Квадратурные и кубатурные формулы: Методические указания к выполнению лабораторных вычислительных работ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет»

Квадратурные и кубатурные формулы Методические указания к выполнению лабораторных вычислительных работ по курсу «Квадратурные формулы»

Пенза Издательство Пензенского государственного университета 2007

УДК 517 К32

В лабораторных работах изучаются методы приближенного вычисления определенных интегралов как простых, так и кратных. Чтобы облегчить выбор метода интегрирования, дается описание идей, лежащих в основе построения квадратурных формул, что позволяет судить об условиях, при которых взятый метод вычисления может дать хорошую точность результата. В приложении даны варианты заданий вычисления определенных интегралов по квадратурным формулам. Методические указания подготовлены на кафедре «Высшая и прикладная математика» и предназначены для студентов, изучающих курс «Квадратурные формулы», а также могут быть использованы студентами других специальностей при изучении высшей математики.

С о с т а в и т е л и: Н. Ф. Добрынина, Л. Н. Домнин

Р е ц е н з е н т А. А. Ловков, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой «Алгебра» Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского

2

Общие методические указания Порядок выполнения работы 1. Получить у преподавателя задание на выполнение очередной работы (вариант и дополнительные указания). 2. Разработать структуру и алгоритм квадратурной формулы. 3. Реализовать алгоритм в виде текста на языке MathCAD. 4. Подготовить текстовые наборы данных, необходимые для отладки программы и демонстрации ее работоспособности. 5. Отладить полученную программу, используя подготовленные ранее текстовые наборы данных, и сравнить полученные результаты с ожидаемыми. В случае совпадения можно сделать вывод, что программа работает правильно. В противном случае необходимо продолжить отладку программы. 6. Отлаженную программу исполнить в пошаговом режиме с остановками в контрольных точках, тщательно проверяя получаемые промежуточные результаты. Проанализировать полученные конечные результаты. 7. Подготовить и сдать преподавателю отчет о работе.

Постановка задачи численного интегрирования Пусть требуется вычислить определенный интеграл b

I = ∫ f ( x)dx.

(1)

a

Из курса математического анализа известно, что для непрерывной на отрезке [a, b] функции f интеграл (1) существует и равен разности значений первообразной F для функции f в точках b и a : b

I = ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a ).

(2)

a

Однако в подавляющем большинстве практических задач первообразную не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f часто задается в виде таблицы ее значений для оп3

ределенных значений аргумента. Все это порождает потребность в приближенных методах вычисления интеграла (1), которые называются численными методами. Они позволяют найти числовое значение интеграла, основываясь на известных значениях подынтегральной функции (а иногда и ее производных), в заданных точках, называемых узлами. Процесс численного определения интеграла называется квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными. В зависимости от способа задания подынтегральной функции будем рассматривать два различных в смысле их реализации случая численного интегрирования. Задача 1. На отрезке [a, b] в узлах xi заданы значения f i некоторой функции f , принадлежащей некоторому классу F . Требуется приближенно вычислить интеграл (1) и оценить погрешность полученного значения. Так обычно ставится задача численного интегрирования в случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы. Задача 2. На отрезке [a, b] функция f (x) задана в виде аналитического выражения. Требуется вычислить интеграл (1) с заданной предельно допустимой погрешностью ε . Один из возможных способов решения сформулированных задач основан на использовании различных квадратурных формул вида b

n

a

i =1

I ≡ ∫ f ( x)dx ≈ (b − a )∑ Ai f ( xi ) ≡ I n

(3)

с известным остаточным членом Rn [ f ] = I − I n или его оценкой. В общем случае как узловые точки xi , так и весовые множители Ai заранее не известны и подлежат определению при выводе каждой конкретной квадратурной формулы (3) на основе предъявляемых к ней требований. Перейдем к алгоритмам решения сформулированных задач. Алгоритм решения задачи 1. 1. Выбирают конкретную квадратурную формулу (3) и вычисляют I n . Если значения функции f i заданы приближенно, то фактиче4

ски вычисляют лишь приближенное значение I n для точного значения I n . 2. Приближенно принимают, что I ≈ I n . 3. Пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода Δ1 =| I − I n |=| Rn | . 4. Определяют погрешность вычисления I n : Δ 2 =| I n − I n | по погрешностям приближенных значений f i . 5. Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения I n : Δ =| I − I n |≤ Δ1 + Δ 2 . 6. Получают решение задачи в виде I = I n ± Δ. Для достаточно гладких функций, т. е. для функций с ограниченным изменением производных, погрешность квадратурных формул (3) для больших значений n , как правило, мала. Поэтому при достаточной точности исходных значений f i и при достаточной точности вычисления I n можно ожидать, что I n будет хорошим приближением для I . На этих соображениях основан следующий алгоритм. Алгоритм решения задачи 2. 1. Представляют ε в виде суммы трех слагаемых: ε = ε1 + ε 2 + ε 3 , где ε1 – предельно допустимая погрешность метода; ε 2 – предельно допустимая погрешность вычисления I n ; ε 3 – предельно допустимая погрешность округления результата. 2. Выбирают n в квадратурной формуле таким, чтобы выполнялось неравенство Δ1 =| I − I n |=| Rn |≤ ε1. 3. Вычисляют f i с такой точностью, чтобы при подсчете I n по формуле (3) обеспечить выполнение неравенства

5

Δ 2 =| I n − I n |≤ ε 2 . Для этого, очевидно, достаточно вычислить все f i с абсолютной погрешностью

ε n

(b − a )∑ | Ai |

.

i =1

4. Найденную в п. 3 величину I n округляют (если ε 3 ≠ 0) с предельно допустимой погрешностью ε 3 до величины I n . 5. Получают решение задачи в виде I = I n ± ε.

Используемые в алгоритмах обеих задач квадратурные формулы строятся на основании тех или иных критериев, определяющих положение узловых точек и величины весовых множителей. Такими критериями могут быть: представление интеграла в виде интегральной суммы; аппроксимация подынтегральной функции (например многочленом) и последующее интегрирование аппроксимирующей функции; требование, чтобы формула (3) была абсолютно точной для определенного класса функций.

