Оптические покрытия: Учебное пособие

Э.С. ПУТИЛИН

ОПТИЧЕСКИЕ ПОКРЫТИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2010

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Э.С.Путилин ОПТИЧЕСКИЕ ПОКРЫТИЯ Учебное пособие

Санкт-Петербург 2010

Путилин Э.С., Оптические покрытия. Учебное пособие. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010 – 227с. Пособие представляет собой уточнённый и исправленный конспект лекций по курсу «Оптические покрытия» и содержит сведения о методах расчёта спектральных характеристик многослойных систем, образованных прозрачными, непрозрачными и слабо поглощающими слоями. Большое внимание уделено оптическим характеристикам однослойных, двухслойных, трёхслойных и многослойных систем, образующих просветляющие, зеркальные, поляризующие и фильтрующие покрытия. Пособие может быть полезно при изучении курсов «Оптические покрытия», «Оптические материалы и технология их обработки». Пособие предназначено для студентов оптических и оптикоэлектронных специальностей приборостроительных вузов. Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров и магистров 200200 «Оптотехника» и дипломированных специалистов по специальностям 200201 «Лазерные техника и лазерные технологии», 200203 «Оптико-электронные приборы и системы», 200204 «Оптические технологии и материалы», материалы рукописи оптические покрытия автора Путилина Э.С. решением № 353 заседания Президиума Совета УМО от «_25_»_марта_2009г.

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «СанктПетербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы. © Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2010 ©Э.С.Путилин, 2010

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. Теория и методика расчёта оптических свойств плёнок……………………………………………………… 1.1. Отражение света от границы раздела двух сред. 1.2. Распространение света в многослойных диэлектрических системах…………………………….. 1.3. Метод матричного описания оптических свойств многослойных интерференционных систем……………. Глава 2. Оптические свойства однослойных систем………… Нормальное падение света на прозрачный изотропный слой………………………………………………………… 2.2. Просветляющие слои. Условие просветления………….. 2.3. Однослойные покрытия при наклонном падании света.. 2.4. Оптические характеристики слоя при углах падения больших критического…………………………………… 2.5. Оптические характеристики поглощающего слоя……... Глава 3. Двухслойные диэлектрические системы…………….. 3.1. Просветляющие покрытия с не кратными толщинами слоёв……………………………………………………….. 3.2. Двухслойные просветляющие покрытия с одинаковыми толщинами слоёв…………………………. 3.3. Просветляющие покрытия с кратными толщинами слоёв……………………………………………………….. 3.4. Просветляющие покрытия с оптическими толщинами, меньшими 0,25λ0………………………………………….. 3.5. Отражательная способность двухслойных диэлектрических систем………………………………….. 3.6. Изменение коэффициента отражения по мере роста двухслойной диэлектрической системы Глава 4. Трёхслойные системы…………………………………. 4.1. Просветляющие трёхслойные системы с одинаковыми оптическими толщинами. ……………………………….. 4.2. Просветляющие системы с кратными толщинами слоёв……………………………………………………….. 4.3. Симметричные системы слоёв…………………………... 4.4. Изменение коэффициента отражения по мере формирования трёхслойных систем…………………….. Глава. 5 Зеркальные системы………………………………….. 5.1. Четвертьволновые зеркала с нечётным числом слоёв. ..

5 9 10 21 27 33

2.1.

33 43 47 54 61 84 86 96 100 103 105 109 116 117 125 128 132 146 146

5.2. 5.3. 5.4.

Четвертьволновые зеркала с чётным числом слоёв……. Фазовые характеристики четвертьволновых зеркал….. Изменение коэффициента отражения по мере формирования многослойной четвертьволновой системы………………………………………………….. 5.5. Четвертьволновые зеркала при наклонном падении света……………………………………………………….. Глава 6. Фильтрующие покрытия……………………………… 6.1. Отрезающие светофильтры……………………………… 6.2. Узкополосные светофильтры, построенные по схеме интерферометра Фабри-Перо……………………………. 6.3. Изменение пропускания по мере формирования узкополосных светофильтров……………………………. 6.4. Изменение спектральных характеристик узкополосных светофильтров при наклонном падении………………… 6.5. Светофильтры на основе нарушенного полного внутреннего отражения………………………………….. Рекомендуемая литература……………………………………… История Кафедры оптических технологий …………………….

160 162 167 175 184 186 191 201 210 213 225 226

Введение Внедрение оптических приборов и методов исследования в различные области науки и техники приводит к необходимости создания многослойных диэлектрических, металлодиэлектрических систем не только с расширяющимися требованиями к их свойствам, но и возможному их сочетанию. Это в первую очередь оптические, физико-механические, химические и другие свойства. Из оптических свойств следует упомянуть непрерывно расширяющей спектральный диапазон работы приборов, ужесточение требований к лучевой стойкости и прочности покрытий, сочетание возможности отражения (пропускания) и формирования волнового фронта отражённого (прошедшего) излучения. В некоторых случаях требуется работа покрытия со сходящимися или расходящимися пучками, т.е. ужесточаются требования к их поляризационным свойствам. Поэтому разумно рассмотреть отдельные типы покрытий: просветляющие (антиотражающе), зеркальные, свето- и спектроделительные, фильтрующие и поляризующие. Особой задачей, связанной со свойствами оптических материалов является осаждение покрытий на нестойких стёклах, кристаллах и полимерах. Плёнки, нанесённые на преломляющие и отражающие грани оптических элементов позволяют формировать требуемые, разнообразные спектральные кривые, которые могут быть получены благодаря уникальным свойствам тонкоплёночных систем. Незначительная масса и относительная простота реализации (например, путём термического или электронно-лучевого испарения вещества в вакууме) позволяют широко применять интерференционные покрытия. Просветляющие покрытия. Основная, почти классическая задача, просветляющих покрытий - увеличение спектрального диапазона и уменьшение остаточного отражения. Решение её при создании покрытий, работающих в широком спектральном диапазоне, включающем ультрафиолетовую, видимую и ближнюю инфракрасную часть спектра, осложняется тем, что оно существенно зависит от показателя преломления просветляемого материала. Показатель преломления просветляемых материалов лежит в интервале от 1.35 до 2.20. Кроме того, набор стабильных, химически устойчивых, стойких к воздействию внешней атмосферы плёнкообразующих материалов невелик. Наибольшие сложности возникают при создании антиотражающих покрытий на материалах с малым показателем преломления. Однако при использовании современных методов синтеза удаётся создавать конструкции, обеспечивающие заданные требования. Такие конструкции содержат слои, толщина которых не

превышает нескольких нанометров, что вызывает значительные технологические сложности при их реализации, связанные как с контролем толщины слоёв в процессе их изготовления, так и со стабильностью параметров плёнок во времени. Это требует создания новых методов контроля толщины слоёв в процессе осаждения и исследование изменения свойств этих слоёв в процессе эксплуатации. Не меньший интерес в последнее время предъявляется к покрытиям, работающим в области вакуумного ультрафиолета. Создание таких покрытий в настоящее время сдерживается из-за отсутствия знаний о показателях преломления плёнкообразующих материалов, прозрачных в этой области спектра и приборов, позволяющих аттестовать эти материалы с достаточной точностью. Особый интерес в последние годы проявляется к просветляющим покрытиям с переменным по толщине показателем преломления. Хотя свойства таких покрытий известно очень давно их экспериментальная реализация к настоящему времени почти отсутствует. В последнее время, в связи с экспериментальными исследованиями, посвящёнными одновременному испарению двух и более плёнкообразующих материалов в вакууме, появляется надежда на создание таких покрытий. Свето- и спектроделительные покрытия. Для спектроделительных покрытий, особенно применяемых в оптоэлектронике и оптической связи, основная проблема заключается в уменьшении спектрального диапазона зоны, в которой коэффициент отражения или пропускания меняется быстро (крутизна спектральной характеристики, определяемая как dT/dλ или dR/dλ, должна иметь максимальное значение в этом диапазоне). Зоны прозрачности, подавления и контрастность, определяемая как отношение максимального и минимального пропускания, должны иметь фиксированное значение, которое определяется техническим заданием. Основная сложность, возникающая при конструировании таких покрытий, заключается в обеспечении максимального значения dT/dλ (dR/dλ). Классический путь её преодоления использование систем, состоящих из большого числа четвертьволновых слоёв с малой разницей в показателях преломления плёнкообразующих материалов. Однако при этом зона максимального отражения уменьшается пропорционально разнице в показателях преломления. Аналогичный результат может быть достигнут при использовании материалов с большой разницей показателей преломления плёнкообразующих материалов при меньшем числе слоёв, что не всегда возможно в ультрафиолетовой и видимой областях спектра из-за отсутствия таковых. При решении этой задачи необходимо искать компромиссный вариант, позволяющий при разумном количестве слоёв достичь заданной величины крутизны. Этот компромисс определяется свойствами плёнкообразующих материалов (собственные напряжения и коэффициент термического расширения плёнок) и материала подложки. Зеркальные покрытия. Создание систем с максимальным коэффициентом отражения, как на кратных, так и некратных целому числу

длинах волн, расширение спектрального диапазона, захватывающего области спектра от ультрафиолетовой до ближней инфракрасной. Создание узкополосных зеркал - зеркал с минимальной шириной области максимального отражения так же является актуальной задачей. Разработка конструкции таких зеркал в принципе может быть решена с помощью современных методов синтеза многослойных диэлектрических систем. Увеличение коэффициента отражения до величины, максимально приближенной к ста процентам, значительно увеличивает общую толщину диэлектрической системы. Это увеличение общей толщины приводит к тому, что система начинает разрушаться под действием механических напряжений, возникающих в слоях. Возможным выходом из этой ситуации является подбор пар слоёв взаимно компенсирующих как собственные, так и термические напряжения. При создании широкополосных систем перспективным является использование металлодиэлектрических систем. Подобный подход к конструированию широкополосных отражателей может быть использован для создания лазерных систем, если напряжённость электрического поля световой волны, доходящих до металлического слоя уменьшается на один- два порядка. Особый интерес представляют системы, в состав которых входят слои с заданным распределением показателя преломления по толщине. Такие системы не только исключают границы раздела между слоями, изготовленными из различных материалов, что значительно увеличивает механическую прочность и лучевую стойкость покрытия, но и позволяют реализовать узкополосные системы, работающие как на кратных, так и не кратных длинах волн. Поляризующие покрытия. В ряде современных приборов используется излучение как когерентных, так и некогерентных источников с определённым состоянием поляризации, что выдвигает дополнительные требования к поляризации отражённого и прошедшего потоков. Если для лазерных источников расходимость излучения мала, то для ряда других источников расходимость может достигать величины нескольких десятков градусов. Для этих источников не только велика расходимость, но и достаточно велик спектральный диапазон излучения. Это существенно ужесточает требования к конструкции многослойных систем, отражающих или пропускающих излучение с произвольным, наперёд заданным состоянием поляризации, расходимости и спектральным диапазоном. Воспроизводимость спектральных характеристик таких покрытий определяется точностью контроля и стабильностью режимов осаждения. Основная сложность, которая возникает при изготовлении перечисленных выше покрытий, заключается в нестабильности показателей преломления слоёв, входящих в состав диэлектрических и металлодиэлектрических систем, а также в недостаточной точности контроля толщины слоёв в процессе осаждения. Особый тип покрытий составляют покрытия с переменным по поверхности элемента коэффициентом отражения или пропускания (топологические покрытия). Одной из областей их использования является

лазерная техника, в которой они могут применяться как элементы резонаторов лазеров, формирующих излучение с узкой диаграммой направленности. Конструкция таких систем (показатели преломления, оптические толщины слоёв, распределение толщин по поверхности оптического элемента) определяется требованиями к форме волнового фронта отражённого или прошедшего излучения и величиной максимального и минимального коэффициентов отражения. Основная сложность при изготовлении таких покрытий состоит в воспроизведении расчетного распределения толщин слоёв по поверхности элемента и их контроле в процессе осаждения, что требует проведения соответствующих исследований.

Глава 1. ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЁТА ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТОНКИХ ПЛЁНОК Интерес к техническому применению тонких пленок вызвал быстрое развитие оптики тонких пленок, т.е. той области физической оптики, которая занимается главным образом описанием отражения, пропускания, поглощения света в однослойных или многослойных системах пленок. Решаемые в настоящее время оптикой тонких пленок задачи могут быть условно разделены на два типа: задачи анализа и задачи синтеза многослойных систем пленок, которые можно сформулировать следующим образом. 1. (задачи анализа). Задан произвольный набор тонких пленок с известными оптическими постоянными или зависимостью оптических постоянных от толщины каждого слоя. Необходимо рассчитать интенсивность, состояние поляризации отраженного, прошедшего, поглощенного в этих пленках света в зависимости от длины волны падающего света при известных углах падения и состояниях поляризации. 2. (задачи синтеза). Задан определенный набор пленочных материалов с известными постоянными. Требуется найти многослойную систему (указать оптические толщины, показатели преломления и порядок расположения слоев) из комбинации некоторых или всех имеющихся в распоряжении материалов. Эта система должна обладать заданным отражением, пропусканием, поглощением и (или) относительным изменением фазы отраженного и (или) прошедшего света в определенном спектральном диапазоне и при определенных углах падения и состояния поляризации. В настоящее время наиболее подробно исследованы задачи I типа для однородных изотропных пленок. Для их решения применяют различные математические методы, которые, хотя и дают одинаковый конечный результат, отличаются друг от друга объемом вычислительной работы. Решение задач этого типа в численном виде представляет собой утомительную работу, которая отнимает много времени. Поэтому значительно удобнее производить такие расчеты на электронновычислительных машинах. Задачи второго типа - проектирование многослойной системы с заданными оптическими свойствами значительно сложнее, чем первого. Задачи этого типа принадлежат к числу некорректных задач математики. Хотя за последние годы исследованию этого типа задач было посвящено большое число работ, до сих пор не существует общего аналитического метода их решения. Однако с развитием электронной вычислительной техники, стало возможным численное решение задач этого типа и в

последнее время были достигнуты определенные успехи в этом направлении. В отдельных случаях может быть рассмотрен слой, у которого показатель преломления и поглощения является функцией толщины: nj(d), kj(d) и (или) координаты по поверхности подложки. Прежде, чем рассматривать методы решения этих задач, определим понятие тонкой пленки. Математически тонкая пленка может быть представлена как плоскопараллельный бесконечно протяженный слой, толщина которого сравнима с длиной волны падающего светового излучения. Этот слой характеризуется показателем преломления nj не (или) зависящим от геометрической толщины dj, оптической толщиной njdj, а в случае поглощающих слоев - показателем поглощения kj. В отдельных случаях может быть рассмотрен слой, у которого показатель преломления и поглощения являются функцией толщины n j (d), n j (d j ), и (или) координаты на поверхности подложки. Многослойная тонкопленочная система может быть представлена как набор конечного числа таких слоев, характеризуемых индивидуальными оптическими постоянными (nj; kj; njdj). 1.1. Отражение света от границы раздела двух сред

Описание методов решения задач оптики тонких пленок необходимо начать с простейшего случая, а именно, рассмотрения законов отражения и преломления света на границе раздела двух сред с различными оптическими постоянными. Ниже мы рассмотрим законы распространения света падающего на такую границу раздела. Решение задач о распространении света, падающего на границу раздела двух сред, легко может быть получено, если электромагнитная световая волна рассматривается в виде суперпозиции двух переменных векторных волн - электрической E и магнитной H. Пусть падающий свет поляризован линейно, тогда электрический вектор Ε падающей волны можно записать в следующем виде: ⎛ ⎛ rk ⎞ ⎞ Ε = Ε 0еxp ⎜ iω ⎜ t − ⎟ ⎟ , v ⎠⎠ ⎝ ⎝

(1.1.1)

где Ε0 - амплитуда падающей световой волны, ω - частота, k - волновой вектор, v - скорость распространения волны в данной среде, r - радиус-вектор текущей точки наблюдения, t – время. Магнитный вектор Η соответственно равен: Η = n [ k × Ε] , (1.1.2) где n- показатель преломления среды. В аналогичном виде можно представить электрический и магнитный вектора отраженной Ε1 , Η1 и преломленной Ε 2 , Η 2 волн:

⎛ ⎛ rk ⎞ ⎞ Ε 1 = Ε 10 еxp ⎜ i ω1 ⎜ t − 1 ⎟ ⎟ , v1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Η 1 = n 0 [k 1 × Ε 0 ], ⎛ ⎛ rk ⎞ ⎞ Ε 2 = Ε еxp ⎜ i ω 2 ⎜ t − 2 ⎟ ⎟ , v2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ Η 2 = n 1 [k 2 × Ε 2 ],

(1.1.3)

где индексы 1 и 2 - относятся к отраженной и прошедшей волнам, соответственно. На границе раздела в любой точке и в любой момент времени для тангенциальных составляющих электрического и магнитного векторов и нормальных составляющих векторов электрической D и магнитной В индукций отраженной и преломленной волн должны выполняться граничные условия (условия непрерывности составляющих векторов), следующие из уравнений Максвелла: E 0t = E1t , D0n = D1n , H 0t = H1t , B0n = B1n .

(1.1.4)

Поскольку амплитуды монохроматических волн ни от координат, ни от времени не зависят, граничные условия должны выполняться при равенстве показателей в экспоненте. Отсюда следует, что

ω = ω1 = ω2 ,

(1.1.5)

т.е. при переходе света из одной среды в другую его частота не изменяется. Кроме того, в любой точке границы раздела:

( rk ) ( r1k1 ) ( r2 k 2 ) v

=

v1

=

v2

.

Выбрав в качестве границы раздела плоскость Z=0, получим:

(1.1.6)

xk x + zk z xk1x + zk1z xk 2x + zk 2z = = . v v1 v2

(1.1.7)

Поскольку равенство (1.1.7) должно выполняться при любых х, у, то: k 2x k1x k x = = ; v2 v1 v

k 2z k1z k z = = . v2 v1 v

(1.1.8)

Плоскость, определяемую вектором k и нормалью к границе раздела двух сред, называют плоскостью падения. Соотношения (1.1.8) показывают, что векторы k , k 1 и k 2 лежат в этой плоскости. Считая плоскость XZ (рис. 1.1) плоскостью падения и обозначая углы, которые вектора k , k 1 и k 2 образуют с осью 0Z , через α0, α1 и α2 получим: k x = sin α0 , k1x = sin α1 , k 2x = sin α2 , k y = 0, k1y = 0, k 2 y = 0, (1.1.9) k z = cos α0 , k1z = − cos α1 , k 2z = cos α2 . Считая, что волна распространяется из 0-ой среды в m-ю, компонента вектора k вдоль оси 0Z положительна, если волна распространяется в противоположном направлении, то эта компонента отрицательна, т.е. (1.1.10) k z = cos α 0 ≥ 0 , k1z = cos α1 ≤ 0 , k 2z = cos α 2 ≥ 0 . Подставляя (1.1.9) в первую систему равенств (1.1.8) и учитывая, что v=v1, а также (1.1.10) получим: sin α0 sin α1 sin α2 = = , (1.1.11) v v1 v2 следовательно: α1=π-α. sin α0 v n m = = или n 0 sin α 0 = n1 sin α1 . (1.1.12) sin α2 v2 n0 Вычислим теперь амплитуду отраженной и преломленной волн. Предположим, что обе среды (однородные и изотропные) совершенно прозрачны. Пусть Ε0 - амплитуда электрического вектора падающей волны, будем считать ее комплексной величиной с фазой, равной постоянной части аргумента волновой функции. Переменная ее часть имеет вид: ⎛ rk ⎞ ⎛ x sin α 0 + z cos α 0 ⎞ (1.1.13) τ = ω⎜ t − ⎟ = ω⎜ t − ⎟. v⎠ v ⎝ ⎝ ⎠ Разложим каждый вектор на две компоненты - параллельную Ер и перпендикулярную Еs плоскости падения. Выбор положительных направлений для компонент указан на рис. 1.1, s-компоненты расположены перпендикулярно плоскости рисунка. Тогда компоненты электрического и магнитного векторов падающей световой волны с учетом (1.1.1), (1.1.2) могут быть записаны в следующем виде:

Ε х = +Ε 0р ( cos α0 ) exp ( −iτ ) , Η x = −Ε 0s n 0 ( cos α0 ) exp ( −iτ ) , Ε y = Ε 0s exp ( −iτ ) , Η y = +Ε 0p n 0 exp ( −iτ ) , Ε z = −Ε 0р (sin α0 ) exp ( −iτ ) , Η z = Ε 0s n 0 (sin α0 ) exp ( −iτ ) .

(1.1.14)

Аналогично, если Ε1 и Ε 2 - комплексные амплитуды отраженной и прошедшей волн, то компоненты электрического и магнитного векторов их соответственно равны: Ε1 х = −Ε1 р (cos α1 ) exp ( −i τ ) , Η1 х = +Ε s n0 (cos α1 ) exp ( −i τ1 ) , Ε1 y = Ε1s exp ( −i τ1 ) , Η1 y = +Ε1 p n0 exp ( −i τ1 ) , Ε1z = −Ε1 р (sin α1 ) exp ( −i τ1 ) , Η1z = −Ε 0 s n0 (sin α1 ) exp ( −i τ1 ) ,

(1.1.15)

⎛ x sin α1 + z cos α1 ⎞ где: τ1 = ω⎜ t − ⎟. v ⎝ ⎠

Ε 2х = Ε 2р (cos α2 ) exp ( −iτ2 ) , Η 2х = −Ε 2s n m (cos α2 ) exp ( −iτ2 ) , Ε 2y = Ε 2s exp ( −iτ2 ) , Η 2y = Ε 2p n m exp ( −iτ2 ) , Ε 2z = −Ε 2р (sin α2 ) exp ( −iτ2 ) , Η 2z = −Ε 2s n m (sin α2 ) exp ( −iτ2 ) ,

(1.1.16)

⎛ x sin α2 + z cos α2 ⎞ ⎟⎟ . где: τ 2 = ω⎜⎜ t − v ⎝ ⎠ 2 В соответствии с граничными условиями (1.1.4) необходимо, чтобы тангенциальные составляющие векторов Ε и Η были непрерывны. Следовательно, должны выполняться следующие соотношения: Ε x + Ε1 x = Ε 2 x , Η x + Η1 x = Η 2 x , (1.1.17) Ε y + Ε1 y = Ε 2 y , Η y + Η1 y = Η 2 y . Подставляя в (1.1.17) значения компонент из (1.1.15) и (1.1.16) и вспоминая, что α0 =α1, получим следующие соотношения: ⎧⎪( Ε 0p − Ε1p ) cos α0 = Ε 2p cos α2 , (1.1.18) ⎨ Ε + Ε = Ε n n ; ⎪⎩( 0p 1p ) 1 2p m ⎧⎪( Ε 0 s + Ε1s ) = Ε 2 s , (1.1.19) ⎨ ⎪⎩( Ε 0 s − Ε1s ) n1 cos α0 = Ε 2 s nm cos α2 . Решая уравнения (1.1.18), (1.1.19) относительно компонент отраженной и прошедшей волн, получим: 2n1 cos α0 ⎧ Ε = Ε 0p , 2p ⎪ α + α n cos n cos ⎪ m 0 1 2 (1.1.20) ⎨ α 2n cos 1 0 ⎪ Ε 2s = Ε 0s ; ⎪⎩ n1 cos α0 + n m cos α2

n m cos α0 − n1 cos α2 ⎧ Ε = Ε 0p , 1p ⎪ n m cos α0 + n1 cos α2 ⎪ (1.1.21) ⎨ α − α n cos n cos 1 0 m 2 ⎪ Ε1s = Ε 0s . ⎪⎩ n1 cos α0 + n m cos α2 Амплитудные коэффициенты пропускания t и отражения r, Ε Ε Ε Ε определяемые как t p = 2p , t s = 2s , rp = 1p , rs = 1s часто называемые Ε0s Ε0s Ε0p Ε0p коэффициентами Френеля, с учетом (1.1.20), (1.1.21) и закона преломления соответственно равны: 2n1 cos α0 2sin α2 cos α0 ⎧ = = t , p ⎪ n cos α + n cos α sin α + α cos α − α ( ) ( ) m 0 1 2 0 2 2 ⎪ (1.1.22) ⎨ 2n cos α 2sin α cos α 1 0 2 0 ⎪ts = = ; ⎪⎩ n1 cos α0 + n m cos α2 sin ( α0 + α2 ) ⎧ n m cos α0 − n1 cos α2 tg ( α0 − α2 ) r = ⎪ p n cos α + n cos α = tg α + α , ( 0 2) m 0 1 2 ⎪ (1.1.23) ⎨ α − α sin 2) ⎪ r = n1 cos α0 − n m cos α2 = − ( 0 . s ⎪ n cos n cos sin α + α α + α ( ) 1 0 m 2 0 2 ⎩ Для нормального падения α0=α1=α2 и 2n1 ⎧ ⎪tp = n + n , ⎪ 1 m (1.1.24.а) ⎨ 2n 1 ⎪ts = ; ⎪⎩ n1 + n m n m − n1 ⎧ r = ⎪ p n +n , ⎪ m 1 (1.1.24.б) ⎨ n − n 1 ⎪ rs = − m . ⎪⎩ n m + n1 При этом различие между р- и s-компонентами исчезает и понятие плоскости падения теряет смысл. Для дальнейшего рассмотрения удобно представить амплитудные коэффициенты отражения (1.1.23) для света, поляризованного в разных плоскостях в унифицированном виде: ⎧ n j cos α j для s − компоненты ) ) n −n ) ⎪ rp,s = ) 1 ) 2 , где n j = ⎨ cos α j (1.1.23а) для p − компоненты n1 + n 2 ⎪ n j ⎩

Зависимость амплитудных коэффициентов отражения для р- и sкомпонент от угла падения излучения изображена на рис. 1.2а – (свет падает из оптически менее плотной среды n1>n2) и (рис. 1.2б - свет падает из оптически более плотной среды). Как видно из этих рисунков амплитудные коэффициенты отражения могут иметь как положительное, так и отрицательное значение.

Рис. 1.2. Зависимость амплитудных коэффициентов отражения для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения, от угла падения света на границу раздела двух сред: а – n0nm, n0=2, nm=1.

Поскольку отрицательное значение коэффициента отражения не имеет физического смысла, то необходимо рассматривать амплитудный коэффициент отражения в виде rp,s = rp,s exp ( iρ p,s ) , где ρ p, s - разность фаз

между падающей и отраженной волнами. Зависимость rp,s

и ρ p, s для

падения света из оптически менее плотной среды от угла падения изображена на рис. 1.3. Как видно из этого рисунка зависимость разности фаз между падающей и отражённой волнами для света с разными состояниями поляризации от угла падения при углах падения больших угла Брюстера совпадают. Рассмотрим теперь, как распределяется энергия поля падающей волны между вторичными полями. Интенсивность S света равна: с 2 S= n1 Ε . (1.1.25) 4π Количество энергии в первичной волне, которое падает на единицу поверхности границы раздела, за единицу времени, если световой пучок распространяется под некоторым углом α0 относительно нормали к поверхности раздела, будет определяться соотношением: cn 2 J 0 = Scos α 0 = 1 Е 0 cos α 0 . (1.1.26) 4π Для отраженной и преломленной волн энергия, покидающая единицу поверхности за единицу времени, определяется аналогичными выражениями: cn 2 J1 = 1 Е10 cos α0 , 4π (1.1.27) cn 2 J2 = Е 20 cos α2 . 4π Определим энергетические коэффициенты отражения R и пропускания T следующим образом: 2 2 J1 E10 J 2 n 2 cos α 2 E 20 R= = . (1.1.28) ; Т= = J2 E0 2 J 0 n1 cos α 0 E 0 2

Энергетические коэффициенты отражения и пропускания можно r выразить через коэффициенты Френеля. Пусть вектор E падающей волны образует некоторый угол ϑ с плоскостью падения, тогда: E 0p = E 0 cos ϑ ; E 0s = E 0 sin ϑ . Определим энергию р- и s-компонент падающей, отраженной и прошедшей волн аналогично предыдущему: cn1 2 ⎧ = J E cos α0 = J 0 cos2 ϑ, 0p 0P ⎪⎪ 4π (1.1.29) ⎨ cn 2 2 1 ⎪J 0s = E 0S cos α0 = J 0 sin ϑ; ⎪⎩ 4π

cn1 2 ⎧ = J E cos α0 , 1p 1P ⎪⎪ 4π (1.1.30) ⎨ cn 2 1 ⎪J1s = E1S cos α0 ; ⎪⎩ 4π cn1 2 ⎧ = J E cos α2 , 2p 2P ⎪⎪ 4π (1.1.31) ⎨ cn 2 1 ⎪J 2s = E 2S cos α2 ; ⎪⎩ 4π тогда с учетом (1.1.28) и определения энергетических коэффициентов отражения и пропускания (1.1.26) получим: J +J J J J R = 1 = 1p 1s = 1p cos2 ϑ + 1s sin 2 ϑ, J2 J0 J 0p J 0s (1.1.32)

R = R p cos2 ϑ + R s sin 2 ϑ, где: 2 ⎧ E1p J1p 2 tg 2 ( α0 − α2 ) ⎪R p = = = rp = 2 , J 0p E 0p 2 tg ( α0 + α2 ) ⎪⎪ ⎨ 2 ⎪ sin 2 ( α0 − α2 ) E1s J1s 2 = = rs = 2 ; ⎪Rs = 2 α + α J sin ( ) E 0s 0 2 ⎪⎩ 0s аналогично: J Т = 2 = Tp cos 2 ϑ + Ts sin 2 ϑ , J0 где, с учетом закона преломления, 2 ⎧ E sin 2α0 sin 2α2 n cos α 2p 2 ⎪Т p = 2 , ⋅ = 2 2 n1 cos α0 E 0p sin ( α0 + α2 ) cos2 ( α0 − α2 ) ⎪⎪ ⎨ 2 ⎪ sin 2α0 sin 2α2 n 2 cos α2 E 2s . ⋅ = ⎪Ts = 2 2 n cos sin α α + α ( ) E 1 0 0 2 ⎪⎩ 0s

(1.1.32а)

(1.1.33)

(1.1.33а)

Для нормального падения различие между р- и s-компонентами исчезает и из (1.1.35) и (1.1.36) находим, что: ⎛ n − n2 ⎞ R =⎜ 1 ⎟ ⎝ n1 + n 2 ⎠

2

и T=

Знаменатели

в

4n1n 2

( n1 + n 2 )

2

.

выражении

(1.1.34)

(1.1.32а) и (1.1.33а) конечные, за π исключением случая, когда α0 + α 2 = , тогда tg ( α 0 + α 2 ) = ∞ , и, 2 следовательно, Rp=0. В этом случае направление распространения

отраженной и преломленной волн перпендикулярно друг другу, а из закона преломления следует, что: tgα Бр =

n2 . n1

(1.1.35)

Угол αБр, определяемый соотношением (1.1.35), называется углом полной поляризации или углом Брюстера. Для света падающего под таким углом в отраженной волне отсутствует электрическая волна, поляризованная в плоскости падения. Зависимость энергетических коэффициентов отражения и пропускания для света поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения от угла падения изображена на рис. 1.4. Для стекла с n2=1.52; αБр=56°40′. Для Рис.1.4. Зависимость энергетического естественного света, т.е. коэффициента отражения при света направление отражении от границы раздела двух колебаний в котором сред для света с разными состояниями меняется по случайному поляризации от угла падения, n0
1 J1p 1 J0 = R pJ0 , 2 J 0p 2

1 J1s 1 J1s = J 0 = R sJ 0 . 2 J 0s 2

(1.1.37)

В этом случае говорят, что свет частично поляризован, а степень его поляризации Р определяют следующим образом:

Ρ=

R p − Rs R p + Rs

(1.1.38)

.

Аналогичные результаты можно получить для проходящего света. Угол, который мы обозначили через ϑ, т.е. угол между плоскостью колебаний и плоскостью падения называют азимутом колебаний. Будем считать его положительным, когда плоскость колебаний поворачивается по часовой стрелке вокруг направления распространения. π Положим, что азимут меняется в пределах от 0 до , тогда для 2 падающей ϑ, прошедшей ϑ2 и отраженной ϑ1 электрических волн азимут колебаний равен: J J J (1.1.39) tgϑ = 0s , tgϑ1 = 1s , tgϑ2 = 2s J 0p J1p J 2p Используя формулы Френеля, получим: tgϑ1 = −

cos ( α0 − α2 ) tgϑ, cos ( α0 + α2 )

(1.1.40)

tgϑ2 = cos ( α0 − α2 ) tgϑ, так как 0 < α0 <

π π ; 0 < α2 < , то: 2 2

tgϑ1 ≥ tgϑ ,

(1.1.41)

tgϑ2 ≤ tgϑ .

Эти неравенства показывают, что при отражении угол между плоскостью колебаний и плоскостью падения увеличивается, а при наблюдении в пропускании уменьшается. Рассмотрим теперь случай полного внутреннего отражения. При распространении света из оптически более плотной в оптически менее плотную среду, как это следует из закона преломления: n1 sin α 0 = n 2 sin α 2 . π При α 2 = , свет распространяется параллельно поверхности раздела, угол 2 падения соответствующий этому случаю α0 = αкр называется углом полного внутреннего отражения или критическим углом. При этом cos α 2 = 0 и как следует из формул (1.1.22 и 1.1.23) амплитудные коэффициенты пропускания и отражения равны соответственно нулю и единице для обеих поляризаций. При распространении света под углом α0 > αкр , как следует из закона преломления,

cosα 2

становится

часто

мнимой

величиной,

т.е.

n12 sin 2 α 0 cos α 2 = ±i − 1 , а модуль коэффициентов отражения rp = rs = 1, как n2

при положительном, так и при отрицательном значении корня. Амплитудные значения коэффициентов отражения в этом случае имеют вид rp,s = exp ( ±iρ p,s ) , где ρp,s определяют соответственно разность фаз между падающей и отраженной волнами для света, поляризованного параллельно и перпендикулярно плоскости падения. Различие в знаках в показателе экспоненты приводит к различию в величине разности фаз ϕp,s на π. Устранить эту неоднозначность можно, если рассмотреть уравнение волны, распространяющейся в среде с меньшим показателем преломления. Для этого воспользуемся уравнениями (1.1.3) и (1.1.15). Как видно из анализа переменной части волновой функции для того, чтобы в среде с меньшим показателем преломления наблюдалась убывающая волна, что соответствует физической реальности, необходимо при выбранной нами форме записи волновой функции, так как усиливающие среды мы не рассматриваем, выбрать отрицательное значение cosα2:

n12 sin 2 α 0 cos α 2 = −i −1 . n2 2

(1.1.42)

В этом случае уравнение прошедшей волны будет иметь вид:

⎛ ωz n 2 sin 2 α ⎞ r r ⎛ ⎛ xn1 sin α0 ⎞ ⎞ 1 0 E 2 = E 2 exp ⎜ iω ⎜ t − exp 1 − − ⎜ ⎟. ⎟⎟ 2 ⎜ v2 ⎟ v n ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎝ ⎠

(1.1.43)

Выражение (1.1.43) описывает неоднородную волну, которая распространяется вдоль поверхности раздела в плоскости падения (т.е. в Хнаправлении) и меняется экспоненциально с изменением расстояния от этой поверхности. Амплитуда волны быстро уменьшается с увеличением Z и V λ эффективная глубина проникновения составляет величину порядка 2 = 2 , ω 2π меньшую длины волны падающего излучения. При полном внутреннем отражении происходит изменение фаз компонент отраженной и прошедшей волн. Наибольший интерес при практическом применении эффекта полного внутреннего отражения (оптические волноводы, устройства элементов интегральной оптики) представляет изменение фазы отраженной волны. Для р- и s-компонент отраженного света величина амплитудного коэффициента отражения, как это следует из (1.1.23) равна: rp = rs = где:

n 2 2 cos2 α0 + in1 n12 sin 2 α0 − n 2 2 n 2 2 cos2 α0 − in1 n12 sin 2 α0 − n 2 2 n12 cos α0 + i n12 sin 2 α0 − n 2 2 n12 cos α0 − i n12 sin 2 α0 − n 2 2

= exp ( iρ p ) ,

= exp ( iρs ) ,

(1.1.44) (1.1.45)

⎛n ⎞ ρ p = 2 arg tg ⎜ 1 ⎟ ⎝ n2 ⎠

2

n12 sin 2 α0 − n 22

ρs = 2 arg tg n12 sin 2 α0 − n 22

1 , n1 cos α0

1 . n1 cos α0

Графические зависимости ρр и ρs в зависимости от угла падения излучения приведены на рис.1.5.

Рис. 1.5. Зависимость разности фаз между падающей и отражённой волнами для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения при отражении от границы раздела двух сред, n0>nm, n0=2, nm=1 от угла падения света. 1.2

. Распространение света в многослойных диэлектрических системах

Рассмотрим случай падения света на многослойную диэлектрическую систему, состоящую из m прозрачных однородных и изотропных слоев, каждый из которых характеризуется показателем преломления nj и оптической толщиной njdj (рис. 1.6). Многослойная система ограничена полубесконечными средами с показателями преломления n0 и nm. Угол падения света на многослойную систему α0. Фронт волны будем считать плоским для того, чтобы можно было пренебречь дифракционными явлениями на краях покрытия. Строгое решение задач определения амплитуды (энергии) отраженной и прошедшей электромагнитных волн для непоглощающих покрытий может быть осуществлено на основе метода суммирования многократных отражений, использовании принципа

суперпозиций, соотношений Стокса и уравнений Максвелла с определенными граничными условиями. Последний метод в настоящее время является наиболее строгим и обеспечивает полный и последовательный учет интерференционных и поляризационных эффектов в любых пленочных многослойных системах. Ограничимся рассмотрением нормального падения света на непоглощающую систему пленок, а затем обобщим полученные результаты на случай любого угла падения и системы пленок, обладающих поглощением. Пусть в направлении Z на многослойную систему падает излучение с плоским волновым фронтом. Вследствие существования на каждой границе раздела отраженной и прошедшей волн, внутри многослойной системы Рис. 1.6. Схема распространения излучения в возникают многослойной системе. интерференционные эффекты. Для j слоя общий вид решения для электрического и магнитного полей может быть написан в виде суммы двух синусоидальных волн, распространяющихся в противоположных направлениях: ⎧ 2πn jz j 2πn jz j ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎞⎞ E = a exp i ω t − + α + в exp i ω t − + β ⎪ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ (z,t ) j j ⎟⎟ j j ⎟⎟ λ λ ⎠⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎪ (1.2.1) ⎨ ⎡ ⎤ 2 n z 2 n z π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪H j j j j n a exp i t в exp i t = ω − + α − ω + + β ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ . (z,t ) j j j j j ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ λ λ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎩ Здесь aj, вj, αj, βj - постоянные, которые определяются из условий непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей Е(z) H(z) на каждой границе раздела. Поскольку в оптике, как правило, имеют дело в основном с усредненными по времени величинами, временной множитель в выражении для Е и H можно опустить. В последние годы в связи с появлением лазерных источников, генерирующих ультракороткие импульсы с длительностью порядка нескольких фемтосекунд пренебрегать этим множителем уже нельзя. Однако, рассмотрение этого случая в нашу задачу не входит. Условие непрерывности тангенциальных составляющих E и H векторов на j-1 границе раздела может быть записано в следующем виде:

2πn jz j−1 ⎞ ⎞ 2πn jz j−1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ a j exp ⎜ i ⎜ α j − + в exp i β + ⎜ ⎜ j ⎟⎟ j ⎟⎟ = λ λ ⎠⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 2 πn j−1z j−1 ⎞ ⎞ 2 πn j−1z j−1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ в exp i = a j−1 exp ⎜ i ⎜ α j−1 − + β + ⎟ ⎜ j−1 ⎟ ⎜ j−1 ⎟⎟, λ λ ⎠⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝

(1.2.2)

⎡ 2πn jz j−1 ⎞ ⎞ 2 πn jz j−1 ⎞ ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ n j ⎢a j exp ⎜ i ⎜ α j − в exp i − β + ⎟ ⎜ j j ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥ = λ λ ⎠⎠ ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎣ ⎡ 2 πn j−1z j−1 ⎞ ⎞ 2 πn j−1z j−1 ⎞ ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ = n j−1 ⎢a j−1 exp ⎜ i ⎜ α j−1 − − β + в exp i ⎟ ⎜ − − j 1 j 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥ . λ λ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣

Для удобства анализа введем новую систему обозначения волновых полей (рис.1.7): 2πn jz j ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Е (j−t ) = a j exp ⎜ i ⎜ α j − ⎟⎟, λ ⎝ ⎠⎠ ⎝ 2 πn jz j−1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Е (( tj−) 1)+ = a j exp ⎜ i ⎜ α j + ⎟ ⎟ ,(1.2.3) λ ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2πn jz j ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Е (rj− ) = в j exp ⎜ i ⎜ β j + ⎟⎟, λ ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 πn jz j−1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Е (r( j−)1)+ = в j exp ⎜ i ⎜ β j + ⎟ ⎟. λ ⎠⎠ ⎝ ⎝ Рис.1.7. Система обозначения волновых полей. Е (( tj−) 1)+ = Е (j−t ) exp ( iϕ j ) , Е (r( j−)1)+ = Е (rj− ) exp ( −iϕ j ) , где: ϕ j =

Из

этой

записи следует, что:

(1.2.4)

2π n j ( z j − z j−1 ) . λ

Величину ϕj назовем фазовой толщиной слоя. Учитывая (1.2.3, 1.2.4) условия непрерывности на j-1 границе раздела могут быть переписаны в следующем виде:

⎧ Е ( t ) − + Е ( r ) − = Е (j−t ) exp ( iϕ j ) + Е (rj− ) exp ( −iϕ j ) ( j−1) ⎪⎪ ( j−1) ⎨ (t) nj (r ) Е Е E (j−t ) exp ( iϕ j ) − E (rj− ) exp− ( iϕ j ) . − = ⎪ ( j−1)− ( j−1)− n j−1 ⎪⎩

(

(1.2.5)

)

Решая систему уравнений относительно Е ((tj−) 1)− и Е ((r)j−1)− легко получить рекуррентные соотношения, j-1 границах раздела:

связывающие

волновые

n ⎞ n ⎞ 1⎛ 1⎛ Е (( tj−) 1)− = ⎜ 1 + j ⎟ Е (j−t ) exp ( iϕ j ) + ⎜ 1 − j ⎟ Е (rj− ) exp ( −iϕ j ) , 2 ⎜⎝ n j−1 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ n j−1 ⎟⎠

поля

на

j

и

(1.2.6)

n ⎞ n ⎞ 1⎛ 1⎛ Е (r( j−) 1)− = ⎜ 1 − j ⎟ Е (j−t ) exp ( iϕ j ) + ⎜ 1 + j ⎟ Е (rj− ) exp ( −iϕ j ) . 2 ⎜⎝ n j−1 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ n j−1 ⎟⎠ Граничные условия на (m-1) границе раздела вытекают из условий непрерывности на этой границе. Если вспомнить, что в m среде (подложка) вследствие ее неограниченности в направлении z отсутствует отраженная волна (т.е. Е ((r)m )+ = 0 ), и положить для определенности Е ((tm) )+ = 1 , то:

⎧ (t) 1⎛ nm ⎞ ⎪ Е ( m )− = ⎜ 1 + ⎟, 2 n ⎪ ⎝ m −l ⎠ (1.2.7) ⎨ ⎛ ⎞ 1 n ⎪ Е( r ) = 1 − m . ⎪ ( m )− 2 ⎜ n ⎟ m −l ⎠ ⎝ ⎩ Уравнения (1.2.6) являются основными рекуррентными соотношениями для электрических полей отраженной и преломленной волны. Вводя, как и раньше, амплитудные коэффициенты отражения и пропускания слева от координаты точки z, и обозначая их через rz− и t z− имеем: rz− =

E (r) z−

;

t z− =

E (mt )+

, E (zt−) из рекуррентных соотношений (1.2.6) получим: E (tz−)

⎧ f j−1 + rj− exp ( −2iϕ j ) ⎪ r( j−1)− = , + − ϕ 1 f r exp 2i ( j) ⎪⎪ j−1 j− ⎨ g j−1t j− exp ( −iϕ j ) ⎪ t ; = ⎪ ( j−1)− 1 f r exp i + − ϕ ( j) j−1 j− ⎪⎩ где

f j−1 =

n j−1 − n j

;

g j−1 =

(1.2.8)

2n j−1

- амплитудные (френелевские) n j−1 + n j n j−1 + n j коэффициенты отражения и пропускания j-1 границы раздела.

Граничные условия на последней границе раздела в этом случае имеют вид: t ( m )− = g m ; r( m )− = f m .

(1.2.9)

Определение амплитудных коэффициентов отражения и пропускания многослойной системы по рекуррентной процедуре (1.2.8) при граничных условиях (1.2.9) начинается с последнего слоя, для которого определены френелевские коэффициенты на обеих границах раздела. На границе раздела с подложкой – это граничные условия (1.2.9), на передней границе – френелевские коэффициенты отражения и пропускания границы раздела сред с показателями преломления n m−1 и n m−2 . В результате использования формулы (1.2.8) мы получаем коэффициент отражения r(m−1)− , который определяет отражение от слоя, находящегося на подложке. Дальнейшие расчёты мы проводим, используя этот коэффициент отражения r(m−1)− и характеристики следующего слоя, лежащего на подложке. Рекуррентную процедуру проводим до тех пор, пока не достигнем слоя, граничащего со средой, из которой падает свет. Теперь мы определили амплитудные коэффициенты отражения и пропускания многослойной системы. Энергетические коэффициенты отражения и пропускания, а также изменение фазы света при отражении ρ и пропускании τ будет определяться следующими соотношениями: 2 2 n (1.2.10) R = r0− ; T = m t 0− ; ρ = arg r0− ; τ = arg t 0− . n0 Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом можно распространить формулы, полученные для нормального падения, на случай наклонного падения света. В этом случае необходимо, как и ранее определять энергетические коэффициенты отражения и пропускания через световой поток, отнесенный к единице площади поверхности раздела. При наклонном падении необходимо учитывать направление колебаний вектора поля, т.е. рассматривать отдельно р- и s-компоненты электромагнитного поля. Пусть угол падения света на покрытие, как и раньше α0. Тогда выражения для тангенциальных компонент полей в любой точке j слоя по форме в точности совпадают с выражениями (1.2.1), если в экспоненциальных множителях для вектора E заменить nj на njсоsαj, где: 1/ 2

⎡ n 02 sin 2 α 0 ⎤ cos α j = ⎢1 − ⎥ n 2j ⎢⎣ ⎥⎦

и nj перед квадратной скобкой в выражении для вектора Н на

cos α j nj

для р-

поляризации и njcosαj для s-поляризации (сравните с 1.2.3а). Эти компоненты должны удовлетворять тем же условиям непрерывности, что и в случае нормального падения.

В результате получается следующая система основных соотношений, применимая к любой комбинации однородных и изотропных, в том числе поглощающих пленок, при любой длине волны λ и любом угле падения α0, включая α0=0. Граничные условия на последней границе раздела будут иметь вид: ⎧ (t) 1 ⎛ n% m ⎞ (t) = = Е 1 Е + − ⎪ (m) ⎜1 + % ⎟ , (m) 2 nl ⎠ ⎪ ⎝ (1.2.11) ⎨ % ⎛ ⎞ 1 n ⎪ Е ( r ) = 0 Е (r ) = 1 − m . ⎜ ⎟ ( m )− ⎪ ( m )− 2⎝ n% l ⎠ ⎩ Рекуррентные соотношения, связывающие электрические поля на (j+1) и j границах раздела можно представить в виде: n% j ⎞ ( t ) n% j− ⎞ (r ) ⎧ (t) 1⎛ 1⎛ % ϕ + − E exp i 1 ⎪ Е ( j−1)− = ⎜⎜ 1 + ( ) ⎟⎟ j− ⎜⎜ ⎟⎟ E j− exp ( −iϕ% j ) j % % 2 n 2 n j−1 ⎠ j−1 ⎠ ⎪ ⎝ ⎝ (1.2.12) ⎨ % % n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎪ (r ) j j (t) (r) % Е 1 E 1 − + + ) − = − exp ( iϕ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ E j− exp ( −iϕ% j ) . j ⎪ ( j−1) 2 ⎜ n% ⎟ j ⎜ 2 ⎝ n% j−1 ⎠ j−1 ⎠ ⎝ ⎩ Энергетические соотношения для многослойной системы, содержащей, в том числе поглощающие слои:

E 0( −) r

R=

(t)

E 0−

2

,T= 2

Re n% m t n% 0 E (0−)

2

,

2 2 2 Re n% j ⎧ ( t ) 2 (t) (r ) ⎫ (r) − − + Aj = E E E E + + − − ⎨ ⎬+ 2 j j ( j-1) ( j-1) ⎭ ( k j >0) n% 0 E ( t−) ⎩ 0

+

2Jmn% j n% 0 E 0t −

2

{

(1.2.13)

}

r t r t Jm ⎡ E (( j-1) )+ × E (( j-1) )+ ⎤ − Jm ⎡ E (j− ) × E (j−) ⎤ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2

2

Изменения фазы для электрических полей отраженной и прошедшей волн (разность фаз между падающей и отражённой или прошедшей волнами) определяются следующими соотношениями: ⎧ E (r) 0− ⎪ρ = arg (t) , E 0− ⎪ (1.2.14) ⎨ 1 ⎪ τ = arg . (t) ⎪ E − ⎩ 0 В этих соотношениях (1.2.11) – (1.2.14)

⎧ cos α j для p − поляризации, ⎪ nj n% j = ⎨ ⎪ n% = n cos α для s − поляризации, j j ⎩ j ϕ% j = ϕ j cos α j для обеих поляризаций. В случае систем, содержащих поглощающие слои: 1/ 2

⎡ ( p2 + q 2 )1/ 2 + p ⎤ j j j ⎥ cos α j = ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ где:

1/ 2

⎡ ( p2 + q 2 )1/ 2 − p ⎤ j j j ⎥ −i⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

,

2

⎛ n sin α 0 ⎞ p j = 1 + ( k j − n j ) ⎜ 02 , ⎜ n + k 2 ⎟⎟ j j ⎝ ⎠ 2

2

2

⎛ n sin α 0 ⎞ q j = −2n jk j ⎜ 02 , ⎜ n + k 2 ⎟⎟ j ⎠ ⎝ j kj - показатель поглощения j-слоя. Во всех случаях при вычислениях здесь необходимо использовать положительное значение корней.

