Одномерные отображения: самоподобие, бифуркации и хаос

МАТЕМАТИКА ОДНОМЕРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ: САМОПОДОБИЕ, БИФУРКАЦИИ И ХАОС В. Н. БЕЛЫХ Волжская государственная академия водного транспорта, Нижний Новгород

ONE-DIMENSIONAL MAPS: SELFSIMILARITY, BIFURCATIONS AND CHAOS V. N. BELYKH

One-dimensional maps as an object of the chaos theory are considered. Bifurcations leading to chaos as well as selfsimilarity structures when repeated maps have the same dynamics as original ones are presented. The famous Lorenz strange attractor is discussed. Рассматриваются одномерные отображения как объект теории хаоса. Представлены бифуркации, ведущие к возникновению хаоса, а также самоподобные структуры, когда многократные отображения имеют компоненты с тем же динамическим поведением, что и исходное. Обсуждается странный аттрактор Лоренца.

Одномерные отображения, с которыми мы вкратце познакомились в статье [1], задаются уравнениями х(n + 1) = f (x(n)), 1

1

(1)

1

R , n ∈ Z, х ∈ R . Целые числа n – дискретгде f : R ное время, а последовательностъ х(0), х(1), х(2), … …, х(n), …, рекуррентно вычисляемая с помощью (1), есть траектория, начинающаяся в точке х(0). Напомним также, что при обозначении х(n) = х, х(n + 1) = x уравнение (1) записывают в виде x = f(х),

х ∈ R1,

(2)

или, как это принято в анализе, в форме х

f(x).

Основные траектории отображения f суть неподвижные точки, определенные уравнением x = f(x),

(3)

и периодические траектории с периодом k, задаваемые соотношениями х(1) = f(х(0)), x(2) = f(x(1)), …, xk = f(xk − 1) = x(0), x(i) # x( j ), i # j. Эти периодические траектории будем называть k-циклами. Пусть (3) имеет решение х*, то есть f имеет неподвижную точку х*. При переносе начала координат в эту точку (х = х* + u) отображение (2) в малой окрестности x* (при малых u) записывается в виде u = qu + …, q = f '(x*), и мы получаем критерий устойчивости неподвижной точки (см. [1]): если производная f '(x*) удовлетворяет неравенству

© Белых В.Н., 2004

| f '(x*) | < 1,

106

(4)

то неподвижная точка устойчива, а при обратном неравенстве неустойчива. Пусть теперь f имеет k-цикл, каждая точка которого, очевидно, является неподвижной k f ( x ) = f ( f ( … ( x ) )… ) . Тогда, для отображения x

journal.issep.rssi.ru

k

k

вычисляя производную сложной функции и применяя

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4

МАТЕМАТИКА к f k критерий (4), для исходного отображения получаем критерий устойчивости k-цикла | f '(x(1)) ⋅ f '(x(2)) ⋅ … ⋅ f '(x(k)) | < 1

(5)

и критерий неустойчивости при обратном неравенстве. Отображение последования Пуанкаре по траекториям дифференциальных уравнений некоторой секущей в себя (см. конец статьи [1]) удовлетворяет условию взаимной однозначности (обратимости), поскольку попасть из нескольких точек в одну запрещает теорема единственности Коши. Это обстоятельство явилось причиной долговременного игнорирования необратимых отображений, и в первую очередь одномерных. Обратимые одномерные отображения не могут иметь k-циклов и обладают простой динамикой с устойчивыми и неустойчивыми неподвижными точками (см. [1]). Впрочем, необратимые отображения задолго до появления теории динамического хаоса были объектом эргодической теории. Но теоремы об эргодичности для таких объектов, как, например, тентовое отображение отрезка 1 x = 1 + ( 2x – 1 )sign  --- – x , 2 

