Алгебра и логика, 39, ЛГ 3 (2000), 280-319
УДК 512.542
Р А С Ш И Р Е Н И Я А Б Е Л Е В Ы Х 2-ГРУПП С П О М О Щ Ь Ю L2(q) С Н Е П Р И В О Д И М Ы М ДЕЙСТВИЕМ*) В. П. БУРИЧЕНКО Введение Одним из вопросов, часто встречающихся в теории конечных групп, является классификация расширений
для данной конечной простой группы G и абелевой группы А, на которой G действует неприводимо. Довольно много работ посвящено случаю, ко гда G является простой группой лиевского типа характеристики р, а А — р- группой. В отличие от этого случай, когда А — это г-группа c r / р , сла бо исследован (исключая ситуацию, когда G действует на А тривиально и мы можем применить результаты о мультипликаторе Шура). В настоящей работе мы вычисляем группы когомологий Н2
(G,A),
когда G = L2(q), q нечетно, и А является 2-группой. Фактически вычисле ние H2(G, А) сводится к вычислению групп Я 2 ((7, V), где V — неприводи мый kG-модулъ для алгебраически замкнутого поля к характеристики 2. Т Е О Р Е М А 1. Пусть G = L2(q), q ^ 5 нечетно, к — алгебраически замкнутое поле характеристики 2, и пусть V является
нетривиальным
неприводимым kG-модулем. Тогда *) Работа выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований, грант Ф97М-072.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Расширения абелевых 2-групп
281
i) если q = 1 (mod 4), то H2(G, V) = 0; ii) если q = —1 (mod 4), mo существует в точности два модуля V = V+, VL таких, что H2(G,V)
ф 0. ЛГролсе того, dimff 2 (G,V+)
=
= dimH 2 (G,VL) = l. Модули V± — это модули, которые получаются редукцией по мо дулю 2 из (q — 1)/2-мерных неприводимых комплексных группы
представлений
SL2(q).
(Здесь "нетривиальный44 означает модуль, ненулевой и отличный от одномерного с тривиальным действием). Т Е О Р Е М А 2. Пусть G, q определены как выше, и пусть А обозна чает элементарную абелеву 2-группу, на которой G действует неприводимо и нетривиально. Тогда \) если q=l
(mod4), то H2(G,A)
= 0;
ii) если g = 3(mod8), то существует в точности одна А такая, что Я 2 ( С , А) ф 0. В этом случае H2(G, А) £ Z | ; iii) если q = - 1 (mod 8), то существуют в точности две А (= А\, А2) такие, что H2{G, А) ф 0. При этом H2(G, Аг), H2{G, А2) = Z2, моду ли Ai изоморфны Qi/I, где Q\} C2 — расширенные квадратично-вычетные бинарные коды длины q+ 1, а I С Qi — (единственный)
нетривиальный
подмодуль в Qi. В [1] содержится вопрос N 12.49, поставленный В.Д.Мазуровым: Построить все нерасщепляемые расширения элементарных V посредством Н = PSL2(q),
2-групп
для которых Н действует на V неприво-
димо. Будем называть группу Я , имеющую элементарную абелеву нор мальную 2-подгруппу А такую, что Н = Н/А
= L2(q),
причем это
расширение нерасщепимо, Я действует на А неприводимо и А ф
Z2,
44
UP-группой (HP — сокращение от "нетривиальное расширение ). Из те оремы 2 следует Т Е О Р Е М А 3. i) Если q = I (mod 4), то HP-группы не существу ют;
282
В. Я. Вуриченко ii) если q = — 1 (mod 4), то существует одна и только одна, с точ
ностью до изоморфизма, HP-группа. Что касается расширений, для которых А = Z2, то такие расшире ния, как известно, представляют собой в точности группы SL/2(q)Мы также приводим явную конструкцию HP-групп, основанную на кодовых лупах, изучавшихся Р. Л. Грайсом в [2—4]. В § 1 мы даем разнообразные предварительные сведения; в § 2 полу чаем верхнюю оценку для размерности группы # 2 ( G , V); в § 3, напротив, строим HP-группы (и тем самым получаем некоторую нижнюю оценку); в §4, сопоставляя результаты, полученные в §2 и §3, получаем точные сведения о H2(G, V) и доказываем основные теоремы. § 1. Предварительные сведения 1.1. Когомологий групп. Приведем некоторые элементарные све дения о расширениях и когомологиях групп. Основы теории когомологий групп могут быть найдены в [5] или [б]. Пусть G — группа, V — G-модуль. Расширением называется корот кая точная последовательность групп 1—>V
-UG-£>G—+1,
которая совместима со структурой G-модуля на V} т. е. такая, что xvx~x
=
= p(x)(v) для всех v 6 К, х 6 G. (Здесь и всюду ниже через g(v) обозна чается образ v €V под действием g € G.) Два расширения Е:
1 —>V—>G—>G—Я,
Е':
1 —• V —• б —> G —+ 1
называются эквивалентными, если существует изоморфизм (р : G —» G такой, что диаграмма Е
:
1 —+ F
—>
1<Р
II #'
:
1 —> V
<5 — > G
—>
6
—> 1
II —»
<2 —> 1
Расширения абелевых 2-групп
283
коммутативна. Через (Е) мы обозначаем класс эквивалентности расши рения Е. На множестве классов эквивалентности расширений определено сложение (так называемое сложение Бэра), относительно которого они об разуют группу, изоморфную ff2(G, У). Напомним, как вычислять группу Я 2 (С?,У), используя копредставления (см. [7]). Пусть G = ( ж ь . . . , ж т | Rx = 1,...,Я* = 1) является копредставлением для G, где Д, — некоторые групповые слова от ж ь , . . , ж т . Пусть Е :
1 —> У —» G —+ G —У1
будет расширением. Для каждого ж,- выберем прообраз ж; G G. Пусть R — слово из символов ж,-, полученное из R заменой всех ж, на ж,, и пусть ®j E G — значение Rj в G. Тогда a j 6 V, j = 1,...,А;. Нетрудно видеть, что G порождается элементами v £ У и ж,-, а определяющие соотношения между этими элементами следующие: (1) Rj = a j ; (2) ж^ж^ 1 = a?i(i;); (3) гш = и + и для гг, v G У, здесь uv обозначает произведение в G, а u + v — сумму в У. Поэтому расширение Е определяется однозначно с точностью до эк вивалентности набором D = (<*!,.. .,«fc). Однако не каждому набору со ответствует расширение. Те, которым действительно соответствует неко торое расширение, будем называть допустимыми, П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.1. Пусть D = ( а ь . . . , а * ) -
допустимый
набор, отвечающий расширению Е, и D1 = (аг^,.. .,а£.) — расширению Е1. Тогда D + D ' = («i + а ^ , . . . , а* + а^) допустим и соответствует расширению Е" такому, что (Е") = (£?) + (Ef). (Здесь + обозначает сумму относительно сложения Бэра). Пусть Z является группой всех допустимых наборов. Те наборы.
284
В. П. Буриченко
которые соответствуют расщепимому расширению, образуют подгруп пу Ъ С Z; кроме того, H2(G, V) £
Z/Ъ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО см. в [7, раздел 1]. • Пусть, например, G = (t) является циклическая группой порядка 2, и V — некоторый (£)-модуль. Любое расширение 1 —» V —> Л —+ (t) —> 1
(1)
полностью определяется элементом м = ? ; здесь t — какой-либо прообраз элемента t в А. Так как и = ? и £ коммутируют, то w должно быть £-инвариантно. Наоборот, еслиад£ А является ^-инвариантным, то А = Л и = (и е V; ? | «* = i(v)
Vv e V;
? = «>
будет расширением У, т.е. последовательность (1) точна. Таким образом, в нашем случае X = {и G V | t(u) = v} — группа допустимых наборов. Далее, Аи расщепляется тогда и только тогда, когда для некоторого v 6 V элемент ?= vt является инволюцией. Поскольку Г2 = и£г;£ = v-tvt~x • 42 = v + t(t;) + м, А и расщепимо тогда и только тогда, когда v + t(v)+u = О для некоторого v, т. е. когда ^ € Y = {t>-K(t>) | v € V}. Теперь предложение 1.1 влечет # 2 « f ) , V) = Х / У . Будем говорить, что расширение Аи представляется вектором и. (В п. 2.3 применяем аналогичную технику к исследованию расширений диэдральной группы.) Если С-модуль М является kG-модулем, где к — некоторое по ле, то Hn(G,M)
также имеет структуру /^-пространства. Именно, если
£ 6 # " ( ( ? , М) представляется коциклом z = z ( # i , . . .,#„), то х£, х £ к, представляется коциклом xz. Можно показать, что если £ соответствует допустимому набору D = (сц,.. .,<**), то xD = (ха\}...,
хаь) является
допустимым набором, соответствующим ж£. Если М — fcG-модуль и 2? Э А? — расширение полей, то Я " (G, М ®* Я) й # " ( G , М) ®к Е. Следующее утверждение (лемма Шапиро) содержится в [5,-§3.6]
(2)
Расширения ябелевых 2-групп Л Е М М А 1.2. Если Я С G, V является Н-модулем uVG цированным модулем, то Я*(Я, Т^) =
%
285 - инду-
G
H {G,V ).