6

Лабораторная работа № 1

Простейшие квадратурные формулы Формула прямоугольников Как известно, определенный интеграл в силу своего построения есть предел интегральных сумм: b

n

∑ hi f (ξi ), ∫ f ( x)dx = maxlim h →0 i =1

(1)

i

a

каждая из которых соответствует некоторому разбиению Dn : a = x0 < x1 < L < xn = b отрезка [a, b] и произвольному набору точек ξi ∈ [ xi−1 , xi ] для каждого разбиения; hi = xi − xi −1. Ограничиваясь конечным числом слагаемых в правой части равенства (1) и принимая в качестве набора ξ i те или иные значения аргумента из отрезков [ xi −1 , xi ] , получим соответственно формулу левых или правых прямоугольников (hi = (a − b) = const ) : n b

n −1

a

i −0

I = ∫ f ( x)dx ≈ (b − a )∑ b

n

a

i =1

I = ∫ f ( x)dx ≈ (b − a)∑

fi = Il , n

(2)

fi = I p. n

(3)

Названия этих формул связаны с их геометрической интерпретацией. Если в плоскости xOy построить кривую y = f ( x) , разбить отрезок [a, b] на n частей точками xi сетки Dn , то формула левых прямоугольников в качестве приближенного значения интеграла даст суммарную площадь заштрихованных прямоугольников на рис. 1, а формула правых прямоугольников – суммарную площадь заштрихованных прямоугольников на рис. 2.

7

Рис. 1

Рис. 2

Наиболее часто используемой формулой, основанной на идее представления определенного интеграла в виде интегральной суммы, является формула прямоугольников, где в качестве ξi берут середины отрезков [ xi −1 , xi ]. Для равномерной сетки ( hi = h ) эта формула имеет следующий вид: b

I = ∫ f ( x)dx ≈ a

b−a n ∑ f 1 = In , n i =1 i − 2

(4)

где f i − 1 = f ( xi − h ); x0 = a, xn = b. Остаточный член приближенной 2 2 формулы (4) имеет вид: Δ≤

b−a 2 h M, 24

где M = max | f ′′( x) | . [ a ,b ]

8

(5)

Формула трапеций Перейдем к другому способу построения квадратурных формул, связанному с аппроксимацией подынтегральной функции на заданном интервале [a, b] . Иллюстрацией к этому методу может служить рис. 3. Представим функцию в виде x−a [ f (b) − f (a)] − ( x − a)( x − b) f ′′(η) ; η ∈ (a, b). f ( x) = f (a) + b−a 2

Рис. 3

Интегрируя правую и левую части этого равенства и используя вторую теорему о среднем значении функции при интегрировании последнего слагаемого правой части, получаем: b

∫ a

f ( x) dx =

3 b−a [ f (b) + f (a)] − (b − a) f ′′(η); η ∈ (a, b). 2 12

Таким образом, предполагая, что отрезок интегрирования мал, получаем квадратурную формулу, называемую формулой трапеций: b

I = ∫ f ( x)dx ≈ a

b−a [ f (a) + f (b)] = I 2 2

(6)

(b − a) 3 f ′′(η); η ∈ (a, b). 2

(7)

с остаточным членом R[ f ] = I − I 2 = −

9

Используя выражение (7) для остаточного члена, оценку погрешности квадратурной формулы (6) можно представить в виде:

Δ1 =

b

∫ f ( x)dx − a

3 b−a ( f (a) + f (b) ) ≤ (b − a) M 2 , 2 12

(8)

где M 2 = max | f ′′( x) | . [ a ,b ]

Оценка вычислительной погрешности при расчетах по формуле (6) для случая, когда значения функции с одинаковой точностью ε , имеет вид Δ2 ≤

b−a (ε + ε) = (b − a )ε. 2

(9)

Задание Вычислить интегралы по квадратурным формулам и оценить погрешности приближенного вычисления. Выяснить, для каких функций квадратурная формула (6) является точной. Сравнить вычислительные погрешности квадратурных формул прямоугольников и трапеций.

10

Лабораторная работа № 2

Интерполяционные методы вычисления интегралов по значениям функции. Правила Котеса В лабораторной работе изучаются правила приближенного интегрирования по нескольким значениям функции f (x) : b

n

a

k =1

∫ p( x) f ( x)dx = ∑ Ak f ( xk ) + R.

(1)

Это равенство считается интерполяционным. Рассмотрим правила приближенных квадратур, для которых выполняется алгебраическое интерполирование функции по ее значениям xk (k = 1, 2, K, n). Линейная комбинация S n (x), интерполирующая функцию f (x) , является алгебраическим многочленом степени n − 1 : ω( x) f ( xk ), ω( x) = ( x − x1 )K ( x − xn ). k =1 ( x − xk )ω′( xk ) n

S n ( x) = ∑

Коэффициенты Ak могут быть получены с помощью интегрирования интерполяционных множителей Лагранжа: b

−1 Ak = [ω′( xk )] ∫ p( x)ω( x)( x − xk ) −1 dx.

(2)

a

Квадратурные формулы с коэффициентами вида (2) характеризуются требованием, чтобы равенство (1) выполнялось точно всякий раз, когда f (x) есть произвольно взятый алгебраический многочлен степени, не большей n − 1. Выражение для остаточного члена R получается из представления остатка алгебраического интерполирования по значениям функции b

R = (n!) −1 ∫ p( x)ω( x) f ( n ) (ξ)dx, a

11

(3)

где величина ξ зависит от значения переменной x. Каждая интерполяционная формула (1)–(2) определяется расположением узлов xi (i = 1, K, n). Простейшим случаем является тот, когда функция f (x) дана на равноотстоящих точках. Пусть отрезок интегрирования [a, b] конечный, и предположим, что он разделен на n равных частей с шагом h = (b − a) . Будем считать, что интегn рируемая функция f (x) известна в точках xk = a + kh. Если все xk (k = 0, 1, K, n) без исключения принять за узлы квадратурной формулы, то формула будет иметь следующий вид: b

n

a

k =0

∫ p( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ak f (a + kh), Ak = (b − a )

(4)

( −1) n−k t (t − 1)K (t − n) p (a + ht ) dt. ∫ k!(n − k )! 0 t−k n

Числа Bk , определенные последним равенством, не зависят от промежутка интегрирования, и для них могут быть составлены таблицы значений в случае наиболее часто встречающихся весовых функций p (x) . Формулу (4) называют формулой Котеса. Если весовая функция p ( x) = 1 , то квадратурная формула имеет вид b

∫

n

f ( x)dx = (b − a )∑ Bk f (a + kh) + R.