х ∈ [0, 1],

то есть по существу теоремы о хаосе, долгое время оставались не замеченными физиками, имевшими дело с дифференциальными уравнениями и, следовательно, с обратимыми отображениями. В 1960-е годы значительно повысился интерес математиков к динамике необратимых отображений. Появился [2] ныне знаменитый порядок А. Шарковского: если непрерывное отображение (2) имеет цикл периода k, то оно имеет циклы всех периодов, определенных числами, стоящими слева от k в ряде 1, 2, 22, …, 2n, …, 7 ⋅ 2е, 5 ⋅ 2e, 3 ⋅ 2e, … …, 7 ⋅ 2, 5 ⋅ 2, 3 ⋅ 2, …, 7, 5, 3. Например, если k = 9, то f имеет циклы всех периодов, кроме, может быть, периодов 7, 5, 3. Построенные в те же годы Я. Синаем [3] марковские разбиения наметили путь сближения эргодической и динамической теорий. Физики обратили внимание на необратимые отображения, когда Д. Рюэль и Ф. Такенс [4] проинтерпретировали сложное хаотическое поведение траекторий системы Лоренца dx ------ = – σx + σy, dt dy ------ = r x – y – xz, dt dz ----- = – βz + xy dt

и ввели понятие странного аттрактора – предельного притягивающего множества траекторий со всеми атрибутами хаотического поведения: отсутствие устойчивых траекторий, эргодичность и перемешивание. В настоящее время поток работ, посвященных необратимым отображениям, не прекращается. Следует отметить, что работы по теории хаоса были в значительной мере инициированы американским математиком С. Смейлом, предложившим обратимое двумерное отображение, обладающее сложной динамикой и называемое сейчас подковой Смейла (Киев, 1961 г.). В настоящей статье мы обсудим основные вопросы сложного динамического поведения для монотонных разрывных и унимодальных ( f имеет одну экстремальную точку) отображений. ПРИМЕРЫ НЕОБРАТИМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В РЕАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ Первый и основной пример – это система Лоренца (6), предложенная Е. Лоренцом в 1963 г. как простейшая модель конвективного движения жидкости. Позднее [5] выяснилось, что система (6) также описывает динамику лазера. Два отображения, моделирующие странный аттрактор Лоренца, были предложены в 1970-е годы. Первое – это двумерное отображение последования секущей S в себя, предложенное В. Афраймовичем, В. Быковым и Л. Шильниковым [5], второе – одномерное необратимое отображение Р. Вильямса [6] одной из координат секущей S, записанное в явной форме К. Робинсоном [7]. Аналогично тому, как это сделано в примере 13 из [1] для двумерного седла, получим явный вид этих отображений. Система (6) в нуле имеет состояние равновесия O(0, 0, 0) типа седло так, что в подходящей системе координат в его малой окрестности U(0) при использовании для новых координат прежних обозначений (6) может быть записана в виде dx ------ = αx, dt dy ------ = – γy, dt dz ----- = – βz dt

(7)

(отброшены все члены степени 2 и выше по х, у, z). Параметры (6)

∆–1–σ α = -------------------------- , 2

∆+1+σ γ = --------------------------- , 2

2

∆ = σ + 2σ ( 2r – 1 ) + 1

Б Е Л Ы Х В . Н . О Д Н О М Е Р Н Ы Е О Т О Б РА Ж Е Н И Я : С А М О П О Д О Б И Е , Б И ФУ Р К А Ц И И И Х А О С

107

МАТЕМАТИКА и β предполагаются удовлетворяющими неравенствам α > γ > β > 0. Заметим, что новые координаты (х, у) в ( σ + α )x (7) – это координаты вдоль прямых y = --------------------- и σ ( σ – γ )x y = – -------------------- для исходных координат в (6), а коордиσ ната z в (7) та же, что и в (6). Переменные в системе (7) разделены, и она легко интегрируется:

симметричных относительно l точек в D1 и D2), получаем граничные условия −b = x(0)eατ,

b = x(0)eατ,

x(0) < 0;

y(τ) = y(0)e−γτ ;

x(0) > 0;

z(τ) = a ⋅ e−βτ.

