) с показателем n =1.5, 2, 4. 7.2.1. Построить двумерные графики для энтропии идеального газа: а) изотерма: ∆S_T(V2); б) изобара: ∆S_Q(V2); в) политропа: ∆S_C(V2) с показателем n =1.5, 2, 4. 7.2.3. Построить двумерный график зависимости теплоемкости от показателя политропы n для разных значений показателя адиабаты γ.

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

35

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАНИЕ 8.1. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ

Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå

f ( x) =

⎧⎪ 1 ( x − x0 )2 ⎫⎪ ⋅ exp ⎨ − ⋅ ⎬. 2 σ 2 2 ⋅π ⋅σ ⎩⎪ ⎭⎪ 1

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

8.1.1. Построить двумерные графики f(x) для разных значений: а) x0; б) дисперсии σ. 8.1.2. Построить трехмерные графики f(x, σ). 8.1.3. Вычислить полуширину распределения f(x). ЗАДАНИЕ 8.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ПО СКОРОСТЯМ ВВЕДЕНИЕ

Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà ïî ïðîåêöèè ñêîðîñòè: m⋅vx 2

− m ⋅ e 2⋅k ⋅T . 2 ⋅π ⋅ k ⋅T

f ( vx ) =

Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè:

m ⎡ ⎤ f (v) = 4 ⋅ π ⋅ ⎢ ⎣ 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ T ⎥⎦

3/ 2

⋅e

−

m⋅v 2 2⋅k ⋅T

⋅ v2 .

Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ñêîðîñòè

G ( vx ) =

∞

∫ f ( vx ) ⋅ G ( vx ) ⋅ dvx ,

−∞

∞

H ( v ) = ∫ f ( v ) ⋅ H ( v ) ⋅ dvx . 0

36

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

8.2.1. Построить двумерные графики f(vx), f(v) для разных значений температуры T. 8.2.2. Построить трехмерные графики распределений Максвелла f(vx, T), f(v, T). 8.2.3. Вычислить средние значения: а) vx , vx

2

,

vx ;

1 1 1 ; сравнить и . v v v

б) v , в) v

2

,

1 ⋅ m ⋅ v2 . 2

8.2.4. Найти вероятное значение скорости молекул из условия:

df ( v ) = 0. dv

8.2.5. Вычислить долю молекул воздуха, скорости которых: а) на 1 % отличаются от вероятного значения; б) на 10 % отличаются от вероятного значения. в) на 1 % отличаются от среднего значения; г) на 10 % отличаются от среднего значения. д) на 1 % отличаются от среднего квадратичного значения; е) на 10 % отличаются от среднего квадратичного значения. ЗАДАНИЕ 8.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ПО КИНЕТИЧЕСКИМ ЭНЕРГИЯМ ВВЕДЕНИЕ

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû

ε=

1 ⋅ m ⋅ v2 . 2

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

8.3.1. Получить распределения Максвелла по кинетическим энергиям F(ε). 8.3.2. Построить двумерные графики f(ε) для разных значений температуры T. 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

37

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

8.3.2. Построить трехмерные графики f(ε, T). 8.3.4. Вычислить среднее значение кинетической энергии и сравнить с 2 . 1 2 ⋅m⋅ v 8.3.5. Найти вероятное значение кинетической энергии молекул из условия:

dF ( ε ) = 0. dε

2 . Сравнить вероятное значение кинетической энергии и 12 ⋅ m ⋅ vвер

8.3.5. Вычислить долю молекул воздуха, энергии которых: а) на 1 % отличаются от вероятного значения; б) на 10 % отличаются от вероятного значения. в) на 1 % отличаются от среднего значения; г) на 10 % отличаются от среднего значения; д) на 1 % отличаются от среднего квадратичного значения; е) на 10 % отличаются от среднего квадратичного значения. Сравнить эти результаты с вычислениями для скоростей (п. 8.2.5).

