Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 9 (2004). С. 3–151 УДК 517.986+517.984

ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР, АБЕЛЕВЫХ ГРУПП И ПОЛУГРУПП В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ c 2004 г.

А. Г. БАСКАКОВ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 1. Спектральная теория банаховых модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Категория банаховых модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Спектральные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Спектрально регулярные алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Критерии спектральной регулярности банаховых алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. Некоторые свойства модулей над спектрально регулярными алгебрами . . . . . . . . . . 23 1.6. О разложимых операторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7. Комментарии и дополнения к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Глава 2. Абстрактные эргодические теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1. Направленности по идеалам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Эргодические теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Эргодические теоремы для сопряженных пространств и дополняемость подпространств 37 2.4. Некоторые приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5. Комментарии к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Глава 3. Гармонический анализ в банаховых модулях над спектрально регулярными алгебрами 44 3.1. Коспектр и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. О примарных подмодулях и элементах с одноточечным спектром . . . . . . . . . . . . . 46 3.3. Lα (G)-модули и неквазианалитические операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4. Неравенства бернштейновского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5. Об условии Диткина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6. Почти периодические векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.7. Спектральный синтез в банаховых модулях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.8. Спектрально устойчивые банаховы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9. Спектральные свойства решений функциональных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.10. Некоторые вопросы теории аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.11. Приложение к спектральной теории линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.12. Комментарии к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Глава 4. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов 82 4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2. Ряды Фурье линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.3. Оценки элементов матриц обратных операторов из класса Hom0 (X, Y ). . . . . . . . . . 89 4.4. Оценки элементов обратных матриц для операторов из пространства Hom1 (X, Y ) . . . 92 4.5. Спектральный анализ линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Глава 5. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов 99 5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2. О псевдорезольвентах, спектральном разложении линейного отношения и спектре обратного отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант № 04-01-00141. c

2004 МАИ

3

4

Введение

5.3. Условия компактности спектра линейных отношений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. О некоторых аналогах условий Хилле—Филлипса—Иосиды—Феллера—Миядеры для линейных отношений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Секториальные линейные отношения и аналитические вырожденные полугруппы операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Приложения к спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов . . . . . 5.7. Линейное дифференциальное уравнение с необратимым оператором при производной . Глава 6. О корректности линейных дифференциальных операторов . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 6.2. Об общих спектральных свойствах операторов L+ U и DU . . . . . . . . . . . . . . . . . . + + ∗ 6.3. Об операторе DU и его сопряженном (DU ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Некоторые вспомогательные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Свойства корректных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Об операторах с периодическими и постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . 6.7. Обсуждение полученных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 110 115 119 125 127 127 129 132 133 137 142 144 145

ВВЕДЕНИЕ Основой многих направлений исследований в современном анализе служат спектральные теории, связанные с тем или иным понятием спектра. Особо важную роль играет понятие спектра в проблеме гармонического анализа подпространств (векторов) банахова пространства, инвариантных относительно действий некоторых совокупностей линейных операторов (обычно наделенных определенными алгебраическими структурами: группы, полугруппы, алгебры и т. д.) на векторы исследуемого банахова пространства. Разнообразие объектов исследования спектральных теорий вызывало необходимость рассмотрения более общих объектов и создания соответствующих методов исследования. Естественным кандидатом на роль таких общих объектов стали выступать банаховы модули, включающие в единую схему рассмотрений линейные операторы, представления групп, многие разделы теории функций и банаховы алгебры. Если в чистой алгебре давно было замечено преимущество модульного подхода (и с этим связан определенный этап развития теории ассоциативных колец), то в современном анализе такой подход активно развивается. Сразу же возникла необходимость создания общей спектральной теории банаховых модулей (и векторов из них), позволяющей с единых позиций объяснять и более глубоко развивать существующие спектральные теории. Наиболее сильное влияние на развитие спектральной теории банаховых модулей стали оказывать методы спектральной теории несамосопряженных операторов. Одно из основных направлений развития теории операторов связано с изучением аксиоматически выделяемых классов линейных операторов, допускающих определенные аналоги спектральных разложений самосопряженных и нормальных операторов в гильбертовом пространстве. Определяющим является требование наличия у вводимого класса операторов инвариантных подпространств таких, что спектры сужения оператора на эти подпространства лежат в наперед заданных компактах и порождающих в том или ином смысле исходное пространство. На таком подходе основано определение и изучение классов спектральных (по Данфорду), вполне ограниченных (по Смарту), обобщенных спектральных, разложимых (по Фойашу) и многих других классов линейных операторов. Этому направлению развития несамосопряженных операторов соответствовала необходимость развития спектральной теории банаховых модулей над регулярными алгебрами или, вернее, над алгебрами, где есть та или иная форма разложения единицы. Как известно, таким свойством обладают полупростые регулярные банаховы алгебры (называемые в дальнейшем алгебрами Шилова) и, в частности, групповые алгебры. Однако при рассмотрении операторных алгебр несамосопряженных операторов и в ряде промежуточных исследований банаховых модулей возникает необходимость в создании удовлетворительной теории неполупростых банаховых алгебр. Работы, где предпринимались попытки выделить классы неполупростых банаховых алгебр, для которых

Введение

5

имел бы место аналог теории Шилова, в основном связаны с исследованием условий отщепимости радикала алгебры. Однако такая задача оказалась неразрешимой даже в случае конечномерного радикала. Основная трудность при рассмотрении соответствующих вопросов состояла в наличии в неполупростой алгебре множества элементов, имеющих одинаковое преобразование Гельфанда. Оказалось, что соответствующая теория неполупростых банаховых алгебр может быть создана благодаря использованию спектральной теории банаховых алгебр и применению в их исследовании модульного подхода. Как и всякая теория, стоящая на стыке других достаточно развитых теорий, спектральная теория банаховых модулей естественным образом наследует ряд задач, присущих смежным теориям. К таким задачам относятся проблема анализа и синтеза (унаследованная из теории банаховых алгебр, теории функций и теории операторов), эргодические теоремы (формулируемые обычно для полугрупп линейных операторов), ряд классических задач гармонического анализа (и это, в первую очередь, относится к банаховым модулям над алгебрами, обладающими разложением единицы) и т. д. Таким образом, развитие спектральной теории банаховых модулей является актуальной проблемой. Данная работа посвящена спектральной теории банаховых модулей (в основном) над коммутативными банаховыми алгебрами и приложениям к спектральной теории линейных операторов, действующих в банаховом пространстве. Первые результаты по спектральной теории банаховых модулей были получены А. Берлингом, И. Домаром, В. П. Гурарием, Л. Линдалем, В. Желязко, З. Слодковским и Ж. Тейлором. Поскольку основные результаты посвящены теории банаховых модулей над спектрально регулярными алгебрами (так назван введенный здесь широкий класс регулярных алгебр с радикалом), то большую роль в развитии теории играли работы Е. Лорча, У. Вермера, Н. Данфорда, К. Фойаша, Ю. И. Любича, В. И. Мацаева, Э. Альбрехта и многих других математиков, развивающих теорию разложимых операторов и некоторых их подклассов. Основные результаты получены на основе техники работы с операторами регулярного представления, ассоциированного с рассматриваемым банаховым модулем (операторами типа свертки для групповых алгебр) и использующей разложение единицы в спектрально регулярной алгебре. Перечислим основные результаты, изложенные в первых трех главах. На основе аксиоматического подхода к понятию спектра в банаховых модулях и векторов из них проведена классификация известных спектров (спектра Берлинга, «узкого» спектра, аппроксимативно точечного спектра, спектра Тейлора и т. д.). Выделен класс спектрально регулярных банаховых алгебр, содержащий в себе класс регулярных алгебр с радикалом, и разработана теория, аналогичная теории алгебр Шилова. Получены необходимые и достаточные условия спектральной отделимости банаховых алгебр. Исследуются банаховы модули над спектрально регулярными алгебрами. В частности, доказана теорема о совпадении всех спектров для банаховых модулей (и векторов из них) над спектрально регулярными алгебрами. Проведен подробный анализ ряда известных результатов для определенных подклассов разложимых операторов; все они получены как следствия более общих утверждений. Получены абстрактные эргодические теоремы для банаховых модулей, обобщающие или усиливающие большинство известных результатов из общей эргодической теории для полугрупп операторов. Получены критерии дополняемости подпространств банаховых пространств. Некоторые приложения результатов главы используются в главах 3 и 5. Изучаются примарные подмодули и векторы с одноточечным спектром. Получены теоремы о спектрах операторов регулярных представлений, а также оценки, связывающие нормы операторов представлений с их спектральными радиусами (неравенства бернштейновского типа). На основе этих оценок получены новые условия Диткина в групповых алгебрах, а также получено альтернативное утверждение о сходимости рядов Фурье почти периодических функций. Полученные неравенства находят широкое применение в теории возмущений линейных операторов. Изучается проблема анализа и синтеза в банаховых модулях над спектрально регулярными алгебрами. Принятый подход позволяет с единых позиций получать ряд ранее разрозненных результатов и, в частности, известные результаты Г. Е. Шилова о синтезируемости идеалов из алгебр

6

Глава 1. Спектральная теория банаховых модулей

Шилова и спектральный критерий почти периодичности ограниченных функций, принадлежащий Л. Люмису. Выделен класс банаховых алгебр (названных спектрально устойчивыми), таких, что каждый банахов модуль над алгебрами из этого класса синтезируем. Получены необходимые и достаточные условия спектральной устойчивости алгебр. В тесной связи с задачей анализа и синтеза оказался вопрос о принадлежности решений функциональных уравнений некоторому подпространству ограниченных функций (в частности, подпространству почти периодических функций). Здесь получен ряд окончательных результатов. Созданная в главе 1 теория спектрально регулярных алгебр позволяет применить технику банаховых алгебр в вопросах алгебры R(A) (см. пример 1.1.6), построенной по линейному оператору A. Полученные в главах 4 и 5 результаты обсуждаются во введении к этим главам. Дополнительная информация имеется также в комментариях к главам 1–3. Отметим некоторые технические особенности текста. В работе принята нумерация параграфов двумя цифрами (например, раздел 1.1), из которых первая соответствует номеру главы, а вторая — номеру параграфа в главе. Внутри каждой главы утверждения и формулы нумеруются тремя цифрами, из которых первая означает номер главы, вторая — номер параграфа, а третья — номер утверждения или формулы в параграфе.

ГЛАВА 1 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ 1.1.

КАТЕГОРИЯ

БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Содержание данного параграфа составляет ряд часто используемых в дальнейшем определений, примеров банаховых алгебр и банаховых модулей1 ; вводится ряд обозначений и соглашений. Пусть B — банахова алгебра, рассматриваемая над полем C комплексных чисел. Левым банаховым модулем над B (или, короче, левым B-модулем) называется комплексное банахово пространство X вместе с отображением (a, x) 7→ ax : B × X → X , обладающим свойствами: 1) (a + b)x = ax + bx и a(x + y) = ax + ay; 2) (αa)x = a(αx) = α(ax); 3) (ab)x = a(bx); 4) 1x = x, если B содержит единицу 1; 5) kaxk 6 Const kak kxk для всех a, b ∈ B, x, y ∈ X и α ∈ C. Правый B-модуль определяется аналогично с заменой свойства 3) на свойство 30 ) x(ab) = (xa)b и правой формой записи. Часто вместо свойства 5) используется свойство 50 ) kaxk 6 kakkxk ∀x ∈ X . Однако следует заметить, что введение в левом B-модуле X новой эквивалентной нормы kxk1 = sup kaxk гарантирует выполнение свойства 50 ), если 1 ∈ B. kak61

Учитывая, что результаты будут излагаться (кроме результатов главы 2) для модулей над коммутативными банаховыми алгебрами, в данной работе, как правило, рассматриваются левые банаховы модули и поэтому слово «левый» обычно будет опускаться. Каждый B-модуль X индуцирует непрерывное представление T : B → End X банаховой алгебры B в банахову алгебру End X эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) банахова пространства X , определяемое равенством T (a)x = ax ∀a ∈ B ∀x ∈ X (сохраняющее единицу алгебры B, если она ее содержит). Верно и обратное. Любое непрерывное (сохраняющее единицу, если 1 ∈ B) представление T : B → End X задает на X структуру B-модуля по правилу ax = T (a)x ∀a ∈ B ∀x ∈ X . Следовательно, под банаховым модулем можно понимать тройку (X , B, T ).

1

Алгебраические аспекты теории модулей над кольцами можно найти, например, в монографии К. Фейса [87]; там же изложена теория категорий и функторов.

1.1. КАТЕГОРИЯ

БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

7

e обозначим банахову алгебру B с присоедиЕсли алгебра B не содержит единицы, что через B e ненной к ней формальной единицей 1. Тогда произвольный B-модуль X становится B-модулем, если положить (a + α1)x = ax + αx ∀a ∈ B ∀x ∈ X ∀α ∈ C. Всюду, если не оговорено противное, рассматриваются замкнутые подпространства, идеалы, подмодули. Символом B будем обозначать категорию коммутативных банаховых алгебр. Если A, B ∈ Ob B (Ob B — объекты категории B), то морфизмы Mor(A, B) этой категории состоят из непрерывных гомоморфизмов ϕ : A → B банаховых алгебр, удовлетворяющих условию ϕ(1A ) = 1B , если A содержит единицу 1A . Если A ∈ Ob B, то через Sp A обозначим спектр банаховой алгебры A, т. е. локально компактное пространство ненулевых (непрерывных) комплексных гомоморфизмов χ : A → C, называемых характерами. В дальнейшем используется естественное вложение Sp A в единичный шар сопряженного к A банахова пространства A∗ , наделенного слабой∗ топологией (топология в Sp A индуцируется из A∗ ). Иногда используется отождествление Sp A с пространством максимальных регулярных идеалов алгебры A (χ ↔ Ker χ = {a ∈ A : χ(a) = 0}). Всюду в данной работе считается, что Sp A — непустое множество. e гомеоморфен одноточечной компактификации Если алгебра A не содержит единицы, то Sp A Александрова спектра Sp A алгебры A с помощью «бесконечно удаленной» точки ∞; будем писать e = Sp A S{∞}. Sp A Символом Γ обозначим контравариантный функтор Гельфанда из категории B в категорию A локально компактных топологических пространств (Γ : B → A), определенный следующим образом: 1) Γ(A) = Sp A : Ob B → Ob A; 2) морфизм Γ(ϕ) ∈ Mor(Sp B, Sp A), ϕ ∈ Mor(A, B) определен формулой (Γ(ϕ))(χ) = ϕ∗ (χ) : Sp B → Sp A, где ϕ∗ : B ∗ → A∗ — сопряженное к ϕ отображение. Функция b a : Sp A → C, где b a(χ) = χ(a), χ ∈ Sp A называется преобразованием Гельфанда элемента a из алгебры A ∈ Ob B. Множество σ(a) = b a(Sp A) называется спектром элемента a ∈ A. b обозначим двойственную алгебру преобразований Гельфанда элементов алгебры A. Через A b — подалгебра из банаховой алгебры C0 (Sp A) (см. пример 1.1.4). Ясно, что A Наиболее часто используемыми здесь банаховыми алгебрами являются алгебры из следующих примеров. Пример 1.1.1. Пусть G — локально компактная группа и α : G → R+ = {t ∈ R : t ≥ 0} — вес, т. е. измеримая функция, удовлетворяющая условиям: 1) α локально ограничена на G и α(g) ≥ 1 ∀g ∈ G; 2) α(g1 g2 ) 6 α(g1 )α(g2 ) ∀g1 , g2 ∈ G. Через Lα (G) обозначим банахову алгебру измеримых комплексных R функций на G, суммируемых с весом α относительно левой меры Хаара d` (g), с нормой kf k = |f (g)|α(g)d` (g), f ∈ Lα (G) и со сверткой функций (f1 ∗ f2 )(g) = G R f2 (s−1 g)f1 (s)d` (s) в качестве умножения. G

Особый интерес представляет алгебра Lα (G) для α(g) ≡ 1, обозначаемая в дальнейшем символом L1 (G). b обозначим двойственную группу унитарных непрерывных Если G — абелева группа, то через G характеров группы G. Как правило, используется аддитивная форма записи групповых операций в G. В следующем примере выделен очень важный подкласс банаховых алгебр из примера 1.1.1 (с использованием неквазианалитического веса). Пример 1.1.2. Пусть вес α : G → R+ (G — локально компактная абелева группа) удовлетворяет условию неквазианалитичности (в терминологии авторов статьи [67]) X ln α(ng) n≥1

n2

< ∞ ∀g ∈ G.

(1.1.1)

8

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

b Этот Тогда Lα (G) — коммутативная банахова алгебра со спектром, гомеоморфным группе G. гомеоморфизм определяется с помощью преобразования Фурье Z b b → C, f ∈ Lα (G). f (γ) = f (g)(g, −γ)dg : G Следовательно, отождествляются преобразования Фурье и Гельфанда для элементов из Lα (G). Из результатов Домара [136] следует, что Lα (G) — полупростая регулярная банахова алгебра (см., например, [34]). Наиболее часто используемыми в дальнейшем группами являются следующие «классические» группы: 1) группа R вещественных чисел, 2) группа Z целых чисел, 3) окружность T = {z ∈ C : |z| = 1}, а также группы Rn = R × . . . × R, Zn , Tn , n ∈ N. Пример 1.1.3. Пусть G — локально компактная абелева группа. Через Mα (G) обозначим банахову алгебру комплексных борелевских мер на G, суммируемых с весом α : G → R+ и со сверткой мер в качестве умножения. Тогда Lα (G) можно считать подалгеброй из Mα (G). Если α(g) ≡ 1, то Mα (G) обозначается через M (G). Пример 1.1.4. Пусть K — локально компактное топологическое пространство и C0 (K) — банахово пространство непрерывных на K комплексных функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Пространство C0 (K) является коммутативной банаховой алгеброй (при обычном умножении функций) и ее спектр гомеоморфен K. Если K — компакт, то C0 (K) = C(K) — банахова алгебра непрерывных на K функций. Пример 1.1.5. Если D — компакт из Cn , то через A(D) обозначим банахову алгебру непрерывных на D функций, голоморфных на внутренности Int D множества D. Пример 1.1.6. Пусть A : D(A) ⊂ Y → Y — линейный оператор с областью определения D(A) из комплексного банахова пространства Y, и имеющий непустое резольвентное множество ρ(A) ⊂ C. Через R(A) обозначим наименьшую подалгебру из End Y, содержащую операторы вида R(λ, A) = (λ1 − A)−1 , λ ∈ ρ(A), где 1 — тождественный оператор из End Y. Спектр Sp R(A) алгебры R(A) с \ помощью отображения R(λ, A)(χ0 ) 7→ (λ−λ0 )−1 , λ ∈ ρ(A), λ0 ∈ ρ(A), χ0 ∈ Sp R(A), естественным образом продолженного на R(A), отождествляется со спектром σ(A) оператора A (подробности см. в [21, 96]). Пример 1.1.7. Пусть M — некоторое подмножество операторов из банаховой алгебры End Y. Одним из естественных способов изучения набора M является способ, основанный на включении M в некоторую подалгебру операторов из End Y. Через P(M ) обозначим наименьшую (замкнутую) подалгебру из End Y, содержащую M . Если M — набор коммутирующих между собой операторов, то Sp P(M ) можно описать в терминах так называемого совместного спектра операторов из M . Например, если M = {A1 , . . . , An } — конечный набор, то пространство Sp P(A) гомеоморфно совместному спектру σ(M ) = σ(M, P(M )) ⊂ Cn этого набора, состоящему из дополнения в Cn к множеству z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn , для которых существуют такие операторы T1 , . . . , Tn ∈ P(M ), что (A1 − z1 1)T1 + · · · + (An − zn 1)Tn = 1. Включение M в более широкие чем P(M ) коммутативные подалгебры из End Y может привести к тому, что Sp P(M ) 6= σ(M ). Пример 1.1.8. Пусть V : G → End Y — сильно непрерывное представление топологической абелевой группы G и Ran V — множество его значений. Спектр Sp P(Ran V ) можно отождествить с b d всех характеров дискретной группы Gd (Gd — группа G с диснекоторым компактом из группы G кретной топологией). Если V непрерывно в равномерной операторной топологии, то Sp P(Ran V ) b всех непрерывных характеров группы G. Этот гомеоморфно замкнутому подмножеству группы G b χ∗ (g) = Vb (g)(χ) ∀g ∈ G. гомеоморфизм определяется отображением χ 7→ χ∗ : Sp P(Ran V ) → G, Пример 1.1.9. Пусть f : A → B — такой гомоморфизм коммутативных банаховых алгебр A и B (f (1A ) = 1B , если A содержит единицу 1A ), что преобразования Гельфанда элементов из Ranf = f (A) разделяют Sp B. Тогда сопряженный оператор f ∗ : B ∗ → A∗ индуцирует непрерывное вложение пространства Sp B в Sp A, позволяя отождествить Sp B с замкнутым подпространством из Sp A.

1.1. КАТЕГОРИЯ

БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

9

Символом M обозначим категорию банаховых модулей над коммутативными банаховыми алгебрами, объекты Ob M которой состоят из пар (X ,A) (а, вернее, из троек (X , A, T )), где A -коммутативная банахова алгебра, X — банахов A-модуль и T : A → End X — представление, ассоциированное с A-модулем X . Множество морфизмов Mor((X , A), (Y, B)) состоит из пар (f, h), где f : A → B — гомоморфизм банаховых алгебр, h : X → Y — гомоморфизм модулей, причем h(ax) = f (a)h(x) ∀x ∈ X . Через M1 обозначим подкатегорию категории M банаховых модулей над алгебрами с единицей. Если B — коммутативная банахова алгебра, то символом M(B) обозначим категорию банаховых B-модулей, множество Mor(X , Y) ∀X , Y ∈ Ob M которой состоит из гомоморфизмов h : X → Y, удовлетворяющих условию h(ax) = ah(x) ∀a ∈ B ∀x ∈ X . Ясно, что Mor(X , Y) образует банахово пространство, являясь подпространством банахова пространства Hom(X , Y) линейных ограниченных операторов, определенных на банаховом пространстве X со значениями в Y. В дальнейшем используются обозначения HomB (X , Y) = Mor(X , Y) и EndB (X ) = Mor(X , X ). Алгебра EndB X называется также алгеброй мультипликаторов B-модуля X . Рассмотрим несколько примеров банаховых модулей. Пример 1.1.10. Пусть F — замкнутое линейное подпространство из B -модуля X , обладающее свойством: ax ∈ F ∀a ∈ B ∀x ∈ F. Тогда F есть B-модуль; он называется подмодулем B-модуля X . Пример 1.1.11. Каждая банахова алгебра B является левым и правым B-модулем (бимодулем). Модульная структура на B задается отображением (a, b) 7→ ab : B × B → B. Совокупность всех подмодулей левого (правого) B совпадает со всеми (замкнутыми) левыми (правыми) идеалами алгебры B. Пример 1.1.12. Если B — произвольная подалгебра из End Y, то отображение (T, x) 7→ T x : B × Y → Y задает на Y структуру B-модуля. Таким образом, Y является P(M ) и R(A)-модулем (см. примеры 1.1.6 и 1.1.7). Отметим, что совокупность подмодулей из P(M )модуля Y совпадает с совокупностью инвариантных относительно всех операторов из M ⊂ End Y подпространств из Y. Пример 1.1.13. Если X есть B-модуль, то сопряженное к X банахово пространство X ∗ наделяется структурой правого B-модуля с помощью отображения (a, ξ) 7→ ξa : B × X ∗ → X ∗ , где (ξa)(x) = ξ(ax) ∀a ∈ B ∀ξ ∈ X ∗ ∀x ∈ X . Пример 1.1.14. Пусть X и Y являются B-модулями. Тогда банахово пространство Hom(X , Y) наделяется структурой B-модуля с помощью билинейного отображения (aT )x = aT x : B × Hom(X , Y) → Hom(X , Y), где a ∈ B, T ∈ Hom(X , Y) и x ∈ X . Его можно также рассматривать и в качестве правого B-модуля. Определение 1.1.15. Пусть A — банахова алгебра, рассматриваемая в качестве A-модуля. Банахова алгебра EndA A называется алгеброй (левых) мультипликаторов алгебры A и будет также обозначаться символом M (A). Отметим, что банахова алгебра M (G) является алгеброй мультипликаторов алгебры L1 (G). Замечание 1.1.16. Алгебра M (A) для коммутативной банаховой алгебры A коммутативна, если A удовлетворяет условию: если bA = {0}, то b = 0. Кроме того, отметим, что M (A)-подмодуль из A-модуля End A. Пример 1.1.17. Пусть f : A → B — гомоморфизм банаховых алгебр и X — банахов B-модуль. Тогда формула ax = f (a)x : A × X → X наделяет X также структурой A-модуля. Пример 1.1.18. Пусть G — локально компактная группа, T : G → End Y (где Y — банахово пространство) — сильно непрерывное представление и пусть α(g) = kT (g −1 )k : G → R+ . Тогда Y наделяется структурой Lα (G)-модуля с помощью формулы Z f x = f (g)T (g −1 )x d` (g), f ∈ Lα (G), x ∈ Y. (1.1.2) Пример 1.1.19. Пусть G — локально компактная абелева группа и C : G → End Y — сильно непрерывная косинусная операторная функция, т. е. функция удовлетворяющая условию

10

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

C(g1 + g2 ) + C(g1 − g2 ) = 2C(g1 )C(g2 ) ∀g1 , g2 ∈ G. Пусть α — неквазианалитический вес и kC(g)k 6 α(g) ∀g ∈ G. Рассмотрим подалгебру L+ α (G) алгебры Lα (G), состоящую из функb ∀f ∈ L+ ций, преобразование Фурье которых есть четная функция (т. е. fb(γ) = fb(−γ), γ ∈ G α (G)). b + обозначим множество непрерывных вещественнозначных косинусных функций, опреЧерез G b + может быть представлена в виде деленных на G. Нетрудно видеть, что любая функция c ∈ G b Отображение γ 7→ c : G b→G b + задает локально компактную c(g) = 1/2(γ(g) + γ(−g)), где γ ∈ G. + b b топологию на G+ . Ясно, что Sp Lα (G) гомеоморфен G+ . Банахово пространство Y наделяется структурой L+ α (G) — модуля с помощью формулы Z f x = f (g)C(g)xdg, f ∈ L+ (1.1.3) α (G), x ∈ Y. Свойство (f1 ∗ f2 )x = f1 (f2 x) непосредственно следует из определения косинусной функции и четности функции fb. Пример 1.1.20. Пусть P X есть банахово пространство отображений x : Z → C, удовлетворяющих условию kxk = |x(n) − x(−n)| + sup |x(n)| < ∞ и lim x(n) = 0. Рассмотрим косинусную n∈Z

n≥0

|n|→∞

функцию C : R → End X , определенную формулой (C(t)x)(n) = (cos nt)x(n), n ∈ Z, t ∈ R, x ∈ X . Ясно, что C сильно непрерывна, kC(t)k 6 1 ∀t ∈ R, и не существует сильно непрерывного представления T : R → End X , удовлетворяющего условию 1/2 (T (t) + T (−t)) = C(t) ∀t ∈ R. Следовательно, изучение косинусных операторных функций не всегда сводится к изучению некоторого представления. Пример 1.1.21. Пусть G — локально компактная абелева группа. Классическими примерами L1 (G)-модулей служат функциональные пространства Lp (G, Y), 1 6 p 6 ∞ (классов эквивалентности) суммируемых в смысле Бохнера с p-ой степенью функций, принимающие значения в банаховом пространстве Y (L∞ (G, Y) — пространство существенно ограниченных сильно измеримых векторных функций). Модульная структура на Lp (G, Y) определяется формулой (1.1.2) с помощью представления (T (g)ϕ)(s) = ϕ(s + g), ϕ ∈ Lp (G, Y), g, s ∈ G, т. е. с помощью обычной операции свертки функций. Хотя представление T : G → End L∞ (G, Y) не является сильно непрерывным, это определение корректно. Среди подмодулей из L∞ (G, Y) отметим наиболее часто используемые нами подмодули C(G, Y), Cu (G, Y), AP (G, Y) и C0 (G, Y) соответственно непрерывных, равномерно непрерывных, почти периодических и стремящихся к нулю на бесконечности непрерывных функций. Если Y = C, то соответствующие подмодули будут обозначаться C(G), Cu (G), AP (G) и C0 (G) (L∞ (G, C) = L∞ (G)). Если G = Rn , то символом Cw (Rn , Y) обозначим подмодуль из L∞ (Rn , Y) периодических периода w = (w1 , . . . , wn ) ∈ Rn функций, принимающих значения в Y. 1.2.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ

ОТОБРАЖЕНИЯ

Здесь мы придерживаемся аксиоматического подхода к понятию спектра и рассматриваем банаховы модули из категории M. Символ A обозначает категорию локально компактных топологических пространств. Определение 1.2.1. Скажем, что отображение α1 : Ob M → Ob A мажорирует отображение α0 : Ob M → Ob A и будем писать α0 ≺ α1 , если α0 (X , A) ⊂ α1 (X , A) (мы пользуемся такой записью вместо записи α0 (X , A) для любого (X , A) ∈ Ob M). Отображение α : Ob M → Ob A назовем монотонным, если α(X , A) ⊂ α(Y, A) для любого подмодуля X из банахова модуля (Y, A). Пример 1.2.2 (отображение Бёрлинга). Отображение Λ1 : Ob M → Ob A определим формулой Λ1 (X , A) = Z(I), (X , A) ∈ Ob M, где Z(I) = {χ ∈ Sp A : I ⊂ Ker χ = {a ∈ A : χ(a) = 0}} — оболочка идеала I = {a ∈ A : ax = 0 ∀x ∈ X } (т. е. множество общих нулей преобразования Гельфанда элементов из I). Множество Λ1 (X , A) называют спектром Бёрлинга A-модуля X . Очевидна монотонность отображения Λ1 .

1.2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ

ОТОБРАЖЕНИЯ

11

Определение 1.2.3. Отображение Λ : Ob M → Ob A назовем спектральным, если выполнены следующие условия: 1) Λ(X , A) есть замкнутое подмножество из Sp A ∀(X , A) ∈ Ob M, причем из условия Λ(X , A) = ∅ следует, что каждый оператор TA (a)x = ax : X → X , a ∈ A является квазинильпотентным оператором; 2) ∀(X , A) ∈ Ob M ∀a ∈ A из равенства TA (a) = 0 следует, что b a(Λ(X , A)) ⊂ {0} ∈ C или, что эквивалентно, Λ ≺ Λ1 ; 3) если (X , B) ∈ Ob M и f : A → B — гомоморфизм банаховых алгебр, то Λ(X , A) ⊃ f ∗ (Λ(X , B)), где Λ(X , A) = f ∗ (Λ(X , B)), если f (A) = B. Здесь f ∗ : B ∗ → A∗ — сопряженное к гомоморфизму f отображение и X наделен структурой A-модуля; e ∩ Sp A ∀(X , A) ∈ Ob M; 4) Λ(X , A) = Λ(X , A) 5) Λ(X , A) = Λ(Y, A), если (X , A) и (Y, A) — изоморфные модули (т. е. существует непрерывно обратимый оператор T ∈ HomA (X , Y )); 6) из условия Λ1 (X0 , A) ∩ Λ(X , A) = ∅, где (X , A) ∈ Ob M и X0 — подмодуль из (X , A), следует, что сужения операторов TA (a), a ∈ A на X0 являются квазинильпотентными операторами. Отметим, что из условия 2) следует, что Λ(X ) = ∅, если X = {0}, а из условия 1) получаем, что Λ(X , A) = ∅ ⇔ X = {0}, если A содержит единицу. Совокупность всех спектральных отображений обозначим символом S(M). Значение Λ(X , A) спектрального отображения Λ на модуле (X , A) ∈ M будем называть спектром A-модуля X и часто обозначать Λ(X ), если ясен выбор алгебры A. Пример 1.2.4 («узкий» спектр). Рассмотрим отображение Λ2 : Ob M → Ob A, построив его следующим образом. Каждому модулю (X , A) из Ob M поставим в соответствие подалгебру A(X ) = P(M ) из End X , где M = {TA (a), a ∈ A}. Рассмотрим гомоморфизм Φ(a) = TA (a) : A → A(X ) и положим Λ2 (X , A) = Φ∗ (Sp A(X )). Пример 1.2.5. Рассмотрим отображение Λ3 (X , A) = Φ∗1 (Sp A1 (X )) : Ob M → Ob A, где Φ1 (a) = TA (a) : A → A1 (X ) и A1 (X ) — наименьшая полная подалгебра из End X (т. е. каждый обратимый в End X оператор из A1 (X ) обратим и в A1 (X )),содержащая операторы TA (a), a ∈ A. Пример 1.2.6. ∀(X , A) ∈ Ob M положим Λ4 (X , A) = Φ∗2 (Sp A00 (X )), где A00 (X ) ⊂ End X — бикоммутант множества операторов вида TA (a), a ∈ A, и Φ2 (a) = TA (a) : A → A00 (X ). Отображения из примеров 1.2.4–1.2.6 получаются с помощью отображений α : Ob M → Ob M, обладающих свойствами: 1) α(X , A) = (X , Aα (X )), где Aα (X ) — подалгебра из End X содержит операторы TA (a), a ∈ A, и структура Aα (X )-модуля на X определяется отображением (B, x) 7→ Bx : Aα (X ) × X → X ; 2) алгебры Aα (X ) и Aα (Y) изоморфны, если изоморфны A-модули X и Y; 3) если f : A → B — гомоморфизм алгебр A, B ∈ B и X есть B-модуль, то диаграмма f

A −→ B ↓ Φα,A ↓ Φα,B Aα (X ) −→ Bα (X ) дополняется до коммутативной с помощью некоторого гомоморфизма F : Aα (X ) → Bα (X ), где Φα,A (a) = TA (a) : A → Aα (X ). Спектральность отображения Λα (X , A) = Φ∗α,A (Sp Aα (X )) : Ob M → Ob A будет фактически установлена в теореме 1.2.10. Для описания следующих двух спектральных отображений введем некоторые дополнительные обозначения. Пусть K — коммутативное кольцо. Через E(σ) обозначим внешнюю алгебру (над K) с множеством образующих σ = {s1 , . . . , sn } (E p (σ) обозначает K-модуль, N N содержащий элементы p-ой степени в E(σ)). Если L есть K-модуль, то через L E(σ) и L E p (σ)N будут обозначаться соответственно E(σ, L) и E p (σ, L) (и будем писать axsk1 ∧ . . . ∧ skp вместо x ask1 ∧ . . . ∧ skp ). Если α = (a1 , . . . , an ) — конечный набор коммутирующих между собой элементов P из End L, то отображение ϕ 7→ α ∧ ϕ : E p (σ, L) → E p+1 (σ, L), определяемое на элементах ϕ = xk1 . . . kp sk1 ∧ . . . ∧ skp

12

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

формулой α ∧ ϕ =

P

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

aj xk1 . . .kp sj ∧ sk1 ∧ . . . ∧ skp , есть кограничный оператор на комплексе α

α

αn−1

α

0 1 n 0 → E 0 (σ, L) ' L −→ E 1 (σ, L) −→ · · · −→ E n (σ, L) ' L −→ 0.

Пусть H(L, α) = {H p (L, α)}, 0 6 p 6 n, где H p (L, α) = Ker αp / Ran αp−1 , p ≥ 0 — группы когомологий комплекса E(σ, L). Пример 1.2.7 (отображение Тейлора). Для любого модуля (X , A) из M через Λ5 (X , A) обозначим дополнение к множеству тех характеров χ ∈ Sp A, для которых существует конечный набор α = (a1 , . . . , an ) из Ker χ (рассматриваемый как элементы из End X ) такой, что H p (X , α) = {0} ∀p ≥ 0 (здесь K = C и L = X ). → Ob A определим равенством Λ(X , A) = Sp A\  Пример 1.2.8. Отображение Λ6 : Ob M 0 1 χ ∈ Sp A : ∃α = (a1 , . . . , an ) ⊂ Ker χ : H (X , α) = H (X , α) = {0} , (X, A) ∈ Ob M. Пример 1.2.9. Пусть A ∈ B, (X , A) ∈ Ob M. Множество Λ7 (X , A) = {χ ∈ Sp A : ∃ направленность (xα ) ⊂ X такая, что kxα k = 1 ∀α и lim axα − χ(a)xα = 0 ∀a ∈ A} называется аппроксимативным точечным спектром. Теорема 1.2.10. Отображения Λi (i = 1, . . . , 7) являются спектральными, Λ1  Λ2  · · ·  Λ7 , и отображения Λ1 , Λ2 и Λ7 монотонны. Доказательство. Пусть (X , A) ∈ Ob M. Докажем включения Λ1 (X ) ⊃ Λ2 (X ) ⊃ · · · Λ7 (X ). Для доказательства включения Λ1 (X ) ⊃ Λ2 (X ) заметим, что Λ2 (X ) совпадает в точности с теми характерами χ ∈ Sp A, которые допускают продолжение (вдоль гомоморфизма Φ) до некоторого характера алгебры A(X ) (Φ и A(X ) определены в примере 1.2.4). Если χ∈Λ1 (X ), то существует элемент a ∈ A такой, что ax = 0 ∀x ∈ X и b a(χ) 6= 0. Но это как раз и означает, что χ не допускает продолжения на A(X ). Для доказательства включений Λ2 (X ) ⊃ Λ3 (X ) ⊃ Λ4 (X ) рассмотрим последовательность вложений банаховых алгебр (из примеров 1.2.4–1.2.6) Φ

π

π

1 2 0 → A −→ A(X ) −→ A1 (X ) −→ A00 (X ).

Ясно, что Φ1 = π1 ◦ Φ, Φ2 = π2 ◦ Φ1 = π2 ◦ Φ1 ◦ Φ и поэтому Λ4 (X ) = Φ∗2 (Sp A00 (X )) = Φ∗ ◦ π1∗ ◦ π2∗ (Sp A00 (X )) ⊂ Φ∗ ◦ π1∗ (Sp A1 (X )) = Λ3 (X ) ⊂ Φ∗ (Sp A1 (X )) = Λ2 (X ). Включение Λ4 (X ) ⊃ Λ5 (X ) доказано Ж. Тейлором [196]. Включение Λ6 (X ) ⊂ Λ5 (X ) очевидно. Пусть χ ∈ Λ7 (X ). Тогда существует направленность (xα ) ⊂ X такая, что kxα k = 1 ∀ α и lim(axα − χ(a)xα ) = 0 ∀a ∈ A. Если бы H 1 (X , α) = {0}, то Ran α0 = Ker α1 — (замкнутое) подпространство из X . Однако этого не может быть из-за существования направленности (xα ) с указанными свойствами, т. е. H 1 (X , α) 6= 0 и поэтому χ ∈ Λ6 (X ). Доказав включения Λi (X ) ⊂ Λ1 (X ), i ≥ 2, мы тем самым установим выполнение аксиом 2) и 6) определения 1.2.3. Докажем 1). Пусть Λ7 (X ) = ∅. Поскольку Λ7 (X ) содержит границу Шилова ∂A(X ) алгебры A(X ) (см. [138]), то Sp A(X ) = ∅, т. е. Λ2 (X S) = ∅. Непосредственно из определения отображения Λ2 следует, что σ(TA (a)) ⊂ b a(Λ2 (X )) {0} ∀a ∈ A и поэтому операторы TA (a), a ∈ A, квазинильпотентны. Докажем выполнение аксиомы 3). Сделаем это вначале для Λ1 . Рассмотрим идеал I = {b ∈ B : bx = 0 ∀x ∈ X }. Тогда f −1 (I) — идеал алгебры A, содержащийся в идеале {a ∈ A : ax = 0 ∀x ∈ X }, и поэтому Λ1 (X , A) ⊃ f ∗ (Λ1 (X , B)). Включение в другую сторону имеет место, если выполнено условие f (A) = B, из которого следует, что образ любого идеала I0 ⊂ A есть идеал в алгебре B и, более того, из условия χ0 ∈ Z(I0 ) ⊂ Sp A следует, что существует χ1 ∈ Sp B такой, что f (I0 ) ⊂ Ker χ1 . Для отображений Λi , i = 2, 3, 4, имеют место равенства Λi (X , A) = f ∗ (Λi (X , A)), i = 2, 3, 4, вытекающие из коммутативности диаграммы f∗

A∗ ←− ∗ ↑ Φα,A F∗

B∗ ↑ Φ∗α,B

A∗α (X ) ←− Bα∗ (X ),

1.2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ

ОТОБРАЖЕНИЯ

13

сопряженной к диаграмме, рассмотренной после примера 1.2.6 при специальном выборе отображений α. Равенство Λ5 (X , A) = f ∗ (Λ5 (X , A)) было установлено Ж. Тейлором [196]. Остальные включения Λi (X , A) ⊂ f ∗ (Λi (X , B)), i = 6, 7, непосредственно следуют из определений. Например, если χ ∈ Λ7 (X , B), то существует направленность (xα ) ⊂ X , kxα k = 1, такая, что lim axα − χ(b)aα = 0 ∀a ∈ B. Следовательно, f (a)xα − f ∗ (χ(a))xα = f (a)xα − χ(f (a))xα → 0, т. е. f ∗ (χ) ∈ Λ7 (X , A). Если f (A) = B, то существует характер χ1 ∈ Sp B такой, что f ∗ (χ1 ) = χ0 и поэтому существует направленность (yα ) ⊂ X , kyα k = 1, такая, что lim(f (a)yα − χ1 (f (a)yα ) = 0, т. е. χ1 ∈ Λ7 (X , B). Выполнение аксиомы 5) очевидно. e ∩ Sp A, i = 1, 7, были установлены в статье [138]. Для отображеРавенства Λi (X , A) = Λi (X , A) e ний Λi , 2 6 i 6 6 такие равенства следуют из свойства Λi (X , A) = f ∗ (Λi (X , A)), i = 2, . . . , 6, где ∗ e e f : A → A — гомоморфизм вложения алгебр, и равенства f (Sp A) = Sp A. Монотонность отображений Λ1 , Λ2 и Λ7 легко следует из определений. Для спектральных отображений Λ1 и Λ7 , равенства Λi (X , B) = f ∗ (Λi (X , A)), i = 1, 7, могут не выполняться (см. свойство 3) из определения 1.2.3. Пример 1.2.11. Пусть A = A(D) — алгебра из примера 1.1.5, где D = {z ∈ C :| z |6 1} и B = C(D). Пусть f : A(D) → C(D) — гомоморфизм вложения алгебр и X = C(T) есть C(D)
модуль (f ϕ)(z) = f (z)ϕ(z) ∀f ∈ C(D) ∀ϕ ∈ C(T) . Тогда ясно, что Λ1 (X , A(D)) = D 6= Λ1 (X , C(D)) = T. В следующих примерах показано различие отображений Λi , 1 6 i 6 7. Пример 1.2.12. Рассмотрим произвольный компакт K из D = {z ∈ C : |z| 6 1}. Банахово пространство C(K) рассмотрим в качестве A(D)-модуля ((f ϕ)(z) = f (z)ϕ(z) ∀f ∈ A(D) ∀ϕ ∈ C(K) ∀z ∈ K). Тогда в силу теоремы единственности для голоморфных функций Λ1 (C(K), A(D)) = D, если K — бесконечное множество, Λ2 (C(K), A(D)) совпадает с K в объединении с открытыми множествами из D\K, не лежащими в одной компоненте связности с т. ∞, Λ3 (C(K), A(D)) = K. Отличие отображений Λ4 и Λ5 отмечено Ж. Тейлором [197]. Оно объясняется следующим обстоятельством. Если K — компакт из Cn , n ≥ 2, и (Tk ϕ)(z) = zk ϕ(z) : C(K) → C(K), k = 1, . . . , n, то Sp P(M )00 , где M = {T1 , . . . , Tn }, совпадает с голоморфной оболочкой компакта K, а Λ5 (C(K), P(M )) = K. Пример 1.2.13. В банаховом пространстве A(D2 ), где D2 = D × D ⊂ C2 , D = {z ∈ C : |z| 6 1}, рассмотрим линейные операторы (Ti ϕ)(z) = zi ϕ(z), i = 1, 2, ϕ ∈ A(D2 ) и подалгебру A из End A(D2 ) ими порожденную. Образом операторов из A служит идеал функций из A(D2 ), равных нулю в т. (0, 0) ∈ D2 и поэтому (0, 0) ∈ Λ5 (A(D2 ), A). С другой стороны, H 0 (A(D2 ), α) = H 1 (A(D2 ), α) = {0}, где α = (T1 , T2 ), т. е. (0, 0)∈Λ6 (A(D2 ), A). Пример 1.2.14. Банахову алгебру A(D), D = {z ∈ C : |z| 6 1}, рассмотрим в качестве A(D)модуля. Тогда Λ7 (A(D)) = T, т. е. 0 ∈Λ7 (A(D)). Если α = (p1 , . . . , pn ) — произвольные полиномы из идеала I0 = {ϕ ∈ A(D) : ϕ(0) = 0}, то ясно, что H 1 (A(D)), α) 6= {0}. Ввиду плотности полиномов в A(D), имеем H 1 (A(D)), α) 6= {0} для любого набора α = (f1 , . . . , fn ) из I0 . Наконец заметим, что рассматривая прямую сумму подходящих банаховых модулей, получим, что существует такой банахов модуль (X , A), что Λi (X ) 6= Λj (X ), 1 6 i, j 6 7, i 6= j. В отличие от отображений Λ1 , Λ2 и Λ7 отображения Λi , 3 6 i 6 5, не являются монотонными. Пример 1.2.15. В гильбертовом пространстве L2 (Z) рассмотрим оператор сдвига (T x)(n) = x(n + 1), x ∈ L2 (Z), n ∈ Z, и наделим L2 (Z) структурой P(T )-модуля (см. пример 1.2.4). Ясно, что подпространство M = {x ∈ L2 (Z) : supp x ⊂ Z+ } есть подмодуль из L2 (Z) и Λ3 (M ) = Λ5 (M ) = {z ∈ C : |z| 6 1} = Sp P(T ) = σ(T /M ). Например, 0 ∈ Λ5 (M ) ⊂ Λ3 (M ), так как объединение образов операторов из идеала {a ∈ P(T ) : b a(0) = 0} не совпадает с M . С другой стороны, Λ3 (L2 (Z)) = Λ5 (L2 (Z)) = T ⊂ {z ∈ C : |z| 6 1}. В следующем примере показано, что квазинильпотентность операторов TA (a)x = ax : X → X , (X , A) ∈ Ob M, вообще говоря, не влечет пустоту множества Λ1 (X , A).

14

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Пример 1.2.16. Пусть I = {ϕ ∈ A(D) : ϕ(0) = 0}, D = {z ∈ C : |z| 6 1} — идеал алгебры P A(D). Пусть X –подмножество из I ∗ функционалов вида ξ = αk dk , где dk ϕ = ϕ(k) (0) с kξk = k≥1 P P |αk |k!, αk ∈ C. Структуру I-модуля на X зададим формулой f ξ = αk f dk , где f dk определяk≥1

k≥1

ется структурой I-модуля I ∗ . Из равенств (f dk )(x) = dk (f x) =

k−1 P j=1

dk (f n x) =

k−1 P j=1

Ckj dk−j (f n )dj (x) =

kf ξk 6 Constkf kkξk ∀f ∈ I

Ckj dk−j (f )dj (x), (f n dk )(x) =

k−1 P

Ckj n(n − 1) · · · (n − k + j)dk−j (f )dj (x) получаем, что p ∀x ∈ X и lim n kf n ξk = 0 ∀ξ ∈ X ∀f ∈ I, т. е. операторы j=k−n

n→∞

TI (f )x = f x : X → X квазинильпотентны. Поэтому Λ2 (X , I) = ∅. Однако из условия f dk = 0 для f ∈ I следует, что dk f = 0 ∀k ≥ 1 и, следовательно, f = 0. Поэтому Λ1 (X , I) = Sp I = D\{0}. Замечание 1.2.17. Пусть Λ ∈ S(M). Тогда наряду с Λ можно строить новые спектральные отображения. Например, такими являются: Λ∗ (X , A) = Λ(X ∗ , A), Λ0 (X , A) = ∩Λ(Y, A), где пересечение берется по всем расширениям (Y, A) модуля (X , A) и в предположении, что Λ мажорирует некоторое монотонное отображение. Определение спектра можно распространить на векторы (и произвольные подмножества) из банаховых модулей. Определение 1.2.18. Пусть Λ ∈ S(M), (X , A) ∈ Ob M и M — подмножество из X . Спектром Λ(M, A) (или Λ(M )) множества M называется спектр Λ([M ], A) наименьшего замкнутого подмодуля [M ] из (X , A), содержащего множество M . Далее [x] — наименьший (замкнутый) подмодуль из (X , A), содержащий вектор x. Если M состоит из одного вектора x, то спектр его будет обозначаться Λ(x, A) или Λ(x). Ясно, что Λ1 (x) = Λ1 ([x]) = {x ∈ Sp A : I ⊂ Ker χ} = Z(I), где I = {a ∈ A : ax = 0}. Свойства отображения λ1 (x) = Λ1 (x), λ1 : X → P (Sp A), где P (Sp A) - совокупность замкнутых подмножеств из Sp A, содержит Лемма 1.2.19. Имеют место следующие утверждения: p 1) из условия λ1 (x) = ∅, x ∈ X , следует, что lim n kan xk = 0 n→∞

∀a ∈ A;

2) λ1 (w) ⊂ λ1 (x) ∩ λ1 (y), если x, y и w — элементы из A- модулей X , Y и W соответственно и w = f (x, y), где f : X × Y → W есть A-билинейный оператор (т. е. af (x1 , y1 ) = f (ax1 , y1 ) = f (x1 , ay1 ) ∀ x1 ∈ X ∀ y1S∈ Y); 3) λ1 (x1 + x2 ) ⊂ λ1 (x1 ) λ2 (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X ; 4) λ1 (T x) ⊂ λ1 (x) ∀ T ∈ EndA X ; 5) λ1 (ax) ⊂ λ1 (a, A) ∩ λ1 (x) ∀a ∈ A ∀x ∈ X ; 6) ax = 0 (соответственно ax = x), если A содержит единицу и λ1 (a, A) ∩ λ1 (x) = ∅ (если соответственно λ1 (1 − a, A) ∩ λ1 (x) = ∅); 7) λ1 (F ) = ∪λ1 (x), x ∈ F , для произвольного подмножества F ⊂ X . Доказательство. Докажем 1). Из условия λ1 (x) = ∅ следует, что λ1 ([x], A) = ∅ и поэтому в силу теоремы 1.2.10 сужения операторов TA (a) = ax, a ∈ A на наименьший содержащий вектор x замкнутый подмодуль [x] есть квазинильпотентные операторы. Докажем 2). Если χ∈λ1 (x) ∩ λ1 (y)(для определенности пусть χ∈λ1 (x)), то существует элемент a ∈ A такой, что b a(χ) 6= 0 и ax = 0. Тогда aw = f (ax, y) = 0, т. е. χ∈λ1 (w). Утверждение 3) доказывается аналогично. Свойства 4) и 5) отображения λ1 следуют из 2), если заметить, что отображения x 7→ T x : X → X , (a, x) 7→ ax : B × X → X являются A-билинейными операторами. Если λ1 (a, A) ∩ λ1 (x) = ∅, то λ1 (ax) = ∅ и поэтому ax = 0 в силу утверждения 1), поскольку A содержит единицу. Из условия λ1 (1 − a) ∩ λ1 (x) = ∅ следует, что (a − 1)x = 0. Докажем 7). В силу монотонности отображения Λ1 и замкнутости множества λ1 (F ) имеем S ∆ = λ1 (x) ⊂ λ1 (F ). Если χ∈λ1 (F ), то существует элемент a ∈ A, такой, что b a(χ) 6= 0 и x∈F

ax = 0 ∀x ∈ F. Следовательно, χ∈∆.

1.2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ

ОТОБРАЖЕНИЯ

15

При исследовании структуры подмодулей данного A-модуля X важным является наличие отображений λ : X → P (Sp A), обладающих свойствами 1), 3) и 4) отображения λ1 . Отображения из определения 1.2.18, вообще говоря, такими свойствами не обладают. Пользоваться отображением λ1 не всегда удобно, например, ввиду того, что множество λ1 (x) может быть слишком большим. Определение 1.2.20. Пусть Λ ∈ S(M) и (X , A) ∈ Ob M. Отображение Λ : X → P (Sp A) назовем локальным Λ-спектральным отображением, еслиp 1) из условия λ(x) = ∅, x ∈ X следует, что lim n kan xk = 0 ∀a ∈ A; n→∞

2) λ(x1 + x2 ) ⊂ λ(x1 ) ∪ λ(x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X ; 3) λ(f (x)) ⊂ λ(x) ∀f ∈ EndA X ∀x ∈ X ; 4) λ(x) ⊂ Λ(F ) ∀ подмодуля F ⊂ X , содержащего x. Определение 1.2.21. Модуль (X , A) ∈ Ob M назовем однолистным (соответственно сильно однолистным), если для любого конечного набора α = L(a1 , . . . , an ) ⊂ A и любого открытого множества U ⊂ Cn имеем H n−1 (C ∞ (U, X ), αz ∂) = {0} (соответственно L i ∞ ∞ H (C (U, X ), αz ∂) = {0} ∀i, 0 6 i 6 n − 1). Здесь C (U, X ) — модуль бесконечно дифференцируемых на U X -значных функций, рассматриваемый над кольцом A(U, End X  ) голоморфных  ∂ ∂ n операторозначных функций, αz = (z1 1−a1 , . . . , zn 1−an ), z = (z1 , . . . , zn ) ∈ C , ∂ = ,··· , ∂z 1 ∂z n n n L P P ∂ и αz ∂= (zi 1 − ai )si + ∂zi dz i — кограничный оператор в комплексе E(σ, L) (см. его опреi=1

i=1

деление перед примером 2.7), где σ = {s1 , . . . , sn , dz 1 , . . . , dz n }, L = C ∞ (U, X ), K = A(U, End X ). Пример 1.2.22. Пусть (X , A) ∈ Ob M — однолистный модуль, a = (a1 , . . . , an ) — конечный набор из A и x ∈ X . Через σ(x, a) обозначим дополнение в Cn к тем z = (z10 , . . . , zn0 ) ∈ Cn , для которых существуют открытое множество U ⊂ Cn , содержащее точку z, и ϕ ∈ E n−1 (σ, C ∞ (U, X )) n L P V V V V ∂ такое, что (α ∂)ϕ(z) = ( (zi − ai )si + dz i ) ϕ(z) = x s1 . . . sn . ∂z i i=1 Определим отображение λ5 : X → P (Sp A), задав его равенством λ5 (x) = ∩ b a−1 (σ(x, a)), −1 где пересечение берется по всем конечным наборам a = (a1 , . . . , an ) из A и где b a (σ(x, a)) = {χ ∈ Sp A : (b a1 (χ), . . . , b an (χ)) ∈ σ(x, a)}. Пример 1.2.23. Пусть (X , A) — однолистный модуль и x ∈ X . Определим множество λ4 (x) как дополнение к тем χ ∈ Sp A, для которых существуют конечный набор a = (a1 , . . . , an ) из A, n−1 (σ, A(U, X )), σ = открытое множество U ⊂ Cn , содержащее точку (b a1 (χ), an (χ)), V ...,b V и ϕV∈ E (s1 , . . . , sn ) такие, что [(z1 − a1 )s1 + · · · + (zn − an )sn ] ϕ(z) = xs1 . . . sn . Пример 1.2.24. Пусть банахова алгебра A имеет элемент a, преобразование Гельфанда которого разделяет Sp A и, следовательно, Sp A гомеоморфен σ(a) ⊂ C (см. пример 1.1.6). Пусть (X , A) ∈ Ob M обладает свойством: для любого открытого множества U ⊂ C из условия (a − z)ϕ(z) = 0, ϕ ∈ A(U, X ) ∀z ∈ U следует, что ϕ = 0. Элемент a, cледуя [45] назовем элементом, обладающим свойством однозначного распространения (сокращенно, с.о.р.). Рассмотрим отображение σ : X → P (Sp A) = P (σ(a)), определив σ(x), x ∈ X , как дополнение в C к множеству тех z0 ∈ C, для которых существует функция ϕ ∈ A(U, X ), где U — некоторое открытое множество из C, содержащее т. z0 , такая, что (a − z)ϕ(z) = x ∀z ∈ U. Отметим, что для того, чтобы элемент a не обладал с.о.р. необходимо и достаточно, чтобы существовали z0 ∈ σ(a), (xn ) ⊂ X , такие, что (a − z0 )x0 = 0, (a − z0 )x1 = x0 , . . . , (a − z0 )xn = xn−1 , . . . ; sup kxn k < ∞, xn 6= 0, n ≥ 1. n≥1

Теорема 1.2.25. Пусть (X , A) ∈ Ob M. Тогда 1) λ1 : X → P (Sp A) — локальное Λ1 -спектральное отображение; 2) если X — однолистный модуль, то λ4 и λ5 -локальные соответственно Λ4 и Λ5 спектральные отображения; 3) отображение σ : X → P (σ(a)) — локальное Λ5 -спектральное отображение, если (X , A) — модуль из примера 1.2.24.

16

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Доказательство. Утверждение 1) следует из леммы 1.2.19. Непосредственно из определения отобe ∩ Sp A, i = 4, 5, x ∈ X , и поэтому можно ражений λi , i = 4, 5, следует, что λi (x, A) = λi (x, A) e считать, что A содержит единицу (ибо A также однолистный модуль). Аксиомы 2), 3) и 4) из определения 1.2.20 очевидно выполнены для λ4 и λ5 , а выполнение аксиомы 1) следует из работы С. Фрунзе [151]. Например, для отображения σ она доказывается так. Если σ(x) = ∅ для x ∈ X , то существует голоморфная функция f : C → X такая, что (a − z)f (z) = x ∀z ∈ C. Для |z| > kak функция f (z) = (a − z1)−1 x и, следовательно, kf (z)k → 0 при z → ∞. Поэтому f = 0 в силу теоремы Лиувилля, т. е. x = 0. 1.3.

СПЕКТРАЛЬНО

РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ

Пусть A — (коммутативная) банахова алгебра. Поскольку её можно рассматривать в качестве Aмодуля (см. пример 1.1.11), то для A можно использовать все понятия и результаты из раздела 1.2. Здесь будут систематически использоваться отображения λ1 : X → P (Sp A), (X , A) ∈ Ob M. Определение 1.3.1. Пусть Λ ∈ S(M). Банахов A-модуль X назовем модулем с компактным e не содержит точки ∞ (и, значит, Λ(X , A) — спектром (относительно Λ), если множество Λ(X , A) компакт в Sp A). Если λ : X → P (Sp A) есть локальное Λ-спектральное отображение, то вектор x ∈ X называется вектором с компактным спектром (относительно λ), если существует Λ-спектральное e : (X , A) e A)∩Sp e e → P (Sp A) e такое, что λ(y, A) = λ(y, e локальное отображение λ A ∀y ∈ X и ∞∈λ(x). e1 (x) = λ1 (x, A) e1 (x) — спектр e (т. е. λ Отметим, что если λ = λ1 , то далее считается, что λ e Берлинга вектора x, рассматриваемого в качестве вектора из A-модуля X ). Из примера 1.2.16 следует, что компактность множества Λ(X , A) (λ(x, A)) не влечет условия e e (∞∈λ(x)). ∞∈Λ(X , A) Определение 1.3.2. Элемент a ∈ A назовем единицей на множестве σ из Sp A, если e ∩ σ = ∅. λ1 (a − 1, A) Утверждения следующей леммы непосредственно следуют из леммы 1.2.19 и дополняют её содержание. Лемма 1.3.3. Пусть (X , A) ∈ Ob M и вектор x ∈ X имеет компактный спектр λ1 (x). Тогда 1) из условия λ1 (x) = ∅ следует, что x = 0; 2) векторы вида ax, a ∈ A, имеют компактный спектр λ1 (ax); 3) ax = 0, если λ1 (a) ∩ λ1 (x) = ∅, a ∈ A; 4) ax = x, если a ∈ A есть единица на λ1 (a). Определение 1.3.4. Алгебру A с единицей назовем спектрально регулярной, если для любого компакта ∆ из Sp A и любого χ0 ∈∆ существует элемент a ∈ A, такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и λ1 (a) ∩ ∆ = ∅. Произвольную банахову алгебру B назовем спектрально регулярной, если спектрально регулярe на алгебра B. Определение 1.3.5. Алгебра A с единицей называется алгеброй Шилова, если она полупроста, т. е. её радикал Rad A нулевой и регулярна, т. е. для любого компакта ∆ ⊂ Sp A и любого χ0 ∈ Sp A\∆ существует элемент a ∈ A, такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и supp b a ∩ ∆ = ∅. Произвольная e банахова алгебра B называется алгеброй Шилова, если алгеброй Шилова является алгебра B. Если A — алгебра Шилова, то из равенства λ1 (a) = supp b a, a ∈ A следует, что A — спектрально регулярная алгебра. В частности, такой алгеброй является алгебра Lα (G) из примера 1.2 [136]. Отметим также, что каждая спектрально регулярная алгебра B регулярна (т. е. алгебра B/ Rad B — алгебра Шилова). Однако спектрально регулярные алгебры могут содержать нетривиальный радикал (см. раздел 1.4). Оставшуюся часть параграфа посвятим доказательству существования разбиения единицы для спектрально регулярных алгебр. Тем самым известные результаты Г. Е. Шилова (см. [34, 36, 100]) будут распространены на достаточно широкий класс алгебр с радикалом.

1.3. СПЕКТРАЛЬНО

17

РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ

Определение 1.3.6. Пусть Λ ∈ S(M) и (X , A) ∈ Ob M. Подмодуль F из X назовем Λe ⊂ Λ(F, A). e спектральным, если F содержит всякий подмодуль F0 ⊂ X , такой, что Λ(F0 , A) Это определение обобщает понятие максимального спектрального подпространства линейного оператора, данного Фойашем (см., например, [45, 150] и ср. с подходом из [66]). Лемма 1.3.7. Пусть A — спектрально регулярная алгебра и X — банахов A-модуль. Тогда совокупность всех Λ1 -спектральных подмодулей модуля X совпадает с подмодулями вида X (σ) = {x ∈ X : λ1 (x) ⊂ σ}, если σ — некомпактное множество из P (Sp A), и X (σ) = {x ∈ X : λ1 (x) ⊂ σ, x имеет компактный спектр}, если σ — компакт из Sp A. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что A содержит единицу. Из определения множества X (σ) и утверждений 3)-7) леммы 1.2.19 следует, что X (σ) есть Λ1 -спектральный подмодуль, если σ ∈ P (Sp A). Обратно, если F — произвольный Λ1 -спектральный подмодуль из X , то ясно что F = X (σ), где σ = Λ1 (F ). Поэтому осталось доказать замкнутость X (σ) для σ ∈ P (Sp A). Если это не так, то существуют σ ∈ P (Sp A) и последовательность (xn ) ⊂ X (σ), сходящаяся к вектору x ∈X (σ). Пусть χ0 ∈ λ1 (x)\σ. Тогда в силу спектральной отделимости A существует элемент a ∈ A такой, что ax 6= 0, b a(χ0 ) 6= 0 и λ1 (a) ∩ σ = ∅. С другой стороны, λ1 (ax) ⊂ λ1 (a) ∩ λ1 (x) = ∅ и поэтому ax = 0. Получено противоречие. В следующем примере показано, что условие спектральной регулярности алгебры A в лемме 1.3.7 существенно. Пример 1.3.8. Пусть H — гильбертово пространство с ортонормированным базисом (e1 , e2 , . . .) и (λn ) — сходящаяся к нулю последовательность из C с |λn | < 1 ∀n ≥ 1. Пусть оператор A ∈ End H определен на базисных векторах равенствами Ae1 = λ1 e1 , Aen = en−1 + λn en , n = 2, 3, . . . . Рассмотрим R(A)-модуль H (см. пример 1.1.12). Тогда Λ3 (H) = pσ(A) = Sp R(A) и, поскольку Λ1 (H) ⊃ Λ3 (H), то Λ1 (H) = σ(A). Ввиду того, что r(A) = lim n kAn k = 1, то σ(A) n→∞

содержит число λ0 ∈ C с |λ0 | = 1. С другой стороны, подпространства Hn , n ≥ 1, порожденные векторами e1 , . . . , en , инвариантны относительно A, σ(A|H Λ1 (Hn ) = S S n ) = {λ1 , . . . , λn }, и поэтому S {λ1 , . . . , λn }. Следовательно, Hn ⊂ H(σ), где σ = {0} {λn }n≥1 . Поскольку Hn плотно в H, то из утверждения 7) леммы 1.2.19 получаем, что H(σ) не является замкнутым подмодулем в H. Лемма 1.3.9. Пусть I — некоторый (замкнутый) идеал из спектрально регулярной алгебры A, содержащей единицу, и σ — компакт из Sp A, для которого σ ∩ Z(I) = ∅. Тогда существует элемент a ∈ I такой, что a − 1 принадлежит идеалу Aσ = {a ∈ A : λ1 (a) ∩ σ = ∅}. Доказательство. Рассмотрим факторалгебру A/Aσ . Известно (см. [34, 100]), что спектр Sp A/Aσ факторалгебры A/Aσ совпадает с оболочкой Z(Aσ ) идеала Aσ . Вначале докажем, что Z(Aσ) = σ. Действительно, если χ0 ∈ σ и a ∈ Aσ , то a = lim an , где (an ) ⊂ Aσ и λ1 (an ) ∩ σ = ∅ ∀n ∈ N. Следовательно, an ∈ Ker χ0 ∀ ∈ N, и поэтому a ∈ Ker χ0 , т. е. χ0 ∈ Z(Aσ ). Если же χ0 ∈σ, то существует элемент b ∈ Aσ такой, что bb(χ0 ) = χ0 (b) 6= 0, т. е. χ0 ∈Z(Aσ ). Далее используем известный прием Г. Е. Шилова (см. [34, 100]) перехода к факторалгебре по идеалу, примененный им при доказательстве нормальности регулярной алгебры. Докажем, что образ I 0 рассматриваемого идеала I при каноническом гомоморфизме A → A/Aσ совпадает со всей факторалгеброй A/Aσ . Если предположить I 0 6= A/Aσ , то I 0 есть идеал в A/Aσ и поэтому он содержится в некотором максимальном идеале M алгебры A/Aσ . Но тогда I содержится в ядре некоторого характера χ ∈ σ, что невозможно. Следовательно, I 0 = A/Aσ и, в частности, I 0 содержит единицу 10 алгебры A/Aσ , т. е. существует элемент a ∈ I, переходящий в 10 при каноническом гомоморфизме A → A/Aσ . Единица 1 ∈ A также отображается в 10 при этом гомоморфизме и поэтому a − 1 ∈ Aσ . Определение 1.3.10. Назовем банахову алгебру A сильно нормальной, если для любых непересекающихся замкнутых множеств ∆1 , ∆2 из Sp A, одно из которых (скажем, ∆1 ) компактно, существует элемент a ∈ A с компактным спектром λ1 (a), удовлетворяющий условиям: e1 (a − 1) ∩ ∆1 = ∅ (a — единица на ∆1 ); 2) λ e1 (a) ∩ ∆2 = ∅. 1) λ

18

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Теорема 1.3.11. Любая спектрально регулярная алгебра A сильно нормальна. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что A содержит единицу. Пусть ∆1 и ∆2 — непересекающиеся компакты из Sp A. Рассмотрим открытые множества U1 и U2 из Sp A такие, что ∆1 ⊂ U1 , ∆2 ⊂ U2 , а их замыкания σi = U i , i = 1, 2, не пересекаются. Применяя лемму 1.3.9 к идеалу I = Aσ1 и множеству σ = σ2 , получим, что существует элемент a ∈ Aσ1 такой, что a − 1 ∈ Aσ . Из определения идеалов Aσ1 и Aσ2 следует существование последовательностей (an ), (bn ) ⊂ A таких, что a = lim an , λ1 (an ) ∩ σ1 = ∅ и a − 1 = lim bn , λ1 (bn ) ∩ σ2 = ∅. Ясно, что an ∈ A(α1 ), bn ∈ A(α2 ) ∀ n ∈ N, где αi = Sp A\Ui , i = 1, 2. Применяя лемму 1.3.7 к A-модулю A, получаем, что λ1 (a − 1) ∩ ∆1 = ∅ и λ1 (a) ∩ ∆2 = ∅. Теорема 1.3.12 (о разбиении единицы в спектрально регулярной алгебре). Пусть A — спектрально регулярная алгебра и {Ui }, 1 6 i 6 n — открытое покрытие Sp A такое, что U i , 1 6 i 6 n — компактные множества. Тогда для любого элемента a ∈ A существуют элементы a1 , . . . , an+1 из A со свойствами: 1) ak имеют компактный спектр и λ1 (ak ) ⊂ Uk , 1 6 k 6 n; e что 2) a = a1 + · · · + an+1 ; кроме того, можно указать такие элементы e1 , . . . , en+1 из B, присоединённая к B единица 1 допускает представление 1 = e1 + · · · + en + een+1 , причем e ⊂ Ui , 1 6 i 6 n, λ1 (en+1 , A) e ⊂ Un+1 ∪ {∞}. λ1 (ei , A) Доказательство теоремы проводится методом индукции и повторяет (с использованием теоремы 1.3.11) обычные рассуждения, используемые при доказательстве существования разбиения единицы в алгебрах Шилова с единицей (см. [75, 100]). В результате получим, что существуют элеe1 (ek ) ⊂ Uk , k = 1, . . . , n + 1, 1 = e1 + · · · + en+1 , менты e1 , . . . , en+1 из A, обладающие свойствами λ e тоесли A имеет единицу. Если A не содержит единицы, то следует рассмотреть алгебру A; e подчиненное покрытию гда a = ae1 + · · · + aen+1 , если e1 , . . . , en+1 — разбиение единицы в A, S e e U1 , . . . , Un , Un+1 (где Un+1 = Un+1 {∞}). Ясно, что элементы ak = aek , 1 6 k 6 n + 1, обладают требуемыми свойствами. Следствие 1.3.13. Пусть F — некоторый подмодуль из банахова модуля X над спектрально регулярной алгеброй A с единицей, и пусть для вектора x ∈ X и для любого характера χ из λ1 (x) существует вектор y ∈ F, такой, что χ∈λ1 (x − y). Тогда x ∈ F. Данное следствие, примененное к A-модулю A, содержит результат Г. Е. Шилова (см. [100]), полученный им для алгебр Шилова. Следствие 1.3.14. Пусть A — спектрально регулярная алгебра, σ — компакт из Sp A и a — элемент из A такой, что b a(χ) 6= 0 ∀ χ ∈ σ. Тогда существует элемент b ∈ A такой, что ab имеет компактный спектр и ab есть единица на компакте σ. Для доказательства достаточно заметить, что образ элемента a при каноническом гомоморфизме A → A/Aσ является обратимым элементом в факторалгебре A/Aσ и далее следует использовать рассуждения из доказательства леммы 1.3.9. Следствие 1.3.15. Если A — спектрально регулярная алгебра, то для любых компакта σ ⊂ Sp A из множества G ⊂ Sp A, такого, что Sp A\G — компакт, алгебры A(σ) и A/A(G) содержат единицу. 1.4. КРИТЕРИИ

СПЕКТРАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР

Основная теорема этого параграфа, сформулированная в терминах разложимости (по Фойашу) регулярных представлений алгебры, дает необходимое и достаточное условие спектральной регулярности банаховой алгебры. Пусть Y — банахово пространство и A ∈ End Y. Рассмотрим Y в качестве R(A)-модуля. Если оператор A как элемент из R(A) обладает свойством с.о.р. (см. примеры 1.1.6, 1.1.12 и 1.2.24), то отображение σA = σ : X → P (σ(A)) = P (Sp R(A)) (см. пример 1.2.24) является локальным Λ5 -спектральным отображением (см. утверждение 3) теоремы 1.2.25). Кроме отображения σA , в параграфе будут использованы некоторые результаты из теории разложимых (по Фойашу) операторов (см. [45, 130, 139, 163]).

1.4. КРИТЕРИИ

СПЕКТРАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР

19

Лемма 1.4.1. Если X — банахов модуль над спектрально регулярной алгеброй B, то каждый оператор вида Ax = ax : X → X , a ∈ B, разложим, причем σA (x) = b a(λ1 (x)) для всех элементов x из модуля X . Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что B содержит единицу. Пусть a — произвольный элемент из B. Сначала докажем, что резольвента оператора Ax = ax, x ∈ X , обладает свойством с.о.р. (см. пример 1.2.24). Если это не так, то существует голоморфная функция f, определенная на открытом множестве D(f ) ⊂ C, такая, что f (λ0 ) 6= 0 и (λ1−a)f (λ) = 0 ∀λ ∈ V, где V ⊂ D(f ) — компактная связная окрестность некоторой точки λ0 ∈ σ(A) ⊂ σ(a) = b a(Sp B). e0 — другая точка из V , в которой f (λ e0 ) 6= 0, и пусть V1 ⊂ V — компактная окрестность Пусть λ e0 , не содержащая λ0 . Из определения спектра Берлинга и равенства (λ0 1 − a)f (λ0 ) = 0 точки λ получаем, что λ1 (f (λ0 )) ∩ b a−1 (V1 ) = ∅. Если элемент b ∈ B таков, что λ1 (b − 1) ∩ λ1 (f (λ0 )) = ∅ и −1 λ1 (b)∩ b a (V1 ) = ∅ (см. теорему 1.3.11), то bf (λ0 ) = f (λ0 ) 6= 0 и поэтому функция f1 (λ) = bf (λ) — ненулевая голоморфная функция на множестве V, причем (λ1 − a)f1 (λ) = 0 ∀λ ∈ V. Поскольку e0 ) ∈ X (∆), где ∆ = λ1 (b). Поэтому для спектра σ(A|X (∆)) λ1 (f1 (λ)) ⊆ λ1 (b) ∀λ ∈ V, то f1 (λ сужения A на X (∆) из теоремы 1.2.10 получаем, что σ(A|X (∆)) = b a(Λ3 (X (∆)) ⊂ b a(Λ1 (X (∆)) ⊂ b a(∆), e0 1 − A имеет ограниченный обратный на X (∆). Следовательно, f1 (λ) = bf (λ) = 0 т. е. оператор λ ∀λ ∈ V. Получено противоречие. Теперь докажем, что имеет место равенство σA (x) = b a(λ1 (x)) ∀x ∈ X . Если µ0 ∈ b a(λ1 (x)), то это означает, что оператор µ0 1−A имеет ограниченный обратный на наименьшем содержащем вектор x подмодуле [x] из X (в силу включения b a(λ1 (x)) ⊃ b a(λ3 ([x])). Поскольку оператор A обладает с.о.р., то µ0 ∈ σA (x) и, следовательно, σA (x) ⊂ b a(λ1 (x)). Обратно, пусть µ0 ∈σA (x); предположим, что µ0 ∈ b a (λ1 (x)) и пусть χ0 ∈ λ1 (x) — характер, для которого b a(χ0 ) = µ0 . Рассмотрим компактную окрестность U точки µ0 , непересекающуюся с множеством σA (x) и элемент b ∈ B такой, что bb(χ0 ) 6= 0 и λ1 (b) ⊂ b a−1 (U ). Тогда bx 6= 0, хотя из включений σA (bx) ⊂ σA (x), σA (bx) ⊂ U следует, что σA (bx) = ∅, т. е. bx = 0. Получено противоречие. Установим разложимость оператора A (см. определение 1.6.14). Пусть {Ui }, 1 6 i 6 n — некоторое открытое покрытие множества σ(A). Рассмотрим открытое покрытие Sp B открытыми множествами Gi = b a−1 (Ui ), 1 6 i 6 n. В силу теоремы 1.3.12 существуют элементы a1 , . . . , an ∈ B такие, что λ1 (ak ) ⊂ Gk , k = 1, . . . , n, и a1 + · · · + an = 1. Следовательно, x = a1 x + · · · + an x ∀x ∈ X , где ak x ∈ X (σk ), σk = λ1 (ak ), т. е. X = X (σ1 ) + · · · + X (σn ). Из доказанного равенства σA (x) = b a(λ1 (x)), x ∈ X , и включений σ(A|X (σi )) ⊂ b a(Λ1 (X (σi )) ⊂ b a(σi ) ⊂ Ui следует, что X (σi ) — максимальные спектральные подпространства оператора A (или, что эквивалентно, Λ5 спектральные подмодули из R(A)-модуля X ). Поэтому оператор A разложим. Дадим еще одно определение спектрально регулярной алгебры. Определение 1.4.2. Коммутативную банахову алгебру A назовем спектрально регулярной, если выполнены следующие два условия: 1) для любых двух различных характеров χ1 и χ2 из Sp A существуют элементы a1 , a2 ∈ A такие, что b a1 (χ1 )b a2 (χ2 ) 6= 0 и a1 a2 = 0; 2) для любого характера χ0 ∈ Sp A существуют элементы a0 , b0 ∈ A такие, что b a0 (χ0 ) 6= 0 и a0 + a0 b0 = 0. Отметим, что условие 2) в этом определении гарантирует существование элементов a1 = a0 и e которые удовлетворяют условию 1) этого определения для χ1 = χ0 и a2 = 1 + b0 из алгебры A, χ2 = ∞. Следовательно, A спектрально регулярна в смысле определения 1.4.2 тогда и только тогда, e т. е. она удовлетворяет условиям следующего определения. когда спектрально регулярна алгебра A, Определение 1.4.3. Коммутативную банахову алгебру A с единицей назовем спектрально регулярной, если для неё выполнено условие 1) определения 1.4.2. Лемма 1.4.4. Определения 1.4.2 и 1.3.4 эквивалентны.

