Планирование эксперимента. Методические указания к практическим занятиям

Министерство образования Российской Федерации ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Планирование эксперимента» для студентов специальности 072000 – Стандартизация и сертификация (в пищевой промышленности) и 190800 – Метрология и метрологическое обеспечение дневной и заочной форм обучения

Разработал: Хамханов К.М. Дондоков Ю.Ж.

Улан-Удэ, 2002 г.

Введение Однофакторные эксперименты, где варьируется один параметр при фиксированных значениях других, требуют выполнение большого числа опытов, и что не менее важно, не всегда дают возможность выявить общую картину влияния факторов на объект оптимизации. Применение методов планирования экспериментов позволяет не только обоснованно сократить число опытов, и что самое главное, без потери информации, но и выявить взаимодействие факторов, их суммарное взаимное влияние на объект оптимизации. Планирование эксперимента позволяет без больших материальных, временных затрат определить пути дальнейшего продолжения исследований. Для ознакомления студентов с основами планирования эксперимента, усвоения основных понятий и методов, разработано данное методическое указание. При изложении данной дисциплины в связи с ограниченностью по времени, трудно организовать и получить экспериментальные данные, и с учетом того, что данную дисциплину изучают студенты старших курсов, имеющие понятия, представления о проведении опытов, то в данной работе предлагаются задачи связанные непосредственно с организацией опытов, а затем дальнейшее продолжение работы с результатами опытов, выдаваемых преподавателем. Такой подход позволяет достаточно полно изучить общие методы планирования эксперимента и обеспечить возможность для дальнейшего самостоятельного углубленного изучения данной проблемы.

Цель и задачи практических работ Для успешного выполнения и защиты работы студент должен Знать: технологию производства, устройство, характеристики измерительных средств, методы измерения и т.д. Иметь представление: о факторах, их уровнях варьирования, методах их измерения и т.д. Уметь объяснить: методы исключения незначимых факторов, методы построения матрицы планирования. Практическая работа № 1 Тема: Выбор факторов, уровней их варьирования и нулевой точки Цель работы: закрепление знаний, умений и навыков по выбору факторов, их уровней варьирования. Общие положения Фактором называется управляемая независимая переменная, соответствующая одному из возможных способов воздействия на объект исследования. Фактор считается заданным, если указаны его название и область определения. В выбранной области определения он может иметь несколько значений, которые соответствуют числу его различных состояний. Выбранные для эксперимента количественные и качественные состояния фактора носят название уровней фактора. В планировании эксперимента значения факторов, соответствующие определенным уровням их варьирования, выражаются в кодированных величинах. Под интервалом варьирования подразумевается разность между двумя именованными его значениями, принятая за единицу при его кодировании.

При выборе факторов рекомендуется учитывать ряд требований. В качестве факторов рекомендуется выбирать такие независимые переменные, которые соответствуют одному из разумных в рассматриваемом случае воздействии на объект исследований, могут быть измерены имеющимися средствами с достаточно высокой гарантированной точностью, являются управляемыми и однозначными, совместимы один с другим, не связаны между собой линейными корреляционными связями, Желательно, чтобы факторы оценивались количественно, хотя возможно применение факторов, характеризующихся только качественно. После выбора факторов устанавливают нулевую точку и выбирают интервалы варьирования для установления верхних и нижних уровней факторов, которые в кодированном обозначении соответствуют +1 и –1. Интервал варьирования фактора выбирают с учетом того, что значение факторов, соответствующие уровням +1 и –1, должны быть достаточно отличимы от значения, соответствующего нулевому уровню. Поэтому во всех случаях величина интервала варьирования должна быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фактора. Здесь необходимо учитывать, что чрезмерное увеличение интервалов варьирования может привести к снижению эффективности поиска оптимума, а малый интервал варьирования уменьшает область эксперимента, что замедляет поиск оптимума. Выбор факторов завершается составлением списка всех факторов, которые заслуживают внимания. При этом указываются наименования и обозначения факторов, их интервалы и уровни варьирования, координаты нулевой точки. Перечисленные данные фиксируются в таблицах. В качестве примера приведена таблица 1. Таблица 1 Наименование и обозначение факторов

Уровни варьирования –2 –1

Интервалы варьирования (ε) 0 +1 +2

t – температура, ˚C (X1) 140 150 160 170 180 2 p – давление, кгс/см (X2) 0 2,5 5 7,5 10 c – концентрация, г/л (X3) 0 10 20 30 40 τ – время, мин (X4) 30 60 90 120 150 g – масса, кг (X5) 100 160 200 250 300

10 2,5 10 30 50

План работы 1. Выбрать объект исследования (машина, прибор, процесс и т.д.) 2. Определить факторы, дать их описание, характер влияния на исследуемый объект, методы и способы регулирования, измерения и т.д. 3. Выбрать нулевой уровень и интервалы варьирования. 4. Заполнить таблицу факторов.