(5)

k =0

a

Котесом были вычислены Bk для n = 1(1)10 (таблица). Если число узлов n + 1 в формуле Котеса (5) нечетное, то алгебраическая степень точности формулы равна n + 1 и остаток R представим в виде b

R = ∫ f ( n + 2 ) ( x) K ( x)dx, a

12

K ( x) =

(b − x) n + 2 b − a n − Bk E (a + kh − x)(a + kh − x) n + 1. (6) ∑ (n + 2)! (n + 1)! k =1 Числа Бернулли

n=1 n=2

n=3 n=4 n=5 n=6

B0 = B1 =

1 2

B0 = B2 =

1 6

B1 =

B0 = B3 =

1 8

B1 = B2 =

3 8

B0 = B4 =

7 90

B1 = B3 =

32 90

B2 =

B0 = B5 =

19 288

B1 = B4 =

75 288

B2 = B3 =

50 288

B0 = B6 =

41 840

B1 = B5 =

216 840

B2 = B4 =

27 840

B3 =

n=7

n=9

12 90

272 840

B0 = B7 = B3 = B4 =

n=8

4 6

751 17280

B1 = B6 =

3577 17280

B2 = B5 =

1323 17280

2989 17280

989 28350 10496 B3 = B5 = 28350 B0 = B8 =

2857 89600 19344 B3 = B6 = 89600 B0 = B9 =

5888 28350 4540 B4 = − 28350 B1 = B7 =

15741 89600 5778 B4 = B5 = 89600 B1 = B8 =

13

B2 = B6 = −

B2 = B7 =

928 28350

1080 89600

n = 10

16067 598752 272400 B3 = B7 = 598752

106300 598752 260550 B4 = B6 = − 598752

B0 = B10 =

B1 = B9 =

48525 598752 427368 B5 = 598752 B2 = B8 = −

При этом K ( x) ≤ 0(a ≤ x ≤ b). На отрезке [a, b] существует число ζ такое, что для R верно равенство R=

f ( n + 2 ) (ζ ) xω( x) dx, (n + 2)! ∫a b

(7)

ω( x) = ( x − a)( x − a − h) K ( x − a − nh).

Если же число n + 1 четное, то алгебраическая степень точности равна n . Для остатка имеет место представление b

R = ∫ f ( n +1) ( x) K ( x)dx, a

а ядро остатка можно вычислить по формуле K ( x) =

(b − x) n+1 b − a n − ∑ Bk E (a + kh − x)(a + kh − x) n (n + 1)! n! k =1

и K ( x) ≤ 0[a ≤ x ≤ b]. На отрезке [a, b] существует точка ξ такая, что R=

f ( n +1) (ξ) ω( x)dx. (n + 1)! ∫a b

b

Множитель ∫ ω( x)dx отрицателен. a

В приближенном вычислении интегралов применяются формулы Котеса при небольших значениях n. При n = 1 равенство (7) будет иметь вид

14

b

∫

f ( x)dx =

a

⎤ (b − a )3 b−a ⎡ f ′′(ξ) ⎥. ⎢ f (a) + f (b) − 2 ⎣ 12 ⎦

(8)

Это простейшая квадратурная формула – «формула трапеций». Она имеет малую точность. Остаточный член

R=−

(b − a) 3 f ′′(ξ) 12

содержит множитель (b − a) 3 , и если вторая производная f ′′ – мало изменяющаяся функция, то при уменьшении длины отрезка интегрирования b − a в k раз, остаток R уменьшится приблизительно в k 3 раз. Этим можно воспользоваться для повышения точности результата. Разделим отрезок [a, b] на некоторое число n равных частей длины h = (b − a) / n (рис. 1). y

y = f(x)

y0 y1

yi

yn

h h h h h h h xi xi+1 xn x0 x1 x2 a b

} } } } } } }

0

x

Рис. 1

Если простейшую формулу трапеций применить к каждому из частичных отрезков и сложить результаты, получим общую «формулу трапеций»: b

∫ f ( x)dx = a

b − a ⎡1 1 ⎤ (b − a ) 3 + + + + + f f f K f fn − f ′′(ξ), (9) n − 0 1 2 1 n ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ 12n 3

15

f k = f (a + kh). При n = 2 формула (7) приводит к простейшему правилу парабол (рис. 2), т. е. к формуле Симпсона: b

∫

f ( x)dx =

a

5 ( 4) (b − a) [ f (a) + 4 f (a + h) + f (b)] − (b − a) f (ξ) ; 6 2 90

h=

(b − a ) , a < ξ < b. 2

Рис. 2

Соответствующая общая «формула парабол» имеет вид b

∫ f ( x)dx = a

b−a [ f 0 + f n + 2( f 2 + f 4 + K + f n − 2 ) + 3n

+ 4( f1 + f 3 + K + f n−1 )] −

(b − a) 5 ( 4 ) f (ξ). 180n 4

(10)

Число n должно быть четным. Для n = 3 из формулы (7) получается ньютоново «правило трех восьмых» в его простейшем виде b

5 3 3 1 ⎡1 ⎤ (b − a) (4) f ( x ) dx = ( b − a ) f ( a ) + f ( a + h ) + f ( a + 2 h ) + f ( b ) − ∫ ⎢8 ⎥ 6480 f (ξ), 8 8 8 ⎣ ⎦ a

16

b−a , a ≤ ξ ≤ b. n Общее «правило трех восьмых» имеет следующую форму: h=

b

3h

∫ f (x)dx = 8 [ f

0

+ f n + 2( f 3 + f 6 + f 9 +K) + 3( f1 + f 2 + f 4 + f 5 + f 7 + f 8 +K)] −

a

−

(b − a ) 5 ( 4 ) f (ξ) , 80n 4

b−a , a ≤ ξ ≤ b. n Число n должно быть кратным 3. Из сравнения остаточных членов формулы Симпсона и «правила трех восьмых» следует, что погрешность «правила трех восьмых» превосходит погрешность формулы Симпсона приблизительно вдвое. h=