1.3. Метод матричного описания оптических свойств многослойных интерференционных систем

Ранее полученные (1.2.6) рекуррентные формулы, связывающие электрические поля на j и (j-1)-границах раздела при нормальном падении света, были записаны в следующем виде: n j−1 + n j ( t ) n j−1 − n j (r ) ⎧ (t) Е = Е exp i ϕ + Е j− exp ( −iϕ j ) , ( ) − j ⎪ ( j−1) j 2n 2n − − j 1 j 1 ⎪ (1.3.1) ⎨ n n n n − + j j ⎪ Е ( r ) − = j−1 Е (j−t ) exp ( iϕ j ) + j−1 Е (rj− ) exp ( −iϕ j ) . − ( j 1) ⎪ 2n j−1 2n j−1 ⎩ Их можно переписать в более удобном виде, если вспомнить, введенные нами обобщенные коэффициенты Френеля fj-1 и qj-1 для j-1 границы раздела: n − nj 2n j−1 f j−1 = j−1 , g j−1 = , n j−1 + n j n j−1 + n j тогда:

⎧ (t) exp ( iϕ j ) ( t ) f j−1 (r ) Е j− + Е j− exp ( −iϕ j ) , ⎪ Е ( j−1)− = g g − − j 1 j 1 ⎪ (1.3.2) ⎨ − ϕ exp i f ( ) ⎪ (r) j j−1 (t) Е (j−t ) . ⎪ Е ( j−1)− = g Е j− exp ( iϕ j ) + g j−1 j−1 ⎩ Эти рекуррентные формулы можно переписать в виде эквивалентного матричного уравнения, связывающего электрические поля на j и (j-1) границах раздела: ⎡ exp ( iϕ j ) ⎢ ⎡ Е (( tj−) 1)− ⎤ ⎢ g j−1 ⎢ (r ) ⎥ = ⎢ ⎢⎣ Е ( j−1)− ⎥⎦ ⎢ f j−1 exp ( iϕ j ) ⎢g ⎣ j−1

⎤ exp ( −iϕ j ) ⎥ g j−1 ⎥ ⎥ exp ( −iϕ j ) ⎥ ⎥ g j−1 ⎦ f j−1

⎡ Е (rj− ) ⎤ ⎢ (t) ⎥ = ⎢⎣ Е j− ⎥⎦

⎡ Е (j−r ) ⎤ j ⎢ (t) ⎥ . ⎢⎣ Е j− ⎥⎦

(1.3.3)

Введение матричной формы записи явилось существенным шагом вперед в развитии оптики тонких пленок. Некоторые основные следствия этой записи будут рассмотрены ниже. Удобство матричной записи состоит в простоте и компактности рекуррентной процедуры, связывающей Е (t( j−) 1)− и Е (r) с Е (tj− ) и Е (r) . Используя ( j−1)− j− установленные правила перемножения матриц, легко установить связь с Е (tj− ) и Е (r) , которая, конечно, согласуется с результатами Е (t) и Е (r) ( j− 2)− ( j− 2)− j−

непосредственной алгебраической подстановки: ⎡ exp ( iϕ j−1 ) ⎤ f j−2 − ϕ exp i ⎢ ( ) j−1 ⎥ ⎡ Е (( tj−) 2)− ⎤ ⎢ g j−2 g j−2 ⎥ ⎢ (r ) ⎥ = ⎢ ⎥× Е − ⎢⎣ ( j−2) ⎥⎦ ⎢ f j−2 exp ( iϕ j−1 ) exp ( −iϕ j−1 ) ⎥ ⎢ ⎥ g j−2 q j−2 ⎣ ⎦ ⎡ exp ( iϕ j ) ⎢ g j−1 ⎢ ×⎢ ⎢ f j−1 exp ( iϕ j−1 ) ⎢ g j−1 ⎣

где:

f j−1 exp ( −iϕ j ) ⎤ ⎥ (t) (t) g j−1 ⎥ ⎡ Е j− ⎤ ⎡ A B ⎤ ⎡ Е j− ⎤ ⎥ × ⎢ (r ) ⎥ , ⎥ × ⎢ (r ) ⎥ = ⎢ exp ( −iϕ j−1 ) ⎥ ⎢⎣ Е j− ⎥⎦ ⎣ C D ⎦ ⎢⎣ Е j− ⎥⎦ ⎥ g j−1 ⎦

A= B=

C= D=

(

)

(

);

(

);

(

);

exp i ( ϕ j−1 + ϕ j ) + f j−1f j−2 exp −i ( ϕ j−1 − ϕ j ) g j−1g j−2

(

)

f j−1 exp i ( ϕ j−1 − ϕ j ) + f j−2 exp −i ( ϕ j−1 + ϕ j ) g j−1g j−2

(

)

f j−2 exp i ( ϕ j−1 + ϕ j ) + f j−1 exp −i ( ϕ j−1 − ϕ j )

(

)

g j−1g j−2

(

exp −i ( ϕ j−1 + ϕ j ) + f j−1f j−2 exp i ( ϕ j−1 − ϕ j ) g j−1g j−2

).

Очевидно, что путем последовательного применения этой рекуррентной процедуры можно получить амплитуды электрического поля отраженной и прошедшей волн со стороны среды, из которой падает свет, с учетом граничных условий на m-ой границе раздела, в следующей форме: ⎡1 ⎛ n m ⎞⎤ + 1 (t) ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎡ Е (m) 2 ⎝ n m−1 ⎠ ⎥ − ⎤ ⎡ Е (0t−) ⎤ ⎢ , (1.3.4) ⎢ (r ) ⎥ = 1 2 3 K m− l ⎢ (r ) ⎥ = ⎢ ⎥ Е Е − ⎛ ⎞ − ⎢ ⎥ 1 n ⎣ 0 ⎦ ⎣ (m) ⎦ ⎢ ⎜1 − m ⎟⎥ ⎢⎣ 2 ⎝ n m−1 ⎠ ⎥⎦ m −1

где

=∏ j=1

j

.

Здесь особенно ярко выявляются значительные преимущества матричной записи, например, изменение фазовой толщины ϕj, j-слоя влияет только на j матрицу, тогда как изменение показателя преломления nj j−1

оказывает влияние на

j

и

j−1 . При этом, частные произведения

∏ k =1

k

и

m −1

∏

k = j+1

k

не изменяются. Таким образом, если при проектировании системы

необходимо знать влияние такого изменения, эти частные произведения могут быть рассчитаны отдельно и не требуется полного перерасчета всего произведения. Матричная форма записи играет еще более важную роль, если в качестве переменных использовать E(z) и H(z). Ранее мы записывали электрический и магнитный вектор в j слое на j-границе раздела следующим образом: ⎧⎪ Е j = E (j−t ) + E (rj− ) , (1.3.5) ⎨ (t) (r ) = − H n E n E ; − − j j j j ⎪⎩ j или в эквивалентной матричной форме:

(t) 1 ⎤ ⎡ Е j− ⎤ ⎡Еj ⎤ ⎡ 1 ⎢ H ⎥ = ⎢ n − n ⎥ × ⎢ (r ) ⎥ , j ⎦ ⎢ E j− ⎥ ⎣ j⎦ ⎣ j ⎣ ⎦ таким образом:

⎡Е ⎤ ⎡ 1 ⎢ (r ) ⎥ = ⎢ ⎢⎣ E j− ⎥⎦ ⎣ n j (t) j−

(1.3.6)

⎡1 ⎢ 1 ⎤ ⎡Еj ⎤ ⎢2 ×⎢ ⎥ = − n j ⎥⎦ ⎣H j ⎦ ⎢ 1 ⎢2 ⎣ −1

1 ⎤ 2n j ⎥ ⎡ Е j ⎤ ⎥× . 1 ⎥ ⎢⎣ H j ⎥⎦ − 2n j ⎥⎦

(1.3.7)

Чтобы получить связь между электрическим и магнитным полями в (j-1) слое и электрическим и магнитным полями в j слое запишем электрическое и магнитное поле в (j-1) слое на (j-1) границе раздела, используя (1.3.6.): (t) 1 ⎤ ⎡ Е ( j−1)− ⎤ ⎡ Е j−1 ⎤ ⎡ 1 ⎢H ⎥ = ⎢n ⎥ × ⎢ (r ) ⎥ , − n j−1 ⎦ ⎢ E − ⎥ ⎣ j−1 ⎦ ⎣ j−1 ⎣ ( j−1) ⎦

с учетом (1.3.3): ⎡ exp(iϕ j ) ⎢ g j−1 1 ⎤ ⎢ × − n j−1 ⎥⎦ ⎢ f j−1 exp(iϕ j ) ⎢ g j−1 ⎢⎣

⎡ Е j−1 ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥ = ⎢n Н j − 1 ⎣ ⎦ ⎣ j−1

f j−1 exp( −iϕ j ) ⎤ ⎥ ⎡ Е( t ) ⎤ g j−1 ⎥ × ⎢ j− ⎥ = exp( −iϕ j ) ⎥ ⎢ Е (rj− ) ⎥ ⎦ ⎥ ⎣ g j−1 ⎥⎦

1 + f j−1 ⎡ 1 + f j−1 ⎤ exp(i ϕ ) exp( − i ϕ ) j j ⎢ g ⎥ ⎡ Е( t ) ⎤ g j−1 j − 1 ⎥ × ⎢ j− ⎥ , =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ Е (−r ) ⎥ 1 − f j−1 1 − f j−1 exp(iϕ j ) − n j−1 exp( −iϕ j ) ⎥ ⎣ j ⎦ ⎢ n j−1 g g ⎢⎣ ⎥⎦ j−1 j−1 так как

1 + f j−1 g j−1

= 1, а

1 − f j−1 g j−1

=

nj n j−1

, то:

(t) exp( −iϕ j ) ⎤ ⎡ Е ( j−1)− ⎤ ⎡ Е j−1 ⎤ ⎡ exp(iϕ j ) ⎢ H ⎥ = ⎢ n exp(iϕ ) − n exp( −iϕ ) ⎥ × ⎢ ( r ) ⎥ = j j j ⎦ ⎢E − ⎥ ⎣ j−1 ⎦ ⎣ j ⎣ ( j−1) ⎦ −1 exp( −iϕ j ) ⎤ ⎡ 2 ⎡ exp(iϕ j ) ⎢ =⎢ ⎥ × ⎢ −1 n exp(i ) n exp( i ) ϕ − − ϕ j j j ⎦ ⎣ j ⎣2

⎡ ⎢ cos ϕ j =⎢ ⎢⎣in j sin ϕ j

i ⎤ sin ϕ j ⎥ ⎡ E j ⎤ nj ⎥ × ⎢H j ⎥. cos ϕ j ⎥⎦ ⎣ ⎦

( 2n ) − ( 2n )

−1

j

j

⎤ Е ⎥×⎡ j ⎤ = −1 ⎥ ⎢ H ⎥ ⎣ j⎦ ⎦

(1.3.8)

Таким образом, j матрица зависит только от оптических постоянных jслоя (оптическая толщина, показатель преломления). Совершенно очевидно, что и в этой системе записи многослойная система также может быть представлена произведением матриц. В этом случае компоненты Е, Н вектора в среде, из которой падает свет, связаны с компонентами Е, Н вектора в среде, в которую свет распространяется следующим соотношением: m −1 ⎡ Ε0 ⎤ ⎡ Εm ⎤ ⎡ Εm ⎤ Μ = ∏ Μj . (1.3.9) ⎢ Η ⎥ = Μ1Μ 2 K Μ m−1 ⎢ Η ⎥ = Μ ⎢ Η ⎥ , j 1 = ⎣ 0⎦ ⎣ m⎦ ⎣ m⎦ Если вспомнить граничные условия на нулевой и m-границах раздела: ⎧⎪ Ε 0 = Ε (t0-) + Ε 0(r)- , ⎨ (t ) (r) ⎪⎩ Η 0 = n 0 Ε 0- − n 0 Ε 0- ;

) ⎧⎪ Ε m = Ε (t(m) + = 1, , ⎨ (t) n n ; Η = Ε = + m (m) m ⎪⎩ m

(1.3.9) можно переписать в виде: ⎡ Ε (0t−) + Ε 0(r−) ⎤ ⎡ m11 im12 ⎤ ⎡ 1 ⎤ =⎢ ⎢ (t) (r) ⎥ ⎥ = ⎢n ⎥ . n Ε im m − − n0Ε − 0 21 22 ⎣ ⎦ ⎣ m⎦ 0 0 ⎦ ⎣

(1.3.10)

(1.3.11)

Перемножив матрицы в правой части, получим эквивалентную систему уравнений: (t ) (r ) ⎪⎧ Ε 0- + Ε 0- = m11 + in m m12 , (1.3.12) ⎨ (t ) (r ) n Ε − n Ε = m + in m . ⎪⎩ 0 00 021 m 22 Решив систему уравнений, найдем выражения для электрических полей отраженной и прошедшей волн через элементы характеристической матрицы: ⎧ (t) 1 ⎡ ⎤ 1 ⎪ Ε 0- = ⎢( m11 + in m m12 ) + ( m 21 + in m m 22 )⎥ , 2⎣ n0 ⎪ ⎦ (1.3.13) ⎨ ⎡ ⎤ 1 1 ⎪ Ε (r ) = m + in m m12 ) − ( m 21 + in m m 22 )⎥ . ⎪ 0- 2 ⎢( 11 n0 ⎣ ⎦ ⎩ Амплитудные и энергетические коэффициенты отражения и пропускания многослойной интерференционной системы, выраженные через элементы характеристической матрицы, имеют следующий вид: ⎧ Ε (r0−) n 0 ( m11 + in m m12 ) − ( n m m 22 + im 21 ) , ⎪ r0− = ( t ) = n m in m n m im Ε + + + ( ) ( ) − ⎪ 0 11 m 12 m 22 21 0 (1.3.14) ⎨ 2n 1 0 ⎪t = ; = ⎪ 0− Ε ( t−) n 0 ( m11 + in m m12 ) + ( n m m 22 + im 21 ) ⎩ 0

⎧ R = r− 2, 0 ⎪ ⎨ 2 ns t 0− . ⎪T = n0 ⎩

(1.3.15)

Изменения фазы электрических полей отраженной и прошедшей через многослойную систему волн могут быть представлены в следующем виде: ⎧ 2n 0 ( m11m 21 − n 2 m m 22 m12 ) , ⎪ tgρ = − 2 2 2 2 2 ⎪ n 0 ( m11 ) − n m 2 ( m 22 ) + n 0 2 n m 2 ( m12 ) − ( m 21 ) ⎨ n 0 n m m12 + m 21 ⎪ tg τ = − . ⎪ n 0 m11 + n m m 22 ⎩

(1.3.16)

Выражения для r0− , t 0− , ρ и τ могут быть использованы для расчета в том случае, если элементы матрицы m11 , m 22 , m12 , и m 21 действительные числа, т.е. для не поглощающей пленочной системы. Амплитудные и энергетические коэффициенты отражения и пропускания, а также изменения фазы электрических полей отраженной и прошедшей электромагнитных волн при наклонном падении излучения на многослойную диэлектрическую систему слоев, могут быть получены из формул аналогичных (1.3.14) - (1.3.16). Для этого в них фазовую толщину 2πn jd j cos α j , а показатели преломления, как слоев необходимо заменить на λ это сделано в (1.2.13); (1.2.14) соответственно на "эффективные" значения, cos α j и n% j(s) = n j cos α j . различные для s- и р-компонент излучения: n j(p) = nj При наличии поглощающих пленок элементы матрицы становятся комплексными числами и формулы приобретают более сложный вид. В дальнейшем при рассмотрении оптических свойств поглощающих систем этот вопрос будет специально исследован.

Глава 2. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНОСЛОЙНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим самый простой случай, когда на границе раздела двух сред присутствует один изотропный слой (рис.2.1) и посмотрим, что здесь может получиться интересного, какие свойства границы раздела могут изменяться и как они могут изменяться. Пусть слой на границе раздела двух сред характеризуется показателем d1, преломления n1, толщиной оптической толщиной n1d1 и фазовой толщиной ϕ1 . В начале рассмотрим свойства этой системы при нормальном падении излучения, а потом будем рассматривать наклонное падение света. 2.1. Нормальное падение света на прозрачный изотропный слой

Рассмотрим нормальное падение света на границу раздела n0 - nm, на которой расположен изотропный, однородный, бесконечно протяжённый плоскопараллельный слой с оптической толщиной n1d1, и фазовой толщиной ϕ1 = 2πn1d1 (λ) −1 . Амплитудный коэффициент отражения такого слоя в соответствии с (1.3.14) будет равен: ( n m − n m m22 ) + i ( n 0 n m m12 − m 21 ) r = 0 11 , (2.1.1) ( n 0 m11 + n m m22 ) + i ( n o n m m12 + m21 ) где: m11 ,m12 ,m 21 ,m 22 элементы матрицы преобразования электромагнитного излучения, которая иногда в литературе называется матрицей интерференции. Для одного слоя эти элементы легко определимы: 1 m11 = m 22 = cos ϕ1 , m 21 = n1 sin ϕ1 . (2.1.2) m12 = sin ϕ1 , n1 Когда вы пишите амплитудный коэффициент отражения, то не трудно заметить, что в общем случае это комплексное число, т.е. это r= r e − iρ , если мы вспомним одну границу раздела, то там амплитудный коэффициент отражения всегда действительное число, либо положительное, либо отрицательное, но это действительное число. Если «r» - число

положительное, то разность фаз между падающим и отражённым излучением равна нулю, а если «r» - отрицательное, то разность фаз равна π. Как вы помните при отражении от среды c большим показателем преломления, свет теряет половину длины волны, т.е. разность фаз между падающей и отражённой волнами равна «–π». Здесь фаза есть некое число, отличное от 0 и π, разность фаз меняется как функция длины волны. Энергетический коэффициент отражения такого слоя есть квадрат модуля амплитудного коэффициента отражения: 2 R= r . (2.1.3) Если использовать формулу (2.1.1), то R легко находится. Коэффициент отражения R в этом случае описывается дробно-линейной функцией, которая очень не удобна для анализа: 2 2 ( n 0 m11 − n m m22 ) + ( n 0 n m m12 − m21 ) R= . (2.1.4) 2 2 ( n 0 m11 + n m m22 ) + ( n o n m m12 + m 21 ) Коэффициент пропускания равен: 4n 0 n m T= . (2.1.5) 2 2 n m + n m + n n m + m ( 0 11 m 22 ) ( o m 12 21 ) Эта форма записи есть следствие унимодулярности матрицы преобразования. Напомню, что унимодулярная матрица, это такая матрица, детерминант которой равен единице. Детерминант матрицы для прозрачных сред равен: (2.1.6) m11m 22 + m12 m 21 = 1 . Произведение унимодулярных матриц это тоже унимодулярная матрица. Кроме того, для матриц преобразования, описывающих прозрачные слои, в которых отсутствует поглощение, диагональные элементы матрицы всегда действительные числа, а элементы, лежащие на побочной диагонали, всегда мнимые числа. Однако, в общем случае это не так, когда будем рассматривать слой с поглощением, то увидим, что все элементы матрицы, характеризующей такой слой, комплексные числа. После того как мы написали зависимости для энергетических коэффициентов отражения и пропускания однослойной системы, становится видно, что и то и другое описывается дробно-линейными функциями, для анализа это очень не удобно и поэтому здесь удобнее ввести функцию обратную пропусканию, т.е. функцию такого вида: 1 G1 = . (2.1.7) T Это функция G будет квазинелинейной функцией матричных элементов и её легче анализировать. А ещё лучше написать: G = 4n 0 n mG1 . (2.1.8) Постоянный множитель, который мы здесь вводим, практически не влияет на результаты анализа, и функция G1 будет иметь следующий вид: 2 2 G1 = ( n 0 m11 + n m m 22 ) + ( n o n m m12 + m 21 ) . (2.1.9)

Её анализировать достаточно легко. Давайте посмотрим, что же мы получим в результате анализа. Подставим значения матричных элементов. Я ещё раз хочу обратить ваше внимание на одно обстоятельство, которое заключается в том, что вследствие закона сохранения энергии R+T=1, R и T – дополнительные функции; а G – функция обратная пропусканию. Экстремумы функций R и T соответствуют друг другу с точностью до наоборот. Максимум R соответствует минимуму T и наоборот. Величина G, которую мы с вами сейчас написали, будет иметь такой вид: 2

⎛n n ⎞ (2.1.10) G1 = ( n 0 − n m ) cos ϕ1 + ⎜ 0 m + n1 ⎟ sin 2 ϕ1 . ⎝ n1 ⎠ Можно её написать в более простом для анализа виде без квадратов косинусов и синусов фазовой толщины, для этого надо перейти к косинусу двойного угла: 2 2 ⎛ n0n m ⎞ ⎡ ⎛ n0n m ⎞ ⎤ 2 2 2G1 = ( n 0 − n m ) + ⎜ + n1 ⎟ + ⎢( n 0 − n m ) − ⎜ + n1 ⎟ ⎥ cos 2ϕ1 = ⎝ n1 ⎠ ⎢⎣ ⎝ n1 ⎠ ⎥⎦ = A + Bcos 2ϕ1 , где: 2

2

2

2

⎛n n ⎞ ⎛n n ⎞ 2 A = ( n 0 − n m ) + ⎜ 0 m + n1 ⎟ , B = ( n 0 − n m ) − ⎜ 0 m + n1 ⎟ . ⎝ n1 ⎠ ⎝ n1 ⎠ Функция периодическая с периодом π и достаточно простая. Видно, что эта функция имеет экстремумы в случае, когда аргумент этой функции 2πn1d1λ −1 кратен чётному или нечётному числу π, т.е. при ϕ1 = 0.5 ⋅ kπ . В этом случае функция будет иметь соответствующие экстремумы, причём вид экстремума будет определяться знаком при коэффициенте cos 2ϕ1 . Функция π 3 G, так же, как функции R и T будет иметь экстремумы при ϕ1 = 0, , π, π,2π . 2 2 При ϕ1 = 0 это будет либо A+B, если В больше нуля, либо A-B, если В меньше нуля. Тогда, в зависимости от знака В, мы будем иметь зависимости вида, изображённого на рис. 2.2. Для B>0 функция G1 имеет π минимум при ϕ1 = . Поскольку функция G - величина обратная T, то 2 пропускание будет вести себя обратным образом, т.е. T имеет максимальное значение (рис.2.3). 2

Таким образом, если B>0, то при увеличении толщины слоя, пропускание начинает возрастать, а отражение уменьшаться. Эта факт достаточно интересен. Пропускание границы раздела возрастает. По мере увеличения фазовой толщины слоя пропускание границы раздела может возрастать, в обратном случае, когда В<0, пропускание будет падать, в первом случае система будет просветляющей, во втором - зеркальной. В первом случае коэффициент отражения на границе раздела уменьшается, во втором он увеличивается. Следовательно, один слой может работать как зеркальный и как слой, уменьшающий отражение. Это определяется знаком перед коэффициентом В. Посмотрим, чему равен этот коэффициент: 2

⎛n n ⎞ B = ( n 0 − n m ) − ⎜ 0 m + n1 ⎟ . ⎝ n1 ⎠ Перепишем в другом виде: 2 n 02 ( n12 − n 2m ) ⎛ ⎞ n n 2 2 2 0 m B = n0 + nm − ⎜ − ( n12 − n 2m ) . ⎟ − n1 = 2 n1 ⎝ n1 ⎠ Получаем: 1 B = 2 ( n1 − n m ) ( n 0 − n1 ) ( n1 + n m ) ( n 0 + n1 ) . n1 2

(2.2.11)

(2.2.12)

Теперь нас интересует знак величины В, В>0, т.е. тот случай, когда отражение от границы раздела уменьшается. Коэффициент В будет положительным, когда n 0 < n1 < n m ; отрицательным, когда n1 > n m , n 0 < n1. Ранее, мы уже говорили, что при перемене знака В мы будем иметь дело с разными системами. Если показатель преломления слоя удовлетворяет условию n 0 < n1 < n m (B>0), то при увеличении фазовой толщины слоя коэффициент отражения уменьшается, пропускание при увеличении фазовой толщины возрастает. Наоборот, когда B<0, т.е. когда n1 лежит вне интервала n0 nm, коэффициент отражения увеличивается при увеличении фазовой толщины в некотором интервале, а затем снова падает. Функции изменения энергетических коэффициентов отражения и пропускания периодические и период их изменения равен π (рис. 2.4).

Мы с вами рассмотрели один слой на границе раздела и определили фазовые толщины, при которых возникают экстремумы коэффициентов отражения и пропускания, определили диапазон показателя преломления слоя, при котором коэффициент отражения уменьшается по мере увеличения фазовой толщины и диапазон показателя преломления, где этот коэффициент увеличивается. Т.е. мы с вами показали, что эти системы могут обладать свойствами, как уменьшения коэффициента отражения, так и увеличения его. Иллюстрацией этих положений служат рисунки 2.4 и 2.5, на которых изображена трёхмерная зависимость коэффициента отражения от показателя преломления слоя (n1) и фазовой толщины слоя (φ1) для слоя на подложках с показателем nm=4 (рис. 2.4) и nm=2 (рис. 2.5). Однако нас интересует не зависимость коэффициентов отражения и пропускания от фазовой толщины слоя, нас интересует зависимость от оптической или геометрической толщины слоя. Поскольку показатель преломления постоянен внутри слоя, то зависимости от оптической и от геометрической толщины слоя будут одинаковыми с точностью до постоянного множителя. Нас интересует так же зависимость от длины волны падающего излучения, т.е. нас интересует спектральная зависимость коэффициента отражения и пропускания при постоянной толщине слоя. Имея зависимости энергетических коэффициентов отражения и пропускания от фазовой толщины слоя можно легко построить зависимость от оптической толщины слоя при постоянной длине волны падающего излучения. Экстремумы коэффициентов отражения и пропускания будут наблюдаться при оптических толщинах, соответствующих фазовой толщине слоя π/2. Давайте посмотрим, при каких толщинах будут наблюдаться эти экстремумы. Приравняем фазовую толщину π/2, а длину волны падающего излучения положим равной λ0, это константа, любая длина волны, которая нас может интересовать, и, для которой мы хотели бы получить максимальное или минимальное отражение или пропускание. В этом случае экстремумы отражения и пропускания будут наблюдаться при оптической толщине слоя n1d1 равной λ0/4 – это первый экстремум. Второй экстремум будет наблюдаться при оптической толщине слоя n1d1 = λ0/2, что соответствует фазовой толщине слоя π. Если мы хотим посмотреть, что будет дальше, то приравняем фазовую толщину 3/2 π , 2 π и т.д. Тогда можно написать, что экстремумы, в которых отражение и пропускание слоя отличается от отражения (пропускания) подложки, будут наблюдаться при толщинах слоя, кратных (2к+1)λ0/4, а экстремумы, в которых отражение (пропускание) слоя совпадает с отражением (пропусканием) подложки при (к λ0/2). На основе этого легко построить изменение коэффициента отражения от оптической толщины слоя. Зависимости энергетических коэффициентов отражения и пропускания слоя на подложке от толщины слоя при различных показателях преломления слоя изображены на рис.2.6. Эти зависимости нас интересуют при контроле толщин слоёв в процессе их формирования. Видно, что если толщина слоя растёт, то коэффициент

отражения будет меняться по-разному, в зависимости от величины показателя преломления слоя. Эти зависимости полезны, когда есть возможность контролировать растущий слой, т.е. когда можно сопоставить изменение коэффициента отражения изменению толщины слоя.

И, наконец, спектральные зависимости. Это нас интересует, когда оптическая толщина слоя постоянна. Если оптическая толщина слоя постоянна, то можно построить спектральную зависимость. Для определённости положим, что n1d1 = λ0/4, т.е. на длине волны λ =λ0 мы имеем либо минимум, либо максимум. На основе всё той же зависимости от фазовой толщины слоя мы можем построить зависимость энергетических коэффициентов отражения или пропускания от длины волны. Нарисуем зависимость энергетических коэффициентов отражения и пропускания от длины волны падающего излучения (рис.2.7). Длина волны изменяется в достаточно широком диапазоне. Экстремум наблюдается при фазовой толщине слоя π/2, а соответственно длина волны, которая соответствует максимуму отражении, и может быть легко найдена из выражения для фазовой толщины слоя. В случае, когда фазовая толщина 2πn1d1 π λ 0 π = ⋅ = , коэффициент отражения имеет максимальное слоя ϕ1 = λ 2 λ 2 или минимальное значение на длине волны, равной λ0 в зависимости от показателя преломления слоя. Если фазовая толщина слоя π, то длина волны, для которой наблюдается этот экстремум отражения, будет равна λ0/2.

отметим

на

графике

точки

соответствующие

экстремумам.

В точке λ 0 мы имеем один экстремум, в λ0/2другой, максимум или минимум будет определяться соотношениями показателей преломления подложки и плёнки. Что же будет происходить дальше? В длинноволновой и коротковолновой областях спектра. Чему соответствует длинноволновая область в диапазоне фазовых толщин? Это область от 0 до π 2 . Какой длине волны соответствует фазовая толщина, равная нулю? Очевидно, бесконечности. Если длина волны равна бесконечности, то фазовая толщина слоя равна нулю. Это значит, что для излучения с бесконечно большой длиной волны любой слой отсутствует. Коэффициент отражения здесь будет вести себя следующим образом: он будет асимптотически приближаться к коэффициенту отражения непокрытого стекла. Область фазовых толщин слоя больших π 2 отвечает за коротковолновую часть спектра. В коротковолновой части спектра мы будем иметь уже не периодическую, а некую функцию с убывающими интервалами, где коэффициент отражения

осциллирует. Экстремумы, соответствующие фазовым толщинам, кратным λ0 λ нечётному числу π 2 , будут наблюдаться при , а чётному - 0 , 2k + 1 2k k=0,1,2….. . 2.2. Просветляющие слои. Условие просветления

Наибольший интерес при рассмотрении отражения от слоя представляет случай, когда отражение уменьшается до нуля. Определим условия, при которых энергетический коэффициент отражения может обращаться в нуль, т.е. R=0. Определим, для каких показателей преломления, оптических толщин слоя и показателей преломления обрамляющих сред энергетический коэффициент отражения обращается в нуль. Мы уже знаем, что минимальное отражения наблюдается при оптических толщинах слоя кратных n1d1 = λ0/4 и показателе преломления слоя, лежащем в интервале от n0 до nm. Теперь определим точное значение показателя преломления, при котором коэффициент отражения обращается в нуль. Если мы потребуем, чтобы энергетический коэффициент отражения обращался в нуль, т.е. R=0, то необходимо, чтобы действительная и мнимая части амплитудного коэффициента отражения (2.1.1) равнялись нулю: ⎧ n 0 m11 − n m m 22 = 0, (2.2.1) ⎨ n n m − m = 0. ⎩ 0 m 12 21 Эти условия описывают, какими должны быть матричные элементы, чтобы коэффициент отражения обращался в ноль. В нашем случае, когда слой один, матричные элементы имеют достаточно простой вид: 1 m11 = m 22 = cos ϕ1 , m12 = sin ϕ1 , m 21 = n1 sin ϕ1. n1 Подставив эти значения в вышеприведённую систему уравнений (2.2.1), получаем: ⎧ ( n 0 − n m ) cos ϕ1 = 0, ⎧ n 0 cos ϕ1 − n m cos ϕ1 = 0, ⎪ ⎪ ⎞ ⎨ n n 1 sin ϕ − n sin ϕ = 0; → ⎨⎛ n 0 n m − n sin ϕ1 = 0. 0 m 1 1 1 1 ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ n n1 ⎩ ⎠ ⎩⎝ 1 Отсюда сразу же видно, что если показатели преломления обрамляющих сред различны, т.е. присутствует граница раздела, то для выполнения приведённых уравнений необходимо, чтобы: cos ϕ1 = 0, т.е.фазовая толщина слоя π ϕ1 = ( 2k + 1) , (2.2.2) 2 а показатель преломления удовлетворял следующему условию: n1 = n 0 n m . (2.2.3)

Если показатель преломления слоя удовлетворяет этому условию, то π коэффициент отражения при фазовых толщинах слоя ( 2k + 1) равен нулю. 2 Это соответствует тому, что для четвертьволновых слоёв коэффициент λ0 отражения будет обращаться в ноль в длинах волн λ = . 2k + 1 Теперь нас интересует спектральная зависимость энергетического коэффициента отражения. Спектральная зависимость энергетического коэффициента отражения может быть легко определена. Действительно, энергетический коэффициент отражения, определяемый как квадрат модуля амплитудного коэффициента отражения 2 R = r , равен: 2

⎛n n ⎞ ( n 0 cos ϕ1 − n m cos ϕ1 ) + i ⎜ 0 m sin ϕ1 − n1 sin ϕ1 ⎟ 2 ⎝ n1 ⎠ = R= r = ⎛n n ⎞ ( n 0 cos ϕ1 + n m cos ϕ1 ) + i ⎜ 0 m sin ϕ1 + n1 sin ϕ1 ⎟ ⎝ n1 ⎠ 2

(2.2.4)

⎛n n ⎞ cos2 ϕ1 + ⎜ 0 m − n1 ⎟ sin 2 ϕ1 ⎝ n1 ⎠ = . 2 ⎛ ⎞ n n 2 ( n 0 + n m ) cos2 ϕ1 + ⎜ 0 m + n1 ⎟ sin ϕ1 ⎝ n1 ⎠ Воспользовавшись тем, что показатель преломления слоя n1 = n 0 n m , выражение(2.2.4) для энергетического коэффициента отражения будет выглядеть следующим образом:

( n0 − nm )

R=

2

( n0 − nm )

( n0 + nm )

2

2

cos2 ϕ1

cos ϕ1 + ( n 0 n n + n1 ) sin ϕ1 2

−1 m 1

2

2

.

(2.2.5)

Когда мы с вами рассматриваем коэффициент отражения как функцию фазовой толщины, то нетрудно заметить, что это чётная, периодическая функция относительно фазовой толщины. При фазовой толщине слоя равной нулю, (при φ1=0 слой отсутствует) коэффициент отражения равен: 2 n0 − nm ) ( R= . (n 0 − n m ) 2

Это коэффициент отражения

границы раздела сред с показателями преломления n0 и nm. При фазовой толщине слоя π/2, на длине волны λ=λ0, коэффициент отражения равен нулю. Зависимость коэффициента отражения от фазовой толщины приобретает вид представленный на рис. 2.8. Здесь (рис.2.8) - коэффициент Rm отражения подложки, т.е. границы раздела двух сред с показателями преломления n0 и nm. На длине волны λ= λ0 коэффициент отражения равен нулю, при фазовой толщине слоя, равной нулю, т.е. бесконечно большой длине волны коэффициент отражения равен коэффициенту отражения подложки. При фазовой толщине слоя, равной π, cos ϕ1 = −1 , а поскольку мы рассматриваем энергетический коэффициент отражения, то это равносильно случаю, когда cos ϕ1 = 1 , и коэффициент отражения равен коэффициенту отражения подложки. Фазовая толщина слоя, равная π соответствует, как уже об этом говорилось ранее, длине волны λ0/2. Тогда спектральная зависимость будет выглядеть следующим образом (см. рис.2.9). Т.о. мы с вами получили систему, которая будет обладать нулевым отражением на длине волны λ=λ0, а во всём спектральном интервале коэффициент отражения этой системы R меньше Rm т.е. коэффициента отражения подложки. Он никогда не превышает коэффициента отражения подложки во всём спектральном интервале. Это очень существенно. При практическом осуществлении таких систем возникает ряд проблем, связанных с тем, что фактические показатели преломления плёнкообразующих материалов достаточно велики. По крайне мере для материалов, используемых в ультрафиолетовом и видимом диапазонах, это соотношение не может быть выполнено. Написанное здесь соотношение в видимом диапазоне выполняется для ограниченного числа оптических материалов. Действительно, с какими оптическими материалами мы имеем дело? Показатели преломления стёкол лежат в диапазоне 1.43-1.98, т.е. для выполнения условия просветления показатель преломления Рис.2.9. Спектральная зависимость энергетического плёнкообразующих материалов должен лежать в интервале 1.23-1.39. коэффициента отражения слоя с оптической толщиной λ0/4 и n12 = n 0 n m .

Плёнкообразующий материал, который имеет минимальный показатель преломления, это фторид магния, его показатель преломления 1.35. Поэтому соотношение (2.2.3) не выполняется для большинства материалов, работающих в видимой области, для ИК-спектрального диапазона ситуация немного другая. Там показатели преломления лежат в более широком диапазоне и почти всегда можно подобрать материалы, которые бы удовлетворяли соотношению (2.2.3). Следовательно, для видимой и УФобластей спектра соотношение (2.2.3) не всегда удаётся выполнить. Если это соотношение не выполняется, то нас интересует, каким может быть минимальный коэффициент отражения границы раздела, на который нанесён слой из материала, у которого показатель преломления меньше, чем показатель преломления подложки. Для анализа этой ситуации воспользуемся соотношением (2.2.3). Если соотношение n1 = n 0 n m не выполняется, то, что же будет происходить с величиной коэффициента отражения в особых точках (минимумах отражения и максимумах пропускания)? При фазовой толщине слоя φ1=0 коэффициент отражения по прежнему будет равняться коэффициенту отражения подложки, так же как и для фазовой толщины равной π, или кπ. Рассмотрим, что будет при фазовых толщинах слоя φ1= (2к+1)π/2. В этом случае коэффициент отражения есть: 2

⎛ n n − n12 ⎞ R =⎜ 0 m . 2 ⎟ n n + n 1 ⎠ ⎝ 0 m

Давайте оценим, что мы получаем для реального случая, когда показатель преломления оптического материала 1.51, показатель преломления плёнкообразующего материала 1.35, свет падает по нормали из воздуха. В этом случае коэффициент отражения будет равен ~ 8·10-3, а коэффициент отражения границы раздела: воздух – стекло равен 4·10-2. В реальности коэффициент отражения всё равно будет меньше процента на длине волны λ=λ0. Даже здесь использование таких покрытий имеет смысл. 2.3. Однослойные покрытия при наклонном падании света

Рассмотрим теперь свойства однослойного покрытия при наклонном падении излучения. Пусть плоская волна падает под некоторым углом α 0 на слой, расположенный на границе раздела двух сред с показателями преломления n0 и nm.. Показатель преломления среды, из которой падает свет n0, показатель преломления слоя n1, показатель преломления среды, в которую свет распространяется nm. Толщина слоя d1, оптическая толщина −1 слоя n1d1, фазовая толщина слоя при нормальном падении ϕ1 = 2πn1d1 ( λ ) . Что произойдёт, если свет начинает падать под углом α 0 ? Очевидно, что меняется разность хода между интерферирующими лучами в этом случае и,

кроме того, меняется коэффициент отражения границ раздела. Фазовая −1 толщина слоя становится равной ϕ1α = 2πn1d1 ( λ ) cos α1 , где угол α1 – угол распространения излучения в слое, этот угол легко определяется из закона Снеллиуса: n 0 sin α 0 = n1 sin α1 . Соответственно я проведу рассмотрение этой ситуации, связанной с отражением света при наклонном падении, используя два подхода: так называемые рекуррентный и матричный методы и сравним результаты этих подходов. Если мы рассматриваем рекуррентный метод, то граница раздела сред, с показателями преломления n0 и n1, характеризуется коэффициентом отражения r1, граница раздела сред n1 и nm. характеризуется коэффициентом отражения r2. Это, как вы помните, френелевские коэффициенты отражения. Я их напишу в таком виде: n% 0 − n% 1 n% − n% m , r2p,s = 1 , (2.3.1) n% 0 + n% 1 n% 1 + n% m где “ n% ” обозначает, что показатель преломления мы меняем на эффективный показатель преломления, который для разных состояний поляризаций имеет следующее значение: s − поляризации, ⎧ n i cos αi ⎪ n% i = ⎨ cos αi i = 0,1, m. (2.3.2) p поляризации. − ⎪ n ⎩ i Амплитудный коэффициент отражения для этих границ раздела меняется, как показано на рис.2.10. Пересечение с осью абсцисс соответствует углу Брюстера. Давайте посмотрим, как будет меняться коэффициент отражения границ раздела при изменении угла падения излучения на слой. Будем считать, что свет падает из среды оптически менее плотной в среду оптически более плотную, а показатель преломления n1 будет иметь любое значение, он может быть как больше показателя преломления подложки, так и меньше показателя преломления подложки (рис.2.10). Эти ситуации существенно различаются в том смысле, что при осаждении слоя с меньшим показателем преломления коэффициент отражения системы уменьшается по мере увеличения толщины слоя, а если мы наносим слой с большим показателем преломления, то наблюдается обратная ситуация, т.е. коэффициент отражения увеличивается. r1p,s =

Посмотрим, что будет происходить в ситуации, когда n1nm, то при наклонном падении света характер изменения амплитудных коэффициентов отражения на первой и второй границах раздела будут различаться не только величиной, но и знаком (рис. 2.10б). Амплитудный коэффициент отражения слоя равен: r p,s + r p,s exp(2iϕ% 1 ) r p,s = 1 p,s 2p,s 1 + r1 r2 exp(2iϕ% 1 ) или n% 0p,s − n% 1p,s n% 1p,s − n% p,s m − p,s exp(2iϕ% 1 ) p,s p,s p,s % % % % + + n n n n 0 1 1 m (2.3.3) r p,s = . p,s p,s p,s n% 0 − n% 1 n% 1 − n% p,s m × p,s 1 + p,s exp(2iϕ% 1 ) p,s n% 0 + n% 1 n% 1 + n% p,s m Минимальное значение коэффициента отражения для любой поляризации мы получим при ϕ% 1 = π , подставив соответствующие значения показателя преломления: 2

R min

⎛ n% 12 − n% 0 n% m ⎞ =⎜ 2 ⎟ . % % % n n n + 0 m ⎠ ⎝ 1

Далее, целесообразно написать выражения для коэффициента отражения каждой из компонент: ⎧ n12 cos α0 cos αm − n 0 n m cos2 α1 ⎪ R p min = n 2 cos α cos ϑ + n n cos2 α − p поляризация; ⎪ 1 0 m 0 m 1 (2.3.4) ⎨ 2 2 n cos α − n n cos α cos α 1 1 0 m 0 m ⎪R − s поляризация. smin = 2 2 ⎪⎩ n1 cos α1 + n 0 n m cos α0 cos αm Мы получили значение коэффициентов отражения для света с разными состояниями поляризации. Отсюда видно, что если выполняется условие n 0 n m = n12 , то коэффициенты отражения совпадают с точностью до знака. Модули у них одинаковые, они отличаются только фазой, т.е. разностью фаз между падающим и отражённым излучением для света с разными состояниями поляризации, которая будет отличаться на π. При этом: cos α 0 cos α m − cos 2 α1 rp min = −rs min = ,а cos α 0 cos α m + cos 2 α1 2

⎛ n 0 n 2m − n 02 sin 2 α0 ⋅ cos α0 + n 02 sin 2 α0 − n 0 n m ⎞ ⎟ . R p min = R s min = ⎜ (2.3.5) ⎜ n n 2 − n 2 sin 2 α ⋅ cos α − n 2 sin 2 α + n n ⎟ 0 0 0 0 0 0 m ⎠ ⎝ 0 m 2 Если условие n1 = n 0 n m не выполняется, коэффициенты отражения для света с разными состояниями поляризации будут отличаться (рис.2.10б). Действительно:

n 0 cos α0 − n1 cos α1 n1 cos α1 − n m cos αm ⎧ exp(2iϕ% 1 ) − ⎪ n 0 cos α0 + n1 cos α1 n1 cos α1 + n m cos αm , ⎪ rs = n cos n cos α − α n cos n cos α − α 0 1 1 1 m m ⎪ 1+ 0 exp(2iϕ% 1 ) × 1 ⎪⎪ n 0 cos α0 + n1 cos α1 n1 cos α1 + n m cos αm (2.3.6) ⎨ n cos n cos α − α n cos n cos α − α 1 0 0 1 1 1 m ⎪ exp(2iϕ% 1 ) − m ⎪ n1 cos α0 + n 0 cos α1 n m cos α1 + n1 cos αm . ⎪ rp = n1 cos α0 − n 0 cos α1 n m cos α1 − n1 cos αm × 1+ exp(2iϕ% 1 ) ⎪ n1 cos α0 + n 0 cos α1 n m cos α1 + n1 cos αm ⎪⎩ Отсюда видно, что для света с разными состояниями поляризации коэффициенты отражения отличаются. Что будет происходить со спектральной кривой? Напомню, что при нормальном падении энергетический коэффициент отражения имел следующий вид: 2

2

⎛ n 0 − n1 ⎞ ⎛ n1 − n m ⎞ ⎛ n − n1 ⎞ ⎛ n1 − n m ⎞ − 2⎜ 0 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ cos 2ϕ1 n n n n n n n n + + + + ⎝ 1 1 ⎠ m ⎠ 1 ⎠⎝ 1 m ⎠ ⎝ 0 R= ⎝ 0 . ( 2.3.7) 2 2 ⎛ n 0 − n1 ⎞ ⎛ n1 − n m ⎞ ⎛ n 0 − n1 ⎞ ⎛ n1 − n m ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 2 ⎜ n + n ⎟ ⎜ n + n ⎟ cos 2ϕ1 n n n n + + 1 ⎠ ⎝ 1 m ⎠ 1 ⎠⎝ 1 m ⎠ ⎝ 0 ⎝ 0 π При ϕ1 = ( 2k + 1) мы имели экстремум коэффициента отражения равный 2 2 ⎛ n12 − n 0 n m ⎞ ⎜ 2 ⎟ . Что будет происходить по мере увеличения угла падения? Во⎝ n1 + n 0 n m ⎠ первых, будет изменяться величина фазовой толщины слоя, как мы уже записали ранее ϕ1 = 2 πn1d1λ −1 cos α1 . Поскольку оптическую толщину слоя мы положили равной λ0/4, то фазовая толщина слоя может быть записана в −1 таком виде: ϕ1 = πλ 0 ( 2λ ) cos α1 . Угол распространения света в слое n −1 определяется из закона Снеллиуса, тогда ϕ1 = πλ 0 ( 2λ ) cos(arcsin 0 sin α0 ) . n1 Условие экстремума отражения в этом случае естественно выполняется тогда, когда ϕ1 = 0.5π . Длина волны, при которой будет наблюдаться экстремум отражения при наклонном падении, в соответствии с этим равна: λ = λ 0 cos arcsin ( n 0 n1−1 ) sin α0 . (2.3.8)

(

)

Отсюда следует, что при увеличении угла падения, экстремум отражения смещается в коротковолновую часть спектра, а его величина определяется выражением (2.3.5). Причём очевидно, что поскольку зависимости коэффициента отражения одной границы раздела от угла падения различаются (см. рис.2.10), то коэффициент отражения слоя для pкомпоненты будет меньше, а для s –компоненты будет всегда больше. Поэтому при наклонном падении света спектральные кривые будут различаться в зависимости от состояния поляризации падающего излучения. Как видно из рисунка 2.12 коэффициент отражения всегда больше для света, поляризованного в плоскости падения, чем для света, поляризованного в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Мы с вами рассмотрели эту ситуацию, пользуясь рекуррентными соотношениями. Давайте рассмотрим наклонное падение света на слой, используя матричные соотношения. Матрица интерференции для такой системы имеет следующий вид: 1 cos ϕ% 1 sin ϕ% 1 n% 1 , n% 1 sin ϕ% 1 cos ϕ% 1 где:

s − поляризация ⎧ n1 cos α1 ⎪ n% 1 = ⎨ cos α1 p − поляризация, ⎪ n ⎩ 1

πλ 0 cos α1 , 2λ если, n1d1 = λ 0 / 4 , то амплитудный коэффициент отражения для такой системы имеет следующий вид: (n 0 m11 − n m m 22 ) + i ( n 0 n m m12 − m 21 ) . r= ( n 0 m11 + n m m22 ) + i ( n 0 n m m12 + n 1m21 ) ϕ1 =

Для света, поляризованного в разных плоскостях, при наклонном падении: ⎧ s (n s 0 m11 − n s m m 22 ) + i ( n s 0 n s m m12 − m 21 ) , ⎪r = s ( n 0 m11 + ns m m22 ) + i ( ns0 ns m m12 + ns1m21 ) ⎪ (2.3.9) ⎨ p p p p (n 0 m11 − n m m 22 ) + i ( n 0 n m m12 − m 21 ) ⎪ p r . = ⎪ p p p p p n m n m i n n m n m + + + ( 0 11 m 22 ) ( 0 m 12 1 21 ) ⎩ Мы с вами написали коэффициент отражения через элементы матрицы интерференции. Элементы матрицы интерференции у нас записаны и тогда амплитудный коэффициент отражения, выраженный через значения матричных элементов, будет иметь следующий вид:

⎧ ⎛ n n cos α0 cos αm ⎞ (n 0 cos α0 − n m cos αm ) cos ϕ% 1 + i ⎜ 0 m − n1 cos α1 ⎟ sin ϕ% 1 ⎪ n1 cos α1 ⎝ ⎠ ⎪rs = ⎪ ⎛ n n cos α0 cos αm ⎞ (n 0 cos α0 + n m cos αm ) cos ϕ% 1 + i ⎜ 0 m + n1 cos α1 ⎟ sin ϕ% 1 ⎪ n1 cos α1 ⎝ ⎠ ⎪ ⎨ ⎛ cos α0 cos αm ⎞ ⎛ cos α0 cos αm n1 cos α1 ⎞ ⎪ % cos i − ϕ + − 1 ⎟ ⎜ ⎟ sin ϕ% 1 ⎪ p ⎜⎝ n 0 nm ⎠ n0 n m cos α1 n1 ⎠ ⎝ . ⎪r = ⎛ cos α0 cos αm ⎞ ⎛ cos α0 cos αm n1 cos α1 ⎞ ⎪ + + ⎜ ⎟ cos ϕ% 1 + i ⎜ ⎟ sin ϕ% 1 ⎪ n n n n cos n α 0 m 0 m 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ 2

Энергетический коэффициент отражения R = r , результат аналогичен значениям, которые могут быть получены из (2.3.6), но получен значительно быстрее. 2.4. Оптические характеристики слоя при углах падения больших критического

Рассмотрим слой, находящейся на границе раздела сред с показателями преломления n0, nm, а именно такой слой, когда n1
не будет. В этой ситуации при увеличении расстояния между призмами коэффициент отражения на гипотенузной грани должен меняться от нуля до единицы. Это так называемый эффект нарушенного полного внутреннего отражения. Предположим, что толщина промежутка разделяющего призмы d1 , угол падения излучения на срез будем считать постоянным. Здесь важным, необходимым условием является то, что бы на этой границе раздела выполнялось условие полного внутреннего отражения. Как можно определить условие полного внутреннего отражения? Вспомним ещё раз закон Снеллиуса: n 0 sin α0 = n1 sin α1 = ..... = n j sin α j . (2.4.1) Проанализируем ситуацию при n1
α крит = arcsin ( n1 n 0 ) 0 А что происходит дальше при углах падения α 0 > α крит . В чём отличие от 0 внешнего падения света? В этих условиях образуется неоднородная волна, которая представляет собой суперпозицию двух волн. Вдоль границы раздела распространяется бегущая волна, а в среде с индексом 1 убывающая волна, амплитуда которой убывает по экспоненте. Что бы это понять, необходимо вспомнить уравнение электромагнитной волны, которое мы получаем из уравнения Максвелла. Выражение для амплитуды имеет следующий вид: A = A 0 exp −i ( ωt − 2 πn1d1λ −1 cos α1 ) .

