Цикл Карно: Компьютерные лабораторные работы по молекулярной физике

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

Кафедра физики

Любутина Л.Г. № 183к − «ЦИКЛ КАРНО» (КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ)

2

Лабораторная работа №183к ЦИКЛ КАРНО

Цель и содержание работы Цель работы состоит в изучении на компьютерной модели цикла Карно для идеального газа.

Содержанием работы является: • Знакомство с компьютерной моделью, иллюстрирующей цикл Карно для идеального газа. • Определение по данным, полученным на основе компьютерной модели цикла Карно: 1) работы, совершённой газом за цикл; 2) приведенного количества тепла; 3) коэффициента полезного действия цикла Карно. • Рассмотрение цикла Карно с точки зрения изменения энтропии.

Краткая теория работы Состояние макросистемы характеризуется величинами, которые называют термодинамическими параметрами, или параметрами состояния (давление p, объем V, температура T и др.). Если эти параметры имеют определенные и постоянные значения для любой части макросистемы, то ее состояние называют равновесным. На диаграммах состояния (p−V, V−T, p−T и др.) равновесное состояние изображается точкой. Процессом в термодинамике называют изменение состояния системы с течением времени. Если вызывающее процесс внешнее воздействие осуществляется достаточно медленно, то можно считать, что процесс проходит через последовательность равновесных состояний. Такой процесс называют равновесным или квазистатическим. На диаграммах состояния он изображается соответствующей кривой Обратимым называется процесс, при реализации которого в обратном направлении система проходит через ту же совокупность равновесных состояний (т.е. по той же кривой), но в обратной последовательности. Равновесные процессы всегда обратимы. Круговым процессом или циклом называется процесс, при котором система после ряда изменений возвращается в начальное состояние. Обратимый цикл изображается на диаграммах состояния замкнутой кривой. Важнейшей характеристикой макросистемы является внутренняя энергия U, которая состоит из: суммарной кинетической энергии

3

хаотического движения молекул; потенциальной энергии взаимодействия всех молекул системы; внутренней энергии частиц, составляющих систему. Внутренняя энергия является функцией состояния системы, т.е. не зависит от предыстории системы. При изменении состояния приращение внутренней энергии ∆U=U2 − U1 не зависит от вида процесса, а определяется только конечным и начальным состояниями системы. Внутренняя энергия идеального газа определяется средней энергией молекул газа <ε > и их числом N = ν⋅NA , где ν − число молей, NA − число Авогадро (NA = 6.02⋅1023моль-1): U = N⋅ <ε > Средняя энергия молекулы <ε> зависит только от температуры газа и числа степеней свободы, которое равно числу независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве. Одноатомная молекула имеет только три степени свободы, соответствующие поступательному движению: i=iпост=3. С вращательным движением связаны вращательные степени свободы, число которых (iвр) равно двум для двухатомной (или линейной) молекулы и трем для многоатомной (нелинейной) молекулы. Для молекул с упругой связью между атомами необходимо ввести колебательные степени свободы: для N-атомной молекулы iкол = 3N − (iпост+ iвр). Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы, средняя кинетическая энергия, приходящаяся в условиях теплового равновесия на одну степень свободы любой атомно-молекулярной системы, равна ½ kT (к=1.38⋅10-23Дж/К − постоянная Больцмана). Средняя энергия одной молекулы и внутренняя энергия газа соответственно равны: m iRT iRT ikT U= =ν i = iпост+ iвр+2iкол (1) < ε >= µ 2 2 2 Здесь m − масса газа, µ − его молярная масса, R=кNA=8.31 Дж/(К⋅моль) − молярная газовая постоянная, i − сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы. (Удвоение числа колебательных степеней свободы обусловлено тем, что колебательное движение связано как с кинетической, так и потенциальной энергией). Отметим, что количество тепла Q, передаваемое системе, и работа A, ею совершаемая, существенным образом зависят от процесса, т.е. являются функциями процесса, а не функциями состояния макросистемы. Работа, совершаемая системой при изменении ее объема, равна: 2

A12 = ∫ pdV

(2)

1

Первое начало термодинамики является фактически обобщением закона сохранения энергии на тепловые процессы, устанавливая количественные соотношения между превращениями одних видов энергии в