20

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Доказательство. Определения 1.4.2 и 1.3.4 таковы, что можно считать единицу принадлежащей рассматриваемой алгебре A. Если A спектрально регулярна в смысле определения 1.3.4, то из теоремы 1.3.11 (и даже из леммы 1.3.9) следует ее спектральная регулярность в смысле определения 1.4.2. Пусть теперь A спектрально регулярна по определению 1.4.2. Рассмотрим произвольный компакт σ из Sp A и χ0 ∈ Sp A\σ. Тогда для любого χ ∈ σ найдется пара элементов aχ , bχ ∈ A, удовлетворяющих условиям: b aχ (χ0 )bbχ (χ) 6= 0 и aχ bχ = 0. Следовательно, существует конечное число характеров χ1 , . . . , χn таких, что b aχi (χ0 ) 6= 0, 1 6 i 6 n, |bbχi (χ0 )| + · · · + |bbχn (χ0 )| > 0 на σ и aχi bχi = 0, 1 6 i 6 n. Тогда λ1 (aχi ) ∩ {χ ∈ Sp A : bbχi (χ) 6= 0} = ∅, а из включения λ1 (aχ1 · · · aχn ) ⊂ ∩λ1 (aχi ), 1 6 i 6 n, следует, что элемент a = aχ1 · · · aχn удовлетворяет условиям: b a(χ0 ) 6= 0 и λ1 (a) ∩ σ = ∅. Определение 1.4.5. Множество M из банаховой алгебры A назовем разделяющим (ее спектр Sp A), если функции вида {b a; a ∈ M } разделяют точки из Sp A и ∀χ0 ∈ Sp A ∃a ∈ M такой, что b a(χ0 ) 6= 0. Теорема 1.4.6. Банахова алгебра B спектрально регулярна тогда и только тогда, когда для некоторого разделяющего множества M из B разложимы операторы Ab = ab : B → B, a ∈ M. Доказательство. Необходимость условия следует из леммы 1.4.1. Достаточность. Из леммы 1.4.4 следует, что достаточно проверить спектральную регулярность e разделяющим является мноалгебры B в смысле определения 1.4.2. Ввиду того, что в алгебре B жество элементов вида a + α1, где a ∈ M и α ∈ C, а также поскольку из разложимости оператора Ab = ab : B → B, a ∈ M , следует разложимость всех операторов вида A + α1, то, без ограничения общности можно считать, что алгебра B содержит единицу. Пусть χ1 и χ2 — два различных характера из Sp B. Тогда существует элемент a ∈ M, для которого ε = |b a(χ1 ) − b a(χ2 )| > 0, причем можно считать b a(χ1 )b a(χ2 ) 6= 0. Рассмотрим открытое покрытие {Ui }3i=1 множества σ(a) = b a(Sp B) вида: U1 = {λ ∈ C : |λ − b a(χ2 )| < ε/2}, U2 = {λ ∈ C : |λ − b a(χ2 )| < ε/2}, U3 = V1 ∩ V2 , где V1 = {λ ∈ C : |λ − b a(χ2 )| > ε/4} и V2 = {λ ∈ C : |λ − b a(χ2 )| > ε/4}. Пусть B1 , B2 и B3 — максимальные спектральные подпространства оператора Ab = ab : B → B, отвечающие этому покрытию, т. е. σ(A|Bi ) ⊂ Ui и B = B1 + B2 + B3 . Тогда элемент a представим в виде a = a1 + a2 + a3 , где ai ∈ Bi и σA (ai ) ⊂ Ui , i = 1, 2, 3. Из включений σA (a1 a2 ) = σA (A1 a2 ) = σA (A2 a1 ) ⊂ σA (a1 ) ∩ σA (a2 ) = ∅, где Ai b = ai b : B → B, i = 1, 2, следует, что a1 a2 = 0. Для любого b ∈ B докажем, что имеет место включение σA (b) ⊃ b a(supp bb). Пусть λ0 ∈σA (b); тогда существуют окрестность V0 точки λ0 и голоморфная функция f : V0 → B, такая, что (λ1 − a)f (λ) = b ∀λ ∈ V0 . Если λ0 ∈ b a(supp bb), то найдется характер χ0 ∈ Sp B, для которого bb(χ0 ) 6= 0 и λ1 = b a(χ0 ) ∈ V0 . Однако равенство bb(χ0 ) = (λ1 − b a(χ0 ))f\ (λ1 )(χ0 ) = 0 противоречит предположению. Таким образом, σA (b) ⊃ b a(supp bb) ∀b ∈ B. Из этого включения a1 (χ1 ) = 0, то b a(χ0 ) = b a2 (χ1 ) + b a3 (χ1 ) ∈ σA (a2 + a3 ) ⊂ S следует, что если b σA (a2 )U σA (a3 ) ⊂ U2 U3 . Аналогично устанавливается неравенство b a2 (χ2 ) 6= 0. Следовательно, алгебра A спектрально регулярна в смысле определения 1.4.2. Из теоремы 1.4.6 следует, что любой новый результат об условиях разложимости операторов (их обзор имеется в монографиях [45, 139, 163]) приводит к новым результатам об условиях спектральной регулярности банаховых алгебр. Определение 1.4.7. Скажем, что оператор A ∈ End Y, Y — банахово пространство удовлетворяет условию аналитической мажорантности, если для любого открытого множества V из C неравенство kf (λ)k 6 k(λ1 − A)−1 k, λ ∈ V \σ(A), на классе голоморфных функций со значениями в X влечет равномерную ограниченность kf (λ)k на любом компакте K ⊂ V. В статье [62] утверждается, что условие аналитической мажорантности выполнено для A ∈ R −1 End X , если плоская мера mes σ(A) спектра σ(A) нулевая и t (ln ln ρ(t))1/2 dt < ∞, где ρ — функция, обратная к µ(t) = mes{λ ∈ C\σ(T ) : kR(λ, A)k > t}, t > 0. Там же фактически установлена спектральная регулярность алгебры R(A) для оператора A, удовлетворяющего условию аналитической мажорантности и, следовательно, разложимость оператора A.

1.4. КРИТЕРИИ

СПЕКТРАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР

21

Следствие 1.4.8. Банахова алгебра B спектрально регулярна, если существует разделяющее множество M ⊂ B такое, что для каждого элемента a ∈ M оператор Ab = ab : B → B удовлетворяет условию аналитической мажорантности или, в частности, если выполнено одно из следующих условий: Z∞ ∞ X ln kAn k ln kexp itAkdt 1) <∞; 2) <∞. 2 1+n 1 + t2 n=−∞ −∞

Выполнение одного из этих условий было достаточным для доказательства Г.Е. Шиловым [100] регулярности алгебры B. Теорема 1.4.9. Алгебра спектральных операторов [45] спектрально регулярна. Доказательство немедленно следует из следствия 1.4.8, так как идемпотенты алгебры спектральных операторов разделяют её спектр и, очевидно, удовлетворяют условию 2) следствия 1.4.8. В некоторых ситуациях для доказательства разложимости линейного оператора проще установить спектральную регулярность банаховой алгебры, порожденной этим оператором, а разложимость оператора будет следовать из леммы 1.4.1. Примером тому служат следующая теорема и её следствия. Теорема 1.4.10. Банахова алгебра B спектрально регулярна, если для любых двух различных характеров χ1 , χ2 ∈ Sp B найдутся элемент a ∈ B, число λ0 ∈ σ(a) = b a(Sp B) и две жордановы области D1 , D2S⊂ C S со спрямляемыми границами ∂(Di ), i = 1, 2, такие, что: 1) σ(a)T⊂ D1 D2 {λ0 }; 2) D1 D2 = {λ0 }; 3) b a(χi ) ∈ Di , i = 1, 2; 4) dist(z, σ(a)) 6 K dist(z, Dj ) ∀z ∈ ∂(Dj ), i, j = 1, 2, i 6= j, K > 0; 5) ∃fi : Di → C, голоморфные на Di и непрерывные на ∂(Di ) и такие, что функции ϕi (λ) = kfi (λ)kk(λ1 − a)−1 k, i = 1, 2, ограничены на ∂(Di )\{λ0 }. Сформулированные условия взяты из статьи Стэмпфли [194]. Доказательство. Докажем спектральную регулярность алгебры A в смысле определения 1.4.3. Пусть χ1 , χ2 ∈ Sp B, a ∈ B и λ0 ∈ σ(a) удовлетворяют условиям 1)–5) теоремы. Без ограничения общности можно считать, что fi (b a(χi )) 6= 0, i = 1, 2, ибо в противном случае вместо функции fi следует рассмотреть функцию gi (λ) = fi (λ)(λ − b a(χi ))−ni , где ni — кратность нуля функции fi . Положим Z ai = fi (λ)(λ 1 − a)−1 dλ, i = 1, 2. ∂Di

Тогда из голоморфности функций fi на Di следует, что b a(χi ) = fi (b a(χi )) 6= 0 и, как легко показать [194] , a1 a2 = 0, т. е. алгебра A спектрально регулярна. Следствие 1.4.11. Пусть A ∈ End Y и пусть ∀λ1 , λ2 ∈ σ(A) (λ1 6= λ2 ) существует λ0 ∈ σ(A), такое, что выполнены условия 1)–5) теоремы 1.4.10 (с заменой элемента a на оператор A и чисел b a(χi ) на числа λi , i = 1, 2). Тогда алгебра R(A) спектрально регулярна и, в частности, оператор A разложим. Отметим еще, что из теоремы 1.4.6 (из следствия 1.4.8) также следует спектральная регулярность алгебры R(A), если оператор A ∈ End Y удовлетворяет одному из условий 1-2 следствия 1.4.8. Пусть f : A → B — гомоморфизм банаховых алгебр A и B такой, что f (A) — разделяющее подмножество алгебры B. Тогда сопряженный оператор f ∗ : B ∗ → A∗ позволяет отождествить Sp B с замкнутым подпространством из Sp A (см. пример 1.1.9). Теорема 1.4.12. Если A — спектрально регулярная алгебра, то и алгебра B спектрально регулярна.

22

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Доказательство. Пусть χ0 ∈ Sp B ⊂ Sp A и ∆ ⊂ Sp B — замкнутое множество, не содержащее точки χ0 . Тогда существует элемент a ∈ A, такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и λ1 (a) ∩ ∆ = ∅. Ясно, что d f (a)(χ0 ) = b a(χ0 ) 6= 0, а из включения λ1 (f (a)) ⊂ λ1 (a) получаем, что λ(f (a)) ∩ ∆ = ∅. Другой способ доказательства. Рассмотрим алгебру B в качестве банахова A-модуля (см. пример 1.1.17). Тогда операторы вида T x = f (a)x : B → B, a ∈ A разложимы в силу теоремы 1.4.6 и поэтому, в силу той же теоремы, алгебра B спектрально регулярна. Следствие 1.4.13. Если A — спектрально регулярная алгебра, то для любого (замкнутого) идеала I ⊂ A факторалгебра A/I спектрально регулярна. Следствие 1.4.14. Если X — модуль над спектрально регулярной алгеброй A, то алгебра A(X ) (из примера 1.2.4) спектрально регулярна. При доказательстве обоих следствий следует использовать соответственно канонический гомоморфизм A → A/I и гомоморфизм вложения A → A(X ). N Теорема 1.4.15. Произведение A1 × A2 и тензорное произведение A1 A2 двух спектрально регулярных алгебр A1 и A2 есть также спектрально регулярные алгебры. При доказательстве полезно использовать определение 1.4.3, предполагая, что обе алгебры N содержат единицы. Например, поскольку Sp(A1 A2 ) = Sp A1 × Sp A2 (см. [33]), то для любых двух различных характеров (χ1 , χ2 ), (γ1 , γ2 ) из Sp A1 × Sp A2 (пусть для определенности χ1 6= γ1 ) существуют элементы a1 , a2 ∈ A1 такие, что b a1 (χ1 )b a2 (γ1 ) 6= 0 и a1 a2 = 0. Тогда элеN N менты видаN c1 = a1 b1 и c2 = a2 b2 , где b1 , b2 ∈ A2 и bb1 (χ2 )bb2 (γ2 ) 6= 0, обладают свойствами c1 (χ1 , χ2 )b c2 (γ1 , γ2 ) 6= 0. c1 c2 = a1 a2 b1 b2 = 0 и b Из статьи Милна [173] следует, что тензорное произведение двух алгебр Шилова не всегда является полупростой алгеброй. Теорема 1.4.16. Если существует последовательность (An ) спектрально регулярных подалгебр алгебры A, плотных в A, то алгебра A спектрально регулярна. Доказательство. Из теоремы 1.4.6 следует разложимость операторов вида TA (a)b = ab : A → A, S a ∈ M = An , n ≥ 1. Ввиду того, что M = A, из той же теоремы 1.4.6 следует спектральная регулярность алгебры A. Теорема 1.4.17. Регулярная банахова алгебра B спектрально регулярна, если выполнено одно из следующих условий: 1) спектр Λ1 (Rad B) её радикала Rad B есть вполне несвязный компакт из Sp B (например, если dim Rad B < ∞); 2) каждый элемент из Rad B нильпотентен; 3) ∀a ∈ Rad B ∃n ∈ N такое, что λ1 (an ) — вполне несвязный компакт из Sp B. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что B содержит единицу. Пусть Λ1 (Rad B) — вполне несвязный компакт в Sp B, ∆ — произвольный компакт из Sp B и χ0 ∈∆. Тогда из регулярности алгебры B следует, что существует элемент a ∈ B, такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и supp b a ∩ ∆ = ∅. Докажем, что λ1 (a)\ supp b a ⊂ Λ1 (Rad B). Если χ ∈ λ1 (a) и χ∈ supp b a, то b b рассмотрим элемент b ∈ B, такой, что b(χ) 6= 0 и supp b a ∩ (supp b) = ∅. Ясно, что ab ∈ Rad B и χ ∈ λ1 (ab). Таким образом, χ ∈ Λ1 (Rad B). Из доказанного включения следует, что множество λ1 (a) есть объединение двух непересекающихся замкнутых множеств ∆1 и ∆2 , причем supp b a⊂ ∆1 , ∆1 ∩ ∆2 = ∅ и ∆2 ⊂ Λ1 (Rad B)\ supp b a. Из доказательства леммы 4.1 получаем, что a = a1 + a2 , λ1 (ai ) ⊂ ∆i , i = 1, 2. Следовательно, b a1 (χ0 ) = b a(χ0 ) 6= 0 и λ1 (a) ∩ ∆ = ∅, т. е. алгебра B спектрально регулярна. Предположим, что выполнено условие 2). Пусть χ1 6= χ2 ∈ Sp B и элементы a1 , a2 ∈ B выбраны так, чтобы b a1 (χ1 )b a2 (χ2 ) 6= 0 и a1 a2 = 0. Но тогда ясно, что an1 an2 = 0 для некоторого n ∈ N, т. е. алгебра B спектрально регулярна. Доказательство теоремы при выполнении условия 3) проводится последовательным применением проведенных рассуждений.

1.5. НЕКОТОРЫЕ

СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

23

Следствие 1.4.18. Банахова алгебра с вполне несвязным спектром (и, в частности, алгебра, образующие которой имеют счетный спектр) спектрально регулярна. Возникает естественный вопрос: не расширяется ли класс спектрально регулярных алгебр, если в определении 1.3.4 пользоваться не спектральным отображением Λ1 (локальным спектральным отображением λ1 ), а некоторым другим спектральным отображением (локальным спектральным отображением)? Определение 1.4.19. Пусть Λ ∈ S(M). Банахову алгебру A с единицей назовем Λ-спектрально регулярной, если для любого компакта ∆ ⊂ Sp A и для любого характера χ0 из Sp A\∆ существует элемент a ∈ A такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и Λ(a) ∩ ∆ = ∅ (см. определение 1.2.18). Более естественным было бы определение Λ-спектрально регулярной алгебры, использующей условие λ(a) ∩ ∆ = ∅ в определении 1.4.19 для некоторого локального Λ-спектрального отображения λ (вместо условия λ(a) ∩ ∆ = ∅). Однако вопрос существования такого отображения λ для произвольного спектрального отображения остается открытым. Теорема 1.4.20. Если Λ ∈ S(M) мажорирует некоторое монотонное отображение Λ0 из S(M), то любая Λ-спектрально регулярная алгебра A, содержащая единицу, спектрально регулярна. Доказательство. Пусть χ1 , χ2 ∈ Sp A, χ1 6= χ2 и G1 , G2 — открытые непересекающиеся подмножества из Sp A, содержащие χ1 и χ2 соответственно. Согласно определению 4.19 существуют элементы a1 , a2 ∈ A такие, что b a1 (χ1 )b a2 (χ2 ) 6= 0 и Λ0 (ai ) ⊂ Gi , i = 1, 2. Тогда Λ0 (a1 a2 ) ⊂ Λ0 ([a1 ]) ∪ Λ0 ([a2 ]) = ∅, т. е. a1 a2 = 0 и поэтому алгебра A спектрально регулярна в смысле определения 1.4.3. Вопрос о существовании регулярной банаховой алгебры, не являющейся спектрально регулярной, остается открытым. Автору неизвестно даже, является ли спектрально регулярной всякая алгеb = C(Sp B). бра B с B 1.5.

НЕКОТОРЫЕ

СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Всюду в этом параграфе символ B обозначает (если не оговорено противное) спектрально регулярную алгебру. Теорема 1.5.1. 1) Все спектральные отображения совпадают на модулях из Ob M(B) (M(B) — категория банаховых B-модулей). 2) Если X ∈ Ob M(B), Λ ∈ S(M) и λ : X → P (Sp B) — локальное Λ-спектральное отображение, то λ(x) = λ1 (x) ∀x ∈ X (т. е. все локальные отображения, определенные на X , совпадают). Доказательство. Докажем 1). Пусть α — произвольное спектральное отображение. Из условия 1) определения 1.2.3 следует, что α(X ) ⊂ Λ1 (X ). Предположим, что α(X ) 6= Λ1 (X ) и пусть χ0 ∈ Λ1 (X )\α(X ). В силу спектральной регулярности алгебры B существует элемент a ∈ B такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и α(X )∩λ1 (a) = ∅ (ввиду условия 4) определения 1.2.3 можно без ограничения общности считать алгебру B содержащей единицу). Тогда подмодуль X0 = Ran TB (a), где TB (a)x = ax : X → X , ненулевой и χ0 ∈ Λ1 (X0 ) ⊂ Λ1 (X ) ∩ λ1 (a). Следовательно, Λ1 (X0 ) ∩ α(X ) = ∅. С другой стороны, Λ1 (X0 ) ∩ α(X ) 6= ∅ в силу условия 6) определения 1.2.3. Докажем 2). Пусть X ∈ M(B), Λ ∈ S(M) и λ : X → P (Sp B) — некоторое локальное Λспектральное отображение. Из утверждения 1) следует, что Λ = Λ1 на Ob M(B) и, следовательно, λ — локальное Λ1 -спектральное отображение. Имеют место следующие включения λ(x) ⊂ Λ([x]) = Λ1 ([x]) = λ1 (x) ∀x ∈ X . Предположим, что существует вектор x0 ∈ X такой, что λ(x0 ) 6= λ1 (x0 ) и пусть χ0 ∈ λ1 (x0 )\λ(x0 ). Рассмотрим элемент a ∈ B, имеющий компактный спектр, такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и λ1 (a) ∩ λ(x0 ) = ∅. Тогда ax0 6= 0. С другой стороны, λ(ax0 ) ⊂ λ1 (a) ∩ λ(x0 ) = ∅, т. е. получили противоречащее предположению равенство ax0 = 0. Замечание 1.5.2. Значение единственного спектрального отображения Λ1 на любом модуле X из M(B) будет обозначаться через Λ(X , B) или Λ(X ), а значение единственного локального Λспектрального отображения λ1 : X → P (Sp B) на каждом векторе x из B-модуля X будем обозначать символом Λ(x) (вместо λ1 (x)).

24

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Естественным является вопрос об описании таких банаховых алгебр (из B), чтобы все спектральные отображения на модулях над этими алгебрами совпадали. Оказывается, что необходимым условием является регулярность алгебр. Действительно, если алгебра A такова, что Λ(X , A) = Λ1 (X , A) ∀(X , A) ∈ Ob M, то все спектральные отображения совпадают и на Aмодулях C(K), где K — компакт из Sp A (структура A-модуля на C(K) определяется формулой (aϕ)(χ) = b a(χ)ϕ(χ) ∀a ∈ A ∀ϕ ∈ C(K)). Это, например, следует из условия совпадения спектральных отображений Λ1 и Λ7 , поскольку Λ7 (C(K), A) = K и Λ1 (C(K), A) = K тогда и только тогда, когда ∀χ0 ∈K существует элемент a ∈ A такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и b a = 0 на K. Следствие 1.5.3. Алгебра B(X ) (из примера 1.2.4) является наполненной в End X (см. [33]). В частности, σ(TB (a)) = b a(Λ(X )) ∀a ∈ B, где TB (a)x = ax : X → X . Доказательство. Из условия совпадения отображений Λ2 и Λ3 на X следует, что алгебры B(X ) и B1 (X ) (из примеров 1.2.4 и 1.2.5) совпадают. Равенство σ(TB (a)) = b a(Λ(X )), a ∈ B следует из определения отображения Λ3 . Замечание 1.5.4. Из условия совпадения спектральных отображений на Ob M(B) и работы [151] следует, что спектр Тейлора σ(a, X ) наборов операторов вида (TB (a1 ), . . . , TB (an )), ai ∈ B, 1 6 i 6 n, совпадает с множеством b a(Λ(X )) = {b a1 (χ), . . . , b an (χ)} ∈ Λ(X ). Теорема 1.5.5. Все спектральные и локально спектральные отображения совпадают на конечномерных модулях из Ob M. Доказательство. Пусть (X , A) ∈ Ob M и размерность dim X A-модуля X конечна. Рассмотрим гомоморфизм f : A → A(X ), f (a) = TA (a), a ∈ A, где TA (a) : X → X и A(X ) — алгебра из примера 1.2.4. Поскольку каждый оператор T из коммутативной банаховой алгебры A(X ) конечномерен, то он представим в виде T = T1 + iT2 , где операторы T1 и T2 из A(X ) удовлетворяют условию kexp Ti tk 6 Const(1 + |t|)n , i = 1, 2, t ∈ R, где n — натуральное число. В силу следствия 1.4.8 алгебра A(X ) спектрально регулярна (её спектральную регулярность можно вывести также из вполне несвязности пространства Sp A(X )) и поэтому α(X , A(X )) = Λ1 (X , A(X )) ∀α ∈ S(M) (структура A(X )-модуля X определяется отображением (T, x) 7→ T x : A(X ) × X → X . Далее, в силу условия 3) определения 1.2.3 имеют место равенства α(X , A) = f ∗ (α(X , A(X )) = f ∗ (Λ1 (X , A(X )) = Λ1 (X , A) ∀α ∈ S(M). Утверждение о совпадении локальных спектральных отображений непосредственно следует из совпадения спектральных отображений. По аналогии с понятием разложимого по Фойашу оператора можно определить понятие разложимого модуля. Вообще говоря, такое определение зависит от выбора спектрального отображения. Например, в работе [61] использовалось отображение Λ7 . Определение 1.5.6. Пусть α ∈ S(M). Банахов A-модуль X из Ob M назовем α-разложимым, если для любого конечного открытого покрытия {Gi }, 1 6 i 6 n + 1, множества α(X , A), где Gi , i = 1, . . . , n, Sp A\Gn+1 — компактные множества, существуют α-спектральные подмодули (см. определение 1.3.6) X , . . . , Xn+1 из X такие, что Xi , i = 1, . . . , n, имеют компактный спектр, α(Xi , A) ⊂ Gi , i = 1, . . . , n + 1, и X = X1 + · · · + Xn+1 . Теорема 1.5.7. Любой B-модуль X является Λ-разложимым и, обратно, из Λ1 разложимости произвольного (Y, A) из Ob M(A) следует спектральная регулярность алгебры A. Доказательство. Пусть {Gi }, 1 6 i 6 n + 1 — произвольное указанное в определении 1.5.6 открыe Тогда множества тое покрытие множества Λ(X ) (для определенности считаем, что ∞ ∈ Λ(X , B)). S 0 e G1 , . . . , Gn , Gn+1 = Gn+1 {∞} образуют открытое покрытие множества S S Λ(XS, B). Рассмотрим открытое предкомпактное множество G0 из Sp B такое, чтобы G0 G1 . . . Gn+1 = Sp B и G0 ∩ Λ(X ) = ∅. Тогда из теоремы 1.3.12 следует существование элементов a0 , a1 , . . . , an ∈ B с e таких, что 1 = a0 + a1 + · · · + an + e компактным спектром и элемента e an+1 ∈ B an+1 (1 — приS e соединенная к B единица), Λ(ai ) ⊂ Gi , 0 6 i 6 n, и Λ(e an+1 , B) ⊂ Gn+1 {∞}. Следовательно, x = a0 x + a1 x + · · · + an x + an+1 x ∀x ∈ X , где a0 x = 0 в силу леммы 1.3.3 (ибо a0 x имеет

1.5. НЕКОТОРЫЕ

СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

25

компактный спектр и Λ(a0 x) ⊂ Λ(a0 ) ∩ Λ(x) = ∅). Поэтому X = X (σ1 ) + · · · + X (σn+1 ), где σk = Λ(ak ), k = 0, . . . , n + 1. Спектральность подмодулей X (σk ), k = 1, . . . , n + 1, следует из леммы 1.3.7. Пусть теперь A — такая банахова алгебра, что любой банахов A-модуль S разложим. В частности, S разложим A-модуль A и поэтому для любого открытого покрытия вида G1 G2 G3 пространства Sp A, где G1 и G2 — предкомпактные множества и Sp A\G3 — компакт, следует, что A = A(σ1 ) + A(σ2 ) + A(σ3 ), σi ⊂ Gi , i = 1, 2, 3. Спектральные подмодули A(σi ), i = 1, 2, 3 — идеалы алгебры A и если G1 ∩G3 = ∅, то ясно, что a1 a3 = 0 ∀a1 ∈ A(σ1 ) ∀a3 ∈ A(σ3 ). Отсюда в силу определения 1.4.2 и леммы 1.4.4 следует спектральная отделимость алгебры A. Теорема 1.5.8. Пусть X есть B-модуль. Тогда 1) Int(σ ∩ Λ(X )) ⊂ Λ(X ((σ)) ∀σ ∈ P (Sp B) (Int(σ ∩ Λ(X )) — внутренность множества σ ∩ Λ(X ) в Λ(X )); 2) X (∩σi ) = ∩X (σi ) ∀ семейства {σi }i∈I из P (Sp B); 3) X (σ) = ∩{X (∆), ∆ открыто и σ ⊂ ∆} ∀σ ∈ P (Sp B); 4) σ(T (a)|X (σ)) = b a(Λ(X (σ))) ⊂ b a(σ) ∀σ ∈ P (Sp B); 5) Λ(X /X (σ)) =S Λ(X )\Λ(X (σ)) для любого компакта σ ⊂ Sp B; 6) Λ(X ) = Λ(F ) Λ(X \F ) для любого подмодуля F из X . Доказательство. 1) Если χ0 ∈ Int(σ ∩ Λ(X )), то в силу спектральной регулярности алгебры B существует элемент a ∈ B такой, что b a(χ0 ) 6= 0 и supp b a∩Λ(X ) ⊂ Int(σ∩Λ(X )). Так как χ0 ∈ Λ(X ), то χ0 ∈ Λ(Ran TB (a)) 6= ∅. С другой стороны, Ran TB (a) ⊂ X (σ) и поэтому Int(σ ∩ Λ(X )) ⊂ Λ(X (σ)). Ясно, что T Λ(X (σ)) T ⊂ σ. 2) Включение X ( σi )) ⊂ X (σi ) очевидно. Пусть теперь x0 ∈ ∩X (σi ); докажем, что x0 ∈ X (σ) для σ = ∩σi . Если x0 ∈X (σ), то существует χ0 ∈ Λ(x0 )\σ. Рассмотрим элемент a ∈ B такой, что он имеет компактный спектр, b a(χ0 ) 6= 0 и Λ(a) ∩ σ = ∅. Тогда, с одной стороны, ax0 ∈ ∩X (σi ), но, с другой — ax0 ∈X (σi0 ), если только χ0 ∈σi0 . Получено противоречие. Утверждение 3) следует из 2), а утверждение 4) — из следствия 1.5.3 и утверждения 1) этой теоремы. 5) Докажем включение Λ(X )\Λ(X (σ)) ⊂ Λ(X /X (σ)). Eсли χ∈Λ(X /X (σ)), то существует элемент a ∈ B такой, что b a(χ) 6= 0 и ax ∈ X (σ) ∀x ∈ X . Предположим, что χ ∈ Λ(X \Λ(X (σ)). Тогда χ∈Λ(X (σ)) и поэтому существует элемент b ∈ B с компактным спектром такой, что bb(χ) 6= 0 и T Λ(b) Λ(X (σ)) = ∅. Тогда abx = 0 ∀x ∈ X и, поскольку b a(χ)bb(χ) 6= 0, то χ∈Λ(X ). Получено противоречие. Докажем включение в другую сторону. Пусть χ∈Λ(X \Λ(X (σ)); предположим, что χ ∈ Λ(X ) (случай χ∈Λ(X ) прост, ибо Λ(X /X (σ)) ⊂ Λ(X )). Рассмотрим открытое множество U ⊂ Sp B такое, что χ ∈ U ∩ Λ(X ) ⊂ σ (если χ∈ Int(σ ∩ Λ(X )), то все доказано) и элемент a ∈ B с компактным спектром такой, что a есть единица в некоторой окрестности точки χ и Λ(a) ⊂ U. Тогда ясно, что подмодуль X1 = Ran TB (a) имеет спектр, содержащийся в σ и, следовательно, X1 ⊂ X (σ). Поэтому χ∈Λ(X /X1 ) ⊂ Λ(X /X (σ)). Утверждение 6) доказывается аналогично. Определение 1.5.9. Пусть (X , A) ∈ 0bM и α ∈ S(M). Спектральной α-ёмкостью для A-модуля X называется отображение E : P (Sp A) → Y (X ) (где Y (X ) — семейство подмодулей из (X , A)), удовлетворяющее следующим условиям: 1) E(∅) = {0}, E(Sp A) = X ; 2) ∩E(σi ) = E(∩σi ), i ∈ I, σi ∈ P (Sp A); 3) если {Gi }, i = 0, . . . , n + 1 — открытое покрытие α(X , A) такое, что G1 , . . . , Gn , Sp A\Gn+1 — n+1 P компакты из Sp A, то X = E(Gj ); i=1

4) α(E(σ)) ⊂ σ ∀σ ∈ P (Sp A)). Это определение является непосредственным обобщением определение спектральной емкости для ограниченного линейного оператора, введенного К. Апостолом (см. [45]). Из теорем 1.5.7 и 1.5.8 (см. также замечание 1.5.4) получаем

26

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Следствие 1.5.10. Отображение E(σ) = (X (σ) : P (Sp B) → Y (X ), где X ∈ M(B), является спектральной Λ-емкостью для X . Следствие 1.5.11. Пусть a = (a1 , . . . , an ) — произвольный конечный набор из B. Тогда отображение Ea : P (Cn ) → Ya (X ), где Ya (X ) — семейство подпространств из B-модуля X , инвариантных относительно операторов TB (ai ), i = 1, . . . , n, определенное равенством Ea (σ) = X (b a−1 (σ)), σ ∈ P (Cn ), b a−1 (σ) = {χ ∈ Sp B : (b a1 (χ), . . . , b an (χ)) ∈ σ}, является спектральной емкостью для набора операторов (TB (a1 ), . . . , TB (an )) из End X (в смысле определения Э. Альбрехта [107, 108]). Следствие 1.5.12. Любой B-модуль X сильно однолистен. Этот результат вытекает из следствия 1.5.11 и результатов статьи С. Фрунзе [151]. Теорема 1.5.13. Пусть X ∈ M(B) и F — подмодуль из X . Тогда для любых a ∈ B и x ∈ X имеют место формулы p p lim n kan xk = sup lim n |(an x, ξ)| = max |b a(χ)|, n→∞

χ∈Λ(X )

kξk61, ξ∈X ∗

sup lim

p n

kan yk = max |b a(χ)|. χ∈Λ(F )

y∈F

Доказательство этих формул основано на равенстве σA (x) = b a(Λ(X )), где Ax = ax : X → X , полученном в лемме 1.4.1, и непосредственном определении множества σA (x) (см. начало раздела 1.4 и [45, гл. XV]). Присутствие символа верхнего предела в этих формулах существенно. Пример 1.5.14. Пусть H — гильбертово пространство с ортонормированном базисом (e1 , e2 , . . .). Рассмотрим последовательность чисел (αn ) ⊂ R, где αn = 1/2, если (2m − 1)! 6 n < (2m)!, и αn = 1, если (2m)! 6 n < (2m + 1)!, m = 1, 2, . . . . Оператор A : H → H определим на базисе (en ) равенствами Aei = αi ei+1 , i = 1, 2, . . . . Тогда алгебра R(A) — спектрально регулярная алгебра и H является R(A)-модулем (см. примеры√ 1.1.6 и 1.1.12). Последовательность βn = kAn e1 k = α1 . . . αn обладает свойством 1/2 = √ lim n βn < lim n βn = 1. 1.6.

О

РАЗЛОЖИМЫХ ОПЕРАТОРАХ

Результаты предыдущих параграфов позволяют изучать определенные классы линейных операторов с помощью включения их в соответствующую спектрально регулярную алгебру операторов. Определение 1.6.1. Семейство M коммутирующих между собой линейных операторов из End X (X — банахово пространство), принадлежащее некоторой спектрально регулярной подалгебре B из End X , назовем регулярно разложимым или регулярно B-разложимым. Определение 1.6.2. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X с непустым резольвентным множеством ρ(A) назовем регулярно разложимым (или регулярно B-разложимым), если существует спектрально регулярная подалгебра B ⊂ End X , содержащая все операторы вида R(λ, A) = (λ1 − A)−1 , λ ∈ ρ(A). Регулярно B-разложимый оператор A назовем B- спектральным, если Sp B гомеоморфно σ(A). Определение 1.6.3. Пусть B — спектрально регулярная подалгебра из End X . Оператор A ∈ End X назовем B-разложимым, если AX (∆) ⊂ X (∆) ∀∆ ∈ P (Sp B) и существует элемент a из B такой, что σ(A|X (∆)) ⊂ b a(∆) ∀∆ ∈ P (Sp B). B -разложимый оператор A назовем Bспектральным, если Sp B гомеоморфно σ(T ). Определение 1.6.4. Пусть B — спектрально регулярная подалгебра из End X . Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X с непустым ρ(A) назовем B-разложимым (соответственно B-спектральным), если B-разложимы все операторы R(λ, A), λ ∈ ρ(A) (соответственно Bспектральны все операторы R(λ, A), λ ∈ ρ(A)).

1.6. О

РАЗЛОЖИМЫХ ОПЕРАТОРАХ

27

Один из приемов построения спектрально регулярной алгебры B ⊂ End X , содержащей исследуемый ограниченный оператор A (семейство операторов R(λ, A), λ ∈ ρ(A), если A неограничен), основан на предположении существования достаточно «обширного» функционального исчисления для оператора A. Этот метод предполагает наличие некоторого гомоморфизма U : A → End X из некоторой регулярной алгебры A функций, определенных на некотором множестве Ω ⊂ C. Тогда подалгебра P(Ran U ) из End X оказывается спектрально регулярной (см. определение 1.4.2) и можно положить B = P(Ran U ). Определение 1.6.5. Пусть Ω — замкнутое подмножество из C. Алгебра A комплекснозначных функций на Ω называется допустимой (см. [45, 130]), если выполнены следующие условия: 1) она содержит функции f0 (λ) = 1 и f1 (λ) = λ, λ ∈ Ω; 2) для любого открытого покрытия {G1 , . . . , Gn } множества Ω существуют неотрицательные функции ϕ1 , . . . , ϕn ∈ A такие, что ϕ1 + · · · + ϕn = 1 и supp ϕi ⊂ Gi , i = 1, . . . , n; 3) ∀f ∈ A ∀ξ ∈ supp f функция fξ , определенная равенствами  f (λ)/(ξ − λ), λ ∈ Ω\{ξ}, fξ (λ) = 0, λ = ξ, принадлежит алгебре A; 4) если f ∈ A и 1/f ∈ C(Ω), то 1/f ∈ A. Определение 1.6.6. Пусть A — допустимая алгебра функций, определенная на множестве Ω ⊂ C. Оператор A ∈ End X называется A-скалярным, если существует (алгебраический) гомоморфизм U : A → End X , называемый A-спектральным гомоморфизмом такой, что 1) U (f0 ) = 1, U (f1 ) = A; 2) отображение ξ 7→ U (fξ ) : C\ supp f → End X голоморфно. Определение 1.6.7. Оператор T ∈ End X называется A-спектральным, если существует Aспектральный гомоморфизм U такой, что 1) T коммутирует с операторами U (f ), f ∈ A; 2) T XT (∆) ⊂ XT (∆), T = U (f1 ) и σ(T |XT (∆)) ⊂ ∆ для любого замкнутого множества ∆ ⊂ C (здесь XT (∆) = {x ∈ X : σT (x) ⊂ ∆}). Лемма 1.6.8. Если U : A → End X — спектральный гомоморфизм для A-скалярного оператора A, то 1) алгебра P(Ran U ) спектрально регулярна; b 2) её спектр гомеоморфен σ(A) и этот гомеоморфизм осуществляется отображением A; \ 3) (U f )(λ) = f (λ), λ ∈ σ(A) после отождествления Sp P(Ran U ) и σ(A). Доказательство утверждений 2) и 3) проведено в [130, гл. 3, теорема 2.1]. Спектральная регулярность алгебры P(Ran U ) следует из определения 1.4.2 и свойства 2) определения 1.6.5. Имея в виду теорему 1.3.11, условие 2) нормальности алгебры A можно ослабить, одновременно упростив доказательство утверждений 2) и 3) из [130]. Следствие 1.6.9. Любой A-скалярный оператор A ∈ End X и любой A-спектральный оператор T ∈ End X являются соответственно B-скалярным и B-спектральным операторами для алгебры B = P(Ran U ). Пример 1.6.10. Пусть оператор A ∈ End X удовлетворяет одному из следующих условий: 1) A — спектральный оператор, обладающий каноническим разложением A = S + N конечного типа Z (т. е. ∃n ∈ N, : N n = 0); ln k exp itAk 2) dt < ∞; 1 + t2 −n X ln kA k 3) < ∞. 1 + n2 n∈Z Тогда оператор является A-скалярным для подходящей алгебры A функций и соответствующие спектральные гомоморфизмы определяются формулами: n−1 P Nk R 1) U (ϕ) = ϕk (λ)E(dλ) : C n (Ω) → End X — спектральный гомоморфизм Данk! k=0

Ω

форда (здесь Ω — любое открытое множество, содержащее σ(A) и E — спектральная функция для A [45]);

28

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

R 2) U (ϕ) b = ϕ(t) exp(itA) : L\ α (R) → End X , α(t) = k exp(itA)k — спектральный гомоморфизм Любича—Мацаева [66]; P n \ 3) U (ϕ) b = ϕ(n)An : L α (Z) → End X , α(n) = kA k — спектральный гомоморфизм Дж. Уэрn∈Z

мера [45]. Принцип построения спектральных гомоморфизмов, основанный на формуле Коши—Римана, был предложен Е. М. Дынькиным [47]. Выбирая в качестве A различные допустимые алгебры функций, можно получать разнообразные классы операторов, включенные в соответствующие спектрально регулярные алгебры из End X . Возникает вопрос: является ли каждый B-скалярный оператор A-скалярным для подходящей доb (или ее подалгепустимой алгебры A? Естественным кандидатом на алгебру A является алгебра B бры). Однако, если Rad B 6= {0}, то возникают проблемы построения гомоморфизма U. По крайней мере, они более серьезны по сравнению с вопросом построения соответствующей спектрально регулярной алгебры. Примером тому служат операторы, удовлетворяющие условию аналитической мажорантности, а также теорема 1.4.10 и ее следствие. Определение 1.6.11 (см. [45]). Операторы T1 и T2 из End X называются квазинильпотентно эквивалентными, если lim k(T1 − T2 )[n] k1/n = lim k(T2 − T1 )[n] k1/n = 0,

n→∞

где (U − V )[n] =

n P

n→∞

(−1)n−k Cnk U k V n−k , U, V ∈ End X .

k=0

Теорема 1.6.12. Если оператор A ∈ End X является B-разложимым оператором, то 1) A разложим; 2) σ(A) = b a(Sp B) = σ(a), где элемент a ∈ B взят из определения 1.6.3; 3) оператор A квазинильпотентно эквивалентен оператору TB (a)x = ax : X → X ; 4) A обладает инвариантным подпространством для σ(A), содержащим как минимум две точки. Доказательство. Из леммы 1.4.1 и следствия 1.5.3 получаем разложимость оператора TB (a) и равенство σ(TB (a)) = b a(Sp B). Если множество ∆ ⊂ Sp B таково, что ∆ = Int ∆, то из теоремы 1.5.8 следует, что σ(TB (a)|X (∆)) = b a(∆) и, следовательно, σ(A)|X (∆)) ⊂ σ(TB (a)|X (∆)). Поскольку из леммы 1.4.1 следует, что подпространства вида X (b a−1 (σ)), σ — компакт из C, являются максимальными спектральными подпространствами оператора TB (a), то из теоремы И. Коложоары и К. Фойаша (см. [130, гл. II, теорема 2.2] и [43–45]) получаем квазинильпотентную эквивалентность операторов TB (a) и A и, следовательно, равенство σ(A) = b a(Sp B). Подпространства X (∆), ∆ = b a−1 (σ), σ — компакт из C, — инвариантные подпространства оператора A, среди которых имеются нетривиальные, если σ(A) не сводится к одной точке (см. теорему 1.5.8). Определение 1.6.13. Пусть A : D(A) ⊂ X → X — линейный замкнутый оператор. Инвариантное относительно оператора A подпространство F ⊂ X называется максимальным спектральным подпространством оператора A, если F0 ⊂ F для любого инвариантного относительно A подпространства F0 ⊂ X , удовлетворяющего одному из следующих двух условий: 1) A|F ∈ End F, A|F0 ∈ End F0 , σ(A|F0 ) ⊂ σ(A|F0 ); 2) A|F — неограниченный оператор и σ(A|F0 ) ⊂ σ(A|F ). Определение 1.6.14. Замкнутый линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X назовем разложимым, если для любого открытого покрытия {Gi }, i = 1, . . . , n + 1, где G1 , . . . , Gn , C\Gn+1 — компакты из C, спектра σ(A) оператора A существуют максимальные спектральные подпространства Xi , i = 1, . . . , n + 1, оператора A такие, что 1) Xi ⊂ D(A), i = 1, . . . , n; 2) A|Xi ∈ End Xi , i = 1, . . . , n; 3) σ(A|Xi ) ⊂ Gi , i = 1, . . . , n + 1; 4) X = X1 + · · · + Xn+1 . Следствие 1.6.15. Если линейный замкнутый оператор A : D(A) ⊂ X → X регулярно Bразложим, то он разложим. Доказательство следует из определений 1.6.4, 1.6.14, 1.5.6 и теорем 1.5.7 и 1.6.12.

1.7. КОММЕНТАРИИ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

1

29

Следствие 1.6.16. Если T1 , T2 ∈ End X — два B-разложимых оператора, коммутирующих между собой, то операторы T1 + T2 и T1 T2 являются B-разложимыми. Следствие 1.6.17. Если операторы T1 и T2 являются соответственно B1 - и B2 разложимыми, то операторы X 7→ T1 XT2 и X 7→ T1 X + XT2 (из End X в End X ) являются B-разложимыми для некоторой алгебры B из End(End X ). Определение 1.6.18. Пусть (Tα ) ⊂ End X — семейство регулярно разложимых операторов. Назовем его семейством усиленно коммутирующих операторов, если существует S семейство (Bα ) спектрально отделимых подалгебр из End X таких, что Tα ∈ Bα ∀α и алгебра P( Bα ) коммутативна. Например, таковым является семейство коммутирующих между собой операторов (Tα ) ⊂ End X , для которых алгебры R(Tα ) спектрально регулярны (и, в частности, если операторы Tα удовлетворяют условию аналитической мажорантности). Определение 1.6.19. Разложимый оператор T ∈ End X называется сильно разложимым [130], если разложим оператор T |F для любого максимального спектрального подпространства F ⊂ X . Теорема 1.6.20. Имеют место следующие утверждения: 1) сумма и произведение двух усиленно коммутирующих регулярно разложимых операторов есть регулярно разложимые операторы; 2) предел последовательности усиленно коммутирующих регулярно разложимых операторов является регулярно разложимым оператором; 3) регулярно разложимый оператор сильно разложим. Доказательство. Докажем 2) (доказательство утверждения 1) аналогичное). Пусть (Tn ) — некоторая сходящаяся в End X последовательность усиленно коммутирующих регулярно разложимых операторов. Пусть (Bn ) — последовательность спектрально регулярных алгебр из End X такая, S что Tn ∈ Bn , n ≥ 1, и операторы Bn , n ≥ 1, коммутируют друг с другом. Через B обозначим наименьшую подалгебру из End X , содержащую все алгебры Bn , n ≥ 1. Рассмотрим алгебру B в качестве Bn -модуля и, используя теорему 1.4.6, получим разложимость всех операторов вида S An x = an x : B → B, an ∈ Bn . Поскольку элементы из Bn , n ≥ 1 являются образующими алгебры B, то из той же теоремы 1.4.6 следует спектральная отделимость алгебры B и, следовательно, разложимость оператора T = lim Tn . Докажем 3). Пусть F — некоторое максимальное спектральное подпространство для регулярно B-разложимого оператора A ∈ End X . Тогда F = XA (σ), где σ — компакт из C (см. [45]), и пусть b−1 (σ). Из леммы 1.4.1 получаем, что X (∆) = XA (σ) — спектральный подмодуль B-модуля ∆=A X и, следовательно (см. доказательство теоремы 1.6.12), оператор A|X (∆) разложим. 1.7.

КОММЕНТАРИИ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

1

Понятие спектра (Берлинга) для ограниченных на R функций (т. е. для функций из модуля (L∞ (R), L1 (R)) было дано А. Берлингом в статье [123], хотя многие математики пользовались эквивалентными понятиями и до этой работы (например, Н. Винер, Б. М. Левитан и др.; см. обзор Х. Герца [157]). Определение Берлинга было распространено И. М. Гельфандом (см. [34]) на функционалы из A-модуля A∗ , где A — коммутативная банахова алгебра. В наиболее общем виде определение спектра Берлинга, совпадающее с определением из примера 1.2.2, дано в статье Н. Домара [136], где были приведены первые простейшие свойства спектра. Понятие «узкого» спектра, соответствующее спектральному отображению Λ2 , было введено T Н. Домаром [137] (Λ2 (F ) = Λ1 (F ) {ξ ∈ A∗ : kξk 6 1} для любого подмодуля F из (A∗ , A)), а в виде, приводимом здесь, дано в статьях Н. Домара и Л. Линдаля [138] и автора [4]. Существенный вклад в развитие спектральной теории банаховых модулей был сделан Ж. Тейлором [196, 197] (см. также обзорную статью А. Я. Хелемского [94]), определившим спектр из примера 1.2.7. Спектр из примера 1.2.9 был определен Ю. И. Любичем [65] для представлений сепарабельных топологических абелевых групп (см. пример 1.1.8), Н. Домаром и Л. Линдалем [138] и независимо В. И. Ломоносовым [60, 61] в общем случае.

30

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

Идея аксиоматического подхода к определению спектра коммутирующих наборов операторов проводилась в статьях З. Слодковского [192, 193] и В. Желязко [201]. Однако используемый здесь подход существенно отличается от соответствующих определений этих авторов и это, в основном, связано с внутренними задачами спектральной теории банаховых модулей. Например, широко используемое понятие спектра Берлинга не является спектром в смысле [193, 201]. Исследованию спектральных отображений Λ1 , Λ2 и Λ7 посвящена статья И.Домара и Л. Линдаля [138]. В [138] было установлено, что Λ1  Λ2  Λ7 , а также совпадение этих отображений над алгебрами Шилова и над алгебрами с вполне несвязным спектром (этот результат содержится в теореме 5.1). Авторами этой статьи была поставлена задача о совпадении спектральных отображений Λ1 , Λ2 , Λ7 над регулярными алгебрами. Спектр σA (x), x ∈ X для A ∈ End X (см. начало раздела 1.4 и пример 1.2.24) был определен Н.Данфордом (см. [45]) и систематически использовался многими математиками при создании теории разложимых операторов [45,130]. Распространение понятия спектра σA (x) ∈ X на конечный набор коммутирующих операторов A = (A1 , . . . , An ) ⊂ End X осуществлялось Э. Альбрехтом [105, 110] и С. Фрунзе [151]. Понятие спектрально регулярной алгебры впервые было дано в 1974 г. в статье автора [4]. До этой работы исследование алгебр с радикалом основывалось на представлении алгебры в виде прямой суммы радикала и полупростой алгебры (см., например, статьи А. Я. Хелемского [93, 94]). Из результатов раздела 1.4 следует, что спектральная отделимость банаховой алгебры эквивалентна разложимости операторов регулярного представления этой алгебры. Понятие разложимого оператора (и, в том числе, обобщенных спектральных операторов) было дано К. Фойашем [43–45,130,150], и оно фактически связано с некоторым естественным расширением классов самосопряженных, нормальных и спектральных (по Данфорду) линейных операторов. Прекрасный обзор теории разложимых операторов имеется в монографии [45] (до 1970 г.), обзоре [77] (до 1974 г.) и в монографиях [139, 145]. Ю. И. Любичем и В. И. Мацаевым [66] был введен близкий класс разложимых операторов (для некоторого специального класса линейных операторов), который был затем несколько по-иному аксиоматизирован К. Фойашем и И. Коложоарой [130] и назван слабо разложимыми операторами. Основное отличие разложимых и слабо разложимых операторов состоит в том, что для определения слабо разложимого оператора условие 4) из определения 1.6.14 заменяется более слабым условием 40 ) X = X1 + · · · + Xn+1 . В действительности, неквазианалитические операторы (см. определение 3.3.5), рассматриваемые в статье [66], являются не только слабо разложимыми, но и разложимыми в смысле определения 1.6.14. Вопрос о различии классов этих операторов был решен Э. Альбрехтом [107], которым был приведен пример слабо разложимого, но не разложимого оператора. Отметим следующий результат, дополняющий теорему 1.4.6. Теорема 1.7.1. Алгебра B спектрально регулярна, если для некоторого разделяющего множества M из B выполнено одно из условий: 1) каждый оператор вида Ab = ab : B → B, a ∈ M , слабо разложим; 2) операторы TB (a), a ∈ M , разложимы в следующем смысле. Для любого открытого покрытия G1 ∪ G2 спектра σ(a) элемента a (σ(a) = σ(TB (a)) существуют инвариантные относительно оператора TB (a) подпространства B1 и B2 из B такие, что σ(TB (a)|Bi ) ⊂ Gi и B = B1 + B2 ; 3) для всякого открытого множества G ⊂ C и любого a ∈ M существует TB (a)инвариантное подпространство B0 ⊂ B такое, что σ(TB (a)|B0 ) ⊂ G и σ(T0 ) ⊂ C\G, где T0 — индуцированный оператор в факторпространстве B/B0 . Если выполнено условие 1), то доказательство теоремы 1.7.1 практически дословно повторяет доказательство теоремы 1.4.6. Каждое из условий 2) и 3) эквивалентно условию разложимости операторов TB (a), a ∈ M (см. [178] для условия 2) и [162] для 3)) и поэтому можно использовать теорему 1.4.6. Видимо, и при более слабых формах разложимости операторов TB (a), a ∈ M , будет иметь место спектральная регулярность алгебры B. Отметим, что при выполнении условия 1) В. И. Ломоносовым [61] была доказана регулярность алгебры B. В статье [128] получено условие спектральной

1.7. КОММЕНТАРИИ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

1

31

регулярности алгебр при выполнении условия, что операторы регулярного представления удовлетворяют условию (δ) их разложимости (см. [163]). Из теорем 1.7.1 и 1.4.6 следует, что для операторов регулярного представления банаховых алгебр понятие слабой разложимости и разложимости совпадают. Долгое время нерешенной была задача И. Коложоары и К. Фойаша [130] о различии классов разложимых и класса A-спектральных операторов. В 1978 году Э. Альбрехтом [108] был приведен пример разложимого, но не сильно разложимого оператора (см. определение 1.6.19). Поскольку каждый A-спектральный оператор сильно разложим (в силу леммы 1.6.8 и теоремы 1.6.12), то не каждый разложимый оператор является A-спектральным. Те же рассуждения показывают, что не каждый разложимый оператор является регулярно разложимым или B-разложимым для некоторой спектрально регулярной алгебры B. Следовательно, не любая банахова алгебра, порожденная разложимыми коммутирующими операторами, спектрально регулярна. Сумма и произведение двух спектральных (или A-спектральных, или разложимых) коммутирующих друг с другом операторов, вообще говоря, не являются операторами соответствующего класса [130]. Поэтому вводимый здесь класс регулярно разложимых операторов, использующий теорию спектрально регулярных алгебр, является наиболее естественным и достаточно широким классом операторов, который обладает рядом формулируемых в теореме 1.6.20 свойств. Теоремы о тех или иных классах A-спектральных операторов обычно содержат результаты об их сильной разложимости, спектре операторов и т. д. Следовательно, теоремы 1.6.12 и 1.6.20 содержат большинство известных результатов об A-скалярных операторах. Из теоремы 1.6.12 следуют также результаты статьи Г. Флашки [149], в которой доказано существование инвариантных подпространств оператора T такого, что P(T ) есть алгебра Шилова (и автор требует выполнения еще одного условия, которое можно опустить, если иметь в виду теорему 1.6.12). По всей видимости, подход Флашки побудил авторов статьи [67] поставить вопрос о разложимости оператора T такого, что алгебра P(T ) регулярна. Из результатов раздела 1.4 следует, что положительное решение этого вопроса будет равносильно тому, что каждая регулярная алгебра с одной образующей спектрально регулярна. В последнее время, особенно в связи с работами Ж.Тейлора [196], [197], постоянно увеличивается число статей, посвященных созданию теории разложимых (по Фойашу) конечных наборов коммутирующих операторов (особенно отметим работы С.Фрунзе и Э.Альбрехта [105–108], их совместную работу [109]. С помощью замечания 1.5.4 и изложенных в разделах 1.3–1.6 результатов можно естественным образом получать и усиливать большинство известных результатов об A-спектральных наборах операторов (например, результаты статей Э.Альбрехта [105, 106] и, в том числе, результаты его работы [110], где изучалось бесконечное число коммутирующих ограниченных операторов). Для изучения неограниченных операторов (и их коммутативных семейств) наиболее приспособлена спектральная теория банаховых модулей над алгебрами без единицы. Заметим, что теоремы 1.4.6, 1.5.1, 1.5.7 и некоторые другие результаты главы показывают, что спектрально регулярные алгебры образуют некоторый естественный и максимально широкий класс банаховых алгебр, банаховы модули над которыми обладают рядом специфических свойств. С регулярными и спектрально регулярными алгебрами оказались тесно связанными (так называемые) гармоничные и сильно гармоничные кольца (см. [180, 181]). В статье Телемана [198] кольцо R с единицей называлось гармоничным , если его пространство максимальных модулярных идеалов M(R) (с оболочечно-ядерной топологией) есть хаусдорфово топологическое пространство. Для коммутативных банаховых алгебр гармоничность алгебры означает её регулярность. Кольцо R называется сильно гармоничным, если для любых двух различных идеалов M1 , M2 из M(R) существуют идеалы J1 , J2 из R такие, что Ji * Mi , i = 1, 2, и I1 J2 = {0}. Это определение было дано Кохом [161]. Им же в [161] приведен следующий пример. Пример 1.7.2. Пусть Q — поле рациональных чисел и p1 , . . . , p` (` ≥ 2) — конечное число различных простых чисел. Рассмотрим кольцо R = {m/n ∈ Q : n не делится на любое из чисел pi , 1 6 i 6 `}. Кольцо R является гармоничным, но не сильно гармоничным кольцом. Легко видеть, что если R = B — коммутативная банахова алгебра, то B сильно гармонична тогда и только тогда, когда она спектрально регулярна. Остается неизвестным, является ли каждая

32

ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ МОДУЛЕЙ

регулярная алгебра спектрально регулярной. Заметим, что все известные критерии регулярности алгебр являются также критериями их спектральной регулярности. Основные результаты главы опубликованы в статьях [4–6, 8–17, 21] и диссертации [20].

ГЛАВА 2 АБСТРАКТНЫЕ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ В этой главе общие эргодические теоремы излагаются для банаховых модулей. Широта охвата возможных приложений абстрактных эргодических теорем (см. разделы 2.3-2.4, теорему 3.7.26, следствие 3.7.30, теорему 3.11.12 и её следствия, теоремы 5.4.10, 5.4.14) тесно связана с тем, насколько широким является класс направленностей линейных операторов (эргодических средних), для которых доказываются эргодические теоремы. Вводимый в разделе 2.1 класс направленностей содержит многие рассматриваемые в спектральной теории операторов и в абстрактном гармоническом анализе направленности операторов, вообще говоря, не удовлетворяющие условиям известных эргодических теорем. 2.1.

НАПРАВЛЕННОСТИ

ПО ИДЕАЛАМ

В этой главе опускается предположение коммутативности рассматриваемой банаховой алгебры B. При рассмотрении левых модулей, левых идеалов и т. д. слово «левый» обычно будем опускать. Приведем несколько обозначений и определений, с использованием которых будут в дальнейшем формулироваться основные результаты. Символ X обычно обозначает банахов модуль над алгеброй B; через TB (TB : B → End X ) обозначим ассоциированное с B-модулем X (левое) регулярное представление, т. е. TB (a)x = ax : X → X , a ∈ B. Для произвольного (левого) идеала I из алгебры B через IX (или s-cl IX ) обозначим замыкание в X наименьшего линейного многообразия IX из X , содержащего все векторы вида ax, где a ∈ I и x ∈ X . Символ X (I) введем для обозначения (замкнутого) подмодуля {x ∈ X : ax = 0 ∀a ∈ I}. Определение 2.1.1. Подмодуль F из B- модуля X ∗ назовем представляющим, если ∀x ∈ X ∃f ∈ F такой, что |f (x)| = kf k kxk и F содержит подмодуль X ∗ (I) = {ξ ∈ X ∗ : ξa = 0 ∀a ∈ I}. В банаховой алгебре End X будут рассматриваться следующие операторные топологии: равномерная uo, сильная so, слабая wo и слабая wF o, определяемая представляющим подмодулем F из X ∗ (направленность (Tα ) ⊂ End X сходится в wF o-топологии к оператору T ∈ End X , если lim (Tα x, f ) = (T x, f ) ∀x ∈ X ∀f ∈ F). α

Определение 2.1.2. Пусть τ o — одна из рассматриваемых операторных топологий в End X и I — левый (правый) идеал алгебры B. Направленность (Aα ) ⊂ End X (где α пробегает некоторое направленное множество Λ) назовем левой (правой) (τ o, I)-направленностью для B-модуля X , если 1) τ o-lim Aα TB (a) = 0 (соответственно τ o-lim TB (a)Aα = 0) ∀a ∈ I; 2) Aα x − x ∈ Ix ∀α ∀x ∈ X , если τ 6= u (Ix — замыкание в X множества элементов вида ax, a ∈ I); для τ = u операторы 1 − Aα принадлежат замыканию uo-cl TB (I) множества TB (I) = {TB (a)}, a ∈ I, в uo-топологии End X . Ограниченную левую (правую) (τ o, I)-направленность Aα назовем эргодической левой (правой) (τ o, I)-направленностью для B-модуля X (слово «левая» («правая») будет опускаться, если I — двусторонний идеал и (Aα ) является одновременно и левой и правой (τ o, I)-направленностью). Определение 2.1.3. Ограниченную направленность (eα ) ⊂ I из алгебры B назовем левой ограниченной аппроксимативной единицей (о.а.е.) идеала I из B, если lim eα a = a ∀a ∈ I. Отметим, что если алгебра B обладает о.а.е. (eα ), то направленность (1 − TB (eα )) является левой эргодической (τ o, I)-направленностью для любого B- модуля X .

2.1. НАПРАВЛЕННОСТИ

33

ПО ИДЕАЛАМ

Укажем еще один часто встречающийся вид направленностей по идеалам, который, вообще говоря, не описывается определением 2.1.2. Определение 2.1.4. Пусть κ : B → A — гомоморфизм алгебры B в банахову алгебру A, причем B-модуль X одновременно является A-модулем, Ran κ = A и kTB (b)k 6 Constkκ(b)k ∀b ∈ B. Пусть I — левый идеал алгебры B, обладающий левой о.а.е. (eα ). Направленность (Aα ) из End X назовем левой эргодической (κA , I)-направленностью, если 1) существует ограниченная направленность (aα ) ⊂ A такая, что Aα = TB (aα ) ∀α; 2) lim λ(aα a) = 0 ∀λ ∈ A∗ ∀a ∈ κ(I); 3) lim λ(aα a) = λ(a) ∀a ∈ A ∀λ ∈ κ(I)⊥ = {f ∈ A∗ : κ(I) ⊂ Ker f }. Аналогично определяется правая эргодическая (κA , I)- направленность. Если I — двусторонний идеал, то слово «левая» («правая») будет опускаться, если (Aα ) одновременно является и левой и правой (κA , I)-направленностью. Пример 2.1.5. Рассмотрим L1 (R)-модуль L1 (R) (см. пример 1.1.2), 1 < p < ∞. Тогда направленность (направленная по убыванию ε ∈ R+ ) Z 1 1 ϕ(t) (Γε ϕ)(t) = ϕ(t) − ds, ϕ ∈ Lp (R), 2 2π t−s |t−s|≥ε

обычно используемая при определении преобразования Гильберта (см. [1, 43]), является (κA , I)направленностью для L1 (R)-модуля Lp (R). Здесь I = {f ∈ L1 (R) : fb(λ) = 0 ∀λ 6 0}, A — наименьшая подалгебра из End Lp (R), содержащая все операторы свертки с функциями из L1 (R), B = L1 (R), и гомоморфизм κ : B → A определяется формулой κ(a)ϕ = a ∗ ϕ : Lp (R) → Lp (R) ∀a ∈ L1 (R). Эта направленность не является (τ o, I)-направленностью ни для какой операторной топологии τ o. Пример 2.1.6. Пусть G — полугруппа линейных операторов из End Y (Y — банахово пространство) и (Tα ) — ограниченная направленность из End Y, удовлетворяющая условиям: 1) x − Tα x ∈ Ix

∀x ∈ Y

∀α;

2) wo- lim Tα (T − 1) = 0

∀ T ∈ I,

где I = B — наименьшая подалгебра, содержащая G. Тогда (Tα ) — левая эргодическая (wo, I)направленность для B-модуля Y (ее также будем называть эргодической G -направленностью для Y ). Разумеется, каждую (τ o, I)-направленность для B-модуля X можно рассматривать в качестве G-направленности для подходящей полугруппы G ⊂ B. Однако в ряде случаев (см., например, определение 2.1.4) такой подход неестествен. Отметим следующий результат Р. Сато [187] об условии существования левого (правого) инвариантного среднего на C(G), т. е. такого линейного функционала µ на C(G), который удовлетворяет условиям: kµk = (1, µ) = 1 и (s f, µ) = (f, µ) ∀s ∈ G ∀f ∈ C(G). Лемма 2.1.7. Пусть G — равномерно ограниченная полугруппа операторов из End Y, наделенная дискретной топологией. Если существует левое инвариантное среднее на C(G), то существует левая эргодическая G-направленность для Y. Лемма 2.1.8. Пусть оператор T ∈ End Y удовлетворяет одному из следующих условий: 1) sup kT n k < ∞; n ≥ 1

2) sup k(1 − r) 0
∞ P

rn T n k < ∞;

n=0

3) lim kT n k/n = 0

1 (ясно, что 1) ⇒ 2) ⇒ 3)). Предположим, что последовательность (Tn ) = ( n+1

n P

T i ) (сред-

i=0

нее Чезари) ограничена. Тогда она является эргодической (uo, I)-направленностью для P(T )модуля Y (см. пример 1.1.12), где I — максимальный идеал алгебры P(T ), содержащий оператор T − 1.

34

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ

ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

Если выполнено условие 2), то направленность Tr = (1 − r)

∞ X

rn T n , r ∈ (0, 1) ((0, 1) направлен

n=0

по возрастанию r) также является эргодической (uo, I)-направленностью. При выполнении условия 1) возникают разнообразные возможности образования эргодических (uo, I)-направленностей (эргодических средних). Например, пусть матрица (ani ), n, i ∈ N, удовлетворяет следующим условиям: 1) lim ani = 0 ∀i ∈ N; n→∞ ∞ P 2) lim ani = 1; 3)

n→∞ i=0 ∞ P

|ani | 6 K

i=0

4) lim

∞ P

k→∞ i=k

∀n ≥ 1;

|an(i+1) − ani | = 0 равномерно по n ∈ N.

Тогда последовательность Tn0 =

∞ P

ani T i является эргодической (uo, I)-последовательностью.

i=0

Другие примеры направленностей по идеалам будут рассмотрены в разделах 2.3, 2.4. 2.2.

ЭРГОДИЧЕСКИЕ

ТЕОРЕМЫ

Через j обозначим один из символов uo, so, wo, wF o и κA , где F — некоторый представляющий подмодуль из правого B- модуля X ∗ . Определение 2.2.1. Пусть (Aα )-левая (j, I)-направленность для B-модуля X . Обозначим через Erg(X , (Aα ), F) множество {x ∈ X : ∃ x0 ∈ X , обозначаемый A∞ x такой, что lim λ(Aα x) = λ(x0 ), λ ∈ F}. Через Erg(X , (Aα )), Erg0 (X , (Aα )), Erg0 (X , (Aα ), F), XF и X0 обозначим соответственно следующие множества, являющиеся (замкнутыми) подпространствами из X , если (Aα ) ограничена: {x ∈ X : существует s- lim Aα x}, {x ∈ Erg(X , (Aα )) : Aα x ∈ X (I)}, {x ∈ Erg(X , (Aα ), F) : A∞ x ∈ X (I)}, {x ∈ Erg(X , (Aα ), F) : A∞ x = 0}, {x ∈ Erg(X , (Aα )) : s- lim Aα x = 0}. Лемма 2.2.2. Пусть j = wF o или j = κA и (Aα ) — левая эргодическая (j, I)-направленность для B-модуля X . Тогда 1) X (I) ⊂ Erg0 (X , Aα , F), IX ⊂ XF ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F); 2) A∞ Erg(X , (Aα ), F) ⊂ Erg(X , (Aα ), F), A∞ Erg0 (X , (Aα ), F) ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F) и A∞ - линейный оператор на Erg(X , (Aα ), F); 3) A∞ TB (a) = 0, aA∞ x = A∞ ax = 0 ∀a ∈ I ∀x ∈ Erg(X , (Aα ), F) и A∞ x = x ∀x ∈ X (I); 4) Erg(X , (Aα ), F) = Erg0 (X , (Aα ), F), если j = κA . Доказательство. Будем вначале предполагать, что j = wF o. Докажем 1). Пусть x0 ∈ X (I). Из условия Aα x0 −x0 ∈ Ix0 = {0} следует, что Aα x0 = x0 ∀α, т. е. x0 ∈ Erg(X , (Aα ), F) и A∞ x0 = x0 (т. е. доказано одно из равенств утверждения 3)). Включение IX ⊂ XF непосредственно следует из того условия, что (Aα )-левая эргодическая направленность. Докажем 2). Пусть x ∈ Erg(X , (Aα ), F) и x0 = A∞ x. В силу утверждения 1) достаточно доказать, что x1 = x − x0 ∈ IX . Если x1 ∈ IX , то существует функционал f ∈ X ∗ такой, что IX ⊂ Ker f и f (x1 ) 6= 0. Следовательно, f ∈ X ∗ (I) ⊂ F и поэтому из условия Aα x − x ∈ Ix ⊂ IX получаем, что f (x1 ) = lim f (Tα x − x) = 0. Получено противоречие. Включение A∞ Erg0 (X , (Aα ), F) ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F) следует из утверждения 1). Утверждение 3) также следует из 1). Пусть теперь j = κA и (aα ) — ограниченная направленность из алгебры A такая, что Aα = TA (aα ). Если x0 ∈ X (I), то рассмотрим функционалы вида η(a) = ξ(ax0 ) : A → C, ξ ∈ X ∗ . Тогда ясно, что I ⊂ Ker η, т. е. η ∈ κ(I)⊥ и поэтому в силу условия 3) определения 2.1.4 имеем lim η(aα a) = η(a), т. е. lim ξ(aα ax0 ) = ξ(ax0 ) ∀ξ ∈ X ∗ . Из условия наличия о.а.е. в алгебре B получаем, что lim ξ(aα x0 ) = ξ(x0 ) ∀ξ ∈ X ∗ . Тем самым доказаны включение X (I) ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F) и равенство A∞ x = x ∀x ∈ X (I). Аналогично, используя условие 2) определения 2.1.4, доказываются другие включения из утверждения 1).

2.2. ЭРГОДИЧЕСКИЕ

ТЕОРЕМЫ

35

Пусть теперь x ∈ Erg(X , (Aα ), F) и x0 = A∞ x. Для произвольного элемента a из κ(I) ⊂ A рассмотрим функционалы (ξa)(x) = ξ(ax) : X → C, ξ ∈ F из правого B-модуля X ∗ . Так как ξa ∈ F, то lim(ξa)(aα x) = (ξa)(x0 ) = ξ(ax0 ). С другой стороны, в силу условия 2) определения 1.4 получаем, что lim(ξa)(aα x) = lim ξ(aaα x) = lim η(aaα ) = 0, где η ∈ A∗ определен равенством η(b) = ξ(bx) : A → C. Следовательно, ax0 = 0 ∀a ∈ I, т. е. x0 ∈ X (I). Поэтому x0 ∈ Erg0 (X , (Aα ), F). Тем самым доказано утверждение 4). Остальные утверждения вполне очевидны. Аналогично (и даже несколько проще) устанавливается следующая лемма. Лемма 2.2.3. Пусть j = uo или j = so и (Aα )-левая эргодическая (j, I)-направленность для B-модуля X . Тогда 1) X (I) ⊂ Erg0 (X , (Aα )), IX ⊂ Erg(X , (Aα )); 2) A∞ Erg(X , (Aα )) ⊂ Erg(X , (Aα )), A∞ Erg0 (X , (Aα )) ⊂ Erg0 (X , (Aα )) и A∞ — линейный оператор на Erg(X , (Aα )); 3) A∞ TB (a) = 0, aA∞ x = A∞ ax = 0 ∀a ∈ I ∀x ∈ Erg0 (X , (Aα )); 4) имеют место утверждения 1)–3) леммы 2.2.2. Лемма 2.2.4. Если (Aα ) — левая эргодическая (j, I)-направленность, то 1) подпространства Ran A∞ = {x ∈ Erg(X , (Aα ), F) : A∞ x = x} и XF образуют прямую сумму в Erg(X , (Aα ), F), а оператор A∞ является проектором на Ran A∞ параллельно XF ; L 2) Erg0 (X , (Aα ), F) = X (I) XF и сужение A∞ на Erg0 (X , (Aα ), F) является проектором на X (I); L 3) Erg(X , (Aα ), F) = X (I) LXF для j = κA ; L 4) Erg(X , (Aα )) = Ran A∞ X0 , Erg0 (X , (Aα )) = X (I) X0 для j = uo и для j = so. Доказательство. Утверждение 1) непосредственно следует из доказательства утверждения 2) леммы 2.2.2. Ясно, что 2) следует из 1), а 3) — из утверждения 4) леммы 2.2.2. Аналогичное замечание относится к утверждениям 3) и 4), которые следуют из леммы 2.2.3. Теорема 2.2.5. Пусть (Aα ) — левая эргодическая (j, I)-направленность для B-модуля X . Для того чтобы имели место равенства Ran A∞ = X (I), Erg(X , (Aα ), F) = X , необходимо и достаточно, чтобы векторы из подмодуля X (I) разделяли функционалы из подмодуля X ∗ (I) (т. е. ∀ξ ∈ X ∗ (I) ∃x0 ∈ X (I) : (x0 , ξ) 6= 0). Доказательство. Необходимость. Пусть L L Ran A∞ = X (I) и Erg(X , (Aα ), F) = X . Тогда X = X (I) XF и, следовательно, X ∗ = M1 M2 , где M1 = {ξ ∈ X ∗ : XF ⊂ Ker ξ} и M2 = {ξ ∈ X ∗ : X (I) ⊂ Ker ξ}. Если f ∈ X ∗ (I) ⊂ F, то это означает, что Ker f ⊃ IX . Из условия Aα x − x ∈ Ix (для j 6= κA ) следует, что f (x) = f (A∞ x) ∀x ∈ X , т. е. XF ⊂ Ker f. Поэтому X ∗ (I) ⊂ M1 (это включение аналогично доказывается и для j = κA ). Если бы функционалы из X ∗ (I) не разделялись векторами из X (I), то существовал бы ненулевой функционал f0 ∈ X ∗ (I) такой, что f0 = 0 на X (I). Но тогда f0 ∈ M1 ∩ M2 = {0}. Достаточность. ПустьL векторы из X (I) разделяют функционалы из X ∗ (I) и предположим, что Erg0 (X , (Aα ), F) = X (I) XF 6= X . Рассмотрим ненулевой функционал f ∈ X ∗ , равный нулю на Erg0 (X , (Aα ), F); его существование обеспечивается теоремой Хана—Банаха о продолжении линейных функционалов [43]. Так как ax ∈ XF ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F) ∀a ∈ I ∀x ∈ X , то (f a)(x) = f (ax) = 0. Следовательно, f a = 0 ∀a ∈ I, т. е. f ∈ X ∗ (I). Получено противоречие. Теорема 2.2.6. Пусть (Aα ) — левая эргодическая (j, I)-направленность и пусть подмодуль X (I) разделяет векторы X ∗ (I). Тогда L 1) Erg(X , (Aα ), F) = Erg(X , (Aα ), X ∗ ) = XL (I) IX = X , если j 6= wF o; 2) Erg(X , (Aα ), F) = Erg(X L, (Aα )) = X (I) IX = X для j = so; 3) Erg(X , (Aα ), F) = X (I) IX = X для j = wF o. L Доказательство. Достаточно установить равенство X (I) IX = X L; остальные утверждения непосредственно следуют из определений и леммы 2.2.4. Если X (I) IX 6= X , то рассмотрим L ∗ ненулевой функционал f ∈ X такой, что X (I) IX ⊂ Ker f. Тогда, поскольку (f a)(x) = f (ax) = 0 ∀a ∈ I ∀x ∈ X , то 0 6= f ∈ X ∗ (I), что противоречит условию теоремы.

36

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ

ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

Теорема 2.2.7. Если подмодуль X (I) разделяет векторы из X ∗ (I) и (Aα ), (Tβ ) — две (j, I)направленности для B-модуля X , то 1) w- lim Aα x = w- lim Tβ x ∀x ∈ X для j 6= wF o; 2) s- lim Aα x = w- lim Tβ x ∀x ∈ X для j = uo и j = so; 3) lim f (Aα x) = lim(Tβ x) ∀x ∈ X ∀f ∈ F для j = wF o. Утверждение теоремы непосредственно следует из рассмотренных лемм и теоремы 2.2.6. Теорема 2.2.8. Предположим, что I — двусторонний идеал алгебры B и (Aα ), (Tβ ) — две эргодические (j, I)-направленности для B-модуля X . Тогда L 1) Erg(X , (Aα ), F) = Erg(X , (Tβ ), F) = Erg(X , (Aα ), X ∗ ) = X (I) IX — подмодуль из X ; L 2) Erg(X , (Aα )) = Erg(X , (Tβ )) = X (I) IX , если j = so или j = κA ; L 3) s- lim Aα x = s- lim Tβ x ∀x ∈ X (I) IX , если j = wo или j = κA ; L 4) s- lim Aα x = s- lim Tβ x ∀x ∈ X (I) IX , если j = so. Доказательство. Банахов B-модуль X рассмотрим в качестве правого и левого I-модуля (Iбимодуля). Так как рассматриваемые направленности являются и правыми и левыми эргодическими направленностями и поскольку I — двусторонний идеал, то Erg(X , (Aα ), F) и Erg(X , (Tβ ), F) — подмодули из I-модуля X . Из условий Aα x−x ∈ Ix, Tβ x−x ∈ Ix ∀α ∀β ∀x ∈ X (для j 6= κA ) следует, что оба подмодуля инвариантны относительно операторов Aα и Tβ соответственно (для j = κA этот факт очевиден). Поэтому к ним применимы теоремы 2.2.6 и 2.2.7, из которых следуют все утверждения данной теоремы. Теорема 2.2.9. Пусть I — двусторонний идеал алгебры B, (Aα ) — эргодическая (j, I)- направленность для X и выполнено одно из следующих условий: 1) направленности (Aα x), x ∈ X слабо компактны в X ; 2) 1 + Tβ (a) — слабо компактный оператор для некоторого a ∈ I; 3) банахово пространство X рефлексивно. Тогда имеют место утверждения теорем 2.2.6 и 2.2.7. Доказательство. Пусть выполнено условие 1). Рассмотрим произвольный вектор x ∈ X и направленности (Aα0 x) и (Aα00 x) такие, что существуют w- lim Aα0 x = x1 и w- lim Aα00 x = x2 . Для доказательства равенства Erg(X , (Aα ), X ∗ ) = X достаточно установить, что x1 = x2 . Но этот факт следует из утверждения 3) теоремы 2.2.8 для поднаправленностей (Aα0 ) и (Aα00 ). Если оператор 1 + TB (a) слабо компактен для некоторого a ∈ I, то рассмотрим направленность Tα = (1 + TB (a))Aα , также являющуюся эргодической (j, I)-направленностью для B-модуля X . Поэтому утверждение 2) следует из 1). Теорема 2.2.9 содержит большинство известных до работ Ю. А. Шрейдера [101] и Р. Сайна [191] результатов по общим эргодическим теоремам (по крайней мере, для банаховых пространств). Приводимые ниже следствия непосредственно вытекают из предыдущих результатов. Через (Aα ) обозначается левая эргодическая (j, I)-направленность для B-модуля X , используются и другие ранее введенные обозначения. Следствие 2.2.10. 1) x ∈ Erg0 (X , (Aα ), F) ⇐⇒ (x, f ) = 0 ∀f ∈ X ∗ (I) с X (I) ⊂ Ker f ; 2) если dim X (I) < ∞, то Codim Erg0 (X , (Aα ), X ∗ ) = dim X ∗ (I) − dim X (I), где Codim E обозначает коразмерность подпространства E ⊂ X в X ; 3) x ∈ IX ⇐⇒ f (x) = 0 ∀f ∈ X ∗ (I); 4) если T T (a) = T (a)T ∀a ∈ B, где T ∈ End X , то Ran T ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F) тогда и только тогда, когда векторы из X (I) разделяют векторы из T ∗ X ∗ (I)(⊂ X ∗ (I)). Следствие 2.2.11. Проектор A∞ : Erg(X , (Aα ), F) −→ Erg(X , (Aα ), F) удовлетворяет неравенству kA∞ k 6 limkAα k. Следствие 2.2.12. Если j = κA или если j = uo и Erg(X , (Aα ), X ∗ ) = X , то проектор A∞ лежит в наименьшей замкнутой подалгебре из End X , порожденной операторами вида 1 − TB (a), a ∈ I. Если для j = uo это утверждение следует из определения (uo, I)-направленности, то для j = κA оно следует из следующей леммы и определения 2.1.3.

2.3. ЭРГОДИЧЕСКИЕ

ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ И ДОПОЛНЯЕМОСТЬ ПОДПРОСТРАНСТВ

37

Лемма 2.2.13. Если левый (правый) идеал I из алгебры B обладает левой (правой) эргодической (1B , I)-направленностью (aα ) для B-модуля B (здесь κ : B → B — тождественное отображение и элементы aα рассматриваются как операторы из End B), то он обладает левой (правой) о.а.е. (eα ) ⊂ I идеала I. Доказательство. Из леммы 2.2.4 следует, подпространства B ∗ (I) и IB ∗ образуют прямую L что ∗ ∗ ∗ сумму в B . На подпространстве B (I) IB (= Erg(B ∗ , (aα ), B ∗∗ )) определим линейный функционал ϕ0 , положив ϕ0 (f ) = lim f (aα ) ∀f ∈ B ∗ . По теореме Хана-Банаха он допускает непрерывное (с сохранением нормы) расширение ϕ на все B ∗ . Отметим следующие два свойства функционала ϕ : 1) ϕ(aξ) = ξ(a)

∀ξ ∈ B ∗ (I)

∀a ∈ B ∗ ;

2) ϕ(aξ) = 0

∀a ∈ I

∀ξ ∈ B ∗ .

Рассмотрим линейный оператор (Aξ)(a) = ϕ(aξ) : B ∗ → B ∗ (I), обладающий свойством Aξ = ξ ∀ξ ∈ B ∗ (I). Наличие такого оператора A гарантирует существование левой о.а.е. идеала I (см. [99]). Следствие 2.2.14. Для того чтобы левый идеал I алгебры B обладал левой о.а.е., необходимо и достаточно, чтобы подпространства B ∗ (I) и IB ∗ образовывали прямую сумму в правом B-модуле B ∗ . В заключение параграфа перейдем к рассмотрению произвольных, не обязательно эргодических (j, I)-направленностей для j 6= κA . В случае неограниченности направленности (Aα ) нет никакой надежды на выполнение равенства Erg(X , (Aα ), F) = X . Однако, часто удается доказать плотность линейного многообразия Erg(X , (Aα ), F) в пространстве X . Лемма 2.2.15. 1) X (I) ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F), IX ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F); 2) A∞ Erg(X , (Aα ), F) ⊂ Erg(X , (Aα ), F), A∞ Erg0 (X , (Aα ), F) ⊂ Erg0 (X , (Aα ), F); 3) x ∈ Erg0 (X , (Aα )) ⇒ (x + Ix) ∩ X (I) 6= ∅; если направленность (Aα ) эргодична, то это условие и достаточно. Доказательство. Утверждения 1) и 2) фактически были доказаны в лемме 2.2.2. Докажем 3). Пусть x ∈ Erg0 (X , (Aα )) и lim Aα x = x0 ∈ X (I). Тогда из условия Aα x − x ∈ Ix ∀α получаем, что x − x0 ∈ Ix, т. е. x0 ∈ x + Ix. Если (x + Ix) ∩ X (I) 6= ∅, (Aα ) ограничена и x0 = x + y ∈ X (I), где y ∈ Ix, то x, очевидно, принадлежит Erg(X , (Aα )). Теорема 2.2.16. Для того чтобы A∞ Erg(X , (Aα ), F) = X (I) и Erg(X , (Aα ), F) = X , достаточно, чтобы векторы из X (I) разделяли функционалы из X ∗ (I). Доказательство. Пусть векторы из X (I) разделяют функционалы из X ∗ (I). Предположим, что подпространство X1 , порожденное X (I) и IX , не совпадает с X . Рассмотрим 0 6= x∗ ∈ X ∗ такой, что X1 ⊂ Ker x∗ . Тогда f ∈ X ∗ (I) и X (I) ⊂ Ker x∗ . Получено противоречие. 2.3.