Практическая работа № 2 Тема: Априорное ранжирование факторов (психологический эксперимент) Цель работы: закрепление знаний, умений и навыков априорного ранжирования факторов (психологический эксперимент). Здесь рассматриваются методы, которые применяют при обработке литературных данных на первой стадии экспериментальной работы в тех случаях, когда из большего числа факторов нужно выделить наиболее важные для дальнейшего изучения и отсеять остальные. На стадии предварительного изучения объекта исследования при формализации априорных сведений иногда полезно проведение психологического эксперимента, заключающегося в объективной обработке данных, полученных в результате опроса специалистов или из исследований, опубликованных в литературе. Такой эксперимент позволяет более правильно спроектировать объект исследования, принять или отвергнуть некоторые предварительные гипотезы, дать сравнительную оценку влияния различных факторов на параметры оптимизации и тем самым правильно отобрать факторы для последующего активного эксперимента, обоснованно исключив некоторые из них из дальнейшего рассмотрения. При решении подобных задач можно использовать метод априорного ранжирования факторов. Особенность метода априорного ранжирования факторов заключается в том, что факторы, которые согласно априорной информации могут иметь существенное влияние, ранжируются в порядке убывания вносимого ими вклада. Вклад каждого фактора оценивается по величине ранга – места, которое отведено исследователем (специалистом при опросе, автором статьи и т.п.) данному фактору при ранжировании всех факторов с учетом их предполагаемого (количественно неизвестного) влияния на параметры оптимизации. При сборе мнений путем опроса специалистов каждому из них предлагается заполнить анкету, в которой перечислены факторы, их размерность и предполагаемые интервалы варьирования. Заполняя анкету, специалист определяет место факторов в ранжированном ряду. Одновременно он может включить дополнительные факторы или высказать мнение об изменении интервалов варьирования. Результаты опроса специалистов (или ранжирования по литературным данным) обрабатываются следующим образом. Сначала определяют сумму рангов по факторам  m   ∑ aij  , а затем разность (∆i) между суммой каждого фактора и средней суммой рангов и  1  сумму квадратов отклонений (s) : m

∑a

∆i =

ij

−

k

m

1

1

∑∑ a

1

ij

k

m

= ∑ aij − T ;

(1)

1

m

s=

∑ (∆i)2 ,

(2)

1

где aij – ранг каждого i-го фактора у j-го исследователя; m – число исследователей; k – число факторов; Т – средняя сумма рангов. Полученные данные позволяют построить среднюю априорную диаграмму рангов, но предварительно необходимо оценить степень согласованности мнений всех исследователей с помощью коэффициента конкордации ω:

ω=

12s m

m (k − k ) − m∑ T j 2

3

,

(3)