Тогда, выражая из них время перехода τ = α−1 ⋅ ln(b × × |х(0)| −1) и подставляя его в выражение y(τ) и z(τ), получаем явный вид отображения Т y(τ) = b−γ/α ⋅ |x(0)| γ/αy(0),

αt

x ( t ) = x ( 0 )e , – γt

(8)

y ( t ) = y ( 0 )e , – βt

z ( t ) = z ( 0 )e . Из (8) следует, что седло системы (7) O(0, 0, 0) имеет неустойчивую сепаратрису W u (у = z = 0) – ось х и устойчивую двумерную сепаратрисную поверхность W s (х = 0) – плоскость (у, z). В качестве секущей выберем прямоугольник D (z = а = const > 0, |x|
b, |у|
с) (рис. 1), который делится пополам на прямоугольники D1 и D2 линией l = W s ∩ D, то есть линией пересечения устойчивой сепаратрисной поверхности W s с секущей D. Рассмотрим отображение Т секущей D в прямоугольники Q1 (х = −b, |y|
с, 0
z
а), Q2 (х = b, |y|
с, 0
z
а). Это отображение делится на две компоненты Q1 и T2 : D2 Q2 . Предполагая, что прямоТ1 : D1 угольники D, D1 , D2 расположены в малой окрестности U(0) седла О(0, 0, 0), получаем, что отображения T1 и Т2 индуцируются траекториями системы (7), заданными формулами (8). Построим эти отображения. Из (8) и того, что (х(0), y(0)) ∈ D1, 2 и (х(τ), у(τ)) ∈ Q1, 2 , где τ – время перехода от D1 к Q1 и D2 к Q2 (оно одинаково для

z(τ) = a ⋅ b−β/α ⋅ |x(0)| β/α.

(9)

Возврат точек прямоугольников Q1, 2 на секущую D по траекториям исходной системы (6) происходит по глобальному куску (см. рис. 1). Поскольку эти траектории не имеют особенностей (они не проходят около седел), отображение последования L2 : Q2 D может быть представлено в простейшем линейном виде x = – µ + q 1 z ( τ ),

( x, y ) ∈ D,

(10)

( y ( τ ), z ( τ ) ) ∈ Q2 .

y = ρ + q 2y(τ),

Такое представление означает, что L2 кладет Q2 на D, поворачивая его на 3π/2, сжимает координаты в q1 и q2 раз и смещает их на постоянные величины −µ < 0 и ρ > 0. При этом в силу осевой (относительно z) симметрии (6) отображение L1 : Q1 D должно быть записано в виде x = µ – q 1z(τ), y = – ρ + q 2 y ( τ ),

( x, y ) ∈ D,

(11)

( y ( τ ), z ( τ ) ) ∈ Q1 .

Композиция отображений T1, 2 и L1, 2 дает отображение последования Пуанкаре секущей D в себя ( x, y ) = P( x, y ), где (х, у) = (х(0), у(0)), а отображение Р записывается в виде

W 1u

W 2u D

P=

l

L2

D1 M 1

M2

D2

L1 T1 ,

x < 0,

L2 T2 ,

x > 0.

Явный вид отображения Р получается подстановкой (9) в (10) и (11), то есть Р задается формулами

T1

L1

ν

x = ( – µ + A x )sign x,

T2

d

(12)

y = ρ sign x + B x y, где

Q1

A = q 1a b

z y Q2 x Рис. 1. Схема построения отображения Пуанкаре секущей D в себя по траекториям системы Лоренца

108

–β ⁄ α

,

B = q 2b

–γ ⁄ α

,

β ν = --- < 1, α

γ d = ---. α

Из (12) видно, что это двумерное отображение взаимно однозначно всюду на D, кроме особенности х = 0: точки линии l (х = 0, |у|
с, z = а) по траекториям на W s стремятся к седлу и по доопределению l переходит в две u точки М1 и М2 по двум сепаратрисам W1, 2 (см. рис. 1)

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4

МАТЕМАТИКА после седла, то есть оно считается “проколотым”. Полученное двумерное отображение (12) является частным случаем отображения, рассмотренного в [5]. Прямоугольники D1 и D2 переводятся в клиновидные области так, что вдоль y происходит сжатие, а вдоль х для некоторой полосы |x| < х0 – растяжение (из-за ν < 1). Кроме того, преобразование х в (12) происходит независимо от у, то есть задается одномерным необратимым (!) отображением. Вид этого нелинейного отображения похож на вид кусочно-линейного отображения x = qx − d × × signx (см. пример 12 и рис. 7, б в [1]), и понятно, что отображение Р, моделирующее систему Лоренца, имеет притягивающее множество без устойчивых траекторий. Отбрасывание преобразования координаты у в (12) есть сущность сведения задачи об аттракторе Лоренца к необратимому одномерному отображению, приведенного в [6, 7]. В качестве второго примера можно привести двумерное отображение [8] x = x + y + a g (x),

ка, соответствующая рождению двух неподвижных точек – неустойчивой x *1 и устойчивой x *2 . Рассмотрим второй случай f '(x*) = −1 для модельного одномерного отображения с параметром µ x = −(1 + µ)x + x3 ≡ f−1(x, µ).

