arXiv:0808.1395v1 [math.GT] 10 Aug 2008
ÀË ÅÁ ÀÈ×ÅÑÊÀß ÒÎÏÎËÎ Èß Ñ ÝËÅÌÅÍÒÀ ÍÎÉ ÒÎ×ÊÈ Ç ÅÍÈß
À. Ñêîïåíêîâ
1
2 3
Ab...
111 downloads
256 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
arXiv:0808.1395v1 [math.GT] 10 Aug 2008
ÀË ÅÁ ÀÈ×ÅÑÊÀß ÒÎÏÎËÎ Èß Ñ ÝËÅÌÅÍÒÀ ÍÎÉ ÒÎ×ÊÈ Ç ÅÍÈß
À. Ñêîïåíêîâ
1
2 3
Abstra t. This book is purely expositional and is in Russian. It is shown how in the ourse of solution of interesting geometri problems ( lose to appli ations) naturally appear main notions of algebrai topology (homology groups, obstru tions and invariants,
hara teristi lasses). Thus main ideas of algebrai topology are presented with minimum te hni alities. Familiarity of a reader with basi notions of topology (su h as 2-dimensional manifolds and ve tor elds) is desirable, although de nitions are given at the beginning. The book is a
essible to undergraduates and ould also be an interesting easy reading for mature mathemati ians.
1 Èçä-âî
ÌÖÍÌÎ, Ìîñêâà, â ïå÷àòè. Âûëîæåíî íà http://arxiv.org/ ñ ðàçðåøåíèÿ èçäàòåëüñòâà. Àâòîð ïðèíîñèò èçâèíåíèÿ çà íåäîñòàòêè òåêóùåé âåðñèè. 2 http://dfgm.math.msu.su/people/skopenkov/papers .ps 3 ×àñòè÷íî ïîääåðæàí îññèéñêèì Ôîíäîì Ôóíäàìåíòàëüíûõ Èññëåäîâàíèé, ðàíòû íîìåð 07-01-00648a è 06-01-72551-NCNILa, ðàíòîì Ïðåçèäåíòà Ô ÌÄ4729.2007.1, à òàêæå ñòèïåíäèåé Ï. Äåëèíÿ, îñíîâàííîé íà åãî Ïðåìèè Áàëüçàíà 2004 ãîäà. 1
Ïîñâÿùàåòñÿ ïàìÿòè Þðèÿ Ïåòðîâè÷à Ñîëîâüåâà Î ËÀÂËÅÍÈÅ Ââåäåíèå.
Áëàãîäàðíîñòè.
Çà÷åì. Ñîäåðæàíèå è èñïîëüçóåìûé ìàòåðèàë. Äëÿ çíàòîêîâ.
ËÀÂÀ 1. ðà û è ìàëîìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ.
Îïðåäåëåíèå ãðà à. Íàãëÿäíûå çàäà÷è. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ãðà îâ. Èçîìîð íîñòü è ãîìåîìîð íîñòü ãðà îâ. Óòîëùåíèÿ ãðà îâ. åàëèçóåìîñòü èåðîãëè îâ. Òîïîëîãè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü äèñêîâ ñ ëåíòî÷êàìè. Äèñêè ñ ïåðåêðó÷åííûìè ëåíòî÷êàìè. Îðèåíòèðóåìûå óòîëùåíèÿ ãðà îâ. Ïðîèçâîëüíûå óòîëùåíèÿ ãðà îâ. Ïëàíàðíîñòü è ðîä óòîëùåíèé è ãðà îâ. Îïðåäåëåíèå äâó- è òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû äâóìåðíûõ ïîëèýäðîâ. Îïðåäåëåíèå è èíâàðèàíòû äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé. Êëàññè èêàöèÿ äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé. Äîïîëíåíèå: äðóãèå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé. ðà û.
ËÀÂÀ 2. Îðèåíòèðóåìîñòü. Îðèåíòèðóåìîñòü. Îðèåíòèðóåìîñòü 2-ìíîãîîáðàçèé. Ôîðìà ïåðåñå÷åíèé. Îðèåíòèðóåìîñòü è êëàññè èêàöèÿ óòîëùåíèé. Èíâîëþöèè. Ïðèìåðû èíâîëþöèé. Êëàññè èêàöèÿ èíâîëþöèé. Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû êëàññè èêàöèè èíâîëþöèé. Òðåõìåðíûå óòîëùåíèÿ äâóìåðíûõ ïîëèýäðîâ. Âëîæèìîñòü 2-ïîëèýäðîâ â R3 . Óòîëùàåìîñòü 2-ïîëèýäðîâ äî 3-ìíîãîîáðàçèé. Ëîæíûå ïîâåðõíîñòè. Êðèòåðèè óòîëùàåìîñòè ëîæíûõ ïîâåðõíîñòåé. Êëàññè èêàöèÿ 3-óòîëùåíèé ëîæíûõ ïîâåðõíîñòåé. 3-óòîëùåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ 2-ïîëèýäðîâ. ËÀÂÀ 3. Âåêòîðíûå ïîëÿ è èõ ñèñòåìû.
Îïðåäåëåíèÿ, ïðèìåðû è îñíîâíûå ðåçóëüòàòû. Êàñàòåëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ: îáùåå ïîëîæåíèå. Êàñàòåëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ: òðèàíãóëÿöèè. Íîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ. Êëàññè èêàöèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé è ñå÷åíèé. Êëàññè èêàöèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé. Êëàññè èêàöèÿ ñå÷åíèé è çåé åðòîâûõ ñå÷åíèé. Ïðèëîæåíèå: ïðèìåíåíèå ê ãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì. Ñèñòåìû âåêòîðíûõ ïîëåé. Ââåäåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû äëÿ 3ìíîãîîáðàçèé. Íàáðîñîê ïðîñòîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Øòè åëÿ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû äëÿ n-ìíîãîîáðàçèé. Âåêòîðíûå ïîëÿ.
ËÀÂÀ 4. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ãîìîëîãèé. Ïðîñòåéøèå ìåòîäû (íàáðîñîê). Îïðåäåëåíèÿ. Âû÷èñëåíèå ïî îïðåäåëåíèþ. îìîëîãèè ïàðû. Âûðåçàíèå. Òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äâîéñòâåííîñòü Ïóàíêàðå. Ïðîñòàÿ ÷àñòü. Ñëîæíàÿ ÷àñòü ïî ìîäóëþ 2. Ñëîæíàÿ ÷àñòü ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè (íàáðîñîê). åàëèçàöèÿ öèêëîâ ïîäìíîãîîáðàçèÿìè (íàáðîñîê). Äâîéñòâåííîñòü Àëåêñàíäåðà-Ïîíòðÿãèíà. Êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ. Äâîéñòâåííîñòü Àëåêñàíäåðà-Ïîíòðÿãèíà. Ïðèìåíåíèÿ äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà. ËÀÂÀ 5. Ïðèëîæåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ. Ââåäåíèå è îñíîâíûå ðåçóëüòàòû. Âëîæèìîñòü è ïîãðóæàåìîñòü ìíîãîîáðàçèé.
æèìîñòè. Íîðìàëüíûå êëàññû Óèòíè.
2
Ïðåïÿòñòâèå Óèòíè ê âëî-
Âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ. Ïðîñòåéøèå ðàññëîåíèÿ. Âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ. Ñòåïåíè äâîéêè è êëàññû Øòè åëÿ-Óèòíè (íàáðîñîê). Êëàññè èêàöèÿ ðàññëîåíèé. Ïðåïÿòñòâèÿ ê êîáîðäàíòíîñòè. ×èñëà Ýéëåðà è Øòè åëÿ-Óèòíè. Ñèãíàòóðà è ÷èñëà Ïîíòðÿãèíà (íàáðîñîê). ËÀÂÀ 6. îìîòîïè÷åñêàÿ êëàññè èêàöèÿ îòîáðàæåíèé.
Òåîðåìà Õîï à. Îïðåäåëåíèÿ è èñòîðè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ. Îñíîâíàÿ òåîðåìà òîïîëîãèè (íàáðîñîê). Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà è íàêðûòèÿ (íàáðîñîê). Îòîáðàæåíèÿ ãðà à â îêðóæíîñòü. Îòîáðàæåíèÿ 2-ìíîãîîáðàçèÿ â îêðóæíîñòü. Îòîáðàæåíèÿ ãðà à â ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî. Ýêâèâàðèàíòíûå îòîáðàæåíèÿ ãðà à. Îòîáðàæåíèÿ ïîëèýäðà â ñ åðó òîé æå ðàçìåðíîñòè. Îáîáùåíèÿ òåîðåìû Õîï à (íàáðîñîê). Îòîáðàæåíèÿ òðåõìåðíîãî ïîëèýäðà â äâóìåðíóþ ñ åðó. Îòîáðàæåíèÿ ïîëèýäðà â ñ åðó ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè. Îòîáðàæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâà Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà. ËÀÂÀ 7. Âëîæåíèÿ â ïëîñêîñòü.
Ââåäåíèå. Àïïðîêñèìàöèÿ ïóòåé âëîæåíèÿìè. Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè ïóòè âëîæåíèÿìè. Äðóãîå ïîñòðîåíèå ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè. Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê ïëàíàðíîñòè ãðà îâ. Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê ðàñïðîåêòèðóåìîñòè. Ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà.
Èíâàðèàíò Âó âëîæåíèé ãðà îâ â ïëîñêîñòü.
Ïðåïÿòñòâèå âçðåçàííîãî êâàäðàòà ê ïëàíàðíîñòè ãðà îâ. Òåîðåìà Ìóðà î òðèîäàõ è ïðèìåð íåïëàíàðíîãî áåñêîíå÷íîãî äåðåâà. Ïðåïÿòñòâèå âçðåçàííîãî êâàäðàòà ê ïëàíàðíîñòè êîìïàêòîâ. Êîí èãóðàöèîííûå ïðîñòðàíñòâà è ïëàíàðíîñòü.
ËÀÂÀ 8. Âëîæåíèÿ è çàóçëèâàíèÿ (ïðèëîæåíèå).
Ââåäåíèå: ïðîáëåìû âëîæèìîñòè è çàóçëèâàíèÿ. Îáùåå ïîëîæåíèå. Èäåÿ äîïîëíåíèÿ. Èíâàðèàíò äîïîëíåíèÿ äëÿ óçëîâ â êîðàçìåðíîñòè 1 è 2. Îáùèé èíâàðèàíò äîïîëíåíèÿ. Îáùèé èíâàðèàíò îêðåñòíîñòè. Êîìáèíàöèÿ èíâàðèàíòîâ äîïîëíåíèÿ è îêðåñòíîñòè. Ëèòåðàòóðà.
3
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Nothing was hanged, but now it made sense. U. K. Le Guin, The Beginning Pla e. 4 Çà÷åì ýòà êíèãà.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ ÿâëÿåòñÿ óíäàìåíòàëüíîé ÷àñòüþ ìàòåìàòèêè è èìååò ïðèìåíåíèÿ çà åå ïðåäåëàìè. Êàê è äëÿ ëþáîé óíäàìåíòàëüíîé ÷àñòè íàóêè, åå îñíîâíûå ìîòèâèðîâêè è èäåè ìîæíî äîñòóïíî èçëîæèòü ÷åëîâåêó, íå èìåþùåìó ãëóáîêèõ ñïåöèàëüíûõ ïîçíàíèé. Òàêîìó èçëîæåíèþ ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ êíèãà (âìåñòå ñ [ST04℄, [BE82℄, [Fo92℄, [Pr95℄, [An03℄ è, âîçìîæíî, äðóãèìè êíèãàìè). Åå îñîáåííîñòü âîçìîæíîñòè ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ýòèìè ìîòèâèðîâêàìè è èäåÿìè ïðè ñâåäåíèè ê íåîáõîäèìîìó ìèíèìóìó ÿçûêà. Äåìîíñòðèðóÿ îñíîâíûå èäåè íà ïðîñòåéøèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, ñâîáîäíûõ îò òåõíè÷åñêèõ äåòàëåé, ÿ íàäåþñü ñäåëàòü àëãåáðàè÷åñêóþ òîïîëîãèþ áîëåå äîñòóïíîé íåñïåöèàëèñòàì (â ïåðâóþ î÷åðåäü ñòóäåíòàì). Ïðîöåññ ïîÿâëåíèÿ ïîëåçíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïîíÿòèé ïðîäåìîíñòðèðîâàí íà ïðèìåðå íàèáîëåå íàãëÿäíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ çàäà÷ (î âëîæåíèÿõ ãðà îâ â ïëîñêîñòü, î ïîñòðîåíèè è êëàññè èêàöèè âåêòîðíûõ ïîëåé, ïîãðóæåíèé è âëîæåíèé, î ãîìîòîïè÷åñêîé êëàññè èêàöèè íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé). 5 Òàêîå èçëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ íå íîâîââåäåíèåì, à, íàïðîòèâ, âîçâðàùåíèåì ê ïîäõîäó ïåðâîîòêðûâàòåëåé (êîòîðîå, âïðî÷åì, àâòîðó îáû÷íî ïðèõîäèëîñü ñíà÷àëà ïåðåîòêðûâàòü è ëèøü ïîòîì óáåæäàòüñÿ, ÷òî êëàññèêè ðàññóæäàëè òàê æå). Òàêîå èçëîæåíèå áûëî îáû÷íûì â 'äîáóðáàêèñòñêèé' ïåðèîä [ST04℄, [CL95℄. Èçëîæåíèå 'îò ïðîñòîãî ê ñëîæíîìó' è â îðìå, áëèçêîé ê îðìå ðîæäåíèÿ ìàòåðèàëà, ïðîäîëæàåò óñòíóþ òðàäèöèþ, âîñõîäÿùóþ ê Ëàî Öçû è Ïëàòîíó, ïîëîæåííóþ åãåëåì â îñíîâó èçëîæåíèÿ èëîñî èè, à â ñîâðåìåííîì ïðåïîäàâàíèè ìàòåìàòèêè ïðåäñòàâëåííóþ, íàïðèìåð, êíèãàìè Ïîéà è æóðíàëîì 'Êâàíò'. Âñëåä çà êëàññèêàìè, ÿ îðèåíòèðóþñü íà îáúåêòû, êîòîðûå îñíîâàòåëüíåå âñåãî óêîðåíÿþòñÿ â ïàìÿòè (èëè ïîäñîçíàíèè). Ýòî îòíþäü íå ñèñòåìû àêñèîì è íå îðìàëüíî-ëîãè÷åñêèå ñõåìû äîêàçàòåëüñòâ, à åñòåñòâåííûå ïîñòðîåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ èíòåðåñíûõ ïðîáëåì èëè èçÿùíûå äîêàçàòåëüñòâà êðàñèâûõ òåîðåì, îðìóëèðîâêè êîòîðûõ ÿñíû è äîñòóïíû. Áîëåå òîãî, èìåííî ïî òàêèì ïîñòðîåíèÿì è äîêàçàòåëüñòâàì, ïðè íàëè÷èè íåêîòîðîé ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû, ÷èòàòåëü ñìîæåò âîññòàíîâèòü áîëåå àáñòðàêòíûé òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë. Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ îñíîâàíà íà ñëåäóþùåé ïðîñòîé èäåå, ÷àñòî âñòðå÷àþùåéñÿ ïðè ðåøåíèè øêîëüíûõ (â ÷àñòíîñòè îëèìïèàäíûõ) çàäà÷: íåâîçìîæíîñòü ïðîäåëàòü íåêîòîðóþ êîíñòðóêöèþ ìîæíî äîêàçûâàòü ïóòåì ïîñòðîåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ïðåïÿòñòâèÿ (èëè èíâàðèàíòà) íàïðèìåð, èç ñîîáðàæåíèé ÷åòíîñòè. Òî÷íî òàê æå íåýêâèâàëåíòíîñòü êîíñòðóêöèé ÷àñòî äîêàçûâàåòñÿ ïóòåì ïîñòðîåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî èíâàðèàíòà, èõ ðàçëè÷àþùåãî (ýòîò èíâàðèàíò ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì ê ýêâèâàëåíòíîñòè). Ìíîãèå íåïîõîæèå äðóã íà äðóãà çàäà÷è òîïîëîãèè àíàëîãè÷íûì îáðàçîì åñòåñòâåííî ïðèâîäÿò ê ïîõîæèì äðóã íà äðóãà ïðåïÿòñòâèÿì. Èìåííî âåòâè àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííîé ñ òåîðèåé ãîìîëîãèé è òåîðèåé ïðåïÿòñòâèé, ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ êíèãà. 4 Íè÷åãî
íå èçìåíèëîñü, íî òåïåðü âñå áûëî ïîíÿòíî. Ó. Ê. Ëå óèí, Èçíà÷àëüíîå ìåñòî (ïåð. àâòîðà). 5 Çàìå÷ó, ÷òî âàæíåéøèå ãåîìåòðè÷åñêèå ïðîáëåìû, ðàäè êîòîðûõ áûëà ñîçäàíà àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü áûëè ìîòèâèðîâàíû ïðåäûäóùèì ðàçâèòèåì ìàòåìàòèêè (ïðåæäå âñåãî àíàëèçà è àëãåáðû). Ìîòèâèðîâàòü ýòè ãåîìåòðè÷åñêèå çàäà÷è íå âõîäèò â öåëè íàñòîÿùåé êíèãè. ß ëèáî ïðèâîæó ññûëêè, ëèáî àïïåëèðóþ ê íåïîñðåäñòâåííîé ëþáîçíàòåëüíîñòè ÷èòàòåëÿ. 4
Èçëîæåíèå àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè, íà÷èíàþùååñÿ ñ äëèòåëüíîãî îñâîåíèÿ íåìîòèâèðîâàííûõ àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèé è òåîðèé äåëàåò ìàëîäîñòóïíûìè åå çàìå÷àòåëüíûå ïðèìåíåíèÿ. Ïðèâåäó ëèøü îäèí ïðèìåð èç ìíîãèõ. Åùå â 19 âåêå áûë ïðèäóìàí î÷åíü ïðîñòîé, íàãëÿäíûé è ïîëåçíûé èíâàðèàíò ìíîãîîáðàçèé îðìà ïåðåñå÷åíèé (óìíîæåíèå â ãîìîëîãèÿõ ìíîãîîáðàçèé). Çàìå÷àòåëüíûì îòêðûòèåì Êîëìîãîðîâà è Àëåêñàíäåðà 1930-õ ãîäîâ ÿâèëîñü îáîáùåíèå ýòîãî èíâàðèàíòà íà ïðîèçâîëüíûå ïîëèýäðû (óìíîæåíèå â êîãîìîëîãèÿõ). Óìíîæåíèå ÊîëìîãîðîâàÀëåêñàíäåðà ìåíåå íàãëÿäíî è îïðåäåëÿåòñÿ áîëåå ãðîìîçäêî, ÷åì îðìà ïåðåñå÷åíèé (íî çàòî èìååò áîëåå ïðîäâèíóòûå ïðèìåíåíèÿ). Îïðåäåëåíèå îðìû ïåðåñå÷åíèé ÷åðåç óìíîæåíèå Êîëìîãîðîâà-Àëåêñàíäåðà äåëàåò ìàëîäîñòóïíûìè åå çàìå÷àòåëüíûå ïðèìåíåíèÿ (äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîòîðûõ íå òðåáóåòñÿ óìíîæåíèÿ ÊîëìîãîðîâàÀëåêñàíäåðà). Ïîýòîìó îðìó ïåðåñå÷åíèé èíîãäà ïðîñòî ïåðåîòêðûâàþò [Mo89℄. Íàäåþñü, ïðèíÿòûé ñòèëü èçëîæåíèÿ íå òîëüêî ñäåëàåò ìàòåðèàë áîëåå äîñòóïíûì, íî ïîçâîëèò ñèëüíûì ñòóäåíòàì (äëÿ êîòîðûõ äîñòóïíî äàæå àáñòðàêòíîå èçëîæåíèå) ïðèîáðåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé âêóñ ñ òåì, ÷òîáû ðàçóìíî âûáèðàòü ïðîáëåìû äëÿ èññëåäîâàíèÿ, à òàêæå ÿñíî èçëàãàòü ñîáñòâåííûå îòêðûòèÿ, íå ñêðûâàÿ îøèáîê (èëè èçâåñòíîñòè ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà) çà ÷ðåçìåðíûì îðìàëèçìîì. Ê ñîæàëåíèþ, òàêîå (áåññîçíàòåëüíîå) ñîêðûòèå îøèáîê ÷àñòî ïðîèñõîäèò ñ ìîëîäûìè ìàòåìàòèêàìè, âîñïèòàííûìè íà ÷ðåçìåðíî îðìàëüíûõ êóðñàõ (ïðîèñõîäèëî è ñ àâòîðîì ýòèõ ñòðîê; ê ñ÷àñòüþ, ïî÷òè âñå ìîè îøèáêè èñïðàâëÿëèñü ïåðåä ïóáëèêàöèÿìè). ×òåíèå ýòîé êíèãè è ðåøåíèå çàäà÷ ïîòðåáóþò îò ÷èòàòåëÿ óñèëèé, îäíàêî ýòè óñèëèÿ áóäóò ñïîëíà îïðàâäàíû òåì, ÷òî âñëåä çà âåëèêèìè ìàòåìàòèêàìè 20-ãî âåêà â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðîáëåì ÷èòàòåëü îòêðîåò íåêîòîðûå îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè. Íàäåþñü, ýòî ïîìîæåò ÷èòàòåëþ ñîâåðøèòü ñîáñòâåííûå íàñòîëüêî æå ïîëåçíûå îòêðûòèÿ (íå îáÿçàòåëüíî â ìàòåìàòèêå)! Ñîäåðæàíèå è èñïîëüçóåìûé ìàòåðèàë.
Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà â ïåðâóþ î÷åðåäü äëÿ ÷èòàòåëåé, íå âëàäåþùèõ àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèåé (õîòÿ âîçìîæíî, ÷òî ÷àñòü ýòîãî òåêñòà áóäåò èíòåðåñíà è ñïåöèàëèñòàì). Âñå íåîáõîäèìûå àëãåáðàè÷åñêèå îáúåêòû (ñî ñòðàøíûìè íàçâàíèÿìè ãðóïïû ãîìîëîãèé, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû è ò. ä.) åñòåñòâåííî âîçíèêàþò è ñòðîãî îïðåäåëÿþòñÿ â ïðîöåññå èññëåäîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðîáëåì.  áîëüøåé ÷àñòè êíèãè çíàêîìñòâî ñ àëãåáðàè÷åñêèì ïîíÿòèåì ãðóïïû íå îáÿçàòåëüíî, è ýòî ñëîâî ìîæíî âîñïðèíèìàòü êàê ñèíîíèì ñëîâà 'ìíîæåñòâî' (êðîìå òåõ ìåñò, ãäå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå). Äëÿ ÷òåíèÿ áîëüøîé ÷àñòè êíèãè äîñòàòî÷íî ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè è èíòóèòèâíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î äâóìåðíûõ (êîå-ãäå òðåõìåðíûõ) ìíîãîîáðàçèÿõ. Äëÿ óäîáñòâà ÷èòàòåëÿ â ãëàâå 1 ïðèâåäåíû îïðåäåëåíèÿ è èñïîëüçóåìûå ñâîéñòâà ãðà îâ, äâóìåðíûõ è òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé. Çàìåòèì, ÷òî ýòà ãëàâà íè â êîåì ñëó÷àå íå èñ÷åðïûâàåò òåîðèè ýòèõ îáúåêòîâ; õîòÿ îðìàëüíî îíà íå îïèðàåòñÿ íà äðóãèå èñòî÷íèêè, ÷èòàòåëþ ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûì îçíàêîìèòüñÿ ñ áîëåå ïîäðîáíûì èçëîæåíèåì åå ìàòåðèàëà [BE82℄, [MF90℄. Ñîâåðøåííî íå îáÿçàòåëüíî íà÷èíàòü èçó÷åíèå êíèãè ñ ïîëíîãî ïðî÷òåíèÿ ãëàâû 1. Äåéñòâèòåëüíî, áîëüøàÿ ÷àñòü ãëàâû 7 èñïîëüçóåò òîëüêî ãðà û. Òðåõìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî â ïîñëåäíèõ ïàðàãðà àõ ãëàâ 2 è 3, â ïàðàãðà å 'äâîéñòâåííîñòü Ïóàíêàðå' ãëàâû 4 (äëÿ äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé ñîäåðæàíèå ýòîãî ïàðàãðà à ïîêðûâàåòñÿ ïàðàãðà îì ' îðìà ïåðåñå÷åíèé' ãëàâû 2), â ãëàâå 5 è â îòäåëüíûõ ìåñòàõ ãëàâû 6 (êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðîïóùåíû áåç óùåðáà äëÿ ïîíèìàíèÿ ìàòåðèàëà, íå êàñàþùåãîñÿ òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé).  ýòîé êíèãå n-ìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ íå îïðåäåëÿþòñÿ. Èõ îïðåäåëåíèå ëåãêî ïðèäóìàòü ïî àíàëîãèè ñ ïðèâåäåííûì îïðåäåëåíèåì äâóìåðíûõ è òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé. Ìîæíî òàêæå â òåõ ìåñòàõ, ãäå âñòðå÷àþòñÿ n-ìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ, ñ÷èòàòü, ÷òî n = 2, 3 5
(âïðî÷åì, ãëàâà 5 èíòåðåñíà èìåííî äëÿ n > 4). Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû ïî-íàñòîÿùåìó íåçàìåíèìû òîëüêî äëÿ ìíîãîîáðàçèé ðàçìåðíîñòè âûøå òðåõ. Ïîýòîìó íàøå èçëîæåíèå ìàòåðèàëà î âåêòîðíûõ ïîëÿõ íà äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ â ãëàâå 3 ìåíåå íàãëÿäíî è áîëåå àáñòðàêòíî, ÷åì èçëîæåíèå â [BE82℄, [Pr95℄. Äîñòîèíñòâî íàøåãî èçëîæåíèÿ â òîì, ÷òî îíî äàåò áîëåå íåïîñðåäñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå îá îáùèõ ìåòîäàõ, ïðèìåíèìûõ ê ìíîãîìåðíûì ìíîãîîáðàçèÿì. ëàâû 2, 3, 6 è 7 ïðàêòè÷åñêè íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà (âïðî÷åì, â ãëàâå 3 ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðèìåðû, àíàëîãè÷íûå ãëàâå 2, íî â ñðåäíåì áîëåå ñëîæíûå). Íà÷èíàòü èçó÷åíèå êíèãè ìîæíî ñ ëþáîé èç íèõ (ïðè íåîáõîäèìîñòè ïðåäâàðèòåëüíî îçíàêîìèâøèñü ñ íåîáõîäèìûìè ïîíÿòèÿìè ïî ãëàâå 1). Ïðè ýòîì ñëîæíîñòü ìàòåðèàëà (è êîëè÷åñòâî èñïîëüçóåìûõ ïîíÿòèé) âíóòðè êàæäîé ãëàâû ðàñòåò. Ïîýòîìó âïîëíå ðàçóìíî ïåðåõîäèòü ê íîâîé ãëàâå, îòëîæèâ íà ïîòîì èçó÷åíèå êîíöà ñòàðîé. Áîëåå òîãî, ðàçîáðàâ ïî ãëàâàì 2, 3, 6 èëè 7 íåñêîëüêî ïðèìåðîâ, ìîòèâèðóþùèõ ïîíÿòèå ãðóïï ãîìîëîãèé, ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ñ àáñòðàêòíûì èçëîæåíèåì ýòîãî ïîíÿòèÿ â ãëàâå 4. Ïîñëå ýòîãî ðàçóìíî âîçâðàùàòüñÿ ê îòëîæåííîìó ìàòåðèàëó. Ôîðìàëüíî ãëàâà 4 íå çàâèñèò îò ïðåäûäóùèõ ãëàâ. Íî â íåé íåò îòâåòà íà âîïðîñ 'çà÷åì', âàæíîãî äëÿ íà÷àëà èçó÷åíèÿ ëþáîé òåîðèè. Íàèáîëåå áëèñòàòåëüíûå ïðèìåíåíèÿ íåêîòîðîé òåîðèè òåîðåìû, â îðìóëèðîâêàõ êîòîðûõ íåò ïîíÿòèé èç ýòîé òåîðèè (íî ïðè äîêàçàòåëüñòâà êîòîðûõ áåç äàííîé òåîðèè íå îáîéòèñü). Òàêèå ïðèìåíåíèÿ åñòü è ó àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè (â ÷àñòíîñòè, òåîðèè ãîìîëîãèé). Äëÿ óäîáñòâà ÷èòàòåëÿ òàêèå òåîðåìû âûäåëåíû æèðíûì øðè òîì â òåêñòå, â ãëàâå 3 ñîáðàíû â íà÷àëå ïàðàãðà îâ, à â ãëàâå 5 ñîáðàíû â íà÷àëå ãëàâû. Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ òåîðåì ðàçáèâàþòñÿ íà äâà øàãà. Ïåðâûé è îáû÷íî áîëåå ïðîñòîé øàã ïîëó÷åíèå íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ íà ÿçûêå òåîðèè ïðåïÿòñòâèé ïðèâîäèòñÿ â ýòîé êíèãå. Âòîðîé è áîëåå ñëîæíûé øàã âû÷èñëåíèå ïîÿâëÿþùèõñÿ ïðåïÿòñòâèé ïðèâîäèòñÿ ëèøü â âèäå íàáðîñêà, öèêëà çàäà÷ èëè ïðîñòî ññûëêè (ïîñêîëüêó, ïî ìíåíèþ àâòîðà, âòîðîé øàã ëó÷øå îïèñàí â ëèòåðàòóðå, ÷åì ïåðâûé). Çàìå÷ó, ÷òî äëÿ áîëüøèíñòâà ïðîñòåéøèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðîáëåì î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííîå íåîáõîäèìîå àëãåáðàè÷åñêîå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì. À âîò äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðîáëåì, êîòîðûå çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ (íàïðèìåð, î êëàññè èêàöèè ìíîãîîáðàçèé èëè âëîæåíèé), íàèáîëåå òðóäíî èìåííî äîêàçàòü äîñòàòî÷íîñòü ïîëó÷åííîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óñëîâèÿ. Áîëüø àÿ ÷àñòü ìàòåðèàëà ñ îðìóëèðîâàíà â âèäå çàäà÷, îáîçíà÷àåìûõ æèðíûìè ÷èñëàìè. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ìíîãèå çàäà÷è íå èñïîëüçóþòñÿ â îñòàëüíîì òåêñòå. Êðàñèâûå íàãëÿäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ íå íóæíî íèêàêèõ çíàíèé, ïðèâåäåíû óæå â ñàìîì íà÷àëå. Äëÿ ïîíèìàíèÿ è ðåøåíèÿ áîëüøèíñòâà çàäà÷ äîñòàòî÷íî çíàêîìñòâà ñ íàñòîÿùèì òåêñòîì (òî÷íåå, åãî ÷àñòè, ïðåäøåñòâóþùåé îðìóëèðîâêå çàäà÷è). Åñëè èñïîëüçóåìûå â óñëîâèè òåðìèíû íå îïðåäåëåíû â ýòîì òåêñòå è âàì íåçíàêîìû, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ çàäà÷ó ñëåäóåò ïðîñòî èãíîðèðîâàòü. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äîñòàòî÷íî ïîíèìàíèÿ èõ îðìóëèðîâîê è íå òðåáóåòñÿ íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ ïîíÿòèé è òåîðèé (êðîìå, áûòü ìîæåò, çàäà÷ ñî çâåçäî÷êàìè). Ïðèâîäèìûå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè èíòåðåñíûõ è ïîëåçíûõ àêòîâ, è ÷èòàòåëþ áóäåò ïîëåçíî îçíàêîìèòüñÿ ñ ñàìèìè àêòàìè, äàæå åñëè îí íå ñìîæåò èõ ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçàòü. Íàïðèìåð, â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ èçëîæåí ïëàí äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì, êîòîðûé ïîëåçíî ïîíèìàòü, äàæå åñëè äåòàëè ýòîãî ïëàíà îñòàíóòñÿ íåäîñòóïíûìè. Ïîýòîìó ïðèâîäèìûå îðìóëèðîâêè çàäà÷ ìîãóò áûòü ïóòåâîäèòåëåì ïî äðóãèì ó÷åáíèêàì ïî àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè, ïîçâîëÿÿ íàìå÷àòü èíòåðåñíûå êîíå÷íûå öåëè è îòáðàñûâàòü ìàòåðèàë, íå ÿâëÿþùèéñÿ äëÿ ýòèõ öåëåé íåîáõîäèìûì. 6
Âïðî÷åì, ïîëåçíåå âñåãî áûëî áû îáñóæäàòü ñî ñïåöèàëèñòîì êàê âàøè ðåøåíèÿ çàäà÷, òàê è âîçíèêàþùèå ïðè ðåøåíèè òðóäíîñòè. Åñëè óñëîâèå çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ îðìóëèðîâêîé óòâåðæäåíèÿ, òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå òðåáóåòñÿ äîêàçàòü. ×åðåç |AB| èëè |A, B| îáîçíà÷àåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B (èç êîíòåêñòà ÿñíî, â êàêîì ïðîñòðàíñòâå). Äëÿ çíàòîêîâ.
 ãëàâå 3 ïðèâîäèòñÿ íàáðîñîê ïðîñòîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Øòè åëÿ î ïàðàëëåëèçóåìîñòè îðèåíòèðóåìûõ òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé (èçëîæåíèå íåñêîëüêî óïðîùåíî ïî ñðàâíåíèþ ñ [Ki89℄). Íåñòàíäàðòíûì (õîòÿ è íåñëîæíûì) ÿâëÿåòñÿ ìàòåðèàë ãëàâ 7 è 8, ïàðàãðà îâ 'óòîëùåíèÿ ãðà îâ', 'òðåõìåðíûå óòîëùåíèÿ äâóìåðíûõ ïîëèýäðîâ', 'êëàññè èêàöèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé è ñå÷åíèé' è 'âëîæèìîñòü è ïîãðóæàåìîñòü ìíîãîîáðàçèé'. Ïî âîçìîæíîñòè ïðèâîäÿòñÿ ññûëêè íà êíèãè è îáçîðû, à íå íà îðèãèíàëüíûå ñòàòüè. Ñòàíäàðòíàÿ òåðìèíîëîãèÿ òåîðèè ïðåïÿòñòâèé íå èñïîëüçóåòñÿ òàì, ãäå (ïî ìíåíèþ àâòîðà) îíà íåóäîáíà äëÿ íà÷èíàþùåãî. Ïðèâåäåì çäåñü ñðàâíåíèå îáû÷íîé òåðìèíîëîãèè è ïðèíÿòîé â êíèãå. àññòàíîâêè ýëåìåíòîâ ãðóïïû G íà i-ñèìïëåêñàõ òðèàíãóëÿöèè T òî æå, ÷òî i-ìåðíûå öåïè íà T ñ êîý èöèåíòàìè â G. ðóïïà òàêèõ ðàññòàíîâîê îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ Ci (T ; G). Ìíîæåñòâî ∂Ci+1 (T ; G) âñåõ ãðàíèö îáðàçóåò ïîäãðóïïó ãðóïïû Ci (K; G), îáîçíà÷àåìóþ Bi (T ; G). Êîãäà G = Z2 , ìû ïðîïóñêàåì êîý èöèåíòû â îáîçíà÷åíèÿõ öåïåé, öèêëîâ, ãðàíèö è ãîìîëîãèé. Êðîìå òîãî, â ýòîé êíèãå (êðîìå ãëàâ 6 è 7) ïðåïÿòñòâèÿ ëåæàò â ãðóïïàõ ãîìîëîãèé, à íå â ãðóïïàõ êîãîìîëîãèé (èçîìîð íûõ ãðóïïàì ãîìîëîãèé äëÿ ìíîãîîáðàçèé). Èìåííî ýòà òî÷êà çðåíèÿ (äâîéñòâåííàÿ ïðèíÿòîé â ó÷åáíèêàõ, íî îáû÷íàÿ äëÿ ïåðâîîòêðûâàòåëåé) ïîçâîëÿåò íàãëÿäíî èçîáðàæàòü ïðåïÿòñòâèÿ.  ãëàâàõ 1, 2 è 7 ìû ðàáîòàåì ñ ìíîãîîáðàçèÿìè â êóñî÷íî-ëèíåéíîé êàòåãîðèè, à â ãëàâàõ 3 è 5 â ãëàäêîé. Ïîñêîëüêó ëþáîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå èìååò òðèàíãóëÿöèþ, ñîãëàñîâàííóþ ñ ãëàäêîé ñòðóêòóðîé, ÷àñòî ìû ýòó òðèàíãóëÿöèþ è èñïîëüçóåì. Ïî òåîðåìå Ìîéñà îá àïïðîêñèìàöèè [Bi83℄ àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû âåðíû è â òîïîëîãè÷åñêîé êàòåãîðèè äëÿ ðàçìåðíîñòè íå âûøå 3. Áëàãîäàðíîñòè.
Áëàãîäàðþ À. Í. Äðàíèøíèêîâà, Ä. Á. Ôóêñà, À. Ò. Ôîìåíêî è Å. Â. Ùåïèíà: ÿ ó÷èëñÿ àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè ïî êíèãå [FF89℄ è íà ñåìèíàðå ÄðàíèøíèêîâàÙåïèíà â Ìàòåìàòè÷åñêîì èíñòèòóòå îññèéñêîé àêàäåìèè íàóê. Íàñòîÿùàÿ êíèãà îñíîâàíà íà ëåêöèÿõ, ïðî÷èòàííûõ àâòîðîì íà ìåõìàòå Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, â Íåçàâèñèìîì ìîñêîâñêîì óíèâåðñèòåòå, â Ëåòíåé øêîëå 'Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà', à òàêæå â Êèðîâñêîé è Ïåòåðáóðãñêîé ëåòíèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîëàõ â 1994-2006 ãã. (Ìàòåðèàë ñòàòåé [RS00℄, [RS02℄ ñîäåðæèòñÿ â íàñòîÿùåé êíèãå â ñóùåñòâåííî äîðàáîòàííîì è ðàñøèðåííîì âèäå.) ß ïðèçíàòåëåí Ì. Í. Âÿëîìó, À. À. Çàñëàâñêîìó, Ñ. Ê. Ëàíäî, Â. Â. Ïðàñîëîâó, Â. Â. Øóâàëîâó, ???, à òàêæå âñåì ñëóøàòåëÿì ýòèõ ëåêöèé çà ÷åðíîâûå çàïèñêè ëåêöèé è ìíîãî÷èñëåííûå îáñóæäåíèÿ, ñïîñîáñòâîâàâøèå óëó÷øåíèþ èçëîæåíèÿ. Ýòà êíèãà ïîñâÿùåíà ïàìÿòè Þðèÿ Ïåòðîâè÷à Ñîëîâüåâà çàìå÷àòåëüíîãî ìàòåìàòèêà, ñ÷èòàâøåãî î÷åíü âàæíûì èçëîæåíèå ìàòåìàòèêè íà êîíêðåòíîì, äîñòóïíîì (è â òî æå âðåìÿ ñòðîãîì) ÿçûêå, â îòëè÷èå îò 'ïòè÷üåãî' ÿçûêà èçëèøíåé àáñòðàêöèè.
7
ËÀÂÀ 1. ÀÔÛ È ÌÀËÎÌÅ ÍÛÅ ÌÍÎ ÎÎÁ ÀÇÈß
Wissen war ein biss hen S haum, der u ber eine Woge tanzt. Jeder Wind konnte ihn wegblasen, aber die Woge blieb. E. M. Remarque, Die Na ht von Lissabon. 6 ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÒÅÎ ÈÈ ÀÔÎÂ.
Âåðîÿòíî, ââîäèìûå çäåñü ïîíÿòèÿ çíàêîìû ÷èòàòåëþ, íî ìû ïðèâîäèì ÷åòêèå îïðåäåëåíèÿ, ÷òîáû èêñèðîâàòü òåðìèíîëîãèþ (êîòîðàÿ áûâàåò äðóãîé â äðóãèõ êíèãàõ).  á îëüøåé ÷àñòè êíèãè èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî ïåðâûé ïóíêò ýòîãî ïàðàãðà à, ïîýòîìó ïàðàãðà ìîæíî ïðîïóñòèòü è âîçâðàùàòüñÿ ê íåìó ïî ìåðå íåîáõîäèìîñòè. Îïðåäåëåíèå ãðà à.
ðà îì áåç ïåòåëü è êðàòíûõ ðåáåð íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, íåêîòîðûå äâóõýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà (ò.å. íåóïîðÿäî÷åííûå ïàðû) êîòîðîãî âûäåëåíû. Ýëåìåíòû äàííîãî ìíîæåñòâà V íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè. Âûäåëåííûå ïàðû âåðøèí íàçûâàþòñÿ ðåáðàìè. Êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò ðàçëè÷íûå âåðøèíû (íåò ïåòåëü), è ëþáûå äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû íå áîëåå ÷åì îäíèì ðåáðîì (íåò êðàòíûõ ðåáåð). ðà îì (ñ ïåòëÿìè è êðàòíûìè ðåáðàìè) íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî V , âìåñòå ñ òàêèì îòîáðàæåíèåì e : V × V → Z+ â ìíîæåñòâî öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, ÷òî e(x, y) = e(y, x). Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà V íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè. Ïàðà âåðøèí, ïåðåõîäÿùàÿ â ÷èñëî k > 0, íàçûâàåòñÿ ðåáðîì êðàòíîñòè k (èíîãäà ðåáðîì êðàòíîñòè 0 óäîáíî íàçûâàòü ïàðó, ïåðåõîäÿùóþ â 0). Êîëè÷åñòâà âåðøèí, ðåáåð (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè è âêëþ÷àÿ ïåòëè) è êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðà à îáîçíà÷àþòñÿ V , E è C , ñîîòâåòñòâåííî.
S1
áóêåò îêðóæíîñòåé
K4
èñ. 1: Ïðèìåðû ãðà îâ Ïðè ðàáîòå ñ ãðà àìè óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ èõ èçîáðàæåíèÿìè. Âåðøèíû èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè (íàïðèìåð, íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå). Êàæäîå ðåáðî, ñîîòâåòñòâóþùåå äâóõýëåìåíòíîìó âûäåëåííîìó ïîäìíîæåñòâó, èçîáðàæàåòñÿ ëîìàíîé (èëè êðèâîé), ñîåäèíÿþùåé ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè. Êàæäîå ðåáðî, ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîýëåìåíòíîìó âûäåëåííîìó ïîäìíîæåñòâó {A}, èçîáðàæàåòñÿ çàìêíóòîé ëîìàíîé (èëè êðèâîé), ñîåäèíÿþùåé ýòó âåðøèíó A ñàìó ñ ñîáîé. (Äëÿ ïðîñòîòû ìû â îñíîâíîì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå ðèñóíêè, íà êîòîðûõ ðåáðà èçîáðàæàþòñÿ ëîìàíûìè, à íå ïðîèçâîëüíûìè êðèâûìè.) Íà èçîáðàæåíèè ëîìàíûå ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ, íî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ (êðîìå äâóõ êîíöîâ ðåáðà) íå ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè. Âàæíî, ÷òî ãðà è åãî èçîáðàæåíèå íå îäíî è òî æå. 6 Çíàíèå çäåñü òîëüêî ïåíà, ïëÿøóùàÿ íà âîëíå. Îäíî äóíîâåíèå âåòðà è ïåíû íåò. À âîëíà åñòü è áóäåò âñåãäà. Ý. Ì. åìàðê, Íî÷ü â Ëèññàáîíå (Ïåð. Þ. Ïëàøåâñêîãî).
8
Íàãëÿäíûå çàäà÷è.
Òîð, ëèñò ̼áèóñà è ñ åðà ñ ðó÷êàìè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.
èñ. 2: Òîð, ëèñò Ìåáèóñà, öèëèíäð è ñ åðà ñ ðó÷êàìè 1. Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé ãðà û K5 è K3,3 (ðèñ. 3) (a) íà òîðå? (b) íà ëèñòå ̼áèóñà? ( ) íà ñ åðå? (d) íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà (ò.å. â êîëüöå)?
K5
K3,3
èñ. 3: ðà û Êóðàòîâñêîãî 2. Ëþáîé ãðà ìîæíî íàðèñîâàòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé (a) â ïðîñòðàíñòâå. (b) íà ñ åðå ñ íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì ðó÷åê, çàâèñÿùèì îò êîíêðåòíîãî ãðà à. ( ) â êíèæêå ñ íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì ëèñòîâ, çàâèñÿùèì îò ãðà à. (d) â êíèæêå ñ òðåìÿ ëèñòàìè (ðèñ. 26 ñëåâà). 3. Âûðåæüòå èç êíèæêè ñ òðåìÿ ëèñòàìè (a) ëèñò ̼áèóñà; (b) òîð ñ äûðêîé; ( ) ëþáîé äèñê ñ ëåíòî÷êàìè (ò.å. ëþáîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì ñì. îïðåäåëåíèå äàëåå). 4. (a) àçðåæüòå áóòûëêó Êëåéíà (ðèñ. 23) íà äâà ëèñòà ̼áèóñà. (b) àçðåæüòå áóòûëêó Êëåéíà òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëñÿ (îäèí) ëèñò ̼áèóñà. ( ) Ìîæíî ëè èç ëèñòà Ìåáèóñà âûðåçàòü íåïåðåñåêàþùèåñÿ êîëüöî è ëèñò Ìåáèóñà? (d)* Ìîæíî ëè èç ëèñòà Ìåáèóñà âûðåçàòü äâà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ëèñòà Ìåáèóñà? Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ãðà îâ.
Ñòåïåíüþ âåðøèíû ãðà à íàçûâàåòñÿ ÷èñëî âûõîäÿùèõ èç íåå ðåáåð. Ïóòåì â ãðà å íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðøèí, â êîòîðîé ëþáûå äâå ñîñåäíèå âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì. Öèêëîì íàçûâàåòñÿ ïóòü, â êîòîðîì ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ âåðøèíû ñîâïàäàþò. ðà íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî âåðøèíû ìîæíî ñîåäèíèòü ïóòåì. ðà íàçûâàåòñÿ äåðåâîì, åñëè îí ñâÿçåí è íå ñîäåðæèò íåñàìîïåðåñåêàþùèõñÿ öèêëîâ. ßñíî, ÷òî â ëþáîì ñâÿçíîì ãðà å ñóùåñòâóåò äåðåâî, ñîäåðæàùåå âñå åãî âåðøèíû. Òàêîå äåðåâî íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì äåðåâîì. 9
Âåðøèíà ãðà à íàçûâàåòñÿ âèñÿ÷åé, åñëè èç íåå âûõîäèò ðîâíî îäíî ðåáðî (ò. å. åñëè îíà èìååò ñòåïåíü îäèí). åáðî ãðà à íàçûâàåòñÿ âèñÿ÷èì, åñëè îäíà èç åãî êîíöåâûõ âåðøèí âèñÿ÷àÿ. ðóáî ãîâîðÿ, ïîäãðà äàííîãî ãðà à ýòî åãî ÷àñòü. Ôîðìàëüíî, ãðà G íàçûâàåòñÿ ïîäãðà îì ãðà à H , åñëè êàæäàÿ âåðøèíà ãðà à G ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ãðà à H , è êàæäîå ðåáðî ãðà à G ÿâëÿåòñÿ ðåáðîì ãðà à H . Ïðè ýòîì äâå âåðøèíû ãðà à G, ñîåäèíåííûå ðåáðîì â ãðà å H , íå îáÿçàòåëüíî ñîåäèíåíû ðåáðîì â ãðà å G. Èçîìîð íîñòü è ãîìåîìîð íîñòü ãðà îâ.
ðóáî ãîâîðÿ, ãðà û èçîìîð íû, åñëè îíè îäèíàêîâû (ïðè ýòîì èõ èçîáðàæåíèÿ íà ïëîñêîñòè ìîãóò áûòü ðàçíûìè). Ôîðìàëüíî, ãðà û G1 è G2 íàçûâàþòñÿ èçîìîð íûìè, åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå f ìíîæåñòâà V1 âåðøèí ãðà à G1 íà ìíîæåñòâî V2 âåðøèí ãðà à G2 , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ: âåðøèíû A, B ∈ V1 ñîåäèíåíû ðåáðîì â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âåðøèíû f (A), f (B) ∈ V2 ñîåäèíåíû ðåáðîì.
