Математическая статистика: Пособие по специальности ''Математика''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

М А Т ЕМ А Т И Ч ЕС К А Я

С ТАТИ С ТИ К А

п особие п о сп ециал ьности 010100 – "М атематика"

В оронеж 2004

2

У тв ержд енонаучно-метод ическим сов етом математического факультета(3 сентября2004 г., п ротокол№ 1 )

Состав ители: М их айлов аИ .В . Барков аЛ .Н .

П особие п од готов лено на кафед ре урав нений в частны х п роизв од ны х и теории в ероятностей математическогофакультета В оронежскогогосуд арств енногоунив ерситета. Рекоменд уется д ля студ ентов 5 курсав ечернегоотд еления математическогофакультета

3

ВВЕДЕН И Е Т ермин статистика яв ляется многозначны м. М ы буд ем смотреть на статистикукак на наукуо сборе, обработке и нагляд ном п ред став лении д анны х . Ф унд аментальны м п онятием статистической теории яв ляется п онятие с т ат ис т ич е с ко й или ге не рально й с о во купно с т и, которая п ред став ляет собой некоторую сов окуп ность объ ектов , как од уш ев ленны х , так и неод уш ев ленны х ; как реальны х , так и мы слимы х . К ак п рав ило, интерес п ред став ляю т не сами элементы генеральной сов окуп ности, а их числов ы е х арактеристики (скалярны е или в екторны е). М ножеств означений этой х арактеристики буд ем обозначатьX. П ример 1. Рассмотрим сов окуп ность избирателей г. В оронежа. И х отнош ение к оп ред еленному канд ид ату, участв ую щ ему в избирательной комп ании можнооп исать таким образом: 1 - за; 0 - затруд няю сь; -1 п ротив , тоесть X={-1, 0, 1}. П ример 2. Рассмотрим сов окуп ностьсотруд ников В ГУ . Д ля кажд ого сотруд ника можнооп ред елить такие х арактеристики: п ол(1-ж; 0-м); в озраст; заработная п лата за конкретны й месяц или год . Т оесть X={ (n,x,y): n=0,1; x ≥ 18; y ∈ R+ }. П ример 3. Генеральная сов окуп ность – п артия из ты сячи буты лок Ф анты . Н ас интересует качеств онап итка в д анной п артии: 0 – отв ратительны й нап иток; 1 – х орош ий нап иток; 2 – оченьх орош ий. Т оестьX={ 0, 1, 2 }. П ример 4. Рассмотрим измерение некоторой физической константы . Зд есьв качеств е генеральной сов окуп ности некоторы й п ромежуток или же множеств од ейств ительны х чисел, т.е. X ∈ R1 . В астрономических и геод езических измерениях результаты измерения можносчитать случайны ми в еличинами, которы е имею т нормальное расп ред еление Ν ( µ0 ,σ 2 ) , гд е µ0 - истинное значение, неизв естное исслед ов ателю . П ри исслед ов ании генеральной сов окуп ности нас буд етинтересов ать не тольков озможны е значения п ризнака элементов , нои расп ред еление в ероятностей на множеств е X, которое буд ем назы в ать т е о ре т ич е с ким . И менноэторасп ред еление и яв ляетсяоснов ны м объ ектом изучения статистики. Сущ еств ует д в а сп особа п олучения информации отеоретическом расп ред елении наX – п олное и в ы борочное обслед ов ание генеральной сов окуп ности. К п олны м обслед ов аниям относятся п ереп ись населения, инв ентаризация и т.д . В больш инств е случаев сп лош ное (п олное) обслед ов ание либо нев озможно п ров ести (п р. 1, 4), либоэто мероп риятие яв ляется д орогостоящ им (п р. 1,2), либонецелесообразны м (п р.3). В ы борочное обслед ов ание генеральной сов окуп ности заклю чается в

4

том, чтообслед ов анию п од лежитлиш ьчасть элементов генеральной сов оку r п ности. В результате этого обслед ов ания п олучим числов ой набор x = ( x1 ,...xn ) , гд е x1 - значение интересую щ ей числов ой х арактеристики д ля п ерв огов ы бранногоэлемента, x2 - д ляв торогои т.д . О пис ат е льная с т ат ис т ика п ред лагает лиш ь различны е сп особы обработки и нагляд ногоп ред став ления имею щ их ся наблю д ений, не отв ечая п ри этом на в оп росы : п окакомуп рав илунужноосущ еств лять в ы бор элементов , в какой степ ени в ы борках арактеризуетв сю генеральную сов окуп ность, можноли расп ространить п олученны е результаты на в сю генеральную сов окуп ность. О тв еты на эти в оп росы д ает м ат е м ат ич е с кая сrт ат ис т ика, основ ны м д оп ущ ением которойr яв ляется след ую щ ее: x = ( x1 ,..., xn ) есть реализация случайногов ектора ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) , коорд инаты которогонезав исимы и кажд ая из коорд инатимеетрасп ред еление, сов п ад аю щ ее с теоретическим расп ред елением на X. Д ругими слов ами, д ля конечной генеральной сов окуп ности в ы борка n элементов осущ еств ляется в результате n-кратногослучайногов ы бора с в озв ращ ением. Е сли генеральная сов окуп ность сод ержит больш ое числоэлементов , а количеств о отобранны х элементов n сущ еств енноменьш е общ егочисла элементов , то можноп ров од итьn-кратны й случайны й в ы бор без в озв ращ ения. §1. ПР ОС Т А Я С ЛУЧ А ЙН А Я ВЫ БОР К А Согласнов ы ш есказанному, од ноиз основ ны х п онятий математической статистики св язанос результатом n незав исимы х п ов торений некоторогослучайногооп ы таи наблю д ения в кажд ом из этих п ов торений значения интересую щ ей нас х арактеристики (скалярной или в екторной) этого оп ы та. М атематическим о rп исанием такогосостав ногоэксп еримента яв ляется случайны й в ектор ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) , которы й п ринятоназы в ать про с т о й с луч ай но й вы бо рко rй . Т аким образом, про с т ая с луч ай ная вы бо рка – это случайны й в ектор ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) , коорд инаты которогонезав исимы е, од инаков о расп ред еленны е случайны е в еличины с функцией расп ред еления в ероятностей F0 . Ф ункцию F0 в д альнейш ем буд ем назы в ать т е о ре т ич е с ко й функцие й рас пре де ле ния. Н ап рактике обы чноимеем д елосод ним r из в озможны х значений п ростой случайной в ы борки x = ( x1 ,..., xn ) , которы й назы в ается ре ализацие й про с т о й с луч ай но й вы бо рки. Этооснов ной статистический материал, с которы м работает математическая статистика, нов отличие отоп исательной статистики п оэтомучислов омув екторумы можем суд итьоб истинном расп ред елении F0 .

5

З а да ние u.r П олучить реализации r r x = ( x1 ,...xn ) , y = ( y1 ,..., yn ) , z = ( z1 ,..., zn ) п ростой случайной в ы борки r r ur ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) , η = (η1 ,...,ηn ) , ζ = (ζ 1 ,...,ζ n ) , гд е ξ j имеет R [1;2] , η j имеет п лотность расп ред еления в ероятностей 1 f ( x ) = Ι[1,∞ ) ( x ) , ζ j = ξ j ⋅ η j , j = 1, n. Н айти "бы стры е статистики" д ля кажx д ой реализации. §2. ПОР Я ДК ОВЫ Е С Т А Т И С Т И К И r П усть ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) - п ростая случайная в ы борка и ξ j имеет функr цию расп ред еленияF0 д ля j = 1, n; x = ( x1 ,..., xn ) - некотораяее реализация. r П о случайному в ектору ξ п остроим нов ы й случайны й в ектор ξ (1) = min ξi ,..., ξ ( n ) = max ξ i , тоесть ξ (1) ≤ ξ ( 2) ≤ ... ≤ ξ ( n ) . Случайную в еличину i =1, n

i =1, n

ξ ( k ) , k = 1, n п ринятоназы в ать k-той по рядко во й с т ат ис т ико й , а набор

случайны х в еличин ξ (1) ,...,ξ( n ) - вариацио нны м рядо м .

