補間空間論と線型作用素 (紀伊國屋数学叢書 25)

紀伊國屋数学叢書 25

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学教授) 宏  

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉 沢

尚 明   (京都大学教授)

村松 壽延

補 間 空 間 論 と線 型 作 用 素 紀伊國屋書店

序

  補 間 空 間 論 は 最 近 の 約20年 間 に発 展 し た函 数 解 析 学 の一 分 野 で あ る.標 語 的 に い えば,組 織 的 に不 等 式 を 作 り出 す方 法 で あ る.不 等 式 は 解 析 学 の 色 々な 局 面 に お い て 重 要 な 役 割 を 果 し て い る.た とえば 近 年 非 常 に 研 究 が 進 ん だ 偏 微 分 方 程 式 論 で は 方 程 式 の 解 と既 知 の量 との 関 係 は しば しば 不 等 式 の 形 で 与 え ら れ る.ア プ リオ リ評価 式 とエ ネ ル ギー 不 等 式 は そ の例 で あ る.   少 し丁 寧 に い うと,適 当 な 条 件 の 下 で,ふ た つ の 不 等 式 か ら多 くの第3の 不 等 式 を 系 統 的 に導 く方 法 が 補 間 空 間 論 であ る.い 式 を この 枠 内 で 扱 うこ とは で き な い.Tを

うま で もな く,す べ て の不 等

線型 作 用 素 とす る とき"変 数"xに

つ い て の不 等 式 ‖Tx‖≦C‖x‖  (Cは定 数) が こ の理 論 の対 象 で あ る.こ こで,‖ ・‖は 数 の 絶 対値 や ベ ク ト ル の長 さを一 般 化 した 概 念 で あ る ノル ム また は 準 ノ ル ム を 表 わ す.線 型 作 用 素 とは い わ ば, 1次 同次 函 数 の こ とで あ るか ら,xの ル空 間)で

あ れば,こ

し か し,xが

動 く範 囲 が 有 限 次 元 の線 型 空 間(ベ

の 形 の不 等 式 に つ い て は 理論 を 作 るほ どの こ と は な い.

函数 空 間,す なわ ち 無 限 次 元 の線 型 空 間,を 動 く場 合 を考 え る と,

(準)ノ ル ム の選 び 方 に よ り実 に 多 様 な問 題 が 生 ず るの で あ る.(準)ノ ぶ こ とはxの

クト

ル ムを選

動 く"空 間"を 決 め る こ とに対 応 す る.し たが って,ふ た つ の 不

等 式 か ら第3の 不 等 式 を 導 くこ とは,ふ た つ の空 間 の 中 間 の空 間― ― を構 成 す る こ とに翻 訳 され るの で あ る.

補 間空間

  現在 の到 達 点 か ら振 り返 って見 る と,補 間空 間論 の 発端 はRiesz-Thorinの 凸性 定 理 で あ る と い う こ と が で き る.こ の定 理 は 次 の こ とを主 張 し て い る. p0,p1,q0,q1を1以 る.0<θ<1に

上 の実数 また は ∞ と し,(Ω,μ)を とり

σ-有限 な 測 度 空 間 とす

に よ り,pとqを

定 め る.こ

線 型 作 用 素Tが,j=0,1に Mjの

の と き,(Ω,μ)上

の 可 測 函 数 に 対 し て定 義 さ れ た

つ い てLpj(Ω,μ)か

らLqj(Ω,μ)へ

有 界 作 用 素 で あ る な ら ば,TはLp(Ω,μ)か

M1-θ0Mθ1を 越 え な い 有 界 作 用 素 で あ る.す ‖Tf‖qj≦Mj‖f‖pj 

な わ ち,不

の ノ ル ムが

らLq(Ω,μ)へ

の ノ ル ムが

等式

(j=0,1)

か ら,不 等 式

が 導 か れ る の で あ る.た だ し,Lp(Ω,μ)は,1≦p<∞ 可 測 函 数 の全 体 か ら成 り,絶 対 値 のp乗

な らば,p乗

可積分 な

積 分 のp乗 根 を ノル ム‖f‖pと す る函

数 空 間 を 表 わ し,L∞(Ω,μ)は 本 質 的 に有 界 な 可 測 函 数 の 全 体 よ り成 る函 数 空 間 を表 わす.   この 定 理 に つ い てM.

Rieszは

実 解 析 の 方 法 に よ り,G.O.

解 析 の 方 法 に よ り証 明 を 与 えた.そ

Thorinは

複素

の各 々 の方 法 が 実 補 間空 間(平 均 補 間 空 間)

と複 素 補 間空 間 の 起源 とな った.   現 代 の 形 で の 補 間空 間 の研 究 は1950年

代 末 よ り始 ま った の だ が,そ

の動 機

の ひ とつ は 分 数 回 微分 で き る函 数 を定 義す る問 題 であ る と 思 わ れ る.こ の問 題 は楕 円 型 偏 微 分 方程 式 の境 界 値 問 題,偏 Sobolevの

微 分 方 程 式 の 解 の 正 則 性 の 理 論,

埋 蔵 定 理 な ど に関 連 して 生 じた ので あ る.実 補 間 空 間 を 形 成 す る の

に 寄 与 した も うひ と つ の流 れはMarcinkiewiczの

補 間 定 理 やLorentz空

の 理 論 であ る.そ の 主 要 な 手段 は 函 数 の再 配 列 で あ る.主

間

とし て フ ー リェ解 析

の 研 究 のた め に開 発 され た もの で あ る.   Lions-Peetreの

平 均 補 間 空 間 の 論文(1964年)とLionsとCalderonの

素 補 間 空 間 の 論 文(1961年)に

複

よ り補 間空 間論 は一 応 の完 成 を見 た と考 え られ

るが,実 補 間 空 間 に つ い て は定 式 化 を 若干 変 形 し たPeetreのK函

数 の方 法 が

構 成 され,そ れ を 用 い て 準 ノル ム空 間,さ ら に も っと一 般 に準 ノル ムを 持 つ ア ーベ ル 群 の 実 補 間 空 間 が 定 義 され る よ うに な った.補 間 空 間 につ い ては,現 在 もな お さ らに 一 般 な 形 の 定 義 に よ る研究 が進 め られ て い る.本 書 では 扱 わ な い が 線 型 でな い 作 用 素 に つ い て の 補 間 の 理論 も研 究 され て い る.   本 書 では 補 間 空 間 論 の 標 準 的 な 部 分 を 体 系 的 に 述べ る こ とを 目標 とし最 近 の 研 究 につ い て は 最 後 の 章 で 簡 単 な 招 介 を す るに と どめ る.

 第1章

と第2章 は準 備 の章 で あ り,第3章 で補 間 空 間 の一 般 的 理 論 を 述 べ る.

実解 析 の方 法 に よ る理 論 は 第4章,第5章,第6章

で扱 う.基 礎 に な る枠 と し

て準 ノル ム空 間 を と り,補 間 の パ ラ メ ー ター と して 函数 を と る定式 化 を 採 用 し た.応 用 上 は この辺 まで の一般 化 で十 分 で あ る と考 え た か らで あ る.第7章 複 素 補 間 空 間 を 述 べ る.CalderonとLionsの

定 義 に 近 い 形 で,若

で

干の改良

を 試 み て あ る.函 数 にそ の導 函 数 を対 応 させ る作 用 素 を抽 象 化 した のが 非 負 作 用 素 であ っ て,分 数 回 微 分 可 能 な 函 数 につ い て の理 論 を非 負作 用 素 に よ って抽 象 的 に再 構 成 す る こ とが で き る.こ 補 間空 間 の応 用 例 と してBesov空

れ を 第8章

と第9章 で 述べ る.第10章

は

間 に関 連 した こ とを述 べ る.

  本 書 を読 む た め の予 備 知 識 とし て は大 学3年

次 ま で の 数学 の一 般 的知 識 と函

数 解 析 学 の 初 歩 で十 分 で あ る.線 型位 相 空 間 と超 函 数 に つ い て は 定 義 と簡 単 に わ か る結 果 を 知 って い れ ば よい.小 冊 子 の 形 で ま とめ た い と考 え た ので,論 理 的 展 開 を 優 先 し,繰

り返 しを 少 な くす る よ うに した.そ

のた め 読 み 易 さを 犠 牲

に した 所 もあ るか と心 配 し てい る.例 を 多 くし てそ の欠 点 を 補 うつ も りであ っ たが,予 想 外 に ペ ー ジが 増 加 した ため,相 当省 か ざ るを 得 な か った.読 者 諸 賢 が適 宜 に前 後 を参 照 し て お読 み 下 さ る こ とを期 待 した い.   最 後 に弁 解 を述 べ る.実

は 約10年 前 に 研 究 が 一 段 落 し た と考 え て,前

半の

原 稿 と後 半 の ス ケ ッチ を 作 った.完 成す れ ば この方 面 の 単 行 本 は 内 外 に な か っ た の で十 分 意 義 の あ る もの とな った と思 わ れ る.し か し,筆 者 の 遅 筆 と身 辺 の 変 化 に 災 され て 完 成 しな か った.そ の 間 に補 間 空 間 論 は さ らに 大 き く進 展 した の で 全 面 的 に改 稿 が 必 要 とな り筆 者 の 非 力 と相俟 っ て益 々遅 れ る こ と に な っ た.御 容 赦 を お 願 い 致 した い.   執 筆 を お 薦 め 下 さ り,長 期 にわ た り辛 抱 強 く励 ま し て下 さ った 伊 藤 清 三 先 生 と紀 伊 國 屋 書 店 出版 部 に 改 め て感 謝 す る次 第 で あ る.

1984年  秋 

村 松 壽 延

目

次

  序 ⅰ/本書の記述法 と記号 ⅷ

第1章  線型作用素  §1.1  線 型 位 相 空 間

  1

 §1.2  準 ノ ル ム空 間 

4

 §1.3  線 型 作 用 素 と そ の 像 の 空 間   §1.4  線 型 作 用 素 の 準 ノ ル ム

  9   11

  §1.5  閉 グ ラ フ定 理

  12

  §1.6  双 対 空 間

  14

 §1.7  作 用 素 の 半 群

  19

 §1.8  劣 加 法 的 函 数 の 増 大 度 と一 様 有 界 性 定 理

第2章

  Lebesgue空

間 と積 分 作 用 素

 §2.1  測 度 と 強 可 測 函 数  §2.2  Lebesgue空  §2.3  Lebesgue空  §2.4  Bochner積

 21

  25

間

  28

間 の稠 密 部 分 集 合 分

 32   35

 §2.5  平 均 連 続 性

  37

 §2.6  積 分 作 用 素 の 有 界 性  §2.7  重 み つ きLebesgue空

 38 間 での 相 似 変 換

 §2.8  重 み の 函 数 の 指 標

 

41

  43

第3章  補間空間の一般的理論  §3.1  空 間 の 両 立 対

 47

 §3.2  両 立 連 続 線 型 作 用 素

 

 §3.3  補 間 空 間 の 定 義   §3.4  補 間 函 手  §3.5  Aronszajn-Gagliardoの

49

  50  52 最 小補 間函 手

  54

 §3.6  Aronszajn-Gagliardoの

第4章 

Banach空

最大補間函手

 57

間 の平均 補間空 間

 §4.1 平 均 補 間 空 間 の 定 義

 

60

 §4.2  重 み の 函 数 の 変 換

  63

 §4.3  分 解 表 示 と ト レ ー ス 表 示

  65

 §4.4  稠 密 性 定 理 

68

 §4.5  包 含 定 理

 69

 §4.6  Riesz-Thorinの

定理への応用

  70

 §4.7  平 均 補 間 空 間 を 含 む 空 間 の 特 徴 づ け  §4.8  平 均 補 間 空 間 に 含 まれ る 空 間 の 特 徴 づ け  §4.9  反 復 補 間 の 定 理  §4.10  Peetreの

第5章 

  72   75   81

定 理

 82

準 ノル ム空 間 の平 均 補 間 空 間

 §5.1  点 列 また は 標 準 的 可 算 値 函 数 の 方 法  §5.2  準 ノ ル ム空 間 の 平 均 補 間 空 間 の 定 義

  86   89

 §5.3  平 均 補 間 空 間 の 基 本 的 性 質

  92

 §5.4  準 ノ ル ム空 間 に 関 す る反 復 補 間 定 理

  93

 §5.5  Gagliardo図

形 とPeetreのK函

 §5.6  PeetreのK函

数

数の方法

 

 §5.7  平 均 補 間 空 間 に 関 す る双 対 定 理 第6章

  Lorentz-Zygmund空

 95 98

  99

間

 §6.1  再 配 列 の 基 本 的 性 質

 103

 §6.2  再 配 列 の 極 限

  105

 §6.3  再 配 列 の 積 分

  106

 §6.4  Lorentz-Zygmund空

間

 109

 §6.5  Lorentz-Zygmund空

間 の 実補 間 空 間

  115

 §6.6  Lorentz-Zygmund空

間 の 応 用例

  120

第7章  複素補間空間  §7.1  ベ ク トル 値 の 超 函 数 と 正 則 函 数

 122

 §7.2  Poisson積

分表示

 §7.3  Poisson積

分表 示 の拡 張

  124   131

 §7.4  複 素 補 間 空 間 の 定 義

  137

 §7.5  複 素 補 間 空 間 の 稠 密 部 分 集 合

  141

 §7.6  Lebesgue空

  146

間 の複 素 補 間 空 間

 §7.7  複 素 補 間 空 間 の 双 対 空 間

 149

 §7.8  複 素 補 間 空 間 と 平 均 補 間 空 間 と の 関 係

 156

 §7.9  反 復 補 間 定 理

  157

第8章  非負作用素 と補間空間   §8.1  線 型 作 用 素 の レ ゾ ル ベン

ト

 

159

 §8.2  平 均 エ ル ゴ ー ド定 理  §8.3  抽 象 的Besov空

 161

間の定義

  166

 §8.4  稠 密 性 と 昇 降 性

 174

 §8.5  定 義 域 また は 値 域 と の 補 間 空 間

 177

 §8.6  非 負 作 用 素 の 部 分 空 間 へ の 制 限

  178

 §8.7  両 立 非 負 作 用 素

 179

 §8.8  非 負 作 用 素 の 補 間

  182

 §8.9  抽 象 的 埋 蔵 定 理

  184

第9章   作 用 素 の分 数 ベ キ  §9.1  非 負 作 用 素 の 分 数 ベ キ の 定 義

 

189

 §9.2  指 数 法 則,そ

の1 

194

 §9.3  指 数 法 則,そ

の2 

198

 §9.4  指 数 法 則,そ

の3 

203

 §9.5  作 用 素 の 分 数 ベ キ の 性 質

 

 §9.6  作 用 素 の 分 数 ベ キ の 定 義 域

  209

 §9.7  半 群 の 生 成 作 用 素 の 場 合

第10章 

Besov空

 211

間論 へ の応用

 §10.1  超 函 数 の 正則 化  §10.2  積 分 表 示

207

 216  

219

 §10.3  Besov空

間 の定 義

  221

 §10.4  基 本 不 等 式

 223

 §10.5  Besov空

 228

間の特徴づけ

 §10.6  補 間 定 理,そ

の1 

 §10.7  補 間 定 理,そ

の2 

231 235

 §10.8  一般 の 領 域 上 のBesov空

第11章

間 につ い て

  237

  文 献 解 説 お よび 補 足

 §11.1  参 考 書 と 術 語 に つ い て

  239

 §11.2  補 間 空 間 論 の 発 展 の 概 要

  240

 §11.3  Banach函

  243

 §11.4  Boydの  §11.5  Banach函

数 空 間 とそ の 随 伴 空 間 指標

 

数 空 間 に よ る実 補 間 空 間 の 定 義

 §11.6  Lorentz-Zygmund空

間 とMarcinkiewicz型

 §11.7  補 間 空 間 の 特 徴 づ け に つ い て  §11.8  補 間 空 間 の 具 体 例

244

  247 補 間 定 理 

251   253   255

 参 考 文 献

  259

 索 引

  277

 記 号表

  280

本書の記述法 と記号

  1.  各 章 を い くつ か の 節 に 分 け,各

章 の は じめ に そ の 章 の 概 要 お よ び 節 の 間

の 関 連 や 定 理 の 意 義 に つ い て 解 説 し て あ る.   2.  各 節 に 定 理,補 た.し

た が っ て,本

題,系

が ひ と つ 以 下 に な る よ うに(§1.8を

文 中 で こ れ ら に 番 号 は つ い て い な い.そ

る と き は 単 に 定 理,系

な ど と 呼 び,他

と い う よ う に 節 の 番 号 を つ け る.有

名 な 定 理 は 名 称 で 引 用 す る こ と も あ る.式

と 番 号 を つ け,節

の 節 の 式 は(2.6.1)の

よ う に 節 の 番 号 を つ け て 引 用 す る.例

で い くつ も述 べ る と き は 例1,例2,…

  3.  AとBを AとBの

Bも

内 で は 単 に(1),(2)な

と 番 号 を つ け,他

あ る と き は 

や 注 意 を 同 じ節 内

の 節 の もの を 引 用 す る

集 合 と す る と きA∪B,A∩B,A＼B,A×Bで,そ の 共 通 集 合,Aと

の 直 積(対{x,y};x∈A,y∈Bの

含 め て,集

ど と 引 用 し,他

書 く.

合 併 集 合,AとBと

体,AとBと

の節 の 中 で 引用 す

の 節 で 引 用 す る と き は 定 理2.6,系2.6

は 節 ご と に(1),(2),…

と き は 例2.6.1と

除 く)配 置 し

合AがBの

れ ぞ れ,

属 し てBに

属 さな い 点 の全

全 体)を 示 す.A⊂BはA=

部 分 集 合 に な る こ と を 表 わ す.AとBに

に よ っ てAがBの

部 分 集 合 で あ っ てAか

位相が

らBへ

の包 含 作

用 素(埋 め 込 み)が 連 続 で あ る こ と を 示 す.   4.  x∈Aま

た はA∋xはxが

ば … で あ る"こ

と を 意 味 す る.{x;P(x)}は

表 わ す.論

理 記 号 ∀ は"す

集 合Aに

べ て",∃

は"存

属 す る こ と を 示 し,⇒ 条 件P(x)を 在 す る"を

は"な

満 た すxの

ら

全体 を

表 わ す.

  5.  ベ ク トル 空 間 を 線 型 空 間 と 呼 ぶ.   6.  準 ノル ム(quasi-norm)と

準 ノ ル ム空 間 は 数 学 辞 典(岩 波 書 店)と は 定 義

が 異 な っ て い る の で 注 意 さ れ た い.そ   7.  Nで す.

自 然 数 全 体,Zで

の 他 の 用 語 は 数 学 辞 典 に 準 拠 し て い る.

整 数 全 体,Rで

実 数 全 体,Cで

複 素 数全 体 を 示

第1章   線型作 用素

  第1章

と第2章 は 準備 の章 で あ る.第1章

で は線 型 作 用 素 につ い て の,抽 象

的理 論 を 述 べ る.函 数 解析 学 の教 科 書 に記 載 して あ る事 項 も多 く含 まれ て い る が,後 で 引用 す る都 合 を考 慮 して,本 書 と多少 用 法 の違 う本 もあ るの で,定 義 と記 号 と重 要 な 結 果,さ る.た だ し,準

らに種 々の例 につ い て述 べ る.証 明 は か な り省 い て あ

ノル ム空 間 に つ い て は,記 載 した 邦 書 が 少 な い の で,や や 詳 し

く記 述 した.   第1節 で 線型 位 相 空 間,第2節

で準 ノル ム空 間 に つ い て定 義 や例 を述 べ,第

3節 と第4節 で 線 型 作用 素 に つ い て基 礎 的 事項 を説 明す る.特 に像 の空 間 に つ い て詳 し く述 べ る.像 の空 間 とい う概 念 は ほ ぼ 商 空 間 と同 等 な 概 念 で あ るが, こ の方 が 考 え 易 い と思 わ れ る.完 備 準 ノル ム空 間 で は 線型 作 用 素 の有 界性 を示 す に は 稠 密 部分 集 合上 で 有 界 で あ れ ば十 分 であ る こ とを 第5節 で示 し,そ れ を 使っ て閉 グ ラ フ定理 を 証 明 す る.第6節

で双 対 空 間 を論 ず る.第7節

で は まず

準 ノル ム空 間 の値 を と る函 数 に つ い て連 続 性,微 分 可 能 性,Banach空

間 の値

を と る函 数 のRiemann積

分 につ い て略 述 し,次 に 作用 の 半 群 に つ い て簡 単 に

説 明 をす る.半 群 に 属 す る作 用 素 の 準 ノ ル ムの 評 価 に 関連 して,第8節

で 劣加

法 的 函 数 の増 大 度 と完 備 準 ノル ム空 間 にお け る作 用 素 に つ い て一 様 有 界性 定 理 を論 じ る.劣 加 法 的 函 数 の増 大 度 は 重 み の 函 数 の 指標 と も関連 して い る.  §1.1  線 型 位 相 空 間   こ の本 では 特 に断 わ ら な い 限 り線 型 空 間 は 複 素 数 体C上 し,実 線 型 空 間 は 実 数 体R上

の 線 型 空 間 を 意 味 す る.

  線 型 空 間 に位 相 が 定 め られ てい て,和x+yと れ ぞれ,2変

数(x,y)ま

の線 型空間 を 意 味

ス カ ラー積 α ・xと が,そ

たは2変 数(α,x)の

間 であ る とい う.た だ し,複 素 数 体Cの

連 続 函 数 に な る と き線 型 位 相 空

位 相 は通 常 の(す な わ ち,微 積 分 学 で

使 わ れ てい る)位 相 とす る.   位 相空 間 が 分 離 位 相 また はHausdorff位

相 を もつ とは 空 間 の ど の2点xと

yと に 対 して,xの

近 傍Uとyの

近 傍Vを

互 に共 通 点 の な い よ うに選 べ る こ

とを い う.線 型 位 相 空 間 が 分 離 位相 を 持 つ た め の 必 要 十 分 条 件 は零 で な い どん なxに

対 し て もxの

属 さな い零 の近 傍Uが

  線 型 空 間の 部 分 集 合A,Bお

存在 す る こ と で あ る.

よび複 素 数 α に対 して,

A+B={x+y;x∈A,y∈B}, αA={αx;x∈A} と書 く.す べ ての0≦t≦1に

対 して(1-t)A+tA⊂Aの

とい い,す べ ての￨α￨≦1に

対 して αA⊂Aの

  線型 位 相 空 間 の任 意 の点xの 逆 に この 形 の 集 合 はxの

こ とに よ り決 定 され る.ま 線 型 位 相 空 間Xか 零 の近 傍Vに

と きAは

近 傍 は 零 の近 傍Uに

近 傍 であ る.す

と きAは

な わ ち,位

凸であ る

円形 で あ る とい う.

よ りx+Uと

表 わ され,

相 は零 の近 傍 系 を与 え る

た 線 型 位 相 空 間 は一 様 位 相 空 間 であ る.た

ら線 型 位 相 空間Yへ

対 し て,Xの

の 写像 φ が一 様 連 続 で あ る と はYの

零 の近傍Uを

  (1) 

とえ ば,

す べ て のx∈Xに

つ いて

φ(x+U)-φ(x)⊂V

とな る よ うに選 ぶ こ とが で き る こ とを い う.   線 型 空 間Xの

全 体 で 定 義 され た 函 数pが3条

  (N1)  す べ て のx∈Xに

つ い てp(x)≧0,

  (N2) 

す べ て のx,y∈Xに

  (N3) 

すべ て の α∈Cとx∈Xに

を 満 た す と きpをX上

件

つ い てp(x+y)≦k{p(x)+p(y)}, つ い てp(αx)=￨α￨p(x)

の 準 セ ミ ノル ム で あ る と い い,定

セ ミノル ム と もい う.1セ

数kを 示 す た め にk

ミノル ム をセ ミノル ム とい う.

  線 型 空 間X上 の セ ミノル ム の系{pν}ν∈Mが 与 え られ た と き,こ れ らの セ ミ ノル ムを すべ て連 続 にす るX上 の最 弱 の線 型 位 相 が存 在 す る.す なわ ち,   (2) 

{x;pν(x)<ε}(ε>0,ν

∈M)

お よび これ ら の有 限 個 の共 通 部 分 の全 体 を 零 の基 本 近 傍 系 とす る位 相が そ の位 相 で あ る.こ の よ うに零 の 基 本 近 傍 系 と して 円 形 凸 集 合 よ り成 る ものが とれ る 線 型 空 間 を 局 所 凸 線 型位 相 空 間 とい う.逆 に 局所 凸線 型 位 相 空 間に対 し ては 適 当 な セ ミノル ムの 系 が存 在 し て,そ の セ ミノ ル ム系 よ り上 の方 法 で 定 め た もの が そ の空 間 の位 相 に な る.位 相 を決 め る セ ミ ノル ムを 基 本 セ ミノル ム とい う.   線型 空 間 の部 分 集 合Aが

部 分 集 合Bに

吸収 され る とは,正 数 δが存 在 し て,

￨ζ￨￨≦ δ な ら ば ζA⊂B

とな る こ と を い う.線 型 位 相 空 間 の部 分 集 合Aが れ る ときAは

す べ て の零 の近 傍 に 吸 収 さ

有 界 集 合 で あ る とい う.

  例1  Ω をRnの の全 体 を 

開 集 合 と す る と き Ω で 定 義 され連 続 な 複 素数 値 函 数f(ξ)

で表 わす.Ω

  (3) 

の 任 意 の コン パ ク ト集 合Kに

pK(f)=sup{￨f(ξ)￨;ξ

とお くと,pKは 

∈K}

上 の セ ミノル ムに な る.Kを

全 体 で 動 か した と きの セ ミノル ム系{pK}に

対 して

Ω の コン パ ク ト部 分 集 合

よ り定 め られ た 位 相 に よ る収 束 が

広 義一 様収 束(コ ン パ ク ト集合 上 一 様 収 束)で あ る.   今 後,特

に断 ら ない 限 り 

  例2  Rnの

で は この 位 相 を 使 う.

開 集 合 Ω で 定 義 され,m回

連 続 的 微 分 可 能 な 函 数 の全 体 

は セ ミノル ムpm,Kを  (4)

と 定 め る と き セ ミ ノ ル ム 系{pm,K},た を 動 く,に

だ しKは

よ り局 所 凸 線 型 位 相 空 間 に な る.こ

Ω の コ ン パ ク ト部 分 集 合 全 体 こ で α=(α1,…,αn)は

非負整

数 の ベ ク トル,￨α￨=α1+…+αn,  (5)

で あ る. 

の元 をCm級

函数 とい う.

  例3  Rnの 開 集 合 Ω 上 で定 義 されm回 連 続 的 微分 可能 で そ れ 自身 お よび そ のm階 まで の 偏導 函 数 が 有 界 とな る函 数 の全 体 をBm(Ω)で 表 わ す.Bm(Ω)の 元fに 対 して,  (6) と 定 義 す る と こ れ はBm(Ω)上 次節 の 条 件N4を   例4  Rn開 に よ りpK

の ノ ル ム に な る.す

集 合 Ω 上 で 定 義 さ れ 無 限 回 微 分 可 能 な 函 数 の 全 体 

,mを 定 め る と き セ ミ ノ ル ム系{pm,K},た

は Ω の コ ン パ ク ト部 分 集 合 を 動 く,に  

な わ ち セ ミ ノ ル ム で あ っ て,

満 た す. は(4)

だ し,m=0,1,2,…,K

よ り局 所 凸 線 型 位 相 空 間 に な る.

の 元 をC∞ 級 函 数 と い う.

  例5  Rmに

お い て 定 義 さ れ 無 限 回 微 分 可 能 で,そ

れ 自身 お よ び そ のあ らゆ

る偏 導 函 数 が￨ξ￨→ ∞ の と き 任 意 の 正 整 数mに 収 束 す る 函 数 を 急 減 少C∞ 級函 数(rapidly そ の 全 体 を 

対 し て,￨ξ￨mよ

decreasing

り も早 く0に

C∞ function)と

い い,

で 示 す.

 (7)  と定 め て,{pm}m=0

,1,…に よ り 

に 局 所 凸 位相 を定 義 す る.

  §1.2  準 ノ ル ム空 間   線 型 空 間 で 定 義 され た 準 セ ミノル ムが 条 件   (N4) 

p(x)=0な

らばx=0,

を 満 た す と きpを 準 ノル ム で あ る といい,§1.1の た い ときはkノ

ル ム であ る とい う.1ノ

  線 型 空 間Xに 型 位 相 をXの

条 件N2中

ル ムを単 に ノル ム とい う.

準 ノル ムpが 定 義 され て い る と き,pを

連 続 にす る最 弱 の線

位 相 と定 め,そ の空 間 を準 ノ ル ム空 間 と呼 ぶ.pが

は ノル ム空 間 と呼 ぶ.pが

の定 数kを 示 し

ノル ムな らば,xとyと

ノル ムの とき

の距 離 をp(x-y)と

し て,

ノル ム空 間 は 距離 空 間 に な り,ノ ルム 空 間 の位 相 は こ の距 離 に よ る位 相 と一 致 す る.し

か し,k>1の

ときkノ ル ムpに つ い て はp(x-y)は

満 た さ な い.し か し,準

距 離 の 公理 を

ノル ム空 間 に も距 離 を 導 入 して,そ の距 離 に よ る位 相

と準 ノル ム空 間 と し ての 位 相 とが 一 致 す る よ うに で き る.もっ

と精 し く,次 の

定 理 が 成 立 す る.   定 理   線 型 空 間X上 のkセ ミノル ムp(x)に 対 して,次 の条 件 を満 たすkセ ミノル ムqが 存在 す る;す べ て のx∈Xとy∈Xに 対し て,   (1) 

q(x)≦p(x)≦21/γq(x),

  (2)  た だ し,γ

q(x+y)γ は(2k)γ=2を

 証 明   Xの

点xに

≦q(x)γ+q(y)γ(三

角 不 等 式),

満 た す 定 数 で あ る.

対 し て,

 (3) と お け ば よ い.下 る 組{x1,…,xn}に

限 はnも

動 か し た と き のx=x1+…+xnを

つ い て と る の で あ る.

  定 義 か ら直 ち にq(x)≦p(x)を   α≠0の

満 たす あ らゆ

と き"x=x1+…+xn⇔

得 る. αx=αx1+…+αxn"で

あ るか ら,

q(αx)=￨α￨q(x)を

得 る.

  三 角 不 等 式(2)を

示 そ う.x=x1+…+xm,y=y1+…+ynな

らば

が 定 義 に よ りわ か る.{x1,…,xm}と{y1,…,yn}の

あ らゆ る選 び 方 に つ い て

下 限 を と る と(2)を 得 る.   最 後 にp(x)≦21/γq(x)を

示 す.ま

ず不等式

 (4) を 証 明 す る.た

だ し,ν1,…,νnは

  (5) 

2-ν1+…+2-νn≦1

を 満 た す 非 負 整 数 で あ る.n=1,2の n≧2と n}を

し,n-1以

と な る よ う に で き る.帰

な わ ち,nの

納 法 の 仮 定 に よ り,

と き(4)が

示 さ れ た.さ

  な お,不

た が っ て(4)が

等 式(2)と,不

て,

s=p(x1)γ+…+p(xn)γ

と す る.整数νjを2-νj≦p(xj)γ/s<2-νj+1と 成 立 し,し

合{1,2,…,

分 け て,

x=x1+…+xn, 

い て(5)が

成 立 す る こ と は す ぐわ か る .

下 で は 不 等 式(4)が 成 立 す る と仮 定 し よ う.集

空 で な い 集 合IとJに

を 得 る.す

と き(4)が

な る よ う に と る.ν1,…,νnに 成 立 す る か らp(x)γ

≦2q(x)γ

を 得 る.

等 式

 (6) がa≧0,b≧0,σ>0の

と き 成 立 す る か ら,不

等 式(2)か

らqに

が 成 立 す る こ とが わ か る.    一 般 に,線

型 空 間X上

(証 明 終)

の 準 セ ミ ノ ル ムpとqと

p(x)≦c1q(x),  が 成 立 す る よ うな 定 数c1とc2が

つ い てN2

は す べ て のx∈Xで,

q(x)≦c2p(x)

存 在 す る と き 同 値 で あ る と い う.

  定 理 に よ りつ ぎ の こ と が 直 ち に わ か る:

つ

  系   kノ ル ム 空 間 に お い て,も の γ乗 が 三 角 不 等 式(2)を

と のkノ

ル ム と 同 値 なkノ

満 た す も の が 存 在 す る.た

‖x‖ を そ の γ 乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た すkノ た と き の 位 相 は も と のkノ

n,m→

べ て のCauchy列

距 離 を 表 わ す と き,条 ∞

ル ム と す る と,‖x-y‖γ

あ る.

を距 離 とし

ル ム 空 間 と し て の 位 相 に 一 致 す る.

  距 離 空 間 が 完 備 で あ る と は"す す な わ ち,disで

ル ム で あ っ て,そ

だ し,(2k)γ=2で

が 収 束 す る"こ

と を い う.

件

の と きdis(xn,xm)→0な

ら ば{xn}は

収 束す る

が 成 立す る とき完 備 で あ る とい う.完 備 ノル ム空 間 をBanach空

間 とい う.

  完 備性 を示 す に は次 の補 題 が 大 変 便 利 で あ る.   補 題   距 離disを

持 つ距 離 空 間Xが

完 備 とな る ため の必 要 十 分 条 件 は な ら ば{xn}は

が 成 立 す る こ と で あ る.特 Xが

に,kノ

収束す る

ル ム 空 間Xのkノ

完 備 と な る た め に は,{2k}γ=2に

ル ム を‖x‖ と す る と き,

γ を と り,

な らば 

が収束す る

が 成 立 す る こ と が 必 要 十 分 条 件 で あ る.   証 明   必 要 性 は 明 白 で あ る.十 n,m≧njな

分 性 を 示 す.{xn}をCauchy列 ら ばdis(xn,xm)≦2-j

と な る よ う に 正 整 数 列n1
あ る.条

よ り,xn→xが

と す る.

を 選 ぶ.yj=xnjと

件 に よ り{yj}は

極 限xを

お く と,dis(yj,

持 つ.Cauchy列

の 条件 に

わ か る.

  後 半 は,‖x‖ γ が 三 角 不 等 式 を 満 た す と し て よ い こ と に 注 意 し て,u1+…+ un=xnに

前 半 の 結 果 を 適 用 す れ ば わ か る. 

  注 意   "dis(xn,xn+1)≦2-n(n=1,2,…)な

(証 明 終) ら ば{xn}は

収 束 す る"も

完 備

性 の 十 分 条 件 で あ る.   例1 

数 列 空 間lp.pを

正 数 と す る.数

列x={ξj}で

あ っ て,

 (7)

が 有 限 と な る も の の 全 体 をlpで   0
示 す.明

場 合.x={ξj},y=(ηj}がlpに

ら か に(7)はN1,N3,N4を 属 す れ ば,不

満 た す. 等 式(6)に

よ

っ て,

が 成 立,し

た が っ てlpは21/p-1ノ

ル ム 空 間 で あ る.(7)のp乗

が 三 角不 等式 を

満 た す こ と も 同 様 に し て わ か る.   1
の 場 合.Holderの

不等式

 (8)

た だ し1/p+1/p′=1,を

使 う と,x={ξj}とy={ηj}がlpに

が 成 立 す る か ら,p/p′=p-1を

属 す と き,

使 っ て,

‖x+y‖lp≦‖x‖lp+‖y‖lp を 得 る.す

な わ ち,lpは

ノル ム 空 間 で あ る.な

+yもlpに

属 す る こ と は,(6)に

  Holderの

不 等 式 を 証 明 す る.{ξj}のlpノ

と す る.Aま

た はBが0な

と す る.ξjの =B=1の Youngの

属 す る と,x

よ り直 ち に わ か る.

ら ば(8)は

代 りに,ξj/A,ηjの と き(8)の

お,x,yがlpに

左 辺 が1以

ル ム をA,{ηj}のlp′

ノ ル ム をB

明 ら か で あ る か ら,AとBは0で 代 り に ηj/Bを

ない

考 え ば よ い か ら,結

下 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.そ

不等式 の とき

 (9) 

を使 え ば よい.す な わ ち

lpの 完 備 性 を 示 そ う.0
を 仮 定 す る.不

等 式(6)に

よ り, 

場 合 を 考え る.un={ζnj}と

ゆ え,

局A

の た め には

し

が 収 束 す る.x={ξj}と

と な り,xはlpに

す な わ ち,xは

お く と,(6)に

属 す る.し

級 数 

か もn→

よ り

∞

の とき

の和 で あ る.補 題 に よ り完 備 性 が 示 され る.p>1

の場 合 も,不 等 式

に よ り,同 様 に し て,完 備 性 が 証 明 で き る.  例2  数 列 空 間l∞.有 界 数 列x={ξj}の

全 体l∞ は

 (10) を ノル ム と す るBanach空   な お,j→ た,(6)よ

∞

で0に

間 で あ る. 収 束 す る 数 列 の 全 体l∞-はl∞

り,0
∞

 (11) 

の 閉 部 分 空 間 で あ る.ま

の と き不 等 式

‖{ξn}‖lq≦‖{ζn}‖lp

が 導 か れ る か ら, 

で あ り,p<∞-の

  例3  XとYを

準 ノ ル ム 空 間 と し,pとqを

る.こ

空 間X×Yの

の と き,積

点(x,y)に

{p(x)s+q(y)s}1/s(0<s<∞),ま を 対 応 さ せ る 函 数 はX×Y上 あ っ て,そ

と き 

もわ か る.

それ ぞれ の空 間 の準 ノル ム とす 対 し て, た はmax{p(x),q(y)}

の 準 ノル ム に な る.こ

の 準 ノル ム は 互 に 同 値 で

の 定 め る 位 相 は 積 位 相 に 一 致 す る.

  特 に,pとqが

ノル ム の 場 合,1≦s<∞

と した 第 一 の 函 数 と第 二 の 函 数 は

い ず れ も ノ ル ム に な る.   XとYが   例4 

完 備 な ら ば,こ Xがkノ

の 準 ノ ル ム に 関 し てX×Yも

ル ム 空 間,pが

完 備 で あ る.

正数 のとき

 (12)

と な るXの

点 列{xj}の

全 体lp(X)は(12)を

準 ノル ム とす る準 ノル ム空 間 で

あ る.Xの

準 ノ ル ム が(2)を

き,(11)がk′

満 た す な ら ばk′=max{21/p-1,21/γ-1}と

ノル ム に な る こ と,お

よ びXが

お くと

完 備 の と きlp(X)も

る こ と は 数 列 空 間 と 同 様 に し て 証 明 で き る.l∞(X)とl∞-(X)も

完 備 とな

例2と

同様 に

定 義 す る.

  §1.3  線 型 作 用 素 と そ の 像 の 空 間   線 型 空 間Xか (T)でTの

ら 線 型 空 間Yへ

の 写 像Tに

値 域,N(T)でTの

間Zへ

の 写 像Sが

対 し て,D(T)でTの

核{x;T(x)=0}を

表 わ す.Yか

あ る と きS°TでTとSの

で あ る.こ の 積S°Tは

定 義 域,R

合 成 写 像 を 表 わ す.た

結 合則 を満 たす.す

べ て のx1,x2∈D(T)と

α1,α2∈Cに つ い て,T(α1x1+α2x2)=α1T(x1)+α2T(x2)が Tは 線 型 作 用 素 で あ る とい い,T(x)をT・xま 線 型 作 用 素 の と きS°TをS°Tま と きTn+1=TnTに

よ り帰 納 的 にTのベ

し て,D(T),R(T),N(T)は   線 型 位 相 空 間Xか

すべての

成 立す る とき

た はTxと

た はSTと

ら線型 空 だ し,

書 く.SとTが

書 く.TがXの

キ を 定 義 す る.線

線型 作 用 素 の 型 作 用 素Tに

対

い ず れ も線 型 部 分 空 間 に な る.

ら線 型 位 相 空 間Yの

の 逆 も連 続 な もの を 同 型 写 像 とい い,同 で あ る とい う.XとYが(準)ノ

上 へ の1対1連

続 線 型 作 用 素 で,そ

型 写 像 が 存 在 す る と きXとYは

同型

ル ム空 間 の と き対 応 す る点 の(準)ノ ル ム が 等

しい同 型 写像 を(準)ノ ル ム 同 型 で あ る とい う.   Tを 線 型 空 間Xか

ら線 型 空 間Yへ

とす る とき,y∈R(T)に

の 線 型 作用 素,pをX上

のkセ

ミ ノル ム

対 して,

 (1) と お く と,pはR(T)上 い う.pとqが

同 値 なX上

のkセ

ミ ノル ム に な る.こ

の 準 セ ミ ノ ル ム,な

のpをpのTに

ら ばTに

よ る像 と

よ る 像pとqと

は 同

値 に な る.   R(T)の

完 備 性 に つ い て の 結 果 を 述 べ よ う.

  補 題   Xを たYへ

準 ノ ル ム 空 間,Yを

の 連 続 線 型 作 用 素,Xの

る と,‖y‖R(T)はR(T)上

分 離 線 型 位 相 空 間,TをX全 準 ノ ル ム‖x‖XのTに

の 準 ノ ル ム に な る.さ

ら にXが

体 で定 義 され

よ る 像 を‖y‖R(T)と 完 備 な ら ばR(T)も

す

こ の 準 ノ ル ム に つ い て 完 備 で あ る.   証 明  ‖x‖Xはkノ   ‖y‖R(T)=0な あ り,し

ル ム で‖x‖γXは 三 角 不 等 式 を 満 た す と し て よい.

ら ば,Txn=y(n=1,2…),‖xn‖X→0と

た が っ て,y=Txn→T・0=0.よ

  Xを

完 備 とす る.定

(T)の

列{υn}に

準 ノ ル ム で あ る.

義 か ら‖y‖γR(T)が三 角 不 等 式 を 満 た す こ と が わ か る.R

つ い て,Σ‖υn‖γR(T)<∞ と す る.定 義 に よ り,‖un‖γX≦‖ υn‖γR(T)

+2-n(n=1,2,…)と Σun=x∈Xが

な る 列{xn}が っ て‖y‖R(T)は

な るXの

列{un}が

あ る.Σ

存 在 す る.y=T・xと す な わ ちy=Σ

‖un‖γX<∞

で あ る か ら,

お く と, 

υn.補

題1.2に

よ りR(T)の

完備性が わ か

る. 

(証 明 終)

  こ の 条 件 の 下 でN(T)はXの R(T)とX/N(T)と

閉 部 分 空 間 に な り商 空 間 の 準 ノル ム に 関 し て

は 準 ノ ル ム 同 型 に な る,す

本 質 的 に は 同 じ で あ る が,R(T)の

準 ノ ル ム‖y‖R(T)を

入 れ た 空 間 をXの

連

よ る 像 の 空 間 と呼 ぶ.

  一 般 に 集 合Bが

集 合Aの

対 応 さ せ る 写 像 をBか 間 で あ っ て,埋 記 号 

は

方 が わ か りや す い 利 点 が あ る.

  定 義   補 題 の 条 件 の 下 で,R(T)に 続 線 型 作 用Tに

な わ ちR(T)とX/N(T)と

部 分 集 合 で あ る と きBの

らA(の

任 意 の 点bに

中)へ の 埋 め 込 み と い い,AとBが

め 込 み が 連 続 な ら ばBはAへ

そ れ 自身 を 共 に位 相 空

連 続 的 に 埋 め 込 ま れ る と い う.

で 表 わ す.

  補 題 に よ り直 ち に 次 の こ と が わ か る:   系   XとYと

が 共 に 分 離 線 型 位 相 空 間Eに

ム 空 間 な らば,X∩YとX+Yに,そ

連 続 的 に 埋 め 込 ま れ る(準)ノ

れ ぞ れ,(準)ノ

ル

ルム

 (2)  (3)

を 入 れ る と,こ れ ら は(準)ノ 備 に な る.特

にXとYがBanach空間

  証 明   X∩Yに   X+Yは

ル ム 空 間 に な る.XとYが

な ら ば こ れ ら もBanach空

間 に な る.

つ い て は 直 接 証 明 で き る.

空 間X×Yか

空 間 で あ る. 

完 備 な らば これ ら も完

らEへ

の 連 続 線 型 作 用 素:(x,y)→x+yの

像の (証 明 終)

  §1.4  線 型 作 用 素 の 準 ノル ム  XとYが

線型 位 相 空 間 の と き,Xの

素 の全 体 をL(X,Y)で

全 体 で定 義 され たYへ

表 わ し,L(X,X)をL(X)と

  今 後特 に こ とわ ら な い限 りXか

の連 続 線型 作 用

略 記 す る.

らの連 続 作 用 素 とい う と きは 定 義 域 はX全

体 で あ る と仮 定 す る.ま たIXでXの恒

等 作 用 素 を表 す.

 グ ラ フが 積位 相 に 関 し て 閉 とな る 作用 素 を 閉作 用 素 と い う.XとYと ノル ム空 間 な らばXか "xn→x ,xn∈D(T), 

らYへ

の作 用 素Tが

Txn→yな

が準

閉 とな るた め の 条件 は,

ら ばx∈D(T),y=Tx"

で あ る.連 続 作 用 素 は閉 で あ る.  XとYを

準 ノル ム空 間 とす る.こ の ときD(T)=Xと

線型 作 用 素TはXの

す べ ての 点xに

な るXか

らYへ

の

有 界 で あ る と い う),し

か

つ い て,

 (1) ‖Tx‖Y≦C‖x‖X と な る よ うな 定 数Cが

存 在 す る と き(こ の と きTは

も そ の と き に 限 り連 続 で あ る.こ

の と き,作

用素Tの

準 ノル ム を

 (2)

と定 義 す る と,L(X,Y)も (X,Y)も

準 ノ ル ム 空 間 に な る.さ

ら にYが

完 備 な ら ば,L

完 備 に な る こ とは 簡 単 に 証 明 で き る.

  像 空 間 の 準 ノ ル ム の 定 義 に よ り,補 題1.3の な ら ば,R(T)か

らYへ

の 埋 め 込 み をJと

条 件 の 下 で,Yが

す る と,Jは

準 ノル ム空 間

連 続線型作用素であ っ

て,  (3) ‖J‖L(R(T),Y)=‖T‖L(X,Y)

で あ る.次

の 定 理(a)で 

  ま た,X,Y,Zが

S=T,V=U=IYと

準 ノ ル ム 空 間,T∈L(X,Y),S∈L(Y,Z)の

す れ ば よ い. とき

 (4)

  準 ノル ム空 間X1,…,Xnか

ら準 ノル ム空 間Yへ

つ い て線 型 の写 像)の 準 ノル ムを  (5)

の多 重 線 型 写像A(各

変数に

と定 義 す る.  作 用 素 の像 空 間 で の 準 ノル ムの 評 価 に は次 の定 理が 有 用 であ る.  定 理  Vを

準 ノル ム空 間Yか

  (a)  Tを 準 ノ ル ム空 間Xか

ら分 離 線 型 位 相 空 間Fへ

SをXか

らEへ

らYへ,Uを

の連 続 作 用 素 とす る.

分 離 線 型位 相空 間Eか

らFへ,

の連 続 線 型 作 用 素 とす る.こ の とき,

 (6) 

US=VT

な らばUのR(S)へ

の制 限T1はR(S)か

 (7) 

らR(V)へ

の 線型 作 用 素 で,

‖T1‖L(R(S),R(V))≦‖T‖L(X,Y)

が成 立 す る.Tが

上 へ の 作 用 素 な ら ばT1も

  (b)  Sjを 準 ノル ム空 間Xjか 線 型作 用 素,AとBを

上 へ の作 用 素 であ る.

ら分 離 線 型 位 相 空 間 

そ れ ぞ れ 

か らFへ

へ の連 続 とX1×

… ×Xnか

Yへ の 多重 線型 作 用 素 とす る.こ の と き,す べ てのx1∈X1,…,xn∈Xnに

ら 対

して  (8) 

A(S1x1,…,Snxn)=VB(x1,…,xn)

が 成 立 す れ ば,AのR(S1)× 用 素 で あ っ て,像

… ×R(Sn)へ

の 制 限B1はR(V)へ

の多重線型作

準 ノル ム はBの

準 ノル ム を 越 え な

の 準 ノ ル ム に 関 す るB1の

い.

  証 明   (b)も(a)と

同 様 に す れ ば わ か る か ら(a)だ け 証 明 す る.‖T‖L(X,Y)を

cと お く.x1∈R(S)に

対 し て,定

義 に よ り,

x1=Sx,‖x1‖R(S)+ε

を 満 た すxが

≧‖x‖X,x∈X

任 意 の正 数 εに対 し て存 在 す る. T1x1=USx=VTx∈R(V)

で あ り,ε は い く ら で も0に   Tが

近 く と れ る か ら‖T1x1‖R(V)≦c‖x1‖R(S)で

上 へ の 写像 な ら ばR(V)=VR(T)=R(US)=T1R(S)と

あ る.

な る.

(証 明終)  §1.5  閉 グ ラ フ 定 理

  線型 作 用 素 の有 界 性 は 不 等 式(1.4.1)を す べ て のx∈Xに

つ い て 示 せ ば よい

の だ が,稠 密 部 分集 合 の元 に つ い て示 せ ば 十 分 な 場 合 が あ る.ま ず,

  補 題   kノ ル ム 空 間Xの0を のx∈X,ε>0とh>1に

含 む 稠 密 部 分 集 合 をMと 対 し て,Mの

す る.こ

の と き任 意

元x1,x2,…,xn,…,を

  (1) がn=1,2,…

に つ い て 成 立 す る よ うに 選 ぶ こ と が で き る.

  証 明   x=0の

と き はx1=x2=…=0と

す れ ば よ い. 

定 に よ りx1∈Mを‖x1-(1-2α)x‖X≦ で き る.た

αε‖x‖Xと な る よ うに 選 ぶ こ と が

だ し α={hk(2+ε)}-1に

と る.n=1と

が す ぐわ か る.x1,x2,…,xnを(1)を -xn=xに

と す る.仮

し て(1)が

成 立す る こ と

満 た す よ う に 選 ん だ とす る.x-x1-…

つ い て上 と同様 に し て

,xn+1∈Mを

と な る よ うに選 ぶ こ とが で き る.帰 納 法 に よ り結果 を得 る.    系   Tは 準 ノル ム空 間Xか て,D(T)⊃Mと

な る あ るXの

4.1)が 成 立 す る.こ の と きTは   証 明   Xをkノ

ら完備 準 ノ ル ム空 間Yへ 稠 密 部 分 集 合Mの

ル ム 空 間,Yをlノ

対 し て 補 題 の よ うにMの

で あ る か ら 補 題1.2に Σxn.Tは

m→

∞

の 閉 線 型 作用 素 で あ っ

す べ て の点xに

有 界 で しか もD(T)=Xで

点 列x1,x2,…

よ りy=ΣTxnが

準 ノル

とh>1,ε>0に

の と き,

存 在 す る.一

閉 作 用 素 で あ る か らx∈D(T),し

し,Yの

点 

を と る.こ

つ い て(1.

あ る.

ル ム 空 間,(2l)γ=2と

ム のγ 乗 は 三 角 不 等 式 を 満 た す と仮 定 す る.Xの

(証 明終)

方,作

か もy=Tx.さ

と し て,‖Tx‖Y≦Ck(1-h-γ)-1/γ‖x‖X.ゆえ

ら に,

にTは

‖T‖ ≦Ck. 

り方 か らx=

有 界 で あ っ て, (証 明 終)

 閉 作 用素 で あ る こ とか ら連 続 性 が導 か れ る場 合 が あ る.す な わ ち,   定 理   (閉グ ラ フ 定 理)  完 備 準 ノル ム空 間Xの ル ム空 間Yへ

の 閉線 型作 用 素 は連 続 で あ る.特 にYが

的 に埋 め 込 ま れ て い れ ばR(T)⊂Yと L(X,Y)に

全 体 で定 義 さ れ た 完 備 準 ノ

な るXか

分 離 位 相 空 間Fに

らFへ

連続

の連 続 線型 作 用 素 は

属 す る.

  証 明  Xをkノ

ル ム空 間,Yをlノ

ル ム 空 間,GをTの

グ ラ フ,X×Y

か らXへ

の 射 影 をP,V={(x,Tx)∈X×Y;‖Tx‖Y≦1}と

  X=PG=UnPV=Un(PV)aで

す る.

あ る.(BaはBの

閉 包 を 示 す).完

備距

離 空 間 が 高 々可算 個 の 閉集 合 の和 に な る と きそ の 閉 集 合 の 中 に は 内点 を 含 む も の が あ る と い うBaire-Hausdorffの x→nxは

定 理 に よ り,あ

同 相 写像 で あ る か ら(PV)aが

‖x‖X≦1}と

お く と,あ

含 ま れ る.ρ=δ/lと ∈x0+δUで

あ る か ら,任

-lx-x2‖X<ε

で あ る.ゆ

内 点 を 持 つ.

内 点 を 持 つ と し て よ い.U={x;

るx0∈Xと

お く.x∈

るn(PV)aは

δ>0が

ρUと

あ っ てx0+δUは(PV)aに

す る と,x0+lx∈x0+δU,x0-lx

意 の 正 数 εに 対 し て,‖x0+lx-x1‖X<ε,‖x0

と な るPVの

点x1,x2が

え に(2l)-1(x1-x2)∈PVで

あ る.

あ る.ε は 任 意 の 正 数 ゆ え,x∈(PV)a.

よ っ て ρU⊂(PV)a.

と お く.nは

す べ て の 整 数 を 動 く.MはXで

る.2n-1ρ<‖x‖X≦2nρ

に 整 数nを

し て,‖2-nx-xε‖<ε

とな るPVの

だ し,ε<(4k)-1ρ

にMは

にx∈Mの

き は 明 白. 

と す る.定

Tx‖Y≦1,‖2-nx‖X>ρ/(4k)で る.系

ρUゆ

とす

え 任 意 の 正 数 εに 対

点xε が あ る.

と な る か らxε ∈M0た 稠 密 で あ る.次

稠 密 な る こ と を 示 す. 

と る.2-nx∈

に と る.‖2nxε-x‖X<2nε.ゆ

と き‖Tx‖Y≦c‖x‖Xを

義 に よ り2-nx∈M0と

え

示 す.x=0の

な る 整数nが

と

あ る.‖2-n

あ る か ら,‖Tx‖Y≦2n<(4k/ρ)‖x‖Xで

に よ り結 論 を 得 る. 

あ

(証 明 終)

 §1.6  双 対 空 間

 線 型 空 間Xか

らCへ

  線 型 位 相 空 間Xに x′∈X′

対 し て,X′=L(X,C)をXの

に 対 し てx′(x)を

と い う.特 ち,

の線 型 作 用 素 を 線 型 形 式 また は 線 型汎 函数 とい う.

にXが

双 対 空間 と い う.x∈Xと

〈x,x′〉 と 書 きXとX′

準 ノ ル ム 空 間 な らばX′

と の 双 対 形 式(duality)

に 作 用 素 と し て の ノ ル ム,す

なわ

 (1)

を 導 入 す る と,X′

はBanach空

間 に な る.

 積 空 間,共 通 部 分 お よび 和 の空 間 の双 対 空 間 は 次 の よ うにな る:  定 理  XとYを

準 ノル ム空 間 とす る.

 (a)  (X×Y)′

とX′

×Y′ は 標 準 的 に 同 型 で あ る.す

な わ ち,そ

れ ぞ れ,

 (2)  (3)

をX×YとX′

×Y′ の 準 ノル ム と 定 め,(x′,y′)∈X′

 (4) l(x,y)=〈x,x′

〉+〈y,y′

と定 義 す る と,l∈(X×Y)′

で あ り,こ

×Y′ に 対 し て,

〉

の 対 応 はX′

×Y′ か ら(X×Y)′

の上

へ の ノ ル ム 同 型 で あ る.

  (b)  XとYが

分 離 線型 位 相 空 間〓 に 連 続 的 に 埋 め 込 まれ る ノ ル ム空 間 で

あ ってX∩YがXお

よびYに

お い て稠 密 な らば,X′

続 的 に 埋 め 込 まれ,(X∩Y)′とX′+Y′   (c)  XとYが

に連

は ノル ム同 型 で あ る.

分 離 線型 位 相空間〓 に 連 続 的 に埋 め 込 ま れ る 準 ノル ム空 間

な らばX′ ∩Y′ と(X+Y)′

は ノル ム 同型 で あ る.

  証 明   (a)  x′∈X′,y′ ∈Y′

で あ る か らl∈(X×Y)′,し

の と き,(4)に

よ りlを 定 義 す る と,

か も

 (5) ‖l‖(X×Y)′

で あ る.(5)に

とY′ は(X∩Y)′

≦‖(x′,y′)‖X′

×Y′

お い て 実 は 等 号 が 成 立 す る.x′=0ま

単 で あ る か ら 

と 仮 定 し よ う.双

意 の 正 数 εに 対 し て,

とな る よ うなx0∈Xとy0∈Yが

と 表 わ し て,x1=e-iθx0,y1=e-iλy0と

存 在 す る.

お け ば

た はy′=0の

と き は簡

対 空 間 の ノ ル ム の 定 義 に よ り任

と な る.ゆ

え に‖l‖(X×Y)′≧‖(x′,y′)‖X′×Y′-2ε.ε は 任 意 の 正 数 で あ っ た か

ら(5)に お い て 等 号 が 成 立 す る こ と が わ か る.

  以 上 に よ り対 応(x′,y′)→lは1対1で

ノル ムを 保存 す る線 型作 用 素 で あ る

こ とが わ か った.こ れ が上 へ の 対応 で あ る こ とを 示 そ う.lを(X×Y)′

の元 と

す る. 〈x,x′ 〉=l(x,0) 

に よ り,x′ ∈X′

(x∈X), 

とy′ ∈Y′ が 定 ま り,作 l(x,y)=〈x,x′

と な る.よ

っ て(x′,y′)→lは

  (b)  W=X∩Yと

な わ ちW上

〉+〈y,y′

〉

上 へ の 対 応 で あ る.

と きx′=0で

界 な 線 型 作 用 素 で あ る.つ

ま りX′ はW′

稠 密 で あ る か ら,x′=0,す

あ る.よ

っ てx′→x′

 x′∈X′,y′ ∈Y′

は1対1の

へ 連 続 的に 埋 め 込 ま れ る.Y′

に 連 続 的 に 埋 め 込 ま れ る こ と も 同 様に し て わ か る.こ x′ と を 同 一 視 し,以

上 へ の 制 限 をx′ と

つ いて

で,‖x′‖W′≦‖x′‖X′.WがXで

でx′=0の

(y∈Y)

り方 とlの 線 型 性 に よ り,

書 く.x′ ∈X′ に対 し てx′ のWの

書 くと,す べ てのw∈Wに

ゆ え にx′ ∈W′

〈y,y′〉=l(0,y) 

有 がW′

の 埋 め 込 みに よ りx′ と

下 でx′ をx′ と 書 く. の と きx′+y′

∈W′

で あ り,任

意 のw∈Wに

つ い て,

 で あ る か ら,

 逆 に,w′ ∈W′

とす る.X×Yの

で 動 か し た とき の点(w,w)の WとWと

はW上

ノル ムを(2)で 定 義す る と,点wをWの 全 体WはX×Yの

中

線 型 部 分 空 間 に で あ っ て,

は ノル ム同 型 に な る.し た が って,対 応

の 有 界 線 型 汎 函 数 で あ る.Hahn-Banachの

よ り(X×Y)′=X′

拡 張 定 理 と(a)の

結果 に

×Y′ の 点(x′,y′)を,

(すべ て のw∈Wで),

と な る よ う に とれ る.ゆ   (X+Y)′

とX′

え にX′+Y′=(X∩Y)′

で ノル ム は 等 し い.

∩Y′ と が ノル ム 同 型 に な る こ と も 同 様 に 証 明 で き る.

(証 明 終)   例1 

1
数p′(pの

の と き(lp)′=lp′

で あ る.た

だ し,1/p+1/p′=1に

共 役 指 数 と い う)を と る.x∈lp,y∈lp′

正

に 対 し て,

た だ し,

 (6) 

と 定 め る と,Holderの 形 式 と な り,そ

不 等 式(1.2.8)に

の ノ ル ム はyのlp′

に つ い て,sgnζ=ζ/￨ζ￨と ζ=￨ζ￨が

よ りx→

で の ノ ル ム を 越 え な い.0で

し,sgn0=0と

成 立 す る.た

か る.こ

ない複素数 ζ

だ し ζ は ζ の 複 素 共 役 数 を 示 す.xと

ノル ム 以 上 で あ る こ と が わ か る.ゆえ ル ム が1のlp′

の連 続 線 型

定 め る と,ζsgnζ=￨ζ￨,ζsgn

￨ηj￨p′-1sgnηjと な る よ う に と る と,線

こ と に よ り,ノ

〈x,y〉 はlp上

し て,ζj=

型 形 式 〈x,y〉 の ノ ル ム はyのlp′ に,yに

での

線 型 形 式 〈x,y〉 を 対 応 させ る

か ら(lp)′へ の 線 型 作 用 素 が 定 義 され る こ と が わ

れ が 上 へ の 作 用 素 に な る こ と を 示 す に は(lp)′ の 元x′ に 対 し て,ηj=

x′(ej),た だ しej={0,…,1,0…}(j番 くと,yがlp′

が1,他

が0の

に 属 す こ と お よ びx′(x)=〈x,y〉

数 列),y={ηj}と

がx∈lpに

お

つ い て成 立 す る

こ と を い え ば よ い.   例2  0
と き(lp)′=l∞,(l∞-)′=l1で

あ る.双

対 形 式 は(6)で

与

え ら れ る.   例3  pを 正 数 と し,p>1の

と き は1/p+1/p′=1にp′

の と き はp′=∞

準 ノ ル ム 空 間 と す る.こ

と す る.Xを

lp′(X′)に同 型 で ノ ル ム は 等 し く,{l∞-(X)}′ い.双

はl1(X′)に

を と り,p≦1 の と き{lp(X)}′

は

同型 で ノル ムは 等 し

対形式は

 (7)

で 与え ら れ る.た

だ しX′ はXの

  す べ て の{xn}∈lp(X)に か で あ り,ま

たp>1の

で あ り,0
双 対 空 間,〈x,x′

つ い て 右 辺 が0な と き はHolderの

と き は 不 等 式(1.2.6)に

〉X×X′は そ の 双 対 形 式.

ら ば{x′n}=0と 不 等 式(1.2.8)に

より

な る こ とは 明 ら よ り

 

で あ る.ゆ

え に,lp′(X′)は{lp(X)}′

1を 越 え な い.埋

あ り,し

つ い てPkx={0,…,x,0,…}(k番

点 列)と お く.PkはXか

た が っ てlPk=x′k∈X′

らlp(X)へ で あ る.X′

〈x0k,x′k〉 ≧(1-ε)‖x′k‖X′,‖x0k‖X=1を

ε とnは

と し,

がx,そ

の 準 ノ ル ム1の

線型作用素 で

の ノル ム の 定 義 に よ り‖x′k‖X′ ≧

満 た すx0k∈Xが

し,ε は 任 意 に と っ た 正 数 で あ る.p>1の 任 意 の 自 然 数nに

の 埋 め 込 み の ノル ム は

め 込 み が 上 へ の 写 像 で あ る こ と を 示 そ う.l∈{lp(X)}′

そ の ノ ル ム を σ と す る.x∈Xに の 他 は0,の

に 埋 め 込 ま れ,そ

存 在 す る.た

だ

と き に は,αk=‖x′k‖p′-1X′ に と る と,

つ い て,

任 意 に と れ る か ら,結

局{x′k}のlp′(X′)で

こ とが わ か る.ま

た,作

で あ り, 

の 形 の 元 はlp(X)で

り方 か ら,

稠 密 で あ る か ら,lは{x′n}か

れ る 線 型 形 式 に 一 致 す る こ と が わ か る.0
の ノル ムは σを越 え な い

上 に よ り,埋

ら定 義 さ

と き は‖x′k‖X′=‖lPk‖X′

め 込 み は 上 へ の 写 像 で,ノ

ル ム は1で

あ る

こ と が わ か っ た. {l∞-(X}′ がl1(X′)に

  線 型 位 相 空 間Xの x′〉 が 連 続 と な るXの

同 型 で あ る こ と も 同 様 に し て わ か る.

双 対 空 間 をX′

とす る と き,各x′

∈X′ に 対 し て,〈x,

最 弱 の 線 型 位 相 空 間 と し て の 位 相 を 弱 位 相 と い う.す

な わ ち 任 意 の 正 数 ε1,…,εnとx′1,…x′n∈X′

を と っ て,(nも

動 か す と き の)

を 原 点 の 近傍 系 の基 とす る位 相 が 弱 位 相 で あ る.   定 義 に よ り線 型 位 相空 間 の 本 来 の 位相,し ば しば 強 位 相 とい う,は 弱 位 相 よ り強 い.す な わ ち,強 位 相 で収 束 す れ ば 弱 位 相 で収 束 す る.一 般 に,強 位 相 と

弱 位 相 は 一致 し な い.例 enは 第n番

が1で

え ば1
他 が0の

〈en,x′〉=ξn→0で

の と きlpの

数 列 と す る と,任

あ る が,lpの

点 列{en}n=1,2,…,

意 のx′={ξn}∈lp′

位 相 でen→0と

に対 し て

は な ら な い.

  §1.7 作 用素 の半 群  Rnの 部 分 集 合 Ω で定 義 され,位

相 空 間Xの

値 を と る函 数f(ξ)が Ω の 点 ξ

で 連続 で あ る とは η→ ξ,η∈Ω の ときf(η)→f(ξ)と な る こ と を い い,Ω の各 点 で連 続 な 函 数 を Ω で連 続 で あ る とい う.  Rnの 開 集 合 Ω で定 義 され,準

ノル ム空 間Xの

ξで ξjに関 して 偏 微 分 可能 とは,h→0の (ξ)}が収 束 す る こ とを い い,そ 複 素 数 値 函 数 と同 様 にCm級

値 を と る函 数f(ξ)が Ω の点

と きh-1{f(ξl,…,ξj+h,…

の 極 限 を ξjに関 す る偏 微 分 係 数 と い う.以 下

函 数 を 定 義 す る.Cm級

台 が Ω の コ ン パ ク ト集 合 に な るCm級X値

のX値

函 数全 体 を 

函 数 を  と書 き,m階

函数 が 有 界 連 続 とな るCm級 と記 す.m=0の   な お,Xがkノ

ξn)-f

まで の 偏 導

函 数 の 全体 を  と きはmを省

い て 

な ど と書 く.

ル ム空 間 な らば

 (1)

はkノ

ル ム に な り,Bm(Ω;X)は

た だ し,α=(α1,…,αn)は

こ の 準 ノ ル ム に 関 し て準 ノ ル ム空 間 に な る.

非 負整 数 を 成 分 とす る ベ ク トル で￨α￨=α1+…+

αnと 定 義 す る.   Xが

完 備 の と き おBm(Ω;X)も

 B∞(Ω;X)の

完 備 に な る.

位 相 は 準 ノ ル ム 系{‖f‖Bm(Ω;X)}に

の 位 相 も 例1.1.2と

例1.1.4に

よ っ て 定 め, 

準 じ て 定 義 す る.

  準 ノ ル ム に よ る 位 相 の 代 り に 弱 位 相 を 使 っ た と き の 連 続,微 念 を 弱 連 続,弱

微 分 可 能 な ど と い う.こ

れ に 対 し て,準

ノル ム空 間 に お い て準

ノ ル ム に よ る位 相 を 使 っ て 定 義 し た こ と を 強 調 し て"強"を と も あ る.し と表 わ す.

か し,本

書 で は,特

に 必 要 が な け れ ば,単

分 可 能 な ど の概

つ け て表 現 す る こ

に 連 続,微

分可能 な ど

  Banach空

間Xの

す な わ ち,f(t)が

値 を と る 函 数 に つ い て は"平

閉 区 間[a,b]上

の 各 点 で 微 分 可 能 とな り,区 て 区 間(a,b)の (・ はtで

均 値 の 定 理"が

で 定 義 さ れ 連 続 なX値

間[a,b]上

函 数 で 開 区 間(a,b)

の連 続 な非 減 少実 数値 函数 φ が あ っ

各 点 で 微 分 可 能 で,し か もa
の 導 函 数 を 示 す),と

成 立 す る.

す る.こ

お い て,‖f(t)‖X≦

の と き,‖f(b)-f(a)‖X≦

φ(t)

φ(b)-

φ(a)で あ る.

  Banach空

間 値 函 数 に つ い て も実 数 値 函 数 と同様 に し てRiemann積

義 で き る.区 間[a,b]上

で連 続 な函 数 が 一 様 連 続 で[a,b]上

分が定

でRiemann積

分 可 能 な こ とも普 通 の 微 積 分 学 と同様 に し て証 明 で き る.  f(t)を 区 間[a,b]上

のBanach空

間Xの

閉 線 型 作 用 と す る と,各t∈[a,b]に [a,b]上

の 積 分 もD(A)に

値 を と る連 続 函 数,AをX上

対 し て,f(t)∈D(A)な

属 し て,Aと

ら ば,fの

パ ラ メー タ ー と す る準 ノル ム空 間X上

素 の 系{Tt;t≧0}が

作 用素 のC0半 群 で あ る とは,2条

  (SG2) 

各t≧0,s≧0で

各x∈Xに

 作用 素 のC0半

連 続 で あ る(強 連 続 性).

定 義 で き る と き はC0群

群{Tt;t≧0}に

の有 界線 型作 用

件

成 立 す る,

対 し て,Ttxは[0,∞)で

を 満 た す こ と を い う.t∈Rで

区 間

積 分 の 順 序 を 変 え て も結 果 は 等 し い.

  定 義   実 数t≧0を

 (SG1) Tt+s=Tt+Tsが

の

と い う.

対 して,そ の 生 成 作 用 素Aを の とき 

が収束す る

 (2)

に対 し て と定 義 す る.   Banach空

間 上 の 半 群{Tt}の

と きTtxはt>0の

と きD(A)に

  (3) 

な る.D(A)はXで

  Hille-吉

属 し,

(d/dt)Ttx=ATtx=TtAx

が 成 立 す る.ま

  Banach空

生 成 作 用 素 は 閉 作 用 素 で あ っ て,x∈D(A)の

た,D(A)は

ノル ム‖x‖X+‖Ax‖Xに

関 し てBanach空

間 に

稠 密 で あ る. 間XのC0半

群 の 生 成 作 用 素 は 次 の よ う に 特 徴 づ け ら れ る:

田 の 定 理   AをBanach空

用 素 と す る.あ

る数M≧1と

素 数 λに つ い て,A-λIの

間X上

の 定 義 域D(A)が

実 数 β が 存 在 し て,Reλ>β 逆 作 用 素(A-λI)-1が

存 存 し て,Xで

稠密 な 線 型 作 とな る任 意 の複 有 界 と な り,

 (4)

が成 立 す れ ばAを

生 成 作用 素 とす るC0半 群{Tt}が

存在 し,た だ ひ とつ に 限

り存 在 す る.   ま た,こ の場 合 に,Reλ>β

とな る λに つ い て,

 (5) と 表 示 さ れ る.   例   X=Bm(R),mは

非 負 整 数,と

  (6) 

し,x(ξ)∈Xに

(Ttx)(ξ)=x(ξ+t) 

とお く と,{Tt}t∈RはX上

のC0群

(ξ∈R)

に な り,そ

の 生 成 作 用 素Aは

  (7) D(A)=Bm+1(R),Ax=x(xの と な り,Reλ>0に

対 し て,

導 函 数),

対 し て,

 (8)

と な る.

 §1.8  劣 加 法 的 函 数 の 増 大 度 と一 様 有 界 性 定理   作用 素 の 半群 に 関連 の あ る劣 加 法 的 函 数 につ い て考 え る.   定 義  Rnの 部 分 集 合Mの   (1) 

上 の実 数 値 函数 φ が 劣 加 法 的 で あ る と は不 等 式

φ(ξ+η)≦ φ(η)+φ(η)

が ξ,ηお よび ξ+η がMに

属 す る と き成 立 す る こ とを い う.

  定 理   φ は 区 間(a,∞)で

定 義 され た 可 測 劣 加 法 的 函 数 であ っ て,こ

の各 点 で有 限 で あ る と す る.こ

の と きa
に対 して φ は 閉 区 間[a+b,a+c]で

の区 間

満 た す 任 意 の 正数bとc

有 界 で あ る.ま た

 (2)

  証 明   Em={t;am}と

お く と, 

え に 自然 数mを

十 分 大 き く と る とEmの

≦t≦a+cの

と きA=(a,t-a)∩Emと

a)に 含 まれ,測

度 はb-a以

下.よ

測 度 は(b-a)/2以 お く とA∪(t-A)は

っ てa<s
の 測 度 は0.ゆ 下 で あ る.a+b 区 間(a,tと

な るsが

あ る.よ

っ て φ(t)≦ φ(s)+φ(t-s)≦m+m≦2m

  (2)の 証.a≧0と

し て 一 般 性 を 失 な わ な い.φ(t)/tのt>aで

有 限 の と き を 考 え る.正 る.φ

数 ε を と る と,βb≦

の 区 間[a+b,a+2b]で

t→ ∞

と す る と,(右

な るbが

あ

とす る.nを(t-a)/bの

とき

辺)→ β+ε.β=-∞

  こ の 定 理 に よ りC0群

φ(b)<(β+ε)bと

の 上 限 を γ<∞

整 数 部 分 と す る とn≧2の

の下 限 β が

で も 同 様. 

(証 明 終)

の ノ ル ム に つ い て の 結 果 を 得 る.

  系   準 ノ ル ム 空 間X上

のC0群{Tt}に

対 し て,あ

る 正 数Mと

実数 βが存

在 し て す べ て のtに つ い て   (3) ‖Tt‖ が 成 立 す る.こ

≦Meβ￨t￨ こ で,‖T‖

はXの

作 用 素 と し て のTの

  証 明   半 群 性Tt+s=TtTsよ て φ(t)=log‖Tt‖

で あ る.β>α

t≧0に

り‖Tt+s‖ ≦‖Tt‖・‖Ts‖ で あ る.し

は 劣 加 法 的 で あ る.定

存 在 し て,t≧t0に

た 定 理 に よ り φ(t)は[0,t0]に

お い て‖Tt‖=eφ(t)≦Meβtと

お い て,φ(t)

お い て 有 界 で あ る.ゆ

な る よ う に 正 数Mが

に つ い て 上 記 の 論 法 を 適 用 す れ ば,t≦0に M1>0と

お い て‖Tt‖

よ び 閉 区 間[0,t0]で

間 上 のC0半

え に,

と れ る .φ(-t) ≦M1eβ1￨t￨と

β1が 存 在 す る. 

  注 意   Banach空

たが っ

理 に よ り

に と る と定 理 に よ り正 数t0が

≦ βtと な る.ま

準 ノル ム を 示 す.

なる

(証 明 終) 群 に つ い て も(3)が 成 立 す る.証

連 続 な 函 数‖Ttx‖

は[0,t0]で

明 の 前 半,お

有 界 と な る こ と,Banach

空 間 の 有 界 線 型 作 用 素 に 関 す る 一 様 有 界 性 定 理 を 使 え ば,[0,t0]で‖Tt‖

が有

界 と な る こ と が わ か る か ら で あ る.   完 備 準 ノル ム 空 間 に お い て も 一 様 有 界 性 定 理 が 成 立 す る.そ はBaire-Hausdorffの

定 理:完

合(粗 な 集 合)の 高 々 可 算 個 の 和 と し て 表 せ な い;を   補 題   線 型 位 相 空 間Xに

れ を示 す ため に

備 な距 離 空 間 は そ の 閉 包が 内点 を含 ま ない 集

お い て,吸

使 う.ま

収 的 円 形 閉 集 合Vが

ず,

 (4) 

V+V⊂hV,h>0

を満 たす とき,VはXの0の この とき,X全

近 傍 にな る とい う条 件 が 成 立 す る と 仮 定 す る.

体 で 定 義 され た 準 ノル ム空 間Yへ

の連 続 作 用 素 の 集合Lが2

条件   (5)  各x∈Xに

つ い て{Tx;T∈L}は

有 界 集 合 で あ る,

 (6)

を 満 た す な ら ばXに た だ し,条

件(6)の

お い てx→0の 正数cは

と きsup{‖Tx‖Y:T∈L}→0で

す べ て のT∈Lに

  証 明   す べ て の￨α￨≦1とT∈Lに 体 をVε

と す る.た

つ い て 共 通 に と れ る とす る.