Пусть Я С G, V — некоторый Я-модуль. Ограничение когомологи ческого класса £ Е Hn(G) V) на Я обозначаем через £|яЛ Е М М А 1.3. Пусть к — поле характеристики р > О, V — неко торый kG-модуль, т = [G : Я] < оо u (m,p) = 1. Тогда отображение ограничения Hn(GyV)
—У Hn{H,V)
иньективно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО см. в [5, предл. 3.10.4]. D Л Е М М А 1.4 (см. [8]). Пусть G конечна, к — замкнутое поле ха рактеристики р > 0, и V — неприводимый kG-модуль, не лежащий в главном р-блоке. Тогда Я П (С, V) = 0 для всех п. 1.2. Главный 2-блок £2(4) • Пусть V — пространство неприводимо го представления I^tf) над алгебраически замкнутым полем характери стики 2. Согласно лемме [1.4], ffn(L2(_ . Далее, пусть
- . Нетрудно видеть, что у>+ = ф+ , <р„ = ^>_ для подходящих комплекс ных представлений ф± группы SL/2(q) размерности (± не являются представлениями группы £2(9)Действительно, из таблицы характеров для SL2(q) (которая содер жится, например, в [10]), мы видим, что SL2(q) имеет два комплексных
286
В. П. Буриченко
представления ^>+, ф- размерности (q — l ) / 2 . Далее, легко проверить, что для любого 2-регулярного элемента х выполняется Xs(x) = Хо(х) + х+(я?) + Х-(я), г
А е Х± ~~ характер представления ф±, хо ~ характер главного представ
ления, xs ~~ характер Стейнберга. Теперь из [11, гл. 12] заключаем, что фв ~ 1 + ф+ + ф- , где фз является представлением Стейнберга группы SL2(q). Отметим, что центр 5Хг(д) содержится в ядре представления Стейн берга, поэтому фв можно рассматривать как представление группы £2(9)? равное Tps . Поскольку lps имеет в точности три композиционных фактора, то ф± неприводамы и подобны представлениям <р±, как и утверждалось выше. 1.3. Перестановочное представление и его факторы. Квадра тичные коды. Введем обозначения, которые мы будем использовать на протяжении всей статьи. Прежде всего, Н = £2(9)? G = PGL2(q), где q ^ 5 — степень нечетного простого. Далее, пусть У = F^ U 00 являет ся проективной прямой над F^. Тогда G и Н действуют на У обычным образом: X
=
ах + Ь ex + d
(3)
Через [х] обозначается класс элемента х £ GL2(q) в РСЬг(д). Ниже к — некоторое поле характеристики 2. На протяжении рабо ты это будет, в зависимости от ситуации, одно из полей F2, F4, или F2 (алгебраическое замыкание); последнее будем также обозначать к. Пусть к*? — перестановочный fcG-модуль, натянутый на IP; его эле менты представляют собой формальные суммы ]П Ахж, Ах 6 к. Пусть V, V С fclP, — подмодуль, состоящий из сумм J2 ^х% таких, что ]Г) \ х = 0. Далее, пусть I", / С кУ, — одномерный подмодуль, натянутый на
K = J2Xх£У
(4)
287
Расширения абелевых 2-групп
Поскольку q + 1 = 0 в А;, то К Е V. Положим V = У/J. Очевидно, dim V = g - 1. Обозначим через V+, VL модули, соответствующие пред ставлениям <р+, (р~ из п. 1.2. Л Е М М А 1,6. i) Модуль кУ имеет единственный
минимальный
Н-подмодуль, а именно I, и единственный максимальный, а именно V. Модуль V = V/I неприводим как G-модуль. п) Если k = k,
moV£2iV?c*V.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, i) Первое утверждение см. в [12, лемма 1.5]. Второе следует из того, что размерность нетривиального неприводимого представления G над к не менее q - 1 = dimV (см. [12, лемма 1.4]). ii) Очевидно, к(Р является некоторой редукцией по модулю 2 ком плексного перестановочного модуля С 3 \ Характер последнего модуля ра вен 1 + Х5* Рассмотрим ограничения модулей CJP и кУ на Я . Поскольку Tps == 1 + V-f + Ф-
по
предложению 1.5, имеем
к9\н ~ l + 9 s ~ l + l +<£+ + ¥>-• Рассматривая фильтрацию О С / С V С кУ, факторами которой являются 1, У, 1, получаем fcT ~ 1 + 1 + V, откуда У | я ~ <^+ + у>_ . Поскольку V" неприводим по n.i, то, по теореме Клиф форда, V\H вполне приводим. Поэтому V\JJ = V+ ф VL и V^, К ? = V. П Нам потребуется некоторая дополнительная информация о модулях V+, VL и квадратично-вычетных кодах. Эта информация довольно извест на и вместе с дальнейшими ссылками содержится в [13] (напомним, что весом кодового слова w бинарного кода С называется число ненулевых координат в w). Л Е М М А !•?• i) Если к = F 2 u g E ± 3 (mod 8), то
Н-подмодулями
модуля кУ являются 0, / , У, кУ. Если & = F2, q = ± 1 (mod 8) гми fc = F4, 9 = ± 3 (mod 8), mo H-под модулями в кУ будут О, J, V,fclP,6+ , С_ , где С+ , С_ — некоторые под модули такие, что 6+ П 6 - = / , 6+ + С- = У.
288
В. П. Буриченко И) Пусть tv(g) обозначает след элемента g £ Я при действии на
модуле V+ (V-)\ k ~~ поле, порожденное всеми ti(g), g £ Я . Тогда fc = F2 при q = ± 1 (mod 8) u A; = F 4 при q = ± 3 (mod 8). Представления <р± могут быть реализованы над к. Кроме того, (е+//)®*Л = F+ , (6-/I)<S>k^ ~ VI . ш) Ярг* g = ± 1 (mod 8) подмодули С+, С- суть не что иное как обоб щенные квадратично-вычетные бинарные коды длины q + 1. Если q = — 1 (mod 8), то С+, С_ являются дваэюды четными, т. е. вес любого кодового слова делится на 4. Кроме того, Q+/I и С - / / дуальны как F2H-модули. Если g £ G\H,
то g£+ = С , # 6 - = 6+ •
1.4. 2-локальные подгруппы в L2(q) и PGL2(q). Все факты, рас сматриваемые в этой части § 1, — классические и восходят к Л.Диксону (см. например [14, гл.З]). Прежде всего, построим две специальные под группы в PGL2{q)) а именно торы. 1) Пусть Diag С GL2{q) — подгруппа диагональных матриц, Z — подгруппа скалярных матриц. Положим Т+ = Diag/Z; ясно, что Т+ = = Zq-\.
Также положим гс+ =
О
1
Легко видеть, что п\. = 1, -1 О n+ нормализует Т+, и сопряжение элементом п+ индуцирует инверсию на
Т+. Определим iV+ = (Г+ , п+). 2) Обозначим JE7 = F g 2. Рассмотрим I? как двумерное пространство над F = F g . Для х £ Е пусть т(х) : у *-+ ху является оператором умноже ния на х и пусть 5 = {т(ж) | х £ Е*}. Очевидно, что Z = {m(#) | x £ F*}; по определению TL = 5/Z. Легко видеть, что Т_ ^ ^ + i - Далее, пусть Fr : х н-> хя — отображение Фробениуса. Оно F-линейно, и легко ви деть, что Fr нормализует 5 и индуцирует инверсию на S/Z = TL . Пусть п_ = [Рг]и.ЛГ. = <Т_,п_). Обозначим через ££ единственную инволюцию в Т е , где £ = ± . Основ ные свойства подгрупп Т£, JVe содержатся в следующей лемме (для крат кости обозначений мы в отдельных утверждениях интерпретируем е = ± как ±1). Л Е М М А 1.8. i) Группа Т€ — циклическая порядка q - е, и груп па N€ — диэдральная порядка 2(q — е). Пересечение N€ с Я = Ь2(д) —
Расширения ьбелевых 2-групп
289
диэдрольная порядка q — е. Группа G имеет два класса инволюций с пред ставителями t+ и t~ . Их централизаторами являются iV+ и iV_ соот ветственно» ii) Группа Т+ действует на У с двумя неподвижными точками а,Ъи одной орбитой длины q~ 1; элементы из N+\T+ переставляют а, Ь. Груп па Г - действует на У регулярно. Инволюция t+ имеет две неподвижные точки, а £_ действует без неподвижных точек. Стабилизатор пары то чек в G сопряжен с Т+. ш) Пусть 7} = ± — такое, ч т о g = г; (mod 4). Тогда t^ £ Н, t^
E
£ G\H. Подгруппа N^ содержит силовскую 2-подгруппу группы G. Кроме того, tq является центральной инволюцией в G, a £_,, нет. iv) Группа Н имеет в точности один -класс инволюций.
Существу
ет четверная подгруппа Е = Zf С Я . jKc^ti q = ±3(mod8), т о любые две такие подгруппы Е\, Е2 сопряжены в £2(9); если q = ± 1 (mod8), т о существуют в точности два класса таких подгрупп, которые переста вляются элементами из PGI/2(q) \L2fa).