èñ. 4: Ïîäðàçäåëåíèå ðåáðà Îïåðàöèÿ ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà ãðà à ïîêàçàíà íà ðèñ. 4. Äâà ãðà à íàçûâàþòñÿ ãîìåîìîð íûìè, åñëè îò îäíîãî ìîæíî ïåðåéòè ê äðóãîìó ïðè ïîìîùè îïåðàöèé ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà è îáðàòíûõ ê íèì. Èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè ñóùåñòâóåò ãðà G, êîòîðûé ìîæíî ïîëó÷èòü èç êàæäîãî èç äàííûõ ãðà îâ îïåðàöèÿìè ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà. Êîìïàêòíûì îäíîìåðíûì ïîëèýäðîì (èëè ãðà îì â òîïîëîãè÷åñêîì ñìûñëå) íàçûâàåòñÿ êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè íåêîòîðîãî ãðà à ïî îòíîøåíèþ ãîìåîìîð íîñòè. Áóäåì ñîêðàùåííî íûçûâàòü êîìïàêòíûé îäíîìåðíûé ïîëèýäð 1-ïîëèýäðîì. Ïðåäñòàâëÿþùèé ãðà íàçûâàåòñÿ 1-ñõåìîé ñîîòâåòñòâóþùåãî 1-ïîëèýäðà. Ïðè ðàáîòå ñ 1-ïîëèýäðàìè ìû ÷àñòî áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïðåäñòàâëÿþùèìè èõ ãðà àìè, îïóñêàÿ ïðîâåðêó íåçàâèñèìîñòè îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëÿ â êëàññå ýêâèâàëåíòíîñòè. ×åðåç S 1 îáîçíà÷àåòñÿ ãðà , ãîìåîìîð íûé îêðóæíîñòè (èëè ñîîòâåòñòâóþùèé 1-ïîëèýäð).  ýòîì àáçàöå (íå èñïîëüçóåìîì â äàëüíåéøåì) ïîíÿòèÿ ñêëåéêè, èãóðû (èëè, íàó÷íî, òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà) è òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè (èëè, íàó÷íî, ãîìåîìîð íîñòè) íå îïðåäåëÿåòñÿ, à ñ÷èòàåòñÿ íàãëÿäíî î÷åâèäíûìè. Êàæäîìó ãðà ó G ñîîòâåòñòâóåò òåëî ãðà à |G| èãóðà, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà îòðåçêîâ îòîæäåñòâëåíèåì íåêîòîðûõ èõ êîíöîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ ãðà îì G. 1-ïîëèýäðû íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ èãóðàìè, òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè òåëó íåêîòîðîãî ãðà à. Íåòðóäíî äîêàçàòü ñëåäóþùèé êðèòåðèé: èãóðû |G1 | è |G2 | òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãðà û G1 è G2 ãîìåîìîð íû.  òîïîëîãè÷åñêîé òåîðèè ãðà îâ 1-ïîëèýäðû èíòåðåñíû èìåííî êàê èãóðû (à íå êàê êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ãðà îâ), à ñ îðìóëèðîâàííûé êðèòåðèé ÿâëÿåòñÿ ìîòèâèðîâêîé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãîìåîìîð íîñòè ãðà îâ, êîòîðîå ïîçâîëÿåò ïåðåâåñòè òåîðèþ 1-ïîëèýäðîâ íà ÷èñòî êîìáèíàòîðíûé ÿçûê.  ÷àñòíîñòè, ïðèâåäåííûé êðèòåðèé ðåøàåò ïðîáëåìó òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ 10
1-ïîëèýäðîâ íà ÿçûêå ïðåäñòàâëÿþùèõ èõ ãðà îâ (â òîì ñìûñëå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ëó÷øåãî êðèòåðèÿ òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè). Çàìåòèì, ÷òî 1-ïîëèýäðû ÷àñòî íàçûâàþò ãðà àìè (îïóñêàÿ ñëîâà 'â òîïîëîãè÷åñêîì ñìûñëå'). Îòâåòû è óêàçàíèÿ ê íåêîòîðûì çàäà÷àì.
(a), (b). Ìîæíî. Êðàñèâûå ðåàëèçàöèè ãðà à K5 íà òîðå è ãðà à K3,3 íà ëèñòå Ìåáèóñà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 5. 1.
èñ. 5: åàëèçàöèÿ ãðà îâ Êóðàòîâñêîãî
(ñ) Íåëüçÿ. Îò ïðîòèâíîãî, ïóñòü ìû íàðèñîâàëè íà ñ åðå ãðà K5 áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé. Åñëè ìû âûêèíåì èç ñ åðû òî÷êó (íå ÿâëÿþùóþñÿ âåðøèíîé K5 ), òî ïîëó÷èòñÿ ïëîñêîñòü, à K5 íå ïëàíàðåí (ñì. [Pr04, Sk05℄ èëè ââåäåíèå ê ïàðàãðà ó 'ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà' ãëàâû 7). (d) Íåëüçÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ãðà K5 íå ïëàíàðåí, à öèëèíäð (êîëüöî) ìîæíî èçîáðàçèòü íà ïëîñêîñòè áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé. (a) Íàðèñóåì ãðà (âîçìîæíî ñ ïåðåñå÷åíèÿìè) íà ïëîñêîñòè. Åñëè åñòü òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, òî ïîäíèìåì îäíî èç êàæäûõ äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ðåáåð â ïðîñòðàíñòâî òàê, ÷òîáû ïåðåñå÷åíèå ïðîïàëî. (b) Èñïîëüçóéòå èäåþ ðåøåíèÿ ïóíêòà (a). (d) ( åøåíèå íàïèñàíî Å. Ôîìèíûõ) Íàðèñóåì äàííûé ãðà íà ïëîñêîñòè (ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè) òàê, ÷òîáû ðåáðà íå ñàìîïåðåñåêàëèñü. Åñëè îáðàçîâàëèñü òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ (êðîìå âåðøèí) áîëåå ÷åì äâóõ ðåáåð, òî ïîäâèíåì íåêîòîðûå ðåáðà òàê, ÷òîáû îñòàëèñü òîëüêî äâóêðàòíûå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ íåñàìîïåðåñåêàþùóþñÿ êðèâóþ. Çàòåì íåïðåðûâíîé äå îðìàöèåé ïëîñêîñòè ðàñòÿíåì åå â ïðÿìóþ. Íàçîâåì ýòó ïðÿìóþ êîðåøêîì, à ïëîñêîñòü äâóìÿ ëèñòàìè. Ïðèëåïèì òðåòèé ëèñò ïî êîðåøêó. Òåïåðü â ìàëîé îêðåñòíîñòè êàæäîé èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïîäíèìåì îäíî èç ðåáåð 'ìîñòèêîì' íàä äðóãèì ðåáðîì íà òðåòèé ëèñò. Òàêèì îáðàçîì âñå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áóäóò ëèêâèäèðîâàíû (à íîâûõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ íå ïîÿâèòñÿ). 2.
ÓÒÎËÙÅÍÈß ÀÔÎÂ
11
 ýòîì ïàðàãðà å ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîáëåìû, ïðè ðåøåíèè êîòîðûõ åñòåñòâåííî ïîÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîëüíûå (ò.å. íå çàäàííûå â âèäå ñ åð ñ ðó÷êàìè) ïîâåðõíîñòè. Íå èñïîëüçóÿ äàæå ïîíÿòèÿ ãðà à (âñå ìåñòà, ãäå îíî óïîìèíàåòñÿ, ìîæíî îïóñòèòü), ìû ïîêàæåì îñíîâíóþ èäåþ òåîðåìû êëàññè èêàöèè ïîâåðõíîñòåé, ïîëíîñòüþ ïðèâåäåííîé â ñëåäóþùåì ïàðàãðà å. Ôîðìàëüíî, ìàòåðèàë ýòîãî ïàðàãðà à íå èñïîëüçóåòñÿ â äàëüíåéøåì. åàëèçóåìîñòü èåðîãëè îâ íà ïëîñêîñòè è òîðå.
Óëèöû ãîðîäà (ñ äâóñòîðîííèì äâèæåíèåì) èäóò ëèáî ñ ñåâåðà íà þã, ëèáî ñ çàïàäà íà âîñòîê. (a) Èç îäíîãî ïåðåêðåñòêà âûåõàëî äâà âåëîñèïåäèñòà: ïåðâûé íà ñåâåð, âòîðîé íà âîñòîê. Îáà îíè ïðèåõàëè íà ýòîò æå ïåðåêðåñòîê: ïåðâûé ñ þãà, âòîðîé ñ çàïàäà. Äîêàæèòå, ÷òî îäèí èç âåëîñèïåäèñòîâ ïåðåñåêàë ñëåäû äðóãîãî. (b) Èç îäíîãî ïåðåêðåñòêà âûåõàëî òðè âåëîñèïåäèñòà: ïåðâûé íà ñåâåð, âòîðîé íà âîñòîê è òðåòèé íà çàïàä. Âñå îíè ïðèåõàëè íà äðóãîé ïåðåêðåñòîê: ïåðâûé ñ ñåâåðà, âòîðîé ñ âîñòîêà è òðåòèé ñ çàïàäà. Äîêàæèòå, ÷òî îäèí èç âåëîñèïåäèñòîâ ïåðåñåêàë ñëåäû äðóãîãî. 1.
èñ. 6: Èåðîãëè û (abab), (abacbc) è (abcabc) (èçìåíèòü!) Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ìîæíî èñïîëüçîâàòü áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèé àêò. Òåîðåìà Æîðäàíà. Çàìêíóòàÿ íåñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè äåëèò ïëîñêîñòü ðîâíî íà äâå ÷àñòè. Äâå òî÷êè ïëîñêîñòè, íå ïðèíàäëåæàùèå êðèâîé, ëåæàò â îäíîé ÷àñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ìîæíî ñîåäèíèòü ëîìàíîé, íå ïåðåñåêàþùåé êðèâîé. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëîâà äëèíû 2n èç n áóêâ, â êîòîðûõ êàæäàÿ áóêâà âñòðå÷àåòñÿ äâà ðàçà. Óïðîùåííûì èåðîãëè îì íàçûâàåòñÿ òàêîå ñëîâî ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåèìåíîâàíèÿ áóêâ, öèêëè÷åñêîãî ñäâèãà è ñèììåòðèè. Ýêâèâàëåíòíî, óïðîùåííûì èåðîãëè îì íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî (çàíóìåðîâàííûõ) ïåòåëü ñ îáùåé âåðøèíîé, äëÿ êîòîðîãî óêàçàí íåîðèåíòèðîâàííûé öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû îòðåçêîâ (îòðåçêè, îòâå÷àþùèå îäíîé ïåòëå, çàíóìåðîâàíû íîìåðîì ýòîé ïåòëè). Ýêâèâàëåíòíî, óïðîùåííûì èåðîãëè îì íàçûâàåòñÿ èãóðà èç 2n îòðåçêîâ ñ îáùåé âåðøèíîé íà ïëîñêîñòè ('ïëîñêàÿ çâåçäà ñ 2n ëó÷àìè'), îòðåçêè êîòîðîé ïåðåñåêàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì òîëüêî ïî îáùåé âåðøèíå è ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàçáèòû íà (çàíóìåðîâàííûå) ïàðû.  ýòîì è ñëåäóþùåì ïóíêòàõ óïðîùåííûå èåðîãëè û íàçûâàþòñÿ ïðîñòî èåðîãëè àìè Èåðîãëè û èçîáðàæàþòñÿ ðèñóíêàìè òèïà ðèñ. 6 èëè ðèñ. 7. Ïðè ýòîì öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê çàäàåòñÿ îáõîäîì âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû îòðåçêîâ âîêðóã âåðøèíû. Èåðîãëè íàçûâàåòñÿ ðåàëèçóåìûì íà ïëîñêîñòè, åñëè ìîæíî ñîåäèíèòü ðåáðà êàæäîé ïàðû ëîìàíîé òàê, ÷òîáû íå áûëî ïåðåñå÷åíèé. Èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè åãî 12
ïåòëè ìîæíî íàðèñîâàòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òîáû ïðè îáõîäå ïî ïëîñêîñòè âîêðóã âåðøèíû âûõîäÿùèå èç íåå îòðåçêè ïðîõîäèëèñü áû â ñîîòâåòñòâèè ñ óêàçàííûì öèêëè÷åñêèì ïîðÿäêîì. Íàïðèìåð, èåðîãëè (abab) (ðèñ. 6) íå ðåàëèçóåì íà ïëîñêîñòè (ñð. ñ çàäà÷åé 1a). 2. Èåðîãëè G ðåàëèçóåì íà ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî ëþáîå èç äâóõ ñëåäóþùèõ ýêâèâàëåíòíûõ óñëîâèé: G íå ñîäåðæèò èåðîãëè à (abab). ãðà ïåòåëü èåðîãëè à G ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì èçîëèðîâàííûõ âåðøèí. Ïîíÿòèå 'ñîäåðæèò' äëÿ èåðîãëè îâ îïðåäåëèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. ðà îì ïåòåëü èåðîãëè à íàçûâàåòñÿ ãðà , âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïåòëè èåðîãëè à; äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå äâå ïåòëè îáðàçóþò èåðîãëè ñ ðèñ. 6 ñëåâà (ò.å. 'ñêðåùèâàþòñÿ'). Òîðîì íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòü áóáëèêà (ðèñ. 2 ñëåâà). Èåðîãëè íàçûâàåòñÿ ðåàëèçóåìûì íà òîðå, åñëè íà òîðå ìîæíî ñîåäèíèòü ëîìàíîé îòðåçêè êàæäîé ïàðû â çâåçäå òàê, ÷òîáû íå áûëî ïåðåñå÷åíèé. Èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè åãî ïåòëè ìîæíî èçîáðàçèòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà òîðå òàê, ÷òîáû ïðè îáõîäå ïî òîðó âîêðóã âåðøèíû âûõîäÿùèå èç íåå îòðåçêè ïðîõîäèëèñü áû â ñîîòâåòñòâèè ñ óêàçàííûì öèêëè÷åñêèì ïîðÿäêîì.
(a) Èåðîãëè (abab) íà ðèñ. 6 ñëåâà ðåàëèçóåì íà òîðå. (b) Èåðîãëè (abcabc) (ñ øåñòüþ ëó÷àìè, ðàçáèòûìè íà ïàðû äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ) è èåðîãëè (abacbc) (ðèñ. 6 ñïðàâà) ðåàëèçóåìû íà òîðå. ( ) Èåðîãëè û íà ðèñ. 7 íå ðåàëèçóåìû íà òîðå (óêàçàíèå: åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, ñì. íà÷àëî ñëåäóþùåãî ïóíêòà). (d) [Cu81℄, [KPS℄. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà èåðîãëè G ýêâèâàëåíòíû (1) G ðåàëèçóåì íà òîðå. (2) G íå ñîäåðæèò íè îäíîãî èåðîãëè à ñ ðèñ. 7. (3) ãðà ïåòåëü èåðîãëè à G ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì èçîëèðîâàííûõ âåðøèí è ïîëíîãî òðåõäîëüíîãî ãðà à Kp,q,r . (4) G ðåäóöèðóåòñÿ äî îäíîãî èç èåðîãëè îâ () (òàê îáîçíà÷àåòñÿ èåðîãëè áåç ïåòåëü), (abcabc) èëè (abab). 3.
åäóêöèåé (óïðîùåííîãî) èåðîãëè à íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà ñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé. (1) Óäàëåíèå íåêîòîðîé èçîëèðîâàííîé ïåòëè (ò.å. òàêîé ïåòëè, êîòîðàÿ â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå çàäàåòñÿ äâóìÿ ïîäðÿä èäóùèìè áóêâàìè (aa . . .)). (2) Çàìåíà äâóõ 'ïàðàëëåëüíûõ' ïåòåëü a è a′ (ò.å. äëÿ êîòîðûõ â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå áóêâû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ïåòëÿì, íàõîäÿòñÿ íà ñîñåäíèõ ìåñòàõ è íå ÷åðåäóþòñÿ: (aa′ . . . a′ a . . .)) íà îäíó. Òîïîëîãè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü äèñêîâ ñ ëåíòî÷êàìè.
Ïóñòü èìååòñÿ èåðîãëè . Âîçüìåì äâóìåðíûé äèñê (íàïðèìåð, âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè). Íà ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè äèñêà îòìåòèì íåïåðåñåêàþùèåñÿ îòðåçêè, îòâå÷àþùèå ðåáðàì çâåçäû ñ 2n ëó÷àìè. Îðèåíòèðóåì ýòó ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü. Äëÿ êàæäîé ïåòëè èåðîãëè à ñîåäèíèì (íå îáÿçàòåëüíî â ïëîñêîñòè) ñîîòâåòñòâóþùèå åìó äâà îòðåçêà ëåíòî÷êîé-ïðÿìîóãîëüíèêîì (òàê, ÷òîáû ðàçíûå ëåíòî÷êè íå ïåðåñåêàëèñü). Ïðè ýòîì ñòðåëêè íà îêðóæíîñòè äîëæíû áûòü ïðîòèâîíàïðàâëåíû âäîëü ëåíòî÷êè. Óòîëùåíèåì èåðîãëè à íàçûâàåòñÿ äâóìåðíàÿ èãóðà, ÿâëÿþùàÿñÿ îáúåäèíåíèåì ïîñòðîåííûõ äèñêà è ëåíòî÷åê. (Èåðîãëè íàçûâàåòñÿ ñïàéíîì, èëè óòîùåíèåì ïîñòðîåííîé èãóðû.) 13
èñ. 7: Èåðîãëè û, íå ðåàëèçóåìûå íà òîðå (óìåíüøèòü è ïåðåäåëàòü!)
èñ. 8: Ñòðåëêè, ïðîòèâîíàïðàâëåííûå âäîëü ëåíòî÷êè Äâå ëåíòî÷êè íàçûâàþòñÿ îòäåëåííûìè, åñëè èõ îñíîâàíèÿ-îòðåçêè èäóò ïîäðÿä (à íå ÷åðåäóþòñÿ) ïðè îáõîäå ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè äèñêà. Íàïðèìåð, â èåðîãëè å (aabb) ëåíòî÷êè a è b îòäåëåíû, à â èåðîãëè å (abab) íåò. Íàïðèìåð, óòîëùåíèå èåðîãëè à (abab) íà ðèñ. 6 ñëåâà òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî äèñêó ñ äâóìÿ íåïåðåêðó÷åííûìè íåîòäåëåííûìè ëåíòî÷êàìè. Ïîñëåäíèé òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí òîðó ñ äûðêîé (ðèñ.??).  ýòîì ïàðàãðà å ïîíÿòèÿ èãóðû è òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè íå îïðåäåëÿåòñÿ ñòðîãî, à ñ÷èòàåòñÿ íàãëÿäíî î÷åâèäíûì. Îíè ñîîòâåòñòâóþò ïîíÿòèÿì 2ìíîãîîáðàçèÿ è ãîìåîìîð íîñòè, ñòðîãî îïðåäåëåííûì â ñëåäóþùåì ïàðàãðà å. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè â ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ äîñòàòî÷íî íàðèñîâàòü öåïî÷êó êàðòèíîê, àíàëîãè÷íóþ ðèñ. ??. 4. (a) Óòîëùåíèÿ èåðîãëè îâ (abcabc) èëè (abacbc) òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû òîðó ñ äâóìÿ äûðêàìè. Ñ åðà ñ g ðó÷êàìè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 2 ñïðàâà (äëÿ g = 3). Íàïðèìåð, ñ åðà ñ îäíîé ðó÷êîé òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà òîðó. Èåðîãëè íàçûâàåòñÿ ðåàëèçóåìûì íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè, åñëè íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè ìîæíî ñîåäèíèòü ëîìàíîé îòðåçêè êàæäîé ïàðû â çâåçäå òàê, ÷òîáû íå áûëî ïåðåñå÷åíèé. Èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè ïåòëè ìîæíî èçîáðàçèòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè òàê, ÷òîáû ïðè îáõîäå ïî ñ åðå ñ g ðó÷êàìè âîêðóã âåðøèíû âûõîäÿùèå èç íåå ðåáðà ïðîõîäèëèñü áû â ñîîòâåòñòâèè ñ óêàçàííûì öèêëè÷åñêèì ïîðÿäêîì. 4. (b) Êàæäûé èç èåðîãëè îâ íà ðèñ. 7 ðåàëèçóåì íà ñ åðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìè. ( ) Óòîëùåíèå èåðîãëè à íà ðèñ. 7 ñëåâà òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî ñ åðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìè è îäíîé äûðêîé. (d) Óòîëùåíèÿ îñòàëüíûõ èåðîãëè îâ íà ðèñ. 7 òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû ñ åðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìè è îäíîé äûðêîé.  ýòîì ïàðàãðà å ìû èñïîëüçóåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèé àêò. Ñ åðû ñ ðàçíûì ÷èñëîì ðó÷åê íå ÿâëÿþòñÿ òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè äðóã äðóãó. Ýòîò àêò êàæåòñÿ î÷åâèäíûì, íî ïåðåñòàåò áûòü òàêèì ïîñëå äîêàçàòåëüñòâ 14
òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè èãóð, êàæóùèõñÿ ñîâñåì ðàçíûìè (ñì. äàëåå). Îí àêêóðàòíî äîêàçàí â ïóíêòå 'êëàññè èêàöèÿ äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé. 5. (a) Âûâåäèòå èç ïðèâåäåííîãî àêòà, ÷òî òîð ñ äûðêîé íåâîçìîæíî âûðåçàòü èç ñ åðû. (b) Âûâåäèòå èç ïðèâåäåííîãî àêòà è çàäà÷è 4d, ÷òî ñ åðó ñ äâóìÿ ðó÷êàìè è îäíîé äûðêîé íåâîçìîæíî âûðåçàòü èç òîðà (ñ äûðêîé). ( ) Èåðîãëè û ñ ðèñ. 7 íå ðåàëèçóåìû íà òîðå. 6. (a) Ôîðìóëà Ýéëåðà. Äèñê ñ n (íåïåðåêðó÷åííûìè) ëåíòî÷êàìè (ò.å. óòîëùåíèå èåðîãëè à ñ n ïåòëÿìè), èìååþùèé F êðàåâûõ îêðóæíîñòåé, òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ñ åðå ñ (n + 1 − F )/2 ðó÷êàìè è F äûðêàìè.
èñ. 9: Äîáàâëåíèå íåïåðåêðó÷åííîé ëåíòî÷êè (ïîïðàâèòü!) Óêàçàíèå: ñì. ðèñ. 9.
èñ. 10: ×åìó ãîìåîìîð íà ýòà èãóðà? (b) ßâëÿåòñÿ ëè èãóðà íà ðèñ. 10 òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíîé ñ åðå ñ ðó÷êàìè è äûðêàìè? Åñëè äà, òî ÷åìó ðàâíî èõ ÷èñëî? ( )* Ôîðìóëà Ìîõàðà. Ïóñòü ðàíã (íàä Z2 ) ìàòðèöû ñìåæíîñòè ãðà à ïåòåëü äèñêà ñ ëåíòî÷êàìè (ò.å. èåðîãëè à) ðàâåí b. Òîãäà b ÷åòíî è ýòîò äèñê ñ ëåíòî÷êàìè (ò.å. óòîëùåíèå ýòîãî èåðîãëè à) òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ñ åðå ñ b/2 ðó÷êàìè è íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì äûðîê. 7. (a) Ïðèäóìàéòå èåðîãëè , íå ðåàëèçóåìûé íà ñ åðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìè. (b) Äëÿ êàæäîãî g ïðèäóìàéòå èåðîãëè , íå ðåàëèçóåìûé íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè. ( ) Åñëè èåðîãëè íå ðåàëèçóåì íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè, à ïðè óäàëåíèè ëþáîé åãî ïåòëè ïîëó÷àåòñÿ èåðîãëè , ðåàëèçóåìûé íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè, òî â èñõîäíîì èåðîãëè å 2g + 2 ïåòëè. (d)* Äëÿ êàæäîãî g îïèøèòå èåðîãëè û, ðåàëèçóåìûå íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè, è îöåíèòå èõ ÷èñëî. Ýòà çàäà÷à èíòåðåñíà äàæå äëÿ g = 2. Çäåñü è äàëåå âîçìîæíû îïèñàíèÿ â òåðìèíàõ óíèâåðñàëüíûõ èåðîãëè îâ (óêàçàíèå èåðîãëè îâ E1 , . . . , Es ñî ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äàííûé èåðîãëè ðåàëèçóåì íà ñ åðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìè òîãäà 15
è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ðåäóöèðóåòñÿ äî îäíîãî èç èåðîãëè îâ E1 , . . . , Es ) èëè çàïðåùåííûõ ïîäûåðîãëè îâ (óêàçàíèå èåðîãëè îâ E1 , . . . , Es ñî ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äàííûé èåðîãëè ðåàëèçóåì íà ñ åðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí íå ñîäåðæèò íè îäíîãî èç èåðîãëè îâ E1 , . . . , Es ). Ñð. [Cu81℄ [Vd95℄ [Vd96℄ [Vd97℄. Äèñêè ñ ïåðåêðó÷åííûìè ëåíòî÷êàìè.