つ い て‖T(αx)‖Y≦

だ し,ε を 任 意 の 正 数 とす る.定

円 形 閉 集 合 で あ る.条 件(5)に x1∈Vε,x2∈Vε

の と き,

ゆ え に,Vε+Vε

⊂2cVε

あ る.

ε と な るxの

全

義 と連 続 性 に よ り,Vε

は

よ りVε は 吸 収 的 で あ る.さ て,￨α￨≦1,T∈L,

が 成 立 す る.仮

定 に よ りVε は0の

近 傍 で あ る. (証 明 終)

  こ の 補 題 に よ り,次

の 定 理 が 導 か れ る.

  一 様 有 界 性 定 理   完 備 準 ノ ル ム空 間Xの へ の 連 続 線 型 作 用 素 の 集 合Lに

全 体 で 定 義 さ れ た 準 ノ ル ム 空 間Y

つ い て(5)が 成 立 す れ ば,sup{‖T‖;T∈L}は

有 限 で あ る.   証 明   完 備 準 ノ ル ム空 間Xに う.Vは(4)を Hausdorffの か ら,Vは

つ い て補 題 の仮 定 が 満 た さ れ る こ と を 示 そ

満 た す 吸 収 的 円 形 閉 集 合 とす る.  定 理 に よ り ど れ か のnVは 内 点 を 持 つ.す

ε の と きx0+x∈Vと

内 点 を 持 つ.nVとVは

な わ ち,x0∈Xと

な る.条

と書 け る.Baire-

件(4)に

同相 で あ る

正 数 ε を 適 当 に とれ ば,‖x‖X≦ よ り ε1=2ε/hと

お く と,‖x‖X≦

ε1の と き

す な わ ち,{x∈X;‖x‖X≦

ε1}⊂Vで

題 の 仮 定 が 成 立 す る こ と が わ か っ た.

あ る.よ

っ てVは0の

近 傍 で あ る.補

  よ っ て 補 題 の 結 論 が 成 立 す る.そ も し もsup{‖T‖;T∈L}=+∞

れ よ りsup{‖T‖;T∈L}<∞ な ら ば,各n=1,2,…,に

を 得 る. 対 し て,

xn∈X, ‖xn‖X=1, ‖Tnxn‖Y≧n, Tn∈L と な るxnとTnが

存 在 す る.xm=n-1xnと

1と な り,sup{‖Txn‖;T∈L}→0に   こ の一 様 有 界 性 定 理 に よ り,完

立 す る こ とが 証 明で き る.

お く と,xn→0,一 矛 盾 す る. 

備 準 ノ ル ム空 間 上 のC0半

方‖Tnxn‖

≧

(証 明 終) 群 に つ い て(3)が 成

第2章

  Lebesgue空

  前 半 で はLebegue空

間 と積 分 作 用 素

間,す な わ ちp乗 可 積 分 函 数 の空 間 お よび 本 質 的 有 界

函数 の空 間,に つ い て 述べ る.近 年 の研 究 の 状況 に即 応 し て,0
ノル ム空 間 値 とい う枠 組 で 調 べ る.第5章

空 間 の構 成 に はLebesgue空 で き るが,Banach空

間 を 使 う方 法 に も 良 さ

間 は興 味 深 い例 で もあ るの で 詳 し く述 べ る.準

ル ム空 間 値 の場 合 も従 来 のBanach空 あ る.Banach空

で 示 す よ うに,補 間

間 を 使 わ な い で点 列 空 間 を 使 うだ け で済 す こ と も

間 の 補 間 の場 合 に はLebesgue空

が あ り,ま たLebesgue空

場

ノ

間 値 と ほ ぼ 平 行 の 結 果 が 成 立 す る ので

間値 の 函 数 のBochner積

分 につ い て は 第4節 で 簡 単 に説 明

す る.   後 半 は,ま ず 第6節 で 積 分 作用 素 お よび 無 限 次 行 列 に よ る作 用 素 の 有 界 性 の 判 定 条 件 を 示 す.こ の 結 果 は 非 常 に 広 範 囲 に 応用 で き る重 宝 な もの であ る.た とえ ば,Hardy-Littlewood-Polyaの

不 等 式 の本 の中 の い くつ か の 定 理 は こ の

判 定 条 件 よ り特 別 な 場 合 と し て導 くこ とが で き る.   R+上

の 相 似変 換t→st(s>0)はR+上

き起 す.第7節

の 函 数 空 間 の 変 換f(t)→f(st)を

第8節 で は この 相 似 変 換 のR+上

の重 み つ きLebesgue空

誘

間に

お け る準 ノ ル ムを 考 察 し,重 み の 函 数 の指 標 とい う概 念 を 導 入 す る.重 み の函 数 の 指 標 は 本 書 で の理 論 展 開 の重 要 な 概 念 装 置 の ひ とつ であ って,こ れ に よ り 種 々の 条 件 を 簡 潔 に 表 現 で き る.   §2.1  測 度 と強 可 測 函 数   集 合 Ω の部 分 集 合 の族Bが

空 集 合 φ を含 み,し か も可 算 個 の和 集合 お よび

補 集 合 を 作 る こ とに関 し て閉 じ てい る と き可 算加 法族 で あ る とい う.可 算 加 法 族Bに

対 し てBの

元 をB-可

法 的 な函 数 μ が,0≦

測 集 合,略

し て可 測 集 合 とい い,B上

μ(A)≦ ∞,と な る とき(Ω,B)上

の可算加

の 測 度 であ る と い い,

(Ω,B,μ)((Ω,μ)ま <∞

た は 単 に Ω と表 わ す こ と もあ る)を 測 度 空 間 と い う.μ(Ω)

と な る と き こ れ を 有 界 測 度 空 間,Ω

が測 度 有限 の集 合 の可 算 個 の和 で表

わ さ れ る と き σ-有 限 な 測 度 空 間 で あ る と い う.   (Ω,B,μ)を

測 度 空 間 と す る.Ω

は ± ∞ の 値 を と る 函 数,φ(ξ)が   (1) 

上 の 広 義 の 実 数 値 函 数,す 条件

す べ て のa∈Rに

を み た す と きB-可

測,略

な わ ち実 数 また

つ い て{ξ;φ(ξ)>a}∈B,

し て 可 測,で

あ る と い う,Ω

上 の 複 素 数値 函 数 は そ

の 実 部 と虚 部 が 可 測 の と き 可 測 で あ る と い う.   集 合Aに

対 し て,χA(ξ)を

ξ∈Aの

と き1, 

義 函 数 と い う.有 限 個 の 集 合A1,…,Anの 函 数 を 単 函 数(simple   "測 度0の で"ま

定

い う.

と ん どす べ て の 点 で",略

を 含 む)の

定 め,Aの

定 義 函 数 の 線 型結 合 で表 わ され る

集 合 に 属 さ な い 点 に お い て"と

た は"ほ

  非 負 値(∞

function)と

の と き0と

い う こ と を"ほ し て"a.e.で",と

可 測 函 数 φ に 対 し て,各

と ん ど到 る所 表 現 す る.

点 で φ に 収 束 す る非 負値(∞

を 含 む)の 可 測 単 函 数 よ り成 る 単 調 非 減 少 列{φn}が

存 在 す る.複

素値可測函

数 の 全 体 は 線 型 空 間 を な す.   測 度 空 間(Ω,B,μ)が

与 え ら る と,Lebesgueの

可 積 分 函 数 の 全 体 をL(Ω,B,μ)で

意 味 の 積 分 が 定 義 さ れ る.

表 わ す.L(Ω,B,μ)は

線 型 空 間 を な し,積

分 は 線 型 汎 函 数 に な る.  (a)  ∈L(Ω,B,μ)⇔￨f￨∈L(Ω,B,μ)か

つfは

可 測,こ

の と き,

 (2)

  (b)  (Beppo-Leviの

定 理)f1,f2,… (3)の

左 辺 が 有 限,各

∈L(Ω,B,μ),  点 でfn(ξ)→f(ξ)な

ら ばf∈L(Ω,B,μ),

 (3)

 (c)  (Fatouの

補 題)  非 負 値 可 測 函 数 列{fn}に

対 し て,

 (4)

 (d)  (Lebesgueの

収 束 定 理)  可 積 分 函 数 列{fn}が

ほ と ん ど到 る 所 でfに

収 束 し,可

積 分 函 数gが

存 在 し,￨fn(ξ)￨≦g(ξ)(n=1,2.…)な

らばfも

可積

分 と な り,  (5)

  (e)  (Holderの

不 等 式)  fとgが

可 測,￨f￨pと￨g￨p′

が 可 積 分 の と きf・g

も可 積 分 と な り(た だ し,1
  (Ω1,B1,μ1)と(Ω2,B2,μ2)を

σ-有 限 の 測 度 空 間 とす る.Ω=Ω1×Ω2の

集

合族 {A1×A2;A1∈B1,A2∈B2} を 含 む 最 小 の 可算加 法 族 をBと   (7) 

す る と,(Ω,B)上

μ(A1×A2)=μ1(A1)μ2(A2) 

が 成 立 す る も の が 存 在 し,し

の 測 度 μ で あ っ て,

(A1∈B1, 

か も た だ ひ と つ に 限 る.こ

と い う.(Ω1,B1,μ1)と(Ω2,B2,μ2)が

A2∈B2) の μ を 積 測 度 μ1×μ2

有 界 測 度 空 間 な ら ば(Ω1×Ω2,B,μ1×

μ2)

も 有 界 測 度 空 間 に な る.   以 下,こ

の 章 に お い てXは

準 ノ ル ム 空 間 で,Xの

混 乱 の お そ れ の な い 所 で は‖x‖   定 義   測 度 空 間(Ω,μ)上 x1,x2…,xn,…

∈Xに

準 ノ ル ム を‖x‖Xで

示 し,

で 示 す.

の 函数fが

互 に 共 通 点 の な い 集 合A1,…,An…

と,

よ っ て,

 (8)

と 表 わ さ れ る と き 可 算 値 で あ る,特 …

,An,…

が 可 測 の と きfは

を 表 わ す.a.e.で

可 測 で あ る と い う.た

だ し,χAはAの

定 義函数

可 測 可 算 値 函 数 列 の 極 限 と な る と き 強 可 測 で あ る と い う.

  a.e.でf(ξ)∈X0と と い い,Xの

に 有 限 和 の と き 単函 数 で あ る と い い,A1,

な る 可 分 閉 部 分 空 間 が あ る と き,ほ

双 対 空 間X′

の 任 意 の 元x′

について

と き 弱 可 測 で あ る と い う.〈x,x′ 〉 はXとX′   定 理   (Pettis) 

X値

函 数fに

とん ど可 分 値 で あ る

〈f(ξ),x′ 〉が可測 とな る

と の 双 対 形 式 を 示 す.

つ い て の 次 の 条 件 は 同 値 で あ る.

  (ⅰ)  fは 強 可 測 で あ る.   (ⅱ)  fは

ほ と ん ど可 分 値 で,任

意 のx∈Xに

つ い て‖f(ξ)-x‖

が可 測 で

あ る.   (ⅲ)  fはa.e.で

可 測 可 算 値 函 数 列 の 一 様 収 束 極 限 で あ る.

  XがBanach空

間 な ら ば こ れ ら は"fは

ほ と ん ど 可 分 値 で 弱 可 測"と

同値

で あ る.   証 明  (ⅰ)⇒(ⅱ),(ⅲ)⇒(ⅰ),(ⅰ)⇒"弱 す.一

般 性 を 失 う こ と な く,fは

が 存 在 し てf(ξ)は

点 の と きfk(x)=xn,f(ξ)=0の

と きfk(ξ)はf(ξ)に一

可 分 なBanach空

に で き るか ら"ほ

然 数kとnに

つ い て の 和 は 集 合{ξ;‖f(ξ)‖>0}に

(Ak,1∪ … ∪Ak,n-1)の

  Xが

明 白.(ⅱ)⇒(ⅲ)を

な り,ξ がAk と きfk(ξ)=0と

,n＼ 定め

間 の と き に は,x1′,x2′,… ∈X′ を 選 ん で,

  系  強 可 測 函 数 列 のa.e.で

り(ⅱ)が 導 か れ る. 

(証 明終)

の 極 限 は 強可 測 で あ る.

  証 明   準 ノル ムの 連 続 性 を使 って 条 件(ⅱ)を 証 明 で き る. 

(証 明終)

間

  (Ω,μ)を完 備 な測 度 空 間 と し,(Ω,μ)上 μ;X)で

対 し て,

様 収 束 す る.

とん ど可 分 で 弱 可 測"よ

  §2.2  Lebesgue空

示

な わ ち 可 算 集 合{xn;n=1,2…}

こ の 閉 包 に 属 す る と仮 定 で き る.自

と お く と,Ak,nのnに

る と,k→0の

可 測"は

可 分 値,す

示 し,そ の二 元f,gに

のX値

強可 測 函 数 の全 体 をM(Ω,

対 して,

 (1) と お く と,arctan{s+t)≦arctans+arctantお

よび

を 使 うと三 角 不 等 式 が 証 明 で き る.し た が ってMは(1)を 距 離 空 間 で あ る.た だ し,‖x‖ はXで

準距 離 とす る線 型 準

の準 ノル ム で,‖x‖γが三 角不 等 式 を 満

た す と仮定 す る.  pが 正 数 の と き,X値

強 可 測 で あ って

 (2)

が 有 限 とな るfの 全 体 をLp(Ω,μ;X)で

表 わ す.p=∞

の ときは 右 辺 の 積 分

を 本 質 的 上 限 に お き かえ てL∞(Ω,μ;X)を ば わ か る よ う に,1≦p≦

∞

定 義 す る.積

分 論 の教 科 書 を 見 れ

の と きLp(Ω,μ)=Lp(Ω,μ;C)は

完 備 な セ ミノ

ル ム 空 間 で あ っ て,

 (3)

が 成 立 す る.Xが

が 成 立 す る.不

一 般 の と き も,q=p/γ

等 式(1.2.6)を

≧1な

ら ば,(3)に

使 う と これ よ り,k=21/γ-1と

よ り,

して

  (4) を 得 る.す

な わ ちNp(f;Ω,μ;X)はkセ

ミ ノ ル ム で あ る.q≦1な

らば

で あ る か ら,  (5)

を 得 る.す

な わ ちNpは21/p-1セ

ミ ノ ル ム で あ る.α ∈Cの

とき

 (6)

と な る こ と は 定 義 か ら す ぐわ か る.ま Nγpが,p/γ Lpの

≦1の

の 計 算 に よ り,p/γ

三 角 不 等 式 を 満 た し,こ

≧1の

と きは

れ に よ る準 距 離 が

位 相 を 与え る こ と が わ か る.

  LpがMに   Mの

と き はNppが

た,上

連 続 的 に 埋 め 込 ま れ る こ と も す ぐわ か る.

二 元fとgに

つ い てdis(f,g)=0と

どす べ て の 点 でf(ξ)=g(ξ)と

な るた め の 必 要 十 分 条 件 は ほ と ん

な る こ と で あ り,こ

れ は 同 値 関 係 に な る.こ

同 値 関 係 に よ っ て 類 別 し て で き る 空 間 をM(Ω,μ;X)で 代 表 をf,gと

し,dis(f,g)=dis(f,g)と

よ ら な い,そ

し てM上

定 義 す る と,こ

の 距 離 に な る.f∈Lp,dis(f,g)=0な

あ る か ら 上 記 の 同 値 関 係 でLpを

類 別 す る とMの

(Ω,μ;X)と

間 と 呼 ぶ.Lpの

書 き,Lebesgue空

Np(f;Ω,μ;X)は 明 ら か に    MやLpの

示 す.Mの

の

元f,gの

れ は代 表 の 選 び 方 に ら ばg∈Lpで

部 分 空 間 に な る.そ 元fの

代 表 の 選 び 方 に よ ら な い の でLp上

代 表 をfと

れ をLp す る と き

の 準 ノ ル ム を 定 め る.

で あ る. 元 は 正 確 に は 函 数 の 同 値 類 で あ る が,混

に は 単 に 函 数 と 呼 び,函数fとfの

乱 す るお そ れ が な い と き

属 す る 同 値 類 を 同 じ記 号 で 表 わ す.こ

の こ

とを"測

度0の

視 す る"な

集 合 上 で の 値 を 無 視 す る"と

か"a.e.で

一 致 す る 函数 を 同一

ど と い う.

  定 理   (Ω,μ)が 測 度 空 間 でXが 線 型 位 相 空 間,Lp(Ω,μ;X)は

準 ノ ル ム 空 間 で あ る.特

(Ω,μ;X)とLp(Ω,μ;X)も   証 明   Xが

準 ノル ム 空 間 の と き,M(Ω,μ;X)は

完 備 な ら ばM

完 備 で あ る.

完 備 の と き完 備 性 を い う.Mの

を 使 う.fn∈M,Σdis(fn-1,fn)<∞ un=fn-fn-1と

にXが

距離

完 備 性 の 証 明 を す る.補

と す る.u1=f1,n=2,3,…

お く.Mの

題1.2 の とき

距 離 の 定 義 に よ り十 分 大 き なnに

つい て

 (7)

と な るtnが

あ る.Bn=An∪An+1∪

…

と お く と,

 (8) で あ り,  Xの n0+1,…

の と きn≧jに

つ い て‖un(ξ)‖γ≦tn,し

完 備 性 に よ り  に つ い て のBnの

あ るか ら μ(B)=0. 

た が っ て  が 存 在 す る.n=n0,

共 通 部 分 をBと

す る と,(8)に

よ り μ(βn)→0で

の と き 

るか らdis(f,fn)→0を

であ

得 る.

  Lpの 完 備 性.LpのCauchy列{fn}はMのCauchy列

で あ る か らMの

位 相 に よ りMの

成 立す るか ら

元fに

収 束 す る.‖fn(ξ)‖ →‖f(ξ)‖ がa.e.で

で あ り,{Np(fn;Ω,μ,X)min(p,γ)}がCauchy列

に な る か ら右 辺 は有 限 にな

り,し

代 り にfn-fmを

た が っ てf∈Lp.fの

じ 計 算 を す れ ばfm→f(Lpの   測 度 空 間(Ω,μ)が

代 り にf-fm,fnの 位 相 で)を 得 る. 

σ-有 限 の と き,測

使 っ て同 (証 明 終)

度 有 限 の 可 測 集 合 の 列{Bn}を

 (9)

と な る よ うに 選 び 固 定 し て お く.こ 条件  (10)

の と きL∞(Ω,μ;X)に

属 す る 函 数fで,

を 満 た す も の の 全 体 をL∞-(Ω,μ;X)で の 点 で 等 し い"と L∞-は

表 わ し,こ

い う 同 値 関 係 に よ る類 別 をL∞-(Ω,μ;X)で

集 合 列{Bn}の

選 び 方 に 依 存 す る か ら,正

示 す べ き で あ る が 以 下 で は 省 略 す る.特 Lebesgue測

度 の と き はBn={ξ

合 で 測 度 μ がdt/tの L∞-はL∞

に Ω がRnま

指 定 し て表

た は そ の 部 分 集 合 で μが がR+ま

た は そ の部 分 集 と る こ と に す る.

の 閉 部 分 空 間 で あ る.

自然 数)は 次 の よ うに 特 徴 づ け で き る:

  補 題   (Ω,μ)が σ-有 限 で,集 がL∞-(Ω,μ;Cm)に

…,l)に

表 わ す.L∞-と

と き はBn={t∈R+;1/n≦t≦n}に

  L∞-(Ω,μ;Cm)(mは

と ん どす べ て

確 に は{Bn}を

∈ Ω;￨ξ￨≦n},Ω

の 閉 部 分 空 間,L∞-はL∞

集 合Ajを

の 空 間 の"ほ

合 列{Bn}を(9)の

よ う に と る.こ

属 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,あ

適 当 に と っ た と き のAjの

るBnに

定 義 函 数 χjと あ るCmの

の と き,f

含 まれ る可 測 元xj(j=1,

よ っ て, χ1(ξ)x1+…+χl(ξ)xl

と 表 示 さ れ る 函 数 のL∞

に お け る極 限 と な る こ と で あ る.

  証 明  f∈L∞-(Ω,μ;Cm)と て,‖f(ξ)‖ の Ω＼Bn上 ム をrと

し,Cmの

す る.定 義 に よ り,正 数 ε に 対 し て,nが

で の 本 質 的 上 限 は ε 以 下 に な る.fのL∞

半 径rの

い 小 区 間Ij=[a(j)1,b(j)1)×

球{x;‖x‖

≦r}を

… × 〔a(j)m,b(j)m),(j=1,…,l)で

直 径 を ε以 下 に と る.Aj={ξ;f(ξ)∈Ij}∩Bnと ξj∈Ajに

ξjを と り,Ajが

有 限 個 の,互

で の セ ミノル いに共通点のな

覆 う.し

お く.Ajが

存在 し

か もIjの

空 で な け れ ば,

空 の 項 は 省 い て,

g=χ1(ξ)f(ξ1)+…+χ1(ξ)f(ξl) と お く.作   Lebesgueの

り方 か らf-gの

セ ミ ノ ル ム は ε を 越 え な い. 

有 界 収 束 定 理 に よ り,pが

(証明 終)

正 数,f∈Lp(Ω,μ;X)の

とき

 (11)

と な る こ と が わ か る の に 注 意 し よ う.   指 数pの

大 小 関 係 を(実

  ま た,Ω

がRnま

数)<∞-<∞

た は そ の 部 分 集 合 で μ がLebasgue測

き,Lp(Ω;X),Lp(Ω;X)と dt/tの

書 き,Ω

と き はL*p(Ω;X),L*p(Ω;X)と

空 間 の 記 号 でXを

と 規 定 す る.

省 略 す る.

がR+ま

度 の と き は μを 省

た は そ の 部 分 集 合 で,dμ

略 記 す る.X=Cの

と き はLebesgue

が

  §2.3  Lebesgue空

間 の稠 密部 分集 合

  §2.1で 示 し た よ う に,(Ω1,μ1)と(Ω2,μ2)を 度 空 間(Ω1× Ω2,μ1×μ2)が,任   (1) 

σ-有 限 測 度 空 間 と す る と 積 測

意 の 可 測 集 合A1,A2に

ついて

(μ1×μ2)(A1×A2)=μ1(A1)μ2(A2)

が 成 立 す る よ う な 測 度 空 間 と し て た だ ひ と つ 存 在 す る.   定 理   準 ノ ル ム 空 間Xの

零 を 含 む 稠 密 な 部 分 集 合 をX0,pを

  (a)  (Ω,μ)を 測 度 空 間 と す る と き,測 の 可 測 単 函 数 の 全 体 はLp(Ω,μ;X)で   (b)  (Ω1,μ1)と(Ω2,μ2)を と,集

合A1,…Anの

正 数 と す る.

度 有 限 な 集 合 の 外 で0と

な るX0値

稠 密 で あ る.

σ-有 限 測 度 空 間 と す る と き,X0の

定 義 函 数χ1,…,χnに

点x1,…,xn

よ り,χ1x1+…+χnxnと

さ れ る 函 数 の 全 体 はLp(Ω1×

Ω2,μ1×μ2;X)で

稠 密 で あ る.た

μ1(A(1)j)<∞,μ2(A(2)j)<∞

と な る 可 測 集 合A(1)jとA(2)jの

表 わ だ し,Ajは

積集合 と し て 表 わ

さ れ る も の で あ る.   証 明   準 ノル ム 空 間Xの

準 ノ ル ム を‖x‖

  (a)の 証. f∈Lp(Ω,μ;X)と Bmと

し,そ

がm→

∞

す る.m-1≦‖f(ξ)‖

の 定 義 函 数 を χmと す る.Lebegueの の と き‖f(ξ)‖ にLpの

正 数 δ1に 対 し て 十 分 大 き くm0を

がm≧m0に

で 表 わ す.

つ い て 成 立 す る.ま

に よ り μ(Bm)<∞.fは

≦mと

な る 点 ξの 全 体 を

収 束 定 理 に よ り‖(χmf)(ξ)‖

位 相 で 収 束 す る こ と が わ か る.し

た が っ て,

選 び

た

強 可 測 で あ る か らPettisの

定 理(定 理2.1)に

よ り任

意 の 正 数 δ2に対 し て,

φkは可 測集 合Akの を満 たす 函数hが

存 在 す る. 

定 義 函 数 で{Ak}∞k=1は 互 に 素, ゆえ,任

意 の正 数

δ3に対 し て正 整 数nを

に で き る.ま

十 分 大 き くと る と

たX0に

つ い て の 仮 定 に よ り任 意 の 正 数 δ4に対 し て,

xj∈X0,‖xj-xj‖<δ4(j=1,2,…,n) と な るx1,…,xnが

で あ る.た

と お く.以

あ る. 

だ し,‖x‖

はkノ

ル ム とす る.δ1,δ2,δ3,δ4を 任 意 に 小 に とれ る か

ら 任 意 の 正 数 ε に 対 し て,Np(f-g)<ε

と な る よ うに で き る.

  (b)の 証.  (a)に よ りΩ1× Ω2の 測 度 有 限 な可 xj∈X0,j=1,2,…,nに

上 の 作 り方 か ら

測 集合Ajの

定 義 函 数 χjと

と表 示 され る函数 の全 体が稠密部分集

よ り 

合 で あ る.一 方,Ω1× Ω2の 測 度 有 限 な 可 測 集 合Aに

対 し て,積 測度 の定 義 に

よ り任 意 の 正 数 εに対 して

とな るΩjの

測 度 有 限 な 可 測 集 合A(j)k(j=1,2;k=1,2,…)が

存 在 す る.nを

十 分 大 き く と れ ば,

と な る.A(j)kの

定 義 函 数 を χ(j)k,Aの

以 上 に よ り(b)が   定 理 の(b)に

定 義 函 数 をχAと

か く と,

わ か る. 

(証 明 終)

よ り次 の 系 を 得 る.

  系   (Ω1,μ1)と(Ω2,μ2)は

σ-有 限 測 度 空 間,Xは

完 備 と し,0
と

す る と,

し か も 準 ノ ル ム は 等 し い.   証 明   定 理 に よ り,μj(Aj)<∞,μ2(Bj)<∞

と な るAjとBjに

よ る定 義

函 数 χ(1)jと χ(2)jお よ びxj∈X(j=1,2,…n)に

よ り

 (2)

と表 示 さ れ る 函 数 の 全 体 がLp(Ω1× こ の 空 間 に 属 す る 函 数fに でfに

集 合N1が

適 当 な部 分 列,そ 存 在 し て, 

が 成 立 す る. 

Ω2に つ い てf(ξ,η)に

属 す る.こ

で あ る.fの

とfnの

収 束 す る.ゆ

れ をf(ξ)で

に はf(ξ)=0と

定 理 に よ り,n→

れ を ま た{fn}と

この空 間 の位 相 ∞

書 く,お

とき

よ び Ω1の 測

べ て の ξ に つ い てfn(ξ,η)は η の 函 数

の 適 当 な 部 分 列 が ほ と ん どす べ て の η∈ え にf(ξ,η)は

ηの 函 数 と して 強 可 測 で あ

の と き η の 函 数 と し て,f(ξ,η)はLp(Ω2,μ2;X)に 示 す.す

定 め る.Fubiniの

な わ ちf(ξ)(η)=f(ξ,η)で

あ る.ξ ∈N1の

とき

定 理に よ り

強 可 測 性 は,

強 可 測 性 よ りわ か る.fが

列{fn}の

選 び 方 に 依 存 し な い こ と も容 易 に

わ か る.こ

の 対 応f→fが

×μ2;X)の

完 備性 を 使 え ば,定 理 に よ り,gj∈Lp(Ω2,μ2;X)と

と な るAjの

定 義 函 数χ(1)j(j=1,2,…,n)に

 (3)

な わ ち,

な ら ば,

記 に よ り,そ

た が っ て, 

稠 密 で あ る.す

形 の 函 数 の 列{fn}で

に と り固 定 す る.す

と し て 強 可 測 で あ り,上

る.し

対 し て,(2)の

収 束 す る も の が 存 在 す る.Fubiniの

で あ る か ら,{fn}の 度0の

Ω2,μ1× μ2;X)で

上 へ の 写 像 で あ る こ と を 示 す に は,Lp(Ω1×

より

Ω2,μ1

μ1(Aj)<∞

と 表 示 さ れ る 函 数 の 全 体 がLp(Ω1,μ1;Lp(Ω2,μ2;X))で 形 の 函 数 が 像 に 含 ま れ る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.そ 考 え る.各j=1,2,…,nに Ω2の 測 度0の

対 し て,定

集 合N2jが

う に で き る.そ

理2.1に

存 在 し て, 

稠 密 で あ る か ら,こ こ で,(3)の

よ り,可

の

形 の 函数 を

分 閉 部 分 空 間X0jと

の と き,gj(η)がX0jに

属す るよ

こ で,

の閉包 とお くと,X0は

可 分 閉部 分 空 間 で,

と定 義 さ れ る 函 数 に 対 し て, 

の と きf(ξ,η)∈X0と

任 意 のxに

つ い て,

で あ り,こ

れ は Ω1× Ω2上 の 可 測 函 数 で あ る.た

な ら ばAj∩Ak=φ

と な る よ う に な っ て い る とす る.定

強 可 測 で あ る.Fubiniの こ と が わ か る.し

+μ(An)xnと

示(3)に

お い て, 

理2.1に

よ りfは

Ω2,μ1×μ2;X)に

函 数 に 一 致 す る. 

た,

属す る

(証 明 終)

分

使 っ てBanach空

分 が 定 義 さ れ る.す で 各Ajが

定 理 に よ り,fがLp(Ω1×

か もfが(3)の

  §2.4  Bochner積   定 理2.3(a)を

だ し,表

な る.ま

な わ ち,測

間Xの

値 を と る 函 数 の 積 分,Bochner積

度 空 間(Ω,μ)上

の 単 函 数 χA1x1+…+χAnxn

測 度 有 限 な 可 測 集 合 と な る も の に つ い て は そ の 積 分 を μ(A1)x1+… 定 め,一

般 のf∈L1(Ω,X;μ)に

数 の 列{fn}でN1(f-fn)→0と

つ い て は 上 記 の 性 質 を もつ単 函

な る も のが あ るか ら

 (1)

と定 義 す る.右

辺 がXの

ノル ム で収 束 す る こ とお よ び そ の 極 限 が{fn}の

び方 に依 存 し ない こ とは す ぐ証 明 で き る.  積 分 論 の教 科 書 な どを参 考 に し て次 の 事 項 を 容 易 に示 す こ とが で き る:

選

 (a)  積 分 はL1(Ω,μ;X)か

らXへ

の 線 型 作 用 素 で あ っ て,

 (2)

 (b)  f∈L1(Ω,μ;X),x′

∈X′

の とき

 (3) で あ る.た

だ し,〈  ,  〉 はXとX′

  (c)  (Lebesgueの

と の 双 対 形 式 で あ る.

収 束 定 理) L1(Ω,μ;X)に

ん どす べ て の ξ でf(ξ)に 収 束 し,ほ

属 す る 函 数 の 列{fn}が

ほ と

とん どす べ て の ξにつ い て

‖fn(ξ)‖ ≦ φ(ξ)  (n=1,2,…) と な るL1(Ω,μ)の

元 φ が 存 在 す れ ば,fもL1(Ω,μ;X)に

属 し て,

 (4)

が 成 立 す る.   (d)  (可 算 加 法 性)  {An}n=1,2,… を 互 い に 素(す な わ ち  は 空)の 可 測 集 合 列 と す る と,f∈L1(Ω,μ;X)に

の と きAj∩Ak

対 し て,

 (5) で あ る.   (e)  TがBanach空 て,す μ;Y)な

間Xか

らBanach空

べ て の ξに つ い てf(ξ)∈D(T),し

間Yへ

の閉線型作用素 で あ っ

か もf∈L1(Ω,μ;X),T・f∈L1(Ω,

らば

 (6)   (f)  (Fubiniの

定 理)  (Ω1,μ1)と(Ω2,μ2)が

L1(Ω1×Ω2,μ1× μ2;X)に

属 す る な ら ば,測

に お い てf(ξ,η)はL1(Ω2,μ2;X)に

属 し,そ

σ-有 限 測 度 空 間 で あ り,fが

度 μ1に つ い て ほ と ん ど す べ て の ξ の よ うな ξに つ い て,

 (7)

と 定 義 し,そ

の 他 でg(ξ)=0と

お く と,g∈L1(Ω1,μ1;X)と

な り,

 (8) が 成 立 す る.   (g)  XとYをBanach空 Xに

間,T(ξ)をL(X,Y)値

対 し て,T(ξ)x∈L1(Ω,μ;Y)な

の 函 数 と す る.各x∈

ら ば,

 (9)

を満 た すS∈L(X,Y)が

存 在 す る.

  (g)を 示 す に はxにT(ξ)xを

対応 さ せ る作 用 素 がX全

体 で定 義 され た閉 線

型 作 用 素 にな る こ と に注 意 し て閉 グ ラフ定 理(定 理1.5)を 使 う.  §2.5  平 均 連 続 性   ユ ー ク リ ッ ド空 間Rn内

のLebesgue可

測 集 合 Ω 上 のLebesgue測

し て 定 義 し たLebesgue空

間Lp(Ω;X)の

元 はp乗

度 に関

平均収束の 位相 で 連続 と

な る こ と を 示 す.   Lebesgue測

度 は"L1(Rn)の

が 稠 密 で あ る"と 定 義 函 数 はL1(Rn)の

中 で 台 が コ ン パ ク トな 連 続 函 数 の 全 体〓00(Rn)

い う性 質 を 持 っ て い る.し

ノル ム の 意 味 で 台 が コ ン パ ク ト な 連 続 函 数 で 近 似 で き

る.そ

の 近 似 函 数 の 絶対 値 が1を

にpを

と る と,Lpの

越 え な い よ うに で き る か ら,1≦p<∞-

ノ ル ム の 意 味 で も 近 似 で き る.ゆえ

間 と す る と き,Lp(Rn;X)の

に,Xを

元 は 測 度 有 限 の 集 合 の 外 で0と

し た が っ て 台 が コ ン パ ク トなX値 (Rn;X)の

た が っ て測 度 が 有 限 の 可 測 集 合 の

中 で〓00(Rn;X)は

連 続 函 数 で 近 似 で き る.い

稠 密 であ る

.こ

準 ノ ル ム空

な る 可 測 単 函 数, い かえ る と,Lp

の事 実 を使 って次 の結 果 が わか

る:   定 理   Xを

準 ノ ル ム 空 間,Ω

し て,fをLp(Ω;X)に

をRnのLebesgue可

属 す る 函 数 と す る.こ

測 集 合,1≦p<∞-と の とき

 (1)

で あ る.た

だ し,Ω

の 外 でf(ξ)は0で

  証 明   Ω の 外 でf(ξ)=0と

あ る と す る.

し て よ い か ら,Ω=Rnの

を 台 が コ ン パ ク トな 連 続 函 数 とす る.fの 径b+1の

球 の 体 積 をVと

す る.fは

台 は 半 径bの

と き を 示 せ ば よ い.f 球 に 含 ま れ る と し,半

一 様 連 続 に な るか ら 正 数 ε に 対 し て 正

数 δを 定 め て,

ならば が 成 立 す る よ うに で き る.こ は εを 越 え な い.ゆ

の と きf(ξ+η)-f(ξ)のLp(Rn;Ω)で

え に,こ

の 場 合 に つ い て(1)が 示 さ れ た.一

理 の 前 に 述 べ た よ うに,Lp(Rn;X)の

元 は〓00(R;X)の

の ノル ム 般 の場合は定

元 で 近 似 で き るか ら

上 の 結 果 か ら導 か れ る. 

(証 明 終)

  §2.6  積 分 作 用 素 の 有 界 性   積 分 作 用 素 の 有 界 性 を 示 す の に は 次 の 定 理 が 有 用 で あ る.   定 理   (Ω1,μ1)と(Ω2,μ2)を 1≦p≦q≦

σ-有 限 測 度 空 間,XとYをBanach空

∞, 

間, とす る.K(ξ,

η)は 積 測 度 空 間(Ω1×Ω2,μ1× μ2)上 の 強 可 測L(X,Y)値 値 の 可 測 函 数H1(ξ,η)とH2(ξ,η)を

函 数 で あ っ て,非

負

適 当 に 選 ん で,

 (1)  (2)  (3)

が 成 立 す る と仮 定 す る.q=∞-の

と き は さ ら に,m=1,2,…

について

 (4)

を 仮 定 す る.た

だ し,j=1,2に

つ い て,{B(j)n}は

の 単 調 増 加 列 で あ っ て そ の 和 集 合 はΩjに L∞-は

この{B(j)n}に

  こ の と き,積

Ωjの 測 度 有 限 な 可 測 集 合

等 し い も の と し,(Ωj,μj)に対

す る

よ っ て 定 義 され て い る とす る.

分 作 用 素Tを

 (5)

に よ っ て 定 義 す る と,TはLp(Ω2,μ2;X)か 用 素 に な り,そ

の ノ ル ムはC1C2以

下 で あ る.

  証 明   Lp=Lp(Ω2,μ2;X),Lq=Lq(Ω1,μ1;Y)と   ま ず1≦q<∞-の

らLq(Ω1,μ1;Y)へ

場 合 を 考 え る.

略 記 す る.

の有界線型作

に 注 意 し てHolderの

を 得 る.ゆ

不 等 式 を 使 う と,

え にFubiniの

が わ か る.Ω1上

定 理 を 使 っ て,

の 測 度 有 限 の 集 合 を 台 と す る 有 界 可 測 函 数 を φ と す る と,上

記 の 計 算 に よ りφ(ξ)K(ξ,η)f(η)がL1(Ω1×Ω2,μ1×

μ2;Y)に

か る か ら,定

理2.3系

が(Ω1,μ1)上

で 強 可 測 で あ る こ と が わ か る.特にB(1)nの

を 使 っ て,

く と, 

は 強 可 測 で あ る.し

し て 表 わ さ れ る(5)の 右 辺 は 強 可測 で あ る.よ 計 算 に よ り‖T‖ ≦C1C2も   次 にq=∞

を 得 る.強

p≦

∞-で

可 測 性 はq<∞-の

あ る か ら,f∈Lpの

あ る.f1=(1-χ(2)m)f,f2=χ(2)mfと

で あ る.ゆえ

っ てTf∈Lqを

たq=∞

定(4)を 使 う と,自

にa.e.ξ

得 る.ま

た上の

不 等 式 に よ り,

と き と 同 様 に し て 証 明 で き る.

ん で‖(1-χ(2)m)f1‖Lp<ε/(C1C2)に

を 得 る か ら,仮

た が って それ らの 極限 と

場 合 を 考 え る.Tf∈L∞(Ω1,μ1;Y)は

e.ξ で‖(Tf1)(ξ)‖Y<ε.ま

定 義 函 数 を χ(1)nと書

わ か る.

と す る.Holderの

  最 後 にq=∞-の

属 す る こ とがわ

∈ Ω1＼B(1)nに

と き,任

既 知 で あ る.1≦

意 の 正 数 ε に 対 し て,自然

で き る.た

だ し,χ(2)mはB(2)mの

お く.q=∞

選

の と き の 結 果 に よ り,a.

の と き と 同 じ計 算 に よ り

然 数n0を

大 き く と る と,n0≦nの

つ い て‖(Tf)(ξ)‖Y<2ε

とき

で あ る.す

ちTf∈L∞-(Ω1,μ1;Y).    定 理 に お い てH1(ξ,η)=‖K(ξ,η)‖

数mを

定 義 函数 で

な わ

(証 明 終) α,H2(ξ,η)=‖K(ξ,η)‖1-α,0≦

α ≦1,

に と る と次 の 系 に な る.   系  (Ω1,μ1),(Ω2,μ2),X;Y,p,q,p′   K(ξ,η)を(Ω1×Ω2,μ1× p≦q<∞-の

を 定 理 と 同 じ と す る.

μ2)上 の 強 可 測L(X,Y)値

と き はr/q+s/p′=1に

正 数r,sを

函 数 と す る.そ

し て1<

選 んで

 (6)  (7) が 成 立 し,p=1の き はs=p′

と き はr=qと

と し て(7)が

m=1,2,…

し て(6)が 成 立 し,1
成 立 し,1≦p≦q=∞-の

の と

と き は(7)に

加 え て,

… について

 (8) が 成 立 す る と す る.   こ の と き(5)で 定 義 し た 作 用 素TはLp(Ω2,μ2;X)か 有 界 線 型 作 用 素 に な り,そ   ま た,Xが

あ る と き,lp(X)の

の

の ノ ル ム はCr1/qCs2/p′ を 越 え な い.

準 ノル ム 空 間,Yが

が 三 角 不 等 式 を 満 た し,Xか

らLq(Ω1,μ1;Y)へ

完 備 準 ノ ル ム 空 間 で,Yの

らYへ

元{xn}n=1,2,…

準 ノ ル ム の γ乗

の 有 界 線 型 作 用 素 の 列{Amn}m,n=1,2,…

が

に 対 し て,

 (9) を 並 べ た 点 列{ym}m=1,2,…

を 対 応 さ せ る 作 用 素 は,γ
r/q+s(p-γ)/pγ=1に

正 数rとsを

め場合には

と り

 (10)

 (11)

が 成 立 し,0
γ の 場 合 に はr=qと

の 場 合 に はs=p/(p-γ)と は(11)に

加 え て,各l=1,2,…

し て(11)が

し て(10)が 成 立 し,γ
と きに

につ い て

 (12)

が 成 立 す るな らば,lp(X)か

らlq(Y)へ

の 有 界 線型 作 用 素 に な る.

 証 明  前 半 は定 理 か ら直 ち に わ か る.後 半 は Ω1=Ω2=Nと

し各点に質量

1を お く測 度 を μ1,μ2と 見 れ ば,p≧

に よ り前 半に 帰 着 す る.よ (2.4.2)に

よ り,Amnの

γ の場 合 は前 半 の 結 果 と

っ て0
の 場 合 を 考 え る.不

ノ ル ム を αmnと

等 式(1.2.6)と

書 く と,

(証 明 終)  注意   Yが 完 備 で な くて も(9)の 収 束 が わ か って いれ ば,上 記 の証 明 に よ り  (13)

  例 =0に

σ>0と

し,0<s≦t<∞

の と きK1(s,t)=sσt-σ,そ

お く と,Ω1=Ω2=R+,dμ1=ds/s,dμ2=dt/t任

に つ い て(6),(7),(8)が

成 立 す る.ま

tσs-σ,そ の 他 でK2(s,t)=0と つ い て(6),(7),(8)が 1≦p≦q≦

成 立 す る.し

意 の 正 数r

た,0
お く と,同

のKを

らL*q(R+;X)へ

  §2.7  重 み つ きLebesgue空

間 で の相 似 変 換

  Xを

∞ とす る.重

準 ノ ル ム 空 間,0
空 間,相

,s,p′

の と きK2(s,t)=

じ測 度 空 間 で 任 意 の 正 数r,s,p′

た が っ て,こ

∞ の と きL*p(R+;X)か

の 他 でK1(s,t)

に

核 とす る 積 分 作 用 素 は の 有 界 作 用 素 で あ る.

み の 函 数,重

み つ きLebesgue

似 比 函 数 を 定 義 す る.

  定 義   測 度 空 間(Ω,μ)上

の 正 値 可 測 函 数φ を 重 み の函 数 と い い,φfがLp

(Ω,μ;X)に

属 す る 強 可 測 函 数fの

Lebesgue空

間 と呼 ぶ,こ

全 体 をLp,φ(Ω,μ;X)で

表 わ し,重

みつ き

の空 間 の準 ノル ムを

 (1)

に よ っ て 定 義 す る.Ω は μ を 省 き,Ω

がR+ま

がRnま

た は そ の 部 分 集 合 で μ がLebesgue測

た は そ の 部 分 集 合 でdμ=dt/tの

と 略 記 す る.   R+上  (2)

の 重 み の 函 数 φ に 対 し て,φ

の相 似 比 函 数 φ を

度 の とき

と き はL*p,φ(Ω;X)

に よ っ て 定 義 す る.   Xが

完 備 な ら ばLp,φ(Ω,μ;X)が

Banach空

間 の と きLp

完 備 で あ る こ と,1≦p≦∞

,φ(Ω,μ;X)がBanach空

でXが

間 に な る こ とは 容 易 に証 明

で き る.   R+上

の 函 数 空 間 に お い て 相 似 変 換Ds(dilation)を

  (3) 

(Dsu)(t)=u(st),t∈R+

に よ っ て 定 義 す る.DsのL*p,φ(R+;X)で   定 理  φ をR+上

の 重 み の 函 数,φ

の 準 ノル ム を 計 算 す る: を そ の 相 似 比 函 数 と す る.

  こ の と き φ(s-1)<∞

な ら ばDsはLp,φ(R+;X)に

の 有 界 作 用 素 で あ る.た

だ し, 

  証 明 p=∞

とp=∞-の

お け る 準 ノ ル ム φ(s-1)

とす る. と き は 簡 単 で あ る か らp<∞-の

場 合 を示

す.   u∈L*p,φ の と き,変

を 得 る.ま

よ っ て,

た 正 数 ε に 対 し て 集 合A={t;φ(t/s)≧{φ(s-1)-ε}φ(t)}の

は 正 ま た は+∞

で あ る.し

測 度 は 正 に な る.こ u(t)を{g(t)/φ(t)}・xに 測 度)1/pに‖x‖Xを

で あ る.よ

数 変 換t→t/sに

っ て‖Ds‖

た が っ て 自然 数nを

の 集 合 の 定 義 函 数 をgと と る と,uのL*p,φ 乗 じ た 数 で あ り,一

大 き く と る とA∩[1/n,n]の し,Xの

零 で な い 点 をxと

で の 準 ノ ル ム は(A∩[1/n,n]の 方

≧ φ(s-1)-ε. 

(証 明 終)

  相 似 比 函 数 の 性 質 を 調 べ て お く:   補 題   R+上

の 重 み の 函 数 φ の 相 似 比 数 を φ と す る と,

  (4) 

φ(t)≦φ(s)φ(t/s) 

a.e.t,

  (5) 

φ(st)≦ φ(s)・φ(t) 

(劣 乗 法 性)

で あ る.   証 明   ほ と ん ど す べ て のtに

つ いて

測度

し,

で あ る か ら(5)を 得 る. 

(証 明 終)

  (4)  を 変 形 す る と,  (6) を 得 る.   注 意   重 み の 函 数 φ の 相 似 比 函 数φ が 有 限 な ら ば,{Ds}s∈RはLp,φ(Ω,μ; X)上

の 作 用 素 の1-パ

て 連 続 な ら ばC0群

ラ メ ー タ ー 群 に な る.p<∞

で,φ(t)がt=1に

おい

に な る.

  §2.8  重 み の 函 数 の 指 標   重 み の 函 数 φ に 対 し て(2.7.2)で logφ(es)と

相 似 比 函 数 φ を 定 め,s=logt,F(s)=

お く とφ の 劣 乗 法 性(2.7.5)に

よ り

F(s1+s2)≦F(s1)+F(s2), す な わ ちFの   定 理   R+上

劣 加 法 性 が わ か る.し

た が っ て 定 理1.8に

よ り次 の 結 論 を 得 る.

の 重 み の 函 数 φ の 相 似 比 函 数 を φ と す る.す

い て φ(t)が 有 限 で あ れ ば,次

べ て のt>0に

つ

の 公 式 が 成 立 す る:

 (1)

 (2)

  (3) -∞<α

≦ β<+∞.

  定 義   定 理 の 条 件 を 満 た す φ に 対 し て,こ 標(left

index)と

右 指 標(right

index)と

φ の 指 標 は 有 限 で あ る と い う.α=β い い,indφ

が 成 立 し,任

 φ(t)≧

と お く と, tα 

(0
tβ 

(t≧1の

{

意 の正 数 εに対 し て   φ(t)≦

{

の左指 で 示 し,

の と き は こ の 数 を φ の 指 標(index)と

と き) と き),

正 数a(ε)≦1と

tα-ε

(5)

とr-indφ

で 示 す.

  定 義 に よ り,α=l-indφ,β=r-indφ  (4)

の α と β を そ れ ぞ れ,φ

い い,l-indφ

tβ+ε 

正 数b(ε)≧1を

  (0
と き) と き)

と な る よ う に 選 ぶ こ と が で き る.a=a(ε)と り,0
で あ る.同

お く と 劣 乗 法 性(2.7.5)と(5)に

よ

とき

様 に,t≧1の

と き,b=b(ε)と

して

φ(t)≦ φ(b-1)bβ+εtβ+ε で あ る.ま

た,(2.7.5)の

代 りに,(2.7.4)を

使 え ばφ(t)の

評 価 を 得 る.よ

っ

て 次 の 系 が わ か る.   系   重 み の 函 数φ の 左 指 標 α と 右 指 標 β が 有 限 な ら ば,任 し て,正

数C=C(ε)を

意 の正 数 εに対

定 め て,

 (6)

 (7)

Ctα-ε  

(0
Ctβ+ε

(t≧1の

{ {

 φ(t)≦

 φ(t)≦

 

と き) と き),

Ctα-ε 

(0
Ctβ+ε  

(t≧1の

と き) と き)

が 成 立 す る.   また,こ

の と きR+上

の 準 ノル ム空 間Xの

値 を と る強 可 測 函 数fが

あ る正

数 εに つ い て,

を 満 た す な ら ば,fはL*p,φ(R+;X)に   証 明   後 半 を 示 す に は,(7)を

属 す る. ε を ε/2に 代 え て 使 え ば よ い. 

  こ の 系 と 系2.6に

よ り今 後 し ば し ば 用 い る 次 の 結 果 を 得 る.

  補 題   φ をR+上

の 指 標 有 限 の 重 み の 函 数 とす る.

  (a)  XをBanach空 +1/p=1+1/qと

間,1≦p≦q≦∞,gを す る.こ

特 に,r-indφ<0の

可 測 でgφ

∈L*r(R+),1/r

分作用素

の とき の 

と き の 

はL*p,φ(R+;X)か  (b)  Xを

の と き,積

(証 明 終)

らL*q,φ(R+;X)へ

完 備 準 ノ ル ム 空 間,0
φ の 右 指 標 が 負 の 場 合,{φ(an)xn}∈lp(X)に

の 有 界 作 用 素 で あ る. ∞ と し,a>1と 対 し て,

す る.

 (8)

は 収 束 し て,  (9)

が 成 立 す る.  φ の左 指標 が 正 の 場 合  (10)

は 収束 し て,(9)が

成 立 す る.た だ しZは

整 数 全 体 を 表 わ す.

 Xが 完 備 で な くて も,(8)ま た は(10)が 収 束 すれ ば(9)が 成 立 す る.   証 明  (a) で あ り,

し か も,t→∞

ま た は0の

で あ るか ら,系2.6に

と き 任 意 の 正 数bに

ついて

よ り結 論 を 得 る.r-indφ<0の

と き(6)に

(gは 区 間[1,∞)の を 得 る か ら 上 の 結 果 が 使え る.l-indφ>0の   (b)  r-indφ<0の

場 合,(6)に

な ど が 成 立 す る か ら 系2.6に   例1 

φ(t)=tθ

定 義 函 数),

と き も 同 様 で あ る.

よ っ て,r>0の

と き,

よ り わ か る. 

の と き,φ(t)=tθ,indφ=θ

  例2 φ(t)=tθ(1+￨logt￨)λ

(証 明 終) で あ る.

の と き.φ(t)=tθsups>0{ft(s)}λ

た だ し,ft(s)={1+￨logst￨}/(1+￨logs￨).ゆ

に よ り φ(t)=tθ(1+￨logt￨)￨λ￨,indφ=θ

よ り

え に,

で あ る.

  例3 

重 み の 函 数 φ の 相 似 比 函 数 を φ で 示 す.c>0, 

界 可 測 で,gも

で あ る.同

有 界 とす る.ψ(t)=g(t)φ(ctλ)と

様 に し て,φ(t)≦Cψ(t1/λ)で

g(t)は 正 値 有

お く.こ

あ る.ゆ

の とき

え に,

λ>0の

と き  l-indψ=λl-indφ, 

r-indψ=λr-indφ,

λ<0の

と き   l-indψ=λr-indφ, 

r-indψ=λl-indφ.

  例4 

重 み の 函 数 φ の 相 似 比 函 数 を φ と し, 

相 似 比 函 数 はψ(t)=φ(t)λ(λ>0の し た が っ て,ψ

の 指 標 は 例3と

  例5  φ1と φ2をR+上

た はψ(t)=φ(t-1)-λ

の

と な る.

同 様 に な る.

の 重 み の 函 数 と し,φ=φ1φ2と

相 似 比 函 数 に つ い て,φ(t)≦   (11) 

と き),ま

と お く と,ψ

φ1(t)φ2(t)が成 立 す る.ゆ

お く と,こ

れ らの

え に,

r-ind(φ1φ2)≦r-indφ1+r-indφ2,

  (12) 

l-ind(φ1φ2)≧l-indφ1+l-indφ2,

で あ る.こ

れ と,例4の

結 果 を 組 合 せ る と,

  (13) 

r-ind(φ1/φ2)≦r-indφ1-l-indφ2,

  (14) 

l-ind(φ1/φ2)≧l-indφ1-r-indφ2,

で あ る.特

に,φ2が

指 標indφ2を

持 て ば,

  (15) 

r-indφ1φ2=r-indφ1+indφ2,

  (16) 

l-indφ1φ2=l-indφ1+indφ2,

と な る.   例6 max(tα,tβ)(α<β)の

指 標,例3と

例5に

の 指 標 を 求 め れ ば よ い.φ(t)=φ(t),r-indφ=1,l-indφ=0で にmax(tα,tβ)の   例7 

左 指 標 α,右

φ が 微 分 可 能 で,α

な り,r-indφ

≦ β,l-indφ

よ り結 局

φ(t)=max(1,t) あ る.ゆ

指 標 β で あ る. φ(t)≦tφ(t)≦ ≧ α

で あ る.

β φ(t)な

ら ば φ(t)≦max(tα,tβ)と

え

第3章  補間空間 の一般的理論

  補 間 空 間 論 にお け る一 般 的 概 念 に つ い て解 説 す る.補 間 空 間 論 を 展 開 す る舞 台 は 空 間 の両 立 対 で あ る.こ れ を 第1節

で定 義 す る.こ の両 立 対 に対 応 す る写

像 が 両 立 連 続 線型 作 用 素 で あ る.補 間 空 間 とは 要 約 す れ ば 線 型 作 用 素 の補 間 の で き る空 間 とい うこ とが で き る.第3節

で補 間 空 間 を 定 義 し,簡 単 な例 を 示 す.

さ らに精密に 表 現 す る ため に補 間 函 手 の概 念 を §4で 導 入 す る.   補 間空 間 の概 念 が 確 立 され る と,与え 定 せ よ とい う理 論 的 問題 が 生 じ る.こ

られ た 両立 対 の す べ て の補 間空 間 を決 れ に 関 連 して,§5と

が あれ ば 補 間 函 手 が構 成 で き る とい うAronszajn-Gogliardoの

§6で,補

間空 間

結果 を 招 介 す

る.  §3.1  空 間の 両 立 対  まず,空 間 の両 立 対 の 定 義 か ら始 め る.  定義   線 型 位 相空 間X0とX1と

に対 し て,分 離 線 型 位 相 空 間〓 を

 (1)

と な る よ う に とれ る と き,{X0,X1}は couple)に

両 立 対(admissible

pair, compatible

な る と い う.

  {X0,X1}が あ る か ら,そ

両 立 対 に な る と き,分

離 位 相 空 間 へ 連 続 的 に 埋 め 込 まれ る の で

れ 自 身 も 分 離 位 相 を 持 つ.

  定 理   線 型 位 相 空 間 の 両 立 対{X0,X1}に   (a) X0+X1に

位 相 を 定 め,線

対 し て,

型 位 相 空 間 と し,条

件:

  (ⅰ)   (ⅱ)  X0+X1全   TのX0お

体 で 定 義 さ れ 線 型 位 相 空 間Yに

よ びX1へ

ら ば,L(X0+X1,Y)に

値 を と る 線 型 作 用 素Tは,

の 制 限 が そ れ ぞ れL(X0,Y)とL(X1,Y)に 属 す る;

属 す るな

 

を 満 た す よ う に で き る.こ   特 に,X0とX1が

の 性 質 を 持 つ 位 相 は た だ ひ と つ に 限 る.

準 ノル ム空 間 の と き,(1.3.3)の

準 ノル ムに よ る位 相 は 上

記 の 性 質 を 持 つ.   (b)  X0∩X1に

位 相 を 定 め,線

型 位 相 空 間 と し,条

件:

(ⅰ)   (ⅱ)  線 型 位 相 空 間Y全   Tと(ⅰ)の

体 で 定 義 されX0∩X1に

値 を 持 つ 線 型 作 用 素Tは,

ふ た つ の 埋 め 込 み と の 積 が 連 続 な ら ばL(Y,X0∩X1)に

を 満 た す よ うに で き る.こ   特 に,X0とX1が

属 す る;

の 性 質 を 持 つ 位 相 は た だ ひ と つ に 限 る.

準 ノ ル ム 空 間 の と き,(1.3.2)の

準 ノル ムに よ る位 相 は 上

記 の 性 質 を 持 つ.   証 明   0の 近 傍 系 を き め れ ば 線 型 位 相 は 定 ま る.   X0+X1の0の

近 傍 系 と し て は,X0の0の

あ っ て,U⊃U0+U1と   X0∩X1の0の

な る よ うなUの 近 傍 系 と し て は,X0の0の

あ っ て,U⊃U0∩U1と

な る よ うなUの

近 傍U1が

近 傍U0とX1の0の

近 傍U1が

全 体 を とれ ば よ い.

  こ れ ら が 定 理 の 条 件 を 満 た す こ と,定 限 る こ と,準

近 傍U0とX1の0の 全 体 を とれ ば よ い.

理 の条 件 を 満 た す 位 相 が た だ ひ とつ に

ノ ル ム 空 間 の 場 合 準 ノ ル ム に よ る 位 相 が こ れ ら の 位 相 と一 致 す る

こ と は 容 易 に わ か る.演   両 立対{X0,X1}が

習 問 題 と し よ う. 

(証 明 終)

あ る と き,X0+X1とX0∩X1の

位 相 は,特

な い 限 り,こ

の 定 理 で 述 べ て い る位 相 とす る.

  例   Lp0な

ど は 函 数 の 空 間 で あ る か ら,Lp0+Lp1は

正確 に は 分 離 線 型 位 相 空 間M(Ω,μ)へ 意味 でLp0+Lp1が 値を と るLebesgue空

に こ とわ ら

自 然 に 理 解 で き るが,

連 続 的 に 埋 め 込 まれ て い る の で 系1 .3の

定 義 で き る の で あ る.こ

の こ と は 一 般 に 準 ノ ル ム空 間 の

間 で も 同 様 で あ る.

  例 と し て,0
準 ノ ル ム 空 間 とす る と き

 (2)

と な る こ と を 示 す.fをLp(Ω,μ;X)の

元 とす る.正

As={ξ;‖f(ξ)‖X>s} と し,Asの

定 義 函 数 をχsと す る と,容

易に,

数sに

対 し て,

が わ か り,fがLp0(Ω,μ;)+Lp1(Ω,μ;X)に sをfのLp(Ω,μ;X)で

属 す る こ と が 示 さ れ る.特

に,

の 準 ノ ル ム に と る と,

 (3) を 得 る.

  §3.2  両 立 連 続 線 型 作 用 素   定 義   {X0,X1}と{Y0,Y1}と X1か

らY0+Y1へ

のX0へ

を 線 型 位 相 空 間 の 両 立 対 とす る と き,X0+

の連 続 線 型 作 用 素Tが

の 制 限 とTのX1へ

の 制 限 が,そ

へ の 連 続 作 用 素 に な る こ と を い う.両 {Y0,Y1})と

表 わ し,特

れ ぞ れ,X0か

らY0へ

とX1か

らY1

立 連 続 線 型 作 用 素 の 全 体 をL({X0,X1},

にL({X0,X1},{X0,X1})をL({X0,X1})と

  {X0,X1}と{Y0,Y1}が ら{Y0,Y1}へ

両 立 連 続 線 型 作 用 素 で あ る と はT

略 記 す る.

準 ノ ル ム 空 間 の 空 間 の 両 立 対 の と き,{X0,X1}か

の 両 立 連 続 線 型 作 用 素Tの

準 ノル ムを

 (1)

と定 義 す る.  定 義 に よ って,両 立 連続 線 型作 用 素 の 積 が 両立 連 立 連続 線型 作用 素 に な る こ と,特 に 準 ノル ム空 間 の 両 立 対 の 間 の 両 立 連 続 線 型 作 用 素SとTと

に対 し て,

 (2)

が 成 立 す る こ と が 直 ち に わ か る.   補 題   両 立 対{X0,X1}と{Y0,Y1}が (X1,Y1)に とTのX1へ

あ る と き,T0∈L(X0,Y0)とT1∈L

対 し て,T∈L({X0,X1},{Y0,Y1})が の制 限 が,そ

  (3) 

存 在 し て,TのX0へ

れ ぞ れ,T0とT1と

T0x=T1x 

の制 限

に な るた め の 必 要 十 分 条 件 は

(x∈X0∩X1の

と き),

が 成 立 す る こ と で あ る.   証 明   必 要 性 は 明 白,十

分 性 を 示 す.x=x0+x1,x0∈X0,x1∈X1の

きTx=T0x0+T1x1と

定 義 す る.x=x0+x1,x0∈X0,x1∈X1を

表 現 とす れ ば,x0-x0=x1-x1∈X0∩X1で T0x0=T1x1-T1x1.ゆ の 線 型 性 は す ぐ わ か る.Tの

え にTxがxの

あ る か ら(1)に

と 別 の よ りT0x0-

表 現 に 依 ら な い こ と が わ か る.T

連 続 性 は,TのX0へ

の 制 限T0が

連 続 で,Tの

X1へ

の 制 限T1が

連 続 で あ る こ と とX0+X1の

位 相 の き め 方(定 理3.1)か

ら わ か る.    Xjか

(証 明 終)

らX0+X1へ

用 素 のXjへ

の 調 限 を 正 し くはTJjと

わ れ る と き は,し +X1へ

の 埋 め 込 み をJj(j=0,1)と

ば し ばTと

表 わ す の で あ る が,混

書 く.同

様 に,Xjへ

の 埋 め 込 み に よ っ てX0+X1へ

号 を 使 うの が 正 確 で あ る が,し   定 理   {X0,X1}が 両 立 対 な ら ば,空

す る と,X0+X1上

の作

乱 が 起 らな い と思

の 作 用 素TをXjか

の 作 用 素 と 見 た も の とTと

ば し ば 同 一 の 記 号Tを

準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対,{Y0,Y1}が 間L({X0,X1},{Y0,Y1})は,準

らX0 は 違 う記

使 う. 完 備 準 ノル ム 空 間 の

ノ ル ム(1)に 関 し て,完

備準

ノ ル ム 空間 に な る.   証 明   Xjか

らX0+Xjへ

の 埋 め 込 み をJj(j=0,1)と

({X0,X1},{Y0,Y1})のCauchy列

とす る.準

1,2,…はL(Xj,Yj)のCauchy列

で あ り,L(Xj,Yj)の

∈L(Xj,Yj)を

持 つ(j=0,1).x∈X0∩X1の

limTnx(Yjの

位 相 で).ゆ

極 限 で あ る.よ

っ てS0x=S1x.補

書 く.{Tn}をL

ノ ル ム の 定 義 に よ り,{TnJj}n= 完 備 性に よ り,極 限Sj

と き,Sjx=limTnJjx=

え にSjxはY0+Y1の

位 相 に よ る{Tnx}の

題 に よ り,T∈L({X0,X1},{Y0,Y1})が

存 在 し て,Sj=TJj(j=0,1)と

な る.

で あ るか ら,Tは{Tn}の(1)の

準 ノル ムに よ る極 限 で あ る. 

(証 明終)

 §3.3  補間 空 間 の定 義  定 義   線型 位 相 空 間Xが

線 型 位 相 空 間 の両 立 対{X0,X1}の

補 間 空 間 であ る

とは,  (1)

で あ っ て,任

意 のT∈L({X0,X1})に

つ い て,TのXへ

の 制 限 がXか

らX

へ の 連 続 作 用 素 と な る こ と を い う.   {X0,X1}が

準 ノ ル ム空 間 の 両 立 対 の と き,R+×R+の

上 の1次

同次函数

h(ξ,η)が 存 在 し て,  (2)

が 成 立 す る と き,Xは

指 示 函 数(indicator

function)hの

補間空間 であるとい

う.   ま た,両

立 対{X0,X1}と{Y0,Y1}に

補 間 空 間 を な す と は(1)お

関 し て,線

型 位 相 空 間XとYと

が

よび

 (3)

が 成 立 し,任 か らYへ

意 のT∈L({X0,X1},{Y0,Y1})に

つ い て,TのXへ

の 制 限 がX

の 連 続 作 用 素 と な る こ と を い う.

  {X0,X1}と{Y0,Y1}が

準 ノ ル ム空 間 の 対 の と き,

 (4) が 成 立 す る よ うな1次

同 次 函 数hが

あ れ ば,指

示 函 数hの

補 間 空 間 で あ る とい

う.   完 備 準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対 に つ い て は 補 間 空 間 の 条 件 を 少 し 弱 く で き る;   定 理   {X0,X1}と{Y0,Y1}を ノ ル ム 空 間Xと

完 備 準 ノ ル ム 補 間 の 両 立 対 と す る と,完

完 備 準 ノ ル ム空 間Yが

る た め の 必 要 十 分 条 件 は,(1)と(3)が X1},{Y0,Y1})に

つ い てXのTに

  ま た こ の 場 合,正

数Cを

このふ た つ の対 に 関 し て補 間 空 間 に な 成 立 す る こ と お よ び,任

よ る 像 がYに

選 ん で,C

位 相 でxに

と す れ ば,TはX0+X1か の 位 相 で{TJxn}はTJxに 素 で あ り,閉 よ っ て,対 Y)の

理1.5)に

点 列{Tn}がTに

Tn→T.よ

っ てx∈Xに

位 相 でTnJx→Sx.よ

り対 応T→TJが に よ り,こ

収 束 した

よ り,有

らYへ

の 閉作 用

界 作 用 素 で あ る こ と が わ か る. 体 で 定 義 さ れ て い るL(X,

作 用 素 と な る こ と を 示 そ う.L({X0,X1}, 位 相 で{TnJ}がSに

収束

準 ノ ル ム はL({X0,X1},{Y0,Y1})の

ノ ル ム を越え な い か ら(例2の

Yの

っ てTJはXか

収 束 し,L(X,Y)の

し た と す る.L(X0+Y0,X1+Y1)の

位 相 でyへ

の 連 続 作 用 素 で あ る か ら,Y0+Y1

応T→TJはL({X0,X1},{Y0,Y1})全

中 へ の 線 型 作 用 素 で あ る.閉

{Y0,Y1})の

の 埋 め 込 み と す る.X

収 束 し,{TJxn}がYの

収 束 す る.よ

グ ラ フ 定 理(定

指 示 函 数 に で き る.

らX0+X1へ

らY0+Y1へ

意 のT∈L({X0,

含 ま れ る こ と で あ る.

max{ξ,η}を

  証 明   十 分 性 を 示 せ ば よ い.JをXか の 点 列{xn}がXの

備準

計 算 に よ る),L(X0+X1,Y0+Y1)の

つ い てTnJx→TJx(Y0+Y1の っ て,TJx=Sx.す

位 相 で).一 な わ ちTJ=S.以

閉 作 用 素 で あ る こ と が わ か っ た.閉

れ は 有 界 作 用 素 で あ る こ と,す

な わ ち,

準 位相 で 方

上 によ

グ ラ フ 定 理 と 定 理3.2

(Cは が わ か る.定

義 の 式(3.3.2)を

使 っ て 書 き 変 え れ ば,C

正 数),

max(ξ,η)が

あ る こ と が わ か る.    例1 

指示 函 数 で (証 明 終)

Riesz-Thorinの

定 理 に よ る と,1≦p0,p1≦

1/p=(1-θ)/p0+θ/p1の

と きLpは

∞, 

対{Lp0,Lp1}の

0<θ<1,

補 間 空 間 で,そ

の指 示

函 数 は ξ1-θ ηθで あ る.   例2 

両 立 対{X0,X1}に

理3.1に

よ る).ま

Y0+Y1お

対 し て,X0+X1,X0∩X1は

補 間 空 間 で あ る(定

た 両 立 対{X0,X1}と{Y0,Y1}に

よ びX0∩X1とY0∩Y1と

は 補 間 空 間 に な る .特

の 場 合,T∈L({X0,X1},{Y0,Y1})と と お く と,x∈X0+X1の

関 し て,X0+X1と

す る と き,‖T‖L(Xj

,Yj)=Mj(j=0,1),

表 現 をx=x0+x1,x0∈X0,x1∈X1と

す れ ば,

Tx=Tx0+Tx1,‖Txj‖Yj≦Mj‖xj‖Xj,(j=0,1),と

な る .し

‖Tx‖Y0+Y1≦max{M0,M1}{‖x0‖X0+‖x1‖X1}.xの x1に

空 間X0+X1とY0+Y1は

  上 記 の 例 で は,実 い る の で あ る.そ

=h(ξ/η)・ η と な り,1変

持 つ.同

なわ 様 に計

持 つ こ と が わ か る.

間 空 間 で あ る こ と よ り も っ と精 密 な こ とが 成 立 し て

れ を 表 現 す れ た め に 次 節 で"補

  注 意   指 示 函 数 は1次

も あ り,そ

指 示 函 数max{ξ,η}を

は,補

わ か る.す

指 示 函 数max{ξ,η}を

算 し て,X0∩X1とY0∩Y1は

た が っ て,

あ ら ゆ る 表 現x=x0+

つ い て 下 限 を と り‖T‖L(X0+X1,Y0+Y1)≦max(M0,M1)が

ち,補間

に準 ノル ム空 間

間 函 手"の

語 を 導 入 し よ う.

同 次 函 数 で あ る か ら,h(t)=h(t,1)と 数 函 数hで

表 現 で き る .1変

れ を 採 用 す る 流 儀 も あ るが,本

お け ば,h(ξ,η)

数 函 数 の方 が 便 利 な 所

書 で は ξ と ηに つ い て の 対 等 性 に 重

き を 置 い て 上 記 の 概 念 を 使 う.

  §3.4  補 間 函手   定 義   線 型 位 相 空 間 の両 立 対 の あ る範 囲〓(そ れ を 圏 とい う)があ って,〓 属 す る両 立 対 に そ の補 間 空 間 を 対 応 させ る方 法 が 定 ま っ て い て,そ {X0,X1}にX,{Y0,Y1}にYが す る任 意 のTをXに制

対 応 す る とき,L({X0,X1},{Y0,Y1})に 限 した も の はXか

らYへ

に

の対 応 で 属

の連 続 作 用 素 に な る と き,

そ の 対 応 を 圏〓 に お け る補間 函 手 ま た は 補 間 法 と呼 ぶ.特

に 圏〓 が 準 ノル ム

空 間 の 両立 対 か らな る とき,す べ て のT∈L({X0,X1},{Y0,Y1})で

 (1)

が 成 立 す る よ うな1次

同 次 函 数h(ξ,η)が

あ れば,そ

の 補 間 函 手 はh(ξ,η)を

指

示 函 数 と し て 持 つ とい う.   例1 

指 数1以

上 のLebesgue空

{Lp0,Lp1}→Lp,た

間 の 対 の 作 る 圏 を〓 と す る と

だ し,1/p=(1-θ)/p0+θ/p1,(0<θ<1),

は 圏〓 に お け る 指 示 函 数 ξ1-θ ηθ の 補 間 函 手 で あ る.   例2 

線 型 位 相 空 間 の 両 立 対 の 全 体 を〓 {X0,X1}→X0+X1お

は 補 間 函 手 で あ る.準 は,ど

よ び{X0,X1}→X0∩X1

ノル ム 空 間 の 両 立 対 に 限 れば

ち ら も,max{ξ,η}で

  例3  〓 を 例2と

とす る と,

あ る.

同 じ 圏 とす る と, {X0,X1}→[X0∩X1のX0で

は 補 間 函 手 で あ る.準 で あ る.な

これ ら の函手の指示函数

の 閉 包]

ノ ル ム 空 間 の 両 立 対 に 限 れ ば,こ

お こ れ は §4.7で{X0,X1)0,1と

の 函手 の指 示 函数 は ξ

表 す 函 手 で あ る.

  例4  〓 を 準 ノ ル ム空 間 の 両 立 対 の 全 体 と す る と, {X0,X1}→[X0のX0+X1で は 補 間 函 手 で あ る.右

辺 の 空 間 の 元xの

の 閉 包] 準 ノル ム を

で

 (2) 

と 定 め る と,指

示 函 数 は ξ で あ る.な

お こ れ は §4,8で(X0,X0)0,∞

で表す 函

手 と一 致 す る.   例5 

〓 を 線 型 位 相 空 間 の 両 立 対 の 圏,Fを {X0,X1}→[F(X0,X1)のX0+X1で

そ の 上 の 補 間 函 手 と す る と, の 閉 包],

{X0,X1}→[X0∩X1のF(X0,X1)で

の 閉 包],

は い ず れ も補 間 函 手 で あ る.   補 間 函 手F0,F1,〓

が あ る と き,そ

の合成

も補 間 函手 で あ る.   準 ノル ム空 間 の両 立対 の 圏 で の 補 間 函 手 で あ って も指 示 函数 が 存 在 す る とは 限 らな い が,次 の 事 実 が あ る:   補 題   Fを 完 備 準 ノル ム空 間 の 両 立 対 の圏 で の 補 間 函 手 とす る と,

 (3)

が 成 立 す る.Cは({X0,X1}と{Y0,Y1}に

は依 存 す るか も知 れ な い が)Tに

は依 存 しな い定 数 で あ る.   証 明  L({X0,X1},{Y0,Y1})とL(F(X0,X1),F(Y0,Y1))が

完 備 準 ノル ム空

間 で あ る こ と と閉 グラ フ定 理 に よ りわ か る. 

(証 明終)

  また 次 の 定 理 も興 味 深 い:  定 理   完 備kノ

ル ム空 間 の両 立 対 の圏 での 指 示 函 数 を 持 つ補 間 函手Fと

〓

につ い て,   す べ て の 対{X0,X1}に が 成 立 す れ ば,任

つ いて

意 の 対{X0,X1}とx∈F(X0,X1)に

つ い て,

 (4) と な る よ う な 定 数Cが

存 在 す る.

  証 明   結 果 を 否 定 す る と,n=1,2,… を 満 た すxn,X0n,X1nが

に つ い て, 

存 在 す る.Xj=ΠnXjn(j=0,1)と

の 準 ノ ル ム をCと 埋 め 込 み をJn,〓(X0,X1)か 数 をhF,〓 Xjnへ

し,F(X0n,X1n)か

ら〓(X0nX1n)へ

の 指 示 函 数 をh〓 と書 く と,Xjnか

の 射 影 の 準 ノ ル ム は い ず れ も1で

れhF(1,1),h〓(1,1)を

越 え な い.ゆ

らF(X0,X1)へ

の 射 影 をPnと らXjへ

お く. 

す る.Fの指

あ る か らJnとPnの

準 ノル ム は そ れ ぞ

(証 明 終)

の 証 明 に お い て,F(X0,X1)とΠnF(X0n,X1n)は

た 完 備kノ

準 ノル ムは

ら

え に, 

す るが 準 ノル ム空 間 と し て は 一 致 し な い こ と に 注 意 す る.ま =Xjの

示 函

の 埋 め 込 み,Xjか

とな り矛 盾 を 生 ず る.    な お,上

の

‖{xn}‖Xj=sup{‖xn‖Xjn;n=1,2,…}で

集 合 とし ては 一 致 た,積

空 間ΠnXjn

あ る .Xjも

ま

ル ム空 間 に な る.

§3.5  Aronszajn-Gagliardoの

最 小 補間 函 手

  補 間 空 間 を 与 え る こ と は 実 は 補 間 函 手 を 与え る こ と に な る とい う興 味 あ る 定 理 を 招 介 す る.本

節 で は 最 小 補 間 函 手 の 存 在 を 示 す.

