力学系 (紀伊國屋数学叢書 21)

紀伊國屋数学叢書 21

編集委員 伊藤 戸田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学名誉教授)

永 田

雅 宜   (京都大学名誉教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学名誉教授)

吉 沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

丹羽 敏雄

力 学 系 紀伊 國屋書店

目

次

O  力学系の理論の歴史的概観 

1

Ⅰ   力学系の局所理論 

25

 1 基本定理  1.1 非特異点のまわりの標準形   1.2 特異点のまわりでの線形化,線形方程式 

26 28

  2 形式的理論とPoincareの 補題  2.1 形式的巾級数による線形化   2.2 実の標準形    2.3 Poincareの補題 

32 34 36

 3 Siegelの定理  3.1 Siegelの定理   3.2 定理の証明 

42 45

 4 例  4.1 解析的な変換では線形化できない例   4.2 微分可能な変換では線形化できない例   4.3 同相変換による線形化 

49 53 57

 5 μ-双曲形不動点と,そのμ-安定多様体とμ-不安定多様体  5.1 微分方程式とその線形化   5.2 μ-双 曲形行列とμ-不 安定多様体   5.3 μ-双 曲形不動点とそのμ-不 安定多様体 

59 63 66

 6 定理5.1の 証明  6.1 縮小写像定理 

68

 6.2 ジェット空間   6.3 定理の証明,その1   6.4 定理の証明,その2   6.5 定理の証明,その3 

70 72 75 77

 7 特異点のまわ りの標準形 と線形化  7.1 固有値の実部がすべて同符号の場合の標準形   7.2 一般の場合の標準形   7.3 平衡点の安定性 

80 84 86

 8 Hopfの 分岐  8.1 特異点の余次元   8.2 Hopfの分岐 

88 91

Ⅱ Hamilton力 学系 

97

  1 変分原理  1.1 ポテンシャル系   1.2 Euler-Lagrangeの 方程式   1.3 変分原理,その1   1.4 多様体上のLagrange系   1.5 Legendre変換   1.6 変分原理,その2   1.7 測地線 

98 99 100 101 103 105 109

 2 正準形式  2.1 Poincare-Cartanの 定理   2.2 正準変換   2.3 Liouvilleの 定理   2.4 Poincareの 再帰定理  

112 115 116 119

 3 正準変換と母関係  3.1 シンプレクティック線形空間 

122

 3.2 正準変換の母関係   3.3 Hamilton-Jacobiの 方程式 

125 128

 4 対称性と第1積 分  4.1 Poisson括弧   4.2 モーメント 関数   4.3 可積分系 

131 133 136

 5 力学系の基本問題とKolmogorov-Arnold-Moserの 理論  5.1 積分不可能性に関するPoincareの 定理   5.2 補題   5.3 Arnoldの定理   5.4 定理の証明 

140 144 148 154

 6 制限3体 問題  6.1 制限3体問題とLagrangeの平衡点   6.2 Lagrangeの正3角形解   6.3 標準形への移行,Birkhoffの 定理   6.4 Lagrangeの正3角形解の安定性 

158 160 161 166

 6.5 定理6.2の証明 

168

 7 不安定帯  7.1 共鳴トーラスと平均化法   7.2 セパラトリックスの分離と不安定帯  文 献  あとがき 

172 174 178 181

0  力学 系 の理 論 の歴 史 的概 観

  力学 系 の理 論 は複 雑 多 岐 に わ た っ て い て,そ れ ら の全 てに わ た っ て は概 観 す る こ とさ え不 可 能 で あ る.こ こで は,天 体 力学 と統 計 力学 か ら発 生 した,主

と し て有 限 自 由度 の力 学 系 の数 学 的 理 論 を 歴 史 的 な形

で 概 観 す る こ とを 試 み る.現 代 的 に は,常 微 分 方 程 式 の安 定 性 の問 題 や 分 岐 理 論,エ

ル ゴー ド理 論,力

学 系 の定 性 的 理論 な ど が そ れ に 当

る.歴 史 的 に は,こ れ ら の分 野 は 異 な った 起 源 を 持 つ 場 合 も あ るが, い ず れ も 内的 に は 密 接 に 関 連 して い る.こ の概 観 の 目的 は,こ

の 内的

な 連 関 性 を 具 体 的 な 形 で 示 す こ と と,で きれ ば 個 々の 問 題 を 全 体 の中 に 位 置 づ け る こ とに あ る.

  力 学 系 の理 論 を"歴 史 的 に"振

り返 ってみ よ う.も ち ろ ん我 々の 目的 は 力学

系 の理 論 を 歴 史 の 名を 借 りて概 観 す る ことに あ る の であ っ て,歴 史 的 事 実 を 正 確 に 述 べ よ うとす る も の で は な い.

  1.  力 学 系 の理 論 の発 端 を ど こに 置 くか は難 し い.が,Newtonの

力学 に 置

け ば た い して 見 当 違 い では な い だ ろ う.も し近 代 的 な 理 論 の発 端 とい うこ と な らばPoincareの

仕事 の い くつ か に お くべ き で あ ろ う.こ こで,力 学 系 の理 論

とい って い るの は,雑 に い って,状 態(相)が 主 と し て有 限 個 の パ ラ メー タ で記 述 で き る系 の時 間 的 な 変 化 ・発 展 を 問題 とす る も の であ る.い

うま で もな く我

我 は数 学 的 な側 面 を 問題 に して い るの で あ って,物 理 的 な 側 面 に 関 して は ほ と ん ど問題 に して い な い.   力学 系 の理 論 は,天 体 の運 動 を 問題 とす る天体 力学 と して 始 め て 世 に 現 わ れ た.Newtonに

よ る運 動 の法 則 と万 有 引 力 の 法則 とに よ って 天 体 力学 は そ の基

礎 を与 え られ た.Keplerの れ ば,体

理 論 は もち ろ ん重 要 で あ るが,我

々の立 場 か らす

系 性 や 微 分 方 程 式 を 理 論 の中 心 に す え た 点 な どか ら見 てNewtonを

理 論 の創 始 者 とみ るべ き で あ ろ う.現 代 的 な 目か ら見 れ ば,周 天 円 を 重 ね る こ とに よ り惑 星 の運 動 を よ り正 確 に記 述 し よ う と した,天 動 説 も興 味 深 い.と い うの も,そ の理 論 が あ くま で運 動 を記 述 し よ う とす る点,と て の近 似 はFourier解 Moserの

くに 周 天 円 を 重 ね

析 を思 わ せ る所 が あ り,現 代 のKolmogorov-Arnold-

理 論(第 Ⅱ部5章 参 照)と も無 緑 では ない.

  さて,天 体 力 学 に お け る2体 問題 は す で にNewtonに

よ って完 全 に解 決 され

た.こ こで興 味 を 引 く点 は,こ の問 題 に お い て は 運 動 学 的 記 述(Keplerの

法 則)

が 先 に あ って,そ れ が 微 分 方 程 式(力 学 系)に よ って後 か ら説 明が 与 え られ た こ と であ る.3体

以 上 のい わ ゆ る多 体 問 題 に あ って は,そ

の後 数 多 くの数 学 者 が

そ の解 決 を 試 み た が,肯 定 的 な 結 果 に 関 して は 最 近 に な っ てや っ と部 分 的 に得

られ た に す ぎな い.し か し なが ら多 体 問題 が 解析 学 を 中 心 に 数 学 全 般 に 与 え 続 け た刺 激 は深 く大 き い もの が あ る.現 代 に お い て もい まだ に 影 響 を 与 え続 け て い る.天 体 力学 は また,物 理 ひ い て は 科 学 全 体 の指 導 原 理 の役 割 を 果 した.逆 に い え ば,予 測 の問 題 が 科 学 理 論 の中 心 に 置 か れ るな ど現 代 の科 学 に必 ず し も 良い とば か りは い え ない 性 格 また は 目標 を 与 え る こ とに な った と もい え よ うか (こ れ は 蛇 足).   手 短 か に 天体 力学 を 中 心 とす る力学 の発 展 の 後 を 追 って み よ う.   Newton以

後 の発 展 を み る と2つ の大 き な側 面 が あ る こ とに 気 づ く.そ れ ら

は もち ろん密 接 に 絡 ま って い て 実 際 的 に は 分 け る こ とが む ず か しい が,1つ 力学 の形 式 に 関 す る理 論 で あ り,1つ

は

は摂 動論 な どを 中 心 と した 個 々 の方 程 式

の実 際 的 な 解 法 であ る.   Euler, Lagrangeな

どはNewton力

学 に変 分 法 が 適 用 で き る こ と を見 出

し,座 標 系 に 関 して 不 変 な 形 式 であ るLagrange形

式 を作 りあ げ た.変 分 法 は

そ の後 他 の 多 くの分 野 で主 導 的 な 原理 の1つ と な った.Lagrang形

式 は また 数

学 的 に 見 る と多様 体 の概 念 の 萠芽 が 見 られ る こ とに お い て も重 要 な 意 味 を も っ て い る.力 学 の 形 式 に 関 す る理論 は,幾 何 光 学 と の類 似 に 導 か れHamiltonに よっ て発 見 され たHamilton形

式 また は 正 準 形 式 に よ って一 応 の完 成 を 見 た.

この理 論 は 後 に,Poincare-Cartanに

よ る微 分 形 式 の発 見 と相 ま って,シ ン プ

レ クテ ィ ッ ク多 様 体 上 の力 学 系 の理 論 と し て現 代 的 な形 で完 成 され て い る(第 Ⅱ部2章 参 照).こ の理 論 に よれ ば,力 学 系 の積 分 可能 性 は,少

くと も知 られ て

い る例 で は ほ とん どの場 合 が系 の対 称 性 に そ の 根拠 を も って い る こ とが 分 る. も っ と も,い ま のべ た こ とがす べ て の 場合 に 正 しい とい うこ とが 厳 密 に 示 され て い るわ け で は な い.厳 密 に分 って い る こ とは,十 分 に 多 くの対 称 性 が あ れ ば そ れ は 系 の 積 分 可 能性 を導 くとい うこ とだ け であ る(第 Ⅱ部4章 参 照).こ に 関 連 して,い

わ ゆ るか くれ た 対 称 性 を 見 出 した最 近 のK-dV方

の点

程式 の理 論

は 興 味 深 い.

  理 論 の発 展 を形 式 的 側 面 か ら離 れ て み る と,3体

問 題 に 代 表 され る個 々 の重

要 な 力学 系 を 解 くこ と,い い か え ると,積 分 可 能 な系 を 発 見 す る こ とに 力が 注 が れ て い る のが み え る.し か し なが ら,多 大 の努 力 に もか か わ らず,少 数 の例

外 ― 線形 系,自 由度1の 系,2体 問題,外 力 な しの 剛体 の運 動,な どを 除 い て, "解 く"こ とは 不 可能 で あ るか 少 くと も非 常 に 困難 で あ った .た とえば,3体 問 題 に対 し ては,解 析 的 な積 分 を見 つ け る こと に よ り解 く とい う意 味 で は,解 く こ とが 不 可能 で あ る とい うこ とがPoincareに

よ って 見 出 され るに お よん で

古 典 的 な意 味 で の問 題 の解 法 は 死命 を制 せ られ て し ま った(第 Ⅱ部5.1参

照).

し か し,そ れ ら の研 究 の 中 か ら生 まれ て き た幾 何学 的 な い しは 大 域 的 方 法,あ るい は 測度 論 的 方 法 は 力 学 系 の 理論 に 新 た な 生命 を 吹 き こむ こ と とな った.   解 くとい う こ とが 単 に解 析 的 な 解 の 存 在 を 意 味 す るの で あ れ ば,3体 問題は 一 般 的 な 条 件 の もの で ,す な わ ち 少 くと も全 角 運 動 量 が0で な い とい う条 件 の も とで肯 定 的 にSundmannに

よ って 解 か れ て い る こ とを 注 意 して お く.全 角

運 動 量 が0の 場 合3体 衝 突 が 起 りえ るが,こ の 場 合 は 衝 突 後 へ も解 を 解 析 的 に 延 長 して い くこ とが で きな い,す な わ ち,解 は3体 衝 突 す る時 点 で 真 性 特 異 点 を もつ とい う こ とがSiegel

(Siegel-Moser

[1])に

よ って 示 され てい る こと も

注 意 して お く.   さて,天 体 力 学 の 主 要 な 対 象 で あ る現 実 の 太 陽 系 で は,太 陽 の質 量 が 他 の惑 星 の 質 量 を 大 き く上 まわ っ てお り,個 々 の惑 星 の運 動 は,少

く とも第0次 近 似

と して は 太 陽 と の2体 問 題 とし て とら え る こ とが で き,他 の惑 星か ら の引 力に よ る影 響 は 小 さ な摂 動 と して と ら え る こ とが で き る.こ うし て,実 際 の 系 を積 分 可 能 な 系 の摂 動 と し て とら え る摂 動 論 が生 まれた.こ

の方 法 は実 際 的 な意 味

で 運 動 を 解 くのに 極 め て有 効 な 方 法 で あ るば か りでは な く,理 論 的 に も多 くの 興 味 あ る問 題 を 提 供 す る もの で あ った.   摂 動 論 に お け る根 本 的 な 困難 は いわ ゆ る小 さ な分 母 に よ りお こ る問題 で あ っ て,こ れ は共 鳴現 象 か ら生 じ る困難 で あ る.し た が って,単 に理 論 上 の技 術 的 困 難 では な く現 象 の本 質 に根 ざ した 困難 で あ る.こ の 困 難 はPoincareに て 明確 に 認 識 され た が,後 にSiegel, Kolmogorovに り越 え られ,本

来 の 天 体 力 学 に あ って は,Arnold,

分 的 に解 決 され た(第 Ⅱ部5,6章

参 照).し

多 くの困 難 を 残 し てい る(第 Ⅱ部7章

よっ

よ って 始 め て部 分 的 に乗 Moserに

よ って 始 め て部

か し,不 安 定 帯 の問 題 な ど まだ まだ

参照).

  古 典 的 な摂 動 論 が 見 出 した 重 要 な結 論 の1つ は 次 の よ うな も の で あ る.簡 単 の た め,す べ て の惑 星 は 同一 の 平 面 上 を動 い て い る もの とす る.摂 動 を考 慮 に

入 れ な い 第0次 近 似 では 各 惑 星 は 楕 円軌 道 を 描 くの で あ った.こ

の楕 円(Kep

ler楕 円)は 半 長 軸 の長 さaと 近 日点(太 陽 に 一 番 近 づ く点)の 位 置 を定 め る経 度 (長 軸 の一 定 方 向 か ら の角 度)gと 離 心 率eに もな く第0次

よ って特 徴 づ け られ る.い

うまで

近 似 に お い て は,各 惑 星 の楕 円 軌 道 の 軌 道 要 素 と呼 ば れ る これ ら

の パ ラ メー タ(ak,ek,gk)は 定 数 で あ る.摂 動 を 考 慮 に 入 れ る と パ ラ メー タ(ak, ek,gk)は そ れ ぞ れ ゆ っ く りと変 動 す る の で あ る が,こ の変 動 の 中 に2つ の 異 な った種 類 の 変 動 が あ る こ とが 見 出 され た.1つ

は 変 数ek,gkに

く りで は あ るが 有 界 で な い 永 年 摂 動 と呼 ば れ る変 動 で あ る.他

見 られ る,ゆ っ 方,akの

変動

は 一定 値 の まわ りを ゆ っ く りと小 さ く振 動 す るだ け で あ る.し か し,摂 動 論 が 惑 星 の 運 動 に 対 し て述 べ る結 論 は あ くま で長 期 間 では あ るが 有 限 の 期 間 に わ た って の 妥 当 性 しか もた な い.小

さな 分 母 に よ っ て お こ る困 難 のた め,無 限 の

期 間 に わ た って の結 論 を 導 くこ とが で きな い の で あ る.こ の 困 難 は,1954年 Kolmogorov

[1]が 提 出 した ア イデ アを も とに,Arnold,

て の りこえ られ,い

Moserに

よ って 始 め

まの べ た 近 似 が あ る条 件 を み た す 大 部 分 の 初 期 条 件 に 対 し

て正 しい こ とが 明 らか に され た.

  2.  3体 問 題 を 中 心 とす る研 究 の中 か ら,幾 何 学 的 な い しは 大 域 的 方 法,あ るい は 測 度 論 的 方 法 が 生 まれ て きた ことは す でに のべ た.こ れ らの 方 法 は い ず れ も個 々 の初 期 値 に 対 す る解 の性 質 を 研 究 す るだ け で な く,す べ て の初 期 値 に 対 す る解 の 振 舞 い,い い か え る と流 れ と して の力 学 系 を 研 究 し よ うとす る も の で あ る.そ こで は 力 学 系 の 取 り うる可 能 な 状 態(相)全 体,す な わ ち 相 空 間 の概 念 が 基 本 的 な 役 割 りを 果 して お り,力 学 系 の 時 間 的 な 発 展(変 動)は 系 の微 分 方 程 式 か ら生 じ る相 空 間 上 の ベ ク トル場 あ るい は そ れ か ら生 成 され る相 空 間 の 微 分 同 相 か らな る1-パ ラ メー タ群 で あ る流 れ と し て 定 式 化 され る.こ

の 立場 に

よ る とた とえ ば,保 存 力 か ら な る力 学 系 か ら導 か れ る流 れ は 相 空 間 上 の 自然 な 測 度 を 保 つ とい うい ち じ るし い性 質 を も つ こ と が 見 出 され る が,こ のLiou villeの 定 理 か ら,エ ネ ル ギ ー 曲 面 が コ ン パ ク トの場 合 そ の上 の ほ と ん どす べ て の運 動 が概 周 期 的 で あ る,す なわ ち 出発 点 の近 くに何 度 も戻 って くる とい う ま こ とに 驚 くべ き結 論(Poincareの

再 帰 定 理,第

Ⅱ部2.4参

照)が 簡 単 に導 か

れ る.個 々 の解 を 見 てい くだ け で は お そ ら く見 出す こ とが 不 可 能 な こ の 結 論

は,新

しい 方 法 の もつ長 所 を 余す 所 な く示 し て い る.と は い え,こ のか が や か

しい 出発 は後 の い わ ゆ る,abstract

nonsenseに

お ち い りが ち な傾 向 を も生 み

出す こ と とな った,と 付 け加 えて お くべ きか もしれ な い.と に もか くに も この 再 帰 定 理 は今 日の エ ル ゴー ド理 論 の1ペ ー ジ をか ざ る もの であ るが,こ な どを含 むPoincareの

測度 論 的 研 究 はMaxwell-Boltzmannら

の定 理

に よ るエ ル ゴ

ー ド仮 説 を 中 心 とす る統 計 力学 の数 学 的 研 究 と共 に力 学 系 の理 論 の一 分 野 であ るエ ル ゴー ド理 論 の 出発 点 とな った.   統 計 力学 は い うま で もな く巨 視 的 な 物 質 の 性 質 を 微 視 的 な 原 子 レベ ル か ら説 明 し よ うとす る も の であ るが,こ の こ とか ら も必 然 的 に 極 め て 複 雑 な 運 動 を 示 す 極 め て 大 きい 自由度 を もつ 系 を研 究対 象 とす る.こ の こ とが確 率論 的 な 視 点 の導 入 を 余 儀 な くす る.さ て,エ ル ゴー ド理 論 の 名 の 由 来 とな った エ ル ゴ ー ド 仮 説 で あ るが,こ れ は 物理 量 の時 間 平 均 が空 間 平均 に 等 しい こ と を 主 張 す る. す な わ ち,数 学 的 に は 相 空 間 上 に 定 義 され た 関 数 の 解 曲 線 に そ っ て の平 均(時 間 平 均)と 相 空 間 上 で の平 均(空 間平 均)と が 等 しい こ とを 主 張 す る仮 説 であ る. この仮 説 を 正 当 化 す る努 力 が エ ル ゴー ド理 論 を進 め る 原動 力 の1つ で あ った.   エ ル ゴー ド仮 説や 後 のGibbsの

集 団 の概 念 な ど 初 期 の統 計 力 学 が 現 代 の力

学 系 の理 論 に与 えた 影 響 は 大 き い.1つ

はす でに のべ た よ うに,エ

ル ゴー ド仮

説 が成 立 す る よ うな極 め て複 雑 な解 の振 舞 い を 示 す 系 が 研 究 の対 象 と し て浮 か び上 った こと,同 時 に 確 率 論 的 手 法 や 問 題 意 識 が 登場 した こ とで あ る.今 だ充 分 に問 題 とは され てい ない が,Gibbsの

日ま

集 団 や 後 の 統 計 力学 のKhinchin

の理 論 に 見 る よ うに,力 学 系 の 研 究 は 流 れ の 研 究 で あ る とい うよ り,測 度 を 中 心 と した 相 空 間 の一 種 の幾 何学 であ る とい う立場 も,自 由度 の 大 きい 系 に対 し て は と くに 重要 で あ ろ う.後 で のべ る記 号 力学 系 は あ る意 味 で この立 場 で あ る と も考 えられ る.   い ま まで のべ て きた測 度 論 的 方 法 とな らん で も う一 つ の新 しい大 域 的 方 法 は や は りPoincareに

よ る力 学 系 の研 究 の 中か ら生 まれ た 位 相 的 方 法 で あ る.こ

れ は と くに 不動 点 や 周期 解 な ど の特 別 な 解 の性 質 や 分 布 を 問題 とす る もの で, や は り方 程 式 を"解 か な い で"系 の性 質 のあ る部 分 を 研 究 す る も ので あ る.3 体 問題 の研 究 の 中 で と くに,ホ モ ク リニ ック点 に 代 表 され る よ うな 複 雑 な 現 象 の発 見 や 不 動 点 定 理(Poincare最

後 の定 理)と 共 に こ の 位 相 的 な 方 法 は ,

Andronov-Portrjagin

[1]の 構 造 安 定 性 の 発 見 を 経 て,SmaleのAxiom-A

系 の 研 究 な どの"公 理 的"な 方 法 へ とつ な が って い っ た.Poincareの

位相的

な 方 法 の もつ 重 要 性 は 数 学 全 体 で見 れ ば もち ろ ん 力学 系 の理 論 だけ に あ るの で は な い.そ れ は 位 相 幾 何 学 の誕 生 をつ げ る もの で あ った し,位 相 幾 何 学 が数 学 全 体 に及 ぼ した 影 響 は測 り しれ な い.

  3.  PoincareがLiapunovら

と共 に な した も う1つ の大 き な仕 事 は系 の不

動 点 や 周 期 解 の まわ りの詳 し い解 析 で あ る.そ の 中 の1つ に,系 の不 動 点 の ま わ りに お け る線形 化 の 問題 が あ る(第 Ι部2章 参 照).固 す 場 合,系

有値 が あ る条件 を満 た

は そ の 線 形 化 と同値 で あ る こ と,つ ま り適 当 な座 標 変換 に よ り系 は

線 形 化 で き る こ とを彼 は示 し た.除 外 され た場 合 は い わ ゆ る小 さな 分 母 に よ る 困 難 が あ って,こ の 困 難 は 天 体 力学 に お け る主 要 な 困 難 の1つ で あ った こ とは す で に述 べ た.Siegelは1941年

始 め て この 困難 を 乗 りこ えた.彼 の 方 法 は 数

論 的 な 精 密 な 議 論 に 基 づ くもの で あ って 極 め て複 雑 で あ っ た.す で に の べ た Kolmogorovが

与 え た,今

日Newton法

と呼 ば れ る方 法 は,単 純 な幾 何 学 的

性 格 を もつ もの で そ の後 多 くの応 用 が な され て い る(第 Ι部3章,第

Ⅱ部5章

参 照).   Hamilton系

の範 囲 で い うな らば,不 動 点 の まわ りに お け る(正 準座 標 の み を

ゆ るす 範 囲 で の)線 形 化 は 一 般 に 不 可 能 で あ っ て,こ れ に 関 し ては 後 のBirk hoffの 仕 事 が あ る.彼 は形 式的 巾級 数 の範 囲 に お い て標 準形 を与 え た.こ れ は と くに 制 限3体 問 題 に お け るLagrangeの

正3角

形解 の安 定 性 の 問題 な どに応

用 され た(第 Ⅱ部6章 参 照).   こ うした 研 究 を受 け つ ぐ大 き な流 れ の1つ は,今

日の 力学 系 の 分 岐 理論 で あ

ろ う.共 鳴 状 態 に あ るな どの特 異 な状 態 に あ る力学 系 を い わば 縮 退 した場 合 と と ら え よ うとす る もの で あ る.代 数 方程 式 の 重根 を 単 根 が ま さに 重 な りあ った 極 限 の場 合 と考 え るの と同様 で あ る.こ の見 方は 必 然 的 に 外 部 パ ラ メー タに 依 存 す る系 の族 の研 究 に 向 か わ せ る.系 の 性 質,た

とえ ば 不 動 点 の まわ りで の 様

子 な どが外 部 パ ラ メー タの変 動 に と もな って どの よ うに 変 化 す るか を 調 べ よ う とい うの で あ る.あ るい は こ うい って も よい か も しれ な い.す な わ ち 特 異 な 状 態 に あ る系 を い くつ か の 外 部 パ ラ メー タを もつ 族 に 埋 め 込 み,始 め の特 異 な 系

か らい か な る性 質 を も った 系 が 分岐 して く るか を見 る こ とに よ り,そ の特 異 性 を いわ ば切 り開 こ う とい うの で あ る.特 異 性 の度 合 は そ の際 す べ て の変 化 をみ るに充 分 な パ ラ メー タ の個 数 に よ って計 る こ とが で き る.こ れ は特 異 点 の余 次 元 といわ れ る(第 Ι部8.1参

照).た

とえば 実 係 数 代 数 方 程 式 の場 合,2重

根を

もつ 方 程 式 は1つ の パ ラ メー タを もつ 方 程 式 の族 に埋 め 込 む こ とで一 般 的 な根 の状 態 の変 化,す

なわ ち重 根 か ら2実 単 根 へ,あ

るい は共 役 複 素 根 の 対 へ とい

う変 化 を と らえ る こ とが で き る.   パ ラ メー タ の変 動 に と もな う系 の 性 質 の 変 化 の研 究 に際 し て重 要 な役 割 を果 す 観 点 は,そ の 変 化 の"典 型 性"ま た は"一 般 性"で あ る.す な わ ち,変 化 そ の もの の安 定 性 であ って,そ を 果 す.こ

の研 究 に はThomの

の観 点 は,測 度 論 に お い て 測度0の

横断性定理が基本的な役割 集 合 を 無 視 す る こ とに よ り,非

常 に 多 くの単 純 化 が 可 能 に な る の と似 てい る.さ

てThomの

定 理 が のべ る所

の もの を 単 純 な 場 合 に 示 す と次 の よ うに な る.た とえ ば3次 元 空 間 で,2次

元

曲面 と 曲線 が 交 わ る場 合 は"一 般 的 に"横 断 的 に 交 叉 す る,す な わ ち 曲面 へ の 接 面 と 曲線 へ の 接 線 が 交 点 に お い て角 度 を も って 交 わ る.こ こ で"一 般 的 に" とい うの は,曲 面 と曲 線 が な す(関 数)空 間 の 中 で(適 当 な位 相 の も とで)横 断 的 に 交 わ る場 合 が 開 か つ 稠 密 な(ま た は そ れ と類 似 の)集 合 を な し てい る ことを い う.し た が って,曲 面 と曲 線 が 横 断 的 に 交 叉 して い な い 場 合 に は,曲 面 と曲 線 を 任 意 に 小 さ く変 動 させ る こ とに よ り横 断 的 に 交 叉 させ る こ とが で き,ま た 横 断 的 に 交 叉 して い る場 合 に は 曲 面 や 曲 線 を 小 さ く変 動 させ て もや は り横 断 的 に 交 叉 した ま まで あ る.   外 部 パ ラ メー タに依 存 す る系 の 族 は特 異 点 の 研 究 に 現 わ れ るだ け で は な い. 平衡 状態 の統 計 力学 に お い て は 温度 や 圧 力 を外 部 パ ラ メー タ とす る族 の 研 究 は 中 心 的 な 課題 の1つ で あ る.こ の 場 合,特 異 点 は相 転 移 を 示 す 状 態 に 対 応 す る.流 体 力学 に お い て は流 体 の性 質 がReynolds数

の変 化 に と もな って きわ だ

った変 化 を示 す こと は よ く知 られ て い る.層 流 か ら 周期 的 に変 化 す る流 れ へ, そ して 乱 流 へ の 変 化 は い まだ に そ の メ カニ ズ ムが充 分 に 解 明 され て お らず,今 後 の 研 究 が またれ て い る.実 際,典 型 的 な 分 岐 現 象 であ るHopfの 部8.2参

照)やRuelle-Takens

分 岐(第 Ι

[1]の 分 岐 は 乱 流 現象 の研 究 の 中か ら生 まれ た

もの で あ る.そ の他,生 態 系 の 力学 系 モ デ ルや 化 学 反 応 の モ デ ル な どパ ラ メー

タに 依 存 す る系 お よび そ の 分 岐 現 象 の 研 究 は 今 後 の発 展 が 期 待 され る魅 力 的 な 分 野 で あ る とい え よ う.   こ こで 安 定 性 の 問 題 に ふ れ て お こ う.系 の平 衡 点(不 動 点)や 周 期 解 が安 定 で あ る とは,平 衡 点 あ るい は 周 期 解 に 近 い 初 期 条 件 を もつ 解 が 永 久 に 平 衡 点 あ る い は 周 期 解 の 近 くに 止 ま って い る こ とを 意 味 す る.ど の よ うな と き に平 衡 点 や 周 期 解 が 安 定 で あ るの か を 問 題 とす るの が こ こで い う安 定 性 の問 題 であ る.   安 定 性 の 問題 は 天体 力学 の み な らず工 学 上 の 問題 な ど幅 広 く現 わ れ る重 要 な 問題 で あ り,理 論 的 に み て も極 め て 興味 深 い 問題 で あ うて,平 衡 点 の まわ りの 標 準形 を 求 め る問題 な どは 安定 性 の 問題 を軸 に 発 展 して きた と もい え る.と

く

に 天 体 力学 に 現 われ る問題 は 通常 極 め て 困難 な 問題 で あ って そ の 解 決 に は ほ ど 遠 い 状 態 に あ る(第 Ⅱ部7章 参 照).   線 形 系 に 対 して は 平衡 点 が安 定 か ど うかを 判 定 す るの は(少 くと も原 理 上 は) 容 易 で あ る.す なわ ち,系 の行 列 の 固有 値 の実 部 の符 号 を み れ ば それ です む こ と であ る.し か も こ の判 定 は,よ

く知 られ て い る よ うに(Routh-Hurwitzの

条

件)行 列 の成 分 に対 す る代 数的 操 作(四 則 演 算 と正 負 の判 定)だ け で 行 い う る. 線 形 系 に 対 す る安 定 性 の 問題 は この意 味 で代 数 的 に決 定 可 能 で あ る.そ れ では 非 線 形系 に 対 し て は ど うか.い わ ゆ るLiapunov関 安 定 か ど うか を見 る とい う方 法 もあ るが,こ な どの発 散 系(dissipative

system)に

数 を 構 成 す る こと に よ り,

の方 法 は 基 本 的 に は ま さつ が あ る

対 し て のみ 有 効 であ って,原 理 的 に や は

り線 形 化 な ど平 衡 点 の まわ りで の標 準形 を 求 め る方 法 な ど平衡 点 の まわ りの 詳 しい 解 析 が 要 求 され る.こ の意 味 で,非 線 形 系 の安 定 性 の 問題 が 代 数 的 に は 決 定 不 可 能 であ る ことを 示 したArnold

[1]の 仕 事 は 興 味 深 い.原 点 を平 衡 点 と

す る よ うな 解 析 的 な 微 分 方 程 式 の あ る次 数Mま で 係 数{an}n<M全 Kを 次 の よ うに分 割 す る.{an}n<M∈Sで って も安 定 で あ る と き と し,{an}n<M∈Uで す る.残

りの{an}n<M∈N=K-(S∪U)はM次

あ る と は,M次

体 が作 る空 間

以上 の係 数 が 何 で あ

あ る とは 逆 に不 安 定 で あ る と き と 以 上 の 係 数 が 何 であ るか に よ っ

て 安定 に で も不 安定 に で もな り える場 合 であ る.Arnoldが

示 した のは,Mが

あ る程 度 大 き くな る と,集 合Nが 半 代 数 的 集 合(semi-algebraic 超 越的 な集 合 で あ る とい う こ とで あ る.す なわ ち{an}n<Mに

set)で は な く

四 則 演 算 と正 負 の

判定 だ け の操 作 では 系 が安 定 か不 安 定 か を 判 定 で き な い の で あ る.Arnoldの

証 明 を み る と分 るが,こ

の こ と は球 面S2上

の力 学 系 の 分 岐 現 象,い わ ゆ る極

限 周 期 解 の 発 生 の 問題 と深 くか かわ って い る.   非 線 形 系 に対 して は 安定 性 の 問題 は い わ ば 超 越 的 な 性 格 を もつ も の であ る こ とが 分 った が,代 数 的操 作 だ け で な く,も う少 し広 くあ る種 の規 則 的 な無 限 回 の 操作 を もゆ るす 範 囲 で の アル ゴ リズ ムが存 在 す るか ど うか は 不 明 で あ る.い ず れ に せ よ,明 示 的 な い しは 構 成 的 な 方 法 や 理 論 に 関 し て い え ば 力学 系 の理 論 は まだ まだ 多 くの 未 開 拓 な分 野 を も っ てい る と い え よ う.

 4.  さ て本 書 では ふ れ る こ とが で き なか った 力 学 系 の理 論 の大 き な分 野 で あ る エ ル ゴー ド理 論 とAxiom-A系

の研 究 を 中心 とし て きた いわ ゆ る 力学 系 の

定 性 的 理 論 に簡 単 にふ れ て お こ う.   す でに のべ た よ うに,エ

ル ゴー ド理 論 はBoltzmannら

学 的 基 礎 づ け の問 題 と,再 帰 定 理 に 代 表 され るPoincareの 相 空 間 と,そ の上 の系 の時 間 発 展 を 表 わ す1-パ 流 れ(flow)と,流

に よる統 計 力学 の数 研 究 に源 を も つ.

ラ メー タ変 換 群,す

な わ ち,

れ に 関 し て不 変 な 相 空 間 上 の(有 限)測 度 を エ ル ゴー ド理 論

は そ の理 論 の 枠組 と して い る.Birkhoffの

個 別 エ ル ゴー ド定 理,す

なわち相

空 間 上 の任 意 の可 積 分 関 数 の,不 変 測度 に 関 して ほ とん どす べ て の初 期 点 に 対 す る,時 間 平 均 の存 在 を 保 証 す る定 理 は数 学 と し て のエ ル ゴー ド理 論 の第1歩 で あ った.時 間 平 均 の 存 在 が 保 証 され て い る の はす べ て の初 期点 に 対 し て で は な く,不 変測 度 に 関 し て ほ と ん どす べ て,つ ま り測 度0の 集 合 に属 す る点 を 除 い て で あ る こ とに 注 意す る.こ の 種 の 形 の 主張 こそ あ る意 味 で エ ル ゴー ド理 論 の性 格 を特 徴 づ け て い る の で あ る.   個 別 エ ル ゴー ド定 理 は本 来 の エ ル ゴー ド仮 説 に 対 して は,こ の仮 説 が 成 立 す る た め の 条 件 を単 に 流 れ の 測度 論 的 不 可 分 性,す な わ ち,流 れ で 不 変 な 集 合 は 空 集 合 また は 相空 間全 体 とい う自明 な もの を 除 い て は 存 在 しな い とい う性 質 に 置 き換 え るだ け の もの で あ って 何 ら意 味 の あ る結 果 で は な い と い う考 え も(と くに 物 理 学 者 の 間 に)あ った.し か しな が ら,後 で のべ るSinaiに よ るエ ル ゴ ー ド仮 説 そ の もの の"証 明"に 際 して 個別 エ ル ゴー ド定 理 は基 本 的 な役 割 を果 した の であ る.   エル ゴー ド理 論 の初 期 の発 展 で見 の が せ な い の は何 とい って もE.

Hopfに

よる 負 曲率 平 面 上 の測 地 流 の研 究 であ る.こ こ で始 め て数 学 的 モ デ ル では あ る が 意 味 のあ る力 学 系 に 対 し てエ ル ゴー ド仮 説 が 成 立 す る こと,つ ま りエ ル ゴー ド性 が 示 され た.こ

の系 は 後 のAnosovに

よ るAnosov系

の定 式 化 に モ デ ル

を与 えた もの であ り,そ の後 の エ ル ゴー ド理 論 ば か りか 力 学 系 の理 論 全 体 に 対 し て果 した 役 割 は 極 め て大 きい も のが あ る.   こ こで先 に進 む 前 にWeylに

よ るい くつ か の 力 学 系 の研 究 に も ふ れ て お こ

う.彼 が対 象 とした 力 学 系は,天 体 力 学 の摂 動 論 か ら生 まれ た 問題 で あ る平 均 運 動(Arnold-Avez[1]の

付 録13参 照)の 存 在 に 関 連す る系 で あ る.こ の力 学

系 は 比 較 的 単 純 な 構 造 を もつ が,数 論 との 関 連 性 な どエ ル ゴ ー ド理 論 と他 の数 学 の分 野 との交 流 の契 機 を 与 え る こ とに もな った.   Hopfの

測地 流 に戻 ろ う.こ の 系 は 自 由度 有 限 の 決 定 系 で あ って,何

率 論 的 な仮 定 が 導 入 され て い ない に もか か わ らず,ラ それ も最 も ラ ンダ ム性 の 高 いBernoulli性

らの確

ン ダ ム な 振 舞 い を 示 す,

を もつ とい う驚 くべ き性 質 を 持 つ こ

とが後 に 明 らか に され た.こ れ は初 期値 のわ ず か な ず れ が 系 の 時 間 発 展 と と も に指 数 関 数 的 に増 大 して い くとい う,系 の初 期 値 に 対 す る敏 感 さ,い い か え る と初 期値 の有 効数 値 が 時間 の経 過 に比 例 し て そ の有 効 桁 数 を 失 な っ てい くとい う性 質 に よ って い る.さ らに驚 くべ き こ とは,系 が示 す この 解 の 不安 定性 そ の もの は 安定 で あ る こ と,す な わ ち,系 の摂 動 に際 して も この性 質 が 失 な わ れ な い とい う構 造安 定性 を もつ こ とで あ る.   方 法 論 的 に は 系 の 流 れ に対 して不 変 な拡 大 お よび縮 小す る葉 層構 造 の構 成 と い う,Hadamardに

始 ま る手段 を提 供 した こ とが大 きい.一 般 的 に い え ば,双

曲 的構 造 とい う,系 に 確 率論 的 な 性 格 を もた ら し か つ 数 学 的 な解 析 が可 能 な, 少 くと も今 まで の と ころ,ほ

とん ど唯 一 の構 造 の発 見 で あ る.こ れ らに 関 し て

は 後 に も う少 し詳 し くふ れ るで あ ろ う.   も う少 し抽象 的 な理 論 に移 ろ う.von

NeumannはKoopmannと

共 にエル

ゴ ー ド理 論 に 関 数 解 析 的 手 法 を 導 入 した.流 れ は,相 空 間 上 の不 変 測 度 に 関 し て2乗 可 積 分 関 数 全 体 が なすHilbert空

間上 に ユ ニ タ リ変 換 の1-パ ラ メ ー タ

群 を 自然 に 導 くが,そ の スペ ク トル が 離 散 的 であ る ク ラ ス の系 に対 し て,分 類 問題 を 標 準 形 の 構 成 と共 に,少

くと も抽 象 的 な 測 度 論 的 カ テ ゴ リーに おい ては

完 全 に解 決 した.上 に の べ た 負 曲 率 平 面 上 の 測 地 流 は σ-ルベ ー グ ・スペ ク ト

ル を もつ が,結

果 的 に は こ の ク ラ ス に 対 す る分 類 問 題 を 提 起 し た 事 が 大 き な 意

味 を も つ こ と に な っ た.   第2の

発 展 は 戦 後 のKolmogorovの

ゴ ー ド理 論 に,互

と い う ク ラ ス を 導 入 し た.こ 密 接 な 関 連 を も つ.系 で き よ う.観

仕 事 か ら 始 ま る.Kolmogorovは

エル

い に 密 接 に 関 連 す る エ ン ト ロ ピ ー の 概 念 とKolmogorov系 れ ら は い ず れ も 力 学 系 の 時 間 発 展(運 動)の 観 測 と

の 観 測 を 数 学 的 に 定 式 化 す れ ば 次 の よ うに の べ る こ と も

測 に は 必 ず 誤 差 が と も な う も の で あ る か ら,観

値 の う ち い ず れ か を 選 ぶ も の で あ る と い え る.す

な わ ち,系

測 とは 有 限 個 の数 の相 空 間 を有 限 個

の領 域 に分 割 し て系 の状 態 を 表 わ す 相 点 が 分 割 され た ど の領 域 に属 す るかを 定 め る こ と で あ る.観 る.さ

て,力

測 の精 度 を増 す こ とは 分割 を こ ま か く す る こ とに対 応 す

学 系 の エ ン トロ ピ ー はShanonの

の 類 似 と し て 導 入 さ れ た も の で あ る が,そ た め,時

間 は 離 散 的 に と っ て お く.1つ

{A1,…As}を

定 め て お く.n回

れ は 次 の よ うに 定 義 さ れ る.簡 の 観 測 方 法,つ

得 ら れ る.系

確 率P(Ai1,…Ain)=μ({x;x∈Ai1,φx∈Ai2,…,φn-1x∈Ain})(φ

れ る観 測 列(Ai1,…,Ain)の

全 体 の"大

て,n回

き さ"あ

の観 測

に は不 変確 率 測度 μが 与 え られ

の 測 度 μ を 使 う こ と に よ り観 測 列(Ai1,Ai2,…Ain)が

発 展 を 表 わ す 相 空 間 上 の 変 換)が 定 ま る.さ

単 の

ま り相 空 間 の 分 割A=

の 時 間 に わ た っ て 観 測 を 続 け る と,n個

値 か ら な る 列(Ai1,Ai2,…Ain)が て い る か ら,こ

通 信 理 論 に お け る エ ン トロ ピ ー

得 られ る は 系 の時 間

に わ た る観 測 に よ って得 ら

る い は"多

力 学 系 の 複 雑 さ を 表 わ す も の と 考 え る こ と が で き る が,こ

様 さ"は

あ る意 味 で

の 大 き さ を 測 る量 と

し て,

が 都 合 が よ い こ と が 分 る.た

と え ば,1回1回

立 で あ る と す る な ら ば,H(n,A)=nH(1,A)で

得 ら れ る観 測 値 が 完 全 に 他 と独 あ る.一

の 増 加 と共 に 漸 近 的 に 比 例 し て 増 大 す る,  比 例 定 数h(A)を

観 測Aか

ら,あ

関 す る エ ン トロ ピ ー と 呼 ぶ.観

般 に,H(n,A)は

こ と が 分 る.こ

る い は 分 割Aか

なわ ち

極 限 値 を も つ こ と が 分 る が,こ

極 限 値 を 系 の 不 変 測 度 μ に 関 す る エ ン ト ロ ピ ー と呼 ぶ の で あ る.単 の エ ン トロ ピ ー と は1回1回

の

ら定 ま る 系 の 不 変 測 度 μ に

測 の 精 度 を 限 りな く増 加 さ せ る と き,す

分 割 を 限 りな く こ ま か く し た と き,h(A)は

と,系

時 間n

の

純 にい う

の 観 測 が ど れ だ け の 情 報 を も た ら す か,あ

るい は,過 去 の観 測 値 が す べ て分 っ てい る と きに,現 在 の観 測 が もた らす 情 報 量 を 表 わ す もの で あ る とい え る.逆 に い うと,現 在 の系 の状 態 を 記 述 し てい る 数 値 の有 効 桁 数 は 系 の時 間 発 展 と と もに 比 例 して 失 な わ れ て い く の が あ るが, そ の 度 合 い を 表 わ す 量 が エ ン トロ ピ ーな の で あ る.し た が って エ ン トロ ピ ーが 大 き け れ ば 大 きい ほ ど,系 の状 態 の 予 測 を 行 う こ とが 困 難 に な って くるの で あ る.   さ て,任

意 の 値 の エ ン トロ ピ ー を も つ 系 を 構 成 で き る が,と

エ ン トロ ピ ー に 対 し て)Bernoulli系 き る.Bernoulli系

とい う の は,1回1回

独 立 で あ る よ うな,(ち

ない

の観 測 で 得 られ る観 測 値 が お 互 い に

ょ う ど サ イ コ ロを 投 げ 続 け て 出 て く る 面 を 観 測 す る よ う

な)系 の こ と で あ る.そ

こ で 次 の よ うな 重 要 な 問 題 が 提 起 さ れ る.す

同 じ エ ン ト ロ ピ ー を も つ2つ

の エ ル ゴ ー ド的 な 力 学 系 は,少 型 で あ る か と い う問 題 で あ る.こ

1970年D.

よ っ て 解 決 さ れ た .す

[1]に

て は 答 え は 肯 定 的 で あ る こ と,よ

の 問 題 は 後 に,

な わ ち,Bernoulli系

り広 い ク ラ ス の,た

エ ル ゴ ー ド的 な エ ン ト ロ ピ ー 正 の 力 学 系 の ほ と ん ど が

に対 し

と え ばKolmogorov系

に お い て は 否 定 的 で あ る こ と が 示 さ れ た の で あ る.し

範 囲 の 自然 な 力 学 系 に お い て は,Bernoulli系

な わ ち,

く と もBernoulli

系 の ク ラ ス に お い て は,同 Ornstein

く に(0で

とい う特別 な ク ラ ス の系 に よ って実 現 で

か し そ の 後 の 研 究 で は, ,少

く と も知 ら れ て い る

で あ る こ とが 示 さ れ た.こ

のい

く分 逆 説 的 な 結 果 は 力 学 系 に 対 す る測 度 論 的 な 同 型 が 余 り に 弱 い 同 型 概 念 で は な い の か と い う問 題 を 引 き お こ す こ と に も な っ た.い

い か え る と,測

テ ゴ リ ー は 不 充 分 で は な か ろ うか と い う こ と で あ る.た 関 数 の 減 少 の 度 合 い は 非 常 に 重 要 な 量 で あ る が,こ

と え ば,系

度論的 カ の時 間 相 関

の 量 は 不 変 量 で は な い.つ

ま り,測 度 論 的 に 同 型 で あ っ て も(自 然 な ク ラ ス の 関 数 に 対 す る)時 間 相 関 関 数 の 減 少 の 度 合 い が 異 な る 場 合 が あ る の で あ る.   さ て,Kolmogorov系

に 移 ろ う.こ

過 程 を 抽 象 し て 得 ら れ た 系 で あ る が,次 算 個 の 領 域 へ の 分 割Aで   (ⅰ) φ(A)はAよ は 分 割Aの

の 系 は完 全 非 決定 系 とい わ れ る定 常確 率 の よ う に 定 義 され る.す

な わ ち,非

可

次 の 性 質 を 満 た す も の が 存 在 す る と き で あ る.