ЭРГОДИЧЕСКИЕ

ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ

И ДОПОЛНЯЕМОСТЬ ПОДПРОСТРАНСТВ

В этом параграфе остановимся на рассмотрении условий, когда Erg(X ∗ , (A∗α )) = X ∗ , и условий дополняемости подпространства X ∗ (I) в X ∗ . Если (Aα ) ⊂ End X — эргодическая (so, I)-направленность для B-модуля X , то направленность (A∗α ) ⊂ End X ∗ , может не являться (j, I)-направленностью для B-модуля X ∗ ни для одной из рассматриваемых нами топологий j. Это, в основном, связано с выполнением условия ξ − A∗α ξ ∈ ξI ∀ξ ∈ X ∗ . Однако, если j = uo или если j = κA , то таких проблем не возникает. Если j = uo, то из условия 1 − Aα ∈ uo-cl TB (I) следует, что 1 − A∗α ∈ uo-cl(TB∗ (I)), где TB∗ (a)ξ = ξa : X ∗ → X ∗ . Если j = κA , то A∗α = TA∗ (aα ) ∀α и A∗α является (κA , I)-направленностью, так как условия 2) и 3) определения 2.1.4 сформулированы в терминах, не зависящих от конкретного вида модуля. Ниже предполагается, что I — двусторонний идеал алгебры B и (Aα ), α ∈ Λ-эргодическая (j, I)направленность для B-модуля X , где j = uo или j = κA . Однако, многие последующие результаты верны для произвольных j, если банахов модуль X является сопряженным к некоторому B-модулю.

38

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ

ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

Теорема 2.3.1. Подмодуль X ∗ (I) из B-модуля X ∗ дополняем в банаховом пространстве X ∗ и соответствующий проектор Q ∈ End X ∗ удовлетворяет следующим условиям: 1) kQk 6 supkA α k; L ∗ ∗ 2) X = X (I) Y, Qf = f ∀f ∈ X ∗ (I), IX ∗ ⊂ Y = Ker Q; 3) TB∗ (a)Q = QTB∗ (a) = 0 ∀a ∈ I; 4) A∗α Q = QA∗α = Q ∀α; 5) Q ∈ Com(Com TB∗ (I)), где Com M обозначает коммутант множества операторов из алгебры End X ∗ . Доказательство. Символом `∞ (Λ) обозначим банахово пространство ограниченных комплексных функций, определенных на направленном множестве Λ ( kϕk = sup |ϕ(α)| ∀ϕ ∈ `∞ (Λ)) Пусть L : α∈Λ

`∞ (Λ) → C — банахов предел на `∞ (Λ), т. е. L — линейный функционал с kLk = 1, причем L(ϕ) = lim ϕ(α), ϕ ∈ `∞ (Λ), если существует lim ϕ(α). Проектор Q : X ∗ → X ∗ определим формулой α

α

(Qf )(x) = L(ϕ), f ∈ X ∗ , x ∈ X , где ϕ(α) = (A∗α f )(x), α ∈ Λ, принадлежит `∞ (Λ). Непосредственно из определения следует, что kQk 6 supkAα k, т. е. Q ∈ End X ∗ . Из равенств Qf = (1 − A∗α )Qf + Aα Qf = Aα Qf, α ∈ Λ, вытекающих из условия (1 − A∗α )Qf ∈ IQf = {0} для j 6= κA (а для j = κA следует использовать лемму 2.13), получаем, что Q — проектор, удовлетворяющий условию 5). L Если f ∈ X ∗ (I) IX ∗ = Erg(X ∗ , (Aα )), то непосредственно из определения оператора Q и леммы 2.2.3 получаем, что Qf = f ∀f ∈ X ∗ (I) и Qf = 0 ∀f ∈ IX ∗ . Следовательно, ∗ ∗ ∗ (1 − Q)TB (a) = TB (a)(1 − Q) =TB (a) ∀a ∈ I. Отсюда получаем,Lчто Qf = f в точности тогда, когда af = 0 ∀a ∈ I, т. е. когда f ∈ X ∗ (I). Если X ∗ = X ∗ (I) Y, где Y = Ker Q, то из тех же равенств получаем, что IX ∗ ⊂ Y. Есть другой способ построения проекторов на X ∗ (I), рассмотренный С. Ллойдом [166] для n X 1 оператора T ∈ End Y с r(T ) 6 1 и эргодическими средними вида An = T i. n+1 i=0 Рассмотрим слабую∗ операторную топологию в End X ∗ , которую обозначим w∗ o (или wX o). Пусть M = supkAα k и P(M, ε, µ) = {T ∈ End X ∗ : kT TB∗ (a)k 6 ε ∀a ∈ µ}, ε > 0, где µ пробегает (направленное по увеличению числа T ∗ элементов) совокупность G0 конечных подмножеств идеала I. Рассмотрим множество P0 = w o-cl P(M, ε, µ), где пересечение берется по всем ε > 0 и µ из G0 . Это множество непусто в силу компактности и выпуклости центрированного семейства {w∗ o-cl P(M, ε, µ)}, µ ∈ G0 , ε > 0. Лемма 2.3.2. Множество P0 совпадает с множеством проекторов, определяемых в теореме 2.3.1. Доказательство. Для любых ε > 0 и µ ∈ G0 существует набор α0 ∈ Λ такой, что A∗α ∈ P(M, ε, µ) ∀α  α0 ( — символ частичного порядка в Λ). Поэтому так же, как и в теореме 2.3.1 получаем, что любой оператор Q из P0 является проектором, удовлетворяющим всем условиям теоремы 2.3.1. Пусть Q0 ∈ P0 . Тогда существует поднаправленность Λ0 ⊂ Λ такая, что Q0 = wo- lim A∗α , α ∈ Λ0 . Рассмотрим подпространство M = {x ∈ `∞ (Λ) : существует lim x(α)} и определим на M α∈Λ0

функционал L0 : M → C формулой L0 x = lim x(α). Символом L обозначим продолжение L0 α∈Λ0

на `∞ (Λ) с сохранением нормы, т. е. L — один из банаховых пределов. Ясно, что оператор Q0 совпадает с оператором Q, определяемым формулой (Qf )(x) = L(ξ) ∀f ∈ X ∗ ∀x ∈ X , где ξ(α) = (x, A∗α f ), α ∈ Λ. Следовательно, P0 содержится в множестве проекторов, определяемых теоремой 2.3.1. Обратно, пусть Q — некоторый проектор, определенный с помощью банахова предела L ∈ `∞ (Λ)∗ , т. е. (Qf )(x) = Λξ, ξ(α) = (x, A∗α f ), f ∈ X , x ∈ X . Множество таких элементов ξ с kf k 6 1 и kxk 6 1 слабо∗ компактно в `∞ (Λ) (`∞ (Λ) понимается как сопряженное P пространство к банахову пространству `1 (Λ) счетно-значных суммируемых на Λ функций; kϕk = |ϕ(α)|, ϕ ∈

2.3. ЭРГОДИЧЕСКИЕ

ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ И ДОПОЛНЯЕМОСТЬ ПОДПРОСТРАНСТВ

39

`1 (Λ)). Так как Lξ есть одна из предельных точек направленности (ξ(α)), α ∈ Λ, то найдется поднаправленность Λ0 из Λ, для которой существует lim (x, A∗α f ) ∀x ∈ X ∀f ∈ X ∗ и Lξ = α∈Λ0

lim ξ(α)). Поэтому Q ∈ P0 .

α∈Λ0

Теорема 2.3.3. Следующие условия эквивалентны: 1) Erg(X ∗ , (A∗α ), X ) = X ∗ (при каноническом вложении X в X ∗∗ ); 2) множество P0 состоит из одного элемента Q. Доказательство. Если P0 состоит из одного элемента Q, то все банаховы пределы совпадают на элементах f ∈ `∞ (Λ) вида f (α) = (x, A∗α f ), x ∈ X , f ∈ X ∗ , а это возможно тогда и только тогда, когда существует lim(x, A∗α f ) ∀x ∈ X ∀f ∈ X ∗ . Следствие 2.3.4. Если при каноническом вложении π : X → X ∗∗Lвыполнено соотношение π(X (I)) = X ∗∗ (I), то Erg(X ∗ , (A∗α ), X ) = Erg(X ∗ , (A∗α ), X ∗∗ ) = X ∗ (I) IX ∗ = X ∗ . Определение 2.3.5. Банахово пространство X называется пространством Гротендика или Gпространством, если слабая∗ секвенциальная сходимость в X ∗ эквивалентна слабой секвенциальной сходимости. Примерами G-пространств могут служить рефлексивные банаховы пространства и пространство C(Ω) для компактного F -пространства Ω. Теорема 2.3.6. Пусть X есть G-пространство и (An ) — эргодическая (j, I)-последовательность для B-модуля X . Тогда L 1) Erg(X ∗ , (A∗n )) = X ∗ (I) IX ∗ = X ∗ для j = uo;L 2) Erg(X ∗ , (A∗n ), X ) = Erg(X ∗ , (A∗n ), X ∗∗ ) = X ∗ (I) IX ∗ = X ∗ для j = κA ; 3) для того, чтобы Erg(X , (An ), X ) = X необходимо и достаточно, чтобы подмодуль IX ∗ был слабо∗ замкнут в X ∗ . Доказательство. Первые два утверждения следуют из эргодичности последовательности (A∗n ), совпадения слабой∗ сходимости последовательностей (A∗n f ), f ∈ X ∗ и слабой их сходимости, предкомпактности ограниченных подмножеств из X ∗ в слабой∗ топологии пространства X ∗ и теоремы 2.2.9. L Докажем утверждение 3). Пусть Erg(X , (An ), X ∗ ) = X и,Lследовательно, X = X (I) IX . В силу утверждений 1) и 2) имеет место равенство X ∗ = X ∗ (I) IX ∗ . Пусть (ξβ ) — направленность из IX ∗ слабо∗ сходящаяся к ξ ∈ X ∗ . Имеет место представление ξ = ξ1 + ξ2 , где ξ1 ∈ X ∗ (I) и ξ2 ∈ IX ∗ . Так как X (I) ⊂ Ker ξβ ∀β, то X (I) ⊂ Ker ξ; ясно также, что X (I) ⊂ Ker ξ2 . Следовательно, X (I) ⊂ Ker ξ1 . Из включения IX ⊂ Ker ξ1 следует, что ξ1 = 0. Поэтому ξ = ξ2 ∈ IX ∗ . Предположим теперь, что IX ∗ — слабо∗ замкнутое подпространство из X ∗ . В силу утверждеL L ния 2) имеем X ∗ = X ∗ (I) IX ∗ = Erg(X ∗ , (A∗n ), X ) = Erg(X ∗ , (A∗n ), X ∗∗ ). Но тогда X = X1 X2 , где X1 = {x ∈ X : x ∈ Ker ξ ∀ξ ∈ IX ∗ } и X2 = {x ∈ X : x ∈ Ker ξ ∀ξ ∈ X ∗ (I)} (ибо X служит сопряженным пространством к локально выпуклому пространству X ∗ , наделенному топологией слабой∗ сходимости). Ясно, что X1 = X (I) и X2 ⊃ IX . Наконец, поскольку ⊥ IX = {ξ ∈ X ∗ : IX ⊂ Ker ξ} ⊂ X (I), то X2 = IX . L L Следствие 2.3.7. Если X ∗ = X ∗ (I) IX ∗ , то для выполнения равенства X = X (I) IX необходимо и достаточно, чтобы IX ∗ было слабо∗ замкнутым подпространством в X . Отметим, что выполнение условия 1) теоремы 2.3.6 не влечет равенство X = Erg(X , (An ), X ∗ ). Даже, более того, подпространство X (I) может не обладать дополнением Y в X таким, чтобы соответствующий проектор P удовлетворял условию P ∗ = Q, где Q — проектор из теоремы 2.3.3. Вопрос о существовании такого проектора был поставлен Ллойдом [166]. В следующем примере дается отрицательный ответ на этот вопрос. Пример 2.3.8. Пусть X = C(0, 1) и (T x)(t) = x(t2 ) : X → X — марковский оператор. Так как пространство C(0, 1) является G-пространством, то выполнено условие 1) теоремы 2.3.6, т. е. пространство борелевских мер M (0, 1), изометрически изоморфное X ∗ = C ∗ (0, 1), удовлетворяет

40

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ

условию Erg(M (0, 1), (An )) = M (0, 1), An =

1 n+1

ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

n P

T i (см. лемму 2.1.8). Здесь X (I) = {x ∈ X :

i=0

T x = x} состоит из постоянных функций, IX = {x ∈ C(0, 1) : x(0) = x(1) = 0}, X ∗ (I) = {α0 δ0 + α1 δ1 }, α0 , α1 ∈ C, δx — мера Дирака, сосредоточенная в точке x ∈ [0, 1]. Так как dim X ∗ (I) = 2 и dim X (I) = 1, то Erg(X , (An )) 6= X . Предположим, что X (I) дополняемо в X и соответствующее разложение пространства X осуществляется проектором P , удовлетворяющим условию P ∗ = Q, L где Q осуществляет разложение X ∗ = X ∗ (I) IX ∗ . Тогда P x = ξ(x) + η(x)ϕ, где ξ, η ∈ X ∗ и ϕ — некоторая фиксированная функция из C(0, 1), удовлетворяющая условию ϕ(0) 6= ϕ(1). Из равенства P ∗ = Q, используя условие 3) теоремы 2.3.1, получаем, что P T = T P = P. Отсюда следует, что T ϕ = ϕ. Следовательно, ϕ = const и поэтому проектора P со свойством P ∗ = Q не существует. Пусть теперь Y — некоторое банахово пространство и T : G → End Y — сильно непрерывное ограниченное представление. Теорема 2.3.9. Пусть выполнено одно из следующих условий: 1) Y является сопряженным к некоторому банахову пространству Z и G — аменабельная группа; 2) T является почти периодическим (п.п.) представлением (т. е. g 7→ T (g)x : G → Y — п.п. функция ∀x ∈ Y; см. раздел 3.6). Тогда банахова алгебра End Y является прямой суммой подалгебры B0 = {A0 ∈ End Y : T (g)A0 = A0 T (g) ∀g ∈ G}, операторов, коммутирующих со всеми операторами вида T (g), g ∈ G, и некоторого подпространства B1 операторов из End Y, обладающих свойствами: 1) T (g)AT (g −1 ) ∈ B1 , g ∈ G, A ∈ B1 ; 2) T (g)AT (g −1 ) − A ∈ B1 , g ∈ G, ∀A ∈ End Y. Доказательство. Пусть выполнено условие 1). Из аменабельности G следует, что существует некоторое правоинвариантное среднее m на L∞ (G), т. е. m : L∞ (G) → C — линейный функционал, удовлетворяющий условиям m(1) = 1, m(ϕg ) = ϕ ∀g ∈ G ∀ϕ ∈ L∞ (G), где ϕg (s) = ϕ(sg), s ∈ G. Пусть A — произвольный оператор из End Y и ξ — некоторый вектор из Y. Определим линейный оператор P : End Y → End Y с помощью равенства (PA)ξ(x) = m(ϕξ,x ), x ∈ Z, где ξ,x ϕξ,x (s) = (x, T (s)AT (s−1 )ξ) : G → C принадлежит L∞ (G). Из свойства m(ϕξ,x g ) = m(ϕ ) ∀g ∈ G −1 следует, что T (g)PAT (g ) = PA, g ∈ G, т. е. PA ∈ B0 . Тем самым мы определили проектор свойством Ran P = B0 . Очевидно, что операторы из подпространства B1 = Ker P обладают свойством T (g)AT (g −1 ) ∈ B1 , A ∈ B1 , g ∈ G. Если выполнено условие 2), то доказательство аналогично проведенному (и даже проще); важным является факт существования среднего J : AP (G, Y) → Y и п.п. функций g 7→ T (g)AT (g −1 )x : G → Y, x ∈ Y (обозначения и свойства J см. в разделе 3.6). Следствие 2.3.10. Пусть S — некоторое множество, а G — некоторое кольцо подмножеств из S. Пусть задано представление E : G → End Y в виде равномерно ограниченного семейства {E(δ)}, δ ∈ G идемпотентов из End Y и, кроме того, 1) sup kE(δ)k < ∞; 2) E(∅) = 0, E(S) = 1, δ∈G

E(δ)E(τ ) = E(δ ∩ τ ), δ, τ ∈ G; 3) E(δ) + E(τ ) = E(δ ∪ τ ), если δ, τ ∈ G и δ ∩ τ = ∅. Тогда, если выполнено одно из следующих условий: 1) Y является сопряженным к некоторому банахову пространству, 2) E(δ), δ ∈ G — конечномерные операторы и Y не содержит подпространства c0 сходящихся к нулю числовых последовательностей, то End Y есть прямая сумма подалгебры B0 = {A0 ∈ End Y : E(δ)A0 = A0 E(δ) ∀δ ∈ G} и подпространства B1 операторов из End Y, обладающих свойством: E(δ)AE(τ ) ∈ B1 ∀A ∈ End Y и для любых двух непересекающихся множеств δ, τ ∈ G. Для доказательства достаточно заметить, что семейство операторов {2E(δ) − 1, δ ∈ G} образует ограниченную абелеву группу G операторов из End Y, которую следует наделить дискретной топологией (при выполнении условия 2) из следствия 3.7.27 следует сильная почти периодичность этой группы). Теорема 2.3.11. Пусть Y и G удовлетворяет условию 1) теоремы 2.3.9 и Y0 — дополняемое в Y инвариантное относительно операторов T (g), g ∈ G, подпространство из Y. Тогда существует проектор P0 : Y → Y, коммутирующий с операторами T (g), g ∈ G и такой, что Y0 ⊂ Ran P0 ⊂ w∗ -cl Y0 (w∗ -cl Y0 — слабое∗ замыкание Y0 ).

2.4. НЕКОТОРЫЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ

41

Доказательство. Если P — проектор на Y0 , существующий в силу условия теоремы и P — проектор, построенный при доказательстве теоремы 3.9, то положим P0 = P(P ). Свойство P0 ∈ B0 следует из теоремы 2.3.9. Рассмотрим направленность fα ⊂ L1 (G) неотрицательR ных функций, удовлетворяющих условиям: fα (g)dr (g) = 1 ∀α, (fα g − fα ) слабо∗ сходится R к 0 ∀g ∈ G и m(ϕ) = lim fα (g)ϕ(g)dr (g) ∀ϕ ∈ L∞ (G), где m — правоинвариантное средα

нее из теоремы 2.3.9 (существование такой направленности R доказано в [39]). Следовательно, (x, P0 ξ) = lim(x, fα P ξ) x ∈ Z ∀ξ ∈ Y, где (fα X)ξ = fα (g) T (g)XT (g −1 )ξdr (g). Так как α

fα P ξ = ξ ∀ξ ∈ Y0 , из равенства P0 ξ = (1 − fα )P0 ξ + fα P0 ξ и условия w∗ - lim(1 − fα )P0 ξ = 0, получаем, что P02 = P0 , Ran P0 ⊃ Y0 и Ran P0 ⊂ w∗ -cl Y0 . Отметим, что утверждение 1) теоремы 2.3.9 и теорема 2.3.11 имеют место для слабо∗ непрерывного представления T . При условии слабой∗ замкнутости подпространства Y0 из теоремы 2.3.11 следует, что выполнено равенство Ran P0 = Y0 и это условие существенно. Пример 2.3.12. Пусть G = Z, Y = L1 (Z), T (n)ϕ = ϕn , n ∈ Z, ϕ ∈ L1 (Z) и Y0 = {f ∈ L1 (Z) : b f (0) = 0}. Подпространство Y0 дополняемо (как подпространство имеющее коразмерность один), Y является сопряженным к пространству C0 (Z), но не существует проектора P0 на Y0 , коммутирующего со сдвигами T (n), n ∈ Z. Ясно, что w∗ -cl Y0 = Y, т. е. Y0 не является слабо ∗ - замкнутым подпространством. 2.4.

НЕКОТОРЫЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Здесь рассмотрены некоторые приложения полученных в разделах 2.2, 2.3 абстрактных теорем; другие применения их будут изложены в последующих главах. Рассмотрения в конкретных банаховых модулях не всегда доводятся до формулировки соответствующих (тем или иным результатам разделов 2.2, 2.3) теорем. Обычно такие теоремы нетрудно сформулировать (см., например, теоремы 2.4.1 и 2.4.3), а их возможное обилие заняло бы очень много места. Вместо этого мы часто ограничиваемся описанием направленностей по идеалам, подмодулей и т.д., которые участвуют в формулировке теорем разделов 2.2, 2.3. Пусть X — банахов модуль над коммутативной банаховой алгеброй B, обладающей о.а.е. (eα ). Из замечания после определения 2.1.3 следует, что направленность (Aα ) = (1 − TB (eα )) является (uo, I)-направленностью для B-модуля X (здесь I = B). Кроме того, X (B) = {x ∈ X : ax = ⊥ 0 ∀a ∈ B}, X ∗ (B) = {ξ ∈ X ∗ : ξa = 0 ∀a ∈ B} = BX . Поэтому из результатов разделов 2.2, 2.3 следует Теорема 2.4.1. Имеют место следующие утверждения L 1) Erg(XL , (Aα )) = X (B) BX = {x ∈ X : существует lim eα x}; ∗ 2) X (B) BX L= X ⇔ X (B) разделяет функционалы из X (B); 3) X = X (B) BX , если X — рефлексивное банахово пространство; 4) если BX = X , то X (B) = {0} и, следовательно, lim eα x = x ∀x ∈ X ; 5) подмодуль X ∗ (B) имеет банахово дополнение в X ∗ ; 6) если каждый собственный идеал I алгебры B содержится в некотором максимальном идеале (например, если (eα ) — о.а.е. элементов с компактным спектром Берлинга), то Λ(X ) = ∅ ⇔ BX = {0} ∀Λ ∈ S(M) (в частности, Λ1 (x) = ∅ ⇔ x ∈ X (B)); 7) каждый элемент y ∈ BX может быть представлен в виде y = ax, где a ∈ B и x ∈ BX (см. [97, разд. 32]), т. е. BX = BX = B 2 X = . . . . Определение 2.4.2. Подмодуль X B назовем подмодулем вырожденных векторов (или анулятором B-модуля X ). Пусть теперь B = L1 (G), где G — локально компактная абелева группа и X − L1 (G) — модуль. b порожденноТеорема 2.4.3. Если множество δ принадлежит кольцу G0 подмножеств из G, ∗ b то спектральный подмодуль X (δ) дополняем в X ∗ му сдвигами открытых подгрупп группы G, (а подмодуль X (δ) дополняем в X , если X — рефлексивное пространство, либо если оператор f 7→ f x : L1 (G) → X слабо компактен ∀x ∈ X ).

42

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ

ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

b обладает тем свойством, что для любого L1 (G)-модуля Y спекЕсли множество δ ∈ P (G) ∗ тральный подмодуль Y (δ) дополняем в Y ∗ , то δ ∈ G0 . Доказательство. Если δ ∈ G0 и I(δ) = {f ∈ L1 (G) : fb = 0 на δ}, то существует о.а.е. (aα ) идеала I(δ) (см. [186]), т. е. существует (uo, I(δ))-направленность для B-модуля X . Поэтому первая часть теоремы следует из теоремы 2.2.6. Для доказательства второй части следует рассмотреть L1 (G)-модуль Y = L∞ (G) (или AP (G)), применить следствие 2.14 и теорему Коэна об идемпотентах (более подробно см. [186]). Следствие 2.4.4. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. ТогдаLалгебра G∞ (H) компактных операторов слабо дополняема в End H, т. е. (End H)∗ = G∞ (H)⊥ Y и P, осуществляющий это разложение, обладает свойством (Pξ)(A) = A∗ Pξ(1) ∀A ∈ G∞ (H) ∀ξ ∈ (End H)∗ . Доказательство. Пусть B = End H, I = G∞ (H), X = G1 (H) — идеал ядерных операторов. Тогда X ∗ изоморфно End H и этот изоморфизм осуществляет отображение A 7→ ξA : End H → G1 (H∗ ), где ξA (X) = tr AX : G1 (H) → C. Пусть (Pn ) — последовательность проекторов из B, сильно сходящаяся к 1. Положим Tn = 1 − Pn , n ≥ 1. Тогда (Tn ) является (uo, I)-последовательностью для B-модуля X , причем X ∗∗ (I) = G∞ (H)⊥ . Следовательно, утверждение теоремы следует из теоремы 2.3.6. В оставшейся части параграфа рассмотрим R(A)-модуль X из примера 1.1.12. Пусть λ0 — граничная точка спектра σ(A) = Sp R(A) оператора A и предположим, что существует ограниченная направленность (Aα ) ⊂ Com R(A) такая, что Ran(1 − Aα ) ⊂ Ran(A − λ0 1) и λo − lim Aα (λ0 1 − A)(λ1 − A)−1 = 0 для некоторого λ ∈ ρ(A) и для некоторой операторной топологии τ o (рассмотренных в разделе 2.2). Если I(λ0 ) — наименьший идеал из R(A), содержащий оператор (λ0 1 − A)(λ1 − A)−1 , то ясно, что (Aα ) есть (τ o, I(λ0 ))-эргодическая направленность для R(A)-модуля X . В этом случае X (I(λ0 )) = Ker(A − λ0 1) и I(λ0 )X = Ran(A − λ0 1), X ∗ (I) = {ξ ∈ X ∗ : (λ0 1 − A)x ∈ Ker ξ ∀x ∈ D(A)} (X ∗ (I) = Ker(A∗ − λ1), если D(A) = X ). В зависимости от принадлежности оператора A тем или иным классам операторов можно строить конкретные виды (τ o, I(λ0 ))-направленностей. Рассмотрим несколько примеров (первая группа была рассмотрена в лемме 2.1.8 для λ0 = 1). Пример 2.4.5. Предположим, что существует последовательность (λn ) ⊂ ρ(A) такая, что lim λn = λ0 и sup k(λn − λ0 )R(λn , A)k < ∞. Тогда последовательность A0n = (λn − λ0 )R(λn , A)

n→∞

n≥1

является эргодической (uo, I(λ0 ))-последовательностью для R(A)-модуля X . Это следует из равенства (λ0 1 − A)A0n = (λn − λ0 )(1 − (λn − λ0 )R(λn , A)), n ≥ 1. Пример 2.4.6. Пусть A — производящий оператор локально интегрируемой полугруппы операторов T (t), t ≥ 0, удовлетворяющей одному из следующих условий: а) τ o- lim T (t)/t = 0; б) τ ot→∞ s R lim t−1 T (t)R(λ, A) = 0 для некоторого λ ∈ ρ(A); в) τ o- lim t−1 T (t) T (u)du = 0 ∀s ≥ 0. Ясно,

t→∞

t→∞

0

что a) ⇒ б) ⇒ в). Рассмотрим направленность операторов вида A00α = α−1

Rα

T (s)ds, α ∈ R+ , где

0

R+ направлено по возрастанию чисел из R+ , и предположим, что она ограничена. Из равенства AA00α = α−1 (T (α) − 1) и условий а) - в) следует, что направленность (A00α ) является (τ o, I(o))направленностью (здесь λ0 = 0) для R(A)-модуля X . Теорема 2.4.7. Пусть F — представляющий подмодуль (подпространство, инвариантное относительно операторов T ∗ , T ∈ R(A)) из X ∗ . Для того чтобы Erg(X , (Aα ), F) = X необходимо и достаточно чтобы собственные векторы оператора A из Ker(A − λ0 1) разделяли собственные векторы из подпространства M = {ξ ∈ X ∗ : (λ0 1 − A)x ∈ Ker ξ ∀x ∈ D(A)} (M = Ker(λ0 1 − A∗ ), если D(A) = X ). L Теорема 2.4.8. Если A — оператор из примера 2.4.6,Lто Erg(X , A00α , X ∗ ) = Ker A Ran A = Erg(X , A0n , X ∗ ) и w- lim A0n x = w- lim A00α x ∀x ∈ Ker A Ran A. n→∞

α→∞

2.5. КОММЕНТАРИИ

К ГЛАВЕ

2

43

Теорема 2.4.9. Если D(A) = X , то Ker(A∗ −λ0 1) дополняемо в Y ∗ . Более того, Y ∗ = Ker(A∗ − L λ0 1) M, где M ⊃ Ran(A∗ − λ0 1). Предположим теперь, что существует последовательность (λn ) ⊂ ρ(A) такая, что lim λn = ∞ n→∞

и sup kλn R(λn , A)k < ∞. Тогда последовательность Tn = 1 − λn R(λn , A), n ≥ 1, является (uo, I∞ )n≥1

направленностью (здесь I∞ = R(A)) для R(A)-модуля X (это следует из равенства Tn R(µ0 , A) = R(λn , A) + R(λn , A)R(µ0 , A)(λn − µ0 )−1 µ0 , µ0 ∈ ρ(A)). В этом случае X (I∞ ) = {0}, I∞ X = D(A), X ∗ (I∞ ) = {ξ ∈ X ∗ : D(A) ⊂ Ker ξ}. Теорема 2.4.10. Имеют место следующие утверждения: 1) lim λn R(λn , A)x = x ∀x ∈ D(A); n→∞

2) D(Ak ) = D(A) ∀k ≥ 2; 3) D(A) = X и D(A∗ ) = X ∗ , если X — рефлексивное банахово пространство. Доказательство. Докажем 2). Для любого k ≥ 2 рассмотрим ограниченную последовательность (k) Tn = 1 − λkn R(λn , A)k , n ≥ 1, так же, как и (Tn ), являющуюся (uo, I∞ )-направленностью (простая проверка) и, следовательно, в силу теоремы 2.2.8 имеет место равенство Erg(X , (Tn )) = (k) (k) Erg(X , (Tn )). Поскольку (1 − Tn )x ∈ D(Ak ) ∀x ∈ X , то D(Ak ) = D(A) ∀k ≥ 2 в силу той же теоремы 2.2.8. 2.5.

КОММЕНТАРИИ

К ГЛАВЕ

2

Статистическая эргодическая теорема фон Неймана положила начало исследованиям по ее обобщениям в различных направлениях. Вначале Виссером, К. Иосидой, С. Какутани, Ф. Риссом (1938 г.) и Е. Лорчем (обзор этих работ и некоторых последующих имеется в монографиях [43, 96, 144]) была получена статистическая эргодическая теорема для линейного оператора T , действующего в банаховом пространстве и удовлетворяющего условию sup kT n k < ∞. Затем эта теорема обобщаn≥1

лась Е. Хилле и Р. С. Филлипсом для производящих операторов сильно непрерывных полугрупп операторов, Т. Като и К. Иосидой для псевдорезольвент. М. М. Дей, Л. Алаоглу, Дж. Биркгоф и В. Эберлейн (см. [43, 96, 144]) распространили ее на произвольные полугруппы операторов. Основное предположение доказываемых в этих статьях теорем связано со слабой компактностью n X 1 последовательностей эргодических средних Tn = T i , n ≥ 1. n+1 i=0 Первыми работами, в которых было снято ограничение сходимости в слабой операторной топологии последовательности (Tn ) для сжатия T были статьи Ю. А. Шрейдера [101] и Р. Сайна [191]. Ими было установлено, что эргодические (Tn ) сходятся в сильной операторной топологии тогда и только тогда, когда неподвижные точки оператора T разделяют неподвижные точки сопряженного оператора T ∗ . Обобщения теорем Ю. А. Шрейдера и Р. Сайна были получены С.Ллойдом [166], которым было снято ограничение sup kT n k < ∞ и расширен класс эргодических средних, Р. Нагеn≥1

лем [175] для аменабельных полугрупп операторов, Р. Сато [187] для полугрупп операторов в локально выпуклом топологическом пространстве и независимо автором [12] для банаховых модулей и, в частности, для полугрупп операторов (см. пример 2.1.6), а также для линейных операторов (раздел 2.4) (к сожалению, в работах [166, 175] отсутствуют ссылки на работу Ю. А. Шрейдера [101]). Следствие 2.2.10 усиливает результаты работы Л. К. Йонеса и М. Лина [160]. Вопрос о дополняемости собственных подпространств для сопряженных операторов (к операторам из специальных классов операторов) рассматривался С. Ллойдом [166], К. Матиллой [169] и Р. Аталлой [117]. Этим работам предшествовала статья Ю. А. Шрейдера [101], в которой рассматривались близкие к рассматриваемым здесь конструкции, использующие банаховы пределы. Пример 2.3.8 дает отрицательный ответ на вопрос С. Ллойда [166]. Теорема 2.3.11 полезна при изучении недополняемости некоторых подпространств банаховых пространств, позволяя вопрос недополняемости исследуемого подпространства свести к вопросу неограниченности некоторого «естественного» проектора. Приводимые в теоремах 2.3.9 и 2.3.11 утверждения расширяют известные результаты В. Рудина (см. [83, часть 1, теорема 5.18]) для

44

ГЛАВА 3. АБСТРАКТНЫЕ

ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

компактной группы G и Н. К. Никольского (см. [76, гл. 3, лемма 2]) для Z и рефлексивного банахова пространства. Утверждение 6) теоремы 2.4.1 существенно усиливает результат Н. Домара и Л. А. Линдаля [138] о непустоте спектра банахова модуля. Теорема 2.4.3 усиливает результаты Л. Жидо (см. [202, раздел 3]) и Ж. Гильберта [152]. Теоремы 2.4.7, 2.4.8 усиливают результаты П. Мазани и В. Эберлейна (см. [142]). Основные результаты главы опубликованы в статьях [12, 15, 22, 23] и диссертации [20].

ГЛАВА 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ Фундаментальная концепция спектра служит основой для проводимых в этой главе исследований. Поэтому систематически используются результаты первой главы (с сохранением всех принятых там обозначений). Всюду символом B обозначается спектрально регулярная алгебра. 3.1.

КОСПЕКТР

И ЕГО СВОЙСТВА

При постановке и решении задач спектрального синтеза в банаховых модулях полезную роль играет понятие и свойства коспектра подмодулей. Соответствующее определение является двойственным к определению спектра (Берлинга) подмодуля из банахова модуля. Определение 3.1.1. Коспектром множества M из банахова B-модуля X называется множество Cosp M = Λ(M ⊥ ), где M ⊥ = {ξ ∈ X ∗ : M ⊂ Ker ξ}. Множество M называется множеством с компактным коспектром, если подмодуль M ⊥ из B-модуля X ∗ имеет компактный спектр (см. определение 1.3.1). Лемма 3.1.2. Если I — идеал алгебры B, то его коспектр Cosp I (как подмодуля B-модуля B) совпадает с его оболочкой Z(I). Доказательство. Если a ∈ I и b a(χ0 ) 6= 0 (т. е. χ0 ∈Z(I)), то из определения спектра для любого ⊥ ξ ∈ I получаем Λ(ξ) ∩ V = ∅, где V = {χ ∈ Sp B : |b a(χ)| > |ba(χ2 0 )| }. Поскольку Λ(I ⊥ ) = ∪Λ(ξ), ξ ∈ I ⊥ (см. лемму 1.2.19), то χ0 ∈ Λ(I ⊥ ) = Cosp I, т. е. Cosp I ⊂ Z(I). Обратно, если I ⊂ Ker χ, то χ ∈ I ⊥ и поэтому Λ(χ) = {χ} ⊂ Λ(I ⊥ ) = Cosp I. Определение 3.1.3. Коспектром Cosp M множества M из B-модуля X назовем дополнение в Sp B к множеству тех характеров χ ∈ Sp B, для которых существует компактная окрестность σ точки χ такая, что [M ] ([M ] — наименьший подмодуль из X , содержащий M ) содержит спектральный подмодуль X (σ). Лемма 3.1.4. Оба определения коспектра эквивалентны. Доказательство. Пусть M — некоторый подмодуль из B-модуля X . Если характер χ0 ∈ Sp B не принадлежит коспектру Cosp M (в смысле определения 3.1.3), то M ⊃ X (∆) для некоторой компактной окрестности ∆ точки χ0 . Предположим, что f ∈ M ⊥ (т. е. M ⊂ Ker f ) и рассмотрим элемент a ∈ B такой, что b a(χ0 ) 6= 0, Λ(a) ⊂ ∆ и a имеет компактный спектр. Так как в силу леммы 1.3.3 вектор ax имеет компактный спектр и Λ(ax) ⊂ ∆, то af (x) = f (ax) = 0 ∀x ∈ X . Поэтому χ0 ∈Λ(f ) и, стало быть, Λ(f ) ⊂ Cosp M. Из замкнутости множества Cosp M и равенства Λ(M ⊥ ) = ∪Λ(ϕ), ϕ ∈ M ⊥ получаем, что Λ(M ⊥ ) ⊂ Cosp M. Обратно, пусть χ0 ∈Λ(M ⊥ ) и пусть ∆0 — компактная окрестность точки χ0 , непересекающаяся с множеством Λ(M ⊥ ). Тогда для элемента a ∈ B такого, что Λ(a) ∩ Λ(M ⊥ ) = ∅, a имеет компактный спектр и a есть единица на ∆0 , и для любого f ∈ M ⊥ из леммы 1.3.3 получаем, что функционал ξ(x) = f (ax) : X → C нулевой, т. е. ax ∈ M ∀x ∈ X . Поскольку ax = x ∀x ∈ X (∆0 ) (в силу той же леммы 1.3.3), то X (∆0 ) ⊂ M.

3.1. КОСПЕКТР

И ЕГО СВОЙСТВА

45

Следствие 3.1.5. Подмодуль M из B-модуля X содержит X (∆), если компакт ∆ ⊂ Sp B удовлетворяет условию ∆ ∩ Cosp M = ∅. Непосредственно из определений коспектра следует Лемма 3.1.6. Для произвольных подмножеств M1 , M2 из B-модуля X имеют место включения: 1) Cosp M1 ∩ M2 ⊂ Cosp M1 ∪ M2 ; 2) Cosp M1 ∪ M2 = Cosp[M1 + M2 ] ⊂ Cosp M1 ; 3) Cosp M1 ⊃ Cosp M2 , если [M1 ] ⊂ [M2 ]. Определение 3.1.7. Подмодуль M из B-модуля X назовем коспектральным, если M ⊥ — спектральный подмодуль из B-модуля X ∗ . Определение 3.1.8. Любому множеству σ ∈ P (Sp B) отнесем подмодуль Xσ (⊂ X ), полученный замыканием множества {x ∈ X : x имеет компактный спектр и Λ(x) ∩ σ = ∅}, если σ некомпактно и множества {x ∈ X : Λ(x) ∩ σ = ∅}, если σ — компакт. Теорема 3.1.9. Пусть X — банахов B-модуль. Имеют место следующие утверждения: 1) Xσ⊥ = X ∗ (σ) и ⊥ X ∗ (σ) = Xσ ∀σ ∈ P (Sp B) (⊥ L = ∩ Ker f, f ∈ L, для любого подмодуля L из X ∗ ); 2) подмодуль M ⊂ X коспектрален тогда и только тогда, когда M = X∆ для некоторого замкнутого множества ∆ ⊂ Sp B; 3) Cosp(⊥ F ) = Λ(F ) и Λ(⊥ F ) = Cosp F, если F — подмодуль из X ∗ ; 4) Λ(X /M ) = Cosp M для любого подмодуля M из X . Доказательство. Докажем равенство Xσ⊥ = X ∗ (σ), σ ∈ P (Sp B) (предполагая для определенности компактность σ). Пусть ξ — произвольный функционал из Xσ⊥ , χ0 ∈σ и ∆ — компактная окрестность точки χ0 , непересекающаяся с σ. Тогда X (∆) ⊂ Ker ξ и, следовательно, aξ = 0 для любого элемента a ∈ B с компактным спектром Λ(a) из Int ∆. Это означает, что χ0 ∈ Λ(ξ) и поэтому Xσ⊥ ⊂ X ∗ (σ). Включение X ∗ (σ) ⊂ Xσ⊥ очевидно. Аналогично доказывается равенство ⊥ X ∗ (σ) = Xσ . Утверждения 2) и 3) непосредственно следуют из 1). Для доказательства равенства Λ(X /M ) = Cosp M заметим, что подмодуль M ⊥ изоморфен B-модулю (X /M )∗ . Поэтому Cosp M = Λ(M ⊥ ) = Λ((X /M )∗ ) = Λ(X /M ). Здесь использовалось равенство Λ(Y ) = Λ(Y ∗ ), Y ∈ Ob M(B), в свою очередь, вытекающее из равенств Λ(Y ∗ ) = Cosp(⊥ Y ∗ ) = Cosp({0}) = Λ(Y ), 0 ∈ Y. Следствие 3.1.10. Λ(X , B) = Λ(X ∗ , B)

∀X ∈ M(B).

Следствие 3.1.11. Подмодуль M из B-модуля X коспектрален тогда и только тогда, когда M содержится во всяком подмодуле M1 таком, что Cosp M1 ⊂ Cosp M. Следствие 3.1.12. Если множество Sp B\σ имеет внутренние точки в Λ(X ), то Xσ 6= {0}. Следствие 3.1.13. Если идеал I из алгебры B имеет компактный коспектр Cosp I, то факторалгебра B/I содержит единицу (см. также теорему 1.3.12 и следствие 1.3.15). Следствие 3.1.14. Спектральные подмодули X ∗ (σ), σ ∈ P (Sp B), являются слабо∗ замкнутыми подпространствами в X ∗ . Определение 3.1.15. Множество ∆ ∈ P (Sp B) назовем допустимым для B-модуля X , если существует подмодуль M ⊂ X такой, что Cosp M = ∆. Пример 3.1.16. Пусть X = C0 (G) — банахов L1 (G)-модуль функций, равных нулю на бесконеч∗ ности (C0 (G)-подмодуль из L1 (G)-модуля L∞ 1 (G); см. пример 1.1.21). Тогда X изоморфно L1 (G)модулю M (G) (с модульной структурой, определяемой сверткой). Следовательно, для некомпактной группы G получаем, что X∆ = X для любого вполне несовершенного множества ∆ ⊂ Sp B (т. е. замкнутого множества, не содержащего непустых совершенных подмножеств). Более того, непосредственно из теоремы 1.9 следует, что допустимость множества ∆ ⊂ Sp B для B-модуля X эквивалентна выполнению условия Λ(X ∗ (∆)) = ∆. Поэтому множество ∆ ⊂ Sp L1 (R) = R, ∆ ∈ P (R), допустимо тогда и только тогда, когда Int ∆ = ∆.

46

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Теорема 3.1.17. Произвольное множество ∆ ∈ P (Sp B) является допустимым для B-модуля B, и множество идеалов I из B, для которых Cosp I = ∆, содержит максимальный элемент, T а именно Ker χ, и минимальный элемент, совпадающий с B∆ . χ ∈ ∆

Из леммы 3.1.2 следует, что Cosp I1 = ∆, где I1 = ∩ Ker χ, χ ∈ ∆. Очевидно, что идеал I обладает формулируемым свойством максимальности. Свойство минимальности идеала B∆ непосредственно следует из утверждения 1) теоремы 3.1.9. Теорема 3.1.18 (тауберова теорема Винера). Если множество элементов с компактным спектром плотно в B и подмножество F элементов из B является разделяющим (спектр алгебры B), то наименьший идеал [F] совпадает с алгеброй B. Доказательство. Непосредственно из определения 1.4.5 разделяющего спектр множества следует, что идеал [F] имеет пустой коспектр и поэтому [F] содержит минимальный идеал, полученный замыканием множества элементов с компактным спектром, т. е. [F] = B. 3.2.

О

ПРИМАРНЫХ ПОДМОДУЛЯХ И ЭЛЕМЕНТАХ С ОДНОТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ

При рассмотрении задач спектрального синтеза важную роль играют примарные подмодули (идеалы) и подмодули с одной точкой спектра. Символ X в этом параграфе обозначает банахов B-модуль. Определение 3.2.1. Подмодуль M из X назовем примарным (в точке χ ∈ Sp B), если Cosp M = {χ}, и примарным в точке ∞, если Cosp M = ∅. Идеал I из алгебры B называется примарным, если I — примарный подмодуль B-модуля B. Из леммы 3.1.2 следует, что это определение обобщает определение примарного идеала. Вполне возможно (см. пример 3.1.16) отсутствие примарных подмодулей у данного модуля. Лемма 3.2.2. Пусть f : X → Y — гомоморфизм B-модулей X и Y (т. е. f ∈ HomB (X , Y)), причем f (X ) = Y. Тогда 1) Cosp f (M ) ⊂ Cosp M для любого подмодуля M ⊂ X ; 2) f (Xσ ) = Yσ для любого замкнутого множества σ ⊂ Sp B. Доказательство. 1) Если χ0 ∈ Cosp M, то M ⊃ X (∆), где ∆ — некоторая компактная окрестность точки χ0 . Ясно, что достаточно доказать включение f (X (∆)) ⊃ Y(∆0 ) для любой компактной окрестности ∆0 точки χ0 такой, что ∆0 ⊂ Int ∆. Если y ∈ Y(∆0 ), то существует последовательность (xn ) ⊂ X , для которой lim f (xn ) = y. Пусть элемент a ∈ B имеет компактный спектр, является единицей на ∆0 и Λ(a) ⊂ ∆. Тогда (axn ) ⊂ X (∆) и lim f (axn ) = ay = y. Таким образом, f (X (∆)) ⊃ Y(∆0 ). 2) Предположим, что Λ(x) ∩ σ = ∅ для вектора x ∈ X . Из включения Λ(f (x)) ⊂ Λ(x) получаем, что f (x) ∈ Yσ и, следовательно, f (Xσ ) ⊂ Yσ . Включение в другую сторону фактически установлено при доказательстве утверждения 1) (кроме того, следует использовать теорему 1.3.12). Определение 3.2.3. Символом X∞ обозначим наименьший подмодуль из B-модуля X , содержащий все векторы с компактным спектром. Ясно, что X∞ является наименьшим из примарных на бесконечности подмодулей B-модуля X и ⊥ = X ∗ (∅). X∞ Теорема 3.2.4. Пусть f : X → Y — гомоморфизм банаховых B-модулей X и Y, удовлетворяющий условию f (X ) = Y. Тогда 1) для любого примарного подмодуля M из X подмодуль f (M ) либо совпадает с Y, либо примарен в Y и f (M ) = Yχ , если M = Xχ , χ ∈ Sp B ∪ {∞}; 2) Codim Yχ 6 Codim Xχ (Codim — коразмерность), χ ∈ Sp B ∪ {∞}. Доказательство первого утверждения следует из леммы 3.2.2. Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что гомоморфизм f индуцирует гомоморфизм фактормодулей fχ : X /Xχ → Y/Yχ , χ ∈ Sp B такой, что fχ (X /Xχ ) = Y/Yχ .

3.2. О

ПРИМАРНЫХ ПОДМОДУЛЯХ И ЭЛЕМЕНТАХ С ОДНОТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ

47

Следствие 3.2.5. Пусть f — непрерывный гомоморфизм алгебры B в банахову алгебру A и f (B) = A. Тогда 1) для любого примарного идеала I ⊂ B идеал f (I) примарен в A и Cosp I = Cosp f (I) (предполагается, что Sp A вложен в Sp B сопряженным отображением f ∗ : B ∗ → A∗ ); 2) f (Bχ ) = Aχ ∀χ ∈ Sp B ∪ {∞} и Codim Aχ 6 Codim Bχ . Доказательство. Гомоморфизм f позволяет ввести на A структуру B-модуля с помощью отображения (b, a) 7→ af (b) : B × A → A. Из условия f (B) = A следует, что I — идеал алгебры A в точности тогда, когда I — подмодуль B-модуля A, причем I — (минимальный) примарный идеал алгебры A в точности тогда, когда I — (минимальный) примарный подмодуль B-модуля A и т. д. Поэтому для того, чтобы можно было использовать теорему 3.2.4, достаточно рассмотреть f в качестве гомоморфизма B-модулей B и A. Следствие 3.2.6. Codim(B/I)χ 6 Codim Bχ для любого идеала I алгебры B и для любого χ ∈ Sp B ∪ {∞}. Теорема 3.2.7. 1) Ненулевой вектор x ∈ X с компактным спектром имеет одноточечный спектр {χ} ⊂ Sp B (соответственно пустой спектр) тогда и только тогда, когда ax = 0 ∀a ∈ Bχ (соответственно ax = 0 ∀a ∈ B∞ ). fχ ∀a ∈ B), где 2) Пусть x ∈ X , Λ(x) = {χ} и Codim Bχ = m < ∞ (либо (a − b a(χ)1)n ∈ B n χ ∈ Sp B. Тогда (a − b a(χ)1) x = 0 ∀n ≥ m (1 — присоединенная к B единица) и, кроме того, существуют элементы b1 , . . . , bm ∈ B такие, что bx = α1 (b)b1 x + · · · + αm (b)bm x, где 0 6= αi ∈ B ∗ , Bχ ⊂ Ker αi , i = 1, . . . , m (т. е. Λ(αi ) = {χ}); 3) Пусть x ∈ X , Λ(x) = ∅ и Codim B∞ = m < ∞. Тогда an x = 0 ∀n ≥ m и существуют элементы b1 , . . . , bm ∈ B такие, что bx = α1 (b)b1 x + · · · + αm (b)bm x, где αi ∈ B ∗ и Λ(αi ) = ∅. Доказательство. Докажем 1). Если ax = 0 ∀a ∈ Bχ , χ ∈ Sp B, то Λ(x) = {χ}. Обратно, если Λ(x) = {χ}, то ax = 0 ∀a ∈ B с Λ(a) ∩ {χ} = ∅ и, следовательно, для любого a ∈ Bχ . Докажем 2) (аналогично доказывается 3)). Если Codim Bχ = m < ∞ и x ∈ X ({χ}), x ∈ Sp B, то fχ ∀n ≥ m и поэтому (a−b (a−b a(χ)1)n ∈ B a(χ)1)n x = 0 в силу утверждения 1). Далее, существуют линейно независимые элементы b1 , . . . , bm ∈ B такие, что b = b0 + α1 (b)b1 + · · · + αm (b)bm ∀b ∈ B, где b0 ∈ Bχ и αi (b) ∈ C, 1 6 i 6 m. Ясно, что это равенство определяет линейные функционалы αi из B ∗ с указанными в условиях теоремы свойствами. Следствие 3.2.8. Идеал I алгебры B является примарным тогда и только тогда, когда его аннулятор I ⊥ ⊂ B ∗ имеет одноточечный или пустой спектр. Определение 3.2.9. Ненулевой вектор x ∈ Y называется собственным вектором A-модуля Y , если выполнено одно из следующих условий: 1) x имеет компактный спектр и ax = χ(a)x ∀a ∈ B, где χ — некоторый характер из Sp A (называемый собственным характером A-модуля Y ); 2) ax = 0 ∀a ∈ B. Отметим, что функционал ξ из B-модуля B ∗ является собственным вектором B-модуля B ∗ только при условии, что ξ ∈ Sp B ⊂ B ∗ , либо если B 2 ⊂ Ker ξ. Имея в виду пример 1.1.12, ясно, что определение 3.2.9 является расширением понятия собственного вектора линейного оператора. Замечание 3.2.10. Если A-модуль Y обладает свойством Y (A) = {0} (т. е. из условия ax = 0 ∀a ∈ A следует, что x = 0), то в условии 1) определения 3.2.9 нет необходимости требовать компактность вектора x. Следствие 3.2.11. Ненулевой вектор x ∈ X есть собственный вектор B-модуля X тогда и только тогда, когда dim[x] = 1. Определение 3.2.12. Вектор x из A-модуля Y называется конечномерным, если dim[x] < ∞. Лемма 3.2.13. Каждый конечномерный вектор x из A-модуля Y представим в виде x = x0 + x1 + · · · + xn , где каждый вектор xi , 1 6 i 6 n, имеет компактный спектр {ξi }, ξi 6= ξj для i 6= j, и Λ(x0 ) = ∅.

48

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Доказательство. Пространство Y рассмотрим в качестве A(Y )-модуля (см. доказательство теоремы 1.5.5). Ясно, что Λ(x, A(Y )) = Λ(x, A) — конечное множество с числом точек, не превосходящим dim[x]. В противном случае, выбирая элементы a1 , . . . , am , m > dim[x], из A, удовлетворяющие условию abj (ξj ) = δij , ξi ∈ Λ(x), ξi 6= ξj для i 6= j, получили бы, что векторы ai x, i = 1, . . . , m из [x] линейное независимы. Необходимое представление следует из теоремы 1.3.12 (или теоремы 1.5.7). Непосредственно из теоремы 1.5.13 следует, что Λ(x) = {χ} — одноточечное множество (для 1 x ∈ X ) тогда и только тогда, когда lim k(a − b a(ξ))n xk n = 0 ∀a ∈ B. n → ∞ В оставшейся части параграфа приведем критерии примарности идеалов из алгебры B, условия их конечной коразмерности и максимальности. Соответствующие результаты будут формулироваться в терминах выполнения некоторых условий на образующие алгебры B, либо на образующие алгебры мультипликаторов M (B) алгебры B (см. определение 1.1.15). Лемма 3.2.14. Для любого оператора T ∈ M (B) и любого компакта ∆ ⊂ Sp B существует элемент b∆ ∈ B с компактным спектром такой, что T x = b∆ x ∀x ∈ B(∆). В частности, для любого элемента b ∈ B с компактным спектром существует элемент a ∈ B такой, что bT x = ax ∀x ∈ B. Доказательство. Пусть b ∈ B — элемент, являющийся единицей на ∆. Тогда T x = T (bx) = TB (b)x ∀x ∈ B(∆). Положим b∆ = TB (b). Определение 3.2.15. Пусть T ∈ M (B), χ ∈ Sp B, ∆ — некоторая компактная окрестность b точки χ и b∆ — элемент, указанный в лемме 3.2.14. Положим Tb(χ) = bc ∆ (χ) и функцию T : Sp B → C назовем преобразованием Гельфанда мультипликатора T . Лемма 3.2.16. Преобразование Гельфанда Tb мультипликатора T обладает свойствами: sup χ ∈ Sp B

|Tb(χ)| 6 kT k и Ran Tb ⊂ σ(T ).

Доказательство. Корректность определения функции Tb следует из леммы 3.2.14. Так как M (A) — наполненная подалгебра из End A, то спектр сужения T на идеалы вида B(∆) содержится в σ(T ). Из равенств σ(T |B(∆)) = σ(b∆ ) = b∆\ (Sp B), где (∆) — компакт из Sp B, следует, что σ(T ) ⊃ Ran Tb b и поэтому |T (χ)| 6 kT k ∀χ ∈ Sp B. Так как алгебра мер M (G) изоморфна алгебре M (L1 (G)), из известных результатов Ю. А. Шрейдера [101] следует, что спектр мультипликатора T может быть шире множества Ran Tb. Лемма 3.2.17. Если B = B∞ , то алгебра B является идеалом в алгебре M (B) (при естественном вложении B в M (B)). Утверждение леммы следует из леммы 3.2.14. В следующей теореме M (B) рассматривается также в качестве B-модуля (см. определение 1.1.15). Теорема 3.2.18. Пусть алгебра M (B) содержит для любого компакта σ ⊂ Sp B множество элементов Mσ такое, что 1) Mσ — множество образующих идеала M (B)(σ); 2) каждый оператор T из Mσ является A-скалярным для допустимой алгебры A = C m (Ω(T )), где Ω(T ) — открытое множество из C, содержащее σ(T ), и m не зависит от T ∈ Mσ . eχ ∀a ∈ B ∀χ ∈ Sp B ∀n ≥ m. В частности, Codim B eχ < ∞ ∀χ ∈ Sp B, Тогда (a−b a(χ)1)n ∈ B если Mσ — конечные множества. Доказательство. Из леммы 3.2.14 следует изоморфизм спектрального подмодуля M (B)(σ) из Bмодуля M (B) идеалу B(σ). Поэтому без ограничения общности можно считать, что Mσ ⊂ B (а алгебру B содержащей единицу).

3.2. О

ПРИМАРНЫХ ПОДМОДУЛЯХ И ЭЛЕМЕНТАХ С ОДНОТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ

49

Рассмотрим факторалгебру B/Bχ , χ ∈ Sp B, которая является примарной алгеброй (ибо Sp B/Bχ = Cosp Bχ = {χ}), так же, как и B, удовлетворяющей условиям этой теоремы. Следовательно, при каноническом гомоморфизме B 7→ B/Bχ каждый элемент a −b a(χ)1, a ∈ Mσ переходит в квазинильпотентный элемент r(a) ∈ B/Bχ такой, что оператор x 7→ r(a)x : B/Bχ → B/Bχ является C m (Ω(a))-скалярным. Следовательно, r(a)n = 0 ∀n ≥ m и поэтому (a − b a(χ)1)n ∈ Bχ . Лемма 3.2.19. В алгебре Lα (R) с весом α, удовлетворяющим условиям: lnα(t) = 0, t→∞ t1/2 t→−∞ все примарные идеалы имеют конечную коразмерность, не превосходящую числа m ∈ N, равного целой части [γ] числа γ, если γ ∈ N, и m = γ − 1, если γ ∈ N. 1)

lim α(t)| t |−γ = 0, γ > 0;

2) lim

Доказательство. При ограничениях 1)–2) на вес α алгебра Lα (R) — алгебра Шилова, обладающая о.а.е. Из утверждения 1) теоремы 3.1.9, следствия 3.2.8 и замечания 3.2.10 следует, что доста∗ точно доказать, что любая функция ϕ ∈ L∞ α (R) (≈ Lα (R)) со спектром Λ(ϕ) = {0} — многочлен степени, не превосходящей m. Из леммы 3.4.5 будет следовать, что такая функция ϕ допускает расширение на C до целой функции нулевого экспоненциального типа первого порядка. Поэтому функция ϕ0 (z) = ϕ1 (z)z −1 : C → C, где ϕ1 (z) = ϕ(z) − ϕ(0) − ϕ0 (0)z − · · · − ϕ(m−1) (0)z m−1 : C → C, есть целая функция, ограниченная на полуоси R− = R\R+ и удовлетворяющая условию 2) данной леммы. Тогда из теоремы 3.2 статьи [165] следует, что ϕ0 (z) = Const ∀z ∈ C, т. е. ϕ — многочлен степени, не превышающей m − 1. Теорема 3.2.20. Пусть M0 — подмножество операторов из M (B), являющееся образующими любого идеала вида M (B)(σ), где σ — компакт из Sp B, и каждый оператор T ∈ M0 удовлетворяет одному из следующих условий: 1) функция α(t) = k exp(itT )k : R → R+ удовлетворяет условиям леммы 3.2.19, где γ не зависит от T ∈ M0 ; ln w(n) = 0, где w(n) = k T n k : Z → R+ 2) T обратим и ∃γ > 0 : lim w(n)n−γ = 0 и lim n→∞ n1/2 n→−∞ и γ не зависит от T ∈ M0 . eχ Тогда (a − b a(χ)1)n ∈ B ∀χ ∈ Sp B ∀n ≥ m (где m определено так же, как и в лемме 3.2.19) и, если M0 — конечное множество, то примарные идеалы из B имеют конечную коразмерность. В частности, если γ 6 1, то примарные идеалы алгебры B максимальны. Если выполнено условие 1), то доказательство теоремы проводится точно по той же схеме, что и доказательство теоремы 3.2.18 (с использованием леммы 3.2.19). Если операторы из M0 удовлетворяют условию 2), то следует использовать локальный изоморфизм алгебры Lw (Z) и алгебры Lwe (R), где вес w e : R → R+ удовлетворяет условию 1) на вес α (этот изоморфизм будет описан в разделе 2.5). Следствие 3.2.21. Пусть вес α : G → R+ удовлетворяет условиям ln α(gn) α(gn) = 0 ∀g ∈ G, 1) lim = 0 ∀g ∈ G; 2) lim n→∞ n→−∞ | n |γ n1/2 где γ ≥ 0 не зависит от g ∈ G. k ∈B b ∀k ≥ m, где m = [γ], если γ ∈ N и m = γ − 1, если γ ∈ N и Тогда (ϕ − ϕ(χ)) b ∀χ ∈ G χ B = Lα (G). В частности, если γ 6 1, то примарные идеалы алгебры Lα (G) максимальны. Доказательство. Алгебра мер Mα (G) изометрически изоморфна алгебре M (Lα (G)). Используя теорему 3.2.20, в качестве множества M0 возьмем операторы вида T (g)f = fg : Lα (G) → Lα (G), которые удовлетворяют условию 2) теоремы 3.2.20. Теперь рассмотрим условия конечной коразмерности примарных идеалов алгебры R(A) (из примера 1.1.6) для линейного оператора A : D(A) ⊂ Y → Y с ρ(A) 6= ∅. Ниже предполагается, что алгебра R(A) спектрально регулярна. Определение 3.2.22. Скажем, что оператор A удовлетворяет условию Pλ , λ ∈ σ(A) (условию e e — расширенная плоскость ( соответP∞ ), если всякая голоморфная функция f : C\{λ} → C, C ственно f : C → C), удовлетворяющая неравенству |f (z)| 6 kR(z, A)k ∀z ∈ C\σ(A), является

50

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

рациональной функцией (соответственно является многочленом). Оператор A назовем удовлетворяющим условию P , если он удовлетворяет условию Pλ ∀λ ∈ σ(A) ∪ {∞}. Ясно, что спектр оператора, удовлетворяющего условию P , не может иметь в C внутренние точки. Теорема 3.2.23. Если оператор A удовлетворяет условию P , то 1) примарные идеалы R(A) имеют конечную коразмерность; 2) примарный идеал в точке ∞ совпадает с алгеброй R(A); 3) примарный идеал в точке λ ∈ σ(A) максимален при условии существования последовательности (λn ) ⊂ ρ(A) такой, что lim λn = λ и lim |λn −λ|γ kR(λn , A)k = 0 для некоторого n → ∞ n → ∞ 1 < γ 6 2. Доказательство. Пусть λ ∈ σ(A) = Sp R(A). Рассмотрим примарный идеал R(A)λ , являющийся минимальным примарным идеалом среди идеалов I ⊂ R(A) с Cosp I = {λ}. Если ξ ∈ R(A)⊥ λ , то Λ(ξ) = {λ} и функция z 7→ ξ(R(z, A)) допускает расширение с ρ(A) до голоморфной функции e f : C\{λ} → C (см. пример 1.1.6 и утверждение 2) теоремы 1.5.1). Так как |f (z)| 6 kR(z, A)k ∀z ∈ C\σ(A), то из определения 3.2.22 следует, что f — рациональная функция, имеющая простой полюс в точке λ. Поэтому Codim R(A)λ = dim R(A)⊥ λ < ∞. Если (λn ) — последовательности из утверждения 3) теоремы, то функция f имеет вид f (z) = Const(z − λ)−1 и поэтому ξ — собственный вектор R(A)-модуля R(A)∗ . Следовательно, ξ отличается от характера, определяемого точкой λ, на постоянный множитель. Пусть теперь λ = ∞ и R(A)∗ (∅) — подмодуль функционалов из R(A)∗ , имеющих пустой спектр. ∗ Также рассматривая функционал ξ ∈ R(A)⊥ ∞ ⊂ R(A) , получим голоморфную функцию f : C → C (f (z) = ξ(R(z, A)), z ∈ ρ(A), ) являющуюся многочленом и, следовательно, dim R(A)∗ (∅) < ∞. Тогда j(λ)η = R(λ, A)η : R(A)∗ (∅) → R(A)∗ (∅), λ ∈ ρ(A) — псевдорезольвента. Однако это возможно только, если j = 0, т. е. η(R(λ, A)) = 0 ∀η ∈ R(A)∗ (∅). Доказанная теорема позволяет свести основные трудности к проверке условий Pλ , λ ∈ σ(A) ∪ {∞}, которые, в свою очередь, можно получать из различных вариантов теоремы Фрагмена—Линделёфа. Например, из [165] следует Лемма 3.2.24. Оператор A удовлетворяет условию P∞ , если существуют последовательность окружностей (Γn ) из ρ(A) с центрами в точке 0 ∈ C и радиусами rn → ∞, целое число m ≥ 0 и числа α, r > 0 такие, что выполнены условия: π 1) kR(z, A)k 6 Const|z|m для | z | ≥ r, z ∈ Γn и | arg z| 6 ; α ln kR(z, A)k α 2) lim sup = 0. n→∞ z∈Γn |z| Теорема 3.2.25. Примарные идеалы алгебры R(A) имеют конечную коразмерность, если A удовлетворяет одному из условий: 1) A ∈ End Y, 0 ∈ ρ(A) и kAn k 6 Const(1 + |n|α ), α ≥ 0 ∀n ∈ Z; 2) σ(A) ⊂ R, kR(it, A)k 6 Const|t|−α при 0 < t → 0 и kR(it, A)k 6 Const tγ при t → ∞, где α, γ > 0. При выполнении условий теоремы спектральная отделимость алгебры R(A) следует из результатов раздела 1.4 (см., например, следствия 1.4.8 и 1.4.11). Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 3.2.23. Отметим, что условие σ(A) ⊂ R из теоремы 3.2.25 можно заменить условием принадлежности σ(A) объединению гладких кривых (класса C 1 ), не пересекающихся под «острым» углом. Характер таких ограничений связан только с применением теоремы Фрагмена—Линделёфа. Теорема 3.2.26. Если алгебра B содержит множество образующих B0 , каждый элемент которого (как оператор в B) удовлетворяет условию P , то (a − b a(χ))n(χ) ∈ Bχ ∀a ∈ B0 , где n(χ) ∈ N. Если множество B0 конечно, то примарные идеалы алгебры B имеют конечную коразмерность. Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.2.18.

3.3. Lα (G)-МОДУЛИ

3.3.

Lα (G)-МОДУЛИ

И НЕКВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

51

И НЕКВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

Здесь изучаются Lα (G)-модули и неквазианалитические операторы, играющие важную роль при рассмотрении теории возмущений линейных операторов (см. [16, 19–21]). Вес α считается неквазианалитическим. Для каждого рассматриваемого Lα (G)-модуля X будем предполагать существование представления T : G → End X , удовлетворяющего следующим условиям: 1) T (0) = 1; 2) kT (g)k 6 α(g) ∀g ∈ G; 3) f T (g)x = T (g)f x = fg x ∀f ∈ Lα (G) ∀x ∈ X ∀g ∈ G, где fg (s) = f (g + s) — сдвиг функции f на g. Символом T (f ) будем обозначать оператор T (f )x = f x : X → X . Рассматриваемый Lα (G)модуль X будет часто обозначаться символом (X , T ), где T : G → End X — ассоциированное с Lα (G)-модулем X представление. Если на банаховом пространстве X определено сильно непрерывное представление T : G → End X , то X наделяется структурой Lα (G)-модуля по формуле (1.1.2) из примера 1.1.18. Такой модуль удовлетворяет предъявленным к Lα (G)-модулям требованиям. Однако не все Lα (G)-модули получаются с помощью сильно непрерывного представления. Таким ∗ Lα (G)-модулем является Lα (G)-модуль L∞ α (G) ≈ Lα (G) с модульной структурой, определяемой операцией свертки (см. пример 1.1.21). В этом модуле действует группа операторов сдвигов функций (T (g)ϕ)(s) = ϕ(s + g), ϕ ∈ Lα (G), s, g ∈ G. Такого типа Lα (G)-модули можно строить, обладая представлениями, непрерывными в более слабой топологии. Определение 3.3.1. Пара банаховых пространств (X , F) называется пространствами находящимися в двойственности, если существует билинейный функционал (x, ϕ) 7→ ϕ(x) : X × F → C такой, что 1) kxk = sup |ϕ(x)|, ϕ ∈ F, kϕk 6 1 ∀x ∈ X ; 2) kϕk = sup |ϕ(x)|, x ∈ X , kxk 6 1 ∀ϕ ∈ F; 3) выпуклая оболочка каждого относительно F-компактного подмножества из X относительно F-компактна; 4) выпуклая оболочка каждого относительно X -компактного подмножества из F относительно X -компактна. Отметим, что пары (X , X ∗ ) и (X ∗ , X ) образуют двойственные пары банаховых пространств. Определение 3.3.2. Пусть (X , F) — пара двойственных банаховых пространств, T : G → End X — F-непрерывное представление (т. е. (T (g)x, ϕ) : G → C — непрерывная функция ∀x ∈ X ∀ϕ ∈ F) и вес α(g) = kT (g)k : G → C является неквазианалитическим. Тогда для любой меры µ ∈ Mα (G) и любого x ∈ X существует единственный элемент xµ такой, что R (T (g)x, ϕ)µ(dg) = (xµ , ϕ) ∀ϕ ∈ F. Тем самым определено отображение Z (µ, x) 7→ xµ = F − T (−g)xµ(dg) : Mα (G) × X → X , (3.3.1) наделяющее X структурой Lα (G)-модуля (и Mα (G)-модуля). Лемма 3.3.3. Пусть X — банахов модуль над спектрально отделимой алгеброй B и [M ] — наименьший подмодуль из X , содержащий множество M ⊂ X . Тогда Λ(X ) = ∪Λ(x), x ∈ M, если [M ] = X∞ . Доказательство. Вначале докажем равенство Λ(X∞ ) = Λ(X ). Пусть Λ(X∞ ) 6= Λ(X ). Так как Λ(X∞ ) ⊂ Λ(X ), то существуют вектор x ∈ X \X∞ , характер χ0 ∈ Λ(X )\Λ(X∞ ) и элемент a ∈ B с компактным спектром такие, что b a(χ0 ) 6= 0, χ0 ∈ Λ(x) и Λ(a) ∩ Λ(x) = ∅. Тогда ax ∈ X∞ и a2 x = 0. 2 С другой стороны, Λ(a x) ⊂ Λ(a) ∩ Λ(x) = ∅ и, поскольку a2 x — вектор с компактным спектром, то a2 x = 0 в силу леммы 1.3.3. Получено противоречие. Теперь можно считать X∞ = X . Если Λ(X ) 6= ∪Λ(x), x ∈ M, то существуют элементы x ∈ X \M, χ0 ∈ Λ(X )\∪Λ(x) и b ∈ B такие, что bb(χ0 ) 6= 0, bx0 6= 0 и Λ(b) ∩ ∪Λ(x) = ∅. Рассмотрим последовательность (xn ) ⊂ [M ], для которой x0 = lim xn . Тогда 0 6= bx0 = lim bxn = 0. Получено противоречие.

52

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Следствие 3.3.4. Пусть множество линейных комбинаций векторов из X с одноточечным спектром из множества ∆ ⊂ Sp B плотно в X∞ . Тогда Λ(X ) = ∆. Данное следствие содержит утверждение 1) теоремы 8 из главы 3 монографии Н. К. Никольского [76]. Требование спектральной регулярности алгебры B существенно. Это следует из утверждения 2) той же теоремы Н.К.Никольского и примера 1.3.8. Определение 3.3.5. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X назовем неквазианалитическим, если он представим (вообще говоря, не единственным способом) в виде A = A1 + iA2 (D(A) ⊃ D(A1 ) ∩ D(A2 )) где iA1 и iA2 — производящие операторы сильно непрерывных коммутирующих между собой групп операторов T1 (t) и T2 (t), t ∈ R, соответственно, и весовые функции αi (t) = kTi (t)k : R → R+ , i = 1, 2, неквазианалитичны. Операторы A1 и A2 будем обозначать Re A и Im A соответственно. Определение 3.3.6. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X назовем генератором Lα (R)модуля (X , T ), если σ(A) ⊂ R, (z1 − iA)−1 x = fz x

∀z ∈ R

∀x ∈ X ,

−1 где fz ∈ Lα (R), f[ z (λ) = (z − iλ) , λ ∈ R, и сужение iA на подмодуль (Xc , T ) = {x ∈ X : функция t 7→ T (t)x : R → X непрерывна} есть производящий оператор сужения. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X назовем генератором Lα (R2 )-модуля (X , T ), если Lα (R2 ) невырожденно действует на X и оператор A представим в виде A = A1 + iA2 (= Re A + i Im A), (Xc , T ) ⊃ D(A) ⊃ D(A1 ) ∩ D(A2 ), где Ai , i = 1, 2 — генераторы Lαi (R)-модулей (X , Ti ) (T1 (t) = T (t, 0), T2 (t) = T (0, t), t ∈ R, αi (t) = kTi (t)k).

Ясно, что каждый неквазианалитический оператор является генератором подходящего Lα (R2 )модуля. Лемма 3.3.7. Если (X , T ) есть Lα (G)-модуль, то подмодуль X∞ содержится в подмодуле Xc = {x ∈ X : функция g 7→ T (g)x : G → X непрерывна} и модульная структура на X∞ задается формулой Z f x = f (g)T (−g)xdg, f ∈ Lα (G), x ∈ X∞ .