  定 理   (Aronszajn-Gagliardo) {X0,X1}の

Banach空

補 間 空 間 で あ る と す る.こ

間XはBanach空

の と き,Banach空

間 の両 立 対 間 の 両 立対 の 全 体

の な す 圏〓 の 補 間 函 手Fで,条

件,

  (ⅰ) F(X0,X1)=X,   (ⅱ)  Fの   (ⅲ) 

指 示 函 数 はmax{ξ,η}で

(最 小 性)条 件(ⅰ)を

Banach空

満 た す 圏〓 の 上 の 補 間 函 手Fが

間 の 両 立 対{Y0,Y1}に

を 満 た す も の が 存 在 し,た   証 明   Banach空

あ る, あ れ ば,任

対 し て, 

意 の

で あ る;

だ ひ とつ に 限 る.

間 の 両 立 対{Y0,Y1}に

よ うに 定 め る:L({X0,X1},{Y0,Y1})の

対 し て,Y=F{Y0,Y1}を 点 列{Tn}とXの

次 の

点 列{xn}で

 (2)

とな る もの を選 ん で,Y0+Y1の

位相 で

 (3)

と表 わ され るY0+Y1の

た だ し,CはXか

点yの

全 体 をYと

らX0+X1へ

の 右 辺 がY0+Y1の

す る.(2)を 満 たせ ば,不 等 式

の 埋 め 込 み の ノル ム を 示 す,を

位 相 で 収 束 す る こ と が わ か る.Yに

使 っ て,(3)

おけ る ノル ムを

 (4)

と 定 め る.下

限 はyの

あ ら ゆ る 表 現(3)に

 の 証.あ

るx1∈Xに

lを と る(lの 存 在 はHahn-Banachの と し,T1x=l(x)yと (X0+X1)′

つ い て と る.

つ い てl(x1)=1と

定 理 に よ りわ か る) .yをY0∩Y1の

定 め る と,y=T1x1で

の 元 と し て のlの

な る(X0+X1)′

あ っ て,xがXjに

ノ ル ム をC1と

の点 点

属 す る と き,

お く と,

で あ る か ら,

し たがっ

て, ‖y‖Y≦C1‖x1‖X‖y‖Y0∩Y1で

  とYの   Yの

の 証.YがY0+Y1に ノ ル ム の 定 義(4)に 完 備 性 の 証.絶

性 が わ か る. 

あ る. 含 ま れ る こ と は 明 白.(3)の

よ り‖y‖Y0+Y1≦C‖y‖Yが

わ か る.

対 収 束 級 数 が 収 束 す る こ と を い え ば 補 題1.2に と す る.定

義 に よ り.

後 の計 算

よ り完 備

を 満 足 す る 列{T(k)n}n,k=1,2…

と 列{x(k)n}n,k=1,2,…

が 存 在 す る.

で あ る か ら,

は収 束 し て,Yに

属 し,し

で あ る か ら,yはYの

か も,

位 相 に よ る 級 数 Σy(k)の

和 で あ る.

  補 間 函 手 の 条 件 を 満 た す こ と の 証 明.{Y0,Y1}と{Z0,Z1}をBanach空 間 の 両 立 対 と し,こ る.Sを

れ ら か ら上 記 の 方 法 で 作 っ た 空 間 を そ れ ぞ れYとZと

対{Y0,Y1}と{Z0,Z1}に

を 与え る と,(2)を

関 す る 両 立 連 続 線 型 作 用 素 と す る.y∈Y

満 た すyの

元 と し て の ノ ル ム をMと

す

表 現(3)が

あ る.SのL({Y0,Y1},{Z0,Z1})の

お く と,

し た が っ て,

で あ る.あ

ら ゆ るyの

表 現(3)に つ い て 下 限 を と り,‖Sy‖z≦M‖y‖Yを

す な わ ち,SはL(Y,Z)に

X=F{X0,X1}の

と い う表 現 が あ る.定

得 る.

属 し,

証.x∈F{X0,X1}と

理3.3に

す る.

よ り,正 数C2が

存 在 し て,

‖T‖L(X)≦C2‖T‖L({X0,X1})(T∈L({X0,X1})の

と き)

が 成 立 す る か ら,  (5) し た が っ て,x=ΣTnxn∈X,し

か も‖x‖Xは(5)の

右 辺 以 下 で あ る.xの

あ ら ゆ る 表 現 に つ い て 下 限 を と り‖x‖X≦C2‖x‖F{X0,X1}を

得 る.

逆 に,x∈Xと

す る と,T1をX0+X1の

恒 等 作 用 素 に と れ ば,

x=T1x,‖T1‖L({X0,X1})=1, で あ る.よ

っ てxはF{X0,X1}に

属 し,xの

こ の 空 間 で の ノ ル ム はXで

の ノ

ル ム を 越 え な い.   Fの

最 小 性 の 証 明.Fを

条 件(ⅰ)を

満 た す 補 間 函 手,{Y0,Y1}をBanach

空 間 の 両 立 対 と す る.Y=F{Y0,Y1},Y=F(Y0,Y1}と 対 し て,(2)を

満 た す 表 現(3)が

らY=F{Y0,Y1}へ

お く.Yの

あ る.TnのX=F{X0,X1}へ

の 有 界 線 型 作 用 素 で あ る.ま

‖T‖L(X,Y)≦C3‖T‖L({X0,X1},{Y0,Y1}) 

点yに

の 制 限 はXか た 定 理3.3に

よ り, 

(T∈L({X0,X1},{Y0,Y1}の

と き)

で あ る か ら,

ゆ え に,y=ΣTnxn∈Y,‖y‖Y≦C3‖y‖Yを

  §3.6  Aronszajn-Gagliardoの

得 る. 

(証 明 終)

最大補間函手

  最 大 補 間 函 手 の 存 在 を 示 す:   定 理   準 ノル ム 空 間 の 両 立 対{X0,X1}の

補 間 空 間 をXと

す る.こ

準 ノル ム 空 間 の 両 立 対 の 全 体 の な す 圏〓 の 上 の 補 間 函 手Fで

あ っ て,

の とき

  (ⅰ) F(X0,X1)=X,   (ⅱ)  Fの   (ⅲ) 

指 示 函 数 はmax{ξ,η},

(最 大 性)条 件(ⅰ)(ⅱ)を

  両 立 対 

満 た す 圏〓 上 の 補 間 函 手Fが

に つ い て 

を 満 た す も の が 存 在 し て,た  証明 

だ ひ とつ に 限 る.

に 対 し て,F(Y0,Y1)を

  (1)  す べ て のT∈L({Y0,Y1},{X0,Y1})に を 満 た すY0+Y1の

元yの

意の

で あ る,

の 埋 め 込 み の 準 ノル ム を1と

を 修 正 し て お く. 

あ れ ば,任

全 体 と定 義 し,準

す る よ うにXの

準 ノル ム

条 件,

対 し てTy∈X ノ ル ム を,

 (2) と 定 め る.定 る.こ

義 に よ り 

れ が 条 件(1)を

は 明 白 で あ る.y∈Y0∩Y1と

満 た す こ と は 明 ら か で あ り,TのL({X0,Y1},{X0,X1})

に お け る準 ノ ル ムが1を

越 えな い とき

す

で あ る.し

か も 右 辺 は‖y‖Y0+Y1以

す な わ ち    Fに

上 で あ る.ゆ

え に,‖y‖F(Y0,Y1)≦‖y‖Y0∩Y1.

で あ る.

つ い て 作 用 素 の 補 間 の 条 件 が 成 立 す る こ と を 示 す. 

S∈L({Y0,Y1},{Z0,Z1})と Z1},{X0,X1})に {X0,X1})と

す る.y∈F(Y0,Y1)の

と き,任

対 し て,T(Sy)=(TS)y∈Xと な る か ら で あ る.ま

と し, 意 のT∈L({Z0,

な る.TS∈L({Y0,Y1},

た,

で あ る.た だ し,‖S‖ な どは そ れ ぞれ の属 す る空 間 で の準 ノル ムを 示 す .ゆ え に,

で あ る.以 上 に よ り,Fは

指 示 函 数max{ξ,η}の

補 間 函手 で あ る こ とが わ か っ

た.   次 に,X=F(X0,X1)を

示 す.x∈X,T∈L({X0,X1})と

(X,X)に

よ りTx∈X,よ

れ ばTと

し てX0+X1の

っ てx∈F(X0,X1),逆

恒 等 作 用 素 を と りx=Ix∈Xを

  最 後に 最 大 性 を 示 す.y∈F(Y0,Y1)と ({Y0,Y1},{X0,X1})に

で あ る.し

す る.作

属す

得 る.

用 素 の 補 間 に よ り,T∈L

対 し て,Ty∈F(X0,X1)=X,し

た が っ て,y∈F(Y0,Y1),し

  条件 を 満 た すFが

す る と,T∈L にxがF(X0,X1)に

か も

か も,

た だ ひ とつ で あ る こ とは 最 大性 に よ りわ か る.(証 明 終)

  注 意1  kを 固 定 し て,圏〓

と し てkノ ル ム空 間 の両 立 対 の全 体 と し て も定

理 が 成 立 す る.   注 意2  〓 を完 備 準 ノ ル ム空 間 の両 立 対 の 全 体 と し て も定 理 が 成 立 す る. {yn}をF(Y0,Y1)のCauchy列

とす る と,{yn}はY0+Y1に

yn}はXに

お い て,そ れ ぞ れCauchy列

Y0+Y1で

存 在 し,Tyn→xと

にな る.よ っ てyn→yと

な るxがXで

おい て,{T な るyが

存 在 す る.一 方X0+X1の

位 相 で,Tyn→Tyで な る.以

あ る.よ

上 に よ りF(Y0,Y1)の

っ てx=Ty,し 完 備 性 が 示 さ れ た.

た が っ て,y∈F(Y0,Y1)と

第4章

 Banach空

間 の平 均 補 間 空 間

  実 解 析 の 方 法 に よ る 補 間 空 間 論,す 間 空 間 の 理 論 を 述べ る.こ の 古 典 的 理 論 で は,0≦ -θ

な わ ちLions-Peetreの

の 章 で はBanach空 θ≦1と

し て,空

の比 に対 応 す る補 間 空 間 を 定 義 し

そ れ を 一 般 化 し て,函 れ が"函

数 の比

間 に つ い て 論 じ る.Lions等 間X0とX1の

,そ

φ0:φ1に

間 に,い

わ ば,θ 対1

の 性 質 を 論 じ て い る が,こ

こ で は,

対 応 す る 補 間 空 間 を 構 成 し調 べ る.こ

数 を パ ラ メ ー タ ー と す る 平 均 補 間 空 間"で

で な い こ と は,第6章

確 立 し た平 均 補

あ る.こ

れ が 単 な る一 般 化

で 示 す よ うに,Lorentz-Zygmund空

間 が,Lebesgue

空 間 の 函 数 を パ ラ メ ー タ ー とす る補 間 空 間 と し て 表 現 で き る こ と か ら も わ か る.   第5節

ま で の 前 半 が 基 礎 理 論 で あ る.第6節

の 定 理 を 一 般 化 し た 形 で 証 明 す る.な て は さ ら に 一 般 的 な 結 果 を 第6章 返 し た 結 果 が1回

間 空 間 の"位

で 述 べ る.第7∼

第9節

で 示 す よ う に 補 間 空 間 は4個 置"を

と φ1の 比 で あ る.q0とq1は の と き に は,こ

間 の平 均 補 間 空 間 につ い で は 平 均 補間 を 繰 り

の 補 間 に よ る空 間 に 一 致 す るた め の 条 件 を 調 べ る.す

反 復 補 間 定 理 で あ る.第1節 っ て い る.補

で 応 用 の 例 と し てRiesz-Thorin

おLebesgue空

のパ ラ メ ー タ ー を 持

決 め る主 要 な パ ラ メ ー タ ー は 重 み の 函 数 φ0

副 次 的 で あ る.φ0とφ1がtのベキtα

の 副 次 的 パ ラ メ ー タ ーq0とq1に

般 性 を失 な わ な い こ と をPeetreが

なわち

とtβ の 形

つ い て はq0=q1と

示 し て い る.こ

れ を 第10節

して も一 で 招 介 す る.

  §4.1  平 均 補 間 空 間 の 定 義   φ0と φ1をR+上

の 重 み の 函 数,す

な わ ち 正 値 可 測 函 数 と し,条

件

  (ⅰ)  φ0と φ1の 相 似 比 函 数 φ0と φ1は 有 限 の 値 を と る(指 標 有 限),   (ⅱ)  l-ind

φ0>0>r-indφ1ま

を 満 た す と 仮 定 す る.ま

た,1≦q0≦

た はr-ind

φ0<0
∞,1≦q1≦∞

と し,q′0とq′1を

そ

れぞ れq0とq1と

の 共 役 指 数 とす る.こ の と き,定 数 函 数1を 区 間(0,s]の

義 函 数 と区 間[s,∞)の

定

定義 函 数 の 和 で 表 わ せ ば,

 (1)

を 得 る.し

た が っ てBanach空

間 の 両 立 対{X0,X1}に

対 し て,

 (2)

が 成 立 す る.そ

こ で,次

の よ うに 定 義 す る.

  定 義   {X0,X1}はBanach空

間 の 両 立 対,φ0とφ1はR+上

で 条 件(ⅰ)と(ⅱ)(以 下 指 標 条 件 と 呼 ぶ)を 満 た し,1≦q0≦ す る.こ

の と き,作

の重 み の 函 数 ∞,1≦q1≦

∞ と

用素

 (3)

に よ る(2)の 左 辺 の 空 間 の 像 空 間 を 平 均 補 間 空 間(mean と い い,S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)で φ1(t)=tφ(t)の

と き こ れ を(X0,X1)φ,qと

(X0,X1)φ,qを(X0,X1)θ,qと   Banach空

表 わ す.特

space)

に,q0=q1=q,φ0(t)=φ(t),

書 き,φ(t)=t-θ(0<θ<1)の

と き

書 く.

間 の 像 空 間 で あ る か ら,補

空 間 に な る.こ

interpolation

の 空 間 は 定 義3.3の

題1.3に

よ り平 均 補 間 空 間 もBanach

意 味 で 補 間 空 間 で あ る,す

な わ ち,作

用素

の 補 間 定 理 が 成 立 す る:   定 理   1≦q0≦

∞,1≦q1≦

∞

と し,φ0とφ1は

の 重 み の 函 数 とす る.{X0,X1}と{Y0,Y1}と を{X0,X1}か

ら{Y0,Y1}へ

  (4) ‖T‖L(Xj,Yj)=Mj  と お く.こ

指 標 条 件 を 満 た すR+上

をBanach空

間 の 両 立 対,T

の 両 立 連 続 線 型 作 用 素 と し, (j=0,1)

の と き,TはS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)をS(q0,φ0,Y0;q1,φ1,Y1)

の中 へ 写 し,こ

れ ら の 空 間 の間 の 作 用 素 と し て の ノ ル ム‖T‖Sは

  (5) ‖T‖S≦h(M0,M1) を 満 た す.た

だ し,φ0と

φ1の 相 似 比 函 数 を そ れ ぞ れ φ0とφ0と

す ると

 (6)

 ま た,uが(2)の

左 辺 の 空 間 に 属 す る と き,x=Suと

お く と,

 (7)

が 成 立 す る.た

だ し,‖u‖jはuのLqj,φj(R+;Xj)に

お け る ノ ル ム(j=0,1)

で あ る.   証 明   uを(2)の

左 辺 の 空 間 の 元 と し,x=Suと

φ0,X0;q1,φ1,X1)をS(X0,X1)と 略 記 す る.変

お く.以 下 簡 単 の た めS(q0,

略 記 し,L*qj,φj(R+;Xj)をL*(qj,φj,Xj)と

数 変 換t→stに

より

を 得 る か ら,

で あ る.定 る.ゆ

理2.7に

よ りDsのL*(φj,qj;Xj)に

え に,sをs-1と

書 き 換 え て,sに

  次 にTを{X0,X1}か

ら{Y0,Y1}へ

(Tu)(t)=T・u(t)と TDs=TSXで

だ し,Sを

定 理1.4を の ノ ル ム はTDsの

理2.7に

空 間Xで

書 く. 中

お け る ノル ム を 越 え な い こ と が わ か る.TのL* の 作 用 素 と し て の ノ ル ム はMjを

よ り,TDsのL*(qj,φj,Xj)か

の 作 用 素 と し て の ノ ル ム はMjφj(s-1)で

で あ る.sに

お く とSY の 作 用 素 と見 た と きSXと

適 用 し て,TはS(X0,X1)をS(Y0,Y1)の

らL*(qj,φj,Yj)へ

し た が っ て,定

の 両 立 連 続 線 型 作 用 素 と す る.Tを

空 間L(L*(φ0,q0,X0),L*(φ0,q0,Y0))∩L(L*

(φ1,q1,X1),L*(φ1,q1,Y1))に (qj,φj,Xj)か

あ

つ い て 下 限 を と る と(7)を 得 る.

定 義 す る.X=X0+X1,Y=Y0+Y1と あ る.た

SX,SY;T,TDsに へ 写 し,そ

お け る ノ ル ム はφj(s-1)で

越 え な い.

らL*(qj,φj,Yj)へ

評 価 で き る.す

な わ ち,

つ い て 下 限 を と り(5)を 得 る. 

(証 明 終)

  系   定 理 の 条 件 の 下 で,x∈X0∩X1はS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)に

属 し,

 (8)

が 成 立 す る.た

だ し,ρ(t)を

 (9)

に と り,φjρ のL*qj(R+)で   証 明   u(t)=ρ(t)xと

の ノ ル ム をCj(j=0,1)と お き,uの

す る.

ノ ル ム を 計 算 す れ ば よ い. 

(証 明 終)

  不 等 式(8)は 補 間 不 等 式 の 一 般 化 に な っ て い る.   注 意  重 み の 函 数 φ0と φ1が 指 標 条 件 を 満 た し て い な く て も 条 件(1)を 満 た

せ ば 平 均 補 間 空 間 が 定 義 で き る.   例 え ばq0=q1=1,φ0(t)=1,φ1(t)=tま を 満 た す.よ

た は φ0(t)=t,φ1(t)=1は(1)

っ て(X0,X1)0,1と(X0,X1)1,1が

定 義 で き る.

  こ の 条 件 の 下 で の 平 均 補 間 空間 の 指 示 函 数h(ξ,η)はmax{ξ,η}で は す ぐわ か る.こ   例1 

あること

れ 以 上 の 精 し い こ と は こ の 場 合 に つ い て は 議 論 し な い.

φ0(t)=t-θ,φ1(t)=t1-θ

補 間 不 等 式 は,x∈X0∩X1に

の と きh(ξ,η)=ξ1-θ ηθ で あ る.こ

の場合の

対 し て,

 (10)

と な る.た

だ し,

 (11)

で あ る.下

限 は(9)を

満 た す あ ら ゆ る 函 数 ρ に つ い て と る.

  例2 φ0(t)=tα(1+￨logt￨)λ,φ1(t)=tβ(1+￨logt￨)μ ば 指 標 条 件 が 成 立 し,θ=α/(α-β)と

の と き は αβ<0な

お く と,指

示 函数 は

ら  

で 評 価 さ れ る.   例3 

φ0(t)=φ(t),φ1(t)=φ(t)tの

と き は φ1(t)=φ(t)tと

(t)=η

φ1(t)と お く と,(X0,X1)φ,qの

指 示 函 数 は ξφ(ξ/η)で評 価 さ れ る.

  §4.2重

な る か ら,ξ

φ0

み の函 数 の 変 換

  {X0,X1}をBanach空 重 み の 函 数,1≦q0≦

間 の 両 立 対,φ0とφ1を指 ∞,1≦q1≦

∞

標 条 件 を 満 た すR+上

と す る.uが

 (1) の と き, c>0と

し て,υ(t)=￨λ￨u(ctλ)と

お く と,

 (2)

が 成 立 す る.し

か も,ψj(t)=φj(ctλ)(j=0,1)と

が,j=0,1に

つ い て 成 立 す る.す

な わ ち,作

は

から

お く と,

用 素u→υ

をVと

お く と,V

の

の 上 へ の1対1で

逆 も 連 続 な 連 続 線 型 作 用 素 で あ り,し

か もSV=Sで

こ の 空 間 の 作 用 素 と し て の ノ ル ム はmax{￨λ￨1-1/q0,￨λ￨1-1/q1}を み ψ0と ψ1の 指 標 は 例2.8.3で 容 易 に わ か る.以

示 し た よ う に な り,指

上 に よ り,Sに

標 の 条 件 を満 たす こ とが

よ る像 空 間 を 作 る と,定

φ0,X0;q1,φ1,X1)とS(q0,ψ0,X0;q1,ψ1,X1)と

あ り

越 え な い.重

理1.4に

が 一 致 し,ノ

よ り,S(q0,

ル ムが 同 値 な こ

とが わ か る.   さ ら に 一 般 な 変 換 を 考 え よ う.fをR+か と ん ど す べ て の 点 で 微 分 可 能 で,fの

らR+の

導 函 数 をfで

上 へ の 単 調連 続 しか もほ 示 す とき

 (3)

が 成 立 す る函 数 とす る.(1)の 空間 に 属 す るuに対

して,

 (4)

と お く と(2)が 成 立 す る.ψj(t)=φj(f(t))(j=0,1)と

お く と,υ は

 (5)

に 属 す る こ と が わ か る.f-1=gと

お く と,s=f(t)の

とき

 (6)

で あ るか ら逆 作 用 素 は

で あ り,(5)の

空 間 か ら(1)の 空 間 へ の 連 続 作 用 素 で あ る.よ

って平 均 補 間空 間

につ い て 同 じ 結 論 を 得 る.   重 み の 函 数 に そ れ 自 身 お よ び 逆 数 が 有 界 な 函 数 を 乗 じ て も重 み つ きLq空 は 不 変 な こ と は 明 ら か で あ る.以

上に よ り

  定 理  {X0,X1},φ0とφ1,q0とq1は 条 件(4)を

満 た すR+か

らR+の

  ψj(t)=ρj(t)φj(f(t))(j=0,1)と

本 節 の 初 め に 述 べ た も の と す る.fを 上 へ の 単 調 連 続 函 数 と す る. お く.た

が 共 に 有 界 な 正 値 可 測 函 数 と す る.こ  (7)

間

の とき

だ し,ρjは

そ れ 自 身 お よ び1/ρj

で あ り,ノ をhと

ル ム は 同 値 で あ る.特

に,ψj(t)=φ(ctλ)の

と き(4.1.6)の

指示函数

し て,

  (8)  (9)

で あ る.   証 明   不 等 式(8)を 示 す.Vの

を 得,sに

代 りにVDsを

つ い て 下 限 を と り(8)が

使 え ば,上 の計 算 に よ り

わ か る.(9)は

φj(t)=ψj(c-1/λt1/λ)と

と に 注 目 す れ ば わ か る. 

な る こ

(証 明 終)

  例1 φj(t)=tj-θ(j=0,1),0<θ<1,の

と き.例4.1.1に

よ り,h(ξ,η)

=ξ1-θ ηθ で あ る か ら,  (10) で あ る.特

に,α

・β<0の

と き,

 (11)

で あ り,ノ

ル ム の 比 は￨λ￨1-1/qで

  例2 f(t)=tα(c+log+t)λ,c>0,の

あ る. 場 合(た

だ し,log+t=max(0,logt)),

の とき

の とき と な る.α+λ/cと

α が 同 符 号 な ら ば 条 件(3)を 満 た す.

  例3 φ1(t)/φ0(t)=f(t)が   (12)  で あ る.た

条 件(3)を 満 た せ ば

S(q,φ0,X0;q,φ1,X1)=(X0,X1)ψ,q だ し,ψ(t)=φ0(f-1(t))で

あ る.

  §4.3  分 解 表 示 と トレ ー ス 表 示   ま ず 分 解 表 示 の 空 間 と ト レ ー ス 表 示 の 空 間 を 定 義 す る:   定 義   ノル ム 空 間Xの をXと

同 一 視 し て,同

値 を と る函 数 の 空 間 の 中 で定 数 函数 の 作 る部 分 空 間 じ 記 号Xで

表 わ す.

  φ0,φ1を 指 標 条 件 を 満 た す 重 み の 函 数,1≦q0≦

∞,1≦q1≦

∞,{X0,X1}

をBanach空

間 の 両 立 対 とす る と き,

 (1)

を 分 解 表 示 の 補 間 空 間S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)と

い う(第 一 因 子 の 空 間 の ノ ル

ム を そ の ノ ル ム と す る).   ま た,w(t)∈L*q0,φ0(R+;X0),tw′(t)∈L*q1,φ1(R+;X1)を

(X0+X1の

 (2)  と 表 わ さ れ るxの

全 体 に,ノ

満 た すwに

よ って

位 相 で の収 束)

ル ム

 (3)

を 導 入 し た 空 間 を トレ ー ス 表 示 の 空 間T(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)と し,w′

はwの

い う.た

だ

導 函 数 を 示 す.

  平 均 補 間 空 間 と 分 解 表 示 の 空 間,ト レ ー ス 表 示 の 空 間 が 一 致 す る こ と を 示 す.   l-indφ0>0>r-indφ1の 間 をL*(qj,φj,Xj)と

場 合 を 考 え る.R+上

の 重 み φjのXj値L*qj空

か く.L*(q0,φ0,X0)∩L*(q1,φ1,X1)の

元uに

対 して

 (4) と お く と,補

題2.8に

より

 (5)

 (6)

で あ っ て,す

べ て のtに

おいて

  (7)  で あ る.逆

x=υ0(t)+υ1(t) にL*(qj,φj,Xj)に

に つ い て(7)が成

属 す るυj(j=0,1)に

立 し た と す る.こ

び,ρ1(t)=tρ′(t)と

よ りほ と ん ど す べ て のt

の と き 

を 

に選

お き,

 (8) と お く. 

を 得 る.定

で あ る か ら,υ0(s)=x-υ1(s)を

理1.8と(2.7.5)と

に よ り,φ0とφ1は

代 入 して

局 所 有 界,ρ1の

台 が有 界 で

あ る か ら,φ0ρ1と

φ1ρ1はL*1に

属 す.よ

っ て 補 題2.8に

より

 (9)

を 得 る.し

か も,Fubiniの

で あ る.ま

た,ほ

定 理 に よ り,

と ん どす べ て のtに

つ い て(6)を 満 た すυ0,υ1か ら,

 (10)

に 注 意 す る と,

と お く と, 

を 得 る.ゆ

えに w∈L*(q0,φ0,X0),tw′

 (11) 

∈L*(q1,φ1,X1),

 (12)

で あ る.し

か も,φ1(s)-1≦φ1(1)-1φ1(s-1)≦

で あ る こ と,た

だ し,Cは

が 負 で あ る の で(2.8.6)に   (13) t→0の

φ1(1)-1φ1(t-1)φ1(s-1t)ゆ

ρφ1のL*q1′ で の ノ ル ム を 示 す,お よ り,t→

∞

でφ1(t)→0と

と きX0+X1の

  逆 に(11)と(13)を

満 た すwが

よ び φ1の 右 指 標

な る ことが わ か るか ら

位 相 でw(t)→x.

あ る とき

  (14) と お く と,補

 (15)

題 に よ り,υj∈L*(qj,φj,Xj)(j=0,1),し

え,

か も

で あ る.指

標 の 符 号 が 逆 の と き は(5)と(14)に

義 す れ ば よ い.ゆ

入 れ 換 え て定

え に,

  定 理  φ0とφ1が 間,ト

つ い てυ0とυ1を

指 数 条 件 を 満 た す な ら ば,平

レ ー ス 表 示 の 空 間 と一 致 し,ノ

均 補 間 空 間 は 分 解 表 示 の空

ル ム は 同 値 で あ る.

  §4.4  稠 密 性 定 理   定 理   {X0,X1}をBanach空間 上 の 重 み の 函 数,1≦q0≦

の 両 立 対,φ0と ∞,1≦q1≦

∞

φ1を 指 標 条 件 を 満 た すR+

と し,q0とq1の

な い と す る と き,X0∩X1はS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)で

いずれかは ∞ で

稠 密 で あ る.

  証 明  S(X0,X1)=S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1),L*φjqj(R+;Xj)に を 単 に‖u‖jと

略 記 す る.x∈S(X0,X1)と

お け る ノル ム

す る と,

 (1)

と 表 示 さ れ る.n=1,2,…,に

つ い て,

 (2) と お く と,xnはX0∩X1の

元 で あ る.S(X0,X1)に

と を 示 す.l-indφ0>0>r-indφ1の

お い てxn→xと

場 合 を 考 え る.区

な るこ

間[n-1,n]の

定義

函 数 を χnで 示 す.   1≦q1≦

∞-の

正 数a≦1が

存 在 し て,0
数 と し,s=min{a,(ε

で あ り,n→

  1≦q0≦ b≧1が xを

場 合.l-indφ0>σ>0に

∞

∞-の

σ を と る と,(2.8.5)に らば φ0(t)≦tσ と な る.ε

よ り,

を任意の正

・‖u‖-10)1/σ}と 定 め る と,

の と き‖(1-χn)u‖1→0,し

た が っ て,(4.1.7)に

場 合.r-indφ1<τ<0に

存 在 し て,t≧bに

τを と る と,(2.8.5)に

お い て φ0(t)≦tτ と な る.以

得 る.l-indφ1>0>r-indφ0の

φ1,1≦q0≦ あ る.

よ り,

下 同 様 に し てxn→

場 合 も 同 様 で あ る. 

  系   指 標 条 件 を 満 た す 重 み の 函 数 φ0と φ0,X0;∞-,φ1,X1)=S(q0,φ0,X0;∞,φ1,X1)で

よ り

∞-に

(証 明 終) 対 し て,S(q0,

 §4.5  包 含 定 理   定 理4.3を

使 う と 次 の 結 果 が わ か る.

  定 理   {X0,X1}をBanach空 み の 函 数 とす る.こ

間 の 両 立 対,φ0と

φ1を 指 標 条 件 を 満 た す 重

の と き,

 (a) 

な ら

ば

 (1)

 (b)  φi0と

φi1(i=0,1)も

重 み の 函 数 の 指 標 条 件 を 満 た し,さ

ら に,

 (2)

ま た は,  (3) を 満 た し,1≦q0,q1,q00,q01,q10,q00≦

∞

な らば

 (4)

 証 明  (a)  ρはR+内

に コ ン パ ク トな 台 を もつ 連 続 函 数 で 

す る. 

と定 め る と,補

題2.8に

へ の 有 界 作 用 素 で あ り,Fubiniの

定 理 に よ りST=Sで

と

よ りTは

から あ る .定

理1.4に

よ

り結 果 を 得 る.   (b)の 証.(a)を

使 う と,q00=q01=q10=q11=∞

件(2)が 成 立 す る 場 合.xを(4)の

の 場 合 を 示 せ ば よ い.条

左 辺 の 空 間 の 元 と す る と定 理4.3に

=υ00(t)+υ01(t)=υ10(t)+υ11(t)が

ほ と ん ど す べ て のtで

よ り,x

成 立 す る よ うな 分 解

で,

を 満 た す も の が 存 在 す る.区 χ)υ1jと

お く.例2.8.5に

ゆ え に,χ

間(0,1]の

定 義 函 数 を χ と し,υj=χυ0j+(1-

よ り, 

φj/φ0jと(1-χ)φj/φ1jはL*qj(R+)に

に よ り結 論 を得 る. 

属 す.ゆ

え に 定 理4.3

(証 明終)

  §4.6  Riesz-Thorinの

定理への応用

  特 別 な 場 合 に つ い て 重 み つ きLebesgue空 一 般 の 重 み つ きLebesgue空

間 の 平 均 補 間 空 間 を 計 算 す る.

間 の 平 均 補 間 空 間 は 第6章

で扱 う .

  定 理   (Ω,μ)を σ-有 限 測 度 空間,{X0,X1}をBanach空 とw1をΩ

上 の 正 値 可 測 函 数,1≦p0≦

∞,1≦p1≦

少 な く と も ひ と つ は 有 限 と し,0<θ<1と

す る.こ

間 の 両 立 対,w0 ∞,し

か もp0とp1の

の とき

 (1)

で あ る.ま

た ノ ル ム は 等 し い.た

だ し,

 (2)   証 明   (Ω,μ)と(R+,t-1dt)の

積 測 度 空 間 を(R+×Ω,μ1)と

Sθ=S(p0,t-θ,X0;p1,t1-θ,X1)と

略 記 す る.ま

な ら な い 場 合 を 考 え る.系2.3に

より

ずp0とp1の

表 わ す.ま

た,

ど ち ら も ∞-に

 (3)

で あ る.fを(1)の

左 辺 の空 間 の 元 とす る と定 義 に よ り(3)に 属 す るu(t)に よ り  と表 わ さ れ る.uを(3)の

の 定 理(定

理2.4(f))に

よ り,a.e.の

右 辺 の 元u(t,ξ)と

み る と,Fubini

ξ に つ い て,

 (4)

は 収 束 し,Sθ

に 属 す る.不

等 式(4.1.7)と

例4.1.1に

よ り

 (5) ゆ え に,1/q0=(1-θ)p/p0,1/q1=θp/p1と り,

で あ る か らHolderの

不 等式に より

お く と,1/q0+1/q1=1と

な

を 得 る.よ

っ てfは(1)の

右 辺 の 空 間 に 属 す る.積

つ い て,上

の 式 の 下 限 を と る と,(1)の

分 がfに

右 辺 の 空 間 で のfの

な る あ ら ゆ るuに ノ ル ム が(1)の 左 辺

の 空 間 の ノ ル ム 以 下 で あ る こ と が わ か る.   1≦p0<∞-, p1=∞-の さ れ る.ま

場 合 は1≦p0<∞-, p1=∞

た,p0=∞-,

p1<∞-の

の場 合 に帰 着

と き も 同 様 で あ る.

  上 記 の 埋 め 込 み が ノ ル ム を 変 え な い 上 へ の 写 像 で あ る こ と を 示 す.埋 に よ る 像 が 右 辺 の 空 間 で 稠 密,し に よ りp<∞-で

あ る こ と に 注 意 す る.φ1,…,φnとx1,…,xnを

Lp,w(Ω,μ)とSθ

め込 み

か も ノ ル ム が 等 し い こ と を 示 せ ば よ い.仮

定

そ れ ぞ れ,

の 点 と し,

 (6)

と お く.  る.c>1を

と 書 く と き,A1,…,Anは 定 め る と,k=1,2,…,nに

互 に 共 通 点 が な い とす

つ い て,

 (7)

と表 示 さ れ る.  (8)

と定 義 す る と,任

意 の ξ∈Ω に つ い て,あ

か ま た はυ(t,ξ)=0で

あ る.ゆ

え に,各

で あ る.た

だ し,u(t,ξ)=υ(tψ(ξ),ξ),

で あ る.こ

のuに

つ い て,

るkが

存 在 し てυ(t,ξ)=φk(ξ)uk(t)

ξ に つ い て,

同様 に計 算 し て,

を 得 る.ゆ のc>1を ∞-で

え にfは

像 に 含 ま れ,そ

の 逆 像 の ノ ル ム はcσ 以 下 で あ る.cは

任意

満 た す 正 数 で あ る か ら ノ ル ムが 等 し い こ と が わ か る.p0もp1も な け れ ば 証 明 が 終 っ た こ と に な る.p0=∞-の Ω1⊂ Ω2⊂ …,UΩn=Ω, 

に 可 測 集 合 列{Ωn}を

と る と き,(6)の

が あ る Ω1に 含 まれ,そ

と き に は,

μ(Ωn)<∞

函 数 と し て,す

べ て の 

こ で 有 界 で あ る と し て お け ば,上

っ たu(t)は 

の よ うに し て作

に 属 す る こ と が わ か る.p<∞-で

あ る から,こ

の よ う な 函 数 の 全 体 がLp,w(Ω,μ;Sθ)で

稠 密 で あ る. (証 明 終)

§4.7  平 均 補 間 空 間 を含 む 空 間 の 特 徴 づ け   定 義   準 ノ ル ム空 間 の 両 立 対{X0,X1}と0≦ 準 ノ ル ム 空 間Yが

θ≦1と

ク ラ ス〓θ,c{X0,X1}の

正 数cと

に 対 し て,

空 間 で あ る とは

 (1)

で あ っ て(〓 はX0とX1が のx∈X0∩X1に

連 続 的 に 埋 め 込 まれ る分 離 線 型 位 相 空 間),す

べて

つ い て,

 (2)

が 成 立 す る こ と を い う.定 の 全 体 を〓θ{X0,X1}と   条 件(2)は

数cを

正 数 全 体 の 中 で 動 か し た と き の〓 θ,c{X0,X1}

書 く.

補 間 不 等 式,す

な わ ち,任

意 の 正 数 ε に つ い て,

 (3)

が 成 立 す る こ と と 同 値 で あ る.Youngの

不 等 式(1.1.9)に

か れ,(2)に

お け ば(1)を 得 る.

  Banach空

お い て ε=‖x‖x1/‖x‖x0と 間 の 場 合,ク

  定 理   {X0,X1}はBanach空

よ り(1)か ら(2)が 導

ラ ス〓 θ,cの 空 間 は 次 の よ うに 特 徴 づ け ら れ る: 間 の 両 立 対 で,X0とX1は

〓 に 連 続 的 に 埋 め 込 ま れ て い る と す る.0≦

θ ≦1,c>0,と

分離線型位相空間 す る.

  こ の と き,条

件(1)を 満 た すBanach空

間Yに

対 し て,次

の3条

件は互に 同

値 で あ る:   (ⅰ)  Yは

ク ラ ス〓θ,c{X0,X1}の

空 間 で あ る;

  (ⅱ)  任 意 の 測 度 空 間(Ω,μ)と
∞

重 み の 函 数φ0とφ1,指

数0
∞,0

に 対 し て,

 (4)

で あ っ て,埋

め 込 み の ノル ム はcを

越 え な い;た

だ し,

 (5)

  (ⅲ) 

(埋 め 込 み の ノ ル ムはcを

た だ し,j=0,1に

越 え な い);

つ い て,

  (6) 

(X0,X1)j,1=(X0∩X1のXjに

お け る 閉 包)

と 定 義 す る.   証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ)の証.0<θ<1の の 元 をuと

す る.

で あ る か ら,Holderの   θ=0の

あ る.任

意 のx∈X0∩X1に

成 立 す る こ と は 明 白.θ=1の

証.0<θ<1の

式(4.1.3)で

定 理1.4(a)に

∈X0∩X1に

q=q0で

あ る か ら,(4)が

  (ⅱ)⇒(ⅲ)の

θ=0の

不 等 式 に よ り結 論 を 得 る.

と き.φ=φ0,

≦c‖x‖X0で

で あ る.等

と き. 

と き.仮

定 義 し た 作 用 素8に

よ り,(X0,X1)θ,1〓Yを

定に よ り

つ い て の 両 辺 の 像 の 空 間 を 作 る と,

得 る.

と き.ρ(t)∈〓0(R+),  対 し て,u(t)=ρ(t)xと

ρ(t)≧0に

函 数 ρ を と り,x

お く と,

で あ り,仮 定 に よ り,  uを 代 入 し て,‖x‖Y≦c‖x‖X0を

つ い て‖x‖Y と き も 同 様.

で あ る か ら, 得 る.YはBanach空

間 で あ る か ら 系1.5

に よ り(X0,X1)θ,1〓Yを   (ⅲ)⇒(ⅰ)の

得 る.θ=1の

証.0<θ<1の

と き.条

に ρ(t)を と り,x∈X0∩X1に

を 得 る.た

と き も 同 様 で あ る. 件(ⅲ)と

例4.1.1に

対 し て,u(t)=ρ(t)xと

よ り上 の よ う

お く と,

だ し,

で あ る.ρ の 台 をt=1に   θ=0と

θ=1の

集 中 さ せ て 行 け ば,α

→1と

な る か ら(2)を 得 る.

と き は 明 白 で あ る. 

(証 明 終)

  系   {X0,X1}はBanach空

間 の 両 立 対,1≦q0≦

φ1は 指 標 条 件 を 満 た し,Y0は

ク ラ ス〓γ,c{X0,X1}のBanach空

ラ ス〓δ,d{X0,X1}のBanach空

間 とす る.こ

∞,1≦q1≦

∞,φ0と 間,Y1は

ク

のとき

 (7) で あ り,埋

め 込 み の ノ ル ム はk(c,d)を

越 え な い.た

だ し,

 (8)

とし,ψ0と ψ1は指 標 条 件 を 満 た して い る と仮 定 す る.特 に  (9)

または  (10)

を 仮 定 す る と ψ0と ψ1は 指 標 条 件 を 満 た し,し   特 に,φ0(t)=tλ

θ, 

た が っ て(7)が 成 立 す る. の 場 合 に は,

k(ξ,η)=ξ1-κηκ   κ=(θ-γ)/(δ-γ) で あ っ て,条

件(9)と(10)は"γ<θ<δ"と"γ>θ>δ"に

な る.

  証 明  定 理 に よ り  (11)

で あ り,埋

め 込 み の ノ ル ム はmax(c,d)以

像 の 空 間 を 作 れ ば,定 理1.4(a)に

下 で あ る.こ

れ か ら 作 用 素Sに

よ り結 論 を 得 る.例2.8.4と

例2.8.5に

よる よ り

で あ る.よ

っ て(9)ま た は(10)が

の と き,(11)の

成 立 す れ ば ψ0と ψ1は 指 標 条 件 を 満 た す.こ

埋 め 込 み の 代 りに,s>0を

し,Dsu(t)=u(st)を

使 え ば,(7)の

固 定 し て,対応u→Dsu(た

だ

埋 め 込 み の ノル ムは

max{cψ0(s-1),dψ1(s-1)} を 越 え な い こ とが わ か る.s>0に ル ム がk(c,d)を

つ い て 下 限 を と る と,(7)の

埋 め込 み の ノ

越 え な い こ と が わ か る.

  φ0(t)=tλ θ,φ1=tλ(θ-1)な

ら ば,indφ0=λ

θ,indφ1=λ(θ-1)で

(9)と(10)は"γ<θ<δ"と"γ>θ>δ"に

な る.ま

た,こ

で あ る. 

あ り, の と き,

(証 明 終)

  §4.8  平 均 補 間 空 間 に 含 ま れ る空 間 の 特 徴 づ け   定 義  {X0,X1}を の と き,準

準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対,0≦

ノ ル ム空 間Yが

θ≦1,cを

ク ラ ス〓θ,c{X0,X1}の

正 数 とす る.こ

空 間 で あ る と は,

 (1)

し か も,任

意 の 正 数c1>cと

正 数 ε,任 意 のy∈Yに

対 し て,

 (2)

と な るx0∈X0とx1∈X1が   定 理   Banach空 空 間Yに

存 在 す る こ と を い う(ε0=1と

間 の 両 立 対{X0,X1}とY〓X0+X1を

み た すBanach

対 し て 次 の 条 件 は 同 値 で あ る:

  (ⅰ) Yは

ク ラ ス〓θ,c{X0,X1}に

属 す る;

  (ⅱ)  (Ω,μ)を σ-有 限 な 測 度 空 間,φ0と 1≦q0≦

す る).

∞,1≦q1≦

∞

φ1を Ω 上 の 正 値 の 可 測 函 数 と し,

とす る な ら ば,

 (3)

で あ り,埋

め 込 み の ノ ル ム はcを

て 定 め,右

辺 の空 間 の ノル ム は

 (4)

越 え な い.た

だ し,φ

とqは(4.7.5)に

よっ

で 定 義 す る.   (ⅲ)  Y〓(X0,X1)θ,∞(埋 た だ し,右

め 込 み の ノ ル ムはcを

越 え な い),

辺 の 空 間 の ノ ル ムは

 (5) で 定 義 し,(X0,X1)0   (6) 

意 の 正 数 ε に 対 し て,

x=x0ε+x1ε,

と 表 わ さ れ るxの

と 定 め る.下 X1を

,∞ を,任

全 体 で,そ

x0ε ∈X0,

限 は(6)を 満 た す あ ら ゆ るx0ε に つ い て と る.(X0,X1)1

入 れ 換 え て,(X0,X1)0,∞

  証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ)の c1>cと

x1ε ∈X1,‖x1ε‖x1<ε

の ノル ム を

,∞はX0と

と 同 様 に 定 義 す る.

証. 

と 略 記 す る.

す る と き,

 (7)

がLq,φ(Ω,μ;Y)の っ て(3)を

稠 密 な 部 分 集 合 に お い て 成 立 す る こ と を 示 せ ば 系1.5に

得 る.B1⊂B2⊂

  (a)  q<∞-の てBlの

外 で0と

…, 

場 合,積

分 の 定 義 に よ り,φυ

な る 函 数υ がLq,φ(Ω,μ;Y)で

の と き(7)を 示 せ ば よ い.た っ て,A1,A2,…

μ(Bn)<∞

だ しχmは

で Ω 上 で 正 値 で あ る か ら,必

に と る. が 単 函 数 で,あ

るlに つ い

稠 密 で あ る か ら,

可 測 集 合A

は 互 に 共 通 点 の な いBlの

mの 定 義 函 数,ym∈Yで

あ

部 分 集 合 で あ る.φ0とφ1は

可測

要 な ら ばA1,A2,…

数 δ を 定 め た と き,m=1,2,…,とj=0,1に

を 分 割 す る こ と に よ り,正 ついて

と な る と仮 定 し て 一 般 性 を 失 な わ な い.σ

をυ のLq

,φ(Ω;Y)で

の ノ ル ム とす

る.   (イ)  q0<∞-,   各Amよ

0<θ<1の

り点 ξmを 選 ん で お く.仮

と な るx0m∈X0とx1m∈X1が

 (8)

q1<∞-,

よ

と き.

定 に よ りm=1,2,…,に

あ る.た

だ し,

ついて

にkmを

定 め て お く.φ お よ びqの

定義 によ り

がわ か る か ら,  (9) を 得 る.ゆ

え に,j=0,1に

つ い て,

 (10) と 定 義 す る と,υ=υ0+υ1で

と な る.ξ ∈Amの

あ っ て,

とき

同 様 に,

で あ る.一

  で あ る か ら,結

方,

局,

を 得 る.δ は 任 意 の 正 数 で あ る か ら(7)が 得 られ た こ と に な る.   (ロ)  0<θ<1,

q0=∞,

1≦q1<∞-の

に と れ ば,q=q1/θ る.(イ)と

同 様 に し て,(10)でυjを

を 使 っ て,(9)が 定 義 す る と,ξ ∈Amの

で あ る か ら, 

を 得 る.υ1の

で あ る.よ

っ て(7)を 得 る.

  0<θ<1,

1≦q0<∞-,

  (ハ)  θ=0の

場 合.(8)の

q1=∞

代 り に,  成 立 す る こ とが わ か とき

ノ ル ム の 評価 は(イ)と

同様

の と き も同 様 に 議 論 で き る.

場 合.φ0=φ,

q0=q<∞-と

界 と な る こ とが す ぐわ か る.し

た が っ て,正

な る.φ1/φ0は 数 εを与え たと き,

各Amで

有

と な る 正 数 εmが あ る.た

だ し,q1=∞

と な るx0m∈X0とx1m∈X1を

の と き は 右 辺 を ε と す る.

選 び,こ

ま た,q1<∞-な

らば

で あ り,q1=∞

な ら ば,ξ

∈Amの

れ ら か ら(10)に

と き,

と な る か ら,‖υ1‖φ1(X1)≦ ε, υ1∈ Φ1(X1)を 得 る.(7)が   θ=1の

示 さ れ た.

場 合 も 同 様 に し て わ か る.

  (b)  q0=q1=q=∞

の 場 合.定

測 可 算 値 函 数 の 全 体 がL∞,φ

と 仮 定 し て よ い.た

理2.1に

こ と に よ り,正

だ し,ym∈Y,

χmは 可 測 集 合Amの

点 ξmを

で あ り,同

分割す る

つ い て,

と り,km=φ0(ξm)-1φ1(ξm)と

定 め,(10)に

な る.ξ ∈Amの

お く.

場 合.正

よ りυj(j=0,1)を

とき

様 に し て, 

  (ロ)  θ=0の

同 様 に 必 要 な ら ばAmを

場 合.

と な る よ う にx0mとx1mを υ=υ0+υ1と

属 す る可

定 義 函 数,A1,A2,…,

数 δを 定 め た と き,m=1,2,…,とj=0,1に

と 仮 定 し て よ い.Amの 0<θ<1の

よ りL∞,φ(Ω,μ;Y)に

で 稠 密 で あ るか ら,

は 互 に 共 通 点 に な い 可 測 集 合 で あ る.(a)と

  (イ) 

よ りυjを 定 義 す る

が 示 さ れ る. 数 εに 対 し て,

定 義 す る と,

と な る よ うにx0m∈X0とx1m∈X1と

を と る.以

下(イ)と

同 様 に 議 論 し て,

(7)が わ か る.   θ=1の

場 合 も 同 様 で あ る.

  (c) q0とq1の L∞-の

い ず れ か が ∞-に

定 義 に よ りBnの

な る場 合.q≦

∞-で

あ る.積

定 義 函 数 を χnと す る と き,υ=limχnυ

を 正 数 とす る.n1
に 自 然 数 の 列{nk}を

分 お よび で あ る.ε

選 び,

の とき と な る よ うに で き る.w(0)=χn1υ,  く.(a)と(b)の

とお

結 果 に よ り,w(k)0とw(k)1を

と な る よ うに 選 ぶ こ と が で き る.w(k)jに

χnk+1-χnk(た

χn1)を 乗 じ て も や は り同 じ性 質 を 持 つ か ら,は (k=0の

は

と き はBn1)の

Φj(Xj)で

か ら,υj∈

外 で は0と

収 束 し,各w(k)j∈ Φj(Xj).し

だ し,k=0の

とき は

じめ か ら,w(k)jはBnk+1＼Bnk

し て よ い.

Φj(Xj)で

あ る.Φj(Xj)はBanach空

間 で あ る

か も,

で あ る.   (ⅱ)⇒(ⅲ)の

証.(ⅱ)で

特 に(Ω,μ)=(R+,t-1dt),

φj(t)=tj-θ,(j=0,1)

を と る と,

で あ り,埋 り(ⅲ)を

め 込 み の ノル ム はcを 得 る.θ=0の

と な るυ0とυ1が υ1(t)と   θ=1の

越 え な い.0<θ<1の

場 合.c1>cを

あ る.c1‖y‖Yt<ε

場 合 は 定 理4.3に

と る と,y∈Yに

にt>0を

お け ば, ‖x1ε‖x1<ε

対 し て,

と り,x0ε=υ0(t),

x1ε=

と な る.

場 合 も 同 様 で あ る.

  (ⅲ)⇒(ⅰ).0<θ<1の 場 合 は(X0,X1)0,∞

場 合 は 定 理4.3に と(X0,X1)1,∞

よ り わ か り,θ=0と

の 定 義 に よ り わ か る. 

θ=1の (証 明 終)

よ

  系   {X0,X1}はBanach空 Y1は

間 の 両 立 対,Y0は

ク ラ ス〓 δ,d{X0,X1}の

満 た し,1≦q0≦

∞,

ク ラ ス〓 γ,c{X0,X1}の

空 間 とす る.φ0とφ1は

1≦q1≦

∞

と 仮 定 す る.こ

空 間,

重 み の 函数 で指 標 条 件 を の と き,

  (11) で あ る.た

だ し,r0,r1,ψ0,ψ1は

が 成 立 す る と 仮 定 す る.(11)の

§4.7の(8)で

定 義 し,§4.7の(9)ま

埋 め 込 み の ノ ル ム はk*(c,d)を

た は(10)

越 え な い.た

だし   特 に,φ0(t)=t-λ

θ, 

の と き,§4.7の

と(10)は"γ<θ<δ"と"γ>θ>δ"に

で あ る.た

だ し,補

条 件(9)

な り,

間 空 間 の ノ ル ム は,分

解 表 示 に よ り,

に よ っ て 定 義 す る.   証 明   y∈S(r0,ψ0,Y0;r1,ψ1,Y1)と

し,そ

数 ε に 対 し て, 

(a.e.t)で あ っ て,相

た だ し,u0=w00+w01,

で あ る.定

であ る.ε

似 変 換 をDsで

理 に よ り,j=0,1に

と表 わ さ れ る.し

理4.3に

辺を

数sに

対 し て,y=υ0(st)+υ1(st)

示 す と,

つ い て,

た が っ て,

u1=w10+w11で

あ る.し

か も,

よ りy∈S(q0,φ0,X0;q1,ψ1,X1)で

は 任 意 で あ るか ら,右

を と る と,右

意の正

を

と な る よ うに 選 ぶ こ と が で き る(定 理4.3).正

で あ る.定

の ノル ム を σ と す る.任

σk*(c,d)と

辺 で εを 省 い て よ く,ま し て よ い こ と が わ か る.

あ っ て,

た,sに

つ い て下 限

  φ0(t)=t-λθ,  て,系

の と き 系4.7の

の 条 件 は"γ<θ<δ

ま た は γ>θ>δ"と

証 明 と同 様 に し

な る こ と,お

が わ か る. 

よ び,

(証 明 終)

  §4.9  反 復 補 間 の 定 理   定 義   ノ ル ム 空 間 の 両 立 対{X0,X1}と,0≦ て,ノ

ル ム空 間Yが

{X0,X1}で

θ ≦1,c>0,d>0に

ク ラ ス〓 θ,c,d{X0,X1}空

あ り,し

間 で あ る と はYが

か も ク ラ ス〓 θ,d{X0,X1}と

の 中 で 動 か し た と き ク ラ ス〓θ ,c,d{X0,X1}の

対 し ク ラ ス〓 θ,c

な る こ と を い う.c,dを

正数

空 間 の 全 体 を〓 θ{X0,X1}で

示

す.   系4.7と

系4.8に

よ り次 の 結 論 を 得 る.

  定 理   {X0,X1}をBanach空 Banach空 1≦q1≦

間(j=0,1)と ∞

間 の 両 立 対,Yjを す る.φ0と

ク ラ ス〓γj,cj,dj{X0,X1}の

φ1は 指 標 条 件 を 満 た し,1≦q0≦

∞,

と し,

 (1)

に よ っ て,ψ0,ψ1,r0,r1を ば §4.7の(9)ま

た は(10)が

定 め て,ψ0と

ψ1が 指 標 条 件 を 満 た す とす る(た

成 立 す れ ば よ い).こ

とえ

の と き,

 (2)

で あ り,ノ

ル ム は 同 値 で あ る.

  (2)の 右 辺 をS(X0,X1),左 よ び 定 理4.3の

辺 をS(Y0,Y1)と

証 明 の 計 算 お よ び(4.1.7)を

略 記 す る と,系4.7と

系4.8お

導 く計 算 に よ り

 (3)

で あ る.た

だ し, 

で あ る.ま

た,

 (4)

を 得 る.た

だ し, 

た と え ばl-indψ0>0>r-indψ1の

は(4.1.6)で と き

定 義 し,

 (5)

で あ る.下

限 は, 

とな る あ ら ゆ る ρに つ い て と

る.   例   S=S(q0,t-λ

θ,X0;q1,tλ-λ

と す る.例4.1.1に

で あ る.た

よ り,x∈X0∩X1に

で あ る.す

だ し, 

,0<θ<1

定 数 で あ る.

を 正 数 と す る と,

あ る.た

と え ば λ>0の

と お く と,x=υ0(t)+υ1(t)で (st1/λ),た

略 記 す る.た つ い て

だ し,c(θ,q0,q1)は(4.1.11)の

  ま た,x∈S,ε

と な るuが

θ,X1)と

だ し,s=(λ

と きに は

あ り,Holderの

不 等 式 を 使 い,xj(t)=υj

θ)1-1/q0{(1-θ)λ}(1/q1)-1,と

な わ ちSは

お く と,

ク ラ ス〓 θ,c,d{X0,X1}で

あ り,定

理4.7と

定 理4.8に

よ

り  (7)

を 得 る.こ

れ は 定 理4.5か

ら もわ か る.た

だ し,

 (8) で あ り,q′0とq′1は

そ れ ぞ れq0とq1の

共 役 指 数 で,q0≧

き はd=￨λ￨θ/q1-1θ

θ-1{(1-θ)q′1}-θ/q′1,q0≧

￨λ￨-1θ

で あ る.

θ-1(1-θ)-θ

  §4.10  Peetreの

み の 函 数 がtのベ

タ ー を ひ と つ 省 く こ と の で き る こ と を 示 すJ.   定 理   {X0,X1}をBanach空 す る と,

∞-の

と と き はd=

定理

  反 復 補 間 の 定 理 を 使 っ て,重

θ<1,と

∞-,q1≧

∞-,q1<∞-の

キの と きに は 補 間 の パ ラ メー

Peetreの

間 の 両 立 対,1≦q0≦

定 理 を 導 く. ∞,1≦q1≦

∞,0<

 (1) で あ り,ノ q0≧

ル ム は 同 値 で あ る.た

∞-,q1≧

∞-の

だ し,1/q=(1-θ)/q0+θ/q1で

と き はq=min(q0,q1).

  証 明   0<γ<θ<δ<1にγ

と δ を と り,κ

よ う に と る.0<κ<1で

を

お く.定

に よ り,

た が っ て,こ

の 空 間 の 元xに

対 し て,

 (2)

と い う表 示 が あ る.Rieszの

定 理(定 理4.6)に

で あ る か ら,  (3)

と な るu0とu1が

存 在 す る.

で あ る か ら,

 (4)

と お く と, 

と お く と,Holderの

θ=(1-κ)γ+κ

δ とな る

あ る.r0とr1を

に よ っ て 定 め,Y0=(X0,X1)γ,r0,Y1=(X0,X1)δ,r1と

で あ る.し

あ っ て,

で あ る.

不 等 式 に よ り,

よ り

理4.9と

例4.9

を 得 る.τ=τ(s)={g0(s)+sg1(s)}/{f0(s)+sf1(s)}に

と な る.θ=κ

δ+(1-κ)γ

で あ り,系2.3に

で あ る.し

で あ る か ら,再

びHolderの

不 等 式 に よ り,

よ り,

た が っ て,υ

も 証 明 で き る.よ

と れ ば,

∈L*q,s-θ(R+;X0)で

あ る.同

様 に,υ

っ てx∈S(q,s-θ,X0;q,s1-θ,X1)=(X0,X1)θ

  逆 に  x∈(X0,X1)θ,qと

,q.

す る と,

 (5)

と な る表 示 が あ る.定

理4.6に

よ り

で あ る か ら,  (6)

と い う表 示 が あ る.そ

こ で,

 (7)

と お く と, 

で あ り,し

か も 系2.3に

∈L*q,s1-δ(R+;X1)

よ り

ゆ え に,υ(s)∈L*r0,s-κ(R+;Y0),同

様 にυ(s)∈L*r1,s1-κ(R+;Y1),し

た が っ て,

x∈S(r0,s-κ,Y0;r1,s1-κ,Y1).   以 上q0,q1,qが

∞-で

q<∞-,q0=∞-の

な い 場 合 を 考 え た.∞-を

含 む 場 合 を 考え

とき を 考 え る.1≦q1<∞-で

る.ま

あ る か ら 系4.4に

り

で あ り,q=∞-,q0=∞-,q1=∞

であ る. 

の と き も 系4.4に

よ り,

(証 明終)

ず よ

第5章  準 ノル ム空間 の平均補間空間

  準 ノル ム空 間値 函数 に つ い て はBochner積

分 が 使 えな い.し

た が って,第

4章 の 定 義 を そ の ま ま準 ノル ム空 間 の場 合 へ 拡 張 す る こ とは で きな い.と が,実 は 平 均 補 間空 間 はBochner積

ころ

分 な し で点 列 また は 級 数 を 使 って も同 等

に 定 義 で き る.こ れ を 第1節 で示 し,そ れ に対 応 し て第2節 で 準 ノル ム空 間 の 場 合 の 平 均補 間空 間 の 定 義 を 与 え,§3と §4で そ の 基 本 的 性 質 を 述 べ る.第5 節 と第6節 では 平 均 補 間 空 間 と深 く関連 し て い るGagliardoの のK函

数 を 招 介 し,K函

数 の 方 法 を解 説 す る.§3で

図 形 とPeetre

平均補間空間の双対空間

を決 定 す る.こ の とき も点 列 を 使 う方 法 が 有 効 で あ る.   §5.1  点 列 ま たは 標 準 的 可 算 値 函 数 の 方 法   準 ノル ム空 間X上

の点 列 空 間lq(X)(0
この章 で は整 数 全 体Zで l∞-(X)に 属 す る とはn→ た,級 数 Σunが

∞)は 例1.2.4で

定 義 した が,

番 号 づ け られ てい る点 列 を 考 え る.特 に{xn}n∈Zが ±∞ の と き‖xn‖Xが0に

収 束 す る こ とで あ る.ま

収 束す る とは

 (1)

の 右 辺 の 極 限 が 存 在 す る こ と を い う.   定 義   {an}n∈Zを lq(X)と

正 数 列 と す る と き 重 み つ き 点 列 空 間lq,{an}(X)を{anxn}∈

な る 点 列{xn}と

定 め,{anxn}のlq(X)に

つ い て 準 ノル ム を{xn}の

こ の 空 間 で の 準 ノ ル ム と定 義 す る.   XがBanach空

間 の と き,こ

の 重 み つ き 点 列 空 間 もBanach空

  平 均 補 間 空 間 を 点 列 空 間 で 表 現 で き る こ と を 示 そ う:す   定 理  φ0とφ1は q1≦

指 標 条 件 を 満 た すR+上

∞,{X0,X1}はBanach空

な わ ち,

の 重 み の 函 数,1≦q0≦

間 の 両 立 対,c>1と

間 に な る.

す る.区

∞,1≦ 間(0,1)と

区

間[1,∞)を

そ れ ぞ れ,A-1∪A-2∪

…

とA0∪A1∪

…

と 分 割 し て,

 (2)

と な る よ う に す る.   こ の と き,u∈Wに

と 略 記 す る. 対 し て,

 (3) 

(t∈Anの

た だ しμ(A)はdt/tに

つ い てのR+の

部 分 集合Aの

と き),

測 度,と

して 可算 値 函 数

υを 定 義す る と,  (4)

  (5) ‖

υ‖W≦c‖u‖W

と な る.ま

た,各Anよ

1),υn=υ(tn)と

り1点tnを

選 ん で お き,ajn=μ(An)1/qjφj(tn)(j=0,

お く と,

 (6)

 (7)

で あ る.φjの

相 似 比 函 数 を φj(j=0,1)と

{φj(t);a-1
間[an,an+1)が

の と きc(a)→1と c≧c(a)と の と きWの

条 件 に 適 す る .特

に φjがt=1で

意 のc>1に

か もq0とq1が

位 相 でuに収

対 し て,cj

お く と,c≧c(a)の

な る か ら,任

な る.し

し,a>1に

対 し て,aを

十分小に とれば

束 す る. 件(2)を 満 た す 分 割 の 存 在 も補 題 の 証 明 の

中 で 示 す. 

(証 明 終)

 補 題  φ は 指 標 有 限 のR+上 す る.R+の

の 重 み の 函 数1≦q≦

分 割,R+=∪Anをsup{φ(t)/φ(s);s

る よ う に と り,L*q,φ(R+;X)の

元uに

対 し て,(3)に

∞,XはBanach空 ,t∈An}≦cと よ りυを 定 め る と

 (8)

で あ る.各nに

n

連 続 な ら ばa→1+0

∞ で な け れ ば こ れ に 応 ず るυ はa→1+0

  証 明   次 の 補 題 に よ り わ か る.条

c>1と

,a=sup

と き はA

つ い てtn∈Anan=μ(An)1/qφ(tn)と

お く と,

間, な

 (9) で あ る.φ

の 相 似 比 函 数 を φ,a>1に

つ い てCa=sup{φ(t);a-1≦t≦a}

と お く と,An=[an,an+1)がc>Caに t=1で

連 続 な ら ば,こ

L*q,φ(R+;X)の

対 し て 条 件 を 満 た す. 

数 の 定 義 に よ り,sとtが 越 え な い.し

区 間[an,an+1)に

し,m個

に よ りCa≦cの

系2.6に か ら,積

条 件 に よ り,t∈Anの

よ り(8)を

  φ(t)がt=1で  

得 る.ま

す れ ば よ い.ま

た こ の議 論

よ い こ と は 明 ら か で あ る. ら 定 理 の よ う に υ を 作 る と,

とき

べ て のs∈R+に

つ い て 

た,t∈Anの

を 得 る.

と きc-1φ(t)≦φ(tn)≦cφ(t)で

つ い て 加 え る と,(9)を 連 続 と す る と,a→1+0の と し,uの

で あ る か ら,任

Anの

比は

あ

分 し て,

と な り,こ れ をnに

an+1)に

属 す る と き,φ(t)とφ(s)の

並 べ かえ て,{An}と

定 義 函 数 を χnと し,uか

様 に し て,す

似比函

越 え る 整 数 をm,λn=sup{φ(t);

と き はAn=[an,an+1)で

で あ る.{An}の

と る.相

の集 合 を

と な る よ うに 作 る.{Bnk}を

で あ る.同

分 割 の 存 在 を 示 す.a>1に

た が っ て,logCa/logcを

an≦t
  さ て,Anの

と きuに

位 相 で 収 束 す る.

  証 明   ま ず 条 件 に 適 す るR+の

Caを

,φ(t)が

の 分 割 に 応 じ て 作 っ た υ はa→1+0の

属 す る と き‖u(s)-u(t)‖X<ε と き,

と きCa→

台 は[a-l,al]に

意 の 正 数 ε に 対 し て,aを

得 る. φ(0)=1と

含 まれ る と す る.uは 十 分1に

と な る.し

な る. 一様 連 続

近 く と れ ば,sとtが[an, た が っ て,t∈[an,an+1)=

で あ る.一

方φ は[a-l,al]で

にφ(t)υ(t)→φ(t)u(t).し

有 界 で あ る.ゆ

と き,一

か もφ υ も φuも 有 界 な 台 を 持 っ て い る.よ

L*q,φ(R;X)の

位 相 でυ→uで

L*q(R+;X)に

お い て 稠 密 で あ る か ら,一

uが

え に,a→1+0の

あ る.1≦q≦

∞-の

様

っ て,

と き〓0(R+;X)が

般 のL*q,φ(R+;X)元

に つ い て ,υ →

わ か る. 

(証 明 終)

  §5.2  準 ノ ル ム 空 間 の 平 均 補 間空 間 の 定 義

  前 節 の 考 察 に よ り次 の 定 義 を 得 る:   定 義   {X0,X1}を φ1をR+上

準 ノル ム 空 間 の 両 立対,0
の 重 み の 函 数 とす る.a>1に

間[an,an+1)で

は 定 数un∈X0∩X1に

∞,0
∞,φ0と

固 定 す る.各n∈Zに

対 し て,区

な り,

 (1)

を 満 た すuに

よ っ て,

(X0+X1で

 (2) 

と表 示 さ れ るxの

全 体 をS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)と

い う.S(q,φ,X0;q,φt,X1)=(X0,X1)φ   特 に,X0とX1が すuに

収 束) 表 わ し,平

均 補 間空 間 と

,qと 書 く.

完 備 で,φ0とφ1が

指 標 条 件 を 満 た せ ば(1)の 条 件 を 満 た

つ い て(2)は 必 ず 収 束 す る.

  分 解 表 示 に よ る 補 間 空 間 も定 義4.3と υ1は 区 間[an,an+1)(n∈Z)で

同 様 に し て 定 義 で き る.た

だ し,υ0と

定 数 とす る.

  xのS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)で

の 準 ノル ム を,表

示(2)を 満 た す あ ら ゆ るu

に つ い て の(1)の 右 辺 の 空 間 で の 準 ノ ル ム 下 限 と 定 義 す る.   見 か け 上,平

均 補 間 空 間 はaの

選 び 方 に 存 在 す る が,実

際 は ほ と ん どaに

依 存 し な い こ と が 次 の 補 題 に よ りわ か る.   補 題   {X0,X1}を

準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対,0
φ1は 指 標 有 限 の 重 み の 函 数 と す る.a>1と

す る.

∞,0
∞,φ0と

は

  (a)  各 区 間[an,an+1)(n∈Z)で

一 定 とな るuに

つ い て,(1)の

右 辺 の空 間

で の 準 ノル ム は準 ノル ム  (3)

と同 値 で あ る.   (b)  平 均 補 間 空 間 はaの

代 りにa2ま たは 

を 使 っ て も 同 じ空 間 に な

り,準 ノル ムは 同値 で あ る.  証 明   (a)の 証.不 等 式  (4)

た だ し,

とす る,に

よ り(a)は

  (b)の 証.uを

明 ら か.

定 義 の 条 件 を 満 た す 函 数 とす る.

  (5)  と お き,区

υn=(u2n+u2n+1)/2  間[a2n,a2n+2)でυnと

の 条 件 を 満 た し て い る.し

(n∈Z)

な る 函 数 を υ と お く.υ

か も,Xjの

はa2に

関 して 定 義

準 ノル ム の γ乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た す

とす れ ば

とはnに

と  に 評 価 で き る.ゆ

え にxはa2に

  逆 に,各n∈Zに

依 存 しな い 定 数 に よ り,互

よ っ て 定 義 さ れ る 平 均 補 間 空 間 の 元 で あ る.

つ い てw2n=un,w2n+1=unと

上 でwnと

な る 函 数 をwと

す る と,同

し,区

間 

様 な 計 算 に よ り,xは 

よ っ て 定 義 さ れ る 平 均 補 間 空 間 に 属 す る こ と が わ か る.    こ の 平 均 補 間 空 間 で も 作 用 素 の 補 間 定 理 が 成 立 す る.す   定 理   {X0,X1}を

準 ノ ル ム空 間 の 両 立 対,0
φ1を 指 標 条 件 を 満 た すR+上   (a)  {Y0,Y1}を

(証 明 終) な わ ち, ∞,0
∞,φ0と

の 重 み とす る.

準 ノル ム 空 間 の 両 立 対,Tを{X0,X1}か

の 両 立 連 続 線 型 作 用 素 と す る.こ (q0,φ0,Y0;q1,φ1,X1)へ

に

ら{Y0,Y1}へ

の と きTはS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)をS

写 す 有 界 作 用 素 で あ る.そ

の作 用 素 の準 ノル ムを 評 価

す る指示 函 数h(ξ,η)は  (6)

 (b)  平 均 補 間 空 間 は分 解 表 示 の補 間 空 間 に一 致 し,準  証 明   (a)  xが(2)の

よ うに表 示 され れ ば,Tの

ノル ムは 同 値 であ る.

連 続 性 に よ り,

 (7)

と な る.し と,こ

た が っ て 区 間{an,an+1)でTun∈Y0∩Y1と

の υ がTxを

表 示 し,υ

の 元 と な る こ とが わ か る.指

な る 函 数 を υ とす る

の 準 ノ ル ム を 評 価 す る と,Txが

示 函 数 は 変 数 変 換 診t→antに

平均補間空間

よ り定 理4.1と

まっ

た く平 行 に 論 ず れ ば わ か る.   (b)  l-indφ0>0>r-indφ1の >1を

固 定 し,logaの

場 合 を 考 え る.xの

表 示 を(2)と

ベ キ の 因 数 は 無 視 す る.X0とX1の

す る.a

準 ノル ム の γ乗

が 三 角 不 等 式 を 満 た す と仮 定 す る.  (8)

とす る.各 整 数kに 対 して,重 み の 函数 の指 標 の条 件 に よ り,

で あ り,l→

∞

の と き 

で あ る.ゆ

を 満 た す よ うにl=l(k)>kとw0l,w1lを

と お く と,x=υ0k+υ1kで,し

同 様 に, 

逆 に表 示(10)よ   xの

 (9)

選 ぶ こ と が で き る.

か も

で あ り,補

りun=υ0n-υ0n+1と

表 示 を(8)と す る と,m∈Zと

え に(4.1.7)と

え に,

題2.8(b)に

し て(8)を

よ り,

得 る. 

し て{un+m}n∈Zに

同 様 に し て,{un}のlqj,{φj(an)}(Xj)で

(証 明 終)

よ っ て も 表 示 さ れ る.ゆ の 準 ノ ル ム を ξjと お く と,

ま た,定

理 の(b)に

よ り,S{q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)の

元 に 対 し て,

 (10)

と い う表 示 が あ り,し 定 数 倍(xに

か も,{υjn}の

準 ノ ル ム をxの

依 存 し な い)で 評 価 さ れ る.ま

φj(an)sup{φj(s);1≦s≦a}で

補 間 空 間 で の 準 ノル ム の

た,an≦t
あ る か ら,結

局 任 意 の 正 数tに

と き,φj(t)≦ 対 し て,

 (11)

を満 たす 分解 が あ る.た だ しCはaと

φ の み に 依 存 す る定 数 で あ る.

  §5.3  平 均 補 間 空 間 の基 本的 性 質   準 ノル ム空 間 の平 均 補 間 空 間 に つ い て もBanach空

間 と同様 な定 理 が成 立

す る.こ の節 で は 基 本 的 性 質 を 述 べ る.   定 理   φ0と φ1を 指 標 条 件 を 満 た すR+上 の重 み の 函数,{X0,X1}を ム空 間 の 両 立 対,0
準 ノル

準 ノ ル ム の γ 乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た せ ば,δ=min(γ,q0,

お く と き,S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)の

準 ノ ル ム の δ乗 は 三 角 不 等 式 を 満

た す.   (b)  X0とX1と

が 完 備 で あ れ ば 平 均 補 間 空 間 も 完 備 で あ る.

  (c)  q0ま た はq1が は 稠 密 で あ る.ま

∞ で な け れ ばS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)の

た,x∈X0∩X1の

中 でX0∩X1

とき

 (1)

 (d)  0
γ0≦ ∞,0
∞

な らば

  (e) l-indφj>r-indφ0j,l-indφ1j>r-indφj(j=0,1)ま φj>r-indφ1j,l-indφ0j>r-indφj(j=0,1)な

た はl-ind らば

で あ る.   証 明   a>1と   (a)の 証.条

し,準

ノ ル ム な ど でlogaの

件‖x+y‖δX≦‖x‖δX+‖y‖δXが

ベ キ の 因 数 を 無 視 す る. 成 立 す る な ら ば,δ ≦qの

と き,

で あ る(q/δ ≧1ゆ

えlq/δ は ノ ル ム空 間).

  こ の 結 果 よ り(a)は

直 ち に わ か る.

  (b)の 証.X0とX1が

完 備 で あ る と す る.こ

に 属 す れ ば,Σunは の 作 用 素{un}→

収 束 す る.よ Σunに

の と き,{un}が

っ てS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)は

よ る像 の 空 間 で あ る.補

題1.3に

この空 間 上 よ り完 備 性 が わ か

る.   (c)の 証.S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)の =u-n+u

収 束 す る こ と が わ か る.定   x∈X0∩X1な

ゆ え に,(1)を

  (e)の 証.定

∞

理4.4と

表 わ し た と き,xn

の と き こ の 空 間 の 位 相 でxに

同 様 で あ る.

ら ば,um=x, 

の と きun=0と

お く と,

得 る.

  (d)の 証.0
∞

理4.5(b)と

の と き 

で あ る か ら明 ら か.

同 様 で あ る. 

  例  φ(t)=t-θ,0<θ<1,の =tj-θ

元xをx=Σunと

-n+1+…+u0+…+unが,n→

(証 明 終)

と き(X0,X1)φ,qを(X0,X1)θ,qと

で あ る か ら,x∈X0∩X1に

書 く.φj(t)

対 し て,mを

また は に選 び,(1)に

代 入す れ ば,補 間不 等 式,

 (2)

がx∈X0∩X1に

つ い て 成 立 す る こ とが わ か る.

  §5.4  準 ノル ム 空 間 に 関 す る 反 復補 間 定理   反 復 補 間 定 理 は 準 ノル ム空 間 で も成立 す る.ま ず,   補 題   X0とX1を

分 離 線 型 位 相空 間〓 に含 まれ る準 ノル ム空 間,0≦

θ≦1,

とす る.   (a) 〓 に含 まれ る完 備 準 ノル ム空 間Yに   (ⅰ)  Yは

ク ラス〓θ{X0,X1}で

対 し て次 の各 条 件 は 同値 で あ る.

あ る(定 義4.7).

 

(ⅱ) 

0
∞,0
∞

の とき

 (1)

で あ る.た

だ し,φ

とqは(4.7.5)で

  (ⅲ) 

与 え る.

で あ る.た

だ し,Yの

準 ノル ム のγ 乗 が 三 角 不 等 式

を 満 た す と す る.   (b) X0+X1に

含 まれ る 準 ノ ル ム 空 間Yに

対 して次 の各 条 件 は 同値 であ

る.   (ⅰ)  Yは

ク ラ ス〓θ{X0,X1}で

  (ⅱ)  0
∞,0
あ る(定 義4.8). ∞ の とき

 (2)

で あ る.た

だ し,φ

とqは(4.7.5)で

  (ⅲ) 

で あ る.

