Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметров: Лекции по математическому анализу

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû è èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðîâ

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

Ïðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà . . . . . . . . . . . . .

3

3.1

Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû . . . . . . . . . . . . . . .

3

3.2

Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà . . 12

3.3

Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

3.4

Ñâîéñòâà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò

19

ïàðàìåòðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5

Íåñîáñòâåííûå êðàòíûå èíòåãðàëû . . . . . . . . . . 29

3.6

Âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ . 33

3.7

Ýéëåðîâû èíòåãðàëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1

2

Îãëàâëåíèå

1 Ïðåäèñëîâèå

2 Ââåäåíèå

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç  îáùåîáðàçîâàòåëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà, îáúåêòîì èçó÷åíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ áîëüøàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííàÿ ñ ïîíÿòèÿìè ôóíêöèè, ïðîèçâîäíîé è èíòåãðàëà. Öåëü äèñöèïëèíû ¾Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç¿ - îçíàêîìëåíèå ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ ïåðåìåííûõ âåëè÷èí ïîñðåäñòâîì àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ, îñíîâó êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ â äàííîé äèñöèïëèíå ÿâëÿþòñÿ ïðåæäå âñåãî ôóíêöèè. Ñ èõ ïîìîùüþ ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû êàê çàêîíû ïðèðîäû, òàê è ðàçíîîáðàçíûå ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â òåõíèêå. Îòñþäà îáúåêòèâíàÿ âàæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà êàê ñðåäñòâà èçó÷åíèÿ ôóíêöèé. Äèñöèïëèíà ¾Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç¿ îòðàæàåò âàæíîå íàïðàâëåíèå ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè.  íåé ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ìåòîäàìè âû÷èñëåíèé, ÷òî âàæíî äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà¿.

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

3

3

Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

3.1 Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäà Ïóñòü f : [a, +∞) → R è èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà ëþáîì îòðåçêå

[a, A] (A ∈ (a, +∞)). Ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå Z+∞ f (x)dx a

íàçîâ¼ì íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà.

Îïðåäåëåíèå 3.1 Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà íàçîâ¼ì ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñóùåñòâóåò

ZA lim

f (x)dx = I.

A→+∞ a

 ýòîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷èñëî I ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì èíòåãðàëà è ïèñàòü

Z+∞ I= f (x)dx. a

Åñëè æå óêàçàííûé ïðåäåë ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè èëè âîâñå íå ñóùåñòâóåò, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. Ïðè àíàëîãè÷íûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îïðåäåëèì íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû

Zb

Zb f (x)dx = lim

B→+∞ −B

−∞

Z+∞

Ïðèìåð 3.1 1

f (x)dx è

Z+∞ f (x)dx = −∞

ZA lim

A,B→+∞ −B

f (x)dx.

dx ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè p ≤ 1. xp

4

Îãëàâëåíèå Ýòîò ïðèìåð è íåêîòîðûå äðóãèå ðàññìàòðèâàëèñü âî âòîðîì ñåìå-

ñòðå. Íàáëþäàåòñÿ ïîëíàÿ àíàëîãèÿ ìåæäó íåñîáñòâåííûìè èíòåãðàëàìè ZA ïåðâîãî ðîäà è ÷èñëîâûìè ðÿäàìè. Èíòåãðàë f (x)dx ñîîòâåòñòâóåò ÷àa

ñòè÷íîé ñóììå ðÿäà è ïîýòîìó ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà è ðÿäà îïðåäåëÿZ∞ åòñÿ ñîâåðøåííî îäèíàêîâî. Èíòåãðàë f (x)dx ïî àíàëîãèè ñ îñòàòêîì A

ðÿäà íàçîâ¼ì îñòàòêîì èíòåãðàëà. Êàê è äëÿ ðÿäîâ óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà ñõîäèòñÿ, òî åãî îñòàòîê ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Íèæå åù¼ íå îäèí ðàç ïðåäñòàâèòñÿ âîçìîæíîñòü ïðîñëåäèòü çà îòìå÷åííûì ñõîäñòâîì ðÿäîâ è íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.

Z+∞ Òåîðåìà 3.1 (êðèòåðèé Êîøè) Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f (x)dx a

ñõîäèòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ∀ε > 0 ∃A0 (> a) òàêîå, ÷òî ∀A0 , A00 > A0

¯ A00 ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯ < ε. ¯ ¯ ¯ 0 ¯ A

ZA

Äîêàçàòåëüñòâî.

f (x)dx åñòü ôóíêöèÿ F (A) îò âåðõíåãî ïðåäåëà A, a

îïðåäåë¼ííàÿ íà ïðîìåæóòêå [a, +∞),

ZA F (A) =

f (x)dx. a

Åñëè èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, òî ñóùåñòâóåò lim F (A) = I è íàîáîðîò. ÍàA→+∞

ïèøåì äëÿ ôóíêöèè F (A) óñëîâèå Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïðè

A → +∞: ∀ε > 0 ∃A0 (> a) : ∀A0 , A00 > A0 |F (A00 ) − F (A0 )| < ε. ZA00 Ïîñêîëüêó F (A00 ) − F (A0 ) =

ZA0 f (x)dx −

a

ZA00 f (x)dx, òî óñëîâèå

f (x)dx = a

A0

Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè F (A), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

5

Åñëè èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå, òî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü

Z+∞ Ïðåäëîæåíèå 3.1 f (x)dx ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a

äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè An → +∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåZAn ãðàëîâ f (x)dx ñõîäèòñÿ. a

Z+∞ f (x)dx àáñîëþòíî ñõîäÿùèìÎïðåäåëåíèå 3.2 Íàçîâ¼ì èíòåãðàë a

Z+∞ ñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ èíòåãðàë |f (x)|dx. a

Z+∞ f (x)dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî îí ñõîäèòñÿ. Òåîðåìà 3.2 Åñëè a

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê èíòåãðàë ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî ïî êðèòåðèþ Êîøè ∀ε > 0 ∃A0 : ∀A0 , A00 > A0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

ZA00 |f (x)|dx < ε. A0

Íî òîãäà è

¯ A00 ¯ ¯ A00 ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯ ≤ ¯ |f (x)|dx¯ < ε ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 0 ¯ A

0

A

00

ïðè ëþáûõ A , A > A0 .

Z+∞ f (x)dx ñõîäèòñÿ, íî íå ñõîäèòñÿ àáñîëþòÎïðåäåëåíèå 3.3 Åñëè a

íî, òî áóäåì íàçûâàòü åãî óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ.

Òåîðåìà 3.3 (Âåéåðøòðàññ) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) → R, èíòåãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáîì A > a, |f (x)| ≤ g(x) äëÿ âñåõ Z+∞ Z +∞ x ∈ [a; +∞) è g(x)dx ñõîäèòñÿ. Òîãäà f (x)dx òîæå ñõîäèòñÿ a

è ïðèòîì àáñîëþòíî.

a

6

Îãëàâëåíèå

Z+∞ Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê g(x)dx ñõîäèòñÿ, òî ïî êðèòåðèþ Êîøè a

¯ A00 ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ 0 00 ¯ ∀ > 0 ∃A0 òàêîå, ÷òî ïðè A , A > A0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ¯ g(x)dx¯¯ < ¯ 0 ¯ A 0 00 ε. Íî òîãäà ïðè A , A > A0 èìååì: ¯ ¯ ¯ A00 ¯ A00 ¯ ¯ A00 ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯ ≤ ¯ |f (x)|dx¯ ≤ ¯ g(x)dx¯ < ε. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 0 ¯ 0 A

A

A

Èç ïîëó÷åííîé îöåíêè, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè, âûòåêàåò è ñõîäèìîñòü è àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà îò f (x).

Çàìå÷àíèå 3.1 Íåðàâåíñòâî |f (x)| ≤ g(x) â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü äëÿ x ∈ [b; +∞), ãäå b > a. Ýòî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü

Z+∞ Zb Z+∞ f (x)dx. f (x)dx = f (x)dx + a

a

b

Ïåðâûé èíòåãðàë â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè íå îñîáåííûé, à êî âòîðîìó ìîæíî ïðèìåíèòü äîêàçàííóþ òåîðåìó.

Z+∞

Ïðèìåð 3.2 Ðàññìîòðèì èíòåãðàëû

sinx dx, xp

1

Z+∞

cosx dx. xp

1

¯ ¯ Z+∞ ¯ sinx ¯ dx 1 Ðåøåíèå. Òàê êàê ¯¯ p ¯¯ ≤ p , à ñõîäèòñÿ, åñëè p > 1 (ïðèìåð x x xp Z+∞

1

sinx dx ñõîäèòñÿ, è ïðèòîì àáñîëþòíî, ïðè p > 1. Âòîðîé xp 1 èíòåãðàë ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. 3.1), òî è

Òåîðåìà 3.4 (Äèðèõëå) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) → R è èíòå-

Z+∞ ãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáîì A > a. Òîãäà f (x)g(x)dx ñõîäèòñÿ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ: ZA 1) f (x)dx îãðàíè÷åí íà [a; +∞); a

a

2) ôóíêöèÿ g(x) ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → +∞.

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

7

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ïåðâîìó óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ¯ ¯ ¯ZA ¯ ¯ ¯ ÷òî ¯¯ f (x)dx¯¯ ≤ M ∀A(> a). Ïî âòîðîìó óñëîâèþ ∀ε > 0 ∃A0 òàêîå, ÷òî ¯ ¯ a ïðè A > A0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |g(A)| < ε/2M . Ïî âòîðîìó æå óñëîâèþ ôóíêöèþ g(x) ìîæíî ñ÷èòàòü íåîòðèöàòåëüíîé. Âîçüì¼ì ZA00 A0 , A00 > A0 (A0 < A00 ) è ïðèìåíèì ê èíòåãðàëó f (x)g(x)dx âòîðóþ òåA0

îðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè (ôîðìóëó Áîííý), ñîãëàñíî êîòîðîé íàéä¼òñÿ

A (A0 < A < A00 ) òàêîå, ÷òî ZA00

ZA f (x)g(x)dx = g(A0 )

A0

f (x)dx. A0

Íî òîãäà, ïîñêîëüêó ¯ A ¯ ¯ A ¯ ¯ A ¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯ZA0 ¯ ZA0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯ = ¯ f (x)dx − f (x)dx¯ ≤ ¯ f (x)dx¯ + ¯ f (x)dx¯ < 2M, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a

A

a

a

a

ñïðàâåäëèâà îöåíêà ¯ A00 ¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ZA ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x)g(x)dx¯ = ¯g(A0 ) f (x)dx¯ < ε · 2M = ε ¯ ¯ ¯ ¯ 2M ¯ 0 ¯ ¯ ¯ 0 A

A

äëÿ ëþáûõ A0 , A00 > A0 . Ïî êðèòåðèþ Êîøè èíòåãðàë ñõîäèòñÿ.

Òåîðåìà 3.5 (Àáåëü) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) → R è èíòå-

Z+∞ ãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáîì A > a. Òîãäà f (x)g(x)dx a

ñõîäèòñÿ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ: ZA 1) f (x)dx ñõîäèòñÿ; a

2) ôóíêöèÿ g(x) ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà íà [a; +∞).

Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó âòîðîãî óñëîâèÿ ñóùåñòâóåò lim g(x) = g0 . x→+∞

Òîãäà

Z+∞ Z+∞ f (x)g(x)dx = f (x) (g(x) − g0 + g0 ) dx = a

a

8

Îãëàâëåíèå

Z+∞ Z+∞ = f (x) (g(x) − g0 ) dx + g0 f (x)dx. a

a

Ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ ñïðàâà ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå, ïîñêîëüêó

g(x) − g0 ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → +∞, à âòîðîé ñõîäèòñÿ â ñèëó óñëîâèÿ 1 äîêàçûâàåìîé òåîðåìû.

Çàìå÷àíèå 3.2 Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Àáåëÿ áûëî èñïîëüçîâàíî î÷åâèäíîå ñâîéñòâî íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ: åñëè ñõîäÿòñÿ èíZ+∞ Z+∞ Z+∞ òåãðàëû f (x)dx è g(x)dx, òî ñõîäèòñÿ è (f (x) + g(x)) dx, ïðè ýòîì

a

a

a

Z+∞ Z+∞ Z+∞ (f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + g(x)dx. a

a

a

Î÷åâèäíîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿ óñòàíîâèòü ÷èòàòåëþ.

Z+∞

Ïðèìåð 3.3 Âåðí¼ìñÿ ê ðàññìîòðåííûì âûøå ïðèìåðàì Z+∞

sin x dx è xp

1

cos x dx. xp

1

Ðåøåíèå. Ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå ýòè èíòåãðàëû ñõîäÿòñÿ ïðè p > 0, ZA

p

ïîñêîëüêó ïðè ýòîì óñëîâèè äðîáü 1/x & 0, à èíòåãðàëû

sin xdx, 1

ZA cos xdx, î÷åâèäíî, îãðàíè÷åíû. 1

Z+∞

Ïðèìåð 3.4 Ðàññìîòðèì

sin x arctg xdx. x

1

Ðåøåíèå. Ýòîò èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Àáåëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, Z+∞

ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà 1

sin x dx óñòàíîâëåíà â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, à x

ôóíêöèÿ arctg x ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà.

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

9

Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà Ïóñòü ôóíêöèÿ f : (a; b] → R, íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè

a, íî èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà [a + δ, b] ïðè ëþáîì 0 < δ < b − a. Ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå

Zb f (x)dx a

íàçîâ¼ì íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà.

Îïðåäåëåíèå 3.4 Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà íàçîâ¼ì ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñóùåñòâóåò

Zb lim

δ→0 a+δ

f (x)dx = I.

 ýòîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷èñëî I ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì èíòåãðàëà è ïèñàòü

Zb I=

f (x)dx. a

Åñëè æå óêàçàííûé ïðåäåë ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè èëè âîâñå íå ñóùåñòâóåò, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ

Zb

Zb−δ f (x)dx = lim f (x)dx, δ→0

a

a

åñëè ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà [a; b), èíòåãðèðóåìà íà [a; b − δ] ïðè ëþáîì 0 < δ < b − a è íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè b. Åñëè æå ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà [a; b]\{c}, a < c < b, íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè c, íî èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêàõ [a; c − δ] è [c − δ; b] ïðè ëþáîì äîïóñòèìîì ïîëîæèòåëüíîì δ , òî îïðåäåëèì

Zb

 c−δ  Z 1 Zb f (x)dx = lim  f (x)dx + f (x)dx . δ1 ,δ2 →0

a

a

c+δ2

10

Îãëàâëåíèå

Z1

Ïðèìåð 3.5

sin x dx ñõîäèòñÿ ïðè p < 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè p ≥ 1. xp

0

Ýòîò ïðèìåð áûë ðàññìîòðåí âî âòîðîì ñåìåñòðå.