(3.3.2)

(3.3.3)

Если (X , T ) — Lα (G) модуль из определения 3.3.2, то Xc = X∞ . Доказательство. Если f ∈ Lα (G), то из равенства T (g)f x = fg x, x ∈ X , g ∈ G, и непрерывности оператора сдвига функций в Lα (G) следует, что функция g 7→ T (g)f x : G → X непрерывна. Поэтому f x ∈ Xc . Поскольку функции с компактным спектром плотны в X∞ (см. [136]), то X∞ ⊂ Xc . Формула (3.3.3) следует из равенства Z Z (f ∗ ϕ)x = ( f (s)ϕ−s ds)x = f (s)T (−s)ϕxds, f, ϕ ∈ Lα (G), x ∈ X . Если (X , T ) — модуль из определения 3.3.2, то для любой о.а.е. (fi ) ⊂ Lα (G) и для любого R x ∈ Xc имеем fi x = fi (g)T (−g)xdg и поэтому lim fi x = x, т. е. x ∈ X∞ (если брать функции fi с компактным спектром). Лемма 3.3.8. Пусть A = Re A + i Im A : D(A) ⊂ X → X — генератор Lα (R2 )-модуля (X , T ). T Тогда D(A) = (X∞ , T ) = (X∞ , T1 ) (X∞ , T2 ), (Xc , Ti ) = (X∞ , Ti ), i = 1, 2, (X∞ , T ) = (Xc , T ), где T1 (t) = T (t, 0), T2 (t) = T (0, t), t ∈ R. Доказательство. Ясно, что (Xc , T ) = (Xc , T1 )∩(Xc , T2 ) и поэтому достаточно установить равенства (Xc , Ti ) = (X∞ , Ti ), i = 1, 2. Включения (X∞ , Ti ) ⊂ (Xc , Ti ), i = 1, 2, доказаны в лемме 3.3.7. Если x ∈ (Xc , T1 ), то из определения 3.3.6 получаем, что Z −1 fz x = (z1−i Re A) x = ezt T1 (t)xdt, t≥0

3.3. Lα (G)-МОДУЛИ

И НЕКВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

53

если Rez > 0 и fbz (λ) = (λ − iz)−1 , λ ∈ R. Последовательность xn = nfn x, n ≥ 1, ограничена и принадлежит (X∞ , T1 ). Поэтому из условия непрерывности функции t 7→ T1 (t)x : R → X следует, что lim xn = x ∈ (X∞ , T1 ). n→∞

Лемма 3.3.9. Если f : U → C — голоморфная функция, определенная на открытом мноe ⊂ R2 → C, где U e = {λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 : жестве U из C, то функция fe(λ) = f (λ1 + iλ2 ) : U 2 cα (R ). λ1 + iλ2 ∈ U }, локально принадлежит алгебре L Доказательство. Пусть z0 — некоторая точка из U (которую без ограничения общности можно cα (R2 ), считать, равной 0) и пусть V — некоторая окрестность точки 0. Рассмотрим функцию ϕ b∈L 2 2 такую, что ϕ b = 1 в некоторой окрестности нуля из R и supp ϕ b — компакт. Функция ϕ ∈ L α (R ),  ∂ ∂ преобразованием Фурье которой является ϕ, b будет целой и поэтому f1 = +i ϕ ∈ ∂u1 ∂u2 Lα (R2 ). Поскольку fb1 (λ) = (λ1 + iλ2 )ϕ(λ), b λ ∈ R2 , то fb1 (λ) = λ1 + iλ2 в некоторой окрестности нуля. Если необходимо, рассматривая вместо ϕ b функции вида ϕ bn (λ) = ϕ(nλ) b (см. лемму 3.4.9), b α (R2 ). Ясно, что преобразование Фурье этой можно считать, что Ran fb1 ⊂ V. Поэтому fb1 ∈ L функции в некоторой окрестности нуля совпадает с функцией fe. Лемма 3.3.10. По весу α определим новый (неквазианалитический) вес α1 : R2 → R+ с помощью формулы α1 (u) = sup α(v), u ∈ R2 . (3.3.4) kvk6kuk

(R2 )

Если f∗ — функция из Lα1 такая, что fb∗ = 1 в некоторой окрестности точки 0 ∈ R2 и supp fb∗ — компакт, то последовательность fn (u) = κn f∗ (κn u), n ≥ 1, κn → ∞,

(3.3.5)

есть о.а.е. в алгебре Lα (R2 ). Доказательство. Ограниченность последовательности (fn ) следует из леммы 3.4.9. Если ϕ ∈ Lα (R2 ) имеет компактный спектр, то fn ∗ ϕ = ϕ для достаточно большого числа n. Осталось только заметить, что функции с компактным спектром плотны в Lα (R2 ). Теорема 3.3.11. Для генератора A : D(A) ⊂ X → X Lα (R2 )-модуля (X , T ) имеют место следующие утверждения. 1) σ(A) = {λ1 + iλ2 ∈ C : (λ1 , λ2 ) ∈ Λ(X ) ⊂ R2 }; 2) R(z, A)x = fz x, x ∈ X , z ∈ ρ(A), где fz — любая функция из Lα (R2 ) такая, что fb(λ) = (z − λ1 − iλ2 )−1 , λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 в некоторой окрестности множества Λ(X ). В частности, Z R(z, A)x = F − fz (u)T (−u)xdu, x ∈ X , z ∈ ρ(A), (3.3.6) R2

(R2 )-модуль

если (X , T ) — L2 из определения 3.3.2 (см. формулу (3.3.1)); b инвариантны от3) A — разложимый оператор, спектральные подмодули X (σ), σ ∈ P (G) носительно A, σ(A/X (σ)) = {λ1 + iλ2 ∈ C : (λ1 , λ2 ) ∈ Λ(X (σ))} и A|X (σ) ∈ End X , если σ — компакт из Λ(X ); 4) σ(T (f ) = fb(Λ(X )) = {fb(λ1 , λ2 ) : λ1 + iλ2 ∈ σ(A)} ∀f ∈ L2 (R2 ). Доказательство. Пусть R2 3 z∈Λ(X , T ). Без ограничения общности считая z = 0, рассмотрим функцию f ∈ Lα (R2 ), такую, что fb(λ) = (λ1 + iλ2 )−1 в некоторой окрестности множества Λ(X ), не содержащей точки (0, 0) ∈ R2 . Такую функцию можно построить, например, так. Рассмотрим b α (R2 ) обладает свойствами функцию fb(λ) = (1 − fb0 (λ))(λ1 + iλ2 )−1 : R2 → C, fb(0) = 0, где fb0 ∈ L 1 fb0 = 1 в некоторой окрестности нуля и supp fb0 ∩ Λ(X ) = ∅ (здесь α1 определен формулой (3.3.4)). b α (R2 ). Для определенности предположим, что supp fb0 — компакт и maxkλk < Докажем, что fb ∈ L 1 1, λ = (λ1 , λ2 ) ∈ supp fb0 , kλk = |λ1 + iλ2 |. Пусть функция ϕ b ∈ Lα1 (R2 ) выбрана так, чтобы ϕ b=1 2 на множестве B(5), где B(a) = {z ∈ R : kzk 6 a} и supp ϕ b — компакт. Из леммы 3.3.9 следует, что fbϕ b ∈ Lα1 (R2 ), а из леммы 3.4.9 получаем, что функции gba (λ) = fb(a−1 λ)ϕ(a b −1 λ), a ∈ [1, ∞)

54

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

принадлежат алгебре Lα1 (R2 ) и kga k 6 Const a−1 ∀a ∈ [1, ∞). Ясно, что gba (λ) = (λ1 + iλ2 )−1 в окрестности множества B(4a)\B(a). Пусть (fn ) — о.а.е. из леммы 3.3.10, где κn = 2n , n ≥ 1 и f∗ выбрана так, чтобы fb∗ = 1 на B(1) и supp fb∗ ⊂ B(2). Из указанных выше свойств функции ga следует, что ряд X g2n ∗ (fn+1 − fn ) n≥1

является сходящимся в Lα1 (R2 ) к некоторой функции g ∈ Lα1 (R2 ). Поскольку gb2n (λ) = (λ1 +iλ2 )−1 в окрестности supp(fbn+1 − fbn ), то gb2n (λ)(fbn+1 ((λ)− fbn (λ)) = (fbn+1 (λ)− fbn (λ))(λ1 +iλ2 )−1 и поэтому cα (R2 ) gb(λ) = (λ1 + iλ2 )−1 )(1 − fb1 (λ)), λ ∈ R2 . Наконец, принадлежность функции fb алгебре L следует из компактности носителя функции gb − fb. Докажем утверждение 2). Из леммы 3.3.8 следует, что ϕx ∈ D(A) ∀x ∈ X ∀ϕ ∈ Lα (R2 ) с компактным носителем supp ϕ b (ибо функция u 7→ T (u)ϕx : R2 → X бесконечно дифференцируема). Имеют место равенства Z A(f ∗ ϕ)x = f Aϕx = f (u)AT (−u)ϕxdu =  d d = f (u) − +i T (−u)ϕxdu = f1 x, f1 ∈ Lα (R2 ), du1 du2 где fb1 (λ) = (λ1 + iλ2 ) fb(λ)ϕ(λ) b ∀λ ∈ R2 и последнее равенство получено интегрированием по частям. Так как ϕ b − fb1 = 0 в некоторой окрестности множества Λ(x), то f1 x = ϕx ∀x ∈ X и поэтому Af ϕx = ϕx ∀x ∈ X ∀ϕ ∈ Lα (R2 ) с компактным носителем supp ϕ. b Аналогично можно получить, что f x ∈ D(A) и f Aϕx = ϕx ∀x ∈ X . Следовательно, ϕ(Af x − x) = 0. В силу тауберовой теоремы Винера (см. теорему 3.1.18) это равенство выполнено для всех ϕ ∈ Lα (R2 ). Из невырожденности действия Lα (R2 )-модуля на X получаем, что Af x = x ∀x ∈ X (и f Ax = x ∀x ∈ D(A)). Следовательно, σ(A) ⊂ σ0 = {λ = λ1 + iλ2 ∈ C : (λ1 , λ2 ) ∈ Λ(X )}. Докажем обратное включение, предположив вначале, что 0 ∈ Λ(X ). Из равенства σ(T (ϕ)) = ϕ(Λ(X b )) ∀ϕ ∈ Lα (R2 ), установленного в следствии 1.5.3, следует, что σ(A−1 ) = σ(T (f )), где f — любая функция из Lα (R2 ), для которой fb(λ) = (λ1 +iλ2 )−1 в некоторой окрестности Λ(X ). Поэтому {z −1 , z ∈ σ(A)} = fb((Λ(X )) = {(λ1 + iλ2 )−1 )}, (λ1 , λ2 ) ∈ Λ(X ), и, следовательно, σ(A) = σ0 . Пусть теперь Λ(X ) = R2 и предположим, что σ(A) 6= C, для определенности считая 0∈σ(A). Рассмотрим наименьший подмодуль Xϕ ⊂ X , содержащий все векторы ϕx, x ∈ X , где ϕ ∈ Lα (R2 ), 0∈ supp ϕ. b Тогда Λ(Xϕ ) = Λ(X ) ∩ supp ϕ, b т. е. 0∈Λ(Xϕ ) и поэтому (по доказанному) σ(A/Xϕ ) = {(λ1 + iλ2 ) : (λ1 , λ2 ) ∈ Λ(X (ϕ)) = Λ(X ) ∩ supp ϕ}. b Из этого равенства (ввиду произ2 вольности выбора ϕ ∈ Lα (R ), удовлетворяющей условию 0∈ supp ϕ) b и включения σ(A|Xϕ ) ⊂ σ(A) (поскольку Xϕ инвариантно относительно операторов R(λ, A), λ ∈ ρ(A)) получаем противоречие. Следовательно, σ(A) = σ0 . Попутно было доказано утверждение 2). Утверждение 4) непосредственно следует из утверждения 1) и следствия 1.5.3. Утверждение 3) следует из определений 1.5.6, 1.6.14 и представления X (σ) = ∩Xϕ , где пересечение берется по всем функциям ϕ ∈ Λα (R2 ) с ϕ b = 1 в окрестности компакта σ (см. утверждение 3) теоремы 1.5.8). Отметим, что спектральные подмодули X (σ) являются максимальными спектральными подпространствами оператора A. Z



Следствие 3.3.12. Пусть A — оператор из условия теоремы 3.3.11, σ — некоторый компакт из C и f : U ⊃ σ → C — голоморфная функция. Тогда оператор f (A|X (e σ )) (определенный с помощью интеграла Коши) совпадает с операторами вида T (ϕ), где ϕ — любая функция из Lα (R2 ) такая, что ϕ(λ) b = f (λ) = f (λ1 + iλ2 ) в некоторой окрестности множества σ e = {λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 : λ1 + iλ2 ∈ σ}. Доказательство следует из представления (3.3.6). Произвольный Lα (G)-модуль (X , T ) можно также рассматривать в качестве Lα (Gd )-модуля (Gd — группа G с дискретной топологией), если использовать представление Td (g) : Gd → End X . e ) обозначим множество Λ(X , Lα (Gd )) ⊂ G bd . Через Λ(X

3.3. Lα (G)-МОДУЛИ

И НЕКВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

55

Лемма 3.3.13. Для любого Lα (G)-модуля (X , T ) такого, что Lα (G) невырожденно действуe ) = Λ(X , Lα (Gd )), где замыкание берется в G b d (при ет на X , имеет место равенство Λ(X b b естественном вложении G в Gd ). e ). Если γ ∈ Λ(X ), то из условия Доказательство. Вначале докажем включение Λ(X ) ⊂ Λ(X совпадения спектральных отображений Λ1 и Λ2 на Lα (G)-модулях (теорема 1.5.1) следует существование характера χ ∈ Sp V (G) (V (G) — наименьшая подалгебра из End X , содержащая все операторы T (f ), f ∈ Lα (G) и T (g), g ∈ G) такого, что T[ (f )(χ) = fb(γ) ∀f ∈ Lα (G). Тогда \ \ [ e ). T (f )T (g)(χ) = T (fg )(χ) = fbg (γ)(g, γ), т. е. T (g)(χ) = (γ, g) ∀g ∈ G и поэтому γ ∈ Λ(X e Предположим, что Λ(X ) 6= Λ(X ). Рассмотрим функцию f ∈ Lα (Gd ), такую, что fb(γ0 ) 6= 0 для e )\Λ(X ) и supp fb ∩ Λ(X ) = ∅. Тогда Λ(f x) ⊂ supp fb ∩ Λ(X ) = ∅ ∀x ∈ X и поэтому γ0 ∈ Λ(X e ). f x = 0 ∀x ∈ X , что противоречит условиям fb(γ0 ) 6= 0 и γ0 ∈ Λ(X Теорема 3.3.14. Если (X , T ) — невырожденный Lα (G)-модуль, то     X  X σ αi T (gi ) = αi (gi , γ) : γ ∈ Λ(X ) ,   i≥1

(3.3.7)

i≥1

где P (gi ) — последовательность элементов из G и (αi ) — последовательность из C, для которой |αi |α(gi ) < ∞. i≥1

Доказательство. Пространство X рассмотрим в качестве Lα (Gd )-модуля. Тогда из утверждения 4) теоремы 3.3.11 получаем, что   X e )), σ αi T (gi ) = σ(T (f )) = fb(Λ(X i≥1

P где f ∈ Lα (Gd ) имеет преобразование Фурье вида fb(γ) = αi (gi , γ) : Gd → C. Осталось примеi≥1

нить лемму 3.3.13. В заключение отметим, что все изложенные в этом параграфе результаты естественным образом переносятся и на случай банаховых L+ α (G)-модулей из примера 1.1.19 в случае неквазианалитического веса α. Определение 3.3.15. Пусть G = R и C : R → End X — косинусная сильно непрерывная операторная функция (КОФ), удовлетворяющая условию kC(t)k 6 α(t), t ∈ R, где α : R → R+ — неквазианалитический вес. Оператор A : D(A) ⊂ X → X назовем производящим оператором для КОФ C, если 2(C(t) − 1)x Ax = lim ∀x ∈ D(A). t→0 t2 Теорема 3.3.16. Пусть (X , C) есть L+ α (G)-модуль. Тогда b + }; 1) σ(C(g)) = {λ ∈ C : λ = c(g), c ∈ Λ(X ) ⊂ G b 2) σ(T (f )) = fb+ (Λ(X )) ∀f ∈ L+ α (G), где f+ — косинус-преобразование Фурье функции f ; 3) если G = R, то для резольвенты оператора A из определения 3.3.15 имеет место представление Z R(z, A)x = f (t)C(t)x dt, x ∈ X , z∈σ(A), R

где f ∈ имеет косинус-преобразование Фурье вида fb+ (λ) = (z + λ2 )−1 в некоторой p окрестности множества Λ(X ) = σ(A) ⊂ R+ . L+ α (R)

56

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

3.4.

НЕРАВЕНСТВА

БЕРНШТЕЙНОВСКОГО ТИПА

Здесь получены неравенства, связывающие норму ограниченного оператора из некоторого специального класса операторов с его спектральным радиусом. Методы доказательства в некотором смысле близки к методу доказательства классического неравенства Бернштейна для производной от целой функции экспоненциального типа, ограниченной на вещественной оси [6]. Эта близость методов доказательства обязана также используемому здесь модульному подходу. Если T ∈ End X — оператор, для которого следует получить оценку нормы через спектральный радиус, то в дальнейшем будет использоваться следующий прием. Банахово пространство X (по возможности) наделяется структурой банахова модуля над некоторой хорошо изученной спектрально регулярной алгеброй B с целью получения представления оператора T в виде T = TB (a), где a ∈ B и TB (a)x = ax : X → X . Из следствия 1.5.3 получаем, что спектральный радиус r(T ) оператора T совпадает с числом max |b a(χ)|. С другой стороны, имеет место неравенство kT k = χ∈Λ(X )

= kTB (a)k 6 kTB kkak. Следовательно, задача сводится к вопросу оценки константы связывающей величины r(T ) = max |b a(χ)| и inf kak, где inf берется по всем элементам a из B, для которых χ∈Λ(X )

TB (a) = T. Теорема 3.4.1. Пусть оператор T ∈ End X непрерывно обратим и удовлетворяет следующим условиям P α(n) 1) < ∞, α(n) = kT n k, n ∈ Z ; 1+n2 n∈Z

π 2) σ(T ) ⊂ {z ∈ C : | arg z| 6 2k }, где k ∈ N. Тогда имеет место неравенство

kT − 1k 6 C(α, Θ(T ), a)r(T − 1), где Θ(T ) = max | arg z|, a = z∈σ(T )

π 2k

и постоянная C(α, Θ(T ), a) определяется равенством 

C(α, Θ(T ), a) =

1 eiΘ(T )

 X

−1

 n∈Z, n6=0

4a| sin(a + πn/2)| sin a  α(kn) + 1 − . 2 2 2 π n − 4a a

b = T (в частности, это включение будет Доказательство. Из условия 1) следует, что σ(T ) ⊂ Z следовать из проводимых ниже рассуждений). Нами будет использовано равенство σ(T ) = Λ(X ), которое следует из следствия 1.5.3, если рассматривать X в качестве Lα (X )-модуля (модульная структура на X определяется как в примере 1.1.18 по представлению n 7→ T n : Z → End X ). Действительно, для любого вектора x ∈ X имеем T x = f x, где f ∈ Lα (Z) определяется равенством f (n) = 1, если n = −1, и f (n) = 0, если n 6= −1. Поэтому σ(T ) = fb(Λ(X )) = Λ(X ) ⊂ T (ибо fb(γ) = γ ∀γ ∈ T). Несколько другой подход к доказательству этого равенства можно найти в статье Г. М. Фельдмана [89]. Перейдем к непосредственному доказательству неравенства. Для этого на группе T рассмотрим функцию gb, определенную формулой  −1 −i2a , −2a 6 arg γ 6 −a,  γ e γ, | arg γ| 6 a, gb(γ) =  −1 i2a γ e , a 6 arg γ 6 2a, если | arg γ| 6 2a, и продолженную на T так, чтобы gb(γei4a ) = gb(γ). Функция gb является преобπn 4a разованием Фурье функции g : Z → C, для которой g(m) = 2 sin(a + ), если m = nk 2 2 4a − π n 2 для некоторого n ∈ Z и g(m) = 0, если m не представимо в таком виде. Поскольку fb = gb (где fb(γ) = γ : T → C) в окрестности множества Λ(X ), то

=

X n ∈ Z\{0}

T x − x = f x − x = gx − x =   4a sin(a + πn sin a kn 2 ) T x+ − 1 x. 4a2 − π 2 n2 a

3.4. НЕРАВЕНСТВА

57

БЕРНШТЕЙНОВСКОГО ТИПА

Из этого представления следует доказываемое неравенство. Следствие 3.4.2. Если оператор T ∈ End X удовлетворяет условию 1) теоремы 3.4.1 и Θ(T ) 6 π2 , то kT − 1k 6 4C(α, Θ(T ), α(T ))r(T − 1). Следствие 3.4.3. Пусть T — обратимая изометрия. Тогда а) kT − 1k 6 2(sin Θ(T ) + cos Θ(T ))r(T − 1), если Θ(T ) 6 π2 ; б) kT − 1k 6 (sin(a/2) + cos(a/2))r(T − 1), если Θ(T ) 6 a, где a — одно из чисел вида π , 2k k = 1, 2, . . . ; в) kT − 1k 6 (sin(Θ(T )/2) + cos(Θ(T )/2))r(T − 1), если T — один из операторов некоторого изометрического√представления группы R; г) kT − 1k 6 2 2r(T − 1). Доказательство. Утверждение а) следует из б). Для доказательства утверждения б) достаточно заметить, что X X 8a 1 1 1 = tg a и = 2− ctg a. π 2 (2k − 1)2 − 4a2 4π 2 k 2 − 4a2 8a 8a k ≥ 1

k ≥ 1

Утверждение в) непосредственно следует из доказательства теоремы 3.4.1, если рассматривать X не в качестве Lα (Z)-модуля, а в качестве L1 (Rd )-модуля (Rd — группа R с дискретной топологией). Теорема 3.4.4 (обобщение неравенства Бернштейна). Если оператор A ∈ End X удовлетворяет условию keitA k = 1 ∀t ∈ R, то kAk = r(A). Для доказательства заметим, что iA = lim(eitA − 1)/t, тогда из утверждения в) (или б)) следt→0

ствия 3.4.3 получаем, что   itA  Θ(eitA ) Θ(eitA ) e −1 kAk = inf sin + cos r . 0
n n Лемма 3.4.5. Пусть X = L∞ α (R ) есть Lα (R )-модуль и α — неквазианалитический вес. Тогда 1) для любой ϕ ∈ X ее спектр Λ(ϕ) совпадает с носителем преобразования Фурье функции ϕ, рассматриваемой как обобщенная функция (на любом основном пространстве гладких n функций, содержащихся в L\ α (R )); 2) Λ(ϕ), ϕ ∈ X , есть компакт из Rn , если и только если ϕ почти всюду совпадает с целой функцией экспоненциального типа (первого порядка) и, более того, σ = max kλk, kλk = λ∈Λ(ϕ)

max |λi | (если λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn );

16i6n

2 3) оператор ∂x∂ 1 + i ∂x∂ 2 является генератором Lα (R2 )-модуля (L∞ α (R ), T ), где T (u)ϕ(x) = 2 2 = ϕ(x + u), ϕ ∈ L∞ α (R ), x, u ∈ R ; −1 d на наименьшее 4) Λ(ϕ), ϕ ∈ L∞ α (R), совпадает со спектром сужения оператора i dt n (замкнутое) подпространство [ϕ] ⊂ L∞ α (R), содержащее все функции вида f ∗ ϕ, f ∈ Lα (R ), и инвариантное относительно операторов сдвигов функций ([ϕ] является также наименьшим подмодулем, содержащим ϕ).

Утверждение 1) леммы является простой переформулировкой определения спектра, а остальные утверждения легко из него получаются. Теорема 3.4.6. Пусть (X , T ) — Lα (G)-модуль. Тогда для любого оператора T (g0 ), g0 ∈ G такого, что выполнены условия X α0 (n) 1) <∞; 2) Θ(T (g0 )) 6 π/2, 1 + n2 n∈Z

58

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

где α0 (n) = kT (ng0 )k : Z → R+ , имеет место неравенство kT (g0 ) − 1k 6 4C(α0 , Θ(T (g0 ), π/2)

sup |γ(g0 ) − 1|. γ∈Λ(X )

В частности, если α0 ≡ 1 (т. е. kT (g0 )k = 1), то

√ sup |γ(g0 ) − 1| 6 kT (g0 ) − 1k 6 2 2 sup |γ(g0 ) − 1|.

γ∈Λ(X )

(3.4.1)

γ∈Λ(X )

Доказательство теоремы непосредственно следует из теоремы 3.3.11, следствий 3.4.2, 3.4.3 и теоремы 3.3.14. Теорема 3.4.7. Пусть вес α : Z → R+ удовлетворяет условию α(n) 6 Const(1 + |n|q ), n ∈ Z, где q ≥ 0 и w : [0, 2] → R+ — функция, обладающая свойством lim w(t) = 0. t→0

Тогда для того, чтобы в классе всех операторов T ∈ End X (банахово пространство X не фиксируется), удовлетворяющих условию kT n k 6 α(n), n ∈ Z выполнялось неравенство kT − 1k 6 w(r(T − 1)), необходимо и достаточно, чтобы lim n−1 α(n) = 0. |n|→∞

α(n) > 0. Тогда функция ϕ(n) = n : Z → n C принадлежит X = L∞ α (Z). Рассмотрим оператор (T x)(m) = x(m+1) : X → X , который, очевидно, удовлетворяет условию kT n k 6 α(n), n ∈ Z. Сужение его на подмодуль [ϕ] представляется в виде 1 + N, где N 2 = 0. Следовательно, r(T − 1) = 0, хотя k(T − 1)k > 0. Получено противоречие. Достаточность. Пусть оператор T ∈ End X удовлетворяет условию n q kT k 6 α(n), где α(n) 6 Const(1 + |n| ), q ≥ 0 и lim α(n)/n = 0. Из теоремы 2.20 следует,

Доказательство. Необходимость. Предположим, что inf

|n|→∞

b→C что примарные идеалы алгебры Lα (Z) максимальны и поэтому для функции fb(γ) = γ − 1 : Z существует последовательность функций (fm ) ⊂ Lα (Z) таких, что fbm = 0 в окрестности единицы группы T и kf − fm k → 0 при m → ∞. Если множество σ(T − 1) содержится в нулях функции fbm вместе с некоторой окрестностью, то (T − 1)x = (f − fm )x ∀x ∈ X . Из этого представления получаем существование функции w : [0, 2] → R+ , удовлетворяющей условию теоремы. Определение 3.4.8. Генератор A для Lα (R2 )-модуля (X , T ) назовем преднормальным оператором, если вес α ограничен. Преднормальный оператор A назовем нормальным, если α ≡ 1 и предсамосопряженным, если ImA = 0 (т. е. A — генератор L1 (R)-модуля X ). Наконец, предсамосопряженный оператор A назовем самосопряженным, если α ≡ 1. Если X — рефлексивное банахово пространство, то из теорем 2.4.9 и 2.4.10 следует, что область определения D(A) генератора A для L1 (R2 )-модуля X плотна в X и поэтому класс нормальных и самосопряженных операторов в смысле определения 3.4.8, действующих в гильбертовом пространстве, совпадают соответственно с классами нормальных и самосопряженных операторов в общепринятом смысле. Примером нормального оператора может служить оператор из утверждения 3) леммы 3.4.5, если α ≡ 1. До конца параграфа будет рассматриваться банахова алгебра Lα (Rn ). Символом α∗ обозначим функцию α(κu) α∗ (κ) = sup : R+ → R+ ∪ {∞}. (3.4.2) u ∈ Rn α(u) b α (Rn ), то для любого числа κ > 0 такого, что α∗ (κ) < ∞, функция Лемма 3.4.9. Если fb ∈ L fbκ (λ) = fb(κλ) : Rn → C являются преобразованием Фурье функции fκ (u) = κ −1 f (κ −1 u) : Rn → C, принадлежащей Lα (Rn ), и kfκ k 6 α∗ (κ)kf k. R Доказательство. Ясно, что fκ ∈ Lα (Rn ), kfκ k = κ −1 |f (u)|α(κu)du 6 κ −1 α∗ (κ)kf k и fbκ (λ) = fb(κλ), λ ∈ Rn .

3.4. НЕРАВЕНСТВА

БЕРНШТЕЙНОВСКОГО ТИПА

59

Теорема 3.4.10. Пусть A — генератор Lα (Rn )-модуля (X , T ). Тогда для любого λ ∈ ρ(A) имеет место оценка kR(λ, A)k 6 Const α∗ (κ −1 )κ −1 , (3.4.3) где κ = d(λ, σ(A)). В частности, kR(λ, A)k 6 Const κ −1 ,

(3.4.4)

если A — преднормальный оператор, kR(λ, A)k 6 π/2 κ −1 , λ ∈ ρ(A) ∩ R,

(3.4.5)

если A — самосопряженный оператор, и kBk 6 π/2 d(0, σ(A))−1 ,

(3.4.6)

если {0} — изолированная точка из σ(A), A — самосопряженный оператор и оператор B ∈ End X определяется из равенств BA = AB = 1 − P ({0}, A). Доказательство. Без ограничения общности можно считать λ = 0 ∈ ρ(A). Пусть f — произвольная функция из Lα (R2 ), обладающая свойством fb(λ) = (λ1 + iλ2 )−1 для d(0, λ) ≥ 1 − ε0 , где 0 < ε0 < 1. Наряду с f рассмотрим функцию fκ (u) = f (κu), где κ = d(0, σ(A)), и предположим, что α∗ (κ −1 ) < ∞. Поскольку fbκ = κ −1 fb(κ −1 λ), λ ∈ R2 , то из утверждения 2) теоремы 3.3.11 получаем, что A−1 x = fκ x ∀x ∈ X , а из леммы 3.4.9 следует, что kA−1 k 6 kfκ k 6 κ −1 α∗ (κ −1 )kf k. Минимизация правой части этого неравенства по всем таким функциям f приводит к неравенствам (3.4.5) и (3.4.6). Существование функции f ∈ L1 (R) со свойствами: fb(λ) = λ−1 для |λ| ≥ 1 и kf k 6 π/2 было установлено Фаваром (см. [6]). Поскольку функцию f можно выбрать такой, что fb(0) = 0, то A−1 x = Bx ∀x ∈ X и поэтому неравенство 3.4.6 следует из неравенства 3.4.5. Теорема 3.4.11. Пусть X — банахов модуль над спектрально регулярной алгеброй B и σ — изолированный компакт из Sp B. Тогда банахово пространство X является прямой суммой подмодулей X (σ) и X (∆), где ∆ = Sp B\σ. Проектор P (σ) на X (σ) (параллельно X (∆)) допускает оценку kP (σ)k 6 inf kak, где a пробегает множество элементов из B с Λ(a) ∩ ∆ = ∅ и каждый из которых является единицей на σ. Утверждение сформулированной теоремы о представлении проектора P (σ) есть следствие результатов главы 1. Следствие 3.4.12. Если A — генератор Lα (R2 )-модуля (X , T ) и σ — изолированный в Λ(X ) компакт, то P (σ) = P (σ0 , A) — проектор Рисса, построенный по компакту σ0 = {λ1 + iλ2 ∈ σ(A) : (λ1 , λ2 ) ∈ σ}.В частности,  b+a 1) kP (σ0 , A)k 6 4/π 2 ln + 2 sup kT (t)k, если A — предсамосопряженный оператор, b−a t ∈ R σ0 ⊂ [−a, a] и (σ(A)\σ0 ) ∩ [−b, b] = ∅, a < b; 2) kP (σ0 , A)k 6 sup kT (u)k, если σ0 = {λ0 } одноточечное множество из σ(A) и A — t ∈ R2

преднормальный оператор. Доказательство. Утверждение теоремы о равенстве P (σ) = P (σ0 , A) непосредственно следует из теоремы 3.3.11. Если A — предсамосопряженный оператор, то имеет место равенство P (σ)x = fa,b x, fa,b ∈ L1 (R) имеет преобразование Фурье вида: fba,b (λ) = 1 для |λ| 6 a, fba,b (λ) = 0 для |λ| ≥ b, и fba,b продолжена (с условием непрерывности) линейно на R. Известно (см. [1, с. 255]), что b+a kfa,b k 6 4/π 2 ln + 2. Поэтому имеет место оценка kP (σ0 , A)k 6 kfa,b k sup kT (t)k 6 b− a t ∈ R  b + a 4/π 2 ln + 2 sup kT (t)k. b−a t ∈ R

60

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Если σ0 = {λ0 } (которую можно считать нулевой) — изолированная точка спектра σ(A) предc1 (R2 ) вида fbε (λ) = ϕ нормального оператора A, то рассмотрим функцию fbε ∈ L bε (λ1 )ϕ bε (λ2 ), λ = 2 c1 (R), ε > 0 определена следующим образом: ϕ (λ1 , λ2 ) ∈ R , где ϕ bε ∈ L bε (λ0 ) = 1, ϕ bε = 0 на b b R\(−ε, ε), и fε продолжена по непрерывности линейно на R. Тогда функция fε — сдвиг положительно определенной функции и поэтому kfε k = 1 ∀ ε > 0. Следовательно, при достаточно малом ε > 0 имеет место неравенство kP (σ0 , A)k = kT (fε )k 6 sup kT (u)k. t ∈ R2

Пусть A — генератор Lα (R2 )-модуля (X , T ), 0 ∈ ρ(A) и, кроме того, предположим, что ρ(A) содержит некоторый сектор ∆(Θ1 , Θ2 ) = {z ∈ C : Θ1 6 arg z 6 Θ2 } (предполагается, что arg 1 = 0 и 0 6 arg z < 2π ∀z ∈ C). Из неравенства (3.4.3) следует оценка kR(λ, A)k 6 Const(1 + |λ|)−1 , λ ∈ Γ(r0 , ϕ1 , ϕ2 ),

(3.4.7)

где Γ(r0 , ϕ1 , ϕ2 ) — контур, проходящий по дуге окружности |z| = r0 , лежащей внутри сектора ∆(ϕ1 , ϕ2 ), Θ1 < ϕ1 < ϕ2 < Θ2 , и по лучам arg λ = ϕi , i = 1, 2, выходящим из этой окружности. Если необходимо, рассматривая вместо A оператор eiΘ A (для подходящего 0 6 Θ < 2π), можно считать, что Θ1 = π − ε0 , Θ2 = π + ε0 , где 0 < ε0 < π. Неравенство (3.4.7) позволяет с помощью интегральной формулы Коши определить комплексные степени Aν оператора A для всех комплексных чисел вида α + iβ, α ∈ (0, ∞), β ∈ R (подробности см. в [50]). Теорема 3.4.13. Для любого ν ∈ R и любого вектора x 6= 0 из X имеют место неравенства

где r(x) =

max (λ1 ,λ2 )∈Λ(x)

kAν xk 6 C(α)α∗ (r(x)−1 )r(x)ν kxk, ν ≥ 0,

(3.4.8)

kAν xk 6 C(α)α∗ (κ −1 )κ ν kxk, ν < 0,

(3.4.9)

|λ1 + iλ2 | (спектральный радиус вектора x), κ = d(0, Λ(x)) и C(α) —

постоянная, зависящая только от α. Доказательство. Пусть ν ≥ 0 и функция ϕ ∈ Lα1 (R2 ) (где вес α1 определен формулой (3.3.4)) такова, что ϕ b = 0 в некоторой окрестности области, окруженной контуром Γ(r0 /4, π − ε0 /2, π + ε0 /2), ϕ(λ) b = λν в некоторой окрестности пересечения множества B(2r0 )\B(r0 /2) (B(r) = {z ∈ C : |z| 6 r}, r > 0) с областью, окруженной контуром Γ(2r0 , π + ε0 , π − ε0 ) и функция ϕ b имеет компактный носитель (существование такой функции следует из леммы 3.3.9). Тогда из леммы 3.4.9 получаем, что функции вида ϕ ba (λ) = aν ϕ(a−1 λ), a ∈ [1, ∞) b α (R2 ) и kϕa k 6 Const α∗ (a−1 ) ∀a ∈ [1, ∞). Кроме того, отметим, что принадлежат алгебре L 1 ν ϕ ba (λ) = λ в некоторой окрестности пересечения множества B(2ar0 )\B(1/2ar0 ) с сектором ∆(π + ε0 , π − ε0 ). Рассмотрим о.а.е. (fn ) ⊂ Lα (R2 ) из леммы 3.3.10, где κn = 2n , n ≥ 1, fb∗ (λ) = 1 на B(r0 /2) и supp fb∗ ⊂ B(r0 ). Пусть x — произвольный вектор из X с конечным спектральным радиусом r(x) < ∞. Число m из N определим из условий 2m 6 r(x) < 2m+1 . Далее рассмотрим функции вида ϕ2n ∗ (fn+1 − fn ), 1 6 n 6 m. Поскольку ϕ b2n (λ) = λν в окрестности множества supp(fbn+1 − fbn ), то ϕ b2n (λ)(fbn+1 (λ) − fbn (λ)) = λν (fbn+1 (λ) − fbn (λ)), λ ∈ R2 . Поэтому преобразование Фурье функции вида gm = f1 ∗ ϕ2 +

m X

ϕ2 i ∗ (fj+1 − fj )

j=1

совпадает в некоторой окрестности множества Λ(x) с функцией λν . Отсюда и из следствия 3.3.12 получаем Aν x = gm x. Осталось только заметить, что kgm k 6 C0 (α)(1 + 2ν + 22ν + · · · )α∗ (Λ(x)−1 ) 6 C0 (α)r(x)ν α∗ (r(x)−1 ). Такие же рассуждения применимы и для ν < 0. Если C : G → End X — ограниченная КОФ, то из теорем 3.4.6 и 3.4.10 (с помощью рассуждений, применявшихся в этом разделе) следует

3.5. ОБ

УСЛОВИИ

ДИТКИНА

Теорема 3.4.14. Имеют место неравенства: √ √ 1) 2/2 sup |γ(g0 ) − 1| 6 kC(g + g0 ) − C(g)k 6 4 2M γ∈w−1 (Λ(X ,C))

61

sup

|γ(g0 ) − 1|;

γ∈w−1 (Λ(X ,C))

2) kAk 6 M r(A); 3) kA−1 k 6 M d(0, σ(A))−1 , b b где M = sup kC(g)k, X есть L+ 1 (G)-модуль (см. пример 1.1.19), отображение w : G → G+ опреg∈G

делено равенством w(γ) = γ+γ2 оператор КОФ C : R → End X .

−1

b G = R в неравенствах 2) и 3), и A — производящий , γ ∈ G, 3.5.

ОБ

УСЛОВИИ

ДИТКИНА

Условие Диткина традиционно играет важную роль в исследованиях по проблеме спектрального синтеза в коммутативных банаховых алгебрах. Следующее определение распространяет соответствующее классическое определение, сформулированное Г. Е. Шиловым [100] для алгебр Шилова, на банаховы модули над спектрально отделимыми алгебрами и, следовательно, на сами спектрально отделимые алгебры (если рассматривать алгебру как модуль над собой). Определение 3.5.1. Пусть X — банахов модуль над алгеброй B. Скажем, что X удовлетворяет условию Диткина в т. χ ∈ Sp B (соответственно в т. ∞ или на бесконечности), если для любого вектора x ∈ Xχ (соответственно для любого вектора x ∈ X∞ ) существует последовательность (an ) ⊂ B такая, что χ∈Λ(an ) (соответственно an имеют компактный спектр) ∀n ≥ 1 и lim an x = x. Скажем, что модуль X удовлетворяет условию Диткина, если он удовлетворяет условию Диткина в каждой точке χ ∈ Sp B ∪ {∞}. Теорема 3.5.2. Алгебра Lα (R) удовлетворяет условию Диткина (как Lα (R)-модуль), если для веса α выполнены условия: P α(n) 1) < ∞; 2 n∈Z 1 + n α(ρt) 2) sup < ∞. α(ρ)α(t) ρ>0,t∈R Доказательство. Пусть k ∈ Lα (R) и supp b k ⊂ [−1, 1] ⊂ R. Рассмотрим семейство функций kρ (t) = −1 −1 ρ k(ρ t), ρ > 0. Тогда, если T (x)ϕ = ϕx : Lα (R) → Lα (R) — оператор сдвига функций, используя теорему 3.4.6 и условия на вес α, получаем, что для всех ρ > 0 имеет место неравенство (заметим, что Λ(f ) = supp fb ∀f ∈ Lα (R)) Z kT (x)kρ − kρ k = |k(t + x/ρ) − k(t)|α(ρt)dt 6 Const α(ρ) max |ei(x/ρ)t − 1|. |t|61

Если f — произвольная функция из Lα (R) такая, что fb(0) = 0, то из неравенства Z ||f ∗ kρ || 6 Const |f (x)|α(ρ) max |ei(x/ρ)t − 1|dx |t|61

следует, если использовать условие 2) на вес α, что limρ→∞ f ∗ kρ = 0. Это означает (при выборе b k = 1 в некоторой окрестности нуля), что алгебра Lα (R) удовлетворяет условию Диткина в нуле и, следовательно, в любой точке из R. Следствие 3.5.3. Если вес ω : R → таков, что для некоторого целого m > 0 функция α(t) = ω(t)(1 + |t|)−m есть вес из теоремы 3.5.2, то алгебра Lα (R) удовлетворяет условию Диткина в каждой точке из R. 0 (m) Доказательство. Пусть f0 ∈ Lω (R) и fb0 (0) = fb0 (0) = ... = fb0 (0) = 0 (именно из таких функций состоит минимальный примарный идеал в точке 0 ∈ R (см. [183])). Рассмотрим функцию k0 ∈ Lω (R) со свойствами: kb0 = 1 в окрестности нуля и supp b k0 ⊂ [−1, 1]. Пусть fj (t) = (1 + it)j f0 (t), kl (t) = (it)l k0 (t) и klρ (t) = ρ−1 kl (ρ−1 t), где 0 6 j 6 m, 0 6 l 6 m и ρ > 0. Тогда непосредственно из доказательства теоремы 3.5.2 следует, что limρ→∞ fj ∗ lρl = 0 для всех 0 6 j 6 m, 0 6 l 6 m таких, что j + l 6 m (заметим, что предел берется в алгебре Lα (R)). Из

62

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

условия limρ→∞ fm ∗ klρ = 0, используя совокупность полученных равенств, индукцией по числу m получаем, что limρ→∞ f ∗ k0ρ = 0 в алгебре Lω (R). Следствие 3.5.4. Алгебра L1 (G) удовлетворяет условию Диткина; более того, для любого b существует о.а.е. идеала Ker γ. γ∈G Доказательство. Возьмем произвольную функцию f ∈ L1 (G), такую, что fb(0) = 0 и функцию k ∈ L1 (G) с компактным носителем supp b k. Непосредственно из теоремы 3.4.6 для произвольного компакта E ⊂ G получаем неравенство Z Z Z ||f ∗ k|| = |f (−y)||(T (y) − 1)k(x)|dxdy 6 |f (y)|||T (y)k − k||dy 6 Z √ Z |f (y)| sup |γ(y) − 1|dy + 2 62 2 E

γ∈supp b k

|f (y)|||k||dy,

G\E

где T (y)ϕ = ϕy : L1 (G) → L1 (G) — оператор сдвига. Из этого неравенства следует наличие условия Диткина в алгебре L1 (G), если заметить, что для любой наперед заданной окрестности V нуля b существует функция k ∈ L1 (G) такая, что b из G k = 1 в некоторой окрестности нуля, supp b k⊂V и ||k|| 6 2. Существование такой функции доказано в монографии [186] (см. также [97]); там же можно найти другой вариант доказательства полученного результата. Теорема 3.5.5. Пусть алгебра M (B) мультипликаторов спектрально отделимой алгебры B обладает ограниченной группой G элементов, являющихся образующими любого идеала вида M (B)(σ), где σ — компакт из Sp B (см. формулировку теоремы 3.2.18). Тогда каждый B-модуль X удовлетворяет условию Диткина в любой точке γ ∈ Sp B. Доказательство. Из леммы 3.2.17 следует, что без ограничения общностиRможно считать, что G — ограниченная группа образующих алгебры B. Тогда отображение ω(f ) = f (g)g −1 dg из L1 (Gd ) в алгебру B является гомоморфизмом банаховых алгебр, удовлетворяющим условию w(L1 (Gd )) = B. cd (при Поэтому, если (eα ) — о.а.е. максимального идеала I = Ker γ ⊂ L1 (Gd ), γ ∈ Sp B ⊂ G cd ), то ω(eα ) — о.а.е. максимального идеала ω(I). естественном вложении Sp B в G Если x ∈ Xγ , то существует последовательность (xn ) ⊂ X такая, что γ ∈ Λ(xn ) ∀n ≥ 1 и lim xn = x. Фиксируя n0 ∈ N, рассмотрим элемент a ∈ B такой, что a есть единица на Λ(xn0 ) и n→∞

γ ∈Λ(a). Тогда axn0 = xn0 и lim ω(eα )xn0 = lim ω(eα )axn0 = 0. Следовательно, ω(eα )x = 0. Следствие 3.5.6. Любой банахов L1 (G)-модуль X удовлетворяет условию Диткина. Требование ограниченности группы G образующих в условиях теоремы 3.5.5, видимо, является существенным. Возможно, имеет место следующий результат. Если α : Z → R — растущая весовая функция, то существует линейный ограниченный оператор T такой, что ||T n || 6 α(n), n ∈ Z и банахова алгебра, порожденная T и T −1 , не удовлетворяет условию Диткина. Подтверждением этого предположения является следующий пример. Пример 3.5.7. Рассмотрим алгебру Миркила B = {χ ∈ L2 (T) : χ непрерывна для z ∈ T, Re z > 0} с kχk = kχkL2 (T) + max |χ(z)| и со сверткой функций в качестве умножения (см. Re z≥0

[77, 174]). Образующими этой алгебры служат функции вида ei∗χn , n ∈ Z, где χ b — некоторая кусочно линейная функция из B, разделяющая точки окружности T. Ясно, что kei∗χn k = 0(ln |n|) при |n| → ∞. Однако алгебра B не обладает условием Диткина, ибо в противном случае (поскольку ее спектр счетен) каждый идеал этой алгебры допускал бы спектральный синтез (см. результаты раздела 3.9). В следующей теореме условие а) на вес α : R → R+ ослаблено до условия, практически совпадающего с условием максимальности примарных идеалов алгебры Lα (R). Однако преимущество теоремы 3.5.2 (и ее следствия 3.5.3) состоит в квалифицированных оценках стремления к нулю последовательности (an x) из определения 3.5.1. Теорема 3.5.8. Если вес α : R → R+ удовлетворяет одному из следующих условий:

3.5. ОБ

α(t) =0и |t|→∞ |t|

УСЛОВИИ

ДИТКИНА

63

α(ρt) < ∞; ρ>0,t∈R α(ρ)α(t) ln α(t) = 0, б) sup α(t) < ∞ и lim t→−∞ |t|1/2 t≥0 то алгебра Lα (R) удовлетворяет условию Диткина. а) lim

sup

Доказательство. Вначале предположим выполненным условие а). Во-первых, отметим, что алгебра Lα (R) и алгебра Берлинга Lαe (Z), где α e(n) = α(n) : Z → R, (Z — группа целых чисел) локально изоморфны в следующем смысле [183]. Пусть 0 < c < 1/2 и f : R → C (C — поле комплексных чисел) — непрерывная функция с носителем из [−c, c]. Тогда fb является преобразованием Фурье функции f из Lα (R), если и только если функция P b TZ (fb)(e t) = f (t + n) (e t = πZ (t) : R → R/Z — накрытие) есть преобразование Фурье некоторой n∈Z

функции из Lαe (Z). Пусть fε (t) = ε max{0, (sign t) exp(−εt)}, ε > 0 (при доказательстве теоремы для Lα (Rn ), n > 1, следует брать произведение n такого вида сомножителей). Поскольку fbε (0) = 1 ∀ ε > 0, то ввиду теоремы Г. Е. Шилова о максимальности примарных идеалов алгебры Lα (R) и локального изоморфизма алгебр Lα (R) и Lαe (Z) достаточно установить, что limε→0 fε ∗ ϕ − fε = 0 (в алгебре Lα (R)) для любой функции ϕ ∈ Lαe (Z) с ϕ(0) b = 1. Из представления X X (fε ∗ ϕ)(t) − fε (t) = fε (t + n)ϕ(n) − fε (t) = (fε (t + n) − fε (t))ϕ(n), n∈Z

P

использующего равенство ϕ(0) b =

n∈Z

ϕ(n) = 1, следует, что теорема будет доказана, если устано-

n∈Z

вить соотношения

||fεn − fε || < ∞, lim (fεn − fε ) = 0 ∀ n ∈ Z, 0<ε→0 α(n) 0<ε61,n∈Z sup

где fεn (t) = fε (t + n) : R → C. Однако эти соотношения следуют из неравенств (для n > 0) Z 0 Z ∞ ||fεn − fε || = εe−ε(t+n) α(t)dt + ε(e−εt − e−ε(t+n) )α(t)dt 6 −n

0

Z ∞ t 1 −εn 6 Const[εe e α( )α(n)dt + ε(1 − e ) α( )α(εt)e−εt dt] 6 n ε −n 0 −εn 1 − e 1 6 Const[(1 − e−εn ) + ( )α( )εn]α(n), εn εn которые получены с неоднократным использованием условий а) теоремы. Таким же образом устанавливается аналогичное неравенство для n < 0. Пусть теперь выполнены условия б) теоремы. Ясно, что в этом случае Lα (R) — регулярная банахова алгебра и (fε ), ε > 0 — ограниченная аппроксимативная единица максимального идеала M0 = {f ∈ Lα (R) : fb(0) = 0}. Поэтому для доказательства теоремы достаточно доказать максимальность любого примарного идеала I0 в точке нуль. Из условия на вес α следует, что Z ⊥ ∞ ∗ I0 = {ϕ ∈ Lα (R) ' Lα (R) : f (t)ϕ(t)dt = 0 ∀ f ∈ I0 } −εn

Z

0

−εt

состоит из целых функций, а из [165] получим, что I0⊥ состоит из констант. Следовательно, I0 = M0 . Аналогичное утверждение имеет место для алгебры Lα (Rn ), n ≥ 2, а также, ввиду локального изоморфизма алгебр Lαe (Zn ) и для Lα (Rn ), для алгебр Lα (Zn ) и Lα (Rn × Zm ). До сих пор нерешенной остается проблема о выполнении условия Диткина в алгебре Lα (G) для произвольной локально компактной абелевой группы G в случае растущего веса α. В заключение сформулируем теорему, доказательство которой немедленно следует из определения 3.5.1 и утверждения 4) леммы 1.2.19. Теорема 3.5.9. Если f ∈ EndB (X , Y), где X и Y — банаховы B-модули, f (X ) = Y и X удовлетворяет условию Диткина, то Y также удовлетворяет условию Диткина.

64

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

3.6.

ПОЧТИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ

Основное внимание уделено здесь определениям и сводке результатов о почти периодических (п.п.) векторах (п.п. функциях), которые либо известны, либо легко доказываются с помощью стандартных приемов (см. [43, 50, 58, 59, 68, 97]). Часть результатов являются новыми (см. теорему 3.6.11). В этом параграфе рассматривается L1 (G)-модуль (X , T ), где T : G → End X — ограниченное представление, и L1 (G) невырожденно действует на X . Определение 3.6.1. Вектор x0 из X называется п.п. вектором по Бохнеру, если его орбита {T (g)x0 }, g ∈ G, предкомпактна в X . Определение 3.6.2. Вектор x0 из X называется п.п. вектором по Бору, если для любого ε > 0 существует относительно плотное множество Ω(ε) ⊂ G такое, что kT (g)x0 − x0 k < ε ∀g ∈ Ω(ε) (множество Ω ⊂ G называется относительно плотным, если существует такой компакт K ⊂ G, что (g + K) ∩ Ω 6= ∅ ∀g ∈ G). Эти определения эквивалентны для L1 (G)-модуля C(G, Y ). Пространство п.п. функций из C(G, Y ) обозначим символом AP (G, Y ). В дальнейшем без особых оговорок используется ряд известных теорем о функциях из AP (G, Y ) (см., например, [58, 59, 125, 186]). Подмодуль п.п. векторов по Бохнеру из L1 (G)-модуля (X , T ) обозначим через AP X . Лемма 3.6.3. AP X = {x ∈ Xc : функция g 7→ T (g)x : G → X } принадлежит AP (G, X ) (определение Xc дано в лемме 3.3.7). Доказательство. Пусть x0 ∈ AP X . Тогда функция ϕ0 (g) = T (g)x0 : Gd → X — непрерывная п.п. функция и поэтому по любому ε > 0 можно указать вектор xε = x1 + · · · + xn такой, что cd , 1 6 i 6 n, и kx0 − xε k < ε (см. теорему 3.6.7). Из леммы 3.3.13 следует, T (g)xi = γi (g)xi , γi ∈ G b что γi ∈ G, 1 6 i 6 n, и поэтому x ∈ Xc . Обратное включение очевидно. Следствие 3.6.4. AP L∞ (G, Y ) = AP (G, Y )(⊂ Cu (G, Y ) = L∞ (G, Y )c ) Следствие 3.6.5. AP X состоит из п.п. векторов по Бору. Почти периодичность по Бору функции из L1 (G)-модуля L∞ (G, Y ) не влечет ее непрерывности (и в этом смысле определение 3.6.1 отличается от общепринятого). Среди линейных операторов, действующих в подмодуле AP X существует и единствен оператор J : AP X → AP X , значение которого на каждом векторе x ∈ AP X называется средним значением вектора x, обладающий следующими свойствами: 1) J ограничен и kJk 6 1; 2) J ∈ EndL1 (G) X или, что эквивалентно, J(T (g)x) = T (g)J(x) = J(x) ∀g ∈ G ∀x ∈ AP (X ). 3) Jx лежит в замыкании выпуклой оболочки орбиты вектора x ∈ X . Наличие оператора J позволяет отнести каждому п.п. вектору x формальный ряд X b x∼ x b(γ), γ ∈ G, (3.6.1) b → AP X определяется по формуле называемому рядом Фурье вектора x. Функция x b:G x b(γ) = Jγ (x),

(3.6.2)

где Jγ (x) — среднее значение вектора x из L1 (G)-модуля (X , Tγ ), где Tγ (g) = T (g)(g, −γ), g ∈ G. b d , X ). Это означает, в частности, что множество Можно показать, что функция x b принадлежит C0 (G b:x cd )), σ(x) = σ(x, T ) = {γ ∈ G b(γ) 6= 0} = Λ(x, L1 (G называемое боровским спектром вектора x, счетно. b Наименьшая подгруппа G(σ) из G, содержащая множество σ = σ(x) (традиционно) называется модулем спектра п.п. вектора x. Теорема 3.6.6. Если для x ∈ AP X функция x b = 0, то x = 0. Теорема 3.6.7. Если x ∈ AP X , то для любого ε > 0 можно указать конечномерный вектор xε ∈ X такой, что kx − xε k < ε и σ(xε ) ⊂ σ(x).

3.6. ПОЧТИ

Теорема 3.6.8. Λ(x) = σ(x)

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ

65

∀x ∈ AP X .

P Ряд Фурье п.п. функции ϕ ∈ AP (G, Y ) удобно записывать в виде ϕ(t) ∼ ϕ(γ)(t, b γ), где b ϕ b : G → Y. Группа G может быть таким образом вложена в качестве всюду плотной подгруппы компактной b d , что AP (G, Y ) оказывается семейством сужений группа G, двойственной к дискретной группе (G) на G всевозможных функций из C(G, Y ). При этом отображение f → f |G : C(G, Y ) → AP (G, Y ) является изометрическим изоморфизмом. Это соотношение между почти периодичностью и G и есть причина, по которой связывают имя Бора с группой G, называя её боровской компактификацией группы G или боровским компактом (см. [68, 97, 186]). Заметим, что если m — мера Хаара на G, то для любого вектора x принадлежащему подмодулю AP X , имеет место формула Z J(x) = ϕ(g)m(dg), G

где b(γ) = R ϕ - продолжение п.п. функции ϕ(g) = T (g)x : G → X на группу G. Следовательно, x ϕ(g)(g, −γ)m(dg), т. е. x b является преобразованием Фурье векторной функции ϕ : G → X . G

При вложении группы G в группу G топология в G меняется (становясь более слабой). Эту новую группу обозначим через G0 , а ограниченные и непрерывные на предкомпактной группе G0 комплексные функции, называемые п.п. функциями Левитана (см. [57, 58]), образуют банахово пространство, обозначаемое L(G). Следующая теорема принадлежит автору (см. [2, 3]). Теорема 3.6.9. Функция f ∈ C(G) является п.п. функцией Левитана тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существуют п.п. функции f1 , f2 ∈ AP (G) такие, что f1 /f2 ∈ C(G) (следовательно, f1 /f2 ∈ L(G)) и kf − f1 /f2 k < ε. b через [∆] обозначим наименьшую подгруппу из G, b содерДля произвольного множества ∆ ⊂ G жащую ∆. b можно представить в виде ∆ = ∪∆i , i ≥ 1, где Пусть множество ∆ ⊂ G SЛемма 3.6.10. S [ ∆i ] ∩ [ ∆j ] = {0} для любых непересекающихся конечных подмножеств Ω1 и Ω2 из N. i∈Ω1 i∈Ω2 P Тогда для любого вектора x ∈ AP X сS рядом Фурье вида x ∼ x b(γ), γ ∈ σ(x) ⊂ ∆ и для любого подмножества вида ∆(Ω) = ∆i , Ω ⊂ N из ∆ существует вектор xΩ ∈ AP X , i∈Ω P имеющий ряд Фурье вида xΩ ∼ x b(γ), γ ∈ ∆(Ω), и kxΩ k 6 sup kT (g)kkxk. g∈G

Доказательство. Без ограничения общности можно считать группу G компактной. Поскольку характеристическая функция µ bΩ подгруппы [∆(Ω)] является положительно определенной функцией, то по теореме С. Бохнера [97, 186] она является преобразованием Фурье положительной R борелевской меры µΩ . Рассмотрим вектор xΩ = P T (−g)xµΩ (dg). Ясно, что xΩ ∈ AP X , kxΩ k 6 sup kT (g)k kxk и он имеет ряд Фурье вида xΩ ∼ x b(γ), γ ∈ ∆(Ω). g∈G

Теорема 3.6.11. Если x — вектор из условия леммы 3.6.10, тоPсуществует последовательность (xn ) ⊂ AP X векторов, имеющих ряд Фурье вида xn ∼ x b(γ), γ ∈ ∆n , n ≥ 1 и ряд P xj безусловно сходится к x (с константой безусловной сходимости, равной единице, если j≥1

kT (g)k = 1 ∀g ∈ G). В частности, если X = AP (G, Y ) (Y = Cn - эвклидово пространство), то имеет место неравенство X kxn k 6 Cn−1 kxk, (3.6.3) n≥1

√ где Cn = Γ(n/2)/2 2πΓ(n + 1/2) ≈ (2πn)−1/2 , если n ≥ 2, причем C1 = π −1 и эта оценка является точной.

66

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Доказательство. Существование указанной в условиях теоремы последовательности xn следует из леммы 3.6.10. Рассмотрим направленность мер µΩ , где Ω пробегает совокупность конечных подмножеств из N, направленную по включению множеств (µΩ и векторы xΩ определены в лемме 3.6.10). Из способа построения векторов xΩ следует, P что они принадлежат замкнутой выпуклой оболочке орбиты {T (g)x}, g ∈ G вектора x и xΩ = xi , i ∈ Ω. Поэтому {xΩ } - предкомпактное множество и kxΩ k 6 kxk ∀Ω. В силу теоремы 3.6.6 все предельные элементы этой направленности совпадают с вектором x. Пусть теперь X = AP (G, Y ), Y = Cn . Рассмотрим последовательность (gj ) из (компактной) группы G, для которой kxj k = kxj (gj )kY , j ≥ 1. Для произвольного конечного множества Ω ⊂ N b положив χ(γ) = γ(gj ) для γ ∈ [∆(Ω)], χ(γ) = γ(g0 ) для рассмотрим характер χ на группе G, b Поскольку группа G b дискретна, то γ ∈ [∆(N\Ω)] и каким-нибудь образом продолженный на G. P P b χ ∈ G, т. е. ∃ g ∈ G такой, что χ(g) = γ(g) ∀γ ∈ G. Ясно, что x(g) = xn (gn ) + (x − xn )(g0 ) n∈Ω

и поэтому имеют место неравенства kxk ≥ sup k g0 ∈G,Ω

X

xi (gi ) + (x −

i∈Ω

≥ sup k

X

Ω

i∈Ω

X

n∈Ω

xi )(g0 ))kY ≥

i∈Ω

xi )(gi )kY ≥ Cn

X

kxi k,

i≥1

где последнее неравенство следует из представления постоянной Cn в виде P k ηk Vk k P Cn = inf sup , V1 ,...,Vk ∈ Cn ηk = 0,1 kVk k доказанного в работе [170]. Точность оценки (3.6.3) следует из способа доказательства теоремы. Теорема 3.6.11 содержит большинство известных результатов по обобщениям теоремы Г. Бора [58] об абсолютной сходимости рядов Фурье п.п. функций с рационально независимыми показателями, принадлежащих С. Бохнеру [125], С. Хартману и К. Рылль-Нарджевскому [156]. Утверждение о константе безусловной сходимости является ответом на вопрос, поставленный автору М. И. Кадецом. 3.7.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ

СИНТЕЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ

e ) Всюду в этом параграфе, как правило, через X обозначается банахов B-модуль. Символ Λ(X e ) = Λ(X , B). e обозначает расширенный спектр модуля X , т. е. Λ(X Определение 3.7.1. Скажем, что подмодуль M из B-модуля X допускает спектральный синтез (по Шилову), если он является пересечением примарных подмодулей, его содержащих. Через M0 обозначим наименьший подмодуль из X , содержащий все векторы с компактным одноточечным и пустым спектром из подмодуля M ⊂ X . Определение 3.7.2. Подмодуль M из B-модуля X , для которого X = X0 , назовем синтезируемым (по Шварцу—Никольскому), если M = M0 . В оригинальном определении Л. Шварца [188] (см. также монографию Н. К. Никольского [76]) использовались собственные и присоединенные векторы линейных операторов (являющиеся векторами с одноточечным спектром, если банахово пространство, где действует семейство операторов, наделить структурой банахова модуля из примера 1.1.14. Определение 3.7.3. Примарной компонентой подмодуля M из B-модуля X называется всякий подмодуль вида [M ∪ Xχ ], где χ ∈ Sp B ∪ {∞} и [L] обозначает наименьший подмодуль из X , содержащий множество L из X . Ясно, что [M ∪Xχ ] есть либо X (например, χ∈ Cosp M ), либо [M ∪Xχ ] — примарный подмодуль из X . Следует отметить, что может иметь место равенство X = Xχ (см. пример 3.1.16), хотя Bχ 6= B ∀χ ∈ Sp B. Ввиду этого имеет смысл ввести следующее определение.

3.7. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

СИНТЕЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ

67

Определение 3.7.4. Скажем, что подмодуль M ⊂ X допускает анализ (по Шилову), если он содержится в некотором примарном подмодуле M1 из X . Непосредственно из определений следует Лемма 3.7.5. Если подмодуль M из X допускает спектральный синтез, то M = ∩[M ∩ Xχ ], χ ∈ Cosp M ∪ {∞}. Определение 3.7.6. Каждому B-модулю X поставим в соответствие подмодуль, определенный формулой e ). R(X ) = ∩Xχ , χ ∈ Λ(X Ясно, что, если X = B, то R(B) содержится в радикале Rad B алгебры B, причем если 1 ∈ B, то Rad B = R(B) тогда и только тогда, когда все примарные идеалы банаховой алгебры B максимальны. ∞ Пример 3.7.7. Подмодуль C0 (G) из L1 (G)-модуля L∞ 1 (G) содержится в R(L1 (G)) (см. пример 3.1.16).

Лемма 3.7.8. Для синтезируемости подмодуля M из X необходимо и достаточно, чтобы R(X /M ) = {0}. Доказательство. Установим равенство (X /M )χ = [M ∪ Xχ ]/M, χ ∈ Sp B ∪ {∞}. Без ограничения общности считая алгебру B содержащей единицу, рассмотрим произвольный вектор x из Xχ с x), где x e = x + M ∈ X /M и поэтому x e ∈ (X /M )χ . Следовательно, χ ∈ Λ (x). Тогда χ ∈ Λ(e (X /M )χ ⊃ [M ∪ Xχ ]/M . Обратно, если χ ∈ Λ(e x) для некоторого класса x e = x + M ∈ X /M , то рассмотрим элемент a ∈ B такой, что Λ(a)∩Λ(e x) = ∅ и χ∈Λ(a−1). Тогда ax ∈ M и χ∈Λ(x−ax), т. е. x−ax+M ∈ [M ∪Xχ ]/M . Тем самым доказано включение в другую сторону. Из равенства Λ(X /M ) = Cosp M (см. теорему 3.1.9) следует, что R(X /M ) = ∩(X /M )χ , χ ∈ f = ∩[M ∪ Xχ ], χ ∈ Cosp M получаем, что M f/M = Cosp M , и поэтому для подмодуля M ∩[M ∪ Xχ ]/M = ∩(X /M )χ = R(X /M ), χ ∈ Cosp M . Таким образом, условие R(X /M ) = {0} f = M . Остается использовать лемму 3.7.5. эквивалентно равенству M Лемма 3.7.9. Если B-модуль X удовлетворяет условию Диткина и множество Λ(R0 (X )) вполне несовершенно (т. е. замкнуто и не содержит непустых совершенных подмножеств), то R0 (X ) = {0} (здесь R0 (X ) = R(X )0 ). Доказательство. Предположим, что R0 (X ) содержит ненулевой вектор x. Поскольку Λ(x) ⊂ Λ(R0 (X )), то множество Λ(x) вполне несовершенно и поэтому Λ(x) содержит изолированную точку χ0 ∈ Sp B (либо Λ(x) = ∅). Тогда вектор x представим в виде x = x0 +x1 , где x0 ∈ R0 (X ) имеет компактный спектр и Λ(x0 ) = {χ0 }. Так как x0 ∈ Xχ0 , то существует такая последовательность (an ) ⊂ B, что χ0 ∈Λ(an ) ∀n ≥ 1 и lim an x0 = x0 . Поскольку Λ(an x0 ) ⊂ Λ(an ) ∩ Λ(x0 ) = ∅ и an x0 имеет компактный спектр, то an x0 = 0 ∀n ≥ 1 и, следовательно, x0 = 0. Получено противоречие. Аналогичным образом рассматривается случай, когда Λ(x) = ∅. Следствие 3.7.10. Если модуль X удовлетворяет условию Диткина и множество Λ(R(X )) вполне несовершенно, то Λ(R(X )) = ∅. Для каждого подмодуля M из B-модуля X через M∗ будет обозначаться наименьший подмодуль из B ∗ , содержащий все функционалы вида (a) = ξ(ax) : B → C, ξ ∈ M ⊥ , x ∈ X . Теорема 3.7.11. Пусть M — подмодуль из X , Cosp M ∩ Λ(R(X )) — вполне несовершенное подмножество из Sp B и R(B ∗ )0 ∩ M∗ = {0}. Тогда M допускает спектральный синтез. Доказательство. В силу леммы 3.7.8 достаточно установить равенство R(X /M ) = {0}. Так как Λ(X /M ) = Cosp M , то Λ(R(X /M )) ⊂ Cosp M ∩ Λ(R(X )), т. е. множество Λ(R(X /M )) вполне несовершенно. Пусть вектор x e = x + M ∈ R(X /M ) имеет одну точку спектра χ0 ∈ Sp B (либо имеет пустой спектр, но x e 6= 0). Тогда для некоторого ξ ∈ M ⊥ функционал η (a) = ξ(ax) : B → C ненулевой, Λ(η) = {χ0 } и поэтому η ∈ R(B ∗ )0 ∩ M∗ = {0} (аналогично рассматривается случай Λ(e x) = ∅). Следовательно, R(X /M ) = {0}.

68

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Для любого подмодуля M из B-модуля X ∗ символом ω(M ) обозначим слабое∗ замыкание подмодуля M . Теорема 3.7.12. Подмодуль M из B-модуля X синтезируем только в том случае, когда ω(M0⊥ ) = M ⊥ (M0⊥ = (M ⊥ )0 ). Доказательство. Пусть M допускает спектральный синтез. Тогда R(X /M ) = {0} ⊂ X /M и так как (X /M )∗ отождествляется с помощью гомоморфизма модулей с подмодулем M ⊥ ⊂ X ∗ , то теорема сводится к случаю, когда M = X при условии R(X ) = {0}. Если L = ω(X0⊥ ) 6= X ∗ , то из теоремы 3.1.9 следует, что ⊥ L ⊂ R(X ) = {0}. С другой стороны, ⊥ L 6= {0}, поскольку подмодуль L слабо∗ замкнут. Получено противоречие. Обратно, пусть ω(M0⊥ ) = M ⊥ и предположим, что R(X /M ) 6= {0}. Если 0 6= x e = x+M ∈ R(X /M ), то x ∈ Ker ξ ∀ξ ∈ ω(M0⊥ ). Но этого не может быть в силу теоремы Хана-Банаха о продолжении линейных функционалов. Отметим, что подмодуль M из X допускает анализ только в том случае, если подмодуль M ⊥ содержит вектор модуля X ∗ с одной точкой спектра, т. е. подмодуль M ⊥ допускает анализ в смысле Шварца—Никольского (см. [77, 78, 188]). Если X — рефлексивное банахово пространство, то теорема 3.7.12 фактически устанавливает двойственность определений 3.7.1 и 3.7.2. Определение 3.7.13. Пусть σ ∈ P (Sp B). Направленность (aα ) ⊂ B назовем σ-направленeσ и lim aα a = 0 ∀a ∈ B такого, что Λ(a) e ностью, если 1 − aα ∈ B ∩ σ = ∅. Направленность (aα ) ⊂ B∞ назовем ∞-направленностью, если lim aα a = a ∀a ∈ B с компактным спектром. Пример 3.7.14. Следующие две направленности являются 0-направленностями в алгебре L1 (R) (а также и в Lα (R))  −εt  εe , t ≥ 0 ε, 0 6 t 6 ε−1 fε (t) = gε (t) = 0, t < 0, 0, t ∈ [0, ε−1 ], где ε ∈ (0, ∞) и (0, ∞) направлено по убыванию ε. Если (0, ∞) направлено по возрастанию ε, то (fε ) является ∞-направленностью. Лемма 3.7.15. Ограниченная направленность (fα ) ⊂ L1 (G) является 0-направленностью b если fc (0 ∈ G), α (0) = 1 ∀α и Z lim |fα (t − s) − fα (s)|ds = 0 ∀t ∈ G. Любая о.а.е. из L1 (G) является ∞-направленностью. Доказательство. Функция gα (s) = fα (t + s) − fα (s) есть свертка меры µt − µ0 (µg — атомическая мера, сосредоточенная в точке g ∈ G, 0 — нулевой элемент группы G) и функции fα . В силу тауберовой теоремы Винера (см. теорему 3.1.18) семейство функций M0 = {g ∈ L1 (G) : g = f ∗ (µt − µ0 ), t ∈ G, f ∈ L1 (G)} плотно в максимальном идеале M = {g ∈ L1 (G) : gb(0) = 0}. Следовательно, утверждение леммы следует из равенства lim f ∗ (µt − µ0 ) ∗ fα = 0, α

верного для любой функции f ∈ L1 (G). Следствие 3.7.16. Направленности из примера 3.7.14 являются 0-направленностями в алгебре L1 (R). Следствие 3.7.17. Направленность (fα ) из леммы 3.7.15 является эргодической направленностью для любого L1 (G)-модуля X (где I = {f ∈ L1 (G) : fb(0) = 0}).

I-

Пример 3.7.18 (см. [157]). Рассмотрим фундаментальную систему Ω окрестностей нуля группы b G (направленную по включению множеств) имеющих компактное замыкание. Пусть H 0 = Int H ∀H ∈ Ω и χH — характеристическая функция множества H. Если h = mGb (H) (mGb — мера Хаара b то положим fH = h−2 |b на G), χH0 |2 . Направленность (fH ) является 0-направленностью в алгебре

3.7. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

СИНТЕЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ

69

L1 (G), если Ω направлено по убыванию множеств и направленность fH = h−1 |b χH0 |2 является b то ∞-направленностью, если Ω направлено по возрастанию входящих в Ω множеств. Если γ ∈ G, направленность fH,γ (t) = fH (t)(t, γ) является γ-направленностью (если (fH ) — 0-направленность). Пример 3.7.19. Любая эргодическая Bχ -направленность, χ ∈ Sp B ∪ {∞}, является χнаправленностью. Определение 3.7.20. Пусть x ∈ X . Через Λ0 (x) обозначим множество {χ0 ∈ Λ(x) ∪ {∞} : ∃χ0 -направленность (aα ) ⊂ B такая, что существует lim aα x = x0 и x − x0 ∈ Xχ }. Знак Erg(X , (aα )) введем для обозначения линейного многообразия {x ∈ X : существует lim aα x}, где (aα ) — некоторая χ-направленность из B. Непосредственно из леммы 2.2.3 получаем, что имеет место Лемма 3.7.21. Если (aα ) — χ-направленность из B (χ ∈ Sp B ∪ {∞}), x ∈ Erg(X , (aα )) и x0 = lim aα x, то Λ(x0 ) ⊂ {χ} для χ ∈ Sp B, и Λ(x0 ) = ∅, если χ = ∞. Определение 3.7.22. Пусть M и F — подмодули модуля X . Спектром Λ(M, F ) (соответственно e e Λ(M, F )) подмодуля M относительно F называется спектр Λ(M/M ∩F ) (соответственно Λ(M/M ∩ F )) фактормодуля M/M ∩ F . Если x ∈ X , то Λ(x, F ) обозначает множество Λ([x], F ) (ясно, что e Λ(M, F ) = ∅ ⇔ M ⊂ F ). Теорема 3.7.23. Пусть M и F — подмодули из B-модуля X такие, что M ∩ X0 (σ) ⊂ F , где e e (X0 (σ) = Xe(σ)0 , Xe(σ) = {x ∈ X : σ = Λ(M, F ) — вполне несовершенное подмножество из Sp B e Λ(x) ⊂ σ}. Тогда M ⊂ F , если для любого x ∈ M все характеры из множества σ, предельные e для Λ(x) принадлежат множеству Λ0 (x). e Доказательство. Рассматривая в случае необходимости B-модуль X , без ограничения общности можно считать, что B содержит единицу. Докажем, что множество Λ(x, F ) не содержит изолированных точек. Предположим противное и пусть характер χ0 ∈ Λ(X , F ) изолирован в Λ(x, F ). Рассмотрим элемент a ∈ B такой, что χ0 ∈Λ(a − 1) и Λ(a) ∩ (Λ(x, F )\{χ0 }) = ∅. Тогда Λ(x1 , F ) = {χ0 }, где x1 = ax. Если χ0 — изолированная точка множества Λ(x), то Λ(x1 ) = {χ0 } и поэтому x1 ∈ F по условию теоремы. Следовательно, χ0 ∈Λ(x, F ). Если же χ0 — предельная точка множества Λ(x), то, по предположению, найдется χ0 направленность (aα ) ⊂ B такая, что существует lim aα x = x0 . Поэтому существует lim aα x1 = ax0 . Однако из леммы 7.21 следует, что Λ(ax0 ) ⊂ {χ}. Следовательно, ax0 принадлежит F . Для каждого элемента aα рассмотрим последовательность (bαn ) ⊂ B со свойствами lim bαn ⊂ aα и χ0 ∈ Λ(bαn − 1). Тогда ax − aα ax = lim a(x − bαn x). n→∞

Поскольку χ0 ∈ Λ(a − bαn a), то найдется последовательность (bn ) ⊂ B такая, что χ0 ∈ Λ(bn ) и ax − ax0 = lim bn x ∈ F . Следовательно, ax ∈ F , т. е. χ0 ∈ Λ(x, F ). Так как множество Λ(x, F ) вполне несовершенно, то Λ(x, F ) = ∅, т. е. x ∈ F . Доказанная теорема носит достаточно общий характер и служит основой многих излагаемых в дальнейшем результатов. Приведем несколько следствий теоремы. Следствие 3.7.24. Подмодуль M из B-модуля X , удовлетворяющего условию Диткина, допускает спектральный синтез, если множество Λ(M ) ∩ Cosp M вполне несовершенно, e e Λ(R(X )) ⊂ Λ(M ) и M ⊂ Xχ ∀χ ∈ Cosp M ∪ {∞}. Доказательство. Проверим выполнение условий теоремы 3.7.23. Докажем вначале равенство f) = Λ(M ), где M f = ∩[M ∪ Xχ ], χ ∈ Cosp M (предполагая , что 1 ∈ B). Из включения M ⊂ M f Λ(M f). Если же χ0 ∈Λ(M ), то M f ⊂ ∩Xχ , χ ∈ ∆, где ∆ — любая компактная следует, что Λ(M ) ⊂ Λ(M окрестность характера χ0 , непересекающаяся с множеством Λ(M ). Пусть a ∈ B выбран так, чтобы f ⊂ R(X ) и Λ(aM f) ⊂ Λ(a) ⊂ ∆, т. е. Λ(aM f) ∩ Λ(M ) = ∅ и поэтому b a(χ0 ) 6= 0 и Λ(a) ⊂ ∆. Тогда aM f). χ0 ∈Λ(M

70

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

f, M ) = Λ(M f/M ). Из теоремы 3.1.9 следует, что верны включения Рассмотрим множество Λ(M f, M ) ⊂ Λ(M f) ∩ Cosp M = Λ(M ) ∩ Cosp M . Следовательно, выполнены условия теоремы 3.7.23 Λ(M f и M. для M Следствие 3.7.25. Пусть I — идеал алгебры B, удовлетворяющей условию Диткина и примарные идеалы которой максимальны, a ∈ B и множество Λ(a, I) вполне несовершенно. Тогда a ∈ I. Этот результат обобщает соответствующий результат Г. Е. Шилова [100], полученный для алгебр Шилова в терминах множества p(a, I) непринадлежности элемента a идеалу I (см. [100]) . Заметим, что Λ(a, I) = p(a, I), если B — алгебра Шилова. Теорема 3.7.26. Пусть вектор x принадлежит B-модулю X , алгебра B обладает ограниченными χ-направленностями в каждой предельной точке χ из Λ(x) и множество Λ(x, X0 ) вполне несовершенно. Тогда x ∈ X0 , если и только если Λ(x) = Λ0 (x). В частности, x ∈ X0 , если выполнено одно из следующих условий: 1) Erg(X , (aα )) разделяет функционалы из Erg(X ∗ , (aα )) для некоторой ограниченной χнаправленности (aα ) в каждой предельной точке χ ∈ Λ(x, X0 ); 2) X — рефлексивное банахово пространство. Доказательство. Достаточность условия сразу следует из теоремы 3.7.23. Для доказательства необходимости достаточно заметить, что если y — конечная сумма векторов с одноточечным спектром, то Λ(y) = Λ0 (y), а из определения χ-направленностей и их ограниченности получаем, что это равенство имеет место для всех векторов из X0 . Если выполнено одно из условий 1), 2) теоремы, то из теоремы 2.2.9 следует, что Λ(x) = Λ0 (x). Следствие 3.7.27 (обобщение теоремы Люмиса [167]). Пусть ϕ принадлежит L1 (G)-модулю Cu (G, Y) (см. пример 1.1.21), множество Λ(ϕ, X0 ) вполне несовершенно (где X = Cu (G, Y) и, следовательно, X0 = AP (G, Y)). Тогда для того, чтобы ϕ была п.п. функцией, необходимо и достаточно, чтобы в каждой предельной точке γ0 ∈ Λ(ϕ, X0 ) существовал lim fα ∗ ϕ для некоторой ограниченной γ0 направленности (fα ) из L1 (G). В частности, ϕ ∈ AP (G, Y), если выполнено одно из следующих условий: 1) Y слабо полно; 2) Y не содержит подпространств, изоморфных пространству c0 сходящихся к нулю числовых последовательностей. Доказательство. Пусть χ0 — изолированная точка в Λ(ϕ, X0 ) и будем без ограничения общности считать, что χ0 (g) = 1 ∀g ∈ G. Тогда χ0 ∈Λ(ϕs , X0 ), где ϕs (g) = ϕ(g + s) − ϕ(g) : G → Y. Если необходимо, рассматривая функцию f ∗ ϕ (вместо ϕ) с fb(0) = 1 и supp fb ∩ (Λ(ϕ, X0 )\{χ0 }) = ∅, можно считать, что {ϕs } ⊂ AP (G, Y). Из результата Болеса Босита [31], являющегося обобщением (на группы), известного результата М. И. Кадеца о почти периодичности интеграла от векторной п.п. функции [59], следует, что при выполнении одного из условий 1), 2) следствия будем иметь ϕ ∈ AP (G, Y). Следовательно, Λ(ϕ, X0 ) = ∅. Счетность множества Λ(ϕ) для ϕ ∈ Cu (R, Y) не влечет ее почти периодичность. Пример 3.7.28. Функция ϕ(t) = (exp iλ1 t−1, exp iλ2 t−1, ...) : R → c0 , где (λn ) ⊂ R и lim λn = 0 имеет счетный спектр Λ(ϕ) = (λn ) ∪ {0}. Однако ϕ∈AP (R, c0 ), так как множество её значений не предкомпактно в c0 . Следствие 3.7.29. Пусть X0 (σ) ⊕ C0 (G, Y) — подмодуль из L1 (G)-модуля Cu (G, Y) = X , где σ ∈ P (G). Если ϕ ∈ Cu (G, Y), Λ(ϕ, Y) вполне несовершенно, содержится в σ и Y удовлетворяет одному из условий следствия 3.7.27, то ϕ ∈ X0 (σ) ⊕ C0 (G, Y). Следствие 3.7.30. Пусть A : D(A) ⊂ X → X — преднормальный оператор, σ(A) счетно и для любой предельной точки λ ∈ σ(A) существует последовательность (αn (λ)) ⊂ ρ(A) такая, что λ = lim αn (λ) и sup |αn (λ) − λ|d(αn (λ), σ(A))−1 < ∞. Тогда линейная оболочка n→∞

n≥1

собственных векторов оператора A полна в X тогда и только тогда, когда существует lim (αn (λ) − λ)R(αn (λ), A)x ∀x ∈ X в каждой предельной точке λ из σ(A). n→∞

3.7. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

СИНТЕЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ

71

Доказательство. Банахово пространство X рассмотрим в качестве L1 (R2 )-модуля. Тогда (αn (λ) − λ)R(αn (λ), A)x = fn x для подходяще выбранной ограниченной λ-направленности (fn ) ⊂ L1 (R2 ) (см. представление (3.3.4)). Осталось применить теорему 3.7.26. Условие полной несовершенности множеств, участвующее в сформулированных выше предложениях, ослабить нельзя. Пример 3.7.31. Пусть σ — произвольное совершенное подмножество из R и µ ∈ M (R) — сингулярная мера с носителем, равным σ. Тогда функция ϕ(λ) = µ b(λ) : R → C принадлежит L1 (R)-модулю Cu (R), Λ(ϕ) = Λ0 (ϕ) = supp mu = σ. Однако, ϕ ∈AP (R). Следующая лемма фактически использовалась в разделе 3.4 и будет часто использоваться. Она дополняет утверждения 3) и 4) леммы 1.3.3. Лемма 3.7.32. Пусть в алгебре B все примарные идеалы максимальны и она обладает ограниченными χ-направленностями в каждой точке χ ∈ Sp B ∪ {∞}. Пусть X есть B-модуль и X∞ = X . Тогда 1) ax = 0, если Λ(a) ∩ Λ(x) — вполне несовершенное множество и b a(χ) = 0 ∀χ ∈ Λ(a) ∩ Λ(x); 2) ax = x, если x имеет компактный спектр, a — единица в каждой точке из Λ(x), исключая некоторое вполне несовершенное подмножество σ0 из Λ(x), и b a = 1 на σ0 . Доказательство. Докажем 1) (отметим, что 1) =⇒ 2)). Так как Λ(ax) ⊂ Λ(a) ∩ Λ(x) = σ, то e ax ∈ X (σ). Вектор ax не может иметь изолированной точки χ0 в Λ(ax), так как lim aα ax = 0 для любой ограниченной χ0 -направленности (aα ) ⊂ B. Следовательно, ax = 0. В следующих утверждениях будут получены условия почти периодичности функций из L1 (G)модуля L∞ (G, Y). b называется гармоническим, если для любого ε > 0 Определение 3.7.33. Множество ∆ ⊂ G можно указать относительно плотное множество Gε из G такое, что |γ(g) − 1| < ε

∀γ ∈ ∆

∀g ∈ Gε .

b таПримером гармонического множества может служить любая дискретная подгруппа ∆ ⊂ G b кая, что G/∆ — компактная группа. Отметим, что гармоническое множество не может иметь b (другие примеры см. в [119, 172]). предельных точек в G Теорема 3.7.34. Пусть (X , T ) — невырожденный L1 (G)-модуль. Представление T : G → End X почти периодично по Бору в равномерной операторной топологии тогда и только тогда, когда множество Λ(X , T ) является гармоническим. Доказательство немедленно следует из неравенств (3.4.1), полученных в теореме 3.4.6 и определения 3.7.33. b — гармоническое множество, то Теорема 3.7.35. Если ∆ ⊂ G ∞ 1) ϕ ∈ L (G, Y) с Λ(ϕ) ⊂ ∆ есть п.п. функция Бора; 2) ϕ ∈ C(G, Y) с Λ(ϕ) ⊂ ∆ принадлежит AP (G, Y). Для доказательства следует рассмотреть L1 (G)-модуль L∞ (G, Y) и к нему применить теорему 3.7.34. Следствие 3.7.36. Пусть M — ограниченное семейство функций из L1 (G)-модуля C(G, Y) и множество Λ(M ) является гармоническим. Тогда M ⊂ AP (G, Y) и равностепенно почти периодично в AP (G, Y). b вполне несовершенно и представимо в виде Теорема 3.7.37. Пусть множество ∆ ⊂ G ∆ = ∪∆i , i ≥ 1, где каждое из множеств ∆i , i ≥ 1 является гармоническим и удовлетворяет условию леммы 3.6.10. Тогда каждая функция ϕ из C(G) со спектром из множества ∆ является почти периодической (т. е. ϕ ∈ AP (G)).