38

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 9. ГАЗ ВАН ДЕР ВААЛЬСА ЗАДАНИЕ 9.1. УРАВНЕНИЕ ВАН ДЕР ВААЛЬСА ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå Âàí äåð Âààëüñà

⎛ R ⋅T V 3 + ⎜b + p ⎝

⎞ 2 a ⋅V a ⋅ b − =0, ⎟ ⋅V + p p ⎠ R ⋅T a p= − 2. V −b V

Êðèòè÷åñêèå ïàðàìåòðû ãàçà Âàí äåð Âààëüñà

p_c =

a 8⋅a . , V _ c = 3 ⋅ b, T _ c = 2 27 ⋅ b 27 ⋅ R ⋅ b 2 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

9.1.1. Получить критические параметры газа Ван дер Ваальса из условия:

⎛ R ⋅ T _ c ⎞ 2 a ⋅V a ⋅b 3 V 3 + ⎜b + − = (V − V _ c ) . ⎟ ⋅V + p_c ⎠ p_c p_c ⎝ 9.1.2. Определить условия, при которых изотерма Ван дер Ваальса имеет экстремум. Определить значения объема, соответствующие экстремумам изотермам Ван дер Ваальса из условия:

∂p (V ) = 0. ∂V

9.1.3. Определить, при какой температуре максимум и минимум изотермы Ван дер Ваальса совпадают:

∂ 2 p (V ) = 0. ∂V 2 ∂p(V ) =0 ∂V

9.1.4. Получить уравнение кривой, проходящей через максимумы и минимумы изотерм. Для этого исключить T из системы уравнений:

p=

R ⋅T a ∂p (V ) − 2, = 0. V −b V ∂V

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

39

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАНИЕ 9.2. ИЗОТЕРМЫ И АДИАБАТЫ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå àäèàáàòû äëÿ ãàçà Âàí äåð Âààëüñà R

T ⋅ (V − b ) c _ V = Const . Ïðèâåäåííûå ïåðåìåííûå

ρ=

p V T ,ν = ,τ = . p_c V _c T _c

9.2.1. Получить уравнение Ван дер Ваальса в приведенной форме ρ = ρ(ν, τ) (в переменных ρ, ν, τ). 9.2.2. Построить изотермы Ван дер Ваальса ρ = ρ (ν, τ) в приведенных переменных для различных значений τ. 9.2.3. Получить уравнение адиабаты для газа Ван дер Ваальса в приведенных переменных (ν, τ). 9.2.4. Построить адиабаты Ван дер Ваальса ν = ν(τ) в приведенных переменных. ЗАДАНИЕ 9.3. РАБОТА, ЭНТРОПИЯ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗА ВАН ДЕР ВААЛЬСА ВВЕДЕНИЕ

Íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ãàçà Âàí äåð Âààëüñà

{ p0, V 0, T 0} → { p, V , T } . Ðàáîòà ãàçà Âàí äåð Âààëüñà ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå

a ⎛ V −b ⎞ a . ΔA _ T = R ⋅ T ⋅ ln ⎜ ⎟+ − ⎝V 0 − b ⎠ V V0 Ýíòðîïèÿ ãàçà Âàí äåð Âààëüñà

⎛T ⎞ ⎛ V −b ⎞ ΔS = C _ v ⋅ ln ⎜ ⎟ + R ⋅ ln ⎜ ⎟. ⎝T ⎠ ⎝V0 − b ⎠

40

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Òåïëîåìêîñòü ãàçà Âàí äåð Âààëüñà

C (V , T ) = C _ v +

R2 ⋅ T ⋅ V 3 R ⋅ T ⋅ V 3 − 2 ⋅ a ⋅ (V − b )

2

.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

9.3.1. Построить двумерные графики для работы газа Ван дер Ваальса ∆A_T(V) для разных значений T. 9.3.1. Построить трехмерный график для энтропии Ван дер Ваальса ∆S_T(V, T). 9.3.3. Получить формулу теплоемкости C(V, T) для газа Ван дер Ваальса в приведенных переменных (ν, τ) и исследовать ее на экстремум. 9.3.4. Построить график теплоемкости: а) двумерный C(ν) для разных значений τ; б) двумерный C(τ) для разных значений ν; в) трехмерный C(ν, τ).