り こ ま か い 分 割 で あ る.す

な わ ち,分

割

φ(A)の 任 意 の 元

あ る 元 に 含 まれ る.

  (ⅱ) す べ て の φn(A)(n∈Z)よ

り こ ま か い 分 割 は1点1点

へ の 分 割 に 限 る.

  (ⅲ)  す べ て の φn(A)よ り粗 い分 割 は,相

空 間全 体 を た だ1つ の元 と す る 分

割,す な わ ち 自明 な 分 割 に 限 る. この 系 は,任 意 の 観 測Aに

対 して そ の エ ン トロ ピ ーh(A)が

正 で あ る よ うな 系

と して も特 徴 づ け る こ とが で き る.こ の ク ラス は 今 ま で の と ころ重 要 な ほ とん どの例 を 含 ん で い る.た とえ ば,後 で の べ るAnosov系

や,あ るい は統 計 力学

に対 して は最 も 自然 と思わ れ る無 限 粒 子 系 の い くつ か はKolmogorov系 る こ とが 示 され て い る(Niwa   Kolmogorov系

であ

[2]参 照).

は エ ル ゴ ー ド的 で あ るが,さ

らに混 合 的 で もあ る.こ こで系

が 混合 的 で あ る とは,相 空 間Mの 任 意 の可 測 部 分 集 合,A⊂M,B⊂Mに  

対 して

が成 り立 つ ときを い う.混 合 性 の概 念 はGibbs

に よ って 与 え られ た が,そ れ は いわ ゆ る巨 視 的 な系 の平 衡 状 態 へ の近 接 と関 係 し て い る.Gibbsに

よ る と,巨 視 的 な 系 の 状 態 は相 空 間M上 の確 率測 度 で与 え

られ る.と くに平 衡 に あ る状 態 は 系 の流 れ φtに 関 し て不 変 な測 度 μ で与 え ら れ る.系 が 混合 的 で あ る とは 次 の よ うに い いか え る こ とが で き る.す なわ ち, μに 絶 対 連 続 な測 度dν=ρ(x)dμ

で与 え られ る任 意 の巨 視 的 な 状 態 がt→ ∞ の

とき平 衡 状 態 μ に近 づ く(正確 に い うと弱 収 束 す る).   ここ で,無 限 粒 子 系 のエ ル ゴー ド問題 に 少 しふ れ てお こ う.も と も と あ る 力 学 系 に統 計 力学 が適 用 され るの は,そ の 系 の 自 由度 が 極 め て大 き い( 

)た

め で あ った.系 が エ ル ゴ ー ド性 な どに 代 表 され る複 雑 な振 舞 い を 示 す のは,系 の 力学(dynamics)が

複 雑 なた め で あ るば か り で は な く,系 を構 成 す る"粒

子"の 空 間 的 な配 置 の複 雑 さに も よ っ てい る.こ れ は 次 の よ うに も言 うこ とが で き る.つ ま り,自 由度 の大 きい 力学 系 は ほ とん ど独 立 な 多 数 の部 分 系 の和 か ら な ると い う構 造 を もつ が,こ の 構造 が考 慮 に 入 れ られ な けれ ば な ら ない とい う こ とで あ る.実 際,エ

ル ゴー ド性 が 示 され て い る無 限 粒 子 系 は い ず れ もい わ

ば粒 子 の空 間 的 配 置 の複 雑 さが 時 間 方 向へ の発 展 の 複 雑 さを ひ きお こす とい う 仕組 み を も って い る(Niwa

[2]参 照).

  5.  古 典 的 な系 に戻 ろ う.す でに のべ た よ うに,Anosov 系 の定 式 化,お

よ びAnosov-Sinai

[1]ら に よ るAnosov系

[1]に よ るAnosov の エ ル ゴ ー ド論

的 研 究 は次 の発 展 段 階 を もた ら した.と い うの も,こ の 研 究 がSmaleら

によ

るAxiom-A系

を 中 心 と す る 力 学 系 の 定 性 的 理 論 と エ ル ゴ ー ド理 論 と の 橋 渡

し の 役 割 を 果 し て い る こ と,そ

れ に よ って 相 互 の問 題 意 識 や 方 法 な ど の交 流 が

見 ら れ る よ うに な っ た か ら で あ る.後 にIsingモ

で ふ れ る よ うにAnosov系

の研 究 は さ ら

デ ル の研 究 を 中心 と した 数 学 的 に 厳 密 な平 衡 状 態 の統 計 力学 の理 論

と の 交 流 を も 開 く こ と と な っ た.   こ こ で 念 の た め に,離 お こ う.Mを

散 的 な 時 間 の 場 合 に 限 っ てAnosov系

コ ン パ ク ト連 結 な 多 様 体,φ

変 な 部 分 集 合 Λ⊂Mが ン ドルTΛMが

を そ の 上 の 微 分 同 相 と す る.φ-不

φ に 関 し で 双 曲 的 で あ る と は,Λ

連 続 な 部 分 バ ン ドルEsとEuの

 

とEuxはxに

で あ っ て,TxMを

の定 義 を 与 え て

上に 制 限 され た 接 バ

直 和 に 分 か れ て い る.す お け る接 空 間TxMの

張 っ て い て( 

)か つ,xに

なわ ち

部分空 間 関 して 連 続 的

に 依 存 し て い る. さ ら に,Es,EuはTφ-不

変,す

な わ ちTφ(Esx)=Esφx,Tφ(Eux)=Euφxで

EsはTφ

に 関 し て 縮 小 し て い てEuは

拡 大 し て い る,す

な わ ち,あ

0,λ>1が

あ っ て, 

に対 し て

‖Dφ-n(υ)‖
あ っ て, る 定 数c>

に 対 し て ‖Dφn(υ)‖
  も っ と も 簡 単 な 双 曲 的 集 合 は 双 曲 型 の 不 動 点 で あ る.   相 空 間M自

身 が φ に 関 し て 双 曲 的 で あ る と き,(M,φ)はAnosov系

とい わ れ る.Anosov系 る.と

の 重 要 な例 にす で に のべ た 負 曲 率 平 面 上 の 測 地 流 が あ

くに 滑 ら か な 密 度 を も つ 不 変 測 度 μ を も つAnosov系

で あ り さ ら にKolmogorov系 後 に な っ てBernoulli系

で あ る

は エ ル ゴ ー ド的

で あ る こ と がAnosov-Sinaiに で あ る こ と も示 さ れ た(Azencott

よ り示 さ れ た. [1]参

照).

  さ てAnosov系

の基 本 的 な 性 質 は そ れ が縮 小 お よ び 拡 大 す る葉 層 構 造 を も

つ こ と で あ る.一

般 に,Λ

に 対 し て 安 定 多 様 体Ws(x)と

を φ の 不 変 な 双 曲 的 部 分 集 合 と す る と き,∀x∈ 不 安 定 多 様 体Wu(x)を

Ws(x)={y∈M;d(φny,φnx)→0 

(n→ ∞)}

Wu(x)={y∈M;d(φ-ny,φ-nx)→0 

で 定 義 す る と き(dはM上 てEsx,Euxに

Λ

(n→ ∞)}

の 適 当 な 距 離),Ws(x),Wu(x)は

接 す る滑 ら か な 部 分 多 様 体 に な っ て い る.こ

お よ び 拡 大 す る 葉 を 与 え て い る の で あ る.こ

そ れ ぞ れxに

おい

れ らがそれぞれ縮小

れ ら の構 造 につ い て我 々 は す で に

測 地 流 の所 でふ れ た.Anosov系

に つ い て 続 け る前 に,こ

ド仮 説 に 対 し て大 きな 意 味 を もつSinaiの

こで 本 来 の エ ル ゴー

撞 球 問 題 の 研 究 に ふ れ てお こ う.そ

こに お い て も,縮 小 お よび 拡 大 す る葉 層 構 造 が 基 本 的 な役 割 を 果 して い るの を 見 る こ とが で き るか らで あ る.   直 方 形 また は2次 元 トー ラ ス 内 に い く つ か の 凸 状 の 壁 が 置 かれ て い る とす る.こ の中 を1つ

の粒 子 が 完全 弾 性 衝 突(入 射 角=反 射 角 の法 則 に 従 う衝 突)を

く りか え しな が ら運 動 す る とき,こ の運 動 を 調 べ る問 題 がSinaiの あ る.2次

撞 球 問題 で

元 トー ラ ス内 の2粒 子 の 完 全弾 性 衝突 に よ る運 動,す な わ ち2粒 子

か らな る理 想 気 体 の運 動 は 容 易 に この 問題 に 帰 着 で き る.後 に 久保 泉[1]に

よ

っ て(あ る条件 を満 たす)ポ テ ン シ ャル を もつ 場 合 に まで 拡張 され た が,こ の撞 球 問 題 は 本 質 的 に は 負 曲 率 平 面 上 の 測 地 流 に類 似 で あ って,い わ ばAnosov系 の1つ の 極 限 で あ る.と は い え,そ れ が もた らす 数 学 的 困難 は極 め て大 き く複 雑 で あ る.基 本 的 に はAnosov系

の 場 合 と同様 に流 れ に よ って 不 変 な縮 小 お よ

び 拡 大 す る葉 層構 造 を構 成 す るの で あ るが,一 般 のAnosov系

と同 様 に 葉層 構

造 は 滑 め らか で な い ば か りか,葉 そ れ 自体 が特 異点 を もち局 所 的 に し か定 義 す る こ とが で きな い.こ れ が基 本 的 な 困 難 の1つ で あ る.   こ こで 縮 小 お よび拡 大す る葉 層 構 造 を もてば なぜ 系 が エ ル ゴー ド的 に な るの か そ の理 由を 簡 単 に の べ て お くこ と もむ だ で は あ るま い.(も ち ろ ん滑 らか な不 変 測度 の 存在 は仮 定 し て い る.)と い うの も,純 点 スペ ク トルを もつ 場 合 や トー ラ ス上 の 群 同 型 の よ うに"代 数 的 な"構 造 を もつ 場 合 な ど直 接 的 に エ ル ゴ ー ド 性 が 示 され る場 合 を 除 い て,エ ル ゴ ー ド性 が 示 せ る場 合 は 今 ま で の所 ほ とん ど この 構 造 に よ って い る か ら で あ る.   さて,系 が エ ル ゴー ド的 で あ るのはBirkhoffの

個 別 エ ル ゴ ー ド定 理 か ら,流

れ に よ って 不 変 な 関数 が定 数 に限 る とき で あ る こ とは す ぐ分 る.関 数fが 流 れ に よ って 不 変 で あれ ば,fは る こ とはす ぐ分 る.実 際,1つ

縮 小 す る葉 層 構 造 の1つ1つ

の 葉 の上 で一定 で あ

の縮 小 す る葉,す な わ ち1つ の 安 定 多 様 体 上 の

点 を 通 る軌 道 はt→ ∞ の とき互 い に限 りな く近 づ くか ら,fが

軌 道 上 で一 定 で

あ る こ とに注 意す れ ば 少 くと も連 続 な 関数fに 対 し ては 葉 上 で 一定 で あ る こ と が 分 る.同 様 にt→-∞

の とき を 考 え る ことに よ り関 数fは 拡 大 す る葉 上 で も

一定 で あ る こ とが 分 る.縮 小 お よび拡 大 す る葉 が互 い に 横 断 的 に 交 叉 して い る

こ と と,全

体 を 張 っ て い る(連 続 時 間 の 場 合 は 軌 道 を 入 れ る と全 体 を 張 る)こ と

に 注 意 す れ ば 関 数fが

全 体 で 一 定 で あ る こ と が 分 る.こ

うして 系 が エ ル ゴー ド

的 で あ る こ と が 示 さ れ る の で あ る.   一 般 のAnosov系

の 場 合 に 戻 ろ う.縮 小 お よ び 拡 大 す る 葉 層 構 造 が 基 本 的 で

重 要 な 役 割 を 果 す こ とを み て き た の で あ る が,次 性 質 の 安 定 性 で あ る.す

な わ ち,Anosov系

φ′は も と の 系 φ の 同 値 で あ る.つ hφ=φ ′hが な り た つ.も Anosov系 る.今

等 写 像 に 近 い 同 相 写 像hが

は 構 造 安 定 性 を も つ の で あ る.こ

で あ る.い

ま り,ε>0が

っ て い る とす る.こ 道{xn}は

こ でdは

あ っ て,∀nに

ま り,Anosov系

対 し てd(xn+1,φ(xn))<ε

適 当 な 相 空 間 上 の 距 離 で あ る.こ

つ ま り ∀nに 対 し てd(xn,yn)<δ

  Anosov系

の雑 音

な る 軌 道{yn}が

ま り,∃ ε>0,∀nに

の

が な りた

の と き,こ

の 軌 道{yn=φny0}に

の軌

一 様 に 近 い,

存 在 す る.(正

先 に あ っ て ε=ε(δ)は δの 関 数 で あ る).Anosov系

け れ ば な ら な い,と

い か える と

系 に 小 さ な 雑 音 を 加 え た と き に で き る1つ

雑 音 を 加 え な い も と の 系 の1つ

そ の 拡 大 性,つ

あ っ て,

の こ とに 関 し ては 又 あ とでふ れ

の べ た こ と は 次 の 性 質 と深 く関 係 し て い る.つ

軌 道 とす る.つ

の

φ を 小 さ く摂 動 し て 得 ら れ る 系

ち ろ ん 摂 動 系 φ′もAnosov系

に 対 す る 安 定 性 で あ る.{xn}を

δ>0が

ま り,恒

に 重 要 な 基 本 的 性 質 は,そ

確 に い えば,

の もつ この 性 質 は

対 し てd(φnx,φny)<ε

な ら ばx=yで

な

と も に 基 本 的 で あ る.

の 研 究 で 重 要 な 役 割 を 果 す の は,そ

る,す

な わ ち,ず

う.も

ち ろ ん 一般 の 力学 系 に対 して も常 に 記号 力学 系 に よ る表 現 が 可 能 で あ る

が,Anosov系

ら し 変 換(shift)に

れ に記 号 力学 系 の 手法 が使 え

よ る 表 現 が 可 能 で あ る と い う事 実 で あ ろ

は と くに 構 造 が 単 純 な,(理

解 可 能 な 構 造 を も つ)記 号 力 学 系 に

よ る 表 現 を ゆ る す の で あ る.   (M,φ)を

一 般 の,(時

トな 多 様 体,φ

間 が 離 散 的 な)力 学 系 と す る.す

を そ の 上 の 微 分 同 相 と す る.こ

な わ ち,Mを

の と き,力

コン パ ク

学 系(M,φ)を

次の

よ うに し て 記 号 力 学 系 に よ っ て 表 現 す る こ と が で き る.A={A1,…,As}をM の 分 割 とす る:Ai∩Aj=φ(i≠j),  π(x)={ωn}⇔

こ の と き,

φnx∈Aωn,(x∈M,ωn=1,…,s)

に よ って 写 像

π:M→Sz,S={1,…,s}を

(σω)n=ωn+1と

す る と,σ

°π=π

定 義 す る.σ °φ が な り た つ.と

をSzの

く に,π

ず ら し 変 換,

が1対1の

と き分

割Aは

φ に 関 し て 生 成 分 割 で あ る と い うが,こ

の 多 くは,記 (π(M),σ)の

号 力 学 系(π(M),σ)に そ れ と対 応 す る.と

い う ま で も な く π(M)=Szで

反 映 す る.た

は い え,一

と え ば,(M,φ)の

般 に は π(M)は

あ る 場 合 が,π(M)が

つ ま ら な い 場 合 を 除 い て 一 番 単 純 で あ る.こ し と 呼 ば れ る.つ

の と き は 力 学 系(M,φ)の

周 期 点 は,

極 め て 複 雑 で あ る.

有 限 個 の点 か らな るな どの

の 記 号 力 学 系 はBernoulliの

ぎ に 比 較 的 単 純 な 構 造 を も つ も の は,Markov型

ま た は 有 限 型 の ず ら し と 呼 ば れ る も の で あ ろ う.π(M)が0ま す るs×s-行

列Pを

構造

ずら

の ず ら し, た は1を

要素 と

使 っ て 次 の よ うに 特 徴 づ け ら れ る 場 合 で あ る. π(M)={{ωn};Pωnωn+1=1,∀n∈Z}

  (M,φ)がAnosov系

で あ る 場 合 は,分

(π(M),σ)がMarkov型

の よ う な 特 別 な 分 割 はMarkov分

  Markov分 お り,次

[1]に

元 トー ラ スT2上

の群

よ り始 め て 構 成 さ れ,Sinai

[1]

の 場 合 に ま で 拡 張 さ れ た.

割 の 構 成 は や は り縮 小 お よ び 拡 大 す る 葉 層 構 造 の 存 在 に 基 づ い て

の よ うに 構 成 さ れ る.分

割A={A1,…,As}の

た は 拡 大 す る 葉 の 一 部 よ りな っ て い る"長 か ら な る 境 界 は φ で 写 す と別 の 元Ajの て し ま い,同

この分 割 に よ る 記 号 力 学 系

割 と 呼 ば れ る が,2次

同 型 と い う特 別 な 場 合 にAdler-Weiss に よ り一 般 のAnosov系

割Aで

の ず ら し に な る よ うな も の が 存 在 す る こ と が 分 る.こ

方 形"で

元Aiは あ っ て,Aiの

様 に 拡 大 す る 葉 か ら な る 境 界 は φ-1で 写 す と 別 の 元Akの

に 小 さ くす る こ と も で き る.1つ

た 元Aiは

ま 任意

例 を あ げ よ う.(M,φ)をM=T2=R2/Z2, 

で 与 え ら れ るT2の

の絶 対値 が1よ

拡 大す

の 場 合,い

の べ た よ う な 特 別 な 性 質 を もつ 分 割 が 構 成 で き る の で あ る.ま

群 同 型 とす る.こ

り小 さい 固 有値  

の 場 合,縮

小す

に 対 応 す る 固有 ベ ク ト

ル に平 行 な直 線 か ら な り,同 様 に 拡 大 す る葉 は,φ 有値  

縮 小 す る葉

縮 小す る葉 か らな る境 界 の中 に含 まれ

る 葉 か ら な る境 界 の 中 に 含 まれ て し ま う.(M,φ)がAnosov系

る葉 は,φ

境 界 が縮 小 ま

の絶 対 値 が1よ

に対 応 す る固有 ベ ク トル に 平 行 な 直 線 か らな る.い

り大 き い固 ま原 点 を

通 る縮 小お よび 拡 大 す る葉 を 充 分 に 長 く と ってお き,こ の2つ の 線 分 か ら で き るT2の 分 割 を考 え る と これ はMarkov分   Markov型

割 に な って い る こ とが 分 る.

ず ら し(π(M),σ)に 対 して は,そ

の 性 質 の 多 くが π(M)を 定 め る

構 造 行 列Pの 性 質 か ら導 き出 され る と い う こ とを 注 意 し て お こ う.た とえば

(π(M),σ)の

周 期 点 の 個 数 や,不

変 測 度 μ,μ に 関 す る エ ン ト ロ ピ ー,ま

の べ る 位 相 的 エ ン ト ロ ピ ー な ど がAの

た後 で

固 有 値 や 固 有 ベ ク トル か ら簡 単 に 求 め ら

れ る の で あ る.

  6.  不 変 測 度 の 存 在 を 仮 定 し な い(離 散 的 な)一 般 の 力 学 系(M,φ)に Mは

コ ン パ ク トと し て お く.力

で あ る と も い え る.こ な い,つ

学 系 の 理 論 は 軌 道{φnx}の

の 立 場 か ら す る と,次

うで

ま り何 度 も 出 発 点 の 近 くに 戻 っ て く る よ うな 非 彷 徨 的 な 軌 道 と 較 べ

い て よい.こ

こ で,xを

合 で あ っ て,周 合 Ω(φ)と

しあ た りの考 察 か ら除 い て お

通 る 軌 道 が 彷 徨 的 で あ る とい う の は,xの

対 し て φn(U)∩U=φ

な る も の が とれ る と き を い う.さ

な 点 全 体 を 非 彷 徨 集 合 と い い,Ω(φ)で

表 わ す.こ

近 傍Uで, て,非

彷徨 的

れ は φ に 関 し て不 変 な閉 集

期 点 な ど重 要 で 興 味 あ る 点 は す べ て 含 ん で い る.一

般 に は,集

Ω(φ)に お け る φ の 振 舞 い は 極 め て 複 雑 で あ っ て 我 々 の 理 解 は な か

な か 及 ば な い.十 ぶ 対 象 の1つ Anosov系

構 造 を調 べ る もの

の よ うな 彷 徨 的 な 軌 道 は,そ

て 非 常 に 単 純 な 振 舞 い を 示 す も の で あ る か ら,さ

∀n>0に

戻 ろ う.

分 に 複 雑 で,つ

と し てSmaleに

ま り豊 か な 構 造 を も ち,か

つ 我 々 の解 析 が 及

よ り 取 り 出 さ れ た ク ラ ス は,す

を 含 む も の でAxiom-Aを

でに の べ た

み た す ク ラ ス と呼 ば れ る.こ

は Ω(φ)が φ に 関 し て 双 曲 構 造 を もち,か

の ク ラス

つ φ の 周 期 点 全 体 が Ω(φ)の 中 で 稠

密 で あ る も の と し て 定 式 化 され る.   個 々 の 具 体 的 な 意 味 の あ る 力 学 系,た な く,こ

と え ば3体

問 題,か

ら 出発 す るの で は

の よ うに 公 理 論 的 に 議 論 を 組 み 立 て て い く場 合 に 注 意 し な け れ ば な ら

な い こ とが あ る.そ

れ は,い

ま 公 理 的 に 設 定 され た ク ラ ス が あ る 程 度 解 析 可 能

で か つ 興 味 あ る 構 造 を も っ て い る こ と で あ り,"典 も っ て い る,あ

型 性"ま

る い は 少 く と も そ れ に 近 い こ と で あ る.た

た は 力 学 系 の あ る 性 質 がgenericで

あ る と い う の は,そ

た は"一

般 性"を

とえ ば あ る ク ラ ス ま

の ク ラ ス また は そ の性

質 を もつ 力 学 系 が 力 学 系 全 体 の な す 空 間 の 中 で(そ の 空 間 の 適 当 な 位 相 も と で) 開 か つ 稠 密 な 集 合 を な す(ま た は,可 す)場 合 を い う.genericで ま た は 一 般 性 で あ る が,単 を な す だ け で も,無

算個の開かつ稠密な集 合 の 共通部分をな

あ る と い うの は,あ

る意 味 で も っ と も強 い 典 型 性

に 考 え てい る ク ラスが す べ て の 力学 系 の 中 で開 集 合

視 で き な い と い う意 味 で は そ の ク ラ ス は"典

型 的"で

あ る

と い っ て さ しつ か え な い で あ ろ う.   構 造 安 定 性 の 概 念 は これ と関 連 す る.一 は,Mか

らNへ

の 同 相 写 像hが

般 に,2つ

の 力 学 系(M,φ)と(N,ψ)

あ っ て,h° φ=ψ °hが な りた つ と き,互

値 で あ る と い わ れ る が,(M,φ)が

構 造 安 定 で あ る と い う の は,φ

摂 動 し た 系 が す べ て φ に 同 値 で あ る と き を い う.構

いに同

を十分小 さ く

造 安 定 な 系 は,定

義 か ら,

す べ て の 力 学 系 の 中 で 開 集 合 を な し て い る.   Axiom-Aを

み た す 力 学 系 は,genericで

あ る.Axiom-Aを shoe)が

は な い が,十

み た す 簡 単 で 重 要 な 例 にSmaleの

あ る[1].こ

よ っ て 指 適 さ れ た よ う に,系

の で,第1積

馬 蹄 型 力 学 系(Horse

れ は 天 体 力 学 に お い て 始 め てPoincareに

れ た ホ モ ク リ ニ ッ ク点 の 存 在 と関 連 し て い る.ホ Poincareに

分 に 典 型 的 な もの で

よ って見出 さ

モ ク リニ ッ ク点 の 存 在 は,

の解 の振 舞 いを 極 め て複 雑 にす る も

分 が 存 在 し な い こ と の 幾 何 学 的 な 根 拠 を 与 え て い る(第 Ⅱ部7章

参 照).   さ て,Axiom-Aを た よ うに,非

み た す 力 学 系 の 基 本 的 な 性 質 はAnosov系

彷 徨 集 合 Ω(φ)の 各 点 を 通 っ て,安

在 す る こ と で あ る.こ て い る.こ

て,xを

れ ら の多 様 体 が縮 小 お よび 拡 大 す る葉 層 構 造 の 葉 を 与 え

の 構 造 を も と に し て,Anosov系

Axiom-A系

に 対 し て も 成 りた つ.た

叉 す る)の も と で 構 造 安 定 で あ る.同

での べ て きた こ と と類 似 の性 質 が と えば,あ

通 る 安 定 多 様 体Ws(x)とyを

る 条 件(∀x,y∈

様 に,Markov分

さ れ て い る.と

く にSmaleの

馬 蹄 型 力 学 系 に 対 し て は,こ

[1]に のMarkov型

たが

よ って 示 ず ら

ず ら し が と れ る.

  力 学 系 の 重 要 な 不 変 量 の1つ

に 位 相 的 エ ン ト ロ ピ ー が あ る.こ

測 度 論 的 エ ン トロ ピ ー と 同 様 に,あ

の 間 に ε の 精 度 で 互 い に 分 離 さ れ る.つ

ま り, 

の と き(n,ε)-分 離 さ れ て い る と い お う.s(n,ε)を

異 な る と 認 め ら れ る 点 の 最 大 個 数 とす る.一 数 オ ー ダ ー で 増 大 す る が,そ

位時間

が あ っ て,d(φkx, こ の よ うな 観 測 で 相

般 に,s(n,ε)はnの

の と き の 指 数 をh(φ,ε)と

れ は,Kol

る 意 味 で 力 学 系(M,φ)

の 複 雑 さ あ る い は 軌 道 の 多 さ を 測 る も の で あ る.点x,y∈Mは,n単

φky)>ε

横断的に交

割 も存 在 す る,し

ず ら し に よ る 表 現 も 可 能 で あ る こ と がBowen

mogorov-Sinaiの

Ω(φ)に 対 し

通 る 不 安 定 多 様 体Wu(y)が

っ てMarkov型

し と し て はBernoulliの

ですでにのべ

定 お よび不 安 定 な多 様体 が 存

し て,

関 数 と し て指

ε→0と

し た と き,つ

ま り観 測 の 精 度 を 限 り な く よ く し た と き のh(φ,ε)の

h(φ)を 力 学 系(M,φ)の

位 相 的 エ ン ト ロ ピ ー と い う.力

変 測 度 μ を 考 え,μ に 関 す る(M,φ)の

  さ て,一

任 意 の不

測 度 論 的 エ ン ト ロ ピ ー をhμ(φ)と す れ ば 

で あ る こ と が 知 ら れ て い る.Axiom-A系 ピ ーh(φ)は

学 系(M,φ)の

極限

に 対 し て は,エ

ン トロ

周 期 点 の 個 数 と も 密 接 に 関 係 し て い る こ と も 知 ら れ て い る. 般 の 力 学 系(M,φ)を

な わ ち,φ-不

変 なM上

ル ゴ ー ド的 な 性 質,た

エ ル ゴ ー ド理 論 的 な 観 点 か ら み て み よ う.す

の 確 率 測 度 μ の 存 在 お よ び そ の 性 質,そ と え ばM上

の 存 在 な ど を 問 題 に す る.こ の は や は りAxiom-A系

の 関 数fに

れ に対 す るエ

対 す る(前 む き の)時 間 平 均

う し た 問 題 に 対 し て か な りの こ と が 知 ら れ て い る

で あ る.以

下 の 議 論 は ほ と ん ど そ の ま まAxiom-A

系 に 対 し て も 適 用 で き る の で あ る が,簡

単 の た め(推 移 的 な)Anosov-系

に限

っ て お こ う.   φ-不 変 な 確 率 測 度 は 数 多 く存 在 す る.不 あ る.こ

度 も そ の1つ

で

う し た 自 明 な 不 変 測 度 で は な く意 味 の あ る 重 要 な 不 変 測 度 は 次 の よ う

な 変 分 原 理 か ら 導 か れ る こ と をRuelle, (M,φ)は

動 点 上 のDirac測

Sinaiら

は 発 見 し た.す

で に,力

記 号 力 学 系 に よ っ て 表 現 さ れ る こ と を み て き た が,記

A1,…,Asを

状 態 とす る1次

元 格 子 系 とみ な す こ と が で き る.も

間 発 展 φ を 表 わ すSz,S={A1,…,As}の ら し と み な さ れ る.し

た が っ て,σ-不

状 態 を 表 わ し て い る(Ruelle

ず ら し σ は,こ

学系

号 力 学 系 は, との力 学 の時

の 場 合 単 に 空 間 のず

変 な 測 度 は 空 間 的 に 一 様 な巨 視 的 な平 衡

[1]参 照).平

衡 状 態 の 統 計 力 学 は,と

く にIsing

モ デ ル の 研 究 を 中 心 に 厳 密 な 数 学 的 理 論 が 最 近 発 展 し た が,そ

の 中 で,Gibbs

測 度 や 変 分 原 理 な ど が 重 要 な 役 割 を 果 し て き た.Sinai

よ っ て これ ら の

[2]に

概 念 が 一 般 の 力 学 系 に 対 し て も拡 張 され た.   UをM上

の(Holder連

続 な)関 数 と す る.μ

を φ-不 変 な 測 度 と し て,"圧

力"

を 考 え る.こ

こ で,hμ(φ)は

ロ ピ ー で あ る.さ

て,"ポ

不 変 測 度 μ に 関 す るKolmogorov-Sinaiの テ ン シ ャ ル"Uを

固 定 し て,圧

力Pμ(U)を

エ ン ト 最 大 に

す る測 度 μUを 考 え よ う.も

ち ろ ん,一

般 の 力 学 系(M,φ)に

が 保 証 さ れ て い る わ け で は な い が,(推 在 す る こ とか 知 ら れ て い る.た エ ン ト ロ ピ ーh

移 的 な)Anosov系

と え ば,U≡0に

に 対 して は 唯 一 つ 存

対 し て は,こ

μ(φ)を最 大 に す る 測 度 で あ る が,こ

ン ト ロ ピ ーh(φ)に

対 して は そ の存 在

等 し い こ と が 知 ら れ て い る.さ

の μ0は 測 度 論 的

の と きhμ0(φ)は 位 相 的 エ ら に,こ

の 測 度 μ0は 次 の よ

うな 興 味 あ る 幾 何 学 的 な 性 質 も も っ て い る.Pern(φ)を(M,φ)の の 周 期 点 全 体 と す る.こ に よ る 測 度 が0で

が 成 りた つ.い で あ る.ま

たUと

の と き,任

意 の 領 域D⊂M(正

あ る,μ0(∂D)=0,よ

い か え る と,周 し て,φ

と き の φ の 微 分dφ

周 期 がn以

下

確 に は 境 界 ∂Dの μ0

うな 領 域)に 対 し て

期 点 は 測 度 μ0に 関 し て 一 様 に 分 布 し て い る の

の"拡

大 係 数"(つ

のJacobian)の

ま り拡 大 す る 葉 方 向 に 制 限 し た

対 数 に 負 号 を つ け た も の とす る.

U=-log(Jacobian

of

dφ￨Eux)

この とき得 られ る μU≡μ+は 次 の よ うな意 味 を もつ 不 変 測 度 であ る. a.e.x

す なわ ち,関 数 の 前 向 き の 時 間 平均 は μ+に 関 す る空 間 平 均 に等 しい.同 φ のか わ りに φ-1を 考 え る と,同

様 の不 変 測 度 μ-が 得 られ るが,こ

様に

の μ-に

関す る空 間平 均 は後 向 き の時 間 平均 に等 しい,す なわ ち, a.e.x

こ こ で,等

式 は い ず れ も,M上

のLebesgue測

りた つ の で あ る.系(M,φ)が

始 め か ら,Lebesgue測

も っ て い る と す れ ば,μ+=μ-=ν 異 な る こ と が 分 っ て い る.し

度 に 関 し て ほ と ん ど至 る所 で な

が な り た つ.一

た が っ て,"一

方,"一

度 と 同 値 な 不 変 測 度 νを 般 的 に"μ+と

般 的 に"Anosov系

μ-は 相

はLebesgue

測 度 に 同 値 な 不 変 測 度 を も た な い と い う重 要 な 結 論 が 導 か れ る.   こ れ ま で,Anosov系 の 系 はgenericで よ,双

を 中 心 に も っ ぱ らAxiom-A系

は な い と は い え"典

型 性"を

曲 型 構 造 が そ の 基 礎 に な っ て い る.最

よ っ て,双

曲 型 構 造 と い わ ゆ るLiapunov特

を 扱 っ て き た.こ

も つ も の で あ っ た.い 後 に 最 近,Pesin

[1],

れ ら

ずれにせ Ruelleに

性 指 数 との 関 連 が 明 らか に され た

こ と を つ け 加 え て お こ う.Liapunov特

性 指 数 χ+(x,υ)(x∈M,υ

∈TxM)は

次 の よ うに 定 義 さ れ る.

こ こ で,dφNは

φNの 微 分,‖ ・‖は 接 バ ン ドルTM上

Λ={x∈M;あ

る ベ ク トル υ∈TxMが

で 定 義 さ れ る 集 合 Λ を 考 え よ う.φ も つ も の と す る.Λ

はLebesgue測

は φ 不 変 で あ る が,ν(Λ)>0と

の 適 当 な ノ ル ム で あ る.

あ っ て,χ+(x,υ)<0} 度 と 同 値 な 不 変 測 度 νを 仮 定 し よ う.こ

上 で φ は"部

分 的 な"双

曲 型 構 造 を も つ こ とが 分 る.こ

ば,(M,φ)が

νに 関 し て 正 の エ ン ト ロ ピ ー を もつ こ と な ど が 分 る.

の と き,Λ

の こ と か ら,た

とえ

Ⅰ  力学 系 の局 所 理 論

  第 Ⅰ部 では 力 学 系 の局 所 的 な 理 論 を 与 え る.す な わ ち,特 異 点 の ま わ りの 詳 し い解 析 で あ る.力 学 系 の大 域 的 な 性 質 を 問 題 に す る場 合 も, 局 所 的 な 性 質,こ な る.ま た,あ

とに,特 異 点 や 周 期 解 の 性 質 を 調 べ る こ とが 基 礎 に

る場 合 は,局 所 的 な 性 質 とい え ど も実 際 に は 大 域 的 な

性 格 を もつ こ と もあ る.   こ こで扱 われ る 主題 は 大 き くわ け る と2つ あ って,1つ ま わ りの標 準 形 の 問題 な い しは分 類 の 問題 で あ り,1つ

は特 異 点 の は安 定 多 様体

の理 論 で あ る.こ れ ら の理 論 が 大 域 的理 論 に対 し て果 した 役 割 は,第 0部 の歴 史 的概 観 で か な り詳 し く述 べ た.も

う1つ の主 題 は分 岐 理 論

で あ って,こ れ は特 に これか ら の発 展 が期 待 され る分 野 で あ る.   こ こでは,結 果 の み な らず,そ

こで用 い られ る数 学 的 技 巧 を で き る

限 りい ろい ろ と紹 介 す る こ とに 主 眼 が 置 か れ て い る.

1  基

本

定

理

  1.1  非 特 異 点 の まわ りの 標 準 形   力学 系,す なわ ち常 微 分 方 程 式 の初 期 値 問 題 の多 くは 局 所 的 な性 格 を持 って い る.解 の存 在 や 唯 一 性 の 問 題,あ

るい は 平 衡 点 また は 不 動 点 の安 定 性 の問 題

な どが そ の例 であ る.大 域 的 な 問 題 に お い て も,局 所 的 な 理 解 に 基 づ い て,そ れ を い わ ば つ な ぎ合 わ せ る こ とに よ って 全 体 の 様 子 を 理 解 で き る こ と も多 い.   n次 元 座 標 空 間Rnで(正

確 に は,Rnの

点aの

近 傍Uで)定

義 され た 微 分 方

程式 (1) を 考 え よ う.右 とす る  

辺の関

.こ

  定 理1.1(常

の と き,次

滑 ら か,す

な わ ちr回

連続的微分可能で あ る

の 基 本 定 理 が 成 立 す る.

微 分 方 程 式 論 の 基 本 定 理)

  方 程 式(1)は,初

期 値 に 滑 ら か に 依 存 す る 解 を 唯 一 つ 持 つ.

  正 確 に い う と,点aの し てx0を

数f(x)は

近 傍V⊂Uと

正数

初 期 値 に もつ 方 程 式(1)の 解x(t;x0)が

に 対 し て 唯 一 つ 存 在 す る.解x(t;x0)は(t,x0)に

ε>0が

存 在 し て,∀x0∈Vに

少 く と も￨t￨<ε 関 し てr回

対

を み た すt

連続的微分可能

で あ る:

  証 明 に 関 し て は,た

と え ば,Arnold

  さ て, 

な る 点aを

点)と い う が,非

特 異 点 の ま わ りで は,も

[2],又

はPontryagin

[1]を み よ.

方 程 式(1)の 非 特 異 点(あ る い は,非 と の 座 標 系xに

当 に 選 ぶ と 方 程 式(1)は 極 め て 簡 単 な 形 に 変 換 さ れ る.こ

平 衡 点,通

常

同 値 な 座 標 系yを

適

こ で 座 標yが

座標 系

xに

点aの

ま わ りで 同 値 で あ る と は,yのxに

す な わ ちxか

に お い て 消 え な い と き, 

が 点a

関 す るJacobian 

らyへ の変 換 が 点aの

ま

わ りで 微 分 同 相 で あ る こ とを 意 味 す る.

  定 理1.2    点aの

(非 特 異 点 の ま わ りに お け る 標 準 形)

近 傍Uで

点 と す る.こ

定 義 さ れ た 方 程 式(1)を

の と き,点aの

値 な 座 標 系yが

あ っ て,方

考 え る.点aは

あ る 近 傍Vで

方 程 式(1)の

定 義 さ れ た,も

程 式(1)を 座 標 系yに

非特 異

と の 座 標 系xに

同

よ っ て 表 わ せ ば,

y=e1,  y∈V の 形 に 書 き 表 わ せ る.こ

こ で,e1=(1,0,…,0)で

あ り,yはxに

関 し てr回

連

続 的 微 分 可 能 で あ る.

 我 々は,座 標 系 を 特 別 な 意 味 が な い 限 り,互 い に 同 値 な座 標 系 はす べ て 同 等 とみ な す.座 標 系 を 取 り換 え る と,方 程 式 は そ の形 を変 える.こ れ は逆 に い う と,2つ

の 方 程 式 が あ って,1つ

の方 程式 を適 当 な座 標 変 換 に よ って書 き か え

る とき,他 方 の方 程 式 と同 じ形 の方 程 式 に な る と き,2つ

の方 程 式 を 同値 な も

の とみ な そ う とい う こ とで あ る.こ うし て,微 分 方程 式,あ て定 義 され る力学 系 の分 類 の 問題 が 生 じ る.い は,微 分 方 程 式 が 属 す る範 疇 や,我

るい は それ に よ っ

か な る座 標 変換 を み と め るか

々が 系 の性 質 を どの 程 度 に くわ し く知 りた

い か な どの観 点 に も よ って い る.一 般 の場 合,互 い に 微 分 同相 で あ る座 標 系 の 間 の 変換 を 考 え るの が 自然 で あ ろ う.い ず れ に せ よ,方 程 式 あ るい は 力 学 系 は 種 々の観 点 か ら 分類 され る.で きれ ば,力 学 系 を 分類 す るだ け で は な く,分 類 され た1つ1つ

の類 か ら そ の類 の性 質 を も っ と も う ま く表 わす 標 準 形 を見 い 出

す こ とが重 要 で あ る.我 々 は 系 の局 所 的 な性 質 を まず 問題 と して い る の で あ る が,非 特 異 点 の まわ りで は あ ら ゆ る系 がす べ て 同 値 で あ って,そ の 標 準 形 も極 め て単 純 な形 を持 つ こ とを定 理1.2は

  定 理1.2の

示 し て い るの で あ る.

証 明:

  必 要 な ら ば 適 当 に 座 標 変 換 す る こ と に よ り,a=o,f(a)=e1と い.求

め るy座

標 の 第1成

分 と し て 時 間tを

取 れ ば,望

仮定 して よ

む も の が得 られ るの は

明 ら か で あ ろ う.念

のた め に 証 明を実 行す

る.   x(t;x0)を

初 期 値x0に

対 す る 方 程 式(1)

の 解 とす る.x=u(y)を u(y1,y2,…,yn)=x(y1;0,y2,…,yn) に よ っ て 定 義 す る.こ o)=oで

あ っ て,か

の と き,u(o)=x(0;

つ,xとyは

近 傍 で 同 値 で あ る.実

原 点oの

際x(0;x0)=x0に

注

図1.1

意 す れ ば,

x(t;x0)は

方 程 式(1)の

 新 し い座 標 系yを

解 で あ る か ら, 

を 満 た す.よ

っ て,

使 っ て方 程 式(1)を 書 きか え よ う. 

か ら,

一 方 ,

よ っ て,

  問1.1. 

y=e1を

常 微 分 方 程 式 論 の 基 本 定 理1.1を

  (解)  の 変 数xに

得 る.

の と き は,直 時 間tを

定 理1.2を

使 っ て 証 明 せ よ.

ち に 明 ら か で あ ろ う.f(a)=oの

加 え て,n+1変

数(x,t)∈Rn+1の

と き は,も

と

方程式

(x,t)=(f(x),1) を 考 え る と よ い.

  1.2  特 異 点 の ま わ り で の 線 形 化,線   f(a)=oを う.非

満 た す 点aを

形方程式

方 程 式(1)の 特 異 点 あ る い は 平 衡 点 ま た は 不 動 点 と い

特 異 点 の 場 合 と 異 な り,特

異 点 の ま わ りの 様 子 は 極 め て 複 雑 で あ る.本

部 で は も っ ぱ ら 特 異 点 の ま わ り の 様 子 が 考 察 の 対 象 で あ る.簡 oと

単 の た め,a=

し て お く.

  f(x)をx=oの

ま わ りで 巾 級 数 に 展 開 し て,xに

関 し て1次

の 部 分 と2次

以

上の 部 分 に わ け よ う.

 この と き,線 形 方 程 式

x=Ax  を,方

程 式(1)の

特 異 点x=oに

お け る線 形 化 と い う. 

が 十 分 小 さ い 範 囲 で は,f(x)はAxと 方 程 式(2)は る.こ

(2) く らべ て 十 分 小 さ い か ら,線

形

も と の 方 程 式(1)を 十 分 に よ く近 似 し て い る と 考 え る こ と が で き

こ で,線

形 化 は あ る意 味 で 座 標 系 に は 依 存 しな い とい う ことを 指 適 して

お こ う.   い ま,yをxに

同 値 な 座 標 系 と し,x=oの

と きy=oで

あ る と す る.方

程

で あ る か ら,

式(1)を 新 しい座 標 系yを 使 って書 き あ らわ す と, 

(3) 従 って,方 程 式(3)の 特 異 点y=oに

お け る線 形 化 を

y=By  とす れ ば,f(x(o))=f(o)=oに

を 得 る.線

(4)

注 意 し て,

形 方 程 式(2)と(4)は

線 形 変 換x=Pyに

よ っ て 互 い に 移 り得 る.こ

の 意 味 で 同 値 で あ る.   概 念 的 に は,方 間 で あ るn次

程 式(1)の 特 異 点aに

お け る 線 形 化 と は,点aに

元 線 形 空 間 上 に 導 か れ る 方 程 式 で あ る.今

お け る接 空

述 べ た 事 実 は,こ

の接

空 間 上 に導 か れ る線 形 方 程 式 が 局 所 座 標 系 に は 依 存 しな い とい うこ とを 示 し て い る の で あ る.   さ て,線

形 方 程 式 は,よ

く知 ら れ て い る よ う に 直 ち に 積 分 可 能 で あ っ て,そ

の 解 の 性 質 も 比 較 的 よ く 分 っ て い る(た と え ば,V. Smale

[1]を

参 照).

Arnold[2],

Hirsch-

  線 形 変換x=Pyを

ほ ど こせ ば,方 程 式(2)は y=P-1APy 

と書 け る か ら,P-1APを

た とえばJordanの

解 くこ とが で き る.と

こ の 場 合,方

(5)

くにP-1APが

程 式(5)は1次

対 角 形 で あ る場 合,

元 の 方 程 式 に 分 離 さ れ る. yj=αjyj 

従 っ て,yj(t)=eαjtyj(0)が

標 準 形 に 取 れ ば,こ れ は 直 ちに

(j=1,2,…,n)

そ の 解 で あ る.も

と の 変 数xに

よ っ て解 を 書 き表 わ

す こ と もや さ し い.

を 解 け.

 問1.2. 

  (解) 

Lagrangeの

  x2=α1x2か

定 数 変 化 法 に よ っ て 解 こ う.