1

3

где Tj = Σ(tj –tj); tj – число одинаковых рангов в j-м ранжировании. Использовать коэффициент конкордации можно после оценки его значимости, которая возможна с помощью специальных таблиц или известных статистических распределений, например, величина m(k-1)ω имеет χ2-распределение с числом степеней свободы f=k–1. Значение χ2критерия определяют по формуле 12 s . (4) χ2 = 1 m mk (k + 1) − ∑Tj k −1 1 Гипотеза о наличии согласия исследователей может быть принята, если при заданном числе степеней свободы табличное значение χ2 меньше расчетного для 5 %-ного уровня значимости. Оценив согласованность мнений всех исследователей, строят среднюю диаграмму рангов, откладывая по одной оси факторы, а по другой – соответствующие суммы рагов. Чем меньше сумма рангов данного фактора, тем выше его место на диаграмме. С помощью последней оценивается значимость факторов. В случае неравномерного экспоненциального убывания распределения часть факторов можно исключить из дальнейшего рассмотрения, отнеся их влияние к шумовому полю. Если же распределение равномерное, то в эксперимент рекомендуется включать все факторы. В ситуациях с очень большим числом факторов, кроме общей согласованности мнений исследователей, рассматривают с помощью χ2-распределения и согласованность по каждому фактору в отдельности. Построение средней априорной диаграммы рангов по известным литературным данным полезно с той точки зрения, что она по существу является сокращенным литературным обзором по объекту исследования. Остановимся на особенностях априорного ранжирования факторов. В текстильной промышленности в процессе некоторого исследования на стадии предварительного изучения объекта исследования были опрошены четыре специалиста, знакомых с изучаемой технологией (m = 4). Данные опросы были использованы для априорного ранжирования факторов с целью выделения наиболее существенных из них. Проводился опрос с помощью анкеты, содержащей 12 факторов (k = 12), которые нужно было проранжировать с учетом степени их влияния на разрывную нагрузку текстильного материала (факторы характеризовали условия изготовления материала). Матрица рангов, полученная из анкет, приведена в таблице 2. Таблица 2

Исследователи (m)

Факторы (k = 12) x1

1 2 3 4

x2

x3

x4

10,5 10,5 10,5 9 10 11 7,5 7,5 11 4 8 10,5

x5

x6

x7

x8

1 1 2 2

2,5 6,5 4,5 10,5

2,5 6,5 4,5 10,5

10,5 12 12 10,5

6

24

24

45

x9 5 2 1 1

x10

x11

x12

Tj = Σ (tj3 – t j)

4 3 3 3

7 4 9,5 9,5

6 5 9,5 5,5

60+6 = 66 8–2 = 6 6+6+6= 18 60+6 = 66

13

26

26

∑T

m

4

∑a

29

∆i

29–2

ij

31

36

43

9

1

1

5

10

17

–20

–2

–2

19

–17 –13

0

0

j

= 156

6=3 (∆i)

2

9

25

100 289 400

4

4

361

289 169

0

0

s = 1650

По данным таблицы 2 рассчитывали, используя формулу (3), коэффициент конкордации   4  ∑ T j = 156; T = 26; s = 1650  :   1 T1 = Σ(tj3–tj) = (43 – 4) + (23 – 2) = 60 + 6 = 66. T2 = (23 – 2) = 6. T3 = (23 – 2) + (23 – 2) + (23 – 2) = 18. T4 = (43 – 4) + (23 – 2) = 66. 4

∑T

j

= 66 + 6 +18 + 66 = 156.

1

4

T=

∑T 1

j

156 = 6 = 26.

jmax Сумма квадратов отклонений s=

m

∑

(∆i)2 = 9+25+100+289+400+4+4+361+289+169+0+0=1650.

1

12·1650 ω = 16 (1728 – 12) – 4·156 = 0,738. Так как величина коэффициента конкордации существенно отличается от нуля, можно считать, что между мнениями исследователей имеется существенная связь. Тем не менее, исследователи неодинаково ранжируют факторы (найденное значение ω заметно отличается от единицы). Значимость коэффициента конкордации проверяли по χ2-критерию с учетом формулы (4): 12 ⋅1650 χ2 = = 32,3. 1 4 ⋅12 ⋅13 − ⋅156 11 Из справочной литературы находим, что для 5%-ного уровня значимости при числе степеней свободы f = 12–1 = 11 χ2 = 19,75. В связи с тем что табличное значение χ2-критерия меньше расчетного, можно с 95%-ной доверительной вероятностью утверждать, что мнение исследователей относительно степени влияния факторов согласуется в соответствии с коэффициентом конкордации ω =0,738. Это позволяет построить среднюю диаграмму рангов для рассматриваемых факторов (рис.1). Из диаграммы видно, что распределение – равномерное, убывание – немонотонное. По результатам проведенного психологического эксперимента было отобрано для дальнейших исследований восемь факторов, занимающих по диаграмме восемь первых мест.