  証 明   (a)の 証.(ⅰ)⇒(ⅱ)は

定 理4.7と

q0=q1=q=γ,φj(t)=tθ-jに ら,lγ(Y)⊂D(S)で 定 理1.4に

与 え る.

同 様 で あ る.(ⅱ)⇒(ⅲ)を

と る.φ(t)=1と

あ る.た

よ り(ⅲ)を

な る.Yが

だ し,S({un})=ΣunでSを

得 る.(ⅲ)⇒(ⅰ)は

示 す.

完 備 で あ るか

定 義 す る.ゆ

補 間 不 等 式(5.3.2)に

えに

よ り明 らか

で あ る.   (b)の 証.(ⅰ)⇒(ⅱ)を

示 す.{yn}∈lq,{φ(an)}(Y)と

の 準 ノ ル ム を σ と す る.(ⅰ)に

よ り各n∈Zに

し,こ

の 空 間 で の{yn}

つ い て,

とい う表 示 が あ る.正 数 εnを

と な る よ う に 選 ぶ.φ

が 成 立 し,し

とqの

た が っ て{xjn}はlqj,{φj(an)}(Xj)に

  (ⅲ)⇒(ⅰ)は(5.2.11)に   定 理4.7と

決 め 方 に よ り,

定 理4.8よ

属 す る(j=0,1).

よ る.  り定 理4.9を

(証 明 終) 導 い た の と 同 様 に,こ

の 補 題 よ り反 復 補

間 定 理 が 導 か れ る:   定 理   {X0,X1}を

準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対,Yjを

準 ノ ル ム 空 間 と し,φ0と

ク ラ ス〓θj{X0,X1}の

φ1を 指 標 条 件 を 満 た すR+上

の 重 み の 函 数,0
完備

≦ ∞,0
∞

と す る.

 (3) と 定 め,φ0と

φ1が 指 標 条 件 を 満 た す と 仮 定 す る.こ

の とき

 (4)

で あ り,準  例 

ノル ム は 同 値 にな る.

q0=q1=q,φj(t)=tj-θ(j=0,1)の

 φj(t)=tθj-θ(j=0,1)に

場 合 を 考 え る. な る.ゆ

え に,Yjが

完 備 準 ノ ル ム空 間 で,

 (5)

と す る と,重

み の 函 数 の 変 換(§4.2)を

行 っ て,

 (6) で あ る.た

だ し,0≦

θ0<θ<θ1≦1,Y0とY1の

準 ノ ル ム のγ 乗 は 三 角 不 等

式 を 満 た す とす る.

  §5.5  Gagliardo図

形 とPeetreのK函

数

  補 間 空 間 と密 接 に 関 係 の あ るGagliardo図

形 とPeetreのK函

数について

精 し く調 べ る.   定 義   {X0,X1}を

準 ノ ル ム空 間 の 両 立対 とす る.x∈X0+X1に x=x0+x1,‖x0‖X0≦

 (1) 

と な るx0∈X0,x1∈X1が X1}に X1;x)で

存 在 す る よ うなR2の

関 す る 点xのGagliardo図 示 す.ま

ξ,‖x1‖X1≦

た,PeetreのK函

形(Gagliardo

対 して

η

点(ξ,η)の

全 体 を 対{X0,

diagram)と

い い,Γ(X0,

数 を

 (2)

と 定 義 す る.   Gagliardo図

形 の 基 本 的 性 質 は 次 の 補 題 の 通 りで あ る:

  補 題   {X0,X1}を の 対{X0,X1}に

準 ノル ム 空 間 の 両 立 対,x∈X0+X1と 関 す るGagliardo図

  (a)  (ξ,η)∈Γ,ξ   (b) 

形 を 示 す.こ

す る.Γ の と き,

≦ ξ1,η ≦ η1な ら ば(ξ1,η1)∈ Γ.

な ら ば 

で あ る.

で 点x

  (c)  半 直 線 η=tξ(t>0)は >ξ(t)な

Γ の 境 界 ∂Γ と1点(ξ(t),tξ(t))で

ら ば(ξ,tξ)∈Γ,ξ<ξ(t)な

ら ば 

で あ る.ま

交 わ り,ξ

た 

な ら

ば ξ(t)は 正 数 で あ る.   (d)  ∂Γ 上 の2点(ξ1,η1),(ξ2,η2)に   (e)  (c)の

ξ(t)はtの

  (f) X0とX1が

つ い て(ξ1-ξ2)(η1-η2)≦0.

非 増 加 連 続 函 数,tξ(t)は

非 減 少 函 数 で あ る.

ノ ル ム 空 間 な ら ば Γ は 凸 集 合 で あ る.

  証 明   (a)と(b)は

定 義 か ら す ぐ わ か る.

  (c)の 証.x=0の

と き は ξ(t)=0. 

とす る.t>0と

し,Atで(ξ,

tξ)∈Γ と な る ξの 全 体 を 示 す.x=x0+x1,x0∈X0,x1∈X1,と が あ り,し た が っ てmax{‖x0‖X0,‖x1‖X1/t}∈At.ゆ =infAtと

定 め る .定

と す る.ξ(t)の

義 か ら ξ<ξ(t)の

作 り方 か ら,ξ(t)≦

い う表 現 え にAtは

空 で な い.ξ(t)

と き(ξ,tξ)は Γ に 属 さ な い.ξ>ξ(t)

ξ1<ξ,(ξ1,tξ1)∈ Γ と な る ξ1が あ る.(ⅰ)

に よ り(ξ,tξ)∈Γ で あ る.   ξ(t)=0な

ら ば,任

意 の 正 数 εに つ い て,x=x0+x1,‖x0‖X0≦

≦tε と い う表 現 が あ り,‖x‖X0+X1≦(1+t)ε

と な り,し

ε,‖x1‖X1

た が っ てx=0を

得 る.   (d)の 証.(ξ1-ξ2)(η1-η2)>0と る.(a)に

よ り,0
す る.た

く とれ ばcξ1>ξ2,cη1>η2.(ξ2,η2)∈ が わ か る.矛

と え ば ξ1>ξ2,η1>η2と

す

と こ ろ がcを

近

と れ ば  ∂Γ

十 分1に

と(c)と(a)に

よ り,(cξ1,cη1)∈ Γ

な ら ば(c)に

よ り ξ(t)は正 数 で あ

盾 で あ る.

  (e)の 証.x=0の

と き は 明 白. 

る か ら δを 正 数 と す る と,任

意 の 正 数 ε に 対 し て,

  ((1+ε)ξ(t),t(1+ε)ξ(t))∈Γ,し す な わ ち,(1+ε)ξ(t)≧ tξ(t)≦(t+δ)ξ(t+δ).す 算 に よ り,ξ(t)≦

た が っ て((1+ε)ξ(t),(1+ε)(t+δ)ξ(t))∈ Γ.

ξ(t+δ).ε

→0と

な わ ち,ξ(t)≧

し て,ξ(t)≧

ξ(t-δ)≦t(t-δ)-1ξ(t).

  (f)の 証.(ξ0,η0),(ξ1,η1)∈ Γ と す る.定

と な る 表 現 が あ る.0<s<1の

と き,

ξ(t+δ).(d)に

ξ(t+δ)≧t(t+δ)-1ξ(t)

義 によ り

.同

よ り 様な計

で あ る.よ

っ て(1-s)(ξ0,η0)+s(ξ1,η1)∈

  次 にK函

数 の 性 質 を 述 べ る: 

  定 理   {X0,X1}を

関 す るK函 と きK(t)は

  (b)  K(t)は あ っ て,R+の

数 をK(t)と

す る.x≠0と

す る.こ

の と き,

正 数 値 非 減 少 凹 函 数 で あ る.

閉 区 間[a,∞)(た

だ し,aは

各 点 で 左 導 函 数D-K(t)と

  (3) 

正 数)で 一様 にLipschtz連

右 導 函 数D+K(t)を

続 で

持 ち,

D-K(t)≧D+K(t),

  (4) 

t1
で あ る.し はtの

(証 明 終)

準 ノ ル ム空 間 の 両 立 対,x∈X0+X1と

し て,xの{X0,X1}に   (a)  t>0の

Γ で あ る.

た が っ てK(t)は

と きD+K(t1)≧D-K(t2) 可算 個 の 点 を 除 い て 微 分 可 能 で,Kの

導 函 数K(t)

非 増 加 函 数 で あ る.

  (c) tでK(t)が

微 分可 能 な ら ば

 (5) 

(K(t)-tK(t),K(t))∈

  証 明   Γ=Γ(X0,X1;x)と   (a)の 証.t1
∂Γ(X0,X1;x).

略 記 す る.

す る.す

べ て の(ξ,η)∈ Γ に つ い て,ξ+t1η

≦ ξ+t2η

で あ る か ら 下 限 を と りK(t1)≦K(t2).0<σ<1,t=(1-σ)t1+σt2と

す る.

(ξ,η)∈Γ の と き,

ゆ え に,  (b)の

証.Kは

凹 函 数 で あ る か ら,t1
とき

数aを

おい

 (6)

で あ る.特

に,正

定 め,t1=a/2,t2=aに

とれ ば 区 間[a,∞)に

てKが

一 様 にLipschtz連

続 で あ る こ と が わ か る.ま

た(6)か

D+K,左

導 函 数,D-Kを

持 つ こ と お よ び(3)と(4)が

わ か る.

  (c)の 証.tを

正 数 とす る と,ξn+tηn→K(t),(ξn,ηn)∈

{ηn}が あ る.い

ず れ も 有 界 列 で あ る か ら 収 束 す る 部 分 列 を 持 つ.し

は じ め か ら(ξn,ηn)→(ξ,η)と 仮 定 し て お く.そ

Γ

らKは

右導函数

と な る 列{ξn},

の と きK(t)=ξ+tη

た が っ て, で あ る.

正 数 δを と りt1=t+δ n→ -K(t)≦-δ

と お く と, 

∞

η.ゆえ

ら ば η=K(t).し

と し て,K(t1)-K(t)≦ に,D+K(t)≦

δη を 得 る.同

η ≦D-K(t).よ

た が っ て ξ=K(t)-tK(t).Kの

様 に,K(t-δ)

っ てtでKが

微分可能な

作 り方 か ら(ξ,η)∈∂Γ は

す ぐわ か る. 

(証 明 終)

  §5.6  PeetreのK函

数 の方 法

  平 均 補 間 空 間 はK函

数 に よ り次 の よ うに 特 徴 づ け られ る:

  定 理   {X0,X1}は   (1)  と し,さ

準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対,φ

は 指 標 有 限 の 重 み の 函 数 で,

r-indφ<00 ら に,0
∞

と す る.こ

の と きx∈X0+X1がS(q,φ,X0;q,

tλφ,X1)と

な る た め の 必 要 十 分 条 件 は φ(t1/λ)K(t)がL*q(R+)に

あ っ て,し

か も そ の と き,xのS(q,φ,X0;q,tλφ,X1)に

お け る 準 ノ ル ム と,

φ(t1/λ)K(t)のL*q(R+)で

の 準 ノ ル ム と は 同 値 で あ る.た

で 与 え たPeetreのK函

数 で あ る.

  証 明   変 数 をtλ →tと

変 換 す れ ば よ い か ら,始

x∈S(q,φ,X0;q,tφ,X1)と

と な る 表 示{υ0,υ1}が は Γ(X0,X1;x)に

仮 定 す る と,(5.2.11)に

あ る.Gagliardo図

属 す る.た

属 す る こ とで

だ し,K(t)は

め か ら λ=1と

定 義5.5

仮 定 す る.

より

形 の定 義 に よ り点(‖υ0(t)‖0,‖υ1(t)‖1)

だ し,Xjの

ノ ル ム を 添 字jを

つ け て 示 す.K

函数の定義に よ り

  逆 に φK∈L*qと

す る.a>1を

固 定 し,An=[an,an+1)(n∈Z)と

正 数 εに 対 し て,  (2)  (3)

とな る(ξn,ηn),x0nとx1nを  (3)

と お く と,t∈Anの

と き,

選 ぶ.Anの

定 義 函 数 を χnと し て,

お く.

で あ る.ゆ

え に,φ(t)tjυj(t)はL*q(R+;Xj)に

  こ の 定 理 に よ り,φ PeetreのK函 る.そ

いわ ゆ る

よ る補 間空 間 に 一 致 す る こ と が わ か

の 補 間 空 間 は 次 の よ う に 定 義す る: ノ ル ム 空 間 の 両 立 対,φ

をR+上

とす る と き,φ(t)K(X0,X1,x,t)がL*q(R+)に

点xの

(証 明 終)

満 た す と き 補 間 空 間(X0,X1)φ,qは

数 の 方 法(K-method)に

  定 義   {X0,X1}を ∞

が 条 件(1)を

属 す る. 

全 体 を(X0,X1)φ,q,Kで

の 重 み の 函 数,0
表 わ す.準

ノル ム は φKのL*q(R+)で

の 準 ノル

ム を 使 う.   ま た,PeetreのJ函

数 の 方 法(J-method)は(X0,X1)φ,qと

ま っ た く同 じ概

念 で あ る.   注 意   定 理 と ま っ た く,同 様 な 証 明 に よ り次 の こ とが わ か る:   φ0と φ1をR+上

の 重 み の 函 数,{X0,X1}を

x∈X0+X1とt∈Rに

準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対 と す る.

対 し て,

  (4)  K(X0,X1,φ0,φ1;x,t)=inf{φ0(t)ξ+φ1(t)η;(ξ,η)∈ と 定 義 す る.0
∞

と す る.こ

Γ(X0,X1,x)}

の と きx∈S(q,φ0,X0;q,φ1,X1)と

た め の 必 要 十 分 条 件 はK(X0,X1,φ0,φ1;x,t)がL*q(R+)に

な る

属 す る こ とで あ

る.

  §5.7  平 均 補 間 空 間 に 関 す る 双 対 定 理   こ の 節 で は 平 均 補 間 空 間 の 双 対 空 間 を 考 察 す る.   例1.6.3で 0
示 し た よ うに,準

∞-,の

ノル ム 空 間Xの

双 対 空 間 はlq′(X′)で

1
と き1/q+1/q′=1,q=∞-の

が っ て,{an}を

正 項 数 列 と す る と,

 

(1)  こ で,X′

こ れ を 使 っ て,次

はXの

だ し,q≦1の と きq′=1と

と きq′=∞, す る.し

双 対 空 間 を 示 す.

の 結 果 が 得 られ る:

  定 理   φ0と φ1は 指 標 条 件 を 満 た すR+上
点 列 よ り成 る 点 列 空 間lq(X),

{lq,{an}(X)}′=lq′,{1/an}(X′)

で あ る.こ  

あ る.た

∞-と

し,{X0,X1}は

の 重 み の 函 数,0
準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対 で,X0∩X1はX0と

∞-,0

た

X1にお

い て 稠 密 で あ る と 仮 定 す る.こ

の と きS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)の

双対

空 間 にS(q′0,1/φ0,X′0;q′1,1/φ1,X′1)が 埋 め 込 ま れ る.特 にX0とX1がBanach 空 間 で,1≦q0≦

∞-,1≦q1≦

∞-の

分 解 表 示(定

義4.3)を

qj<∞-の

と きq′jは 共 役 指 数,qj≦1の

=1と

採 用 す れ ば,同

場 合 に は,後

の 空 間 の ノル ム と して

型 で ノ ル ム は 等 し く な る.た と きq′j=∞,qj=∞-の

だ し,1< と きq′j

す る.

  証 明   X0とX1がBanach空 明 す る.一

間,1≦q0≦

∞-,1≦q1≦

般 の 場 合 も 同 様 に 証 明 で き る(可

∞-の

ときを 証

算値 函数 へ の変 換 を 考 え な くて も

よ い か ら む し ろ 簡 単 で あ る).   S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)をS(X0,X1),S(q′0,1/φ0,X′0;q′1,1/φ1,X′1)をS′ (X′0,X′1)と略 記 す る.  x′∈S′(X′0,X′1)とす る と,定

理4.3に

よ り

(a.e.t),

 (2)  と い う表 示 が あ る. 

(=W(X0,X1)と

∩X1と(X0∩X1)′=X′0+X′1と

の双対形式を

略 す)の

と き,X0

〈y,y′〉 を 示 す と,Holderの

不 等 式 に よ り,

で あ る か ら,こ

れ はL*1(R+)に

属し,し

た が って

 (3) は 収 束 し,上

の 評 価 で(2)を 満 た す あ ら ゆ る 組{υ′0,υ′1}に つ い て 下 限 を と る と,

 (4)

を 得 る.す を(4.1.3)の   ま ずuの X1の

な わ ちBはW(X0,X1}×S′(X′0,X′1)上 作 用 素 とす る.Su=0の

と きB(u,x′)=0を

示す.

台 を コ ン パ ク トと す る.(X0∩X1)′=X′0+X′1で

位 相 でL*1に

属 す る か らB(u,x′)=〈Su,x′

単 函 数 全 体 がW(X0,X1)で 数 列unで

の 連 続 双 線 型 形 式 で あ る .S

近 似 す れ ばSu=0の

稠 密(§2.3)で

あ る か ら,uを

と きB(u,x′)=lim〈Sun,x′

た が っ て,S(X0,X1)×S′(X′0,X′1)上

あ り,uはX0∩

〉 と な る .台

が コ ン パ ク トな

コ ン パ ク ト台 の 単 函 〉=0が

わ か る.し

の 連 続 な 双 線 型 形 式 〈x,x′〉SをB(u,x′)

=〈Su,x′

〉sと な る よ うに 定 め る こ と が で き る.し

か も,

 (7) が わ か る.ま ∩X1に

た 区 間[1,a]でloga,そ

つ い てu(t)=ρ(t)xと

を 得 る.た

だ し,右

特 に,〈x,x′ あ る.以

辺の

〉=0が

の 他 で0と

お く と,

〈x,x′〉 はX0∩X1とX′0+X′1の

す べ て のx∈S(X0,X1)に

在 し て,(Jx′)(x)=〈x,x′

  c>1を

〉,‖J‖ ≦1と

題5.1の

1.2)が 成 立 す る.tn∈Anに

(X0,X1)か

双 対 空 間 へ の 埋 め 込 みJが

な る こ と が わ か る.Jが

証 明 の よ う にR+の

上 へ の対 応

分 割{An}を

作 る.(5.

と り,

定 義 函 数 を χnと し,  らW(X0,X1)へ

  さ て,1≦q≦

と定 め る.Qはw

の 線 型 作 用 素 で,‖Q‖

∞-の

と き,有

限 個 以 外 は0と

≦cと

な る.

な る 点 列 がlq(X)で

稠 密 と

な る こ と を 使 え ばlq0,(a0n)(X0)∩lq1,(a1n)(X1)がlqj,(ajn)(Xj)(j=0,1)で と な る こ と が わ か る.よ

で あ る.ゆ

っ て,w(X0,X1)の

え に,fをS(X0,X1)上

∈[w(X0,X1)]′

存

あ る こ と が わ か れ ば 証 明 が 終 る.

固 定 し て,補

と お く.Anの

双 対 形 式 で あ る.

つ い て 成 立 す れ ばx′=0で

上 に よ りS′(X′0,X′1)か らS(X0,X1)の

で あ り,‖J‖ ≧1で

な る 函 数 を ρ と し,x∈X0

稠密

双対空間は

の 連 続 な 線 型 汎 函 数 とす る と,f°S°Q=F

で あ り,‖F‖≦c‖f‖

と な る.し

た が っ て,

 (8)

と 表 示 さ れ,任

意 の 正 数 εに 対 し て,{x′jn}を

と な る よ う に で き る.t∈Anの す る.(5.1.2)が1/φ0と1/φ1に

選 ん で,

と き μ(An)-1x′jnと

な る 函 数 をυ′j(j=0,1),と

つ い て も 成 立 す る か ら,補  と な り,そ

の ノ ル ム は{x′jn}の

題5.1が

使 え て,

ノ ル ム のc倍

を 越え な い.任 列 を{xn}と

で あ る.ゆ

意 のx∈X0∩X1に

対 し て,m番

目 をx,そ

の 他 を0と

した 点

お く と,

え に,す

べ て のtに

つ い て,

x′=υ′0(t)+υ′1(t)∈X′0+X′1 で あ る.作 (X0,X1)で

り方 か ら,x∈X0∩X1に 稠 密 で あ る か ら,Jx′=fを

εは 任意 だ か ら‖J‖ ≧c-2を

得 る.c>1は

つ い て,f(x)=〈x,x′ 得 る.ま

〉.X0∩X1はS

た,

任 意 に と れ る か ら‖J‖ ≧1. (証 明 終)

第6章 

Lorentz-Zygmund空

  再 配 列 はHardy-Littlewood-Polyaが い て 論 じ,ま

たSobolevが

間

名 著"Inequalities"の

有 名 な 埋 蔵 定 理 の 証明 で,ポ

用 素 の 有 界 性 を 示 す 手 段 と し て 用 い た も の で あ る.G.G. 列 に よ り,Lebesgue空 空 間 を 導 入 し,フ

Zygmundは

ー リェ 級 数,分

  第1∼3節 Llog+Lを

補 間 定 理 もLorentz空

Lorentzは

この再 配

間 の 言 葉 で表 現 で き る.ま

可 積 分 と な る 函 数 の 空 間,が

で 上 記 のLorentz空

般 化 し た 空 間 を 再 配 列 に よ り定 義 す る .第5節

の 平 均 補 間 空 間 を 一 般 的 な 条 件 の 下 で 考 察 し,例 間 に よ りLorentz-Zygmund空

間 が 作 れ る こ と を 示 す.函

  こ の 章 で は(Ω,μ)は

.第6節

定 理 とHardy-Littlewood-Sobolevの

間 と

で この空 間

と し てLebesgue空

ー ター とす る こ とに よ りこれ が 可能 とな るの で あ る 応 用 と し てO'Neilの

た,

な わ ちf(ξ)max

有 用 で あ る こ と を 示 し た.

に お い て 再 配 列 に つ い て 調 べ,第4節 含 む,一

テ ン シ ャル 型 積 分 作

数 階 積 分 作 用 素 な どに応 用 で き る こ とを 示 し

フ ー リ ェ級 数 の 研 究 に お い て,Llog+L,す

(0,log￨f(ξ)￨)が

にお

間 を そ の 系 列 中 に 含 む函 数 空 間 の 族,い わ ゆ るLorentz

た.Marcinkiewiczの A.

第10章

間 よ り補

数 を補 間 の パ ラ メ で は以 上 の結 果 の 不 等 式 を 示 す.

測 度 空 間 を 表 わ す.

 §6.1  再 配 列 の 基 本的 性 質  定 義 fを(Ω,μ)上

の 非 負値 可 測 函数 とす る.各 正数sに 対 して,

  (1) f*(s)=μ({ξ;f(ξ)>s}) と 書 き,fの   (2)  と 書 き,fの

 (3)

分 布 函 数(distribution

function)と

呼 ぶ.ま

た 正 数tに対

f*(t)=inf{s;f*(s)≦t} 非 増 加 再 配 列(non-increasing

rearrangement)と

呼 び,

し て,

と 書 き,fの

平 均 函 数(average

  fが 準 ノル ム 空 間Xの値 f*,f*,f0を

function)と

を と る 函 数 の と き はfの

  補 題  fをR+上

使 っ て,

数 は す べ て 非 負 値 と す る.

の 非 負 値 非 増 加 函 数,sとtを

ら ばf*(s)≦tで

  証 明  f(t)≦sと

あ り,f*(s)≦tな す る と,f(τ)>sよ

と きt1
Lebesgue測

り τ
あ る.

定 に よ り,t1∈Is,t2∈

ら ばt2∈Is.し

Isに 等 し い.す

の と き,f(t)

得 る か らf*(s)≦t.

お く と,仮

た,t1∈Is,t1>t2な

度 はsup

正 数 と す る.こ

ら ばf(t+0)≦sで

  Is={t;f(t)>s},Js={t;f(t)≦s}と Jsの

代 り に‖f(ξ)‖Xを

定 義 す る.

  以 下 再 配 列 な ど の 性 質 を 調 べ る.函

≦sな

呼 ぶ.

た が っ て,Isの

な わ ち,

  (4) で あ る.し あ る.こ

た が っ てf*(s)=t0≦tな

れ よ りf(t0+0)≦s.ゆ

  定 理  fとgを

  (b)  s,s1,s2,t,t1,t2を

あ る.特

あ る.

正 数 とす る と き,

(f+g)*(s1+s2)≦f*(s1)+g*(s2),

 (6) 

(f+g)*(t1+t2)≦f*(t1)+g*(t2),

 (7) 

(f+g)0(t)≦f0(t)+g0(t), たf(ξ)≦g(ξ)(a.e.ξ)な

ら ばf*(s)≦g*(s),f*(t)≦g*(t),f0(t)≦

あ る.

  (c)  φ をR+か =φ°f*で

{ξ;f(ξ)>sn}と (∪An).一

らR+の

上 へ の 増 加 函 数 とす る と,(φ°f)*=f*°

φ-1,(φ°f)*

あ る.

  証 明   (a).f*の

fを

(証 明 終)

の 函 数 な ら ばf=f*で

 (5) 

g0(t)で

 

え にf(t+0)≦s. 

非 増 加 右 連 続 で し か もf*=(f*)*,f*=(f*)*で

非 増 加 右 連 続 なR+上

で あ る.ま

な る列 が

非 負 値 可 測 函 数 とす る.

  (a) f*とf*は にfが

ら ばtn→t0+0,f(tn)≦sと

方

非 増 加 性 は 明 白.{sn}をsに お く と,{An}は

ま た,f*に(4)を

非 滅 少 列.ゆ

∪An={ξ;f(ξ)>s}.す

非 増 加 右 連 続 と す る と,f*も

収 束 す る 減 少 列 と し,An= え にf*(sn)=μ(An)→

μ

な わ ち,f*(sn)→f*(s). 非 増 加 右 連 続 で あ っ て,補

使 え ばf*(t)=f**(t)を

得 る か ら,fが

題 に よ り,

非増加右連続 のとき

はf*=fを

得 る.f*は

非 増 加 右 連 続 で あ る か ら こ の 結 果 に よ り,(f*)*=

(f*)**=f*.   (b). f(ξ)≦g(ξ)よ

りf*(s)≦g*(s),f*(t)≦g*(t),f0(t)≦g0(t)を

と は 定 義 とf*=f**よ

で あ る か ら(5)が

得 るこ

りす ぐわ か る.

わ か る.f*(s1)≦t1,g*(s2)≦t2と

(s1+s2)≦t1+t2.ゆ

す る.(5)に

え に 下 限 を と り(6)を

得 る.(7)は

よ り,(f+g)*

積 分 の 加 法 性 に よ り明

ら か.  (c).

 ま た,

(証 明終)   §6.2  再 配 列 の 極 限   定 理 fn,n=1,2…,とfを

測 度 空 間(Ω,μ)上 の 非 負 値 可測 函 数 と し,a.e.

ξ に つ い てfn(ξ)→f(ξ)と   も し も{fn}が

す る.sとtを

正 数 とす る.

単 調 非 減 少 列 な ら ば,

  (1) 

fn*(s)→f*(s),

  (2) 

f*n(s)→f*(s),

  (3) 

f*0n(s)→f*0(s),

で あ る.ま

た,{fn}が

単 調 非 減 少 で な くて も,ほ

fn(ξ)≦g((ξ)(n=1,2,…)で が 成 立 し,g*(∞)=0な

あ っ て,f*がsで

(An)→

単 調 非 減 少 な らば,{An}は

μ(∪An).一

よ り{fn*}は

方

infAn)≦lim

単 調 非 減 少.ゆ

え に,fn*(s)=μ

っ て(1)を 得 る.定

え,(1)をfn*に

理6.1に

適 用 し て(2)を 得 る.

定 理 に よ り直 ち に わ か る.

  次 にfn{ξ}≦g(ξ)(n=1,2,…)が μ(lim

有 限 な ら ば(1)

ら ば(3)が 成 立 す る.

し て よ い.An={ξ;fn(ξ)>s}

∪An={ξ;f(ξ)>s}.よ

単 調 非 減 少,f*=f**ゆ

(3)はBeppo-Leviの

連 続 でg*(s)が

ら ば(2)が 成 立 し,g*0(∞)=0な

  証 明   す べ て の ξに つ い てfn(ξ)→f(ξ)と と お く.{fn}が

と ん どす べ て の ξに つ い て

infμ(An)=lim

す べ て の ξ で 成 立 す る と す る.こ inffn*(s).ξ∈

∪Anな

の とき

ら ばg(ξ)>s.

ゆ えに lim

μ(∪An)≦g*(s).し

supfn*(s)で

十 分 大 き いnに

た が っ てg*(s)が

あ る.ε

つ い て 成 立 す る.よ

An)≧f*(s+ε).f*は supAnの

有 限 な ら ば,μ(lim

を 正 数 と す る と,f(ξ)>s+ε って

ξ∈lim

右 連 続 だ か ら,μ(lim

と きfnk(ξ)>sと

supAn)≧

な ら ばfn(ξ)>sが

infAn.す

な わ ち,μ(lim

infAn)≧f*(s).ま

な る 部 分 列{fnk(ξ)}が

た

inf

ξ∈lim

あ る か らf(ξ)≧s.し

た

が っ て,  (4)

特 にf*(s)=f*(s-0)な

ら ば(1)が 成 立 す る.

  次 にg*(∞)=0,す こ の と き,(4)が εを と る と,任

な わ ち,す す べ て の 正 数sで

意 のnに

σ-ε.つ

σ.σ′=lim

らf*(σ′+ε)≦lim

(0,t]で

な るkが

な るkが

あ る.す

σ-ε.ε

は 任 意 の 正数 で

あ る.fk*(σ′+ε)≦tで な わ ち,f*(t)≦

意 のn あ るか

σ′+ε.ε

は任

σ′.一 方 σ′≦ σ.以 上 に よ り(2)が わ か る.

ら ばg*(∞)=0で

可 積 分.定

お く.正 数

お く.ε を 正 数 と す る と,任

inffn*(σ′+ε)≦t.す

意 の 正 数 ゆ え,f*(t)≦

supf*n(t)と

す る.

supfn*(σ-ε)≧t.ゆ

ま りf*(t)≧

inff*n(t)と

に 対 し て,f*k(t)<σ′+ε,k≧nと

  g*0(∞)=0な

成 立 す る.σ=lim

ってf*(σ-ε-0)≧lim

ら ばs≧

あ る か らf*(t)≧

つ い てg*(s)<∞,と

対 し て,f*k(t)>σ-ε,k≧nと

な わ ちfk*(σ-ε)>t.よ え に,f*(s)≦tな

べ て の 正 数sに

理6.1(b)に

あ っ て,任

意 の 正 数tに

よ りf*n(t)≦g*(t)で

つ い てg*は

区間

あ る か ら,Lebesgueの

収 束 定 理 に よ り(3)を 得 る. 

(証 明 終)

  §6.3  再 配 列 の 積 分   非 負 値 函 数 と そ の 再 配 列 とは 分 布 函 数 が 等 し い.し くな る:そ

れ を 示 す た め に まず 次 の 補 題 か ら 考え る:

  補 題   測 度 空 間(Ω,μ)上 おい て,

と お く と,  (1)

た が ってそ の積 分 が 等 し

の 有 界 可 測 な 実 数 値 函 数fと

測 度 有 限 な 集 合Aに

で あ る.た

だ し,δ=max{αj-αj-1;j=1,2,…,n}.

  証 明   Ajの

定 義 函 数 を χjと し,f1=Σ

f2≦f≦f1で

あ る.し

Aで

た が っ てfのA上

の 積 分 の 間 に あ り,し

で あ る.よ

っ て δ→0と

をR+か

αj-1χjと お く と, の 積 分 とf2の

か も,

す る と(1)を 得 る. 

  定 理  fを 測 度 空 間(Ω,μ)上 を 可 測 集 合,φ

αjχj,f2=Σ で の 積 分 はf1のAで

(証 明 終)

の 非 負 値 可 測 函 数,fの

らR+の

再 配 列 をf*と

上 へ の 増 加 函 数 とす る.こ

し,A

の とき

 (2)

 (3)

で あ り,    ま た,fが

な ら ば(3)で 等 号 が 成 立 す る. 局 所 可 積 分 な ら ば,す

  (4) 

つ い て,

(φ°f)0(t)≦(φ°f*)0(t)

で あ り,(Ω,μ)が

非 ア トム 的 な ら ば(4)で 等 号 が 成 立 す る.

  証 明   (φ°f)*=φ°f*(定 ば よ い.(2)の +∞

べ て の 正 数tに

と な る.す

証.あ

理6.1(c))で

るs0>0に

べ て のs>0でf*(s)<+∞

し,Aε,l={ξ;ε
あ る か ら φ(t)=tの

つ い てf*(s0)=+∞

場合だけ示せ

な ら ば,(2)の

の 場 合 を 考 え る.0<ε
す る と,ε=s0<s1<…<sn=lに

と る と,

補題 によ り

で あ る.Abel変

換 に よ り,

で あ る.δ=max{sj-sj-1;j=1,…,n}→0と

ε→0の

と き εf*(ε)→0でl→+∞

両辺共

し て,

の と きlf*(l)→0な

ら ば,

 (5) を 得 る.lim

supεf*(ε)=c>0の

場 合 を 考 え る. εj→0,εjf*(εj)→c

と な る 単 調 減 少 列 が あ る.εj+1<εj/2(j=1,2…)と f(ξ)>εj}(j=1,2,…)と

し て も よ い.Aj={ξ;

お く と,{Aj}は

非 減 少 列,μ(Aj)=f*(εj)と

な

り,

を 得 る.εjf*(εj)→cで こ と が わ か る.lim

あ る か ら,n→

suplf*(l)>0の

∞

と し て,(5)の

両 辺 が+∞

であ る

場 合 も 同 様 で あ る.(f*)*=f*で

あ るか

ら(5)か ら(2)が 直 ち に わ か る.   Aの

定 義 函 数 を χAと し,g=χAfと

た だ しAs={ξ;f(ξ)>s},で >μ(A)の

お く と,

あ る か ら,特

と きg*(t)=0.g≦fよ

にg*(s)≦

りg*≦f*で

μ(A).し

た が っ てt

あ る か ら(2)をgに

適用 し

て(3)を 得 る.   A,し

とす る と,s>s0の た が っ てf*(s)=g*(s)と

ゆ え にt≧

μ(A)の

な り,s<s0の

と きg*(t)=0,t<μ(A)の

と きAs⊂

と きg*(s)=μ(A)で

あ る.

と きg*(t)=f*(t)と

な り(3)

で 等 号 が 成 立 す る.   (4)の 証.μ(A)≦tの

と き(3)に

よ り

 (6) で あ る か ら(4)を 得 る.(Ω,μ)が く と,f*(σ)≦t.ま Asと にAが

たs<σ

非 ア トム 的 の と き σ=inf{s;f*(s)≦t}と

に つ い てf*(s)=μ(As)>tで

お く と,μ(Bσ)≧t,Bσ={ξ;f(ξ)≧ とれ,そ

σ}.ゆ

の と き(6)で 等 号 が 成 立 す る. 

あ る か ら, 

え にAσ ⊂A⊂Bσ,μ(A)=t (証 明 終)

お

 §6.4  Lorentz-Zygmund空   こ の 節 で はXを

準 ノ ル ム 空 間 と す る.

  定 義   φ とR+上  (Ω,μ)上 のX-値 Zygmund空

間

の 正 数 値 可 測 函 数,0
∞,0
強 可 測 函 数fで,φf*∈L*q(R+)と

間L(φ ,q)(Ω,μ;X)と

す る.

な るfの

全 体 をLorentz-

い い,

 (1) と 定 義 す る.た   特 に X)と

だ し,f*はfの

φ(t)=t1/p(0
再 配 列 で あ る. ∞)の

と きL(φ,q)をLorentz空

間L(p,q)(Ω,μ;

い う.

 次 に,広

義 のLorentz-Zygmund空

間L(φ,q,r)(Ω,μ;X)をX-値

数fで 

強 可 測 函

とな るfの 全 体 と定 義 し,

 (2) と 定 め る.ま

ず 次 の 補 題 を 考 え る.

  補 題   X=C,  く.こ

と し,c′=cmax(1,21/q-1)と

の と き(1)はc′

に な る.(2c′)γ′=2にγ で 表 わ す.こ

ノ ル ム に な り,し ′を と り,定

た が っ てL(φ,q)(Ω,μ)は

理1.2の

の と き,f(ξ)≧0(a.e.ξ)な

お 準 ノル ム空 間

証 明 で作 った 準 ノル ム を

ρ(φ,q)(f)

ら ば,

  (3) で あ る.た

だ し,‖f‖

は(1)の

定 め る 準 ノ ル ム で あ る.ま

が ほ と ん どす べ て の ξ で 成 立 す れ ば   証 明   す べ て の ξ でf(ξ)≧0ま   不 等 式(6.1.5)に ゆ え に(2)がc′  

ば

た はg(ξ)≧f(ξ)≧0と

成 立 す る. し て よ い.

よ り 

す る.Aj0={ξ;fj(ξ)≧0},Aj1={ξ;fj(ξ)<0}と 点m=(m1,…,mn)に

ξ∈B(1,1,0,…,0)の

対 し て, 

と きf1(ξ)<0,f2(ξ)<0,fj(ξ)≧0(j=3,…,n)で

し た が っ て,f(ξ)≦f3(ξ)+…+fn(ξ)で 定 め,

ρ(φ ,q)(g)が

ノ ル ム に な る こ と が わ か る.

f=f1+…+fnと く.{0,1}nの

ρ(φ,q)(f)≦

た,0≦f(ξ)≦g(ξ)

あ る か ら,Bmに

お と お く.た

と え あ る.

お い て,f′s,…,f′nを

と な る よ うに ど れ る(後 半 の 証 明 を 見 よ).f′1(ξ)=f′2≦(ξ)=0と に お い て も 同 様 にf′jを 作 る.す

と な る.定

理6.1(b)に

を 得 る.よ

っ て(3)が わ か る.

る と,す

お く.他

のBm

べ て の ξで,

よ り

  後 半 の 証.  と す る.(f∧g)(ξ)=min{f(ξ),g(ξ)}と

か く.  と定

め る.作

り方 か ら, 

6.1(b)を

使 う と, 

定理

(3)を 使 う と,ρ(φ,q)(f)≦

ρ(φ,q)(g)を得 る. 

  定 理(Lorentz-Zygmund空

(証 明 終)

間 の 基 本 的 性 質 に 関 す る 定 理) 

φ,q,rを

定義

と 同 じ と す る.   (a)  り,Xが

の と きL(φ,q)(Ω,μ;X)は

準 ノル ム空 間 で あ

完 備 な らば 完 備 と な る.

  (b)  L(φ,q,r)(Ω,μ;X)は 特 に,XがBanach空

準 ノ ル ム 空 間 で あ り,Xが

間 で1≦q≦

完 備 な らば 完 備 で あ る.

∞,1≦r<∞-の

と き はBanach空

間 で あ る.   (c) 

L(φ,q,r)(Ω,μ;X)はL(φ,q)(Ω,μ;X)に

連 続 的 に 埋 め 込 ま れ,

 (4)   (d) 

0<ρ
と きL(φ,q,r)(Ω,μ;X)はL(φ,q,p)(Ω,μ;X)に

埋 め込 まれ,  (5)

 (e)  0
で あ っ て,q=∞-の

す る.し

か も

と き は,さ

ら に 列s1<s2<…

,t1
連 続 的 に

と な る よ うに と れ る と す る.こ あ っ て,準

で

ノル ム は 同 値 で あ る.

  特 に,r-indφ<1/rな   (f)  0
の と き 

ら ば 

∞

の と き 

た φ(t)≡1に

r<∞-)で

で あ る. で準 ノル ムは等 し

と れ ば, 

あ っ て,準

(た だ し0<

ノ ル ム は 等 し く,

 (6)

  (g)  0
と き,φ(t)=t1/pに

(Ω,μ;X)に

ノル ム は 等 し い.

等 し く,準

  証 明   Xはkノ

ル ム‖x‖Xを

と 仮 定 す る.(a)の

と な る.Xが

証.補

とれ ばLp(Ω,μ;X)はL(φ,∞,p)

持 ち, 

が成立す る

題 と 定 理6.1(c)に

完 備 で あ る とす る.φ γ=ψ

の 準 ノル ム を ρで 表 わ す.た f∈L(φ,q)(Ω,μ;X)に

と お き,L(ψ,q/γ)(Ω,μ)に お け る 補 題

だ し, 

で あ る.

対 し て, 

と 定 義 す る.

h=f+g,  り,δ=γ

よ り

と お く.w≦u+υ

と 補題 に よ

γ′と し て  を 得 る.作

が わ か る.以

り 方 か ら,

上 に よ り ρ(f)が 準 ノ ル ム で あ っ て,こ

の δ乗 が 三 角不 等 式 を 満

た す こ とが わ か る.  {fn}をL(φ,q)(Ω,μ;X)の る.un(ξ)=‖fn(ξ)‖γXと

が成 立 す る と 仮 定 す

列 で,  お く.ρ(un)=ρ(fn)γ

で あ る か ら,υn=u1+…+un

と お く と,

を 得 る.ほ

と ん どす べ て の ξに つ い て,υn(ξ)は

(ξ)と か く.定 に より

理6.2に

よ りυ*n→υ*(単

収 束 す る か ら,そ

の極 限 を υ

調 非 減 少)で あ る か ら,Fatouの

補題

ゆ え に, 

は ほ とん どす べ て の ξにお い てXの

で あ る.ほ

位 相 で収 束 し,

とん どすべ て の ξにつ い て

で あ る か ら,同

が わ か る.ゆ

様 に し て,

え にL(φ,q)(Ω,μ;X)の

  (b)  ま ず(Ω,μ)が

と な る こ と,定

位 相 でf1+…+fn→g.

非 ア トム 的 の と き を 考 え る.t>0,μ(A)≦tの

理6.3お

よ び 定 理6.1(c)を

使 う と,r/γ

≧1の

と き,

とき

 (7) と な り,r/γ<1の

と き は(7)の 両 辺 で 括 孤 の 外 の γ/rを 省 い た 不 等 式 が 成 立

す る こ と が わ か る.一 を 得 る.し

般 の 場 合 も 非 ア トム 的 測 度 空 間 に 埋 め 込 め ば 同 じ 不 等 式

た が っ て,δ=min(γ,r,q)と

お く と,(2)の

δ乗 が 三 角 不 等 式 を 満

た す こ とが わ か る.   Xが

完 備 な と き のL(φ,q,r)(Ω,μ,X)の

に と る.un(ξ)=‖fn(ξ)‖γXと

完 備 性 を 示 す.列{fn}を

お き,ψ=φγ,υn=u1+…+unと

定 め

る と,

L(φ,q/γ,r/γ)の 準 ノ ル ム の δ/γ 乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た す か ら

で あ る.υn(ξ)→υ(ξ)と す る.し

た が っ てFatouの

お く と,定

理6.2に

補題 に より

よ りυ*nは 単 調 非 減 少 で υ*に 収 束

で あ る.υ*≦wγ/rに がXの

注 意 す れ ば,ほ

と ん ど す べ て の ξに つ い て, 

位 相 で 収 束 す る こ と が わ か る.以

下(a)と

同 様 に して 完 備 性 の 証 明

が で き る.   (c)  f*が

非 増 加 で あ る か ら,(4)は

  (d)  0<ρ
し,a=r/ρ, 

明 白 で あ る. b=r/(r-ρ)と

お く と,Holderの

不等

式 に よ り,

で あ る.よ

っ て(5)が 示 さ れ た.

  (e)  0
 (6) 

す る. 

の と き は, sφ(t)r/(tφ(s)r),0<s≦tの

と き,

0, s>tの

と き,

K(t,s)={

と お き,g(t)={φ(t)f*(t)}r,a=q/rと

を 得 る.こ

れ と(c)の

お く と,仮

結 果 を 組 合 せ て(e)を

定 と,系2.6に

よ り

得 る.r-indφ<1/rな

らば条 件

が 満 た さ れ る こ と は 指 標 の 定 義 か らす ぐわ か る.   (f) の 証.0
と き は 定 理6.3に

よ り直 ち に わ か る.再 配 列 の 定

結 果 に よ り(6)の 右 辺 を β と お く と,

で あ る.(Ω,μ)を

非 ア トム 的 と す る とg(ξ)=‖f(ξ)‖rXと

お くとき

(定 理6.3) ゆ え に,fのL(∞,∞,r)で

の 準 ノ ル ム は β 以 下.一

般 の と き は 非 ア トム 的 測 度 空

間 に 埋 め 込 ん で 考 え れ ば よ い.   (g) 

は 定 理6.1(c)と

  例1 

0
の と き

φ(t)=t1/p(1+logt)-1-1/p,ψ(t)=t1/p(1+logt)-1と


定 理6.3に と き

す る.こ

よ り 直 ち に わ か る. 

φ(t)=t1/p,ψ(t)=t1/p(1+￨logt￨)1/pと

の と きL(φ,p,p)=L(ψ,p)で

(証 明 終) し,t≧1 す る.そ

あ る.

し て0

0<s≦1の

とき

s≧1の

とき

と な る か ら で あ る.   例2 

L(1,∞)がMarcinkiewiczの

で あ る.す   例3 

な わ ちL(1,∞)は2ノ

 (8) 

な わ ち,f∈

つ,

ず,f∈L(φ,p)(Ω,μ;X)と

定 理5.3(d)に

間 で あ る.す

な るた め の 必要 十 分 条 件 は

f∈Lp(Ω,μ;X)か

で あ る.ま

だ しlog+t=max(0,logt),

の と きL(φ,p)(Ω,μ;X)はZygmund空

L(φ ,p)(Ω,μ;X)と

よ り

ル ム 空 間 で あ る.

φ(t)=t1/p(1+log+1/t)λ,λ>0,た

と す る.こ

5.1と

空 間 で あ る.(6.1.6)に

す る.明

よ り,f∈L(p,∞).ゆ

ら か にf∈L(p,p)で

え に,t1/pf*(t)は

定 数 を 乗 じ て 考 え れ ば よ い か ら,t1/pf*(t)≦1と

仮 定

あ る.例6.

有 界 で あ る.fに し て

よ い.定

理6.3に

よ り

で あ る.逆

に(8)を 仮 定 す る.0<δ<1/pに

B={t;f*(t)≦t-δ}と

お く と,B上

は 明 らか に 有 限 で あ り,他

  特 にp=λ=1の  λ>0の

と き,積

δ を と り,A={t;f*(t)>t-δ}, で の φ(t)pf*(t)pのdt/tに

方,

と き こ の 空 間 をLlog+Lで 分 の 順 序 を 変 更 す る と,

示 す.

関 す る積 分

を 得 る.ゆ

え に,φ(t)=t(1+log+1/t)λ,ψ=t(1+log+1/t)λ-1と

して

L(φ ,1)=L(ψ,1,1) で あ る.

  §6.5 

Lorentz-Zygmund空

間 の 実補 間空 間

  Lorentz-Zygmund空

間 はLebegue空

  定 理   (Ω,μ)を

間 を 実 補 間 し て 得 ら れ る.

σ-有 限 測 度 空 間,φ0,φ1,ψ0,ψ1をR+上

の指 標 有 限 な 重 み の

函 数 と し,l-ind(φ0/φ1)>0,r-indφ0>0,l-indφ1>0,r-indψ0<0< l-indψ1,0
∞,0
き はl-indφ1>0を省 にR+上

き

∞,0
∞

φ1(t)が0
を 仮 定 す る.r1=∞

の と

有 界 で あ る と 仮 定 す る.さ

ら

の 正 値 函 数 λ(t)が

 (1)

と な る よ うに 選 べ る と 仮 定 す る.こ

の とき

 (2)

とな るた め の 必 要 十 分 条 件 は  (3)

で あ る.   証 明   It=(0,λ(t)),Jt=[λ(t),∞)と

略 記 す る.ま

ず(3)を

仮 定 す る. の と き,

そ の 他,

と 定 め る.υ0(t,ξ)とυ1(t,ξ)の

再 配 列 を そ れ ぞ れυ0*(t,s),υ1*(t,s)と

f*(s)-f*(λ(t)), s<λ(t)の

υ0*(t,s)=

{ {

0, s≧

と き, λ(t)の

f*(λ(t)), s<λ(t)の

υ1*(t,s)=

f*(s), s≧

と な る.(3)に

よ り,

と き, と き,

λ(t)の

と き,

表 わ す と,

で あ る.ま

た,

で あ る.最

後 の 不 等 式 はl-indφ1>0と

φ1(s)≦

φ1(t)φ1(s/t)に

ま た,φ0(s)≦φ0(σ)[φ0(s/σ)]とr-indφ0>0とf*の

よ り わ か る.

単 調 性 か ら

 (4) で あ り,(1)を

を 得 る.ゆ

使 う と,

え に(2)が 成 立 す る.

  逆 に,(2)を

と な る.不

仮 定 す る と,

等 式(6.1.6)に

 ω=φ0/φ1,ω

よ り,kj=max(21/rj-1,1)と

し て,

の 相 似 比 函 数 をω と か く と,(1)に

より

 (5) で あ り,特

にs≦

λ(t)な ら ば ψ0(t)φ0(s)≦Cψ1(t)φ1(s)で

と き はl-indω>0とHolderの >0に

不 等 式 を 使 い,r1
あ る か らr0≦r1の と き はr-indφ0

よ り(4)と 同 様 な 不 等 式 が 成 立 す る か ら

を 得 て,

が わ か る.ま

た,

 (6)

で あ り,特

に λ(t)≦sの

の と き はHolderの ば

と き ψ1(t)φ1(s)≦Cψ0(t)φ0(s)で あ る か ら,r0≧r1

不 等 式 を 使 い,r0
と き は(4)と 同 様 な 不 等 式 を 使 え

を 得 る.以

上に よ り

を 得 る.f*(2s)をf*(s)に

 s≧

λ(t)の

と き

と な る.r1≦r0の

置 き 換 え よ う.

ψ1(t)φ1(s)≦Cψ0(t)φ0(s)で

と き はHolderの

あ る か ら,

不 等 式 を 使 い,r1>r0の

と き は(4)を 使

えば

(証 明終)   重 み の 函 数 に つ い て さ ら に 仮 定 を 加 え る と 補 間 空 間 が 決 定 で き る.ま   補 題   φ はR+上 をR+×R+上

の 重 み の 函 数,0
の 重 み の 函 数 と し,q≧rの

∞,0
ず,

す る.K(t,s)

とき は

 (6)

 (7) を 仮 定 し,q
と き はn→

∞

でb-n→0,bn→

∞

とな り

 (8)

 (9) と な る 列{bn}n∈Zの

存 在 を 仮 定 す る.こ

の と き 非 負 値 非 増加 函 数g(t)に

て,  (11)

  証 明   r≦qの

と お く と,

と き は 定 理2.6に

よ る.q
と き を 考 え る.

つい

  ゆ え に, 

を 使 う と,

(証 明 終)  系   定 理 の 条 件 に 加 え,λ は 微 分 可 能 で そ の 導 函 数 λ′(t)につ い て,  (12)

が 成 立 す る と仮 定 す る.こ の とき,

で あ る.た

だ し,λ(t)の

逆 函 数 をγ(t)と

し,

 (13)

で あ る.   証 明   積 分 核K0を0<s≦ K0(t,s)=0と

と な る.a>1に

と な る.φ

λ(t)の と きK0(t,s)=ψ0(t)/ψ0(γ(s)),そ

の他 で

定 め る と,

と りbn=anと

お く と 補 題 の 条 件 が 成 立 す る.す

は 指 標 有 限 で あ る か ら,an-1≦s≦anの

と き,

な わ ち,

と な り(9)が 成 立 す る.同 そ の 他 で0と

様 に し て,s≧

定 義 す る と,

と な り,K1に

つ い て 補 題 の 条 件(6),(7),(8)が

f∈L(φ,q)に

定(12)を   例1 

成 立 す る.ゆ

え に補 題 に よ り

つ い て(3)が 成 立 す る.

  逆 に(3)が 成 立 す る と仮 定 す る.(4)に

を 得 る.し

λ(t)の と きK1(t,s)=ψ1(t)/ψ1(γ(s))

注 意 し て,

た が っ てf*(λ(t))φ(λ(t))はL*qに

使 え ばf*φ

∈L*qを

属 す る.t→

得 る. 

(証 明 終)

φj(t)=t1/qj,ψj(t)=φ(t)/φj(t)(j=0,1),と

で あ る.た

だ し,1/q1
換(§4.2)を

行 う と,

λ(t)と 変 換 す る.仮

お く と,

≦r-indφ<1/q0と

す る.重

みの函数の変

 (14) で あ る.た

だ し,λ=(1/q0-1/q1)-1,ψ(t)=φ(tλ)t-λ/q0で

  特 に,φ(t)=t1/pに

あ る.

と る と,1/p=(1-θ)/q0+θ/q1に

θ を と り,

 (15)

  例2 

-1
≦r-indψ<0にR+上

t{2+log+(1/t)}ψ(2t+tlog+(1/t))と   (16)  で あ る.た

の 重 み の 函 数 ψ を と り,φ(t)=

お く と,

(Llog+L,L∞)ψ,q=L(φ,q) だ し,log+t=max(0,logt)と

す る.

  φ0(t)=t(2+log+t-1),φ1(t)=1,λ(t)=φ0-1(t)と と し て(12)が

成 立 す る.よ

お く と,C5=1,C6=2

っ て 系 に よ り(16)を 得 る.

  例3  1を 正 数cで

とす る. 置 き 換 え て も 空 間 は 変 ら な くて,準

ノ ル ム は同 値 で あ る か ら,cを

十 分 大 き く と る と,  の 逆 函 数 λ は 条 件(12)を

(た だ し α=α0-α1) 満 た す,ゆ

 (17)

で あ り,特

に,0<θ<1の

とき

え に,ψ

を 例2の

よ うに と る と

 (18)

  §6.6  Lorentz-Zygmund空   Lorentz-Zygmund空

間 の 応 用例 間 の 応 用 例 と し て 合 成 積 作 用 素(convolution

operator

の 有 界 性 を 示 す.   定 理   (O'Neilの す る と き,合

定 理)  (Ω,μ)を σ-有 限 測 度 空 間,XをBanach空

間 と

成積作用素

 (1)

はL(r,∞)(Ω,μ)×L(p,s)(Ω,μ;X)か で あ る.た s≦ ∞

らL(q,s)(Ω,μ;X)へ

だ し,1/r+1/p=1+1/qと

と す る.特

の 有 界 な 双 線型 作 用 素

し,1
に,(1)はL(r,∞)×Lpか

らLqへ

の 有 界 双 線 型 作用 素 で あ

る.   証 明   系2.6に

よ り,g∈Lp(Ω,μ;X)を

の 有 界 作 用 素 で あ る.ゆ μ)→L(q,∞)(Ω,μ;X)の

え に 作 用 素 の 補 間 定 理 に よ りf→f*gはL(r,∞)(Ω, 有 界 作 用 素 で あ っ て,そ

で の ノル ム の 定 数 倍 で 評 価 さ れ る.こ い,"変

数"gに

固 定 し た と き 対 応f→f*gは

の ノル ム はgのLp(Ω,μ;X)

の 結 果 をp=p0とp=p1に

つ い て用

つ い て 作 用 素 の 補 間 を 行 う と,例6.5.1の(15)に

よ り,結 果

を 得 る. 

(証 明 終)

  こ の 定 理 は こ の 形 の 作 用 素 に つ い て は 系2.6(M.

Rieszの

定 理 と も い う)よ

り も 精 密 に な っ て い る.   例 え ば,f(ξ)=￨ξ￨α-n(ξ (Rn)に Rnの

属 さ な い が,L(p,∞)(Rn)に 単 位 球 の 体 積)と な る か ら.ゆ

はLp(Ω,μ;X)か る.た

∈Rn),0<α
ら 

だ し,1/q=1/p-α/n.こ

の 結 果 で あ る.

と きLp

は 属 し て い る.f*(t)=a1-α/nt-1+α/n(aは えに

へ の有 界 作用 素 で あ れ が,Hardy-Littlewood-Sobolev-Thorin

  同 様 に し て 例6.5.1に ば,Marcinkiewiczの   Xを

よ りLorentz-Zygmund空 補 間 定 理 を 得 る.す

間 の補 間 空 間 を計 算 す れ

な わ ち,

準 ノ ル ム 空 間,TをL(p0,r0)(Ω,μ;X)+L(p1,r1)(Ω,μ;X)上

れ て い る 線 型 作 用 素 と す る.TがL(p0,r0)か

らL(p0,∞)お

で定 義 さ よびL(p1,r1)か

L(p1,∞)へ の 作 用 素 と し て 有 界 な ら ば,TはL(φ,q)(Ω,μ;X)か μ;X)へ 0
の 有 界 作 用 素 で あ る.た ∞

素 で あ る.

と す る.特

だ し,1/p1
にTはp0
と きLpか

ら

らL(φ,q)(Ω, ≦r-indφ<1/p0, らLpへ

の有界作用

第7章  複素補間空間

  A.P. CalderonとJ.L. Lionsが 定 式 化 し た補 素 補 間 の方 法 を述 べ る.第 1節 で は 準 備 と してBanach空 間 の値 を と る超 函 数 と正則 函数 につ い て略 述 す る.第2節

で複 素 補 間 の 中心 的 手段 とな るPoisson積

は0
正則 な 函数 を そ のReζ=0と1で

分表 示 を述 べ る.そ れ の境 界値 で表 示 す る も

の で,留 数 定 理 と極 限 操 作 に よ り得 られ る.境 界値 が超 函数 とな る場 合 へ の拡 張 を 第3節 で 示 す.複 素 補 間空 間 を 第4節 で定 義 し,作 用 素 の 補 間性 を持 つ こ とを 示 す.例

と してBessel

素 補 間 に つ い て 述 べ る.第5節

potentialの 空 間(Sobolev空

間 と もい う)の 複

で は補 間空 間 の性 質 を調 べ る の に有 用 な稠 密 部

分 集 合 に つ い て の 結 果 を 論 じ,後 半 で 双 対 空 間 な どの議 論 で使 われ る不 等式 を 証 明 す る.第6節

で 示 す一 般 化 され たRiesz-Thorinの

定理 は 複 素 補 間 に 関 す

る基 本 的 結 果 で あ る.双 対 空 間 に つ い て は 第7節 で,平 均 補 間 との 関連 につ い て は 第8節 で,反 復 補 間 に つ い て は 第9節 で論 じる.   複 素 補 間 の 理 論 が 適 用 で き るの はBanach空

間 の 両 立 対 で あ る.

  §7.1  ベ ク トル 値 の 超 函 数 と正則 函 数   可 算 個 の 基 本 セ ミノル ムに よ って位 相 の 定 め られ た 分離 線 型 位 相 空 間 は距 離 空 間 に な るが,そ えば 例1.1.4と

の距 離 に 関 して完 備 とな る と きFrechet空

例1.1.5の〓

間Xが 

の 零 近 傍Uに

部 分 位 相 空 間 となっ て い る とき(Xnの

よ りXn∩Uと

"す べ て のn=1,2,…,に

に よっ て定 め る と,Xは い い,Xに

間 で あ る.線

と

型空

と表 わ され て い て,各XnがFrechet空

で あっ て,XnがXn+1の

 

∞(Rn)と〓(Ω)はFrechet空

間 とい う.た

表 わ され る),Xの

零 近 傍Uを

つ い てU∩XnがXnの

間

零 近 傍 はXn+1 条件

零 近 傍 で あ る"

局 所 凸 空 間 に な る.こ の位 相 を狭 義 帰 納 極 限 の位 相 と

この 位 相 を 入 れ た 局 所 凸 空 間 を(LF)空

間 とい う.こ の 位 相 は,X

か ら任 意 の 局所 凸空 間Yへ

の線 型 作 用 素Tが

連 続 とな る ため の必 要十 分 条件

が 各 々に つ い てTのXnへ

の制 限 が 連 続 とな る こ とで あ る と い う性 質 を もつ 最

弱 の 局 所 凸 位 相 で あ る.   さて,Rnの

開集 合 Ω に つ い て 

す な わ ち Ω で 無限 回 微 分 可能 で Ω

内 に コ ンパ ク トな 台 を 持 つ 函 数 の全 体,が(LF)空 ず,Kを

間 に な る こ とを 示 そ う.ま

Ω の コンパ ク ト部 分 集 合 とす る とき, 

含 まれ る函 数 の全 体 を 

に属 し,そ の台 がKに

で示 し,そ の上 の セ ミノル ムpm,Kを

 (1)

と 定 め る と,セ る.Ω

ミ ノ ル ム 系{pm,K}m=0,1,2…

に よ り 

はFrechet空

間 に な

の コ ン パ ク ト集 合 の 列{Kn}を

の開 核

 (2) 

と な る よ う に と る と,こ Frechet空

れ に 対 応 し て, 

間 の 列 

と な り,こ

は 始 め に 述 べ た 条 件 を 満 た す.こ

る 帰 納極 限 の 位 相 を 

に 入 れ る と, 

任 意 の Ω の コ ン パ ク ト集 合Kは り の 相 対 位 相 に 一 致 す る.し

は(LF)空間

あ るKjに

含 ま れ, 

た が っ て に

の

の列に よ

に な る.し

か も,

の 位相は 

よ

導 入 し た 上記 の 位 相 は 列{Kn}

の 選 び 方 に 依 ら な い.   定 義   XをBanach空 全 体  bution)と

間 とす る と き,  の 元 をX値

い い,そ

超 函数(generalized

の 全 体 をD′(Ω;X)で

  ま た,L(〓(Rn)；X)を〓′(Rn;X)と (slowly

increasing

か らXへ

  始 め に 述 べ た よ うに, 

に 属 す る 列{φn}に

が あ っ て,列{φn}が 

た はdistri

の 元 をX値

の緩 増 加超 函 数

い う.

で 定 義 さ れXに

超 函 数 と な る た め の 必 要 か つ 十 分 条 件 は    " 

functionま

示 す. し,そ

distribution)と

の連続線型作用素 の

対 し て,各

値 を と る 線 型 作 用 素 が,X値 上 で 連 続,す

なわち

々 に つ い て 共 通 な コ ン パ ク ト集 合K

の 列 と し て0に

収 束 す る と き,f(φn)も0に

収束

す る" と い う条 件 が 成 立 す る こ と で あ る.

  この判定法を使 えば,た とえば,偏 微分作用 素∂αξ=(∂/∂ξ1)α1…(∂/∂ξn)αnが

D′(Ω;X)上 収 束(す

の 線 型 作 用 素 で あ る こ と が わ か る.D′(Ω;X)の

な わ ち,各

とが わ か る.な

点 

お,超

位 相 と し て,弱

に お け る 収 束)を 使 え ば,∂αξが 連 続 に な る こ

函 数 の 微 分 は ス カ ラ ー 値 の と き と同 様 に,

 (2)

に よっ て定 義 す る.   こ こで 簡 単 にBanach空

間 の 値 を と る正 則 函 数 に つ い て 述 べ る.

  複 素 平 面 内 の 領 域 Ω で定 義 され たBanach空

間Xの

値 を と る 函数f(ζ)が

Ω で 正則 で あ る とはXの

双 対 空 間X′ のす べ て の 元x′ に対 して 〈f(ζ),x′ 〉(た

だ し,〈x,x′ 〉 はX×X′

の双 対 形 式)が 複 素 値 函 数 とし て 正則 に な る こ とを

い う.こ の条 件 はx′ の動 く範 囲 をX′ の部 分 空 間M′ で 条件: "す べ て のx∈Xに つい て ,‖x‖X=sup{￨〈x,x′〉￨;x′ ∈M′,‖x′‖x′ ≦1}" を 満 た す もの に 限っ た もの と同値 で あ る.   fが Ω で 正 則 な らば,fは

Ω でXの

ノル ムに つ い て連 続 で,微

分 可能 で あ

る.す な わ ち,各ζ ∈ Ω に つ い て  (3)

が存 在 す る.こ れ は勿 論fが   ま た,区 分 的C1級

Ω で正 則 とな る十 分 条件 で あ る.

で,そ の内 部 も含 め て Ω に 含 まれ る 曲線 Γ につ い て,

で あ る.逆 に この よ うなす べ て の Γ とす べ て のx′ に つ い て

な らばfは

Ω で 正 則 で あ る.

  以 下,複

素 値 の 場 合 と 同 様 に,べ

き 級 数 展 開,一

致 の定 理 な どを 論 じ る こ と

が で き る.

  §7.2  Poisson積

分表示

  こ の 節 でXはBanach空 =ρ(logt)につ

い て条 件

間,ρ

はR上

の 連 続 な 重 み の 函 数 で あっ て,φ(t)

 (1)

が 成 立 し,そ と 書 く.ま

の 相 似 比 函 数φ はt=1で

連 続 で あ る と 仮 定 す る.σ(t)=1/ρ(t)

た

 (2)

と書 く.た だ し,iは 虚 数 単 位 を 表 わ す.  定理  Gに

お い て定 義 され たX値

正 則 函 数fが 条件:

 (3)

を 満 た し,し

か もL1,σ(R;X)の

位 相 で,η

の 函数 とし て

 (4)

が 存 在 す る と仮 定 す る.こ の と き  (5) で あ る.た

だ し,μjはPoisson核

で,

 (6) と定 義 す る.   逆 に,g∈Lp,σ(R;X),1≦p<∞

の とき

 (7)

は,0<ξ<1,η

∈Rに

つ い て 在 存 し,(ξ,η)のC∞

級 函 数 で あ っ て,

 (8)

が 成 立 し(た だ しCρ はgと 集 合Kと

非 負 整 数k,lに

ξ に 依 存 し な い 定 数),Gの 対 し て 定 数Cρ,K,k,lが

任 意 の コ ン パ ク ト部 分

存 在 し て,

 (9)

が 成 立 し,  (10)

がLp,σ(R;X)の

収 束 の 意 味 で 成 立 す る.

  g∈B0σ(R;X)の

と き もPj(ξ,η)は0<ξ<1,η

(8)と(9)はLp,σ

をB0σ と し て 成 立 し,(10)はRの

∈Rで

存 在 し て,C∞

級 で

コ ン パ ク ト集 合 上 で 一 様 収

束 の 意 味 で成 立 す る.   い ず れ の場 合 もPjgは

調 和 的,す な わ ち

 (11)

が 成 立 す る.た だ し,一 般 に,Ω 上 の重 み の 函 数 を σ とす る ときσf∈Bm(Ω; X)と

な るfの 全 体 をBmσ(Ω;X)で

  証 明  前 半 の 証.条

表 わす.

件(3)と(4)を 満 たすX値

正則 函数 をfと す る.Γ

をG

内 の 区 分 的 に滑 らか な単 一 閉 曲線 とす る と,ζ が Γ の囲 む 領 域 内 に あ る と き  (12) が 成 立 す る.Gの

点wと

ζ に つ い て θiπw=eiπζ と な る の は ζ=wに

限 り,

し か も,

と な る か ら で あ る.ま

た, 

で あ る か ら,

 (13)

が 成 立 す る.0<s0<s1<1,R>0,R′>0に s1-iR′,s1+iR,s0+iRを

と お く と,積

ま た は1-ε<s<1にsを

き,￨K(s,ξ,η-t)￨≦Cε,ξ,ηsechπtと e-t)-1で

あ る.仮

の 右 辺 は0に が っ て,

を4点s0-iR′,

頂 点 と す る 長 方 形 と す る.(12)と(13)を

く.w=s+it,ζ=ξ+iη

で あ る.0<s<ε

と り,Γ

定 に よ り,s0→j(j=0,1)の

収 束 す る.た

辺 々引

分核は

と る と,ξ 評 価 で き る.た

と ηを 固 定 す る と

だ し,secht=2(et+

と き,

だ し,Cρ=sup{ρ(t)sechπt;t∈R}で

あ る .し

た

で あ る.   次 に,ξ

と ηを 止 め て,￨K(s,ξ,η-R)￨≦Cηe-πRで

で あ る.仮

定 によ り

で あ る か ら,列{Rn}をn→

∞

の とき

と な る よ う に とれ る.ρ に つ い て の 仮 定(1)に 有 界 で あ る か ら,n→

の 右 辺 は0に

で あ る.ま

で あ る.ゆえ

様 に,列{R′n}を

∞,R′

→ ∞

に 積 分 表 示(5)を

  逆 にg∈Lp,σ(R;X)と

よ り,t→

∞ の と き,e-πtρ(t)は

∞ の とき

収 束 す る.同

たR→

あるか ら

適 当 に と る と,n→

の と き,j=0,1に

∞ の とき

つ い て

得 る.

す る.Gの

コ ン パ ク ト部 分 集 合Kを

と る と,

 (14)

で あ る こ と,お

に よ り,Poisson積

よ びHolderの

不等式

分(7)の 収 束 が わ か る.ま

たLebesgueの

有界収束定理 と

平 均 値 の 定 理 に よ り,Pjg(ξ,η)が(ξ,η)に (14)に よ り不 等 式(9)も わ か る.(8)を

の 積 分 核 のL1ノ =φ(et)と

示 す た め に,

ル ム 評 価 す る.φ(t)=ρ(logt)の

お く と,ρ(t)σ(η)≦ ρ(t-η)が

sup{ρ(t);￨t￨≦

つ い てC∞ 級 で あ る こ と が わ か る.

相 似 比 函 数 を φ と し,ρ(t)

成 立 す る .し

か も正 数 δに 対 し て,

δ}=C′ρ,δは 有 限 で あ り,

  (15) ￨t￨≧

δ の と き μj(ξ,t)≦Cδsinπ

ξsechπt,

 (16)

で あ るか ら

を 得 る.μj(ξ,η-t)σ(η)ρ(t)の に 系2.6に

η に つ い て 積 分 も同 じ よ うに 評 価 さ れ る.ゆ

え

よ り(8)を 得 る.

  次 に,(10)を

示 す.(16)に

で あ る.ま ず￨t￨≦

よ り

δ で の積 分 を 評 価 す る.平 均連 続 性 に よ り,任 意 の 正 数 ε

に対 し て 正数 δ=δ(ε)を の とき と な る よ う に 選 べ る.ま

た,ρ

はt=0で

の とき と な る よ う に で き る.こ

の とき

連 続 で あ る か ら,

と な る.次

々￨t￨≧

δ 上 の 積 分 の ノル ム を 評 価 す る.(15)お

よび

に よ り

で あ り,

で あ る.し

た が っ て,正

数 δ1=δ1(ε)を

の とき と な る よ うに 選 ぶ と,￨j-ξ￨<δ1の

と な り,(10)の

前 半 を 得 る.￨ξ-j￨≧1/2の

で あ る か ら 同 様 に し て,(10)の   最 後 に,g∈B0σ(R;X)と ら,正

とき

数 ε に 対 し て,正

で あ る.ま

た,

ξsechπ η

後 半 もわ か る. す る.￨η￨≦Rに

数 δ=δ(ε)を

な らば と な る よ う に とれ る.ゆ

と き2μj(ξ,η)≦sinπ

え に,

お い てgは

一様連続 で あ る か

で あ る.ρ は 仮 定 に よ り有 界 区 間 で は 有 界 で あ る か ら,δ1=δ(ε)を 数 に と り,￨ξ-j￨<δ1の

と な る.ゆ

と き,

え に,Pjg(ξ,η)は

束 す る.ξ

十 分小な正

→1-jの

ξ→jの

と き￨η￨≦Rに

に し て わ か る.(8)と(9)が

と き￨η￨≦Rに

お い て 一様 にgに

お い て 一 様 に0に

収 束 す る こ と も同 様

成 立 す る こ と もg∈Lp,σ

収

の とき と同 様 に し て証 明 で

き る.   Pjgが

調 和 的 な こ と は 積 分 記 号 下 で 微 分 で き る こ と と,

 (17)

に よ りわ か る.    定 義   G上 (X)で

(証 明 終)

のX値

表 わ し,(4)で

正 則 函 数 で 条 件(3)と(4)を

満 た し て い る 函 数 の 全 体 をH0σ

定 義 さ れ るfj(η)をf(j+it)(j=0,1)と

書 く.ま

た,

 (18)

と定 義 す る.条 で 示 す.こ

件(1)を

こ で,Lp,σ(R;X)をLp,σ

  系   (18)は

よ り,f0=f1=0な

備 性 を 示 す.{fn}を

ら ばf=0と

のf0とf1と

で あ る.た

に よ り等 式(5)に

だ し,fn,j(t)=fn(j+it)と

な る.よ

こ の ノ ル ム に よ るCauchy列

の 完 備 性 に よ り{fn(j+it)}(j=0,1)のL1,σ る.こ

属 す れ ばfはH0σ

に 属 す れ ばfはG={ξ+iη;0≦

連 続 で あ る.

  証 明   等 式(5)に ム で あ る.完

間 に な る.

属 し,f(j+it)(j=0,1)がL1,σに

属 す る.f(j+it)(j=0,1)がB0σ

ξ ≦1,η ∈R}で

和 集 合 をH0(X)

と略 記 し た.

ノ ル ム に な り,H0σ(X)はBanach空

  ま た,fがH0(X)に (X)に

満 た す 連 続 な ρに つ い て のH0σ(X)の

っ て(18)は と す る.L1

に お け る 極 限fj(t)が

よ っ てf(ξ+iη)を

す る.不

定 義 す る.定

等 式(9)に

ノル ,σ

存 在 す 理に よ り

よ り{fn}がGで

広 義 一 様 にfに る.不

収 束 し,し

た が っ て 正 則 函 数 の 広 義 一 様 収 束 極 限fは

等 式(8)を 使 う と,(3)が

わ か る.条

件(4)は(10)に

  次 にf∈H0(X)で,f(j+it)(j=0,1)がL1,σ りfをPoisson積

分 表 示(5)で

ばfがH0σ(X)に

正則であ

よ りわ か る.

に 属 す る と す る.定

き る.こ

の 各 項 に 不 等 式(8)と

理に よ

等 式(10)を

使え

属 す る こ と が わ か る.

 f(j+it)(j=0,1)がB0σ(R;X)に

属 す る と き は 定 理 の 後 半 に よ りfがG

で 連 続 な こ とが わ か る. 

(証 明 終)

  §7.3  Poisson積   定 義   Eを をEに

分表示の拡張

線 型 位 相 空 間,A1,…,AnをE上

の 可 換 な 連 続 線 型 作 用 素,X

連 続 に 埋 め 込 ま れ て い る 準 ノル ム空 間 と す る.こ

埋 め 込 ま れ る 空 間 の 階 梯(scale){EmX(A1,…An)}m∈Zを ま ず 多 重 指 数,す

,An)=Xと

定 義 す る.￨α￨=α1+…+αnで

す る.mが

次 の よ う に 定 義 す る.

あ る.ま

対 し

ずE0X(A1,

正整 数 の と き

  EmX(A1,…,An)={x∈E;￨α￨≦mと と定 義 す る.準

連続的に

な わ ち 非 負 整 数 を 成 分 とす る ベ ク トル α={α1,…,αn)に

て,Aα=Aα11…Aαnnと …

の と きEに

な る す べ て の α に つ い てAαx∈X}

ノ ル ムは

 (1)

と定 め る.ま

た,

と定 義 し,そ

の 準 ノル ムを

 (2)

と 定 義 す る.

と 書 く.   特 に,Ω

をRnの

開 集 合 と し,Eと

1,…,n;ξ=(ξ1,…,ξn)∈ X),た

だ しwは

Ω)を と り,Xと

Ω 上 の 重 み の 函 数,を

ぞ れ,Wmp,w(Ω;X)とBmw(Ω;X)で Cの

と き はXを省

し て,D′(Ω;X),Ajと

く.た

し て,Lp,w(Ω;X)ま

た はB0w(Ω;

と っ た と き のEmX(A1,…,An)を,そ

表 わ す.w=1の と え ば,mが

し て ∂/∂ξj(j=

正数 の とき

と き はwを

省 き,X=

れ

 な るす べ て の α に つ い て   ま た,Eを〓 をHmσ(X)と (X)の

∞(G;X),Aをd/dη,XをH0σ(X)に 定 義 す る.§7.1の

和 をH(X)と

と っ た と き のEmX(A)

始 め の 条 件 を 満 た す す べ て の ρに つ い て のH-∞σ

表 わ す.

  補 題   定 義 の 仮 定 の 下 で,各

整 数mに

つ い てEmX(A1,…,An)はEに

に 埋 め 込 ま れ る 準 ノ ル ム 空 間 で あ り,Xが る.特

にXがBanach空

(A1,…,An)の

完 備 な 場 合 を 考 え る.mを

間 で あ る.

正 整 数 と す る.ま

完 備 性 を 示 す.{xk}をEmX(A1,…,An)のCauchy列

仮 定 に よ り,￨α￨≦mの

と き{Aαxk}のXに

に{xk}はx(0)=xにXの ゆ え にEの

位 相 でxkはxに

ずEmX とす る.