ら,x2(t)=eα1tx2(0)

  よ っ て,x1=α1x1+eα1tx2(0).   い ま,eα1tx2(0)を

無 視 し て 解 く と,x1(t)=c・eα1t

 そ こ で,x1(t)=c(t)eα1tの

形 で 解 を 求 め る と, x1=ceα1t+α1x1

  従 っ て,c=x2(0), c(t)=x2(0)t+x1(0)   こ う し て,解 x1(t)=(x1(0)+x2(0)t)eα1t, 

x2(t)=x2(0)eα1t

を 得 る.

  問1.3. 

行 列Aに

で も っ て,eAtを

対 して

定 義 す る.こ

tの 解 析 関 数 で あ る.

れ はtに

関 し て 絶 対 一 様 収 束 で あ っ て,従

って

x(t)=eAtx(0) と お く と,こ

  問1.4. 

れ はx(0)を

初 期 値 とす る 方 程 式(2)の

次 の 方 程 式 を 解 け,ま

解 で あ る.

た 解 の 様 子 を 図 示 せ よ.

 (解)

(鞍 状 特 異 点)

(渦 心 点) 図1.2

2  形 式 的 理 論 とPoincareの

補 題

  2.1  形 式 的 巾 級 数 に よ る 線 形 化   原 点x=oを

特 異 点 とす る方 程 式 x=f(x) 

(1)

を 考 え よ う.   右 辺f(x)は

解 析 的 で あ っ て,巾

級 数 に 展 開 され て い る と す る:

f(x)=Ax+f2(x)+…+fK(x)+… こ こ で,fK(x)はx=(x1,x2,…,xn)に   収 束 の 問 題 は 考 え ず に,形

関 し てK次

斉 次 多 項 式 で あ る.

式 的 な 巾級 数 に よ る変 換

x=u(y)=y+u2(y)+…+uK(y)+… を ほ ど こ し て,方

程 式(1)を

こ こ で,uK(y)はfK(x)と 式 で あ る.簡

 

(2)

で き る だ け 簡 単 な 形 に 変 換 す る こ と を 考 え よ う. 同 様 に,y=(y1,y2,…,yn)に

単 の 為,f(x)の1次

関 し てK次

の 部 分 を 表 わ す 行 列Aは

の 斉 次 多項

対 角 化 され て い る と

す る.

この と き,方 程 式(1)を 成 分 を 使 っ て書 き表 わ せ ば

(3) こ こ で,k=(k1,…,kn)∈Nn(N={0,1,2,3,})で xk=xk11・xk22…xknnで

あ る.fK(x)の

(fK1(x),fK2(x),…,fKn(x))と

あ っ て,￨k￨=k1+k2+…+kn, 第j成

分 をfKj(x),す

す れ ば, 

な わ ち,fK(x)=

で あ る.

 同様 に,変 換(2)を 成 分 を 使 って 書 き表 わせ ば

(4) とな る が,こ の変 換 の逆 変 換 は (5)

で あ る こ とは す ぐ分 る.こ て い る.従

っ て,方

こ で,…

… の 部 分 は も ち ろ ん3次

程 式(3)を 変 数yを

以上の項を表わ し

使 っ て 書 き 下 せ ば,

(6) とな る こ とは 容 易 に 分 る.こ は も ち ろ んyに

関 し て3次

…,αnが, 

こ で,(k,α)=k1α1+k2α2+…+knαnで 以 上 の 項 を 表 わ す.行

を満たせば

,ukjを

列Aの

あ り,… …

固 有 値 で あ る α1,α2,

適 当 に 定 め る こ とに よ り,す

なち

ち, ukj=fkj/{(k,α)-αj} と す る こ と に よ り,ykの

係 数 で あ るfkj+{αj-(k,α)}ukjを0に

す る こ とが で き

る.   一 般 に,

(7)K な る変 換 を 考 え る と,そ の逆 変換 は

(8)K で あ る か ら,変

換(7)Kに

よ っ て,方

程 式(3)は

(9) に 変 換 さ れ る こ と が 容 易 に 分 る.… る.こ

う し て, 

… は い ず れ もK+1以

￨k￨=Kで

あ れ ば,ukjを

対 応 す る 項 を 消 去 す る こ と が で き る.変

換(7)Kを

上 の項 を 表 わ し てい 適 当 に 選 ぶ こ と に よ り,

ほ ど こ し て も,(K-1)次

以

下 の 項 に は 変 化 が な い こ とに 注 意 し て お こ う.   こ こ で,次

  定 義2.1 

の 定 義 を 置 こ う.

α=(α1,α2,…,αn)∈Cnに

Γ(α)=φ の と き,α

し て

は 非 共 鳴 で あ る と い う.

  こ の 定 義 に よ る と,変 程 式(3)の

対

右 辺 は,Γ(α)に

換(7)K(K=2,3,…)を 属 す る(j;k)に

次 々 と ほ ど こ す こ と に よ り,方 対 応 す る 項fkjxkを

2次 以 上 の 項 を 消 去 で き る こ と が 分 る .と =φ で あ る と き は ,1次

くに,α

除 い て,す

が 非 共 鳴,す

の 項 を 除 い て す べ て 消 去 で き る,い

べての

な わ ち Γ(α)

い か える と,線

形

方 程 式 に 変 換 で き る こ と が 分 る.も

ち ろ ん,こ

の 変 換 を 定 め る形 式 的 巾 級 数 が

収 束 し て い る か ど う か は 一 般 に は 分 ら な い.例 fkj+{αj-(k,α)}ukjを ら な い が,分 に は,い

お い てykの

消 去 し よ う と す れ ば,ukj=fkj/(k,α)-αjと

母 の(k,α)-αjは0に

は な ら な く て も,￨k￨が

く ら で も 小 さ くな りえ る こ と が あ る.従

え る か ら,実

え ば,(9)に

しなければ な 非 常 に大 きい とき

っ て,ukjは 非 常 に 大 き くな り

際 に 上 で 求 め た 形 式 的 巾 級 数 は 発 散 す る こ と が あ る.こ

"小 さ な 分 母"に

よ る困 難 といわ れ て い るが

し ば し ば 現 わ れ る 困 難 で あ っ て,い

,こ

係数

の困難は

の 困 難 は 天体 力学 の 問題 に も

ま考 え て い る 問 題 は い わ ば そ の 簡 単 な モ デ

ル ケ ー ス に な っ て い る.   さ て,変

換(7)Kを

無 限 回 に わ た っ て 行 わ な い で 有 限 回 で 止 め て お け ば,変

は 単 に 多 項 式 に よ る 変 換 で あ っ て,収 う.従

っ て,望

に 属 す る(j;k)に

換

束 の 問題 は起 ら な い こ とに注 意 して お こ

む だ け 変 換 を く りか え せ ば,望

む だ け の 次 数 ま で の 項 を Γ(α)

対 応 す る 項 を 除 い て 消 去 す る こ とが で き る.こ

うして 次 の定

理 を 得 る.

  定 理2.1 

任 意 の 自 然 数Nに

対 し て,多

項 式 に よる 変 換

x=u(y)=y+u2(y)+…+uM(y) が あ っ て,方

程 式(3)は

の 形 に 変 換 で き る.こ

こ で,…

… はN次

以 上 の 項 を 表 わ す.

 2.2  実 の 標 準 形   複 素数 の範 囲 で考 え て い る場 合 は,行 列Aが 対 角 化 され て い る として も特 別 な場 合 を 除 き一般 性 を失 なわ な い.し か し実 数 の範 囲 で考 え よ う とす れ ば,実 行 列Aを 実 対 角 行 列 に変 換 す る こ とは 一 般 に は で き な いか ら,上 で 述 べ た 標 準 化 を 実行 す る際 に は い くつ か の 注 意 が 必 要 で あ る.簡 単 のた め,n=2の に 限 って 見 る こ とに す る. 

場合

の場 合 に つ い て も同様 で あ る.方 程式(1)の 右

辺 は 実 解 析 的 で あ る.す なわ ち,係 数 はす べ て実 で あ る とす る.   行 列Aの 固 有 値 を α1=α, 

とす る. 

で あ るか ら,行 列

Aは(複 素 数 の範 囲 で)対 角化 で き る,す なわ ち,複 素 正 則行 列Pが あ って,

と で き る.  変換 x=Pξ を 考 え る.x=(x1,x2)が る と き,ξ1=ξ2で

 (10)

実 ベ ク トル で あ る た め の 条 件 は,ξ=(ξ1,ξ2)∈C2と

あ る.方

程 式(1)に 変 換(10)を

す

ほ ど こ そ う.

(11)j を 得 る.f(x)が

実 で あ る 為 の 条 件 は,∀k=(k1,k2)∈N2に

る こ と は す ぐ分 る.こ

こ で,k=(k2,k1)で

の 複 素 共 役 を とれ ば(11)2が

あ る.従

対 し て φk1=φk2で あ っ て,方

程 式(11)1の

両 辺

得 ら れ る.

 変換

(12) を 考 え る.こ

の 変 換(12)に

よ っ て,方

程 式(11)を

変 換 す れ ば,前

と 同 様 に,

(13)j を 得 る.こ

こ で,…

… は3次

っ てvkjを 定 め よ う.こ

れは  

と き 可 能 で あ る.φk1=φk2に と   0,す =vk2と

以 上 の 項 を 表 わ す.φkj+{αj-(k,α)}vkj=0に の と き,す

注 意 す る と,vk1=vk2で

よ

な わ ち, 

の

あ る こ と が 分 る. 

が 同 値 で あ る こ と に 注 意 し て お く.こ う し て,α1-(k,α)=

な わ ち,(1;k)∈

Γ(α)で あ る と き(こ の と き,(2;k)∈

し て お け ば,ξ1=ξ2と

η1=η2は

同 値 で あ る.従

Γ(α)で あ る)も,vk1 っ て,変

換

(14) を ほ ど こ せ ば,y=(y1,y2)が る.結

局x=(x1,x2)が

実 ベ ク トル で あ る こ と と,η1=η2と 実 ベ ク トル で あ る こ と と も 同 値 に な り,yか

変 換 は 実 変 換 で あ る.(13)1ま

た は(13)2の

の 標 準 形 を 得 る こ とが で き る.こ 実 変 換 に よ っ て2次

々 と2次

らxへ

の

実 部 と 虚 部 を 別 々 に 書 き 下 す と,実

う し て,(j;k)∈

Γ(α)に 対 応 す る 項 を 除 い て,

の 項 を す べ て 消 去 す る こ とが で き る.以

り返 す こ と に よ り,次 の 議 論 も参 照 せ よ.

は同値であ

下 同様 の こ とを 繰

以 上 の 項 を 消 去 す る こ と が で き る.な

お,8章

  2.3  Poincareの   2.1に

補題

お い て 行 な っ た 形 式 的巾 級 数 に よ る 変 換 が い つ 収 束 す る か を 見 よ う.

  定 義2.2 

n個 の 複 素 数 α1,α2,… αnの

複 素 平 面Cに

お け る 凸 包 を[α1,…,αn]

で 表 わ そ う.

こ の と き,Cnの

領域

図2.1

をPoincare領

域 と い い,П

のCnに

お け る 補 集 合ZをSiegel領

域 と い う.

Z={α=(α1,…,αn)∈Cn;[α1,…,αn]∋0}

 こ の 定 義 の 重 要 性 は 次 の 補 題2.1と,問2.1,問2.2に

 補 題2.1  任 意 の α∈П に 対 して,δ>0が て, 

よ る.

あ っ て,任

意 のk∈Nnに

対し

が な りた つ.

  証 明 は,￨k￨≠0の

と き,(k/￨k￨,α)∈[α1,α2…,αn]で

αn]が

コ ン パ ク トで あ る こ と に 注 意 す れ ば,δ

αn]の

距 離 と し て お け ば 十 分 で あ る.

 問2.1. 

α は 非 共 鳴,す

こ の と き,δ>0が

な わ ち,Γ(α)=φ

あ る こ と と,[α1,…,

と し て は た と え ば0と[α1,…,

を み た し,か

あ っ て,∀(j;k)∈{1,2,…,n}×Nn, 

つ

α∈ П

と す る.

に 対 し て,

が な りた つ.   (解)  補 題2.1か

￨k￨が

ら,δ1>0が

十 分 大 き い と き,す

あ っ て,∀(j;k)に

な わ ち, 

対 し て,

を み た せ ば,

 と お く と,Γ(α)=φ δ2>0で

あ る.δ=min{δ1,δ2}と

  問2.2. 

α ∈Zの

 (解)  α∈Zで

で あ る こ とか ら,

お け ば よ い.

であ る こ と を 示 せ.

と き, 

あ る か ら,

が あ っ て,(α,r)=α1r1+…+αnrn=0  こ のrに

対 し て,Minkowskiの

が な り た つ.こ

定 理 か ら,

こ で, 

はRnに る 通 常 のEuclidノ k(2),…,k(m),…

ル ム.い

おけ

い か え る と,k(1),

∈Nn-{o}と

 

図2.2

が存 在 し て

従 っ て,

よ っ て,

を 得 る.

  問2.1か

ら,α

が 非 共 鳴 か つ,Poincare領

域 に 属 す る 場 合 は,小

さな 分 母

に よ る 困 難 は 存 在 し な い こ と が 分 る.

  定 理2.2 

(Poincareの

  f(x)はf(o)=oを

補 題)

み た し,か

あ っ て 有 界 で あ る と す る.f(x)の

つ,Cnに

おけ る 原点 の近 傍 に お い て 解 析 的 で

線 形 部 分 をAxと

す る.

(15) 行 列Aの

固 有値 を

α1,α2,…,αnと

し,Aは

対 角 形 で あ る と す る.

α=(α1,α2,…,αn)は

非 共 鳴 か つPoincare領

域 に 属 す る とす る.

α∈ П,Γ(α)=φ   こ の と き,原

点 の あ る 近 傍 に お い て 定 義 さ れ た,あ x=y+u(y) 

が あ っ て,こ

  (16)

の 変 換 に よ り,方

(u(y)はyに

る解 析 的 な 変 換

関 し て2次

以 上) 

(17)

程式 x=f(x) 

(18)

y=Ay 

(19)

は線形方程式

に 変 換 さ れ る.

  証 明:証 f(x)は

明 は 優 級 数 の 方 法 に よ る.

 

x=(x1,x2,…,xn)∈Cn)に

っ て,(f(x)￨<Mを   変 換(17)に

お い て解 析 的 で あ

満 た し て い る と す る. よ っ て 方 程 式(18)が

方 程 式(19)に

変 換 され た と し よ う.こ

の と

き,

で あ り,ま

た,

x=Ax+f(x)=A(y+u)+f(y+u) =Ay+Au+f(y+u) で あ る か ら,u(y)は

次 の 方 程 式 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.

(20)   逆 に,こ

の 方 程 式 の 解 をu(y)と

よ っ て,方

程 式(18)は

  方 程 式(20)を

す る と き,(17)に

線 形 方 程 式(19)に

解 こ う.u(y)のK次

よ って 定 義 され る変 換 に

変 換 さ れ る こ と は 明 ら か で あ る.

の 部 分 をuK(y)と

u(y)=u2(y)+u3(y)+…+uK(y)+…

方 程 式(20)の 両 辺 のK次 の部 分 を比 較 す る.

す る.

(20)2 (20)3

(20)K  はf(y+u)のK次

こ こ で,

の

部 分 で あ る.

とお くと き,PKの

係数dkj(￨k￨=K)は

 

と 

の正整数係数 の多項式 である.   uK(y)のj成

分 をuKj(y),す

で あ る.方

な わ ち,uK(y)=(uK1(y),…,uKn(y))と

程 式(20)Kのj成

お く. 

分 を 比 較 し よ う.

(20)Kj 一 方

,

で あ る か ら,方

程 式(20)Kjは

と な る.

  仮 定 の(15)か

ら, 

で あ る か ら, ukj=dkj/{(k,α)-αj} 

こ う し て,係 f(y)の

(21)

数dkjに 関 し て 先 程 述 べ た 注 意 か ら,す

べ て の 係 数ukjは 帰 納 的 に

係 数fkjか ら 一 意 的 に 定 ま る こ とが 分 る.

  こ う し て 定 め ら れ たu(y)が   仮 定 か らf(x)は

 

収 束 す る こ と を 示 そ う. で 解 析 的 で あ っ て,￨f(x)￨<Mを

適 当 に 変 数 変 換 を 行 な え ば,つ に よ り,R=1,M=1と 定 理 か ら,f(x)の

ま り,xjをRxjに,tをt/Mに

し て お い て よ い.従 係 数fkjは

  α∈ П か つ Γ(α)=φ

 

っ て,よ

み た し て い る. 変換す る こと

く知 ら れ たCauchyの

を 満 た す.

で あ っ た か ら,問2.1に

よ り,δ>0が

存 在 し て,

∀(j,k)∈{1,2,…,n}×Nn, 

に 対 して

 

(22)

が 成 りた つ こ と に 注 意 し よ う.

と し, F(y)=(F1(y),F2(y),…,Fn(y)),Fj(y)=F(y)(j=1,2,…,n) と お く と,F(y)は

明 ら か に,f(y)の

優 級 数 で あ る.

  方 程 式 δU(y)=F(y+U(y))  に よ っ て 定 ま る,U(y)=(U2(y),…,Un(y))を

(23) 考 え よ う.U(y)はu(y)の

優 級

数 で あ る こ と 示 そ う.   こ れ ま で と 同 様 に,U(y)のK次

の 部 分 をUK(y),等

δU2(y)=F2(y+U(y))の2次

々 と 記 そ う.(23)か

ら

の 部 分=F2(y)

で あ る.

と お け ば, Ukj=Dkj/δ が成

り た つ.と

く に,￨k￨=2の

  (24)

と き は,Dkj=Fkjで

あ り,さ

ら に,

ukj=dkj/{(k,α)-αj}=fkj/{(k,α)-αj}

で あ ったか ら,f2(y)
な わ ち, 

であ るこ と に 注 意

ら

が成 立 す る こ とが 分 る.  

を み たす 全 て のkに 対 して, 

し よ う.F(y)はf(y)の ら,明 らか に￨k￨=Kな

が 成 りた ってい る と仮 定

優 級 数 で あ る こ と,す な わ ち, 

で あ る こ とか

るkに 対 して (25)

が 成 り た つ.実

際,dkjは

式 で あ る こ と と,Dkjは

 

と  

の正整数係数の多項

同 じ 多 項 式 にfk′j′ の か わ り にFk′j′ を,uk′j′の か わ りにUk′j′

を 代 入 し て 得 ら れ る こ と に 注 意 す れ ば よ い.こ

う し て,ukj=dkj/{(k,α)-αj}で

あ る か ら,(23),(24),(25)か

が 成 りた つ.従

ら,￨k￨=Kな

っ て 帰 納 法 に よ り,す

す な わ ち,U(y)はu(y)の と を い うた め に は,方

るkに

べ て の(j,k)に

対 して も不 等式

つ い て 不 等 式 が 成 りた つ,

優 級 数 で あ る こ と が 分 る.級 程 式(23)に

数u(y)が

よ っ て 定 義 さ れ る 級 数U(y)が

収束す る こ 収束す る こと

を い え ば 十 分 で あ る.   対 称 性 か ら,U1(y)=U2(y)=…=Un(y)で Y=y1+y2+…+ynと

あ る.こ

れ をU(y)と

か こ う.

お く と,

従 っ て,

よ っ て, n(n+δ)U2-{δ-(2n+δ)Y}U+Y2=0.

y1=y2=…=yn=0の

と き,す

な わ ち,Y=0の

と きU(y)=0に

注 意 し て,こ

の 方 程 式 を 解 け ば,

を 得 る.従 で あ っ て,あ

っ て,U(y)はY=y1+…+yn,つ る

ε>0に

対 し て,￨y￨<ε

ま り,y1,y2,…,ynの で 収 束 す る. 

解 析 関 数 Q.E.D.

3  Siegelの

 

3.1  Siegelの

 

再 び,方

定理

定理

程式 x=Ax+f(x) 

を 考 え よ う.右 辺 の 線 形 部 分Axを

表 わ す 行 列Aの

す る.α=(α1,α2,…,αn)がPoincare領 領 域 に 属 す る 場 合,方 care領

程 式(1)を

く ら で も0に

(1)を 線 形 化 す る 変 換x=u(y)の

固 有 値 を α1,α2,…,αnと

域 に 属 さ な い と き,す

な わ ち,Siegel

線 形 化 す る こ と が で き る だ ろ うか.α

域 に 属 す る 場 合 と ち が っ て,固

とす る と き,い

(1)

有 値 の1次

がPoin

結 合 αj-(k,α)は,￨k￨→

近 づ き う る(前 章 問2.2参

照).従

っ て,方

∞ 程式

収 束 を 優 級 数 に よ る 方 法 で 示 す こ とは む ず か

し い.し

か し な が ら,よ

り精 密 な 方 法 に よ る な ら ば,￨k￨→

α)が0に

近 づ く速 さ が 問 題 で あ っ て,￨k￨の

∞

の と き αj-(k,

巾 の オ ー ダ ーで 下 か ら お さえ る こ

と が で き れ ば 十 分 で あ る こ と が 分 る.  

次 の 補 題 が 成 り立 つ.

  補 題3.1 

ほ と ん どす べ て の α=(α1,α2,…,αn)∈Cnに

し て,∀k∈Zn,￨k￨≠0に

対 し て,γ>0が

(2)

￨(k,α)￨>γ￨k￨-n 

が 成 りた つ.こ

こ で,ほ

のLebesgue測

度mに

  証 明   R>0を

と ん ど す べ て の と は,CnをR2nと

同 一 視 す る と き,R2n

関 し て ほ と ん ど す べ て で あ る こ と を 意 味 す る.

任 意 に1つ

固 定 す る.こ

の と き,γ>0に

対 して

に 対 して と お く.こ

の と き,γ

存 在

対 して不 等式

に 無 関 係 な 定 数C=C(R)>0が

あ っ て,

従 っ て, 

に お い て,ほ

不 等 式(2)が 成 りた つ.Rは

  次 の 定 理 はSiegelに が 乗 り越 え ら れ た.こ そ れ はKolmogorovに

と ん どす べ て の α に 対 し て,γ>0が

任 意 で あ った か ら,補

よ る が,こ

Ⅱ部5章

  定 理3.1 

(Siegel)

題 は 証 明 さ れ た.

の 定 理 に よ り始 め て 小 さ な 分 母 に よ る 困 難

こ で 与 え ら れ る 証 明 は,J. よ っ て 提 出 さ れ た,い

法 で あ る.第

存 在 して

Moserに

よ る も の で あ る が,

わ ゆ るNewton法

と呼 ば れ る方

も 参 照 せ よ.

 方程式 x=Ax+f(x)  に お い て,右 と し,行

Aの

辺 のf(x)=Ax+f(x)は,xの

列Aは

固 有 値

簡 単 の た め,対

α=(α1,α2,…,αn)に

(1) 原点 の近 傍 に おい て解 析 的 で あ る

角 化 さ れ て い る と す る.

対 し て,γ>0が

あ っ て,∀k∈Zn,￨k￨≠0に

対 し て,

(2)

￨(k,α)￨>γ￨k￨-n 

が 満 た さ れ て い る と す る.   こ の と き,原

点 の 近 傍 で 定 義 され た 解 析 的 な変 換 x=u(y)=y+u(y) 

が あ っ て,方

程 式(1)は

(u(y)はyに

関 し て2次

以 上) 

(3)

こ の 変 換 に よ り線 形 方 程 式 y=Ay 

(4)

に 変 換 さ れ る.

 証 明 に は 次 の補 題 が 本 質 的 で あ る.

  補 題3.2    f(x)は

行 列Aは  

定 理 に お け る も の とす る.

で 解 析 的 で あ っ て,￨f(x)￨<εrを

満 た し,xに

関 し て2次

以 上 の項 よ りな る もの とす る.方 程式 (5) を 考 え よ う.こ

の と き,こ

意 の0
の 方 程 式(5)の 解u(y)は2次

る 定 数r1に

対 し て, 

以 上 の 項 か ら な り,任

で 解 析 的 で あ っ て,

(6)

を 満 た す.こ

こ で,Cはnと

γに の み 依 存 す る 正 の 定 数 で あ る.

 証 明   容 易 に 分 る よ うに, 

と お く と き,方

程 式(5)の 解

は (Eはn次

単 位 行 列) 

(7)

で 与 え ら れ る.   Cauchyの

定 理 に よ り,f(y)の

を 満 た す.一

方,行

1,2,…n)は

係 数(ベ ク トル)fkは

列{(k,α)E-A}-1の

対 角 成 分(固

仮 定 か ら,不

等式

有 値){(k,α)-αj}-1(j=

不 等式 ￨{(k,α)-αj}-1￨<γ-1(1+￨k1￨)n

を 満 た す.従 束 す る.よ

っ て,  っ て,u(y)は

こ こ で,￨k￨=Kを

に お い て,(7)で 解 析 的 で あ り,次

与 え ら れ る 解u(y)は の 評 価 式 を 得 る.

み た す ベ ク トルk∈Nnの

個数が

で あ る こ と を 用 い て い る.  さ て, 

で あ る こ と に 注 意 す る.よ

とす る と き,

っ て,

絶 対 一 様収

 3.2  定 理 の 証 明   定 理3.1の  

証 明 に 戻 ろ う.

f(y)はyに

関 し て2次

さ く取 れ ば, 

以 上 の 項 よ りな る か ら,∀ ε>0に

対 し てrを

十分小

に お い て,

(8) と で き る.

と お こ う.こ

こ で,Cは

補 題3.2に

お け る 定 数 で あ る.δ は εを 小 さ くす る こ

と に よ り任 意 に 小 さ くで き る こ と を 注 意 し て お く.   さ て,u(y)を

補 題3.2の

ら, 

に お い て,不

方 程 式(5)に

よ っ て 定 め よ う.u(y)は,補

題3.2か

等式

(9) を 満 た す.

  問3.1.  f(x)は

 

に お い て解 析 で あ り,か つ  

を満 たす と

す る.こ の とき,任 意 の ρ>0に 対 し て,f′(x)は   を 満 た す こ とを,Cauchyの

  問3.1と,(9)か

ら, 

に お い て, 

積 分 公 式 を 用 い て 示 せ.

に お い てu(y)は

(10) を 満 た す.変

換,x=u(y)を x=y+u(y) 

で 定 め よ う.こ

の 変 換 に よ り, 

れ る.δ が 十 分 小 さけ れ ば,平 u(y)は1対1で

(11)

の 像 は 不 等 式(9)か

均 値 の 定 理 に よ り,不

あ る こ と は 容 易 に 分 る.こ

ら, 

等 式(10)か

に含 ま ら,変

換x=

の 変 換 に よ り微 分 方 程 式(1)を

変換

し よ う.変

換 され た 方 程 式 を y=Ay+g(y) 

とす る.g(y)を

(12)

求 め よ う.

Ax+f(x)=Ay+Au(y)+f(y+u(y)) で あ る か ら,

よ っ て,

u(y)は 方 程 式(5)の

解 で あ る か ら,

が 成 りた つ.

 は   ば,可

に お い て,δ が 十 分 小 さい と き,不

逆 で あ る こ と が 分 る.さ

等 式(10)に 注 意 す れ

ら に,

を 満 た す.

(13) の大 き さを 評 価 し よ う.  ら,平 均 値 の 定 理 と問3.1及

の と き,(9)に

よ り, 

であ るか

び(8)か ら,

ゆ え に,ε を 十 分 小 さ く と っ て お け ば,

(14) を 得 る.

  g(y)は,(13)か N次

ら,yに

関 し て3次

以 上 の 項 よ りな る と きu(y)もN次

-1)次

以 上 の 項 よ り な る こ と,一 般 に,f(y)が 以 上の 項 よ り な る か ら,g(y)は(2N

以 上 の 項 よ り な る こ と を 注 意 し て お く.

  さ て,上

に 行 な っ た 操 作 を く り か え そ う.次

の よ うな 変 換 の 列{uK}が

得 ら

れ る.

と す る と き,変

換uK x=uK(y)=y+uK(y) 

は, 

で 定 義 さ れ,1対1で, 

(2K-1+1)次

(15)

に 写 す.uK(y)はyに

関 し て,

以 上 の 項 よ り成 りた っ て い る.

  変 換u(K)を x=u(K)(y)=u1°u2° に よ っ て 定 義 す れ ば,u(K)は 写 す.こ

の 変 換u(K)に

 

… °uK(y) 

(16)

に お い て 定 義 さ れ,1対1で

よ っ て 方 程 式(1)を

こ でfK(y)は

 

に

変 換 す れ ば,

y=Ay+fK(y)  が 得 ら れ る.こ

 

(17)

に おい て

(18) を 満 た し て い る.  と で き る か ら,∀K=1,2,3,…

 εを 十 分 小 さ く と る と, 対 し て,rK>r/2を

満 た す.従

い て 定 義 さ れ て い る.さ

と お く と き,(15)か u(k)3,…

は,あ

ら,任

るK(k)の

が 存 在 す る.又, 

っ て,変

換 の 列{u(K)}は

に

すべ て  

にお

ら に,

意 のk∈Nnに

対 し て,k次

の 係 数 の 列,uk(1),uk(2),

先 か ら 一 定 の 値 を 取 る:uk(k)=uk(K(k)), 

.故

に,

を 満 た して い るか ら,あ と で述 べ る補 題3.3に

よ り,

が 存 在 す る.収 束 は  

に お い て 一 様 で あ り,従

っ て 極 限 関 数u(∞)(y)

は  

に お い て 解 析 的 で あ る. 

あ った か ら, 

が 成 りた つ.u(∞)(y)の1次

も 注 意 す る.従 1対1で

に 対 し て常 に

っ て,必

 

で

の 項 はyで

あることに

要 な ら ば 定 義 域 を 縮 小 す る こ と に よ り,変

あ る こ と が 分 る.こ

の 変 換x=u(∞)(y)を

方 程 式(1)に

換u(∞)は

ほ ど こせ ば,

(18)か ら, y=Ay を 得 る.な

お,第

  補 題3.3 

も 参 照 せ よ.

(Montel)

 {fK(x)}を

 

と お く.  で あ り,か

Ⅱ部5章

に お い て 解 析 的 な 関 数 の 列 とす る.

に お い て,{fK(x)}は つ 係 数 はK→

一 様 有 界,￨fK(x)￨<M(K=1,2,3,…)

∞ の と き 収 束 す る.す

な わ ち,極

限

が 存 在 す る とす る.   こ の と き,fK(x)は

 

に お い て,一

様 に

に 収 束 す る.

  証 明 に 関 し て は,関 [1]を 見 よ.

数 論 の 正 規 族 の 理 論 を 参 照 せ よ.た

と え ばK.

Kasahara

4例

  4.1  解 析 的 な 変 換 で は 線 形 化 で き な い 例   PoincareとSiegelの す 行 列Aの "一 般 に"解 は,共

定 理 に よ り,方

固 有 値(α1,α2,…,αn)=α

程式 の 不 動 点 に お け る線 形 部 分 を 表 わ

が 非 共 鳴,す

な わ ち,Γ(α)=φ

の 場 合,

析 的 な 変 換 に よ り方 程 式 は 線 形 化 で き る こ と が 分 っ た .そ

鳴 の あ る 場 合,す

な わ ち,Γ(α)≠

φ の 場 合 は ど うか.い

れ で

くつ か の 例 を

見 よ う.   例1

(1)

  こ の 例 の 場 合,α2=rα=rα1で 程 式 は,こ

あ っ て,明

れ か ら 見 て い く よ うに,解

ら か に Γ(α)≠ φ で あ る.こ

の方

析 的 な 変 換 で は 線 形 化 で き な い が,(r-

1)回 連 続 的 微 分 可 能 な 変 換 に よ っ て 線 形 化 で き る.

(2)

  u1,u2は

た だ し,u1(0,0)=u2(0,0)=0,

運 続 的

微 分 可 能 と す る.   こ の 変 換 に よ っ て,方

程 式(1)が 次 の よ う に 線 形 化 され た と し よ う.

(3)  (2)よ

り,

従 っ て,次

のu1,u2に

対 す る 方 程 式 が 得 ら れ る.

(4)

方 程 式(4)を

解 い て,u1,u2を

求 め よ う.そ

y1(t)=y1(0)eαt, 

の た め に(3)の

解 を 求 め る.

y2(t)=y2(0)erαt

よ っ て, 従 っ て,解

曲 線 はy2=cyr1の

形 で あ る.こ

の 解 曲 線 に そ っ てu1の

値 を 考 え る.

g1(y1)=u1(y1,cyr1) と お く.こ

一 方,(4)か

の と き,

ら

ゆ え に,

(5)  さ て,

  問4.1 

関 数g(y)は

連 続 的 微 分 可 能 とす る.関

満た し,g(0)=0,g′(0)=1を   (解)  g(y)=y+h(y)と =0を

満 た す.こ

h(y0)≠0で

満 た せ ば,g(y)=yで

あ る と す る.こ

満 た し,h(0)=h′(0)

あ る こ と を 示 す .い

の と きx=h(y)と

ま あ るy0≠0で

お け ば,

と な っ て 矛 盾 す る.

ら,g1(y1)=y1,す

る か ら,u1(y1,y2)の u1(y1,y2)=y1で

あ る.

お く と,h(y)はyh′(y)=h(y)を

の と き,h(y)≡0で

従 っ て, 

  問4.1か

数g(y)が,yg′(y)=g(y)を

な お ち,u1(y1,cyr1)=y1を

連 続 性 に 注 意 し て,y1=0の あ る こ と が 分 る.

得 る.cは と き も 含 め て,

任 意 に とれ

  u2を

求 め よ う.u1(y1,y2)=y1で

あ る か ら,(4)よ

り,

(5) u1を

求 め た と き と 同 様 に,(3)の

解 曲 線y2=cyr1に

そ っ て のu2の

値 を み る.

g2(y1)=u2(y1,cyr1) と お く.u1の

と き と 全 く 同 様 に し て,

(6) ま た,g2(0)=u2(0,0)=0で

あ る.こ

れ を 解 い て,

(7) を 得 る.

 問4.2 

初 期 条 件g2(0)=0を

み た す 方 程 式(6)の 解 は 

で あ る こ とを 示 せ.

 (解)  問1と 同 様 に し て,方 程 式  得 る.そ

  (7)か

こ で,g2(y1)=yr1h(y1)と

お き,h(y1)の

を 解 け ば,g(y1)=yr1を 満 た す 方 程 式 を 求 め よ.

ら,

を 得 る.

と 置

こ う.u2(y1,cyr1)=u2(1,c)yr1,u2(1,c)=u2(1,c)で

あ る か

ら,

u2(y1,cyr1)=u2(1,c)yr1

が 成 りた つ.ま

た,

で あ る.

  問4.3. 

連 続 的 微 分 可 能 な 関 数u(y1,y2)が

任 意 のc,y1に

対 して

u(y1,cyr1)=u(1,c)yr1 

を 満 た し,か

つ 

(8)

を 満 た す とす る.こ u(y1,y2)=y2+c′yr1 

の と き,

(c′ は 任 意 定 数)

と な る こ と を 示 せ.   (解)  (8)の 両 辺 をcで

微 分 す れ ば,

ゆ え に, y1=0と

お け ば,

従 っ て,

cは 任 意 で あ っ た か ら, 

の連 続 性 に 注 意 す れ ば,任

意 のy1,y2に

対 し て,

で あ る こ と が 分 る.従

っ て, u(y1,y2)=y2+v(y1)

こ れ を 再 び(8)に

代 入 し て 整 理 す れ ば, v(y1)=v(1)yr1

を 得 る.こ

う し て,u(y1,y2)=y2+c′yr1を

  こ の 問4.3か

ら,u2(y1,y2)=y2+c′yr1を

得 る.逆

得 る.結

は 明 ら か で あ る.

局,

で あ る こ とが 分 る.   さ て,逆

に,変

換

(9) に よ っ て,方

程 式(1)を

変 換 す れ ば,

で あ る こ と が 容 易 に 分 る.こ

の 変 換(9)は

続 的 微 分 可 能 で あ る. 

原 点oの

近 傍 に お い て,(r-1)回

連

な る条 件 の も とに お い て も,線 形 化 す

る連 続 的 微 分 可 能 な 変 換 は,1つ

の 任 意 定 数cを 含 ん でい る こ と,い い か え れ

ば 唯 一 つ で は な い こ とに 注 意 して お こ う.

 4.2  微 分 可 能 な変 換 で は線 形 化 で き な い例  次 のHartmannに

よる例 は,連

な い例 を 与 え る.あ

続 的 微 分 可 能 な変 換 に よ って も線形 化 で き

とで 見 る よ うに,こ れ は連 続 な 変換 に よ って は 線形 化 され

る.  例2

(10)

 原点oの 近傍で定義 された連続的微分可能な 変換  が あ っ て,こ

の 変 換 に よ り,方

程 式(10)が

線 形 化 で き る,す

な わ ち,

(11)

と で き た と 仮 定 し て 矛 盾 を 導 こ う.   ま ず,方 す る.明

程 式(10)の

解(x1(t),x2(t),x3(t))を

求 め よ う.初

ら か に,x1(t)=a1eαt,x3(t)=a3e-γtで

期 値 を(a1,a2,a3)と

あ る か ら,

x2=(α-γ)x2+εa1a3e(α-γ)t

 1章 の 問1.2と

同 様 にLangrangeの

定 数 変 化 法 を 用 い て 解 け ば,

x2(t)=(a2+εa1a3t)e(α-γ)t

を 得 る.   同 様 に,方

程 式(11)の

解 は,初

y1(t)=b1eαt, 

で あ る.方 流 れ(フ

程 式(10)の

ロ ー)を{φt}で

期 値 を(b1,b2,b3)と

y2(t)=b2e(α-γ)t, 

解x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))か 表 わ そ う.φtは

す れ ば,

y3(t)=b3e-γt

ら生 成 さ れ る 力 学 系 ま た は

点x(0)をx(0)を

初 期 値 と す る(10)

の 解 のt秒

後 の 位 置x(t)に

  問4.4. 

{φt}はR3の

対 応 さ せ るR3の

微 分 同 相 で あ る:φt(x(0))=x(t).

微 分 同 相 か ら な る1-パ

ラ メ ー タ 変 換 群 で あ る こ と,す

な わ ち, φt°φs=φt+s, 

∀t,s∈R, 

φ0=id=恒

等写像

と な る こ とを 示 せ.

  同 様 に,方

程 式(11)か

ら 生 成 さ れ る 力 学 系 を{ψt}と

を 注 意 し て お こ う.変

換x=u(y)に

の で あ る か ら,(10)の

解x(t)=φtaは(11)の

つ 解y(t)=ψtbに た つ.力

写 さ れ る,す

学 系{φt}{ψt}の

  さ て,a1≠0と a2≠0と

よ っ て,方

て,a1=a2=0の

x3-軸 上 の 点 の み がt→+∞ く 同 様 に,y3-軸

  問4.5. 

程 式y=-γyに

で あ り,a1=0か

あ る.す 解y(t)に

の と き 原 点 に 近 づ く.従

微 分 方 程 式x=-γx,x∈Rが,変

に よ っ て,方

対 して 成 り

ψtで あ る.

の と き￨x(t)￨→0で

よ っ て,y3-軸

も

つ

で あ る こ と に 注 意 す る.従

の と き 原 点 に 近 づ く.(11)の

換x=u(y)に

変 換 され る

任 意 のtに

の と き￨x1(t)￨→+∞

の と き￨x2(t)￨→+∞

上 の 点 の み がt→+∞

べ た 注 意 か ら,変

程 式(10)は(11)に

言 葉 で 述 べ れ ば,φt°u=u°

と き に の み,t→+∞

こで 次 の こ と

対 応 す る 初 期 値b(a=u(b))を

な わ ち,x(t)=u(y(t))が

す れ ば,t→+∞

す れ ば,t→+∞

す る.こ

はx3-軸

っ

な わ ち,

関 して も全 っ て,上

に述

に 写 され る こ とが 分 る.

換x=u(y),0=u(0),u′(0)=1

変 換 さ れ た とす れ ば,u(y)=yで

あ る こ とを 示

せ.

  問4.5か

ら,変

=u(0,0,y3)で

  問4.6 

換x=u(y)はy3-軸

上 で 恒 等 変 換 で あ る.す

な わ ち,(0,0,y3)

あ る こ と も分 る .

同 様 に,t→-∞

換x=u(y)に

  変 換x=u(y)に

の と き,原

よ っ てy1y2-平

よ っ てy1-軸

面 はx1x2-平

はx1-軸

点 に 近 づ く点 を 考 え る こ と に よ り,変 面 に 写 さ れ る こ と を 示 せ.

に 写 さ れ る こ と を 示 そ う.x3(0)=0で

あ れ ば,x3(t)≡0で 流 れ{φt}に y2-平

あ る か ら,x1x2-平

関 し て 不 変 で あ る.同

面 も 流 れ{ψt}に

そ こ で,方

び 変 換x=u(y)

面,y1y2-平

う.x1x2-平

様 に,y1

よ っ て 不 変 で あ る.

程 式(10),(11)及

を,x1x2-平

面 は

面 に 制 限 して 考 え よ

面 上 の 解 曲 線x1(t)=a1eαt,x2(t)

=a2e(α-γ)tは

す べ て,t→-∞

に 近 づ く が,そ

の と き ,原

の う ち,初

軸 に あ る も の,す

期 値(a1,a2)がx1-

な わ ち,a2=0で

接 し て い る(図4.1).y1y2-平 変 換x=u(y)に

図4.1

あ る も の を 除 い て,す

べ てx2-軸

て,

に 原 点 で 接 す る 曲 線 は 変 換x=u(y)に

に 原 点 で 接 す る 曲 線 に 写 さ れ る こ と に 注 意 す る.従

っ て,y1-軸

に 原 点 で 接 す る 解 曲 線 がy 1-軸 だ け で あ る こ と に 注 意 す れ ば,y1-軸 よ っ て,x1-軸

に 原点 で

面 上 の 解 曲 線 に 関 し て も 全 く同 様 で あ る.さ

関 す る 仮 定 か ら,y1-軸

よ っ て,x1-軸

点

に 原 点 で 接 す る 唯 一 つ の 解 曲 線 で あ るx1-軸

が 変 換uに

自身 に 写 さ れ る こ

と が 分 る.

 問4.7. 

同 様 に,y2-軸

 (解)  言 え な い.た

も 変 換 に よ っ てx2-軸 と え ば,変

αx1,x2=(α-γ)x2を

に 写 され る と 言 え る か. x2=y2は,方

換 

方 程 式y1=αy1,y2=(α-γ)y2に

程 式x1=

移 す が,y2-軸

は 曲 線, 

に 写 す.

  y1y3-平 面 をSと

す る.変

か な 曲 面 で あ る.一 軸 お よ びx3-軸 平 面Sは

あ る か ら,曲

滑 ら か で あ り,原

さ い と き は,曲

換uに

よ る 面Sの

像u(S)は

よ っ て,y1-軸

面u(S)と

a1,x2=a2(c),x3=cの

よ っ て 不 変 で あ る.す 面u(S)も

流 れ{φt}で

点 に お け る 法 線 はx2-軸 平 面x1=a1の

連 続 的 微 分 可 能 な滑 ら

お よ びy3-軸

に 写 さ れ る か ら,曲 面u(S)はx1-軸

流 れ{ψt}に

(∀t∈R)で u(S)は

方,変

換uに

お よ びx3-軸 な わ ち,b∈Sの

を 含 ん で い る. と き ψtb∈S

不 変 で な け れ ば な ら な い.曲 で あ る か ら,a1>0が

交 線lはcを

あ る.た

面

十分小

パ ラ メ ー タ と し て,x1=

形 を し た 滑 ら か な 曲 線 に な る.こ

続 的 微 分 可 能 な 関 数 で あ っ て,a2(0)=0で

は そ れ ぞ れ,x1-

こ で,a2(c)はcの

だ し パ ラ メ ー タcの

連 値 は十

分 に 小 さ い とす る.(a1,a2(c),c)を u(S)の

流 れ{φt}に関

初 期 値 と す る,(10)の

解 曲 線 族 を 考 え よ う.

す る 不 変 性 か ら,こ れ ら の 解 曲 線 は す べ て 曲 面u(S)に

含

ま れ て い る(図4.2):

図4.2 x1(t)=a1eαt, 

x2(t)=(a2(c)+εa1ct)e(α-γ)t, 

こ れ ら の 曲 線 族 と 平 面x3=a3>0と

x3(t)=c・e-γt

の 交 線l′ を 求 め よ う. x3(t)=c・e-γt=a3

よ っ て,c>0と

す れ ば, 

従 っ て,パ

す る 交 線l′ 上 の 点 を(a(c),b(c),a3)と

で あ る.a=a(c),b=b(c)か 表 わ そ う. 

を 得 る.a=0の

対応

す れ ば,

ら パ ラ メ ー タcを

消 去 し て,bをaの

で あ る か ら,

と きb=0,す

ラ メ ー タcに

な わ ち,b(0)=0で

を 求 め よ う.

あ る. 

関 数 と して

また,

で あ る か ら,結

と な る.こ

局,

れ は,曲

面u(S)の

原 点 を 除 くx3-軸

向 を 向 い て い る こ と を 示 し て い る.原 れ は 矛 盾 で あ る.こ

う し て,方

上 の 点 に お け る 法 線 がx1-軸

点 に お け る 法 線 はx2-軸

程 式(10)は

分

で あ った か ら こ

連 続 的微 分 可能 な 変 換 に よ って は 線

形 化 で き な い こ と が 分 った.

 4.3  同 相 変 換 に よ る線 形 化   方 程 式(10)は 連 続 的微 分 可 能 な変 換 に よ って は 線 形 化 で きな い が,連 続 は 変 換,す

なわ ち,同 相 変 換 に よ って線 形 化 す る こ とが で き る.い

う まで もな く,

微 分 方 程 式(10)を 同 相変 換 に よ って直 接 に 変 換 す る こ とは 不 可 能 で あ る.そ

こ

で 次 の概 念 を 定 義 し よ う.