И сп ользуя п оряд ков ы е статистики, можно оп ред елить ξ ( n ) − ξ( n ) размах в ы борки; ξ( k ) + ξ( k +1) , n = 2k  mn =  2  ξk , n = 2k − 1  ()

- мед ианав ы борки.

З а да ние . Н айти од номерны е, д в умерны е расп ред еления п оряд ков ы х статистик. r Е стеств енно, чтод анной реализации x реализацией в ариационного ряд абуд етп ослед ов ательность x(1) ≤ ... ≤ x( n ) , гд е x(1) = min ( x1 , x2 ,..., xn ) , x( 2) - в торое п ов еличине значение сред и x1 ,..., xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x( n ) = max ( x1, x2 ,..., xn ) . Разность x( n) − x(1) назы в аю тразм ахо м ре ализации.

6

§3. ЭМ ПИ Р И Ч ЕС К А Я Ф УН К ЦИ Я Р А С ПР ЕДЕЛЕН И Я r Рассмотрим п ростую случайную в ы борку ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) объ ема n, элементы которой имею т функцию расп ред еления F0 ( x ) , x ∈ R , частично или п олностью неизв естную наблю д ателю . В д альнейш ем функцию F0 буд ем назы в ать т е о ре т ич е с ко й функцие й рас пре де ле ния. Н аш а зад ача п остроить оценку(п риближение) неизв естной теоретической функции расп ред еления F0 . Д ля этогод ля кажд огод ейств ительного x оп ред елим слуn r чайную в еличину µ n ξ , x = ∑ Ι (ξ i ≤ x ) , рав ную числуэлементов в ы борi =1 r ки ξ = (ξ1 ,...ξ n ) , значениякоторы х меньш е или рав ны x.

( )

Зд есь Ι A - инд икаторнаяфункцияслучайногособы тия А , тоесть  1, е с ли с о б ы т ие A им е е т м е с т о , . ΙA =  0, е с ли с о б ы т ие A не им е е т м е с т а r µ ξ ,x r n Ф ункция Fn* ξ , x = , x ∈ R назы в ается эм пирич е с ко й функn цие й рас пре де ле ния или в ы борочной фу r нкцией расп ред еления, соотв етств ую щ ей п ростой случайной в ы борке ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) .

( )

( )

П о св оему оп ред елению эмп ирическая функция расп ред еления r r F ξ , x -случайная функция: д ля кажд ого д ейств ительного х Fn* ξ , x * n

( )

( )

случайная в еличина, значениями которой яв ляю тся числа 1 2 n −1 n 0, , ,..., , = 1, п ри этом n n n n r r r k  P  Fn* ξ , x =  = P µ n ξ , x = k . И з оп ред еления µ n ξ , x след ует, n  что r µn ξ , x Bi ( n, F0 ( x ) ) , п оэтому

( ( ) )

( )

( ) r k  P  F (ξ , x ) =  = C F n  * n

и r MFn* ξ , x = F0 ( x ) ,

( )

k n

0

k

( x ) (1 − F0 ( x ) )

n −k

( )

, k = 0, n,

r F0 ( x ) (1 − F0 ( x ) ) DFn* ξ , x =  → 0, x ∈ R. n→∞ n

( )

7

r Д лякажд ой реализации x = ( x1 ,..., xn ) п ростой случайной в ы борки r r ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) функция Fn* ξ , x , x ∈ R од нозначнооп ред еленаи об-

( )

лад ает в семи х арактеристическими св ойств ами функции расп ред еления и п оэтомуд лякажд ой реализации самаяв ляетсяфункцией расп ред еления. П ри этом она кусочно-п остоянна и в озрастает тольков точках п ослед ов ательности x(1) ,..., x( n ) . r Е сли в се комп оненты в реализации x = ( x1 ,..., xn ) различны , чтоознаr чаетстрогие нерав енств а x(1) < ... < x( n ) , тофункция Fn x, x зад аётсясоот-

( )

нош ениями 0, при x ≤ x(1) ,   r k Fn x, x =  , при x( k ) < x ≤ x( k +1) , k = 1,..., ( n − 1), . n 1, при x > x( n )   1 В этом случае в еличинав сех скачков рав на , и тип ичны й график n функции

( )

r Fn x, x имеетв ид (см. рис.).

( )

Эмп ирическая функция расп ред еления играет фунд аментальную роль в математической статистике. В ажнейш ее её св ойств осостоит в том, чтоп ри ув еличении объ ёма в ы борки п п роисх од ит сближение этой функции стеоретической. Зд есь след ует сказать несколько слов о х арактере сх од имости. В о многих зад ачах математической статистики рассматрив аю тся п ослед ов ательности случайны х в еличин {ηn } , сх од ящ иеся в некотором смы сле к п ред елу η (случайной в еличине или константе), когд а n → ∞ . Ч ащ е в сегоисп ользую тся д в а в ид а сх од имости: сх од имость п ов ероятности и сх о-

8

д имостьп орасп ред елению , или слабаясх од имость. П ослед ов ательность {ηn } назы в ается с хо дящ е й с я по ве ро ят но с т и к η , если lim P ( ηn − η < ε ) = 0 д ля лю бого ε > 0. М ожноп исать так: n→∞

P

ηn → η . n→∞

П од с хо дим о с т ью по ра с пре де ле нию п онимается сх од имость соотв етств ую щ их функций расп ред еления в кажд ой точке неп реры в ности п ред ельной функции. И зв естно, чтоиз сх од имости п ов ероятности след ует слабая сх од имость. Ч токасается эмп ирической функции расп ред еления в ы борки и теоретической функции расп ред еления, тозд есь имеет местосх од имость п о в ероятности п ри кажд ом x ∈ R . Те о ре м а . r П усть Fn* ξ , x - эмп ирическая функция расп ред еления, п остроенная r п ов ы борке ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) и F0 ( x ) - теоретическая функция расп ред еления. r Т огд ад лялю богоx ∈ R и лю богоε > 0 lim P Fn* ξ , x − F0 ( x ) < ε = 1 .

( )

n→∞

( ( )

)

Т аким образом, если объ ём в ы борки больш ой, тозначение эмп ирической функции расп ред еления в кажд ой точке х может служить п риближённы м значением (оценкой) значения теоретической функции расп ред еленияв этой точке. Ф ункцию r Fn* ξ , x п оэтому часто назы в аю т с т а т ис т иче с ким а на ло го м

( )

д ляF0 ( x ) .

Прим е р . (эмп ирическаяфункциярасп ред еления). П роизв ед ено 20 бомбометаний с рад иолокационны м п рицелом в п римерно од инаков ы х услов иях . Бы ли п олучены след ую щ ие результаты измерения отклонений от центра цели (в метрах ): 148; 182; 195; 81; 149; 143; 133; 132; 111; 156; 103; 61; 149; 209; 124; 52; 147; 145; 128; 98. П од анной реализации найти и п остроитьэмп ирическую функцию расп ред еления. Ре ше ние . У п оряд очим зад анную реализацию , расп оложив наблю д ав ш иеся значения в п оряд ке в озрастания, и п олучим реализацию в ариационногоряд а: 52; 61; 81; 98; 103; 111; 124; 128; 132; 133; 143; 145; 147; 148; 149; 149; 156; 182; 195; 209.

