Теория плазмы

В. А. РОЖАНСКИЙ

Òåîðèÿ ÏËÀÇÌÛ

Рекомендовано УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки магистров «Техническая физика»

САНКТПЕТЕРБУРГ• МОСКВА• КРАСНОДАР• 2012

ББК 22.333я73 Р 62

Р 62

Рожанский В. А. Теория плазмы: Учебное пособие. — СПб.: Изда' тельство «Лань». — 2012. — 320 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 9785811412334 Учебное пособие содержит изложение вопросов кинетики, динамики и равновесия плазмы, а также процессов переноса в ней. Данный курс отличается от большинства курсов лекций по физике плазмы тем, что в нем описываются явления как в полно' стью ионизованной плазме, так и в частично ионизованной. Пособие предназначено для студентов технических вузов, обучающихся по направлению подготовки «Ядерные физика и технология», а также студентов, изучающих управляемый тер' моядерный синтез, физику газовых разрядов и другие области низкотемпературной плазмы, физику ионосферы, физику косми' ческой плазмы и т. д. Рецензент: Д. Х. МОРОЗОВ — доктор физико'математических наук, началь' ник лаборатории теории турбулентной плазмы Института физи' ки токамаков НИЦ «Курчатовский институт».

ББК 22.333я73

Зав. редакцией физико'математической литературы К. Е. Житков Ответственный редактор О. А. Шаповалова Художественный редактор С. Ю. Малахов Редактор Т. В. Ананченко Корректоры Т. А. Брылева, А. М. Плетнева Верстка М. И. Хетерели Выпускающие М. В. Тучина, О. В. Шилкова ЛР № 065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10 от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб Издательство «ЛАНЬ» [email protected]; www.lanbook.com 192029, Санкт'Петербург, Общественный пер., 5. Тел./факс: (812) 412'29'35, 412'05'97, 412'92'72. Бесплатный звонок по России: 8'800'700'40'71

Обложка Е. А. ВЛАСОВА © Издательство «Лань», 2012 © В. А. Рожанский, 2012 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Курс лекций «Теория плазмы» читается в СанктПетербургском государственном политехническом университете с 1989 г. для студентов специальности «Фи зика плазмы». Предполагается первоначальное знаком ство с основами физики плазмы в рамках курсов «Введе ние в специальность», «Основы физики плазмы» и «Эле ментарные процессы в плазме». Курс лекций рассчитан на два семестра и содержит изложение кинетики плазмы и процессов переноса (в первом семестре) и вопросов дина мики и равновесия плазмы (во втором семестре). Вопросы распространения волн в плазме систематически рассмат риваются на кафедре физики плазмы отдельно, поэтому в данном курсе рассмотрены только те низкочастотные вол ны и неустойчивости плазмы, которые тесно связаны с ее динамикой и процессами переноса в ней: ионнозвуковые, МГД и дрейфовые волны. Данный курс отличается от большинства курсов лекций по физике плазмы тем, что в нем излагаются явления как в полностью ионизован ной плазме, так и в частично ионизованной. Поэтому он может быть полезен широкому кругу специалистов, ра ботающих в области управляемого термоядерного синте за, физики газовых разрядов и других областей низко температурной плазмы, физики ионосферы, физики кос мической плазмы и т. д. В списке литературы приведены в основном ссылки на русскоязычную литературу, где рас смотрены те или иные вопросы данного курса. Автор признателен Е. Г. Кавеевой и И. Ю. Сениченко ву за ценные замечания и И. Ф. Рожанской за помощь в подготовке рукописи к печати.

Глава 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

1.1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Состояние плазмы в общем случае описы 1 1 вается набором функций распределения 11 12 2 3 243 для вхо дящих в нее компонент. Функция распределения имеет смысл плотности частиц в шестимерном фазовом 1про 1 странстве координат и скоростей, а величина 121 13 2 4 253 2 1 1 2 61 1314 представляет собой число частиц в элементе фа зового объема. Индекс a может нумеровать как различ ные частицы, так и различные квантовые состояния мо лекул, ионов или атомов. Ниже рассматривается класси ческая идеальная нерелятивистская плазма. Изменение числа частиц в элементе шестимерного фазового объема в отсутствие столкновений связано с перетеканием «фазо вой жидкости» в соседние области фазового пространства и описывается шестимерным уравнением непрерывности: 321 6 3 4 12 31 2 2 03 34 5 331 1 1 1 21 В фазовом пространстве «координатами» xi являются 3 пространственные координаты ri и 3 компоненты скоро сти Vi, а «скоростями» 21 1 соответственно 3 компоненты скорости Vi и ускорения 211 . Таким образом, уравнение непрерывности в фазовом пространстве имеет вид 3 321 3 3 3 12 31 2 2 03 4 5 121 31 2 4 5 34 1 21 351 331 1 1 1 21

Второй член в левой части представляет собой дивер генцию потока в координатном пространстве, а третий —

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

5

дивергенцию потока в пространстве скоростей. Ускорение 211 связано с внешними силами, действующими на части цу. В плазме 12 1 2 1 1 1 1 1 3 4 1 27 4 5 13 6 52 38 5 63 71 9 8

1 1 где Za — зарядовое число; ma — масса; 1 и 1 — напря женность электрического и магнитного полей соответст 1 венно; 11 2 — сила тяжести. Координаты и скорости яв ляются независимыми переменными, поэтому ¶Vi/¶ri = 0. Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, то так же и 1211 1 121 2 0 и уравнение непрерывности приводится к виду 211 1 211 12 211 (1.1) 32 1 32 1 40 23 24 22 или 211 1 211 21 3 3 1 1 1 1 4 211 1 211 54 1 5 (1.2) 8 5 5 14 6 62 9 1 5 7 1 7 03 28 29 1

  24 24 Это уравнение известно как уравнение Власова. Уравнение Власова может быть записано для любых обобщенных координат и импульсов qi и pi. При этом урав нение Власова вида (1.1) получается из уравнения непре рывности в фазовом пространстве с учетом соотношения 1211 1 121 2 131 1 1 131 3 0 , которое следует из уравнения Гамиль тона: 211 1 23 1 241 2 41 1 1 323 1 221. Левая часть уравнения Власова представляет собой полную производную dfa/dt. Поэтому в стационарном слу чае, в соответствии с теоремой Лиувилля, функция рас пределения постоянна вдоль фазовой траектории части цы. Отсюда следует утверждение, что в бесстолкновитель ном случае стационарная функция распределения есть функция интегралов движения. Учет столкновений изменяет уравнения (1.1), (1.2) так как функция распределения перестает быть постоянной вдоль фазовых траекторий, — при столкновениях меня ются скорости сталкивающихся частиц, а также их внут реннее и зарядовое состояния. Кинетическое уравнение в общем случае может быть записано в виде 121 221 1 221 31 4 3 1 1 1 1 4 221 1 221 5 65 1 6 9 6 6 15 7 72 1 6 8 1 8 9 1 3 (1.3) 1

2

2 1 

25 25

6

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где столкновительный член Sta описывает скорость изме нения функции распределения за счет столкновений. Урав нение (1.3) называют кинетическим уравнением, или урав нением Больцмана. Столкновительный член представля ет собой сумму (1.4) 121 3 4 1212 131 2 32 32 2

каждое слагаемое которой соответствует столкновениям частиц данного сорта a с частицами всех остальных сор тов, в том числе с частицами сорта a. Рассмотрим случай упругих столкновений, когда внут ренние состояния сталкивающихся частиц не изменяют ся при ударе. Будем считать, что в результате акта столк новения двух частиц сортов a и b их координаты не изме 1 1 няются, а скорости до столкновения и 1 изменяются 1 1 1 1 1 Каждое столк на значения 112 и 112 после столкновения. 1 новение частицы со скоростью 11 приводит к ее1 уходу из элемента объема в пространстве скоростей 121 1 Полное число таких уходов при всех возможных с 1 1 1столкновениях 1 частицами сорта b с переходами 11 112 4 113 1 1231 происходя щих в единицу времени в единице объема при фиксиро 1 ванном значении 11 1 дается выражением 1 1 1 1 1 1 1 2 5 2421 2331 3 7 7 53 113 251 111 212631 3 242 13 2 11 24211 4 1 11 4

где dsab/dW — дифференциальное сечение рассеяния в те лесный угол W. Кроме ухода существует также и приход в 1 12 в результате элемент объема пространства1скоростей 1 1 1 1 столкновений с переходами 113 1 123 4 11 112 : 1 1 1 1 1 1 1 3 6 24 2321 9 9 9 52 1124 251 1114212721 3 252 124 8 114 25212421144 1 1 114 124 5

1 1 Скорости 112 и 112 при интегрировании не являются независимыми, а связаны законами1 сохранения — при 1 2 , 1 частица сорта столкновении частиц со скоростями 2 1 1 1 1 a должна получить скорость Перейдем в этом инте 1 1 1 1 1 грале к переменным 11 , 11 1 используя тот факт, что от носительная скорость при столкновениях сохраняется: 1 1 1 1 11 4 12 5 113 4 123 . Якобиан такого преобразования, как из

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

7

1 1 1 1 вестно из механики, равен единице: 1 12131223 4 121 122 . Учи тывая, что интегрирование 1 по 121 производится только вблизи данного значения 11 1 получаем 1 1 1 1 1 1 1 2 6 2421 2331 3 9 9 53 1135 251 1115212731 3 242 13 8 11 24211 4 1 11 4

Объединяя выражения для прихода и ухода, получа ем для столкновительного члена 1 1 1 2321 242141 3 5 8 8 2424414 6 42 41 325721 4 533 12 6 11 53511 1 (1.5) 1 11 3

1 1 где 113 4 113 1213 23 123 4 123122324 Выражение (1.5) представляет собой больцмановский вид интеграла столкновений. Кинетическое уравнение Больцмана (1.3) является, таким образом, интегродифференциальным уравнением, включающим в себя функции распределения всех сталки вающихся частиц. Поэтому в общем случае должна решать ся система зацепляющихся уравнений для всех функций распределения. При выводе кинетического уравнения пред полагалось, что столкновение имеет точечный характер, при котором мгновенно меняются скорости частиц, но не их координаты. Это предположение оправданно, если сред няя потенциальная энергия взаимодействия двух частиц в плазме меньше их средней энергии хаотического движе ния Т. Для заряженных частиц средняя потенциальная энергия взаимодействия есть ZaZbe2/árabñ, а среднее рас стояние между частицами árabñ — порядка n–1/3, где n — концентрация плазмы. Поэтому критерий применимости имеет вид ZaZbe2n1/3/T << 1, т. е. плазма должна быть достаточно горячей и не слиш ком плотной. Интеграл неупругих столкновений может быть постро ен аналогичным образом. В общем виде он редко исполь зуется, как правило, практически анализируются только некоторые неупругие процессы — возбуждение, иониза ция, рекомбинация, причем используются соответствую щие интегралы по скоростям, выражения для которых проще получить непосредственно.

8

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Для описания усредненных характеристик использу ют моменты функции распределения: 2 1 1 411122223 2 3 51 52 22253 61 37 1 5 18495 2 (1.6) Ниже приведены наиболее важные из них. Концентра ция частиц: 1 (1.7) 11 2 3 21 34 1 Плотность потока частиц дается выражением 1 1 2 1 2 1 3 11 21 3 4 341 53 1 (1.8) 1 где 11 — направленная скорость. Средняя энергия хаотического движения (для одно атомных частиц): 1 1 1 11 12 2 31 22 3 4151 3 4 61 72 3 (1.9) 2 2 где величина Ta называется температурой. Плотность потока тепла: 1 1 1 1 1 1 1 21 2 1 4 13 3 41 22 13 3 41 251 63 3 (1.10) 2 Частые столкновения частиц стремятся установить локально максвелловскую функцию распределения: 1 1 2 31 24 4 51 32 3 21 1 61 5 456 64 (1.11) 77 271 22871 1 31 33 1 2 9

В отсутствие внешних сил в однородной плазме в ста ционарном состоянии кинетическое уравнение (1.3) сво дится к условию Sta = 0. Нетрудно убедиться, что максвел ловские функции распределения с общей температурой и направленной скоростью обращают в ноль интеграл столк новений. Действительно, при подстановке максвелловских функций (1.11) в (1.5) обращается в ноль выражение 1113123 4 11 12 2 , что следует из закона сохранения энергии при столкновении. Таким образом, максвелловская функция распределения соответствует термодинамическому равнове сию. Существует и более сильное утверждение, известное как Нтеорема Больцмана, — система частиц в отсутствие сил стремится к термодинамическому равновесию, а значит, к установлению максвелловских функций распределения.

9

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

1.2. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ПРИ КУЛОНОВСКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 1.2.1. ОБЩИЙ ВИД ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПОТОКА В ПРОСТРАНСТВЕ СКОРОСТЕЙ

Больцмановская форма интеграла столкно вений неудобна для описания кулоновского взаимодейст вия. Связано это с характером кулоновских столкновений, при которых рассеяние обусловлено в основном далекими столкновениями и происходит на малые углы. Малая ве личина изменения скорости при рассеянии может быть использована для упрощения больцмановского интегра ла столкновений. Действительно, при столкновениях в данный элемент фазового объема попадают точки из со седних областей, — имеет место почти непрерывное тече ние «фазовой жидкости». Другими словами, столкнови тельный член можно записать в виде дивергенции неко торого потока в пространстве скоростей: 11 231 2 34 11 5 6 11 1 (1.12) При этом кинетическое уравнение приобретает вид уравнения непрерывности в шестимерном фазовом про странстве и с учетом столкновений. Общее выражение для потока, обусловленного столкновениями, имеет вид (по по вторяющемуся индексу k подразумевается суммирование) 1

3431 4

6312 1 1 271 1 7 5 835 91 1 245

(1.13)

Здесь отброшены более высокие производные по ско ростям, так как наибольший вклад в поток дают близкие 1 области фазового пространства. Величина 4312 называет 1 1 — тензором ся силой динамического трения, а тензор 312 диффузии в пространстве скоростей. Для столкновений с несколькими сортами частиц 1 1 3121 4 5 31212 1 2 1 1 связаны с параметрами задачи о Величины 4312 и 3 1 12 торможении «пробных» частиц a в среде полевых час тиц b. Рассмотрим облако «пробных» частиц, имевших

10

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

в момент времени1t =10 одина ковую скорость 1 1 10 . Сред 1 няя скорость 11 при t = 0, сов падавшая с 10 , с течением времени уменьшается из за столкновений. Одновременно из за рассеяния на полевых частицах происходит расплы вание облака пробных час тиц. Схематически эволюция Рис. 1.1 Схема расплывания облака облака показана на рис. 1.1. пробных частиц В однородной плазме в отсут ствие сил скорость изменения средней скорости может быть преобразована к виду 14 1 11 1 231 2 3 1 24 1 21 1 52 5 6 1  21 7 21 8 9 12 52 1 5  21 41 52  5  71 26 26 71 26

71 1 Интегрируя по частям, 1 11 учитывая, что f a ® 0 при , и согласно (1.13) 1 12 21 3 01 получаем 1 1 1 483 1 5 6 431 94 5

42 1 1

2 6312 471 3 1 1 71

88 1 7 351 445 9994 5 1 3 1 4 35 2 6312 1 1 5 7 8 994 1 445 9 1 1 8 1

(1.14)

После подстановки 1 1 в (1.14) функции распределения в виде 21 1 20 2 31 314 4 40 2 имеем 373 32

2 2 20

1 3534 6312 1 4 1 81 394

(1.15)

Расплывание облака пробных частиц в пространстве скоростей характеризовать тензором диспер 1 1естественно 1 1 сии 13 1 421 13 1 422 . Среднее определено согласно 1 1 1 2 1234 1 52 Преобразуя выражение для дисперсии, так же как и для средней скорости, найдем

11

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

1 1 1 1 3 14 4 521 14 4 522 33

13 2 2612

(1.16)

3 20

1 Таким образом, сила динамического трения 4312 1 и тен 11 зор диффузии 312 а следовательно, и столкновительный член, связаны с параметрами облака пробных частиц. 1.2.2. ТОРМОЖЕНИЕ И РАСПЛЫВАНИЕ ОБЛАКА ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ

Вычислим величины, входящие в левые части (1.15), (1.16). Столкновения частиц сорта a и b рассматриваем как акт рассеяния в системе центра масс1 на неподвижном 1 1 центре с относительной скоростью 21 3 31 4 32 и приведен ной массой mab = mamb/(ma + mb). Изменение скорости в лабораторной системе отсчета при этом связано с измене нием относительной скорости соотношением 1 21 1 332 4 341 1 22 5 21 Относительное число актов рассеяния в единицу вре мени с данным прицельным параметром r и азимуталь ным углом f, приходящееся на одну пробную частицу, есть 1 1 1 1 1 231 14 2251 26 3 71 14 2224 251 26 3 71 14 2224 251 424253 1 Умножая это выражение на приращение скорости 211 , интегрируя по скоростям полевых частиц и по площади, получаем 1 1 441 51 (1.17) 3 8 61 17 5281 97 53 81 3 642 42 9 4 43 3 30 52 7 51 8 1 Аналогичным образом 1 1 1 1 4 15 5 621 15 5 622 43

1 310 2

1 1 6 72 7 1  82 15 82912 5 83 912 1



73 72 

 9614 9624 64 4

(1.18)

12

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Тензоры wj, wjk зависят только от относительной ско рости, поэтому из соображений тензорной инвариантности 52 1

421 41

61 523 1 2 23 7 3

421 431 241 32

81

(1.19)

где А, В и С — скаляры. Вычислим эти тензоры в системе отсчета, в которой вектор относительной скорости направ лен вдоль оси z. Изменение относительной скорости при рассеянии на угол q в этой системе:

1521 2 51 123 3 451 46 1531 2 51 123 3 123 46 1541 2 551 71 5 451 389 Для кулоновского взаимодействия связь между углом рассеяния и прицельным параметром дается выражением 34

1 21 2 1 2 3

где радиус сильного взаимодействия rs определяется как

21 3

31 32 42 1 512 262 32

Выражая изменение скорости через прицельный па раметр, получаем 12 2632 3 262 2 1 2 123 44 1 5 21 12 2642 3 262 2 1 2 356 44 1 5 21 22 2652 3 6262 2 1 2 7 1 5 21 Подставим эти выражения в (1.17), (1.18). При интег рировании по r появляются расходящиеся интегралы. Эти интегралы следует обрезать сверху при некотором значении r = rmax, так как в плазме кулоновский потен циал экранируется на расстояниях порядка дебаевского радиуса. Выберем rmax = rd, где дебаевский радиус опреде лен согласно

13

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

31 1

2 1 42452

(1.20)

Получающиеся интегралы имеют логарифмическую точность и содержат кулоновский логарифм L — большое число порядка 10–15: L = ln(rd/rs).

(1.21)

Более подробно про процедуру обрезания см. [6]. В част# ности, 1123 121 7 12 4 312 2 34 0 1123

7 0

13 21 2 3 5 15 2 6 36 4 312 82

712

После интегрирования в (1.17) и (1.18) по r и f получаем 421 52 3 411 5 61 2 62 3712 4 46141 33 421 431 8 1 7 523 3 712

9 23 4 1 2  4 14 3 4641 2

7 4681 82 92 8 712 3 

 5 61

Для скорости изменения средней скорости и диспер# сии имеем 1 1 71 612 521 5 53 8 9

9 2 1 2 2  72 48 151 23 3 30 1 1 1 1 4 19 6 522 19 6 524 1 612 9  24 521 541 1 3 1 6 1 3

82 19 52 9 54 (1.22)  48  5 43 15 2  3 30

452 43

3 611 7

Скорость изменения моментов более высокого поряд# 1 1 1 1 1 1 ка 14 1 521 14 1 522 14 1 523 оказывается в L раз меньше. Используя соотношения

421 1 23 421 431 2 2 41 2 1 3 1 4 1 31 3 4 1 252 253 4 252 41 24 3 241 33

14

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

запишем (1.22) в виде 1 4 5 72 7 8 1 51 16 62 1 6 9 3 11

2821 3 96 1 1 761 8 4  6 6 6 71 9 2 30

 1 1 1 1 7 16 421 16 423 72 4 1 1 1 6 1 6 1 65 3 821 6 6 51 16 296 94 8 72 761 763 4   741 72

2 30

(1.23) Более компактно (1.23) можно переписать, введя «по тенциалы»: 1 1 11 12 22 1 2 31 4 5 8 1 1 32 3 46 2 5 2 2 1 1 1 1 1 7 1 4 5 8 2 5 2 211 12 2232 24 (1.24) 86 «Потенциалы» jb и Yb связаны между собой соотно шениями 2 11 31 4 51 1

2 11 51 4 31 1

(1.25)

где 1 11 — оператор Лапласа в пространстве скоростей. Эти соотношения легко получить, дифференцируя (1.24) по скоростям и используя равенства 1 1 1 2 11 1 1 3 445611 4 1 123 1 4 11 1 1 2 2 11 1 4 1 1 3 1 1 4 1 411 Формулы (1.23) с учетом (1.24) могут быть переписа ны в виде 431 42

3 611 7 2 30

451 42 25 3 41 21 461

1 1 1 1 4 14 5 521 14 5 522 43

3 52621 3 30

42 61 3 441 442

(1.26)

(1.27)

15

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

1.2.3. ПОТЕРИ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ ПРОБНЫМИ ЧАСТИЦАМИ

Полученные выражения имеют самостоятельную цен ность, так как позволяют найти скорость изменения им пульса1 и энергии пробных частиц, движущихся со скоро стью 1 в среде полевых частиц сорта b. Скорость измене ния импульса дается (1.26). Найдем, в частности, скорость изменения импульса электрона при столкновении с ионом. Будем полагать скорость электрона много большей, чем скорость полевых ионов. Тогда, пренебрегая ионной ско ростью в знаменателе подынтегрального выражения, по лучаем fi = –ni/4pVe и 241 23

3 10

1 56 1 41 1 6 1 1

43414 5 262 2 712 813

(1.28)

Частота ne здесь соответствует характерному времени торможения электрона в начальный момент, когда все электроны еще имеют одну и ту же начальную скорость. Видно, что частота столкновений обратно пропорцио нальна кубу скорости электронов, т. е. падает с ростом скорости, что типично для кулоновских столкновений. Пользоваться этим уравнением на более поздних време нах нельзя, так как происходит не только торможение, но и рассеяние частиц. Характерное время рассеяния элек тронов можно найти из (1.27). Выбирая направление z вдоль скорости электронов, имеем 1 1 1 1 1 1 3 15 4 6221 3 15 4 621 15 4 621 2 5 32 32 2 20

5

2 20

1 1 1 1 3 15 4 623 15 4 623 32 2 26 4 5 2 3

2 220

(1.29)

Видно, что частота рассеяния оказывается вдвое боль ше частоты торможения. Скорость изменения энергии частицы может быть вы числена следующим образом:

16

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

24 2 5 1 33 22 21 0 22 2 1 1

210

1 1 1 1 1 2 13 3 421 13 3 421 1 51 22 2

Здесь использовано равенство 1 1 1 1 1 12 1 321 12 1 321 2 21 21 1 32 3

210

1 2 24 3 54 22 210

С учетом (1.26), (1.27) 451 42

2 30

1 3 631 412 172 8 21 8 31 3 32 411 9 11 72 56

(1.30)

Вычислим, например, скорость изменения энергии при столкновениях электронов с ионами. Используя электро статическую аналогию для потенциала и поля вне облака 1 231 1 , полу распределенных зарядов, fi = –ni/4pV, 1 2 21 3 442 3 чаем 311 241 2 45 11 111 5 11 2 5 2 (1.31) 33 320 42 1 Таким образом, характерное время изменения энергии электрона оказывается в mi/(2me) раз больше, чем время изменения импульса. В случае, если скорости частиц срав нимы, из (1.30) нетрудно получить несколько более слож ные выражения. 1.2.4. СТОЛКНОВИТЕЛЬНЫЙ ЧЛЕН В ФОРМЕ ЛАНДАУ

Выражая силу динамического трения и тензор диффу зии через потенциалы с помощью (1.15), (1.16), (1.26), (1.27), получаем для потока в пространстве скоростей (1.13): 1

6 122 7 8621 1

32 5 1 352 42 341 52 8 23 313 312 313 41 312

(1.32)

Используем следующие соотношения: 341 3312 1 1 5 6 9 412 56 21 361 3622 87 1 32 81 1 5 6 9 412 31256 22 361 362 87

(1.33)

17

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Здесь введен тензор 523 2

1 23 421 431 3 1 41 241 33

(1.34)

Первое из соотношений (1.33) следует из 1 1 1 3512 1 421 3 512 1 2 1 3623 4 5 78 6 241 33 51278 2 4 5 2 6 3832 51278 2 4 2 6 3832 623 78 21 382 6 41

с учетом

421 1 1523 1 1523 23 2 1 3 1 2 163 2 1634 24 3

Второе соотношение:

23 1 1 2 241 4 1 4 56 5 67 5 272 273 87 272 8 273 1 1 1 2 431 4 1 4 1 56 51 67 5 6 823 51467 41 8 8 1 87 272 4 87 Подставляя (1.33) в (1.32), получаем поток в простран стве скоростей: 1 245412 422 54 623 661 8 1 7 61 6623 9121

 723  92 6133  91 613  81 31 (1.35) 91 Столкновительный член в форме Ландау есть минус дивергенция этого потока: 6712 9

245312 322 44 6 523 651 8 1 7 5 6523

812  1 9 31  6 1 1

2 6 23 1 6 2 

(1.36)

1.3. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА Столкновительный член в форме Ландау ос тается достаточно сложным. В некоторых задачах возмож но его дальнейшее упрощение. К таким ситуациям отно сится случай малой примеси тяжелых частиц в плазме с легкими ионами. Пусть fa — функция распределения тя желых частиц, а na << nb. Будем считать, что тяжелые ионы не влияют на функцию распределения легких частиц fb,

18

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

а саму функцию fb полагаем максвелловской. Используя для 2 1 2 1 соотношение

31 3212 4 22 21 45 51 1 1 3412 упростим интеграл столкновений Ландау (1.36). Преобра зуем первое слагаемое: 4 4413 1 4 512 2 67 3 5 7 471 81 4723 1 1 42 42 4 4 3 24 367 33 3 3 3 56 5 7 4 67 5 6 5 1 7 6 9 1 1 12 2 12 2 2 471 7 471 7

1

1 Второй член в этом выражении обращается в нуль, так как имеет место тождество 423 531 1 01 1 1 1 1 Так как 1 1 22 1 , то 21 2 33 1 , поэтому

(1.37)

1 1 4 7 7 5 4 12 313323 6 41 3 31 8 512 1 32 42363 3 9 8 3 4 63 2 2

   731 731 3 3 23 333 72 72 Во втором слагаемом члены с j ¹ k обращаются в нуль 1 (в системе отсчета, где отсутствует средняя скорость 21 ), поэтому остается интеграл 11 2 2 2 5 31 323 24 33 4 24133 1 3 4 22 6 51 3 41 4 54 4 6 4 2 1 34 2 541 8 72 1 24 333 3 27 723 1 2 54 8

Аналогичным образом преобразуется и второе слагае мое в столкновительном интеграле Ландау (1.36). Окон чательно кинетическое уравнение с упрощенным столк новительным членом имеет следующий вид: 11 332 232 3 1 1 23 (1.38) 4 52 21 1 1432 6 25 6 34 2 34 где частота столкновений 31 12 определена согласно 51 12 6

4 231211 2 4212 222 3442

(1.39) 2 3115231 2 Уравнение (1.38) называется уравнением Фоккера — Планка. В однородной плазме в отсутствие внешних сил

19

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

оно описывает релаксацию fa к максвелловской функции распределения с температурой Tb: 3 12

3 2 4 3 2 32 4 411 5 51 7 1 8 234 7 6 1 85

2962 

262  11 . Действительно, за характерное время релаксации 4 5 61 23 1 2 легко видеть, что 1 обращает в нуль правую часть урав нения (1.38). Уравнение Фоккера — Планка линейное и легко решается. Покажем, как с помощью уравнения Фоккера — План ка можно вычислить, например, подвижность примесей — коэффициент пропорциональности между направленной скоростью и электрическим полем. В стационарной одно родной плазме, находящейся в электрическом поле, имеем 1 1 1 35 22 34 352 1 4 52 21 31 1652 6 1 21 23 (1.40) 72 36 72 36 36 1 Умножим (1.40) на 1 и проинтегрируем по скоростям. Интегрируя по частям, найдем, что первый член в правой 1 части пропорционален потоку частиц 11 21 , а второй об 1 ращается в ноль. Интеграл же от левой части дает 2 11 21 34 . Окончательно 1 1 11 2 31 3 41 51 41 3 2 (1.41) 61 42 12

Нетрудно и полностью решить уравнение (1.40). В до статочно слабых электрических полях, когда направлен ная скорость много меньше тепловой, можно искать ре шение в виде максвелловской функции плюс поправка: f = fM + f1. При этом в линейном приближении в левой час ти (1.40) достаточно положить 21 2 211 , а в правой части 11 2 111 , так как максвелловская функция распределения обращает правую часть в ноль. Нетрудно получить выра жение 2 1 1 311 3 1 141 5 2311 3 (1.42) 62 где направленная скорость дается (1.41). Другими слова ми, полная функция распределения представляет собой раз ложенное в ряд сдвинутое максвелловское распределение:

20

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1 1 3 1 22 5 31 32 4 456 8 5 1 97 262  312 2 3 1 4 3 1 2 4 11 1 1 7 51 8 1 9 456 8 5 1 9 21 6 31 2 37

6 6 2 2 2 2 2   3 1 4 41 6 51 8 1 9  2 62

312

(1.43)

Отметим, что в общем случае функция распределения в электрическом поле не имеет такого простого вида. 1.4. УБЕГАЮЩИЕ ЭЛЕКТРОНЫ В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ Проанализируем функцию электронов в од нородной плазме в отсутствие магнитного поля в слабом электрическом поле: 4123 23 (1.44) 4 1 41 3 1 52 где величину ED называют полем Драйсера. Это условие означает, что электрическая сила меньше, чем сила тре ния, действующая на основную массу электронов с тепло выми скоростями порядка 321 1 221 1 41 : 134 1 351 3 1 1621 2621 3 351 621

41314 2 4 3 512 621

откуда следует (1.44). В обратном случае большинство электронов неограниченно ускоряется, так как сила тре ния изза падающей зависимости частоты столкновений от скорости не может уравновесить электрическую силу. При выполнении же условия (1.44) в режим ускорения попадает лишь небольшая часть электронов, так что у функции распределения образуется хвост, вытянутый в 1 направлении 1 1 , рис. 1.2. Основная масса электронов описывается максвелловской функцией распределения, а за счет кулоновских столкновений возникает поток элек тронов в хвост. Так как число убегающих электронов мало (как показано ниже — экспоненциально мало), то задачу об убегающих электронах можно рассматривать как ста

21

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

ционарную. Действительно, концентрация основной час ти электронов в этом случае медленно уменьшается или подпитывается небольшим постоянным источником. Ограничимся тем, что най дем число электронов, попа Рис. 1.2 Поверхности постоянной дающих в единицу времени в функции распределения в режиме убегания, то есть най электрическом поле дем стационарный поток в пространстве скоростей в область больших энергий. Ки нетическое уравнение в электрическом поле имеет вид 1 11 13 24 131 2 3 4 11 5 6 1 7 01 15 62 11

(1.45)

В пространстве скоростей введем сферические коорди 1 наты с осью z вдоль 1 1 . Запишем второе слагаемое в (1.45) в виде (зависимость от азимутального угла отсутствует в силу симметрии задачи) 1 12 123 2 12 13 121 13 3 4 3 4561 2 74 41 15 41 5 12 15 13 5 561 2 1 1 1 4 45 2 2 7 3 42 1232 276 8 41 97 5 2 15 5 123 2 12

8 Дивергенцию столкновительного потока в простран стве скоростей (третье слагаемое в (1.45)) также запишем в сферических координатах: 1 1 11 1 2 1 2 3 11 4 5 1 6 2 11 2 5 11 2 7 1345 15 11 26 1 345 1 21 1 21

Введем усредненный по углам поток в пространстве скоростей: 21 1 1 1 1 211 3 2 4 25 123 5211 4 6 6 41 0

0

Усредним кинетическое уравнение для быстрых элек тронов по углам, полагая cosq » 1, так как функция рас

22

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

пределения быстрых электронов сильно вытянута вдоль 1 направления 11 . Из (1.45) имеем 1 13 24 1 1 1 11 2 3 2 2 2 11 2 311 2 4 03 2 1 15 62 1 2 11 1 1

(1.46)

Усредненная функция распределения 1 достаточна для вычисления интегрального потока в пространстве ско ростей. В столкновительном члене достаточно учесть лишь столкновения быстрых электронов с медленными, распре деленными по Максвеллу, так как столкновения с иона ми дают малый вклад в поток по энергиям, а столкновения быстрых электронов между собой пренебрежимо малы. Согласно (1.35) компонент потока быстрых электро нов в пространстве скоростей: 1 1 1 1 6 46 1 12 32 6 1 12 32 46 2 1 25654 2 73 8 7 9 82 3 8 95  34 95 4243 95 424  1 1 46 2 1

1 25654 89 734 24366 1 12 32  5 6 1 12 32 82 33 (1.47)  95 5 95 424  Здесь fM — не сдвинутая максвелловская функция рас пределения. Преобразуем первый член в этом выражении. В первом приближении относительная скорость совпада 1 1 ет со скоростью быстрого электрона 21 1 3 1 тензор Ujk не зависит от V¢ и интеграл обращается в ноль. В следующем приближении, полагая 31 2 4 11 3 42 4212 4 2 3, имеем 1 1

523 63177 1 16 1286 1 2 1 4 3 23 64 641631 62163 631 62 63 631 62 63 364 641 5 1 1 2 9 6 6 7 3 631 877 16 1286 13 2 3 3 2 6 6 6 6  6 6 (1.48)

Последнее слагаемое при интегрировании сокращает ся с предыдущим членом, так как 1 1 4 4 14 4 1 33 1 1 2 2 2 5 3 14 1264 1 2 4 1 1 42 1 1 2 412 2 3 2 3 141122 5 3 14 1264 1 2 12 3 14 12 5 3 14 1264 13 4 4

23

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Первые же два слагаемых в (1.48) одинаковы. Поэто му получаем 1 1 25 3 634 74188 2 17 1297 1 2 1 71 3 73 83 Второй член в (1.47) преобразуется аналогичным об разом. При этом надо учесть, что V^ << V, и раскладывать тензор скоростей сдвигов с точностью до членов порядка 1 (V¢)2. Окончательно поток в направлении 1 : 1

2 22 3 45 1 12 2124 6 где

3 1 13 2 4

31 14 23 51 12

41214 2 412 3 3

— частота столкновений быстрого электрона. После усред нения по углам 1

222 3 45 1 12 2124 6

31 14 23 51 12

(1.49)

Полный поток в пространстве скоростей, как следует из (1.46), есть 1 23 (1.50) 41 1 2 11 3 51 62 В пренебрежении производной по времени из (1.46) следует сохранение интегрального потока в пространстве скоростей: (1.51) 411 2 31 2 12345 2 412 6 Здесь 211 — искомое количество электронов, убегаю щих в единицу времени. Это выражение является уравне нием для усредненной функции распределения. В безраз мерных переменных 12

3411 1 2 111 2 5 2 62 52 7111 2

уравнение (1.51) имеет вид 311 422 56 7 1 73 2 6 3 1872 8 3 3 2 57 4 165 322 6411 2

(1.52)

24

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Решение уравнения (1.52) дается выражением 1

11 2 1 14 3 5111 3 4 6 234 6 5 5 12 677 16 3 1 2 8 2 5 9

0

2 4 3 5 43 

(1.53)

1 При 1 1 0 функция распределения 2 1 2 1 1 2 . Из этого условия находим константу А: 312

1 2 2 3 3 44 1 5 7 2651 8

2

При u ® ¥ функция F ® ¥, а 1 — ограничена, поэто му отношение 1 1 2 1 0 . Отсюда находим константу С: 1

4 21 8  0

3 12 1

3 1 4 2321 5 53 8 9 6 7  81 

6

1 34

 234 2 2 5 2 0

7 2 32 6 3537 

Данный интеграл вычисляется методом перевала. Ко личество убегающих электронов пропорционально 511 1 213254 2 1632 23451574 6 4727

(1.54)

Здесь b(a) — некоторая безразмерная степенная функ ция параметра a, которая не может быть определена в рам ках данного приближения. Дело в том, что поле Драйсера пропорционально кулоновскому логарифму L, который, таким образом, входит в показатель экспоненты (1.54). Так как величина L определена с логарифмической точ ностью, то для нахождения b необходимо выйти за рам ки этого приближения. Таким образом, формула (1.54) решает поставленную задачу с логарифмической точно стью. Если электрическое поле больше, чем поле Драйсера, то основным механизмом генерации быстрых электронов является так называемый эффект лавины — размножение быстрых электронов за счет близких кулоновских столк новений быстрых электронов с тепловыми. При таких столкновениях быстрые электроны со скоростями поряд ка скорости света генерируют новые быстрые электроны, а темп генерации пропорционален уже существующему количеству быстрых электронов. Частота столкновений для электронов, двигающихся со скоростью порядка ско рости света, согласно (1.28) определяется как

25

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

412142 3 (1.55) 412 33 Если электрическое поле больше, чем критическое (Ec = ED(c)) 41223 3 (1.56) 41 3 1 52 12 3 1 132 4

то такие электроны часть энергии передают медленным электронам. При E >> Ec в режим ускорения могут пере ходить электроны со скоростями V>V0 = c(Ec/E)1/2. Так как кулоновское сечение обратно пропорционально кубу угла рассеяния и, следовательно, кубу переданного им пульса, то такие электроны рождаются в результате рас сеяния быстрых электронов с частотой 3 11 4

421 4 2 1 312 4 3

Количество рождений по порядку величины дается (fr — не зависящая от скорости одномерная функция распределения быстрых электронов) 1

5

12

6 313 52 74 4 212 2 1 402 5 12

40

42346 3 832

Полагая быстрые электроны распределенными равно мерно, так что их концентрация nr = cfr, получаем с точ ностью до численного коэффициента количество быстрых электронов, рождающихся в единицу времени: 411 1 41 2 2 13215 3 53 3 12312424

(1.57)

Обрезающий множитель (E/Ec–1) показывает, что ла винный эффект имеет пороговый характер. 1.5. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В СЛАБОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ Описанный в предыдущем разделе факт, что электроны в слабоионизованной плазме являются малой примесью, позволяет линеаризовать столкновительный член и существенно упростить кинетическое уравнение.

26

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Слабоионизованной называют плазму, в которой выпол няется неравенство nee << neN, (1.58) где nee — электронная частота столкновений (для опреде ленности будем под nee понимать частоту, совпадающую с ne(V) предыдущего раздела), а neN электрон — нейтраль ная частота столкновений. При этом условия (1.58) еще недостаточно для того, чтобы электроны можно было считать малой примесью. Дело в том, что изменение энер гии электрона при столкновении с нейтральными час тицами происходит с частотой 1 34 2 2 12 12 12 3

231 2 1 32 12

(1.59)

а энергия электрона при столкновении с электронами из 11 — практически за одно столкно меняется за время 1 2 11 вение. Поэтому пренебречь кулоновскими столкновения ми в слабоионизованной плазме можно лишь при жест ком условии (1.60) 2 11 1 2 112 1 Промежуточный случай 2 112 1 2 11 1 2 12

(1.61)

также соответствует слабоионизованной плазме, причем изза частых межэлектронных столкновений функция распределения близка к максвелловской.

1

1.5.1. ПРИБЛИЖЕНИЕ 11 2 11

Пусть выполнено условие (1.60). Изза малых потерь энергии электрона при столкновении с нейтральными час тицами направленная скорость электрона мала по сравне нию с хаотичной. Поэтому мала и анизотропия функции распределения. Функцию распределения при этом естест венно искать в виде убывающего ряда по сферическим гар моникам: 1 1 1 1 1 (1.62) 3 14 2 5 263 2 6 6 312 14 2 5 263712 142532 1 20 2 23 1

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

27

где коэффициенты 321 зависят только от модуля скоро сти. Сферические функции выражаются через присоеди ненные полиномы Лежандра:

321 1 421 1234 25678151359 Первые сферические функции имеют вид

100 1 11 110 1 234 21 111 1 456 27234 3 4 2 456 389 Ограничимся первыми двумя членами ряда. Тогда (1.62) можно записать в виде 1 1 2 1 1 1 11 12 23 2433 (1.63) 1 12 2 3 243 1 10 12 2 3 243 2 4 3 Подставим функцию распределения (1.63) в кинети ческое уравнение для электронов и преобразуем последо вательно его члены. Для первого слагаемого имеем 1 1 11 110 2 111 2 3 1 (1.64) 13 13 2 13 Член с пространственной производной принимает вид 11 1 1 1 2 111 3 2 2 111 30 3 2 111 1312 2 2 34 Используя векторное соотношение 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 22 3 11122 4 12121 4 3 1 2 31 2 244 4 32 2 31 2 1445 получаем

1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 11 3 2 2 11 30 3 12 11 231 3 (1.65) 2 Остальные слагаемые преобразуются аналогично: 2 11 1 1 1 2 1 3 8 3 4 11 5 42 9 6 1 5 7 62

7  1 1 11 1 1 1 1 51 2351 23 1 50 23 2 1 1 51 1 31 6 1 4 3 11 5 42 5 73 3 3 (1.66) 62 1 1 62 1 62 1 62 7 1

Столкновительный член также разбивается на два сла гаемых (для однородного покоящегося нейтрального газа): 0 2 341 1 3412 1 3412 12 1 зависящих от f0 и 11 соответственно. Умножая кинетиче ское уравнение на (1/4p)dW (dW — элемент телесного угла

28

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

в пространстве 1 скоростей, ось для простоты можно напра вить вдоль 11 ) и интегрируя по углам, получаем усреднен ное уравнение: 1 1 1 140 5 1 1 26 5 1 141 2 5 3 26 1 0 4 (1.67) 2 31 4 41 5 5 4 6 7823 18 3 92 3 15 92 5 1 Умножая кинетическое уравнение на направляющие косинусы Vj/V и (3/4)dW и интегрируя по dW, получаем три уравнения. Складывая их, получаем одно векторное урав нение: 1 1 141 25 140 2 1 1 1 3 2 6 311 40 4 2 17 5 41 2 6 8923 (1.68) 19

2 16 2  Выражение для столкновительного члена, описываю щего электроннейтральные столкновения, можно полу чить из общего выражения (1.5). Проще это сделать непо средственно, полагая нейтральные частицы холодными и покоящимися. Действительно, так как относительная ско рость совпадает со скоростью электрона, то число «прихо дов» минус число «уходов» в единицу объема пространст ва скоростей имеет вид (дифференциальное сечение рас сеяния для краткости обозначим s) 1 1 1 3412 56 3 7 72 416 22 536 28 25156 2 6 7 72 416 253685156 4 1

1

Скорости электрона до и после столкновения связаны соотношением 231 4 1 2 4 21 3 31 4 456 57811 2 9 32 Отсюда следует соотношение dV¢/V¢ = dV/V. Поэтому 1 1 13 1 13 1 21 1 2 1 12 21 123 2 2123 2 3 21 1 1 1 1 1 Выражая 12 1 через 12 в интеграле столкновений, имеем 3 4521 3 13 7 16 24 7 2426 23 54 6 6 4 7 426 3 545816 (1.69) 6 1

Вычислим сначала столкновительный член (1.69) в первом приближении по me/m N. В этом приближении

29

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

0 V¢ = V, поэтому и 10 2 101 , так что 1 1согласно (1.69) 3412 1 0 . Подставляя в (1.69) поправку 112 1 2 , получим 1 35 6 7 1 1 3421 1 7 1426 3 54567 52 6 426 3 54567 58819 1

(1.70)

1

1 1 Здесь угол рассеяния между векторами 1 и 1 1 обо значен 11 1 а q, f и q¢, 1 f¢ — 1 углы в сферической системе коор динат векторов 1 и 1 1 соответственно. Переходим от ин тегрирования по углам рассеяния к эквивалентному ин тегрированию по углам q¢, f¢. Преобразуем первый член в подынтегральном выражении. Разложим сечение рассея ния в ряд по полиномам Лежандра:

112 2 21 3 3 4 11 31 1456 21 37 1

Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами: 123 21 3 123 2 123 21 4 345 2 345 21 12365 4 5178 Согласно теореме сложения для сферических функций 31 1234 3 234 32 4 456 3 456 32 23415 4 5277 1 31 1234 3731 1234 327 1 1

11 4 278 2 3 1234 37312 1234 3272341216 4 62779 1 7 278 1 1 2 11

1 28

При интегрировании первого члена в (1.70) в силу ор тогональности полиномов Лежандра остается лишь

7 311 241 3456 4221 5 7 31 4562 4221 5 146 7 33318

1

1

Удобно переписать это выражение тоже с учетом орто гональности в виде

6 311 241 3456 4221 5 6 311 241 3456 41217

1

1

Объединяя оба члена в (1.70), получаем 11 1 1 23 3412 12 15 2615 3 5 4 где

212 13 2 3 42 3 7 11 4 345 52613 6 5251 1

(1.71) (1.72)

30

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

совпадает с транспортной частотой электроннейтральных столкновений. После усреднения с весом 3Vj/(4pV) имеем 1 1 (1.73) 3412 1 23 12 15 261 3 0 1 не Чтобы получить отличное от нуля значение 3412 обходимо в столкновительном члене (1.69) учесть члены первого порядка по me/mN. Подставляем f0 в (1.69) и рас кладываем подынтегральное выражение в ряд: 0 4 31 16 32 5 6 2 2 2 36 4 7 64815 (1.74) 4521 0 26 2 6 3 17

Подставляя в (1.74) значение V¢, получаем 0 2 4512

231 1 1 43 16 26 3 70 75 3 32 6 16 2 6 12

(1.75)

Столкновительные члены (1.73)1 и (1.75) находятся в правых частях уравнений для f0 и 11 , которые позволяют получить конкретные выражения для изотропной и на правленной частей функции распределения. 1.5.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Найдем функцию распределения электронов в одно родной плазме, помещенной в стационарное однородное электрическое поле в отсутствие магнитного поля. В этом случае уравнения (1.73), (1.75) приобретают вид 1 1 1 130 16 4 1 131 2 4 3 16 1 251 1 1 2 2 3 3 54 14 34 3 30 68 4 17 51 3 14 51 4 1 52 4 14 2 7 12 1 1 1 131 16 130 2 3 24 12 14 3315 (1.76) 17 51 14 1Так1как имеется лишь одно выделенное направление, то 11 11 2 . Как следует из второго уравнения, время уста новления направленной функции распределения состав 11 , т. е. происходит практически за одно столкно ляет 2 12 вение и соответствует времени релаксации импульса. В стационарном состоянии 1 1 130 14 1 31 2 (1.77) 51 3 12 26 3 16

31

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Уравнение для f0 перепишем в виде 1 1 130 1 16 1 1314 2 2 51 1 1 2 3 54 14 24 330 68 3 17 34 2 51 14 52 4 2 14 7 12 1 После подстановки 11 имеем

(1.78)

130 1 12 42 1 2 5 2 130 3 4 5 16 35 2 712 15 69 8 12 15 2 15 7

7 1 1 (1.79) 5 1 2 28 15 25 3 30 3 3 72 5 15 9 12 Релаксация функции f0 имеет диффузионный харак 11 3 1 3 устанавливается ста тер и за время порядка 2 21 1 2 ционарная функция распределения. Ее нетрудно найти, интегрируя (1.79) при ¶f0/¶t = 0:

1 1 3423 1 34223 11 32 2 50 5 6 345 76  71 38 6 2 2 79 0 2 8 43 8

(1.80)

Функция распределения электронов определяется ха рактером зависимости частоты столкновений от скорости. Если частота столкновений не зависит от скорости (такая ситуация имеет место для Не в широком диапазоне скоро стей), то из (1.80) следует 1 3 42 2 (1.81) 20 3 5 123 54 1 6 4 7 26122 8 где

6233 1

22 4251 1 3522 2221

(1.82)

В этом случае функция распределения является мак свелловской с эффективной температурой (1.82). Так как процесс набора энергии носит диффузионный характер с коэффициентом диффузии 41 1 22 52 23622 1 23 4 согласно 11 3 1 3 средний квадрат скорости (1.79), то за время 2 21 1 2 2 1 1 1 1 41 2 32 52 2 53 , а средняя энергия оказывается поряд ка (1.82). Второй случай соответствует постоянной длине пробе га leN. При этом частота столкновений пропорциональна скорости: neN(V) = V/leN ~ V. Согласно (1.80)

32

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1 2 333 4 4 50 3 6 123 54 2 2 1 64 2 8 41 7 32 7 12 9

(1.83)

Это выражение называют функцией распределения Дрювестайна. Зависимость от скорости в этом распреде лении гораздо сильнее, чем для максвелловской функции распределения. 1.5.3. ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОН ЭЛЕКТРОННЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ

При условии (1.61) межэлектронные столкновения начинают оказывать существенное влияние на функцию распределения электронов. В правых частях уравнений 1 для f0 и 11 (1.67)–(1.68) появляются дополнительные сла гаемые Stee. Дополнительный столкновительный член в уравнении для f0 имеет порядок neef0, в то время как 0 1 25 3 5 41 6 . Поэтому, при условии (1.61), главным 3412 1 2 12 0 в правой части этого уравнения является член Stee(f0, f0). Для не слишком сильных электрических полей и плав ных градиентов члены в левой части (1.67) малы по срав нению с neef0, поэтому решением уравнения для f0 являет ся функция, обращающая в ноль правую часть Stee(f0, f0) = M = 0, т. е. максвелловская функция 1 распределения f . В правой же части уравнения для 11 (1.68) дополнитель 1 1 1 По ное слагаемое 2311 1 1 111 41 мало по сравнению с 3412 этому 1уравнение для 11 остается неизменным и попреж нему 11 выражается через f0 согласно (1.68), куда в каче стве f0 следует подставлять максвелловскую функцию распределения. В неоднородной плазме это утверждение справедливо, если характерный масштаб неоднородности L превосхо дит длину релаксации функции распределения lf. Релак 11 , поэтому длина l сация f0 к fM происходит за время 211 f соответствует смещению за счет случайных блужданий за это время. Вдоль магнитного поля шаг случайных блуж даний есть leN, а поперек магнитного поля — ларморов ский радиус электронов rce. Поэтому lf|| = leN(neN/nee)1/2, lf^ = rce(neN/nee)1/2.

33

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

1.5.4. ОБЩЕЕ 1 ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ 11

Общее решение уравнения (1.68) для медленных про цессов имеет вид 1 1 12 13 120 34 21 2 3 41 25 10 3 (1.84) 16 71 15 где 3 1 12 6 22 8 12 12 6 31 6 231 1 4 96 2 2 8 1212 6 31 60 6

5

231 4 0 7 2231 8 1212 7 1 12 7 0 72 2231 8 1212 7 0 13 1 12 7 7 

(1.85)

Здесь wce = eB/(mec). При условии (1.61) функция f0 близка к максвелловской. 1.6. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРОНОВ В СЛАБОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ Потоки частиц и тепла в слабоионизованной плазме с функцией распределения, близкой к максвеллов ской, могут быть найдены непосредственным интегриро 1 ванием функции распределения. Поток электронов 11 имеет вид 11 1 1 1 1 213 1 42 1 3 31 4 451 4 6 3 120 5 2 3 63 3 263 4 (1.86) 3 3 61 0 1 Так как функция 11 является линейной функцией гра диентов концентрации, электронной температуры и по тенциала, то поток электронов можно переписать в виде 1 1 (1.87) 12 2 3 31 2 44 3 51 2 64 3 31 21 4412 212 3 где 21 1 — тензор диффузии, 31 21 — тензор термодиффузии, 1 21 1 — тензор подвижности. Подставляя в (1.86) функцию 11 , выраженную через f0 (1.84), получаем для f0 близкой к максвелловской

34

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ 1

421 31 1 3 4 4 51 24 360 74 4 3821 5 0

1

42 91 1 3 4 4 51 24 360 74 4 38 5 0 1

2 1 42 45 1 24 32 1 4 4 3 360 74 3 21 791 5 91 12 3 4 38 5 221 2 721

(1.88)

0

Тензоры диффузии и подвижности могут быть вычис лены для конкретной зависимости veN(V). Согласно (1.88) они связаны между собой соотношением Эйнштейна:

Поток тепла:

2 31 1 1 1 41 1 2 1

(1.89)

11 1 21 1 1 2 1 1 314 1 14 2 61 2 14 2 61 2130 3 274 3 51 1 (1.90) 2 4 4 Полагая направленную часть скорости малой по срав нению с тепловой, получаем 1 1 1 2221 1 5 31 3 4 5 5164 4 781 91 1 (1.91) 5 3 2 0

Поток тепла может быть записан в виде 1 1 32 1 231 2 412 5 41 1 512 62 2

(1.92)

где 11 1 — тензор теплопроводности, а — безразмерный тензор. Первый член здесь описывает теплопроводность, а второе слагаемое соответствует потоку тепла, обуслов ленному направленной скоростью. Наряду с тензором те плопроводности вводят также тензор температуропровод ности 11 1 , который связан с 11 1 соотношением 21 1

3 11 1 2 231 1 2 2

(1.93)

С помощью (1.84) тензоры 11 1 ( 11 1 ) и 21 1 могут быть вычислены для конкретной зависимости neN(V). Нетруд но показать, преобразуя (1.91), что они связаны с тензора ми диффузии и термодиффузии:

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

35

341 21 21 2 3 3 541 2 3 52 3 41 2 5 41 21 1 12 5 41 2 41 211 41 21 34 312 2 2 61 1 3 41 21 41 211 1 71 4 (1.94) где 11 — единичный тензор. Коэффициенты диффузии, термодиффузии и температуропроводности являются ве личинами одного порядка. Если частота столкновений neN не зависит от скорости, то выражения для коэффициентов диффузии, термодиф фузии, подвижности и теплопроводности сильно упроща ются. Из (1.88), (1.94) получаем 112 1 223 3 4 1 6 12 1 22 8 1 5 12 1 22 8 1 0 7 12 12 23 23 6 7 4 42 6 112 1 2 23 3 1 73 52 2 9 52 24 9 2 62 2 9 2 2 9 0 7 2 72 2 23 6 1212 1 2223 8 1 1212 1 2223 8 1 5 6 0 0 17 66 77  (1.95) В тех случаях, когда зависимость neN(V) слабая или не нужна высокая точность вычислений, применяют так на зываемую элементарную теорию (она соответствует ква зигидродинамическому приближению, см. следующую главу). При этом используется выражение (1.95), в кото рое подставлена средняя транспортная частота столкно 1 вений 1 12 13 2 2 1 12 14 2 2 3 1 12 14 250 64 3 74 Для сильного маг

нитного поля wce >> neN(T) формула (1.95) остается точной при любой зависимости частоты столкновений от скоро сти, что легко проверить исходя из (1.88) и определения neN(T). Выражения для коэффициентов более точные, чем (1.95), для произвольной степенной зависимости частоты столкновений от скорости приведены в [7]. Для ионных коэффициентов переноса обычно ограни чиваются приближением элементарной теории. В важном случае ионов в собственном газе коэффициенты переноса в рамках элементарной теории даются (1.95) с частотой столк 11 2 новений 321 2 5 3 434 5 11122 6 3 7 64 2 (1.96) 38 9 73

36

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1.7. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В ДРЕЙФОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ В сильном магнитном поле часто бывает це лесообразно перейти к дрейфовому приближению и рас сматривать газ центров ларморовских окружностей — ве дущих центров. Вдоль магнитного поля ведущий центр движется со скоростью, близкой к параллельной скоро сти частицы V||, а поперек магнитного поля перемещается с дрейфовой скоростью. Выражение для скорости дрейфа ведущего центра частицы получается усреднением урав нения движения по быстрым вращениям по малой лармо ровской окружности со скоростью V^. Приведем резуль тат этого усреднения [8]. Скорость ведущего центра: 1 12312 1 1 1 2 1 1 12312 1 24 1 26578636 4 2 49 5 45 4 46 5 54 52 3 311 6 4 2 4 2 4 4 4 123112 1 1 1 1 (1.97) 4 46 5 26263656

4 1 1 где 1 1 2 1 2 . Здесь второй член в правой части представ ляет собой поправку к параллельной скорости, третий — дрейф под действием электрического поля, а два послед них члена — дрейфы, связанные с неоднородностью маг нитного поля. Скорости изменения параллельной и перпендикуляр ной скоростей даются выражениями 11 1 1211 1 1 1 1 345 212 2 3 2435 4 2554554 6 211 2 6785 3 2 9

1 1 19212 211 5 1 1 1 19212 211 1 2 35 4 2554554 6 5 255456 6 23

23

1 1 1 2 2 12 1 11 221 2 6 6785 6 1 25 44 3 2 2

1 12 1 1 5

12 1 1 1 3 1 2435 4 54 3 1 245425 54 3 2

2

192112 21 1 192112 21 5 1 1 1 1 1 5 255457 3 2 35 4 2554554 3 (1.98) 23

23

Различные члены в этом выражении, связанные с элек трическим полем, отражают работу электрического поля

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

37

при движении ведущего центра вдоль него и работу вих ревого электрического поля над частицей, вращающейся по ларморовской окружности. Члены, связанные с неод нородностью магнитного поля, отражают изменение про дольной и поперечной скорости при сохранении попереч ного магнитного момента и полной энергии. В дрейфовом приближении можно ввести функцию распределения ведущих центров, зависящую от пяти пе ременных, трех координат ведущего центра, продольной и поперечной скорости. Определим ее таким образом, что 1 1 1232411 241 дает число частиц, координаты ведущих цен тров которых лежат в соответствующем элементе объема пятимерного фазового пространства. В отсутствие столк новений, рассматривая течения жидкости ведущих цен тров в этом пространстве, можно получить аналог уравне ния Власова:

311 12 311 2 311 2 311 4 2 1 4 311 43 5 02 34 3311 2 332 32

(1.99)

Это уравнение представляет собой бесстолкновитель ное кинетическое уравнение в дрейфовом приближении. Дрейфовое кинетическое уравнение можно использовать и в столкновительном случае, когда можно пренебречь различием между положением частицы и положением ве дущего центра.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

2.1. УРАВНЕНИЯ МОМЕНТОВ

Система уравнений для моментов функции распределения получается после умножения кинетическо го уравнения на соответствующие произведения компо нент скоростей VjVk…Vn и последующего интегрирования по скоростям. В результате получается бесконечная цепоч ка зацепляющихся уравнений моментов. Первые пять из них получаются умножением на 1, maVj и maV2/2. Умножение на единицу и интегрирование по скоростям приводит к уравнению непрерывности: 1 211 3 4 5 6 1 7 01 22

(2.1)

Мы рассматриваем только упругие столкновения, по этому в правой части интеграл от столкновительного чле на по скоростям дает ноль — отсутствует рождение и ги бель частиц. При наличии неупругих процессов соответ ствующие члены могут быть добавлены в правую часть. Уравнение непрерывности (2.1) описывает сохранение числа частиц. Интегрирование с весом maVj приводит к трем уравне ниям: 23 11 23112 1 1 2 5 51 671 181 4 1 391 6 41 2 4 11 5 (2.2) 41 1 4 2 2 2  Здесь моменты функции распределения 1 1 1 411122223 2 3 51 52 22253 61 37 15 18495

39

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

определены согласно (1.6). Величина 1 211 2 3 31 41 561 74

(2.3)

представляет собой силу трения. Как и столкновительный член, сила трения представляет собой сумму по части цам, с которыми происходят столкновения: 1 1 11 3 4 1 12 1 Комбинируя уравнение (2.2) с уравнением неразрывно сти (2.1), разделяя тепловую скорость в тензоре Majk на скорость хаотического движения и направленную ско рость, получаем 2311 2311 41 51 1 3 312 24 26 272 25112 28 1 1 1 46 1 6 3 91 51 11 3 331 7 41 2 3 11 5 (2.4) 271 272  Здесь

11 21 1 1 2 14 3 51 2 2 2161 (2.5) 3 представляет собой парциальное давление, а величина 31 2

2112 3 2121 3

1 1 3 31 41 151 4 611 2152 4 612 2 4 5 12 15 4 61 22 3 3

(2.6)

называется тензором вязкости. Уравнение (2.4) имеет смысл уравнения движения. Левая его часть содержит субстанциальную производную, которая соответствует ускорению выделенного элемента объема среды. Правая часть есть сумма сил, действующих на этот элемент: градиента парциального давления, ди вергенции тензора вязких напряжений, электрической силы, силы Лоренца и силы трения. Векторная форма уравнения (2.4) имеет вид 1 1 1 21 21 31 1 1 3 211 4311 4 5 24 1 1 1 1 1 2 (2.7) 5 6451 6 4 7 81 3 61 731 28 3 111 7 943 3 1 5 

40

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

При интегрировании кинетического уравнения с ве сом maV2/2 получается уравнение баланса энергии:

3 4 2 31 41 2 3 51 5 4161 7 5 47 68 2 2 9 5

4 491

2 31 41 2 5  3 6 2 51 5 2 4161 7 511 5 112512 5 811  9 8 

1  1 511 41 5 11 511 5 1 1

(2.8)