(14)

Отображение f−1 имеет неподвижную точку x 0* = 0 с производной в ней f '–1 ( 0 ) = – ( 1 + µ ). Следовательно, при µ = 0 происходит бифуркация: точка x *0 меняет устойчивость, так как при µ < 0 она устойчива, а при µ > 0 неустойчива. Однако это не всё. Рассмотрим существование в окрестности нуля цикла периода 2, обе точки которого являются неподвижными для двукрат2

ного отображения x = f –1 ( x, µ ) = f –1 ( f –1 ( x, µ ) ). Урав2

которое при λ = 1, g(х) = sinх есть отображение Б. Чирикова, возникшее из теории ускорения заряженных частиц, а при λ < 1 служит моделью системы автоподстройки частоты генератора. Это отображение обратимо, но предельный переход λ 0 приводит его (при больших а) к необратимому одномерному отображению x = x + ag(x). К другим примерам, когда в “хороших” задачах возникают необратимые одномерные отображения, следует отнести краевые задачи для гиперболических дифференциальных уравнений.

2

движной точки x = f –1 ( x, µ ) переписывается в виде –1

–1

f –1 ( x, µ ) = f –1 ( x, µ ) ( f –1 – обратная функция), что означает, что точки 2-цикла симметричны относительно биссектрисы на плоскости ( x, x ). Тогда, учитывая, что функция f−1(x, µ) нечетна, получаем, что точки 2-цикла суть пересечение функции f−1(х, µ) с прямой x = – x и, следовательно, определяются уравнением −х = −(1 + + µ)х + х3. Это уравнение имеет три корня: x0 = 0, соответствующий неподвижной точке, которая может считаться вырожденным циклом любого периода, x 1 = µ,

ПРОСТЫЕ БИФУРКАЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Бифуркации, то есть качественные изменения динамического поведения одномерных отображений (см. [1], примеры 2, 5–8 бифуркаций в дифференциальных уравнениях), в первую очередь связаны с изменением характера устойчивости неподвижных точек и k-циклов. Рассмотрим бифуркации неподвижных точек х* одномерного отображения (2), определенных решениями уравнения (3). Из критерия (4) следует, что неподвижная точка х* меняет устойчивость (при изменении f ), когда f '(x*) = ±1. Для первого случая f '(х*) = 1 рассмотрим модельное отображение, зависящее от параметра µ,

2

f '1 ( x *2 ) = 1 – 2 µ < 1, µ = 0 есть бифуркационная точ-

нение (3) для f –1 ( x, µ ), то есть уравнение для непо-

y = λ ( y + a g ( x ) ),

x = −µ + x + x2 ≡ f1(x, µ).

x *1, 2 = ± µ. Поскольку f 1' ( x 0* ) = 1, f 1' ( x 1* ) = 1 + 2 µ > 1,

(13)

Уравнение (3) для f1 имеет вид х − µ = 0 и, следовательно, при µ < 0 неподвижных точек нет, а при µ = 0 существует одна двукратная x *0 = 0, при µ > 0 – две

x 2 = – µ – точки 2-цикла, существующие при µ > 0, сливающиеся при µ = 0 и исчезающие при µ < 0. В силу 2

критерия (5), поскольку f '–1 ( x 1 ) ⋅ f '–1 ( x 2 ) = ( – 1 + 2µ ) < < 1, 2-цикл устойчив. Таким образом, при µ = 0 происходит бифуркация, при которой неподвижная точка ( x *0 = 0) теряет устойчивость и из нее рождается устойчивый 2-цикл. Это бифуркация удвоения периода. Хотя отображения (13), (14) представлены как модельные, они являются отображениями общего вида, то есть нормальными формами, и рассмотренные бифуркации есть бифуркации общего положения, то есть бифуркации, при которых происходит переход от одной фазовой картины к другой, а не к нескольким. САМОПОДОБИЕ ИЛИ УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ФЕЙГЕНБАУМА Рассмотрим гладкое одномерное отображение g: R1 R1, y = g ( y ), и пусть оно имеет неподвижную