(

)

Величина cos α1 в этом случае есть мнимая величина. Формально можно воспользоваться законом Снеллиуса и написать: sin α1 = n 0 n1−1 sin α0 .

В этом случае sin α1 будет больше единицы. Для того чтобы описывать эту волну мы должны перейти к гиперболическим функциям. Круговой косинус в этой ситуации становиться мнимым: n 02 sin 2 α0 n 02 sin 2 α0 cos α1 = 1 − =i − 1. n12 n12 Это чисто мнимая величина, а если появляется мнимая величина, то амплитуда волны становится равной следующей величине:

(

(

)

)

A0 exp i ( 2πn1d1λ−1 cos α1 ) = A0 exp −2πd1λ−1 n02 sin2 α0 − n12 . Отсюда мы можем определить, на какой глубине волна в среде с индексом единица волна ослабляется в «е» раз. Для этого мы должны 2πd1 2 2 положить: n 0 sin α 0 − n12 = 1. λ Тогда глубина, в которой волна ослабляется в «е» раз может быть определена из следующего выражения: d1 = λ ( 2 π )

−1

( n02 sin 2 α0 − n12 ) 2 . 1

Фазовая толщина слоя в этом случае: ϕ1 = πλ 0 ( 2λ ) cos α1 , очевидно, мнимая величина, поскольку cos α1 мнимая величина. Вспомним про определение гиперболических и круговых функций: ex − e− x e− x + ex ; shx = ; chx = 2 2 eiy − e − iy eiy + e − iy sin y = ; cos y = . 2i 2 Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями: −1

e− y − ey sin iy = −i = ishy; 2 e− y + ey cos iy = = chy. 2 Матричные элементы в этой ситуации будут иметь следующие значения: −1 m11 = m 22 = cos ϕ1 , m12 = ( n% 1 ) sin ϕ1 , m 21 = n% 1 sin ϕ1 . Эффективный показатель преломления в этом случае: ⎧ cos α1 p − компонента ⎪ n% 1 = ⎨ n1 ⎪ n cos α s − компонента. ⎩ 1 1 Напомним, что фазовая толщина слоя для обоих компонент будет одинакова. Кроме того, гиперболический косинус в силу его определения есть чётная, постоянно возрастающая с ростом модуля аргумента функция,

имеющая минимальное значение, равное 1, гиперболический синус функция нечётная, обращается в ноль в начале координат. Нас интересуют положительно определённые значения этих функций. Видно, что эти функции имеют возрастающие значение в зависимости от аргумента. В нашем случае аргументом является фазовая толщина слоя, которая пропорциональна расстоянию между призмами. Теперь определим интересующие нас матричные элементы и напишем коэффициент отражения для такого слоя. Посмотрим более детально, как он себя будет вести. При малых толщинах коэффициент отражения будет стремиться к нулю, при больших толщинах коэффициент отражения должен стремится к единице. В данный момент нам надо посмотреть, как коэффициент отражения будет зависеть от длины волны, будет ли такая зависимость и изучить особенности этой зависимости. Фазовая толщина слоя равна: ϕ1 = 2 πn1d1 ( λ ) cos α1 = i2 π ( λ ) d1 n 02 sin 2 α0 − n12 . Диагональные матричные элементы определяются следующим образом: 2 πd1 2 2 m11 = m 22 = cos ϕ1 = cos i n 0 sin α0 − n12 = λ 2πd1 2 2 n 0 sin α0 − n12 . = ch λ Что будет с другими элементами матрицы интерференции? Напишем их значения для компонент света, поляризованных в плоскости и перпендикулярно плоскости падения света: 1 2 πd1 2 2 ⎧ sh n 0 sin α0 − n12 s − компонента, ⎪ 2 2 2 λ n 0 sin α0 − n1 ⎪ m12 = ⎨ −1 2 ⎛ ⎞ n1 2 πd1 2 2 ⎪ ⎟ sh n 0 sin α0 − n12 p − компонента; ⎪ − ⎜⎜ 2 2 2 ⎟ λ ⎩ ⎝ n 0 sin α0 − n1 ⎠ (2.4.2) 2 πd1 2 2 ⎧ 2 2 2 2 − α − α − n sin n sh n sin n s − компонента, 0 0 1 0 0 1 ⎪ λ ⎪ m 21 = ⎨ ⎛ ⎞ 2 πd n12 1 ⎪⎜ ⎟ sh n 02 sin 2 α0 − n12 p − компонента. 2 2 2 ⎜ ⎟ λ ⎪ n 0 sin α0 − n1 ⎠ ⎩⎝ Мы получили матрицу интерференции, которая характеризует изображённый на рис.2.13 слой. Видно, что детерминант этой матрицы есть произведение диагональных элементов минус произведение контрдиагональных элементов. Это будет: −1

(

−1

)

сh 2 x − sh 2 x = 1, где x = 2 πd1λ −1 n 02 sin 2 ϑ0 − n12 .

Амплитудный коэффициент отражения такой

системы:

⎧ ⎛ n n cos α cos α ⎪ ( n 0 cos α0 − n m cos αm ) chx + i ⎜⎜ 0 m2 2 0 2 m + ⎪ ⎝ n 0 sin α0 − n1 ⎪ rs = ⎛ n n cos α cos α ⎪ 0 m α + α + − n cos n cos chx i ⎜ 0 m ( 0 0 m m) ⎪ 2 2 2 ⎜ n sin α − n 0 0 1 ⎝ ⎪ ⎨ ⎛ n 0 n m n 02 sin 2 α0 − n12 ⎪ ⎛ n0 nm ⎞ − ⎪ ⎜ ⎟ chx − i ⋅ shx ⎜⎜ cos cos n12 cos α0 cos αm α α 0 m ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ rp = ⎛ n 0 n m n 02 sin 2 α0 − n12 ⎛ n0 nm ⎞ ⎪ + ⎜ ⎟ chx + i ⋅ shx ⎜⎜ ⎪ cos α0 cos ε m ⎠ n12 cos α0 cos αm ⎝ ⎝ ⎩

⎞ n 02 sin 2 α0 − n12 ⎟ shx ⎟ ⎠ , ⎞ n 02 sin 2 α0 − n12 ⎟ shx ⎟ ⎠ ⎞ + ⎟ n 02 sin 2 α0 − n12 ⎟⎠ . 2 ⎞ n1 − ⎟ n 02 sin 2 α0 − n12 ⎟⎠ n12

(2.4.3) Поскольку мы выбрали достаточно специфический случай, когда обрамляющие среды одинаковы, в нашем случае n 0 = n m , cos α 0 = cos α m , поэтому этот элемент, содержащий chx в числителе выпадает из рассмотрения, и в числителе остаётся только член, содержащий shx и тогда мы с вами получим:

⎧ i ( n 02 − n12 ) shx , ⎪ rs = 2 2 2 12 2 2 2 2 2 ⎪⎪ 2n 0 ( n 0 sin α0 − n1 ) cos α0chx + i ( n 0 cos α0 − n 0 sin α0 + n1 shx ) ⎨ −i ⎡⎣ n 02 ( n 02 sin 2 α0 − n12 ) + n14 cos2 α0 ⎤⎦ shx ⎪ . ⎪ rp = 2 2 2 2 12 2 2 2 2 4 2 ⎡ ⎤ 2n n n sin n cos chx i n n sin n n cos shx α − α + α − − α ⎪⎩ 0 1 ( 0 0 1) 0 0 1) 1 0⎦ ⎣ 0( 0 (2.4.4) Величины rs, rp отличны от нуля, поэтому никаких особенностей нет. При рассмотрении амплитудного коэффициента отражения видно, что при x пропорциональном d1 стремящемся к нулю, коэффициент отражения стремится к нулю, кроме того, при n 0 = n1 r=0. При увеличении толщины слоя эта функция возрастает, и коэффициент отражения в пределе стремится к единице. Нас интересует не амплитудный, а энергетический коэффициент отражения, который равен: 2

R p,s = rp,s .

2 ⎧ n 02 − n12 ) sh 2 x ( ⎪ Rs = , 2 ⎪ 4n 02 ( n 02 sin 2 α0 − n12 ) cos2 α0ch 2 x + ( n 02 cos2 α0 − n 02 sin 2 α0 + n12 ) shx ⎪ ⎨ 2 ⎡ n 02 ( n 02 sin 2 α0 − n12 ) + n14 cos2 α0 ⎤ sh 2 x ⎪ ⎣ ⎦ , ⎪R p = 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 ⎡ ⎤ 2n 0 n1 ( n 0 sin α0 − n1 ) cos α0ch x + ⎣ n 0 ( n 0 sin α0 − n1 ) − n1 cos α0 ⎦ sh x ⎪⎩ 2πd1 2 2 где : x = n 0 sin α0 − n12 . λ (2.4.5) Давайте проанализируем функцию, которую мы с вами получили. Мы получили, что в зависимости от толщины слоя энергетический коэффициент отражения R, как функция толщины слоя ведёт себя следующим образом: когда толщина равная нулю коэффициент отражения равен нулю, т.к. ⎛ 2πd1 2 2 ⎞ sh 2 ⎜ n 0 sin α 0 − n12 ⎟ = 0 при d1 =0. Это объясняется тем, какие условия ⎝ λ ⎠ мы выбрали: мы расположили слой внутри стекла. По мере увеличения толщины мы можем это выражение представить в следующем виде, вспоминая определение гиперболических функций и раскладывая их в ряд по малому параметру, получим:

⎧ ⎪Rs ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪R p ⎩⎪

2

2

⎛ n 02 − n12 ⎞ ⎛ 2 πd1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎝ 2n 0 cos α0 ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎡ n 02 ( n 02 sin 2 α0 − n12 ) + n14 cos2 α0 ⎤ ⎛ 2πd ⎞2 1 ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ . 2 2n n cos α λ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ 0 1 0 2

(2.4.5a)

При больших значениях переменной в пределе коэффициент отражения монотонно приближается к единице. Это зависимость от толщины слоя. Далее посмотрим, что же у нас будет, если нас интересует зависимость энергетического коэффициента отражения от длины волны при постоянном значении толщины слоя. Предсказать поведение коэффициента отражения как функцию длины волны не очень сложно. Давайте посмотрим, что у нас 2πd1 2 2 n 0 sin α 0 − n12 . Что будет происходить? Нас интересует параметр ϕ% 1 = λ будет происходить при увеличении длины волны, т.е. при длине волны, стремящейся к бесконечности? Фазовая толщина стремится к нулю. Коль фазовая толщина стремится к нулю, то коэффициент отражения здесь, на бесконечности должен стремится к нулю. Это мы можем сразу сказать. При длине волны, стремящейся к бесконечности, коэффициент отражения стремится к нулю. Что будет при малых значениях длины волны? Фазовая толщина будет иметь большие значения, т.е. коэффициент отражения стремится к единице. Мы имеем зависимость вида (рис.2.14).

При длине волны, стремящейся к бесконечности, отражения стремится к нулю.

коэффициент

Энергетическое пропускание - это дополнительная функция к энергетическому коэффициенту отражения. Если нас интересует пропускание такой системы, как функция длины волны, то она будет иметь обратную по отношению к коэффициенту отражения зависимость. Положение границы, где пропускание или отражение меняются достаточно быстро, будет определяться толщиной слоя.

Такого сорта слои получили название фильтров нижних частот. Этот эффект был обнаружен совсем недавно, хотя ясно, что такой эффект должен был существовать, так же как и в радиофизике. Исследовалось прохождение электромагнитного излучения разных длин волн через подобную систему. Радиофизика от оптики отличается диапазоном длин волн электромагнитного излучения. Если в радиофизике используемый диапазон длин волн лежит в интервале от долей миллиметров до километров, то в оптике, диапазон изучаемых длин волн лежит в интервале от сотен ангстрем (это дальняя УФобласть) до сотен микрометров (это дальняя ИК-область спектра). В дальней ИК- области перекрываются диапазоны оптики и радиофизики. В оптике этот эффект был обнаружен значительно позже, потому что здесь необходимо чтобы граница раздела, которую мы с вами изобразили на рис.2.13, была бы достаточно гладкой и идеально плоской. Когда научились делать плоские границы раздела с достаточной степенью точности: λ/100, λ/10, тогда этот эффект и был обнаружен, хотя предсказать появление его было достаточно просто. Этот эффект получил название эффекта нарушенного полного внутреннего отражения. Когда вторая граница раздела приближается к первой, то наблюдается зависимость коэффициента отражения от толщины слоя и от длины волны, как это изображено на рис.2.14. Нетрудно сообразить, что если толщина этого слоя много меньше длины волны, то никаких изменений в прохождении излучения быть не может. 2.5. Оптические характеристики поглощающего слоя

Определим оптические характеристики света, отражённого и прошедшего через покрытие, частично поглощающее свет (рис.2.15). Пусть у нас, по-прежнему, плоская волна падает на такую систему по нормали, все ограничения остаются: слой бесконечно протяжённый, волновой фронт тоже бесконечно протяжённый, слой однородный, изотропный, по толщине показатель преломления и поглощения не посмотрим, что меняются. Давайте происходит в этой ситуации. Когда излучение попадает на первую границу раздела, здесь оно частично отражается (амплитудный коэффициент отражения r1), частично проходит, но поскольку в слое есть поглощение, то амплитуда излучения ослабляется при прохождении слоя. На второй границе раздела (амплитудный коэффициент отражения r2), часть излучения отражается, снова проходит этот слой, снова ослабляется,

получаются всё время ослабляющиеся пучки. В этом случае, амплитудный коэффициент отражения света слоем будет записан в виде:

r1 + r2 exp ( −2iϕ1 ) ; 1 + r1r2 exp ( −2iϕ1 ) где: r1, r2 – френелевские коэффициенты отражения на первой и на второй границах раздела, равные: n − ( n1 − ik1 ) n 0 − n1 + ik1 r1 = 0 = , n 0 + ( n1 − ik1 ) n 0 + n1 − ik1 r=

n1 − ik1 − n m n1 − n m − ik1 = . n1 − ik1 + n m n1 + n m − ik1 Нетрудно заметить, что мы имеем дело с комплексными величинами. Далее необходимо помнить, что r1 = r1 exp ( iρ1 ) и r2 = r2 exp ( iρ2 ) . Величины ρ1 и ρ2 будут аргументами функций r1 и r2. 2n k ρ1 = ar ctg 2 02 1 2 , n1 − n 0 + k1 r2 =

ρ2 = ar ctg

2n m k1 , n − n12 + k12 2 m

( n 0 − n1 ) + k12 = , 2 2 ( n 0 + n1 ) + k1 2

r1

2

( n1 − n m ) + k12 = . 2 2 ( n1 + n m ) + k1 2

r2

2

В итоге для амплитудного коэффициента отражения слоя получим:

⎛ ⎛ 2πn1d1 ⎞⎞ ⎛ 4πk1d1 ⎞ r1 eiρ1 + r2 exp ⎜ −2i ⎜ + ρ2 ⎟ ⎟ exp ⎜ − ⎟ λ ⎠ ⎝ λ ⎠⎠ ⎝ ⎝ r= . ⎛ ⎛ 2πn1d1 ⎞⎞ ⎛ 4πk1d1 ⎞ 1 + r1 r2 exp ⎜ −2i ⎜ + ρ2 + ρ1 ⎟ ⎟ exp ⎜ − ⎟ λ ⎠ ⎝ λ ⎠⎠ ⎝ ⎝

(2.5.1)

Это выражение (2.5.1) показывает, что в отличие от не поглощающей системы перед фазовым множителем присутствует ещё один множитель, который определяет ослабление амплитуды излучения, проходящего через слой. Учитывая 2.5.1, мы можем легко написать выражения, определяющие энергетический коэффициент отражения для поглощающего слоя: 2 R= r = 2 ⎛ 4 πk1d1 ⎞ ⎛ 4πn1d1 ⎞ ⎛ 8πk1d1 ⎞ r1 − 2 r1 r2 exp ⎜ − + ρ2 + ρ1 ⎟ + r2 exp ⎜ − ⎟ × cos ⎜ ⎟ λ ⎠ λ ⎠ ⎝ ⎝ λ ⎠ ⎝ = ⎛ 8πk1d1 ⎞ ⎛ 4 πk1d1 ⎞ ⎛ 4 πn1d1 ⎞ + ρ2 + ρ1 ⎟ 1 + r1 r2 exp ⎜ − ⎟ − 2 r1 r2 exp ⎜ − ⎟ × cos ⎜ λ ⎠ λ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ λ ⎠

(2.5.2)

и энергетический коэффициент пропускания T =

T= 1 + r1

2

nm 2 t : n0

⎛ 2 πk1d1 ⎞ A exp ⎜ − ⎟ λ ⎠ ⎝ , 2 ⎛ 8πk1d1 ⎞ ⎛ 4πk1d1 ⎞ ⎛ 4 πn1d1 ⎞ r2 exp ⎜ − + ρ1 + ρ2 ⎟ ⎟ − 2 r1 r2 exp ⎜ − ⎟ cos ⎜ λ ⎠ λ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ λ ⎠ (2.5.3)

где :

A = 16n 0 n m

1

( n 0 + n1 ) + k12 2

⋅

(n

2 1

+ k12 )

( n1 + n m ) + k12 2

.

Следует отметить, что эти величины зависят от длины волны и от оптических постоянных слоя. Если проанализировать выражения для коэффициентов отражения и пропускания, то видно, что экстремумы коэффициента отражения и экстремумы коэффициента пропускания не совпадают в шкале длин волн или в шкале частот. Для определения положения экстремумов в шкале длин волн надо написать производные энергетических коэффициентов отражения и dT dR и или пропускания по длине волны или по фазовой толщине слоя: dλ dλ dT dR и , и приравнять их нулю. Если вы проанализируете эти выражения, а dϕ dϕ пишутся они достаточно просто, хотя это очень громоздкие выражения, то можно увидеть, что положения длин волн, соответствующие экстремумам пропускания и отражения различаются. Для прозрачного слоя ситуация значительно проще. Действительно, закон сохранения энергии можно записать в следующем виде: T + R =1 Для экстремумов отражения и пропускания получим после дифференцирования: dR dT =− , dλ dλ приравнивая нулю производные, видим, что экстремумы в шкале длин волн совпадают. В случае поглощающего слоя происходит смещение минимумов отражения относительно максимумов пропускания. В этом легко убедится, рассмотрев закон сохранения энергии для такой системы: R + T + A = 1 , где A - энергетический коэффициент поглощения. Продифференцируем это выражение по длине волны. dT dR dA + + = 0, dλ dλ dλ

dR dT dA = 0 , то =− , следовательно, и положения экстремумов dλ dλ dλ отражения, пропускания и поглощения в шкале длин волн не совпадают. Аналогичный результат легко может быть получен с использованием матричного представления. Фазовая толщина слоя при наличии поглощения: 2π ( n1 − k1 ) d1 2πn1d1 ⎛ k1 ⎞ ϕ= = ⎜1 − i ⎟ . n1 ⎠ λ λ ⎝ Отсюда сразу же становится ясно, что все элементы матрицы интерференции становятся комплексными величинами. Действительно: ⎛ 2 π(n1 − ik1 )d1 ⎞ ⎛ 2 πn1d1 2iπd1k1 ⎞ m11 = m 22 = cos ϕ1 = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ ⎟, λ λ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ λ 1 1 ⎛ 2πn1d1 2iπd1k1 ⎞ (2.5.4) m12 = sin ϕ1 = sin ⎜ − ⎟, n% 1 λ ⎠ ( n1 − ik1 ) ⎝ λ если

2 πn1d1 2iπd1k1 ). − λ λ Если раскрыть значения круговых функций по правилам разложения их по разности двух углов и перейти к гиперболическим функциям, то получим: 2πn1d1 2 πn1d1 k1 2 πn1d1 2πn1d1 k1 m11 = m 22 = cos ch ⋅ + i sin sh ⋅ , λ λ n1 λ λ n1 m 21 = n% 1 sin ϕ1 = ( n1 − ik1 ) sin(

m12 = ⎡⎛ 2 πn1d1 2 πn1d1 k1 2 πn1d1 2πn1d1 k1 ⎞ ⎤ n sin ch k cos sh ⋅ + ⋅ ⎟− ⎥ ⎢⎜ 1 1 n1 n1 ⎠ ⎥ λ λ λ λ 1 ⎢⎝ = 2 , ⎥ n1 + k12 ⎢ ⎛ 2πn1d1 2πn1d1 k1 2πn1d1 2πn1d1 k1 ⎞ ⎢ −i ⎜ n1 cos sh ch ⋅ − k1 sin ⋅ ⎟⎥ n1 n1 ⎠ ⎥⎦ λ λ λ λ ⎢⎣ ⎝ m 21 = n1 sin

2πn1d1 2 πn1d1 k1 2πn1d1 2 πn1d1 k1 ch ⋅ − k1 cos sh ⋅ − λ λ n1 λ λ n1

(2.5.5) ⎛ 2πn1d1 2 πn1d1 k1 2 πn1d1 2πn1d1 k1 ⎞ −i ⎜ n1 cos sh ⋅ + k1 sin ch ⋅ ⎟. n n1 ⎠ λ λ λ λ 1 ⎝ Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания слоя при наличии поглощения имеют вид: ⎧ ( n 0 − n m ) m11 + i ( n 0 n m m12 − m 21 ) ⎪r = n + n m + i n n m + m , ( 0 m 12 21 ) ⎪ ( 0 m) 11 ⎨ 2n 0 ⎪t = . ⎪⎩ ( n 0 + n m ) m11 + i ( n 0 n m m12 + m 21 )

(2.5.6)

Энергетические коэффициенты отражения, пропускания и поглощения: ⎧R = r 2 , ⎪ nm 2 ⎪ t , (2.5.7) ⎨T = n 0 ⎪ ⎪ A = 1 − R − T. ⎩ Анализ выражений для энергетических коэффициентов отражения, пропускания и поглощения слоя при наличии в нём поглощения в общем виде, в виду громоздкости выражений (2.5.3), (2.5.4) и (2.5.5), представляет значительные сложности. Поэтому вначале рассмотрим два предельных случая, которые легко могут быть проанализированы. Вначале рассмотрим случай, когда коэффициент поглощения слоя большой, т.е. когда величина k1>>1. Чему будет равен коэффициент отражения такой плёночной системы? Нетрудно заметить, что в этом случае коэффициент отражения равен коэффициенту отражения передней границы раздела (2.5.2). Энергетический коэффициент отражения равен r12 , вторая граница практически не работает, свет полностью поглощается в слое. Всё определяется только оптическими постоянными этого слоя, именно так работают металлические зеркала. Работает только первая граница раздела, никаких интерференционных эффектов в этой плёнке тоже не наблюдается, поскольку всё определяется экспоненциальным множителем в (2.5.2). Для того, что бы слой работал, как зеркальное покрытие толщина плёнки должна ⎛ 2πk1d1 ⎞ -2 быть такой, чтобы множитель exp ⎜ − ⎟ был бы порядка 10 . λ ⎠ ⎝ Энергетический коэффициент отражения и поглощения тонкой плёнки при падении со стороны среды с показателем преломления n0 равен: 2 ⎧ ( n 0 − n1 ) + k12 , ⎪R = 2 ( n 0 + n1 ) + k12 ⎪ ⎨ 4n 0 n1 ⎪A = . 2 2 ⎪ n n k + + ( ) 0 1 1 ⎩

(2.5.8)

Очевидно, что если свет падает со стороны подложки, то 2 ⎧ n m − n1 ) + k12 ( , ⎪R′ = 2 2 n + n + k ( m 1) 1 ⎪ ⎨ 4n 0 n1 ⎪ A′ = . 2 2 ⎪ n + n + k ( m 1) 1 ⎩

(2.5.9)

Сравнивая энергетические коэффициенты отражения при падении излучения с разных сторон слоя (при n0 R ′ , а A < A′ .

Для случая очень тонких слоёв, ϕ1 = интерференции имеют вид: ⎧ ⎪ m11 = m 22 1, ⎪ ⎨ m12 = ϕ1 / n1 , ⎪ 2 ⎪⎩ m 21 = n1ϕ1 ⎡⎣1 − ( k1 / n1 ) + 2i ( k1 / n1 )⎤⎦ .

2πd1n1 λ

1 , элементы матрицы

(2.5.10)

Здесь, при написании, мы пренебрегаем членами второго порядка малости по величине ϕ1 . Амплитудные коэффициенты отражения при падении излучения из сред с показателями преломления n 0 , n m , которые мы обозначим как r и r ′ , соответственно, равны: ⎧ n1 ( n 0 − n m − 2k1ϕ1 ) + ( n 0 n m − n12 + k12 ) ϕ1 , ⎪r = n1 ( n 0 + n m + 2k1ϕ1 ) + ( n 0 n m + n12 − k12 ) ϕ1 ⎪ (2.5.11) ⎨ 2 2 n n n 2k n n n k − − ϕ + − + ϕ ( 0 m 1 1) 1. ⎪ 1( m 0 1 1) ′ r = ⎪ n1 ( n m + n 0 + 2k1ϕ1 ) + ( n 0 n m + n12 − k12 ) ϕ1 ⎩ При n0
(2.5.11а)

Для металлов с большим коэффициентом отражения (серебро, алюминий, золото, медь) второе условие никогда не выполняется. Однако, для умеренно отражающих металлов (хром, титан) это условие может быть выполнено. Тогда при толщине плёнки d1 = λ ( n m − n 0 ) 2πn1 коэффициент отражения при падении света со стороны подложки обращается в нуль (рис. 2.16).

Энергетические коэффициенты отражения, пропускания и поглощения тонкой поглощающей плёнки при падении света со стороны среды с показателем преломления n0 и со стороны подложки nm равны: 2 ⎧ ( n 0 − n m − 2k1ϕ1 ) n12 + ( n 0 n m − n12 + k12 ) ϕ12 ⎪R = , ( n 0 + n m + 2k1ϕ1 ) n12 + ( n 0 n m + n12 − k12 ) ϕ1 ⎪ ⎪ 2 ( n m − n 0 − 2k1ϕ1 ) n12 + ( n 0 n m − n12 + k12 ) ϕ12 ⎪ , ⎪ R′ = 2 2 2 n n 2k n n n n k + + ϕ + + − ϕ ( ) ( ) 0 m 1 1 1 0 m 1 1 1 ⎪ ⎪⎪ 4n 0 n m n12 (2.5.12) ′ T T , = = ⎨ 2 2 2 n n 2k n n n n k + + ϕ + + − ϕ ( 0 m ( 0 m 1 1) 1 ⎪ 1 1) 1 ⎪ 4k12 ( 2n 0 + k1ϕ1 ) n12 ϕ1 ⎪ A= , ⎪ n 0 + n m + 2k1ϕ1 ) n12 + ( n 0 n m + n12 − k12 ) ϕ1 ( ⎪ ⎪ 4k12 ( 2n m + k1ϕ1 ) n12 ϕ1 ; ⎪ A′ = 2 2 2 n n 2k n n n n k + + ϕ + + − ϕ ( ) ( 0 m 1 1) 1 ⎪⎩ 0 m 1 1 1 где: R, T, A – коэффициенты отражения, пропускания и поглощения при падении света со стороны среды с показателем преломления n0, R ′, T′, A′ - коэффициенты отражения, пропускания и поглощения при падении света со стороны среды с показателем преломления nm. Разность энергетических коэффициентов отражения R − R ′ равна: 4k1ϕ1 ( n m − n 0 ) n12 ′ R−R = > 0, ( n 0 + n m + 2k1ϕ1 ) n12 + ( n 0 n m + n12 − k12 ) ϕ1

т.е. R > R ′ , а отношение A A′ есть: A n m + 0,5k1ϕ1 n m = ≈ . A′ n 0 − 0,5k1ϕ1 n 0

Энергетические коэффициенты поглощения при падении из сред с показателем преломления nm и n0, относятся как n m n 0 . На рис. 2.17 а и б изображены зависимости энергетических коэффициентов отражения, пропускания и поглощения при различных значениях n1 и k1 в зависимости от толщины слоя.

Как видно из этих рисунков, энергетический коэффициент пропускания меняется по экспоненциальной зависимости и с ростом толщины слоя монотонно убывает. Энергетический коэффициент отражения при падении света со стороны среды с меньшим показателем преломления монотонно возрастает до значения коэффициента отражения массивного материала. При падении со стороны среды с показателем преломления nm (подложки), т.е. среды с большим показателем преломления коэффициент отражения R ′ вначале монотонно падает до нулевого или минимального отражения, а затем монотонно возрастает, причём R < R ′ . Энергетический коэффициент поглощения для сильно отражающих металлов в области малых толщин достигает максимального значения, а затем падает до коэффициента поглощения массивного материала. Толщина слоя, при котором А, А' имеют максимальное значение, может быть найдена ∂A ∂A′ = 0; = 0 . При этом естественно, A′ > A . из условия ∂ϕ1 ∂ϕ1

Поведение энергетических коэффициентов отражения, поглощения и пропускания металлических плёнок в зависимости от толщины при наклонном падании света может быть описано формулами (2.5.5) – (2.5.7), если в них заменить показатель преломления и фазовую толщину слоёв на эффективные показатели преломления и эффективную фазовую толщину: ⎧ n% 1 cos α% 1 2 πn% 1d1 cos α% 1 ⎪ , n% 1эфф = ⎨ cos α% 1 , ϕ% 1эфф = λ ⎪ n% ⎩ 1 где α% 1 , так же как и раньше определяется из закона Снеллиуса. Получаемые при этом выражения для анализа не очень удобны. Поэтому на рисунках 2.18, 2.19 представлены графические зависимости энергетических коэффициентов отражения, пропускания и поглощения, как функции угла падения и толщины плёнки для света с различными состояниями поляризации для двух металлов (алюминия и хрома). На рис. 2.18 изображены зависимости энергетических коэффициентов отражения и поглощения для s- и p-компонент поляризованного излучения при падении света со стороны воздуха (для алюминия). Из этих рисунков видно, что энергетический коэффициент отражения для s-компоненты монотонно возрастает в зависимости от толщины слоя и угла падения. Для pкомпоненты при всех толщинах слоя энергетический коэффициент отражения вначале монотонно падает, имеет минимальное значение при псевдо Брюстеровском угле, зависящем от толщины слоя, а затем возрастает до значения равного единице. Начальное значение энергетического коэффициента отражения при d1 = 0 равно коэффициенту отражения подложки при соответствующем угле падания.

Энергетический коэффициент поглощения в рассмотренном интервале толщин имеет максимум в зависимости от толщины и монотонно уменьшается с увеличением угла падения для s-компоненты, а для света,

поляризованного в плоскости падения, возрастает с углом падения, и достигает максимума при псевдо Брюстеровском угле, в зависимости от толщины также имеет максимум (Ap
На рисунках 2.20 и 2.22 изображены энергетические коэффициенты отражения и поглощения плёнки, изготовленной из алюминия, в зависимости

от угла падения и толщины слоя при падении света со стороны подложки для света с разными состояниями поляризации. В отличие от внешнего падания света на плёнку металла, при внутреннем падении излучения при углах падения больших критического для света, поляризованного в плоскости падения, коэффициент отражения уменьшается (энергетический коэффициент поглощения возрастает), достигает минимума, а затем возрастает до единицы при скользящем падении света. При малых толщинах слоя в соответствии с (2.5.11а) коэффициент отражения уменьшается от значения равного коэффициенту отражения границы раздела до минимального значения, а затем возрастает.

На рис. 2.21 представлены значения энергетических коэффициентов отражения для плёнки, изготовленной из хрома в зависимости от её толщины и угла падения излучения на покрытие для света, поляризованного в

плоскости и перпендикулярно плоскости падения. В отличие от алюминия, для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения, величина минимума коэффициента отражения при внутреннем падении света достигает нулевого значения, а величина коэффициента поглощения при углах падения больших критического достигает значения, равного единице.

Энергетический коэффициент пропускания в зависимости от толщины плёнки и угла падения излучения при внутреннем падении света

ведёт себя предсказуемым образом. При этом коэффициент пропускания меняется от максимального значения до нуля при увеличении толщины слоя. Такие изменения происходят до углов падения меньших критического угла. При углах падения излучения больших критического коэффициент пропускания слоя равен нулю. Реальный диэлектрический слой обладает слабым поглощением в рабочей области спектра, и его оптические свойства существенно изменяются по сравнению с не поглощающим слоём. Появление энергетических потерь внутри слоя, зависящих от его толщины, приводят к изменению, как амплитуд, так и соотношения амплитуд стоячей и бегущей волн, а также к изменению условий отражения на границах слоя. Энергетические коэффициенты отражения R и пропускания T остаются осциллирующими функциями толщины слоя и длины волны излучения, но имеют убывающую амплитуду колебаний (2.5.7). При этом, наряду со сглаживанием экстремумов происходит их смещение в шкале длин волн на некоторые величины ∆λR и ∆λT относительно длины волны, которой они соответствовали в случае не поглощающей системы (рис.2.23). Абсолютные положения экстремумов определяются толщиной, оптическими постоянными слоя и показателями преломления обрамляющих сред. Смещение экстремумов R относительно экстремумов T зависит только от поглощающей способности слоя. Оценку численного значения относительного сдвига экстремумов можно получить, воспользовавшись матричным аппаратом описания процессов в слоистых средах. Для плёнки с показателем преломления n% 1 = n1 − ik1 и толщиной d1, обрамлённой полубесконечными средами с показателем преломления n0 и nm, если свет падает со среды с показателем преломления n0 по нормали энергетические коэффициенты отражения и пропускания, при k1<<1 будут равны: a + b cos 2ϕ1 + c1 sin 2ϕ1 + d1ϕ1 R= 1 1 , a 2 + b2 cos 2ϕ1 + c 2 sin 2ϕ1 + d 2 ϕ1 (2.5.13) 8n 0 n m T= , a 2 + b2 cos 2ϕ1 + c 2 sin 2ϕ1 + d 2 ϕ1 где: ϕ1 = 2 πn1d1λ −1 , 2

a1 = ⎫ ⎛ n0nm ⎞ 2 m n1 ⎟ , ⎬ ( n0 m n m ) + ⎜ a2 =⎭ ⎝ n1 ⎠ 2

b1 = ⎫ ⎛ n0nm ⎞ 2 m n1 ⎟ , ⎬ ( n0 m nm ) − ⎜ b2 = ⎭ ⎝ n1 ⎠

c1 = ⎫ ⎛ n0n m ⎞ k1 ± n1 ⎟ , ⎬ − 2 ( n0 m nm ) ⎜ c2 = ⎭ n1 ⎝ n1 ⎠ d1 = ⎫ k1 ⎛ n0nm ⎞ m n1 ⎟ . ⎬ 4 ( n0 m nm ) ⎜ d 2 = ⎭ n1 ⎝ n1 ⎠

Положение экстремумов отражения и пропускания в шкале длин волн определяется из условия: ∂R ∂λ = 0 и ∂T ∂λ = 0 . Для пропускания положение экстремумов может быть определено из следующих зависимостей:

tgϕ11( экстр) = 2

( n 0 + n m ) n1 k1 , n1 ( n + n )2 − ( n n n −1 + n )2 0 m 0 m 1 1

(2.5.14) ⎡( n + n )2 − ( n n n −1 + n )2 ⎤ n 0 m 0 m 1 1 1 ⎢ ⎦⎥ . tgϕ1(2 экстр) = ⎣ k 2 1 ( n0 + nm ) n0nm n1 Как видно из формулы 2.5.14 смещение экстремумов определяется величиной k1 n1 и чем меньше эта величина, тем ближе положение экстремума к фазовой толщине 0,5π, или π, или к длине волны λ0 или 0,5λ0. Аналогичное выражение, только значительно более сложного вида может быть получено и для экстремумов отражения. На рис. 2.24 представлены контурные карты уровней постоянного отражения и пропускания для плёнок с большим (рис.2.24 а) и малым (рис. 2.24 б) показателями преломления. Как видно из этих рисунков смещение максимумов и минимумов отражения и пропускания происходит в зависимости от величины показателя преломления и коэффициента поглощения плёнки. Наиболее сильные смещения происходят для просветляющих плёнок. Кроме того, смещение экстремумов отражения для просветляющих и отражающих плёнок имеет разный знак. Указанные закономерности могут оказаться полезными при вычислении оптических постоянных тонких плёнок по спектральным зависимостям энергетических коэффициентов отражения и пропускания.

Глава 3. ДВУХСЛОЙНЫЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Перейдём к рассмотрению двухслойных диэлектрических систем. Это достаточно широкий класс покрытий, тем более, что существует теорема, которая показывает, что любая многослойная система может быть сведена к двухслойной системе, характеризуемой эффективными показателями преломления и эффективными толщинами. Рассмотрим двухслойную систему, изображённую на рис.3.1. Полубесконечная среда, из которой по нормали падает излучение, характеризуется показателем преломления n0. Рис. 3.1 Структурная схема Первый слой, в котором двухслойной диэлектрической распространяется излучение, системы. имеет показатель преломления n1 и геометрическую толщину d1. Второй слой соответственно n2 и d2, среда, в которую попадает излучение, имеет показатель преломления nm. Фазовые толщины слоёв определяются, так же как и раньше: 2πn1d1 2 πn 2 d 2 и ϕ2 = . (3.1) λ λ Волновой фронт падающего излучения плоский. Показатели преломления от толщины не зависят и толщины слоёв постоянны вдоль всей границы раздела. Прежде чем переходить к дальнейшему рассмотрению я хочу обратить ваше внимание на следующее обстоятельство. Во времена СССР у нас существовали ГОСТы на оптические покрытия, отраслевые стандарты. В этих стандартах порядок чередования слоёв обратный. Это объясняется технологией формирования слоёв. Первый осаждаемый слой, формируется на поверхности подложки и носит первый номер. Если это многослойная система, то отсчёт всегда идёт от подложки. Используя матричное описание, мы пользуемся обратным отсчётом. Почему это важно? Как вы помните, многослойная система описывается с помощью матрицы интерференции. Матрица интерференции системы слоёв есть матрица произведения матриц интерференции отдельных слоёв. ϕ1 =

j

M = ∏ Mi. i =1

(3.2)

Если мы переставим порядок слоёв или матриц, а поскольку матрицы не коммутативны, то мы получим другой результат. Это часто приводит к путанице. Когда выбирается покрытие из стандарта и рассчитывается по данной методике, то, при не соблюдении указанного выше порядка чередования слоёв, получаются совершенно другие результаты. В нашем теперешнем случае матрица интерференции двухслойной системы описывается как произведение матриц двух слоёв: 1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ϕ ϕ ϕ cos i sin cos i sin ϕ2 ⎥ 1 1⎥ ⎢ 2 ⎢ n1 n2 (3.3) M= × . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ cos ϕ1 ⎥⎦ ⎢⎣in 2 sin ϕ2 cos ϕ2 ⎥⎦ ⎢⎣in1 sin ϕ1 В общем случае толщины слоёв не совпадают и показатели преломления их также различаются. Напишем элементы результирующей матрицы интерференции: n2 ⎧ m = cos ϕ cos ϕ − sin ϕ1 sin ϕ2 , 11 1 2 ⎪ n1 ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ m12 = sinϕ1 cos ϕ2 + sinϕ2 cosϕ1 , n1 n2 (3.4) ⎨ ⎪ m = n sinϕ cosϕ + n sinϕ cosϕ , 1 1 2 2 2 1 ⎪ 21 n1 ⎪ ⎪ m 22 = cosϕ1cosϕ2 − n sinϕ1sinϕ2 . ⎩ 2 Теперь давайте посмотрим на эти элементы. Диагональные матричные элементы, как и элементы первой матрицы – это безразмерные элементы относительно показателя преломления, относительно фазовой толщины они все имеют размерность. Первый элемент второго столбца имеет размерность обратную показателю преломления, второй элемент первого столбца имеет размерность пропорциональную показателю преломления. Посмотрим, что у нас получилось: у m12 члены обратно пропорциональные показателю преломления, m21 – пропорциональные показателю преломления. Диагональные элементы безразмерны относительно показателя преломления. Кроме того, следует обратить внимание, на элементы m11, m22 если в случае одного слоя они были одинаковы, то здесь они различаются. Детерминант матрицы равен единице. Определим величину амплитудного коэффициента отражения такой плёночной системы, а дальше будем исследовать его свойства и оценим возможности его изменений. Амплитудный коэффициент отражения такой системы: (n 0 m11 − n m m 22 ) − i ( n 0 n m m12 − m 21 ) r = . (3.5) ( n0 m11 + n m m22 ) + i ( n 0n m m12 + n 1m21 ) С учётом ранее полученных значений элементов матрицы можно записать выражения для коэффициента отражения в следующем виде:

r=

a1 + ib1 , a 2 + ib2

где :

a1 ⎫ ⎛ n 0 n 2 n m n1 ⎞ m (3.6) ⎬ = ( n 0 m n m ) cos ϕ1 cos ϕ2 + ⎜ ⎟ sin ϕ1 sin ϕ2 , a2 ⎭ n n ⎝ 1 2 ⎠ b1 ⎫ ⎛ n 0 n m ⎞ ⎛n n ⎞ m n1 ⎟ sin ϕ1 cos ϕ2 + ⎜ 0 m m n 2 ⎟ sin ϕ2 cos ϕ1. ⎬=⎜ b2 ⎭ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n2 ⎠ Таким образом, мы получили выражение для амплитудного коэффициента отражения, формула для анализа не очень удобная. Поэтому следует рассмотреть частные случаи. Энергетический коэффициент отражения тоже легко записывается. Энергетический коэффициент отражения, который нас всегда интересует, есть квадрат модуля амплитудного коэффициента отражения. Нетрудно сообразить, что это есть сумма квадратов действительно и мнимой части числителя и знаменателя. a12 + b12 R= 2 . (3.7) a 2 + b22 Если посмотреть на зависимость для коэффициента отражения от фазовой толщины слоёв, то здесь без особых размышлений сразу видно, что если фазовые толщины не кратны друг другу, φ1 не кратно φ2 то это не периодическая функция. Коэффициент отражения будет периодической функцией, если φ1 и φ2 будут кратны друг другу, тогда легко определяется период этой функции. Здесь можно сказать, что период этой функции не всегда будет равен π, как это было в случае одного слоя. Это зависит от того, как соотносятся оптические толщины φ1 и φ2. При рассмотрении этой функции видно, что она, как и в случае одного слоя, может иметь и максимальное значение коэффициента отражения и минимальное. Эта система, так же, как и однослойная может быть либо просветляющей, либо зеркальной. Можно также легко написать выражение для пропускания, используя матричные элементы. Но поскольку мы рассматриваем не поглощающие системы, то экстремумы коэффициентов отражения и пропускания совпадают. Из этой формы записи трудно выявить особенности спектральных характеристик зависимости коэффициента отражения от толщины и показателей преломления слоёв.

3.1. Просветляющие покрытия с не кратными толщинами слоёв

Сейчас мы рассмотрим несколько частных случаев, когда коэффициент отражения будет обращаться в ноль, т.е. рассмотрим просветляющие системы. Потребуем, чтобы коэффициент отражения обращался в нуль, и посмотрим при каких толщинах, в каких длинах волн возможно обращение

коэффициента отражения в нуль. При R=0 (3.7) знаменатель не должен обращается в нуль, это существенно положительная величина, поскольку она есть результат сложения положительных величин. В нуль может обращаться только числитель. В такой ситуации как это у нас записано, числитель может обращаться в нуль, когда одновременно в нуль обращается а1 и b1 (3.6). При этом также выполняется условие просветления, которое мы с вами писали ранее для матричных элементов однослойной системы (2.2.1), т.е. необходимо, чтобы: ⎧⎪(n 0 m11 − n m m 22 ) = 0, (3.1.1) ⎨ n n m m 0. − = ( ) 0 m 12 21 ⎪⎩ Если мы рассмотрим такую систему уравнений, то мы должны найти с вами значения показателей преломления и фазовых толщин слоёв, при которых коэффициент отражения обращается в нуль. Первое уравнение - это действительная часть амплитудного коэффициента отражения и мы должны приравнять её к нулю. Второе уравнение- это мнимая часть амплитудного коэффициента отражения и мы тоже должны приравнять её нулю. Мы с вами получим систему уравнений, которая позволит определить условия, при которых коэффициент отражения равен нулю. Вот два уравнения, которые нас интересуют: ⎧ ⎛ n 0 n 2 n m n1 ⎞ − ⎪ ( n 0 − n m ) cos ϕ1 cos ϕ2 + ⎜ ⎟ sin ϕ1 sin ϕ2 = 0, n n ⎪ ⎝ 1 2 ⎠ (3.1.2) ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n n n n ⎪ 0 m − n sin ϕ cos ϕ + 0 m − n sin ϕ cos ϕ = 0. 1⎟ 1 2 2⎟ 2 1 ⎜ ⎪⎜ n ⎠ ⎝ n2 ⎠ ⎩⎝ 1 С чем мы с вами здесь имеем дело. У нас не определены показатели преломления и фазовые толщины слоёв. А имеем мы с вами всего два уравнения. Два уравнения для определения четырёх неизвестных. Совершенно очевидно, что такая система уравнений не решается и что надо делать какие-то дополнительные предположения с тем, чтобы эту систему можно было решить. Фиксируем показатели преломления слоёв n1 и n2 и определим фазовые толщины слоёв, которые при заданных значениях n1 и n2 позволяют нам получить коэффициент отражения равный нулю. Тем самым мы определим область допустимых значений показателей преломления, при которых эта система имеет решение. Здесь мы с вами имеем дело с тригонометрическими функциями, не очень удобными, поскольку в эту систему входят синусы и косинусы фазовых толщин. Поэтому давайте положим, что косинусы фазовых толщин не обращаются в нуль, т.е. cos ϕ1 ≠ 0 π π и cos ϕ2 ≠ 0 , это будет выполняться, если ϕ1 ≠ ( 2k + 1) и ϕ2 ≠ ( 2k + 1) , где 2 2 k= 0,1,2 ….и разделим оба этих уравнения на произведение cos ϕ1 cos ϕ2 . Тогда мы получили систему уравнений с двумя неизвестными относительно тангенсов фазовых толщин слоёв, полагая n1 и n2 фиксированными величинами.