Здесь

1 21 21 1 2 21 21 3 1 2 1 1 14 3 5 1 22 14 3 5 1 2 2 есть вектор плотности потока тепла, а 12 12 12 11 12 2 31 22 41 3 4 561 72 2

(2.9)

(2.10)

есть скорость тепловыделения в результате столкновений. Величина тепловыделения также представляет собой сумму: Qa = åQab. В левой части уравнения баланса энер гии первый член представляет собой скорость изменения энергии единицы объема, которая включает в себя энер гию направленного и теплового движения. Второй член складывается из дивергенции полного потока энергии: 2 3 24 1 2 5 12 3 6 7 9 1 1 312 8 2141 31 8 5 1 2   2  и работы сил давления и вязкости: 2 31 3 4 5 6112 2412 97 3 251 8 1 12 взятых с обратным знаком. В результате появляется ко эффициент 5/2 перед naTa. В правой части уравнения (2.8) кроме тепловыделения Qa содержится работа электриче ского поля и работа силы трения. Сила Лоренца не совер шает работы, так как она перпендикулярна скорости, по этому соответствующий член отсутствует в (2.8). Уравнение баланса энергии может быть скомбиниро вано с уравнением непрерывности и с уравнением баланса сил (2.7). В результате уравнение (2.8) может быть пере писано еще в двух эквивалентных видах:

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

1 3 2 13 4 2 3 3 4 5 1 3141 51 2 3 2 26 1 1 2 2511 1 1 33141 4 5 5 3 6112 3 4 5 71 7 81 3 292 1 3 32 5 141 624 51 5 3 8

2 1 79 26 2411 1 1 53151 6  4 5 112 5 6  71 81 3 292

41

(2.11)

(2.12)

Эти уравнения описывают изменение внутренней энер гии частиц и представляют собой уравнения баланса тепла. Процедуру интегрирования кинетического уравнения можно продолжать, в результате чего получится бесконеч ная система уравнений моментов. Так как она является прямым следствием кинетического уравнения, то справед лива всегда. Однако практическое ее использование в об щем случае невозможно. Действительно, чтобы определить профиль концентрации из уравнения непрерывности, надо 1 1 знать направленную скорость 11 ; для нахождения 11 из уравнения баланса сил необходимо знать давление pa, вяз 1 кость pajk и силу трения 11 ; в уравнения баланса тепла 1 входят новые величины 11 и Qa и т. д. Чтобы сделать систему уравнений непрерывности, ба ланса сил и энергии (тепла) выра 1 замкнутой, необходимо 1 1 зить величины pajk, 11 , 11 и Qa через na, 11 , Ta и их про странственные производные. Такая процедура возможна в гидродинамическом приближении, когда характерные пространственные и временные масштабы достаточно ве лики, а столкновения достаточно часты. Критерием яв ляется малость длины свободного пробега la или лармо ровского радиуса ионов rca по сравнению с характерным масштабом изменения параметров плазмы Ln = ½dlnn/dx½-1 (или LT = ½dlnn/dx½-1 и т. п.). Характерное время t должно быть велико по сравнению со временем между столкнове ниями 3 211 или обратной циклотронной частотой 31121 1 Элек трическое поле также должно быть мало для полностью ио низованной плазмы, например, E << ED, где ED — поле Драй сера (1.44). В неоднородном магнитном поле критерий

42

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

применимости гидродинамического описания может быть жестче, изза дрейфа ларморовских орбит условие имеет вид Dr << Ln, LT, где Dr — смещение ведущего центра между столкновениями. Отдельного рассмотрения требует область вблизи материальных границ плазмы, где концентрация частиц стремится к нулю и уменьшается масштаб Ln; в этих областях всегда требуется кинетическое рассмотрение. Согласно терминологии термодинамики необратимых 1 процессов величины Rab, 1 , pajk и Qab называются термо динамическими «потоками» jm, а факторы, 1 приводящие 1 к отклонению от равновесия ÑTa, Ta-Tb, 11 3 12 и 4112 3

12 2311 2312 2 4 5 6 12 7 8 31 252 2 51 3

называются термодинамическими «силами» xn. Величи на Wajk известна как тензор скорости сдвигов. В гидроди намическом приближении «потоки» jm линейно связаны с «силами» xn, а последние линейно выражаются через поправку f1 к максвелловской функции распределения. Общая линейная связь имеет вид 31 1 2 412 52 1

(2.13)

2

а матрица Lmn называется матрицей коэффициентов пере носа. Таким образом, чтобы найти входящие в уравнения моментов «потоки», необходимо вычислить поправку к максвелловской функции распределения f1 и с ее помо щью вычислить коэффициенты переноса. Уравнения мо ментов с известными коэффициентами переноса называ ют обычно уравнениями переноса. 2.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ. МЕТОД ЧЕПМЕНА — ЭНСКОГА Покажем, как вычисляются коэффициенты переноса в полностью ионизованной плазме. Заряд ионов положим для простоты единицей. Будем искать функцию распределения в виде ряда (2.14) 11 2 110 3 111 3 1112

43

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

где 110 — максвелловская функция распределения (не сдвинутая за счет направленной скорости), а 111 — малая поправка. Для определенности рассмотрим электронную функцию распределения. В кинетическом уравнении 121 1 121 1 2 1 1 4 1 1 5 3 1211 63 1 7 9 671

4 6 3 8 5  17 18 91 

 13 главными членами являются столкновительный член и член с магнитным полем, а остальные члены содержат малость, так как электрическое поле и градиенты малы, а процессы предполагаются медленными. Максвелловская функция распределения обращает в ноль электрон#элек# тронный столкновительный член:

2311 1410 2410 3 1 02

(2.15)

а перекрестный столкновительный член содержит малый параметр — отношение масс me/mi. Так как максвеллов# ская функция распределения зависит только от модуля ско# рости, то она обращает в ноль и член с магнитным полем:

1 2 1 1 3 12110 3 4 47 5 01 56 13

(2.16)

Поэтому поправку 211 необходимо удерживать в столк# новительном члене и члене с магнитным полем, а в осталь# ных «малых» членах достаточно удержать только 210 . В ре# зультате имеем 0 1 1310 1 1310 1 1 1321 1 2 1 1 3 1321 44 1 5 5 1 5 4 6 69 1 7 8 17 1 81 1 4 81 9 14 7 711 1310 2 311 3 4 711 1311 2 310 3 4 712 131 2 32 34

(2.17)

Здесь в электрон#электронном столкновительном чле# не проведена линеаризация. Концентрация и темпера# тура в максвелловской функции распределения являют# ся функциями времени. Производные от них по време# ни можно выразить через производные от координат с помощью уравнений моментов, взятых с соответствующей точностью. Получившееся уравнение для 211 является

44

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

линейным интегро дифференциальным уравнением. Ре шив его, можно найти 211 как функцию термодинамиче ских сил, а затем, вычисляя с ее помощью термодина мические потоки, можно получить коэффициенты пере носа. Покажем, как реализуется эта программа для однород ной изотермической плазмы без магнитного поля, поме щенной в постоянное однородное электрическое поле. Начнем с преобразования перекрестного столкновитель ного члена: 1 5 152 5 151 2214 3 1 (2.18) 6712 5 6 834 1 1 6 2 2 9 43 7 1 1 3 2 1 4 1 1 4 Из за малости отношения масс ионную функцию рас пределения в (2.18) можно положить максвелловской. Так как относительная скорость близка к скорости электро нов, то в первом приближении Ujk = Vjk, где 312 2

1 12 31 32 3 3 1 3 3

(2.19)

Сохраняя с точностью до me/mi только второй член в (2.18), после интегрирования получаем 15 3 2 14 6 7812 6 24 2 5 1 7 934 1 81 194

1 193 9

(2.20)

Вычислим сначала силу трения в так называемом ква зигидродинамическом приближении, когда электронная функция распределения предполагается максвелловской, 1 1 1 сдвинутой на величину 31 1 32 2 3 (в системе отсчета, где ионная направленная скорость равна нулю). Полагая 2 11 31 1 310 11 2 1 45 23 61 используя тождество VjkVk = 0, имеем 1 1 1 21514 2 1 3 1 11 3 1834 2 10 8 348 4 6120 4 5 71 89 12 8 4 8 5 1 383 384 1 1 4 3 2151 2 4 8 2834 10 4 38 5 5 1 383

45

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

С учетом соотношения

1312 23 23 3 131 3

имеем

1 1 3120 1 241 53 12 61

(2.21)

4 21 314 2 5 31 3 4111 2513 12

(2.22)

где 312 4

— усредненная частота столкновений электронов. Числен ный коэффициент в выражении (2.21) равен единице. Это следствие предположения о максвелловском характере функции распределения. В реальности же функция рас пределения электронов не является сдвинутой максвел ловской, так как более быстрые электроны сталкиваются реже, чем более медленные, поэтому функция распреде ления деформирована и вытянута в направлении против электрического поля. В результате численный коэффици ент в силе трения оказывается почти вдвое меньше. Чтобы правильно вычислить силу трения, перейдем в систему отсчета, движущуюся со средней скоростью 1 электронов 21 1 и произведем разбиение электронионно го столкновительного члена:

3411 1510 2 511 3 2 3411 15112510 3 2 3412 151 2 521 3 3 1 16 45110 35 5 3412 151 2 52 5 521 34 71 48

(2.23)

В электронионном столкновительном члене добавлен и вычтен член 3412 151 2 521 3 , где 211 — ионная функция распре деления, сдвинутая таким образом, чтобы средняя скорость ионов совпала со средней скоростью электронов. При этом в правой части (2.23) возникает слагаемое 3412 151 2 51 2 521 32 которое содержит малую величину 21 2 211 и в котором, сле довательно, можно положить 21 1 210 1 Оно содержит малость me/mi. Поправку 211 ищем в виде 1 (2.24) 211 1 210 213 23

46

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Подставляем (2.24) в (2.23). Электрическое поле в (2.23) выражаем через силу 1 1 трения из уравнения баланса сил для электронов 134 1 512 . Член 3412 1510 2 521 3 преобразу ем следующим образом. Согласно (2.20)

6712 1810 2825 3 6

421453 4 19 1 9 8 0 32

11 493 34 4 1

где главная часть тензора относительных скоростей вы 1 числена относительно ионов, имеющих скорость 11 :

2 12 131 3 41 2132 3 42 2 3121 4 1 1 5 3 1 13 3 34 3 34 1312 23 2 3 32 1 получаем 131 3 4 32 1 1 41 1 0 0 4512 161 2 623 3 4 5 7861 4 91 1 В результате (2.23) преобразуется к виду 1 1 11 12 1 42414 3 56 0 13120 1 312 (2.25) 711 142 1 712 142 5 8 5810 3 1 1 91 1 5 3 4 1

Учитывая, что 3121 132 2 42 2 3 0 и

Сила трения разбита на два слагаемых: 1 1 1 312 1 3120 2 3121 1 1 Величина 3120 (2.21) обусловлена максвелловской функ цией распределения 210 , сдвинутой относительно ионов на 1 величину 1 . Вторая часть силы трения вызвана поправ кой (2.24): 1 1 1 3121 1 3 41 5612 12275 3 (2.26) Здесь 312 122 3 4512 1610 23 621 23 311 122 3 451610 3 610 22 4 4511 1610 23 610 24

(2.27)

Уравнение (2.25) представляет собой интегродиффе ренциальное уравнение для поправки к функции распре деления. Мы полагаем, что концентрация, температура и сред няя скорость (равная нулю в избранной системе отсчета)

47

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

определяются нулевой функцией распределения. Поэтому поправка должна удовлетворять следующим условиям: 1 1 1 1 3 210134 2 01 3 4210134 2 01 3 4 2210134 2 02 (2.28) Из соображений векторной инвариантности решение ищем в виде 11 1 2 1 12 2 232 3 Функцию A(V2) удобно искать в виде разложения по полиномам Лагерра:

5 24 2 3 2

31 91

1

3 62 73212 2834

82

2 21

31 4 2 5 291

(2.29)

Полиномы Лагерра (Сонина) представляют собой ор% тогональные полиномы, которые удовлетворяют условию ортогональности: 1

6 41 4561342512 142513 14264 4 0

1 2 2 123 5 23 7 23

(2.30)

1 Первые два полинома имеют значения 21 0 1 11 21 1 1 1 2 1 3 3 . Разложение в (2.29) начинается с k = 1, чтобы обеспечить условие (2.28). Умножая (2.25) на

3

4 1 31 2 157 46 81 57

11 2

1 1 3 42 2 1 45321 2 4 1 5 64 6 281 7

и интегрируя по скоростям, получаем бесконечную систе% му алгебраических уравнений 1 232 3 411 3 k = 1, 2…. 1312 2 312

(2.31)

1 — безразмерные матрицы: где akl, 312 4 15 6 14 7 45 4 623 14 6 14

623 4 5

1 51 7321 2 28393 11 733 1 2 28393 9 4 8 2 1 1 51 731 2 28393 14 733 1 2 28393 9 5 (2.32) 2 1 8 2

1

2

1

2

1 приведены в работе [9]. Обрывая ряд Матрицы akl и 312 (2.29) и ограничиваясь первыми полиномами Лагерра, можно решить конечную алгебраическую систему (2.31)

48

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

и найти коэффициенты al, а следовательно, и поправку к функции распределения. Вычисленная с учетом поправки сила трения имеет вид 1 1 1 1 1 (2.33) 312 1 3120 2 3121 1 30151451 4 12 261 3 62 34 Аналогичным образом вычисляются остальные «пото ки» и «силы» в общем случае. 2.3. СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ Приведем сводку результатов для полно стью ионизованной плазмы, полученных в работе Брагин ского [9]. Ограничимся случаем однозарядных ионов Z = 1 и сильного магнитного поля wce >>nei, wci >> nii. Сила трения состоит из двух частей: 1 1 11 1 (2.34) 534 1 5 2 5 1 3 52 1 11 Первая часть силы трения 2 1 связана с относительной скоростью электронов и ионов: 11 1 1 1 1 1 4 1 2 3562 4 23 1025112 5 11 32 1 2 12 3 13 4 (2.35) Частота электронионных столкновений согласно (2.22): 3 12 4

4 21 314 2 2 3 4111 2513 12

(2.36)

где кулоновский логарифм: 1 2 2314 3 1115 23 2 4 3145 23 31 1 31 5 5014 4 1 2 2314 3 1115 23 2 4 213123 31 1 31 6 5014 5

В выражение для кулоновского логарифма концентра цию следует подставлять в единицах CGS, а температу 1 ру — в электронвольтах. Вторая часть силы трения 2 1 называется термосилой и зависит только от градиента электронной температуры: 2 2 3 3 51 12 2 6 3 (2.37) 7 4 5017156131 5 7631 9 2 2 41 8 6

49

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Поток тепла ионов имеет вид

2 2 3 5 2341 2 5 (2.38) 61 4 56117141 5 61 1 7 141 8 9741  1 2 75 5

где коэффициенты теплопроводности вдоль и поперек маг нитного поля: 3 11 4

319341 2341 211 1 31 1 4 1 51 2 11 51 5221

(2.39)

а частота ионионных столкновений: 311 4

4 1 234 2 2 3 4111 25131 2

(2.40)

Поток тепла электронов состоит из двух частей: 1 1 11 (2.41) 43 1 431 2 432 1 Поток, обусловленный теплопроводностью, имеет вид 2 2 3 5 3421 2 5 (2.42) 612 4 56 117121 5 61 1 7 121 5 8721 1 2 15 9 5 где

3 11 4

3116451 2451 2 12 1 31 1 4 2 61 2 12 61 5231

(2.43)

Вторая часть электронного потока тепла вызвана от носительной скоростью: 1 1 21 1 3 561 1 7 12 (2.44) 81 3 0171561 22 4 5 62 2 2 941 13 7 7 8 Источники и стоки тепла представляют собой тепло обмен между электронами и ионами и джоулев нагрев, который присутствует только в электронном члене: 331 42 2 41 2 53 12 161 4 62 23 32 11 41 2 4 78 4 41 4 (2.45) Тензор вязких напряжений состоит из двух частей: 2 21 21 1 2 11 3 1 2 1 (2.46)

50

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Первая часть зависит от скоростей, а вторая часть — от потоков тепла. В отсутствие магнитного поля первое слагаемое имеет вид

2 131 132 2 13 21 4312 5 670 412 5 67 8 6 9 12  3 1 3 1 1 5 5 1  2  1 1 В сильном магнитном поле 11 2 22:

(2.47)

1

1122 2 340 522 1 1 4 4 1133 2 3 0 2533 5 544 3 3 1 2533 3 544 3 3 43534 1 2 2 1 4 4 1144 2 3 0 2533 5 544 3 3 1 2544 3 533 3 5 43534 1 2 2 1 1 4 1134 2 1143 2 341534 5 3 2533 3 544 31 2 1 1 1132 2 1123 2 342532 3 44 542 1 1

1

1142 2 1134 2 342542 5 44 532 4

(2.48)

Коэффициенты вязкости для ионов: 110 2 0196341 2 311 1 34 3 111 2 013 12 11 1 112 2 4111 1 421 341 113 2 1 114 2 2113 3 2421

(2.49)

Для электронов вязкость обычно несущественна. Вто" рая часть тензора вязких напряжений становится суще" 1 1 ственной, когда поток тепла 21 становится порядка 234 1 11 соответствующие выражения приведены в [10]. Вязкост" ное тепловыделение связано в основном с ионами; его глав" ная часть: 282 50 3 283 281 28 4 (2.50) 9156 6 7827 6 9 7 2 4 1 237 3 23 21 24 Численные коэффициенты для случаев многозарядных ионов и промежуточных значений магнитного поля при" ведены в [9]–[10].

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

51

2.4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ. КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ Проанализируем качественно полученные результаты для коэффициентов переноса. 2.4.1. СИЛА ТРЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ. ТЕРМОСИЛА

11 Оценку для части силы трения 2 1 , связанной с отно сительной скоростью, несложно вычислить как изменение 1 1 импульса электрона относительно иона 31 141 1 42 2 за время 11 1 умноженное на концентрацию между столкновениями 2 12 заряженных частиц n. Для движений поперек магнитного поля функция распределения электронов близка к максвел 1 ловской, сдвинутой на величину 1 , так как вращение по ларморовской окружности уменьшает анизотропию функ ции распределения. Поправки содержат малость порядка nei/wce. Поэтому поперечная часть силы трения совпадает с силой трения в квазигидродинамическом приближении (2.21). В продольном же направлении изза искажения функции распределения появляется численный коэффи циент и сила трения оказывается почти вдвое меньше. Вторая часть силы трения, пропорциональная градиен ту электронной температуры, известна как термосила. По явление этой силы связано с зависимостью частоты столк новений от скорости при кулоновских столкновениях. Рассмотрим электроны с нулевой средней скоростью, стал кивающиеся с неподвижными ионами в плазме без магнит ного поля. Потоки электро нов через единичную площад ку, расположенную при z = z0 (рис. 2.1), направлены в проти воположные стороны и равны G+ ~ G- ~ nVT (VT — тепловая скорость). Так как электроны при столкновениях теряют им пульс, появляются две силы, Рис. 2.1

52

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

пропорциональные соответствую щим потокам R+ ~ R– ~ menVTnei, действующие на ионы. В плазме с однородной температурой и плот ностью эти силы сбалансированы и суммарная сила равна нулю. В присутствии же градиента элек тронной температуры электроны, Рис. 2.2 пересекающие площадку, прихо дят из областей с разной температурой, отличающейся на величину dTe = (dTee/dz)le, где le — длина свободного про бега. Поэтому R+ ¹ R– и возникает несбалансированная сила. Если, например, температура электронов справа больше, то изза того, что кулоновская частота столкновений падает с ростом скорости, сила R+ меньше, чем R–. В результате воз никает несбалансированная сила, вытягивающая ионы в го рячую область. Величина этой силы: 41 43 (2.51) 5 3 2 61 12 331 783 2 7 1 1 431 49 По третьему закону Ньютона такая же сила с противо положным знаком действует на электроны. Поперек сильного магнитного поля электроны вра щаются по ларморовской окружности, и поэтому несбалан сированная сила возникает в направлении, поперечном к градиенту температуры (рис. 2.2). Так как электро ны приносят импульс с расстояний порядка ларморовско го радиуса rce, то различие в температурах составляет dTe = (dTe/dz)rce. Аналогично (2.51) на ионы действует сила 1 1 25 3 (2.52) 6 3 4 7 12 7 5 631 8 1 941 5  а на электроны — такая же сила с противоположным знаком. 2.4.2. ПРОВОДИМОСТЬ

В однородной плазме без магнитного поля или вдоль магнитного поля электрическое поле уравновешивается силой трения. В результате возникает ток, величина ко торого согласно (2.35) есть

53

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

2 2 1 1 21 21 где спитцеровская проводимость: 312 11 2 1 025141 3 12

(2.53)

(2.54)

Так как частота кулоновских столкновений пропор циональна концентрации заряженных частиц, то прово димость полностью ионизованной плазмы не зависит от концентрации и определяется электронной температурой, 11 2 213 1 2 2 Отметим, что в отличие от случая частично ио низованной плазмы в полностью ионизованной плазме отсутствует понятие подвижности — уравнение (2.53) по зволяет определить лишь относительную скорость элек тронов и ионов, но не сами эти скорости. Это связано с отсутствием выделенной системы отсчета, связанной в слабоионизованной плазме с нейтральным газом. В литературе часто вводится величина s^ = ne2/(menei), которая, однако, не определяет реальную проводимость плазмы поперек магнитного поля. Действительно, одно родное электрическое поле, приложенное поперек магнит ного, всегда можно обратить в ноль в соответствии с преоб разованием Лоренца за счет перехода в систему отсчета, 1 1 2 движущуюся со скоростью 112 1 323 3 4 Поэтому однород ное электрическое поле в полностью ионизованной плаз ме вообще не вызывает тока в поперечном направлении. В этом смысле поперечная проводимость полностью иони зованной плазмы равна нулю, так же как равны нулю по перечные (в направлении электрического поля) подвиж ности электронов и ионов. 2.4.3. ПОТОК ТЕПЛА. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, КОНВЕКТИВНАЯ ЧАСТЬ

Поток тепла, как и сила трения, состоит из двух час тей. Первая часть является линейной функцией градиен та температуры и обусловлена теплопроводностью. Она имеет вид 1 2 211 2 341 1 511 2 3 361 1 511 2 (2.55) 3

54

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Оценка компонент тензора теплопроводности 11 и тен зора температуропроводности 11 вдоль и поперек магнит ного поля производится так же, как и для частично иони зованной плазмы. Диагональные компоненты тензора тем пературопроводности по порядку величины оцениваются как средний квадрат случайных блужданий, умноженный на частоту столкновений. Вдоль (в отсутствие) магнитно го поля 1 11 2 321 4 12 1 121 2 322 4 22 2 (2.56) Так как длины пробега электронов и ионов при срав нимых температурах есть величины одного порядка, то 111 1 121 2 32 1 31 — продольная теплопроводность элек тронов намного больше ионной. Поперек магнитного поля частицы при столкновениях смещаются на величину лар моровского радиуса, поэтому (2.57) 21 1 3 4221 5 13 1 2 3 4223 533 2 Соотношение поперечных коэффициентов температу ропроводности обратное — 21 1 1 2 2 1 3 31 1 32 . Оценки по токов тепла в направлении градиентов температуры лег ко получаются как разность тепловых потоков, приноси мых с длины пробега или ларморовского радиуса. Вдоль магнитного поля 21 311 4 3112 3 3113 4 451 511 4 451 6 1 1 1 26 а поперек 23 412 5 4123 4 4124 5 5611 7 11 831 5 56211 7 11 1 1 26 В магнитном поле появляются также холловские по токи тепла, соответствующие недиагональным компо нентам тензора теплопроводности. Вдоль оси у возни кает несбалансированный поток тепла через элемент площади. Односторонний поток тепла, пересекающий площадку, имеет порядок nVTT, а его несбалансирован ная часть дается оценкой nVTrcdT/dx. В результате для электронов 1 3421 1 26 6721 3 1 5121 4 5 (2.58) 9 162 8

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

55

Холловский поток тепла ионов имеет противополож ный знак. Поток тепла (2.58) перпендикулярен градиенту температуры, поэтому в однородном магнитном поле и при постоянной концентрации его дивергенция равна нулю, то есть этот поток не приводит к изменению температу ры. В неоднородном же магнитном поле дивергенция хол ловского потока (2.58) отлична от нуля, что на языке дрейфов соответствует дивергенции конвективного пото ка тепла, связанного с перемещением ведущих центров частиц. Для электронов в дополнение к теплопроводностно му потоку существует поток тепла, связанный с отно 11 сительной скоростью, 321 в (2.41). Так же как и у термо силы, его происхождение связано с зависимостью час тоты столкновений от скорости. Искажение функции распределения электронов по сравнению со сдвинутой максвелловской функцией распределения приводит к тому, что в отсутствие магнитного поля больший вклад 1 в относительную скорость 1 вносят электроны с боль шими скоростями. В результате появляется поток теп 11 1 ла 321 2 452 1 . Механизм возникновения потока тепла поперек маг нитного поля иллюстрируется на рис. 2.3. Сила трения, связанная с относительной скоростью, тормозит элек троны, вращающиеся по ларморовской окружности, при положительных значениях у, и ускоряет — при от рицательных значениях. При этом совершаемая работа meneiuxrce приводит к тому, что энергия электронов, пере секающих площадку сверху, меньше, чем энергия элек тронов, пересекающих пло щадку снизу. Умножая раз личие в энергиях meneiuxrce на поток частиц nVT, полу чаем оценку потока тепла в направлении у: 1 1 21 561 2 7 13 Рис. 2.3 5 6 2 1 (2.59) 811 4 Тепловыделение 941 13 7 7 8 при столкновениях

56

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

2.4.4. ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ

Как известно, при столкновении легкой частицы с тя желой передается доля энергии порядка отношения масс. Поэтому, оценивая долю энергии, передаваемую от элек 113 1 3 , по тронов к ионам, как (3/2)n(Te - Ti) за время 2 21 1 2 лучаем для теплообмена 41 2

31 53 16 4 62 23 32 12 1

Член, ответственный за теплообмен, присутствует в уравнениях баланса тепла для ионов и электронов с раз ными знаками. 11 Член 1 12 , который имеется только в уравнении элек тронного 1теплового баланса, состоит из двух частей. Сла 11 гаемое 1 2 1 1 представляет собой джоулево тепловыделе ние, его можно переписать в виде 1 1 1 22 22 2311 3 2 4 1 1 (2.60) 52 5 1 1 1 Знак второго слагаемого, 1 21 3 , может быть положи тельным или отрицательным, соответствующее тепловы деление является обратимым. 2.4.5. ВЯЗКОСТЬ

Явление вязкости связано с переносом импульса. Пусть, например, в отсутствие магнитного поля и гради ента температуры средняя скорость uy меняется в направ лении x. Аналогично потоку тепла разность односторон них потоков импульса nVTuy с расстояния порядка длины свободного пробега составляет 451 1 2 32 4 678 55 4 678 6 321 4 321 1 21 3 1 3 42 Для коэффициента вязкости имеем отсюда оценку 121 2 340

341 56 1 40 5 2 32 6

(2.61)

В выражение для коэффициента вязкости ионов вхо дит ионионная частота столкновений, поэтому

57

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

hi0 ~ nmici||. (2.62) Подстановка (2.61) в уравнение баланса сил для ионов (2.4) приводит к уравнению диффузии:

121 1221 23 2 14 15 с коэффициентом диффузии D = Ti/(minii). Таким образом, вязкость соответствует диффузии импульса в направле нии градиента скорости. Аналогичным образом происхо дит перенос и других компонент скорости. В общем слу чае тензор вязких напряжений пропорционален тензору скоростей сдвигов (2.46): pjk = –h0Wjk. Тензор Wjk являет ся симметричным тензором с нулевым следом Wjj = 0. Этот тензор обращается в нуль, если плазма вращается как це 1 1 1 1 1 лое 1 1 12 3 2 2 или растягивается как целое 1 2 2 . Компо ненты тензора вязкости, вызванные потоками тепла, име 1 1 ют тот же порядок величины, если 11 2 231 41 . В сильном магнитном поле вязкость имеет более слож ный характер. Компоненты тензора вязких напряжений, содержащие коэффициенты h1 и h2, соответствуют умень шению шага случайных блужданий поперек магнитного поля до величины ларморовского радиуса. Компоненты же, содержащие коэффициенты h3 и h4, не зависят от час тоты столкновений и аналогичны холловским членам в потоке тепла. 2.5. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭНТРОПИИ Энтропия, приходящаяся на одну заряжен ную частицу, например на один электрон, имеет вид 21 1 3 12 31 2 12 4 3 const3 2

(2.63)

Уравнение для энтропии электронов является следст вием уравнений баланса тепла и уравнения непрерывно сти для электронов: 1 1 4 2231 5 3 4 5 131 261 3 1 2 3 1 6 71 3 (2.64) 27 81 81

58

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где рождение энтропии в единице объема есть 11 1 1 41 11 2 351 4 1241 3 67 3 5123 8123 3 2

(2.65)

Левая часть уравнения (2.64) описывает изменение энтропии во времени, перенос энтропии в пространстве и передачу энтропии ионам. Используя выражения для силы трения, потока тепла и вязкости из раздела 2.3, перепи шем рождение энтропии в виде 2 2 41 31 4 11 15141 22 6 1 1 15 141 22 6 41 41 2 2 2 2 1 6 1 6 1 6 710 5123 5123 3 (2.66) 81 81 2 Из этого выражения видно, что рождение энтропии есть существенно положительная величина. Для ионов, аналогично, имеем 1 1 4 2231 5 (2.67) 3 4 5 131 261 3 1 2 6 1 7 81 3 27 81 81 2 2 1 41 31 4 11 15141 22 6 1 1 15 141 22 6 710 5123 5123 3 (2.68) 41 41 2 Уравнение баланса суммарной энтропии sn = sen + sin имеет вид 1 1 1 1 3 3 245 3 4 5 151 461 3 52 462 3 1 3 2 2 6 71 3 72 3 712 3 81 82 27 391 18 8 82 22 1 1 49 12 1 4 712 6 1 1 8 2 6 (2.69) 82 81 92 8182 Если характерные времена переноса тепла за счет теп лопроводности и тепловыделения велики по сравнению с характерным временем изменения концентрации и темпе ратуры, так что диссипативными процессами можно пре небречь, то процесс является адиабатическим. При этом уравнения для энтропии электронов и ионов упрощаются: 1 2121 3 4 5 1121 31 2 6 03 (2.70) 24 Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение непрерывности, поэтому величины nsa и n изменяются

59

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

одинаково, а следовательно, их отношение — энтропия — сохраняется. Комбинируя (2.70) с уравнением непрерыв ности, получаем 1 211 3 121 4211 5 03 (2.71) 23 Таким образом, при адиабатических движениях энтро пия сохраняется вдоль направления движения, а следова тельно, сохраняется и величина:

1131 2 1 2 2 234567

(2.72)

Термодинамические «потоки» и «силы», обсуждав шиеся в разделе 2.1 и связанные соотношением (2.13), на зываются сопряженными, если 1 2 3 21 31 1 1

Из (2.66), (2.68) и (2.69) 1 видно, что сопряженными 1 1 являются «потоки» 11 1 1 , pajk, QD и «силы» ÑTa/Ta, 11 1/2Wajk, (Te – Ti)/(TeTi) соответственно. Для кинетических же коэффициентов Lmn, связывающих «потоки» и «силы» согласно (2.13), выполняется соотношение 1 1 312 142 1 321 12423 которое является следствием общего принципа симмет рии кинетических коэффициентов Онзагера.

Глава 3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

3.1. УСТАНОВЛЕНИЕ КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТИ

Плазма является квазинейтральной средой, то есть концентрации заряженных частиц, умноженные на заряд, для положительных и отрицательно заряжен ных частиц совпадают с высокой точностью. В стационар ном случае это следует из уравнения Пуассона, которое для однозарядных ионов имеет вид 1 (3.1) 1 2 3 3 442141 5 42 23 Действительно, оценивая потенциал в плазме как T/e, из уравнения Пуассона имеем

1 3 1 2 2 5 43 43252 где L = ½Ñlnn½-1 — характерный масштаб изменения кон центрации. Разделив разность концентраций на любую из концентраций, получаем условие квазинейтральности: 41 2 42 1

41 1 42 532 1 2 1 12 (3.2) 4 6 Таким образом, плазма является квазинейтральной, если дебаевский радиус значительно меньше ее характер ных размеров. Это условие нарушается вблизи границ плазмы, где L уменьшается. В объеме же плазмы обычно решают квазинейтральные уравнения, из которых нахо дится самосогласованное электрическое поле, обеспечи вающее квазинейтральность. Плотность заряда, которая ответственна за формирование самосогласованного элек

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

61

трического поля, может быть при необходимости опреде лена из уравнения Пуассона. В ряде случаев, например при протекании через плазму тока, потенциал в плазме может существенно превосходить значение T/e. В этом случае в критерий квазинейтральности (3.2) входит эффективный дебаевский радиус, в котором величина T/e заменена на соответствующую величину потенциала. Проанализируем теперь, как происходит процесс уста новления квазинейтральности, если в плазме созданы раз личные не квазинейтральные возмущения концентраций электронов и ионов. Анализ проведем на примере простой слабоионизованной плазмы без магнитного поля, состоя щей из электронов, однозарядных ионов одного сорта и нейтральных частиц. Исходной является система уравне ний непрерывности для электронов и ионов, куда подстав лены выражение для потока электронов (1.87) и анало гичное выражение для ионов: 121 2 3 4 15 31 321 2 21 41 362 7 5 5 63 17

(3.3)

121 2 3 4 15 31 321 5 21 41 362 7 5 5 63 (3.4) 17 Мы полагаем здесь температуры частиц постоянными, так что термодиффузия отсутствует. Члены в правых час тях описывают парные рождение и гибель частиц. В от сутствие магнитного поля коэффициенты диффузии и под вижности являются скалярами, причем в соответствии с соотношением Эйнштейна Da/ba = Ta/e. Система (3.3), (3.4) должна быть дополнена уравнением Пуассона (3.1). Проанализируем процесс установления квазинейт ральности для случая малых возмущений dne, dni, создан ных на фоне однородной плазмы с концентрацией ne = = ni = n0. Линеаризуем систему (3.1), (3.3), (3.4): 1221 3 4 5 131 4221 6 2041 4723 15 1221 3 4 5 131 4221 6 20 41 4723 15 12 3 4411531 6 532 23

(3.5)

62

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Ищем решение в виде интеграла Фурье: 11 1 1 221 13 243 3 1 3 5 22111 4561513 3612 1243 11 1 1 1 112 233 2 1 11 4561412 3517 4 3 1233 Подставляя в (3.5), имеем 123121 3 4 41 22 23121 5 51 30 22 621 1 16

123121 3 4 41 22 23121 4 51 30 22521 1 16 112 2 11 3 442154211 1 54311 23

(3.6)

Подставим выражение для потенциала из третьего уравнения (3.6) в первые два и будем искать зависимость от времени в виде, пропорциональном exp(–iwt). Получив шаяся система алгебраических уравнений имеет нетриви альное решение, если определитель равен нулю. При этом имеем два корня:

11 2 3241 1 532 2 12 2 3262 42 31 4 71 172 45

(3.7)

2 1/2

где дебаевский радиус rd = (Te/4pne ) . Общее решение име ет вид 14121 2 51 1234334165 5 52 43342656 (3.8) 14321 2 3473 51 7 71 51234334165 5 52 43342658 При выводе учтено, что De >> Di и krd << 1. Коэффици енты C1, C2 определяются из начальных условий: 01 3 2501 1 41 1 2512 32 01 3 6 4 2 6 2501 4 2501 1 42 1 2532 3 1 1 12 32

где 14101231 2 1411231 2034 Время 2111 1 2211 , поэтому процесс релаксации возму щений происходит в две стадии. На первой, быстрой, ста дии за время порядка 2111 , то есть за время диффузии элек тронов на масштаб порядка дебаевского радиуса, пере страивается возмущение концентрации электронов, в то

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

63

время как ионная концентрация практически не изменя ется. В конце этой стадии устанавливается равенство dne = dni, таким образом, установление квазинейтрально сти происходит за так называемое максвелловское время: 21 3 432 1 52 3 24452 311 4

(3.9)

где se = enbe — электронная проводимость. Второй корень w2 соответствует совместной эволюции электронов и ио нов за счет амбиполярной диффузии, рассмотренной в сле дующей главе. Процесс установления квазинейтрально сти происходит за счет подвижности в возникающем само согласованном электрическом поле, а не за счет диффузии. Действительно, пренебрегая диффузионными членами в уравнении (3.5), вычитая второе уравнение из первого и подставляя потенциал из уравнения Пуассона, получаем 2 135121 1 35321 2 (3.10) 4 1 61 7412 135121 1 35321 23 28 то есть релаксацию к квазинейтральному состоянию за максвелловское время. Установление квазинейтральности за максвелловское время происходит в плазме с частыми столкновениями, когда tMneN >> 1. В обратном случае возникают плазмен ные колебания, которые затем затухают, так что квази 11 . нейтральность устанавливается за время 2 12

3.2. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫЙ СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА Вблизи материальных поверхностей наруша ется приближение квазинейтральности и одновременно ста новится неприменимым гидродинамическое описание плаз мы, так как характерный масштаб изменения концентра ции L = ½Ñlnn½-1 стремится к нулю. Здесь возникают слои пространственного заряда с размерами порядка дебаевско го радиуса, более точный термин — размер слоя. Проана лизируем сначала структуру такого слоя в отсутствие маг нитного поля для случая, когда длины свободного пробе га электронов и ионов много больше размера слоя.

64

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Пусть, для определенно сти, стенка заряжена отрица тельно относительно плазмы. Вблизи стенки, на расстоя нии порядка дебаевского ра диуса, расположен положи тельно заряженный слой про странственного заряда (рис. 3.1). Дальше на масштабе по рядка длины свободного про бега притягивающихся частиц находится так называемый предслой, который разделя Рис. 3.1 ет слой и квазинейтральную плазму, где применимо гидродинамическое описание. Электроны и ионы, попавшие на границу слоя, ведут себя поразному. Ионы ускоряются в слое, поэтому все ионы, летящие в направлении стенки, на нее попадают. Значи тельная же часть электронов отражается от запирающего поля слоя и возвращается в плазму, и только самые энер гичные достигают стенки. Чтобы понять, как формирует ся электронная функция распределения, рассмотрим за дачу о пролете электронов через конденсатор с тормозя щим электрическим полем. 3.2.1. ЭЛЕКТРОНЫ В КОНДЕНСАТОРЕ С ТОРМОЗЯЩИМ ПОЛЕМ

Рассмотрим конденсатор с тормозящим полем для элек тронов и перепадом потенциала Df (Df — положительная величина). Пусть справа налетают электроны, имеющие максвелловскую функцию распределения для положи тельных значений скоростей Vx (рис. 3.2). Часть электро нов отражается от запирающего потенциала и возвраща ется назад, а часть преодолевает перепад потенциала и оказывается слева от конденсатора. В стационарном слу чае в отсутствие столкновений функция распределения в соответствии с теоремой Лиувилля должна сохранять ся вдоль траектории частиц. Отсюда следует утвержде ние, что в бесстолкновительном случае стационарная

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

65

функция распределения есть функция интегралов движе ния. Так как при движении сохраняется полная энергия электрона E = meV2/2-ef, то функция распределения так же должна быть функцией этой величины.

Рис. 3.2

Пусть справа функция распределения для частиц, ле тящих налево, максвелловская (положим здесь f = 0):

61 252 4 03 5 6 3 6 7

411 1 2 2 4522 3 456 8 7 9, 1 1 2 22 81 3  281

(3.11)

поэтому f = fM(E). Преодолеть тормозящий потенциал Df могут электроны с энергией большей, чем 20 1 21231 31 2 причем электроны со скоростью V0 тормозятся до нулевой скорости. Таким образом, слева от конденсатора для час тиц, летящих в положительном направлении х, 11 2 2 3422 3 2 145 3 31 51 242 6 03 7 6 456 8 1 456 8 997 (3.12) 9 81  71 22 71 311 2  271 Слева от конденсатора нет частиц, летящих в отрица тельном направлении, f_(Vx<0) = 0.

(3.13)

Справа же присутствуют отраженные электроны с ки нетической энергией меньшей, чем eDf, и отсутствуют электроны с большей энергией — они пролетели через кон денсатор. Поэтому 2 3 2 3422 3 3111 2 234 65 66 4 775 42 5 40 7 1 1 2 6 2 71 642 9 07 6 62861 7 1 78  6 7  05 42 40

(3.14)

66

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Наконец, внутри конденсатора 734 262 6 03 7 8

2 51 622 4 15223 3 5111 2 456 88 4 997 291 22 91 311 2 

734 262 03 7 8

2 5 6 2 4 15223 3 5111 2 456 8 4 1 2 997 62  601 7 1 2 1 8 291 22 91 3 

734 262 03 7 07 62  601 7 601 7

2 25  538 51

(3.15)

Отметим, что концентрация электронов даже справа от конденсатора не совпадает с А, а именно оказывается меньше А. Действительно, интегрируя функцию распре" деления (3.12), (3.14) по скоростям, получаем 31 2 2 11 1 145 134 261 34 2

(3.16)

где функция ошибок определена согласно 234 112 1

1

2 3451252 2656 3 40

Концентрация электронов внутри конденсатора: 212 2

31 4 11 3 356 321 3 4134 73 56782 39 2 73

(3.17)

Если перепад потенциала Dj > Te/e достаточно велик, то назад отражаются почти все электроны, функция оши" бок в (3.16) близка к единице, и можно считать, что n+ = A. При этом, начиная от правой пластины, концентрация спадает вглубь конденсатора по закону Больцмана: 32 212 3 21 1234 56 (3.18) 43 В то же время вблизи левой пластины концентрация (3.17) не соответствует больцмановскому распределению, так как здесь мало отраженных частиц. В частности, сле" ва от конденсатора концентрация в соответствии с (3.12): 123 2 31 4 12341 56 2 41

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

67

3.2.2. ПОТОКИ ЧАСТИЦ И ЭНЕРГИИ НА МАТЕРИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Нетрудно теперь вычислить потоки частиц и энергии, попадающие на стенку с границы слоя. Так как поток элек тронов сохраняется, то его можно вычислить, например, используя максвелловскую функцию распределения (3.11) для положительных скоростей на границе слоя (на пра вой обкладке конденсатора). Вклад в поток на стенку дают электроны, энергия которых превосходит eDf.

51 6

1

9 32 62 732 6

30

41 134 5 12347 56 8 41 28 1

(3.19)

Это же выражение можно получить, интегрируя по ток с функцией распределения (3.15) вблизи стенки, при чем интегрировать следует по всем положительным ско ростям частиц. Если перепад потенциала в слое значитель но больше, чем Te/e, так что можно пренебречь отличием функции ошибок от единицы в (3.16), то поток электро нов на стенку (ns º n+) 32 4

31 42 212 12345 56 42 26 52

(3.20)

Поток ионов на стенку можно получить, если предпо ложить, что все ионы на границе слоя имеют одну ско рость u0, направленную к стенке. В случае Te >> Ti это пред положение справедливо, как обсуждается ниже, ионы на бирают энергию Te/2 за счет ускорения в предслое, так что u0 = (Te/mi)1/2. Поток ионов на границе слоя совпадает с потоком ионов на стенку, так как все ионы ускоряются в поле слоя и приходят на стенку. Поэтому G i = n s u0 .

(3.21)

При вычислении потока энергии следует различать поток энергии, приходящий на стенку, и поток, уходя щий из плазмы, — они не совпадают. Поток энергии элек тронов на стенку проще всего вычислить, используя функ цию распределения (3.15) вблизи стенки. При этом необ ходима полная трехмерная функция распределения. Для Df >> Te/e

68

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ 1

91 2  0

61 7 2 8 63 1 2 73 2 1 3 1 2 3 2 224 1 3

8 26 7 2 5 21673 9 3 456 1 (3.22)

73 74 75 2 2 1  1 7 2 1   При вычислении потока энергии ионов следует учесть, что ионы в слое ускоряются и их кинетическая энергия увеличивается на величину eDf. С учетом набранной в предслое кинетической энергии Te/2, имеем qi = (eDf + Te/2)Gi.

(3.23)

Потоки энергии (3.22), (3.23) непосредственно вызы вают нагрев стенки. Чтобы вычислить поток энергии электронов на грани це слоя qes, уходящий из плазмы, следует проинтегриро вать поток энергии по скоростям от скорости V0 до беско нечности. В результате qes = (eDf + 2Te)Ge.

(3.24)

Поток энергии ионов qis, покидающий плазму, есть (в предположении малой ионной температуры) 1 412 1 53 21 1 (3.25) 2 Видно, что потоки энергии электронов и ионов, в от личие от потоков тепла, не сохраняются в слое, происхо дит перераспределение энергии между электронами и ио нами за счет работы, совершаемой электрическим полем слоя. Отметим, что при учете конечной ионной темпера туры поток энергии ионов существенно возрастает. 3.2.3. ВОЛЬТАМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СЛОЯ. ПЛАВАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ

Для многих задач физики плазмы необходимо иметь связь между перепадом потенциала в слое пространствен ного заряда и током, текущим на стенку. Это соотноше ние, которое называют вольтамперной характеристикой слоя, используется как граничное условие при определе нии распределения потенциала в объеме плазмы. Для бес

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

69

столкновительного слоя выражение для вольтамперной характеристики слоя следует из (3.20), (3.21). При eDf >> Te ток на стенку 11 2 15 4 611 2 5 134 62 1 5 41 6 5 7 162 9 1 8 234  8  5 (3.26) 7 2  71   41 

9 3  Если ток на стенку отсутствует, то стенка оказывается заряженной отрицательно относительно плазмы, а перепад потенциала в слое соответствует плавающему потенциалу. Под плавающим потенциалом находится изолированная поверхность, помещенная в плазму. В соответствии с (3.26) величина плавающего потенциала дается выражением 334 4

11 2

51 1 62 2 23 1 58 2761 69

4

(3.27)

Таким образом, плавающий потенциал составляет ве личину порядка нескольких Te/e (для водородной плаз мы, например, порядка 3Te/e). 3.2.4. СТРУКТУРА СЛОЯ. КРИТЕРИЙ БОМА

Найдем теперь распределение потенциала в слое с от рицательным перепадом потенциала. Распределение по тенциала в слое описывается уравнением Пуассона: 32 1 2 431141 4 42 23 352

(3.28)

Будем приближенно считать, что граница «плазма — слой» резкая, и на этой границе, расположенной при x = 0, плазма квазинейтральна ne = ni = ns и электрическое поле отсутствует. Концентрация электронов в слое, согласно (3.18), падает в соответствии с больцмановским распреде лением. Концентрация же ионов может быть найдена из условия сохранения потока (полагаем f(x = 0) =0): 11 2

231 3 2 4 41 5 42 50 5 41 263 7 502 6 (3.29) 71 8

9 Концентрация ионов в слое падает, так как они ускоря ются в электрическом поле, но электронная концентрация

70

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

должна падать сильнее, чтобы обеспечить положительный пространственный заряд. Уравнение Пуассона (3.28) при обретает вид

1 2 40 52 3 23 7 4 45261 7 2345 6 6 2 11 2 8 7 582 4 2 9 5 2 1 6 6 3 2 3 0 9

(3.30)

В безразмерных переменных 234

41 11 5 1 5 3 1 62 3 1 41 62 4673 12

1 12 1 7 2 3 2345316 4 2 15 51 4 1 1 10 611 2

(3.31)

где 10 2 31 402 1 252 2 Исследуем характер решения при малых значениях F. Раскладывая правую часть в ряд, получаем 111 2 31 2 42 502 3 . Пространственный заряд, которому пропорциональна пра вая часть (3.31), стремится к нулю на границе слоя, при чем знак его зависит от величины u0. Если u0 < (Te/mi)1/2, что соответствует отрицательному пространственному за ряду, то решение уравнения Пуассона (3.31) имеет коле бательный характер и не удается построить решение, со ответствующее отрицательному перепаду потенциала в слое и, следовательно, положительному пространственно му заряду. Если же u0 ³ (Te/mi)1/2, то существует монотон ное решение, соответствующее потенциалу. Условие u0 ³ (Te/mi)1/2

(3.32)

известно как критерий Бома. Разделение на слой и плазму является, конечно, усло вным. В реальности плазма и слой плавно переходят друг в друга за счет существования предслоя с масштабом длины свободного пробега притягивающихся частиц. Величина u0 зависит от конкретной плазменной задачи и характера столкновений. Для ее точного определения необходим ки нетический анализ. Такой анализ дает значение u0, близ кое к u0 = (Te/mi)1/2.

(3.33)

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

71

Покажем, как это следует из упрощенного гидродина мического описания. Рассмотрим одномерное стационар ное течение плазмы к границе. Складывая уравнения ба ланса сил для электронов и ионов и пренебрегая электрон ной инерцией и электроннейтральными столкновениями, имеем в плазме 45 41 62 1 61 2 71 851 1 2 3 3 71 4 13 51 (3.34) 49 49 или, с учетом уравнения неразрывности для ионов:

11 1

412 562 2 2 1323 3 622 57

(3.35)

Здесь cs = (dp/dr)1/2 — скорость звука в плазме, p = = pe + pi, r = nmi. Из уравнения (3.35) видно, что ионы ускоряются до скорости звука, при которой в уравнении имеется особенность и ускорение обращается в бесконеч ность (в реальности ускорение остается конечным и про исходит на последней длине свободного пробега). В рас сматриваемом нами случае Te >> Ti значение cs совпадает с величиной u0 (3.33). Уравнение (3.31) представляет собой аналог уравнения Ньютона. Умножая обе его части на dF/dx и интегрируя, получаем 2 1 1 13 2 (3.36) 4 2 132 5 03 6 7 2 9 18

где «потенциальная энергия», известная как потенциал Сагдеева, есть W(F) = 1 – exp(–F) – 2F0(F/F0 + 1)1/2 + 2F0. (3.37) Решение (3.36) для F0 = 1/2 имеет вид 13 4

1

1 112 2 7 1 1 2 2 0 31 5 2124 6 2 5 56736124

(3.38)

При больших перепадах потенциала в слое, полагая F >> 1, имеем распределение потенциала, соответствую щее закону Чайльда — Ленгмюра: 12

25 1 4 3 1 4 3 2 3

(3.39)

72

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Подставляя полный перепад потенциала и размер слоя в (3.39) и переходя к исходным переменным, получаем связь между размером слоя и перепадом потенциала в нем: 512 5

31 4

25 1 4 3 412 4 6 3 3 68 74 79

2

(3.40)

Таким образом, размер слоя оказывается порядка де баевского радиуса. В случае слоя, отталкивающего ионы, анализ проводится аналогично. 3.3. ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ. ДВОЙНОЙ СЛОЙ Структура бесстолкновительного слоя изме няется, если появляется дополнительный поток электро нов со стенки, вызванный термоэмиссией или вторичной электронной эмиссией. Пусть эмитируются электроны с максвелловской функцией распределения и температурой Tec, которая предполагается намного меньшей, чем тем пература плазменных электронов Teh. Ограничимся слу чаем плавающего потенциала стенки. Эмитируемые электроны частично нейтрализуют поло жительный пространственный заряд слоя, таким образом понижая перепад потенциала в слое и увеличивая поток горячих электронов плазмы на стенку. Для небольшого потока холодных электронов Gec имеем условие отсутст вия тока: Geh – Gec = Gi, (3.41)

Рис. 3.3

где потоки Geh и Gi определе ны согласно (3.10), (3.21). Со отношение (3.41) определяет перепад потенциала в слое как функцию эмиссионного потока Gec. Дальнейшее увеличение потока холодных электронов приводит к формированию

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

73

вблизи стенки области отрицательного пространственно го заряда, который частично запирает поток холодных электронов. Возникает так называемый «виртуальный катод» и формируется двойной слой с минимумом потен циала вблизи электрода (рис. 3.3). Отрицательный про странственный заряд и отрицательный перепад потенциа ла ограничивают поток холодных электронов, так что только часть потока 112 2 111202 попадает через двойной слой в плазму. Перепад потенциала Dfmin между стенкой и ми нимумом потенциала связан с потоком холодных электро нов, попадающих в плазму, соотношением

1 11202 2 1 12 67813145 13452 9312 2

поэтому величина Dfmin должна быть порядка нескольких Tec/e. Так как Tec << Teh, то перепадом потенциала Dfmin по сравнению с перепадом потенциала Df в двойном слое ме жду плазмой и стенкой можно пренебречь. В двойном слое необходимо решать уравнение Пуассона: d2f/dx2 = 4pe(neh + nec - ni).

(3.42)

Концентрации частиц в правой части выразим как функ цию потенциала. Ионная плотность попрежнему опреде ляется (3.29), где ns — концентрация ионов на плазменной границе двойного слоя. Концентрация горячих электронов должна быть описана более аккуратно, чем больцмановское распределение, так как перепад потенциала в двойном слое существенно меньше плавающего потенциала. Поэтому надо использовать функцию распределения (3.5), (3.6). Согласно (3.7) 312 115 2 1 4 678131591 3 156 1 1 12345 3 1 5  (3.43) 2 где F = –ef/Teh. Холодные электроны ускоряются в двой ном слое, поэтому в пренебрежении их начальной энергией

1 4 13 12345 4 35 2 2 1 4 13 12345 4 35 2 1 1 513 135 5 678 7 12 771 4 167 77 12 88 88 6 8 2 413 413 9

9 9

413 1 513 13 12345 5 9 6 (3.44) 412 13 12345 4 35 2 

74

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где nec(F(min)) представляет собой концентрацию холодных электронов в минимуме потенциала, она связана с пото ком холодных электронов соотношением 10 2 112 2

3 1 412 1313452 2 12 6 51 24

(3.45)

Интегрируем уравнение Пуассона с учетом того фак та, что на границах двойного слоя электрическое поле об ращается в ноль: 112345

5

1512 2 513 3 54 5 61 4 06

(3.46)

0

Комбинируя это условие с (3.43)–(3.44) и выражением для концентрации ионов (3.29), используя условие нулево го тока (3.41), принимая во внимание условие квазинейт ральности nehs + necs = ns на плазменной стороне, получим уравнение для перепада потенциала в двойном слое при плавающей стенке: 1 1 461 1 23 12 211 4 72 6 8 92 5 2

345142312 2 7 6 7 7 3 0 8 1 1 452 2312 4 1 97 7

45

83 90  11 23 12 (3.47) где DFfl = eDFfl/Te. Здесь мы пренебрегли членами, содер жащими (me/mi)1/2. Для The >> Ti с учетом критерия Бома 41 502 1 623 получаем DFfl = 0,95. Видно, что перепад потен циала в двойном слое, возникающем при сильной элек тронной эмиссии, действительно существенно понижает ся по сравнению с плавающим потенциалом (3.47). Двойные слои могут возникать не только вблизи эми тирующего электрода, но и в различных других ситуаци ях, в частности, на границе раздела двух различных плазм, так что их роль в физике плазмы фундаментальна. 3.4. СЛОЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Структура слоя для нормального или почти нормального к поверхности магнитного поля не изменя ется по сравнению с ситуацией без магнитного поля, в то время как для наклонного или параллельного поверх

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

75

ности магнитного поля структура слоя существенно меняется. При чина заключается в следующем: если дебаевский радиус меньше, чем ларморовские радиусы частиц, то вблизи стенки образуется так называемый магнитный предслой (рис. 3.4) размером порядка лармо ровского радиуса. Для отрицатель но заряженной стенки это лармо Рис. 3.4 ровский радиус ионов. Рассмотрим общую ситуацию в наклонном магнитом поле, образующем угол Q со стенкой. На расстоянии по рядка ионного ларморовского радиуса ионы попадают на отрицательно заряженную стенку за время порядка обрат ной циклотронной частоты 21121 1 При этом их функции рас пределения сильно отличаются в зависимости от того, пе ресекают или не пересекают их орбиты стенку. На орби тах, пересекающих стенку, концентрация ионов падает, так как эти орбиты пополняются за счет более медленного прихода ионов вдоль магнитного поля. По мере прибли жения к стенке количество орбит, пересекающих стенку, растет, а концентрация на них уменьшается. Вблизи стен ки на границе слоя практически все орбиты пополняются за счет прихода ионов вдоль магнитного поля. Концентра цию ns здесь можно оценить, приравнивая тепловой по ток ионов ns(T/mi)1/2, нормальной компоненте ионного потока, приходящего из плазмы: n(T/mi)1/2sinQ. В резуль тате концентрация ns ~ nsinQ на границе слоя оказывает ся существенно меньшей, чем на внешней границе маг нитного предслоя. Особенно велик перепад концентрации в предслое при малых углах Q, когда силовая линия поч ти параллельна стенке. Электроны в предслое заперты, и профиль потенциа ла здесь соответствует больцмановскому распределению для электронов. Перепад потенциала в предслое поэтому значителен: Df ps = (Te/e)lnn/ns = (Te/e)ln(sin-1Q). Расчет профиля концентрации внутри предслоя довольно сло жен, так как для этого необходимо решать кинетическую

76

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

задачу. Тем не менее нетрудно сформулировать вольтам перную характеристику слоя и предслоя вместе, отсчи тывая перепад потенциала до стенки от внешней грани цы предслоя. Нормальный поток электронов на стенку представляет собой проекцию потока вдоль магнитного поля: 4 15

112 3 123 3 21 45676 89 21 27 41

(3.48)

Поток ионов в стационарном случае сохраняется и сов падает с нормальной компонентой потока на правой гра нице магнитного предслоя: 3 12 2 4 123 3 1 4 (3.49) 52 Скорость ионов в (3.49) соответствует критерию Бома. Вольтамперная характеристика оказывается, таким об разом, обобщением (3.26):

15 3 611 2 1 5 31 611 2 5 134 62 (3.50) 4 7 15 234 8 1 9 567 9

 8 2  61   31 

 62  При очень малых углах наклона это выражение, одна ко, становится неприменимым. Дело в том, что при ма лых углах Q заполнение орбит ионов, пересекающих стен ку, происходит не за счет прихода ионов вдоль магнитно го поля, а за счет перехода ионов с орбит, не пересекающих стенку, в результате ионнейтральных и ионионных столк новений. При этом орбиты, пересекающие стенку, оста ются почти пустыми, так как время «опустошения» (ухо 11 , а время заполнения — 2 11 . да на стенку) составляет 212 1 Поток ионов на стенку равен потоку ионов на выходящие на стенку орбиты. Последний поток по порядку величины оценивается как (3.51) Gi ~ nrcini. Точное выражение для потока (3.51) как в частично, так и в полностью ионизованной плазме можно найти в [7]. Таким образом, вольтамперная характеристика (3.50) справедлива при углах наклона Q > ni/wci. При меньших углах наклона анализ становится более сложным [7].

Глава 4. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

4.1. УРАВНЕНИЕ АМБИПОЛЯРНОЙ ДИФФУЗИИ

Рассмотрим простую (состоящую из ионов одного сорта и электронов) плазму с постоянными и одно родными температурами частиц. Нейтральный газ также предполагаем однородным. Выберем систему отсчета, в которой нейтральный газ покоится: uN = 0. Используя условие квазинейтральности, из (3.3)–(3.4) получаем ис ходные уравнения для определения концентрации и по тенциала: 13 2 3 4 15 41 33 2 351 362 7 6 5 73 18 13 2 3 4 15 42 33 5 352 362 7 6 5 74 (4.1) 18 Потенциал исключается из этой системы уравнений. Умножая первое уравнение на bi, а второе на be, склады вая первое и второе уравнения, получаем уравнение амби полярной диффузии: 12 2 31 32 4 4 2 51 16

(4.2)

Коэффициент амбиполярной диффузии: 43 2

41 52 1 42 51 1 51 1 52

(4.3)

С учетом соотношения Эйнштейна имеем Da = Di(1+Te/Ti).

(4.4)

78

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Уравнение амбиполярной диффузии позволяет найти распределение концентрации независимо от распределе ния потенциала. При этом необходимо задать граничное условие на ограничивающих материальных поверхностях. Для этого поступим следующим образом: поток ионов на границе пристеночного слоя, как обсуждалось в предыду щей главе, должен быть порядка 1 2 41 52 1 63 2 С другой стороны, этот же поток в плазме определяется амбиполяр ной диффузией и согласно (4.2) G ~ nDa/L, где L — харак терный размер плазмы, а n — концентрация внутри плаз мы. Приравнивая потоки, получаем оценку для концен трации на границе слоя (liN — длина свободного пробега ионов): (4.5) ns/n ~ liN/L << 1. Поэтому при решении уравнения амбиполярной диф фузии на границе со стенкой можно считать концентра цию нулевой, так что граничное условие есть n½s = 0.

(4.6)

Распределение потенциала найдем, вычитая одно урав нение в (4.1) из другого. При этом получаем равенство ди вергенций потоков частиц: 1 1 (4.7) 1 2 3 1 4 1 2 32 или условие отсутствия дивергенции плотности тока: 1 (4.8) 1 2 1 3 01 Для потенциала имеем уравнение Ñ × [n(be + bi)Ñf] = Ñ× [(De - Di)Ñn].

(4.9)

Потенциал, который удовлетворяет уравнению (4.9), можно представить в виде суммы f = f d + f c.

