О типах интерпретируемости регулярных многообразий алгебр

Алгебра и логика, 43, N 2 (2004), 229—234

УДК 512.572

О ТИПАХ ИНТЕРПРЕТИРУЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР

Д. М. СМИРНОВ Введение

В работе доказывается, что для любого многообразия V алгебр, определимого регулярными (или сбалансированными) тождествами, тип интерпретируемости [V ] в решетке Lint примарен по пересечению и поэтому имеет не более одного покрытия. При этом единственное покрытие для [V ], если оно существует непременно бесконечно, т. е. не определяется многообразием с конечным базисом тождеств. Для локально конечного регулярного многообразия V тип [V ] не имеет покрытий. Среди регулярных многообразий особенно интересным оказались циклические многообразия. Циклическим называют многообразие n-группоидов, определимое n-циклом степени n > 2. Типы интерпретируемости циклических многообразий составляют в решетке Lint верхнюю подполурешетку, изоморфную полурешетке свободных от квадратов натуральных чисел n > 2 с операцией m ∨ n = [m, n] (н.о.к.)

§ 1. Примарность по пересечению Элемент a решетки L = (L, ∨, ∧) называется примарным по пересечению (или ∧-примарным), если для всех x, y ∈ L выполняется условие x ∧ y ≤ a ⇒ x ≤ a или y ≤ a.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

230

Д. М. Смирнов Элемент a ∈ L называется неприводимым по пересечению (или ∧-

неприводимым), если для всех x, y ∈ L верна импликация x ∧ y = a ⇒ x = a или y = a. Всякий ∧-примарный элемент a ∈ L является, очевидно, ∧-неприводимым. Кроме того, всякий ∧-неприводимый элемент a решетки L имеет не более одного покрытия в L: если элементы b1 , b2 покрывают a и b1 6= b2 , то b1 ∧ b2 = a, что неверно. Напомним, что терм d(x, y) многообразия V называют термом разложимости, если в V истинны тождества d(x, x) = x, d(d(x, y), d(u, v)) = d(x, v). Терм разложимости d(x, y) в V называется тривиальным, если в V истинно одно из тождеств d(x, y) = x, d(x, y) = y. ЛЕММА [1, лемма 5]. Если многообразие V не имеет нетривиальных термов разложимости, то его тип интерпретируемости [V ] в решетке Lint является ∧-примарным и поэтому имеет не более одного покрытия. С помощью этой леммы получим существенное обобщение теоремы 4 из [2] о ∧-примарности типа [n Gπ ], определимого многообразием n Gπ nгруппоидов (A : f ), удовлетворяющих тождеству f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (xπ(1) , xπ(2) , . . . , xπ(n) ),

(1)

где π — произвольная подстановка степени n над множеством {1, 2, . . . , n}. Напомним, что тождество t = s сигнатуры Ω (без констант) называется регулярным (или сбаласированным), если каждая предметная переменная, встречающаяся в записи t, встречается также в записи s, и обратно. Многообразие V сигнатуры Ω (без констант) называется регулярным, если оно определяется системой регулярных тождеств. Регулярным, в частности, является многообразие n-группоидов, определимое какой-либо подстановкой π степени n.

О типах интерпретируемости регулярных многообразий алгебр

231

ТЕОРЕМА 1. Для любого регулярного многообразия V алгебр тип интерпретируемости [V ] в решетке Lint ∧-примарен. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ω = {fi | i ∈ I} — сигнатура без констант и 2Ω = ({0, 1}, Ω) — алгебра с операциями fi из Ω, определимыми по правилу умножения fi (a1 , a2 , . . . , ani ) = a1 · a2 · . . . · ani , т. е.   1, если a = 1 для всех k = 1, . . . , n , i k fi (a1 , a2 , . . . , ani ) =  0, если ak = 0 для некоторого k. В [3, лемма 2.7] доказано, что многообразие V сигнатуры Ω регулярно тогда и только тогда, когда оно содержит алгебру 2Ω . Tаким образом, если допустить, что регулярное многообразие V имеет нетривиальный терм разложимости d(x, y), то в алгебре 2Ω истинно тождество d(d(x, y), d(u, v)) = d(x, v). Полагая в нем x = v = 1 и y = u = 0, получаем 0 в левой части равенства и 1 в правой. Поэтому V не имеет нетривиальных термов разложимости. По лемме элемент [V ] в решетке Lint ∧-примарен. Одновременно получаем СЛЕДСТВИЕ 1. Для любого регулярного многообразия V элемент [V ] в решетке Lint имеет не более одного покрытия. Из [1, § 3, предлож. 3] и теоремы 1 вытекает СЛЕДСТВИЕ 2. Тип интерпретируемости [V ] любого локально конечного регулярного многообразия V не имеет покрытий в решетке Lint . Известным примером локально конечного регулярного многообразия является многообразие Sl полурешеток (т. е. коммутативных идемпотентных полугрупп). Известно также (см. [1]), что его тип интерпретируемости [Sl] не имеет покрытий в Lint .