Ëèñò ̼áèóñà è áóòûëêà Êëåéíà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2 è ðèñ. 23. åàëèçóåìîñòü óïðîùåííîãî èåðîãëè à íà ëèñòå Ìåáèóñà îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ðåàëèçóåìîñòè â ñ åðå ñ ðó÷êàìè. 8. (a) Óïðîùåííûé èåðîãëè íà ðèñ. 6 ñëåâà è âòîðîé óïðîùåííûé èåðîãëè íà ðèñ. 7 ðåàëèçóåìû íà ëèñòå Ìåáèóñà. (b) Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà óïðîùåííûé èåðîãëè ðàâíîñèëüíû: ðåàëèçóåì íà ëèñòå Ìåáèóñà; íå ñîäåðæèò íè óïðîùåííîãî èåðîãëè à ñ ðèñ. 7 ñëåâà, íè óïðîùåííîãî èåðîãëè à ñ ðèñ. 6 ñïðàâà. åãî ãðà ïåòåëü ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì èçîëèðîâàííûõ âåðøèí è ïîëíîãî ãðà à. (ñ) åäóêöèÿ óïðîùåííûõ èåðîãëè îâ íå îáÿçàòåëüíî ñîõðàíÿåò ðåàëèçóåìîñòü íà ëèñòå Ìåáèóñà. 9. (a) Äèñê ñ äâóìÿ ïåðåêðó÷åííûìè îòäåëåííûìè ëåíòî÷êàìè òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí áóòûëêå Êëåéíà ñ äûðêîé. (b) Ëèñò Ìåáèóñà ñ ðó÷êîé òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ëèñòó Ìåáèóñà ñ âûâåðíóòîé ðó÷êîé (ðèñ. ??). ( ) Ôîðìóëà Ýéëåðà. Äèñê ñ n ëåíòî÷êàìè, ñðåäè êîòîðûõ åñòü ïåðåêðó÷åííàÿ, èìååþùèé F ãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòåé (ðèñ. ?? ñëåâà), òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí äèñêó ñ n + 1 − F ëèñòàìè Ìåáèóñà è F äûðêàìè (ðèñ. ?? ñïðàâà).
èñ. 11: Äîáàâëåíèå ïåðåêðó÷åííîé ëåíòî÷êè (èçìåíèòü!) (d)* Ôîðìóëà Ìîõàðà. Ïîñòàâèì íà äèàãîíàëüíîé êëåòêå ìàòðèöû ñìåæíîñòè ãðà à ïåòåëü äèñêà ñ ëåíòî÷êàìè íîëü, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëåíòî÷êà íå ïåðåêðó÷åíà, è åäèíèöó, åñëè ïåðåêðó÷åíà. Ïóñòü ðàíã (íàä Z2 ) ïîëó÷åííîé ìàòðèöû ðàâåí b. Òîãäà ýòîò äèñê ñ ëåíòî÷êàìè òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ñ åðå ñ b ëèñòàìè Ìåáèóñà è íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì äûðîê. 10.* (a) Îïèøèòå óïðîùåííûå èåðîãëè û, ðåàëèçóåìûå â áóòûëêå Êëåéíà. (b) Îïèøèòå óïðîùåííûå èåðîãëè û, ðåàëèçóåìûå â äèñêå ñ m ëèñòàìè Ìåáèóñà. Èåðîãëè îì (íå óïðîùåííûì) íàçûâàåòñÿ èåðîãëè âìåñòå ñ íåêîòîðîé ðàññòàíîâêîé íóëåé è åäèíèö íà åãî ïåòëÿõ (ðèñ. ??, ??). Èåðîãëè íàçûâàåòñÿ ðåàëèçóåìûì íà ëèñòå Ìåáèóñà, åñëè åãî ïåòëè ìîæíî èçîáðàçèòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà ëèñòå Ìåáèóñà òàê, ÷òîáû ïðè îáõîäå ïî ëèñòó Ìåáèóñà âîêðóã âåðøèíû âûõîäÿùèå èç íåå îòðåçêè ïðîõîäèëèñü áû â ñîîòâåòñòâèè ñ óêàçàííûì öèêëè÷åñêèì ïîðÿäêîì, è âäîëü ïåòåëü, íà êîòîðûõ ñòîèò åäèíèöà, ìåíÿëàñü áû îðèåíòàöèÿ, à âäîëü ïåòåëü, íà êîòîðûõ ñòîèò íîëü, íå ìåíÿëàñü áû. åäóêöèåé èåðîãëè à íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà ïðåîáðàçîâàíèé (1) è (2) äëÿ ïåòåëü ñ íóëåì, à òàêæå 16
(2') Çàìåíà äâóõ 'ïàðàëëåëüíûõ' ïåòåëü a è a′ ñ åäèíèöåé (ò.å. äëÿ êîòîðûõ â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå áóêâû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ïåòëÿì, íàõîäÿòñÿ íà ñîñåäíèõ ìåñòàõ è ÷åðåäóþòñÿ: (aa′ . . . aa′ . . .)) íà îäíó. (a) [Cu81℄ [Pe℄ Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà èåðîãëè ðàâíîñèëüíû: ðåàëèçóåì íà ëèñòå Ìåáèóñà; íå ñîäåðæèò íè îäíîãî èåðîãëè à ñ ðèñ. 22 ñâåðõó; ðåäóöèðóåòñÿ ê èåðîãëè ó ñ îäíîé ïåòëåé ñ åäèíèöåé. (b)* [Cu81℄ [Te℄ Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà èåðîãëè ðàâíîñèëüíû: ðåàëèçóåì íà áóòûëêå Êëåéíà; íå ñîäåðæèò íè îäíîãî èåðîãëè à ñ ðèñ. ??; ðåäóöèðóåòñÿ ê îäíîìó èç äâóõ èåðîãëè îâ ñ ðèñ. ??. ( )* Îïèøèòå èåðîãëè û, ðåàëèçóåìûå â äèñêå ñ m ëèñòàìè óñà [Cu81℄ [Te℄ [Cu81℄ [Vd95℄ [Vd96℄ [Vd97℄. 11.
Ìåáè-
Îðèåíòèðóåìûå óòîëùåíèÿ ãðà îâ.
Ñëåäóþùàÿ êîíñòðóêöèÿ óòîëùåíèÿ âîçíèêàåò âî ìíîãèõ çàäà÷àõ òîïîëîãèè è åå ïðèëîæåíèé (ñèíîíèìû: ãðà ñ âðàùåíèÿìè, ýñêèç [Ha℄, [KPS℄, [LZ℄). Íàì îíà áóäåò ïîëåçíà äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ ïëàíàðíîñòè ãðà îâ (è èõ ðîäà) â ñëåäóþùåì ïóíêòå. Ïîëóðåáðîì ãðà à íàçûâàåòñÿ ïàðà èç ðåáðà è åãî êîíöåâîé âåðøèíû (èëè, íå îðìàëüíî, ïîëîâèíêà ðåáðà). Ïðè ýòîì êàæäîé ïåòëå îòâå÷àåò äâà ïîëóðåáðà. Îðèåíòèðîâàííûì óòîëùåíèåì ãðà à G íàçûâàåòñÿ ãðà G âìåñòå ñ óêàçàíèåì äëÿ êàæäîé åãî âåðøèíû îðèåíòèðîâàííîãî öèêëè÷åñêîãî ïîðÿäêà âûõîäÿùèõ èç íåå ïîëóðåáåð. Ñì. ðèñ. 12. Çàìåòèì, ÷òî èåðîãëè û íå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îðèåíòèðîâàííûõ óòîëùåíèé.
èñ. 12: Îðèåíòèðîâàííûå óòîëùåíèÿ ãðà à K4 12. (a) Ñêîëüêî îðèåíòèðîâàííûõ óòîëùåíèé çàíóìåðîâàííûìè âåðøèíàìè ñîîòâåòñòâóåò ãðà ó K4 ? (b)* Òî æå íåçàíóìåðîâàííûìè âåðøèíàìè (ò.å. óòîëùåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîð èçìà).
Ïðèâåäåì ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå îðèåíòèðîâàííîãî óòîëùåíèÿ. Îíî ñëîæíåå òåì, ÷òî äâóìåðíî (à íå îäíîìåðíî), íî ñ íèì óäîáíåå ðàáîòàòü. Äëÿ äàííîãî ãðà à ðàññìîòðèì íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå äèñêîâ, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî ÷èñëó âåðøèí ãðà à. Íà êàæäîé ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè äèñêà âûáåðåì îðèåíòàöèþ è îòìåòèì íåïåðåñåêàþùèåñÿ îòðåçêè, îòâå÷àþùèå âûõîäÿùèì èç ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíû ðåáðàì, â óêàçàííîì îðèåíòèðîâàííîì öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå. Äëÿ êàæäîãî ðåáðà ãðà à ñîåäèíèì (íå îáÿçàòåëüíî â ïëîñêîñòè) ñîîòâåòñòâóþùèå åìó äâà îòðåçêà ëåíòî÷êîéïðÿìîóãîëüíèêîì (òàê, ÷òîáû ðàçíûå ëåíòî÷êè íå ïåðåñåêàëèñü), ñì. ðèñ. 13. Ïðè ýòîì ñòðåëêè íà îêðóæíîñòÿõ äîëæíû áûòü ïðîòèâîíàïðàâëåíû. Çàìåòèì, ÷òî êàæäûé èç äâóõ ñïîñîáîâ íà ðèñ. 13 ìîæåò îòâå÷àòü ïðàâèëüíîìó ñîåäèíåíèþ äèñêîâ ëåíòî÷êàìè. 17
èñ. 13: Ñîåäèíåíèå äèñêîâ ëåíòî÷êîé Ïóñòü N îáúåäèíåíèå ïîñòðîåííûõ äèñêîâ è ëåíòî÷åê. Ïàðà (N, G), ñîñòîÿùàÿ èç N è ãðà à G, åñòåñòâåííî âëîæåííîãî â N , íàçûâàåòñÿ (äâóìåðíûì) îðèåíòèðóåìûì óòîëùåíèåì ãðà à G. Èíîãäà äëÿ êðàòêîñòè ìû áóäåì íàçûâàòü óòîëùåíèåì òîëüêî èãóðó N . ( ðà G íàçûâàåòñÿ ñïàéíîì, èëè óòîùåíèåì èãóðû N .) Ïðèìåðû îðèåíòèðóåìûõ óòîëùåíèé. (1) Öèëèíäð ñ åãî ñðåäíåé ëèíèåé ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì óòîëùåíèåì îêðóæíîñòè. (2) Åñëè ãðà âëîæåí â ïëîñêîñòü (èëè â ñ åðó ñ ðó÷êàìè), òî ëåãêî âûáðàòü îêðåñòíîñòü ýòîãî ãðà à, ÿâëÿþùóþñÿ åãî îðèåíòèðîâàííûì óòîëùåíèåì. (3) Åñëè äàíî îòîáðàæåíèå îáùåãî ïîëîæåíèÿ ãðà à G â ïëîñêîñòü (èëè â ñ åðó ñ ðó÷êàìè), òî ìîæíî ïîñòðîèòü îðèåíòèðîâàííîå óòîëùåíèå ãðà à G, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó îòîáðàæåíèþ (ðèñ. 14, 10).
èñ. 14: Ïîñòðîåíèå óòîëùåíèÿ ïî ïîãðóæåíèþ ãðà à â ïëîñêîñòü (äîáàâèòü åùå îäèí ðÿä áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé!) 13. (a) Îäèí è òîò æå ãðà (íàïðèìåð, 'âîñüìåðêà') ìîæåò èìåòü íåãîìåîìîð íûå îðèåíòèðóåìûå óòîëùåíèÿ. (b) Ëþáîå îðèåíòèðóåìîå óòîëùåíèå (N, G) äåðåâà G (òî÷íåå, åãî ïåðâûé ýëåìåíò N ) ãîìåîìîð íî äèñêó. ( ) Ñêîëüêî îðèåíòèðóåìûõ óòîëùåíèé îêðóæíîñòè ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð èçìà? (d) À ãðà à 'âîñüìåðêà' ?
18
(e) À ãðà à K4 ? Äëÿ îðèåíòèðóåìûõ óòîëùåíèé ïîíÿòèå ïîäóòîëùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ãðà îâ. Äâà óòîëùåíèÿ îäíîãî ãðà à ãîìåîìîð íû îòíîñèòåëüíî ýòîãî ãðà à, åñëè ìîæíî èçìåíèòü îðèåíòàöèè íà èõ äèñêàõ òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáîé âåðøèíû ãðà à G íåïåðåñåêàþùèåñÿ îòðåçêè íà ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî äèñêà øëè áû â îäèíàêîâîì (îðèåíòèðîâàííîì) öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå. Äâà óòîëùåíèÿ ðàçíûõ (ãîìåîìîð íûõ) ãðà îâ ãîìåîìîð íû, åñëè îò îäíîãî ìîæíî ïåðåéòè ê äðóãîìó ïðè ïîìîùè îïåðàöèé îäíîâðåìåííîãî ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà ãðà à è ñîîòâåòñòâóþùåé ëåíòî÷êè óòîëùåíèÿ, èëè îáðàòíûõ ê íèì. Ïðîèçâîëüíûå óòîëùåíèÿ ãðà îâ.
Íàáðîñêîì íàçûâàåòñÿ ãðà âìåñòå ñ ðàññòàíîâêîé íóëåé è åäèíèö íà åãî ðåáðàõ è, äëÿ êàæäîé âåðøèíû ãðà à, îðèåíòèðîâàííûì öèêëè÷åñêèì ïîðÿäêîì âûõîäÿùèõ èç íåå ïîëóðåáåð. Èíâåðòèðîâàíèåì â âåðøèíå a íàçûâàåòñÿ çàìåíà îðèåíòàöèè öèêëà ïîëóðåáåð, âûõîäÿùèõ èç a, îäíîâðåìåííî ñ çàìåíîé íóëåé åäèíèöàìè, à åäèíèö íóëÿìè íà âñåõ ðåáðàõ, âûõîäÿùèõ èç a (ïðè ýòîì ÷èñëà íà ïåòëÿõ íå ìåíÿþòñÿ). Äâà íàáðîñêà íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îò îäíîãî ìîæíî ïåðåéòè ê äðóãîìó íåñêîëüêèìè èíâåðòèðîâàíèÿìè (âîçìîæíî, â ðàçíûõ âåðøèíàõ). (Íåîðèåíòèðîâàííûì) óòîëùåíèåì ãðà à íàçûâàåòñÿ êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè íàáðîñêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó ãðà ó. Çàìåòèì, ÷òî èåðîãëè û ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè óòîëùåíèé. 14. (a) Ñêîëüêî íàáðîñêîâ çàíóìåðîâàííûìè âåðøèíàìè ñîîòâåòñòâóåò ãðà ó K4 ñ çàíóìåðîâàíûìè âåðøèíàìè? (b)* Òîò æå âîïðîñ íåçàíóìåðîâàííûìè âåðøèíàìè (ò.å. ñêîëüêî íàáðîñêîâ ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîð èçìà ñîîòâåòñòâóþò ãðà ó K4 ?). ( defg) åøèòå àíàëîãè çàäà÷è 13 äëÿ óòîëùåíèé. Äâóìåðíîå îïðåäåëåíèå óòîëùåíèÿ àíàëîãè÷íî âûøåïðèâåäåííîìó, òîëüêî ñòðåëêè íà îêðóæíîñòÿõ äîëæíû áûòü ïðîòèâîíàïðàâëåíû, åñëè íà ðåáðå ñòîèò 0, è ñîíàïðàâëåíû, åñëè íà ðåáðå ñòîèò 1 (êàæäûé èç äâóõ ñïîñîáîâ íà ðèñ. 13 ìîæåò îòâå÷àòü êàê ñîíàïðàâëåííûì, òàê è ïðîòèâîíàïðàâëåííûì ëåíòî÷êàì). Íàïðèìåð, ëèñò ̼áèóñà ñ åãî ñðåäíåé ëèíèåé (ðèñ. 15) ÿâëÿåòñÿ óòîëùåíèåì îêðóæíîñòè. Èç ïðèìåðîâ (2) è (3) îðèåíòèðóåìûõ óòîëùåíèé ïîëó÷àþòñÿ ïèìåðû óòîëùåíèé, åñëè çàìåíèòü ñ åðó ñ ðó÷êàìè íà ñ åðó ñ ðó÷êàìè è ïëåíêàìè Ìåáèóñà.
èñ. 15: Ëèñò ̼áèóñà ñ åãî ñðåäíåé ëèíèåé óòîëùåíèå îêðóæíîñòè Äëÿ íàáðîñêîâ è óòîëùåíèé ïîíÿòèå ïîäóòîëùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ãðà îâ. Äâà óòîëùåíèÿ îäíîãî ãðà à ãîìåîìîð íû îòíîñèòåëüíî ýòîãî ãðà à, åñëè ìîæíî èçìåíèòü îðèåíòàöèè íà èõ äèñêàõ òàê, ÷òîáû (1) ëåíòî÷êè â äâóõ óòîëùåíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîìó è òîìó æå ðåáðó ãðà à G, áûëè áû îäíîâðåìåííî ïåðåêðó÷åíû èëè íåò, è 19
(2) äëÿ ëþáîé âåðøèíû ãðà à G, íåïåðåñåêàþùèåñÿ îòðåçêè íà ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî äèñêà øëè áû â îäèíàêîâîì (îðèåíòèðîâàííîì) öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå. îìåîìîð íîñòü óòîëùåíèé ðàçíûõ (ãîìåîìîð íûõ) ãðà îâ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ îðèåíòèðóåìûõ óòîëùåíèé. Ïðèâåäåì â âèäå öèêëà çàäà÷ êëàññè èêàöèþ óòîëùåíèé îòíîñèòåëüíî äàííîãî ãðà à. 15. Ñêîëüêî êëàññîâ ãîìåîìîð íîñòè îðèåíòèðóåìûõ (âñåõ) óòîëùåíèé îòíîñèòåëüíî (a) îêðóæíîñòè, (b) òðèîäà, (ñ) êðåñòà, (d) n-îäà, (e) âîñüìåðêè, (f) áóêâû Θ? Êàêèå èç ýòèõ óòîëùåíèé âëîæèìû â ïëîñêîñòü? 16. îìåîìîð íûå ãðà û èìåþò îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî êëàññîâ ãîìåîìîð íîñòè îðèåíòèðóåìûõ (âñåõ) óòîëùåíèé îòíîñèòåëüíî ýòèõ ãðà îâ. 17. (a) Äëÿ ñâÿçíîãî êóáè÷íîãî (ò.å. èìåþùåãî òîëüêî âåðøèíû ñòåïåíè 3) ãðà à êîëè÷åñòâà êëàññîâ ãîìåîìîð íîñòè îðèåíòèðóåìûõ (âñåõ) óòîëùåíèé îòíîñèòåëüíî ýòîãî ãðà à ðàâíû 2V −1 (2E ), ñîîòâåòñòâåííî. (b) Êëàññè èêàöèÿ 2-óòîëùåíèé ãðà à. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðà , íå ãîìåîìîð íûé òî÷êå, îêðóæíîñòè èëè îòðåçêó. Åñëè â G èìååòñÿ V âåðøèí ñòåïåíåé k1 , . . . , kV 1 è E = (k1 + . . . + kV ) ðåáåð, òî êîëè÷åñòâà êëàññîâ ãîìåîìîð íîñòè îðèåíòèðóåìûõ 2 è âñåõ óòîëùåíèé îòíîñèòåëüíî ýòîãî ãðà à ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 1 (k − 1)! · . . . · (kV − 1)! 2 1
è 2E−V (k1 − 1)! . . . (kV − 1)!
Ïëàíàðíîñòü è ðîä óòîëùåíèé è ãðà îâ.
Ïðîáëåìà âëîæèìîñòè (ò.å. ðåàëèçóåìîñòè áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé) ãðà îâ (èëè ãðà îâ ñ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðîé) â ïëîñêîñòü, òîð, ëèñò Ìåáèóñà (è äðóãèå ïîâåðõíîñòè) îäíà èç îñíîâíûõ â òîïîëîãè÷åñêîé òåîðèè ãðà îâ [MT01℄. Îäíà èç êðàñèâûõ îðì ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû íàéòè íåñêîëüêî òàêèõ ïîäãðà îâ, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ãðà G âëîæèì â äàííóþ ïîâåðõíîñòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà G íå ñîäåðæèò íè îäíîãî èç òàêèõ ïîäãðà îâ. Òåîðåìà Êóðàòîâñêîãî. ðà ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí íå ñîäåðæèò ïîäãðà à, ãîìåîìîð íîãî îäíîìó èç ãðà îâ K5 èëè K3,3 . Îáñóæäåíèå è ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðèâîäèòñÿ, íàïðèìåð, â [Pr04℄, [Sk05℄, [ST07℄. Íåñìîòðÿ íà êðàñîòó è ïðîñòîòó ýòîãî êðèòåðèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ ïëàíàðíîñòè ãðà îâ ìåäëåííî ðàáîòàåò. Ïîýòîìó èíòåðåñíû äðóãèå ñïîñîáû ðàñïîçíàâàíèÿ ïëàíàðíîñòè. Îäèí èç íèõ èñïîëüçóåò óòîëùåíèÿ. Òàê êàê ëþáîé ãðà èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî îðèåíòèðóåìûõ óòîëùåíèé (íàïðèìåð, ïî òåîðåìå êëàññè èêàöèè óòîëùåíèé), òî âîïðîñ î âëîæèìîñòè ãðà îâ â ïëîñêîñòü ñâîäèòñÿ ê âîïðîñó î âëîæèìîñòè îðèåíòèðóåìûõ óòîëùåíèé â ïëîñêîñòü. Îðèåíòèðîâàííîå óòîëùåíèå íàçûâàåòñÿ ïëàíàðíûì, åñëè åãî ìîæíî íàðèñîâàòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òîáû äëÿ êàæäîé âåðøèíû îáõîä âûõîäÿùèõ èç íåå ïîëóðåáåð ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ñîâïàäàë áû ñ óêàçàííûì îðèåíòèðîâàííûì öèêëè÷åñêèì ïîðÿäêîì. 18. (α) Êàêèå èç îðèåíòèðîâàííûõ óòîëùåíèé ãðà à K4 ÿâëÿþòñÿ ïëàíàðíûìè? Äëÿ óòîëùåíèé (è ýñêèçîâ) ïîíÿòèÿ ïîäóòîëùåíèÿ, ãîìåîìîð íîñòè è ò. ä. îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ãðà îâ. Íàïðèìåð, åñëè L ïîäãðà ãðà à G, òî óòîëùåíèå N ãðà à G ñîäåðæèò óòîëùåíèå ãðà à L, íàçûâàåìîå ïîäóòîëùåíèåì óòîëùåíèÿ N . 20
Òåîðåìà ïëàíàðíîñòè óòîëùåíèé. Êàæäîå èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé íà ñâÿçíîå îðèåíòèðóåìîå 2-óòîëùåíèå (N, G) ðàâíîñèëüíî åãî âëîæèìîñòè â ïëîñêîñòü: (E) V − E + h(N ) = 2, ãäå V è E êîëè÷åñòâà âåðøèí è ðåáåð ãðà à G, à h(N ) ÷èñëî ãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòåé óòîëùåíèÿ. (S) (N, G) íå ñîäåðæèò ïîäóòîëùåíèé, ãîìåîìîð íûõ èçîáðàæåííûì íà ðèñ. 14. Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà êðèòåðèÿ (S). Íåîáõîäèìîñòü äîêàçûâàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû Æîðäàíà.