4

другие. Его формулировка: количество теплоты, сообщенное системе, идет на приращение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами. (3) Q = ∆U + А или в дифференциальной форме: δQ = dU + δА (3* )

Второе начало термодинамики, для которого существует несколько эквивалентных формулировок, определяет условия, при которых возможны эти превращения энергии, а также возможные направления протекания процессов. Так, если бы не второе начало, можно было легко решить энергетическую проблему – построить двигатель, который, беря тепло из незамерзающего Мирового океана, целиком превращал бы его в работу. Тепловой машиной или тепловым двигателем называется периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет получаемого извне количества теплоты. Любая тепловая машина состоит из нагревателя, холодильника и рабочего тела. Нагреватель и холодильник представляют собой два тепловые резервуара, имеющие постоянные температуры Т1 >Т2. Тепловой резервуар с более высокой температурой Т1 называют нагревателем, а с более низкой температурой Т2 – холодильником. Если привести в тепловой контакт два тела с разными температурами, то тепло самопроизвольно всегда переходит от тела с большей температурой к более холодному телу (одна из формулировок второго начала – формулировка Клаузиуса). В результате, происходит выравнивание температур, и в системе устанавливается состояние термодинамического равновесия. Процесс перехода тепла от горячего тела к холодному является необратимым. Важно подчеркнуть, что никакой работы при этом не производится. Таким образом, для получения работы необходимо привлечь еще одно, вспомогательное тело, которое называют рабочим телом. Например, это может быть газ в цилиндрическом сосуде под поршнем. Работа любого теплового двигателя получается в результате повторяющихся циклов. При этом за цикл от нагревателя с температурой Т1 отнимается количество теплоты Q1, а холодильнику с температурой Т2 передаётся количество теплоты Q2. После завершения цикла рабочее тело возвращается в исходное состояние, поэтому изменение его внутренней энергии за цикл равно нулю. Таким образом, полезная работа, совершаемая рабочим телом за цикл, равна А = Q1 − Q2, а коэффициент полезного действия тепловой машины: A Q1 − Q2 Q2 η= = = 1− <1 (4) Q1 Q1 Q1

5

Принцип действия теплового двигателя иллюстрируется на рис.1. Нагреватель

Т1 Q1

А=Q1− Q2

Рабочее тело

Q2 Холодильник

Т2 Рис.1 Подчеркнем еще раз общее правило: необратимые процессы препятствуют совершению работы (вспомним необратимый переход тепла от горячего тела к холодному). Поэтому для повышения коэффициента полезного действия тепловых двигателей необходимо избегать необратимых процессов. Максимальный коэффициент полезного действия будет у идеальной тепловой машины, использующей так называемый цикл Карно, где рабочим телом служит идеальный газ в цилиндре с поршнем. Уравнение состояния идеального газа (уравнение МенделееваКлапейрона) имеет вид: m pV = RT (5)

µ

Цикл Карно − круговой обратимый процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических процессов (см. окно теории). Если его проводить достаточно медленно, то все промежуточные состояния можно считать практически равновесными, а сам процесс квазистатическим. Адиабатическим называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой (dQ = 0). Уравнение адиабаты в переменных p, V (уравнение Пуассона) и переменных T, V имеет соответственно вид: PV γ = const

TV γ -1 = const

(6)

Константа γ, называемая показателем адиабаты, равна отношению теплоемкости при постоянном давлении Cp к теплоемкости при постоянном объеме CV :

6

dU m iR  dQ  CV =  =  =  dT V dT µ 2

(7)

dU m ( i + 2 )R  dQ   dV  CP =  + P  =  = 2  dT  P dT  dT  P µ

γ=

(8)

CP 2 = 1+ CV i

(9)