Òåîðåìà 3.6 (êðèòåðèé Êîøè) Åñëè ôóíêöèÿ f : (a; b] → R, íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè a, íî èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà [a+δ, b] Rb ïðè ëþáîì 0 < δ < b − a, òî f (x)dx ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, a

êîãäà ∀ε > 0 ∃δ > 0 ¯ òàêîå, ÷òî ∀a0 , a00 : ¯ ¯ ¯Za00 ¯ ¯ ¯ âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå ¯ f (x)dx¯¯ < ε. ¯ ¯0

a < a0 , a00 < a + δ áóäåò

a

Ýòî óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ òàê æå, êàê è àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà. Òàê æå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå àáñîëþòíîé è óñëîâíîé ñõîäèìîñòè è óñòàíàâëèâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó íèìè. Òàê æå ôîðìóëèðóåòñÿ è äîêàçûâàåòñÿ ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Âåéåðøòðàññà. Ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëÿì ïðîäåëàòü ýòó ðàáîòó ñàìîñòîÿòåëüíî.

Èíòåãðàëû â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ Îïðåäåëåíèå 3.5 Ïóñòü ôóíêöèÿ f : R → R, èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìà-

Z+∞ íó íà ëþáîì êîíå÷íîì îòðåçêå, íî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f (x)dx −∞

ZA íå ñóùåñòâóåò. Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóåò lim

A→+∞ −A

f (x)dx, òî îí íàçûâà-

åòñÿ èíòåãðàëîì â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì Z+∞ (v. p.) f (x)dx. −∞

Îïðåäåëåíèå 3.6 Ïóñòü ôóíêöèÿ f : [a; b]\{c} → R, a < c < b, íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè c, èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêàõ Zb [a; c − δ] è [c + δ; b] ïðè ëþáîì δ > 0, íî f (x)dx íå ñóùåñòâóåò. Òîa

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

11

 c−δ  Z Zb ãäà, åñëè ñóùåñòâóåò lim  f (x)dx + f (x)dx, òî îí íàçûâàåòδ→0

a

c+δ

ñÿ èíòåãðàëîì â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì Zb (v. p.) f (x)dx. a

Z1

Ïðèìåð 3.6 Ðàññìîòðèì

dx . x

−1

Ðåøåíèå. Ýòî  ðàñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà, ïîñêîëüêó ïîêàçàòåëü ñòåïåíè p = 1. Îäíàêî  −δ  µ Z Z1 ¯−δ ¯1 ¶ dx dx ¯  = lim ln(−x)¯ + ln x¯¯ = lim  + δ→0 δ→0 x x −1 δ −1

δ

= lim (ln δ − ln 1 + ln 1 − ln δ) = 0. δ→0

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ñóùåñòâóåò â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ è

Z1 (v. p.)

dx = 0. x

−1

Z+∞

Ïðèìåð 3.7 Ðàññìîòðèì

xdx . 1 + x2

−∞

Ðåøåíèå. Ýòîò èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) ∼

1 (x → ∞). Íî x

ZA lim

A→+∞ −A

¯+A xdx 1 2 ¯ = lim ln(1 + x )¯ = 1 + x2 A→+∞ 2 −A

¢ 1¡ ln(1 + A2 ) − ln(1 + A2 ) = 0. A→+∞ 2

= lim

Ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò èíòåãðàë ñóùåñòâóåò â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ è

Z+∞ (v. p.) −∞

xdx = 0. 1 + x2

12

Îãëàâëåíèå

3.2 Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà Ïóñòü f : [a; b] × Y → R, ãäå [a; b] ⊂ R, Y  ëþáîå ìíîæåñòâî, à [a; b] × Y = {(x, y) : x ∈ [a; b], y ∈ Y }. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀y ∈ Y ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [a; b].

Îïðåäåëåíèå 3.7 Ôóíêöèþ Zb f (x, y)dx,

I(y) =

(3.1)

a

îïðåäåë¼ííóþ íà ìíîæåñòâå Y ïðè îïèñàííûõ âûøå óñëîâèÿõ, áóäåì íàçûâàòü ñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì, çàâèñÿùèì îò ïàðàìåòðà. Èçó÷èì ñâîéñòâà ýòîãî èíòåãðàëà, îãðàíè÷èâøèñü ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì: Y = [c; d] ∈ R, è ââåäÿ îáîçíà÷åíèå

Π = [a b] × [c; d] = {(x, y) : x ∈ [a; b], y ∈ [c; d]} .

Òåîðåìà 3.7 Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ïðÿìîóãîëüíèêå Π. Òîãäà ôóíêöèÿ I(y) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b].

Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå, åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà. Âîçüì¼ì, ïîýòîìó, ëþáîå y0 ∈ [c; d] è ëþáîå ε > 0 è ïîêàæåì, ÷òî íàéä¼òñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî åñëè y ∈ [c; d] è ¯ ¯ |y − y0 | < δ , òî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî ¯I(y) − I(y0 )¯ < ε. Ïðÿìîóãîëüíèê Π  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â R2 , ïîýòîìó ïî òåîðåìå Êàíòîðà (?) ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà Π, ñëåäîâàòåëüíî, ïî âûáðàííîìó ε > 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîå δ > 0, ÷òî åñëè

|x0 − x00 | < δ, |y 0 − y 00 | < δ (x0 , x00 ∈ [a; b], y 0 , y 00 ∈ [c; d]) , òî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî

¯ ¯ ¯f (x0 , y 0 ) − f (x00 , y 00 )¯<

ε . b−a

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

13

Ïîëîæèì x0 = x00 = x, y 0 = y , y 00 = y0 . Òîãäà ¯ b ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯I(y) − I(y0 )¯ = ¯ [f (x, y) − f (x, y0 )]dx¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ a

Zb ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯f (x, y) − f (x, y0 )¯dx <

ε · (b − a) = ε. b−a

a

Ïîëó÷åííàÿ îöåíêà äîêàçûâàåò íå òîëüêî íåïðåðûâíîñòü, íî è ðàâíîìåðíóþ (ïîñêîëüêó δ íå çàâèñèò îò y0 ) íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè I(y) íà îòðåçêå [a; b].

Òåîðåìà 3.8 Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ïðÿìîóãîëüíèêå Π. Òîãäà ôóíêöèÿ I(y) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [c; d] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Zd

Zd I(y)dy =

c

Zb dy

c

Zb f (x, y)dx =

a

Zd dx

a

f (x, y)dy.

(3.2)

c

Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðèðóåìîñòü I(y) âûòåêàåò èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû è òåîðåìû îá èíòåãðèðóåìîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Ðàâåíñòâî æå 3.2 ñëåäóåò èç òåîðåìû î ñâåäåíèè êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó (?). Äëÿ íåïðåðûâíîé íà ïðÿìîóãîëüíèêå Π ôóíêöèè ñóùåñòâóåò RR f (x, y)dxdy , êîòîðûé ìîæåò áûòü ñâåäåí ê ïîâòîðíîìó â ëþáîì ïîΠ

ðÿäêå.

Òåîðåìà 3.9 Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà è èìååò íåïðåðûâíóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ fy0 íà ïðÿìîóãîëüíèêå Π, òî ôóíêöèÿ I(y) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [c; d] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

d I (y) = dy

Zb

0

Zb f (x, y)dx =

a

∂f (x, y) dx. ∂y

(3.3)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê fy0 íåïðåðûâíà íà Π, òî, èñïîëüçóÿ ïðåäûäóùóþ òåîðåìó, äëÿ ëþáîãî y ∈ [c; d] ìîæåì íàïèñàòü ðàâåíñòâî

Zb

Zy dx

a

c

∂f (x, η) dη = ∂η

Zy

Zb dη

c

a

∂f (x, η) dx. ∂η

(3.4)

14

Îãëàâëåíèå Óïðîñòèì ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà 3.4 ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Íüþòîíà-

Ëåéáíèöà.

Zb

Zy dx

a

∂f (x, η) dη = ∂η

c

.

¯y ¯ dx · f (x, η) ¯ = c

a

Zb =

Zb

Zb f (x, y)dx −

a

f (x, c)dx = I(y) − I(c) a

Îáîçíà÷èì ÷åðåç J(η) âíóòðåííèé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.4). Òîãäà ðàâåíñòâî (3.4) ïðèìåò âèä:

Zy I(y) − I(c) =

J(η)dη.

(3.5)

c

Ïî òåîðåìå 3.7 J(η)  íåïðåðûâíàÿ íà [c; d] ôóíêöèÿ. Íî òîãäà ïî òåîðåìå î ïðîèçâîäíîé èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà 3.5 (ñëåäîâàòåëüíî, è ëåâàÿ) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [c; d]. Ïî òîé æå òåîðåìå èç ðàâåíñòâà 3.5 ïîëó÷àåì:

d I 0 (y) = dy

Zy

Zb J(η)dη = J(y) =

c

∂f (x, y) dy, ∂y

a

÷òî è òðåáîâàëîñü. Ðàññìîòðèì òåïåðü áîëåå îáùèé ñëó÷àé, êîãäà íå òîëüêî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ, íî è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà. Èòàê, ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) îïðåäåëåíà íà ïðÿìîóãîëüíèêå Π =

[a; b] × [c; d], èíòåãðèðóåìà ïî x íà îòðåçêå [a; b] äëÿ êàæäîãî y ∈ [c; d], ôóíêöèè a(y) è b(y) çàäàíû íà îòðåçêå [c; d] è ∀y ∈ [c; d] âûïîëíÿåòñÿ

a ≤ a(y) ≤ b(y) ≤ b. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë Zb(y) I(y) = f (x, y)dx.

(3.6)

a(y)

Òåîðåìà 3.10 Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà íà Π, à ôóíêöèè a(y), b(y) íåïðåðûâíû íà [c; d]. Òîãäà ôóíêöèÿ I(y), îïðåäåë¼ííàÿ ðàâåíñòâîì 3.6, íåïðåðûâíà íà [c; d].

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

15

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y0 ∈ [c; d]. Ïîêàæåì, ÷òî lim I(y) = I(y0 ). Äëÿ y→y0

ýòîãî ðàçîáü¼ì èíòåãðàë íà òðè ñëàãàåìûõ, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà.

Zb(y) I(y) = f (x, y)dx = a(y) a(y Z 0)

=

b(y Z 0)

f (x, y)dx + a(y)

f (x, y)dx +

a(y0 )

b(y Z 0)

+

Zb(y) b(y0 )

Zb(y)

f (x, y)dx + a(y0 )

f (x, y)dx = Za(y)

f (x, y)dx −

b(y0 )

f (x, y)dx = a(y0 )

= I0 (y) + Ib (y) − Ia (y). (3.7) Çäåñü èíòåãðàëû îáîçíà÷åíû â ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì êàæäûé èç íèõ â îòäåëüíîñòè. Ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ  èíòåãðàë ñ ïîñòîÿííûìè ïðåäåëàìè âèäà 3.1, åãî íåïðåðûâíîñòü äîêàçàíà â òåîðåìå 3.7. Ïîýòîìó

lim I0 (y) = I0 (y0 ).

y→y0

Çàéìåìñÿ âòîðûì èíòåãðàëîì. Ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà íà Π, ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíà. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî ¯ ¯ ¯f (x, y)¯ ≤ M , (x, y) ∈ Π. Íî òîãäà

¯ ¯ ¯ Zb(y) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x, y)dx¯ ≤ M ¯b(y) − b(y0 )¯. ¯ ¯ ¯ ¯b(y0 ) ¯ À òàê êàê ôóíêöèÿ b(y) íåïðåðûâíà íà [c; d], òî b(y) − b(y0 ) → 0 ïðè

y → y0 , ïîýòîìó lim Ib (y) = 0.

y→y0

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî è

lim Ia (y) = 0.

y→y0

16

Îãëàâëåíèå Òàêèì îáðàçîì,

lim I(y) = lim I0 (y) + lim Ib (y) − lim Ia (y) = I0 (y0 ),

y→y0

y→y0

y→y0

y→y0

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Òåîðåìà 3.11 Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ïðÿìîóãîëüíèêå Π è èìååò íà í¼ì íåïðåðûâíóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ fy0 , à ôóíêöèè a(y) è

b(y) äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [c; d]. Òîãäà ôóíêöèÿ I(y), îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (3.6), äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [c; d] è å¼ ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå

Zb(y) I 0 (y) =

∂f (x, y) dx + f (b(y), y)b0 (y) − f (a(y), y)a0 (y). ∂y

(3.8)

a(y)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó äèôôåðåíöèðóåìîñòü íà ïðîìåæóòêå åñòü äèôôåðåíöèðóåìîñòü â êàæäîé òî÷êå ïðîìåæóòêà, òî âîçüì¼ì y0 íà îòðåçêå [c; d] è ïîêàæåì, ÷òî I(y) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå y0 , è ÷òî I 0 (y0 ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (3.8). Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì I(y) â âèäå (3.7) è ïîêàæåì, ÷òî êàæäîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè (3.7) äèôôåðåíöèðóåìî è âû÷èñëèì åãî ïðîèçâîäíóþ. Ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè (3.7) èìååò ïîñòîÿííûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Åãî äèôôåðåíöèðóåìîñòü óñòàíîâëåíà â òåîðåìå 3.9. Ïîýòîìó

b(y Z 0)

I00 (y0 ) =

∂f (x, y0 ) dx. ∂y

(3.9)

a(y0 )

Òåïåðü äîêàæåì äèôôåðåíöèðóåìîñòü è âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè (3.7). (Îòìåòèì, ÷òî Ib (y0 ) = 0.) Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé

Ib (y) − Ib (y0 ) 1 Ib0 (y0 ) = lim = lim y→y0 y→y0 y − y0 y − y0

Zb(y) f (x, y)dx. b(y0 )

Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà (ïî x), òî ïî ñâîéñòâó îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà íàéä¼òñÿ c = c(y), b(y0 ) ≤ c(y) ≤ b(y), òàêîå,

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

17

Zb(y) ÷òî

f (x, y)dx = f (c(y), y)(b(y) − b(y0 ). Íî òîãäà b(y0 )

Ib0 (y0 ) = lim

y→y0

1 f (c(y), y)(b(y) − b(y0 ) = y − y0

= lim f (c(y), y) · lim y→y0

y→y0

b(y) − b(y0 ) = f (b(y0 ), y0 )b0 (y0 ), y − y0

òàê êàê ïåðâûé ïðåäåë ñóùåñòâóåò ïî òåîðåìå î òð¼õ ôóíêöèÿõ è â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f íà ïðÿìîóãîëüíèêå Π, à âòîðîé  â ñèëó äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè b(y). Èòàê,

Ib0 (y0 ) = f (b(y0 ), y0 )b0 (y0 ).

(3.10)

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî òðåòüå ñëàãàåìîå â (3.7) äèôôåðåíöèðóåìî è ÷òî

Ia0 (y0 ) = f (a(y0 ), y0 )a0 (y0 ).

(3.11)

Èòàê, âñå òðè ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.7) äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå y0 , çíà÷èò, è ôóíêöèÿ I(y) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå

y0 è I 0 (y0 ) = I00 (y0 ) + Ib0 (y0 ) − Ia0 (y0 ).

(3.12)

Ïîäñòàâèâ ñþäà çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ (ôîðìóëû (3.9), (3.10), (3.11)), ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå (3.8) â òî÷êå y0 .

