Обработка результатов измерения физических величин: Лабораторный практикум

Министерство образования Российской Федерации Омский государственный университет

УДК 528.1 О23

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом ОмГУ. Протокол № 1 от 28 апреля 2004 г.

О23

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Лабораторный практикум (для студентов физического факультета)

Обработка результатов измерения физических величин: Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) / Сост.: Г.М. Серопян, И.С. Позыгун. – Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. – 20 с. Материал соответствует Государственному образовательному стандарту по специальности 010400 «Физика». Может быть использован студентами других специальностей.

специальность 010400 «Физика»

Издание ОмГУ

УДК 528.1

© Омский госуниверситет, 2004

Омск 2004 2

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Измерением называется определение значения физической величины опытным путем. Значение величины, найденное таким способом, называется результатом измерения. Измерения классифицируются на прямые и косвенные. Прямым называется измерение, при котором искомое значение величины находится непосредственно из опыта путем отсчета по шкале измерительного прибора, например: измерение длины линейкой, определение температуры тела термометром и т. д. Косвенным называется измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, например: определение плотности тела по его геометрическим размерам и массе, определение силы тока по напряжению и сопротивлению и т. д. Как известно, никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно, поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величины. Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерения и определяется формулой:

∆xi

=

xi – X,

где Х – истинное значение измеряемой величины; хi – результат i-того измерения; ∆xi – абсолютная погрешность i-того измерения. Наряду с абсолютной погрешностью используется относительная погрешность ε, равная отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

εi = ∆xi / X. Существует три типа погрешностей: систематические, случайные и промахи.

3

Систематическими называются погрешности, величина которых не меняется при повторении измерений данной величины при тех же способах измерения. Систематические погрешности возникают в тех случаях, когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов, например: температуры, давления, сопротивления подводящих проводов и т. д. Источником систематических погрешностей может быть также неточность градуировки измерительного прибора или его неисправность. Случайными называются погрешности, величина и знак которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях. Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств. Так, например, результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того, что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно: при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке или, наоборот, поспешить. Случайные погрешности отклоняют результат то в одну, то в другую сторону от истинного значения измеряемой величины, поэтому результаты большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х. Величина

1 n ∑ xi = x называется n i =1

средним

арифметиче-

ским результатом серии измерений. Так как при большом числе измерений величина x очень мала, то можно считать, что x ≅ X . Чем больше n, тем точнее выполняется это равенство. Промах – это грубая погрешность, вызванная невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора, описка при записи показаний и т. д.). Промахи могут сильно исказить результаты измерений, особенно в тех случаях, когда их число невелико. Их следует исключать из результатов измерений. 4

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ Если погрешности носят чисто случайный характер, то по результатам измерений можно оценить вероятности их появления. Пусть х1, х2…хn – результаты отдельных измерений. Примем, что n достаточно велико, и при оценке погрешностей будем считать, что

X =x=

1 n ∑ xi , n i =1

(1)

∆xi = xi − x . Определив погрешности ∆xi, рассортируем их по величине. Для этого весь диапазон полученных значений ∆xi разобьем на малые одинаковые интервалы ∆ε и подсчитаем, сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал. Если в интервале номер «k» оказалось заключено ∆nk значений погрешности, то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk ≅ ∆nk/n.

(2)

В большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону, найденному Гауссом. Согласно гауссову распределению, плотность вероятности y и величина погрешности ∆xi связаны соотношением:

y (∆ x i ) =

 (∆x i ) exp − 2 σ 2π  2σ 1

2

 ,  

(3)

где σ2 – некоторый постоянный параметр, называемый дисперсией распределения. Вид кривой распределения, соответствующий некоторому значению σ, показан на рис. 1.

5

Рис. 1. Кривая распределения Гаусса вероятности случайных погрешностей Из формулы y =

∆nk следует, что вероятность P(∆xk) того, n ⋅ ∆ε

что величина погрешности заключена в интервале ∆xk ÷ ∆xk + ∆ε, определяется формулой:

P(∆xk) = y(∆xk)·∆ε. Численно эта вероятность равна площади черного прямоугольника под точкой С с основанием ∆ε (см. рис. 1). Вероятность того, что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения, изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 ∆xk. На рис. 2 представлены кривые распределения, соответствующие разным σ. Как видно, с ростом σ максимум кривой распределения понижается, а ее «крылья» поднимаются. Это означает, что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается, а 6

вероятность больших растет. Следовательно, чем больше дисперсия распределения σ2, тем меньше точность измерений.

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ Пусть х1, х2…хn – результаты некоторой серии n измерений, проведенных в одинаковых условиях. Как уже подчеркивалось, величина случайной погрешности непостоянна и меняется от опыта к опыту. Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной. Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность:

∆x =

1 n ∑ ∆xi . n i =1

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn, определяемую формулой: n

Sn = Рис. 2. Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей Следует отметить, что кривая y(∆xi) характеризует не конечную серию измерений, а совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях.