  定 義4.1 

方 程 式(10)と(11)は

次 の よ う な 同 相 変 換x=u(y)が

位 相 的 に 同 値 で あ る と い う.す {φt}と{ψt}が

変 換uに

な わ ち,方

程 式(10)と(11)か

存 在 す る とき ら 導 か れ る 流 れ,

関 し て 可 換 で あ る: u°ψt=φt°u 

変 換x=u(y)が

微 分 可 能 な と き は,(10)が

場 合,(12)が

成 りた つ こ と は す で に 見 た.こ

こ の 変 換uに

(12)

よ り(11)に 変 換 さ れ る

の 意 味 で い ま定 義 し た 同 値 概 念 は い ま ま で の も の の 拡 張 に な っ て い る.   Sx,(S′x)をx3=1(x3=-1)で す る.x3(t)=x3(0)e-γtで 不 変 なx1x2-平

定 まる 平 面 と あ った か ら,{φt}-

面 上 の 点 を 除 い て,任

aを 通 る解 曲 線 φtaは

必 ずSxま

意 の点

た はS′xと

唯 一 つ の 点 で 交 わ る.Sy(S′y)をy3=1(y3=

図4.3

-1)で

定 ま る 平 面 とす れ ば

る.変

換x=u(y)を

,こ

う し た 事 情 は,方

平 面Sx及

びS′x上

す な わ ち,(y1,y2,,±1)=u(y1,y2,±1)(複 式(12)を ±1)を

用 い て,y1y2-平

号 同 順)と

す る.こ

と し て 定 め

る.

の 変 換 を,関

係

あ る.こ

ら,x=(x1,x2,x3)と x1=a1eαt, 

の 点(a1,a2,

後 の 位 置 をy=(y1,y2,y3)=ψt(a1,a2,±1)と

ば,y1=a1eαt,y2=a2e(α-γ)t,y3=±e-γtで

で 与 え ら れ る.従

関 し て も同 様 で あ

面 を 除 く 全 空 間 上 に 拡 張 す る.Sy(S′y)上

初 期 値 と す る 解 のt秒

は 関 係 式(12)か

程 式(11)に

に お い て は恒 等 変 換

のyに

す れ

対 応 す る.x=u(y)

し て, x2=(a2±

εa1t)e(α-γ)t,  x3=±e-γt

っ て,

(13)

を 得 る.こ ば,y3=0に

の 変 換 はy3≠0に

お い て 定 義 さ れ た の で あ る が,0log0=0と

対 し て も 定 義 さ れ,し

換 も 連 続 で あ る か ら,こ

か もR3上

の 変 換x=u(y)は

で 連 続 で あ る.明

同 相 で あ る.R3全

が 成 りた っ て い る こ と は 容 易 に 確 か め られ る.こ

置け

ら か に,逆

変

体 で 関 係 式(12)

の 変 換uはy3=0す

な わ ち,

y1y2-平 面 に お い て 微 分 可 能 性 が 破 れ て い る こ と に 注 意 し て お く.   こ う し て,方

程 式(10)を

線 形 化 す る 同 相 変 換 が 存 在 す る こ と が 分 っ た が,こ

の よ うな線 形 化 を 与 え る 同相 変 換 は もち ろ ん唯 一 つ で は な い こ と も注 意 して お こ う.

5  μ-双曲 形不 動 点 と,そ の μ-安定 多 様 体 と μ-不安 定 多 様体

 5.1  微 分方 程 式 とそ の線 形 化  原 点 を 特 異 点 とす る微 分 方 程式 x=f(x)=Ax+f(x)  を 考 え よ う.こ

x∈Rn 

を満たす連続的微分可 能 な

こ でf(x)はf(o)=o, 

関 数 とす る.我 々は 方 程 式(1)の 局 所 的 な 性 質,す る性 質 を問 題 にす るが,方 程 式(1)はRn全 や す い.ま

(1)

な わ ち,原

点 の近 傍 に おけ

体 で 定 義 さ れ て い る方 が 取 り扱 い

た,方 程 式(1)か ら導 か れ る流れ{φt}が

時 間tに 関 して 大 域 的 に

定 義 され て い る,す な わ ち,す べ て の実 数tに 対 し て定 義 され てい る方 が 何 か と便 利 で あ る.そ

こで,f(x)は

十 分 小 さな 定 数 η>0に

対 し て,条 件

(2) を 満 た す と仮 定 す る.こ

の 仮定 は,方

程 式(1)の 局 所 的 な性 質を 問 題 とす る限

り,一 般 性 を そ こなわ な い.

 実際, 

を

な る 滑 ら か な 関 数 と し(図5.1),方

程式 (1)′

を 考 え る と,こ の 方 程 式 は 原 点 の 近 傍   に お い て,も f(x)に

と の 方 程 式(1)と

対 す る 仮 定 か ら,

論 に お い て は 条 件(2)は

  補 題5.1(比

図5.1

一 致 す る.さ

ら にRを

十 分 小 さ く 取 れ ば,

 に 対 し ては 条 件 が 満 た され る.以 下 の議 満 た さ れ て い る と し よ う.

較 定 理)  f1(x),f2(x)をRの

区 間 Ⅰで 定 義 さ れ た 関 数 と し,Ⅰ 上

でf1(x)
満 た し てい る とす る.x=x1(t),x=x2(t)を

方程式

x=f1(x),  x=f2(x)  の 同 じ初 期 条 件x1(t0)=x2(t0)=x0∈Iを 間  

(3)

満 たす 解 とす る.こ れ ら の解 は 共 に 区 で 定 義 され て い る もの とす る.こ の と き,

す べての  

に対 し て  

  証 明   T=inf{t;す

が 成 りた つ.

べ て の  

に 対 して  

と し て 矛 盾 を 導 こ う.x1(T)=x2(T)で 十 分 近 いt>Tに

対 して も

と お く.T
あ る か ら,x1(T)<x2(T).ゆ

 

が 成 り た つ.こ

え に,Tに

れ は 矛 盾 で あ る.

 補 題5.2  方 程 式

x=f(x) 

(4)

を考える.f(x)は 連続 的微 分可能 な関数 であ って,か つ す べ て のx∈Rnに を 満 た す も の とす る.こ 解 が す べ て のtに

対 して

の と き,任

対 し て 定 義 さ れ,不

意 のx0∈Rnに

対 し てx0を

初 期 値 とす る

等式

(5) を 満 た す.従

っ て,方

程 式(4)の

  証 明  解x{t;x0)を(そ

解 か ら 導 か れ る 流 れ{φt}が

存 在 す る.

れ が 定 義 さ れ て い る 範 囲 で)考 え よ う.こ

の と き,次

の ア プ リ ナ リ評 価 を 得 る.

の 解 がr=r0eMtで

  従 っ て, 

(解x(t;x0)が

定 義 さ れ て い る 範 囲 の)す べ て のt>0に

が 成 りた つ.こ の 定 理(1章

あ る こ と に 注 意 す れ ば,補

の こ と は 同 時 に,方

の 基 本 定 理)か ら,解

し て い る.t<0に

程 式(4)に

ら,

対 し て,

対 す る 解 の 局 所 的 存 在 と唯 一 性

が す べ て のt>0に

対 し て も 同 様 で あ る(tを-tに

題5.1か

対 して 存 在 す る こ と を 示 か え れ ば よ い).

  条 件(2)の

も と で,方

れ る 流 れ{φt}が

程 式(1)を 考 え る.補

す べ て のtに

題5.2よ

対 し て 定 義 さ れ る.方

り,方

程 式(1)か

ら導 か

程 式 を 線 形 化 した 方 程 式

x=Ax  を 同 時 に 考 え よ う.(6)か

(6)

ら 導 か れ る 流 れ を{Tt}と

す る,

Tt=eAt    方 程 式(1)の 解x(t)=φtx0に

(7)

そ った 変 分 方 程 式

(8) を 考 え る. 

で あ る か ら,補

題5.2に

よ り次 の 補 題 が 成 りた つ.

  補 題5.3 

変 分 方 程 式(8)の 解 を δx(t)と す れ ば,δx(t)は

不 等式

(9) を 満 た す.こ

こ で,

  こ こ で 次 の 定 義 を 置 こ う.   定 義5.1  (schitz連

φ:Rn→RnをRnの

写 像 とす る.L(φ)<+∞

続 で あ る と い い,L(φ)を

そ のLipschitz定

の と き,φ 数 とい う.こ

はLipこで,L(φ

は

で 定 義 され る定 数 で あ る.

  方 程 式(1)か で あ る.く

ら 導 か れ る 流 れ{φt}の

各tに

対 す る 写 像 φtはLipschitz連

続

わ し く い う と 次 の 補 題 が 成 りた つ.

  補 題5.4

  証 明  任 意 のx0,x1∈Rnに

対 し て, 

と お く.

xsを 初 期 値 とす る方 程 式(1)の 解 の族 φtxsを 考 え よ う.こ れ は 方 程 式

(10) を 満 た す.φtxsは1章

の 基 本 定 理 か ら,tとsに

関 し て 微 分 可 能 で あ る.そ

こ で,(10)の

を 得 る.従

両 辺 をsで

っ て,補

が 成 りた つ.従

微分す ると

題5.3か

ら,

っ て,

す な わ ち,

 を 得 る.

 方 程 式(1)の 解 とそ の線 形 化(6)の 解 との 関係 を 調 べ よ う.

  補 題5.5

  証 明   方 程 式(1)の

解 をx(t)=φtx0と

し,y(t)=e-Atx(t)と

き,

y=-Ay+e-Atx=-Ay+e-At(Ax+f(x)) =e-Atf(eAty) ゆ え に,

す な わ ち,

従 っ て,

を 得 る.よ

っ て,

お こ う.こ

の と

  ゆ え に,

 流 れ{φt}のtに

関 す る連 続 性 につ い て は次 の補 題 が 成 りた つ.

 補 題5.6 

また は  

な る任 意 のt,sに

対 して

が 成 りた つ.

 証 明

  5.2  μ-双曲形 行 列 と μ-不安 定 多 様 体   方 程 式(1)の 線 形化(6)の 係 数 行 列Aを 考 え る.Aの 表 わす.実

数 μを1つ 固定 し,Aの

固 有値 全 体 をsp(A)で

固 有 値 の実 部 は す べ て μに 等 し く な い と

す る.こ の よ うな行 列 を μ-双曲形 行 列 とい お う.μ=0の

ときは 普 通 の双 曲形

行 列 で あ る.

と お く,仮 sp2(A)に

sp1(A)={λ

∈sp(A);Reλ>μ}

sp2(A)={λ

∈sp(A);Reλ<μ}

定 か らsp(A)=sp1(A)∪sp2(A)で 対 応 す るA-不

れ{Tt},(Tt=eAt)に

  定 義5.2 

変 なE=Rnの

そ れ ぞ れ,sp1(A),

部 分 空 間 と す る .E1,E2は

それ ぞれ 流

関 し て も 不 変 で あ る.

Banach空

間E上

の 同 型 写 像 が つ く る1-パ

は 次 の 条 件 を 満 た す と き,μ-双 <1に

あ る.E1,E2を

対 し てTt-不

不 変 部 分 空 間E1,E2上

変 なEの

曲 形 で あ る と い う.す

ラ メ ー タ 族{Tt}0
不 変 部 分 空 間 へ の 直 和 分解

に ノ ル ム が あ り,あ

る δ>0が

 

べ て の0
あ っ て,TtのEi(i=1,

2)へ の 制 限 をTitと

す る と き,す

べ て の0
対 して

(11) を 満 た す.こ

こ で,m(T)はTの

  こ の と き,Eの

最 小 ノ ル ム を 示 す.

ノ ル ム はE1,E2上

の ノ ル ム を 使 っ て,z=(x,y)∈E1×E2=E

に 対 し て,￨z￨=max{￨x￨,￨y￨}で

  補 題5.7  行 列Aが

与 え る.

μ-双曲形 で あれ ば,{eAt}0
 

分 解 に もつ μ-双曲形 の族 であ る.こ こで,分 解  

を 不変 な はAに 対 応 す る 分

解 で あ る.

ま た は1

  問5.1. 

と す る.基

底 を 適 当 に 取 り換 え れ ば,ε1,…,εn-1を

任 意 に 小 さ くす る こ と が で

き る こ と を 示 せ.

  補 題5.7の

証 明 は 問5.1を

  流 れ{Tt}(Tt=eAt)の   補 題5.7か

ら,部

使 え ば 容 易 に 行 え る.

基 本 的 な 性 質 を 見 て お こ う. 分 空 間E1は

安 定 部 分 空 間 と な っ て い る,す

が 成 り た つ.E1の

流 れ{Tt}に

点 はt→-∞

  問5.2. 

つ,μ-安

つ μ-不

な わ ち,

し て 特 徴 づ け ら れ る の で あ る.同 変 で あ っ て,か

関 し て 不 変 で あ っ て,か

の と きeμtよ り も 速 く原 点 に 近 づ く点 全 体 と 様 に,部

分 空 間E2も

定 部 分 空 間 と な っ て い る,す

流 れ{Tt}に

関 し て不

な わ ち,

以 上 を 示 せ.

  方 程 式(1)か

ら導 か れ る流 れ{φt}と(1)の

線 形 化(6)か

ら 導 か れ る 流 れ{Tt}

と の 関 係 を 見 よ う.η が 十 分 小 さ い と き は,{φt}は{Tt}を

摂 動 した もの とみ

な す こ と が で き る.こ

れ{Tt}と

の と き,流

れ{φt}に

対 し て も,流

μ-不 安 定 多 様 体 や μ-安 定 多 様 体 が 存 在 す る の で あ る.一

同様に

般に次の定理が成 り

た つ.

  定 理5.1 

Banach空

間E上

の 同 型 写 像 が つ く る1-パ

は μ-双 曲 形 で あ る と し,    {ft}はEの

ラ メ ー タ族{Tt}0
分 解 とす る.

連 続 的 微 分 可 能 な 微 分 同 相 が つ く る1-パ

と し,ft(O)=Oを

で あ れ ば,次

を 対 応 す るEの

満 た す と す る.こ

の と き,小

ラ メ ー タ族(0
さ な 定 数 ε=ε(μ,δ)が あ っ て,

の こ とが 成 りた つ.

と お く と き,E1か

らE2へ

の 連 続 的 微 分 可 能 な 写 像 σft:E1→E2が

あ っ て,Wt

は σftの グ ラ フ と な っ て い る. Wt=graph(σft)≡{(x,y)∈E1×E2;y=σt(x)}.

従 って,WtはEの  

Wtは

連 続 的 微 分 可 能 な 部 分 多様 体 で あ る.

さ ら に次 の よ うに 特 徴 づ け られ る.

従 っ て,Wtはftに

関 し て 不 変 で あ る:ft(Wt)=Wt.Wtの

に 依 存 し て い る.す

な わ ち,{f′t}0
ば, 

が 成 りた つ.こ

各 々 はftに

連続的

同 様 の 族 と し,L(f′t-ft)→0と

こ で,ノ

ル ム 

すれ

は

で 与 え ら れ る. の と き は,Wtは

 と く に, 

 注 意 ftがr回

連 続 的 微 分 可能  

原 点 でE1に

接 す る.

で,μ,δ が 適 当 な 条 件,た

とえ ば

と くに を 満 た し て い れ ば,少

し 精 密 化 し た 議 論 に よ り,Wtはr回

多 様 体 で あ る こ とが 示 さ れ る(Hirsch,

Pugh,

Shub

連 続的微分可能な

[1]参 照).

 定 理5.1の

証 明 は 次 章 に おい て与 え られ る.

  5.3  μ-双 曲 形 不 動 点 と そ の μ-不 安 定 多 様 体   方 程 式(1)を す な わ ち,Aの 5.7か

ら,条

η<η1(A)で

考 え る.そ

の 線 形 化 方 程 式(6)の 係 数 行 列Aは

固 有 値 の 実 部 は す べ て μ に 等 し くな い と 仮 定 す る.補 件(2)の

η が 十 分 小 さ い と き,す

あ れ ば,方

程 式(1)か

{Tt}(0
理5.1が

題5.5と

る η1(A)が あ っ て,

ら 導 か れ る 流 れ{φt}(0
対 し て,定

Wtはtに

  証 明  Wtの

か ら,明

な わ ち,あ

適 用 で き る.従

対 し て 滑 め ら か な 不 変 部 分 多 様 体Wtが

  補 題5.8 

μ-双 曲 形 で あ る,

そ の 線形 化 っ て,各

φt

存 在 す る.

依 存 し な い:Wt≡W(0
特 徴づ け

ら か に,任

意 のt(0
Wt⊂Wktが

成 りた つ.Wtは

Wt=Wktが

成 りた つ.従

す べ てE1か っ て,任

る任 意 の 自 然 数kに らE2へ

対 し て,

の 写 像 の グ ラ フ で あ る か ら,

意 のt(0
自 然 数l,mに

対 し て, 

が 成 りた つ.   一 方,補

題5 .6か

ら,t→sの

と きL(φt-φs)→0で

的 に 依 存 す る こ と か ら,Wt≡Wを

 上 に求 め たWは{φt}-不

あ り,Wtが

φtに 連 続

得 る.

変 で あ り,原 点 でE1に

接 す る連 続 的 微 分 可能 なE

の部 分 多 様 体 であ る.こ れ は また 次 の よ うに特 徴 づ け られ る.

こ の 部 分 多 様 体Wは か れ る.μ=0の

流 れ{φt}の

μ-不 安 定 多 様 体 と い わ れ,W=Wuμ(φt)と

か

と き は 単 に 不 安 定 多 様 体 と い わ れ る.

  流 れ{ψt},ψt=φ-tに {St}はSt=T-t=e-Atに 対 応 す る分 割 は  

今 得 ら れ た 結 果 を 適 用 し よ う.流 よ っ て 与 え ら れ,{St}0
っ て,流

れ{ψt}の

線形化

曲 形 で あ り,

れ{ψt}の(-μ)-不

安

定 多 様 体Wu-μ(ψt)が と い い,Wsμ(φt)と 様 体 で あ り,次

 μ=0_の

の と き,Wuμ の と き,す

の と き,Wsμ

得 ら れ る.こ か く.こ

の 多 様 体 を も と の 流 れ{ψt}の

れ は,原

点 でE2に

接 す る{φt}-不

μ-安 定 多 様 体 変 な滑 ら か な 多

の よ うに 特 徴 づ け ら れ る.

と き,す

な わ ち,

は 中 心 不 安 定 多 様 体 と い わ れ,Wcuと

か か れ る.同

様 に,μ=0+

な わ ち,

は 中 心 安 定 多 様 体 とい わ れ,Wcsと

中 心 多 様 体 と い う.Wcは に 原 点 で 接 し て い る.

行 列Aの

実 部 が0で

か か れ る.Wc=Wcu∩Wcsを あ る固 有 値 に 対 応 す る 固 有空 間

6  定 理5.1の

証 明

 6.1  縮 小写 像 定理  5章 の 定理5.1の

証 明 を 与 え よ う.以 下 に 与 え る方 法 はHirsch-Pugh-Shub

[1]が 写 像 に対 す る類 似 の定 理 の証 明 に用 いた 方 法 と同 じ で あ る.証 くつ か の概 念 と補 助 定 理 を 必要 とす る.6.1と6.2に に お い て それ ら を簡 単 に述 べ る こ とにす る.す

明にはい

お い て 証 明 に 必要 な 限 り

ぐあ とで述 べ る定理6 .1は 縮 小

写 像定 理 を 少 し拡 張 した もの で あ る.

  定 義6.1 

Xを 距 離 空 間,E0をBanach空

と し,各Ex上

に は ノ ル ム￨・￨xが

で あ る と き,EはE0を

間 と す る.

与 え ら れ,か つ ノ ル ム￨・￨xがxに

フ ァ イ バ ー と す るX上

関 して連 続

の 自 明 な(Finslered)

Banach

バ ン ドル と い う.   写 像 σ:X→EがEの =x,x∈X)と

断 面 で あ る と は,π

す る と き,π °σ=id .(=恒

る と き を い う.{￨σx￨x;x∈X}が て,す

べ て のx∈Xに

をEか

らX上

等 写 像),す

有 界 の と き,す

対 し て￨σx￨x<Mが

へ の 自然 な 射 影(π(Ex) な わ ち,σx∈Exで

な わ ち,あ

成 りた つ と き,断

る 定 数Mが

あ あ っ

面 σは有界であ

る と い う.   を 有 界 な 断 面 σ:X→E全

体 か ら な る空 間 と し,dを

で 定 義 さ れ る   の 距 離 と す れ ば, 

は この距 離 に関 して 完 備 な 距 離 空 間 とな

る.   f:E→EをEの

フ ァ イ バ ー を 保 つ 写 像,す

対 し て πf(y)=πf(y′)を

み た す とす る.hをfか

とす る:π °f=h° π.hはXの 上 の 写 像f#が

な わ ち,∀x∈X,∀y,y′ ら 自然 に 導 か れ るX上

同 相 写 像 で あ る とす る.こ

自 然 に 導 か れ る:

∈Exに

の と き 写 像fか

の 写像 ら  

この 写 像f#をfか

ら導 か れ る ゲ ラフ 変 換 とい う.断 面f#σ は 有 界 とは 限 ら な

い.

  定 理6.1 

Eを 距 離 空 間X上

の 自 明 なBanachバ

な フ ァ イ バ ー を 保 つ 写 像,hをfか   fは

ら 自 然 に 導 か れ るX上

フ ァ イ バ ー 縮 小 写 像 と す る,す

X,∀y,y′

∈Exに

{￨f(ox)￨h(x);x∈X}は

f#σf=σf,が

な わ ち,あ

ら に,oxを

の 同 相 写 像 とす る.

る定 数k<1が

フ ァイ バ ー  

あ っ て,∀x∈

の 原 点 とす る と き,

有 界 で あ る と す る.

ら 導 か れ る グ ラ フ 変 換f#に

唯 一 つ 存 在 す る.又,こ

関 して 不 変 な 有 界 な 断 面  

,

の 断 面 σfは 連 続 で あ る.

  証 明   仮 定 か ら 明 ら か に, 

とす る と き, 

が 成 りた つ.す

な わ ち,f#は

る.従

く知 ら れ て い る よ う に,f#-不

っ て,よ

連続

対 し て,

が 成 り た っ て い る とす る.さ

  こ の と き,fか

ン ドル と し,fをEの

で あ り,

完 備 距 離 空 間   か ら   の 中 へ の 縮 小 写像 で あ 変 な 唯 一 つ の 断 面 

が存在

す る.有

界 か つ 連 続 な 断 面 が 作 る 空 間   は   の中 で 閉 じた 部 分 空 間 で あ っ

て,f#-不

変 で あ る.従

断 面,す と え ば,与

 

って  

な わ ち,σ0x=oxと

,す

な わ ち,σfは

す る と き, 

連 続 で あ る.(σ0をoで,た

で あ り, 

え ら れ る こ と に 注 意 せ よ.)

E1,E2をBanach空

間 と し,写

像

σ:E1→E2に

対 し て ノ ル ム〓

・〓 を

で 定 義 す る.   積 空 間E1×E2をE1上 み な す こ と が で き る が,こ

のE2を

フ ァ イ バ ー と す る 自 明 なBanachバ

の 場 合,E1か

の 断 面 と 考 え る こ と が で き る.す

らE2へ

の 写 像 σ をE1か

ン ドル と らE1×E2へ

な わ ち,σx=(x,σ(x))∈E1×E2(x∈E1)と

考 え る わ け で あ る.こ の と き は σxと

カ ッ コ を は ぶ い て 書 き 表 わ す こ と に す る.

  補 題6.1 は  

を ノ ル ム とす るBanach空

間 で あ り,

は   の閉 部 分 集 合 で あ る.

  証 明   {σn}を

  のCauchy列

と す る.E1の

任 意 の 有 界 部 分 集 合 上 で,σn

が あ る σ に 一様 収 束 す る こ と は 明 ら か で あ る.n→ を 示 そ う.任 n)>nが

意 のx∈E1,x≠oと

任 意 の 整 数n>0に

あ っ て,￨σm(x)-σ(x)￨<￨x￨/nと

ゆ え に,n→

∞

∞ の とき

 

の と き,  対 し て 整 数m=m{x,

で き る.従

っ て,

で あ る.

  次 に, 

とす る.任 意 の 有 界 部 分 集 合 上 で

σnは σ に一 様 収 束 し,か つ  

を満 た す か ら, 

従 って,

  6.2  ジ ェ ッ ト空 間   定 義6.2 

E1,E2をBanach空

の 写 像 σ と σ′が 点xで

間 とす る.x∈E1の

近 傍 で 定 義 され たE2へ

接 し て い る と は, か つ,

が 成 りた つ と き を い う.   こ の 同 値 関 係 に よ る 同 値 類 をxに

お け るLipschitzジ

σ を 代 表 元 とす る ジ ェ ッ トをJxσ で 表 わ し,σ   xをyに

写 すE1か

らE2へ

E2,y)で

表 わ す.

  j=Jxσ

∈J(E1,x;E2,y)に

を 考 え る.こ

のLx(σ)を

ェ ッ トと い う.写

か ら 定 ま る ジ ェ ッ トと い う.

の 局 所 写 像 か ら定 ま る ジ ェ ッ ト全 体 をJ(E1,x;

対 して

σ のxに

お け るLipschitz定

  有 界 な ジ ェ ッ トか ら な る 集 合 をJbxで 表 わ す:

数 と い う.

像

  同 様 に,微

分 可 能 な ジ ェ ッ トか ら な る 集 合 をJdxで 表 わ す: Jdx={j∈Jb;j=Jxσ,σ

  補 題6.2  nach空

x=y=oと

す る.こ

間 で あ り,JdoはJboの

は 微 分 可 能}

の と きJboは￨j￨=Lo(j)を

  証 明   ￨・￨は 明 ら か にJboの

ノ ル ム で あ る.Jboが

る こ と を 示 そ う.{jn=Joσn}をJboのCauchy列 Unと

す る.Unは

原 点oの

ノ ル ム とす るBa

閉 部 分 空 間 で あ る.

とす る.写

近 傍 で あ る.正

うに 帰 納 的 に 定 義 し よ う.r1,…,rn-1が

この ノル ムに 関 して 完 備 で あ 像 σnの 定 義 域 を

の 数 か らな る減 少 列  

を次の よ

既 に 定 ま っ た と し て,rnを

次の よ う

に 定 め る.

で あ る か ら,こ

れ は 可 能 で あ る.

 さ て,σ(x)を

で 定 義 す る.Joσ

∈Jboで あ る こ と は 明 ら か で あ る.m→

∞ の と き,jm→Joσ

で

あ る こ と を 示 そ う.

  従 っ て,m→

∞

の と き￨jm-Joσ￨→0が

成

り た つ.よ

っ て,Jboは

完 備 で あ

る.   JdoがJboに

お い て 閉 で あ る こ と を 示 そ う.σ

お け る 微 分 を(Dσ)o∈L(E1,E2)と お く.{jn}をJboに

は 微 分 可 能 と す る.σ

す れ ば,Joσ=Jo(Dσ)oで

お い て 収 束 す るJdoの

の 原 点oに

あ る こ とに 注 意 して

列 と す る.σnをjn=Joσnな

る微 分 可 能

な 写 像 と す れ ば,{(Dσn)o}は,{jn}がJboに

お い てCauchy列

L(E1,E2)のCauchy列

も ち ろ ん 完 備 で あ る か ら,(Dσn)o

は あ る σ∞∈L(E1,E2)に

を な す.L(E1,E2)は 収 束 す る.jn→Joσ

∞ は 明 ら か,よ

を な す こ と か ら,

っ てJdoは

閉 で あ る.

で あ る こ と も 注 意 し て お こ う.

 次 の補 題 は逆 関数 定 理 の類 似 で あ る.証 明 は読 者 に ゆ だね よ う.

  補 題6.3 

EをBanach空

間,AをEの

連 続 な 写 像 と し,L(f)<m(A)を Lipschitz定

同 型 写 像 とす る.fをEのLipschitz

満 た し て い る とす る.こ

数 で あ り,m(A)はAの

  この とき,g=A+fは1対1写

こ で,L(f)はfの

最 小 ノ ル ム で あ る.

像 であ り,か つ, 

を満 たす.   6.3  定 理 の 証 明,そ

の1

  以 上 で 準 備 は ほ ぼ 整 っ た の で,い 乱 の お そ れ が な い 限 り,ftやTtな

よ い よ5章

の 定 理5.1の

ど の 添 字tは

証 明 に

移 ろ う.混

消 略 す る.

  い くつ か の 記 号 を 定 め て お く. f(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y))∈E1×E2 と し,

とお く. 

か つ,{Tt}は

μ-双曲形 で あ るか ら,

を 満 た す.  μ-不 安 定 多 様 体Wを

与 え るE1か

らE2へ

の 写 像 σ をfの

グ ラ フ 変 換f#の

不

らE=E1×E2へ

の

動 点 と し て 与 え よ う.   (ⅰ)  断 面 と 考 え る.こ

(補 題6.1)を6.1で

注 意 し た よ うに,E1か

の とき f1°σ:E1→E1:x→f1(σx)=f1(x,σ(x))

に 対 し て, 

が 成 り た つ.(T1=TのE1へ

の 制 限)

 

  実 際,任

意 のu,x∈E1に

  従 っ て,補 で,か

題6.3か

対 し て,

ら,f1°

σ は1対1

つ

を 満 た す.

  (ⅱ) 

に 対 し て,(ⅰ)で

(f1° σ)-1をgと

定 ま った

お く: 図6.1

  fか ら 自然 に導 か れ る グラ フ変 換,f#σ≡f° σ°gを 考 え る.こ の 変換 は   上 で 定 義 され るが,像f#σ

も 

に 含 まれ る こ とを 示 そ う.実 際

 よ っ て,   一 方,

十 分 小 さ な ε に 対 し て は(d+c)α<1が

(ⅲ)   任 意 の  

 一 方

よ っ て,

,

成 りた つ.従

っ て,

は 縮 小 写 像 で あ る こ とを 示 そ う. に 対 し て,g=(f1°

σ)-1,g′=(f1°

σ′)-1とす る と き,

ゆ え に,十 分 小 さな εに 対 し て は,係 数<1が 小写 像 で あ る.従 って,f#-不 変 な  

  (ⅳ) σfがfに

成 りたつ か ら,f#は

の縮

が 唯 一 つ 存 在 す る:f#σf=σf

関 し て 連 続 的 に 依 存 し て い る こ と,す L(f′-f)→0の

 

な わ ち,

とき

で あ る こ とを 示 そ う.   (ⅱ),(ⅲ)か ら,L(f′-f)が つ,縮

十 分 小 さ い と き は, 

小 写 像 に な っ て い る.従

g′≡(f′1° σ)-1g≡(f1° σ)-1,f′(f′1,f′2)と

(f′2(o)=f2(o)=o,g(o)=oに

数,const.は

σや(fに

注 意)

,

ゆ え に,

nは 任 意 で あ った か ら,結 局

示 す)

十 分 近 い)f′ に 無 関 係 な 定 数 で あ る .

  さ て,f#,f′#は 共 に 縮 小 写 像 で あ っ た か ら,あ

一方

が 唯 一 つ 存 在 す る.

お け ば,

(d′,c′はf′ に 対 す る 定 数d,cを

こ こ で,定

が 定 義 で き,か

っ てf′#-不 変 な  

る定 数K<1が

あ っ て,

 

  6.4  定 理 の 証 明,そ

の2

  前 節 で 定 め た 断 面 σfは 微 分 可 能 で あ る こ と を 示 そ う.   断 面 σ:E1→E=E1×E2と

写 像 σ:E1→E2を

同一 視 して い る こ とを 注 意 して

お く. (Ⅴ)

と お く.E1に

離 散 トポ ロ ジ ー を 与

え る 距 離 を 与 え て お く と,JbはE1 上 の 自 明 なBanachバ

ン ドル,Dは

そ の 単 位 円 板 バ ン ドル と考 え る こ と が で き る. j=Jxσ

∈Dxに

対 し て,

Jf(j)=Jhx(f2° g≡(f1°

σ°g), σ)-1,h=f1°

に よ っ て,写 像Jfを

で あ る こ とが 示 さ れ る.す   Jf:D→Dは   j=Jxσ,j′=Jxσ

図6.2

σf

定 義 す る と,6.3の(ⅱ)(ⅲ)と な わ ち,JfはDの

全 く同 様 に し て,Jf(j)∈Dhx

フ ァ イ バ ー を 保 つ 写 像 で あ る.

縮 小 写 像 で あ る こ とを 示 そ う. ′ に 対

し て,g=(f1°

σ)-1,g′=(f1°

σ ′)-1と

お け ば,

ま た,

ゆ え に,

εを 十 分 小 さ く取 れ ば,￨j-j′￨xの く取 れ る,つ

ま り,JfはDの

係 数 はj,j′ に 無 関 係 に 一 様 に1よ

フ ァ イ バ ー を 保 つ 縮 小 写 像 と な る.従

り小 さ

っ て,定

理6.1か

ら,DのJf-不

変 な 断 面 σJfが 唯 一 つ 存 在 す る.

  (ⅵ) Jdx={Jxσ ∈Jbx;σ は 微 分 可 能}と

す る.j∈Jdx∩Dxと

微 分 可 能 で あ る か ら,Jf(j)∈Jdhx∩Dhx.補

題6.2か

で 閉 じ て い る か ら,σJf(x)∈Jdx∩Dxが   一 方,σfはf#-不

す れ ば,f2° σ°gは はJbの

ら, 

中

い え る.

変 で あ っ た か ら,Jf(Jxσf)=Jhxσf.従

っ て,

Jx(σf)=σJf(x)∈Jdx∩Dx

よ って,σfは 微 分 可 能 で あ る こ とが 示 され た. 

もい え て い る こ とに

注 意 し て お こ う.

  さ て,σfは

連 続 的 微 分 可 能 で あ る こ と を 示 そ う.

  (ⅶ) Lxをxに Tσf(x)E2へ

お け るE1の

接 空 間TxE1か

ら σf(x)に

の 線 形 写 像 が な す 空 間L(TxE1,Tσf(x)E2)と

お け るE2の

す る.TxE1とE1は,ま

た,Tσf(x)E2とE2は

自 然 に 同 一 視 で き る か ら,LxとL(E1,E2)は

視 で き る. 

をxに

Banachバ

接 空間

お け る フ ァ イ バ ー がLxで

自然 に 同 一 あ るE1上

の 自明 な

ン ド ル と す る.

  fの 微 分 ∂f/∂zは 次 の よ うに 自然 にL上 に働 く.   P∈Lxと

す る. graph(P)={υ+Pυ;υ

義 す る.す

をLの LfはBか

単 位 円 板 バ ン ドル と す る と,(Ⅴ)(ⅵ)から,Lf(Bx)⊂Bhxで らBへ

の 写 像 を 定 義 し,さ

え に 定 理6.1か

在 す る.graph(σf)へ

ら,Bに

っ て,σf=σLfで

ら にLfはBの

あ り,従

縮 小 写 像 で あ る.一

連 続 な 断 面 で あ る か ら,写 属 す る 連 続 でLf-不

の 接 空 間 か ら 導 か れ るB上

連 続 的 微 分 可 能 な 写 像fに る.従

とな る よ うに 定

な わ ち,

は 連 続 的 微 分 可 能 で あ り,σfは る.ゆ

∈TxE1}⊂Tz(E1×E2),z=σfxをPの

を  

グ ラ フ と す る.Lf(P)∈Lhx

微 分 可 能 で あ る こ と を 意 味 し て い る.

連続 であ

変 な 断 面 σLfが 唯 一 つ 存 の 断 面 σfはgraph(σf)が,

よ っ て 不 変 で あ る こ と か ら,明 あ る.σLfは

像Lfは

っ て, 方,f

ら か にLf-不

連 続 で あ っ た か ら,こ

変 であ

れ は σfが 連 続 的

  6.5  定 理 の 証 明,そ  

の3

W=graph(σf)≡{(x,y)∈E1×E2;y=σf(x)}を (ⅷ) G=graph(σf)と は 明 ら か で あ る.従

お く.f(G)=G,  っ て,

  z=(x,y)∈E1×E2と (x-n,y-n)と

示 そ う. 

し,z-n=f-n(z)=

お く.

  z′-1=(x-1,σf(x-1))∈G,z′=f(z′-1)= (x′,y′)∈Gと

す る.こ

の

と き,

 で あ る か ら,

 ゆ え に,

  従 っ て,一

図6.3

般 に, 

に対 して

が 成 りた つ. と し,z∈W-Gと

 さ て, 

に 対 し てf-n(z)=z-n∈Sで f(o)=oで

あ っ た か ら,z∈Sに

よ っ て,

, 

が 成 りた つ.こ

あ る.f=T+(f-T)と

の と き,任

意の

表 わ せ ば, 

あ る か ら,

  ￨z￨=max{￨x￨,￨y￨}で

 一 般 に

す る.こ

に 対 して

う し て,

対 し て は￨z￨=￨x￨.ゆ

え に,

 

εを 十 分 小 さ く取 れ ば,右 す れ ば,n→

辺 の 括 弧 の 中 は1よ

∞ と す る と き￨y-n￨/￨x-n￨→+∞

こ と に 矛 盾 す る.ゆ

え に,W-G=φ,す

り大 き い.従 と な る.こ

な わ ち,W=Gで

っ て,y≠

σf(x)と

れ は,z-n∈Sで

あ る

な け れ ば な ら な い.

を 示 そ う.

  次 に,  (ⅸ) z∈Wと

す る.(ⅷ)で 示 し た よ うに,任

意 の  

に 対 し て,

が 成 りた つ か ら,

εを十 分 小 さ く取 れ ば,右 辺 の括 弧 の 中 は1よ

 逆 を示 そ う. 

で あ るか ら,あ る  

とす る. 

す な わ ち, 

り大 きい.ゆ え に,

が あ って,

が 成 りた つ.(ⅷ)と全 く同 様に して,

が 成 りた つ こ と が 分 る.従

ゆ えに,一 般 に, 

っ て,

であれば  

が 成 りたつ.実 際,z∈Sと

で あ る か ら,十 分 小 さい εに対 して,

右辺

 左辺

と な り矛 盾 す る.   で あ っ た か ら,い が い え る.z-l=(x-l,y-l)と え に, 従 っ て,一

般 に,

が 成 りた つ.ゆ

え に,

ま 示 さ れ た こ と か ら,  お け ば, 

か ら,￨z-l￨=￨y-l￨>￨x-l￨.ゆ

すれ ば,

εを 十 分 小 さ く取 れ ば,‖T2‖+εt<eμtと

な る か ら,結

局, 

が 示 さ れ た.同

と な っ て, 

で あ れ ば,

時 に,

W={z;￨fnz￨/eμt・n=O(1),n→-∞}

も 示 さ れ て い る こ と を 注 意 し て お く.

 最 後 に,  ッ トj=oを   これ で,5章

で あ れ ば,Wは

原 点 でE1に

原 点 に お い て 不 変 に す る か ら で あ る. の 定 理5.1の

証 明 は す べ て 終 った.

接 す る.実

際,Jfは

ジ ェ

7  特異点 の まわ りの標準形 と線形化

 7.1 固有値の実部がすべて同符号の場合の標準形  方程 式 x=f(x),  x∈Rn 

(1)

を 原 点 の 近 傍 で 考 え よ う.原 点 は特 異 点 で あ る.す な わ ち,f(o)=oと る.こ の 方程 式 の線 形 部 分 をAxと

し,(1)を

x=Ax+f(x)  と 表 わ し て お こ う. 

仮定す

(1)′

f(x)=f(x)-Axで

あ る.f(x)はf(o)=o,

を 満 た す 連 続 的 微 分 可 能 な関 数 で あ る.我 で あ る 原点 の近 傍 で の み 考 察す るの で,5章

々は 方程 式(1)を 特 異 点

の 始 め に述 べ た こ とか ら,

を 仮 定 す る.η は い くら で も小 さ く取 る こ とが で き る.   我 々 の 目的 は 適 当 な 座 標 系 を 導 入 す る こ と に よ り方 程 式(1)を で き るだ け簡 単 な 形 に す る こ とに あ る.で きれ ば 線形 化 した い.す で に 述 べ て きた よ うに, こ の問 題 は(1)の 線形 部分 を表 わ す 行列Aの 性 質,と

く に 固 有値 の 性 質 に深 く

か か わ って い る.   まず,Aの

固 有 値 の実 部 が す べ て同 符 号(た とえば,す べ て 負)と す る.

  補 題7.1 

Rnの

と き,Rnの

正 定 値2次

る.す

な わ ち,あ

線 形 変 換Aの 形式

固 有 値 の 実 部 は す べ て 負 で あ る と す る.こ 〈,〉 で あ っ て,次

る 負 の 定 数-γ(γ>0)が

の

の性 質 を 満 た す もの が 存 在 す

あ っ て,∀x∈Rnに

対 し て,

(3) こ こ で,Ax・ わ ち,

∇ は 点xに

お け る,Ax方

向 へ の 方 向(Lie)微

分 を 表 わ す.す

な

 証 明  行 列Aは 対 角 化 可能(た と えば,固 有 値 は す べ て相 異 な る)と す る.

Aは

実 行 列 で あ る こ と に 注 意 し て,λ1=λ2,λ3=λ4,…,λ2m

-1=λ2mλ2j-1=aj+

ibj(aj,bj∈R,bj≠0),j=1,2,…,m,λ2m+1,…,λn∈Rと λ2j-1(j=1,…,m)に と し,実

固有 値

す

対 応 す る複 素 固 有 ベ ク ト ル を λk(k=2m+1,…,n)に

る.複

ξj=ej+ifj∈Cn(ej,fj∈Rn)

対 応 す る実 固 有 ベ ク

トル をgkと

よ く 知 ら れ て い る よ う に,e1,f1,…em,fm,g2m+1,…,gnをRnの

と 表 わ さ れ る. 〈x,x〉 を

に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き, (Ax・

明 ら か に,(Ax・

∇)x=Axで

 (解) 

∇)x,x〉

あ る か ら,

とす れ ば,

よ っ て, 

  問7.1. 

∇)〈x,x〉=2〈(Ax・

Aが 対 角 化 可 能 で な い 場 合 の 補 題7.1の 5章 の 問5.1を

 さ て,〈x,x〉

す る.

基 底 に と れ ば,

変 換Aは

  2次 形 式

素 固有 値

証 明 を 行 え.

参 照 せ よ.

の(1)の 解 に そ っ て の 変 化 を み よ う.

と こ ろ で, (f(x)・

∇)〈x,x〉=2〈(f(x)・

∇)x,x〉=2〈f(x),x〉

よ っ て,

Rn上

の す べ て の ノ ル ム は 同 値 で あ る か ら,あ

が 成 りた つ.従

る 定 数c,C(0
あ っ て,

っ て,

(4) 一 方, 

で あ っ た か ら,

(5) よ っ て,(3),(4),(5)か

結 局,η

ら,

を 十 分 小 さ く と れ ば,負

の 定 数(そ れ を 再 び-γ

で 表 わ す)が あ っ て,

(6) が 成 りた つ こ とが 分 る.   以 下,Rnの

距 離 は,ノ

ル ム  

を 使 っ て 与 え ら れ る も の と し て お く.

  方 程 式(1)か

ら 導 か れ る 流 れ を{φt}と

し,(1)の

線形化

x=Ax  か ら導 か れ る 流 れ を{Tt=etA}と   不 等 式(6)か

す る.

ら,∀x∈Rnに

対 し て,(x≠o)

ρ(t)≡ 〈φtx,φtx〉, 

は い ず れ もtの の と き+∞   Rnの

(7)

r(t)=〈Ttx,Ttx〉

狭 義 単 調 減 少 関 数 で あ っ て,t→

に 発 散 す る.(下

の 問7.2を

同 相 写 像 ψ で,ψ(o)=oで

を 満 たす もの を構 成 し よ う.

収 束 し,t→-∞

み よ)

あ り,す φt°ψ=ψ

∞ の と き0に

べ て のt∈Rに

°Tt 

対 し て, (8)

S={x∈Rn;〈x,x〉=1}

をRnの(ノ す る.ま

ル ム   ず,ψ

で の)単 位 球 面 と

はS上

す な わ ち,S上

で は 恒 等 写 像 で あ る,

の 点 は 動 か さ な い と す る.S

以 外 の 点 に 対 し て は,関

係 式(8)が 成 りた つ

よ うに ψxを

の 関 係 に よ りψ は

定 め る.こ

一 意 的 に 定 ま るの で あ る.   ∀x∈Rn(x≠o)に

対 し,r(t)に

関 して述 べ

た こ と か ら,唯1つt=t(x)∈Rが

図7.1

あ っ て,Ttx∈Sが

成 り た つ.(r(t(x))=1)

こ の と き, ψx=φ-1t(Ttx) 

で も っ て ψ を 定 義 す る.x∈Sの で あ る.t=t(x)は あ る.従

っ て,ψxはRn-{o}に

と き,t(x)→-∞,従

に,ψ(o)=oと

定 義 す れ ば,ψ

(8)を 満 た す こ と は,そ

  問7.2. 

ち ろ ん ψx=x 滑 らか な関 数 で

お い て 微 分 可 能 で あ る.φtとTtの

役割を入

お い て 逆 も 微 分 可 能 で あ り,Rn-

微 分 同 相 を 与 え る.x→oの

際,x→oの

あ る か ら,も

解 の 初 期 値 に 関 す る 微 分 可 能 性 か ら,xの

れ か え る と分 る よ う に,ψxはRn-{o}に {o}の

(9)

場 合,t=0で

と き,ψx→oで

あ る こ と も み や す い.実

っ て,ψx→oで

あ る(下 の 問 参 照).ゆ

はRn全

体 で 同 相 写 像 を 与 え る.こ

え

の写 像 ψが

の 作 り方 か ら 明 ら か で あ ろ う.

ρ(t)>0は

を み た す も の と す る.こ

こ で γは 正 の 定 数,こ

の と き,

が 成 りた つ こ と を 示 せ.   (解) 

5章 の 補 題5.1を

  こ うして,Aの

参 照.

固有 値 の 実 部 がす べ て 負(又 は 正)な る と きは,原 点 を 除 い て

微 分 可 能 な 同 相 写 像 ψ が あ っ て,方 程 式(1)の 解 が 線 形 化 され た 方 程 式(7)の

解 に 写 され る こ と が 分 っ た.Sternberg

[1]に

よ れ ば,ψ

と して 微 分 可 能 な も

の が 取 れ る こ と が 分 っ て い る.