Çàìå÷àíèå 3.3 Óñëîâèÿ òåîðåì 3.7  3.11 ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè. Äåêëàðèðóåìûå â òåîðåìàõ ñâîéñòâà ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ è ïðè íàðóøåíèè óñëîâèé ýòèõ òåîðåì. Íî áûòü óâåðåííûì â èõ âûïîëíåíèè ïðè íàðóøåíèè óñëîâèé òåîðåì íåëüçÿ. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìåðû.

Z1

Ïðèìåð 3.8 Ðàññìîòðèì I(y) =

sgn(x − y)dx. 0

18

Îãëàâëåíèå

Ðåøåíèå. Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íà ïðÿìîé y = x òåðïèò ðàçðûâ. Îäíàêî, âû÷èñëèâ èíòåãðàë, óáåäèìñÿ, ÷òî îí ïðåäñòàâëÿåò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ îò y íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Z1 1. Ïóñòü y ≤ 0. I(y) = dx = 1; 0

Z1

Zy

2. Ïóñòü 0 < y < 1. I(y) = −

dx = −y + (1 − y) = 1 − 2y .

dx + 0

y

Z1 3. Ïóñòü y ≥ 1. I(y) = −

dx = −1. 0

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ I(y) èìååò îäèíàêîâûå ïðåäåëû ñëåâà è ñïðàâà â òî÷êàõ y = 0 è y = 1, ïîýòîìó íåïðåðûâíà.

Z1

y 2 − x2 ¡ ¢2 dx. x2 + y 2

Ïðèìåð 3.9 Ðàññìîòðèì I(y) = 0

Ðåøåíèå. Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå (0; 0), îäíàêî, âû÷èñëèâ èíòåãðàë, óáåäèìñÿ, ÷òî îí ïðåäñòàâëÿåò èíòåãðèðóåìóþ íà îòðåçêå [0; 1] ôóíêöèþ.

Z1 I(y) = 0

y 2 − x2 ¡ ¢2 dx = x2 + y 2

ïîýòîìó

Z1

Z1 µ d

0

¶

¯x=1 x 1 ¯ , = 2 ¯ = 2 x + y x=0 1 + y 2

0

Z1 I(y)dy =

x 2 x + y2

¯1 π 1 ¯ dy = arctg y ¯= . 2 1+y 4 0

0

Îäíàêî ïîïûòêà ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ïàðàìåòðó ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ïðèâåä¼ò ê èíîìó ðåçóëüòàòó.

Z1

Z1 dx 0

0

Z1 =−

y 2 − x2 ¢2 dy = ¡ x2 + y 2

Z1 0

¶ Z1 µ −y dx d = x2 + y 2 0

Z1 ¯y=1 dx π y ¯ dx = − =− . ¯ 2 2 2 x + y y=0 1+x 4 0

0

Zy2

Ïðèìåð 3.10 Ðàññìîòðèì I(y) = y

sin xy dx. x

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

19

Ðåøåíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî èíòåãðàë óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 3.11 íà ëþáîì îòðåçêå [c; d]. Íàéä¼ì ïðîèçâîäíóþ I 0 (y), èñïîëüçóÿ ôîðìóëó 3.8.

Zy2 I 0 (y) =

cos xydx +

sin y 3 sin y 2 · 2y − ·1= y2 y

y

sin y 3 sin y 2 sin xy ¯¯y2 sin y 3 sin y 2 sin y 3 sin y 2 = − = − +2 − = ¯ +2 y y y y y y y y =3

sin y 3 sin y 2 −2 . y y

3.3 Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà Ïóñòü Y  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, f : [a; +∞)×Y → R. ÏðåäïîëîZ+∞ æèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî y ∈ Y ñõîäèòñÿ f (x, y)dx. Òîãäà íà ìíîæåñòâå a

Y îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ

Z+∞ I(y) = f (x, y)dx,

(3.13)

a

êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà, çàâèñÿùèì îò ïàðàìåòðà.

Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü Ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ñòîëü æå âàæíî, êàê è äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.

Îïðåäåëåíèå 3.8 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y , åñëè åãî îñòàòîê ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê

20

Îãëàâëåíèå

íóëþ íà ýòîì ìíîæåñòâå, òî-åñòü, åñëè ∀ε > 0 ∃A0 (> A) òàêîå, ÷òî

∀A > A0 ∀y ∈ Y âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ¯ ¯ +∞ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ f (x, y)dx¯ < ε. ¯ ¯ ¯ ¯

(3.14)

A

Òåîðåìà 3.12 (êðèòåðèé Êîøè) Äëÿ òîãî, ÷òîáû èíòåãðàë (3.13) ñõîäèëñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ (óñëîâèå Êîøè): ∀ε > 0 ∃A0 , çàâèñÿùåå òîëüêî îò ε, òàêîå, ÷òî ∀A0 , A00 > A0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî ¯ ¯ A00 ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ f (x, y)dx¯ < ε. (3.15) ¯ ¯ ¯ ¯ 0 A

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y . Òîãäà, âçÿâ ëþáîå ε > 0, ïîäáåðåì A0 =¯ A0 (ε) òàê, ÷òîáû äëÿ ¯ ¯ Z+∞ ¯ ¯ ¯ ëþáûõ A > A0 è y ∈ Y âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî ¯¯ f (x, y)dx¯¯ < ε/2. ¯ ¯ A 0 00 Âîçüì¼ì ëþáûå A , A > A0 è ëþáîå y ∈ Y . Òîãäà ¯ A00 ¯ ¯ +∞ ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ Z+∞ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x, y)dx¯ = ¯ f (x, y)dx − ¯≤ f (x, y)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 0 ¯ 00 A

A

A

¯ +∞ ¯ ¯ +∞ ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ε ε ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ f (x, y)dx¯ + ¯ f (x, y)dx¯¯ < + = ε ¯ 0 ¯ ¯ 00 ¯ 2 2 A

A

è íåîáõîäèìîñòü äîêàçàíà. Íàîáîðîò, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (3.15), òî îíî âûïîëíåíî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî y ∈ Y . Íî òîãäà ïî òåîðåìå 3.1 äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî y ∈ Y èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ, òî-åñòü, äëÿ êàæäîãî y ∈ Y ZA ñóùåñòâóåò lim f (x, y)dx. Ïîýòîìó, ïîëîæèâ â (3.15) A0 = A(> A0 ) è A→+∞

a

óñòðåìèâ A00 ê +∞, ïîëó÷èì äëÿ ëþáîãî y ∈ Y ¯ ¯ +∞ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ f (x, y)dx¯ ≤ ε, ¯ ¯ ¯ ¯ A

÷òî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ íà Y ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.13).

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

21

Òåîðåìà 3.13 (Âåéåðøòðàññ) Ïóñòü f : [a, +∞) → R è äëÿ ëþáûõ A(> a) è y ∈ Y ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [a; A]. Ïóñòü g : [a; +∞) → R, äëÿ âñåõ x ∈ [a; +∞), y ∈ Y âûïîëíÿåòñÿ +∞ R íåðàâåíñòâî |f (x, y)| ≤ g(x) è g(x)dx ñõîäèòñÿ. Òîãäà èíòåãðàë (3.13) a

ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî (è àáñîëþòíî) íà ìíîæåñòâå Y .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà (ñì. 3.1) äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ ¯A0 òàêîå,¯ ÷òî äëÿ ¯ ¯ZA00 ¯ ¯ 0 00 ëþáûõ A , A > A0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî ¯¯ g(x)dx¯¯ < ε. Íî ¯ 0 ¯ A òîãäà äëÿ ëþáîãî y ∈ Y , äëÿ ëþáûõ A0 , A00 > A0 èìååì: ¯ ¯ ¯ A00 ¯ A00 ¯ ¯ A00 ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x, y)dx¯ ≤ ¯ |f (x, y)| dx¯ ≤ ¯ g(x)dx¯ < ε. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ 0 ¯ ¯ 0 A

A

A

Îñòà¼òñÿ ïðèìåíèòü òåîðåìó 3.12.

Z+∞

Ïðèìåð 3.11 Ðàññìîòðèì

cos ax dx. 1 + x2

0

Ðåøåíèå. Ýòîò èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà R, òàê êàê èìååò ìåñòî ¯ ¯ Z+∞ ¯ cos ax ¯ dx 1 ¯≤ îöåíêà ¯¯ ,à ñõîäèòñÿ. ¯ 2 2 1+x 1+x 1 + x2 0

Òåîðåìà 3.14 (Äèðèõëå) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) × Y → R è èíòåãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáûõ A > a è y ∈ Y . Òîãäà Z+∞ f (x, y)g(x, y)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà Y , åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþa

ùèå äâà óñëîâèÿ: ZA 1) f (x, y)dx ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åí íà [a; +∞), òî-åñòü, ñóùåñòâóa

åò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ A > a è y ∈ Y ¯ ¯ A ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ f (x, y)dx¯ ≤ M ; ¯ ¯ ¯ ¯ a

2) ôóíêöèÿ g(x, y) ìîíîòîííî ïî x ïðè êàæäîì y ∈ Y è ðàâíîìåðíî ïî y ∈ Y ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → +∞.

22

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû òàêîå æå, êàê è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.4, íóæíî ëèøü ïðîñëåäèòü, ÷òîáû âñå îöåíêè âûïîëíÿëèñü ðàâíîìåðíî ïî ïàðàìåòðó. Ïî ïåðâîìó óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ

A > a è y ∈ Y èìååò ìåñòî îöåíêà: ¯ ¯ A ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ f (x, y)dx¯ ≤ M. ¯ ¯ ¯ ¯

(3.16)

a

Ïî âòîðîìó óñëîâèþ äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ A0 (> a) òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ A > A0 è y ∈ Y âûïîëíåíî

|g(A, y)| <

ε . 4M

(3.17)

ZA00 Âîçüì¼ì A0 , A00 > A0 è ïðèìåíèì ê èíòåãðàëó

f (x, y)g(x, y)dx âòîA0

ðóþ òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè (òîëüêî íà ýòîò ðàç â îáùåì âèäå, ïîñêîëüêó íåèçâåñòåí çíàê g(x, y)), ñîãëàñíî êîòîðîé íàéä¼òñÿ A = A(y),

A ∈ [A0 , A00 ], òàêîå, ÷òî ZA00

ZA00

ZA f (x, y)dx + g(A00 , y)

f (x, y)g(x, y)dx = g(A0 , y) A0

A0

f (x, y)dx.

(3.18)

A

Îöåíèì (3.18) ñ ïîìîùüþ (3.16) è (3.17). ¯ A00 ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ f (x, y)g(x, y)dx¯ ≤ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ A

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ZA00 ZA ¯ ¯ ¯ ¯ 00 0 < ¯¯g(A , y) f (x, y)dx¯¯ + ¯¯g(A , y) f (x, y)dx¯¯ < ¯ ¯ ¯ ¯ 0 A

A

ε ε < · 2M + · 2M = ε 4M 4M äëÿ ëþáîãî y èç ìíîæåñòâà Y . Èñïîëüçóÿ êðèòåðèé Êîøè, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.

Òåîðåìà 3.15 (Àáåëü) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) × Y → R è èíòåãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáûõ A > a è y ∈ Y . Òîãäà

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

23

Z+∞ f (x, y)g(x, y)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà Y , åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþa

ùèå äâà óñëîâèÿ: ZA 1) f (x, y)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y ; a

2) ôóíêöèÿ g(x, y) ìîíîòîííà ïî x ïðè êàæäîì y ∈ Y è ðàâíîìåðíî ïî y ∈ Y îãðàíè÷åíà, òî-åñòü, ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî

|g(x, y)| ≤ M äëÿ âñåõ x ∈ [a; +∞) è y ∈ Y . Ýòà òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è òåîðåìà 3.5, òîëüêî âìåñòî òåîðåìû 3.4 ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü òåîðåìó 3.14. Ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëÿì äîêàçàòü ýòó òåîðåìó ñàìîñòîÿòåëüíî. Z+∞ x sin ax dx, ãäå b > 0  ïîñòîÿííàÿ, à Ïðèìåð 3.12 Ðàññìîòðèì b 2 + x2 0

ïàðàìåòð a óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ |a| ≥ a0 > 0.

x . Òîãäà + x2 ¯ A ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯A ¯¯ ¯¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ sin(ax)dx¯ = ¯− cos(ax) ¯ ¯ = ¯ (1 − cos(aA))¯ ≤ 2 ≤ 2 = M ; ¯ ¯ |a| ¯ ¯ ¯ a ¯ a a0 0 ¯ ¯

Ðåøåíèå. Ïîëîæèì f (x, a) = sin ax, g(x, a) =

b2

0

x &0 + x2 ïðè x → +∞, è ýòî óñëîâèå (ââèäó íåçàâèñèìîñòè ôóíêöèè g îò a) âûb2

ïîëíåíî ðàâíîìåðíî ïî a. Òàê êàê îáà óñëîâèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíåíû, òî ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â óêàçàííîé îáëàñòè. Z+∞ sin x e−ax dx (a ≥ 0). Ïðèìåð 3.13 Ðàññìîòðèì x 0

sin x Ðåøåíèå. Ïîëîæèì f (x, a) = , g(x, a) = e−ax . Òàê êàê x

Z+∞

sin x dx x

0

ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî a (ââèäó åãî îòñóòñòâèÿ) ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå, à ôóíêöèÿ e−ax , î÷åâèäíî, ìîíîòîííà ïî x è ïðè x ≥ 0, y ≥ 0 îãðàíè÷åíà, òî ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â óêàçàííîé îáëàñòè ïî ïðèçíàêó Àáåëÿ.

24

Îãëàâëåíèå

3.4 Ñâîéñòâà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà Èçó÷èì ñâîéñòâà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, îãðàíè÷èâøèñü ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì: ìíîæåñòâî Y åñòü îòðåçîê [c; d] âåùåñòâåííîé îñè. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå

Π∞ = [a; +∞) × [c; d] è äîêàæåì ïðåäâàðèòåëüíî ñëåäóþùóþ ëåììó.

Ëåììà 3.1 Åñëè èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé a+n Z In (y) = f (x, y)dx (n ∈ N)

(3.19)

a

òîæå ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå Y ê ôóíêöèè I(y).

Òåîðåìà 3.16 Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà Π∞ , à èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d], òî ôóíêöèÿ

I(y), îïðåäåëÿåìàÿ ýòèì èíòåãðàëîì, íåïðåðûâíà íà [c; d].

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 3.7 ôóíêöèè In (y) (n ∈ N) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [c; d]. Ïî ëåììå 3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé In (y) (n ∈ N) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d] ê ôóíêöèè I(y). Íî òîãäà ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ôóíêöèÿ I(y) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [c; d]. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ â íåêîòîðîì ðîäå îáðàòíîé ê ïðåäûäóùåé.

Òåîðåìà 3.17 (Äèíè) Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà Π+∞ , à ôóíêöèÿ I(y), îïðåäåëÿåìàÿ èíòåãðàëîì (3.13), íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [c; d], òî èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d].