⎧ ⎛ n 0 n 2 n m n1 ⎞ − ⎪ ( n0 − nm ) − ⎜ ⎟ tgϕ1tgϕ2 = 0, n n ⎪ ⎝ 1 2 ⎠ ⎨ ⎪⎛ n 0 n m − n ⎞ tgϕ + ⎛ n 0 n m − n ⎞ tgϕ = 0. 1⎟ 1 2⎟ 2 ⎜ ⎪⎜ n ⎠ ⎝ n2 ⎠ ⎩⎝ 1 Эта система, при указанных ограничениях решаемая и мы сейчас её с вами решим. Найдём отсюда tgϕ2 : tgϕ2

(n n =− (n n 0 0

− n12 ) n 2 ⋅ tgϕ1 , 2 n1 n − ) m 2 m

и подставим это в первое уравнение. После подстановки получим: ⎛ ( n 0 n m -n 22 ) ( n m − n 0 ) ⎞ tg ϕ1 = n ⎜ (3.1.3) ⎟. ⎜ ( n 0 n m -n12 ) ( n 0 n 22 − n12 n m ) ⎟ ⎝ ⎠ Естественно фазовая толщина второго слоя может быть выражена через фазовую толщину первого слоя. 2

2 1

⎛ ( n 0 n m -n12 ) ( n m − n 0 ) ⎞ tg ϕ2 = n ⎜ (3.1.4.) ⎟. ⎜ ( n 0 n m -n 22 ) ( n 0 n 22 − n12 n m ) ⎟ ⎝ ⎠ Мы получили выражение для квадратов тангенсов фазовых толщин слоёв, входящих в эту систему, выраженных через их показатели преломления слоёв. Квадраты тангенсов этих слоёв – это величины существенно положительные, т.е. tg 2ϕ1 > 0 и tg 2ϕ2 > 0 Отрицательных значений квадратов тангенсов фазовых толщин быть не может. Определим, когда эти дроби будут положительными? Произведение трёх сомножителей в них входящих должно быть положительным. Поскольку мы рассматриваем внешнее падение света, то всегда n m > n 0 , поэтому скобка, их содержащая, всегда больше нуля, у нас есть ещё три сомножителя и в зависимости от их знаков мы можем получить разные значения n1 и n2, удовлетворяющих условию: tg 2ϕ1 > 0 , tg 2ϕ2 > 0 . Обозначим сомножители через A,B,C, 2

2 2

где: A = n 0 n m − n 22 , B = n 0 n m − n12 , C = n 0 n 22 − n12 n m . Если A>0, числитель положителен, знаменатель тоже должен быть положителен, а это возможно, если что B>0 и C>0, либо B<0, C<0. Кроме того, если А<0, то возможно ещё два варианта: либо B>0, C<0, либо B<0, C>0. Представим полученные результаты в виде системы неравенств: ⎧ n 0 n m − n 22 > 0, ⎪ a) ⎨ n 0 n m − n12 > 0, ⎪ n n 2 − n 2 n > 0; 1 m ⎩ 0 2

⎧ n 0 n m − n12 < 0, ⎪ б) ⎨ n 22 − n 0 n m > 0, 2 ⎪ 2 ⎩ n 0 n 2 − n1 n m < 0;

⎧ n 0 n m − n12 > 0, ⎧ n 0 n m − n12 < 0, ⎪ ⎪ в) ⎨ n 0 n m − n 22 < 0, г) ⎨ n 0 n m − n 22 < 0, 2 ⎪ n n 2 − n 2 n < 0; ⎪ 2 1 m ⎩ n 0 n 2 − n1 n m > 0. ⎩ 0 2 Эти условия, которые мы с вами написали, определяют значения показателей преломления слоёв n1 и n2. Давайте посмотрим, что это за значения n1 и n2, которые позволяют нам получить положительные решения для квадратов тангенсов фазовых толщин и тем самым определить фазовые толщины слоёв. Давайте посмотрим, что такое A>0 на плоскости, содержащей показатели преломления n1 и n2. Давайте построим такую плоскость. Диаграмма, на этой

Рис.3.2. Диаграмма Шустера

плоскости, которую я сейчас построю, носит название – диаграммы Шустера. Что такое A>0, или n0nm – n22 > 0, на этой плоскости? Это неравенство будет определять полуплоскость, лежащую ниже прямой, n 2 = n 0 n m на плоскости n2, n1. На оси n2 отложим значение, при котором выполняется 1

рассматриваемое неравенство, т.е. величину ( n 0 n m ) 2 . Это неравенство определяет нижнюю полуплоскость. Но этого мало, необходимо, что бы выполнялись ещё два неравенства: B>0 и C>0, т.е., n0nm - n12 > 0 и n0n22 - n12n m > 0. Отсюда мы получим, что n1 > n 0 n m и n 2 > n1 n m n 0 . А что определяют эти неравенства? Они определяют часть полуплоскости, лежащую выше прямой n1 = n 0 n m и часть полуплоскости, лежащую выше прямой n 2 = n1 n m n 0 , проходящей через начало координат. Тангенс угла наклона

этой прямой есть n m n 0 . Будем рассматривать только первый квадрант, поскольку отрицательные значения показателей преломления не реализуются. Второе неравенство определяет часть полуплоскости, лежащей 1

слева от прямой n1 = ( n 0 n m ) 2 . Таким образом, решения, определяемые условием «а», лежат в области «а» на рис. 3.2. Теперь рассмотрим второе условие: А>0, а B<0 и С>0. 1

Условие B<0 означает, лежащую справа от прямой n1 = ( n 0 n m ) 2 , часть полуплоскости. Условие C<0, это часть полуплоскости, лежащая ниже 1

прямой n 2 = n1 ( n m n 0 ) 2 . Где же находится область решения? Это есть прямоугольник «б», (рис.3.2). Рассмотрим третье условие «в». Здесь также A<0, следовательно, n 0 n m < n 22 , это соответствует полуплоскости, лежащей выше прямой 1

n1 = ( n 0 n m ) 2 . Всё, что будет в верхней полуплоскости, будет решением в этом случае. Но должны выполняться ещё два условия: B>0 и C<0, что соответствует следующему соотношению между показателями преломления материалов, входящих в рассматриваемую систему: 2 2 2 n 0 n m < n1 , n 0 n 2 < n1 n m . Это есть область, ограниченная прямыми 1

1

n1 = ( n 0 n m ) 2 , n 2 = ( n 0 n m ) 2 и n 2 = n1 n m n 0 Решением третьего условия является треугольник «в» на плоскости n1 и n2, и, наконец, для четвёртого условия, когда A<0, а B<0 и C>0, это треугольник «г». В соответствии с тем, что мы с вами написали, мы получили четыре зоны допустимых значений показателей преломления. Если показатели преломления плёнкообразующих материалов лежат в этих зонах, то мы получаем положительное решение для квадратов тангенсов φ1 и φ2. Далее посмотрим, что за решения мы получили? Чему это соответствует. Чтобы не писать эти длинные выражения (3.1.3-3.1.4) напишем: tg 2ϕ1 = A 2 , tg 2ϕ2 = B2 , т.е. tgϕ1 = A , а tgϕ2 = B . Прежде чем разбираться дальше, давайте вспомним, что tgϕ1 = − tgϕ2 . Поэтому возможно два решения: tgϕ1 = A > 0, tgϕ2 = −B и tgϕ1 = − A < 0, tgϕ2 = B . (3.1.5) Чему это соответствует? Если тангенс ϕ1 положителен, а тангенс положителен в первом квадранте, то ϕ1 < π 2 . Это написано для первого случая, когда A>0 и ϕ1 < π 2 , если A<0, то ϕ1 > π 2 - это второй вариант, для ϕ2 ситуация обратная. Мы получили с вами две пары решений для фазовых толщин слоёв, одна пара решений, когда фазовая толщина первого слоя ϕ1 π π , а ϕ2 > и наоборот. Давайте посмотрим, чему это меньше, чем 2 2 соответствует. Нам нужно определить с вами оптические толщины. Фазовые

2πn1d1 2πn 2d 2 ; ϕ2 = ϕ1 = ± ar ctgA и λ λ ϕ2 = m ar ctgB . Мы получили с вами два условия, определяющие фазовые толщины слоёв, дальше нам необходимо определить оптические толщины слоёв, а для того, чтобы их определить, нам необходимо задать величину λ0, т.е. длину волны, на которой коэффициент отражения обращается в нуль. Если мы требуем, чтобы энергетический коэффициент отражения равнялся нулю на длине волны λ=λ0, то мы с вами сразу же определяем оптические толщины слоёв. Оптические толщины слоёв, при которых коэффициент λ λ отражения равен нулю равны: n1d1 = ± 0 ar ctgA и n 2d 2 = m 0 ar ctgB . 2π 2π Отсюда следует, что для первой пары решений n1d1 < λ 0 4 , а оптическая толщина второго слоя n 2d 2 > λ 0 4 , для второй пары решений наоборот: n1d1 > λ 0 4 и n 2d 2 < λ 0 4 . Конкретные значения величин “А” и “В” определяются значениями показателей преломления слоёв. С чем мы с вами имеем дело? Диапазон показателей преломления оптических материалов, используемых для работы в видимой области, лежит в интервале от 1.45 до 2.20. На диаграмме прямые, параллельные осям, будут соответствовать следующие значения: 1.45 = 1.21 и 2.2 = 1.48 , если свет падает из воздуха. В нижней части диаграммы (рис.3.2) это полоса, заключённая между значениями n2, соответствующими минимально возможному значению плёнкообразующих материалов и 12 n 2 = ( n 0 n m ) . Она будет сужаться или расширяться в зависимости от того с каким показателем преломления оптического материала вы имеете дело. Что будет происходить с этой прямой, определяемой уравнением 0.5 n 2 = n1 ( n m n 0 ) ? Она всегда будет попадать в начало координат, будет толщины

слоёв

равны:

ϕ1 =

меняться только наклон этой прямой в зависимости от величины n m n 0 . Таким образом, зона допустимых решений будут меняться в зависимости от показателей преломления оптических материалов. Минимальный показатель преломления плёнкообразующего материала 1.35. Рассмотрим самый плохой случай: материал подложки имеет показатель преломления 1.45 и те плёнкообразующие материалы, с которыми мы имеем дело. Показатели преломления плёнкообразующих материалов имеют некоторый набор фиксированных значений. Я напишу вам несколько значений: MgF2 n=1.35 1.37 в зависимости от того в какой части спектра вы находитесь; SiO2 n=1.45; Al2O3 n ≈ 1.60 ; ZrO2, HfO2 n ≈ 2.00 . Любые из перечисленных материалов подходят для того, чтобы реализовать ситуацию с нулевым отражением, т.е. получить систему, имеющую отражение равное нулю на одной длине волны. Отличаться эти системы слоёв будут только оптическими толщинами. Не обязательно брать материал с показателем преломления 1,35 в качестве плёнкообразующего материала первого слоя, можно взять материалы с показателями преломления 1.45, 1.60. Это будет соответствовать тому, что

мы сдвинемся по оси n1 и попадём в зону верхнего треугольника, но это от нас потребует показателей преломления пленкообразующих значительно больших, чем в первом случае. На рис. 3.3 и 3.4 приведены спектральные зависимости просветляющих покрытий для n1= 1.35, n2= 1.70 nm=1.51; n1= 1,45, n2= 1.90, nm=1.51, но с разными оптическими толщинами слоёв. Как видно из этих рисунков в зависимости от расположения слоёв и их фазовых толщин спектральные зависимости энергетического коэффициента отражения на одинаковых подложках существенно различаются. Выбор той или иной структуры покрытия должен определяться техническими требованиями к просветляющей системе.

Рис.3.3 спектральные зависимости просветляющих покрытий. 1n1= 1,35, n1d1=0.219λ0 n2= 1,60, n2d2=0.345λ0 nm=1,51; 2- n1= 1,35, n1d1=0.281λ0 n2= 1,60, n2d2=0.155λ0 nm=1,51.

Вернёмся снова к той записи фазовых толщин слоёв, которая у нас была использована для описания двухслойной системы. Мы предполагали, что синус и косинус фазовых толщин не обращаются в нуль. Это ограничивает класс наших решений. Если вы посмотрите на запись фазовых толщин слоёв, то обратите внимание на скобку, которая находится в знаменателе: ( n 0n 22 − n m n12 ) у той и у другой фазовой толщины, если эта скобка обращается в нуль, то здесь выполняется условие вот такого вида: tg 2ϕ1 = ∞; tg 2ϕ2 = ∞ Тогда коэффициент отражения будет обращаться в нуль у плёнок, имеющих фазовые толщины (2k+1) π 2 , а оптические толщины слоёв будут равняться λ0 4 .

Рис.3.4. Спектральные зависимости просветляющих покрытий. 1- n1= 1,45, n1d1=0,198λ0, n2= 1,90, n2d2=0,368λ0 , nm=1,51; 2n1= 1,45, n1d1=0.302λ0 n2= 1,90, n2d2=0.132λ0 nm=1,51.

Большой интерес при эксплуатации таких покрытий представляет поведение их в расходящихся или сходящихся световых пучках. Для того чтобы представить деформацию спектральных зависимостей коэффициента отражения необходимо рассмотреть изменение коэффициента отражения при наклонном падении света. Здесь необходимо исследовать изменение энергетического коэффициента отражения для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения в зависимости от угла падения излучения. Для этого нужно воспользоваться понятиями эффективных показателей

Рис. 3.5. Зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения для двухслойной просветляющей системы с n1= 1,45, n1d1=0,198λ0, n2= 1,90, n2d2=0,368λ0 , nm=1,51 от длины волны и угла падения излучения.

преломления и эффективных фазовых толщин, введённых нами ранее (2.3.2). Исходя из общих соображений, можно сразу сказать, что минимумы отражения будут смещаться в коротковолновую часть спектра, а величина этих минимумов будет изменяться. Аналитические зависимости, определяющие величину энергетического коэффициента отражения, в зависимости от фазовых толщин и показателей преломления, образующих систему слоёв, имеют очень громоздкий вид. Поэтому, ниже на рис. 3.5 и 3.6 приведены зависимости коэффициентов отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения, для двухслойных просветляющих систем со следующими параметрами: рис.3.5 n1 = 1.45, n1d1 = 0.198λ0, n2 = 1.90, n2d2 = 0.368λ0, nm=1.51, рис.3.6. - n1 = 1.45,

n1d1 = 0.302λ0 n2 = 1.90, n2d2=0.132λ0 ,nm=1.51 от длины волны и угла падения излучения с плоским волновым фронтом на систему.

Рис. 3.6. Зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения для двухслойной просветляющей системы n1= 1,45, n1d1=0.302λ0 n2= 1,90, n2d2=0.132λ0 nm=1,51 от длины волны и угла падения излучения.

Как видно из анализа этих рисунков в интервале углов падения от нуля до одного радиана изменение спектральных зависимостей не велики, особенно для системы, изображённой на рис. 3.5. Для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, происходит в зависимости от угла падения монотонное возрастание коэффициента отражения. Для света, поляризованного в плоскости падения, происходит уменьшение коэффициента отражения при увеличении угла падения вплоть до угла Брюстера подложки, а затем быстрое возрастание его. Из сравнения рисунков 3.5 и 3.6 видно, что коэффициент отражения системы, изображённой на

рис.3.6 подвержен меньшим деформациям при изменении угла падения. Указанное обстоятельство, т.е. устойчивость спектральной зависимости к изменению угла падения излучения на систему, может служить дополнительным критерием при выборе конструкции просветляющей системы. Здесь в окончание этих рассуждений, касающихся таких систем, следует рассмотреть ещё два специфических случая, когда фазовые толщины плёнок одинаковы или кратны друг другу. 3.2. Двухслойные просветляющие покрытия с одинаковыми толщинами слоёв

Пусть ϕ1 = ϕ2 = ϕ , тогда элементы матрицы интерференции примут вид: ⎧ ⎛ 1 1⎞ n2 2 2 m12 = ⎜ + ⎟ cosϕ ⋅ sinϕ, ⎪ m11 = cos ϕ − sin ϕ, n1 ⎪ ⎝ n 2 n1 ⎠ (3.2.1) ⎨ n ⎪ m = ( n + n ) cosϕ ⋅ sinϕ, m 22 = cos2 ϕ − 1 sin 2 ϕ. 21 1 2 ⎪⎩ n2 Перепишем систему уравнений, определяющую условия просветления, которую мы ранее анализировали: ⎧ ⎛ n 0 n 2 n m n1 ⎞ 2 2 − ⎪ ( n 0 − n m ) cos ϕ − ⎜ ⎟ sin ϕ = 0, n n 2 ⎠ ⎝ 1 ⎪ (3.2.2) ⎨ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ n n n n ⎪ 0 m + 0 m ⎟ − ( n1 + n 2 )⎥ sin ϕ ⋅ cos ϕ = 0. ⎢ ⎜ ⎪ n1 ⎠ ⎦ ⎩ ⎣⎝ n 2 Если cos ϕ ≠ 0 и sin ϕ ≠ 0 , то из второго уравнения следует, что ⎛ n 0n m n 0n m ⎞ + ⎜ ⎟ − ( n1 + n 2 ) = 0 . n1 ⎠ ⎝ n2 Это условие подразумевает, что мы с вами рассматриваем плёнки с фазовой толщиной отличной от 0 и π 2 . После небольших преобразований получим: ⎛ n 0 n m − n1n 2 ⎞ ⎜ ⎟ ( n1 + n 2 ) = 0. n1 n 2 ⎝ ⎠ Отсюда следует, что для выполнения условия просветления необходимо: n 0 n m = n1 n 2 .

(3.2.3)

Это достаточно важное условие. Мы с подобным условием, только в другом виде, уже встречались при рассмотрении одного слоя. Здесь произведение показателей преломления слоёв должно равняться n0nm, а для

одного слоя n12 = n 0 n m . В этом случае, как видно из первого уравнения мы имеем два значения фазовых толщин, при которых коэффициент отражения превращается в нуль. После перехода к функциям двойного угла можно написать, что: n n + n m n1 n 2 − n1 cos 2ϕ = ⋅ 0 2 . (3.2.4) n 0 n 2 − n m n1 n 2 + n1 Для того, чтобы определить длины волн, в которых коэффициент отражения обращается в ноль, необходимо учесть, что n 0 n m = n1n 2 и nn π λ получим: ϕ = ⋅ 0 . С учётом этого, полагая, что n1 = 0 m n2 2 λ λ0 n2 + n0n m n22 + n2m n2 − n0n m cos π = 2 ⋅ ⋅ = α. λ n 2 + n0nm n2 + n m n22 − n0n m

(3.2.5)

λ0 будет иметь отрицательные значения, если показатель λ преломления второго слоя лежит в интервале: n 0 n m , n m и положительные, λ если n 2 > n1 или n 2 < n 0n m . Если cos π 0 = α < 0 , то λ λ0 πλ 0 = ( 2k + 1) π ± arccos α и λ1,2 = , где k=1,2,3…. . λ ( 2k + 1) ± π−1 arccos α

Величина cos π

Расстояние между экстремумами коэффициента отражения при k=0 Δλ составляет: Δλ = λ1 − λ 2 =

πλ 0 ⋅ 2 arccos α, π + (arccos α)2 2

n 2 − n 0 n m n 22 + n 2m где : α = 22 . ⋅ n 2 + n 0 n m n 22 − n 2m

(3.2.6)

Максимум отражения, расположенный при длине волны λ0 достигнет величины: 2

2

⎛ n 0 n 22 − n m n12 ⎞ ⎛ n 42 − n 0 n 3m ⎞ R =⎜ =⎜ 4 . 2 2 ⎟ 3 ⎟ ⎝ n 0 n 2 + n m n1 ⎠ ⎝ n 2 + n 0 n m ⎠ Если cos λ1,2 =

(3.2.7)

πλ 0 πλ 0 = β > 0 , то = 2kπ ± arccos β и λ λ

λ0 , где k=1,2,3…... 1 2k ± arccos β π

(3.2.8)

Рис. 3.7. Спектральные зависимости двухслойного покрытия с одинаковыми оптическими толщинами слоёв. 1 - n1 = 1.80, n1d1 = 0.25λ0, n2= 2.20, n2d2=0.25λ0, nm = 4.00; 2 - n1= 2.20, n1d1=0.25λ0 n2 = 1.80, n2d2=0.25λ0, nm=4.00, λ0=1000нм. В качестве примера рассмотрим две двухслойные системы, для которых n0 = 1.0, n1 = 1.80, n2 = 2.20 nm = 4.00 и n0 = 1.0, n1= 2.20, n2 = 1.80, nm=4.00. Эти системы имеют обратный порядок расположения слоёв. Для первой системы минимумы отражения будут реализоваться в длинах волн 0.695λ0 и 1.785λ0 , а для второй 0.646λ0 и 2.21λ0 (рис.3.7). Мы получили два значения длины волны, в которых коэффициент отражения обращается в нуль. Это ситуация несколько отличная от той, которую мы анализировали ранее, когда мы рассматривали один слой. Здесь коэффициент отражения обращается в нуль в двух длинах волн. Причём одна из этих длин волн лежит в коротковолновой области спектра, а вторая в длинноволновой относительно длины волны λо. Кроме того, из сравнения спектральных зависимостей двух систем, видно, что первая имеет максимум отражения на длине волны λ0, меньший, чем вторая и минимумы отражения для неё расположены ближе. Поэтому системы с увеличивающимся к подложке показателем преломления слоёв могут быть более предпочтительными. Рассмотренная выше двухслойная система, содержащая слои равной оптической толщины, может быть реализована только в ИК области спектра. Для анализа свойств этой системы необходимо рассмотреть спектральную зависимость коэффициента отражения от угла падения излучения с плоским волновым фронтом на неё. На рис. 3.8 изображены спектральные зависимости коэффициентов отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения от угла падения

излучения

с

плоским

волновым

фронтом.

Как

видно

из

этих

Рис. 3.8. Зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения для двухслойной просветляющей системы n1 = 1.80, n1d1 = 0.25λ0 n2 = 2.20, n2d2=0.25λ0, nm =4.00, λ0=5000нм от длины волны и угла падения излучения.

зависимостей происходит деформация спектральных кривых коэффициентов отражения. Нетрудно заметить, что наиболее сильно изменяется спектральная зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения. Незначительные изменения спектральной зависимости коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, происходят в интервале углов (0-0.5) радиана. Для света, поляризованного параллельно

плоскости падения, в интервале углов от нуля до угла Брюстера подложки коэффициент отражения монотонно уменьшается, а при углах падения, больших угла Брюстера, резко возрастает и достигает значения, равного единице при скользящем падении. 3.3. Просветляющие покрытия с кратными толщинами слоёв

Рассмотрим свойства ещё одной двухслойной системы и, если для только что рассмотренных систем фазовые толщины слоёв были одинаковыми, то теперь фазовая толщина второго слоя в два раза больше первого. В этом случае элементы матрицы интерференции равны: n2 2 ⎧ ⎪ m11 =cosϕ ⋅ cos2ϕ − 2 n sin ϕ ⋅ cos ϕ, 1 ⎪ 1 2 ⎪ 2 ⎪ m12 = sinϕ ⋅ cos2ϕ + sin ϕ ⋅ cos ϕ, n1 n2 (3.3.1) ⎨ ⎪ m = n sinϕ ⋅ cos2ϕ + 2n sinϕ ⋅ cos2 ϕ, 1 2 ⎪ 21 n1 2 ⎪ m = cos ϕ ⋅ cos2 ϕ − 2 sin ϕ ⋅ cos ϕ. 22 ⎪ n2 ⎩ Условия просветления для данной системы выглядят следующим образом: ⎧⎡ ⎛ n 0 n 2 n m n1 ⎞ 2 ⎤ − ⎪ ⎢( n 0 − n m ) cos 2ϕ − 2 ⎜ ⎟ sin ϕ ⎥ cos ϕ = 0, n n ⎝ 1 2 ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎨ ⎞ ⎛ n0nm ⎞ 2 ⎤ ⎪ ⎡⎛ n 0 n m − ϕ + − n cos 2 2 n 1⎟ 2 ⎟ cos ϕ ⎥ sin ϕ = 0. ⎜ ⎪ ⎢⎜ n n ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎩ ⎣⎝ 1

(3.3.2)

Полагая, что cos ϕ ≠ 0, sin ϕ ≠ 0 , после некоторых преобразований получим для cos 2ϕ , из первого и второго уравнений: ⎧ n 22 − n 0 n m ⎪cos 2ϕ = n1 n + n n n − n n , ( 1 2 )( 0 m 1 2 ) ⎪ ⎨ n 0 n 22 − n12 n m ⎪ cos 2ϕ = . ⎪ + − n n n n n n ( ) ( ) 1 2 0 2 1 m ⎩

(3.3.3)

Для того, что чтобы система уравнений могла быть разрешена необходимо, чтобы правые части уравнений были одинаковы: n 22 − n 0 n m n 0 n 22 − n12 n m n1 = . ( n1 + n 2 ) ( n 0 n m − n1n 2 ) ( n1 + n 2 ) ( n 0 n 2 − n1n m )

(3.3.4)

Это уравнение позволит определить значения показателей преломления, которые обеспечат возможность получения, также как и раньше, двух нулевых минимумов отражения. После некоторых упрощений мы получим уравнение третье степени относительно n2: n 32 −

nm n2 ( n1 + n 2 ) ( n12 + n 02 ) + n1n 2m = 0. 2n 0 n1

(3.3.5)

Рис.3.9. Спектральные зависимости двухслойного покрытия с кратными оптическими толщинами слоёв . 1- n1= 1.35, n1d1=0,25λ0 n2 = 1.85, n2d2 = 0.5λ0, nm = 1.51; 2 - n1= 1.45, n1d1 = 0.25λ0, n2 = 1.95, n2d2=0,5λ0, nm=1.51, n0=1 Для nm=1.5 это уравнение имеет для наиболее применяемых плёнкообразующих материалов следующие пары значений n1 и n2 1.38 и 1.85; 1.45 и 1.95. На рис. 3.9 представлены спектральные зависимости коэффициента отражения для этих пар плёнкообразующих материалов. Как видно их этого рисунка для системы, содержащей полуволновой слой с меньшим показателем преломления, минимумы отражения расположены дальше в фиолетовую и красную области спектра относительно длины волны λ0, чем для системы, содержащей полуволновой слой с большим показателем преломления. Кроме того, максимумы отражения на длине волны λ0 у этих систем имеют разные значения. При выборе просветляющих систем следует учитывать эти обстоятельства. Немаловажным фактором при выборе просветляющих систем является деформация спектральных зависимостей при работе их в сходящихся или

расходящихся пучках. Оценку этого фактора можно провести, рассмотрев изменения спектральных зависимостей коэффициентов отражения для поляризованного в разных плоскостях света от угла падения излучения. На рис.3.10 представлены зависимости коэффициентов отражения для света, поляризованного перпендикулярно и

Рис. 3.10. Зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения для двухслойной просветляющей системы n1= 1.45, n1d1=0.25λ0, n2= 1.90, n2d2=0.50λ0 nm=1.51 от длины волны и угла падения излучения параллельно плоскости падения для двухслойной просветляющей системы n1= 1,45, n1d1=0.25λ0, n2= 1,90, n2d2=0.50λ0 nm=1,51 от длины волны и угла падения излучения с плоским волновым фронтом. Анализ этих рисунков показывает, что также как и для других двухслойных систем, спектральная

зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного в плоскости падения, при изменении угла падения от нуля до угла Брюстера слабо меняется. Для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, спектральная зависимость также слабо меняется в интервале углов (0-0.5) радиана. Мы с вами рассмотрели случаи, когда фазовые толщины слоёв кратны друг другу и показали, что в зависимости от показателей преломления этих слоёв, могут быть созданы системы, обеспечивающие минимальное отражение в двух длинах волн. Эти системы могут быть реализованы при просветлении оптических материалов, прозрачных, как в видимой, так и в ИК-области спектра. Кроме того, мы с вами показали, что для неравнотолщинных покрытий, толщины слоёв связаны определённым образом: толщина одного слоя должна быть меньше четверти длины волны, а второго должна быть больше и наоборот. 3.4. Просветляющие покрытия с оптическими толщинами, меньшими 0.25λ0

Нами не была рассмотрена ещё одна область возможных решений на диаграмме Шустера, а именно область нижнего прямоугольника. В областях, n 0 n m − n12 ) n 2 ( ⋅ . ограниченными треугольниками tgϕ1 = −C ⋅ tgφ2 , где С= ( n 0n m − n 22 ) n1 Константа «С», в областях, ограниченных треугольниками а, в, г больше нуля. Внутри нижнего прямоугольника она меньше нуля. Это легко можно увидеть, если подставить сюда значения показателей преломления. Область нижнего прямоугольника достаточно интересна. Кроме того, что здесь 1 < n 2 < n 0 n m , а n1 > n 0 n m , это единственная область, где показатель преломления внешнего слоя может быть большим. Поэтому здесь может реализоваться решение, когда ϕ1 < π 2 и ϕ2 < π 2 и ϕ1 > π 2 , ϕ2 > π 2 . Только в этом случае суммарные фазовые толщины слоёв могут оказаться меньше, чем π/2, а оптические толщины слоёв меньше, чем λ 0 4 . Это весьма интересная область, в которой решения могут быть реализованы только при больших значениях показателей преломления просветляемых оптических материалов, т.е. для материалов, прозрачных в ИК-диапазоне. В этой ситуации можно обеспечить нулевое отражение диэлектрической системой, у которой суммарная толщина слоёв меньше, чем λ0/4. На рис. 3.11 изображены спектральные зависимости энергетического коэффициента отражения четвертьволновой однослойной просветляющей системы и двухслойной (суммарная оптическая толщина которой 0,154λ0). Как видно из этого рисунка, двухслойная просветляющая система, при меньшей оптической толщине, имеет зону минимального отражения большую, чем для однослойного покрытия.

Указанное обстоятельство полезно в случае, если приходится работать с мощным излучением, т.е. при разработке и конструировании просветляющих покрытий для лазерных систем. Это тем более интересно, что в этом случае удаётся создать просветляющие системы с помощью достаточно тонких слоёв, обладающих высокими механическими свойствами и высокой лучевой прочностью и стойкостью.

Рис.3.11. Спектральные зависимости двухслойного покрытия с кратными оптическими толщинами слоёв 1 - n1 = 2.00, n1d1=0.25λ0, nm=4.00; 2 - n1 = 4.00, n1d1=0.057λ0 n2 = 1.35, n2d2=0.097λ0 , nm=4.00, n0=1. Для оценки возможности работы таких просветляющих систем в сходящихся или расходящихся пучках необходимо рассмотреть изменение спектральных зависимостей энергетических коэффициентов отражения для излучения, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения. На рис. 3.12 изображены спектральные зависимости коэффициентов отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения для двухслойной просветляющей системы n1= 4.00, n1d1=0.057λ0, n2= 1.35, n2d2=0.097λ0, nm=4.00, λ0=5000 нм от длины волны и угла падения излучения с плоским волновым фронтом. Как видно из этого рисунка спектральная зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного в плоскости падения при увеличении угла падения в интервале углов (0-1,2) радиана монотонно уменьшается, а затем резко возрастает и достигает значения равного единице при скользящем падении. Величина минимума отражения меняется в интервале значений (0-0.01). Для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, наблюдается монотонное возрастание спектральной зависимости энергетического коэффициента отражения. Значение минимального отражения мало увеличивается в интервале значений углов падения излучения (0-0.5)

радиана, а затем быстро возрастает, и также как для света, поляризованного в плоскости падения, достигает значения равного единице при скользящем падении. Сравнивая рисунки 3.8 и 3.12 необходимо отметить, что увеличение энергетического коэффициента отражения в зависимости от угла падения для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, в случае системы, изображённой на рис. 3.12 происходит значительно быстрее.

Рис. 3.12 Зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения для двухслойной просветляющей системы n1= 4.00, n1d1=0.057λ0 n2= 1,35, n2d2=0.097λ0 nm=4.00, λ0=5000нм от длины волны и угла падения излучения.

3.5. Отражательная способность двухслойных диэлектрических систем

Давайте оценим те возможности, которые можно реализовать с помощью двухслойных систем. Мы с вами написали величину амплитудного коэффициента отражения как функцию показателей преломления и оптических толщин (фазовых толщин) слоёв, входящих в систему. Рассмотрим наиболее простой случай, а именно, случай, когда фазовые толщины слоёв, входящих в систему равны между собой (φ1 = φ2). В случае равенства оптических толщин слоёв выражение для амплитудного коэффициента отражения существенно упрощается и, после преобразования через тригонометрические функции двойных углов, принимает такой вид: a + b cos 2ϕ + ic1 sin 2ϕ r= 1 1 , (3.5.1) a 2 + b2 cos 2ϕ + ic 2 sin 2ϕ где: a1 ⎫ ⎛ n 0 n 2 n m n1 ⎞ m ⎬ = ( n0 m nm ) m ⎜ ⎟, a2 ⎭ n n ⎝ 1 2 ⎠

b1 ⎫ ⎛ n 0 n 2 n m n1 ⎞ m ⎬ = ( n0 m nm ) ± ⎜ ⎟, b2 ⎭ n n ⎝ 1 2 ⎠ c1 ⎫ ⎛ n 0 n m m n1n 2 ⎞ ⎬ = ( n1 + n 2 ) ⎜ ⎟. c2 ⎭ n n 1 2 ⎝ ⎠ Энергетический коэффициент отражения по определению равен квадрату модуля амплитудного коэффициента отражения, или, что тоже самое, сумме квадратов модулей действительной и мнимой части числителя делённой на сумму квадратов действительной и мнимой части знаменателя. Я хочу обратить ваше внимание на отличие от одного слоя. Давайте вспомним с вами зависимость амплитудного коэффициента отражения от одного слоя. Она имеет такой вид: ⎛n n ⎞ ( n 0 − n m ) cos ϕ1 + i ⎜ 0 m − n1 ⎟ sin ϕ1 ⎝ nm ⎠ r= . (3.5.2) ⎛ n0nm ⎞ + n1 ⎟ sin ϕ1 ( n 0 + n m ) cos ϕ1 + i ⎜ ⎝ nm ⎠ Обращаю ваше внимание на следующее: амплитудный коэффициент отражения для одного слоя имеет период 2π, а период амплитудного коэффициента отражения для двух слоёв равен π. Для энергетического коэффициента отражения в обоих случаях период этой функции равен π. Выражение для энергетического коэффициента отражения может быть представлено следующим образом: a12 + 2a1b1 cos 2ϕ + b12 cos 2 2ϕ + c12 sin 2 2ϕ R= 2 , a 2 + 2a 2 b 2 cos 2ϕ + b 22 cos 2 2ϕ + c 22 sin 2 2ϕ где a1,a2,b1,b2,c1,c2 определены выше.

(3.5.3)

Далее посмотрим, как может меняться энергетический коэффициент отражения такой двухслойной системы? То, что коэффициент отражения может равняться нулю, мы с вами уже показали. Такая система может иметь нулевое отражение, а может ли такая система иметь коэффициент отражения больший, чем коэффициент отражения подложки? Когда фазовые толщины слоёв равняются нулю, мы имеем коэффициент отражения, равный коэффициенту отражения подложки. Это действительно так, поскольку: 2

2

⎛ a + b ⎞ ⎛ n − nm ⎞ R =⎜ 1 1 ⎟ =⎜ 0 (3.5.4) ⎟ . ⎝ a 2 + b2 ⎠ ⎝ n 0 + n m ⎠ Если фазовая толщина слоёв равна π/2, то сos π = -1, sinπ = 0, амплитудный коэффициент отражения такой системы будет равен: 2 a1 + b1 n m n12 − n 0 n 22 n m − n 0 ( n 2 n1 ) r= = = . (3.5.5) a 2 + b2 n m n12 + n 0 n 22 n m + n 0 ( n 2 n1 )2 Энергетический коэффициент отражения – это квадрат этой величины, напишем его немного в другом виде: 2

⎛ n m − n 0 ( n 2 n1 )2 ⎞ R =⎜ ⎟ . ⎜ n + n ( n n )2 ⎟ 0 2 1 ⎝ m ⎠ Для одного слоя, как вы помните, экстремальное значение амплитудного коэффициента отражения определялось следующим выражением: n 0 n m − n12 rэкстр = . n 0 n m + n12 Напомню, что мы с вами написали выражения для экстремума коэффициента отражения, а экстремум может быт любым. Для того чтобы иметь единообразную запись перепишем это выражение в следующем виде: (1) rextr =

( 1+ (n

1 − n1 1

n0nm n0nm

) )

2 2

.

(3.5.6)

Перепишем формулу (3.5.5) в аналогичном виде. Действительно, для системы, содержащей два слоя, можем написать: (2) rextr =

( 1+ ( 1−

) n ))

n 0 n m ⋅ ( n 2 n1 )

2

n0 nm ⋅ ( n2

2

.

(3.5.7)

1

Если мы сравним эти два выражения (3.5.5) и (3.5.7), то видно, что мы имеем дело с функцией такого вида: 1 − x2 , f= 1 + x2

⎧⎪ n1 n 0 n m для одного слоя, где: x = ⎨ ⎪⎩( n 2 n1 ) ⋅ n 0 n m для двух слоёв. Давайте посмотрим, как меняется эта функция в случае падения света из воздуха, когда n0=1? Удобнее нам посмотреть не такую функцию, а функцию, описывающую энергетический коэффициент отражения, 2 Rextr=f . Как будет вести себя такая функция. Давайте рассмотрим всю числовую ось от нуля до бесконечности. При х=0, коэффициент отражения равен единице, при х=1 коэффициент отражения равен нулю, при х, стремящемся к бесконечности, коэффициент Рис. 3.13 Зависимость функции f2(x) отражения так же стремится к единице ( рис.3.13). Вспомним, что мы с вами получали для одного слоя? В случае одного слоя переменная х есть n1 n 0 n m . Если х стремящемся к нулю или x<1, это соответствует показателю преломления n1 < n 0 n m . При этом коэффициент отражения растёт до единицы. Поскольку показатель преломления обладать нулевым значением не может, то мы работаем в части, ограниченной минимально возможными значениями n1. Для того, чтобы определить минимальную величину х, напомню, что минимальным значением показателя преломления плёнкообразующих сред обладает MgF2, для которого n1= 1.35, n 0 n m - может быть любым. Далее, в зоне x>1, n1 > n 0 n m . Отсюда понятно, что по мере увеличения значения показателя преломления плёнкообразующего материала, коэффициент отражения растёт. Это то, что касается одного слоя. Теперь давайте посмотрим, что у нас будет с двумя слоями? По-прежнему, та же самая переменная х, но она имеет другое значение: n 2 n1 n 0 n m . По-прежнему, нас интересуют области x<1 и x>1. Чему соответствует x<1? Если мы ограничимся средой, из которой падает свет, воздухом с показателем преломления 1, то это выражение принимает вот такой вид: (3.5.8) ( n 2 n1 ) 1 n m < 1 или n 2 < n1 n m .

(

)

Отсюда следует, что n 2 < n1 . Если мы возьмём n1 > n 2 , то мы можем оказаться в зоне, где коэффициент отражения будет иметь достаточно большое значение. Для зоны, где x>1 мы получим обратные условия, т.е.

n 2 > n1 , что же следует из этих двух условий? Из этих двух условий можно сделать вывод: чем больше разница в показателях преломления слоёв, тем больший коэффициент отражения может быть реализован для такой системы. Мы с вами рассмотрели экстремальные значения коэффициентов отражения. Где у нас реализуются экстремумы? Экстремумы реализуются при φ = 0, при φ = π/2 и при φ = π, но это тоже самое, что φ = 0, поэтому я эти значения рассматривать не буду. 3.6. Изменение коэффициента отражения по мере роста двухслойной диэлектрической системы

Далее нас интересуют зависимость коэффициента отражения от фазовой или оптической толщины слоёв по мере роста двухслойной системы. Фазовая толщина слоёв фиксирована и в общем случае φ1 ≠φ2. Прежде, чем рассмотреть характер изменения энергетического коэффициента отражения (пропускания), посмотрим, какой информацией мы располагаем об этой системе. Во-первых, мы с вами знаем значения оптических или фазовых толщин слоёв на длине волны λ0. Во-вторых, мы знаем особенности сформированной диэлектрической системы. Если мы рассматриваем просветляющие покрытия с φ1 ≠ φ2, то на длине волны λ0 у сформированной системы R=0. Если n1d1 = n 2d 2 = λ 0 4 , а n12 n m = n 0 n 22 , то также на длине волны λ= λ0 R=0, если n1d1 = n 2d 2 = λ 0 4 , а n1n 2 = n 0 n m , то на длине волны λ0 R≠0 и R=0 на длинах волн λ1, λ2, определяемых из условия (3.2.8). Если n1d1 = λ 0 4 , а n 2d 2 = λ 0 2 и n1, n2 определены из условия (3.3.5), то на длине волны λ0 2

⎛ n 2 − n 0n m ⎞ R = ⎜ 12 ⎟ и R=0 в длинах волн, определяемых из условия (3.3.3). n + n n 0 m ⎠ ⎝ 1 Далее, как образуется эта система? В начале, у нас есть чистая подложка, т.е. у нас есть граница раздела двух сред - n0 и nm. Коэффициент отражения этой границы раздела, в случае, если показатели преломления не обладают 2 n0 − nm ) ( , если они обладают дисперсией, то здесь мы дисперсией, R = 2 ( n0 + nm )

( n (λ ) − n m (λ ) ) , R= 0 2 ( n 0 (λ ) + n m ( λ ) ) 2

должны написать зависимость от длины волны

это в

общем случае. Однако мы считаем, что материал не обладает дисперсией. Это не очень большая ошибка, поэтому мы можем рассмотреть процесс роста без учёта дисперсий показателей преломления. Далее на эту границу раздела мы осаждаем слой с показателем преломления n2. Коэффициент отражения этого слоя есть:

2

⎛n n ⎞ ( n 0 − n m ) cos ϕ2 + ⎜ 0 m − n 2 ⎟ sin 2 ϕ2 ⎝ n2 ⎠ R= . 2 ⎛ ⎞ n n 2 ( n 0 + n m ) cos2 ϕ2 + ⎜ 0 m + n 2 ⎟ sin 2 ϕ2 ⎝ n2 ⎠ Изменение коэффициента отражения в процессе роста слоя в зависимости от фазовой толщины его будет аналогичным зависимости, изображённой на рис.2.3. Характер изменения коэффициента отражения будет определяться соотношением между показателями преломления материала подложки и плёнкообразующего слоя. Причём, как и раньше, величина ϕ2 = 2πn 2d 2 ⋅ λ −1 . В этом случае, мы регистрируем изменение энергетического коэффициента отражения по мере роста плёнки. Величина λ0 – есть постоянная величина, для которой выполнено условие R / λ=λ0 = 0 . 2

2

Поэтому ϕ2 = ( απ 2 ) ( λ 0 λ ) . В зависимости от типа рассматриваемой просветляющей системы, величина α – может быть любым числом. α может быть как больше, так и меньше единицы, равным единице, это будет определяться показателями преломления слоёв, входящих в эту систему. Если оптическая толщина слоя n 2d 2 = λ 0α 4 , то величина λ0 у нас соответствует минимуму отражения. Эта величина для выбранной просветляющей системы уже определена. Однако при осаждении первого слоя нам необходимо, что бы в момент окончания осаждения наблюдался какой-либо экстремум. Поэтому контроль толщины слоя необходимо вести λ на длине волны λ02, для которой n 2d 2 = 02 . Величина λ02 может быть 4 определена из условия максимума отражения. Поскольку n 2 > n m для просветляющих покрытий, областью определения которых является верхний треугольник диаграммы Шустера. Исключение составляет просветляющие покрытия, лежащие в нижнем квадрате диаграммы Шустера и четвертьволновые покрытия у которых n 0 < (n1 , n 2 ) < n m Как вы помните, энергетические коэффициенты отражения и пропускания одного слоя в зависимости от фазовой толщины его имеют вид: a + b cos 2ϕ R= 1 1 , a 2 + b2 cos 2ϕ

4n 0 n m n 22 T= , a 2 + b2 cos 2ϕ

где : a1 ⎫ 2 2 2 ⎬ = ( n 0 m n m ) n1 + ( n 0 n m m n 2 ) , a2 ⎭ b1 ⎫ 2 2 2 ⎬ = ( n0 m nm ) n2 + ( n0nm m n2 ) . b2 ⎭ Условие максимума энергетического коэффициента отражения имеет вид: παλ 0 = π и λ 02 = αλ 0 . λ 02 С контролем толщины одного слоя всё понятно и здесь особых проблем возникать не должно, а вот со вторым слоём могут возникнуть проблемы. Давайте посмотрим, что мы имеем при осаждении второго слоя. Первый слой на подложке у нас уже сформирован, и его оптическая толщина есть λ02/4 или фазовая толщина π/2, но это условие выполняется только для длины волны λ02, для всех других длин волн это условие не выполняется. Выражение для коэффициента отражения, как функция фазовых толщин слоёв и показателей преломления, нами уже написано ранее (3.5.3). Особенности при осаждении второго слоя на подложке заключаются в том, что его фазовая толщина нам известна, она может быть либо больше π/2, либо меньше π/2, на длине волны λ0. Почему я говорю о длине волны λ0? Потому что на длине волны λ0 коэффициент отражения R равен нулю и здесь, вообще говоря, можно не задумываться о контроле. Если мы напишем коэффициент отражения, как функцию фазовой толщины осаждаемого слоя, то мы с вами имеем некоторое 2ϕ =

Рис. 3.14. Зависимость коэффициента отражения от толщины слоёв просветляющей системы при ϕ1 ≠ ϕ2 , при контроле толщины слоя, граничащего с воздухом на длине волны λ=λ0.

значение коэффициента отражения на длине волны λ0 (начальное) и конечное значение коэффициента отражения при фазовой толщине слоя φ1, равное нулю. В этом случае мы имеем две исходные точки: начальный коэффициент отражения на длине волны λ0, который легко может быть сосчитан и конечное значение коэффициента отражения равное нулю. Но здесь, вообще говоря, непонятно, что может быть происходить с коэффициентом отражения при фазовых толщинах слоя, лежащих в этом промежутке. Тут может быть два варианта. Эти варианты представлены на рис. 3.14.

Причём здесь можно предсказать, какой вариант будет реализован в зависимости от величины α, (α - дробное, иррациональное или целое число). Рассмотрим эти варианты, воспользовавшись для этого матричным описанием. Элементы матрицы интерференции для двухслойной системы были определены нами ранее (3.4), так же ранее нами были определены энергетический и амплитудный коэффициенты отражения этой системы (3.5) - (3.7). Для диэлектрической просветляющей системы при условии, что ϕ1 ≠ ϕ2 , а контроль первого слоя проводится на длине волны λ=λ0, оптическая толщина осаждённого на подложке слоя может быть либо больше, либо меньше π 2 см. зависимости (3.1.3), (3.1.4) и рис. 3.14. В случае, когда ϕ2 > π 2 (рис. 3.14б), а ϕ2 < π 2 (рис. 3.14а) при осаждении слоя, граничащего с воздухом, коэффициент отражения будет меняться в соответствии с рис. 3.14. Конкретные зависимости коэффициента отражения, как функции фазовой толщины могут быть вычислены по формулам (3.5) – (3.7). Наиболее просто поведение энергетического коэффициента отражения растущей системы может быть определено в случае, если оптические толщины слоёв равны 0,25 λ0 или толщина одного из слоёв кратна 0,25 λ0. Для примера рассмотрим систему, у которой n1d1 = n 2d 2 = 0.25λ 0 , а показатели преломления слоёв связаны соотношением: n12 n m = n 22 n 0 . В этом случае при контроле роста системы на длине волны λ=λ0 в момент окончания осаждения первого слоя коэффициент отражения достигает максимального значения. Элементы матрицы интерференции системы с растущим вторым слоем на длине волны λ=λ0 имеют вид:

n m11 = − 2 sin ϕ1 , n1

1 m12 = cos ϕ1 , n2

m 21 = n 2 sin ϕ1 ,

где: n1 m22 = − sin ϕ1 , ϕ1 = 2 πn1d1 ⋅ λ n2

Амплитудный коэффициент отражения с растущим на границе с воздухом первым слоём равен: ⎛n n ⎛n n ⎞ n n ⎞ − ⎜ 0 2 − m 1 ⎟ sin ϕ1 + i ⎜ 0 m − n 2 ⎟ cos ϕ1 n n2 ⎠ ⎝ n2 ⎠ r= ⎝ 1 . ⎛ n 0 n 2 n m n1 ⎞ ⎛ n0nm ⎞ −⎜ + ⎟ sin ϕ1 + i ⎜ n + n 2 ⎟ cos ϕ1 n n ⎝ 1 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠

(3.6.1)

Не трудно заметить, что эта зависимость существенно отличается от амплитудного коэффициента отражения однослойного покрытия (3.5.2). Как видно из выражения (3.6.1) в момент начала осаждения слоя ( ϕ1 = 0 ) амплитудный коэффициент отражения системы должен равняться амплитудному коэффициенту отражения сформированного нами первого слоя на подложке. Это действительно так. После начала осаждения слоя фазовая толщина его начинает увеличиваться и при достижении оптической толщины слоя, равной 0.25 λ0 коэффициент отражения будет определяться

n 0 n 22 − n m n12 . В этом случае амплитудный коэффициент выражением: r = n 0 n 22 + n m n12 отражения в соответствии с равенством n12 n m = n 22 n 0 обращается в нуль, указанная ситуация иллюстрируется рис. 3.15.