72

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Доказательство. Для любой функции f ∈ L1 (G) функция f ∗ ϕ принадлежит AP (G) в силу теоремы Люмиса и, кроме того, σ(f ∗ ϕ) ⊂ Λ(f ∗ ϕ) ⊂ Λ(ϕ) ⊂ ∆. Поэтому из теоремы 3.6.11 следует, что для любого n ∈ N имеет место равенство f ∗ ϕ = T1 (f ) + ... + Tn (f ) + Ten+1 (f ), где T1 (f ), ..., Tn (f ), Ten+1 (f ) принадлежат AP (G), σ(Tj (f )) ⊂ ∆j , 1 6 j 6 n, σ(Ten+1 (f )) ⊂ ∆\ ∪nj=1 ∆j и kT1 (f )k + ... + kTn (f )k 6 2πkf ∗ ϕk, kTen+1 (f )k 6 kf ∗ ϕk. Тем самым определены линейные операторы Tj : L1 (G) → AP (G), j ≥ 1. По операторам Tj построим линейные функционалы ψj , j ≥ 1, положив ψj (f ) = Tj (f )(0), f ∈ L1 (G), j ≥ 1. Поскольку L∞ (G)R есть сопряженное к L1 (G) пространство, то существуют функции ϕj , j ≥ 1 такие, что ψj (f ) = ϕj (g)f (g)dg. Далее, операторы Tj коммутируют с операторами сдвигов функций в L1P (G) и поэтому они имеютPвид Tj (f ) = f ∗ ϕj , f ∈ L1 (G), j ≥ 1. Следовательно, верна оценка kϕj k 6 2πkϕk и ϕ = ϕj j≥1

j≥1

(ввиду произвольности f ∈ L1 (G)). Из теоремы 3.7.35 следует, что ϕj ∈ AP (G), j ≥ 1, т. е. ϕ ∈ AP (G). Из теоремы 3.7.37 следует основной результат статьи Ф. Грэмейна и И. Мейера [154], который сформулируем в виде следствия. Следствие 3.7.38. Если ϕ ∈ C(R) имеет спектр Λ(ϕ), содержащийся в множестве ∪(αn Z), n ≥ 1, где (αn ) ⊂ R — последовательность рационально независимых чисел, сходящаяся к ∞, то ϕ ∈ AP (R). 3.8.

СПЕКТРАЛЬНО

УСТОЙЧИВЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

В этом параграфе устанавливается, что результаты Е. А. Горина [35] и Г. М. Фельдмана [90] имеют близкое происхождение, являясь следствиями некоторого более общего утверждения. Здесь можно провести ту же параллель, что и со следствиями 3.7.25 и 3.7.27 : подход Е. А. Горина близок к методу Г. Е. Шилова [36], а в подходе Г. М. Фельдмана использовалась теорема Люмиса [167]. Определение 3.8.1. Алгебру B назовем спектрально устойчивой относительно некоторого полного семейства (Mα ) банаховых модулей (т. е. этому семейству принадлежат и все его подмодули), если любой модуль из (Mα ) допускает спектральный синтез. Алгебру B назовем спектрально устойчивой, если любой банахов B-модуль допускает спектральный синтез. В качестве таких семейств могут, например, выступать: 1) гильбертовы B-модули (т. е. гильбертовы пространства, одновременно являющиеся банаховыми B-модулями); 2) рефлексивные банаховы B-модули; 3) подмодули некоторого фиксированного модуля; 4) модули со счетным спектром. Определение 3.8.2. Регулярная алгебра A называется спектрально устойчивой по Горину, если для любой банаховой алгебры A1 и любого инъективного гомоморфизма ω : A → A1 (т. е., если ω(A) = A1 ) алгебра A1 полупроста. Из этого определения следует, что спектрально устойчивая банахова алгебра A полупроста, т. е. является алгеброй Шилова и она устойчива относительно семейства банаховых модулей, являющихся одновременно банаховыми алгебрами и связанных с A с помощью инъективных гомоморфизмов. Очевидно, что всякая конечномерная алгебра B является спектрально устойчивой и, следовательно, в случае, если она содержит нетривиальный радикал, не является спектрально устойчивой по Горину. Однако, если B — спектрально устойчивая алгебра Шилова, то она спектрально устойчива по Горину (автору неизвестен ответ на вопрос о спектральной устойчивости алгебры спектрально устойчивой по Горину; по всей видимости, ответ отрицательный). Теорема 3.8.3. Алгебра B спектрально устойчива тогда и только тогда, когда выполнено равенство R(B ∗ ) = {0}.

3.8. СПЕКТРАЛЬНО

УСТОЙЧИВЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

73

Доказательство. Условие R(B ∗ ) = {0} необходимо для синтезируемости B-модуля B ∗ . Обратно, пусть R(B ∗ ) = {0}. Имея в виду лемму 3.7.8, достаточно показать, что R(X ) = {0} для произвольного B-модуля X . Предположим, что R(X ) 6= {0}. Тогда существует вектор x ∈ R(X ) и функционал ψ ∈ X ∗ такие, что функционал fx (a) = ψ(ax) : B → C ненулевой, хотя из включений Λ(fy ) ⊂ Λ(y) ∀y ∈ X следует, что 0 6= fx ∈ R(B ∗ ) = {0}. Итак, получено противоречие. Следствие 3.8.4. Если B — спектрально устойчивая алгебра и примарные идеалы её максимальны, то B спектрально устойчива по Горину. Лемма 3.8.5. Спектрально устойчивая банахова алгебра, примарные идеалы которой имеют конечную коразмерность, обладает ограниченной χ-направленностью в каждой точке χ из Sp B ∪ {∞}. Доказательство. Из синтезируемости B-модуля B ∗ и конечномерности пространства B ∗ (χ) = Bχ⊥ следует, что подмодули Bχ∗ и B ∗ (χ) образуют прямую сумму для любого χ ∈ Sp B ∪ {∞}. Поэтому утверждение леммы вытекает из следствия 2.2.14. Определение 3.8.6. Дискретным спектром Λd (x) вектора x из B-модуля X назовем множество e {χ ∈ Λ(x) : ∃ ограниченная χ-направленность (aα ) ⊂ B такая, что lim||aα x|| > 0}. Подмодуль M из X назовем дискретным, если Λd (x) 6= ∅ ∀x 6= 0 из M . Теорема 3.8.7. Алгебра B с примарными идеалами конечной коразмерности спектрально устойчива тогда и только тогда, когда B-модуль B ∗ дискретен. Доказательство. Необходимость (доказательство проводится для алгебры B содержащей единицу). Предположим, что существует ненулевой функционал ξ ∈ B ∗ такой, что Λd (ξ) = ∅. Пусть χ ∈ Λ(ξ) и (aα ) — ограниченная χ-направленность. Тогда (1 − aα )ξ ∈ Bχ∗ и lim aα ξ = 0, т. е. ξ ∈ Bχ∗ и, ввиду произвольности выбора характера χ, получаем, что ξ ∈ R(B ∗ ). Это противоречит условию R(B ∗ ) = {0}. Достаточность. Предположим, что существует ξ 6= 0 из R(B ∗ ), т. е. ξ ∈ Bχ∗ ∀χ ∈ Sp B. Пусть (aα ) — некоторая ограниченная χ-направленность из B. Поскольку lim aα η = 0 ∀η ∈ B ∗ с χ∈Λ(η), то lim aα ξ = 0. Таким образом, Λd (ξ) = ∅ и, следовательно, R(B ∗ ) = {0}. Остается применить теорему 3.8.3. Известно, что дискретным подмодулем в L1 (G)-модуле L∞ (G) является подмодуль L(G) п.п. функций Левитана. Неясно, всякий ли дискретный подмодуль из C(G) состоит из п.п. функций Левитана. Следствие 3.8.8. Предположим, что алгебра B имеет группу G образующих таких, что ϕξ (g) = ξ(g) : G → C, ξ ∈ B ∗ есть п.п. функции Левитана (при наделении G дискретной топологией). Тогда B — спектрально устойчивая алгебра Шилова (и, следовательно, спектрально устойчива по Горину). Пример 3.8.9. Если группа G (из следствия 3.8.8) имеет конечное число образующих a1 , ..., an со счетным спектром σ(ai ), i = 1, ..., n, то из теоремы Люмиса (следствие 3.7.27) следует почти периодичность функций ϕξ (g) = ξ(g) : G → C, ξ ∈ B ∗ , и, таким образом, следствие 3.8.8 содержит результат Г. М. Фельдмана. Следствие 3.8.10. Алгебры Lα (G) и C(Ω) (Ω — компактное топологическое пространство) спектрально устойчивы тогда и только тогда, когда G — компактная группа, а Ω — вполне несовершенное пространство. Следствие 3.8.11. Алгебра B спектральных операторов [45] спектрально устойчива в точности тогда, когда Sp B — вполне несовершенное пространство. Это утверждение следует из представления B = C(Sp B)⊕Rad B, доказанного в монографии [45, гл. XVII]. Следствие 3.8.12. Если Sp B — вполне несовершенное пространство и алгебра B обладает ограниченными χ-направленностями в каждой предельной точке из Sp B, то B — спектрально устойчивая алгебра.

74

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Этот результат содержит основной результат статьи Е. А. Горина [35] и некоторые результаты Н. К. Никольского (см. [76, теорема 2 из раздела 3.3]), проводившего соответствующие исследования для операторов со счетным спектром (см. теорему 3.7.12 и утверждение 2) теоремы 3.7.26). В связи с теоремой 3 из монографии [76, раздел 3.3] возникает естественный вопрос: имеет ли место утверждение леммы 3.8.5 для алгебры B со счетным спектром и спектрально устойчивой относительно семейства гильбертовых модулей (т. е. банаховых модулей, являющихся гильбертовыми пространствами)? 3.9.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Полученные в разделах 3.7–3.8 результаты находят естественное применение в вопросах качественного исследования решений ряда функциональных уравнений с «постоянными» коэффициентами и, в частности, для нахождения условий почти периодичности решений этих уравнений. Особенно полезными оказались теоремы 3.7.23 и 3.7.26 и различные их следствия. Основной принцип, позволяющий использовать результаты из разделов 3.7–3.8, сформулирован в теореме 3.9.3. Определение 3.9.1. Пусть X — банахов модуль над (спектрально отделимой) алгеброй B. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X назовем B-линейным, если ax ∈ D(A) ∀x ∈ D(A) ∀a ∈ B и aAx = A(ax). Определение 3.9.2. Пусть F — подмодуль из B-модуля X и A : D(A) ⊂ X → X есть Bлинейный оператор. Символом r(A, F ) обозначим совокупность тех характеров χ0 из Sp B, для которых существует компактная окрестность σ ⊂ Sp B такая, что сужение A на X (σ) ∩ D(A) имеет левый обратный V ∈ End X (т. е. V Ax = x ∀x ∈ D(A) ∩ X (σ)), который удовлетворяет условию V (X (σ) ∩ F ) ⊂ F . Теорема 3.9.3. Λ(x0 , F ) ⊂ Sp B\r(A, F ) для любого решения x0 уравнения Ax = y0

(3.9.1)

с B-линейным оператором A и вектором y0 , принадлежащим подмодулю F из X . Вектор x0 принадлежит F , если 1) Sp B\r(A, F ) — вполне несовершенное множество из Sp B; 2) X0 (σ) ⊂ F для σ = Sp B\r(A, F ); e 0 ), принадлежат Λ0 (x0 ). 3) все точки из σ ∪ {∞}, предельные для Λ(x Доказательство. Для произвольного характера χ0 ∈ r(A, F ) рассмотрим такую компактную его окрестность ∆, что сужение A на X (∆) ∩ D(A) имеет левый ограниченный обратный V : X → X , причем V (X (∆) ∩ F ) ⊂ F . Выберем элемент a из B с компактным спектром таким образом, чтобы b a(χ0 ) 6= 0 и supp b a ⊂ σ. Тогда aAx = Aax = ay0 . Поэтому ax = V (ay0 ) ∈ F . Следовательно, χ0 ∈Λ(x0 , F ). Остается применить теорему 3.7.23, все условия которой выполнены. Рассмотрим в банаховом L1 (G)-модуле X = L∞ (G, Y) уравнения вида Lx = ψ ∈ F, L∞ (G, Y).

(3.9.2)

где F — некоторый подмодуль из На оператор L будем накладывать следующие два ограничения: 1) L есть L1 (G)-линейный оператор; 2) множество тригонометрических полиномов P0 c-плотно в области определения D(L) оператора L в том смысле, что для любой ϕ ∈ D(L) существует направленность (ϕα ) ⊂ P0 ∩ D(L), которая c-сходится к ϕ, а направленность (Lϕα ) c-сходится к Lϕ (направленность (gα ) ⊂ X называется c-сходящейся к g ∈ X , если она ограничена в X и сходится к g равномерно на каждом компакте из G). b определим линейный оператор H(γ) : D(H(γ)) ⊂ Y → Y с Для произвольного характера γ ∈ G областью определения D(H(γ)) = {y ∈ Y : yγ ∈ D(L)}, положив H(γ)y = L(yγ)(0), если y ∈ D(H(γ)). Полученную таким образом операторную функцию b назовем характеристической функцией оператора L. H на группе G

3.9. СПЕКТРАЛЬНЫЕ

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

75

b отнеся к нему все те характеры γ ∈ G, b для которых сущеОпределим множество ρ(H) ⊂ G, ствуют компактные окрестности V (γ0 ) и функция f ∈ L1 (G) такие, что fb(γ0 ) 6= 0, supp fb ⊂ V (γ0 ), оператор H(γ) имеет ограниченный обратный для всех γ ∈ V (γ0 ), а операторная функция, определенная формулой  fb(γ)H −1 (γ), γ ∈ V (γ0 ), b Φ(γ) = 0, γ∈V (γ0 ) является преобразованием Фурье сильно измеримой суммируемой операторозначной функции Φ : G → End Y. Суммируемость Φ означает, что существует ϕ ∈ L1 (G), для которой ||Φ(g)|| 6 ϕ(g) для почти всех g ∈ G. b Ясно, что множество s(H) = G\ρ(H), которое назовем сингулярным множеством функции H, замкнуто. Определение 3.9.4. Подмодуль F из L1 (G)-модуля L∞ (G, Y) назовем полным подмодулем, если Aϕ(g) принадлежит F для любого оператора A из End Y и любой ϕ ∈ F . Примерами полных подмодулей могут служить подмодули C(G, Y), Cu (G, Y), AP (G, Y), спекb (X = L∞ (G, Y)), C0 (G, Y), C0 (G, Y) ⊕ AP (G, Y), подмодуль тральные подмодули X (σ), σ ∈ P (G) функций с пустым дискретным спектром и т.д. b Лемма 3.9.5. Имеет место включение G\r(L, F ) ⊂ s(H) для любого полного подмодуля F ⊂ X. Доказательство. Пусть γ ∈ ρ(H). Выберем окрестность V (γ0 ) и функцию Φ : G → End Y, рассмотренные при определении множества ρ(H). Известно (см., например, следствие 1.3.14), что существуют компактная окрестность σ ⊂ V (γ0 ) характера γ0 и функция g ∈ L1 (G) такие, что fbgb = 1 в некоторой окрестности U ⊂ V (γ0 ) компакта σ и supp gb ⊂ V (γ0 ). Докажем, что оператор V x = g ∗ Φ ∗ x : X → X есть левый обратный для сужения L на X (σ) ∩ D(L). Пусть ϕ — произвольная функция из X (σ)∩D(L). По предположению, существует c-сходящаяся к ϕ направленность (ϕα ) ⊂ P0 ∩ D(L) (P0 — множество тригонометрических полиномов) такая, что направленность (Lϕα ) c-сходится к Lϕ. Поскольку Φ — суммируемая операторная функция, то направленность (V Lϕα ) c-сходится к V Lϕ. Так как (g ∗ ϕα ) ∈ P0 со спектром из множества supp gb ⊂ U , то равенство V Lϕ = ϕ следует установить лишь для функции ϕ ∈ D(L) вида ϕ = yγ, y ∈ Y, γ ∈ U . Но для таких функций оно очевидно. Ясно, что V (F ) ⊂ F . Непосредственно из доказанной леммы, теорем 3.9.3, 3.7.23 и следствия 3.7.27 получаем, что имеет место Теорема 3.9.6. Пусть F — полный подмодуль из L1 (G)-модуля X = L∞ (G, Y), множество σ = s(H) вполне несовершенно, F содержит подмодуль X0 (σ) и Λ(x) = Λ0 (x) ∀x ∈ F . Тогда каждое равномерно непрерывное решение x0 уравнения (3.9.2) принадлежит подмодулю F . В частности, утверждение теоремы имеет место для подмодуля AP (G, Y) при выполнении одного из следующих условий: 1) Y не содержит подпространств, изоморфных c0 ; 2) множество значений решения x0 слабо предкомпактно в Y; b и множество предельных 3) множество s(H) не имеет предельных точек на компактах из G точек спектра функции ψ не пересекается с S(H). Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение L1 x = x˙ − Ax = ψ ∈ L∞ (R, Y),

(3.9.3)

где A — производящий оператор сильно непрерывной полугруппы операторов T (t), t ≥ 0. Если µ — комплексное число и Re µ > γ, где γ ∈ R определяется из условия ||T (t)|| 6 M eγt , M > 0, то оператор µ − L1 обратим и (µ − L1 )−1 ϕ = G ∗ ϕ, где G(t) = T (t)e−µt для t ≥ 0 и G(t) = 0, если t < 0. Ясно, что оператор (µ − L1 )−1 непрерывен и удовлетворяет всем требованиям, предъявленным к оператору L. Следовательно, эти требования выполнены и для L1 . Характеристическая функция H1 оператора L1 имеет вид H1 (λ) = iλ−A, а сингулярное множество s(H1 ) совпадает с множеством σ(A) ∩ iR, где iR — мнимая ось комплексной плоскости C.

76

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

При условии счетности множества σ(A) ∩ iR каждое ограниченное решение (автоматически являющееся равномерно непрерывным) уравнения (3.9.3) принадлежит подмодулю F ⊂ L∞ (R, Y), если F совпадает с одним из подмодулей, рассмотренных после определения 3.9.4. В частности, оно почти периодично, если ψ ∈ AP (R, Y) и выполнено одно из условий 1)–3) теоремы 3.9.6. Рассмотрим еще одно уравнение L2 x =

n X k=0

µk ∗

dk x = ψ, dk t

(3.9.4)

где ψ ∈ L∞ (R, Y) и µj ∈ M (R), j = 0, 1, ..., n. Нетрудно видеть, что оператор L2 обладает всеми свойствами оператора L, если принять за область его определения множество C n (R, Y) n раз дифференцируемых функций из L∞ (R, Y) таких, что ϕ(i) ∈ L∞ (R, Y), 1 6 i 6 n, и всех ϕ ∈ C (n) (R, Y). Характеристическая функция H2 этого оператора имеет вид n X µ bk (λ)(iλ)k : R → C, H2 (λ) = k=0

а множество s(H2 ) совпадает с нулями этой функции. Ясно, что в уравнении (3.9.4) могли бы участвовать векторные меры µk (со значениями в End Y), определенные на Rn , n ≥ 2, и частные производные. 3.10.

НЕКОТОРЫЕ

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ

При рассмотрении задач теории аппроксимации векторов из банаховых модулей векторами из специальных подмодулей данного модуля вначале возникает задача полноты этого специального класса подмодулей. При этом важную роль играют теоремы 3.7.23 и 3.7.26. В следующих определениях вводятся основные спектральные характеристики векторов, в терминах которых удобно вести исследование сходимости спектральных разложений (рядов Фурье) векторов из банахова модуля X над спектрально отделимой алгеброй B. Определение 3.10.1. Пусть σ ∈ P (Sp B). Величину, определяемую формулой ρ(x, σ) = inf kx − yk, y ∈ X (σ), назовем наилучшим приближением вектора x ∈ X элементами спектрального подмодуля X (σ). Если X есть L1 (R)-модуль (и, в первую очередь, когда X = AP (R)), то наиболее часто используются множества следующих специальных видов: 1) σa = [−a, a], a > 0, 2) σ ε = R\(−ε, ε), ε > 0. В частном случае, когда X = C(R) величина ρ(x, σa ), x ∈ C(R), есть наилучшее приближение функции x целыми функциями экспоненциального типа 6 a, ограниченными на R (см. [1] и лемму 3.4.5). Определим еще одну, с нашей точки зрения, важную величину, не зависящую от вида Bмодуля X . Определение 3.10.2. Пусть ∆ — произвольное замкнутое подмножество из Sp B и ∆0 — компакт из ∆, изолированный в ∆. Ёмкостью множества ∆0 относительно ∆ называется величина Cap (∆0 , ∆) = inf kak, где «inf» берется по совокупности элементов алгебры B, удовлетворяющих условиям: a - единица на ∆0 и Λ(a) ∩ (∆\∆0 ) = ∅. Замечание 3.10.3. Если множества ∆0 , ∆ и элемент a взяты из определения 3.10.2, то из теоремы 3.4.11 следует, что норма проектора P (∆, ∆0 ), проектирующего X (∆) на X (∆0 ) параллельно X (∆\∆0 ), не превосходит величины Cap(∆\∆0 ), оценки которой для специального модуля имеются в следствии 3.4.12. В дальнейшем зафиксируем вектор x ∈ X и предположим, что x ∈ X (σ), где множество σ ⊂ Sp B можно представить в виде объединения ∪σk , k ≥ 1, взаимно непересекающихся компактных множеств σk , k ≥ 1, каждое из которых изолировано в σ.

3.10. НЕКОТОРЫЕ

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ

77

Определение 3.10.4. Вектору x ∈ X (σ) поставим в соответствие ряд x∼

∞ X

xn ,

xn = P (σ, σn )x,

(3.10.1)

n=1

и назовем его спектральным разложением (обобщенным рядом Фурье) по системе спектральных подмодулей X (σn ), n ∈ N. В классической постановке, например, для L1 (T)-модуля C(T) вектор xn обычно является собственным вектором модуля C(T), то есть функций вида x b(n)exp(int), x b(n) ∈ C. Однако, встречается ряд задач, когда более естественна именно постановка задачи о сходимости ряда (3.10.1), например, при рассмотрении эллиптических операторов. Определение 3.10.5. Пусть σ — компакт из Sp B. Конечный набор элементов a0 , a1 , . . . , an из B назовем δ-набором, если элементы a1 , . . . , an имеют компактный спектр, a0 — единица на δ и Λ(a1 + · · · + an − a0 ) ∩ (Sp B\δ) = ∅. Лемма 3.10.6. Пусть x ∈ X (σ), δ ⊂ Sp B — компакт и множество δ0 = δ ∩ σ изолировано в σ. Тогда для любого δ-набора a0 , a1 , . . . , an элементов из B таких, что множества δk = Λ(ak x) ∩ δ, k = 1, . . . n, изолированы в Λ(ak x), и для любых множеств ∆k ⊂ (σ\Λ(an )) ∪ δk , изолированных в (σ\Λ(ak x)) ∪ δk , имеет место неравенство kx − P (σ, δ0 )xk 6 ρ(x, σ)(1 + ka0 k) + +

n X

ρ(x, ∆k )kak kkP (Λ(ak x), Λ(ak x)\δk )k.

(3.10.2)

k=1

Доказательство. При доказательстве систематически используются замечание 3.10.3 и теорема 3.4.11. Проверим выполнение равенства x − P (σ, δ0 )x = x − a0 x +

n X

ak bk x = x − ax, δ0 = δ ∩ σ,

k=1

где a = a0 − a1 b1 − · · · − an bn , а элемент bk ∈ B, 1 6 k 6 n выбран так, чтобы bk был единицей на Λ(ak x)\δk , имел компактный спектр и Λ(bk ) ∩ δk = ∅. Из выбора элементов ai , 0 6 i 6 n, bk , 1 6 k 6 n, следует, что a — единица на δ0 , Λ(a) ∩ (σ/δ) = ∅ и поэтому P (σ, δ0 )x = ax. Далее, для произвольного набора векторов x0 , x1 , . . . , xn таких, что x0 ∈ X (δ) и xk ∈ X (∆k ), k = 1, . . . , n, следует, что имеет место равенство x − P (σ, δ0 )x = x − x0 − a0 (x − x0 ) +

n X

aj bj (x − xj )

j=1

(отметим, что верны равенства Λ(aj bj xj ) = ∅, 1 6 j 6 n, и поэтому aj bj xj = 0, 1 6 j 6 n в силу компактности спектра этих элементов). Из этого равенства немедленно следует доказываемое неравенство (3.10.2). Теорема 3.10.7. Пусть x ∈ X (σ) и ∆m = σ1 ∪ . . . ∪ σm . Тогда ряд (3.10.1) сходится к вектору x, если выполнено условие lim ρ(x, ∆m ) Cap (∆m , σ) = 0.

m→∞

(3.10.3)

Доказательство. При σ = ∆m и δ-наборе, состоящем из одного элемента a0 ∈ B, обладающего свойствами: a0 имеет компактный спектр, a0 — единица на ∆m и Λ(a0 ) ∩ (σ\∆m ) = ∅, из леммы 3.10.6 получаем неравенство kx − P (σ, ∆m )xk 6 ρ(x, ∆m )(1 + Cap (∆m , σ). Из этого неравенства, учитывая, что Cap(∆m , σ) ≥ kP (σ, ∆m )k ≥ 1, получаем утверждение теоремы.

78

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Лемма 3.10.6 и вытекающая из нее теорема 3.10.7 вместе с оценками на вводимые в определениях 3.10.1 и 3.10.2 величины (известными для многих конкретных B-модулей) могут служить основой для получения разнообразных критериев сходимости ряда (3.10.1). В заключительной части параграфа мы рассмотрим L1 (G)-модуль X = C(G, Y ) и множество b допускающее представление σ = S σk , в предположении, что S σk ⊂ ∆ для любой σ ⊂ G, k≥1

k≥m

b и некоторого m ∈ N. компактной окрестности ∆ нуля из G Теорема 3.10.8. Пусть ∆m = σ1 ∪ · · · ∪ σm , ϕ ∈ X (σ) и для любого g ∈ G lim

m→∞

|γ(g) − 1|ρ(ϕ, ∆m )Cap (∆m , Λ(ϕ)) = 0.

sup

(3.10.4)

γ∈Λ(ϕ)

Тогда из сходимости ряда

P

ϕn , ϕn = P (σ, σn )ϕ в одной точке группы G следует его

n≥1

сходимость в любой другой точке из G. Доказательство. Для произвольного элемента g ∈ G рассмотрим функцию F (u) = ϕ(u+g)−ϕ(u) : P G → C. Ясно, что Λ(F ) ⊂ Λ(ϕ) ⊂ σ и поэтому функции F можно сопоставить ряд Fn , n≥1

Fn = P (σ, σn )F. Ясно, что Fn (u) = ϕn (u + g) − ϕn (u). Пусть f1 , f2 — произвольные функции из L1 (G), для которых fb1 = 1, fb2 = 1 в соответствующих окрестностях множества ∆m , причем fb1 = 0 в некоторой окрестности множества Λ(ϕ)\∆m . Тогда m X F− Fn = F − f2 ∗ F = F − f2 ∗ F − f1 ∗ (F − f2 ∗ F ). n=1

Поскольку Λ(F − f2 ∗ F ) ⊂ Λ(ϕ)\∆m , то из следствия 3.4.3 получаем оценку √ kF − f2 ∗ F k 6 2 2 sup |γ(g) − 1| kϕ − f2 ∗ ϕk. γ∈Λ(ϕ)\∆m

Поэтому имеет место неравенство |ϕ(g + u) − ϕ(u) −

m X

ϕn (g + u) +

n=1

√ 6 2 2(1 + Cap (∆m , Λ(ϕ)))

m X

ϕn (u)| 6 kF −

n=1

sup

m X

Fn k 6

n=1

|γ(g) − 1|ρ(∆m , ϕ),

γ∈Λ(ϕ)\∆m

из которого следует утверждение теоремы. P Следствие 3.10.9. Пусть ϕ ∈ AP (R) имеет ряд Фурье вида ϕ(t) ∼ ϕ(n) b exp iλn t, lim λn = = 0, λ1 > λ2 > · · · > 0 и −1 Z λn λn+1 + λn lim λn ln sup λn ϕ(s + t)dt = 0. (3.10.5) n→∞ λn − λn+1 s∈R 0

Тогда имеет место альтернатива: либо ряд Фурье для ϕ сходится равномерно на каждом компакте из R, либо не сходится к ϕ в каждой точке из R. Отметим, что обычное условие сходимости ряда Фурье для ϕ есть условие (3.10.5) без множителя λn (см., например, [58]). 3.11.

ПРИЛОЖЕНИЕ

К СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

По сути дела здесь рассматриваются R(A)-модули (см. пример 1.1.12), где A — линейный замкнутый оператор. Конечно, все результаты предыдущих параграфов уже имели непосредственное отношение к R(A)-модулям и особенно это относится к разделу 3.3. Основная сложность, с которой приходится сталкиваться при использовании результатов из разделов 3.1–3.10, — это получение тех или иных свойств алгебры R(A) в терминах резольвенты оператора A. К таким свойствам относятся спектральная отделимость алгебры R(A), условия максимальности примарных идеалов, наличие χ-направленностей и т. д. (см. раздел 3.5). Такого типа характеристики могут служить основой для более глубокой классификации класса регулярно разложимых операторов.

3.11. ПРИЛОЖЕНИЕ

К СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

79

Определение 3.11.1. Оператор T ∈ End Y назовем обобщенным алгебраическим, если он предn P (λi Pi + Qi ), где λi ∈ C, Pi Pj = Pj Pi = δij Pi , Qj = Qj Pj = Pj Qj , i, j = ставим в виде T = i=1

1, . . . , n, и операторы Qi , i = 1, . . . , n, квазинильпотентны. Оператор T назовем алгебраическим (см. [42, с. 90]), если операторы Qi , i = 1, . . . , n, нильпотентны или, что эквивалентно, существует полином p такой, что p(T ) = 0. Алгебраический оператор T назовем оператором простейшего типа (см. [42, с. 87]), если Qi = 0, 1 6 i 6 n (т. е., если полином p имеет простые корни). Теорема 3.11.2. Пусть оператор A : D(A) ⊂ X → X имеет счетный спектр σ(A) и удовлетворяет условию P∞ (см. определение 3.2.22). Тогда 1) X∞ = D(A), более того, существует последовательность (An ) ⊂ R(A) обобщенных алгебраических операторов таких, что lim An x = x ∀x ∈ D(A); 2) операторы R(λ, A), λ ∈ ρ(A), являются пределами последовательностей обобщенных алгебраических операторов, если σ(A) не имеет предельных точек на компактах из C. Если дополнительно известно, что проекторы Рисса вида P ({λ0 }, A), λ0 ∈ σ(A), конечномерны, то R(λ, A) — компактный оператор и является пределом последовательности алгебраических операторов. Доказательство. Условие P∞ гарантирует выполнение условия R(A)∞ = R(A) (теорема 3.2.23) и поэтому для любого оператора R(λ, A), λ ∈ σ(A), существует последовательность (An ) ⊂ R(A)∞ операторов с компактным спектром такая, что R(λ, A) = lim An . Отсюда следует утверждение n→∞

1). Если σ(A) не имеет предельных точек, то Λ(An ) — конечное множество и поэтому An — обобщенный алгебраический оператор (см. результаты раздела 3.2). Теорема 3.11.3. Пусть оператор A : D(A) ⊂ X → X имеет счетный спектр, удовлетворяет условию P и для каждой предельной точки λ ∈ σ(A) существует последовательность (αn (λ)) ⊂ ρ(A) такая, что lim αn (λ) = λ и sup |αn (λ) − λ|kR(αn (λ), A)k < ∞. Тогда n≥1

1) X0 = D(A), если и только если x ∈ Erg(X , An,λ ) для любой предельной точки λ ∈ σ(A), где An,λ = (αn (λ) − λ)R(αn (λ), A) (и всегда X = D(A), если X — рефлексивное пространство); 2) оператор T ∈ R(A) является пределом обобщенных алгебраических операторов, если и только если Tb(λ) = 0 в любой предельной точке λ ∈ σ(A) = Sp R(A); 3) алгебра R(A) — спектрально устойчивая алгебра; 4) алгебра R(A) полупроста (и спектрально устойчива по Горину), если и только если все проекторы Рисса Pi = P ({λi }, A), i ≥ 1, где λi — изолированная точка из σ(A), удовлетворяют условию APi = λi Pi . Все утверждения теоремы следуют из соответствующих утверждений этой главы (утверждения 1), 2) — из теоремы 3.7.26, 3) и 4) — из теоремы 3.8.7; используется также теорема 3.2.23). Следствие 3.11.4. Пусть A — неквазианалитический ограниченный оператор, являющийся генератором Lα (R2 )-модуля (X , T ) и kT (u)k 6 Const(1+kukq ), q ≥ 0. Для того чтобы оператор A[q] был компактным, необходимо и достаточно, чтобы σ(A) = {λ1 , λ2 , . . .} ∪ {0}, lim λn = 0 и dim P ({λn }, A) < ∞ ∀ n ≥ 1. Следствие 3.11.5. Если T : G → End X — сильно непрерывное представление, удовлетворяющее условию kT (ng)k 6 Const(1 + |n|q ) ∀g ∈ G и Λ(X , Lα (G)), α(g) = kT (g)k имеет единственную предельную точку, равную нулю, то каждый оператор T (g) − 1 является пределом алгебраических операторов. Результаты разделов 3.4, 3.10 с успехом могут быть использованы (преимущественно модульного подхода) в вопросах сходимости рядов из алгебраических операторов, составленных по исследуемому оператору A. Теорема 3.11.6. Пусть A ∈ End X — предсамосопряженный оператор со счетным спектром (λ1 , λ2 , . . .) и пусть Pi = P ({λi }, A), i ≥ 1. Тогда

80

ГЛАВА 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ∞ P

1) A =

λ i Pi ,

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

если lim λn = 0, λ1 > λ2 > · · · > 0 и n→∞

i=1

lim λn ln

n→∞

2) R(λ, A) =

∞ P i=1

1 λ−λi

Pi , если

λn+1 + λn = 0; λn − λn+1

lim λn = ∞, 0 6 λ1 < λ2 > · · · и lim λ−1 n ln

n→∞

n→∞

λn+1 +λn λn+1 −λn

= 0.

Доказательство. Докажем 1). Рассмотрим представление T (t) = exp(iAt) : R → End X и L1 (R) — n P модуль (X , T ). Тогда Ax = λi Pi x + Afn x, x ∈ X , где fn = fλn+1 ,λn (функция fa,b определена j=1

при доказательстве следствия 3.4.12). Поскольку [0, λn ] ⊃ Λ(fn x),  то из теоремы 3.4.4 и следλn+1 + λn 4 ln +2 . ствия 3.4.12 получаем, что kAfn xk 6 Const|λn | kfn xk 6 Const|λn | 2 π λn − λn+1 Аналогично, но с использованием теоремы 3.4.10, доказывается утверждение 2). Определение 3.11.7. Оператор A ∈ End Y назовем оператором скалярного типа, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех z0 ∈ σ(A) и всех элементов x из любого инвариантного относительно A подпространства M ⊂ Y со спектром σ(A|M ) сужения A на M из множества {z ∈ C : |z − z0 | < δ}, имеет место неравенство k(A − z0 1)xk 6 εkxk. Нетрудно получить, что операторами скалярного типа в смысле определения 3.11.7 являются операторы скалярного типа по определению Данфорда [45]. В частности, примеры операторов скалярного типа доставляют нормальные операторы. Непосредственно из определения 3.11.7 и теоремы 3.4.7 следуют следующие утверждения (более подробно см. [11]). Теорема 3.11.8. Пусть X — банахов модуль над алгеброй B, примарные идеалы которой максимальны. Тогда каждый оператор вида Ax = ax : X → X , a ∈ B есть оператор скалярного типа. Теорема 3.11.9. Пусть α : Z → R+ — такой вес, что α(n) 6 Const(1 + |n|q ), q ≥ 0. Для того, чтобы для любого банахова пространства Y любой оператор T ∈ End Y, удовлетворяющий условию kT n k 6 α(n), n ∈ Z, был оператором скалярного типа, необходимо и достаточно, чтобы inf α(n) n = 0. n∈Z

Определение 3.11.10. Множество σ из системы подножеств P (Sp B) назовем эргодическим, если существует ограниченная σ-направленность (aα ) ⊂ B. Систему эргодических подмножеств из Sp B назовем равномерно эргодической, если соответствующие направленности равномерно ограничены. Если B = C(Ω), где Ω — компакт, то совокупность всех борелевских подмножеств из Ω равноb равномерно эргодична для алгемерно эргодична. Совокупность одноточечных подмножеств из G бры L1 (G). Система отрезков из [0,1] равномерно эргодична для алгебры BV (0, 1) из следующего примера. Пример 3.11.11. Пусть A ∈ End X и σ(A) ⊂ [0, 1]. Оператор A называется существенно ограниченным (определение Смарта [45]), если kp(A)k 6 Constkpk ∀ многочлена p, где kpk обозначает норму p в банаховой алгебре BV (0, 1) функций ограниченной вариации на [0,1] (т. е. kpk = |p(0+)| + v(p, [0, 1])), где v(p, [0, 1]) — полная вариация функции p на [0,1]. Следующие три утверждения формулируются для рефлексивного пространства X и непосредственно следуют из соответствующих определений и результатов гл. 2. Теорема 3.11.12. Пусть X — банахов B-модуль, σ — эргодическое подмножество из Sp B и (aα ) — некоторая ограниченная σ-направленность. Тогда существует lim aα x = P (σ)x ∀x ∈ X , где P (σ) — проектор на спектральный подмодуль X (σ), X = X (σ) ⊕ Xσ и kP (σ)k 6 limkaα k.

3.12. КОММЕНТАРИИ

К ГЛАВЕ

3

81

Следствие 3.11.13 (Смарт [45]). Пусть A ∈ End X — существенно ограниченный оператор. Тогда для любого t ∈ R существует проектор E(t) ∈ End X такой, что 1) E(t) принадлежит сильному замыканию алгебры R(A) в End X ; 2) sup kE(t)k < ∞; 3) E(s) = E(s)E(t) = t∈R

E(t)E(s) ∀ s 6 t; 4) lim E(t)x = E(s)x t→s

∀x ∈ X ;

5) σ(A|E(t)X ) ⊂ (−∞, t) ∩ σ(A).

Следствие 3.11.14. Если A ∈ End X есть C(Ω)-скалярный оператор, где Ω — компакт из C, то A — скалярный спектральный оператор. 3.12.

КОММЕНТАРИИ

К ГЛАВЕ

3

Свойства коспектра идеалов из алгебр Шилова (т. е. оболочек идеалов) изучались Г. Рейтером. Г. Е. Шилову [100] принадлежат первые результаты о конечной коразмерности и максимальности примарных идеалов алгебры C m (Ω) и групповых алгебр (Берлинга). Результаты об условиях одноточечности спектра элементов из Lα (G)-модулей были получены И. Домаром [136] (и еще ранее — А.Берлингом [123] для L1 (R)-модуля L∞ 1 (R)). Отметим также результат В. П. Гурария (теорема 1 из работы [41]) о структуре функций из L∞ α (R) с одноточечным спектром, тесно связанный с леммой 3.2.19. Понятие и свойства неквазианалитического оператора (с вещественным спектром) введены и исследовались в статье Ю. И. Любича и В. И. Мацаева [65]. В статье [66] была обнаружена глубокая связь теории неквазианалитических операторов и теории Lα (G)-модулей, начало которой изложено в статье И. Домара [136]. В разделе 3.3 мы отказываемся от условия сильной непрерывности неквазианалитических представлений. Вопрос об оценках нормы операторов вида kT (g) − 1k, T : G → End Lp (G), 1 6 p 6 ∞ рассматривался В. Блюмом [124] (кроме того он делал дополнительные ограничения на G). Из результатов работы [131] следует, что не все оценки из следствия 3.4.3 являются точными. Несколько ранее работы [131] точные оценки для изометрии T были получены Е. А. Гориным (устное сообщение; см. также его обзор [37]). Теорему 3.4.4 можно получить (используя лемму 3.4.5) непосредственно из неравенства Бернштейна, что и делалось многими авторами. Теоремы типа 3.4.4 получаются обычно из представления оператора T ∈ End X в виде T x = µx (X есть M (G)-модуль), где µ b : G → C — положительно определенная функция (либо таков ее сдвиг). Следовательно, kT k 6 kµk = |b µ(0)| и оценка является точной, если µ b(0) ∈ σ(T ). Впервые такая идея была высказана М. Г. Крейном (см. [1, с. 333]) и затем систематически проводилась в ряде работ (особенно отметим содержательный обзор Е. А. Горина [37]). Для большинства неравенств из раздела 3.4 такое представление неосуществимо. Это, в частности, относится к неравенствам из теоремы 3.4.10. Нахождение константы Const из теоремы 3.4.10 остается нерешенной задачей. Идея применения спектральной теории функций (из L1 R)-модуля L∞ 1 (R)) в вопросах спектрального синтеза в алгебре L1 (R) принадлежит А. Берлингу. Среди подходов к проблеме спектрального синтеза в банаховых модулях над алгебрами Шилова отметим следующую постановку (см. [184, 185]). Определение 3.12.1. Пусть X — банахов модуль над алгеброй Шилова B, имеющей о.а.е. и τ — некоторая топология в X , более слабая чем топология, индуцированная нормой из X . Множество σ ⊂ Sp B называется множеством синтеза, если существует единственный τ -замкнутый подмодуль M ⊂ X такой, что Λ(M ) = σ. Для B-модуля X ∗ (где τ — слабая∗ топология) такая постановка проблемы спектрального синтеза рассматривалась в монографии [34], а для специальных модулей таких работ достаточно много. Для линейных операторов (при условии полноты системы собственных векторов) проблема спектрального синтеза рассматривалась Л. Шварцем [188], А. С. Маркусом [70] и Н. К. Никольским [76, 78]. Полученные в данной главе результаты дают ответы на некоторые поставленные в статьях К. Данкля [140] и Д. Роббинса вопросы, связанные со структурой максимальных подмодулей и с вопросом существования преобразования Гельфанда в банаховых модулях.

82

ГЛАВА 4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В БАНАХОВЫХ МОДУЛЯХ НАД СПЕКТРАЛЬНО РЕГУЛЯРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Общность происхождения теоремы Г. Е. Шилова о синтезируемости идеалов из алгебр Шилова [100] и теоремы Люмиса [167] замечено автором [7]. Понятие гармонического множества возникло в теории алгебраических чисел (см. [172]). Там же был приведен результат (теорема 11, с. 107) о равностепенной почти периодичности ограниченного семейства функций из AP (R) со спектром и некоторого гармонического множества из R, содержащийся в следствии 3.7.36. Именно этот результат служил основой для доказательства Х. Бартом и С. Гольдбергом [119] теоремы 3.7.34 для G = R и сильно непрерывного представления T . Следует заметить, что авторы этой работы накладывали очень жесткое дополнительное условие (связанное с методом исследования) полноты системы собственных векторов для соответствующих операторных функций. Одной из старых проблем банаховых алгебр является задача описания алгебр, каждый идеал которых допускает спектральный синтез (см. [75, с. 277]). В разделе 3.8 дан полный ответ на близкую проблему описания банаховых алгебр таких, что каждый банахов модуль над ними допускает спектральный синтез. Вопросу почти периодичности решений функциональных уравнений посвящены работы С. Бохнера, Дж. фон Неймана, С. Л. Соболева (с серии его работ по условиям почти периодичности решений волнового уравнения резко возросло число исследований на эту тему), Р. Досса, Ю. И. Любича, К. Фойаша, Зайдмана, В. В. Жикова (с работ Ю. И. Любича и В. В. Жикова началось систематическое применение методов гармонического анализа в этих вопросах), Болеса Босита, О. Стеффанса и многих других математиков (обзор работ имеется в монографии [59]). Отметим окончательность и неулучшаемость полученных в разделе 3.9 результатов. Обобщения ряда классических задач теории аппроксимации для периодических функций вещественной переменной проводились в нескольких направлениях. Во-первых, задачи теории аппроксимации стали рассматриваться для функций нескольких переменных и для п.п. функций (С. Бохнер, Б. М. Левитан, Е. А. Бредихина [58]). Следующий особо важный шаг был сделан Н. П. Купцовым, в работах которого резольвентными методами был получен ряд результатов для векторов из банахова пространства, где действует полугруппа операторов, содержащих многие теоремы Е. А. Бредихиной о сходимости рядов Фурье п.п. функций. В разделе 3.10 сделан, в некотором смысле, шаг «назад» к классическим методам, основанным на технике работы с операторами типа свертки. Наличие разбиения единицы в спектрально отделимых алгебрах позволяет (с помощью развитой в разделе 3.10 теории) использовать аналогичную технику и для банаховых модулей над спектрально отделимыми алгебрами. С помощью такого подхода можно получить и результаты Н. П. Купцова. Сформулированные в разделе 3.11 результаты содержат многие известные результаты о полноте системы собственных и присоединенных векторов линейных операторов (см., например, работы Ю. И. Любича [63, 64]). Утверждение 1) теоремы 3.11.6 существенно усиливает результат статьи. Теорема 3.11.9 содержит результаты Ж. Лифа [163] о том, что спектральный оператор T с непрерывным спектром, удовлетворяющий условию lim |n|−1 kT n k = 0, есть оператор скалярного |n|→∞

типа. Излагаемые в главах 2 и 3 результаты содержат все необходимые предпосылки для получения большинства изложенных в [45, гл. XVI] критериев спектральности линейных операторов. Основные результаты главы 3 опубликованы в работах [2–6, 11, 14, 16–18].

ГЛАВА 4 ОЦЕНКИ ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 4.1.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть X, Y — бесконечномерные комплексные банаховы пространства, Hom(X, Y ) — банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в Y и (Pk ), (Qk ), k > 1 — две дизъюнктные последовательности проекторов (т. е. Pi Pj = 0, Qi Qj = 0

4.1. ВВЕДЕНИЕ

83

для i 6= j ) из банаховых P алгебрPEnd X = Hom(X, X) и End Y = Hom(Y, Y ), соответственно. Предположим, что ряды Pk x, Qk y безусловно сходятся к x и y, соответственно, для любых k>1

k>1

векторов x ∈ X, y ∈ Y. Следовательно, конечны величины X X C(P ) = sup k αk Pk k, C(Q) = sup k αk Qk k, αk ∈T

αk ∈T

k>1

(4.1.1)

k>1

где T = {γ ∈ C : kγk = 1} — единичная окружность из комплексной плоскости. Каждую из таких рассматриваемых последовательностей проекторов назовем разложением единицы. Любому оператору A ∈ Hom(X, Y ) поставим в соответствие матрицу A = (Aij ) (1 6 i, j < ∞), составленную из операторных блоков Aij = Qi APj ∈ Hom(X, Y ), и определим двустороннюю числовую последовательность (dA (k)), k ∈ Z, положив dA (k) = sup kAij k, k ∈ Z. i−j=k

Она является важной характеристикой убывания элементов матрицы A, лежащих вне главной диагонали. Именно в терминах последовательности (dA (k)) будут получены основные результаты данной главы. Множество (непрерывно) обратимых операторов из пространства Hom(X, Y ) обозначим символом Inv(X, Y ), при этом Inv X = Inv(X, X) — группа обратимых операторов из алгебры End X. Пусть A ∈ Inv(X, Y ) и B = (Bij ) — матрица обратного оператора B = A−1 ∈ Hom(Y, X) (т. е. Bij = Pi BQj , i, j > 1). В этой главе получены конкретные оценки элементов последовательности (dB (k)), используя величину kA−1 k и последовательность (dA (k)). Для рассматриваемых операторов из пространства Hom(X, Y ) всюду считается выполненным одно из условий следующего предположения. Предположение 4.1.1. Для матрицы A = (Aij ) оператора A ∈ Hom(X, Y ) выполнено одно из условий: P 1) dA (k) < ∞; k∈Z P 2) dA (k)α(k) < ∞, где α : Z → R+ = {t ∈ R : t > 0} — неубывающий субэкспоненциальный k∈Z

вес (т. е. lim

|k|→∞

ln α(k) |k|

= 0 и α(k) > 1, ∀k ∈ Z, α(m + n) 6 α(m)α(n) ∀m, n ∈ Z);

3) sup dA (k)β(k) < ∞, где β : Z → R+ — функция, для которой выполнены свойства: k∈Z P 1 a) β(k) < ∞, k∈Z

б) lim

|k|→∞

ln β(k) |k|

= 0,

в) существует постоянная C(β) > 0 такая, что X j∈Z

1 1 6 C(β) ∀k ∈ Z, β(k − j)β(j) β(k)

(4.1.2)

г) lim β0 (m) = 0 для функции β0 : N → R+ ∪ {0}, определенной равенствами m→∞

β0 (m) = sup

X

|k|>2 |j|6m−1

β(k) , m > 1; β(mk + j)

4) sup dA (k)(1 + |k|)q < ∞ для некоторого q > 1 (в этом случае выполнено условие 3) для k∈Z

β(k) = (1 + |k|)q , и постоянная C(β) будет обозначаться символом C(q)); 5) dA (k) 6 M γ |k| ∀k ∈ Z\{0}, для некоторых постоянных M = M (A) > 0 и γ = γ(A) ∈ (0, 1); 6) dA (k) = 0 при |k| > m для некоторого m = m(A) ∈ N (матрица A оператора A конечнодиагональна или m-ленточна); 7) dA (k) = 0 при |k| > 2 (матрица A трехдиагональна).

84

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Каждое из выписанных семи условий выделяет класс линейных операторов, образующий линейное подпространство из Hom(X, Y ). Пять первых подпространств обозначим соответственно символами Hom1 (X, Y ), Homα (X, Y ), Homβ (X, Y ), Homq (X, Y ), Hom0 (X, Y ). Отметим, что все подпространства содержатся в Hom1 (X, Y ), причем Homα (X, Y ) = Hom1 (X, Y ) при α ≡ 1 и Homβ (X, Y ) = Homq (X, Y ) для β(k) = (1 + |k|)q , k ∈ Z. В первых четырех подпространствах введем следующие нормы P P kAk1 = dA (k), kAkα = dA (k)α(k), k∈Z k∈Z (4.1.3) kAkβ = C(β) sup dA (k)β(k), kAkq = C(q) sup dA (k)(1 + |k|)q , k∈Z

k∈Z

где оператор A принадлежит соответствующему подпространству. Относительно этих норм все четыре подпространства полны. При X = Y будем считать Pi = Qi , ∀i > 1. В этом случае все четыре подпространства образуют банаховы алгебры (см. лемму 4.2.6), которые обозначим соответственно End1 X, Endα X, Endβ X и Endq X. Подпространство End0 X = Hom0 (X, X) образует подалгебру из End X, но она не является замкнутой. Имеет место следующий результат, который будет получен как следствие других приводимых здесь утверждений (см. замечание 4.4.4). Теорема 4.1.2. Если обратимый оператор A ∈ Hom(X, Y ) принадлежит одному из подпространств Homα (X, Y ), Homβ (X, Y ), Hom0 (X, Y ), −1 то оператор A ∈ Hom(Y, X) принадлежит соответствующему подпространству из Homα (Y, X), Homβ (Y, X), Hom0 (Y, X). В частности, если X = Y, то алгебры Endα X и Endβ X являются наполненными подалгебрами в банаховой алгебре End X. Отметим, что наполненность подалгебры B из End X в алгебре End X означает, что каждый обратимый в алгебре End X оператор A из B обратим также и в алгебре B. Таким образом, из теоремы 4.1.2 следует, что для обратных операторов, принадлежащих первым четырем выделенным подпространствам, сохраняются асимптотические оценки элементов их матриц. Полезность оценок скорости убывания элементов обратных матриц подтверждается при доказательстве ограниченности в L∞ -норме операторов проектирования на подпространство сплайнов и при рассмотрении модификаций метода матричной прогонки. Асимптотические оценки были получены М. А. Шубиным для обратных матриц операторов, действующих в банаховом пространстве последовательностей lp (Ω), где Ω — счетное метрическое пространство. Из монографии В. Г. Курбатова [56] следует наполненность подалгебры End1 lp (p ∈ [1, ∞]) в алгебре End lp . Ранее автором (см. [20] теорема 1 была получена для подалгебр Endα lp , Endq lp и End0 lp с использованием теоремы Бохнера—Филлипса, являющейся обобщением теоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье. Наполненность подалгебры Endβ lp (при несколько других ограничениях на функцию β) была доказана И. A. Блатовым. Однако, при рассмотрении различных приложений важны не только асимптотические оценки, но и конкретные оценки, использующие величину kA−1 k. Такие оценки были получены для ленточных матриц в статьях С. Демко, В. Мосса, П. Смита (для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве) и С. де Бора (для операторов в пространстве lp ). Более подробное сравнение полученных результатов с известными имеется в конце раздела 4.5. Основной метод вывода оценок состоит в использовании ограниченных представлений множества R вещественных чисел, с помощью которых удается описать каждое из выделенных в предположении 4.1.1 семи условий. В разделе 4.2 приводятся вспомогательные результаты. В разделе 4.3 получены оценки элементов матриц обратных операторов для операторов, удовлетворяющих условиям 5) и 7) предположения 4.1.1, которые затем существенно используются в разделе 4.4 при рассмотрении операторов

4.2. РЯДЫ ФУРЬЕ

ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

85

из Homα (X, Y ) и Homβ (X, Y ). В разделе 4.5 получены приложения полученных результатов к некоторым вопросам спектрального анализа линейных операторов. В частности, получены условия разложимости по Фойашу линейных операторов (теорема 4.5.1) и оценки коэффициентов Фурье собственных векторов линейных операторов. 4.2.

РЯДЫ ФУРЬЕ

ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Для рассматриваемых разложений единицы (Pi ), (Qi ) всюду считаются выполненными следующие два предположения. Предположение 4.2.1. C(P ) = C(Q) = 1. Для любого конечного множестваP∆ из множества P N натуральных чисел символами P (∆) и Q(∆) обозначим операторы P (∆) = Pi , Q(∆) = Qi . i∈∆

i∈∆

Предположение 4.2.2. Для любых конечных множеств σ1 , σ2 , ∆1 , ∆2 из N со свойствами σ1 ∩ σ2 = ∅, ∆1 ∩ ∆2 = ∅ и любого оператора A ∈ Hom(X, Y ) имеет место равенство kQ(σ1 )AP (∆1 ) + Q(σ2 )AP (∆2 )k = max{kQ(σ1 )AP (∆1 )k, kQ(σ2 )AP (∆2 )k}. Введение в банаховых пространствах X и Y новых (эквивалентных имеющимся) норм X X kxk∗ = sup k αk Pk xk, kyk∗ = sup k αk Qk xk, x ∈ X, y ∈ Y, αk ∈T

αk ∈T

k>1

(4.2.1)

k>1

приводит к тому, что относительно этих норм C(P ) = C(Q) = 1. Таким образом, без ограничения общности можно считать выполненным предположение 4.2.1. Примеры разложений единицы, для которых выполнено предположение 4.2.2, приведены в разделе 4.5 (см. также замечания 4.5.5, 4.5.7). Рассмотрим два периодических сильно непрерывных изометрических представления периода 2π P : R → End X, Q : R → End X, определенные следующими формулами X X P (t)x = Pk xeikt , Q(t)y = Qk yeikt , x ∈ X, y ∈ Y. k>1

k>1

Каждому оператору A ∈ Hom(X, Y ) поставим в соответствие сильно непрерывную функцию ΦA : R → Hom(X, Y ), задаваемую равенствами ΦA (t) = Q(t)AP (−t), t ∈ R. Рассмотрим ее ряд Фурье ΦA (t) ∼

X

Ak eikt , t ∈ R,

k∈Z

где 1 Ak = 2π

Z2π

Q(t)AP (−t)e−ikt , k ∈ Z.

(4.2.2)

0

Ряд

P

Ak назовем рядом Фурье оператора A, а операторы Ak , k ∈ Z — коэффициентами Фурье

k∈Z

этого оператора (относительно пары разложений единицы (Pi ), (Qi )). Лемма 4.2.3. Каждый коэффициент Фурье Ak (k ∈ Z) оператора A допускает представление в виде сильно сходящегося ряда вида X Ak = Qm APn (4.2.3) m−n=k, m,n≥1

и имеют место оценки kAk k 6 kAk, k ∈ Z.

86

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Доказательство. Рассмотрим сильно сходящуюся к тождественному оператору I из алгебры ˜ m = Q1 + ... + Qm , m > 1. Тогда последовательность End Y последовательность проекторов Q ˜ операторов Qm Ak , m > 1 сильно сходится к оператору Ak . Непосредственно из формулы (4.2.2) ˜ m Ak , m > 1 имеют вид следует, что операторы Q m X ˜ Qm Ak = Qj APj−k , j=1

где Pl = 0 при l 6 0. Таким образом, имеет место равенство (4.2.3). Доказываемые оценки непосредственно следуют из формулы 4.2.2. Замечание 4.2.4. Из сильной непрерывности функции ΦA следует, что ее ряд Фурье сильно суммируем к ΦA методом Чезари в любой точке из R. Поэтому рассматриваемый оператор A P является сильным пределом последовательности операторов A˜n = (1 − |k| n )Ak , n > 1. |k|6n

Замечание 4.2.5. Непосредственно из предположений 4.2.1 и 4.2.2, а также из леммы 4.2.3 следует, что для коэффициентов Фурье Ak , k ∈ Z оператора A имеют место равенства kAk k = sup kQi APj k = dA (k), k ∈ Z. i−j=k

Поскольку в настоящей работе изучаются только операторы из пространства Hom1 (X, Y ), то ряды Фурье рассматриваемых операторов являются абсолютно сходящимися. Наряду с банаховыми пространствами X и Y рассмотрим банахово пространство Z, и пусть существует разложение единицы (Gk ) из банаховой алгебры End Z такое, что каждая из пар ((Pi ), (Qi )); ((Qi ), (Gi )) удовлетворяет условиям предположений 4.2.1 и 4.2.2. PПустьikt A ∈ Hom1 (X, Y ), B ∈ Hom1 (Y, Z) и C = BA ∈ Hom(X, Z). Положим G(t) = Gk e , t ∈ R. k>1

Найдем коэффициенты Фурье оператора C относительно разложений единицы (Pk ), (Gk ). Для этого рассмотрим функцию ΦC (t) = G(t)CP (−t), t ∈ R в виде произведения ΦC = ΦB ΦA двух периодических функций ΦB и ΦA с абсолютно сходящимися рядами Фурье X X ΦB (t) = Bk eikt , ΦA (t) = Ak eikt , t ∈ R. k∈Z

k∈Z

Используя теорему об умножении рядов Фурье векторных функций, получаем, что функция ΦC : R → Hom(X, Z) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье вида X ΦC (t) = Cn eint , t ∈ R, n∈Z

где Cn =

P

Bn−j Aj . Следовательно, оператор C допускает представление вида

j∈Z

C=

X

Cn , Cn =

n∈Z

причем kCn k 6

P

X

Bn−j Aj ,

(4.2.4)

j∈Z

kBn−j k kAj k и поэтому C ∈ Hom1 (X, Z).

j∈Z

Лемма 4.2.6. Если A ∈ Homα (X, Y ), B ∈ Homα (Y, Z) (соответственно A ∈ Homβ (X, Y ), B ∈ Homβ (Y, Z)), то оператор C = BA принадлежит подпространству Homα (X, Z) (соответственно Homβ (X, Z)), причем kBAkα 6 kBkα kAkα (соответственно kBAkβ 6 kBkβ kAkβ ). В частности, Endα X и Endβ X — банаховы алгебры. Доказательство. Пусть вначале A ∈ Homα (X, Y ) и B ∈ Homα (Y, Z). Тогда из представления (4.2.4) получаем   X X X  kCkα = kCn kα(n) 6 kBn−j k · kAj k α(n) 6 n∈Z

n∈Z

j∈Z

4.2. РЯДЫ ФУРЬЕ

6

X n∈Z

87

ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

  X  kBn−j kα(n − j)kAj kα(j) = kBkα kAkα . j∈Z

Здесь использовалось неравенство α(n) = α(j + n − j) 6 α(n − j)α(j). Предположим теперь, что A ∈ Homβ (X, Y ), B ∈ Homβ (Y, Z). Тогда при любом n ∈ Z имеют место оценки X C(β)kBn−j kβ(n − j)C(β)kAj kβ(j) 6 C(β)β(n)kCn k 6 C(β)β(n) C(β)β(n − j)C(β)β(j) j∈Z

  β(n) X 1  kBkβ kAkβ 6 kBkβ kAkβ . 6 C(β) β(n − j)β(j) j∈Z

Лемма доказана. Замечание 4.2.7. Из формулы (4.2.4), используемой при доказательстве леммы 4.2.6, следует, что если A ∈ Hom0 (X, Y ), B ∈ Hom0 (Y, Z), то C = BA ∈ Hom0 (X, Z), причем при выполнении |k| |k| оценок dA (k) 6 M1 γ1 , dB (k) 6 M2 γ2 , ∀k ∈ Z, M1 , M2 > 0, γ1 , γ2 ∈ (0, 1) имеют место оценки вида dC (k) 6 M γ |k| для любого γ > max{γ1 , γ2 } и некоторой постоянной M = M (γ) > 0. Зафиксируем некоторое натуральное число m > 2 и наряду с разложениями единицы (Pi ), (Qi ) рассмотрим «укрупненные» разложения единицы вида Pk (m) = P(k−1)m+1 + ... + Pkm , k > 1, Qk (m) = Q(k−1)m+1 + ... + Qkm , k > 1,

(4.2.5)

обладающие всеми свойствами разложений единицы (Pi ) и (Qi ). Построим два новых изометрических представления X X P (m)(t) = Pk (m)eikt , Q(m)(t) = Qk (m)eikt , t ∈ R, k>1

k>1

и по этим представлениям,используя ранее сформулированный подход, для каждого оператора A ∈ Hom(X, Y ) определим ряд Фурье X A∼ Ak (m), k∈Z

где Ak (m), k ∈ Z — коэффициенты Фурье периодической функции ΦA,m (t) = Q(m)(t)AP (m)(−t), t ∈ R. Используя новые разложения единицы, вводятся соответствующие аналоги пространств Hom1 (X, Y ), Homα (X, Y ) и др., которые обозначим соответственно Hom1,m (X, Y ), Homα,m (X, Y ) и т.д. Нормы в пространствах Homα,m (X, Y ) и Homβ,m (X, Y ) задаются формулами P kAkα,m = dA,m (k)α(k), A ∈ Homα,m (X, Y ), k∈Z

kAkβ,m = C(β) sup dA,m (k)β(k),

A ∈ Homβ,m (X, Y ),

k∈Z

где dA,m (k) = kAk (m)k =

kQi (m)APj (m)k.

sup i−j=k, i,j≥1

˜ Лемма 4.2.8. Пусть конечны величины α∗ (m), β∗ (m), α0 (m), β(m), β0 (m) (величина β0 (m) определена в условии 3) предположения 4.1.1, определенные формулами α∗ (m) =

sup k∈Z 06j6m−1

α0 (m) =

sup |k|>2 |j|6m−1

α(mk + j) , α(k) α(k) , α(mk + j)

β∗ (m) = 2 sup k∈Z |j|6m

˜ β(m) = sup k∈Z

β(mk + j) , β(k)

X |j|6m−1

β(k) . β(mk + j)

88

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Тогда Homα,m (X, Y ) = Homα (X, Y ), Homβ,m (X, Y ) = Homβ (X, Y ), соответствующие нормы эквивалентны и имеют место следующие оценки 1 kAkα 6 kAkα,m 6 2kAkα , A ∈ Homα (X, Y ), 2mα∗ (m)

причем kAkα,m

1 ˜ kAkβ 6 kAkβ,m 6 β(m)kAk β , A ∈ Homβ (X, Y ), β∗ (m) 6 2α0 (m)kAkα и kAkβ,m 6 β0 (m)kAkβ , если A0 (m) = A−1 (m) = A1 (m) = 0.

Доказательство. Каждый из операторов Ak (m), k ∈ Z допускает представление в виде сильно сходящегося ряда (см. формулу (4.2.3) из леммы 4.2.3) X Ak (m) = Qi (m)APj (m), i−j=k i,j≥1

причем kAk (m)k = sup kQi (m)APj (m)k = dA,m (k). Поэтому, используя неубывание функции α, получаем оценки

i−j=k i,j≥1

kAkα,m =

X

sup kQi (m)APj (m)kα(k) 6

k∈Z i−j=k

6

X

(dA ((k − 1)m + 1) + ... + dA ((k + 1)m − 1))α(k) 6

k∈Z

6

X  dA ((k − 1)m + 1)α((k − 1)m + 1) α((k − 1)m + 1)

k∈Z

6 2 sup k∈Z |j|6m−1

+ ... +

dA ((k + 1)m − 1)α((k + 1)m − 1) α((k + 1)m − 1)

 α(k) 6

α(k) kAkα 6 2kAkα (6 2α0 (m)kAkα , если Ak (m) = 0, k = 0, ±1). α(km + j)

Оценка в другую сторону следует из неравенств   X X m−1 X  kAkα = dA (k)α(k) = dA (mk + j)α(mk + j) 6 k∈Z

6

k∈Z

X m−1 X

j=0

(dA,m (k) + dA,m (k + 1)) α(mk + j) 6

k∈Z j=0

 6

X

m−1 X

 k∈Z

j=0

 dA,m (k)α(k)α(mk + j) dA,m (k + 1)α(k + 1)α(mk + j)  + 6 α(k) α(k)

6 2mα∗ (m)kAkα,m . Имеют место следующие оценки норм операторов, определяемых с помощью функции β : kAkβ,m = C(β) sup dA,m (k)β(k) 6 C(β) sup(dA ((k − 1)m + 1) + ...+ k∈Z

k∈Z



dA ((k − 1)m + 1) β((k − 1)m + 1)+ β((k − 1)m + 1) k∈Z  dA ((k + 1)m − 1) ˜ +... + β((k + 1)m − 1) β(k) 6 β(m)kAk β β((k + 1)m − 1) (6 β0 (m)kAkβ , если Ak (m) = 0, k = 0, ±1),

+dA ((k + 1)m − 1))β(k) = C(β) sup

kAkβ = C(β) sup dA (n)β(n) = C(β) 6 C(β)

sup 06j6m−1 k∈Z

n∈Z

sup 06j6m−1 k∈Z

dA (mk + j)β(mk + j) 6

(dA,m (k) + dA,m (k + 1)) β(mk + j) =

4.3. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦ ОБРАТНЫХ ОПЕРАТОРОВ ИЗ КЛАССА

 = C(β)

sup 06j6m−1 k∈Z

dA,m (k)β(k) dA,m (k + 1)β(k + 1) + β(k) β(k + 1)

89

Hom0 (X, Y ).

 β(mk + j) 6

6 2β∗ (m)kAkβ,m . Лемма доказана. Замечание 4.2.9. В частном случае, если вес α имеет вид α(k) = (1 + |k|)µ (µ > 0), то α∗ (m) 6 (1 + |m|)µ , α0 (m) 6 3µ m−µ , m > 2, причем α∗ (m) = α0 (m) = 1 ∀m ∈ Z, если α(k) ≡ 1. Допустим, что β(k) = (1 + |k|)q , k ∈ Z, q > 1. Тогда β∗ (m) 6 2(1 + m)q , β0 (m) 6 3q m1−q . 4.3.

ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦ ОБРАТНЫХ ОПЕРАТОРОВ ИЗ КЛАССА

Hom0 (X, Y ).

В этом параграфе доказываются следующие две теоремы для операторов из Hom0 (X, Y ), удовлетворяющих одному из условий 5), 7) предположения 4.1.1. Теорема 4.3.1. Пусть A ∈ Inv(X, Y ) удовлетворяет условию 5) предположения 4.1.1. Тогда нормы элементов матрицы (Bij ) обратного оператора B = A−1 ∈ Hom(Y, X) допускают оценки вида    |k| 2(1 − γ 2 ) (1 − γ)2 −1 kBij k 6 dB (k) 6 2 − kA k 1 − , (4.3.1) 8κ(A) ˜ + 3(1 − γ 2 ) 1 − γ + 4κ(A) ˜ если k = i − j 6= 0; kBii k 6 dB (0) 6 kA−1 k, i > 1, где κ(A) ˜ = M γkA−1 k. В частности,   X 6 + 8γ + 2γ 2 16κ(A) ˜ dB (k) 6 −1+ kA−1 k, (1 − γ)2 8κ(A) ˜ + 3(1 − γ 2 ) k∈Z

причем X

 dB (k) 6

k∈Z

16κ(A) ˜ −5 + 8γ + 5γ 2 + (1 − γ)2 8 + 3(1 − γ 2 )

 kA

−1

 k6

 16κ(A) ˜ + 1 kA−1 k, (1 − γ)2

(4.3.2)

если κ(A) ˜ > 1. Теорема 4.3.2. Пусть A ∈ Inv(X, Y ) имеет трехдиагональную матрицу (Aij ) (т. е. выполнено условие 7) предположения 4.1.1).Тогда для норм элементов матрицы (Bij ) оператора B = A−1 имеют место оценки   |k|  16κ(A) ¯ +4 4κ(A) ¯ −1 kBij k 6 dB (k) 6 kA k 6 8κ(A) ¯ +3 1 + 4κ(A) ¯ (4.3.3)  |k| 4κ(A) ¯ −1 6 2kA k , 1 + 4κ(A) ¯ kBii k 6 dB (0) 6 kA−1 k, ∀i > 1, и X k∈Z

 dB (k) 6

3 − 8κ(A) ¯ 16κ(A) ¯ + 3 + 8κ(A) ¯



kA−1 k 6 16κ(A)kA−1 k,

(4.3.4)

где κ(A) ¯ = max{kA−1 k, kA1 k}kA−1 k 6 κ(A) = kAk kA−1 k (κ(A) — число обусловленности оператора A).

90

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Доказательство теоремы 4.3.1. Рассмотрим функцию ΦA : T → Hom(X, Y ), определенную на группе T = {z ∈ C : |z| = 1} формулой ΦA (θ) = Q(θ)AP (θ−1 ), θ ∈ T, где P (θ) =

P j>1

Pj θj и Q(θ) =

P

Qj θj . Функция ΦA имеет ряд Фурье вида

j>1

ΦA (θ) =

X

Aj θj ,

j∈Z

где Aj , j ∈ Z — коэффициенты Фурье оператора A. По условию теоремы (см. замечание 4.2.5) имеют место оценки dA (k) = kAk k 6 M γ |k| , k ∈ Z. Следовательно, ряд Фурье оператора A сходится абсолютно и, более того, функция ΦA допускает голоморфное расширение на кольцо Kγ = {z ∈ C : γ < |z| < γ1 }. Это расширение обозначается тем же символом ΦA . Для каждого числа θ ∈ T оператор ΦA (θ) обратим, и его обратный имеет вид P (θ)A−1 Q(θ−1 ) = ΦB (θ) ∈ Hom(Y, X), где B = A−1 . Ввиду устойчивости свойства обратимости операторов при малых возмущениях и ввиду голоморфности функции ΦA : Kγ → Hom(X, Y ), операторы ΦA (z) обратимы для всех z из некоторой окрестности окружности T. Найдем окрестность в виде кольца K(γ1 , γ2 ) = {z ∈ C : γ1 < |z| < γ2 } ⊂ Kγ и получим оценку функции ΦB на K(γ1 , γ2 ), которая позволит, используя принцип максимума модуля для голоморфных функций, получить оценки норм коэффициентов Фурье Bk , k ∈ Z ее сужения на T и, следовательно, приводит к оценкам последовательности dB (k) = kBk k, k ∈ Z. Пусть вначале число z ∈ C удовлетворяет условию |z| = 1 − t, где t > 0 и t + γ < 1. Представим его в виде z = |z|θ, θ ∈ T. Имеют место оценки X X kΦA (z) − ΦA (θ)k 6 kAk k|z k − θk | 6 M γ |k| (1 − |z|k ) = k∈Z

k6=0

 X X =M γ k (1 − (1 − t)k ) + γk( k>1

= Mγ

k>1

 1 − 1) = (1 − t)k

2t − t2 = ϕ(t). (1 − t − γ)(1 − γ + γt)

Из равенств
ΦA (z) = ΦA (θ) + (ΦA (z) − ΦA (θ)) = ΦA θ)(I − ΦA (θ)−1 (ΦA (θ) − ΦA (z))

(4.3.5)

следует, что оператор ΦA (z) ∈ Hom(X, Y ) обратим, если число t удовлетворяет условию kΦA (θ)−1 k kΦA (z) − ΦA (θ)k 6 kA−1 kϕ(t) < 1. При выполнении этого условия для всех z из кольца γ < 1 − t 6 |z| 6 1 имеет место оценка kΦB (z)k = kΦA (z)−1 k 6 =

kA−1 k ϕ(t) = 1 − kA−1 k

kA−1 k(1 − t − γ)(1 − γ + γt) , (1 − t − γ)(1 − γ + γt) − κ(A)(2t ˜ − t2 )

где κ(A) ˜ = M γkA−1 k. Следовательно, при z ∈ C вида z = θ(1 − t0 ), θ ∈ T, где t0 = (1 − γ)2 (1 − −1 , из формулы γ + 4κ(A)) ˜ X X ΦB (z) = Bk z k = Bk (1 − t0 )k θk k∈Z

k∈Z

4.3. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦ ОБРАТНЫХ ОПЕРАТОРОВ ИЗ КЛАССА

91

Hom0 (X, Y ).

получаем, что при k 6 −1 имеют место оценки sup kΦB (z)k(1 − t0 )|k| 6

dB (k) = kBk k 6

|z|=1−t0

 6

2(1 − γ 2 ) 2− 8κ(A) ˜ + 3(1 − γ 2 )



−1

kA

(1 − γ)2 k 1− 1 − γ + 4κ(A) ˜ 

(4.3.6)

|k| .

Следовательно, величиной из правой части этого неравенства оцениваются нормы операторов Bij при i − j = k 6 −1. Из оценок (4.3.6) получаем   X 8κ(A) ˜ 3 + 4γ + γ 2 dB (k) 6 −1+ kA−1 k. (4.3.7) (1 − γ)2 8κ(A) ˜ + 3(1 − γ 2 ) k6−1

Пусть теперь комплексное число z удовлетворяет условию |z| = 1 + t < γ1 , где 0 < t < Тогда, записывая число z в виде z = |z|θ = = (1 + t)θ, θ ∈ T, получим следующие оценки X X kΦ(z) − Φ(θ)k 6 kAk k|z k − θk | 6 M γ |k| (|z|k − 1) = k∈Z

=

X

k

− 1.

k6=0 k

M γ ((1 + t) − 1) +

X k>1

k>1

1 γ

1 1− (1 + t)k

 =

t2 + 2t = ψ(t). (1 − γ − γt)(1 − γ + t) Из представления (4.3.5) следует, что оператор ΦA (z) обратим, если выполнено условие kA−1 kψ(t) < 1, и тогда kΦB (z)k 6 kA−1 k(1 − kA−1 kψ(t))−1 . −1 и поэтому функция z 7→ Φ (z) Такому условию удовлетворяет число t0 = (1−γ)2 (γ −γ 2 +4κ(A)) ˜ B голоморфна в окрестности кольца 1 6 |z| 6 1 + t0 . Поскольку для чисел z ∈ C, удовлетворяющих условию |z| = 1 + t0 , имеет место разложение в ряд вида X X ΦB (z) = Bk z k = Bk (1 + t0 )k θk , = Mγ

k∈Z

k∈Z

то при k > 1 имеют место оценки kA−1 k 1 6 −1 1 − kA kψ(t0 ) (1 + t0 )k    |k| 2(1 − γ 2 ) (1 − γ)2 −1 6 2− kA k 1 − . 8κ(A) ˜ + 3(1 − γ 2 ) 1 − γ + 4κ(A) ˜ dB (k) = kBk k 6

(4.3.8)

Поэтому X

 dB (k) 6

k>1

8κ(A) ˜ 3 + 4γ + γ 2 − 1 + (1 − γ)2 8κ(A) ˜ + 3(1 − γ 2 )



kA−1 k.

(4.3.9)

Имея в виду, что kBii k 6 kB0 k 6 sup kΦB (θ)k = kA−1 k, i > 1 (см. лемму 4.2.3), из (4.3.7) θ∈T

и (4.3.9) получаем оценку (4.3.2). Доказательство теоремы 4.3.2. Пусть оператор A ∈ Inv(X, Y ) удовлетворяет условию 7) предположения 4.1.1. Тогда для него выполнено условие 5) для любого γ ∈ (0, 1) и числа M, равного одному из чисел γ −1 kAk, γ −1 max{kA−1 k, kA1 k}. Оценки (4.3.3), (4.3.4) теоремы непосредственно следуют из оценок (4.3.1), (4.3.2) теоремы 4.3.1 при γ → 0. Следствие 4.3.3. Пусть оператор A ∈ Inv(X, Y ) удовлетворяет условию 6) предположения 4.1.1. Тогда для норм элементов матрицы обратного оператора B = A−1 имеют место оценки    |k| m 2κ(A) + 1 4κ(A) kBij k 6 dB (k) 6 2 + , 2 8κ (A) + 3κ(A) 4κ(A) + 1

92

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

если k = i − j 6= 0, и kBii k 6 dB (0) 6 kA−1 k, i > 1. Доказательство. Для числа m, участвующего в условии 6), рассмотрим разложение единицы, определенные формулами (4.2.5). Относительно этих разложений единицы оператор A имеет трехдиагональную матрицу. Поэтому непосредственно из теоремы 4.3.2 получаем, что dkm+p (A) 6 max{dk,m (A), dk+1,m (A)} 6    |k| 16κ(A) + 4 4κ(A) −1 6 kA k , 8κ(A) + 3 4κ(A) + 1 где k ∈ Z\{0}, 0 6 p 6 m − 1. Отсюда следуют доказываемые оценки. 4.4.

ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ИЗ ПРОСТРАНСТВА

Hom1 (X, Y )

Каждому оператору A ∈ Hom1 (X, Y ) (т. е. для A выполнено условие 1) предположения 4.1.1) сопоставим две функции ϕA : N → R+ ∪ {0}, ψA : R+ → R+ , определенные формулами X ϕA (k) = 2 dA (j), ψA (t) = min{k ∈ N : ϕA (k) 6 t}. |j|>k+1

Теорема 4.4.1. Пусть A — обратимый оператор из Hom1 (X, Y ). Тогда оператор B = A−1 принадлежит пространству Hom1 (Y, X) и имеет место оценка   X 1 kA−1 k1 = dB (k) 6 64κ(A)ψA kA−1 k, (4 + 32κ(A))kA−1 k k∈Z

где κ(A) =

kAk kA−1 k.

Доказательство. Для любого натурального числа m > 2 рассмотрим два разложения единицы (Pk (m)), (Qk (m)), определенные формулами (4.2.5). Далее используем обозначения и соглашения из раздела 4.2, приведенное после этих формул. P Из леммы 4.2.8 следует, что Hom1,m (X, Y ) = Hom1 (X, Y ). Пусть A = Ak (m) — ряд Фурье k∈Z

оператора A (относительно новых разложений единицы). Представим оператор A в виде A = C + D,

(4.4.1)

где C = A−1 (m)+A0 (m)+A1 (m) и D = A−C. Таким образом, оператор C имеет трехдиагональную матрицу (как оператор из пространства Hom1,m (X, Y )), а для оператора D из леммы 4.2.8 получаем следующие оценки X X kDk 6 kDk1,m = dD,m (k) 6 2 dA (k) = ϕA (m). k∈Z

|k|>m+1

Пусть число m выбрано так, чтобы kA−1 kϕA (m) 6 1/2.