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

25

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 3.7 ôóíêöèè In (y) (n ∈ N) (ñì. (3.19)) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [c; d]. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x, y) íåîòðèöàòåëüíà, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé In (y) (n ∈ N) ìîíîòîííî íå óáûâàåò. Íî òîãäà, ïîñêîëüêó ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ I(y) ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òîæå íåïðåðûâíà, ê íåé ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó Äèíè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé , ñîãëàñíî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü In (y) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè I(y) ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d]. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð n0 òàêîé, ÷òî ïðè n > n0 äëÿ âñåõ y ∈ [c; d] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî I(y) − In (y) < ε. Ïîëîæèì A0 = n0 + 1 è âîçüì¼ì A > A0 . Òîãäà, ó÷èòûâàÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü ôóíêöèè f (x, y), äëÿ âñåõ y ∈ Y ïîëó÷àåì:

Z+∞ Z+∞ Z+∞ ZA0 f (x, y)dx ≤ f (x, y)dx = f (x, y)dx − f (x, y)dx = A

a

A0

a

= I(y) − In0 +1 (y) < ε è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà äîêàçàíà.

Òåîðåìà 3.18 Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà Π∞ , à èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d], òî ôóíêöèÿ

I(y), îïðåäåëÿåìàÿ ýòèì èíòåãðàëîì, èíòåãðèðóåìà íà [c; d] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Zd

Zd I(y)dy =

c

Z+∞ Z+∞ Zd dy f (x, y)dx = dx f (x, y)dy.

c

a

a

(3.20)

c

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíîâà ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü In (y). Ïî ëåììå 3.1 îíà ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d] ê ôóíêöèè I(y), à ïî òåîðåìå 3.8 ôóíêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå [c; d]. Òîãäà ïî òåîðåìå îá èíòåãðèðóåìîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèÿ I(y) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå

[c; d] è In (y)dy = lim

I(y)dy = lim

n→+∞

n→+∞

c

Zd

Zd

Zd

c

c

a+n Z dy f (x, y)dx = a

26

Îãëàâëåíèå a+n Z Zd Z+∞ Zd = lim dx f (x, y)dy = dx f (x, y)dy. n→+∞

a

c

a

c

Âîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ ñëåäóåò èç òîé æå òåîðåìû 3.8.

Òåîðåìà 3.19 Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå Π∞ è èìååò íà í¼ì íåïðåðûâíóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ fy0 (x, y), èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ, à èíòåãðàë

Z+∞

∂f (x, y) dx ∂y

(3.21)

a

ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [c; d], òî ôóíêöèÿ I(y) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [c; d] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

d I (y) = dy 0

Z+∞ Z+∞ ∂f (x, y) f (x, y)dx = dx. ∂y a

(3.22)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé In (y). Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [c; d] (ïîñêîëüêó ñõîäèòñÿ èíòåãðàë (3.13)). Ïî òåîðåìå 3.9 ôóíêöèè In (y) (n ∈ N) äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [c; d], à ïî ëåììå 3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ In0 (y) ñõîäèòñÿ íà ýòîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî. Íî òîãäà ïî òåîðåìå î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèÿ I(y) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå

[c; d] è a+n Z

I 0 (y) = lim In0 (y) = lim n→∞

n→∞ a

∂f (x, y) dx = ∂y

Z+∞

∂f (x, y) dx. ∂y

a

 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ áûâàåò íåîáõîäèìî èçìåíèòü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ, êîãäà è ïåðåìåííàÿ x è ïàðàìåòð y èçìåíÿþòñÿ íà áåñêîíå÷íûõ ïðîìåæóòêàõ. Ïóñòü

K = [a; +∞) × [c; +∞) = {(x, y) : a ≤ x < +∞, c ≤ y < +∞}.

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

27

Òåîðåìà 3.20 Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà K . Èíòåãðàëû

Z+∞ Z+∞ I(y) = f (x, y)dx, J(x) = f (x, y)dy a

(3.23)

a

îáà ñõîäÿòñÿ è ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè ñîîòâåòñòâåííî íà [c; +∞) è [a; +∞). Òîãäà ðàâåíñòâî

Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ dy f (x, y)dx = dx f (x, y)dy c

a

a

(3.24)

c

ñïðàâåäëèâî ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîãî èç ïîâòîðíûõ èíòåãðàëîâ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ëåâûé èç èíòåãðàëîâ â ðàâåíñòâå (3.24). Ïîêàæåì, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò è ïðàâûé èíòåãðàë, è ÷òî îíè ðàâíû. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî

ε > 0 íàéä¼òñÿ A0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî A > A0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî

Z+∞ Z+∞ ZA Z+∞ dy f (x, y)dx − dx f (x, y)dy < ε. c

a

a

(3.25)

c

Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü (3.25). Òàê êàê äëÿ èíòåãðàëà

Z+∞ J(x) = f (x, y)dy c

âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Äèíè (òåîðåìà 3.17), òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì ñåãìåíòå [a; A], ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 3.18

ZA a

Ïîýòîìó

=

c

a

Z+∞

dy c

c

a

Z+∞ Z+∞ ZA Z+∞ dy f (x, y)dx − dx f (x, y)dy = c

Z+∞

Z+∞ Z+∞ ZA dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx.

a

Z+∞

f (x, y)dx − a

ZA

dy c

a

c

Z+∞ Z+∞ f (x, y)dx = dy f (x, y)dx = c

A

28

Îãëàâëåíèå

ZC =

Z+∞ Z+∞ Z+∞ f (x, y)dx + dy f (x, y)dx, dy

c

A

C

A

ãäå ÷èñëî C ïîêà íå îïðåäåëåíî. Âûáåðåì ε > 0 è îöåíèì îáà ïîñëåäíèõ èíòåãðàëà. Òàê êàê

Z+∞ Z+∞ dy f (x, y)dx c

a

ñõîäèòñÿ, íàéä¼òñÿ C0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî C > C0 áóäåò èìåòü ìåñòî íåðàâåíñòâî

Z+∞ Z+∞ ε dy f (x, y)dx < . 2 C

a

Íî òîãäà, ââèäó íåîòðèöàòåëüíîñòè ôóíêöèè f (x, y), êàêîâî áû íè áûëî

A ≥ a, è

Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ ε dy f (x, y)dx < . f (x, y)dx ≤ dy 2 a

C

A

C

(3.26)

Âûáåðåì è çàôèêñèðóåì C > C0 è îöåíèì ïåðâûé èíòåãðàë. Ïî òåZ+∞ îðåìå Äèíè I(y) = f (x, y)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; C], a

ïîýòîìó ñóùåñòâóåò A0 òàêîå, ÷òî åñëè A > A0 , òî äëÿ ëþáîãî y ∈ [c; C]

Z+∞ f (x, y)dx <

ε . 2(C − c)

A

Ïîýòîìó

ZC

Z+∞ dy f (x, y)dx <

c

ε ε · (C − c) = . 2(C − c) 2

A

Èòàê, åñëè A > A0 , òî, èñïîëüçóÿ (3.26), (3.27), ïîëó÷àåì:

Z+∞ Z+∞ ZA Z+∞ dy f (x, y)dx − dx f (x, y)dy = c

ZC = c

a

a

c

Z+∞ Z+∞ Z+∞ ε ε dy f (x, y)dx + dy f (x, y)dx < + = ε. 2 2 A

C

A

Îöåíêà (3.25) ïîëó÷åíà, ñëåäîâàòåëüíî, òåîðåìà äîêàçàíà.

(3.27)

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

29

3.5 Íåñîáñòâåííûå êðàòíûå èíòåãðàëû

Z

n

Ïóñòü D  îáëàñòü â R , ôóíêöèÿ f : D → R, èíòåãðàë

f (x)dv D

íå ñóùåñòâóåò èç-çà òîãî, ÷òî ëèáî îáëàñòü D íå îãðàíè÷åíà, ëèáî ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà â îáëàñòè D, ëèáî è òî, è äðóãîå, íî íà êàæäîì çàìêíóòîì êóáèðóåìîì ïîäìíîæåñòâå G ⊂ D ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó.

Îïðåäåëåíèå 3.9 Ïðè âûïîëíåíèè âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå óñëîâèé Z (3.28)

f (x)dv D

áóäåì íàçûâàòü íåñîáñòâåííûì êðàòíûì èíòåãðàëîì.

Îïðåäåëåíèå 3.10 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáëàñòåé (Dm ) (m ∈ N) íàçîâ¼ì èñ÷åðïûâàþùåé (îáëàñòü D), åñëè: 1) äëÿ êàæäîãî m ∈ N Dm  êóáèðóåìà; 2) äëÿ êàæäîãî m ∈ N Dm ⊂ D (Dm  çàìûêàíèå Dm ); 3) äëÿ êàæäîãî m ∈ N Dm ⊂ Dm+1 ; ∞ S Dm = D . 4) m=1

Îïðåäåëåíèå 3.11 Íåñîáñòâåííûé êðàòíûé èíòåãðàë (3.28) áóäåì íàçûâàòü ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ïðè ëþáîì âûáîðå èñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàZ òåëüíîñòè îáëàñòåé Dm (m ∈ N) ñóùåñòâóåò lim f (x)dv , ïðèíèìàþùèé îäíî è òî æå çíà÷åíèå I .

m→∞ Dm

 ýòîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü è ïèñàòü Z f (x)dv = I.

(3.29)

D

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ, è íå áóäåì ïðèïèñûâàòü åìó íèêàêîãî çíà÷åíèÿ. Ïîíÿòèå óñëîâíîé ñõîäèìîñòè äëÿ êðàòíîãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà òåðÿåò ñìûñë, èáî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

30

Îãëàâëåíèå

Z

Òåîðåìà 3.21 Åñëè ñõîäèòñÿ

Z f (x)dv , òî ñõîäèòñÿ è

D

|f (x)|dv . D

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî íàéòè â [5], [1], [10] è äðóãèõ ó÷åáíèêàõ. À ïîñêîëüêó ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñÿêèé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî äîñòàòî÷íî ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëîâ îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé. Íî ïðåæäå äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.

Ëåììà 3.2 Ïóñòü (Dm ) è (Dl0 )  äâå ëþáûå èñ÷åðïûâàþùèå îáëàñòü D ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òîãäà äëÿ ëþáîãî m ∈ N íàéä¼òñÿ l ∈ N òàêîå, ÷òî Dm ⊂ Dl0 .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà íåêîòîðàÿ îáëàñòü Dm0 íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîé èç îáëàñòåé Dl0 , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî l ∈ N íàéä¼òñÿ xl ∈ Dm0 òàêîå, ÷òî xl ∈ / Dl0 . Òàêèì îáðàçîì, èç îáëàñòè Dm0 âûäåëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê (xl ). Òàê êàê îáëàñòü Dm0 êóáèðóåìà, òî å¼ çàìûêàíèå Dm0  îãðàíè÷åííîå è çàìêíóòîå, òî-åñòü, êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî. Íî òîãäà èç ëþáîé ñîäåðæàùåéñÿ â í¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Èòàê, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xl ) ñîäåðæèò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xlk ), ñõîäÿùóþñÿ ê x0 ∈ Dm0 . Òàê êàê Dm0 ⊂ D, òî x0 ∈ D, à òàê êàê Dl0  èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî íàéä¼òñÿ Dl00 3 x0 . Dl00  îáëàñòü, ïîýòîìó òî÷êà x0 ñîäåðæèòñÿ â íåé âìåñòå ñ îêðåñòíîñòüþ, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè xlk ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè íîìåðàìè òîæå ïðèíàäëåæàò Dl00 è âñåì Dl0 ñ íîìåðàìè, áîëüøèìè, ÷åì l0 . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî åñëè íîìåð lk íàñòîëüêî âåëèê, ÷òî xlk ∈ Dl00 è lk > l0 , òî xlk ∈ Dl0k , íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó òî÷åê xl .

Òåîðåìà 3.22 Íåñîáñòâåííûé êðàòíûé èíòåãðàë îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû ïî îäíîé èñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáëàñòåé Dm ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ

Z f (x)dv Dm

(3.30)

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

31

îãðàíè÷åíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíà. Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü Dm  òàêàÿ èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüZ íîñòü îáëàñòåé, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ f (x)dv îãðàíè÷åíà, òî-åñòü, ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî Z f (x)dv ≤ M ∀m ∈ N.

Dm

Dm

Z Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

f (x)dv ê òîìó æå ìîíîòîííî íå óáûâàåò, Dm

òî ê íåé ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó Âåéåðøòðàññà î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè , ïî êîòîðîé ñóùåñòâóåò Z lim f (x)dv = I, m→∞ Dm

è ïðè ýòîì

Z (3.31)

f (x)dv ≤ I ∀m ∈ N. Dm

Ïóñòü Dl0  äðóãàÿ èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà ïî ëåììå 3.2 ∀l ∈ N ∃m ∈ N òàêîå, ÷òî Dl0 ⊂ Dm . À òîãäà äëÿ ëþáîãî

l∈N

Z

Z f (x)dv ≤

Dl0

f (x)dv ≤ I, Dm

Z

ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ

f (x)dv îãðàíè÷åíà è Dl0

ïî äîêàçàííîìó âûøå ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ, òî-åñòü, ñóùåñòâóåò ÷èñëî I 0 (î÷åâèäíî, I 0 ≤ I ) òàêîå, ÷òî

Z f (x)dv = I 0 .

lim

l→∞ Dl0

Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî I 0 = I . Èñ÷åðïûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

(Dm ) è (Dl0 ) ðàâíîïðàâíû, ïîýòîìó, ïîìåíÿâ èõ ìåñòàìè è ïîâòîðèâ ïðèâåä¼ííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî I ≤ I 0 , òî-åñòü, I 0 = I .

32

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 3.23 (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ) Ïóñòü ôóíêöèè f è g óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì, îïèñàííûì ïðè îïðåäåëåíèè êðàòíîãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, íåîòðèöàòåëüíû, è f (x) ≤ g(x) Z Z âñþäó â îáëàñòè D. Òîãäà, åñëè ñõîäèòñÿ g(x)dv , òî ñõîäèòñÿ è f (x)dv . D

D

Äîêàçàòåëüñòâî. Z Ïóñòü Dm  èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáëàñòåé. Òàê êàê

R

g(x)dv ñõîäèòñÿ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ D

g(x)dv , m ∈ N, îãðàíè÷åíà. Òîãäà, â ñèëó òîãî, ÷òî

Dm

Z

Z f (x)dv ≤

Dm

g(x)dv, Dm

Z ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ ýòîìó ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå

f (x)dv , m ∈ N, òîæå îãðàíè÷åíà, ïî-

RDm f (x)dv ñõîäèòñÿ. D

 îäíîìåðíîì ñëó÷àå ïðè ïðèìåíåíèè ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ îáû÷íî èñïîëüçóþò ýòàëîííûå ôóíêöèè, ñðåäè êîòîðûõ íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíîé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ 1/xp .  ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå àíàëîãîì ýòîé ôóíêöèè p ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ 1/rp , ãäå r = x21 + x22 + . . . + x2n . Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà p èíòåãðàë îò ýòîé ôóíêöèè ñõîäèòñÿ, îãðàíè÷èâøèñü ñëó÷àåì n = 2.