7

∑ (x i =1

i

− x)

2

.

n −1

(4)

Можно показать, что при достаточно большом числе измерений Sn ≅ σ и, следовательно, дисперсия распределения n

σ 2 ≅ S n2 =

∑ (x i =1

i

− xn )

n −1

n

2

≅

∑ (x i =1

i

− x)

n

2

.

(5)

Таким образом, дисперсия распределения приблизительно равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений, найденному при достаточно большом числе n. Для генеральной совокупности (n → ∞) равенство (5) выполняется точно. Из него следует, что величина дисперсии зависит от условий, в которых проводятся измерения: чем благоприятнее условия измерений, тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия.

8

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ СРЕДНЕГО

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Допустим, что мы провели серию n измерений некоторой величины х, результаты которых равны х1, х2,…хn. Наилучшим приближением к истинному значению является величина

Как уже указывалось, для любой конечной выборки x ≠Х. Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х, т. е. x –Х. Интервал x ± ΔХ, в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины, называется доверительным, соответствующим вероятности α. Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью. Величина ΔХ характеризует точность оценки. Чем меньше разность x –Х, тем выше точность. Надежность, соответствующую заданной точности ΔХ, можно вычислить теоретически, воспользовавшись гауссовым распре-

x=

1 n ∑ xi , n i =1

называемая средним выборочным значением измеряемой величины. Если серию по n измерений в каждой повторить m раз, то мы получим m значений x , несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины. Погрешности ∆x k = x k − X являются случайными и, так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi – Х, подчиняются гауссову распределению, но с другой дисперсией σ < σ . Величина σ , называе2 x

2

2 x

мая дисперсией среднего, является мерой погрешности среднего значения x , найденного в серии из n измерений. В теории погрешности доказывается, что

σ x2 = σ

2

n

.

(6)

Таким образом, среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n1/2 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений.

делением, если известна дисперсия σ x2 . Так как σ x2 = σ2/n, то надежность, соответствующая заданной точности ΔХ, растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала. Если n мало, то используют распределение, выведенное Госсетом (псевдоним «Стьюдент»). В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

t=

∆X x − X = , Sx Sx

называемой

коэффициентом

Стьюдента.

Распределение Стьюдента зависит от n и при n→∞ переходит в распределение Гаусса. Вычислив по результатам измерений S x и задав величину ΔX, можно найти t и α, соответствующие данному n. Или, наоборот, задав надежность α, можно вычислить tα,n и соответствующую точность ΔX = tα,n· S x при данном значении n. Соответствующие друг другу значения α и tα,n при разных n приводятся в специальных таблицах (см. приложение 1). На практике задание величины 9

10

ΔX определяется конкретными условиями. В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 0,90; 0,95. Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок: 1. Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить среднее выборочное x по формуле:

x=

1 n ∑ xi . n i =1

2. Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi : Δxi = xi – x . 3. Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического:

∑ (x n

Sx =

i =1

i

−x

n(n − 1)

)

2

.

4. Определить точность измерения ΔX при заданных n и α: ΔX = S x ⋅ tα ,n . 5. Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины: Х = x ± ΔX или

x – ΔX ≤ Χ ≤ xi +ΔX.

11

СОВМЕСТНЫЙ УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТЕЙ Строгий учет систематической погрешности является затруднительным. Если систематическая погрешность обусловлена точностью прибора, то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок, зная класс его точности. Если точность, обусловленная случайной погрешностью – ΔХ, а величина систематической погрешности – δ, то величина суммарной точности ΔХ* определяется формулой:

∆X * =

(∆X )

2

2

 k ⋅δ  + α  ,  3 

(7)

где kα = tα(∞) – коэффициент Стьюдента при n = ∞. Существует два способа оценки погрешности косвенного измерения. В большинстве случаев имеют дело с косвенными измерениями. Пусть x, y, z – непосредственно измеряемые величины, а W = f(x, y, z) – их функция, т. е. величина, измеряемая косвенно. Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W. 1-й способ: если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях, то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения, а затем обрабатываются как прямые измерения. 2-й способ: позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений. Далее остановимся подробнее на этом способе.

12

ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

εz =

Обрабатывая прямые измерения, мы находим их выборочные средние значения x , y , z …, являющиеся, как было показано выше, случайными величинами. Очевидно, что и величина

W = W ( x , y , z …), представляющая собой выборочное среднее искомой функции, будет также случайной величиной. Задача, как и в случае прямых измерений, состоит в том, чтобы определить, с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W±ΔW. В общем случае эта задача весьма сложна, и мы ограничимся лишь ее приближенным решением. 2

2

2

 ∂W   ∂W   ∂W  2 2  ∆Y 2 +  ∆W =   ∆X +   ∆Z .  ∂x   ∂z   ∂y 

εW =

dW . W

Если W = W(x) – функция одной переменой, тогда относительная погрешность определяется как

εW =

dW = d (lnW ) , W

(9)