(4.10)

Диффузионная часть потенциала jd определяется гра диентом концентрации плазмы1 и соответствует равенству 1 потоков электронов и ионов 11 2 12 1 Равенство потоков имеет вид (4.11) –DeÑn + benÑfd = –DiÑn + binÑfd,

4. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

79

откуда находим 23 3

41 1 42 5 12 6 4 const 5 1 12 6 4 const3 71 4 72 1

(4.12)

Вторая часть потенциала jc соответствует протеканию сквозного тока и удовлетворяет уравнению Ñ × [n(be + bi) Ñjc] = 0.

(4.13)

Эти явления рассмотрены в главе 6, здесь же мы огра ничимся случаем отсутствия сквозного тока fc = 0. В этом случае потенциал (4.12) соответствует больцмановскому распределению для электронов. Рис. 4.1 Поляризация сгустка плазмы в процессе амбиполярной диффузии:

а

б

а — j = 0, f = fd; б —дополнительная поляризация fc, вызванная током.

Поляризация положительного возмущения концен трации приведена на рис. 4.1а. Физический механизм воз никновения такой поляризации состоит в следующем: электроны с большим коэффициентом диффузии стремят ся диффундировать с большой скоростью. При этом изза требования квазинейтральности возникает электрическое поле, тормозящее электроны и выравнивающее потоки электронов и ионов. Так как De >> Di, то электрическое поле почти нацело тормозит электроны, и возникающий потенциал соответствует больцмановскому распределению для электронов. Поток ионов возрастает в (1+Te/Ti) раз по сравнению с униполярным (при отсутствии электри ческих 1 полей) диффузионным потоком ионов до величи ны 1 2 3 21 43 . Таким образом, эволюция концентрации, описываемая уравнением амбиполярной диффузии, про исходит с равными потоками электронов и ионов. Если же через плазму протекает ток, то возникает до полнительная поляризация, приведенная на рис. 4.1б. Действительно, в одномерном случае из (4.13) следует 1 (4.14) 123 1 4 4 1 52262 5 63 34

80

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1 где 1 — сохраняющийся ток. Поэтому электрическое поле, связанное с протеканием тока, падает внутри положитель ного возмущения концентрации. Протекание тока, однако, в случае простой плазмы, содержащей ионы одного сорта, не влияет на эволюцию профиля концентрации, которая описывается уравнением амбиполярной диффузии (4.2).

4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ДИФФУЗИОННЫХ ЗАДАЧ 4.2.1. РАСПАД НАЧАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ В БЕЗГРАНИЧНОЙ ПЛАЗМЕ

Рассмотрим распад произвольного началь ного возмущения. Ищем решение уравнения 12 2 31 32 4 0 14

(4.15)

с граничными условиями: n(r ® ¥) = n0, f(r ® ¥) = 0. В качестве начального условия выберем Гауссов про филь: 1 1 (4.16) 1223 34 2 04 2 3 1 2 3 567233 2 1 52 43 4 5 где N — полное число частиц, внесенное в плазму. Реше ние ищем в виде интеграла Фурье: 11 1 1 1 (4.17) 1213 243 2 12 1 4561513 3617 12333 4 1 Подставляя (4.17) в (4.15), получаем уравнение для Фурьеобраза: 12311 (4.18) 3 42 12 2311 4 01 15 откуда 1321 2 1321 10234513 41 22526 Возмущение концентрации согласно (4.17): 11 1 1 1 1314 253 2 1321 10345613 61 22534561724 3827 5 3 1243

(4.19)

81

4. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Применяя обратное преобразование Фурье 11 1 1 1211 2 4 1213 24345613513 363

(4.20)

к начальному возмущению концентрации (4.16), найдем 1211 102 2 3 345134212 6 427

(4.21)

Подставляя (4.21) в (4.19) и интегрируя, получим 1 3423 354 4

1 2 2 32 567 8 5 6 2 9 46 5 7 1 83 1 2 212 9 4 61 543 1 2

1 

(4.22)

Решение (4.22) соответствует диффузионному расплы" ванию начального возмущения. На временах больших, чем a2/4Da, характерный масштаб неоднородности растет как 4213 , ее концентрация падает как t–3/2, что соответству" ет сохранению полного числа частиц. Потенциал плазмы относительно бесконечности лег" ко вычислить, используя больцмановское распределение для электронов (4.12): 3 3 12 2 20 4 (4.23) 3 5 6 1 12 7 1 9 20 8

4.2.2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ СТОЛБ ГАЗОВОГО РАЗРЯДА

Найдем стационарный профиль концентрации в бес" конечном цилиндре радиуса a, в котором источником плаз" мы является ионизация электронным ударом, а заряжен" ные частицы уходят на стенку в результате амбиполяр" ной диффузии. В пренебрежении рекомбинацией баланс частиц описывается уравнением 1

1 2 23 1451 2 2 363 4 24 24

(4.24)

Величина Z представляет собой число актов иониза" ции в единицу времени, производимых одним электроном. Уравнение (4.24), дополненное граничным условием на стенках цилиндра n(r = a) = 0 и условием ограниченно" сти при r = 0, представляет собой задачу Штурма — Лиу" вилля на собственные функции и собственные значения. Так

82

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

как (4.24) является уравнением Бесселя, то его решение, ограниченное в нуле, выражается через функцию Бесселя:

213 2 1 210240 13 5 3 61 24

(4.25)

Нулевое граничное условие на стенках цилиндра опре деляет величину Z: 122432 21 31 2 (4.26) 12 где число 2,4 соответствует первому корню функции Бес селя. Другие корни приводят к отрицательным значени ям концентрации плазмы и не соответствуют физически осмысленному решению. Профиль концентрации, таким образом, описывается выражением n(r) = n(0)J0(2,4r/a). (4.27) Потенциал плазмы соответствует больцмановскому распределению для электронов: 2 1 2 31 4 1 12334056 378 (4.28) 1 Перепад потенциала Df между центром и стенкой состо ит из двух слагаемых — перепада потенциала в плазме и перепада потенциала в слое. Перепад потенциала между цен тром и границей слоя: 5 12 23 3 1 12364056 64 78 1 Перепад потенциала в слое находится из условия ра венства потока электронов (3.20) и потока ионов на стенку: 3423 5

2 51 1 625111 2 23 6 4 1 1 2 1 52871 6 94 586 7

Поток ионов на стенку, используя (4.27), выразим че рез концентрацию в центре: 214 31 4203 51 26 4 135 1 2 213 2 (4.29) 1 В результате имеем 7 1 71 1 2 6 2 (4.30) 34 5 34 23 6 3445 5 1 23 7 111 2 84 1 981 96  где численный коэффициент a = 2,4J1(2,4)(2p)1/2 = 3,1.

4. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

83

4.2.3. ДИФФУЗИОННЫЙ РАСПАД ПЛАЗМЫ

Распад плазмы в пренебрежении рекомбинацией в ограниченном цилиндре длиной L и радиусом a описыва ется уравнением (4.15) с нулевыми граничными условия ми на стенках. Решение получается методом разделения переменных и имеет вид 3241 5163 2

1

7 712 456236 7 412 380 2524 7 9389 2165 7 31

(4.31)

112 21

где постоянная распада 1 41 122 3 2 22 (4.32) 3 4 2 1 1 532 5 а коэффициенты Ajk определяются начальными условиями. Так как последовательность корней функции Бесселя xk быстро возрастает, то на больших временах в плазме уста навливается основная диффузионная мода: n(r, z, t) = n(0)exp(–t/t11)J0(2,4r/a)sin(pz/L). (4.33) 4.2.4. ДИФФУЗИОННЫЙ ЗОНД

Для диагностики плазмы широко используют измере ние вольтамперной характеристики зонда — небольшого электрода, помещенного в плазму. Будем полагать, что длины свободного пробега электронов и ионов и толщина слоя меньше размеров зонда. Такой зонд называется диф фузионным (случай больших длин свободного пробега со ответствует ленгмюровскому зонду). Профиль концентра ции вблизи диффузионного зонда описывается уравнением амбиполярной диффузии, которое в отсутствие ионизации и рекомбинации сводится к уравнению Лапласа: Dn = 0

(4.34)

с граничными условиями n½s = 0; n(r ® ¥) = n0. Для сферического зонда радиуса а решение (4.34), удовлетворяющее граничным условиям, есть n = n0(1-a/r). (4.35)

84

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

При большом отрицательном потенциале зонда элек тронный ток на зонд равен нулю. Электрическое поле в плазме запирает 1 электроны и увеличивает ионный поток до величины 11 2 3 32 44 . Используя профиль (4.35), най дем поток на поверхности зонда Gi(a) = Dan0/a. Умножая поток на площадь зонда и на заряд электрона, получим ионный ток насыщения: 54123 1 42670 82 21

(4.36)

Для зонда более сложной формы выражение для тока насыщения можно получить, используя электростатиче скую аналогию. Задача о нахождении профиля потенциа ла вблизи уединенного металлического тела также опи сывается уравнением Лапласа с постоянным потенциалом на поверхности проводника. Ионный ток насыщения про порционален нормальной компоненте градиента концен трации (ионного потока), проинтегрированного по поверх ности зонда. Интеграл же по поверхности проводника от градиента потенциала в электростатической задаче про порционален заряду проводника, т. е. его электрической емкости С. Поэтому ионный ток насыщения на зонд выра жается через его емкость: 54123 1 42670 82 91

(4.37)

Выражение для емкости проводника, имеющего фор му эллипсоида вращения с полуосями a, a, b, приведено, например, в [11]: 1 12 2 22 4 Arch31 4 25 1 1 3 22 4 4 22 2 12 356 1 2 3 16 4 7899 31 4 25 421 2 5 16 4 7

(4.38)

Аналогичным образом вычисляется и электронный ток насыщения. При больших положительных потенциалах зонда (4.39) 64123 1 42470 84 11 3 95 2 94 3 4

Глава 5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

5.1. ДИФФУЗИЯ И ПОДВИЖНОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Исходными уравнениями для описания диффузии плазмы с постоянными температурами электро нов и ионов в магнитном поле являются уравнения нераз рывности для электронов и ионов с потоками вида (1.87): 13 2 3 4 2 41 1 33 2 51 1 3353 6 6 2 74 18 13 2 3 4 2 41 233 7 51 2 3353 6 6 2 75 18

(5.1)

Тензоры диффузии и подвижности будем использовать в приближении элементарной теории (1.95). Их зависи мость от величины магнитного поля приведена на рис. 5.1. Использованы следующие обозначения: 1 1 52 2 12 1 53 2 13 2 3 24 334

Рис. 5.1 Зависимость попереч ных коэффициентов диффузии от магнитного поля: 1 — электронный коэффициент диффузии; 2 — ионный коэффициент.

86

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

С ростом магнитного поля вначале достигается зна чение xe = 1. При xe >> 1 коэффициент диффузии 21 1 2 2 2111 231 3 312 4 начинает спадать как B–2. Говорят, что при этом электроны замагничены. Так как величина xi << xe, то при xe = 1 поперечный коэффициент диффузии ионов практически равен продольному коэффициенту диффу зии. При дальнейшем увеличении магнитного поля при xexi = 1 и равных температурах электронов и ионов их по перечные коэффициенты диффузии сравниваются. При этом значение xi << 1. При xexi >> 1

(5.2)

ионный поперечный коэффициент диффузии становится больше электронного (такое же неравенство в силу соот ношения Эйнштейна имеет место и для подвижностей) и говорят, что плазма становится замагниченной. И, нако нец, при xi >> 1 замагниченными становятся ионы и ион ный поперечный коэффициент диффузии начинает спа дать с ростом магнитного поля как B–2. Обсудим физический смысл коэффициентов диффузии и подвижности в сильном магнитном поле, когда электро ны и ионы замагничены. В тензоре диффузии (a = i, e) 4 112 6 113 0 5 7 8 12 1 9 7 1 113 112 0 8 7 0 1111 8 0

(5.3)

диагональные поперечные коэффициенты диффузии в сильном магнитном поле равны

412 4

31 3 11 1 5221 3 11 2 51 6221

(5.4)

Таким образом, поперечные коэффициенты диффу зии заряженных частиц оказываются порядка произве дения квадрата ларморовского радиуса (квадрата шага случайных блужданий) и частоты столкновений с ней тралами. Недиагональные компоненты тензора диффузии в силь ном магнитном поле не зависят от частоты столкновений:

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

87

121 1 (5.5) 45 Соответствующий поток, который называют холлов ским или диамагнитным, направлен перпендикуляр но градиенту концентрации (рис. 5.2). Его величину мож но оценить как тепловую ско рость заряженных частиц, умноженную на разницу в их концентрациях на масштабе ларморовского радиуса. На Рис. 5.2 пример, если градиент кон Холловские (диамагнитные) потоки электронов и ионов центрации направлен вдоль и диамагнитный ток оси х, то 45 45 311 4 1 612 1 721 531 2 (5.6) 48 48 В однородном магнитном поле холловские потоки не приводят к изменению концентрации. Нетрудно пока зать, что (5.7) 2 3 2 11 1 223 4 2 3 211 102234 312 3

где диагональный тензор 11 10 определен согласно

3 112 0 0 4 5 6 12 10 7 5 0 112 0 63 5 0 0 1111 69 8 Диффузионные холловские потоки в однородном маг нитном поле, таким образом, выпадают из системы урав нений (5.1). Разность холловских потоков приводит к по явлению диамагнитного тока. Для замагниченных ионов и электронов 1 1 1 3141 2 42 2 1 51 3 11421 5 411 2 3 36 67745 (5.8) 62 Диамагнитный ток уменьшает вакуумное магнитное поле, причем возмущение магнитного поля оказывается порядка

88

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

813141 2 42 2 35 34 5 4 5 52

(5.9)

В дальнейшем мы будем полагать b << 1 и пренебрегать возмущением магнитного поля, вызванного токами по плазме. Недиагональные компоненты тензоров подвижности в сильном магнитном поле одинаковы для электронов и ионов: 1 212 3 1 (5.10) 3 1 1 1 Соответствующий холловский поток 312 4 1213 5 423 42 представляет собой совместный дрейф электронов и ио# нов в скрещенных полях. Отметим, что потоки заряжен# ных частиц совпадают только в случае замагниченных ионов, при xi << 1 ионный холловский поток значительно меньше соответствующего электронного потока. Диагональные поперечные коэффициенты тензора под# вижности, как и диффузионные, в сильном магнитном поле пропорциональны частоте столкновений:

412 4

33 11 1 51 5221

(5.11)

Соответствующие потоки можно интерпретировать как дрейф, вызванный силой трения (рис. 5.3). Электри# ческое поле, направленное вдоль оси у, вызывает совмест# ный дрейф ионов и электронов вдоль оси х со скоростями uex = uey = cE/B. Из#за столкновений с нейтралами возни# кает сила трения, действующая против скорости RaN = = –mannaNuaN. Она, в свою очередь, вызывает дрейф заря# женных частиц в направлении электрического поля со

Рис. 5.3 Поток в направлении электри# ческого поля как дрейф под действием силы трения

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

89

скоростью uay = –cRaN/(neB). В результате в направлении электрического поля возникает поток Gay = nba^E с под вижностью (5.11). Так как ионнейтральная сила трения значительно больше электроннейтральной, то в замагни ченной плазме поток ионов в направлении электрическо го поля оказывается значительно больше электронного. В дальнейшем, за одним исключением, мы будем рас сматривать только замагниченную плазму. 5.2. ОДНОМЕРНАЯ ДИФФУЗИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 5.2.1. ДИФФУЗИЯ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Одномерная диффузия поперек сильного маг нитного поля похожа на диффузию без магнитного поля, меняются лишь роли частиц, так как в замагниченной плаз ме подвижность ионов значительно больше, чем подвиж ность электронов. Так же, как и без магнитного поля, умно жая первое из уравнений (5.1) на bi^, второе — на be^ и скла дывая их, получаем уравнение амбиполярной диффузии: 22 3 31 1 42 5 4 3 51 26

(5.12)

где коэффициент амбиполярной диффузии 43 1 3

41 1 52 1 2 42 1 51 1 6 4 41 1 11 2 2 23 51 1 2 52 1 61

(5.13)

В отсутствие тока по плазме потенциал находится из условия равенства потоков и соответствует больцманов скому распределению для ионов: 33 4 2

41 1 2 42 1 5 12 6 5 34256 6 2 1 12 6 5 342567 71 1 5 72 1 2

(5.14)

Мы видим, что, в отличие от случая отсутствия маг нитного поля, положительное возмущение концентрации плазмы заряжено отрицательно, а самосогласованное электрическое поле удерживает ионы и ускоряет электро ны, выравнивая потоки.

90

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

5.2.2. ОДНОМЕРНАЯ ДИФФУЗИЯ ПОД ПРОИЗВОЛЬНЫМ УГЛОМ К МАГНИТНОМУ ПОЛЮ

Пусть концентрация плазмы зависит только от коор динаты z, а градиент концентрации образует угол b с маг нитным полем (рис. 5.4). Удобно ввести новую систему координат (x, h, z) вместо исходной (x, y, z), где ось z па раллельна магнитному полю. Новая система координат получается из старой вращением вокруг оси x, поэтому тензоры диффузии и подвижности в ней имеют вид 1 1 1 1 2 31 1 2 232 1 1 1 13 11 1 2 212

где

(5.15)

0 2 11 0 11 5 3 0 234 6 7 456 6 4 3 4 3 0 456 6 234 6 4 8 9

— оператор поворота вокруг оси 1 . В новой системе коор динат тензор диффузии

jη

z, B η ζ β 0

y

x

Рис. 5.4 1 1 Одномерная диффузия 11 2 для me << m << mi; стрелками показаны потоки частиц

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

2 31 6 73 8 9 6 5 312 2344 66  312 456 4

312 234 4 31 2342 4 311 4562 4 8311 5 31 92344 456 4

91

3 7 8311 5 31 92344 456 4 7

7 311 2342 4 31 4562 4 7 5 312 456 4

(5.16) Здесь величины D||, D^ и Dxy соответствуют компонен там тензора (5.3). Аналогичную форму имеет и тензор под вижности. Исходная система уравнений в новой системе координат имеет вид

34 6 31 3 5 31 7 2 83 1 9 4 7 51 36 32 122 32 122 32 

(5.17)

где a = i, e. Как и ранее, исключая электрическое поле, получим 11 1 11 2 1 2232 3 4 4 3 2 45 (5.18) 15 15 15 где m = cosb, 3111 4211 4 3211 4111 6 3252 3 6 4211 4 4111 6 45311152 4 31 2 21 3 52 365421152 4 42 2 21 3 52 36 4 4 5321152 4 32 2 21 3 52 36541 1152 4 41 2 21 3 52 367 7 7 524111 4 4211 352 4 241 2 4 42 2 321 3 52 36318

(5.19)

Профиль потенциала находится из условия равенства потоков в направлении z: 56

23111 2 3211 332 4 2 31 1 2 32 1 321 2 32 3 25111 4 5211 332 4 251 1 4 52 1 321 2 32 3

45 4 4 const6 (5.20)

Уравнение (5.18) имеет вид уравнения амбиполярной диффузии. Оно, однако, не может быть получено прирав ниванием полных потоков заряженных частиц, Ge|| ¹ Gi||, Ge^ ¹ Gi^. Другими словами, даже в отсутствие внешнего тока в направлении z в плазме существует ток вдоль оси h. Обсудим физический механизм формирования пото ков частиц. Если градиент концентрации почти перпен дикулярен магнитному полю, так что выполнено условие m << m0, где

92

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

m0 = (bi^/be||)1/2,

(5.21)

то D(m2) = De(m2) = (1 + Ti/Te)[De||m2 + De^(1–m2)]. (5.22) В этом случае коэффициент диффузии в 1+Ti/Te раз больше, чем униполярный коэффициент диффузии Dezz. В частности, при m = 0, когда градиент концентрации стро го перпендикулярен магнитному полю, коэффициент (5.22) совпадает с коэффициентом амбиполярной диффу зии (5.13). При m << m0 потенциал (5.20) отрицателен, так как электроны менее подвижны. Электрическое поле ускоряет электроны, а распределение потенциала соответ ствует больцмановскому распределению для ионов. Как следует из (5.22), существует критический угол me = (be^/be||)1/2.

(5.23)

Для m < me электроны диффундируют в основном попе рек магнитного поля и коэффициент диффузии (5.22) прак тически совпадает с коэффициентом амбиполярной диффу зии поперек магнитного поля (5.13). С другой стороны, при углах me 1<< m << m0 электроны движутся в основном парал лельно 1 и коэффициент диффузии D(m2) превышает по перечный коэффициент амбиполярной диффузии. Ионы же в обоих случаях диффундируют преимущественно по перек магнитного поля, так как их униполярный коэффи циент Dizz » Di^. В результате потоки электронов и ионов вдоль и поперек магнитного поля совершенно различны. Для больших углов m > m0 между градиентом плотно сти и направлением, перпендикулярным магнитному полю, коэффициент диффузии (5.19) сводится к D(m2) = Di(m2) = (1 + Te/Ti)[Di||m2 + Di^(1 – m2)], (5.24) при этом диффузия контролируется ионами. Потенциал при Te ~ Ti соответствует больцмановскому распределению для электронов. Теперь электроны движутся в основном 1 вдоль 1 , в то время как направление ионного потока за висит от соотношения между значениями m и параметра mi = (bi^/bi||)1/2.

(5.25)

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

93

Для значений m < mi ион ный поток обусловлен в ос новном поперечным движе нием, в то время как в обрат ном случае ионы1движутся в основном вдоль 1 . При специальном угле mc = (Di^/De||)1/2 = m0(Ti/Te)1/2 униполярные коэффициенты диффузии сравниваются: Dezz = Dizz = Di^,

Рис. 5.5

диффузионные потоки в на Функция D(m2) (сплошная линия) для Te = Ti, xe = 103, правлении градиента концен x = 10. Пунктир — различные i трации также равны и, следо аппроксимации: вательно, электрическое поле 1 — (5.22); 2 — (5.24); 3 — (5.27). отсутствует. При этом, несмот ря на то что градиент концентрации почти перпендикуля рен магнитному полю, коэффициент D(m2) теперь равен Di^, то есть оказывается бо´льшим, чем поперечный амбипо лярный коэффициент (5.13). Зависимость D(m2) приведе на на рис. 5.5. Так как в двух предельных случаях m = 0; 1 исходная система уравнений сводится к одному уравнению амби полярной диффузии, то возникает вопрос, не может ли диффузия под углом к магнитному полю быть описана про стым анизотропным уравнением амбиполярной диффузии: 22 3 4 5 2 4 3 3 4 5 2 (5.26) 1 31 1 4 1 23 6 4 3 54 11 3111 11 2 26 где коэффициенты определены согласно (4.3) и (5.13). Од нако уравнение (5.26) можно получить, предположив од новременно Ge|| = Gi|| и Ge^ = Gi^, что требует непотенциаль ного электрического поля. Для одномерной задачи урав нению (5.26) соответствует Da(m2) = Da||m2 + Da^(1 – m2).

(5.27)

Это выражение сильно отличается от правильного вы ражения (5.19), особенно в области m ~ m0 (рис. 5.5).

94

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Ток вдоль поверхностей постоянной плотности вычис ляется в соответствии с 41 5 231625112 6 5212 3

34 33 6 326112 7 6212 3 45 32 32

(5.28)

Подставляя выражение для потенциала (5.20), полу чаем 234211 21 3 51 352 461 1 567 4 895 4 53 (5.29) 72 6

57 6211 8952 4 3 61 1 5672 4 Ток обращается в нoль при b = 0, p/2. 5.3. ДИФФУЗИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ В БЕЗГРАНИЧНОЙ ПЛАЗМЕ Рассмотрим диффузию малого возмущения dn на постоянном однородном фоне n0 в безграничной плаз ме. Положим для простоты Te = Ti. Исходными уравне ниями для описания диффузии плазмы с постоянными температурами электронов и ионов в магнитном поле яв ляются уравнения (5.1) в отсутствие источников 13 2 3 4 241 1 33 2 51 1 3353 6 04 16 13 2 3 4 241 2 33 7 51 2 3353 6 05 16

(5.30)

Граничные условия имеют вид 1 1 112 1 22 3 10 3 412 1 22 3 04 Выберем начальное возмущение в виде дельтафункции: 1 1 1112 203 2 3112 34 Линеаризуем уравнение (5.30): 123 3 4 5 2 41 1 423 3 51 1 30463 7 04 16 123 3 4 5 2 41 2 423 8 51 2 30 463 7 05 16

(5.31)

Будем искать решение в виде интегралов Фурье:

95

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

11 1 1 1211 4561513 3612 5 3 1233 11 1 1 1 413 243 2 411 4561513 3617 5 3 1233 1 1213 243 2

После подстановки в (5.31) получим уравнение для Фурьегармоник: 1 1 1 1 1411 2 3151 2 14411 5 40 161 2 1611 2 17 1 1 1 1 1411 (5.32) 2 3151 3 14411 3 40 161 3 1611 3 17 Его решение есть 1 1 1 1 351 3 2 351 3 1431 2 331 4 1 1 1 1 21 361 1 3 5 361 2 3 40 где

1 1431 374 4 1431 30456782 533 4792

(5.33)

1 11 1 1 2341 1 3341 2 3 423 3 3 1 1 1 1 3 32 4 142 24 341 1 3 5 341 2 3

(5.34)

Здесь1 m = cosb — косинус угла 1между направлением 1 вектора 1 и магнитным полем: 1 2 12 121234 Коэффициент D(m2) совпадает с (5.19): 3 1 42 2 7

22311142 5 31 3 31 6 42 452321142 5 32 3 31 6 42 45 33111 5 3211 442 5 332 3 5 31 3 431 6 42 4

6

(5.35)

Возмущение концентрации дается выражением 11 1 1 1 2 362 48869 4567 563 7 1 (5.36) 1213 243 2 3 4 6 12533 1 Разобьем интеграл по 1 на1три области интегрирова ния. В первой области вектор 1 почти перпендикулярен магнитному полю: m<<m0. В этой области, как уже обсуж далось в предыдущем разделе, коэффициент диффузии (5.35) имеет простой вид (5.22): 3222 3 3 31 222 3 3 24 311122 4 31 1 21 5 22 35 3 243111 422 4 31 1 412 56

96

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

В интеграле (5.36) перейдем к интегрированию в де картовых координатах и, пренебрегая малыми поправка ми, распространим интегрирование до бесконечности. Сде лаем также замену переменных: 21 2 233122 1 31 1 411 2 5 412 2 42 33122 1 31 1 411 2 6 В новых переменных интеграл сводится к интегралу (4.19), который легко вычисляется. Таким образом, вклад области m << m0 составляет (в исходных переменных) 81 4

2 3456232 2 841115 2 762 3 72 82 841 1 59

(5.37)

16 253 2253 22 4111122 41 1 1 Второй вклад в интеграл по 1 дает область 1 > m >> m0. В этой области коэффициент диффузии имеет вид 3222 3 3 31 222 3 3 24311122 4 31 1 21 5 22 35 3 243111 422 4 311 412 56 1 В интеграле по 1 область интегрирования (с точностью до малых поправок) можно распространить до нуля. Де лая аналогичную замену переменных: 21 2 233 1 3 4112 5 41 2 4 33 1 3 41 12 1 22

11

2

2

122

11

и вычисляя интеграл, найдем, что вклад области 1 > m >> m0 составляет 2 3456232 2 841115 2 762 3 72 82 841 1 59 (5.38) 81 4

16 253 2 253 2 2 411112 2 41 1 Наконец, анализ вклада от области m ~ m0 показывает, что этот вклад составляет величину порядка n0h, где

42

3 3 16 233 1 253 1 2 621221 2 61 1

(5.39)

Этот вклад представляет собой малую поправку в цен тре неоднородности. Таким образом, возмущение концентрации представ ляет собой сумму 1 (5.40) 1314 253 2 31 3 32 3 6130 734 Аналогичным образом вычисляется и потенциал:

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

97

2 2 1 4 32112 3 31 1 21 3 2 3 1 425 463 5 6 22733 9 821122 8 81 1 21 3 22 3 70 11 1 (5.41) 6 5678195 3 3222 39269 9

При этом в области m << m0 предэкспоненциальный мно житель равен –T/e, а в области 1 > m >> m0 этот множитель равен T/e. В результате интегрирования получаем

1 3 41 3 42 3 115 263 2 3 4 4 71 40 834 1 40 1 40 1

(5.42)

Согласно (5.40) возмущение концентрации представ ляет собой сумму двух гауссовых профилей — «электрон ного» ne и «ионного» ni, а линии постоянной концентра ции представляют собой суперпозицию двух эллипсоидов, рис. 5.6. Потенциал приведен на рис. 5.7. Физическая причина необычного поведения решения состоит в следующем: 1 электроны, имеющие наибольшую подвижность вдоль 1 , стремятся диффундировать вдоль магнитного поля. При этом вдоль магнитного поля возни кает отрицательный потенциал. Поперек же магнитного поля наиболее подвижными частицами являются ионы и,

Рис. 5.6 Линии постоянной концентрации 1 1112 2334 111 101 233. Значения xe = 30, xi = 0,3; 1 2 ; расстояния выраже ны в единицах (8Di||t)1/2. Области обеднения заштрихованы.

Рис. 5.7 Эквипотенциали. Потенциал в единицах Tdn(0, t)/en0, остальные обозначения аналогичны рис. 5.6.

98

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1 соответственно, потенциал поперек 1 положителен. В ре зультате возникает потенциал квадрупольного типа, изо браженный на рис. 5.7, с седловой точкой в начале коор динат. Так как f(r ® ¥) = 0, то на оси z при z = ±z0 возни кают минимумы потенциала, а поперек магнитного поля при r = r0 ( 1 2 112 3 22 ) формируется максимум потенциа ла. Изза условия f(r ® ¥) = 0 электрическое поле не мо жет всюду удерживать электроны вдоль магнитного поля, а ионы — поперек поля. В результате электроны и ионы диффундируют практически независимо друг от друга, формируя два независимых эллипсоида. Частицы друго го знака не могут прийти в эти эллипсоиды из начала ко ординат изза малой подвижности. Поэтому электроны и ионы должны прийти, соответственно, в «ионный» и «электронный» эллипсоиды под действием самосогласо ванного поля из фоновой плазмы. В фоновой плазме, со ответственно, должны формироваться области обеднения (заштрихованные области на рис. 5.6) с пониженной кон центрацией фоновой плазмы. Размер этих областей состав 1 1 ляет величину (8De||t)1/2 вдоль 1 и (8Di||t)1/2 поперек 1 . Ионы из этих областей 1 уходят под действием электриче в электронный «эллипсоид», а элек ского поля поперек 1 1 троны вдоль 1 — в «ионный» эллипсоид. При этом в плаз ме текут вихревые токи «короткого замыкания», которые и обеспечивают ускоренную, практически униполярную, диффузию неоднородности. Угол m0 относительно магнитного поля, под которым формируются области обеднения, можно оценить, прирав 1 няв время движения ионов поперек 1 под действием элек трического1поля, r2/(bi^f), ко времени движения электро нов вдоль 1 , z2/(be||f). Получаем m0 = r/z = (Di^/De||)1/2. Потенциал имеет квадрупольный характер и на боль ших расстояниях должен спадать как r–3. Так как движе ние частиц вдали от эллипсоидов происходит в основном под действием электрического поля, то дивергенции по токов оказываются порядка r–5, а возмущение концентра ции спадает с расстоянием как dn ~ t/r5. Вычислим возмущения концентрации и потенциала вдали от эллипсоидов. Для этого в условии равенства ди

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

99

1 1 1 1 вергенций потоков 1 2 3 1 4 1 2 32 , которое следует из (5.30), пренебрежем малыми членами порядка De^/Di^ и Di||/De||. Введем новую переменную z и функцию Y согласно

z = z(bi^/be||)1/2, Y = f - (T/e)ln(n/n0).

(5.43)

Тогда условие равенства дивергенций потоков сводит ся к виду 1 2 3 12242 5 6 2 7 1 23 (5.44) 3 Уравнение (5.44) представляет собой уравнение Пуас сона. Полный «заряд»: 226

1 3 3444546 2 01 25730 1

(5.45)

«Дипольный момент» также равен нулю из соображе ний симметрии. «Квадрупольный момент» дается выра жением 22 1 2 (5.46) 3 3 8 1242 5 42 5 52 2 6 6747475 3 5 0 3 7860 27860 1 а квадрупольный потенциал 343

212 2 12 2 22 1 25212 6 12 6 22 35

(5.47)

На больших расстояниях f = Y, поэтому в исходных переменных имеем вне эллипсоидов:

1 423 8 5

12 10 22120 3452 2 3 5672 28 9 264503 3 2120 3452 2 7 5672 2851 2

(5.48)

где a — угол с осью z. Возмущение концентрации найдем, например, из ион ного уравнения, в котором учтем только ионную попереч ную подвижность в электрическом поле: 22 3 4 1 5 131 1 24 1 62 3 31 1 20 7 1 63 (5.49) 24 Подставляя потенциал (5.48), найдем 1 2341 1 5 2627 354 3 4 5640 7 5

4

12 5672 7 8 36 5672 7 7892 7 1 620 9 29 1 247894 7 1 604

25672 7 9 7892 7 1 620 49 1 2

(5.50)

100

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Выражение (5.50) описывает возмущение концентра ции вне эллипсоидов. Видно, что при углах a ~ m0 возму щение концентрации отрицательно, так что в фоновой плазме действительно возникают области обеднения. При увеличении возмущения концентрации области обеднения углубляются, и при большом возмущении кон центрации механизм короткого замыкания по фоновой плазме становится неэффективен. В пределе очень боль ших возмущений, когда глубина областей обеднения ста новится порядка n0, основная часть электронов и ионов исходного возмущения диффундирует совместно и эволю ция этой части описывается уравнением анизотропной амбиполярной диффузии (5.26). Лишь небольшая часть частиц расплывается униполярно и уходит в «электрон ный» и «ионный» эллипсоиды. Более подробно о нелиней ной эволюции возмущений см. в [7]. 5.4. ДИФФУЗИЯ В ПЛАЗМЕ, ОГРАНИЧЕННОЙ СТЕНКАМИ Проанализируем распад плазмы в баллоне с диэлектрическими стенками длиной L и радиусом a с осью z, параллельной магнитному полю. Пусть начальное рас пределение концентрации плазмы обладает азимуталь ной симметрией, а в остальном произвольно. Граничны ми условиями на диэлектрических стенках камеры явля ются условия n(z = 0,L) = 0, n(r = a) = 0; Ge||(z = 0,L) = Gi||(z = 0,L), Ge^(r = a) = Gi^(r = a). (5.51) Можно выделить четыре характерных времени диф фузии вдоль и поперек магнитного поля для электронов и ионов: 12 22 3111 4 2 2 312 4 3 (5.52) 5 3111 423452 312 В замагниченной плазме te^ >> ti^ и te|| << ti||. Будем называть быстрыми процессы, происходящие за времена tf = max(te||,ti^). Такие быстрые процессы опи сываются уравнениями, в которых можно пренебречь диф

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

101

фузией ионов вдоль магнитного поля и электронов попе рек поля: 23 23 2 23 4 14 5 3511 23 26 27 11 27 27 23 23 1 2 23 (5.53) 4 8 1 42 1 6 52 1 3 24 26 8 28 28 28 За малые времена порядка tf медленные в данном на правлении частицы, ионы вдоль магнитного поля и элек троны — поперек магнитного поля, не успевают выйти на стенку. Поэтому, в силу отсутствия тока на стенку, и потоки других частиц на стенку на этой стадии t ~ tf от сутствуют: Ge||(z = 0,L) = Gi||(z = 0,L) = 0, Ge^(r = a) = Gi^(r = a) = 0. (5.54) Найдем решение (5.54) при условии (при обратном не равенстве решение строится аналогичным образом) te|| << ti^.

(5.55)

В этом случае каждый из членов в правой части элек тронного уравнения (5.53) больше, чем члены в правой части ионного уравнения. Так как правые части этих урав нений равны, то члены в правой части электронного урав нения почти нацело компенсируют друг друга. Соответст вующий потенциал является больцмановским для элек тронов: 2 1 2 1 12 3 3 4 34 45 (5.56) 1 где Y(r) — произвольная функция радиуса. Проинтегри руем (5.53) по z по длине баллона. Так как поток электро нов на торцевые стенки равен нулю, (5.54), то получаем 231 3 01 24 231 1 2 231 24 3 5 231 5 61 4 62 572 1 5 82 1 31 61 (5.57) 24 5 25 25 25 1

где 21 1 2 345 . Так как за времена t ~ tf частицы не ухо 0

дят на торцевые стенки, то согласно (5.57) величина N1 = = const(t) сохраняется и может быть вычислена по началь ному профилю концентрации:

102

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ 1

21 13 2 1 2 4133536 1 02754 0

Из условия равенства нулю правой части ионного урав нения в (5.57) и отсутствия потока ионов на боковую стен ку найдем 3 1 32 234 1 12 41 1 const3 (5.58) 1 Подставляя найденный потенциал (5.56), (5.58) в урав нение для ионов (5.53), имеем 13 2 32 2 3 34 41 35 1 3 35 6 511 2 31 6 32 272 1 5 4 5 82 1 1 78 1 39 6 36 36 36

(5.59)

Уравнение (5.59) описывает эволюцию профиля кон центрации на временах t ~ ti^. При этом происходит пере стройка профиля внутри баллона без выхода частиц на стенки. В конце этой быстрой стадии устанавливается про филь концентрации, соответствующий Gi^ = 0. Согласно (5.59) в конце быстрой стадии имеем n = N1(r)f(z). Произвольную функцию f(z) найдем, проинтегрировав это выражение по радиусу и введя 1

1

0

21

0 21

00

00

32 142 1 3 225676 1 3 225163438 1 026763 3 1 33 22567476 1 33 225163438 1 02674764 В результате в конце быстрой стадии устанавливается распределение 1 12 212 132 41 1 3 (5.60) 1 Соответствующее распределение потенциала найдем из (5.56), (5.58): 3 3 1 2 1 12 42 3 2 12 41 4 342567 (5.61) 1 1 Таким образом, на временах t ~ tf устанавливаются про фили (5.60), (5.61) за счет перераспределения ионов и элек

103

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

тронов внутри объема при со хранении интегралов N1, N2 и полного числа частиц N. При мер такой перестройки приве ден на рис. 5.8. При этом по плазме протекают вихревые токи короткого замыкания, аналогичные рассмотренным в предыдущем разделе. Анализ случая te|| >> ti^ проводится аналогично и так же приводит к профилям (5.60), (5.61). На временах, больших чем tf, необходимо учитывать выход частиц на стенки и ре шать полную систему уравне Рис. 5.8 ний (5.50). При этом в каче Схема замыкания потоков стве начального условия сле электронов и ионов при диффузии в диэлектрическом дует выбрать распределение баллоне на временах t ~ t f концентрации (5.60), которое является произведением функций от r и z. Поэтому и ре шение для концентрации можно искать в виде произведе ний двух функций от r и z: n = n1(r)n2(z), а потенциал — в виде f = f1(r) + f2(z), который при t = 0 совпадает с (5.61). Решение методом разделения переменных дает 31

6 41 52 60 22 27 3 845672319 3 489 24 3 512 41

(5.62)

112 11

где 1 2 21 3 51 352 46211 244 3 742 3 21 3 52 351 461 1 25 3 3 842 5 643

Профиль концентрации (5.62) совпадает с решением уравнения анизотропной амбиполярной диффузии: 22 3 411 5 2311141123 6 4 1 5 2 31 1 4 1 234 24 На временах t > tf происходит совместный уход час тиц из объема на стенку, а время распада плазмы опреде ляется наименьшим из наибольших времен ts = min(ti||,ti^).

104

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Таким образом, распад плазмы в диэлектрическом бал лоне происходит в две стадии. На первой, быстрой, ста дии за времена порядка tf устанавливается профиль (5.60) изза диффузии электронов вдоль магнитного поля, а ио нов — поперек поля без выхода частиц на стенку. По плаз ме при этом протекают вихревые токи короткого замыка ния. На второй, медленной, стадии за времена ts происхо дит совместная амбиполярная диффузия частиц на стенки, а профиль концентрации описывается (5.61). В баллоне с металлическими стенками возможно за мыкание токов по стенкам. При этом уход частиц из объ ема происходит за время tf = max(te||,ti^), т. е. гораздо бы стрее, чем в баллоне с диэлектрическими стенками. Это явление известно как «эффект Саймона». Изменяя на пряжение между торцевыми и боковыми пластинами, можно изменять время распада плазмы от tf до ts. Соот ветствующие выражения для профилей концентрации и потенциала приведены в [7]. 5.5. ДИФФУЗИОННЫЙ ЗОНД В МАГНИТНОМ ПОЛЕ В магнитном поле работа диффузионного зонда, рассмотренного в разделе 4.2, существенно изме няется. Прежде всего, в сильном магнитном поле движе ние заряженных частиц вблизи маленького электрода мо жет быть описано с помощью транспортных (гидродина мических) уравнений, даже если длина свободного пробега превышает его размеры. Ниже будет показано, что кри терием применимости гидродинамического описания для электронов (при вычислении, например, электронного тока насыщения) является условие rce << a,

(5.63)

где a — поперечный по отношению к магнитному полю размер зонда, а rce — ларморовский радиус электронов. Причина состоит в том, что для положительно заряжен ного зонда концентрация плазмы возмущается на очень большом расстоянии l|| = awce/neN = axe вдоль магнитного

5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

105

поля и условие применимости на длину свободного пробе га leN << l|| автоматически совпадает с условием (5.63). Профили концентрации и потенциала описываются системой уравнений: 1 1 1 1 2 2 31 1 14 3 51 1 4143 5 04 1 1 1 1 2 2 31 2 14 6 51 2 4143 5 04 (5.64) 1 1 с граничными условиями 112 1 22 3 10 3 412 1 22 3 04 Для случая электронного тока насыщения потенциал являет ся больцмановским для ионов ef = –Tilnn/n0, что соответ ствует отсутствию ионного тока на зонд. При этом элек тронное уравнение в (5.64) принимает вид 21 1 2 23 223 4 3 211 1 2 4 02 4 24 24 25

(5.65)

Простым преобразованием координат z¢ = z(De^/De||)1/2 это уравнение сводится к уравнению Лапласа: Dn = 0.

(5.66)

Зонд в виде эллипсоида вращения с полуосями a, a, b в новых координатах превращается в диск с полуосями a, a, b/xe. Таким образом, задача сводится к рассмотренной в главе 4 задаче для зонда без магнитного поля. Решение ищется в эллиптических координатах, которые в исход ных переменных имеют вид

22 1 32 42 1 2 2 11 2 5 21 1 33 6 21 1 3 212 3

(5.67)

Концентрация описывается выражением 1 1 3 4 21 2 5 arctg 2 6 41 7 8 6 1 213 2 9 20 11 3 21 2 20 51 3 3 5 1 3 4 21 6 5 arctg 6 421 6 5

(5.68)

где ge = b/axe. Из (5.67) действительно следует, что масштаб возмущения вдоль магнитного поля есть l|| = awce/neN = axe. При условии b << axe размер обедненной области вдоль

106

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

магнитного поля намного больше продольного размера зонда. Электронный ток насыщения в преобразованных ко ординатах совпадает с выражением (4.39), причем емкость диска с маленькой продольной полуосью b/xe есть C = 2/p. При переходе в исходные переменные следует учесть, что ток насыщения также преобразуется. В результате имеем 64123 2 8470 284 11 3 95 294 3 4 1 4

(5.69)

Большой продольный размер возмущенной области, откуда собирается электронный ток, накладывает силь ные ограничения на поперечный размер зонда. Диагно стика является не возмущающей, если l|| << L, где L — ха рактерный размер плазмы вдоль магнитного поля. Это требование в замагниченной плазме часто оказывается нелегко выполнить.

Глава 6. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА С ТОКОМ

6.1. ПЛАЗМА С ТОКОМ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Как показано в разделе 4.1, в простой плаз ме, состоящей из электронов и ионов одного сорта, в от сутствие магнитного поля протекание тока не приводит к изменению характера эволюции возмущения. Система уравнений (4.1) сводится к уравнению амбиполярной диф фузии (4.2) и при протекании тока в плазме лишь появля ется дополнительное электрическое поле (4.14), пропор циональное току. Ситуация принципиально меняется, если в плазме при сутствуют два или больше сортов ионов. Рассмотрим од номерную эволюцию многокомпонентной плазмы, содер жащую р заряженных частиц, которая описывается сис темой уравнений 431 4 43 1 41 1 2 51 31 61 72 3 03 2 48 49 49 431 4 431 2 14 5 61 31 72 3 03 48 49 1 49 2 21

31 3 6 51 31 4

(6.1)

131

где индекс a соответствует сорту ионов. Граничные усло вия для системы (6.1) имеют вид 21 13 2 342 5 210 3 21 13 2 342 5 20 3 413 2 342 5 40 6 04

(6.2)

108

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Последнее условие означает, что на бесконечности су ществует электрическое поле E0, которое обеспечивает протекание тока j. Вычитая из электронного уравнения в (6.1) сумму ион ных уравнений, получим 1 условие равенства дивергенций потоков частиц или 1 2 1 3 0 . В одномерном случае это усло вие соответствует сохранению тока: 1 11

1 11

231

231

3 3 240 352 60 4 6 72252 62102 4 3 24352 62 4 6 72252 62 4 4 56 56 1 11 423 82 2 1 6 82 72 2 45 59 231 59

(6.3)

Выражая электрическое поле из (6.3) и подставляя в ионные уравнения (6.1), получим систему уравнений для концентраций ионов: 1 11 532 5 4 5 3 6 60 330 152 6 432 53 2 1 11 2 2 2 6 57 58 341 2 5 23 5 6 4 1

2 33 3 341

7 9 53 5 6 91 92 2 1 42 52 32 58 9 58 9 9

1 11

533 8 58

341 4 03 1 11

2

152 6 43 53 233

341

192 1 93 243

(6.4)

В простой плазме с однозарядными ионами одного сор та p = 2 второй член в левой части обращается в ноль, так как сумма в знаменателе просто равна (be + bi)n1 и сокра щается с числителем, и уравнение (6.4) переходит в урав нение амбиполярной диффузии (4.2). В плазме же с боль шим числом ионов этот член сохраняется, и фоновое элек трическое поле E0 в значительной степени определяет эволюцию неоднородности. Поэтому ситуация простой плазмы является вырожденной. Проанализируем решение системы (6.3) в так называе мом дрейфовом приближении, когда электрическое поле, связанное с протеканием тока, является достаточно силь ным, так что выполнено неравенство

6. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА С ТОКОМ

109

E0 >> T/(eL), (6.5) где L — характерный пространственный масштаб. В этом случае процессами диффузии (третий член в левой части (6.4)) можно пренебречь. Ограничимся случаем двух сор" тов ионов 1 и 2 с Z1,2 = 1. В дрейфовом приближении сис" тема уравнений (6.4) с учетом b1,2 << be имеет простой вид: 11 111 1 2 213010 3 01 14 15 11 2 12 112 1 12 (6.6) 2 22 3010 3 02 14 15 11 2 12 6.1.1. МАЛЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

Найдем решение системы (6.6) в дрейфовом прибли" жении в случае малых возмущений концентрации ионов: 11 2 311 4 110 1 311 1 110 2

Ищем решение линеаризованных уравнений (6.6) в виде интеграла Фурье: 42112 23143 5

1 27

12

8 421121 4562513 3 5643617

32

Подстановка в линеаризованную систему уравнений (6.6) приводит к алгебраической системе уравнений отно" сительно dn1k и dn2k. Приравнивая определитель к нулю, найдем два корня:

21 3 01

1 20 1 1 20 22 3 30 1 20 20 1 3 4 5 21 1 22

(6.7)

и Фурье"образы возмущений концентрации:

1311 142 2

22310 341321 102 3 1311 10222 5 21 6 3 21320 3 22310

3441321 102 3 1311 102320 5 310 67891451642  1321 142 2

21320 341311 102 3 1321 10221 5 22 6 3 21320 3 22310

3441311 102 3 1321 102310 5 320 67891451642

(6.8)

110

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Возмущения концентрации представляют собой непо движную и движущуюся части. Первая из них соответст вует нулевой частоте w1, а вторая соответствует возмуще ниям концентрации обоих сортов, перемещающихся со скоростью V. Явление распространения возмущений концентрации называется «амбиполярной подвижностью», а скорость V известна как «скорость амбиполярной подвижности». Пусть в начальный момент времени в плазме имеются только ионы сорта 2, так что 110 1 0 , а начальное возмуще ние состоит только из ионов сорта 1: dn2(x, t = 0) = 0. То гда, устремляя в (6.8) 110 1 0 , получаем 1211 132 2 1211 10234513415160326 5 1221 132 2 1211 102 2 71 3 345134151603289 51 В исходных переменных

111 12233 2 111 12 3 4150332 4 112 12233 2 2 1111 1223 2 03 3 111 122334 41

(6.9)

(6.10)

Соответствующие профили концентрации представле ны на рис. 6.1. Сплошная линия — инжектированные ионы, штрих пунктирная линия — фоновые ионы, пунктир — концентра ция электронов. Соотношение подвижностей: b1 = 2b2 << be. В начальный момент времени инжектированные ионы находятся вблизи начала координат, а возмущение кон центрации фоновых ионов отсутствует. Возмущение ин жектированных ионов перемещается с постоянной скоро стью b1E0, то есть движется в невозмущенном электриче ском поле. Малое же возмущение электрического поля в а

б

Рис. 6.1 Малые возмущения концентраций в плазме с током. Инжектированы ионы сорта 1 с Гауссовым профи лем и полушириной а в плазму с фоновыми ионами сорта 2: а — начальный момент времени; б — момент времени t = 5a/(b1E0).

6. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА С ТОКОМ

111

линейном приближении приводит к перераспределению только фоновых ионов. На месте исходного возмущения формируется пик фоновых ионов, амплитуда которого больше или меньше исходного, в зависимости от отноше ния подвижностей b1/b2. Второе отрицательное возмуще ние концентрации фоновых ионов той же амплитуды со провождает пик инжектированных ионов. Отметим, что в частном случае b1 = b2 движущееся возмущение концен трации электронов отсутствует, так как положительное и отрицательное возмущения инжектированных и фоновых ионов полностью компенсируют друг друга. Исходное же возмущение электронной концентрации просто покоит ся, что соответствует решению для простой плазмы, кото рое описывается уравнением амбиполярной диффузии. В дрейфовом приближении это означает отсутствие какой либо эволюции. Таким образом, даже в случае совпадения подвижностей инжектированных и фоновых ионов имеет ся движущийся сигнал, который можно обнаружить, если природа фоновых и инжектированных ионов различна. В общем случае многих сортов ионов произвольное воз мущение распадается на (р – 1) сигналов, один из которых неподвижен. 6.1.2. НЕЛИНЕЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

Проанализируем нелинейную эволюцию на простом при мере, когда подвижность фоновых ионов сорта 2 пренебре жимо мала: b2 = 0. Тогда, полагая в (6.6) 12 1 120 1 const и 110 1 0 , получаем уравнение для инжектированных ионов: 111 11 2 2 111 2 1 3 03 13 14

(6.11)

где V(n1) — нелинейная скорость амбиполярного дрейфа:

4 131 2 1

11 20 1320 22 3 131 2 320 22

(6.12)

Уравнение (6.11) описывает распространение простой нелинейной волны и имеет решение: n1 = n1(x – V(n1)t). (6.13)

112 а

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

б

Рис. 6.2 Эволюция нелинейного начального Гауссова профиля инжектированных ионов в плазме с неподвижными фоновыми ионами: а — начальный профиль; б — 11 1 15 после формирования скачка концен трации.

Другими словами, каждая точка начального профиля инжектированных ионов со значением n1 движется со сво ей скоростью V(n1). Как следует из (6.12), точки профиля с большей концентрацией движутся с меньшей скоростью, поэтому передний фронт профиля растягивается, а зад ний становится круче (рис. 6.2). С течением времени фор мируется многозначный профиль концентрации, что яв ляется следствием используемого дрейфового приближе ния. Это явление той же природы, что и опрокидывание волн в обычной гидродинамике. Безразмерная плотность 111 1 11 1 120 2 время 11 1 121 30 1 42 амплитуда начального возмущения 111123 42 1 05 1 26 Для получения физически осмысленного решения не обходимо учесть диффузионные члены в исходной систе ме уравнений. Действительно, в процессе эволюции про филь становится круче и формируется резкий перепад концентрации — диффузионный скачок, где неравенст во (6.5) неприменимо. Характерный масштаб диффузи онного скачка 1 21 1 (6.14) 34 соответствует балансу диффузионного и полевого членов в (6.4). Его положение, как и в гидродинамике, находится из «правила площадей». На многозначном профиле проводит ся вертикальная линия так, чтобы площади под многознач ным решением и под профилем с разрывом совпадали (рис. 6.2). При этом обеспечивается сохранение полного чис ла частиц, а пологая часть получившегося разрывного про филя концентрации является решением, так как для нее выполнено неравенство (6.5). Скорость перемещения скач ка также находится из условия сохранения числа частиц:

6. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА С ТОКОМ

113

31 1111 2 2 31 1112 2 3 (6.15) 111 2 112 где G1 = n1b1E — поток частиц, а величины 111 , 111 соот ветствуют значениям концентрации справа и слева от скачка соответственно. Структуру скачка можно полу чить, как и в гидродинамике, перейдя в систему отсчета, движущуюся со скоростью W, и сведя исходные уравне ния в частных производных к обыкновенным дифферен циальным уравнениям. 24

6.2. ПЛАЗМА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 6.2.1. ОДНОМЕРНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

В магнитном поле явление амбиполярной подвижности возникает даже в простой плазме с ионами одного сорта. Рассмотрим эволюцию плазмы в той же гео метрии, что и в разделе 5.2, когда концентрация плазмы зависит только от координаты z, образующей угол b с маг нитным полем. Пусть при 1этом имеется произвольное фо новое электрическое поле 10. Исходные уравнения в систе ме координат (x, h, z), аналогично разделу 5.2, имеют вид

45 45 45 7 42 4 6 42 3 8 94 2 94 2 94 2

45 42  122 42 122 42 121 41 123 43 

6 8 71

(6.16)

где a = i, e, а компоненты тензоров диффузии и подвиж ности соответствуют (5.16). Граничное условие для потен циала имеет более общий вид: 1 1 (6.17) 1211 3 42 5 620 3 Отметим, что компоненты электрического поля Eh и Ex не зависят от координаты z и совпадают с фоновыми зна чениями: Eh = E0h и Ex = E0x. Это следует из условия по тенциальности электрического поля: ¶Eh/¶z = ¶Ez/¶h = 0 и ¶Ex/¶z = ¶Ez/¶x = 0. Электрическое поле в направлении z исключается так же, как и в разделе 5.2. Умножая урав нения соответственно на bezz и bizz и складывая, получаем

114

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

21 3 2 1 2242 3 21 4 5 3 242 3 21 6 4 3 55 1 26 21 21 21 где Vz(m2) есть z компонент вектора: 1 3 222 3 3 1 1 5411122 4 41 1 21 5 22 3644 2 50 5 5421122 4 42 1 21 5 22 3644 1 50 3 7 24111 4 4211 322 4 242 1 4 41 1 321 5 22 3

(6.18)

(6.19)

Таким образом, возмущение концентрации кроме диф фузии испытывает амбиполярный дрейф. Как следует из (6.19), если фоновое электрическое поле лежит в плоско сти (h, z), то скорость амбиполярного дрейфа обращается в ноль, если ось z параллельна или перпендикулярна маг нитному полю, но отлична от нуля при произвольном угле между осью z и магнитным полем. Амбиполярная же под вижность, вызванная полем Ex, для замагниченных ио нов просто соответствует дрейфу в скрещенных полях. Электрическое поле в направлении z находится вычи танием ионного и электронного уравнений и последующим интегрированием по z. Величина Ez содержит диффузи 1 онную часть и часть линейную по фоновому полю 10 . 6.2.2. ЭВОЛЮЦИЯ МАЛОГО ВОЗМУЩЕНИЯ В БЕЗГРАНИЧНОЙ ПЛАЗМЕ

Неодномерная эволюция малого возмущения dn на постоянном однородном фоне n0 в безграничной 1 плазме при наличии фонового электрического поля 10 качест венно отличается от диффузии, рассмотренной в разде ле 5.3. Исходные уравнения для концентрации и возму щенного потенциала теперь имеют вид 1 13 2 3 4 241 1 33 2 51 1 335 6 51 1 360 3 7 04 17 1 13 (6.20) 2 3 4 2 41 2 33 6 51 2 335 2 51 2 360 3 7 0 17 с теми же граничными условиями: 1 1 112 1 22 3 10 3 412 1 22 3 04

6. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА С ТОКОМ

115

Решение линеаризованной системы (6.20) с начальным 1 1 условием в виде дельтафункции 1112 203 2 3112 3 методом Фурье приводит к выражению 1 1 1 1 1 1 2 343 3 8 142 362 48962 1213 243 2 3 4 4567 56 1 3 7 1 (6.21) 6 12533 1 где величина 1 112 2 определена согласно (6.19). Анализ этого интеграла показывает, что исходное возмущение концентрации с течением времени разделяется на движу щиеся сгустки [7]. Пример такой эволюции для случая, когда электрическое поле перпендикулярно магнитному полю, приведен на рис. 6.3. Исходное возмущение разде ляется на два сгустка, скорости которых близки к скоро стям ионов и электронов в фоновом электрическом поле (рис. 6.3а). Возникающая в плазме поляризация приво дит к растяжению электронного сгустка вдоль магнитно го поля. Поддержание квазинейтральности, как и при диффузии, осуществляется за счет токов короткого замы кания по плазме и возникновения в фоновой плазме облас тей обеднения, которые движутся вместе со сгустками. Большое исходное возмущение, когда фоновой плазмы а

б

Рис. 6.3 1 1 Эволюция возмущения концентрации в случае 10 1 2 для малого (a) и сильного (б) возмущения: OO1 и OO2 — направле ния движения сгустков; заштрихованы области обеднения

116

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

недостаточно для поддержания квазинейтральности, в основном покоится, но его периферийные части испыты вают дрейф (рис. 6.3б). В результате происходит нелиней ное растяжение исходного сгустка. 6.2.3. ЭФФЕКТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРОВОДИМОСТИ

В этом разделе мы рассмотрим проводимость в слабом магнитном поле xexi << 1, при котором плазма является незамагниченной. В то же время магнитное поле остается достаточно сильным, чтобы были замагниченными элек троны xe >> 1. В такой плазме поперечная подвижность электронов значительно меньше продольной электронной подвижности be^ << be||, но, в отличие от предыдущих слу чаев, поперечная подвижность ионов мала по сравнению с поперечной электронной подвижностью bi^ << be^. Такая ситуация типична, например, для плазмы МГД генерато ров или нижней ионосферы. Рассмотрим течение плазмы в канале, ограниченном бесконечными диэлектрическими стенками. Параллель но стенкам в направлении х, поперек магнитного поля, 1 приложено электрическое поле 10 (рис. 6.4). Граничное условие на диэлектрических стенках соответствует отсут ствию тока1 в направлении у: jy = 0. Исходное электриче ское поле 10 вызывает не только ток в направлении х, но и холловский ток электронов в направлении у. Поэтому плазма поляризуется, как по казано на рис. 6.4, и возника ет дополнительное поле поля ризации Ey. Ионные потоки как в направлении х, так и в направлении у, пренебрежи мо малы и не дают вклад в ток. Для простоты мы пре небрежем также диффузион ным электрическим полем Рис. 6.4 (порядка T/eL) по сравнению Поляризация плазмы в канале с полем E0. Тогда возникшее с диэлектрическими стенками в незамагниченной плазме в плазме электрическое поле

6. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА С ТОКОМ

117

Ey можно найти из условия отсутствия нормального к стен ке тока:

31 3 421442 1 560 4 42 2561 2 3 03

(6.22)

Поле 21 , найденное из (6.22), отрицательно: Ey = E0beL/be^.

(6.23)

Так как электроны замагничены, то beL/be^ >> 1 и поле поляризации оказывается значительно больше исходно го поля E0. Поле поляризации Ey вызывает дрейф элек тронов в направлении х, который, вместе с небольшим током, вызванным полем E0, определяет полный ток:

41 3 425621 73 5 2562 2 70 3 2570 26221 3 62 2 5 62 2 4 3 256211 70 5 (6.24) Эффективная проводимость, т. е. коэффициент про порциональности между плотностью тока и приложенным электрическим полем, таким образом, совпадает с про дольной проводимостью s|| = ebe||n: jx = seffE0 = s||E0.

(6.25)

Другими словами, проводимость поперек магнитного поля «восстанавливается» и совпадает с проводимостью в отсутствие магнитного поля. При этом основной вклад в эффект восстановления проводимости вносит поле поля ризации, которое в xe раз превосходит исходное поле и вызывает холловский ток электронов. Полученный результат является прямым следствием граничного условия jy = 0 на материальных поверхностях. В противоположном случае металлических поверхностей, накоротко замкнутых между собой, ток в направлении у мо жет свободно течь и эффект восстановления проводимости отсутствует. Электрическое поле поляризации при этом не возникает, и ток вдоль оси х есть просто jx = enbe^E0. Наряду с двумя предельными случаями разомкнутых поверхностей jy = 0 и короткозамкнутых поверхностей Ey = 0 возможны, конечно, и промежуточные случаи конечного сопротивле ния, подключенного между пластинами. Зависимость эф фективной проводимости плазмы от величины сопротивле ния нагрузки легко рассчитывается аналогичным образом.