ZZ

Ïðèìåð 3.14 Ðàññìîòðèì

p dxdy , ãäå r = x2 + y 2 , à îáëàñòü D = p r

D

= {(x, y) : 0 < x2 + y 2 < 1}  îòêðûòûé åäèíè÷íûé êðóã ñ âûêîëîòûì öåíòðîì.

Ðåøåíèå. Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå èñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáëàñòåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîëåö Dm = {(x, y) : 1/m2 < x2 + y 2 < 1} è ïåðåéä¼ì ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òîãäà

ZZ Dm

dxdy = rp

Z2π

Z1 dϕ

0

1/m

rdr = 2π rp

Z1

1/m

dr . rp−1

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

33

Êàê èçâåñòíî, ïðåäåë ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà ïðè m → ∞ ñóùåñòâóåò, ZZ dxdy åñëè p − 1 < 1 èëè p < 2. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè p < 2 ñõîäèòñÿ, à rp D

ïðè p ≥ 2 ðàñõîäèòñÿ.

ZZ

Ïðèìåð 3.15 Ðàññìîòðèì ýòîò æå èíòåãðàë

dxdy , íî òåïåðü â rp

D

êà÷åñòâå îáëàñòè D âûáåðåì âíåøíîñòü çàìêíóòîãî êðóãà ñ öåíòðîì â òî÷êå O ðàäèóñà 1, D = {(x, y) : x2 + y 2 > 1}.

Ðåøåíèå.  êà÷åñòâå èñ÷åðïûâàþùåé îáëàñòü D ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûáåðåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîëåö Dm = {(x, y) : 1 < x2 + y 2 < m2 }. Òîãäà

ZZ

dxdy = lim m→∞ rp

Dm

ZZ

dxdy = lim m→∞ rp

Z2π dϕ 0

Dm

Zm

rdr = 2π lim m→∞ rp

1

Zm

dr . rp−1

1

Êàê èçâåñòíî, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ïðè p − 1 > 1 èëè p > 2 è ðàñõîäèòñÿ ïðè p ≤ 2. Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì ñàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî åñëè ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà n = 3, òî èíòåãðàëû, àíàëîãè÷íûå ðàññìîòðåííûì â ïðèìåðàõ 3.14, 3.15 ñõîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïðè p < 3 è p > 3.  îáùåì ñëó÷àå ðàññìîòðåííûå èíòåãðàëû ñõîäÿòñÿ ïðè p < n ïåðâûé) è ïðè p > n (âòîðîé). Îáîñíîâàíèå ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî íàéòè â [1](÷.2).

3.6 Âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ Èíòåãðàë Ýéëåðà-Ïóàññîíà Z+∞ 2 Èíòåãðàëîì Ýéëåðà-Ïóàññîíà íàçûâàþò èíòåãðàë e−ax dx (a > 0). Ïîêàæåì, ÷òî

0

r Z+∞ 1 π 2 . e−ax dx = 2 a 0

(3.32)

34

Îãëàâëåíèå

ZZ 2 −y 2

e−x

Ðàññìîòðèì

dxdy . Ýòî  íåñîáñòâåííûé äâîéíîé èíòåãðàë.

R2

Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå èñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðóãîâ Km = {(x, y) : x2 + y 2 < m2 }. Òîãäà

ZZ

ZZ −x2 −y 2

e

Z2π −x2 −y 2

dxdy = lim

e

m→∞

dxdy = lim

0

Zm e

= π lim

m→∞

−r2

³

2

d(r ) = π lim

m→∞

−r2

−e

2

e−r rdr =

dϕ

m→∞

Km

R2

Zm 0

¯m ´ ³ ´ ¯ −m2 = π lim 1 − e = π. ¯ m→∞

0

0

À òåïåðü âîçüì¼ì â êà÷åñòâå èñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êâàäðàòîâ Πm = {(x, y) : |x| < m, |y| < m}. Òîãäà ZZ ZZ 2 2 −x2 −y 2 e dxdy = lim e−x −y dxdy = m→∞

Πm

R2

 m 2 ∞ 2 Zm Zm Z Z 2 2 2 2 = lim e−x dx e−y dy = 4 lim  e−x dx = 4  e−x dx . m→∞ −m

m→∞

−m

0

0

Z∞ 2

e−x dx =

Ñðàâíèâ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, íàéä¼ì: ôîðìóëà (3.32) ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé x =

0 √

1√ π . Îòñþäà 2

at.

Èíòåãðàë Äèðèõëå Z+∞ Èíòåãðàëîì Äèðèõëå íàçûâàþò èíòåãðàë

sin ax dx. Ïîêàæåì,÷òî x

0

Z+∞ I(a) =

sin ax π dx = sgna. x 2

(3.33)

0

Î÷åâèäíî, ÷òî I(0) = 0. Ñòîëü æå î÷åâèäíî, ÷òî I(−a) = I(a). Ïîýòîìó îñòà¼òñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë Äèðèõëå ïðè a > 0. Åñëè ïîëîæèòü Z+∞ sin t ax = t, òî ïîëó÷èì, ÷òî I(a) = dt. Òàê ÷òî îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òî t 0

Z+∞ 0

π sin x dx = . x 2

(3.34)

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

35

Ðàññìîòðèì áîëåå îáùèé èíòåãðàë

Z+∞ J(a) =

sin x −ax e dx (a ≥ 0). x

(3.35)

0

Îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå a ≥ 0 (ñì. ïðèìåð 3.13), ïîýòîìó ôóíêöèÿ J(a) íåïðåðûâíà ïðè a ≥ 0, â ÷àñòíîñòè, ïðè a = 0. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (ïîêà ôîðìàëüíî) èíòåãðàë (3.35).

Z+∞ sin xe−ax dx. J 0 (a) = −

(3.36)

0

Èíòåãðàë (3.36) ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ äâóêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì. Ïðîäåëàâ ýòî, ïîëó÷èì:

J 0 (a) = − Îòñþäà

Z

1 . 1 + a2

1 da = − arctg a + C. 1 + a2

J(a) = −

(3.37)

×òîáû îïðåäåëèòü çíà÷åíèå C , ñîâåðøèì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè

a → +∞, äëÿ ÷åãî îöåíèì èíòåãðàë (3.35). ¯ +∞ ¯ ¯Z ¯ Z+∞¯ ¯ Z+∞ ¯ ¯ ¯ ¯ sin x sin x 1 ¯ ¯ ¯ e−ax dx ≤ e−ax dx¯¯ ≤ e−ax dx = , ¯ ¯ ¯ x x a ¯ ¯ 0

0

0

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî lim J(a) = 0. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì â (3.37). a→+∞

lim J(a) = C −

a→+∞

îòñþäà C =

π 2

π = 0, 2

è

Z+∞ J(a) =

π sin x −ax e dx = − arctg a. x 2

(3.38)

0

Ïîëàãàÿ çäåñü a = 0, ïîëó÷èì(3.34), ÷òî è òðåáîâàëîñü. Îñòàëîñü îáîñíîâàòü çàêîííîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, òî-åñòü, ïåðåõîä îò (3.35) ê (3.36). Íåïðåðûâíîñòü ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé â (3.35) è (3.36) î÷åâèäíà, èíòåãðàë (3.35) ñõîäèòñÿ

36

Îãëàâëåíèå

(è äàæå ðàâíîìåðíî ïðè a ≥ 0). Îñòàëîñü ïîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.36). Íî íà ìíîæåñòâå {a : a ≥ 0} ðàâíîìåðíîé ñõîäèZ+∞ ìîñòè áûòü íå ìîæåò, ïîòîìó ÷òî ïðè a = 0 èíòåãðàë J 0 (0) = sin xdx 0

ðàñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó âîçüì¼ì ëþáîå a0 > 0 è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

{a : a ≥ a0 }. Óñòàíîâèì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.36) íà ¯ ¯ Z+∞ ¯ sin x −ax ¯ −a x ýòîì ìíîæåñòâå. Òàê êàê ¯¯ e ¯¯ ≤ e 0 è e−a0 x dx ñõîäèòñÿ, òî ïî x 0

ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà èíòåãðàë (3.36) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå {a : a ≥ a0 }, ïîýòîìó íà ýòîì ìíîæåñòâå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà çàêîííî, à òàê êàê a0 > 0  ëþáîå, òî äèôôåðåíöèðîâàíèå çàêîííî ïðè a > 0. Íî òàê êàê îáå ÷àñòè â (3.38) íåïðåðûâíû ïðè a ≥ 0 (ëåâàÿ  â ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (3.35) íà ýòîì ìíîæåñòâå è íåïðåðûâíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè), òî (3.38) ñïðàâåäëèâî è ïðè a = 0, ïîýòîìó ïîëàãàòü â (3.38) a = 0 áûëî âîçìîæíî.

Èíòåãðàëû Ëàïëàñà Èíòåãðàëàìè Ëàïëàñà íàçûâàþò èíòåãðàëû

Z+∞ I(a) =

cos ax dx, J(a) = x2 + b2

0

Z+∞

x sin ax dx. x2 + b 2

0

Ïîêàæåì, ÷òî

Z+∞ I(a) =

cos ax π −ab dx = e (a ≥ 0, b > 0); x2 + b 2 2b

(3.39)

0

Z+∞ J(a) =

π x sin ax dx = e−ab (a > 0, b ≥ 0). 2 2 x +b 2

(3.40)

0

Óáåäèìñÿ, ïðåæäå âñåãî, â ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè êàæäîãî èç èíòåãðàëîâ ïî ïàðàìåòðó a. Èíòåãðàë (3.39) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïðè a ≥ 0, òàê êàê ïîäûíòå¯ ¯ Z+∞ ¯ cos ax ¯ 1 1 ¯≤ ãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ¯¯ 2 è dx ñõîäèòñÿ. ¯ 2 2 2 2 x +b x +b x + b2 0

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

37

Èíòåãðàë (3.40) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïðè ¯a ≥ a0 , ãäå a0 > 0  ëþáîå, ¯ A ¯Z ¯ ¯ ¯ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå, ïîñêîëüêó ¯¯ sin axdx¯¯ ≤ 2/a0 , à x/(x2 + b2 ) → 0 ¯ ¯ 0 ïðè x → +∞ ìîíîòîííî ïî x è ðàâíîìåðíî ïî a (îò a íå çàâèñèò!). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (3.39). Òîãäà

Z+∞ 0

I (a) = −

x sin ax dx = J(a). x2 + b2

(3.41)

0

Äèôôåðåíöèðîâàíèå çàêîííî ïðè a > 0, òàê êàê äîêàçàíà ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.40) ïðè a ≥ a0 , à a0 > 0  ëþáîå. Ñëîæèì èíòåãðàëû (3.41) è (3.33),

π I 0 (a) + = 2

Z+∞

sin x dx − x

0

Z+∞

x sin ax dx = b2 x2 + b 2

0

Z+∞

sin ax dx, x(x2 + b2 )

0

è ñíîâà ïðîäèôôåðåíöèðóåì (äèôôåðåíöèðîâàíèå çàêîííî, ïîòîìó ÷òî âûøå óñòàíîâëåíà ðàâíîìåðíàÿ ïðè a ≥ 0 ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.39)). Òîãäà ïîëó÷èì:

Z+∞ I 00 (a) = b2

cos ax dx = b2 I(a). x2 + b2

0

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ ôóíêöèÿ I(a) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ I 00 (a) − b2 I(a) = 0. Ýòî  ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

k 2 − b2 = 0 èìååò êîðíè k = ±b, ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä: I(a) = C1 eab + C2 e−ab .

(3.42)

Òàê êàê

¯ ¯ +∞ ¯ Z+∞¯ ¯ ¯Z Z+∞ ¯ cos ax ¯ ¯ ¯ cos ax dx π ¯ ¯ dx ≤ dx¯¯ ≤ = , |I(a)| = ¯¯ ¯ ¯ 2 2 2 2 2 2 x +b x +b x +b 2b ¯ ¯ 0

0

0

òî ôóíêöèÿ I(a) îãðàíè÷åíà íà [0; +∞), ïîýòîìó â (3.42) C1 = 0, ñëåäîâàòåëüíî,

I(a) = C2 e−ab .

38

Îãëàâëåíèå Ïîëîæèì a = 0. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ïîòîìó ÷òî ôóíêöèÿ I(a) â

òî÷êå a = 0 íåïðåðûâíà, òàê êàê èíòåãðàë (3.39) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïðè a ≥ 0. Òîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû, I(0) = C2 , à ñ äðóãîé

Z+∞ I(0) =

x2

dx π = . 2 +b 2b

0

Ñëåäîâàòåëüíî, C2 =

π 2b

è ðàâåíñòâî (3.39) óñòàíîâëåíî.

Íó à

J(a) = −I 0 (a) =

π −ab e . 2

Âîçìîæíîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðè a > 0 áûëà óñòàíîâëåíà ðàíåå.