  7.2  一 般 の場 合 の標 準 形   固 有値 の実 部 がす べ て 同 符号 の 場 合 は,上 に見 て き た よ うに,か な り単 純 で あ るが,一 般 の場 合 は ど うで あ ろ うか.一 般 に は これ は複 雑 で あ る.特 に実 部 が0で あ る よ うな 固有 値 が存 在 す る場 合 は極 め て複 雑 で あ っ て,い

ま も って,

完 全 に は 分 って い な い(次 章 も参 照 せ よ).   次 の定 理 が成 りたつ.

  定 理7.1 

方 程 式(1) x=Ax+f(x) 

に お い て,行

列Aの

固 有 値 の う ち,n+個

部 が 負 の 固 有 値 で,残 る.こ

(1)′

が 実 部 が 正 の 固 有 値 で,n-個

りのn0=n-(n++n-)個

の と き,(1)は,あ

が 実 部 が0の

るg(x0),x0∈Rn0,(g(o)=o)が

が 実

固 有 値 で あ る とす あ っ て,

x+=x+,x+∈Rn+

(10)

x-=-x-,x-∈Rnx0=g(x0),x0∈Rn0

と 位 相 的 に 同 値 で あ る.す か れ る 流 れ を{ψt}と

な わ ち,(1)か

す る と き,Rnの

ら 導 か れ る 流 れ を{φt},(10)か 原点 を 動 か さな い 同 相 写 像

ψ:Rn→Rn=Rn+×Rn-×Rn0 が あ っ て,∀t∈Rに

対 し て,

ψ °φt=ψt・

ψ

が 成 り た つ.

  こ の 定 理 は,n0=0の に よ る.一 Shub

般 の 場 合 は,Hirsch-Pugh-

[1], Shoshitaishvili

  x+=0が5章 Wcsを

と き はHartmann

定め

[1]等

に よ る.

で求めた中心安定多様体 ,x-=0が

中心 不 安 定 多 様 体

図7.2

ら導

Wcuを

定 め て い る.中

心 多 様 体,Wc=Wcs∩Wcuは

も ち ろ ん,x+=x-=oに

よ っ て 定 め ら れ る.   n0=0,の

場 合,す

な わ ち,Aの

固 有 値 の 実 部 が す べ て0で

ない場合を考え

よ う.   適 当 に 座 標 系 を 取 れ ば,Rnは とA-不 Rn-の

変 な 部 分 空 間Rn+と

直 和 に 分 解 さ れ,A￨Rn±=A±

す れ ば,A+(-)の 正(負)で

あ る.5章

の 結 果 か ら,η を 十 分

小 さ く取 れ ば,原

Wuは

と

固 有 値 の実 部 は す べ て

点 でRn+に

接 す る φt

不 変 な 不 安 定 多 様 体,Wuが

存 在 す る.

次 の よ うに 特 徴 づ け ら れ る,す

わ ち あ る 正 の 定 数 γ>0が

 同 様 に,Rn-に

が 存 在 す る.作 Wsに

 

あ っ て,

図7.3

接 す る φt-不 変 な 安 定 多 様 体Ws

り方 か ら 分 る よ うに,Wuは

関 し て も 同 様 で あ る.η

Rn+(Rn-)に

な

遠 方 で はRn+に

が 十 分 小 さ い と,原

十 分 近 い.WuとWsは

限 りな く近 づ く.

点 の 近 傍 で もWu(Ws)は

原 点 で 横 断 的 に交 わ っ てい る こ とも注 意 し

て お く.   さ て,6章

の 方 法 に よ り,不

安 定 葉 層 構 造,す

体 の 族{Wu(x-);x-∈Rn-}が Rn-とx-0で

横 断 的 に 交 わ

に 近 い.{Wu(x-)}はx-に あ る,す

な わ ち,任

な わ ち,次

構 成 で き る.各Wu(x-0)は り,平

面{x=(x+,x-)∈Rn+×Rn-=Rn;x-=x-0}

連 続 的 に 依 存 す る 族 で あ っ て,か 意 のWu(x-0)と

任 意 のt∈Rに

φt(Wu(x-0))=Wu(x-1)

が 成 りた つ.{Wu(x-)}はRnの

分 割 で あ る,す

あ る.

つ,φt-不

対 し て,x-1∈Rn-が

て,

と く に,Wu(o)=Wuで

の よ うな 部 分 多 様 連 続 的 微 分 可 能 で,

な わ ち,

変 で あ っ

 同 様 に,安

定 葉 層 構 造,す

とWu(x-)は

な わ ち,族{Ws(x+);x+∈Rn+}も

存 在 し,Ws(x+)

横 断 的 に 交 わ る.

  写 像 ψ を, ψ:Rn→Wu×Ws を,x=Wu(x-)∩Ws(x+)に

対 し て

ψ(x)=(y+,y-)で

定 め る.こ

こ で,

y+=Ws(x+)∩Wu∈Wu y-=Wu(x-)∩Ws∈Ws で あ る.ψ

は 同 相 写 像 を 定 め る こ と は 容 易 に 分 る.Wu,Wsは

た.φ+t=φt￨Wu,φ-t=φt￨Wsと 性 か ら,次

φt-不 変 で あ っ

お く.族{Wu(x-)},{Ws(x+)}の

φt-不 変

の 図 式

は 可 換 で あ る.こ   と こ ろ で,不

こ で,(φ+t× φ-t)(y+,y-)≡(φ+t(y+),φ-t(y-))で

安 定 多 様 体WuはRn+に

べ た こ と か ら,Rn+上

同 相 で あ る が{φ+t}は

の 方 程 式x+=x+か

{φ-t}に 関 し て も 全 く同 様 で あ る.こ

あ る. 今 節 の始 め に述

ら 導 か れ る 流 れ と 同 値 で あ る. う し て,n0=0の

場 合 の定 理 の証 明が 完

成 す る.   同 様 な 方 法 で 一 般 の 場 合 に つ い て も証 明 で き る が,厳 か い で あ る.完

密 な 証 明 は か な りや っ

全 な 証 明 に つ い て は 定 理 の す ぐ後 に 示 し た 文 献 を 参 照 せ よ.

  7.3  平 衡 点 の 安 定 性  こ こで,平

衡点(特 異 点)の 安 定 性 の問 題 にふ れ て お こ う.

  定 義7.1 

方 程 式(1)の 平 衡 点 で あ る 原 点 は 次 の と き 安 定 で あ る と い わ れ る.

す な わ ち,任

意 の 原 点 の 近 傍Uに ∀x∈Vと

が 成 りた つ.こ

  次 の 定 理 は,定

こ で,{φt}は

理7.1か

対 し て,あ  

る 原 点 の 近 傍Vが

存 在 し て,

に 対 し て φtx∈U

方 程 式(1)か

ら導 か れ る 流 れ で あ る.

ら 容 易 に 導 か れ る.

  定理7.2  行 列Aの 固有 値 の実 部 がす べ て 負 の場 合,方 程 式(1)の 原 点 は 安 定 な平 衡点 で あ る.1つ

で も実 部 が 正 の固 有 値 が 存 在 す る場 合 は,安 定 では な い.

  単 に 固 有値 の 実 部 が す べ て0以 下 で あ る場 合 は 分 らな い,非 常 に 微 妙 な 問 題 で あ る.   行 列Aの 固 有 値 の 実 部 が す べ て 負 で あ るか ど うか は,代 数 的 な 操 作 の み に よ っ て決 定 され る こ と,す な わ ち,行 列Aの 成 分 に 対 す る四 則 演 算 だ け に よって 判 定 され る とい う ことを 注 意 し てお こ う.

8  Hopfの

分岐

  8.1  特 異 点 の 余 次 元   い ま ま では 個 々 の微 分 方 程 式 を 扱 っ て きた.し か しな が ら,個 々の 方 程 式 だ け では な く,い くつ か の パ ラ メー タに依 存 した 微 分 方 程 式 の族 を 扱 か わ な け れ ば な ら な い こ と も多 い.さ ら に,特 異 点 に おけ る方 程 式 の線 形 部 分 の固 有 値 が 共 鳴 を お こす な ど退化 した場 合 を扱 う場 合,退 化 し た場 合 を 非 退 化 な 場 合 の ま さに極 限 と して み る こ と,逆 に い え ば,退 化 した場 合 を"解 非 常 に重 要 な観 点 で あ りか つ 方法 で あ る.こ

き ほ ぐす"こ

とは

う して,個 々 の方 程 式 を 扱 う場 合

に も,そ れ を方 程 式 の 族 の 中 に 埋 め 込 ん で扱 う必要 が 出 て くる.   い ま少 し話 しを 精 密 に し よ う.考 察 は い ま ま で 通 り局所 的 に行 な う.Uを Rnに お け る(原 点 の)近 傍 と す る.x=(x1,…,xn}をU上

の1つ の 座 標 系 と し,

話 しを 簡 単 に す る為 に 固 定 して お く.以 下 の 議 論 は 実 際 は 局所 座 標 系 の 取 り方 に よ らな い. f1(x),f2(x)をU上

の滑 らか な ベ ク トル場 とす る. ￨f1(x)-f2(x)￨=o(￨x-x0￨k)

の と き,f1(x)とf2(x)はx0∈Uに と,f1(x),f2(x)をx=x0の

お い てk-同 まわ り でTaylor級

のTaylor係

数 が 一 致 す る と き で あ る.こ

お け る)k-ジ

ェ ッ ト と い う.(x0に

に お け る)k-ジ

値 で あ る と い う.い

数 に 展 開 し た と き,k階

まで

の 同 値 関 係 に よ る 同 値 類jkを(x0に

お け る)k-ジ

ェ ッ ト空 間 と い い,Jkx0で

いかえ る

エ ッ ト全 体 が な す 空 間 を(x0

示 す.

(1) をU上

の ベ ク トル 場 のk-ジ

ェ ッ トが 作 るk-ジ

上 の バ ン ドル と 考 え る こ と が で き る.U上 はU上

の ベ ク トル 場 の 各 点 に お け るTaylor係

る こ と が で き る.た

と え ば,

ェ ッ ト空 間 と い う.Jk(U)はU

の 座 標 系 を 固 定 し て お け ば,Jk(U) 数 のk階

ま で の係 数 全 体 と考 え

 さ て,1つ

のU上

の 微 分 方 程 式,す

な わ ち,ベ

ク トル 場x=f(x)は,

(2) に よ っ て,バ

ン ドルJk(U)の1つ

様 体 を 定 め る.こ

の 断 面,あ

の 多 様 体 を[f]と

る い はJk(U)のn次

元 の部 分 多

書 く こ と に す る.

(3) と す る と,〓

はJk(U)部

の 余 次 元codim〓

分 多 様 体 を な す が,そ

はkに

ベ ク トル 場f(x)がU上

無 関 係 にnに

と 表 わ す こ と が で き る.〓 あ っ て もnに ら,一

ち,[f]と

の 余 次 元 はkが

等 し く,[f]の

般 に[f]と

全 接 空 間TjJk(U)を トル場f(x)を

次 元 はnで

もつ と き,jに

のJk(U)に

,

何で あ るか

〓 は 横 断 的 に 交 わ る.す

〓 が 交 点jを

部 分 多 様 体[f]へ

等 し い.

で 特 異 点 を も つ こ とは

なわ

おける

図8.1

お け る接 空 間Tj[f]と,〓

張 る, 

へ の接 空 間Tj〓 が

従 っ て,こ

少 し摂 動 して も,[f]と

の場 合,ベ

ク

は や は り横 断 的 に 交 わ りつ づ け る.

この よ うな 意 味 で,単 独 の ベ ク トル場 が 特 異 点 を もつ とい う ことは 例 外 的 では な く一 般 的 な こ とで あ る とい え る.   い ま,ベ

ク トル場f(x)がx0∈Uに

な わ ち,f(x0)=oと

も の の 個 数 をn0で

す る.こ

おい て特 異 点 を も ってい る と し よ う.す

表 わ そ う.n0=0の

と き,こ

n0≠0の

と き 退 化 し た 特 異 点 と い う.退

う る.雑

に い っ て,n0が

う.こ

 の 固 有 値 で 実 部 が0で あ る

の と き,

の 特 異 点x0は

非退化特異点,

化 した特 異 点 に は 種 々の タ イ プが あ り

大 きい 方 が そ の 退 化性 の度 合 い が 高 い と い え る だ ろ

の 退 化 度 を 計 る 尺 度 に"特

異 点 の 余 次 元"と

い う 概 念 が あ る.た

とえ

ば,   (ⅰ) 固 有 値 の1つ

が0の

場 合(n0=1)

  こ の 場 合 に 対 応 し て,

(4)

を 考 え る.〓 場 合,対

の 余 次 元codim〓

は や は りkに

応 す る(ⅰ)のタ イ プ の 特 異 点 の 余 次 元 は1で

  単 独 の ベ ク ト ル 場f(x)はJk(U)の n次 元 の 部 分 多 様 体[f]を っ た.従

っ て,一

般 に[f]と

わ っ た と し て も,f(x)を で[f]と

あ る とい う.

余 次 元 がn+ とえ 交

少 し摂 動 す るだ け

独 の ベ ク トル 場 は,一

なわ

般 に,(ⅰ)の タ

イ プ の 退 化 し た 特 異 点 を も つ こ と は な い.

の 中 にn+1次

の

中 に

〓 と は 交 わ ら な くな る.す

し か し な が ら,パ

等 し い.こ

定め る の で あ

1に 等 し い 〓 と は 交 わ ら な い.た

ち,単

無 関 係 にn+1に

図8.2

ラ メ ー タ μ に 依 存 し た ベ ク ト ル 場 の 族{fμ}μ ∈Mは,Jk(U) 元 以 上 の 部 分 多 様 体 を 定 め る か ら,〓

交 わ る こ と に な る.こ

う し て,す

タ イ プ の 特 異 点 は さ け が た い.正

で に1-パ

と は 一 般 に,横

断的 に

ラ メ ー タ 族 を 扱 う場 合 に も,(ⅰ)の

確 に い え ば,ベ

ク トル 場 の1-パ

ラ メー タ族

{fμ}μ∈Rの 中 に(ⅰ)のタ イ プ の 特 異 点 を もつ ベ ク トル 場 が 現 わ れ る 場 合 は,1-パ ラ メ ー タ 族 を 多 少 変 形 し て も や は り(ⅰ)のタ イ プ の 特 異 点 を も つ ベ ク トル 場 が 族 の 中 に 現 わ れ る の で あ る.逆 をf0を

含 む1-パ

に い う と,f0が(ⅰ)の

タ イ プ の 特 異 点 も つ 場 合,f0

ラ メ ー タ 族{fμ}μ ∈Rの 中 に 埋 め 込 む こ と に よ り,い

の タ イ プ の 特 異 点 を"解

き ほ ぐす"こ

とが で き る.つ

ま り,μ ≠0の

わ ば,(ⅰ) と き はfμ

の 特 異 点 は も は や 非 退 化 な 特 異 点 だ け か ら な る の で あ る.   も う1つ

の 例 を あ げ よ う.

  (ⅱ) 1対 の 純 虚 数 で あ る 互 い に 複 素 共 役 な 固 有 値 を も つ 場 合(n0=2) こ の 場 合 に 対 応 し て,

の 固 有値 に は, 1対 の純 虚数 で あ る互 い に複 素 共 役 な ものが あ る 

(5)

を 考 え る.

  問8.1.  n次 実 行 列  

を 考 え る.固

で あ る互 い に 複 素 共 役 な も のが あ る行 列 全 体S2⊂MnはMnに の 部 分 多 様 体 を な す.

有値 に1対 の純 虚 数 お い て余 次 元1

 

〓2の 余 次 元 も や は りkに

無 関 係 で あ っ て,n+1に

イ プ の 特 異 点 の 余 次 元 も1で

等 し い.従

あ る.

  一 般 に あ る タ イ プ の 特 異 点 に 対 応 す るJk(U)の 次 元n+dを

も つ 場 合,そ

す な わ ち,d-パ

交 わ る.従

等 し く,余

っ て,族{fμ}を

次 元 がn+dで

う し て,d-パ

dの 特 異 点 は 一 般 に さ け が た い.一

般 に"現

わ れ る.

あ る〓0と は 一 般 に 横 断 的 に は 横 断 的 に 交 わ りつ づ け る.

方,d-1以

ラ メ ー タ族 に お い て は,余

必 ず存 次元 が

下 の パ ラ メ ー タ 族 に お い て は,

特 異 点 が 現 わ れ る こ とは な い .た

を 少 し 変 形 す る だ け で,こ

  8.2  Hopfの

次 元 がdで

中 に 考 え て い る タ イ プ の 特 異 点 を も つfμ0が

在 す る こ と に な る の で あ る.こ

余

中 に 定 め る 部 分 多 様 体[{fμ}]

少 し 変 形 し て も〓0と

い い か え る と,族{fμ}の

一 般 に 余 次 元dの

あ る と い う.余

ラ メ ー タ 族 に お い て 始 め て,"一

ラ メ ー タ族{fμ}μ ∈RdがJk(U)の

は 次 元 が 一 般 にn+dに

部 分 多 様 体〓0がJk(U)で

の 特 異 点 の 余 次 元 はdで

あ る タ イ プ の 特 異 点 はd-パ

っ て,(ⅱ)の タ

と え 現 わ れ た と し て も,族

の タ イ プ の 特 異 点 は 解 消 さ れ て し ま う の で あ る.

分岐

  余 次 元 が2以 上 の 退 化 した 特 異 点 は 扱 い が非 常 に 困 難 で あ る.余 次 元 が1の 場 合 は 上 に あ げ た2つ の タイ プで つ き る.い ま例 と して,(ⅱ)の タ イ プの 退 化 特 異 点 を 取 り上 げ る.こ の 場 合 は 非 常 に 興 味 あ る現 象 と結 び つ い て い る.上 に の べ た よ うに,こ の場 合 を 扱 うに は1-パ ラ メー タ族 を 扱 うの が 自然 で あ る.   さて, x=fμ(x), 

は μ=0の

と き,原

と す る.n>2の

x∈Rn, 

点 で(ⅱ)のタ イ プ の 特 異 点 を も つ と す る.簡 単 の た め にn=2

場 合 は 本 質 的 にn=2の

場 合 に 帰 着 で き る.実

パ ラ メ ー タ に 連 続 的 に 依 存 す る か ら,  値 の 実 部 の 符 号 は μ=0の ら μ=0の

と き,実

(6)

μ∈R 

部 が0で

有値は

の と き も μ が 小 さ い 限 り他 の 固 有

と き と 同 じ ま ま で あ る.従 あ る1対

際,固

っ て,7章

の 固 有 値 に 対 応 す る2次

の 定 理7.1か 元の空間に制限

し て 考 え る こ と が で き る.   Jk(U)に

お け る 部 分 多 様 体[fμ]は

と 横 断 的 に 交 わ る(と 仮 定 す る)か ら,交 す な わ ち,fμ(x)の

μ に 滑 ら か に 依 存 し,か 点 

つ,[f0]は

〓

は μ に 滑 ら か に 依 存 す る.

特 異 点 は μ に 滑 ら か に 依 存 す る.従

っ て,μ

に滑 らか に依

存 す る 座 標 変 換 を 適 当 に ほ ど こ せ ば 常 に,fμ(x)の す る こ とが で き る.こ

う し て,fμ(o)=oで

特 異点 は 原 点 で あ る と仮 定

あ る か ら,

fμ(x)=A(μ)x+f2μ(x)+…

 (7)

と し,

(8) とす る.A(μ)は

実 行 列 で あ る か ら,α1(μ)≡ α2(μ)で あ る.こ

の 場 合(2.2か

Γ(α(0))={(1;1+l,l),(2;l,1+l);l∈N)  で あ る.従

っ て2章

が あ っ て,方

の 形 式 的 理 論 か ら,変

程 式(6)は

ら) (9)

換:η

→x,x=(x1,x2)∈R2⇔

η1=η2,

次 の よ う に 変 換 さ れ る.

(10) す な わ ち,

(11) η1=y1+iy2,η2=y1-iy2と y1+iy2(y1,y2∈R)と

お く と,変 す る と,結

局,方

換:y→(η)→xは

実 変 換 で あ る.z=

程 式(1)は

(12) の形 に形 式 的 巾 級 数 の範 囲 で 変換 され る.も し変 換 を途 中 で止 め る と,任 意 の d>0に

対 して,実 多項 式 に よ る変 換:y→xが

あ って,方 程 式(1)は

(13) の 形 に 変 換 され る.こ

こ でO2d+3はzに

0に 対 し て,一

般 に  

で あ る か ら,こ

の 場 合,Γ(α(μ))=φ

=0と

 

と仮 定 で き る. 

す る こ と が で き る.し

般 に 不 連 続 に な る.従 の と き も 係 数c1は

関 し て2d+3次

っ て,μ

の と き は,一

で あ っ て,個

か し な が ら,そ

以 上 の 項 で あ る.μ= 般 に, 

々 の μ に 対 し て は,c1=c1(μ)

の 場 合,座

標 変 換 は μに 関 して 一

に 関 し て 連 続(微 分 可 能)な 変 換 を 考 え る 場 合,

一般 に  

と し な け れ ば な ら な い.

  さ て, α(μ)=ε(μ)+iω(μ), 

と お く と き,一

般 に 

ε(μ),ω(μ)∈R, 

ε(0)=0

と仮 定 す る こ とが で き る.そ

こで,パ

ラ メー タ

μ を ε と取 り か え る こ と に よ り, α(μ)=μ+iω(μ)  と お く こ と が で き る.ω(0)≠0で

あ る.(13)に

(14)

お い て,d=1と

す る と,c1=cと

お い て, z=z(μ+iω+c￨z￨2)+O5, 

c≠0 

(15)

と な る.   (15)に お い て,残

余 項O5を

無 視 した 方 程 式 z=z(μ+iω+c￨z￨2) 

(16)

を 考 え よ う. z=r(cosφ+isinφ)

とお くと

よ っ て, r=r(μ+a(μ)r2) 

こ こ でRec(μ)=a(μ)で く,a(0)>0の

あ る.a(0)≠0と

一 般 に 仮 定 で き る.a(0)<0と

(17)

して お

場 合 も 同 様 に 取 り扱 う こ と が で き る.

同 様 に, φ=ω(μ)+b(μ)r2  で あ る.こ

(18)

こ で,b(μ)=Imc(μ).

  従 っ て,μ>0の

と き, 

で定 ま る円 は安 定 な 極 限 周 期 解 で あ る こ

図8.3

とが 分 る.す な わ ち,周 期 解 で あ って,そ の まわ りの軌 道 はす べ て,t→ ∞ の ときに そ の周 期 解 に 限 りな く近 づ く,こ の意 味 で安 定 で あ る.こ の 円 の半 径 は  

の オ ー ダ ーで あ る.原 点 は 不安 定 な平 衡 点 に な って い る.μ<0の

い ま のべ た 極 限 周 期 解 は 消 え て い る,い わば1点

と きは,

に つ ぶれ て な くな って い るの

で あ る.原 点 は 安 定 な 平 衡 点 であ る.パ ラ メー タ μを-か

ら+へ 動 か す と,逆

に安 定 な平 衡 点 で あ った 原点 が パ ラ メ ー タ μの 変 化 と と も に μ=0を  

境 に,

の オ ー ダー で急 にふ くれ あが り,安 定 な極 限 周 期 解 と,不 安 定 な平 衡 点で

あ る原点 に分 岐 して い る.す なわ ち,(ⅱ)のタ イ プの 退 化 特 異 点 か ら,極 限 周 期 解 が生 まれ 出 たわ け で あ る.

  問8.2. 

a(0)>0の

場 合 に 同 様 の 考 察 を お こ な え.

  い ま の べ た タ イ プ の,パ 変 様 をHopfの か ら,周

ラ メ ー タ μ の 変 化 に と も な う相 空 間 の 軌 道 の 様 子 の

分 岐 と 呼 ん で い る.こ

の 分 岐 現 象 は,流

体 力 学 に お け る,層

的 的 に 変 化 す る 流 れ へ の 変 化 を 記 述 す る モ デ ル と考 え ら れ て い る.詳

し くは,Arnold   さ て,無

[3],

Marsden-Mc

視 し た 残 余 項O5を

に 述 べ れ ば,変   μ<0の

Cracken

[1]な

ど を 参 照 せ よ.

考 慮 に 入 れ る と ど うな る で あ ろ うか.結

様 の さ ま は 基 本 的 に も と の ま ま残 る の で あ る.こ

場 合,O5を

Poincare写

無 視 す れ ば 原 点 は 安 定 な 平 衡 点 で あ った.残

像 の 方 法 で も 分 る し,す

で あ ろ う.μ>0の

余 項O5を

ら 出 発 す る方 程 式(15)の

方 程 式(16)の 0),(r′>0)と

な どで 行 った 議 論 か ら も 明 ら か

れ ら を 見 る た め に,次

の よ うに し て 定 ま

像 を み よ う.

  y1-軸 の 正 の 部 分 を 考 え よ う.こ P=(r,0)か

に示す

場 合 の 不 安 定 な 平 衡 点 で あ る 原 点 に 関 し て も 同 様 で あ る.

そ れ で は 極 限 周 期 解 は ど う な る か.こ るPoincare写

で に5章

論 を先

れ を 見 よ う.

考 慮 に 入 れ て も や は り原 点 が 安 定 な 平 衡 点 で あ りつ づ け る こ と は,次

れ をYと

す る,Y={(r,0);r>0}.Y上

解 軌 道 を 考 え よ う.残

解 軌 道 は 原 点 を 一 周 し て 再 びYに す る.残

余 項O5を

考 慮 し て も,つ

が や は り平 衡 点 で あ る こ と に 注 意 し て,解 様 にY上

流

の点

余 項O5を

戻 っ て く る.そ ま り方 程 式(15)の

無 視 した

の 点 をP′=(r′, 解 軌 道 も原点

の パ ラ メー タ に関 す る連 続 性 か ら 同

に 戻 っ て く る こ と は 明 ら か で あ る.た

だ しrは

十 分 に小 さい も の とし

て い る.い

い か え る と,μ

が 十 分 小 さ い と き,極

りYに 戻 っ て く る こ と に な る.こ 写 像 と 呼 ぶ.こ   O5を

の 点Pを

限 周 期 解 の ま わ りで は,や

点P′ に 対 応 させ る 写 像 をPoincare

れ を πμで 表 わ そ う,π μ(P)=P′.

無 視 し た 場 合 の πμを ま ず 求 め よ う. r′=π μ(r)=r+gμ(r) 

と お く.こ

れ を, 

小 さ い か ら,(18)よ あ る.従

(19)

の 範 囲 で 考 察 す る.と

の ま わ りが 重 要 で あ る.μ

0で

り,φ

くに,極

が 十 分 小 さ い 場 合,こ

は 一 定 符 号 で あ る.た

っ て, 

限 周 期 解,  の 範 囲 で はrも

と え ば ω(0)>0と

あ る こ と が 分 る.rがr0に

く 調 べ よ う.a(μ)≡-1と

十 分 近 い 場 合 を も う少 し 詳 し

し て お い て も 定 性 的 な 様 子 は 変 わ ら な い(変

tを 適 当 に 取 りか え れ ば よ い)か ら,そ

う

し て お く.   さ て,(17),(18)か

ら,

よ っ て,

(20) 図8.4

に 注 意 す れ ば,右 辺 は  ∼0の

従 っ て,左

よ っ て,

に 等 し い.

と き,

辺は

こうして, 

す れ ば φ>

に お い て はgμ(r)>0,r>r0(μ)に

お い て はgμ(r)<0で

一 方,μ

は

と  

が 同符号 である ことに注 意すれば,

数r,φ,

従 っ て,

す な わ ち,

(21)

  問8.3. 

r∼0の

と き のgμ(r)を

同

図8.5

様 の 方 法 で 求 め よ.  (解)  R∼0の

と き は,(20)に

お い て,

 これ か ら,

を 得 る.

  さ て,残

余 項O5が

加 わ る と,(17),(18)に

お い て,μ2の

オ ー ダー の 項 が 付

け加 わ る だ け で 同 様 に(21)の

よ うな 式 を 得 る.次

式(15)の解が  

の範囲で)原点 の まわ りを一 周す る時間は 

で あ る か ら,一

の差は  

周 す る 間 のrの

変 位,r′-rの,残

の よ うに 考 え て も よ い.方

程

余項 が あ る場 合 とな い場 合

で あ る と.結 局

(22) 従 っ て,r′-r=gμ(r)の

グ ラ フ は 残 余 項O5が

ー で変 化 す るだ け で あ って

,基

本 的 な 様 子, 

と μ の オ ー ダ ー の 傾 き で 横 断 的 に 交 わ る,は 点

 

は  

付 け 加 わ っ て も, 

のオーダ

を 境 に 符 号 を 変 え,r-軸. 変 化 し な い.と

の オ ー ダ ー で 変 動 す る に す ぎ な い.従

く に,gμ(r)の

っ て,安

は 少 し 変 動 す る だ け で ほ と ん ど も と の ま ま に 残 る こ と に な る.

零

定な周期解

Ⅱ  Hamilton力

  力 学 の 理 論 の 形 式 的 な 側 面 は 既 に19世 し か し な が ら,多

紀 に 一 応 の 完 成 を 見 て い る.

様 体 論 を 中 心 と した そ の 現代 的 な定 式化 は形 式理 論

の 再 発 展 を うな が し て い る.ま Arnold-Moserら

学 系

た,内

に よ る理 論 は,天

容 的 に み て も,Kolmogorov-

体 力 学,ひ

系 の 理 論 に 新 た な 段 階 を も た ら し た.こ

い て はHamilton力

の 理 論 は,数

学 と,物

学 理 学の

再 度 の 結 び つ き を も た ら す 契 機 に な っ た と い う点 で も 重 要 で あ る.   第 Ⅱ部 で は,こ

れ ら の 理 論,Hamilton力

Kolmogorov-Arnold-Moserの

学 系 の 現 代 的 定 式 化 と,

理 論 を 中 心 に 紹 介 す る.

1  変

分

原

理

  1.1  ポ テ ン シ ャ ル 系  力 学 に 現 わ れ る 系 は,ポ

テ ン シ ャ ル 関 数Uを

使 って

(1) と表 わ せ る こ と が 多 い.こ はRn×R上

こ で,U=U(x1,x2…,xn,t),(x1,x2,…,xn)∈Rn

の 関 数 で あ る.

  た とえ ば,平

面 上 の 逆2乗

m2(=1), 

の 法 則 に 従 う 中 心 力 場 に お け る 運 動 で は,m1=

で あ る.簡

単 の た め にk=1と

し て お け ば,方

程式

(1)は

(2) と な る(図1.1).こ ル 関 数Uが

の 場 合,ポ

テ ンシ ャ

原 点 中 心 の回 転 に 関 して 不 変

で あ る こ と か ら,Descartes座

標(x1,x2)

の か わ りに 極 座 標(r,φ),x1=rcosφ,x2 =rsinφ,を る.こ

導 入 す る こ と は 自然 で あ

の 極 座 標(r,φ)を 使 っ て 方 程 式(2)

を 書 き か え て み よ う. 図1.1

(3)

を 得 る.

 問1.1. 

方 程 式(3)を

 (解)  第2の c/r2を

得 る.こ

解け

式 か ら, れ を,第1の

 す な わ ち,r2φ=c=const.ゆ

式 に 代 入 し てrを

え に,φ=

か け て 整 理 す れ ば,rr-

ゆ え に,

  す な わ ち, 

を 得 る.こ

れ を 解 け ば,

を 得 る.

  方 程 式(3)は,も

はや(1)の 形 を して は い な い こ とに 注 意 し よ う.方 程 式 は ポ

テ ン シ ャル関 数 だ け で 定 ま るの で は な く座標 系 に も依 存 して い る の であ る.我 我 は す べ て の 座 標 系 を 同 等 に取 り扱 い た い.こ の こ とは 単 にDescartes座

標だ

け で な く極 座 標 な ど他 の座 標 を 導 入 す る こ とが 問 題 に よ っ ては 都 合 が よい とい うだ け で な く,方 程 式 の 幾 何 学 的 な 意 味 を 知 る上 で も重 要 な の で あ る.

 1.2 

Euler-Lagrangeの

方 程 式

 そ の た め に,系(1)の ャ ル 関 数Uと

の 差L=T-Uを

た はLagrangianと

 を 考 え,Tと

運 動 エ ネ ル ギ ー, 考 え よ う.こ

れ を 系(1)のLagrange関

ポテンシ 数 ま

い う:

(4)   Lagrangian

Lを

用 い る と,方

程 式(1)は

(5) と 書 け る.こ

れ をEuler-Lagrangeの

  Euler-Lagrangeの

方 程 式 と い う.

方 程 式 は 座 標 系 に は よ ら な い と い う重 要 な 性 質 を もつ.

前 項 で 考 え た 中 心 力 場 の 場 合 に こ れ を 見 よ う.極 座 標(r,φ)に gian

Lを

表 わ そ う.ま

よ っ てLagran

ず 運 動 エ ネ ル ギ ーTは

で あ る か ら,

ゆ え に,Euler-Lagrange方

程 式 は

(6)

と な り,実

際 に 書 き 下 し て み る と,(3)に

心 力 場 の 場 合 に は,Euler-Lagrangeの

一 致 す る こ と が 分 る.こ 方 程 式 がDescartes座

極 座 標 に 対 し て も 成 りた っ て い る こ と が 分 る.一

う し て,中

標 に 対 し て も,

般 の 場 合 に も確 か め る た め に

変 分 原 理 を 考 え よ う.

  1.3  変 分 原 理,そ

の1

  拡 大 配 位 空 間,Rn×R∋(x,t)=(x1,…,xn,t)に を 考 え る.道

お け る 道 γ:x=x(t), 

γに 沿 っ て の 積 分

(7) を,道

γ に 沿 っ て のLagrangian

x,t)に

対 す る 作 用 と い う.

  道 γ を,両

端x(t0),x(t1)を

ま ま少 し変 動 させ る.新

L (x,

固定 した

し い 道 を γ+δγ

で 表 わ そ う:

δγ を 道 の 変 分 と い う.新

し い 道 γ+δ γ

図1.2

に 沿 っ て の 作 用S(γ+δ γ)と も と の 道 γ に 沿 っ て の 作 用S(γ)と

δx(t0)=δx(t1)=oよ

り第2項

る と,こ

γ)-S(γ)は 道 の 変 分 δx(t)に 関 し て1次

の 差S(γ+δ

は 消 え る .δx(t)に

関 し て2次

の 差 を 考 える.

の微 小 量 を無 視 す の 微 小 量 で あ る第

1項 に 等 し い.こ

の 主 要 項 を 作 用 の 変 分 と い い δS(γ)で表 わ す.す

  道 の 任 意 の 変 分 δγ(δx(t0)=δx(t1)=o)に

対 し て δS(γ)=0な

な わ ち,

る 道 γを 作 用

S(γ)の 極 値 曲 線 ま た は 停 留 曲 線 と い う.

  定 理1.1 

道 γ:x=x(t), 

がLagrangian

L(x,x,t)に

極 値 曲 線 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,x=x(t)がL(x,x,t)に Lagrangeの

対 す る作 用 の 対 す るEuler-

方程式

(9) を 満 た す こ と で あ る.

  問1.2. 

(ベ ク トル 値)関

(ベ ク トル 値)関 数g(t)に る こ とを 示 せ.g(t)は

  定 理1.1の

数f(t), 

が,任

対 し て 

意 のg(t0)=g(t1)=0な

る

を 満 た せ ば,f(t)≡0で

あ

微 分 可 能 と し て お い て よ い.

証 明 は,問1.2か

ら 直 ち に 明 ら か で あ る.

  こ う し て,x=x(t)がEuler-Lagrangeの

方 程 式 を 満 た す こ と は,δS(γ)=0

を 満 た す こ と と 同 値 で あ る こ と が 分 っ た.こ

れ を 変 分 原 理 とい う.δS(γ)=0は 

と も書 か れ る.変

分 原 理 か ら 直 ち に,Euler-Lagrange方

程 式 の 座 標 変 換 に 対 す る 不 変 性 が 出 る.Lagrangian (q1,…,qn)を

使 っ て 書 き 表 わ す と き,方

Lを

任 意 の 座 標 系q=

程 式(9)は (9)′

と 全 く同 じ 形 に 書 き 表 わ さ れ る.

 1.4  多 様 体 上 のLagrange系  変 分 原 理 か ら さ ら に 次 の 重 要 な 結 果 が 得 ら れ る.

 

Mを 拡 大配 位空 間Rn×Rの 関 し て 不 変 で あ る,す

部 分 多 様 体 で,変 分 原 理 

な わ ち,M上

の 任 意 の2点(x0,t0),(x1,t1)に

に 対 し て,こ

れ を 結 ぶRn×R内

の極 値 曲線 がMに 含

まれ る とき,系 はMに ホ ロノー ム拘 束 さ れ て い る とい う.剛 体 の運 動 や 後 で述 べ る単 振 子 な どが そ の例 で あ るが,い ず れ も近 似 的 な 意味 で の み成 りた っ て い る. さて,系 がMに ホ ロ ノー ム拘 束 され てい る場 合,変

分 原 理 は 簡 単 な形 に か か れ

る.す な わ ち,γ をMに 含 まれ る道 と し, 変 分 δγ と し て は γ+δγ がMに

図1.3

含 ま れ る も の だ け を 考 え る(図1.3).こ

の とき

の 変分 原理 を

で 示 そ う.こ

δMS(γ)=0 

(10)

の 変 分 原 理 は 次 のEuler-Lagrangeの

方 程 式 と 同 値 で あ る.M上

の(局 所)座 標 系 を(y,t)と y,t)で

し,Lagrangian

LをM上

に 制 限 し た も の をLM(y,

表 わ せ ば,(10)は

(11) と 同 値 で あ る.こ る場 合,系

う し て,系

がMに

ホ ロ ノー ム拘 束 され てい る こ とが 分 って い

を 記 述 す る 変 数 の 数 を 減 ら す こ と が で き る.

  例(単 振 子)  こ の 場 合,n=3,  M={(x,t);x21+x23=l2,x2=0}で x3=-lcosφ

で あ る.従

あ る.Mの

を 取 ろ う.こ

っ て,方

で あ り, 座 標 系 と し て(φ,t),x1=lsinφ,

の と き,

程 式(11)は す な わ ち,

と な る.

  こ う し て 我 々 は 次 の 定 式 化 に 達 す る.

  MをRNの

部 分 多 様 体 また は 一 般 の 多 様 体 と

す る.q=(q1,…,qn)をM上 q)をMの

の 局 所 座 標 系,(q,

接 バ ン ド ルTM上

のqか

ら 自然 に 導

か れ る 局 所 座 標 系 と す る.  をqに M上

関 し て 正 定 値2次

のRiemann計量

に 依 存 す るM上

形 式,す

な わ ち,

と す る.U(q,t)を

の 関 数 と す る.Uは

時 間t

自 然 にTM

上の 関 数 と 考 え る こ と が で き る.Lを

図1.4

L(q,q,t)=T(q,q)-U(q,t) で 与 え ら れ るTM上

の 関 数 と す る.こ

の と き,方

程式

(12) をEuler-Lagrangeの   方 程 式(12)は

方 程 式 と い い,Lを 適 切 で あ る,す な わ ち,M上

  1.5  Legendre変

い う.

の 局 所 座 標 系 の 取 り方 に 依 ら な い.

換

  q∈M(とt∈R)を の 接 空 間TqM上

そ のLagrangianと

固 定 し てLagrangian の 関 数 と考 え る.TqMか

L(q,q,t)をqの

関 数,つ

ら そ の 共 役 空 間T*qMへ

ま りq上 の 変 換TLq

を

(13) に よ り定 義 す る.こ れ はTqMの

ベ ク トルqにT*qMの

を 対 応 さ せ る も の で あ っ て,Lagrangian 取 り方 に は よ ら な い.正

Lに

の み よ っ て い て 局 所 座 標 系qの

確 に い う と,q=(q1,…,qn)を

のMの 局 所 座 標 系 と し, 

元 で あ る コ ベ ク トルdLq

をTqMの

考 え て い る点 の まわ り 基 底 と す る.TqMの

に お け る 余 接 空 間T*q(TqM)はTqMが で あ る か ら 自 然 にTqMの 後 者 は さ ら に,Mの に,Mの … ,dqnで

点qに

局 所 座 標 系qか あ っ て,こ

義 さ れ たp=TLq(q)は

原 点oに

ベ ク トル 空 間

お け る 余 接 空 間T*o(TqM)と

お け る 余 接 空 間T*qMと

基 底 

実 際 は,T*q(TqM)の

同 一 視 で き,

同 一 視 で き る.T*qMの

ら 自 然 に 導 か れ る 座 標 系p=(p1,…,pn)の

れ はTqMの

点 

上

基 底 はdq1,

の共 役 基 底 で あ る.上 に 定 元 で あ る が,上

の 同一 視 に よ っ て

T*qMの

元 とみ な され る.基 底 を 使 って 正 確 に 変 換TLqを

と な る.Q=(Q1,…,Qn)をMの

別 の 局 所 座 標 系 とす れ ば,TLqが

な い と い う こ と は,    変 換TLqをTMか

らT*Mへ

の 変 換 に 自 然 に 拡 張 し て お く.こ

に よ っ て 与え

換TLは のtを

うし て得 ら

ら 定 ま るLegendre変

換 と

で あ っ た か ら,Legendre

変換 は, 

  T*M上

Lか

々 の 場 合, 

Legendre変

座標 系に依 ら

を 意 味 し て い る.

れ た 変 換TL(TL￨TqM=TLq)をLagrangian い う.我

書 き表 わ せ ば,

逆 変 換TL-1を

ら れ る(tij(q)=tji(q)に

注 意).従

っ て,

も つ.

パ ラ メ ー タ と す る 関 数H(p,q,t)を

こ の 逆 変 換TL-1を

使 っ

て H(p,q,t)=p・q-L(q,q,t),  に よ っ て 定 義 す る.p・qは Lagrangian TM上

Lの

座 標 系qの

(14)

取 り方 に よ ら な い か ら,こ

み か ら 定 ま る 関 数 で あ る.こ

の 関 数L(q,q,t)のLegendre変

で あ る か ら,結

q=TL-1p 

のT*M上

換 と い う.さ

の 関 数Hは

の 関 数H(p,q,t)も

て

局 H(p,q,t)=T(q,q)+U(q,t), 

と な り,H(p,q,t)は

q=TL-1p

系 の 全 エ ネ ル ギ ー を 表 わ し て い る.Hは

系 のHamiltonian

と い わ れ る.   HをT*M×R上

一 方

の 関 数 で あ る と 考 え,そ

,H(p,q,t)=p・q-L(q,q,t),q=TL-1pよ

の 微 分 を 取 ろ う.

り

こ う し て,

(15)

を 得 る.と

くに,第1の

式 はTLの

逆 変 換TL-1を

  さ て,q=q(t)をEuler-Lagrandeの 然 に 導 か れ るTM上

方 程 式(12)の

の 軌 道q=q(t), 

はT*M上

表 わ し て い る. 解 とす る.こ

のLegendre変

の解か ら自

換q=q(t), 

の軌 道 を 与 え るが,こ れ は 方 程 式

(16) を 満 た す.実 際

q=q(t)はEuler-Lagrangeの

方 程 式(12)の

解 で あ るか ら

右辺 で あ る.従

っ て,(15)か

が 成 りた つ.(15)か

が成

り た つ.従

ら ま た,常

方 程 式(16)を

す るHamilton方

  逆 に,T*M上

満 た す.方

程 式(16)を,

程 式 ま た は 正 準 方 程 式 と い う.

の 軌 道p=p(t),q=q(t)がHamilton方

のLegendre逆

を 満 た す.こ

に

っ て,p=p(t),q=q(t)は

HをHamiltonianと

ば,そ

ら,

程 式(16)の

変 換q=q(t),q=q(t)=TL-1q(t)p(t)は,(15),(16)か

う し て,Euler-Lagrangeの

解 で あ れ ら.

方 程 式(12)とHamilton方

程 式(16)

は 同 値 で あ る こ と が 分 る.

  1.6  変 分 原 理,そ   Lagrange方

の2

程 式 と 同 様 に,Hamilton方

に 依 存 し な い.さ

ら に,Hamilton方

れ る変 換 ば か り で な く,よ

程 式 はM上

程 式 はT*M上

の 局 所 座 標 系 の 取 り方

の,Mの

座 標 変 換 か ら導 か

り 広 い 座 標 変 換 に 関 し て も 不 変 で あ る.こ

れを見 る

た め に,Legendre変   p∈T*qMを

換 を 見 な お そ う.

固 定 し て,pq-L(q,q,t)をqの

と 考 え よ う.こ

関 数,す

の 関 数 は 上 に 凸 の 関 数 で あ り,従

を 満 た すqで

す なわ ち,  で 最 大 値 を 取 る.こ

の関数

っ て,

最 大 値 を 取 る.い い か え る とq=TL-1p

の最 大 値 は H(p,q,t)=pq-L(q,q,t), 

に 等 し い.こ

な わ ち,TqM上

q=TL-1p 

(17)

う し て, (17)′

が 成 りた つ.   逆 に,q∈TqMを

固 定 し て,pq-H(p,q,t)をpの

上 の 関 数 と 考 え れ ば,前

節 の(15)か

ら 容 易 に,p=TLqに

L(q,q,t)=pq-H(p,q,t),  を 取 る こ と も分 る.す

関 数,す

な わ ち,T*qM

お い て最 大 値

p=TLq 

(18)

な わ ち, (18)′

が 成 り た つ.   さ て,γ:q=q(t), 

をM×R

上 の 道 とす る と き,T*M×R上

の道

を γの持

γ:q=q(t), 

上 げ と 呼 ぶ こ と に す る.   変 分 原 理 δS(γ)=0を

考 え よ う.こ

こ で,

図1.5 で あ る.p=TLqの

と き,L(q,q,t)=pq-H(p,q,t)で

あ っ た か ら,作

は

ただし と 書 け る.