Задание 1 1. Составить программу вычисления по формуле Котеса при n = 1 (по «формуле трапеций»). Вычислить интегралы; определить погрешности R. Увеличить число узлов разбиения в k = 3 раз, снова вычислить интегралы и погрешности. Показать, что точность вычислений при увеличении числа узлов разбиения, увеличивается в k 3 раз. Эту операцию провести для двух видов подынтегральных функций, одна из которых гладкая функция. 2. Вычислить интегралы по формуле Симпсона; определить погрешности. Увеличить точность, изменив число n (n – четное число). 3. Вычислить интегралы по «правилу трех восьмых»; определить погрешности. Увеличить точность, изменив число n (n – кратное 3). 4. Вычислить интегралы по формулам Симпсона и «правилу трех восьмых» при числе узлов, кратном 6; определить погрешности и сравнить их. Особенности коэффициентов Ak делают формулу Котеса при больших n малопригодной для вычислений. Для построения квадратурной формулы, не имеющей этого недостатка и предназначенной 17

для интегрирования функций, заданных в системе равноотстоящих узлов, необходимо, чтобы квадратурная формула была интерполяционной и ее коэффициенты Ak определялись из условия, при котором равенство (1) выполнялось точно для многочленов степени n. Ослабим это условие и будем считать, что равенство (1) будет точным для всех степеней x от нулевой до некоторой степени m , меньшей числа n. Получаем систему m + 1 уравнений для Ak , остальные n − m остаются произвольными. Так были получены квадратурные формулы Уэддля при n = 6 : α = 1: b

∫ f ( x)dx ≈ a

b−a [ f 0 + 5 f1 + f 2 + 6 f 3 + f 4 + 5 f 5 + f 6 ] ; 20

α = 7: b

∫ f ( x)dx ≈ a

b−a [24( f 0 + f 6 ) + 87( f1 + f 5 ) + 66( f 2 + f 3 + f 4 )] ; 420

α = 9: b

∫ f ( x)dx ≈ a

b−a [25( f 0 + f 6 ) + 81( f1 + f 2 + f 4 + f 5 ) + 46 f 3 ] . 420

Задание 2 Вычислить значения интегралов при n = 6, 12, 18, 24, 30. Определить оценку погрешности при разных значениях n . Построить график изменения погрешности.

18

Лабораторная работа № 3

Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева Квадратурная формула Гаусса В этой лабораторной работе рассматриваются правила приближенного интегрирования, имеющие наивысшую алгебраическую степень точности b

n

Ak f ( xk ). ∫ p( x) f ( x)dx ≈ ∑ k =1

(1)

a

Вес p (x) считается таким, что его произведение на многочлен любой степени есть интегрируемая функция на отрезке [a, b] и, кроме того, b

∫ p( x) dx > 0. a

Формула содержит 2n параметров Ak и xk (k = 1, 2, K, n) . Их выбором можно сделать равенство точным для всяких многочленов, имеющих степень не выше 2n − 1. По абсциссам xk построим многочлен ω( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) K ( x − xn ) = x n + a1 x n−1 + K + a n . Чтобы равенство (1) имело наивысшую алгебраическую степень точности, необходимо и достаточно выполнение двух условий: 1. Формула (1) интерполяционная и коэффициенты ее имеют значения b

∫

Ak = p( x) a

ω( x) dx. ( x − xk )ω′( xk )

2. Многочлен ω(x) ортогонален на [a, b] по весу p (x) ко всякому многочлену Q (x) степени, меньшей n : b

∫ p( x)ω( x)Q( x)dx = 0. a

19

Если p( x) ≥ 0 , то многочлен ω(x) , удовлетворяющий условию ортогональности, существует для любого n . Такой многочлен единственный, корни его xk (k = 1, 2, K, n) действительны, различны и лежат внутри отрезка [a, b]. Наивысшая степень точности 2n − 1 . Коэффициенты Ak имеют одинаковые знаки. Погрешность определяется по формуле b

1 Rn ( f ) = p ( x ) ω 2 ( x ) f ( 2 n ) ( ξ ) dξ , 2n! a

∫

где ξ( x) ∈ [a, b]. Если вес p (x) сохраняет свой знак на [a, b] , то существует такая точка η ∈ [a, b], что b

Rn ( f ) =

f 92 n ) (η) p( x)ω2 ( x)dx. 2n! a

∫

Если весовая функция p( x) = 1, то получаем квадратурную формулу Гаусса. Она дает наилучшую точность в том случае, когда интегрируемая функция не имеет особенностей на отрезке интегрирования и обладает высоким порядком гладкости. Линейным преобразованием независимой переменной отрезок можно привести к стандартному отрезку [−1,1] : 1

∫

−1

f ( x)dx =

n

∑A

k

f ( xk ) + R ( f ).

k =1

Степень точности равна 2n − 1. Систему многочленов, ортогональных на [−1,1], образуют многочлены Лежандра Pn ( x) =

1 dn 2 ( x − 1) n . 2 n n! dx n

Абсциссы xk являются нулями многочлена Pn : Pn ( xk ) = 0. Коэффициенты квадратурной формулы определяются следующим образом:

20

Ak =

2

′ (1 − xk2 )[ Pn ( xk )]2

,

остаточный член 2

⎡ (n!) 2 ⎤ ( 2 n ) 2 2 n+1 R( f ) = (η), ⎢ ⎥ f (2n + 1)(2n)! ⎣ (2n)!⎦ где − 1 < η < 1. Выведем квадратурную формулу Гаусса. Рассмотрим функцию y = f (t ), заданную в стандартном интервале [−1,1]. Это можно сделать путем линейной замены независимого переменного по формуле b+a b−a x= + t. 2 2 Поставим задачу: как нужно подобрать узлы t1 , t 2 , K , t n и коэффициенты A1 , A2 ,K , An , чтобы квадратурная формула 1

∫

f (t )dt =

n

∑ A f (t ) i

i

(2)

i =1

−1

была точной для всех полиномов f (t ) наивысшей возможной степени N . В нашем распоряжении имеются 2n постоянных: ti , Ai (i = 1, 2, K, n), а полином степени 2n − 1 определяется 2n коэффициентами. Поэтому наивысшая степень многочлена, в общем случае, равна N = 2n − 1. Для обеспечения равенства (2) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при f (t ) = 1, t , t 2 ,K , t 2 n−1. Действительно, полагая 1

∫

−1

t k dt =

n

∑ At

k i i , (k

i =−1

= 0,1,2,K ,2n − 1)

