Компьютерное моделирование некристаллических веществ методом молекулярной динамики

ХИМИЯ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ Д. К. БЕЛАЩЕНКО Московский государственный институт стали и сплавов (технологический университет)

ВВЕДЕНИЕ

COMPUTER SIMULATION OF NON-CRYSTALLINE SUBSTANCES BY MOLECULAR DYNAMICS METHOD D. K. BELASHCHENKO

The features, potential and some results of the simulation of liquid and amorphous substances by the molecular dynamics method are described.

© Белащенко Д.К., 2001

Рассмотрены особенности, возможности и некоторые результаты моделирования жидких и аморфных веществ методом молекулярной динамики.

44

Классический метод молекулярной динамики был изобретен в середине 50-х годов XX века (Б. Олдер, Т. Уэйнрайт). Сущность его заключается в расчете на компьютере траекторий движения частиц, моделирующих конкретный физический объект – обычно отдельную крупную молекулу, жидкость или твердое тело. Специфика любой системы выражается в форме потенциалов и сил межчастичного взаимодействия. Поскольку эти потенциалы для реальных веществ либо неизвестны, либо определяются приближенно, то в методе молекулярной динамики имеют дело с более или менее точной моделью вещества. Кроме того, практически все расчеты по методу молекулярной динамики выполнены с использованием классической механики И. Ньютона, и лишь недавно появились работы, в которых этот метод комбинируется с решением уравнений квантовой механики. Знание траекторий каждой частицы в модели объекта – это исчерпывающая информация, которую невозможно получить ни в каком эксперименте с реальным веществом. Поэтому метод молекулярной динамики в принципе позволяет рассчитать любое свойство системы – как термодинамическое (например, энергию, давление, энтропию), так и кинетическое (коэффициенты диффузии, частоты колебаний атомов). Размер модели определяется быстродействием и оперативной памятью компьютера. В первых работах модели были очень маленькими (например, 32 частицы), а сейчас они могут содержать сотни тысяч и миллионы атомов. Что же касается межчастичных потенциалов, то проблема их нахождения и сейчас стоит так же остро, как и раньше.

www.issep.rssi.ru

Обзоры теории и приложений метода молекулярной динамики можно найти в работах [1–5]. В [3] подробно рассмотрены алгоритмы метода молекулярной

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 8 , 2 0 0 1

ХИМИЯ динамики, а также свойства таких модельных объектов, как системы плоских дисков и эллипсов. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ (ЖИДКИХ И АМОРФНЫХ) ВЕЩЕСТВ Для того чтобы начать моделирование, следует задать начальные координаты частиц. Можно, например, расположить их в узлах решетки или разбросать случайным образом в объеме основного куба с помощью генератора случайных чисел, обеспечивая при этом заданную плотность. Чтобы увеличить эффективный размер системы и повысить точность расчетов, применяют так называемые периодические граничные условия. Для этого основной куб со всем его содержимым транслируют по трем осям координат, строя таким образом простую кубическую сверхрешетку. Частицы взаимодействуют не только с другими частицами основного куба, но и с частицами в соседних кубах сверхрешетки. Полученная система более упорядочена, чем реальная, так что ее свойства немного отличаются от фактических. Если моделируется вещество при температуре абсолютного нуля (аморфная фаза), то скорости частиц в расчетах не фигурируют. Если же температура ненулевая, то требуется задать начальные скорости частиц, учитывая, что средняя кинетическая энергия пропорциональна температуре. Исходное распределение скоростей в процессе моделирования быстро приближается к распределению Больцмана и постепенно устанавливается равновесная структура системы. Существует много алгоритмов, позволяющих рассчитывать траектории частиц. Основное время счета занимает нахождение равнодействующих сил. Для этого надо выделить группу атомов, ближайших к данному, и просуммировать силы взаимодействия его с каждым соседом. Дело усложняется в случае заряженных частиц (например, в моделях солей или оксидов), где нельзя пренебрегать даже удаленными частицами, поскольку кулоновское взаимодействие убывает с расстоянием очень медленно. Еще более сложно рассчитывать межчастичные силы в системах, где взаимодействие не центральное, то есть зависит не только от расстояния между частицами, но и от других характеристик, например от направлений дипольных моментов, величины валентных углов и т.д. В некоторых случаях (особенно для ковалентных систем) приходится прибегать к использованию трехчастичных потенциалов, учитывающих зависимость энергии взаимодействия от взаимного расположения троек атомов. Моделирование методом молекулярной динамики можно проводить при задании различных внешних условий. Например, термин “NVE-ансамбль” означает,