èñ. 16: Âûðåçàíèå ñðåäíåé òðåòè Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü íà ÿçûêå ýñêèçîâ. Âûäåëèì â äàííîì ýñêèçå ïîäýñêèç ìàêñèìàëüíîãî äåðåâà. Ïîêðàñèì îñòàâøèåñÿ ðåáðà â êðàñíûé öâåò. Èç êàæäîãî êðàñíîãî ðåáðà âûðåæåì åãî 'ñðåäíþþ òðåòü', êàê íà ðèñ. 16. Îñòàíåòñÿ ýñêèç äåðåâà T . Åãî ìîæíî èçîáðàçèòü (ñ ó÷åòîì îðèåíòèðîâàííîãî öèêëè÷åñêîãî ïîðÿäêà) áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà ïëîñêîñòè âíå (âíóòðåííîñòè) ìíîãîóãîëüíèêà A1 . . . An òàê, ÷òîáû âåðøèíû äåðåâà áûëè áû âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. (Ýòî äîêàçûâàåòñÿ ïî èíäóêöèè ñ îòáðàñûâàíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû.) Ïóñòü ñóùåñòâóþò âåðøèíû A, B, A1 , B1 äåðåâà T , ëåæàùèå íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà â ýòîì ïîðÿäêå, ïðè÷åì âåðøèíû A è A1 ëåæàò íà îäíîì êðàñíîì ðåáðå, à âåðøèíû B è B1 íà äðóãîì. Ñîåäèíèì âåðøèíó A ñ A1 è B ñ B1 ïóòÿìè â äåðåâå. Åñëè ýòè ïóòè ïåðåñåêàþòñÿ ðîâíî â îäíîé òî÷êå, òî èñõîäíûé ýñêèç ñîäåðæèò ýñêèç 'âîñüìåðêà' (ñì. ðèñ. 14.). Åñëè ýòè ïóòè ïåðåñåêàþòñÿ ðîâíî ïî îäíîìó îòðåçêó, òî èñõîäíûé ýñêèç ñîäåðæèò ýñêèç 'òåòà' (ñì. ðèñ. 14.). Îñòàëüíûå ñëó÷àè ñâîäÿòñÿ ê ðàññìîòðåííûì. Èòàê, èñõîäíûé ýñêèç ñîäåðæèò ïîäýñêèç, ãîìåîìîð íûé îäíîìó èç èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 14. Ïîýòîìó åñëè âåðøèíû A, A1 ëåæàò íà îäíîì êðàñíîì ðåáðå, à B, B1 íà äðóãîì, òî âåðøèíû A, A1 , B, B1 ëåæàò íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà â ýòîì öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå (èëè â ïðîòèâîïîëîæíîì). Çíà÷èò, èõ ìîæíî ñîåäèíèòü âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà íåïåðåñåêàþùèìèñÿ îòðåçêàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíûé ýñêèç ïëàíàðåí. 18. (a) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîã êðèòåðèÿ (S) äëÿ óòîëùåíèé, íå ïðåäïîëàãàåìûõ îðèåíòèðóåìûìè. (b) Äîêàæèòå êðèòåðèé (E). ( ) Ñ îðìóëèðóéòå êîìáèíàòîðíûé àëãîðèòì ïîäñ÷åòà ÷èñëà h(N ). 19. (a) ðà K5 íå âëîæèì â ïëîñêîñòü. (b) ðà K3,3 íå âëîæèì â ïëîñêîñòü. ( ) Ôîðìóëà Ýéëåðà äëÿ ñ åðû ñ g ðó÷êàìè. Ïóñòü íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè íàðèñîâàí áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé ñâÿçíûé ãðà ñ V âåðøèíàìè è E ðåáðàìè. Íàçîâåì ãðàíüþ çàìêíóòóþ îáëàñòü íà ñ åðå ñ ðó÷êàìè, îãðàíè÷åííóþ ðåáðàìè ýòîãî ãðà à. Ïóñòü F ÷èñëî ãðàíåé. Ïóñòü êàæäàÿ ãðàíü ðàçáèâàåòñÿ ëþáîé ëîìàíîé ñ êîíöàìè íà ãðàíèöå ýòîé ãðàíè (ò.å. òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà çàìêíóòîìó äèñêó íà ïëîñêîñòè). Òîãäà V − E + F = 2 − 2g . (d) Íàéäèòå ÷èñëî ðó÷åê â êàæäîì èç îðèåíòèðóåìûõ óòîëùåíèé ãðà à K4 . (e) K8 íå âëîæèì â òîð. (f) Äëÿ ëþáîé ñ åðû ñ ðó÷êàìè íàéäåòñÿ ãðà , íå âëîæèìûé â íåå. 21
Îðèåíòèðóåìûì ðîäîì ãðà à G íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå ÷èñëî g , äëÿ êîòîðîãî G âëîæèì â ñ åðó ñ g ðó÷êàìè. Íåîðèåíòèðóåìûì ðîäîì ãðà à G íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå ÷èñëî m, äëÿ êîòîðîãî G âëîæèì â äèñê ñ m ëèñòàìè ̼áèóñà (èëè â ñ åðó ñ m ïëåíêàìè ̼áèóñà). 20. (a) Íàéäèòå îðèåíòèðóåìûé è íåîðèåíòèðóåìûé ðîäû ãðà à K5 . 1
(b) Îðèåíòèðóåìûé ðîä ãðà à G ðàâåí (2 − V + E − H), 2 H := max{h(N ) | N îðèåíòèðóåìîå óòîëùåíèå ãðà à G}. ( ) Íàéäèòå àíàëîãè÷íóþ îðìóëó äëÿ íåîðèåíòèðóåìîãî ðîäà.
3
ãäå
4 5
2 1
6
èñ. 17: Îáõîä ìàêñèìàëüíîãî äåðåâà 21. Àëãîðèòì Ìîõàðà ðàñïîçíàâàíèÿ ðîäà ãðà à. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ñâÿçíîì ãðà å G íåò âèñÿ÷èõ âåðøèí. Âûäåëèì â ãðà å G ìàêñèìàëüíîå äåðåâî. Âíå ýòîãî äåðåâà b := E − V + 1 ðåáåð. Çàíóìåðóåì ýòè ðåáðà ÷èñëàìè îò 1 äî b. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ãðà à G âûáåðåì îðèåíòèðîâàííûé öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç ýòîé âåðøèíû. Îáîçíà÷èì âûáðàííûé íàáîð îðèåíòèðîâàííûõ öèêëè÷åñêèõ ïîðÿäêîâ ÷åðåç ρ. Âîçüìåì ìàêñèìàëüíîå äåðåâî â G è åãî òåñíóþ îêðåñòíîñòü, ãîìåîìîð íóþ äèñêó (ðèñ. 17). Ïðè îáõîäå ïî ãðàíèöå ýòîãî äèñêà ïîëó÷àåòñÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåáåð âíå ìàêñèìàëüíîãî äåðåâà, â êîòîðîé êàæäîå ðåáðî âñòðå÷àåòñÿ äâà ðàçà. Îïðåäåëèì ìàòðèöó sij (ρ) ðàçìåðà b × b èç íóëåé è åäèíèö: sii (ρ) := 0 è sij (ρ) := 1 (ñîîòâåòñòâåííî sij (ρ) := 0), åñëè â ïîëó÷åííîé öèêëè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåáðà i è j ÷åðåäóþòñÿ (ñîîòâåòñòâåííî èäóò ïîäðÿä). (a) Îðèåíòèðóåìûé ðîä ãðà à G ðàâåí minρ {rank s(ρ)}/2. (b) Íåîðèåíòèðóåìûé ðîä ãðà à G ðàâåí minρ,A {rank s(ρ, A)}, ãäå ìàòðèöà s(ρ, A) ïîëó÷åíà èç s(ρ) çàìåíîé íåêîòîðîãî íåïóñòîãî ñåìåéñòâà A äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ íà åäèíèöû. 22. Ïóñòü N îðèåíòèðîâàííîå óòîëùåíèå ñâÿçíîãî ãðà à G ñòåïåíè 3, íå ðåàëèçóåìîå íà òîðå, ëþáîå ñâÿçíîå ïîäóòîëùåíèå êîòîðîãî ðåàëèçóåìî íà òîðå. (a)  G íåò ïåòåëü. (b)  G 6 âåðøèí è 9 ðåáåð. (ñ)* Ëþáîé ñâÿçíûé ãðà ñòåïåíè 3 ñ óñëîâèÿìè (a) è (b) èçîìîð åí îäíîìó èç ïÿòè ãðà îâ íà ðèñ. 19 (äîñòàòî÷íî âçÿòü 1-é, 3-é, 4-é, 6-é è 8-é) èëè íà ðèñ. 18.
èñ. 18: Øåñòîé ãðà (d)* èïîòåçà ðåàëèçóåìîñòè óòîëùåíèé êóáè÷íûõ ãðà îâ íà òîðå. Ïóñòü èç êàæäîé âåðøèíû ñâÿçíîãî ãðà à âûõîäèò 3 ðåáðà. Îðèåíòèðóåìîå óòîëùåíèå ýòîãî ãðà à ðåàëèçóåìî íà òîðå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî íå ñîäåðæèò ïîäóòîëùåíèé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 19. [PV℄. 22
èñ. 19: Óòîëùåíèÿ, íå âëîæèìûå â òîð 23. Ïóñòü N îðèåíòèðîâàííîå óòîëùåíèå ãðà à G ñòåïåíè 4, íå ðåàëèçóåìîå íà òîðå, ëþáîå ïîäóòîëùåíèå êîòîðîãî ðåàëèçóåìî íà òîðå. (a)  G íåò ïåòåëü. (b) Ñêîëüêî â G âåðøèí è ðåáåð? (ñ)* Îïèøèòå óòîëùåíèÿ ãðà îâ ñòåïåíè 4, ðåàëèçóåìûå íà òîðå. (d)* Îïèøèòå X-ãðà û, ðåàëèçóåìûå íà òîðå. Ñð. [Ma05℄, [Pe'℄. Íàáðîñîê íàçûâàåòñÿ ðåàëèçóåìûì íà ëèñòå Ìåáèóñà, åñëè åãî ìîæíî èçîáðàçèòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà ëèñòå Ìåáèóñà è îêðóæèòü êàæäóþ âåðøèíó ìàëåíüêîé îðèåíòèðîâàííîé îêðóæíîñòüþ òàê, ÷òîáû äëÿ êàæäîé âåðøèíû îáõîä âûõîäÿùèõ èç íåå ïîëóðåáåð âäîëü îðèåíòèðîâàííîé îêðóæíîñòè äàâàë áû çàäàííûé îðèåíòèðîâàííûé öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê. íà ðåáðå ñòîèò 0 òîãäà è òîëüêî êîãäà, êîãäà îðèåíòàöèè çàìêíóòûõ êðèâûõ, ïîñòðîåííûõ âîêðóã êîíöîâ ýòîãî ðåáðà, ñîãëàñîâàíû âäîëü ýòîãî ðåáðà (ðèñ. 20). 24. (a) Íàáðîñêè íà ðèñ. 21 íå ðåàëèçóåìû íà ëèñòå Ìåáèóñà. (b) îìåîìîð íûå íàáðîñêè îäíîâðåìåííî ðåàëèçóåìû íà ëèñòå Ìåáèóñà èëè íåò. ( ) Åñëè ïðè óäàëåíèè íåêîòîðîãî ðåáðà èç íàáðîñêà ïîëó÷àåòñÿ äåðåâî, òî ýòîò íàáðîñîê ðåàëèçóåì íà ëèñòå Ìåáèóñà. (d) Êàêèå íàáðîñêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ãðà ó K4 , ðåàëèçóåìû íà ëèñòå Ìåáèóñà? (e)* èïîòåçà ðåàëèçóåìîñòè óòîëùåíèé íà ëèñòå Ìåáèóñà. Óòîëùåíèå ðåàëèçóåìî íà ëèñòå Ìåáèóñà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî íå ñîäåðæèò ïîäóòîëùåíèé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 22 [Pe℄. (f)* èïîòåçà ðåàëèçóåìîñòè óòîëùåíèé êóáè÷íûõ ãðà îâ íà áóòûëêå Êëåéíà. Ïóñòü èç êàæäîé âåðøèíû ãðà à âûõîäèò 3 ðåáðà. Óòîëùåíèå ýòîãî ãðà à ðåàëèçóåìî íà áóòûëêå Êëåéíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî íå ñîäåðæèò ïîäóòîëùåíèé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. ?? [Te℄. 25.* ðà îì ñ íåîðèåíòèðîâàííûìè âðàùåíèÿìè íàçûâàåòñÿ ãðà , äëÿ êàæäîé âåðøèíû êîòîðîãî óêàçàí íåîðèåíòèðîâàííûé öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê âûõîäÿùèõ èç íåå ïîëóðåáåð. Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè âûøåèçëîæåííûõ òåîðåì è çàäà÷ äëÿ ãðà îì ñ íåîðèåíòèðîâàííûìè âðàùåíèÿìè. Ñì. [KPS℄ ïî ïîâîäó ãðà îâ ñòåïåíè 4.
23
1
0
èñ. 20: àññòàíîâêà ÷èñåë íà ðåáðàõ 1
0
0
0
0
1 0
1
èñ. 21: Íàáðîñêè, íå ðåàëèçóåìûå íà ëèñòå Ìåáèóñà (äîáàâèòü!!!) Îòâåòû è óêàçàíèÿ ê íåêîòîðûì çàäà÷àì.
Îñòàëîñü äîêàçàòü ÷àñòü 'òîãäà'. åàëèçóåì çâåçäó ñ 2n ëó÷àìè (è èõ çàäàííûì öèêëè÷åñêèì ïîðÿäêîì) âíå âíóòðåííîñòè íåêòîðîãî âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà òàê, ÷òîáû êîíöû ëó÷åé èçîáðàæàëèñü áû âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Òîãäà îñòàâøèåñÿ îòðåçêè ìîæíî ðåàëèçîâàòü ïðÿìîëèíåéíî âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà. (a), (b) Ñì. ðèñ. . (d) Äîêàçàòåëüñòâî ðàçóìíî ïðîâîäèòü ïî ñõåìå (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1). 2.
3.
??
24
èñ. 22: Óòîëùåíèÿ, íå ðåàëèçóåìûå íà ëèñòå Ìåáèóñà (äîáàâèòü!!!)
Óòîëùåíèå èåðîãëè à íà ðèñ. 6 ñëåâà òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî òîðó ñ äûðêîé. Ïðè äîáàâëåíèè ëåíòî÷êè ïîëó÷àåòñÿ òîð ñ äâóìÿ äûðêàìè, ñì. ðèñ. 9 ñëåâà. Âûáåðåì ïîäèåðîãëè ñ òðåìÿ ïåòëÿìè, ðàññìîòðåííûé â 4a. Åãî óòîëùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òîðîì ñ äâóìÿ äûðêàìè. Ïðè äîáàâëåíèè ÷åòâåðòîé ïåòëè äîáàâëÿåòñÿ ðó÷êà è óäàëÿåòñÿ äûðêà, ñì. ðèñ. 9 ñïðàâà. Óêàçàíèå. Ïóñòü èç òîðà âûðåçàíà èãóðà K , ÿâëÿþùàÿñÿ ñ åðîé ñ ðó÷êàìè è îäíîé äûðêîé. Åñëè ãðàíè÷íàÿ îêðóæíîñòü òîð, òî ó K äâå ãðàíè÷íûå îêðóæíîñòè ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè ãðàíè÷íàÿ îêðóæíîñòü òîð, òî ïðè çàêëåéêå ýòîé ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè äèñêîì èç K ïîëó÷àåòñÿ òîð èëè ñ åðà. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðèâåäåííûì àêòîì. Èíäóêöèÿ ïî n (àíàëîãè÷íî çàäà÷àì 4ad). Óòîëùåíèå áóêåòà ñ íóëåì ïåòåëü èìååò îäíó êðàåâóþ îêðóæíîñòü è òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî äèñêó. Ïðè ïðèêëåèâàíèè íîâîé ëåíòî÷êè âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ íà ðèñ. 9. Ó ýòîé èãóðû òðè ãðàíè÷íûå îêðóæíîñòè. Âûäåëèòå ìàêñèìàëüíîå äåðåâî è âûâåäèòå èç îðìóëû Ýéëåðà, ÷òî ýòà èãóðà ãîìåîìîð íà òîðó ñ òðåìÿ äûðêàìè. Èíäóêöèÿ ïî n ñ èñïîëüçîâàíèåì ðèñ. 11 è 9b. (a) Îòâåò: 16 = 24 . Èç êàæäîé âåðøèíû ãðà à âûõîäèò ïî 3 ðåáðà. Òîãäà äëÿ êàæäîé âåðøèíû ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ îðèåíòèðîâàííûõ öèêëè÷åñêèõ ïîðÿäêà âûõîäÿùèõ èç íåå ïîëóðåáåð. Ïîýòîìó âñåãî ðàçëè÷íûõ ýñêèçîâ áóäåò 24 . (b) Îòâåò: 3, ñì. ðèñ. 12. Ïîðÿäêè âûõîäÿùèõ ïîëóðåáåð ìîæíî ìåíÿòü â 0, 1, 2, 3, 4-õ âåðøèíàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, òàêèõ ýñêèçîâ íå áîëåå 5. (a) Ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Æîðäàíà. Ïðèâåäåì áîëåå èçÿùíîå (íî ïî ñóòè, àíàëîãè÷íîå) äîêàçàòåëüñòâî íåïëàíàðíîñòè ãðà à K5 , îñíîâàííîå íà îðìóëå Ýéëåðà. Ïóñòü ãðà K5 íàðèñîâàí íà ïëîñêîñòè áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé. Òîãäà ïî îðìóëå Ýéëåðà 5 − 10 + F = 2. Çíà÷èò, F = 7. Ïîñòàâèì îêîëî êàæäîãî ðåáðà ãðà à K5 , íàðèñîâàííîãî íà ïëîñêîñòè, ñòðåëêó âïðàâî è ñòðåëêó âëåâî. Òîãäà ÷èñëî ñòðåëîê ðàâíî 2E = 20. Íî ïîñêîëüêó ãðàíèöà êàæäîé ãðàíè ñîñòîèò íå ìåíåå ÷åì èç òðåõ ðåáåð, òî ÷èñëî ñòðåëîê íå ìåíüøå 4a.
4d.
5b.
íå ðàçáèâàåò
ðàçáèâàåò
6a.
6b.
9 .
12.
19.
25
. Ïðîòèâîðå÷èå. ( ) àññìîòðèòå îêðåñòíîñòü ãðà à â ñ åðå ñ ðó÷êàìè, ÿâëÿþùóþñÿ åãî óòîëùåíèåì. (d) Îòâåò: 0, 1, 1 äëÿ òðåõ ýñêèçîâ íà ðèñ. 12, ñîîòâåòñòâåííî. (f) Àíàëîãè÷íî (a) ãðà K2g +9 íå âëîæèì â ñ åðó ñ g ðó÷êàìè.
3F = 21 > 20
2
ÎÏ ÅÄÅËÅÍÈÅ ÄÂÓ- È Ò ÅÕÌÅ ÍÛÕ ÌÍÎ ÎÎÁ ÀÇÈÉ Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû äâóìåðíûõ ïîëèýäðîâ.
Íàøà öåëü îïðåäåëèòü äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè è äâóìåðíûå îáîáùåíèÿ ãðà îâ êîìáèíàòîðíûì îáðàçîì (óäîáíûì êàê äëÿ òåîðèè, òàê è äëÿ õðàíåíèÿ ýòèõ îáúåêòîâ â ïàìÿòè êîìïüþòåðà). Îðèåíòèðîâàííûì öèêëîì íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðèåíòèðîâàííûõ ðåáåð, â êîòîðîé íà÷àëî êàæäîãî ñëåäóþùåãî ðåáðà ñîâïàäàåò ñ êîíöîì ïðåäûäóùåãî (îðèåíòèðîâàííûå öèêëû, îòâå÷àþùèå òîðó è ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè íà ðèñ. 23, ðàçëè÷íû). 2-Ñõåìîé íàçûâàåòñÿ ãðà âìåñòå ñ íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì âûäåëåííûõ â íåì îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ (âîçìîæíî, ñàìîïåðåñåêàþùèìèñÿ è ïåðåñåêàþùèåñÿ äðóã ñ äðóãîì). Âûäåëåííûå öèêëû íàçûâàþòñÿ ãðàíÿìè 2-ñõåìû. Ïðèìåðû ñõåì, ó êîòîðûõ ðîâíî îäèí âûäåëåííûé öèêë, èìåþùèé äëèíó 4, èçîáðàæåíû íà ðèñ. 23 â âåðõíåé ñòðîêå. èñ. 23: Ïðîñòåéøèå ñõåìû è ñîîòâåòñòâóþùèå 2-ìíîãîîáðàçèÿ (ïåðåäåëàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ òåêñòîì) Èç äàííîé 2-ñõåìû ìîæíî ïîëó÷àòü íîâûå 2-ñõåìû ñêëåèâàíèåì ðåáåð, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ íà ðèñóíêàõ ïðîñòàâëåíèåì íà ñêëåèâàåìûõ ðåáðàõ îäèíàêîâûõ ñòðåëî÷åê (ðèñ. 26). Çàìåòèì, ÷òî ýòè ñòðåëî÷êè íå èìåþò íè÷åãî îáùåãî ñ íàïðàâëåíèåì ðåáåð â ñîîòâåòñòâóþùåì íàïðàâëåííîì öèêëå (ïîñëåäíåå îáû÷íî ÿñíî èç êîíòåêñòà è ïîýòîìó íå óêàçûâàåòñÿ íèãäå, êðîìå âåðõíåé ñòðîêè íà ðèñ. 23). Òàê èç ñõåìû 'êâàäðàò' (ïåðâàÿ ñõåìà âî âòîðîì ðÿäó íà ðèñ. 23) ïîëó÷àþòñÿ ñõåìû èç âåðõíåé ñòðîêè íà ðèñ. 23: ïîä êàæäîé ñõåìîé ïåðâîé ñòðîêè íàðèñîâàíî ñîîòâåòñòâóþùåå îòîæäåñòâëåíèå ðåáåð ñõåìû 'êâàäðàò'. Íàïîìíèì, ÷òî â âåðõíåé ñòðîêå ñòðåëêè íà ðåáðàõ îáîçíà÷àþò èõ îðèåíòàöèþ â âûäåëåííîì öèêëå, à âî âòîðîé ñòðîêå ñîâñåì äðóãîå ñïîñîá ñêëåèâàíèÿ ðåáåð.  êàæäîì ðèñóíêå âòîðîé ñòðîêè îðèåíòàöèÿ â âûäåëåííîì öèêëå (äëèíû 4) çàäàåòñÿ åãî îáõîäîì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ïðè äàííîì èçîáðàæåíèè íà ïëîñêîñòè íàøåãî ãðà à, ÿâëÿþùåãîñÿ öèêëîì äëèíû 4). Îïåðàöèè ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà è ïîäðàçäåëåíèÿ ãðàíè (ïðîâåäåíèÿ äèàãîíàëè) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 24 (÷èòàòåëü ëåãêî âîññòàíîâèò îðìàëüíîå êîìáèíàòîðíîå îïðåäåëåíèå ýòèõ îïåðàöèé ïî ðèñóíêàì). Äâå 2-ñõåìû íàçûâàþòñÿ ãîìåîìîð íûìè (òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè), åñëè îò îäíîé ìîæíî ïåðåéòè ê äðóãîé ïðè ïîìîùè ýòèõ îïåðàöèé è îáðàòíûõ ê íèì. Îáîçíà÷åíèå: T1 ∼ = T2 . Êîìïàêòíûì äâóìåðíûì ïîëèýäðîì íàçûâàåòñÿ êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè 2-ñõåì ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð íîñòè. Ïðåäñòàâèòåëè ýòîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàþòñÿ 2-ñõåìàìè ñîîòâåòñòâóþùåãî 2-ïîëèýäðà. Ìû áóäåì ñîêðàùåííî íàçûâàòü êîìïàêòíûå äâóìåðíûå ïîëèýäðû 2-ïîëèýäðàìè. 2-ïîëèýäðû è 2-ñõåìû ñîîòíîñÿòñÿ òàê æå, êàê 1-ïîëèýäðû (ò.å. ãðà û ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð èçìà, èëè ãðà û â òîïîëîãè÷åñêîì ñìûñëå) è ãðà û (ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîð èçìà, èëè ãðà û â êîìáèíàòîðíîì ñìûñëàõ). Îäíàêî 2-ïîëèýäðû è 2-ñõåìû óæå âàæíî ðàçëè÷àòü. 26
èñ. 24: Ïîäðàçäåëåíèå ðåáðà è ïîäðàçäåëåíèå ãðàíè 1. Ñõåìû â êàæäîé êîëîíêå íà ðèñ. 23 ãîìåîìîð íû ìåæäó ñîáîé, à ñõåìû èç ðàçíûõ êîëîíîê íåò (óêàçàíèå: íåãîìåîìîð íîñòü ìîæíî äîêàçûâàòü ïî ìåðå ÷òåíèÿ ñëåäóþùåãî ïóíêòà).
Ïî êàæäîé 2-ñõåìå åñòåñòâåííî ñòðîèòñÿ èãóðà (òåëî 2-ñõåìû), ïîëó÷åííàÿ èç ãðà à 2-ñõåìû ñêëåéêîé äâóìåðíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âûäåëåííûì öèêëàì 2-ñõåìû (ñêëåéêà îñóùåñòâëÿåòñÿ íå â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, à àáñòðàêòíî). Íàïðèìåð, íà ðèñ. 25 èçîáðàæåíî ïîñòðîåíèå òåëà ñõåìû, ñòñòîÿùåé èç ãðà à K4 , â êîòîðîì âûäåëåíû âñå öèêëû äëèíû 3. Ìû íå äàåì ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ èãóðû è ñêëåéêè (ò.å. òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà è îïåðàöèè ñêëåéêè òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ), ïîñêîëüêó îðìàëüíî èõ íå èñïîëüçóåì (âñå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïåðåâåñòè íà ÿçûê êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ñõåì). Îäíàêî âàæíî, ÷òî íà ñàìîì äåëå ìû èçó÷àåì èìåííî èãóðû ïîñðåäñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ èõ 2-ñõåìàìè.