Глава 7. ПЕРЕНОС СИЛЬНОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

7.1. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФУЗИЯ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Прежде всего продемонстрируем, что эво люция полностью ионизованной плазмы вдоль (в отсутст вие) магнитного поля не является диффузионной. Для это го сложим два уравнения баланса сил для электронов и однозарядных ионов: 1 1 1 34 51 6 1 1 2371 2 168 4 912 1 3

1 1 1 342 (7.1) 52 6 1 2372 4 168 4 921 2 3

Электрические силы и силы трения при сложении со кращаются, так что, пренебрегая электронной инерцией, получаем 1 23 (7.2) 41 5 1 1 2361 27 где полное давление p = pe + pi. Уравнение (7.2) описывает распространение возму щения со скоростью порядка скорости звука. Действи тельно, оценивая инерцию как 21 3412 1 5 , где L — харак терный масштаб, и полагая Ñp ~ p/L, получаем Vi ~ cs = = [(Te + Ti)/mi]1/2, где cs — скорость звука. Динамика пол ностью ионизованной плазмы без (вдоль) магнитного поля рассмотрена в главе 9. Поперек же магнитного поля эволюция полностью ио низованной плазмы, так же как и для частично ионизо ванной плазмы, носит диффузионный характер. Градиент давления поперек магнитного поля уравновешивается си

7. ПЕРЕНОС СИЛЬНОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

119

лой Лоренца, а радиальная скорость оказывается значи тельно меньше звуковой, так что инерцией в уравнении баланса сил можно пренебречь. Рассмотрим диффузию в бесконечно длинном цилинд ре, помещенном в сильное однородное магнитное поле, па раллельное оси z. Пусть концентрация и температура плаз мы зависят только от радиуса. Уравнения баланса сил в пренебрежении инерцией и вязкостью имеют вид (раз дел 2.3) 1 1 1 14 1 1 3 41 12 5 2361 4 1435 2 171 6 52 2 481 1 12 371 2 72 4 2 1 6391 2 7 05 2 831 5 3 1 1 1 14 1 1 3 41 12 5 2362 2 1435 4 172 6 52 4 481 1 12 371 2 72 4 4 1 6 391 2 7 06 3 2 831 5 (7.3) Складывая уравнения баланса сил, получаем условие равновесия: 1 1 1 11 2 1 2 3 323 (7.4) 4 где p = n(Te + Ti) — полное давление плазмы. Согласно это му уравнению градиент полного давления уравновешива ется силой Лоренца, возникающей изза протекания диа магнитного тока. Механизм его формирования обсуждал ся в главе 5. Выражая ток через магнитное поле с помощью 1 1 уравнения Максвелла 1 2 1 3 144 2 233 4 находим 12 12 2 const 2 0 1 (7.5) 83 83 где B0 — вакуумное магнитное поле. Как следует из этого соотношения, такое равновесие возможно, если 21

b = 8pp/B2 << 1.

(7.6)

При этом действительно можно пренебречь инерцией, а магнитное поле слабо возмущено диамагнитными токами. Спроектируем уравнения баланса сил (7.3) на радиаль ное направление: 34 32 15 3 1 4 15 3 611 7 5 01 38 38 9 34 32 15 3 2 3 15 4 621 7 5 02 (7.7) 38 38 9

120

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Радиальная сила трения отсутствует, так как радиаль ные скорости электронов и ионов должны совпадать, об ратное означало бы протекание тока в радиальном направ лении, что невозможно. Не дает вклад в радиальный ба ланс сил и термосила, которая направлена по азимуту. Азимутальные скорости частиц согласно (7.7): 5 421 5 42 5 3 621 5 70 1 189 4 8 4

5 423 5 42 5 3 623 5 70 2 631 3 189 4 8 4

611 3 4

(7.8)

Эти скорости состоят из двух слагаемых. Первые сла гаемые upe, upi соответствуют диамагнитному потоку элек тронов и ионов, связанному с ларморовским вращением частиц в неоднородной плазме. Диамагнитный поток об суждался в разделе 5.2 для частично ионизованной плаз мы. Вторые слагаемые представляют собой совместный дрейф электронов и ионов в скрещенных радиальном элек трическом и продольном магнитных полях со скоростью V0. Азимутальная проекция уравнений баланса сил дает 15 3 52 12 671 8 9 3 5 1 2 12 1811 3 821 2 3 4 03 4 13 2 541 63 15 3 52 12 671 3 823 9 6 5 1 2 12 1811 3 821 2 6 4 04 4 2 541 63

(7.9)

Подставляя разность азимутальных скоростей из (7.8), получаем 913 2 923 2 93 2 3

4251 1 12 68 3 1 12 4 671 4 . 12 2 63 2 541 1 63

(7.10)

Радиальные скорости электронов и ионов оказывают ся в этом приближении равными и не зависящими от ве личины радиального электрического поля. Иногда гово рят, что, в отличие от случая частично ионизованной плаз мы, перенос в полностью ионизованной плазме является автоматически амбиполярным. Радиальную скорость частиц можно интерпретиро вать как дрейф под действием силы трения (рис. 7.1). Действительно, на ионы и электроны действуют азиму

7. ПЕРЕНОС СИЛЬНОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

121

тальные силы трения, связан ные с встречными диамагнит ными скоростями, а также с тер мосилой. Эти силы вызывают дрейф частиц по радиусу со ско ростями uri = cRieJ/(eBn) для ио нов и u re = –cR eiJ/(eBn) — для электронов. Так как по третьему закону Ньютона силы, действую щие на электроны и ионы, оди Рис. 7.1 наковы по величине и различны Гидродинамические по знаку, а знаки зарядов также скорости частиц в цилинд ре полностью ионизованной различны, то uer = uir. ориентированном Чтобы найти радиальное плазмы, вдоль магнитного поля электрическое поле, необходи мо учесть поправки, связанные с вязкостью. Так как ази мутальная скорость ионов зависит от радиуса, то в азиму тальном направлении на ионы действует вязкая сила, вы званная радиальным градиентом азимутальной скорости ¶uiJ/¶r. В отсутствие градиента ионной температуры соот ветствующая сила, согласно (2.48), дается выражением 1 2 2 1 2 415 6 721 8 9 13411 23 3 23 1 3 23



(7.11)

Аналогичная сила, действующая на электроны, пре небрежимо мала. Дополнительная азимутальная сила, действующая только на ионы, приводит к появлению до полнительной радиальной скорости ионов и, следователь но, к радиальному току:

341 42 1 3 1 1 33 (7.12) 71 2 3 2 162 6 8

2 7832 9  9 32  2 32 Так как в неоднородной плазме радиальный ток дол жен быть равен нулю, то устанавливается радиальное элек трическое поле: 3 4 12 5 62 1 1 3 (7.13) 7 42 соответствующее больцмановскому распределению для ионов. В плазме с неоднородной ионной температурой 52 5 6

122

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

в (7.13) появляется дополнительное слагаемое, пропорцио нальное градиенту ионной температуры, вызванное вяз костью, связанной с ионным потоком тепла. Радиальную скорость (7.10) можно переписать в виде

83 3 4 7

46 7 1 1 451 452 2 5 4 1 643 51 5 52 68 2 43 43 79

(7.14)

где коэффициент диффузии 63

3241 1 12 151 2 52 2 3 1 2 72

(7.15)

Первый член в (7.14) соответствует диффузионному потоку, а второй член описывает термодиффузию. Коэф фициент диффузии соответствует простой оценке

4 1 1212 2 23

(7.16)

— порядка квадрата ларморовского радиуса электрона, умноженного на частоту столкновений. Коэффициент диф фузии оказывается порядка электронного коэффициента температуропроводности и в (mi/me)1/2 меньше ионного коэффициента температуропроводности. Отметим, что ионионные столкновения не приводят к диффузии. В полностью ионизованной плазме, в отличие от слу чая частично ионизованной плазмы, отсутствует прово димость поперек магнитного поля. Действительно, элек трическое поле вызывает лишь дрейф элек 1 совместный 1 тронов и ионов в направлении 1 1 2, при этом не возникает силы трения, дрейф под действием которой и является причиной подвижности в частично ионизованной плазме. Ток в направлении электрического поля возможен лишь в неоднородном электрическом поле, в этом случае он обу словлен вязкостью, как например, ток (7.12). Особенностью классической диффузии поперек маг нитного поля является тот факт, что коэффициент диф фузии пропорционален концентрации, так как частота электронионных столкновений пропорциональна концен трации. Уравнение диффузии поэтому является нелиней ным. В изотермической плазме оно может быть записано в виде

7. ПЕРЕНОС СИЛЬНОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

13 2 3432 5 02 14 11 2 2 28 52 1261 371 6 72 47 8 5 2335 3 5 6 3 92713 1 2

123

(7.17)

Особенности диффузии в полностью ионизованной плазме проиллюстрируем на примере автомодельного ре шения (7.17). Рассмотрим одномерный плоский случай. Будем искать автомодельное решение в виде

112233 3 3 1 11 1434 4 3 2 5 32 6

(7.18)

Перейдем к переменным x, t: 211 41 5 13 12111 2 33 1216 1 26 43 2 2 2 2 2 1 2 11 2 5 32 1223 242 262

Уравнение диффузии сводится к обыкновенному диф ференциальному уравнению, если степени t в первом и втором членах уравнения (7.17) совпадают, откуда полу чаем условие g = 2d – 1. Еще одно соотношение следует из условия сохранения полного числа частиц: 1 51 6 123 4 const 4 4123 6 12

откуда d = –g. Таким образом, 1 1 (7.19) 132 1 311 3 45 311 3 Функция 11 112 удовлетворяет обыкновенному диффе ренциальному уравнению: 1221 2 1 121 21 2 3 3 4 01 (7.20) 112 3 11 3 Его решение есть 1 11 112 2 12 3 12 23 124 В исходных переменных решение удобно записать, выразив константу интегрирования через отношение двух констант: 213 22 32 10 (7.21) 423314 1 2 1 2 45 22 12 1 3 123111 3102 1 3 1 2 342 132234 2

124

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Согласно полученному решению концентрация обра щается в ноль на конечном расстоянии, в момент времени t = t0 концентрация обращается в ноль при x = a. Это об стоятельство является следствием того факта, что коэф фициент диффузии стремится к нулю при уменьшении концентрации. С течением времени характерный масштаб концентрации растет как t1/3, а концентрация, соответст венно, падает как t1/3. Аналогичным образом может быть построено решение и в цилиндрической геометрии. 7.2. ПЕРЕНОС ПРИМЕСЕЙ В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ Рассмотрим примесь тяжелых ионов с кон центрацией nI и зарядовым числом Z в цилиндрической геометрии, такой же, как в предыдущем параграфе. Кон центрацию основных однозарядных ионов будем обозначать ni. Основная сила трения, действующая на ионы примеси, связана со столкновениями с основными ионами, трением же об электроны можно пренебречь. При этом, так как mi << mI, то сила трения, связанная с относительной ско ростью, и термосила имеют тот же вид, что и для элек тронионных столкновений (ср. с формулами раздела 2.3): 11 1 1 6231 1 272 82 323 212 2 13 34 1 1 3 3 9 6234 1 2 72 23 5 4542 64 2 653 9 323 1

Рис. 7.2 Гидродинамические скорости основных ионов и примесей

4 27 4  2 873 7 3 82 423 1 2

(7.22)

Азимутальные потоки ионов примеси получаются из радиаль ного уравнения баланса сил так же, как для основных ионов: 4 321 4 32 511 3 4 3 5 21 4 60 1 789 1 3 9 3 (7.23)

7. ПЕРЕНОС СИЛЬНОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

125

Диамагнитные потоки основных ионов и ионов при меси показаны на рис. 7.2. При условии

3 12 41 1 3 12 42 1 35 6 35

(7.24)

диамагнитная скорость ионов примеси значительно мень ше диамагнитной скорости основных ионов. Поэтому в плазме с однородной ионной температурой сила трения вызывает дрейф ионов примеси внутрь плазменного шну ра. В общем же случае уравнение азимутального баланса сил для примеси с учетом (7.23) и (7.8) имеет вид 5671 3 72 221 892

13  3 72 2 221 1 21 4 11 2 3 5 03 (7.25) 4 2 642 83 Из последнего уравнения находим радиальный поток ионов примеси: 1 12 2 41 512 3 2 4 6 4 7 8 5 1 943 1 941 1 983 6 3 3 3 231 2 3 8 7 7 (7.26) 91



43 92 41 92 2 92  Поток (7.26) имеет диффузионную и конвективную части. При условии (7.24) практически весь поток приме си является конвективным и направлен внутрь плазмен ного шнура. В отсутствие источников и стоков примесь будет собираться в центре до тех пор, пока поток не обра тится в ноль. Стационарный профиль концентрации при меси оказывается чрезвычайно пикированным:

42 2 5431631 1 1 2 2

(7.27)

Радиальный поток ионов примеси не приводит к появ лению дополнительного электрического поля. Действи тельно, так как азимутальные силы трения RiIJ и RIiJ от личаются знаком, то ZGIr = Gir.

(7.28)

Возникающий противоток основных ионов в Z раз больше потока ионов примеси. В результате радиальный ток равен нулю и наличие примесей не влияет на величи ну самосогласованного электрического поля.

126

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

7.3. ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА С НЕОДНОРОДНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ НЕЙТРАЛОВ Более сложным объектом является неодно родность частично ионизованной плазмы, удерживаемой магнитным полем. В отличие от главы 5, будем считать нейтральный газ сильно неоднородным. Под действием градиента давления газ стремится свободно расшириться со скоростями порядка скорости звука. Однако уже при весь ма небольшой степени ионизации такое расширение в столк новительной плазме может быть остановлено за счет взаи модействия токов по плазме с внешним магнитным полем. Проанализируем диффузию слабоионизованного шну ра плазмы, ориентированного вдоль магнитного поля. Бу дем считать выполненным два условия. Вопервых, b = 8pp/B2 << 1,

(7.29)

где теперь в отличие от раздела 7.1 p = pN + pe + pi — пол ное давление, являющееся суммой парциальных давлений нейтральных частиц, электронов и ионов. Вовторых, бу дем считать, что длина свободного пробега нейтралов от носительно столкновений с ионами lNi меньше характер ного размера неоднородности L: lNi << L.

(7.30)

Покажем, что при выполнении этих двух условий ней тральный газ удерживается за счет взаимодействия маг нитного поля с небольшим количеством заряженных час тиц, а эволюция концентрации нейтральных частиц но сит диффузионный характер. Уравнения баланса сил для нейтральных и заряжен ных частиц имеют вид (вязкостью и электронной инерци ей пренебрегаем) 1 1 1 14 1 1 0 1 2351 2 146 4 712 4 713 2 181 5 923

1 1 1 1  2 14 1 1

24 1 2352 4 146 4 721 4 723 4 182 5 923 

1 1 1  3 (7.31)

3 43 1 2353 4 732 4 731 4 

7. ПЕРЕНОС СИЛЬНОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

127

Складывая три уравнения, получаем 1 1 341 34 1 1 1 151 61 (7.32) 1 52 6 2 2 2 347 1 3 8 5 945 3

3

 Условие пренебрежения инерцией означает, что 1 1 1 11 2 1 2 3 323 (7.33) 4 Выражая ток через магнитное поле с помощью урав! нения Максвелла, приходим к уравнению (7.5) и условию равновесия (7.29). В это условие входит теперь давление нейтрального газа. В плазме с малой степенью ионизации это неравенство гораздо жестче, чем аналогичное неравен! ство (7.6) в полностью ионизованной плазме. Механизм установления равновесия проанализируем из уравнений баланса сил (7.31). Учтем только самую боль! шую силу трения между ионами и нейтралами. Радиаль! ная проекция баланса сил для нейтральных частиц в пре! небрежении инерцией дает (термосилой пренебрегаем) 451 1 6123 1 271 81 3 12 913 1 (7.34) 43 где частота столкновений 1 12 2 3 4 3 12 пропорциональна концентрации заряженных частиц. Радиальная скорость ионов положена равной нулю, это условие является след! ствием отсутствия радиального тока в плазме. Радиаль! ная скорость нейтралов согласно (7.34) равна 612 1 2

1 781 9 3

13

451 1 42

(7.35)

При условии (7.30) эта скорость мала по сравнению со скоростью звука и процесс эволюции нейтралов носит диф! фузионный характер. Из азимутального баланса сил для ионов и отсутствия радиальной ионной скорости следует условие RiNJ = 0, то есть азимутальные скорости ионов и нейтралов должны совпадать: (7.36) uNJ = uiJ. Из радиального баланса сил для ионов имеем 45 67 2 1 3 6782 3 911 3 132 4 01 42

(7.37)

128

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Радиальная сила трения между ионами и нейтралами, согласно (7.34), уравновешивается градиентом давления нейтралов. Поэтому из (7.37) получаем 34 1 51 2 621 7 3 1 8 9 31

(7.38)

Уравнение (7.38) справедливо при любой совместной азимутальной скорости ионов и нейтралов. В отсутствие каких"либо сил, раскручивающих плазму и нейтральный газ в азимутальном направлении, эта скорость обращает" ся в ноль за счет действия вязкости. В результате устанав" ливается радиальное поле: 23 1 41 1 (7.39) 5621 направленное от периферии к центру. Это поле во много раз больше, чем поле (7.13), из"за малой степени иониза" ции, если pN >> pi. Большое радиальное поле вызывает дрейф электронов в азимутальном направлении, которые и создают азимутальный ток (7.33) при покоящихся ио" нах. Учет электрон"нейтрального трения приводит к до" полнительной совместной классической диффузии элек" тронов и ионов, описанной в разделе 7.1.

Глава 8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

8.1. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ

В неоднородной плазме в магнитном поле могут распространяться волны поперек магнитного поля, связанные с неоднородностью параметров плазмы. Рас смотрим полностью ионизованную плазму с неоднородной концентрацией вдоль оси х, n0(x) (рис. 8.1). Однородное магнитное поле перпендикулярно градиенту концентра ции и направлено вдоль оси z. Температуры заряженных частиц будем считать постоянными Te,i = const(x). Рассмот рим возмущение концентрации периодическое вдоль y и z: n1 = A(x)exp(–iwt + ikyy + ikzz).

(8.1)

Будем рассматривать задачу в так называемом локаль ном приближении, т. е. будем считать, что характерный масштаб невозмущенной плазмы в направлении x удов летворяет условию kyLx >> 1. Масштаб возмущения в на правлении 1 тоже велик, и если выполнить разложение Фурье по x, то kx << ky. В то же время должно быть 2111 2 31 1 Пусть длина волны в направ лении z достаточно велика, так что kz << ky. В то же вре мя длины волн в направле Рис. 8.1 нии y и z должны быть боль Поверхности постоянной ше соответственно ларморов концентрации при распростра нении дрейфовой волны ского радиуса ионов и длины

130

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

пробега, чтобы было применимо гидродинамическое опи сание. Продольная компонента баланса сил для электронов в первом приближении (в пренебрежении электронной инерцией и силой трения) сводится к равенству градиента электронного давления и продольной электрической силы, что соответствует больцмановскому распределению для электронов: 3 2 2 1 21 3 31 21 41 5 1 12 6 0 5 3 (8.2) 1 8 20 79 1 20 Таким образом, положительное возмущение концен трации соответствует положительному возмущению по тенциала, а отрицательное возмущение концентрации за ряжается отрицательно (см. рис. 8.1). Градиент ионного давления и электрическое поле вызывают движение ио нов вдоль магнитного поля. Будем, однако, считать, что про дольное смещение ионов за время w–1 мало по сравнению с 2111 ; соответствующий критерий приведен ниже. Соответ ственно, продольным движением ионов пренебрегаем. Поперечные же скорости электронов и ионов представ ляют собой (в пренебрежении ионной инерцией) дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях и диамаг нитные скорости 1 1 1 171 3 62 341 1251 3 62 8111 4 3 5 3 62 150 62 1 1 11 171 3 62 342 1251 3 62 (8.3) 82 1 4 3 6 4 62 150 62 Дивергенция диамагнитных потоков в однородном магнитном поле равна нулю, поэтому в уравнения непре рывности дают вклад только скорости дрейфов: 1 1 1 1 1 14 1 52 612 2 632 2 62 2 7 3 (8.4) 52 Учтем свойство несжимаемости дрейфовых движений в однородном магнитном поле: 1 1 2 112 4 32 3 51 4 7 8 6 03 (8.5) 2 9 3

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

131

Это равенство нетрудно проверить непосредственно для потенциального электрического поля. Поэтому уравнение непрерывности принимает вид 22 1 3 31 4 1 2 5 01 (8.6) 24 Линеаризуя это уравнение, получаем 13 14231 3 5112 0 4 01 (8.7) 12 Согласно (8.4) 4123 1 5611 1 7 1 2891 531 1 7 . Подставляя вы ражение для потенциала (8.2), получаем из (8.7) диспер сионное уравнение: 56 2 12 40 (8.8) 1 2 12 2 373 1 3 18 29 Величина wd называется дрейфовой частотой. Таким образом, возмущение концентрации испытыва ет колебания с дрейфовой частотой и перемещается в на правлении y с фазовой скоростью 834 2

11 67 1 12 50 23 2 3 94 2 1

(8.9)

которая совпадает со скоростью диамагнитного дрейфа электронов. Частицы же в волне перемещаются за счет дрейфа в электрическом поле Ey в направлении x, что на фоне неоднородной плотности n0(x) приводит к распро странению дрейфовой волны вдоль y. Частота волны ока зывается чисто вещественной, так как электрическое поле 211 и дрейф частиц 4123 1 5611 1 7 сдвинуты по фазе на p/2 относительно возмущения концентрации. Поэто му концентрация изменяется в узлах, что проявляется как перемещение волны плотности вдоль оси y. В направле нии z волна также распространяется с фазовой скоростью Vpz = wd/kz. Приведенный выше вывод справедлив при выполне нии следующего неравенства: 51 1 52 2 51 1 31 1 62 74 61

(8.10)

Левая часть неравенства позволяет пренебречь про дольной скоростью ионов в уравнении непрерывности,

132

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

а правая часть обеспечивает установление больцмановско го распределения для электронов и позволяет пренебречь продольной электронной инерцией. Подставляя дрейфо вую частоту в левую часть неравенства (8.10), получаем условие kz << kyrci/Lx. (8.11) Так как ларморовский радиус ионов rci << Lx, то это условие может быть выполнено только при весьма малых значениях kz << ky. При нарушении левой части неравен ства (8.10) поперечное движение частиц становится несу щественным по сравнению с продольным и дрейфовая вол на переходит в другой вид колебаний — ионнозвуковую волну, которая будет рассмотрена позднее. Отметим так же, что если так называемая альфвеновская скорость cA = (B2/4pn0mi)1/2 оказывается меньше тепловой скорости электронов, то правая часть неравенства (8.10) переходит в более жесткое условие wd/kz << cA. В обратном случае дрейфовая волна переходит в альфвеновскую волну, ко торая также будет проанализирована позднее. При выводе мы по умолчанию предполагали, что в плазме отсутствует невозмущенное электрическое поле в направлении неоднородности. На самом деле такое поле существует и в плазме с однородной температурой дается выражением (7.13) (для плоской геометрии Ex = = (Ti/e)dlnn0/dx). Это поле вызывает дрейф плазмы как целого вдоль оси 1 со скоростью V0 = –cEx/B. Частота (8.8) представляет собой частоту колебаний в неподвижной плазме, с учетом же дрейфа плазмы w = wd + kyV0,

(8.12)

т. е. возникает допплеровский сдвиг частоты. Фазовая скорость (8.9) также вычислена относительно движущей ся плазмы, в лабораторной же системе фазовая скорость 945 3

11 7382 2 83 4 1 12 60 2 90 3 4

5 2 1

(8.13)

возрастает и попрежнему направлена в сторону диамаг нитного дрейфа электронов.

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

133

8.2. ДРЕЙФОВО ДИССИПАТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ Так как частота дрейфовых волн, найден ная в предыдущем разделе, получилась чисто веществен ной, то необходимо учесть малые отброшенные члены, чтобы решить вопрос о том, раскачивается такая волна или затухает. Мы учтем продольную силу трения между электронами и ионами и инерцию ионов. Попрежнему проведем рассмотрение в движущейся в направлении у со скоростью V0 системе отсчета, в которой невозмущенное электрическое поле отсутствует. Продольную скорость электронов найдем из уравнения продольного баланса сил для электронов (продольной ско ростью ионов попрежнему пренебрегаем в соответствии с условием (8.10)): 251 14 2 1462 2 0151471 3 13 812 4 02 12

(8.14)

После линеаризации имеем 1 5 01 134152 61 2 341 260 31 1 015160 72 4 23 821

(8.15)

откуда продольная скорость электронов

7121 4 5

34152 2 61 211 3 5 1 025182 8 23 69 60 52 7

(8.16)

Компонент же скорости электронов в направлении x за вычетом диамагнитной скорости попрежнему представ ляет собой дрейф в скрещенных полях: 5671 11 1 (8.17) 9 Линеаризованное уравнение непрерывности для элек тронов теперь с учетом продольной скорости электронов имеет вид 350 1 3 81 16251 3 671 50 821 4 01 (8.18) 234 34 Подставляя в это уравнение выражения для скоро стей (8.16) и (8.17), получаем 81234 2 3

134

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

51262 2 71 1 51262 2 231 1 8 4 5 4 02518 9 7 5 8 643 6 4 02518 9 6 7 01 2 24 0 2 24 2  

(8.19)

Для ионов продольную скорость полагаем нулем ui|| = 0. Поперечную же скорость находим из линеаризованного уравнения поперечного баланса сил: 1 1 1 1 1 121 30 41 1 2 351 431 5 630 71 5 30 1211 6 823 (8.20) 19

В пренебрежении инерцией скорость ионов соответст вует обращению в ноль правой части (8.20) и представля ет собой, согласно (8.3), сумму диамагнитной скорости и скорости дрейфа. После подстановки скорости (8.3) в ле вую часть (8.20), умножив получившееся уравнение век 1 торно на 1 , можно найти скорость ионов в следующем приближении: 1 1 1 11 141 2 52 2231 341 61 1 4 2 5 6 52 852 37 29 17 1 2 52 2231 3 91 7 1 (8.21) 6 2 2 3 1 4 8 0 52 8 5 37 0 Дивергенция потоков, связанных с последними двумя членами, равна нулю, поэтому в уравнение непрерывно сти для ионов входит только скорость дрейфа: 2561 11 1 23 7234 1 8 2 4911 2552 2 1 52 2 1 2 5 2 7231 91 2 3 23 5 61 11 2 (8.22) 2 2 8 4 8 82 Подставляя (8.22) в линеаризованное уравнение непре рывности для ионов, 1 350 3 27 5 6 (8.23) 12251 3 6234 1 0 231 4 01 34 получаем 512 627283 2 331 91 1 (8.24) 4 5 8 644 5 4 7 01 9 90

32 2  83 Система уравнений (8.19) и (8.24) имеет нетривиаль ное решение, если ее определитель равен нулю. Прирав

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

135

нивая нулю определитель, получаем дисперсионное урав нение: 1 72 3 3 2 74282 742 312 313 32 4 33 7 42 12 13 4 6 01 (8.25) 8 5 335 2 76 02519 23

76 02519 23 92 02519 23  Вторым членом в скобках в гидродинамическом при ближении при условии kyrci << 1 можно пренебречь. Вво дя обозначение 72 1 1 15 2 42 12 13 1 (8.26) 76 01513 23 перепишем дисперсионное уравнение в виде w2 + iwws – iwdws = 0.

(8.27)

Проанализируем два предельных случая ws >> wd и ws << wd. В первом случае дисперсионное уравнение имеет корни (8.28) 11 2 11 3 3121 1 12 2 12 2 4312 3 При малых ws w1,2 = ±(1 + i)(wdws/2)1/2.

(8.29)

В обоих случаях первый корень соответствует неустой чивости, инкремент нарастания 1 2 322 1 31 2 31 1 32 3 1 2 432 31 1 2511 2 2 31 2 32 6

(8.30)

В наиболее интересном случае слабостолкновительной плазмы ws >> wd инкремент является малым по сравне нию с вещественной частью частоты w d. При уменьше нии частоты столкновений, когда длина пробега элек тронов сравнивается с длиной волны kz(Te/me)1/2/nei ~ 1, отношение мнимой части частоты к вещественной очень мало: 11 1 12 2 11 1383 394 1 4 411 2 48522267 1 15 Таким образом, при учете столкновений дрейфовая волна, рассмотренная в предыдущем разделе, нарастает с инкрементом (8.30). Физическая картина развития не устойчивости состоит в следующем: в отсутствие продоль ной силы трения возмущение потенциала совпадает по фазе с возмущением концентрации, а возмущение электри ческого поля и дрейф частиц вдоль оси 1 сдвинуты на p/2.

136

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Поэтому нарастание плотности происходит в узлах волны и ее частота остается вещественной. При учете же силы трения появляется сдвиг фаз между возмущениями по тенциала и концентрации и, соответственно, сдвиг по фазе возмущения электрического поля относительно воз мущения концентрации отличается от p/2. Поэтому в об ласти максимумов возмущения концентрации все время происходит нарастание плотности за счет поперечного дрейфа частиц на неоднородном фоне, что проявляется как неустойчивость. Отметим, что в лабораторной систе ме отсчета к вещественной части частоты попрежнему добавляется допплеровский сдвиг kyV0, связанный с дви жением плазмы под действием фонового электрического поля. 8.3. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В слабостолкновительной плазме, когда длина свободного пробега электронов превосходит 2111 , гидродинамическое приближение, рассмотренное в пре дыдущем разделе, перестает быть применимым. Тем не менее в бесстолкновительной плазме дрейфовые волны также неустойчивы, при этом аналогом силы трения яв ляется затухание Ландау, а соответствующая неустойчи вость называется универсальной. Воспользуемся для ана лиза электронной компоненты кинетическим уравнением в дрейфовом приближении (см. раздел 1.7). В однородном магнитном поле ведущие центры частиц дрейфуют в по перечном электрическом поле и испытывают продольное движение. Поэтому уравнение (1.99) для электронов име ет простой вид 1 1 23 36 36 36 413 2 52 (8.31) 4 71 4 516 6 1 7 893

2 371 39 31 52 В правой части необходимо сохранить столкновитель ный член, несмотря на то, что столкновения весьма редки. Будем искать решение в виде f = f0 + f1, где f0 — невоз мущенная функция распределения, соответствующая не

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

137

однородному профилю концентрации n0(x), а f1 ~ exp(–iwt + + ikyy + ikzz) — малая поправка. Линеаризуя кинетическое уравнение для электронов, имеем 4511 160 3521 160 (8.32) 27361 4 782 92 61 4 2 5 1 1 1 3 192 1 1 Здесь 11 1 22331 — электрическое поле волны. Для столкновительного члена выберем упрощенное модельное представление St1 = –nf1. На самом деле столкновитель" ный член имеет вид интеграла столкновений Ландау, од" нако оказывается, что от вида столкновительного члена и величины n результат не зависит ввиду стремления часто" ты столкновений к нулю. Из (8.32) имеем для поправки к функции распределения 61 5

1 451 360 352 360 2 41 6 7 1

6 52 72 7 8 8 9 3 3 372 9

(8.33)

Функция распределения имеет вещественную и мни" мую часть. Перепишем множитель в (8.33), умножив чис" литель и знаменатель на комплексно сопряженное значе" ние, в виде двух слагаемых:

1 2 21 31 413 4 52 1 6 2 3 7 2 21 31 4 43 11 2 21 31 22 4 15 4 322 11 2 21 31 22 4 13 4 522 Здесь w = W + ig. Инкремент g в универсальной неустой" чивости значительно меньше вещественной части час" тоты W. Слагаемые по"разному ведут себя вблизи резо" нансной точки W = kzVz. Первое вещественное слагаемое обращается в этой точке в ноль и при n ® 0 и g ® 0 анти" симметрично относительно резонансной точки. Второе же мнимое слагаемое при n ® 0 и g ® 0 мало всюду, кроме окрестности резонансной точки, где оно стремится к бес" конечности. Эти особенности проявляются при вычисле" нии макроскопических величин. Вещественная часть воз" мущения концентрации при n ® 0 и g ® 0 равна интегра" лу, вычисленному в смысле главного значения: 12371 4 6 8 595

51  7 52 82

1 2 451 460 352 460 3 97  4 8 48 82 81 5 3 2

(8.34)

138

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Так как частота порядка дрейфовой, то, в соответст вии с условием (8.10), полагаем W << |kzVz| и W – kzVz ~ kzVz. Соответственно 1 51 2 451 460 3 460 3 12371 4 6 8 595 8 7

82 81 5 (8.35) 9 82 52  4 3 482  Выбирая в качестве невозмущенной функции распре деления максвелловскую функцию распределения, полу чаем, что первое слагаемое в (8.35) обращается в ноль в силу нечетности подынтегрального выражения. Во втором слагаемом ¶f0/¶Vz = –meVzf0/Te, поэтому особенность ис чезает, и интеграл легко вычисляется: 12321 4 2

111 2 5 31 0

(8.36)

Таким образом, вещественная часть возмущения кон центрации соответствует больцмановскому распределе нию для электронов. При вычислении мнимой части возмущения концен трации заметим, что подынтегральная функция имеет рез кий максимум в окрестности резонансной точки. Поэто му значение подынтегральной функции за исключением резонансного множителя можно брать при Vz = W/kz: 23461 5 2 4 752 680 351 680 5 789 2 

1

8

2 2 43 51 41 5 8 47 8 9 5  6 3 641  4

1 941 941 6

1 23 1 51

(8.37) Учитывая, что 12

415

6

9 28 3 41 31 32 1 25 1 432 231 7 41 1

32

получаем

12351 4 5

2 131 1 4 41 36 7 62 4 8 50 5 9 61 9 2 73 61 

(8.38)

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

139

Резонансный множитель в (8.33) при n ® 0 и g ® 0 при нято записывать в виде 1 1 1 21 2 2 33415 2 41 51 23 5 2 41 51 5 2 41 51

(8.39)

Такая запись означает, что интегралы с таким множи телем следует брать следующим образом: с первым сла гаемым в смысле главного значения, а со вторым слагае мым — с dфункцией. Окончательно, объединяя (8.36) и (8.38):

51 5

2 131 1 4 41 17 8 72 2 50 3 91 6 6 71 9 2 83 71 

(8.40)

Результат не зависит от частоты столкновений, что оправдывает выбор модельного столкновительного члена. Мнимая поправка в (8.40) возникает изза трения резо нансных частиц о волну — явление, известное как «зату хание Ландау». Для получения дисперсионного уравнения необходи мо найти связь между возмущениями концентрации и по тенциала также и из ионного уравнения. Так как продоль ным движением ионов в силу неравенства (8.10) можно пренебречь, то уравнение для ионов совпадает с уравнени ем гидродинамического приближения (8.24), полученно го в предыдущем разделе. Приравнивая к нулю определи тель системы уравнений (8.24), (8.40) и учитывая, что мнимая поправка к частоте мала, получаем

4 5 24 11 6

612 728293 612 728293 124 3 23 5 1 14 (8.41) 2 2 24 65 293 5 83 32 2 3

Максимально возможный инкремент достигается при kyrci ~ 1 и равен 1 1 21 2 21 1342 253 1 63 4 1 15 Он резко пада ет с уменьшением ky. Таким образом, в слабостолкнови тельном режиме дрейфовая волна является неустойчивой с инкрементом, малым по сравнению с дрейфовой частотой. На границе применимости при kzlei ~ 1 инкремент (8.41) переходит в первое из выражений (8.30).

140

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

8.4. НЕУСТОЙЧИВОСТИ, ВЫЗВАННЫЕ ГРАДИЕНТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ Рассмотренные в предыдущем разделе дрей фовые неустойчивости имеют достаточно малый инкре мент, который существенно меньше дрейфовой частоты. Поэтому более опасными являются неустойчивости, вы званные градиентом температуры. Рассмотрим ионнотем пературную дрейфовую неустойчивость, вызванную гра диентом ионной температуры, которая в значительной степени ответственна за перенос частиц и энергии в уста новках для управляемого синтеза. Для простоты рассмотрим ситуацию, когда имеется только градиент ионной температуры, а градиенты кон центрации и электронной температуры отсутствуют: 2310 1 24 1 02 230 1 24 1 2510 1 24 1 02 Покажем, что в этом случае раскачивается ионная дрейфовотемпературная неустойчивость, частота которой лежит в диапазоне 51 262 2 63 3112 1 72112 1 3 1 54 83 11 9 11 62 1  4 Как и ранее, поперечная длина волны удовлетворяет условию применимости гидродинамического описания kyrci << 1. Плазму для простоты будем считать бесстолк новительной. В этой волне поперечный дрейф ионов в возмущенном потенциале на фоне неоднородного профиля ионной тем пературы приводит к возмущению ионной температуры. Возникающий при этом продольный градиент давления вызывает движение ионов вдоль магнитного поля, кото рое, в свою очередь, возмущает концентрацию и, вслед ствие больцмановского распределения электронов, при водит к возмущению потенциала. Уравнение для ионной температуры выберем в виде (2.12), в котором отброше ны диссипативные слагаемые, связанные с теплопро водностью и теплообменом, при этом соответствующие времена предполагаются большими по сравнению с w–1. Имеем 1 1 3 21 2 4 131 523 41 4 241 5 6 31 7 03 9 2 8 15

(8.42)

141

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

Линеаризованные уравнения непрерывности, баланса продольного момента и тепла для ионов имеют вид 1 4 01 12241 3 251 40621 1 4 125 24 81 3 418 0 3 1 25 94 51 1 12240 72 621 1 1 0 2 0 2 1 8 0  5 2 1 4 04 12240821 1 253 40 3 251 40820621 (8.43)

С учетом больцмановского распределения для элек тронов 21 111 2 0 (8.44) 2 3

0

1

получается замкнутая система уравнений. Приравнивая к нулю ее определитель и учитывая, что 41 252 1 53 311 2 1 6211 2 1 2 4 получаем дисперсионное уравнение: 13 2 3832

51 7 6 1252 8 3 92 4 1 6

(8.45)

Уравнение (8.45) имеет один вещественный и два мни мых корня, при этом один из мнимых корней соответст вует инкременту 11 3

3 1 2 51 7 6 2352 2 8 8 4 (8.46) 2 57 3 92 4 1 6 68 Более подробный анализ для плазмы, в которой при сутствует как градиент ионной температуры, так и гради ент концентрации того же знака, дает следующее условие раскачки ионнотемпературной неустойчивости: 34

11 2

2 1231 3 23 2 12 4

(8.47)

Аналогичная неустойчивость, вызванная градиентом электронной температуры, называется электроннотемпе ратурной. В отличие от ионнотемпературной неустойчи вости она является мелкомасштабной kyrci >> 1 и высоко частотной: 1 1 41 252 2 53 311 2 1 613 1 2 4 В этой волне по Больц ману распределены ионы, так как их ларморовский радиус превосходит поперечную длину волны:

142

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

211 31 23 0 1 (8.48) 30 41 Для электронов же kyrce << 1 и их поперечное движе ние попрежнему представляет собой дрейф в скрещенных полях. Линеаризованные уравнения непрерывности, ба ланса продольного момента и тепла для электронов совпа дают с (8.43) с заменой индекса «i» на «е». Инкремент не устойчивости получается аналогично случаю ионнотем пературной неустойчивости и равен 11 3

3 1 2 51 7 6 2352 2 (8.49) 8 8 4 2 57 3 92 4 2 6 68 Так же как и в предыдущем случае, неустойчивость раскачивается при условии 2 12 31 (8.50) 11 2 3 23 2 12 4 34

8.5. ТУРБУЛЕНТНАЯ ДИФФУЗИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ Развитие неустойчивостей дрейфовой приро ды приводит к переходу плазмы в турбулентное состояние и переносу частиц, энергии и момента поперек магнитного поля. Рассмотрим этот процесс на примере универсальной неустойчивости. Так как инкремент этой неустойчивости весьма мал по сравнению с вещественной частью частоты, которая близка к дрейфовой частоте, то можно воспользо ваться квазилинейным приближением. При этом одновре менно существует много волн, в первую очередь влияющих на среднюю функцию распределения, изменения которой приводят к насыщению неустойчивости раньше, чем ста нет существенным взаимодействие волн между собой. Как и в линейном случае, анализ проведем на основе кинетического уравнения для электронов в дрейфовом при ближении: 1 1 23 36 36 36 413 2 52 4 71 4 516 6 1 7 893 (8.51) 39 31

2 371 52 Функцию распределения представим в виде

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

2 1 2 0 2 211 22 22 1 2345334 2 4 2 315 6 1 1 2345335 2 4 2 315 67 21 1 6 2 2 6 1 1 0 1 1 2 2 1

143

(8.52)

1

где амплитуды 211 изза малости инкремента являются медленно меняющимися по сравнению с 21111 функциями времени. Функция f0 усреднена по времени на временах, больших 21111 , и по пространству на расстояниях, много больших длин волн. Аналогично для потенциала 22 22 11 2 7 111 0 123432412 3 5 214 5 2 7 111 1234326 12 3 5 214 56 (8.53) 2 1

2 1

Суммирование в (8.52) и (8.53) происходит по поло 1 жительным и отрицательным значениям 1 . Так как по бу тенциал вещественен, то 211 3 42111 . При линеаризации 1 1 1 1 2 2 3 2 дем пренебрегать нелинейностью в членах 314 и 32 231 14 1 то есть будем пренебрегать нелинейным взаимо 52 161 действием различных мод в силу малости их амплитуд. В линейном приближении, как следует из рассмотре ния в разделе 8.3:

621 5

21

121 2 521 460 423 460 3 1 6 7 1 6 23 73 7 8 2 7 8 8 9 4 4 473 9

(8.54)

Уравнение для медленно меняющейся функции рас пределения f0 найдем из усредненного уравнения (8.51): 1 1 230 2411 231 5141 3 62 (8.55) 4 5 1 31 6 7 78 3 2 28 92 2 1 6 При усреднении в уравнении (8.55) двойных сумм типа 1 1 1 3 1 1234415 2 43 1 6 4 5 1 6512344115 2 43 1 6 4 5 1 656 2 66 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 11 1 1 учтем, что сохраняются только произведения с 11 2 311 При этом согласно (8.41) 211 3 12 1 11 и 2 11 3 2 1 11 1 Имеем 2 2 2 2 4 23 545 4 3 4 21 121 460 6 6 7 21 493 9 2 47 21 8 48 2 4 23 545 4 3 6  7 3 7 121 6 23 93 2 8 6 21 493 9 0

48

(8.56)

144

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Уравнение (8.56) описывает эволюцию усредненной функции распределения. Возмущения потенциала при этом растут с нелиней ным инкрементом 1 11 1 который зависит от функции рас пределения f0. Нелинейный инкремент отличается от ли нейного выражения (8.41), вычисленного для максвел ловской функции распределения. Оставляя в формулах раздела 8.3 функцию распределения электронов произ вольной, получим 1 2 1 36 4 531 670 234 670 5 7 31 182 8 3 2  9

1231 9 34 94 2 94 91 3 (8.57)

20  6 2 694  Вид усредненной функции распределения электронов f0 определяется балансом между диффузией в пространстве скоростей для резонансных частиц и столкновительным членом. Диффузия по скоростям стремится сгладить функ цию распределения (эффект формирования плато), а столк новения стремятся максвеллизовать функцию распределе ния. Решение (8.56) позволяет найти f0 и, следовательно, нелинейный инкремент 1 11 1 Интегрируя (8.56) по скоро стям с учетом (8.57), получаем уравнение диффузии: 110 1 110 2 2 3 01 13 14 14

(8.58)

с коэффициентом диффузии 435 1 2

32 212 1221 2 21 1 52 4221

(8.59)

Для ионов вклад в диффузию дают нерезонансные час тицы. Наиболее просто выражение для диффузионного потока ионов получается усреднением электрических дрейфов в направлении градиента концентрации:

22 3 5

341 15 3 46 0 1 7 12

(8.60)

При таком усреднении вклад в поток дают возмуще ния концентрации, сдвинутые по фазе на величину p/2 относительно возмущений потенциала. Используя вычис ления раздела (8.3) с произвольной (немаксвелловской)

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

145

функцией распределения, получаем, что коэффициент диффузии в выражении (8.60) совпадает с коэффициентом диффузии в (8.59). Для других типов неустойчивостей, с большим инкре! ментом, квазилинейное приближение неприменимо, так как становится существенным нелинейное взаимодейст! вие между модами, которое определяет спектр колебаний. Тем не менее используем квазилинейное выражение для грубой верхней оценки коэффициентов переноса. Пред! положим, что мода с наибольшей длиной волны дает ос! новной вклад в перенос, и оставим одно главное слагаемое в сумме (8.59). Амплитуду колебаний основной моды оце! ним как 21 321 1 430 2 453 В этом случае, когда собственный градиент концентрации в волне становится порядка сред! него градиента концентрации, на градиенте концентрации волны раскачиваются более мелкомасштабные колебания, отбирая энергию у основной моды, при этом основная мода насыщается. Подставляя эту оценку в (8.59), оставляя в сумме одно слагаемое и учитывая, что 321 1 30 1 1221 141 и 121 1 21 2 получаем оценку коэффициента диффузии: 3 1 2112 2 21 2

(8.61)

Эту же оценку можно получить, считая, что инкремент основной моды 1 11 компенсируется диффузионным зату! ханием 2312 1 являющимся результатом развития всего спектра колебаний. Наибольший из возможных коэффициентов диффу! зии для моды дрейфового типа получается для длины вол! ны порядка характерного размера плазмы kyL ~ 1, где L = |dlnn0/dx|–1, и инкремента порядка вещественной час! ти частоты. В этом случае, полагая 1 21 1 2 21 1 31 2 имеем 34 (8.62) 5 1 52 1 1 2 12 Этот коэффициент диффузии известен как бомовский коэффициент диффузии и является максимально возмож! ным для дрейфовой турбулентности. Для расчета же ре! ального диффузионного потока в общем случае необходим расчет спектра колебаний с учетом нелинейного взаимо! действия между модами.

146

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

8.6. ВЛИЯНИЕ ШИРА МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА РАЗВИТИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ Шир (перекрещенность) силовых линий маг нитного поля, вообще говоря, подавляет развитие неустой чивостей. Проанализируем его влияние на примере не устойчивостей дрейфовой природы. Определим вначале шир в плоской геометрии. Рассмотрим магнитное поле 1 вида 1 1 3 1 31 14251 2 32 14252 3 (8.63) Такое магнитное поле создается током 1 1 1 4 1 41 13251 2 42 13253 3 который связан с магнитным полем уравнениями Мак свелла –¶Bz/¶x = 4pjy/c и –¶By/¶x = 4pjy/c. Все возмуще ния Y в волне попрежнему имеют вид Y = A(x)exp(–iwt + ikyy + ikzz).

(8.64)

Так как магнитное поле поворачивается в пространст ве, то, раскрывая скалярное произведение 12 34 1 311 4 1 31 41 2 32 42 2 получаем

31 41 1 32 42 4 (8.65) 4 Пусть при некотором значении 10 продольная длина волны стремится к бесконечности k||(x0) = 0. Это условие может достигаться, если величины kz и ky имеют разные знаки. Разложим величину k|| в ряд вблизи этой точки, считая для простоты, что вдоль оси x изменяется только поле By, причем By << Bz и Bz/B » 1: 311 253 2

2231 3 34 25 2 50 45 (8.66) 25 Введем характерный масштаб L изменения парамет ров плазмы вдоль оси x (например, L = |dlnn0/dx|–1) и опре делим шир магнитного поля согласно 411 254 1 41

1 2 4 2131 2 33 4 1 25

(8.67)

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

147

Тогда

2 1 20 4 (8.68) 4 Шир является характеристикой самого магнитного поля. В то же время от него зависит длина волны возму щения вдоль магнитного поля. В цилиндрической геометрии шир можно ввести ана логичным образом. Пусть возмущения имеют вид 1 220 3 311 223 2 31 3

Y = A(r)exp(–iwt + imq + ikzz), (8.69) 1 1 1 2 2 21 31 3 21 14 231 и от радиуса зависит азимутальный ком понент магнитного поля Bq. Азимутальному волновому числу соответствует kq = m/r. Соответственно 21 31 2 24 3 5 431 (8.70) 5 3 Вблизи резонансной магнитной поверхности радиуса r0, где k||(r0) = 0, параллельный волновой вектор 1 210 3 1 2 10 4 (8.71) 211 21 3 3 21 4 10 где шир определен согласно 211 25 4 3

1 3 3 2 1121 2 323 4 2 (8.72) 13 В общем случае, когда оба компонента магнитного поля зависят от пространственной координаты, имеем 1 230 3 3 2 30 4 411 233 3 41 230 34 5 41 3 41 62 5 6 2 42 61 5 64 2 1 3 5 62 7261 5 62 3 4 73 62 — для плоской геометрии и 1 220 3 2 3 20 4 311 243 4 31 220 35 20 5 31 4 61 5 6 3 31 62 5 64 2 2 1 4 2 2 61 7262 5 261 3 5 2 72 6 — для цилиндрической геометрии.

(8.73)

(8.74)

148

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Шир магнитного поля приводит к стабилизации возму щений. Действительно, при смещении от магнитной по верхности параллельное волновое 1число начинает резко возрастать, а длина волны вдоль 1 — уменьшаться. На некотором расстоянии d от резонансной магнитной поверх ности параллельное волновое число достигает значения 144123, при котором волна перестает нарастать. Для универ сальной или дрейфовотемпературной неустойчивости мак симальное значение 144123 соответствует неравенству (8.10): 544123 2 33 5

41 1 42 6 62

(8.75)

При больших значениях продольного волнового век тора поперечное движение ионов в дрейфовой волне сме няется их продольным движением и дрейфовая волна пе рестает существовать. Согласно (8.68)

244123 3 12 5 1 21 3

(8.76)

Величина d называется «областью локализации не устойчивости вблизи резонансной поверхности». Вне этой области волна не нарастает, а затухает. Подставляя значе ние 144123 (8.75) и выражение для дрейфовой частоты (8.8), полагая Te ~ Ti, получаем 1 (8.77) 2 1 12 2 1 3 Эта оценка справедлива для достаточно большого шира, 1 2 312 1 32 когда d << L, то есть для 1 В поле с сильным широм появляется новый характер ный масштаб d вместо L в направлении исходной неодно родности x. В результате локальное приближение, рас смотренное в предыдущих разделах, когда амплитуда волны предполагается плавной функцией x, справедли во только для коротких волн kyd > 1. Максимальная дли на волны вдоль y определяется условием 21123 1 2 14

(8.78)

Более длинные волны в магнитном поле с сильным широм не раскачиваются.

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

149

Ограничение на длину волны приводит и к уменьше нию турбулентных коэффициентов переноса. Использу ем (8.61) для оценки коэффициента ионной температуро проводности, связанного с ионнотемпературной дрейфо вой неустойчивостью. Подставляя 21123 (8.78) и d (8.77), полагая инкремент порядка дрейфовой частоты, получаем 22 1

143 112 2 16 35 3

(8.79)

Коэффициент ионной температуропроводности оказы вается в d/L раз меньше бомовского коэффициента. В от личие от бомовского, он обратно пропорционален квадра ту магнитного поля и зависит от характерного масштаба изменения параметров плазмы L. Такой тип зависимости известен как гиробомовский. Отметим также, что для ион нотемпературной дрейфовой неустойчивости коэффици ент диффузии значительно меньше коэффициента ионной температуропроводности изза больцмановского распреде ления электронов в электрическом поле волны. Для электроннотемпературной дрейфовой неустойчи вости максимальное значение параллельного волнового вектора определяется условием 444123 1 22 5

31 6 51

(8.80)

Поэтому для нее область локализации значительно меньше: 1 2 1 12 2 (8.81) 1 3 Соответственно, оценка для коэффициента электрон ной температуропроводности есть 22 1

132 112 2 15 24 3

(8.82)

При наличии сильного шира магнитного поля локаль ный анализ неустойчивостей, рассмотренный ранее в этой главе, перестает быть применимым. Действительно, ха рактерный масштаб изменения амплитуды волны в направ лении x перестает быть большим по сравнению с длиной

150

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

волны в направлении y, поэтому электрические поля и поляризационные токи ионов вдоль x и вдоль y становят ся одного порядка. Дивергенция продольного потока ио нов меняется от малого при k|| ® 0 значения до значений, приводящих к затуханию волны при x ~ d. При строгом рас смотрении возмущения попрежнему ищутся в виде (8.1), но уравнения сводятся к обыкновенным дифференциаль ным уравнениям относительно x. Покажем, как такой подход реализуется для дрейфо вой волны в бесстолкновительной плазме в отсутствие гра диента температуры, соответствующей универсальной не устойчивости в поле без шира. В уравнении непрерывно сти для ионов в отличие от (8.23) учтем поляризационный поток вдоль x и продольную скорость ионов:

231 411 560 2 9 57 42 2 1 42 2 52 11 4 2331260 1 4 3 5 05 2 6 0 92 92 572 22361 4 260 311 27382111 2

(8.83)

Мы учли, что характерный масштаб изменения ампли туды волны мал по сравнению с L. Здесь k||(x) линейно ме няется вблизи резонансной поверхности в соответствии с (8.68). Продольную скорость ионов найдем из уравнения продольного баланса сил (Te >> Ti): 112304151111 3 11611 27382 31 4

(8.84)

Еще одна связь возмущений концентрации и потен циала находится из электронного уравнения (8.40). Пре небрежем вначале мнимой частью в (8.40), которая связа на с затуханием Ландау. Тогда n1 = (ef1/Te)n0 соответст вует больцмановскому распределению для электронов. Комбинируя (8.84) и (8.83), получаем

9245

1 2 18 4 80 22 7 5 82 32 61 1 61272 3

4 1 6129245 4 3  61  03 2 2 2 5  38 95 5

 

где ларморовский радиус определен согласно rci = (Te/mi)1/2 (mic/eB).

(8.85)

8. ДРЕЙФОВЫЕ ВОЛНЫ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС

151

Заменой переменных 11 2

67

12 4 3 40 1 41 5 9 23 4

234538 1 46

(8.86)

уравнение (8.85) сводится к уравнению квантомеханиче ского осциллятора: 12 11 (8.87) 2 122 3 42 211 5 03 132 где энергия осциллятора: 3 4 3 1 5 6226234 2 7 1 1 (8.88) 54 1 1 3 2 31 8 Собственные значения энергии, как известно, 1 1 122 1 2 1 011122222 (8.89) 2 Из (8.88) и (8.89) находим уравнение для частоты, кор ни которого для не слишком больших значений n есть 12 1 2 3 2 11 31 4 5225234 45 1 326 4 148 67 1 2 6 2 711 8

(8.90)

Собственные функции выражаются через полиномы Эрмита Hn: j1 = Hn(x)exp(-x2/2). (8.91) Собственные функции согласно (8.90) слабо затухают. При x ® ¥ собственные функции осциллируют 51 1 4 6 7 2 8 123493

31 4 4 2 5 3 2 223

(8.92)

1 11 2 2 Так как имеется мни с характерным масштабом 112 1 2 мая поправка к частоте, то собственные функции расхо дятся. Чтобы устранить расходимость, необходимо учесть дополнительный член в электронном уравнении, приво дящий к раскачке универсальной неустойчивости. Такой анализ приводит к дифференциальному уравнению, кото рое можно исследовать лишь численно. При этом оказы вается, что дрейфовые волны в поле с сильным широм за тухают. Аналогичным образом исследуются и дрейфово температурные волны. Они остаются нарастающими при условии kyd > 1.

Глава 9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

9.1. ИОННЫЙ ЗВУК

В гидродинамическом приближении пол ностью ионизованная плазма в отсутствие примесей опи сывается системой уравнений переноса, рассмотренной в главе 2: 1 23 3 4 5 341 6 01 25 1 1 1 1 64 71 3 1 6 7481 7 4 5 81 3 91 3 3 1 1 65 3 3 6 1 3 3 4 5 41 3 8 2411 3 4 5 1 6  2 (9.1) 1 1 1 112 1 1 22 2 65 Складывая два уравнения баланса сил для электронов и ионов и пренебрегая электронной инерцией и ионной вязкостью, получаем уравнение суммарного баланса сил, в котором отсутствуют электрическое поле и сила трения: 1 23 (9.2) 451 1 1 2361 27 Здесь суммарное давление p = pe + pi. Пренебрежение ионной вязкостью по сравнению с градиентом давления оправданно, если длина свободного пробега мала по срав нению с характерным размером неоднородности L, что яв ляется условием применимости гидродинамического опи сания плазмы. Как отмечалось в главе 7, уравнение (9.2) позволяет оценить характерную скорость, которая возникает в не однородной полностью ионизованной плазме. Эта ско

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

153

рость порядка ui ~ [(Te + T)i/mi]1/2 и зависит от конкрет ной задачи. Рассмотрим вначале эволюцию малых воз мущений концентрации в безграничной однородной плаз ме концентрации n0 в изотермическом случае. Пусть все величины зависят только от координаты z. Будем искать концентрацию и ионную гидродинамическую скорость в виде 2 1 20 2 211 31 1 311 1 (9.3) 21 2 34563144 2 15671 311 2 34563144 2 15678 Линеаризуя уравнение непрерывности для ионов и уравнение суммарного баланса сил (9.2), получаем

11231 3 1451130 4 01 11261 30 511 3 14272 3 71 331 4 04

(9.4)

Условие совместности системы (9.4) приводит к дис персионному соотношению w = ±kcs,

(9.5)

где для изотермической плазмы 53 2

41 1 42 1 62

(9.6)

Величина cs называется скоростью ионного звука. Бо лее общее определение скорости ионного звука: 41 1

23 1 22

(9.7)

где r = nmi. Это выражение при Te,i = const совпадает с (9.6). Таким образом, возмущение концентрации распространя ется согласно (9.5) с постоянной фазовой скоростью, сов падающей со скоростью звука, а знак «±» соответствует распространению в одну или другую сторону. При этом дисперсия, т. е. зависимость фазовой скорости от длины волны, отсутствует. Как следует из совместного рассмотрения электронно го и ионного уравнений непрерывности, в отсутствие тока через плазму ue = ui = u, т. е. электроны и ионы движут ся совместно. Сила трения между ними равна нулю, а из

154

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

уравнения баланса сил для электронов имеем больцманов ское распределение для электронов: 11 2

21 2 31 1233 4 30 5 3 1 6 1 1 30

(9.8)

Положительные возмущения концентрации заряже ны положительно, а отрицательные — отрицательно. Электрическое поле, соответствующее больцмановскому потенциалу, удерживает электроны от разбегания и обес печивает одинаковую скорость электронов и ионов в ион нозвуковой волне. Если характерное время, типичное для ионнозвуковой волны w–1 = (kcs)–1, мало по сравнению с диссипативными временами — временем электронной и ионной теплопро водности (k2ce,i)–1 и временем теплообмена (2menei/mi)–1, то ионный звук является адиабатическим. В этом случае со храняется энтропия единицы объема s, температуры элек тронов и ионов меняются как Te,i ~ n2/3, а полное давление как p ~ n5/3. Система (9.4) в общем случае имеет вид

11221 3 1341120 4 01 56 1 1121 71 20 3 13 2 4 02 52

(9.9)

Закон дисперсии попрежнему имеет вид (9.5), а ско рость звука в адиабатическом случае 73 1

56 53

3 1 const

1

5141 2 42 2 3 382

(9.10)

Наконец, возможна ситуация, когда время w–1 мало по сравнению со временем ионной теплопроводности и временем теплообмена, но велико по сравнению со време нем электронной теплопроводности. Такая ситуация мо жет возникнуть изза весьма большой электронной тепло проводности. В этом случае ионный звук является адиа батическим по ионам и изотермическим по электронам, а скорость звука дается выражением 53 2

41 1 15 2 3342 4 62

(9.11)

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

155

Так как у ионного звука отсутствует дисперсия, то есть волны любой длины распространяются с одной и той же скоростью, то с той же скоростью распространяется и возмущение произвольной формы, которое можно раз ложить в интеграл Фурье на отдельные волны. Поэтому общее решение линеаризованных уравнений (9.1), (9.2) имеет вид n1 = f1(z – cst) + f2(z + cst). (9.12) Это можно продемонстрировать и непосредственно, записав исходные линеаризованные уравнения в виде 141 4 1311 2 0 3 01 15 16 131 141 (9.13) 40 1 3 4722 2 15 16

Рис. 9.1 Распад прямоугольного возмущения на два движущихся возмущения половинной амплитуды

156

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Продифференцировав первое уравнение по времени, а второе — по координате, и вычитая одно из другого, при ходим к волновому уравнению: 1 221 1 1 221 2 3 01 132 412 152

(9.14)

решением которого является (9.12). В качестве примера рассмотрим эволюцию прямоуголь ного возмущения концентрации, имеющего вид n1 = A при –a £ z £ a и n1 = 0 вне этого промежутка (см. рис. 9.1). На чальная скорость возмущения концентрации предполага ется равной нулю. Такое возмущение можно представить в виде суммы двух возмущений половинной амплитуды, при чем, в соответствии с (9.12), возмущения движутся со ско ростями ±cs. С течением времени возмущение распадается на два движущихся в разные стороны сигнала (рис. 9.1). Ионный звук может распространяться и в бесстолкно вительной плазме, если электронная температура значи тельно превосходит ионную Te >> Ti. В этом случае можно рассуждать следующим образом: согласно уравнению ба ланса сил для электронов электрическое поле уравновеши вает градиент электронного давления. Поэтому в уравне нии баланса сил для ионов электрическая сила доминиру ет, а давлением ионов и их вязкостью можно пренебречь. В результате, заменяя в уравнении баланса сил для ионов электрическую силу на градиент электронного давления, приходим к уравнению (9.2), в котором присутствует толь ко электронное давление: 1 34 561 1 1 2372 1 (9.15) 38 Скорость звука же совпадает с (9.6). При сравнимых температурах ионный звук сильно затухает по механизму Ландау, здесь необходим кинетический подход. Особого рассмотрения требует случай, когда длина вол ны возмущения порядка дебаевского радиуса. При этом отсутствует квазинейтральность и необходимо использо вать уравнение Пуассона. Проанализируем эту ситуацию для бесстолкновительной плазмы при Te >> Ti. Исходная система уравнений:

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

1 131 2 3 4 131 41 2 5 03 15 1 132 2 3 4 132 42 2 5 03 15 1 2 64 71 31 1 5 231 83 65 1 0 5 692 332 6 232 83 1 3 4 8 5 472131 6 32 24

157

(9.16)

Из электронного уравнения баланса сил следует больц мановское распределение электронов j = (Te/e)ln(ne/n0), где n0 — невозмущенная концентрация как электронов, так и 1ионов. Из ионного уравнения баланса сил имеем 34 51 61 1 1 272 362 1 Линеаризованная система уравнений 38 неразрывности ионов, уравнений баланса сил и уравнения Пуассона в одномерном случае имеет вид 112311 3 1430 511 4 01 251 2 62 4 321 2 30 1 11271 30 511 4 11462 3211 42 51 4 4623311 1 321 45

(9.17)

Исключая потенциал и скорость ионов, приходим к системе уравнений с двумя неизвестными относительно 311 1 321 2 Приравнивая к нулю определитель этой системы, получаем дисперсионное уравнение: 12 2

32 412 1 1 3 32522

(9.18)

где 322 1 41 124250 12 34 Видно, что в общем случае звуковые волны обладают дисперсией — фазовая скорость зависит от длины волны. При больших длинах волн закон диспер сии (9.18) переходит в (9.5), а при малых длинах волн 231 1 1 частота не зависит от длины волны и совпадает с ионной плазменной частотой:

2 3 2 12 3

4130 42 1 52

(9.19)

158

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

9.2. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ Проанализируем нелинейную эволюцию в полностью ионизованной плазме в ситуации, когда на чальные размеры неоднородности несущественны. В этом случае решения различных задач удается получить с по мощью автомодельного подхода, когда концентрация и гидродинамическая скорость ионов ищутся как функции одной автомодельной переменной. Рассмотрим в качестве примера одномерное расширение плазмы в вакуум (фоно вую плазму малой плотности). Пусть при z = 0 располо жен источник частиц 1 1 21 21323 При этом плазма растека ется в обе стороны от источника в положительном и от рицательном направлениях z. Вблизи источника частиц устанавливается стационарный профиль концентрации, при этом поток плазмы находится интегрированием уравнения непрерывности по области вблизи источника: 13 2111 2 02 2 231 2 4

3

Рассмотрим сначала изотермический случай Te = const, Te >> Ti. Такая ситуация может реализоваться при расши рении в плазму малой плотности за счет очень большой теплопроводности электронов, поток тепла которых ком пенсирует работу, затрачиваемую на расширение плаз мы. В уравнениях (индекс у гидродинамической скорости ионов опускаем) 12 1 1232 2 3 03 14 15 16 13 13 271 1 2 3 2 3 4 14 15 15

(9.20)

перейдем к переменной z = z/t. Концентрация и скорость ионов предполагаются функциями только от z: n = n(z), u = u(z). Производные преобразуются следующим образом:

1 12 1 1 1 3 34 2 1 12 12 12 2 12 1 12 1 1 1 2 3 3 13 13 12 2 12

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

159

В новых переменных система уравнений (9.20) имеет вид 23 21342 3 4 03 22 22 24 24 23 3112 4 3 4 2 4 1512 22 22 22 12

(9.21)

Здесь использовано определение скорости звука (9.7). Выражая из первого уравнения производную du/dz и под ставляя во второе уравнение, получаем (знак выбран для течения вдоль положительного направления оси z) u = cs + z.