что поддерживается постоянство числа частиц, объема и энергии. В этом случае давление системы определяется независимо от вычислителя. Но иногда моделирование нужно проводить при таких условиях, когда плотность вещества неизвестна. В этом случае объем основного куба является зависимой переменной, а независимыми оказываются давление и температура системы. Такой случай обозначают как “NpT-ансамбль”. Здесь при моделировании требуется постоянно (или время от времени) рассчитывать давление и температуру системы и в соответствии с их величиной либо немного увеличивать, либо уменьшать длину ребра основного куба и скорости частиц. В этом варианте плотность модели приближается в ходе молекулярно-динамического прогона к равновесному значению. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ЖИДКОСТЕЙ К простым жидкостям относят обычно системы с парным взаимодействием, которое описывается аналитическими функциями типа: r n U ( r ) = ε  ----0  r

(1)

(чисто отталкивательный степенной потенциал); 12

r r U ( r ) = 4ε  ----0 –  ----0  r  r

6

(2)

(потенциал Леннард-Джонса);   r r U ( r ) = ε  exp – 2γ  ---- – 1 – 2 exp – γ  ---- – 1   r0   r0    (потенциал Морза); r U ( r ) = ε exp –  ----  r 0

2

(потенциал Гаусса). Здесь r – расстояние между частицами. Зависимость межчастичной силы от расстояния (“силовую функцию” f (r)) можно найти, дифференцируя потенциал. Все приведенные выше потенциалы довольно быстро убывают с расстоянием. Хорошие результаты можно получить уже при числе атомов модели в однудве тысячи частиц. Современный персональный компьютер вполне достаточен для быстрого построения моделей простых жидкостей. В результате получают зависимость давления р и энергии Е от объема V и температуры. Зависимость p(V, T ) представляет собой уравнение состояния. Зависимость же E(V, T ) позволяет рассчитать энергетические характеристики жидкости – теплоемкость, энергии Гельмгольца и Гиббса, а по ним и энтропию.

Б Е Л А Щ Е Н К О Д . К . К О М П Ь Ю Т Е Р Н О Е М О Д Е Л И Р О В А Н И Е Н Е К Р И С ТА Л Л И Ч Е С К И Х В Е Щ Е С Т В

45

ХИМИЯ В качестве примера на рис. 1 показано уравнение состояния системы с парным потенциалом (1) и показателем n = 12, полученное методом молекулярной динамики. Через ρ* и р* обозначены безразмерные параметры плотности и давления: 3 0

Nr ε ρ* = ---------  ------ V  kT 

3⁄n

pV p* =  ----------- ρ*.  NkT 

,

(k – постоянная Больцмана). На рис. 1 видны область существования устойчивого кристалла (при ρ* свыше 1,2) и область устойчивой жидкости (при меньших параметрах ρ*). Штриховые участки относятся к областям неустойчивости данной фазы (то есть переохлажденной жидкости или перегретого кристалла). Зная уравнение состояния, можно рассчитать любое термодинамическое свойство модели при заданных плотности и температуре. Построение и исследование моделей простых жидкостей позволили окончательно решить вопрос о механизме диффузии в них. Коэффициент самодиффузии в модели жидкости определить можно проще всего по зависимости среднего квадрата смещения частицы 〈(∆r)2〉 P* 100

80

60

от времени t. Теория диффузии приводит к соотношению 〈(∆r)2〉 = 6Dt, справедливому при достаточно больших временах. Наклон линейной части графика зависимости 〈(∆r)2〉 от времени позволяет найти коэффициент самодиффузии. Раньше полагали (Я.И. Френкель), что механизм диффузии в жидкости близок к механизму диффузии в кристаллах и является активационным, то есть частица в элементарном акте диффузии перепрыгивает через потенциальный барьер высотой Еакт . Для такого механизма теория дает выражение E акт D = D 0 exp  – -------- .  kT  Однако анализ движения частиц в моделях простых жидкостей показал, что активированные скачки атомов на расстояния порядка межатомных практически не наблюдаются, и механизм диффузии является дрейфовым. Суммарное смещение частицы является суммой большого числа малых смещений на расстояния гораздо меньше межатомного. Точность молекулярнодинамических расчетов оказалась довольно высокой. Например, для модели жидкого аргона с потенциалом Леннард-Джонса (2) расхождение расчетного и фактического коэффициентов самодиффузии не превосходило 15% (А. Раман). Зависимость коэффициентов самодиффузии от температуры хорошо описывается степенным выражением D = bT m, где обычно m = 1,5–2. Такая зависимость характерна для жидких металлов D* 0,12 0,10