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

41

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 10. УРАВНЕНИЕ КЛАПЕЙРОНА-КЛАУЗИУСА ЗАДАНИЕ 10.1. ПЕРЕХОД ЖИДКОСТЬ- ТВЕРДОЕ ТЕЛО ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà-Êëàóçèóñà

dp q , = dT (V _ liq − V _ sld ) ⋅ T ãäå q – óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ, V_liq - îáúåì æèäêîñòè; ïðè÷åì, V_sld - îáúåì òâåðäîé ôàçû. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

10.1.2. Проинтегрировать уравнение Клапейрона-Клаузиуса. 10.1.3. Построить график температуры плавления льда от давления. ЗАДАНИЕ 10.2. ПЕРЕХОД ЖИДКОСТЬ-ПАР ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà-Êëàóçèóñà

dp q , = dT (V _ vap − V _ liq ) ⋅ T ãäå q – ìîëÿðíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ, V_vap - îáúåì ïàðà, V_liq - îáúåì æèäêîñòè. Òåïëîòà ïåðåõîäà æèäêîñòü-ïàð 1. Èñïàðåíèå æèäêîñòè ïðè òåìïåðàòóðå T0; íàãðåâàíèå ïàðà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè p0 äî òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ T:

ΔQ1 = q (T 0 ) + c _ vap ⋅ (T − T 0 ) . 2. Íàãðåâàíèå æèäêîñòè äî òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ T; èñïàðåíèå æèäêîñòè ïðè òåìïåðàòóðå T:

ΔQ 2 = c _ liq ⋅ (T − T 0 ) + q (T ) . Çäåñü q(T) è q(T0) – òåïëîòû ïàðîîáðàçîâàíèÿ ïðè òåìïåðàòóðàõ T è T0 соответственно. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

10.2.1. Используя закон сохранения энергии

42

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ΔQ1 = ΔQ 2 , получить теплоту парообразования q(T) и подставить в уравнение Клапейрона-Клаузиуса. 10.2.2. Проинтегрировать уравнение Клапейрона-Клаузиуса. Указание: воспользоваться приближением V _ vap >> V _ liq , где V _ vap =

R ⋅T p

- молярный объем пара. 10.2.3. Построить графики зависимости давления насыщенного пара от температуры для разных начальных значений давления и температуры жидкости T0, p0. ЗАДАНИЕ 10.3. ПЕРЕХОД ЖИДКОСТЬ-ПАР В РЕАЛЬНОЙ АТМОСФЕРЕ ВВЕДЕНИЕ

Ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû â ðåàëüíîé àòìîñôåðå

dT град = a, a ≈ 2 ⋅ 10−5 , dh м ãäå h – âûñîòà òî÷êè íàáëþäåíèÿ. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

10.3.1. Получить формулу зависимости температуры от высоты в реальной атмосфере. 10.3.2. Получить барометрическую формулу в реальной атмосфере: зависимость давления от высоты с учетом градиента температуры. 10.3.3. Проинтегрировать уравнение Клапейрона-Клаузиуса и получить зависимости температуры кипения от высоты. 10.3.4. Построить график зависимости температуры кипения от высоты.

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

43

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ×ÀÑÒÜ 1. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.1 И 1.2 1. Получить выражения для скорости и ускорения. 2. Построить двумерные графики смещения x(t) для различных значений начальной фазы. 3. Построить (в одних осях) двумерные графики: смещение x(t), скорость v_x(t) и ускорение w_x(t) для заданного значения начальной фазы. Аналитические вычисления Смещение Скорость

Ускорение

Численные значения параметров

Исследуемые функции

44

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Графики Графики смещения x(t) для различных значений начальной фазы.

Графики смещения x(t), скорости v_x(t) и ускорения w_x(t) для заданного значения начальной фазы.

ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.1, 3.1 И 4.1 Получить решение уравнения вынужденных колебаний для установившегося режима с помощью подстановки:

Уравнение вынужденных колебаний

Подстановка и комплексное представление для силы

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

45

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Решение уравнения

Условие на параметр α

Определение комплексной амплитуды

Действительная и мнимая части комплексной амплитуды

46

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний для установившегося режима

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 2.1 1. Получить выражение для Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t). 2. Построить (в одних осях) двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для различных значений циклической частоты. Аналитические вычисления Смещение Скорость

Кинетическая энергия

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

47

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Потенциальная энергия

Механическая энергия

Численные значения параметров

Исследуемые функции

48

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Графики Графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для двух значений циклической частоты.

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 2.3 1. Построить график потенциальная энергии колебательной системы:

2. Построить фазовый портрет колебательной системы. Численные значения параметров Аналитические зависимости Потенциальная энергия

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

49

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Полная энергия

Функции построения графиков

Графики Потенциальная энергия

Фазовый портрет (линии уровня)

50

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Фазовый портрет (поверхность)

Фазовый портрет (поверхность и линии уровня)

ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.4 И 3.4 (MAPLE) 1. Аналитическое решение уравнения свободных затухающих колебаний в общем виде. Eqn1:=diff(x(t),t,t)+2*gamma*diff(x(t),t)+omega0^2* x(t)=0; assume(gamma
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

51

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

x_1 ( t ) := x( t ) = _C1 e

( −γ t )

sin( −γ 2 + ω0∼ 2 t ) + _C2 e

( −γ t )

cos ( −γ 2 + ω0∼ 2 t )

2. Аналитическое решение уравнения свободных незатухающих колебаний с учетом начальных условий: > Eqn2:= diff(x(t),t,t)+omega0^2*x(t)=0; x_01(t):=dsolve(Eqn2); x_01_IC(t):= dsolve({Eqn2,x(0)=x0,D(x)(0)=v0},x(t)); 2

⎞ ⎛d Eqn2 := ⎜ 2 x( t ) ⎟⎟ + ω0 2 x( t ) = 0 ⎜ dt ⎝ ⎠ x_01 ( t ) := x( t ) = _C1 sin( ω0 t ) + _C2 cos ( ω0 t )

x_01_IC ( t ) := x( t ) =

v0 sin( ω0 t ) + x0 cos( ω0 t ) ω0

ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.4 И 3.4 (MATHEMATICA) 1. Аналитическое решение уравнения свободных затухающих колебаний в общем виде.

DSolve@x ''@tD + 2 γ x '@tD + ω02 x@tD x, tD 99x → Function A8t<, i "################ y t j−γ− γ2−ω02 z

0,

i "################ y t j−γ+ γ2−ω02 z

k { C @2 DE== C @1 D + 2. Аналитическое решение уравнения свободных незатухающих колебаний с учетом начальных условий: DSolve@8x ''@tD + ω02 x@tD 0, x@0D x0, x '@0D 0<, x, tD {{x→Function[{t},x0 Cos[t ω0]]}} k

{

ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 3.2 И 3.3 1. Получить выражения для скорости v_x(t) свободных затухающих колебаний. 1. Построить двумерные графики {x(t), x1(t), x2(t) x(t) и {x(t) v_x(t)} для различных значений коэффициентов затухания γ. 3. Построить фазовый портрет маятника с затуханием как зависимость v_x(t) от x(t) для различных значений коэффициента затухания γ.