232

Д. М. Смирнов Тип интерпретируемости [W ] называется конечным, если [W ] = [W0 ]

для некоторого конечно базируемого многообразия W0 . Известно [4, с. 361], что конечный тип W0 определяется в действительности конечно определенным многообразием, т. е. конечно базируемым многообразием конечной сигнатуры. Из [1, § 3, предлож. 1] и теоремы 1 вытекает СЛЕДСТВИЕ 3. Тип интерпретируемости [V ] любого регулярного многообразия V не имеет конечных покрытий в Lint . Регулярным является многообразие G2 группоидов (A; ·), определимое тождеством xy = yx. Как отмечается в [1], его тип [G2 ] имеет единственное покрытие, которое, в силу следствия 3, не является конечным. Тип интерпретируемости [W ] локально конечного нерегулярного многообразия W также может иметь единственное покрытие в решетке Lint . Характерным примером такого многообразия является многообразие B0 булевых алгебр B = (B; +, ·, ′ , 0, 1). Единственное покрытие для [B0 ] в решетке Lint , оказавшееся конечным, обнаружено в [5].

§ 2. Типы интерпретируемости циклических многообразий Среди регулярных многообразий особенно выделяются циклические многообразия, изучавшиеся в [6, 7]. Напомним, что циклическим называется многообразие n Gπ n-группоидов (A; f ), удовлетворяющих тождеству (1), в котором π — произвольный n-цикл π = (i1 i2 . . . in ) степени n > 2. Для циклического многообразия, определяемого n-циклом (12 . . . n) степени n > 2 было принято стандартное обозначение Gn и доказано [7, теор. 2], что для любого n-цикла π = (i1 i2 . . . in ) степени n > 2 имеет место равенство [n Gπ ] = [Gn ]. По [6, теор. 2] подмножество {[Gn ] | n ∈ Z, n > 2} является верхней подполурешеткой решетки Lint , и имеет место равенство [Gm ] ∨ [Gn ] = [Gmn ].

(2)

О типах интерпретируемости регулярных многообразий алгебр

233

Отсюда следует: если натуральное число n > 2 имеет каноническое разложение вида n = pk11 pk22 . . . pkr r , где простые числа p1 , p2 , . . . , pr попарно различны, а натуральные числа k1 , k2 , . . . , kr больше или равны 1, то [Gn ] = [Gp1 ] ∨ [Gp2 ] ∨ . . . ∨ [Gpr ] = [Gp1 p2 ...pr ].

(3)

Произведение вида a = p1 p2 . . . pr > 2 является натуральным числом, свободным от квадратов. Все такие числа a > 2 относительно взятия наименьшего общего кратного a ∨ b = [a, b]

(4)

составляют полурешетку, которая обозначается через F. Формулы (2) и (3) показывают, что отображение [Gn ] → p1 p2 . . . pr является изоморфизмом полурешетки ({[Gn ] | n > 2}, ∨) на полурешетку F. Таким образом, доказана ТЕОРЕМА 2. Верхняя подполурешетка ({[Gn ] | n > 2}, ∨) типов интерпретируемости циклических многообразий в решетке Lint изоморфна полурешетке F свободных от квадратов натуральных чисел n > 2 (с операцией (4)). В [2, теор. 5] показано, что при m, n > 2 и (m, n) = 1 тип интерпретируемости [Gm ] ∧ [Gn ] не является ∧-неприводимым и, в силу теоремы 1, не определяется никаким регулярным многообразием. Таким образом, верхняя подполурешетка ({[Gn ] | n > 2}, ∨) решетки Lint не является подрешеткой этой решетки. В заключение отметим, что присоединением к полурешетке ({[Gn ] | n > 2}, ∨) типов интерпретируемости произвольных регулярных многообразий также получается верхняя подполурешетка решетки Lint . Действительно, если U и V — регулярные многообразия алгебр, то в силу [8, предлож. 3] справедливо [U ] ∨ [V ] = [U ⊔ V ],

234

Д. М. Смирнов

где копроизведение U ⊔ V — это регулярное многообразие, определимое дизъюнктными объединениями сигнатур Ω(U ) ∪ Ω(V ) и определяющих тождеств Id(U )∪Id(V ). Однако, вопрос о строении полурешетки всех типов интерпретируемости регулярных многообразий представляется сложным.

ЛИТЕРАТУРА 1. R. McKenzie, S. Swierczkowski, Non-covering in the interpretability lattice of equational theories, Algebra Univers., 30, N 2 (1993), 157—170. 2. Д. М. Смирнов, О многообразиях, определимых подстановками, Алгебра и логика, 42, N 2 (2003), 237—354. 3. B. J´ onsson, E. Nelson, Relatively free products in regular varieties, Algebra Univers., 4, N 1 (1974), 14—19. 4. B. J´ onsson, Congruence varieties, Algebra Univers., 10, N 3 (1980), 355—394. 5. R. McKenzie, On the covering relation in the interpretability lattice of equational theories, Algebra Univers., 30, N 3 (1993), 399—421. 6. Д. М. Смирнов, Алгоритм построения многообразия произвольно заданной конечной размерности, Алгебра и логика, 37, N 2 (1998), 167—180. 7. Д. М. Смирнов, Многообразия, определимые подстановками, Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 104—118. 8. O. C. Garcia, W. Taylor, The lattice of interpretability types of varieties (Mem. Am. Math. Soc., 50 (305)), Providence, RI, Am. Math. Soc., 1984.

Поступило 8 апреля 2002 г. Адрес автора: СМИРНОВ Дмитрий Матвеевич, ул. Воеводского, д. 5, кв. 1, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. Тел.: (3832) 30-07-99.