40

0,08 0,06 20

0,04 ρ*i ρ*f ρ*m

0

1,0

1,2

0,02 1,4

1,6 ρ*

Рис. 1. Уравнение состояния системы с потенциалом U(r) = ε(r0 / r)12 в безразмерных координатах (см. * и ρ f* обозначены приведенные текст). Через ρ m плотности кристалла и жидкости в равновесной точке плавления, через ρ i* – плотность, при которой происходит потеря механической устойчивости кристалла (данные Дж. Кейпа и Л. Вудкока)

46

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4 V*

Рис. 2. Зависимость приведенного коэффициента диффузии от приведенного объема V* для системы с потенциалом (1) и показателем n = 12 (данные Дж. Кейпа и Л. Вудкока, М. Росса и П. Скофилда, Й. Хиватари и др.). При значении V* около 0,70 диффузия в молекулярно-динамической модели практически прекращается и не может быть измерена

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 8 , 2 0 0 1

ХИМИЯ при температурах вплоть до критической (например, для цезия и ртути).

0,35 0,30

На рис. 2 показана зависимость приведенного (безразмерного) коэффициента самодиффузии D* = 1⁄2

kT/ε

1⁄2

= Dr 0 ( ε ⁄ kT ) ( m ⁄ kT ) (m – масса частицы) от приведенного (безразмерного) объема V * = 1/ ρ*, рассчитанная для системы с потенциалом (1) и показателем n = 12. Приведенный коэффициент диффузии почти линейно убывает с уменьшением параметра V * (например, при изотермическом сжатии или изобарном охлаждении жидкости) и становится неизмеримо малым при относительной плотности ρ* = 1,42. –1

0,25 0,20

0,4 0 −800 −400 0

400 800

0,15 0,10 0,05 0

Интересно, что в случае потенциала Гаусса силовая

0,445

функция f ( r ) = 2a ( r ⁄ r 0 ) exp [ – ( r ⁄ r 0 ) ] проходит через

0,440

максимум при убывании расстояния и при r 0 стремится к нулю. Ф. Стиллинджер и Т. Вебер обнаружили, что в этом случае коэффициент самодиффузии при достаточно сильном сжатии модели начинает возрастать, как в аномальных жидкостях типа воды при температурах вблизи 4°С, где плотность воды максимальна. При охлаждении молекулярно-динамических моделей можно наблюдать либо постепенное затухание теплового движения без резких изменений структуры, либо кристаллизацию. При охлаждении моделей с обычной скоростью порядка 1013–1015 К/с кристаллизация не происходит и в итоге получается аморфная фаза (стекло). Определяя в процессе охлаждения такие свойства, как энергия, давление, теплоемкость и т.д., можно подробно изучить, как происходит переход системы из жидкого (слабовязкого) состояния в состояние стекла, в котором практически полностью отсутствует диффузия. Если же длительно выдерживать модель немного ниже температуры кристаллизации, то можно наблюдать образование кристаллических зародышей, которые быстро увеличиваются в размерах. При этом происходит скачкообразное изменение давления и температуры, и в итоге вся модель кристаллизуется. Кристаллизацию можно наблюдать также строя на различных этапах молекулярно-динамического прогона распределение многогранников Вороного (см. [1]). При появлении зародыша кристалла в модели резко возрастает число многогранников Вороного, характерных для объемноцентрированной (ОЦК) или гранецентрированной (ГЦК) решетки. Можно установить также и ориентацию кристалликов в пространстве. Кристаллизацию наблюдали методом молекулярной динамики в жидкостях с чисто отталкивательным потенциалом (1), потенциалом (2) и более пологим потенциалом, рассчитанным теоретически для рубидия (рис. 3). Одновременно могут появляться зародыши и

P/ρ

2

0,435 0,430 0,425 0,420 0,6 0,5 R2(t)