52

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Аналитические вычисления Смещение

Скорость

Численные значения параметров

Исследуемые функции

Графики Смещение и вспомогательные функции

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

53

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Смещение для различных значений коэффициента затухания

Смещение и скорость

Фазовый портрет для различных значений коэффициента затухания

54

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 4.3 (MAPLE) Получить выражения для амплитуды дисперсии A_D(Ω) и амплитуды поглощения A_R (Ω)для установившегося режима вынужденных колебаний. Решение уравнения вынужденных колебаний для установившегося режима > x_reg(t):=((-Omega^2+omega0^2)*cos(Omega*t) +2*gamma*Omega*sin(Omega*t))*f0/(Omega^4+(2*omega0^2+4*gamma^2)*Omega^2+omega0^4);

( ( −Ω2 + ω0∼ 2 ) cos( Ω t ) + 2 γ Ω sin( Ω t ) ) f0 x_reg( t ) := Ω4 + ( −2 ω0∼ 2 + 4 γ 2 ) Ω2 + ω0∼ 4 Представление решение в виде

x_reg( t ) := x_S( t ) + x_C( t )

где > x_S(t):=(2*gamma*Omega*sin(Omega*t))*f0/ (Omega^4+(-2*omega0^2+4*gamma^2)*Omega^2+omega0^4); x_C(t):=((Omega^2+omega0^2)*cos(Omega*t))*f0/(Omega^4+(2*omega0^2+4*gamma^2)*Omega^2+omega0^4);

x_S( t ) := 2

γ Ω sin( Ω t ) f0 Ω + ( −2 ω0∼ 2 + 4 γ 2 ) Ω 2 + ω0∼ 4

x_C( t ) :=

( −Ω2 + ω0∼ 2 ) cos( Ω t ) f0 Ω4 + ( −2 ω0∼ 2 + 4 γ 2 ) Ω2 + ω0∼ 4

4

Преобразование решения к виду

x_reg( t ) := A_R( Ω ) cos( Ω t ) + A_D( Ω ) sin( Ω t )

где амплитуды дисперсии и поглощения равны: > A_R(Omega):=2*gamma*Omega*f0/(omega0^42*omega0^2*Omega^2+4*Omega^2*gamma^2+Omega^4); A_D(Omega):=(-Omega^2+omega0^2)*f0/(omega0^42*omega0^2*Omega^2+4*Omega^2*gamma^2+Omega^4);

A_R( Ω ) :=

2 γ Ω f0 ω0 − 2 ω0 2 Ω 2 + 4 Ω 2 γ 2 + Ω 4

A_D( Ω ) :=

( −Ω2 + ω0 2 ) f0 ω0 4 − 2 ω0 2 Ω2 + 4 Ω2 γ 2 + Ω4

4

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

55

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 4.4 (MATHEMATICA) 1. Вычислить амплитуду скорости V(Ω) и амплитуду ускорения W(Ω). 2. Вычислить резонансные частоты Ω_V и Ω_W для скорости ускорения. Вычисление скорости и ускорения

x@tD = A Cos@Ω t + ΦD v@tD == ∂t x@tD w@tD == ∂t,t x@tD A COS[Φ+T Ω] V[T] -A Ω SIN[Φ+T Ω] w@t D − A Ω2 Cos @Φ + t ΩD Амплитуда и фаза

A=

f0

"########################################## Hω02 − Ω2L2 + 4 Ω2 γ2

Φ = ArcTanA

2Ωγ Ω2 − ω02

f0 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 γ2 Ω2 + H− Ω2 + ω02L2 2γΩ ArcTan A E 2 Ω − ω02

E

v@tD − A Ω Sin@Φ + t ΩD w@tD − A Ω2 Cos@Φ + t ΩD f0 Ω Sin At Ω + ArcTan A 22 γ Ω2 EE Ω −ω0 v @t D − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2 2 2 4 γ Ω + H−Ω + ω02L2 γΩ f0 Ω2 Cos At Ω + ArcTan A 2 EE Ω2−ω02 w @t D − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 γ2 Ω2 + H−Ω2 + ω02L2 Скорость и ускорение

56

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Амплитуды скорости и ускорения

Av = −

f0 Ω

"########################################## Hω02 − Ω2L2 + 4 Ω2 γ2 f0 Ω2

"########################################## Hω02 − Ω2L2 + 4 Ω2 γ2 f0 Ω − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 γ2 Ω2 + H−Ω2 + ω02L2 f0 Ω2 − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 γ2 Ω2 + H−Ω2 + ω02L2 Aw = −