и

f (t ) =

2 n −1

∑c t , k k

k =0

21

(3)

будем иметь: 1

∫

−1

f (t )dt =

1

2 n −1

∑c ∫t k

k =0

k

dt =

2 n −1

n

k

r =0

−1

2 n −1

n

n

∑ c ∑ A t = ∑ A ∑ c t = ∑ A f (t ). k i i

i

i =0

i =0

k k i

k =0

i

i

i =1

Учитывая соотношения 1

∫

t k dt =

−1

1 − (−1) k +1 , k +1

заключаем, что для решения задачи достаточно определить ti и Ai из системы 2n уравнений ⎫ ⎪ i =1 ⎪ n ⎪ Ai ti = 0, ⎪ i =1 ⎪ ............. ⎬ n ⎪ 2 ,⎪ Ai ti2 n−2 = 2n − 1 ⎪ i =1 n ⎪ Ai ti2 n−1 = 0. ⎪ i =1 ⎭ n

∑ A = 2, i

∑

(4)

∑

∑

Система (4) нелинейная и ее решение вызывает большие математические трудности. Однако здесь можно применить искусственный прием. Рассмотрим полиномы f (t ) = t k Pn (t )(k = 0, 1, K, n − 1), где Pn (t ) – полином Лежандра. Степени этих многочленов не превышают 2n − 1, поэтому на основании системы (4) для них должна быть справедлива формула (2) и справедлива система 1

∫

−1

t k Pn (t )dt =

n

∑ At

k i i Pn (ti )( k

i =1

22

= 0,1,K , n − 1).

(5)

С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены равенства 1

∫t

k

Pn (t )dt = 0 при k < n,

−1

поэтому n

∑At

k i i Pn (t i )

i =1

= 0, (k = 0, 1, K, n − 1).

(6)

Равенства (6) будут выполняться при любых значениях Ai , если положить Pn (ti ) = 0, (i = 1, 2, K, n), (7) т. е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (2) в качестве узлов ti достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно, эти нули действительны, различны и расположены в интервале [−1,1]. Зная абсциссы ti , можно найти из линейной системы коэффициенты Ai (i = 1, 2, K, n). Определитель этой системы есть определитель Вандермонда D=

∏ (t

i

−tj) ≠ 0

i> j

и, следовательно, Ai определяются однозначно. Формула (2), где ti – нули многочлена Лежандра Pn (t ) и Ai (i = 1, 2, K, n) определяются из системы (4), называется квадратурной формулой Гаусса. В табл. 1 даны приближенные значения узлов ti и коэффициентов Ai в квадратурной формуле Гаусса для n = 1, 2, K, 8. Недостаток применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что абсциссы точек ti и коэффициенты Ai – иррациональные числа. Достоинство – высокая точность при малом числе ординат.

23

Таблица 1 Элементы формулы Гаусса

n

I

ti

Ai

1

1

0

2

2

1;2

m0,57735027

1

3

1;3 2

m0,77459667

0,55555556 0,88888889

1;4 2;3

m0,86113631

4

0

m0,33998104

0,34785484 0,65214516

1;5 2;4 3

m 0,906113631 m 0,53846931 0

0,23692688 0,47862868 0,56888889

6

1;6 2;5 3;4

m0,93246951 m 0,66120939 m 0,23861919

0,17132450 0,36076158 0,46791394

7

1;7 2;6 3;5 4

m 0,94910791

0,12948496 0,27970540 0,38183006 0,41795918

1;8 2;7 3;6 4;5

m0,96028986

5

8

m 0,74153119 m 0,40584515 0 m 0,79666648 m 0,52553242 m 0,18343464

0,10122854 0,22238104 0,31370664 0,36268379

Рассмотрим использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления интеграла b

∫ f ( x)dx. a

Делая замену переменной x=

b+a b−a + t, 2 2

24

получим: b

∫ a

1

b−a ⎛b+a b−a ⎞ + f ( x) dx = f⎜ t ⎟dt. 2 −1 ⎝ 2 2 ⎠

∫

Применяя к этому интегралу квадратурную формулу Гаусса (1), имеем: b

∫

f ( x)dx =

a

b−a 2

n

∑ A f ( x ), i

(8)

i

i =1

где xi =

b+a b−a + ti (i = 1, 2, K, n), 2 2

ti – нули полинома Лежандра Pn (t ), т. е. Pn (ti ) = 0. Остаточный член формулы Гаусса с n узлами выражается следующим образом: Rn =

(b − a ) 2 n+1 (n!) 4 f ( 2 n ) (ξ) . [(2n)!]3 ( 2n + 1)

Схема вычисления интеграла по формуле Гаусса: 1. Определить значения узлов интегрирования xi . 2. Определить значения подынтегральной функции в узлах интегрирования yi . 3. Определить значения коэффициентов квадратурной формулы Ci =

b−a Ai . 2

4. Определить приближенное значение интеграла

n

∑ Ci y i . i =1

5. Сделать оценку погрешности Rn .

25

Задание Просчитать интегралы по формуле Гаусса при n = 6, 7, 8.

Квадратурная формула Чебышева Рассмотрим квадратурную формулу 1

∫

−1

n

f (t ) dt = ∑ Bi f (ti ),

(9)

i =1

где Bi – постоянные коэффициенты. Чебышев предложил выбрать абсциссы ti таким образом, чтобы: 1) коэффициенты Bi были равны между собой; 2) квадратурная формула (9) являлась точной для всех полиномов степени n включительно. Найдем коэффициенты Bi и узлы ti , полагая B1 = B2 = K = = Bn = B. Возьмем функцию f (t ) = 1, будем иметь n

2 = ∑ Bi , i =1

откуда B = 2 . n Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид 1

∫

f (t )dt =

−1

2 n ∑ f (ti ). n i =1

(10)

Для определения абсцисс ti заметим, что формула (10), согласно условию (2), должна быть точной для функций вида f (t ) = t , t 2 ,K , t n . Подставляя эти функции в формулу (10), получим систему уравнений

26

t1 + t 2 + K + t n = 0, ⎫ ⎪ n t12 + t 22 + K + t n2 = , ⎪ 3 ⎪ 3 3 3 t1 + t 2 + K + t n = 0, ⎪⎪ n 4 4 4 ⎬ t1 + t 2 + K + t n = , ⎪ 5 ⎪ ......................... n +1 ⎪ n[1 − (−1) ] ⎪ t1n + t 2n + L + t nn = 2(n + 1) ⎪⎭