2

0,8

0,4 0,3 0,2 0,1 0

3000

6000

t/∆t

9000

12 000

15 000

Рис. 3. Изменения температуры (kT/ε), приведенного давления и среднего квадрата смещения частиц от времени в молекулярно-динамическом прогоне модели жидкого рубидия. Размер модели 500 атомов. По оси абсцисс отложено число шагов по времени (длина шага равна 0,017 пс). Резкие скачки на графиках связаны с кристаллизацией модели. На врезке показано поведение температуры непосредственно перед резким охлаждением и в процессе троекратного зануления скоростей частиц. Примерно на 11 000-м шаге начинается кристаллизация (данные К. Су и А. Рамана)

ОЦК- и ГЦК-фаз, хотя термодинамически устойчивой является лишь одна из них. Как правило, чем более пологим является потенциал, тем раньше начинается кристаллизация. Методом молекулярной динамики было построено много моделей двойных растворов. В двухкомпонентной

Б Е Л А Щ Е Н К О Д . К . К О М П Ь Ю Т Е Р Н О Е М О Д Е Л И Р О В А Н И Е Н Е К Р И С ТА Л Л И Ч Е С К И Х В Е Щ Е С Т В

47

ХИМИЯ системе имеются частицы сортов А и В, и при моделировании следует задать потенциалы взаимодействия трех видов пар: АА, АВ и ВВ. В остальном моделирование проводится так же, как и для однокомпонентных систем. Варьируя парные потенциалы uAA(r), uAB(r) и uBB(r), можно строить модели не только идеальных растворов, но и растворов с различным типом отклонений от идеальности. Точность вычислений в настоящее время такова, что можно рассчитывать и предсказывать избыточные термодинамические величины двойных растворов, например теплоты образования их из чистых компонентов. МОДЕЛИРОВАНИЕ АМОРФНЫХ ФАЗ Модель аморфной фазы можно получить понижая температуру модели жидкости. При этом структура системы меняется не особенно сильно. Обычно о структуре судят по форме парных корреляционных функций, дающих вероятность обнаружения соседней частицы на расстоянии r от некоторой центральной. Эти функции имеют осциллирующий характер; первый максимум отвечает первой координационной сфере, второй максимум – второй и т.д. На больших расстояниях парные корреляционные функции стремятся к единице, а на малых – к нулю, поскольку частицы не могут сблизиться на расстояния меньше условного диаметра атома. При понижении температуры и переходе в аморфное состояние пики становятся выше и уже, однако их координаты мало меняются. Из наиболее интересных достижений в области моделирования аморфных фаз можно назвать анализ механизмов диффузии в этих объектах. Экспериментальные данные в этой области довольно ограниченны, так как измерения скорости диффузии можно проводить при не слишком высоких температурах, иначе аморфная фаза закристаллизуется. Сами же коэффициенты диффузии при этих температурах настолько малы, что за время опыта атомы смещаются в лучшем случае на несколько межатомных расстояний (за исключением растворов водорода, который диффундирует довольно быстро по междуузлиям аморфного сплава). Поэтому данные реального опыта указывают главным образом на активационный характер диффузии в аморфных сплавах, но не дают сведений о механизме диффузии. На молекулярно-динамических моделях аморфных металлов удалось, в частности, показать, что в аморфной фазе аналогично кристаллам возможен вакансионный механизм диффузии (Д.К. Белащенко и Фам Кхак Хунг). В кристаллах вакансии образуются при удалении атома из узла решетки в результате теплового возбуждения. Их концентрация обычно невелика, но они довольно устойчивы и могут длительное время блуждать по кристаллу, обмениваясь местами с