Существует элемент порядка
3? переставляющий инволюции из Е циклически. Всюду ниже мы придерживаемся следующих обозначений: е = ± ~~ такое, что е = q (mod4), Т = Те, N — N€. Нам будет удобно обозначать t€ через t\, независимо от того, что е равно или + 1 , или —1. Далее, Е — некоторая четверная подгруппа в Я , содержащая t\\ *2» *з — элементы из Ej отличные от 1 и t\m, s G H — элемент, нормализующий Е и циклически переставляющий ti,*2i*3« *f = *2> ^2 = *з> *з ^ *1« Далее, пусть z — поро ждающий для Т. Тогда г б б \ Я и < 1 = ^( *з действуют на У сле дующим образом: *г = (1)(2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)..., t 2 = (l,2)(3)(4)(5,6)(7,9)(8,10)...,
290
В. П. Буриченко *з = (1,2)(3,4)(5)(6)(7,10)(8,9).... и) В случае q = — 1 (mod 4) точки из У можно перенумеровать так,
что ^ = (1,2)(3,4)(5,6)(7,8)..., *2 = (М)(2,4)(5,7)(6,8)..., t 3 = (l,4)(2,3)(5 l 8)(6 1 7).... ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Транзитивными подстановочными представ лениями подгруппы Е являются следующие: тривиальное представление на одной точке, регулярное, и три представления pi на двух точках, ядра которых совпадают с (£,*), г = 1,2,3. Пусть А — кратность тривиального представления в представлении Е на У, В — кратность регулярного, С, — кратности представлений />,, г = 1,2,3. Тогда q + l = A + 4B + 2(Ci + C2 + C3). Если А ф 0, то Л ^ 2, так как q + 1 четно; поэтому 2? фиксирует две точки. С другой стороны, стабилизатор двух точек цикличен, получили противоречие. Отсюда А = 0. Допустим, q = - 1 (mod 4). Тогда каждая из инволюций £, действует на IP без неподвижных точек, отсюда С\ = С 2 = Сз = 0. Поэтому J? имеет (д+ 1)/4 орбиты на IP и действует на каждой регулярным образом, откуда следует п. п. Далее, пусть q = 1 (mod 4). Поскольку £i имеет в точности две непо движные точки на IP, то С\ = 1. Аналогично С*2 = Сз = 1, откуда В = (q- 5)/4; отсюда следует п. i. D
§ 2. Верхние оценки 2.1. Пусть V+ , VL — как в п. 1.3. Из леммы 1.4 и предложения 1.5 следует, что если V — неприводимый .Е^Ы-модуль над замкнутым полем к характеристики 2, то Я 2 (1^2^), V) = 0, кроме, быть может, случаев V = = fc, V+, VI. Цель этого параграфа — доказать, что справедлива
Расширения абелевых 2-групп
291
Т Е О Р Е М А 2Д- Имеют место H2(L2(q), V±) = 0 при q = 1 (mod4) и dim# 2 (L 2 (g), V±) ^ 1 при g ЕЕ - 1 (mod4). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Представления <р± могут быть описаны в яв ной форме, аналогично [15, §11.5], но она довольно сложна и вряд ли ее целесообразно использовать. Эта трудность преодолевается так. В обозна чениях из п. 1.3, V£ й V2 = V. Следовательно, H2(L2(q),V±)
S Я 2 (<3, V).
Поэтому достаточно получить верхнюю оценку для dim# 2 (G, V), что и будет проделано ниже. Если V(k) — это модуль V, определенный для поля fc, и JE? Э fc, то V(2?) = V*(fc) ®jb Е. Поэтому в силу соотношения (2) из п. 1.1 достаточно рассмотреть случай к = F2. 2*2. Случай g = l(mod4). Докажем теперь теорему 2.1 в случае g = 1 (mod4), т.е. покажем, что ff2(G, V") = 0. При q = 1 (mod4) имеем
Л Е М М А 2*2. Т-модулъ V свободен. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подгруппа Г состоит из элементов h(a) = = [diag(l, а)], а Е F*, и /i(a) действует на У как х *->• жа. В У рассмотрим множество векторов
Д = {(*) + ( 0 ) 1 * 6 ^ } . Оно линейно независимо, и Т действует на Д регулярно. Поэтому линейная оболочка (А) является свободным Г-модулем ранга один. Заметим, что в любом элементе из (Д) коэффициент при (оо) равен нулю, откуда (Д)П/ = = 0. Подсчет размерности показывает, что V = (Д) ф J. Поэтому V = = V/I ^ (Д) как Т-модуль. П Рассмотрим произвольное расширение 1 —• V" —* N —> N —» 1.
(5)
Поскольку V свободен как Т-модуль, Н1{Т, V) •= 0 и Я 2 ( Г , V) = 0. Поэто му можно выбрать прообраз г 6 7V для г такой, что zq~x = 1. Далее, пусть £ — какой-нибудь прообраз для t = £2- Тогда (£)* будет расщепляющей
292
В. П. Вуриченко
подгруппой в Т (где Т С N является полным прообразом подгруппы Г ) . Поскольку Н1 (Т, V) = О, любые две расщепляющие подгруппы сопряжены подходящим элементом из V. Отсюда ((z)1)" = (z) для некоторого v £ V, тогда для t% = vt имеем (i)' 2 "= (г). Кроме того, 2*2 = z" 1 , поскольку *' = *-*.
Положим а = £| 6 V. Поскольку t2 обращает ?, то Ц коммутирует с г, и поэтому а является 2-инвариантным элементом в V. Такой элемент в V единственен с точностью до константы и задается явным образом, а именно: А = (0) + (оо) + / . Таким образом, существуют представители z и t2 для z и *2 такие, что г*-1^,
2й = Г 1 ,
^ = хА
(6)
для некоторого х £ к. Согласно п. L1, соотношения (6) определяют расши рение (5) с точностью до изоморфизма расширений. Обозначим это рас ширение
N(x).
Теперь допустим, что # 2 (<7, V) Ф 0. Тогда существует нерасщепимое расширение 1 —+ V —> G —» G —* 1. Ограничением этого расширения на iV будет iV(#) для некоторого х = 0,1. Если х = 0, то JV(a?) расщепимо, откуда раещепимо и (5 по лемме 1.3. Следовательно, можно считать х = 1. Пусть *i = Sfa" 1 )/ 2 . Из (6) получаем *i = l,
*2*i = M 2 ,
^ = А
(7)
Очевидно, что
*з = wt\t2
(8)
для некоторых v , t i ; 6 y . Далее, (7) влечет
3 = 1, Г2Г3 = f3?2,
*5 = *(Л).
(9)
Расширения абелевых 2-групп
293
Выведем некоторые соотношения для v, w. Имеем 1 = Ц = vt2Vt2 = = о • tivi^1 -t%. Переходя к аддитивной записи и используя тот факт, что t!j = А, получаем v + *2(v) + A = 0.
(10)
Далее, из *2*з = *з*2 следует равенство vt2Wt\t2 = г ^ ^ ^ г - Его левая часть равна v • wt2 • <2*1*2»
а
правая — го • v*1'2 • ^ М г - Так как £i и ^
коммутируют, отсюда v -wi2 = tt; • и*1*2, v + ^ w ) = t^-h *i*2(v) = ^ + ^з(^)> или, перенося все в левую часть, имеем v + w + t3(v) + t2(w) = 0. Наконец, ^ = «(Л) влечет wtit2wtit2
(11)
= s(A), г^г^*1*2 - t ^ = s(A). Так
как t | = 1, ?2 = А, последнее соотношение можно переписать в виде w + t3(w) + А + 8(A) -0.
(12)
Мы покажем, что соотношения (10)—(12) приводят к противоречию. По предложению 1.9, мы можем перенумеровать точки из У числами 1,.. . , д + 1 так, что tx = (l)(2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)..., i 2 = (l,2)(3)(4)(5,6)(7,9)(8,10)..., t 3 = (l l 2)(3,4)(6)(6)(7 J 10)(8,9).... При этой нумерации А = (1) -f (2) + J; действительно, две точки, обозна чавшиеся ранее символами 0 и со, являются в точности ^-инвариантными точками, т. е. 1 и 2. Поскольку £f = %2 , s переводит ti-инвариантные точки множества У в ^2- и н в а Р и а нтные точки, откуда s{l,2} = {3,4}. Аналогично, «{3,4} = = {5,6} и s{5,6} = {1,2}. Поэтому s{A) == (3) + (4) + 1 . Теперь выберем прообразы г/, к/ Е V элементов v и w, а именно v = г/ + / , w = wf + J. Пусть g+i
9+1
t=i
t=i
v* = X^.w, w' = 53^(0; 53и* = 53w« = °-
(13)
294
В. П. Вуриченко Уравнение (10) эквивалентно уравнению v' + t2(v') = (l) + {2) + yK
для некоторого у € &, где
* = £(•)•
(")
1=1
Заметим, что для любого u G V коэффициенты при (3) и (4) в и + + $2(*0 равны нулю. Отсюда у = 0, и мы имеем i/ + * 2 ( 0 = (l) + (2).
(15)
Аналогично из (12), рассматривая коэффициенты при (5), (6), получаем и ; Ч « з Ю = (1) + (2) + (3) + (4).
(16)
Наконец, (11) приводит к v' + t3(v') + w' + t2(w') = уК
(17)
для некоторого у. В терминах коэффициентов Vi и W{ уравнение (15) эквивалентно со отношениям vi + v2 = 1,
t>5 + ve = 0,
V7 = v&, vg = г>ю,
(18)
Учитывая ]Г и,- = 0, видим, что г?з + г>4 — 1- Далее, (16) эквивалентно i=i
w\ + w2 = 1, Поскольку ]Г) wi
=
W3 + w4 = 1;
w7 = Що, ws = w9l
(19)
0, находим w$ = г^. Далее, рассматривая коэффициент
при (1) в (17), получаем v\ + v2 + w\ + w2 = у, откуда в силу vi + v2 = w\ + + w2 — 1 имеем у = 0. Теперь находим коэффициент при (3) в левой части (17): vs + V4 = 1; тогда как в правой у = О, получили противоречие. 2.3. Расширения диэдральных групп* Пусть т = 0 (mod 4), I? = £>2m = (*, * | Zm = *2 = 1, tzt = Z " 1 ) ,
295
Расширения абелевых 2-групп
51 — множество символов (г), г Е Z m . Определим действие группы D на *Л правилами *(i) = (t + l),
*(») = (1 — 0-
(20)
Пусть к01 обозначает перестановочный модуль V =
{ Е А ' « | Е Л . ==О0}} С к%
* = 5^(0,
1^{К),
V = V/I.