9

Задание № 1. Н астраницах 19-28 п рив ед ены д есяти в ариантов , в кажд ом из которы х имеетсяп од есятьреализаций п росты х случайны х в ы борок. Н аоснов е r од ной из этих реализаций п остроитьфункцию F20 x, x

( )

§4. ГИ С Т ОГР А М М А ВЫ БОР К И И ПОЛИ ГОН Ч А С Т ОТ Эмп ирическая функция расп ред еления яв ляется уд обны м сп особом п ред став ления статистических д анны х , сод ержащ их ся в п ростой случайной в ы борке r ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) , которы й п озв оляет д елать в ы в од ы о теоретической функции расп ред еления F0 . П ри больш ом числе наблю д ений п оэмп иричеr ской функции расп ред еления Fn* ξ , x соскольугод нов ы сокой точностью

( )

и над ежностью можнов осстанов итьнеизв естную теоретическую функцию расп ред еленияF0(x), x ∈ R. П ри больш ом n сущ еств ую ти д ругие сп особы нагляд ногоп ред став -

10

ления r статистических д анны х , сод ержащ их ся в п ростой случайной в ы борке ξ = (ξ1 ,...ξ n ) . О д ин из них м е т о д гру ппиро вкина б люде ний , которы й заклю чаетсяв след ую щ ем. В сю числов ую ось разобьем на п ромежутки ∆ k так, что R = U ∆ k и k

r ∆ k I ∆ j = O д ля k ≠ j . О бозначим ν k ξ случайную в еличину, рав ную

()

количеств уэлементов в ы борки, п оп ав ш их в интерв ал∆ k . Н ап рактике метод груп п иров ки наблю д ений яв ляется уд обны м, а частои более экономны м сп особом зап иси информации, сод ержащ ейся в вrы борке. Н ап ример, если имеетсяреализацияп ростой случайной в ы борки x = ( x1 ,..., xn ) объ ема

n = 104 с областью значений - [ 0;1] , а точностью измерений наблю д аемы х значений случайной в еличины срав нима с 0,1, топ рактически д остаточно указать 10 частот ν 1 ,...,ν 10 п оп ад ания значений случайной в еличины в п о k −1 k  луинтерв алы ν k =  ;  , k = 1,...,10.  10 10  В ернемсяк п ред ложенномуранее разбиению и в в ед ем функцию r ν ξ r k 1 f n* ξ , x = ∑ Ι ∆ k ( x ) , x ∈ R , которую п ринятоназы в ать n k ∆k r г ис т о г рам м о й п ростой случайной в ы борки ξ .

( )

()

Гистограмма в ы борки, п остроенная п од анной реализации, яв ляется нагляд ны м п ред став лением оп ы тны х д анны х ( д ослов ны й п ерев од в греческого– столбчатаязап ись). Е сли же изв естно, чтотеоретическое расп ред еление яв ляется абсоr лю тно неп реры в ны м, то гистограмму f n* ξ , x , x ∈ R можно считать

( )

с т а т ис т иче с ким а на ло го м (оценкой) неизв естной теоретической п лотности расп ред еления в ероятностей. О бъ яснить этоп рибл r ижение можнослед ую щ им образом: в о-п ерв ы х , д лякажд ой реализации x = ( x1 ,..., xn ) п ростой r случайной в ы борки ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) с п лотностью расп ред еления в ероятноr стей f 0 ( x ) , x ∈ R, кусочно-п остоянная функция f n* x, x , x ∈ R облад а-

( )

етв семи х арактеристическими св ойств ами п лотности расп ред еления в ероятностей, т.е. самаяв ляетсяп лотностью расп ред еленияв ероятностей некоторой случайной в еличины ; в о-в торы х , п от е о ре м е Бе рну лли ( п ри неограниченном ув еличении числаисп ы таний п частотап ояв ления собы тия А сх од итсяп ов ероятности к егов ероятности) п олучаем

11

r νk ξ

()

n

P  → n→∞

∫ f ( x ) dx = f ( a ) ∆ 0

0

k

k

д ля ak ∈ ∆ k и в сех k.

∆k

О тметим, чтоэтотсп особ обработки статистических д анны х облад ает нед остатками. Этосв язано, в о-п ерв ы х , с некоторой неоп ред елённостью в сп особе п остроения п олуинтерв алов ∆ k . О бы чно п ред лагается размах реализации x( n ) − x(1) разд елить на п ред п олагаемое количеств оп олуинтерв алов разбиения, азатем п олученную цифруокруглитьв сторонуув еличения, чтобы немного"разд в инуть" границы . В о-в торы х , имеет местои частичная п отеря информации, св язанная с тем, чтофактически в се наблю д ения, п оп ав ш ие в п олуинтерв ал∆ k , заменяю тся на сред ню ю точку ak этого п олуинтерв ала. П оэтому гистограмму исп ользую т п рактически лиш ь на п ред в арительном этап е анализастатистических д анны х . В метод е гистограмм график неизв естной теоретической п лотности расп ред еления в ероятностей f0(x) п риближается графиком кусочноп остоянной функции. Е сли п лотность расп ред еления в ероятностей f0(x) д остаточноглад кая, то, как изв естноиз анализа, такие функции значительнолучш е можноп риблизитькусочно-линейны ми функциями. П оэтомуд ля оценки глад ких п лотностей расп ред еления в ероятностей можно п ред ложить более точную метод ику, которая основ ана на п остроении по лиго на ч ас т о т . П олигон частот - этоломаная, которую строят п огистограмме в ы борки, п ослед ов ательносоед иняя отрезками п рямой орд инаты , соотв етств ую щ ие сред ним точкам п олуинтерв алов . П остроенны й таким образом кусочно-линейны й график также яв ляетсястатистическим аналогом теоретической п лотности расп ред еленияв ероятностей.

Прим е р (гистограмма) П роизв ед ено 20 бомбометаний с рад иолокационны м п рицелом в п римерно од инаков ы х услов иях . Бы ли п олучены след ую щ ие результаты измерения отклонения от центра цели (в метрах ): 148; 182; 195; 81; 149; 143; 133; 132; 111; 156; 103; 61; 149; 209; 124; 52; 147; 145; 128; 98. П о этой числов ой реализации необх од имоп остроить гистограмму, рассмотрев 5 п олуинтерв алов .

12

Ре ше ние . У п оряд очим статистические д анны е из имею щ ейся реализации в п оряд ке в озрастания, п олучаяреализацию в ариационногоряд а: 52; 61; 81; 98; 103; 111; 124; 128; 132; 133; 143; 145; 147; 148; 149; 149; 156; 182; 195; 209. Разобьём область в озможны х значений на п ять неп ересекаю щ их ся п олуинтерв алов ∆ k , k = 1,2,3,4,5 так, чтобы их объ ед инение U ∆ k сод ерk

жало в се наблю д ения, тоесть [ 52;209] ⊂ U ∆ k . k

Н ачнём с оп ред еленияд лины п олуинтерв алов ∆ k . Д ляэтогоразмах реализации x( 20) − x(1) разд елим на 5 и результат округлим д оближайш его целогов сторонуув еличения

(

)

∆ k = x( 20) − x(1) : 5 = 31, 4 ≈ 32. . Т акое грубое округление п озв олит считать лев ы м концом п ерв ого п олуинтерв ала, нап ример, точку51, а п рав ы м концом п ослед него, п ятого, п олуинтерв ала- точку211. Д алее нах од им ν k - количеств о элементов реализации, п оп ав ш их в ∆ k д ля k = 1,2,3,4,5, и в ы соты соотв етств ую щ их п рямоугольников

νk , ∆k ⋅ n

оформляяп олученны е д анны е в в ид е таблицы .