お け る極 限xα が 存 在 す る.特

位 相 で 収 束 し,し

位 相 でAαxk→Aαx.ゆ

EmX(A1,…,An)の 示 す.Xの

完 備 な場 合 は この 空 間 も完 備 に な

間 な らばEmX(A1,…,An)もBanach空

  証 明   前 半 は 明 白.Xが

連続的

た が っ てEの

え にAαx=xα 収 束 す る.次

∈Xで

位 相 で 収 束 す る. あ る.す

にE-mX(A1,…,An)の

な わ ち, 完備性を

準 ノ ル ム の γ 乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た す と し, 

と 仮 定 す る.準

ノ ル ム の 定 義 に よ り,

を 満 た す表 現 が あ る.

で あ り,し た が っ て,Xの

完 備 性 を 使 え ば,

の収 束 がわ か る. 

す な わ ち,    XをBanach空 し,σ=1/ρ す な わ ち,  (3)

と お く と,l→

で あ る.補 間 とす る.ρ と お く.ま

題1.2に

∞

の とき

よ り結 論 を 得 る. 

を §7.2の 始 め の 条 件 を 満 た すR上

たcosht=(et+e-t)/2で

(証 明 終) の重 み と

あ る.g∈W-mσ(R;X),

とす る と,各

φ∈B∞coshπt(R)に対 し て,

 (4)

で あ る.た 0と

だ し,Cρ=sup{ρ(t)sechπt;t∈R}と

お く.ま

た,(3)の

左 辺 が

す る と,

で で と な る よ う に と る と,

で あ り,

で あ り,N→

を 得 る.よ

∞

の と きsup{ρ(t)sechπt;￨t￨≧N}→0で

っ て,g∈W-m1,σ(R;X)と

φ ∈B∞coshπtに

あ る.ゆ

え に

対 し て,値

 (5)

はgの 表 現(3)の 選 び 方 に よ らず 定 まる.こ の値 を または で 示 す.不

等 式(4)でgの

あ ら ゆ る 表 現(3)に つ い て 下 限 を と り,

 (6)

を 得 る.よ

ってgに 対 して 線型 作用 素 

よ り埋 め 込 み,た

が 定 義 で き る.

だ しP=B∞coshπt(R),

を 対 応 させ る こ とに

  定 理   XをBanach空 X)と

間 と す る.P=B∞coshπt(R)と

書 き,P′(X)=L(P,

定 義 す る.

  H(X)に

属 す る 任 意 のfに

対 し て,P′(X)の

弱位相 で

 (7)

が存 在 し(左 辺 で 右辺 を定 義 す る),  (8) が 成 立 す る.ま

た1≦p<∞,g∈W-∞p,σ{R;X)の

とき

 (9) た だ し 右 辺 はPとP′(X)と はW-∞p,σ(R;X)か

の 双 対 形 式,と

ら〓∞(G;X)へ

お く と,Pjg(ξ,η)は

調 和 的,Pj

の 連 続 作 用 素 で あ る.0<ξ<1を

固定し

た と き の 作 用 素g→Pjg(ξ,η)はWmp(R;X)(m∈Z)で

有 界 で,ノ

に 独 立 な 定 数 で 評 価 さ れ,(7.2.10)もWmp(R;X)の

位 相 で 成 立 す る.

  証 明  fをH-mσ(X)の

ルムは ξ

元 とす る.fは

 (10)

と 表 示 さ れ る.た

だ し,f(k)はfのk階 ξ→jの

が,L1,σ(R;X)の

で あ る,微 jの

位 相 で,し

分 はP′(X)の

つ い て,

と きfk(ξ+jη)→fk(j+iη) た が っ てP′(X)の

弱 位 相 で 成 立 す る.

弱 位 相 で の 連 続 作 用 素 で あ る か らf(k)k(ξ+it)は

と き(-i)k(d/dt)kfk(j+it)に

がP′(X)の

導 函 数 を 表 わ す.各kに

収 束 す る.し

ξ→

た が って,

弱 位 相 で成 立 す る.極 限 がfの 表 示(10)に 依 存 しな い こ とは

に よ り 明 白 で あ る.定

理7.2に

よ りfkをPoisson表

示 す る と,超

函 数 の微 分

法 に よ り,

を 得 る.   次 に,gをW-mp,σ(R;X)の

元 と し,そ

の表示を

 (11)

とす る.定

理7.2の

不 等 式(7.2.9)と

等式

 (12)

に よ り,Gの

任 意 の コ ンパ ク ト部 分 集 合Kに

で あ る.(11)を (R;X)で

満 た す あ ら ゆ る組{gk}に

お い て,

つ い て 下 限 を と り,右 辺 はgのW-mp,η

の ノル ム の 定 数 倍 で 評 価 で き る.0<ξ<1に

g→Pjg(ξ,η)はWmp(R;X)の

有 界 作 用 素 で あ る こ と,そ

立 な 定 数 で 評 価 で き る こ と,(7.2.10)がWmp(R;X)の が 調 和 で あ る こ と は 定 理7.2お

よ び(12)に

と表 示 さ れ る な ら ばf∈Hmσ(X)で

位 相 で 成 立 す る こ と,g

す る.fがGで

場 合.(7.2.14)とLebesgueの

た が っ て 系7.2に

(証 明 終) 正 則,し

か も

あ る. 有 界 収 束 定 理,超

分法 に より

を 得 る.し

の ノル ムが ξに独

よ りす ぐ わ か る. 

  系  0<λ<π,σ(t)=csechλt,c>0と

  証 明   m≧0の

ξを 固 定 し て 作 用 素

よ り,f∈Hmσ(X)が

わ か る.

函数の微

m<0の

場 合.g∈L1,σ(R;X)に

対 し て, (t≧0の

と き)

(t≦0の と お く と,Fubiniの

と き)

定理 によ り

を 得 る.一

方,作

り方 か ら,φ ∈Pに

で あ る,す

な わ ちP′(X)の

対 し て, 

元 と し てh′=gを

導 く こ と が で き る.こ

返 し て,fj=g(m)j(j=0,1),gj∈L1,σ(R;X),と

と お く と,超

れ を繰

し て よ い.

函 数 の 微 分 法 に よ り,

で あ り,定 理7.2に

よ りFは

調 和 的 で あ る.そ

こ で,

と お く と,

し か も,fが

正 則 で あ る か ら,(∂/∂

η)mψ(ξ,η)=0と

ψ(ξ,-η)は(∂/∂ ξ+i∂/∂ η)h=0,(∂/∂ と 同 様 に,こ

の こ と か らhは

ξ+iη

η)mh=0を の(m-1)次

な る.ゆ

え に,h(ξ,η)=

満 た す.複

素 数値 の 函数

多 項 式,す

な わ ち,

と表 示 され る こ とが わ か る.(ξ+iη)kを

実 数 部 と虚 数 部 に 分 け て,

と お く と,ζk+1の

あ る か ら,

導 函 数 が(k+1)ζkで

で あ る.し

た が っ て,

で あ る.ゆ

え に,

と お く と,H(ξ,η)は(ξ,η)のm次

多 項 式 で η に つ い て(m-1)次

と な る.ゆ

え にF1(ξ+iη)=F(ξ,η)-H(ξ,η)は

(R;X)に

属 す る か ら,

正 則 で あ る.多

で あ っ て,

項 式 はL1,σ

(証 明 終)   §7.4  複 素 補 間 空 間 の 定 義   複 素 補 間 空 間(complex

interpolation

  定 義   ま ず 空 間H(F0,F1)を Wm1,σ(R;X)(た

space)を

定 義 す る:

定 義 す る.XをBanach空

だ し,σ=1/ρ,ρ

は §7.2の

間 と し,F0とF1を

始 め の 条 件 を 満 た す)へ

連続的

に 埋 め 込 まれ る 空 間 とす る と き,   (1) f(j+it)∈Fj  を 満 た すH(X)の

(j=0,1) 元fの

金 体 をH(F0,F1)で

示 し,そ

の ノル ムを

 (2) と定 義 す る.ま

た,Λ0(R;X)=L(L1(R);X)と

X=Λ0(R;X),A=d/dtと X)と

し た と き の 定 義7.3の

空 間EmX(A)を

定 義 す る. σ(t)=(1+￨t￨)-1,と

  さ て,{X0,X1}をBanach空

と 定 義 す る.た

<θ<1と

す る.ま

だ し,m≧0の た 作 用 素f→f(θ)に

Λm(R; な る.

間 の 両 立 対,X=X0+X1と

f(θ)に よ るH(Bm(R;X0),Bm(R;X1))の m]θ

定 義 し,E=D′(R;X),

す る.作 用 素f→

像 の 空 間 を 複素 補 間 空 間[X0,X1; と き は,0≦

θ ≦1,m<0の

よ るH(Λm(R;X0),Λm(R;X1))の

と き は0

像 の 空 間 を[X0,X1;m]θ   m=0と

と定 義 す る.た

き は こ の 記 号 でmを

だ し,0<θ<1と

す る.

省 き[X0,X1]θ,[X0,X1]θ

  明 ら か に 

で,埋

と書 く.

め 込 み の ノ ル ム は1を

越え な い か ら,  (3)  (4)

で あ っ て,埋

め 込 み の ノ ル ム は1を

越 え な い.ま

空 間 に 含 まれ る こ と は 容 易 に わ か る.特

た,X0∩X1が

にm≧0,x∈X0∩X1の

これ らの 補 間 とき

 (5)

と な る こ と はf(ζ)=eλ(ζ-θ)xのH(Bm(R;X0),Bm(R;X1))で 算 し て λ=log‖x‖x0-log‖x‖x1と   次 に,こ

れ ら の 空 間 が 第3章

の ノル ムを計

お け ば わ か る. の 意 味 で の 補 間 空 間 と な る こ と を 示 す.ま

  補 題   F0とF1をWm1,σ(R;X)(た

だ し,σ=1/ρ

条 件 を 満 た す)へ 連 続 的 に 埋 め 込 まれ るBanach空 Banach空

で ρは §7.2の 始 め の 間 と す る と,H(F0,F1)は

間 で あ る.

  証 明   (2)が ノ ル ム と な る こ と はPoisson積

分 表 示(7.3.8)か

ら わ か る.

  完 備 性 を 示 す.{fn}をH(F0,F1}のCauchy列

とす る.{fn(j+it)}は

FjのCauchy列

位 相 で,{fn(j+it)}の

で あ る か ら,完

極 限gj∈Fjが ら,こ

(R;X)か

備 性 に よ り,Fjの

存 在 す る.FjはWm1,σ(R;X)へ

れ はWm1,σ(R;X)で

と お く.た

ず,

の 極 限 で も あ る.

だ し,Pjは(7.2.7)で ら〓 ∞(G;X)へ

で あ る か ら,{fn}はGに

す れ ば.f∈Hmcsechλt(X)を   定 理  [X0,X1,m]θ

定 義 し た 作 用 素 で あ る.作

用 素PjはWm1,σ

の 連 続 作 用 素 で あ り,

お い て 広 義 一 様 にfへ

則 で あ る.φ(t)=ρ(logt)と ば σ(t)≧csechλtと

連 続 的 に 理 め 込 まれ て い るか

収 束 す る.よ

っ てfはGで

し,π>λ>max{-l-indφ,r-indφ}に

な る か ら,σ

の 代 り にcsechλtを

とれ 使 っ て 系7.3を

得 る.  と[X0,X1;m]θ

正

適用

(証 明 終) とは 共 に 指 示 函 数

 (6) のBanach空

間 の 両 立 対 の 圏 に お け る 補 間 函 手 で あ る.

  証 明   {X0,X1}と{Y0,Y1}をBanach空 ら{Y0,Y1}へ   [X0,X1;m]θ 題1.3に

間 の 両 立 対,Tを{X0,X1}か

の 両 立 連 続 線 型 作 用 素 と す る. と[X0,X1;m]θ

とがBanach空

間 に な る こ と は 補 題 と補

よ りわ か る.X=X0+X1,Y=Y0+Y1と

  [X0,X1;m]θ

を 満 た すfが

の 場 合.x∈[X0,X1;m]θ

あ る.そ

g(θ)=Txと

お く.

こ で,cを

な り,g∈H(Y)が

と す る と,条

あ る 実 数 と し てg(ζ)=ec(ζ-θ)Tf(ζ)と 容 易 に 示 せ る.ξ

位 相 でf(ξ+iη)→f(j+iη)で

件

→jの

あ る か ら,Wm1,σ(R;Y)の

お く と,

と きWm1,σ(R;X)の 位相で

と な る.  

m≧0の

場 合 に は,各j=0,1に

つ い て,

 (7)

で あ る か ら,

で あ る.た

だ し,TのL(Xj,Yj)の

を 得 る.ec=M0/M1に

元 と し て の ノ ム ル をMjと

と る と,h(ξ,η)を(6)の

函 数 と し て,

 (8)

を 得 る(定 理1.4に   mが

よ る).

負 整 数 の 場 合.mの

な ら ば,  (9)

と な り,

代 りに-mと

書 く.f=f0+f′1+…+f(m)m

す る.よ

って

を 得 る.ゆ

え に,ec=M0/M1に

と っ て,mを-mと

し て(8)と

同 じ評 価 を 得

る.   [X0,X1;m]θ

を 満 た すfが

の 場 合.x∈[X0,X1;m]θ

存 在 す る.g(ζ)=ec(ζ-θ)Tf(ζ)と

相 でf(ξ+iη)→f(j+iη)と ec(j-θ+it)Tf(j+it)と   m=0の

で あ る.た

とす る と,定

場 合.φ

だ し,積

を 得 る.m>0の [X0,X1;m]θ

な り,し

→jの

と きP′(X)の

∈L1(R)に

た が っ て,g(ξ+iη)→g(j+iη)=

対 し て,

分 はΛ0とL1と

の 双 対 形 式 を 示 す.ゆ

場 合 は 等 式(7)を

使 い,m<0の

え に,

場 合 は 等 式(9)を 使 え ば

の 場 合 と 同 様 に し て(8)相 当 す る不 等 式 が わ か る. 

表 わ す.Fourier変

位

な る.

  例  Bessel-potentialの

す な わ ち 

お く.ξ

義 に よ り

空 間.こ

換 をFで

の 項 で はRnの

示 し,Fourier変

(証 明 終)

点 をx=(x1,…,xn)で

換 し た 函 数 の 変 数 を ξ で 示 す.

に 対 し て,

 (10)

と定 義 す る.φ(ξ)をRn上

と定 義 す る.ノ

の 重 み の 函 数 とし て,

ル ム はF-1φFfのLpで

の ノ ル ム と定 義 す る.

  φ0と φ1を ふ た つ の 重 み の 函 数 で 条 件:   "各t∈Rに

つ い て,F-1(φ0/φ1)itFはLp(Rn)の

の ノ ル ム はCea￨t￨を を 満 た す と す る.た す(Mihlinの  (11)

越 え な い,た

だ し,C>0,a∈R"

と え ば φj(ξ)=(1+￨ξ￨2)aj(j=0,1)は

定 理 に よ る).こ

の とき

有 界 作 用 素 で あ っ て,そ

この条 件 を 満 た

で あ る.た

だ し,0<θ<1と

  証 明   u∈Hφp(Rn)に

し,φ=φ1-θ0φθ1と お く.

対 し て,ε>0と

し て,

と お く.  し,し

はLp(Rn)に

た が っ てf(・,it)∈Hp0φ(Rn)で

で あ る.こ

の 計 算

こ と も わ か る.よ

あ る.同

っ て,u∈[Hφ0p(Rn),Hφ1p(Rn)]θ

属 す る.ゆえ

属 す る

で あ る.

と す る.

と 表 わ さ れ る.g(x,ζ)=F-1φ0(ξ)1-ζ

はLp(Rn)に

様 に し て,f(・,1+it)∈Hφ1p(Rn)

に よ り,f(・,ζ)がH(B0(R;Hφ0p),B0(R;Hφ1p))に

  逆 にu∈[Hφ0p(Rn),Hφ1p(Rn)]θ

属

φ1(ξ)ζFf(x,ζ)eε(ζ-θ)2と

お く.

に,

sup{‖g(・,it)‖Lp;t∈R}<∞, 同様 に sup{‖g(・,1+it)‖Lp;t∈R}<∞, と な る.す

な わ ちg∈H(B0(R;Lp),B0(R;Lp))で

∈[Lp(Rn),Lp(Rn)]θ=Lp(Rn)で

あ る.し

あ る.一

で あ る.ゆ え にu∈Hφp(Rn)で

た が っ てg(・,θ)

方

あ る. 

(証 明終)

 §7.5  複素 補 間空 間 の 稠 密 部 分 集 合  定 義   XをBanach空

間,Ω をRν の 開 集 合,F(Ω)をΩ

上 の(超)函 数 の 空

間 とす る とき,有 限和

の 全 体 を   

で 示 す. のBm(Ω;X)で

の 閉 包 を 

  ￨t￨→∞

の と き‖g(t)‖x→0と

で 示 し,こ

れ に 対応 し て 定 義 さ れ るBm(R;X)の

定 義 す る. 

のBm(R;X)で

な るB0(R;X)の

の 閉 包 を 

で 表 わ す. 元gの

全 体 をB00(R;X)

部 分 空 間 をBm0(R;X)と と定 義 す る.

  Bm0(R;X)はBm(R;X)の

閉 部 分 空 間 で あ る.

  定 理   {X0,X1}をBanach空

間 の 両 立 対,0<θ<1,mを

複 素 補 間 空 間[X0,X1;m]θ

整 数 とす る と,

は 

の 作 用 素f→

f(θ)に よ る像 の 空 間 に 一 致 す る.X0∩X1は[X0,X1;m]θ   証 明   Bm(R)をBmと す.補

題7.4と

略 記 し,作

補 題1.3に

完 備 な 部 分 空 間 で あ る.よ   第1段.ま

で 稠 密 で あ る.

用 素f→f(θ)に

よ る 像 の 空 間 をRθ で 示

よ り 

は[X0,X1;m]θ

っ て これ が 稠 密 と な る こ とを 示 せ ば よ い.

ずRθH(Bm0(R;X0),Bm0(R;X1))=[X0,X1;m]θ

間H(F(R;X0),F(R;X1))をHF(X0,X1)と   x∈[X0,X1;m]θ

の

を 示 す.空 略 記 す る.

と 正 数 εに 対 し て,

 (1)

を 満 た すHBm0(X0,X1)の ば十 分 で あ る.定義に

元fの 存 在 を示 せば よ い.  よ り(1)を 満足 す るHBm(X0,X1)の

の と きだ け 考 えれ 元fが あ る.δ を 正

数 とし,

と お く.fδ(θ)=xで

で あ る か ら,結

あ る.fδ

の ノ ル ム を 計 算 す る.

局exp(-δ2t2/2)を

乗 ず る 作 用 素 とexpiδ2tを

乗 ず る作 用 素

の ノ ル ム を 計 算 す れ ば よ い.   m≧0の

場 合.微

分 し て,

 (2)

を 得 る.こ れ と不 等 式  (3)

に よ り,Leibnitzの

公 式 を 使 い,exp(-δ2t2/2)を

で の ノ ル ム は1+bm,1δ+…+bm,mδmで てexp(iδ2t)を る.bm,jとcm,jは   mが

評 価 で き る こ と が わ か る.同

乗 ず る 作 用 素 の ノ ル ム は,1+cm,1δ2+…+cm,mδ2mで

様 にし 評価 でき

δに 存 在 し な い.

負 整 数 の 場 合,mの

A,d/dtをB,δtを

乗 ず る 作 用 素 のBm(R;X)

代 りに-mと

乗 ず る 作 用 素 をCで

書 く.exp(-δ2t2/2)を 示 し,AB-BA=[A,B]と

乗 ず る作 用 素 書 く.

Am=[Am-1,B](m=1,2,…)と

書 く と,mに

つ い て の帰 納 法 に よ り

 (4)

が わ か る.微

分 を 実 行 す れ ば[A,B]=δCA,[Cn,B]=-nδCn-1を

得 る.

ゆ え に,A2=[A1,B]=δ[AC,B]=-δ2A+δ2C2A,一般

で あ る.ま

た 不 等 式(3)に

価 で き る.ゆえ

に,作

に

よ りCkAのB0(R;X)に

お け る ノ ル ム はckで

用 素AmのB0(R;X)で

存 し な い 定 数)で 評 価 で き,(4)を

の ノル ム はc′mδm(c′mは δ に 依

使 う と,B-m(R;X)の

ノ ル ム は1+b′m,1δ+…+b′m,mδmで

評

作 用 素 と し て のAの

評 価 で き る こ とが わ か る.同

を 乗 ず る 作 用 素 の ノ ル ム は1+c′m,1δ2+…+c′m,mδ2mで

様 に,exp(iδ2t)

評 価 で き る.b′m,jと

c′m,jはδに 依 存 し な い.   以 上,い

ず れ の 場 合 に も,exp(-δ2t2/2)ま

ノ ル ム は δ→0の

と な り,し

と き1に

た はexpiδ2tを

収 束 す る.ゆえ

か もfδ ∈HBm0(X0,X1)で

乗 ず る作 用 素 の

に δ を 十 分 小 に とれ ば

あ る.す

な わ ち,こ

のfδ が 求 め て い た 函

数 で あ る.   第2段. 

[X0,X1;m]θ

を と る.第1段

の 元xに

対 し て,第1段

とお く.gnはGで

た,n→

で あ る.一 方,Rを Bm(JR;Xj),た

と す る.

正 則 な 周 期2πniのX値

∞ の と き,j=0,1に

で あ る.ま

正数 δ

の 計算 に よ り

で あ る.δ を 十 分 小 に と り 

て,n→

の(1)を 満 た すfと

∞

のBm函

数 に な る.正

数Rに

対 し

つ い て,

のとき

十 分 大 き く と れ ばexpδ2(j+it)2/4を

だ しJR={t;￨t￨>R},で

乗 ず る作用 素 の空 間

の ノ ル ム は い く ら で も 小 に な る.

し たが ってnを 十 分 大 き くとれ ば,

と な る.nを

こ の よ うに と り固 定 し て お く.任 意 の 整 数kに

対 し て,

 (5) と お く.gnは

周 期2πniの

函 数 で あ るか ら,0≦s1<s2≦1に

つ い て,

で あ り,gn(ζ)e-kζ/nは 正 則 で あ るか ら,s1-inπ,s2-inπ,s2+inπ,s1+ inπ

を 頂 点 と す る 長 方 形 の 周 上 で の 積 分 は0に

依 存 し な い こ とが わ か る.ankで(5)の

な る .ゆ

え に(5)の

右 辺 は ξに

左 辺 を 表 わ す とank∈X0∩X1で

あ る.こ

こで  (6)

と定 め る.Kν はFejer核,す

なわち

 (7)

で あ っ て[-π,π]上

で あ る.し

た が っ て,Banach空

す る 函数h(そ

で あ る.た ゆ え に,十

の 積 分 は1と

の 全 体 をBm(T;Y)で

だ し,Bm(T;Y)の

な り,正

間Yに

数 δに 対 し て,

値 を と る周 期2π 示 す)に

‖gnν-gn‖HBm(X0,X1)<ε と な り,し

た が っ て,

属

対 し て,

ノ ル ム はBm(R;Y)の

分 大 き なν に つ い て

のBm(R;Y)に

ノル ム と 同 一 で あ る .

を 得 て,x=fδ(θ)は 

の 元exp(δ2θ2/4)gnν(θ)に よ っ て

近 似 で き る こ と が わ か っ た.   ank∈X0∩X1で

あ っ た か ら,gnν(θ)=X0∩X1と

が[X0,X1;m]θ

で 稠 密 な こ と も わ か る. 

な り,し

た が っ てX0∩X1 (証 明 終)

  注 意   こ の 証 明 に よ り 

の 像 が[X0,X1;m]θ

で稠 密

な こ と もわ か る.   系  [X0,X1]0はX0∩X1のX0の

ノ ル ム に よ る 閉 包 で あ る.

  証 明   定 義 に よ り,x∈[X0,X1]0に

対 し て,

‖x‖X0≦‖x‖[X0,X1]0 で あ り,ま

た(7.4.5)に

よ りx∈X0∩X1に

対 し て,

‖x‖[X0,X1]0≦ ‖x‖X0 で あ る.X0∩X1は[X0,X1]0で

稠 密 で あ る か ら 結 果 を 得 る. 

  こ こ で 双 対 空 間 の 計 算 な ど に 使 う,ノ   補 題   {X0,X1}をBanach空 (R;X0),B0(R;X1))に

ル ム の 評 価 式 を 証 明 し て お く.

間 の 両 立 対,0<θ<1と 属 す るfに

(証 明 終)

す る と き,H(B0

対 し て,

  (8)

が 成 立 す る.た

だ し,μj(j=0,1)はPoisson核(7.2.6)で

  証 明   φj≧log‖f(j+it)‖Xj(j=0,1)を

あ る.

満 た す 有 界 なC∞

級 函 数 φ0と φ1

に 対 し て,  (9) を 実 部 とす るGに

お け る 正 則 函 数 を Φ(ζ),ζ=ξ+iη,と

連 続 的 微 分 可 能 で あ る か ら,た

と え ば,δ>0に

とり

す る.φ0と

φ1が

と 分 け て 微 分 す れ ば わ か る よ う に,(9)の 閉 包Gに

お い て 連 続 で あ り,し

函 数 の ηに つ い て の 偏 導 函 数 はGの

た が っ て,Φ(ζ)はGで

exp(-Φ(ζ))・f(ζ)はH(B0(R;X0),B0(R;X1))に

で あ る.ゆ

え に,f(θ)の[X0,X1]θ

連 続 で あ る.ゆ 属 す る.し

え に,

か も

に お け る ノル ム は￨expΦ(θ)￨を越え

い.φj(t)をlog‖f(j+it)‖Xj(j=0,1)に

な

近 づ け て行 け ば結 局

を 得 る.μ0(θ,t)の 積 分 は1-θ,μ1の

積 分 は θ で あ る か らJensenの

よ り こ の 右 辺 は(8)の 第 二 行 の 値 を 越 え な い こ と が わ か り,こ

不等式に

れ と,Youngの

不等式

の とき と組 合 せ て,(8)の

最 後 の 不 等 式 が わ か る. 

  §7.6  Lebesgue空

(証 明 終)

間 の 複素 補間 空 間

  複 素 解 析 の 方 法 に よ るRiesz-Thorinの

定 理 の 一 般 化 を 与え る:

  定 理   (Ω,μ)を σ-有 限 測 度 空 間,{X0,X1}をBanach空 とw1を(Ω,μ)上

の 重 み の 函 数,1≦p0≦

間 の 両 立 対,w0

∞,1≦p1≦

∞,0<θ<1と

し,

 (1)

と定 め る.こ

の とき

 (2)

で あ る.し

か も ノル ム も 等 し い.た

も ひ とつ が ∞-の   証 明   Xjの

だ し,p0,p1が

と き はp=∞-と

ノル ム を

‖x‖j(j=0,1)と

∞-ま

た は ∞ で 少 な くと

す る. 書 き,[X0,X1]θ

の ノ ル ム を‖x‖ θ

書 く.   まず,w0(ξ),w1(ξ)≦1と

と お く と, 

し て よ い こ と を 示 す.

と な り, 

と

な る.よ

っ てw0,w1,μ

の代

り にw0,w1,μ

(ξ),w1(ξ)≦1と

仮 定 す る.

  さ て,1≦p≦

∞-,f∈Lp,w(Ω,μ;[X0,X1]θ)で

を と れ ば よ い か ら,始

め か らw0

し か も,

 (3)

と表 示 さ れ て い る とす る.た 函 数 で, 

だ し,χkは(Ω,μ)は

の と きχkχl=0で

  正 数 ε に 対 し て,定

測 度 有 限 の 可測 集 合 の 定 義

あ る と す る.

義 に よ り,k=1,…,mに

つ い て,条

件

 (4)

を 満 た す φkが あ る.た 記 し た.そ

こ で,λ

とお く.明

ら か に,

だ し,HB0(X0,X1)=H(B0(R;X0),B0(R;X1))と

を 正 数 と し て,

とな る.w0(ξ)≦w1(ξ)な

らば

で あ り,w1(ξ)≦w0(ξ)の

と き は,左

辺 はw1(ξ)-1を

はLp0,w0(Ω,μ;X0+X1)+Lp1,w1(Ω,μ;X0+X1)値 連 続,Gで

正 則 で あ る.そ

で あ る か ら,こ

略

え にF(ξ,ζ)

函 数 と し て,Gで

し て,j=0,1に

れ はLpj,wj(Ω,μ;Xj)値

越 え な い.ゆ

有界

つ い て,

の 有 界 連 続 函 数 で あ る.そ

し て,

に とれ ば,右 辺 は

で あ る. 

に等 し く,ε は 任 意 の 正 数 で あ るか ら結 局,  (5) を 得 る.こ

の よ う なfは(2)の

右 辺 の 空 間 で 稠 密 で あ る か ら,(2)の

右 辺 の空 間

よ り(2)の 左 辺 の 空 間 へ の ノル ム1の 埋 込 み が 存在 す る こ とが わかっ た.  逆 の埋 め 込 み の存 在 を示 す.  の元(た だ し,HB0=H(B0,B0))をF(ξ,ζ)と

が 成 立 す る.し

を 得 る.す

た が っ て,Holderの

す る と,補 題7.5に

不 等 式 に よ り,

な わ ちf(ξ)=F(ξ,θ)はLp,w(Ω,μ;[X0,X1]θ)に

の 計 算 と注 意7.5に

より

よ り(2)の 左 辺 の 空 間 は(2)の

属 す る.ま

たこ

右 辺 の 空 間ヘ ノ ル ム1で

埋 め

込 まれ る こ と が わ か る.   最 後 にp0=p1=∞

の 場 合 を 考 え る.f∈L∞,w(Ω,μ;[X0,X1]θ)で,

 (6) と表 わ さ れ る と す る.た 函 数 の 定 義 函 数, 

だ し,sup{‖xk‖ θ;k=1,2,…}=σ<∞,χkは の と きχkχl=0と

(4)を 満 た す φkが 存 在 す る.た

と お く と, 

す る.各k=1,2,…

に つ い て,

だ し,ε は 任 意 の 正 数 と す る.

の と き と 同 様 に し て(5)を 得 る.し

形 の 函 数 はL∞,w(Ω,μ;[X0,X1]θ)で 左 辺 へ の ノ ル ム1の

可測

稠 密 で あ る.ゆ

埋 め 込 み が 存 在 す る.逆

か も定 理2.1に

よ り(6)の

え に(2)の 右 辺 か ら(2)の

の埋 め 込 み の 存在 は 容 易 に わ か

る.   Ω の可 測 集 合 の定 義 函 数 を 乗 ず る作 用 素 と この 埋 め 込 み と は可 換 で あ る か ら,p=∞-の

とき も定 理 は 成 立す る. 

(証 明終)

  §7.7  複 素 補 間 空 間 の 双 対 空 間   複 素 補 間 空 間 の 双 対 空 間 を 決 定 す る.ま ず,   補 題   mを

整数,XをBanach空

間 とし,Xの

Wm1(R;X)の

双 対 空 間{Wm1(R;X)}′

はΛ-m(R;X′)と

詳 し くい うと,Wm1(R;X)×Λ-m(R;X′)上

双対 空 間 をX′ とす る と, 標 準 的 に 同 型 で あ る.

の連 続 線 型 形 式 《f,g》mが 存 在

し て,f∈Wm1(R;X)とg∈Λ-m(R;X′)に

対 して

 (1)

が 成 立 し,x∈X,φ

∈Wm1(R),g∈Λ-m(R;X′)に

  (2) 

《φ ・x,g》m=〈x,g(φ)〉X×X′

が 成 立 し,そ

し て こ の 双 線 型 形 式 に よ り,Λ-m(R;X′)の

上 の 線 型 形 式f→

  m≧0の

元gにWm1(R;X)

《f,g》mを 対 応 さ せ る作 用 素 はΛ-m(R;X′)か

X)}′ の 上 へ の 同 相 同 型 に な り,m=0の

…,m)な

対 し て,

ら{Wm1(R;

と き に は ノ ル ム を 不 変 に す る.

場 合,f∈Wm1(R;X),g=g0+…+g(m)m,gk∈Λ0(R;X′)(k=0, らば

 (3)

が 成 立 し,ま

た,m<0の

場 合,m=-1と

お

L1(R;X)(k=0,1,…,l),g∈Λl(R;X′)に

く と,f=f0+…+f(l)l,fk∈

対 し て,

 (4)

が 成 立 す る.特

に,(3)と(4)に

お い て,右

辺 の 値 はgやfの

表 示 に依 存 し な

い.

 証 明  XとX′

との間 の双 対 形 式 を 単 に 〈x,x′〉 で 示 す.

 第 一段   双 線 型 形 式 の 構 成.m=0の

で, 

場 合.fを

階 段 函数,す なわ ち,

の と き φjの 台 と φkの 台 の 共 通 部 分 の 測 度 は0で

あ る とす る .こ

の

と きg∈Λ0(R;X′)に

と 定 義 す る.fの

対 し て,

表 現 の 違 い は φk=φk1+φk2ま

の と きφkxk=(αφk)(α-1xk)と る か ら,こ

の 右 辺 はfの

で あ る.こ

の 形 のfの

書 き 換 え る 操 作 を 有 限 回 行 う こ と に よ り得 ら れ

表 現 に よ ら な い.そ

全 体がL1(R;X)で

(R;X)×Λ0(R;X′)上

た はxk=xk+xk2, 

し て,

稠 密 で あ る か ら,こ

の 双 線 型 形 式 に 連 続 的 に 拡 張 で き る.作

の 形 式 をL1 り方 か ら(1)

と(2)が 成 立 す る.   m>0の

場 合.(3)の

定 め る 双 線 型 形 式 がgの

f(t)=φ(t)x, 

x∈X,の

表 示 に 依 ら な い こ と を 示 す.

と き はm=0の

と き の 等 式(2)と 超 函

数 の微 分 法 に よ り

とな る.よ

って この値 はgの 表 示 に 依 存 しな い.例10.2で

のfの 有 限 和 の全 体 がWm1(R;X)で

で 連 続 で あ る こ とに注 意 す る と,(3)がgの また この 議 論 に よ り(2)がmで

を 得 る が,gの   m<0の

表 示 に依 存 しな い こ と が わ か る.

も成 立 す る こ と もわ か る.作

あ ら ゆ る表 現 に つ い て 下 限 を と り,(1)を

場 合.m=-lと

し な い こ と か ら,kを

お く.ま

示 す よ うに この 形

稠 密 で あ るか ら,(3)がWm1(R;X)上

ず,(3)の

り方 か ら

得 る.

右 辺 の 値 がgの

正 整 数,f∈Wk1(R;X),g∈Λ0(R;X′)の

表 示 に依 存 とき

《f,g》k=《f,g》0 で あ り,g∈Λk(R;X′)の   (5) 

ときは 《f,g(k)》0=(-1)k《f(k),g》0

が 成 立 す る こ と に 注 意 す る.ω1を 

 と な る よ う に と

り,

 (6)

 (7) と お く,(d/dt)(tωl(t))=L(t)と

な る か ら §10.2で

示 す 等 式(10.2.4)に

よ り,

 (8)

がf∈D′(R;X)に (R;X)の

つ い て 成 立 す る.た

双 対 形 式 を 表 わ す.さ

だ し,τ

て,f∈W-l1(R;X)に

に 関 す る 積 分 は  対 し て,

 (9)

と定 義 す る.fが  (10)

と表 わ され る とき,超 函数 の微 分 の定 義 に よ り

と な る.k
項 がL1(R;X)で

で あ る か ら,こ れ も ε→0の へ 収 束 す る.また,こ

もわ か り,fに

 (12)

と きL1(R;X)の

の 計 算 と系2.6に

様 に し て,

位 相 で 

よ り

つ い て の あ ら ゆ る 表 示(10)に

 (11)

を 得 る.同

収 束 す る こ と は 明 ら か で あ る し,

つ い て 下 限 を と り,

とD′

と定 義 す る と,fを(10)の

よ うに表 示 した と き

 (13)

と な る こ と か ら,  (14)

を 得 る.そ

こ で,f∈W-l1(R;X),g∈Λl(R;X′)に

対 して

 (15) と定 義 す る.(11)と(14)に

よ り,こ

な 双 線 型 形 式 に な る.(4)が (5)と(8)とK(l)=Lと

を 得 る.(4)よ

成 立 す る こ と を 示 す.fの

の連 続

表 示 を(10)と

す る と,

に よ り

り(1)が 導 か れ る こ と は 容 易 に わ か る.

  (2)を 示 す.f(t)=φ(t)・xの ら,超

れ はW-l1(R;X)×Λl(R;X′)上

と きSf=(Sφ)x,Tf=(Tφ)xで

あ るか

函 数 の 微 分 法 と(8)に よ り.

  連 続 な 双 線 型 形 式 が 作 れ た の で 定 理 で 述 べ た 方 法 で Λ-m(R;X′)か Wm1(R;X)の

双 対 空 間 へ の 作 用 素 が 作 れ る.(2)に

ら

よ り こ の 作 用 素 は1対1で

あ る.   第2段.m=0の ず,(1)に い).次

と き上 記 の 埋 め 込 み の ノル ム が1で

よ り埋 め 込 み の ノ ル ム が1を に,g∈Λ0(R;X′)と

を 満 た す φ∈L1(R)が

と な るx∈Xが

し,ε を 正 数 とす る と,Λ0の

あ り,X′ の定 義 に よ り

あ る.し

た がって

あ る こ と を 示 す.ま

越 え な い こ と が わ か る( 

で も正 し

定義に よ り

で あ り,一 方

φ ・xのL1(R;X)で

越 え な い.ゆ

えに埋め込

は 任 意 の 正 数 で あ る か ら,埋

め込みの ノ

め 込 み が 上 へ の 写 像 と な る こ と を 示 す.FをWm1(R;X)上

の

み の ノ ル ム は(1-ε)2以 ル ム は1で

の ノル ム は1を

上 で あ る.ε

あ る.

  第3段.埋

連 続 線 型 形 式 と す る.   m=0の

場 合.各

続 線 型 形 式 で あ る,す

φ∈L1(R)に

対 し て,作

な わ ち,X′

の 元 で あ る.し

F(φ ・x)=〈x,g(φ)〉=《 を 満 た すgが

元fに

・x)はX上

の連

た が って

φ ・x,g》0

存 在 す る.g∈Λ0(R;X′)は

和 がL1(R;X)で

用 素x→F(φ

す ぐわ か る.φ

・xの

形 の元 の有 限

稠 密 で あ る か らF(f)=《f,g》0がL1(R;X)の

すべ ての

つ い て 成 立 す る.

  m>0の

場 合.lの

代 りにmを

SもTもL1(R;X)か

らWm1(R;X)へ

半 の 計 算 に よ りわ か る.ゆ

が す べ て のf∈L1(R;X)で

元gmとg0が

あ る.し

お く と(3)に よ りF(f)=《f,g》mを

得 る.

お く.L1はW-l1に

F(f(k))=《f,gk》0を に と る と,f=φ

元gが

存 在 す る.同

満 た すΛ0(R;X)の ・xを

連 続 的に 埋 め 込 ま れ る か ら す べ て のf∈L1(R;X)に じ理 由 に よ り1≦k≦lの

元gkが

つ と き,

存 在 す る. 

x∈X

代 入して 〈x,g(φ(k))〉=〈x,gk(φ)〉

を 得 る.す X)の

な わ ち,g(k)=(-1)kgk∈Λ0(R;X′)で

元 と し,そ

と な る.逆

の 表 示 を(10)と

あ る.さ

て,fをW-l1(R;

す る と,

の 連 続 性 は 作 り方 に よ りわ か る. 

た

よ り,

場 合 の 結 果 に よ り,F(f)=《f,g》0を

い て 満 た すΛ0(R;X)の

後

とき の結 果 に よ り

対 し て,(7)と(8)に

場 合.m=-lと

定 義 す る.

の 連 続 作 用 素 で あ る こ と が 第1段

え にm=0の

で あ る.g=(-1)mg(m)m+g0と

m=0の

よ りSとTを

成 立 す る Λ0(R;X′)の

が っ て,f∈Wm1(R;X)に

  m<0の

使 っ て(9)と(12)に

(証明 終)

  複 素 補 間 空 間 の 双 対 空 間 を 考 察 す る:   定 理   {X0,X1}をBanach空

間 の 両 立 対 と し,X0∩X1はX0お

お い て 稠 密 で あ る と仮 定 す る.0<θ<1,mを X1;m]θ

×[X′0,X′1;-m]θ

x∈X0∩X1,x′

∈[X′0,X′1;-m]θ

だ し,X′jはXjの

θが 存 在 し,

の とき

〈x,x′>θ=〈x,x′

(X0∩X1)′=X′0+X′1と

の と き[X0,

上 の 標 準 的 な 連 続 双 線 型 形 式 〈,〉

  (16)  と な る.た

よ びX1に

整 数 と す る.こ

〉

双 対 空 間(j=0,1),(16)の

右 辺 はX0∩X1と

の 双 対 形 式 を 示 す.

  こ の 双 線 型 形 式 に よ り[X′0,X′1;-m]θ 続 的 に 埋 め 込 ま れ る が,特

は[X0,X1;m]θ

の双 対 空 間 へ 連

に[X′0,X′1]θ は こ の 埋 め 込 み に よ り[X0,X1]θ

の

双 対 空 間 と 同 型 に な る.   証 明   仮 定 に よ り,X′0とX′1は(X0∩X1)′ に{X′0,X′1}もBanach空    

に 埋 め 込 ま れ る(定 理1.6).ゆ

え

間 の 両 立 対 で あ る. を 

f∈HBm(X0,X1),g∈HΛ-m(X′0,X′1)に

と 略 記 す る. 対 し て,

 (17)

とお く.た

だ し,右

辺 の 積 分 は 補 題 で 作 ったWm1(R;Xj)とΛ-m(R;X′j)と

の 双 対 形 式 を 意 味 す る.特

に, 

の と き,等

式(2)と 定 理7.3に

を 得 る.た

だ し,tに

し,そ

で あ り,注

意7.5に

よ り,φkg∈HΛ-￨m￨(X′0,X′1)に

関 す る 積 分 はWm1(R)と

れ はPとP′(X′j)と

よ り, 

す なわ ち

注 意 す る と,

Λ-m(R;X′j)の

の 双 対 形 式 に 等 し い.一

方,補

双対形式を表わ

題 によ り

に よ る 像 は[X0,

X1;m]θ

で 稠 密 で あ る か ら,以

[X′0,X′1;-m]θ

上の連続双線型形式

  逆 に,[X0,X1]θ F(x)=〈x,x′

上 に よ り,条 件(16)を 〈,〉

上 の 連 続 線 型 形 式Fに

満 た す[X0,X1;m]θ

θ の 存 在 が わ か る.

対 し て,x′

〉θと 表 示 で き る こ とを 示 す.[X0,X1]θ

∈[X′0,X′1]θが 存 在 し て, はHB0(X0,X1)の

作 用 素 に よ る 像 の 空 間 で あ る か ら,FはHB0(X0,X1)上 定 義 す る.作

×

線型

の 連 続 線 型 形 式Fを

用素

はHB0(X0,X1)か

らL1(R;X0)×L1(R;X1)へ

補 題7.5に

よ り

で あ る.し

た が っ て,Tf→F(f)はR(T)上

  Hahn-Banachの

型 作 用 素 で あ る.

の 連 続 線 型 形 式 で あ る.

定 理 に よ り,こ

式 に 連 続 的 に 拡 張 で き る.す

の1対1線

れ をL1(R;X0)×L1(R;X1)上

の 線型 形

在 す る.た だ し,積

分 は補 題 で示 し た

な わ ち,

 (18)

を 満 た すgj∈Λ0(R;Xj′)(j=0,1)が存

L1× Λ0上 の 連 続 双 線 型 形 式 で あ る.φ∈H(B0,B0)を φ ・xを

代 入 す る と,(2)に

φ(θ)=0に

と り,f=

よ り

 (19)

を 得 る.こ

れ を 使 っ て,

 (20)

が 変 数 ζ=ξ+iη

の(X′0+X′1)値

意 の 元xに

〈x,g(ξ)〉が 正 則 と な る こ と を い え ば よ い.

ついて

  〈x,gj(t)〉 をgj(t)と に つ い て,φ

がGで

正 則 函 数 と な る こ と を 示 す.X0∩X1の

書 き 換え れ ば,結局,L1(R)=L∞(R)に 正 則,Gで

有 界 連 続,φ(θ)=0な

任

属 す るg0,g1 らば

 (21)

と な る,と

い う条 件 が 満 た さ れ て い る と き(20)で

定 義 し たg(ζ)が

正 則 とな る

こ とを示 す こ とに帰 着 で き る.変 数変 換

を 行 う と,Gは￨w￨<1の

で あ る.logは

上 へ1対1正

則 に 写 さ れ,逆

正 の 実 軸 で 実 数 と な る分 枝 を と る.こ

し,Reζ=0とReζ=1と

は 点1と

写像は

の 変 換 で θは 原 点 に 対 応

点e2π θiを端 と す る 円 孤 に 対 応 す る.ま

た

で あ る.た

だ し,h(eis)は

(eis)=gj(t)と 代 入 す る.特

を 得 る.す

定 め る.φ

こ の 変 換 でeisに 対 応 す る 点 をj+itと ∈H(B0,B0)を

に φ(ζ)=w(ζ)nに

な わ ち,￨w￨<1で と い うFourier展

と り,gjの

す る と きh

代 りにgj(t)φ(j+it)を

と る と,

の 調 和 函 数h(reis)の 開 を 持 つ.よ

周 上 へ の極 限 は

っ てh(reis)は

正 則 で あ る.つ

g(ζ)は 正 則 で あ る. 

  ま り

(証 明 終)

  §7.8  複 素 補 間 空 間 と 平 均 補 間 空 間 と の 関 係   定 理   {X0,X1}をBanach空

  証 明   (7.4.5)に

で あ る.ゆ を[X0,X1]θ

を 満 た すfが

え に,定

間 の 両 立 対,0<θ<1と

よ り,x∈X0∩X1に

理4.7に

対 して

よ り, 

を 得 る.次

の 元 とす る と,

あ る.g(ζ)=ε

す る と,

ζ-θf(ζ)と お き,た

だ し ε>0,

に,x

と お く.g(θ)=xゆ

で あ る.定

え,x=x0+x1と

理4.8に

よ り第2の

  系   {X0,X1}をBanach空

な る.そ

の 上,

包 含 関 係 を 得 る. 

(証 明 終)

間 の 両 立 対 と す る と,

([X0,X1]θ0,[X0,Y1]θ1)σ,q=(X0,X1)θ,q で あ る.た

だ し,0≦

θ0<θ1≦1,0<σ<1,と

し,θ=(1-σ)θ0+σ

θ1と

お く.

  §7.9  反 復 補 間 定 理   ま ず,   補 題   {X0,X1}をBanach空 1と

し,θ=(1-σ)θ0+σ

間 の 両 立 対,0<θj<1(j=0,1),0<σ< θ1と お く.mを

整 数 とす る と,

 (1)  (2) で あ る.   証 明  f∈H(Bm(R;X0),(Bm(R;X1))に

対 し て,

g(ζ)=f((1-ζ)θ0+ζ を 対 応 さ せ る と,f(θ)=g(σ)で θ0)s)と

あ っ て,s∈Rに

お く と,g(is)=fs(θ0)で

あ る.ゆ

を 得 る.同

様 に し て,

を 得 る.ゆ

え に,f→gはH{Bm(R;X0),Bm(R;X1))か

X1;m]θ0,B0(R;[X0,X1;m]θ1)へ る.定

理1.4に

θ1) 対 し て,fs(ζ)=f(ζ+i(θ1-

え に,

らH(B0(R;[X0,

の ノ ル ム が1を

越 えな い線 型 作 用 素 で あ

よ り(1)を 得 る.

  同 様 に し て(2)も 証 明 で き る.    注 意   0≦k≦mに  (3)

整 数kとmを

(証 明 終) と る と,同

様 な 方 法 で,

な ど も証 明 で き る.   定 理   {X0,X1}をBanach空 と し,θ=(1-σ)θ0+σ 仮 定 す る.こ

間 の 両 立 対,0<θj<1(j=0,1),0<σ<1 θ1と お く.X0∩X1はX0お

よ びX1で

稠密であ ると

の とき

  (4) [X0,X1]θ=[[X0,X1]θ0,[X0,X1]θ1]σ で あ る.   証 明   補 題 と 定 理7.7に

で あ る.一

方,補

ま た 定 理7.5に

よ り

題 に よ り, 

で あ る.

よ り[X0,X1]θ0∩[X0,X1]θ1は(4)の

右 辺 の 空 間 で 稠 密 で あ り,

[X0,X1]θ0∩[X0,X1]θ1が[X0,X1]θ0と[X0,X1]θ1で 1.6に

稠 密 で あ る か ら,定

理

よ り

で あ る.ゆ

え にX0∩X1は[X0,X1]θ0∩[X0,X1]θ1で

てX0∩X1は(4)の

右 辺 の 空 間 で稠 密 で あ る.ゆえ

稠 密 で あ る.し

たが っ

に定 理 は 次 の一 般 的 命題 か

ら 得 ら れ る.   "XとYをBanach空

間 と し, 

な るYで

存 在 す れ ばX=Y"

稠 密 な 集 合X0が

  こ れ を 証 明 す る.す

し か もX0⊂X⊂Yと

べ て のx′ ∈X′ に対 し て,‖x′‖Y′ ≦c‖x′‖X′,c>0,

で あ る か ら,Hahn-Banachの

定 理 か ら の結 果 に よ り

を 得 る.し

閉,一

か もYに

た が っ てXはYで 一 致 す る.よ

っ てX=Y. 

方X0のYで

の 閉 包 はXに

含 ま れ,し (証 明 終)

第8章

  非 負作 用 素,す

  非 負作 用 素 と補 間空 間

な わ ち 正数 λに 対 して(λ+A)-1が

存 在 して,そ

の(準)ノ ル

ムがλ-1の 定 数倍 で評 価 で き る作 用 素,の 定 義 域 と値 域 を 平 均 補 間 して 得 られ る空間 につ い て論 じ る.こ れ は 作 用 素 の半 群 の生 成 作 用 素 の(-1)倍

に 関 して

論 じられ て い た事 項 を一 般化 し,包 括 す る理 論 で あ って,畏 友 の小 松 彦 三 郎 と 吉 川 敦 が組 織 的 に展 開 し た.こ

こで は空 間 を 準 ノル ム空 間 と しtσを一 般 のR+

上 の重 み の 函 数 と して,拡 張 し た形 で述 べ る.   第1節 で レ ゾル ベ ン トに つ い て 準 備 し,第2節

で 非 負作 用 素 に関 す る平 均 エ

ル ゴー ド定 理 を 述 べ る.こ の 定 理 を 次 の 節 で 何回 も使 う.第3節

で この章 の主

題 とな る空 間 を定 義 し,こ の 節 と次 の 節 で この基 本 的 性 質 を 述 べ る.こ の空 間 は 次 の 章 の 例9.7.1で

示 す よ うにBesov空

間 の 抽 象 的 再 構成 に な っ て い る.

平 均 補 間 に よ り定 義 域 よ りこの 空 間 が 得 られ る こ とを 第5節 で 示 す.第6節 第7節 は 第8節 以 下 のた め の準 備 で,第8節

と

で は 両 立 非 負 作 用 素 を 補 間 して 得

られ る補 間 空 間 上 の非 負 作 用 素 に つ い て 論 じ,第9節

で は埋 蔵 定 理 の 抽 象 的 取

扱 い を 述 べ る.   準 ノル ム空 間 上 で議 論 を 組 み 立 てた た め か な り読 み に く くな った と思 わ れ る の で,重

複 に な るけ れ ど も,Banach空間

の場 合 の 証 明 を つ け 加 えた 所 も あ

る.   §8.1  線 型作 用素 の レゾ ル ベ ン ト   準 ノル ム空 間X上

の線 型 作 用 素Aを

考え る.D(A)は‖x‖X+‖Ax‖Xを

準 ノル ム と して,R(A)は‖x‖X+inf{‖y‖X;x=Ay}を も準 ノル ム空 間 に な る.Xが R(A)は

完 備,Aが

完 備 で あ る.ζI-AがX全

持 つ よ うな複 素 数 ζの全 体 をAの

準 ノル ム と し てい ず れ

閉 な らば こ の位 相 に 関 し て,D(A)と 体 で定 義 され た 連 続 な逆(ζI-A)-1を

レ ゾ ルベ ン ト集 合 ρ(A),(ζI-A)-1を

レゾ

ル ベン トとい う.恒 等 作 用 素Iを 以 下 では 省 くこ とが 多 い .   ζ1と ζ2が ρ(A)に 属 す る とき  (1)

が 成 立 す る.こ

れ を レ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 と い う.

  ρ(A)が 空 で な け れ ばAは

閉 で あ る.一

般 に 次 の 結 果 が 成 立 す る.

  補 題   ρ(A)が 空 で な け れ ばAm(m=1,2,…)は   証 明   mに

つ い て の 帰 納 法 で 示 す.m≧1と

Amxn→yな

ら ば 

閉 作 用 素 で あ る. しAm-1は

閉と す る.xn→x,

ゆ え に  し た が

結 局x∈D(Am),し

っ て(ζ-A)-1x∈D(Am).よ

っ て 

か も

(証 明終)  定 理   Aを

準 ノ ル ム 空 間X上

き ζ∈ ρ(A),x∈N(A)な   逆 に,ρ(A)に

の 閉 線 型 作 用 素,mを

ら ばx=ζm(ζ-A)-mxで

属 す るm個

正 整 数 とす る.こ

の と

あ る.

の 複 素 数ζ1,ζ2,…,ζmに

つ い て,

 (1)

な ら ばx∈N(A)で

あ る.

  ま たN(Am(ζ-A)-m)=N(Am)で

あ る.

  証 明   ζ∈ ρ(A),x∈N(A)と

す る. 

こ れ を 繰 返 し て,x=ζm(ζ-A)-mxを

  逆 に,ρ(A)に (Am)で

属 す る ζ1,…,ζmに つ い て(1)が

あ り,(ζj-A)mを

で あ る.こ

の 連 立 線 型 方 程 式 の 係 数 の 行 列 式 は0で

白 で あ る.逆

の 包 含 を 示 す.m=1の

  x=ζ(ζ-A)-1x.ゆえ

成 立 す る と仮 定 す る とx∈D

作 用 し て,

  最 後 にN(Am(ζ-A)-m)=N(Am)を

x=0と

得 る.

にx∈N(A).m-1ま

す る.A(ζ-A)-1=ζ(ζ-A)-1-1に

示 す.右

な い か らAx=0を

得 る.

辺 が 左辺 に 含 まれ る こ とは 明

と き.A(ζ-A)-1x=0よ

り,

で 正 し い と し,Am(ζ-A)-m よ り

を 得 る.ゆ

え に,Am-1(ζ-A)-mAx=0.ζ-Aを

を 使 う と,Ax∈N(Am-1).ゆ

作 用 し て,帰

納 法 の仮 定

え にx∈N(Am). 

(証 明 終)

  §8.2  平 均 エ ル ゴ ー ド定 理   定 義   X上 と正 数Mが

の 線 型 作 用 素Aが あ っ て,区

右 非 負(左 非 負)と は0≦c0<∞(0
間(-∞,-c0)(区

  (1) 

間(-c0,0))が

‖ λ(λ+A)-1‖

がc0<λ<∞(0<λ
∞)

ρ(A)に 含 まれ

≦M

な る 実 数 λ に つ い て 成 立 す る こ と を い う. た はc0=∞)に

と れ る と き の 右 非 負(ま た は 左 非 負)作 用 素

を 非 負 作 用 素 と い う.   Aが

右 非 負(左 非 負)の と き補 題8.1に

た,A(λ+A)-1=1-λ(λ+A)-1で 様 有 界 に な る.す

よ りAは

あ る か ら,A(λ+A)-1も

な わ ち,c0<λ<∞(ま

  (2)    以 下 §8.2∼ §8.9でM,L,c0を

この 区 間 で一

た は0<λ
‖A(λ+A)-1‖

  ま た,次

閉 で あ る こ と が わ か る.ま

≦L.

こ の 定 義 の 定 数 と す る.

の 定 理 に よ り左 非 負 作 用 素Aに

対 し て,J=JAを

  (3) D(J)=R(A)+N(A),  (4) と 定 義 す る.こ

こ で,部

分 集 合Eの

閉 包 をEで

  定 理   (平 均 エ ル ゴ ー ド定 理)Aを   (a)  Aが (RC)λ (RS) 

閉 線 型 作 用 素,mを

右 非 負 な ら ば 条 件x∈R(A)と

→ ∞

の と きAm(λ+A)-mxが

Am(λn+A)-mxが

(RCO) 

λ→ ∞

(RSO) 

Am(λn+A)-mx→0と

(RC′)  λ→ ∞

正 整 数 と す る.

次 の 各 条 件 は 同 値 で あ る; 収 束 す る,

収 束 す る よ う な+∞

に 発 散 す る 正 数 列{λn}が

あ る,

の と きAm(λ+A)-mx→0, な る+∞

の と き λm(λ+A)-mxが

(RS′)  λmn(λn+A)-mxが (RC′I)  λ → ∞

示 す.

に 発 散 す る 正 数 列{λn}が 収 束 す る,

収 束 す る よ うな+∞

の と き λm(λ+A)-mx→x,

あ る,

に 発 散 す る 正 数 列{λn}が あ る,

(RS′I)  λmn(λn+A)-my→xと

な るy∈Xと+∞

に 発 散 す る 正 数 列{λn}

が あ る.   (b)  Aは

左 非 負 とす る.

  こ の と き,条

件x∈R(A)+N(A)は

(LC) 

λ →0の

(LS) 

Am(λn+A)-mxが

と きAm(λ+A)-mxが

(LC′)  λ →0の

と き λm(λ+A)-mxが

の と き,条

件x∈R(A)は

λ →0の

(LSI) 

λn→0,Am(λn+A)-my→xと

収 束 す る, あ る.

な るy∈Xと

の と き,条

な る 正 数 列{λn}が

件x∈N(A)は

λ →0の

(LSO) 

λn→0,Am(λn+A)-mx→0と

(LC′I)  λ →0の

正 数 列{λn}が

あ る.

と き λm(λ+A)-mx→0,

(LCO) 

あ る.

次 の 各 条 件 と 同 値 で あ る:

と きAm(λ+A)-mx→0, な る 正 数 列{λn}が

あ る,

と き λm(λ+A)-mx→x,

(LS′I)  λn→0,λmn(λn+A)-my→xと 完 備 な ら ばR(A)+N(A)は

  (a)と(b)の

収 束 す る 正 数 列{λn}が

次 の 各 条 件 と 同 値 で あ る;

(LS′O)  λn→0,λmn(λn+A)-mx→0と

  Xが

あ る,

と きAm(λ+A)-mx→x,

λ→0の

  さ ら に,こ

収 束 す る 正 数 列{λn}が

収 束 す る よ う な0に

(LCI) 

(LC′O) 

収 束 す る,

収 束 す る よ うな0に

(LS′)  λmn(λn+A)-mxが   ま た,こ

次 の 各 条 件 と 同 値 で あ る;

い ず れ の 場 合 も,Xが

な るy∈Xと

正 数 列{λn}が

あ る.

閉 で あ る. ノ ル ム空 間 な ら ば 各 条 件 に お い て 収 束 を 弱

収 束 に 変 更 し た も の も 同 値 に な る.   系   Aが

左 非 負,mが

正 整 数 の と き,

  (5) R(Am)=R(A), N(Am)=N(A),   (6) R(A)∩N(A)={0} で あ る.ま か らR(Am)の

たX=R(A)+N(A)な

ら ば λ
上 へ の 同 型 作 用 素 で あ る.

  定 理 の 証 明   Xはkノ

ル ム ‖x‖ を 持 つ と す る.

  (a)の 証.x∈R(A)と

す る と,任

-y‖<ε

と きAm(λ+A)-mはR(A)

を 満 た す よ う に と れ る .そ

意 の 正 数 ε に 対 し て,D(A)の うす れ ば

点yを‖x

で あ る か ら,条

件(RCO)が

成 立 す る.

  (RCO)か

ら(RC)が,(RCO)か

か ら(RS)が

導 か れ る こ と は 明 白 で あ る.

  (RS)よ

り(RSO)が

ら(RSO)が,(RSO)か

導 か れ る こ と を 示 そ う.す

ら(RS)が,(RC)

な わ ち,

λn→ ∞,  Am(λn+A)-mx→y を 仮 定 す る と,  (7)

に よ りAm-1(λn+A)-mx→0で (RSO)が

あ り,し

た が っ て,y=A0=0.よ

って

成 立 す る.

  条 件(RSO)を

仮 定 す る と,等

式

 (8) に よ り,n→

∞

と し て,x∈D(A)を

  ふ た た びx∈D(A)を 整 数lに

得 る.

仮 定 す る と,既

つ い てAl(λ+A)lx→0と

に 証 明 し た よ う に,λ

な り,等

→ ∞ の と き,正

式

 (9)

の 右 辺 は0に   (RC′I)か

収 束 す る.つ

ら(RC′)が,(RC′I)か

か ら(RS′)が   (RS′)を

ま り(RC′I)が

成 立 す る.

ら(RS′I)が,(RS′I)か

ら(RS′)が,(RC′)

導 か れ る こ と は 明 白 で あ る. 仮 定 す る,す

なわち

と す る と,x-yは

の 極 限 で あ り,不 A0=0と

な り条 件(RS′I)が

  条 件(RS′I)か   (b)の -Ay‖<ε

等 式(7)に

らx∈D(A)が

証.x∈R(A)と

よ りAl(λn+A)-l-1x→0で

あ る か らx-y=

導 か れ る. 導 か れ る こ とは 明 白 で あ る.

す る と,任

意 の 正 数 εに 対 し てR(A)の

と な る よ うに と れ る か ら

点Ayを

‖x

を 得 て,条

件(LC′O)が

  条 件(LC′O)よ

導 か れ る.

り(LS′O)が

  逆 に 条 件(LS′O)を

仮 定 す る と,xは

の 極 限 と な る か らx∈R(A)が   xがR(A)の

成 立 す る.

点 で あ れ ば,上

λl(λ+A)-lx→0と

と な る.す

導 か れ る こ と は 明 白 で あ る.

に 証 明 し た よ う に 各l=1,2,…,mに

な る か ら,λ →0の

な わ ち 条 件(LCI)が

  条 件(LCI)か

ついて

とき

成 立 す る.

ら 条 件(LSI)が,(LSI)か

らx∈R(A)が

導 か れ る こ とは 明

白 で あ る.   次 にN(A)を

特 徴 づ け る 条 件 を 調 べ る.x∈N(A)な

λm(λ+A)-mxと (LCO)よ

な る か ら 条 件(LC′I)が

り(LSO)が,(LC′I)よ

ら ば 補 題 に よ り,x=

導 か れ る.x∈N(A)よ

り(LS′I)が

り(LCO)が,

導 か れ る こ と は 明 ら か で あ る.

(LS′I)を 仮 定 す る と レ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 か ら 導 く こ と の で き る 等 式  (10)

の 両 辺 をyに

作 用 させ て,n→

題 に よ りx∈N(A)が   ま た(LSO)を

∞

とす る と

λ(λ+A)-1x=xが

得 ら れ,補

わ か る.

仮 定 す る と 等 式(8)と

 (11)

が0に

収 束 す る こ とか ら,Ax=0を

  最 後 にR(A)+N(A)を 結 果 に よ りx∈R(A)+N(A)か に わ か る.ま

た(LC)か

得 る.

特 徴 づ け る条 件 を 考 え る.R(A)とN(A)に ら 条 件(LC)と(LC′)が ら(LS)が,(LC′)か

ら(LS′)が

関す る

導 か れ る こ とが 直 ち 導 か れ る こ と は明 白

で あ る.条

件(LS)を

仮 定 す る,す λn→0, 

と す る と 等 式(8)と(11)に x∈N(A)+R(A)を

と す る.等

式(10)の

xはR(A)に   Xを

Am(λn+A)-mx→y

よ り,n→

得 る.条

を 得 る か ら,補

なわち

∞ と し て,x-y∈N(A)が

件(LS′)を

両 辺 をxに

仮 定 す る,す

作 用 し て,n→

題 に よ り,z∈N(A)で

あ り,等

属 す る か らx-z∈R(A)で

と す る と λ(λ+A)-1z=z

式(9)に

よ りx-λmn(λn+A)-m

あ る.

完 備 と す る.‖x‖γ が 三 角 不 等 式 を 満 た す と仮 定 す る.こ

と す る と,xn=x1n+x2n, x1n∈R(A), と き

∞

わ か る か ら,

なわち

x2n∈N(A)と

λ(λ+A)-1xn→x2nで

し た が っ て{x2n}の

あ る.ゆ

極 限x2が

  (a)と(b)に 収 束"に

お い てXが

表 示 さ れ て,λ

→0の

え に

存 在 す る.Ax2n=0よ

ま たx1n=xn-x2n→x-x2で

の とき

りx2∈N(A)を

得 る.

あ る か らx-x2∈R(A). ノ ル ム 空 間 な ら ば こ れ ら の 条 件 で"収

束"を"弱

変 え て よ い こ と は ノ ル ム空 間 の 閉 凸 集 合 は 弱 閉 で あ る こ と(Mazurの

定 理 の 系)を

使 え ば わ か る.こ

の と き 作 用 素Aは

弱 位 相 に つ い て も閉 作用 素 に

な る こ と に 注 意 し よ う.   系 の 証 明   (5)の 証.x∈R(A)な A)-mx→xで

ら ば 定 理 に よ り,λ

あ る か らx∈R(Am)を

N(Am)⊃N(A)は

→0の

得 る.R(Am)⊂R(A)は

明 ら か.Amx=0な

と きAm(λ+ 明 ら か で あ る.

らAm(λ+A)-mx=0→0よ

っ てx

∈N(A).   (6)の 証.x∈R(A)∩N(A)と あ る か ら λ →0と   定 理8.1に

し て,x=0を

で1対1で

あ る か ら,(6)に

あ る .X=R(A)+N(A)な

上 へ の 作 用 素 で あ る こ とは 明 白 で あ る. 

  定 理 と 定 義 に よ り,x∈D(J)に  (12)

得 る.

よ り,N(Am(λ+A)-m)=N(Am)で

Am(λ+A)-mはR(A)上 R(Am)の

す る とA(λ+A)-1x=(λ+A)-1Ax=0で

対 し て,

よ り作 用 素 らば これ が (証 明 終)

  (13)   (14) が 成 立 す る.ま

た,

  (15) R(J)=R(A), R(1-J)=N(A), で あ る.   x∈D(J)の

と き,(13)に

よ り,A(λ+A)-1(x-Jx)=0で

あ る.し

た が っ

て,   (16) 

J2=J.

  §8.3  抽 象 的Besov空   抽 象 的Besov空 Aは

間 の 定義

間Dφq(A)とRφq(A)を

完 備 準 ノ ル ム 空 間Xの

  補 題   0
∞

定 義 す る た め に 次 の 補題 を 準 備 す る.

作 用 素,φ

と し,非

はR+上

の 重 み の 函 数 とす る.

負 整 数kとmを-k
≦r-ind

φ<m

に と る.   (a)  Aを

右 非 負 と し,条

件(8.2.1)を

仮 定 す る.正

数cをc≧c0に

と り

 (1)  (2)  (3)

と定 義 す る.こ

の と き,条

て も 同 値 で あ る.特

件(1)と

に,c≧c0,

準 ノ ル ム(3)はkとmとcの

ct≧c0,

t>0の

選 び方 を変 え

とき

 (4) が 成 立 す る.こ c0=0,す い.た

こ でCtはtと

な わ ちAが

だ し,(3)の

  (b)  Aを

φ,q,k,mに

非 負,し

右 辺 の 第2項

左 非 負 と し,条

依 存 し,cに

か もl-indφ>0の を‖x‖Xと

件(8.2.1)を

依 存 し な い. と き はc=0と

して よ

す る.

仮 定 す る.正

数cをc≦c0に

とり

 (1′)  (2′)  (3′)

と定 義 す る.こ

の と き,条

え て も 同 値 で あ る.た

件(1′)と

だ し,kは

準 ノ ル ム(3′)はkとmとcの

正 整 数 とす る.ま

た,k=0と

選び方を変 し た 条 件(1′)

と 準 ノ ル ム(3′)はmとcの をRφq,m,c(A)と

Qφq,o,m,c(A)

  Aが

選 び 方 を 変 え て も 同 値 で あ る. 書 く.

非 負,l-indφ>0の

と き はc=∞

  証 明   作 用 素A(λ+A)-1と らmの

と し て も よ い.

λ(λ+A)-1が

と き の 条 件 か らm+1の

λ に つ い て一 様 有 界 で あ るか

と き の 条 件,kの

と き の 条 件 か らk+1の

と き の 条 件 が 導 か れ る こ と は 明 白 で あ る.   第1段.  m+1と

XがBanach空 し た 条 件(1)ま

間,1≦q≦

∞ の と き,(a)の

た はkをk+1と

し た 条 件(1)よ

仮 定 の 下 で,mを り条 件(1)が

導かれ

る こ と を 示 す.   cを 正 数 とす る.等

式

  (5) に よ り,

  (6)

を 得 る.λ-mφ(λ)の 条 件(1)よ   c=0,

りmの r-indφ

補 題2.8(a)を

右 指 標 が 負 で あ る か ら 補 題2.8(a)に と き の 条 件(1)が ≧0の

よ りm+1の

と きの

導 か れ る.

場 合,m>0で

あ る か ら(6)に

お い てc→0と

し,

使 う と,

  (7) を 得 る.   k+1の

と き の 条 件(1)か

らkの

と き の 条 件(1)を

導 く.(λ+A)-m-kを

微 分

し積 分 す る と  (8)

で あ る.k≧1の

ときは μ→ ∞

で あ り,k=0の ∞ の とき

と す る と, 

と き はl-indφ>0で

あ るか ら(8)よ

り,λ,μ

→

を 得,よ

っ て 平 均 エ ル ゴ ー ド定 理 に よ りAm(μ+A)-mx→0と

な る.ゆ

え に,

 (9) が 成 立 す る.(9)に

φ と し て φ(λ)λkを と り補 題2,8(a)を

適 用 し て,結

論を得

る.   第2段. 

Xが

一 般 の 準 ノ ル ム空 間 の と き に(a)を

を み た し,‖x‖Xは21/γ-1ノ   a>1を

固 定 し,整

示 す.‖x‖γXが 三 角 不 等 式

ル ム で あ る と仮 定 す る.

数 νに よ りc=aν

≧c0で

あ る と仮 定 す る .レ

ゾルベ ン

ト方 程 式 に よ り,

 (10)

 (11)

で あ るか ら,φ(t)の 上 限 の 逆 数 をφ(a)と

とお く と,条 だ し,nは

区 間[1,a]で

の 上 限 を φ(a),φ(t)の

区 間[a-1

,1]で

書 き,

件(8.2.1)と

整 数 とす る.ま

条 件(8.2.2)に

よ り,an≦

λ ≦an+1に

お い て,(た

た 添 字 γを 省 く)

 (12)

が 成 立 す る.ゆ

え に 準 ノ ル ム(3)は

 (13)

と 同 値 で あ る(q=∞  (14) た だ し,  (15) に よ り,  (16)

で は 第 一 項 はn>ν

で の 上 限 と す る).ま

た等式

の

を 得 る.Bm(a,aj)はjに し て 補 題2.8(b)を

つ い て 一 様 に 有 界 で あ る.こ 適 用 す れ ば,m+1に

に つ い て の 準 ノ ル ム(13)が   Aが

非 負,c=0,

つ い て の 準 ノ ル ム(13)に

よ っ て,m

評 価 で き る.

r-indφ

≧0の

と き は,m>0で 式(16)が

あ る か ら,ν →-∞

と きaνm→0と

な り,し

た が っ て,等

て 成 立 す る.ゆ

え に,同

じ論 法 に よ り不 等 式(7)を

  次 に,kをk+1と

こ で φ(λ)を φ(λ)λ-mと

し て 準 ノル ム(13)に

評 価 で き る こ と を 示 す.等

ν=-∞

と し て 第1項

の

を省 い

得 る.

よ っ て,kの

と き の 準 ノ ル ム(13)が

式

 (17)

た だ し,

 (18)

に よ り,  (19)

を 得 る.k>0の 0の

場 合 はl→

場 合 は,l-indφ>0で

∞

の と きAm(al+A)-m-kx→0で

あ っ て,k=1と

と す る と, 

あ る.k=

し て 準 ノ ル ム(13)が は 有 界 で あ り,し

Cm(a,aj-1)がjに

有限であ る

た が っ て,(19)と

つ い て 一 様 に 有 界 で あ る こ と に よ り,Am(aj+A)-mxが

束 す る こ と が わ か る.ゆ

え に,平

の と きAm(al+A)-mx→0で

均 エ ル ゴ ー ド定 理(定 あ る.以

上,い

理8.2)に

収

よ りl→

ず れ の 場 合 もk+1に

∞

つ いて

準 ノ ル ム(13)が 有 限 な ら ば  (20)

が 成 立 す る.こ き る.以

れ に 補 題2.8(b)を

上 の 議 論 は ν=-∞

  第3段. 

と る.c=aν

とき の準 ノル ム が評 価 で

で も 成 立 す る.

(b)の 証 明 は ほ ぼ(a)と

  ま ず,a>1に

選 用 す れ ば,kの

平 行 に し て で き る.

≦c0と

す る と 不 等 式(12)に

よ り(3′)は

 (13′)

と 同 値 で あ る.た

だ し 点 列 はn≦

ν を 走 る.等

式(19)に

よ り

 (19′)

で あ る か ら,補

題2.8(b)に

(1′)が導 か れ る.ま お い てi→-∞

を 得 る.こ

よ っ て,m+1の

条 件(1′)か らmの

た 等 式(16)でmをk,kをm,ν と す る と,k≧1な

れ に よ り,補

をiで

と き の条 件

に変 更 した 等 式 に

ら ば,

題2.8(b)を

使 え ば,k+1の

と き の 条 件(1′)か

らk

の と き の 条 件(1′)が 導 か れ る.   第4段  か らctに

(a)に お い て,c≧c0, つ い て の 条 件(1)が

  等 式(10)に

ct≧c0,

と きcに

つ い て の 条 件(1)

導 か れ る こ と を 示 す.

お い て,μ=λtと

お く と,

を 得 る.し

た が っ て,変

を 得 る.よ

っ て 不 等 式(4)が わ か っ た.

  第5段 

c0=0,

を 示 す.c>0と

t>0の

数 変 換 λ→ λtを 行 う と,

l-indφ>0の

と き,(a)に

お い て,c=0に

とれ る こ と

す る と,

とな るか らであ る.    注 意   Xの 完 備 性 は(a)に 導 く所 だ け で 用 い た.Xが

(証 明終) お い てk=1の

とき の条 件 か らk=0の

完 備 で な け れ ば,k≧1の

条件を

と きの 条件 か らk=0

の 条 件 を 導 くこ とが で き な くて,以 下 で 定 義 す る右非 負作 用 素 に関 連 す る空 間 は 二種 類 に分 か れ る.   この補 題 に よ り次 の よ うに定 義 す る:   定義  φ を指 標 有 限 の重 み の 函数,0
∞,と

し,非

負 整 数mとkを

-k
≦r-indφ<mに

  右 非 負 作 用 素Aに

と る.

対 し て 条 件(1)を 満 た すxの

の 準 ノ ル ム を こ の 条 件 を 満 た す 最 小 のmとkを ≧c0の

定 義 し,そ

対 し て,k≧1と

と っ て(3)で 定 義 す る.正

indφ>0の

の 場 合 に も 正 数c≦c0の

と き,k=0と

し て 条 件(1′)を

の 準 ノ ル ムをm>r-indφ

で 定 義 す る.正

数c≦c0は

  特 に,φ(λ)=λ σ>0につ

し て 条 件(1′)を

満 た すxの

の 準 ノ ル ム を こ の 条 件 を 満 た す 最 小 のmとkを

に よ っ て 定 義 す る.こ

し,そ

定 義 し,そ 数c

選 び 方 に は 任 意 性 が あ る.

  左 非 負 作 用 素Aに (A)と

全 体 をDφq(A)と

使 っ て(3′)

選 び 方 に は 任 意 性 が あ る.l満 た すxの

全 体 をRφq(A)と

を 満 た す 最 小 のmとk=0と

定義

に よ っ て(3′)

任 意 に 定 め る.