(21)
t€Zw
Здесь мы намеренно употребляем те же обозначения, что и в п. 1.3. Далее, пусть К1 = ] Г (*)>
а
= *' +
7
€ V,
Ь = (0) + (1) + J € V.
(22)
t€2Zm
Также пусть VJJ С V обозначает подпространство элементов 52 А,(г) + J таких, что
53 ^« = i€2Zm
• €Zm
X)
А,- = 0,
i'€2Zm+l
Л Е М М А 2.3. i) Подпространство z-инвариантных элементов в V одномерно и натянуто на а. и) Подпространство V2 является подмодулем и совпадает с мно жеством элементов вида v + z(v), v £V.
Кроме того} V = V
iii) E'cyiit элемент вида pb + ja, /3,7 6 Ж;, представим как v + t(v) для некоторого v Е V, т о /3 = 7 = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО» Все три утверждения одинаково просты. До кажем, например, п. i. Предположим, что £> = 52 ^«(0 + ^ является z-ипieZrn
вариантным, т.е.
* ( 5 > ( 0 ) = ! > ( * ) +А*
(23)
для некоторого А £ А\ Имеем
* ( Е А««) = Е м«+!) = Е А«-1«; \t€Zm
/
t€Zm
t'€Z m
поэтому условие (23) означает, что A,_i = А, + А Уг € Z m . Отсюда At_2 = = A,_i + А = Х^\ + 2А = А,-, тогда А, = Ао для г 6 2Z m , Aj = \х = AQ + А для
296
В. П. Вуриченко
г е 2Z m + 1. Следовательно, г; = X0Kf + Хг(К' + К) +I = (А0 + Ai)К' + / = = (A0 + Ai)a. • Пусть 1 —• V —>Z> —>£> —+ 1 является расширением. Выберем прообраз г элемента г. Тогда J™ G V является г-инвариантным, откуда F " = аа для некоторого a E к. Далее, возьмем пробраз t для t. Тогда 2* = Л?""1 для некоторого /ь Е V, поскольку zl = г" 1 . Если t — vt — другой прообраз, то f=
2 * = (2*)" = ( Л Г 1 ) " = vhz~lv = Л'?" 1 ,
где Ы = Л + и+^""1(г;). Из п. ii леммы следует, что {v + aT^v) | v € V} = ViОтсюда h + v + 2r""x(t;) = /36 для некоторого /3 6 А; и подходящего и £ К Поэтому можно выбрать £ таким, что Л = /36. Осталось найти значение и = Р € V. Выясним, каким условиям должен удовлетворять и. Очевидно, (£*)' = z". Правая часть последнего выражения равна uzu = (u+z(u))z. Левая часть равна (2*)* = ((/36) J""1)* =
= (/Ю)г((/И) J" 1 )" 1 = (#(&))*(/№) = ((/ЗД) + *(/№))* = (/?(*(&) + z{b)))z. Так как 6 = (0) + (1) + J, то t(6) = 6, и последнее выражение имеет вид (/3(6 + z(6)))z. Отсюда u+z{u) = /3(6-fz(6)). Следовательно, элемент и + /ЗЬ инвариантен относительно z, и w = /36 + 7a ДДя некоторого 7 G &. Итак, рассматриваемое расширение определяется соотношениями z™ = aa,
f=
(yS6)z"x,
t2 ~/ЗЬ + уа
(24)
для некоторых а, /3,7 € &. Обозначим через J9(a,/3,7) (€ H2(D, V)) класс эквивалентности этого расширения, а также и само расширение. Можно проверить (хотя нам это не понадобится, и мы не приводим доказательств), что соотношения (24) действительно определяют расши рение, что D(a, /3,7) является расщепимым расширением в точности при а = : / 3 = 7 = 0 и ч т о 5(а,/3,7) + Z>(a',/3',7') = Z>(a: + a',/3-f £ ' , 7 + 7') в смысле сложения расширений. Отсюда следует dim H2(D, V) = 3.
297
Расширения абелевых 2-групп 2.4. Случай q = - 1 (mod 8). Здесь мы докажем, что dimtf 2 (G,V0 ^ 1
(25)
при q = —1 (mod8). При g = - l ( m o d 4 ) имеем е = - , ЛГ = AL, Т = Т_. Положим m = j + 1. Возьмем некоторый порождающий z для Т и отождествим N с группой D, определенной в предыдущем пункте, таким образом, что z £ Т_ соответствует z £ D,t2 £ N соответствует t £ D. Тогда ti = t„ £ N соответствует zml2 £ D. Перестановочное представление группы JV на У эквивалентно пред ставлению группы D на $ . Действительно, оба эти представления имеют свойства (1) Т действует на 7 (5V) регулярно, и (2) t действует без непо движных точек. Пусть А, В С D — стабилизаторы точки в этих представ лениях. Из (1) следует, что А = {1,г*}, В = {1 т и}, где u,v £ D являются инволюциями, лежащими вне Т. Легко видеть, что D\T
представляет со
бой объединение двух классов инволюций, по га/4 элементов в каждом, с представителями а и Ь. Кроме того, одна из а, Ь, скажем а, действует без неподвижных точек, тогда как другая фиксирует две точки. Следователь но,ад,v сопряжены с Ь, а потому А и В сопряжены в D. Л Е М М А 2.4. Пусть а, /3,7 € к u D = 5 ( а , 0,7). Тогда i) ограничение D на (£_) расгцепгшо Алл любых а, /3, 7; ii) ограничение D на (t) расщепимо тогда и только тогда} когда /3 = 7 = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, i) Пусть I— некоторый прообраз для z. Тогда t_ = 2W 2 является прообразом для £_. Имеем Ti. = У 1 = о?а. Осталось заметить, что при m = 0 (mod 8) элемент а может быть представлен как а = ai + *_ (ai), где <ц = (0) + (2) + . . . + ( т / 2 - 2) + J. ii) По определению расширения D, у t имеется прообраз t с t2 = /36 + + 7л. Расщепимость ограничения Da на (£) означает тогда, что существует и £ V, для которого ti + f (w) = /36 + 7л. Теперь /3 = j = 0 по лемме 2.3. D Теперь можно доказать неравенство (25). По лемме 1.3 ограничение 2
(р : H (G,V) —У H2(N,V)
иньективно. Допустим, что D = D(a,/3,7) ле-
298
В. П. Вуриченко
жит в образе <р. Поскольку ограничение D на (ti) = (£_) расщепимо и *2 = t сопряжено с ti B G , TO ограничение D на (t) также должно быть расщепимым. Отсюда ^ = 7 = 0, и й = £)(а, 0,0). Так как классы та ких расширений образуют (не более чем) одномерное ^-пространство, то dimim
^ 1
(26)
при q = 3 (mod 8). Как и в предыдущем пункте, отождествим D с N таким образом, что t„, t £ D сответствуют t\, t2 E N. Пусть m = 0 (mod4) и У = { 1 , . . . , га}. Будем рассматривать &У, V, V", / как модули над симметрической группой 5(У) = S m . Пусть s € 5 т — некоторая инволюция без неподвижных точек, например, 5 = (1, 2)(3,4)... ( г а - 1 , га). Рассмотрим группу if 2 ((s), У). Как следует из обсуждения в п. 1.1, эта группа изоморфна Х / У , где X = {veV\
t(v) = v},
У = {г; + *(и) | v € У}.
Легко видеть, что X состоит из векторов
v= J2 МО+Л
(27)
для которых Ai + А2 = A3 + А4 = . . . = Am__i + Am = А при некотором А 6 &, и У состоит из v, для которых Ai = А2, A3 = А4,..., A m _i = Am и Ai + А3 + .. • + Am_i = 0. Отсюда dim X/Y
= 2.
Предположим, что когомологический класс f G # 2 ({s), V) представ лен вектором v € V вида (27). Будем говорить, что класс £ хороший, если Ах = А2, А3 = А4,..., Am_i = Хт. Для хороших £ определим Ч 0 = л 1 + *з + -.. + А т _ 1 . Легко видеть, что это определение не зависит от выбора представляющего вектора v. Определение хорошего £ может быть переформулировано сле дующим образом: £ — хороший, если он представлен вектором v € V вида v = v + / , причем v 6 V является s-инвариантным.
Расширения абелевых 2-групп
299
В более общем виде, пусть s = {р\, q\) . . . (Рт/г > Ят/г) ~ любая ин волюция без неподвижных точек, £ £ # 2 (($),К), и пусть £ представлен вектором v вида (27). Мы говорим, что £ хороший, если Ар. == А9<. для i = 1 , . . . , m/2; для хорошего £ определим
Л Е М М А 2,5. Пусть С ^ £>(а,/9,7) € # 2 ( D , V ) . Тогда О С1<*_> хороший, и h(C |<*_)) = а. ii) C|(t) хороший тогда и только тогда, когда 7 = 0, we этол* случае
МС1<*>) = /з. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем отождествлять Z m с множеством г, 1 ^ ^ г ^ т. i) Аналогично лемме 2.4 имеем ti. = z m = аа, где а = А"' + / = =
С
(•) + ' • Таким образом, Cl(t-) представлен вектором аа.
»€2Zm
Имеем аа =
С
АДг) + J, где А,- = 0 для нечетных г и А, = а для
четных г. Далее, £_ = (1, m/2 + 1 ) . . . (г, т/2 + г ) . . . ( т / 2 , т ) . Так как г и г + го/2 четны или нечетны одновременно, получаем А, = A t + m / 2 для всех i, откуда С|(*-) "~ хороший. Кроме того, ft(C|(*_)) =
С
^«- Последняя
l
сумма содержит т / 4 нулевых слагаемых и т / 4 слагаемых равных а. Так как т / 4 нечетно при m = 4 (mod 8), получаем u(C|{t_)) = а. ii) Класс £|m представлен вектором ? = 06 + 70 = /3((0) + (1))+ 7 £ ( < ) + ' i€2Z m
=
/8((т) + (1)) +
7
£
(2t) + / =
£
А,0) + / .