用S(γ)

  γ:q=q(t),p=p(t), 

をT*M×R上

の 一 般 の 道 と す る.こ

の と き,

(18)′か ら,

が任意 の  

で 成 りたつ.そ

をHamiltonian

H(p,q,t)に

う こ と に す れ ば,こ

こで,

対 す る,T*M×R上

の こ と は,q=q(t)を

の と き,す

な わ ち,γ

の道 γに そ って の 作 用 とい

固 定 し て 考 え る と,作

が 道q=q(t)の

持 上 げ で あ る と き,極

大 値)を 取 る こ とを 意 味 し て い る.こ

う し て,変

δS(γ)=0は

確 に い う と,変

同 値 で あ る こ と が 分 る.正

あ る 道 γ:q=q(t)の 原 理 δS(γ)=0の に な っ て い る.変

持 上 げ γは変 分 原理

解を

分 原理

端 が 固 定 され て い る,す し て い て,そ 変分原理

δS(γ)=0に

お い て は,道

な わ ち,q(t0)=q0(=一

δS(γ)=0と

分原理

値(最

変分 原理

δS(γ)=0の

解 で あ り,逆

す れ ば,こ

に,変

解 で 分

れ は 道q=q(t)の

持上げ

の 変 分 と し て,常

に 道 の両

定),q(t1)=q1(=一

定)を

満た

に よ っ て 与 え ら れ て い る の に 対 し,

し てpは 

δS(γ)=0に

分原理

δS(γ)=0の

γ:q=q(t),p=p(t)と

用S(γ)は 

お い て は,q(t0)=q0,q(t1)=q1を

満 た す だ け で あ っ て,

p(t)は 自 由 で あ る.   変 分 原 理,δS(γ)=0とHamilton方 に よ っ て も 容 易 に 確 か め ら れ る.す

  定 理1.2 

道 γ:p=p(t),q=q(t), 

(こ こ で,変

分 はq(t0)=q0,q(t1)=q1を

る た め の 必 要 十 分 条 件 は,γ

を 満 た す こ と で あ る.

程 式(16)が な わ ち,次

同値 で あ る こ とは直 接 計 算

の 定 理 が 成 り た つ.

(q(t0)=q0,q(t1)=q1)が

変 分 原理

満 た す す べ て の 変 分 に わ た る)の 解 で あ

がHamilton方

程 式

  問1.3. 

上 の 定 理 を 証 明 せ よ.

 (解)

  (q∈R)と い う最 も簡 単 な 場 合 に 上 で 述 べ た こ と を 見 て お こ う.

で あ る か ら,作

用S(γ)は

で あ る. 

(等 号 でp=qの

(等号 は  を 満 た す.一

方,右

と き)で あ る か ら, の と き)

の とき最 小値 を 取 る.

辺 は 

  実 際,υ=(q1-q0)/(t1-t0)と

お く と,

に 注 意 し て,

を 得 る.こ

こ で 等 号 は 

 こ う し て,変 (t-t0)は,い

の と き で あ る.

分 原 理 δS(γ)=0の

解, 

わ ば 鞍 状 点 型 の 極 値 を 取 る こ とが 分 る.Lagrange形

そ れ に 対 し て,こ

の 場 合,最

小 値 を 取 る こ と も 注 意 し て お こ う.

式 の 場 合 は,

  1.7  測 地 線   ポ テ ン シ ャ ル 関 数Uが M上

恒 等 的 に0で

あ る 場 合,Lagrange方

の 測 地 線 で あ る こ と は す ぐ分 る.た

だ しM上

程 式(12)の

解は

量ds2は

系の

のRiemann計

に よ って与 え られ て い る も の とし て い

運 動 エ ネ ル ギ ー  る:

U≠0で

あ る場 合 も 適 当 なRiemann計

  以 下,Lagrangian Hamiltonian

L(q,q)は

H(p,q)も

時 間tに

積 分 で あ る こ とが す ぐ分 る.す

  定 理1.3 

量 に よ る 測 地 線 に な る こ とが 分 る.

時 間tに

依 存 し て い な い と す る.こ

依 存 し な い.こ

の と き,H(p,q)は

の 場 合, 系 の 第1

な わ ち,

H(p,q)はH(p,q)をHamiltonianと

す るHamilton方

程式

(19) の 第1積

分 で あ る.す

な わ ち,(19)の

解 軌 道p=p(t),q=q(t)に

q)は 一 定 の 埴 を 取 る:H(p(t),q(t))=一

沿 っ てH(p,

定.

 証 明

  さ て,Eh={(q,p)∈T*M;H(p,q)=h}を た 定 理 に よ っ て,Ehは 常 にEh上

不 変 で あ る,す

述べ

に 初 期 値 を もつ 解 軌 道 は

に 保 た れ る.

をHamilton方

程 式(19)の

解 と す る.γ

ネ ル ギ ー 曲 面Eh(h=H(p(0),q(0)))内 る.変

エ ネ ル ギ ー 曲 面 と す る と,今 な わ ち,Eh上

は(時 間tで

パ ラ メ ー タ づ け ら れ た)エ

の 曲 線 を 与 え る.こ

の 曲 線 はEhに

おけ

分原理

(20)

の 解 で あ る こ と を 示 そ う.た 部 分 空 間q=q1(=q(t1))を   実 際,部

だ し,変

分 はEh内

の,部

結 ぶ 曲 線 に わ た る.

分 空 間q=q0とq=q1を

結 ぶEh内

の 曲 線 γをt, 

て 適 当 に パ ラ メ ー タ づ け て,p=p(t),q=q(t)と H(p(t),q(t))=hで

分 空 間q=q0(=q(t0))と

あ り,か

つ,(ど

に よっ

表 わ し て お く.こ

の と き,

ん な パ ラ メ ー タ づ け に 関 し て も)

(21) で あ る.一

方,γ

は変分原理

(22)

た だ し,  の 解 で あ っ た.変

分 をH(p(t),q(t))=hを

満 た す 道 だ け に 制 限 し て も,も

ん γ は そ の 制 限 さ れ た 範 囲 に 対 す る 変 分 原 理 を 満 た す.と q(t))=hが

っ て,H(p(t),q(t))=hを

は(h(t1-t0)=一 分 原 理(18)も

あ り,従

満 た す 範 囲 の 変 分 に 対 す る 変 分 原 理(22)

定 で あ る か ら)変 分 原 理(21)と

同 値 で あ る.こ

域Dh={q∈M;U(q)
考 え よ う.Dhは

れ 自身 多 様 体 を な す.Dh上

にRiemann計

こ で, 

は変

  γ:q=q(t),p=p(t), 

量dρ2に

開集 合 で

量

与 え ら れ る.

をHamiltonian

解 と す る.こ

多 様 体Mの

は 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー で あ る.

系 のHamiltonianはH(p,q)=T(q,q)+U(q),q=TL-1pで

Riemann計

う し て,γ

満 た し て い る こ と が 分 っ た.

を 与 え よ う.こ

程 式(19)の

こ ろ で,H(p(t),

満 た さ れ て い る と き は,

で あ る.従

  次 に,領

ちろ

H(p,q)に

の と き,Dh(h=H(p(0),q(0)))上

対 す る 測 地 線 を な す,す

対 す るHamilton方 の 曲 線c:q=q(t)は

な わ ち,変

分 原理

(22) を 満 た す こ と を 示 そ う.   さ て,一 点q0,q1を

般 に,q0,q1をDh上 結 ぶ 曲 線 とす る.パ

の 与 え ら れ た2点 ラ メ ー タ づ け は, 

と し,q=q(t)をDh内

の,2 と す る と き,

H(p(t),q(t))=hを

満 た す 様 に 取 る.こ れ は 常 に 可 能 で あ る.パ

く 区 間 は 曲 線q=q(t)に

依 存 し て い る こ と に 注 意 し よ う.こ

ラ メ ー タtが

動

の パ ラ メー タづ け

に よれ ば,

で あ る か ら,

と な る.こ

  方 程 式(19)の 分 はEh内

で あ る.

こ で, 

解 γが,変 分 原 理(20)を

満 た す こ と は す で に 述 べ た.こ

の 部 分 空 間q=q0=q(t0)とq=q1=q(t1)を

の 際,変

結 ぶ 曲 線 に わ た っ て い た.

パ ラ メ ー タ づ け は 無 関 係 で あ っ た こ と も 注 意 し て お く.従

っ て, 

を 満 た す よ りせ ま い範 囲 の変 分 に対 し て も変 分 原 理 を 満 た す.  とす れ ば,

で あ る か ら,こ

の せ ま い 範 囲 の 変 分 に 対 す る 変 分 原 理(20)は,変

同 値 で あ る.従

っ て,曲

線c:q=q(t)は

変 分 原 理(22)を

は 計 量dρ2に

対 す る 測 地 線 に な る.ま

  定 理1.4 

H(p,q)=T(q,q)+U(q),q=TL-1pをHamiltonianと

milton方

程 式 の 解 は,U(q)
で 計 量 を 与 え る と き,こ の 全 エ ネ ル ギ ー で あ る.

満 た す.す

分 原 理(22)と な わ ち,c

と め る と,

す るHa

与 え られ る 領 域 にdρ2=2(h-U(q))T(q,q)dt2

の 計 量dρ2に

関 す る 測 地 線 を 与 え る.こ

こ で,hは

解

2  正

  2.1  Poincare-Cartanの

形

式

定理

  H=H(p,q,t)をT*M×R上 milton方

準

の 関 数 とす る.HをHamiltonianと

す るHa

程 式

(1) は,変 分 原 理

(2) と 同 値 で あ っ た.こ

れ を 別 の 角 度 か ら な が め て み よ う.ま

ず,

(3) はT*M×R上

の1次

微 分 形 式 で あ る こ と に 注 意 す る.つ

の 局 所 座 標 系,Q,PをQか き,常

にpdq=PdQが

  さ て,Hamilton方

ら 自 然 に 導 か れ るT*M上

ま り,QをM上

の別

の局所座標系 とす る と

な りた つ の で あ る. 程 式(1)を

与 え る,T*M×R上

の ベ ク トル 場,XH∈

x(T*M×R)

(4) はT*M×R上

(こ こ で, 

局 所 座 標 系(p,q,t)か こ れ は,2次

の

ら導 か れ る ベ ク トル 場 で あ る.)

微 分 形 式dω1の

特 性 方 向 で あ る.す

任 意 の ベ ク トル 場Y∈x(T*M×R)に

な わ ち,XHは 対 し て,

(5)

dω1(XH,Y)=0

を 満 た す.逆

に(5)を 満 た す ベ ク トル 場 は,定

従 っ て,XHはXH(dt)=1を

満 た す,2次

て 特 徴 づ け る こ と が で き る.こ

数 倍 を 除 い て,XHに

微 分 形 式dω1の

の 特 徴 づ け を 使 っ て,次

に よ る基 本 定 理 が 容 易 に 導 か れ る

限 ら れ る.

特 性 ベ ク トル 場 と し のPoincare-Cartan

  定 理2.1   γ1と

(Poincare-Cartan)

γ2をT*M×R上

の 閉 曲 線 と す る.た

と す る と き,γ1(s)と の と す る.こ

γ2(s)はHamilton方

だ し,γi=γi(s),  程 式(1)の

i=1,2

同一 の解 軌 道 上 に あ る も

の と き,

が 成 り た つ.と

く に,γ1,γ2が

(pi(s),qi(s),ti(s))と

そ れ ぞ れ 同 時 刻 上 に あ る と き,つ

す る と き,ti(s)=一

定 で あ る と き,γi上

ま り,γi(s)=

で はdt=0で

あ る

か ら,

が 成 りた つ.

  証 明   Γ を γ1の 点 を 通 る,Hamilton 方 程 式(1)の

解 軌 道 か ら な る2次

元 曲面

で 曲 線 γ1と γ2の 間 に あ る 部 分 と す る. こ の と き,Γ

の 境 界 ∂Γ は ∂Γ=γ1-γ2

(と な る 様 に Γ の 向 き づ け を 定 め て お く).従

っ て,Stokesの

と こ ろ で,(1)の は2次

解 軌 道(へ の 接 ベ ク トル)

微 分 形 式dω1の

辺 は0に

特 性 方 向 で あ っ た か ら,積

図2.1

分 の 定 義 か ら 明 ら か に,右

等 し い.

  {gt2t1}を

方 程 式(1)か

上 の 流 れ と す る.す =gtt

定 理 か ら,

ら 導 か れ るT*M な わ ち,(p(t),q(t))

0(p0,q0)は(p(t0),q(t0))=(p0,q0)を

満 た す 方 程 式(1)の

  定 義2.1 

微分形式 

T*Mの

解 で あ る.

微 分 同 相gは,2次

を不

図2.2

変 に す る,す

な わ ち,g*ω2=ω2を

ω2=d(pdq)で

あ る か ら,ω2はT*M上

い,2次

満 た す と き,正 の,Mの

準 変 換 で あ る と い わ れ る.

局 所 座 標 系 の 取 り方 に は よ ら な

閉 微 分 形 式 で あ る こ と を 注 意 し て お く.

  Poincare-Cartanの

定 理 か ら,直

ち に 次 の 系 を 得 る.

  系  任 意 のt1,t2に

対 し て,gt2t1は 正 準 変 換 で あ る.

  証 明   σ を 滑 め ら か な 境 界 ∂σ を 持 つ 任 意 のT*M上 の と き,Stokesの

を 得 る.こ

こで,2番

目 の 等 号 はPoincare-Cartanの

あ っ た か ら,ω2=(gt2t1)*ω2を

  ω2=dp∧dqをT*Mの

つ,任

定 理 に よ る.σ

微 分 形 式 と い う.ω2は

意 の η∈T(p,q)(T*M),η

あ っ て,ω2(η,ξ)≠0が

  次 のDarbouxに

元 曲 面 と す る.こ

は任 意 で

得 る.

基 本2次

す な わ ち,dω2=0か T(p ,q)(T*M)が

の2次

定 理 か ら,

よ る 定 理 は,基

閉 か つ 非 退 化 で あ る.

≠0に

対 し て,あ

る ξ∈

成 りた つ. 本2次

微 分 形 式 が,閉

か つ 非 退 化 であ る こ

と に よ り特 徴 づ け ら れ る こ とを 示 す.

  定 理2.2 

(Darboux)

  ω2を2n次

元 多 様 体 上 の 閉 か つ 非 退 化 な2次

点 の 近 傍 に 局 所 座 標 系x1,…,xn,y1,…,ynが

微 分 形 式 とす る.こ

の と き,各

あ っ て,ω2は

と表 わ さ れ る.

  証 明 に つ い て は,Arnold[4]あ 般 に 偶 数 次 元 多 様 体M上

る い は,Abraham-Marsden[1]を

の 閉 か つ 非 退 化 な2次

ク テ ィ ッ ク 構 造 と も い わ れ る.

微 分 形 式 ω2はM上

見 よ.一 のシンプレ

  2.2正

準変換

  Hamiltonian

H=H(p,q)が

  多 様 体 上 にRiemann計

時 間tに

依 存 し な い 場 合 を 考 え よ う.

量 が 与 え ら れ る と,多

分 形 式 の 同 一 視 が で き る 様 に,T*M上 トル 場 と1次

様 体 上 の ベ ク トル 場 と1次

の 基 本2次

微 分 形 式 はT*M上

微

のベ ク

微 分 形 式 の 同 一 視 を 与 え る.

  X∈x(T*M)をT*M上

の ベ ク トル 場 とす る.こ

の と き ♭(X)を

♭(X)=ixω2  に よ っ て 与 え られ るT*M上 内 部 積 を 表 わ す,す

の1次

(6)

微 分 形 式 とす る.こ

な わ ち,Y∈x(T*M)を

こ で,iXはXに

任 意 のT*M上

よる

の ベ ク トル 場 とす

る と き,♭(X)は ♭(X)(Y)=ω2(X,Y)  に よ っ て 与 え られ るT*M上

の1次

上 の ベ ク トル 場 全 体 か ら な る 空 間x(T*M)か 間x*(T*M)へ

の 同 型 を 与 え る.成

ら,1次

の と き,写 像 ♭はT*M 微 分 形 式 全 体 か ら な る空

分 を 使 っ て 表 わ せ ば, 

と す る と き, 

 写 像 ♭の逆 写 像 を#で

(6)′

微 分 形 式 で あ る.こ

で あ る.

表 わ そ う.成 分 で表 わせ ば,

(7) で あ る.こ Hamilton方

の 変 換#を

使 え ば,H(p,q)をHamiltonianと

す るT*M上

の

程式

(8) を 与 え る,T*M上

の ベ ク トル 場, 

は

XH=#(-dH) 

(9)

に よ っ て 与 え ら れ る こ と が 分 る.   こ れ か ら 直 ち に 次 の 定 理 を 得 る こ と が で き る.

  定 理2.3 

g:(p,q)→(P,Q),dp∧dq=dP∧dQをT*Mの

こ の と き,H=H(p,q)をHamiltonianと 座 標 系 を 使 って 書 くと

す るHamilton方

正 準 変 換 と す る. 程 式(8)は,P,Q

(10) と 表 わ さ れ る.す

な わ ち,Hamilton方

  注 意   QをMの

任 意 の 局 所 座 標 系 と し,Q,Pを

T*Mの

局 所 座 標 系 とす る.こ

で あ る こ と に 注 意 し よ う.す を 導 く の で あ る.も

程 式 は 正 準 変 換 に よ っ て 不 変 で あ る.

そ れ か ら 自然 に 導 か れ る,

の と き,g:(p,q)→(P,Q)はT*Mの な わ ち,Mの

ち ろ ん,正

正 準 変換

任 意 の 座 標 変 換 はT*Mの

正 準 変換

準 変 換 は そ れ ら に よ っ て つ き る の で は な い.た

と え ば,g:(p,q)→(-q,p)も1つ

の 例 で あ る.精

し くは,3章

の正 準変 換 と

母 関 数 を 見 よ.

  2.3  Liouvilleの  

Hamiltonian

式(8)か

H=H(p,q)が

時 間tに

ら導 か れ る 流 れ{gt2t1}は1-パ

差t2-t1に id.が

定理 依 存 し な い 場 合,そ

のHamilton方

ラ メ ー タ 群 を な す.つ

ま り,変

の み 依 存 し,gt=gt0(=gt+ss)と

程

換gt2t1は

お く と,gtgs=gt+s(∀t,s∈R),g0=

成 りた つ.

  Poincare-Cartanの 形 式 ω2=dp∧dqを を 保 つ,特

定 理 の 系 か ら,gtは 保 つ.従

にk=nの

本2次

微 分

体 積 要 素 で あ る か ら,変

換gtは

体

う し て 次 の 定 理 を 得 る.

(Liouville)

  流 れ{gt}はT*Mの

体 積 要 素 ω2nを 保 つ.

 さ て,Hamiltonian 任 意 のtに

ま り,基

っ て, 

と き,ω2nはT*Mの

積 要 素 を 保 つ こ と が 分 る.こ

  定 理2.4 

正 準 変 換,つ

H=H(p,q)は

流 れ{gt}に

対 し て,H(p,q)=H(gt(p,q))が

成 りた った(定 理1.3).従

ネ ル ギ ー 曲 面Eh={(p,q)∈T*M;H(p,q)=h}自 す な わ ち,任

意 の(p,q)∈Ehに

 エ ネ ル ギ ー 曲 面,Eh上 か ら,EhはT*Mの

よ り不 変 で あ る.す

身 もgtに

対 し てgt(p,q)∈Eh(∀t∈R)が

でdH≠0で

あ る と 仮 定 し よ う.こ

部 分 多 様 体 と な る.T*M上

の{gt}-不

な わ ち, っ て,エ

よ っ て 不 変 で あ る, 成 りた つ. の と き陰 関 数 定 理 変 な(体 積 要 素 ω2n

か ら 定 ま る)測 度 か ら,エ

ネ ル ギ ー 曲 面Eh上

に{gt}-不

変 な 測 度 μ が 自然 に 導

か れ る こ と を 示 そ う.   仮 定 か ら,  と え ば, 

従 っ て,一 と 仮 定 で き る.こ

H,p2,…,pn,q1,…,qnがT*Mの

般 性 を 失 な う こ と な く,た

の と き,p1,…,pn,q1,…,qnの

か わ

り に,

は{gt}-不

変

局 所 座 標 系 と し て 取 れ る.

で あ る か ら,  で あ る.  エ ネ ル ギ ー曲 面Eh上 dH,dp2,…,dqnの

が 成 りた つ.こ こ と,お

よ び, 

の 局 所 座 標 系

と し て はp2,…,pn,q1,…,qnが

に 対 し て,

共 役 基 底 で あ る, 

こ で,Hのgt-不

変 性 か ら,g*t(dH)=d(g*tH)=dHが がdH,dp2,…,dqnの

成 りた つ

共 役基 底 で あ る こ とか で あ る こ と を 用 い て い る.

ら,  一 方 , 

取 れ る.

はgt-不

変 で あ った か ら,上

と 同様 に

で あ る こ と か ら,Ehの

  は, 

空 間 に 属 す る,従 に,Eh上

っ て ま たTEhの

基 底 を な し て い る こ と に 注 意 し よ う.ゆ

接 え

で

が 成 りた つ.い

い か え る と,

(11) はEh上

のgt-不

変 な 体 積 要 素 を 与 え る.

 こ の 不 変 測 度 μ は 正 準 な 局 所 座 標 系 の 取 り方 に は 依 ら な い こ と,従 はT*M上

の 基 本2次

微 分 形 式 ω2とHamiltonian

Hの

っ て,μ

み か ら定 ま る ことを 示

そ う.   g:(p,q)→(P,Q)を

正 準 変 換 と す る.こ

と し て お い て よ い.gは

の 新 し い 座 標 系(P,Q)に

お い て も 

正 準 変 換 で あ る か ら, 

従 っ て, 

前 と同 様 に,

 

X2,X3,…,X2nをEhの =0で

接 空 間 の 基 底 ベ ク トル と す る.dH(X2)=…=dH(X2n)

あ る.X1をdH(X1)≠0な

ル とす れ ば,X1,X2,…,X2nはT*Mの す.こ

るT*Mの

接 空 間 の(同 じ 点 に お け る)ベ ク ト

接 空 間T(T*M)の

の と き,

全 く 同 様 に,

左 辺 は 共 に,ω2n(X1,X2,…,X2n)に

等 し い か ら,

基 底 ベ ク トル を な

ゆ え に,  が い え る,す

な わ ち,μ

 こ う し て,μ

は 正 準 座 標 系 の 取 り方 に 依 ら な い.

はT*Mの

シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 を 与 え る基 本2次

ω2=dp∧dqとHamiltonian

  問2.1. 

H(p,q)の

M=Rnと

す る.q1,…,qnを

微分形式

み か ら定 ま る測 度 で あ る こ とが 分 った.

そ のDescartes座

合 上 の μ は 対 称 な 形 に 書 く こ と が で き る.す

な わ ち,dσ

標 系 と す る.こ

の場

を エ ネ ル ギ ー 曲 面Eh

上 の 面 積 要 素 とす る と き,

で与 え られ る こ とを示 せ.  (解) こ こ で,内

積

ゆ え に,

  以 上 を ま と め て,次

  定 理2.5 

の 定 理 を 得 る.

Eh={(p,q,)∈T*M;H(p,q)=h}を

miltonian

H(p,q)はEh上

にT*Mの

シ ン プ レ テ ィ ッ ク 構 造 ω2=dp∧dqとHamiltonian

ま る 自然 なgt-不

満 た す とす る.こ

の と き,Eh上 H(p,q)か

ら定

変 な 測 度 が 導 か れ る.

  2.4  Poincareの

再帰定理

 エ ネ ル ギ ー 曲 面Ehが し て お く)こ の と き,前 で あ る か ら,定

でdH(p,q)≠0を

エ ネ ル ギ ー 曲 面 とす る.Ha-

コ ン パ ク トで あ る と 仮 定 し よ う.(Eh上dH≠0も 項 で 定 め た 不 変 測 度 μ は 有 限,す

数 を 適 当 に か け て お い て μ をEh上

す る こ とが で き る.こ

の 確 率 測 度 μ を 使 っ て,次

要 な 結 論 が 簡 単 に 導 か れ る.

仮 定

な わ ち,μ(Eh)<+∞

の 確 率 測 度,(μ(Eh)=1)と のPoincareに

よ る極 め て 重

  定 理2.6    Ehの

(Poincareの

任 意 の(Borel可

再 帰 定 理) 測)集 合Aに

B={x∈A;無 と す る.こ

対 し て,

限 に 多 く の 自然 数nに

の と き,(Bは

対 し てgnx∈A}

可 測 集 合 で あ っ て) μ(A-B)=0

が 成 りた つ.す

な わ ち,Aの

  証 明   こ の 定 理 は,μ る.μ(A)>0と

ほ と ん ど全 て の 点xが

がg=g1に

し て お い て よ い.

φ

と す れ ば,gn-mB0∩B0≠

 μ(B0)=0で

あ る.実

際,μ(B0)>0と

な わ ち, 際gnB0

す れ ば,x∈B0か

を 意 味 し 矛 盾 す る.

す れ ば, 

は 互 い に 交 わ ら ず,

あ る か ら,

で あ る か ら, 

ら か に 

盾 す る.従

で あ る.実

φ.x∈gn-mB0∩B0と れ は 

か つ,μ(gnB0)=μ(B0)で

,明

は 互 い に 交 わ ら な い.す

対 し て,gnB0∩gmB0=φ

つ,gm-nx∈B0⊂A(m-n>0).こ

一方

に 対 し て,

の と き,B0,gB0,g2B0,…,gnB0,…

任 意 のn,m=0,1,2,…,n<mに ∩gmB0≠

戻 っ て く る.

関 し て不 変 で あ る こ と の簡 単 な帰 結 であ

任意の 自然数  と す る.こ

無 限 回Aに

っ て,μ(B0)=0で

と な って矛

な け れ ば な ら な い.

に 対 して と す る.B0の ら な い.従

と き と 全 く 同 様 に,Bn,gnBn,g2nBn,…,gknBn,… っ て,μ(Bn)=0で

は 互 い に 交 わ

あ る.

さ て,

で あ る か ら,

 系  Eh上 xの

の 不 変 測 度 μ に 関 し て ほ と ん ど す べ て の 点xに

任 意 の 近 傍 に 無 限 回 戻 っ て く る.す

存 在 す る:μ(Eh-A)=0で 対 し て#{n;nは

あ りか つ,任

自然 数 でgnx∈U}=+∞

な わ ち,次

対 し て,点xは

の 様 なEhの

意 の 点x∈Aと が 成 りた つ.

部 分 集 合Aが

任 意 のxの

近 傍Uに

  証 明   Ehは …,On…

表 わ せ る.各 か つ,任

コ ン パ ク ト多 様 体 で あ る か ら,可 算個 の 開 基(open

が 存 在 す る .す 々 のOnに

な わ ち,Ehの 定 理2.6を

意 の 点x∈On-Nnに

任 意 の 開 集 合 は{On}の

適 用 す れ ば,Nn⊂Onが

対 し て,#{m;gmx∈On}=+∞

とす れ ば,こ れ が 求 め る もの で あ る こ とは 容 易 に分 る.

base)O1,O2, 和集合 として

あ っ て,μ(Nn)=0, が 成 りた つ.

3  正準変換 と母関数

  3.1  シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 線 形 空 間  こ れ ま で の 考 察 は 局 所 座 標 系 を 使 っ て 行 な わ れ て は き た が,そ

こ で扱 わ れ た

概 念 な り結 果 は い ず れ も 特 定 の 座 標 系 に 依 存 す る も の で は な く,座 れ た 内 的 な 意 味 を 持 っ て い た.残

念 な が ら,本

標系をは な

章 で 行 な わ れ る 考 察 の 多 くは,

基 本 的 に 座 標 系 に よ っ て い る.  さ て,g:(p,q)→(P,Q)を

正 準 変 換 と す る.こ

微 分 形 式,dω=0,で

あ る.従

点 の 近 傍 に お い て,完

全,す

っ て,Poincareの な わ ち,p,qの

の と き,ω=pdq-PdQは

閉

補 題 に よ り,ω は 考え て い る 関 数S(p,q)が

あ っ て ω はSの

微

分 に 等 し い:pdq-PdQ=dS(p,q)

 問3.1.  た 閉1次 f(x)の

DをRnま

た は 一 般 にRnの

微 分 形 式 とす る.こ

の と き,ω

単 連 結 領 域 と す る.ω は 完 全 微 分 形 式,す

微 分 に 等 し い,ω=df.(Poincareの はStokesの

 (解)  従 っ て,終

点 のxに

か に,ω=dfが

 さ て,添

成

る関 数

の)関

中 の 積 分 路 に は 無 関 係 で あ る. 数 が 定 義 さ れ る.こ

の と き,明

ら

あ る 分 割:{1,2,…,n}=I∪J,I∩J=φ,I=

{i}={i1,…,ik},J={j}={j1,…,jn-k}{k=0,1,…,n)が

q1,…,qn)が

な わ ち,あ

ら れ

り た つ.

字 の 集 合{1,2,…,n}の

の 近 傍 で,(p,q)ま

与え

補 題)

定 理 か ら,途

の み 依 存 す る(1価

をDで

た は(P,Q)の

あ っ て,考

え て い る点

か わ り に(Pi,Qj;q)=(Pi1,…,Pik,Qj1,…,Qjn-k,

座 標 系 と し て 取 れ る こ と を 示 そ う.次

の 定 理 はArnold[4]に

よ

る.

 定 理3.1  と き,添

g:(p,q)→(P,Q)を

字 の 集 合{1,2,…,n}の

原 点(o,o)の あ る 分 割I∪Jが

ま わ り の 正 準 変 換 と す る.こ あ っ て,原

の

点 の近 傍 に おい

て,{Pi}i∈I,{Qj}j∈J,qが

局 所 座 標 系 で あ る よ う に,す

な わ ち,

で あ る よ う に で き る.

  証 明 は 基 本 的 に は シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 幾 何 に よ っ て い る.   R2nを 偶 数2n次 dq1,…,dqnを

元 ベ ク トル 空 間,e1,…,en,f1,…,fnを

そ の 基 底,dp1,…,dp

n,

そ の 共 役 基 底 と す る. ω2=dp1∧dq1+…+dpn∧dqn

を2次

外 形 式(基 底e1,…,fnに

え れ ば,dp1,…,dqnは 上 一 定 な2次

よ る 成 分 で あ るp1,…,qnをR2n上

の 関 数 と考

こ れ ら の 関 数 の 微 分 と 同 一 視 で き る.従

っ て ω2はR2n

微 分 形 式 と考え る こ と も で き る)と し,∀ ξ,η∈R2nに

対 し て,

[ξ,η]=ω2(ξ,η) と定 義 す れ ば,[・,・]はR2n上 式 を 与 え る.こ

こ で,双

線 形 形 式[・,・]が

て η が 存 在 し て,[ξ,η]≠0が 形 形 式[・,・]が

の 非 退 化 な 歪 対 称,[ξ,η]=-[η,ξ],双

成 りた つ こ と を い う.こ

付 与 され た(偶 数 次 元)ベ

ク 線 形 空 間 と い う.シ

非 退 化 で あ る と は,∀

ξ≠0に

対 し

の非 退化 な歪 対称 双 線

ク トル 空 間R2nを

ン プ レ ク テ ィ ッ ク線 形 空 間 は,通

線 形形

シ ン プ レ ク テ ィッ

常 の 内 積(・,・)を 付 与

され た 線 形 空 間 と い くつ か の 点 で 似 た 構 造 を も つ.  さ て,ξ,η ∈R2nに い, 

で 表 わ す.一

と ∀η∈Wに   R2nの

対 し て,[ξ,η]=0で 般 にR2nの

対 し て 

部 分 空 間Nは

空 間 と い わ れ る.零

あ る と き,ξ

部 分 空 間V,Wが

ξ∈V

で 表 わ す.

自 分 自 身 に 歪 直 交 す る と き,す

な わ ち, 

の とき零

定 ま るR2nの

線 形 変 換 とす

下 で あ る.

  実 際,Iを,Iei=fi,Ifi=-ei(i=1,2,…,n)で る.こ

歪直 交 す る と は,∀

で あ る と き を い い, 

空 間 の 次 元 はn以

と ηは歪 直交 す る とい

の と き, [ξ,η]=(Iξ,η)

で あ る.こ

こ で,(・,・)は

基 底e1,…,en,f1,…,fnか

る,(ei,ej)=(fi,fj)=δij,(ei,fj)=0.こ INとNが

う し て, 

ら 自然 に 定 ま る 内 積 で あ で あ る た め の 条 件 は,

こ の 内 積 に 関 し て 通 常 の 意 味 で 直 交 す る こ と で あ る.従

っ て,零

空

間Nの

次 元 はn以

下 で な け れ ば な ら な い.

  添 字 の 集 合{1,2,…,n}の

任 意 の 分 割I∪Jに

対 し て1つ

の 座 標 零 空 間N

(I,J)が 次 の 様 に し て 定 ま る.

N(I,J)が

零 空 間 で あ る こ と は 容 易 に 分 る.N(I,J)=(dpi,dqj)と

  補 題3.1 

R2nの 任 意 の 零 空 間Nは2n個

に 横 断 的 で あ る,す

の 座 標 零 空 間 の 少 く と も1つN(I,J)

な わ ち,N∩N(I,J)={o}が

  証 明   P=(dp1,…,dpn)と

も 書 く.

成 りた つ.

す る.V=N∩P,  と お こ う.VはP(dp1,

…

,dpn)の

部 分 空 間 で あ る か ら,I={i1,…,in-k}

⊂{1,2,…,n}が はVに

あ っ てW=(dpi1,…,dpin-k)

横 断 的 で あ る.こ

-I={j1

,…,jk}と

す

こ で,J={1,2,…,n}

る と き,(dpi1,…,dpin-k)=

{ξ∈P;dpj1(ξ)=…=dpjk(ξ)=0}で と き,N(I,J)はNに

あ る.こ

横 断 的,す

な わ ち,求

の め る

図3.1

も の で あ る こ と を 示 そ う.

  で あ る.実 に 注 意 す れ ば,  で あ る.よ +Pも

際,∀

で あ る.同

ξ∈N∩N(I,J)に

様 に, 

っ て, 

零 空 間 で あ る.と

か つ,W⊂N(I,J)か

す な わ ち,  こ ろ が,dimP=nで

あ っ た か ら,N∩N(I,J)⊂Pで ∩P=(N∩P)∩(N(I,J)∩P)で

対 し,V⊂Nと  ら, 

従 っ て,(N∩N(I,J))

あ り,零 空 間 の 次 元 はn以

下で

な け れ ば な ら な い.N∩N(I,J)=(N∩N(I,J)) あ り,一

方N(I,J)∩P=Wで

あ る か ら,N∩

N(I,J)=V∩W={o}.

  定 理3.1の

証 明 に 移 ろ う.

  P(o,o)=Q(o,o)=oと 基 本2次 す る.

仮 定 し て よ い.R2n=T(o,o)(T*M)と

微 分 形 式dp∧dqか

ら導 か れ るR2n上

し,ω2をT*Mの

の非 退 化 な歪 対 称 双 線 形 形 式 と

  正 準 変 換gの

微 分dgはR2nの

ω2を 不 変 に

す る 線 形 変 換 を 導 く.P=(dp1,…,dpn)は 間 で あ り,dgは

零空

ω2を 不 変 に す る か ら,N=dg

(P)も 零 空 間 で あ る.従

っ て,上

の 補 題 か ら,

あ る座 標 零 空 間N(J,I)=(dpj,dqi)が N(J,I)はNに

あ っ て,

横 断 的 で あ る.N(I,J)=(dpi,dqj)

をN(J,I)の

補 座 標 空 間 と す る.Nか

J)へ の 射 影 をTと

す る と,Tは

ら,N(I,

正 則 で あ る.こ

図3.2

れ は,

を 意 味 す る.

 3.2  正 準 変 換 の 母 関 数  正 準 変 換 は,通 的 に は1つ

常 のm変

数 の 変 換 がm個

の 関 数 を 必 要 とす る の に 対 し,局

所

の 関 数 に よ っ て 与え ら れ る こ と を 示 そ う.

  g:(p,q)→(P,Q)を

正 準 変 換 とす る と き,あ

る 関 数Sが

あ っ て,

pdq-PdQ=dS  と 書 け た.い

ま,た

とえ ばq,Qがp,qの

仮 定 し よ う.Sをq,Qの

(1) か わ りに 局 所 座 標 系 と し て 取 れ た と

関 数 と し て 書 き 表 わ し て お け ば,(1)か

ら,

(2) と な る.こ

う し て,正

え ら れ る.も し,定

理3.1に

準 変 換gは1つ

ち ろ ん,q,Qが

使 っ て(2)に

よ って 与

常 に 局 所 座標 系 と し て 取 れ る と は 限 ら な い.し

よ っ て,Pi,Qj,qが

を 少 し修 正 す れ ば や は り1つ

の 関 数S(q,Q)を

局 所 座 標 系 と し て 取 れ る.こ

の 関 数 に よ っ て 正 準 変 換gが

の場 合 も関 数

与 え られ る の で あ

る.

(3) と す る.こ

こ で,Pj=Pj(Pi,Qj,q),Qi=Qi(Pi,Qj,q)p=p(Pi,Qj,q)はPi,Qj,q

の 関 数 と し て 表 わ さ れ て い る.Sを

正 準 変 換gの

か

母 関 数 と い う.さ

て,

dS=PidQi+QidPi+pdq-PdQ =-PjdQj+QidPi+pdq よ っ て,

(4) と な る.こ

う し て,Pi,Qj,qが

る 母 関 数S(Pi,Qj,q)に  

Pi,Qj,qは

局 所 座 標 系 と し て 取 れ る場 合,(3)で

よ っ て,変

換gは(4)を

与 えら れ

通 し て 与 え ら れ る こ と が 分 る.

局 所 座 標 系 で あ っ た か ら,R=(Pi,Qj)と

お け ば,

従 っ て,

(5) に 注 意 し て,

(6) を 得 る.   逆 にS(Pi,Qj,q)を(5)を

満 た す 任 意 の 関 数 とす る.こ

正 準 変 換g:(p,q)→(P,Q)を   ま ず,写

っ て,Pi,Qjをp,qの

よ って 局所 微 分 同 相 で あ る

関 数 と し て 表 わ す こ と が で き る;

Pi=Pi(p,q),  (4)よ

係 式(4)は

定 め る こ と を 示 そ う.

像:(Pi,Qj,q)→(p,q)は,(5),(6)に

こ と が 分 る.従

の と き,関

Qj=Qj(p,q).

り, 

従 っ て,写

像g:(p,q)→(P,Q)が

  実 際,(Pi,Qj,q)=(R,q)を →(p,q)は

g:(p,q)→(P,Q)は

局 所 微 分 同 相 を 与 え る.

独 立 変 数 と考 え る と,(5),(6)か

局 所 微 分 同 相 で あ った が,同

で あ る か ら,写

  次 に,gは

定 ま る.gは

像:(R,q)→(P,Q)も

ら,写

像:(R,q)

様 に,

局 所 微 分 同 相 で あ る.よ

局 所 微 分 同 相 で あ る.

正 準 変 換 で あ る こ と を 示 そ う.

っ て,写

像

よ っ て,dp∧dq-dP∧dQ=0,す

な わ ち,gは

正 準 変 換 で あ る.

  以 上 を ま と め て 次 の 定 理 を 得 る.

  定 理3.2 

I∪Jを

添 字 の 集 合{1,2,…,n}の

  S(Pi,Qi,q)を 

と き,関

(R=(Pi,Qj))を

任 意 の 分 割 とす る. 満 た す 任 意 の 関 数 と す る.こ

の

係式

は 正 準 変 換g:(p,q)→(P,Q)を   逆 に,任

定 め る.

意 の 正 準 変 換 は,こ

を 正 準 変 換gの

れ ら の 形 の い ず れ か で 与 え ら れ る,S(Pi,Qj,q)

母 関 数 と い う.

  こ の よ うな 完 全 な 形 で の 定 理 はV.   特 に,I=φ

ま た はJ=φ

(ⅰ) I=φ

の と き,

(ⅱ) J=φ

の と き,

と く に,S(P,q)=P・qの   注 意   時 間tに

Arnold[4]に

よ る.

の と き が よ く用 い られ る.

と き は,p=P,Q=q,す

も 依 存 す る 母 関 数 に つ い て,後

な わ ち,恒

等 写 像 で あ る.

に 使 う限 りに お い て 少 し ふ れ

て お こ う.   S=S(P,q,t)を

時 間tに

も 依 存 す る 関 数 で あ っ て, 

を満たす も

の と し よ う.

(7) に よ り,変 換:(p,q)→(P,Q)を 与 え て い る.   さ て,

定 め る.こ れ は 各tに

対 して局 所 微 分 同相 を

よ っ て, 

た だ し,  従 っ て,

で あ る.   HをHamiltonianと

す るHamilton方

程式

(8) は変分原理

と 同 等 で あ っ た.完 P,Qで

は 方 程 式(8)は,新

を も つHamilton方 P,Q,tの

全 微 分dSは

っ て,新

しい 変 数

し いHamiltonian

程 式 で 表 わ され る.こ

こ で,p,qは

関 係 式(7)に

よ っ て,

関 数 と し て 表 わ さ れ て い る.

  3.3  Hamilton-Jacobiの   話 し を も と に 戻 そ う.も HがQだ

変 分 に 影 響 し な い か ら,従

方程式 し,新

け の 関 数 で あ る,す

直 ち に 積 分 可 能 で あ る.実

し い 変 数P,Qで

表 わ し た と き,Hamiltonian

な わ ち,H=K(Q)と

表 わ され る とす れ ば,系

は

際,

従 っ て,Q=Q0=const,

と な り積 分 で き る.   新 し い 変 数 で 書 い た と き,Hamiltonian

HがQだ

け の 関 数 と し て 表 わ され

る た め の 条 件 を 求 め よ う.   新 し い 変 数P,Qを

与 え る 変 換 の 母 関 数 をS(Q,q)と

す れ ば, 

で

あ った か ら,

(9)   こ れ を,Qを

パ ラ メ ー タ ー とみ て,qの

Hamilton-Jacobiの

  定 理3.3   も しn個

関 数 で あ る 母 関 数S(Q,q)に

対す る

方 程 式 と い う.

(Jacobi) の パ ラ メ ー タQに

依 存 す る(9)の 解S(Q,q)で, 

す も の が 存 在 す れ ば,Hamilton方

を満 た

程式

(10) はn個

の 第1積

分 を もつ.実

に よ っ て 定 ま る 関 数Q=Q(p,q)が

  証 明 は,母

際,

そ れ で あ る.

関 数 に 関 す る 議 論 か ら 容 易 に 分 る.

  例 を あ げ よ う.

  例(中 心 力場 の 問 題)   極 座 標q1=r,q2=φ ャ ル 関 数Uはq1の

に よ っ て 系 を 記 述 し よ う.中 み の 関 数 で あ る.よ

っ て,系

心 力 場 の 場 合,ポ

テンシ

のLagrangianは

従 っ て, よ っ て,系

のHamiltonianは

従 っ て,Hamilton-Jacobiの

方 程 式(9)は

(11) す な わ ち,

 ゆ え に,S(q1,q2,Q)=S1(q1,Q)+S2(q2,Q)と

よ っ て,

ゆ え に,  が(11)の

解 で あ る.従

で あ る か ら,

が 第1積 分 であ る.

っ て,

お く と(変

数 分 離),

4 

  4.1  Poisson括   時 間tに

対 称 性

と 第1積

分

弧

依 存 し な いHamiltonian

H(p,q)を

もつHamilton方

程式

(1) を 考 え よ う.   T*M上

の 関 数I(p,q)は

方 程 式(1)の 解 軌 道 に そ っ て 一 定 で あ る と き 系(1)の

第1積

分 と い う の で あ った.一

に,こ

の 関 数 が 方 程 式(1)の 解 軌 道 に そ っ て ど の よ う に 変 化 す る の か を 見 て み

よ う.こ

般 に,T*M上

の 関 数F(p,q)が

与 え られ た と き

れ は 次 の よ うに 表 わ さ れ る.

  XH∈x(T*M)を

こ の と き,関

方 程 式(1)を 与 え るT*M上

数F(p,q)のXH-方

の ベ ク トル 場 と す る,す な わ ち,

向 の 方 向 微分 LXHF=XHF=dF(XH)

は,♭(XF)=-dF(♭(XF)=iXFω2)で

あ っ た か ら(2.2参

照)

XHF=dF(XH)=-iXFω2(XH)=ω2(XH,XF) と 表 わ さ れ る.こ

こ で,XFはF(p,q)をHamiltonianと

す るHamilton方

程

式 を 与 え る ベ ク トル 場 を 表 わ す.   こ の 関 数 ω2(XH,XF)を{H,F}で

表 わ し,関

数H(p,q)とF(p,q)のPoisson

括 弧 と い う.

(2) で あ る が,定 て,T*M上

義 か ら こ の 関 数{H,F}は の 基 本2次

局 所 座 標 系 の 取 り方 に は 無 関 係 で あ っ

微 分 形 式 ω2に の み,す

な わ ち,T*M上

のシ ンプレク

テ ィ ッ ク構 造 に の み 依 存 す る.   こ のPoisson括

弧 を 使 え ば,関

数F(p,q)が

系(1)の

第1積

分 で あ るた め の

条 件 は,HとFのPoisson括

弧 が 消 え る こ と,す

な わ ち,

{H,F}=0 が 成 りた つ こ と で あ る.   Poisson括

弧 は,Hamilton形

式 に あ っ て 重 要 な 役 割 を 果 す.こ

こ で,そ

の

基 本 的 な 性 質 を ま と め て お こ う.

  定 理4.1 

(ⅰ) Poisson括

弧 は 歪 対 称 双 線 形 形 式 で あ る.す

な わ ち,

{F,G1+G2}={F,G1}+{F,G2}, {F,G}=-{G,F} (ⅱ) Jacobiの

恒 等 式 を 満 た す,す

な わ ち,

{F,{G1,G2}}={{F,G1},G2}+{G1,{F,G2}}.

  証 明   (ⅰ)は定 義 式{F,G}=ω2(XF,XG)か (ⅰ)によ りPoisson括

ら 直 ち に 導 か れ る.(ⅱ)に 移 ろ う.

