Измерение момента инерции диска: Методические указания

Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики

В.Г.Казачков Ф.А.Казачкова Т.М. Чмерева

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе №107 по механике «Измерение момента инерции диска»

Оренбург 2001

ББК 22.213я7 К 14 УДК 530.152.1(07)

Рекомендовано к изданию Редакционно–издательским Советом ОГУ Рецензент кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков

Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерева Т.М. К 14 Измерение момента инерции диска:Методические указания.Оренбург:ОГУ,2001.-10 с.

Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы №107 по механике курса общей физики студентами первого курса инженерно-технических специальностей.

ББК 22.213я7 © Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерева Т.М., 2001 © ОГУ, 2001

2

Лабораторная работа № 107 Определение момента инерции диска Цель работы. 1) Изучить основные понятия механики твердого тела. 2) Измерить момент инерции диска.

1 Введение Изучение вращения твердого тела неразрывно связано с понятием момента инерции, который наряду с массой является важнейшей характеристикой динамических свойств твердого тела. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц (материальных точек) с неизменными расстояниями между ними. Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки m на квадрат расстояния r от точки до оси вращения: J = mr 2 .

(1)

Под моментом инерции тела (системы материальных точек) подразумевают физическую величину, равную сумме произведений масс всех его точек на квадраты их расстояний до оси вращения: ∆mi

O

n

J = ∑ ∆mi ri2 ,

(2)

ri

i =1

где

∆mi ri2 - момент инерции i–ой матери-

альной точки твердого тела (рисунок 1). Соотношение (2) является приближенным, при-

O Рисунок 1 3

чем тем более точным, чем меньше массы ∆mi . Следовательно, в случае непрерывного распределения массы выражение (2) сводится к интегралу J = ∫ r 2 dm .

(3)

Из формул (1) – (3) следует, что момент инерции зависит от выбора оси вращения и от характера распределения массы относительно оси вращения. Точки, лежащие вдали от оси вращения, вносят в сумму (2) значительно больший вклад, чем близкие к оси точки. Момент инерции тела характеризует его инертность при вращательном движении, то есть способность тела «сопротивляться» попыткам изменить его угловую скорость. Ось вращения, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела. Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые могут служить свободными осями; они называются главными осями инерции тела. У однородного параллелепипеда главными осями инерции будут оси, проходящие через центры противолежащих граней. У однородного цилиндра (диска) одной из главных осей инерции является ось симметрии, в качестве двух других осей могут служить две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии и проходящие через центр масс те-

O1

ла, как показано на рисунке 2. У однородного шара O2

O3

главными осями являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

O3

O2

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. В

O1 Рисунок 2 4

случае тел произвольной формы эти моменты раз-

личны. Для тела с осевой симметрией (диска) два главных момента имеют одинаковую величину, третий отличен от них:

mR 2 J1 = J 2 = , 4 где

mR 2 J3 = , 2

m – масса диска; R – его радиус.

Для тела с центральной симметрией (шара) все три главных момента инерции одинаковы. Нахождение момента инерции по формуле (3) наиболее просто для тел с однородным распределением массы относительно оси симметрии. Если ось вращения сдвинута по отношению к центру масс на расстояние d, как показано на рисунке 3, то нахождение момента инерции облегчает теорема Штейнера. Момент

O′

O d

инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Jc относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

O Рисунок 3

J = J c + md 2 .

O′

(4)

Теорема Штейнера справедлива только в том случае, когда в процессе движения ось вращения сохраняет постоянное направление. В противном случае момент инерции перестает быть постоянной величиной и формула (4) теряет смысл. В ряде сложных случаев расчета момента инерции проще прибегнуть к лабораторным методам определения моментов инерции тел. С одним из таких методов предлагается познакомиться в данной лабораторной работе. 5

2 Методика эксперимента

В данной лабораторной работе предлагается определить момент инерции тела, используя закон сохранения и превращения энергии. Берется диск, насажанный на вал, как показано на рисунке 4. На этот вал намотан шнур, на конце которого находится гиря массой m. Если поднять груз до верхней отметки и отпустить, то под действием силы тяжести груз начнет опускаться. Запас потенциальной энергии груза будет расходоваться на увеличение кинетической энергии системы и на работу по пре-

m

одолению сил трения. Закон сохранения энергии для

h1

этого случая запишется так:

h2 Рисунок 4

где

mv 2 Jω2 + + Fh1 , mgh1 = 2 2

(5)

mv 2 - кинетическая энергия груза; 2 Jω2 - кинетическая энергия диска; 2 Fh1 - работа сил трения.