П олуинтерЧ исло в алы ∆ k реализации (51;83] (83;115] (115; 147] (147; 179] (179; 211]

элементов

3 3 6 5 3

В ы соты п рямоугольников 0,0047 0,0047 0,0094 0,0078 0,0047

Строим гистограмму, в ы бирая д ля уд обств а обозрения основ ание гистограммы в 1,5-2 разаменьш е в ы соты .

13

Задание № 2. Н а основ е од ной из реализаций в ы борок, д анны х на стр. 19-28, п остроитьгистограмму, рассмотрев 5 п олуинтерв алов . §5. ВЫ БОР ОЧ Н Ы Е ХА Р А К Т ЕР И С Т И К И 5.1. М оменты сл у ч айной вел ич ины . В омногих зад ачах п рактики п олнаях арактеристикаслучайной в еличины -закон расп ред еления- или не требуется, или не может бы ть п олучена. В этих случаях ограничив аю тся неп олны м оп исанием случайной в еличины с п омощ ью числов ы х х арактеристик. Т очка груп п иров ания в озможны х значений случайной в еличины на числов ой оси х арактеризуется математическим ожид анием, указы в аю щ им некоторое сред нее значение. У п отребляется ещ ё ряд х арактеристик, кажд аяиз которы х оп исы в аеттоили иное св ойств орасп ред еления. В качеств е таких х арактеристик чащ е в сегорассматрив аю тся так назы в аемы е моменты случайной в еличины . О бы чноисп ользую тся моменты д в ух в ид ов : начальны е и центральны е. П онятие момента ш ироко п рименяется и в мех анике: статические моменты , моменты инерции и так д алее. Н ач альны м м о м е нт о м к-го по рядка случайной в еличины ξ назы в ается математическое ожид ание k-ой степ ени этой случайной в еличины , если оносущ еств ует:  xik pi , для дис кре т но й с лу ча й но й ве личины ∑  i  µk = M ξ k =  ∞  ∫ x k f ( x ) dx , для а б с о лют но не пре ры вно й с лу ча й но й ве личины  −∞ О тметим п ерв ы е начальны е моменты : µ0 = 1, µ1 = M ξ , µ 2 = M ξ 2 , откуд а

14

Dξ = µ 2 − µ12 и так д алее. Ц е нт ральны м м о м е нт о м к-го по рядка случайной в еличины ξ назы в ается математическое ожид ание k -ой степ ени отклонения случайной в еличины отсв оегоматематическогоожид ания αk =  ∑ ( xi − µ1 ) k pi , для дис кре т но й с лу ча й но й ве личины  k M (ξ − M ξ ) =   ∫ ( x − µ1 ) k f ( x ) dx, для не пре ры вно й с лу ча й но й ве личины  М ежд уцентральны ми и начальны ми моментами случайной в еличины сущ еств уетсв язь п ри k = 0 α 0 = 1 , п ри к =1

α1 = 0 , k

п ри k = 2 α 2 = Dξ = µ 2 − µ12 ,..., α k = ∑ Ckj µ j ( −1) j =0

k− j

µ1k − j .

5.2. Вы бор оч ны е моменты r П усть ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) - п ростая случайная в ы борка с теоретической

функцией расп ред еления F0 ( x ) и эмп ирической функцией расп ред еления r Fn* ξ , x , x ∈ R. r Эмп ирическаяфункциярасп ред еления Fn* ξ , x яв ляетсястатистиче-

( )

( )

ским аналогом теоретической функции расп ред еления F0(x), x ∈ R . Т очно так же лю бой теоретической х арактеристике g=

∞

∫ g ( x ) dF ( x ) 0

−∞

r можноп остав итьв соотв етств ие её статистический аналог G ξ , в ы -

()

числяемы й п оформуле ∞ r r 1 n G ξ = ∫ g ( x ) dFn* ξ , x = ∑ g ( xi ) . n i =1 −∞ r Случайную в еличину G ξ назы в аю т эм пирич е с ко й , или вы бо ро ч -

()

( )

()

но й характ е рис т ико й , соотв етств ую щ ей теоретической х арактеристике g. Т аким образом, в ы борочная х арактеристика - этослучайная в еличина,

15

яв ляю щ аяся сред ним арифмет r ическим значений функции g д ля элементов п ростой случайной в ы борки ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) . r Е сли g ( x ) = x k , тоG ξ - вы бо ро ч ны й нач альны й м о м е нт k-ro п оr ряд ка, которы й обозначается M k ξ :

()

()

r 1 n k M k ξ = ∑ξi . n i =1

()

r П ри к=1 случайную в еличину M 1 ξ назы в аю т вы бо ро ч ны м с ре д-

()

ним и обозначаю тсимв олом ξ : r 1 n ξ = M 1 ξ = ∑ξi . n i =1

()

Ре ализация вы бо ро ч но г о нач ально го м о м е нт а по рядка к r 1 n k µ k x = ∑ xi . n i =1 Ре ализация вы бо ро ч но г о с ре дне г о 1 n x = ∑ xi . n i =1 Вы бо ро ч ны м це нт ральны м м о м е нт о м к-го по рядка назы в ается случайнаяв еличина r 1 n k Ak ξ = ∑ ξ i − ξ . n i =1 r П ри k-2 случайную в еличину A2 ξ назы в аю т вы бо ро ч но й дис пе рr с ие й и обозначаю тсимв олом S 2 ξ :

()

()

(

)

()

r r 1 n S ξ = A2 ξ = ∑ ξ i − ξ n i =1 2

()

()

(

)

2

()

.

r r Значения случайны х в еличин Ak ξ и S 2 ξ д ля зад анной реализа-

()

()

ции обозначаю т соотв етств ую щ ими строчны ми букв ами. Ре ализация вы бо ро ч но г о це нт рально г о м о м е нт а по рядка к r 1 n k ak x = ∑ xi − x . n i =1

()

(

)

Ре ализация вы бо ро ч но й дис пе рс ии r 1 n 2 2 s = a2 x = ∑ xi − x . n i =1

()

(

)

16

М ежд у начальны ми в ы борочны ми и центральны ми в ы борочны ми моментами сох раняю тся те же соотнош ения, чтои межд утеоретическими начальны ми и центральны ми моментами А налогичны м образом можнов в од ить и д ругие в ы борочны е х арактеристики. 5.3. С ходимость п о вер оя тности вы бор оч ны х моментов В ы борочны е х арактеристики сами яв ляю тся случайны ми в еличинами, п оэтомуможногов оритьоб их расп ред елении и изучатьразличны е х арактеристики уже этого расп ред еления. Т акое расп ред еление назы в аю т вы б о ро чны м ра с пре де ле ние м . r П усть ξ = (ξ1 ,...,ξ n ) - п ростая случайная в ы борка. П ред п оложим, что в се требуемы е теоретические моменты сущ еств ую т, тоесть яв ляю тся конечны ми. Н айд ём математичrеское ожид ание и д исп ерсию в ы борочны х начальны х моментов . Т ак как ξ - п ростаяслучайная в ы борка, тов се случайны е в еличины ξ i незав исимы и од инаков орасп ред елены . П оэтому r 1 1 n k 1 n M M k ξ = M  ∑ ξi  = ∑ M ξik = ⋅ n ⋅ M ξ k = µ k , n  n i =1  n i =1 r 2 1 n 1 1 µ − µ k2 D M k ξ = 2 ∑ Dξik = 2 ⋅ n ⋅ Dξ k = M ξ 2 k − ( M ξ k ) = 2 k n i =1 n n n Т аким образом, п олучается, чтоматематическое ожид ание начальногов ы борочногомомента к -гоп оряд ка сов п ад ает созначением теоретическогоначальногомомента к -гоп оряд ка, а д исп ерсия буд ет стремиться к нулю п ри неограниченном в озрастании объ ёмав ы борки п, т.е. п ри n → ∞ . Н аоснов ании нерав енств аЧ ебы ш ев аотсю д аслед ует, что r P M k ξ  → µk . n →∞ r Этоп озв оляетрассматрив атьв ы борочны й начальны й момент M k ξ