Èíòåãðàë Ôðóëëàíè Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà (0; +∞), ÷èñëà

a, b > 0. Èíòåãðàëîì Ôðóëëàíè íàçûâàþò èíòåãðàë Z+∞ I(a, b) =

f (ax) − f (bx) dx. x

(3.43)

0

Ïî îïðåäåëåíèþ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

ZA I(a, b) =

lim

A→+∞, δ→0

f (ax) − f (bx) dx = x

δ

 =

lim

ZA



A→+∞, δ→0

f (ax) dx − x

δ

ZA

 f (bx)  dx = x

δ

 A  Z ZA  f (ax) d(ax) − f (bx) d(bx) = = lim A→+∞, δ→0 ax bx δ

δ

 aA  Z ZbA  f (t) dt − f (t) dt . = lim A→+∞, δ→0 t t aδ

bδ

Ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà ïî ìíîæåñòâó , ïîëó÷èì:

Zbδ I(a, b) = lim

δ→0 aδ

f (t) dt − lim A→+∞ t

ZbA

aA

f (t) dt. t

(3.44)

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

39

Íàêëàäûâàÿ íà ôóíêöèþ f (x) äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, âû÷èñëèì êàæäûé èç ïðåäåëîâ â ïðàâîé ÷àñòè. 1)Ïóñòü ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim f (x) = f (0) è lim f (x) = f (+∞). x→0

x→+∞

Ïðèìåíèì ê êàæäîìó èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè (3.44) ïåðâóþ îáîáùåííóþ òåîðåìó î ñðåäíåì . Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðâûé èíòåãðàë. Òàê êàê f (t) íåïðåðûâíà, à g(t) = 1/t íåîòðèöàòåëüíà, òî íàéä¼òñÿ òàêîå

τ ∈ [aδ; bδ] , ÷òî Zbδ lim

δ→0

f (t) dt = lim f (τ ) δ→0 t

aδ

Zbδ

¯bδ b dt ¯ = lim f (τ ) ln t ¯ = f (0) ln . δ→0 t a aδ

aδ

Òî÷íî òàê æå, äëÿ âòîðîãî èíòåãðàëà íàéä¼òñÿ τ ∈ [aA; bA] òàêîå, ÷òî

ZbA lim

A→+∞ aA

f (t) dt = lim f (τ ) A→+∞ t

ZbA

¯bA dt b ¯ = lim f (τ ) ln t ¯ = f (+∞) ln . A→+∞ t a aA

aA

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà (0; +∞) è èìååò êîíå÷íûå ïðåäåëû lim f (x) = f (0) è lim f (x) = f (+∞), òî x→0

Z+∞

x→+∞

f (ax) − f (bx) b dx = (f (0) − f (+∞)) ln . x a

0

2)Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim f (x) = f (0) è ïðè íåêîòîðîì A1 > 0

Z+∞ èíòåãðàë

x→0

f (x) dx ñõîäèòñÿ. x

A1

ZbA Ïîêàæåì, ÷òî

lim

A→+∞ aA

f (t) dt = 0. Âîçüì¼ì ε > 0. Åñëè èíòåãðàë t

ñõîäèòñÿ, òî ïî êðèòåðèþ¯ Êîøè íàéä¼òñÿ A0 (> A1 ) òàêîå, ÷òî ïðè ¯ ¯ZA00 ¯ ¯ f (t) ¯ A0 , A00 > A0 áóäåì èìåòü: ¯¯ dt¯¯ < ε. Òîãäà, åñëè âçÿòü A íàñòîëü¯ 0 t ¯ A êî ¯ bAáîëüøèì, ¯ ÷òîáû âûïîëíÿëîñü aA, bA > A0 , òî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ è ¯Z ¯ ¯ f (t) ¯ ¯ dt¯¯ < ε, è òðåáóåìîå óñòàíîâëåíî. ¯ t ¯ ¯ aA

40

Îãëàâëåíèå Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà (0; +∞), èìååò

êîíå÷íûé ïðåäåë lim f (x) = f (0) è ïðè íåêîòîðîì A1 > 0 èíòåãðàë

Z+∞

x→0

f (x) dx ñõîäèòñÿ, òî x

A

Z+∞

f (ax) − f (bx) b dx = f (0) ln . x a

0

3)Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim f (x) = f (+∞) è íàéä¼òñÿ A1 > 0 x→+∞

ZA1 òàêîå, ÷òî èíòåãðàë

f (x) dx ñõîäèòñÿ. x

0

Òîãäà ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó äîêàçûâàåòñÿ,÷òî

Z+∞

f (ax) − f (bx) b dx = −f (+∞) ln . x a

0

3.7 Ýéëåðîâû èíòåãðàëû Ãàììà-ôóíêöèÿ è å¼ ñâîéñòâà Ãàììà-ôóíêöèåé Ýéëåðà èëè ýéëåðîâûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà íàçûâàþò èíòåãðàë

Z+∞ Γ(x) = tx−1 e−t dt.

(3.45)

0

Èçó÷èì ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèè. 1)Ôóíêöèÿ Γ(x) îïðåäåëåíà â îáëàñòè x > 0. Èíòåãðàë (3.45)  ñìåøàííûé íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñ îñîáûìè òî÷êàìè t = 0 è t = +∞. ×òîáû èññëåäîâàòü èíòåãðàë íà ñõîäèìîñòü, ðàçîáü¼ì åãî íà äâà èíòåãðàëà,

Z+∞ Z1 Z+∞ x−1 −t x−1 −t t e dt = t e dt + tx−1 e−t dt, 0

0

1

è èññëåäóåì íà ñõîäèìîñòü êàæäûé èç èíòåãðàëîâ ñïðàâà.

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

41

Äëÿ ïåðâîãî èíòåãðàëà, î÷åâèäíî, tx−1 /e ≤ tx−1 e−t ≤ tx−1 , ïîýòîìó äëÿ åãî ñõîäèìîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå 1 − x < 1 èëè x > 0. Äëÿ âòîðîãî èíòåãðàëà èìååì îöåíêó:

tx−1 e−t < tx−1 ·

1 tx+1

=

1 , t ≥ t0 (x), t2

(ôóíêöèÿ e−t ïðè t → +∞ óáûâàåò áûñòðåå ëþáîé ñòåïåíè 1/t), ïîýòîìó îí ñõîäèòñÿ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè x. Èòàê, èíòåãðàë (3.45) ïðè x > 0 ñõîäèòñÿ, à ïðè x ≥ 0 ðàñõîäèòñÿ. 2)Ôóíêöèÿ Γ(x) íåïðåðûâíà â îáëàñòè x > 0. Ïîêàæåì, ÷òî èíòåãðàë (3.45) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [x1 ; x2 ], ãäå x1 , x2 (0 < x1 < x2 < +∞)  ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè x1 ≤ x ≤ x2 ñïðàâåäëèâà îöåíêà

tx−1 e−t ≤ [tx1 −1 e−t + tx2 −1 e−t ] (ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ tx−1 ìîíîòîííà, à ïîòîìó äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ íà îäíîì èç êîíöîâ îòðåçêà), è èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà

Z+∞ ¡

¢ tx1 −1 e−t + tx2 −1 e−t dt,

0

óñòàíîâëåííîé â ñâîéñòâå 1. Ïî òåîðåìå 3.16 ôóíêöèÿ Γ(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [x1 ; x2 ], à òàê êàê äëÿ êàæäîãî x > 0 íàéäóòñÿ x1 , x2 > 0 òàêèå, ÷òî x1 < x < x2 , òî ôóíêöèÿ Γ(x) íåïðåðûâíà â îáëàñòèx > 0. 3)Ôóíêöèÿ Γ(x) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè x > 0. Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ Γ(x) äèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè x > 0. Äèôôåðåíöèðóÿ, ïîêà ôîðìàëüíî, ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, ïîëó÷èì:

Z+∞ Γ (x) = tx−1 ln te−t dt. 0

(3.46)

0

×òîáû îïðàâäàòü äèôôåðåíöèðîâàíèå, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 3.19. Íåïðåðûâíîñòü îáåèõ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé î÷åâèäíà, ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.45) óñòàíîâëåíà â ñâîéñòâå 1.

42

Îãëàâëåíèå

îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.46). Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà, âîçüì¼ì ëþáûå x1 , x2 : 0 < x1 <

x2 < +∞ è îöåíèì íà îòðåçêå [x1 ; x2 ] ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ èíòåãðàëà (3.46).

¯ x−1 ¯ £ ¤ ¯t ln te−t ¯ ≤ tx1 −1 | ln t|e−t + tx2 −1 | ln t|e−t . Òàê êàê | ln t| ïðè t → 0 âîçðàñòàåò ìåäëåííåå ëþáîé ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè 1/t, òî ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ t, áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî | ln t| < 1/tx1 /2 . Ïðè âñåõ t > 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | ln t| < t. Ïîýòîìó, ïðîäîëæàÿ ïðåäûäóùóþ îöåíêó, èìååì:

i ¯ x−1 ¯ h x1 ¯t ln te−t ¯ ≤ t 2 −1 e−t + tx2 e−t . Òàê êàê èíòåãðàë îò ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñõîäèòñÿ, òî èíòåãðàë (3.46) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [x1 ; x2 ], ïîýòîìó äèôôåðåíöèðîâàíèå íà ýòîì îòðåçêå çàêîííî, à ïîñêîëüêó x1 , x2 ïðîèçâîëüíû, òî äèôôåðåíöèðîâàíèå çàêîííî ïðè ëþáîì x > 0. Ïî èíäóêöèè ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèé äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ó ãàììà-ôóíêöèè ïðîèçâîäíûõ ëþáîãî ïîðÿäêà. 4)Äëÿ ëþáîãî x > 0 ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (3.47)

Γ(x + 1) = xΓ(x), íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé ïðèâåäåíèÿ.

Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (3.47) ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì. Ïóñòü x > 0. Òîãäà

Z+∞ Z+∞ ¯+∞ x −t x −t ¯ Γ(x + 1) = t e dt = −t e ¯ +x tx−1 e−t dt = xΓ(x). 0

0

0

Ñëåäñòâèå 3.1 Åñëè n ∈ N, 0 < p ≤ 1, òî Γ(n + p) = (n − 1 + p)(n − 2 + p) . . . pΓ(p).

(3.48)

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

43

Ôîðìóëà (3.48) ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ è ïîçâîëÿåò ñâîäèòü âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ãàììà-ôóíêöèè îò ëþáîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ê âû÷èñëåíèþ å¼ çíà÷åíèé îò àðãóìåíòà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé. 5)Γ(1) = 1. Äåéñòâèòåëüíî,

Z+∞ ¯+∞ −t −t ¯ = 1. Γ(1) = e dt = −e ¯ 0

0

Ñëåäñòâèå 3.2 Γ(n + 1) = n! (n ∈ N).

(3.49)

Ôîðìóëà (3.49) ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû (3.48) ïðè p = 1 è ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ Γ(x) ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè n! ñ ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. √ 6)Γ( 12 ) = π . Äåéñòâèòåëüíî,

Z+∞ Z+∞ Z+∞ √ 1√ 2 − 12 −t −1 −u2 Γ = t e dt = u e 2udu = 2 e−u du = 2 · π = π. 2 2 ³1´

0

0

0

( ïðîöåññå âû÷èñëåíèé áûëà ñäåëàíà ïîäñòàíîâêà t = u2 è èñïîëüçîâàí èíòåãðàë Ýéëåðà-Ïóàññîíà (3.32).) 7)Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

Γ(x)Γ(1 − x) =

π , 0 < x < 1, sin πx

(3.50)

íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé äîïîëíåíèÿ. Ýòà ôîðìóëà áóäåò äîêàçàíà ïîçæå . 8)Ïðîäîëæåíèå ãàììà-ôóíêöèè â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. Ïåðåïèøåì ôîðìóëó ïðèâåäåíèÿ â âèäå

Γ(x) =

Γ(x + 1) . x

(3.51)

Ïóñòü x ∈ (−1; 0). Òîãäà x + 1 ∈ (0; 1) è ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.51) ìîæíî çàäàòü ãàììà-ôóíêöèþ íà èíòåðâàëå (−1; 0). Òåïåðü ðàññìîòðèì

44

Îãëàâëåíèå

x ∈ (−2; −1). Òîãäà x + 1 ∈ (−1; 0) è, ïîñêîëüêó íà èíòåðâàëå (−1; 0) ãàììà-ôóíêöèÿ óæå îïðåäåëåíà, ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.51) ìîæíî çàäàòü ãàììà-ôóíêöèþ íà èíòåðâàëå (−2; −1). Ïîâòîðÿÿ îïèñàííûé ïðîöåññ íåîãðàíè÷åííî, ìû îïðåäåëèì ãàììà-ôóíêöèþ íà ìíîæåñòâå îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê 0, −1, −2, . . . Ìîæíî îôîðìèòü ïðîöåññ ïðîäîëæåíèÿ ãàììà-ôóíêöèè â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íåñêîëüêî èíà÷å. Âîçüì¼ì x ∈ (−(n+1); −n), n ∈ Z+ . Òîãäà x + n + 1 ∈ (0; 1). Ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé (3.48) íàïèøåì:

Γ(n + 1 + x) = (n + x)(n − 1 + x) . . . (1 + x)xΓ(x)

èëè

Γ(x) =

Γ(n + 1 + x) , (n + x)(n − 1 + x) . . . (1 + x)x

(3.52)

è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Γ(x) îïðåäåëåíà íà (−(n + 1); −n) ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.52). Ïîñêîëüêó îáà îïèñàííûõ ïðîöåññà ïðîäîëæåíèÿ ãàììà-ôóíêöèè îñíîâàíû íà èñïîëüçîâàíèè ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, òî îíè äàþò îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò (ïðîâåðüòå!). 9)Ãðàôèê ôóíêöèè Γ(x). Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà x > 0. Î÷åâèäíî, ÷òî Γ(x) > 0. Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òî è Γ00 (x) > 0, ïîýòîìó ôóíêöèÿ Γ(x)  âûïóêëàÿ, à å¼ ïðîèçâîäíàÿ

Γ0 (x)  ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ è îáðàòèòüñÿ â íîëü ìîæåò òîëüêî îäèí ðàç. Òàê êàê Γ(1) = Γ(2) = 1, òî ïî òåîðåìå Ðîëëÿ íàéä¼òñÿ x0 ∈ (1; 2) òàêîå, ÷òî Γ0 (x0 ) = 0.  ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ Γ(x) èìååò ìèíèìóì. Ïîäñ÷èòàíî (ñì. [3], ò.2, ï.531), ÷òî x0 = 1, 4616..., Γ(x0 ) = 0, 8856.... Òàê êàê ïðè x > x0 ôóíêöèÿ Γ(x) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è Γ(n + 1) = n!, òî ïðè x → +∞ òàêæå è Γ(x) → +∞. Èç ôîðìóëû (3.51) ñëåäóåò, ÷òî åñëè x → +0, òî Γ(x) → +∞. Ýòèõ ñâåäåíèé äîñòàòî÷íî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà Γ(x) ïðè x > 0. Ðèñ. 1

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

45

Áåòà-ôóíêöèÿ è å¼ ñâîéñòâà Áåòà-ôóíêöèåé èëè ýéëåðîâûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà íàçûâàþò èíòåãðàë

Z1 tx−1 (1 − t)y−1 dt.

B(x, y) =

(3.53)

0

Èçó÷èì ñâîéñòâà ýòîãî èíòåãðàëà. 1)Ôóíêöèÿ B(x, y) îïðåäåëåíà â îáëàñòè x > 0, y > 0. Èíòåãðàë (3.53)  íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà ñ îñîáûìè òî÷êàìè t = 0 è t = 1. ×òîáû èññëåäîâàòü åãî ñõîäèìîñòü, ðàçîáü¼ì ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà äâå ÷àñòè.