(9.22)

В изотермическом случае скорость звука постоянна, поэтому du/dz = 1, и для концентрации имеем 23 3 (9.23) 1 2 01 23 41 откуда 1 2 2 3 12343 56 (9.24) 41 В исходных переменных с учетом условия nu(z = 0) = = G(z = 0) = n/2 получаем 32

112 2 02 2 2 34513 26 4 2 51 4 7 51 51 6 6

(9.25)

Таким образом, концентрация экспоненциально спа дает с масштабом cst, а скорость ионов линейно растет с расстоянием. В адиабатическом случае скорость звука (9.7) зависит от концентрации как n1/3(p ~ n5/3). Соотношение (9.22) для гидродинамической скорости попрежнему справедливо. Из второго уравнения (9.21) находим общую связь между u и n: 23 4 1 2 3 51 1 (9.26) 3 Выполняя интегрирование и используя (9.22), полу чаем 3 1 2 2 3 3 30 51 4 1 7 441 230 35 68 32 6 3 41 230 3 9 4 (9.27) 45

160

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Здесь n0cs(n0) = G(z = 0). В адиабатическом случае кон центрация обращается в ноль на конечном расстоянии, а скорость остается ограниченной. Используя полученные решения, можно, например, проанализировать задачу о распаде произвольного началь ного разрыва. Пусть в начальный момент времени имелся разрыв концентрации n(z £ 0) = n0, n(z > 0) = 0.

(9.28)

Ограничимся изотермическим случаем. Тогда решение конструируется на основе соотношений (9.22)–(9.24). Ре шение, соответствующее начальному условию (9.28), име ет вид

3 1 30 12342 3 1 30 6

2 2 2 156 4 1 51 3 6 51 6 6 4 1 06

2 4 251 67 2 5 251 68

(9.29)

Профиль концентрации приведен на рис. 9.2. Плазма из области –cst < z < 0 с течением времени вытекает на право, а влево со скоростью звука распространяется волна разряжения. В то же время концентрация при z = 0 оста ется постоянной и равной n(z = 0) = n0exp(–1). Аналогич но строится решение и в адиабатическом случае.

Рис. 9.2 Распад начального разрыва (пунктир). С течением времени плазма (сплошная кривая) вытекает направо, а слева возникает волна разряжения

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

161

9.3. ПРОСТЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ. ОПРОКИДЫВАНИЕ Одномерные бегущие волны, которые явля ются аналогами линейных ионнозвуковых волн, эволю ционируют более сложным образом. Будем искать част ное решение системы уравнений (9.20) в виде бегущей волны. В этом случае все физические величины в волне (концентрация, давление, гидродинамическая скорость) являются функциями от (z – Vt), причем скорость распро странения V, в отличие от линейного случая, зависит от амплитуды. Так как концентрация, давление и гидроди намическая скорость распространяются совместно, то одни величины являются функцией других. Используя этот факт, перепишем уравнение непрерывности в виде (r = min) 12 11222 12 3 4 03 (9.30) 13 12 14 Здесь произведение ru считается функцией r. В уравне нии же баланса сил 12 12 1 11 22 2 30 (9.31) 13 14 4 14 выразим давление как функцию u: ¶p/¶z = (dp/du)¶u/¶z. Уравнение для скорости при этом преобразуется к виду 13 1 12 13 2 13 2 2 3 03 14 4 13 15

(9.32)

11122 12 в (9.30) и 3 142 1 14 2 1 2 в (9.32) 11 3 14 представляют собой скорости распространения плотности и гидродинамической скорости соответственно. Так как эти величины распространяются совместно, то должно быть V(r) = V(u), откуда Величины 3 112 2

11122 1 13 2 12 3 23 11 1 12

(9.33)

Учитывая, что 23 1 24 1 512 22 1 242 где скорость звука определена согласно (9.7), из (9.33) имеем 2 34 12 11 (9.34) 33 3

162

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

или

21 431 (9.35) 3 Выражение (9.35) дает зависимость u(r), так как ско рость звука является известной функцией плотности, см. раздел 9.1. Скорость же распространения 3 1 24

V(r) = V(u) = u ± cs. Мы видим, что скорость перемещения точек профиля плотности не является постоянной, как в линейном слу чае, а зависит от величины плотности. Профиль плотно сти, согласно (9.30), описывается выражением r = r(z – V(r))t.

(9.36)

Другими словами, каждая точка исходного профиля перемещается с постоянной скоростью, но величина ско рости перемещения зависит от значения плотности. В слу чае, например, изотермической плазмы, когда cs = const: 1 (9.37) 2 112 2 31 34 3 31 5 10 где r0 — нормировочная константа, например значение плотности на бесконечности. Видно, что точки профиля, соответствующие большей плотности, распространяются быстрее, как это показано на рис. 9.3. С течением време ни профиль плотности становится многозначным, т. е. происходит опрокидывание. Нефизический многознач ный профиль возникает изза неучета диссипативных чле нов, в частности ионной вязкости, в исходных уравнени ях. Тем не менее реальный профиль плотности может быть приближенно получен и в рамках уравнений, не содержа щих вязкость, с помощью «правила площадей». Прове дем вертикальную линию, как показано на рис. 9.3 — так, чтобы площади заштрихованных областей были одинако выми. Тогда профиль плотности, показанный сплошной линией, будет являться решением, так как состоит из плавного участка, который соответствует исходным урав нениям, и разрыва. Полное число частиц под таким про филем сохраняется и равно исходному числу частиц. На переднем фронте профиля плотности образуется ударная

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

163

Рис. 9.3 Эволюция простой нелинейной волны

волна, которая полностью аналогична ударной волне в обычной гидродинамике. Как и в гидродинамике, чтобы исследовать структуру ударной волны, необходимо перейти в систему отсчета, движущуюся вместе с волной, и учесть ионную вязкость. Профиль концентрации при этом находится из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а характерная ширина фронта оказывается порядка длины свободного пробега. Однако для больших длин свободного пробега возникает существенное отличие от обычной гид% родинамики. Если длина пробега превышает дебаевский радиус, то структура фронта ударной волны определяется не диссипацией, а нарушением квазинейтральности. При этом возникают так называемые бесстолкновительные ударные волны, для анализа структуры которых необхо% димо решать кинетические уравнения совместно с урав% нением Пуассона. Концентрация ионов на фронте такой ударной волны осциллирует. 9.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИОННО ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ С ДИСПЕРСИЕЙ Нелинейные образования с характерными размерами порядка дебаевского радиуса имеют целый ряд особенностей по сравнению с квазинейтральными нелиней% ными волнами, рассмотренными в предыдущем разделе.

164

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Эффекты дисперсии, которые в линейном приближении возникают в этом случае, могут при определенных усло виях компенсировать нелинейные эффекты и останавли вать опрокидывание волны. Рассмотрим эволюцию такого образования в бесстолкновительном случае в приближении холодных ионов. Исходными являются одномерные урав нения: 131 1 131 41 2 2 3 03 15 16 14 14 14 71 31 1 1 2 41 1 2 3 531 2 3 15 16 16 132 14 0 3 582 2 32 2 3 16 16 124 (9.38) 3 5462131 5 32 24 162 Будем искать решение в виде локализованного возму щения, распространяющегося с постоянной скоростью, так что все величины являются функцией от переменной (z – Vt): Y = Y(z) = Y(z – Vt). В отличие от случая, рассмот ренного в предыдущем разделе, скорость распространения будем считать постоянной и не зависящей от величины возмущений. Уравнение непрерывности для ионов преобразуется к виду 23 2131 41 2 (9.39) 15 1 2 3 03 24 24 Его интегрирование дает ni(ui – V) = const = –n0V.

(9.40)

Здесь предполагаются выполненными следующие гра ничные условия: ne(¥) = ni(¥) = n0 и ui(¥) = 0. Уравнение баланса сил для ионов в новых переменных имеет вид 41 125

231 23 21 3 31 1 2 3 6 4 03 25 25 25

После интегрирования имеем 22 31 1 1 1 21 4 2 2 53 4 03 2

(9.41)

(9.42)

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

165

Константа интегрирования выбрана с учетом гранич ного условия j(¥) = 0. Из квадратного уравнения (9.42) находим 21 1 3 2 3 2 3 2441 51 2

(9.43)

Выбирая знак «–» в решении и комбинируя (9.43) с (9.40), получаем концентрацию ионов как функцию по тенциала: 20 3 21 1 1 (9.44) 3 2 2 243 2 51 Из уравнения баланса сил для электронов найдем связь концентрации электронов с профилем потенциала: 11 56 (9.45) 31 Наконец, после подстановки (9.44) и (9.45) в уравне ние Пуассона получаем 32 1 11 4 2 43150 12345 6 4 78 (9.46) 2 61 352 4 4 211 9 72 21 2 20 1234

Это уравнение совпадает с (3.20), но мы ищем решение, удовлетворяющее другому граничному условию j(¥) = 0. Введем безразмерные переменные:

34

31 11 1 2 1 2 4 1 42 4 2 31 42 4550 12

В новых переменных уравнение Пуассона имеет вид 12 1 1 2 234516 3 7 51 3 21 1 2 2 611 2 141 2

(9.47)

Здесь M = V/cs — число Маха. Вводя потенциальную энергию, так что правая часть равна –dU/dF, имеем U(F) = –exp(F) – M2(1 - 2F/M2)1/2 + 1 + M2. (9.48) Выбор константы интегрирования соответствует U(¥) = = 0. При малых значениях F потенциальная энергия опи сывается параболой: 12 12 1 112 2 3 4 3 (9.49) 2 22 2

166

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Если M > 1, то при малых F потенциальная энергия отрицательна и убывает (рис. 9.4). С ростом F потенци альная энергия возрастает, проходит через ноль и стано вится положительной. Действительно, например, когда квадратный корень в (9.48) обращается в ноль: U(M2/2) = 1 + M2 – exp(M2/2). Если M < 1,6, то это значение положительно. Поэтому при M < 1,6 потенциальная энергия имеет вид, приведен ный на рис. 9.4. Здесь Fmax соответствует корню U(Fmax) = 0. Будем искать решение (9.47), соответствующее нуле вому уровню энергии E = 0 при условии 1 < M < 1,6.

(9.50)

Используя механическую аналогию (z соответствует времени, а F — координате частицы), заметим, что реше ние имеет колебательный характер, причем в области

Рис. 9.4 Профиль потенциальной энергии при 1 < M < 1,6

Рис. 9.5 Ионнозвуковой солитон

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

167

F ® 0 частица проводит бесконечное время. Профиль по тенциала описывается уравнением, соответствующим за кону сохранения энергии: 2

1 1 13 2 4 521 2 69 181 7

(9.51)

и имеет вид, изображенный на рис. 9.5. Профиль потен циала дается интегралом 13 41 5 6 9 2 2 72 1 7 345637 7 2 61 7 23 1 2 2 711 2 8 1 8 2 2 2 Решение представляет собой локализованное возмуще ние потенциала, движущееся с постоянной скоростью V. Такое образование называют солитоном. Все точки соли тона движутся с одинаковой постоянной скоростью, а сам солитон сохраняет свою форму (9.51). Скорость движения солитона зависит от его амплитуды, эта связь находится из соотношения U(Fmax) = 0, откуда 1 71123 8 3

453671123 8 2 192

2453671123 8 2 1 2 1123 9

(9.52)

Характерный размер солитона имеет порядок дебаев ского радиуса, так как 11 измеряется в единицах дебаевско го радиуса, амплитуда потенциала имеет порядок Te/e, а скорость движения является сверхзвуковой. Таким об разом, в отличие от простых нелинейных волн, сущест вует решение в виде солитона, когда дисперсия компен сирует нелинейные эффекты. Солитоны существуют в диапазоне чисел Маха (9.50). Максимальная скорость распространения солитона соответствует M = 1,6, при этом соответствующая наибольшая предельная амплиту да солитона согласно (9.52) равна 1 123 345 2 1637 При боль ших числах Маха и больших амплитудах солитонных ре шений не существует. При M = 1,6 и 1 123 345 2 163 квадрат ный корень в (9.48) обращается в ноль, а при еще больших значениях теряет смысл. Физически это означает, что при больших амплитудах дисперсионные эффекты не могут скомпенсировать нелинейность и нелинейные возмуще ния должны опрокидываться.

Глава 10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

10.1. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

В магнитном поле система уравнений пере носа для концентрации и гидродинамических скоростей в пренебрежении инерцией электронов имеет вид 1 13 2 3 4 341 5 01 15 1 13 2 3 4 342 5 01 15 1 31 1 1 1 0 5 6361 6 137 6 241 4 83 2 91

1 1 31 1 1 1 42 3 2 5 6362 2 137 2 242 4 83 6 94 5

(10.1)

Предполагается, что связь давления и концентрации известна и дается, например, адиабатическим законом, который заменяет уравнения баланса энергии. Исходные уравнения иначе называются уравнениями двухжидкост ной магнитной гидродинамики (МГД). Преобразуем систему уравнений двухжидкостной МГД таким образом, чтобы в новой системе уравнений отсутст вовали электрическое поле и токи по плазме. Вначале сло жим два уравнения баланса сил, при этом электрическое поле и сила трения исчезают, поэтому с учетом выраже 1 1 1 ния для плотности тока 3 1 24151 2 52 2 имеем 1 231 1 1 1 (10.2) 451 1 236 4 1 7 5 823 29

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

169

Это уравнение можно интерпретировать следующим образом. На плазму как целое действуют две силы: сум марный градиент давления и сила Лоренца. Они вызыва ют ускорение плазмы, которое практически совпадает с ускорением ионов, так как суммарный импульс почти сов падает с импульсом ионов изза их большой массы. Вос пользуемся уравнением Максвелла: 1 1 1 15 6 22 7 43 3 8 1 41 1 4 4 45 При медленных процессах, которые рассматриваются ниже, последним членом в правой части (током смеще ния) можно пренебречь. Действительно, с учетом того, что скорость дрейфа равна u = cE/B, отношение 1 1 31 1 1 2 12 32 1 454 2 2 21 5 36 456 52 мало. Поэтому уравнение Максвелла имеет вид 1 1 14 5 12 6 43 2 1 3 Подставляя (10.3) в (10.2), получаем 1 1 1 23 1 451 1 1 236 4 113 5 72 5 723 28 46

(10.3)

(10.4)

Используем соотношение 1 1 1 1 1 111 2 12 2 12 3 31141 4 112 2 и преобразуем уравнение суммарного баланса сил (10.4) к виду 1 23 42 1 1 1 (10.5) 561 1 1 237 2 3 143243 4 28 85 45 Второй член в правой части известен как градиент «магнитного давления». Магнитное давление B2/(8p) до бавляется к газокинетическому давлению и вызывает уско рение плазмы в неоднородном магнитном поле. Последний же член в правой части связан с кривизной силовых линий магнитного поля, его называют «натяжением силовых ли ний». Подчеркнем, однако, что это лишь форма представ ления результата, физически же обе эти силы являются

170

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

проявлением силы Лоренца, вызванной токами по плаз ме, протекающими поперек магнитного поля. Чтобы получить еще одно уравнение, выразим элек трическое поле из уравнения баланса сил для электронов: 1 1 121 1 1 1 3 (10.6) 3 15 4 62 5 3 423 17 8 1 17 Вычислим ротор от обеих частей (10.6). С помощью уравнения Максвелла левая часть преобразуется к виду 1 1 14 5 22 6 7 1 31 1 3 34 Теперь последовательно преобразуем слагаемые в пра вой части получившегося уравнения: 2 12 3 1 4 81 5 1 9 6 4 1 5 131 1 23 4 7 131 45

14  1 1 1 1 Используя формулу 395 6 112 24 7 1 15 6 2 2 8 151 6 2 23 найдем 2 1 2 3 1 13 4 71 5 1 8 6 1 5 141 23 9 13 1 3

(10.7)

Второй член преобразуем следующим образом: 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 184 5 131 5 4229 6 3 184 5 132 5 4229 7 184 5 135 4 65 5 4229 6 7 7 17 1 1 1 1 11 1 14 5 134 5 454 6 5 4229 6 (10.8) 6 3 84 5 132 5 4229 7 8 4 1 7

В третьем члене пренебрежем термосилой, которая влияет на медленные диффузионные движения. Описание последних следует проводить с помощью исходной системы уравнений двухжидкостной МГД (10.1). Оставшуюся часть силы трения,1 связанную с направленной скорости, перепи 1 шем в виде 1 2 31 11234 2 где 21 11 — тензор, обратный тензору проводимости 11 , имеющему компоненты s|| = ne2/(0,51menei) и s^ = ne2/(menei). Имеем 1 1 1 4 6 7 22 3 3445 8 4 6 7 291 31 5 45 8 1 46 7 291 31 16 7 6245 5 (10.9) 4 Таким образом, преобразованное уравнение (10.6) при водится к виду

171

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

1 1 1 1 63 4 4 7 71 1 2 9 5 1 5  61 2 7  172  328 5

  3 3 5  38 8 5 15 68 41 1 42 5 7  3 4 51 1  3248 5 (10.10) 4 Разделим теперь обе части суммарного уравнения ба ланса сил (10.4) на концентрацию и возьмем ротор. Пре образуем член, содержащий магнитное поле: 1 1 1 55 4 341 5 4 35 5 1 4 41 1 2 6 6 7 3 6 3 6 6 7 3 6 8 36 7 19

 39 9 8 4 9 9 8 1 1 1 38  (10.11) 7 1 633 2 8 1 42 8 71 13 6 41 2 8 71 43  6 113 6 41 2 6 41 25 5 8 9 При получении последнего слагаемого использовано 1 1 1 1 1 соотношение 111 2 21 2 2 21 2 3 321 1421 4 1212 5 2 Комбинируя (10.10) и (10.11), получаем

3

4

1 1 8 6 1 21 3 3 49 1 6  71 2 5 1  521 2 7  151  4 9 291 3 1  521 2 2 9 96 88  9  1 32 5   3 3 51 1  424 4 (10.12) 4 23 1 В сильном магнитном поле величиной 1 13 4 41 2 мож 5 но пренебречь по сравнению с B, параметром является от ношение rci(ui)/L = cmiui/(eBL) << 1, где L — характерный размер плазмы. Другими словами, ларморовский радиус ионов, вычисленный по направленной скорости, должен быть мал по сравнению с L. Поэтому уравнение (10.12) в сильном магнитном поле упрощается: 1 1 1 1 22 3 3 32 3 5 6 7 241 7 234 8 265 7 661 3 1 6 7 491 116 7 254 6 (10.13)

85 4 27 Второй член в правой части проявляется в случае, ко гда градиенты концентрации и ионной температуры не коллинеарны. Не будем анализировать такие ситуации и опустим соответствующий член. Запишем в окончательном виде преобразованную сис тему уравнений (10.1), опуская уравнение непрерывности для электронов (индекс у ионной скорости опускаем), до полненную условием адиабатичности:

172

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1 1 1 62 7 32 7 3 1 51 1 1 248 9  24  238 5

  2  4 65 4 1 64 22 1 1 1 9 5 9 5

 52 624 781 65 8 4 1 67   5746 9 04 65 9 9 9 5767

(10.14)

Эта система уравнений называется «уравнениями од ножидкостной МГД». При таком подходе плазма рассмат ривается как единая среда (жидкость), имеющая среднюю 1 скорость 1 , отождествляемую с ионной скоростью, плот ность r = min, давление p = n(Te + Ti), с которой связано магнитное поле, проявляющееся как магнитное давление, и сила, вызванная кривизной силовых линий магнитного поля. Уравнения одножидкостной МГД удобны для реше ния целого класса задач, часть из которых проанализиро вана ниже. В то же время следует иметь в виду, что в урав нениях одножидкостной МГД отсутствуют электрические поля и токи и поэтому часто физическая интерпретация решений затруднена и для анализа требуется возврат к системе уравнений двухжидкостной МГД. Как нетрудно видеть из второго уравнения (10.14), в магнитном поле наряду со скоростью звука появляется еще одна характерная скорость cA, которая называется альф веновской: 32 1 41 1 (10.15) 42562 Действительно, оценивая левую часть второго уравне ния в (10.14) как nmiu2/L, где L — характерный масштаб, а правую часть — как B2/(8pL), получаем u ~ cA. 10.2. ВМОРОЖЕННОСТЬ И СКИНЭФФЕКТ Сравнивая второй член в правой части пер вого уравнения в (10.14) с членом в левой части, получим характерное время: 41222 31 4 1 (10.16) 32

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

173

которое известно как скиновое время. На временах, мень ших скинового времени, можно пренебречь диффузион ным слагаемым в уравнении для магнитного поля в (10.14): 1 1 1 11 2 4 75 6 12 6 1283 3 (10.17) 13 Это уравнение называется «уравнением вмороженно сти». Докажем следующее утверждение: при движениях поперек прямого магнитного поля сохраняется величи на B/n. Действительно, пусть магнитное поле направлено вдоль оси z, а движение плазмы происходит поперек маг нитного поля в плоскости x, y. Тогда уравнение (10.17) преобразуется к виду

13 1 1342 2 1 1341 2 2 2 3 03 15 12 11

(10.18)

Комбинируя это уравнение с уравнением непрерывно сти для концентрации 13 1 1342 2 1 1341 2 2 2 3 03 15 12 11

(10.19)

получаем 112 2 33 1 12 2 33 1 2 (10.20) 2 3 1443 2 04 15 15 3 Таким образом, в тех областях, где плазма сжимается и ее концентрация возрастает, величина магнитного поля также пропорционально нарастает. Другими словами, си ловые линии магнитного поля как бы вморожены в плаз му и сжимаются или расходятся вместе с ней. Физический механизм вмороженности связан с электрическим полем, которое, согласно уравнению Максвелла, возникает при изменении магнитного поля во времени. Вихревое элек трическое поле вызывает дрейф частиц в скрещенных 1 1 11 3 22 полях, что приводит к сжатию или разрежению плаз мы, пропорциональному изменению величины магнитно го поля. Отметим, что сохранение величины B/n имеет место только при двумерных движениях поперек прямо го магнитного поля, в общем же случае эволюция магнит ного поля описывается общим уравнением (10.17).

174

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

В случае, когда движением плазмы поперек магнит ного поля можно пренебречь, первое уравнение в (10.14) 1 принимает вид 1 61 22 9 5 7  3 1 51 1  1248 2 (10.21) 63 4 В простом случае, когда проводимость постоянна и не зависит от координат, имеем 1 11 22 1 2 311 (10.22) 13 445 Уравнение (10.22) представляет собой уравнение диф фузии с коэффициентом диффузии магнитного поля: 22 31 1 1 (10.23) 423 Уравнение (10.21) или же упрощенное уравнение (10.22) описывает диффузионное проникновение магнитного поля в плазму. Проанализируем механизм такого проникнове ния на примере задачи о перестройке тока и полоидально го магнитного поля в токамаке. В цилиндрической геомет рии уравнение (10.21) для полоидального (азимутального) магнитного поля имеет вид 411 32 4 2 1 4 2211 3 3 5 4 44 48 42 6 9112 42 7

(10.24)

В правую часть входит продольная проводимость s|| = = ne2/(0,51menei). Согласно этому уравнению перестройка тока происходит за скиновое время ts = 4ps||a2/c2, где a — радиус шнура. Предположим, например, что в плазме мгно венно возрастает полный ток I от значения I0 до I1. Вначале распределение плотности тока по шнуру соответствует за кону Ома: jz » j|| = s||E|| » s||Ez. В стационарном состоянии элек трическое Ez постоянно во времени и не зависит от радиуса, поэтому радиальное распределение тока определяется ра диальным профилем проводимости, которая пропорцио нальна 213 1 2 2 При этом ток течет в основном в центральной горячей части шнура. Таким образом, зная радиальное рас пределение температуры, нетрудно найти величину и про филь тока из условия 1 (10.25) 3 2134253 2 61 0

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

175

Вначале распределение полоидального магнитного поля 110 12 2 соответствует обращению в ноль правой части (10.24), а полоидальное поле на границе шнура определяется зна чением полного тока: 21 210 132 2 0 3 (10.26) 43 Когда полный ток возрастает, мгновенно возрастает и полоидальное поле на границе шнура. Дальнейшая эво люция полоидального магнитного поля и связанного с ним уравнением Максвелла продольного тока определяется уравнением (10.25) с начальным условием

11 1223 2 03 2 110 12 32 2 3 44 25 110 143 2 1 2 2 2 45 (10.27) 64 Так как в первый момент времени полоидальное маг нитное поле скачком возрастает при r = a, то дополнитель ный продольный ток сосредоточен в бесконечно тонком слое вблизи границы шнура (рис. 10.1). Протекание тако го тока обеспечивается скачком продольного индуциро ванного электрического поля. С течением времени ток проникает внутрь на расстояние скинслоя, ширина ко торого растет как 1 2 312 4 42311 526 На этом же масштабе меняется и полоидальное магнитное поле. Перестройка тока и полоидального магнитного поля заканчивается на

Рис. 10.1 Скинированный профиль плотности тока при быстром увеличении полного тока

176

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

временах t > ts, и новый профиль тока повторяет старый, но сам ток становится больше по абсолютной величине. В общем случае, когда магнитное поле проникает в дви жущуюся плазму, следует пользоваться общим уравнени ем для магнитного поля в системе (10.14). 10.3. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Проанализируем одномерные волны, кото рые возникают в рамках системы уравнений одножидко стной магнитной гидродинамики (10.14) в бесстолкнови тельной плазме. Будем искать такое решение этой систе мы, в котором все величины являются функциями от координаты z и времени t, а следовательно, друг от друга. Отметим, что направление магнитного поля не совпадает с осью z. Уравнение, соответствующее адиабатическому приближению, запишем как условие сохранения энтро пии ds/dt = 0, а в уравнении для магнитного поля пренеб режем членом, содержащим проводимость. Система урав нений (10.14) в одномерном случае принимает вид 151 62 161 7 151 8 17 2 52 12 3 456 12 4 01 8 8 153 2 5 153 3 62 163 4 01 2 8 17 12 456 12 8 8 152 2 5 152 2 61 161 2 63 163 2 1 18 4 01 2 8 17 12 456 12 456 12 6 12 8 1 6 88 1 3 62 151 2 61 152 2 52 161 4 01 12 12 12 9 17 8 163 153 1 63 152 8 17 3 62 12 2 63 12 2 52 12 4 01 8 8 162 4 01 8 17 8 18 15 18 4 01 8 2 6942 2 2 52 1 1 12 7 2 8 8 14 2 5 14 4 02 2 12

8 17

(10.28)

177

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

В предпоследнем уравнении непрерывности для ионов переходим к производным от давления с помощью соот ношений 22 32 1 25 33

1 1 const

23 23 22 32 1 412 1 1 25 25 26 33

1 1 const

23 23 1 42 2 26 1 26

Из уравнения для z ¾ компонента магнитного поля ¶Bz/¶t = 0 следует,1что величина Bz не зависит от времени. Из условия же 1 2 1 3 01 которое в одномерном случае при нимает вид ¶Bz/¶z = 0, получаем, что величина Bz не зави сит и от координаты z. Таким образом, проекция маг нитного поля на ось z остается постоянной в процессе рас пространения МГДволны: Bz = const. Остальные семь уравнений (10.28) относительно семи величин ux, uy, uz, Bx, By, p, s необходимо решать совместно. Запишем систему уравнений в матричном виде: 12 12 3 1 12 2 4 03 12 13

(10.29)

где Y — вектор в семимерном пространстве, Y = (ux, uy, uz, Bx, By, p, s), а Z(Y) матрица: 1 4 61 4 4 0 4 4 7 18 2 9 4 0 4 4 351 4 0 4 44 0

0

0

0

61

0

0

61

0 351 0 0

53 52 7842 0

3

51 467 0

53 467 61 0 0 0

0

0

51 0 467 52 1 467 7 0 0 61 0 0 61 0 0

3

2 05 5 05 5 5 0 53 5 05 05 5 05 61 5

(10.30)

Будем искать решения в виде линейных волн, то есть представим все величины в виде Y = Y0 + Y1, где вектор Y1 соответствует малым возмущениям. Линеаризуем уравне ние (10.29): 121 121 3 1 12 0 2 4 03 (10.31) 12 13

178

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Для простоты выберем систему отсчета, в которой от сутствует невозмущенная скорость вдоль оси z, uz = 0 и отсутствует невозмущенное магнитное поле в направле нии y, By = 0. Последнее условие достигается поворотом системы координат относительно оси z. При этом матри ца Z(Y) упрощается: 1 4 0 4 4 0 4 4 5 18 0 2 9 4 0 4 4 3 41 4 0 4 0 4 0

0

0

0

0

0

0

0 3 41 0 0

42 0 7632 0

3

41 467 0

0 3

42 467 0 0 0 0

41 467 0 0 0 0 0

2 0 05 5 0 05 5 5 1 0 53 7 5 0 05 0 05 0 05 0 0 5

(10.32)

Ищем вектор Y1 в виде Y1 = Aexp(ikz – iwt). Тогда из (10.31) имеем ZA = VA, (10.33) где V = w/k — фазовая скорость волны. Уравнение (10.33) представляет собой задачу определения собственных чи сел и собственных векторов матрицы Z(Y0). Приравнивая нулю определитель det(Z – VI) = 0,

(10.34)

где I — единичная матрица, получаем семь собственных частот. Первые две из них соответствуют альфвеновской волне: VA = ±cAcosq.

(10.35)

Здесь альфвеновская скорость cA определена соглас но (10.15), а q представляет собой угол между направле нием распространения волны z и магнитным полем. Зна ки «±» соответствуют двум волнам, распространяющимся в противоположные стороны, то есть физически тому же типу волны. Вторые две фазовые скорости соответствуют быстрому магнитному звуку:

179

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 112

1 42 3 412 3 2422 3 412 32 4 4422 412 4562 5 2 53 6 7 8 2 9 2

8 9

7

(10.36)

Фазовые скорости медленного магнитного звука дают ся выражением 11 2

1 42 3 412 4 2422 3 412 32 4 4422 412 4562 5 2 53 6 7 8 2 (10.37) 9 7 2 8

9 Последняя фазовая скорость соответствует энтропий ной волне: (10.38) VE = 0. Зависимость фазовой скорости различных типов волн от угла с магнитным полем принято изображать на диа грамме, которая называется фазовой полярой (рис. 10.2). Видно, что альфвеновская волна распространяется в основ ном вдоль магнитного поля, при q = 0, pфазовая скорость альфвеновской волны совпадает с альфвеновской скоростью VA = cA, а поперек магнитного поля ее фазовая скорость рав на нулю. Быстрая магнитозвуковая волна распространяет ся как вдоль, так и поперек магнитного поля. В сильном магнитном поле cA >> cs ее фазовая скорость совпадает с альфвеновской скоростью независимо от угла с магнитным полем. Третья мода называется медленным магнитным звуком. Эти волны распространяются в основном вдоль магнитного поля и в сильном магнитном поле cA >> cs при q = 0, pфазовая скорость такой волны совпадает со скоро стью ионного звука cs. Фазовая скорость энтропийной вол ны равна нулю.

Рис. 10.2 Фазовая поляра для МГД волн

180

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Собственные вектора, которые соответствуют указан ным модам, имеют вид (для 0 < q < p/2) 1 1 1 102 8 1 345 22 02 02 3 92 2 02 062 4 82 578 2 345 2 5 94 32 13 1 7 3 1 2 2 0 2

2 2 02 6852 2 08 2 3 2 2 3 2

3



9

1 3 3 1 2 2 4 8 578 2 345 2 94 6 5 16 1 7 6 1 2 2 02 6 2 2 02 6852 2 08 2 2 2 3 2

3



9

1 6 6 1 1 7 1 102 02 02 02 02 02 169 (10.39)

Компоненты собственных векторов показывают, какие величины возбуждены в той или иной моде, а также как они соотносятся. Так, например, в альфвеновской волне возбуждены скорость и магнитное поле вдоль оси y, а все остальные параметры остаются постоянными. При этом 411 1 511 1 2603 234 3 1 520 5 Обсудим физические процессы в различных модах для простых вариантов распространения волны. Начнем с альфвеновской волны, распространяющейся вдоль маг нитного поля, q = 0. Пусть имеется электрическое поле, направленное вдоль оси х, периодическое во времени и пространстве 211 1 23451324 3 35667 Это поле вызывает дрейф частиц в скрещенных полях вдоль оси 1 со скоростью 311 1 24521 1 60 2 Одновременно возникает поляризационный ток ионов вдоль оси x: 721 2

30 4251 1621 3 42 5 2 314 0 2 1 621 1 2 18 90 90

(10.40)

Этот ток создает магнитное поле 211 в соответствии с уравнением Максвелла: 4 131 2 3 456 1 1 (10.41) 721 2 3 3 44 18 44 1 Переменное во времени магнитное поле, в свою оче редь, создает вихревое электрическое поле: 1

2

1311 141 3 54311 3 6 2 3 576421 1 18 19

(10.42)

181

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

Исключая из уравнений (10.40)–(10.42) ток и электри ческое поле, получаем

12 2 22 1301 22

(10.43)

— закон дисперсии для альф веновской волны. Дрейф частиц в альфве новской волне происходит на фоне однородной концентра ции плазмы, поэтому воз мущений концентрации не возникает. Возмущенными величинами являются ско рость 211 и магнитное поле 211 , причем их отношение, как следует из (10.40), (10.41), есть 311 1 411 1 2502 1 40 2 что со ответствует общему выраже нию для собственного вектора альфвеновской моды (10.39). Поперечная скорость дрей фа, таким образом, сдвинута по фазе на 1 с возмущения магнитного поля (рис. 10.3). Величина же смещения плаз мы 1 2 3 211 34 сдвинута по фазе на p/2. Проанализируем таким же образом быструю магни тозвуковую волну, которая распространяется поперек магнитного поля в направле нии z, q = p/2. Основное маг нитное поле направлено вдоль оси 1 (рис. 10.4). При этом бу дем полагать выполненным условие cA >> cs, то есть бу дем считать магнитное поле

Рис. 10.3 Фазовая поляра для МГД волн

Рис. 10.4 Возмущение магнитного поля и концентрации плазмы при распространении быстрой магнитозвуковой волны

182

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

достаточно сильным. Пусть, как и в предыдущем слу чае, имеется электрическое поле, направленное вдоль оси y, периодическое во времени и пространстве: 211 1 23451324 3 35667

Дрейф плазмы происходит вдоль оси z со скоростью 311 1 24521 1 60 2

а поляризационный ток дается выражением 40 5262 1311 4 526 (10.44) 2 324 0 2 2 311 1 2 18 90 90 Этот ток приводит к возмущению магнитного поля в направлении x: 4 1311 456 1 721 2 3 1 2 (10.45) 43 18 43 1 которое создает переменное электрическое поле: 711 2

2

1311 1421 3 54421 3 26 3 25763111 18 19

(10.46)

Из (10.44)–(10.46) получаем дисперсионное уравнение, совпадающее с (10.43). Таким образом, быстрая магнито звуковая волна распространяется с альфвеновской скоро стью. Характер возмущений иллюстрируется схематически (см. рис. 10.4). В волне возмущено магнитное поле, причем силовые линии остаются прямыми. Как следует из (10.44)– (10.45), скорость частиц находится в фазе с возмущением магнитного поля, причем 411 1 521 1 603 1 50 в соответствии с общим выражением (10.39). Концентрация в волне, как следует из уравнения непрерывности 12231 3 2430 511 4 01 также возмущена, причем 21 1 20 1 311 1 30 2 Последнее со отношение е с т ь с л е д с т в и е у р а в н е н и я в м о р о  ж е н н о с т и (10.17) и сохранения отношения B/n при движениях поперек магнитного поля. Оно также соответ ствует собственному вектору (10.39). Быстрая магнитозвуковая волна, распространяющая ся поперек магнитного поля, напоминает ионнозвуковую волну, в которой роль давления плазмы играет магнитное давление B2/8p. Действительно, альфвеновская скорость

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

183

получается, если в скорости ионного звука заменить давление плазмы магнитным давлением, а возмущение магнитного поля соответствует возмущению давления в ионнозвуковой волне. В пределе cA << cs быстрый маг нитный звук переходит в ионнозвуковую волну, как следует из (10.39). Быстрая магнитозвуковая волна, распространяющаяся вдоль магнитного поля, представ ляет собой альфвеновскую волну с другой поляризацией. При q ® 0 в выражении для собственного вектора AF пер вый и четвертый компонент расходятся как q–1, так как 312 1 322 2 421 1232 3 и Bx = Bsinq. Остальные члены остают ся конечными и ими можно пренебречь. Отношение же первого и четвертого членов соответствует 311 1 411 1 5 02 1 40 2 т. е. соответствует альфвеновской волне, у которой возму щен xкомпонент магнитного поля, а движение плазмы также происходит в направлении x. Медленная магнитозвуковая волна, распространяю щаяся вдоль магнитного поля, в сильном магнитном поле соответствует ионнозвуковой волне. Энтропийная волна соответствует возмущению энтро пии при невозмущенном полном давлении. Пусть, напри мер, имеется положительное возмущение концентрации n1(z) и отрицательные возмущения температур 211 132 и 211 132 такие, что 31 1 30 1 22411 3 421 312410 3 420 34 Так как воз мущение давления отсутствует, то такое возмущение в отсутствие диссипативных процессов будет оставаться в покое неограниченно долго, как следует из уравнения сум марного баланса сил. В то же время энтропия, пропорцио нальная 345313221 2 1 462 в таком образовании возмущена. МГДволны затухают изза диссипативных процессов. Кроме того, существует и специфический бесстолкнови тельный механизм затухания изза непрерывной зависи мости фазовой скорости от координат. Проиллюстрируем этот механизм на примере альфвеновской распро 1 волны, 1 страняющейся вдоль магнитного поля 10 11 2 в неоднород ной плазме с концентрацией, зависящей от координаты x. Из условия равновесия (7.5) следует, что в такой плазме выполнено соотношение p0+B2/8p = const(x). Если b << 1, то магнитное поле возмущено слабо B » B0 и зависимость

184

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

альфвеновской скорости от координаты 1 связана, в ос новном, с неоднородной концентрацией: 3 1 142 1 502 3 4262 70 1424

(10.47)

Рассмотрим локализованный по х пакет альфвенов ских волн, в которых возмущен укомпонент магнитного поля: (10.48) dBy = b(x)exp(–iwt + ikz). Фазовая скорость альфвеновской волны w/k = cA зави сит от х, поэтому волны, имеющие при z = 0 одинаковую фазу, при больших значениях z разойдутся по фазам. Так как в эксперименте всегда происходит усреднение по про странству, то усредненное по координате х значение воз мущенного магнитного поля должно стремиться к нулю вследствие разбегания волн по фазам. Это проявляется как эффективное бесстолкновительное затухание альф веновских волн, хотя реального диссипативного зату хания не происходит. Действительно, рассмотрим сред нее в некотором интервале 2d возмущение магнитного поля: 232 4

1 22

1 12

6

232 41 4

1 32

1 22

1 12

6

511234513657 1 6892416

(10.49)

1 32

Так как w(x) = kcA(x), то перейдем в этом интеграле к интегрированию по w: 451 5

12342345 24

где

31

6 61435123422375836

(10.50)

32

1121222 11 122 3 3 21 3 212 1 423 32 4 32 Интегрируя (10.50) по частям, получаем 451 5 7 61 425123432275 6 93 27 9

21 23

12342345 6 24

1

1 27

8 861 425 12343227582 6 82

23

21

(10.51)

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

185

Продолжая процесс интегрирования по частям, полу чим ряд по обратным степеням t. При t ® ¥ все члены это го ряда обращаются в ноль и 121 также стремится к нулю, так что происходит затухание среднего возмущен ного магнитного поля. 10.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В общем случае нелинейные волны описы ваются матричным уравнением (10.29). Найдем в плоско сти (z, t) линии z = z(t), (10.52) которые называются характеристиками (рис. 10.5). На ка ждой такой линии величина Y определяется начальными условиями и сохраняется, а значение Y вне характеристи ки не может быть найдено по значению Y на характери стике. Выразим производные ¶Y/¶z и ¶Y/¶t через произ водную по нормали к характеристике ¶Y/¶n и производ ную вдоль характеристики ¶Y/¶s: 12 12 1 12 1 3 4 1 2 2 12 1 3 15 1 1 5 1 14 12 1 12 1 12 3 5 2 (10.53) 2 2 15 1 3 15 1 1 5 1 14 Здесь V = dz/dt — тангенс угла наклона касательной к кривой z = z(t). Подставляя эти соотношения в уравне ние (10.29), получим 11 3 23 2 12 4 3121 5 3 2 12 3 (10.54) 14 15

Рис. 10.5 Характеристика в плоскости (t, z)

186

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

По определению характеристики значение Y вне ха рактеристики не может быть определено по значению Y на ней, поэтому величина ¶Y/¶n не может быть найдена из (10.54). На характеристике ¶Y/¶s = 0. Следовательно, матрица, обратная матрице Z – VI, не должна существо вать. Отсюда получаем соотношение det(Z – VI) = 0,

(10.55)

полностью совпадающее с (10.34). Как и в линейном слу чае, получается 7 типов простых волн и 7 фазовых скоро стей dz(t)/dt = V. Отличие состоит в том, что матрица Z(Y) (10.30) зависит от величины Y, и поэтому V = V(Y). Так как Y сохраняется на характеристике, то значение V по стоянно на характеристике и характеристика является прямой линией. В то же время тангенс угла наклона раз личен для разных характеристик, т. е. скорость распро странения волны зависит от амплитуды. Продемонстрируем особенности распространения про стой нелинейной МГДволны на примере нелинейной альф веновской волны, распространяющейся вдоль магнитно го поля. Пусть в волне возмущены компоненты uy и By. Как следует из общего анализа раздела 10.3, магнитное поле Bz в одномерной волне остается постоянным. Второе и пятое уравнения системы (10.28) принимают вид 131 42 141 2 3 01 15 445 12 141 131 (10.56) 2 42 3 02 15 12 Нетрудно убедиться, что решение системы уравне ний (10.56) совпадает с решениями системы 121 121 23 3 01 14 15 161 161 23 3 01 14 15

если

4 1 52 1

312 1 423

(10.57)

(10.58)

187

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

Из третьего уравнения системы (10.28) 21 121 1 34 2 30 (10.59) 445 15 5 35 следует 212 31 2 const1 (10.60) 83 Таким образом, там, где возрастает магнитное поле, возросшее магнитное давление (при этом Bz = const) вы тесняет плазму, уменьшая ее газокинетическое давление и плотность. Альфвеновская скорость (10.58) пропорциональ на r–1/2, а с учетом адиабатической зависимости p ~ r5/3 величина V ~ р–0,3, т. е. с ростом давления скорость рас пространения падает и наоборот. Поэтому области волны с большим магнитным полем распространяются быстрее, чем области с меньшим магнитным полем, в результате чего происходит опрокидывание альфвеновской волны. Во втором примере рассмотрим нелинейную быструю магнитозвуковую волну, распространяющуюся поперек магнитного поля Bx. Так как при поперечных движениях сохраняется величина 2 3 1 1 1 const1 (10.61) 2 то уравнение баланса сил вдоль z удобно переписать в виде 231 23 1 2422 1 25 1 25 1 3 31 1 4 5 5 41 2 867 21 7 21 26 21 7 21

где 21 3 2 4

(10.62)

1222 1 85

Уравнение (10.62) совместно с уравнением непрерыв ности совпадает с уравнениями для нелинейных ионнозву ковых волн (см. раздел 9.3), с заменой p на p*. Волна рас пространяется с альфвеновской скоростью (при cA >> cs), к которой надо добавить скорость среды: 8 3 92 4 3 5 3 3

451 67 1 42 2 3 3 1 46 46 62

(10.63)

Так как скорость распространения волны пропорцио нальна 2111 2, происходит опрокидывание волны.

188

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

10.5. МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ С ДИСПЕРСИЕЙ Покажем на примере нелинейных магнито звуковых волн, что и в магнитном поле существуют реше ния типа солитонов, которые распространяются поперек магнитного поля, не расплываясь. Однако, в отличие от ионнозвуковых солитонов, которые получаются при уче те отклонения от квазинейтральности, магнитозвуковые солитонные решения появляются при учете инерции элек тронов. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси z, а волна движется по x со скоростью V, причем будем искать такие решения, при которых V = const и не зависит от ам плитуды волны, т. е. все величины будем искать в виде Y = Y(x – Vt). Будем исходить из уравнений двухжидкостной МГД в пренебрежении столкновениями и температурами частиц. Переходя в уравнениях непрерывности для электронов и ионов 14 1 2451213 3 (10.64) 2 30 16 11 к переменной x = x – Vt, имеем 17

45 42561213 3 2 3 04 44 44

(10.65)

Интегрируя (10.65) и полагая n(x ® ¥) = n0 и uxe,i(x ® ¥) = 0, получаем n(uxe,i – V) = –n0V.

(10.66)

Из уравнений непрерывности следует, что скорости электронов и ионов в направлении 1 совпадают: uxe = = uxi = u. Компоненты уравнения баланса сил после заме ны переменных преобразуются к виду 56 2 7213 1213 261213 1 8 3 2 1 291 1 64213 1 53  564213 2 (10.67) 261213 1 8 3 2 1 294 4 61213 4 7213 53 

189

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

Электрические поля связаны уравнением 1 и магнитные 1 Максвелла 13 4 12 5 6112 2373 2 744 которое при переходе к пе ременной x = x – Vt имеет вид 231 4 25 1 1 22 6 22

(10.68)

Интегрируя и учитывая, что Ey(x ® ¥) = 0 и B(x ® ¥) = = B0, находим 2 31 1 14 2 40 23 (10.69) 5 1 1 Другое уравнение Максвелла 1 2 1 3 144 2 233 дает 2

45 41 3 361712 2 713 23 44 8

(10.70)

Складывая xкомпоненты баланса сил для электро нов и ионов в (10.67), учитывая uxe = uxi = u и mi >> me, получаем 45 3 2 15 1 523 283 (10.71) 61 15 1 7 2 43 9 21 Комбинируем это уравнение с (10.70) и с уравнением непрерывности (10.66), получаем 23 4 24 1 1 51 60 7 (10.72) 22 43 22 После интегрирования имеем 22 1 202 (10.73) 32 1 8341 50 6 Сложим теперь два yкомпонента уравнения баланса сил (10.67). Получим meuye + miuyi = 0, откуда следует uye >> uyi.

(10.74)

Другими словами, возмущение магнитного поля в вол не создается током электронов, и током ионов в (10.70) можно пренебречь. Подставляя электронную скорость uye, выраженную через производную магнитного поля из урав нения (10.70), во второе уравнение (10.67), используя связь электрического и магнитного полей (10.69), выражение для концентрации (10.66) и соотношение (10.73), получа ем уравнение для магнитного поля:

190

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

3

52 4 22 3 202 5 62 3 1 32 4 22 3 202 3 4 9

34  7 8

4 3  3  8 51 60 4 5 6 4 8

0 1    1 122 3 202 2 2 78 3 4 9 2  420 3  8 51 60 4 

(10.75)

Здесь масштаб 23

4130 22 4 1 4 12 3 52 4 12

(10.76)

определяет характерный пространственный размер возму щения. Эту величину называют бесстолкновительным скинслоем. Умножая обе части уравнения (10.75) на dB/dx и интегрируя, получаем 2

2

3 122 1 202 22 2 32 3 2 22 1 202 142 7 14 8 5 1 4 2 12 1 20 22 6 const3 8 7 16 6051  39  8 51 60 4 (10.77) Выберем константу интегрирования равной нулю, то гда на бесконечности, где B = B0, производная dB/dx = 0. Из (10.77) имеем

3

12 2 20 22 2 1 20 32 45 11 3 2 2 36 16741 50 6 2 2 1 20 1 1 8741 50 6 2

(10.78)

Фазовые кривые для этого случая приведены на рис. 10.6. Искомое солитонное решение соответствует на растанию магнитного поля от значения B0 до Bmax (ветвь dB/dx > 0) и дальнейшему падению поля от Bmax до B0

Рис. 10.6 Фазовые кривые в плоскости (B, dB/dx)

191

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

(ветвь dB/dx<0). В точке максимума dB/dx = 0, откуда со гласно (10.78)

32

42123 1 20 52 6 1634051

(10.79)

Это соотношение дает связь между скоростью магнито звукового солитона и его амплитудой. Форма солитона мо жет быть найдена дальнейшим интегрированием (10.78). Пример солитона приведен на схематическом рис. 10.7. Введем альфвеновское число Маха: 62

3 3 4140 51 2 1 72 80

(10.80)

Для малых возмущений B ® B0 скорость солитона стремится к альфвеновской скорости, так что M ® 1. При увеличении амплитуды возрастает и число Маха в соот ветствии с (10.79) до тех пор, пока знаменатель в (10.78) не обратится в ноль. Критическое максимальное значение магнитного поля, как следует из (10.78), (10.79), соответ ствует Bmax = 3B0 и M = 2. При этом производная в макси муме dB/dx ® ¥ (рис. 10.7). Таким образом, магнитозву ковые солитоны могут существовать в диапазоне альфве новских чисел Маха: 1 £ M £ 2. (10.81) При больших значениях чисел Маха эффекты, связан ные с электронной инерцией, не могут остановить опро кидывание и возникают бесстолкновительные ударные волны.

Рис. 10.7 Магнитозвуковой солитон

Глава 11. ДИНАМИКА ПЛАЗМЕННЫХ ПУЧКОВ И СГУСТКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

11.1. ДВИЖЕНИЕ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ

Рассмотрим плазменный сгусток, движу щийся при t = 0 поперек магнитного поля вдоль оси x со 1 скоростью 10 (рис. 11.1). Из уравнения баланса сил для электронов следует, что такое движение происходит изза его поляризации в направлении y, причем 1 1 1 1120 1 30 2 40 2 3 (11.1) 32 Другими словами, движение сгустка происходит за счет дрейфа в скрещенных электрическом и магнитном полях. Чтобы проанализировать дальнейшее движение сгустка, рассмотрим суммарное уравнение баланса сил

Рис. 11.1 Поляризация сгустка, движущегося поперек магнитного поля

11. ДИНАМИКА ПЛАЗМЕННЫХ ПУЧКОВ И СГУСТКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

193

(в пренебрежении электронной инерцией) (10.2). Умно 1 жая обе части векторно на 1 , получим для плотности тока 1 1 231 1 1 4 5 67 1 2 1 415 1282 1 29 3 (11.2) 4

3 52 52 Первое слагаемое представляет собой диамагнитный ток, дивергенция которого в однородном магнитном поле равна нулю. Второе слагаемое соответствует инерционно му или поляризационному току. Если сгусток в среднем тормозится, то этот ток должен быть направлен вертикаль но вниз. Однако такая ситуация невозможна, так как это противоречит условию 1 (11.3) 1 2 1 3 01 Поэтому вертикальный ток отсутствует и, соответст венно, инерция обращается в ноль. Сгусток же движется 1 равномерно и прямолинейно со скоростью 10 (11.1). С точ ки зрения отдельных частиц это означает, что сила Лорен ца u0B/c, стремящаяся отклонить заряженную частицу в вертикальном направлении, 1компенсируется вертикаль ным электрическим полем 10 . Этот результат, строго говоря, справедлив для сгустка, сильно вытянутого в направлении дви жения х, когда электрическое поле внутри сгустка практиче ски однородно. Если же разме ры сгустка вдоль направлений x и y сравнимы, то сказывается не однородность электрического поля, которая наряду с движени 1 ем со скоростью 10 , приводит к деформации сгустка (см. ниже). Плазменный сгусток, поме щенный в поле силы тяжести (рис. 11.2), в магнитном поле дополнительно поляризуется. Рис. 11.2 Действительно, изза дрейфа ио Плазменный сгусток в поле силы тяжести нов под действием силы тяжести

194

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1 1 в направлении 121 3 1 42 возникает ток ионов в отрицатель ном направлении оси x: 4561 2 723 1 2 1 (11.4) 8 Вкладом электронов в этот ток можно пренебречь, так как скорость соответствующего дрейфа в mi/me раз мень ше. Ток jgx приводит к поляризации сгустка. Возникаю щее электрическое поле вызывает противоток jp, который должен компенсировать ток jgx:

jpx = jgx.

(11.5)

В полностью ионизованной плазме и однородном элек трическом поле такой противоток представляет собой по ляризационный или инерциальный ток, связанный с из менением электрического поля во времени: 1 1 32451 16 72 2 1 (11.6) 92 18 Это выражение соответствует 1 1 второму слагаемому 1 в (11.2), если учесть, что 21 1 314 2 523 52 4 и в однородном 1 1 электрическом поле 231 1 24 1 231 1 242 Из (11.4)–(11.6) сле дует, что электрическое поле вдоль оси x растет линейно со временем 234 (11.7) 51 1 1 6 Возрастающее во времени электрическое поле вызы вает дрейф сгустка вниз со скоростью 52 1 2

341 1 2 671 8

(11.8)

1 1 что соответствует падению сгустка с ускорением 1 1 21 Как и в предыдущем случае, неоднородность электрического поля приводит к его дополнительной деформации. Движение плазменного сгустка в неоднородном маг нитном поле аналогично движению в поле силы тяжести. Рассмотрим в качестве примера магнитное поле тора (то камака) B = B0R0/R (рис. 11.3). В таком неоднородном магнитном поле заряженные частицы испытывают вер тикальный дрейф:

11. ДИНАМИКА ПЛАЗМЕННЫХ ПУЧКОВ И СГУСТКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

312 3

3121 2 3121 2 2 3 61 78

451 1

195

(11.9)

где 1111 — скорости отдельных частиц. Первое слагае мое здесь вызвано силой, выталкивающей ларморовские

Рис. 11.3 Ускорение плазменного сгустка в неоднородном магнитном поле

Рис. 11.4 Поверхности постоянной концентрации для плазменного сгустка в неоднородном магнитном поле. Момент времени 11 1 4

196

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

кружки в область слабого магнитного поля, а второе сла гаемое связано с центробежной силой изза кривизны си ловых линий магнитного поля. Дрейф электронов и ио нов направлен в разные стороны изза разного знака заря да, поэтому возникает вертикальный ток. Его величину получим, усреднив выражения для скоростей дрейфа с максвелловской функцией распределения: 1 256171 1 72 2 84 2 1 4 1924 2 3 3 914 13 29 2 3

(11.10)

Отметим, что дивергенция этого тока, обусловленного дрейфом ведущих центров ларморовских орбит, совпада ет с дивергенцией диамагнитного тока, который описыва ется первым слагаемым в (11.2). Ток (11.10) должен быть скомпенсирован противотоком (11.6). В результате возни кает вертикальное электрическое поле, растущее во вре мени, которое вызывает дрейф сгустка против градиента магнитного поля с ускорением 42

2131 1 32 2 3 52 6

(11.11)

В общем случае, с учетом реальной формы сгустка, его динамика определяется системой уравнений (11.2)–(11.3). Считаем, что в первом приближении скорости электронов и ионов совпадают и представляют собой дрейф в скре 1 1 1 1 щенных полях: 31 1 32 1 415 2 623 62 4 Введем безразмерные переменные: 11 1 1 1 22 31 1 3 1 22 14 1 435 1 2411 2 2 21 1 62 13723 1 2 511 2 45 (11.12) где a — характерный размер сгустка, f — потенциал, а ускорение g определено согласно (11.1). Тогда из (11.2)– (11.3) получаем 1 3451 2 3451 3 12 1 6 2 351 4 751 5 6 9 6 2 351 4451 5 4 12 1 6 8 04 (11.13) 1 331 341 3 4  где оператор J определен как 13 12 12 13 1 132 23 4 5 4 12 13 12 13

11. ДИНАМИКА ПЛАЗМЕННЫХ ПУЧКОВ И СГУСТКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

197

Уравнение непрерывности в безразмерных перемен ных имеет вид 11 (11.14) 2 2 131 2 13 4 04 131 Здесь учтено, что в однородном магнитном поле 1 1 1 2 11 2 223 22 3 04 а поправками, возникающими при дифференцировании B, мы пренебрегаем. Уравнение (11.14) описывает движе ние плазмы вдоль эквипотенциалей. Численное решение системы уравнений (11.13)–(11.14) показывает, что сгу сток действительно движется с ускорением (11.11) в на правлении x, а его форма напоминает шапку гриба, так как верхняя и нижняя части в дипольном потенциале на чинают двигаться в обратном направлении (см. рис. 11.4). 11.2. ТОРМОЖЕНИЕ ПЛАЗМЕННОЙ СТРУИ В ФОНОВОЙ ПЛАЗМЕ Рассмотрим теперь динамику плазмы, ин жектированной поперек магнитного поля в фоновую плаз му. Для простоты будем считать, что размер сгустка в на правлении инжекции x бесконечен, т. е. в направлении x инжектирована струя плазмы, движущаяся при t = 0 со скоростью u0 (см. рис. 11.5). Концентрация плазмы в струе nI(y, z) намного больше, чем концентрация окружающей фоновой плазмы ni, а масса ионов струи mI, вообще гово ря, отличается от массы ионов фоновой плазмы mi. Ин жектированная плазма в однородном магнитном поле по ляризуется в направлении y, как это1 обсуждалось в пре дыдущем разделе, и возникает поле 10 1 удовлетворяющее соотношению (11.1). Однако изза наличия фоновой плаз мы это электрическое поле распространяется в обе сторо ны вдоль магнитного поля в виде альфвеновской волны. При этом на фронте альфвеновской волны электрическое поле нарастает и возникает поляризационный ток в на правлении y, который компенсирует ток в направлении y внутри струи, возникающий изза ее торможения. Схема замыкания токов приведена на рис. 11.6.