(11)

из которой могут быть определены неизвестные ti (i = 1, 2, K, n). Решение системы (11) сводится к нахождению корней алгебраического уравнения степени n. В табл. 2 приведены значения корней ti системы (11). Таблица 2 Значения абсцисс в формуле Чебышева

n

i

ti

2

1;2

m0,577350

3

1;3 2

0

4

1;4 2;3

m0,794654 m 0,187592

5

1;5 2;4 3

m 0,832498 m 0,374541

1;6 2;5 3;4

m0,866247 m 0,422519

1;7 2;6 3;5 4

m 0,883862 m 0,529657

6

7

m0,707107

0

m 0,266635

m 0,323912 0

27

Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида b

∫ f ( x)dx, a

следует преобразовать его с помощью подстановки b+a b−a + t, 2 2 переводящей отрезок a ≤ x ≤ b в отрезок − 1 ≤ t ≤ 1. Применяя к преобразованному интегралу формулу Чебышева (10), будем иметь: x=

b

∫ a

где xi =

f ( x)dx =

b−a n ∑ f ( xi ), n i =1

b+a b−a + ti ; ti – корни системы (11). 2 2

Задание Вычислить определенный интеграл по квадратурной формуле Чебышева при n = 5,6,7. Вычислить погрешность и построить график изменения погрешности при увеличении n.

28

Лабораторная работа 4

Кубатурные формулы Кубатурные формулы предназначены для вычисления двойных интегралов. Пусть функция z = f ( x, y ) определена и непрерывна в некоторой ограниченной области (σ). В этой области выбирается система узлов M i ( xi , yi ) (i = 1, 2, K, N ) (рис. 1).

Рис. 1

Для вычисления двойного интеграла

∫∫ f ( x, y)dxdy

(σ)

приближенно полагают

∫∫

(σ)

N

f ( x, y )dxdy = ∑ Ai f ( xi , yi ).

(1)

i =1

Чтобы найти коэффициенты Ai , потребуем выполнения кубатурной формулы (1) для всех полиномов Pn ( x, y ) =

∑ ckl x k y l ,

k +l < n

степень которых не превышает заданного числа n.

29

(2)

Для этого необходимо и достаточно, чтобы формула (1) была точной для произведения степеней x k y l (k , l = 0, 1, 2, K, n; k + l ≤ n). Полагая в (1) f ( x, y ) = x k y l , будем иметь: N

I kl = ∫∫ x k y l dxdy = ∑ Ai xik yil (σ)

l =1

k , l = 0, 1, K, n; k + l < n .

(3)

Таким образом, коэффициенты Ai формулы (1), вообще говоря, могут быть определены из системы линейных уравнений (3). Для того чтобы система (3) была определенной, необходимо, чтобы число неизвестных N было равно числу уравнений. Отсюда, составляя «решетку показателей» (рис. 2), получаем: N = ( n + 1) + n + K + 1 =

( n + 1)(n + 2) . 2

Рис. 2

Рассмотрим еще один прием вычисления двойного интеграла. Пусть область интегрирования ограничена непрерывными однозначными кривыми y = ϕ( x), y = ψ ( x)(ϕ( x) ≤ ψ( x)0 и двумя вертикалями x = a, x = b (рис. 3).

30

Рис. 3

Расставляя по известным правилам двойного интегрирования пределы интегрирования, будем иметь: I=

∫∫

ψ( x)

b

∫ ∫ f ( x, y)dy.

f ( x, y ) dxdy = dx

(σ)

(4)

ϕ( x )

a

Пусть ψ( x)

F ( x) =

∫ f ( x, y)dy.

(5)

ϕ( x )

Тогда

∫∫

b

∫

f ( x, y )dxdy = F ( x)dx.

(σ)

(6)

a

Применяя к однократному интегралу, стоящему в правой части равенства (6), одну из квадратурных формул, получим:

∫∫

f ( x, y ) dxdy =

n

∑ A F ( x ), i

i

(7)

i =1

(σ)

где xi ∈ [a, b](i = 1, 2, K, n) и Ai – некоторые постоянные коэффициенты.

31

В свою очередь, значения ψ ( xi )

∫ f ( x , y)dy

F ( xi ) =

i

ϕ ( xi )

могут быть найдены по некоторым формулам квадратур F ( xi ) =

mi

∑B

ij

f ( xi , y j ),

j =1

где Bij – соответствующие постоянные. Из формулы (7) выводим

∫∫

(σ)

f ( x, y )dxdy =

n

mi

∑∑ A B i

ij

f ( xi , y j ),

i =1 j =1

где Ai и Bij – известные постоянные.

Кубатурная формула Симпсона Пусть сначала область интегрирования есть прямоугольник R : [a ≤ x ≤ A; b ≤ y ≤ B], стороны которого параллельны осям координат (рис. 4).

Рис. 4

32

(8)

Каждый из промежутков [a, A] и [b, B] разобьем пополам точками

x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h = A; y0 = b, y1 = b + k , y 2 = b + 2k = B, где A−a B−b , k= . 2 2 Всего получим девять точек ( xi , y j )(i, j = 0, 1, 2). Имеем h=

∫∫

A

B

∫ ∫

f ( x, y )dxdy = dx f ( x, y )dy.

(R)

a

(9)

b

Вычисляя внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона, находим:

∫∫

A

f ( x, y ) dxdy =

(R)

=

k [ f ( x, y0 ) + 4 f ( x, y1 ) + f ( x, y2 )]dx = 3a

∫

A A A ⎤ k⎡ ⎢ f ( x, y0 ]dx + 4 f ( x, y1 )dx + f ( x, y2 )dx ⎥. 3 ⎣⎢ a a a ⎦⎥

∫

∫

∫

Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, получим: hk ∫∫ f ( x, y)dxdy = 9 [[ f ( x , y ) + f ( x , y ) + f ( x , y ) + f ( x , y )] + 0

0

2

0

0

2

2

2

(R)

+ 4[ f ( x1 , y0 + f ( x0 , y1 ) + f ( x2 , y1 ) + f ( x1 , y 2 )] + 16 f ( x1 , y1 )] .