Рис.3.15. Зависимость коэффициента отражения двухслойной, четвертьволновой просветляющей системы от толщины слоёв осаждаемой системы при контроле на длине волны λ = λ 0 , n12 n m = n 22 n 0 . В связи с появлением новых средств регистрации отражённого и прошедшего света, позволяющим в реальном масштабе времени измерять коэффициенты отражения и пропускания в широком спектральном диапазоне несомненный интерес представляет изучение эволюции спектральных кривых этих величин в процессе роста многослойной

системы. Рассмотрим подобную ситуацию для двухслойных просветляющих систем, параметры которых были представлены ранее. Остановимся на случае, когда оптические толщины слоёв кратны четверти длины волны, а на показатели преломления накладывается условие: n12 n m = n 22 n 0 . На рис. 3.16 изображена подобная ситуация. Как видно из рис.3.16, при росте слоя с малым показателем преломления коэффициент отражения практически на всех длинах волн с ростом толщины слоя уменьшается. Кроме того, из этого рисунка следует, что при толщине этого слоя, равной 0.25 λ0 коэффициент отражения обращается в нуль на длине волны 550нм. Ошибка в изменении толщины этого слоя приводит к увеличению коэффициента отражения. Допустимый диапазон изменения толщины слоя будет определяться допуском на величину коэффициента отражения, и он легко может быть определён на основании данных, приведённых на контурной карте.

Глава 4. ТРЁХСЛОЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Этот раздел, который касается трёхслойных систем, является в некотором смысле обобщающей частью нашего курса. Далее мы будем рассматривать более подробно диэлектрические системы, обладающие специальными свойствами. А сейчас рассмотрим трёхслойную диэлектрическую систему на подложке и оптические свойства таких систем. У нас есть диэлектрическая система, слои которой, по-прежнему, характеризуются показателями n2, n3), преломления (n1, Рис. 4.1. Структура трёхслойного геометрическими (d1,d2,d3), покрытия. оптическими (n1d1,n2d2,n3d3), и −1 фазовыми толщинами ( ϕ1 = 2πn1d1 (λ) , ϕ2 = 2πn 2d 2 (λ) −1 , ϕ3 = 2πn 3d 3 (λ) −1 ) . Для описания такой системы необходимо написать её матрицу интерференции. Матрица интерференции такой системы есть произведение матриц интерференции отдельных слоёв, входящих в систему, 3

т.е. M = ∏ M i где Mi – матрица интерференции i-го слоя. i −1

i i i cos ϕ3 sin ϕ3 sin ϕ1 cos ϕ2 sin ϕ2 n3 n1 n2 = × × .(4.1) m 21 m 22 n1 sin ϕ1 cos ϕ1 n 2 sin ϕ2 cos ϕ2 n 3 sin ϕ3 cos ϕ3 Матричные элементы для двухслойной системы у нас уже написаны, сейчас появился ещё один слой. В матричном произведении это слой слева с номером 1. Для получения значений элементов матрицы трёхслойной системы мы можем матрицу, характеризующую двухслойное покрытие (3.4), умножить на матрицу, характеризующую третий слой. m11

m12

cos ϕ1

Давайте её напишем в общем виде. Нетрудно заметить, что это тоже будет матрица порядка два на два, но количество членов, которые содержит каждый из этих элементов, увеличиться ровно в два раза.

m11 = cos ϕ1 cos ϕ2 cos ϕ 3 − − m12 =

n2 sin ϕ1 sin ϕ2 cos ϕ3 − n1

n3 n cos ϕ1 sin ϕ2 sin ϕ3 − 3 sin ϕ1 cos ϕ2 sin ϕ3 ; n2 n1

1 1 sin ϕ1 cos ϕ2 cos ϕ3 + cos ϕ1 sin ϕ2 cos ϕ3 + n1 n2

+

1 n cos ϕ1 cos ϕ2 sin ϕ3 − 2 sin ϕ1 sin ϕ2 sin ϕ3 ; n3 n1 n 2

m 21 = n1sinϕ1cosϕ2 cos ϕ3 + n 2sinϕ2 cosϕ1 cos ϕ3 + + n 3cosϕ1cosϕ2 sin ϕ3 − m 22 = cos ϕ1 cos ϕ2 cos ϕ 3 −

n 3 n1 sinϕ1sinϕ2 sin ϕ3 ; n2

n1 sinϕ1cosϕ2 sin ϕ3 − n3

n2 n (4.2) cosϕ1sinϕ2 sin ϕ3 − 1 sinϕ1sinϕ2 cos ϕ3 . n3 n2 При написании этих элементов следует сразу проверять размерность. Первый элемент m11 и элемент m22 безразмерные относительно показателя преломления, элемент m12 имеет размерность, обратную показателю преломления, а элемент m21 имеет размерность показателя преломления. Коэффициент отражения мы определим, по-прежнему правилу, через матричные элементы. Сложность заключается в том, что если фазовые толщины не кратны друг другу, то мы имеем дело с непериодической функцией, так же как в случае двухслойного покрытия, когда фазовые толщины слоёв были не кратны друг другу. В общем случае рассмотреть такую систему довольно сложно, поэтому рассмотрим некоторые частные случаи. −

4.1. Просветляющие трёхслойные системы с одинаковыми оптическими толщинами

Наиболее простой является ситуация, когда фазовые толщины слоёв одинаковы или кратны друг другу. Здесь можно ожидать существенного увеличения спектрального интервала, в котором энергетический коэффициент отражения принимает значения близкие к нулевому. Рассмотрим сначала случай, когда фазовые толщины равны между собой (φ1 = φ2 = φ3 = φ), в этом случае ситуация несколько упрощается, и матричные элементы приобретают вид:

n3 2 n3 2 n2 2 ⎧ 3 = ϕ − ϕ ϕ − ϕ ϕ − m cos sin cos sin cos sin ϕ cos ϕ; 11 ⎪ n1 n2 n1 ⎪ 1 1 1 n2 ⎪ 2 2 2 2 ⎪ m12 = n cos ϕ sin ϕ + n cos ϕ sin ϕ + n cos ϕ sin ϕ − n n sin ϕ cos ϕ; ⎪ 1 2 3 1 2 ⎨ ⎪ m 21 = n1cos2 ϕsinϕ + n 2cos2 ϕsinϕ + n 3cos 2 ϕ sin ϕ − n 3n1 sin 2 ϕ cos ϕ; (4.1.1) ⎪ n2 ⎪ n n n ⎪ m 22 = cos3 ϕ − 1 sin 2 ϕ cos ϕ − 2 sin 2 ϕcosϕ − 1 sin 2 ϕcosϕ. ⎪⎩ n2 n3 n3 Мы написали элементы матрицы интерференции как полиномы третьей степени, но для удобства дальнейшего анализа запишем их как произведение полиномов второй степени, умноженных на косинус или синус фазовой толщины слоя. ⎧ ⎛ 2 ⎛ n2 n3 n3 ⎞ 2 ⎞ ⎪ m11 = ⎜ cos ϕ − ⎜ + + ⎟ sin ϕ ⎟ cos ϕ, ⎝ n1 n 2 n1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ m = ⎡⎛ 1 + 1 + 1 ⎞ cos2 ϕ − n 2 sin 2 ϕ ⎤ sin ϕ, ⎥ ⎪⎪ 12 ⎢⎣⎝⎜ n 3 n 2 n1 ⎠⎟ n1 n 3 ⎦ (4.1.2) ⎨ ⎡ n 3 n1 2 ⎤ ⎪ 2 m n n n cos sin ϕ ⎥ sin ϕ, = + + ϕ − ( ) 21 1 2 3 ⎢ ⎪ n ⎣ ⎦ 2 ⎪ ⎪ ⎡ 2 ⎛n n n ⎞ 2 ⎤ ⎪ m 22 = ⎢cos ϕ − ⎜ 1 + 2 + 1 ⎟ sin ϕ + ⎥ cos ϕ. ⎪⎩ ⎝ n3 n3 n2 ⎠ ⎣ ⎦ Мы получили матричные элементы для системы, состоящей из трёх слоёв с одинаковой оптической толщиной, пока никаких других ограничений мы не делали. Теперь надо посмотреть, что нам может дать такая система? Может ли нам такая система иметь нулевое отражение. Для этого нам надо обратиться к условию просветления, которое мы писали для матричных элементов (2.2.1). Для трёхслойной системы оно выглядит следующим образом: ⎧( n 0 − n m ) cos2 ϕ − ⎪ ⎪ ⎡ ⎛ n 0 n 2 n1 n m n 0 n 3 n m n 2 n 0 n 3 n1 n m ⎞ 2 ⎤ ⎪ − ⎢⎜ n − n + n − n + n − n ⎟ sin ϕ ⎥ cos ϕ = 0; 2 2 3 1 3 ⎠ ⎦ ⎪ ⎣⎝ 1 ⎪ ⎨ ⎡⎛ n 0 n m ⎤ ⎞ nn nn (4.1.3) − n1 + 0 m − n 2 + 0 m − n 3 ⎟ cos2 ϕ − ⎥ ⎪ ⎢⎜ n2 n3 ⎠ ⎪ ⎢⎝ n1 ⎥ sin ϕ = 0. ⎪ ⎢ ⎛n n n ⎥ n1n 3 ⎞ 0 m 2 ⎪ ⎢− ⎜ ⎥ − ⎟ sin ϕ n2 ⎠ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ n1n 3 ⎥⎦

Мы получили с вами систему уравнений для определения условий, при которых коэффициент отражения может обращаться в ноль. Система из двух уравнений содержит четыре неизвестных (n1, n2, n3 и φ). Ясно, что такая система, в общем виде не решается. Мы можем посмотреть несколько частные случаи. Рассмотрим три случая: 1. cos ϕ = 0, sin ϕ ≠ 0 т.е. когда фазовая толщина φ = π/2, а nd = λ0/4. Давайте посмотрим, что будет, когда система состоит из четвертьволновых слоёв. Первое уравнение обращается в ноль сразу же, а из второго уравнения мы получаем следующее: n 0 n m n 2 n1n 3 2 (4.1.4) − = 0 или n 0 n m n 22 = ( n1n 3 ) . n1n 3 n2

Рис. 4.2 Спектральная зависимость коэффициента отражения трёхслойной четвертьволновой просветляющей системы. n1=1.35, n2=2.00,n3=1,80, nm=1.51, λ0=500нм.

Если это условие выполняется, то коэффициент отражения обращается в нуль на длине волны λ= λ0. Что будет дальше, можем ли мы ещё где-то иметь какие-то минимумы отражения? Посмотрим, в каких длинах волн, или при каких толщинах могут наблюдаться минимумы отражения. Они могут наблюдаться тогда, когда φ ≠ π/2, т.е. sin ϕ ≠ 0, cos ϕ ≠ 0 2. Если cos ϕ ≠ 0, sin ϕ ≠ 0 , то ⎧ ⎛ n 0 n 2 n1n m n 0 n 3 n m n 2 n 0 n 3 n1n m ⎞ 2 2 − + − + − ⎪( n 0 − n m ) cos ϕ − ⎜ ⎟ sin ϕ = 0 n n n n n n 2 2 3 1 3 ⎠ ⎪ ⎝ 1 (4.1.5) ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ n 0 n m − n + n 0 n m − n + n 0 n m − n cos 2 ϕ − n 0 n m n 2 − n1n 3 sin ϕ = 0 ⎜ ⎟ 1 2 3⎟ ⎪⎜ n n2 n3 n2 ⎠ ⎠ ⎝ n1n 3 ⎩⎝ 1 Кроме того, если мы потребуем, чтобы выполнялось условие 2 n 0 n m n 22 = ( n1n 3 ) , то из второго уравнения получаем:

n0nm nn nn − n1 + 0 m − n 2 + 0 m − n 3 = 0. (4.1. 6) n1 n2 n3 После небольших преобразований получим: ⎡ n n +n n ⎤ (4.1.7) ( n 0 n m − n1n 3 ) ⎢ n1 + n 3 + 0 m 1 3 ⎥ = 0. n0nm ⎣ ⎦ Из этого уравнения следует, что должна обращаться в нуль круглая скобка. Отсюда следует, что необходимо выполнение соотношений: n 0 n m − n1n 3 = 0 и n 0 n m = n 22 . (4.1.8) Нетрудно заметить, что эти два условия (4.1.8) могут быть выполнены, только при просветлении оптических материалов с большим показателем преломления. Если выполняются эти условия, то из первого уравнения (4.1.3) видно, что коэффициент отражения будет обращаться в нуль ещё при двух значениях фазовых толщин: ( n 0 − n m ) n1n 2n 3 , (4.1.9) tg 2ϕ = ( n 0n 22 − n m n12 ) n 3 + ( n 0n 32 − n m n 22 ) n1 + n m ( n 0n 32 − n 32 ) n 2 Для tgϕ могут быть реализованы положительные и отрицательные значения, т.е. 1

⎛ ⎞ 2 2 n n n n n − ( )( ) 0 m 0 m 1 ⎟ . tgϕ = ± ⎜ (4.1.10) ⎜ ( n 3 n − n 4 ) n + 2 ( n 2 − n 2 ) n n 12 n 3 2 ⎟ 1 3 0 1 1 0 m ⎠ ⎝ 0 m Поскольку φ - действительная величина, то подкоренное выражение должно быть положительным, действительно: ( n 0 − n m ) < 0 и ( n 02 − n12 ) < 0 ,

(n n 3 0

m

− n14 ) < 0 , поэтому такая трёхслойная система может быть реализована

только в ИК-диапазоне. Длины волн λ1, λ2 легко могут быть определены из −1 (4.1.10). Действительно, поскольку ϕ = 2πnd ( λ ) , а nd=0.25λ0, то: 0.5

⎛ ⎞ n 0 − n m )( n 0 n m ) n12 −1 ( ⎜ ⎟ . ϕ = 0.5πλ 0 ( λ1,2 ) = ±arctg 3 1 3 4 2 2 ⎜ ( n n − n ) n + 2( n − n ) n n 2n 2 ⎟ 1 3 0 1 1 0 m ⎠ ⎝ 0 m Отсюда, используя область определения главного значения арктангенса для λ1 и λ2, получим: −1

0.5 ⎡ ⎤ 2 ⎛ ⎞ n n n n n − ( )( ) π 0 m 0 m 1 ⎢ ⎟ ⎥ . λ1 = λ 0 ⋅ arctg ⎜ 3 1 ⎢ ⎜ ( n3n − n4 ) n + 2 ( n2 − n2 ) n n 2 n 2 ⎟ ⎥ 2 1 3 0 1 1 0 m ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 0 m ⎦ λ0 π λ2 = . 0.5 2 2 ⎛ ⎞ ( n 0 − n m )( n 0 n m ) n1 ⎟ π − arctg ⎜ ⎜ ( n3 n − n 4 ) n + 2 ( n 2 − n 2 ) n n 12 n 32 ⎟ 1 3 0 1 1 0 m ⎠ ⎝ 0 m

(4.1.11)

Такая система, образованная слоями равной толщины спектральную характеристику, представленную на рис.4.3.

имеет

Рис. 4.3. Спектральная кривая коэффициента отражения трёхслойной просветляющей диэлектрической системы со слоями равной оптической толщины.

На длине волны λ0 коэффициент отражения равен нулю, так же как и на длинах волн, определяемых из уравнения (4.1.11) (рис.4.3). Что здесь существенно? Существенна величина экстремумов соответствующих максимальному отражению. Величина этих экстремумов будет определяться значениями показателей преломления (n1, n2, n3), а самое главное, что вне зоны просветления коэффициент отражения может достигать очень больших значений. Эта система является просветляющей для спектрального диапазона внутри интервала λ1, λ2, в остальном спектральном диапазоне она будет работать как зеркальная. Наиболее эффективна такая система при n 0 < n1 < n 2 < n 3 < n m . На рис. 4.4. приведены спектральные зависимости трёх диэлектрических систем, образованных слоями с различными показателями преломления. Как видно из этого рисунка, увеличение разности в показателях преломления крайних слоёв приводит к уменьшению разности λ2 - λ1 и уменьшению экстремумов отражения внутри спектрального интервала λ1, λ2. Выбор конструкции диэлектрической системы (в этом случае показателей преломления n1 и n3) будет определяться конкретным заданием. При практическом использовании просветляющих систем значительный интерес представляет влияние показателя преломления подложки на спектральную зависимость энергетического коэффициента отражения, иными словами, в каком диапазоне показателей преломления подложки эта система будет сохранять свои свойства.

Рис. 4.4. Спектральные кривые коэффициента отражения трёхслойной четвертьволновой просветляющей диэлектрической системы на подложке с показателем преломления nm = 4.00, λ0=3мкм: 1 - n1 = 1.35, n2 = 2.00, n3 = 2.96; 2 - n1 = 1.60, n2 = 2.00, n3 = 2.50, 3 n1=1.80, n2 = 2.00, n3 = 2.22 На рис.4.5 приведена спектральная зависимость энергетического коэффициента отражения трёхслойной системы, определяемой следующими параметрами: n1 = 1.35, n1d1 = 0.25λ0, n2 = 2.00, n2d2 = 0.25λ0, n3= 2.96, n3d3 = 0.25λ0. Как видно из этого рисунка, в диапазоне показателей преломления подложки от 3 до 5, на спектральных кривых наблюдается по-прежнему три минимума отражения, которые по мере уменьшения показателя преломления подложки, приближаются к центральному минимуму. Кроме того, величины максимумов отражения по мере увеличения показателя преломления подложки существенно возрастают.

Рис. 4.5. Зависимость коэффициента отражения при нормальном падении света от длины волны и показателя преломления подложки для трёхслойной просветляющей системы n1 = 1.35, n1d1 = 0.25λ0, n2 = 2.00, n2d2 = 0.25λ0, n3 =

При использовании просветляющих покрытий для работы в сходящихся или расходящихся световых пучках необходимо, так же как и раньше для двухслойных просветляющих систем, рассмотреть поведение спектральных зависимостей энергетических коэффициентов отражения при наклонном падении излучения с плоским волновым фронтом. Напомню, что для этого необходимо, при определении спектральных зависимостей энергетических коэффициентов отражения для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения, перейти к эффективным показателям преломления и эффективным фазовым толщинам слоёв.

Рис. 4.6. Зависимость коэффициентов отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения для трёхслойной просветляющей системы n1= 1.35, n1d1=0.25λ0, n2= 2.00, n2d2=0.25λ0, n3= 2.96, n3d3=0.25λ0 nm=4.00, λ0=5000нм от длины волны и угла

На рис. 4.6 изображены спектральные зависимости коэффициентов отражения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения для трёхслойной просветляющей системы n1= 1.35, n1d1 =

0.25λ0, n2 = 2.00, n2d2 = 0.25λ0, n3 = 2.96, n3d3 = 0.25λ0 nm = 4.00, λ0 = 5000нм от длины волны и угла падения излучения. Как видно из этого рисунка, энергетический коэффициент отражения для света, поляризованного в плоскости падения, при изменении угла падения от нуля до угла Брюстера подложки уменьшается и далее быстро возрастает. Характер кривой при этом остаётся прежним, т.е. на ней наблюдается три минимума отражения, однако величины этих минимумов отражения существенно возрастают. Для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, интервал углов падения, в котором свойства системы слабо изменяются, существенно меньше и составляет (0-0.5) радиана. При дальнейшем увеличении угла падения энергетический коэффициент отражения возрастает до единицы при скользящем падении. 4.2. Просветляющие системы с кратными толщинами слоёв

Рассмотрим систему, у которой фазовые толщины слоёв относятся как 1:2:1, т.е. φ2 = 2φ, а φ1 = φ 3 = φ. Такая система будет иметь два минимума отражения. Причём положение этих минимум отражения будет определяться величиной показателей преломления плёнкообразующих слоёв. Матрица интерференции такой системы имеет вид: 2 1 ⎪⎧( n1 + n 2 ) ( n 2 + n 3 ) cos 2ϕ + n 2 ( n1 − n 3 ) cos 2ϕ − ⎪⎫ m11 = ⎨ ⎬, 2n1n 2 ⎪ − ( n 22 + n1n 3 ) ⎩ ⎭⎪ m12 =

sin 2ϕ 2n1n 2 n 3

{( n

1

}

+ n 2 ) ( n 2 + n 3 ) cos 2ϕ − ( n 22 − n1n 3 ) , (4.2.1)

sin 2ϕ m 21 = ( n1 + n 2 ) ( n 2 + n 3 ) cos 2ϕ + ( n 22 − n1n 3 ) , 2n 2

{

}

2 1 ⎧⎪( n1 + n 2 ) ( n 2 + n 3 ) cos 2ϕ − n 2 ( n1 − n 3 ) cos 2ϕ + ⎫⎪ m 22 = ⎨ ⎬. 2n 2 n 3 ⎪ + ( n 22 + n1n 3 ) ⎪⎭ ⎩ Для просветляющей системы должно выполняться условие R=0, которое для элементов матрицы интерференции имеет вид: ⎧( n 0 n 3 − n m n1 ) ( n1 + n 2 ) ( n 2 + n 3 ) cos2 2ϕ + n 2 ( n 0 n 3 + n m n1 )( n1 − n 3 ) × ⎪ 2 ⎪× cos 2ϕ − ( n 0 n 3 − n m n1 ) ( n 2 + n1n 3 ) = 0; 4.2.2) ⎨ 2 ⎪ ( n1 + n 2 ) ( n 2 + n 3 )( n 0 n m − n1n 3 ) cos 2ϕ − ( n 2 − n1n 3 ) ( n 0 n m + n1n 3 ) × ⎪ ⎩× sin 2ϕ = 0. Одним из решений системы уравнений 4.2.2 является: sin 2ϕ = 0 из 4πnd λ второго уравнения. Тогда cos 2ϕ = −1 , а ϕ = = π , т.е. n1d1 = n 3d 3 = 0 , 4 λ0 n 2d 2 = 0.5λ 0 и R=0 на длине волны λ = λ 0 . Показатели преломления слоёв в

{

}

соответствии с первым уравнением системы (4.2.2) должны быть связаны соотношением: n 0 n 32 = n m n12 . (4.2.3) Обратите внимание на то, что в (4.2.3) отсутствует показатель преломления второго слоя. Это объясняется тем, что на длине волны λ = λ 0 этот слой имеет оптическую толщину n 2d 2 = 0.5λ 0 и описывается единичной матрицей, которая не влияет на величину произведения матриц интерференции системы. На рис.4.7 приведена спектральная зависимость коэффициента отражения диэлектрической системы, показатели преломления которой удовлетворяют условию (4.2.3). Как видно из этого рисунка, коэффициент отражения обращается в нуль на длине волны λ = λ 0 , а в остальных длинах волн он отличен от нуля. Из сравнения рисунков 4.2 и 4.5 видно, что использование полуволнового слоя увеличивает зону минимального отражения трёхслойной просветляющей системы.

Рис. 4.7. Спектральная зависимость коэффициента отражения трёхслойной просветляющей системы. n1=1.45, n1d1 = 0.25λ 0 , n2=2.00, n 2d 2 = 0.5λ 0 , n3=1.80, n 3d 3 = 0.25λ 0 , nm=1.51, λ0=500нм. Рассмотрим другой случай, когда sin 2ϕ ≠ 0 , тогда из второго уравнения системы уравнений (4.2.2) следует, что: n 22 − n1n 3 ) ( n 0 n m + n1n 3 ) ( cos 2ϕ = . (4.2.4) ( n1 + n 2 ) ( n 2 + n 3 )( n 0 n m − n1n 3 ) На показатели преломления накладывается условие, определяемое первым уравнением системы 4.2.2. Одним из решений этого уравнения является система, слои которой имеют следующие значения показателей преломления: n1 =1.45, n2 =2.10, n3=1.60, подложка имеет показатель

преломления 1.51, излучение падает из воздуха по нормали. На рис.4.8 представлена спектральная зависимость трёхслойного покрытия с показателями преломления слоёв n1 =1.45, n2 =2.10, n3=1.60. Как видно из этого рисунка на длине волны λ = λ 0 наблюдается максимум отражения, нулевые минимумы отражения находятся в длинах волн, определяемых условием 4.2.4. Как видно из сравнения спектральных кривых, изображённых на рис. 4.7 и 4.8, зона минимального отражения диэлектрической системы, изображённой на рис. 4.8 существенно больше (примерно в три раза). На рис. 4.7 и 4.8 представлены спектральные зависимости коэффициентов отражения диэлектрических систем, показатели преломления которых, удовлетворяют условиям 4.2.3 и 4.2.4. Как видно из этих рисунков от выбора плёнкообразующих материалов, а выбор их в соответствии с 4.2.3 и 4.2.4 неоднозначен, использование в качестве плёнкообразующего материала первого слоя минимально возможного значения показателя преломления приводит к существенному расширению зоны минимального отражения.

Рис. 4.8. Спектральная зависимость коэффициента отражения трёхслойного покрытия, нанесённого на стекло с показателем преломления 1.51, структура покрытия: n1=1.45, n1d1 = 0.25λ 0 , n2=2.10, n 2d 2 = 0.5λ 0 , n3=1.60, n 3d 3 = 0.25λ 0 , λ0=500нм. В любом случае, если рассматривать трёхслойную систему, и накладывать какие-либо дополнительные ограничения на фазовые толщины слоёв, то решение естественно упрощается и даёт достаточно быстро желаемый результат. 4.3. Симметричные системы слоёв

Далее рассмотрим симметричные системы, т.е. системы, которые имеют плоскость симметрии. Минимальное число слоёв такой системы - три слоя. Если мы проводим через середину второго слоя системы плоскость, то необходимо, чтобы φ1 = φ3, а n1 = n3. Такая система будет называться симметричной. Особенностью симметричных систем является то, что диагональные элементы матрицы интерференции, описывающей их свойства одинаковы. Напишем, что φ1 = φ3 = φ1, n1 = n3 = n1, и определим матричные элементы: ⎧ 1 ⎛ n1 n 2 ⎞ ⎪ m11 = cos 2ϕ1 cos ϕ2 − ⎜ + ⎟ sin 2ϕ1 sin ϕ2 , 2 ⎝ n 2 n1 ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ 1 ⎞ 1 n ⎪ m12 = sin 2ϕ1 cos ϕ2 + ⎜ cos2 ϕ1 − 22 sin 2 ϕ1 ⎟ sin ϕ2 , n1 n1 ⎪ ⎝ n2 ⎠ (4.3.1) ⎨ 2 ⎪ m = n sin2ϕ cosϕ + ⎛ n cos2 ϕ − n1 sin 2 ϕ ⎞ sin ϕ , 1 1 2 1 1⎟ 2 ⎜ 2 ⎪ 21 n2 ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1 ⎛ n1 n 2 ⎞ ⎪ m 22 = cos 2ϕ1 cos ϕ2 − ⎜ + ⎟ sin 2ϕ1 sin ϕ2 . 2 ⎝ n 2 n1 ⎠ ⎩ Как видно из (4.3.1) m11 = m 22 и тогда матрицу интерференции можно записать в таком виде: i sin℘ , N iNsin℘ cos℘ cos℘

(4.3.2)

m 21 . m12 Такая формальная запись удобна при рассмотрении многослойных систем. Предположим, что эта система многократно повторяется. Тогда при описании такой системы слоёв матрица интерференции будет иметь вид (для двух периодов): i i m 11 im 12 m 11 im 12 cos℘ sin℘ cos℘ sin℘ × = × M= . (4.3.3) N N im 21 m 22 im 21 m 22 i sin℘ cos℘ i sin℘ cos℘ где: cos℘= m11 = m 22 , sin 2 ℘ = m12 × m 21 , N 2 =

Для нахождения матрицы интерференции системы можно возвести в квадрат матрицу интерференции симметричного слоя, а можно сказать, что слой повторяется два раза. 2 i i cos℘ sin℘ cos 2℘ sin 2℘ (4.3.4) M= = . N N iN sin℘ cos℘ iN sin 2℘ cos 2℘

Что это значит? Это значит, что его толщина увеличивается в два раза, а показатель преломления остаётся прежним. Если такая система повторяется много раз, например, n-раз, то это эквивалентно тому, что фазовая толщина эквивалентного слоя увеличивается в n-раз, а эквивалентный показатель преломления остаётся прежним. Задача сводится к тому, что необходимо вычислить эквивалентный показатель преломления такой системы и её эквивалентную фазовую толщину. Эквивалентная фазовая толщина у нас уже написана: cos℘= m11 = m 22 . В таком виде, как это написано, это не очень легко анализировать, поскольку φ1 и φ2 не всегда кратные числа. Наиболее просто можно посмотреть на эту ситуацию, когда φ2 = 2φ1. Ситуация очень легко анализируется, тем более что подобная ситуация описывает четвертьволновые системы. Давайте посмотрим, что будет в случае, когда φ1 = φ, а φ2 = 2φ, тогда: 1 ⎛ n12 + n 22 ⎞ 2 2 m11 = cos 2ϕ − ⎜ ⎟ sin 2ϕ. 2 ⎝ 2n1n 2 ⎠ Если немного преобразовать этот матричный элемент, то: 2 ⎧ ⎡ 2 n12 + n 22 ⎤ ( n1 + n 2 ) , × ⎪ m11 = m 22 = ⎢cos 2ϕ − 2⎥ 2n n n n + ( ) ⎪ 1 2 1 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎪ 2 ( n1 + n 2 ) ⎛ n1 − n 2 ⎞ ⎪ (4.3.5) ⎨ m12 = ⎜ cos 2ϕ + ⎟ sin 2ϕ, 2n n n + ⎝ 1 1 2 ⎠ ⎪ 2 ⎪ ⎪ m = ( n1 + n 2 ) ⎛ cos 2ϕ − n1 − n 2 ⎞ sin 2ϕ. ⎜ ⎟ ⎪ 21 2n 2 n1 + n 2 ⎠ ⎝ ⎩ Посмотрим, как фазовая толщина такой системы ℘ меняется в зависимости от фазовой толщины слоя: 2 ( n1 + n 2 ) ⎡ 2 n12 + n 22 ⎤ . ℘ = arccos (4.3.6) ⎢cos 2ϕ − 2⎥ 2n1n 2 ⎣⎢ ( n1 + n 2 ) ⎦⎥

Построим эту зависимость (рис. 4.9). Как видно из изображённой на рис. 4.9 зависимости, фазовая толщина симметричной трёхслойной системы будет расти с ростом фазовой толщины образующих эту систему слоёв.

Рис.4.9. Зависимость фазовой толщины симметричной трёхслойной системы от фазовой толщины образующих её слоёв при n1=2, n2= 1.45. Теперь посмотрим, как изменяется эквивалентный показатель преломления симметричной трёхслойной системы с ростом фазовой толщины образующих эту систему слоёв. Вспоминая, что φ2 = 2φ величина N2 есть: n − n2 cos 2ϕ − 1 n1 + n 2 (4.3.7) N 2 = n12 . n1 − n 2 cos 2ϕ + n1 + n 2 Лучше написать (4.3.7) в виде дроби, потому что удобнее иметь дело с величиной меньшей единицы для оценки поведения этой функции. Нас интересует, как ведёт себя эквивалентный показатель преломления в зависимости от фазовой толщины слоёв и от величины показателей преломления, а вернее даже не от величины показателей преломления, а от их относительной разности. Давайте посмотрим, что мы с вами получили. Совершенно очевидно, что в случае, если фазовая толщина слоя равна нулю, то эквивалентный показатель преломления N 2 = n1n 2 . Фазовая толщина слоя равна нулю, когда слой отсутствует или когда длина волны равна бесконечности, т.е. при достаточно больших длинах волн или при очень малых толщинах слоя. Этим можно воспользоваться при создании плёнок с промежуточным значением показателей преломления. На практике мы имеем дело с очень небольшим набором плёнкообразующих материалов. Если мы с вами воспользуемся очень тонкими слоями, например, с оптической толщиной nd=λ0/40 - nd=λ0/20, то в этом случае можно считать слои очень тонкими. Если мы составляем такую симметричную систему слоёв, то эквивалентный показатель преломления её будет n1n 2 . Мы получаем возможность расширения диапазона показателей преломления, с которыми можно работать. Причём, если мы имеем четыре значения показателей преломления,

то дальше мы получаем не четыре, а восемь, и т.д. Это очень важное следствие из этого рассмотрения. Теперь посмотрим, что у нас будет по мере увеличения фазовой толщины слоя. Изобразим зависимость N2 от φ, хотя обычно в литературе рисуют зависимость N от φ. Без большого труда можно убедиться, что в формуле (4.3.7) дробь может быть отрицательной и N - мнимой величиной. Поэтому лучше рассмотреть величину N2. Что будет происходить по мере увеличения фазовой толщины? Показатели преломления слоёв n1, n2. Когда n − n2 cos2φ достигает значения 1 , числитель обращается в нуль. При n1 + n 2 дальнейшем увеличении фазовой толщины при 2φ = π/2, φ = π/4 N 2 = −n12 , n − n2 далее при 2φ> π/2, φ> π/4 cos2φ становится равным - 1 и знаменатель n1 + n 2 обращается в нуль. Это точка разрыва на графике. Когда cos 2ϕ = −1 , φ = π, эквивалентный показатель преломления равен: (4.3.8) n13 2 N = . n2 Очевидно, в этой зависимости будут симметричные точки, поскольку косинус меняется от 1 до 0 , дальше от 0 до -1 и т.д.

Рис. 4.10. Зависимость величины N2 от фазовой толщины образующих симметричную трёхслойную систему слоёв для n1n2

На рис.4.10 изображена зависимость N2, определяемая формулой (4.3.7), от фазовой толщины слоёв для двух случаев: n1n2. Как видно из этого рисунка, на графических зависимостях наблюдаются зоны разрыва функции, кроме того зоны с отрицательным и положительным значением величины N2 зависят от знака разности показателей преломления образующих систему слоёв. В этой ситуации можно легко написать и коэффициент отражения системы слоёв, осаждённой на подложку через эквивалентный показатель преломления симметричной системы слоёв. Коэффициент отражения для однослойной системы, как вы помните:

2

⎛n n ⎞ ( n 0 − n m ) cos ϕ1 + ⎜ 0 m − n1 ⎟ sin 2 ϕ1 ⎝ n1 ⎠ R= . 2 ⎛ ⎞ n n 2 ( n 0 + n m ) cos2 ϕ1 − ⎜ 0 m + n1 ⎟ sin 2 ϕ1 ⎝ n1 ⎠ Для симметричной системы слоёв коэффициент отражения будет иметь вид: 2 N 2 ( n 0 − n m ) cos2 ℘+ ( n 0 n m − N 2 ) sin 2 ℘ R= 2 . (4.3.9) 2 N ( n 0 + n m ) cos2 ℘+ ( n 0 n m + N 2 ) sin 2 ℘ 2

2

Теперь можно посмотреть, что будет получаться в разных зонах. Особенно интересны зоны, где величина N2 имеет разрыв. Если посмотреть на зависимость (4.3.9), то нетрудно сообразить, что коэффициент отражения стремится к единице. Эти зоны в литературе получили название зон подавления, это не очень хорошее англоязычное название, на самом деле это зоны высокого отражения. Зоны, где величина N2 имеет малое значение – это зоны прозрачности диэлектрической системы. Если выполняется условие N 2 = n 0 n m , то такая система будет иметь минимум отражения при той фазовой толщине, которая соответствует точке пересечения. Из такого рассмотрения следует несколько очень важных следствий: ƒ систему можно разбить на сколь угодное большое число подсистем; ƒ для тонких слоёв эквивалентный показатель преломления это произведение показателей преломления; ƒ существуют зоны, где эквивалентный показатель преломления может быть большим; ƒ при выборе просветляющих систем воспользоваться условием 2 N = n 0 n m с тем, чтобы можно было найти длину волны или фазовую толщину слоя, которые обеспечивают нулевое отражение для подобной трёхслойной системы. Мы рассмотрели симметричные системы и показали, что такая система может быть записана как один слой и в этой связи подобное рассмотрение окажется полезным при рассмотрении многослойных систем. 4.4. Изменение коэффициента отражения по мере формирования трёхслойных систем

Рассмотрим, как меняется пропускание системы диэлектрических слоёв для любой системы: одно-, двух-, трёхслойной системы по мере её формирования. Однослойная система, так же как и двухслойная была рассмотрена выше, а теперь давайте посмотрим, что у нас будет в случае трёхслойной системы, как у нас будет изменяться коэффициент отражения, и

как меняется пропускание. Поскольку это взаимно дополнительные функции, получив одну зависимость, можно легко получить другую. Рассмотрим, как будет меняться отражение по мере формирования трёхслойной системы, и для определённости наложим некоторые ограничения на показатели преломления формирующих систему слоёв. Первый случай, когда n1n 3 = n 0 n m и n 22 = n 0 n m , и для определённости положим, что значения показателей преломления соответствуют неравенству n1 < n 2 < n 3 , это так называемые покрытия со ступенчато меняющимся показателем преломления, а затем рассмотрим некоторые другие ситуации. Так что же у нас будет? Первым, естественно, осаждается слой на подложке с показателем преломления n3, n 3 < n m , затем осаждается слой с показателем преломления n2 и с показателем преломления n1. Посмотрим, как меняется энергетический коэффициент отражения на длине волны λ=λ0, для которой фазовые толщины слоёв одинаковы φ1 = φ 2 = φ 3 = φ = π/2. Так что же будет происходить по мере формирования слоёв? Когда формируется первый слой с показателем преломления n 3 < n m , то, как известно, коэффициент отражения в этом случае уменьшается и достигает минимального значения при фазовой толщине, равной π/2. Энергетический коэффициент отражения, при формировании слоя на подложке имеет вид: 2

⎛n n ⎞ ( n 0 − n m ) cos ϕ + ⎜ 0 m − n 3 ⎟ sin 2 ϕ ⎝ n3 ⎠ R= . (4.4.1) 2 ⎛ ⎞ n n 2 ( n 0 + n m ) cos2 ϕ + ⎜ 0 m + n 3 ⎟ sin 2 ϕ ⎝ n3 ⎠ В момент начала осаждения слоя его фазовая толщина слоя равна нулю, коэффициент отражения равен коэффициенту отражения подложки. Когда фазовая толщина слоя равняется π/2, то соответственно коэффициент отражения есть: 2

2

2

⎛ n0nm ⎞ − n 2 3⎟ ⎜ n3 ⎛ n 0 n m − n 32 ⎞ ⎝ ⎠ R= =⎜ . (4.4.2) 2 2 ⎟ ⎛ n0nm ⎞ ⎝ n0nm + n3 ⎠ + n3 ⎟ ⎜ ⎝ n3 ⎠ Поскольку n 3 < n m , то коэффициент отражения подложки со слоем будет меньше, чем коэффициент отражения подложки, в момент достижения слоем фазовой толщины π/2. Функция, описываемая выражением (4.4.1) периодическая и, соответственно, коэффициент отражения подложки будет меняться, достигая минимального значения в момент достижения слоя фазовой толщины π/2. Мы с вами определили, как меняется коэффициент отражения по мере формирования первого слоя, а теперь посмотрим, как будет меняться коэффициент отражения по мере формирования второго слоя. Здесь мы с вами знаем, что контроль ведётся на длине волны λ=λ0, фазовая толщина третьего, уже сформированного на подложке слоя, на этой длине

волны равняется π/2. Матрица интерференции, которая описывает формирующуюся двухслойную систему слоёв на этой длине волны, будет иметь достаточно специфический вид: i i 0 cos ϕ2 sin ϕ2 n3 , n2 × n 2 sin ϕ2 cos ϕ2 in 3 0 а её элементы равны: n 1 n m11 = − 3 sin ϕ2 , m12 = cos ϕ2 , m 21 = n 3 cos ϕ2 , m 22 = − 2 sin ϕ2 . n3 n3 n2 Энергетический коэффициент отражения такой системы, коэффициент отражения растущего слоя на длине волны λ = λ0 равен: 2

т.е.

2

⎛ n0n3 n2 nm ⎞ ⎛ n0n m ⎞ 2 − − n 3 ⎟ cos2 ϕ2 ⎜ ⎟ sin ϕ2 + ⎜ n n3 ⎠ ⎝ n3 ⎠ R=⎝ 2 . 2 2 ⎛ n0n3 n2 nm ⎞ ⎛ ⎞ n n 2 0 m + + n 3 ⎟ cos2 ϕ2 ⎜ ⎟ sin ϕ2 + ⎜ n3 ⎠ ⎝ n2 ⎝ n3 ⎠

(4.4.3)

Давайте посмотрим, что мы с вами получили? Когда фазовая толщина второго слоя равна нулю, коэффициент отражения равен ⎛ n 0n m ⎞ n − ⎜ 3⎟ ⎝ n3 ⎠

2 2

⎛ n 0 n m − n 32 ⎞ R= , =⎜ 2 2 ⎟ ⎛ n 0n m ⎞ ⎝ n 0n m + n 3 ⎠ + n3 ⎟ ⎜ ⎝ n3 ⎠ т.е. коэффициенту отражения первого слоя, нанесённого на подложку или, в наших обозначениях, коэффициенту отражения третьего слоя. Далее, когда фазовая толщина второго слоя равна π/2, коэффициент отражения такой системы будет определяться следующим образом: R 2,3

(n n = (n n

2

0

0

2

2 3 − n 2nm )

2 3 + n 2nm )

2 2

2

⎛ n 0 n 32 − n 22 n m ⎞ =⎜ ⎟ . 2 2 + n n n n 0 3 2 m ⎝ ⎠

(4.4.4)

Давайте вспомним, что мы получали для двухслойной системы, четвертьволновой, какие ограничения накладывались на показатели преломления для того, чтобы нам получить нулевое отражение на длине волны λ = λ0. Это условие легко получить отсюда, приравняв R2,3 нулю. Если показатели преломления связаны таким образом, что n 0 n 23 = n 2 2 n m , то такая система обладает минимумом отражения на длине волны λ = λ0. Поскольку у нас величина n2 меньше, чем n3, то n 0 n 23 > n 2 2 n m . Поэтому в момент окончания осаждения слоя коэффициент отражения будет больше, чем после осаждения первого слоя на подложку.

Теперь посмотрим, как будет меняться коэффициент отражения по мере осаждения последнего слоя нашей системы. Это слой с показателем преломления n1, фазовая толщина слоя меняется от нуля до π/2, но последующая система уже сформирована, на подложке есть слои с показателями преломления n2 и n3, их фазовые толщины π/2 и матрица интерференции нашей системы будет иметь такой вид: i i i 0 cos ϕ1 sin ϕ1 0 n3 . n1 n2 × × in1 sin ϕ1 cos ϕ1 in 2 0 in 3 0 Результирующая матрица имеет вид: n n − 3 cos1 −i 2 sin ϕ1 n2 n1 n 3 . n1 n 3 n2 −i sin ϕ1 − cos1 n2 n3 Коэффициент отражения системы с растущим первым слоем (или третьим от подложки) может быть записан в таком виде: 2

2

⎛ n0n3 n m n2 ⎞ ⎛ n 2 n 0 n m n1 n 3 ⎞ 2 2 − − ⎜ ⎟ cos ϕ1 + ⎜ ⎟ sin ϕ1 n n3 ⎠ n2 ⎠ ⎝ n1 n 3 R 1,3 = ⎝ 2 . (4.4.5) 2 2 ⎛ n0n3 n m n2 ⎞ ⎛ n 2 n 0 n m n1n 3 ⎞ 2 2 + + ⎜ ⎟ cos ϕ1 + ⎜ ⎟ sin ϕ1 n3 ⎠ n2 ⎠ ⎝ n2 ⎝ n1 n 3 Мы с вами получили значение коэффициента отражения системы, у которой растёт последний слой, слой на границе с воздухом. Давайте проверим, правильно ли мы написали выражение коэффициента отражения. У нас должны совпадать коэффициенты отражения растущей системы при фазовой толщине слоя, равной нулю, и системы, содержащей два слоя с фазовой толщиной π/2. В этом случае, когда первый слой отсутствует, его фазовая толщина равна нулю, коэффициент отражения определяется следующим соотношением: R 1,2,3

(n n = (n n

2

0

0

3 2

− n22 n m )

+ n 2nm ) 2

3

2 2

,

это справедливо при φ1 = 0. Естественно R1,2,3 =R2,3 при φ1 = 0. Что будет происходить дальше? Когда фазовая толщина растущего слоя достигнет значения π/2, коэффициент отражения такой системы будет определяться следующим выражением:

R 1,3

(n = (n

2

2 2 2 n 0 n m − n 1n 3 )

2 2

)

2

2 2 2 1 3

n0n m + n n

.

Мы получили зависимость коэффициента отражения как функцию фазовой (или оптической) толщины растущего слоя. Теперь, вспомним, что на показатели преломления системы накладывалось условие: n 22 = n 0 n m , n1n 3 = n 0 n m . При выполнении этого условия коэффициент отражения должен равняться нулю. В момент достижения слоя фазовой толщины π/2 коэффициент отражения такой системы равняется нулю. Т.о. мы получили изменение коэффициента отражения по мере формирования трёхслойной системы на длине волны падающего излучения λ=λ0.

Рис.4.11. Изменение коэффициента отражения трёхслойного покрытия на длине волны λ = λ0 по мере роста четвертьволновой системы в зависимости от фазовой толщины слоёв, система образованна слоями с n1d1 = n2d2 = n3d3 = 0.25λ0, n1 = 1.60, n2 = 2.00, n3 = 2.50, nm = 4.00, n0 = 1.0. Теперь, прежде чем рассматривать другие варианты, давайте посмотрим, что мы можем сделать, если у нас произошли какие-либо ошибки при их осаждении, можем мы как-то ситуацию исправить или нет. Давайте вспомним о том, что функции, с которыми мы имеем дело, это периодические функции с периодом π, если мы с вами ошиблись, например, при осаждении первого слоя, то ситуацию ещё как-то можно исправить. Если у первого слоя, вместо фазовой толщины 0.5π сформируем слой с фазовой толщиной 3/2 π, то мы получим тоже значение коэффициента отражения. При ошибках в других слоях, поскольку рассматриваемые функции периодические, то получим аналогичные зависимости. Для второго слоя, если мы φ2 положим равным 3/2 π, мы получим те же самые значения, если для φ1 положим вместо 1/2 π - 3/2 π, то будем иметь тоже самое. Мы при этом получим коэффициент отражения на длине волны λ=λ0 равный нулю, но в других длинах волн коэффициент отражения будет меняться. Пусть n3d3=3/4λ, n2d2=3/4λ, n1d1=3/4λ, это будет эквивалентно тому, что мы контрольную длину волны

Эволюция спектральных зависимостей коэффициента отражения от длины волны и фазовой толщины растущего слоя, граничащего с воздухом. Рис.

4.12.

увеличиваем в три раза, а поскольку зависимость коэффициента отражения от длины волны функция периодическая, поэтому в том спектральном диапазоне, который мы рассматриваем, ширина зоны минимального

отражения будет в три раза меньше. При этом система будет иметь дополнительные минимумы отражения в длинах волн в три раза больших λ0. В связи с появлением новых средств регистрации, например, таких как спектрометр для регистрации отражённого и прошедшего излучения с помощью ПЗС-матриц, позволяющим в реальном масштабе времени измерять коэффициенты отражения и пропускания в широком спектральном диапазоне, несомненный интерес представляет изучение эволюции спектральных кривых этих величин в процессе роста многослойной системы. Эволюция коэффициентов отражения для одного слоя и двухслойной системы были представлены ранее. Для двухслойной системы была представлена эволюция коэффициента отражения, когда n1
Рис.4.13. Изменение коэффициента отражения по мере роста слоя, граничащего с воздухом при контроле на длинах волн: 1 - λк = 495нм; 2 - λк = 762нм; 3 – λк = λ0 = 600нм. Теперь давайте посмотрим, что будет, если у нас будут другие ограничения на показатели преломления. Например, мы имеем дело с системой, у которой между показателями преломления выполняются такие n2 > n3 , n1 < n 2 фазовые толщины слоёв соотношения: n 3 > n m , соответственно φ1 = π/2, φ2 = π, φ3 =π/2. В чём будет отличие от того случая, который мы рассмотрели. Показатель преломления первого слоя больше, чем показатель преломления подложки. Энергетический коэффициент отражения мы с вами уже получили (4.4.1), но n 3 > n m , поэтому при достижении третьим слоем фазовой толщины равной π/2 коэффициент отражения будет больше, чем коэффициент отражения подложки, коэффициент отражения будет нарастать по мере роста слоя. Далее мы начинаем осаждать слой с показателем преломления n 2 > n 3 . Как в этом случае будет изменяться коэффициент отражения? Чему в этом случае равен максимальный коэффициент отражения? В начале осаждения второго слоя энергетический коэффициент совпадает с коэффициентом отражения одного слоя на подложке (третьего), когда фазовая толщина второго равна нулю (рис.4.14). Далее по мере увеличения фазовой толщины слоя коэффициент отражения начинает увеличиваться, и при фазовой толщине слоя 0,5π будет определяться ранее приведённым выражением (4.4.3). При условии n 2 > n 3 коэффициент отражения будет увеличиваться и при фазовой толщине π/2, очевидно, достигает максимума. Но мы должны с вами осадить слой с фазовой толщиной π, а не π/2. При дальнейшем

осаждении слоя коэффициента отражения будет уменьшаться и при φ2 = π достигнет значения, равного коэффициенту отражения при φ2 = 0.