198

Рис. 11.5 Струя плазмы, движущаяся при t = 0 поперек магнитного 1 поля со скоростью 10

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Найдем закон торможе" ния струи при условии u0 << << cA, где cA = B/(4pnimi)1/2 — альфвеновская скорость в фо" новой плазме. При выполне" нии этого условия возмущен" ное магнитное поле в альф" веновской волне мало: Bx ~ ~ uxB/cA << B, так что маг" нитное поле можно считать невозмущенным. Распростра" нение альфвеновской волны вне струи описывается вол" новым уравнением: 2 1241 2 1 41 1 5 2 2 162 172 2 8 (11.15) 522 2 2 4393 3 Внутри струи имеем ана" логичное уравнение: 1231 42 52 2 162 2 123 1 (11.16) 1 27 43 182 Проинтегрируем (11.16) вдоль z от -z0 до z0, где z0 вы" берем так, чтобы было выпол" нено условие

21 1 30 2 41 2 5 1 61

Рис. 11.6. Схема замыкания токов по фоновой плазме при инжекции струи поперек магнитного поля при z > 0. При отрицательных значениях z картина симметрична.

где 11 — характерный размер струи вдоль магнитного поля. На этих расстояниях скорость плазмы ux можно считать не зависящей от z, так как ха" рактерный масштаб ее изме" нения совпадает с LA. После интегрирования имеем

11. ДИНАМИКА ПЛАЗМЕННЫХ ПУЧКОВ И СГУСТКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

63

где

2 242 52 242 3 44 21 272 10

32 3

5

42 52 61 4

2 10

10

1

199

(11.17)

1 10

1

5 42 52 61

(11.18)

21

— интегральная масса инжектированных ионов, прихо дящаяся на единицу длины. Используя симметрию, огра ничимся областью положительных значений z. Устрем ляя z0 ® 0, получаем

62

2 241 272

1 3 10

52 241 23 23

1

(11.19)

3 10

Это соотношение представляет собой граничное усло вие для уравнения (11.15), описывающего распростране ние альфвеновской волны в фоновой плазме. Начальное же условие: 22 1 3 1 03 (11.20) 21 1 4 0 52 7 01 3 6 0 8 Так как решение волнового уравнения (11.15) есть ux = ux(z - cAt), то, с учетом граничного и начального условий, 2 1 2 51 3 50 123 6 4 2 46 4 7 2 857 6 5 7 2 86 2 8 9 7 3 2 9

(11.21) 51 3 0 6 5 7 2 87 Профиль скорости (11.21) приведен на рис. 11.7. Вид но, что фоновая плазма увлекается струей в направлении x на масштабе zt = cAt. При этом волна увлечения представ ляет собой фронт, распространяющийся вдоль магнитного поля с альфвеновской скоростью. Скорость самой струи со ответствует z = 0 и экспоненциально спадает со временем: 63 10273 2 60 456137 7 4 2 32 4 2 2

2141 5 2 8 82

(11.22)

Физический смысл постоянной времени tA состоит в следующем: интегральная масса фоновой плазмы на еди ницу длины, увлекаемой струей за время tA, составляет

200

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Рис. 11.7 Профиль скорости фоновой плазмы в фиксированный момент времени

следующую величину (с учетом положительных и отри цательных значений z): Mi(tA) = 2ztnimi = MI.

(11.23)

Другими словами, за время tA в движение вовлекается интегральная масса фоновой плазмы, равная интеграль ной массе струи. За это же время скорость струи сущест венно уменьшается. Так как электрическое поле, вызывающее дрейф плаз мы со скоростью (11.21) до расстояний z = ±cAt, экспонен циально спадает со временем, то вдоль оси y течет отрица тельный поляризационный ток (см. рис. 11.6). Инте гральный ток (для положительных значений z) получается интегрированием вдоль магнитного поля: 5 1 5 2 2 50 1 1

21 3 2 2

6 0

185 95 2 86 96 2 374 22

 1 4 7 1 1 023 2 3 21 4 3 2 5

(11.24)

где Ey(z = 0) = u0Bc–1exp(–t/tA). Интегральный ток состо ит из двух одинаковых частей. Первая часть Ic получает ся за счет интегрирования по струе, при этом Ey берется

11. ДИНАМИКА ПЛАЗМЕННЫХ ПУЧКОВ И СГУСТКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

201

при z = 0, а интеграл от nI(z)mI дает MI/2. Второй такой же вклад I0 дает интеграл по фоновой плазме с учетом (11.21) и соотношения Ey = uxB/c. Этот ток течет в облас ти 0 < z < cAt. Ток I должен замыкаться противотоком в по ложительном направлении оси y, как следует из уравне ния непрерывности для тока. Поэтому на фронте альфве новской волны, где фоновая плазма ускоряется от нулевой скорости до значения u0, должен существовать положи тельный ток IF = –I. Разделим теперь интегральные токи подругому. Выделим отдельно интегральный ток струи: 12 41 1 2 5 16 1 02 (11.25) 4313 2 и равный ему интегральный ток по фоновой плазме с уче том тока на фронте альфвеновской волны: 61 1 62 2 63 1

22 7 18 1 023 432 5 4

(11.26)

Последний ток может быть записан в виде 51 1 21 62 17 1 023 21 1

42 4 434 3

(11.27)

где величина SW называется альфвеновской проводимостью. Другими словами, фоновая плазма с распространяю щейся в ней альфвеновской волной эквивалентна сопро тивлению (11.27) (следует помнить, что такой же ток течет и с другой стороны струи при отрицательных значениях z). Понятие альфвеновской проводимости фоновой плазмы может быть использовано в самых разнообразных зада чах физики плазмы. Рассмотренные выше решения применимы, если ски новое время достаточно велико. Соответствующее условие имеет вид 423212 (11.28) 45 1 41 1 32 где a^ — поперечный размер сгустка или струи. В обрат ном случае электрическое поле становится потенциаль ным и распространение поляризации в фоновую плазму имеет диффузионный характер с коэффициентом диффу зии 3 1 422 21 1

Глава 12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Под равновесием плазмы будем понимать такое ее состояние, когда скорости течений в ней малы по сравнению со скоростью звука или с альфвеновской ско ростью. В этом случае можно пренебречь инерцией в урав нении суммарного баланса сил (10.2) по сравнению с гра диентом давления: 1 1 1 11 2 1 2 3 323 (12.1) 4 Это уравнение называется уравнением равновесия. Оно означает, что градиент суммарного давления уравновешен силой Лоренца, возникающей при взаимодействии самосо гласованных токов и магнитных полей в плазме. Уравне ние равновесия (12.1) следует дополнить двумя уравнения ми Максвелла: 1 1 1 1 21 12 3 323 2 3 3 1 04 (12.2) 44 С учетом уравнений Максвелла уравнение равновесия может быть записано в виде 2 1 1 1 (12.3) 12 2 31 1 4 111213 85 45 Первый член в правой части можно интерпретировать как градиент магнитного давления, а второй член — как «натяжение» магнитных силовых линий, он вызван кри визной магнитного поля. Уравнения (12.1)–(12.2) или (12.3) являются исходными для анализа проблемы равно весия. Подчеркнем еще раз, что в равновесии в плазме ос таются различные течения, связанные и не связанные со столкновениями.

203

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

12.1. О НЕВОЗМОЖНОСТИ РАВНОВЕСИЯ БЕЗ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ Покажем, что равновесие только за счет внутренних токов, протекающих по плазме, т. е. в отсут ствие внешнего магнитного поля, создаваемого токами в обмотках, невозможно. Предположим обратное, то есть будем считать уравнение (12.3) выполненным. Введем тен зор магнитных натяжений: 112 2 4312 4

32 1 3 5 33 1 81 12 41 1 2

(12.4)

1 С учетом условия 1 2 1 3 0 уравнение (12.3) преобразу ем к виду 1212 (12.5) 3 01 132 Преобразуем следующий интеграл по бесконечному объему, который включает и плазму, и область вне плазмы: 12

13

5 31 13122 45 3 15 31 212 462 4 5 1321 212 451

(12.6)

Согласно (12.5) левая часть этого соотношения обра щается в ноль. Поэтому так как ¶xi/¶xk = dik, имеем

3 111 34 2 13 51 112362 1

(12.7)

После подстановки выражения для pik (12.4) получаем 12 1 1 22 22 1 11222 2 1 (12.8) 1 3 2 45 1 3 2 1 463 3 3 4 3 5  3 69 88 88 48 7

Левая часть этого равенства является конечной и по ложительной величиной. В правой части интегрирование ведется по площади, ограничивающей бесконечный объ ем. Давление плазмы на этой поверхности равно нулю. Если магнитное поле создается токами по плазме, то на бесконечности магнитное поле спадает как r–3 (дипольный характер) или быстрее. Поэтому поверхностный интеграл в правой части (12.8) обращается в ноль. Таким образом, равенство (12.8) не может быть выполнено, а следователь но, предположение о том, что уравнения (12.3), (12.5)

204

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

справедливы, не соответствует действительности. Таким образом, для удержания плазмы в магнитном поле необхо димо магнитное поле, создаваемое внешними токами, взаи модействие между которыми компенсируется механиче скими силами внешнего источника тока. 12.2. РАВНОВЕСИЕ ПИНЧА Рассмотрим бесконечный плазменный шнур, помещенный в магнитное поле, направленное вдоль оси шнура. Вдоль оси шнура может также протекать ток, ко торый создает азимутальное магнитное поле. Такой шнур назовем пинчем. Все параметры плазмы в пинче не зави сят от продольной координаты z и азимутального угла q и являются только функциями радиуса r. Уравнение Мак 1 свелла 1 2 1 3 0 изза отсутствия зависимости от z и q в цилиндрических координатах сводится к соотношению r–1d(rBr/dr), откуда Brr = const. Из ограниченности в нуле следует, что радиальное магнитное поле в пинче отсутст вует: Br = 0. Таким образом, в пинче имеются продольные и азимутальные магнитные поля, которые создаются, со ответственно, азимутальным токами. Из 1 и продольными 1 уравнения Максвелла 13 4 12 5 146 2 233 имеем 61 2 3

5 241 5 21341 2 3 61 2 4 44 23 443 23

(12.9)

Здесь использовано общее соотношение: 1 4123 1 1 53 63 2 12 3 5 21 4 3 62 63 172 Величина eijk — абсолютно антисимметричный тензор, компоненты которого меняют знак при перестановке лю бых двух индексов и равны ±1 в случае всех различных индексов и нулю для совпадающих индексов. Коэффици енты Ламе для цилиндрических координат hr = 1, hq = r, hz = 1. Уравнение равновесия для пинча сводится к виду 23 1 2 14 5 3 4 5 23 26 7 1 1 1 1

(12.10)

205

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Подставляя плотность тока из (12.9), получаем 35 1 3212 21 31421 2 2 2 3 03 34 84 34 444 34

(12.11)

Используя соотношение между азимутальным магнит ным полем и током, протекающим внутри данного радиуса, 41 2

1

23 11 2 3 3 11 2 2 4 52 231613 71 0

уравнение равновесия (12.11) можно записать в виде 24 1 2312 1 25 2 1 1 2 01 26 83 26 23726 2 26

(12.12)

Таким образом, уравнения (12.11) или (12.12) полно стью описывают равновесие плазменного шнура в магнит ном поле. Рассмотрим частные случаи равновесия. Плазменный шнур, в котором отсутствует продольный ток, называется тэтапинчем. В нем jz = 0 и Bq = 0, а уравнение равновесия, после интегрирования по радиусу, сводится к условию 212 202 2 1 (12.13) 83 83 где B0 — продольное магнитное поле вне плазменного шнура. Это равенство может быть выполнено, если па раметр 811 2 3 2 4 11 (12.14) 20 В противном случае равновесие невозможно, так как давление плазмы не может быть уравновешено силой Ло ренца, а плазменный шнур разлетается со скоростью по рядка скорости звука, как в отсутствие магнитного поля (см. главу 9). При выполнении же условия (12.14) равно весие устанавливается автоматически за счет возникно вения азимутального диамагнитного тока, возникающего в неоднородной плазме за счет ларморовского вращения частиц в магнитном поле. Диамагнитный ток уменьшает магнитное поле внутри плазменного шнура, так что урав нение (12.14) оказывается выполненным. 31

206

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

В отличие от тэтапинча в зетпинче продольное маг нитное поле отсутствует Bz = 0, а следовательно, отсутст вует и диамагнитный ток jq = 0. Давление плазмы уравно вешивается силой Лоренца, вызванной взаимодействием продольного тока с создаваемым им магнитным полем. Согласно (2.12) 1

12 1 13 2 2 1 14 23524 2 14

(12.15)

Умножим обе части (12.15) на pr2 и проинтегрируем от нуля до радиуса шнура a. В левой части выполним ин тегрирование по частям: 1

4 14 2

0

1

23 24 2 3 4 2143241 24 0

В результате получим интегральное условие равновесия: 1

2 2 112 1 3 223453 1 4 212 3 262 0

(12.16)

которое связывает полный ток в шнуре со средним давле нием плазмы. Таким образом, чтобы удержать плазмен ный шнур в отсутствие внешнего магнитного поля, по нему необходимо пропустить ток в соответствии с уравнени ем (12.15) или (12.16). 12.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В установках для удержания плазмы в маг нитном поле ключевым является понятие магнитной по верхности. Мы будем рассматривать систему вложенных тороидальных магнитных поверхностей. Силовая линия, лежащая на такой поверхности, либо замыкается сама на себя, либо эргодически заполняет всю магнитную поверх ность. В последнем случае силовая линия проходит сколь угодно близко к любой заданной точке магнитной поверх ности. Магнитные же поверхности, на которых силовая линия замкнута, являются выделенными и называются ре зонансными поверхностями. В установках токамак имеет

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

207

место тороидальная симметрия, то есть все величины не зависят от тороидального угла. Пример типичных магнит ных поверхностей в токамаке приведен на рис. 12.1. На краю плазмы силовые линии становятся незамк нутыми и выходят на материальные поверхности; ли ния, которая разделяет области с разной топологией маг нитного поля, называется сепаратрисой. Внутри сепарат рисы вложенные одна в другую магнитные поверхности охватывают силовую линию, которая называется магнит ной осью. Кроме тороидально симметричных конфигура ций существуют еще и более сложные магнитные ловуш ки, — например, стеллараторы, обладающие винтовой симметрией. Винтовой симметрией обладают и магнитные острова в токамаке, которые могут возникать вблизи ра циональных магнитных поверхностей; эти явления будут рассмотрены позже. Пока же мы ограничимся рассмотре нием тороидально симметричных вложенных друг в дру га магнитных поверхностей. Для описания равновесия в такой ситуации удобно ис пользовать так называемые поверхностные величины,

Рис. 12.1 Сечение магнитных поверхностей токамака, соответствующее фиксированному тороидальному углу

208

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

которые являются функцией только магнитной поверх ности. Первой поверхностной величиной является торои дальный магнитный поток YT через сечение тора: 1 1 11 2 3 3421 (12.17) 21

где интегрирование проводится по тороидальной площад ке (рис. 12.2). Другими словами, величина YT представ ляет собой поток тороидального магнитного поля через тороидальное сечение магнитной поверхности. Соглас 1 но уравнению 1 2 1 3 0 и теореме Гаусса поток магнитно го поля через замкнутую магнитную поверхность равен нулю. Поэтому поток через одно тороидальное сечение равен потоку через другое тороидальное сечение, так как вместе с магнитной поверхностью они образуют замкну тую поверхность, а поток через магнитную поверхность равен нулю, так как отсутствует компонент магнитного поля, нормальный к магнитной поверхности по определе нию последней. Полоидальный поток представляет собой поток маг нитного поля через поверхность, натянутую внутри тора, в «дырке от бублика» (рис. 12.2): 1 1 1 1 2 3 3421 (12.18) 21

Рис. 12.2 Тороидальное и полоидальное сечения тора

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

209

Рис. 12.3 Различные варианты выбора полоидальных поверхностей

На рис. 12.3 приведены различные варианты выбора полоидальных поверхностей. Поток магнитного поля че рез каждое из таких сечений одинаков, так как два сече ния вместе с соответствующими частями магнитной по верхности образуют замкнутую поверхность, а поток че рез части магнитных поверхностей отсутствует. Таким образом, полоидальный поток также является поверхно стной величиной. Поверхностной величиной является и полное давле ние плазмы p.1 Так как мы пренебрегаем инерциальными членами, то 112 2 01 т. е. давление должно быть выровне но вдоль силовой линии, а следовательно, должно быть постоянным на всей магнитной поверхности. 1 1 Из уравнения равновесия (12.1) 11 2 12 3 323 4 следу ет, что так как Ñp направлен по нормали к магнитной поверхности, то отсутствует компонент тока, нормаль ный к магнитной поверхности (это утверждение пере стает быть справедливым при учете вязкости). В пренеб режении же диссипативными процессами и инерцией ли нии тока, как и силовые линии магнитного поля, лежат на магнитной поверхности. Так как для плотности тока 1 выполнено уравнение непрерывности 1 2 1 3 01 то, как и для магнитного поля, ток через замкнутую поверхность равен нулю. Поэтому, учитывая, что ток через части маг нитной поверхности отсутствует, можно, аналогично магнитному полю, ввести еще две поверхностные вели чины:

210

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

31 1

1 1

2 452

(12.19)

21

— полный тороидальный ток внутри данной магнитной поверхности, и 1 1 (12.20) 3 1 1 2 452 21

— полный полоидальный ток через полоидальное сечение. На магнитной поверхности определена величина q, которая называется запасом устойчивости. Для замкну той силовой линии величина q равна отношению числа оборотов n вдоль окружности большого радиуса (большо му обходу) к числу оборотов m вдоль окружности малого радиуса (малому обходу) до замыкания: q = n/m. Для эр годической силовой линии следует брать предел отноше ния при бесконечном числе обходов: 1 2 3 123 4 (12.21) 1 12 3 По самому определению 1 является поверхностной ве личиной. Покажем, что запас устойчивости также может

dY p Рис. 12.4 Тороидальный и полоидальный потоки между двумя соседними магнитными поверхностями. Здесь j — тороидальный угол, q — полоидальный угол, третья координата соответствует нормали к магнитной поверхности.

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

211

быть выражен как производная тороидального потока по полоидальному: 31 1 423 1 (12.22) 31 2 Для доказательства рассмотрим сначала частный случай q = 1. Рассмотрим область между двумя магнит ными поверхностями, которые развернем в плоскости (рис. 12.4). Тороидальный j и полоидальный q углы изме няются в диапазоне (0, 2p), так что левый и правый торцы параллелепипеда склеены между собой. Третья координата направлена по нормали к магнитной поверхности. Так как после одного обхода по полоидальному и тороидальному углу силовая линия замыкается сама на себя, то она должна лежать на перемычке (не обязательно плоской), заштрихо ванной на рис. 12.4. Поток магнитного поля через эту пере мычку отсутствует, так же как и через ближнюю и даль нюю часть магнитных поверхностей. Поэтому, рассматри вая объем, ограниченный перемычкой, передней и задней частями магнитной поверхности, нижней и правой торце вой гранями, мы заключаем, что поток через нижнюю грань равен потоку через правую торцевую грань, то есть dYT = -dYp. Знак «минус» учитывает тот факт, что при переходе к более внешним магнитным поверхностям то роидальный магнитный поток растет, а полоидальный — падает. Таким образом, для q = 1 соотношение (12.22) вы полнено. В случае q = n/m тороидальный поток через тор цевую грань возрастает в n раз, что соответствует числу пересечений силовой линии до замыкания, а через ниж нюю грань — в m раз, соответственно (12.22) остается спра ведливым. И, наконец, в пределе для эргодической сило вой линии попрежнему выполнено соотношение (12.22). 12.4. УРАВНЕНИЕ ГРЭДА — ШАФРАНОВА Форма произвольных магнитных поверх ностей для случая тороидальной симметрии описывает ся уравнением равновесия, в котором фигурируют толь ко поверхностные величины. Рассмотрение проведем

212

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Рис. 12.5 Цилиндрическая система координат: R — большой радиус; j — тороидальный угол.

в цилиндрической системе координат, (R, j, z) изображен ной на рис. 12.5. Координата R представляет собой боль шой радиус, а j — тороидальный угол, от которого не за висят никакие величины. Точка на магнитной поверхно сти описывается, таким образом, парой координат (R, z). Магнитное поле представляет собой сумму полоидально 1 1 1 1 1 го 21 и тороидального 21 магнитных полей: 3 1 31 2 32 1 Полоидальное1магнитное 1 1 поле, в свою очередь, имеет два компонента: 41 1 42 2 431 1 Полоидальный магнитный по ток Yp по определению равен 1

2 2 3 4 6 251 143 51 11

(12.23)

0

откуда следует соотношение 1 12 1 1 (12.24) 254 14 1 Интегрируя уравнение 1 2 1 3 01 которое в цилиндри ческих координатах имеет вид 32 3 4

131 1 1 2 1232 2 3 03 11 2 12

(12.25)

213

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

выразим и радиальную проекцию магнитного поля через полоидальный поток: 41 4 5

1

1 143 3 3 1 12 2 1 51 4 1 1 70 13 261 13

(12.26)

Полоидальный ток Ip запишем в виде 1

4 2 2 3 5 241 153 61 11

(12.27)

0

Дифференцируя по верхнему пределу, имеем, анало гично (12.24): 1 13 1 42 2 3 1 (12.28) 245 15 1 Так как 1 2 1 3 01 то как и для магнитного поля, имеем связь, аналогичную (12.26): 51 3 4

1

1 153 2 2 1 14 2 1 61 3 1 6 1 13 251 13

(12.29)

0

Тороидальное магнитное поле выразим через полои дальный ток из интегрального уравнения Максвелла при обходе по контуру в тороидальном направлении: 31 2 3

22 1 1 45

(12.30)

Для тороидальной плотности тока имеем 5 1 12 5 6 541 542 7 9 4 3 8  8 51  4 4  52 2 5 5  3 5 6 1 5 3 7 5 8 2  1 8 4  3 1 2 1  1 51  82 1 5 8 1  52 63 8

(12.31)

Здесь оператор D* напоминает оператор Лапласа:

2 5 1 2 64 3 22 71 8 2 9 1

 1 21  1 21    22 Запишем теперь радиальную компоненту уравнения равновесия: 22 1 3 1 3 4 4 3 4 23 (12.32) 25 6 1 1 1 1

214

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Подставим в правую часть компоненты магнитных по лей и плотностей токов: (12.24), (12.28), (12.30) и (12.31), а левую часть преобразуем согласно ¶p/¶R = (dp/dYp)(¶Yp/¶R). Сокращая обе части на величину ¶Yp/¶R, получаем

31 4 1 5 61623 4 2

21 822 23 12 6 1 24 1 52 24 1

(12.33)

Это уравнение известно как уравнение Грэда — Шаф ранова. Решением его является функция Yp(R, z), а усло вие Yp(R, z) = const определяет уравнение, связывающее координаты точек данной магнитной поверхности. Ре шить уравнение Грэда — Шафранова можно, если заданы функции p(Yp) и Ip(Yp), которые и определяют форму маг нитных поверхностей. Последние подбираются, чтобы получилось желаемое равновесие. Вне плазменного шну ра уравнение Грэда — Шафранова имеет вид D*Yp = 0.

(12.34)

На границе плазменного шнура решение уравнения (12.33) Ypi и решение уравнения (12.34) Ype должны быть сшиты вместе с производными по нормали: 2 12 4 3 2 13 4 1

12 12 12 13 3 2 15 4 15 4

(12.35)

Величину полоидального магнитного потока удобно отсчитывать от магнитной оси. При этом вводят величину

1 2 1 01 3 1 1 1 1 01

(12.36)

где — полоидальный поток, соответствующий магнит ной оси. Величина Y обращается в ноль на магнитной оси и нарастает к сепаратрисе. Для нее также выполняется уравнение Грэда — Шафранова. Приведем простой пример расчета равновесия. Поло жим dp/dY = const и dI2/dY = const, причем константы выберем следующим образом: 1623

11 21 34 822 35 2 3 4 40 1 3 4 20 2 31 60 72 31 60

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

215

Тогда простое решение уравнения равновесия имеет вид 204

1 1 1 21 2 3 13202 4 2 2 242 4 1 2 2 202 22 3 8 10 2

В точке R = R0 и z = 0 полоидальный поток Y = 0, эта точка соответствует положению магнитной оси. Вблизи магнитной оси при R » R0 получаем 2 1 32 12 1 12 11 1 10 22 3 14 4 12 2 4 3 20 2 2 10 102

(12.37)

Таким образом, магнитные поверхности в этом приме! ре имеют форму эллипсов, охватывающих магнитную ось, полуоси которых определяются величинами a и b. 12.5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ Чтобы лучше понять, как осуществляется равновесие в токамаке, рассмотрим токамак с круглым сечением. Пусть последняя замкнутая магнитная поверх! ность имеет радиус a. Ограничимся случаем большого ас! пектного отношения, когда 1 1 11 (12.38) 2 где R — большой радиус шнура, например, соответствую! щий центру последней замкнутой магнитной поверхности. При условии (12.38) в нулевом приближении тор можно рассматривать как цилиндр, а тороидальные эффекты — как малые поправки. С такой точностью можно не делать различия между большим радиусом центра шнура или боль! шим радиусом какой!либо точки магнитной поверхности. Проанализируем силы, действующие на плазменный шнур в целом. В нулевом (цилиндрическом) приближении все силы действуют в направлении малого радиуса плаз! мы, это так называемое «равновесие по малому радиусу». В этом приближении выполнено рассмотренное ранее урав! нение равновесия (12.11) или (12.12). Интегрируя (12.12) с весом r2 по всему шнуру радиуса a и выполняя интегри! рование по частям, получаем

216

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

7 2 Здесь 4 2

4221 4121 5 2 162 3 4 3 2 23 85 85 258 6

1

1 2354651 312 40

(12.39)

1 3221 3221 1 2 2 4 2354 651 (12.40) 83 83 31 0

где поле Bij — это тороидальное магнитное поле внутри плазменного шнура, которое соответствует полю Bz в ци линдре; поле Bej — тороидальное магнитное поле в вакуу ме (соответствует полю B0 в (12.12)); IT — полный торои дальный ток. Уравнение (12.39) представляет собой интегральное условие равновесия по малому радиусу. В силу того, что в торе элемент площади на внешней стороне больше, чем на внутренней, в нем, в отличие от цилиндра, возникают силы в направлении большого ра диуса. Эти силы содержат малый параметр a/R. Инте гральный баланс этих сил называется равновесием по большому радиусу. Чтобы найти эти силы, рассмотрим виртуальные перемещения шнура в направлении боль шого радиуса и вычислим совершаемую работу A и потен циальную энергию W = –A, запасенную в шнуре. Тогда сила, действующая в направлении большого радиуса, есть F = –¶W/¶R. Потенциальная энергия шнура и сила в направлении внешнего обвода связаны с тремя различными факторами: W = Wp + WI + WB.

(12.41)

Первая часть потенциальной энергии Wp связана с полным давлением плазмы и различием во внутреннем и внешнем обводах тора. При перемещении плазменного шнура в направлении внешнего обвода происходит его рас ширение и совершается работа. Соответствующая потен циальная энергия:

21 1 2 4 134 1 2232 52 6 1 1 а сила: 31 2 3

121 2 242 42 1 1 15

(12.42)

(12.43)

217

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Вторая сила связана с взаимодействием токов, теку щих по шнуру в тороидальном направлении, или, други ми словами, с взаимодействием тороидального тока с по лоидальным магнитным полем: jjBp. Потенциальная энер гия взаимодействия токов: 32 2 142 52 1 1 2 3 (12.44) 26 где L — индуктивность плазменного шнура. Величина индуктивности для тора с распределенным током извест на и равна

3 1 424 123484 5 56 3 2 4 61 5 278 61 1 722 5 722 4569

(12.45)

Здесь Bp(a) — полоидальное магнитное поле на грани це плазменного шнура, а среднее определено так же, как в (12.40). Сместим шнур по большому радиусу, при этом магнитный поток Y(a) = ITL/c должен сохраниться, а то роидальный ток — измениться. Потенциальную энергию удобно переписать в виде 1 2 122 31 2 3 (12.46) 24 Соответствующая сила:

71 2 7

441 46

12 const

2

23122 5 86 5 6 12 7 1 8 3 3 2 8 92 9

(12.47)

Третья сила связана с взаимодействием полоидально го тока и тороидального магнитного поля jpBj. Соответст вующая потенциальная энергия: 3121 3221 (12.48) 53 2 5 64 3 5 64 1 84 84 41

42

Здесь интегралы берутся по объему шнура и области вне шнура соответственно. Перепишем это выражение в виде 53 5

3 3221 3121 4 3121 64 2 77 6 8 64 5 89 89 89 8 41 2 42 42



5 const 2 292 72 8

3221 3121 1 6 89 89

(12.49)

218

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Первое слагаемое здесь представляет собой интеграл от давления вакуумного магнитного поля по всему объе му и поэтому является константой. Второй же интеграл линейно зависит от большого радиуса. Сила в направле нии большого радиуса равна 2 3121 3221 3 443 5 272 62 8 6 53 5 6 (12.50) 91 47 7 87 9

8 8 Преобразуем правую часть (12.50), используя условие равновесия по малому радиусу (12.39): 42 2 212 52 6 3

1312 1 72

(12.51)

Сложим теперь все три силы (12.43), (12.47) и (12.51): 71 1 72 2 73 2 74 1 1

23352 82

4 6 8 1 7 3 6 2382 92 2 5 12 9 9 8 2 2 2 2 3 352   

(12.52)

Сила FR выталкивает плазменный шнур в направле нии внешнего обвода. Чтобы удержать плазму в равнове сии, необходимо приложить к шнуру дополнительную встречную силу 211 2 3 21 1 Чтобы создать такую силу, удер живающую плазменный шнур, в плазме создают верти кальное магнитное поле BV за счет пропускания тока в спе циальных обмотках. В результате взаимодействия верти кального поля с тороидальным током, текущим по плазме, появляется сила 1 231 411 4 5 6 52 62 72 4 5 8 6 1 (12.53) 9 9 3 2 Величина вертикального поля находится из условия 211 2 3 21 1 71 2 4 89 5 3 82 2142 52 6 3 (12.54) 12 9

7 8 8 3 49  5  2 2 712  Последнее слагаемое в скобках известно как «бета то ковое»: 2142 52 2 81 2 (12.55) 21 3 3 2 132 62 152

3 6

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

219

Рис. 12.6 Формирование Хточки на внутреннем обводе токамака при росте bI. Стрелками показано направление полоидального магнитного поля в разных областях.

и представляет собой отношение среднего давления плаз мы к давлению полоидального магнитного поля. Равновесие плазменного шнура возможно не при лю бом значении bI. Действительно, изза того, что вертикаль ное управляющее магнитное поле складывается с полои дальным магнитным полем, создаваемым тороидальным током, на внутреннем обводе суммарное полоидальное магнитное поле обращается в ноль (рис. 12.6). Точка, в которой это происходит, называется Хточкой, а линия, на которой находится Хточка, называется сепаратрисой. Сепаратриса разделяет области с различной топологией маг нитного поля. При небольших значениях bI вертикальное поле мало и Хточка находится вне плазменного шнура, где спадающее как r–1 полоидальное поле тока сравнивается с вертикальным полем. С увеличением значения bI Хточка сдвигается в направлении плазменного шнура и равнове сие становится невозможным, так как плазма начинает уходить вдоль силовых линий магнитного поля. Макси мально возможному значению 1123 соответствует условие 1

220

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

42 1

231 1 56

(12.56)

Отсюда следует 3123 4 2

24 84 2 3 31 5 45 17 86 5 6 5 9 5 2 2

(12.57)

соответствует предельному по рав Это значение 1123 1 новесию значению bI для токамаков круглого сечения. При изменении формы сечения, например при увеличе может оказаться боль нии вытянутости, значение 1123 1 ше, чем значение, которое дается выражением (12.57). 12.6. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ С МАГНИТНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ, БЛИЗКИМИ К КРУГОВЫМ Проанализируем теперь форму магнитных поверхностей в токамаке, если сечение близко к кругово му. Будем искать равновесие, в котором магнитные поверх ности представляют собой систему вложенных окружно стей, центры которых смещены относительно центра окруж ности, соответствующей последней замкнутой магнитной поверхности (рис. 12.7). Будем обозначать большой радиус центра последней замкнутой магнитной поверхности — R0, а большой радиус произвольной точки магнитной поверх ности — R. Величина r — радиус магнитной поверхности, отсчитываемый от ее центра, для последней замкнутой магнитной поверхности r = a. Смещение центра данной магнитной поверхности относительно центра последней замкнутой магнитной поверхности обозначим D(r), эта ве личина уменьшается с ростом r, причем D(a) = 0. Величи ну D(r) называют шафрановским сдвигом. Попрежнему используем приближение малой тороидальности: 1 12 1 11 (12.58) 20 Тороидальное магнитное поле в токамаке обратно про порционально большому радиусу: 20 3 21 1 1 0 1 (12.59) 3

221

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рис. 12.7 Шафрановское смещение круговых магнитных поверхностей

Рис. 12.8 Элемент площади между двумя близкими магнитными поверхностями

Здесь 210 — тороидальное поле в центре последней замкнутой магнитной поверхности. Используя геометри ческое соотношение R = R0 + rcosq, запишем (12.59) в виде 21 1

210 2 210 11 3 4 234 556 11 6 4 234 55

(12.60)

222

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Полоидальное магнитное поле будем искать в анало гичном виде:

21 1 210 11 2 3413 2345 526

(12.61)

Величину L(r), как и D(r), предстоит найти из уравне ния равновесия. Эти функции не являются независимы ми. Чтобы найти связь между ними, рассмотрим две со седние магнитные поверхности. Пусть dx — расстояние по нормали между ними (см. рис. 12.8). Величина dx зависит от полоидального угла и шафрановского сдвига: 12 3 12 4 123 511 3 41 4 123 5

11 5126 12

(12.62)

Элемент площади dSp между соседними магнитными поверхностями, через который проходит полоидальный поток, равен 231 2 23424 2 2340 11 5 6 234 7511 5 234 7 21 525 2 25 1 2 2 2340 61 5 16 5 5234 77258 (12.63) 25 Мы пренебрегаем квадратичными по e членами. По лоидальный поток между соседними поверхностями есть 1 22 1 3 31 241 3 310 11 4 56 234 752850 61 9 15 9 2 5234 7726

26 21

2850 310 1 9 15 4 56 9 5234 7 8 (12.64)

  26 Так как полоидальный поток есть поверхностная ве личина, то приращение dYp не зависит от полоидального угла. Поэтому, приравнивая нулю коэффициент перед cosq, получаем соотношение 11 2 314 5 123 (12.65) 12 Спроектируем теперь уравнение равновесия в фор ме (12.3) на направление по нормали к магнитной поверх ности: 1 1 1 1 12122 32 3 22 11 3 345 42 1 4 5 26 6 (12.66) 35 35 87 47

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

223

1 Здесь 1 — единичный вектор, нормальный к магнит ной поверхности, а при вычислении производной по нор мали использовано соотношение

1 1 12 3 11 4 234 556 16 12 12

которое следует из (12.62). Разобьем оператор в правой части на четыре слагаемых: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13123 2 131 1231 3 132 1231 3 131 1232 3 132 1232 3 (12.67) Первое слагаемое в правой части, в соответствии с опре делением радиуса кривизны плоской кривой, представля ет собой вектор, направленный вдоль большого радиуса: 1 1 1 22 1 1 1 22 121 1221 2 3 12 33 4 121 1221 2 3 1 456 47 (12.68) 3 3 1 1 Второе слагаемое в правой части (12.67) 131 1232 пред ставляет собой вектор в тороидальном направлении и не име ет проекции1на нормаль к магнитной поверхности. Третье 1 слагаемое 131 1232 представляет собой полоидальный век тор и также не имеет проекции на нормаль к магнитной по верхности. Последний вектор в (12.67) направлен вдоль ма лого радиуса к центру, так что 1 1 1 221 3 121 1221 2 3 3 (12.69) 4 С учетом (12.68) и (12.69) преобразуется к виду 11 4

321 2 43 4 32 1 1 32 234 55 1 1 6 5 7 4 8 2 234 5 6 6 45 45 5 9 8

4  6

(12.70)

Перенесем малые члены порядка e, содержащие cosq, в правую часть: 321 1 32 43 312 2 4 32 11 4 24 5 68 2 4 9 345 76 (12.71) 45 8 4 5  4 6 45 4 5 При этом в последнем члене величина d(p + B2/8p)/dr заменена на 221 12413 34 что соответствует цилиндрическо му (нулевому по параметру e) приближению. В левой час ти (12.71) кроме членов нулевого порядка по e присутству ют и члены, пропорциональные ecosq, которые получаются

224

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

при подстановке тороидального и полоидального магнит ного поля в виде (12.60) и (12.61). Таким образом, кроме уравнения равновесия нулевого приближения 120 22 1210 22 3 31 1 41 2 05 34 83 434

(12.72)

имеет место уравнение первого приближения, которое по лучается приравниванием к нулю коэффициента при cosq в (12.71). Используя соотношение (12.65) и уравнение ну левого приближения, имеем 2 21 823 2 21 23 0 2 13 1410 22 23 4 14 2 3 23 23 50 23 50 1

(12.73)

После интегрирования по малому радиусу: 33 811 1 2 1 2 2 21 4 4 3 34 50 1210 22 2

где 22

1

(12.74)

1

1 1 231 12 11 1231 13 422 2 2 4 231 11420 22 31 14 31 2 04 31 0

Величина смещения магнитных поверхностей, как следует из (12.74), зависит от параметра bI (12.55). Вели чина dD/dr отрицательна, так как при спадающем по ра диусу давлении 1 1 11 Таким образом, более внутренние магнитные поверхности сильнее смещены наружу, в соот ветствии с рис. 12.7. Сама величина шафрановского сдви га D(r) получается интегрированием (12.74). Зная шафра новский сдвиг, нетрудно рассчитать и полоидальное маг нитное поле с помощью (12.61) и (12.65). 12.7. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ДЛЯ МАГНИТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ Для описания плазмы в магнитных ловуш ках с произвольными магнитными поверхностями исполь зуются специальные системы координат. Удобно ввести так называемые потоковые координаты, характеризую щие положение точки на магнитной поверхности: (12.75) xi = (a,q,z).

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

225

Здесь величина a является любой поверхностной ве личиной и нумерует магнитную поверхность. Для круго вых магнитных поверхностей в качестве a может быть выбран малый радиус токамака. Координаты q и z соот ветствуют полоидальному и тороидальному углам и меня ются в интервале 0, 2p. Знаки координат q и z выбраны так, чтобы для круглых магнитных поверхностей и ма лой тороидальности они совпадали с направлениями ци линдрических координат пинча q и z (см. рис. 12.1). Если потоковые координаты известны как функции декарто вых координат, то ковариантные и контравариантные ба зисные векторы определены согласно 1 1 1 (12.76) 2 1 1 231 1 21 1 34 2 331 3 В этих координатах квадрат элемента длины дается выражением dl2 = gikdxidxk, (12.77) 11 где метрические коэффициенты 312 1 41 42 1 Элемент объема: 34 2 5361362 363 1 1 1 1 5 2 271 3 72 373 2 42461 3 462 3463 511 2 678 512 9 (12.78) Дополнительные соотношения: 11 1 (12.79) 32 3 1 2 321 1 32 2 4 245 211 5452 12 34 Произвольный вектор раскладывается по базисным век 1 11 11 торам: 1 1 2 1 21 3 1 1 2 1 31 1 21 1 231 1 2 1 1 23 1 2 (12.80) Покажем, что для силовой линии, лежащей на маг нитной поверхности, магнитное поле может быть пред ставлено в виде 1 1 1 1 11 1231 4 252 6 123 2 4 272 6 122 42823 (12.81) 29 29 29 где Y1(a) и Y2(a) — поверхностные величины, а h(a, q, z) — периодическая функция q и z. Действительно, вектор, не имеющий компоненты вдоль Ña, можно представить в виде 1 (12.82) 1 1 2123 3 242 5 4123 32623

226

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1 Из условия 1 2 1 3 0 следует соотношение ¶x/¶z - ¶y/¶q = 0.

(12.83)

Следовательно, величины x и y можно выразить через одну периодическую функцию: 1 3 10 122 4

1 12 1 12 3 3 3 30 122 4 4 25 16 25 17

(12.84)

Подставляя это выражение в (12.82), получаем (12.81), если обозначить 1 111 1 11 2 20 132 2 3 40 132 2 4 (12.85) 23 13 23 13 Функция h(a, q, z) должна удовлетворять дополнитель" ному условию отсутствия тока, нормального к магнитной поверхности, которое обсуждалось в разделе (12.3): 1 1 1 1 1 2 13 2 11 3 4213 2 1 3 14 3132 2 03 44 44

(12.86)

Нетрудно убедиться, что величины Y1 и Y2 совпадают с полоидальным и тороидальным магнитными потоками Yp и YT через поверхности, изображенные на рис. 12.2. Для этого необходимо проинтегрировать (12.81) по торои" дальной и полоидальной поверхностям. При этом учтем, что 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 453 2 23 6572 1 12 2 3 453 2 2 3 6571 1 (12.87) 31

32

где lp, lT — контуры, охватывающие тороидальное и по" 1 лоидальное сечение соответственно, а 1 — векторный потенциал. Действительно, векторный потенциал, соответствую" щий (12.81), может быть представлен в виде 1 1 1 1 2 34 5 2 36 7 832 5 331 11 29 1 29 2 29

(12.88)

где d — произвольная функция. Подставляя (12.88) в (12.87) и учитывая, что 1 1 1 1 1 26 123411 326 14342 3 251 26 1534112 326 12342 326 14341 3 01 (12.89) 26 1334112 3 01

227

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

получаем Y1 = Yp, Y2 = YT, так что магнитное поле 1 1 1 1 3 1 123 1 4252 6 1232 4272 6 124 4 2823 29 29 29

(12.90)

В общем случае угловые координаты можно выбрать специальным образом, так чтобы h = 0. Такие координа ты называются потоковыми координатами с выпрямлен ными силовыми линиями. В них магнитное поле имеет простой вид (эти координаты, вообще говоря, могут быть не ортогональными): 1 1 1 3 1 123 1 4252 6 123 2 4 2723 28 28

(12.91)

Запишем уравнение силовой линии в этих координатах: 11 112 3 1 1 (12.92) 242 241 1 1 Выражая полоидальное 112 и тороидальное 112 маг нитные поля из (12.91), получаем, что 1 311 1 34 311 32 532 (12.93) 4 1 45 45 4 62 36 536 31 2 1 34 31 2

где запас устойчивости q определен согласно (12.22). Так как запас устойчивости является поверхностной величи ной, то силовая линия в выбранных координатах являет ся прямой. В токамаке такой выбор ортогональных координат яв ляется естественным. Обозначим обратные градиенты: 21 3

1 1 1 1 21 3 1 22 3 2 41 41 42

(12.94)

Нетрудно видеть, что hz = R, где R есть текущее значе ние большого радиуса, так как при интегрировании вдоль тороидального контура dlT должно получаться 2p (12.89). В соответствии с (12.91) физические компоненты магнит ного поля: 51 4 51 5 6

43 1 1 43 432 1 43 2 52 5 52 5 3 27673 2773 71

(12.95)

228

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Величина hq для круглых магнитных поверхностей переходит в малый радиус r. В общем же случае величи ны ha, hq могут быть заданы, например, численно, для кон кретной формы магнитных поверхностей. Дифференци альные операторы и интегралы при этом определены в со ответствии с общими правилами. Если полоидальный магнитный поток Y отсчитывает ся от оси согласно (12.36), то 1 1 1 (12.96) 2 1 2 134 5362 7 134 1 5 3823 29 29 431 1 43 43 1 43 (12.97) 2 52 5 51 5 3 51 4 52 5 26673 2673 71 12.8. БЕССИЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРОФИЛИ В ПИНЧАХ В ряде случаев, когда магнитное давление плазмы мало по сравнению с давлением магнитного поля, в плазме могут возникать так называемые бессиловые равновесные конфигурации, когда в уравнении равнове сия можно положить Ñp = 0. Тогда из уравнения равно весия (12.1) и (12.2) имеем 1 1 1 111 2 12 2 122 3 03 (12.98) 44 откуда следует 1 1 (12.99) 1 2 1 3 411 Ниже мы покажем, что величина m не зависит от маг нитного поля. У такой бессиловой магнитной конфигура ции ток течет вдоль магнитного поля, а плотность тока пропорциональна величине магнитного поля. Бессиловое равновесие реализуется в самых различных конфигура циях, в частности обнаружено, что бессиловое равновесие возникает в пинчах, когда азимутальное и продольное магнитные поля одного порядка. Равновесие пинча в общем случае описывается урав нениями (12.11) и (12.12), содержащими две произволь ные функции Bz(r) и Bq(r). Покажем, что дополнительное

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

229

условие, связанное с минимизацией энергии магнитного поля при сохранении специфической величины, называе мой спиральностью, приводит к равновесию бессилового типа (12.99). Соответствующие профили называются ка ноническими. Спиральностью называется интеграл по объему, ограниченному замкнутой силовой трубкой: 12 1 1 2 2345 1 (12.100) 1 где 1 — векторный потенциал. В плазме с бесконечной проводимостью этот интеграл сохраняется, то есть является интегралом движения. Докажем это утверждение для замкнутой силовой трубки. Для доказательства перепишем 1 1 2 1 1 1 2 1 234 2153623 (12.101) где S — сечение силовой трубки, а dl — элемент длины 1 1 вдоль силовой линии. Так как магнитный поток 123 в трубке сохраняется, то необходимо доказать, что 1 1 1 213 1 01 (12.102) 14 2 Преобразуем 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 32 4 5 14 62 2 8 13 5 2 113 624 3 (12.103) 213 7   15 9 35

1 1 1 Здесь использовано соотношение 12 1 13 1 22 234 4 Из уравнения для магнитного поля (10.14) при s ® ¥ следует 1 1 1 1 2 1 3 12 4 32 5 673 (12.104) 14 где c ¾ произвольная скалярная Подставим 1 1функция. 1 (12.104) в (12.103). Учитывая 11 1 2234 2 0 и комбинируя оставшиеся члены, найдем 1 11 1 1 1 213 1 5 13 21 24 3 42 1 03 5 15

(12.105)

Равенство1нулю следует из теоремы Стокса и соотно 1 шения 11 212 12 3 434 5 05 Мы показали, что спиральность сохраняется для замк нутой силовой трубки. При конечной проводимости это

230

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

утверждение, вообще говоря, не имеет места, так как си ловые линии могут перезамыкаться. Однако при высокой проводимости общая структура магнитных полей меняет ся не сильно, и приближенно можно считать, что инте грал (12.100) сохраняется при интегрировании по всему объему плазмы. При этом спиральность перераспределя ется между трубками, а полная сумма сохраняется. Найдем конфигурацию магнитного поля, соответст вующую минимуму энергии магнитного поля при сохра нении спиральности. Для этого необходимо найти мини мум функционала: 12 215 34 2 351 (12.106) 84 где l — неопределенный множитель Лагранжа. Из усло вия равенства нулю вариации функционала dL = 0 полу чаем 1 11 1 1 12 (12.107)

1 493 4 5 2 6 732 213434 8 05 С учетом соотношения 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 122 2 1133 4 1 4 5 211 2 1 33 4 11 4 5 211 (12.108) перепишем (12.107): 1 1 1 1 1 1 12

49 3 42315 6 72 2 3 4172434 8 05

(12.109)

Первый член в подынтегральном выражении преобра зуем, используя формулу векторного анализа: 1 1 1 1 1 1 3 4 11 4 2 2 5 61 13 4 2 2 7 2 13 4 121 Так как интеграл от дивергенции обращается в ноль, то имеем 1 1 2 1 1 12 11 1 3 4 1  9 9 4 5 622

72 5 6172

34 8 03 (12.110) Так как вариация произвольна, то уравнение Лагранжа: 1 1 2 1 1 1 (12.111) 3 4 1 5 62 29 5 61 7 03 8 4

или 1 1 1 12 3 4 (12.112) 7 49 8 5 2611

231

12. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Вводя константу m = 8pl, приходим к уравнению (12.99) для бессиловой магнитной конфигурации. В проекциях уравнение (12.99) имеет вид 1 2341 2 341 1 3 23 24 4 1 2 341 2 23

(12.113)

Подставляя в первое уравнение азимутальное поле Bq, из второго уравнения приходим к уравнению Бесселя: 1 2 231 14 2 1 22 31 3 03 4 24 24

(12.114)

Таким образом, канонические профили компонент маг! нитного поля даются функциями Бесселя: Bz = B0J0(mr), Bq = B0J1(mr).

(12.115)

Распределение полей приведено на рис. 12.9. Тот факт, что продольное магнитное поле спадает от центра

Рис. 12.9 Канонические радиальные профили продольного и азимутального магнитных полей в пинче

232

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

к периферии шнура, связан с сильным азимутальным по лем — велика азимутальная составляющая тока, текуще го вдоль силовой линии. Форма профилей зависит от па раметра ma, где a — радиус шнура. Величина ma связана с отношением полного продольного тока к тороидальному магнитному потоку: 4123 22 3 (12.116) 44 1 . При увеличении параметра ma профили становятся бо лее пикированными, при значении ma = 2,4 продольное магнитное поле обращается в ноль на границе шнура, а при ma > 2,4 продольное магнитное поле на периферии шнура меняет знак. Канонические профили (12.115) и эффект обращения поля хорошо соответствуют экспери ментальным профилям, наблюдаемым в пинчах с обращен ным полем.

Глава 13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

Равновесие плазмы не означает отсутствия в ней течений вдоль и поперек магнитных поверхностей; соответствующие скорости должны лишь быть малы по сравнению со звуковыми и альфвеновскими скоростями. В этой главе мы проанализируем такие течения на приме" ре токамака и, в частности, найдем потоки частиц, тепла и момента поперек магнитных поверхностей. Потоки эти, вызванные парными кулоновскими столкновениями, по" лучили название неоклассических, а соответствующие коэффициенты переноса называются «неоклассическими коэффициентами переноса». Приставка «нео» здесь от" ражает тот факт, что потоки вычисляются в сложной геометрии, по сути же дела, рассматриваемые в этой главе потоки являются классическими, в отличие от турбулентного переноса, примеры которого обсуждались в главе 8. Анализ для магнитных поверхностей произвольной формы следует проводить, используя систему координат, рассмотренную в предыдущем разделе. Чтобы упростить изложение, ниже мы будем рассматривать самый простой вариант круговых магнитных поверхностей, а в конце гла" вы будут приведены и общие выражения, справедливые для магнитных поверхностей произвольной формы. Пока же выберем простейшую модель магнитного поля, соответствующую случаю малой тороидальности e << 1 и круговых магнитных поверхностей. Выберем бо" лее простое, чем в разделе 12.6, модельное магнитное поле:

234

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

310 3 310 11 4 5 234 156 11 6 5 234 15 32 7 31 2 320 11 4 5 234 15 2 831 6 31 2

30 2 1310 52 6 1320 52 6 5 2 4 7 50 8

(13.1)

При таком модельном представлении величина Q = = Bp/BT не зависит от полоидального угла q. Будем пола гать Q << 1, так что 1 2 210 1 20 2 В качестве координаты a, характеризующей магнитную поверхность, выберем ма лый радиус r. Координаты q, z попрежнему соответству ют полоидальному и тороидальному углу (рис. 13.1). Эле мент длины:

122 1 13 2 2 3 2 132 2 402 11 2 4 234 352 152 6

(13.2)

а компоненты метрического тензора равны 211 3 11 211 3 1 2 1 222 3 302 21 4 5 345 162 7

(13.3)

Будем полагать ларморовский радиус ионов rci доста точно малым, так что выполнено неравенство rci/(rQ) << 1.

(13.4)

Это условие, как прави ло, выполняется в токама ках. Ларморовский радиус и тепловая скорость определе ны как

1231 1 41 2 4

11 2

321

521

531 4

231 3 41

2

(13.5)

Макроскопические вели чины будем представлять в виде ряда по малому парамет ру, содержащему малый мно житель e:

Рис. 13.1 Система координат с круговы ми магнитными поверхностя ми, используемая для анализа процессов переноса

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

n(r, q) = n0(r) + n1(r, q)... ; Tj(r, q) = T0j(r) + T1j(r, q)... ; j(r, q) = f0(r) + f1(r, q)... ; uj||(r, q) = uj||0(r) + uj||1(r, q)... .

235

(13.6)

Здесь первый член разложения соответствует цилинд рическому приближению и не зависит от полоидального угла, а второй член линеен по параметру e. Отметим, что температуры частиц, концентрация и потенциал, в отли чие от полного давления, не являются поверхностными величинами и зависят от полоидального угла q. Здесь ве личина f 0 представляет собой средний потенциал на маг нитной поверхности, а величина ui||0 соответствует сред ней скорости плазмы (ионов) вдоль силовых линий маг нитного поля. 13.1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ РЕЖИМ (РЕЖИМ ПФИРША — ШЛЮТЕРА) Проанализируем вначале гидродинамиче ский режим, в котором длина свободного пробега частиц мала по сравнению с одной длиной обхода силовой линии в тороидальном направлении:

12 2

312 4 3 2 561 42 5

(13.7)

Здесь ni º nii, ne º nei. Такой режим реализуется при не больших температурах в малых токамаках или вблизи сепаратрисы в современных установках. В этом режиме плазма описывается системой гидродинамических урав нений, приведенных в главе 2, что позволяет относитель но просто исследовать характер переноса. 13.1.1. КАЧЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ

Прежде чем переходить к решению гидродинамиче ских уравнений, приведем качественные оценки потоков частиц и тепла, обусловленных тороидальностью. Нач нем с оценки возмущения температуры на магнитной

236

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

поверхности. Электроны и ионы в неоднородном магнит ном поле токамака испытывают вертикальный дрейф со скоростями (11.9), направленными вверх и вниз соответ ственно. Скорости, усредненные по максвелловской функ ции распределения, даются выражением

521 1

2341 1 6 1 78

(13.8)

При этом возникают вертикальные потоки ведущих центров и течет вертикальный ток ведущих центров (11.10): 73 2

245161 1 62 2 3 89

(13.9)

С потоками ведущих центров связаны и вертикальные потоки тепла ионов и электронов: qgj = (5/2) Tj(nugj). В плаз ме с неоднородной температурой дивергенция этих пото ков отлична от нуля, что приводит к возмущению темпе ратур частиц на магнитной поверхности. В результате по является поток тепла вдоль силовых линий магнитного поля, обусловленный теплопроводностью, дивергенция которого компенсирует дивергенцию вертикального по тока тепла. Соответствующий баланс имеет вид (числен ные коэффициенты опускаем) 2304021 1 1 11411 22 2 3 560 70 8 82

(13.10)

Здесь в качестве характерного радиального масштаба выбран малый радиус 1 , а в качестве характерного мас штаба вдоль магнитного поля — длина силовой линии при обходе по большому радиусу r/Q = qR. Соотношение (13.10) с учетом выражения для ионной теплопроводно сти (kj|| ~ nTj/(mjnj)) позволяет оценить возмущение тем пературы на магнитной поверхности:

311 41 1 2 11 1 2 3 2 30 1 5 421 5421

(13.11)

Возмущение ионной температуры положительно на нижней части магнитной поверхности и отрицательно сверху, для электронов же наоборот — верхний обвод

237

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ а

б

Рис. 13.3 Схема замыкания тока:

Рис. 13.2 Схема формирования среднего теплового потока ионов через магнитную поверхность

а — плоскость малого сечения: 1 — вертикаль ный ток, 2 — полоидальная проекция про дольного тока; б — замыкание тока вдоль си ловой линии.

немного горячее внутреннего (рис. 13.2). В первом прибли жении по e вертикальный поток тепла через верхний и нижний обвод одинаковы и средний поток через магнит ную поверхность равен нулю. В следующем же приближе нии по e, изза возмущения температуры на магнитной поверхности, поток тепла ионов через нижнюю половину магнитной поверхности оказывается большим, чем через ее верхнюю половину. В результате получается некомпен сированный поток тепла:

51

1

2340 1 3040 1 4 1 521221 2 1 2 670 80 11 9

(13.12)

Этот поток в q2 раз превосходит тепловой поток в пря мом цилиндре (q^j = –kj^dT0j/dr), приведенный в главе 2. Возмущение электронной температуры в 31 1 32 раз мень ше, чем возмущение ионной температуры изза большой продольной электронной теплопроводности. Поэтому и электронный поток тепла, усредненный по магнитной по верхности, в 31 1 32 раз меньше ионного в соответствии с (13.12). Вертикальный ток (13.9), так же как и поток тепла, замыкается продольным током. Схема замыкания токов приведена на рис. 13.3. Продольный ток, замыкающий вер тикальный ток, называется током Пфирша — Шлютера,

238

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

он имеет различные направления на внутреннем и внеш нем обводах токамака. Чтобы оценить его величину, при равняем дивергенции радиального и продольного (дивер генцию его полоидальной проекции) токов: 34 2 151112 3 64 (13.13) 786 откуда 345 61112 2 3 (13.14) 78 Пфиршшлютеровский ток оказывается в q раз боль ше диамагнитного тока. 13.1.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Вычислим теперь возмущение ионной температуры на магнитной поверхности из уравнения баланса тепла. Мож но показать, используя полученные ниже выражения, что члены, содержащие направленные скорости в уравнении теплового баланса, малы по сравнению с теплопроводно стными потоками. Будем также предполагать, что выпол нено соотношение 223 1 1 56 3 11 (13.15) 47 843 которое обеспечивает малость возмущения температуры на магнитной поверхности. Пренебрежем также теплооб меном с электронами. При этом стационарное уравнение баланса тепла ионов сводится к 1 1 2 21 3 01 (13.16) 1 где поток тепла 21 определен согласно (2.38)–(2.39): 1 1 3 5 2341 2 5 61 4 5611171141 5 61 1 7 141 8 9 9 9 741  2 (13.17) 2 75 5

а коэффициенты теплопроводности вдоль и поперек маг нитного поля 329341 2341 2 1 3111 4 2 31 1 4 3 (13.18) 51 21 51 5221 Пренебрежем малой поперечной теплопроводностью и малым радиальным потоком тепла, связанным с третьим

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

239

слагаемым, тогда в выбранных координатах уравнение баланса тепла ионов имеет вид

4 1 5 3 211 6 312 7 8 01 7 211 52 69 222

(13.19)

Согласно (13.17) полоидальный поток тепла 611 6

5 2341 21 2 3 345 16 541 52 4411 7 8111 7 2 780 59 9 41

(13.20)

Здесь первое слагаемое представляет собой косой по ток тепла, связанный с вращением по ларморовским окружностям (см. главу 2). В неоднородном магнитном поле его дивергенция отлична от нуля и совпадает с дивер генцией вертикального потока тепла ведущих центров. Вто рое слагаемое представляет собой полоидальную проекцию 2 1211 продольного ( 3111 3 45111 ) потока тепла. Из (13.19) сле 4 16 дует, что 211 (13.21) 312 3 123456278 222 Линеаризуя (13.20), (13.21) и приравнивая члены пер вого порядка по e, содержащие cosq, получаем 23 4 1 5401 32 2411 (13.22) 4111 5 5 0 01 234 65 6 26 780 56 откуда 411 25324 3 5

230401 15 6401 567 28 780 4111 52 65

(13.23)

Возмущение ионной температуры имеет максимум на нижнем обводе тора и по порядку величины соответству ет оценке (13.11). При условии (13.15) это возмущение действительно мало: T1i/T0i < 1. Используя выражение для T1i, можно вычислить то роидальную добавку к радиальному потоку тепла, усред ненную по магнитной поверхности. Среднее по поверхно сти от величины f есть 1 1 3 14 1 211 222 31321 (13.24) 4

240

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где площадь магнитной поверхности S дается выражением

1 3 14 211 222 31321

(13.25)

Для выбранной простой модели магнитного поля S = 4p2rR0, а выражение для среднего по поверхности при нимает вид 1 1 1 1 11 2 3 234 45246 (13.26) 25 16 Усредненный радиальный поток тепла ионов: 1 3 11 4 5 234 6546 3 21 1 12 21 21 7701 1 5 560701 7711 2 46 8 1 1 38 1 4 5 234 6 5 9 11 4 5 234 65466 21 2 890 276 21 1 2 72 0 0 (13.27) 31

3

Здесь дополнительный множитель (1 + ecosq) появля ется изза полоидальной зависимости магнитного поля в знаменателе. При вычислении потока все члены, содер жащие произведения n1 и T1i, а также n2 и T2i обращаются в ноль при усреднении по магнитной поверхности, так как содержат произведения вида sinqcosq. Отбрасывая малые члены из (13.27), получаем выражение для потока тепла, найденное Шафрановым: 23 (13.28) 41 2 3112642 4 1351 1 01 4 25 Здесь учтено, что 252232412 2 1263 252 62 3111 31 1 Таким образом, поток тепла, связанный с тороидаль ностью (первый член в (13.28)), оказывается в 1,6q2 раз больше потока тепла в прямом цилиндре (второй член в (13.28)). Поток тепла ионов, связанный с тороидальностью, был вычислен как усредненный косой поток тепла, соот ветствующий последнему слагаемому в (13.17), физиче ски же он соответствует вертикальному потоку тепла ве дущих центров, усредненному по магнитной поверхности с учетом возмущения температуры на ней. Отметим, что главная тороидальная часть потока тепла квадратична по e.