σ,σ≧0,の

い て はRσq(A)と

  定 義 に よ り,明

全 体 をQφq

ら か に,Aが

と き,対

応 す る 空 間 をDσq(A),Qσq(A)と

書 き,

書 く. 左 非 負 でl-indφ>0の

と き,

 (21)

で あ る.ま

た 定 義 と補 題 に よ り0
≦r-indφ<m=正

整数の とき

で あ り,

で あ る.た

だ し,Dφqの

負 と す る.以

下,特

命 題 で はAは

の 重 み,0
∞,0
∞,と す る.

らば

レ ゾ ル ベ ン トと 可 換 な 有 界 線 型 作 用 素Tに

つ い て 

が 成 立 す る.   (c)  正数c1を

左 非

基 本 的 性 質 を 述 べ る.

  定 理   φ と ψ を 指 標 有 限 のR+上

  (b)  Aの

命 題 で はAは

に 断 わ ら な い 限 り こ れ を 仮 定 し て あ る も の と す る.

  空 間DφqとQφq,Rφqの

  (a)  q≦rな

右 非 負,QφqとRφqの

適 当 に と っ て,t≧c1で

φ(t)/ψ(t)が 有 界 な ら ば,

t≦c1で

ψ(t)/φ(t)が 有 界 な ら ば

ま た,r-indφ
  (d) 

な らば

D0∞-(A)⊃D(A),D0∞(A)=X,Q0∞-(A)⊃R(A)+N(A)で

Q0∞(A)=Xで

あ る.

  特 にr-indφ<0な >0な

ら ば,特

  (e)  Aが

あ り,

ら ばDφq(A)=X,Qφq(A)=Xで に σ>0な

逆A-1を

あ る.ま

たl-indφ

らば

持 て ば,A-1は

左 非 負 ま た は 右 非 負 と な り,ψ(t)=

φ(t-1)-1と お く と,

で あ り,さ

ら にl-indφ>0の

 (f)  l-indφ>0な

とき は

らば

 (22) 

(直 和).

  (g)  Dφq(A),Qφq(A),Rφq(A)は 間,1≦q≦

完 備 準 ノ ル ム 空 間 で あ り,XがBanach空

∞ の と き こ れ ら の 空 間 もBanach空

  証 明   (a)の 証.XがBanach空 (a)を 使 え ば わ か る.Xとqが

間 で あ る.

間 で,1≦q≦

∞ の と き は(6)と 補 題2.8

一 般 の と き は 準 ノ ル ム と し て(13)ま

た は(13′)

を 使 え ば 明 白 で あ る.   (b)の

証.TとA(λ+A)-1=1-λ(λ+A)-1の

  (c)の 証.前 と な る こ と,お

半 は 明 白.r-indφ
可 換 性 に よ る. の と き は,φ/ψ

よ びm>r-indψ>l-indφ>-kに

と の右 指 標 が 負

非 負 整 数mとkを

と き,

と な る こ と か ら   (d)の 証.D0∞=Xは

を 得 る.QφqとRφqに 明 白.定

理8.2(a)に

つ い て も 同 様 で あ る. よ り

とる

次 に,x∈Dσ∞(A),σ>0と

と な る か ら,定

す る.m>σ

理8.2(a)に

ら,l-indφ>σ>0に

よ りx∈D(A)で

あ る.一

般 に φ の左 指 標 が 正 な

と り,

  x∈R(A)+N(A)の

と き 定 理8.2(b)に

→x1∈R(A).x-x1∈N(A)で

  定 理8.2(b)に

よ り,λ

あ る か ら,λ

→0の

→0の

と きA(λ+A)-1x

とき

よ りRφqに 関 す る結 果 も証 明 で き る.

  (e)の 証.B=A-1と 0<λ

に 正 整 数 を と る と,

お く.λ ≧c0で

条 件(8.2.1)が

成 立 す る と 仮 定 す る.

≦c-10に お い て,

ま たx∈D(B)に

対 し て,

ゆ え に,(λ+B)-1=λ-1A(λ-1+A)-1で

あ る.よ

た ψ の 相 似 比 函 数ψ は φ に 等 し い.-k
っ てBは

左 非 負 で あ る.ま

≦r-indexφ<mに

非負

と る と,

と な り,Dφq(A)=Qψq(B)を

得 る.後

半 はN(A)=N(A-1)={0}と

次 の(f)

に よ る.   (f)の 証.l-indφ>0,x∈Qφq(A)と a>1と

す る.(16)と

仮 定 す る.m>r-indφ

X)に

属 し,し

+A)-mx1→0と

と な る.補

が収

束 す る こ と が わ か る.定

よ りx=x1+x2,x1∈R(A),x2∈N(A)と

A)-m-1x2=0ゆ

と り,

同 様 に し て,

が 導 か れ る か ら,{{an(an-A)-1}mx}n=ν,ν-1,… 8.2(b)に

にmを

表 わ せ

る.λmA(λ+

え,λmA(λ+A)-m-1x1=λmA(λ+A)-m-1xはL*q((0,c); か も,x1∈R(A)よ な り,し

題2.8(b)を

り,定

理8.2(b)に

よ り,i→-∞

でaim(ai

た が っ て,

使 う と,x1∈Rφqを

得 る.ゆ

え にQφq⊂Rφq+N(A).

理

逆 向 き の 包 含 関 係 は(21)で   ま た,Rφq⊂R(A)で   (g)の 証.完

示 し た.

あ る か ら 系8.2に

備 性 はLebesgue積

よ り(22)の 右 辺 は 直和 に な る.

分 論 のFatouの

補 題 に よ りわ か る. (証 明 終)

  §8.4  稠 密 性 と 昇 降 性   こ こ で,Dφq(A)やRφq(A)に うか を 考え,ま property)と

た,こ

お い てD(Am)ま

れ ら の 空 間 に お け るAの

呼 ば れ る 性 質,を

  こ の 節 で もXは

完 備 準 ノ ル ム 空 間,AはX上

∞(μ →0)の

降 性(lifting

の 線 型 作 用 素 で,Dφqを

問題

問 題に す る と きに は 左 非 負 と仮 定 す る.

  定 理   φ を 指 標 有 限 の 重 み の 函 数,0
 (a)  q≦

稠 密 で あ るか ど

作 用 の 仕 方,昇

調 べ る.

に す る と き に は 右 非 負,QφqとRφqを

ψ(t)=tmφ(t)と

た はR(Am)が

∞,そ

し てmを

正 整 数 と し,

お く.‖x‖γXは 三 角 不 等 式 を 満 た す と す る.

∞-と

す る.D(A)∩Dφq(A)(R(A)∩Qφq(A))の

と きDφq(A)(Qφq(A)とRφq(A))の

  (Am(μ+A)-mx→x)で

元xに

対 し て μ→

位 相 で,μm(μ+A)-mx→x

あ る.

  特 に,l-indφ>0ま

た はD(A)=X(R(A)=X)の

(Rφq(A)∩R(Am))はDφq(A)(Rφq(A))で

と き,Dφq(A)∩D(Am)

稠 密 で あ る.

 (b)

 (c)

か つ 

 (d) 

な らば な らば な らば

 (e) 

な らば  (f)  l-indφ>0な

  (g) -μ はDφq(A)か

をAの

らば

レ ゾル ベン

らDψq(A)へ

ト集 合 に 属 す る 数 と す る.こ

の1対1有

の と き(μ+A)-m

界 線 型 作 用 素 で あ る.l-indφ>0の

場

合,こ

れ は 上 へ の 作 用 素 で あ る.

 証明 

に 非負整 数kとlを

  (a)の 証. 0
場 合.x∈D(A)∩Dφq(A)と

の と き μm(μ+A)-mx→x,し

で あ る か ら,Lebesgueの

  q=∞-の

と る.

収 束 定 理 に よ り,μ

場 合.cを

正 数 と す る.正

す る と,定

理8.2(a)

か も,

→∞

の とき

数 εに 対 し て,

な らば と な る よ う に 正 数 λ0(ε)がとれ る.系2.7の て φ(λ)の 上 限b(ε)は

証 明 に よ り区 間[c,λ0(ε)]に

有 限 で あ る.μm(μ+A)-mx→xで

おい

あ る か ら,

な らば と な る よ うに 正 数 μ0(ε)がとれ る.ゆ ≧cに

え に,μ>μ0(ε)に

お い て,す

べ ての λ

つ い て,

で あ る.c=0の

場 合 も 同 様 に 証 明 で き る.

  (b)の 証. x∈D(Am)と

ゆえに,x∈Dm∞(A).

す る と,

と は 定 理8.2(a)に

x∈D(Am)でAmx∈D(A)な

  (c)の 証. x∈Dmγ(A)な っ て 定 理8.2(a)に

ら ばxがDm∞-に

属す る こ

よ りす ぐわ か る. ら ば 定 理8.3(d)に

よ り,λ

→ ∞

に と る.等

式(8.3.16)に

よ り

を 得 る.よ

っ てn→

の と き{anA(an+A)-1}mxは

∞

あ る か ら,xはD(Am)に属

し,し

よ りxはD(A)に

の と き λm(λ+A)-mx→xで

属 し,し

たが

あ る.a>1

収 束 す る.Amは

閉で

か も,

{anA(an+A)-1}mx→Amx.  (d)の

証.  x∈D(Am)か

つAmx∈Dφq(A)と

す る.補

題8.3に

よ り  で あ り,

し た が っ てx∈Dφq(A)で

あ る.

  (e)の 証. 

と な る.ゆ

とす る と

え に,AmxはDφq(A)に

  (f)の 証.  l-ind φ>0と

属 す る. す る とl-indψ>mと

 し た が っ て(e)に の 包 含 は(d)に

を 得 て,(μ+A)-mが1対1有   l-indφ>0な

  例  -μ

よ り 

よ り, 逆 向 き

有 界 作 用 素 で あ る か ら,

界 作 用 素 で あ る こ と が わ か る.

ら ば 定 理8.3と(f)に 逆 に な る.よ

をAの

 系  q,φ,m,ψ

よ り(μ+A)mはDψqをDφqに

っ て(μ+A)-mは

上 へ の 作 用 素. 

レ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 属 す る 数 と し,σ

を 定 理 と 同 じ とす る.こ

 証 明  -μ をAの   x∈Dφq(A)と

理8.3に

よ る.

  (g)の 証. A(μ+A)-1は

(μ+A)-mの

な り,定

写 し, (証 明 終)

を 正 数 とす る とき

の とき

レ ゾル ベ ン ト集 合 に 属 す る数 とす る.

す る と, 

で あ る.し

と す る と,定

 逆 に,  定 理8.3(c)を

使 っ て,Ajxj∈Dφq(A)を

  x∈Qφq(A)と

す る.

得 る か らx∈Dφq(A)で

た が っ て,

理 の(e)に あ る.

よ り,

で あ り,定

理 の(d)に

  逆 に,xが

よ りAj μjAm-j(μ+A)-mx∈Qψq(A).

論 理 的 同 値 記 号 の 右 側 の よ うに 表 わ さ れ る とxがQφq(A)に

る こ と は 定 理 の(e)と

定 理8.3(c)に

よ りわ か る. 

属す

(証 明 終)

  §8.5  定 義 域 ま た は 値 域 と の 補 間 空 間   空 間DφqとRφqを   定 理   mを

補 間 空 間 と し て 特 徴 づ け る.

正 整 数,0
φ ≦r-indφ<mと

∞,φ

す る.こ

を 指 標 有 限 の 重 み の 函 数 で,0
の と き,Aが

右 非 負(左 非 負)な ら ば

と お く と,   (1)   ((1′)

で あ っ て 準 ノ ル ム は 同 値 で あ る.特

に,

 (2)  ((2′)

  証 明   1≦h≦m-1の

とき

 (3)

 (4)

と 定 め る と,Fm(1-t)(1-t)m=Fm(1)-Gm(t)tmで  

x∈Dφq(A)に

と お き,0<λ
と き

対 し て,λ

≧cの

あ る. と き,

と き はυ0(λ)=x-λmυ1(c), υ1(λ)=λmυ1(c)と

お く.

よ っ て, 

を 得 る.

  一 方,Gmの

作 り方 か ら,λ>0に

  (5) 

お い て,

x=υ0(λ)+υ1(λ)

で あ る.逆

に,(5)がa.e.λ

で 成 立 す る よ う なυ0とυ1を 

と な る よ う に とれ れ ば,

を 得 る.Aが

左 非 負 の と きRφqに つ い て も 同 様 に 証 明 で き る. 

(証 明 終)

  §8.6  非 負 作 用 素 の 部 分 空 間 へ の 制 限   X上

の 作 用 素Aの

部 分 空 間Yへ

の 最 大 制 限Bは

  (1) D(B)={y∈Y;y∈D(A),Ay∈Y},   (2) 

By=Ay

と 定 義 す る.以   補 題  X上

(y∈D(B)の

下 こ の 節 でYはXの の 線 型 作 用 素AのYへ

と き),

部 分 空 間 と す る. の 最 大制 限 をB,mを

正 整 数 と す る.

  (a)  ζ∈ ρ(A)∩ ρ(B)の と き(ζ-A)-1￨Y=(ζ-B)-1,   (b) 

の と き,BmはAmのYへ

  (c) 

A-1が

で あ る.こ

こ で,ρ

対 し て,(ζ-B)-1y=z∈Y.よ

え にz=(ζ-A)-1y.す

  (b).  mに し,mで

存 在 す る と き,B-mはA-mのYへ

の最大制限

は レ ゾ ル ベ ン ト集 合 を 示 す.

  証 明   (a).  y∈Yに (ζ-A)z.ゆ

の 最 大 制 限 で あ る,

っ てy=(ζ-B)z=

な わ ち(ζ-A)-1￨Y=(ζ-B)-1.

つ い て の 帰 納 法 で 示 す.m=1の

と き は 定 義 に よ る.m≧1と

は 正 し い とす る. 

か つAm+1x∈Yの

とき

 (3)

で あ る. 

はYの

∩D(Am)に

属 し,Am(Ax)∈Y.ゆ

方x∈Y,

Ax∈Yよ

元 をYに

え に,Ax∈D(Bm),

りx∈D(B),

Bx=Ax.し

写 す か ら,AxはY Bm(Ax)=Am+1x.一

た が っ てx∈D(Bm+1),

Bm+1

x=Am+1x.

  (c). z∈R(B)の A-1z.す

と きz=By=Ayと

な わ ち,yはzか

な るy∈Yが

ら 一 意 に き ま る.逆

にz∈Y,

あ る.よ

っ てy=

y=A-1z∈Yと

す る.Ay=z∈Yよ

り,y∈D(B),By=z.す

B-1はA-1のYへ

の 最 大 制 限 で あ る.ま

に よ り    系   X上 Y上

な わ ち,y=B-1z.故 た, 

(b)を 使 っ て,(c)を 右 非 負(左 非 負)作 用 素 のYへ

に

得 る. 

(証 明 終)

の 最 大 制 限 をBと

す る と き,Bが

の 右 非 負(左 非 負)作 用 素 と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は λ>c0(λ
い て(λ+A)-1がYの

元 をYに

  (4) ‖

つ

写 し,

λ(λ+A)-1￨Y‖L(Y)≦MY

と な る こ と で あ る.   上 の 条 件 の 下 で,m,nを

非 負 整 数 とす る と,あ

い て λmAn(λ+A)-m(μ+A)-nx∈Yな
つ い てYに

  こ こ で,準

ら ば,こ

属 し て,Y値

る λ,μ>c0(λ,μ
つ

れ は す べ て の λ,μ>c0(λ,μ

正 則 函 数 に な る.

ノ ル ム 空 間 の 値 を と る 正 則 函 数 と は 連 続 で あ っ て(7.1.3)の

意味

で 微 分 可 能 な 函 数 の こ と を い う.   証 明   必 要 性 は 補 題(a)に

よ る.十

分 性 は 明 白.

  後 半 の 証. 

で あ る か ら, な ら ば,

はY値

正 則 函 数 で あ る. 

(証 明 終)

  §8.7  両 立 非 負 作 用 素   こ の 節 で はX0とX1は   定 義   X0上

準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対 と し,X=X0+X1と

の 右 非 負(ま た は 左 非 負)作 用 素A0とX1上

非 負)作 用 素A1と

お く.

の 右非 負(ま

たは左

右 非 負(ま

たは左

が 両 立 し て い る と は,

  (1) 

A0x=A1x

が す べ て のx∈D(A0)∩D(A1)に

つ い て 成 立 し,A0とA1の

非 負)の 条 件 を 定 義 す る 定 数c0を

共 通 に と っ た と き,あ

  (2)  が す べ て のx∈X0∩X1に

る λ>c0(λ
(λ+A0)-1x=(λ+A1)-1x つ い て 成 立 す る こ と を い う.

  定 理   A0とA1がX0とX1上 す べ て の λ>c0(λ
の 両 立 右 非 負(ま た は 左 非 負)の 作 用 素 な ら ば, に つ い て,(2)が

成 立 す る.そ

し

て,こ

の とき

  (3) D(A)=D(A0)+D(A1) と定 義 し,こ

の 集 合 に 属 す るx=x0+x1,x0∈D(A0),x1∈D(A1)に対

  (4) 

して

Ax=A0x0+A1x1

と定 義 す る と,AはX上

の 右 非 負(ま

た は 左 非 負)作

λ>c0(λ
用 素 に な り,す

べ ての

つ い て,

(λ+A)-1x=(λ+A0)-1x0+(λ+A1)-1x1

が 成 立 す る.ま

た

  (6) R(A)=R(A0)+R(A1) で あ っ て,A0はAのX0へ   逆 に,X上

の,最

大 制 限 に 一 致 す る.

の 右 非 負(ま た は 左 非 負)作 用 素AのX0とX1へ

れ ぞ れA0とA1と A0とA1は

の,A1はAのX1へ

す る と き,A0とA1が

の最大制限をそ

右 非 負(ま た は 左 非 負)と な る な ら ば,

両 立 右 非 負(ま た は 左 非 負)作 用 素 と な り,(1)か

ら(6)ま で が 成 立 す

る.   証 明   λ>c0(ま

た は λ
お い て,

 (7) と す る.レ

ゾル ベ ン ト方 程 式(8.1.1)に

よ り

 (8) た だ し, 

に よ り λ に つ い て(2)が 成 立 す れ ば

μ に つ い て も(2)が 成 立 す る.こ c0)に

れ を 繰 返 せ ば,す

べ て の λ>c0(ま

た は λ<

つ い て(2)が 成 立 す る こ と が わ か る.

と す る.x0-y0=y1-x1に A1y1を

得 る.よ

(ま た は

っ てAは(3)と(4)に

適 用 す れ ばA0x0+A1x1=A0y0+ よ っ て 矛 盾 な

λ
+(λ+A1)-1x1をyと

と な る.ま

等 式(1)を

お く と,

たy=y0+y1,z=z0+z1,yj∈D(Aj),zj∈D(Aj)(j=0,1),

く 定 義 さ れ る.λ>c0 対 し て,(λ+A0)-1x0

と す る と, 

と な り,こ

(λ+A0)-1を =zで

作 用 す る と,(2)に

あ る .す

よ りy0-z0=z1-y1を

な わ ち λ+Aは1対1,上

得 る.ゆ

へ の 作 用 素 で,そ

れ に え にy

の逆 に つ い て

(5)が 成 立 す る.   x∈X0∩D(A),Ax∈X0と A)xと

す る.λ>c0(ま

お く と,y∈X0.し

ゆ え にA0はAのx0へ

た は λ
と りy=(λ+

た が つ て,x=(λ+A)-1y=(λ+A0)-1y∈D(A0). の 最 大制 限 で あ る.

  作 り方 か ら(6)は 明 白 で あ る.   逆 を 示 そ う.(1)と(4)は

明 白.補

題8.6(a)に

で あ る.よ

得 る.最

後 に,x∈D(A)と


っ て(2)と(5)を

よ り,

す る λ>c0(ま

と り 

た は λ

と お く と,

ゆ え に(3)が 成 立 す る.    系   定 理 の 条件 の下 で,mを

(証 明終) 正 整 数 とす る とき

 (9)

が成 立 し, 

に つ い て,

  (10) が 成 立 す る.  A0とA1が

そ れ ぞ れ 逆A0-1とA1-1を

持 ち,x∈R(A0)∩R(A1)に

対 し て,

 (11)

が 成 立 す る と き,特

にj=0,1に

A-mのXjへ

の 最 大 制 限 で あ る.

 A0とA1が

左 非 負 で あ っ て,

つ い てR(Aj)がXjで

稠 密 の と き,Aj-m別 は

 (12)

が成 立す る な ら ば  (13)  (14)  (15)

が 成 立 す る.た

だ し,[Y]XはYのXに

お け る 閉 包 を 示 す.

  証 明   (5)を 繰 返 し 使 う と,λ>c0(ま (j=0,1)の

た は λ
と き,

 (16)

と な る こ と が わ か る.(5)よ

り(3)を 導 く の と 同 様 に し て(16)よ

と が で き る.AmjがAmのXjへ

り(9)を 導 く こ

の 最 大 制 限 で あ る こ と は 補 題8.6(b)に

よ り示

す こ と が で き る.   A0-1とA1-1が

存 在 し て,(11)が

成 立 す る と 仮 定 す る.

とす る.A0x0=-A1x1に(11)を た が っ てA-1が R(Aj)がXjで

補 題8.6(c)に

理8.2)に

な わ ちx=0.し

よ り結 論 を 得 る.j=0,1に

左 非 負 で(12)が

つ い て

稠 密,し

よ りN(A)={0}と

よ りA0-1とA1-1の

  A0とA1が

な りA-1が

存 在 と等 式(11)の

た が っ て, 存 在 す る.

成 立 が わ か る.

成 立 す る と 仮 定 す る.x=x0+x1,xj∈Xj(j

対 し て,

で あ り,A0とA1の 0の

題8.6(c)に

稠 密 な ら ばR(A)=R(A0)+R(A1)はXで

平 均 エ ル ゴー ド定 理(定

=0,1)に

適 用 し,x0=-x1,す

存 在 し,補

そ れ ぞ れ に 対 し て(8.2.4)に

と き 右 辺 はJ0x0+J1x1に

J0x0+J1x1で

あ る.こ

収 束 す る.す

れ と等 式(8.2.15)に

x∈XでA(λ+A)-1xが

よ りJ0とJ1を

定 め る と,λ →

な わ ちxはD(J)に

属 し,Jx=

よ り(13)と(14)を

収 束 す る か ら 定 理8.2(b)に

得 る.す

よ り等 式(15)を

べ ての 得 る.

(証 明 終)   §8.8  非 負 作 用 素 の 補 間  定理 

を 準 ノ ル ム 空 間 の 両 立 対 ま た はBanach空

圏,    と し,AをX0+X1上

を  の 上 の 指 示 函 数h(ξ,η)の {A0,A1}を{X0,X1}の

  こ の と き,Bは  (1)

補 間 函 手 とす る.

上 の 両 立 右 非 負(ま た は 左 非 負)作 用 素

の 等 式(8.7.3)と(8.7.4)に

た は 左 非 負)作 用 素 と し,Aの

間 の両 立 対 の全 体 の な す

補 間 空 間 

よ り定 義 され る 右 非 負(ま へ の 最 大制 限 をBと

右 非 負(ま た は 左 非 負)で あ っ て,λ>c0(ま

す る.

た は λ
が 成 立 す る.   特 に,φ0と

φ1が 指 標 条 件 を 満 た す 重 み の 函 数,0
しAのS=S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)へ は(λ+As)-1に等

し く,{X0,X1}をBanach空間

し,AのXθ=[X0,X1]θ A0)-1が

す る と,(λ+A-1)￨s

の 両 立 対,0<θ<1と

へ の 最 大 制 限 をAθ

と す れ ば,(λ+A)-1￨X0=(λ+

成 立 す る.

  D(A0)とD(A1)が,そ

れ ぞれX0とX1で

密 な ら ばD(B)は

 

  証 明   {A0,A1}を   λ>c0と

成 立 す る か ら,作

で 成 立 す る.補

  D(Aj)がXjで X0∩X1の

稠 密,X0∩X1が

題8.6(a)に

な る.ゆ

よ り,Bは

右 非 負 で あ る. 対 し て,λ → ∞ の と き

たが って

 

え にX0∩X1はD(B)の 

定 に よ りX0∩X1は

 

の 位 相 で λ(λ+ で の閉 包 に 含 まれ

で 稠 密 で あ るか ら,D(B)は 

で 稠 密 で あ る. 

(証 明 終)

  定 理 後 半 の 仮 定 はq0ま と[X0,X1]θ

で稠

用 素 の 補 間 に よ り,

稠 密 とす る(j=0,1).x∈X0∩X1に

位 相 で λ(λ+A)-1x→x,し

A)-1x→xと

 

で 稠 密 で あ る.

両 立 右 非 負 作 用 素 と す る.

す る と(8.7.7)が

が 

る.仮

∞(j=0,1),と

の 最 大 制 限 をAsと

た はq1が

∞ で な い と き のS(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1)

に つ い て 成 立 す る(定 理5.3と

  系   定 理 の 条 件 の 下 で,mを

定 理7.5).

正 整 数 とす る と き,

 (2)

が 成 立 し,ま

た{A0,A1}が

左 非 負 で あ っ て,(8.7.12)が

成立す るとき

 (3)

が成 立 す る.さ

らに各 

に つ い てY0∩Y1が 

で稠 密 と

な る と き, の 

 (4) 

で の閉 包

が 成 立 す る.   証 明   λ>c0(ま

た は0<λ
上 へ の 同 型 を 与 え る(j=0,1),作   {A0,A1}を

と る.(λ+A)-mはXjか 用 素 の 補 間 と 補 題8.6(a)に

両 立 左 非 負 と し,(8.7.12)を

仮 定 す る.R(Aj)のXjで

らD(Ajm)の よ り(2)を 得 る. の閉包を

Yj(j=0,1)と R(Ajm)の

す る.系8.2に

よ り,λ
上 へ の 同 型 を 与 え る(j=0,1).作

は 

か ら 

ら

の 上 へ の 同 型 に な る.Yj⊂Xj(j=0,1)

で あ る か ら, 

で あ る か ら,一

と きAm(λ+A)-mはYjか 用 素 の 補 間 に よ り,Am(λ+A)-m

で あ る.

般 に 

で あ る.ゆ

え に,  R(A1m))で

る.一

方,Am(λ+A)-mは{X0,X1}か

型 作 用 素 で あ る.し

を 得 る.(3)が   Ajに

ら{R(A0m),R(A1m)}へ

た が っ て,作

あ

の 両 立 連続 線

用 素 の補 間 に よ り

示 さ れ た.

対 応 し て(8.2.3)と(8.2.4)で

へ の 制 限 がJjで,そ

れ はXjか

間 に よ り,Jの 

定 義 さ れ る作 用 素 をJjと らYjへ

書 く と,JのX

の 連 続 線 型 作 用 素 で あ る.作

へ の 制 限J〓

は 

の 連 続 作 用 素 で あ る.(8.2.13)と(8.2.16)と

用 素 の補

か ら 

の 中 へ

に よ り (直 和)

を 得 る.xがR(B)の 

で の 閉 包 に 属 す る と き,x∈D(J)で,し

も 

で あ る.以

上 によ り

での閉包

の 

し か も 埋 め 込 み は 連 続 で あ る.xがY0∩Y1に A(λ+A)-1x→xがX0∩X1の 立 す る.す

位 相 で,し

属 す る な ら ば,λ た が っ て 

な わ ち,Y0∩Y1⊂[R(B)の 

よ りY0∩Y1は 

で 稠 密 で あ る.ゆ の 

で の 閉 包]と

と き,

の 位 相 で成 な る.仮

定 に

え に,

(証 明 終)

  §8.9  抽 象 的 埋 蔵 定 理 の 算 術 的 等 式 を 示 す:

  補 題   mとkを

→0の

での閉包

と な り(4)を 得 る. 

  ま ず,次

か

正 整 数 と し,(k+m-1)次

多 項 式Fm,kを

 (1)

と 定 め る.こ

の と き,等

式

 (2)

が成 立す る.  証 明  2項 係 数 の性 質 に よ り  (3)

で あ る.2項

展 開 す る と,(2)の

左辺は

に 等 し い. 

(証 明 終)

  さ て,準

ノル ム空 間X上

の 右 非 負 作 用 素Aと

λ,μ>c0に

対 し て,

 (4)

 (5) で あ る か ら,t=λ(λ+A)-1,u=(μ/λ-1)A(μ+A)-1と 代 入 す る と,

 (6)

を 得 る.た  (7)

だ し

し て,等

式(2)に

で あ る.こ

の 等 式 に よ り,抽

  定 理   {X0,X1}を

象 的 埋 蔵 定 理 が 導 か れ る.す

完 備 準 ノル ム 空 間 の 両 立 対,{A0,A1}を{X0,X1}上

両 立 右 非 負 作 用 素 と し,X=X0+X1,と 8.7の(8.7.3)と(8.7.4)に   0
∞,φ

お き,X上

の 右 非 負 作 用 素Aを

と ψ を 指 標 有 限 の 重 み の 函 数 と し,c≧c0に

よ び 正 整 数hが

の 定理

よ っ て 定 義 す る.

  (a)  条 件-k
な わ ち,

≦r-indψ<mを

と る.

満 た す 非 負 整 数kと

非 負整数

存 在 し て,

 (8)  (9)

が 成 立 す る と仮 定 す る.ま   こ の と き,Dφq(A1)の

たl-indφ>0と

す べ て の 元xに

す る. ついて

 (10) が 成 立 す る.そ

し て,

な らば な らば   1/{φ(t)ψ(t)}がt≧1で で あ る,た

だ し,X0の

有 界,0
γ な ら ば 

準 ノル ム のγ 乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た す と す る.

  (b)  逆 に,l-indφ>0を

満 た す φ に つ い て,

  (11) が 成 立 し,Dφq(A1)に

属 す る す べ て の 元xに

つ い て,

 (12) が 成 立 す る な ら ばr-indφ<m,-h
ψ)≦r-ind(φ

ψ)
非 負

と る と,

 (13)  (14) が 成 立 す る.   証 明   (a)の 証.a>1に 整 数lをr-indφ
た, 

と る,c=aν

≧c0と

し て よ い.正

ψ)の よ うに と る.r-indφ と お く.さ

整 数nと

非負

ψ<m+nと

て,Dφq(A1)の

元 をx

とす る と,xはD(A)に

属 す る か ら,mをl+m+nと

し て(6)を 使 う と,

 (15)

を 得 る.た

だ し,Cl=Fl+m+n,k(1)-Iと

お き,

 (16)

 (17)

と定 め る.Fl+m+n,k(λ(λ+A)-1)が[λ(λ+A)-1]kを

が 成 立 す る.た り,(10)が

因 数 に 含 む か ら,

だ し,φ ψ は φψ の 相 似 比 函 数 を 示 す.lの

選 び 方 と系2.6に

よ

わ か る.

  mをm+nと

し て(6)を 使えば(15)と

同 様 に,

  (18) を 得 る.た

だ し,

と定 め る.k0の

を 得 る.ゆえ

た,Bj,Bν

代 りにhを

場 合.BjとBν

場 合.仮

はX1の

の 形 と 仮 定(8)と(9)に

あ り,KをCKと 定(8)と(9)に

下k≧hの

な わ ちx∈S(q,φ

成 立 す る.

より

の と きuj=0と

ψ,X0;q,φ,X1)で

よ り

し て(12)が

有 界 作 用 素 で あ る か ら,j>ν

uj=BjAn(aj+A)-nxとuν=Bνx,j<ν

と な る.す

と る も の とす る.以

準 ノ ル ム の γ乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た す とす る.

にx∈Dφψq(A0)で

  r-ind(φ ψ)<0の

で あ り,ま

と き はkの

あ る.

につ い て は お く と,

場

で 有 界 で,0
と な り,X0の

完 備 性 に よ りx∈X0を

  (b)の 証.m,k,hを

代 入 す る と,λ

を 得,λ=cに

とれ ば(14)を

と な る.l-indφ>0ゆ

得 る.

定 理 の(a)の

を 得 る.(12)に

な らば,

よ うに と る.x∈X1の

≧cに

ついて

得 る.ま

た(12)に

代 入 し て,

え λ ≧cで1+φ(c/λ)は

有 界,し た が っ て,(13)が

か る. 

使 え ば 完 備 性 が な くて も(8)よ

  注 意2  左 非 負 作 用 素 やc=0の   注 意3  定 理(a)で

はr-ind(φ

に よ り,任 意 のr>0に れ に 定 理(a)を

で あ る.た

な る 正 整 数k

り(10)が 導 か れ る.

ψ)=0,q>γ

の場 合 に つ い て結 果 が示 し て

に 正 数 δを と れ ば 定 理8.3の(a)と(c)

つ い て, 

た だ し φ(t)t-δを φ1と

使 え ば,

とえ ば,ψ(t)=t-ρ,ρ>0の で あ る.な

≦r-indφ<mと

場 合 の 類 似 の 埋 蔵 定 理 が 証 明 で き る.

な い.r-indφ-l-indφ<δ
す る.こ

わ

(証 明 終)

  注 意1  Dφqを 定 義 す る の に-k
とき

お こ の 場 合,定 な らば 

と き  理(a)に

よ る と σ>ρ

な ら ば,  で あ る.

第9章

  Banach空

 作 用 素 の分 数 ベ キ

間 の 非 負 作 用 素 の 分 数 ベ キ の 理 論 を 述 べ る.E. Hille,

Phillipsに 始 ま り,A.V.

Barakrishnan,

R.S.

Krasnosel'skii-Sobolevsiiお

よび

恩 師 吉 田 耕 作 と加藤 敏 夫 が 発 展 させ た 理 論 で あ る.こ こで も小 松 彦 三 郎 に よ る 組織 的 な 研 究 に した が って述 べ る.た だ し,実 部 が正 のベ キ と実 部 が 負のベ キ を 同 時 に 扱 う形 に修 正 し て述 べ る,第2節

∼ 第4節

で述 べ る指 数 法 則 が 中心 的

話 題 で あ る.そ れ を使 って実 部正 の複 素数 ベ キ の性 質 を第5節

で調 べ,第6節

では 分 数 ベ キ の定 義 域 が 補 素 補 間 に よ り得 られ る こ とを 示 す.第7節 の生 成 作 用 素 の-1倍

の場 合 を 扱 い,例

と してBesov空

では半群

間 が 前 章 のDσqに な る

場 合 を説 明す る.   な お,本 書 で は基 本 的結 果 を 述 べ るに と ど まっ て,分 数 ベ キ に 関 す る多 くの 重 要 な結 果 を 省 か ざ るを得 なか った.興 味 あ る方 々は参 考文 献 な どを参 照 し て いた だ き た い.   §9.1  非 負作 用素 の 分数 ベ キ の定 義   こ の節 か ら §9.6ま で,AをBanach空   複 素 数 α に 対 し て,Reα=σ

間X上

の 非 負 作用 素 とす る.

とお き-l<σ<mに

正 整 数lとmを

る.x∈Dσ-1(A)∩Q-σ1(A)な らば,定 義 に よ り,  (1)

で あ る.し

た が っ て,積

分

 (2)

が ノ ル ム 収 束 す る.部

が,λ

→0ま

分 積 分 す る と(Aλl+m-1(λ+A)-l-m-1を

た は λ→ ∞

の と き0に

収 束 す る こ とか ら,

積 分),

と

 (3)

を 得 る.同 様 に部 分積 分 に よ り  (4)

を 得 る.し

た が っ て 式(2)の 値 はlとmの

  σ>0の

と き はDσ1(A)∩Q-σ1(A)=Dσ1(A)で

+A)-mx→0と

な る.し

の 値 はl=0に

と っ て も 変 ら な い.

  σ<0の

る か ら,式(2)の

な り,m=0と

し て も等 式

と っ て も 変 ら な い.

に と り,式(2)に

値 は 明 ら か にD(A)∩R(A)に

の と きλσAm(λ

と き に も 等 式(3)が 成 立 し,式(2)

らばx∈R-σ1(A)と

値 はmを0に

  さ て,0<ε<μ<∞

あ っ て λ→ ∞

た が ってl=0の

と き はx∈R(A)な

(4)が 成 立 し,式(2)の

選 び 方 に 依 存 し な い.

お い て,積

属 す る.ε →0,μ

値 はD(A)∩R(A)に

分 範 囲 を[ε,μ]と

→ ∞

した

と す る と 式(2)の 値 に な

属 す る.

  以 上 に よ り次 の 補 題 の 前 半 が 示 さ れ た こ と に な る.   補 題   複 素 数 α の 実 部 を σ と し,非

負 整数lと

正 整 数mが-l<σ<mを

満 た す と き,D(Aα(l,m))=Dσ1(A)∩Q-σ1(A)と

定 義 し,そ

式(2)の

の と き,Aα(l,m)はlとmの

値 を も っ てAα(l,m)xと

に 依 存 し な い,そ

定 義 す る.こ

し て そ の 値 はD(A)∩R(A)属

  Aα(l,m)は閉 拡 張 可 能 で あ っ て,Aの に 対 し て,Aα(l,m)TはTAα(l,m)の

れ に 属 す るxに

ついて 選 び方

す る.

レ ゾ ル ベ ン ト と可 換 な 有 界 線 型 作 用 素T

拡 張 で あ る.

  証 明   補 題 の 最 後 の 部 分 は 包 含 関 係TDσq(A)⊂Dσq(A),TQ-σq(A)⊂Q-σq(A)と 定 義 に よ りす ぐわ か る.   Aα(l,m)が閉 拡 張 可 能 と な る こ と を 示 す.ま

ず-j<σ
正 整 数jとk

を選ぶ とき  (5)

と な る こ とを 示 す.任 (A)に l≧jの

意 のx∈Xに

属 す る こ と は 明 ら か で あ る.積 場 合 は,

対 し てAj(μ+A)-j-kxがDσ1(A)とR-σ1 分 区 間 を[0,μ]と[μ,∞)に

分 け る と,

で あ る.l<jの

場 合 も 同 様 に 評 価 で き る.区

間[μ,∞)上

で は,m≧kの

場

合 には 評 価

を 使 え ば よ い.m
場 合 も 同 様 の 評 価 が 成 立 す る.よ

だ し,MとLは

不 等 式(8.2.1)と(8.2.2)の

  さ て, 

で あ る.ゆ R(A)で

定 数 で あ る.

でXの

と し よ う.-j<σ
と る と,補

位 相 で,

題 の後半に よ り

え にAj(μ+A)-k-jy=0で

あ る.j=0な

あ る.ま

ら ば(μ+A)-ky=0よ

たAα(l,m)xn∈R(A)よ

局y=0で

りy∈

り直 ち にy=0.j≧1の

き,(μ+A)-k-jy∈R(A)∩N(Aj)={0}(系8.2に 0.結

っ て(5)が 示 さ れ

と

よ る)か ら(μ+A)-k-jy=

あ る. 

(証 明 終)

  定 義   整 数 で な い 複 素 数 α に 対 し て 補 題 で 定 義 し た 作 用 素Aα(l,m)の 最 小 閉 拡 張 を 非 負 作 用 素Aの

分 数 ベ キAα

  ま た 

と定 義 す る.

と 書 く.明

  定 理8.3と

定 理8.4と

定 義 に よ り,σ>0の

ら か にE0∞(A)=X. とき

 (6)

(直和)

 (7) 

で あ り,TがAの

レ ゾ ル ベ ン ト と 可 換 な 有 界 線 型 作 用 素 と す る と,

 (8)

で あ り,σ>m=正

整 数 の とき

 (9) で あ り,逆

にx∈D(Am),Amx∈Eσq(A)な

ら ばx∈Eσ+mq(A)で

な らば

 (10)   (11) で あ る こ と が(8.3.8)と

定 理8.2に

よ り わ か る.

あ る.ま

た,

  AのD(A)お ADお

よ びR(A),D(A)∩R(A)+N(A)へ

よ びAR,A0で

(§8.2)に

示 す.D(A)とR(A)を

よ りAの

そ れ ぞ れ,そ

の 最 大制 限 を そ れ ぞ れ 特 徴 づ け る エ ル ゴ ー ド定 理

レ ゾ ル ベ ン ト はD(A)お

よ びR(A),R(A)+N(A)を,

れ 自 身 の 中 に 写 す こ と が わ か る.系8.6に

よ り,ADとAR,A0は

非 負 作 用 素 に な る.   定 理   AをBanach空

間X上

  (a)  x∈D(Aα)∩Eτq(A)の

+N(A)で

≧0の

∞

あ る.

で あ る.

と きD(Aα)⊂D(A)で

あ り,Reα

あ る.R(Aα)⊂D(A)∩R(A)で

  (c)  TがAの

を 整 数 で な い 複 素 数 とす る.

と きAαx∈Eτ-Reαq(A)で

た だ し,τ は 実 数,0
の 非 負 作 用 素,α

≦0の

と きD(Aα)⊂R(A)

あ る.

レ ゾ ル ベ ン トと 可 換 な 有 界 線 型 作 用 素 の と きAαTはTAα

の 拡 張 で あ る.   (d)  -j
非 負整 数 を選 ぶ と き

  (11) で あ る.

  (e)  nを 正 整 数 とす る と,AnDはx∈Dn1(A)=En1(A)に =nと

し て(た

と え ばl=0

,m=n+1に

と り)定

α

と り)定 義 し た 作 用 素 の 最 小 閉 拡

張 に 一 致 し,A-nR=(A-1R)nはx∈Rn1(A)に と え ばl=n+1,m=0に

対 し て,式(2)で

対 し て 式(2)で

α=-nと

し て(た

義 した 作 用 素 の 最 小 閉拡張に一致す

る.   (f)  Reα

≧0な

ら ばAα=AαDで

[A-1R]-αJで

あ り,Reα=0の

  (g)  Aが

逆 作 用 素Bを

  証 明   Reα=σ

あ り,Reα

と き はAα=Aα0で も て ばAα=B-α

≦0な

ら ばAα=AαRJ=

あ る.

で あ る.

と お く.

  (a)の 証. -l<σ<m,-j<τ
正 整 数j,k,l,mを

と る.補

題 の証

よ り

 (c)の 証.  補 題 で 述 べ た よ う にx∈Eσ1(A)の

と きAαTx=TAαxで

あ る.

x∈D(Aα)な

ら ば,xn→x,Aαxn→Aαx,と

る 列{xn}が

あ る.Tの

x.ゆ

な るEσ1(A)に

属 す る点 か ら成

連 続性 に よ りTxn→Tx,TAαxn=AαTxn→TAα

え に,Tx∈D(Aα)でAαTx=TAαx.

  (b)の

証. σ ≧0の

と きEσ1(A)⊂D(A),σ

で あ り,任 意 の σ に つ い て,x∈Eσ1(A)の

≦0の

と きEσ1(A)⊂R(A)+N(A)

と きAαx∈D(A)∩R(A).よ

っ て(b)

が わ か る.   (d)の

証. 補 題 の 証 明 の 中 の 不 等 式(5)に

  (e)の 証. x∈Dn1(A)=En1(A)な

は μ→ ∞

の と き収 束 す る.よ

で あ る か らD(A)に

属 す る.す

る とAnx∈D(A)で

あ る.よ

ら ば 定 理8.3(d)に

っ てx∈D(An)で

で あ る.こ

の 右 辺 は μ →0の

で あ る か ら,Anが 得 る.す

っ て,μ

な り,

この式 の 極限

にxをD(AnD)の

元 とす

→ ∞ の とき

理8.3(d)に

前 半 が わ か る.

よ りx∈R(A)で

と き 収 束 す る.そ

あ っ て,し

の 極 限 をyと

か も

お く と,

閉 で あ る こ と に 注 意 す る と,y∈D(An)∩R(A),Any=xを

な わ ちx∈D(A-nR),y=A-nRx.逆

R(A),A-nRx∈R(A)で

で あ る.し

し か もAnxは

あ る か ら(e)の

す る.定

よ りx∈D(A)と

な わ ちx∈D(AnD).逆

で あ る.μ(μ+A)-1x∈Dn1(A)で   次 にx∈Rn1(A)と

よ り直 ち に わ か る.

あ る か ら,定

に,x∈D(A-nR)と 理8.2(b)に

か もA(μ+A)-1x∈Rn1(A).よ

よ り,μ

っ て(e)の

す る.x∈

→0の

とき

後 半 が わ か る.

  (f)の 証. 定 義 に よ りD(AR)=D(A)∩R(A),R(AD)=D(A)∩R(A)で 正 数 λ に つ い て(λ+AD)-1お R(A)上

で は(λ+A)-1に

定 義 に よ り,x∈Eσ1(A)の Eσ1(AD)でAαx=AαDxと

よ び(λ+AR)-1は,そ 等 し い.(補

題8.6(a)に

と きx∈Dσ1(A)⊂D(A)で な る.逆

にx∈Eσ1(AD)の

あ る. れ ぞ れD(A)お

よ る).σ あ る.し

≧0と

よび す る と,

た が っ てx∈

と きx∈Dσ1(AD)⊂D(AD)⊂

D(A)で

あ るか ら,x∈Eσ1(A)でAαDx=Aαx.ゆ

る と定 理8.3と

え にAα=AαD.σ

そ め 証 明 に よ り,x∈Eσ1(A)の

り,AαRJx=AαJxで

あ る.逆 属 し,し

  同 様 に し て,σ=0の

は 次 の(g)に

  注 意   非 負 作 用 素Aが

ま ず,整

わ か る.

証 明 と 同 様 に し て,

を 得 る. 

逆 作 用 素Bを

(証 明 終)

も て ば,n=1,2,…

間Xの

の1 上 の 非 負 作 用 素Aの

数 で な い α に つ い てA-αAα

分 数 ベ キ に 関 す る 指 数 法 則 を 調 べ る. を 考 察 す る:

  補 題   α を 整 数 で な い 複 素 数 と し,x∈E01(A)∩EReα1(A)と   (1)  で あ る.た

す る と,

A-αAαx=Jx だ しJは(8.2.3)と(8.2.4)で

  証 明   Reα=σ   k,l,m非

に つ い てAnの

な る こ とは 作 用 素 の 累 乗 と逆 作 用 素 の 定 義 か ら 容 易 に わ か る.

  §9.2  指 数 法 則,そ   Banach空

定 義 し た 作 用 素 で あ る.

と お く.Rλ=(λ+A)-1と

負 整 数 で,l+σ>0の

書 く.

と きx∈E01(A)に

対 して

 (2)

が 成 立 す る こ と を ま ず 示 す.cはX,A,xに  α+lを

な

よ る.

れ と定 義 に よ りAα=B-α

逆 作 用 素 がBnと

た が っ てJx∈Eσ1(A)と

え にAα=AαRJ.

と きAα=Aα0も

  (g)の 証. 定 理8.3(g)の

を 得 る.こ

にx∈D(J),Jx∈

あ る.

で あ る か ら,x∈Eσ1(A),AαRJx=Aαx.ゆ

 AαR=(A-1R)-α

す

と きx∈D(J),x-Jx∈N(A),

Jx∈R-σ1(A)⊂R(A),Aαx=AαJx=AαRJxで Eσ1(AR)と す る と,JxはR(AR)⊂R(A)に

≦0と

α,m+lをmと

依 存 し な い 定 数 で あ る.

書 き 換 え れ ば,0<σ,l=0と

仮 定 し て,(2)

を 証 明 す れ ば よ い.以

下 こ れ を 仮 定 す る.

  Rλ={1+(μ-λ)Rλ}Rμ

を 使 え ば,λ

≧ μ の とき

が成 立す る こ とが わか る.こ の不 等 式 に よ り,こ の左 辺 は μで 積 分 し,λ で積 分 した 累 次積 分 も,逆

の 順 序 の 累 次 積 分 も有 限 で あ る こ とが わ か り,Fubini

の 定 理 に よ り(2)の 重 積 分 が 収 束 し て累 次 積 分 に等 し い こ とが わ か る.   この 積 分 の 値 がcJxに   まず,k=m=0の

等 し い こ とを示 そ う. 場 合 は,Fubiniの

定 理 を 使 って 積 分 の順 序 変 更 を す る

と,

を 得 る.x∈D(A)∩R(A)+N(A)で

あ る か ら.k>0の

とき

 (3) と な る か ら で あ る.   mとkが

一般 の 場 合 を 考 え る.Rmλ

Rm+1λ とmλm-1ARm+1λ

と λmRmλ の 導 関 数 が,そ

で あ る こ と を 使 っ て,部

れ ぞ れ,-m

分 積 分 す る と,k≧1の

 (4)

で あ る.μ  (5)

→0の

と き 

と な る こ と,お

よび

と き,

を 使 え ば,第1項

に λ-α-1を 乗 じ て λ に つ い て 積 分 し た も の はc1Jxに

い こ と が わ か り,k-1の   同 様 に,部

等 し

場 合 に 帰 着 で き る.

分 積 分 し て,m≧1の

とき

 (6)

が 成 立 す る こ と を 使 え ばm-1の

場 合 に 帰 着 で き る.以

上 に よ り等 式(2)が

証 明 さ れ た.   さ て,x∈E01(A)∩Eσ1(A)に 定 理9.1(a)に

対 し て 等 式(1)が

よ り,Aαx∈E-σ1(A)で

す る か ら,-l<σ<m-1に

あ り,し

成 立 す る こ と を 示 そ う.ま

正 整 数lとmを

で あ る.た

だ し,

で あ る.μ

に つ い て の 積 分 を 区 間(0,λ]と

ず,

た が っ てAαxはD(A-α)に

属

とると

γ=Γ(m+l+1)/{Γ(l+1+α)Γ(m-α)}

で 積 分 し,λ とm,λ

で 積 分 し た も の は 等 式(2)に

区 間[λ,∞)に よ りcJxに

と μ を 読 み 換 え れ ば 区 間[λ,∞)で

に も 等 式(2)が 使 え る.結 し な い か ら,X=C,A=1.x=1と

等 し い .α

積 分 し,さ

局,A-αAαx=c′Jxを

分 け る.区

間(0,λ]

と-α,l+1

らに λで積 分 した もの

得 る.c′

はX,A,xに

し て 比 較 し て,c′=1を

依存

得 る. (証 明 終)

  こ の 補 題 を 使 う と 定 理9.1(a)の

逆 が わ か る.す

  系   α は 負 整 数 に 等 し くな い 複 素 数 と し,0
な わ ち, ∞,そ

し て τは 実 数 と す

の とき

 (7) で あ る.特

に 正 整 数nに

対 し てD(An)⊂En∞(A),整

数 で な い α に つ い てD(Aα)

⊂EReα∞-(A)であ る.   証 明   α が 正 整 数nの

と き は 定 理8.4に

 α は 整 数 で な い と す る.Reα=σ

よ り直 ち に 証 明 で き る.

とお く.-m<σ<m,-j<τ
正 整 数j,k,mを

で あ る.定

選 ぶ.補

理9.1(d)に

得 る.特

題 によ り

で あ るか ら結 論 を

よ り 

に 

で あ る か ら,D(Aα)はEσ

まれ る. 

(証 明終)

 定 理  AをBanach空

間X上

る.こ

の と き,Reα>0な

=0な

ら ばD(A-αAα)=D(Aα)

で あ る.い

∞-(A)に 含

の非 負 値 作 用 素,α を 整 数 で な い複 素 数 とす Reα

ら ば  ,Reα<0な

ら ばD(A-αAα)=D(Aα)∩D(A)

ず れ の 場 合 もx∈D(A-αAα)に

  (8) 

対 し て,

A-αAαx=Jx

で あ る.   証 明   Reα=σ

と お く.D(Aα)を

σ>0の

き はD(A)∩R(A)+N(A)が,σ<0の 含 ん で い る.ゆ

え にxが

と き はD(A)が,σ=0の

と き はR(A)+N(A)が,そ

正 整 数l,mを

と る と,任

い て μlAm(ε+A)-m(μ+A)-lxはE01(A)∩Eσ(A)に 収 束 す る.補

で あ っ て,ε →0,μ

で あ る.よ

か る.こ

意 の 正 数 εと μにつ

属 し,ε→0,μ

→ ∞ の

題に よ り

→ ∞

の と き これ はJxに

収 束 す る.ま

っ て,Aαx∈D(A-α),A-αAαx=Jxで

  逆 にxをD(A-αAα)の

れ ぞ れ,

右 辺 の 集 合 に 属 す る な ら ば,xはD(A)∩R(A)+N

(A)に 属 す る.-m<σ
と きJxに

と

た

あ る.

元 と す る と 系 に よ りxはEσ∞-(A)に

属 す る こ とが わ

の とき

はE01(A)∩Eσ1(A)に

属 す る か ら,こ

に 等 し い.A-αAαxはR(A)に

れは

属 す る か ら,λ,μ

→0の

と き,こ

れ は0に

収

束 す る.同

は0に

様 に,λ → ∞,μ

収 束 す る.定

理8.2に

→ ∞

の とき

よ りx∈D(A)∩R(A)+N(A)を

得 て,逆

の 包 含 関 係 を 得 る. 

(証 明 終)

  §9.3  指 数 法 則,そ

の2

  こ こ で は 非 負 作 用 素 の 分 数 ベ キ と 正 整 数 ベ キ と の 積 を 考 察 す る.す 定 理   Banach空

間X上

の 非 負 作 用 素 をA,整

nと す る.ADはAのD(A)へ   (a)  Reα>0な

数 で な い 複 素 数 を α,正

ら ばD(AαAn)=D(An+α),Reα=0な

整数を

ら ばD(AαAn)

ら ばD(AαAn)=D(An),Reα=-n

な ら ば 

な らば

D(AαAn)=D(An+α)∩D(An)で

あ る.し

か も そ れ ぞ れ の 場 合 に つ い て,こ

の

つ い て,

  (1)    (b)  Reα>0な

な わ ち,

の 最 大 制 限 を 示 す.

=D(An+α)∩D(AnD),-n
集 合 に 属 す る 点xに

向き

AαAnx=Aα+nx. ら ば 

な ら ば  の と き 

な らばD(AnAα)=D(Aα)で 場 合 に つ い て,こ

の 集 合 に 属 す る 点xに

  (2) 

あ る.し

か もそ れ ぞ れ の

つ い て,

AnAαx=An+αx

で あ る.   証 明 の 基 礎 に な る の は 次 の 補 題 で あ る.   補 題   A,α,nを

定 理 と 同 じ とす る.Reα=σ

  (a)  点xがEσ+n1(A)∩D(An)に

と 書 く.

属 す れ ばxはD(AαAn)に

属 し て,等

式

属 す れ ばxはD(AnAα)に

属 し て,等

式

(1)が 成 立 す る.   (b)  点xがEσ+n1(A)∩Eσ1(A)に (2)が 成 立 す る.   証 明   正 整 数lとmを-n-l<σ<mに

と る.0<ε<μ<∞

とす る.

Eσ+n1(A)∩D(An)に

で あ る.定

属 す る 点xに

理8.4に

た ε→0,μ

つ い て,

よ りAnx∈Eσ1(A)で

→ ∞

と し て 等 式(1)を

あ る か ら,Anx∈D(Aα)を

得 る.

  同 様 にEσ+n1(A)∩Eσ1(A)に

属 す る 点xに

で あ る か ら,ε →0,μ

とす る と,Anが

あ り,し

→ ∞

つ い て,

閉 で あ る か ら,Aαx∈D(An)で

か も 等 式(2)が 成 立 す る. 

  定 理 の 証 明 を し よ う.補

(証 明 終)

題 の よ うにReα=σ

  定 理(a)の

証.  ま ずxをD(AαAn)に

はEσ∞-(A)に

属 し,xはEn∞(A)∩En+σ∞-(A)に

  n+σ>0な

ら ば,正

か ら 補 題(a)に

よ り,μ → ∞

で あ り,一

得 る.ま

と 書 く.

属 す る 点 と す る.系9.2に

より,Anx

属 す る.

数 μ に つ い て 

である

の とき

方 μ(μ+A)-1xはxに

収 束 す る.ゆ

え にx∈D(An+α)と

等 式(1)

が 成 立 す る.   σ=0な

ら ばD(Aα)はD(A)に

な わ ちx∈D(AnD)で

含 まれ る か ら,AnxはD(A)に

あ る.

  以 上 に よ り,σ>0な

ら ばD(AαAn)⊂D(Aα+n),σ=0な

⊂D(Aα+n)∩D(AnD),が   -n<σ<0な

す る.正

で あ る. 数 μに 対 し て

で あ る か ら,A(μ+A)-1xはE01(A)∩D(An)に →0の

ら ば,D(AαAn)

わ か る. ら ば 

  σ+n=0と

属 す る.す

属 す る.補

題(a)に

と き,

で あ る.こ

こ で,さ

ら にx∈R(A)+N(A)を

仮 定 す る と,A(μ+A)-1xは

よ り,μ

Jxに

収 束 す る.よ

っ てJx∈D(Aα+n),し

x-JxはN(A)⊂D(Aα+n)に

か もAα+nJx=AαAnxで

属 す る か ら,x∈D(Aα+n)と

あ る.

等 式(1)が 成 立 す

る.   σ+n<0の あ り,定

場 合 を 考 え る.系9.2に

理8.3と

え に 補 題(a)を

例8.4に

よ り 

で

よ り 

使 え ば σ=-nの

で あ る.ゆ 場 合 と 同 様 に し て,x∈D(Aα+n)と

等 式(1)

を 得 る.   次 に 逆 向 き の 包 含 関 係 を 示 す.ま

ず 系9.2に

よ りD(Aα+n)はEσ+n∞-(A)に

含

まれ る こ と に 注 意 す る.   σ>0,x∈D(Aα+n)な

ら ば 定 理9.1と

ら,xはD(An)に σ=0な り,こ

れ ら の 仮 定 の 下 で,μ

仮 定 す る.し

→ ∞

  -n<σ<0,x∈D(An)と

  σ ≦-n,x∈D(Aα+n)∩D(An)と

理8.4と

題(a)に

よ

え にAnx∈D(Aα).

定 理8.3に

よ りxはD(AαAn)に

よ りxはEn∞(A)

属 す る.

す る.x∈Eσ+n∞-(A)∩D(An)と

前 半 で 示 し た よ うに,A(μ+A)-1x∈Eσ+n1(A).補

で あ り,一

た が っ て,補

収 束 す る.ゆ

す る.定 題(a)に

あ るか

な わ ちx∈D(AnD).

の とき

方 μ(μ+A)-1AnxはAnxに

⊂En+σ1(A)に 属 す る.補

よ りx∈En1(A)で

で あ る.す

ら ばx∈D(AnD)∩D(Aα+n)を

で あ り,一

定 理8.3に

属 し, 

方A(μ+A)-1AnxはAnxに

題(a)に

収 束 す る.ゆ

な る か ら,

よ り,μ →0の

とき

え にAnxはD(Aα)に

属 す る.   定 理(b)の

証.  ま ず 系9.2に

よ り,D(AnAα)はEn+σ∞(A)∩Eσ

∞-(A)に 含 まれ

る こ と に 注 意 す る.   σ>0の

場 合 を 考え で あ る か ら,補

で あ る.ゆ   -n≦

題(b)に

え にx∈D(An+α)と

σ ≦0の

す る と, 

る.x∈D(AnDAα)を

仮 定 す る. 

よ り,μ → ∞

の とき

等 式(2)が 成 立 す る.

場 合 を 考 え る.x∈D(AnDAα)を

仮 定 す る.ε で あ る か ら,補

と μを 正 数 と 題(b)に

よ

り,ε

→0,μ

で あ る.ま

→ ∞

とす る と き

た,σ=0の

と き はD(Aα)⊂D(A)∩R(A)+N(A),-n<σ<0

と き はEn+σ∞(A)⊂D(A),Eσ∞(A)⊂R(A)+N(A)で (A)⊂R(A)+N(A)で

あ り,仮

A(ε+A)-1xはJxに

あ り,σ=-nの

定 に よ りx∈D(A)で

収 束 す る.ゆ

あ る.よ

え に,xはD(An+α)に

と きE-n∞ っ て μ(μ+A)-1

属 し て,等

式(2)

が 成 立 す る.   σ<-n,x∈D(AnAα)と

す る.xはEn+σ∞(A)∩Eσ∞-(A)に

+A)-1xはEn+σ1(A)∩Eσ1(A)に

属 し,し

た が っ て,補

属 す るか ら,A(μ 題(b)に

よ り,μ

→0

の とき

と な る.一

方,x∈D(Aα)⊂R(A)+N(A)で

あ る か らA(μ+A)-1xはJxに

収 束 す る.ゆ

え に,Jx∈D(Aα+n),Aα+nJx=AnAαxを

∈D(An+α)と

等 式(2)が 示 され た.

  逆 向 き の 包 含 関 係 を 示 そ う.系9.2に

得 る.す

よ り,σ>0な

な わ ち,x

ら ば 

な ら ば  で あ る.し

た が っ て σ が ど の 範 囲 に あ っ て もxが

xはEσ+n∞-(A)∩Eσ ∞-(A)に 属 す る.ゆ (ε+A)-1xはEσ+n1(A)∩Eσ1(A)に

右 辺 の 集 合 に 属 す る と き,

え に 正 数 μ と ε に 対 し て,μ(μ+A)-1A

属 し,補

題(b)を

適 用 す る と,μ

→ ∞,ε →0

の とき

と な る.一 はD(An)に

方,μ(μ+A)-1(ε+A)-1AαxはAαxに 属 す る.す

  こ の 定 理 と 定 理9.2な  系  A,α,nを   Reα>nな

な わ ちx∈D(AnAα)を

収 束 す る.ゆ 得 る. 

え にAαx (証 明 終)

ど か ら 次 の 系 が 導 か れ る.

定 理 と同 じ とす る. ら ばD(An-αAα)=D(Aα),Reα=nな

=D(Aα)∩D(AnD),0
ら ば,D(An-αAα)=D(AnD)

ら ばD(An-αAα) ,Reα

≦0

な ら ばD(An-αAα)=D(Aα)∩D(AnD)で て,こ

の 集 合 に 属 す るxに

あ る.し

か も,そ

れ ぞ れ の場 合 に お い

つ い て,

  (3) 

An-αAαx=Anx

が 成 立 す る.   証 明   まず σ=Reα>nと か ら,D(Aα)の 理9.2を

元xに

す る.定

理(a)に

より,Aα-nAn=Aα

つ い てAnx∈D(Aα-n)∩R(A)で

あ る.し

である た が っ て,定

使 う と,

 (4) が わ か る.す   σ=nと

な わ ち,x∈D(An-αAα)で す る.定

れ に 属 す る 元xに

理(a)に

理(a)に

に つ い てAαx=Aα-nAnxで あ る.定

等 式(3)が

あ っ て,こ

あ る.定 理9.2に

よ り等 式(4)が

等 式(3)を 得 る.

す る.定

∩D(A)で

よ りD(Aα)∩D(AnD)=D(Aα-nAn)で

つ い てAαx=Aα-nAnxで

成 立 し,x∈D(An-αAα)と   0<σ
等 式(3)が 成 立 す る.

よ りD(An)=D(Aα-nAn),こ

あ る.ゆ

理9.2に

れ に 属 す るx

え にx∈D(AnD)な

よ り(4)が 成 立 す る.す

ら ばAnx∈D(Aα-n)

な わ ちx∈D(An-αAα)と

成 立 す る.

  σ ≦0,x∈D(Aα)∩D(AnD)と (An-αAα)と

等 式(3)を

す る と,定

定 理9.2を

使 っ てx∈D

同 様 に し て 示 す こ と が で き る.

  最 後 に 逆 の 包 含 関 係 を 示 そ う.σ>nの 仮 定 す る.系9.2に

理(a)と

と き は 既 知 で あ る か ら,σ

よ り 

(An-αAα)の

と きxはD(A)に

に 属 す る.し

た が っ て,補

≦nと

で あ る か ら,x∈D 属 し,Anμn+1(μ+A)-n-1xはEσ1(A)∩E01(A) 題9.2に

よ り,

 (5)

で あ る.μn+1(μ+A)-n-1AαxはD(An-α)∩D(AnD)に り(5)の

属 す る か ら 定 理(a)に

よ

右 辺 は

に 等 し く,μ → ∞ (μ+A)-n-1xはxに An-αAαx∈D(A)で

の と きAn-αAαxに 収 束 す る.ゆ あ る. 

収 束 す る.x∈D(A)で え にxはD(An)に

属 し,し

あ る か ら,μn+1 か もAnx= (証 明 終)

  §9.4  指 数 法 則,そ

の3

  こ の 節 で は 分 数 ベ キ と分 数 ベ キ の 積 を 考 察 す る.結   定 理   AをBanach空 し,α+β

間X上

の 非 負 作 用 素,α

も 整 数 で は な い と す る.こ ま た はReβ=0の

と き はD(AαAβ)に

等 し い.し

と β を整 数 で ない 複 素 数 と

の と きD(Aα+β)∩D(Aβ)は 

の と き はD(AαAβ)∩R(A)+N(A)に D(AαAβ)∩D(A)に

論 は 次 の よ う に な る.

等 し く,Reα=-Reβ<0

等 し く,Reα=-Reβ>0の か もx∈D(Aα+β)∩D(Aβ)の

と きは とき

  (1) AαAβx=Aα+βx で あ る.特

にReα

とReβ

  (2) 

が 同 符 号 な ら ば, AαAβ=Aα+β

が 成 立 す る.   こ の 定 理 は 定 理9.3と

ほ ぼ 同 じ 方 針 で 証 明 で き る.つ

で 与 え ら れ る場 合 に 等 式(1)を

示 す こ と が 基 礎 に な る.こ

ま り,分

数 ベ キ が積 分

の こ とを次 の補 題 と

し て ま と め て お く.   補 題   X,A,α,β =τ

は 定 理 と同 じ 仮 定 を み た す も の とす る.Reα=σ,Reβ

と お き,Rλ=(λ+A)-1と

  (a) h,j,k,l,mが

略記 す る .

整 数 で あ っ て,条

件

 (3)

を 満 た し て い る な ら ば,Eσ+τ1(A)の

元xに

対 し て 次 の 等 式(4)の

各 積 分 は収 束

し て,  (4)

が 成 立 す る.た

だ しcはX,A,xに

  (b)  x∈Eσ+τ1(A)∩Eτ1(A)に 立 す る.

依 存 し な い 定 数 で あ る. 対 し て,Aβx∈D(Aα)で

あ っ て,等

式(1)が

成

  証 明   (a)の 証.  レ ゾル ベ ン ト方 程 式 に よ り,Rμ={1+(λ-μ)Rμ}Rλ あ る か ら,λ

≧ μ>0に

で

お い て,

で あ る.後 の不 等 式 の 証 明 に はh+j+1-l≧0に

注 意 して,評 価 式

を 使 う.上

各積 分 が収 束 し て等 しい

記 の 不 等 式 とFubiniの

こ と が わ か る.そ

定 理 に よ り(4)の

れ ら がcAα+βxに

等 し い こ とを順 次 積 分 を 簡 単 にす る こ と

に よ り導 こ う.   ま ず α-jを

α,β+jを

β,h+jをh,jを0と

書 き 換 え,k,l,mは

変 え な い で お く と,α+β

は 不 変 で あ る か ら,j=0の

い こ と が わ か る.τ+jを

τ,σ-jを

成 立 す る.よ   n≦

っ て 以 下j=0と

σ+τ
σ と変 え て,j=0と

積 分 でAnをxの

Aα-n+βAnxで

あ り,m>nで

あ る と き に は,x∈D(An)と

す ぐ左 へ 移 す.補 あ る.ゆ

をm,h+nをh,l+nをlと

題9.3(a)に

件(3)も 成 立 し,nの

な るか

よ りAα+βx=

え に,Anxをx,α-nを

書 き 換 え る と(β

同 じ形 に な る.条

し て 条 件(3)が

仮 定 す る.

み た す 正 整 数nが

ら 等 式(4)の

場 合 のみ を 考 えれ ば よ

とkは

α,m-n 変 え な い)等 式(4)は

選び方に よ り

  (5) -1<σ+τ<1 が 成 立 す る.   次 に,-n-1<σ+τ

≦-nと

な る 正 整 数nが

と きEσ+τ1(A)⊂E-n1(A)=Rn1(A)+N(A)で (c)に

よ りJx=Anyと

あ り,等

式(4)の

た-l<-nよ h-nをh,l-nをlと 形 に な り,し

あ る(定 理8.3).よ

な る 元yが

あ る.そ

こ でyをx,α+nを とkは

α,m+nをm,

変 え な い),等

式(4)は

同 じ

成 立 す る.

  以 上 の 場 合 以 外 で は 始 め か ら 条 件(5)が 成 立 し て い る.ま れ ば,l=1と

理8.4

置 き 換 え て も 値が 変 ら な い.ま

書 き換 え る と(β か も 条 件(3)と(5)が

っ て,定

の

あ る.Aα+βx=Aα+βJx=A(α+n)+βyで

各 積 分 はxをJx=Anyで りl>nで

あ る 場 合 を 考 え る.こ

し て も条 件(3)が 成 立 す る.

た 条 件(5)が 成 立 す

  以 上 の書 き換 え に よ り,結 局,j=0,l=1と

し て条 件(3)と(5)が 成 立 す る

場 合 だ け 考 察 す れ ば よ い こ とが わ か った.以 下,こ れ ら の条 件 を 仮 定 す る.す なわち h≧0,k≧0,-1<σ+τ<1≦m,σ<0<τ, で あ る.   k≧1な

ら ば(9.2.4)と

同 じ部 分 積 分 の 公 式 と,μ →0の

とき

とな る こ とお よび 等 式  (6)

に よ りk-1の

場 合 に 帰 着 さ れ る.同

帰 着 さ れ,h≧1な

ら ば 等 式(9.2.6)と

と な る こ と お よ び 等 式(6)に   k=h=0,m=1の

様 にm≧2な

らばm-1の

同 じ公 式 と,λ → ∞

よ りh-1の

場 合 を 考 え る.レ

場合 に

のとき

場 合 に 帰着 で き る. ゾル ベ ン ト方 程 式 とFubiniの

定理

と変 数 変 換 に よ り

を 得 る.以   (b)の

上 に よ り等 式(4)が

示 さ れ た.

証. x∈Eσ+τ1(A)∩Eτ1(A)と

で あ る.ゆえ

にAαAβxは

す る.定

理9.1(a)に

累 次 積 分 に よ り表 現 さ れ る.正

を 満 た す よ うに 選 ぶ.σ<m+j,τ<m+hと

の と きAαAβxは

整 数l,m,h,jを

な る か ら,Aα

で 表 示 す る と き の 正 整 数 の 組 と し て,(h+1,m+j)と(j+1,m+h)を る こ と が で き る.そ

よ り,Aβx∈Eσ1(A)

とAβ を 積 分 と

に 等 し い.λ をhと

≧ μ>0の

部 分 の 積 分 はm+j+hをk,mをm,jをj,h+1

見 て 条 件(3)を み た す.ま

た,μ

≧ λ>0の

部 分 の 積 分 は λ と μ,α と

β を 入 れ 換 え,m+j+hをk,mをm,hをj,j+1をhと を 満 た す.ゆえ

見 て 条 件(3)

に こ の 積 分 はcAα+βxに

等 し い. 

(証 明 終)

  準 備 が で き た の で 定 理 の 証 明 に 移 ろ う.   定 理 の 証 明   Reα=σ,Reβ=τ   x∈D(Aα+β)∩D(Aβ)と

と お く.

す る.系9.2に

し た が っ て,正

数 ε,μ に 対 し て

で あ る か ら,補

題(b)に

はAα+βxに

よ り,ε →0,μ

→ ∞

よ り ε→0,μ

え にAβxはD(Aα)に

  逆 にx∈D(AαAβ)を

→∞

属 す る か ら で あ る.ま

た,

の とき

属 し て,等

仮 定 す る.系9.2に

あ る.

の とき

収 束 す る.Aα+βxはD(A)∩R(A)に

Aβx∈D(A)∩R(A)に

で あ る.ゆ

よ りx∈Eσ+τ∞(A)∩Eτ∞(A)で

式(1)が 成 立 す る. よ りxはEσ+τ∞(A)とEτ∞(A)と

に

属 す る.   σ+τ

と τの 正,負,零

に 応 じ て 場 合 を わ け て 考 え る.

  (イ)  σ+τ>0,τ>0の ら,正数

理9.1に

よ りD(Aβ)⊂D(A)で

μ に 対 し て,μ(μ+A)-1x∈Eσ+τ1(A)∩Eτ1(A)で

き,μ(μ+A)-1xはxに

で あ る.ゆ

場 合.定

収 束 す る.ま

え にxはD(Aα+β)に

  (ロ)  σ+τ<0,τ<0の

あ っ て,μ

あ るか → ∞ の と

た補題に よ り

属 す る. 場 合.定

あ る か ら,    A(μ+A)-1x∈Eσ+τ1(A)∩Eσ1(A)で

理9.1に

が 存 在 す る.そ

よ りD(Aβ)⊂R(A)+N(A)で し て,正数

あ る か ら補 題 に よ り

μ に 対 し て,

とな る.ゆ

え にJx∈D(Aα+β).一

局x∈D(Aα+β)で

あ る.

  (ハ)  τ=0の

場 合.定

る.ゆ

え に,ε →0,μ

束 す る.ま

方x-Jx∈N(A)⊂D(Aα+β)で

理9.1に

→ ∞

よ りD(Aβ)⊂D(A)∩R(A)+N(A)で

あ

と す る と きμA(μ+A)-1(ε+A)-1xはJxに

収

た 

え ば(イ)と(ロ)の

あ る.結

で あ る.以 場 合 と 同 様 に し てx∈D(Aα+β)を

  (ニ)  σ+τ=0,τ>0の

場 合.こ

仮 定 す る.D(Aβ)⊂D(A)で   (ホ)  σ+τ=0,τ<0の

ら にx∈R(A)+N(A)を

局,x∈D(A)∩R(A)+N(A).

場 合 に は,さ

(Aβ)⊂R(A)+N(A)と

得 る.

の と き は,さ

あ る か ら,結

ら にx∈D(A)を

仮 定 す る と,D

合 せ て,x∈D(A)∩R(A)+N(A)と

  (ヘ)  σ+τ>0,τ<0の ⊂R(A)+N(A)で

場 合.定

あ る.よ

  以 上,(ニ),(ホ),(ヘ)の

下 補題 を 使

理8.3に

な る. よ りEσ+τ∞(A)⊂D(A),D(Aβ)

っ てx∈D(A)∩R(A)+N(A). 場 合 は(ハ)と

同 様 に し て 証 明 で き る. (証 明 終)

  §9.5  作 用 素 の 分 数 ベ キ の 性 質   主 と し て 分 数 ベ キ の 定 義 域 に つ い て 論 じ る.   定 理   AをBanach空   (a)  φ をR+上 と お く.こ

間Xの

の 重 み の 函 数,0
と す る.

と し,φ(t)=φ(t)t-Reα

と き 

  (c)  Reα>0,μ>0の 1に 写 像 す る.し

で あ る. と き(μ+A)-1はD(Aα)をD(Aα+1)の

上 へ1対

た が っ て,

  (d)  Reα>0と

な る 正 整 数 で な い α に つ い てDReαq(A)⊂D(Aα)な

な る 正 整 数 で な い す べ て の β に つ い てDReβq(A)⊂D(Aβ)で

D(Aα)⊂DReαq(A)な

ら ばD(Aβ)⊂DReβq(A)で

  証 明  α が 正 整 数 な ら ば(a)と(b)は わか る.よ

∞

の とき

  (b)  Reα>0の

Reβ>0と

非 負 作 用 素 と す る.1≦q≦

す る.定

理8.3に

あ る.

あ る.

定 理8.4に

よ りわ か り,(c)も

っ て 以 下 に お い て は α は 正 整 数 で な い とす る.

 (a)  x∈Dφq(A)と

らば

よ りx∈DReα1(A),よ

っ て.

容易に

で あ る.た

だ し 正 整 数mをm>Reα

に と る.積

に 分 け て 評 価 す る と,m>r-indφ

と な り,系2.6に

よ り,右

分 区 間 を(0,λ)と[λ,∞)

に 選 ん で お け ば,

辺 がL*q(R+)に

属 す る こ と が わ か る.こ

こで ψは ψ

の 相 似 比 函 数 を 示 す.   逆 にAαx∈Dψq(A)と る.定

理9.1(d)と

で あ る.し

す る.正 系9.3に

た が っ てxはDφq(A)に

に 整 数kを

ゆ え に 系9.3が

を 得 る.ゆ

A)-1Aαxで

  (d) 

で あ る.定

あ る.

す る.