(4.4.2)

Тогда оператор C обратим и kC −1 k 6

kA−1 k kA−1 k 6 6 2kA−1 k. 1 − kA−1 k kDk 1 − kA−1 kϕA (m)

Из теоремы 4.3.2 вытекают следующие оценки для норм матричных элементов оператора L = C −1  |k|  |k| 2kA−1 k 4κ(C) 4κ(C) −1 dL,m (k) = kLk (m)k 6 2kC k 6 , |k| = 6 0, 1 + 4κ(C) 1 − kA−1 kϕA (m) 1 + 4κ(C) (4.4.3) kL0 (m)k 6 kA−1 k(1 − kA−1 kϕA (m))−1 , X kC −1 k1,m = kLk1,m = kLk (m)k 6 k∈Z

16kA−1 k2 kAk −1 6 16κ(C)kC ˜ k6 , (1 − kA−1 kϕA (m))2

(4.4.4)

4.4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ИЗ ПРОСТРАНСТВА

Hom1 (X, Y )

93

kAk kA−1 k > 1. При этом учитывается (используя теорему 4.3.2), что kCk (m)k = 1 − kA−1 kϕA (m) kAk (m)k 6 kAk, k = 0, −1, 1. Из представления (4.4.1), используя (4.4.2), следует, что оператор B = A−1 допускает представление вида где κ(C) ˜ =

B = (I + C −1 D)−1 C −1 ,

(4.4.5)

из которого с использованием леммы 4.2.6 получаем оценку kBk1,m = kA−1 k1,m 6

kC −1 k1,m . 1 − kDk1,m kC −1 k1,m

(4.4.6)

Учитывая эквивалентность норм k · k1 , k · k1,m в пространстве Hom1 (X, Y ), из леммы 4.2.8 и оценок (4.4.4), (4.4.6) приходим к неравенствам 32mkA−1 k2 kAk =  −1 k2 kAkϕ (m) A (1 − kA−1 kϕA (m))2 1 − 16kA −1 2 (1−kA kϕA (m))

kA−1 k1 6 2mkA−1 k1,m 6

=

32mκ(A)kA−1 k . (1 − kA−1 kϕA (m))2 − 16κ(A)kA−1 kϕA (m)

Выберем число m таким, чтобы (1 − kA−1 kϕA (m))2 − 16κ(A)kA−1 kϕA (m) > 1/2. Это условие выполнено, если ϕA (m) 6 (4 + 32κ(A))−1 kA−1 k−1 , и, следовательно, для таких m имеет место оценка (4.4.2).   1 При m = ψA (4+32κ(A))kA получаем, что −1 k kA

−1

k1 6 64mκ(A)kA

−1

 k 6 64κ(A)ψA

1 (4 + 32κ(A))kA−1 k



kA−1 k.

Теорема доказана. Пусть оператор A принадлежит пространству Homq (X, Y ) (т. е. выполнено условие 4) предположения 4.1.1). В этом частном случае функция ϕA допускает оценку ϕA (k) = 2

X

dA (j) 6 2

|j|>k+1

X |j|>k+1

kAkq 4kAkq 6 . q (1 + |j|) C(q) (q − 1)k q−1 C(q)

Поэтому  ψA (t) 6

4kAkq C(q)(q − 1)

1/q−1

t1/(1−q) + 1.

Из теоремы 4.4.1 и только что приведенных оценок участвующих в ней величин следует Теорема 4.4.2. Пусть A — обратимый оператор из пространства Homq (X, Y ). Тогда оператор B = A−1 принадлежит пространству Hom1 (X, Y ) и имеют место оценки X kA−1 k1 = dB (k) 6 k∈Z

6 2ν(A)kA

−1

 k

4kAkq (4 + 2ν(A)kA−1 k) C(q)(q − 1)

!

1/(q−1) +1

6

6 CkA−1 k2 (1 + kA−1 k2/(q−1) ), где ν(A) = 32κ(A) и постоянная C > 0 зависит только от q, kAk и kAkq .

94

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Теперь получим оценки норм элементов матриц обратных операторов для операторов из пространства Homv (X, Y ), где символ v используется для обозначения одного из символов α, β, q. При этом мы снова вернемся к доказательству теоремы 4.4.1, используя введенные там обозначения. Рассмотрим двустороннюю последовательность l = (lk ), определенную равенствами  |k| 8ν(A) −1 lk = 4kA k , k 6= 0, l0 = 2kA−1 k, ν(A) = 32kAk kA−1 k. 8ν(A) + 1 Таким образом, оценки (4.4.3) элементов обратного оператора L = C −1 (с учетом условия (4.4.2)) можно записать в виде kLk (m)k 6 lk , k ∈ Z (Lk (m) — коэффициент Фурье оператора L). Пусть X l(α) = lk α(k), l(β) = C(β) sup lk β(k), k∈Z

k∈Z

l(q) = C(q) sup lk (1 + |k|)q , q > 1. k∈Z

kC −1 kv,m

Ясно, что 6 l(v) при v = α, β, q. Субэкспоненциальность веса α и выполнение условия 3) гарантирует конечность величин l(v), v = α, β, q, и, значит, C −1 ∈ Homv,m (Y, X) = Homv (Y, X) при v = α, β, q. Из леммы 4.2.8 (учитывая, что D−1 (m) = D0 (m) = D1 (m) = 0) и замечания 4.2.9 следуют оценки kDkv,m 6 γv (m)kDkv 6 γv (m)kAkv , v = α, β, q, где γα (m) = 2α0 (m), γβ (m) = β0 (m) и γq (m) = 3q m−q+1 . Из представления (4.4.5) и леммы 4.2.6 получаем, что kA−1 kv,m 6

kC −1 kv,m l(v) 6 6 2l(v) −1 1 − kDkv,m kC kv,m 1 − γv (m)kAkv l(v)

(4.4.7)

для всех m ∈ N, удовлетворяющих условию (см. также [19]) max{γv (m)kAkv l(v), ϕA (m)kA−1 k} 6 1/2. Пусть функция ΦA,v : R+ → R+ определена формулой ΦA,v (t) = min{k ∈ N : max{γv (k)kAkv l(v), ϕA (k)kA−1 k} 6 t}. Корректность ее определения следует из свойств lim γv (k) = lim ϕA (k) = 0.

k→∞

k→∞

Теперь из оценок (4.4.7), леммы 4.2.8 и замечания 4.2.9 следует Теорема 4.4.3. Пусть A ∈ Hom(X, Y ) — обратимый оператор, принадлежащий подпространству Homv (X, Y ), v = α, β, q, причем выполнено условие lim α0 (m) = 0 для v = α. Тогда A−1 ∈ Homv (X, Y ) и имеют место оценки

m→∞

kA−1 kα 6 inf 4ΦA,α (t)α∗ (ΦA,α (t))l(α), v = α, t61/2

kA−1 kβ 6 inf β∗ (ΦA,β (t))l(β) 6 2β∗ (ΦA,β (1/2))l(β), v = β, t61/2

kA−1 kq 6 4l(q)(2 + 3q/(1−q) (2kAkq l(q))1/(q−1) ), v = q. Замечание 4.4.4. Непосредственно из теорем 4.3.2, 4.4.1 и 4.4.3 следуют все утверждения теоремы 4.1.2, исключая утверждение об операторах из пространства Homα (X, Y ). Это связано с тем, что в теореме 4.4.3 выдвигалось дополнительное условие на вес α. Приводимые ниже рассуждения позволяют снять это ограничение и, тем самым, полностью доказать теорему 4.1.2.

4.5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

95

Используем оператор C из представления (4.4.1), который имеет (согласно теореме 4.3.2) обратный оператор C −1 , принадлежащий пространству Hom0 (Y, X) и, следовательно, пространству Homα (Y, X) (ибо α — субэкспоненциальный вес). Из леммы 4.2.6 следует, что оператор C −1 A принадлежит банаховой алгебре Endα X и обратим в алгебре End X. В силу теоремы 1 из [10] получаем, что оператор A−1 C = (C −1 A)−1 также принадлежит банаховой алгебре Endα X. Еще раз используя лемму 4.2.6, приходим к выводу, что оператор A−1 = (A−1 C)C −1 принадлежит пространству Homα (X, Y ). Замечание 4.4.5. Все вышеизложенные понятия и результаты естественным образом формулируются в случае, если (Pi ), (Qi ) — двусторонние последовательности проекторов. 4.5.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Полученные в теоремах 4.4.1–4.4.3 оценки используются в этом разделе для получения критерия разложимости (по Фойашу) линейных операторов и оценок коэффициентов Фурье собственных векторов линейных операторов. Пусть lp (E), 1 6 p < ∞ — банахово пространство суммируемых со степенью p последовательноP стей векторов из комплексного банахова пространства E (kxkp = ( kxk kp )1/p , x = (xk ) ∈ lp (E)). k>1

Пусть Pk x = (0, ..., 0, xk , 0...), k > 1, x = (xj ) ∈ lp (E) — разложение единицы в lp (E). Ясно, что для такого разложения единицы выполнены все условия предположений 4.2.1 и 4.2.2. В этом случае матричные элементы Aij , i, j > 1 любого оператора A ∈ End lp (E) удобно рассматривать как операторы из банаховой алгебры End E (Aij x, x ∈ E — i-ый элемент последовательности Ax, где x = (xk ) ∈ lp (E), xj = z и xk = 0 при k 6= j). Если E = C, то пространство lp (E) обозначим символом lp . Важно отметить, что если A ∈ End1 lp (E) при некотором p ∈ [1, ∞], то его норма во всех пространствах lp (E), p ∈ [1, ∞] не превосходит величины kAk1 . Как уже отмечалось (см. раздел 3.3) спектральные свойства неквазианалитических операторов с вещественным спектром подробно изучались в статье Ю.И.Любича и В. И. Мацаева [66], а неквазианалитические операторы из определения 3.3.5 исследовались в работах [16, 20, 21]. Основные свойства неквазианалитических операторов получены с использованием достаточно богатого функционального исчисления, которое строится с привлечением групп операторов Tk (t) = exp(iAk t), t ∈ R. Отметим, что неквазианалитические операторы разложимы (по Фойашу) и, следовательно, обладают всеми свойствами разложимых операторов [43–45, 130]. Теорема 4.5.1. Пусть E — гильбертово пространство, оператор A ∈ End l2 (E) является нормальным оператором в гильбертовом пространстве l2 (E) и выполнено условие X dA (k) ln ln(3 + |k|) < ∞. (4.5.1) k∈Z

Тогда оператор A является неквазианалитическим (и, следовательно, разложимым) в любом из пространств lp (E), p ∈ [1, ∞). Доказательство. Оператор A является нормальным в l2 (E) и поэтому он представим в виде A = A1 + iA2 , где A1 , A2 — перестановочные самосопряженные операторы в l2 (E), причем для них также выполнено условие (4.5.1). Поэтому без ограничения общности с самого начала можно считать, что A — самосопряженный оператор в l2 (E). Для проверки неквазианалитичности оператора A в пространстве lp (E) достаточно проверить выполнение условия (см. [66]) Z ln+ ln+ sup{kR(λ, A)k : Im λ = t} dt < ∞, (4.5.2) 0

λI)−1

где R(λ, A) = (A − — резольвента оператора A. Обратимся к теореме 4.4.1 и используемым в разделе 4.4 обозначениям. Непосредственно из определения функций ϕA , ψA и из условия t ∈ [ϕA (n + 1), ϕA (n)], n ∈ N следует, что n 6 ψA (t) 6 n + 1. Проверяемое условие (4.5.2) получается

96

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

из оценок Z

ln+ ln+ sup{kR(λ, A)k : Im λ = t}dt 6

0

6 Const +

ϕZ A (n)

X

ln+ ln+ ψA (t)dt 6

n>1 ϕA (n+1)

6 Const +

X

(ln ln(|n| + 3))(ϕA (n) − ϕA (n + 1)) 6

n>1

6 Const + 2

X

(ln ln(|n| + 3))dA (n) < ∞.

n∈Z

При этом использовалась оценка kR(λ, A)k 6

1 | Im λ| .

Замечание 4.5.2. Непосредственно из доказательства теоремы 4.5.1 следует, что при условии неквазианалитичности оператора A = A1 +iA2 ∈ End lp (E) (E — банахово пространство) при некотором p0 ∈ [1, ∞) и при выполнении условия(4.5.1) для операторов A1 и A2 следует неквазианалитичность во всех остальных пространствах lp (E). Отметим, что каждый оператор из End1 lp (E) допускает расширение на банахово пространство l∞ (E) и поэтому утверждение теоремы 4.5.1 верно и при p = ∞. Теорема 4.5.3. Пусть U ∈ Endq l2 (E) — унитарный оператор в гильбертовом пространстве l2 (E) (E — гильбертово пространство и q > 1). Тогда в любом из пространств lp , p ∈ [1, ∞] нормы его степеней допускают оценки вида kU n k 6 Const(1 + |n|)2+2/(q−1) , n ∈ Z.

(4.5.3)

Доказательство. Операторы U n , n > 1, представим в виде Z 1 n U = λn R(λ, U )dλ, 2πi S

1 где S = Sr = {z ∈ C : |z| = r > 1}. Учитывая, что kR(λ, U )k 6 , λ ∈ S, из теоремы 4.4.2 r−1 получаем rn+1 kU n kEnd lp (E) 6 kU n k1 6 C1 inf 6 C2 n2+2/(q−1) , n > 1. r>1 (r − 1)2/(q−1)+2 Поскольку оператор U −1 в силу теоремы 4.4.3 принадежит Endq l2 (E), то такие же оценки имеют место для отрицательных целых степеней оператора U. Отметим, что если U ∈ Endq l2 (E) является сжатием в l2 (E), то оценки (4.5.3) имеют место только для положительных n. Непосредственно из теоремы 4.5.3 следует, что удовлетворяющий ее условиям оператор h i U явля2 m ется C -унитарным оператором (в терминологии из [26] и [45, гл. XV]) при m > 3+ q−1 в любом из банаховых пространств lp , p ∈ [1, ∞]. Функциональное исчисление в этом случае задается с помощью формулы X f (U ) = an U n , n∈Z

где f (θ) =

P

an

θn ,

f∈

C m (T).

n∈Z

Фактическим следствием теоремы 4.5.3 является Теорема 4.5.4. Пусть A — самосопряженный оператор из алгебры Endq l2 (E) (E — гильбертово пространство и q > 1). Тогда в любом из пространств lp (E), p ∈ [1, ∞], имеют место оценки keitA k 6 Const(1 + |t|)2+2/(q−1) , t ∈ R.

4.5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

97

Поскольку гильбертово пространство L2 (R) суммируемых с квадратом на R комплекснозначных функций может быть реализовано как гильбертово пространство l2 (E), где E = L2 (0, 1), то полученные в теоремах 4.5.1, 4.5.3, 4.5.4 результаты могут быть перенесены на интегральные операторы, действующие в пространстве L2 (R) (в пространствах Lp (R), p ∈ [1, ∞)). Отметим, что в статье С. Демко [135] для самосопряженного положительно определенного оператора A ∈ End l2 , удовлетворяющего условию 6) предположения 4.1.1, была получена оценка √ 1/4 5/4 kA−1 k∞ 6 33 2m + 1kAk2 kA−1 k2 , где kAkp – норма оператора A в пространстве lp , p ∈ [1, ∞]. Из оценки (4.3.4) (см. теорему 4.3.2 следует, что kA−1 kp 6 16kAks kA−1 k2s при всех p, s ∈ [1, ∞] и для оператора A, имеющего трехдиагональную матрицу. В статье де Бора [127] для оператора A ∈ End lp , p ∈ [1, ∞], удовлетворяющего условию 6) предположения 4.1.1, были получены оценки   |k| κ(A)p − 1 2m dA−1 (k) 6 Const , k ∈ Z, κ(A)p + 1 где κ(A) = kAkp kA−1 kp . Аналог таких оценок получен нами в следствии теоремы 4.3.2, где приводимые оценки не зависят от p ∈ [1, ∞), если считать, что A ∈ End lp . Полученные оценки из разделов 4.3, 4.4 могут быть использованы также для изучения банаховой алгебры A1 (T) непрерывных комплекснозначных функций, определенных на окружности T и имеющих абсолютно сходящийся ряд Фурье. Для этого каждой функции f ∈ A1 (T) сопоставим линейный оператор Tf ∈ End L2 (T) вида Tf x = f x, x ∈ L2 (T). Относительно стандартного базиса из экспонент (см. замечание 4.4.5) оператор Tf принадлежит алгебре End1 L2 (T), что позволяет использовать полученные результаты. В частности, из теоремы 4.5.1 следует, что оператор Tf неквазианалитичен, если выполнено условие X |fˆ(n)| ln ln(3 + |n|) < ∞, n∈Z

где fˆ(n), n ∈ Z — коэффициенты Фурье функции f. Такой результат содержит теорему Е. М. Дынькина [48]. В частности, из теоремы 4.4.3 следует, что если выполнено условие |fˆ(n)| 6 C(1 + |n|)−q , n ∈ Z при некотором q > 1 и f (θ) 6= 0, ∀θ ∈ T, то функция g(θ) = 1/f (θ) имеет коэффициенты Фурье gˆ(n), n ∈ Z, удовлетворяющие оценкам |ˆ g (n)| 6 Const(1+|n|)−q , n ∈ Z, причем Const может быть эффективно оценена. Ясно также, что теорема Винера непосредственно следует из теоремы 4.4.1. Теперь займемся оценками коэффициентов Фурье собственных векторов линейных операторов. Замечание 4.5.5. Пусть X и Y — сепарабельные гильбертовы пространства и (en ), (fn ) — ортонормированные базисы в X и Y соответственно. Они определяют разложения единицы (Pn ), (Qn ), где Pn x = (x, en )en , x ∈ X, Qn y = (y, fn )fn , y ∈ Y, n > 1. Для любого оператора A ∈ Hom(X, Y ) матричные элементы имеют вид Aij = Qi APj = aij Iij , i, j > 1, где aij = (Aej , fi ) и операторы Iij , i, j > 1 определяются на базисе (en ) соотношениями: Iij ej = fi и Iij ek = 0 при k 6= j. В этом случае выполнены условия предположений 4.2.1, 4.2.2 и dA (k) = sup |aij |. Матрицей оператора i−j=k

A естественно назвать матрицу (aij ). Пусть A : D(A) ⊂ H → H — линейный замкнутый оператор с плотной областью определения D(A) из гильбертова пространства H, причем D(A) рассматривается как гильбертово пространство со своим скалярным произведением. Пусть (en ) и (fn ) — ортонормированные базисы в D(A) и H соответственно, относительно которых матрица aij = (Aej , fi ), i, j > 1, оператора A удовлетворяет условию |aij | 6 dA (k) 6 C(1 + |k|)q , k = i − j ∈ Z, q > 1, C > 0, т. е. A ∈ Homq (D(A), H) (выполнено условие 4) предположения 4.1.1).

98

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Теорема 4.5.6. Пусть λ0 — изолированная точка спектра σ(A) оператора A, являющаяся простым собственным значением и a ∈ D(A), b ∈ D(A∗ ) — собственные векторы оператора ¯ 0 соответA и его сопряженного оператора A∗ , отвечающие собственному значению λ0 и λ ственно, причем (b, a) = 1. Тогда имеют место следующие оценки |(a, fi )(b, fi )| 6 Const(1 + |i − j|)−q , i, j > 1,

(4.5.4)

для коэффициентов Фурье (a, fk ), (b, fk ), k > 1, векторов a и b относительно базиса (fk ). Доказательство. Пусть α ∈ ρ (A) = C \σ(A). Тогда оператор B = AR(α, A) ограничен, и вектор a является собственным вектором для B, отвечающим собственному значению λ∗ = λ0 (α − λ0 )−1 . Поэтому BP = λ∗ P, где P ∈ End H — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству σ = {λ∗ } ⊂ σ(B), который имеет вид P x = (x, b)a. Проектор P можно также представить в виде Z 1 P = R(λ, B)dλ, 2πi S(λ∗ ,r)

где S(λ∗ , r) = {λ ∈ C : |λ − λ∗ | = r} и 0 < r < dist{λ∗ , σ(B)\{λ∗ }}. Из теоремы 4.4.3 и леммы 4.2.6 следует, что B, R(λ, B) ∈ Endq H, ∀λ ∈ S(λ∗ , r). Следовательно, P ∈ Endq H и поэтому его матричные элементы pij = (P fj , fi ) = (fj , b)(a, fi ), i, j > 1, допускают оценки вида (4.5.4). Теорема доказана. Рассмотрим пример дифференциального оператора, для которого выполнены условия теоремы 4.5.6. Пусть A : D(A) ⊂ H → H = L2 (0, 2π) — дифференциальный самосопряженный оператор, определяемый дифференциальным выражением l(x) = (−px0 )0 + ϕx с областью определения D(A), задаваемой периодическими граничными условиями x(0) = x(2π), x0 (0) = x0 (2π).

(4.5.5)

Предполагается, что p, ϕ : [0, 2π] → R — периодические функции, p > 0 и коэффициенты Фурье pˆ(n), qˆ(n), n ∈ Z, этих функций (относительно базиса из экспонент fn (t) = exp int, n ∈ Z) удовлетворяют оценкам |pn | 6 C1 (1 + |n|)−q−1 , |ϕn | 6 C2 (1 + |n|)−q , n ∈ Z, C1 , C2 > 0,

(4.5.6)

где q > 1. Областью определения D(A) является пространство Соболева W22 (0, 2π) классов функций, удовлетворяющих граничным условиям (4.5.5) со скалярным произведением   2π Z Z2π 1  x(t)y(t)dt + x00 (t)y 00 (t)dt , (x, y)W = (x, y) + (x00 , y 00 ) = 2π 0

0

W22 (0, 2π).

x, y ∈ В этом пространстве функции en (t) = (1 + n4 )−1/2 exp int, n ∈ Z, образуют ортонормированный базис на D(A). Матрица amn = (Aen , fm ), m, n ∈ Z, оператора A : W22 (0, 2π) → L2 (0, 2π) относительно рассматриваемых базисов (fn ) и (en ) имеет вид mnˆ p(n − m) ϕ(n ˆ − m) √ + √ , m, n ∈ Z. 1 + n4 1 + n4 Поэтому |amn | 6 Const(1 + |m − n|)−q , m, n ∈ Z, т. е. A ∈ Homq (D(A), H). Следовательно, коэффициенты Фурье a ˆ(n), n ∈ Z любой собственной функции a ∈ W22 (0, 2π), отвечающей простому собственному значению оператора A, допускают оценки вида amn = (Aen , fm ) =

|ˆ a(n)ˆ a(m)| 6 Const(1 + |m − n|)−q , m, n ∈ Z. Аналогичный результат имеет место для дифференциальных операторов более высокого порядка и не обязательно самосопряженных. Другой подход к оценке коэффициентов Фурье собственных векторов линейных операторов рассматривался в упомянутой статье Бора.

5.1. ВВЕДЕНИЕ

99

Замечание 4.5.7. Непосредственно из доказательства приводимых в статье результатов следует, что можно не требовать выполнения предположения 4.2.2. Однако, в этом случае в качестве величины dA (k) следует брать число kAk k, где оператор Ak ∈ Hom(X, Y ) определен формулой (4.2.2).

ГЛАВА 5 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 5.1.

ВВЕДЕНИЕ

Данная глава посвящена изучению некоторых вопросов спектральной теории линейных отношений (многозначных линейных операторов) и построению решений линейных дифференциальных включений с помощью вырожденных полугрупп линейных ограниченных операторов. В последнее время наметился устойчивый интерес к теории линейных отношений, и в связи с этим следует упомянуть о появившихся недавно монографиях [132, 146]. В них имеется обширная библиография, и они удачно дополняют одна другую: первая посвящена общим вопросам теории линейных отношений и, в частности, их спектральной теории, во второй рассматриваются приложения к дифференциальным уравнениям. Отметим, что в российской математической литературе теория линейных отношений не нашла достаточного освещения, и обратим внимание на работу [81], в которой рассматривались линейные отношения в гильбертовом пространстве и, в особенности, вопросы, связанные с индефинитной метрикой. Приведем используемые ниже понятия из теории линейных отношений. При этом, руководствуясь принципом автономности изложения, мы не всегда придерживаемся терминологии из [132,146] (например, мы сознательно избегаем понятия многозначного линейного оператора) и в связи с потребностями спектральной теории ограничиваемся, по преимуществу, рассмотрением линейных отношений на одном банаховом пространстве, хотя многие понятия можно вводить, как в [132], для линейных отношений между двумя линейными нормированными пространствами. Пусть X и Y — комплексные банаховы пространства. Любое линейное подпространство A ⊂ X × Y называется линейным отношением между банаховыми пространствами X и Y. Если оно замкнуто в X × Y, то называется замкнутым линейным отношением. Подпространство D(A) = {x ∈ X | ∃ y ∈ Y такой, что (x, y) ∈ A}, являющееся проекцией A на X, называется областью определения линейного отношения A ⊂ X × Y. Через Ax, где x ∈ D(A), обозначается множество {y ∈ Y | (x, y) ∈ A}; кроме того, Ker A = {x ∈ D(A) [ | (x, 0) ∈ A}− ядро отношения A и Im A = {y ∈ Y | ∃ x ∈ D(A) такой, что (x, y) ∈ A} = Ax — область его x∈D(A)

значений, являющаяся проекцией A на Y. Отметим, что Ax = y + A0 ∀y ∈ Ax. Суммой двух линейных отношений A, B ⊂ X × Y называется линейное подпространство из X × Y вида A + B = {(x, y) ∈ X × Y | x ∈ D(A) ∩ D(B), y ∈ Ax + Bx}. Значит, D(A + B) = D(A) ∩ D(B), и под Ax + Bx понимается алгебраическая сумма двух множеств Ax, Bx. Произведением линейных отношений A ⊂ X × Y, B ⊂ Y × Z, где Z — банахово пространство, называется линейное подпространство из X × Z вида BA = {(x, z) ∈ X × Z | ∃ y ∈ D(B) ⊂ Y такой, что (x, y) ∈ A, (y, z) ∈ B}. Обратным к линейному отношению A ⊂ X ×Y называется линейное отношение A−1 = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ A} ⊂ Y × X. Каждое линейное отношение A ⊂ X × Y является графиком многозначного отображения Ae : e = Ax ∈ 2Y . В дальнейшем они отождествляются, и для их обозначения D(A) ⊂ X → 2Y , где Ax используется один и тот же символ A. Множество замкнутых линейных отношений из X × Y обозначим через LR(X, Y ); если же X = Y, то положим LR(X) = LR(X, X). При этом множество LO(X, Y ) линейных замкнутых операторов, действующих из X в Y, считается включенным (при отождествлении с их графиком) в

100

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

LR(X, Y ). Таким образом, LR(X, Y ) содержит банахово пространство Hom(X, Y ) линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определенных на X со значениями в Y. Если X = Y, то LO(X) = LO(X, X) и End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в X. Итак, End X ⊂ LO(X) ⊂ LR(X). Под записью M ⊂ N условимся в дальнейшем понимать не обязательно строгое включение множества M в множество N ; иначе будем делать специальную оговорку. Определение 5.1.1. Отношение A из LR(X, Y ) называется инъективным, если Ker A = {0}, и сюръективным, если Im A = Y. Определение 5.1.2. Отношение A из LR(X, Y ) назовем непрерывно обратимым, если оно одновременно инъективно и сюръективно, и тогда A−1 ∈ Hom(Y, X). В следующем определении и в дальнейшем символ I используется для обозначения тождественного оператора в любом из рассматриваемых банаховых пространств. В выражении «линейное отношение» слово «линейное» будет, как правило, опускаться. Определение 5.1.3. Резольвентным множеством отношения A ∈LR(X) называется множество ρ(A) всех λ ∈ C, для которых (A − λI)−1 ∈ End X. Спектром отношения A ∈ LR(X) называется множество σ(A) = C \ ρ(A). Множество ρ(A) открыто, спектр σ(A) отношения A ∈ LR(X) замкнут. Определение 5.1.4. Отображение R( . , A) : ρ(A) → End X,

R(λ, A) = (A − λI)−1 , λ ∈ ρ(A)

называется резольвентой отношения A ∈ LR(X). Резольвента отношения A ∈ LR(X) является псевдорезольвентой в общепринятом смысле (см. определение 5.2.1), причем Ker R(λ0 , A) = A0, Im R(λ0 , A) = D(A) ∀λ0 ∈ ρ(A). В связи с этими равенствами далее используются обозначения Ker R, Im R вместо Ker R(λ0 , A), Im R(λ0 , A). Если B — квазинильпотентный оператор из алгебры End X, то σ(B −1 ) = ∅ (см. раздел 5.2). Во избежание проблем, связанных с возможной пустотой спектра отношения, далее используется следующее Определение 5.1.5. Расширенным спектром отношения A ∈ LR(X) называется подмножество e = C ∪ {∞}, которое совпадает с σ(A), если σ e(A) из расширенной комплексной плоскости C выполнены следующие три условия: 1) A0 = {0}, т. е. A ∈ LO(X); 2) резольвента R( . , A) оператора A допускает аналитическое продолжение в точку ∞; 3) lim R(λ, A) = 0. В противном |λ|→∞

e \ σ случае полагается σ e(A) = σ(A) ∪ {∞}. Множество ρe(A) = C e(A) называется расширенным резольвентным множеством отношения A. Из определения 5.1.5 и теоремы Лиувилля следует, что если X 6= {0}, то σ e(A) 6= ∅ ∀A ∈ LR(X), причем ∞ ∈ σ e(A) при dim A0 > 1, т. е. когда A ∈ LR(X) \ LO(X). Определение расширенного спектра линейных операторов имеется в монографиях [43, 96]. Отметим, что приводимые в разделах 5.2–5.5 результаты демонстрируют неизмеримо более важную роль понятия расширенного спектра для линейных отношений. На актуальность изучения линейных отношений указывают приводимые ниже в п.п. 1–8 примеры задач, в которых они могут возникать. Изложение будем сопровождать введением новых понятий и определений. 1. Если A ∈ LO(X) и Ker A 6= {0}, то A−1 — линейное отношение из LR(X). В частности, любой обыкновенный дифференциальный оператор A : C (n) [a, b] ⊂ C[a, b] → C [a, b] вида (Ax) (t) = x(n) (t) + a1 (t)x(n−1) (t) + ... + an (t)x(t), где ak ∈ C[a, b], k = 1; n, действующий в банаховом пространстве C[a, b] непрерывных на [a, b] ⊂ R комплексных функций, имеет конечномерное ядро Ker A размерности n > 1, и поэтому A−1 ∈ LR(C[a, b]) — линейное отношение. Если Ax = x0 , то Z A−1 x = x(t)dt, x ∈ C[a, b].

5.1. ВВЕДЕНИЕ

101

2. Пусть A ∈ LO(X) — линейный оператор, имеющий неплотную область определения, т. е. D(A) 6= X. Тогда сопряженный оператор не определен. Тем не менее можно определить (см. также [132, п.1.5]) сопряженное к A линейное отношение A∗ ⊂ X ∗ × X ∗ , где X ∗ — сопряженное к X банахово пространство, естественным образом: A∗ = {(η, ξ) ∈ X ∗ × X ∗ | ξ(y) = η(x) ∀(x, y) ∈ A}.

(5.1.1)

Ясно, что A∗ 0 = {η ∈ X ∗ | η(x) = 0 ∀x ∈ D(A)} = D(A)⊥ . Важно отметить, что это определение отношения A∗ пригодно и для A ∈ LR(X) \ LO(X). Впервые определение сопряженного линейного отношения было дано Дж. фон Нейманом в [179], и, видимо, эта работа дала старт развитию теории линейных отношений (см. также [132, п. 1.5]). 3. Любая псевдорезольвента R : U ⊂ C → End X, определенная на открытом множестве U ⊂ C, является резольвентой отношения A = (R(λ0 ))−1 + λ0 I, где λ0 ∈ U, причем ρ(A) ⊃ U, и определение A не зависит от выбора числа λ0 из U (более подробно см. раздел 5.2). 4. Назовем последовательность операторов An из LO(X) сходящейся, если резольвентные мно\ жества ρ(An ), n > 1 имеют непустое пересечение, причем ρ(An ) содержит открытое связn>1

ное множество U, и для некоторого λ0 ∈ U последовательность R(λ0 , An ), n > 1 является фундаментальной относительно операторной нормы в End X. Тогда для любого λ ∈ U существует lim R(λ, An ) = R(λ) ∈ End X, и функция R : U → End X является псевдорезольвентой, но не n→∞

обязательно резольвентой некоторого оператора из LO(X). С учетом п. 3 заключаем, что предел A0 последовательности замкнутых операторов является, вообще говоря, линейным отношением. 5. Сильно непрерывная полугруппа операторов {T (t); t > 0} из алгебры End X называется вырожденной полугруппой, если T (0) 6= I. Пусть {T (t); t > 0} — вырожденная полугруппа из End X. Тогда T (0) = P — нетривиальный проектор, и X = X0 ⊕ X1 , где X0 = Im P, X1 = Ker P. Следовательно, T (t) = T0 (t) ⊕ T1 (t), t > 0, где T0 (t) = 0 ∈ End X0 ∀ t > 0 и {T1 (t); t > 0} — полугруппа класса C0 из End X. Поэтому существуют постоянные M1 > 1, ω1 ∈ R такие, что kT1 (t)k 6 M1 exp(ω1 t), t > 0. Такая оценка позволяет рассмотреть преобразование Лапласа R : {λ ∈ C | Re λ > ω1 } → End X полугруппы {T (t); t > 0}, которое является резольвентой (см. п. 3) некоторого линейного отношения A ∈ LR(X) \ LO(X), причем Ker R(λ0 ) = X0 , если Re λ0 > ω1 . Линейное отношение A назовем генератором вырожденной полугруппы операторов {T (t); t > 0}. Вырожденные полугруппы операторов возникают, например, при рассмотрении последовательностей полугрупп {Tn (t); t > 0} класса C0 , сходимость которых означает одновременное выполнение следующих условий: 1) kTn (t)k 6 M exp(ωt), t > 0 для всех n ∈ N и некоторых M > 1, ω ∈ R; 2) lim R(λ0 , An )x = R(λ0 )x существует для некоторого Re λ0 > ω и всех x ∈ X, где An — n→∞

генератор полугруппы {Tn (t); t > 0}. При выполнении этих условий R — резольвента некоторого отношения A ∈ LR(X), являющегося генератором некоторой вырожденной полугруппы операторов {T (t); t > 0} из алгебры End X. Исследование сходимости вырожденных полугрупп проведено в [114]. Следует отметить, что применение теории линейных отношений позволяет упростить некоторые доказательства. Например, утверждение теоремы 3.6 в [114] легко следует из п. 3 (более подробное обсуждение проведено в разделе 5.2). 6. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X называется допускающим замкнутое расширение (см. [54, гл. III, § 1, п. 3]), если из условий: 1) lim xn = 0, xn ∈ D(A); 2) существует lim Axn = n→∞

n→∞

y, следует, что y = 0. Эквивалентное определение: линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X допускает замкнутое расширение, если замыкание его графика Γ(A) = {(x, Ax) ∈ X × X| x ∈ D(A)} является графиком линейного оператора. В общем случае замыкание A = Γ(A) графика оператора A является отношением из LR(X). 7. Пусть A, B ∈ Hom(X, Y ). Функция P(λ) = A + λB, λ ∈ C называется линейным пучком. Известно, что многие задачи математической физики сводятся к изучению условий обратимости операторов P(λ), λ ∈ C. Линейные пучки возникают также после специальных преобразований пучков полиномиальных и введенных С. Г. Крейном. В то же время исследование линейных пучков

102

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

во многих случаях сводится к изучению спектральных свойств линейных отношений B −1 A, A B −1 (см. раздел 5.6). 8. Рассмотрим задачу Коши x(0) = x0 ∈ X (5.1.2) для линейного дифференциального уравнения F x(t) ˙ = Gx(t),

t ∈ R+ = [0; +∞)

(5.1.3)

с парой линейных замкнутых операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y, при Ker F 6= {0}. В вопросах разрешимости и построения решений уравнения (5.1.3) используются два подхода. Первый основан на спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов (см., например, [27, 29, 85, 91]). Второй базируется на использовании линейного дифференциального включения вида y(t) ˙ ∈ A y(t), t ∈ R+ , y(0) = y0 ∈ D(A), (5.1.4) −1 где A ∈ LR(X) и имеет вид A = F G. Такой прием используется в монографии [146] (см. также [85] и лемму 5.7.2). Построение решений в [146], например, велось с использованием полугруппы линейных операторов, генератором которой служило отношение A. Вместе с тем ограничения на A не позволяли рассматривать в [146] важные классы дифференциальных включений даже в конечномерном пространстве X (см. замечание 5.4.11). В данной главе рассматриваются некоторые вопросы спектральной теории линейных отношений, которые мало затронуты в монографиях [132, 146]. Многие из них оказываются весьма полезными в приложениях к теории дифференциальных включений вида (5.1.4). В разделе 5.2 приводятся некоторые результаты о псевдорезольвентах, которые можно получить, используя линейные отношения, а также доказаны теоремы о спектральном разложении линейного отношения и о спектре обратного отношения. В разделе 5.3 получены алгебраические условия (в терминах стабилизации областей определения и образов нуля степеней линейного отношения) изолированности точки ∞ в расширенном спектре линейного отношения. В разделе 5.4 с помощью эргодических теорем получено описание фазового пространства для дифференциального включения (5.1.4). С использованием некоторых аналогов условий теоремы Хилле—Филлипса—Иосиды—Феллера—Миядеры (ХФИФМ) [96] строятся сильно непрерывные вырожденные полугруппы операторов по линейным отношениям. В разделе 5.5 строятся аналитические вырожденные полугруппы операторов по линейным секториальным отношениям. Приложения спектральной теории линейных отношений к спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов приводятся в разделе 5.6, к задаче (5.1.2)–(5.1.3) — в разделе 5.7. 5.2.

О

ПСЕВДОРЕЗОЛЬВЕНТАХ, СПЕКТРАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОТНОШЕНИЯ И СПЕКТРЕ ОБРАТНОГО ОТНОШЕНИЯ

Наиболее широким классом сильно непрерывных при t > 0 полугрупп ограниченных операторов, рассматриваемых в монографии [96], являются полугруппы класса E (см. [96, определение 18.4.1]). Достаточно полную информацию о полугруппах класса E дают псевдорезольвенты, построение которых велось в [96] с помощью преобразования Лапласа полугрупп. Исследованию псевдорезольвент уделяется достаточно большое внимание как в [96, гл. 18, теоремы 5.8.3–5.8.6, 5.9.1–5.9.3], так и в ряде современных работ (см. [114,132,146]). Использование линейных отношений, в особенности, их спектральной теории, может оказать существенную помощь при изучении псевдорезольвент, поскольку псевдорезольвенты являются резольвентами линейных отношений, которые в [96] не рассматривались. Опишем более подробно такой подход. При этом обратимся к ряду известных результатов и получим их более простым способом, а временами уточним их. Нам представляется, что такая точка зрения многим утверждениям о псевдорезольвентах придает более рельефное и естественное очертание. Определение 5.2.1. Функция R : Ω ⊂ C → End X называется псевдорезольвентой, если для всех λ1 , λ2 ∈ Ω выполняется равенство (тождество Гильберта) R(λ1 ) − R(λ2 ) = (λ1 − λ2 )R(λ1 )R(λ2 ).

5.2. О

ПСЕВДОРЕЗОЛЬВЕНТАХ, СПЕКТРАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОТНОШЕНИЯ И СПЕКТРЕ ОБРАТНОГО ОТНОШЕНИЯ

103

Отметим, что определение 5.2.1 допускает случай, когда Ω = {λ0 } — одноточечное множество, и тогда R(λ0 ) может быть любым эндоморфизмом из алгебры End X. Определение 5.2.2. Псевдорезольвента Rmax : Ωmax ⊂ C → End X называется максимальным продолжением псевдорезольвенты R : Ω ⊂ C → End X, если она является расширением любого другого продолжения R. Такую псевдорезольвенту назовем максимальной. Множество Sing R = C / Ωmax называется сингулярным множеством псевдорезольвенты R. Определение 5.2.3. Пусть Q ∈ End X, λ0 ∈ C и R : Ω ⊂ C → End X — псевдорезольвента. Будем говорить, что оператор Q является вложенным в R в точке λ0 , если λ0 ∈ Ω и Q = R(λ0 ). Непосредственно из определений 5.2.1–5.2.3 следует, что вопрос о вложении оператора в множество значений некоторой псевдорезольвенты может быть сведен к вопросу построения максимального продолжения псевдорезольвент. Теорема 5.2.4. Каждая псевдорезольвента R : Ω ⊂ C → End X имеет единственное максимальное продолжение. Оно является резольвентой некоторого линейного отношения A и Sing R = σ(A). В частности, если Q ∈ End X и λ0 ∈ C, то существует единственная максимальная псевдорезольвента R0 : Ω ⊂ C → End X такая, что λ0 ∈ Ω и Q является вложенным в R0 в точке λ0 . Доказательство. Рассмотрим две точки λ1 , λ2 ∈ Ω и два линейных отношения Ak = (R(λk ))−1 + λk I, k = 1, 2, имеющие одинаковые области определения D(Ak ) = Im R = Im R(λk ), k = 1, 2. Поскольку Ak = = {(R(λk ) y, y + λk R(λk ) y)| y ∈ X}, то из тождества Гильберта получаем, что A1 = A2 = A. Следовательно, R(λ) = R(λ, A) ∀λ ∈ Ω и из доказанного следует, что R( . , A) : ρ(A) → End X — единственное максимальное продолжение R. Это означает, что Sing R = C \ ρ(A) = σ(A). Утверждение теоремы 5.2.4 о существовании максимального продолжения получено в [96, теорема 5.8.6] значительно большими усилиями. Утверждение о вложении ограниченного оператора в некоторую псевдорезольвенту доказано в [114, теорема 3.6]. Ввиду справедливости оценки kR(λ, A)k > r(R(λ, A)) > (dist(λ, σ(A)))−1

∀ λ ∈ ρ(A)

(см. следствие 5.2.12 из теоремы 5.2.11) теорема 5.2.4 содержит также предложение 3.5 из [114] о росте нормы псевдорезольвенты при приближении к Sing R. Понятие сингулярного множества псевдорезольвенты вводилось в [114]. В силу теоремы 5.2.4 оно совпадает со спектром линейного отношения, резольвента которого является расширением исследуемой псевдорезольвенты. Этот факт является чрезвычайно важным в вопросах изучения псевдорезольвент с помощью спектральной теории линейных отношений. Следующая теорема уточняет утверждение 5.8.4 из [114] и легко следует из теоремы 5.2.4. В ее условиях символ Sp A будет обозначать спектр коммутативной банаховой алгебры A с единицей, т. е. Sp A — компактное топологическое пространство ненулевых непрерывных комплексных гомоморфизмов алгебры A, b a : Sp A → C, b a(χ) = χ(a), χ ∈ Sp A — преобразование Гельфанда элемента a из Sp A. Теорема 5.2.5. Пусть R : Ω ⊂ C → End X — максимальная псевдорезольвента и A — наименьшая замкнутая подалгебра из банаховой алгебры End X, содержащая все операторы R(λ) при λ ∈ Ω и оператор I. Тогда ее спектр Sp A гомеоморфен расширенному спектру σ e(A) линейного отношения A ∈ LR(X), резольвентой которого служит функция R : Ω = ρ(A) → End X. Далее, существует гомеоморфизм α : Sp A → σ e(A), для которого \ R(λ, A) (χ) =

1 , λ − α(χ)

χ ∈ Sp A,

λ ∈ ρ(A).

При этом α(χ∞ ) = ∞ для характера χ∞ ∈ Sp A, определяемого условиями: R(λ, A) ∈ Ker χ∞ ∀ λ ∈ ρ(A), χ∞ (I) = 1. Благодаря теореме 5.2.4 вводимые далее определения и доказываемые на их основе утверждения оказываются вполне корректными.

104

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

Определение 5.2.6. Замкнутое линейное подпространство X0 ⊂ X назовем инвариантным для отношения A ∈ LR(X) с непустым ρ(A), если X0 инвариантно относительно всех операторов R(λ, A), λ ∈ ρ(A). Сужением отношения A ∈ LR(X) на подпространство X0 назовем отношение A0 ∈ LR(X), резольвентой которого является сужение R0 : ρ(A) → End X0 , R0 (λ) = R(λ, A)  X0 , λ ∈ ρ(A), резольвенты R( . , A) : ρ(A) → End X на X0 , и обозначим его через A0 = A  X0 . Определение 5.2.7. Пусть X = X0 ⊕ X1

(5.2.1)

— прямая сумма инвариантных относительно A ∈ LR(X) подпространств, A0 = A  X0 , A1 = A  X1 . Тогда будем говорить, что отношение A является прямой суммой отношений A0 и A1 , и записывать A = A0 ⊕ A1 . (5.2.2) При этом A0 = A0 0 ⊕ A1 0, и равенства (5.2.1), (5.2.2) означают, что множество A x для любого x ∈ D(A) определяется формулой Ax = A0 x0 + A1 x1 ,

x = x0 + x1 ,

где xi ∈ D(Ai ) ⊂ Xi , i = 0, 1 и Ax — алгебраическая сумма множеств A0 x0 , A1 x1 . Лемма 5.2.8. Если для отношения A ∈ LR(X) имеют место равенства (5.2.1), (5.2.2), то σ e(A) = σ e(A0 ) ∪ σ e(A1 ), где Ai − сужение A на Xi , i = 0, 1. Доказательство. Непосредственно из определений 5.2.6 и 5.2.7 следует равенство R(λ, A) = R(λ, A0 ) ⊕ R(λ, A1 ),

λ ∈ ρ(A),

(5.2.3)

обеспечивающее справедливость утверждения. Лемма 5.2.9. Пусть A ∈ LR(X). Тогда ∞ ∈ /σ e(A) ⇐⇒ A ∈ End X. Доказательство. Если A ∈ End X, то, очевидно, что ∞ ∈ /σ e(A). Обратно, пусть ∞ ∈ /σ e(A). Тогда согласно определению 5.1.5 отношение A является линейным замкнутым оператором с резольвентой, удовлетворяющей условию lim R(λ, A) = 0, причем |λ|→∞

σ e(A) = σ(A) = σ0 − компакт из C. Таким образом, функция λ 7→ (A − λI)−1 голоморфна вне круга ∞ X достаточно большого радиуса и представима в виде сходящегося ряда R(λ, A) = − Kn λ−n−1 , n=0

где Kn ∈ End X, n > 0. Значит, существует lim (−λR(λ, A)) = K0 . Из эргодической теоремы [96, |λ|→∞

теорема 18.8.3] следует, что K0 = P0 является проектором на X0 = D(A) = D(A). Докажем, что P0 = I. Отметим, что из доказанного следует, что для сужения A0 = A  X0 справедливо равенство lim (−λR(λ, A0 )) = I0 , где I0 — тождественный оператор в X0 . Значит, |λ|→∞

R(λ, A0 ) — обратимые операторы из алгебры End X0 при достаточно больших |λ|. Если X 6= X0 , то возьмем x ∈ X \ X0 и положим y0 = R(λ, A)x ∈ D(A) = X0 . Тогда найдется x0 ∈ X такой, что R(λ, A0 )x0 = y0 . Так как R(λ, A)(x0 − x) = 0, то x0 = x ∈ X0 . Полученное противоречие влечет равенство D(A) = X0 = X. Отметим, что в [132] условие ∞ ∈ /σ e(A) для отношения A ∈ LR(X) по определению означало, что 0 ∈ / σ(A−1 ). Теорема 5.2.10. Пусть A ∈ LR(X) и его расширенный спектр σ e(A) представим в виде σ e(A) = σ0 ∪ σ1 ,

(5.2.4)

e и σ0 ∩σ1 = ∅. Тогда существуют разлогде σ0 − компакт из C, σ1 − замкнутое множество из C жения (5.2.1), (5.2.2), в которых инвариантные относительно A замкнутые подпространства X0 , X1 и его сужения A0 = A  X0 , A1 = A  X1 обладают следующими свойствами: 1) A0 ∈ End X0 , σ e(A0 ) = σ(A0 ) = σ0 ; 2) A1 0 = A0 = Ker R( . , A) = Ker R( . , A1 ) ⊂ X1 , D(A) = X0 ⊕ D(A1 ), σ e(A1 ) = σ1 .

5.2. О

ПСЕВДОРЕЗОЛЬВЕНТАХ, СПЕКТРАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОТНОШЕНИЯ И СПЕКТРЕ ОБРАТНОГО ОТНОШЕНИЯ

105

Доказательство. Пусть γ — замкнутая жорданова кривая (или конечное число таких кривых), расположенная в ρ(A) так, что внутри нее лежит σ0 , а вне — σ1 . Рассмотрим проектор Рисса Z 1 P0 = − R(λ, A) dλ ∈ End X, (5.2.5) 2πi γ

и определяемое им разложение X в прямую сумму подпространств вида X = X0 ⊕ X1 ,

X0 = Im P0 ,

X1 = Ker P0 .

Определение 5.2.6 принуждает проверить, что R(µ, A)Xi ⊂ Xi , µ ∈ ρ(A), i = 0, 1. Для этого достаточно установить, что R(µ, A) P0 = P0 R(µ, A) ∀µ ∈ ρ(A), но это свойство вытекает из (5.2.5) и коммутативности множества значений резольвенты отношения A. Рассмотрим сужения R0 и R1 резольвенты R( . , A) отношения A на X0 , X1 соответственно. Если x0 ∈ Ker R, то непосредственно из (5.2.5) вытекает, что P0 x0 = 0, и, значит, Ker R ⊂ X1 . Это означает, что R0 является резольвентой некоторого оператора A0 ∈ LO(X). Функции R0 и R1 определены на ρ(A). Покажем, что R0 допускает аналитическое продолжение e \ σ0 и выполнено условие lim R(λ, A0 ) = 0, тогда A0 ∈ End X в силу лемна множество C |λ|→∞

мы 5.2.9. Функцию R0 : ρ(A) → End X0 с использованием тождества Гильберта представим в виде R0 (µ) x0 = R(µ, A0 )x0 = R(µ, A) P0 x0 = Z Z 1 1 R(µ, A) − R(λ, A) =− R(µ, A) R(λ, A) x0 dλ = − x0 dλ. 2πi 2πi µ−λ γ γ Z dλ Если µ лежит вне кривой γ, то = 0, и поэтому, учитывая произвольность кривой γ с µ−λ γ

указанными свойствами, получаем, что функция R0 ( . , A) допускает аналитическое продолжение e \ σ0 , причем из полученного равенства на множество C Z 1 R0 (µ) x0 = R(µ, A0 )x0 = (µ − λ)−1 R(λ, A) x0 dλ 2πi γ

вытекает, что lim R(µ, A0 ) = 0. Осталось воспользоваться леммой 5.2.9, из которой находим, |µ|→∞

что A0 ∈ End X0 . Пусть A1 ⊂ LR(X1 ) — отношение, резольвентой которого служит R1 . Аналогично доказывается, что функция R( . , A1 ) = R1 : ρ(A) → End X1 допускает аналитическое продолжение на множество e \ σ1 . Следовательно, σ C e1 ⊂ σ1 и в силу леммы 5.2.8 приходим к равенствам σ e(A0 ) = σ(A0 ) = σ0 , σ e(A1 ) = σ1 . Остальные свойства отношения A1 немедленно следуют из свойства A0 ∈ End X0 . Теорема 5.2.11. Если A ∈ LR(X), то расширенный спектр σ e(A−1 ) обратного к A отношения −1 −1 ∈ LR(X) представим в виде σ e(A ) = {λ | λ ∈ σ e(A)}.

A−1

Доказательство. При 0 6= λ ∈ C отношения A − λI и A−1 − λ−1 I представимы в виде A − λI = {(x, y − λx) | (x, y) ∈ A}, A−1 − λ−1 I = {(y, x − λ−1 y) | (x, y) ∈ A}. Вначале докажем, что при λ 6= 0 инъективность одного из этих отношений влечет инъективность другого. Если 0 6= x0 ∈ Ker(A − λI), то ∃ y0 такой, что y0 − λx0 = 0, т. е. y0 = λx0 6= 0 и тогда (y0 , x0 − λ−1 y0 ) = (y0 , 0) ∈ A−1 − λ−1 I. Верно и обратное, ибо отношение A − λI получается из отношения A−1 − λ−1 I той же процедурой, что и A−1 − λ−1 I из A − λI. Далее, непосредственно из определения отношений A − λI и A−1 − λ−1 I, λ 6= 0 следует, что их множества значений имеют вид {y − λx | (x, y) ∈ A} и, следовательно, совпадают. Поэтому сюръективность одного из них влечет сюръективность второго. Из доказанного вытекает, что линейные отношения A−λI и A−1 −λ−1 I обратимы одновременно, если λ 6= 0. Таким образом, множества σ(A) \ {0} и σ(A−1 ) \ {0} переходят друг в друга при отображении λ 7→ 1/λ.

106

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

Рассмотрим теперь случай, когда λ = 0. Пусть 0 ∈ / σ(A). Тогда A−1 ∈ End X и согласно определению расширенного спектра его резольвенту R(λ, A−1 ) = (A−1 −λI)−1 следует рассмотреть в окрестности точки ∞. Так как lim R(λ, A−1 ) = 0, то ∞ ∈ /σ e(A−1 ) согласно определению 5.1.5. |λ|→∞

σ e(A−1 ).

Обратно, пусть ∞ ∈ / Тогда из леммы 5.2.9 следует, что A−1 ∈ End X. Это означает, что 0∈ / σ(A) ⊂ σ e(A). Те же рассуждения применимы к A−1 и поэтому в итоге получаем требуемое равенство. Следствие 5.2.12. Если A ∈ LR(X) и µ ∈ ρ(A), то σ(R(µ, A)) = {(µ − λ)−1 | λ ∈ σ e(A)}. Утверждение следствия 5.2.12 было получено в [132, теорема V.4.2]. Отметим, что определение спектра линейного отношения было введено А. Фавини, A. Яги в [147]. Однако ни в указанной статье, ни в монографии [146] ими не использовалось понятие расширенного спектра линейного отношения. Определение расширенного спектра для линейных отношений на нормированных пространствах было введено в монографии Р. Кросса [132], но, по существу, оно мало использовалось. Следствие 5.2.13. Для A ∈ LR(X) следующие условия эквивалентны: 1) A ∈ End X;

3) 0 ∈ / σ(A−1 ).

2) ∞ ∈ /σ e(A);

Следствие 5.2.14. Для A ∈ LR(X) верно равенство σ e(A) = {∞} точно тогда, когда A−1 ∈ End X− квазинильпотентный оператор. Следствие 5.2.15. Если λ ∈ ρ(A), λ 6= 0, то имеют место равенства (A−1 − λ−1 I)−1 = −λI − λ2 (A − λI)−1 , −1

(A − λI)

= −λ

−1

I −λ

−2

(A

−1

−λ

−1

−1

I)

(5.2.6) .

(5.2.7)

Доказательство. Из описания множества значений отношения A − λI, проведенного при доказательстве теоремы 5.2.4, следует, что оператор (A − λI)−1 ∈ End X строится следующим образом: любой вектор z ∈ X может быть представлен в виде z = y − λx, где (x, y) ∈ A, и тогда (A − λI)−1 z = x. Так как x − (1/λ)y = −(1/λ)z, то (A−1 − λ−1 I)−1 z = −λy = −λ(z + λx) = −λz − λ2 (A − λI)−1 z. Следовательно, имеет место равенство (5.2.6). Равенство (5.2.7) вытекает из (5.2.6). Следствие 5.2.16. Если A = B −1 , где B− квазинильпотентный оператор из End X, то σ e(A) = {∞} и (A − λI)−1 = B + λB 2 + λ2 B 3 + ... . В частности, R( . , A)− многочлен, если B — нильпотентный оператор из End X. Теорема 5.2.11 и соотношения (5.2.6), (5.2.7) позволяют утверждать, что для расширенного спекe включая ∞, являются тра линейных отношений все точки расширенной комплексной плоскости C, в некотором смысле равноправными. Если же точка ∞ входит в расширенный спектр линейного замкнутого оператора и является в нем изолированной, то она может служить только существенно особой точкой его резольвенты (см. [96, теорема 5.9.4]). e содержащее расПусть ∆ — открытое множество из расширенной комплексной плоскости C, ширенный спектр σ e(A) отношения A. Символом F(∆) обозначим алгебру аналитических на ∆ комплексных функций. Пусть γ — некоторая замкнутая жорданова кривая, окружающая σ e(A), и Z функция f ∈ F(∆) такова, что интеграл

f (λ)R(λ, A)dλ абсолютно сходится. Тогда формула γ

1 f (A) = δf (∞)I − 2πi

Z f (λ)R(λ, A)dλ,

(5.2.8)

γ

где δ = 1 или δ = 0 в зависимости от того, находится λ = ∞ внутри γ или вне γ, определяет ограниченный оператор из алгебры End X. Более того, он принадлежит коммутативной подалгебре A, введенной перед теоремой 5.2.5. Этот факт позволяет получить следующее утверждение. Теорема 5.2.17 (об отображении спектра). Для A σ(f (A)) = f (e σ (A)) = {f (λ)| λ ∈ σ e(A)}.

∈

LR(X) имеет место равенство

5.3. УСЛОВИЯ

107

КОМПАКТНОСТИ СПЕКТРА ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Доказательство. Поскольку спектр оператора f (A) совпадает с множеством значений его преобразования Гельфанда, то доказываемое представление вытекает из следующих равенств, использующих теорему Коши, теорему 5.2.5 и формулу (5.2.8): σ(f (A)) = {χ(f (A))| χ ∈ Sp A} = Z 1 f (λ)χ(R(λ, A))dλ | χ ∈ Sp A} = = {δf (∞) − 2πi γ Z 1 f (λ) = {δf (∞) − dξ | ξ ∈ σ e(A)} = f (e σ (A)). 2πi λ−ξ γ

Теорема 5.2.17 является аналогом теоремы 5.12.1 из [96], полученной для линейных замкнутых операторов. Приведенное здесь доказательство оказалось более простым благодаря использованию теоремы 5.2.5, которая, в свою очередь, является уточненным аналогом теоремы 5.8.4 из [96]. 5.3.

УСЛОВИЯ

КОМПАКТНОСТИ СПЕКТРА ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Далее в оставшейся части главы считается выполненным следующее условие несингулярности рассматриваемых линейных отношений. Предположение 5.3.1. Резольвентное множество ρ(A) отношения A ∈ LR(X) непусто. Непосредственно из определения обратного отношения и свойств линейных отношений, сформулированных в разделе 5.2 (см. также свойства отношений, перечисленные в разделе 5.6), следует Лемма 5.3.2. Пусть A ∈ LR(X). Независимо от выбора λ0 ∈ ρ(A) справедливы равенства Ker(R(λ0 , A))k = Ak 0,

Im (R(λ0 , A))k = D(Ak ),

k ∈ N.

Приведенная лемма обеспечивает корректность обозначений Ker Rk и Im Rk , k ∈ N для степеней резольвенты отношения A ∈ LR(X). Определение 5.3.3. Будем говорить, что отношение A ∈ LR(X) обладает свойством стабилизации степеней на бесконечности, если существует число m ∈ N такое, что Am−1 0 ⊂ Am 0 = Am+1 0,

D(Am−1 ) ⊃ D(Am ) = D(Am+1 ),

(5.3.1)

где включения являются строгими. Число m называется порядком стабилизации. Отметим, что при m = 1 считается, что {0} ⊂ A0 = A2 0, X ⊃ D(A) = D(A2 ). Предположение 5.3.4. Отношение A ∈ LR(X) обладает свойством стабилизации степеней на бесконечности порядка m. Теорема 5.3.5. Пусть m > 2 — натуральное число. Для линейного отношения A ∈ LR(X) \ LO(X) следующие условия эквивалентны: 1) точка ∞ является полюсом порядка m − 2 функции R( . , A) при m > 3, в то время как ∞ — устранимая особая точка функции R( . , A) при m = 2; 2) банахово пространство X представимо в виде прямой суммы X = X0 ⊕X∞ инвариантных относительно A замкнутых подпространств X0 = D(Am ), X∞ = Am 0, причем сужение A0 отношения A на X0 принадлежит End X0 , σ(A0 ) = σ(A) и, кроме того, σ e(A∞ ) = {∞}, A−1 ∞ ∈ −1 m −1 m−1 End X∞ , (A∞ ) = 0 для сужения A∞ отношения A на X∞ , но (A∞ ) 6= 0; 3) выполнены условия предположения 5.3.4. Доказательство. Установим импликацию 1) ⇒ 2). По условию ∞− изолированная точка в σ e(A), поэтому σ e(A) = σ0 ∪ {∞}, где σ0 = σ(A)− компактное множество из C. Положив σ1 = {∞}, получим представление (5.2.4) и затем, применив теорему 5.2.10, придем к разложениям X = X0 ⊕ X∞ ,

A = A0 ⊕ A∞ ,

(5.3.2)

где X∞ = X1 , A∞ = A1 . Из теоремы 5.2.10 также следует, что σ(A0 ) = σ0 , A0 ∈ End X0 , σ e(A∞ ) = {∞}, причем в силу следствия 5.2.13 оператор A−1 ∞ ∈ End X∞ квазинильпотентен. Поскольку

108

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

σ e(A∞ ) = {∞}, то из следствий 5.2.15 и 5.2.16 получаем, что резольвента отношения A∞ представима в виде ∞ X i+1 R(λ, A∞ ) = λi (A−1 ∞) i=0

в окрестности точки ∞. Ввиду того, что по условию она имеет полюс в этой точке порядка m − 2, m = 0 и (A−1 )m−1 6= 0. Заметим, что R(λ, A ) = A−1 при m = 2, т. е. ∞ является то (A−1 ∞ ∞) ∞ ∞ устранимой особой точкой функции R( . , A). Вышеизложенное обеспечивает выполнение всех свойств из условия 2). Покажем теперь, что 2) ⇒ 3). Из разложений (5.3.2) с указанными свойствами получаем, что Ak 0 = 0 ⊕ Ak∞ 0,

D(Ak ) = X0 ⊕ D(Ak∞ )

k ∈ N.

m m−1 = (A−1 )m−1 6= 0, то свойство 3) следует Так как (R(0, A∞ ))m = (A−1 ∞ ) = 0 и (R(0, A∞ )) ∞ из леммы 5.3.2. Отметим, что отношения A и A∞ обладают свойством стабилизации степеней на бесконечности порядка m одновременно. Докажем, что 3) ⇒ 1). Из предположения 5.3.4 и леммы 5.3.2 следует, что имеют место соотношения

Ker B m−1 ⊂ Ker B m = Ker B m+1 ,

Im B m−1 ⊃ Im B m = Im B m+1 ,

где B = R(λ0 , A) ∈ End X, λ0 ∈ ρ(A). Положим V = B m ∈ End X и тогда Ker V = Ker V 2 , Im V = Im V 2 . Следует доказать, что X = X0 ⊕ X∞ ,

(5.3.3)

где X∞ = Ker V и X0 = Im V. Отметим, что X∞ , X0 — инвариантные подпространства для V и сужение V0 : X0 → X0 оператора V0 на X0 является обратимым оператором. Доказательство справедливости разложения (5.3.3) можно найти, например, в [79, гл. 6]. Докажем, что 0 — изолированная точка в σ(V ) и X0 – замкнутое подпространство в X. С этой b = X/X∞ и фактор-оператор целью рассмотрим фактор-пространство X b Vb ∈ End X,

Vb x e = Vfx,

где через ye = y + X∞ обозначен класс смежности, содержащий вектор y ∈ X. Поскольку X/X∞ = X0 /X∞ , то Vb — обратимый оператор из End Vb . Следовательно, 0 ∈ / σ0 = σ(Vb ). Пусть 0 6= µ0 ∈ / σ0 . Докажем, что µ0 ∈ / σ(V ). Если x0 ∈ Ker(V − µ0 I), то (V − µ0 I)x0 = 0, и, следовательно, b где x (Vb − µ0 I)f x0 = e 0 ∈ X, f0 = x0 + X∞ . Из обратимости оператора Vb − µ0 I следует, что x f0 = 0, т. е. x0 ∈ X∞ . Сужение V∞ оператора V на X∞ равно нулю и µ0 6= 0, поэтому x0 = 0. Итак, Ker(V − µ0 I) = {0}. Докажем сюръективность оператора V − µ0 I. Пусть y — произвольный вектор из X. Из обратимости оператора Vb − µ0 I следует, что существует класс смежности x e = x + X∞ такой, что b (V − µ0 I)e x = ye, т. е. y0 = (V − µ0 I)x − y ∈ X∞ . Так как V y0 = 0, то (V − µ0 I) y00 = y0 для −1 0 y0 = −µ0 y0 . Поэтому (V − µ0 I) (x − y00 ) = y + y0 − y0 = y. Следовательно, оператор V − µ0 I сюръективен. Из доказанного следует, что σ(V ) ⊂ {0} ∪ σ1 , причем 0 ∈ / σ1 . Поскольку V = (R(λ0 , A))m , то 0 — изолированная точка в σ(R(λ0 , A)). Теперь ясно, что в разложении (5.3.3) подпространство X0 служит образом проектора Рисса, построенного по оператору R(λ0 , A) и спектральному множеству σ(R(λ0 , A))\{0}, и поэтому является замкнутым. Как уже отмечалось ранее, подпространства X∞ и X0 не зависят от выбора λ0 ∈ ρ(A) и совпадают соответственно с замкнутыми подпространствами Am 0 и D(Am ). Из следствия 5.2.12 теоремы 5.2.11 следует, что {∞} — изолированная точка в σ e(A), ∞ ∈ /σ e(A  X0 ) и σ e(A  X∞ ) = {∞}, т. е. A  X0 ∈ End X0 , причем (R(λ, A))m−1 6= 0, (R(λ, A))m = 0 ∀ λ ∈ ρ(A). Отсюда следует, что выполнено условие 1). Введем в рассмотрение собственные и присоединенные векторы линейных отношений, отвечающие точке ∞. При этом будут учитываться результаты теорем 5.2.11 и 5.3.5.

5.3. УСЛОВИЯ

КОМПАКТНОСТИ СПЕКТРА ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

109

Определение 5.3.6. Любой ненулевой вектор x0 из A0 ⊂ X назовем собственным вектором отношения A ∈ LR(X), отвечающим точке ∞. Вектор x1 ∈ X называется корневым вектором отношения A, отвечающим точке ∞, если существует число k ∈ N такое, что x1 ∈ Ak 0. Число k из N называется высотой корневого вектора x1 , если x1 ∈ Ak 0 \ Ak−1 0. Непосредственно из определения 5.3.6 следует, что замкнутое подпространство Ak 0 = Ker(A−1 )k состоит из корневых векторов отношения A, отвечающих точке ∞, высоты не превосходящей k. Определение 5.3.7. Будем говорить, что отношение A ∈ LR(X) имеет конечную жорданову цепочку x0 , x1 , . . . , xk−1 длины k, отвечающую точке ∞, если x0 − собственный вектор для A, отвечающий точке ∞, и xi , 2 6 i 6 k − 1 — корневые векторы, отвечающие той же точке, для которых имеют место следующие соотношения: x0 ∈ A0,

xi ∈ A xi−1 , 1 6 i 6 k − 1,

xk−1 ∈ / Ak 0

(и, следовательно, каждый вектор xi , 0 6 i 6 k−1 имеет высоту i). Векторы x1 , ..., xk−1 называются присоединенными к собственному вектору x0 . Определение 5.3.8. Отношение A ∈ LR(X) имеет конечную жорданову цепочку x0 , ..., xk−1 длины k, отвечающую точке ∞, в точности тогда, когда для некоторого λ0 ∈ ρ(A) (и, значит, для всех λ0 ∈ ρ(A)) верны равенства R(λ0 , A)x0 = 0,

x0 ∈ A0,

R(λ0 , A)xi = xi−1 ,

0 6 i 6 k − 1,

и отсутствует вектор x такой, что R(λ0 , A)x = xk−1 . Определение 5.3.9. Отношение A ∈ LR(X) назовем фредгольмовым на бесконечности, если D(A) — замкнутое подпространство в X, и, кроме того, A0, X/D(A) — конечномерные линейные пространства. Число ind A = dim A0 − dim X/D(A) назовем индексом фредгольмова отношения A, отвечающим точке ∞. Непосредственно из определения 5.3.9 следует, что отношение A является фредгольмовым на бесконечности точно тогда, когда фредгольмовым является оператор R(λ0 , A), λ0 ∈ ρ(A), и их индексы совпадают. Следующее утверждение вытекает из теоремы 5.3.5, определений 5.3.6, 5.3.7, 5.3.9 и леммы 5.3.8, являясь расшифровкой приводимых в них понятий. Кроме того, при установлении эквивалентности свойств 2) и 3) следует учесть, что если индекс отношения A нулевой, то таким же будет индекс всех его степеней. Теорема 5.3.10. Пусть m ∈ N. Для фредгольмова на бесконечности отношения A ∈ LR(X) \ LO(X) индекса нуль следующие условия эквивалентны: 1) все жордановы цепочки отношения A, отвечающие точке ∞, имеют длину не превосходящую числа m ∈ N, причем существует жорданова цепочка длины m; 2) Am−1 0 ⊂ Am 0 = Am+1 0; 3) D(Am−1 ) ⊃ D(Am ) = D(Am+1 ); 4) ∞ — полюс порядка m − 2, если m > 3, и ∞ — устранимая особая точка при m = 2 резольвенты R(λ, A), λ ∈ ρ(A), отношения A. Следствие 5.3.11. Если A ∈ LR(X) \ LO(X), X — конечномерное пространство, то σ e(A) состоит из конечного множества точек, число которых не превосходит размерности n = dim X пространства X, причем для отношения A имеет место следующее спектральное разложение m X A= λi Pi + Q + A∞ , m + 1 6 n, i=1

где Pi ∈ End X – проекторы Рисса, построенные по одноточечным множествам {λi }, 1 6 i 6 m, σ(A) = {λ1 , ...λm }, σ e(A∞ ) = {∞}, Q, A−1 ∞ — нильпотентные операторы из алгебры End X перестановочные между собой и с проекторами Pi , 1 6 i 6 m. Замечание 5.3.12. Следствие 5.3.11, как и остальные результаты в разделах 5.3–5.5 получено при условии, что выполнено предположение 5.3.1. Если оно не выполнено, то может оказаться, что e даже при 1 6 dim X < ∞. Так будет, например, для отношения A = X × X. σ e(A) = C

110

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

5.4. О

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

НЕКОТОРЫХ АНАЛОГАХ УСЛОВИЙ

ХИЛЛЕ—ФИЛЛИПСА—ИОСИДЫ—ФЕЛЛЕРА—МИЯДЕРЫ

ДЛЯ

ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Пусть A — отношение из LR(X). Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения x(t) ˙ ∈ A x(t),

t ∈ R+ = [0; +∞),

x(0) = x0 ∈ D(A).

(5.4.1) (5.4.2)

Дифференцируемая функция x : R+ → X, для которой x(0) = x0 , x(t) ∈ D(A) ∀ t > 0, называется решением задачи Коши (5.4.1)–(5.4.2), если она удовлетворяет включению (5.4.1). Определение 5.4.1. Замыкание в X множества начальных условий вида (5.4.2), для которых существует решение задачи (5.4.1)–(5.4.2), назовем фазовым пространством дифференциального включения (5.4.1) и обозначим символом Φ(A). Замечание 5.4.2. При рассмотрении однородных линейных дифференциальных уравнений, как и в теории полугрупп линейных операторов, замена x(t) = exp(λ0 t) y(t), где λ0 ∈ ρ(A), приводит (5.4.1) к дифференциальному включению, определяемому непрерывно обратимым отношением A − λ0 I. Поэтому без потери общности при необходимости в рассматриваемых далее вопросах можно считать, что 0 ∈ ρ(A), т. е. A−1 ∈ End X. Замечание 5.4.3. Если x : R+ → X — решение дифференциального включения (5.4.1), B = A−1 и 0 ∈ ρ(A), то x : R+ → X является решением дифференциального уравнения (см. лемму 5.7.2) B x˙ = x.

(5.4.3)

В этом параграфе рассматриваются линейные отношения, для которых ∞ не обязательно является изолированной точкой в расширенном спектре. С помощью эргодических теорем формируются подпространства, содержащие в себе фазовое пространство для дифференциальных включений, а затем с помощью некоторых аналогов условий теоремы Хилле—Филлипса—Иосиды—Феллера— Миядеры (ХФИФМ) для линейных отношений строятся вырожденные полугруппы линейных ограниченных операторов. Как и ранее, всюду считается выполненным предположение 5.3.1. Определение 5.4.4. Пусть m ∈ N. Будем говорить, что m-я степень резольвенты отношения A ∈ LR(X) обладает свойством минимального роста на бесконечности, если существует последовательность {λn } ⊂ ρ(A) такая, что 1)

lim |λn | = ∞;

n→∞

m 2) sup {|λm n | · k(R(λn , A)) k} < ∞.

(5.4.4)

n>1

Предположение 5.4.5. Резольвента отношения A ∈ LR(X) удовлетворяет условиям (5.4.4) из определения 5.4.4. Теорема 5.4.6. Если для отношения A ∈ LR(X) выполнено предположение 5.3.4, то для него выполнено и предположение 5.4.5. Доказательство. Воспользуемся обозначениями теоремы 5.3.5 и доказанной в ней эквивалентностью трех условий. Следовательно, выполнено условие 2) из определения 5.4.4. Тогда R(λ; A) = R(λ; A∞ ) ⊕ R(λ; A0 ), если число λ удовлетворяет оценке |λ| > r0 > 0 для достаточно большого m = 0, то из представления резольr0 . Поскольку A0 ∈ End X0 , lim R(λ, A0 ) = 0 и (A−1 ∞) |λ|→∞

венты R( . , A∞ ) отношения A∞ , полученного при доказательстве теоремы 5.3.5, следует, что (R(λ; A∞ ))m = 0 для всех λ ∈ C. Таким образом, (R(λ; A))m = (R(λ; A0 ))m ⊕ 0 при всех λ ∈ C, и тогда для любой последовательности {λn } ⊂ ρ(A) со свойством lim |λn | = ∞ выполнено предпоn→∞

ложение 5.4.5. Лемма 5.4.7. Если выполнено предположение 5.4.5, то длины всех жордановых цепочек линейного отношения A ∈ LR(X), отвечающих точке ∞, не превосходят m, и все они лежат в X∞ = Am 0. Доказательство. Предположим противное и рассмотрим собственный вектор x0 отношения A ∈ LR(X), отвечающий точке λ = ∞, для которого имеется жорданова цепочка длины k > m + 1. e∞ , являющееся линейной оболочкой вектора x0 и всех его Образуем k-мерное подпространство X

5.4. О

НЕКОТОРЫХ АНАЛОГАХ УСЛОВИЙ

ХИЛЛЕ—ФИЛЛИПСА—ИОСИДЫ—ФЕЛЛЕРА—МИЯДЕРЫ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

111

e∞ и заприсоединенных элементов. Обозначим через Ae∞ сужение отношения A ∈ LR(X) на X метим, что σ e(Ae∞ ) = {∞}. В силу леммы 5.3.8 имеем (R(λn , A))m xm = x0 6= {0}, n > 1. m Следовательно, lim |λm n | · k(R(λn , A)) xm k = ∞ при |λn | → ∞. n→∞

В условиях предположения 5.4.5 введем в рассмотрение ограниченную последовательность операторов из алгебры End X вида An = I − (−λn R(λn , A))m ,

n ∈ N,

(5.4.5)

и замкнутое подпространство e = {x ∈ X : ∃ lim An x}. X n→∞

Для построения фазового пространства Φ(A) дифференциального включения (5.4.1) привлечем из статьи [22] эргодические теоремы, примененные к последовательности An . Вначале сформулируем некоторые используемые здесь понятия и результаты из [22] (причем не в самом общем виде). Пусть A — наименьшая замкнутая подалгебра из банаховой алгебры End X, содержащая все операторы R(λ; A), λ ∈ ρ(A) и тождественный оператор I. Тогда A — коммутативная банахова алгебра с единицей и последовательность (An ) принадлежит A. Пусть m ∈ N. Рассмотрим наименьший замкнутый идеал J = Jm из алгебры A, содержащий все операторы (R(λ; A))m , λ ∈ ρ(A). Определение 5.4.8. Ограниченную последовательность линейных операторов (An ) из алгебры A назовем J -последовательностью, если выполнены следующие два условия: 1) lim kAn F k = 0 ∀F ∈ J ; n→∞

2) An x − x ∈ J x = {F x; F ∈ J } ∀x ∈ X. Пусть (An ) является J -последовательностью. Символом Erg (X, (An )) обозначим (замкнутое) подпространство Erg (X, (An )) = {x ∈ X : ∃ lim An x} n→∞

и назовем его эргодическим подпространством, отвечающим J -последовательности (An ). Лемма 5.4.9. В условиях предположения 5.4.5 последовательность (An ) является J -последоe = Erg (X, (An )). вательностью, и, следовательно, X Ввиду ограниченности последовательности (An ) для проверки условия 1) из определения 5.4.4 достаточно установить справедливость равенства lim kAn (R(µ, A))m k = 0 для любого фиксироn→∞

ванного числа µ из ρ(A). Оно следует из неравенств kAn (R(µ, A))m k 6 const(µ)|λ−1 n |,

n > 1,

которые, в свою очередь, вытекают (в результате неоднократного применения тождества Гильберта) из следующих оценок: k(R(λn , A))k (R(µ, A))m−k k 6 const · |λn |−k , 1 6 k 6 m, n > 1. Условие 2) из определения 4.4, очевидно, выполнено. e инвариантно относительно всех операторов R(λ, A), λ ∈ ρ(A), то Так как подпространство X оно инвариантно относительно отношения A, и поэтому можно рассмотреть сужение Ae отношения e (см. определение 5.2.6). A на X Следующее утверждение вытекает из [22, лемма 1], а также из теоремы 2.2.8 и служит конкретизацией формулируемых в ней свойств. e допускает разложение Теорема 5.4.10. В условиях предположения 5.4.5 подпространство X в прямую сумму e = X0 ⊕ X∞ X (5.4.6) двух замкнутых инвариантных относительно A подпространств X0 , X∞ , причем X0 = e D(Am ), X∞ = Am 0, и соответствующее разложение отношения Ae ∈ LR(X) Ae = A0 ⊕ A∞

(5.4.7)

112

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

m = 0, A : D(A ) ⊂ X → X — линейный заобладает свойствами: σ e(A∞ ) = {∞}, (A−1 0 0 0 0 ∞) e = σ(A) и с плотной в X0 областью определения мкнутый оператор со спектром σ(A0 ) = σ(A) m D(Am 0 ) оператора A0 .

e осуществляет проектор P0 , определяеЗамечание 5.4.11. Разложение (5.4.4) пространства X мый соотношениями e P0 x = lim (I − An ) x = lim (−λn R(λn , A))m x, x ∈ X, n→∞

n→∞

Im P0 = X0 , Ker P0 = X∞ и не зависящий от выбора последовательности (λn ) из ρ(A), удовлетворяющей условиям предположения 5.4.5 (см. [22, лемма 2]). Отметим еще, что D(Ak0 ) плотно в X0 при любом k ∈ N (см. [22]). Следствие 5.4.12. В условиях предположения 5.4.5 линейное отношение A ∈ LR(X) с плотной в X областью определения D(Am ) для отношения Am является линейным оператором. Следствие 5.4.13. В условиях предположения 5.4.5 подпространство Am 0 конечномерно, если D(Am ) имеет конечную коразмерность в X. Следующее утверждение вытекает из [22, теорема 1]. e = X, необхоТеорема 5.4.14. Пусть выполнено предположение 5.4.5. Для того чтобы X m димо и достаточно, чтобы векторы из подпространства A 0 разделяли функционалы из подпространства (A∗ )m 0 сопряженного к X банахова пространства X ∗ (A∗ ⊂ X ∗ × X ∗ — сопряженное к A линейное отношение; см. раздел 1.2). e = X, если выполнено одно из следующих условий: В частности, X 1) X− рефлексивное банахово пространство; 2) R(λ0 , A) ∈ End X− слабо компактный оператор при некотором λ0 ∈ ρ(A); 3) dim Am 0 = dim(A∗ )m 0 < ∞. Отметим, что утверждение теоремы 5.4.10 для рефлексивного банахова пространства при m = 1 приведено в [146, п. 1.3] и в [91]. Следствие 5.4.15. Если в условиях предположения 5.4.5 линейное отношение A ∈ LR(X) имеет компактную резольвенту, то X = X0 ⊕ X∞ = Am 0 ⊕ D(Am ). Предположение 5.4.16. Существуют такие числа M > 0, ω ∈ R, m ∈ N, что для всех λ ∈ C с Re λ > ω и всех n ∈ N имеют место оценки M k(R(λ, A))mn k 6 , n ∈ N. (5.4.8) ( Re λ − ω)mn Проведем построение фазового пространства Φ(A) и вырожденных полугрупп линейных операторов, с помощью которых определяются решения задачи (5.4.1)–(5.4.2). Построения проводятся в условиях, когда выполнено предположение 5.4.16 и dim A0 > 1, т. е. A ∈ LR(X) \ LO(X). Из предположения 5.4.16 следует, что выполнено предположение 5.4.5. Поэтому согласно лемме e = Erg (X, (An )), построенное по 5.4.7 можно рассматривать эргодическое подпространство X ограниченной последовательности (An ) ∈ End X. Она определена формулой (5.4.5), где (λn ) — произвольная последовательность из R+ ∩ ρ(A) со свойством lim λn = ∞. Таким образом, n→∞

e При этом подпроимеет место утверждение теоремы 5.4.10 о разложении подпространства X. m странства X∞ = A 0, X0 = D(Am ) являются инвариантными для отношения A. Для сужения A0 = A  X0 ∈ LO(X0 ) отношения A на X0 остается выполненным предположение 4.16. Докажем, что оно позволяет построить на X0 полугруппу {T0 (t); t > 0} класса C0 с генератором A0 , имеющим в силу теоремы 5.4.10 плотную в X0 область определения D(A0 ). Для построения такой полугруппы используем аналог аппроксимации Иосиды (см. [96, теорема 12.3.1]) следующего вида: A0n = (−λn /m)(I − (−λn R(λn , A0 ))m ) ∈ End X0 ,

n > 1.