弧 は 双 線 形 で あ る か ら, XF{G1,G2}={XFG1,G2}+{G1,XFG2}

が 成 りた つ.あ

と は,XFG={F,G}よ

  定 理4.1はLie環

  定 理4.1′  T*M上 て,Lie環

の 言 葉 を 使 え ば 次 の よ うに も 述 べ る こ と が で き る.

の 滑 ら か な 関 数 全 体F(T*M)はPoisson括

弧 を積 と し

を な す.

  さ て,Jacobiの のPoisson括 の 第1積

り(ⅱ)を 得 る.

恒 等 式 か ら 直 ち に,F1,F2が

弧{F1,F2}も

第1積

分 全 体SはLie環F(T*M)の

  Jacobiの

  定 理4.2  で あ る.こ

系(1)の

第1積

分 で あ る こ と が 分 る.い 部 分Lie環

分 で あ れ ば,そ

い か え る と,系(1)

を な す.

恒 等 式 か ら さ ら に 次 の 定 理 を 得 る.

X{F1,F2}=[XF1,XF2] こ で,右

辺 の 角 括 弧 は ベ ク トル 場XF1とXF2のLie括

す な わ ち,[XF1,XF2]=XF1°XF2-XF2°XF1

弧 を 表 わ す,

  証 明   Poisson括 G∈F(T*M)に

弧 の 歪 対 称 性 に 注 意 す れ ば,Jacobiの

恒 等 式 か ら,任

意 の

対 し て, {{F1,F2},G}={F1,{F2,G}}-{F2,{F1,G}}

が成

り た つ.ゆ

え に, X{F1

,F2}G=XF1(XF2G)-XF2(XF1G) =(XF1°XF2-XF2°XF1)G=[XF1,XF2]G

Gは

任 意 で あ っ た か ら, X{F1,F2}=[XF1,XF2].

  4.2  モ ー メ ン ト関 数   中 心 力 場 の 問 題 を 思 い 出 そ う.I=r2φ が 回 転 に 対 し て 不 変 で あ る,す 一般 に

,系

は 系 の 第1積

な わ ち,回

に 対 称 性 が あ る と,そ

分 で あ っ た.こ

れ は系

転 対 称 性 を 持 つ こ と の 反 映 で あ る.

れ に 付 随 し て 第1積

分 が 導 か れ る.こ

れを詳

し く見 て み よ う.   配 位 空 間(多 様 体)MとLagrangian る.M上

に 働 く1-パ

L(q,q)=T(q,q)-U(q)を

ラ メ ー タ変 換 群{φt}が(正

ルTM上

に 導 くTMの1-パ

す る,す

な わ ち,L(Tφt(q,q))=L(q,q)∀t∈Rが

{φt}がM上

ラ メ ー タ 変 換 群{Tφt}が)Lを

接 バン ド

不 変 に す る と仮 定

成 りた つ と 仮 定 す る.変

に 導 くベ ク トル 場 をY∈x(M)と

  こ の と き,T*M上

もつ系を考え

確 に は,{φt}がMの

す る:

の関数 Φ(p,q)=pdq(Y(q)), 

(こ こ で,pdq∈T*qMは け る1次

座 標(p,q)∈T*Mを

対 応 す る 角 運 動 量 ま た は,モ

  定 理4.3 

M上

T*M上

に 働 く1-パ

1積 分 で あ る.

の 点 をMの

点qに

ラ メ ー タ 変 換 群{φt}ま

お

たはベ

ー メ ン ト関 数 と い う.

ラ メ ー タ 変 換 群{φt}がLagrangian

不 変 に す る と き,{φt}に

のHamiltonian

(3) も つT*M上

微 分 形 式 と考 え た も の で あ る)を,1-パ

ク トル 場Yに

T(q,q)-U(q)を

換群

L(q,q)=

対 応 す る モ ー メ ン ト関 数 Φ(p,q)は

H(p,q)=T(q,q)+U(q),q=TL-1pを

も つ 系(1)の 第

  証 明 に 移 る 前 に 例 を 見 て お こ う.再 力 場 の 問 題 を 考 え よ う(1.1参

照).(r,φ)を

極 座 標 と し て,M=R2-{o}の1-パ タ 変 換 群{φt}を

と き,{φt}か

ラ メー

回 転 と す る,す

φt(r,φ)=(r,φ+t)に

な わ ち,

よ っ て 定 義 し よ う.こ の

ら 導 か れ るM上

Yは, 

び 中心

の ベ ク トル 場

に よ っ て 与 え ら れ る.よ

っ

て,

図4.1

で あ る.こ

で あ る.こ

こ で, 

原 点 ま わ りの 回 転 に 関 す る 不 変 性 か ら 出 て く る 第1積 は 通 常,角

運 動 量 ま た は モ ー メ ン ト とい わ れ る.こ

う し て,pφ=r2φ

は

分 で あ る こ と が 分 る.pφ れ が,一

般 に Φ(p,q)を

モ

ー メ ン ト関 数 と い う理 由 で あ る .   定 理4.3の   Mの

証 明 に 移 ろ う.

局 所 座 標 系 をq,qか

す る.1-パ

ら 自 然 に 導 か れ るT*M上

ラ メ ー タ 変 換 群{φt}がM上

の 局 所 座 標 系 をp,qと

に 導 く ベ ク ト ル 場Yを

局 所 座 標 系q

を 使 っ て 表 わ し て お く.

こ の と き,{φt}に

で あ る.{φt}が {T*φt}と

対 応 す る モ ー メ ン ト関 数

余 接 バ ン ド ルT*M上

し,{T*φt}か

Φ(p,q)は

に 自然 に 導 く1-パ

ら 導 か れ るT*M上

ラ メ ー タ変換 群 を

の ベ ク トル 場 をXと

す れ ば,X

は

で 与 え ら れ る.Lagrangian tonian

Hが{T*φt}に

Lが{Tφt}に

よ っ て 不 変 で あ る こ と は,Hamil

関 し て 不 変 で あ る こ とを 意 味 す る.従 XH=0 

って (4)

で あ る.   さ て,ベ

ク トル 場Xは,関

数 Φ(p,q)をHamiltonianと

す るHamilton方

程 式 を 与 え る ベ ク トル 場XΦ

そ の も の で あ る.実

際

で あ る か ら,

よ っ て,

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,(4)か

ら, XHΦ=0

を 得 る.こ

れ は,関

数 Φ が 系(1)の

  一 般 に,{φt},{ψt}を Ψ(p,q)を す れ ば)Φ

第1積

互 い に 可 換 なMの

分 で あ る こ と を 意 味 す る.

パ ラ メ ー タ 変 換 群 と し,Φ(p,q),

そ れ ぞ れ に 対 応 す る モ ー メ ン ト関 数 と す る.こ と Ψ のPoisson括

弧{Φ,Ψ}は

の と き,(Mを

連結 と

定 数 に 等 し い.

図4.2

  実 際,{T*φt},{T*ψt}か れ ば[Xφ,Xψ]=0で φt}と{T*ψt}も

ら 導 か れ るT*M上 あ る.な

ぜ な ら,{φt}と{ψt}が

可 換 で あ る か ら で あ る.Xφ,Xψ

て 示 さ れ た よ う に,Φ,Ψ る,す

の ベ ク トル 場 をXφ,Xψ

をHamiltonianと

な わ ち,Xφ=XΦ,Xψ=XΨ

とす

可 換 で あ る か ら,{T* は 定 理4.3の

す るHamiltonベ

証 明 中に お い ク トル 場 で あ

で あ る こ と に 注 意 す る.従

っ て,

X{Φ ,Ψ}=[XΦ,XΨ]=[Xφ,Xψ]=0 で あ る.ゆ で あ る.

え に,d{Φ,Ψ}=0.従

っ て,関

数{Φ,Ψ}はMの

連結成分上で一定

  逆 に,{Φ,Ψ}が

定 数 で あ れ ば,d{Φ,Ψ}=0で

[XΦ,XΨ]=0が  さ て,一

成 りた つ.ゆ

般 に,上

Hamiltonianと

あ る か ら,X{Φ,Ψ}=0.従

え に,{φt}と{ψt}は

の 定 数 は0に

可 換 で あ る.

等 し い こ と を 注 意 し て お こ う.実

す る 系 を 考 え る と,{Φ,Ψ}=XΦ

Ψ(=const.)で

の 系 の 軌 道 に そ っ て の 関 数 Ψ の 変 化 率 が こ の 定 数const.に こ の 定 数 が0に

等 し く な け れ ば,Ψ

こ と が 分 る.従

っ て,系

や,あ

っ て,

際,Φ

あ っ た か ら,こ 等 し い.よ

っ て,

の 値 は 系 の 軌 道 に そ っ て 限 り な く増 大 す る

の 軌 道 で 初 期 値 の 近 くに 何 度 も 何 度 も 戻 っ て く る も の

る 点 に収 来 す る よ うな 軌 道 が 存 在 す る と 矛 盾 す る こ と に な る.し

そ の よ う な 軌 道 の 存 在 はPoincareの 定 な る 曲 面 の うち1つ

を

か も,

再 帰 定 理 に よ り一般 に(少 く と も,Φ=一

で も コ ン パ ク トな も の が あ れ ば)保 証 さ れ て い る か ら で

あ る.

  4.3  可 積 分 系   互 い に 可 換 なMの1-パ 変 に す る と き,一 よ う な 第1積

ラ メ ー タ 変 換 群{φit},i=1,2,…,kが

般 に,互

い に 包 合 的 な,す

分 Φi,i=1,2,…,kが

あ っ て,系

を不

弧 が0に

な る

な わ ち,Poisson括

導 か れ る こ と を 上 で 見 た.

Φ0≡H,Φ1,…,Φk,{Φi,Φj}=0,i,j=0,1,…,k  さ て,一

般 に,H=H(p,q)をHamiltonianと

す る 系 が,互

いに包合的な 自

由度nと

同 じ 数 だ け の 第1積

分,F1≡H,F2,…,Fn,{Fi,Fj}=0,i,j=1,2,…,n,

(n=dim

M)を

は ど の よ う な 性 質 を 持 つ か を み て み よ う.中

も つ と き,系

場 の 問 題 の よ うに 自 由 度 が2(n=2)で ー タ群 が 働 い てい る と き {H,F}=0を

,従

あ っ て,系

を 不 変 に す る1つ

っ て,Hamiltonian

も っ て い る と き,一 般 に,系

は2つ

Hと

な る)こ の こ とは 一 般 のn自

包 合 的 な 第1積

ラメ 分F,

の 振 動 数 を もつ 多 重 周 期(概

周 期)運 動 に 帰 着 す る こ とが 知 ら れ て い る.(Newtonポ の も と に お け る 中 心 力 場 の 問 題 の 場 合 は,例

の1-パ

心力

テ ン シ ャ ル 

外 的 に運 動 は 縮 退 し て周 期 運 動 に

由 度 の 場 合 に も 実 は い え る の で あ る.以

下 に これ

を 見 て い こ う.  い ま,考 合 的 な 第1積

え て い るHをHamiltonianと

す る 自 由 度nの

分,F1≡H,F2,…,Fn;{Fi,Fj}=0,i,j=1,2,…,nを

とす る.F1,F2,…Fnの

共 通 の等 位 面

系 がn個

の 互 い に包 もっ て い る

Ec={(p,q)∈T*M;F1(p,q)=c1,…,Fn(p,q)=cn}c=(c1,…,cn)

を 考 え よ う.Ecは

もち ろ ん系 の不 変 な集 合 で あ る,す

値 に もつ 系 の 解 軌 道 はEcに で な い 場 合 は,1つ  さ て,集

微 分dF1,…,dFnは

の 仮 定 は 一 般 のc=(c1,…,cn)に

る.Fi(i=1,2,…,n)をHamiltonianに

ル 場Xiか

対 して 成 立 す

接

ら 導 か れ るT*Mの1-パ 変 で あ る.さ

れ{φit}と{φjt}は

合EcはT*Mの

独 立 で あ る と る.こ

の

と き,

部分 多様 体 に な を 表 わ す)Hami

考 え よ う.dFj(Xi)={Fi,Fj}=0i,1=1,2,…,n

ク ト ル 場XiはEc上Ecに

Ecは{φit}-不

至 る 所1次

も つ(Hamilton系

ク トル 場Xi≡XFiを

で あ る か ら,ベ

し て い る.従

ラ メ ー タ 変 換 群,す

っ て{φit}を な わ ち,流

ら に,[Xi,Xj]=X[Fi,Fj]=X0=0で

ベ ク ト

れ と す る と, あ る か ら,流

互 い に 可 換 で あ る:φis°φjt=φjt°φis∀s,t∈R i≠j.(た

ば,Arnold[4],Matsushima[1],Abraham-Marsden[1]を

 こ う し て,Ec上

う

の連 結 成 分 を取 って お け ば よい.

よ く 知 ら れ て い る よ う に 陰 関 数 定 理 か ら,集

ltonベ

点 を初 期

含 まれ る.集 合Ecは 連 結 と して お い て よい.そ

合Ec上,F1,…,Fnの

仮 定 し よ う.こ

なわ ち,Ecの

とえ

参 照 せ よ.)

に は 互 い に 可 換 なn

個 の 変 換 群,git≡φit￨Eci=1,2,…,nが 働 い て い る.こ

の こ と か ら,Ecは

合Tk×Rn-kに

微 分 同 相 で あ る こ とが

分 る.と

くに,Ecが

る場 合,n次 あ る.さ

コ ン パ ク トで あ

元 トー ラ スTnに

ら に,流

筒集

れg1t,す

同相で

な わ ち,系

の 運 動 はTn上

の多重周期運動で あ る

こ と が 分 る.以

下,念

のためにその証

明 を 与 え て お こ う.詳  点x0∈Ecを1つ

し くは,Arnold[4]を

固 定 し て お く.写

を 考 え よ う.dF1,…dFnはEc上 …

,XnもEc上

はEcの

見 よ.

像

至 る所1次

至 る所1次

こ と に 注 意 す れ ば,gが

図4.3

独 立 で あ る.従

独 立 で あ る か ら,ベ

っ て,g1t,…,gntが

ク トル 場X1,

互 い に可 換 で あ る

局 所 微 分 同 相 を 与 え る こ と は す ぐ分 る.よ

被 覆 空 間 で あ る.従

っ て,Ecは

筒 集 合Tk×Rn-kに

っ て,Rn

同 型 で あ る.実

際,

Γ={t={t1,…,tn)∈Rn;g1t1°

を 点x0の

…°gnt

固 定 部 分 群 と す れ ば,gが

nx0=x0}

局 所 微 分 同 相 で あ る こ と か ら,Γ

離 散 部 分 群 で あ る こ と が す ぐ分 る.従

っ て,1次

はRnの

独 立 なt1,…,tk∈Rnが

あ っ

て,

と表 わ され る こ とが 容 易 に 分 る.   e1,e2,…,enをRnの i=1,2,…,kを

自 然 な 基 底,ei=(0,…,0,1,0…0)と 満 た す1つ

のRnの

正 則 な1次

をRnか ら  

し,AをAei=ti,

変 換 と す る.

へ の 自然 な射影 とす る.こ の とき,

図 式,

を 可 換 に す る 微 分 同 相Aが

存 在 す る.こ

分 同 相 で あ る こ と が 示 さ れ た.Ec上 は  

上 の"直

す な わ ちk=nの

線"で

う し て,Ecが

のg1tに

よ る軌 道,す

表 わ され る.と

場 合,Ecはn次

筒集合   な わ ち,系

くに,Ecが

元 トー ラ スTnに

に微 の解 軌 道

コ ン パ ク トの 場 合,

微 分 同 相 で あ っ て,流 れ{g1t}

は 多 重 周 期 運 動 で あ る.   以 下,Ecは

コ ン パ ク トで あ る と 仮 定 し よ う.

  dF1,…,dFnはEc上1次 を φ1,…,φn(mod T*Mの

独 立 で あ った.従

っ て, 

1)と す る と き,φ1,…,φnとF1,…,FnをEcの

局 所 座 標 系 と し て 取 れ る.こ

上 の座 標 近 傍 に おけ る

の 座 標 系 を 使 っ て も と のHamilton方

程

式を書けば

と非 常 に 簡 単 な 形 に な る.残 念 な こ とに は,い

ま選 ん だ 座 標 系 は 一 般 に は 正 準

で は な い.簡 単 な 例 を あ げ よ う.  

M=R1,H(p,q)=(p2+q2)2(=h)と 従 っ て,φ=tan-1(p/q)で り,h,φ

す る.こ

の と き, 

あ っ て,dh∧dφ=4(p2+q2)dp∧dq≠dp∧dq.つ

ま

は 正 準 座 標 で は な い.

 し か し な が ら,Arnold(-Avez[1])に

よ れ ば,F1,…,Fnの

関 数Ii(F1,…,

Fn)i=1,…,nを

適 当 に 選 ぶ こ と に よ り,I1,…,In,φ1,…,φnが

正準座標系 で

あ る よ うに す る こ と が で き る こ と が 分 っ て い る.   以 上 を ま と め て 次 の 定 理 を 得 る.

  定 理4.4 

(Arnold)

  H=H(p,q)をHamiltonianと

す る 系 が,n個

の 互 い に 包 合 的 な 第1積

F1≡H,F2,…,Fn;{Fi,Fj}=0,i,j=1,2,…,n(n=dim F1,…,Fnの

M)を

分,

も つ と す る.

共 通 の 等 位面 Ec={(p,q)∈T*M;F1(p,q)=c1,…,Fn(p,q)=cn}

を 考 え る.1次

微 分 形 式dF1,…,dFnがEc上

Ecは 筒 集 合   で あ る と す れ ば,Ecはn次 上,多

に 微 分 同 相 で あ る.と 元 トー ラ スTnに

重 周 期 運 動 に 帰 着 さ れ る.す

あ っ て,系

の運 動 は 微 分 方 程 式

に よ っ て 表 わ さ れ る.

至 る 所1次 くに,Ecが

独 立 で あ る と す れ ば, コ ン パ ク ト(か つ 連 結)

同 相 で あ っ て,さ

な わ ち,Tnの

ら に,系

はEc

座 標 系 φ1,…,φn(mod

1)が

5  力 学 系 の 基 本 問 題 とKolmogorov-ArnoldMoserの

理論

  5.1  積 分 不 可 能 性 に 関 す るPoincareの   前 章 に お い て,力

学 系 に 対 称 性 な ど の 特 別 な 性 質 が あ る と き,系

で あ る こ と を み た.実

際 に,知

て が こ の 理 由 に よ っ て い る.そ R/2πZ)の

定理

形 を し て お り,変

ら れ て い る 積 分 可 能 な 系 は,そ れ ら の 系 で は,相

数(p,q)∈Dn×Tnに

は 積分 可 能

の ほ と ん どす べ

空 間 はDn×Tn(Dn⊂Rn,T= 関 し てHamiltonian

Hは

H=H0(p)  とpだ

け の 関 数 と な っ て い る.天

用 が 無 視 で き る 場 合,す

体 力 学 の 多 体 問 題 に お い て,惑

な わ ち,惑

い 場 合 が ま さ に そ の 例 で あ る.実 慮 に 入 れ な け れ ば な ら な い.こ

(1) 星 間 の相 互 作

星 の 質 量 が太 陽 の質 量 に比 べ て 無 限 に 小 さ 際 の 運 動 に お い て は,惑

の 場 合,系

星 間 の相 互作 用 を考

のHamiltonianは

小 さ な パ ラ メー

タ μに 依 存 し H=H0(p)+μH1(p,q)+μ2H2(p,q)+… な る 形 を も つ.パ い る.こ

 

(2)

ラ メー タ μは 惑 星 の質 量 の太 陽 の質 量 に 対 す る比 を表 わ し て

の 形 のHamiltonianを

もつ 系 の 運 動 を 調 べ る 問 題 をPoincareは

力

学 の 基 本 問 題 と呼 ん で い る.  μ≠0の さ れ た.簡

場 合,一

般 に こ の 系 は 積 分 可 能 で な い こ と がPoincareに

単 の た め に,n=2と

こ の 場 合,Hamiltonian以 味 し て い る.一般 る.す

な わ ち,も

も つ とす れ ば,前 れ,か

に,積

し て お こ う.積

外 の(1価

よ っ て示

分 可 能 で な い と い う こ と は,

解 析 的 な)第1積

分 が 存 在 しな い こ とを 意

分 不 可 能 で あ る こ と の 理 由 は 今 で は 割 合 よ く分 っ て い

し 系 が(n=2と

し て お く)Hamiltonian以

章 で 見 た よ う に,相

空 間 は 不 変 な(2次

外 の 第1積

分を

元)ト ー ラ ス に 分 解 さ

つ そ れ ら の 不 変 トー ラ ス の 上 で 運 動 は 一 般 に 多 重 周 期 的 な 運 動 に な る.

し か し な が ら,こ

れ ら の こ と は 一 般 的 に 言 っ て 不 可 能 で あ っ て,と

た 多 重 周 期 運 動 は 摂 動 後(μ ≠0)非 常 に 複 雑 な 運 動 に 変 化 す る.こ 関 し て は 後 で,と くに7章

に お い て 詳 し く考 察 す る.こ

くに 縮 退 し うした 事 情 に

こ で は,以 後 と くに7章

で 行 う幾 何 学 的 な 説 明 で は な く解 析 的 な 説 明 を 簡 単 に 行 う.問

題 を い ま 少 し正

確 に 定 式 化 し よ う.以

よ っ て い る.

下 に 与 え る 説 明 はE.

  相 空 間D2×T2(D2はR2の

Whittaker[1]に

開 領 域)上 に 与 え られ た,パ

的 に)依 存 す る(解 析 的 な)Hamiltonian(2)を の 系 はHamiltonian(お 存 す る1価

も つ 系 を 考 え よ う.一

よ び そ の 関 数)以 外 に,パ

解 析 的 な 第1積

ラ メ ー タ μ に(解 析 般 に,こ

ラ メー タ μに も解 析 的 に 依

分

(3) を も た な い."一

般 に"が

何 を 意 味 す る の か,す

な わ ち,HamiltonianH(p,q)

に対 す る いか な る仮 定 で あ る のか は 以 下 の説 明 中 に 与 え られ る .   さ て,写

像

(4) は 微 分 同 相 で あ る と仮 定 す る,す なわ ち, 

を 仮 定 す る.こ

の仮

定 の 意 味 す る と こ ろ は 次 の 通 りで あ る.   非 摂 動Hamiltonian(μ=0)(1)を

も つ 系 を 考 え る.こ

の 非摂 動 系 は 直 ち に 積

分 可 能 で あ っ て, p=o,q=ω(p) で あ る.従 2π),す

っ て,p=p0=const.q=q0+ω(p0)t(mod

な わ ち,p=p0は

系 の 不 変 トー ラ ス で あ り,

そ の 上 で 運 動 は ω(p0)を 多 重 周 期 と す る 多 重 周 期 運 動 で あ る.上

の 仮 定 は,こ

の 多 重 周 期 ω(p0)がp0

の 変 化 と 共 に 変 化 す る こ と,つ

ま り,多

重周期が不

変 トー ラ ス ご と に 異 な っ て い る こ と を 意 味 し て い る.

図5.1

  さ て,Hamiltonian(2)を

も つ 系 が(3)を 第1積

分 と し て もつ と し よ う.

  ま ず 次 の こ と を 示 す. (ⅰ) Φ0はqに   実 際,Φ

依 存 し な い:Φ0=Φ0(p).

は 第1積

分 で あ っ た か ら,

(5) よ っ て,{H0,Φ0}=0で

あ る.よ

っ て,

と お け ば,

で あ る か ら,∀k∈Z2に

対 し て, (k,ω0(p))Ak(p)≡0

が 成 りた つ.従

っ て,Ak(p)≡0ま

た は(k,ω0(p))≡0で

あ る.写 像:p→

は 仮 定 か ら 微 分 同 相 で あ っ た か ら,k≠0の

と き,(k,ω0(p))≡0は

る.よ

な わ ち,Φ0(p,q)=Ao(p)で

っ て,∀k≠0に

対 し てAk(p)≡0,す

ω(p)

不可 能 で あ な け

れ ば な ら な い.

  (ⅱ) Φ0はH0の

関数である

こ と を 示 そ う.関

係 式(5)の

μ に 関 し て1次

の 項 を み る こ と に よ り,

{H0,Φ1}≡{Φ0,H1} 

(6)

を 得 る.

(7) と お く と,(ⅰ)と 同 様 に,∀k∈Z2に

対 して

(8)

た だ し,  を 得 る.   こ こ で,Z2-{o}に

次 の 同 値 関 係 を 導 入 し よ う.

こ の 同 値 関 係 に よ る 同 値 類 を[k]で 通 る"直

線"を

  さ そ,次

点k∈Z2-{o}と

原 点oを

表 わ し て い る.

の(Hamiltonian(1)に

  任 意 の 同 値 類[k]に

対 し て,あ

  こ の 仮 定 の も と で は,任 (k,ω(p))=0な

示 そ う.[k]は

るk∈[k]が

意 の[k]に

ら ば(k,ω(p))=0が

ω(p))=0を

満 た す よ う な 点p∈R2は

r(p)∈Rが

あ っ て,ω(p)=r(p)ω(p)が

dΦ0(p)=r(p)dH0(p)を

対 す る)仮 定 を お こ う. 

意 味 し,従

あ っ て,Ck(9)≠0が

対 し てCk(p)≠0(∃k∈[k])で

成 りた つ.あ

るk∈Z2-{o}に

稠 密 に 存 在 す る か ら,結 す べ て のpに っ て,Φ0はH0の

(9) 成 りた つ. あ る か ら, 対 し て(k, 局,あ

対 し て 成 りた つ.こ

る関 数 れは

関 数 で あ る こ と が 分 る.

図5.2

  (ⅲ) Φ はHの

関数であ る

こ と を 示 そ う.(ⅱ)よ り Φ0はH0の て,Φ0=ψ(H0)と で あ っ て,か

表 わ さ れ る.こ

関 数 で あ っ た.す

な わ ち,関

の と き,Φ(p,q)-ψ(H(p,q))自

数ψ(h)が

あ っ

身 も 第1積

分

つ,

と 表 わ さ れ る.Φ ′(p,q)≡0で

な け れ ば こ の 新 し い 第1積

で 行 な っ た 議 論 を く り返 す こ と が で き る.従

っ て,あ

分 Φ ′(p,q)に(ⅰ),(ⅱ)

る 関 数 ψ ′(h)が あ っ て,

Φ′0=ψ′(H0) と 表 わ さ れ る.よ

を 得 る.Φ″ ≡0で い.こ

っ て,

な け れ ば 再 び こ の 第1積

と な っ て,結

局,Φ

はHの

  こ う し て,Hamiltonian H(p,q)(お

関 数 で あ る こ と が 分 る.

H(p,q)に

よ び そ の 関 数)以 外 の 第1積

存 在 が 否 定 さ れ た 積 分 Φ(p,q)は つ,各

分 Φ ″に 同 じ議 論 を く り 返 せ ば よ

う し て,

μ に 対 し て,パ

対 す る2つ

の 仮 定,(4)と(9)の

分 は 存 在 し な い こ とが 分 っ た.こ

も と に, こ で,

パ ラ メ ー タ μ に も解 析 的 に 依 存 し て お り,か

ラ メ ー タ μ に 対 す るHamiltonianを

で あ る よ うな も の で あ る こ と を 注 意 し て お く.パ

も つ 系 の 第1積

分

ラ メ ー タ μ を 止 め る ご とに,

H(p,q;μ)以

外 の 第1積

分 が 存 在 す る か ど うか は 分 ら な い.そ

さ れ た わ け で は な い.こ

の可 能 性 が 否 定

の 強 い 形 で の 積 分 の 非 存 在 の 証 明 は,3体

て は,Alekseev[1]に

問題に関 し

よ っ て 始 め て 与 え ら れ た.(Moser[1],Niwa[1]も

参

照 せ よ.)

  5.2  補 題   前 節 で 考 察 し た,(p,q)∈Dn×Tnを

相 空 間 に も ち,Hamiltonian

H(p,q)が

パ ラ メ ー タ μ に 依 存 し, H(p,q)=H0(p)+μH1(p,q)+μ2+… な る 形 を もつ 系 を 再 び 考 え よ う.μ=0の 能 で あ っ た.す

と き は 系(非 摂 動 系)は 直 ち に 積 分 可

な わ ち,

こ れ を 解 い て,p=p0=const.q=q0+ω0t,ω0=ω(p0)を p0は

系 の 不 変 な トー ラ ス で あ っ て,そ

得 る.ト

ー ラ ス,p=

の 上 で 運 動 は ω0を 多 重 周 期 と す る 多 重

周 期 運 動 で あ る.

  定 義5.1 

ω=(ω1,…,ωn}∈Rnは,整

(0,…,0)が

あ っ て,k1ω1+…+knωn=0を

と い い,そ

うで な い と き,(Z上)1次

数 の 組(k1,…,Kn)∈Zn,(k1,…,kn)≠ み た す と き,(Z上)1次

従属であ る

独 立 で あ る と い う.

  1次 独 立 な 多 重 周 期 ω0を も つ 多 重 周 期 運 動 は 非 共 鳴 で あ る と い わ れ,1次 従 属 な 多 重 周 期 を も つ も の は 共 鳴 で あ る とい わ れ る.

  多 重 周 期 運 動 が 共 鳴 で あ る か 非 共 鳴 で あ る か に よ り,そ 運 動 の 性 格 は 大 い に 異 な る.非 稠 密 で あ り,共

共 鳴 の 場 合,運

鳴 の 場 合 は 稠 密 で な い.正

の 不 変 トー ラ ス 上 の

動 の 軌 道 は す べ て トー ラ ス 上 で

確 に い う と,多

重周期の縮退度に等

し い 余 次 元 を も つ 部 分 多 様 体 で あ る トー ラ ス の 族 に も と の 不 変 トー ラ ス が 分 解 され,そ

の 各 々 の トー ラ ス 上 で 軌 道 は 稠 密 に な る.こ

…,ωn)の 縮 退 度 と は,ω1,… とす る と き,n-n0の

,ωnの

こ と を い う.

う ち,Z上1次

こ で,多

重 周期

ω=(ω1,

独 立 な も の の 最 大 個 数 をn0

  問5.1 

上 に 述 べ た こ と を 示 せ.

  さ て,μ

≠0{μ ≪1)と

し た と き の 系(摂 動 系)の 運 動 の 様 子 は ど うな る か が 問

題 で あ る(力 学 の 基 本 問 題).前 以 外 の 第1積

分 を も た ず,こ

節 に お い て,一

章 か ら,本

要 点 を 述 べ て お こ う.非 は,摂

の 努 力 に よ り,か

書 の 終 り ま で,そ

摂 動 系(μ=0)に

動 に 際 し て 保 存 さ れ る.共

さ れ ず,極

の 系 はHamiltonian

の 意 味 で 積 分 不 可 能 で あ る こ とを 見 た.

  こ の 問 題 は,Kolmogorov-Arnold-Moserら に 解 決 を み た.本

般 に,こ

な りの程 度

れ を 見 て い く の で あ る が,そ

の

対 す る非 共 鳴 多 重 周 期 運 動 の大 部 分

鳴 多 重 周 期 運 動 は,そ

の い くつ か を 除 き 保 存

め て 複 雑 な 運 動(不 安 定 帯)を ひ き お こす.

  我 々は で き る 限 り単 純 な 形 に おい て,こ に よ っ て 創 られ た 理 論(KAMの に お い て,類

のKolmogorov-Arnold-Moserら

理 論)を

見 て い く こ と に す る.第Ⅰ

似 の 問 題 を す で に 見 た こ と も注 意 し て お こ う.詳

部2∼4章

し くは,Arnold

[5],Arnold-Avez[1],Moser[3],Siegel-Moser[1],Sternberg[2]等

を

参 照 せ よ.   次 節 に お い て 与 え る 定 理 はKAMの 限3体

問 題 へ の 応 用 を も 与 え る.以

理 論 を 単 純 な 形 で 例 示 す る と共 に,制 下 に,そ

の 証 明 に お い て 必 要 と な る い くつ

か の 補 題 を あ げ て お こ う.

  補 題5.1 

と す る.(x,y)∈C2

  (ⅰ)  も し, 

に お い て,f(x,y)が

満 た す な ら ば,Fourier係

解 析 的 で あ り,￨f(x,y)￨
数fmnは ￨fmn￨
を 満 た す.   (ⅱ) 逆 に,も

し ∀(m,n)∈Z2に

対 し て,￨fmn￨
で 定 義 さ れ るf(x,y)は￨Imx,y￨<ρ に 対 し て,￨Imx,y￨<ρ-δ

で 解 析 的 で あ り,0<δ<ρ に お い て, ￨f(x,y)￨<16δ-2C

を 満 た す,た

だ し

δ<1と

す る.

ら ば,右

辺

な る任 意 の δ

 証 明  (ⅰ) で あ る が,積

分 路 をipだ

  (ⅱ) ￨Imx,y￨<ρ-δ

け ず ら せ ば 直 ち に 必 要 な 評 価 式 を 得 る. と す る.こ

f(x,y)は￨Imx,y￨<ρ-δ

の と き,

に お い て 一 様 絶 対 収 束 す る,従

δは 任 意 で あ っ た か ら,￨Imx,y￨<ρ

  補 題5.2  の と き,任

f(x)は 領 域Dに 意 の δ>0に

っ て,解

析 的 で あ る.

に お い て 解 析 的 で あ る こ とが 分 る.

お い て 解 析 的 で あ り, 

対 し て,領

を 満 た す と す る.こ

域,D-δ={x∈D;xの

δ-近傍Uδ(x)⊂D}

に お い て,

を 満 た す.

  証 明 はCauchyの

  補 題5.3 

φ:D⊂Rn→Rnは

な わ ち,∀x∈Dに -x￨<ε

積 分 公 式 か ら 明 ら か(第I部3.2を

閉 領 域Dに

おい て  

を 満 た す と す る .こ

な わ ち,微

像 φ はD-4ε

が あ っ て,φx=φy=zと

 

対 し て,￨φx

に お い て1対1,す

な っ た と す る.こ

で あ る.ゆ

す る 半 径2ε の 円 板Sを に 含 ま れ,閉

φ(xy)な

つ,∀x∈Dに

分 同 相 で あ る.

  証 明   x,y∈D-4ε

な わ ち,パ

お い て 定 義 さ れ た 局 所 微 分 同 相,す

で あ り,か の と き,写

参 照).

考 え れ ば,S⊂D-ε

曲 線 で あ っ てzを ラ メ ー タtに

通 り,か

え に,線

で あ る.線 つ,Sの

分xyの 分xyの

る も の が 存 在 す る.さ

-ε で あ る か ら ,φ-1γtを

て,φ

φ-1γ1=xyか

中点 を 中心 と 像 φ(xy)はS

内 部 で 点zに

連 続 的 に依 存 す る 曲線 族  

縮 み え る.す で,γ0=z,γ1=

は 局 所 微 分 同 相 で あ り,か つ φ-1γtがtに

の と き,

つ,φD⊃D

連続的に依存す る曲

図5.3

線 族 で あ る よ う に 定 義 す る こ と が で き る.こ γtの 端 点 は 点xとyで yで

あ る.も

の と き,連

ち ろ ん φ-1γ0は1点

続 性 に よ り,常

に φ-1

よ りな っ て い る か ら,x=

な け れ ば な ら な い.

  問5.2 

補 題5.3の

証 明 中 で 用 い ら れ た,φD⊃D-ε

  (解)φ

が 局 所 微 分 同 相 で あ る こ と と,￨φx-x￨<ε

観 的 に は 明 ら か で あ ろ う.厳

密 に は,∀x0∈(D-ε)＼

を 証 明 せ よ. を 満 た す こ と か ら,直 φDに

対 し て,写

像

  を 考 え る と,φx0は

連 続(実 際 は 微 分 可 能)で あ る.従

っ て,球

面, 

か ら 球 面Sε へ の 写 像 φx0の 写 像 度d(t)はtに い.仮

定 か ら,明

よ っ て,(D-ε)＼

ら か にd(1)=1で φD=φ

あ り  

で な け れ ば な ら な い.

図5.4

 これ で 準 備 は 終

った の で,目

的 の 定 理 に 移 ろ う,

で あ る.こ

依 存 し な れ は 矛 盾,

  5.3  Arnoldの   定 理5.1 

定理

関 数,

(9) は,領

域 

において

解 析 的 で あ り,次 の性 質 を満 たす もの とす る:

(10)

  (ⅰ) 

  (ⅱ) 

と お く と き,

(11)  (ⅲ)  k,Nは

次 の 不 等 式 を み た す 自然数

(12)   こ の と き,十 数 δ(ρ,K)>0が

分 小 さ な 正 数 δに 対 し て,す あ っ て,任

な わ ち,ρ,Kに

意 の0<δ<δ(ρ,K)に

の み 依 存 す る正 の

対 し て,次

の よ うな 関 数

R(φ,t),Φ(φ,t)が 存 在 す る:   (ⅰ) R(φ,t),Φ(φ,t)-φ

とtに

関 し て 周 期2π

は 

に お い て解 析 的 で あ り,φ

の 周 期 関 数 で あ る.R(φ,t),Φ(φ,t)-φ

な わ ち,sup￨R(φ,t)￨,sup￨Φ(φ,t)-φ￨は

δ→0の

と き0に

は 共 に 小 さ い,す 近 づ く.

  (ⅱ)  トー ラ ス,r=R(φ,t),  t)をHamiltonianと

は 関 数H(r,φ,

す るHamilton方

程式

(13) に 関 し て 不 変 で あ っ て,か

つ,ト

ー ラ ス 上 で の 運 動 は φ=λ に よ っ て 表 わ さ れ

る 多 重 周 期 運 動 で あ る.

  次 の 補 題 は 定 理 の 証 明 に あ た っ て 基 本 的 な 段 階 を な し て い る.

  補 題5.4 

定 理 と 同 じ仮 定(9)∼(12)の

δ1(K)が あ っ て,任 る:

意 の0<δ<δ1(K)に

も と に,Kに

の み 依 存 す る 正 の 定 数,

対 し て 次 の よ う な 正 準 変 換gが

存在す

  (ⅰ) g:D(ρr,ρ)→D(ρr,ρ):(r,φ,t)→(r,φ,t) で あ っ て,か

つ,

(14) (15) を 満 た す.こ

こ で,ρ=ρ-3δ,ρr=δk

  (ⅱ) gはHamiltonian

H(r,φ,t)を H(r,φ,t)=H0(r)+H(r,φ,t)

に 変 換 す る.こ

こ で,

(16) にお い て解析

はD(ρr,ρ)={(r,φ,t)∈C3; 

的 で あ り,

(17) を 満 た す.

と お く と き,Ω(0)=0で

あ り,Ω(r)は

 

に お い て 解 析 的 で あ っ て,

(18) を 満 た す.   こ こ で,δ

は

δ=δ5/4 

(19)

に よ り定 ま る 定 数 で あ る.

  補 題5.4の

証 明:正

準 変 換gを,母

関数

を 使 っ て 定 義 さ れ る 正 準 変 換:(r′,φ)→(r,φ)

(20) と,r′

の ず ら し,r=r′-r*か

定 義 す る.後   さ て,新

者 は,条

件

ら な る 正 準 変 換:(r,φ)→(r′,φ)の Ω(0)=0を

し い 変 数,(r′,φ)と(r,φ)で

合 成 とし て

満 た す よ う に す る た め の 変 換 で あ る. のHamiltonianを

そ れ ぞ れH′(r′,φ,

t),H(r,φ,t)と

す れ ば,3.2(の

注 意)か

ら,

が 成 りた つ. を 次 の よ うに 分 解 し よ う.

 こ こ で,

(21)

で あ る.(20)に

注 意 す れ ば,S2,S3は

あ っ て,￨S￨の

オ ー ダ ー の 大 き さ で あ るS1に

に よ っ て,S(r′,φ,t)を

共 に,￨S￨の2乗

定 め よ う.(21)か

ら,容

の オ ー ダ ー の 大 き さで

く ら べ て 小 さ い.そ

こ で,S1≡0

易 に 分 る よ うに,

(22) で あ る.   S(r′,φ,t)の 大 き さ を 評 価 し よ う.   補 題5.1か

ら,仮

が 成 りた つ.よ

∀a>0,x>0に

を 得 る.よ

定(10)に

注 意 す れ ば, 

に お い て,

っ て,λ ∈ ΛKに 注 意 し て,

対 し て,e-axx2
っ て,再

び 補 題5.1か

成 り た つ か ら,

ら,δ

を 十 分 小 さ く と れ ば,δ<δ0(K),

 に お い て,S(r′,φ,t)は

解 析 的 で あ り,か

つ,

(23) を 得 る.   次 に, 

な るr′ を 任 意 に 固 定 し て,次

の よ う な 写 像Tr′ を 考 え よ う.

た だ し,Tr′

の 定 義 域 は 

と す る.Tr′

は 局 所 微 分 同 相 で あ る,

す な わ ち,

で あ る.実

際,補

題5.2と(23)か

が 成 りた つ か ら で あ る.同

ら, 

に お い て,

様 に,

(24) 従 っ て,補

に お

題5.3か

ら,写

像Tr′ は 

な るr′ に 対 し て,

い て 微 分 同 相 を 与 え る.よ って,逆 写 像Tr′-1が

に お い て 定 義 さ れ,か

つ,

で あ る.   こ う し て, 

に お い て,正

が 定 義 さ れ る こ とが 分 る.こ

準 変 換:(r′,φ)→(r,φ)

の と き,

(25) で あ り,補 題5.2と(23)か

ら

(26) で あ る.

  次 に,H′(r′,φ,t)を

考 え よ う.

H′(r′,φ,t)=H0(r′)+S2(r′,φ,t)+S3(r′,φ,t) で あ る が,こ

れ を 次 の よ う に 分 解 す る.

こ こ で,Si(r′,φ,t)=Si(r′,φ(r′,φ,t),t),(i=2,3)と Fourier級  

す る

数 に 展 開 し た と き の 定 数 項 で あ り,Siは

と き,SioはSiを

残 り の 項 で あ る.

す な わ ち,

で あ る.   S2,S3の

大 き さ を 評 価 し よ う.

  Siの 定 義 式(21)か

ら, 

 の と き,(26)か

Ω(0)=0に

一 方

,補

注 意 す れ ば,補

題5.2と(23),(25)か

とす れ ば,

ら 

題5.2と(11)か

で あ る か ら,

ら

ら

(27) で あ る.従

っ て,

(28) ゆ え に,(12)か

ら, 

が 成 りた つ こ とに注 意 して, (29)

を 得 る.   全 く 同 様 に し て,S3に

よ っ て,(27)か

ら,

関 し て も 次 の 評 価 式 を 得 る.

(30)  さ て, H′0(r′)=H0(r′)+S20(r′)+S30(r′) H′(r′,φ,t)=S2(r′,φ,t)+S3(r′,φ,t) と お こ う,こ

の と き, H′(r′,φ,t)=H′0(r′)+H′(r′,φ,t)

で あ っ て,(29),(30)か

に おい て

ら, 

(31) を 満 た す.一

方,

で あ る.

と お く と,    補 題5.2と(28),(30)と,(12)か

に お い て,

ら, 

(32) が 成 りた つ か ら,従

っ て,

(33) を 得 る.   こ こ で,r*を

ω(r*)=0で

定 め る.こ

の と き,(32),(33)か

ら,

(34) 従 っ て, 

で あ れ ば,r=r′-r*で

あ っ た か ら,

(35) で あ る.   と こ ろ で,Ω(r)=ω(r′)で て,(33),(35)に

同 様 に,

あ る か ら,Ω(0)=ω(r*)=0で

注 意 す れ ば,

あ り, 

に お い

 (31)か

に お い て,H(r,φ,t)は

ら, 

解 析 的 であ

り,

を 満 た す.こ

こ で,H0(r)=H′0(r′),H(r,φ,t)=H′(r′,φ,t)で

  一 方, 

あ る.

と す れ ば,

で あ る こ とは,(23),(24),(34)な

で あ る こ と も,(23)な

ど に 注 意 す れ ば 明 ら か で あ ろ う.同

ど か ら 明 ら か で あ る.こ

様に

れ で 補 題の 証 明 は す べ て 終 っ

た. 

Q.E.D.

  5.4  定 理 の 証 明   補 題5.4か

ら,次

の 様 な 正 準 変 換gn(n=1,2,3,…)の

か で あ る.す

な わ ち,正

列 が 取れ る こ とは 明 ら

準変 換

(36) は を の 中 に 写 す 微 分 同 相 で あ り,

(37)

を 満 た す.   Hamiltonian

H(0)(r0,φ0,t)≡H(r,φ,t)は

正 準 変 換g1°g2°

…°gnに

よ っ て,

(38) に 変 換 さ れ る.さ

ら に,(rn,φn,t)∈D(ρ(n)r,ρ(n))に

お い て,

(39)

が 成 りた つ.   こ こ で,r0≡r,φ0≡

  さ て,δ(0)=δ

φ,δ(0)=δ, 

で あ

る.

を 十 分 小 さ く 取 っ て, 3(δ(0)+δ(1)+…+δ(n)+…)<ρ/2 

(40)

が 満 た さ れ て い る よ う に し て お く.

と お け ば,〓nはD(ρ(n)r,ρ(n))に

お い て 定 義 され た 正 準 変 換 で あ る.

(41) と お こ う.(40)か 1,2,3,…

ら,任

に 対 し て,変

意 のnに 換

対 し,ρ(n)>ρ/2で

〓nはrn=0, 

あ る か ら,任

意 のn=

に お い て定 義 され てい

る.

(42) に おい て 一様 収 束 す る こ とを 示 そ う.

と お く.Rn,,Φnは 

で あ る.と

こ ろ で,(37)に

注 意 す れ ば,

(43) (44)

同 様 に,  よ っ て,

を 得 る.ゆ え に,δ を 十 分 小 さ く取 っ て お け ば,Rnは Φnに 関 し て も全 く 同 様 で あ る.従

一 様 収 束 す る こ と が 分 る.