( ( ))

( ( ))

()

(

)

()

в качеств е п риближённогозначения (оценки) соотв етств ую щ еготеоретическогоначальногомомента µk , когд а числонаблю д ений п д остаточно в елико. А налогичное утв ержд ение сп рав ед лив ои д ля в ы борочны х и теоретических центральны х моментов . О д нако нах ожд ение математического ожид ания и д исп ерсии центральны х в ы борочны х моментов к -гоп оряд ка св язанососложны ми математическими п реобразов аниями. П оэтомуограничимся нах ожд ением математическогоожид ания и д исп ерсии центрального в ы борочного момента в торого п оряд ка - в ы борочной д исп ерсии r S2 ξ .

()

17

Заметим, чтоп ри лю бом с = const 1 n ξ i − ξ = ( ξ i − c ) − ∑ (ξ i − c ) , n i =1

r т.е. в ы борочны е центральны е моменты Ak ξ не зав исят от начала

()

отсчёта, п оэтомубез ограничения общ ности можнос самогоначала считать, чтоµ1 = M ξ = 0. В п ротив ном случае п ерех од ятк случайной в еличине ξ i' = ξ i − µ1.

r М атематическое ожид ание S 2 ξ нах од им, считая Mξ = 0 ,

( ( ))

r M S2 ξ α2 −

()

( ( ) ) ( ( )) ( )

r r 2 = M M2 ξ −ξ = M M2 ξ

r2 −M ξ =

α2 n − 1  1 = α 2 = 1 −  Dξ . n n  n r Д алее п ред став им S 2 ξ в в ид е

()

2 r 1 n 2 1  n  n −1 n 2 2 n ξiξ j , S ξ = ∑ ξ i − 2  ∑ξ i  = ∑ξi − n2 ∑ n i =1 n  i =1  n i =1 i =1 2

()

Т огд а, п ринимаяв ов нимание, чтоMξ =0, имеем r M S ξ

 ( n − 1) 2 n 4 2 ( n − 1)2 + 4  2 2 =M ⋅ ξ + ⋅ ξ ⋅ ξ ∑ ∑ i i j = 4  n4  n 1 i = i ≠ j  

( n − 1)

( n − 1) +

( ( )) 2

3

2

⋅α4

2

3

+2

⋅ ( n − 1)α 22 .

n n О тсю д ап олучаем д исп ерсию r r r D S2 ξ = M S2 ξ − M S2 ξ

( ( ) ( ( )))

( ( ))

( n − 1) =

2

n−3 2  ⋅α2  α 4 − n n −1   П ри неограниченном в озрастании объ ёма в ы борки n (п ри n → ∞ ) математическое ожид ание в ы борочной д исп ерсии сов п ад ает с д исп ерсией случайной в еличины ξ , а д исп ерсия буд ет стремиться к нулю . Н а основ ании нерав енств аЧ ебы ш ев а этоозначает, что r r P A2 ξ = S 2 ξ  → α 2 = Dξ . n →∞ r В ы борочны е центральны е моменты Ak ξ тоже можнорассматрив ать

()

()

2

3

()

в качеств е п риближённы х значений (оценок) соотв етств ую щ их теоретических центральны х моментов α k , когд а числонаблю д ений п д остаточно в елико.

18

Прим е р . (реализации в ы борочногосред негои в ы борочной д исп ерсии) П роизв ед ено 20 бомбометаний с рад иолокационны м п рицелом в п римерно од инаков ы х услов иях . Бы ли п олучены след ую щ ие результаты измерения отклонений от центра цели (в метрах ): 148; 182; 195; 81; 149; 143; 133; 132; 111; 156; 103; 61; 149; 209; 124; 52; 147; 145; 128; 98. Н еобх од имонайти реализацию в ы борочногосред него x и реализацию в ы борочной д исп ерсии s 2 Ре ше ние . У п оряд очим зад анную реализацию , расп оложив наблю д ав ш иеся значения в п оряд ке в озрастания, и п олучим реализацию в ариационногоряд а: 52; 61; 81; 98; 103; 111; 124; 128; 132; 133; 143; 145; 147; 148; 149; 149; 156; 182; 195; 209. Н айд ём реализацию в ы борочногосред него 1 n 1 x = ∑ xi = (52 + 61 + 81 + 98 + 103 + 111 + 124 + 128 + 132 + 133 + 143 + n i =1 20 + 145 + 147 + 148 + 149 + 149 + 156 + 182 + 195 + 209) = 132, 3 ( м ) Н айд ём реализацию в ы борочной д исп ерсии 2 1 n 2 1 2 s = ∑ xi − x = (2704 + 3721 + 6561 + 9604 + 10609 + 12321 + n i =1 20 + 15376 + 16384 + 17424 + 17689 + 20449 + 21025 + 21609 + + 21904 + 22201 + 24336 + 33124 + 38025 + 43681) − (132, 3) 2 = = 1544,11 ( м 2 )

()

Задание № 3. Н а страницах 19-28 п рив ед ены д анны е д есяти в ариантов , в кажд ом из которы х имеетсяп од есятьреализаций п росты х случайны х в ы борок. Н а основ е од ной из этих реализаций найти реализацию в ы борочногосред него x и реализацию в ы борочной д исп ерсии s 2 .

19

Вар иант № 1 С п омощ ью од ногод альномера бы лоп ров ед ено20 измерений д альности д оцели. № реализации 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

1 Элементы в ы борки (ош ибки измеренияв метрах )

12,22 28,67 38,07 16,89 39,64 -39,64 3,10 4,29 4.97 11,37 16,34 19,18

-19,27 35,72 23,97 -2664 39,64 52,64 -3,61 4,80 3,95 -13,50 18,47 14,92

23,97 -9,87 -12,22 33,14 49,39 33,14 3,95 -2,93 -3,10 14,92 -10,66 -11,37

35,72 5,17 42,77 49,39 -7,14 -16,89 4,80 2,59 5,31 18,47 9,24 20,60

7,52 47,48

-14,57 33,37

-35,72 -19,27

47,48 -28,67

10,39 13,64

-20,14 65,64

-49,39 46,14

65.64 -26,64

2,76 5,65

-3,27 4,63

-4,80 -3,61

5,65 -4,29

9,95 22,02

-12,08 17,76

-18,47 -13,50

22,02 -16.34

4,76 -4,11 -4,76 5,1 12,1 16,7 2,16 4,54 6,10 1,81 3,84 5,01 11,11 20,77 26,29 3,166 7,114 9,370

8,01 2,81 13,21 -8,3 15,4 10,1 -3,25 5,66 3,86 -2,86 4,72 3,26 -15,25 24,91 18,01 -4,858 8,806 5,986