ñêëåéêà
èñ. 25: Ñêëåéêà òåëà 2-ñõåìû Ñêëåèâàíèå ðåáåð 2-ñõåìû ïîðîæäàåò ñêëåèâàíèå ðåáåð ñîîòâåòñòâóþùåãî 2ïîëèýäðà (ðèñ. 26, 23). Ïðèìåðû 2-ïîëèýäðîâ, ïîëó÷åííûõ ñêëåéêîé ñòîðîí êâàäðàòà, èçîáðàæåíû â òðåòüåì ðÿäó íà ðèñ. 23. Èíòåðåñíûå ïðèìåðû 2-ïîëèýäðîâ (2-ìíîãîîáðàçèÿ, êîíóñû íàä ãðà àìè, I ðàññëîåíèÿ íàä ãðà àìè, S 1 -ðàññëîåíèÿ íàä ãðà àìè, ïðîèçâåäåíèÿ ãðà îâ) ïîÿâÿòñÿ äàëåå. Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ýòîãî ïóíêòà íå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ 2ìíîãîîáðàçèÿ. àññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó x ñõåìû T . 27
èñ. 26: Ñêëåèâàíèå ðåáåð Ïîñòðîèì íîâûé ãðà lkT x ëèíê âåðøèíû x. Åãî âåðøèíû ñîîòâåòñòâóþò ðåáðàì ãðà à T , âûõîäÿùèì èç âåðøèíû x. Ïðè ýòîì êàæäîé ïåòëå ñîîòâåòñòâóåò äâå âåðøèíû, à ðåáðó êðàòíîñòè k , íå ÿâëÿþùåìóñÿ ïåòëåé, ñîîòâåòñòâóåò k âåðøèí. Êðàòíîñòü ðåáðà ab â ãðà å lkT x ðàâíà êîëè÷åñòâó ïðîõîæäåíèé âûäåëåííûõ öèêëîâ ÷åðåç x âäîëü ðåáåð a è b (ðèñ. 27). Ñõåìà stT x çâåçäà âåðøèíû x ÿâëÿåòñÿ êîíóñîì íàä ãðà îì lkT x. Âåðøèíà x 2-ïîëèýäðà ñî ñõåìîé T èìååò ìàëóþ îêðåñòíîñòü, òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíóþ çâåçäå stT x (ðèñ. 27). Åñëè T òðèàíãóëÿöèÿ, òî st x = ∪{σ ∈ T | x ∈ σ} T
è
lk x = ∪{σ ∈ T | σ ⊂ st x è x 6∈ σ}. T
T
èñ. 27: Ïîñòðîåíèå çâåçäû è ëèíêà (a) Íàéäèòå ëèíêè âåðøèí äëÿ ñõåì íà ðèñ. 23. (b) Äëÿ ëþáîãî ãðà à íàéäóòñÿ ñõåìà è åå âåðøèíà, ëèíê êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ çàäàííûì ãðà îì. 2.
Îïðåäåëåíèå è èíâàðèàíòû äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé.
Âåðøèíà 2-ñõåìû íàçûâàåòñÿ ïëîñêîé, åñëè âûõîäÿùèå èç ýòîé âåðøèíû ðåáðà ìîæíî òàê çàíóìåðîâàòü e1 , e2 , . . . , en , en+1 = e1 , ÷òî âûäåëåííûå öèêëû ïðîõîäÿò ÷åðåç ýòó âåðøèíó òîëüêî âäîëü ðåáåð ei , ei+1 è òîëüêî ïî îäíîìó ðàçó äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n − 1 èëè i = 1, 2, . . . , n. (Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ëèíê âåðøèíû ãîìåîìîð åí îêðóæíîñòè èëè îòðåçêó.) Êîìïàêòíûé äâóìåðíûé ïîëèýäð íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì äâóìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì (ñîêðàùåííî: 2-ìíîãîîáðàçèåì) èëè ïîâåðõíîñòüþ, åñëè äëÿ íåêîòîðîé (èëè, ýêâèâàëåíòíî, äëÿ ëþáîé 7 ) åãî ñõåìû êàæäàÿ âåðøèíà ýòîé ñõåìû ïëîñêàÿ. Ýòî ñâîéñòâî íå îðìàëüíî îçíà÷àåò, ÷òî òåëî ñõåìû ëîêàëüíî óñòðîåíî êàê ïëîñêîñòü èëè ïîëóïëîñêîñòü.  ýòîì ïóíêòå, à òàêæå â òåõ, 7 Äîêàçàòåëüñòâî
ýòîé ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ (íåñëîæíûì) óïðàæíåíèåì 28
ãäå ó÷àñòâóþò òîëüêî 2-ìíîãîîáðàçèÿ (ò.å. íå ó÷àñòâóþò n-ìíîãîîáðàçèÿ ñ n > 3) ìû áóäåì íàçûâàòü èõ ïðîñòî ìíîãîîáðàçèÿìè. Êðàåì (èëè ãðàíèöåé) ñõåìû ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèå òàêèõ ðåáåð ñõåìû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ òîëüêî â îäíîé ãðàíè è ïðè÷åì îäíîêðàòíî. Ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè êðàé íåêîòîðîé (èëè, ýêâèâàëåíòíî, ëþáîé) åãî ñõåìû ïóñò. 3. (a) Êðàé ñõåìû ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì îêðóæíîñòåé. (b) Êîëè÷åñòâî ýòèõ îêðóæíîñòåé îäèíàêîâî äëÿ ãîìåîìîð íûõ ñõåì. Ïðèìåðû ìíîãîîáðàçèé ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðèêëåèâàíèåì ðó÷åê N → N #T 2 , ïðèêëåèâàíèåì ïëåíîê ̼áèóñà N → N #RP 2 è âûðåçàíèåì äûðîê (ðèñ. 28). Çäåñü è äàëåå ìû ïðèâîäèì îïðåäåëåíèÿ íà íàãëÿäíîì ÿçûêå (÷èòàòåëü ìîæåò ïðè æåëàíèè ïðèâåñòè îðìàëüíîå îïèñàíèå íà ÿçûêå ñõåì).
èñ. 28: Ïðèêëåèâàíèå ðó÷êè, ïðèêëåèâàíèå ïëåíêè Ìåáèóñà è âûðåçàíèå äûðêè (a) RP 2 ñ äûðêîé ãîìåîìîð íî ëèñòó ̼áèóñà. (b) RP 2 #RP 2 ∼ = K 2. 2 2∼ ( ) RP #K = RP 2 #T 2 . Çàêëåèâ âñå ãðàíè÷íûå îêðóæíîñòè óòîëùåíèÿ (íåêîòîðîãî ãðà à) äèñêàìè, ïîëó÷èì 2-ìíîãîîáðàçèå áåç êðàÿ. Óòîëùåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñõåìó ñîîòâåòñòâóþùåãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ (è íàîáîðîò). Ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêîé ñõåìû íàçûâàåòñÿ ÷èñëî χ = V − E + F , ãäå F ÷èñëî ãðàíåé. 5. (a) Íàéäèòå ýéëåðîâû õàðàêòåðèñòèêè ñõåì ñ ðèñ. 23. (b) Ýéëåðîâû õàðàêòåðèñòèêè äâóõ ãîìåîìîð íûõ ñõåì îäèíàêîâû. ( ) Ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ñ åðû ñ g ðó÷êàìè, m ïëåíêàìè ̼áèóñà è h äûðêàìè ðàâíà 2 − 2g − m − h. Îðèåíòàöèÿ äâóìåðíîãî ïëîñêîãî (íåñàìîïåðåñåêàþùåãîñÿ) ìíîãîóãîëüíèêà çàäàåòñÿ îêðóæíîñòüþ ñî ñòðåëêîé, â íåì ëåæàùåé. Âíóòðåííèì ðåáðîì 2-ñõåìû íàçûâàåòñÿ åå ðåáðî, ó÷àñòâóþùåå ïî êðàéíåé ìåðå äâàæäû â ãðàíÿõ (ò.å. ëèáî ïî êðàéíåé ìåðå â äâóõ, ëèáî ïî êðàéíåé ìåðå â îäíîé äâóêðàòíî). Ñõåìà 2-ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðóåìîé, åñëè ìîæíî ââåñòè îðèåíòàöèè íà âñåõ åå ãðàíÿõ, êîòîðûå ñîãëàñîâàíû âäîëü êàæäîãî âíóòðåííåãî ðåáðà, ò.å. êîòîðûå çàäàþò ñ äâóõ ñòîðîí ýòîãî ðåáðà ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ (ðèñ. 29). 2-Ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿ 4.
29
îðèåíòèðóåìûì, åñëè îíî èìååò îðèåíòèðóåìóþ 2-ñõåìó. Óêàçàííûé íàáîð îðèåíòàöèé íà ãðàíÿõ 2-ñõåìû íàçûâàåòñÿ åå îðèåíòàöèåé (èëè îðèåíòàöèåé ñîîòâåòñòâóþùåãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ). Ïîíÿòèå îðèåíòèðóåìîñòè íåâîçìîæíî ââåñòè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ 2-ñõåì (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó), íî ìîæíî ââåñòè äëÿ 2-ñõåì, êàæäîå ðåáðî êîòîðûõ ó÷àñòâóåò â ãðàíÿõ íå áîëåå ÷åì äâàæäû.
èñ. 29: Ñîãëàñîâàííûå îðèåíòàöèè 2-ìíîãîîáðàçèå áåç êðàÿ, ïîëó÷åííîå èç óòîëùåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì, åñëè ýòî óòîëùåíèå îðèåíòèðóåìî (ýòî äîêàçûâàåòñÿ ïðè ïîìîùè ïåðåõîäà ê äâîéñòâåííîé òðèàíãóëÿöèè èëè ñõåìå). 6. (à) îìåîìîð íûå ñõåìû îðèåíòèðóåìû èëè íåò îäíîâðåìåííî. (b) Ñ åðà îðèåíòèðóåìà, à ëèñò ̼áèóñà íåîðèåíòèðóåì. ( )* Ìíîãîîáðàçèå îðèåíòèðóåìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî íå ñîäåðæèò ëèñòà ̼áèóñà (ò.å. íèêàêàÿ ñõåìà ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ íå èìååò ïîäñõåìû ìíîãîîáðàçèÿ 'ëèñò Ìåáèóñà'). Çàìåòèì, ÷òî íåîðèåíòèðóåìàÿ ñõåìà íå îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò ïîäñõåìó, ïðåäñòàâëÿþùóþ ëèñò ̼áèóñà (íàïðèìåð, ñõåìû áóòûëêè Êëÿéíà èëè ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè íà ðèñ. 23). Êëàññè èêàöèÿ äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé.
Ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ãðà íåêîòîðîé (èëè, ýêâèâàëåíòíî, ëþáîé) åãî ñõåìû ñâÿçåí. Òåîðåìà êëàññè èêàöèè. Ïóñòü N (êîìïàêòíîå) ñâÿçíîå îðèåíòèðóåìîå 2-ìíîãîîáðàçèå. (1) N ÿâëÿåòñÿ ñ åðîé ñ íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì g ðó÷åê è íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì h äûðîê. (2) ×èñëî g = g(N ) ðó÷åê (ðîä ìíîãîîáðàçèÿ N ) è ÷èñëî h = h(N ) äûðîê îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïî N , ò.å. ñ åðû ñ g ðó÷êàìè è h äûðêàìè íå ãîìåîìîð íû äëÿ ðàçëè÷íûõ ïàð (g, h). Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà. Âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû äîêàçûâàåòñÿ ïóòåì ïîäñ÷åòà êîëè÷åñòâà ñâÿçíûõ êîìïîíåíò êðàÿ è ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè (íåêîòîðîé ñõåìû êàæäîãî èç ïåðå÷èñëåííûõ 2-ìíîãîîáðàçèé). Ïîëó÷èòñÿ, ÷òî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ñ åðû ñ g ðó÷êàìè ðàâíà 2 − 2g . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîé ÷àñòè âîçüìåì òàêóþ ñõåìó T äàííîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ N , â êîòîðîé âñå âûäåëåííûå öèêëû èìåþò äëèíó 3 (äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ ñõåìà ýêâèâàëåíòíà íåêîòîðîé ñõåìå ñ òàêèì ñâîéñòâîì!). Ïîñòðîèì øàïî÷êè, ëåíòî÷êè è çàïëàòêè. Íà íàãëÿäíîì óðîâíå ïîñòðîåíèå ïðèâåäåíî íà ðèñ. 30. Ïðèâåäåì áîëåå àêêóðàòíîå ïîñòðîåíèå (êîòîðîå ÷èòàòåëü ëåãêî ñìîæåò îðìàëèçîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 2-ìíîãîîáðàçèÿ ÷åðåç ñõåìû). Äëÿ òàêîé ñõåìû áàðèöåíòðè÷åñêèì ïîäðàçäåëåíèåì ãðàíè íàçîâåì åå çàìåíó íà øåñòü íîâûõ ãðàíåé, ïîëó÷åííûõ ïðîâåäåíèåì 'ìåäèàí' â òðåóãîëüíèêå, ïðåäñòàâëÿþùåì ýòó ãðàíü (ðèñ. 31). Áàðèöåíòðè÷åñêèì ïîäðàçäåëåíèåì ñõåìû íàçîâåì ðåçóëüòàò áàðèöåíòðè÷åñêîãî ïîäðàçáèåíèÿ âñåõ åå ãðàíåé. ßñíî, ÷òî áàðèöåíòðè÷åñêîå 30
èñ. 30: Øàïî÷êè, ëåíòî÷êè è çàïëàòêè ïîäðàçäåëåíèå ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîäðàçäåëåíèé ðåáåð è ãðàíåé.
èñ. 31: Áàðèöåíòðè÷åñêîå ïîäðàçäåëåíèå Ïóñòü T ′′ - ñõåìà, ïîëó÷åííàÿ èç T äâóêðàòíûì ïðèìåíåíèåì îïåðàöèè áàðèöåíòðè÷åñêîãî ïîäðàçäåëåíèÿ. Øàïî÷êîé íàçîâåì îáúåäèíåíèå âñåõ ãðàíåé ñõåìû T ′′ , ñîäåðæàùèõ íåêîòîðóþ âåðøèíó ñõåìû T . Ëåíòî÷êîé íàçîâåì îáúåäèíåíèå âñåõ ãðàíåé ñõåìû T ′′ , ïåðåñåêàþùèõ íåêîòîðîå ðåáðî ñõåìû T , íî íå âõîäÿùèõ íè â îäíó øàïî÷êó. Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè îáúåäèíåíèÿ îñòàâøèõñÿ ãðàíåé ñõåìû T ′′ íàçîâåì çàïëàòêàìè. Èòàê, ìû ðàçáèëè N íà øàïî÷êè, ëåíòî÷êè è çàïëàòêè. àññìîòðèì ãðà G, ÿâëÿþùèéñÿ îáúåäèíåíèåì âñåõ ðåáåð ñõåìû T . Ïóñòü G0 ìàêñèìàëüíîå äåðåâî ãðà à G. ×åðåç N0 îáîçíà÷èì îáúåäèíåíèå øàïî÷åê è ëåíòî÷åê, ïåðåñåêàþùèõñÿ ñ G0 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî N0 ãîìåîìîð íî äâóìåðíîìó äèñêó. Åñëè ìû áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî äîáàâëÿòü ëåíòî÷êè è çàïëàòêè èç N − N0 ê N0 , òî ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ . . . ⊂ Np = N . Òàêèì îáðàçîì, N ïîëó÷àåòñÿ èç íåñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ äèñêîâ (âîçìîæíî, èç îäíîãî äèñêà) ïðèêëåèâàíèåì ëåíòî÷åê è çàêëåèâàíèåì äûðîê. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ïîñëå äîáàâëåíèÿ ëåíòî÷êè ê ñ åðå ñ ðó÷êàìè è äûðêàìè ïîëó÷èòñÿ ñíîâà ñ åðà ñ ðó÷êàìè è äûðêàìè (âîçìîæíî, ñ äðóãèì èõ ÷èñëîì). Ýòî äîêàçûâàåòñÿ ðàññìîòðåíèåì äâóõ ñëó÷àåâ íà ðèñ. 9 (ñëó÷àè íà ðèñ. 11 íåâîçìîæíû ââèäó îðèåíòèðóåìîñòè). 7.
(a) Êàêèå ïîâåðõíîñòè èç çàäà÷è 5ñ ãîìåîìîð íû, à êàêèå íåò? 31
(b) Êëàññè èöèðóéòå âñå íåîðèåíòèðóåìûå ñâÿçíûå 2-ìíîãîîáðàçèÿ Óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå ïðèâåäåííóþ èäåþ; ê äâóì ñëó÷àÿì íà ðèñ. 9 äîáàâëÿþòñÿ äâà ñëó÷àÿ íà ðèñ. 11. Áîëåå ïîäðîáíî òåîðèÿ 2-ìíîãîîáðàçèé íà íàãëÿäíîì óðîâíå èçëîæåíà â [BE82℄. Äîïîëíåíèå: äðóãèå îïðåäåëåíèÿ.
Òðèàíãóëÿöèåé 2-ïîëèýäðà (ñîêðàùåííî: òðèàíãóëÿöèåé) íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî äâóõýëåìåíòíûõ è òðåõýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà, êîòîðîå âìåñòå ñ êàæäûì òðåõýëåìåíòíûì ìíîæåñòâîì ñîäåðæèò âñå òðè åãî äâóõýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà. Ýëåìåíòû äàííîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè òðèàíãóëÿöèè, âûäåëåííûå äâóõýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà åå ðåáðàìè, à âûäåëåííûå òðåõýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà åå ãðàíÿìè. Òðèàíãóëÿöèåé 2-ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, â êîòîðîì âûäåëåíû íåêîòîðûå òðåõýëåìåíòíûå íåóïîðÿäî÷åííûå ïîäìíîæåñòâà, ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a âñå âûäåëåííûå òðåõýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà, åãî ñîäåðæàùèå, îáðàçóþò öåïî÷êó {a, a1 , a2 }, {a, a2 , a3 } . . . {a, an−1 , an }
èëè {a, a1 , a2 }, {a, a2 , a3 } . . . {a, an−1 , an }, {a, an , a1 }.
Ýëåìåíòû äàííîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè, âûäåëåííûå ïîäìíîæåñòâà ãðàíÿìè, à äâóõýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà ãðàíåé ðåáðàìè.
èñ. 32: Ïîäðàçäåëåíèå ðåáðà è ãðàíè äëÿ òðèàíãóëÿöèé Îïåðàöèÿ ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 32 ñëåâà. Äâå òðèàíãóëÿöèè íàçûâàþòñÿ ãîìåîìîð íûìè, åñëè îò îäíîé ìîæíî ïåðåéòè ê äðóãîé ïðè ïîìîùè îïåðàöèé ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà è îáðàòíûõ ê íèì. (Îïåðàöèÿ ïîäðàçäåëåíèÿ ãðàíè íà ðèñ. 32 ñïðàâà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îïåðàöèþ ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà.) 2-ïîëèýäðîì íàçûâàåòñÿ êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè òðèàíãóëÿöèé 2-ïîëèýäðîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð èçìà. 2-ìíîãîîáðàçèåì íàçûâàåòñÿ êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè òðèàíãóëÿöèé 2-ìíîãîîáðàçèé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð èçìà. Ïðåäñòàâèòåëè ýòèõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàþòñÿ òðèàíãóëÿöèÿìè ñîîòâåòñòâóþùåãî 2-ïîëèýäðà èëè 2-ìíîãîîáðàçèÿ. Îïðåäåëåíèå òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé.
Íå îðìàëüíî, òðåõìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì íàçûâàåòñÿ èãóðà, ëþáàÿ òî÷êà êîòîðîé èìååò îêðåñòíîñòü, òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíóþ òðåõìåðíîìó øàðó. 32
Ïðèìåðû 3-ìíîãîîáðàçèé. (1) Øàð D3 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2 2 x + y + z 6 1}. (2) Ñ åðà S 3 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x2 + y 2 + z 2 + t2 = 1}. (3) Ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî RP 3 : îíî ïîëó÷àåòñÿ èç ñ åðû S 3 îòîæäåñòâëåíèåì äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, èç äèñêà D3 îòîæäåñòâëåíèåì äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê íà åãî ãðàíè÷íîé ñ åðå). (4) Îêðåñòíîñòü ãðà à èëè ïîâåðõíîñòè â R3 (èëè â êàêîì-òî óæå ïîñòðîåííîì 3-ìíîãîîáðàçèè). (5) Ïðîèçâåäåíèÿ 2-ìíîãîîáðàçèé íà îòðåçîê èëè îêðóæíîñòü. (6) 3-óòîëùåíèÿ ãðà îâ, ñì. ïóíêò 'îðèåíòèðóåìîñòü è êëàññè èêàöèÿ óòîëùåíèé' ïàðàãðà à 'îðèåíòèðóåìîñòü'. (7) I - è S 1 -ðàññëîåíèÿ íàä 2-ìíîãîîáðàçèÿìè, ñì. ïóíêò 'ïðîñòåéøèå ðàññëîåíèÿ'. Äàäèì òåïåðü îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå 3-ìíîãîîáðàçèÿ, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ â íàñòîÿùåì òåêñòå. Íà÷íåì ñ áîëåå îáùåãî ïîíÿòèÿ 3-ïîëèýäðà, äëÿ êîòîðîãî íóæíî ïîíÿòèå 3-ñõåìû. 3-ñõåìîé (A, P ) íàçîâåì 2-ñõåìó A = (G, F ) (ò.å. ãðà G âìåñòå ñ ñåìåéñòâîì F âûäåëåííûõ îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ) âìåñòå ñ ñåìåéñòâîì P âûäåëåííûõ îðèåíòèðîâàííûõ 2-ïîäñõåì, ãîìåîìîð íûõ äâóìåðíîé ñ åðå S 2 . Ýòè âûäåëåííûå ïîäñõåìû íàçûâàþòñÿ ìíîãîãðàííèêàìè (òðåõìåðíûìè ãðàíÿìè). Êîëè÷åñòâà âåðøèí, ðåáåð, ãðàíåé è ìíîãîãðàííèêîâ ñõåìû 3-ìíîãîîáðàçèÿ îáîçíà÷àþòñÿ V , E , F è P , ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèìåðû 3-ñõåì. (1') ðà G = K4 , ñåìåéñòâî F ñîñòîèò èç âñåõ öèêëîâ äëèíû 3, ñåìåéñòâî P ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîé 2-ïîäñõåìû, ñîâïàäàþùåé ñî âñåé ñõåìîé. (2') ðà G = K5 , ñåìåéñòâî F ñîñòîèò èç âñåõ öèêëîâ äëèíû 3, ñåìåéñòâî P ñîñòîèò èç âñåõ ïÿòè 2-ïîäñõåì, ïîëó÷åííûõ èç âñåé ñõåìû óäàëåíèåì íåêîòîðîé âåðøèíû è âñåõ ñîäåðæàùèõ åå ðåáåð è öèêëîâ. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ãðà îâ è 2-ñõåì, èç êàæäîé 3-ñõåìû T = (A, P ) ìîæíî ïîëó÷èòü èãóðó òåëî 3-ñõåìû ïðèêëåéêîé ê òåëó 2-ïîëèýäðà A òðåõìåðíûõ øàðîâ, ñêëåèâàÿ èõ ãðàíèöû ñ âûäåëåííûìè 2-ïîäñõåìàìè 3-ñõåìû (ñîãëàñîâàííî ñ îðèåíòàöèÿìè). Íàïðèìåð, òåëàìè 3-ñõåì èç ïðèìåðîâ (1') è (2') áóäóò òðåõìåðíûå øàð è ñ åðà èç ïðèìåðîâ (1) è (2) ñîîòâåòñòâåííî. Îïåðàöèè ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà, ïðîâåäåíèÿ äèàãîíàëè è ïðîâåäåíèÿ ãðàíè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 33. Äâå 3-ñõåìû íàçûâàþòñÿ ãîìåîìîð íûìè, åñëè îò îäíîé ìîæíî ïåðåéòè ê äðóãîé ïðè ïîìîùè ýòèõ îïåðàöèé è îáðàòíûõ ê íèì. Êîìïàêòíûì òðåõìåðíûì ïîëèýäðîì (êîðîòêî: 3-ïîëèýäðîì) íàçûâàåòñÿ êëàññ ãîìåîìîð íîñòè 3-ñõåì. 2
Ëèíê âåðøèíû v 3-ñõåìû T = (A, P ) ýòî 2-ñõåìà lkT v = (lkA v, Q), ãðà êîòîðîé åñòü lkA v , ïðè÷åì öèêë e1 , . . . , es â ýòîì ãðà å ÿâëÿåòñÿ âûäåëåííûì, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå åãî ðåáðàì öèêëû 2-ñõåìû A ëåæàò â íåêîòîðîé âûäåëåííîé 2-ïîäñõåìå 3-ñõåìû T . Êîìïàêòíûé òðåõìåðíûé ïîëèýäð íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì òðåõìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì, åñëè äëÿ íåêîòîðîé (ýêâèâàëåíòíî: äëÿ ëþáîé) åãî ñõåìû ëèíê êàæäîé âåðøèíû ãîìåîìîð åí äâóìåðíîé ñ åðå S 2 . Íå îðìàëüíî, ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ñêëåéêå ïîëó÷èòñÿ èãóðà, ëîêàëüíî óñòðîåííàÿ êàê ïðîñòðàíñòâî èëè ïîëóïðîñòðàíñòâî. Ìû áóäåì ñîêðàùåííî íàçûâàòü êîìïàêòíûå òðåõìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ 3-ìíîãîîáðàçèÿìè. 12. Ïðåäñòàâüòå ïðèâåäåííûå íå îðìàëüíûå ïðèìåðû 3-ìíîãîîáðàçèé â âèäå 3ñõåì (óêàçàíèå: àíàëîãè÷íî ïðèìåðàì (1) è (2) âûøå). Ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêîé 3-ñõåìû íàçûâàåòñÿ ÷èñëî χ = V − E + F − P . Êðàé è îðèåíòèðóåìîñòü 3-ìíîãîîáðàçèé îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ 2-ìíîãîîáðàçèé. 33
D A
C
B B
C A
D
D A
C
B B
C A
D
èñ. 33: Ïîäðàçäåëåíèå îäíîìåðíîé, äâóìåðíîé è òðåõìåðíîé ãðàíåé 13. åøèòå àíàëîãè çàäà÷ 3a, 3b, 5b è 6a ïðåäûäóùåãî ïàðàãðà à äëÿ 3-ìíîãîîáðàçèé. Çàêîí÷èì ýòîò ïàðàãðà äðóãèì (ýêâèâàëåíòíûì) îïðåäåëåíèåì 3-ìíîãîîáðàçèÿ. Òðèàíãóëÿöèåé 3-ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, â êîòîðîì âûäåëåíû íåêîòîðûå ÷åòûðåõýëåìåíòíûå íåóïîðÿäî÷åííûå ïîäìíîæåñòâà, ïðè÷åì åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà A âûêèíóòü åãî èç êàæäîãî âûäåëåííîãî ÷åòûðåõýëåìåíòíîãî ïîäìíîæåñòâà, ñîäåðæàùåãî A, òî ïîëó÷åííûå òðåõýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà îáðàçóþò òðèàíãóëÿöèþ 2-ìíîãîîáðàçèÿ, ãîìåîìîð íîãî ñ åðå. Ýëåìåíòû äàííîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè, âûäåëåííûå ïîäìíîæåñòâà òåòðàýäðàìè (òðåõìåðíûìè ãðàíÿìè), òðåõýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà òðåõìåðíûõ ãðàíåé ãðàíÿìè, à äâóõýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà ãðàíåé ðåáðàìè. Îïåðàöèÿ ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà (à òàêæå ïîäðàçäåëåíèÿ äâóìåðíûõ è òðåõìåðíûõ ãðàíåé) îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ 2-ìíîãîîáðàçèé è èçîáðàæåíû íà ðèñ. 34 (÷èòàòåëü ëåãêî âîññòàíîâèò îðìàëüíîå êîìáèíàòîðíîå îïðåäåëåíèå ýòèõ îïåðàöèé ïî ðèñóíêàì). Äâå òðèàíãóëÿöèè íàçûâàþòñÿ ãîìåîìîð íûìè, åñëè îò îäíîé ìîæíî ïåðåéòè ê äðóãîé ïðè ïîìîùè îïåðàöèé ïîäðàçäåëåíèÿ ðåáðà è îáðàòíûõ ê íèì. 3-ìíîãîîáðàçèåì íàçûâàåòñÿ êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè òðèàíãóëÿöèé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð èçìà. Ïðåäñòàâèòåëè ýòîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàþòñÿ òðèàíãóëÿöèÿìè ñîîòâåòñòâóþùåãî 3-ìíîãîîáðàçèÿ.