あ る.定

理8.4に

あ る.(μ+A)-1が1:1で

よ り(μ+A)-1xn∈DReα+11し

属 し,Aα+1(μ+A)-1x=A(μ+

よ りx∈D(AαA)で

あ りy=(μ+A)xは

っ てx=(μ+A)-1y∈(μ+A)-1D(Aα)

ま ず0
.

の と き を 考 え る. ら ば,(a)に 定 理9.4に

か も

あ る こ とは 明 白で あ る.

す る と 定 理9.3に

属 す る.よ

理9.3と

属 す る.

後 半 と同 様 に して

え に(μ+A)-1xはD(Aα+1)に

 DReαq(A)⊂D(Aα)な

し,k>

あ る か らAk(λ+A)-kxもD(A)に

え にx∈DReα∞(A)で

  x∈D(Aα+1)と D(Aα)に

定 義 に よ り 明 ら か で あ る.x∈D(Aα)と

使 え て,(a)の

と な る 列{xn}が

で あ る.ゆ

属 す る.

と る.x∈D(A)で

  (c)  x∈D(Aα)と

と

よ り

  (b)  DReα1(A)⊂D(Aα)は Reα

整 数mとkをr-indψ<m,Reα
よ り,  よ りDReβq(A)⊂D(Aβ)

.

  D(Aα)⊂DReαq(A)な

ら ば,定

理9.3と

て, 

定 理9.4に

で あ る.(a)を

  β が 一 般 の 場 合 はl+Reβ>Reα

よ り,D(Aβ)の

元xに

使 っ て,D(Aβ)⊂DReβq(A)を

に 正 整 数lを

と り,上

へ の 写 像 に な る こ と((c)と

定 理8.4に

得 る.

の 結 果 と,μ>0

に つ い て(μ+A)-lがD(Aβ)とD(Al+β),DReβq(A)とDReβ+lq(A)の 対1上

対 し

間 の1

よ る)を 使 え ば わ か る. (証 明 終)

  §9.6  作 用 素 の 分 数 ベ キ の 定 義 域   分 数 ベ キ の 定 義 域 は 複 素 補 間 に よ っ て 得 られ る:   定 理   AをBanach空 Aの

間X上

純 虚 数 ベ キAitはXで

‖ Ait‖ ≦Ceβ￨t￨,C>0,β

 (1)  と す る.こ

の 非 負 作 用 素 とす る.す

有 界 な 作 用 素 で,し

の と き,0<θ<1に

  (2) 

べ て の 実 数 に 対 し て,

か も ∈R

対 し て, [X,D(A)]θ=D(Aθ)

で あ る.

  こ れ を 証 明 す る た め に ま ず,   補 題   定 理 の 条 件 の 下 で,す Aζ(μ+A)-1xはGで

べ て のx∈D(A)∩R(A)と

定 義 さ れ 連 続,Gで

正 数 μ に 対 し て,

正 則 で あ る.そ

し て,

 (3)

が 成 立 す る.こ

こ で,G={ζ

∈C;0
  証 明   Aζ(μ+A)-1xが0≦Reζ<1で

あ る. 定 義 さ れ る こ とは 明 ら か で あ る.

 で あ る か ら,Reζ=1の   ま ず(3)を

示 す.ζ=s∈R,0<s<1,の

  (μ+A)-1x∈D1∞(A)⊂Ds1(A)で

で あ る.積

分 範 囲 を(0,1)と(1,∞)に

と き も定 義 され る.

場 合 を 考 え る. あ るか ら

分 け て 評 価 す る と,

を 得 る.0<s≦1/2と1/2≦s<1に

が わ か り,(3)を

分 け て 考え れ ば,容

得 る.ζ が 一 般 の 場 合 を 考 え る.Reζ=0の

あ り,Reζ=1の

と き は(μ+A)-1x∈D(AitA)に

を 得 る.0
易 に,

と き は 明 らか で

よ り

と き は, 

あ る か ら,(μ+A)-1x∈D(AitAs)か

で

つ

を 得 る.   (μ+A)-1x∈D(A)⊂Ds1(A)が0<s<1で お い てAζ(μ+A)-1xが

成 立 す る か ら,0
正 則 な こ と は 明 ら か で あ る.

  連 続 性 を 示 す.x∈R(A)の

と き,x=Ay,y∈D(A),と

表 せ る.ゆ

え に,

  に よ り,こ は-1
正 則,特

に0≦Reζ<1に

れ

お い て 連 続 で あ る.x∈R(A)

意 の正 数 εにつ い て ‖x-x1‖x<ε,x1∈R(A)

と な るx1が

あ る.よ

っ て,

と な り,こ れ か ら0≦Reζ<1に

お け るAζ(μ+A)-1xの

  x∈D(A)の

と き(μ+A)-1x∈D(A2)⊂D2∞(A)に


連 続 な こ と が わ か る.同

0
≦1で

≦1でAζ(μ+A)-1xが と き0≦Reζ

連 続 性 が わ か る.

よ りAζ(μ+A)-1xが0

様 な 論 法 で,xがD(A)に

連 続 な こ と が 示 せ る.以

≦1に

お い てAζ(μ+A)-1xが

属す るとき 上 に よ りx∈D(A)

連 続 な こ と が わ か る. (証 明 終)

  定 理 の 証 明  x∈D(Aθ)と

す る.μ

と εを 正 数 と し て,

 (4)

と お く.Aθx∈D(A)∩R(A)で

あ る か ら補 題 に よ りfは0≦Reζ

さ れ て 有 界 連 続,0
正 則 で あ る.(μ+A)-1xはD(A)に

A(μ+A)-1x=x-μ(μ+A)-1xはD(Aθ)に D(A1+θ)に 1+θ

で あ る.一

方Reζ=1の

AθxはD(A)に

で あ る.ゆ

と きA1-ζ

属 す る.そ

し て,

は 有 界 作 用 素 で あ る か ら,A1-ζ(μ+A)-1

属 して

え にxは[X,D(A)]θ

  逆 にx∈[X,D(A)]θ

と な るfが

属 し,

と き,Re(1+θ-ζ)=Re(1-ζ)+θ<

で あ り,し た が っ て(μ+A)-1xはD(A1-ζ+θ)に

え に,

定義

属 す る か ら,(μ+A)-1xは

属 す る.0
で あ る.ゆ

≦1で

に 属 す る.

と す る.A(μ+A)-2x∈D(Aθ+1)を

あ る.g(ζ)=Aζ+1-θ(μ+A)-2f(ζ)eε(ζ-θ)2と

で あ る.g(θ)をPoisson積

示 す と よ い.

お く.

分 表 示 す る.g(it)とg(1+it)はD(A1+θ)に

る か ら,A(μ+A)-2x∈D(A1+θ)を

得 る. 

属 す (証 明 終)

  §9.7  半 群 の 生 成 作 用 素 の 場 合   Banach空

間X上

の 作 用 素 のC0半

  (1) ‖Tt‖ と な る 正 数Mが と,半

群{Tt}t≧0が一

様 に 有 界,つ

≦M(t≧0) 存 在 す る 場 合 を 考 察 す る.{Tt}の

群 の 理 論 に よ り,D(A)は

稠 密 で,Reζ>0の

生 成 作 用 素 を-Aと とき

 (2)

に よ っ て レ ゾ ル ベ ン トが 与 え られ,し

た が って

  (3) 

≦M￨Reζ￨-1

で あ る.す

ま り

‖(ζ+A)-1‖ な わ ち,Aは

非 負 作 用 素 で あ る.(2)を

ζ で 微 分 す れ ば,

す る

 (4)

を 得 る.   Aは 非 負 であ るか ら,Dφp(A)や {Tt}で

分 数 ベ キAα が定 義 で き る.そ

れ ら を 半群

表 現 す る こ とが で き る;

  定 理   Banach空

間Xの

上 の一 様 有 界 なC0半

群{Tt}の

生 成 作 用 素 を-A

と す る.   (a)  1≦q≦ をm>r-indφ

∞,φ

をR+の

重 み の 函 数 でl-indφ>0と

に と る と,x∈Dφq(A)と

す る.正

整 数m

な るた め の 必 要十 分 条 件 は

 (5)

で あ る.こ

の 右 辺 の 空 間 で の ノ ル ム と‖x‖

と の 和 はDφq(A)の

ノル ム と同値

で あ る.   (b)  Reα>0と に 属 し て,m>Reα

な る複 素 数 α に つ い て,x∈DReα1(A)な に 正 整 数mを

ら ばxはD(Aα)

と る と,

 (6)

が 成 立 す る.   証 明   第1段.x∈D(Am),0
と き 等 式(6)が 成 立 す る こ と を

な る か らx∈D(Aα)で

あ り,ま た,

 (7) と お く と(1.7.2)に   (8) 

よ り I-Tt=ASt, ‖St‖

で あ る か ら,‖(I-Tt)mx‖=‖SmtAmx‖ 束 す る.0
で あ っ て,一

方(2)に

らば

よ り

≦Mt ≦Mmtm‖Amx‖

で あ り(6)の 右 辺 も収

で あ る か ら,

を 得 る.ま

た,2項

展 開 とTkt=Tktに

を 得 る.A=1に

よ り,

と る と,c′α,m=K-1α,mが わ か る.

  (6)の 両 辺 は0
お い て 定 義 さ れ て,共

べ た こ とか ら0
す る.ゆ

に 正 則 で あ る.上

え に0
に述

おいて一

致 す る.   第2段. t-Reα(I-Tt)mx∈L*1(R+;X)と はD(Am)に

で あ る.μ

属 す る か ら 第1段

→ ∞

す る.x∈Dφq(A)と

を 得 る.ゆ

え に,xはD(Aα)に

φ を0
μm(μ+A)-mxは(6)の

属 し て,(6)が

≦r-indφ<mを

す る と,(7)と(8)に

え に,SmtxはDml(A)に

と き μm(μ+A)-mx

に よ り

と す る と μm(μ+A)-mxはxに,Aα

右 辺 に 収 束 す る.ゆ   第3段. 

す る.μ>0の

満 た すR+上

よ り

属 す る.し

で あ る.φ で φ の 相 似 比 函 数 を 示す と き

成 立 す る.

た が っ て,

の重 み の 函 数 と

で あ る か ら,mの か る.す

選 び 方 に よ り右 辺 はL*q(R+)に

な わ ち,(5)が

  第4段.逆

に(5)が 成 立 す る と す る.

辺 はL*q(R+)に

い て 第2段

の 条 件 が 満 た さ れ る.第2段

で あ る.ゆえ

  第3段

に,系2.6を

属 す る.し

と第4段

α=mに

つ

の 結 果 に よ り,

属 す る.

に よ り(a)が

わ か る.

の 結 果 を 組 合 せ る と(b)が

1≦p<∞,1≦q≦

∞

お く と,{Tt}はX上 で あ る.定

た が っ て(λ+A)-mxと

使 っ て,

っ て こ れ はL*q(R+)に

  (a)と 第2段   例1 

よ りわ

成 立 す る.

と な り,右

を 得 る.よ

属 す る こ と が 系2.6に

のC0群

わ か る. 

と す る.X=Lp(R), 

で,‖Tt‖=1で

理 に よ り1>r-indφ

(証 明 終) Ttx(s)=x(s+t)と

あ る.そ

≧l-indφ>0の

の 生 成 作 用 素 はd/ds

と き,x∈Xに

対 し て,

で あ る が,

で あ る か ら,こ る.特

の 条 件 は{x(s+t)-x(s)}φ(￨t￨-1)∈L*q(R;Lp(R))と

にφ(t)=tσ

の と き,こ

の 条 件 はBesov空

一致 す

間Bσp ,q(R)の 定 義 と 一 致 す

る.   な お,次

章 でn変

数 のBesov空

間 を 扱 う が,8章

構 成 す る に は 非 負 作 用 素 の 可 換 系{A1,…,An}を Komatsu[6],   例2   

T. Muramatu[1]に

X=Lp(Rn),1≦p≦

と9章

の形 の抽 象 理 論 を

考 え れ ば よ い の で あ る.H.

重 み の 函 数 がtσ の 場 合 が 述 べ ら れ て い る . ∞

と し,X上

の 作 用 素Ttを

 (8) に よ っ て,t>0の

と き は,

 (9)

と定 め,T0x=xと

が 成 立 し,し わ か る.ま

定 め る.

た が っ て‖Tt‖=1で,{Tt}t>0はX上

れ か ら{Tt}の

し か も,x∈D(A)に

  (10) 

生 成 作 用 素 を-Aと

す る と,

対 し て,

で あ る こ と も わ か る.こ

のAに

対 し て,σ>0の

とき

Dσq(A)=B2σp,q(Rn) だ し,右

  Taibleson[1]な は 省 く.

群 とな る こ と が

た,

で あ っ て,こ

で あ る.た

のC0半

辺 は 次 章 で 定 義 す るBesov空 ど を 参 考 に し て,考

間 で あ る.

察 し て い た だ く こ と を 期 待 し て,詳

細

第10章

  Besov空

  Besov空

間 論 へ の応用

間 論 で は 補 間 空 間 が 重 要 な 手 段 と な っ て い る.こ

を 示 す た め 扱 い が 簡 単 なRn上 はSobolev空

間Wmpの

のBesov空

間 を 定 義 し,第4節

間 に つ い て 述 べ る.実 はBesov空

で,第2節

界 性 を 示 す.そ

れ を 使 い,第5節

わ ばBesov空

間 を 重 み つ きLebesgue空

結 果 を 使 い,補

間 空 間 に つ い て 第6節

と第2節

でBesov空

間 に つ い て 第8節

  Hardy-LittlewoodとZygmundの を 作 ったTaibleson達

間

間 の 特 徴 づ け を 示 す.こ 間 へ 翻 訳 す る も の で あ る.こ

と 第7節

で 結 果 を 述 べ る.Besov空

れはい れ らの 間 と

略 し一 般 の 領 域 の(超)函

で 簡 単 に 言 及 す る に と ど め る. 研 究 の 流 れ を 受 け つ い で この空 間 の理 論

は こ の 空 間 をLipschitz空

方 も あ ま り適 当 と 思 え な い の で,違

で 示 す.第3節

の積 分 表 示 に 関 連 した 作用 素 の 有

し て は さ ら に 論 じ な け れ ば な い こ と が あ る の だ が,省 数 よ り成 るBesov空

の様 子

平 均 補 間 空 間 と し て 特 徴 づ け る こ と も で き る(第6節).

わ れ わ れ の 方 法 の 基 本 と な る積 分 表 示 の 公 式 を 第1節 でBesov空

の 章 で,そ

間 と 呼 ん で い る.こ

和 感 が あ る の だ が,Besov空

の呼び

間 と い う語 を

使 用 し た.   これ ま で の 章 で は 準 ノ ル ム 空 間 ま た はBanach空 し た が,こ わ す.混

の 章 で は ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnの

間 の 点 をx,yな

点 をx=(x1,…,xn),yな

どで表 わ どで 表

乱 し な い よ うに 希 望 す る.

  §10.1  超 函 数 の 正 則 化   こ の 節 で は 超 函 数 と そ の 正 則 化 を 考 察 す る.ま

 補題   0,x∈Rnの

 (1)

と し,  とき

ず,

と お く. 

に 対 し て,t>

と定 義 す る.こ

の と き,

  (a)  φ(t,x)は cφ(x)で

〓∞(Rn)に 属 し て,t→0の

と き〓 ∞(Rn)の 位 相 でφ(t,x)→

あ る,

  (b) 

で あ れ ば,φ(t,x)も

各tに

の と き 〓∞0(Rn)の 位 相 で φ(t,x)→cφ(x)で

つ い て〓 ∞0(Rn)に 属 し,t→0

あ る.

  証 明   (a)の 証.∂ αx=(∂/∂x1)α1…(∂/∂xn)αnと 書 く.ま 示 す る.こ

た ∂αxφ を φ(α)と表

の と き,

で あ る.KをRnの φ(α)(x-ty)→

コ ン パ ク ト集 合 とす る と,K上 ρ(y)φ(α)(x).ゆ

え にt→0の

一様 にt→0の

と きK上

一 様に

と き,ρ(y) ∂αxφ(t,x)→

cφ(α)(x)と な る.   (b)の 証. 

と し,φ

台 はK+tHと

な る.(a)の

で φ(t,x)→cφ(x)と

の 台 をK,ρ

の 台 をHと

結 果 と 合 せ る と,t→0の

す る と,φ(t,x)の と き〓 ∞0(Rn)の 位 相

な る こ と が わ か る. 

  さ て,XをBanach空

間,fをRn上

対 し て,ρt(x)=t-nρ(x/t)と

のX値

(証 明 終) 超 函 数 とす る. 

に

書 き,

 (2)

と 定 義 す る.た わ ちf(φ)を つ い て,〓

だ し,〈 φ,f〉xは〓∞0(Rn)とD′(Rn;X)と

表 わ す.容

易 に わ か る よ う に ρt(x-y)は

の 双 対 形 式,す パ ラ メ ー タ ーtとxに

∞0(Ω)の位 相 で 無 限 回 微 分 可 能 で あ る か ら

が 成 立 す る.た

だ し,ρ(α)=∂αxρ,ρ(α)t(x)=t-nρ(α)(x/t)で あ る.特

の と き ρt*f(x)はxの   f∈Wmp(Rn;X),1≦p≦ の 場 合 を 考 え る.平

函 数 と し てC∞ 級 で あ る. ∞,mは

整 数 と す る.ま

均 連 続 性(定 理2.5)に

よ りt→0の

ずm=0,1≦p<∞ とき

に,t>0

な

と な る.た

だ し, 

る.￨α￨≦mと

で あ る.次

す る と,超

にmを

正 整 数,1≦p<∞

とす

函数の徴分法に よ り

 (3)

で あ る か ら,m=0の

と き の 結 果 と 合 せ て,t→0の

とき

 (4)

と な る こ と が わ か る.mが

負 整 数,1≦p<∞

の と き も(3)を 使 え ば,

 (5) で あ る か ら,や をBmと

し て(4)が 成 立 す る.m=0,p=∞

と,Fubiniの

と な る.た る.補

は り(4)が 成 立 す る.f∈Bm0(Rn;X)の

と き も 同 様 に し てWmp

の 場 合 に は, 

に とる

定 理 によ り

だ し,φ(t,x)は

題(b)に

ρ(x)を

ρ(-x)に

代え て(1)で 定 義 し た 函 数 で あ

よ り〓 ∞0(Rn)の 位 相 で,t→0の

と き φ(t,x)→cφ(x)で

ある

か ら,上 の式 の右 辺 は 

に 収 束 す る.す

な わ ち,D′(Rn;X)の

位 相 で ρt*f→cfで

た はm<0の

場 合 は(3)ま

使 え ばp=∞

あ る.m>0ま

の 場 合 も ρt*f→cfと

な る こ と が わ か る.以

 定理 とし,  1≦p≦

∞,mを

(Rn;X)に き(t,x)のC∞

対 し て,(2)に

よ り ρt*fを

級 函 数 で あ っ て,t→0の

cfに 収 束 す る.特

上 によ り

と お く.XをBanach空 整 数 とす る.ρt(x)=t-nρ(x/t)と

に,1≦p<∞

な ら ば こ の 空 間 の 位 相 で ρt*fはcfに   定 義   定 理 の ρt*fを

超 函 数fの

お く.こ

た は(5)を

間 と し, の と き,f∈W-∞p

定 義 す る と,ρt*f(x)はt>0の と きD′(Rn;X)の

の と きf∈Wmp(Rn;X)ま 収 束 す る. 正 則 化 と い う.

位 相 で ρt*fは た はBm0(Rn;X)

と

 §10.2  積 分 表 示  超 函 数 を そ の 正則 化 の"積 分"と

して 表 示 す る公式 を 導 くの が この節 の 目標

で あ る.   〓∞0(Rn)の元 ω1(x)と 正 整 数mに

ついて

 (1)

 (2)

と お く.た

だ し,α=(α1,…,αn)に

で あ る.ωmの

対 し て,α!=α1!…

αn!,xα=xα11…xαnn

積 分 と ω1の 積 分 は 等 し い.

  D′(Rn;X)の

元fに

は(t,x)のC∞

対 し て,ωm,t*fを(10.1.2)と

級 函 数,し

同 様 に 定 義 す る と,こ

た が っ て0<ε
れ

し,

 (3) で あ る.微

分 す れ ば,容

易 に,

が わ か る.た

だ し,ρ(j)(x)=(∂/∂xj)ρ(x)と

が わ か る.ゆ

え に,前

す る.ま

た,

節 の 定 理 を 使 う と,

  定理  

と し(1)と(2)で

の と きf∈W-∞p(Rn;X),1≦p≦

∞

ωm(x)お

よ びM(x)を

定 義 す る.こ

に対 し て,

 (4)

で あ る.た 辺 のtに

だ し, 

aは 正数,ρt*fは(10.1.2)で

関 す る 積 分 は 区 間[ε,a]で

の 位 相 に よ る 極 限 を 意 味 す る.特

の 積 分 の ε→0と にfがWlp(Rn;X)ま

す る な ら ば そ の 空 間 の 位 相 で の 極 限 で あ る.   ま た,0≦k≦mに  (5)

整 数kを

と り

定 義 す る.右

し た と き のD′(Rn;X) た はBl0(Rn;X)に

属

と す る と,  (6)

が 成 立 す る.た

だ し,f(β)(x)=∂

βxf(x)で あ る.

  証 明  後 半 は 等式  (7)

と超 函 数 の 微 分 法 と ∂αxがD′(Rn;X)の

連 続 作用 素 で あ る こ とか らわ か る. (証 明終)

  系   (補間 不 等 式)正 整 数kとmを0
∞ とす る.こ

とる.XをBanach空

の ときす べ て のf∈Wmp(Rn;X)と

間

正 数 εに 対

し て,  (8) で あ る.こ

こ でCはfと

  証 明   c=1と

εに は 依 存 し な い 定 数 で あ る.

し,kをmに

で あ る.こ

れ に ∂βx,￨β￨=k,を

を 得 る.た

だ し,M(β)α(x)=∂

と り積 分 表 示(6)を 使 う.す

な わ ち,

作 用 す る と,

αxMα(x),ω(β)m(x)=∂

βxωm(x)で

あ る.系2

.6を

使

う と,

で あ る か ら,a=ε

と お い て,(8)を

  例   積 分 表 示 の 応 用 例 と し て,命  

"1≦p<∞

を 証 明 す る.た

の と き  だ し, 

得 る. 

(証 明 終)

題 はWmp(Rn;X)で とは  

稠 密 で あ る" の 形 の 有 限和 の

全 体 を 示 す.  

m>0の

場 合 を 考 え る. 

に と り,(1)と(2)で

義 す る.fをWmp(Rn;X)の

元 と す る と 定 理10.1に

よ り,正

ωmとMを

定

数 ε に 対 し て,

 (9)

とす る

と な る よ うに 正 数 δを と る こ と が で き る.δ を 固 定 す る.  と,(3)か

ら(4)を

導 く計 算 に よ り

を 得 る.作 用 素

は い ず れ もLp(Rn;X)か 右 辺 のfを

らWmp(Rn;X)へ

階 段 函 数 で 近 似 す れ ば ωm,δ*fが 

と に な り(9)と 合 せ て,結   m=0の

場 合.fを

ば よ い.m<0の

局fが 

の元 で近 似 で き る こ の 元 で 近 似 で き る こ と が わ か る.

ω1,δ*fで 近 似 し,ω1,δ*fのfを

階 段 函 数 で近 似 す れ

場 合 も同 様 で あ る.

  §10.3  Besov空   Besov空

の 有 界 作 用 素 で あ る か らf(α)と

間の定義

間 を 次 の よ うに 定 義 す る.

  定 義   1≦p≦ φ ≦r-indφ<mを

∞,1≦q≦

∞,φ

をR+上

満 た す 最 大 の 整 数kと

の 重 み の 函 数 と す る.k
そ れ ぞ れkとm

とす る.   k=0の

場 合.Lp(Rn)に

属 し,

 (1)

が 有 限 とな るfの 全 体 をBφpq(Rn)で 表 わ し,そ の ノル ム を  (2)

と定 義 す る.た だ しL*q(Rn)は  (3)

測 度￨y￨-ndyに

関 す るLqを 示 し,

す な わ ち Δmyは増 分yのm階   k>0の

場 合,Wkp(Rn)に

差 分 作用 素 を示 す. 属 し,

 (4)

が 有 限 とな るfの 全 体 をBφp,q(Rn)と 定 義 し,そ の ノル ムを  (5) と 定 義 す る.た   k<0の

だ し,f(β)(x)=∂βxf(x)で

場 合.ψ(t)=t￨k￨φ(t)と

あ る.

お く とl-indψ>0と

な る.

 (6) と な るfの

全 体 をBφp,q(Rn)で

表 わ し,そ

の ノ ル ムを

 (7)

と定 義 す る.   特 に,σ

を 実 数 と し て,φ(t)=tσ

と し た と き のBφp,q(Rn)をBσp,q(Rn)と

定

義 す る.   定 理  φ をR+上

の 重 み の 函 数,1≦p≦

空 間Bφp,q(Rn)はBanach空

省 く.Lpの

持 つ.1≦p<∞-,1≦q<∞-と と る と,k→

∞

で あ る.Fatouの

で あ り,し

の と き,Besov

定 義 で 述 べ た も の とす る. とす る.以

完 備 性 に よ り,{fn}はLpに す る.{fn}の

下,空

間 と ノル

お い て 極 限fを

適 当 な 部 分 列{fn(k)}を

の と き ほ と ん ど す べ て のx∈Rnに

お い て,fn(k)(x)→f(x)

補題 に よ り

た が っ てf∈Bφp,qが

で あ る.{fn}はBφp,qのCauchy列 る.ゆ

数kとmを

場 合.{fn}をBφp,q(Rn)のCauchy列

ム の 記 号 で(Rn)を

∞

間 で あ る.

  証 明   完 備 性 を 示 せ ば よ い.整   k=0の

∞,1≦q≦

え にfm→fがBφp,qの

わ か る.同

様 に,Fatouの

だ か らm→

∞

ノ ル ム で 成 立 す る.pま

補題 によ り

の と き,右 た はqが

辺 →0と

な

∞ の と き も容

易 に,同

様 な 結 論 が 導 け る.

  k>0の

場 合 とk<0の

Aj=∂/∂xjと

場 合 は,ψ(t)をt-kφ(t),EをD′(Rn),XをBψp,q,

し た 空 間EkX(A1,…,An)に

一 致 す る か ら,補

る. 

題7.3に

よ りわ か (証 明 終)

  §10.4  基 本 不 等 式   Besov空

間 論 の 基 本 と な る不 等 式 を 示 す.ま

  補 題 i=1,2,…,j=0,1,…,i-1に

ず,

つ い てbijを

 (1)

に よ っ て 定 義 す る.b10=1と

す る.

 (2)

に 

とす る. 

を と り

 (3)

と お く.こ

の と きf∈Lp(Rn;X)に

ついて

 (4)

が成 立す る.   証 明   i=1の

 i≧2の

と き, 

で あ るか ら

で あ る.i≧k≧2

と き. 

の と き はy+kz→z,y→yと

変 数変 換 し て,

と な る.内

側 の 積 分 をVα(t,x,z)と

で あ る.と

と な る.し

こ ろ が 

ゆ え,￨α￨=i-1に

た が っ て,k=0,1の

y→yと

変 数 変 換 し て,

k=0の

と き は(x-y-z)/t→z,y→yと

と な り,等

書 く と,

つ い て,

項 の み が 残 る.k=1の

と き はy+z→z,

変 数 変 換 し て,

式(4)が わ か る. 

(証 明 終)

  準 備 が で き た の で 基 本 不 等 式 の 証 明 に 移 る:   定 理 1≦p≦   (a)  0
∞,1≦q≦r≦

∞,φ

をR+上

の 重 み の 函 数 とす る.

≦r-indφ<m, f∈Lp(Rn)の

と き,

 (5)  (6)  (b) lを

非 負 整 数,σ

を σ ≧l,σ>r-indφ

に と る.こ

の とき

 (7) な ら ば 対 応f→tσ

→lρt*f(x)はBφp,q(Rn)か

界 線 型 作 用 素 で あ る.た

らL*r,φ-1((0,a];Lp(Rn))へ

だ し,a>0,ρt(x)=t-nρ(x/t)と

す る.

の有

 (c) l-indφ>-l,lを

非 負 整 数 と し,(7)が

成立す るならば

 (8)

はu(t,x)∈L*q,φ-1([0,a];Lp(Rn))の はL*q,φ-1([0,a];Lp(Rn))か

と きBφp,q(Rn)の 位 相 で 収 束 し,対 応u→F

らBφp,r(Rn)へ

  証 明   函 数 空 間 の 記 号 で(Rn)を   (a)の 証.(5)は

系2.6に

の 有 界 線 型 作 用 素 に な る.

省 く.

よ り直 ち に わ か る.平

均 値 の 定 理 に よ り,

 (9) で あ る か ら,ρ の 台 をHと

す る と,系2.6に

よ り,

 (10)

で あ る.φ の指 標 に つ い て の仮 定 に よ り

で あ る か ら,(6)が   (b)の mを

わ か る.

証.k
と る.ま ずk=0の

を 表 わ す.l≧mな

≦r-indφ<mと

な る 最 大 の 整 数kと

場 合 を 考 え る.BでRnの

単 位 球{x∈Rn;￨x￨≦1}

ら ば 条 件 の 形 か らl=m=σ

に 含 ま れ る よ うに と り補 題 を 使 う,各

と し て よ い.ω1の

ραの 台 はbBに

で あ る.ゆ

た が っ て,Fm(z)=‖Δmzf(x)‖Lpと

え に,任

意 の1≦

ξ≦ ∞

お く と き,

について

台 がB

含 まれ る とす る と,

な らば と な る.し

最 小の整数

で あ る か ら,た

だ し ξ=∞

の と き は 積 分 を 本質 的 上 限 に す る,系2.6に

φ(t)-1ρt*f∈Lr*(R+;Lp)を

よ り

得 る.

 l<mの場合. 

に と り,積

分 表 示(10.2.4)を

使 う と,

 (11)

を 得 る.ま

ず

次 に,0
と き,

 (12)

で あ る.M(x)は

補 題 の 条 件 をl=mと

し て満 た し て い るか らす で に証 明 し

た 結 果 に よ り,‖Mt*f‖Lp∈L*r,φ-1([0,a])で 第2項

がL*r([0,a];Lp)に

あ る.ゆえ

に,系2.6を

属 す る こ と が わ か る.第1項

使 え ば,

は

 (13)  (σ>r-indφ

を 使 え ば,L*r,φ-1([0,a];Lp)に   k>0の

場 合.l≧kな

αj≧ βj(j=1,…,n),￨β￨=kと

の と き)

属 す る こ と が わ か る.

ら ば,各￨α￨=lに

対 し て,α

な る よ うに β を と る と

≧ β,す

なわち

で あ る か ら,k=0の

場 合 に 帰 着 され る.l
0の

に 証明 し た 場 合 に 帰 着 さ れ る.

場 合 と同 様 に,上

  k<0の

場 合,fが(10.3.6)の

と な る.t-kφ(t)=ψ(t)と

ら ば 等 式(11)を

使 え ばk=

形 に 表 示 さ れ た と す る と,

お く と,σ+￨k￨>r-indψ,σ+￨k￨≧l+￨β￨,

ρ(β)はlをl+￨β￨と

し て(7)を 満 た す.ゆ

え にk=0場

合の結果か ら この

場 合 の 結 果 を 得 る.   (c)の 証.mとkを(b)の   ま ず,k=0の

証 明 の と き と 同 じ 整 数 と す る.

場 合,l-indφ>0で

あ る か ら,任 意 の1≦r≦

 (14)

で あ る.ゆ

え に,Holderの

を 得 る.ゆ

え に(8)はLpの

  次 に,(9)を

を 得 る.1≦

使 え ば(10)と

ξ≦ ∞

不 等 式 に よ り,

位 相 で 収 束 しFはLpに 同様 にして

と な る ξに つ い て

 (15)

で あ る か ら,系2.6に

よ り

を 得 る.   k>0の

場 合.￨α￨≦kと

す る と,

属 す る.

∞に 対 し て,

で あ る か ら,k=0の   k<0の

場 合 に 帰 着 さ れ る.

場 合.l=-kと

し て よ い.(7)が

成 立 す る か ら,ε>0の

とき

で あ り,

で あ る か らk=0の

場 合 の 結 果 に よ り,ε →0の

と きFε(x)はBφp,qの

収 束 す る. 

(証 明 終)

  §10.5  Besov空   Besov空

位相 で

間 の特 徴 づ け

間 は 正 則 化 に よ り特 徴 づ け る こ と が で き る.す

  定 理  lを 非 負 整 数,φ ≦ ∞,1≦q≦

∞

がW-∞p(Rn)に

属 し,

をR+上

なわち

の 重 み の 函 数,r-indφ
と す る と き,f∈Bφp,q(Rn)と

す る.1≦p

な る た め の 必 要 十 分 条 件 はf

 (1)

と表 示 さ れ る 任 意 の ρ に 対 し て,ρt*f(x)がL*q,φ-1([0,a];Lp(Rn))に

属す る

こ と で あ る.   証 明   必 要 性 は 定 義 お よ び 定 理10.4(b)に   十 分 性 を 証 明 す る.以 indφ<mと ≧0の

下 函 数 空 間 の 記 号 で(Rn)を

な る 最 大 の 整 数kと

場 合 を 考 え る.積

に 属 す る こ と は,仮

定 に よ り 

る.定

理 のlをmの

め,こ

れ に よ っ て 積 分 表 示(10.2.4)を

 (2)

省 く.k<1-indφ

最 小 の 整 数mをkとmと

分 表 示(10.2.4)をc=1と

と な る こ と お よ び 定 理10.4(a)に

11)と 同 様 に, 

よ り 明 ら か で あ る. ≦r-

定 め る.ま

ずk

し て 使 う.ωm,a*fがBφp,q と表 わ せ る こ と か ら,

よ りわ か る.次

代 り と し て,(10.2.1)と(10.2.2)に

と し て,

作 りMt*fのfに

に 積 分 表 示 の 第1項

を考え

よ り ωlとL(x)を 代 入 す る と,(10.4.

定

を 得 る.仮

定 に よ りL(α)t*fとLt*fはL*q,φ-1([0,a];Lp)に

(10.4.13)と(10.4.12)お

で あ る.ま mを

た,ωm

よ び 系2.6に

,a*fと

属 す

理10.4(c)に

ら,

よ り

同 様 に し て,ω(α)l,a*f∈Lpが

使 っ てtma-mω(α)l,a*fがL*q,φ-1([0,a];Lp)に

に,定

る か

わ か る か ら,r-indφ< 属 す る こ と が わ か る .ゆ

え

よ り

 (3)

を 得 る.   k<0の (t)=ψ(t)と あ る.第1項 (2)の 第1項

場 合.こ

の と き もc=1に

お く と き,ωm,a*fがBψp,qに を 考 察 す る と き,(2)を と 第2項

はk≧0の

属 す る こ と はk≧0の 使 うが,今

度 はlの

使 う.t￨k￨φ 場 合 と同 様 で

代 りl+￨k￨を

使 う.

と き と 同 じ で よ い.

 と 表 示 す る.Lβ

で あ る.し

と っ て 積 分 表 示(10.2.4)を

は(1)を 満 た す,超

か もl-indφ+￨k￨>0で

函 数 の微 分 法 に よ り

あ る か ら,

 (4)

と な り,し

た が っ て 系2.6に

と な る.ゆえ

に 定 理10.4に

よ り

よ り(3)が わ か る. 

(証 明 終)

  定 理 と そ の 証 明 か ら 次 の こ と も わ か る:   系   (a)  1≦q≦r≦   (b)  0
∞

の と き 

≦r-indφ<m,mは

数 で な く て も よ い.)こ

で あ る. 正 整 数 とす る(条 件 を 満 た す 最 小 整

の と きf∈Bφp,q(Rn)と

な る た め の 必 要 十 分 条 件 はfが

W-∞p(Rn)に

属 し て,

 (5) と な る こ と で あ る.   (c) l-indφ

≦0と

お く と,fがBφp,q(Rn)に

し,-l
に 正 整数lを

と り,ψ(t)=tlφ(t)と

属 す るた め の必 要 十 分条 件 は

 (6)

と表 さ れ る こ と で あ る.   (d)  kを 正 整 数 と し,ψ(t)=t-kφ(t)と ば,￨β￨=kと (Rn)で

お く.こ

の と き,f∈Bφp,q(Rn)な

な る β に 対 し て∂βxf(x)∈Bψp,q(Rn)で

あ っ て,￨β￨=kと

ばfはBφp,q(Rn)に

あ り,逆

ら

に,f∈W-∞p

な る す べ て の β に つ い て ∂βxf(x)∈Bψp,q(Rn)な ら

属 す る.

  証 明   (a)は 定 理 と 定 理10.4に   (b)  条 件(5)か

よ り 明 ら か で あ る.

ら定 理10.4(b)の

証 明 と 同 様 に し て,l≧mと

し て 条 件(1)

を 満 た す ρに つ い て,ρt*fがL*q,1/φ([0,a];Lp(Rm))に

属 す る こ と がわ か る

か ら 定 理 に よ りfがBφp,q(Rn)に

要 性 を 示 す に は積 分

表 示(10.2.4)と

に つ い て,定

属 す る こ とが わ か る.必

等 式(2)を 使 い,た

理10.4(b)と

と え ば,積

同 様 に 証 明 す れ ば よ い.

  (c)  必 要 性 を 示 す.fをBφp,q(Rn)の 表 示(10.2.4)を

分

元 と す る.mの

代 りにlを

使 っ て積 分

用 い る と,

 (7) を 得 る.た

だ し, 

r-indψ=l+r-indφ<mと

と す る.ωl,a*f∈Bψp,q(Rn)は な る 正 整 数mを

と り,lをmと

容 易 に わ か る. し て(1)を 満 た

す ρを と る と,

で あ る.し (10.4.13)が

か も φ を ψ と し て(10.4.12)が,ま 成 立 す る か ら 定 理 に よ り,系2.6を

た φ を ψ と し,σ=mと 使 っ て,

して

を 得 る.よ

っ て,定

  十 分 性 は 次 の(d)に

よ りわ か る.

  (d)  f∈Bφp,q(Rn)と

す る.l>r-indφ

函 数 と す る と,￨β￨=kの に 属 す る.定

に 非 負 整 数lを

理 に よ りf(β)はBψp,q(Rn)に

r-indφ,l≧kに

と り,ρ を(1)の 形 の

と き ρt*f(β)=t-kρ(β)i*fはL*q,ψ-1([0,a];Lp(Rn))

  逆 に,f∈W-∞p(Rn)で

す と,定

を 得 る.

理 に よ り, 

各￨β￨=kに

非 負 整 数lを

属 す る. つ い てf(β)∈Bψp,q(Rn)と

とっ て,(1)の

す る と,l>

形 の 函 数 ρを 

と表 わ

理 によ り

で あ る.定 理 に よ りf∈Bφp,q(Rn)が わか る.    注 意1.  定 理 の証 明を 見 れ ば わ か る よ うに,(1)の

(証 明終) 形 のす べ て の 函数 ρに つ

い て 定 理 の 条 件 を 仮 定 しな くて も,定 理 の証 明 中 に出て くる積 分表 示 に必 要 な 函 数 に つ い てだ け 条 件 を 仮 定 す れ ばfがBφp,q(Rn)に

属 す る こ とが 導 か れ る.

  注 意2.  定 理 の証 明か ら次 の こ と もわ か る.-h
と 定 め る.こ

と り,ω1を 

≦r-indφ
の と きBφp,q(Rn)の ノ ル ム は

と 同 値 で あ る.た

だ し,I=[0,a],a>0,Lp=Lp(Rn),Wmp=Wmp(Rn),

mはr-indφ<mを

満 た す 正 整 数 で あ る.第3項

と第4項

はfのW-hpで

の ノ ル ム で 置 き換え て も よ い.

  §10.6  補 間 定 理,そ   Besov空

間 はSobolev空

準 備 と し て,

の1 間Wmpよ

り実 補 間(平 均 補 間)し て 得 ら れ る.ま

ず

  補 題   φ をRn上

の 重 み の 函 数,ψ

と λ をR+上

の 重 み の 函 数 で λは 単 調 で

Lipschitz連

か も0
が ほ と ん どす べ て

のtで

続,し

成 立 す る とす る.こ

こ で,λ

は λ の 導 函 数 を 示 す.ψ

  (1) -1
は条件

≦r-indψ<0 をRnの

部 分 集 合 と し,dx/￨x￨nに

間 とす る.こ

関 す るLpをL*pで

示

の とき

 (2)

で あ る.

  証 明 fを(2)の 左 辺 の元 とす る と,  (3)

  (4) と表 示 で き る.λが 単 調 増 加 の場 合 を 考え る.

とお く.ψ の相 似 比 函数 を ψで 表 わ す と,

で あ る.ゆ

え にf1は 

に 属 す る.

  同 様 に,

に よ り,f2も 

に 属 す る .ゆ

の 元 で あ る.   次 にfが 

に 属 す る とす る.

え にf=f1+f2も

この 空間

に ζを と り,

と お く と(3)が 成 立 す る.し

か も

で あ る か ら,u∈L*q,ψ(R+;L*1,φ(Ω;X)で

あ る.

  同 様 に し て,

よ り, 

が わ か る. 

  例   φ をR+上

(証 明 終)

の 重 み の 函 数 と し,

に と る と,

と な り,(1)が

成 立 す る.

 定 理   φ をR+上 とmを

と る.こ

の 重 み の 函 数 と しk
ψ(t)=sk/(m-k)φ(t1/(m-k))-1と

≦r-indφ<mに

整 数k

して

 (5)

で あ る.特

に,0<θ<1の

と き,

 (6)

で あ る.   証 明   k≦0<mの (10.2.1)と(10.2.2)に 積 分 表 示(10.2.4)を

場 合 を 考え る.lを よ り ωl(x)とL(x)を 使 う.た

だ し,cを1に

正 整 数 と し,mの 定 義 し,Bφp,q(Rn)の と る.す

な わ ち,

代 りにlを 元fに

用 い,

対 し て,

た だ し,h>0と

して Lt*f(x), 

0
{

u(t,x)=

ht-hωl*f, 

と定 義 す る.￨α￨≦mの

で あ り,fが(10.3.6)の

と き,

t>1の

と き,定

と き,

理10.4(b)に

形 で 表 わ さ れ れ ば,

と な る か ら,h-m+l-indφ>0にhを

と な る.l≧￨k￨に

よ り

とれ ば

選 ん で お け ば 

で あ る,た

だ し,l+k≧mにlを

と な り,こ

れ はL*q([1,∞))に

と表 示 で き るか ら,

と る.ま

属 す る.ゆ

た,

え に,

 (7) を 得 る.   逆 の 包 含 関 係 を 示 す.包

含 関 係(7)の 右 辺 がWkp(Rn)に

明 ら か で あ る か ら こ の 右 辺 の 元fに 属 す る こ と を 示 せば よ い.た

と す る.超

つ い て ρt*fがL*q,1/φ([0,1];Lp(Rn))に

だ し,

函 数 の 微 分 法 に よ り,f∈Wmp(Rn)に

で あ り,f∈Wkp(Rn)に

含 まれ てい る こ とは

対 し て,

対 し て,

た だ し, で あ る.ゆ

え に,線

型 作 用 素f→

ρt*fは

対{Wkp(Rn),Wmp(Rn)}か

ら対

  へ の 両 立 連 続 作 用 素 で あ る.ψ を 例 の よ うに と り,λ(t)=tm-kに と な る か ら,作

と る と,t-k/λ(t)=t-m,t-kψ(λ(t))=φ(t)-1

用 素 の 補 間 定 理 に よ り,(7)の

L*q,1/φ([0,1];Lp(Rn))に

右 辺 の 元fに

属 す る こ とが 補 題 に よ りわ か る. 

  定 理 と平 均 補 間 空 間 に 関 す る 包 含 定 理(定 理4.5)に   系  φ をR+上

対 し て,ρt*fが

の 重 み の函数,1≦p≦

(証 明 終)

よ り,直

∞,1≦q≦

∞

ち に,

とす る と,

 (8)

が 成 立 す る.

  §10.7  補 間 定 理,そ   Besov空

の2

間 の 補 間 空 間 を 計 算 す る:

  定 理   (a)  1≦p≦

∞,1≦q≦

函 数 で,ψ

と λ は 補 題10.6の

≦ η≦ ∞

に 対 し て,

∞,と

し,φ

と ψ と λ はR+上

条 件 を 満 た す と す る.こ

の と き,1≦

の重 み の ξ ≦ ∞,1

 (1)  (b) 

0<θ<1,1≦pj≦

∞,1≦qj≦

∞(j=0,1),と

し,

 (2)

と お く.φ0と

φ1をR+上

の 重 み の 函 数 と し,

 (3)

と お く と,   (4)   特 に,σ0と

σ1を 実 数,0<θ<1と

す る と き,

だ し,σ=(1-θ)σ0+θσ1と

す る.

 (5)  (6)

で あ る.た

  証 明   a>0と

し,I=[0,a]と

  (a)の 証. r-indφ
理10.5に

書 く.ま λ
よ りf→

た 函 数 空 間 の 記 号 で(Rn)を

正 整 数lを

ρt*fは

と り,条

対 

へ の 両 立 連 続 線 型 作 用 素 で あ り,作

省 く.

件(10.5.1)を

満

か ら 対  用 素 の補 間 に よ

り,fが

ξ=η=∞

の と き の(1)の 左 辺 に 属 す る と き ρt*fが  に 属 し,補

て,定

理10.5に

意10.5.2に

題10.6に

よ り 

よ り, 

で あ る.こ

に 属 す る.よ

っ

の埋 め 込 み が 連続 で あ る こ とは 注

よ りわ か る.

  次 に 

を 示 す.非

負 整 数mとkをm>r-indφ

l-indφ λ>-k,m>r-indφ

λ ≧l-indφ

λ>-k,m>r-ind(φ/ψ°

l-ind(φ/ψ°λ)>-kが

成 立 す る よ うに と る.l=m+kと

を 使 っ て(10.2.1)と(10.2.2)に

よ りωlとLを

こ のlに 対 応 す る 積 分 表 示(10.2.4)を

し,mの

定 義 す る. に

作 る.定

理10.5の

≧ λ)≧ 代 り にl 対 し て,

証 明 に よ り,ωm,a*f

∈W∞pで あ る か ら  (7) を 示 せ ば よ い. 

と す る と,

 (8)

と な る こ と が,Lt*fのfに W∞pゆ

え,第3項

積 分 表 示(10.2.4)を

の 積 分 がW∞pに

m>r-indφ/(ψ°

代 入 し て わ か る.ωl,a*f∈

属 す るこ と は す ぐわ か る.第1項

λ)で あ る か ら,L(α)s*fは に

と し て φ/(ψ° λ)に つ い て(10.4..13)が

を 考 え る.

属 す る.m=σ

成 立 す る か ら,定

理10.5に

より

 (9) と な る.Lα

はC∞0の 函 数 のk階

-k
λ で あ る か ら ,定

は 対 

偏 導 函 数 の 和 に な っ て い て,-k
よ り,作 用 素

か ら対 

用 素 で あ る.ゆえ か ら 

へ の 両立 連 続 線 型 作

に,作 用 素 の補 間 に よ り,こ れ は  へ の連 続 作用 素 に な る.と ころ が,補 題10.6に

こ の左 側 の空 間 は(9)の 右 辺 の 空 間 を 含 む,ゆ え に

より

は 

に 属 す る.第2項

た だ し,φ1は

は,定

理10.5と

φ/ψ°λ の 相 似 比 函 数 とす る,に

よっ て,

 (10) を 得 る か ら,以

下 第1項

と 同 様 に し て, 

以 上 に よ り 

に 属 す る こ と が わ か る.

を 得 る.前

段 の 結 果 と こ の 結 果 と系10.6

と に よ り(1)を 得 る.   (b)は

補 題10.6の

を 使 っ て,(a)と   特 に(a)に

代 りに,Riesz-Thorinの

平 行 な 議 論 に よ り証明 で き る.

お い て,φ(t)=tσ0,λ(t)=tσ1-σ0,ψ(t)=t-θ と な っ て,(5)を

(t)=tσ1に

定理

得 る.ま

た(b)に

に と る と,  お い て,φ0(t)=tσ0,φ1

と れ ば(6)を 得 る. 

(証 明 終)

  定 理 と同様 な方 法 に よ り (r≧p,qの

と き)

(r≦p,qの

と き)

 (11)

も わ か る.た

だ し,0<θ<1と

し,σ,p,qは

  §10.8  一 般 の 領 域 上 のBesov空

  一 般 の 領 域 Ω 上 のBesov空

定 理(b)の

よ うに 定 め る.

間について

間 は 定義10.3でLp(Rn)をLp(Ωm,y),た  に 代 え て 定 義 す る.Ωm,yが

き に は そ こ で の ノル ム は0と

す る の で あ る.計

大 筋 で は 本 書 の 方 法 が 展 開 で き る.補 た めRn上

だ し 空 とな る と

算 が か な り込 み 入 っ て く る が,

間 空 間 の 方 法 を 例 示 す る 意 味 で,簡

の 空間 に つ い て 述 べ た の で あ る.

  一般 の 場 合 に は ど ん な 変 更 が 必 要 に な る か を 示 す た め に 半 空 間Rn+={x=

単 の

(x1,x′);x1>0}の ￨x1￨<1に

場 合 の 積 分 表 示 の 公 式 を 示 す. 

をその台が

含 ま れ る よ うに と り,ω1(x)=ω(-x1-2,x′),x′=(x2,…,xn)

と お く.ωmとMを(10.2.1)と(10.2.2)で 台 はy1>x1+2に あ る.ゆ

含 ま れ る.し

え にD′(Rn+)の

が 定 義 で き る.同

定 義 す る.ωm,t(x-y)のyに

元fに

様 にMt*fが

た が っ て,x∈Rn+の

関す る

と き 

で

つ い て,各x∈Rn+で

定 義 で き,§10.2と

ま っ た く同 様 な 計 算 に よ

り,

を 得 る.さ

ら に 一 般 の 領 域 で も,い

x∈ Ω に 対 し て,長

と き 円 錐 様 の 集 合x+tΨ(x)+tB,た る,と -z)と

わ ゆ る 円 錐 条 件,す

さ が 有 界 な ベ ク トルΨ(x)が

だ し(BはRnの

い う条 件 を 満 た し て い れ ば,ω

の 台 をB内

な わ ち,正

数t0と

各

対応 し て い て,0≦t
Ω に 含 まれ

に と り,ω1(x,z)=ω(-Ψ(x)

お き

と 定 義 し,ωm,t(x-y)の 同 様 な 変 更 を す れ ば,積

代 りに,t-nωm(x,(x-y)/t)を 分 表 示 が 得 ら れ る.詳

使 い,Mに

つい ても

し くはMuramatu[2]∼[5],

に あ る の で 参 照 下 さ れ ば 幸 い で あ る.   な お,本

書 で は 省 略 し た が,い

わ ゆ る 埋 蔵 定 理(Sobolevの

補 題)や

低次元

超 平 面 へ の ト レ ー ス の 存 在 な ど も こ の 方 法 で 扱 え る.p=q=2のBesov空 間 を 使 っ て 楕 円 型 境 界 値 問 題 を 扱 う方 法 に つ い て はTriebel[9]に る.

例 示 し てあ

第11章  文献解説 お よび 補足

  文 献 の 解 説 お よ び 重 要 な 結 果 に つ い て 説 明 を す る.特

に 補 間 法 の 一 般 化 と補

間 空 間 の 決 定 の 問 題 に つ い て 招 介 す る.

  §11.1  参 考 書 と 術 語 に つ い て   函 数 解 析 学 の 邦 書 は た く さ ん 刊 行 さ れ て い る が,主   吉 田耕 作 著  

位 相 解 析,岩

  吉 田 耕 作 ・伊 藤 清 三 編   田辺 広 城 著   を 参 考 に し,超   L.

と し て,Yosida[3]と

波書 店,1951年,

  函 数 解 析 と 偏 微 分 方 程 式,岩

函数解析学

上,下,実

波 書 店,1976年,

教 出 版,1978年,

函数 に つ い ては 前 記 の ほか

Schwartz著(岩

村 聯,石

垣 春 夫,鈴

木 文 夫 訳)  超 函 数 の 理 論(第3版),

岩 波 書 店,1971年, も参 考 に し た.   術 語 は で き る 限 り慣 用 に 従 っ た が,二,三   準 ノ ル ム(quasi-norm)はFrechet空

間 の 定 義 で 用 い る慣 用 の も の と 少 々 違

っ て い る の で 注 意 され た い.§1.2でkノ 三 角 不 等 式,お

新 し い 用語 を 考 え た.

ル ム を 定 義 し た が,2ペ

よ びp(αx)=￨α￨γp(x)を

満 た す と きpを

も あ る の で 論 文 を 読 む と き は 注 意 が 必 要 で あ る.本 と 書 い た 所 はquasi-Banach が 良 く,わ

か り易 い し,そ

の 語 を 用 い た.準

spaceと

書 で"完

備 準 ノ ル ム空 間" とし て 安 定

付 き合 わ な くて も よい と考 えて こ

ノ ル ム空 間 に つ い て の 論 文 はAoki[1]が

う(調 査 は 不 十 分.諸

γ ノ ル ム と い う流 儀

す る こ と が 多 い が,日本語

こ ま でBanachに

ー ジ の(N1),

最 も早 い よ うに 思

賢 の ご教 示 を お 願 い し た い).

  定 理1.8は   Hille-Phillips;

Functional

Analysis

Providence,

Rhode Island,

and

Semi-groups, 1957,

A.M.S.,

を 参 考 に し た.ル  

伊藤 清 三 著 

を 参 考 に し,ベ 書,特

ベ ー グ積 分論 につ い て は ル ベ ー グ 積 分 入 門,裳

華 房,1963年,

ク トル 値 函 数 の 強 可 測 性,Bochner積

にHille-Phillipsを

参 考 に し た.本

分 に つ い ては 上 記 の 参 考

書 で省 略 した 所 は これ らの 本 を 参 照

し て い た だ き た い.  

"Lebesgue空

間"は

既 に 用 法 が 確 立 し て い る と 思 うが,Sobolev空

間の意

味 で 用 い た 論 文 も あ る.   定 義2.8の

重 み の 函 数 の 指 標 は,Boyd[1],[2]に

で 解 説)の 特 別 の 場 合 で あ る.右   第5章

で 定 義 し たK函

tを 止 め た と き 元xの こ れ はtの

指 標 は 著 者 の 造 語 で あ る.

数 はK-Functionalの

訳 で あ る.K(X0,X1;x,t)は

汎 函 数 で あ る の で こ う呼 ば れ て い る と 思 わ れ る が,一

函 数 で も あ り,そ

し た.Functional

指 標,左

よ る 函 数 空 間 の 指 標(4節

の 事 実 も重 要 で あ る か ら,敢

Analysisを

え て"函

数"を

方 採用

函 数 解 析 と した 例 もあ るの で 認 め て も らえ る

と 思 う.  

"非 負 作 用 素"(non-negative

た.右

operator)の

  函 数 の 再 配 列(rearrangement)に   小松 彦 三 郎 著 も参 考 に し た.こ

  Fourier解

ついては 析,岩

波 講 座 基 礎 数 学,1978年

の 本 は 作 用 素 の 補 間 に つ い て か な り解 説 し て い る.

  補 間 空 間 論 の 単 行 本 に はBergh-Lofstrom[1], [9]が

語 は 小 松 彦三 郎 の 論文 に 従 っ

非 負 と左 非 負 へ の 拡 張 は 著 者 の 考 え で あ る.

Butzer-Berens[1],

Triebel

あ る.

  §11.2  補 間 空 間 論 の 発 展 の 概 要   序 で 述 べ た よ うに,補

間 空 間 論 は50年

の 種 々 の 構 成 法 が 提 案 さ れ た が,結 Calderon[2]とLions[2]の

代 末 よ り始 ま っ た.当

局,Lions-Peetre[1]の

複 素 補 間 空 間 と に 集 約さ れ た .

  実 補 間 空 間 を 準 ノ ル ム空 間 へ 拡 張 し た の はKree[1], Sagher[1]は 群,す

精 密 な 結 果 を 出 し て い る .実

な わ ち,条

初 は 補間 空 間 平均補間空間 と

件 ‖x‖=0⇔=0,

Holmsted[1]で

あ る.

補 間 空 間 は そ の ま ま準 ノル ム可 換

‖-x‖=‖x‖, ‖x+y‖γ

≦Cγ(‖x‖γ+‖y‖γ) 

を 満 た す 非 負 値 汎 函 数‖x‖ が 定 義 さ れ て い る可 換 群,へ い て はPeetre-Sparr[1]が

し た.こ

拡 張 で き る.こ

間 法 はPeetre[3]の

れにつ

Kalugina[1]が

提 案 し た補 間 空 間 の特

論 じ,J.

Gustavsson[1]が

れ を平 均 補 間 空 間 の 形 に 拡 張 し た の が 第4章

Gustavssonは

は 定 数)

詳 し い の で 参 照 さ れ た い.

  函 数 を パ ラ メ ー タ ー と す るK補 別 な 場 合 で あ る.T.F.

(Cとγ

精密 化

の 理 論 で あ る.た

重 み の 函 数 の 指 標 を 使 わ な い の で 条 件 の 表 現 が 複 雑,し

要 の な い も の も 加 え て い る.た

と えばGustavsson[1]命

題1.3は

だ し, か も必

次 の補 題 の

よ うに 改 良 で き る.   補 題   連 続 で 指 標 有 限 な 重 み の 函 数 φ に 対 し て,ξ
分 可 能 な 重 み の 函 数 ψ を,0
tψ′(t)≦η0ψ(t)がa.e.tで

≦r-indφ<η

ψ(t)/φ(t)≦C′<∞,ξ0ψ(t)≦

成 立 す る よ うに と れ る.た

だし,ξ<ξ0≦

η0<η.

  証 明   φ で φ の 相 似 比 函 数 を 示 す.

と お く.tψ ′(t)=ξ ψ1(t)+η ψ2(t)と な り,不

等式

た だ し,  に 注 意 す る と,C=c1+c2,C′=c3+c4,ξ0=ξ+(η-ξ)c2/ (c2+c3),η0=ξ+(η-ξ)c4/(c1+c4)と   K補

間 法 に つ い て は5節

し て 補 題 の 結 論 を 得 る. (証 明 終)

で さ ら に 詳 し く論 じ る.

  局 所 凸 線 型 位 相 空 間 の 補 間 に つ い て はDeutsch[1],

Favini[1],

Goulaouic

[3]が

研 究 し て い る.

  M.

Schechter[1]はLions[2]で

を,一

般 の 超 函 数 に 置 き換え て 複 素 補 間 空 間 を 一 般 化 し て い る.第7章

デ ル タ函 数 とそ の導 函 数 を 使 った と ころ では超

函 数 を 考え る 代 りに 境 界 値 の 空 間 を 種 々 と変 え る形 で 定 式 化 し た.  

Rochberg-Weiss[1]とCoifman-Rochberg-Weiss-Cwikel-Sagher[1],

[2]は

複 素 平 面 の 領 域0
た と え ば 円 板￨ζ￨<1,を

代 りに な め ら か な 境 界 を も つ 単 連 結 領 域,

使 っ て 定 義 し た 補 間 空 間 を 論 じ て い る.

  空 間 の 対 か ら で は な く,多

数 の 空 間 よ り補 間 空 間 を 構 成 す る理 論 は,早

くは

Yoshikawa[2],そ て い る.2n個

の 後Favini[2],

Sharpley[5],

Sparr[1]に

よ り研 究 さ れ

の 空 間 よ りの 補 間 空 間 はBertolo-Fernandez[1],

[1],[2],[3],[4]が

Fernandez

考 察 し て い る.

  本 書 で は 作 用 素 の 補 間 を 線 型 な も の に 限 っ て 述 べ た が,応 合 も 重 要 で あ る.Brezis[1],

Lions[5],

Peetre[16],

用 上 は 非 線 型 の場

Tartar[1],[2],高

幸 男 ・小 西 芳 雄 「非 線 型 発 展 方 程 式 」(岩 波 基 礎 数 学 講 座)を

村

参 照 さ れ た い.

  作 用 素 の コ ン パ ク ト性 が 補 間 空 間 へ 伝 わ る か と い う問 題 も お も し ろ い.本 で は 一 切 省 い た の で,Hayakawa[1], mogaki[1]を

A.

Persson[1],

Sharpley[2],

Shi

参 照 さ れ た い.

  二 つ の 補 間 空 間 の 系 列 を つ な ぎ 合 わ す と い う有 用 な 定 理 を招 介 す る.こ Krein-Petunin[1]のBanach空

し,σ

れは

間 の ス ケ ー ル とも関 連 して い て 興 味深 い.

  補 間 系 列 の 接 続 定 理  (Wolff[1])X1,X2,X3,X4を θ,ρ<1と

書

完 備 準 ノ ル ム 空 間,0<

と τを

  (1) 

σ(1-ρ+θ

ρ)=θ ρ,τ(1-ρ+θ

ρ)=θ

に よ っ て 定 め る.  (a) 

と し,0
な ら ば(X1,X4)σ,r=X2,(X1,X4)τ   (b)  {X0,X1}はBanach空間 る.こ

,q=X3,(X1,X3)ρ,r=X2

あ る.

の 両 立 対 で,X1∩X4がX2とX3で

の と き,[X2,X4]θ=X3,[X1,X3]ρ=X2な

X4]τ=X3で

稠 密 とす

ら ば[X1,X4]

σ=X2,[X1,

あ る.

  Jansson-Nilson-Peetre[1]は (b)の

,q=X3で

∞,(X2,X4)θ

補 間 函 手 の 観 点 か ら こ の 定 理 を一般 化 し て,

部 分 で 稠 密 性 の 条 件 は 必 要 で な い こ と を 注 意 し て い る.

  補 間 の パ ラ メ ー タ ー が 真 に 働 い て い る か と い うLionsの Stafney[1]の

結 果.(若

で[X0,X1]θ=[X0,X1]η,θ

≠ η な ら ばX0=X1で

  Janson-Nilsson-Peetreの

結 果.{X0,X1}がBanach空

∩X1はX0+X1で

閉 で な い と す る.0<θ,η<1,1≦p,q≦

と き(X0,X1)θ,p=(X0,X1)η,qと

問 題 に つ い て は,

干 の 条 件 の 下 で){X0,X1}がBanach空

な るの は

θ=η,p=qに

間の両立対

あ る. 間 の 両 立 対 で,X0 ∞ 限 る.

と す る .こ

の

  §11.3  Banach函数

空 間 と そ の 随 伴空 間

  実 補 間 空 間 の 概 念 を 拡 張 す る と き に 使 うBanach函   あ る 測 度 空間(Ω,μ)上   (F.0) ‖f‖E=0な

の 可 測 函 数 よ り成 る 線 型 空 間Eで ら ばa.e.の

  (F.1) 

EはBanach空

  (F.2) 

a.e.の

ξ でf(ξ)=0で

ξ で￨g(ξ)￨≦￨f(ξ)￨,f∈Eな

あ る,

る 可 測 函 数gはEに

数 空 間(function

space)と

用 語 で,Calderon[2]はBanach

(F.1)でBanachを

件

属 し,

な る,

が 成 立 す る と きEをBanach函 Luxemburgの

あ っ て,条

間 で あ る,

し か も‖g‖E≦‖f‖Eと

A.

数 空間 を 解 説 し よ う.

ノ ル ム,準

い う.こ

latticeと

れ はW.

呼 ん で い る.

ノ ル ム な ど に 変 え た も の を ノ ル ム 函 数 空 間,準

ノ ル ム 函 数 空 間 な ど と い う.(F.2)か

ら直 ち に,

  (1) ‖f‖E=‖￨f￨‖E が 導 か れ る.条   (F.3) 

件

0≦fn(ξ)↑f(ξ)がa.e.ξ

で 成 立 し,fn∈Eな

ら ば,f∈Eで,

‖fn‖E↑‖f‖Eで あ る, が 成 立 す る と きEはFatou性   例1 

φ をΩ

Banach函

を 持 つ,略

し てFatou的

上 の重 み の 函 数 と す る と,1≦p≦

と い う. ∞

の と きLp,φ(Ω,μ)は

数 空 間 で あ る.

  準 ノ ル ム 函 数 空 間Eに

対 し て,

 (2)

が 有 限 と な る 可 測 函数gの Easで

表 わ す.(2)の

て,gがEasに

全 体 をEの

値 でgのEasに

随 伴 空 間(associated

space)と

お け る 準 ノル ム を 定 め る.fがEに

い い, 属 し

属 す れ ば, (Holderの

 (3) 

が 成 立 す る.し

た が っ てEasはEの

  例2 

1≦p≦

  例3 

E1とE2がBanach函

数 空 間 で あ る.ノ ∩Eas2で あ る.特

∞,1/p+1/p′=1の

ル ム を §1.3の に,L1+L∞

不 等 式)

双 対 空 間E′ に 含 ま れ る. と きLpの

随 伴 空 間 はLp′

で あ る.

数 空 間 な ら ばE1∩E2,E1+E2もBanach函 よ うに 定 義 す る と,E1+E2の の 随 伴 空間 はL1∩L∞

で あ る.

随 伴 空間 はEas1

  定 理   (Luxemburg-Zaanen[1]定 σ 有 限 測 度 空 間,EをΩ   (a)  EasはFatou性   (b) 

理9.4,補

数 空 間 と す る.こ

を 持 つBanach函

数 空 間 で あ る,

で,埋

  (c)  E=(Eas)as(ノ

理9.2,定

上 のBanach函

め 込 み の ノル ム は1を

題11.3) 

(Ω,μ)を

の と き,

越 え な い,

ル ム 同 型)⇔EがFatou性

を 持 つ.

  次 の 簡 単 な 補 題 を 後 で 使 うた め に 述 べ て お く;   補 題   L1(R+)+L∞(R+)に

属 す るfに

対 し て,

 (4) で あ る.特

に,fが

非 負 値 非 増 加 な ら ば 等 号 が 成 立 す る.

  証 明   不 等 式(4)は

容 易 に わ か る.後

と お けば わ か る.χ(0,1]は 区 間(0,1]の

半 はf0=χ(0,1](f-f(1)),f1=f-f0 定 義 函 数 で あ る. 

  系  EをR+上

の 準 ノル ム 函 数 空 間 と す る と き, 

ば χ(0,1]∈Easで

あ る.ま

たR+上

(証 明 終) なら

の 非 負 値 非 増 加 函 数fに

つ い て,

 (5)

で あ る.   等 式(5)はft(s)=tf(ts)と

お く とK(L1,L∞;f,t)=‖ft‖L1+L∞

とな る こ と

に 注 目 し て 補 題 を 使 え ば わ か る.

  §11.4  Boydの

指標

  作 用 素 の 補 間 定 理 に 関 連 し て,D.W. を 定 義 し た.重   正 数sに

対 し て,相

函 数 空 間Eが,す Eの

Boyd[2]はBanach函

似 変 換Dsを(2.7.3)に

べ て の 正 数sに

よ っ て 定 め る.R+上

つ い てDsE⊂Eで

あ り,DsのEへ

作 用 素 と し て 連 続 に な る と い う条 件 を 満 た す と きEは

不 変,略

数 空 間 の指 標

み の 函 数 の 指 標 は こ の 特 別 の 場 合 で あ る(例3). の準 ノル ム の制 限 が

相 似変 換 に よ っ て

し て 相 似 不 変 で あ る と い う.

  閉 グ ラ フ 定 理 に よ りわ か る よ うに,相

似 不 変 な空 間 に 連 続 的 に 埋 め 込 まれ て

い る 完 備 準 ノ ル ム 函 数 空 間 で は す べ て の 正 数sに

つ い てDsE⊂Eが

成 立す れ

ば そ の 空 間 は 相 似 不 変 で あ る.   相 似 不 変 準 ノ ル ム 函 数 空 間Eの

作 用 素 と し て の 相 似 変 換Dsの

準 ノ ル ム をh

(E;s)で

表 わ す と,乗

と が わ か る.し

法 性DsDt=Dstに

た が っ て,定

理1.8に

よ り,h(E;s)が

劣乗 法性 を持 つ こ

よ り

 (1)  (2)

が存 在 し,  (3) -∞
上 指 標(upper

い う.indE=indEの

index),

と き,こ

indEをEの

の 値 をEの

下 指 標(lower

指 標 と い い,indEで

表 わ す.   例1 

0
∞

の と きh(Lp(R+);s)=s-1/p,indLp(R+)=1/p.ま

た,

indL*p(R+)=1.   例2 

h(L1(R+)+L∞(R+);s)=max(1,1/s),ind(L1+L∞)=1,ind(L1+

L∞)=0で

あ る.

  例3 

φ をR+上

の 重 み の 函 数,φ

を 相 似 比 函 数,0
∞

(L*p,φ(R+);s)=φ(s-1),indL*p,φ=r-indφ,indL*p,φ=l-indφ   定 義 に よ り,α=indE,β=indEと   (4)  た,正

お く と,

数 εに 対 し て,s0(ε)<1<s1(ε)を

  (5) h(E;s)<s-β-ε

 

  (6) 

h(E;s)<s-α+ε

準 ノ ル ム をh(s),δ

  (7)  indE<δ 

(s<s0(ε)で),   (s>s1(ε)で),

作用 素 とし て の

を 実 数 と す る と き 次 の 各 条 件 は 同 値 で あ る:

(ま たはindE>δ), 有界

る γ>δ に つ い てsγh(s)が 区 間[1,∞)で

  (9)  s→+0の   (10)  あ るs0<1に  

照)

の 相 似 不 変 準 ノ ル ム 函 数 空 間Eの

  (8)  あ る γ<δ に つ い てsγh(s)が 区 間(0,1]で  (ま た は,あ

選 ん で,

れ ら の 不 等 式 と簡 単 な 考 察 に よ り,(§2.8参

  補 題   (Boyd[1])R+上 Dsの

で あ る.

h(E;s)≧max(s-α,s-β)

が 成 立 す る.ま

が 成 立 す る.こ

とす る と,h

(ま た は,s1>1に

と きsδh(s)→0(ま

た はs→+∞

つ い てsδ0h(s0)<1 つ い てsδ1h(s1)<1),

有 界),

の と きsδh(s)→0),

または

 (11) 

 定理   R+上

の相 似 不 変 準 ノル ム空 間Eの

随 伴空 間Easも 相 似 不 変 で,

h(Eas;s)≦s-1h(E;s-1),

 (12)   (13)

で あ る.特 第3の

にEがFatou的Banach函

数 空 間 の 場 合 は,(12)と(13)の

不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る.ま

た,indE=indEの

第1と

場 合 に も(13)で

等号

が 成 立 す る.   定 理 の 後 半 の 証 明 に は 定 理11.3(c)を

使 う.

  測 度 空 間 の 上 の 可 測 函 数 よ り成 る 空 間Eが ariant)で 正数sに

あ る と はEの

元fと

つ い てf*(s)=g*(s)と

Banach函

再 配 列 不 変(rearrangement

等 測 度 的(equimeasurable),す な るgもEに

属 す る こ と を い う.再 配 列 不 変 な

数 空 間 で は同 値 な ノ ル ム を 選 ん で 再 配 列 不 変 な ノ ル ム,す

測 度 的 な 函 数 に 対 し て 等 し くな る ノ ル ム,が 再 配 列 不 変 な ノル ム を 持 つR+上

inv

なわ ちす べ て の

なわち等

と れ る(Luxemburg[1]).特

のBanach函

数 空 間Eの

に,

元 に つ い ては

  (14) ‖f‖E=‖f*‖E が 成 立 し,Eは

相 似 不 変 で あ る.さ

  (15) 

を 持 つ と き は,

h(E;s)≦max(1,1/s)

が 成 立 し,し

た が っ て,

  (16) 

0≦indE≦indE≦1

で あ る(D.W.

Boyd[1]).ま

な ら ばg∈E,し   例4 

ら にEがFatou性

EをR+上

た,gが

可 測 で,f∈Eに

か も‖g‖E≦‖f‖Eと

な る(Luxemburg[1]補

の 相 似 不 変 なBanach函

  (17) 

対 し て,

数 空 間,θ

題11.7).

を 実 数 と し,

E(θ)={f;tθf(t)∈E},

と し,fのE(θ)で

の ノ ル ム をtθf(t)のEで

の ノ ル ム と定 め る と

h(E(θ);s)=s-θh(E;s)

が 成 立 す る.   例5 

1
∞,r-indφ<1の

と き,Lorentz-Zygmund空

間L(φ,q)(R+)

は 再 配 列 不 変 なBanach函

数 空 間 で,

が 再 配 列 不 変 な ノ ル ム を 与 え る.   §11.5  Banach函数   Peetre[3]に 本 と な るK函   Banach空

空 間 に よ る実 補 間 空 間 の定 義

は 種 々 の 実 補 間 空 間 が 提 案 さ れ,招 数 とR+上

のBanach函

間 の 両 対 立{X0,X1}に

数 空 間Eに

介 さ れ て い る.そ

の 中 で基

よ る 実 補 間 を 招 介 す る.

お い て,X0+X1に

属 す る 元xで,

  (1) t-1K(X0,X1;x,t)∈E と な るxの

全 体 を(X0,X1;E)Kと

定 義 し,そ

の ノル ム を

 (2)

と 定 義 し,(E,K)補

間 空 間 ま た はK補

間 法(K-method)の空

間 と呼 ぶ.

  ま た,  (3)

を満 た すX0∩X1値

強 可 測函数uに

よ って,

(X0+X1の

 (4) 

と 表 示 さ れ る 点xの

全 体 を(X0,X1;E)Jと

位 相 に よ る収 束), 定 義 し,そ

の ノル ムを

 (5)

と 定 義 す る.(E,J)補   定 理   EをR+上

間 空 間 ま た はJ補

間 法(J-method)の

の 相 似 不 変 なBanach函

空 間 と い う.

数 空 間 とす る.

  (a)  対 応{X0,X1}→(X0,X1;E)Kは,条

件:

 (6)

が 成 立 す る と き,ま

た 対 応{X0,X1}→(X0,X1;E)Jは

条 件:

 (7)

が 成 立 す る と きBanach空 あ る.た

だ しh(s)は

間 の 両 立 対 に お け る 指 示 函 数 ηh(η/ξ)の補 間 函 手 で

相 似 変 換DsのEで

の 作 用 素 ノル ム を 示 す.

  (b)  条 件: 

が成立すれば で あ り,こ

 (8)

れ に 加 え て,

 

と定 義 され る 作 用 素PがEで

有 界 で あ れ ば(X0,X1;E)K=(X0,X1;E)Jと

な る.   証 明   (a)の 証.x∈X0∩X1と

と な り,(7)が

す る.(6)を

成 立 す れ ば, 

と お く と(3)と(4)が

と,K(x,t)が

に φ を と りu=φx

成 立 し,x∈(X0,X1;E)Jで

  次 にx∈(X0,X1;E)Kと

あ る.

し,K(X0,X1;x1,t)でX0とX1を

非 減 少 で あ る か ら,(6)が

を 得 る.ま

仮 定 す る と,

たx∈(X0,X1;E)Jと

省いて記す

成 立 す れ ば,

し,(3)と(4)を

仮 定 す る と,

 (9) お よ び,1≦p≦

∞,φ

と ψ を(Ω,μ)上

の 重 み の 函 数 と す る と き,

 (10)

が 成 立 す る こ と に 注 意 す る と,‖u(t)‖X0+X1のL*1(R+)に max{t-1‖u(t)‖X0,‖u(t)‖X1}のL*1(R+)+L*1,t(R+)に し た が っ て,(7)を で き る.ゆ

仮 定 す れ ば,こ

え にx∈X0+X1と

の 函 数 のEに

おけ る ノル ム の定 数 倍 で 評 価

な る.

  作 用 素 の 補 間 定 理 を 示 そ う.Tを{X0,X1}か Y1}へ

らBanach空

の 両 立 連 続 線 型 作 用 素,TのXj→Yjの

(j=0,1)と

お け る ノ ル ムは 函 数 お け る ノル ム で評 価 され ,

す る.λ=M1/M0と

間 の 両 立 対{Y0,

作 用 素 と し て の ノ ル ム をM

お く と,容

j

易に

 (11)

が わ か る.ま

た(4)が 成 立 す れ ば,υ(t)=Tu(λt)と

お く と,

 (12)

を 得 る.こ

れ か ら 指 示 函 数 ηh(η/ξ)の補 間 函 手 で あ る こ と が わ か る.