Далее, t = (1, т ) . . . (г, т + 1 - г ) . . . ( т / 2 , т / 2 + 1). Для всех 1 ^ j ^ т / 2 имеем Xj + Am+i_y = 7- Поэтому £ | ^ хороший в точности при 7 = 0. В этом случае А! = /3, А2 = . . . = A w / 2 = 0, откуда Л(С1<*>) =
С
А,- = 0. П
l^i^m/2
Теперь докажем неравенство (26). Пусть кр : # 2 ( G , V) -> # 2 (iV, У) — ограничение. Допустим, что D = £)(а,/3,7) лежит в im. По лемме, £ =
300
В. П. Буриченко
— D\(t-)
—
хороший, и h{Q = а. Покажем, что f = D\^ — тоже хороший
и МО = МОТак как D € im <р, то D = Е\р для некоторого расширения Я : 1 —> F —» G —* G —> 1. Пусть ti — некоторый прообраз для *i = £_. Тогда класс ^ = JD|^4IJ = 2?!^) представлен вектором
" = *? = X) (А»(«)+ «(«)) + /, 1<*'$т/2
где p t , gt- — такие, что ii = (pu qx)... (рт/2, Чт/т)- Поскольку С ~ хороший, то А,- = & и
Y,
Xi = Л (С) = а.
Далее, возьмем s e H такой, что £J = t2, и пусть S" — некоторый прообраз для s. Тогда t2 = (*i)* является прообразом для t2. Поэтому f = JD|^2) = i?|(*2) представлен вектором
v2 = ?2 = ((t1f)2 = (?iy = s(v). Последний вектор равен
Поскольку £f = (spi, 5^i) ... {spm/2, sqm/2), то £ — хороший, и, более того, МО ^
]С
^t
=
МО» ч т о
и
требовалось доказать.
Теперь можно применить лемму 2.5. Так как £ = D\^ то 7 = 0. Кроме того, МО — £• Из МО
=
— хороший,
МО следует /? = а. Итак, Z) =
= £>(а,а, 0). Поэтому классы расширений из imy? образуют &-пространство размерности ^ 1, откуда следует неравенство (26). Теорема доказа на. D
§ 3. Построение расширений В этом параграфе построим явную конструкцию HP-групп. Напо мним основные свойства так называемых кодовых луп, введенных и изу ченных Грайсом в [2—4].
Расширения абелевых 2-групп
301
3.1, К о д о в ы е л у п ы и их а в т о м о р ф и з м ы . Напомним: лупа — это множество L с бинарным умножением и единицей 1 такое, что 1ж = = ж1 == ж для всех х G £ и для любых ж,у £ L существуют «,и Е i , удовлетворяющие равенству их ~ xv = у. Иначе говоря, лупа — это "неассоциативная группа". Некоторые основные понятия теории групп, такие как гомоморфизм, нормальная под группа и расширение групп, естественно обобщаются на лупы (см., напри мер, [16]). Одним из важных классов луп является класс экстраспециальных луп. Говорят, что лупа L — экстраспециальная типа р1+п, если существует нормальная подлупа Z такая, что Z = Zv> L/Z = Z£ и Z содержится в ассоциативном центре лупы L, т.е. для любых а £ Z, х,у £ L ах = ха}
(ху)а = ж(уа),
(ха)у = х(ау),
(аж)у = а(жу).
Эквивалентно, L экстраспециальна, если она изоморфна множеству пар (ж, а), х Е С = #р, а G Z p , с умножением (ж, а)(у, Ь) = (х + у,а + Ъ + 6(х, у)) для подходящего отображения S : С X С —> Zp, Для х € L будем обозна чать через ж смежный класс xZ £ L/Z = С . Для ж, у, г € L определим коммутатор с(ж,у) и ассоциатор
a(x,y}z)
условиями жу = с(ж, у) (ух),
(жу)* = а(ж, у, *)(a(yz)).
Поскольку Z лежит в ассоциативном центре, то с(х, у) и а(ж, у, г) зависят только от смежных классов ж", у, 2, и поэтому коммутатор и ассоциатор можно рассматривать как функции н а С х С и С х С х С . Ниже мы будем анализировать только случай р = 2. Это позволяет также рассматривать отображение возведения в квадрат s : L —> Z2, s(x) = ж2. Легко видеть, что s(x) зависит только от ж. Пусть р : С —> Z2 ~~ произвольная функция. Для a?i,..., хт G С определим р(хи...,
ж т ) по правилу
р(ж Ь . . . , Жт) = ] П Р(е1Х1 + ' • • + £тЯт). е;=0,1
(28)
302
В. П. Буриченко
Например, р(х, у) = р(0) + р{х) + р(у) + р(х + у). Следующие два предложения доказаны в [8] (см. теорему 14 и пред шествующее ей обсуждение). П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.1. Пусть C^Z%,
up:C
—> Z2 -
функция
такая, что р{хих2,х3,х4)=0.
(29)
Тогда существует экстраспециальная лупа L типа 2 1 + п , для которой при любых x,y,z
G С имеют место равенства: s{x)^p{x),
c(x,y)=p(x,y),
a(x,y,z)=p{x,y,z).
Тождество (29) называется в [8] условием Паркера. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.2. Пусть С С FJ? - дважды четный код дли ны п. Зададим отображение р : С —> Z2 no правилу р{х) = -|ж|(тос12), где \х\ — вес кодового слова х. Тогда р(х\, х2 , #з > #4) = 0. Таким образом, по каждому дважды четному бинарному коду можно построить некоторую лупу L1 называемую кодовой лупой. Очевидно, что если x i , , . . , хт линейно зависимы, то р{х\,..., = 0. В частности, a(x,y,z)
== 0, если x,y,z
хт) =
зависимы, и поэтому• каждая
2-порожденная подлупа ассоциативна. Следующая лемма — легкое следствие предложения 3.2. Л Е М М А 3.3. Пусть С С F£ — дважды четный код длины п. Пред положим, что п делится на 8 и ( 1 , . . . , 1) (Е С является кодовым сло вом. Обозначим через С фактор-пространство 6 / ( ( 1 , . . . , 1 ) ) , и зададим р : С —> Z2 no правилу
Тогда р удовлетворяет условию Паркера. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть I
=
( ( 1 , . . . , ! ) ) , Тогда p'(w)
=
= ||w|(mod2) постоянно на смежных классах С//, поэтому p(w + I) =
303
Расширения абелевых 2-групп
= pf(w) корректно определено. Далее, пусть Xi = гу, + / , 1 ^ i ^ 4, где Wi 6 6 С — некоторые кодовые слова. Тогда р(х\,Х2,х$,х±)
=
]£ p{s\X\ + e t =0,l
+ ^2^2+^3^3+64X4) =
YJ
P'^I^H
K4W4) = 0 по предложению 3.2. П
Рассмотрим некоторые автоморфизмы лупы L, а именно те, которые сохраняют Z. Определим A(L) = {<р Е Aut (I) |
= С и
поэтому индуцирует автоморфизм Тр Е Aut (С). ЗАМЕЧАНИЕ. Если L не является элементарной абелевой группой, то Aut(L) = A(L). Подгруппа в А(£), состоящая из <р таких, что Тр = 1, может быть легко задана. Для линейного отображения / : С —> Z определим <р =
автоморфизмом.
Легко доказать обратное утверждение: если Тр = 1, то <р = (ж)2 = р(у?(аг)) = р(^(#)). Поэтому Тр сохраняет р. Таким образом, мы имеем последовательность групп 1 —¥ D —> А(Х) —> Aut (С,р) —+ 1,
(30)
которая точна в первом и втором членах. Можно показать, что она точ на и в члене Aut (C,p). Иначе говоря, каждый g E Aut (C,p) может быть поднят в A(L). Этот факт систематически используется, хотя и не дока зывается, в [3, 4]. Ради сокращения объема статьи мы также не приводим доказательство этого факта, впрочем, оно несложное. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.4, Для каждого g Е Aut(C,p)
существует
<р € A(L) такой, что 7р = д. Для подгруппы 5 С Aut (C}p) через 5 обозначается полный прообраз 5 в A(L).