Цикл Карно изображён на рис.2. P

1 Q1 2

T1 T2

4 Q2

3 V

Рис. 2. Цикл Карно Изотермическое расширение и сжатие изображаются соответственно кривыми 1-2 и 3-4, а адиабатическое расширение и сжатие изображены на кривых 2-3 и 4-1. При изотермическом процессе внутренняя энергия не меняется U=const, поэтому количество теплоты Q1, полученное газом от нагревателя, равно работе изотермического расширения А12, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2: V m A12 = RT1 ln 2 = Q1 (10) µ V1 При адиабатическом расширении 2-3 теплообмен с окружающей средой отсутствует, и работа расширения A23 совершается за счёт изменения внутренней энергии газа: m A23 = U2 − U3 = CV T − T  (11) 2 µ  1 Количество теплоты Q2, отданное газом холодильнику изотермическом сжатии, численно равно работе сжатия А34: V m A34 = RT2 ln 4 < 0 µ V3

при

(12)

7

Работа адиабатического сжатия: m (13) A41 = U4 − U1 = CV T − T  1 µ  2 Таким образом, работа, совершаемая в результате прямого кругового

цикла Карно, равна: А = А12 + А23 + А34 + А41= Q1 − Q2

(14)

С учетом уравнения (6) для адиабатических процессов 2-3 и 4-1 имеем: T1V2γ − 1 = T2V3γ − 1 ;T2V4γ − 1 = T1V1γ − 1 ⇒

V2 V3 = V1 V4

Коэффициент полезного действия цикла Карно равен: m

η=

A Q1 − Q2 µ = = Q1 Q1

RT1 ln

V2 m V3 − RT2 ln V1 µ V4

V RT1 ln 2 µ V1

m

=1−

T2 T1

(15)

Сформулируем теоремы Карно. Первая теорема Карно: коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур Т1 и Т2 нагревателя и холодильника, но не зависит от устройства машины, а также от вида используемого рабочего тела. Отметим, что коэффициент полезного действия любого теплового двигателя, где есть необратимые процессы, всегда меньше, чем у двигателя, работающего по обратимому циклу Карно. Таким образом, КПД всякой тепловой машины не может превосходить КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами нагревателя и холодильника (так называемая вторая теорема Карно). Для определения меры необратимого рассеяния энергии было введено понятие энтропии S, которая, как и внутренняя энергия, является функцией состояния системы. Термодинамическое определение энтропии связывает ее δQ элементарное приращение dS с приведенным количеством тепла : T обр.

dS =

или в интегральной форме

δQ T обр . 2 δQ

S 2 − S1 = ∫

(16)

(16* ) T 1 Знак равенства в этих формулах относится только к равновесным (квазистатическим) процессам.

8

Для необратимых процессов: dS >

δQ

(17) T Одно из важнейших свойств энтропии заключается в том, что энтропия изолированной макросистемы не уменьшается – она либо возрастает, либо остается постоянной (когда все процессы имеют обратимый характер). Принцип возрастания энтропии замкнутых систем представляет собой еще одну формулировку второго начала термодинамики. Величина возрастания энтропии в замкнутой макросистеме является мерой необратимости процессов, протекающих в системе. Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике, где энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния макросистемы (или ее статистическим весом). Термодинамическая вероятность W – это число способов (микросостояний), которыми может быть реализовано данное макро-состояние. Связь энтропии и термодинамической вероятности дается формулой Больцмана: S=k⋅lnW, где к- постоянная Больцмана.

Методика и порядок измерений Выберите «Термодинамика и молекулярная физика», «Цикл Карно». Прочитайте теорию, внимательно рассмотрите нижеприведенный рисунок и занесите необходимое в свой конспект лабораторной работы.

Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.

9

Выполнение эксперимента 1. Выберите один из вариантов температур, указанных в таблице1. Установите первые значения температур Т1 и Т2. Для этого нажмите кнопку «ВЫБОР», переместите курсор так, чтобы его остриё находилось на кнопках регуляторов термометров или . Последовательными короткими нажатиями на эти кнопки установите заданные температуры нагревателя и холодильника. Запишите приведенное в окне опыта значение коэффициента полезного действия для выбранных температур. Таблица 1. Значения температуры нагревателя Т1 и холодильника Т2 Варианты