48

соседними атомами. При этом происходит перемешивание частиц, обусловливающее диффузию компонентов. Исследование моделей показало, что небольшие поры, аналогичные вакансиям, могут существовать и в аморфных телах. Например, на модели аморфного железа было обнаружено, что после обмена местами с соседним атомом пора, имевшая радиус свыше 80 пм, может сохранить такой большой радиус; в этом случае она способна к новому обмену местами, то есть является вакансией и при обмене местами не исчезает. Однако иногда после обмена местами вакансия исчезает (рассасывается), то есть попадает в сток. Концентрация стоков определяет среднее число прыжков, которое вакансия может сделать до своего исчезновения, то есть до превращения в обычную небольшую пору, которая уже не участвует в обменах местами с атомами. Концентрация стоков по данным моделирования может составлять 10–50% от общего числа атомов. Чем более устойчива модель (то есть чем ниже ее энергия), тем меньше в ней стоков и соответственно быстрее должна идти диффузия. При концентрации стоков 10% вакансия до исчезновения может сделать в среднем 10 прыжков. Для расчета коэффициента диффузии необходимо найти энергию активации. Зная координаты частиц модели, легко рассчитать высоты активационных барьеров при переходе соседних атомов в пору. Для крупных пор в модели аморфного железа профиль потенциальной энергии имеет типичный вид барьера, и такие поры могут играть роль вакансии. Распределения энергий образования вакансий и высот барьеров близки к распределению Гаусса. В итоге схема диффузии в аморфном теле по вакансионному механизму выглядит следующим образом. Сначала в результате термической флуктуации возникает крупная пора, обладающая свойствами вакансии. Затем она диффундирует, меняясь местами с соседними атомами и делая некоторое количество прыжков. После этого вакансия попадает в сток и превращается в сравнительно небольшую пору, не принимающую участия в процессах обмена местами. В случае кристаллических тел, быстро закаленных от высоких температур, фактическая концентрация вакансий может быть гораздо выше равновесной. В аморфных же металлах неравновесные вакансии (крупные поры) гибнут на стоках уже через несколько прыжков. Поэтому весьма вероятно, что они могут проявить себя лишь на начальных этапах процесса диффузии, а именно при структурной релаксации. В дальнейшем остаются преимущественно равновесные вакансии, возникающие при термической активации. Стоки также могут генерироваться флуктуационно.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 8 , 2 0 0 1

ХИМИЯ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИОННЫХ СИСТЕМ В ионных системах важную роль играют кулоновские силы, которые нельзя обрывать ни на каких расстояниях. Поэтому программы, позволяющие моделировать ионные системы, используют специальные процедуры, позволяющие вычислять равнодействующие силы. Для системы с периодическими граничными условиями применяется метод Эвальда, который требует довольно большого времени счета (обычно в десятки раз больше, чем в случае короткодействующих сил). При вычислениях требуется проводить полный перебор всех пар ионов в основном кубе. Тем не менее даже на современном персональном компьютере можно рассчитывать свойства ионных систем с умеренным количеством ионов – несколько сот частиц в основном кубе. Такие размеры вполне достаточны для расчета основных физико-химических свойств жидких и аморфных тел. Обзор работ по моделированию важного класса ионных систем – оксидов приведен в [5]. Кулоновское взаимодействие приводит к низким координационным числам, то есть к низким (2–4) числам ближайших соседей у данного иона. Дело в том, что все ближайшие соседи должны иметь знак заряда, противоположный заряду центрального иона. Поэтому эти соседи отталкиваются друг от друга и их число в первой координационной сфере не может быть большим. В итоге структура ионных систем часто оказывается рыхлой, содержащей большие пустоты (поры) неправильной формы. В этих порах могут размещаться атомы примесей (например, благородных газов). Зная число таких пор в единице объема модели, можно предсказать растворимость соответствующего газа в стекле (например, в аморфном кремнеземе или оксиде бора). На рис. 4 показано расположение в пространстве частиц кислорода и кремния в модели аморфного кремнезема при 300 К, построенной методом молекулярной динамики в приближении чисто ионной связи. Для наглядности выделен небольшой кубический фрагмент модели. Можно видеть, что структура стекла рыхлая и содержит довольно крупные поры. Расположение ионов кислорода вокруг ионов кремния приблизительно тетраэдрическое. Ионы кислорода имеют преимущественно по два соседа – иона кремния. Эти два сорта ионов образуют неупорядоченную тетраэдрическую сетку связей. В случае силикатов натрия ионы натрия располагаются в пустотах этой сетки. При анализе рыхлых моделей обнаружено, что поры могут объединяться в цепочки, представляя собой пути легкой диффузии примеси через вещество. Этот механизм диффузии также можно исследовать методом молекулярной динамики или другими компьютерными

Рис. 4. Фрагмент молекулярно-динамической модели аморфного кремнезема. Выделена кубическая область с линейным размером 8,56 Å. Ионы кремния – синие, ионы кислорода – красные. Размеры кружков заданы условно (данные автора)