Solve@∂Ω Av 0, ΩD {{Ω→-ω0},{Ω→- ω0},{Ω→ ω0},{Ω→ω0}} Solve@∂Ω Aw 0, ΩD ω02 98Ω → 0<, 9Ω → − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! =, − 2 γ2 + ω02 Резонансные частоты скорости и ускорения

ω0 2 9Ω → è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! == − 2 γ2 + ω02

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 4.5 (MAPLE) Решить аналитически уравнение вынужденных колебаний в общем виде: >Eqn:=diff(x(t),t,t)+2*gamma*diff(x(t),t)+omega0^2* x(t)=f0*cos((sqrt(omega0^2-2*gamma^2))*t); assume(gamma
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

57

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

x1( t ) := x( t ) = e +e +

( −γ t )

( −γ t )

cos( −γ 2 + ω0∼ 2 t ) _C1

f0 ( ω0∼ 2 − 2 γ 2 sin( ω0∼ 2 − 2 γ 2 t ) + γ cos( ω0∼ 2 − 2 γ 2 t ) ) 2 γ ω0∼ 2 − 2 γ 3

1e x2( t ) := x( t ) = 2 1e + 2 +

sin( −γ 2 + ω0∼ 2 t ) _C2

( −γ t )

( −γ t )

sin( −γ 2 + ω0∼ 2 t ) ( 2 x0 γ 2 + 2 v0 γ − f0 ) −γ 2 + ω0∼ 2 γ

cos( −γ 2 + ω0∼ 2 t ) ( f0 + 2 x0 γ 2 − 2 x0 ω0∼ 2 ) γ 2 − ω0∼ 2

f0 ( ω0∼ 2 − 2 γ 2 sin( ω0∼ 2 − 2 γ 2 t ) + γ cos( ω0∼ 2 − 2 γ 2 t ) ) 2 γ ω0∼ 2 − 2 γ 3

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 4.6 (MAPLE) Решить аналитически уравнение вынужденных колебаний для кусочно-постоянных внешних силы. > restart: > with(DEtools): with(plots): Кусочно-постоянная внешняя сила > Force:=PIECEWISE([0, t <= 5],[10, t <= 10],[-10, 10 < t]);

⎧ 0 ⎪ Force := ⎪⎪⎨ 10 ⎪⎪ ⎩ -10

t≤5 t ≤ 10 10 < t

Численные значения параметров и три примера граничных условий > omega0:=4; gamma0:=0.2; x0a:=0; v0a:=0; x0b:=2; v0b:=0; x0c:=0; v0c:=4; Уравнение колебаний и его решение Eqn:=diff(x(t),t,t)+gamma0*diff(x(t),t)+omega0^2*x( t)=Force; x_a(t):=dsolve({Eqn,x(0)= x0a,D(x)(0)=v0a},x(t)); x_b(t):=dsolve({Eqn,x(0)= x0b,D(x)(0)=v0b},x(t)): x_c(t):=dsolve({Eqn,x(0)= x0c,D(x)(0)=v0c},x(t)): 58

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

plot(Force,t=0..25, color=black, linestyle=1, thickness=3); DEplot(Eqn,x(t),t=0..25,[[x(0)=x0a,D(x)(0)=v0a]], x=-2..2.5,stepsize=.05); DEplot(Eqn,x(t),t=0..25,[[x(0)=x0b,D(x)(0)=v0b]], x=-2..2.5,stepsize=.05); DEplot(Eqn,x(t),t=0..25,[[x(0)=x0c,D(x)(0)=v0c]], x=-2..2.5,stepsize=.05);

ω0 := 4 γ0 := 0.2 x0a := 0 v0a := 0 x0b := 2 v0b := 0 x0c := 0 v0c := 4

⎧ 0 2 d ⎪ ⎞ ⎛d ⎛ ⎞ Eqn := ⎜⎜ 2 x( t ) ⎟⎟ + 0.2 ⎜⎜ x( t ) ⎟⎟ + 16 x( t ) = ⎪⎨⎪ 10 ⎪⎪ ⎝ dt ⎠ ⎠ ⎝ dt ⎩ -10 x_a ( t ) := x( t ) = { 0 , t < 5 t