т. е. для нахождения εW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x), а затем продифференцировать его по х. В случае многих переменных можно, как и для абсолютных погрешностей, ввести частные относительные погрешности, равные:

∂ ln W ⋅ ∆x ; ∂х ∂ ε y = ln W ⋅ ∆y ; ∂х

Тогда общая относительная погрешность определится как

ε W = ε x2 + ε y2 + ε z2 .

y

константа. Используя правило (10), имеем: ln W = ln A + 4 ln x − 12 ln y , εx =

4∆x 1 ∆y , εy = − ; x 2 y

ε=

16 1 ⋅ ∆x 2 + 2 ⋅ ∆y 2 ; 2 x 4y

Замечание. Прежде чем сделать расчет по формуле (11), произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам, вычисленных по формулам (10). Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза, ими можно пренебречь. В таком случае общая формула (11) значительно упростится. Определив относительную погрешность ηW, можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле:

∆W = ε W W .

εx =

13

(11)

Расчет погрешности по формулам (10) и (11) особенно удобно производить в случае, когда функция имеет одночленную (ло4 гарифмическую) формулу. Пусть, например, W = A x , где А –

(8)

Очень часто бывает удобно вычислить относительную погрешность результата косвенного измерения

∂ ln W ⋅ ∆z . ∂х

(10)

14

(12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Цель работы: статистическая обработка результатов измерения плотности тела цилиндрической формы.

1. Жукова И.С., Бутина Л.И., Крылова С.И. Введение в лабора-

Приборы и оборудование: тело цилиндрической формы, штангенциркуль, микрометр, весы. Порядок выполнения работы

торный практикум по курсу общей физики.

Петрозаводск:

Изд-во Петрозаводск. гос. ун-та, 1999. 2. Деденко Л.Г., Керженцев В.В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1977. 3. Зайдель А.Н. Ошибки измерения физических величин. Л.: Нау-

1. Измерить высоту h и диаметр основания d цилиндрического тела. 2. Измерить массу тела m весами. 3. Измерения по пунктам 1 и 2 провести не менее 10 раз. 4. Рассчитать плотность тела ρ по формуле:

4m ρ= 2 . πd h

ка, 1974. 4. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов измерений. М.: Наука, 1970. 5. Соловьев В.А., Яхонтова В.Е. Элементарные методы обработки результатов измерений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.

5. Рассчитать погрешность прямых измерений высоты, диаметра и массы тела. 6. Рассчитать погрешность косвенного измерения плотности тела. 7. Сравнить измеренное значение плотности вещества исследуемого тела со справочными данными.

15

16

Приложение 1

Приложение 2

Значения коэффициентов Стьюдента Число измерений n

Некоторые правила оформления лабораторных работ

Коэффициент надежности 0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

2

3,1

6,31

12,7

31,8

63,7

3

1,9

2,92

4,31

6,96

9,92

4

1,6

2,35

3,18

4,54

5,84

5

1,5

2,13

2,78

3,75

4,60

6

1,5

2,02

2,57

3,36

4,03

7

1,5

1,94

2,45

3,14

3,71

8

1,4

1,90

2,36

3,00

3,50

9

1,4

1,86

2,31

2,90

3,36

10

1,4

1,83

2,26

2,82

3,25

1,3

1,65

1,96

2,33

2,59

∞

По результатам каждой лабораторной работы в рабочей тетради составляется отчет, который должен включать: 1. Краткую формулировку идеи метода, расчетную формулу, пояснение физического смысла входящих в нее символов. 2. Таблицы с результатами измерений и расчетов. 3. Статистическую обработку результатов измерений. 4. Выводы.

1. 2. 3.

4.

5.

При построении графиков необходимо соблюдать ряд правил: Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге. На осях необходимо нанести масштабную сетку, указать единицы измерения и символы изображаемых величин. Масштаб должен быть простым, удобным для отсчета его долей. Например, 1 см = 0,1; 1; 2 или 10 единиц. Кроме того, масштаб выбирают так, чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга. Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета. Масштаб по осям Х и У может быть различен. Экспериментальные точки следует наносить с максимальной точностью так, чтобы они четко выделялись на фоне графика, не сливаясь с ним. График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов. Нужно стремиться провести кривую так, чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее.

Примечание. Приводя значение измеренной величины, проверьте, согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности. Порядок последней значащей цифры из17

18

меренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы! Например, запись Е = (18451,27 ± 20) 107 Па неграмотна. Величина ошибки свидетельствует о том, что неуверенно определяется уже четвертый знак, поэтому результат должен быть соответственно округлен: Е = (18450 ± 20) 107 Па.

Учебно-практическое издание

Составители Г.М. Серопян, И.С. Позыгун

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) специальность 010400 «Физика»

Технический редактор М.В. Быкова Редактор Л.Ф. Платоненко

Подписано в печать 21.05.04. Формат бумаги 60х84 1/16. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 200 экз. Заказ 312. Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

19

20