методами. Однако такие расчеты пока малочисленны. Метод молекулярной динамики позволяет исследовать миграцию ионов во внешнем электрическом поле. Для этого к межчастичным силам добавляются силы, обусловленные внешним полем. При этом моделируются процессы электропроводности и электролиза. Метод молекулярной динамики во многих случаях оказывается значительно более точным и производительным, чем прямой эксперимент. Это особенно верно, когда условия опыта слишком тяжелы (например, высокие температура или давление) или объект имеет высокую реакционную способность и с ним трудно работать. Метод молекулярной динамики оказался полезным, например, при моделировании жидкого углерода и кремнезема при высоких температурах и давлениях. ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ В методе молекулярной динамики имеются такие возможности, которые в реальном эксперименте в принципе отсутствуют. Например, исследуя систему FeO–SiO2 , можно все ионы железа или часть их превратить в ионы кальция, образовав при этом двойную систему CaO–SiO2 или тройную систему FeO–CaO–SiO2 . Для этого достаточно изменить параметры потенциала взаимодействия пар Fe–O у превращаемых ионов железа на параметры потенциала пар Ca–O (возможно, понадобится изменить параметры и для некоторых других пар). По данным моделирования удается рассчитать не только изменение энергии системы при таком превращении, но и более информативную величину – изменение энергии Гиббса системы. Такой компьютерный эксперимент позволяет рассчитывать термодинамические свойства многокомпонентных растворов [5].

Б Е Л А Щ Е Н К О Д . К . К О М П Ь Ю Т Е Р Н О Е М О Д Е Л И Р О В А Н И Е Н Е К Р И С ТА Л Л И Ч Е С К И Х В Е Щ Е С Т В

49

ХИМИЯ МОДЕЛИРОВАНИЕ “ИЗ ПЕРВЫХ ПРИНЦИПОВ” (AB INITIO) В 1985 году Р. Кар и М. Паринелло предложили новый метод молекулярно-динамического моделирования, в котором межчастичные силы рассчитываются путем решения квантово-механического уравнения Шрёдингера на каждом временном шаге метода МД. Взаимодействие внешних электронов с внутренними электронами ионных оболочек описывается специально подобранными псевдопотенциалами. Для каждого конкретного расположения ионов в основном кубе необходимо решить уравнение Шрёдингера для всех валентных электронов. После расчета волновых функций внешних электронов определяются силы, действующие на каждый атом модели. Время компьютерных вычислений здесь очень велико. Поэтому этот метод применяется пока для построения сравнительно небольших моделей размером в несколько десятков атомов. Этим методом были построены модели жидких и аморфных металлов (литий, натрий, алюминий, ртуть, германий, медь, ванадий), полуметаллов (сурьма, теллур) и оксидов (кремнезем). Несмотря на небольшой размер моделей (например, 72 атома в случае кремнезема), удается рассчитать структурные и диффузионные характеристики и плотности электронных состояний в жидких и аморфных фазах. Метод моделирования “из первых принципов” является весьма перспективным, поскольку позволяет обходиться без подбора эффективных межчастичных потенциалов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В статье рассмотрены лишь отдельные вопросы, относящиеся к теории и применениям метода молекулярной

50

динамики. Очень много работ посвящено, например, изучению этим методом структуры некристаллических систем, расчету термодинамических и кинетических свойств, проверке выводов различных теорий, в особенности теории жидкостей. Ясно, что метод молекулярной динамики будет широко применяться для расчета структуры и свойств самых различных веществ. ЛИТЕРАТУРА 1. Полухин В.А., Ватолин Н.А. Моделирование аморфных металлов. М.: Наука, 1985. 288 с. 2. Валуев А.А., Норман Г.Э., Подлипчук В.Ю. Метод молекулярной динамики: Теория и приложения // Математическое моделирование: Физико-химические свойства вещества. М.: Наука, 1989. С. 5–40. 3. Берлин Ал.Ал., Балабаев Н.К. Имитация свойств твердых и жидких тел методами компьютерного моделирования // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. № 11. С. 85–92. 4. Немухин А.В. Компьютерное моделирование в химии // Там же. 1998. № 6. С. 48–52. 5. Белащенко Д.К. Компьютерное моделирование некристаллических оксидов // Успехи химии. 1997. Т. 66, № 9. С. 811–844.

Рецензенты статьи А.В. Немухин, Б.С. Бокштейн *** Давид Кириллович Белащенко, доктор технических наук, профессор кафедры физической химии Московского государственного института стали и сплавов, заслуженный деятель науки и техники РФ. Область научных интересов – термодинамика, теория некристаллических систем, теория металлов, компьютерное моделирование систем с различным типом химической связи. Автор более 270 научных работ, трех монографий и одного учебника.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 8 , 2 0 0 1