Средняя априорная диаграмма рангов x4

x2

2 x1

x7

x1

x5

0

Ф акторы

0

Суммы рангов

10

20

30

40

50

Рис. 1. Рассматриваемый метод полезен при оценке потребительной стоимости текстильных и других товаров. План работы 1. Составить анкету для опроса специалистов, где исследуемые факторы взять из практического занятия №1. 2. Заполнить анкету, привлекая в качестве специалистов студентов данной учебной группы. 3. Выполнить статистическую обработку результатов опроса. Практическая работа № 3

Тема: Полный факторный эксперимент Цель работы: закрепление знаний, умений и навыков по полному факторному эксперименту. Рассматривается полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа 23, матрица планирования которого и результаты эксперимента приведены в табл.3. Таблица 3 Температу ра t, ˚С

Результаты эксперимента (yи), %

– + + –

5 15 5 15

0,5 0,5 1,5 1,5

75 75 75 75

81,08 85,65 82,27 90,40

5 + – – + + – – + 6 + + – + – + – –

5 15

0,5 0,5

95 95

84,95 89,95

Номер опыта x0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 Время τ, мин

Концентра ция С, %

Рабочая матрица

Матрица планирования

1 2 3 4

+ + + +

– + – +

– – + +

– – – –

+ – – +

+ – + –

+ + – –

7 + – + + – – + – 8 + + + + + + + +

5 15

1,5 1,5

95 95

85,25 88,25

Уравнение математической модели y = b0 + Σ bi xi + Σ bij xi xj (5) Значение коэффициентов регрессии рассчитываются по выражениям: N

b0 =

∑y

n

1

,

N N

∑x

in

bi =

,

N

∑x

in

bij =

yn

1

N

(6)

(7)

x jn yn

1

. N Дисперсия воспроизводимости определяется по формуле: N

S2{y} =

n

∑∑ ( y 1

ni

(8)

− y n )2

1

, (9) N (n − 1) N – число опытов в эксперименте; где n – число повторных наблюдений в каждом опыте. В данном случае число повторных наблюдений n = 5 и дисперсия воспроизводимости S2{y} = 0,652. Приняв доверительную вероятность 95% определяются границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии t ⋅ S{ y} ∆bi = ± . (10) N ⋅n Получив значения границы доверительных интервалов, исключаются незначимые коэффициенты регрессии, а значимые коэффициенты регрессии подставляются в уравнение математической модели и рассчитываются теоретические значения отклика (параметра оптимизации). Работа завершается проверкой адекватности математической модели. Дисперсия адекватности вычисляется по выражению: N

S2ад =

∑ n( y 1

n

− yˆ n ) 2

, (11) N −λ λ = k + 1 при линейном моделировании; где yˆ n – теоретическое значение отклика в n-том опыте. Гипотезу об адекватности модели проверяют с помощью критерия Фишера: S2ад (12) F= S2 {y} Значение F-критерия, найденное из уравнения (12), сравнивают с табличным при выбранной доверительной вероятности. Должно выполняться условие Fрасч. < Fтабл. Выбирая значение Fтабл. нужно учитывать число степеней свободы для большей и меньшей дисперсий. Числа степеней свободы – это знаменатели формул, используемых при определении двух дисперсий – S2ад и S2{y}:

f1 = N (n – 1); (13) f2 = N – λ = N – k + 1. После выполнения работы сделать выводы о дальнейшем направлении исследования. План работы 1. 2. 3. 4. 5.

Рассчитать коэффициенты регрессии. Выполнить проверку значимости коэффициентов регрессии. Рассчитать теоретические значения параметра оптимизации. Проверить адекватность модели. Выводы, рекомендации. Список использованных источников

1. Тихомиров В.Б. Планирование и анализ эксперимента. М.: Легкая индустрия, 1974. 262 с. 2. Мельников С.В. и др. Планирование эксперимента в исследованиях сельскохозяйственных процессов. Л.: Колос, 1980. – 168 с., ил. 3. Адлер Ю.П.,Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. 4. Грачев Ю.П. Математические методы планирования экспериментов. М.: Пищевая промышленность, 1979.

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Планирование эксперимента» для студентов специальности 072000 – Стандартизация и сертификация (в пищевой промышленности) и 190800 – Метрология и метрологическое обеспечение дневной и заочной форм обучения

Разработал: Хамханов К.М., Дондоков Ю.Ж.

Подписано в печать 11.04.2002 г. Формат 60×84 1/16. Усл.п.л. 1,16, уч.-изд.л. 0,8. Тираж 80 экз. Заказ № 62. Издательство ВСГТУ. г.Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, а. ВСГТУ, 2002 г.