⎛

⎞

+ 1/2 ⎟⎟ ⎜⎜ − 5 5 ⎛ 1599 t ⎝ 10 ⎠ − 1599 e sin⎜⎜ − 8 12792 ⎝ 10 t

⎛

⎞

5 ⎜⎜⎝ − 10 + 1/2 ⎟⎟⎠ ⎛ 1599 t − e cos⎜⎜ − 8 ⎝ 10 ⎛

t

1599 2

⎛

t

⎞

⎞

⎛

t

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ , t < 10 ⎠

+ 1/2 ⎟⎟ ⎜⎜ − 5 5 ⎛ 1599 t ⎝ 10 ⎠ sin⎜⎜ − − − 1599 e 8 12792 ⎝ 10

5 ⎜⎜⎝ − 10 + 1/2 ⎟⎟⎠ ⎛ 1599 t cos⎜⎜ − − e 8 ⎝ 10

1599 2

t≤5 t ≤ 10 10 < t

1599 2

1599 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎞

+ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ − 5 ⎛ 1599 t ⎞ ⎝ 10 ⎠ sin⎜⎜ − 1599 ⎟⎟ + 1599 e 6396 ⎝ 10 ⎠

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

59

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

⎛

t

⎞

5 ⎜⎜⎝ − 10 + 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎛ 1599 t + e cos⎜⎜ − 1599 ⎟⎟ , 10 ≤ t 4 ⎝ 10 ⎠

Графики Кусочно-постоянная внешняя сила

Решение уравнения вынужденных колебаний (граничные условия a)

Решение уравнения вынужденных колебаний (граничные условия b)

Решение уравнения вынужденных колебаний (граничные условия c)

60

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 5.1 (MATHEMATICA) Синтезировать звуковые биения средствами пакета MATHEMATICA. Численные значения параметров

A1=1 A2=2 Ω1=9000 Ω2=9010 T=6 ψ1=A1 Sin[Ω1 t] ψ2=A2 Sin[Ω2 t] 1 2 9000 9010 SIN[9000 T] 2 SIN[9010 T] Исследуемые функции

ψ=ψ1+ψ2 Sin[9000 t]+2 Sin[9010 t] Звуковые сигналы

Play[ψ1,{t,0,T}]

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

61

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Play[ψ2,{t,0,T}]

Звуковые биения

Play[ψ,{t,0,T}]

62

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 5.2 Построить в одних осях двумерные графики сложения колебаний одного направления x1(t), x2(t), x12(t), A12(t), -A12(t) для различных значений ϕ_02: Численные значения параметров

Исследуемые функции

Графики Графики сложения колебаний одного направления для двух значений ϕ_02:

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

63

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 5.3 1. Построить двумерные фигуры Лиссажу как зависимости y(t) от x(t): Численные значения параметров

Исследуемые функции

Графики Двумерные фигуры Лиссажу

2. Построить трехмерные фигуры Лиссажу как параметрически заданные кривые [x(t), y(t), z(t)].

64

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Численные значения параметров

Исследуемые функции

Функции построения графика

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

65

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Графики Трехмерные фигуры Лиссажу

66

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 5.3 (MATHEMATICA) Построить трехмерные фигуры Лиссажу как параметрически заданные кривые [x(t), y(t), z(t)]. Численные значения параметров

Ax = 1 ωx = 2 φx = 0 Ay = 1 ωy = 4 π φy = 2 Az = 1 ωz = 4.5 π φz = 4 1 2 0 1 4

π 2

1 4.5

π 4

Исследуемые функции

x=Ax Cos[ωx t+φx] y=Ay Cos[ωy t+φy] z=Az Cos[ωz t+φz] Cos[2 t] -Sin[4 t]

Cos A

π + 4.5 tE 4

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

67

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Графики Трехмерные фигуры Лиссажу (общий вид)