Б Е Л Ы Х В . Н . О Д Н О М Е Р Н Ы Е О Т О Б РА Ж Е Н И Я : С А М О П О Д О Б И Е , Б И ФУ Р К А Ц И И И Х А О С

109

МАТЕМАТИКА точку у* такую, что в ее окрестности существует точка у0 с производной в ней, равной −1: y* = g(у*),

g'(y0) = −1,

|y* − y0 | < δ.

Согласно предыдущему разделу, одномерное отображение g(у) близко к бифуркации удвоения периода. Предположим, что вторая производная g"(у) # 0 на некотором интервале I0 = {|у − у*|
d}, d > δ. Используя разложение g(у) в ряд в точке y0 2

g " ( y0 ) ( y – y0 ) g ( y ) = g ( y 0 ) + g ' ( y 0 ) ( y – y 0 ) + -----------------------------------+… 2 2x и делая замену переменной y – y 0 = – ---------------, приходим g " ( y0 ) к отображению x = M(y0) − x − x2 + o(x3). При малой третьей производной на I0 коэффициент M(y0) = g " ( y0 ) ( y0 – g ( y0 ) ) - может быть приближенно пред= -------------------------------------------2 ставлен в виде 2 1 g " ( y* )η M( y 0 ) = --- g " ( y* ) 1 – g ' ( y* )η – ---------------------2 2

(15)

при η = у0 − у*, |η|  1. Подставляя в (15) η, получаемое из тождества −1 = g'(y0)
g'(у*) + g"(у*) ⋅ η, приходим к приближенному значению ( g ' ( y* ) + 1 ) ( g ' ( y* ) – 3 ) M( y 0 ) ≅ µ ≡ ------------------------------------------------------------ , 4

(16)

а вместе с тем и к окончательному укороченному отображению f: R1 R1 2

x = µ − х − х ≡ f(х, µ).

(17)

Прямая замена переменной у при переходе от g к f имеет вид [ 1 + g ' ( y* ) + 2x ] y = y* – ------------------------------------------ . g " ( y* )

(18)

Заметим, что одномерное отображение (17) с помощью (16) может быть преобразовано в логистическое одно(r + 1)(r – 3) мерное отображение x rx(1 − x) с µ = ---------------------------------, 4 которое используется в экологических и экономических задачах как модель роста с ограничением. Логистическое отображение имеет сложное множество бифуркаций на интервале r ∈ [3, 4], следовательно, 5 и наше одномерное отображение при µ ∈ 0, --- имеет 4 такое же множество. Рассмотрим его часть. При µ = −1 рождаются две неподвижные точки x 1*, 2 = – 1 ± 1 + µ ( f(−1, −1) = −1, f '(−1, −1) = 1). При µ = 0 происходит первая бифуркация удвоения ( f(0, 0) = 0, f '(0, 0) = −1),

110

то есть из точки x 1* рождается 2-цикл ( µ, – µ ). 1 При µ = --- происходит вторая бифуркация удвоения, 2 1 то есть из 2-цикла рождаются два 4-цикла  f '  µ, --- ×   2 1 × f '  – µ, --- = – 1 . С ростом µ устойчивый 4-цикл те  2 ряет устойчивость и рождаются два 8-цикла и т.д. Теперь представим простую процедуру, позволяющую создать (приближенно) бифуркационное множество одномерного отображения f. Рассмотрим одномерное отображение f 2 как исходное отображение g(у): y = µ − (µ − y − y2) − (µ − y − y2)2.