Рис.4.14. Изменение коэффициента отражения по мере формирования трёхслойной системы, образованной слоями с n1d1 = n3d3 = 0.25λ0, n2d2 = 0.5λ0, n1 = 1.38, n2 = 2.00, n3 = 1.65, nm = 1.51, n0=1.0. При осаждении первого слоя для определения коэффициента отражения можем ли мы воспользоваться матрицей интерференции, полученной в предыдущем случае для двух слоёв? Нет, конечно. При выводе этих формулы мы предполагали, что фазовые толщины осаждённых слоёв равны π/2, а у нас сейчас первый слой на подложке имеет фазовую толщину π/2, а второй π. Тогда нам нужно написать другую матрицу. Что это будет за матрица? Напишем матрицу интерференции растущего слоя: i i 0 cos ϕ1 sin ϕ1 −1 0 n3 . n1 × × 0 −1 in1 sin ϕ1 cos ϕ1 in 3 0 Матрица интерференции системы равна: n i − 3 sin ϕ1 cos ϕ1 n1 n3 . n1 in 3 cos ϕ1 − sin ϕ1 n3 Коэффициент отражения системы с растущим первым слоем равен: 2

2

⎛ n 0 n 3 n m n1 ⎞ ⎛ nm n0 ⎞ − − n 3 ⎟ cos2 ϕ1 ⎜ ⎟ sin ϕ1 + ⎜ n n3 ⎠ ⎝ n3 ⎠ R=⎝ 1 . (4.4.6) 2 2 ⎛ n 0 n 3 n m n1 ⎞ ⎛ nm n0 ⎞ + + n 3 ⎟ cos2 ϕ1 ⎜ ⎟ sin ϕ1 + ⎜ n3 ⎠ ⎝ n1 ⎝ n3 ⎠ Давайте проанализируем, что мы с вами получили. Во-первых, обращаю ваше внимание на то, что коэффициент отражения такой системы не зависит от показателя преломления второго слоя. Он у нас в формуле (4.4.6)

отсутствует. Это и понятно, потому что второй слой на этой длине волны имеет фазовую толщину π, т.е. это полуволновой слой. Здесь я хочу обратить ваше внимание на одно очень важное свойство полуволновых слоёв. Полуволновые слои не меняют ни отражение, ни пропускание системы на той длине волны, где они имеют такое значение. Отсюда же видно, что коэффициент отражения не зависит от показателя преломления второго слоя, у которого фазовая толщина слоя равна π или, что то же самое, оптическая толщина равна λ0/2. Коэффициент отражения в начальный момент времени, когда слой отсутствует, как нетрудно заметить, равен коэффициенту отражения первого слоя, что также подтверждает ранее сказанное. Далее, по мере роста толщины этого слоя коэффициент отражения будет меняться по такому же закону, как для второго слоя в этом случае. Поскольку у нас n1 < n 2 , но тут его можно было бы ещё немного ограничить. Напишем для определённости, что n1 < n 3 . Коэффициент отражения будет меняться, но будет достигать значения меньшего, чем в случае, когда мы осаждали первый слой. Здесь следует обратить внимание на следующее: коэффициент отражения этого слоя растёт, это слой с большим показателем преломления, но здесь мы тоже осаждаем слой с большим показателем преломления на систему, содержащую полуволновой слой, однако, коэффициент отражения у нас падает. Мы можем допустить, что n1 = n 3 . Чему равняется коэффициент отражения такой системы? Нетрудно сообразить, что он равен коэффициенту отражения подложки. Если n1 > n m , то получим значение коэффициента отражения большее, чем коэффициент отражения подложки, а если n1 < n m , то меньше, чем коэффициент отражения подложки. Если рассмотреть эволюцию коэффициента отражения по мере формирования аналогичной трёхслойной системы, но образованной слоями с показателями преломления n1=1.45, n2=2.10, n3=1.60 на стекле с показателем преломления 1.51, то в этом случае контроль толщины последнего слоя можно вести на трёх длинах волн. Эти длины волн соответствуют двум нулевым минимумам отражения, расположенным в коротковолновой и длинноволновой областях спектра, относительно длины волны λ0 и максимуму отражения, соответствующему длине волны λ0. Здесь, так же как и ранее, необходимо выбрать длину волны, на которой контроль толщины слоя в процессе осаждения будет более эффективен. Действительно, если контроль проводится на длине волны, соответствующей коротковолновому экстремуму, то коэффициент отражения изменяется от 0.115 до 0, проходя через максимальное значение, равное 0.121. Если контроль проводится на длине волны, соответствующей длинноволновому экстремуму, то коэффициент отражения изменяется от 0.115 до 0. Если контроль проводится на длине волны, соответствующей максимуму отражения, то отражение меняется от 0.068 до 0.011. Из сравнения этих результатов не трудно сообразить, что так же как и раньше для контроля необходимо выбрать длину волны, соответствующую коротковолновому экстремуму.

Мы с вами рассмотрели однослойные, двухслойные и трёхслойные системы и показали, что эти системы могут обладать весьма разными свойствами. Такие системы могут обладать свойствами систем, уменьшающих отражение, т.е. просветляющих или антиотражающих систем, кроме того, они могут увеличивать коэффициент отражения границы раздела. Как мы с вами показали, коэффициент отражения может увеличиваться достаточно сильно в зависимости от величины показателей преломления материалов, входящих в состав покрытия. Поскольку реальные значения показателей преломления не велики, для видимой области спектра их значение не превышает 2.5, минимальное значение показателя преломления 1.35 - 1.38 и увеличение коэффициента отражения одного четвертьволнового слоя не может быть больше 30-40%. Просветляющие системы, состоящие из одного, двух, трёх слоёв могут иметь один, два, три минимума отражения. Такого рода системы позволяют реализовать достаточно широкую полосу минимального отражения, и на каком то этапе развития оптики это всех удовлетворяло. В последние годы в связи с продвижением в ультрафиолетовый и инфракрасный диапазон спектра требования к ширине полосы минимального отражения существенно возрастает. Продвижение в УФ диапазон спектра связано с потребностями микроэлектроники. Вы, знаете, что все современные элементы радиоэлектроники - это микросхемы, изготавливаются они методом фотолитографии. Для того чтобы реализовать минимальный размер элемента, нам необходимо уменьшать длину волны падающего излучения. Минимальный размер разрешения на рисунках определяется апертурой используемой оптической системы и длиной волны излучения, проходящего через эту систему. В зависимости от апертуры основную роль играет длина волны светового излучения, проходящего через систему. Когда речь идёт о длине волны, большой интерес представляет использование ультрафиолетовой области спектра, а ещё больший интерес представляет вакуумный ультрафиолет, гамма-излучение, рентгеновское излучение. Мы с вами ранее рассмотрели просветляющие системы, состоящие из одного, двух и трёх слоёв и показали, что такого рода системы в зависимости от толщины слоёв и показателей преломления образующих эти системы слоёв могут иметь, соответственно, однослойная система - один минимум отражения, двухслойная – один или два минимума отражения, трёхслойные система – один, два или три минимума отражения. Здесь проявляется некоторая закономерность, которая связана с тем, что количество минимумов отражения, которое обеспечивается диэлектрической системой, напрямую зависит от числа слоёв и их показателей преломления. Чем больше число слоёв диэлектрической системы, тем большее количество минимумов отражения может быть реализовано. Мы с вами можем написать общее правило: если число минимумов отражения обозначить через l , а число слоёв в системе через m, то можно написать такое неравенство: l ≤ m.

Число минимумов отражения для диэлектрической системы никогда не превышает числа слоёв в этой системе. Это достаточно интересное свойство многослойных диэлектрических систем. Если мы расширяем спектральный диапазон, то мы непременно должны увеличить число слоёв входящих в эту систему. Строгого условия, которое бы нам позволило сразу определить число слоёв, в системе нет, но, тем не менее, такое качественное условие позволяет нам несколько упростить задачу. Теперь посмотрим, как решается эта задача? Мы с вами рассмотрели несколько возможностей, когда рассматривали один, два, три слоя. Мы показали, что условие просветления, которое написано для матричных элементов, содержит всего два уравнения, связывающие диагональные и недиагональные элементы матрицы интерференции. Этих двух условий, естественно, явно недостаточно. Для того чтобы определить многослойную систему, которая бы нас устроила, нам надо построить систему, обладающую минимальным отражением в достаточно широком спектральном диапазоне. Кроме того, если у нас система имеет m минимумов отражения, то она будет иметь (m-1) максимум, расположенный между ними. Что ещё мы с вами знаем относительно этих максимумов отражения. Чем определяется величина максимума отражения? В самом простейшем случае, когда мы рассматривали двух-, трёхслойные системы величина максимума отражения зависит от показателей преломления и толщины слоёв. В случае двухслойной системы, у которой соотношение между толщинами слоёв один к двум (верхний слой тоньше в два раза, чем промежуточный слой, как правило, мы с вами рассматривали четвертьволновые системы и оптическая толщина промежуточного слоя равна λ 0 / 2 ). На длине волны λ0 коэффициент отражения определяется соотношением между показателем преломления первого слоя и показателем преломления подложки. Здесь величина минимума отражения будет тем меньше, чем меньше величина показателя преломления первого слоя. Если мы воспользуемся условием, что n1 < n m , то величина коэффициента отражения всегда будет меньше, чем коэффициент отражения границы раздела. Для трёхслойных систем с аналогичной структурой покрытия – первый и третий слой четвертьволновые, а промежуточный слой полуволновой, величина коэффициента отражения определяется разностью показателей преломления первого и третьего слоёв. Чем больше эта разность, тем коэффициент отражения больше, чем она меньше, тем величина коэффициент отражения меньше. Величиной максимального коэффициента отражения можно управлять, зная разницу между показателями преломления слоёв, образующих эту систему. Если мы посмотрим более сложную систему, то там будут условия примерно такого же типа. Величина максимального коэффициента отражения будет определяться разностью показателей преломления слоёв, входящих в эту систему. Чем больше эта разница, тем больше величина коэффициента отражения.

При исследовании просветляющих систем двух уравнений, о которых говорилось ранее, явно не достаточно, чтобы определить такую систему. Нам нужно вводить какие-то дополнительные условия, дополнительные ограничения, которые позволили бы решить эту задачу однозначно. Какие здесь могут быть условия, которые можно ввести дополнительно, не ограничивая класс решения. Во-первых, мы можем ввести ограничения, что фазовые толщины слоёв одинаковы. Это достаточно серьёзное ограничение, но, тем не менее, оно не очень сильно уменьшает класс решений. Кроме того, мы можем наложить ещё какие-то дополнительные ограничения на соотношения между толщинами слоёв. Тогда мы получим дополнительные уравнения, которые нам позволят решить исходную систему уравнений для матричных элементов, т.е. определить матричные элементы, которые позволят реализовать необходимую нам систему. В этом направлении достаточно интенсивно ведутся работы, системы такие строятся, но в промышленности, по крайне мере до последнего времени использовались системы, просветляющие системы, содержащие не более 5-7 слоёв. В пятидесятые годы достаточно было иметь просветление для видимого диапазона, сейчас этого уже явно недостаточно. Сейчас для современных оптических систем надо иметь просветляющие системы, которое работали бы начиная от ультрафиолета и кончая ближней ИК-областью. В последние годы развивается направление, связанное с созданием систем, которые работают в двух достаточно близких спектральных диапазонах, но разделённых каким-то спектральным промежутком. Для ИК-диапазона сейчас модным является диапазон 3-5 мкм и 8-12 мкм. Такая система должна работать в двух узких диапазонах. Иногда используется система, работающая в диапазоне 3-5 мкм и в видимом диапазоне от 0.4 до 0.6, не вся видимая область, а часть видимой области. Иногда добавляется какой-либо узкий диапазон в фиолетовой части спектра. Сейчас оптическая техника работает в таких достаточно узких спектральных диапазонах, но разнесённых достаточно широко. Связано это с тем, что условия прохождения излучения через атмосферу для излучения с разными длинами волн существенно различаются. Поэтому здесь и происходят такие изменения в работе оптических систем. Берётся либо широкий спектральный диапазон, либо берутся узкие спектральные диапазоны, в которых излучение не поглощается. Для ИК-области спектра это окна прозрачности атмосферы. Задача создания таких просветляющих систем, которые работают в нескольких узких спектральных диапазонах, либо в широком спектральном диапазоне остаётся достаточно актуальной. Мы рассмотрели с вами классический подход к решению проблемы просветляющих покрытий. Он был реализован одним из первых, когда на толщины слоёв накладывались некоторые ограничения и при этом определялись показатели преломления. Но основная проблема здесь заключается в другом. Она заключается в том, что мы, к сожалению, с вами в реальной ситуации имеем дело с набором плёнкообразующих материалов. Набор этот, к сожалению, не широк, всех плёнкообразующих материалов наберётся не более десятка. Мы имеем дело не с непрерывным набором

значений показателя преломления, а с некоторыми дискретными значениями показателя преломления. Поэтому те значения показателей преломления, которые получаются при расчёте, не всегда могут быть реализованы в реальной ситуации. Поэтому здесь либо надо отказываться от этого пути, либо искать метод, который позволил бы создавать плёнки с заданным показателем преломления. В последние годы довольно интенсивно ведутся работы по совместному испарению диэлектриков в вакууме, которое позволяет получать слои с заданным показателем преломления.

Глава 5. ЗЕРКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим свойства многослойных зеркальных структур. Но прежде чем переходить к этому, я хотел бы остановиться на структурном описании многослойных систем. Я уже говорил, что в своё время существовал ОСТ на покрытия и в этом ОСТе на покрытия, они структурно изображались, как чередование четвертьволновых слоёв ВНВНВН и в зависимости от системы количество слоёв, число периодов или слоёв может быть совершенно разное. Действительно, если мы с вами рассматриваем четвертьволновые системы, а соответственно их фазовые и оптические толщины слоёв одинаковы, то можем их записать как некую последовательность: ПВНВНВНВ или ПВНВНВН, где П – это подложка. Как правило перед этим может указываться число слоёв, если покрытие содержит 13 слоёв, то можно записать это в таком виде ПВНВНВНВНВНВНВ, а можно в таком 13ПВН..В или в таком П6(ВН)В, или 14 слоёв П7(ВН). Когда речь идёт о технологическом описании системы, она может быть записана в выше приведённом виде. Это написание имеет глубокий смысл. Однако можно понимать под такими слоями не просто некие физические структуры, а матрицы интерференции. 5.1. Четвертьволновые зеркала с нечётным числом слоёв

Для описания таких систем пользуются матрицами интерференции слоёв, и в этой ситуации их может быть, например, 13. Система в этом случае, как вы видите, симметрична, и для описания таких систем можно пользоваться эквивалентным показателем преломления для симметричной системы слоёв. Такую структуру можно написать и иначе: (5.1.1) 0.5 В 0.5 ВН 0.5 В 0.5 ВН……0.5 В 0.5 В, где под обозначениями «В», «Н» понимаются матрицы интерференции четвертьволновых слоёв с высоким и низким показателями преломления. Теперь, если воспользоваться правилом скобок при матричном произведении, то мы можем получить такую структуру: (5.1.2) 0,5В(0,5В Н 0,5В)6 0,5В. Что мы получили, воспользовавшись правилом скобок при перемножении матриц? Здесь мы с вами получили набор симметричных систем. Такие системы мы с вами рассматривали ранее. Можно написать, что система образована многократным повторением симметричных систем (0.5В Н 0.5В). Мы можем эту систему (0,5В Н 0,5В) представить как произведение соответствующих матриц интерференции. Для 13-ти слойной системы эта структура повторяется 6 раз. Это симметричная комбинация слоёв, повторённая 6 раз. Это значит, что эквивалентный показатель преломления

такой комбинации остаётся постоянным, а фазовая толщина увеличивается в 6 раз. Мы можем записать её в виде: i i cos0.5ϕ sin 0.5ϕ cos℘ sin℘ nB = × N iN sin℘ cos℘ n B sin 0.5ϕ cos 0.5ϕ 5.1.3) i i cos ϕ sin ϕ cos 0.5ϕ sin 0.5ϕ nН nB × × . n Н sin ϕ cos ϕ n B sin 0.5ϕ cos 0.5ϕ По существу, это один слой с эквивалентной фазовой толщиной (℘) и эквивалентным показателем преломления (N). Эквивалентный показатель преломления мы с вами считали, эквивалентную толщину мы тоже с вами считали 4.3.5-4.3.7. А если мы 6 раз повторим эту комбинацию? В шесть раз увеличиться ℘. Поэтому для этой системы мы получим следующее: 6

i i cos 6℘ sin 6℘ cos℘ sin℘ = , N N iN sin 6℘ cos6℘ iN sin℘ cos℘ где: n1 − n 2 ⎧ cos ϕ − ⎪ n1 + n 2 N 2 = n12 ; ⎪ n n − 1 2 ⎪⎪ cos ϕ + ⎨ n1 + n 2 ⎪ 2 ⎪ ( n1 + n 2 ) ⎡ 2 n12 + n 22 ⎤ cos cos . ℘ = ϕ − ⎢ 2⎥ ⎪ 2n n n + n ( 1 2 ) ⎥⎦ 1 2 ⎢⎣ ⎪⎩

(5.1.4)

(5.1.5)

Это не вся система, это только часть тринадцатислойной системы, но вся система тоже симметрична, т.к. она обрамлена слоями 0.5В. Поэтому эквивалентный показатель преломления и эквивалентная толщина в такой схеме тоже легко считается, по той же самой системе, которой мы только что пользовались. Тогда мы с вами знаем матрицу интерференции всей системы. Она описывается неким эквивалентным показателем преломления (N1) и эквивалентной фазовой толщиной, а матрица интерференции такой системы имеет следующий вид: i cos ψ sin ψ N1 , iN1 sin ψ cos ψ где:

ϕ ϕ⎞ ⎧ ⎛ N sin ϕ cos 6℘+ ⎜ N 2 cos2 − n12 sin 2 ⎟ sin 6℘ ⎪ 2 2 2⎠ ⎝ , ⎪ N1 = n12 ϕ ϕ ⎛ ⎞ 2 2 2 2 ⎪ n1 N sin ϕ cos 6℘+ ⎜ n1 cos − N sin ⎟ sin 6℘ (5.1.6) ⎨ 2 2⎠ ⎝ ⎪ ⎪ n12 + N 2 ψ = ϕ ℘− cos cos cos6 sin ϕ sin℘. ⎪ 2n N ⎩ 1 Давайте посмотрим, что мы можем сказать о спектральной характеристике, которая описывается этой матрицей? Амплитудный коэффициент отражения, естественно: ⎛n n ⎞ ( n 0 − n m ) cos ψ + i ⎜ 0 m − N1 ⎟ sin ψ ⎝ N1 ⎠ r= . (5.1.7) ⎛ n0n m ⎞ + N1 ⎟ sin ψ ( n 0 + n m ) cos ψ + i ⎜ ⎝ N1 ⎠ А энергетический коэффициент отражения такой системы тоже легко может быть определён: 2

⎛n n ⎞ ( n 0 − n m ) cos2 ψ + ⎜ 0 m − N1 ⎟ sin 2 ψ ⎝ N1 ⎠ (5.1.8) R= . 2 ⎛n n ⎞ 2 ( n 0 + n m ) cos2 ψ + ⎜ 0 m + N1 ⎟ sin 2 ψ ⎝ N1 ⎠ Теперь, после того, как определены величины амплитудного и энергетического коэффициентов отражения, необходимо выяснить характер функций их описывающих. Нас здесь интересует период этой функции. Он равен π. Как будет себя вести коэффициент отражения. Коэффициент отражения будет вести себя в зависимости от того, как меняется эффективный показатель преломления и как меняется фазовая толщина слоя. Видно, что когда косинус фазовой толщины обращается в ноль, здесь фазовая толщина довольно быстро меняется, коэффициент отражения тоже может обращаться в ноль, если n 0 n m = N 21 . Коэффициент отражения может стремиться к единице, если выполняются некоторые ограничения на величину показателей преломления и на фазовую толщину слоя. Это система, может иметь самые разные свойства в разных спектральных диапазонах. Определим, каким может быть максимальный коэффициент отражения такой системы. Максимальным коэффициент отражения может быть только в том случае, если фазовые толщины слоёв равны π/2 или оптические толщины слоёв равны λ0/4. Это легко считается, потому что матрицы интерференции отдельных слоёв имеют очень простой вид, величина максимального коэффициента отражения такой системы, если слой с высоким показателем преломления обозначить через n1, а слой с низким показателем преломления n2, то после преобразования получим для амплитудного коэффициента отражения: 2

n 0 ( n 2 ) − n m ( n1 ) 2k

r(2k) =

2k

.

n 0 ( n 2 ) + n m ( n1 ) Энергетический коэффициент отражения такой системы равен: 2k

2k

(5.1.9)

2

⎛ n 0 ( n 2 )2k − n m ( n1 )2k ⎞ R = r(2k) = ⎜ (5.1.10) ⎟ . ⎜ n ( n )2k + n ( n )2k ⎟ m 1 ⎝ 0 2 ⎠ По мере увеличения числа слоёв, при выполнении неравенства n1>n2 или n2>n1, важно, чтобы эти величины не были одинаковы, результат мы получим близкий по значению. Если n1>n2, то нетрудно сообразить, что амплитудный коэффициент отражения будет отрицательным (5.1.9), n1 n 2 > 1 и в зависимости от показателя степени (2к), в пределе, амплитудный коэффициент отражения равен «-1». Если n2>n1, то n1 n 2 < 1 , и предел амплитудного коэффициент отражения, при «к» стремящемся к бесконечности равен «1», не «-1» , а «1». Это весьма существенное обстоятельство, на которое я хочу обратить ваше внимание. В первом случае разность фаз между отражённой и падающей волнами равна π и ρ = π, в втором случае разность фаз равна 0 или 2π, ρ = 2π или ρ = 0. Энергетический коэффициент отражения в пределе, при увеличении числа слоёв в том и другом случае стремится к единице, т.е. по мере увеличения числа слоёв такой системы энергетический коэффициент отражения на длине волны λ = λ0 стремится к единице. Теперь рассмотрим другую ситуацию, когда число слоёв нечётное. Здесь амплитудный коэффициент отражения будет определяться выражением:

(

)

2

k

k

⎛ n ⎞ 1 ⎛ n ⎞ − n1 ⎜ − 1 ⎟ n 0n m ⎜ − 2 ⎟ ⎝ n1 ⎠ n1 ⎝ n2 ⎠ . r(2k +1) = (5.1.11) k k ⎛ n ⎞ 1 ⎛ n ⎞ + n1 ⎜ − 1 ⎟ n 0n m ⎜ − 2 ⎟ ⎝ n 1 ⎠ n1 ⎝ n2 ⎠ Несколько преобразуя это выражение, как и для системы, содержащей чётное число слоёв, получим: 2k 2(k +1) n 0 n m ( n 2 ) − ( n1 ) r(2k+1) = . (5.1.12) 2k 2( k +1) n 0 n m ( n 2 ) + ( n1 ) Энергетический коэффициент отражения такой системы равен:

(

R = r(2k +1)

)

2

2

⎛ n 0 n m ( n 2 )2k − ( n1 )2(k +1) ⎞ =⎜ ⎟ . ⎜ n n ( n )2k + ( n )2(k+1) ⎟ 1 ⎝ 0 m 2 ⎠

(5.1.13)

Давайте посмотрим, что будет происходить с амплитудным и энергетическим коэффициентами отражения по мере увеличения количества слоёв. Ситуация совершенно аналогична предыдущей, здесь важно только то, чтобы показатели преломления слоёв были разными. Величина различия в показателях преломления слоёв приведёт к тому, что для получения одного и

того же коэффициента отражения вам потребуется большее или меньшее количество слоёв. При n1>n2, предел r(2k+1) при k → ∞ равен «-1». Предел r(2k+1) при n2>n1 равен 1. В первом случае разность фаз между падающим и отражённым излучением будет равна π, во втором случае разность фаз между падающим и отражённым излучениями 0 или 2кπ. Предел энергетического коэффициента отражения при k стремящемся к бесконечности равен 1. На рис. 5.1 - 5.3 изображены зависимости N2, cos℘, модуля амплитудных коэффициентов отражения r , разности фаз между падающей и отражённой волнами (ρ) и энергетических коэффициентов (R) отражения для симметричного мультислоя (0.5ВН0.5В и 0.5НВ0.5Н), системы, содержащей шесть симметричных мультислоёв и 13-ти слойного четвертьволнового зеркала от фазовой толщины формирующих эти мультислои системы и зеркала слоёв. Как видно из рисунков 5.1 и 5.2 для мультислоёв 0,5ВН0,5В, как одиночных, так и образующих систему, величина эквивалентного показателя преломления не меняется, так же как и для мультислоёв 0.5НВ0.5Н. Однако, сравнивая распределение величины N2 от фазовой толщины образующих симметричный мультислой слоёв видно, что характер распределения различается. Разрыв функции N2 происходит при разных значениях фазовой толщины слоёв. Величина cos℘в зависимости от фазовой толщины слоёв, как это и следовало ожидать из выражения 5.1.5, не зависит от порядка расположения слоёв и является симметричной функцией. Сравнение рисунков 5.1 - 5.3 показывает, что количество осцилляций функции cos℘зависит от числа слоёв, образующих систему. Экстремумы амплитудного коэффициента отражения при увеличении числа слоёв соответствуют области максимального значения величины cos℘. Положение полосы максимального отражения определяется расстоянием между ближайшими минимумами, расположенными вблизи максимума функции cos℘. Величины амплитудных и энергетических коэффициентов отражения в максимуме определяются порядком расположения и разностью величин показателей преломления слоёв, формирующих систему, как это и следует из выражений 5.1.11, 5.1.12. Сравнение амплитудных и энергетических коэффициентов отражения диэлектрических систем, образованных повторением симметричных мультислоёв на подложке, показывает существенное различие в их спектральных характеристиках. Системы, образованные мультислоями

Рис.5.1 Зависимость эквивалентных фазовой толщины и показателя преломления симметричной системы, а также модуля и аргумента амплитудного коэффициента и энергетического коэффициента отражения от фазовой толщины слоёв.

Рис.5.2 Зависимость эквивалентных фазовой толщины и показателя преломления симметричной системы, а также модуля и аргумента амплитудного коэффициента и энергетического коэффициента отражения покрытия, состоящего из шести симметричных систем от фазовой толщины слоёв.

Рис.5.3 Зависимость эквивалентных фазовой толщины и показателя преломления симметричной системы, а также модуля и аргумента амплитудного коэффициента и энергетического коэффициента отражения покрытия, образованного 13-ти слойной четвертьволновой системы, от фазовой толщины слоёв.

0.5ВН0.5В имеют малое отражение при значениях фазовых толщин слоёв меньших 1.2, т.е. в длинноволновой области спектра. Системы, образованнее многократным повторением мультислоёв 0.5НВ0.5Н имеют малое отражение при фазовых толщинах больших 1.7, т.е. в коротковолновой области спектра. Разность фаз между падающим и отражённым излучением для систем, образованных повторением мультислоёв в области максимума отражения имеет приблизительно линейный характер, но величина dρ dϕ различается знаком. Для четвертьволновых зеркал зависимость амплитудных и энергетических коэффициентов отражения описывается симметричной функцией. Количество побочных экстремумов отражения определяется числом мультислоёв, образующих это зеркало. Величины амплитудных и энергетических коэффициентов отражения в максимуме определяются выражениями 5.1.11, 5.1.12. Разность фаз между падающим и отражённым излучением в области основного максимума отражения, так же как и для систем, образованных повторением симметричных мультислоёв, имеет линейный характер, но величина dρ dϕ различается знаком. Для того, чтобы получить заданную величину коэффициента отражения нетрудно сообразить, что если задаться каким-то значением энергетического коэффициента отражения и использовать для этого четвертьволновые системы, образованные слоями с известными показателями преломления, то легко можно найти число таких слоёв. Для чётного числа слоёв (для нечётного числа слоёв) будет совершенно аналогичная ситуация. Из (5.1.12) следует, что перед корнем надо написать «±», поскольку нет определенности с чередованием слоёв, то надо написать «±». Если положить, что n1>n2, то тогда здесь следует написать знак минус, если n1
⎛ n n ⎞ 1m R lg ⎜ 0 m ⎟ ⋅ 1 ⎝ n1 ⎠ 1 ± R (5.1.17) k= . 2 ⎛ n1 ⎞ lg ⎜ ⎟ ⎝ n2 ⎠ Теперь смотрите, что у нас получается. Если n1 > n 2 и разница в показателях преломления большая, то k, при данных n0 и nm, маленькое, если n разница в показателях преломления маленькая, т.е. если величина lg 1 n2 колеблется вблизи нуля, то k будет достаточно большим. Зависимости, определяемые (5.1.16), (5.1.17) позволяют определить при заданном числе слоёв, какое соотношение должно быть между показателями преломления, или какое количество слоёв необходимо для получения заданного коэффициента отражения при известных показателях преломления. Для полного определения четвертьволновой системы мы должны задать величину одного из показателей преломления слоёв. При таком достаточно свободном поле деятельности надо руководствоваться не только тем, что необходимо получить заданное значение коэффициента отражения, но нужно соблюсти ещё несколько требований. Первое заключается в том, что слои должны быть совместимы, т.е. между ними не должно образовываться больших внутренних напряжений при наложении друг на друга, не должно происходить никаких химических взаимодействий на границе этих слоёв. Кроме того, слои должны обладать максимальной прозрачностью в данном спектральном диапазоне. Это первое обстоятельство, на которое необходимо обратить внимание. Второе обстоятельство заключается в том, что необходимо делать систему с минимальным количеством слоёв. Это понятное требование, связанное с тем, что чем меньше слоёв, тем меньше поглощение, тем меньше времени, необходимого для изготовления такой системы. Исходя из этих соображений, необходимо выбрать материалы слоёв, которые будут использовать при создании зеркальной системы. Что у нас получается? Если мы рассматриваем ультрафиолетовый диапазон, то для него набор материалов не так велик. Если мы рассматриваем область от двухсот до четырёхсот нанометров, то там прозрачен всего один материал, имеющий большой показатель преломления - это оксид гафния HfO2, из материалов со средним показателем преломления - оксид алюминия, Al2O3, из материалов с малыми показателями преломления - оксид кремния SiO2, и фторид магния MgF2. Всего - четыре плёнкообразующих материала. Из четырёх материалов можно избрать только два материала, это либо оксид гафния и фторид магния, либо оксид гафния и оксид кремния. Показатели преломления их известны. В видимой области ситуация несколько более свободная, потому что там существует большее число плёнкообразующих материалов с большим

показателем преломления. Это тот же оксид гафния, оксид циркония, оксид титана, оксид тантала, селенид цинка, сернистый цинк и некоторые другие материалы. Материалами с малым показателем преломления остаются те же самые: фторид магния и оксид кремния. Здесь нужно иметь сочетание материалов. Лучше всего в качестве сочетающихся материалов избрать оксиды. Оксид титана или оксид тантала и двуокись кремния, либо фториды и сульфиды или селениды. В ИК-области спектра ситуация ещё более свободная, потому что там существует ещё большее количество материалов с большими показателями преломления. Там существуют другие проблемы, связанные с совместимостью и с устойчивостью этих материалов к воздействию внешней атмосферы. Но как только вы выбрали материалы, вы сразу же легко определяете из соотношений (5.1.16), (5.1.17), количество слоёв, которое обеспечит вам заданное значение коэффициента отражения в максимуме. Здесь остаётся вопрос о том, какая необходима разность фаз между падающим и отражённым излучением и её дисперсия при отражении от зеркала. Если это лазерный резонатор, работающий в узком спектральном диапазоне, эта разность фаз не важна, поскольку юстировкой эту разность хода, которая возникает при отражении от зеркала, можно компенсировать. Если это интерференционная система типа интерферометра Фабри-Перо, настраиваемая, то это тоже не важно. Важным это обстоятельство будет только при создании интерферометров, лазерных резонаторов и интерференционных светофильтров, работающих в широком спектральном интервале. Там это обстоятельство нужно учесть и мы с вами это обязательно проделаем, когда будем рассматривать интерференционные светофильтры. Выше было написано выражение для коэффициента отражения многослойной, двухкомпонентной, четвертьволновой системы. Следует обратить ваше внимание на то, что такие системы могут служить и в качестве просветляющих систем. Вспомним выражение для нечётного числа четвертьволновых слоёв. 2k 2(k +1) n 0 n m ( n 2 ) − ( n1 ) r(2k+1) = . 2k 2( k +1) n 0 n m ( n 2 ) + ( n1 ) Приравняем нулю амплитудный коэффициент отражения. Тогда 2(k +1) n 0 n m n 2k , когда k = 0 для систем содержащих одни слой n12 = n 0 n m 2 = n1 При k=1, число слоёв равно трём и тогда n14 = n 0 n m n 22 . Здесь можно выбрать показатели преломления n1 и n2 такими, что в том числе будут выполняться и условия просветления и т.д. Для системы, содержащей чётное число слоёв при k=1: n 0 n 22 = n m n12 . Это условие было получено ранее при рассмотрении двухслойных покрытий. Если число слоёв больше, k=2, то n 0 n 42 = n m n14 . Теперь можно сказать, что многослойные системы могут быть зеркальными, если число слоёв достаточно велико, светоделительные, если R=0,5, то световой поток делится пополам. Можно световой поток делить в

любом соотношении. Кроме того, такие многослойные системы могут быть использованы в качестве просветляющих систем. Эти свойства изменчивости четвертьволновых диэлектрических систем очень важны. В зависимости от того, с какими показателями преломления, и с какими толщинами слоёв мы имеем дело, мы можем получить систему с самыми разными свойствами. При рассмотрении четвертьволновых зеркальных систем было показано, что с ростом числа слоёв и с увеличением разности между показателями преломления плёнкообразующих материалов коэффициент отражения увеличивается. Одинаковый коэффициент отражения системы может быть получен при разных значениях в разности показателей преломления плёнкообразующих материалов, но с разным числом слоёв. Теперь я бы хотел посмотреть спектральные зависимости коэффициента отражения четвертьволновых зеркальных систем, зависимость коэффициента отражения от числа слоёв по мере роста система. Спектральная зависимость амплитудного и энергетического коэффициентов отражения может быть легко получена из рисунков 5.1 -5.3, для симметричных систем. Действительно, когда рассматривались четвертьволновые системы, то структурно их можно изображать с использованием следующих обозначений: П – подложка В - четвертьволновые слои с высоким показателем преломления, Н – с низким показателем преломления. Мы рассматривали двухкомпонентные четвертьволновые диэлектрические зеркала. Отражение таких систем увеличивается по мере увеличения числа слоёв и тем быстрее увеличивается, чем больше разница в показателях преломления входящих в систему слоёв (рис.5.4). Кроме того, увеличение разницы в показателях преломления приводит к расширению области максимального отражения и увеличению побочных минимумов отражения. Количество побочных минимумов отражения, их величина, а так же как их расположение по спектру определяются количеством слоёв, формирующих систему (рис.5.5). Как видно из этого рисунка, по мере увеличения слоёв, как для систем, состоящих из нечётного (рис.5.5а), так и для чётного числа слоёв (рис.5.5б), количество побочных минимумов отражения, а так же их величина определяются числом слоёв, формирующих диэлектрическую систему. По мере увеличения числа слоёв количество побочных максимумов увеличивается. Кроме того, при определенных соотношениях между показателями преломления слоёв, образующих систему (главы 2, 3, 4), в области главного максимума отражения на длине волны λ = λ0 может быть реализована область нулевого отражения, т.е. зеркальная система превращается в просветляющую.

Рис.5.4. Спектральная зависимость 15-ти слойной четвертьволновой системы, образованной слоями с показателями преломления: 1 nв=2.10, nн=1.45; 2- nв=2.40, nн=1.38; 3 - nв=1.90, nн=1.45. Для двухкомпонентных четвертьволновых систем возможны две ситуации – на подложку осаждается слой с высоким показателем преломления, дальше слой с низким показателем преломления, и оканчиваться эта система может либо слоём с большим показателем преломления, либо слоём с малым показателем преломления. Если система заканчивается слоем с высоким показателем преломления, то число слоёв в системе нечётное (2k+1), если система оканчивается слоем с низким показателем преломления, то число слоёв в ней - чётное (2k). Если на подложку осаждается слой с малым показателем преломления и она заканчивается слоем с низким показателем преломления, то число слоев нечётное (2k+1), если слоем с высоким показателем преломления, то число слоёв чётное (2k). Как уже говорилось ранее, если представить, что если этими же символами обозначить матрицы интерференции слоёв, то матрицу интерференции можно записать в таком виде: 0,5В0,5ВН0,5В0,5ВН0,5В0,5ВН0,5В0,5В и т.д. При такой записи видно, что если воспользоваться правилом скобок при матричном

Рис.5.5. Спектральные зависимости коэффициента отражения четверть волновых зеркал, состоящих из разного числа слоёв. Количество слоёв указано в поле рисунка, зеркала, состоят из а – нечётного, б- чётного числа слоёв. nв=2.30,nн=1.38.

произведении и так расставить скобки: 0,5В[(0,5ВН0,5В)(0,5ВН0,5В)(0,5ВН0,5В)…..]0,5В, то мы имеем дело с симметричной системой мультислоёв. Аналогично для случая: 0,5Н0,5НВ0,5Н0,5Н…. или, если соответствующим образом расставить скобки в матричном произведении, то мы получим с вами такого рода симметричную систему: 0,5Н[(0,5НВ0,5Н)(0,5НВ0,5Н)(0,5НВ0,5Н)]0,5Н. Показатель преломления системы остаётся прежним, увеличивается только фазовая толщина. Система, расположенная в квадратных скобках образованна повторением симметричной системы, заключённой в круглые скобки. Эквивалентный показатель преломления и эквивалентная фазовая толщина такой системы уже написана ранее. Обозначим эквивалентный показатель преломления и эквивалентную фазовую толщину диэлектрической системы, расположенной в круглых скобках N1 и ℘1 соответственно. Тогда матрица интерференции системы, заключённой в квадратных скобках, будет иметь эквивалентные показатели преломления и фазовую толщину: N1 , k℘1 для четвертьволновой системы, имеющей (2k+1) слой. Диэлектрическая система, имеющая 2k слоёв, может быть описана, как система содержащая (2k-1) слоёв и ещё один слой, т.е. в виде суммы симметричной системы и одного слоя. 5.2.Четвертьволновые зеркала с чётным числом слоёв

Посмотрим, что будет с системой, содержащей чётное число слоёв. Рассмотрим для определённости систему ПВНВ…ВН. Воспользуемся теми же представлениями. Запишем эту систему в виде: 0,5В0,5ВН0,5В0,5ВН0,5В0,5ВН. Расставим скобки в матричном произведении 0,5В(0,5ВН0,5В)(0,5ВН0,5В)0,5ВН. В этой ситуации такого хорошего результата, как в случае для нечётного числа слоёв не получим. Мы получаем 0,5В[N1,℘1 ]k0.5BН. Если мы эту систему, также как мы и раньше делали, приведём к одному слою с показателем преломления N1, и фазовой толщиной k℘1 , то у нас в этой ситуации получится система {0,5В[N1,k℘1 ]0.5B}Н. Эта система состоит из двух слоёв: слой в фигурных скобках плюс ещё один слой. Это не должно нас сильно пугать, потому что, в этом случае мы с вами получаем не один слой, характеризуемый N1 и k℘1 , а два слоя – одни с параметрами N1,k℘1 , а второй четвертьволновый с показателем преломления Н. Это то, о чём мы уже говорили: любая система может быть представлена двумя слоями: один слой эквивалентный, а второй имеет показатель преломлением Н. Аналогично для случая ПНВНВ…В. Коэффициент отражения для двухслойной системы тоже легко пишется (3.5, 3.7). Такая структурная запись легко помогает разобраться, с чем мы с вами имеем дело. Можем ли мы систему описать как один слой с показателями

преломления N1 и фазовой толщиной k℘1 ? Либо эта система описывается двумя слоями с различными показателями преломления? Посмотрим, что такое показатель преломления N1 . Мы с вами такие системы рассматривали и показывали, что этот показатель преломления обладает достаточно большой дисперсией, т.е. величина показателя преломления существенно зависит от фазовой толщины или длины волны падающего излучения. Фазовая толщина меняется обратно пропорционально длине волны или прямо пропорционально толщине. Наиболее просто такие системы рассматриваются для случая, когда соотношения фазовых толщин слоёв 1:2. Такую систему мы с вами тоже рассматривали ранее. Спектральная зависимость энергетического коэффициента отражения от длины волны имеет вид, изображённый на рис.5.6:

Рис. 5.6 Спектральная зависимость энергетического коэффициента отражения четвертьволнового зеркала, содержащего чётное число слоёв. На длине волны λ0 мы имеем максимальное значение коэффициента отражения Rmax, на длине волны λ0/2 R=Rmin. На длине волны λ0/2 фазовая или оптическая толщина слоёв будет в два раза больше, т.е. эти слои стали уже не четвертьволновые, а полуволновые. Фазовая толщина четвертьволновых слоёв на длине волны λ0 - π/2, а λ0/2 - π. Матрицы интерференции слоёв превратятся в единичные матрицы. А если система описывается единичными матрицами, она не меняет свойства подложки. На длине волны λ0/2, λ0/4,…. λ0/(2k), где к - любое число (0,1,2,3…) коэффициент отражения такой системы равен коэффициенту отражения чистой подложки и в бесконечности тоже, естественно, при отсутствии поглощения, если мы с вами рассматриваем прозрачные слои. Далее, в длинах волн λ0/3 λ0/5…. λ0/(2k+1) фазовая толщина слоёв будет равняться (2k+1) π/2, оптическая толщина (2k+1) λ0/4, т.е. в этих длинах волн мы будем иметь коэффициент отражения равный максимальному

коэффициенту отражения Rmax. Даже из такого простого рассмотрения видно, что спектральная кривая отражения будет селективной. Кроме того, будут существовать дополнительные минимумы и максимумы отражения, расположенные между длинами волн λ0 и λ0/3 число этих минимумов определяется фазовой толщиной ℘1 . Спектральная кривая имеет достаточно сложный вид. Ширина зоны максимального отражения будет определяться разностью показателей преломления плёнкообразующих материалов, входящих в эту систему и, кроме того, это основная особенность этих систем, в фиолетовой части спектра будет наблюдаться ещё много таких же максимумов отражения. Давайте представим себе, что мы имеем дело с четвертьволновой системой, которая имеет максимальное отражения для длины волны 5мкм, т.е. λ0 = 5мкм. Где мы получим максимумы отражения для этой системы? Основной максимум отражения 5мкм, близлежащий распложен на длине волны λ 01 ≈1,7мкм, следующий λ03 = 1мкм, долее λ05 ≈ 0,7мкм, λ09 ≈ 0,55мкм, λ11 ≈ 0,45мкм, λ13 ≈ 0,0,38мкм и т.д. Давайте посмотрим, какие из них реально могут быть реализованы. Как правило, в качестве плёнкообразующих материалов для ИК-области спектра используются материалы типа германия, кремния, селенида цинка и фториды элементов второй группы (фтористый магний или криолит). Последние материалы прозрачны и в видимой, и в ИКобласти спектра и в УФ-области спектра. Для германия и кремния полоса начинается приблизительно с (1,2-0,9) мкм. Если в качестве плёнкообразующих материалов используется германий или кремний, то реализуются два первых минимума отражении, всё остальное попадает в полосу поглощения. Если в качестве плёнкообразующего материала используется селенид цинка или сернистый цинк, то для селенида цинка полоса поглощения начинается от 0,5мкм, т.е. реализуется пять максимумов отражения, если используется сернистый цинк, а он прозрачен до 0,35мкм, то реализуются все приведённые выше экстремумы отражения. Это важно для наблюдательной техники. Если вы используете ИК-системы поиска с визуальным каналом, то может быть достаточно излучения 0,55мкм, это максимум светимости солнца, если недостаточно, то можно использовать другие материалы. 5.3. Фазовые характеристики четвертьволновых зеркал

Кроме того, мы с вами рассмотрели, как меняется коэффициент отражения по мере роста такой системы и в процессе роста каждого из слоёв, единственное, что мы с вами не рассмотрели, мы не рассмотрели, как меняется разность фаз между падающим и отражённым излучением для такого рода систем. Здесь представляет интерес, как мы уж с вами говорили, когда рассматривали однослойную систему, амплитудный коэффициент отражения или его фаза, т.е. аргумент амплитудного коэффициента отражения, который может быть равен нецелому числу π. Эта ситуация в зеркальных системах как раз и реализуется. В зоне максимального отражения

разность фаз между падающим и отражённым излучением является примерно линейной функцией фазовой толщины (рис.5.7, 5.8) и с увеличением толщины, естественно, эта разность фаз увеличивается. Как вы помните, по определению, разность фаз между падающим и отражённым излучением есть аргумент амплитудного коэффициента отражения: ρ = arg r. Амплитудный коэффициент отражения записывается через матричные элементы: ( n m − n m m 22 ) + i ( n 0n m m12 − m 21 ) или r = r eiρ , r = 0 11 ( n 0m11 + n m m 22 ) + i ( n 0n m m12 + m 21 ) величина ρ нас сейчас и интересует. И здесь без ограничений общности, мы можем вспомнить следующее. Когда я рассматривал систему, состоящую из нечётного числа слоёв, то мы показали, что эта система может быть представлена в виде симметричной системы. Для симметричной системы, как вы помните, диагональные элементы матрицы интерференции одинаковы, т.е. m11 = m 22 , и тогда для упрощения мы с вами можем рассмотреть такую ситуацию: система расположена между двумя одинаковыми средами n 0 = n m . Тогда выражение для амплитудного коэффициента отражения у нас существенно упрощается: i ( n 02 m12 − m 21 ) r= . (5.3.1) 2n 0 m11 + i ( n 02 m12 + m 21 ) Теперь это выражение мы можем представить в виде модуля числителя и модуля знаменателя. Мы можем представить его в таком виде: ( n02 m12 − m21 ) eiρчисл ( n02 m12 − m21 ) ei(ρчисл −ρзнам ) r= = . (5.3.2) 2n 0 m11 + i ( n 02 m12 + m 21 ) eiρзнам 2n 0 m11 + i ( n 02 m12 + m 21 ) при таком представлении ρ = ρчисл − ρзнам . В числителе мнимое число, его аргумент π/2. Тогда: ρ = ρ числ − ρ знам = π 2 − ρ знам . Определим ρзнам . ⎛ n 02 m12 − m 21 ⎞ (5.3.3) ρ знам = ar ctg ⎜ ⎟. 2n m 0 11 ⎝ ⎠ Элементы матрицы интерференции m11, m12, m21 – действительные величины, они могут быть любыми числами, в зависимости от того, в какой части спектра мы находимся. Как вы помните, для зеркальных систем, состоящих из нечётного числа слоёв диагональные элементы на длине волны λ=λ0 нулевые, а недиагональные элементы имеют конечное значение. И тогда для симметричной системы, состоящей из нечётного числа слоёв ρзнам либо 3π 2 , либо π 2 . Если π 2 - разность фаз между падающей и отражённой компонентой будет равна нулю, если 3π 2 , то -π. Это всё будет определяться показателями преломления слоёв, которые входят в состав этой зеркальной

системы. А что будет, в коротковолновой и длинноволновой областях спектра, как будет меняться разность фаз в коротковолновой и длинноволновой областях спектра? То же, в общем несложно понять. Что будет происходить с фазовой толщиной? Фазовая толщина при увеличении длины волны будет уменьшаться или увеличиваться? Фазовая толщина будет уменьшаться и, соответственно, разность фаз тоже будет уменьшаться. Рассмотрим предельный случай: когда длина волны равна бесконечности, система отсутствует, слои бесконечно тонкие и разность фаз между падающей и отражённой компонентами будет определяться разностью фаз между падающим и отражённым излучением границы раздела между обрамляющими средами. А в случае одной границы раздела, разность фаз легко считается. Но в этом случае, который мы с вами рассматриваем, когда граница раздела отсутствует, разность фаз будет равна нулю. И тогда мы с вами можем сразу определиться, что же у нас будет по мере увеличения фазовой толщины, по мере уменьшения длины волны или увеличения толщины слоёв. При увеличении длины волны, разность фаз стремится к нулю, при длине волны λ = λ0 мы имеем разность фаз, равную π, кратную нечётному числу π. Чем определятся эта величина? Когда производим расчёты, то мы всегда получаем значения разности фаз с точностью до 2π. Для расчётов это не важно, но в реальной ситуации, когда вы считаете эту разность фаз между отражённой и падающими волнами, особенно, когда вы рассчитываете элементы с переменной по поверхности детали толщиной, эта величина становится существенной. Здесь надо точно определить величину разности фаз. Для этого надо посмотреть, что происходит по мере роста системы, надо рассмотреть случай n1>nm, n1
Рис. 5.7. Зависимость энергетического коэффициента отражения (R) и разности фаз (ρ) между падающим и отражённым излучением для 13тислойного четвертьволнового зеркала от длины волны. Всё, что, было рассмотрено, относится к системам, содержащим нечётное число слоёв. В случае чётного числа слоёв разность фаз будет тоже отрицательной конечно, но там разность фаз будет кратна 2kπ. Эту величину k можно легко определить из того предварительного рассмотрения, о котором я только что упоминал. Это достаточно простая задача и вы это сам можете легко проделать. На рис.5.7, 5.8 изображена зависимость разности фаз между падающим и отражённым излучением от длины волны для четвертьволновых зеркал, содержащих чётное и нечётное число слоёв.