ParametricPlot3D[{x,y,z},{t,0,30}, PlotPoints→1000]; Трехмерные фигуры Лиссажу (три точки обзора)

ParametricPlot3D[{x,y,z},{t,0,30}, PlotPoints→1000,ViewPoint->{6, 0.000, 0.000}]; ParametricPlot3D[{x,y,z},{t,0,30}, PlotPoints→1000,ViewPoint->{0.000, 6.000, 0.000}]; ParametricPlot3D[{x,y,z},{t,0,30}, PlotPoints→1000,ViewPoint->{0.000, 0.000, 6.000}]; 1

-0.5

-1

0.5

0

0.5

1

1

0 -0.5 -1 1

0.5

0.5 0

0 -0.5

-0.5

-1 -1 -0.5

-1 -0.5 0 0.5 -1 1

0 0.5 1 1 0.5 0 -0.5 -1

1

11 0.5 0 -0.5 -1

0.5 0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1

-1 1

68

0.5

0

-0.5

-1

-1

-0.5

0

0.5

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

1

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 6.3 Построить профили стоячих волн для гармоник ψi, ψi+1, ψi+2 (граничные условия II) для разных моментов времени. Численные значения параметров

Исследуемые функции Графики Графики гармоник 2, 3, 4 при t = 2

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

69

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

×ÀÑÒÜ 2. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 7.1 Построить двумерный график зависимости теплоемкости от показателя политропы n. Исследуемая функция

Численные значения параметров

График График зависимости теплоемкости от показателя политропы

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 8.2 1. Построить двумерные графики f(vx), f(v) для разных значений температуры T. 2. Построить трехмерные графики f(vx, T), f(v, T). Численные значения параметров

Исследуемые функции (распределения Максвелла)

70

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Функции построения трехмерного графика Графики Двумерные графики f(vx), f(v) для разных значений температуры T

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

71

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Трехмерный график f(v, T)

3. Вычислить среднее значение v3 . Функция распределения Максвелла по скорости

Замена переменной

72

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Вычисление v

3

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 8.3 Вычислить долю молекул воздуха, энергии которых на 25 % отличаются от вероятного значения 12 ⋅ k ⋅ T . Функция распределения Максвелла по энергии и замена переменной

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

73

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Вычисление доли молекул воздуха, энергии которых на 25 % отличаются от вероятного значения

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 9.1 1. Определить условия, при которых изотерма Ван дер Ваальса имеет экстремум. 2. Определить при какой температуре максимум и минимум изотермы Ван дер Ваальса совпадают. 3. Получить уравнение кривой, проходящей через максимумы и минимумы изотерм. Уравнение Ван дер Ваальса

Условие экстремума

74

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Условие совпадения максимума и минимума

Критические параметры

Уравнение кривой, проходящей через максимумы и минимумы изотерм

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

75

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 9.2 1. Получить уравнение Ван дер Ваальса в приведенной форме в переменных ρ, ν, τ. 2. Построить изотермы Ван дер Ваальса в приведенных переменных для различных значений τ. Уравнение Ван дер Вальса и уравнение кривой, проходящей через максимумы и минимумы изотерм

Критические параметры

Уравнение Ван дер Ваальса в приведенной форме

76

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Исследуемые функции

Численные значения параметров

Графики изотермы Ван дер Ваальса для различных значений τ

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

77

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 9.3 Построить график теплоемкости C для разных значений τ. Теплоемкость газа Ван дер Ваальса

Критические параметры

Теплоемкость газа Ван дер Ваальса в приведенной форме

Исследуемые функции и параметры

78

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Задаваемые параметры

График График теплоемкости газа Ван дер Ваальса

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 10.2 Используя закон сохранения энергии, получить теплоту парообразования и проинтегрировать уравнение Клапейрона-Клаузиуса. Закон сохранения энергии

Теплота парообразования при температуре T

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

79

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Интегрирование уравнения Клапейрона-Клаузиуса

Преобразование результата

80

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