(10)

Формулу (10) будем называть кубатурной формулой Симпсона. Следовательно,

∫∫ f ( x, y)dxdy =

(R)

hk (σ 0 + 4σ1 + 16σ 2 ), 9

(11)

где σ 0 – сумма значений подынтегральной функции f ( x, y ) в вершинах прямоугольника R ; σ1 – сумма значений f ( x, y ) в серединах 33

сторон прямоугольника R ; σ 2 = f ( x1 , y1 ) – значение функции f ( x, y ) в центре прямоугольника. Если размеры прямоугольника R велики, то для увеличения точности кубатурной формулы область R разбивают на систему прямоугольников, к каждому из которых применяют кубатурную формулу Симпсона. Положим, что стороны прямоугольника R разделили на n и m равных частей; в результате получилась относительно крупная сеть nm прямоугольников. Каждый из этих прямоугольников, в свою очередь, разделим на четыре равные части. Вершины этой мелкой сети примем за узлы M ij кубатурной формулы. Пусть B−b A−a . и k= 2m 2n Тогда сеть узлов будет иметь следующие координаты: h=

xi = x0 + ih( x0 = a; i = 0, 1, 2, K, 2n) и yi = y0 + jk ( y0 = b; j = 0, 1, 2, K, 2m). Для сокращения введем обозначение f ( xi , y j ) = f ij . Применяя формулу (10) к каждому из прямоугольников крупной сети, будем иметь:

∫∫

f ( x, y )dxdy =

(r )

hk 9

∑∑ [( f n

m

2i , 2 j

+ f 2i + 2, 2 j + f 2i +2, 2 j + 2 + f 2i , 2 j +2 ) +

i =0 j =0

]

+ 4( f 2i +1, 2 j + f 2i + 2, 2 j +1 + f 2i +1, 2 j + 2 + f 2i , 2 j +1 ) + 16 f 2i +1, 2 j +1 .

Отсюда окончательно находим квадратурную формулу Симпсона:

∫∫

(R)

f ( x, y ) =

hk 9

2n 2m

∑∑ λ

ij f ij ,

(12)

i =0 j =0

где коэффициенты λ ij являются соответствующими элементами матрицы

34

⎛1 4 2 4 2 ⎜ ⎜ 4 16 8 16 8 ⎜2 8 4 8 4 ⎜ λ ij = ⎜ . . . . . ⎜ ⎜2 8 4 8 4 ⎜ 4 16 8 16 8 ⎜ ⎝1 4 2 4 2

1⎞ ⎟ ... 16 8 16 4 ⎟ ... 8 4 8 2 ⎟ ⎟ . . . . .⎟. ⎟ ... 8 4 8 2 ⎟ ... 16 8 16 4 ⎟ ⎟ ... 4 2 4 1 ⎠

...

4

2

4

Если область интегрирования σ – криволинейная, то строим прямоугольник R ⊃ σ, стороны которого параллельны осям координат (рис. 5).

Рис. 5

Рассмотрим вспомогательную функцию ⎧ f ( x, y ), ( x, y ) ∈ σ; f ∗ ( x, y ) = ⎨ ⎩ 0, ( x, y ) ∈ R − σ. В таком случае имеем:

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f

(σ)

∗

( x, y )dxdy.

(R)

Последний интеграл может быть вычислен по кубатурной формуле (12).

35

Метод Монте-Карло Одним из методов приближенного вычисления значений интегралов, при котором погрешность оценивается не гарантированно, а лишь с некоторой степенью достоверности, является метод МонтеКарло. Пусть требуется вычислить приближенное значение интеграла I( f ) =

∫∫ f ( P)dP.

(G )

Предположим, что каким-то образом удалось получить N случайных попарно независимых точек P1 ,K , PN , равномерно распределенных в G. Обозначим через M (s ) математическое ожидание случайной величины s, а через D(s ) – ее дисперсию. Случайные величины s j = f ( Pj ) попарно независимы и одинаково распределены, причем M (s j ) =

∫∫ f ( P)dP = I ( f )

(G )

и D( s j ) = M ( s 2j ) − ( M ( s j )) 2 = D ( f ), где D( f ) = I ( f 2 ) − ( I ( f )) 2 . Положим, SN ( f ) =

N

1 N

∑s . j

j =1

Учитывая свойства величин s j , имеем: M ( S N ( f )) = D( S N ( f )) =

1 N2

1 n

N

∑ M (s

y)

= I ( f ),

j =1

N

1

∑ ND(s ) = N D( f ). j

j =1

36

С вероятностью 1 − η выполняется неравенство Чебышева D( f ) . ηN Полагая η = 0,01, получаем: с вероятностью 0,99 выполняется неравенство D( f ) | S N ( f ) − I ( f ) |≤ 10 . N Оценка получается лучше, если точки Pj не только попарно неза| S N ( f ) − I ( f ) |≤

висимы, но и независимы в совокупности. Тогда, согласно центральной предельной теореме, случайная величина SN ( f ) − I ( f ) D( f ) N распределена асимптотически нормально с функцией распределения 1 Φ( y) = 2π

y

∫

exp(−

−∞

t2 )dt. 2

Таким образом, при больших значениях N выполняется неравенство D( f ) | S N ( f ) − I ( f ) |≤ y . N Полагая y = 3 и y = 5, получаем, что неравенства D( f ) D( f ) и | S N ( f ) − I ( f ) |≤ 5 N N выполняются соответственно с вероятностями 0,997 и 0,99999. Сформулированные утверждения называются правилами «трех сигм» и «пяти сигм» соответственно. | S N ( f ) − I ( f ) |≤ 3

Задание Вычислить двойной интеграл аналитически, по формуле Симпсона, по методу Монте-Карло. Вычислить абсолютные погрешности приближенных методов интегрирования. Построить график зависимости абсолютной погрешности от числа узлов. 37

Список литературы 1. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М. : Наука, 1987. – 599 с. 2. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов. – М. : ГИФМЛ, 1959. – 327 с. 3. Крылов, В. И. Справочная книга по численному интегрированию / В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина. – М. : Наука, 1966. – 370 с. 4. Крылов, В. И. Вычислительные методы Т. 1. / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский. – М. : Наука, 1976. – 303 с. 5. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. – М. : Наука, 1988. – 255 с.