Т, К

I

II

III

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Т1

400

480

550

420

500

570

450

540

600

Т2

270

350

310

290

340

300

320

280

330

2. Нажмите кнопку «СТАРТ» и наблюдайте перемещение точки по замкнутой кривой цикла Карно. 3. Остановите процесс нажатием кнопки «СТОП» вблизи точки 2, (см. рис.2), которая соответствует переходу изотермического расширения газа в адиабатическое. Запишите в таблицу 2 значения V2 и p2, которые в момент остановки процесса в точке 2 будут обозначены в нижнем прямоугольнике окна опыта. 4. Аналогичные измерения проведите для состояний 3, 4 и 1 и запишите значения давлений и объёмов газа в соответствующие столбцы таблицы 2. 5. Повторите измерения еще два раза, следуя пунктам 3, 4. Данные запишите в строки 2 и 3 таблицы 2. 6. Повторите весь цикл измерений (см. п.п. 2 ÷ 5) ещё два раза, устанавливая новые значения температуры нагревателя и холодильника, указанные в таблице1 (столбцы 2 и 3 соответственно). Результаты опытов занесите в таблицы 3 и 4, аналогичные таблице 2.

10

Таблицы 2,3,4. Результаты измерений Т1= состояния

№№

Т2=

1 Т= V1 дм3

2 р1 кПа

Т= V2 дм3

3 р2 кПа

Т= V3 дм3

4 р3 кПа

Т= V4 дм3

р4 кПа

1 2 3 Средние значения pV T

Обработка результатов измерений 1. Для каждого из вариантов температур Т1, Т2 найдите средние значения давлений (р1, р2, р3 и р4) и объемов (V1, V2, V3 и V4). Результаты запишите в таблицы 2,3,4. 2. Используя полученные средние значения давлений и объемов (см. pV таблицы 2, 3, 4), найдите для всех состояний (1, 2, 3, 4) и запишите T результаты в соответствующие таблицы. 3. С помощью уравнения состояния идеального газа определите число молей ν газа в данной компьютерной модели. Оцените погрешность ∆ν. 4. Используя уравнения (10), (12) и (14), рассчитайте Q1, Q2, A и запишите полученные значения в таблицу 5. Сделайте оценку погрешностей измерения.

11

A рассчитайте и запишите в таблицу 5 коэффициенты Q1 полезного действия цикла Карно для всех рассмотренных случаев. Сравните полученные результаты с записанными ранее теоретическими значениями (см. раздел: «Выполнение эксперимента», пункт 1).

5. По формуле η =

6. Вычислите приведенное количество тепла для всех процессов. Результаты запишите в таблицу 5. 7. Найдите изменение энтропии для всех рассмотренных процессов. 8. Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы. Таблица 5. Обработка результатов измерений №

Т1 К

Т2 К

Q1 Q2 кДж кДж

A η кДж %

Q1

Q2

T1

T2

∆S12

∆S34

∑∆S

1 2 3

Контрольные вопросы 1. Какой газ называется идеальным? Напишите его уравнение состояния. 2. Дайте определение внутренней энергии макросистемы. Чему равна внутренняя энергия идеального газа? 3. Сформулируйте первое начало термодинамики. 4. Сформулируйте второе начало термодинамики. 5. Какой вид имеет первое начало термодинамики для изотермического и адиабатического процессов? 6. Какие устройства называют тепловыми двигателями? Из каких основных элементов состоит тепловой двигатель? 7. Зачем в тепловом двигателе нужен холодильник? Что является холодильником в двигателе внутреннего сгорания?

12

8. Чем отличаются обратимые и необратимые процессы? Почему все реальные процессы необратимы? 9. Дайте определение понятия энтропии. Какова ее размерность? 10. В каком направлении может изменяться энтропия замкнутой системы? незамкнутой системы? 11. Дайте вероятностное определение энтропии. 12. Сформулируйте первую и вторую теоремы Карно? 13. Выведите формулу для коэффициента полезного действия цикла Карно. 14. Каковы пути повышения КПД тепловых двигателей? 15. Изобразите в системе координат T-S изотермический и адиабатический процессы и цикл Карно в целом.

Литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики, кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. –М.: ООО «Издательство АСТ», 2005. §§ 1.3 ÷ 1.10, 2.5. 2. Иродов И.Е. Физика макросистем. –М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. §§ 2.11, 3.1, 3.3, 3.5. 3. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.2. −М.: Наука, 2002. §§ 28, 29, 30, 44. 4. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. −М.: Наука, 1969. §§ 62÷69.