っ て,

(45) と す れ ば,R∞,Φ∞ ら に,R∞,Φ∞

を 満 た し,tに

は 

に お い て φ,tに 関 し て 解 析 的 で あ る.さ

は φ に 関 し て,

関 し て,周

期2π

の 周 期 関 数 で あ る こ と も 明 ら か で あ る.δ

を

十 分 小 さ く と れ ば,￨R∞(φ,t)￨,￨Φ

∞(φ,t)-φ￨が

小 さ く取 れ る こ と に

も注 意 し

て お こ う.

  次 に,r=R∞(φ,t),φ=Φ が 系(13)に

∞(φ,t)(φ,t:mod2π)に

よ って定 義 され る

対 し て 不 変 で あ る こ と を 示 そ う.

  こ の た め に は,r(t;r0,φ0),φ(t;r0,φ0)をt=0の (13)の

トー ラ ス

と き,r=r0,φ=φ0な

る 系

解 と す る と き,

(46) を 示 せ ば 十 分 で あ る.こ

れ に よ り,不

変

トー ラ ス 上 の 運 動 が

φ=λ

で表 わ され

る こ と も 同 時 に 示 さ れ る こ と に な る.   い ま,rn(t;rn0,φn0),φn(t;rn0,φn0)をt=0の H(n)(rn,φn,t)をHamiltonianと

と き,rn=rn0,φn=φn0な

る,

す る系

(47)n の 解 と す る.   変 換〓nは

正 準 変 換 で あ っ た か ら,(47)nの

写 さ れ る.従

よ っ て(13)の

解に

っ て,

が 成 りた つ.φ ∞

解 は 変 換〓nに

に つ い て も 同 様 で あ る.解

と し た と き,左

辺 は,r(t;R∞(φ0,0),Φ

の 初 期 値 に 対 す る 連 続 性 か ら,n→ ∞(φ0,0))に収 束 す る.右

辺 もR∞(φ0+

λt,t)に 収 束 す る こ と を 示 そ う.

で あ る が,右

辺 の 第2項

る か ら,第1項

が0に

 さ て, 

はn→

∞

とす る と き0に

収 束 す る こ と は 明 らか で あ

収 束 す る こ とを い え ば よい. に お い て,

よ っ て, 

と す れ ば,(45)nか

ゆ え に,(43),(44)に

を 得 る.こ

ら,

注 意 し て,

う し て(46)の

第1式

が 証 明 され た.第2式

に 関 し て も全 く 同 様 で あ

る.   定 理 に い うR(φ,t),Φ(φ,t)と

し て はR∞(φ,t),Φ

で 定 理 の 証 明 は す べ て 完 了 し た. 

∞(φ,t)を取 れ ば よ い.こ Q.E.D.

れ

6  制限3体 問題

  6.1  制 限3体   Newtonの

問 題 とLagrangeの

平衡点

引 力 の 法 則 に 従 い な が ら,平

す る 質 点P1,P2,P3を 引 力 定 数 を1に

考 え る.い

面 上 を 運 動 す る質 量m1,m2,m3を

ま 質 点Pi(i=1,2,3)の

正 規 化 し て お け ば,運

座 標 を(xi,yi)と

有 す る.

動 方 程 式 は,

(1)

と 表 わ さ れ る.こ

こ で,Newtonポ

テ ン シ ャ ルUは,

で 与 え ら れ る.   こ の 有 名 な3体

問 題 を 表 わ す 方 程 式(1)を 解 く こ と は 不 可 能 に 近 い.5.1で

え た の と 同 じ よ うな 理 由 で,方 積 分 以 外 に は1価 さ れ た.従

程 式(1)は,角

解 析 的 な 第1積

っ て,こ

運 動 量 な ど の よ く知 ら れ た 第1

分 は 存 在 し な い こ とがPoincareに

算 機 の 使 用 に よ りい くつ か の 解 が 求 め ら れ た り し て い る が,解

[1]な

在 で は,計

の全 体 的 な 様 子

し くは,Siegel-Moser[1],Abraham-Marsden

ど を 見 よ.

  そ こ で,方 い 場 合,す P3は,質

よ っ て示

の 意 味 で は 方 程 式(1)は 積 分 不 可 能 で あ る.現

は い ま だ に 分 っ て い な い.詳

与

程 式(1)に

お い て,第3の

な わ ち,m3→0と 点P1,P2の

質 点P3の

質 量 が 無 視 で き る ぐらい 小 さ

し た 極 限 の 場 合 を 考 え る.い

引 力 の 影 響 は 受 け る が,逆

け な い と 考 え る の で あ る.こ

の 場 合,質

か ら,も

ち ろ ん よ く知 ら れ て い る.こ

制 限3体

問 題 と い う.我

にP1,P2は

点P1,P2の

質 点P3の

運 動 は 単 に2体

の 場 合 の 質 点P3の

々 は こ こ で さ ら に,質

い か え る と,質

点P1,P2は

点

影響を受 問題にな る

運 動 を 調 べ る問 題 を そ れ らの 重 心 の まわ

り を(角 速 度 ω で)円 軌 道 を 描 き な が ら 動 い て い る と 仮 定 す る.こ

の と き,質

点

P3が

ど の よ うな 運 動 を す る の か を 問 題 とす る(円 平 面 制 限3体

  さ て,質 う.こ

点P1,P2の

重 心 を 原 点 に し,角 速 度 ω で 回 転 す る 回 転 座 標 系 を 取 ろ

の と き,P1,P2は

y)と す れ ば,(x,y)は

問 題).

新 し い 座 標 系 に お い て は 止 っ て い る.P3の

座 標 を(x,

次 の 方 程 式 を 満 た す こ と は す ぐ分 る.

(2)

こ こ で,

(xi,0)はPiの

  い ま,簡

単 の た め にm1+m2=1,x2-x1=1と

と お け ば,Keplerの

座 標(i=1,2).

正 規 化 し,m1=1-μ,m2=μ

法 則 か ら,ω=1.従

っ て,運

動 方 程 式(2)は

(3)

こ こ で,

P1,P2の x1=1か

重 心 が 原 点 で あ る,す ら,x1=-μ,x2=1-μ,で

な わ ち,(1-μ)x1+μx2=0に あ る.従

注 意 す れ ば,x2-

っ て,

 方 程 式(3)の 平 衡 点 を 求 め よ う.そ の た め に は,関 数Vの 特 異 点

(4) (5) を 見 つ け れ ば よい,(4),(5)を

整 理 し て, (4)′

(5)′

を 得 る.(5)′

か ら 次 の2つ

の 場 合,(A),(B)に

分 れ る.

 (A) 

y=0の

場 合,

  方 程 式(4)′

を 解 く と,次

 (ⅰ)  x2<x 

(L1)

 (ⅱ)  x1<x<x2 

(L2)

 (ⅲ)  x<x1 

(L3)

 (B)  y≠0,す   方 程 式(4)か る 正3角

の3つ

の 解xが

の 場 合,

な わ ち,  ら 簡 単 に ρ1=ρ2=1が

形 の 頂 点 に 位 置 す る.こ

の 点 をL4,L5で

出 る.

出 る.こ

の 場 合,P3はP1,P2を

の 解 をLagrangeの

正3角

底 辺 とす

形 解 と い い,こ

示 す.

  以 上 を ま と め れ ば,制

限3体

問題 の

(回 転 座 標 系 に お け る)平 衡 点 は 全 部 で 5つ あ っ て,そ

の う ち3つ

結 ぶ 直 線 上 に あ り,他 と 正 角 形 を な す.図 の よ うに な る.前

の2つ

はP1,P2を はP1,P2

に 示 す と,図6.1 者 の3つ

の 解 をEu

lerの 直 線 解 と い う.

  6.2  Lagrangeの

図6.1

正3角

形解

  平 衡 点 の ま わ りの 様 子 を さ ら に 詳 し く調 べ よ う.(x0,y0)を1つ 座 標 と し,こ

の 点 か ら の 点P3の

点(x0,y0)の

の平 衡 点 の

小 さ な ず れ を(ξ,η)で 表 わ そ う.∂V/∂x,∂V/∂yを

ま わ りに 変 数(ξ,η)でTaylor展

開 し て,方

程 式(3)に 代 入 す れ ば,

次 の 方 程 式 を 得 る.

(6)

こ こ で,()0は 関 し て2次

括 弧 の 中 の 量 の 点(x0,y0)に

お け る値 を 示 す.…

… は ξ,ηに

以 上 の 項 を 表 わ し て い る.

  ベ ク トルx=(ξ,η,ξ,η)を

使 っ て 方 程 式(6)を 書 き か え れ ば, x=Ax+O(￨x￨2) 

(7)

こ こ で,

(8)

(7)の 原 点 が 安 定 か ど うか を 見 るた め に 行 列Aの 固 有 値 を 調 べ よ う.そ のた め に,行 列Aの

固有 方 程式 を 求 め る.

(9) さ て,Lagrangeの

平 衡 点L4に

で あ る こ と は 容 易 に 分 る.従

お い て は,

っ て,方

程 式(9)は

4λ4+4λ2+27μ(1-μ)=0

ゆ え に,

  平 衡 点 が 安 定 で あ る た め に は,Aの (第 Ⅰ部7章

を 参 照 せ よ).従

固有 値 が純 虚 数 で あ る こ とが 必 要 で あ る

っ て,L4が

安 定 で あ る た め に は,

μ(1-μ)<1/27  で あ る こ と が 必 要 で あ る.こ な 問 題 で あ っ て,最

際 にL4が

安 定 で あ るか は 極 め て微 妙

近 に な っ て や っ と解 決 を 見 た に す ぎ な い.こ

後 に な っ て 扱 か わ れ る.平   つ い で な が ら,残

の 場 合,実

(10)

衡 点L5はL4と

りのEulerの

有 値 を 調 べ て み る と,す

の問 題 は また

全 く 同 様 で あ る.

平 衡 点L1,L2,L3に

つ い て も,同

べ て 正 の 実 固 有 値 を も つ こ と が 分 る.従

様 のAの

固

っ て,Euler

の 平 衡 点 は い ず れ も 不 安 定 で あ る こ と が 分 る.

  6.3  標 準 形 へ の 移 行,Birkhoffの   本 節 で は,制 も つHamiltonianに

限3体

定理

問 題 を は な れ て 一 般 論 を 展 開 す る.す 適 当 な 正 準 変 換 を ほ ど こ し て,標

な わ ち,平

衡 点を

準 形 に も って い く こ と

を 考 え よ う.   さ て,原

点 を 平 衡 点 に も つHamilton系

を 考 え る.

(11) こ こ で, H=H(2)(p,q)+H(3)(p,q)+…

で あ る.た

  (12)

だ し,H(K)(p,q)はp=(p1,…,pn),q=(q1,…,qn)に

関 し てK次

の項

を 示 し て い る.   方 程 式(12)を

線 形 化 した 方 程 式

(13)

の 原 点 は 安 定 で あ る と仮 定 す る.す

な わ ち,右

辺 に 現 わ れ る2n次

固 有 値 は す べ て 純 虚 数 で あ る と す る(後 で 述 べ る 問6.2を き,次

のBirkhoffに

よ る定 理 を 得 る.な

線 形Hamilton方

て 純 虚 数,す

な わ ち,λj=iαj,λj+n=-iαj,j=1,…,n(αj∈R)で,か

べ て の 

程 式(14)の

参 照 せ よ).こ

お 証 明 はMoser[2]に

  定 理6.1 

行 列AHの

な る 整 数g1,…,gnに

行 列AHの の と

よ る.

固 有 値 λ1,…,λ2nは す べ つ,す

対 し て,

(14) と す る.こ

の と き,正

(P1,…,Pn),Q=(Q1,…,Qn)に

準 変 換:(p,q)→(P,Q)が

あ っ て,原

関 し てHamiltonian(13)は

点 の 近 傍 で,P= 次 の形 に 表 わ

さ れ

る. H=H(2)(R)+H(3)(R)+…+H(N)(R)+ON+1  こ こ で,R=(R1,…,Rn),Rj=P2j+Q2j.ON+1はP,Qに

(15) 関 し てN+1次

以 上 の

項 よ り な る.

  証 明 に 入 る 前 に,線 て お く.

形Hamilton方

程 式 や 線 形 正 準 変 換 に つ い て,少

し調 べ

  問6.1  … …+dp

R2n={(p,q)}に n∧dqnが

は 通 常 の シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 ω2=dp1∧dq1+

入 っ て い る も の とす る(3.1参

η]=ω2(ξ,η)で 定 義 され たR2nの 線 形 変 換Gが

照).[ξ,η](ξ,η ∈R2n)を[ξ,

歪 対 称 双 線 形 形 式 と す る.こ

の と き,R2nの

正 準 変 換 で あ る た め の 条 件 は 双 線 形 形 式[ξ,η]を

保 つ こ と,す

な わ ち, [ξ,η]=[Gξ,Gη] Eはn次

が 成 りた つ こ と で あ る. 

単 位 行 列,と

す れ ば,こ

れ は,

tGIG=I と書 く こ と も で き る.こ

の よ う な 線 形 変 換Gは

正 準 また は シ ン プ レ クテ ィッ ク

で あ る と い わ れ る.   シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク線 形 変 換Gの あ る,す

固 有 多 項 式fG(λ)=det(G-λE)は

な わ ち,fG(λ)=λ2nfG(1/λ)を

ク 線 形 変 換Gの

  問6.2 

満 た す.従

固 有 値 で あ れ ば,1/λ

線 形Hamilton方

っ て,λ

再帰的 で

が シ ン プ レ クテ ィ ッ

も 固 有 値 で あ る.

程 式(13)の

行 列AHの

固有 値 はす べ て純 虚 数 であ

る と す る.

こ の と き,シ miltonian

ン プ レ ク テ ィ ッ ク線 形 変 換G:(p,q)→(P,Q)が

H(2)は

存 在 し て,Ha

次 の標 準 形 に 変 換 され る

(16) x=(p,q),Sは2n次

 (解)  く.こ

の と き,線

形Hamilton方

対 称 行 列,と

表わ してお

程 式(13)は x=ISx

と 表 わ さ れ る.従 =-I,det

を 満 た す.従

I=1で

っ て,行

っ て,λ がAHの

こ う し て,(13)の ば な ら な い.こ

列AH=ISの

固 有 多 項 式 をfH(λ)と

す る と,tI=I-1

あ る か ら,

固 有 値 で あ れ ば-λ

原 点 が 安 定 で あ る た め に は,固 の 際 固 有 値 は ±iα(α ∈R)と

も 固 有 値 で あ る こ と が 分 る. 有 値 は す べ て純 虚 数 で な け れ

対 に な っ て 現 わ れ る こ と も 分 る.

  さ て,シ

ン プ レ ク テ ィ ッ ク線 形 変 換Gに

に も っ て い く こ と を 考 え よ う.ま   ISの

よ り,Hamiltonian

す 簡 単 の た め,複

固 有 値 は λ1,…,λn,-λ1,…,-λnで

H(2)を

標準形

素 変 数 の 範 囲 で 行 う.

あ る か ら,(複

素)正

則 行 列Cが

あ

っ て,

(17) と で き る.こ 従 っ て,転

一方

,行

こ で,L0は

λ1,…,λnを 対 角 成 分 とす る対 角 行 列 で あ る.

置 行 列 を 取 る こ と に よ り, tCSI

=-LtC 

(18)

は 対称 で あ るか ら

列, 

LI-1=t(LI-1)=IL 

を 得 る.(18)と(19)か

(19)

ら (I-1tCI)IS=ItCS=-ILtCI-1=L(I-1tCI)

よ っ て,B=(I-1tCI)-1と

お け ば,B-1ISB=Lで

あ る.行

ル は 共 に 行 列ISの

固 有 ベ ク トル で あ る か ら,結

従 っ て,C=BPと

書 け る,こ

こで,Pは

局,定

列CとBの

列ベ ク ト

数 倍 を 除 い て定 ま る.

正 則 な 対 角 行 列 で あ る. はn×n行

列

と お こ う.

(20) と,I及

と お く,こ

びtCICが

交 代 行 列 で あ る こ と に 注 意 す る とP1=P2が

の と き,tQIQ=IP0.C′=CQ-1と

お く と,C′

出 る.

に つ い て(17)が

成 り

た つ. tC′IC′ で あ る こ と は 容 易 に 分 る.従

っ て,C′

=I

は シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク で あ り,さ

ら に,

を 得 る. x=C′y,  と お こ う.C′

y=(P,Q) 

(21)

は シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク で あ る か ら,こ

変 数yを 使 ってHamiltonian 

れ は 線 形 正 準 変 換 で あ る.

を 表 わ す と,

と な る.

  こ れ ま で は,複 て,実

実 行 列 で あ る こ とを 考 慮 し

の 範 囲 で 標 準 化 を 行 う の も そ う 難 し くな い.λjは

る か ら,変

数xが

る.さ ら に,Qjの …P

素 数 の 範 囲 で 行 っ て き た.Sは

実 で あ る た め の 条 件 を 求 め る と,Pj=iQjで 実 部 と 虚 部(の

n),Q=(Q1,…,Qn)か

と が(21)か

い ま の場 合 純 虚 数 で あ

ら 分 る.こ

らp,qへ う し て,変

 

倍)を

そ れ ぞ れPj,Qjと

あ る こ とが 分 す る と,P=(P1

の 変 換 が 実 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク変 換 で あ る こ 数P,Qに

よ っ てHamiltonian

H(2)を

表わ せ

ば,

と な る.

  定 理6.1の

証 明   問6.2で

見 た よ うに,正

準 線 形 変 換 に よ り,Hamiltonian

Hは 次 の 形 に 変 換 さ れ る.

 さ て,求 め る正 準 変 換 を 母 関 数

(22) を 使 っ て,

(23) の 形 で 求 め よ う.こ Γ(P,Q)に

の 変 換 で,H(p,q)が

変 換 さ れ る た め に は,次

のSに

求 め る 形 を も っ たHamiltonian 関 す る 方 程 式 を 解 け ば よ い.

(24) S(2)は

す で に

もす で に S(K)を

Γ(2)が 求 め る 形 に な る よ う に 定 め ら れ て い る か ら,S(3),…,S(K-1)

Γ(3),…,Γ(K-1)が Γ(K)が

求 め る 形 を も つ

よ

う に 定 め ら れ て い る と 仮 定 し,

求 め る 形 を も つ よ う に 定 め よ う.そ

の た め に 方 程 式(24)のK次

の 項 を く ら べ よ う. DS(K)(P,q)+Γ(K)(P,q)=P(K)(P,q) 

(25)

こ こ で,

で あ り,P(K)(P,q)はHとS(2),…,S(K-1)か   方 程 式(25)を

解 くに は,す

ら 定 ま るK次

の 斉 次 多 項 式 で あ る.

べ て の 多 項 式 を 複 素 変 数zj=qj+iPj,zj=qj-iPj

に よ っ て 表 わ し て お く と都 合 が よい.

(26) に属す る固有多項式 で あ る

はDの 固有 値  

す な わ ち,  こ と と,

(27) で あ る こ と に 注 意 し て,多

項 式P(K)を,(27)の

PN(K)と 残 りのPR(K)=P(K)-PN(K)と

に 分 け る.こ

形 を した 項 を す べ て 含 む 部 分 の と き,方

程 式(25)は

次 の 方

程 式 と容 易 に 同 値 で あ る こ とが 分 る. DS(K)=PR(K),  第1の

方程式は  

ま た,第2の

関 数Sが

で あ る か ら,(26)に

方 程 式 か ら,明

  さ て,こ

の操 作 は  

実 で あ る こ とか ら 分 る.

正3角

  Lagrangeの

形 解L4(L5)の

示 した よ う に,も

固 有 値 は 純 虚 数 で あ った.そ る.6.3の

をLagrangianと

よ っ て,

形解の安定性 安 定 性 の 問 題 に 戻 ろ う.

しｵ(1-ｵ)<1/27で

際,系(3)は

あ れ ば,方

程 式(7)の

れ を い ま,iα1,iα2,-iα1,-iα2(α1,α2∈R)と

結 果 を 使 う た め に,系(3)がHamilton系

を 注 意 す る.実

注 意 す れ ば 容 易 に 解 け る.

に な る ま で 行 う こ とが で き る.母

実 で あ る こ とは,Hが

正3角

(28)

ら か に Γ(K)は 求 め る 形 を し て い る.

  6.4  Lagrangeの

  6.2で

Γ(K)=PN(K) 

す

と して 書 き表 わ せ る こ と

まず

す るLagrange系

行 列Aの

で あ る こ と に 注 意 す る.従

っ て,

をHamiltonianと

す るHamilton系

の と き,Lagrangeの

で あ る.そ

正3角

こ で,正

と し て 系(3)は

表 さ れ る こ と が 分 る.こ

形 解 に 対 応 す る 解 は,

準 変 換, 

を ほ ど こ す と,結

局,系(3)は,変

数(q1,q2,p1,p2)に

よ って

表 わ せ ば,

(29)

をHamiltonianに そ れ はLagrangeの

もつ 系 で あ る こ とが 分 る.こ 正3角

形 解 に 対 応 す る.(29)をHamiltonianに

(11)を 原 点 に お い て 線 形 化 した 方 程 式(13)の 節 の 初 め に 述 べ たiα1,iα2,-iα1,-iα2で て,適

の 系 の 不 動 点 は 原 点 で あ っ て,

当 な 正 準 変 換 を ほ ど こせ ば(新

行 列AHの

あ っ て,そ

もつ 系

固 有 値 は もち ろ ん,本 れ は 純 虚 数 で あ る.従

し い 座 標 を 再 びq1,q2,p1,p2で

っ

示 せ ば)

(29)は

(30) の 形 に な る.こ こで,係 数 α1,α2は, 

な る任 意 の整 数g1,g2

に対 して g1α1+g2α2≠0 

を 満 た す と仮 定 し よ う(定 理6.2の

(31)

下 の 注 意 を 見 よ).

  こ の 仮 定 の も と で,定

理6.1を

使 えば,

Hamiltonian(30)は(従

っ て,(29)は)

(32) の 形 に 書 き か え る こ と が で き る.こ

こ で,Rj=q2j+p2j,O5はp,qに

以 上 の 項 よ りな っ て い る.   次 の 定 理 はArnold[5]に

よ っ て い る.

関 し て5次

  定 理6.2 

(32)をHamiltonianと

す る 系 に お い て,

(33)

が 満 た さ れ ば,原

点,q1=q2=p1=p2=0は

  注 意   Lagrangeの 件,(31)と(33)が

正 角 形 に 対 応 す るHamiltonian(29)に

対 し て,い

つ条

満 た さ れ て い る の か を 実 際 に 計 算 す る こ とは か な り面 倒 な 仕

事 で あ る.Deprit[1]に

で あ る.α

系 の 安 定 な 平 衡 点 で あ る.

よ れ ば,

1,α2は も ち ろ ん パ ラ メ ー

タ μ の 関 数 で あ っ て,Δ を μ の 関 数 とし て だい た い の様 子 を グラ フ で示 せ ば,0μ<μ1(μ1(1-μ1)=1/27,μ1 <1/2)な

る μ に 対 し て 図6.2の

に な る.μ=μ2,μ3に (31)が 破 れ る.従

よ う

お い て は 条件 っ て,0<μ<μ1

な る μ に 対 し て は,

図6.2

で あ れ ば,Lagrangeの

  6.5  定 理6.2の   変 数p,qをp/ε,q/ε

平 衡 点L4(L5)は

安 定 で あ る こ とが 分 る.

証明 で お き か え る と,Hamiltonian(32)は

次 のFで

お きか え

ら れ る.

(34) 変換 

Rj=p2j+q2j,θj=tan-1(pj/qj)は,

で あ る か ら 正 準 で あ る こ と に 注 意 す る.従 け ば,

っ て,変

数 θj,Rjで 正 準 方 程 式 を 書

(35)

と な る.   エ ネ ル ギ ー 曲 面,F=一

定,は

曲 面 で は な い.(α1α2>0で ian(34)の2次

コ ン パ ク トな

あ れ ば,Hamilton-

の 項 は 定 符 号 に な っ て,原

安 定 性 は 直 ち に 明 ら か と な る.し 幸 か 不 幸 か,Lagrangeの る 場 合 は α1α2<0な 点qj=pj=0を

正3角

か し な が ら, 形 解 に対 応 す

の で あ る.)F=0は,平

通 る3次

  こ こ で,1つ

点の

衡

元 面 を 定 め る.

図6.3

の エ ネ ル ギ ー 曲 面,

(36) を 考 え よ う.Aは ー曲面上で

十 分 大 き な 定 数 で あ る.問

,遠

軌道 が これ らの エ ネル ギ

くに 逃 げ さ る こ と が で き な い こ と を 示 す こ と に あ る.

  さ て,R1=R,θ1=θ う.R2を

題 は,解

と し,θ2を 独 立 変 数 と し て 用 い,(36)か

らR2を

求め よ

ε で 展 開 し て, R2=X+εY+ε2Z+O(ε3)

と お く,(36)か

ら,

よ っ て,ε

に 関 し て,0次,1次,2次

を 得 る.ゆ

え に,

の 項 を 比 較 し て,

(37)

 こ こ で,R=R1を  し てR2は

に 制 限 す れ ば,(36)か

ら,十

分 小 さ い εに 対

正 で あ る.

  tの か わ りに θ2を独 立 変 数 に 用 い れ ば,(35)か

従 っ て,エ

ネ ル ギ ー 曲 線,F=c上

で は,こ

ら,

の 方 程 式 は(37)か

ら,

(38) と 表 わ さ れ る. R-1=r,θ=φ,θ2=tと

お き,

と お け ば,

は,D(ρr,ρ)≡{(r,φ,t); 

を 満 た す,こ

で 解 析 的 で あ り,

こ で,δN=ε,k,Nは

定 理5.1に

お け る 条 件(12)を

み た す 自然 数

で あ る.

と一 般 に 仮 定 で き る.(K→0の 測 度 は0に

と き,任

意 のb>0に

対 し て,[-b,b]＼

ΛKの

近 づ く こ とを 注 意 し て お く.)

  実 際,

よ っ て,少 に よ り,λ

く と も,  ∈ ΛKと

が ΛKの 集 積 点 の 場 合 は,ε を 適 当に 小 さ く選 ぶ こ と

で き る.こ

う し て,少

く と も, 

が あ るKに

対 し て,ΛK

の 集 積 点 で あ る 場 合(こ れ は ほ と ん ど す べ て の μ に 対 し て 成 立 す る)定 理5.1が 適 用 で き る.   ゆ え に,r=0,す

な わ ち,R=1に

近 い,系

  こ の 不 変 トー ラ ス Γcの 存 在 は,原 q1=q2=p1=p2=0の 実 際,ε

点

安 定 性 を 保 証 す る.

を 十 分 小 さ く と れ ば,領 R1=R<1は,原

近 傍, 

の 不 変 トー ラ ス Γcが 存 在 す る.

域

 

点 の 任 意 の す な わ ち,R1+

R2<η/ε2に

含 ま れ る.ζ=ζ(η)を

十分小

さ く とれ ば,原 点 の ζ-近傍, 

は領域  従 っ て,原 り,領

R1<1に

含 ま れ る.

点 の ζ-近傍 か ら 出 発 す る 解 軌 道 は,不

域 

に と ど ま る.こ

R1<1よ う し て,定

る.定

理6.2に

[2]を 参 照 せ よ.

変 トー ラ ス Γcの

り 出 る こ と は な い.す

理6.2の

  注 意   我 々 の 証 明 で は,ほ

図6.4

な わ ち,原

存 在 に よ 点 の η-近傍

証 明 は 完 成 し た.

と ん どす べ て の μ に 対 し て 証 明 さ れ た だ け で あ

述 べ ら れ た 完 全 な 形 で の 証 明 に 関 し て はArnold[5],Moser

7  不

安

定

帯

 7.1  共 鳴 トー ラス と平 均 化 法  再 び一 般 論 に戻 っ て,積 に,自 由度n=2と

分 可 能 な 系 を摂 動 した 系 を考 え よ う.簡 単 のた め

し て お く. H(p,q)=H0(p)+H1(p,q), 

摂 動 項 が な い と き,す

で あ っ て,直

な わ ち,H1(p,q)=0の

場 合,系(非

q=q0+ω(p0)t

変 トー ラ ス,T2ω(p0)={(p,q)∈D2×T2;p=p0}上

期 と す る 多 重 周 期 運 動 を 表 わ し て い た,5章 K>0に

摂 動 系)は

ち に 積 分 可 能 で あ っ た. p=p0, 

こ れ は,不

(p,q)∈D2×T2

の,ω(p0)を

と 同 様 に,ω0=ω(p0)が

あ る正 数

対 し て条 件

  (1) ￨(ω0,k)￨>K￨k￨-3, 

を 満 た し て い れ ば,ω0を スT2ω0は 摂 動H1が

￨k￨=￨k1￨+￨k2￨

多 重 周 期 と す る 多 重 周 期 運 動 を の せ て い る不 変 トー ラ

十 分 小 さ け れ ば,摂

に 存 在 し つ づ け る こ と が 分 る.つ 動 後 も,摂

動 後 も も と の 不 変 トー ラ スT2ω 0の 近 く

ま り,"十

分 に"非

共 鳴 な 不 変 トー ラ ス は 摂

動 が 小 さ い 限 り存 在 し つ づ け る の で あ る.そ

方 は ど うな る の か.こ

多重周

れ で は 共 鳴 トー ラ ス の

れ を い ま か ら 見 て い き た い.

 ω0=(ω1,ω2)∈R2がZ上1次

従 属 で あ る.す

な わ ち,ω1/ω2∈Qの

摂 動 系 に お け る 不 変 トー ラ スT2ω0上 の 運 動 は 周 期 運 動 で あ る.従 変 トー ラ スT2ω0は さ ら に1次

場 合 ,非

っ て2次

元不

元 の 不 変 トー ラ ス に 分 解 され て い る こ と に 注 意 を

し て お く.   例 と し て,M=T*(T2)=R2×T2を

相 空 間 と し,Hamiltonianと

し て,

(2)

を も つ 系 を 考 え よ う.   ε=0(非

摂 動 系)の 場 合,p1=p10,p2=

p20が 不 変 トー ラ スTω0で

あ る. 

で あ る か ら,  きが 非 共 鳴 であ

っ て,p10/p20∈Qの

き が 共 鳴 で あ る.共 て,い

鳴

まp10=0,p20≡

こ の 場 合,不

変

の と と

トー ラ ス の 例 と し ω2≠0を

と ろ う.

ト ラ ー ス,

図7.1

T2(0,ω2)={(p,q)∈R2×T2;p1=0,p2=ω2}

は,1次

元 不 変 トー ラ ス T1q10={(p,q)∈T2(0,ω2);q1=q10}, 

の 族 に 分 離 さ れ て い る.こ

q10∈T1

れ ら は 周 期 軌 道 そ の も の で あ る.そ

れ で は,摂

(ε≠0)こ れ ら の 不 変 トー ラ ス は ど の よ うに 変 化 す る の で あ ろ う か .系 の 近 傍 で 考 察 し よ う.T2(0,ω2)の近 傍 で は,  こ と に 注 意 し よ う.す

な わ ち,変

は ゆ っ く り と変 動 す る の で あ る.そ

数q2の

動後

をT2(0,ω2) である

み が 速 く変 動 し,他

こ で,摂

動 系(2)の

の 変 数,p1,p2,q1

第1近

q2で 平 均 し た 系 を 考 え る の が 妥 当 で あ る(平 均 化 の 原 理).つ

似 と し ては 変 数 ま り,

(3)

をHamiltonianと ど,μ=0と

す る 系 を 考 え る の で あ る.我

々 の 系(2)で は,こ

れは ち ょう

し た 場 合 に 当 る.

  こ の 平 均 化 さ れ た 系(3)は 積 分 可 能 で あ る.実

際,

(4)

よ っ て, p2=p20=ω2=一

p1,q1はp2,q2に

由 度1の 運 動,つ

独 立 で あ っ て, 

定, 

q2=q20+ω2t

をHamiltonianと

ま り,単 振 子 の 運 動 で あ っ て,図7.2に

す

る 自

示 す 通 りで あ る.

  これ は,非

摂 動 系 の 共 鳴 不 変 トー ラ ス

T2(0,ω0)が あ る 意 味 で 分 解 さ れ,  の 幅 に ふ く ら ん だ こ とを 意 味 す る.1次 元 不 変 トー ラ スT1q10は T10={(p,q);p1=0, 

p2=ω2,  q1=0}

T1π={(p,q);p1=0, 

p2=ω2,  q1=π}

を 除 い て,消

え て い る.こ

わ れ て,2次

元 の 薄 い トー ラ ス に ふ く ら ん だ と い う こ と も で き る.   トー ラ スT1π は2次

元 の 多重周期運動

を の せ た 不 変 トー ラ ス に よ っ て 取 り囲 ま れ て い る.T1π は 楕 円 形 不 変 トー ラ ス と い わ れ る.ト 重 要 で,安

ー ラ スT10の 存 在 は と く に 定 な セ パ ラ ト リ ッ ク ス Γ+と

不 安 定 な セ パ ラ ト リ ッ ク ス Γ-がT10か ら 出 て い る.T10は

中心多様体に な っ て

い る(第Ⅰ 部5.3参

照).こ

の た めT10は 双 曲 形 不 変 トー ラ ス とい わ れ る.

  双 曲 形 不 変 トー ラ スT10の 存 在 は,我 は な い.系(3)を

々 の 系(3)が

特殊 な形 を して い るた め で

摂 動 し て もや は り存 在 し つ づ け る の で あ る(第Ⅰ 部5章

た だ し,我

々 の 場 合,安

い る が,こ

れ は,我

っ て,一

図7.2

定 及 び 不 安 定 な セ パ ラ ト リ ッ ク ス Γ+,Γ-は

参 照). 一 致 して

々 の 系(3)が 積 分 可 能 で あ る と い う特 殊 性 を も つ た め で あ

般 に は 分 離 し て い る.

  7.2  セ パ ラ トリ ッ ク ス の 分 離 と 不 安 定 帯   さ て,も

と の 完 全 な 摂 動 系(2)に 戻 ろ う.

(5)

  我 々 の 場 合,こ

の 摂 動 系 に お い て も,不 変 トー ラ スT10とT1π

保 存 さ れ て い る.セ 果,Γ+と

パ ラ ト リ ッ ク ス Γ+,Γ-は

Γ-は 分 離 し,互

あ っ て,Poincareに

い に 複 雑 に か ら み 合 う.こ

動の結

の 現象 は極 め て 複 雑 で

の現 象 の 存 在 は 極 め て 重 要

積 分 不 可 能 で あ る こ と の 幾 何 学 的 根 拠 を 与 え て い る.

  こ の 現 象 を 調 べ る に は,Poincareの よ る の が 都 合 が よ い.す 定 ま る2次

ど うな る で あ ろ うか.摂

よ っ て 始 め て 発 見 さ れ た.こ

で あ っ て,系(5)が

は も との ま まに

横 断 面 に よ る 方 法(第

な わ ち,D2×T2に

Ⅰ部8章

お い て,H=h=一

参 照)に

定,q2=π/2で

元 面S S={(p,q);H(p,q)=h, 

を 取 ろ う.こ

q2=π/2}

れ は, 

な る 範 囲 で は, q2=π/2,

(6) p2=(2h-p21-2ε(cosq1-1))1/2 

で 与 え ら れ る.従 て,p1とq1が   さ て,t→

(h>0)

っ て,( 

な る 範 囲 で は)S上

の 座 標 と し

と れ る. ∞

の と き,系(5)の

パ ラ ト リ ッ ク ス Γ+が Sと の 交 線 Γ+∩Sを 道 に そ っ て,関

不 変 トー ラ スT10に 近 づ く点 か ら な る 安 定 な セ

ど の よ う な も の で あ る か を 見 る た め に は,Γ+と 求 め る と よ い.そ

の た め に は,Γ+上

横断面

に あ る 系(5)の

解軌

の値 が どの よ う に 変 化す るの か を 見

数 

る のが 便 利 で あ る.

(7)

t=0の x+,μ)と

と き,考

え て い る 軌 道 はx+∈

し よ う.t→

∞

の と き,軌

Γ+∩Sを

通 る と す る.こ

の 軌 道 を,x(t;

道 は 不 変 トー ラ スT10に 近 づ く,す

な わ ち,

で あ る か ら,

(8)

 t→-∞

の と き,不

変 トー ラ スT10に 近 づ く点 か ら な る 不 安 定 セ パ ラ ト リ ッ

ク ス Γ-に 関 し て も 同 様 で あ る.t=0の x-,μ)に

そ っ て のFの

と き,x-∈

Γ-∩Sを

通 る 軌 道,x(t;

変 化 を 考 え る と,

(9) さ て,

と す る.p±1=p±1(q10,μ),p±2=p±2(q10,μ)で

あ る.μ=0の

と き は,x+(0)=x-(0)

が 成 り た っ て い る.

と お く.

(10) とす る と, t→+∞

た だ し,オ

の と き,p+1(t;q10,μ)=ε(μ)・O(p+1(t;q10,0)) 

ー ダ ー のOは

数 で あ る(第Ⅰ 部5.2の

μ に 関 し て 一 様 で あ っ て,ε(μ)は 定 理5.1の

(11)

なる関

μ-安 定 多 様 体 の 連 続 性 を 参 照 せ よ).

  同 様 に, t→-∞

の と き,p-1(t;q10,μ)=ε(μ)・O(p-1(t;q10,0)) 

(12)

が 成 り た つ.  μ=0の る か ら,よ

と き は,x(t;x+,0)=x(t;x-,0)で

あ

り,こ

れ は 方 程 式(4)の

く 知 ら れ て い る よ う に,p+1(t)=p-1(t)=p1(t)等

解 であ

と お け ば,

(13)

た だ し,

で あ る.

 問7.1 

(13)が 方 程 式(4)の 解 を な す こ と を 確 か め よ.

 (7)∼(13)か

ら,

で あ る か ら,

こ こ で, 

で あ る こ と と,  し て,sinω2(t+t0)を

は 奇 関 数 で あ り, 

は偶関数 である こ とに注意

加 法 定 理 に よ り展 開 す る と,

を 得 る. を 示 せ.

 問7.2 

 (解) 

を,±R,±R+2πiを

そ っ て 積 分 し,R→

∞

頂 点 とす る長 方 形 に

と せ よ(留 数 の 定 理 を 使 え).

よ っ て,

(14)

 で あ る か ら,結 横 断 面S上

で,安

局,

定 な セ パ ラ トリ ック ス

Γ+と 不 安 定 な セ パ ラ ト リ ッ ク ス Γ-の 交 わ りの 様 子 は 図7.3の が 分 る. 

Γ+と

よ うに な る こ と で あ る か ら,

Γ-の 分 離 の 大 き さ は,ε

の いか

な る巾 の オ ー ダー よ りも小 さ い とい う こ と を 注 意 し て お こ う.従

っ て,通

常 の,

図7.3

εの 巾 に 展 開 す る摂 動 法 に よ って は この 分 離 の 現 象 は と らえ られ な い.

文 Abraham,R−Marsden,J.E.[1] 

献

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A

ド理 論 入 門 」,共 Treatise

on

the

立 出 版(1971) Analytical

Univ.Press,Cambridge(1959)

Dynamics

of Particles

and

rigid

あ

  最 近 の 流 れ を 見 て い る と,力

と

が

き

学 系 の 定 性 的 理 論 や エ ル ゴ ー ド理 論,さ

統 計 力 学 と い っ た 諸 分 野 が 相 互 の 関 連 性 を 強 め,そ 真 に 数 理 物 理 学 の 新 しい 分 野,非

が,残

の よ う に 期 待 し た い).こ

れ ま で 既 に 幾 つ か の す ぐれ た 成 書 が 刊 行 さ れ て は い る

念 な が ら和 書 に あ っ て は 手 頃 な も の が 十 分 に あ る とは い い が た い 状 態 で

あ る.本 が,そ

れ ら の 相 互 作 用 の 中 か ら,

線 形 現 象 の 数 理 物 理 学 と で も 呼 び う る よ うな

分 野 が 生 まれ つ つ あ る よ う に も思 える(あ る い は,そ れ ら の 分 野 に あ っ て,こ

らに は

書 が,こ

の 事 態 の 改 善 の た め の 一 助 に な る と は お 世 辞 に も言 え な い

れ で も 有 意 の 方 々 の 著 作 の た め の 一 つ の 契 機 と な る こ と を 願 っ て い る.

  初 め の 計 画 で は,本

書 の 内 容 に 加 え て,Axiom-A系

を 中 心 とす る 力 学 系 の

公 理 論 的 方 法 や エ ル ゴ ー ド理 論 な ど の 初 歩 を 紹 介 す る 予 定 で あ っ た が,著

者 の

主 と し て 能 力 的 お よ び 時 間 的 理 由 に よ り果 せ な か っ た.序

論 の形 で お茶 を濁 す

こ と に な った の は 残 念 で あ る.別

の 機 会 に ゆ ず りた い.こ

こで は文 献 の紹 介 で

 エ ル ゴ ー ド理 論 や 統 計 力 学 を 除 い て,Abraham-Marsden[1]が

か な りの 部

これ に か え た い.

分 を カ バ ー し て い る.同 し て は,Arnold[2],[3]が

書 に は 非 常 に くわ し い 文 献 表 が あ る.Ⅰ よ い.こ

も辞 書 が わ りに 使 う と よ い.特 McCracken[1]も

と に[3]は

に 分 岐 理 論 に 関 し て はIooss[1]やMarsden-

参 考 に な ろ う.Ⅱ

部 に 関 し て は,Arnold[4]が

同 書 の 豊 富 な 付 録 は これ か ら の 研 究 の 糧 に も な ろ う.他 も 名 著 で あ る.天

部 の内容に関

一 読 を 勧 め た い.Hartman[1]

読 み や す い.

に,Siegel-Moser[1]

体 力 学 の お も し ろ さ を 十 分 に 味 わ せ て く れ る.Moser[1]

は エ ル ゴ ー ド理 論 と の 関 連 性 に も ふ れ て い る.古 典 的 な こ と を 知 る に は,Whi ttaker[1]が はSmale[1]が

よ い.本

書 で ふ れ る こ と が で き な か っ たAxiom-A系

古 典 的 で あ る.他

にBowen[3]やShiraiwa[1]が

に つ い て あ る.エ

ル ゴ ー ド理 論 に 関 し て は,Arnold-Avez[1]とAnosov-Sinai[1]を て お こ う.抽

象 的 な 測 度 空 間 上 の も の に 関 し て はTotoki[1]が

あ げ あ る.統

計力

学 に 関 し て は,Ruelle[1],[2]が

あ る.特

い て は,Sinai[2]やBowen[2]が

あ る.最

に,エ

ア ム ス テ ル ダ ム に お け る 国 際 数 学 会 で の 講 演(英 の 付 録 に あ る)を あ げ て お き た い.こ も の で あ っ た.著

ル ゴ ー ド理 論 と の 関 連 に お

後 に,Kolmogorovの1954年

の

訳 がAbraham-Marsden[1]

れ は 戦 後 の 力学 系 の理 論 の発 展 を つ げ る

者 が 修 士 の 学 生 で あ っ た 頃,こ

れ を読 ん だ 時 の心 の 高揚 は い

ま だ に 忘 れ が た い.   恩 師 の 吉 沢 尚 明 教 授 に は 本 書 の 執 筆 を お 勧 め い た だ い た.こ し ま す.水 た.あ

こに記 し て感 謝

野 寛 氏 を 始め 編 集 部 の方 々に は 色 々 と出 版 に 当 っ て お 世 話 に な っ

わ せ て 感 謝 し ま す.

1980年12月30日 

小平に て

著

者

著

丹

者

羽

1943年9月17日

敏

大 学 理 学 部 数 学 科 卒 業.現 学 教授,理 専 攻:力

力 1981年2月28日  1994年7月5日

学  

雄

生 まれ る.1966年 在,津

京都 田塾 大

学 博 士.

学 系 の理 論,エ

ル ゴー ド理 論

系 第1刷 発 行 第5刷 発 行

発行所 

株式 会社 

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3-17-7 電 話  03(3354)0131(代 表) 出 版 部(編 集)電 話 03(3439)0172 ホ ー ル セ ール 部 (営業)電 話 03(3439)0128 東 京 都 世 田 谷 区 桜 丘5-38-1 郵 便 番 号  156

C TOSHIO NIWA PRINTED IN JAPAN 定価は外装に表示 してあ ります

印 刷  研 究 社 印 刷 製 本  三 水 舎

紀伊 國屋 数学叢書 につ いて  数学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の段 階 が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す るこ とが最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くとい うよ うな 受 動 的 な勉 強 だ け で は,は な は だ不 十 分 で あ る.  み ず か ら学 ぶ た め に 現 在 い ろ い ろ な 数 学 書 が 出版 され て い る.し か し,数 学 の 進 歩 は 極 め て基 礎 的 な 考 え方 に対 して さ え常 に影 響 を与 え て お り,従 って どの よ うな段 階 の勉 強 で あ って も,常 に新 し い考 え方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の過 去 と将 来 とを結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新 し い 視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ とを も将 来 の発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立 場 で 書 かれ た 書 物 が 要 望 され て い る.   本 叢 書 は この よ うな要 望 に 応 えて 企 画 され た もの で あ って,各 巻 が 大 学 理 工 学 系 の専 門 課 程 の 学 生 また は 大 学 院 学生 が そ れ ぞれ の分 野 で の 話 題,対 象 に つ い て入 門 の 段 階 か らあ る程 度 の 深 さ まで 勉 学 す るた め の 伴 侶 とな る こ とを 目指 し てい る.こ のた め に我 々は 各 巻 の 話 題 の 選 択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数 学 の発 展 に とっ て重 要 で あ り,ま た 既 刊 書 で 必ず し も重 点 が置 かれ て い な い も の を選 び,各 分 野 の第 一 線 で活 躍 して お られ る数 学者 に執 筆 をお願 い し て い る.  学 生諸 君 お よび数 学 同好 の方 々 が,こ の叢 書 に よ っ て数 学 の種 々の 分 野 に お け る基 本 的 な 考 え方 を理 解 し,ま た基 礎的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に 現 代 数学 の最 先 端 へ 向 か お う とす る場 合 の 基 礎 と もな る こ と を望 み た い.