34
èñ. 34: Ïîäðàçäåëåíèå îäíîìåðíîé, äâóìåðíîé è òðåõìåðíîé ãðàíåé ËÀÂÀ 2. Î ÈÅÍÒÈ ÓÅÌÎÑÒÜ
I should say it meant something simple and obvious, but then I am no philosopher! I. Murdo h, The Sea, the Sea. 8 Î ÈÅÍÒÈ ÓÅÌÎÑÒÜ Îðèåíòèðóåìîñòü 2-ìíîãîîáðàçèé.
Ñóùåñòâóåò êðàñèâûé è ïðîñòîé êðèòåðèé îðèåíòèðóåìîñòè ìíîãîîáðàçèÿ: 'íå ñîäåðæèò ëèñòà ̼áèóñà'. Ñóùåñòâóåò ïðîñòîé àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ îðèåíòèðóåìîñòè: ñíà÷àëà îðèåíòèðóåì ïðîèçâîëüíî îäíó ãðàíü, çàòåì íà êàæäîì øàãå áóäåì îðèåíòèðîâàòü ãðàíü, ñîñåäíþþ ñ íåêîòîðîé óæå îðèåíòèðîâàííîé, ïîêà íå îðèåíòèðóåì âñå ãðàíè èëè íå ïîëó÷èì íåñîãëàñîâàííîñòè îðèåíòàöèé âäîëü íåêîòîðîãî ðåáðà.  ýòîì ïóíêòå ìû ïðèâåäåì àëãåáðàè÷åñêèé êðèòåðèé îðèåíòèðóåìîñòè, êîòîðûé ñëîæíåå îðìóëèðóåòñÿ. Ýòîò êðèòåðèé ÿâëÿåòñÿ ïî ñóòè ëèøü ïåðå îðìóëèðîâêîé îïðåäåëåíèÿ îðèåíòèðóåìîñòè íà àëãåáðàè÷åñêèé ÿçûê. Íî îí âàæåí íå ñàì ïî ñåáå, íî è êàê èëëþñòðàöèÿ òåîðèè ïðåïÿòñòâèé. Êðîìå òîãî, îí íàéäåò ïðèìåíåíèå äëÿ êëàññè èêàöèè óòîëùåíèé. Òåîðåìà îðèåíòèðóåìîñòè. 2-Ìíîãîîáðàçèå N áåç êðàÿ îðèåíòèðóåìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïåðâûé êëàññ Øòè åëÿ-Óèòíè w1 (N ) ∈ H1 (N ) íóëåâîé.
ðóïïà H1 (N ) è êëàññ w1 (N ) åñòåñòâåííî âîçíèêàþò è ñòðîãî îïðåäåëÿþòñÿ â ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îðèåíòèðóåìîñòè, ê êîòîðîìó ìû è ïåðåõîäèì. 8 Äîëæåí
áû ñêàçàòü, ÷òî ýòî îçíà÷àåò íå÷òî ïðîñòîå è î÷åâèäíîå, îäíàêî ÿ íå èëîñî ! À. Ìýðäîê, Ìîðå, ìîðå, ïåð àâòîðà. 35
Îïðåäåëåíèå ïðåïÿòñòâóþùåãî öèêëà. Âîçüìåì íåêîòîðóþ ñõåìó T ìíîãîîáðàçèÿ N . Íàïðèìåð, âîçüìåì ñòàíäàðòíóþ ñõåìó (ñ îäíîé ãðàíüþ) áóòûëêè Êëÿéíà (ðèñ. 35). Íà ýòîì ðèñóíêå ïðîäåëàíû âñå øàãè ïðèâîäèìîãî äîêàçàòåëüñòâà äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ. Ìû ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ïðîäåëàòü ýòè øàãè äëÿ ñõåìû ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè ñ ðèñ. 23.
èñ. 35: Íàáîð o îðèåíòàöèé è ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë ω(o) Âîçüìåì íàáîð o îðèåíòàöèé íà ãðàíÿõ ñõåìû. Êàæäîå ðåáðî ñõåìû ïîêðàñèì â êðàñíûé öâåò, åñëè îðèåíòàöèè ãðàíåé ñ äâóõ ñòîðîí ýòîãî ðåáðà ðàññîãëàñîâàíû, ò.å. çàäàþò íà ýòîì ðåáðå îäèíàêîâûå íàïðàâëåíèÿ. Îáúåäèíåíèå êðàñíûõ ðåáåð íàçûâàåòñÿ ïðåïÿòñòâóþùèì öèêëîì ω(o). Íà ðèñ. 35 æèðíûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåí ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë äëÿ K 2 . ßñíî, ÷òî (∗) äàííûé íàáîð o îðèåíòàöèé ãðàíåé îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ ìíîãîîáðàçèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ω(o) = ∅. (∗∗) â ãðà å ω(o) íåò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí è èç êàæäîé âåðøèíû âûõîäèò ÷åòíîå ÷èñëî êðàñíûõ ðåáåð. 1. (a) Äîêàæèòå ýòè óòâåðæäåíèÿ. (b) 2-Ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì, ïîëó÷àþùååñÿ âûðåçàíèåì ìàëîé îêðåñòíîñòè ãðà à ω(o) èç N , îðèåíòèðóåìî. îìîëîãè÷åñêèì öèêëîì â ïðîèçâîëüíîì ãðà å G íàçûâàåòñÿ ïîäãðà ñ óñëîâèåì èç (**). Ñëîâî 'ãîìîëîãè÷åñêèé' áóäåì îïóñêàòü, èáî èç êîíòåêñòà áóäåò ïîíÿòíî, èäåò ëè ðå÷ü î ãîìîëîãè÷åñêèõ öèêëàõ èëè î öèêëàõ â ñìûñëå òåîðèè ãðà îâ. Îáúåäèíåíèå ðåáåð ñõåìû íà ðèñ. 35 ÿâëÿåòñÿ 'âîñüìåðêîé', ïîýòîìó â ýòîì ãðà å ÷åòûðå (ãîìîëîãè÷åñêèõ) öèêëà. E−V +1 . Óêàçàíèå: âûäåëèì â ãðà å G 2. ×èñëî öèêëîâ â ñâÿçíîì ãðà å ðàâíî 2 ìàêñèìàëüíîå äåðåâî, òîãäà âíå ýòîãî äåðåâà E − V + 1 ðåáåð. Èçìåíåíèå ïðåïÿòñòâóþùåãî öèêëà è îïðåäåëåíèå ãðàíèöû ãðàíè. Åñëè ω(o) 6= ∅, òî o íå îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèè ìíîãîîáðàçèÿ, íî åùå íå âñå ïîòåðÿíî: ìîæíî ïîïûòàòüñÿ èçìåíèòü o, òàê ÷òîáû ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë ñòàë ïóñòûì. Äëÿ ýòîãî âûÿñíèì, êàê ω(o) çàâèñèò îò o. Äëÿ ãðàíè a, ãîìåîìîð íîé äèñêó, îáîçíà÷èì ÷åðåç ∂a öèêë, îáðàçîâàííûé ðåáðàìè ãðàíèöû ýòîé ãðàíè (ðèñ. 36). Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãðàíè a îáîçíà÷èì ÷åðåç ∂a öèêë, îáðàçîâàííûé òåìè ðåáðàìè ãðàíèöû ýòîé ãðàíè, ê êîòîðûì ãðàíü ïðèìûêàåò òîëüêî ñ îäíîé ñòîðîíû (ðèñ. 36). Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ. 35 ãðàíèöà åäèíñòâåííîé ãðàíè ïóñòà. Ïðè èçìåíåíèè îðèåíòàöèè îäíîé ãðàíè a öèêë ω(o) èçìåíÿåòñÿ íà ñóììó ïî ìîäóëþ 2 (ò.å. íà ñèììåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü) ñ ãðàíèöåé ýòîé ãðàíè: ω(o′ ) − ω(o) = ∂a. Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ. 35 ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë âîîáùå íå ìåíÿåòñÿ. Ïðè èçìåíåíèè îðèåíòàöèè íåñêîëüêèõ ãðàíåé a1 , . . . , ak öèêë ω(o) èçìåíÿåòñÿ íà ñóììó ïî ìîäóëþ 2 ãðàíèö ýòèõ ãðàíåé: ω(o′ ) − ω(o) = ∂a1 + . . . + ∂ak . 3.
(a) Ñóììà (ïî ìîäóëþ 2) öèêëîâ äåéñòâèòåëüíî åñòü öèêë. 36
∂a
a
èñ. 36: Àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðàíèöà ãðàíè Äàëåå â ýòîé çàäà÷å èñïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèÿ ãðóïïû è èçîìîð èçìà ãðóïï. (b) Ìíîæåñòâî H1 (G) âñåõ öèêëîâ â ãðà å G ñ îïåðàöèåé ñóììû (ïî ìîäóëþ 2) ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé. Ýòà ãðóïïà íàçûâàåòñÿ îäíîìåðíîé ãðóïïîé ãîìîëîãèé ãðà à G (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ). ( ) H1 (G) ∼ = H1 (G′ ) äëÿ ãîìåîìîð íûõ ãðà îâ G è G′ . (d) H1 (G) ∼ = Z2E−V +1 äëÿ ñâÿçíîãî ãðà à G. (e) Íåñàìîïåðåñåêàþùèåñÿ öèêëû ïîðîæäàþò H1 (G). Îïðåäåëåíèå ãðóïïû H1 (N ). Íàçîâåì ãðàíèöåé ñóììó ãðàíèö íåñêîëüêèõ ãðàíåé. Íàçîâåì öèêëû ω1 è ω2 ãîìîëîãè÷íûìè, åñëè ω1 − ω2 åñòü ãðàíèöà ∂a1 + . . . + ∂ak . ßñíî, ÷òî (i) Ïðè èçìåíåíèè íàáîðà o îðèåíòàöèé ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë ω(o) çàìåíÿåòñÿ íà ãîìîëîãè÷íûé öèêë. (ii) Åñëè ω(o) ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé, òî ìîæíî èçìåíèòü o íà o′ , òàê ÷òîáû ïîëó÷èëîñü ω(o′ ) = 0. (iii) îìîëîãè÷íîñòü ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå öèêëîâ. (Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ (ii) çàìåòèì, ÷òî åñëè ω(o) = ∂a1 + . . . + ∂as , òî ìîæíî âçÿòü íàáîð o′ îðèåíòàöèé ãðàíåé, îòëè÷àþùèéñÿ îò o â òî÷íîñòè íà ãðàíÿõ a1 , . . . , as , òîãäà ïîëó÷èì ω(o′ ) = 0.) Îäíîìåðíîé ãðóïïîé ãîìîëîãèé H1 (T ) ñõåìû T (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ) íàçûâàåòñÿ ãðóïïà öèêëîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîëîãè÷íîñòè. Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ. 35 H1 (T ) ∼ = Z2 ⊕ Z2 , ïîñêîëüêó òîëüêî îäèíàêîâûå öèêëû ãîìîëîãè÷íû. Ïîëîæèì H1 (N ) := H1 (T ) (ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî ââèäó çàäà÷è 4b íèæå). Âàæíî, ÷òî ýòà ãðóïïà, êîòîðàÿ óæå ïîÿâèëàñü ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíîé çàäà÷è (è åùå ïîÿâèòñÿ ïðè ðåøåíèè äðóãèõ çàäà÷!) ìîæåò áûòü êîðîòêî îïðåäåëåíà íåçàâèñèìî îò ýòèõ çàäà÷. 4. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ñõåìó T çàìêíóòîãî ñâÿçíîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . (a) Äàéòå îïðåäåëåíèå ãðóïïû H1 (T ), íåçàâèñèìîå îò ðàññóæäåíèé, â êîòîðûõ îíà ïîÿâèëàñü (ñì. îòâåò â íà÷àëå ãëàâû 4). (b) ðóïïà H1 (T ) íå çàâèñèò îò âûáîðà ñõåìû T äàííîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . ( ) Åñëè a1 , . . . , aF âñå ãðàíè ñõåìû, òî ∂a1 + . . . + ∂aF = ∅. Ñóììà ãðàíèö ëþáîãî ñîáñòâåííîãî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà ãðàíåé íåïóñòà. (d) |H1 (T )| = 22−V +E−F = 22−χ(T ) . (e)  ìíîæåñòâå H1 (T ) êîððåêòíî îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ ñóììû îðìóëîé [α] + [β] = [α + β]. Äàëåå â ýòîé çàäà÷å èñïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèÿ ãðóïïû è èçîìîð èçìà ãðóïï. (f) Ìíîæåñòâî H1 (T ) ñ ýòîé îïåðàöèåé ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé 2−χ(T ) (g) H1 (T ) ∼ . = Z2 37
(h) Íåñàìîïåðåñåêàþùèåñÿ öèêëû ïîðîæäàþò H1 (T ). Îïðåäåëåíèå êëàññà w1 (N ). Ïåðâûì êëàññîì Øòè åëÿ-Óèòíè ñõåìû T íàçûâàåòñÿ êëàññ ãîìîëîãè÷íîñòè ïðåïÿòñòâóþùåãî öèêëà: w1 (T ) := [ω(o)] ∈ H1 (T ).
Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî ââèäó óòâåðæäåíèÿ (i). Ïîëîæèì w1 (N ) := w1 (T ) (ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî ââèäó çàäà÷è 5 íèæå). 5. Êëàññ w1 (T ) ∈ H1 (N ) íå çàâèñèò îò âûáîðà ñõåìû T äàííîãî ìíîãîîáðàçèÿ N . Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îðèåíòèðóåìîñòè. ßñíî, ÷òî w1 (N ) ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì ê îðèåíòèðóåìîñòè. Îáðàòíî, ïóñòü w1 (N ) = 0. Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð o îðèåíòàöèé, ÷òî ω(o) åñòü ãðàíèöà. Ïîýòîìó ìîæíî èçìåíèòü íà o′ òàê, ÷òîáû ω(o′ ) = 0. Òîãäà ìíîãîîáðàçèå îðèåíòèðóåìî. 6. (a) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîã òåîðåìû îðèåíòèðóåìîñòè äëÿ ìíîãîîáðàçèé ñ íåïóñòûì êðàåì (îáîçíà÷åíèå: w1 (N ) ∈ H1 (N, ∂N )). Íàðèñóéòå ïðåäñòàâèòåëü ïåðâîãî êëàññà Øòè åëÿ-Óèòíè (ò.å. ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë) íà ëèñòå ̼áèóñà. (b)* Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè òåîðåì è çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðà à äëÿ ìíîãîîáðàçèé ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè. Ïðè ðàññóæäåíèÿõ ñ ãîìîëîãè÷åñêèìè êëàññàìè îáû÷íî ñíà÷àëà ðàáîòàþò ñ ïðåäñòàâëÿþùèìè èõ öèêëàìè, à ïîòîì äîêàçûâàþò íåçàâèñèìîñòü îò âûáîðà öèêëà â äàííîì êëàññå ãîìîëîãèé. Ôîðìà ïåðåñå÷åíèé
Ïóñòü N 2-ìíîãîîáðàçèå áåç êðàÿ è α, β ∈ H1 (N ). Âûáåðåì öèêëû a è b îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå ýòè ýëåìåíòû (ò.å. öèêëû, ïåðåñåêàþùèåñÿ â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê è ïðèòîì òðàíñâåðñàëüíî). Çàìåòèì, ÷òî a 6= b, äàæå åñëè α = β . Ïåðåñå÷åíèåì ýòèõ ãîìîëîãè÷åñêèõ êëàññîâ íàçîâåì α ∩ β := |a ∩ b| mod 2.
Ñð. [DZ93℄. Ïðèâåäåì áîëåå îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå äâîéñòâåííîé ñõåìû äëÿ ñõåìû 2-ìíîãîîáðàçèÿ (ðèñ. 37). Âîçüìåì íåêîòîðóþ ñõåìó U 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . Âûáåðåì â êàæäîé ãðàíè òî÷êó è îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî òî÷åê ÷åðåç U0∗ . Äëÿ êàæäîãî ðåáðà a èñõîäíîé ñõåìû ñîåäèíèì ðåáðîì a∗ òî÷êè ìíîæåñòâà U0∗ , ñîîòâåòñòâóþùèå ñîñåäíèì âäîëü ýòîãî ðåáðà ãðàíÿì. Ïîëó÷åííûé ãðà îáîçíà÷èì ÷åðåç U1∗ . Ýòîò ãðà ðàçáèâàåò 2-ìíîãîîáðàçèå N íà ìíîãîóãîëüíèêè. Ïîëó÷åííàÿ ñõåìà U ∗ íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé ê U . U
U0∗
U∗
èñ. 37: Äâîéñòâåííàÿ ñõåìà. Óáðàòü ñòðåëî÷êè, ñäåëàòü äâîéñòâåííóþ ïóíêòèðíîé àññìîòðèì ñõåìó U 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . Âîçüìåì äâîéñòâåííóþ ñõåìó U ∗ . Äëÿ ðåáåð x ñõåìû U è y ñõåìû U ∗ ïîëîæèì x ∩ y = 1, åñëè x è y äâîéñòâåííû, è x ∩ y = 0 38
èíà÷å. Äëÿ ïîäãðà îâ X ñõåìû U è Y ñõåìû U ∗ ïîëîæèì X ∩ Y ðàâíûì êîëè÷åñòâó èõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïî ìîäóëþ 2 (ò.å. ïðîäîëæèì óìíîæåíèå ∩ íà ðåáðàõ äî E áèëèíåéíîé ñèììåòðè÷íîé îðìû ∩ : ZE 2 × Z2 → Z2 ). 7. (a) Ïåðåñå÷åíèå öèêëà è ãðàíèöû âñåãäà íóëåâîå. (b) Ôîðìóëà [a] ∩ [b] := a ∩ b êîððåêòíî çàäàåò îðìó ïåðåñå÷åíèé ∩ : H1 (N ) × H1 (N ) → Z2 . (ñ) α ∩ β = β ∩ α è (α + β) ∩ γ = α ∩ γ + β ∩ γ , ò.å. ïåðåñå÷åíèå íà ãîìîëîãèÿõ ñèììåòðè÷íî è áèëèíåéíî. (d) Ïî ïëàíåòå Òîïîëîãà, èìåþùåé îðìó òîðà, òåêóò ðåêè Ìåðèäèàí è Ïàðàëëåëü. Äâà ìàëåíüêèõ ïðèíöà ïðîøëè ïî ïëàíåòå è âåðíóëèñü â èñõîäíóþ òî÷êó, ïðè÷åì îäèí èç íèõ ïåðåõîäèë Ìåðèäèàí 10 ðàç, à Ïàðàëëåëü 17 ðàç (òðàíñâåðñàëüíî), à äðóãîé 9 ðàç è 12 ðàç, ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî îäèí ìàëåíüêèé ïðèíö âèäåë ñëåäû äðóãîãî. 8. (a) Äëÿ ãîìîëîãè÷åñêîãî öèêëà a, ïðåäñòàâëÿåìîãî çàìêíóòîé íåñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ êðèâîé, âûðàæåíèå a ∩ a ðàâíî 1, åñëè ïðè îáõîäå âäîëü ýòîé êðèâîé ìåíÿåòñÿ îðèåíòàöèÿ è ðàâíî 0, åñëè íå ìåíÿåòñÿ. (b) w1 (N ) ∩ a = a ∩ a äëÿ ëþáîãî a ∈ H1 (N ). ( ) w1 (N ) ∩ w1 (N ) = χ(N ) mod 2. E 9. (a) Äëÿ ëþáîãî áàçèñà x1 , . . . , xE ãðóïïû Z2 ñóùåñòâóåò áàçèñ y1 , . . . , yE ãðóïïû E Z2 , äëÿ êîòîðîãî xi ∩ yj = δij . (b) Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå. Ôîðìà ïåðåñå÷åíèé íåâûðîæäåíà, ò.å. åå ðàíã ðàâåí 2 − χ(N ), ò.å. äëÿ ëþáîãî áàçèñà α1 , . . . , α2−χ(N ) ãðóïïû H1 (N ) ñóùåñòâóåò áàçèñ β1 , . . . , β2−χ(N ) ãðóïïû H1 (N ), äëÿ êîòîðîãî αi ∩ βj = δij . åãóëÿðíîé îêðåñòíîñòüþ ãðà à â ìíîãîîáðàçèè ÿâëÿåòñÿ åãî îêðåñòíîñòü, ÿâëÿþùàÿñÿ åãî óòîëùåíèåì. 10. (a) åãóëÿðíûå îêðåñòíîñòè îáðàçîâ ðàçíûõ âëîæåíèé ãðà à â ïëîñêîñòü (ðèñ. 72) ãîìåîìîð íû. (b) Òî æå äëÿ ãîìîòîïíûõ âëîæåíèé â ëþáîå èêñèðîâàííîå 2-ìíîãîîáðàçèå. Îðèåíòèðóåìîñòü óòîëùåíèé.