304
В. П. Буриченко П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.5. Пусть Е = (su s2) С 5 - четверная под-
группа, и пусть u,v,w £ С — некоторые элементы в С, линейно незави симые и такие, что si(u) = 82(11) = w, Si(v) = t> + u, si(w) = w, S2{v) — v, s 2 (tu) = w + и. Предположим также, что р(и) = 1. Тогда расширение 1 —> D —> S —У S —> 1
(31)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, мы можем считать 5 = Е. Возь мем какие-нибудь прообразы u,v,w
€ L для -м, t;,w. Допустим, что (31)
расщепляется., и пусть Е = (Si, 52) является расщепляющей подгруппой, 3? = 3 | = 1, ?1?2 = S^SiОбозначим через z неединичный элемент из Z. Имеют место Si (й) = = uzA} sx(v) = vu* 5 , «i(uf) = w z c , ?2(й) = uzD, s2(v) = t/г^, ?2(w) = w2z F для некоторых Л , . . . , F € Z 2 . Условие Sf = 1 дает v = Sj(if) = 3i(tmz B ) = (vuzB)(uzA)zB
= t75Vs+i4 = £22И = г ^ " ) + л ,
откуда Л = s(w) = 1. В последнем вычислении мы использовали, ассоциа тивность подлупы (5, и, г), см. замечание после предложения 3.2. Далее, ?i? 2 (w) = si(wuzF)
= (tifc c )(uH)z F = w 5 z c + i 4 + F ;
s 2 3i(w) = 52(ti;zc) = wuzFzc Поэтому условие Sis*} = S^Si влечет wuzc+A+F
=
wuzF*c. = wuzF+c,
откуда А = 0,
получили противоречие. • 3.2. Разложения iJ-модулей. Здесь рассматриваем &IP, V YLV как Е'-модули. Докажем некоторые факты о их разложении в прямую сумму неразложимых. Занумеруем 7 как 1,2, . . . , 7 + 1 , и пусть Е действует на У, как в п. i предложения 1.9. Обозначим т = q + 1. Предположим, что га = 0 (mod 8). Введем некоторые элементы из кУ. Для 9 ^ / ^ т пусть
Расширения абелевых 2-групп
305
[/] = (/) + (/'), где /' определено тем, что I = /'(mod4) и /' G {5,6,7,8}. Положим щ
=
(г) при l < t < 4 ,
(ть =
(5) + (9) + . . . + ( т - 3 ) ,
а6
=
(б) + (Ю) + . . . + ( т - 2 ) ,
сг7 =
(7) + (11) + . . . + ( т - 1),
а8
=
(8) + (12) + . . . + ( т ) .
Л Е М М А 3.6. Множество Ъ = {[/] 19 ^ / ^ т } U {ъ 11 ^ t ^ 8} является базисом в fc!P. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как в В в ТОЧНОСТИ т = dim fc? элеменТОВ, достаточно выразить любое (i) через Ъ. Прежде всего, (г) £ Ъ при 1 ^ г $С 4. Далее, рассмотрим элемент а$ + [9] + [13] + . . . + [т - 3] = = (5) + (9) + . - . + ( т ~ 3 ) + ((5) + (9) + (5) + (13) + . . . + (5) + ( т - 3 ) ) . Ч и с л о слагаемых, равных (5), равно 1 + ((W^) — 2) = (яг/4) — 1 = 1 (mod2).Bce остальные слагаемые сокращаются. Поэтому рассматриваемый элемент равен (5). Аналогично (6), (7), (8) £ (Ъ). Наконец, если 9 ^ / < ш, то (|) = [I] - (Г) € (В) (поскольку (/') е { » » . • Для 2 ^ j ' ^ ( ^ / 4 ) — 1 рассмотрим в fclP подпространство Pi = fc([4j + l ] , [ 4 j + 2 ] , [4j + 3], [4j + 4]>. Положим P' =
£
Fr
(32)
2^W4)-l
Ясно, что £? переставляет [4j + 1 ] , . . . , [4j + 4] регулярно. Поэтому Pj -свободный &£7-модуль ранга один. Пусть также Q' = ( а ь . . .,<т8). Легко видеть что Q' является под модулем. Из леммы следует, что кУ = Qf ф Р ' — прямая сумма модулей. Заметим, что все [/] лежат в У, откуда F C F . Далее, в каждом <У{ сумма коэффициентов при всех (j) равна 1; поэтому для Q = Qf П V имеем
Q = |S A ^|5Z^ = 0 }-
306
В. П. Буриченко
Тогда V = Q Ф Р*.
(33)
Далее, очевидно, что К=
откуда ICQ.
Yl (i) = (r1 + ... + a8,
Факторизуя разложение (33) по / , получаем V = Q ф Р , где
Q = Q / / , Р = Р1 -f / / / . Очевидно, Р = Р9 и потому является свободным &£?-модулем ранга ( т / 4 ) — 2. Теперь рассмотрим случай m = 4 (mod 8). Прежде всего определим [Л для 5 ^ / ^ т как [I] = (/) + (/'), где 1 ^ /' <$ 4 и /' = I (mod 4). Также определим ах = (1) + (5) + . . . + (т - 3), . . . , <т4 = (4) + (8) + . . . + ( т ) . Аналогично лемме 3.6 можно показать, что множество Ъ = {[/) | 5 < / < m} U {«г,- | 1 < t < 4} образует базис в &У. Кроме того, для 1 ^ j ^ ( т / 4 ) - 1 определим Pi = *<[4j + l ] , . . . , [ 4 j + 4]>, а также положим Р =
J]
Р,,
Q' = <(ri,a2,ff3,ff4>-
(34)
l«^(m/4)-l
Тогда к"3> = Q' ф Р — прямая сумма подмодулей, и F = Q ф Р , где
Q={I>*.-|I>==O} Модуль Р является свободным в обоих случаях т = 0,4 (mod 8). Изучим структуру модулей Q при m = 4 (mod 8) и <5 при m = 0 (mod 8). Рассмотрим два £7-модуля. Именно, пусть А — пространство с базисом {вх,€2,€з}. Определим действие группы Е на А правилами Мез) = М с з ) = е 3 , М е г ) = е2,
Mci) = еь
ti(ci) = ег + е 3 , (35) «2(^2) =
Расширения абелевых 2-групп
307
Далее, пусть В — пространство с базисом {е 1 , е2, е 3 }, находим действие Е на В tl(e1) = e\
ii(e 2 ) = e2,
^(e 3 ) = е 1 + е 3 ,
t 3 (e 1 ) = e 1 ,
«2(e2) = e 2 ,
t 2 (e 3 ) = е2 + е 3 .
Легко видеть, что А и В двойственны как fcJE-модули. Л Е М М А 3.7. Если т = 4 (mod 8), то Q ^ А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что ех = ^ + °ъ, е 2 = CTI + а2 и е 3 = = 0i + #2 + ^з + ст4 = JK" образуют базис в Q, и действие группы Е на этот базис описывается формулами (35). • В остальной части этого пункта мы предполагаем, что т = 0 (mod 8). Рассмотрим следующие элементы из Q: е\ =аг+а2
е1 = ах + а2 + <т5 + <т6 + I,
+ сг*> + а8 + / ,
е2 = <*\ + <тз + а*> +
е 2 = ах + сгз 4- сг5 + <^7 + / ,
е 3 = (Т\ + СГ6 + <77 + ^8 + / •
Положим Ах = (б1,е2,ез), 5 i = ( е ^ е ^ е 3 ) . Л Е М М А 3.8. Имеют место А\ = A, JBi = 5 , u Q = Ai ф Bi. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прямая проверка показывает, что £ действу ет на е*, е, по формулам (35), (36) и e t , e1 образуют базис в Q. О Таким образом, m/4-l
VrrAjeBje
0
Pi.
(37)
Заметим, что оба А, В -- неразложимы какfcJEJ-модули.Для А это следует из того, что подпространство ^-инвариантных векторов одномер но (а именно, натянуто на ез), а для В — из того, что модуль, двойственный к неразложимому, сам неразложим. Из теоремы Крулля—Шмидта (см. [5, теор. 14.15]) следует, что любое разложение модуля V в прямую сумму неразложимых подмодулей имеет вид т/4-2
У^А2фВ2ф ф
Pt,
(38)
308
В. П. Буриченко
где А2 = Л, J?2 = В, и F, являются свободными /^-модулями ранга один. Ниже рассмотрим случай k — ¥2. Для и 6 Т?2У обозначим через |и| вес, т. е. число ненулевых координат вектора и, П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.9, Рассмотрим некоторое разложение вида (38) и предположим, что любой элемент и 6 А2 имеет вид и = и' + I, и1 6 V, причем \uf\ делится на 4. Пусть с = с1 + I — (единственный) Е-инвариантный
элемент в А2 . Тогда |с'| = 4 (mod 8).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нам необходима следующая Л Е М М А ЗЛО. Существует
( такой, что A(a) I
а
АиВх®
т/4-1
\
0
Pi: 1
€ А{\.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим слагаемые в разложениях (37) и (38) как Хх = Ах, Х2 = 5 Ь X, = P;_i для 3 ^ г ^ т / 4 и Yi = А2, Y2 = В 2 , У3 = F i , . . . , Ymf4 = F m / 4 -2- Также обозначим / = т / 4 . Таким образом, V = Х х ф . . . ф X/ = Yx ф .... Ф Yi. Пусть i0i H
+ Vift =
Зададим ??,* е Hom^(Xi,Xi) посредством равенства гц = (pi0i\xi* То гда % 4*
Ъ- Wi =
мере один из гц должен быть обратим (см. [5, лемма 14.14]). Покажем, что т/, необратим при гф\.