Рис. 5.8. Зависимость и энергетического коэффициента отражения (R) и разности фаз (ρ) между падающим и отражённым излучением для 12-тислойного четвертьволнового зеркала от длины волны. Мы показали, что по мере увеличения длины волны разность фаз уменьшается и в области центрального максимума она является линейной функцией. В длинноволновой и коротковолновой областях - это осциллирующая функция и меняется она достаточно сложным образом. Это видно из рис.5.7 и 5.8. 5.4. Изменение коэффициента отражения по мере формирования многослойной четвертьволновой системы

Теперь давайте посмотрим, как меняется коэффициент отражения по мере роста такой четвертьволновой системы. Опять воспользуемся нашими структурными обозначениями. Растёт такая система, естественно, с подложки. Слой с переменной толщиной, растущий слой, давайте обозначим буквой «V» и соответственно добавим к нему показатель преломления. У нас возможны здесь две ситуации: растущий слой с высоким показателем преломления и растущий слой с низким показателем преломления. В начальный момент изготовления системы на подложке растущий слой с

высоким или низким показателем преломления на подложке. Далее четвертьволновый слой на подложке и растущий слой, с низким или высоким показателем преломления. Дальше по мере роста системы история будет развиваться в соответствии с тем, что уже есть на подложке. Как меняется коэффициент отражения или пропускания такой четвертьволновой системы в процессе роста? Поскольку, слой, лежащий на границе с воздухом в наших с вами обозначениях имеет цифру «1», слой, который дальше от воздуха «2», дальше «3» и т.д. Ещё раз напоминаю об этой системе обозначений, которой мы с вами пользуемся. Пусть n1 >nm или n1nm, то коэффициент отражения по мере увеличения толщины слоя возрастает и достигает некого максимального значения при толщине слоя, равной λ0/4. Обозначать такую ситуацию числом «1» (рис.5.9). При n1
2

⎛ n 0 n 2 n1 n m ⎞ ⎛ n0n m ⎞ 2 2 − ϕ + − sin n v 2 ⎟ cos ϕ v ⎜ n ⎟ ⎜ n2 ⎠ ⎝ n2 ⎠ (5.4.1) R=⎝ 1 . 2 2 ⎛ n 0 n 2 n1 n m ⎞ ⎛ ⎞ n0nm 2 2 ⎜ n + n ⎟ sin ϕ v + ⎜ n + n 2 ⎟ cos ϕ v ⎝ 1 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ Очевидно, что в случае, когда фазовая толщина слоя равна нулю, коэффициент отражения равен коэффициенту отражения одного четвертьволнового слоя.

Рис.5.9. Зависимость коэффициента отражения растущей четвертьволновой системы от оптической толщины слоя на длине волны λ=λ0. Далее коэффициент отражения в случае «1» либо возрастает «1-1», при n1 >n2 , либо уменьшается «1-2», «1-3» при n1 ≤ n 2 , при n1 =n2 коэффициент отражения становится равным коэффициенту отражения подложки при оптической толщине слоя 0.25λ0. В случае «2» коэффициент отражения возрастает при n1 >n2 «2-1», достигает значения коэффициента отражения равного значению коэффициента подложки при n1 =n2 «2-2» и при n1 ≤ n 2 уменьшается и достигает минимального значения при оптической толщине 0,25 λ0. Коэффициент отражения всей системы будет определяться зависимостью (5.4.1). Далее начинаетcя рост третьего слоя системы. В чём отличие от предыдущего? У нас уже имеется два четвертьволновых слоя, полностью сформированных на подложке и третий, растущий слой. Первый растущий слой, у нас уже записан, а предысторию системы мы должны с вами записать, тогда матрица интерференции растущей системы имеет вид: n in − 1 cos ϕ v − 2 sin ϕ v i i i cos ϕ v sin ϕ v 0 0 n2 n1 n 3 n3 n2 × n1 = × . in1n 3 n2 − sin ϕ v − cos ϕ v in 3 sin ϕ v cos ϕ v in 2 0 in1 0 n2 n1 Энергетический коэффициент отражения растущей системы можно записать в виде: 2

2

⎛ n 0 n m n 2 n1 n 3 ⎞ ⎛ n 0 n1 n m n 2 ⎞ 2 2 − cos ϕ + − v ⎜ ⎟ sin ϕ v ⎜ n ⎟ n1 ⎠ n2 ⎠ ⎝ n1 n 3 R=⎝ 2 . 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ n 0 n1 n m n 2 ⎞ n n n n n 2 2 0 m 2 1 3 ⎜ n + n ⎟ cos ϕ v + ⎜ n n + n ⎟ sin ϕ v 1 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 1 3

(5.4.2)

Мы получили выражение для коэффициента отражения системы, содержащей три слоя. Сравните матрицу интерференции для системы, содержащей три слоя и для системы, содержащей один слой. Чем они отличаются? Во-первых, они отличаются знаками, что не очень важно, а вовторых, изменилась структура матрицы: перед косинусами, которые лежат на дополнительные множители, и главной диагонали, появляются соответственно перед синусами, лежащими на контрдиагонали, тоже появляются некоторые дополнительные множители. Эти дополнительные множители перед косинусами говорят о том, что меняется фазовая толщина системы, дополнительные множители перед синусами говорят о том, что меняется не только фазовая толщина системы, но меняется и показатель преломления. А теперь посмотрим на зависимость коэффициента отражения от фазовой толщины слоя. В случае, когда фазовая толщина слоя равна нулю, система ещё не начинает расти, второе слагаемое, в силу того, что синус равняется нулю, отсутствует, и коэффициент отражения совпадает с коэффициентом отражения для двух слоёв. По мере роста системы, коэффициент отражения будет определяться выражением 5.4.2 и в момент окончания роста этого слоя, коэффициент отражения будет равен: 2

⎛ n 0 n m n 22 − ( n1n 3 )2 ⎞ (5.4.3) ⎜ ⎟ . ⎜ n n n 2 + ( n n )2 ⎟ 1 3 ⎝ 0 m 2 ⎠ В качестве примера рассмотрим, что будет происходить по мере роста третьего слоя в различных ситуациях: «1-1-1» - растёт слой с показателем преломления n1, для которого выполняется неравенство: n1 > n 2 > n 3 ; «1-1-2» - n1 =n2; «1-1-3» - n1 < n 2 ; «1-2-1» - n1 > n 2 ; «1-2-2» - n1 =n2; «1-2-3» n1 < n 2 ; «2-3-1» - n1 > n 2 и «2-3-2» n1 < n 2 . Картина изменения пропускания по мере роста системы будет дополнительной, т.к. R+T=1 (рис.5.9). Хотя мы посмотрели только три слоя, этого уже достаточно, чтобы сделать некие общие выводы. Эти выводы заключаются в том, что когда мы рассматриваем систему четвертьволновых слоёв, то при осаждении слоя с большим показателем преломления коэффициент отражения всегда возрастает и достигает максимального значения при толщине слоя, равной λ 0 / 4 . При осаждении слоя с малым показателем преломления коэффициент отражения всегда падает. Это хорошо видно из графиков. Это общее свойство, которое мы можем отметить. Изменение коэффициента отражения для четвертьволновых систем, при росте слоя с большим показателем преломления, будет определяться разницей в показателях преломления слоёв. Далее мы с вами можем предсказать: сколько бы слоёв не содержала четвертьволновая система, всегда при осаждении слоя с большим показателем преломления коэффициент отражения будет расти. Если осаждаем слой с малым показателем преломления, то коэффициент отражения системы будет падать. Естественно, что при приближении коэффициента отражения к единице эти изменения будут очень малыми. Это

видно из рисунков, приведённых ниже (рис.5.10 - 5.13), на которых изображена эволюция спектральных зависимостей коэффициента отражения по мере формирования слоя, граничащего с воздухом. Кроме того, из этих же рисунков видно, что по мере формирования зеркала при оптических толщинах растущего слоя равных 0.125λ0 в длинноволновой (рис.5.10 - 5.11) или коротковолновой (рис.5.12 - 5.13) частях спектра формируются зоны высокой прозрачности. Положение этих зон определяется величиной показателя преломления растущего слоя. Если показатель преломления растущего слоя больше показателя преломления подложки, то формируется зона высокого пропускания в длинноволновой области спектра. Если показатель преломления меньше показателя преломления подложки, то формируется зона высокого пропускания в коротковолновой части спектра. Ширина этих зон и вариации пропускания определяются отличием оптической толщины растущего слоя от 0.125λ0. Кроме того, рассмотрение контурных карт распределения коэффициента отражения по мере роста толщины последнего слоя диэлектрической системы позволяет выбрать зону оптимального контроля толщины слоя в процессе осаждения.

Рис. 5.10. Эволюция спектральных кривых коэффициента отражения пятнадцатислойной диэлектрической системы по мере роста слоя с «большим» показателем преломления. Структура системы: Вр (НВ)7 П n=1.51, В- n=2.10, Н-n =1.45 λ0=600нм, Вр – растущий слой c n=2.10.

Рис. 5.11. Эволюция спектральных кривых коэффициента отражения шестнадцати слойной диэлектрической системы по мере роста слоя с «большим» показателем преломления. Структура системы: Вр Н(НВ)7 П =n = 1.51, В - n=2.10, Н - n=1.45 λ0=600нм, Вр – растущий слой с n=2.10.

Рис. 5.12 Эволюция спектральных кривых коэффициента отражения пятнадцатислойной диэлектрической системы по мере роста слоя с «малым» показателем преломления. Структура системы: Нр (НВ)7 П n=1.51, В-n=2.10, Н-n=1.45 λ0=600нм, Нр – растущий слой с n=1.45.

Рис.5.13. Эволюция спектральных кривых коэффициента отражения шестнадцати слойной диэлектрической системы по мере роста слоя с «малым» показателем преломления. Структура системы: Нр В (НВ)7 П n=1.51, В-n=2.10, Н-n=1.45 λ0=600нм, Нр – растущий слой с n=1.45.

5.5. Четвертьволновые зеркала при наклонном падении света

Далее проанализируем, что будет происходить с коэффициентом отражения таких систем при наклонном падении. Возможности, для того чтобы сказать о том, что будет происходить, у нас уже есть. Давайте подумаем, что у нас будет происходить с коэффициентами отражения при изменении угла падения света. Мы с вами рассматривали один слой при наклонном падении. Спектральная характеристика смещалась в коротковолновую область, поскольку фазовая толщина слоя пропорциональна косинусу угла распространения света в среде, который уменьшается при увеличении угла падения излучения. Следовательно, уменьшается фазовая толщина, а коль фазовая толщина уменьшается, то максимум отражения смещается в синюю часть спектра. Здесь мы сразу можем сказать, что спектральная характеристика такой системы смещается в синюю часть спектра. Далее, что происходит с коэффициентом отражения для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярной плоскости падения? Как меняется коэффициент отражения света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения? Это мы тоже знаем и помним, он всегда увеличивается. Здесь то же самое, коэффициент отражения для sкомпоненты, т.е. для света, поляризованного в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, будет всегда увеличиваться, по мере увеличения угла падения. Для излучения света, поляризованного в плоскости падения, возникают вопросы. Из общих соображений, если вспомнить одну границу раздела, то для света, поляризованного в плоскости падения, он вначале уменьшается, при угле Брюстера достигает нулевого значения, а потом снова возрастает. Здесь мы должны ожидать такую ситуацию. Коэффициент отражения для света, поляризованного в плоскости падения, сначала падает, а затем увеличивается до значений, близких к единице. Но в чём здесь весь интерес. Мы рассматривали зеркальные системы, у которых коэффициент отражения и так близок к единице. Для s-компоненты он медленно растёт, приближаясь к единице, эти изменения не очень велики, а для p- компоненты здесь можно наблюдать серьёзные изменения. Коэффициент отражения в начале падает от единицы до нуля, а потом снова возрастает. Это необычайно интересное свойство многослойных систем используется при создании плёночных поляризаторов. Это мы с вами рассмотрим несколько позже. А сейчас остановимся на поведении четвертьволновых зеркал при наклонном падении излучения. Здесь всё достаточно очевидно и вы должны представлять, что будет происходить при наклонном падении света. Как вы помните, при наклонном падении света мы рассматриваем два состояния поляризации: свет поляризован в плоскости падения и перпендикулярно плоскости падения. Амплитудный коэффициент отражения для любой из компонент записывается в таком же виде, как и для случая нормального падения, только под показателями преломления мы будем понимать

эффективные показатели преломления различные для разных состояний поляризации. ) ) ) ) ( n 0 m11 − n m m22 ) + i ( n 0 n m m12 − m21 ) r= ) . ) ) ) ( n 0 m11 + n m m22 ) + i ( n 0 n m m12 + m21 ) Эффективный показатель преломления для каждой из компонент и фазовая толщина слоя зависит от угла распространения излучения в слое. ) Показатель преломления nj заменяется на n j : ⎧ cos α j p − компонента; ) ⎪ nj = ⎨ nj ⎪ n cos α s − компонента. i ⎩ j Фазовые толщины слоёв для обоих компонентов ϕ j равны: ϕj =

2 πn jd j

cos α j . λ Мы с вами уже сталкивались с этим, когда рассматривали симметричные системы при углах падения больших критического. В разных литературных источниках может быть использовано и другое обозначение: ⎧ nj p − компонента, ) ⎪ cos α nj = ⎨ j ⎪ n cos α s − компонента. i ⎩ j Результаты будут отличаться только для разности фаз. Это весьма существенный момент. Важно, что когда вы рассматриваете падение света под углом для вас не важно абсолютное значение фазы, для вас важна разность фаз между p- и s- компонентами: ρp − ρs , потому что она определяет ориентацию вектора поляризации. Эта величина достаточно широко используется в эллипсометрии при измерении показателей преломления, фазовых толщин слоёв, оптических толщин слоёв. И здесь сразу же видно, что у нас будет происходить по мере изменения угла падения. Даже не обращая внимания на то, что показатель преломления у нас меняется поразному, для нас важно то, что фазовая толщина слоя пропорциональна cos α j . Это значит, что по мере увеличения угла падения излучения на границу раздела, угол распространения света в слоях многослойной системы, тоже увеличивается. А коль скоро он увеличивается, то фазовая толщина слоя на фиксированной длине волны уменьшается. А уменьшение фазовой толщины слоя в такой ситуации эквивалентно сдвигу спектральной характеристики в коротковолновую часть спектра. Для обеих компонент сдвиг происходит одинаково в фиолетовую часть спектра. А что произойдёт с коэффициентом отражения? Будем считать, условно пока, что система остаётся четверть волновой, хотя на самом деле она уже не четвертьволновая.

Действительно, если у нас n jd j =

λ0 , то мы можем написать, что фазовая 4

2 π λ0 cos α j , но cos α j = 1 − ( ( n 0 sin α0 ) / n j ) , и поскольку 2 λ мы рассматриваем систему, у которой n1 ≠ n 2 , угол распространения излучения будет разным для каждого слоя и система перестанет быть четвертьволновой. Пока этим пренебрежем, и будем считать, что система остаётся четвертьволновой. Здесь различия не большие, но они достаточно серьёзные в изменении фазовых толщин слоёв. Действительно, если мы возьмём угол падения α0 = 450 , что бы нам проще считать, квадрат синуса равен 0,5, если свет падает из воздуха, показатель преломления «1», показатель преломления n1 = 1.4, что бы проще в квадрат возводить, а n2 = 2, тогда cos α1 = 0.934 , cos α1 = 0.968 . Процентов на двадцать эти толщины слоёв отличаются. Это в пределах погрешности, будем считать, что система четвертьволновая. Для той и другой компоненты спектральная кривая сдвигается в коротковолновую область спектра. Коэффициент отражения в максимуме, легко можно оценить. На какую величину будет отличаться значение коэффициента отражения в максимуме? Коэффициент отражения в максимуме для чётного числа слоёв будет равен:

толщина слоя ϕ j =

2

R 2k

2k ⎛ ⎛ n1 ⎞ ⎞ ⎜ n0 − n m ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎝ n2 ⎠ ⎟ . = ( r2k ) = ⎜⎜ 2k ⎟ ⎛ ⎞ n 1 ⎜ n0 + nm ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ n2 ⎠ ⎠ ⎝ Для нечётного числа слоёв: 2

2k ⎛ ⎞ 2 ⎛ n1 ⎞ ⎜ n 0 n m − n1 ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎝ n2 ⎠ ⎟ . R ( 2k +1) = r( 2k+1) = ⎜⎜ 2k ⎟ ⎛ ⎞ n 2 ⎜ n 0 n m + n1 ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ n2 ⎠ ⎠ ⎝ Давайте посмотрим, как измениться коэффициент отражения при наклонном падении. Надо заменить естественно показатели преломления на эффективные показатели преломления. Для s-компоненты мы получим:

(

)

2

R s2k

2 k ⎞ 2 2 ⎛ ⎛ ⎞ n n sin − α ( ) 0 0 ⎜ n 0 cos α0 − n 2m − n 02 sin 2 α0 ⎜ 1 ⎟ 2 ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ n 2 − n 0 ( sin α0 ) ⎠ ⎟ . =⎜ ⎟ 2 k 2 2 ⎛ n1 − n 0 ( sin α0 ) ⎞ ⎟ ⎜ 2 2 2 ⎜ n 0 cos α0 + n m − n 0 sin α0 ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎜ n n sin − α ( ) 0 0 ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝

(5.5.1)

R s2k +1 = 2

k ⎛ ⎛ n12 − n 02 ( sin α0 )2 ⎞ ⎞ 2 2 2 2 2 2 ⎜ n 0 cos α0 n m − n 0 sin α0 − ( n1 − n 0 sin α0 ) ⎜ ⎟ 2 ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ n 2 − n 0 ( sin α0 ) ⎠ ⎟ .(5.5.2) =⎜ ⎟ 2 k 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ n1 − n 0 ( sin α0 ) 2 2 2 2 2 2 ⎟ ⎜ n 0 cos α0 n m − n 0 sin α0 + ( n1 − n 0 sin α0 ) ⎜⎜ 2 2 2 ⎟ ⎟⎟ ⎜ n − n sin α ( ) 0 0 ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝ Для p-компоненты:

(

)

(

)

2

p R 2k

k 4k ⎡ 2 ⎛ n 2 ⎞ ⎛ n12 − n 02 sin 2 α0 ⎞ ⎤ 2 2 2 ⎢ n m cos α0 − n 0 n m − n 0 sin α0 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎥ n1 ⎠ ⎝ n 2 − n 02 sin 2 α0 ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ , = k⎥ 4k ⎢ 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎢ n 2m cos α0 + n 0 n 2m − n 02 sin 2 α0 ⎜⎛ n 2 ⎟⎞ ⎜ n1 − n 0 sin α0 ⎟ ⎥ 2 2 2 ⎢⎣ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n 2 − n 0 sin α0 ⎠ ⎥⎦

(5.5.3)

2

k 2k 2 2 2 ⎡ 4 ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n n sin − α n 0 0 ⎢ n1 cos α0 n 2m − n 02 sin 2 α0 − n 0 n 2m ⎜ 2 ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎥ 2 2 n n n sin − α ⎢ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 p 0 0 ⎠ ⎥ R 2k . (5.5.4) +1 = ⎢ k ⎥ 2k 2 2 2 ⎢ n14 cos α0 n 2m − n 02 sin 2 α0 + n 0 n 2m ⎛⎜ n 2 ⎞⎟ ⎛⎜ n1 − n 0 sin α0 ⎞⎟ ⎥ 2 2 2 ⎢⎣ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n 2 − n 0 sin α0 ⎠ ⎥⎦

Для s – компоненты коэффициент отражения растёт быстрее, чем для p компоненты. При увеличении угла у нас происходит сдвиг в сторону меньших длин волн и коэффициент отражения s – компоненты растёт быстрее, для p - компоненты коэффициент отражения сначала уменьшается, а потом увеличивается. Рассмотрим другую ситуацию, может ли для такой системы реализоваться коэффициент отражения равный нулю для одной компоненты и отличный от нуля для другой компоненты. Что это значит? Это значит, что такая система может служить поляризатором. Если для одной компоненты коэффициент отражения обращается в ноль, то для другой компоненты R>0. Может ли это выполняться для каких-то углов падения? Для этого необходимо приравнять нулю Rp или Rs в выражениях 5.5.1-5.5.4. Вспомните, что такое условие просветления, которые мы с вами много раз рассматривали. Оно означает, что на матричные элементы накладываются особые требования. Здесь мы написали выражение для коэффициента отражения на длине волны λ=λ0, т.е. для систем у которых оптическая толщина равняется 0,25λ0 при соответствующих углах падения излучения на покрытие. Это весьма существенный результат, который нам позволяет использовать эти системы, в том числе и в качестве поляризаторов. На рис.5.8 изображены зависимости энергетических коэффициентов отражения четвертьволновых диэлектрических систем, содержащих чётное (левая сторона рисунка) и нечетное (правая сторона рисунка) число слоёв для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения от угла

падения излучения на систему. Толщины слоёв меняются пропорционально углу падения излучения, т.е. ϕ j = 2πn jd j cos α j λ , а поскольку, фазовые толщины слоёв при выводе формул 5.5.1-5.5.4 были положены равными 0,5π, на длине волны λ=λ0 то оптические толщины слоёв равны n jd j = 0.25λ 0 cos j . k – количество пар слоёв, формирующих систему. Как видно из этих рисунков в зависимости от типа системы, вернее, от величины показателя преломления слоя,

Рис.5.8 Зависимости энергетических коэффициентов отражения четвертьволновых диэлектрических систем, содержащих чётное (левая сторона рисунка) и нечетное (правая сторона рисунка) число слоёв для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения от угла падения излучения на систему. Толщины слоёв меняются пропорционально углу падения излучения, k – количество пар слоёв, формирующих систему.

граничащего с воздухом, условие равенства нулю энергетических коэффициентов отражения для света, поляризованного в плоскости падения и перпендикулярно плоскости падения, может быть реализовано всегда. Для света поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения интервал углов, в которых это может быть реализовано находится при углах падения больших угла Брюстера для подложки, на которой сформировано

покрытие. Кроме того, в зависимости от типа системы, может быть найден угол, при котором R p = R s (см. рис. 5.10). Единственным недостатком таких систем при использовании их в качестве поляризаторов, является то, что спектральная область, где эти системы имеют Rp или Rs, равные нулю, достаточно узкая, и она существенным образом зависит от структуры системы, т.е. от показателей преломления, которые создали эту систему и от показателей преломления обрамляющих сред. На рис.5.9 изображены зависимости энергетических коэффициентов отражения многослойной четвертьволновой диэлектрической системы, состоящей из чётного и нечётного числа слоёв, от угла падения излучения. У системы, образованной чётным числом слоёв, слой, граничащий с воздухом, имеет малый показатель преломления, а для системы, содержащей нечётное число слоёв – с воздухом граничит слой с большим показателем преломления. Длина волны излучения, падающего на диэлектрическую систему, равна λ0. Как видно из этого рисунка в достаточно большом интервале углов (0-0,3) радиана коэффициенты отражения Rp и Rs отличаются незначительно. При больших углах падения различия становятся более существенными. Кроме того, для света, поляризованного в плоскости падения, энергетический коэффициент отражения обращается в нуль. Энергетический коэффициент отражения для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения для систем, образованных чётным и нечётным числом слоёв, при углах падения больших 0,3 радиана ведёт себя различным образом. Разница весьма существенная. Так, для системы, образованной чётным числом слоёв, энергетический коэффициент отражения имеет глубокий минимум при углах падения вблизи 1.3 радиана. При углах падения излучения на покрытия вблизи 1.1 радиана для систем, образованных чётным числом слоёв, коэффициент отражения для света, поляризованного в плоскости падения близок к нулю, для систем, содержащих нечётное число слоёв, близок к нулю в интервале углов падения (1.1-1.2) радиана. Сравнивая эти два рисунка видно, что система, содержащая нечётное число слоёв, имеет энергетический коэффициент отражения для света, поляризованного в плоскости падения, близкий к нулю, в более широком интервале углов, что делает её более предпочтительной. Это весьма существенное обстоятельство, которое приводит к тому, что четвертьволновые поляризаторы достаточно широко используются в технике. Ранее мы с вами рассмотрели четвертьволновые зеркала, поведение четвертьволновых зеркал при наклонном падении, и показали, что спектральная характеристика смещается в коротковолновую область спектра, а коэффициент отражения в максимуме изменяется по-разному для света поляризованного в плоскости падения и перпендикулярно плоскости падения. Кроме этого естественно деформируется ещё и сама спектральная кривая, она для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения,

расширяется немного, а для света, поляризованного в плоскости падения, сужается см. рис.5.10, 5.11.

Рис.5.9. Зависимости энергетических коэффициентов отражения 12-ти – верхний рисунок и 13-ти слойных четвертьволновых систем, образованных слоями с n1=1.45, n2=2.00 ( для 12-ти слойной) и n1=2.00, n2=1.45(для 13 слойной) на подложке с показателем преломления nm=1.51, свет падает из воздуха n0=1на длине волны λ = λ 0 от угла падения излучения на систему.

Как видно из этих рисунков при увеличении угла падения излучения на покрытия происходит сдвиг спектральной кривой в коротковолновую область спектра. Область главного максимума отражения четвертьволнового зеркала, образованного чётным числом слоёв, для света, поляризованного в плоскости падения, монотонно сужается, для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, она монотонно расширяется. Величина энергетического коэффициента отражения в максимуме монотонно возрастает.

Рис. 5.10. Зависимость энергетического коэффициента отражения от длины волны угла падения излучения 12-ти слойного четверть волнового зеркала для света с разными состояниями поляризации.

Рис. 5.11 Зависимость энергетического коэффициента отражения для света с разными состояниями поляризации от длины волны угла падения излучения 13-ти слойного четверть волнового зеркала.

Область главного максимума энергетического коэффициента отражения четвертьволнового зеркала, образованного нечётным числом слоёв, ведёт себя иначе. Так, для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, она расширяется, а для света, поляризованного в плоскости падения, резко сужается. Величина энергетического коэффициента отражения в максимуме для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения, монотонно возрастает, а для света, поляризованного в плоскости падения, монотонно уменьшается до нуля, а затем возрастает. Это особенности четвертьволновых зеркал при наклонном падении. Мы с вами показали, что для разных состояний поляризации, в зависимости от

показателей преломления, формирующих систему, может быть реализована такая ситуация, что коэффициент отражения для одной компоненты обращается в нуль и сохраняет достаточно большое значение для другой компоненты, как для s- , так и для p- компоненты. Такого рода системы могут быть использованы в качестве интерференционных поляризаторов. Почему речь идёт об интерференционных поляризаторах и в чём преимущество этих систем это, наверное, понятно. Потому что классические поляризаторы построены на использовании эффекта двойного лучепреломления, как правило, это две склеенных призмы, у которых для одного состояния поляризации, коль скоро это анизотропная среда, критический угол меньше, чем для другой поляризации. Тогда в пропускании такая система работает как поляризатор. Кроме того, классические поляризаторы могут быть построены на основе так называемых стоп Френеля. Что такое стопа Френеля? Давайте вспомним зависимость коэффициента отражения от угла падения для одной границы раздела. Если вы помните для света, поляризованного в плоскости падения, реализуется такая ситуация, когда коэффициент отражения для одной компоненты обращается в нуль, при угле Брюстера, для второй компоненты коэффициент отражения отличен от нуля. Он не очень велик, составляет величину порядка нескольких процентов от одной границы раздела, но если таких пластинок набрать несколько, порядка десяти, то такая система работает как поляризатор, и в пропускании, и в отражении. Сложность заключается в том, что набирается довольно таки толстая стопа. Т.е. это пластинка, воздушный промежуток, снова пластинка, снова воздушный промежуток, и т.д. Если набрать таких пластинок десяток, то получается достаточно хороший поляризатор. Ограничение заключается в том, что эта система достаточно большая и при больших апертурах эта система весит довольно много. Если использовать такие системы, и они часто используются в системах космического слежения, то масса здесь играет значительную роль. Поэтому и применяются четвертьволновые системы в качестве поляризаторов. Если говорить о стопе Френеля, то для неё, если пренебречь дисперсией показателя преломления, можно получить поляризованное излучение в очень широком интервале спектра. А четвертьволновые системы обладают очень большой дисперсией. Вы помните, что коэффициент отражения четвертьволновых систем сильно зависит от длины волны. Поэтому четверть волновые поляризаторы работают в достаточно узком спектральном диапазоне.

Глава 6. ФИЛЬТРУЮЩИЕ ПОКРЫТИЯ

Следующий тип покрытий, которые я хотел бы рассмотреть, это фильтрующие покрытия. Этот класс покрытий достаточно широк, они делятся, хотя это достаточно условное деление, на отрезающие светофильтры, полосовые светофильтры и узкополосные. Отличаются эти покрытия спектральной характеристикой. Для отрезающего светофильтра, типичная спектральная характеристика имеет вид, изображённый на рис.6.1.

Рис.6.1. Типичные спектральные характеристики отрезающих светофильтров а- длинноволнового отрезающего светофильтра б- коротковолнового отрезающего светофильтра

Как видно из этого рисунка зависимость пропускания от длины волны, показывает, что это системы, отрезающие (ослабляющие) длинноволновую часть спектра (рис.6.1а), или коротковолновую часть спектра (рис.6.1б). Характеризуются эти светофильтры (коротковолновые) пропусканием в коротковолновой части спектра, Tmax, подавлением в длинноволновой части спектра - Тmin, контрастностью Tmax/Тmin и граничной длиной волны λ0, где происходит существенное изменение пропускания. Естественно, это идеализированная характеристика, на самом деле в зоне, отмеченной на рис.6.1 «*», всегда наблюдается плавный спад коэффициента пропускания, dT поэтому здесь вводится понятие крутизны спектральной характеристики . dλ

dT характеризует, как быстро изменяется пропускание в dλ окрестности длины волны λ0. При изготовлении светофильтров стремятся к тому, чтобы иметь максимальное значение производной. Аналогично вводятся отрезающие коротковолновые светофильтры, (рис.6.1.б). Они характеризуются максимальным пропусканием Tmax, минимальным пропусканием Тmin в зоне подавления, контрастностью Tmax/ dT Тmin и, производной вблизи λ0, здесь также необходимо стремиться к dλ получению максимального значения этой величины. Сочетание двух таких светофильтров, если наложить одну спектральную характеристику на другую, даёт полосовой светофильтр. Величина

Рис. 6.2. Спектральная характеристика полосового светофильтра

Этот тип светофильтров характеризуется коротковолновой границей длинноволновой границей прозрачности λ длиннов , прозрачности λ корот min , min максимальным пропусканием в зоне прозрачности Tmax, минимальным (д) и минимальным пропусканием в пропусканием в длинноволновой Tmin (к) коротковолновой области спектра Tmin . Аналогично могут вводиться dT dT и при λ= λ корот при λ= λ длиннов величины min min . Иногда для описания dλ dλ спектральной характеристики полосовых фильтров вводится понятие полуширины светофильтра, аналогично определению полуширины в 1 радиофизике, это спектральный диапазон, в котором T> Tmax , - ∆λ0,5 и в 2 некоторых специальных случаях, крайне редко, но бывает, вводится понятие о спектральном диапазоне, в котором T> 0,1Tmax , чему соответствует - ∆λ0,1,

цифра внизу после аббревиатуры ∆λ , например, α, обозначает спектральный диапазон, в котором T > αTmax . Это три типа светофильтров. Причём последний, очевидно, является комбинацией двух первых. Это могут быть два отрезающих светофильтра, нанесенные на разные стороны подложки и тогда мы получаем систему, спектральная характеристика которой изображена на рис.6.1 «а» и «б» и совпадает с изображённой на рис.6.2. Если полуширина зон максимального пропускания составляет несколько сотых от λ0, ∆λ0,5 =(0,05-0,01)λ0, то такие светофильтры носят название узкополосных и узкополосных контрастных светофильтров. Узкополосные светофильтры обычно построены по схеме интерферометра Фабри-Перо, а узкополосные контрастные светофильтры по схеме сдвоенных интерферометров Фабри-Перо. О них мы поговорим более подробно ниже. 6.1. Отрезающие светофильтры

Рис.6.3. Спектральная кривая энергетического коэффициента пропускания четвертьволновой диэлектрической системы.

Как правило, в роли отрезающих светофильтров, используются четвертьволновые зеркала, хотя у них полоса подавления (полоса максимального отражения) не очень широка, для большинства практических задач этого достаточно, особенно, если в качестве плёнкообразующих материалов используются материалы с сильно различающимися показателями преломления. Недостатком такого рода четвертьволновых систем является то, что как вы помните, они имеют вне зоны максимального подавления или вне зоны максимального отражения побочные экстремумы (минимумы и максимумы) (рис.6.3 и рис.5.10 -5.13). Однако, при фазовых толщинах последних слоёв, равных 0.25π вне зоны максимального отражения имеются зоны с пропусканием, близким к единице. Для слоёв с большим показателем преломления длинноволновая область спектра, для слоёв с малым показателем преломления – коротковолновая.

Напомню, что спектральная кривая энергетического коэффициента отражения четвертьволновых систем симметрична в частотах, в длинах волн она не симметрична. Это связано с определением фазовой толщины. Если оптическая толщина λ0/4, то ϕ j = 0.5π ⋅ λ 0 λ , в частотах или волновых числах, как это принято в ИК-технике, эта кривая будет симметрична относительно λ0, в длинах волн эта симметрия отсутствует. Как видно из рисунка 6.3, коэффициент отражения примерно постоянен в достаточно широкой области спектра - от 850 до 1200нм. В коротковолновой и длинноволновой областях спектра будут наблюдаться побочные экстремумы отражения, величина которых лежит в интервале от 10 до 45%. Видно, что мы далеки от того, что нам надо получить. Следовательно, задача сводиться к подавлению побочных максимумов интерференции. Оказывается, что такую задачу можно решить, если использовать системы, рассмотренные в параграфе 5.1 (рис.5.2), системы вида (0,5ВН0,5В)к и (0,5НВ0,5Н)к. Такие системы будут обладать довольно любопытными свойствами. Для них побочные максимумы отражения существенно уменьшаются по величине. Тогда эта система может применяться в качестве отрезающей системы. Причём величина этих максимумов отражения существенно зависит от соотношения показателей преломления материалов с высоким и низким показателями преломления. Чем больше разница, тем меньшую величину имеют побочные экстремумы отражения. Есть ещё несколько способов уменьшения величины побочных максимумов.

Рис.6.4. Спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания для систем вида 1 – (0,5ВН0,5В)7, 2 – (0,5НВ0,5Н)7

Действительно, если рассмотреть диэлектрические системы, для которых выполняется соотношение: (n1d1+n2d2=λ0/2), и системы содержат целое число таких периодов, то оптические толщины слоёв могут быть не равными между собой, а связаны дополнительным соотношением. Например,

2αH + βВ = 0.5λ 0 , где коэффициенты

α и β связаны соотношением: α β = k

−1

или α β = k , где k –целое число. В этом случае величины α и β определены, а система может быть представлена в виде системы симметричных слоёв. Структурная схема такой системы в принятых нами ранее обозначениях l l имеет вид: ( αНβВαН ) или ( αВβНαВ ) , в зависимости от величины показателя преломления слоя, граничащего с воздухом.

Рис.6.5 Спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания диэлектрической системы, а – (αВ βН αВ)7 , у которой 2αВ + βН = 0.5λ 0 , а β/α=2 – (кривая 1), β/α=3- (кривая 2) и б – (αН βВ αН)7, у которой 2αН + βВ = 0.5λ 0 , β/α=2 – (кривая 1), β/α=3- (кривая 2). Спектральные зависимости коэффициентов отражения или пропускания таких систем могут быть вычислены по соотношениям 5.1.5 и 5.1.8. В разделе 5.1 мы рассмотрели системы, для которых α=0,125λ0, а β=0,25λ0. Спектральная зависимость коэффициента отражения такой системы от

фазовой толщины слоя, изображена на рис.5.2. Зависимость энергетического коэффициента пропускания от длины волны для рассматриваемых систем, изображена на рис.6.4. Спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания от длины волны для других значений α и β представлены на рис.6.5 а и б.

Рис. 6.6. Эволюция энергетического коэффициента отражения симметричной системы слоёв, состоящей из пятнадцати периодов. Период образован тремя слоями, оптические толщины слоёв, входящих в период связаны соотношением: 2αB+βH= 0.5λ0. Показатели преломления слоёв nB=2.0, nH=1.35, nm=1.51, n0=1.0, λ0=550нм. На рис.6.6 и 6.7 представлена эволюция спектральных кривых энергетического коэффициента отражения при изменении оптической толщины слоёв, входящих в симметричную систему. Толщины слоёв, входящих в симметричную систему по-прежнему связаны соотношением: 2αH+βB=0.5λ0 или 2αB+βH=0.5λ0. Величины αH и αB меняются от 0 до 0.25 λ0, λ0=550нм. Как видно из рисунка 6.5, если с воздухом граничит слой с большим показателем преломления, то во всём интервале изменения оптической толщины слоя с большим показателем преломления в длинноволновой части спектра величина экстремумов отражения (максимумов) существенно уменьшается (nB = 2.0, nH = 1.35). Если же с воздухом граничит слой с меньшим показателем преломления, то ситуация отличается: существенно уменьшается максимум отражения в коротковолновой части спектра (nB=2.0, nH=1.35). При анализе этих зависимостей необходимо обратить внимание на предельные переходы α=0 и α=0.25λ0, в этом случае диэлектрическая система состоит из одного слоя с

показателем преломления nB или nH для первой системы и nH, nB для второй. Кроме того, по мере увеличения толщины слоя с меньшим

Рис. 6.7. Эволюция энергетического коэффициента отражения симметричной системы слоёв, состоящей из пятнадцати периодов. Период образован тремя слоями, оптические толщины слоёв, входящих в период связаны соотношением: 2αH+βB= 0.5λ0. Показатели преломления слоёв nB=2.0, nH=1.35, nm=1.51, n0=1.0, λ0=550нм. показателем преломления и уменьшения толщины слоя с большим показателем преломления (рис.6.6) увеличивается зона максимального отражения и величина максимального отражения. При оптической толщине слоя 0.125 λ0 коэффициент отражения и зона максимального отражения достигают максимума. Затем по мере увеличения оптической толщины этого слоя коэффициент отражения и зона максимального отражения уменьшаются. На рис.6.7 представлена эволюция энергетического коэффициента отражения симметричной системы слоёв для случая 2αH + βB = 0.5λ0. Характер изменения величины зоны максимального отражения и коэффициента отражения подобен предыдущему. Для сравнения на рис.6.8 представлена эволюция энергетического коэффициента отражения гипотетической системы симметричных слоёв, образованных плёнкообразующими материалами с показателями преломления nB=4.0, nH=1.35 оптические толщины которых связаны таким же соотношением 2αB + βH = 0.5λ0 при изменении оптической толщины слоёв с большим показателем преломления. Как видно из сравнения рис.6.6. и 6.8

величина экстремумов отражения в длинноволновой части спектра для nB=4.0, nH=1.35 существенно меньше.

Рис. 6.8. Эволюция энергетического коэффициента отражения симметричной системы слоёв, состоящей из пятнадцати периодов. Период образован тремя слоями, оптические толщины слоёв, входящих в период связаны соотношением: 2αH+βB= 0.5λ0. Показатели преломления слоёв nB=4.0, nH=1.35, nm=1.51, n0=1.0, λ0=550нм 6.2. Узкополосные светофильтры, интерферометра Фабри-Перо

построенные

по

схеме

Узкополосные светофильтры, как правило, построены по схеме интерферометра Фабри-Перо. Напомню, что интерферометр Фабри-Перо образован двумя зеркалами, расположенными параллельно друг другу на некотором расстоянии. Узкополосный светофильтр, построенный по схеме интерферометра Фабри–Перо, также образован двумя зеркалами, расположенными на одной подложке и разделёнными слоем диэлектрика. В качестве зеркал могут выступать слои металла, диэлектрические четвертьволновые зеркала, или слои диэлектрика, работающие при углах падения больших критического. На рис.6.9 изображена схема интерференционного светофильтра и ход лучей в нём. Здесь ϑ0 - угол падения света на фильтр, ϑ1 - угол распространения излучения в

разделительном слое толщиной d1 и показателем преломления n1, ϑm - угол распространения света в подложке, З1 и З2 – зеркала. Допустим, что

Рис.6.9. Схема интерференционного светофильтра. амплитудные коэффициенты отражения зеркал

r1 = r1 eiρ1

и r2 = r2 eiρ1 ,

пропускания t1 = t1 eiτ1 и t 2 = t 2 eiτ1 . В этом случае энергетическое пропускание такой системы определяется формулой Эйри или выражением: 2 2 ⎧ t1 t 2 ; ⎪T = 2 2 1 + r1 r2 − 2 r1 r2 cos Φ ⎪ ⎨ 2 2 r1 + r2 − 2 r1 r2 cos Φ ⎪ ; 2 2 ⎪R = + − Φ 1 r r 2 r r cos 1 2 1 2 ⎩ 2

R=

(6.2.1)

2

r1 + r2 − 2 r1 r2 cos Φ 2

2

1 + r1 r2 − 2 r1 r2 cos Φ

,

где: 4πn1d1 + ρ1 + ρ2 . λ Выражения (6.2.1) определяют спектральные зависимости энергетических коэффициентов пропускания (рис.6.10) и отражения от длины волны падающего излучения, оптической толщины разделительного слоя и коэффициентов отражения зеркал. Как не трудно видеть из выражения (6.2.1), максимальное пропускание светофильтра (Tмах): Φ=

2

Tmax =

t1 t 2

2

(1 − r1 r2

)

2

(6.2.2)

будет наблюдаться при Φ = 2kπ , а минимальное Tмin: 2

Tmin =

t1 t 2

2

(1 + r1 r2

)

(6.2.3)

2

при Φ = (2k + 1) π. Контрастность светофильтра: 2

⎛ 1 + r1 r2 ⎞ T C = max = ⎜ (6.2.4) ⎟ . Tmin ⎝ 1 − r1 r2 ⎠ Как видно из этих выражений контрастность светофильтра зависит только от коэффициентов отражения образующих этот светофильтр зеркал, а величина максимального и минимального пропускания зависит от коэффициентов пропускания и отражения зеркал. Можно показать, что максимальное пропускания равное единице будет реализовано при равенстве коэффициентов отражения и при отсутствии поглощения в зеркалах. Для интерференционного светофильтра, образованного четвертьволновыми диэлектрическими зеркалами, максимальное пропускание будет определяться пропусканием подложки, на которой сформирован этот светофильтр. Действительно, если обозначить матрицы интерференции четвертьволновых слоёв на длине волне λ = λ0, В – матрицы интерференции слоя с большим показателем преломления, Н – матрица интерференции слоя с меньшим показателем преломления, то матрица интерференции таких светофильтра будет выглядеть следующим образом: ВНВ…ВНВ2НВНВ…..ВНВ или ВНВ…ВН2ВНВ…..ВНВ. В первом случае зеркало содержит нечётное число слоёв, во втором - чётное, 2Н или 2В – полуволновые слои, для которых матрицы интерференции на длине волны λ0 – отрицательно определенная единичная матрица. Воспользуемся правилом скобок при определении матричного произведения. Расставим скобки следующим образом: для первого случая - (В(Н(В….(В(Н(В2НВ)Н)В)…В)Н)В), для второго - (В(Н(В….(Н(В(Н2ВН)В)Н)…В)Н)В). Вычислим матрицы интерференции в центральных скобках (В2НВ) или (Н2ВН) – это единичные матрицы, далее с учётом этого вычислим произведение в следующих скобках Н(В2НВ)Н или В(Н2ВН)В – это отрицательные единичные матрицы и т.д. Если число слоёв, составляющих интерференционных светофильтр зеркал одинаково, то в результате мы получим отрицательно или положительно определённую единичную матрицу. В случае, если число слоёв составляющих зеркал неодинаково, матрицы интерференции системы будет определяться четвертьволновым зеркалом, у которого число слоёв равно разности числа слоёв зеркал. В первом случае пропускание светофильтра на длине волны λ = λ0 равно пропусканию подложки, во втором случае – пропусканию четвертьволнового

зеркала, число слоёв которого равно разности числа слоёв образующих светофильтр зеркал. Оценим спектральную полуширину светофильтра. По определению полуширина – это спектральная ширина фильтра на уровне 0,5Tmax.

Рис. 6.10. Спектральная зависимость коэффициента пропускания интерференционного светофильтра. Очевидно, что половина максимального пропускания будет равна: 2

2

1 t1 t 2 Τ= 2 (1 − r1 r2

)

2

.

Тогда для определения полуширины можно написать, используя (6.2.1), что: 2

t1 t 2

1 + r1

2

2

2

2

1 t1 t 2 = 2 r2 − 2 r1 r2 cos Φ1 2 (1 − r1 r2

)

2

,

(6.2.5)

где: Ф1- фазовая толщина разделительного слоя на длине волны λ=λ1, соответствующей половине максимального пропускания. Пусть λ1= λ0 +∆λ0.5, тогда: 4πn1d1 Ф1 = 2 κπ + α = + ρ1(1) + ρ(1) (6.2.6) 2 , λ 0 + Δλ где ρ1(1) и ρ(1) 2 аргумент коэффициента отражения на длине волны λ1, учитывая это, мы можем написать следующее:

(1 − r1 r2 )

= 2 r1 r2 (1 − cos 2Φ1 ) . Переходя к функции половинного угла, получим: 2

4 r1 r2 sin 2 Φ1 = (1 − r1 r2

)

2

, откуда:

sin Φ1 =

(1 − r1 r2 ) .

(6.2.7) 2 r1 r2 Условие, при котором на длине волны λ0 наблюдается максимальное пропускание Ф0=2kπ, выглядит следующим образом: 4πn1d1 Φ0 = + ρ1(0) + ρ(0) (6.2.8) 2 = 2kπ, λ0 где ρ1(0) и ρ(0) аргумент коэффициента отражения на длине волны λ0. 2 Мы с вами получили достаточно короткое выражение, которое определяет относительную половину полуширины, а с учётом 6.2.6 и 6.2.8 полуширина пропускания интерференционного светофильтра, это удвоенная величина – ∆λ0.5, это δλ λ 0 , будет равна: δλ 1 − r1 r2 1 = ⋅ . λ 0 ⎛ ∂ρ1 ∂ρ2 ⎞ λ 0 2π r1 r2 + k+ ⎜ ⎟ 2π ⎝ ∂λ ∂λ ⎠ Какой вывод мы можем сделать, посмотрев на это выражение? Мы можем сказать, что по мере увеличения коэффициентов отражения составляющих светофильтр зеркал полуширина интерференционного светофильтра, построенного по схеме интерферометра Фабри - Перо уменьшается, а если r1 = r2 выражение становится ещё более простым, и мы получим: 2 − 1 r 1 δλ = (6.2.9) ⋅ . λ 0 2π r λ 0 ⎛ ∂ρ1 ∂ρ2 ⎞ + k+ ⎜ ⎟ 2π ⎝ ∂λ ∂λ ⎠ Проведём анализ параметров, характеризующих светофильтры, построенные по схеме интерферометра Фабри – Перо. Как видно из выражений (6.2.2), (6.2.4) и (6.2.9) максимальное пропускание достигается при равенстве амплитудных коэффициентов отражения составляющих его зеркал, контрастность увеличивается, а полуширина уменьшается по мере увеличения амплитудных коэффициентов отражения. Полуширина уменьшается, так же по мере увеличения толщины разделительного промежутка и дисперсии разности фаз между падающим и отражённым излучением ∂ρ ∂λ в окрестностях длины волны, соответствующей максимальному пропусканию. Для четвертьволновых зеркал амплитудный коэффициент отражения определяется числом слоёв, для слоёв металлов он определяется величинами n и k и их дисперсией. Максимально возможная толщина разделительного слоя (слой диэлектрика) определяется условием осаждения и не может превышать двух микрон. Это обстоятельство, а также ограничение на величину r, связанное с потерями света в слоях и накладывает естественное ограничение на полуширину светофильтра. Максимальное светопропускание светофильтра ограничивается потерями

света (поглощение, рассеивание) в слоях. Потери света в слоях составляют величину порядка: (1-20)%. Однако, как всегда в природе, если в прямую не получается, надо искать какой-то обходной путь, чтобы решить проблему. А решить её можно достаточно просто, основываясь на тех структурных построениях, которые мы с вами делали, когда рассматривали и зеркальные и фильтрующие диэлектрические системы. Действительно, для того чтобы система работала как интерференционный светофильтр, нам необходимо, чтобы эта система, естественно система с максимальным пропусканием, могла быть описана единичной матрицей. Вспомним, что мы с вами получили для таких систем. Мы с вами обозначали В - слой с высоким показателем преломления, и матрицу, соответственно мы обозначали так же, Н - слой с низким показателем преломления и соответствующая ему матрица.