Вследствие инерции диска груз вновь поднимается, но уже на высоту h2, на которой он будет иметь потенциальную энергию mgh2 . Убыль потенциальной энергии равна работе по преодолению сил трения: mgh1 − mgh2 = F (h1 + h2 ),

тогда  h − h2   . F = mg  1 + h h  1 2

6

(6)

Движение груза равноускоренное, поэтому

v = at

где

at 2 , и h1 = 2

t – время опускания груза. Значит,

v=

2h1 . t

Угловая скорость вращения вала v ω= , r где

r – радиус вала. Подставляя выражения для F, v, ω в формулу (5) и проведя преобразо-

вания, получим:   gt 2 h2 − 1 . J = mr 2   h1 (h1 + h2 ) 

(7)

3 Порядок выполнения работы 3.1 Определить с помощью штангенциркуля радиус вала r. 3.2 Поднять груз на высоту h1 = 1 м, отпустить его и одновременно включить секундомер. 3.3 Определить время t опускания груза. 3.4 Отметить положение груза после подъема и измерить h2. 3.5 Пункты 3.2 – 3.4 повторить пять раз и вычислить средние значения времени опускания t и высоты подъема h2 по формулам:

7

t=

t1 + t 2 + ... + t5 , 5

h2 =

(h2 )1 +(h2 )2 +...(h2 )5 5

.

3.6 Вычислить абсолютные ошибки измерения времени опускания t и высоты подъема h2 по формулам:

σ 2пр

∆t = 3 ⋅

( t − t1 )2 + (t − t2 )2 + ... + (t − t5 )2 + , 5⋅4

где σ пр = 0.01 с,

∆h2 = 3 ⋅

σ 2пр

2 2 2 ( h2 − (h2 )1 ) + (h2 − (h2 )2 ) + ... + (h2 − (h2 )5 ) + ,

5⋅ 4

где за σ пр принять половину цены деления линейки. Результаты всех измерений внести в таблицу 1. Таблица 1. № опыта

1

2

3

4

5

h2, м t, с t = ... (c),

∆t = ... (c),

h2 = … (м),

∆h2 = …(м), h2 = h2 ± ∆h2 = ... ± ... (м)

t = t ± ∆t = ... ± ... (c)

3.7 По формуле (7) рассчитать момент инерции диска J , подставляя в нее средние значения измеренных величин. 3.8 Абсолютную ошибку ∆J определить по формуле:

8

2

2

mr 2 gt 2 h2  2∆t   h1∆h2   . ∆J =   + h1 (h1 + h2 )  t   h2 (h1 + h2 )

Результат записать в виде J = J + ∆J . 3.9 Момент инерции диска рассчитать также теоретически по формуле:

MR 2 J′ = , 2 где

R – радиус диска; M - масса диска, указана на диске.

Для этого определить с помощью штангенциркуля R и рассчитать J ′ . 3.10 Сравнить значения момента инерции J и J ′ и сделать вывод.

Вопросы для самоконтроля

Вопрос 1. Дайте определение момента инерции материальной точки. Вопрос 2. Дайте определение момента инерции абсолютно твердого тела. Вопрос 3. Какие оси называются главными осями инерции. Вопрос 4. Дайте определения главных моментов инерции. Приведите примеры. Вопрос 5. Сформулируйте теорему Штейнера. Вопрос 6. Расскажите о методе определения момента инерции, используемом в данной работе.

9

Список использованных источников 1 Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики.-М.:Высш.шк.,1989 – 608 с. 2 Савельев И.В. Курс общей физики. т.1.-М.:Наука,1988 – 432 с. 3 Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. т.1.-М.:Наука,1972 – 340 с. 4 Трофимова Т.И. Курс физики.-М.:Высш.шк.,1990 – 478 с.

10