Имеем гцХ\ = <р\9%Х\ С
Для г > 1 модуль Yi циклический (т.е. порожден одним элементом), и поэтому (fxYi тоже циклический. Модуль Хх = А не цикличен, откуда
ЧиЪфХгитпХгфХг. Таким образом, щ = (p\0i\xi обратим, и поэтому оба вх\хх • Х\ —> —> Yx и pxWi - ^l —>• ^ 1 являются изоморфизмами. Следовательно, для каждого х € Хх существует единственный у £ Yx вида у — х + z для
Расширения абелевых 2-групп
309
некоторого z € Х2 Ф . . . Ф Х\. Иначе говоря, существует отображение ф :ХХ —> Х2 Ф . . . Ф Xt, для которого Yx = {х + ф(х) | х е Хх}- Теперь легко видеть, что ф — изоморфизм, лемма доказана. • Пусть сх — это Е-инвариантный элемент подмодуля А\. Тогда с = = сх + ф(сх). Заметим, что любой гомоморфизм в Е Hom#(Ai, Si) перево дит сх в нуль, откуда ф(сх) G Рг®. • .©P/-i = Р . Следовательно, с = сх+с2, где С2 = ф(сх) является U-инвариантным элементом из Р . Заметим, что элемент с2 € Р будет ^-инвариантным в том и только в том случае, если с2 - l/i([9] + [Ю] + [11] + [12]) + !*([13] + [14] + [15] + [16]) + ... + I или,эквивалентно, с2
=
A»I((5) + ( 6 ) + (7) + ( 8 ) ) + M2((9) + (10) + ( 1 1 ) + ( 1 2 ) )
+ • • • + w - i {{т - 3) + ( т - 2) + ( т - 1) + (то)) + / для некоторых /i,, удовлетворяющих //i +
Ь Щ-х = 0 (коэффициенты
/х,- выражаются через г/, как /u-i = i^ + • • • + ^/-2> М2 = ^ъ • • • > W-i = И-2«) Учитывая ci = (1) + (2) + (3) + (4) + / , получаем с' =
(1) + (2) + (3) + (4) + Д1((5) + (в) + (7) + (8)) + • • • + w - i ( ( m - 3) + (то - 2) + (то - 1) + (то)),
причем сумма /хх Н
Ь /x/_i равна нулю. Значит, |с'| = 4 (mod 8), и пред
ложение доказано. D 3.3. Л у п ы , ассоциированы^ с к в а д р а т и ч н ы м и кодами. Пусть q = - 1 (mod8), и пусть С = С+ — квадратично-вычетный код длины д + 1, см. п. 1.3. Положим С = С/1. Поскольку С дважды четен и g + 1 делится на 8, мы можем определить р : С —> Z2 по правилу p(w + I) = -|ttf|(mod2).
310
В. П. Буриченко
По лемме 3.3, р удовлетворяет условию Паркера и потому определяет неко торую кодовую лупу L. Поскольку Я = L2(q) оставляет инвариантным С, она также действу ет на С, и, очевидно, сохраняет отображение рг т.е. Я С Aut (С,р). Пусть Я обозначает полный прообраз группы Я в A(L). П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.11. Группа Н является
НР-группой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО разобьем на несколько шагов. 1) Обозначим С+ = Q+/I = С, С- = Q-/L Из леммы 1.7 следует, что V = С+®С„ , dimС+ = dimCL = ( ? - 1 ) / 2 , и если д G
(39)
в прямую сумму неразложимых J^-модулей. Аналогично, пусть
с
= У1ф . . . е г П 1
(40)
есть некоторое ^-разложение для С_. Поскольку С = С+ и С . двойственны, то п = щ и У; S X* с точно стью до порядка. Объединяя разложения (39) и (40), получаем
v = с+ е с_ = Xi ® ... Ф хп е YX Ф .. е УП.
Как было показано выше, это разложение должно иметь вид (38). То есть, один из модулей Хи . . . , Х„, Ух = Я"*, . . . , У„ = X* изоморфен Л, другой — Я, а оставшиеся 2п - 2 модуля ~ свободные ранга один. Если -X"; свободен, то X* также свободен. Поэтому с точностью до нумерации можно предполагать, что Я",, Yi свободны при г > 1, и либо
311
Расширения ябелевых 2-групп
Xi S А и Yi £ J3, либо Х г £ В и Yi S А. Если Хх S Л, достаточно взять 2?i = £?, ^2 = -Хь i51 = ^ 2 Ф .. • Ф Х„ , и получим требуемое разложение. Поэтому предполагаем, что Х\ = В, Y\ S А. Возьмем д EG\H.
Поскольку
#С_ = С+, имеет место •C+=flC.=flY1®...®ffYn. Поскольку Yi S А как 2?-модуль, то #Yi == А как 1?3-модуль. Теперь можно взять Ei = Е*, А2 = 5^1, F = дУ2 Ф •.. Ф дYn . 3) Пусть с = с' + / — единственный £i-инвариантный элемент в А2 . Покажем, что |c'| = 4(mod8).
(41)
Поскольку А2 — прямое слагаемое в С, оно является прямым слагаемым во всем V. Поскольку Q — дважды четный, для каждого w такого, что х = = w+I 6 С, вес |и;| делится на 4. Теперь (41) следует из преддожения (3.9). 4) Завершим доказательство. Имеем расширение 1—>£>—> Я —+ Я —> 1.
(42)
Ясно, что D = Нот(С,^2) — С* как Аи1(С,р)-модуль, а потому и как Я-модуль. Поскольку С — (абсолютно) неприводимый Я-модуль, D = C* также неприводим. Остается доказать, что расширение (42) нерасщепимо. Как было доказано, существуют четверная подгруппа Е С Я и Е-подмодуль Т С С такие, что Т = А как ^-модуль, и если с — единствен ный £?-инвариантный элемент в Т, с = с' + / , с' £ 6, то 1^1 = 4 (mod 8). Отметим, что р.(с) = ((|c'|/4)mod2) = 1. Поскольку Т = А, существу ют i*,t;,ti; 6 Г и s i , s 2 € £ , для которого ( s i , s 2 ) = ^ и (u,v,w)
= Т, и
«i(t*) = 52(w) = w, $i(v) = г; + u, 5i(w) = w, 5г(и) = v, S2(w) = гу + w. Эле мент ti будет единственным JS-инвариантным в Т, откудаад= с и поэтому р(ад) == 1. Теперь в силу преддожения 3.5 расширение (42) нерасщепимо. • ЗА* Случай g~3(mo
В. П. Вуриченко
312
Пусть С = V; тогда К является единственным Я-инвариантным эле ментом в С. Предположим, что существует функция р : С —> Z
(г)р(К) = 1. Тогда существует кодовая лупа L, ассоциированная с р, и L/Z = С. Кроме того, имеется расширение 1 — > D — > Я —» Я —» 1.
(43)
Группа Я — это еще не та группа, которая нам необходима. Возьмем элемент а € L, представляющий К, т е . К = aZ* Поскольку Я фиксирует /{Г, то для любого <р е Я имеем <^(а) = а или аг. Положим Я = {/ 6 D. Тогда <#(а) = а в том и только в том случае, если 1(К) = 0. Функции / 6 Hom(C, Z2), кото рые переводят К в нуль, образуют подпространство апп (К) С Hom(C, Z Я —• 1.
(44)
Пространства £>i и апп (if) являются изоморфными Я-модулями. Далее, апп (К) можно обычным образом отождествить с Eom(V/(K),Z2)
= Hom(V,Z 2 ) =
V\
Таким образом, D\ == V* как Я-модуль, и поэтому Я действует на Z>i неприводимо.
Расширения абелевых 2-групп
313
Осталось показать, что последовательность (44) не расщепляется. Ес ли бы она расщеплялась, то (43) также была бы расщепимой. Поэтому достаточно показать что последовательность (43) нерасщепима. Рассмо трим ^-разложение V = Q ф Р . Мы уже показали в п. 3.2, что Q = А как 22-модуль. Далее, К является единственным £?-инвариантным элементом в Q. Теперь применим предложение 3.5 аналогично тому, как это было сделано в конце доказательства предложения 3.11. • В оставшейся части этого пункта построим функцию р, удовлетво ряющую (1)—(3). Прежде всего, рассмотрим отображение q : С —> Z2, определенное как ' 0,
q(x) = {
ж€Р,
1, xev\P.
Иначе говоря, q(x) = 1 тогда и только тогда, когда проекция х на Q отно сительно разложения V = Q ф Р — ненулевая. Очевидно, q удовлетворяет (3). Далее, пусть х\} x ж4 — про извольные элементы из V. Множество всех четверок (si,62,^3,6:4) € F | таких, что SiXx 4- е2х2 + £з#з + г4^4 € Р , образует подпространство в F2 коразмерности ^ 3, и поэтому содержит четное число элементов. Поэтому ] Г q(eixt + е2х2 + е3хз + £4Я4) = °> €t=0,l
т. е. q удовлетворяет условию Паркера. К несчастью, q не инвариантно относительно Я . Используем стан дартную процедуру усреднения, чтобы получить Я-инвариантную функ цию. Пусть М = \Н : Е\ = q(q2 - 1)/8; заметим, что М нечетно. Пусть # ь • • • > ХМ ~~ это множество представителей для левых смежных классов по Я , М
Я = (J Ех{. Для v £ V положим по определению м «=1
314
В. П. Вуриченко
Поскольку q является £?-инвариантным, это определение не зависит от вы бранных представителей смежных классов. Покажем, что р инвариантно относительно Я . Для h 6 Я , v 6 V имеем м
Очевидно, {xih | 1 ^ г ^ М} представляет собой некоторое множество представителей смежных классов, и поэтому последняя сумма равна ^(г;), откуда p(hv) = p(v). Поскольку q удовлетворяет (1), отображение v —> q(xiv) также удо влетворяет (1) для любого г, а потому и р удовлетворяет (1). Наконец, м «=1
Таким образом, р удовлетворяет всем условиям (1)—(3), и искомая HP-группа построена.