Z1 Z1/2 x−1 y−1 B(x, y) = t (1 − t) dt + tx−1 (1 − t)y−1 dt. 0

1/2

Íà ïåðâîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ (1 − t)y−1 íåïðåðûâíà, ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíà, ïîýòîìó tx−1 (1 − t)y−1 ≤ M (y)tx−1 . Íà âòîðîì ïðîìåæóòêå íåïðåðûâíà, à çíà÷èò îãðàíè÷åíà ôóíêöèÿ

tx−1 , ïîýòîìó tx−1 (1 − t)y−1 ≤ M1 (y)(1 − t)x−1 . Ïðèìåíèâ ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà, óáåæäàåìñÿ â ñõîäèìîñòè îáîèõ èíòåãðàëîâ ïðè x > 0, y > 0 ñîîòâåòñòâåííî. 2)B(x, y) = B(y, x). Â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ñâîéñòâà íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ñäåëàâ â (3.53) çàìåíó t = 1 − τ . 3)Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

Z+∞ B(x, y) =

tx−1 dt, (1 + t)x+y

(3.54)

0

íàçûâàåìàÿ âòîðûì èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì áåòà-ôóíêöèè. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ñäåëàåì â èíòåãðàëå (3.53) ïîäñòàíîâêó t = τ . 1+τ

Òîãäà 1 − t =

1 , 1+τ

dt =

dτ , (1+τ )2

t = 0 ïåðåéäåò â τ = 0, t = 1 ïåðåéäåò

46

Îãëàâëåíèå

â τ = +∞, ïîýòîìó

Z1 tx−1 (1 − t)y−1 dt =

B(x, y) = 0

Z+∞µ =

τ 1+τ

¶x−1 µ

1 1+τ

¶y−1

dτ = (1 + τ )2

0

Z+∞

tx−1 dt. (1 + t)x+y

0

4)Äëÿ ëþáûõ x > 0, y > 0 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

B(x + 1, y) =

x B(x, y), x+y

(3.55)

íàçûâàåìîå ôîðìóëîé ïðèâåäåíèÿ äëÿ áåòà-ôóíêöèè. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîèçâåä¼ì â (3.55) èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, ïîëîæèâ u = tx , dv = (1 − t)y−1 dt. Òîãäà du = xtx−1 , v = − y1 (1 − t)y è

Z1 tx (1 − t)y−1 dt =

B(x + 1, y) = 0

Z1 ¯1 x Z1 1 x x ¯ = − t (1 − t)y ¯ + tx−1 (1 − t)y dt = tx−1 (1 − t)y−1 (1 − t)dt = y y y 0 0

x = y

Z1

x tx−1 (1 − t)y−1 dt − y

0

0

Z1 tx (1 − t)y−1 dt =

x x B(x, y) − B(x + 1, y). y y

0

Ïåðåíåñÿ âòîðîå ñëàãàåìîå ñïðàâà íàëåâî è ñëîæèâ, íàéä¼ì:

x+y x B(x + 1, y) = B(x, y), y y îòêóäà ïîñëå äåëåíèÿ è ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà ïðèâåäåíèÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ B(x, y) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ñâîèõ àðãóìåíòîâ, òî ñïðàâåäëèâî òàêæå è ðàâåíñòâî

B(x, y + 1) =

y B(x, y). x+y

Äåéñòâèòåëüíî,

B(x, y + 1) = B(y + 1, x) =

y y B(y, x) = B(x, y). y+x x+y

(3.56)

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

47

5)Ìåæäó ôóíêöèÿìè B(x, y) è Γ(x) ñóùåñòâóåò òåñíàÿ ñâÿçü, âû-

ðàæàåìàÿ ôîðìóëîé

Γ(x)Γ(y) . Γ(x + y)

B(x, y) =

(3.57)

 èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè (3.45) ñîâåðøèì ïîäñòàíîâêó t = uτ , ãäå τ  íîâàÿ ïåðåìåííàÿ, à u > 0. Òîãäà

Z+∞ Z+∞ Γ(x) = (uτ )x−1 e−uτ udτ = ux τ x−1 e−uτ dτ. 0

0

Òàê êàê â ýòîì ðàâåíñòâå íèêàêèõ óñëîâèé êðîìå ïîëîæèòåëüíîñòè, íåò, òî ìîæíî ïîäñòàâèòü â íåãî x+y âìåñòî x è 1+u âìåñòî u. Ïîëó÷èì: x+y

Γ(x + y) = (1 + u)

Z+∞ τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ. 0

Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè íà ìíîæèòåëü, ñòîÿùèé ïåðåä èíòåãðàëîì.

Γ(x + y) = (1 + u)x+y

Z+∞ τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ. 0

Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íà ux−1 è çàòåì ïðîèíòåãðèðóåì ïî u â ïðåäåëàõ îò 0 äî +∞.

Z+∞ τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ.

ux−1 Γ(x + y) = ux−1 (1 + u)x+y

(3.58)

0

Z+∞ Γ(x + y)

ux−1 du = (1 + u)x+y

Z+∞ Z+∞ ux−1 du τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ. 0

0

(3.59)

0

Èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà åñòü B(x, y) (ñì. (3.54)), à â ïðàâîé ÷àñòè ïðîèçâåä¼ì ïåðåìåíó ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Òîãäà

Z+∞ Z+∞ Γ(x + y)B(x, y) = dτ ux−1 τ x+y−1 e−(1+u)τ du = 0 +∞ Z

=

0 +∞ Z

(τ u)x−1 τ y−1 e−τ e−τ u τ du.

dτ 0

0

(3.60)

48

Îãëàâëåíèå Âûíåñåì ìíîæèòåëü τ y−1 e−τ èç ïîä çíàêà âíóòðåííåãî èíòåãðàëà, ïî-

ñëå ÷åãî ñîâåðøèì â í¼ì ïîäñòàíîâêó τ u = v .

Z+∞ Z+∞ y−1 −τ Γ(x + y)B(x, y) = τ e dτ (τ u)x−1 e−τ u d(τ u) = 0

0

Z+∞ Z+∞ y−1 −τ = τ e dτ v x−1 e−v dv = Γ(y)Γ(x). (3.61) 0

0

Ïîñëå äåëåíèÿ íà Γ(x + y) èç (3.61) ïîëó÷àåòñÿ (3.57). Îñòàëîñü îáîñíîâàòü çàêîííîñòü èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè ïåðåõîäå îò (3.59) ê (3.60). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 3.20. Ñäåëàåì ýòî, ñ÷èòàÿ, ÷òî x > 1, y > 1. 1)Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (u, τ ) = ux−1 τ x+y−1 e−(1+u)τ (ñì. (3.60)), î÷åâèäíî, íåïðåðûâíà ïðè èçìåíåíèè u è τ îò íóëÿ äî ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè. 2)Ïåðâûé âíóòðåííèé èíòåãðàë (ñì. (3.60), (3.59))

I(u) = u

x−1

Z+∞ τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ = Γ(x + y)

ux−1 (1 + u)x+y

0

ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé îò u íà [0; +∞). 3)Âòîðîé âíóòðåííèé èíòåãðàë (ñì. (3.61))

Z+∞ Z+∞ y−1 −τ J(τ ) = τ e dτ (τ u)x−1 e−τ u d(τ u) = τ y−1 e−τ Γ(x) 0

0

ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé îò τ íà [0; +∞). 4)Âòîðîé ïîâòîðíûé èíòåãðàë (ñì. (3.61))

Z+∞ Z+∞ y−1 −τ τ e dτ (τ u)x−1 e−τ u d(τ u) = Γ(y)Γ(x) 0

0

ñóùåñòâóåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà (3.57) äîêàçàíà ïðè x > 1, y > 1. Ïóñòü òåïåðü x > 0, y > 0. Òîãäà x + 1 > 1, y + 1 > 1 è ïî äîêàçàííîìó

B(x + 1, y + 1) =

Γ(x + 1)Γ(y + 1) . Γ(x + y + 2)

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

49

Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè ïðèâåäåíèÿ (3.47), (3.48), (3.55), (3.56).

B(x + 1, y + 1) =

x x y B(x, y + 1) = B(x, y). x+y+1 x+y+1x+y

Γ(x + 1)Γ(y + 1) xΓ(x)yΓ(y) = . Γ(x + y + 2) (x + y + 1)(x + y)Γ(x + y) Òàê êàê ëåâûå ÷àñòè ýòèõ ôîðìóë ðàâíû, òî ðàâíû è ïðàâûå. Ïðèðàâíèâàÿ èõ è ñîêðàùàÿ íà îáùèå ìíîæèòåëè, ïîëó÷èì (3.57). 6)Ôóíêöèÿ B(x, y) íåïðåðûâíà â îáëàñòè x > 0, y > 0. 7)Ôóíêöèÿ B(x, y) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè x > 0,

y > 0. Ýòè ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿìè ôîðìóëû (3.57) è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ãàììà-ôóíêöèè. 8)Äëÿ 0 < x < 1 ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà äîïîëíåíèÿ

B(x, 1 − x) =

π . sin πx

Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (3.50) è (3.57), èìååì:

B(x, 1 − x) =

Γ(x)Γ(1 − x) π = . Γ(1) sin πx

Çàäà÷è.

Z+∞ 1. Äîêàçàòü, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà f (x)dx ñõîa

äèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ðÿä

∞ P n=1

Zan

un , ãäå un =

f (x)dx, an−1

êàêîâà áû íè áûëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ):

a = a0 < a1 < a2 < . . . < an < . . . , an → +∞. Z+∞ 2. Äîêàçàòü, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà f (x)dx, ãäå a

f (x) ≥ 0 íà [a; +∞), ñõîäèòñÿ, åñëè íàéä¼òñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ): a = a0 < a1 < a2 < . . . < an < . . . , an → +∞,

50

Îãëàâëåíèå

òàêàÿ, ÷òî ðÿä

∞ P n=1

Zan un , ãäå un =

f (x)dx, ñõîäèòñÿ. an−1

3. Ïðîâåðèòü íåïðåðûâíîñòü íà âåùåñòâåííîé îñè ôóíêöèé: Z1 Z2 x2 dx 2 à) F (y) = sin(x y)dx; á) F (y) = . 1 + x2 + x4 y 2 0

−1

4. Ïóñòü f íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà [0; 1], ïðè÷¼ì f (x) íå ðàâZ1 a f (x)dx íà òîæäåñòâåííî íóëþ. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F (a) = 2 x + a2 0

òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå a = 0.

5. Ìîæíî ëè ñîâåðøèòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, Z1 x − xy22 âû÷èñëÿÿ lim e dx? y→0 y2 0

6. Äîêàçàòü âîçìîæíîñòü ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ¶ µ Z3 Zπ/2 xy 1 x2 â âûðàæåíèÿõ: à) lim arctg dx; á) lim sin dx. y→o y→+∞ x+y x y −1

0

7. Âû÷èñëèòü: Z1 Z2 Z2 dx ln(x + |α|) y −x2 y à) lim ; á) lim dx; â) lim e dx; n 2 2 n→∞ n→∞ y→+∞ 1 + (1 + x/n) ln(x + α ) x+y 0

1

Z1

Z3

ã) lim

y→0

sin(xy) dx; ä) lim y→0 (x + y)y + 1

0

µ arctg

xy x+y

1

¶ dx.

−1

8. Ìîæíî ëè èçìåíèòü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ â èíòåãðàëàõ: Zπ/4 Z1 Z1 Z1 tg(xy) x−y à) dy p dx; á) dy dx? 2 2 (x + y)3 x +y +1 −π/4

0

0

0

Z1 ln(x2 +a2 )dx

9. Ìîæíî ëè âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè F (a) = 0

ïðè a = 0, äèôôåðåíöèðóÿ ïî ïàðàìåòðó ïîä çíàêîì èíòåãðàëà? 10. Èññëåäîâàòü âîçìîæíîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó ïîä Z1 1 dx çíàêîì èíòåãðàëà â èíòåãðàëå F (y) = cos 2 · 2 . x x + |x| + 2 −1

11. Íàéòè F 0 (y), åñëè: Z3 Z3 dx cos(x3 y) dx; á) F (y) = ch(x2 y 4 ) · . à) F (y) = x x 1

12. Íàéòè F 0 (y), åñëè:

2

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

Z2y à) F (y) =

Zy2

sin(xy) dx; á) F (y) = x

y

51

2

ex y dx; 3y

Zyey

sin y Z

ln(1 + x2 y 2 )dx; ã) F (y) =

â) F (y) =

sh(x2 y)dx. cos y

ye−y

1 13. Ïóñòü f ∈ C(R). Äîêàçàòü, ÷òî F (y) = 2a

Za f (x + y)dx: à) íåïðå−a

ðûâíà íà R; á) äèôôåðåíöèðóåìà íà R.

14. Ïóñòü f ∈ C(Π), Π = [a; b] × [c; d], à g ∈ R[a; b]. Òîãäà ôóíêöèÿ Zb F (y) = f (x, y)g(x)dx íåïðåðûâíà íà [c; d]. a

15. Ïóñòü f ∈ C(Π), Π = [a; b] × [c; d], à g ∈ R[a; b]. Òîãäà ôóíêöèÿ Zb F (y) = f (x, y)g(x)dx èíòåãðèðóåìà íà [c; d] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî a

Zb

Zb

F (y)dy = a

Zd f (x, y)dx.

g(x)dx a

c

∂f 16. Ïóñòü f, ∈ C(Π), Π = [a; b]×[c; d], à g ∈ R[a; b]. Òîãäà ôóíêöèÿ ∂y Zb F (y) = f (x, y)g(x)dx íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [c; d]. a

17. Âû÷èñëèòü: Zπ Zπ/2 à) I(a) = ln(1 − 2a cos x + a2 )dx; á)I(a) = ln(a2 cos2 x + sin2 x)dx. 0

0

18. Èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà óêàçàííûõ ìíîæåñòâàõ ñëåäóþùèå èíòåãðàëû: Z+∞ p 2 Z+∞ ln (x + 1) sin(xy) √ dx (0 ≤ y < +∞); á) √ à) dx (0, 1 ≤ p ≤ 10); x x x x−1 1

0

Z+∞ â)

dx (1 < α0 ≤ α < +∞); ã) x lnα x

2

Z+∞ Z+∞ α −2x ã) x e dx (1 ≤ α ≤ 3); ä) 1

Z1 å) 0

Z1/2

dx (1 < α0 ≤ α < +∞); x |ln x|α

0

xdx (−∞ < α ≤ α0 < 0); 1 + (x − α)4

0

xα arctg(αx) √ dx (−2 < α < +∞); 1 − x2

52

Îãëàâëåíèå

Z+∞ æ)

x2 − α 2 dx (α ∈ R); ç) (x2 + α2 )2

1

Z+∞ 0

ln(1 + xα ) p √ dx x+ x

µ

¶ 1 −∞ < α < . 2

19. Äîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà óêàçàííûõ ìíîæåñòâàõ ñëåäóþùèõ èíòåãðàëîâ: Z+∞ ln x √ cos(αx)dx (< α0 ≤ α < +∞); à) x 2

Z+∞ α á) sin(2x) sin dx (0 ≤ α ≤ 1); x 0

Z+∞ â)

ln2 x sin(3x)dx (1 < α0 ≤ α < +∞); (x − 1)2

2

Z+∞ ã)

sin(αx5 ) dx (0 < α0 ≤ α < +∞); x

0 Z+∞

Z+∞

cos(αx2 )dx (1 ≤ α < +∞); å)

ä)

0 Z+∞

æ) 1

sin(x2 ) dx (0 ≤ α < +∞); 1 + xα

1

sin(α2 x) √ arctg(αx)dx (|α| ≥ 1); ç) 3 x2

Z+∞

sin(ex ) dx (0 ≤ α < +∞). 1 + xα

0

20. Èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà óêàçàííûõ ìíîæåñòâàõ ñëåäóþùèå èíòåãðàëû: Z+∞ Z+∞ dx ln(ex − x) à) (1 < α < +∞) ; á) dx (2 < α < +∞); 1 + xα xα 0

0

Z+∞ â)

sin x y · arctg(xy)dx (0 < y < +∞); x y+1

1

Z+∞ ã) 0 +∞ Z

å)

dx (0 ≤ α < +∞); ä) (x − a)α + 1

arctgx dx (1 < y < +∞); yxy

1

x cos(x2 + y)dx (y > 0); æ) x+y

Z1 y cos

1 dx (|y| < +∞); x2

0

1

Z1

Z1 xy−1 ln(1 − x)dx (y > 0); è)

ç)

Z+∞

0

sin

1 dx · (0 < α < 2). x xα

0

Z+∞ 21. Ïóñòü f (x)dx ñõîäèòñÿ (a ≥ 0). Äîêàçàòü, ÷òî íà [0; +∞) ðàâa

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

53

Z+∞ Z+∞ 2 −αx íîìåðíî ñõîäÿòñÿ èíòåãðàëû: à) e f (x)dx; á) e−αx f (x)dx. a

a

Z+∞ 22. Ïóñòü f (x)dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè |y| < +∞ a

Z+∞ ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî ñõîäÿòñÿ èíòåãðàëû: à) f (x) sin(x2 + y 2 )dx; a

Z+∞ f (x) arctg(xy)dx. á) a

23. Ïóñòü f : [a; +∞) → R (a ≥ 0), èíòåãðèðóåìà íà [a; A] äëÿ ëþáîãî Z+∞ Z+∞ f (x)dx ñõîäèòñÿ. Òîãäà f (xy)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà A(> a) è a

[y0 ; +∞) (y0 > 0). Äîêàçàòü.

a

Z1

24. Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ F (y) =

xπ/4 (x2

dx íà íåïðåðûâ+ y 2 + 1)

0

íîñòü.