3,46 14,51 8,06 10,2 -4,1 -5,1 3,89 -1,82 -2,16 3,26 -1,52 -1,81 18,01 -9,73 -11,11 5,986 -2,602 -3,166

-5,41 10,61 7,12 15,1 -2,0 18,2 5,56 -0,49 6,61 4,72 -0,93 5,59 24,91 -6,97 29,05 8,806 -1,474 10,498

-11,26 -6,71

14,51 -9,31

9,31 11,91

11,26 8,01 1

3,4 20,1

-6,7 14,5

-15,2 -8,7

20.3 -12,8

1,58 7,26

-2,70 5.35

-5.59 -3,38

7.32 -4,78

1,225 6,17

-2,098 4,43

-4,72 -2,68

6,17 -3,84

8,35 31,81

-12,49 23,83

-24,91 -15,25

31,81 -20,77

2,038 11,626

-3,730 8,242

-8,806 -4,858

11,626 -7,114

20

Вар иант № 2 Ч ерез кажд ы й час измерялось нап ряжение в электросети. В таблице зап исаны результаты измерений в в ольтах . № реализации 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 10.

Элементы в ы борки - нап ряжение в в ольтах

52,22 50,57 49,63 722,14 699,39 686,39 39,99 38,80 38,12 165,44 160,47 157,63 14,581 14,126 13,866 101,13 97,98 96,18 79,71 77,33 75,97 64,95 62,92 61,75 310,57 300,91 295,39 125,55 126,68 119,35

51,51 51,28 51,51 712,39 709,14 712,39 39,48 39,31 39,48 163,31 162,60 163,61 14,386 14,321 14,386 99,78 99,33 99,78 78,69 78,35 78,69 64,08 83,79 64,08 306,43 305,05 306,43 123,86 123,30 123,86

52,69 52,45 51,75 728,64 725,89 715,64 40,33 39,82 39,65 166,86 166,15 164,02 14,711 14,646 14,451 102,03 101,58 100,23 80,39 80,05 79,03 65,54 62,245 64,37 313,33 311,95 307,81 124,43 126,12 124,43

51,75 52,92 51,98 715,64 731,89 718,89 39,65 40,50 39,82 164,02 167,57 164,73 14,451 14,776 14,516 100,23 102,48 100,68 79,03 80,73 79,37 64,37 65,83 64,66 307,81 314,71 309,19 123,30 127,25 124,99

51,28 51,75

51,04 53,16

51,98 51,98

51,75 50,81

709,14 705,89 718,89 715,64 715,64 735,14 718,89 702,64 39,31 39,65

39,14 40,67

39,28 39,82

39,65 38,97

162,60 161,89 164,73 164,02 164,02 168,28 164,73 161,18 14,321 14,256 14,516 14,451 14,451 14,841 14,516 14,191 99,33 98,88 100,68 100,23 100,22 102,93 100,68 98,43 78,35 79,03

78,01 81,07

79,37 79,37

79,03 77,67

63,79 64,37

63,50 66,12

64,66 64,66

64,37 63,21

305,05 303,07 309,19 307,81 307,81 316,09 309,19 302,29 122,73 124,99 124,43 121,61 124,43 127,81 124,99 122,17

21

Вар иант № 3 И меется 20 д еталей. Результаты измерения од ной из х арактеристик этих д еталей п рив ед ены в таблице. № Элементы в ы борки (результаты измерений в сантиметрах ) реализации 1.

72,05 72,56 72,41 2. 24,692 24,713 24,662 3. 21,060 21,078 21,034 4. 100,09 100,17 99,98 5. 40,898 40,932 40,848 6. 170,38 170,52 170,17 7. 23,563 23,583 23,534 8. 12,35 12,358 12,332 9. 51,553 51,596 51,489 10. 47,286 47,179 47,082

72,69 72,48 72,29 24,757 24,686 24,621 21,115 21,054 20,999 100,35 100,06 99,80 41,006 40,887 40,780 170,83 170,33 169,93 23,625 23,557 23,495 12,38 12,34 12,312 51,688 51,539 51,404 47,263 47,127 47,004

72,54 72,43 72,31 24,706 24,668 24,628 21,072 21,039 21,055 100,15 99,99 99,83 40,921 40,859 40,791 170,47 170,22 169,96 23,576 23,540 23,501 12,354 12,336 12,315 51,582 51,504 51,418 47,166 47,095 47,017

72,48 72,56 72,14 24,686 24,713 24,570 21,054 21,078 20,956 100,06 100,17 99,59 40,887 40,932 40,695 170,33 170,52 169,53 23,557 23,583 23,446 12,34 12,358 12,286 51,539 51,596 51,298 47,127 47,179 47,906

72,36 72,34

72,50 72,38

72,43 72,56

72,46 72,32

24,645 24,638

24,692 24,616

24,668 24,713

24,679 24,631

21,020 21,014

21,060 21,025

21,039 21,078

21,048 21,008

99,89 99,87

100,09 99,93

99,99 100,17

100,04 99,84

40,819 40,808

40,859 40,831

40,898 40,832

40,876 40,797

170,05 170,00

170,38 170,10

170,22 170,52

170,28 169,96

23,518 23,511

23,563 23,524

23,540 23,583

23,550 23,505

12,322 12,32

12,35 12,327

12,336 12,358

12,341 12,317

51,454 51,493

51,553 51,468

51,504 51,596

51,525 51,425

47,049 47,036

47,276 47,062

47,095 47,179

47,114 47,023

22

Вар иант № 4 П роизв ед ено 20 бомбометаний с рад иолокационны м п рицелом в п римерноод инаков ы х услов иях . В таблице п ред став лены результаты измеренияотклонений отцентрацели. № реализации 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Элементы в ы борки (отклоненияотцентрацели в метрах )

148 111 147 54,55 41,97 53,53 43,23 30,325 43,129 205,10 153,93 203,72 91,818 70,95 91,254 348,27 261,32 245,92 481,64 361,39 478,39 27,41 21,12 27,24 11,29 11,858 11,077 97,71 73,66 97,06

182 156 145 66,11 57,27 47,75 53,314 18,103 42,547 252,13 216,17 200,96 110,994 96,33 90,126 428,17 367,07 341,22 592,14 507,64 471,89 33,19 28,77 26,9 13,704 8,095 9,870 119,81 102,91 95,76

195 103 128 70,53 39,25 37,55 57,097 32,653 37,600 270,11 142,87 177,44 118,326 66,438 80,538 458,72 242,52 301,27 634,39 335,39 416,84 35,4 19,76 24,01 14,627 5,113 7,74 128,26 68,46 84,71

81 61 98 31,77 24,97 75,29 23,923 45,748 28,870 112,44 84,780 135,95 54,03 42,75 63,618 190,82 143,82 230,77 263,89 198,89 319,14 16,02 12,62 18,91 6,533 11,361 10,154 54,16 41,16 65,21

149 149

143 209

133 124

132 52

54,89 54,89

52,85 46,39

49,45 21,91

49,11 54,21

43,711 41,965 39,055 38,754 43,711 61,171 36,436 15,484 206,49 198,19 184,36 182,98 206,49 289,47 171,91 72,340 92,382 88,998 83,358 82,794 92,382 126,222 78,282 37,674 350,62 336,52 313,02 310,67 350,62 491,62 291,87 122,67 484,59 465,39 432,89 429,64 484,89 679,89 403,64 169,46 27,58 27,58