  (b)の 証.  (6)と(7)を

とな る こ と,お

仮 定 す る.x∈(X0,X1;E)Kに対

よ びt→+0お

よ びt→+∞

し て,

でmin(1,1/t)K(x,t)が

収 束する こ

と に よ り,t→+0でK(x,t)→0,t→+∞ 固 定 し,各nに

でt-1K(x,t)→0を

つ い てx0n∈X0とx1n∈X1を

得 る.a>1を

選び

 (13) と し,en≦t<en+1に

つ い てu(t)=x0n+1-x0nと

が 成 立 す る.た ら,n→

∞

だ し,Xjの

と な り,(8)の

つ け て示 し た.し

か も作 り方 か

え(4)が 成 立 す る.

仮定す ると

作 用 素PがEで

有 界 な ら ば 右 辺 はEに

属 し,し

た が って左 辺 も

属 す る. 

(証 明 終)

  注 意1 

は0
χ(a,b)がEに ∞

ノル ム を 添 字jを

の と き‖x0,-n‖0→0,‖x1n‖1→0ゆ

  逆 に(3)と(4)を

Eに

お く と,

と な る 任 意 の 区 間[a,b]の

属 す る こ と と 同 値 で あ る.ま

に つ い て χ(a,b)f∈L1と

0
同 値 で あ り, 

(1,1/t)∈Easと

同 値 で あ る.

  注 意2 

相 似 不 変 性 を 仮 定 し な くて も,こ

数max(ξ,η)の   注 意3  あ る.し

はmin

の二種 の 補 間 空 間 法 は 指 示 函

と きK(X0,X1;x,t)≦max{1,t}‖x‖X0+X1で

た が っ てx∈(X0,X1;E∩(L*∞+L*∞,t))Kと

で は 

な る.す

な わ ちK補

間法

と し て 一 般 性 を 失 な わ な い. (8)の 作 用 素Pは

  (14)  の と きEで

意の

補 間 函 手 で あ る.

x∈(X0,X1;E)Kの

  注 意4 

は,任

同 値 で あ る.

はmin(1,1/t)∈Eと

Eの

任 意 の0
な る 函 数 の 空 間 を 示 す の で, 

に つ い て χ(a,b)∈Easと

  ま た, 

た,L1,loc(R+)は

定 義 函数

0
略 記 す る と,

と な る か ら で あ る.   特 にEが

再 配 列 不 変 なBanach函

の 必 要 十 分 条 件 は(14)で

数 空 間 な ら ば,PがEで

あ る(Boyd[1]た

だ し,証

明 を 改 良).

有 界 とな るた め

  な お,Bennett[3]はEが

再 配 列 不 変 なBanach函

間 空 間 を 詳 し く論 じ,Feher[2]はEを

数空 間 の場 合 につ い て補

例11.4.5のE(θ)と

した 場 合 を 論 じて

い る.   注 意5  第4章 空 間 をR+上   ま た,点

の 平 均 補 間 空 間 の 一 般 化 も 同 様 に で き る.重 み つ きLebesgue

のBanach函

列 空 間 を 使 う こ と に よ り以 上 の 理 論 でBanachと

を 準 ノ ル ム に で き る し,も る.た

数 空 間 とす れ ば よ い.

と え ば,P.

な って い る と こ ろ

っ と一 般 に 準 ノ ル ム 可 換 群 の 補 間 空 間 も 構 成 で き

Nilsson[1]を

見 られ た い.

  反 復 補 間定 理 に つ い て は 次 の結 果 が あ る   Dmitriev-Ovcinnikovの E1を(6)と(7)を る.こ

定 理  {X0,X1}をBanach空

満 た し,(8)のPが

の と き,Banach空

有 界 とな るR+上

間 の 両 立 対,E0と のBanach函

間 の 両 立 対 の 圏 の 上 の 補 間 函 手〓

数 空 間 とす

につい て

 (15)

が 成 立 す る.特

にBanach函

数 空 間Eが(6)と(7)を

満 た し,E上

でPが

有界

な ら ば,  (16)

で あ る.   こ の定 理 の証 明 に は,定 理 の 条 件 を 満 た すEに

ついて

 (17)

が 成 立 す る こ とお よ び,次

の 基 本 補 題 を 使 う.

  基 本 補 題   (Dmitriev-Ovcinnikov[1]){X0,X1}をBanach空 xをX0+X1の

元 とす る.こ

  (a) L({X0,X1},{L*∞,t,L*∞})に 作 用 素Sを

属 し,こ

選 ん でSx=t-1K(X0,X1;x,t)と

  (b)  あ る絶 対 定 数γ(<4)が x,t)∈L*1,t(R+)+L*1(R+)な ノ ル ム が γ+ε

間 の 両 立 対,

の と き,

存 在 し,正

こ で の ノ ル ム が1を

な る よ うに で き る; 数 ε を 固 定 す る と,t-1K(X0,X1;

ら ば,L({L*1,t,L*1},{X0,X1})に

を 越 え な い 線 型 作 用 素Tを

越えない線型

属 し,こ

選 ん でT(t-1K(X0,X1;x,t)=x

と な る よ う に で き る.   (17)の 後 半 の 証 明 に はSedaev-Semenov[1]の   例   φ をR+上

結 果 を 使 う.

の 重 み の 函 数 と す る と,(X0,X1;L*q,tφ(R+))K=(X0,X1)φ,q,K

こでの

で あ る.  §11.6  Lorentz-Zygmund空

間 とMarcinkiewicz型

  空 間L(φ,q)とL(φ,q,r)をLorentz-Zygmund空

補間定理

間 と 名 づ け た の は,Bennett-

Rudnick[1]とBennett-Sharpley[1]がφ(t)をt1/p(1+￨logt)λ こ の 名 称 で 呼 ん だ の で,少 G.

Lorentz[2]は

し 拡 張 し て 用 い る こ と に し た の で あ る.し

す で に,同

を 包 括 的 にLorentz空

一 の 空 間 を 考 察 し て い る.し

間 と呼 ん で も よ い.実

も あ る が,一

般 的 に は,φ(t)=t1/pの

  Lorentz空

間 の 双 対 空 間 を,q<∞

の 場 合 をCwikel[2]が

際,そ

か し,G.

た が っ て,こ

れ ら

の よ うに 名 づ け て い る 論 文

場 合 をLorentz空

間 と い う こ と が 多 い.

の 時 はHunt[1]が,1
でq=∞

決定 し て い る.

  ま た,Perssen[1]は,さ る.fが

とし た場 合 を

こ の 空 間に

ら に 一 般 化 し て,空

間Λ(φ,q,p,r)を

す る こ と をl=sup{t;f*(t)>0}と

導 入してい

し て,

に よ っ て 定 義 す る の で あ る.   な お,R+上

の 再 配 列 不 変 なBanach函

数 空 間Xに

Torchinsky[2]のΛ(X),M(X)とSharpley[1]のΛ =‖ χ(0,t)xと し た と き のL(φ,1),L(φ,∞)お   次 に,こ

対 し て,Milman[2], α(X)は,そ

れ ぞ れ,φ(t)

よ びL(φ,1/α,1)と 同 じ 空 間 で あ る.

の 空 間 に 関 連 す るMarcinkiewicz型

の 補 間 定 理 を 招 介 す る.ま

作 用 素Sσ を 定 義 す る.(a0,b0)と(a1,b1)をR+×R+の2点,こ 線 分 の 勾 配 を γ と し て,σ=(a0,b0;a1,b2)の

ず,

の点 を結 ぶ

と き,

 (1)

と定 義 す る.Sσ   Calderon[3]の p1<∞,0
をCalderon作

用 素 と い う.

定 理  (Ω1,μ1)と(Ω2,μ2)を ∞

とす る.こ

か ら対  な る た め 必 要 十 分 条 件 は,正  (2)

が 成 立 す る こ とで あ る.

σ有 限 測 度 空 間 と し,0
の と き 準 線 型 作 用 素Tが

対 

への両立連続作用素 と 数Cが

存 在 し σ=(1/p0,1/q0;1/p1,1/q1)と

し て,

 こ こ でTが

準 線 型(quasilinear)で

あ る とは

 (3)  (4) が 成 立 す る こ と を い う.   Boyd[2]によ Sσ がR+上

る と,1≦p0
∞,σ=(1/p0,1/p0;1/p1,1/p1)の

の 再 配 列 不 変 なFatou的Banach函

必 要 十 分 条 件 は1/p1
E≦ind

E<1/p0で

の 補 間 定 理 を 一 般 化 し た.す

type(p,q)と

い うの であ る

定 理 に ヒ ン トを 得 てMarcinkiewicz

な わ ち,

∞,0
σ=(1/p0,1/q0;1/p1,1/q1)と (p0,q0;p1,q1)で

連 続 とな る た め の

あ る.

らL(q,∞)へ の 有 界 作 用 素 をweak

が,Bennett-Sharpley[2]はCalderonの

  0
数 空 間Eで

とき

∞, 

とす る.Tは

準 線 型 作 用 素 で,

し て(2)が 成 立 す る と 仮 定 す る(Tはweak

type

あ る と い う).

  (a)  0<θ<1,0
∞,λ

を 実 数 と し,

 (5) と お く と,TはL(p,r)(logL)λ

か らL(q,r)(logL)λ

だ し,L(p,r)(logL)λは 

の と き のL(φ,r)を

  (b)  さ ら に,q0
へ の 有 界 作 用 素 で あ る.た

し,1≦r0≦r1≦

∞

と す る と,λ+1/r0>0の

か ら 

λ+1/r0<0の

と きTは 

Hilbert変

か ら 

への

換

 (6)

はweak   例2 

type(1,1;∞,∞)で

あ る.

分 数 階 積 分 作用 素

 (7)

はweak

とき

へ の 有 界 作 用 素 で あ り,

有 界 作 用 素 で あ る.   例1 

示 す.

type(1,1/(1-α);1/α,∞)で

  さ て,Devore-Riemenschneider-Sharpley[1]は

あ る. 公 式

 (8) に 注 目 し て,こ generalized

れ を 抽 象 化 し て,両 weak

立 対{X0,X1}と{Y0,Y1}に

関 し て,

typeを

 (9)   た だ し,L(X0,X1;x,t)=K(X0,X1;x,t)/t,に wiczの

補 間 定 理 を 一般

  Komatsu[8]は,さ 0
よ っ て 定 義 し,Marcinkie-

化 し た. ら に 一 般 化 し て,0≦a1
とし た と き の仮 定

 (10)

よ り,0<θ<1,0
∞

に つ い て,正

数Cが

存 在 し て,

 (11)

た だ し,ξ=(1-θ)a0+θa1,η=(1-θ)b0+θb1,が ((9)に 合 わ せ て 記 号 を 修 正 し た).Tに   と こ ろ で,p<∞

導 か れ る こ とを 示 した つ い て 線 型 性 は 何 ら 仮 定 さ れ て い な い.

の と きL(p,∞)をweak

Lpと

当 す る 空 間 をBennett-DeVore-Sharpley[1]が   Bennett-DeVore-Sharpleyの か も,f∈L∞

も い うが,p=∞

の これ に相

導 入 し た:

定 理   準 線 型 作 用 素Tがweak(1,1)で

し

に 対 し て,

 (12)

を満 た す な らば,1
に 対 して,TはLpで

  Sagher[5]とMilman-Sagher[1]が

有 界 で あ る.

これ を 抽 象 的 空 問 の 場合 へ 拡 張 して

い る.  §11.7  補 間 空 間 の特 徴 づ け につ い て   与 え られ た 両 立対 に対 して 第3章3節

の 意 味 で の す べ て の 補 間 空間 を 決 定 す

る こ とは 補 間 空 間 論 の基 本 的 な 問 題 で あ る.も ち ろ ん,困 難 な問 題 で あ る.こ れ に 関 す る近 年 の 著 しい 結 果 を 要 約 して 述 べ よ う.

  {X0,X1}をBanach空 Banach函

間 の 両 立 対 と す る.Eを

数 空 間,X=(X0,X1;E)Kと

の 場 合C=1で

条 件(11.5.6)を

す る と,"定

あ る),x∈X,y∈X0+X1に

数Cが

満 たす

存 在 し て(実 は こ

つ い て,

かつ が 成 立 す る."こ

の こ と をXは{X0,X1}に

を 持 つ とい う.実

は こ の 逆 が 成 立 す る.す

  定 理   {X0,X1}をBanach空 (11.5.6)を 同 値)と

関 し てK単

調 性(K-monotonicity)

な わ ち,

間 の 両 立 対 と す る と き,Banach空

満 た すBanach函

数 空 間Eに

間Xが

よ っ てX=(X0,X1;E)K(ノ

表 示 さ れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は 

{X0,X1}に

関 し てK単

条件

ルムは お よ びXが

調 性 を 持 つ こ と で あ る.

  こ の 定 理 の 証 明 の 鍵 と な る の が 次 の 結 果 で あ る.   Brudnyi-Krugljakの

定 理   {X0,X1}をBanach空

き,x∈X0+X1とR+上

間 の 両 立 対 とす る と

の 正 値 凹 函 数 の 列{ψn(t)}に

つ い て,

 (1)

で,し

か も 

が 有 限 な ら ば,X0+X1の

点 列{xn}で

(X0+X1で

 (2) 

条 件;

収 束),

 (3)

を 満 た す もの が 存 在 す る.こ Cwikel[4]は

こで γ は絶 対 定 数 で あ る(原 論 文 で は γ≦14,

γ≦8+ε,ε>0,と

して別 証 を与 え て い る).

  定 理 の 証 明  十 分 性 を示 せ ば よ い.定 理 の 条 件 を 仮 定 す る.Xの す る級 数 Σxnが

ノル ム収 束

存 在 して,

(a.e.t>0)

 (4) 

が 成 立 す る よ うなR+上

の 可測 函数fの 全 体 をEと

定 め,そ の ノル ムを

 (5)

と 定 義 す る.下 が(11.5.6)を 明 ら か にXの

限 は(4)の

成 立 す る あ ら ゆ る 級 数 Σxnに

満 た すBanach函 す べ て の 元xに

逆 にt-1K(X0,X1;x,t)∈Eな

と な るXの Krugljakの

数 空 間 で あ る こ と は 容 易に わ か る.作 つ い て, 

のE

り方 か ら で あ る.

ら ば, 

ノ ル ム 収 束 す る 級 数 Σynが

定 理 に よ り, x=Σ

つ い て と る.こ

xn,しか も

存 在 す る.し

た が っ てBrudnyi-

を 満 た すX0+X1級

数 Σxnが

存 在 す る.K単

ゆ え に,x∈X,し

調 性 に よ り 

か も 

を

得 る. 

(証 明 終)

  こ の 定 理 を 使 う と,そ

の 補 間 空 間 が 必 ずK単

立 対 の すべ て の 補 間 空 間 はK補 み つ きLebesgue空 ち(Ω,μ)を

調 性 を 持 つBanach空

間 の両

間 法 で 構 成 で き る こ と が わ か る の で あ る が,重

間 の 対 に つ い て は 次 の 場 合 に こ の 仮 定 が 成 立 す る:す

測 度 空 間,w0とw1を

なわ

Ω 上 の 重 み の 函 数 と し 対 

の補間空間は   (a)  0
と し,p0<1ま

的 と な る場 合(C.

Sparr[3]),

  (b)  1≦p0,p1≦

∞

にK単

た はp1<1の

の 場 合(M.

非 ア トム

Cwikel[3])

調 性 を も つ.

  こ れ ら の 結 果 の うち,対{L1,L∞}に [1]が

と き は(Ω,μ)は

示 し,少

し 仮 定 を つ け て{Lp,L∞}と{L1,Lp}(1
Lorentz-Shimogaki[2]が

示 し,{Lp,w0,Lp,w1}(1≦p≦

[1]が

証 明 し た.

  K単

調 性 に つ い て はCwikel[3]に

  ま た,P.

つ い て はCalderon[3]とMitjagin つい て ∞ に つ い て はSedaev

興 味 深 い 結 果 が 報 告 さ れ て い る.

Nilson[1]はBrudnyi-Kruglickの

定理に 対応 す る 結 果 を 完 備 準

ノ ル ム空 間 に つ い て 弱 い 形 で 証 明 し反 復 補 間 定 理 を 示 す の に 用 い て い る.

  §11.8  補 間 空 間 の 具 体 例   (a)  重 み つ きLebesgue空

間 の 補 間 空 間.

  これ に つ い て は 前 節 で も 論 じ た が,具   (Ω,μ)を σ 有 限 な 測 度 空 間,wを と き,L(p,q)w(Ω,μ)でwf∈L(p,q)(Ω,μ)と   Freitag[1]の

結 果   0
体 的 形 が わ か る場 合 に つ い て 述 べ る.

Ω 上 の 重 み の 函 数,0
dμ1=(w0/w1)βdμ  (1)

と定 め る と,

∞ とす る

全 体 を 示 す. ∞

と し, 

の と き β=p0)と

お き,

で あ る.こ

の 補 間 空 間 に つ い て は,少

し 特 別 な 場 合 に つ い て,Lizorkin[1]も

特 徴 づ け を 与 え て い る.   1≦p0=p1=p≦

∞,1≦q≦

∞,0<θ<1の

  こ の と き はw0=1,w=w1と と し,γ>0の M(θ,γ)で

し て も一 般 性 を 失 な わ な い.γ=1/p-1/q

と き はL*1/γ,t-θ(R+)で 示 し,γ<0の

数 φの 全 体 をM(θ,γ)で

の ノ ル ム が1の

正 値 非 減 少 函数 の全 体 を

と き は φ-1のL*-1/γ,tθで の ノ ル ム が1の 示 し,M(θ,0)={tθ}と

Lp,w(Ω,μ))θ,qと な る 必 要 十 分 条 件 は,γ φ∈M(θ,γ)が

場 合(Gilbert[1]).

定 め る.こ

≦0の

存 在 す る こ と で あ り,γ ≧0の

正値非減少函

の と きf∈{Lp(Ω,μ),

と き はf∈Lp,φ°w(Ω,μ)と

な る

と き は す べ て の φ ∈M(θ,γ)に

つ

い て .f∈Lp,φ°w(Ω,μ)と な る こ と で あ る.   な お,こ

の 条 件 の 定 め る 函 数 空間 はBeurling[1]が

  ベ ク トル 値Lp空 +θ/p1,0<θ<1と

導 入 し て い る.

間 の 補 間 空 間 に 関 す るCwikel[1]の お く と き, 

注 意.1/p=(1-θ)/p0

な らば,Xθ,q=(X0,X1)θ

,qと し て,

値 強 可 測, と な る 函 数 空 間Sは   (b)  Sobolev空   Sobolev空  

Rn上

存 在 し な い 例 が あ る. 間 の 補 間 空 間.

間 の 補 間 に つ い て 第10章

の 再 配 列 不 変 なBanach函

階 ま で の 導 函 数 がX(Rn)に

で 扱 わ な か っ た 場 合 の 結 果 を 述 べ る.

数 空 間 をX(Rn),kを

属 す る 函 数 の 全 体 をWkX(Rn)で

自 然 数 とす る と き,k 示 す と,

 (2) で あ る(C.P.

CalderonとM.

  DeVore-Scherer[1]もX=L1の "minimally smooth"な

Milmanの

結 果).

場 合に 同 じ 結 果 を 得,さ ら にRnを 境 界 を も つRnの 開 集 合 Ωに置 き換 えて も同 じ公 式

が 成 立 す る こ と を 示 し て い る.   Ω をRnの

開 集 合,wを

換 え て,重

み つ きSobolev空

  1
Ω上 の 重 み と す る と き,X(Rn)をLp,w(Ω)に 間Wkp,w(Ω)を

置 き

定 義 す る.

Ω 上 の 重 み の 函 数 と し,w=w1-θ0wθ1と

お

く と,  (3) で あ る(Favini[7]).こ

れ はLions-Magenes[1],[2]の

結 果 の 一 般 化 で あ る.

な お,重

み つ きBesov空

Triebel[9]な   (c) 

Lofstrom[3],

ど を 参 照 さ れ た い.

Hardy空

  Hardy空

間 の 補 間 に つ い て はGrisvard[4],

間 の 補 間 空 間.

間 とBMO(bounded

mean oscillationの

に つ い て の 結 果 を 招 介 す る.こ Fefferman-Stein[1],

函 数 の 空 間)の

れ ら の 空 間 に つ い て は,た

Triebel[10]を

参 照 さ れ た い.以

補 間空 間

と え ばDuren[1] 下,い

ず れ もRn上

の

函 数 空 間 を 考 察 す る,   1
∞,0
∞,0<θ<1と

し,1/p=1-θ+θ/p1と

  (4) 

[H1,Lp1]θ=Lp 

  (5) 

(H1,L(p1,q1))θ,q=L(p,q) (Riviere-Shager[1])

で あ る.特

  (6) 

(Fefferman-Stein[1]),

に,(H1,Lp1)θ,p=Lpで

  次 に,0<θ<1,0
お く と,

あ る. ∞

と し,1/p=1-θ

と お く と,

(L1,L∞)θ,q=(L1,BMO)θ,q=(H1,L∞)θ,q=(H1,BMO)θ,q=L(p,q)で

あ る

(Bennett-Sharpley[2]).

0
∞,0
とな る十 分 なめ らか な任 意

∞ の と き, 

の φ に つ い てsupt>0￨φt*f￨∈L(p,q)と し, 

な るfの

全 体 をH(p,q)で

表 わ す.た

だ

で あ る.

  0<θ<1,0
∞,0
と し,1/p=(1-θ)/p0と

お く と,

 (7) で あ る(Fefferman-Riviere-Sagher[1]お

よ びHanks[1]).こ

間 定 理 に よ り,1/p=(1-θ)/p0+θ/p1と

れ と 反 復 補

し て,

 (8) で あ る.ま

た,0<θ<1,0
と し,1/p=1-θ

と す る と,

 (9)

で あ る(Janson-Jones[1]).た ム 空 間に拡 張 し た も の で あ る.こ

だ し,(,)θ

は 複 素 補 間 の 概 念 を 完 備 準 ノル

の 結 果 か ら,0<θ<1,1/p=1-θ

の とき

 (7)

を 得 る.こ

の 別 証 はMilman[4]に

  な お,Calderon-Torchinsky[1]もHpの ル ム空 間 に な る場 合 のBesov空

も あ る. 補 間 空 間 を 論 じ て お り,完 間 とLizorkin-Trieber空

備準 ノ

間 の 補 間 空 間 を,適

当 な 定 義 の 下 で,Triebel[11]が 作 用 素 の 空 間 の 補間

決 定 し て い る.

 

(d) 

 

コン パ ク ト 作 用 素 か ら 成 る 空間,た

Hilbert-Schmidtク

空 間. とえ ば

な ど の 補 間 空 間 に つ い て は,Gapaillard[1], Miyazaki[1], Triebel[1],[3]な

ト レ ー ス ・ク ラ ス の 作 用 素 の 空 間,

ラ ス 作 用 素 の 空間.absolutely

Peetre[10],

[14],

ど を 見 ら れ た い.

summing作 Gapaillard-Pham

Pietsch[1],[2],

用 素 の 空 間 , The

Lai[1],

Pietsch-Triebel[1],

参

(*印

は ロ シ ヤ 語,=の

考

文

献

後 に 英 訳 を 付 す.)

Aoki,T.; [1] 

Locally

bounded

linear

topological

spaces.Proc.Imp.Acad.Tokyo

18,

588-594(1942). Aronszajn,N.,Gagliardo,E.; [1] 

Interpolation

spaces

and

interpolation

methods.Ann.Mat.Pura

Appl.

68,51-118(1965). Balakrishinan,V.; [1]  by

Fractional

powers

them.Pacific

of

closed

operators

and

the

semi-groups

generated

J.Math.10,419-437(1960).

Baouendi,M.S.,Goulaouic,C.; [1] 

Commutation

de

Acad.Sci.Paris

l'interpolation

et

des

foncteurs

d'interpolation.C.R.

265,A313-A315(1967).

Beauzamy,B.; [1] 

Espaces

d'interpolation

reels:Topologie

et

Math.666,Springer,Berlin-Heidelberg-New

geometrie.Lecture

Notes

York,1978.

Benedek,A.,Panzone.; [1] 

A

counter

example

in

the

theory

of

interpolation

of

operators.Boll.

Un.Mat.Ital.8,110-116(1973). Bennett,C.; [1] 

Estimates

for

weak-type

operators.Bull.Amer.Math.Soc.79,933-935

(1973). [2] 

Intermediate

spaces

and

the

class

of

Llog+L.Ark.Mat.11,215-228

(1973). [3] 

Banach

function

spaces

and

interpolation

methods,Ⅰ.Abstract

J.Funct.Anal.17,409-440(1974).Ⅱ.Interpolation "Linear

operators

and

of

Approximation Ⅱ"

weak-type

theory. operators.

,pp.129-139,Birkhauser,Basel-

Stuttgart,1974.Ⅲ.Hausdorff-Young

estimates.J.Aprox.Theory

13,267-

275(1975). Bennett,C.,Rudnick,K.; [1] 

On

Lorentz-Zygmund spaces.Dissertationes

Math.175,5-67(1980).

Bennett,C.,Sharpley,R.C.; [1] 

Weak-type

inequalites

in

analysis."Linear

spaces

and

Approximation",

pp.151-162,Birkhauser,Basel-Stuttgart,1978. [2] 

Weak-type

35,201-229(1979).

inequalities

for

Hp

and

BMO.Proc.Sympos.Pure

Math.

Bennett,C.,DeVore,R.A.,Sharpley,R.; [1] 

Weak-L∞

and

BMO.Ann.of

Math.113,601-611(1981).

Berens,H.; [1] 

Interpolationsmethoden

auf

zur

Behandlung

Banachraumen.Lecture

Heidelberg-New

Notes

von

Approximationsprozessen

Math,64,Springer-Verlag,Berlin-

York,1968.

Berens,H.,Butzer,P.L.,Westphal,U.; [1] 

Representation

of

fractional

powers

of

infinitesimal

generators

of

semigroups.Bull.Amer.Math.Soc.74,191-196(1968). Berenstein,C.A.,Cotlar,M.,Kerzman,N.,Kree,P.; [1] 

Some

remarks

triangle.Studia

on

the

Marcinkiewicz

convexity

theorem

in

the

upper

Math.29,79-95(1967).

Bereznoi,E.I.; [1]* 

Approximation

spaces and

1289-1291(1980)=Soviet

interpolation.Dokl.Akad.Nauk

SSSR

255,

Math.Dokl.22,800-803(1980).

Bergh,J., [1] 

A

generalization

of

Steffensen's inequality.J.Math.Anal.Appl.41,

187-191(1973). [2] 

On

the relation

Indiana

between

the

two

complex

methods

of

interpolation.

Univ.Math.J.28,775-778(1979).

Bergh,J.,Lofstrom,J.; [1] 

Interpolation

spaces.An

introduction.Grundlehren

Springer,Berlin-Heidelberg-New

Math.Wiss.223,

York,1976.

Besov,O.V.; [1]* 

Investigation

bedding

and

of

a

family

continuation

of

fullctional

spaces in

theorems.Trudy

connection

with

Mat.Inst.Steklov

60,42-81

(1961)=A.M.S.Transl.(2)40,85-126(1964). Bertolo,J.I.,Fernandez,D.L.; [1] 

On

the

connection

for

several

method

between Banach

the

real

and

the

complex

interpolation

spaces.Rend.Sem.Mat.Univ.Padova

66,193-

209(1982). Beurling,A.; [1] 

Construction

and

analysis

of

some

convolution

algebras.Ann.Inst.

Fourier(Grenoble)14,1-32(1964). Boyd,D.W.; [1] 

The

Hilbert

transform

on

rearrangement-invariant

spaces.Cand.J.

Math.19,599-616(1967). [2] 

Indices

of

function

spaces

and

their

relationship

to

interpolation.Canad.

J.Math.21,1245-1254(1969). [3] 

Spaces

between

a pair

of

reflexive

Lebesgue

spaces.Proc.Amer.Math.

em

Soc.18,215-219(1967). Brezis,D.; [1] 

Classes

d'interpolation

Sci.Paris

associees

a

un

operateur

monotone.C.R.Acad.

276,A1553-A1556(1973).

Brudnyi,Ju.A.,Krugliak,N.Ja.; [1]* 

Real

Soviet

interpolation

functor.Dokl.Akad.Nauk

SSSR

256,14-17(1981)=

Math.Dokl.23,5-8(1981).

Butzer,P.L.,Berens,H.; [1] 

Semigroups

of

operators

and

approximation.Grundlehren

145,Springer,Berlin-Heidelberg-New

Math.Wiss.

York,1967.

Calderon,A.P.; [1] 

Intermediate

spaces

and

spaces

and

interpolation.Studia

Math.(Special

Series)1,

31-34(1963). [2] 

Intermediate

interpolation,the

complex

method.Studia

Math.

24,113-190(1964). [3] 

Spaces

between

L1

and

L∞

and

the

theorem of

Marcinkiewicz.Studia

Math.26,273-299(1966). Calderon,A.P.,Torchinsky,A.; [1] 

Parabolic

maximal

functions

assoxiated

Math.16,1-64(1975).Ⅱ.Adv.in

with

a

distribution,Ⅰ.Adv.in

Math.24,101-171(1977).

Calderon,C.P.,Milman,M.; [1] 

Interpolation

of

Sobolev

spaces,the

real

method.Indiana

Univ.Math.

J.32,801-808(1983). Coifman,R.R.,Rochberg,R.,Weiss,G.,Cwikel,M.,Sagher,Y.; [1]  of

The

complex

Banach

method for interpolation

spaces.Lecture

Heidelberg-New [2]  in

Notes

of in

operators

acting on

families

Math.779,pp.123-153,Springer,Berlin-

York,1980.

Atheory

of

complex

interpolation

for

families

of Banach

spaces.Adv.

Math.43,203-229(1982).

Cwikel,M.; [1] 

On(Lp0(A0),Lp1(A1))θ,q.Proc.Amer.Math.Soc.44(2),286-292(1974).

[2] 

The

[3] 

Monotonicity

dual

of

weak

Lp.Ann.Inst.Fourier(Grenoble)25,81-126(1975).

properties

of

interpolation

spaces.Ark.Mat.14,213-236

(1976).Ⅱ.Ark.Mat.19,123-136(1981). [4] 

K-divisibility

of

the

K-functional

and

Calderon

couples.Ark.Mat.22,

39-62(1984). Cwikel,M.,Peetre,J.. [1] 

Abstract

K

and

J

spaces.J.Math.Pures

Appl.60,1-50(1981).

Deutsch,N.; [1] 

Interpolation

dans les

espaces

vectoriels

topologiques

localment

convexes.

Bull.Soc.Math.France,Suppl.Mem.13,3-187(1968). DeVore,R.,Scherer,K.; [1] 

Interpolation

of

linear

operators

on

Sobolev

spaces.Ann.of

Math.109,

583-599(1979). DeVore,R.,Riemenschneider,S.,Sharpley,R.; [1] 

Weak

interpolation

in

Banach

spaces.J.Funct.Anal.33,58-94(1979).

Dmitriev,I.,Ovcinnikov,V.I.; [1]* 

On

interpolation

in real

794-797(1979)=Soviet

method

spaces.Dokl.Akad.Nauk

SSSR

246,

Math.Dokl.20,538-542(1979).

Donoghue,W.; [1] 

The

interpolation

of

quadratic

norms.Acta

Math.118,251-270(1967).

Duren,P.L.; [1] 

Theory

of

Hp

spaces.Academic

Press,London-New

York,1970.

Favini,A.; [1] 

Sulla

teoria

della

interpolazione

negli

spazi

vettoriali

toplogici.Rend.

Mat.(6)3,351-380. [2] 

Su

[3] 

Alcuni

un

metodo

di

risultati

interpolazione.Boll.Un.Mat.Ital.4,677-686(1971). sulla

interpolazione

non-lineare.Boll.Un.Mat.Ital.4,

918-936(1971). [4] 

Sulla

interpolazione

di

operatore

compatti.Rend.Sem.Mat.Univ.Padova

45,279-304(1971). [5] 

Su

una

estensione

Mat.Univ.Padova [6] 

Sulla

del

metodo

d'interpolazione

complesso.Rend.Sem.

47,243-298(1972). interpolazione

degli

interpolazione

di

spazi

K{Mp}.Boll.Un.Mat.Ital.6,440-449

(1972). [7] 

Sulla

Univ.Padova

certi

spaci

di

Sobolev

con

peso.Rend.Sem.Mat.

50,223-249(1973).

[8] Sulla

interpolazione

47(1971).Sulla

multilineare.Rend.Sem.Mat.Univ.Padova

Interpolazione

multilineare:una

46,19precisazione.ibid.49,353-

354(1973). Fefferman,C.,Riviere,N.M.,Sagher,Y.; [1] 

Interpolation

between

Hp

spaces,the

real

method.Trans.Amer.Math.

Soc.191,75-81(1974). Fefferman,C.,Stein.,E.M.; [1] 

Hp

spaces

of

several

variables.Acta

Math.129,137-193(1972).

Feher,F.; [1]  dem

Approximationssatze torus."Linear

auf operators

rearrangement-invarianten and

Banach-raumen uber

approximation Ⅱ",pp.189-203,Birkhauser,

Basel-Stuttgart,1974. [2] 

Interpolation und

Indexbedingungen

auf

rearrangement-invaranten

Funktionenraumen,

,Ⅰ.

Grundlagen

und

die

K-Methode.J.Funct.Anal.25,147-

ihr

Zusammengang

161(1977).Ⅱ.Die j-Methode und

mit

der

K-Methode.

ibid.28,21-32(1978). [3] Fractinal "Linear spaces

Lipschitz spaces generated and Approximation",pp

by

rearrangement-invariant

norms.

.163-175,Birkhauser,Basel-Stuttgart,

1978. Fernandez,D.L.; [1] 

Interpolation

[2] 

On

the

polation [3] 

of

2n

Banach

interpolation

of

spaces.Studia 2n

Banach

Math,65,175-201(1979).

spaces(1):The Lions-Peetre

method.Bul.Inst.Polytehn.Iasi

An

extension

of

the

inter

26,49-54(1980).

complex

interpolation

interpolation

spaces

method.Boll.Un.Mat.Ital.

B.(5)18,721-732(1981). [4] 

On

the

duality

of

of

several

Banach

spaces.Acta

Sci.Math.44,43-51(1982). Foias,C.Lions,J.L.; [1] 

Sur

certains

theoremes

d'interpolation.Acta.Sci.Math.22,269-282(1961).

Folland,G.B.; [1] 

Lipschitz

classes

and

Poisson

integrals

on

stratified

groups.Studia

Math.

66,37-55(1979). Freitag,D.; [1] 

Real

interpolation

of

weighted

of

the

Lp-spaces.Math.Nachr.80,15-18(1978).

Fujita,H.,Morimoto,H.; [1] 

Fractional

powers

Stokes

operator.Proc.Japan

Acad.46,1141-

1143(1970). Gagliardo,E.; [1] 

Interpolation

Sci.Paris [2] 

d'espaces

de

Banach

et

applications Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ.C.R.Acad.

248,1912-1914,3388-3390,3517-3518(1959).

Interpolazione

di

spazi

di

Banach

e

applicazioni.Ricerche

Mat.9,58-81

(1960). [3] 

Una

struttura

unitaria

in

diverse

famiglie

di

spazi

funzionali

I.Ricerche

Mat.10,224-281(1961). [4] 

A

common

structure

in

various

families

of

functional

spaces.Ricerche

Mat.12,87-106(1963). [5]  di

Caretterizzazione

costruttiva

Banach.Symposia

di

tutti

gli

spazi

di

interpolazione

tra

spazi

Math.2,pp.95-106,IDAM,Rom,1968.

Gapaillard,C.; [1] 

Caracterisation

Sci.Paris

des

Gapaillard,C.,Pham [1] 

Remarques

espaces

d'interpolation

entre 〓p

et 〓 ∞.C.R.Acad.

279,A53-A55(1974). The sur

les

Lai; proprietes

de

dualite

et

d'interpolation

des

ideaux

de

R.Schatten.Studia

Math.49,129-138(1974).

Gaspar,D.,Johnen,H.; [1] 

Uber

eine

operators

Klasse

and

rearrangement

invarianter

Banachraume."Linear

approximation Ⅱ",pp.181-188,Birkhauser,Basel-Stuttgart,

1974. Gilbert,J.E.; [1] 

Interpolation

between

[2]  Counter-examples "Linear operators

weighted in

Lp

interpolation Approximation Ⅱ"

and

spaces,Ark.Mat.10,235-249(1972). space

theory

from

harmonic

analysis.

,pp.141-167,Birkhauser,BaselStuttgart,1974. Goulaouic,C.; [1] 

Interpolation

entre

les

espaces

Lp

avec

poids,C.R.Acad.Sci.Paris

262,333-336(1966). [2] 

Prolongements

de

foncteurs

d'intrpolation

et

applications.Ann.Inst.

Fourier(Grenoble)18,1-98(1968). [3] 

Interpolation

entre

des

des

espaces

semi-groupes;cas

espaces de

localement

convexes

definis

a l'aide

de

Gevrey.Ann.Inst.Fouries(Grenoble)19,

269-278(1970). Girsvard.P.; [1] 

Une

aves

remarque

sur

[2] 

Theoremes

[3] 

Identites

[4] 

Espaces

de

intermediaires

entre

des

espaces

de

Sobolev

255,2745-2748(1963).

espaces

de

intermediaires

256,2990-2992(1963).

traces.Math.Scand,13,70-74(1963).

entre

espaces

de Sobolev

avec

poids.Ann.Scuola

17,255-296(1963).

Commutativiite

Math.Pures [6] 

espaces

trace.C.R.Acad.Sci.Paris

entre

Norm.Sup.Pisa [5] 

les

poids.C.R.Acad.Sci.Paris

de

deux

foncteurs

d'interpolation

et

applications.J.

Appl.45,143-290(1966).

Caracterisation

de

quelques

espaces

d'interpolation.Arch.Rational

Mech.

Anal.25,40-63(1967). [7] 

Interpolation

non

commutative.Atti

Accad.Naz.Lincei

Mem.Cl.Sci.

Mat.Natur.52,11-15(1972). [8] 

Spazi

di

tracce e

applicazioni.Rend.Mat.(6)5,657-729(1972).

Gustavsson,J.: [1] 

A

function

parameter

in

connection

with

interpolation

Math.Scand.42,289-305(1978). Gustavsson,J.,Peetre,J.; [1] 

Interpolation

of

Orlicz

spaces.Studia

Math.60,33-59(1977).

Hanouzet,B.; [1] 

Espaces

271,A26-A29(1970).

de

Sobolev

avec

poids

et

interpolation.C.R.Acad.Sci.Paris

of

Banach

spaces.

Hanks,R.; [1] 

Interpolation

by

(0<α<∞).Indiana

the

real

method between

BMO,Lα(0<α<∞)and

Hα

Univ.Math.J.26,679-689(1977).

Hardy,G.H.,Littlewood,J.E.,Poyal,G.; [1] 

Inequalities.Cambridge

Univ.Press,Cambridge,1967.

Hayakawa,K.; [1] 

Interpolation

by

Math.Soc.Japan

the

real

method

preserves

compactness

of

operators.J.

21,189-199(1969).

Heining,H.P.; [1] 

Remarks

on

interpolation

in

spaces

with

weights,Lecture

280,pp.279-285,Springer,Berin-Heidelberg-New

Notes

Math.

York,1972.

Heining,H.P.,Vaughan,D.; [1] 

Interpolation

in

Orlicz

spaces

of

quasi-normed

involving weights.J.Math.Anal.Appl.

64,79-95(1978). Holmstedt,T.; [1] 

Interpolation

spaces.Math.Scand.26,177-199(1970).

Holmstedt,T.,Peetre,J., [1] 

On

certain

functionals

arising

in

the

theory

of

interpolation

spaces.J.

Funct.Anal.4,88-94(1969). Hormander,L.; [1] 

Estimates

for

translation

invariant

operators.Acta

Math.104,93-140

(1960). Hovel,H.W.,Westphal,U.; [1] Fractional

powers

of

closed

operators.Studia

Math.42,177-194(1972).

Hunt,R.A.; [1] 

An

extension

of

the

Marcinkiewicz

interpolation

theorem

to

Lorentz

spaces.Bull.Amer.Math.Soc.70,803-807(1964). [2] 

On

L(p,q)spaces.Enseigh.Math.12,249-276(1966).

Hunt,R.A.,Weiss,G.: [1] 

The

Marcinkiewicz

theorem.Proc.Amer.Math.Soc.15,996-998(1964).

Janson,S.; [1] 

Minimal

and

maximal

methods

of

interpolation.J.Funct.Anal.44,50-

73(1981). Janson,S.,Jones, [1] 

Interpolation

between

Hp

spaces:The

complex

method.J.Funct.Anal.

48,58-80(1982). Janson,S.,Nilsson,P.,Peetre,J.; [1] 

Notes

on

(3)48,283-299(1984). Jawerth.B.;

Wolff's

note on

interpolation spaces.Proc.London

Math.Soc.

[1] 

The

trace

of

Sobolev

and

Besov

spaces

if 0
report.

Lund.1976. Kato,T.: [1] 

Note

on

fractional

powers

of

linear

operators.Proc.Japan

Acad.36,

94-96(1960). [2] 

Fractional

powers

of

dissipative

operators.J.Math.Soc.Japan

13,246-

274(1961). Kalugina,T.F.: [1]* 

Interpolation

reiteration

of

Banach

spaces

theorem.Vestnik

(1975)=Moscow

with

a

functional

parameter.The

Moskov.Univ.Ser.Mat.Mech.30(6)

,68-77

Univ.Math.Bull.30(6),108-116(1975).

Koizumi,S.: [1] 

Contributions

to

the

theory

of

interpolation

of

operatorsⅠ,Ⅱ.Osaka

J.

Math.8,135-149(1971):10,131-145(1973). Komatsu,H.; [1] 

Fractional

powers

[2] Fractional

of

powers

operators.Pacific of

J.Math.19,285-346(1966).

operators Ⅱ:Interpolation

spaces.Pacific

J.

Math.21,89-111(1967). [3] 

Fractional

Japan [4] 

Fractional

Japan [5] 

of

operators Ⅲ:Negative

Powers.J.Math.Soc.

powers

of

operators Ⅳ:Potential

of

operators

operators.J.Math.Soc.

21,221-228(1969). Fractional

Tokyo [6] 

powers

21,205-220(1969).

powers

V:Dual

operators.J.Fac.Sci.Univ.

IA 17,373-396(1970). Fractional

operators

powers of

and

operators Ⅵ:Interpolation

imbedding

of

theorems.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo

non-negative IA 19,1-63

(1972). [7] 

Generalized

Notes [8] 

in A

Poisson

integrals

and

regularity

of

functions.Lecture

Math.457,pp.232-248(1975).

general

interpolation

theorem

of

Marcinkiewicz

type.Tohoku

J.33,383-393(1981). Krasnosel'skii,M.A.; [1]* 

On

a

theorem

of

M.Riesz.Dokl.Akad.Nauk

SSSR

131,246-248(1960).

Krasnosel'skii,M.A.,Sobolevskii,P.E.; [1]* Fractional Nauk

SSSR

powers

of

operators

acting

in

Banach

spaces.Dokl.Akad.

129,499-502(1959).

Kree,P.; [1] 

Interpolation

d'espaces

Ann.Inst.Fourier(Grenoble)17,137-174(1967). Krein,S.G.;

qui

ne

sont

ni

normes,ni

complets.Applicaton.

Math.

[1]* 

On

the

concept

of

a

normal

scale

of

spaces.Dokl.Akad.Nauk

SSSR

132,510-513(1960). Krein,S.G.,Petunin,Ju.L; [1]* 

Scales

of

Russian

Banach

spaces.Uspechi

Mat.Nauk

21(2),89-168(1966)=

Math.Surveys.21,85-159(1966).

Larsen,R.; [1] 

An

introduction

to

the

theory

of

multipliers.Grundlehren

175,Springer,Berlin-Heidelberg-New

Math.Wiss.

York,1971.

Levy,M.; [1] L'espace Paris

d'interpolation

reel(Aθ,A1)0,p

contient

lp.C.R.Acad.Sci.

289,A675-A677(1979).

Lions,J.L.; [1] 

Theorems

de

trace

et

interpolation Ⅰ.Ann.Scuola

Norm.Sup.Pisa

389-403(1959).Ⅱ.ibid,14,317-331(1960).Ⅲ.J.Math.Pures

13, Appl.42,

195-203(1963).Ⅳ.Math.Ann.151,42-56(1963).Ⅴ.An.Acad.Brasil.Ci 35,1-10(1963). [2] 

Une

construction

d'espaces

d'interpolation.C.R.Acad.Sci.Paris

251,

1853-1856(1960). [3] 

Sur les

[4] 

Properties

espaces

d'interpolation,dualite.Math.Scand,9,147-177(1960).

of

some

interpolation

spaces.J.Math.Mech.11,969-977

(1962). [5] 

Interpolation

lineaire

et

non

lineaire

et

regularite,Inst.Naz.Alta

Mat.

Symp.7,443-458(1971). Lions,J.L.,Magenes,E.; [1] 

Problemi

ai

limiti

non

omogenei Ⅲ.Ann.Scuola

Norm.Sup.Pisa

15,

41-108(1961).Ⅳ.ibid.15,311-326(1961).Ⅴ.ibid,16,1-44(1962). [2] 

Problemes

aux

limites

non

homogenes

et

applications.Vol.1-3,Dunod,

Paris,1968-1970. Lions,J.L.,Peetre,J., [1] 

Sur

une

classe

d'espaces

d'interpolation.Inst.Hautes

Etudes

Sci.Publ.

Math.19,5-68(1964). Littman,W.; [1] 

Multipliers

in

Lp

and

interpolation.Bull.Amer.Math.Soc.71,764-766

(1955). Lizorkin,P.L; [1]* 

Interpolation

32-35(1975)=Soviet

of

weighted

Lp

spaces.Dokl.Akad.Nauk

SSSR

222(1),

Math.Dokl.16,577-581(1975).

Lofstrom,E.J.; [1] 

On

certain

Math.Scand.16,41-54(1965).

interpolation

spaces

related to

generalized

semi-groups.

[2] 

Besov

spaces

in

the

theory

of

weighted

of

approximation.Ann.Mat.Pures

Appl.

85,93-184(1970). [3] 

Interpolation

Mat.Pures

spaces

of

differentiable

functions

on

Rd.Ann.

Appl.132,189-214(1982).

Lorentz,G.G.; [1] 

Some

[2] 

On

new the

functional

theory

of

spaces.Ann.of spaces

Math.51,37-55(1950).

Λ.Pacific

J.Math.1,411-429(1951).

Lorentz,G.G.,Shimogaki,T.; [1] 

Interpolation

theorems

for

theorems

for

operators

in

function

spaces.J.Funct.Anal.

2,31-51(1968). [2] 

Interpolation

the

pairs

of

spaces(Lp,L∞)and(L1,Lq).

Trans.Amer.Math.Soc.159,207-221(1971). Luxemburg,W.A.J.; [1] 

Rearrangement-invariant

pp.83-144,Qeen's

Banach

function

spaces.Queen's

Papers

10,

Univ.1967.

Luxemburg,W.A.J.,Zaanen,A.C.; [1] 

Notes

on

Banach

function

spaces,Ⅰ-Ⅶ.Indag.Math.25,(1963).135-

153,239-263,496-504,655-681. [2] 

Some

examples

of

normed

Kotne

spaces.Math.Ann.162,337-350.

Marcinkiewicz,J.; [1] 

Sur l'interpolation

d'operateurs,C.R.Acad,Sci.Paris

208,1272-1273

(1939). [2] 

Sur les

multiplicateurs

des

series

de

Fourier.Studia

Math.8,78-91

(1939). Merucci,C.,Pham [1] 

The Lai;

Caracterisation,par

Pures

interpolation,des

idesux

de

R.Schatten.J.Math.

Apgl.52,407-420(1973).

Milman,M.; [1] 

Embedding

of

rearrangement

invariant

spaces

in

Lorentz

spaces.Acta

Math.Acad.Sci.Hungar.30,253-258(1977). [2]

Interpolation gement

[3] 

of

invariant On

operators

of

spaces.Indiana

interpolation

mixed

weak-strong

type

between

Univ.Math.J.28,985-992(1979).

of martingale Lp

spaces.Indiana

Univ.Math.J.30,

313-318(1981). [4] 

Fourier

type

and

complex

interpolation.Proc.Amer.Math.Sec.89,

246-248(1983). Milman,M.,Sager,Y.; [1] 

An

interpolation

Sul

teorema

theorem.Ark.Mat.22,33-38(1984).

Miranda,C.; [1] 

di

Riesz-Thorin.Ann.Mat.Pura

Appl.84,61-71(1970).

rearran-

Mitjagin,B.S. [1]* 

An

interpolation

theorem

for

modular

spaces.Mat.Sb.66(108),473-

482(1965). Mitjagin,B.S.,Semenov,E.M.; [1]* 

Lack

of

interpolation

Izv.Akad.Nauk

of

SSSR

linear

operators

in

spaces

of

smooth

41,1289-1328(1977)=Math.USSR

functions.

Izv.Ⅱ.1229-

1266(1977). Miyazaki,K.; [1] 

On

a

theorem

summing

of

interpolation

for

operators.Bull.Kyushu

Banach

spaces

of(p,q;r)-absolutely

Inst.Techn.Math.Nat.Sci.20,21-23

(1973). Morimoto,H.; [1] 

Sur

Paris

la

reflexivite

de l'espace

S(p0,ξ0,A0;p1,ξ1,A1).C.R.Acad.Sci.

264,325-328(1967).

Muramatu,T.; [1] 

Products

of

fractional

powers

of

operators.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo

IA 17,581-590(1970). [2] 

On

Bestov

spaces

of function

Inst.Math.Sci.Kyoto [3] 

On

imbedding

general

defined

in

general

regions.Publ.Res.

Univ.6,515-543(1970/1971). theorems

for

Besov

spaces

of

functions

regions.Publ.Res.Inst.Math.Sci.Kyoto

defined

in

Univ.7,261-285(1971/

1972). [4]  a

On

Besov

general

[5] 

On

spaces

and

Sobolev

spaces

of

generaized

region.Publ.Res.Inst.Math.Sci.Kyoto the

dual

of

Besov

functions

defined

on

Univ.9,325-396(1974).

spaces.publ.Res.Inst.Math.Sci.Kyoto

Univ.

12,123-140(1976). Nikolski,S.M.; [1]* 

On

tiable

embedding,continuation functions

of

and

several

approximation

variables.Uspehi

theorems

Mat.Nauk

for

differen-

16(5),63-114(1961).

Nikolski,S.M.,Lions.,J.L.,Lizorkin,L.I.; [1] 

Integral

representation

and

functions.Ann.Scuola

isomorphism

Norm.Sup.Pisa

properties

of

some

classes

19,127-178(1965).

Nilsson,P.; [1] 

Reiteration

theorems

Ann.Mat.Pura

for

real

interpolation

and

approximation

Appl.132,291-330(1982).

Oberlin,D.M.; [1] 

Translation-invariant

operators

of

weak

type.Pacific

J.Math.85,155-

164(1979). Oklander,E.T.; [1] 

Lqp

interpolators

and

the

theorem

of

Marcinkiewicz.Bull.Amer.Math.

spaces.

of

Soc.72,49-53(1966). O'Neil,R.; [1] 

Convolution

operators

and

L(p,q)spaces.Duke

Math.J.30,129-142

(1963). O'Neil,R.,Weiss,G.; [1] 

The

Hilbert

transform

and

rearrangement

of

functions.Studia

Math.

23,189-198(1963). Peetre,J.; [1] 

Sur

le

nombre

de

parametres

d'interpolation.Ricerche [2] 

Nouvelles

dans

la

definition

de

certain

espaces

Mat.12,248-261(1963).

proprietes

d'espaces

d'interpolation.C.R.Acad.Sci.Paris

256,1424-1426(1963). [3] 

Espaces

d'interpolation,generalisations,applications.Rend.Sem.Mat.

Fis.Milano [4] 

34,83-92(1964).

Espaces

d'interpolation

et

theoreme

de

Soboleff.Ann.Inst.Fourier

(Grenoble)16,279-317(1966). [5] 

Appication

de

la

theorie

harmonique.Ricerche [6] 

On

des

espaces

d'interpolation

dans

l'analyse

Mat.15,3-36(1966).

interpolation

functions,Acta

Sci.Math.27,167-171(1966).Ⅱ.ibid.

29,91-92(1968).Ⅲ.ibid.30,235-239(1969). [7] 

Relations

entre

deux

methodes

d'interpolation.Inst.Haures

Etudes

Sci.

Publ.Math.29,305-309(1966). [8] 

On

interpolation

of

Lp

spaces

with

weight

function.Acta

Sci.Math.

28,61-69(1967). [9] 

Applications

de

la

theorie

d'interpolation

naux.Rend.Sem.Mat.Univ.Padova [10] 

aux

developpements

orthogo

37,133-145(1967).

ε-entropie,ε-capacite

et

espace

d'interpolation.Ricerche

Mat.17,216-

220(1968). [11] 

On

[12] 

Exact

the

theory

of

Lp,λ

interpolation

spaces.J.Funct.Anal.4,71-87(1969).

theorems

for

Lipschitz

continuous

functions.Ricerche

Mat.18,239-259(1969). [13] 

Sur la

transformation

de

Fourier

Rend.Sem.Math.Univ.Padova [14] 

Zur

des

fonctions

a

valeurs

vectorielles.

42,15-26(1969).

Interpolation

von

Operatorenraumen.Arch.Math.21,601-608

(1970). [15] 

Non-commutative

[16] 

Interpolation

interpolation.Le of

Lipschitz

operators

Matematiche and

metric

25,1-15(1970). spaces.Mathematica

12

(35),325-334(1970). [17] 

A

[18] 

Sur

new

approach

l'utiisation

in des

interpolation suites

spaces.Studia

inconditionellement

Math.34,23-42(1970). sommable

dans

la

theorie

des

espaces

d'interpolation.Rend.Sem.Mat.Univ.Padova

46,173-190

(1971). [19] 

On

the

connection

approximation Akademiai [20] 

between

the

theory

of

theory.Proc.Conf.Constructive

interpolation Theory

spaces

and

Funct,pp.351-363,

Kiado,Budabest,1971.

Remark

on

the

dual

of

an

interpolation

space.Math.Scand.34,124-128

(1974). [21] 

Uber

den

Durchschnitt

von

Interpolationsraumen.Arch.Math.25,511-

513(1974). [22] 

On

the

[23] 

On

spaces

trace

of

of

potentials.Ann.Scuola

Triebel-Lizorkin

Norm.Sup.Pisa

2,33-43(1975).

type.Ark.Mat.13,123-130(1975).

Peetre,J.,Sparr,G.; [1] 

Interpolation

of

normed

Abelian

groups,Ann.Mat.Pura

Appl.92,

217-262(1972). [2] 

Interpolation

and

non-comutative

integration.Ann.Mat.Pura

Appl,

104,187-207(1975). Persson,A.; [1] 

Compact

linear

mappings

between

interpolation

spaces.Ark.Mat.5,

215-219(1964). Persson.L.E.; [1] 

On

weak-type

theorem

with

applications.Proc.London

Math.Soc.(3)

38,295-308(1979). Pietsch,A.; [1] 

Gegenbeispiele

mierenden [2] 

zur

interpolationstheorie

der

nuklearen und

absolutsum-

Operatoeren.Arch.Math.20,65-71(1969).

Interpolationsfunktoren.Folgenideale

und

Operatorenideale.Czechslovak.

Math.J.21,644-652(1971). [3] 

Approximation

spaces.J.Approx.Theory,32,115-134(1981).

Pietsch,A.,Triebel,H.; [1] 

Interpolationstheorie

Operatoren.Studia

fur

Banachideale

von

beschrankten

linearen

Math.31,95-109(1968).

Pisier,G.; [1] 

Some

applications

lattices.J.Analyse

of

the

complex

interpolation

method

to

Banach

Math.35,264-281(1979).

Quek,T.S.,Yap,L.Y.H.; [1] 

Multipliers

from

L1(G)to

a

Lipschitz-Zygmund

class.J.Math.Anal.

Appl.81,278-289(1981). Riesz,F.; [1]  Acta

Sur

les

maxima

Math.49,465-497(1926).

des

formes

bilinearies

et

sur

les

fonctionelles

lineaires.

[2] 

Sur

les

fonctions

conjuguees.Math.Zeit.27,218-244(1927).

Riviere,N.M.,Sagher,Y.; [1] 

Interpolation

between

L∞

and

Hl,the

real

method.J.Funct.Anal.14,

401-409(1973). Rochberg,R.,Weiss,G.; [1] 

Derivatives

of

analytic

families

of

Banach

spaces.Ann.of

Math.118,

315-347(1983). Sagher,Y.; [1] 

Interpolation

[2] 

An

of

application

r-Banach of

spaces.Studia

interpolation

Math.41,45-70(1972).

to

Fourier

series.Studia

Math.41,

169-181(1972). [3] 

Some

remarks

Studia [4] 

on

interpolation

of

operators

and

Fourier

coefficients.

Math.44,239-252(1972). Norm

inequalities

"Linear

operators

on and

Fourier

coefficients

Approximation Ⅱ"

and

interpolation

theory,

,pp.169-180,Birkhauser,BaselStuttgart,1974. [5] 

A

new

interpolation

theorem.Lecture

Springer,Berlin-Heidelberg-New

Notes

Math.908,pp.189-198,

York,1982.

Sargent,W.L.C.; [1] 

Some

analogues

and

theorem.Proc.London

extensions

of

Marcinkiewicz's

interpolation

Math.Soc.(3)11,475-468(1961).

Schechter,M.; [1] 

Complex

interpolation.Composito

Math.18,117-147(1967).

Sedaev,A.A.; [1]* 

Discription

related

of

interpolation

spaces

for

problems.Dokl.Akad.Nauk

SSSR

the

pair(Lpα0,Lpα 209

1)and

some

,798-800(1973)=Soviet

Math.Dokl.14,538-541(1973). Sedaev,A.A.,Semenov.E.; [1]* 

On

K-method

the

possibility of

of

describing

interpolation

spaces

in

terms

Peetre,Optimizacja.4,98-114(1971).

Seeley,R.; [1] 

Norms

and

domains

of

complex

powers AzB.Amer.J.Math.93,299-309

(1971). [2] 

Interpolation

in

Lp

with

boundary

conditions.Studia

Math.44,47-60

(1972). Sharpley,R.; [1] 

Spaces

[2] 

Interpolation

Λα(X)and

interpolation.J.Funct.Anal.11,479-513(1972). theorems

for

compact

operators.Indiana

J.22,965-984(1973). [3] 

Interpolation

of

operators

for

Λ

spaces.Bull.Amer.Math.Soc.80,

Univ.Math.

of

the

259-261(1974). [4] 

Characterization

and [5] 

of

Approximation

intermediate

spaces

of

Mφ

spaces."Linear

Operators

employing

indices.J.

Π",pp.205-214,Birkhauser,Bagel-Stuttgart,1974.

Inerpolation

of n

pairs

and

counter

examples

Approx.Theory,13,117-127(1975). Shimogaki,T.; [1] 

On

the

complete

continuity

J,Fac.Sci.Hokkaido [2] 

An

of

operators

Univ.ser.Ⅰ

interpolation

theorem

in

an

interpolation

theorem.

20,109-114(1968). on

Banach

function

spaces.Studia

Math.31,

233-240(1968). Sobolev,S.L.; [1]* 

On

a

thetorem

in

functional

analysis.Mat.Sbornik

4,471-492(1938).

Lacroix-Sonrier,M.; [1] 

Sur

certains

espaces

d'interpolation.C.R.Acad.Sci.Paris

272,A874-

A877(1971). Spanne.S.; [1] 

Sur

l'interpolation

entre

les

espaces

LpΦk.Ann.Scuola

Norm.Sup.Pisa

20,625-648(1966). Sparr,G.; [1] 

Interpolation

of

several

Banach

spaces.Ann.Mat.Pura

Appl.99,247-

316(1974). [2] 

Interpolation

des

[3] 

Interpolation

of

Lpw.C.R.Acad.Sci.Paris 278,A491-A492(1974). weighted

Lp-spaces.Studia

Math.62,229-271(1978).

Stafney,J.D.; [1] 

Analytic

interpolation

of

certain

multiplier

spaces.Pacific

J.Math.32,

241-248(1970). Steigerwalt,M.S.,White,A.J.; [1] 

Some

function

spaces

related

to

Lp

spaces.Proc.London

Math.Soc.

(3)22,137-163(1971). Stein,E.M.; [1] 

Topics

in

Princeton [2] 

Singular

ceton

Harmonic

Analysis

Univ.Press

Related

to

and

Univ.Tokyo

and

Differentiability

operators

with

change

a

of

Marcinkiewicz

Integrals

the

Littlewood-Paley

Press,Princeton,1970 Properties

Theory, .

of

Functians.Prin

Univ.Press,Princeton,1970.

Stein,E.M.,Weiss,G.; [1] 

Interpolation

of

of

measures.Trans.Amer.

Math.Sic.87,159-172(1958). [2] 

An

extension

of

cations.J.Math.Mech.8,263-284(1959). Taibleson,M.H.;

theorem

and

some

of

its

appli

[1] 

On

the

theory

Ⅰ.Principal

of

Lipschtz

spaces

of

distributions

in

Euclidean

n-space.

properties.J.Math.Mech.13,407-479(1964).Ⅱ.Translation

invariant

operators,duality

and

interpolation.ibid.14,821-839(1965).

Tartar,L.; [1] 

Interpolation

non

lineaire.Bull.Soc.Math.France

non

lineaire

Memoire

31-32,

375-380(1972). [2] 

Interpolation

et regularite.J.Funct

Anal.9,469-489(1972).

Thorin,G.O.; [1] 

An

extension

Sallsk.i [2] 

of

Lund

a

convexity

theorem

due

to

M.Riesz.Kungl.Fysiogr.

Forh.8,166-170(1938).

Convexity

theorems.Medd.Lunds

Univ.Mat.Sem.9,1-57(1948).

Torchinsky,A.; [1] 

Interpolation

of

operators

and

Orlicz

classes.Studia

Math.59,177-207

(1976). [2] 

The

K-functional

for

rearrangement

Interpolation

von

Normidealen

invariant

spaces.Studia

Math.64,

175-190(1979). Triebel,H.; [1] 

Zur

Jena,Math.Naturw.Reihe [2]  fur

in

Hilbertraumen.Wiss.Z.Univ.

18,263-267(1969).

Singulare

elliptische

Besov-Raume

mit

Differentialgleichungen und

Interpolationssatze

Gewichtsfunctionen."Elliptische

hungen I",Schriftenreihe

Differentialgleic-

Inst.Math.Akad.Wiss.Berlin,7,S.159-164,

Akademie-Verlag,Berlin,1970. [3] 

Interpolationseigenschaften

pakter [4] 

von

Operatoren.Studia Eine

Entropie-und

Durchmesseridealen

kom

Math.34,89-107(1970).

Bemerkung

zur

Interpolation

von

Banachraumen.Beitrage

zur

Anal.2,51-55(1971). [5] 

Spaces

of

distributions

of

Besov

type

on

Euclidean

n-space.Duality,

interpolation.Ark.Mat.11,13-64(1973). [6] 

Interpolation

theory

for function

spaces

of

Besov

type

defined

in

domains.Ⅰ.Math.Nachr.57,51-85(1973).Ⅱ.ibid.58,63-86(1973). [7] 

Eine

Bemerkung

zur

nicht-kommutativen

Interpolation.Math.Nachr.

69,57-60(1975). [8] 

Fourier

analysis

and

function

spaces.Teubner-Texte

Math.Teubner,

Leipzig,1977. [9] 

Interpolation

Holland [10] 

Spaces

theory,function

Publ.Amsterdum-New of

spaces,differential York,1978

Besov-Hardy-Sobolev

operators.North-

.

type.Teubner-Texte

Math.Teubner,

Leipzig,1978. [11] 

Complex

interpolation

and

Fourier

multipliers for

the

spaces

Bsp,q

and

Fsp,q of

Besov-Hardy-Sobolev

type:The

case

0
∞,0
∞.Math.Z.

176,495-510(1981). Watanabe,J.; [1] 

On

some

properties

of

fractional

powers

of

operators.Proc.Japan

Acad.

37,273-275(1961). Williams,V.; [1] 

Generalized

interpolation

spaces.Trans.Amer.Math.Soc.156,309-

334(1971). Wolff,T.H.; [1] 

A

note

on

interpolation

spaces.Lecture

Springer,Berlin-Heidelberg-New

Notes

Math.908,pp.199-204,

York.1982.

Yoshikawa,A.; [1]  IA [2] 

Remarks

Sur la

IA

theory of

interpolation

d'espaces

espaces

An

de

abstract

applications

[4] 

the

theorie

plusieurs [3] 

on

spaces.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,

15,209-251(1968). d'lnterpolation-les

formulation

to

elliptic

of

de

type

value

moyenne

de

16,407-468(1970).

Sobolev

boundary

imbedding

theorems

and

its

problems.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,

17,543-558(1970). An

operator

theoretical

remark

on

the

quality.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,IA [5] 

espaces

Banach.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,IA

Fractional

Hardy-Littlewood-Sobolev

ine

17,559-566(1970).

powers

of

operators,interpolation

theorems.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,IA

theory

and

imbedding

18,335-362(1971).

Yosida,K.; [1]  the [2] 

Fractional

powers

semi-groups Ergodic

of

infinitesimal

generated theorem

by

for

generators

and

them.Proc.Japan

the

analyticity

of

Acad.34,337-340(1960).

pseudo-resolvents.Proc.Japan

Acad.37,422-425

(1961). [3] 

Functional

Analysis.Grundlehren

Heidelberg-New

Math.Wiss.123,Springer,Berlin-

York,1965.

Yoshinaga,K.; [1] 

On

a

generalization of

the

interpolation

method.Bull.Kyushu

Tech.Math.Natur.Sci.17,1-23(1970).Ⅱ.ibid [2] 

Fractional

group

powers

of

an

Inst.

19,19-36(1972) infinitesimal

generator

in

the

. theory

of

semi

distributions.Bull.Kyushu Inst.Tech.Math.Natur.Sci.18,1-15

(1871). Zafran,M.; [1] 

Multipliers,spectral

Michigan [2] 

Spectral

theory,and

the

interpolation

of

closed

Math.J.20,361-372(1973). theory

and

interpolation

of

operators.J.Funct.Anal.36,185-

operators.

204(1980). [3] 

Interpolation

of

multiplier

of

operators

spaces.Amer.J.Math.10,1405-1416(1983).

Zippin,M.; [1] 

Interpolation

riant

function

spaces.J.Funct.

of

weak

type

between

rearrangement

inva

Anal.7,267-284(1971).

Zygmund,A.; [1] 

On

Math.Pures

a

theorem

of

Marcinkiewicz

Appl.9,223-248(1956).

concerning

interploation

theorem.J.

索

引

日本 式 ロー マ字 表 記 に よ りア ル フ ァベ ッ ト順 に並 べ て あ る。 G

B

Baire-Hausdorffの Banach空

Gagliardo図

定 理   14

形  95

間 6

Bennett-DeVore-Sharpleyの Beppo-Leviの Besov空

定 理   253

定 理   26

反復 補 間 定理  82,93,158 Hardy-Littlewood-Sobolev-Thorin

間   221

Besov空

間 の 補 間   235

Bessel

potentialの

Bochner積

H

の 結 果  120

空 間   140

分   35

閉 グ ラ フ定 理  13 平 均 エ ル ゴ ー ド定 理   161

Brudnyi-Krugljakの

定 理   254

分 解 表 示 の 空 間   66

平 均 補 間 空 間  61,89 平 均 函 数  104

分 布 函 数   103

閉 作 用 素   11

分離 位 相   1 分 数 ベ キ(作 用 素 の)  191

非 負 作 用 素   161 Hilbert変 換  252

分 数 階 積 分 作 用 素   252

Hille-吉 田 の定 理  20 補 間函 手,補

Calderon作 Cm級 C0半

間 法(空 間 の)  52

補 間不 等 式  220

C 用 素   252

函 数,C∞

補 間系 列 の接 続 定 理   242

級函数 3

補 間空 間  50

群(作 用 素 の)  20

補 間空 間 の 双 対 空 間   100,154 Holderの 不 等 式  7,27 ほ とん ど 可分  27

D Dimitriev-Ovcinnikovの

定 理  250

複 素 補 間 空 間   137

同 型(線 型 位 相 空 間 の)  9

I 一 様 連 続  2

同 型 写 像  9

一 様 有 界 性 定 理   23

E (E,J)補 (E,K)補

間 空 間   247

J

間 空 間   247

J函 数 の 方 法   99,247

円形  2

K

F Fatouの

補 題   26

Fatou性,Fatou的  Fubiniの

定 理   36

完備 6 243

緩増 加超 函 数  123 可 算 値  27

下 指 標  245 K函 数(Peetreの) 

Poisson積

K函 数 の方 法   99,247

R

kセ ミノル ム  2 K単

分 表 示  125

95

劣 加 法 的  21 レ ゾル ベ ン ト,レ ゾル ベ ン ト集 合  159

調 性  254

基 本 セ ミノル ム  2

レ ゾル ベ ン ト方 程 式  160

ク ラ ス〓θの 空 間  81

Riesz-Thorinの

ク ラス〓 θの 空 間  75

両 立 非 負作 用 素   179

ク ラス〓 θの 空 間  72

両 立 連 続 線 型 作 用 素   49

狭 義 帰 納 極 限 の 位 相  122

両 立 対  47

定 理  70,146

強 位 相  18 S

強可 測   27 局 所 凸線 型 位 相 空 間  2

左 非 負  161

共 役 指数   17

最 大制 限  178

急 減 少C∞ 級 函 数  4

再 配 列  103

吸 収 され る  2

再配 列 不 変  246

吸 収 的  22

左 指標   43 生 成 作 用 素   20

L

正則 化(超 函数 の)  218

Lebesgue空

間   122

正則 函 数(Banach空

間 値 の)  124

セ ミ ノル ム  2

(LF)空 間   109 Lorentz空 間   109

線型位相空間 1

Lorentz-Zygmund空

間  109,251

線 型 作 用 素  9 指 標(重 み の 函 数 の)  43

M

指 標(Boydの) 

245

Marcinkiewiczの

空 間   114

指 示 函 数  50,53

Marcinkiewicz型

の 補 間 定 理   251

双 対 空 間,双 対 形 式   14 相 似 変換  42

N

相 似 比 函数  41

ノル ム,ノ ル ム空 間  4

相 似 不 変  244

ノル ム 同 型  9 T O

単 函 数  26,27 トレ ー ス表 示 の 空 間  66

重 み の 函数  41 重 み つ きLebsgue空 O'Neilの

定 理   120

P Pettisの 定 理  27 Poisson核   125

間  42

等 測 度 的  246 凸  2 U 埋 め 込 み   10

W weak

弱 微 分 可 能,弱 連 続   19 type(作 用 素 の)  252

弱 位 相  18 弱 可 測   27

Y Youngの

上 指 標  245 不 等 式  7

準 ノル ム,準

ノル ム空 間  4

右 非 負   161

準 ノル ム(作 用 素 の)  11

有 界 作 用 素   11

準 ノル ム同 型  9

有 界 集 合  3

準 ノル ム可換 群  240

右 指標  43

準 ノル ム 函数 空 間  243 準 セ ミノル ム 2

Z 像 の 空 間   10 随 伴 空 間   243

準 セ ミノル ムの 像  9 準線 型(作 用 素 の)  251

記 号 表

F(Ω)  X,F(Ω)  f*,f*,f°

X 

144

Hφp(Rn) 

 103

Eas  243

140

ind

φ,r-ind φ,l-indφ

ind

E,ind 161

EmX(A1,…,An) 

131

JA 

E∞X(A1,…,An) 

131

K(X0,X1;x,t) 

X′=L(X,C) 

14

(X0,X1)φ,q,(X0,X1)θ,q 

lp,l∞ 

61,89

[X0,X1;m]θ,[X0,X1;m]θ  [X0,X1]θ,[X0,X1]θ 

Λm(R;X) 

138 247

137

245

95

6 11

L({X0,X1},{Y0,Y1}),L({X0,X1})  Lp(Ω,μ;X) 

28

L∞(Ω,μ;X) 

29

49

L∞-(Ω,μ;X),L∞-(Ω,μ;X) 

31

L*p(Ω;X),L*p(Ω,μ;X) 

ρ(A)  159 AD,AR,AO 

192

Bm(Ω;X),B∞(Ω;X)  Bmσ(Ω;X) 

Lp(Ω,μ;X) 

19

L(φ

〓m(Ω),〓 ∞(Ω) 3 〓m(Ω;X),〓

∞(Ω;X) 

〓m0(Ω;X),〓∞0(Ω;X) 

109

M(Ω,μ;X) 

28

19

M(Ω,μ;X) 

29

19

N(T) 

9

81

Qφq(A) 

75

R(T)

〓θ{X0,X1} 

72

Rφq(A),Rσq(A) 

171 9

〓(Rn) 

123

109

,p,r)(Ω,μ;X) 

〓θ{X0,X1} 

D′(Ω;X) 

41

,p)(Ω,μ;X) 

〓θ{X0,X1} 

9

31

29

Lp,φ(Ω,μ;X)  L(φ

131

Bφp,q(Rn),Bσp,q(Rn)  222

D(T) 

E 

L(X,Y),L(X) 

137

(X0,X;E)J,(X0,X1;E)K 

  43

E,ind

171

4

〓′(Ω;X) 

123

Dφq(A)  171

S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X) 

61,89

Eσq(A)  191

S(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1) 

66

H0σ(X)  130

T(q0,φ0,X0;q1,φ1,X1) 

Hmσ(X)  H(F0,F1) 

132

Wmp(Ω;X) 

137

Wmp,w(Ω;X) 

131 131

66

著

村

者

松

壽

延

1933年 山梨県に生 まれ る.1958年 東京大 学理学部数学科卒業.京 都大学数理解析研 究所助教授,東 京教育大学理学部教授 を経 て,現 在筑波大学数学系教授,理学博士.

補 間空 間論 と線 型作 用 素 1985年3月20日

 

第1刷 発 行

発行所

 株式 会社

 紀伊國屋書店

東京 電

都 新 宿区 話  

新 宿3の17の7

(354)0131(代

表)

振替口座 東京9-125575 出 版 部

  東 京都世田 電 話   郵

C  Tosinobu PRINTED

Muramatu IN

JAPAN

1985

便

印 製

谷 区 桜 丘5の38の1 (439)0125(代表) 番

号  156

刷  研 究 社 印 刷 本  三 水 舎

紀伊 國屋数 学叢書 について   数 学 を学 ぶ に は い ろ い ろの 段 階 が あ るが,い ず れ の 場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に 講 義 を聞 くとい うよ うな受 動 的 な勉 強 だ けで は,は

なは だ 不 十 分 で あ る.

  み ず か ら学 ぶ た め に 現在 い ろ い ろ な 数 学 書 が 出版 され てい る.し

か

し,数 学 の進 歩 は 極 め て基 礎 的 な考 え方 に対 し て さえ 常 に 影 響 を与 え て お り,従 っ て どの よ うな段 階 の 勉 強 で あ っ て も,常 に 新 しい 考 え方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の 過 去 と将 来 と を結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が 数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新

しい

視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 くらべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の 発 展 を考 慮 した視 点 か ら説 明 す る とい う立 場 で書 か れ た 書 物 が 要 望 され て い る.   本 叢 書 は この よ うな要 望 に応 え て企 画 され た もの であ って,各 巻 が 大 学 理 工 学 系 の専 門 課 程 の 学 生 また は 大 学 院 学 生 が そ れ ぞ れ の 分 野 での 話 題,対 象 に つ い て入 門 の 段 階 か ら あ る程 度 の 深 さ まで 勉学 す るた め の 伴 侶 と な る こ と を 目指 し てい る.こ の ため に我 々 は各 巻 の 話 題 の 選 択 に つ い て,十 分 配慮 し,現 代数 学 の発 展 に と っ て重 要 であ り,ま た 既 刊 書 で 必 ず しも重 点 が 置 か れ てい ない もの を選 び,各 分 野 の第一 線 で活 躍 し て お られ る数 学 者 に執 筆 をお 願 い してい る.   学 生 諸 君 お よ び数 学 同好 の方 々が,こ の 叢 書 に よ っ て数 学 の 種 々の 分 野 に お け る基 本 的 な考 え方 を理 解 し,ま た 基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と も に,更 に現 代 数 学 の 最 先 端 へ 向 か お うとす る場 合 の 基 礎 と もな る こ と を望 み た い.