(19)

Используя для (19) преобразование координат (18), получаем укороченное отображение x = µ' − x − x2,

µ' = 4µ2 − 1,

(20)

идентичное исходному одномерному отображению (17) только с другим параметром µ'. Мы получили самоподобие по параметру. Действительно, увеличение µ' от 0 1 до --- влечет переход от первой бифуркации удвоения 2 ко второй одномерного отображения (20). Но поскольку одномерное отображение (20) есть укороченное отображение для f 2 для исходного одномерного отображе1 ния f (17), получаем переход по µ от --- к 2

3 --- (корень 8

1 2 уравнения --- = 4µ – 1 ), соответствующий переходу от 2 бифуркации 4-цикла к бифуркации 8-цикла. Следовательно, мы получили (приближенно) реккурентное соотношение для бифуркационных значений параметра µ, соответствующих последовательному удвоению периода циклов: 1 + µ(n – 1) µ ( n ) = ---------------------------------- . 2

(21)

Для µ(0) = −1 и n = 1, 2, … это уравнение дает последо1 3 вательность бифуркаций удвоения периода 0, ---, --- , … 2 8 1 + 17 с предельной точкой µ ( ∞ ) = ------------------- ≅ 0 ,6404 (µ(∞) – 8 приближенное значение, отличающееся от значения, полученного численно, менее чем на 0,3%). Заметим, что при µ(0) = µk , где µk – бифуркация k-цикла (k = 1, 2, 3, …), итерационная последовательность (21) дает бифуркации циклов с периодом k ⋅ 2n. Предельное значение µ(∞) соответствует самоподобию самого отображения

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4

МАТЕМАТИКА Такая последовательность обладает интересными универсальными свойствами (универсальность Фейгенбаума), наблюдающимися при численном эксперименте не только в классе одномерных отображений, но и в многомерных динамических системах. В различного рода приложениях последовательность удвоения периода считается одним из основных механизмов перехода к хаосу, поскольку в пределе µ(∞) мы имеем дело с устойчивым циклом бесконечного периода 2∞ и набором неустойчивых циклов всех периодов 2n, n = 1, 2, …, существующих по теореме Шарковского.

x 2,0 1,5 1,0 0,5 0 –0,5 –1,0

ЛИТЕРАТУРА

–1,5

1. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. № 1. С. 115–121.

–2,0 –2,5

2. Шарковский А.Н. // Укр. мат. журн. 1964. Т. 10, № 1. С. 61–76. 0

0,2

0,4

0,6 µ

0,8

1,0

1,2

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма отображения х µ − х − х2

и, следовательно, самоподобию предельного множества одномерного отображения f. Рисунок 2 иллюстрирует бифуркационную диаграмму отображения (17), то есть зависимость координат х (амплитуд) периодических и почти-периодических траекторий от параметра µ. Предельному значению µ(∞) соответствует уменьшение ширины “петель”, определенных координатами циклов периода 2k, до нуля. Самоподобие можно наблюдать переходом к точке 1 рождения 4-цикла µ = --- , после которой появляются 2 две ветви, каждая из которых подобна исходной, стартующей в нуле. Последовательность типа (21) была открыта М. Фейгенбаумом [9, 3] с помощью ренорм-группового анализа и изучалась в серьезных математических работах.

3. Синай Я.Г. // Функцион. анализ и его прил. 1968. Т. 2, № 1. С. 64–89. 4. Ruelle D.F., Takens F. // Communs Math. Phys.1971. Vol. 20, № 3. P. 167–192. 5. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. // Тр. Моск. матем. об-ва. 1982. Т. 44. С. 180–212. 6. Williams R. // Publ. Math. IHES. 1979. Vol. 5. P. 321–347. 7. Robinson C. // Nonlinearity. 1989. № 2. P. 495–518. 8. Белых В.Н. // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 3. С. 3–18. 9. Feigenbaum M.J. // J. Stat. Phys. 1978. Vol. 19. P. 25.

Рецензент статьи Л.И. Маневич *** Владимир Николаевич Белых – доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математики Волжской государственной академии водного транспорта (Нижний Новгород), лауреат премии Ленинского комсомола 1974 г., заслуженный деятель науки РФ. Автор более 200 научных работ, трех монографий по теории динамических систем.

Б Е Л Ы Х В . Н . О Д Н О М Е Р Н Ы Е О Т О Б РА Ж Е Н И Я : С А М О П О Д О Б И Е , Б И ФУ Р К А Ц И И И Х А О С

111