26,56 37,78

24,86 23,33

24,69 11,09

11,361 10,935 10,154 8,663 15,621 9,586 4,474 11,219 98,36 98,36

94,46 137,36

87,96 82,11

87,31 35,31

23

Вар иант № 5 И з больш ой п артии электроламп очек бы ло отобрано в случайном п оряд ке 20 ш тук. В таблице п рив ед ены результаты измерения п род олжительности горенияотобранны х ламп очек. № реаЭлементы лизации 1. 0,469 0,171 0,227 0,032 0,014 0,011 2. 4,002 4,353 1,940 0,276 4,212 2,761 3. 5,520 2,008 2,676 0,380 0,168 0,128 4. 0,621 0,225 0,301 0,043 0,653 0,428 5. 0,235 0,085 0,113 0,016 0,005 0,014 6. 0,979 0,356 0,475 0.067 1,031 0,676 7. 3,174 1,152 1,539 0,218 3,339 2,189 8. 4,416 1,603 2,141 0,304 4,464 3,046 9. 0,897 0,326 0,239 0,062 0,994 0,619 10. 0,773 0,251 0,375 0,053 0,813 0,533

в ы борки (п род олжительностьгоренияв 10 час)

0,022 0,060

0,124 0,324

0,225 0,029

0,463 0,002

0,088 0,084

0,156 0,171

0,378 0,009

0,191 0,513

1,068 0,020

1,059 0,713

3,949 1,462

0,751 0,064

1,328 0,122

0,328 0,093

0,264 0,708

2,652 8,808

1,460 0,344

5,448 0,028

1,036 0,984

1,832 2,016

4,452 0,116

0,029 0,079

0,166 0,003

0,164 0,111

0,613 0,227

0,116 0,013

0,206 0,019

0,051 0,014

0,011 0,030

0,062 0,162

0,112 0,001

0,231 0,072

0,088 0,855

0,044 0,004

0,189 0,007

0,147 0,126

0,261 0,005

0,259 0,175

0,967 0,358

0,184 0,021

0,325 0,029

0,080 0,023

0,152 0,407

0,864 0,016

0,839 0,572

3,139 1,159

0,596 0,067

1,053 0,097

0,259 0,074

0,21! 0,566

1,178 0,022

1,168 0,787

4,358 1,613

0,829 0,093

1,466 0,134

0,362 0,102

0,043 0,115

0,237 0,004

0,885 0,159

0,228 0,328

0,298 0,019

0,073 0,027

0,435 0,021

0,037 0,099

0,206 0,004

0,204 0,138

0,763 0,282

0,151 0,016

0,256 0,024

0,053 0,018

24

Вар иант № 6 У 20 телев изоров измерялась чув ств ительность зв уков ого канала п ерв ой п рограммы . Д анны е измерений п рив ед ены в таблице. № реал изации 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Элементы в ы борки (чув ств ительностьзв уков огосигналав микров ольтах )

1,305 0,095 0,032 0,738 0,438 0,058 1,366 0,212 3,003 0,097 0,260 0,048 0,873 2,345 0,432 4,740 1,864 2,272 1,436 0,736 0,046 0,157 0,080 0,005 5,090 2,609 0,124 2,878 1,708 0,226

0,502 0,177 0,663 0,359 0,245 0,299 1,501 0,698 2,094 1,262 0,008 0,082 8,358 0,074 0,734 8,940 5,928 0,266 0,552 0,104 0,035 0,060 0,011 0,004 1,958 0,370 0,799 1,400 0,956 0,166

0,066 0,952

0,365 0,086

1,362 0,007

0,259 0,246

0,458 0,504

1,113 0,029

0,669 0,042

1,305 0,831

0,751 0,272

0,201 0,609

0,836 0,644

0,001 0,541

0,382 1,799

0,021 0,154

0,676 4,938

1,938 1,244

4,212 1,768

0,318 3,934

0,409 1,878

0,394 0,818

1,228 2,434

0,091 1,183

0,039 1,164

0,677 0,073

0,273 0,115

0,086 0,020

0,088 0,837

0,054 0,023

0,822 0,352 6,090 1,644 10,479 0,656

2,449 1,035

0,766 0,180

0,792 7,539

0,487 0,213

3,728 4,544 1,056 1,732 10,124 4,506

5,156 4,516

0,124 4,604

4,600 0,092 4,968 15,988

0,073 0,195

0,729 1,047

0,402 0,095

1,498 0,008

0,285 0,271

0,504 0,554

1,224 0,032

0,008 0,021

0,080 0,114

0,044 0,010

0,163 0,001

0,031 0,030

0,055 0,060

0,134 0,003

0,257 0,690

2,586 3,713

1,424 0,335

5,312 0,027

1,010 0,959

1,786 1,966

4,341 0,113

5,090 3,241

2,929 1,061

0,784 2,375

3,260 2,512

0,004 2,110

1,490 5,016

0,082 0,601

25

Вар иант № 7 У 20 од нотип ны х рад иоламп бы ла в зад анны х услов иях п ров ерена силаанод ноготока. Результаты эксп ериментап рив ед ены в таблице. № реал изации 1.

5,327 0,827 11,713 2. 0,378 1,014 0,187 3. 3,405 9,146 1,685 4. 18,486 7,270 8,861 5. 3,002 1,539 0,097 6. 1,697 1,007 0,133 7. 3,124 0,488 6,907 8. 0,223 0,598 0,110 9. 2,008 5,393 0,994 10. 10,902 4,287 5,216

Элементы в ы борки (силатокав амп ерах )

5,854 2,722 8,167 4,922 0,031 0,320 32,596 0,289 2,863 35,866 23,119 1,037 1,155 0,218 0,074 0,826 0,564 0,688 3,452 1,605 4,816 2,903 1,018 0,189 19,223 0,170 1,688 20,562 13,634 0,612

2,836 7,558 16,424 1,240 1,595 19,258 4,852 6,895 15,343 7,324

1,537 3,190

4,789 9,493

0,355 0,714

0,343 3,264

0,211 0,010

0,152 4,030

2,640 0,285

1,065 0,448

3,206 1,373 23,751 9,551 6,412 40,768 2,558 4,036

0,335 0,078

2,987 3,089 1,389 0,702 29,402 0,831

14,539 17,728 4,188 24,108 0,484 17,940 2,309 6,755 35,484 17,573 17,612 17,956 19,375 62,353 0,152 0,407

1,525 2,190

0,840 0,198

3,133 0,016

0,526 0,566

1,053 1,159

2,560 0,067

3,002 1,911

1,727 0,626

0,462 1,401

1,923 1,481

0,002 1,244

0,879 4,138

0,048 0,354

1,555 4,457 11,357 2,861

9,688 4,066

0,731 9,048

0,941 4,319

0,906 1,881

2,824 5,598

0,209 0,421

1,557 0,168

0,628 0,264

0,198 0,046

0,202 1,925

0,120 0,053

0,090 2,677

1,891 0,810 14,007 5,633 3,781 24,102 1,509 2,380

1,762 1,822 1,120 0,414 18,340 0,490

8,574 10,451 2,429 11,859 0,285 10,580 1,362 3,984 23,285 10,363 10,387 10,589 11,426 36,772

26

Вар иант № 8 С целью исслед ов ания качеств аизмеренияд альности с п омощ ью рад иод альномерап роизв ед ено20 измерений. Результаты оп ы тов в ы п исаны в таблице. № реал изации

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Элементы в ы борки (ош ибкаизмеренияд альности в метрах )

-0,505 -0,958 -0,846 1,435 0,121 0,446 0,979 -0,833 -0,384 0,143 -0,903 -0,644 2,268 1,180 1,449 1,737 0,147 0,540 -0,956 -1,912 -1,675 0,739 0,104 0,231 -0,320 -0,226 -0,002 0,986 -2,345 -2,008