38

ПРИЛОЖЕНИЕ

Варианты заданий I. Вычислить интегралы: 1

1)

∫

2

e − x dx, n = 10;

0

∫

2

e x dx, n = 10;

1

∫

xdx , n = 8; 1 + x 0

5

0,5

∫

dx , n = 6; x

∫ 1, 2

5, 2

∫ ln xdx, n = 6; 4

∫

x sin xdx.

∫

x cos xdx.

π

cos x 2 dx, n = 10;

0

10)

1 − 0,75 x 2 dx. 1 − x2

0

1

∫

1 − 0,25 x 2 dx. 1 − x2

1

sin x 2 dx, n = 10;

0

9)

∫

1 − 0,25 sin 2 x

0

1

∫

0

dx

1

ln(1 + x 2 )dx, n = 6;

0

8)

∫ 0

1

∫

0

0,5

6 x − 5dx, n = 10;

(arctgx) 2 dx. x

3

∫

9

7)

π

∫ 1

6)

∫ 0

1

5)

∫

x2 dx. 4

ln(1 + x 2 ) dx. 1 + x2

0,5

(3x 2 − 4 x)dx, n = 4;

0

4)

1

0

0

3)

∫

cos

0

1

2)

0,5

dx

∫ 1+ x + 0 π 2

∫ x+ 0

sin x

dx . cos x

39

.

.

3

dx 11) , n = 4; 1+ 4 1 12)

∫

∫ 1+

1, 6

π

π

π

2

4

dx 14) , n = 6; 1 + x2 0

∫ 1

∫

1+ x

2

, n = 10;

1

dx 16) , n = 8; 1 + x3 0

2

1

∫e ∫e 1

− 4 x 3 + 2 x +1

2

π

0

∫ 1

π

2

∫ 0

cos x dx, n = 8; x cos x dx, n = 8; 1+ x

0, 2

πx 2 21) cos dx, n = 8; 2 0

∫

dx.

sin x dx. 2 +1

0

∫

2

dx .

0

∫ 1

.

0

1

∫

.

x

−5 x3 + x +0 , 5

2

lg x dx, n = 10; x

2

0

∫x

1

x

dx

∫ 1 + cos

∫

17) x lg xdx, n = 10;

3

0

1

dx

0

20)

dx

∫ 1 + sin

1

19)

2

dx , n = 10; x 0 ,1

∫

18)

dx . ln x

∫

sin x 13) dx, n = 6; x π

15)

3

ln(1 + x ) dx. 3 x

2

∫

1 − 0,5 sin 2 x dx.

0

π

2

sin 0,1x . x 0

∫

1, 5 0 ,1 x

∫

e

1

e − x sin 0,5 x dx. 0,5 + x 2

0,5

∫ 0

x 2

40

dx.

1

22)

1

0,5 + x 2 dx. 1 + cos 0,5 x 0

ln(1 + x) dx, n = 8; 1 Б+ x 2 0

∫

∫

1

π 2

sin 0,15 x dx. x 0

arctgx 23) dx, n = 10; x 0

∫

0,5

24)

∫ 0

dx 1 − 0,25 x

0,5

25)

∫ 0

2

dx 1 − 0,75 x 2

∫

, n = 6;

1, 5 0 ,15 x

∫

e

1

sin 0,6 x dx. 2 + 0,6

0,5

, n = 8;

x

dx.

∫x 0

II. Вычислить кратные интегралы: 1)

∫∫ xydxdy;

D : x = 3, x = 5,3 x − 2 y + 4 = 0,3 x − 2 y + 1 = 0.

D

2) 2)

∫∫ e

x+ y

dxdy;

D : x = 0, y = 0, x + y = 2.

D

3)

∫∫ D

4)

x2 dxdy; 1+ y2

D : x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

∫∫ xydxdy;

D : x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ 0.

∫∫ e

D : y ≥ x2 , y ≤ 4 − x2.

D

5)

x+ y

dxdy;

D

6)

∫∫ D

7)

x2 dxdy; 1+ y2

D:

x2 y2 + ≤ 1. 4 9

∫∫ xydxdy;

D : ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 ≤ 4.

∫∫ e

D : y = x2 , y = x.

D

8)

x+ y

dxdy;

D

41

9)

∫∫ D

10)

x2 dxdy; 1+ y2

D : y = x , y = 2 x , x + y = 6.

∫∫ xydxdy;

D : y = x, y = x + 3, y = −2 x + 1, y = −2 x + 5.

∫∫ e

D : y − 2 x ≤ 0,2 y − x ≥ 0, xy ≤ 2.

D

11)

x+ y

dxdy;

D

12)

∫∫ D

13)

x2 dxdy; 1+ y2

D : y 2 ≤ 8 x, y ≤ 2 x, y + 4 x − 24 ≤ 0.

∫∫ xydxdy;

D : y 2 − x 2 = 1, x 2 + y 2 = 9, (0,0) ∈ D.

∫∫ e

D : x = 3, x = 5,3 x − 2 y + 4 = 0,3 x − 2 y + 1 = 0.

D

14)

x+ y

dxdy;

D

15)

x2 ∫∫ 1 + y 2 dxdy; D

D : x = 0, y = 0, x + y = 2.

16)

∫∫ xydxdy;

D : x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

∫∫ e

D : x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ 0.

D

17)

x+ y

dxdy;

D

42

ОГЛАВЛЕНИЕ Общие методические указания..................................................................................... 3 Порядок выполнения работы........................................................................................ 3 Постановка задачи численного интегрирования ........................................................ 3 Лабораторная работа № 1 ............................................................................................. 7 Простейшие квадратурные формулы........................................................................... 7 Лабораторная работа № 2 ........................................................................................... 11 Интерполяционные методы вычисления интегралов по значениям функции. Правила Котеса............................................................................................................ 11 Лабораторная работа № 3 ........................................................................................... 19 Квадратурная формула Гаусса ................................................................................... 19 Квадратурная формула Чебышева ............................................................................. 26 Лабораторная работа № 4 ........................................................................................... 29 Кубатурные формулы ................................................................................................. 29 Кубатурная формула Симпсона ................................................................................. 32 Метод Монте-Карло .................................................................................................... 36 Список литературы...................................................................................................... 38 Варианты заданий ....................................................................................................... 39

43