Рис. 6.11. Спектральные зависимости энергетических коэффициентов пропускания диэлектрических светофильтров, образованных следующими структурами: 1- ВНВНВНВН2ВНВНВНВНВ, 2- ВНВНВНВН2В2Н2В2Н2ВНВНВНВНВ Рассмотрим простенькую систему, образованную из двух зеркал, каждое из которых состоит из трёх слоёв: ВНВ. Для того, чтобы такая система имела максимальное пропускание нужно ввести разделительный, полуволновой слой: ВНВ2НВНВ. Нам никто не мешает поместить качестве разделительного не один слой с низким показателем преломления, как это традиционно делалось, а ввести диэлектрическую систему полуволновых слоёв …2Н2В2Н2В2Н2В2Н… .Такая полуволновая система, помещённая между двумя зеркалами, будет вести себя аналогичным образом, поскольку она описывается единичной матрицей (рис.6.11.). Понятно, эта система будет вести себя в окрестностях λ0 как один полуволновой слой, расположенный между двумя зеркалами. Это довольно простой путь, который позволяет существенным образом уменьшить полуширину интерференционного

светофильтра. Контрастность будет определяться коэффициентом отражения зеркал, которые сюда входят, а полуширина светофильтра существенно уменьшается и можно легко выделять любой заданной интервал спектра. На рис. 6.12 изображены спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания диэлектрических систем ВНВНВНВ2НВНВНВНВ (кривая 1), ВНВНВНВ2Н2В2Н2В2НВНВНВНВ (кривая 2) в широком спектральном интервале (область максимального коэффициента отражения диэлектрических зеркал, составляющих зеркало). Как видно из сравнения этих зависимостей для диэлектрической системы ВНВНВНВ2Н2В2Н2В2НВНВНВНВ появляется два дополнительных максимума пропускания. Количество дополнительных максимумов отражения определяется оптической толщиной разделительного промежутка (2Н2В2Н2В2Н). В зависимости от соотношения между оптической толщиной разделительного промежутка и спектральной шириной максимума отражения диэлектрических зеркал, составляющих интерференционный светофильтр, количество дополнительных максимумов пропускания может быть увеличено.

Рис. 6.12. Спектральные зависимости энергетических коэффициентов пропускания диэлектрических светофильтров, образованных следующими структурами: 1- ВНВНВНВ2НВНВНВНВ, 2- ВНВНВНВ2Н2В2Н2В2НВНВНВНВ. На рис. 6.13 изображены спектральные зависимости энергетических коэффициентов пропускания диэлектрических светофильтров, образованных следующими структурами: ВНВ2НВНВ (кривая 1), ВНВ2НВНВНВНВ2НВНВ (кривая 2), ВНВНВНВ2НВНВНВНВ (кривая 3) в спектральном диапазоне, соответствующем максимальному коэффициенту

отражения диэлектрических зеркал, составляющих интерференционный светофильтр. Эти спектральные зависимости иллюстрируют влияние коэффициента отражения зеркал, составляющих светофильтр, на полуширину и контрастность светофильтра. Из сравнения кривых 1 и 3 видно, что увеличение числа слоёв зеркал, составляющих светофильтр, т.е. увеличение их коэффициента отражения, приводит к существенному увеличению контрастности и уменьшению полуширины светофильтра. Из сравнения кривых 1 и 2 видно, что для контрастного светофильтра (кривая 2) существенно изменяется характер зависимости вблизи λ0, а также величина контрастности. Аналогичными характеристиками обладают интерференционные светофильтры, образованные системами симметричных слоёв с разделительным промежутком. Действительно, если мы рассмотрим зеркала, образованные системой симметричных слоёв, например, (0,5ВН0,5В)к или (0,5НВ0,5Н)к и поместим между ними четвертьволновый слой для первого случая «В», а для второго «Н», то мы получим узкополосный диэлектрический светофильтр структура которого может иметь следующий вид: для первого случая - (0,5ВН0,5В)к В(0,5ВН0,5В)к, для второго - (0,5НВ0,5Н)кН(0,5НВ0,5Н)к.

Рис. 6.13 Спектральные зависимости энергетических коэффициентов пропускания диэлектрических светофильтров, образованных следующими структурами: 1ВНВ2НВНВ, 2ВНВ2НВНВНВНВ2НВНВ, 3- ВНВНВНВ2НВНВНВНВ. Энергетический коэффициент отражения таких систем легко может быть вычислен с помощью соотношений (4.3.1-4.3.9). Контрастный узкополосный диэлектрический светофильтр в этом случае образован повторением этих структур: [(0,5ВН0,5В)к В(0,5ВН0,5В)к]2 или [(0,5НВ0,5Н)кН(0,5НВ0,5Н)к]2. На рис. 6.14 изображены спектральные зависимости энергетического

коэффициента пропускания структур: [(0,5ВН0,5В)к В(0,5ВН0,5В)к] (кривая 1) и [(0,5ВН0,5В)к В(0,5ВН0,5В)к]2 (кривая 2). Как видно из этих рисунков происходит смещение максимума пропускания в коротковолновую область спектра. Это связано с тем, что зеркала, формирующие светофильтр, имеют максимум отражения на длине волны, смещённой в коротковолновую часть спектра, что в свою очередь определяется структурой этого зеркала.

Рис. 6.14. Спектральные зависимости энергетических коэффициентов пропускания диэлектрических светофильтров, образованных 8 8 следующими структурами: [(0,5ВН0,5В) В(0,5ВН0,5В) ] (кривая 1) и [(0,5ВН0,5В)8 В(0,5ВН0,5В)8]2(кривая 2). Как упоминалось ранее, узкополосные интерференционные светофильтры могут быть образованы комбинацией металлических и диэлектрических плёнок. Металлические плёнки выполняют роль зеркал, а диэлектрическая плёнка роль разделительного промежутка. Толщина разделительного промежутка в этом случае отличается от 0,5λ0. Это отличие вызвано тем, что разность фаз между падающим и отражённым излучением на границе раздела металл - диэлектрик отличается от π. На рис.6.15 изображены спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания металлодиэлектрических светофильтров на основе серебра: n1d1=0.0058λ0, n2d2=0.351 λ0, n3d3=0.0044λ0 (кривая 1), n1d1=0.0046λ0, n2d2=0.351 λ0, n3d3=0.0043λ0 (кривая 2), n% 1 = n% 3 = 0.05 + 2.87i , n2=1,38, λ0=500нм. Как видно из этого рисунка в зависимости от толщины слоя металла могут быть реализованы системы с отличающейся контрастностью и полушириной. Увеличение контрастности и уменьшение полуширины, как это следует из (6.2.4) и (6.2.9) возможно при увеличении коэффициентов отражения плёнок металлов. Увеличение коэффициента отражения металлических плёнок (2.5.12) приводит к увеличению

поглощения и уменьшению максимума пропускания интерференционного светофильтра (рис. 6.12 – кривая 1,2).

Рис.6.15. Спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания металлодиэлектрических светофильтров на основе серебра n1d1=0.0058λ0, n2d2=0.351 λ0, n3d3=0.0044λ0 (кривая 1), n1d1=0.0046λ0, n2d2=0.351 λ0, n3d3=0.0043λ0 (кривая 2), n% 1 = n% 3 = 0.05 + 2.87i , n2=1,38, λ0=500нм В процессе эксплуатации проблема заключается в нестабильности оптических характеристик светофильтров, построенных на основе оксидных плёнок. Плёнки пористые, и хотя пористость не превышает (5-10)%, этого уже достаточно для того, чтобы при нахождении в атмосфере полоса такого светофильтра смещалась в пределах или больше полуширины интерференционного светофильтра из-за изменений температуры и влажности. Такая конструкция может представлять ценность, если только она находится в стабильной атмосфере, поэтому светофильтры с полушириной меньшей 0.1нм редко используются. Светофильтры с полушириной 1 нанометр, 5 нанометров достаточно широко применяются на практике. 6.3. Изменение пропускания по мере формирования узкополосных светофильтров

Рассмотрим, как меняется пропускание или отражение такого светофильтра по мере его формирования. Давайте рассмотрим это на примере фильтра, образованного трёхслойными зеркалами, а потом остановимся на особенностях, связанных с металлическим зеркалами, используемыми в качестве зеркал, формирующих светофильтр, построенный по схеме интерферометра Фабри-Перо. Структура такого фильтра ПВНВ2НВНВ. Первым на подложку осаждается слой с большим показателем преломления, коэффициент пропускания системы на длине волны λ=λ0 будет

уменьшаться до какого-то значения, при осаждении второго слоя пропускание увеличивается, при осаждении третьего слоя пропускание снова уменьшается. Четвёртый слой – полуволновой слой, с низким показателем преломления, при его осаждении пропускание вначале возрастает до максимального значения, соответствующего пропусканию четвертьволнового слоя, потом уменьшается, достигает прежнего значения, а дальше начинаем осаждать слой с большим показателем преломления. Что будет происходить здесь? Как будет меняться пропускание при осаждении слоя с высоким показателем преломления?

Рис.6.16. Изменение энергетического коэффициента пропускания по мере роста четвертьволновых слоёв, образующих интерференционный светофильтр (длина волны, на которой ведётся контроль, совпадает с длиной волны максимального пропускания). Начальное значение коэффициента пропускания мы знаем, каким будет конечное значение коэффициента пропускания? Для его определения, так же как и раньше воспользуемся правилом скобок при определении матричного произведения. После осаждения пятого слоя матрица интерференции имеет вид (В2НВ)НВ. Коэффициент пропускания после осаждения пятого слоя будет равен коэффициенту пропускания системы ВНВ. Следовательно, по мере осаждения пятого слоя, слоя с большим показателем преломления, он будет увеличиваться. Следующий, шестой слой, слой с низким показателем преломления. Ему соответствует матрица интерференции В(Н(В2НВ)Н). В скобках расположены единичные матрицы. Начальный коэффициент пропускания известен, коэффициент пропускания в момент окончания осаждения слоя, это коэффициент пропускания одного слоя на подложке, и, наконец, последний слой. Начальное пропускание, это пропускание одного слоя, конечное - пропускание чистой подложки. Зависимость коэффициента

пропускания, как функция толщины слоёв растущей системы изображена на рис.6.16. Использование систем контроля, позволяющих вести наблюдение за формированием спектральной кривой в широком спектральном диапазоне, так же как и при контроле параметров четвертьволновых зеркал представляет несомненный интерес, как при определении контрольных длин волн, обеспечивающих наибольшую чувствительность фотометрического метода, так и при выяснении влияния отклонения в толщинах формируемых слоёв на спектральную характеристику результирующей системы. В качестве примера рассмотрим формирование разделительного слоя, первого, среднего и последнего слоя, зеркала граничащего с воздухом. На рис.6.17-6.20 представлена эволюция и контурные карты эволюции спектральных характеристик по мере формирования разделительного слоя, первого, среднего и последнего слоя зеркала, граничащего с воздухом для системы, состоящей из семи слоёв. Как видно из этих рисунков по мере формирования системы формируется центральный максимум пропускания интерференционного светофильтра. На первом слое для этой системы уже почти сформирована центральная часть светофильтра. Однако, полуширина светофильтра велика, а контрастность недостаточна. Связанно это с тем, что коэффициенты отражения зеркал формирующих светофильтр различаются. По мере формирования среднего слоя полуширина светофильтра увеличивается, контрастность уменьшается. По мере формирования последнего слоя формируются окончательные характеристики интерференционного светофильтра. Анализ эволюции и контурных карт эволюции спектральных зависимостей позволяет выяснить особенности, связанные с отклонением оптических толщин слоёв от заданных, равных 0,25λ0, а так же определить длины волн, на которых необходимо вести контроль толщины, реализующих максимальную точность контроля или, если это необходимо, вести контроль в связанных длинах волн или в широком спектральном интервале. Далее рассмотрим ситуацию с интерференционным фильтром, образованным металлическими зеркалами. На подложке растёт первое зеркало, слой металла, изменение пропускания по мере формирования слоя изображено на рис.6.17. При осаждении первого слоя мы ограничиваемся энергетическим коэффициентом отражения этого зеркала. Слой металлический, он будет обладать поглощением. Коль скоро он будет обладать поглощением, то пропускание такого слоя есть T=1-R-A, где А – это коэффициент поглощения. Если мы выберем величину R, т.е. если мы хотим получить светофильтр с заданной контрастностью и заданной полушириной, то мы должны с вами определить поглощение, как функцию толщины слоя (см. раздел 2.5 – поглощающие слоя). После этого необходимо определить пропускание системы слой - подложка. В момент достижения вычисленного значения пропускания осаждение прекращается. Дальше осаждается разделительный слой. Толщина разделительного слоя не кратна λ0/2, поскольку на границе раздела зеркало - растущий слой диэлектрика

присутствуют скачки фазы коэффициента отражения, отличные от π. Пропускание диэлектрического слоя от его толщины может быть описано выражением: A (6.3.1) T= ⎛ 4πn1d1 ⎞ 1 − Bcos ⎜ + ρ1 + ρ2 ⎟ ⎝ λ ⎠ где А и В константы, определяемые оптическими постоянными слоя металла и растущего слоя диэлектрика, ρ2 – разность фаз между падающей со стороны растущего слоя диэлектрика и отраженной от границы раздела металл-диэлектрик волнами, ρ1- разность фаз между падающей и отраженной от границы раздела диэлектрик – вакуум волнами. Если (ρ2+ ρ1) > 0, то пропускание по мере роста системы вначале падает, затем достигает минимального значения, после этого возрастает и при достижении прежнего значения осаждение слоя необходимо прекратить. Это необходимо сделать потому, что для достижения максимального пропускания светофильтра амплитудные коэффициента отражения зеркал должны быть одинаковы.

Рис.6.17. Эволюция и контурная карта эволюции спектральной зависимости пропускания от толщины растущего разделительного слоя интерференционного светофильтра, состоящего из семи слоёв. Фильтр сформирован из слоёв с показателями преломления: nн=1.45, nв=2.10.

Рис.6.18. Эволюция и контурная карта эволюции спектральной зависимости пропускания от толщины растущего первого слоя второго четвертьволнового зеркала интерференционного светофильтра, состоящего из семи слоёв. Фильтр сформирован из слоёв с показателями преломления: nн=1.45, nв=2.10.

Рис.6.19. Эволюция и контурная карта эволюции спектральной зависимости пропускания от толщины растущего второго слоя второго четвертьволнового зеркала интерференционного светофильтра, состоящего из семи слоёв. Фильтр сформирован из слоёв с показателями преломления: nн=1.45, nв=2.10.

Рис.6.20. Эволюция и контурная карта эволюции спектральной зависимости пропускания от толщины растущего второго слоя второго четвертьволнового зеркала интерференционного светофильтра, состоящего из семи слоёв. Фильтр сформирован из слоёв с показателями преломления: nн=1.45, nв=2.10.

Если (ρ2 + ρ1) < 0, то пропускание в начале растёт, достигает максимума, затем уменьшается и при достижении значения пропускания, совпадающего с начальным осаждением необходимо прекратить. При осаждении второго слоя металла на диэлектрический слой, пропускание, очевидно, будет возрастать до некоторого максимального значения, затем по мере увеличения толщины оно будет уменьшаться (рис.6.17). Понятно, что для достижения максимального пропускания светофильтра на длине волны λ=λ0 осаждение второго слоя металла необходимо прекратить в момент достижения максимума. Поэтому конечное и начальное пропускание на этих кривых естественно не совпадает. В отличие от диэлектрических четвертьволновых систем, для которых начальное пропускание подложки и конечное пропускание светофильтра совпадают. Когда мы рассматривали с вами диэлектрические светофильтры, мы с вами показали, что максимальное пропускание светофильтра есть пропускание подложки, если мы не применяем никаких дополнительных мер. А какие дополнительные меры мы можем принять, что бы увеличить пропускание такой системы? Напомню, что нас интересует увеличение пропускание только на одной длине волны, λ=λ0. Подобная система обладает таким уникальным свойством, что она на длине волны λ0 не изменяет свойств подложки. Для того чтобы увеличить пропускание этой системы нам нужно увеличить пропускание подложки. А как можно увеличить пропускание подложки? Для этого нужно её просветлить. Причём просветление мы можем нанести как на подложку, так и на светофильтр. Результат будет одинаковым. Т.е. в случае интерференционных диэлектрических светофильтров мы можем с вами легко создать систему, у которой пропускание равно единице на длине волны λ=λ0, использовав симбиоз просветляющей и фильтрующей систем. Что такое узкополосный интерференционный фильтр? Это две зеркальные системы, разделённые промежутком кратным целому числу полуволн. Если используем систему: подложка, просветляющая система, зеркальная система, разделительная полуволновая система, зеркальная система, то мы с вами получим систему, у которой пропускание единица на длине волны λ=λ0 и наоборот можем сделать: подложка - зеркальная система, разделительная полуволновая система, зеркальная система и просветляющая система. А теперь давайте подумаем, какая из двух предложенных систем будет обладать большей контрастностью и меньшей полушириной? Очевидна та система, у которой коэффициент отражения зеркал, входящих в эту систему будет больше. А в какой системе коэффициент отражения зеркал будет больше? Как вы думаете? По существу, что такое первая зеркальная система? Первая зеркальная система при наличии просветляющего слоя – это система, которая ограниченна средами, с показателями преломления воздуха и диэлектрика, вторая система это диэлектрик и воздух, в случае, если мы наносим просветляющую систему на диэлектрическую систему, с какими показателями преломления обрамляющих сред мы имеем дела? Это подложка, разделительный слой диэлектрика и снова разделительный слой

диэлектрика и вместо воздуха подложка, эта вторая диэлектрическая система будет обладать меньшим коэффициентом отражения, а коль скоро она будет обладать меньшим коэффициентом отражения, то она будет иметь меньшую контрастность и большую полуширину слоя. Поэтому, для получения максимального эффекта лучше осаждать просветляющую диэлектрическую систему на подложку. Мы с вами рассмотрели интерференционные светофильтры. И показали, что контрастность интерференционных светофильтров определяется только коэффициентом отражения и не зависит никак от поглощения, максимальное пропускание такого светофильтра существенным образом зависит от поглощения, полуширина так же не зависит от поглощения в слоях, она определяется коэффициентом отражения, порядком интерференции и дисперсией аргумента амплитудного коэффициента отражения зеркал, образующих светофильтр.

с.Рис. 6.17. Изменение пропускания по мере формирования металлэлектрического светофильтра на основе серебра структура тофильтра: n1d1=0.0046λ0, n2d2=0.351 λ0, n3d3=0.0043λ0, = n% 3 = 0.05 + 2.87i , n2=1,38, λк=500нм. Для получения максимально приемлемых характеристик необходимо конечно, использовать светофильтры, построенные на основе диэлектрических систем. В случае диэлектрических систем поглощение стремится к нулю, соответственно все параметры могут принимать максимальное значение, контрастность, полуширина и максимальное пропускание. Максимальное пропускание в этом случае может быть сделано близким к единице, что, вообще говоря, и определяет интерес к этим системам. Ещё раз, для чего эти системы нужны? При выделении узкого спектрального интервала, естественно, эти системы, эффективны в силу того, что они обладают большой светосилой, это могут быть системы, осажденные на большие детали, кроме того, по сравнению со спектральными приборами различных типов, они обладают несомненным преимуществом по массе. Поэтому в основном они используются в космонавтике, для анализа

поверхности Земли и её атмосферы, океана, атмосферы планет, солнечной системы. Кроме того, на основе таких светофильтров, если вы построите систему, у которой толщина разделительного слоя меняется по какому-то закону, например, по линейному закону, то полоса пропускания будет смещаться в зависимости от толщины разделительного слоя. На основе этого можно построить малогабаритный спектрометр. В последнее время подобного типа системы начинают использоваться в оптической связи для выделения необходимого спектрального интервала. Это связано с тем, что количество передаваемой информации будет определяться количеством каналов оптической связи. Поскольку в качестве источников света используются светодиоды, у которых ширина спектра излучения нескольких нанометров, а с помощью светофильтров можно выделить полосу порядка нанометра, то можно получить порядка десяти каналов для оптической связи. Здесь мы имеем простой путь для спектрального разделения каналов в системах оптической связи. 6.4.

Изменение спектральных характеристик светофильтров при наклонном падении

узкополосных

В процессе эксплуатации интерференционных светофильтров возникает вопрос об изменении их спектральных характеристик при работе их в наклонных пучках света или при работе в сходящихся и расходящихся пучках. Поведение спектральных характеристик светофильтров при наклонном падении света может быть легко определено. Для этого, так же как и раньше при рассмотрении четвертьволновых зеркал, необходимо показатели преломления слоёв, образующих светофильтр, заменить на эффективные показатели преломления в соответствии с правилом (2.3.2), а 2 πn jd j cos α j , фазовые толщины слоёв на эффективные фазовые толщины ϕ j = λ где α j - угол распространения излучения в j-слое. Энергетические коэффициенты пропускания светофильтров для света с разными состояниями поляризации могут быть вычислены по зависимостям вида (1.3.15). На рис.6.15 изображены зависимости энергетических коэффициентов пропускания от длины волны и угла падения излучения на светофильтр для света с разными состояниями поляризации. Эти зависимости рассчитаны для светофильтра, образованного следующей структурой: (ВН)42В(НВ)4 nB=2.05, nН=1,35, λ0=700нм. Как видно из этого рисунка происходит, во-первых, смещение экстремумов пропускания в коротковолновую часть спектра, вовторых, деформация спектральной кривой. В диапазоне углов от 0о до 30о смещение экстремумов довольно значительное, однако деформация спектральной зависимости не очень велика, кроме того, смещение

экстремумов пропускания для света, поляризованного в разных плоскостях незначительное.

Рис.6.15. Зависимость энергетического коэффициента пропускания от длины волны и угла падения излучения на светофильтр для света с разными состояниями поляризации (Ts,Tp). Структура светофильтра: (ВН)42В(НВ)4 nB=2.05, nН=1,35, λ0=700нм.

Рис.6.16. Спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания узкополосного светофильтра (ВН)42В(НВ)4 при разных углах падения излучения на покрытие, nB=2.05, nН=1,35, λ0=700нм для и света с разными состояниями поляризации (Ts,Tp) неполяризованного (T) излучения. На рис. 6.16 изображены спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания узкополосного светофильтра (ВН)42В(НВ)4 при разных углах падения излучения на покрытие, nB=2.05, nН=1,35, λ0=700нм для света с разными состояниями поляризации (Ts,Tp) и неполяризованного (T) излучения. Пропускание неполяризованного света определялось как: T = 0.5 ( Tp + Ts ) . Из этого рисунка видно, что при увеличении угла падения излучения на светофильтр происходит смещение экстремумов пропускания в коротковолновую часть спектра и деформация спектральной кривой. Следует обратить внимание на разную величину сдвига полосы пропускания светофильтра для света с разными состояниями поляризации, расширение полосы пропускания и уменьшение контрастности светофильтра для света, поляризованного в плоскости падения. Кроме того, при больших углах падения максимумы пропускания для света с различными состояниями поляризации не совпадают.

Эти обстоятельства необходимо учитывать при работе светофильтров в наклонных и сходящихся (расходящихся) пучках. Более тщательные оценки показывают, что допустимый угол падения или расходимость пучка излучения зависят от структуры светофильтра и могут составлять величину не более 3о-5о. 6.5 Светофильтры на основе нарушенного полного внутреннего отражения

Рассмотрим достаточно специфический случай: трёхслойную, симметричную систему, обрамлённую одинаковыми средами, но работающую в условиях полного внутреннего отражения. Ранее был рассмотрен один слой, окружённый обрамляющими средами с одинаковыми показателями преломления, но показатель преломления слоя был меньше показателей преломления обрамляющих сред (рис.2.13). Если угол падания α0 > αкр больше критического, то возникает ситуация, которая заключается в том, что в зависимости от толщины прослойки d1 коэффициент отражения может меняться от 0 до 1 (n1
2 πn1d1 ϕ1 = i λ где : а =

( n 0 sin α0 )

2πd1 λ

2

− n12

n1

( n 0 sin α0 )

2

=i

2πd1 λ

( n 0 sin α0 )

2

− n12 = i ⋅ a,

(6.5.1)

− n12 .

Рис.6.17. Структура интерференционного светофильтра, работающего при углах падения излучения больших угла полного внутреннего отражения. Угол распространения излучения во втором слое будет таким же, как и в первой среде, в среде из которой падает свет. Мнимой будет только величина φ = φ1= φ3, φ2 - величина действительная, она определяется из выражения: 2πn 2 d 2 cos α0 , поскольку мы положили n2=n0. Тогда в соответствии с этими λ преобразованиями можно сказать, что матричные элементы, диагональные и недиагональные, будут содержать ещё дополнительно мнимую единицу. Поскольку при описании этого случая мы должны с вами рассмотреть эффективные показатели преломления, как мы это делали с вами в случае наклонного падения света при углах больших критического, то: ⎧ cos α j p − компонента; ⎪ %n j = ⎨ n j ⎪ n cos α s − компонента; j ⎩ j j=0,1,2,…..m. Эффективные показатели преломления n% j с учётом распространения излучения под углами большими критического будут иметь вид:

⎧ i ( n sin α )2 − n 2 ib 0 0 j ⎪ = 2j ⎪ 2 nj nj n% 1 = n% 3 = ⎨ ⎪ 2 2 ⎪⎩ i ( n 0 sin α0 ) − n j = ib j где:

bj =

( n 0 sin α0 )

⎧ cos α0 b0 = 2 ⎪ n0 n% 0 = n% m = ⎨ n 0 ⎪ n cos α = b ⎩ 0 0 0

2

− n 2j

p − компонента,

(6.5.2)

s − компонента, j = 1,3,

p − компонента,

(6.5.3)

s − компонента,

⎧ cos α2 b2 = 2 p − компонента, ⎪ n2 n% 2 = ⎨ n 2 (6.5.4) ⎪ n cos α = b s − компонента. ⎩ 2 2 2 Элементы матрицы интерференции симметричной трёхслойной системы при нормальном падении света, как было нами показано ранее, имеют вид: ⎧ 1⎛ n n ⎞ m11 = cos 2ϕ1 cos ϕ2 − ⎜ 1 + 2 ⎟ sin 2ϕ1 sin ϕ2 , ⎪ 2 ⎝ n 2 n1 ⎠ ⎪ ⎪ 1 1 n2 2 2 ⎪ m12 = sin 2ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 − 2 sin ϕ1 sin ϕ2 , n1 n2 n1 ⎪ (6.5.5) ⎨ 2 n ⎪ m = n sin 2ϕ cos ϕ + n cos2 ϕ sin ϕ − 1 sin 2 ϕ sin ϕ , 1 1 2 2 1 2 1 2 ⎪ 21 n2 ⎪ 1 ⎛ n1 n 2 ⎞ ⎪ = ϕ ϕ − m cos 2 cos 22 1 2 ⎜ + ⎟ sin 2ϕ1 sin ϕ2 . ⎪ 2 ⎝ n 2 n1 ⎠ ⎩ С учётом того, что в рассматриваемом случае ⎧ ib j p − компонента, ⎪ n1 = n 3 = ⎨ n j ⎪ ib s − компонента. ⎩ j Элементы матрицы интерференции соответственно приобретают вид:

для

s-

и

ϕ1 = ϕ2 = ia , а

p-компоненты

⎧ 1⎛ b b ⎞ s = ch2a cos ϕ2 + ⎜ 1 − 2 ⎟ s h2a sin ϕ2 , m11 ⎪ 2 ⎝ b2 b1 ⎠ ⎪ ⎪ s 1 1 b2 2 2 ⎪ m12 = s h2a cos ϕ2 + c h a sin ϕ2 − 2 s h a sin ϕ2 , b1 b2 b1 ⎪ ⎨ 2 ⎪ ms = − b s h2a cos ϕ + b c h 2a sin ϕ − b1 s h 2 a sin ϕ , 1 2 2 2 2 ⎪ 21 b2 ⎪ 1 ⎛ b1 b2 ⎞ ⎪ s = ϕ + m c h2a cos 22 2 ⎜ − ⎟ s h2a sin ϕ2 , ⎪ 2 ⎝ b2 b1 ⎠ ⎩

(6.5.6)

2 2 ⎧ 1 ⎡⎛ b1 ⎞ ⎛ n 2 ⎞ ⎛ b2 ⎞ ⎛ n1 ⎞ ⎤ p ⎪ m11 = ch2a cos ϕ2 − ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ s h2a sin ϕ2 , 2 ⎢⎝ b2 ⎠ ⎝ n1 ⎠ ⎝ b1 ⎠ ⎝ n 2 ⎠ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ 2 ⎪ p n12 n 22 2 b2 ⎛ n12 ⎞ 2 ⎪ m12 = s h2a cos ϕ2 + c h a sin ϕ2 − 2 ⎜ ⎟ s h a sin ϕ2 , b1 b2 b1 ⎝ n 2 ⎠ ⎪ (6.5.7) ⎨ 2 2 ⎪ s b1 b2 2 b1 ⎛ n 2 ⎞ 2 = − ϕ + ϕ − m s h2a cos c h a sin 2 2 ⎜ 2 ⎟ s h a sin ϕ2 , ⎪ 21 2 2 n1 n2 b 2 ⎝ n1 ⎠ ⎪ ⎪ ⎡⎛ b ⎞ ⎛ n ⎞ 2 ⎛ b ⎞ ⎛ n ⎞2 ⎤ 1 s 2 ⎪ m = c h2a cos ϕ + ⎢ 1 − ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎥ s h2a sin ϕ2 . 22 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2 ⎢⎝ b2 ⎠ ⎝ n1 ⎠ ⎝ b1 ⎠ ⎝ n 2 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ После определения написания матричных элементов, проанализируем, как меняются энергетические коэффициенты пропускания и отражения такой системы. Энергетический коэффициент отражения, как вы помните, определяется из соотношения:

Rs

Rp

(b m − b m ) + (b b m − m ) , = (b m + b m ) + (b b m + m ) (b n m − b n m ) + (b b m − n n = (b n m + b n m ) + (b b m + n n 0

s 11

0

s 11

0

0

2 m

2 m

2

s

m

22

0

p 11

p 11

s

m

s 12

2

s

m

s 12

s

m

22

m

m

0

2 0

2 0

22

0

m

p 12

2 0

2 m

m

p 12

2 0

2 m

2

p

22

0

(6.5.8)

2

21

2

p

2

21

m p 21 )

m p 21 )

2 2

.

Энергетический коэффициент пропускания такой системы: 4b0 b m Ts = , 2 2 s s s s b m + b m + b b m + m ( 0 11 m 22 ) ( 0 m 12 21 ) Tp =

(b n 0

4b0 b m n 0 n m 2 m

m

p 11

+ bm n m 2 0

) + (b b 2

p 22

0

m

m

p 12

+n n m 2 0

2 m

p 21

)

2

.

(6.5.9)

(6.5.10) (6.5.11)

После того как мы написали эти выражения для энергетических коэффициентов отражения и пропускания, прежде, чем мы будем раскрывать эти выражения, давайте посмотрим, нет ли здесь каких либо упрощающих особенностей. Во-первых, мы положили, что n0=nm, кроме того, матричные

элементы m11, m22 одинаковы (6.5.6) и (6.5.7), поэтому первое слагаемое в числителе для выражений (6.5.8) и (6.5.9) равно нулю. Поскольку n0=nm, а m11 = m22, то очевидно, первое слагаемое в знаменателе в выражениях (6.5.8) -

s (6.5.11) будет 4b2 0 ( m11 ) - для s-компоненты и 4b20 n02 ( m11p ) - для p2

2

компоненты, b0 = n 0 cos α0 , а m11 мы с вами уже определили (6.5.6), (6.5.7). Напишем выражение для коэффициента отражения и коэффициента пропускания такой системы. После чего мы сможем посмотреть, как будет меняться коэффициент отражения, при тех предположения, которые мы ввели. Энергетический коэффициент отражения для света, поляризованного перпендикулярно и в плоскости падения равен: Rs

Rp

(b m − m ) = , 4b ( m ) + ( b m + m ) (b m − n m ) = 4b n ( m ) + ( b m + n m ) 2 0

s 2 11

2 0

2 0

2 0

2 0

s 2 21

s 12

p 12

p 2 11

2 0

p 2 21

4 0

2 0

(6.5.12)

s 2 21

s 12

p 12

p 2 21

4 0

.

(6.5.13)

Теперь мы с вами можем сказать, при каких фазовых толщинах φ2 коэффициент отражения такой системы может обращаться в ноль. Это происходит тогда, когда числитель в выражениях (6.5.12) и (6.5.13) обращается в нуль. 2b12 sh2a s , (6.5.14) ( tgϕ2 ) = 2 2 ⋅ 2 2 2 2 b1 + b2 b0 + b1 b1 − b0 − ch2a b12 − b02 b12 + b22 2b1b2 n12 n 22 = 2 4 ⋅ 2 4 b n b n − ( 2 1 1 2)

sh2a . (6.5.15) b n + b22 n14 b12 n 04 − b02 n14 ch2a + b n − b12 n 24 b02 n14 + b12 n 04 При сделанных нами ранее предположениях n 0 = n 2 = n m фазовые толщины второго слоя соответственно равны:

( tgϕ2 )

p

( tgϕ2 )

s

=

2n 0 cos α0

2 4 1 2 2 4 2 1

( n 0 sin α0 )

n cos 2α0 − n 2 0

2n12 n 0 cos α0

2

− n12

2 1

( n 0 sin α0 )

2

⋅

sh2a ch2a − 1

− n12

(6.5.16)

sh2a (6.5.17) n cos α0 − n sin α0 + n n ch2a − 1 Мы с вами получили условия для фазовых толщин разделительного слоя, при которых энергетический коэффициент отражения этой системы обращается в нуль. Но вне этого диапазона, коэффициент отражения, как не трудно догадаться, если посмотреть на ту форму записи, которую мы с вами произвели, стремится к единице. Здесь мы с вами получили ситуацию, заключающуюся в том, что такая система позволяет выделить на фоне сплошного какой-то участок спектра, довольно узкий спектральный участок.

( tgϕ2 )

p

=

4 1

2

4 0

2

2 2 0 1

⋅

Написанное ранее условие для

( tgϕ ) и ( tgϕ ) s

2

2

p

, позволяет, при

выбранной толщине второго слоя, определить длины волн, в которых Rs или Rp равняются нулю, а энергетический коэффициент пропускания равен единице. Действительно, вспоминая определения для фазовой толщины слоя, 2πn 0d 2 cos α0 ϕ2 = , при фиксированных углах падения ϑ0 и толщине слоя d2 λ можно определить длину волны, на которой пропускание равно единице: 2 πn 0d 2 cos α0 ⎧ s , λ = ⎪ ⎧ 2n cos α ( n sin α )2 − n 2 ⎫ sh2a ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 0 0 1 arctg ⋅ ⎨ ⎬ ⎪ n 02 cos 2α0 − n12 ch2a − 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (6.5.18) ⎨ 2 n d cos π α p 0 2 0 ⎪λ = . ⎪ ⎧ 2n 2 n cos α ⋅ ( n sin α )2 − n 2 ⎫ sh2a ⎪ ⎪ 1 0 0 0 0 1 ⎪ arctg ⎨ 4 ⋅ ⎬ 2 4 2 2 2 ⎪ n cos n sin n n ch2a 1 α − α + − 1 0 0 0 0 1 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩ Как видно из выражения (6.5.18) максимальное пропускание для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения, реализуется для разных длин волн при фиксированной толщине промежутка d2 и угле падения α0 . На рисунке 6.18 изображены зависимости энергетического коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно (а) и параллельно (б) плоскости падения в зависимости от длины волны падающего излучения и толщины разделительного слоя. Как видно из этих рисунков, основные минимумы отражения (соответствующие максимумам пропускания системы) для света, поляризованного в разных состояниях, смещены друг относительно друга. Кроме того, положение экстремумов отражения в шкале длин волн и их полуширина зависят от толщины разделительного промежутка.

Рис.6.18. Зависимость коэффициента отражения для света, поляризованного перпендикулярно (а) и параллельно (б) плоскости падения в зависимости от длины волны и толщины разделительного слоя. Для нас представляет интерес, как ведут себя подобные системы в красной области, при стремлении длины волны к бесконечности. При стремлении длины волны к бесконечности фазовые толщины слоёв стремятся к нулю. Посмотрим, что происходит с элементами матрицы интерференции.

Матричные элементы m11 и m22 стремятся к единице. Недиагональные элементы, как нетрудно сообразить, стремятся к нулю. Т.е. матрица интерференции будет стремиться к диагональной единичной матрице. А мы с вами знаем, что единичная матрица не меняет свойств отражённого и прошедшего излучения, коэффициент отражения такой системы стремится к коэффициенту отражения подложки. Т.е. в красной области в отражении должно наблюдаться уменьшение коэффициента отражения. Даже не считая ничего, мы можем написать, что в красной области система обладает большим пропусканием (см. рис. 6.17). Из этого рисунка видно, что при малых толщинах разделительного промежутка в красной области спектра наблюдается уменьшение энергетического коэффициента отражения. При больших толщинах разделительного слоя область уменьшения энергетического коэффициента отражения смещается дальше в красную область спектра. На фоне сплошного спектра вырезаются достаточно узкие участки, а в красной области коэффициент отражения стремится к коэффициенту отражения подложки. Что же будет происходить в фиолетовой части спектра? Длина волны мала, поэтому гиперболические синусы и косинусы могут быть заменены экспоненциальными с положительным аргументом. Следовательно, для света, поляризованного перпендикулярно плоскости падения: ⎧ s ⎤ b12 − b22 s 2a ⎡ sin ϕ2 ⎥ , ⎪ m11 = m 22 = e ⋅ ⎢cos ϕ2 + b1b2 ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎤ 1 b12 − b22 s 2a ⎡ 1 (6.5.19) sin ϕ2 ⎥ , ⎨ m12 = e ⋅ ⎢ cos ϕ2 + 2 b 2 b b ⎣ 1 ⎦ 1 2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎡ ⎤ 1 b1 − b2 ⎪ ms21 = e 2a ⋅ ⎢ − b1 cos ϕ2 − sin ϕ2 ⎥ . 2 b2 ⎪⎩ ⎣ ⎦ Аналогичные выражения могут быть получены для света, поляризованного в плоскости падения. Выражение, которое определяет длину волны максимального пропускания (минимального отражения) при этом существенно упрощается. И если выполняются условия (6.5.18), которые при этом существенно упрощаются, то в фиолетовой области будут наблюдаться побочные минимумы отражения. На рис.6.18 изображены спектральные зависимости энергетического коэффициента пропускания светофильтра для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения. В верхней части рисунка справа изображены спектральные зависимости в широком диапазоне. Отсюда видно, что в красной части спектра, как это и было показано выше, фильтр обладает высоким пропусканием для обоих компонент. Кроме того, в спектре наблюдаются полосы пропускания в коротковолновой части. Максимумы пропускания для света с разными состояниями поляризации сдвинуты друг

относительно друга. Для иллюстрации в нижней части рисунка изображены спектральные зависимости в узком спектральном диапазоне.

Рис.6.19. Спектральные зависимости энергетических коэффициентов пропускания для света, поляризованного в плоскости и перпендикулярно плоскости падения для диэлектрического светофильтра, образованного структурой: n0=n2=nm=2.0, 0 n1=n3=1.35,d1=d3=500нм, d2=400нм, α0 = 45 . На рис. 6.19 изображены зависимости энергетического коэффициента пропускания узкополосного интерференционного светофильтра, работающего в условиях нарушенного полного внутреннего отражения, для света поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения от длины волны падающего излучения и толщин его первого и третьего слоёв. Как видно из этого рисунка положение полосы максимального пропускания, контрастность и полуширина пропускания зависят от оптической толщины первого и третьего слоёв. Это связано с тем, что эти слои выполняют роль зеркала в интерференционном светофильтре.

Рис.6.20. Зависимость энергетического коэффициента отражения от толщин первого и третьего слоёв, длины волны падающего излучения для света, поляризованного перпендикулярно и параллельно плоскости падения. Из рисунков 6.18 - 6.20 видно, что наблюдается сдвиг максимума пропускания или минимума отражения при изменениях толщин слоёв d1=d3 и d2, но изменений принципиального характера в спектральных зависимостях нет. Что за систему мы с вами рассматриваем? По существу мы с вами рассматриваем систему, уже знакомую нам. Её можно представить её в таком виде: это слой с показателем преломления n1, n1 < n 0 , затем следует слой с показателем преломления n0, если мы меняем толщину слоя с показателем преломления n1, то мы изменяем коэффициент отражения, причём коэффициент отражения в зависимости от толщины этого слоя R(d) меняется так, как изображено на рис. (рис.2.14) следующим образом.

Если толщина этого слоя увеличивается, то увеличивается и коэффициент отражения. Коэффициент отражения монотонно стремится к единице. Достаточно быстро, кстати. Введём ещё один такой же слой. У нас два слоя с большим коэффициентом отражения. Заменим каждый из слоёв с большим коэффициентом отражения одной границей раздела. В результате мы получим две границы раздела и между ними слой с показателем преломления n0. Это ни что иное, как интерферометр Фабри–Перо. Пропускание такого интерферометра, интерферометра Фабри–Перо описывается формулой Эйри: 2 2 t1 t 2 T= , 2 1 + ( r1 r2 ) + 2 r1 r2 cos ( 2ϕ1 + ρ1 + ρ2 ) где: t1,t2 – модули амплитудного коэффициента пропускания, r1,r2- модули амплитудного коэффициента отражения границы раздела, ρ1, ρ2 разность фаз между падающей и отражённой волнами на границах раздела слоёв с показателями преломления n0 , n1. Чему равняется пропускание такой системы? Если это не поглощающая система, то мы можем написать, исходя из того, что среды одинаковые, толщины прослоек одинаковые, коэффициенты отражения тоже одинаковые: 2 (1 − R ) 2 T= , где : R = r1 . 2 1 + R + 2R cos 2ϕ1 Когда фазовая толщина слоя кратна π, пропускание такого интерферометра cos 2ϕ = −1 :

(1 − R )

2

2

⎛1− R ⎞ = T= ⎜ ⎟ . 1 + R 2 + 2R ⎝ 1 + R ⎠ А если косинус равен +1, то пропускание такого интерферометра равно единице. Т.е. спектральная кривая будет иметь характерный для пропускания интерферометра Фабри-Перо вид. А для R наоборот, поскольку R+T=1. Меняя величину промежутка, меняем величину коэффициента отражения, пропускание фона (минимальное пропускание), чем меньше коэффициент отражения, тем больше пропускание фона. А пропускание на длине волны λ0 будет равно единице, поскольку коэффициенты отражения одинаковы. Поэтому мы такую систему с вами и рассмотрели. Легко написать n1 - n 0 -n1, но эти величины, должны быть такими, чтобы обеспечить угол полного внутреннего отражения, и не очень большой. А угол полного внутреннего отражения определяется отношением показателей преломления n0, n1. И чем больше разница в показателях преломления, тем меньше критический угол. С какими материалами мы имеем дело в видимой области спектра? Нам нужно создать такою ситуацию, чтобы n0 – был в качестве материала прослойки, это не страшно, а вот величина n1 для нас очень критична, n0 в видимой области порядка 2 и меньше. Для того чтобы реализовать нормальные условия, величина показателя n1 должна быть

меньше, чем 1,5. Для стекла с показателем преломления 1,5 это должна быть единица, т.е. воздух. Создать контролируемую воздушную прослойку такого размера достаточно сложно, потом повесить между двумя воздушными прослойками свободную плёнку тоже не простая технологическая задача. Для реализации таких светофильтров необходимо, чтобы угол полного внутреннего отражения на границе раздела с первым слоем был бы равен или меньше 45о. Плёнкообразующий материал с минимальным показателем преломления – это фторид магния, у которого n=1,35. Тогда, показатель преломления среды, из которой падает свет, должен быть не меньше, чем 1,90. Таким показателем преломления обладают тяжёлые флинты и кроны, а также некоторые кристаллы. Поэтому создать такие светофильтры можно не только в видимой области спектра, но и в ИК-диапазоне, где имеется среды с большими показателями преломления. В ультрафиолетовой области спектра это достаточно сложно сделать из-за отсутствия материалов с высоким показателем преломления. Тем не менее, как пример использования трёхслойных симметричных систем приведённое рассмотрение очень полезно.

Рекомендуемая литература: 1. Борн М. Вольф Э. Основы оптики - М., Наука, 1970г. - 856с. 2. Гребенщиков И.В., Власов А.Г., Суйковская Н.В. Просветление оптики - М.-Л., Гостехиздат 1946г. - 212с. 3. Королёв Ф.А. Теоретическая оптика - М., Высшая школа, 1966г. 556 стр. 4. Розенберг Г.В. Оптика тонкослойных покрытий - М., Физ-мат лит. 1958г. 570стр. 5. Телен А. Конструирование многослойных интерференционных светофильтров Физика тонких плёнок под редакций Э. Туна и Г. Хасса М.Мир 1972г. Том 5. 6. Фурман Ш.А. Тонкослойные оптические покрытия - Л., Машиностроение, 1977г. – 264с. 7. Яковлев П.П., Мошков Б.Б. Проектирование интерференционных покрытий - М.Машиностроение, 1967г.- 192с. 8. Бернинг П.Х. Теория и методы расчёта оптических свойств тонких плёнок. Физика тонких плёнок под редакций Э. Туна и Г. Хасса - М.Мир 1967г. Том 1. 9. Крылова Т.Н.Интерференционные покрытия Л.Машиностроение.-1973.-224с. 10. Риттер Э. Плёночные диэлектрические материалы для оптических применений // Физика тонких плёнок М.Мир,-1978- т.8 с.7-27.

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «СанктПетербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

КАФЕДРА ОПТИЧЕСКИЙ ТЕХНОЛОГИЙ В соответствии с приказом Главного управления кадров промышленности Высшего Совета народного хозяйства СССР от 05.04.1930 N 12/87 образован Учебный комбинат точной механики и оптики. В состав комбината входил Ленинградский институт точной механики и оптики (ЛИТМО). В числе первых кафедр в 1932 году была образована кафедра технологии оптического стекла заведующий кафедрой - профессор Л.Г. Титов. Задачей кафедры была подготовка оптиков - технологов для развивающегося отечественного приборостроения. При кафедре была образована первая научно-исследовательская лаборатория (обработки оптического стекла), решавшая задачи создания отечественных оптических и обрабатывающих материалов. В тридцатые годы лекции по технологии оптического стекла читал член корреспондент АН СССР Н.Н. Качалов. В 1975 воссоздана кафедра Технологии оптических деталей и покрытий. Её возглавил д.т.н., профессор Кузнецов Сергей Михайлович.

С 1988 года кафедру возглавляет д.т.н., профессор Путилин Эдуард Степанович. Важным вкладом в фундаментальную оптику является создание и развитие научной школы по формированию волнового фронта излучения с помощью многослойных систем, участие в выполнении проекта UNIDO по созданию оптического производства в Сирийском национальном научноисследовательском центре (Дамаск). В научных лабораториях кафедры прошли обучение более 10 стажеров из вузов России и СНГ, ГДР, Китая, Кореи и Сирии, а также аспиранты из Болгарии, Кореи и Сирии. За время существования кафедры подготовлено около 1000 инженеров оптиков-технологов, более 10 кандидатов наук, в том числе граждане Кореи, Болгарии, Израиля, Сирии, 1 доктор наук. С 1996 года кафедра переименована в кафедру Оптических технологий. Кафедра проводит подготовку: - бакалавров по направлению «Оптотехника», срок обучения – 4 года. - магистров по специальности «Оптотехника», срок обучения – 6 лет. - дипломированных специалистов по специальности «Оптические технологии и материалы», специализациям «оптические технологии» и «оптические покрытия». Срок обучения – 5,5 лет. На кафедре обучаются аспиранты по специальности 05.11.07 «Оптикоэлектронные приборы и системы». Для подготовки специалистов кафедра располагает учебнопроизводственными лабораториями: - механической обработки оптических материалов, - вакуумных методов изготовления оптических покрытий, - методов и средств контроля параметров оптических элементов и покрытий. На кафедре имеются учебные лаборатории, позволяющие закрепить практические навыки по курсам дисциплин, читаемых преподавателями кафедры в рамках учебных планов специальностей: Лазерная техника и лазерная технология, Оптико-электронные приборы и системы и Оптические технологии и материалы. Преподаватели кафедры: Профессоры - Путилин Эдуард Степанович; Губанова Людмила Александровна, Доценты: Лисицын Юрий Васильевич, Нужин Андрей Владимирович, Андреев Сергей Викторович, Карасёв Никита Николаевич, Рудин Ярослав Вадимович, Черезова Людмила Адамовна; старший преподаватель Погумирский Максим Викторович, ассистенты: Каряев Константин Викторович, Пруненко Елена Константиновна.

Эдуард Степанович Путилин Оптические покрытия Учебное пособие

В авторской редакции Дизайн Л.А.Губанова Верстка Л.А.Губанова Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики Зав. РИО Н.Ф. Гусарова Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99 Подписано к печати <дата фактического подписания> Заказ № <получить в РИО> Тираж 100экз Отпечатано на ризографе

Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49