-0,247 -0,481 -0,537 2,183 1,505 1,343 2,011 1,076 0,852 0,739 0,199 0,070 2,887 1,246 2,191 2,642 1,822 1,625 -0,411 -0,905 -1,023 1,129 0,779 0,695 0,196 0,726 -0,384 -0,212 -0,913 -1,081

-0,977 -0,211 -0,215 0,066 2,288 2,276 -0,909 2,156 2,139 -0,947 0,822 0,813 1,135 2,973 2,964 0,080 2,769 2,755 -1,952 -0,335 -0,656 1,163 1,183 1,177 1,264 0,268 0,260 -2,402 -0,103 -0,116

-0,332 -0,541 -0,961 1,936 1,330 1,112 1,670 0,834 0,154 0,542 0,059 -0,911 2,682 1,101 1,173 2,343 1,610 0,135 -0,591 -1,032 -1,919 1,001 0,688 0,058 0,025 -0,393 -0,233 -0,467 -1,094 -2,354

-0,794 -0,086 -0,943 0,597 2,652 0,164 -0,177 2,658 0,226 -0,525 1,112 -0,869 1,574 3,275 1,216 0,722 3,209 0,199 -1,566 -0,071 -1,991 0,309 1,372 0,085 0,102 0,519 -1,197 -1,853 0,273 -2,300

-0,132 -0,457 -0,719 2,547 1,574 0,815 2,513 1,172 0,125 1,029 0,254 -0,350 2,108 2,383 1,755 3,082 1,906 0,987 -0,147 -0,854 -1,407 1,317 0,814 0,442 0,446 -0,224 -0,748 0,165 -0,841 -1,626

-0,785 -0,519 0,623 1,395 -0,141 0,924 -0,504 0,111 1,595 2,234 0,756 1,688 -1,547 -0,983 0,322 0,721 0,119 -0,348 -1,826 -1,027

27

Вар иант № 9 П роизв ед ено20 измерений углов ой ош ибки нав од ки п ри стрельбе п о наземной цели. Результаты измерений п ред став лены в таблице. № Элементы в ы борки (углов ы е ош ибки в ты сячны х д олях рад иана) реал изации

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

0,495 0,042 0,154 1,990 1,084 1,308 2,484 1,125 1,462 3,979 2,167 2,616 -0,010 -0,916 -0,692 1,608 0,136 0,500 1,138 0,096 0,354 -0,005 -0,458 -0,346 5.648 5,055 5,063 4,673 4,706 4,209

0,753 0,519 0,463 2,506 2,038 1,926 3,258 2,557 2,389 5,011 4,076 3,852 0,506 0,038 -0,074 2,447 1,687 1,505 1,731 1,194 1,065 0,253 0,019 -0,037 5,986 5,680 5,607 5,024 5,073 4,630

0,023 0,789 0,785 1,046 2,578 2,570 1,068 3,367 3,354 2,091 5,156 5,139 -0,954 0,578 0,570 0,074 2,564 2,551 0,052 1,814 1,805 -0,477 0,289 0,285 5,299 6,033 6,028 4,031 4,624 5,067

0,668 0,459 0,039 2,335 1,917 1,077 3,003 2,376 1,116 4,670 3,834 2,154 0,335 -0,083 -0,923 2,170 1,490 0,125 1,535 1,055 0,089 0,168 0,041 -0,461 5,875 5,601 5,051 4,908 5,244 4,052

0,206 0,914 0,057 1,412 2,829 1,113 1,617 3,743 1,170 2,823 5,658 2,226 -0,588 0,829 -0,887 0,669 2,972 0,184 0,437 2,103 0,130 -0,294 0,414 -0,443 5,270 6,198 5,074 4,280 4,738 4,077

0,878 0,543 0,281 2,756 2,086 1,562 3,635 2,629 1,844 5,513 4,172 3,125 0,756 0,086 -0,438 2,854 1,764 0,914 2,020 1,629 0,647 0,378 0,043 -0,219 6,150 5,711 5,368 5,194 4,654 4,382

0,215 0,481 1,429 1,962 1,644 2,443 2,859 3,924 -0,571 -0,038 0,698 1,563 0,494 1,106 -0,285 -0,019 5,281 5,630 4,292 4,057

28

Вар иант № 10 В течение 10 в есенних п ав од ков измерялись уров ни в од ы в реке п о отнош ению к номиналу. Д анны е измерений п рив ед ены в таблице. № Элементы в ы борки (уров еньв од ы в д ециметрах ) реал изации 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

4,590 3,684 3,908 5,085 3,726 4,062 5,580 3,768 4,216 6,075 3,810 4,370 6,570 3,852 4,524 7,065 3,894 4,678 1,887 0,709 1,000 2,387 1,209 1,500 2,783 1,231 1,624 1,941 1,171 1,362

5,106 4,638 4,526 5,859 5,157 4,989 6,612 5,676 5,452 7,365 6,195 5,915 8,118 6,714 6,378 8,871 7,233 6,841 2,558 1,949 1,804 3,058 2,449 2,304 3,660 2,865 2,674 2,389 1,982 1,887

3,646 5,178 5,170 3,669 5,967 5,955 3,692 6,756 6,740 3,715 7,545 7,525 3,738 8,334 8,310 3,761 9,123 9,095 0,660 2,651 2,641 1,160 3,151 3,141 1,178 3,783 3,769 1,139 2,441 2,434

4,936 4,518 3,678 5,604 4,977 3,717 6,272 5,436 3,756 6,940 5,895 3,795 7,608 6,354 3,834 8,276 6,813 3,873 2,337 1,793 0,701 1,837 2,293 1,201 3,371 2,661 1,233 2,236 1,880 1,166

4,012 5,428 3,714 4,218 6,342 3,771 4,424 7,256 3,828 4,630 8,170 3,885 4,836 9,084 3,942 5,042 9,998 3,999 1,136 2,976 0,748 1,636 3,476 1,248 1,800 4,206 1,294 1,450 2,664 1,197

5,356 4,686 4,162 6,234 5,229 4,443 7,112 5,772 4,724 7,990 6,315 5,005 8,868 6,858 5,286 9,746 7,401 5,567 2,883 1,412 1,331 3,383 2,512 1,831 4,085 2,946 2,955 2,693. 2,023 1,578

4,030 4,562 4,245 5,043 4,460 5,524 4,685 6,005 4,890 6,486 5,105 6,967 1,159 1,851 1,659 2,351 1,831 2,735 1,465 1,918

29

СО Д Е РЖ А Н И Е В в ед ение................................................................................................

3

§ 1. П ростаяслучайнаяв ы борка.......................................................... 4 § 2. П оряд ков ы е статистики ................................................................. 5 § 3. Эмп ирическаяфункциярасп ред еления........................................ 6 § 4. Гистограммав ы борки и п олигон частот...................................... 9 § 5. В ы борочны е х арактеристики ........................................................ 13 В ы борки ................................................................................................. 19

30

Л И Т Е РА Т У РА 1. Бочаров П .П . Т еорияв ероятностей / П .П .Бочаров , А .В .П ечинкин. – М . : Гард арика, 1998. – 328 с. 2. М атематическая статистика /А .В .П ечинкин, О .И .Т ескин, Г.М .Ц в етков аи д р. - М . : М ГТ У , 2001. – 456 с.

31

Состав ители: М их айлов аИ ринаВ итальев на Барков аЛ арисаН иколаев на Ред актор Т их омиров аО .А .