§ 4. Доказательства основных теорем В этом параграфе выведем теоремы 1—3 из ранее доказанных ре зультатов. 1) Пусть к — алгебраически замкнутое поле характеристики 2 и Т — неприводимый нетривиальный &Я-модуль. Если Н2(Н,Т)
ф О, то Т лежит
в главном блоке по лемме 1.4, откуда Г — один из к, V+, VL. Так как Т — нетривиален, Т ф к. Далее, при g = l(mod4) имеем H2(H,V±)
= 0 по
теореме 2.1. Этим доказан п. i теоремы 1. 2) Пусть А — элементарная абелева 2-группа, на которой Я дей ствует неприводимо (т.е., неприводимый ГгЯ-модуль). Положим Е = = Егк1р2# (А). По лемме Шура, Е является телом, и поскольку оно конеч но, то оказывается на самом деле полем по теореме Веддербарна. Очевид но, А имеет структуру ЕН-модуля. Далее, пусть Е\ = End##(A). Тогда Е С Ех = ЕП<1ЕН(А) С End F2 tf (А) = £ ,
315
Расширения абелевых 2-групп откуда Е\
=
Е. По [5, теор. 29.13], А абсолютно неприводим как
ЕЯ-модуль. Следовательно, А = А ®# fc — неприводимый йЯ-модуль. Кроме того, Я действует на А нетривиально тогда и только тогда, когда действует нетривиально на А. Ясно, что ^(Н.'А)
Н2{Н,А)
2
^ Н {Н,А)
имеет структуру 2
®Е к. Поэтому Н {Н,А)
Е-пространства
и что
ф О в том и только в том
случае, если Н2{Н, А) ф 0. 3) При g = ~ l ( m o d 4 ) существует неприводимый и нетривиальный Г 2 Я-модуль А с Н2(Н,А)
ф 0, так как имеются HP-группы. Поэтому су
ществует неприводимый &Я-модуль Т с Н2(Н,Т)
ф 0. Как мы уже видели
выше, Г должен быть одним из модулей V+ или VL. Так как Н2(Н, V+) и Н2(Н, VL) изоморфны, они должны быть оба отличны от нуля. Отсюда и из теоремы 2.1 имеем, что dim H2(H, V±) = 1; п. ii теоремы 1 доказан. Пусть q = 1 (mod 4). Если существует нетривиальный и неприводи мый Р 2 Я-модуль А с Н2(Н,А) 2
H (H,V±)
ф 0, то те же рассуждения доказывают
ф 0, получили противоречие. Этим доказан п. i теоремы 2, а
п. i теоремы 3 является тривиальным следствием. 4) Далее рассматривается случай q = - 1 (mod 4). Пусть А, А, Е — как выше, и пусть fc = F 2 при q = ± 1 (mod 8), и fc = F4 при g = ± 3 (mod 8). Покажем, что к = Е. По лемме 1.7 представление <£>+ группы Я на V+ может быть записано над к. С другой стороны, следы ti(g) элементов д € Я на V+ порождают &. Поэтому fc — единственное минимальное поле реализации для <р+. То же верно для <р~, VL. Поскольку A (g>£fc= Т, Г = V+ или VL, то (р± может быть записано над Е. Следовательно, Е D к. Так как Е = End F 2 H(^) 2 Егк1 ш (А) Э E n d ^ A ) - £?, имеем EndkH(A) = £• Пусть А! — такой &Я-модуль, что А!%ь к = Г. Тогда (А' ®* Я)
® E fc =
Af ®к Л S T S А ®я Л,
Следовательно, представления на модулях A! %k E и А подобны над &. По теореме Дойринга—Нетер (см. [5, теор. 29.7]), они подобны и над I?,
316
В. П. Буриченко
откуда А! <8>* Е = А. Поэтому А как &Я-модуль является прямой суммой г = [Е : к] экземпляров модуля А\ и EndkH{A)^Mr{Evi&kH{A')). Последняя алгебра может быть полем только при г = 1, откуда Е = к. 5) Пусть А± — такой &Я-модуль, что А± ®д. fc = V-fc. Предыдущие рассуждения доказывают, что если Н2(Н, А) ф О, то А = Л+ или Л'_ как Г2#-модуль. Кроме того, dim* Н2(Н, Л'±) = dim r Я 2 ( Я , V±) = 1. Поэтому ff2(ff,A)SJfcSZf:F,J как абелева группа, откуда Я 2 (Я, Л) == ^2 при # = - 1 (mod 8) и = Z2 при g = 3 (mod8). Пусть q = - 1 (mod 8). Тогда, очевидно, Л+ 9? Л'_ как Г г Я модули. Кроме того, (Q±/I) ®ь к = V± по лемме 1.7, откуда А± = 6 ± / J . Этим доказан п. ш теоремы 2. 6) Для доказательства п. ii теоремы 2 осталось показать, что Л+ = = Л1 как Г2Я-модули. Пусть <т : ж —у х2 — отображение Фробениуса на к. Покажем, что (V+)° = VL , (VL)* = V+. Так как V+ — композиционный фактор перестановочного модуля кУ и, очевидно, (ЛУ)* == &У, то (V^.)* — также композиционный фактор кУ. Возьмем элемент д € Я такой, что tr(igr) € А? \ F 2 , где tr - след на V+. Так как t r ^ ) " Ф tr(#), то {V+У Щ V+. Поскольку ЛУ имеет единственный нетривиальный композиционный фак тор, отличный от V+ , а именно VL, то (V+)* = VL. Аналогично доказыва ется (V-)" S V+. Теперь имеем V+ S Л^_ ®* fc, VL S (У+)" S (Л'+)* ®* *. Таким образом, Л+ — Л_. Отсюда и следует требуемое. 7) Осталось доказать п. ii теоремы 3. Пусть А\, Л2 — Два неприводи мых Г2Я-модуля, & 6 Я 2 ( Я , Л,), г = 1,2, — нетривиальные когомологи ческие классы, и пусть 1 _ > л , —» Я, —> Я —+ 1
317
Расширения абелевых 2-групп являются соответствующими расширениями. Покажем, что Hi == #2
и что
существуют изоморфизмы ¥>if2,3> для которых диаграмма 1
—> Ai
—> Ях
—> Я
—> 1
1
—> А2
—> Я 2
—> Я
—> 1
коммутативна. Сначала пусть q = - 1 (mod 8), Если Ai = А 2 , то & = £2) поскольку Я 2 ( Я , Ai) содержит единственный нетривиальный элемент; этот случай очевиден. Поэтому можно считать, что А\ Щ А 2 . Заметим: если г — внеш ний автоморфизм группы Я , индуцированный некоторым элементом из G \ Я , то А\ £ А2 (поскольку А'± ® F 2 * 2 V± И V£ £ VL ПО лемме 1.6). Допустим, что последовательность 1 —* Ах - А Я - А Я —> 1 является расширением, соответствующим £j. Положим pf = тори рассмо трим точную последовательность групп
1 —> Ах - А Я - А Я —> 1.
(45)
Однако эта последовательность не согласована со структурой Я-модуля на Ах* На самом деле., действие группы Я на Ai, возникающее из после довательности (45), превращает Ах в модуль, изоморфный А2. Поэтому расширение (45) соответствует классу £г> и получаем требуемую диаграм му 1
—> Ах
-А
Я
-£>
Я
II
;
Ir
1 —-> Ах - Л Я А
Я
II
—> 1
—> 1.
Теперь пусть g = 3 (mod 8). Тогда по п. и теоремы 2, Ах = А2 = А. Пусть ^1,^2 6 Я 2 ( Я , А), £ь£2 ^ 0. Существует Л G fc = Endp 2 #(A) такое, что Л^! = £2- Рассмотрим диаграмму 1
—-> А
А
4А 1
_•
А
^
я
-^
Я
II
II
Я
-£* Я
—> 1 —* 1,
318
В. П.
Буриченко
верхняя строка которой соответствует f i . Тогда легко видеть, что н и ж н я я строка соответствует A£i = £2В заключение автор выражает свою признательность В. Д . Мазурову з а указание на работу [8] и разъяснения по поводу упомянутого во вве дении вопроса, а Фам Хыу Тьепу — за указание на [9]. А. В. Боровик рассказал
автору о работах Р . Л . Г р а й с а по кодовым лупам.
Автор
т а к ж е признателен за поддержку А. И. Кострикину, А. Е. Залесскому и И. Д . Супруненко.
ЛИТЕРАТУРА 1. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 12-е изд., Ново сибирск, Институт математики СО РАН, 1992. 2. R.L. Griess, Jr., Code loops, J. Algebra, 100, N 1 (1986), 224-234. 3. R. L. Griess, Jr., Code loops and a large finite group containing triality for D4, Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Ser., 37 (1988), 79-98. 4. R.L. Griess, Jr., Sporadic groups, code loops and non vanishing cohomology, J. Pure Appl. Algebra, 44, N 1-3 (1987), 191-214. 5. К.Браун, Когомологии групп, М., Наука, 1987. 6. С. Маклейн, Гомология, М., Мир, 1966. 7. V. P. Burichenko, On extensions of Coxeter groups, Commun. Algebra, 23, N 5 (1995), 1867-1897. 8. S. M. Gagola, A splitting condition using block theory, Mich. Math. J., 23, N 3 (1976), 203-206. 9. R. Burkhardt, Die Zerlegungsmatrizen der Gruppen PSL(2,pf),
J. Algebra, 40,
N 1 (1976), 75-96. 10. T. A. Springer, Characters of certain groups, in: Seminar on algebraic groups and related finite groups (Lect. Notes Math., 131), Berlin a. o., Springer-Verlag, 1970. 11. 4. Кэртис, И.Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциа тивных алгебр, М., Наука, 1969. 12. В. П. Буриченко, Инвариантные решетки в модулях Стейнберга и их груп пы изометрий, Матем. сборник, 184, N 12 (1993), 146—156.
Расширения абелевых 2-групп
319
13. J.H.van Lint, F.J. Mac Williams, Generalized quadratic residue codes, IEEE Trans. Inf. Theory, 1978, 24 IT, N 6, 730-737. 14. M.Suzuki, Group Theory I, Berlin a.o., Springer-Veriag, 1982. 15. M. А. Наймарк, Теория представлений групп, М., Наука, 1972. 16. В. Д. Белоусов, Основы теории квазигрупп и луп, М., Наука, 1967.
Адрес автора: БУРИЧЕНКО Владимир Петрович, БЕЛАРУСЬ, 246000, г. Гомель, ул. Кирова, д. 32а, Институт математики.
Поступило 8 июля 1998 г.