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

241

13.1.3. ТЕЧЕНИЯ ПЛАЗМЫ НА МАГНИТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ВОЗМУЩЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ И ПОТЕНЦИАЛА

Равновесные течения плазмы на магнитной поверхно сти найдем из уравнения непрерывности:

4 4 1 5 3 311 1 5 3 311 6 6 4512 7 8 4512 7 9 01 7 7 311 52 6 322 311 52 6 322  

(13.29)

Радиальная скорость частиц получается из полоидаль ной проекции уравнения баланса сил в пренебрежении вязкостью и инерцией: 612 3 4

1411 5 1 121 4 1 73 2 15 81 973 2 15

(13.30)

Мы пренебрегли здесь перпендикулярной силой тре ния, которая приводит к классическому радиальному диф фузионному потоку в цилиндре, рассмотренному в главе 7. Так как возмущения на магнитной поверхности малы, то вкладом радиальных потоков в уравнение непрерывности можно пренебречь. В этом можно убедиться, подставив по лученные ниже выражения для возмущений давления и потенциала в (13.10). По этой же причине пренебрежем возмущением концентрации в уравнении непрерывности и заменим (13.29) на

4 1 5 3 211 6 30412 7 8 01 7 211 52 69 222

(13.31)

Из радиального баланса сил имеем 921 2 3

783 51 7 612 924 4 4 1 54 54

2 54 63

(13.32)

где ujT — тороидальная скорость частиц. Можно выбрать два других направления — параллельное и перпендику лярное магнитному полю, причем перпендикулярное на правление лежит на магнитной поверхности. Тогда ради альный баланс сил приводит к соотношению

242

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

71 1 2 3

562 5 431 4 2 80 4 731 1 9 1 9 42

(13.33)

Первое слагаемое здесь представляет собой дрейф в ра диальном электрическом поле, а второе слагаемое — диа магнитный дрейф. Первое и третье слагаемое в (13.32) пред ставляют собой проекцию перпендикулярной скорости на полоидальное направление и в силу малости полоидально го магнитного поля эти величины практически совпадают с V0 и upj. Продольная скорость также проектируется на по лоидальное направление, причем продольная и тороидаль ная скорости почти совпадают (вклад в тороидальную ско рость дает также малый компонент от uj^). Поэтому с хо рошей точностью ujq = V0 + Quj|| + upj. (13.34) Из (13.31) следует 211 222

312 3 const1223

(13.35)

После подстановки (13.34)

1 562 5 341 2 2 7 3 7 4 8 97 32 8 21 4 5 345 66 4 1 0 0 9

4  1 11 21 4 5 345 66 const2667

(13.36)

Приравнивая члены первого порядка по e, имеем 1 78 7 630 1 2 91 11 22334 4 526 8 5 02 7 9 567 3 7 11 21 5 6 567 34 4 0 

 3 1 3 62 

4 9145 7 11 21 5 6 567 348 (13.37) 11 Здесь величина 111 представляет собой среднюю, не за висящую от угла q, совместную параллельную скорость электронов и ионов, причем с рассматриваемой точностью 211 1 21 2 Мы пренебрегаем также отличием в средних ско ростях электронов и ионов, связанным с протеканием сред него тока по плазме. Первое слагаемое 4312 представляет собой так называе 11 мый поток Пфирша — Шлютера. Параллельный поток,

243

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

пропорциональный градиенту давления, замыкает диа магнитные потоки, дивергенция которых в неоднородном магнитном поле отлична от нуля, или, на языке ведущих центров, замыкает вертикальный дрейф ведущих центров. Аналогичный член связан с полоидальным вращением плазмы в скрещенных электрическом и неоднородном магнитном полях, дивергенция которых также отлична от нуля. Второе слагаемое в (13.37) связано со средней ско ростью тороидального вращения плазмы. Изза того, что площадь внешнего обвода тора больше, чем площадь внут реннего обвода, параллельная скорость на внешнем обводе 1 оказывается меньше, чтобы обеспечить условие 1 2 21 3 01 Вычитая параллельную скорость электронов из ион ной скорости, получаем выражение для тока Пфирша — Шлютера: 5 43 61112 1 223 0 234 45 (13.38) 83 47 соответствующее оценке (13.14). Здесь p = p0e + p0i — пол ное давление плазмы. Изза относительной скорости электронов и ионов вдоль магнитного поля возникает продольная сила тре 1 ния 6451 11 1 025174 2 4 81123 3 44 Кроме нее существует еще и тер мосила, вызванная возмущением электронной температу ры на магнитной поверхности. Возмущение T1e находит ся, как и возмущение ионной температуры, из условия 1 1 2 11 3 01 (13.39) где поток тепла электронов содержит дополнительный член, пропорциональный пфиршшлютеровскому току (см. главу 2 (2.44)): 1 41 2 34 11151151 3 4 1 1 5 151 3 1 7 5 6751 6 8 3 8551 3 027151 91123 3 14 2 18 9 8

(13.40)

Возмущение электронной температуры имеет вид 411 25344 5 6

230401 15 2 64 1 670 3 567 4 85 01 7 1342 8 30 65 9 180 111 2 65

(13.41)

244

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Оно в (mi/me)1/2 раз меньше возмущения ионной тем пературы. Продольная термосила равна 432111 1 2027134123 3 5454

В результате суммарная сила трения: 1

511 1 5341 11 2 534211 1 16

62702203 3 4 82 1 890 5 3255 03 2 4214 345 76 3 0 311 8 8 70 8 9

(13.42)

Уравнения продольного баланса сил для электронов и ионов имеют вид (инерцией и вязкостью пренебрегаем) 34301

1 121 1 1311 1 121 3 420 5 120 4 5 411 6 02 5 17 5 17 5 17

(13.43)

34301

1 121 1 1311 1 121 3 420 3 420 4 3 511 5 02 6 16 6 16 6 16

(13.44)

В этих уравнениях сила трения и градиент электрон ного давления, обусловленный возмущением электронной температуры, в (mi/me)1/2 раз меньше остальных членов, поэтому, пренебрегая ими, получаем 211 31 411 2 23 1 402 30 402 4 401

(13.45)

Возмущение концентрации положительно на верхней части магнитной поверхности, а полоидальный градиент полного давления, вызванного градиентом концентрации, уравновешивает градиент дав ления, связанного с возмущени ем ионной температуры. В ре зультате полное давление p = p0 не возмущено и является по верхностной величиной в соот ветствии с результатами, полу ченными в предыдущей главе. Возмущение потенциала в рас Рис. 13.4 Полоидальное электрическое поле и вызванные им дрейфы сматриваемом приближении соответствует распределению частиц

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

245

Больцмана, при этом возмущение потенциала, так же как и возмущение концентрации, положительно в верхней части магнитной поверхности (рис. 13.4). Полоидальное электрическое поле на внешнем обводе отрицательно, а на внутреннем обводе — положительно, а вызываемый этим полем дрейф плазмы на внешнем обводе направлен внутрь магнитной поверхности. 13.1.4. ПОТОКИ ЧАСТИЦ

Диффузия плазмы в токамаке носит характер своеоб$ разной конвекции — радиальный поток частиц представ$ ляет собой усредненный по магнитной поверхности кон$ вективный поток. Из рис. 13.4 может сложиться впечат$ ление, что усредненный поток направлен внутрь, так как внешний обвод тора больше внутреннего. Это, однако, не$ верно, так как полный поток поперек магнитной поверх$ ности содержит вертикальный дрейф частиц (полоидаль$ но$неоднородную часть радиального диамагнитного пото$ ка). В первом приближении полный усредненный поток частиц обращается в ноль из$за почти больцмановского распределения (13.45). Чтобы получить отличное от нуля значение потока частиц, следует сохранить в уравнении продольного баланса сил все члены. Действительно, со$ гласно (13.30) радиальный поток электронов: 1 1 2 5612 3 451 4711 3 6 85 6 85 1 93 2 47 14 593 2 47

(13.46)

Используя продольный баланс сил для электронов (13.43), получаем 3411 11 2 2 (13.47) 152 Это же соотношение легко получить, проектируя урав$ нение электронного баланса сил на тороидальное направ$ ление. В этом случае имеем баланс между силой Лоренца eBpGe/c и тороидальной силой RT » R||. Подставляя (13.42) в (13.47) и выполняя усреднение по магнитной поверхно$ сти, получаем

246

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

21

3 1 21

21

3411

 162 21 4 5 345 6656 3 0

7 32 8 7 92 8 520 5 9 (13.48) 3 0 2 1 2 1 173 1

1712 01 8 70 5 5  1 60

Поток частиц, так же как и поток тепла, в q2 раз боль ше потока частиц в прямом цилиндре (7.10): 40 5 6

20 3241 1 1 2 1 560 3 5701 3 7 1 12 902 8 20 58 2 58 9

Эффективный коэффициент диффузии

3122 1 2 1 1 1234 34 50 1 46 5 оказывается в (mi/me)1/2 раз меньше, чем коэффициент ионной температуропроводности 11 2 21 1233 1 230 451 1 46 34

причем поток частиц не является чисто диффузионным. Поток ионов в рассматриваемом приближении совпа дает с потоком электронов. Действительно, из (13.30) и (13.44) получаем Gi = cR||/(eBp) и Ge = Gi, так как оба потока выражаются через одну и ту же продольную силу трения в соответствии с (13.47). Для вычисления же амбиполярно го электрического поля, как и в случае прямого цилинд ра, надо учесть вязкие члены в уравнении баланса сил. 13.2. РАДИАЛЬНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, ПОЛОИДАЛЬНОЕ И ТОРОИДАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ Чтобы проанализировать радиальное элек трическое поле и вращение плазмы в токамаке, надо учесть вязкость и инерцию в уравнениях баланса сил, причем для продольных скоростей, малых по сравнению со скоростью звука, главными являются вязкие силы. Учтем ионную вязкость в суммарном уравнении продольного баланса сил (индекс i для краткости опускаем): 1 1211 1 1 22 3 411 311 5 04 (13.49)

247

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

В отличие от приближения предыдущего раздела, пол ное давление уже не является поверхностной величиной. В тензоре вязкости достаточно учесть только продольную 1 вязкость 111 2 Эта часть тензора вязкости, связанная с ко эффициентом h0, приведена в главе 2 для однородного магнитного поля, параллельного оси z. В произвольном магнитном поле из соображений тензорной инвариант ности тензор продольной вязкости может быть записан в виде 12 11 1 6 7 34 (13.50) 1 1 3 21 Здесь разность параллельного и перпендикулярного давлений связана с тензором скоростей сдвигов и произ водными от ионных тепловых потоков: 41121 5 2 211 6 23 32

1

1

2 311 2 31 3 3 2 311 2 31 31 4 2 311 2 31 32 4

(13.51)

В соответствии с (2.47)–(2.48) первое слагаемое, кото 21 рое определяет компонент 1111 2 имеет вид 1 4 3 41 2 511 2 51 33 3 2 40 6 24 2 4 12 4

(13.52)

где тензор скоростей сдвигов (2.47) в декартовых коорди натах: 131 132 2 1 (13.53) 3 4 5 12 6 7 31 412 2 152 151 3 1

Вторая часть 2 211 2 21 31 аналогичным образом выража ется через потоки тепла. Умножим уравнение продольного баланса сил (13.49) на величину B и усредним по магнитной поверхности с весом

2 3 211 211 222 1 1 1 1 1 122 1 12 3 411 5 02

(13.54)

Среднее по объему между двумя соседними поверхно стями здесь, в отличие от (13.24), определено согласно

1 1 14 1 23233 1 14 232332

(13.55)

248

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Первое слагаемое в (13.54) обращается в ноль, так как 1 1 1 112 2 1 3 1 212 4 21 3 1 2 1 1 1 (13.56) 2 1 3 1 212 2 27 2134 3 27 53536 2 04 1 Здесь использовано условие 1 2 1 3 01 а интеграл по объ ему сводится к интегрированию по соседним магнитным поверхностям, поток магнитного поля через которые от сутствует. Таким образом, усредненный баланс сил вдоль магнитного поля имеет вид 1 1 11 2 311 4 02 (13.57) Преобразуем среднюю вязкость, используя простые декартовы координаты 21 : 1 1 1 231 21112 3 13 33 4 211 5 6 21112 1 4 142 142 В первом слагаемом ¶(Bip||ik)/¶xk согласно (13.50) про 1 порционально 1 2 1 и поэтому первое слагаемое обраща ется в ноль, а второе преобразуем с учетом соотношения 31112

231 3 3 1 23 3 23 4 2 411 5 41 32 1 2 5 612 3 1 4 2 411 5 41 3 2 4 252 3 3 3 252 3 252

Таким образом, уравнение (13.57) принимает вид 1 1 1 1 (13.58) 12 3 411 5 2 21 6 211 3 21 5 04 1 Вычислим часть тензора вязкости, связанную с неод 1 нородными скоростями. С учетом 1 2 21 3 01 1 5 3 51 2 611 3 61 33 4 3 50 712 2 4 2 5 5 63411 4 3350 27 3 342 8 456 2 9 7811 8 456 237 962

(13.59)

Здесь последние два члена связаны с изменением кри волинейных координат в пространстве и пропорциональ ны 2 111 1 232 Подставляя выражения для полоидальной и продольной скоростей (13.34) и (13.37), с учетом соотно 1 шения 12 2 2312 2 21 3 456 4 2 37 получаем

249

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

1 1 51 2 311 49

1 1

4

5 68 6 6702 79 6 77 382

0 5 9 03   0 02  11 2 0 73 3 7 5 95 5 202 4 4 4  

(13.60)

Учет вязкости, связанной с потоком тепла ионов, при водит к выражению 1 1 51 2 311 4

49

5 67 6 73 6301 78 382

0 5 9 02   93 6 0 01  11 2 2 0 7 7 2 2 20 54  54 854 

(13.61)

Здесь численный коэффициент kT зависит от степени столкновительности плазмы, в рассматриваемом гидроди намическом режиме kT = 3,1 [13]. Условие (13.57) приводит к выражению для неоклас сического радиального электрического поля: 62 2

301 15 1 1301 3 73 3 840911 2

5 12

12

(13.62)

Таким образом, радиальное электрическое поле, обра щающее в ноль усредненную продольную ионную вяз кость, состоит из двух частей. Первые два члена, пропор циональные градиентам концентрации и ионной темпера туры, для спадающих по радиусу плотности и температуры соответствуют отрицательному (направленному от пери ферии к центру плазмы) электрическому полю. Послед нее же слагаемое связано с тороидальным вращением плаз менного шнура. Для тороидального вращения в направ лении тока по плазме (в выбранной системе координат положительного) соответствующий вклад в радиальное электрическое поле положителен. Это последнее слагае мое может быть интерпретировано как появление допол нительного электрического поля 31042 при переходе в дви жущуюся с тороидальной скоростью 21 1 211 систему от счета в соответствии с преобразованием Лоренца. Отметим также, что средняя полоидальная скорость ионов в соот ветствии с (13.32) зависит только от градиента ионной тем пературы:

250

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

3 2201 3 (13.63) 670 28 В отличие от нее величина 21 1 зависит от скорости то роидального вращения, в соответствии с (13.33). Скорость тороидального вращения плазмы находится из уравнения баланса сил в тороидальном направлении: 411 3 11 4 52 2

1 56 72 83 2 23 4 511 31 6 9 4 1 4 5

(13.64)

Здесь член в правой части символически отражает ра диальный перенос тороидального импульса. В реальной ситуации такой поток является турбулентным, так как соответствующий неоклассический поток мал. В принци пе аналогичный член входит и в уравнение продольного баланса сил (13.54), однако он оказывается малым по срав нению с продольной вязкостью. В (13.64) же этот член со хранен, так как усредненная по магнитной поверхности тороидальная вязкость, как показано ниже, обращается в ноль. Заметим, что, в отличие от рассмотренного в пре дыдущей главе идеального случая, при учете вязкости возникает радиальный ток, так что линии тока не лежат больше на магнитной поверхности. В то же время долж но быть выполнено условие амбиполярности, т. е. усло вие отсутствия среднего радиального тока через магнит ную поверхность: 21

1 01

(13.65)

Условие амбиполярности согласно (13.64) приводит к уравнению 45 1 672 1 22 3 411 31 48 (13.66) 4 5 5 93 93 Покажем, что член в левой части обращается в ноль. В криволинейных координатах

6 71121 4 111 1 1 4 5 1 71123

 28 9 711 33

4 1 42  122 122 111 42 

(13.67)

251

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

Разделим тороидальную вязкость на полоидальное магнитное поле и усредним по магнитной поверхности: 1 24 5 611 31 7 21

7

99 1 8 1

8 3 6

11 21 2 



322 333 4243  5 21 3 2  322  

333 9 61121 1 8

3  2 3 42434 (13.68) 5 21 322 333 2 22 33  

Произведение 31 422 411 представляет собой величи ну, пропорциональную полоидальному магнитному пото ку между соседними магнитными поверхностями, кото рый не зависит от полоидальной координаты и может быть вынесен изпод интеграла. Учитывая соотношение 2 3 211 211 222 1

после интегрирования в первом слагаемом по частям по лучаем, что первый и второй члены компенсируют друг друга, так что 1 22 3 411 31 21

5 04

(13.69)

Так как при усреднении в (13.66) член с тороидальной вязкостью тождественно обращается в ноль, то условие амбиполярности сводится к виду 451 48 93

672

1 01

(13.70)

Это уравнение и определяет профиль тороидального вращения. Если на плазму действует сила в тороидальном направлении, например при нейтральной инжекции, то соответствующий член должен быть добавлен в правую часть.

252

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

13.3. НЕОКЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕНОС В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ РЕЖИМАХ Траектории отдельных частиц В разреженной плазме, в которой lj > qR, основной вклад в перенос вносят частицы с малыми продольными скоростя ми. Рассмотрим качественно характер их движения в тока маке. В магнитном поле сохраняется полная энергия части цы E = mjV2/2 – ejf и магнитный момент 2 1 3 21 3121 1 242 Продольная скорость частицы выражается через эти ве личины: 2 33 4 41 5 4 6 1 579 2 21 11 1 2 (13.71) 61 8 При анализе можно пренебречь слабой зависимостью потенциала от полоидального угла. Уравнения, которые описывают бесстолкновительное движение частицы, име ют вид 31211 1 2 1 451 67 234 55 34 68 621 9 31 11 1 2 1 451 65 672 5 1 731 11 1 30 8 34 (13.72) 68 621 9 Первые слагаемые в правых частях (13.72) представ ляют собой проекции вертикального дрейфа ведущих цен тров частиц (11.9) в неоднородном магнитном поле на ра диальное и полоидальные направления соответственно. Слагаемое QVj|| является полоидальной проекцией парал лельной скорости, а величина V0 соответствует полоидаль ному дрейфу в скрещенных электрическом и магнитном полях. Разделив одно уравнение на другое, можно полу чить уравнение траектории. Траектории 1 соответствуют положительному (вдоль тока в токамаке) направлению параллельной скорости Vj|| > 0, а траектории 2 — отрицательному (против тока) направлению параллельной скорости Vj|| < 0. Характер движения частиц существенно зависит от величины продольной скорости Vj||. Если продольная и поперечная скорости одного порядка (например, порядка тепловой скорости), то изменение продольной скорости 2

7

253

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ а

б

Рис. 13.5 Проекции траекторий пролетных частиц на плоскость малого сечения: а — ионы; б — электроны.

вдоль траектории, возникающее согласно (13.71) изза неоднородности магнитного поля, мало. В этом случае час тица совершает полный оборот по полоидальному углу. Такая частица называется пролетной. Траектории пролет ных частиц приведены на рис. 13.5. Ион, имеющий на внешнем обводе в точке О положительную скорость, дви гается в направлении q против часовой стрелки и одновре менно смещается по радиусу за счет вертикального дрейфа. Так как дрейф Vgi направлен для ионов вниз, то в верхней части траектории ион отклоняется внутрь магнитной по верхности, а в нижней части траектории — наружу от маг нитной поверхности. В результате его траектория оказыва ется замкнутой и лежащей внутри магнитной поверхности (рис. 13.5а). Ион, имеющий на внешнем обводе отрицатель ную скорость, отклоняется наружу от магнитной поверхно сти. Для электронов дрейф Vge направлен вверх, поэтому траектория электрона, имеющего в точке О положительную скорость, находится снаружи от магнитной поверхности, а траектория электрона, имеющая отрицательную скорость, находится внутри магнитной поверхности (рис. 13.5б). Среднее радиальное смещение относительно магнит ной поверхности можно оценить согласно Drj = Vgjnbj.

(13.73)

254

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Здесь баунсчастота

131 11 2 30 2 (13.74) 4 представляет собой частоту (обратное время) оборота час тицы в полоидальном направлении. Для частиц с тепло выми скоростями 321 4

11 2 161 2 721 341

351 6 2 8431 3 9  5 51

(13.75)

где ugj — вертикальный дрейф для тепловой частицы (13.8). Мы пренебрегли вкладом V0 ~ cT/eB по сравнению с по лоидальной проекцией тепловой скорости QVTj, так как выполнено условие (13.4). Обсудим теперь характер движения частиц, которые на внешнем обводе имеют малую продольную скорость. Траектории 1 соответствуют положительному (вдоль тока в токамаке) направлению параллельной скорости Vj|| > 0, а траектории 2 — отрицательному (против тока) на правлению параллельной скорости Vj|| < 0. Положим вна чале V0 = 0. Согласно (13.71) при движении в полоидаль ном направлении продольная скорость частицы уменьша ется, так как магнитное поле возрастает в направлении внутреннего обвода. Для пролетной частицы изменение невелико — порядка eV||j, в то время как для малых про дольных скоростей продольная скорость обращается в ноль, то есть возникает точка поворота. Траектория та кой частицы имеет форму банана (рис. 13.6), а сами час тицы называются «запертыми» или «банановыми». Ионы, имеющие на внешнем обводе положительную скорость, смещаются внутрь магнитной поверхности (рис. 13.6а). После точки поворота ионы летят в направлении внешне го обвода и продолжают смещаться вниз. В нижней части траектории ионы отклоняются наружу от магнитной по верхности и во второй точке поворота происходит еще одно изменение направления скорости. В результате проекция траектории на плоскость малого сечения имеет вид банана. Ионы, имеющие на внешнем обводе отрицательную ско рость, смещаются наружу от магнитной поверхности. Тра ектории банановых электронов приведены на рис. 13.6б.

255

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

а

б

Рис. 13.6 Проекции траекторий запертых частиц на плоскость малого сечения: а — ионы; б — электроны. а

б

Рис. 13.7 Траектория запертой частицы: а — в отсутствие ра диального электри ческого поля траек тория замкнута; б — разомкнутая траек тория с учетом ради ального электриче ского поля.

Электроны, имеющие положительную скорость в точке О, находятся снаружи от магнитной поверхности, а электро ны с отрицательными скоростями — внутри магнитной поверхности. Траектория частиц в пространстве при V0 = 0 соответствует рис. 13.7а. Найдем наибольшее значение величины параллельной скорости, при которой частица еще является запертой. При этом точка поворота находится на внутреннем обводе в эк ваториальной плоскости. Запишем соотношение (13.71) для такой частицы на внешнем и внутреннем обводах: Vjmax 1 ||

2 2 2 E 3 ej 4 3 5 j Bmin 68 , 0 1 2 E 3 ej 4 3 5 j Bmax 68 , mj 7 mj 7 (13.76)

256

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где Bmin, Bmax — значения магнитного поля на внешнем и внутреннем обводах соответственно. Исключая энергию частицы, получаем 21234 2 11

2 34 3234 5 4 3256 6 7 82 7 2 11 1

41 9 1

(13.77)

Для частиц с тепловой энергией частица является за пертой, если величина параллельной скорости лежит в диапазоне 0 1 32 11 1 22312 2 (13.78) Для запертых частиц со скоростями порядка тепловой скорости смещение относительно магнитной поверхности и ширина банана даются оценкой: 11 2 271 3 831 441

251 6121 7 2 3 9  56 51 5

(13.79)

Характер движения пролетной частицы 1 1не меняется существенно при учете полоидального 1 1 3 22 дрейфа со скоростью V0, так как эта скорость мала по сравнению с QVTj. Для запертых же частиц ситуация меняется. Изза радиального электрического поля кинетическая энергия частицы меняется при смещении по радиусу, поэтому (13.76) принимает вид 1 71234 11 01

2 28 3 91 4234 3 5 1 256 68 7 1 7

2 28 3 91 456 3 5 1 234 68 7 1 7

(13.80)

где fout, fin — значения потенциала на внешнем и внут реннем обводах. Учитывая, что 2345 3 267 1 90 42 1 90

8112 5

2

(13.81)

раскладывая подкоренное выражение в ряд по V0/QVTj, по лучим условие запертости для частицы на внешнем обводе: 0 1 32 11 2 330 1 24312 2

(13.82)

257

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

Таким образом, частица, ско рость которой на внешнем обво де удовлетворяет данному усло вию, имеет точку поворота, и про екция ее траектории на плоскость (r, q) попрежнему имеет вид банана. В то же время в среднем параллельная (или тороидаль ная) скорость остается конеч ной, порядка –V0/Q. Поэтому в тороидальном направлении тра Рис. 13.8 ектория частицы разомкнута и Разомкнутая траектория иона в тороидальном происходит тороидальная прецес электрическом поле сия частицы со скоростью –V0/Q (рис. 13.7б). Дрейф Уэйра В банановом режиме имеется специфическое явле ние — совместный дрейф электронов и ионов к центру плазменного шнура, обусловленный тороидальным элек трическим полем ET. Учет ET приводит к тому, что траек тория частиц в плоскости (r, q) оказывается незамкну той (рис. 13.8). Частицы (ионы), имеющие на внешнем обводе положительную скорость, ускоряются электриче ским полем в верхней части траектории и получают до полнительную энергию 121 31211 2 23 Поэтому изменяется положение точки поворота, в результате чего частица пролетает дополнительное расстояние в полоидальном направлении, одновременно смещаясь за счет вертикаль ного дрейфа внутрь магнитной поверхности. На внутрен ней части траектории поле ET тормозит движение части цы, которая теперь не долетает до точки поворота при ET = 0. В результате частица смещается внутрь исходной магнитной поверхности. Скорость усредненного дрейфа можно оценить следующим образом: изменение среднего радиального смещения частицы d(Dr) связано с изменени ем средней скорости:

22151 3 3

421 131 11 4 431 11 31 11

(13.83)

258

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где величина DVj|| обусловлена работой электрического поля eET: 34 5 162 11 2 1 2 (13.84) 72 362 11 Поток, связанный с дрейфом Уэйра, с учетом малого 11 1 1 2 2 количества банановых частиц имеет вид

1 1 2332441 3521 4

(13.85)

Комбинируя с (13.84) и (13.85), подставляя в качестве параллельной скорости величину 1312 1 получаем

1 1 2 34

3 5 2 62 1

(13.86)

Знак «–» соответствует направлению дрейфа Уэйра внутрь плазменного шнура. Анализ, основанный на реше% нии кинетического уравнения, показывает, что дрейф Уэй% ра одинаков для электронов и ионов. Оценки коэффициентов переноса в режиме плато В этом режиме параметр столкновительности удовле% творяет неравенству 11 23 1 2 3 34 3 12 521 Другими словами, длина свободного пробега частиц, в отличие от рассмотренной в разделе 13.1, больше длины обхода qR. Оказывается, что при этом основной вклад в перенос вносят частицы с малыми продольными скоростя% ми. При выполнении левого неравенства скорости их, од% нако, не настолько малы, чтобы неоднородность магнит% ного поля могла существенно изменить топологию траек% торий, то есть вклад в перенос вносят пролетные частицы с малыми полоидальными скоростями. Оценим коэффициент температуропроводности как средний квадрат отклонения от магнитной поверхности между столкновениями, умноженный на частоту столк% новений: 14 2 122 23 1 35 4 2 (13.87) 4 3 3 Множитель dn/n учитывает относительную долю частиц с малыми полоидальными скоростями. Малые

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

259

полоидальные скорости соответствуют и малым продоль ным скоростям, так как мы считаем выполненным нера венство |V0| < QVTi, которое эквивалентно (13.4) при ef0 ~ Ti. Поэтому dn/n ~ Vj||/VTj. (13.88) В качестве 1 122 в оценку (13.87) следует подставлять 3 частоту столкновений, которая соответствует изменению параллельной скорости на величину порядка ее самой. Оценить 1 122 можно, исходя из того факта, что кулонов 3 ские столкновения представляют собой последовательные рассеяния на малые углы, причем движение частицы в пространстве скоростей имеет характер случайных блуж даний. Приращение поперечной скорости согласно (1.29) имеет вид 1221 1 22 3 3 1 21234

(13.89)

Для частицы, имеющей полную скорость порядка теп ловой скорости Vj ~ VTj и малую параллельную скорость, последняя существенно меняется при DVj^ ~ Vj||. Соответ ствующее время t ~ (Vj||/VTj)2/nj, а эффективная частота 1 233 1 2

11 3 451 11 5 541 62

(13.90)

Среднее отклонение от магнитной поверхности для пролетной частицы с малой параллельной скоростью 141 2

231 4 3 567 281 11

(13.91)

Подставляя (13.88), (13.90) и (13.91) в (13.87), полу чаем 2 2 4 512 5 3 2 1 412 2 322 (13.92) 62 2 7 3 8 2 3

678  9 442 11 5 Это выражение расходится при Vj|| ® 0. Однако с умень шением Vj|| баунсчастота nbj = r/QVj|| падает, а эффектив ная частота столкновений (13.90) растет. Поэтому существует минимальное значение продоль ной скорости 21123 5 соответствующее 134 2 1 122 4 1 При мень 44 шей скорости траектории частиц разрушаются за счет

260

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

столкновений, прежде чем совершат один оборот. Из усло вия 134 2 1 122 имеем 4 31234 3 1 3212 4 1 4 1 5 2 55

113

6

(13.93)

Полагая, что главный вклад в температуропроводность дают скорости порядка 21123 5 подставляя (13.93) в (13.92), 44 найдем окончательно: 521234 612 2 (13.94) 32 1 2 7 Получившийся коэффициент температуропроводности не зависит от частоты столкновений, поэтому соответст вующий режим называется режимом плато. Оценки коэффициентов переноса в банановом режиме При малых частотах столкновений, когда выполнено неравенство 11 34 2 33 1 2 2 (13.95) 521 скорость (13.93) становится меньше 1312 1 В этом случае основной вклад в перенос вносят банановые частицы с продольными характерными скоростями 32 11 2 1312 3 Для оценки коэффициента температуропроводности в банано вом режиме воспользуемся формулой (13.87), в которой положим 13 1 3 2 2412 3 отклонение от магнитной поверх ности согласно (13.79) 131 2 4321 1 4 2 а эффективную час тоту столкновений оценим как 1 122 3 2 1 3 1 32 Получаем 21 1

1 2 3 41 2 52 21

(13.96)

Следует, однако, иметь в виду, что в действительности дело обстоит более сложно — основной вклад в перенос дают запертые и околопролетные частицы из узкой пере ходной области в пространстве скоростей, разделяющей траектории с различной топологией. Во всех рассмотренных режимах коэффициент темпе ратуропроводности для ионов оказывается в 1 31 2 32 раз большим, чем для электронов. Зависимость же от часто ты столкновений иллюстрируется рис. 13.9, где разные участки кривой соответствуют формулам (13.28), (13.94) и (13.96). Такая температуропроводность называется нео

261

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

Рис. 13.9 Неоклассическая ионная температуропроводность: 1 — банановый режим; 2 — режим плато; 3 — режим Пфирша — Шлютера.

классической. В банановом режиме коэффициент неоклас сической температуропроводности в e–3/2 раз больше, чем в режиме Пфирша — Шлютера, а при промежуточных час тотах столкновений (режим плато) перенос не зависит от частоты столкновений. 13.4. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ РЕЖИМАХ Режим плато Исходным для анализа является кинетическое урав нение в дрейфовом приближении, рассмотренное в разде ле 1.7: 1 22 1 22 221 11 221 1 1 3 31 1 3 41 22 3 41 4 561 3 26 241 22 241 1 23

(13.97)

Для токамака скорость ведущего центра частицы: 1 1 1 3 4 1 512 2 2 334 5 64 6 51 22 5 6

(13.98)

262

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где вертикальный дрейф в неоднородном магнитном поле, в соответствии с (11.9), 3121 451 2 2 31211 3 2 (13.99) 312 3 4 61 78 Изменение продольной и поперечной скоростей в со ответствии с общими формулами раздела 1.7: 1

21 22 7 8 1

31 2 56 2121 23 345 4 23 345 420 21 22 6 (13.100) 8 9 41 554 2 5 5

21 1 5

23 345 4 21 22 21 1 23 345 420 21 1 6 6 3 3 2

(13.101)

Первый член в (13.101) и второй член в (13.100) связа ны с сохранением магнитного момента 2 1 3 21 3121 1 24 в неоднородном магнитном поле. Например, первый член в (13.101) нетрудно получить следующим образом (при V0 = 0): 241 1 2311 3 4 252 1 5 411 1 5 4 5 2311 26 7 46 81 1 11 5

8 3 4 7 2502 1 39 234 6 41 11 41 1 1 51 9 672 68 41 11 5 9  2 2 7 46  81 7



Первый член в (13.100) вызван изменением продоль ной скорости за счет работы полоидального электрическо го поля, имеющего проекцию на параллельное направле ние. Последние члены в (13.100) и (13.101) обусловлены изменением скорости электрического дрейфа в неоднород ном магнитном поле. Функцию распределения будем искать в виде fj(r, q) = f0j(r) + f1j(r, q)... .

(13.102)

Здесь невозмущенная функция распределения пред ставляет собой максвелловское распределение, сдвинутое на величину средней скорости: 60 1 37 4 5

3 21 331 11 2 411 42 21 3121 4 50 567 2 8 62 280 1 280 1 7

32880 1 2 21 432 2 9

(13.103)

263

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

Линеаризованное кинетическое уравнение имеет вид

2421 11 5 20 3 6

2 2311 4 231 230 1 230 1 4 21 1 6 6 2 5 21211 37 456 8 6 528 6 528 25 71 65 2 25

2121 71 4 231 230 1 1 81 6 7 456 82 5 21211 320 30 1 6 2 81 528 221 11 5 91 6

2121 81 7 456 84 11 3 9 6 1 311 7 2 01 91

(13.104)

Здесь столкновительный член заменен упрощенным выражением, так как в дальнейшем частоту столкнове ний мы устремим к нулю. Комплексное решение кинети ческого уравнения дается выражением 3111 5

2 230 1 44 5 231 230 1 5 21 1 2 3 44 6 21211 47 5673484 6 921 11 6 20 4 4 1 6 728 27 81 67 2 27

2121 2121 81 9 231 230 1 4 91 4 7 567348430 1 33 6 21211 420 6 9 11 489 2 2 91 7 28 221 11 7 1 (13.105) Величину (QVj|| + V0 – inj)–1 разобьем на вещественную и мнимую части: 1 1 221 11 3 20 4 35 1 6

1

35 1 1 3 2 2 2 3221 11 3 20 4 3 5 1 3221 11 3 20 42 3 521

(13.106)

Устремляя nj ® 0 и учитывая, что при интегрировании по скоростям главный вклад в интеграл во втором слагае мом дают резонансные скорости Vj|| = –V0/Q, перепишем (13.106) в виде 3 4 1 1 5 2

 6 378 1 941 11 6 40 22 (13.107) 941 11 6 40 941 11 6 40 Это выражение означает, что при интегрировании по параллельным скоростям необходимо вычислить два ин теграла. Первый интеграл вычисляется в смысле главно го значения, а второй интеграл содержит дельтафункцию и дает тот же результат, что и вычисление при малых зна чениях частоты столкновений в (13.106).

264

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Окончательно вещественная часть возмущенной функ ции распределения 211 1 1232111 4 определяется как 3 5 6 1 74 2 211 8 3  3 9  1 41 11 9 40 2  52  7  0 1   41 11 9 40 

(13.108)

где 62 3 6 1 3 7 351 41 1 6 2 3 4 3 72 4 1 35 41 11 4567 8 7 52 341 11 931 38 61 9 2 38 2

7

4121 4121 51

6 41211 440 6 5 11 49

567 883 1 2 2

(13.109)

Найденная функция распределения позволяет вычис лить все макроскопические величины. Так, например, продольная скорость 21 11 5

24 60

1 1

6 6 311 41 1141 2 541 11541 2

(13.110)

31 0

совпадает с гидродинамическим выражением (13.37). По лоидальное электрическое поле находится из условия ква зинейтральности: 1 1 (13.111) 2 311 451 1 2 312 452 1 откуда

34111 250111 2 1 345 2 3 502 1 6 260 8 2 2 1 7 502 1501 7 65 501

9 7 65 80 2 740 260 6 7 7 8922 7 075 8 501 7 3501 7 

7

41 5

(13.112)

Радиальное электрическое поле находится из условия (13.58). Вычисляя продольное и поперечное давление ио нов согласно

21 31211

1 1 2 32 511 631 2 41 1 2 3 1 1 1 511 631 2 2 2 найдем, что (13.58) выполнено, если 4111 2 23

62 2

401 15 1 1401 3 125 3 730811 3 95 12 9 12

(13.113)

(13.114)

265

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

При этом возмущение потенциала: 41 5 6

34111 250111 2 1 234 2 6 54 501 3 502 1 6 270 8 68 2 2 1 7 502 1501

(13.115)

Возмущения концентрации и ионной температуры да ются (13.45). Радиальный поток частиц может быть вычислен со гласно 21 3 3

1 7 231 424121 3 2 5 41211 4567 6 2 9 1 8  541  26 5 6 4 789 789 96  0 1 11  

8

(13.116) В первом приближении по параметру (mi/me)1/2 он об ращается в ноль, так как члены, содержащие полоидаль ное электрическое поле, скомпенсированы бесстолкнови тельной частью функции распределения, так что 21 3

3

342 425121 3 2 5 51211 4567 6 1 7 651 89250 5 5111 4 78 1 801 9 

 09

(13.117) Это, как и в гидродинамическом режиме, есть следст вие больцмановского распределения частиц с большими продольными скоростями в полоидальном электрическом поле. В следующем приближении поток ионов совпадает с потоком электронов и по порядку величины: 33

4 32 1 56242

1512 2 26 2 7 28 8

(13.118)

Чтобы получить точное выражение при вычислении потока, необходимо учесть отличие функции распределе ния f0e от максвелловской, возникающее изза протека ния тока по плазме. Этот эффект обсуждается ниже для бананового режима. При вычислении ионного теплового потока через маг нитную поверхность по формуле

266

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

211 2

2

6 341 325121 3 2 4 51211 4567 5 1 3 891 7

651 25121 4 51211 4  

27 4 7 4 89

89 85 01 11  

(13.119) может показаться, что полоидальное электрическое поле дает вклад в соответствующий поток. Однако следует иметь в виду, что полоидальное поле совершает работу, так как имеются пфиршшлютеровские потоки ионов, которые меняют тепловой поток на величину 4

321

23 121 45111 6 15

2

(13.120)

В итоге, так же как и для потока частиц, полоидаль ное электрическое поле и частицы с большими полоидаль ными скоростями не дают вклада в результирующий по ток тепла: 31 2

2 311 3 312 2

452 426121 3 2 3 61211 4567 5 1 5 6 761 78260 3 96111 4 1 26121 3 61211 4 88 1 901

 2

9

(13.121) С учетом (13.114) 61

3 43

312 54 2 12 22 312401 70 01 2 2 5892 02 58

(13.122)

Банановый режим Рассмотрим качественно, как выглядит функция рас пределения частиц. При nj ® 0 функция распределения есть функция интегралов движения и сохраняется вдоль траектории. При этом, изза различия в топологиях тра екторий, функция распределения частиц в неоднород ной плазме имеет разрыв производной. Учет столкнове ний приводит к сглаживанию переходной области. Ионы, летящие на внешнем обводе в положительном направле нии по банановой траектории, приходят в эту точку из

267

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

внутренних областей. Поэтому количество таких ионов превосходит количество ионов, летящих в отрицательном направлении, на величину 23 131 1 2 01 141 2 (13.123) 24 где ширина банана Dri дается оценкой (13.79). Следова тельно, в области запертых частиц 3211 1 230 2 3 4 5312 про изводная функции распределения ¶fi/¶Vi|| > 0 (рис. 13.10). Производная функции распределения в этой области мо жет быть найдена из оценки 441 451 551 3 3 4 51 53111

3111 12 30 2 3

6321 4 51

(13.124)

Обмен импульсом в результате столкновений наибо лее эффективно происходит между запертыми и пролетны ми частицами. Поэтому ионная функция распределения должна быть похожа на максвелловскую (при dT0i/dr = 0 просто совпадает с ней). Используя это обстоятельство, заменим 431 42111

12 2111 12 20 2 3

31 41 32111 2 511 4 61 2

111 12 20 2 3

1

34 1 1 32 5 3511 45 361 0 (13.125)

Рис. 13.10 Функция распределения ионов в банановом режиме

268

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Рис. 13.11 Функция распределения электронов в банановом режиме

Комбинируя с (13.123) и (13.124), найдем величину V0. Соответствующее радиальное электрическое поле при этом получается порядка (13.62), как и в других режимах. Таким образом, требование того, чтобы функция рас$ пределения была, с одной стороны, близкой к максвел$ ловской (точнее говоря, обращала в ноль обусловленный столкновениями поток ионов в пространстве скоростей), а с другой стороны, сохранялась вдоль траекторий в об$ ласти малых скоростей, определяет электрическое поле. Вертикальный ÑB дрейф электронов направлен вверх, поэтому вблизи –V0/Q больше электронов с отрицательным значением скорости и производная функции распределения здесь отрицательна. В то же время при больших значениях параллельной скорости функция распределения электронов должна переходить в максвелловскую, привязанную к ион$ ной электрон$ионными столкновениями. В результате функция распределения электронов имеет вид, приведен$ ный на рис. 13.11. Изломы функции распределения соот$ ветствуют переходу от запертых частиц к пролетным. Запертые электроны имеют направленную скорость отно$ сительно ионов порядка cT0/QeBr (считаем Te ~ Ti ~ T). С учетом их доли 1 1 от общего числа электронов по плаз$ ме протекает ток 1111 2 20 1340 3 25674 (13.126)

269

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

зависящий от градиентов концентраций, электронной и ионной температур. Кроме того, есть ток j2||, возникающий изза столкновений между запертыми и пролетными элек тронами, которые смещают все тело функции распределе ния относительно ионов. Из баланса сил трения meneij2||/e – meneej1||/en0 = 0

(13.127)

получаем, что j1|| ~ j2||. Оба тока оказываются одного поряд ка и образуют бутстрэп ток jb, который зависит от гради ентов концентрации и температур частиц. По порядку ве личины (13.128) 21 1 30 1450 2 26173 Бутстрэп ток направлен вдоль тока по плазме. Особенности функции распределения электронов при водят и к уменьшению обычного тока проводимости, вы званного вихревым тороидальным электрическим полем. Так как запертые частицы не участвуют в процессе прово димости, то 111123 2 111 21 3 4 5 34 (13.129) где a — численный коэффициент. 13.5. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ЧАСТИЦ И ТЕПЛА Приведем для справки аппроксимационные выражения, справедливые для всех режимов столкнови тельности. Столкновительный параметр определим как

21 1 3

2 1 211 12 34 51112 43 12

2

(13.130)

Поток частиц имеет вид 2 3 21 4 22 1 21 3

240 5301 51 62 6 1 7 23 301 4 811 91 4 812 51 7

12 02 72

7 2344301 5 5 7 23 301 302 9 7 2344301 5 1 8 3 7 23 302

8 4 8 1 7

2 7

301  7

1 4 6121 52 7  6 22 3 8 81340 5

6 (13.131) 0 7 3 91 3

270

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где 2 15 2 43 511 423 1 23 3 0 623 6 623 7 8 11 2 312 9 1 4 7 5 4 23 11

1 7 723 511 7 523 511  для m и n от 1 до 2,

0 313 2 31 3

1 2 31 3 413 412 53 1 2 431 3 513 41121 2 3 613 412 4

Значения коэффициентов приведены в таблице.

1

123

1 1 4 12

5123

6123

7123

112

13452

63412

13782

439 2

162

1362

4372

43 2

437 2

662

63772

43572

43582

43582

182

6382

13462

1342

1342

682

531 2

4372

43 12

43 12

882

13982

43 92

43862

43 2

Электронный поток тепла: 23 12 2 4 52 2 1 3 6 12201 4 5 812 91 5 822 6 201 7 8 0 2 021 21 8 9 2 6

1 0  5 3 8 82330201 1 (13.132) 0  2 Продольный ток: 3 1201 4 2 5 23 201 3 5 7 9 41 5 733 1 56 611 4 5 0 7 8 6 723

0 8 13 1 5 9 11 2 (13.133) Ионный поток тепла:

71 5

5 3 201 4 2 4 52 2 5 62 6 7 12 201 7 5 1 9 82 8 4 9292 0 2 012 12 1 2 201 3 9 3 (13.134) 2 3 7

 0

2 1 2 611 5  Здесь 31 2

2 127743 511 3 1 22 6 0266 8 7 3 11 2 31 2 9

1 7 1203511 7 0231511 1 7 0274511 4 

(13.135)

271

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

Неоклассическое радиальное электрическое поле: 301 15 1 1301 3 73 3 840911 2

5 12

12

(13.136)

20217 3 120541111 2 3 3214121 53 3 41 3 02741111 2 541 3 4121 53 5

(13.137)

62 2

где

32 6

Уравнение баланса частиц имеет вид 310 1 3 4 2 5 35 2 32

1

2 6 3 7 41

(13.138)

где I и R — члены, описывающие рождение и уничтоже ние частиц. Уравнения баланса тепла: 3 1 130401 2 1 1 2 5 4 5 401 38 6 71 3 7 5 61 4 18 2 2 5 15 9

3 1 130402 2 1 1 2 5 4 5 402 38 6 72 4 (13.139) 7 5 62 4 5 15 9 2 18 2

Источники в правых частях в отсутствие дополнитель ного нагрева: 51 2 611 72 3 51 3 171 3 4 2 5 2 5 5 171 4 3 (13.140) 4

1

3

Здесь величина QD представляет собой теплообмен меж ду электронами и ионами: 3 41 2 3 1 53 1 1610 4 620 23 (13.141) 32 1 а величина 21 — электрическое поле в движущейся с то роидальной скоростью системе отсчета: 4 15 1 1401 61 2 2 62 3 730811 2 01 4 94 2

5 12

12

(13.142)

Дополнительные члены в правых частях уравнений баланса тепла представляют собой работу радиального электрического поля, остальные работы электрических полей и силы трения учтены при вычислении ááqjññ. Следует иметь в виду, что в реальном токамаке тур булентные потоки частиц и тепла могут значительно

272

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

превосходить неоклассические значения. В особенности это относится к потокам частиц и электронному потоку тепла. В этом случае вид уравнений (13.138) и (13.139) со храняется. Исключение может составлять выражение для работы электрического поля, так как часть работы элек трического поля и силы трения может быть учтена при интегрировании по магнитной поверхности. В случае магнитных поверхностей произвольной фор мы необходимо перейти к поверхностным координатам, описанным в разделе 12.7. Локальное уравнение непре рывности в этих координатах имеет вид 2 320 1 3 1 3 (13.143) 4 5 1 9 6 4 7 51 8 36 3 31 71  где 2 3 31 31 32 1 Умножим это уравнение на 1 и проин тегрируем по полоидальной и тороидальной координатам. Считая в первом приближении концентрацию постоянной вдоль магнитной поверхности, получим в первом члене в левой части 1 116 120 32332

1 5 34 415220 45 16 16 где V — объем внутри данной магнитной поверхности, а производная V¢(a) — объем между соседними магнитны ми поверхностями. Во втором члене получается полный поток через магнитную поверхность. Умножив и разде лив его на V¢(a), перепишем второе слагаемое в виде 2

27 51

1 23334 5 4 1112 261 3

Здесь скобки «áñ» означают усреднение по объему (13.55). В результате усредненное уравнение баланса час тиц принимает вид 1 1 2 1 11 22330 4 3 11 2223 452 4 6 1 222324 7 5 35 16 12

(13.144)

В качестве поверхностной координаты a можно, в ча стности, выбрать эквивалентный радиус магнитной по верхности r, определенный через тороидальный магнитный

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

273

поток согласно 122 210 3 41 1 Тогда (13.144) принимает вид 1 1 2 1 11 23320 4 4 11 2233 563 4 7 1 223323 8 4 35 (13.145) 15 13 Для круглых магнитных поверхностей r = r, V¢(r) ~ r и (13.145) переходит в (13.38). Уравнения баланса тепла в общем случае: 1 3 213 123340501 4 2 4 1 5 1 6 3 2332 61 73 6 873 501 3 5 9 3 123371 5 28 23 2 2

1 3 213 123340502 4 2 4 1 5 1 6 3 2332 62 73 6 873 502 3 5 9 3 123372 6 28 23 2 2

(13.146)

Выражение для локального радиального электриче! ского поля: 3 2 1 5 23 6 3 1 5 23 31 41 5 83 72 4 01 7 4 4911 86 56 (13.147)

9 2 52 2 52 4

Глава 14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

В этой главе рассмотрены вопросы устойчи вости плазмы в предположении, что выполнены условия равновесия в магнитном поле. Наибольшую опасность для магнитного удержания представляют крупномасштабные магнитогидродинамические неустойчивости (МГД), кото рые могут быть описаны в рамках МГДуравнений. Суще ствует и целый ряд других неустойчивостей, связанных с конечной проводимостью плазмы и ее неоднородностью. К таким неустойчивостям относятся, в частности, дрей фовые неустойчивости, проанализированные в главе 8. Первый класс МГДнеустойчивостей во многом анало гичен неустойчивости в жидкости, с которой и начнем рас смотрение. 14.1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ — ТЕЙЛОРА В ЖИДКОСТИ Рассмотрим жидкость в поле силы тяжести (рис. 14.1). Пусть плотность жидкости r0 меняется с вы сотой, r0 = r0(z). В равновесии сила тяжести должна быть уравновешена градиентом давления: 12 1 0 1 20 3 3 01 (14.1) 14 Покажем, что равновесие является неустойчивым, если плотность жидкости нарастает с высотой (тяжелая жидкость на легкой). В этом случае развивается неустой чивость Рэлея — Тейлора. Обратная же ситуация являет ся устойчивой. Физическая причина неустойчивости

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

275

const

Рис. 14.1 Тяжелая жидкость на легкой неустойчива: неустойчивость Рэлея — Тэйлора

связана с тем, что при возникновении периодического в направлении y возмущения плотности тяжелая жидкость «продавливается» вниз, а легкая «всплывает» наверх, в результате чего малое возмущение нарастает. Так, напри мер, выливается вода из перевернутого стакана. Эволюция малых возмущений описывается системой уравнений Эйлера: 1 1 2 1 3 01 45 1 6 115 3 01 42 1 1 41 1 1 52 6 311415 3 713 6 546 (14.2) 42 Возмущенные величины будем искать в виде волны: 11 2 311234514253 6 24526 1 1 61 2 711234514253 6 24526 (14.3) 71 2 8 11234514253 6 24527 Амплитуды возмущений являются здесь неизвестной функцией координаты z. Линеаризованная система (14.2) имеет вид 131 45312 2 1 3 01 11 14 54641 2 311 0 3 01 11 54640 312 3 54561 1 54640 311 3 5

161 5 41 72 11

(14.4)

276

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Выражаем 211 из первого уравнения и подставляем в третье, а затем выражаем p1 из третьего уравнения и под ставляем в последнее уравнение. Выражаем r1 из второго уравнения и также подставляем в последнее уравнение. В результате получаем 22

210 1 2 0 2311 11 2 3 42 110 22 4 5 23 3 21 21 21 1

(14.5)

Частная производная здесь заменена на полную, так как амплитуда скорости зависит только от z. Для фиксированного волнового вектора k уравнение (14.5) соответствует задаче Штурма — Лиувилля на соб ственные функции и собственные значения с соответст вующими граничными условиями. На границах z = 0, L условия соответствуют закрепленной или свободной гра нице:

211 11 1 02 33 1 04 4211 11 1 02 33 1 05 41

(14.6)

Проанализировать устойчивость можно, не решая уравнение, следующим образом. Умножим обе части урав нения (14.5) на комплексносопряженное значение 1211 21 и проинтегрируем вдоль z по всей области. Левую часть про интегрируем по частям, при этом внеинтегральный член обращается в ноль для любого типа граничных условий. Для частоты получаем 210 1 2 3 4 21 21 1 1 232 4 (14.7) 5 1 241 2 6 2 10 77 52 211 9 411 88 21

 Так как все величины за исключением производной dr0/dz положительны, то знак частоты зависит от знака производной dr0/dz. Если плотность монотонно нараста ет вдоль z и dr0/dz>0 при всех z, то квадрат частоты отри цателен: w2 < 0. В этом случае w = ±ig, причем корень w = ig соответствует раскачке неустойчивости. В обратном слу чае частота вещественна и такое равновесие устойчиво.

277

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Для коротких волн kl >> 1, где l — характерный мас штаб изменения плотности l = |dlnr0/dz|–1, из (14.7) сле дует 230 1 2 37 4 21 21 1 452 6 1 (14.8) 2 7 30 411 21

1 2

В этом случае инкремент нарастания неустойчивости Рэлея — Тейлора при dr0/dz > 0 оказывается порядка 1 1 1 2 2 3 Если собственные функции сильно локализова ны, то есть характерный масштаб их изменения сущест венно меньше l, то r0 и dr0/dz можно вынести изпод ин теграла, и (14.9) 1 2 1 1 32 Чтобы найти точное значение инкремента и собствен ные функции 211 , в общем случае необходимо решать урав нение (14.5). Покажем, как строится решение на примере экспоненциального профиля r0 = r(0)exp(z/l). Пусть гра ничные условия соответствуют закрепленной границе: 211 11 1 02 33 1 04 Уравнение (14.5) сводится к 12

22311 12 2311 4 2 3 52 112 2 2311 4 03 5 21 5 212

(14.10)

Ищем решение в виде 211 1 3 12344156 где комплексное число b = b1 + ib2. После подстановки имеем 1 12 12 1212 2 232122 3 222 2 2 12 2 322 2 3 42 112 2 2 4 03 (14.11) 5 1 5 Так как на границах скорость обращается в ноль, то b2 = pn/L, где n — целое число. Так как частота вещест венна, то, приравнивая к нулю мнимые члены, находим b1 = –1/(2l). Характеристическое уравнение принимает вид 12 1212 2 222 2 3

1 12 2 2 32 112 3 2 4 03 5 1 5

(14.12)

откуда находим инкремент неустойчивости: 1 2 2 342 2

12 2 5

1 12 9

1 7 63 8 9

 452 4

2

1

(14.13)

278

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Вещественные собственные функции при этом 311 2 4 123

121 456731 8 249 1 56 4567579 8

(14.14)

В частности, для коротких волн kl >> 1, 1 2 1 1 3 2 14.2. ЖЕЛОБКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В полностью ионизованной плазме в маг! нитном поле существует неустойчивость, аналогичная не! устойчивости Рэлея — Тейлора для жидкости. Она вызыва! ется как силой тяжести, так и неоднородностью и кривиз! ной силовых линий магнитного поля. Эту неустойчивость, относящуюся к классу неустойчивостей Рэлея — Тейло! ра, называют желобковой или перестановочной неустой! чивостью. Пусть плазма находится в магнитном поле, параллель! 1 ном оси x, 1 11 2 , а сила тяжести направлена вдоль оси z. Плазма находится в равновесии, так что 34 1 0 1 51 60 7 1 820 9 1 2 02 (14.15) 3 Ограничимся случаем малых b, когда магнитное поле можно считать постоянным и не зависящим от z. Ток в направлении 1 представляет собой сумму диамагнитного

Рис. 14.2 Поляризация возмущений при желобковой неустойчивости

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

279

тока и тока 210 , вызванного силой тяжести. Ток 210 связан с дрейфом ионов (электронным дрейфом можно пренеб речь изза малой массы): 310 1 2452 160 1 72 Механизм развития неустойчивости для коротких волн, область локализации которых вдоль z значитель но меньше характерных размеров плазмы, иллюстриру ется на рис. 14.2. При наличии периодического по y воз мущения концентрации появляется возмущенный ток 311 1 2452 61 1 1 72 Чтобы его скомпенсировать, возникает нарастающее во времени электрическое поле, вызываю щее поляризационный ток в противоположном направле 1 5260 72 1411 1 Для коротких волн условие 1 2 1 3 0 нии: 813 2 2 19

сводится к равенству нулю возмущенного тока в направ лении y: 68 71 3 627082 1511 931 2 914 3 4 2 2 3 01 (14.16)

1

2 Механизм формирования электрического поля полно стью аналогичен рассмотренному в разделе 11.1 механиз му поляризации сгустков. Электрическое поле вызывает вертикальный дрейф плазмы со скоростью

311 1 24521 1 62

(14.17)

Линеаризованное уравнение непрерывности 1 1 с учетом несжимаемости дрейфовых потоков ( 1 2 121 2 234 22 5 3 0 ) имеет вид 12 121 2 311 0 3 01 (14.18) 14 11 Для возмущений вида (14.3) из (14.16) имеем 611 1

234 51 1 27 50

(14.19)

Подставляя (14.17) и (14.19) в уравнение непрерывно сти с учетом ¶n1/¶t = –iwn1, получаем 1 12 20 122 3 3 3 (14.20) 14 При dlnn0/dz > 0 плазма неустойчива с инкрементом 1 2 1 1 32

(14.21)

280

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где l = |dlnn0/dz|–1. В обратном случае частота веществен на и плазма устойчива. В общем случае развитие желобковой неустойчивости описывается системой уравнений: 1 13 2 3 4 341 5 01 15 1 13 2 3 4 342 5 01 15 1 1 13 1 1 1 64 372 2 5 6382 2 139 2 242 4 3 2 72 31 65 1 13 1 1 6381 6 139 6 241 4 3 5 04

(14.22)

Выразим поперечную скорость из уравнений баланса сил: 1 1 1 1 316 2 52 31141 2 52 71 3 4 3 2 18521 1 1 15 1 1 1 1 316 2 52 31142 2 52 392 15 2 72 4 2 392 1 2 52 72 3 5 4 4 5 (14.23) 52 1852 152 152 Так как дивергенция диамагнитных потоков в одно родном магнитном поле равна нулю, а дрейфовые потоки несжимаемы, то уравнение непрерывности для электро нов сводится к 12 2 1 3 4 01 (14.24) 31 2 14 1 1 1 дрейфа. Выбирая в каче где 21 1 311 2 423 42 — скорость 1 стве второго уравнения 1 2 1 3 01 получаем 1 1 1 1 1 34 15 3 672 2 683 341 19 3 53 2 (14.25) 4 3 7 1 5 8 6 04 52 52 9

В поляризационном токе учтена в первом приближе нии только скорость электрического дрейфа. Линеаризо ванное уравнение непрерывности совпадает с (14.18) с уче том (14.17). Линеаризованное уравнение (14.25) имеет вид 2914

572 61 8 526072 1411 1 2 5260 72 1431 3 25 7 5 6 03 2 1 13 9 2 1 8



(14.26)

Исключая возмущение концентрации с помощью (14.18), получаем для возмущенного потенциала уравнение

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

22

12 111 1 120 2 3 32 120 22 4 4 0 211 3 15 15 15

281

(14.27)

Это уравнение совпадает с уравнением (14.5), описы вающим неустойчивость Рэлея — Тейлора в жидкости, и анализ на устойчивость проводится так же, как в преды дущем разделе. Таким образом, плазма в магнитном поле неустойчи ва, если сила тяжести направлена против градиента кон центрации. В реальной плазме гораздо более важную роль играет эффективная «сила тяжести», связанная с неодно родностью магнитного поля и кривизной силовых линий магнитного поля (см. главу 11). Так, в токамаке это эф фективное ускорение дается выражением (11.11). Инкре мент неустойчивости остается порядка (14.21) с заменой g на эффективное ускорение: 42

2131 1 32 2 3 52 6

(14.28)

При развитии желобковой неустойчивости длина вол ны вдоль магнитного поля стремится к бесконечности, так что развивающиеся возмущения имеют форму желобков. Шир магнитного поля подавляет желобковую неустойчи вость. Действительно, мода, которая при какомлибо зна чении z имеет k|| = 0, при других значениях z имеет k|| ¹ 0. При этом положительные и отрицательные возмущения потенциала «закорачиваются», так как лежат на одной силовой линии. В магнитных ловушках с замкнутыми силовыми ли ниями эффективное ускорение может менять знак на раз ных участках силовой линии. В токамаке, например, на внешнем обводе кривизна и градиент магнитного поля со ответствуют раскачке неустойчивости, тогда как на внут реннем обводе знаки эффективного ускорения и градиен та концентрации совпадают, что характерно для устойчи вого равновесия. Чтобы проанализировать устойчивость в этой ситуации, рассмотрим силовую трубку в плазме с малым b. Трубка с плазмой стремится увеличить свой объ ем и переместиться в область, где ее объем может возрасти.