25. Ïðîâåðèòü íåïðåðûâíîñòü íà óêàçàííûõ ìíîæåñòâàõ ñëåäóþùèõ ôóíêöèé:

Z+∞ Z+∞ cos(ax) −(x−a)2 à) F (a) = e dx (a ∈ R); á) F (a) = dx (a ∈ R); 1 + x2 −∞ Z+∞

0

sin(αx2 )dx (α ∈ (0; +∞));

â) F (a) = 0

Z1 ã) F (a) =

sin(a/x) dx (a ∈ (0; 1)); xa

0 Z+∞

ä) F (a) =

2

e−(x+a) √ √ dx (a ∈ [1; 2]); x+ a+1

0

Z1 å) F (a) = 0

ln(ax) √ dx (a ∈ [1; +∞)); x+a

Zπ

æ) F (a) =

sin xdx (a ∈ (0; 2)); ç) F (a) = xa (π − x)a

Zπ 0

0

Z+∞ è) F (a) = 0

dx (a ∈ [0; 1)); sina x

xdx (a ∈ (2; +∞)); ê) F (a) = 2 + xa

Z+∞ 0

e−x dx (a ∈ (0; 1)). |sin x|a

54

Îãëàâëåíèå

26. Ïóñòü f : [0; +∞) → R èíòåãðèðóåìà íà [0; A] äëÿ ëþáîãî A > 0. Z+∞ Òîãäà ôóíêöèÿ F (y) = f (xy)dx íåïðåðûâíà íà (0; +∞). y

27. Âû÷èñëèòü: Z+∞ Z+∞ −t2 (x2 +1) sin(2tx) e 2 à) lim e−x dx; á) lim dx. t→+∞ t→+∞ x x2 + 1 0

Z+∞

28. Äîêàçàòü, ÷òî: à) lim

n→+∞

Z+∞ â) lim

a→+∞

0

dx = 1; á) lim n a→+∞ x +1

0

Z+∞

cos x dx √ · = 0; ã) lim a→+∞ x 1 + a2 x2

1

1

Z+∞ a e−x dx = 1; 0

arctg(ax) π √ dx = . 2 x2 x2 − 1

Z+∞ 29. Çàêîíåí ëè ïåðåõîä ê ïðåäåëó ïðè α → 0 â èíòåãðàëå αe−αx dx? 0

30. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà íà [0; +∞), òî Z+∞ 2 af (x) lim dx = f (0). a→+0 π x2 + a2 0

31. Äîïóñòèìà ëè ïåðåñòàíîâêà ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ â èíòåãðàZ+∞ Z+∞ 2 Z+∞ Z1 y − x2 y−x ëàõ: à) dy dx ; á) dy dx? (x2 + y 2 )2 (x + y)3 1

1

1

0

Z+∞

32. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F (a) = 0

ôåðåíöèðóåìà íà R.

Zπ/2 33. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû: à)

Z1 á) 0 Z1

ã)

sin xdx íåïðåðûâíà è äèô1 + (x − a)2

0

xa − xb dx (a, b > 0); â) ln x

Z1

arctg(a tg x) dx; tg x

µ

1 sin ln x

¶

xa − xb dx (a, b > 0); ln x

0

µ

1 cos ln x

¶

xa − xb dx (a, b > 0); ä) ln x

0

Z+∞

34. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë 0

Zπ/2

ln(1 + a cos x) dx (|a| ≤ 1). cos x

0

arctg(ax) dx. x(1 + x2 )

35. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðèìåðà 34, ïîêàçàòü, ÷òî: Zπ/2 Zπ/2 π π tg x dx = ln 2; á) ln sin xdx = − ln 2. à) x 2 2 0

0

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

Z+∞ 36. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû: à)

55 2

2

e−ax − e−bx dx (a, b > 0); x2

0

Z+∞ Z+∞ 2 2 á) e−(ax +bx+c) dx (a > 0); â) e−ax ch(bx)dx (a > 0); −∞ Z+∞ 2

e−ax

ã)

0 Z+∞

sh(bx) dx (a > 0); ä) x

2

e−ax cos(bx)dx (a > 0);

0

0

Z+∞ Z+∞ ¡ −α/x2 2¢ −ax2 sin(bx) e å) dx (a > 0); æ) e − e−β/x dx (α, β > 0). x 0

0

Z+∞

37. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû: à)

Z+∞ á)

0 2

2

cos (ax) − cos (bx) dx; â) x

0

Z+∞ ã)

2 sin(ax) − sin(2ax) dx; ä) x3

0

Z+∞ å)

ç)

Z+∞

cos(ax) + cos(bx) − 2 dx; x2

0 Z+∞

sin(ax) sin(bx) dx; x2

0

Z+∞

sin4 (ax) − sin4 (bx) dx; æ) x

0

Z+∞

cos(ax) − cos(bx) dx; x2

sin(x3 ) dx; è) x

0 Z+∞

ë) 0

Z+∞

0

sin5 x dx; ê) x

0

sin x − x cos x dx; ì) x3

Z+∞

sin4 (ax) dx; x4 Z+∞

x − sin x dx; x3

0

sin(ax) −bx e dx (b > 0); x

0

Z+∞ Z+∞ −ax dx e − e−bx í) e−ax sin2 (bx) (a > 0); î) cos xdx (a, b > 0); x x 0

Z+∞ ï)

0

1 − cos(ax) −bx e dx (b > 0). x

0

Z+∞

38. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû: à)

Z+∞ á)

sin2 (ax) dx; 1 + x2

0

cos(px) dx (a > 0, ac − b2 > 0); â) 2 ax + bx + c

−∞

Z+∞ 0

sin2 (ax) dx. x2 (1 + x2 )

Z+∞ Z+∞ dx q 39. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû: à) xp e−x dx; á) (ln x)p 2 ; x 0

1

56

Îãëàâëåíèå

µ

Z1 â)

x

3

1 ln x

¶5

−∞

0

Z2 å)

Z+∞ Z2 dx −ex p p dx; ã) e e xdx; ä) ; 3 2 x (2 − x)

dx

p 4 −1 Zπ

è)

(2 − x)(1 + x)3

sinp x dx; ê) 1 + cos x

0 Z+∞

ë)

Z1

; æ) 0

Z1 µ ln

1 x

0

xdx p ; ç) (2 − x) 3 x2 (1 − x)

¶p

µ ln ln

1 x

¶

Z+∞

xp−1 dx ; 1 + xq

0

dx;

0

ln xdx ; ì) x2 + a2

Z+∞

ln2 x dx. 1 + x4

0

0

ZZ

40. Äîêàçàòü ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

K = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}.

cos(xy) dxdy , ãäå x+y

K

ZZ

41. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü èíòåãðàë

dxdy , ãäå: |x|p + |y|p

E

à) E = {(x, y) : |x| + |y| ≥ 1}; á) E = {(x, y) :Z Z|x| + |y| ≤ 1} (p > 0). dxdy 42. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü èíòåãðàë , ãäå: |x|p + |y|q E

à) E = {(x, y) : |x| + |y| ≥ 1}; á) Z EZ= {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1} (p, q > 0). 43. Óáåäèòüñÿ, ÷òî èíòåãðàë sin(x2 + y 2 )dxdy ðàñõîäèòñÿ, ïðîâåðèâ, ÷òî: à) lim

R2

ZZ

n→+∞ |x|≤n

sin(x2 + y 2 )dxdy = π ;

ZZ

á) lim

n→+∞ x2 +y 2 ≤2πn

sin(x2 + y 2 )dxdy = 0. ZZ

44. Ïîêàçàòü, ÷òî

x2 − y 2 dxdy , ãäå K = {(x, y) : x ≥ 1, y ≥ 1}, (x2 + y 2 )2

K

Z+∞ Z+∞ 2 x − y2 dy dx, ðàñõîäèòñÿ, â òî âðåìÿ êàê ïîâòîðíûå èíòåãðàëû (x2 + y 2 )2 Z+∞ Z+∞ 2 x − y2 dx dy îáà ñõîäÿòñÿ. (x2 + y 2 )2 1

1

45.ZÂû÷èñëèòü èíòåãðàëû: Z dxdy p à) , E = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}; 1 − x2 − y 2 ZEZ dxdy á) , E = {(x, y) : y ≥ x2 + 1}; x4 + y 2 E

1

1

3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà

ZZ â)

q

dxdy 2

2

½ ¾ x2 y 2 , E = (x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, 2 + 2 < 1 ; a b

1 − xa2 − yb2 ZZZ dxdydz ã) , K = {(x, y, z); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}. xp y q z r E

K

57

58

Îãëàâëåíèå

gamma_f.eps

Ðèñ. 1: Ãðàôèê Ãàììà-ôóíêöèè

Ëèòåðàòóðà [1] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòè

I,II, Ì.:Íàóêà, 1971, 1973. [2] Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíà-

ëèç, Ì.:Íàóêà, 1979. [3] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-

ëåíèÿ. Òîìà I,II,III, Ì.:Íàóêà, 1969, 1962, 1969. [4] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîìà I,II, Ì.:Íàóêà, 1968. [5] Á.Ì.Áóäàê, Ñ.Â.Ôîìèí, Êðàòíûå èíòåãðàëû è ðÿäû, Ì.:Íàóêà, 1967. [6] Ì.Ã.Õàïëàíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1965. [7] À.Ã.Ñâåøíèêîâ, À.Í.Òèõîíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðå-

ìåííîé, Ì.:Íàóêà, 1974. [8] À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí, Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíê-

öèîíàëüíîãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. [9] Â.È.Ñîáîëåâ, Ëåêöèè ïî äîïîëíèòåëüíûì ãëàâàì ìàòåìàòè÷åñêî-

ãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. [10] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Ì.:Íàóêà, 1981, 1984. 59

60

Ëèòåðàòóðà

[11] Ó. Ðóäèí, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, Ì.:Ìèð, 1966. [12] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1983, 1985. [13] Ã.Å. Øèëîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííî-

ãî. ×àñòè 1-2, Ì.:Íàóêà, 1969. [14] È.Ï. Íàòàíñîí,

Òåîðèÿ

ôóíêöèé

âåùåñòâåííîé

ïåðåìåííîé.

Ì.:Íàóêà, 1974. [15] Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1982. [16] Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêî-

ìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.:Íàóêà, 1961. [17] È.È.Ëÿøêî, À.Ê.Áîÿð÷óê, ß.Ã.Ãàé, Ã.Ï.Ãîëîâà÷, Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå

ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1984, 1986. [18] Ë.È. Âîëêîâûñêèé, Ã.Ë. Ëóíö, È.Ã. Àðàìàíîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî

òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.:Íàóêà, 1970. [19] Ì.Ë. Êðàñíîâ, À.È. Êèñåë¼â, Ã.È. Ìàêàðåíêî, Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ.

Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. ... Ì.:Íàóêà, 1971.

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåí-

èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò

íîãî èíòåãðàëà, 5

ïàðàìåòðà, 25

áåòà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà, 45

èíòåãðèðóåìîñòü ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïà-

äèôôåðåíöèðóåìîñòü ñîáñòâåííî-

ðàìåòðà, 13

ãî èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, 13, 16

èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,

äèôôåðåíöèðóåìîñòü íåñîáñòâåí-

29

íîãî èíòåãðàëà, çàâèñÿùå-

êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõî-

ãî îò ïàðàìåòðà, 26

äèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èí-

ôîðìóëà äîïîëíåíèÿ äëÿ áåòà-ôóíêöèè, 49

òåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, 20

ôîðìóëà äîïîëíåíèÿ äëÿ ãàììà-

êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîá-

ôóíêöèè, 43

ñòâåííîãî èíòåãðàëà ïåð-

ôîðìóëà ïðèâåäåíèÿ äëÿ áåòà-ôóíêöèè, 46

âîãî ðîäà, 4

êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîá-

ôîðìóëà ïðèâåäåíèÿ äëÿ ãàììà-

ñòâåííîãî èíòåãðàëà âòî-

ôóíêöèè, 42

ðîãî ðîäà, 10

ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà, 40

êðèòåðèé ñõîäèìîñòè êðàòíîãî íåñîá-

èíòåãðàë Äèðèõëå, 34

ñòâåííîãî èíòåãðàëà îò íåîòðè-

èíòåãðàë Ýéëåðà-Ïóàññîíà, 34

öàòåëüíîé ôóíêöèè, 31

èíòåãðàë Ôðóëëàíè, 38

íåïðåðûâíîñòü íåñîáñòâåííîãî èí-

èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà-

òåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïà-

÷åíèÿ, 10

ðàìåòðà, 24

èíòåãðàëû Ëàïëàñà, 36

íåïðåðûâíîñòü ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïà-

èíòåãðèðóåìîñòü íåñîáñòâåííîãî 61

62

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ðàìåòðà, 12, 15

íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà, 3 íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà, 9 íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà, 19 íåñîáñòâåííûé êðàòíûé èíòåãðàë, 29 ïðèçíàê Àáåëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, 7 ïðèçíàê Àáåëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, 23 ïðèçíàê Äèíè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, 25 ïðèçíàê Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, 7 ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, 6 ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ äëÿ êðàòíûõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, 32 ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, 20

ñõîäèìîñòü êðàòíîãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, 29 ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà, 9 ñõîäÿùèéñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà, 3 ñîáñòâåííûé èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà, 12 ñâÿçü ìåæäó ýéëåðîâûìè èíòåãðàëàìè, 47 óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, 5