5.4. О

НЕКОТОРЫХ АНАЛОГАХ УСЛОВИЙ

ХИЛЛЕ—ФИЛЛИПСА—ИОСИДЫ—ФЕЛЛЕРА—МИЯДЕРЫ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

113

Лемма 5.4.17. В условиях предположения 5.4.16 для любого µ ∈ ρ(A) справедлива оценка k(A0n − (−λn R(λn , A0 ))m A0 ) (R(µ, A0 ))m k 6 const · |λn |−1 ,

n > 1.

(5.4.9)

Доказательство. Преобразуем левую часть в (5.4.9) таким образом: (A0n − (−λn R(λn , A0 ))m A0 ) (R(µ, A0 ))m = = [(−λn /m)(I − (−λn R(λn , A0 ))m ) − (−λn R(λn , A0 ))m A0 ] (R(µ, A0 ))m m = (−λn R(λn , A0 ))m [(−λn /m)(I − λ−1 n A0 ) + m +(λn /m)(I − mλ−1 n A0 )](R(µ, A0 )) = m X k −k k = (−λn /m)(−λn R(λn , A0 ))m Cm λn A0 (R(µ, A0 ))m . k=2

Теперь оценка (5.4.9) является следствием полученного представления ее левой части и предположения 5.4.5. Теорема 5.4.18. Пусть для линейного отношения A ∈ LR(X) выполнено предположение 5.4.16 и dim A0 > 1. Тогда e = D(Am ) = X0 Φ(A) ∩ X e и существует единственная вырожденная полугруппа операторов {Te(t); t > 0} ⊂ End X, e определяемое равенствами Ae = A0 генератором которой служит отношение Ae ∈ LR(X), e e на X0 , D(A) = X0 ∩ D(A), A0 = X∞ . Полугруппа {Te(t); t > 0} обладает следующими свойствами: 1) ее сужение {T0 (t); t > 0} ⊂ End X0 на X0 является полугруппой класса C0 , и любое решение x : R+ → X задачи (5.4.1)–(5.4.2) с x0 ∈ D(A0 ) ⊂ X0 имеет вид x(t) = T0 (t) x0 , t > 0; e — проектор на подпространство X0 параллельно X∞ . 2) Te(0) ∈ End X Если векторы из подпространства X∞ = Am 0 ⊂ X разделяют функционалы из подпро∗ = (A∗ )m 0 ⊂ X ∗ (например, если выполнено одно из трех условий теорестранства X∞ e = X, причем Φ(A) = X0 . мы 5.4.14), то X Доказательство. Вначале будем считать, что предположение 5.4.16 выполнено при M = 1 и ω = 0. Тогда k(−λn R(λn , A0 ))m k 6 1 и поэтому верны оценки exp(A0n t) 6 1,

n > 1,

(5.4.10)

t > 0.

Покажем, что в условиях предположения 5.4.16 c M = 1 и ω = 0 выполнены следующие условия: (i) T0 (t) x = lim exp(A0n t) x существует для каждого x ∈ X0 ; n→∞

(ii) {T0 (t); t > 0} — полугруппа класса C0 на X0 ; (iii) генератором полугруппы является оператор A0 . Докажем (i). Пусть Tn0 (t) = exp(A0n t), n > 1, t > 0. Тогда для x ∈ X0 имеем Tn0 (t)

x−

Tk0 (t)

Zt x=

d 0 T (t − s) Tn0 (s) x ds = ds k

0

Zt =

Tk0 (t − s) Tn0 (s) (A0k x − A0n x) ds.

0

Отсюда получаем оценки kTn0 (t) x − Tk0 (t) xk 6 t kA0n x − A0k xk,

t > 0,

x ∈ X0 .

Из неравенства (5.4.9) и из леммы 5.4.17 (см. также замечание 5.4.11) следует, что последовательность (A0n x) фундаментальна на любом векторе x из D(Am+1 ) и сходится к вектору 0 0 (t)k 6 1 ∀t > 0, то последовательность функций A0 x. Поскольку D(Am+1 ) плотно в X и kT 0 n 0 ϕn (t) = Tn0 (t) x, где x ∈ X0 , сходится равномерно на каждом промежутке [0, t0 ] из R+ . Докажем (ii). Из поточечной сходимости полугрупп {Tn0 (t); t > 0}, n > 1 следует, что их предел определяет сжимающую полугруппу {T0 (t); t > 0} ⊂ End X0 класса C0 .

114

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

Докажем (iii). Пусть генератором полугруппы {T0 (t); t > 0} является оператор B0 : D(B0 ) ⊂ X0 → X0 . Покажем, что B0 = A0 . Если x ∈ D(Am+1 ), то по доказанному последовательность 0 0 функций ϕn (t) = Tn (t) x, t > 0, n > 1 сходится равномерно на каждом компактном промежутке [0, t0 ] к функции ϕ : R+ → X0 . Так как ϕ0n (t) = Tn0 (t) A0n x, t > 0, то ϕ0n (t) сходится равномерно к функции T0 (t) A0 x. Следовательно, x ∈ D(B0 ), A0 x = B0 x ∀x ∈ D(Am+1 ), и поэтому 0 A0 (R(λ0 , A0 ))m+1 = B0 (R(λ0 , B0 ))m+1 ∀λ0 > 0 (отметим, что R+ ⊂ ρ(A0 ) ∩ ρ(B0 )). Из этого равенства находим, что (R(λ0 , A0 ))m = (B0 −λ0 I) (R(λ0 , A0 ))m+1 и, значит, R(λ0 , B0 ) = R(λ0 , A0 ), т. е. B0 = A0 . Обратимся теперь к общему случаю в предположении 5.4.16. Если ω 6= 0, то, переходя при необходимости от отношения A к A−ωI, считаем, что ω = 0 (см. замечание 5.4.2). Таким образом, выполнено условие k(−λR(λ, A))mn k 6 M ∀ λ > 0, n ∈ N. Для каждого µ > 0 определим новую норму на X формулой kxkµ = sup k(−µR(µ, A))mn xk,

x ∈ X.

n>0

Относительно этой нормы выполнены условия (iv) kxk 6 kxkµ 6 M kxk, x ∈ X; (v) k(−λR(λ, A))m kµ 6 1 ∀ λ > 0. Следовательно, нормы k . kµ , k . k эквивалентны, и отношение A удовлетворяет предположению 5.4.16 с M = 1 и ω = 0 по норме k . kµ . Осталось воспользоваться свойствами (i)–(iii). e до выроТеперь построенную полугруппу операторов {T0 (t); t > 0} ⊂ End X0 расширим на X e положив Te(t) x = T0 (t) x, x ∈ X0 и жденной полугруппы операторов {Te(t); t > 0} ⊂ End X, e T (t) x = 0 ∀ x ∈ X∞ . Ясно, что все решения задачи (4.1)–(4.2) с x0 ∈ X0 задаются с помощью полугруппы {T0 (t); t > 0} на подпространстве X0 , и генератором для {Te(t); t > 0} является e с указанными в формулировке теоремы 5.4.18 свойствами. Очевидна линейное отношение Ae на X единственность вырожденной полугруппы {Te(t); t > 0} с постулируемыми свойствами. Докажем, что Φ(A) ∩ X∞ = {0}. Допустим, что существует ненулевой вектор x1 из Φ(A) ∩ X∞ e и x e1 : R+ → X — решение для включения(5.4.1) с x e1 (0) = x1 ∈ D(A). Если P∞ ∈ End X – проектор на X∞ параллельно подпространству X0 , то P∞ x e1 : R+ → X∞ — решение для включения x(t) ˙ ∈ A∞ x(t), t > 0, причем x∞ (0) = x1 ∈ X∞ . Учитывая замечание 5.4.3 и тот факт, что 0 ∈ ρ(A∞ ), получаем A−1 ˙ ∞ (t) = x∞ (t), ∀ t > 0. Следовательно, x∞ (t) ∈ Im A−1 ∞x ∞ при всех m −1 t > 0, и, значит, x∞ (t) ∈ Im (A∞ ) = {0} ∀ t > 0, т. е. x1 (0) = x1 = 0. Получено противоречие. e согласно теореме 5.4.14. Если векторы из Am 0 разделяют функционалы из (A∗ )m 0, то X = X Следовательно, Φ(A) = X0 . Замечание 5.4.19. Утверждения теоремы 5.4.18 при m = 1 приведены в монографии [146, гл. II]. Отметим, что если A — линейное отношение на конечномерном пространстве X, причем A2 0 6= A0, то даже в этом случае результаты из [146] оказываются неприменимыми. Разложение X = D(A) ⊕ A0 было получено в [146] только для рефлексивного банахова пространства. При m > 1 дифференциальные включения вида (5.4.1) рассматривались в [73] методом nинтегрированных полугрупп. Однако основные результаты анонсированы в [73] при априорном предположении о существовании разложения X = D(Am ) ⊕ Am 0; отмечалось его наличие для рефлексивного банахова пространства X при условии, когда m = 1. Следствие 5.4.20. Пусть для линейного отношения A ∈ LR(X), удовлетворяющего предположению 5.4.5, существуют числа M > 0, ω ∈ R такие, что для всех x ∈ X0 , λ ∈ C с Re λ > ω и всех n ∈ N имеют место оценки k(R(λ, A))n xk 6

M kxk . ( Re λ − ω)n

Тогда справедливы все утверждения теоремы 5.4.18. Замечание 5.4.21. В условиях теоремы 5.4.18 можно доказать, что фазовое пространство Φ(A) e со следующими свойствами: не содержит векторов из X \ X

5.5. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ

115

ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

1) x0 — вектор, для которого задача Коши (5.4.1)–(5.4.2) имеет m раз дифференцируемое решение; 2) x0 — вектор, для которого задача Коши (5.4.1)–(5.4.2) имеет решение x(t), удовлетворяющее условию kx(t)k 6 M exp ωt, t > 0. Непосредственно из теоремы 5.4.18 следует Теорема 5.4.22. Если для линейного оператора A ∈ LO(X) с D(A) = X выполнены условия предположения 5.4.16, то A является генератором полугруппы класса C0 . Из теорем 5.3.5 (условие 2)), 5.4.6 и 5.4.18 вытекает Теорема 5.4.23. Если отношение A ∈ LR(X) удовлетворяет одному из условий теоремы 5.3.5, то Φ(A) = X0 , причем каждое решение x : R+ → X задачи (5.4.1)–(5.4.2) с x0 ∈ X0 определяется с помощью аналитической группы операторов {exp A0 t, t ∈ R} и имеет вид x(t) = (exp A0 t)x0 , t ∈ R. Отметим, что полугруппа {Te(t); t > 0}, построенная в теореме 5.4.18 по разложению (5.3.2) пространства X, имеет вид Te(t) = exp A0 t ⊕ 0. Ее можно также записать в виде T0 (t) = (exp A0 t) P0 , t > 0. Каждое решение x включения (4.1) при всех t > 0 представимо в форме x(t) = T0 (t) x0 , x0 ∈ X0 = Φ(A). Замечание 5.4.24. Подпространство X0 в условиях предположения 5.4.16 является фазовым пространством Φ(A) (подпространством начальных условий) для обобщенных решений (mild solutions [144]). Замечание 5.4.25. Подпространство X∞ , возникающее в условиях предположения 5.4.5, согласно теореме 5.4.6 не вносит вклада в фазовое пространство Φ(A) в силу нильпотентности оператора A−1 e(A) = {∞}, т. е. A−1 ∈ End X — квазинильпотентный оператор, ∞ . Однако, если σ то может оказаться, что Φ(A) = X. Примером может быть любой оператор A ∈ LO(X), являющийся генератором полугруппы класса C0 с σ e(A) = {∞}. В частности, генератор нильпотентной полугруппы класса C0 (см. [144]). 5.5. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ

ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

В этом параграфе определяются секториальные линейные отношения и по ним осуществляется построение вырожденных аналитических полугрупп линейных операторов. При получении основных результатов также существенно используются эргодические теоремы (см. гл. 2). Определение 5.5.1. Отношение A ∈ LR(X) назовем секториальным с углом θ ∈ (π/2, π), если для некоторого a ∈ R сектор Ω = Ωa, θ = {λ ∈ C |

| arg(λ − a)| < θ,

λ 6= a}

содержится в резольвентном множестве ρ(A) отношения A, и для каждого δ ∈ (0, θ − π/2) существуют числа m ∈ N и Mδ > 1 такие, что sup

k((a − λ)R(λ, A))m k = Mδ < ∞.

(5.5.1)

λ∈Ωa, θ−δ

Всюду в этом параграфе считается выполненным Предположение 5.5.2. Отношение A ∈ LR(X) является секториальным. Имея в виду замечание 5.4.2, в определении секториального отношения без ограничения общности можно принять a = 0. Таким образом, условия (5.5.1) при a = 0 принимают форму sup

k(−λR(λ, A))m k = Mδ < ∞.

(5.5.1)0

λ∈Ω0, θ−δ

В дальнейшем все построения будут проводиться при выполнении условия (5.5.1)0 , однако в формулировках результатов ограничение a = 0 не будет фигурировать. Для построения аналитической полугруппы операторов, генератором которой является секториальное отношение A, нам потребуется

116

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

Лемма 5.5.3. Для резольвенты секториального линейного отношения A ∈ LR(X) существует постоянная C > 0 такая, что при всех δ ∈ (0, θ − π/2) справедлива оценка kR(λ, A)k 6 C(1 + |λ|)m−2 ,

λ ∈ Ωa, θ−δ .

(5.5.2)

d (R(λ, A))n = n (R(λ, A))n+1 , n ∈ N, то для любой фиксированной dλ ⊂ ρ(A) имеем Z λ n (R(λ, A)) = n (R(µ, A))n+1 dµ + (R(λ0 , A))n , (5.5.3)

Доказательство. Поскольку точки λ0 ∈ Ωa, θ−δ

λ0

где интегрирование ведется по любой кусочно-гладкой кривой γ, соединяющей точки λ0 , λ из Ωa, θ−δ и целиком лежащей в Ωa, θ−δ . Доказываемая оценка следует из представления (5.5.3), которое следует последовательно рассмотреть при n = m−1, m−2, ..., 1, т. е. m раз проинтегрировав функцию µ 7→ (R(µ, A))m . Определение 5.5.4. Пусть A — секториальное отношение из LR(X) с углом θ. Положим для z ∈ Ω0, θ−δ , где δ ∈ (0, θ − π/2), Z 1 T (z) = − eλz R(λ, A)dλ. (5.5.4) 2πi γ

В качестве кривой γ = γ(r, ε) в определении 5.5.4 можно взять объединение трех кривых γk (r, ε), k = 1, 2, 3 следующего вида γ1 (r, ε) = {−ρ e−i(θ−ε) | γ2 (r, ε) = {r eiα |

− ∞ 6 −ρ 6 −r},

− (θ − ε) 6 α 6 θ − ε}, i(θ−ε)

γ3 (r, ε) = {ρ e | r 6 ρ 6 ∞}, где ε = (δ0 − δ)/2; δ0 = θ − π/2, и r = 1/|z|. Сходимость интеграла при всех z ∈ Ω0, δ , δ ∈ (0, δ0 ) в равномерной операторной топологии следует из леммы 5.5.3. Далее считается, что δ0 = θ − π/2. Теорема 5.5.5. Пусть A ∈ LR(X) — секториальное линейное отношение (выполнено условие (5.5.1) из предположения 5.5.2). Тогда равенство (5.5.4) задает аналитическую в секторе Ω0, δ0 ⊂ ρ(A) и ограниченную при t > 0 полугруппу операторов из алгебры End X. Доказательство. Обычным образом (см. [95, гл. 1, раздел 3, п. 4]) непосредственно из определения устанавливается аналитичность функции T в открытом секторе Ω0, δ ∈ ρ(A) при t > 0, свойство T (z1 + z2 ) = T (z1 ) T (z2 ), z1 , z2 ∈ Ω0, δ0 (5.5.5) и сильная непрерывность полугруппы {T (t); t > 0}. Проинтегрируем T (z), z ∈ Ω0, δ , из (5.5.4) по частям m раз. В результате получим при t > 0 следующее представление: Z (−1)m (m − 1)! T (t) = eλt (R(λ, A))m dλ. (5.5.6) 2πi · tm−1 γ(1/t, ε)

После замены µ = λ t в (5.5.6) придем к формуле Z µ (−1)m (m − 1)! T (t) = (R( , A))m eµ dµ. m 2πi t t γ(1, ε)

Отсюда и из (5.5.1) вытекает оценка kT (t)k 6

(m − 1)! 2π

Z

Mδ · |eµ | |dµ|, |µ|m

γ(1, ε)

обеспечивающая ограниченность полугруппы при t > 0.

(5.5.7)

5.5. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ

ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

117

Исследование полугруппы {T (t); t > 0} проведем с помощью двух операторнозначных функций A(λ) = I − ((−λR(λ, A))m ),

B(t) = I − T (t),

λ > 0,

t > 0.

(5.5.8)

В дальнейшем рассматриваются две произвольные последовательности (λn ), (tn ), n > 1, из R+ со свойствами: λn ∈ Ω ⊂ ρ(A), lim λn = ∞, lim tn = 0 n→∞

n→∞

и соответствующие ограниченные последовательности операторов An = A(λn ), Bn = B(tn ), n ∈ N, из банаховой алгебры End X. Лемма 5.5.6. В условиях предположения 5.5.2 при любом фиксированном λ0 ∈ Ω0, θ ⊂ ρ(A) справедливы следующие свойства: 1) Im (I − An ) ⊂ Im (R(λ0 , A))m , Im (I − Bn ) ⊂ Im (R(λ0 , A))m ; 2) lim An (R(λ0 , A))m = 0, lim Bn (R(λ0 , A))m = 0. n→∞

n→∞

Доказательство. Утверждения леммы для последовательности (An ) были установлены в лемме 5.4.9. Второе включение из 1) для последовательности (Bn ) непосредственно следует из формулы (5.5.6) при t > 0. Осталось доказать, что при любом фиксированном λ0 ∈ Ω0,θ lim Bn (R(λ0 , A))m = 0.

(5.5.9)

n→∞

В самом деле, из (5.5.4) и равенства (m − 1)! 1=− 2πi · tm−1

eλt dλ λm

Z

(5.5.10)

γ(1/t, ε)

находим, что (m − 1)! B(t) = I − T (t) = − 2πi · tm−1

Z A(λ)

eλt dλ. λm

(5.5.11)

γ(1/t, ε)

Считая t > 0 фиксированным, проведем в (5.5.11) замену µ = λt и получим Z (m − 1)! µ eµ B(t) = − A( ) m dµ. 2πi t µ

(5.5.12)

γ(1, ε)

Поскольку T (t) коммутирует с R(λ, A), то (5.5.12) при t = tn примет вид Z µ (m − 1)! eµ m B(tn )(R(λ0 , A)) = − A( )(R(λ0 , A))m m dµ. 2πi tn µ

(5.5.13)

γ(1, ε)

Используя (5.4.9) и (5.5.13), приходим к оценкам Z kB(tn )(R(λ0 , A))m k 6 c tn

|eµ | |dµ|, |µ|m+1

n > 1,

γ(1, ε)

откуда следует предельное соотношение (5.5.9). Таким образом, согласно терминологии раздела 5.4 (определение 5.4.8), обе последовательности (An ) и (Bn ) являются J -последовательностями для рассматриваемого в разделе 5.4 идеала J ⊂ A. Теорема 5.5.7. В условиях предположения 5.5.2 справедливы равенства e = X0 ⊕ X∞ , Erg (X, (An )) = Erg (X, (Bn )) = X причем подпространства X0 , X∞ являются замкнутыми. Равенства e P∞ x = lim An x = lim Bn x, x ∈ X, n→∞

n→∞

e со следующими свойствами: определяют ограниченный проектор P∞ ∈ End X 1) kP∞ k 6 min{ lim kAn k, lim kBn k}; n→∞

2) Im P∞ = X∞ ,

n→∞

Ker P∞ = X0 .

(5.5.14)

118

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

Все утверждения теоремы 5.5.7 следуют из леммы 2.2.4, для применения которой используется лемма 5.5.6. Обозначим P0 = I − P∞ и заметим, что e P0 x = lim (−λn R(λn , A))m x = lim T (tn ) x, x ∈ X. n→∞

n→∞

Указанные пределы существуют и равны вне зависимости от конкретного вида последовательностей (λn ), (tn ), n ∈ N, с указанными ранее свойствами. Тем самым обеспечивается представление e в виде подпространств X0 и X∞ из X X0 = {x ∈ X |

lim T (t) x = x},

t→+0

X∞ =

\

Ker T (t).

(5.5.15)

t>0

Из этого представления следует, что сужение {T0 (t); t > 0} полугруппы T (t) на подпространство X0 является сильно непрерывной в нуле и аналитической в секторе Ω0,δ0 полугруппой. Аналитическим в том же секторе будет и сужение {Te(z); z ∈ Ω0,δ0 } функции T : Ω0,δ0 → End X на e подпространство X. Обозначим отношение обратное к нулевому оператору на X∞ через O∞ = 0−1 ∞. Теорема 5.5.8. Пусть A ∈ LR(X) \ LO(X) — секториальное отношение. Тогда {Te(t); t > e — аналитическая в секторе Ω0,δ полугруппа операторов, причем она является 0} ⊂ End X 0 e где O∞ ∈ LR(X∞ ), D(O∞ ) = вырожденной полугруппой с генератором Ae = A0 ⊕ O∞ ∈ LR(X), {0}, O∞ 0 = X∞ , оператор A0 = Ae  X0 ∈ LO(X0 ) является генератором сильно непрерывной e = X0 . и аналитической в секторе Ω0,δ0 полугруппы операторов {T0 (t); t > 0}, и Φ(A) ∩ X Любое решение задачи (4.1)-(4.2) с x0 ∈ D(A0 ) имеет вид x(t) = T0 (t)x0 , t > 0. Если векторы из подпространства Am 0 ⊂ X разделяют функционалы из подпространства e = X, (A∗ )m 0 ⊂ X ∗ (в частности, если выполнено одно из трех условий теоремы 5.4.14), то X и тогда Φ(A) = X0 . Доказательство. Докажем, что генератором вырожденной полугруппы {Te(t); t > 0} является отношение Ae = A0 ⊕ O∞ . Для этого достаточно установить (см. теорему 5.4.6), что линейный замкнутый оператор A0 ∈ LO(X0 ) является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов {Te0 (t); t > 0}. Ясно, что для A0 выполнено предположение 5.5.2 (с теми же постоянными из определения 5.5.1). Предположим, что B0 : D(B0 ) ⊂ X0 → X0 — генератор полугруппы {T0 (t); t > 0} класса C0 . Для доказательства равенства A0 = B0 достаточно установить, что R(λ, A0 ) = R(λ, B0 ) при λ = |ω0 | + 2, где ω0 — число, удовлетворяющее условию kT0 (t)k 6 const · exp(ω0 t), t > 0. Рассмотрим последовательность кривых γn = γ(rn , ε), каждая из которых является объединением трех кривых γk (rn , ε), k = 1, 2, 3, как в определении 5.5.4, причем радиусы rn окружностей с центром в точке 0 стремятся к бесконечности. Тогда в силу формул Z

R(µ, A0 ) dµ = 2πi R(λ, A0 ), µ−λ

Z

eµt R(µ, A0 ) xdµ = −2πi T0 (t) x

γn

γn

и теоремы Фубини получаем, что для всех x ∈ X0 Zτ

−λt

e 0

1 T0 (t)xdt = 2πi

Z

1 − eτ (µ−λ) R(µ, A0 )xdµ = µ−λ

γn

1 = R(λ, A0 )x − 2πi

Z γn

eτ (µ−λ) R(µ, A0 )xdµ. µ−λ

5.6. ПРИЛОЖЕНИЯ

К СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПАР ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Z Поскольку Re (µ − λ) 6 −1 для µ ∈ γn , ε = (δ0 − δ)/2 и lim

τ →∞

119

e−|τ | µm−2 d|µ| = 0, то из

γn

Z леммы 5.5.3 следует, что lim

τ →∞

eτ (µ−λ) R(µ, A0 )dµ = 0, и, значит, µ−λ

γn

Zτ R(λ, B0 ) x = lim

τ →∞

e−λt T0 (t) xdt = R(λ, A0 ) x, x ∈ X0 .

0

Отметим, что все остальные утверждения теоремы 5.5.8 получены ранее в разделе 5.4. Замечание 5.5.9. Поскольку построенная в условиях предположения 5.5.2 полугруппа {T0 (t); t > 0} является аналитической, то из известных результатов следует (см. [95]), что для оператора A0 ∈ LO(X) условия предположения 5.5.2 выполнены при m = 1 (быть может, с другой постоянной Mδ ). 5.6. ПРИЛОЖЕНИЯ

К СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПАР ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В этом параграфе получены приложения спектральной теории линейных отношений к спектральной теории упорядоченных пар (G, F ) линейных замкнутых операторов F : D(F ) ⊂ X → Y, G : D(G) ⊂ X → Y, действующих из комплексного банахова пространства X в комплексное банахово пространство Y. Будем считать, что области определения D(F ), D(G) удовлетворяют одному из следующих условий: (i) D(F ) = X, D(G) 6= X; (ii) D(F ) 6= X, D(G) = X; (iii) D(F ) = X, D(G) = X. Через D = D(G, F ) обозначим подпространство D(F ) ∩ D(G) и назовем его областью определения упорядоченной пары операторов (G, F ). Определение 5.6.1. К резольвентному множеству ρ(G, F ) упорядоченной пары операторов (G, F ) отнесем все числа λ 6= 0 из C, для которых оператор G − λF : D ⊂ X → Y непрерывно обратим, а также точку λ = 0, если G : D → Y − непрерывно обратимый оператор и D(F ) = X. Множество σ(G, F ) = C \ ρ(G, F ) назовем спектром этой пары. Операторнозначную функцию R ( . ; G, F ) : ρ(G, F ) ⊂ C → Hom (Y, X), R (λ; G, F ) = (G − λF )−1 ,

λ ∈ ρ(G, F ),

назовем резольвентой упорядоченной пары (G, F ). Она определена на открытом множестве ρ(G, F ) и аналитична на нем. Замечание 5.6.2. Если условие 0 ∈ ρ(G, F ) понимать лишь формально как непрерывную обратимость оператора G, то в случае (ii) точка 0 является изолированной в ρ(G, F ), и значит, множество ρ(G, F ) не является открытым. Возникает также ряд других проблем. Так же, как в случае линейных отношений, здесь чрезвычайно полезным оказывается введение понятия расширенного спектра упорядоченной пары операторов. e совпадающее с σ(G, F ), когда функция Определение 5.6.3. Подмножество σ e(G, F ) из C, R( . ; G, F ) допускает аналитическое продолжение в точку ∞, причем lim R(λ; G, F ) = 0, и |λ|→∞

σ e(G, F ) = σ(G, F ) ∪ {∞} в противном случае, назовем расширенным спектром упорядоченной паe\σ ры (G, F ). Множество ρe(G, F ) = C e(G, F ) назовем расширенным резольвентным множеством пары (G, F ).

120

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

При сведении задачи (5.1.2)–(5.1.3) к задаче (5.4.1)–(5.4.2) естественным образом возникают два линейных отношения Al = F −1 G ⊂ X × X, Ar = GF −1 ⊂ Y × Y, которые назовем соответственно левым и правым линейными отношениями для упорядоченной пары (G, F ). Приведем несколько простых свойств линейных отношений (см. [132]), которые будут часто использоваться далее без специального упоминания. Пусть X, Y, Z, W — банаховы пространства и A ∈ LR(X, Y ), B ∈ LR(Y, Z). Тогда имеют место следующие свойства: 1) (BA)−1 = A−1 B −1 ; 2) D(BA) = A−1 D(B) = A−1 ( Im B −1 ), Im BA = B( Im A); 3) C (BA) = (CB)A ∀ C ∈ LR(Z, W ). Кроме того, отметим еще два свойства: для любых A1 , A2 ∈ LR(X, Y ), C ∈ LR(Y, Z) и T ∈ LR(W, X) справедливы равенства 4) C(A1 + A2 ) = CA1 + CA2 , если D(C) ⊃ Im A1 ∩ Im A2 ; 5) (A1 + A2 )T = A1 T + A2 T , если Im T ⊂ D(A1 ) ∩ D(A2 ). Из приведенных свойств 1) и 2) следует, что для левого Al и правого Ar линейных отношений, построенных по упорядоченной паре (G, F ), верны следующие представления: D(Al ) = G−1 ( Im F ), D(Ar ) = F (D(G)),

Im Al = F −1 ( Im G),

(5.6.1)

Im Ar = G (D(F )),

(5.6.2)

R(λ, Al ) = (G − λF )−1 F,

λ ∈ ρ(G, F ),

(5.6.3)

−1

λ ∈ ρ(G, F ).

(5.6.4)

R(λ, Ar ) = F (G − λF )

,

При этом формула (5.6.3) справедлива лишь тогда, когда D(G), D(F ) удовлетворяют одному из условий (i) или (iii). Если же выполнено условие (ii), то формула (5.6.3) неверна, так как D(F ) 6= X. Отметим, что в этом случае к G−1 F можно применить формулу (5.2.7) при 0 6= λ ∈ ρ(G, F ), в результате придем к соотношению −1 −1 R(λ, Al ) = −λ−1 I − λ−2 (A−1 = −λ−1 I − λ−2 (G−1 F − λ−1 I)−1 = l − λ I) (5.6.5) = −λ−1 (I − (G − λF )−1 G). Из представлений (5.6.3)–(5.6.5) следует, что если ∞ ∈ ρe(G, F ), то ∞ ∈ /σ e(Al )∪e σ (Ar ), и, значит, Al ∈ End X, Ar ∈ End Y. Таким образом, доказана следующая Лемма 5.6.4. Имеют место включения ρe(G, F ) ⊂ ρe(Al ) ∩ ρe(Ar ),

σ e(G, F ) ⊃ σ e(Al ) ∪ σ e(Ar ).

(5.6.6)

Резольвенты отношений Al и Ar назовем левой и правой резольвентами упорядоченной пары операторов (G, F ) и обозначим символами Rl ( . ; G, F ) и Rr ( . ; G, F ) соответственно. Эти функции по определению принимают значения соответственно в алгебрах End X и End Y. В дальнейшем считается выполненным следующее (условие несингулярности пары (G, F )) Предположение 5.6.5. Для упорядоченной пары операторов (G, F ) множество ρ(G, F ) непусто. В монографии [146] предполагались выполненными условия: D(F ) ⊂ D(G) ⊂ X = Y. В статьях [84, 91] рассматривались операторы F, G со свойствами: F ∈ Hom(X, Y ), D(G) = X. Наиболее общий случай рассматривался в работе [80], где D(F ), D(G) одновременно могли не совпадать с X. Однако исследование проводилось при предположении, что D = D(F ) ∩ D(G) 6= {0} и, более того, в условиях сделанного нами предположения 5.6.5. Это позволяет ввести на D норму kxk∗ = k(G − λ0 F ) xk, x ∈ D, где λ0 − некоторое число из ρ(G, F ). Относительно этой нормы D становится банаховым пространством, изоморфным Y. Рассматривая D вместо X, можно считать выполненным условие (iii). При этом в качестве содержащего D банахова пространства можно принять одно из подпространств D(F ), D(G) с соответствующей нормой графика (выбор подпространства обычно обусловлен конкретными обстоятельствами; при этом неучтенное подпространство из X не принимается в расчет). Далее выделим, наряду с условиями (i)–(iii), следующие условия: (iv) D(F ) ⊂ D(G) 6= X;

5.6. ПРИЛОЖЕНИЯ

К СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПАР ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

121

(v) D(G) ⊂ D(F ) 6= X. Тогда, если выполнено условие (iv), то на D(G) вводится норма графика оператора G : kxk∗ = kxk + kG xk, x ∈ D(G), и, рассматривая D(G) вместо X, можно считать выполненным условие (ii). Если же выполнено условие (v), то на D(F ) вводится норма графика оператора F, и мы оказываемся в условиях выполнения (i). Теорема 5.6.6. Для упорядоченной пары операторов (G, F ) имеют место следующие свойства: 1) σ e(G, F ) = σ e(Al ); 2) σ e(G, F ) \ {0, ∞} = σ e(Ar ) \ {0, ∞}; 3) σ e(G, F ) = σ e(Al ) = σ e(Ar ), если −1 −1 D = X; 4) 0 ∈ ρ(Al ) ⇐⇒ G F ∈ End X; 5) 0 ∈ ρ(Ar ) ⇐⇒ F G ∈ End Y ; 6) 0 ∈ ρ(Al ) ∩ ρ(Ar ) ⇐⇒ 0 ∈ ρ(G, F ); 7) ∞ ∈ ρe(Al ) ⇐⇒ Al = F −1 G ∈ End X; 8) ∞ ∈ ρe(Ar ) ⇐⇒ Ar = G F −1 ∈ End Y ; 9) ∞ ∈ ρe(Al ) ∩ ρe(Ar ) ⇐⇒ ∞ ∈ ρe(G, F ). Доказательство. Докажем включение (ρ(Al ) ∪ ρ(Ar )) \ {0} ⊂ ρ(G, F ).

(5.6.7)

Пусть 0 6= λ ∈ ρ(Al ) и λ0 6= λ− некоторое фиксированное число из ρ(G, F ), существующее в силу предположения 5.6.5. Представим оператор G − λF в виде G − λF = (G − λ0 F )(I − (λ − λ0 )R(λ0 , Al )) = = (I − (λ − λ0 )R(λ0 , Ar ))(G − λ0 F ).

(5.6.8)

Из следствия 5.2.12 вытекает, что 1/(λ − λ0 ) ∈ / σ(R(λ0 , Al )), и поэтому оператор G − λF : D ⊂ X → Y непрерывно обратим как произведение двух непрерывно обратимых операторов. Следовательно, λ ∈ ρ(G, F ), и значит, ρ(Al ) ⊂ ρ(G, F ). Аналогично доказывается, что ρ(Ar ) ⊂ ρ(G, F ). Тем самым установлено включение (5.6.7). Свойства 4) и 5) являются следствиями определения непрерывно обратимого отношения. Если 0 ∈ ρ(Al ) ∩ ρ(Ar ), то G−1 F ∈ End X, F G−1 ∈ End Y. Из ограниченности этих операторов следует, что D(F ) = X, Ker G = {0}, Im G = Y. Поэтому 0 ∈ ρ(G, F ). Таким образом, доказано свойство 6). Свойства 7)–9) следуют из свойств 5)–7) и теоремы 5.2.11. Теперь свойство 2) вытекает из (5.6.7), (5.6.8) и свойств 4)–9). Установим справедливость свойства 1) для значений 0, ∞. Соотношения 0 ∈ ρ(Al ) и A−1 ∈ End X эквивалентны по определению. Условие A−1 = G−1 F ∈ l l End X означает, что D(F ) = X, Ker G = {0} и Im F ⊂ Im G. Предположение 5.6.5 влечет равенство Im F = Y, следовательно, F : D(F ) ⊂ X → Y — непрерывно обратимый оператор, и значит, 0 ∈ ρ(G, F ). Аналогично устанавливается, что соотношения ∞ ∈ ρe(Al ) и Al ∈ End X эквивалентны, а условие F −1 G ∈ End X означает, что D(G) = X, Ker F = {0} и Im G ⊂ Im F. Предположение 5.6.5 влечет равенство Im G = Y, следовательно, G : D(G) ⊂ X → Y — непрерывно обратимый оператор, и значит, ∞ ∈ ρe(G, F ). Если D = X, то для λ0 ∈ ρ(G, F ) оператор G − λ0 F осуществляет изоморфизм банаховых пространств X и Y, и имеет место равенство Rr (λ; G, F )(G − λ0 F ) = (G − λ0 F )Rl (λ; G, F ),

λ ∈ C,

(5.6.9)

означающее, что левая и правая резольвенты пары (G, F ) подобны, и, следовательно, σ(Al ) = σ(Ar ), и тогда из свойств 1) и 2) получаем, что выполнено свойство 3). Следствие 5.6.7. Если точки 0, ∞ одновременно входят в ρe(G, F ), то D = X и операторы G, F ∈ Hom(X, Y ) непрерывно обратимы. Следствие 5.6.8. Упорядоченная пара (G, F ) обладает следующими свойствами: a) σ e(G, F ) = {0} ⇐⇒ оператор F : D → Y непрерывно обратим, D(G) = X и операторы Al = F −1 G ∈ End X, Ar = GF −1 ∈ End Y квазинильпотентны; b) σ e(G, F ) = {∞} ⇐⇒ оператор G : D → Y непрерывно обратим, D(F ) = X и операторы −1 −1 ∈ End Y квазинильпотентны. Al = G−1 F ∈ End X, A−1 r = FG Обозначим S0 (δ) = {0 6= λ ∈ C : |λ| < δ, δ > 0}.

122

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

Замечание 5.6.9. Следующие два условия эквивалентны: a) D(F ) = X и G : D(G) ⊂ X → Y — непрерывно обратимый оператор; b) ∃ δ > 0 такое, что S0 (δ) ⊂ ρ(G, F ) и sup k(G − λF )−1 k < ∞. λ∈S0 (δ)

Доказательство эквивалентности этих условий может быть сведено к лемме 5.2.9 с помощью теоремы 5.6.11. Отметим, что множества σ e(G, F ) = σ e(Al ), σ e(Ar ) могут отличаться друг от друга. Пример 5.6.10. Пусть H− комплексное гильбертово пространство и пусть T : H → H — необратимая изометрия, причем образ T не совпадает с H. Тогда оператор T ∗ имеет ненулевое ядро, причем T T ∗ 6= I, T ∗ T = I. Вначале рассмотрим упорядоченную пару (G, F ), где G = T ∗ ∈ End H, F = T −1 : Im T ⊂ H → H. Тогда 0 ∈ σ(G, F ). В то же время Al = T T ∗ 6= I и Ar = T ∗ T = I, следовательно, 0 ∈ σ(Al ), но 0∈ / σ(Ar ) = {1}. Рассмотрим далее упорядоченную пару (F, G). Поскольку левое и правое отношения для нее совпадают соответственно с A−1 и A−1 r , то в силу теорем 5.2.11 и 5.6.6 получаем, что ∞ ∈ l −1 −1 σ e(F, G) = σ e(Al ), но ∞ ∈ /σ e(Ar ). Наконец, оба случая объединяются рассмотрением подходящей пары операторов в произведении H × H. Теорема 5.6.11. Расширенные спектры упорядоченных пар (G, F ) и (F, G) связаны соотношением σ e(F, G) = {1/λ : λ ∈ σ e(G, F )}. (5.6.10) Доказательство. Поскольку левое и правое линейные отношения для пары (F, G) являются обратными соответственно для Al и Ar , то (5.6.10) является следствием теоремы 5.2.11 и свойства 1) из теоремы 5.6.6. Определение 5.6.12. Упорядоченная пара подпространств (X1 , Y1 ), где X1 ⊂ X, Y1 ⊂ Y, называется инвариантной для пары (G, F ), если GX1 ⊂ Y1 и F X1 ⊂ Y1 . Определение 5.6.13. Пусть X = X0 ⊕ X1 ,

Y = Y0 ⊕ Y1

(5.6.11)

— прямые суммы замкнутых подпространств, причем (X0 , Y0 ), (X1 , Y1 ) — инвариантные пары подпространств для (G, F ). Пусть Gi , Fi : D(G, F ) ∩ Xi = Di → Yi , i = 0, 1 — сужения операторов G, F на Xi , i = 0, 1. Тогда будем использовать запись (G, F ) = (G0 , F0 ) ⊕ (G1 , F1 )

(5.6.12)

и говорить, что упорядоченная пара операторов (G, F ) допускает представление (5.6.12) относительно разложений (5.6.11) пространств и является прямой суммой пар операторов (G0 , F0 ) и (G1 , F1 ). Теорема 5.6.14. Пусть расширенный спектр σ e(G, F ) упорядоченной пары (G, F ) представим в виде σ e(G, F ) = σ0 ∪ σ1 , (5.6.13) где множество σ0 компактно, σ1 замкнуто и σ0 ∩ σ1 = ∅. Тогда существуют инвариантные для (G, F ) пары подпространств (X0 , Y0 ), (X1 , Y1 ) такие, что имеют место разложения (5.6.11), (5.6.12) и, кроме того, 1) проекторы Pi ∈ End X, Qi ∈ End Y, i = 0, 1, осуществляющие разложения (5.6.11) (т. е. Im Pi = Xi , Im Qi = Yi , i = 0, 1), определяются формулами Z Z 1 1 R(λ, Al ) dλ, Q0 = − R(λ, Ar ) dλ, (5.6.14) P0 = − 2πi 2πi γ0

γ0

P1 = I − P0 , Q1 = I − Q0 , (5.6.15) где γ0 — замкнутая жорданова кривая (или конечное число таких кривых), расположенная в ρ(G, F ) так, что внутри нее лежит σ0 , а вне — σ1 ;

5.6. ПРИЛОЖЕНИЯ

123

К СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПАР ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

2) σ e(G0 , F0 ) = σ(G0 , F0 ) = σ0 , σ e(G1 , F1 ) = σ1 ; 3) D(G0 ) = X0 , F0 : D(F0 ) = D(F ) ∩ X0 ⊂ X0 → Y0 — непрерывно обратимый оператор, и (0) (0) Al = F0−1 G0 ∈ End X0 , Ar = G0 F0−1 ∈ End Y0 ; (0) (0) 4) левая Rl ( . ; G0 , F0 ) = R( . , Al ) и правая Rr ( . ; G0 , F0 ) = R( . , Ar ) резольвенты пары (0) (0) (0) (0) (G0 , F0 ) подобны, причем σ e(Al ) = σ(Al ) = σ e(Ar ) = σ(Ar ) = σ e(G0 , F0 ); 5) D(F1 ) = X1 , G1 : D(G1 ) = D(G) ∩ X1 ⊂ X1 → Y1 — непрерывно обратимый оператор, −1 если 0 ∈ / σ1 , и тогда Rl (0; G1 , F1 ) = G−1 1 F1 ∈ End X1 , Rr (0; G1 , F1 ) = F1 G1 ∈ End Y1 , причем Rl ( . ; G1 , F1 ) = 0, Rr ( . ; G1 , F1 ) = 0, если X1 = Al 0. Доказательство. При выполнении условия (5.6.13) из теоремы 5.6.6 вытекает равенство σ e(Al ) ∪ σ e(Ar ) = σ0 ∪ σ1 ,

(5.6.16)

которое в соответствии с теоремой 5.2.10 позволяет определить формулами (5.6.14), (5.6.15) проекторы Pi , Qi , i = 0, 1 и рассмотреть соответствующие разложения пространств. Из легко проверяемых равенств GR(λ, Al ) = R(λ, Ar )G,

F R(λ, Al ) = R(λ, Ar )F,

λ ∈ ρ(G, F )

и из (5.6.14), (5.6.15) следует, что GPi = Qi G,

F Pi = Qi F,

i = 0, 1.

(5.6.17)

Из этих равенств получаем инвариантность пар (Xi , Yi ), i = 0, 1 относительно (G, F ), и тогда (G, F ) = (G0 , F0 ) ⊕ (G1 , F1 ), причем ясно, что R(λ; G, F ) = R(λ; G0 , F0 ) ⊕ R(λ; G1 , F1 ), Al = (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) Al ⊕ Al , Ar = Ar ⊕ Ar , где Al = F0−1 G0 ∈ End X0 , R(0, Al ) = G−1 = 1 F1 ∈ End X1 , Al (1) −1 −1 G0 F0 ∈ End Y0 , R(0, Ar ) = F1 G1 ∈ End Y1 . Осталось воспользоваться теоремами 5.2.10 и 5.6.6, из которых вытекают равенства σ e(Gi , Fi ) = σi , i = 0, 1, и все остальные утверждения данной теоремы. Замечание 5.6.15. Если согласно замечанию 5.6.9 в качестве X выбирается подпространство D(F ) или D(G) с соответствующей нормой графика, то в теореме 5.6.14 вместо (5.6.11) осуществляется разложение подпространства D(F ) или D(G). В столь общей формулировке теорема 5.6.14 прежде не была известна. Многие из ее утверждений получены ранее при определенных условиях на область определения D(G, F ) пары (G, F ). Так, в статье А.Г. Руткаса [82] без доказательства приводится часть утверждений 1)–3) теоремы 5.6.14 в случае, когда D(G, F ) = X. Cлучай σ0 = {0}, D(G, F ) = D(F ) был подробно рассмотрен в [98] и позже в [55]. В статье В. В. Диткина [46] был получен результат, содержащийся в утверждениях 1)–3) теоремы 5.6.14, при условии D(F ) ⊂ D(G) ⊂ X и при X = Y (см. замечания 5.6.9 и 5.6.15). Наиболее общий результат для пары (G, F ) замкнутых операторов рассматривался Н. И. Радбель в [80] (см. замечание 5.6.15). Однако в ней использовались формулы вида (5.6.15), где резольвента отношения Al заменялась правой частью формулы (5.6.3), что не позволяло рассматривать случай D(F ) 6= X. В указанных работах по сути дела не использовались возможности и преимущества, предоставляемые привлечением расширенного спектра пары, для более подробного исследования разложения пары. В примере 5.6.10 было отмечено, что множества σ e(G, F ) и σ e(Ar ) могут отличаться лишь наличием или отсутствием точек 0, ∞. Более точно их различие характеризует Теорема 5.6.16. Имеют место следующие два утверждения: 1) 0 ∈ σ(G, F ) \ σ(Ar ) ⇐⇒ Ker G 6= {0}, Y = Im G, D(F ) = D(F ) и X = Ker G ⊕ D(F ); 2) ∞ ∈ σ e(G, F ) \ σ e(Ar ) ⇐⇒ Ker F 6= {0}, Y = Im F, D(G) = D(G) и X = Ker F ⊕ D(G). Доказательство. В силу теоремы 5.6.11 достаточно установить лишь одно из двух утверждений, поскольку они получаются друг из друга изменением порядка операторов. Докажем 1). Предположим, что 0 ∈ σ(G, F ) \ σ(Ar ). Тогда из теоремы 5.6.6 следует, что 0 — изолированная точка в множестве σ(G, F ) = σ(Al ). Используя теорему 5.6.14 при σ0 = {0} и σ1 = σ e(G, F ) \ {0}, получаем разложения вида (5.6.11), (5.6.12), причем σ e(G0 , F0 ) = σ(G0 , F0 ) =

124

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (1)

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

(1)

(1)

(1)

{0}, 0 ∈ /σ e(G1 , F1 ) = σ e(Al ) ⊃ σ e(Ar ), где Al = F1−1 G1 , Ar = G1 F1−1 . Поскольку 0 ∈ / σ(Ar ), то из формулы (5.6.14) для проектора Q0 следует, что Q0 = 0, т. е. Y0 = {0}. Из вышеизложенного и из теорем 5.6.6 и 5.6.14 следует, что D(G0 ) = X0 , G0 = 0, D(F0 ) ∩ X0 = {0} (если D(F0 ) ∩ X0 6= {0}, то не выполнялось бы предположение 5.6.5), D(F1 ) = D(F ) = X1 и G1 — обратимый оператор. Следовательно, X = Ker G ⊕ D(F ). Поскольку G0 = 0, то Im G1 = Im G = Y1 = Y. Обратно, если выполнены указанные в утверждении 1) условия, то ясно, что 0 ∈ σ(G, F ) \ σ(Ar ) Теорема 5.6.17. Пусть B1 ∈ Hom(X, Y ), B2 ∈ Hom(Y, X), причем Ker B2 = {0}. Тогда σ(B1 B2 ) \ {0} = σ(B2 B1 ) \ {0}. Более того, 0 ∈ σ(B2 B1 ) \ σ(B1 B2 ) ⇐⇒ Ker B1 6= {0}, Im B1 = Y, Im B2 = Im B2 и X = Ker B1 ⊕ Im B2 . Доказательство. Рассмотрим упорядоченную пару (G, F ) с D = D(G, F ) = Im B2 ⊂ X, где G = B1 ∈ Hom(X, Y ) и F = B2−1 : Im B2 ⊂ X → Y. Так как G − λF = B2−1 (B2 B1 − λI), то λ ∈ ρ(G, F ), если только |λ| > kB2 B1 k. Отсюда следует, что ρ(G, F ) 6= ∅ и ∞ ∈ ρe(G, F ). Ввиду того, что Al = B2 B1 , Ar = B1 B2 , утверждение теоремы вытекает из свойства 3) теоремы 5.6.6 и утверждения 1) теоремы 5.6.16. Отметим, что утверждение теоремы 5.6.17 для элементов банаховых алгебр имеется во многих монографиях (см., например, [33, гл. 1, раздел 1]). Подробный анализ спектральных свойств, отвечающий второй части теоремы 5.6.17, там не проводился. В оставшейся части этого параграфа приводятся результаты, тесно связанные с результатами раздела 5.3 и являющиеся их непосредственным следствием. По левому Al и правому Ar отношениям пары (G, F ) введем в рассмотрение последовательности линейных подпространств Xk = Akl 0, X (k) = D(Akl ), Yk = Akr 0, Y (k) = D(Akr ), k ∈ N.

(5.6.18)

Из свойств 1)–3) линейных отношений, отмеченных в начале этого параграфа, получаем их представление в терминах образов и прообразов операторов F и G: X0 = {0}, X1 = Ker F, . . . , Xn = F −1 (GXn−1 ), . . . , n ∈ N, X (0) = X, X (1) = G−1 ( Im F ), . . . , X (n) = G−1 (F X (n−1) ), . . . , n ∈ N, Y0 = {0}, Y1 = G(Ker F ), . . . Yn = G(F −1 Yn−1 ), . . . , n ∈ N, Y (0) = Y, Y (1) = F (D(G)), . . . Y (n) = F (G−1 Y (n−1) ), . . . , n ∈ N. Ясно, что пары (Xn , Yn ), (X (n) , Y (n) ) подпространств являются инвариантными для пары операторов (G, F ). В условиях следующей теоремы m ∈ N, m > 2, и отмеченные в ней включения являются строгими. Теорема 5.6.18. Если Ker F 6= {0}, то для упорядоченной пары (G, F ) следующие условия эквивалентны: 1) точка ∞ является полюсом порядка m − 1 резольвенты левого отношения Al пары (G, F ) при m > 2; ∞ — ее устранимая особая точка при m = 1; 2) существуют инвариантные пары (X0 , Y0 ), (X1 , Y1 ) подпространств, для которых верны представления (5.6.11), (5.6.12), причем a) σ e(G0 , F0 ) = σ(G, F ), σ e(G1 , F1 ) = {∞}; b) D(G0 ) = X0 , F0−1 ∈ Hom(Y0 , X0 ), D(F1 ) = X1 , G−1 1 ∈ Hom(Y1 , X1 ); −1 −1 m−1 m c) (G1 F1 ) 6= 0, (G1 F1 ) = 0; 3) имеет место стабилизация подпространств: Xm−1 ⊂ Xm = Xm+1 , X (m−1) ⊃ X m = X (m+1) . Доказательство. Эта теорема следует из теоремы 5.3.5, примененной к левому отношению Al пары (G, F ). При этом следует учесть теорему 5.6.14 (являющуюся эквивалентом теоремы 5.2.10, используемой при доказательстве теоремы 5.3.5), а также формулы (5.6.18) для подпространств Xk , k > 1.

5.7. ЛИНЕЙНОЕ

5.7.

ЛИНЕЙНОЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С НЕОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ

125

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С НЕОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ

В этом заключительном параграфе статьи рассмотрим задачу Коши F x(t) ˙ = G x(t),

t ∈ R+ = [0, ∞),

x(0) = x0 ∈ X,

(5.7.1) (5.7.2)

где операторы F и G удовлетворяют одному из условий (i)–(iii) предыдущего параграфа. Определение 5.7.1. Решением задачи (5.7.1)–(5.7.2) называется дифференцируемая функция x : R+ → X такая, что x(t) ∈ D = D(G) ∀t ∈ R+ , когда выполнено условие (i) или (iii), x(t) ˙ ∈ D = D(F ), ∀t ∈ R+ , когда выполнено условие (ii), и, кроме того, справедливо равенство (5.7.2) и F x(t) ˙ = G x(t) ∀ t ∈ R+ . Замыкание множества векторов x0 ∈ X, для которых существует решение задачи (5.7.1)–(5.7.2), назовем фазовым пространством уравнения (5.7.1) и обозначим через Φ (G, F ). По вопросам разрешимости задачи (5.7.1)–(5.7.2) имеется немало работ, многие из которых упомянуты в монографии [146]. Здесь мы привлечем теорию линейных отношений и линейных дифференциальных включений и получим большинство из анонсированных в статье [29] результатов. Наряду с задачей (5.7.1)–(5.7.2) рассмотрим задачу x(t) ˙ ∈ Al x(t) = F −1 Gx(t), x(0) = x0 ∈ X.

t ∈ R+ ,

(5.7.3) (5.7.4)

Лемма 5.7.2. Задача (5.7.1)–(5.7.2) эквивалентна задаче (5.7.3)–(5.7.4), причем Φ (G, F ) = Φ (Al ) ⊂ D(Al ) = G−1 ( Im F ). Доказательство. Пусть вначале для пары (G, F ) выполнено одно из условий (i), (iii). Если x : R+ → X — решение задачи (5.7.1)–(5.7.2), то из равенств F x(t) ˙ = G x(t) при t > 0 следует, что x(t) ∈ G−1 ( Im F ) = D(Al ) ∀ t > 0. В частности, x(0) ∈ D(Al ). Таким образом, x — решение задачи (5.7.3)–(5.7.4). Если x : R+ → X — решение задачи (5.7.3)–(5.7.4), то x(t) ∈ D(Al ) ∀ t > 0. Следовательно, x(t) ∈ D(G) ∀ t > 0 и F x(t) ˙ = G x(t), т. е. x : R+ → X — решение задачи (5.7.1)– (5.7.2). Пусть теперь для пары (G, F ) выполнено условие (ii) и x : R+ → X — дифференцируемая функция. Ясно, что следующие условия эквивалентны: 1) x(t) ˙ ∈ D(F ) ∀ t > 0, F x(t) ˙ = G x(t) ∀ t > 0; 2) x(t) ∈ D(Al ) = G−1 ( Im F ) ∀ t > 0 и x(t) ˙ ∈ Al x(t) ∀ t > 0. Замечание 5.7.3. В монографии [146], одним из замечательных качеств которой является наличие в ней большого числа примеров конкретных классов дифференциальных уравнений, рассматривалась задача Коши вида dF x(t) = G x(t), t ∈ R+ , (5.7.5) dt F x(0) = u0 ∈ X. (5.7.6) Если положить y(t) = F x(t), то данная задача сводится к задаче Коши для дифференциального включения с линейным отношением Ar = GF −1 . Приводимые ниже результаты для задачи (5.7.1)– (5.7.2) могут быть сформулированы и для задачи (5.7.5)–(5.7.6) в терминах правого линейного отношения Ar . В то же время результаты предыдущего параграфа дают веские основания для заключения о том, что по своим свойствам дифференциальное включение (5.7.3) с левым линейным отношением Al = F −1 G гораздо полнее отражает свойства рассматриваемых дифференциальных уравнений. Будем далее считать, что m-ая степень левой резольвенты Al ∈ LR(X) упорядоченной пары (G, F ) для некоторого m ∈ N обладает свойством минимального роста на бесконечности, т. е. выполнено предположение 5.4.5. e = Erg(X, (An )) по ограниченной последовательВведем в рассмотрение подпространство X m ности An = I − (−λn R(λn , Al )) ∈ End X, n ∈ N. Сопряженное к Al отношение имеет вид

126

ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

A∗l = G∗ (F ∗ )−1 , т. е. является правым отношением для пары (G∗ , F ∗ ). В условиях следующей ∗ = (X ∗ ) = (A∗ )m 0 ⊂ X ∗ . Действуя по аналотеоремы будут использоваться подпространства Xm m l гии с описанием такого типа подпространств, осуществленным в конце раздела 5.6, приходим к последовательности ∗ X0∗ = {0}, X1∗ = G∗ (Ker F ∗ ), . . . , Xn∗ = G∗ ((F ∗ )−1 Xn−1 ), . . . ,

(5.7.7)

где n ∈ N. Непосредственно из теоремы 5.4.14 с учетом сделанного в разделе 5.6 описания подm пространств Am l 0 и D(Al ) получаем, что имеет место e = X, необходимо Теорема 5.7.4. Пусть выполнено предположение 5.4.5. Для того чтобы X m и достаточно, чтобы векторы из подпространства Xm = Al 0 разделяли функционалы из e = X при выполнении одного из подпространства (X ∗ )m = (A∗l )m 0 ⊂ X ∗ . В частности, X следующих условий: 1) X− рефлексивное банахово пространство; 2) R(λ0 , Al ) ∈ End X− слабо компактный оператор при некотором λ0 ∈ ρ(Al ); 3) dim Xm = dim(X ∗ )m < ∞. Аналогичное утверждение имеет место для банахова пространства Y, если использовать правое отношение Ar и соответствующие условия на R( . , Ar ). Такое утверждение необходимо при рассмотрении задачи (5.7.5)–(5.7.6). В условиях следующей теоремы считается, что для линейного отношения A = Al ∈ LR(X) пары (G, F ) выполнено предположение 5.4.16 и условие Ker F 6= {0}, т. е. Al ∈ / LO(X). Следовательно, e и разложении для Al верно утверждение теоремы 5.4.10 о разложении (5.4.6) пространства X e e (5.4.7) сужения Al отношения Al на X. В дальнейшем мы сохраним обозначения теоремы 5.4.10. При этом, например, формулу (5.4.7) надо понимать следующим образом: Ael = A0 ⊕ A∞ . Теорема 5.7.5. Пусть для линейного отношения Al ∈ LR(X) выполнено предположение 5.4.16 и Ker F 6= {0}. Тогда справедливы равенства e = D(Am ) = X (m) = X0 Φ(G, F ) ∩ X l e и существует единственная вырожденная полугруппа операторов {Te(t); t > 0} ⊂ End X, 0 e e e генератором которой служит отношение A ∈ LR(X), определяемое равенствами A = Al — e = X0 , A0 e = X∞ . Полугруппа {Te(t); t > 0} обладает свойствами: сужение Al на X0 , D(A) 1) ее сужение {T0 (t); t > 0} ⊂ End X0 на X0 является полугруппой класса C0 , и любое решение x : R+ → X задачи (5.7.1)–(5.7.2) с x0 ∈ D(A0l ) ⊂ G−1 ( Im F ) имеет вид x(t) = T0 (t) x0 , t > 0; 2) Te(0) — проектор на подпространство X0 параллельно X∞ . Если векторы из подпространства X∞ = Am l 0 ⊂ X разделяют векторы из подпространства ∗ m ∗ e = X и Φ(G, F ) = X0 . (Al ) 0 ⊂ X (или выполнено одно из трех условий теоремы 5.7.4), то X Все утверждения теоремы 5.7.5 следуют из теорем 5.4.10 и 5.4.18 с учетом описания подпространств D(Am ), Am 0, сделанного в конце раздела 5.6 (см. также формулы (5.7.7)). Следствие 5.7.6. Если вместо предположения 5.4.16 для Al выполнено условие 3) теоремы 5.6.18, то имеют место все утверждения теоремы 5.7.5, причем A0 ∈ End X0 . Таким же образом формулируется аналог теоремы 5.7.5, где вместо левого отношения Al участвует правое отношение Ar упорядоченной пары (G, F ); по нему строится вырожденная полугруппа операторов, с помощью которой определяются решения задачи (5.7.5)–(5.7.6). Замечание 5.7.7. Аналог теоремы 5.7.5 был получен в статьях Г. А. Свиридюка [84] и В. Е. Федорова [91] при следующих условиях на упорядоченную пару (G, F ) (поскольку терминология в [84, 91] в значительной степени отличается от общепринятой, то формулировку условий проведем в обозначениях настоящей статьи): 1) D(F ) = X, D(G) = X; 2) (a, ∞) ⊂ ρ(G, F ) для некоторого a ∈ R;

6.1. ВВЕДЕНИЕ

127

3) существует постоянная M > 0 такая, что ∀ λ = (λ1 , . . . , λm ) ∈ (a, ∞)m и ∀n ∈ N выполнена оценка m m Y Y M . max{k( R(λk ; Al ))n k, k( R(λk ; Ar ))n k} 6 Qm n k=1 |λk − a| k=1

k=1

Все эти условия служат заменой предположения 5.4.16. Очевидно, что при выполнении указанe = X было получено В.Е. ных условий предположение 5.4.16 для Al также выполнено. Равенство X Федоровым [91] для рефлексивного банахова пространства X при (более жестких, чем в предположении 5.4.5) только что сформулированных условиях 1)–3), где n = 1. В той же статье [84] e с X при n > 1. получены лишь достаточные (громоздкие) условия совпадения подпространства X Отметим, что одной из первых работ, в которой с помощью полугрупп операторов представлялись решения задачи (5.7.1)–(5.7.2), была статья А. Г. Руткаса [82]. В ней рассматривалась пара операторов (G, F ) с условиями на резольвенту, отвечающими случаю m = 1. Определение 5.7.8. Упорядоченную пару операторов (G, F ) назовем левосекториальной (правосекториальной) с углом θ ∈ (π/2, π), если секториальным с углом θ ∈ (π/2, π) является левое отношение Al (соответственно правое отношение Ar ). Непосредственно из определения 5.7.1 следует, что если пара линейных операторов (G, F ) левосекториальна (правосекториальна), то секториальными (с тем же углом) будет левое Al (правое Ar ) линейное отношение этой пары. Таким образом, из леммы 5.7.2 и теоремы 5.5.5 вытекает Теорема 5.7.9. Если пара операторов (G, F ) является левосекториальной с углом θ ∈ (π/2, π) (для Al выполнено условие (5.5.1)0 из предположения 5.5.2), то равенство Z 1 T (z) = − eλz R(λ, Al )dλ 2πi γ

задает аналитическую в секторе Ω0, δ0 ⊂ ρ(Al ), δ0 = θ − π/2 и ограниченную при t > 0 полугруппу операторов из алгебры End X. Кроме того, для отношения A = Al верны все утверждения теоремы 5.5.5 и имеет место свойство 1) из теоремы 5.7.5. Замечание 5.7.10. Аналогичный результат верен для правосекториальной пары линейных операторов (G, F ). Замечание 5.7.11. Наиболее близкий к теореме 5.7.9 результат содержится в статье [85]. При определении секториальной пары операторов (G, F ) в ней требуется выполнение оценок в соответствующем секторе норм произведения операторов, являющихся значениями левой и правой резольвент пары (G, F ), такого же характера, как условия 1)–3) в замечании 5.7.7. Замечание 5.7.12. Основные результаты этой главы получены в статье [30].

ГЛАВА 6 О КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 6.1. ВВЕДЕНИЕ Пусть X — комплексное банахово пространство, End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X и I — один из следующих промежутков: R+ = [0, ∞), R− = (−∞, 0], R = (−∞, ∞). Через Lp = Lp (I), p ∈ [1, ∞] обозначим банахово пространство измеримых (по Бохнеру) и суммируемых со степенью p (существенно ограниченных при p = ∞) R функций, определенных на I со значениями в X (kxkp = ( kx(t)kp dt)1/p , x ∈ Lp , p ∈ [1, ∞); I

kxk∞ = vrai sup kx(t)k, x ∈ L∞ ). t∈I

Символом F = F(I, X ) обозначим одно из следующих банаховых пространств Lp (I, X ), p ∈ [1, ∞]; C(I, X ); C0 (I, X ),

128

ГЛАВА 6. О

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

где C(I, X ) — подпространство непрерывных функций из L∞ (I, X ) и C0 (I, X ) — подпространство функций из C(I, X ), убывающих на бесконечности. Рассматривается сильно непрерывное семейство эволюционных операторов на промежутке I U = {U(t, s); s 6 t, s, t ∈ I} из алгебры End X, которые удовлетворяют следующим трем условиям: 1) U(s, s) = I — тождественный оператор при всех s ∈ I; 2) U(t, s)U(s, τ ) = U(t, τ ), s 6 τ 6 t, s, t, τ ∈ I; 3) sup kU(t, s)k = M < ∞. 06t−s61

Семейству U сопоставим линейный оператор LU U : D(LU ) ⊂ F(I, X ) → F(I, X ) = F, который определяется следующим образом. Функцию x ∈ F отнесем к области определения D(LU ) оператора LU , если существует такая функция f ∈ F, что для всех s 6 t из I имеют место равенства Zt x(t) = U(t, s)x(s) − U(t, τ )f (τ )dτ. (6.1.1) s

При этом полагается LU x = f . Единственность такой функции f (и, следовательно, корректность определения оператора LU ) обеспечивается свойствами семейства U. Если I = R+ , то символом IU+ : D(L+ U ) ⊂ F → F = F(R+ , X) обозначим линейный оператор с областью определения D(L+ U ) = {x ∈ F : существует f ∈ F такая, что Zt x(t) = −

U(t, τ )f (τ )dτ для всех s 6 t из R+ } 0

и полагаем L+ U x = f . Следует отметить, что для указанных x и f имеют место равенства (6.1.1) и + поэтому D(LU ) = {x ∈ D(LU ) : x(0) = 0}. + Таким образом, L+ U = −d/dt + A(t) : D(LU ) ⊂ F(R+ , X) → F(R+ , X) — абстрактный параболический оператор (см. [59, с. 165]), если U — семейство эволюционных операторов для линейного дифференциального уравнения x(t) ˙ = A(t)x(t), t ∈ R+ , (6.1.2) где A(t) : D(A(t)) ⊂ X → X, t ≥ 0 — семейство замкнутых линейных операторов, порождающих корректную задачу Коши [49]. Непосредственно из определения оператора L+ U следует, что он является инъективным, т. е. его + + x = 0} содержит только нулевую функцию. ядро Ker L+ = {x ∈ D(L ) : L U U U В данной главе получены условия корректности оператора L+ U . Следуя В. В. Жикову [49], опе+ ратор LU назовем корректным (или равномерно инъективным), если существует такая постоянная + C > 0, что для всех x ∈ D(L+ U ) имеет место оценка kxk 6 CkLU xk. Таким образом, выполнено условие k(L+ inf kL+ (∗) U) = U xk > 0. kxk=1,x∈D(L+ U)

Отметим, что свойства абстрактных корректных операторов изучались в статье [153]. Выяснение условий корректности дифференциальных операторов становится важным в связи с работами Э. Мухамадиева [74], В. В. Жикова [49], В. Е. Слюсарчука [85], М. А. Шубина [102], в которых установлена обратимость корректных почти периодических операторов. Исследования проводятся с существенным использованием полугруппы {TU+ (t), t ≥ 0} разностных операторов из банаховой алгебры End F(R+ , X), имеющих вид ( U(s, s − t)x(s − t), s ≥ t, + (TU (t)x)(s) = (6.1.3) 0, 0 6 s < t, и особенно разностного оператора DU+ = I − KU+ ∈ End lp (Z+ , X),

(6.1.4)

6.2. ОБ

ОБЩИХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРОВ

L+ U

И

+ DU

129

где Z+ — множество неотрицательных целых чисел и оператор KU+ определяется соотношениями ( U(n, n − 1)y(n − 1), n ≥ 1, + (KU y)(n) = (6.1.5) 0, n = 0. Символом lp = lp (Z+ , X), p ∈ [1, ∞], обозначается банахово пространство последовательностей векторов из X, суммируемых со степенью p (ограниченных, если p = ∞), с нормой kxkp = P ( kx(n)kp )1/p , p ∈ [1, ∞) ((kxk∞ = sup kx(n)k при p = ∞). Далее символ I используется для n≥0

n≥0

обозначения тождественного оператора в любом из рассматриваемых банаховых пространств (если не делается соответствующая оговорка). Основные результаты главы содержат теоремы 6.5.1 и 6.5.3, в которых установлены эквива∗ лентность условий корректности операторов DU+ , L+ U , дополняемости подпространства X (0) (вве∗ денного после замечания 6.3.2) из сопряженного пространства X к банахову пространству X и свойства экспоненциальной дихотомии семейства U (см. определение 6.3.5). Любое из приведенных + в теоремах 6.5.1 и 6.5.3 условий влечет существование левого обратного к операторам L+ U и DU . Многие из полученных результатов возможно представляют интерес даже для дифференциального оператора L+ U = −d/dt + A(t), A ∈ C(R+ , End X) с ограниченными коэффициентами [42]. + В теореме 6.2.3 устанавливается эквивалентность условий корректности операторов L+ U и DU . + + Изучение разностного оператора DU проще благодаря ряду обстоятельств: 1) DU — ограниченный оператор из алгебры End lp ; 2) DU+ = I − KU+ , где KU+ — оператор взвешенного сдвига, а теория операторов взвешенного сдвига является достаточно продвинутой; 3) оператор действует в пространствах lp (Z+ , X), p ∈ [1, ∞), для которых известны сопряженные пространства, что позволяет с большим успехом чем для L+ U использовать технику сопряженных операторов. Все эти обстоятельства существенно используются в данной главе. 6.2.

ОБ

ОБЩИХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРОВ

L+ U

И

DU+

В статье [26] был установлен следующий результат. + Теорема 6.2.1. Линейный оператор L+ U : D(LU ) ⊂ Lp → Lp = Lp (R+ , X), p ∈ [1, ∞), является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы операторов {TU (t); t ≥ 0}.

Следствие 6.2.2. Если p ∈ [1, ∞), то D(L+ U ) = Lp (R+ , X). Отметим, что из доказательства теоремы 6.5.1, проведенного в [26], следует, что она верна и для оператора L+ U , действующего в C0 = C0 (R+ , X). Далее используется пара банаховых пространств (F(R+ , X), F(Z+ , X)), которая является одной из следующих пар (Lp , lp ), p ∈ [1, ∞]; (C, l∞ ), (C0 , c0 ), где c0 = c0 (Z+ , X) — подпространство убывающих на бесконечности последовательностей из l∞ (Z+ , X). + Теорема 6.2.3. Оператор L+ U : D(LU ) ⊂ F(R+ , X) → F(R+ , X) обладает одним из следующих свойств: 1) корректен; 2) сюрьективен; 3) обратим тогда и только тогда, когда соответствующим свойством обладает разностный оператор + DU ∈ End F(Z+ , X).

Доказательство. Эквивалентность условий обратимости рассматриваемых операторов была уста+ новлена в статье [26, теоремы 2 и 3]. Поскольку оба оператора L+ U и DU инъективны, то сюрьективность каждого из них эквивалентна их обратимости. + Таким образом, осталось установить, что линейные операторы L+ U и DU корректны одновременно. Пусть оператор L+ U корректен, т. е. выполнено условие (∗). Рассмотрим произвольную последовательность f из образа Im DU+ оператора DU+ с kf k = 1 и пусть x0 ∈ F(Z+ , X) — такая последовательность, что DU+ x0 = f .

130

ГЛАВА 6. О

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Для оценки нормы последовательности x0 используем оператор B : F(Z+ , X) → F(R+ , X), определенный равенствами (By)(s) = −ϕ(s)U(s, n)y(n), y ∈ F(Z+ , X), s ∈ [n, n + 1], n ≥ 0, где ϕ : R → R — периодическая периода 1 функция, причем ϕ(s) = 6s(1 − s) на отрезке [0, 1]. Имеет место оценка kBk 6 ( max ϕ(s))M = 3/2M , где M = sup kU(t, s)k. s∈[0,1]

06t−s61

Рассмотрим последовательность x из lp (Z+ , X) вида x(n) = x0 (n) − f (n), n ≥ 0. Функция x e : R+ → X, определяемая равенствами Zt x e(t) = −

U(t, s)(Bf )(s)ds, t ≥ 0, 0

принадлежит банахову пространству F(R+ , X) и удовлетворяет соотношениям (см. равенства (6.1.1)) Zt x e(t) = U(t, s)e x(s) − U(t, τ )(Bf )(τ )dτ, (6.2.1) s

0 6 s 6 t < ∞, x e(n) = x(n), n ≥ 1, x e(0) = 0. + e = Bf . Отсюда и из условия (∗) корректности оператора L+ Итак, x e ∈ D(L+ U получаем U ) и LU x оценки + −1 −1 (6.2.2) ke xk 6 k(L+ U ) kBf k 6 3/2M k(LU ) kf k.

Пусть вначале F(R+ , X) совпадает с одним из банаховых пространств L∞ (R+ , X), C(R+ , X), C0 (R+ , X). Тогда из (6.2.1) и (6.2.2) получаем оценку −1 kx(n)k 6 3/2M k(L+ U ) kf k∞ , n ∈ Z+ .

Теперь непосредственно из определения последовательности x получаем, что −1 + 1)kf k∞ = kx0 k∞ = kx0 kl∞ 6 (3/2M k(L+ U) −1 + 1)kDU+ x0 k. = (3/2M k(L+ U)

Таким образом, DU+ — корректный оператор в l∞ (Z+ , X) (в c0 , если F(R+ , X) = C0 (R+ , X)) и −1 + 1)−1 . k(DU+ ) ≥ (3/2M k(L+ U)

Пусть теперь F(R+ , X) = Lp (R+ , X), p 6= ∞. Из соотношений (6.2.1) получаем n+1 Z

kx(n + 1)k = ke x(n + 1)k 6 M (

n+1 Z

ke x(s)kds + n

k(Bf )(s)kds), n ≥ 0. n

Отсюда, используя неравенство Гельдера и выпуклость функции τ 7→ τ p : R+ → R+ , приходим к оценке X kxkpp = kx(n + 1)kp 6 2p−1 M p (ke xkpp + kBf kpp ). n∈Z

Учитывая (6.2.2), неравенство kBk 6 3/2M и вид последовательности x, получаем оценку −p kx0 kp = kx0 klp 6 kf kp + kxkp 6 (3M k(L+ + 1)1/p kf kp . U)

Итак, DU+ — корректный оператор. Предположим теперь, что корректным является оператор DU+ ∈ End F(Z+ , X). Установим корректность оператора L+ U. + Пусть g — произвольная функция из множества значений Im L+ U оператора LU и пусть функция + u из D(L+ U ) такова, что LU u = g. Тогда из соотношений (6.1.1) при t = n, s = n − 1, n ≥ 1 и, учитывая, что u(0) = 0, получаем равенство DU+ ud = gd ,

6.2. ОБ

ОБЩИХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРОВ

где ud : Z+ → X, ud (n) = u(n), n ≥ 1, ud (0) = u(0) = 0, gd (n) =

L+ U

Rn

И

+ DU

131

U(n, s)f (s)ds, n ≥ 1, gd (0) = 0.

n−1

Из определения следует, что ud , gd ∈ F(Z+ , X), а из корректности оператора DU+ и вида функции gd получаем оценки kud kp 6 k(DU+ )−1 kgd kp 6 M k(DU+ )−1 kgd kp , (6.2.3) если F(Z+ , X) = lp (Z+ , X), p ∈ [1, ∞] (если F(Z+ , X) = c0 , то p = ∞). При s = n ∈ Z+ и t ∈ [n, n + 1] из равенств (6.1.1) следует, что n+1 Z

ku(t)k 6 M (ku(n)k +

kg(s)kds) n

и, следовательно, p

p

p

n+1 Z

kg(s)kp ds), t ∈ [n, n + 1], n ≥ 0.

ku(t)k 6 1/2(2M ) (ku(n)k + n

После интегрирования этих неравенств по промежутку [n, n + 1] и последующего суммирования получаем, что kukpp 6 2p−1 M p (kud kpp + kgkpp ). Учитывая оценку (6.2.3) и оценку kgd kp 6 M kgkp , вытекающую из равенств (6.1.1), получаем kukp 6 2M (1 + M p+1 k(DU+ )−p )1/p kgk. Таким образом, L+ U — корректный оператор. Теорема доказана. Утверждение теоремы 6.2.3 о корректности оператора LU : D(LU ) ⊂ Lp (R, X) → Lp (R, X), p ∈ [1, ∞) и разностного оператора DU+ : lp → lp = lp (Z, X), определенного формулой (DU x)(n) = x(n) − U(n, n − 1)x(n − 1), x ∈ lp , n ∈ Z, было доказано в статье [86], а утверждение об обратимости — в статье [26]. Из теорем 2 и 6 статьи [26] (см. также следствие 6.5.7 теоремы 6.5.3) вытекает + Теорема 6.2.4. Для того чтобы оператор L+ U : D(LU ) ⊂ F(R+ , X) → F(R+ , X) был обратимым, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое натуральное число m, что

sup kU(n, n − m)k < 1. n≥m

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами L+ = −d/dt + A : D(L+ ) ⊂ Lp → Lp , p ∈ [1, ∞], где A : D(A) ⊂ X → X — производящий оператор сильно непрерывной полугруппы операторов + {TA (t); t ≥ 0} из алгебры End X. Оператор L+ определяется как оператор L+ U : D(LU ) ⊂ Lp → Lp , где U(t, s) = TA (t − s), 0 6 s 6 t < ∞. Поэтому из теоремы 6.2.4 получаем Следствие 6.2.5. Оператор L+ обратим тогда и только тогда, когда выполнено условие r(TA (1)) < 1,

(6.2.4)

где r(TA (1)) — спектральный радиус оператора TA (1). В тоже время имеет место следующий вытекающий из теоремы 6.6.3 результат. Теорема 6.2.6. Оператор L+ корректен, если выполнено условие σ(TA (1)) ∩ T = ∅,

(6.2.5)

где σ(TA (1)) — спектр оператора TA (1) и T = {λ ∈ C : |λ| = 1} — единичная окружность на комплексной плоскости C. Из условий (6.2.4) и (6.2.5) получаем, что условия обратимости и условия корректности значительно разнятся для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

132

ГЛАВА 6. О

6.3.