282

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

При таком перемещении не должно произойти искривле ния трубки, так как при этом возросла бы магнитная энер гия, а значит, и полная энергия системы. Для замкнутой силовой линии объем силовой трубки равен 12 12 3 1 13 412 1 13 54 12 13 1 (14.29) 5 5 где Y — магнитный поток в трубке, который сохраняет ся вдоль трубки и не меняется во времени. Определим величину 12 3 1 12 1 (14.30) 4 Для незамкнутой силовой линии, лежащей на магнит ной поверхности, 1 23 4 5 123 36 474 112 8 1 5 9

(14.31)

где n — число оборотов. Так как трубка стремится увели чить свой объем, а следовательно, и пропорциональную ему величину U, то величина –U является аналогом по тенциальной энергии. Интеграл U является поверхност ной величиной, как и полное давление плазмы, поэтому можно считать p = p(U). При небольшом смещении труб ки без искривления изменение ее объема в соответствии с (14.29) равно dV/V = dU/U. Изменение давления в ней при адиабатическом процессе: dp = –5/3pdV/V = –5/3pdU/U. Вблизи трубки давление окружающей фоновой плаз мы также меняется. Используя связь p = p(U), имеем 2 13 1 232 3 2 1

12 233 13

(14.32)

Если давление фоновой плазмы растет быстрее, чем давление в трубке, то трубка будет возвращена в равно весное состояние. Таким образом, условие устойчивости: 12 52 12 1 13 33

(14.33)

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

283

Обычно правой частью в (14.33) можно пренебречь, особенно вблизи границы плазмы, поэтому условие устой чивости сводится к 12 1 01 (14.34) 13 Другими словами, плазма устойчива, если внутри плаз мы, где давление возрастает, величина U также имеет мак симум. Так как в этой области магнитное поле меньше, чем снаружи, то говорят, что плазма должна находиться в «магнитной яме». Отметим, что в токамаке «магнитная яма» существует изза шафрановского сдвига внутренних магнитных поверхностей наружу в область меньшего маг нитного поля. Поэтому в плазме токамака желобковая неустойчивость не развивается. Существует, однако, модификация желобковой не устойчивости — так называемая баллонная мода. Возму щения баллонного типа не постоянны вдоль силовой ли нии, их амплитуда больше на внешнем обводе токамака в области неблагоприятной кривизны, где неустойчивость стремится развиваться, и меньше на внутреннем обводе, где неустойчивость подавляется. Баллонная неустойчи вость развивается при конечном давлении плазмы и но сит пороговый по давлению характер. 14.3. ДИССИПАТИВНЫЕ МОДИФИКАЦИИ ЖЕЛОБКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 14.3.1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ — ТЕЙЛОРА В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ

В частично ионизованной плазме в магнит ном поле существует диссипативный аналог желобковой неустойчивости (неустойчивости Рэлея — Тейлора). Она также вызывается как силой тяжести, так и неоднород ностью и кривизной силовых линий магнитного поля. Рассмотрим геометрию, представленную на рис. 14.2, и проведем анализ в локальном приближении. Будем счи тать плазму замагниченной, так что выполнено условие xexi >> 1 (см. главу 5). В частично ионизованной плазме сила тяжести, так же как и в полностью ионизованной

284

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

плазме, вызывает ток вдоль оси y. При наличии периоди ческого по y возмущения этот ток равен

311 2 3421 52 61 11

(14.35)

Если ионы тоже замагничены, xi >> 1, то холловская подвижность biL = c/B и этот ток совпадает с током в пол ностью ионизованной плазме. В отличие от полностью ионизованной плазмы этот ток компенсируется не поля ризационным током, а ионным током проводимости, если частота столкновений достаточно велика. Вместо (14.16) имеем 3311 41 51 6 4 750 31 2 821 5 01 (14.36) Пренебрегаем диффузионным током en1Di^k2, что спра ведливо при условии (для замагниченных ионов) 41 52 1 12 1 11 61 7 231

(14.37)

Из (14.36) находим возмущенное электрическое поле: 31 4 511 61 (14.38) 1 8 51 2 60 Из уравнения непрерывности для электронов (14.18) с учетом (14.17) получаем 5 3 12 40 121 3 (14.39) 312 36 При dlnn0/dz > 0 плазма неустойчива с инкрементом 3 (14.40) 12 1 312 4 721 3

Неустойчивость Рэлея — Тейлора в частично ионизо ванной плазме ответственна, например, за развитие пу зырей плазмы в экваториальной области ионосферы. 14.3.2. ЖЕЛОБКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ, КОНТАКТИРУЮЩЕЙ С МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ СТЕНКАМИ

Если полностью ионизованная плазма ограничена ме таллическими стенками, перпендикулярными магнитно му полю, то поляризация плазмы в значительной степени «закорачивается». Однако даже в бесстолкновительной

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

285

плазме из за эффективного сопротивления пристеночно го слоя остается поляризация, приводящая к развитию неустойчивости. В направлении y возмущенный ток по прежнему дает 1 ся выражением (14.35). Интегрируя уравнение 1 2 1 3 0 вдоль оси x по всей области, ограниченной стенками, пред полагая симметрию по x, получаем

23411 1 25111 2 02 Здесь 521 1 2

(14.41)

1

42 42 1 6178 1 2 9

3  3

3 

(14.42)

0

1 — интегральный возмущенный ток, а 111 — плотность тока, вытекающего на стенку при x = L. Чтобы обеспечить вытекание токов на стенку, потенциал вблизи стенки воз мущается. Возмущение потенциала соответствует вольт ам перной характеристике пристеночного слоя (3.26). Считая невозмущенный потенциал плавающим из линеаризован ного уравнения (3.26), найдем

3111 2 241 51

211 2 62

(14.43)

где cs = (Te/mi)1/2 — скорость звука, а ns — концентрация плазмы вблизи стенки. Из за высокой проводимости это возмущение передается в плазму вдоль магнитного поля и не зависит от x. Дополнительно к потенциалу (14.43) в плаз ме существует больцмановский потенциал fB = (Te/e)lnn, который обеспечивает продольный баланс сил. Вызванный им дрейф в скрещенных полях является бездивергентным и не дает вклада в уравнение непрерывности. Уравнение непрерывности (14.18) имеет вид

23321 4

34511 120 5 01 6 17

(14.44)

Полагаем для простоты, что невозмущенная концентра ция факторизуется n0 = n0x(x)n0y(z), так что |dlnn0/dz|–1 = l не зависит от x. Тогда, так как f1 = const(x), профиль воз мущения в направлении x повторяет профиль n0(x). Ком бинируя (14.41)–(14.44), получаем

286

где

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

7 5 12 60 3 1 2 823223 1 9 3 2 24 5

1

14 1 4 90 4 1 95 4 263 1 0

(14.45)

272 1 83 311 2 5 363

При dlnn0/dz > 0 плазма неустойчива с инкрементом 7 2 5 1 3233 2 2 2 1 2 12 (14.46) 3 233 4 9 556 84 14.3.3. ГРАВИТАЦИОННОДИССИПАТИВНАЯ ЖЕЛОБКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Отметим, что существует еще диссипативная модифи кация желобковой неустойчивости, связанная с конечной проводимостью плазмы вдоль магнитного поля и конеч 1 ной длиной волны вдоль 1 . Эта неустойчивость реализу ется, если желобковая неустойчивость с k|| = 0 не развива ется, но имеются локальные условия для поляризации плазмы, например неблагоприятная кривизна магнитно го поля. Анализ ее проводится аналогично предыдущим случаям, при этом в балансе токов учитывается продоль ный ток проводимости. Результирующая частота опреде ляется из уравнения

12 2 311 12 2 122 3 01 где 1s 2

kx2 1ci 1ce g , 12g 2 3 . 5 ky2 0,514 ei

(14.47) (14.48)

При ws << wg имеем обычную желобковую неустойчи вость, а при ws >> wg 12 2 3 1 1 11 1 (14.49) 12 14.4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП В магнитогидродинамической теории устой чивости можно сформулировать общий принцип, основан ный на энергетических соображениях. Введем смещение плазмы согласно

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

1 11 1 2 3 4 213 21134112 0

287

(14.50)

1 1 где 112 233 — скорость элемента объема при развитии не устойчивости. Преобразуем линеаризованные уравнения МГД, ис пользуя смещение. Линеаризованное уравнение для маг нитного поля в отсутствии столкновений имеет вид 1 1 1 111 2 4 75 6 121 6 10 283 3 (14.51) 13 Индекс «0» относится к равновесным значениям ве личин, а индекс «1» соответствует возмущенным величи 1 нам, 10 1 01 1Интегрируя (14.51) по времени от 0 до t и учи 1 тывая, что 11 12 23 1 03 1 02 получаем 1 1 1 1 11 12 233 3 714 5 46 5 10 582 6 (14.52) Запишем уравнения баланса тепла для электронов и ионов в адиабатическом приближении: 1 1 3 2 1121 2 3 3 4 5 1 121 31 2 3 121 4 5 31 6 03 2 24 2

(14.53)

Складывая два уравнения, получим суммарное уравне ние баланса тепла: 1 3 11 3 1 (14.54) 2 3 4 1 122 2 13 4 2 5 03 2 13 2 После линеаризации 3 111 3 11 0 5 0 11 (14.55) 2 2 31 2 1 3 4 2 5 01 2 13 2 2 После интегрирования по времени с учетом 1 11 12 23 1 03 1 0 имеем 1 1 2 5 11 12 233 1 2341 0 2 1 04 5 34 (14.56) 3 Наконец, преобразуем уравнение суммарного балан са сил: 1 1 1 12 1 1 2 343 5 114 6 42 6 423 (14.57) 15 47

288

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

После линеаризации 1 1 12 2 111 0 0 3 43 4 12 122 1 11 1 1 2 1 0 2 1 11 1 0 2 1 1 23 4 5631 7 684 84 7 684 84 49 49

(14.58)

После подстановки в правую часть (14.52) и (14.56) получаем 1 1 122 (14.59) 30 2 4 11 2234 12 1 1 1 1 1 1 5 1 11 213 2 32132 0 4 2 03 5 13 4 4rot30 5 rot41 5 30 55 4 3 46 1 1 1 1 (14.60) 4 4rot rot41 5 30 5 5 30 56 46 Уравнение (14.59) можно интерпретировать как урав 1 нение Ньютона, а оператор 11 213 представляет собой силу, вызывающую смещение элемента плазмы. Умножим обе 1 части уравнения (14.59) на 1 и проинтегрируем по объему: 11 11 1 11 1 3 10 2232 1 11 2 1 0 (14.61) 5 1 22 12 4 34 5 2 12 45 2 34 22312 5 11 10 2232 1 134 23 (14.62) 2 является кинетической энергией, связанной с развитием неустойчивости. Используя (14.60), можно показать, что интеграл в правой части (14.61) удовлетворяет свойству самосопряженности: 1 2 2 2 1 2 111 22323 3 211 21323 4 (14.63)

Величина

4

4

Отсюда следует соотношение 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 4 12 32423 3 2 14 4 212 32423 5

(14.64)

С учетом этого соотношения (14.61) перепишем в виде 1 11 2 32 2 4 03 13

(14.65)

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

289

где

1 1 1 1 2 42 24334 4 (14.66) 25 Величина dW имеет смысл изменения потенциальной энергии системы. Если для какоголибо вида смещений dW < 0, то потенциальная энергия K нарастает и развива ется неустойчивость. Если же dW > 0 для любых смеще ний, то равновесие является устойчивым. Таким образом, энергетический принцип позволяет сводить анализ устой чивости к анализу знака величины dW. 11 2 3

14.5. ВИНТОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ Если для желобковой неустойчивости ис точником энергии является тепловая энергия, то при раз витии винтовой неустойчивости энергетическим резер вуаром служит энергия магнитного поля. Рассмотрим несколько простых примеров вин товой неустойчивости. Пусть имеется бесконечный ци линдр, вытянутый вдоль оси z. По плазме протекает ток, а продольное магнитное поле отсутствует, так что плазма представляет собой равновес ный зетпинч, рассмотренный в гла ве 12. Такой пинч может быть не устойчив относительно радиальных возмущений: x = A(r)exp(–iwt + imq + ikz),(14.67)

Рис. 14.3 Возникновение перетяжек в зетпинче

где m = kqr — целое число вследст вие периодичности по угловой коор динате. Смещение элемента плазмы x здесь происходит в радиальном направлении. При m = 0 возмущение азимутально симметрично и имеет характер перетяжек (рис. 14.3). В об ласти перетяжки, где радиус шну ра уменьшается, азимутальное

290

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

магнитное поле нарастает, так как полный ток I сохраня ется и на границе шнура Bq ~ r–1. Поэтому возрастает и сила Ампера, пропорциональная IBq, которая сжимает плазму и приводит к нарастанию возмущений. При этом нараста ет и давление плазмы внутри перетяжки, но не так силь но, так как может выравниваться вдоль шнура. Чтобы исследовать винтовую неустойчивость с m = 0 количественно, воспользуемся энергетическим принци пом. Будем считать, что пинч по радиусу ограничен ме таллической стенкой, чтобы исключить из рассмотрения вакуумную область. Условие dW > 0 устойчивости (14.66) для радиальных возмущений с m = 0 упрощается. Интег рируя по частям, перепишем (14.66) в виде 1 1 2 12 12 1 5 23 0 102 2 1 34 4  1 3 0 5 0 216 7 822 9 0 86 7 8 5 82 1 5 2 25 03 4

5 5 25 2 5   3 (14.68) Здесь 1 1 1 2 3 4 1 12323 2 12 Выделим в подынтегральном выражении полный квадрат: 2 1 2 102 4 1 1 12 6 3 55 72 83 9   4 0 0  31 2 

4 52

3 47  3 5 5 0 102 6 4 2 4

 3 3 47  4 2 1 2 5 102 6 2 3 4

 72  3 2 2 5 54 0 102 64 1  

 3



 52  03 (14.69) 12 6 2  52 272 4 5 3 4  5 40 0  4 47  3 3 4   Первый интеграл положителен, поэтому неравенство (14.69) выполняется, если второй интеграл также поло жителен, чему соответствует условие 3 12 0 10 1 3 (14.70) 1 0 2 2 2 13 1 3 5 4 6 где 1 2 831 0 1 202 2 Таким образом, неравенство (14.70) пред ставляет собой условие устойчивости для моды с m = 0.

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Продольное магнитное поле стабилизи рует моду m = 0, так как силовые линии сжимаются вместе с плазмой и магнитное давление, связанное с продольным полем, нарастает. При этом, однако, может раска чиваться мода m = 1. Рассмотрим, как про исходит развитие неустойчивости m = 1 для тонкого шнура с током, помещенного в про дольное магнитное поле. При возмущени ях с m = 1 шнур изгибается, как показано на рис. 14.4. При этом изза того, что ток течет вдоль шнура, появляется азимуталь ная составляющая тока и радиальная сила Лоренца jqBz/c, которая и приводит к на растанию возмущений. Величина азиму тального тока зависит как от радиального смещения, так и от шага спирали по z. Урав нение радиального баланса сил имеет вид 3

22 2 1 1 4 31 41 4 311 41 522 2 6 6 27

291

Рис. 14.4 Неустойчивость моды m = 1 для тонкого шнура с током

(14.71)

Отсюда следует выражение для инкремента неустой чивости: 11 2 1 234 2 3 45 2 1 6 2 (14.72) 9 75 68

Выражая ток через создаваемое им азимутальное маг нитное поле, получаем 2 11 2 3 4 1 125342 2 (14.73) 4 1/2 где a — радиус шнура, Q = Bq/Bz, а cA = Bz/(4pr) — альф веновская скорость, рассчитанная по полю Bz. Таким об разом, характерное время развития винтовой неустойчи вости определяется альфвеновским временем в отличие от желобковой неустойчивости, где определяющим являет ся время, соответствующее скорости звука. Чтобы найти критерий устойчивости реального шну ра с током конечной толщины относительно моды m = 1, рассмотрим следующую упрощенную модель: пусть на плазменный шнур наложено винтовое возмущение, которое

292

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

не изменяет его формы. Рассмотрим два поперечных сече ния шнура, отстоящих друг от друга на четверть длины волны (рис. 14.5). Пусть при некотором значении z = 0 шнур смещается влево (пунктир), тогда на расстоянии z = l/4 смещение шнура должно быть направлено вниз. Рассмотрим ситуацию, когда на расстоянии z = l/4 сило вая линия проворачивается в азимутальном направлении на угол, больший, чем p/2. Так как магнитное поле вмо рожено в плазму, то силовая линия относительно центра возмущенного шнура (пунктир) проворачивается в азиму тальном направлении на тот же угол. В то же время отно сительно центра невозмущенного шнура силовая линия проворачивается на больший угол. Чтобы обеспечить по ворот на больший угол, азимутальное магнитное поле на верхней стороне шнура должно возрасти по отношению к равновесному значению. При этом увеличивается и маг нитное давление, которое увеличивает смещение шнура вниз, что и приводит к дальнейшему нарастанию неустой чивости. В обратном же случае, когда силовая линия про ворачивается на длине l/4 на угол, меньший p/2, шнур устойчив. Опре делим запас устойчивости для ци линдрического шнура как 5142 3

21 224 21 34 3 3 21 4 21

(14.74)

Тогда условие устойчивости шну ра соответствует q > 1.

(14.75)

Это неравенство известно как условие устойчивости Крускала — Шафранова. Для моды m ³ 2 проведем сле дующее рассуждение: развернем поверхность шнура в прямоуголь ник (рис. 14.6). Ось ординат соот ветствует координате z, а ось абс цисс — азимутальному углу q. Ра

Рис. 14.5 Смещение сечений толстого плазменного шнура, отстоящих на l/4, при развитии винтовой неустойчиво сти с m = 1

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

293

Рис. 14.6 Линии постоянной фазы радиального смещения и силовые линии магнитного поля в плоскости (z, q). Ситуация соответствует развитию неустойчивости.

диальные возмущения смещают границу шнура, образуя рифленую поверхность, изображенную на рис. 14.6. Вме сте с радиальными возмущениями по радиусу смещается и продольный ток. Возмущения плотности тока на поверх ности шнура приводят к появлению радиального компо нента магнитного поля 211 1 Переменное во времени ради альное магнитное поле наводит вихревое электрическое поле. В силу высокой проводимости плазмы это наведен ное электрическое поле должно быть практически перпен дикулярным магнитному полю. Это поле и вызывает сме щение элемента плазмы по радиусу изза дрейфа в скре щенных полях. Связь между смещением и возмущением магнитного поля дается согласно (14.52) соотношением 311 2 432 2511 3 423532 4 631 4 756 В этом выражении знак ради ального магнитного поля должен быть отрицателен — то есть соответствовать смещению тока наружу. Други ми словами, наведенное поперечное электрическое поле должно вызывать дрейф плазмы наружу, увеличивая сме щение (рис. 14.6). В обратном случае плазма устойчива, так что критерий устойчивости имеет вид q>m. Если ци линдр имеет конечную длину L, то k = 2pn/L. В частности,

294

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

для тора радиуса R величина k = n/R. В этом случае усло вие устойчивости имеет вид 5132 2

21 3 4 3 3 21 6 7

(14.76)

Условие (14.76) должно иметь место на границе шну ра. Если плотность тока постоянна по шнуру, то азимуталь ное поле линейно растет с радиусом и значение q постоянно по шнуру. В этом модельном случае условие (14.76) может быть выполнено во всем объеме шнура. При любом более реалистичном профиле тока значение запаса устойчиво сти зависит от радиуса. При этом внутри шнура существу ет много поверхностей с радиусом r = rres, на которых 4 511123 2 1 3 (14.77) 6 Соответствующие магнитные поверхности называют ся резонансными магнитными поверхностями. На самой резонансной магнитной поверхности винтовая мода ней трально устойчива, а с разных сторон от нее изза зависи мости q(r) условие q(r) > m/n с одной стороны выполняет ся, а с другой стороны не выполняется. Устойчивость в этом случае зависит от скорости изменения запаса устой чивости по радиусу, то есть от величины шира магнитно го поля. Для оценки необходимой величины шира приведем следующее упрощенное рассуждение: рассмотрим моду, локализованную около резонансной магнитной поверхно сти. Возмущение давления при смещениях согласно (14.56) есть p1 ~ –xdp/dr. С возмущением давления и кривизной силовых линий RS = rBz/Bq связана дестабилизирующая сила: 23 1 41 1 2 2 (14.78) 25 61 которая стремится вытолкнуть плазму наружу. Эта сила уравновешивается натяжением силовых линий, связан ным с их деформацией. Стабилизирующая сила оценива ется как 1 1 1 24134 341 511 42 62 2 4 5 (14.79) 43 43

295

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Используем соотношение (14.52) 311 2 432 1511 и разло жение k|| в ряд вблизи резонансной магнитной поверхно 1 21 4 1123 34 1123 , где 1 1 — введенный в гла сти (8.71) 411 21 3 2 41 3 ве 8 шир магнитного поля. Полагая kq(r – rres) ~ 1, из усло вия F1 = F2 получаем 12 234 1 35 212 3 4 2 212 1 85 212 5

(14.80)

Это неравенство известно как критерий устойчивости Сайдема. Из него следует, что шир магнитного поля эф фективно подавляет неустойчивости, локализованные вблизи резонансных магнитных поверхностей. Аналогич ный критерий Мерсье может быть получен для тороидаль ной геометрии. 14.6. ТИРИНГМОДА Как показано в предыдущем разделе, МГД неустойчивости, локализованные вблизи резонансных маг нитных поверхностей, стабилизируются широм. Однако вблизи резонансных магнитных поверхностей может раз виваться неустойчивость, связанная с изменением топо логии магнитного поля, так называемая тирингмода. Ее существование связано с конечной проводимостью плаз мы вблизи резонансных магнитных поверхностей и при ее развитии вблизи этих поверхностей возникают магнит ные острова — области с другой топологией магнитного поля.

Рис. 14.7 Невозмущенное магнитное поле вблизи нейтрального слоя

296

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Проанализируем развитие тирингмоды на примере плоского слоя плазмы (см. рис. 14.7). Пусть основное не возмущенное магнитное поле 210 132 направлено вдоль оси y, а величина его зависит от координаты x. При x = 0 маг нитное поле обращается в ноль, что соответствует нейтраль ному слою. Такое поле создается током 310 1 14 2 4233520 1632 364

Равновесное состояние описывается соотношением

2

13 0 3 410 520 4 01 16

(14.81)

Рассмотрим периодическое вдоль оси y возмущение магнитного поля 211 1 23451324 3 35667 Зависимость от1 ко ординаты z отсутствует. При этом изза условия 1 2 1 3 0 возмущены оба компонента магнитного поля, которые свя заны соотношением 1311 2 45321 3 01 11

(14.82)

Вдали от резонансной магнитной поверхности силовые линии изгибаются, как показано на рис. 14.8. Перемен ное магнитное поле наводит вихревое электрическое поле вдоль z: 141 1 1311 (14.83) 23 21 17 5 16 Так как тирингмода является апериодической и ве щественная часть частоты отсутствует, то электрическое

Рис. 14.8 Формирование магнитного острова

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

297

поле сдвинуто по фазе на p/2 относительно возмущения 211 . Электрическое поле вызывает дрейф плазмы вдоль оси x со скоростью 451 (14.84) 612 1 2 01 1 73 Скорость дрейфа плазмы направлена к нейтральному слою там, где силовые линии сжимаются, и от него там, где силовые линии расходятся. Вблизи нейтрального слоя скорость (14.84) стремится к бесконечности, так как невозмущенное магнитное поле обращается в ноль. Здесь необходимо учесть конечную проводимость плазмы и вместо (14.84) использовать урав# нение баланса сил для электронов вдоль оси z: 631 1 2

411 520 3 4731 1 8

(14.85)

где 2 3 41111 3 025131 5 12 3 412 4 Продольные токи текут в тон# ком слое вблизи x = 0, где магнитное поле обращается в ноль, и создают магнитную конфигурацию с замкнутыми силовыми линиями — магнитные острова. Действитель# но, положительное возмущенное магнитное поле 211 вбли# зи x = 0 уводит силовую линию в область положительных значений x. По мере смещения по x появляется невозму# щенное магнитное поле вдоль оси y и силовая линия ухо# дит вдоль y. При этом изменяется фаза возмущенного поля 211 и силовая линия начинает смещаться к плоскости x = 0 и затем в область отрицательных значений x. Здесь невоз# мущенное магнитное поле меняет направление и уводит силовую линию в направлении –y. Фаза возмущения 211 опять меняется и в результате силовая линия совершает полный оборот, образуя магнитный остров (рис. 14.8). Вдали же от нейтрального слоя возмущенное поле 211 лишь деформирует силовую линию, не вызывая измене# ния ее топологии. Линия, разделяющая замкнутые и ра# зомкнутые силовые линии магнитного поля, называется сепаратрисой. Вблизи нейтрального слоя линеаризованное уравнение баланса сил имеет вид (возмущениями плотности и давле# ния пренебрегаем)

298

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

1411 1 1 3 4 521 630 4 520 631 1 (14.86) 17 8 8 1 Движения плазмы считаем несжимаемыми ( 1 2 1 3 0 ): 20

1311 2 45312 3 01 11

(14.87)

Линеаризованное уравнение для магнитного поля (10.14) преобразуется к виду 1311 42 20 1 2 311 3 56711 320 4 1 5 62 311 23 18 46 112

(14.88)

Это уравнение содержит малый коэффициент h0 при старшей производной. Вдали от нейтрального слоя послед# ний член в правой части несуществен, а при приближе# нии к нему вторая производная становится большой, так что член 1211 1 13 компенсируется большой второй произ# водной 1 2 211 1 112 2 умноженной на малый коэффициент h0. При крупномасштабном рассмотрении вторая производ# ная от величины 211 терпит разрыв, в то время как в ре# альности первая производная резко меняется внутри по# граничного слоя шириной 2e. Введем величину

2311 1 231 2 4 3 5 9 1 1672 8 (14.89) 1872 3 311 1024 21 21  Величина D¢ определяется решением внешней задачи с соответствующими граничными условиями. Внутри же пограничного слоя оценим вторую произ# водную: 2 2 211 3 1211 (14.90) 1 2 4 212 Будем считать, что в пограничном слое все три члена в уравнении (14.88) одного порядка. Вводя инкремент не# устойчивости g, получим оценку 32 20 12 211 2 44 112 Из (14.90)–(14.91) имеем 12 20 31 41 2 456 3211 1

(14.91)

(14.92)

299

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Еще одно соотношение между инкрементом и шири ной пограничного слоя можно получить из уравнения ба ланса энергии. Согласно уравнению (2.8) скорость изме нения энергии ионов (в нашем случае речь идет о кинетиче ской энергии) определяется работой электрического поля. Будем считать, что длина волны возмущения много больше размера слоя: ke << 1. (14.93) Тогда из условия несжимаемости (14.87) следует, что 311 1 312 1 а скорость изменения кинетической энергии с учетом (14.87) оказывается порядка 120

1311 22 131 22 3 120 2 2 4 2 21432

(14.94)

Приравниваем эту величину к работе электрического поля 2 1 34511611 1 Так как мы считаем, что все величины в (14.85) одного порядка, то 411 1 521 630 2 73 а работа 4 1 511621 730 1 82

(14.95)

Учитывая, что ток связан с возмущением магнитного поля согласно 4 2 2 311 1 4311 3 1 2 (14.96) 521 1 446 212 4465 получаем, что

43

311 2 1 1 0 5 3 1 4465 1 2

(14.97)

Тогда, приравнивая (14.97) и (14.94), получаем 340

1311 22 411 2 1 1 0 31 42 4 3 215622 4556

(14.98)

Оценим здесь невозмущенное магнитное поле как

210 1 2210 3124

(14.99)

Подставляя в (14.98) оценку 1 4511 2320 3134 которая следует из (14.88), и исключая скорость, найдем

2311

42 5

12210 3142 32 23 3 1 6 2560

1 4511 320

(14.100)

300

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Комбинируя (14.99) с (14.92), получаем выражение для инкремента неустойчивости: 46

23210 4152 15 32 15 32144 1 5 330 43 15 46 15 7 34544 1 5 360 411 5

(14.101)

Обозначим характерный размер изменения парамет ров плазмы вдоль оси x как L и введем два характерных времени: 31 4

4 424120 3112 42 41 4 4 32 4 2 0 5 0 1 1 2 51 263 3 5 5

(14.102)

где tA — альфвеновское время, а ts — скиновое время. Тогда (14.103) 2 2 3122 15 31131 5 3 Таким образом, характерное время развития тирингне устойчивости оказывается промежуточным между быстрым альфвеновским временем и медленным скиновым временем. Ширину пограничного слоя можно получить из (14.92): 2 15

4 2 11 3 2 1 13 (14.104) 3 57 12 68 Тирингмода экспоненциально нарастает до тех пор, пока размер острова не станет порядка e, после этого су щественными становятся нелинейные эффекты. В цилин дре или торе тирингнеустойчивость может развиваться вблизи резонансных магнитных поверхностей q = m/n (подробнее см. главу 15). В токамаке также существует так называемая неоклассическая тирингмода, связанная с перераспределением профиля бутстрептока изза возник новения острова. 14.7. ГЕОДЕЗИКО АКУСТИЧЕСКАЯ МОДА И ЗОНАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В токамаке возможны специфические коле бания возмущений плотности, полоидальной и параллель ной скоростей, а также радиального электрического поля, известные как геодезикоакустическая мода (ГАМ). Рас смотрим такие колебания на примере токамака с круглым

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

301

сечением в простой геометрии (13.1). Пусть наряду со ста ционарным электрическим полем, которое описывается выражением (13.62), в плазме имеется возмущенное ради альное электрическое поле, периодически изменяющееся во времени. Соответствующий возмущенный потенциал

101 12 2 2 3 1 12 2345134452

(14.105)

не зависит от полоидального угла и имеет произвольный масштаб по радиусу. Возмущенное радиальное поле

201 1 23301 1 34 вызывает полоидальное вращение плазмы (дополнитель ное к основному) со скоростью 201 1 23401 1 52 Соответст вующие полоидальные потоки называют зональными по токами по аналогии с зональными течениями в атмосфе рах планет. В неоднородном магнитном поле дивергенция 201 от лична от нуля, что должно приводить к появлению пото ков плазмы вдоль силовых линий магнитного поля, ана логичных пфиршшлютеровским потокам (рис. 14.9). Эти потоки в отличие от пфиршшлютеровских периодически меняют свое направление, а амплитуда их пропорциональ на cosq. Продольная скорость соответственно 43111 213 2 43211 456 17

(14.106)

где величина также периоди чески меняется во времени. В свою очередь, параллель ные потоки должны вызы ваться продольным градиен том давления, поэтому на магнитной поверхности су ществует периодическое воз мущение концентрации, про порциональное sinq:

311 1 312 123 24

(14.107)

Таким образом, возму щенное радиальное электри

Рис. 14.9 Полоидальные скорости и возмущения концентрации в геодезикоакустической моде

302

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

ческое поле имеет полоидальное волновое число m = 0, а возмущения концентрации и параллельной скорости со ответствуют m = 1. Уравнение непрерывности имеет вид

30 14111

22 234 5 3 30 602 234 5 6 05 (14.108) 7 7 где второй член представляет собой дивергенцию полои дальной проекции параллельного потока, а третий член — дивергенцию потока, связанного с полоидальным враще нием. Уравнение продольного баланса сил: 354312 3

41 1 42 3 (14.109) 61 234 45 8 Предполагаем, что температуры плазмы не возмуще ны изза большой продольной теплопроводности электро нов и сильного теплообмена. Для определения возмущенного радиального электри ческого поля необходимо уравнение баланса тока. В част ности, достаточно воспользоваться равенством нулю тока, проинтегрированного по магнитной поверхности. Вследст вие возмущения концентрации на магнитной поверхности возникает отличный от нуля усредненный ток, связанный с ÑB дрейфом частиц: 21 26171 3 72 2 3 824 4 5219 7 1 345 6 6 4 4

22352 60 72311 234 4 5 26

45

0 2 41 96171

3 72 215

(14.110) 6 4 Его компенсирует поляризационный ток, связанный с изменением электрического поля во времени: 83 Из условия

2 34429

311 2 32

562 70 1401 1  1

3 0 имеем

422 1 311 2 53601 4 01 7 30 где 41 1 152 2 53 23 63 4

(14.111)

(14.112)

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

303

Из (14.108)–(14.109) имеем для амплитуд: 1 61 1511 22 2 43 1 4 4 70 5 02 60 8 8 1 2 19 6 64354111 4 3 1 5 03 (14.113) 8 60 Приравнивая к нулю определитель системы (14.112)– (14.113), получаем дисперсионное уравнение для частоты колебаний: 22 1 12 2 12 12 3 2 23 (14.114) 3 4 В рассмотренном приближении ГАМ имеет веществен" ную частоту порядка баунс"частоты ионов. По современ" ным представлениям ГАМ может раскачиваться и зату" хать за счет нелинейного взаимодействия с дрейфовыми волнами, находясь с ними в динамическом равновесии.

Глава 15. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА И СТОХАСТИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

15.1. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА

Как мы видели в предыдущей главе, в ре зультате развития тирингнеустойчивости в плазме воз никают магнитные острова. Такая же конфигурация маг нитного поля может быть создана и за счет возмущений магнитного поля, вызванных токами во внешних провод никах. Рассмотрим структуру магнитных островов, воз никающих за счет того или другого механизма, более под робно. Пусть невозмущенное магнитное поле 210 132 имеет тот же вид, что и в предыдущем разделе (см. рис. 14.7), т. е. меняет знак при x = 0. Вблизи x = 0 поле меняется по линейному закону: 210 132 2 1210 2133 (15.1) В общем случае кроме поля 210 132 существует и маг нитное поле 210 1 причем для простоты будем полагать 310 142 1 320 3 Будем считать возмущенное магнитное поле стационарным (созданным внешними проводниками) и заданным в виде суммы гармоник:

531 1

3 541 2345641 1 2 642 267

41 142

(15.2)

1 Если поле 210 1 01 то вследствие условия 1 2 1 3 0 мож но ввести потоковую функцию для полного магнитного поля: 12 12 31 3 4 1 32 3 2 (15.3) 12 11

15. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА И СТОХАСТИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

305

Для одной гармоники с вещественной амплитудой 411 1 431 123 32 2 31 1 2 3 2 0 4 1320 2142 4 1 345 12 26 (15.4) 2 12 При этом следует иметь в виду, что возмущены оба ком понента магнитного поля 211 и 211 1 так как величина 211 зависит от x. Линия Y = const совпадает с силовой линией магнитного поля (рис. 14.9). Действительно, вдоль этой линии dY = dx¶Y/¶x + dy¶Y/¶y = 0, откуда с учетом (15.3) следует соотношение –Bydx + Bxdy = 0, которое совпадает с уравнением силовой линии. Согласно (15.4) в Xточке на сепаратрисе с координатами x = 0, y = 0 1 2 10 3

311 1 12

(15.5)

В Oточке на сепаратрисе с координатами x = W/2, y = p/ky 2 31 1 4 (15.6) 4 5 4 0 6 1320 23 18 29 7 1 3 2 12

2  где W — максимальная ширина сепаратрисы. Из (15.5)– (15.6) получаем выражение для ширины острова: 11 2

1 311 2 2 4 3 44 (15.7) 0 5 7 12 332 46 8 Если поле 210 отлично от нуля, то силовая линия маг нитного поля в основном движется вдоль оси z, а проек ция конца силовой линии в плоскости xy для одной гар моники с kz = 0 ведет себя так же, как при 210 1 01 образуя вблизи плоскости x = 0 магнитные острова. Если же гар моника 511 1 541 1234642 2 2 643 35 имеет конечные волновые вектора ky и kz, то выделенной является плоскость x = x0, где фаза возмущения остается постоянной вдоль невозму щенной силовой линии. Поверхность x = x0 будем назы вать резонансной. Фаза kzz + kyy = 0 постоянна вдоль пря мой z = –(ky/kz)y. Уравнение же невозмущенной силовой линии имеет вид 1 2 2310 12320 3140 4 Сопоставляя два выра жения, получаем 3 40 50 1 2 1 10 1 (15.8) 32 242 33

306

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Рис. 15.1 Магнитные острова вблизи резонансных магнитных поверхностей

Волновые вектора могут совпадать или отличаться по знаку, так что x0 может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Рассуждая так же, как для 210 1 01 можно показать, что вблизи резонансных поверхностей силовая линия маг нитного поля навивается на невозмущенную силовую ли нию. Для наблюдателя, перемещающегося вдоль невозму щенного магнитного поля, конец силовой линии образует остров. Происходит это за счет изменения yкомпонента магнитного поля при смещении силовой линии по x и из менения фазы возмущения 211 . Если спроектировать кри вую, описываемую силовой линией вокруг невозмущен ной силовой линии, на плоскость xy вдоль невозмущенно го магнитного поля, то получим картину, приведенную на рис. 15.1. Ширина острова попрежнему дается выражени ем (15.7). Если имеется много различных гармоник возму щенного магнитного поля, то в плазме возникает система островов, причем каждый остров возникает около своей ре зонансной магнитной поверхности в соответствии с (15.8).

15. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА И СТОХАСТИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

307

В осесимметричной магнитной конфигурации, напри мер в токамаке, магнитные острова возникают аналогич ным образом вблизи резонансных магнитных поверхно стей. Пусть для круглых магнитных поверхностей имеет ся возмущенное радиальное магнитное поле: 411 1 5 423 2345522 3 53467

(15.9)

213

Резонансными являются поверхности (14.77) 4 511123 2 1 3 (15.10) 6 Роль меняющегося вдоль оси x поля 210 играет полои дальное магнитное поле 110 1 изменяющееся по радиусу. Введем добавку к невозмущенному полоидальному маг нитному полю: (15.11) 4210 3 420 11 2 4 420 11123 23 которая связана с соответствующим потоком:

1210 3 45 1 6 471

(15.12)

Здесь, в отличие от (12.91), величина 2p включена в потоковую функцию. Резонансная гармоника образует во круг невозмущенной силовой линии остров изза зависи мости полоидального поля (15.11) от радиуса, аналогично плоскому случаю. При этом силовая линия в пространст ве обвивается вокруг невозмущенной силовой линии. Вве дем по аналогии с (15.3) для одной гармоники (15.9) пото ковую функцию, которая соответствует полному (вклю чая возмущенное) магнитному полю: Y = Y*(r) + Yrcos(mq – nz).

(15.13)

Величине ky + kzz в плоском случае соответствует фаза mq – nz. Поле 211 получается как 211 3 4

12 1 1 1 25 4 6 3 3 4

(15.14)

Как и в плоском случае, разложим поток в ряд вблизи резонансной магнитной поверхности: 2 3 2 1 11123 2 4

1 42 2 1 11 211 5 1123 22 4 2 1 345156 5 6726 (15.15) 2 41 2 123

308

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Действуя, как и в плоском случае, получаем 11 2

23 4 3 5 4 46 5 12 (15.16) 6 2 8 131 647 9 В общем случае радиальные возмущения магнитного поля приводят к возникновению системы магнитных ост ровов вблизи резонансных магнитных поверхностей, по ложение которых дается выражением (15.8) в плоском случае и (15.10) в цилиндрическом случае. 15.2. СТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И ДИФФУЗИЯ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ситуации, когда имеется несколько гар моник возмущенного магнитного поля достаточной ам плитуды, магнитное поле может стать стохастическим. Для этого необходимо, чтобы расстояние между соседни ми магнитными островами 230 3 30 141 242 3 4 301 1411 2 421 3 (или 1 1412513 в цилиндрическом случае) было 21123 3 1123 14253 4 1123 меньше ширины острова. Это условие стохастичности из вестно как критерий Чирикова: 3 141 2 42 3 2 3 11411 2421 3 4 (15.17) 2 Как показано ниже, уравнение, описывающее смеще ние силовой линии магнитного поля в радиальном направ лении, эквивалентно уравнению Ньютона, поэтому мож но использовать формализм, развитый в механике. Обсу дим качественно соответствующие результаты. Рассмотрим пучок силовых линий, образующих магнит ную трубку. Будем двигаться вдоль силовой линии, обозна чив пройденное расстояние l и отмечая текущее положение конца силовой линии в плоскости, перпендикулярной сило вой линии. Пусть при l = 0 множество концов силовых ли ний представляют собой кружок (рис. 15.2а). Если крите рий Чирикова не выполнен, то сечение силовой трубки при увеличении l остается примерно таким же, несколько дефор мируясь изза присутствия возмущенного поперечного маг нитного поля. При выполнении же критерия Чирикова 350 4

15. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА И СТОХАСТИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ а

б

309

в

Рис. 15.2 Деформация сечения силовой трубки с расстоянием вдоль магнитной силовой линии: а — исходное сечение при l = 0; б — начало развития стохастической неустойчи# вости l > Lc; в — стохастические блуждания силовых линий при l >> Lc.

характер движения концов силовой линии в поперечной плоскости меняется. Согласно общей теории движение становится неустойчивым (это утверждение известно как теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера). Существу# ет так называемая колмогоровская длина Lc, такая, что при l > Lc силовые линии начинают экспоненциально рас# ходиться. Это явление и представляет собой стохастиче# скую неустойчивость. Затем начинается стохастическая диффузия — случайные блуждания концов силовых ли# ний в поперечной плоскости. При этом сечение силовой трубки сильно деформируется, растягиваясь в одном на# правлении и сжимаясь в другом направлении, так как пло# щадь сечения трубки должна сохраняться, что следует из сохранения магнитного потока (рис. 15.2б). При дальней# шем увеличении пути l вдоль силовой линии сечение си# ловой трубки приобретает сложный вид, показанный на рис. 15.2в. Длина «рукавов» возрастает, а их толщина уменьшается, обеспечивая сохранение общей площади. Средний квадрат смещения в поперечном направле# нии, в частности в интересующем нас направлении x, при l > Lc пропорционален длине l в соответствии со случай# ным характером блужданий:

11322 2 2412 53

(15.18)

где величина Dst называется коэффициентом стохастиче# ской диффузии силовых линий магнитного поля. Чтобы связать величину коэффициента стохастической диффузии с возмущенным магнитным полем, рассмотрим

310

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

вначале уравнение силовой линии в присутствии возму щений. Уравнения силовой линии имеют вид 42 1 32 1 45 3

41 31 2 1 1 2 45 3 6

(15.19)

где 3 2 410 12420 314 Интегрируя второе уравнение, для сило вой линии, которая при l = 0 соответствует x = x0 и y = 0, имеем 1 12 1 3 2 0 3 4 1 1421 (15.20) 5 5 10

Для одной гармоники возмущения, удовлетворяющей условию (15.8), после подстановки (15.20) в фазу возму щения из первого уравнения (15.19) получаем 32 1 61 531 2 0 12347 3 1 16856 (15.21) 68 54 9 10

Покажем, что уравнение (15.21) эквивалентно урав нению Ньютона в задаче о движении заряженной части цы в поле продольной волны. Для периодической волны уравнение движения частицы имеет вид 12 2 13 4 1 1 50 123426 3 7256 162 16 8

(15.22)

Перейдем в систему отсчета, движущуюся с фазовой скоростью волны: 1 1 2 2 3 111 (15.23) 3 В движущейся системе отсчета 121 3 3 1 56 1 4 123 561 1 40 12345 2 217 17 8 0 8

(15.24)

Уравнение (15.24) эквивалентно уравнению (15.21), причем переменные в (15.21) следующим образом соответ ствуют переменным в задаче о движении частицы в поле волны: 21 421 5 6 1 71 8 1 92 1 1 0 1 1 22 (15.25)  430 Как известно, характер движения частицы зависит от ее энергии. Если кинетическая энергия частицы в движу

15. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА И СТОХАСТИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

311

Рис. 15.3 Фазовая плоскость 111 2 21 3

щейся вместе с волной системе отсчета мала, то частица является захваченной и колеблется между горбами потен циала. Частица с большой кинетической энергией остает ся пролетной, причем скорость ее промодулирована за счет потенциала волны. Различный характер движения иллю стрируется фазовой плоскостью (рис. 15.3). Граничная скорость, которая соответствует сепаратрисе, находится из условия 23112 4 2 1 242123 5 откуда 11 2

2 21 3 411 4 2 5 234 6 7 5 8

11 2

2 23 3 4 25 0 6 7 56 8

5

(15.26)

а ширина сепаратрисы: 11 2

1 23 2 34 4 2411 4 4 5 0 6 2 (15.27) 7 56 8 Формула (15.27) соответствует выражению для шири ны острова (15.7) с учетом соответствия (15.25). Если на заряженную частицу действует несколько волн, то на фазовой плоскости возникает несколько зон финитного движения, соответствующих захвату полем разных волн, шириной (15.27). При перекрытии этих зон движение частицы становится случайным. В этом случае в соответствии с эргодической теорией описание одной частицы эквивалентно описанию ансамбля частиц с по мощью функции распределения. Соответствующее кине тическое уравнение имеет вид

11 11 231 11 24 2 3 01 15 16 7 14

(15.28)

312

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где малое электрическое поле представляет собой сумму гармоник: (15.29) 21 1 5 21 12342331 4 4 31556 1

В квазилинейном приближении ищем решение в виде 2 1 2 0 2 21 1 21 1 5 21 23453341 4 2 31567

(15.30)

1

При квазилинейном подходе пренебрегают взаимодей ствием гармоник и учитывают лишь воздействие всех волн на функцию f0. В линейном приближении кинетическое уравнение сводится к уравнению для гармоник: 23 14 0 12531 4 516 241 5 2 1 3 (15.31) 7 16 откуда следует 41 2 35

231 14 0 1 1 6 17 41 3 17

(15.32)

Здесь, в соответствии с (8.39),

1 2 1 1 3 28 9 4 356171 4 14 23 71 4 14

71 4 14 

(15.33)

Уравнение для f0 получается при учете в кинетическом уравнении (15.28) квадратичных членов и последующем усреднении по пространству: 11 0 231 111 23 1 (15.34) 14 5 16 При усреднении в двойном суммировании остаются только члены с k = –k¢ и мнимая часть (15.33) (см. также раздел 8.5): 2 2 44 0 44 0 2 4 15 32 31 63 7 8191 15 2

2 46 45 5 1 45 6 7 

(15.35)

Это уравнение представляет собой уравнение диффу зии в пространстве скоростей с квазилинейным коэффи циентом диффузии:

15. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА И СТОХАСТИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

313

2

122 31 426 3141 5 15 23 62 1

(15.36)

Диффузия в пространстве скоростей стремится уста новить плато на функции распределения в области, где есть резонансы. Используя аналогию между стохастическим движени ем заряженной частицы в поле многих волн и движением конца силовой линии магнитного поля при перекрытии магнитных островов, введем для описания последнего функцию распределения fB в плоскости, перпендикуляр ной силовой линии. По аналогии с (15.36) с учетом соот ветствия (15.25) уравнение для плотности силовых линий должно иметь вид уравнения диффузии: 2 1 2 431 354 6 35 3 4 (15.37) 6 7 0 2 8232 9 31 3 4 5 1 8 36 5 37 36 43 13 242 3

1 2  где коэффициент стохастической диффузии силовых линий дается выражением 2 61 7 (15.38) 845 1 5 2 30 2 3232 4 31 34 9 6 2 3 2 3 13 1

2

Аналогично в тороидальной геометрии с учетом соот ношения d(n/R – mBq/rBz) = Rd(n – m/q) имеем 2

512 322 4 1 3 845 (15.39) 52 112 Коэффициент стохастической диффузии имеет размер ность длины и определяет средний квадрат смещения си ловой линии в поперечном направлении в зависимости от пройденной длины в соответствии с (15.18). 634 1 5 27

15.3. ПЕРЕНОС В СТОХАСТИЧЕСКОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ Диффузия силовой линии приводит к появ лению стохастических коэффициентов переноса. Оценить коэффициент диффузии пробной частицы, например элек трона, можно следующим образом. Пусть длина свободного

314

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

электрона lmfp больше, чем колмогоровская длина Lc. В этом случае электрон свободно летит вдоль силовой ли нии, одновременно смещаясь поперек магнитного поля вместе с ней. Поперечное смещение становится необрати мым только после столкновения, в результате которого ведущий центр ларморовской окружности электрона сме щается на величину порядка электронного ларморовско го радиуса rce. Первоначально электрон был «размазан» по силовой трубке радиуса rce. При l > Lc поперечное сечение силовой трубки приобретает вид, показанный на рис. 15.2, причем поперечный размер «рукавов» становится меньше rce. Поэтому при столкновении электрон переходит в совсем другую трубку и «забывает» о своей истории, в результате чего движение становится необратимым. Так как за время t электрон пролетает длину l = V||t, то в соответствии с (15.18)

21332 2 2412 51124

(15.40)

и коэффициент диффузии пробной частицы: Dtest = DstV||.

(15.41)

Заменяя параллельную скорость электронов на сред нюю тепловую скорость, получим оценку для электронной температуропроводности в стохастическом магнитном поле: ce = DstVTe.

(15.42)

Это выражение известно как формула Речестера — Розенблюта. Коэффициент диффузии в стохастическом магнитном поле значительно меньше — он определяется движением ионов вдоль силовой линии, скорость которых в (mi/me)1/2 меньше, чем скорость электронов. В плазме возникает амбиполярное электрическое поле, которое тормозит элек троны, а результирующий амбиполярный коэффициент диффузии можно оценить как D = Dstcs,

(15.43)

где 41 1 152 2 53 23 63 — скорость ионного звука. В случае, когда стохастическое магнитное поле созда ется за счет развитой турбулентности, оценить коэффи

15. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА И СТОХАСТИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

315

циенты переноса можно следующим образом. В уравнении для магнитного поля (10.14) 1 1 1 1 21 3 22 3 5 6 7 23 7 13 4 1 6 7 481 116 7 15 4 (15.44) 24 9 4 9 оценим бесстолкновительную проводимость как 212 11 2 (15.45) 31 2 где w — характерная частота турбулентности. Характерный масштаб оценим как масштаб, на котором нарушается вмо" роженность, т. е. все три члена в уравнении (15.44) стано" вятся одного порядка. Сравнивая первый и третий члены 2231 14 (15.46) 1 4351242 получаем характерный масштаб: 3 12 1 (15.47) 3 12 где 1 12 2 43322 1 42 электронная плазменная частота. Масштаб d называется бесстолкновительным скин"слоем. Для токамака положим, что силовая линия отклоняется на величину d на колмогоровской длине, которая в тока" маке порядка qR, откуда 4 (15.48) 511 1 5 2 3 1 23 67 41 2

Подставляя эту оценку в (15.42), (15.39), получаем оценку электронной теплопроводности в стохастическом магнитном поле: 42 5 (15.49) 12 1 2 12 2 2 32 62 7 Это выражение, известное как формула Окавы, пред" ставляет собой оценку электронной температуропровод" ности в стохастическом магнитном поле при развитой маг" нитной турбулентности. При этом коэффициент темпера" туропроводности обратно пропорционален концентрации и не зависит от величины магнитного поля. В реальности, однако, такой уровень магнитной турбулентности, по"ви" димому, не достигается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. М. : Наука, 1973. 2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. М. : Наука, 1973. 3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. ч. 1. — М. : Наука, 1976. 4. Голант, В. Е., Жилинский, А. П., Сахаров И. Е. Основы физи ки плазмы. — СПб. : Лань, 2011. 5. Чен, Ф. Введение в физику плазмы. — М. : Мир, 1987. 6. Силин, В. П. Введение в кинетическую теорию газов. — М. : Наука, 1971. 7. Рожанский, В. А., Цендин, Л. Д. Столкновительный перенос в частичноионизованной плазме. — М. : Энергоатомиздат, 1988. 8. Сивухин, Д. В. Вопросы теории плазмы / cб. под ред. Леонтови ча М. А. вып. 1. — М. : Госатомиздат, 1963. 9. Брагинский, С. И. Вопросы теории плазмы / cб. под ред. Леон товича М. А. вып. 1. — М. : Госатомиздат, 1963. 10. Жданов, В. М. Явления переноса в многокомпонентной плаз ме. — М. : Энергоиздат, 1982. 11. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М. : Наука, 1982. 12. Трубников, Б. А. Теория плазмы. — М. : Энергоатомиздат, 1996. 13. Hirshman, S. P., Sigmar D. J. Nuclear Fusion 21 (1981) 1079.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. Кинетическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Кинетическое уравнение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Интеграл столкновений при кулоновском взаимодействии . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Общий вид дополнительного потока в пространстве скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Торможение и расплывание облака пробных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Потери импульса и энергии пробными частицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Столкновительный член в форме Ландау . . . . . . 1.3. Уравнение Фоккера — Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Убегающие электроны в полностью ионизованной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Функция распределения электронов в слабоионизованной плазме ..................... 1 1.5.1. Приближение f0, 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Функция распределения в электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Влияние электрон/электронных столкновений . . . 1 1.5.4. Общее выражение для 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Коэффициенты переноса электронов в слабоионизованной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Кинетическое уравнение в дрейфовом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Уравнения моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Коэффициенты переноса в полностью ионизованной плазме. Метод Чепмена — Энскога . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Сводка результатов для полностью ионизованной плазмы . . . . . . . . . . . . . 2.4. Коэффициенты переноса в полностью ионизованной плазме. Качественное рассмотрение . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Сила трения, обусловленная относительной скоростью. Термосила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Проводимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Поток тепла. Теплопроводность, конвективная часть . . . . . . . 2.4.4. Тепловыделения при столкновениях . . . . . . . . . 2.4.5. Вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Уравнение для энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 4 9 9 11 15 16 17 20 25 26 30 32 33 33 36 38 38 42 48 51 51 52 53 56 56 57

318

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

Глава 3. Квазинейтральность и слой пространственного заряда . . . 3.1. Установление квазинейтральности . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Бесстолкновительный слой пространственного заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Электроны в конденсаторе с тормозящим полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Потоки частиц и энергии на материальные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Вольт"амперная характеристика слоя. Плавающий потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Структура слоя. Критерий Бома . . . . . . . . . . . . 3.3. Влияние электронной эмиссии. Двойной слой . . . . . 3.4. Слой в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 4. Диффузия частично ионизованной плазмы без магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Уравнение амбиполярной диффузии . . . . . . . . . . . . . 4.2. Примеры решения диффузионных задач . . . . . . . . . . 4.2.1. Распад начального возмущения в безграничной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Положительный столб газового разряда . . . . . 4.2.3. Диффузионный распад плазмы . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Диффузионный зонд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 5. Диффузия частично ионизованной плазмы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Диффузия и подвижность в магнитном поле . . . . . . . 5.2. Одномерная диффузия в магнитном поле . . . . . . . . . . 5.2.1. Диффузия поперек магнитного поля . . . . . . . . 5.2.2. Одномерная диффузия под произвольным углом к магнитному полю . . . 5.3. Диффузия возмущения в безграничной плазме . . . . . 5.4. Диффузия в плазме, ограниченной стенками . . . . . . 5.5. Диффузионный зонд в магнитном поле . . . . . . . . . . . Глава 6. Частично ионизованная плазма с током . . . . . . . . . . . . . 6.1. Плазма с током без магнитного поля . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Малые возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Нелинейная эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Плазма с током в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Одномерная эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Эволюция малого возмущения в безграничной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Эффект восстановления проводимости . . . . . . . Глава 7. Перенос сильноионизованной плазмы поперек магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Классическая диффузия полностью ионизованной плазмы поперек магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Перенос примесей в полностью ионизованной плазме поперек магнитного поля . . . . 7.3. Частично ионизованная плазма с неоднородной концентрацией нейтралов . . . . . . . . . Глава 8. Дрейфовые волны и турбулентный перенос . . . . . . . . . . 8.1. Дрейфовые волны в неоднородной плазме . . . . . . . . . 8.2. Дрейфово"диссипативная неустойчивость . . . . . . . . . 8.3. Универсальная неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Неустойчивости, вызванные градиентом температуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Турбулентная диффузия под действием случайных электрических полей . . . .

60 60 63 64 67 68 69 72 74 77 77 80 80 81 83 83 85 85 89 89 90 94 100 104 107 107 109 111 113 113 114 116 118 118 124 126 129 129 133 136 140 142

ОГЛАВЛЕНИЕ

8.6. Влияние шира магнитного поля на развитие неустойчивостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 9. Динамика полностью ионизованной плазмы без магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Ионный звук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Нелинейная динамика. Автомодельные решения . . . 9.3. Простые нелинейные волны. Опрокидывание . . . . . . 9.4. Нелинейные ионно!звуковые волны с дисперсией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 10. Магнитная гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Уравнения магнитной гидродинамики . . . . . . . . . . 10.2. Вмороженность и скин!эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Магнитогидродинамические волны . . . . . . . . . . . . . 10.4. Нелинейные магнитогидродинамические волны . . . 10.5. Магнитозвуковые волны с дисперсией . . . . . . . . . . . Глава 11. Динамика плазменных пучков и сгустков в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Движение плазмы поперек магнитного поля в вакууме . . . . . . . . . . . . . 11.2. Торможение плазменной струи в фоновой плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 12. Равновесие плазмы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . 12.1. О невозможности равновесия без внешнего магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Равновесие пинча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Поверхностные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Уравнение Грэда — Шафранова . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Интегральное условие равновесия плазмы в токамаке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Равновесие плазмы в токамаке с магнитными поверхностями, близкими к круговым . . . . . . . . . . 12.7. Системы координат для магнитных поверхностей произвольной формы . . . . . . . . . . . . . 12.8. Бессиловое равновесие и канонические профили в пинчах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 13. Процессы переноса в токамаках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1. Гидродинамический режим (режим Пфирша — Шлютера) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1. Качественные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2. Теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3. Течения плазмы на магнитной поверхности, возмущения концентрации и потенциала . . 13.1.4. Потоки частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Радиальное электрическое поле, полоидальное и тороидальное вращение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Неоклассический перенос в бесстолкновительных режимах . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Функция распределения частиц в бесстолкновительных режимах . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Уравнения баланса частиц и тепла . . . . . . . . . . . . . . Глава 14. Устойчивость плазмы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . 14.1. Неустойчивость Рэлея — Тейлора в жидкости . . . . 14.2. Желобковая неустойчивость плазмы . . . . . . . . . . . . 14.3. Диссипативные модификации желобковой неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1. Неустойчивость Рэлея — Тейлора в частично ионизованной плазме . . . . . . . . .

319

146 152 152 158 161 163 168 168 172 176 185 188 192 192 197 202 203 204 206 211 215 220 224 228 233 235 235 238 241 245 246 252 261 269 274 274 278 283 283

14.3.2. Желобковая неустойчивость плазмы, контактирующей с металлическими стенками . . . . . . . . . . . . . 14.3.3. Гравитационнодиссипативная желобковая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4. Энергетический принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5. Винтовая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. Тирингмода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7. Геодезикоакустическая мода и зональные течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 15. Магнитные острова и стохастизация магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1. Магнитные острова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Стохастическая неустойчивость и диффузия силовых линий магнитного поля . . . . . 15.3. Перенос в стохастическом магнитном поле . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284 286 286 289 295 300 304 304 308 313 316

Владимир Александрович РОЖАНСКИЙ

ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ Учебное пособие ГДЕ КУПИТЬ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЙ: Для того чтобы заказать необходимые Вам книги, достаточно обратиться в любую из торговых компаний Издательского Дома «ЛАНЬ»: по России и зарубежью «ЛАНЬТРЕЙД». 192029, СанктПетербург, ул. Крупской, 13 тел.: (812) 4128578, 4121445, 4128582; тел./факс: (812) 4125493 email: [email protected]; ICQ: 446869967 www.lanpbl.spb.ru/price.htm в Москве и в Московской области «ЛАНЬПРЕСС». 109263, Москва, 7я ул. Текстильщиков, д. 6/19 тел.: (499) 1786585; email: [email protected] в Краснодаре и в Краснодарском крае «ЛАНЬЮГ». 350072, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1/1 тел.: (861) 2741035; email: [email protected] ДЛЯ РОЗНИЧНЫХ ПОКУПАТЕЛЕЙ: интернет#магазины: Издательство «Лань»: http://www.lanbook.com «Сова»: http://www.symplex.ru; «Ozon.ru»: http://www.ozon.ru «Библион»: http://www.biblion.ru Подписано в печать 20.06.10. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84´108 1/32. Печать офсетная. Усл. п. л. 16,80. Тираж 1000 экз. Заказ №

.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Издательскополиграфическое предприятие «Правда Севера». 163002, г. Архангельск, пр. Новгородский, д. 32. Тел./факс (8182) 641454; www.ippps.ru