ОБ

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

ОПЕРАТОРЕ

DU+

И ЕГО СОПРЯЖЕННОМ

(DU+ )∗

В силу теоремы 6.2.3 корректность линейного оператора L+ U сводится к корректности оператора DU+ в подходящем пространстве последовательностей. Для изучения корректности линейного оператора DU+ используем его сопряженный оператор A = (DU+ )∗ : lq → lq = lq (Z+ , X ∗ ), 1/p + 1/q = 1, который имеет вид (Aξ)(n) = ξ(n) − U(n + 1, n)∗ ξ(n + 1), ξ ∈ lq , n ∈ Z+ . lp∗

(6.3.1) , X ∗ ), 1/p

При этом учитывается канонический изоморфизм пространств и lq = lq (Z+ + 1/q = 1. Отметим, что если F(Z+ , X) = l∞ (Z+ , X) или F(Z+ , X) = c0 (Z+ , X), то оператор A рассматривается в качестве элемента пространства операторов End l1 (Z+ , X ∗ ), т. е. далее рассматривается ∗ сужение оператора (DU+ )∗ на подпространство l1 (Z+ , X ∗ ) из сопряженного к l∞ пространства l∞ (A = (DU+ )∗ , если F(Z+ , X) = c0 ). Сформулируем используемый далее результат, который является следствием более общего результата, относящегося к произвольным линейным ограниченным операторам (см. [43, раздел VI.6, теорема 2]). Лемма 6.3.1. Если DU+ : lp → lp = lp (Z+ , X) — равномерно инъективный оператор, то его сопряженный оператор A = (DU+ )∗ : lq → lq = lq (Z+ , X ∗ ), 1/p + 1/q = 1 является сюрьективным оператором и (6.3.2) Ker A = ( Im DU+ )⊥ = {ξ ∈ lq : ξ(y) = 0 ∀y ∈ Im DU⊥ }. Замечание 6.3.2. При p = ∞ в условиях леммы 6.3.1 в качестве оператора A рассматривается ∗ , которое является сопряженным к сужению D + на сужение оператора (DU+ )∗ на l1 (Z+ , X ∗ ) ⊂ l∞ U c0 (DU+ |c0 — корректный оператор). Введем в рассмотрение линейное подпространство из сопряженного к X банахова пространства X ∗ вида X ∗ (0) = {ξ(0) ∈ X ∗ : ξ ∈ Ker A}, где A — оператор из леммы 6.3.1 (см. замечание 6.3.2). Оно будет использоваться для формулировки многих утверждений. В условиях следующей леммы (и тесно связанных с ней последующих утверждений) считается выполненным Предположение 6.3.3. Для всех n ≥ 0 выполнено условие Im U(n + 1, n) = X.

(6.3.3)

Эти условия, в свою очередь, эквивалентны условиям Ker U(n + 1, n)∗ = {0}, n ≥ 0.

(6.3.4)

Лемма 6.3.4. Пусть X ∗ (0) — дополняемое замкнутое подпространство из X ∗ и Y — какоенибудь дополнение (т. е. X ∗ = X ∗ (0) ⊕ Y). Тогда для любой последовательности f ∈ lq = lq (Z+ , X ∗ ) существует единственная последовательность ξ ∈ lq такая, что Aξ = f и ξ(0) ∈ Y (т. е. A осуществляет изоморфизм замкнутого подпространства lq1 = {ξ ∈ lq : ξ(0) ∈ Y} и lq ). Доказательство. Из леммы 6.3.1 следует сюрьективность оператора A; поэтому для любой последовательности f ∈ lq существует последовательность ξ ∈ lq такая, что Aξ = f . Из условия леммы и определения подпространства X ∗ (0) следует, что ξ = ξ1 + ξ2 , где ξ1 ∈ Ker A, причем ξ(0) = ξ1 (0) + ξ2 (0), ξ1 (0) ∈ X ∗ (0) и ξ2 (0) ∈ Y. Тогда Aξ2 = f и ξ2 ∈ lq1 . Если η ∈ lq1 — еще один функционал со свойством Aη = f , то ξ2 − η ∈ Ker A и поэтому ξ2 (0) − η(0) ∈ X ∗ (0) ∩ Y = {0}. Из условий (6.3.4) следует, что ξ2 = η. Следующее понятие будет систематически использоваться при формулировке основных результатов.

6.4. НЕКОТОРЫЕ

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

133

Определение 6.3.5. Будем говорить, что семейство эволюционных операторов U = {U(t, s), s 6 t, s, t ∈ I} допускает экспоненциальную дихотомию на множестве Ω из промежутка I с показателем γ > 0 и постоянной M > 0, если существует сильно непрерывная проекторнозначная функция P : Ω → End X такая, что имеют место следующие свойства: 1) U(t, s)P (s) = P (t)U(t, s) при s 6 t из Ω; 2) kU(t, s)P (s)k 6 M exp(−γ(t − s)), s 6 t, s, t ∈ Ω; 3) при s 6 t из Ω сужение Ut,s : X+ (s) → X+ (t) оператора U(t, s) на образ X+ (s) = Im Q(s) дополнительного пректора Q(s) = I − P (s) является изоморфизмом подпространств X+ (s) и X+ (t) −1 (определим оператор U(s, t) ∈ End X как оператор, совпадающий с Us,t на X+ (t) и равный нулю на подпространстве X− (t) = Im P (t); 4) kU(s, t)k 6 M exp(γ(s − t)) при всех t ≥ s из Ω. В дальнейшем в качестве Ω берется одно из множеств : Z ∩ I, I. Замечание 6.3.6. Аналогичное определение экспоненциальной дихотомии дается для сильно непрерывного семейства эволюционных операторов «назад» V = {V(t, s); s ≥ t, s, t ∈ I}, т. е. семейства операторов из алгебры End X, для которого вместо условия 2) в определении семейства эволюционных операторов выполнено условие 2∗ ) V(s, t)V(t, τ ) = V(s, τ ) при всех s 6 t 6 τ. По семейству V с помощью равенств (6.1.1) определяется оператор LV : D(LV ) ⊂ F(R+ , X) → F(R+ , X). 6.4.

НЕКОТОРЫЕ

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Символом V (γ), γ ∈ T, обозначим изометрический оператор из банаховой алгебры End F(Z+ , X) вида (V (γ)x)(n) = γ n x(n), n ∈ Z+ , x ∈ F(Z+ , X), где F(Z+ , X) — одно из банаховых пространств последовательностей lp = lp (Z+ , X), p ∈ [1, ∞], c0 = c0 (Z+ , X). Для любой операторнозначной последовательности f ∈ l∞ (Z+ , End X) через V (f ) обозначим оператор из алгебры End F(Z+ , X) умножения на f , т. е. оператор вида (V (f )x)(n) = f (n)x(n), n ∈ Z+ , x ∈ F(Z+ , X). Таким образом, V (f ) = V (γ), если f (n) = γ n I, n ∈ Z+ , γ ∈ T. Последовательность (fn ) из l∞ (Z+ , C) назовем ограниченной аппроксимативной единицей (короче, о.а.е.), если выполнены следующие условия: 1) множество supp fn = {k ∈ Z+ : fn (k) 6= 0} конечно при любом n ∈ Z+ ; 2) lim fn (k) = 1 для любого k ∈ Z+ ; n→∞

3) lim sup |fn (k + 1) − fn (k)| = 0. n→∞ k≥0

Примером о.а.е. может служить последовательность (fn ) вида ( 1 − k/n, 0 6 k 6 n, fn (k) = 0, k ≥ n + 1. Лемма 6.4.1. Пусть оператор A ∈ End F(Z+ , X) перестановочен со всеми операторами V (γ), γ ∈ T и выполнено одно из следующий условий: 1) F(Z+ , X) — одно из пространств lp , p ∈ [1, ∞), c0 ; 2) F(Z+ , X) = l∞ (Z+ , X) и lim kAV (fn ) − V (fn )Ak = 0 для некоторой о.а.е. (fn ). n→∞ Тогда существует ограниченная операторнозначная функция F : Z+ → End X такая, что оператор A представим в виде (Ay)(n) = F (n)y(n), n ≥ 0, y ∈ F(Z+ , X). Доказательство. Пусть n ∈ Z+ . Определим оператор F (n) ∈ End X, положив F (n)x = (Ay)(n), x ∈ X, где y ∈ F(Z+ , X) определяется равенствами: y(n) = x, y(k) = 0 при k 6= n.

134

ГЛАВА 6. О

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Ясно, что kF (n)k 6 kAk и поэтому F ∈ l∞ (Z+ , End X). Рассмотрим линейный оператор A0 ∈ End F(Z+ , X) вида A0 = V (F ), т. е. (A0 y)(n) = F (n)y(n), n ≥ 0, y ∈ F(Z+ , X). Докажем, что A = A0 . Из перестановочности A с операторами V (γ), γ ∈ T следует, что A коммутирует со всеми операторами V (f ), где f — любая почти периодическая последовательность. При выполнении условия 1) множество последовательностей из F(Z+ , X), имеющих конечный носитель, плотно в F(Z+ , X) и поэтому достаточно проверить, что Ax = A0 x для любой последовательности x, имеющей конечный носитель. Пусть n ∈ Z+ , x ∈ X и y ∈ F(Z+ , X) имеет вид: y(n) = x, y(k) = 0 при k 6= n. Непосредственно из определения последовательности F следует, что (Ay)(n) = F (n)y(n) = (A0 y)(n). Чтобы доказать равенство Ay = A0 y, достаточно установить, что (Ay)(k) = 0 при k 6= n. Для этого достаточно заметить, что для любой периодической последовательности ϕ ∈ l∞ (Z, C) со свойствами ϕ(n) = 1 и ϕ(k) = 0 имеют место равенства (V (ϕ)Ay)(k) = (AV (ϕ)y)(k) = (Ay)(k). Из доказанного следует, что (Ay)(n) = F (n)y(n), n ∈ Z+ для любой последовательности y, имеющей конечный носитель. Пусть теперь p = ∞. Рассмотрим такую о.а.е. (fk ), что lim kV (fk )A − AV (fk )k = 0. Операторы k→∞

AV (fk ), k ≥ 1 перестановочны с операторами V (γ), γ ∈ T и к каждому из них применимы проведенные выше рассуждения (учитывается, что fk имеет конечный носитель). Поэтому имеют место равенства (AV (fk )y)(n) = fk (n)F (n)y(n), n ∈ Z+ , y ∈ l∞ , k ≥ 1. Поскольку lim kV (fk )A − AV (fk )k = 0, то A = V (F ) = A0 . k→∞

Отметим, что утверждение леммы 6.4.1 при p = ∞ неверно, если не выполнено условие 2. Соответствующий пример приведен В. Г. Курбатовым [56, замечание 2.1.9]. Лемма 6.4.2. Если семейство эволюционных операторов U = {U(t, s); 0 6 s 6 t < ∞} ⊂ End X допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ , то оператор DU+ ∈ End F(Z+ , X) обратим слева в алгебре End F(Z+ , X) и один из левых обратных B ∈ End F(Z+ , X) имеет вид (Bx)(n) =

∞ X

G(n, m)x(m), x ∈ F(Z+ , X),

m=0

где функция G : Z+ × Z+ → End X определена формулой ( U(n, m)P (m), 0 6 m 6 n, G(m, n) = −U(n, m)Q(m), 0 6 n < m.

(6.4.1)

Здесь P, Q : Z+ → End X — проекторнозначные функции из определения 6.3.5. Оператор P = DU+ B является оператором проектирования на множество значений Im DU+ разностного оператора DU+ и он допускает представление вида  x(n), n ≥ 1, ∞ P (Px)(n) = (6.4.2) x(0) − U(0, m)Q(m)x(m), n = 0. m=0

Доказательство. Корректность определения и ограниченность оператора B следует из приводимых в определении 6.3.5 оценок. Для любой последовательности x ∈ F(Z+ , X) имеют место следующие равенства (BDU+ x)(n) = U(n, 0)P (0)x(0) +

n X m=1

U(n, m)P (m)(x(m)−

6.4. НЕКОТОРЫЕ

−U(m, m − 1)x(m − 1)) −

∞ X

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

135

U(n, m)Q(m)(x(m) − U(m, m − 1)x(m − 1)) =

m=n+1

= U(n, 0)P (0)x(0) +

n X

U(n, m)P (m)x(m)−

m=1

−

n X

∞ X

U(n, m − 1)P (m − 1)x(m − 1) −

m=1

U(n, m)Q(m)x(m)+

m=n+1 ∞ X

+

U(n, m − 1)Q(m − 1)x(m − 1) = x(n), n ∈ Z+ .

m=n+1

Итак, B — левый обратный для DU+ . Тогда Im B = F(Z+ , X) и оператор P = DU+ B является проектором с Im P = Im DU+ . Непосредственно из определения оператора B при n ≥ 1 получаем равенства (Px)(n) = (DU+ Bx)(n) =

∞ X

G(n, m)x(m)−

m=0

−U(n, n − 1)

∞ X

n X

G(n − 1, m)x(m) =

m=0

−

∞ X

U(n, m)P (m)x(m)−

m=0

U(n, m)Q(m)x(m) − U(n, n − 1)

m=n+1

n−1 X

U(n − 1, m)P (m)x(m)+

m=0

+U(n, n − 1)

∞ X

U(n − 1, m)Q(m)x(m) = P (n)x(n) + Q(n)x(n) =

m=n

= x(n), n ≥ 1. При n = 0 вектор (Px)(0) имеет вид (Px)(0) =

∞ X

G(0, m)x(m) = P (0)x(0)−

m=0

−

∞ X

U(0, m)Q(m)x(m) = x(0) −

m=1

∞ X

U(0, m)Q(m)x(m).

m=0

Лемма доказана. Следствие 6.4.3. Множество значений Im DU+ оператора DU+ состоит из последовательностей вида ∞ X {(x(0) − U(0, m)Q(m)x(m), x(1), x(2), ...); x ∈ F(Z+ , X)}. m=0

Следствие 6.4.4. Im P = Ker B. Следствие 6.4.5. Если семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ , то оператор A = (DU+ )∗ ∈ End lq (Z+ , X ∗ ), q ∈ [1, ∞] (сопряженный к оператору DU+ ∈ End lp (Z+ , X), p ∈ [1, ∞), 1/p + 1/q = 1; см. замечание 6.3.2 сюрьективен, обратим справа, и одним из правых обратных к нему является оператор B ∗ ∈ End lq , имеющий вид (B ∗ ξ)(n) =

∞ X

G(m, n)∗ ξ(m), ξ ∈ lq , n ≥ 0.

m=0

B∗ A

Оператор P∗ = I − ∈ End lq является оператором проектирования на ядро Ker A оператора A и определяется формулой (P∗ ξ)(n) = U(0, n)∗ Q(0)∗ ξ(0), n ≥ 0, ξ ∈ lq .

136

ГЛАВА 6. О

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что I − B∗ A = P∗ и оператор P∗ имеет указанное представление. Равенство AB ∗ = I следует из равенства BDU+ = I с применением операции сопряжения к обеим его частям (при этом используется замечание 6.3.2). Лемма 6.4.6. Если семейство эволюционных операторов U допускает экспоненциальную дихотомию на R+ , то оператор I − TU+ (1) ∈ End F(R+ , X) обратим слева в алгебре End F(R+ , X) и один из левых обратных B ∈ End F(R+ , X) имеет вид (Bx)(t) =

n X

U(t, t + k − n)P (t + k − n)x(t + k − n)−

k=0

−

∞ X

(6.4.3)

U(t, t + k − n)Q(t + k − n)x(t + k − n)

k=n+1

для t ∈ [n, n + 1), x ∈ F(R+ , X). Оператор P = (I − TU+ (1)B) является проектором на Im (I − TU+ (1)) и представим в виде  x(t), t ≥ 1, ∞ P (Px)(t) = (6.4.4) x(t) − U(t, t + m)Q(t + m)x(t + m), t ∈ [0, 1), m=0

где x ∈ F(R+ , X). Доказательство леммы практически дублирует доказательство леммы 6.4.2. Замечание 6.4.7. Используемое в леммах 6.4.2 и 6.4.6 определение левого обратного к элементу алгебры, является общепринятым. Однако, определение левого обратного к линейному неограниченному оператору можно давать различными способами. Если воспользоваться определением + из [51, с. 210], то условие корректности оператора L+ U : D(LU ) ⊂ F → F влечет существование ле+ + вого обратного Bl : Im LU → D(LU ), определенного на области значений оператора L+ U . В данной + главе под левым обратным для оператора LU понимается такой оператор B ∈ End F, что BL+ Ux = x при всех x ∈ D(L+ ). При таком подходе к определению левого обратного условие корректности U оператора L+ , вообще говоря, не влечет существование левого обратного для L+ U U. Теорема 6.4.8. Если семейство эволюционных операторов U допускает экспоненциальную + дихотомию на R+ , то оператор L+ U : D(LU ) ⊂ F → F обратим слева и левым обратным является оператор B0 ∈ End F вида Z∞ (B0 x)(t) =

G(t, s)x(s)ds,

(6.4.5)

0

где ( −U(t, s)P (s), 0 6 s 6 t < ∞, G(t, s) = U(t, s)Q(s), 0 6 t < s < ∞. Доказательство. Пусть вначале F совпадает с одним из пространств Lp (R+ , X), p ∈ [1, ∞), C0 (R+ , X), на каждом из которых полугруппа {TU+ (t); t ≥ 0} сильно непрерывна. Имеют место равенства (см. [53, с. 220]) (I −

TU+ (1))x

=

−L+ U

Z1

TU+ (s)xds, x ∈ F,

(6.4.6)

0

(I − TU+ (1)x = −

Z1 0

+ TU+ (s)L+ U xds, x ∈ D(LU ).

(6.4.7)

6.5. СВОЙСТВА

КОРРЕКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

137

Из условий теоремы и леммы 6.4.6 следует, что оператор I − TU (1) обратим слева и один из левых обратных B имеет вид (6.4.3). Тогда из равенства (6.4.6) следует обратимость слева оператора L+ U, причем один из левых обратных имеет вид Z1 B0 x = −B

TU+ (s)xds.

0

Отсюда и из формулы Z1 ( TU+ (s)xds)(t) = 0

 Rt     U(t, s)x(s)ds, 0 6 t 6 1, 0

Rt     U(t, s)x(s)ds, t ≥ 1 t−1

следует формула (6.4.5). Итак, теорема доказана для пространств Lp , p ∈ [1, ∞) и C0 . + Пусть теперь F = L∞ или F = C, f = L+ U x, x ∈ D(LU ). Тогда для любой непрерывно дифференцируемой функции ϕ : R → R, имеющей компактный носитель, функция ϕx принадлежит + D(L+ ˙ По доказанному, ϕx = B0 L+ ˙ Непосредственно из U ) и LU (ϕx) = ϕf − ϕx. U (ϕx) = B0 (ϕf − ϕx). вида интегрального оператора B0 и ввиду произвольности функции ϕ с указанными свойствами получаем, что B0 L+ U x = x. Непосредственно из теоремы 6.4.8 получаем следующие утверждения, описывающие область значений оператора L+ U. Следствие 6.4.9. Если выполнены условия теоремы 6.4.8, то для любой функции f из Im L+ U функция Z∞ y(t) = U(t, s)Q(s)f (s)ds 0

нулевая. + Доказательство. Пусть f = L+ U x, где x ∈ LU . Тогда

(B0 L+ U x)(t)

Z∞ U(t, s)Q(s)f (s)ds = x(t), t ≥ 0,

= x(t) + 0

т. е. y = 0. Следствие 6.4.10. Функции из F вида   y(t), t ≥ 1, z(t) = y(t) − P U(t, t + k)Q(t + k)y(t + k), 0 6 t 6 1,  k≥0

где y — любая функция из F, принадлежит множеству Im L+ U. Доказательство. Если в равенстве (6.4.6) положить x = (I − TU+ (1))y, где y ∈ F и F – одно из пространств Lp , p ∈ [1, ∞), C0 , то утверждение следствия получается из леммы 6.4.6 (см. формулу (6.4.4)). Если F — другое из рассматриваемых здесь пространств, то следует использовать локальную замкнутость области значений оператора L+ U (см. [59, с. 169]). 6.5.

СВОЙСТВА

КОРРЕКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Одним из основных результатов данной главы является Теорема 6.5.1. Пусть DU+ ∈ End lp (Z+ , X), p ∈ [1, ∞] — корректный оператор и X ∗ (0) — замкнутое дополняемое подпространство из X ∗ . Тогда семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ и оператор DU+ имеет левый обратный.

138

ГЛАВА 6. О

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Доказательство. Из корректности оператора DU+ следует (см. лемму 6.3.1), что сопряженный оператор A = (DU+ )∗ ∈ End lq (Z+ , X ∗ ), 1/p + 1/q = 1, сюрьективен. Напомним (см. замечание 6.3.2), что если p = ∞, то полагается q = 1, т. е. рассматривается сужение оператора DU+ на подпространство c0 из l∞ и сопряженный к этому сужению. Оператор A представим (см. формулу (6.3.1)) в виде A = I − K, где K ∈ End lq является сопряженным к оператору KU+ (см. формулу (6.1.5)) и имеет вид (Kξ)(n) = U(n + 1, n)∗ ξ(n + 1), n ≥ 0.

(6.5.1)

Далее оператор A рассмотрим в качестве замкнутого линейного оператора (и сохраним обозначения A и K) A = I − K : lq1 ⊂ lq → lq с областью определения lq1 = {ξ ∈ lq : ξ(0) ∈ Y}, где Y — замкнутое подпространство из X ∗ такое, что X ∗ = X ∗ (0) ⊕ Y (см. лемму 6.3.4). Поскольку оператор A ограничен на lq1 , то он замкнут. Поэтому могут быть использованы элементы спектральной теории замкнутых линейных операторов (см. [43, гл. VII.9]). При этом важно отметить, что при рассмотрении общих вопросов спектральной теории линейных операторов не требуется плотность области определения изучаемых операторов (в нашем случае lq1 = lq1 6= lq , если X ∗ (0) 6= {0}). Таким образом, можно рассмотреть спектр σ(A) и резольвентное множество ρ(A) оператора A : lq1 ⊂ lq → lq . Под резольвентным множеством оператора A понимается множество λ ∈ C, для которых оператор A − λI : D(A) = lq1 ⊂ lq → lq непрерывно обратим, т. е. инъективен и сюрьективен. Тогда определен ограниченный обратный оператор (A − λI)−1 : lq → lq1 ⊂ lq , который рассматривается как элемент пространства End lq . Из леммы 6.3.4 следует, что 0 ∈ ρ(A), т. е. линейный оператор A обратим, причем обратный A−1 рассматривается в качестве элемента алгебры End lq . Рассмотрим группу изометрических операторов {V (γ), γ ∈ T} ⊂ End lq , имеющих вид (V (γ)ξ)(n) = γ n ξ(n), n ∈ Z+ , ξ ∈ lq . Ясно, что V (γ)lq1 ⊂ lq1 для всех γ ∈ T и имеют место равенства (см. формулу (6.5.1)) V (γ −1 )KV (γ) = γK, γ ∈ T.

(6.5.2)

lq1

Следовательно, оператор K : ⊂ lq → lq подобен операторам γK, γ ∈ T и поэтому из обратимости оператора A : lq1 ⊂ lq → lq получаем обратимость всех операторов вида λI − K, λ ∈ T. Это означает, что выполнено условие σ(K) ∩ T = ∅, (6.5.3) из которого вытекает следующее представление спектра оператора K σ(K) = σ− ∪ σ+ , где σ− = {λ ∈ σ(K) : |λ| < 1}, σ+ = {λ ∈ σ(K) : |λ| > 1}. Пусть P− = P (σ− , K), P+ = P (σ+ , K) — проекторы Рисса, построенные по спектральным множествам σ− и σ+ соответственно (см. [43, гл. VII]). Тогда P− + P+ = I и lq = lq− ⊕ lq+ , где lq± = Im P± , причем имеет место включение lq− ⊂ lq1 , (6.5.4) т. е. подпространство lq− (образ проектора P− ) лежит в области определения lq1 операторов K и A. Оператор K является прямой суммой K = K− ⊕ K+ своих частей (сужений на lq− и lq+ ), K± = K|lq± . При этом K− ∈ End lq− (т. е. K− определен и ограничен на всем замкнутом подпространстве lq− ), σ(K± ) = σ± и обратный оператор A−1 ∈ End lq допускает разложение A−1 = (I− − K− )−1 ⊕ (I+ − K+ )−1 , (6.5.5)

6.5. СВОЙСТВА

139

КОРРЕКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

где I ± — тождественный оператор в lq± . Из вида спектра операторов K− и K+ следует, что r(K− ) < 1, r((K+ )−1 ) < 1 для спектральных радиусов операторов K− ∈ End lq− и (K+ )−1 ∈ End lq+ . Поэтому из формулы (6.5.5) следует, что X X X A−1 = (K− )j ⊕ (− (K+ )j ) = Kj , (6.5.6) j6−1

j≥0

j∈Z

где операторы Kj ∈ End Lq имеют вид Kj = (K− )j ⊕ 0 = Kj P− , j ≥ 0,

(6.5.7)

Kj = 0 ⊕ −(K+ )j , j 6 −1. Отсюда получаем следующие соотношения K0 = P− , Kj = Kj P− = P− Kj = (KP− )j , j ≥ 1, Kj K

−j

=K

−j

(6.5.8)

Kj = −P+ ,

(6.5.9)

Kj P− = P− Kj = 0, j 6 −1.

(6.5.10)

Используя свойства функционального исчисления для замкнутых линейных операторов (см. [43, раздел VII.9]) и учитывая, что резольвента оператора K : lq1 ⊂ lq → lq является в некоторой окрестности окружности T аналитической функцией (см. формулы (6.5.9)–(6.5.10)), операторы Kj ∈ End lq , j ∈ Z можно представить в виде контурного интеграла Z Kj = 1/2πi λj (λI − K)−1 dλ, j ∈ Z. (6.5.11) T

Из следующих равенств V (γ

−1

Z )Kj V (γ) = 1/2πi

λj V (γ −1 )(λI − K)−1 V (γ)dλ =

T

Z = 1/2πi

j −1

λ γ

(λγ

−1

(6.5.12) −1

− K)

j

dλ = γ Kj , j ∈ Z, γ ∈ T

T

получаем (имея в виду вытекающее из (6.5.11) равенство P− = K0 ), что проектор P− ∈ End lq перестановочен со всеми операторами V (γ), γ ∈ T. Поэтому при p 6= 1 (т. е. при q 6= ∞) из леммы 6.4.1 следует существование ограниченной проекторнозначной функции P∗ : Z+ → End X ∗ такой, что (P− x)(n) = P∗ (n)x(n), n ≥ 0, x ∈ lq . (6.5.13) Докажем, что при q = ∞ выполнено условие 2) леммы 6.4.1. Если ϕ ∈ l∞ (Z+ , C), то оператор 1 ⊂l [V (ϕ), A] = V (ϕ)A − AV (ϕ) : l∞ ∞ → l∞ имеет вид ([V (ϕ), A]ξ)(n) = (ϕ(n) − ϕ(n + 1))U(n, n + 1)∗ ξ(n + 1) = = (ϕ(n) − ϕ(n + 1))(Kξ)(n), ξ ∈ l∞ (Z+ , X ∗ ). Следовательно, lim k[V (fk ), A]k = 0 для любой о.а.е. (fk ) и поэтому после умножения слева и k→∞

справа на оператор A−1 последовательности [V (fk ), A], k ≥ 1 получаем, что lim k[V (fk ), A−1 ]k = k→∞

0, где операторы [V (fk ), A−1 ], k ≥ 1 рассматриваются как элементы из банаховой алгебры End lq . Аналогичное соотношение выполнено (равномерно по γ ∈ T) для операторов A(γ)−1 , γ ∈ T, где A(γ) = V (γ −1 )AV (γ) : lq1 ⊂ lq → lq . Поэтому из равенств (6.5.11) при j = 0 следует, что lim k[V (fk ), P− ]k = 0, т. е. для проектора P− выполнено условие 2) леммы 6.4.1. Следовательно, k→∞

для него имеет место представление (6.5.13). Расшифровка равенств (6.5.6)–(6.5.10) означает, что семейство эволюционных операторов «назад» U ∗ = {U(t, s)∗ , 0 6 s 6 t < ∞} допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ (см. замечание 6.3.6). Например, из соотношений (6.5.8) следует, что операторы Kj , j ≥ 0 имеют вид (Kj x)(n) = U(n + j, n)∗ P∗ (n + j)x(n + j), n ∈ Z+ , x ∈ lq .

(6.5.14)

140

ГЛАВА 6. О

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Перестановочность оператора K ∈ End lq с проектором P− эквивалентна выполнению следующих равенств P∗ (m)U(n, m)∗ = U(n, m)∗ P∗ (n), 0 6 m 6 n < ∞. (6.5.15) j ∗ Поскольку Kj = (KP− ) , j ≥ 1, r(KP− ) < 1 и kKj k = sup kU(n + j, n) P∗ (n + j)k, то существуют n≥0

постоянные M1 , γ1 > 0 такие, что для 0 6 m 6 n < ∞ имеют место оценки kU(n, m)∗ P∗ (n)k 6 M1 exp(−γ1 (n − m)).

(6.5.16)

Опишем структуру операторов Kj , j 6 −1. Для этого используем равенства (6.5.12) и соотношения (6.5.9) и (6.5.10). Если n ∈ Z+ фиксировано и ξ0 ∈ X ∗ , то для последовательности ξ ∈ lq (Z+ , X ∗ ) такой, что ξ(n) = ξ0 и ξ(k) = 0 при k 6= n, из (6.5.12) получаем равенства (V (γ −1 )Kj V (γ)ξ)(k) = γ n−k (Kj ξ)(k) = γ j (Kj ξ)(k), k ∈ Z+ , γ ∈ T. Следовательно, (Kj ξ)(k) = 0 при k 6= n −j. Определим линейный оператор U∗ (n, m) ∈ End X ∗ , m > n, положив U∗ (n, m)ξ0 = (Kj ξ)(m), j = n − m. Таким образом, операторы Kj , j 6 −1, представимы в виде ( U∗ (n + j, n)ξ(n + j), n ≥ |j|, (Kj ξ)(n) = (6.5.17) 0, 0 6 n < |j|. Если для q 6= ∞ такое представление очевидно (в силу плотности финитных последовательностей в lq ), то при q = ∞ из формулы (6.5.11) следует, что k[V (fk ), Kj ]k → 0 при k → ∞ для любой о.а.е. (fk ) (см. аналогичные рассуждения для P− = K0 )) и поэтому операторы Kj , j 6 −1, вполне определяются своими значениями на подпространстве финитных последовательностей. Из представления (6.5.17) и соотношений (6.5.9), (6.5.10) получаем следующие равенства U∗ (m, n)U(n, m)∗ = −Q∗ (n) = −(I − P∗ (n)), U(n, m)∗ U∗ (m, n) = −Q∗ (m), U∗ (m, n)P∗ (m) = P∗ (n)U∗ (m, n) = 0, U∗ (n, m)Q∗ (n) = U∗ (n, m), 0 6 m 6 n. Из этих равенств следует, что оператор U(n, m)∗ , m < n осуществляет изоморфизм подпространств Im Q∗ (n) и Im Q∗ (m), оператор U∗ (m, n) — нулевой на Im P∗ (m) и на подпространстве Im Q∗ (m) ∗ )−1 к сужению U ∗ : Im Q (n) → Im Q (m) оператора U(n, m)∗ ∈ совпадает с обратным (Un,m ∗ ∗ n,m ∗ End X на подпространство Im Q∗ (n). Из представления (6.5.17) операторов Kj , j 6 −1, получаем, что kKj k = sup kU∗ (n, n + j)k. n≥|j|

Поскольку r(K−1 ) < 1, то существуют постоянные M2 , γ2 > 0 такие, что kU∗ (m, n)k 6 M2 exp(−γ2 (n − m)), 0 6 m 6 n.

(6.5.18)

A−1

Непосредственно из определения оператора B = ∈ End lq следует, что он является правым обратным к оператору A, причем из формул (6.5.6), (6.5.14) и (6.5.17) получаем представление X (Bx)(n) = (A−1 x)(n) = G∗ (n, m)x(m), x ∈ lq , (6.5.19) m≥0

где функция G∗ : Z+ × Z+ →

End X ∗

определяется равенствами ( −U∗ (m, n) = −U∗ (m, n)Q∗ (m), 0 6 m < n, G∗ (n, m) = U(m, n)∗ P∗ (m), 0 6 n 6 m < ∞.

(6.5.20)

Из полученного равенства AB = I следует, что B ∗ A∗ = I, т. е. оператор B ∗ является левым обратным ко второму сопряженному (DU+ )∗∗ = A∗ (рассматриваемому как элемент алгебры End lq∗ ) для оператора DU+ . Учитывая канонические вложения lp ⊂ lp∗∗ = (lq )∗ = lp (Z+ , X ∗∗ ) при p 6= ∞, l∞ ⊂ (l1 )∗ = l∞ (Z+ , X ∗∗ ), c0 = c0 (Z+ , X) ⊂ l∞ (Z+ , X ∗∗ ), достаточно доказать, что оператор B ∗ ∈ End(lq )∗ является вторым сопряженным к некоторому оператору B0 из алгебры End lp . В свою

6.5. СВОЙСТВА

КОРРЕКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

141

очередь, для этого достаточно установить (имея в виду формулы (6.5.19) и (6.5.20), существование такой проекторнозначной функции P : Z+ → End X, что P (n)∗ = P∗ (n), n ≥ 0.

(6.5.21)

В этом случае из доказанного (см. формулы (6.5.14)–(6.5.20)) будет следовать, что семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ и левый обратный B0 ∈ End lp к оператору DU+ имеет вид ∞ X (B0 x)(n) = G(n, m)x(m), x ∈ lp (Z+ , X), m=0

где функция G определена формулой (6.4.1). Докажем существование функции P : Z → End X, для которой верны равенства (6.5.21). Вначале отметим, что из определения оператора B следует, что оператор Q0∗ = I − B(DU+ )∗ = I − BA является проектором на ядро Ker A оператора A = (DU+ )∗ . Непосредственный подсчет показывает, что он имеет вид (Q0∗ ξ)(n) = U(0, n)∗ Q∗ (0)ξ(0), n ≥ 0, ξ ∈ lq . (6.5.22) Поскольку ядро каждого оператора, являющегося сопряженным к некоторому линейному ограниченному оператору, является слабо∗ замкнутым (замкнутым в σ(X ∗ , X)-топологии [104, гл. 8]) подпространством, то Im Q0∗ = Ker A — слабо∗ замкнутое подпространство из lq (напомним, что q = 1 при p = ∞). Так как пространство lq , наделенное слабой∗ топологией является рефлексивным локально выпуклым топологическим пространством (см. [104, теорема 8.1.1]), то проектор Q0∗ представим в виде Q0∗ = (Q0 )∗ , где Q0 — проектор из алгебры End lp . Определим оператор Q(0) ∈ End X из следующих равенств Q0 x = (Q(0)x0 , y1 , y2 , ...), x = (x0 , x1 , ...) ∈ lp . Тогда для любых ξ0 ∈ X ∗ , x0 ∈ X имеют место равенства (Q(0)∗ ξ0 )(x0 ) = ξ0 (Q(0)x0 ) = ξ(Q0 x) = ((Q0 )∗ ξ)(x) = (Q∗ (0)ξ0 )(x0 ), где ξ = (ξ0 , 0, 0, ...) ∈ lq , x = (x0 , 0, 0, ...) ∈ lp . Итак, оператор Q∗ (0) является сопряженным к оператору Q(0) и, следовательно, оператор P∗ (0) = I − Q∗ (0) является сопряженным к оператору P (0). Из равенств P (0)∗ U(n, 0)∗ = U(n, 0)∗ P∗ (n) = (U(n, 0)P (0))∗ , n ≥ 0, следует, что существует проекторнозначная функция P : Z+ → End X такая, что P (n)∗ = P∗ (n), P (n)U(n, 0) = U(n, 0)P (0), n ∈ Z+ , и имеют место равенства (6.5.16). Следствие 6.5.2. Если семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ , то X ∗ (0) — замкнутое дополняемое подпространство из X ∗ . + Теорема 6.5.3. Для оператора L+ U : D(LU ) ⊂ F → F = F(R+ , X) следующие условия эквивалентны ∗ ∗ 1) L+ U — корректный оператор и X (0) — дополняемое замкнутое подпространство в X ; 2) семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ ; 3) семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на R+ . При выполнении одного из этих условий оператор L+ U обратим слева и один из левых обратных определяется формулой (6.4.3).

Доказательство. Из теоремы 6.2.3 следует, что если L+ U — корректный оператор, то корректным является также оператор DU+ ∈ End F(Z+ , X). Поэтому импликация 1) =⇒ 2) следует из теоремы 6.5.1. Докажем 2) =⇒ 3). Пусть семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ с показателем γ > 0 и постоянной M > 0. Пусть P, Q : Z+ → End X — соответствующие проекторнозначные функции и X+ (n) = Im Q(n), X− (n) = Im P (n), n ≥ 0. Расширим функции P, Q на R+ следующим образом. Для любого числа t > 0 рассмотрим два линейных подпространства X± (t) = U(t, 0)−1 X± (0) = {x ∈ X : U(t, 0)x ∈ X± (0)}.

142

ГЛАВА 6. О

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Они замкнуты (как прообразы замкнутых подпространств X± ) и, кроме того, из условия X = X− (0) ⊕ X+ (0) следует, что X = X− (t) ⊕ X+ (t) (см. равенства (6.3.3) и (6.3.4)). Пусть P : R+ → End X – проекторнозначная функция, осуществляющая эти разложения и Q(t) = I − P (t), t > 0. Из сильной непрерывности семейства U следует сильная непрерывность функций P и Q, а из условия 3 семейства U следует их ограниченность. Все остальные свойства экспоненциальной дихотомии семейства U на R+ следуют из соответствующих свойств семейства U на Z+ и из определения функций P и Q. Докажем импликацию 2) =⇒ 1). Так как семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ , то из следствия 6.4.5 леммы 6.4.2 получаем, что X ∗ (0) = Im Q(0)∗ . Следовательно, X ∗ (0) — замкнутое дополняемое подпространство из X ∗ . Из леммы 6.4.2 следует, что оператор DU+ обратим слева и поэтому он корректен. Еще раз используя теорему 6.2.3, получаем корректность оператора L+ U. Замечание 6.5.4. Непосредственно из формулы для проектора P∗ на ядро оператора (DU+ )∗ следует, что любая последовательность ξ ∈ Ker(DU+ )∗ допускает оценку kξ(n)k 6 M γ n kξ(0)k, n ≥ 1, где M > 0 и γ ∈ (0, 1). Поэтому, если выполнено одно из условий теоремы 6.5.3, то подпространство X ∗ (0) – замкнутое дополняемое подпространство из X ∗ , которое не зависит от выбора пространства F(R+ , X) (соответственно F(Z+ , X)). Учитывая дополняемость замкнутых подпространств в гильбертовых пространствах, замкнутость подпространств из конечномерных пространств и замечание 6.5.4, из теоремы 6.5.3 получаем три следствия. Следствие 6.5.5. Пусть X — гильбертово или конечномерное пространство. Следующие условия эквивалентны: ∗ ∗ 1) L+ U — корректный оператор, причем X (0) — замкнутое подпространство из X , если X — гильбертово пространство; 2) семейство U допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ . + Следствие 6.5.6. Если для линейного оператора L+ U : D(LU ) ⊂ Lp (R+ , X) → Lp (R+ , X) выполнено первое условие теоремы 6.5.3 при некотором p0 ∈ [1, ∞], то оно выполнено для всех остальных p ∈ [1, ∞].

Следствие 6.5.7. Имеет место утверждение теоремы 6.2.4. 6.6.

ОБ

ОПЕРАТОРАХ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В этом параграфе рассматривается периодическое (периода 1) семейство эволюционных операторов U, т. е. предполагаются выполненными равенства U(t + 1, s + 1) = U(t, s), 0 6 s 6 t < ∞. В частности, периодическим является семейство эволюционных операторов для дифференциального уравнения (6.1.2) с периодической (периода 1) функцией A. Символом U обозначим оператор U(1, 0) ∈ End X и тогда верны соотношения U(n, m) = U n−m , 0 6 m 6 n < ∞. Поэтому оператор DU+ ∈ End F(Z+ , X) имеет вид ( x(n) − U x(n − 1), n ≥ 1, + (DU x)(n) = x(0), n = 0. В этом случае условия (6.3.3) эквивалентны условию (6.6.1)

Im U = X, которое далее считается выполненным. Подпространство ∗

X ∗ (0)

имеет вид

X (0) = {ξ0 ∈ X : существует последовательность ξ ∈ lq (Z+ , X ∗ ) такая, что где оператор A = ξ ∈ lq .

∗

(DU+ )∗

ξ0 = (U ∗ )n ξ(n) для всех n ≥ 0}, ∈ End lq определяется равенствами (Aξ)(n) = ξ(n) − U ∗ ξ(n + 1), n ≥ 0,

6.6. ОБ

ОПЕРАТОРАХ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

143

+ Лемма 6.6.1. Если оператор L+ U : D(LU ) ⊂ F → F корректен, то все операторы γI − U ∈ End X, γ ∈ T корректны.

Доказательство. Из теоремы 6.2.3 следует корректность оператора DU+ ∈ End F(Z+ , X). Вначале докажем корректность оператора I − U . Допустим, что это не так. Тогда существует нормированная последовательность (xk ) векторов из X, для которой lim k(I − U )xk k = 0. Рассмотрим k→∞

последовательность (ϕn ) элементов из l∞ (Z+ , R) вида   0, l ≥ 2n, ϕn (l) = l/n, 0 6 l 6 n,   −l/n + 2, n < l < 2n. По этим двум последовательностям построим новую последовательность (ϕ en ) элементов из F(Z+ , X), где ϕ en (k) = ϕn (k)xn , k ≥ 0, n ≥ 1. Из равенств (DU+ ϕ en )(k) = ϕn (k)(I − U )xn + (ϕn (k) − ϕn (k − 1))U xn , k ≥ 0, n ≥ 1, получаем оценки kDU+ ϕ en k 6 k(I − U )xn kX kϕ en k + kU kkϕ en − S(−1)ϕ en k 6 αn kϕ en k, n ≥ 1, где S(−1) — оператор сдвига на −1 в F(Z+ , X), (S(−1)ϕ en )(0) = 0, lim αn = 0. Эти оценки n→∞

противоречат условию корректности оператора DU+ . Таким образом, (I −U ) — корректный оператор. Из равенств V (γ)KU+ V (γ −1 ) = γKU+ , γ ∈ T, где операторы V (γ), γ ∈ T, были определены в начале раздела 6.4, а оператор KU+ — формулой (6.1.5), следует подобие оператора KU+ операторам γKU+ , γ ∈ T. Отсюда получаем корректность операторов λI − KU+ , λ ∈ T и, следовательно, всех операторов γI − U, γ ∈ T. Лемма 6.6.2. Подпространство X ∗ (0) является замкнутым дополняемым подпространством в X ∗ , если выполнено одно из следующих условий 1) r(U ) = r(U ∗ ) < 1; 2) ρ(U ) ∩ T 6= ∅ и L+ U — корректный оператор; 3) U — компактный оператор; 4) σ(U ) ∩ T = ∅. Доказательство. Пусть выполнено условие 1). Из формулы Гельфанда p p для спектрального радиуса линейного оператора [43, гл.VII] следует, что lim n kU n k = lim n k(U ∗ )n k = r(U ) = r(U ∗ ) < 1. n→∞

n→∞

Поэтому, если ξ ∈ F(Z+ , X ∗ ) и ξ(0) ∈ X ∗ (0), то

kξ(0)k = k(U ∗ )n ξ(n)k 6 k(U ∗ )n k sup kξ(k)k → 0, n → ∞. k≥0

Следовательно, X ∗ (0) = {0}. Предположим, что выполнено условие 2). Тогда из леммы 6.6.1 следует корректность операторов γI − U, γ ∈ T. Поскольку ρ(U ) ∩ T 6= ∅, T — связное множество из C и так как корректный оператор, являющийся пределом обратимых операторов, обратим, то T ⊂ ρ(U ). Таким образом, σ(U ) = σ(U ∗ ) = σ1 ∪ σ2 , где σ1 = {λ ∈ σ(U ∗ ) : |λ| < 1} и σ2 = σ(U ) \ σ1 . Тогда X ∗ = X1∗ ⊕ X2∗ , где Xk∗ = Im P (σk , U ∗ ), k = 1, 2 и X ∗ (0) = X1∗ (0) ∩ X2∗ (0), Xk∗ (0) = X ∗ (0) ∩ Xk∗ , k = 1, 2. Из доказанного следует, что X1∗ (0) = {0}, а из определения подпространства X2∗ получаем, что сужение U ∗ |X2∗ — обратимый оператор и r(U ∗ |X2 )−1 < 1. Следовательно, X ∗ (0) = X2∗ (0) = X2∗ — замкнутое дополняемое подпространство из X ∗ . Пусть теперь U — компактный оператор. Его спектр представим в виде σ(U ) = ∆1 ∪∆2 = σ(U ∗ ), где ∆2 — конечное множество, ∆1 ∩ ∆2 = ∅ и r1 = max |λ| < 1. Тогда X ∗ = X1∗ ⊕ X2∗ , Xk∗ = λ∈σ1

Im P (∆k , U ∗ ), k = 1, 2. Ясно, что r(U ∗ |X1∗ ) = r1 < 1 и X2∗ — конечномерное подпространство. Поскольку X ∗ (0) ⊂ X2∗ , то X ∗ (0) — конечномерное (и, следовательно, замкнутое дополняемое) подпространство. Если выполнено условие 4), то следует воспользоваться второй частью доказательства утверждения этой леммы при выполнении условия 2), из которой следует, что X ∗ (0) = X2∗ .

144

ГЛАВА 6. О

КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Проведение дальнейшего исследования условий на оператор U , при которых подпространство X ∗ (0) является замкнутым дополняемым подпространством, требует привлечения ряда результатов из спектральной теории разложимых (по Фойашу) линейных операторов [130]. В частности, можно доказать замкнутость и дополняемость подпространства X ∗ (0), если U — линейный нормальный (например, самосопряженный) оператор, действующий в гильбертовом пространстве X. + Теорема 6.6.3. Для оператора L+ U : D(LU ) ⊂ F → F следующие условия эквивалентны: + 1) LU — линейный корректный оператор и X ∗ (0) — замкнутое дополняемое подпространство из X ∗ ; 2) σ(U ) ∩ T = ∅.

Доказательство. Пусть выполнено условие 1). Тогда из теоремы 6.5.3 следует, что семейство U(n, m) = U n−m , 0 6 m 6 n < ∞ допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ . Из определения 6.3.5 получаем, что X = X− (k) ⊕ X+ (k), k ≥ 0, где X− (k) = Im P (k), X+ (k) = Im Q(k), k ≥ 0. Из вида операторов U(m, n), 0 6 m 6 n < ∞, следуют оценки kU n xk 6 M q n kxk, x ∈ X− (k); kU n xk ≥ M q −n kxk, x ∈ X+ (k), k, n ≥ 0, где M > 0, 0 < q < 1. Отсюда получаем, что X± (k) = X± (0) для всех k ≥ 1, подпространства X± (0) инвариантны относительно U и r(U |X+ (0)) > 1, r(U |X− (0)) < 1. Следовательно, σ(U ) ∩ T = ∅. Предположим, что выполнено условие 2). Тогда σ(U ) = σ1 ∪ σ2 , где σ1 ∩ σ2 = ∅, σ1 = {λ ∈ σ(U ) : |λ| < 1}. Положим P = P (σ1 , U ) и Q = I − P . В этом случае для семейства U имеет место экспоненциальная дихотомия на Z+ , причем P (n) = P для всех n ≥ 0. Из леммы 6.6.2 следует, что X ∗ (0) = Im Q∗ — замкнутое дополняемое подпространство из X ∗ . Пример 6.6.4. Пусть X — гильбертово пространство, U1 ∈ End X — любая необратимая изометрия, α > 2 и U = Uα = αU1 . Рассмотрим разностный оператор D ∈ End l∞ (Z+ , X) вида ( x(n) − U x(n − 1), n ≥ 1, (Dx)(n) = x(0), n = 0, n ≥ 0, x ∈ l∞ . Пусть x0 ∈ l∞ , Dx0 = f и n0 ∈ Z — такое число, что kx0 (n0 )k ≥ 1/2kx0 k∞ . Поскольку U x0 (n0 ) = x0 (n0 + 1) + f (n0 + 1), то α/2kx0 k∞ 6 kU x0 (n0 )k 6 kx0 k∞ + kf k∞ . Итак, kf k∞ = kDx0 k∞ ≥ (α/2 − 1)kx0 k, т. е. D — корректный оператор. Однако, ρ(U ) ∩ T = ∅, так как σ(U ) = {λ ∈ C : |λ| 6 α}. 6.7.

ОБСУЖДЕНИЕ

ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Полученные результаты позволяют использовать теорию разностных операторов при исследовании линейных параболических дифференциальных операторов с переменными коэффициентами и, следовательно, для дифференциальных операторов с частными производными. Например, к рассматриваемым операторам относится дифференциальный оператор (см. введение) L+ = −d/dt + A(t) : D(L+ ) ⊂ Lp (R+ , X) → Lp (R+ , X), где X = L2 (Ω) = L2 (Ω, C), Ω — ограниченная гладкая область из Rn . Семейство линейных дифференциальных операторов A(t) : H0m (Ω) ∩ H 2m (Ω) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω), t ≥ 0 (H0m (Ω), H 2m (Ω) — пространства Соболева [95]) определяется семейством дифференциальных выражений X (lt y)(u) = aα (t, u)(Dα y)(u), u ∈ Ω, t ≥ 0 |α|62m

и краевыми условиями Дирихле на границе ∂Ω области Ω. Функции aα : R × Ω → C, |α| 6 2m считаются принадлежащими пространству C(R, C k (Ω)) для достаточно большого k ∈ N и удовлетворяют условию Липшица, если их рассматривать как функции от первого аргумента со значениями в C k (Ω). Кроме названных условий предполагается, что семейство дифференциальных выражений lt , t ∈ R+ равномерно эллиптично. Из перечисленных условий следует, что эллиптические операторы A(t), t ≥ 0 являются производящими операторами аналитических полугрупп линейных ограниченных операторов, причем

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

145

выполнены условия теоремы Соболевского—Танабе [50, с. 589], которая гарантирует корректность задачи Коши на R+ (существование семейства эволюционных операторов U). Поскольку L2 (Ω) — гильбертово пространство, то для оператора L+ имеет место следствие 6.5.5 теоремы 6.5.3. Полученные в этой главе результаты для оператора L+ U могут быть использованы для изучения оператора LV : D(LV ) ⊂ Lp (R+ , X) → Lp (R+ , X), p ∈ [1, ∞], где V — семейство эволюционных операторов «назад» на R+ (см. замечание 6.3.6). Отметим несколько важных случаев, когда возникает потребность в исследовании оператора LV . 1. При изучении ограниченных на R решений дифференциальных уравнений dx = A(t)x + f (t), f ∈ Lp (R, X) x˙ = dt при предположении, что семейство замкнутых операторов A(t), t ∈ R порождает корректную задачу на R. 2. При изучении асимптотической факторизации дифференциального оператора второго порядка L = ε2 d2 /dt2 + Q(t) : D(L) ⊂ Lp (R, X) → Lp (R, X), ε > 0 возникает необходимость изучения p линейных дифференциальных операторов первого порядка εd/dt± Q(t) (более подробно см. [20]), один из которых есть оператор вида LV . 3. Для семейства эволюционных операторов «вперед» U на R− рассмотрим линейный оператор L− U = LU : D(LU ) ⊂ Lp (R− , X) → Lp (R− , X). Если линейный изометрический оператор T : Lp (R+ , X) → Lp (R− , X) определен формулой (T f )(t) = f (−t), f ∈ Lp (R+ , X), t ≥ 0, то имеет −1 , где {V(s, t) = U(−s, −t); 0 6 s 6 t < ∞} — семейство эволюционместо равенство LV = T L− UT ных операторов «назад». Таким образом, оператор LV подобен оператору L− U и поэтому изучение спектральных свойств оператора LU сводится к изучению соответствующих свойств оператора LV . Если F = F(R+ , X) = Lp (R+ , X), p ∈ [1, ∞) или F(R+ , X) = C0 (R+ , X), то D(LV ) = F и поэтому можно рассмотреть сопряженный оператор L∗V : D(L∗V ) ⊂ F ∗ → F ∗ . Условие сюрьективности оператора LV ( т. е. разрешимости уравнения LV x = f при любой f ∈ F) эквивалентно условию корректности оператора L∗V . При выяснении конкретной структуры оператора L∗V возникают определенные проблемы. Однако, если X — рефлексивное банахово пространство, F = Lp , p ∈ [1, ∞) и {U(s, t) = V(t, s)∗ , t ≥ s ≥ 0} ⊂ End X ∗ — сильно непрерывное семейство, то L∗V = L+ U . В этом случае можно сформулировать для оператора LV ряд результатов, полученных здесь для L+ U . Так, аналогом теоремы 6.5.3 является Теорема 6.7.1. Для оператора LV : D(LV ) ⊂ Lp → Lp , p ∈ [1, ∞) следующие условия эквивалентны: 1) LV — сюрьективный оператор и подпространство X(0) = {x(0) ∈ X : x ∈ Ker LV } замкнуто и дополняемо в X; 2) семейство V допускает экспоненциальную дихотомию на Z+ . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965 2. Баскаков А. Г. О почти периодических функциях Левитана// Сб. студ. работ ВГУ. — Воронеж: ВГУ. — 1970. — C. 91–94 3. Баскаков А. Г. Некоторые вопросы теории векторных почти периодических функций. — Дисc. канд. физ.-мат. наук. — Воронеж: ВГУ, 1973 4. Баскаков А. Г. О спектральном анализе представлений коммутативных банаховых алгебр// Тр. НИИ математики ВГУ. — Воронеж: ВГУ. — 1974. — С. 1–6 5. Баскаков А. Г. Спектральный синтез в коммутативных сильно регулярных банаховых алгебрах// Тр. НИИ математики ВГУ. — Воронеж, ВГУ. — 1975. — С. 3–7 6. Баскаков А. Г. К спектральному анализу в банаховых модулях над коммутативными банаховыми алгебрами// Депонировано в ВИНИТИ, № 3058-77, 1977. 7. Баскаков А. Г. Спектральные критерии почти периодичности решений функциональных уравнений// Матем. заметки. — 1978. — 24, № 2. — С. 195–206 8. Баскаков А. Г. Спектральные отображения банаховых модулей// Методы решения операторных уравнений. — Воронеж: ВГУ. — 1978. — С. 7–12 9. Баскаков А. Г. О спектральных функторах// Школа по теории операторов в функциональных пространствах. — Минск. — 1978. — C. 17-18

146

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

10. Баскаков А. Г. Локально регулярные коммутативные банаховы алгебры// Методы решения операторных уравнений. — Воронеж: ВГУ. — 1979. — C. 16–22 11. Баскаков А. Г. Неравенства бернштейновского типа в абстрактном гармоническом анализе// Сиб. матем. журн. — 1979. — 20, № 5. — С. 942–952 12. Баскаков А. Г. Об общих эргодических теоремах в банаховых модулях// Функц. анализ и его прилож. — 1980. — 14, № 3. — С. 63-64 13. Баскаков А. Г. Замена Крылова—Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов// Препринт, Институт математики АН УССР: 80-19, Киев, 1980, 44 с. 14. Баскаков А. Г. Об условии Диткина в некоторых алгебрах Берлинга// Изв. высш. учебн. зав. Математика. — 1982. — № 1. — С. 3–5 15. Баскаков А. Г. О дополняемости подпространств банаховых пространств// VII школа по теории операторов в функциональных пространствах. — Минск. — 1982. — С. 20-21 16. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов// Сиб. матем. журн.. — 1983. — 24, № 1. — С. 21–39 17. Баскаков А. Г. О спектральном синтезе в банаховых модулях над коммутативными банаховыми алгебрами// Матем. заметки. — 1983. — 34, № 4. — С. 573–585 18. Баскаков А. Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторной функции// Матем. сборник — 1984. — 124, № 5. — С. 68–95 19. Баскаков А. Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений// Изв. АН СССР, сер. матем. — 1986. — 49, № 3. — С. 435–457 20. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов. — Дисс. докт. физ.-мат. наук. — Киев: Институт математики. — 1987 21. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов. — Воронеж: ВГУ, 1987 22. Баскаков А. Г. Операторные эргодические теоремы и дополняемые подпространства банаховых пространств// Изв. высш. учебн. зав. Математика. — 1988. — № 11. — С. 3–11 23. Баскаков А. Г. Диагонализация операторов и дополняемость подпространств банаховых пространств// Укр. матем. журн. — 1990. — 42, № 7. — С. 867–873 24. Баскаков А. Г. Спектр Берлинга в исследовании некоторых классов банаховых алгебр// Усп. матем. наук. — 1994. — 49, № 4. — С. 155-156 25. Баскаков А. Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов// Матем. заметки. — 1996. — 59, № 6. — С. 811–820 26. Баскаков А. Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов// Функц. анализ и его прилож. — 1996. — 30, № 3. — С. 1–11 27. Баскаков А. Г., Чернышов К. И. Упорядоченные пары операторов и полугруппы// Изв. РАЕН. МММИУ. — 1998. — 2, № 3. — С. 39–69 28. Баскаков А. Г., Чернышов К. И. Об условиях компактности спектра упорядоченных пар линейных операторов// Изв. РАЕН. МММИУ. — 1999. — 3, № 3. — С. 5–24 29. Баскаков А. Г., Чернышов К. И. Построение фазового пространства и решений линейных уравнений, не разрешенных относительно производной// Докл. РАН. — 2000. — 371, № 3. — C. 295–298 30. Баскаков А. Г., Чернышов К. И. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов// Матем. сборник. — 2002. — 193, № 11. — С. 3–42 31. Болес Босит Р. Обобщение двух теорем М. И. Кадеца о неопределенном интеграле абстрактных почти периодических функций// Матем. заметки. — 1971. — 9, № 3. — С. 311–321 32. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. — М.: Мир, 1982 33. Бурбаки Н. Спектральная теория. — М.: Мир, 1972 34. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. — М.: Физматгиз, 1960 35. Горин Е. А. Спектральная устойчивость некоторых банаховых алгебр// Функц. анализ и его прилож. — 1974. — 8, № 2. — С. 93-94 36. Горин Е. А. Об исследованиях Г. Е. Шилова по теории коммутативных банаховых алгебр и их дальнейшем развитии// Усп. матем. наук. — 1978. — 33, № 4. — С. 169–188 37. Горин Е. А. Неравенства Бернштейна с точки зрения операторов// Вестник Харьковского университета, прикл. матем. и мех. — 1980. — 45. — С. 77–105 38. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертове пространстве. — М.: Наука, 1967 39. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах. — М.: Мир, 1973 40. Гурарий В. П. Гармонический анализ в пространствах с весом// Тр. ММО. — 1976. — 35. — С. 21–76

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

147

41. Гурарий В. П. Гармонический анализ функций, ограниченных на правой полуоси и растущих на левой// Зап. научн. сем. Ленигр. отд. матем. института АН СССР. — 1981. — 113. — С. 225–230 42. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970 43. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, Т. 1. — М.: ИЛ, 1962 44. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, Т. 2. — М.: Мир, 1966 45. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, Т. 3. — М.: Мир, 1974 46. Диткин В. В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных ограниченных операторов// Матем. заметки. — 1982. — 31, № 1. — С. 75–79 47. Дынькин Е. М. Операторное исчисление, основанное на формуле Коши—Грина, и квазианалитичность класса α// Зап. научн. сем. Ленингр. отд. матем. института АН СССР. — 1970. — № 19. — С. 221–226 48. Дынькин Е. М. Теоремы типа Винера—Леви и оценки для операторов Винера—Хопфа// Матем. иссл., Кишинев. — 1973. — 8, № 3(29). — С. 14–25 49. Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения// Изв. АН СССР, серия матем. — 1976. — 40, № 6. — С. 1380–1408 50. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967 51. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977 52. Кахан Ж. П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. — М.: Мир, 1976 53. Клемент Ф., Хейманс Х., Ангенент С., ван Дуйн К., де Пахтер Б. Однопараметрические полугруппы. — М.: Мир, 1992 54. Крейн С. Г. Функциональный анализ (справ. матем. б-ка). — М.: Наука, 1972 55. Крейн С. Г., Чернышов К. И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве// IX Международная конф. по нелинейным колебаниям. — Киев: Наук. думка. — 1984. — 1. — С. 193–197 56. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально–разностные операторы. — Воронеж: ВГУ, 1990 57. Левитан Б. М. Об одном обобщении неравенств С. Н. Бернштейна и H. Bohr0 a// Докл. АН СССР. — 1937. — 15, № 4. — С. 251–253 58. Левитан Б. М. Почти периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953 59. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. — М.: МГУ, 1978 60. Ломоносов В. И. Некоторые вопросы теории инвариантных подпространств. — Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Харьков, 1973 61. Ломоносов В. И. Совместный аппроксимативный спектр коммутативного семейства операторов// Теория функций, функц. анализ и их прилож. — 1979. — 32. — С. 39–48 62. Ломоносов В. И., Любич Ю. И., Мацаев В. И. Двойственность спектральных подпространств и условия отделимости спектра линейного оператора// Докл. АН СССР. — 1974. — 216, № 4. — С. 737– 739 63. Любич Ю. И. Об условиях полноты системы собственных векторов корректного оператора// Усп. матем. наук. — 1963. — № 18. — C. 163–171 64. Любич Ю. И. Об одном классе операторов в банаховом пространстве// Усп. матем. наук. — 1965. — 20, № 6. — С. 777–779 65. Любич Ю. И. О спектре представления топологической абелевой группы// Докл. АН СССР. — 1971. — 200, № 4. — С. 777–780 66. Любич Ю. И., Мацаев В. И. Об операторах с отделимым спектром// Матем. сборник. — 1962. — 56, № 4. — С. 433–468 67. Любич Ю. И., Мацаев В. И., Фельдман Г. М. О представлениях с отделимым спектром// Функц. анализ и его прилож. — 1973. — 7, № 2. — C. 52–61 68. Любич Ю. И. Введение в теорию банаховых представлений групп. — Харьков: Вища школа, 1985 69. Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ. — М.: ИЛ, 1956 70. Маркус А. С. Задача спектрального синтеза для операторов с точечным спектром// Изв. АН СССР, серия матем. — 1970. — 34, № 3. — С. 662–688 71. Маркус А. С., Мацаев В. И. О сходимости разложений по собственным векторам оператора, близкого к самосопряженному// Линейные операторы и интегральные уравнения. Cб. научн. тр., Кишинев, 1981. — С. 104–129 72. Маслов В. П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973 73. Мельникова И. В., Гладченко А. В. Корректность задачи Коши для включений в банаховых пространствах// Докл. РАН. — 1998. — 361, № 6. — С. 736–739

148

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

74. Мухамадиев Э. М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций// Матем. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269–274 75. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968 76. Никольский Н. К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа// Тр. матем. института АН СССР. — 1974. — СХХ. — С. 1–270 77. Никольский Н. К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций// Математический анализ, Т. 12, М.: ВИНИТИ, 1974. — С. 199–412 78. Никольский Н. К. Современное состояние проблемы спектрального анализа-синтеза// Теория операторов в функциональных пространствах. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение. — 1977. — С. 240–282 79. Пич А. Операторные идеалы. — М.: Мир, 1982 80. Радбель Н. И. Упорядоченные пары линейных операторов и задача Коши для уравнения Ax(t) ˙ + Bx(t) = 0 в банаховом пространстве. — Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Донецк: ИПМиМ, 1984 81. Рицнер В. С. Теория линейных отношений// Депонирована в ВИНИТИ, № 846-82, 1982 82. Руткас А. Г. Задача Коши для уравнения Ax(t) ˙ + Bx(t) = f (t)// Дифф. ур-я. — 1975. — 11, № 11. — С. 1996–2010 83. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975 84. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов// Усп. матем. наук. — 1994. — 49, № 4. — С. 47–74 85. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами// Сиб. матем. журн. — 1998. — 39, № 3. — С. 604–616 86. Тюрин В. М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах// Сиб. матем. журн. — 1991. — 32, № 3. — С. 160–165 87. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, Т. 1. — М.: Мир, 1977 88. Фельдман Г. М. Об изометрических представлениях локально компактных абелевых групп// Докл. АН СССР. — 1972. — 207, № 5 С. 1063–1066 89. Фельдман Г. М. О спектральных подпространствах неквазианалитического оператора// Матем. физика и функц. анализ, Харьков. — 1972. — вып. 3. — С. 81–87 90. Фельдман Г. М. О полупростоте алгебры, порожденной изометрическим оператором// Функц. анализ и его прилож. — 1974. — 8, № 2. — С. 93-94 91. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов// Алгебра и анализ. — 2000. — 12, № 3. — С. 173–200 92. Хелемский А. Я. Аннуляторные расширения коммутативных банаховых алгебр// Изв. АН СССР, серия матем. — 1985. — 29, № 4. — С. 945–956 93. Хелемский А. Я. О сингулярных расширениях алгебры всех непрерывных функций на компакте// Сиб. матем. журн. — 1969. — 10, № 3. — С. 671–684 94. Хелемский А.Я. Гомологические методы в голоморфном исчислении от нескольких операторов в банаховом пространстве, по Тейлору// Усп. матем. наук. — 1981. — 36, № 1. — С. 127–172 95. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985 96. Хилле Э., Филлипс Р.С. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962 97. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, Т. 2. — М.: Наука, 1975 98. Чернышов К. И. Об операторных дифференциальных уравнениях, не разрешенных относительно производной. — Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Киев: ИМ АН УССР, 1979 99. Шейнберг М. В. Гомологические свойства замкнутых идеалов, обладающих ограниченной аппроксимативной единицей// Вестник МГУ, мат.-мех. — 1972. — № 4. — С. 39–45 100. Шилов Г. Е. О регулярных нормированных кольцах// Тр. матем. института им. В. А. Стеклова. — 1947. — XXI. — С. 1–118 101. Шрейдер Ю. А. Банаховы функционалы и эргодические теоремы// Матем. заметки. — 1967. — 2, № 4. — С. 385–394 102. Шубин М. А. Теория Фавара—Мухамадиева и псевдодифференциальные операторы// Докл. АН СССР. — 1975. — 225, № 6. — С. 46–48 103. Эдельштейн С. Асимптотическое расщепление краевых задач для абстрактных дифференциальных уравнений// Сиб. матем. журн. — 1994. — 49, № 6. — С. 1401–1420 104. Эдвардс Э. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1969 ¨ ¨ stetige Lineare Operatoren auf 105. Albrecht E. Functionalkalkule in mehreren Ver¨anderlichen fur Banachr¨aumen// Manuscripta Math. — 1974. — 14. — C. 1–40 ¨ nichtanalytische Functionalkalkule ¨ 106. Albrecht E. Der Spectrale Abbiuldugsatz fur in mehreren Ver¨anderlichen// Manuscripta Math. — 1974. — 14. — C. 263–277

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

149

107. Albrecht E. An example of a weakly decomposable operator which is not decomposable// Rev. Roum. Math. Pures Appl. — 1975. — 20. — C. 855–861 108. Albrecht E. On two questions of I. Colojoara and C. Foias// Manuscripta Math. — 1978. — 25. — C. 1–15 109. Albrecht E., Frunze S. Non-analytic functional calculi in several variables// Manuscripta Math. — 1976. — 18. — C. 327-336 110. Albrecht E. Spectral decomposition for systems of commuting operators// Proc. Rog. Irish Acad. — 1981. — A 81, № 1. — C. 81-98 111. Antoni C. D., Longo R., Zsido L. A spectral mapping theorem for locally compact groups of operators// Pacific. J. Math. — 1982. — 103. — C. 17–24 112. Arendt W. Spectral mapping theorems for compact and locally compact Abelian groups of operators// Rend. Circ. Mat. Palermo. — 1981. — 29, № 1. — C. 105-106 113. Arendt W., Batty C. J. K. Almost periodic solutions of first and second order Cauchy problems// J. Differ. Equations. — 1997. — 137. — C. 363–383 ¨ 114. Arendt W. Approximation of degenerate semigroups// Tubinger Berichte fur Funktionalanalysis, Heft 9. — 1999/2000. — C. 33–46 115. Arendt W., Batty C., Hieber M., Neubrander Vector-valued Laplace Transform and Cauchy Problems. — Basel: Birkhauser—Verlag, 2001. 116. Arveson W. On Group of Automorphisms of Operator Algebras// J. Func. Anal. — 1974. — 15. — C. 217–243 117. Atalla R. E. On the ergodic theory of contractions// Revista Colombina de Mathematicas. — 1976. — 10. — C. 75–81 118. Atzmon A. Operators which are annihilated by analytic functions and invariant subspaces// Acta Math. — 1980. — 44, № 1:2. — C. 27–63 119. Bart H., Goldberg S. Characterizations of almost periodic strongly continuous groups and semigroups// Math. Ann. — 1978. — 236. — C. 105–116 120. Basit B. Harmonic Analysis and Asymptotic Behavior of Solutions of the Abstract Cauchy Problem// Semigroup Forum. — 1997. — 54. — C. 58–74 121. Bhatia R., Rosenthal P. How and why to solve the operator equation AX − XB = Y // Bull. London Math. Soc. — 1997. — 29. — C. 1–21 122. Batty C. J. K., Hutter W., Rabiger F. Almost Periodicity of Mild Solutions of Inhomogeneous Periodic Cauchy Problems// J. Differ. Equations. — 1999. — 156. — C. 309–327 123. Beurling A. Un theoreme sur les fonctions bornees et uniformement continues sur l’axe reel// Acta Math. — 1945. — 77. — C. 127-136 124. Bloom W. Bernstein’s inequality for locally compact abelian groups// J. Austral. Math. Soc. — 1974. — 17, № 1. — C. 88–101 125. Bochner S. Beitr¨age zur Theorie der fastperiodischen Functionen. I Teil// Math. Ann. — 1926. — 96. — C. 119–147 126. Bollobas Bela. The spectral decomposition of compact Hermitian operators on Banach spaces// Bull. London Math. Soc. — 1973. — 5, № 1. — C. 29–36 127. De Boor C. Dichotomies for band matrices// SIAM. J. Numer. Anal. — 1980. — 17. — C. 894–907 128. Bracic J. Unital strong harmonic commutative Banach algebras// Studia Math. — 2002. — 149, № 2. — C. 253–266 129. Connes A. Une classification des facteurs de type III// Ann. Sci Ecole Norm. Sup. — 1973. — 6. — C. 133–152 130. Colojoara I., Foias C. Theory of generalized spectral operators. — New York: Gordon and Breach, 1968 131. Crabb B. J., Duncan J. Some inequalities for norm unitaries in Banach algebras// Proc. Edinburgh. Math. Soc. — 1978. — 21. — C. 17-23 132. Cross R. Multivalued linear operators// New York: M. Dekker, 1998 133. Datry C., Muraz G. Analyse harmonique dans les modules de Banach Part I : Proprie’te’ s Generales// Bull. Sci. Math. Paris. — 1995. — 119. — C. 299–337 134. Datry C., Muraz G. Analyse harmonique dans les modules de Banach. Part II : Presque-periodicites et ergadicites// Bull. Sci. Math. Paris. — 1996. — 120. — C. 493–536 135. Demko S. Spectral bounds for kA−1 k∞ // J. Approxim. Theory. — 1986. — 48. — C. 207–212 136. Domar Y. Harmonic analysis based in certain commutative Banach algebras// Acta Math. — 1956. — 96. — C. 1-66 137. Domar Y. Some results on norrow spectral analysis// Math. Scand.. — 1967. — 20. — C. 5–18 138. Domar Y., Lindahl L.-A. Three spectral notions for representations of commutative Banach algebras// Ann. Inst. Fourier. — 1975. — 25, № 2. — C. 1–32

150

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

139. Dowson H. R. Spectral theory of linear operators. — London: Acad. Press, 1978 ¨ Math. — 1970. — 74. — C. 140. Dunkl С. F. Modules over Commutative Banach Algebras// Monatsch. fur 6–14 141. Eberlein W. F. Abstract ergodic theorems and weak almost periodic functions// Trans. Am. Math. Soc. — 1949. — 67. — C. 217–240 142. Eberlein W. F. Mean ergodic flows// Adv. Math. — 1976. — 21, № 2. — C. 229–232 143. Elmouloudi Ed-Dari. On the (C, α)-uniform ergodic theorem// Studia Math. — 2003. — 156, № 1. — C. 3–13 144. Engel K.J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. — Springer-Verlag, 2000 145. Erdely I., Lange R. Spectral decomposition on Banach spaces// Lect. Notes Math. — Springer-Verlag. — 1977. — 623 146. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. Pure and Applied Mathematics// A Series of Monographs and Textbooks/215. — New York: M. Dekker, 1998 147. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations// Ann. Math. Pure Appl. — 1993. — CLXIII. — C. 353–384 148. Fasangova E. A Banach algebra approach to the weak spectral mapping theorem for C0 -groups// Ulmer Seminare. Functionalanalysis und Differentialgleichungen, 2000, Heft 5. — C. 174–181 149. Flaschka H. Invariant Subspaces of Abstract Multiplication Operators// Indiana University Math. J. — 1971. — 21, № 3. — C. 413-418 150. Foias C. Spectral maximal spaces and decomposable operators in Banach space// Arc. Math. — 1963. — 14. — C. 341–349 151. Frunza S. The Taylor Spectrum and Spectral Decomposition// J. Func. Anal. — 1975. — 19. — C. 390–421 152. Gilbert J. E. On projections of L∞ (G) on to translation-invariant subspaces// Proc. London Math. Soc. — 1969. — 19, № 1. — C. 69–88 153. Gindler H. A., Taylor A. E. The minimum modules of a linear operator and its use in spectral theory// Studia Math. — 1962/1963. — 22. — C. 15–41 154. Gramain F., Meyer Y. Ensembles de frequences et fonctions presque periodiques// Colloq. Math. — 1974. — 30, № 2. — C. 269–275 155. Hamza A. E., Muraz G. Existence of Abstract Solutions of integro-differential operator equations// Acta Math. Vietnamica. — 2003. — 28, № 1. — C. 101–109 ¨ 156. Hartman S., Ryll-Nardzewski C. Uber die Spaltung von Fourierreichen fastperiodische Functionen// Studia Math. — 1960. — 19. — C. 287–295 157. Herz С. S. The spectral theory of bounded functionen// Trans. Am. Math. Soc. — 1960. — 94. — C. 181-232 158. Huang S.-Z. Spectral theory for non-quasianalytic representations of locally compact Abelian groups. — Ph. D. Thesis. — Tubingen, 1995. 159. Huang S.-Z. A spectral theory for locally compact abelian groups of automorphisms of commutative Banach algebras// Studia Math. — 1999. — 132, № 1. — C. 37-69 160. Jones L. K., Lin. M. Unimodular eigenvalues and weak mixing // J. Func. Anal. — 1980. — 35, № 1. — C. 42-48 161. Koh K. On a representation of a strongly harmonic ring by sheaves // Pacific J. Math. — 1972. — 41. — C. 459-468 162. Lange R. Equivalent conditions for decomposable operators// Proc. Am. Math. Soc. — 1981. — 82, № 3. — C. 401-406 163. Laursen K. B., Neumann M. M. An Introduction to Local Spectral Theory// London Mathematical Society Monographs, New Series 20. — Oxford: Clarendon Press, 2000 164. Leaf G. A spectral theory for a class of linear operators// Pacific J. Math. — 1963. — 13. — C. 141-145 165. Lehmann I., Rossberg H.-J. Elementary Generalization of a Theorem of Pragmen-Lindel¨of with Application// Math. Nachr. — 1975. — 70. — C. 87–93 166. Lloyd S. P. On the mean ergodic theorem of Sine// Proc. Am. Math. Soc. — 1976. — 56. — C. 121–126 167. Loomis L. H. Spectral characterization of almost periodic functions // Ann. Math. — 1960. — 72, № 2. — C. 362–368 168. Lyubich Y. I. Introduction to the theory of Banach Representations of Groups. — Birkh¨auser-Verlag, 1988 169. Mattila K. On proper boundary points of the spectrum and complemented eigenspaces// Math. Scand. — 1978. — 43. — C. 363–368 170. Mayer A.E. Gr¨aste Polygone mit gegebenen Seitenvectoren// Comm. Math. Helvetici. — 1938. — 10. — C. 288-301

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

151

171. Marshall E. On the functional calcules of non-quasianalytic groups of operators and cosine functions// Rend. Circ. Math. Palermo. — 1986. — 35. — C. 58-81 172. Meyer Y. Algebraic numbers and harmonic analysis. — Amsterdam: North Holland, 1972 173. Milne H. Banach space properties of uniform algebras// Bull. London Math. Soc. — 1972. — 4. — C. 323–326 174. Mirkil H. A counterexample to discrete spectral synthesis// Composite Math. — 1960. — 14. — C. 269-273 175. Nagel R. J. Mittelergodische Halbgruppen linearer Operatoren// Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1973. — 23-4. — C. 75-87 176. Nagel R. One Parameter Semigroups of Positive Operators// Lect. Notes Math.. — Springer-Verlag, 1986. — 1184 177. Nagel R., Huang S.-Z. Spectral mapping theorems for C0 -groups satisfying non-quasianalytic growth conditions// Math. Nachr. — 1994. — 169. — C. 207-218 178. Nagy B. Operators with srectral decomposition property are decomposable// Stud. Sci. Math, Hung. — 1978. — 13, № 3-4. — C. 429-432 ¨ 179. Fon Neumann J. Uber adjungierte Functionaloperatoren// Ann. Math. — 1932. — 33. — C. 294–310 180. Palmer T. W. Banach Algebras and the General Theory of ∗-Algebras. Vol.I: Algebras and Banach Algebras// Encyclopedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge Univ. Press, 1994 181. Palmer T. W. Banach Algebras and the General Theory of ∗-Algebras. Vol.II: ∗-Algebras// Encyclopedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge Univ. Press, 2002 182. Olesen D. On norm-continuity and compactness of spectrum// Math. Scand. — 1974. — 35. — C. 223–236 183. Reiter H. Classical harmonic analysis and locally compact groups. — Oxford: Calderon Press, 1968 184. Romo J.G. Spectral synthesis in Banach modules, I// Tamkang J. Math.. — 1980. — 11, № 1. — C. 91-109 185. Romo Y.G. Spectral synthesis in Banach modules, II// Tamkang J. Math. — 1980. — 11, № 2. — C. 191-201 186. Rudin W. Fourier analysis on groups. — Nеw York: Int.Publ., 1962 187. Sato R. On abstract mean ergodic theorems// Tohoku Math. J. — 1978. — 30, № 4. — C. 575-581 188. Schwarz L. Theorie generale des fonctions mogenne-periodiques// Ann. Math. — 1947. — 48, № 4. — C. 857-927 189. Seferoglu H. Spectral mapping theorem for representations of measure algebras// Proc. Edinb. Math. Soc. — 1997. — 40. — C. 261-266 190. Seferoglu H. A spectral mapping theorem for Banach modules// Studia Math. — 2003. — 152, № 2. — C. 99-103 191. Sine R. A mean ergodic theorem// Proc. Am. Math. Soc. — 1970. — 24, № 3. — C. 438-439 192. Slodkowski Z. An infinite family of joint spectra// Studia Math. — 1977. — 61. — C. 239-255 193. Slodkowski Z., Zelazko W. On joint spectra of commuting families of operators// Studia Math. — 1973. — 48. — C. 83–88 194. Stampfli J.G. A local theory for operators; Invariant subspaces// Ind. Univ. Math. J. — 1972. — 22, № 2. — C. 159–167 195. Takahasi S.-E., Inoue J. A spectral mapping theorem for some representations of compact abelian groups// Proc. Edinb. Math. Soc. — 1992. — 35. — C. 47–52 196. Taylor J.L. A joint spectrum for several commuting operators// J. Func. Anal. — 1970. — 6, № 2. — C. 172–191 197. Taylor J.L. The analytic functional calculus for several commuting operators// Acta Math. — 1970. — 125. — C. 1–38 198. Teleman S. Analyse harmonique dans les algebras regylieres// Rev. Roumaine Math. Pures Appl. — 1968. — 13. — C. 691–750 199. Wermer J. The existence of invariant subspace// Duke Math. J. — 1952. — 19. — C. 615–622 200. Zelazko W. On a certain class of non-removable ideals in Banach algebras// Studia Math. — 1972. — 44. — C. 87-92 201. Zelazko W. An axiomatic approach to joint spectra, I// Studia Math. — 1979. — 64. — C. 249–261 202. Zsido L. On spectral subspaces associated to locally соmpact abelian group of operators// Adv. Math. — 1980. — 36. — C. 213–276

Анатолий Григорьевич Баскаков Воронежский государственный университет Факультет прикладной математики, информатики и механики кафедра математических методов исследования операций E-mail: [email protected]