Ââåäåì îðèåíòàöèþ íà êàæäîé ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè äèñêîâ èç îïðåäåëåíèÿ óòîëùåíèÿ (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, âëîæèì ýòè îêðóæíîñòè â ïëîñêîñòü ñ èêñèðîâàííîé îðèåíòàöèåé). Òîãäà ëåíòî÷êà èç îïðåäåëåíèÿ óòîëùåíèÿ íàçûâàåòñÿ ïåðåêðó÷åííîé, åñëè ñòðåëêè íà äâóõ åå ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîíàõ, ëåæàùèõ â îðèåíòèðîâàííûõ îêðóæíîñòÿõ, ñîíàïðàâëåíû âäîëü ëåíòî÷êè. Ëåíòî÷êà íàçûâàåòñÿ íåïåðåêðó÷åííîé, åñëè ýòè ñòðåëêè ïðîòèâîíàïðàâëåíû. Òåîðåìà îðèåíòèðóåìîñòè óòîëùåíèé. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà óòîëùåíèå (N, G) ðàâíîñèëüíû åãî îðèåíòèðóåìîñòè: (M) (N, G) íå ñîäåðæèò ïîäóòîëùåíèÿ, ãîìåîìîð íîãî èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 15 (ëèñòà ̼áèóñà). (E)  êàæäîì íåñàìîïåðåñåêàþùåìñÿ öèêëå â ãðà å G ÷åòíîå êîëè÷åñòâî ïåðåêðó÷åííûõ ëåíòî÷åê. (W) Ïåðâûé êëàññ Øòè åëÿ-Óèòíè w1 (N, G) ∈ H 1 (G) íóëåâîé. Êðèòåðèé (W) íåèíòåðåñåí ñàì ïî ñåáå. Îäíàêî êîíñòðóêöèè èç åãî äîêàçàòåëüñòâà èíòåðåñíû êàê èëëþñòðàöèÿ òåîðèè ïðåïÿòñòâèé è íåîáõîäèìû äëÿ êëàññè èêàöèè óòîëùåíèé (ñì. íèæå). Äîêàçàòåëüñòâî êðèòåðèåâ (M) è (E). ßñíî, ÷òî (M) ýêâèâàëåíòíî (E), è ÷òî óñëîâèå (E) íåîáõîäèìî äëÿ îðèåíòèðóåìîñòè. Äîêàæåì åãî äîñòàòî÷íîñòü. Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå óòîëùåíèå äåðåâà îðèåíòèðóåìî. àññìîòðèì îñòîâ ãðà à G è âûáåðåì òàêîé íàáîð îðèåíòàöèé íà ãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòÿõ äèñêîâ, ÷òî âñå 39
ëåíòî÷êè â óòîëùåíèè îñòîâà T íå ïåðåêðó÷åíû. Íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ öèêë, îáðàçîâàííûé ïðîèçâîëüíûì ðåáðîì e âíå îñòîâà è íåêîòîðûìè ðåáðàìè îñòîâà, èìååò ÷åòíîå êîëè÷åñòâî ïåðåêðó÷åííûõ ëåíòî÷åê. Ïîýòîìó ëåíòî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðåáðó e, íå ïåðåêðó÷åíà. Çíà÷èò, óòîëùåíèå îðèåíòèðóåìî. Îïðåäåëåíèå ãðóïïû H 1 (N ), êëàññà w1 (N, G) è äîêàçàòåëüñòâî êðèòåðèÿ (W). Óòîëùåíèå ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìîæíî èçìåíèòü îðèåíòàöèè íà ãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòÿõ åãî äèñêîâ òàê, ÷òîáû êàæäàÿ ëåíòî÷êà ñòàëà íåïåðåêðó÷åííîé. Âûáåðåì íàáîð îðèåíòàöèé o íà äèñêàõ óòîëùåíèÿ. Ïîñòàâèì íà ðåáðå ãðà à G åäèíèöó, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëåíòî÷êà îêàçàëàñü ïåðåêðó÷åííîé, è íîëü, åñëè íåïåðåêðó÷åííîé. Íàçîâåì ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó ïðåïÿòñòâóþùåé è îáîçíà÷èì åå ω(o). (Êîíå÷íî, ω(o) çàâèñèò òàêæå îò óòîëùåíèÿ (N, G), íî ìû íå óêàçûâàåì ýòî â îáîçíà÷åíèÿõ.) Åñëè ω(o) = 0, òî óòîëùåíèå N îðèåíòèðóåìî. Åñëè ω(o) 6= 0, òî o íå îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèè óòîëùåíèÿ, íî åùå íå âñå ïîòåðÿíî: ìîæíî ïîïûòàòüñÿ èçìåíèòü o, òàê ÷òîáû ïðåïÿòñòâóþùàÿ ðàññòàíîâêà ñòàëà íóëåâîé. Âûÿñíèì, êàê ω(o) çàâèñèò îò o. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ðàññòàíîâêè ìîæíî ñêëàäûâàòü: äëÿ ýòîãî ïðîñòî ñêëàäûâàþòñÿ ÷èñëà, ñòîÿùèå íà êàæäîì ðåáðå (òàêîå ñëîæåíèå íàçûâàåòñÿ ïîêîìïîíåíòíûì). Ïðè èçìåíåíèè îðèåíòàöèè îäíîãî äèñêà, ñîîòâåòñòâóþùåãî âåðøèíå a, ê w(o) ïðèáàâëÿåòñÿ ðàññòàíîâêà 1 íà ðåáðàõ, âûõîäÿùèõ èç a, è 0 íà âñåõ îñòàëüíûõ ðåáðàõ. Ýòà ðàññòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé êîãðàíèöåé âåðøèíû a è îáîçíà÷àåòñÿ δa. ßñíî, ÷òî åñëè íàáîðû îðèåíòàöèé o è o′ ðàçëè÷àþòñÿ â òî÷íîñòè â âåðøèíàõ a1 , . . . , ak , òî ω(o) − ω(o′ ) = δa1 + . . . + δak .
Íàçîâåì êîãðàíèöåé ñóììó êîãðàíèö íåñêîëüêèõ âåðøèí. Íàçîâåì ðàññòàíîâêè ω1 è ω2 êîãîìîëîãè÷íûìè, åñëè ω1 − ω2 åñòü êîãðàíèöà δa1 + . . . + δak . ßñíî, ÷òî (i) Ïðè èçìåíåíèè íàáîðà o îðèåíòàöèé ïðåïÿòñòâóþùàÿ ðàññòàíîâêà ω(o) çàìåíÿåòñÿ íà êîãîìîëîãè÷íóþ ðàññòàíîâêó. (ii) Åñëè ω(o) ÿâëÿåòñÿ êîãðàíèöåé, òî ìîæíî èçìåíèòü o íà o′ , òàê ÷òîáû ïîëó÷èëîñü ω(o′ ) = 0. (iii) Êîãîìîëîãè÷íîñòü ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå ðàññòàíîâîê. Îäíîìåðíîé ãðóïïîé êîãîìîëîãèé ãðà à G (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ) íàçûâàåòñÿ ãðóïïà H 1 (G) ðàññòàíîâîê ñ òî÷íîñòüþ äî êîãîìîëîãè÷íîñòè. Ïåðâûì êëàññîì Øòè åëÿ-Óèòíè óòîëùåíèÿ (N, G) íàçûâàåòñÿ êëàññ êîãîìîëîãè÷íîñòè ïðåïÿòñòâóþùåé ðàññòàíîâêè: w1 (N, G) = [ω(o)] ∈ H 1 (G).
Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî ââèäó óòâåðæäåíèÿ (i). ßñíî, ÷òî w1 (N, G) ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì ê îðèåíòèðóåìîñòè óòîëùåíèÿ. Îáðàòíî, ïóñòü w1 (N, G) = 0. Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð o îðèåíòàöèé, ÷òî ω(o) åñòü êîãðàíèöà. Ïîýòîìó ìîæíî èçìåíèòü íà o′ òàê, ÷òîáû ω(o′ ) = 0. Òîãäà âñå ëåíòî÷êè íåïåðåêðó÷åíû è óòîëùåíèå îðèåíòèðóåìî. Äëÿ ëþáîãî (ãîìîëîãè÷åñêîãî) öèêëà g ñóììà ω(o) · g çíà÷åíèé ω(o) ïî âñåì ðåáðàì ïîäãðà à g íå çàâèñèò îò íàáîðà o îðèåíòàöèé. Ïîýòîìó îðìóëà w1∗ (N, G)[g] = ω(o) · g êîððåêòíî çàäàåò ëèíåéíóþ óíêöèþ w1∗ (N, G) : H1 (G) → Z2 . ßñíî, ÷òî w1 (N, G) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòà óíêöèÿ íóëåâàÿ. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâûé êëàññ Øòè åëÿ-Óèòíè îïðåäåëÿåò èíâàðèàíò w1 èç ìíîæåñòâà óòîëùåíèé â ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ óíêöèé H1 (G) → Z2 . Óêàçàíèÿ ê íåêîòîðûì çàäà÷àì.
40
Èñïîëüçóéòå îðìóëó Ýéëåðà. Äîêàæèòå ñíà÷àëà, ÷òî îðìà ïåðåñå÷åíèÿ íà ðåãóëÿðíîé îêðåñòíîñòè ãðà à â 2-ìíîãîîáðàçèè îäèíàêîâà äëÿ ãîìîòîïíûõ âëîæåíèé. Óêàçàíèå ê 10a. Óêàçàíèå ê 10b.
ÈÍÂÎËÞÖÈÈ Ïðèìåðû èíâîëþöèé.
×èòàòåëü íàâåðíÿêà çíàåò, íàñêîëüêî ïîëåçíû öåíòðàëüíûå, îñåâûå è çåðêàëüíûå ñèììåòðèè â ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè. Íàñòîëüêî æå ïîëåçíû èõ îáîáùåíèÿ èíâîëþöèè â 'âûñøåé' ìàòåìàòèêå. ( ñâîþ î÷åðåäü, ïîíÿòèå èíâîëþöèè ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì áîëåå îáùåãî ïîíÿòèÿ äåéñòâèÿ ãðóïïû íà ìíîæåñòâå, êîòîðîå ìû çäåñü íå çàòðàãèâàåì, ïîñêîëüêó èäåè è ìåòîäû, êîòîðûé ìû õîòèì ïðîèëëþñòðèðîâàòü, äîñòàòî÷íî âûïóêëî âèäíû íà ïðèìåðå èíâîëþöèé.) Èíâîëþöèåé íà ïîäìíîæåñòâå N ⊂ Rm íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå t : N → N , äëÿ êîòîðîãî t(t(x)) = x äëÿ ëþáîãî x ∈ N . Èíâîëþöèÿ t íàçûâåòñÿ ñâîáîäíîé, åñëè îíà íå èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê, ò.å. åñëè t(x) 6= x ïðè ëþáîì x. (Çàìåòèì, ÷òî öåíòðàëüíûå, îñåâûå è çåðêàëüíûå ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà íå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óñëîâèþ.) x x
t(x)
−x
èñ. 38: Èíâîëþöèè (1) è (2) Ïðèìåðû ñâîáîäíûõ èíâîëþöèé. (1) Îòîáðàæåíèå S 2 → S 2 ñ åðû S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}, çàäàííîå îðìóëîé (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z). Ýòî àíòèïîäàëüíàÿ èíâîëþöèÿ (ðèñ. 38). (2) Îòîáðàæåíèå A2 → A2 êîëüöà A2 = {(r, ϕ) ∈ R2 | 1 6 r 6 2}, çàäàííîå îðìóëîé (r, ϕ) 7→ (r, π + ϕ) (ðèñ. 38).
t1 (x)
t3 (x)
x
t2 (x)
ϕ
ψ x t(x)
èñ. 39: Èíâîëþöèè (3)(6) 41
(3)(5) Îòîáðàæåíèÿ ti : T 2 → T 2 , çàäàííûå îðìóëàìè (ðèñ. 39) t1 (ϕ, ψ) = (π + ϕ, ψ),
t2 (ϕ, ψ) = (ϕ, π + ψ)
è t3 (ϕ, ψ) = (−ϕ, π + ψ).
(6) Âîçüìåì íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå X ⊔ X = X × {+1, −1} äâóõ êîïèé ïðîñòðàíñòâà X . Îïðåäåëèì èíâîëþöèþ tX íà X × {+1, −1} îðìóëîé (x, s) 7→ (x, −s). Ýòî òðèâèàëüíàÿ èíâîëþöèÿ (ðèñ. 39). (7) àññìîòðèì äâèæåíèå áåç ñòîëêíîâåíèé äâóõ ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö íà íåêîòîðîì ìíîãîîáðàçèè N . Ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ýòîãî äâèæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî e := {(x, y) | x, y ∈ N, x 6= y}. Íà ýòîì ìíîæåñòâå ìîæíî ââåñòè èíâîëþöèþ îðìóëîé N e íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ 2-ìíîãîîáðàçèåì.) (x, y) 7→ (y, x). (Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî N
(a) Íà ñ åðå ñ ëþáûì ÷èñëîì ðó÷åê ñóùåñòâóåò ñâîáîäíàÿ èíâîëþöèÿ. (b)* Ñóùåñòâóåò ëè ñâîáîäíàÿ èíâîëþöèÿ íà RP 2 ? Óêàçàíèå: ðåøèòå õîòÿ áû äëÿ ñèìïëèöèàëüíûõ èíâîëþöèé, îïðåäåëåíèå êîòîðûõ ñì. íèæå. 1.
(a) Ïðèâåäèòå ïðèìåð ñâîáîäíîé èíâîëþöèè íà îêðóæíîñòè. (b) Íà ëþáîì ëè ãðà å ñóùåñòâóåò ñâîáîäíàÿ èíâîëþöèÿ? Óêàçàíèå: ðåøèòå õîòÿ áû äëÿ ñèìïëèöèàëüíûõ èíâîëþöèé, îïðåäåëåíèå êîòîðûõ ìîæíî äàòü àíàëîãè÷íî íèæåïðèâåäåííîìó. 2.
Ïóñòü T ñõåìà 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . Ñèìïëèöèàëüíàÿ îòíîñèòåëüíî ñõåìû T ñâîáîäíàÿ èíâîëþöèÿ ýòî ðàçáèåíèå âåðøèí ñõåìû T íà ïàðû, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì ÷åòûðåì óñëîâèÿì: êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò âåðøèíû èç ðàçíûõ ïàð; (Ýòî óñëîâèå ïðèíèìàåòñÿ, ïîñêîëüêó ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà â ñåáÿ èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.) åñëè {a, a′ } ïàðà, {b, b′ } ïàðà è ab ðåáðî, òî a′ b′ ðåáðî. íèêàêèå äâå âåðøèíû â ãðàíèöå ãðàíè íå ëåæàò â îäíîé ïàðå; (Ýòî óñëîâèå ïðèíèìàåòñÿ, ïîñêîëüêó ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå äèñêà â ñåáÿ èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.) åñëè {ai , a′i } ïàðû è a1 . . . ak ãðàíü, òî a′1 . . . a′k ãðàíü. Äëÿ 2-ìíîãîîáðàçèÿ N , ðåàëèçîâàííîãî â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà â R3 , èíâîëþöèÿ t íà N íàçûâàåòñÿ ñèìïëèöèàëüíîé îòíîñèòåëüíî ðàçáèåíèÿ T , åñëè t ïåðåâîäèò âåðøèíû â âåðøèíû, êàæäîå ðåáðî ab â ðåáðî t(a)t(b) è êàæäóþ ãðàíü a1 . . . ak â ãðàíü t(a1 ) . . . t(ak ). Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî èíâîëþöèè, ñèìïëèöèàëüíûå îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñõåìû. Òåîðåìà î ÷åòíîñòè. Ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà 2-ìíîãîîáðàçèÿ ñ ñèìïëèöèàëüíîé ñâîáîäíîé èíâîëþöèåé ÷åòíà. 3. (a) Äîêàæèòå òåîðåìó î ÷åòíîñòè. (b) Íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè ñ ðó÷êàìè íå ñóùåñòâóåò ñâîáîäíîé èíâîëþöèè. ( ) Ñóùåñòâóåò ëè ñâîáîäíàÿ èíâîëþöèÿ íà áóòûëêå Êëåéíà? (d) Íà êàêèõ 2-ìíîãîîáðàçèÿõ ñóùåñòâóåò ñâîáîäíàÿ èíâîëþöèè?
 2-ìíîãîîáðàçèè N ñî ñâîáîäíîé èíâîëþöèåé t îòîæäåñòâèì òî÷êè x è t(x) äëÿ ëþáîãî x. Ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå îòîæäåñòâëåíèÿ ïðîñòðàíñòâî áóäåò 2-ìíîãîîáðàçèåì (ýòèì àêòîì ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì áåç äîêàçàòåëüñòâà). Îíî íàçûâàåòñÿ àêòîðïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà N ïî èíâîëþöèè t è îáîçíà÷àåòñÿ N/t. Íàøà èíâîëþöèÿ íàçûâàåòñÿ èíâîëþöèåé íà ïðîñòðàíñòâå N íàä ïðîñòðàíñòâîì N/t. 4.  âûøåïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ (1)(6) (a) èíâîëþöèè ñèìïëèöèàëüíû îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñõåìû; (b) àêòîðïðîñòðàíñòâà ãîìåîìîð íû ïðîñòðàíñòâàì RP 2 , A2 , T 2 , T 2 , K 2 , X .
42
5. (a) Ñâîáîäíûå èíâîëþöèè íàä äàííûì ãðà îì N ìîæíî ñòðîèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. àñêðàñèì âåðøèíû äàííîãî ãðà à N â V ðàçíûõ öâåòîâ. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ãðà à N âîçüìåì äâå âåðøèíû òîãî æå öâåòà. Ýòî áóäóò âåðøèíû ãðà à N ′ . Äëÿ êàæäîãî ðåáðà ij ãðà à N âîçüìåì äâà ðåáðà, êàæäîå èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò ðàçíîöâåòíûå âåðøèíû öâåòîâ i è j ãðà à N ′ . Ýòî áóäóò ðåáðà ãðà à N ′ . Íà ïîëó÷åííîì ðàñêðàøåííîì ãðà å N ′ îïðåäåëÿåòñÿ èíâîëþöèÿ, ìåíÿþùàÿ ìåñòàìè îäíîöâåòíûå âåðøèíû. (b) Ïóñòü G ãðà ñ âåðøèíàìè a è b, äâóêðàòíûì ðåáðîì ab è äâóìÿ ïåòëÿìè aa è bb. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ñâîáîäíîé èíâîëþöèè ãðà à G íàä ãðà îì 'âîñüìåðêà'. Èíâîëþöèÿ t : N → N íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå 2ìíîãîîáðàçèå X è òîïîëîãè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü N → X ⊔ X , ïðè êîòîðîé t ïåðåõîäèò â òðèâèàëüíóþ èíâîëþöèþ tX íà X ⊔ X èç ïðèìåðà (6). ßñíî, ÷òî àíòèïîäàëüíàÿ èíâîëþöèÿ íà ñ åðå íåòðèâèàëüíà. 6. Ëþáàÿ ñâîáîäíàÿ èíâîëþöèÿ îäíîãî èç ñëåäóþùèõ òèïîâ ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíîé: (a) íà ãðà å íàä äåðåâîì. (b) íà 2-ìíîãîîáðàçèè íàä äèñêîì. ( ) íà 2-ìíîãîîáðàçèè íàä ñ åðîé. Óêàçàíèå: ýòè è ñëåäóþùèå çàäà÷è ðàçóìíî ðåøèòü ñíà÷àëà äëÿ êîíêðåòíûõ âûáðàííûõ Âàìè ïðîñòûõ ðàçáèåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ 2-ìíîãîîáðàçèé, à ïîòîì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ðàçáèåíèé. 7. Äëÿ êàêèõ ïàð (M, N ) 2-ìíîãîîáðàçèé ñóùåñòâóåò ñâîáîäíàÿ èíâîëþöèÿ 2ìíîãîîáðàçèÿ M íàä 2-ìíîãîîáðàçèåì N ? Êëàññè èêàöèÿ èíâîëþöèé.
Èíâîëþöèè t1 , t2 : N → N íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ñõåìà T 2-ìíîãîîáðàçèÿ N è èçîìîð èçì f : T → T , äëÿ êîòîðîãî t2 ◦ f = f ◦ t1 (ò.å. èçîìîð èçì f ïåðåâîäèò êàæäóþ ïàðó (x, t1 (x)) â íåêîòîðóþ ïàðó (y, t2 (y)). 8. (a) Èíâîëþöèè èç ïðèìåðîâ (3) è (4) ýêâèâàëåíòíû. (b) Ïðèâåäèòå ïðèìåð äâóõ íåýêâèâàëåíòíûõ ñâîáîäíûõ èíâîëþöèé íà îäíîì è òîì æå 2-ìíîãîîáðàçèè. ( ) Ïðèâåäèòå ïðèìåð äâóõ íå ýêâèâàëåíòíûõ ñâîáîäíûõ èíâîëþöèé íà ñ åðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìè, àêòîðïðîñòðàíñòâî ïî êàæäîé èç êîòîðûõ ãîìåîìîð íî òîðó. Ñ èíâîëþöèÿìè ìîæíî ðàáîòàòü íà ýêâèâàëåíòíîì ÿçûêå äâóëèñòíûõ íàêðûòèé. Íå îðìàëüíî ãîâîðÿ, äâóëèñòíîå íàêðûòèå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäàÿ òî÷êà èìååò äâà ïðîîáðàçà. Ôîðìàëüíî, (íåðàçâåòâëåííûì) äâóëèñòíûì íàêðûòèåì íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå p : N → N/t äëÿ íåêîòîðîé (ñâîáîäíîé) èíâîëþöèè t. Ñì. ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå â ãëàâå 6. Èíâîëþöèÿ íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùåå äâóëèñòíîå íàêðûòèå òðèâèàëüíî. Äâóëèñòíûå íàêðûòèÿ p1 : X1 → X è p2 : X2 → X íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò èçîìîð èçì ñõåì f : X1 → X2 , äëÿ êîòîðîãî p1 = p2 ◦ ϕ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S(M ) ìíîæåñòâî äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä M ('èíâîëþöèé íàä M ') ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè íàä M . Òåîðåìà êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä ãðà îì. Ìíîæåñòâî S(G) ñèìïëèöèàëüíûõ äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä ãðà îì G ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ H1 (G) ∼ = Z2E−V +C . Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà. àññìîòðèì ñèìïëèöèàëüíîå äâóëèñòíîå íàêðûòèå e → G íàä ãðà îì G. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû v ãðà à G îäíó èç òî÷åê â p−1 p:G íàçîâåì âåðõíåé, à âòîðóþ íèæíåé. Ýòîò âûáîð îáîçíà÷èì ÷åðåç o. Ïîñòàâèì íà 43
e ñîåäèíÿþò ðåáðå e ãðà à G åäèíèöó, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå äâà ðåáðà p−1 e â G ðàçíîèìåííûå âåðøèíû, è íîëü, åñëè îäíîèìåííûå. Íàçîâåì ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó ïðåïÿòñòâóþùåé è îáîçíà÷èì ω(o). (Ïîÿñíåíèå ê íàçâàíèþ, íå èñïîëüçóåìîå â äàëüíåéøåì: ýòà ðàññòàíîâêà ïðåïÿòñòâóåò òðèâèàëüíîñòè äâóëèñòíîìó íàêðûòèÿ.) Îäíîìåðíàÿ ãðóïïà ãîìîëîãèé H1 (G) ãðà à G îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ïóíêòó 'îðèåíòèðóåìîñòü' êàê ãðóïïà öèêëîâ â ãðà å G. Äëÿ ëþáîãî öèêëà g ñóììà ω(o) · g çíà÷åíèé ω(o) ïî âñåì ðåáðàì ïîäãðà à g íå çàâèñèò îò íàáîðà o ñòðåëî÷åê. Ïîýòîìó îðìóëà w1 (p)[g] = ω(o) · g êîððåêòíî çàäàåò ëèíåéíóþ óíêöèþ w1 (p) : H1 (G) → Z2 . Îíà íàçûâàåòñÿ ïåðâûì êëàññîì Øòè åëÿ-Óèòíè äâóëèñòíîãî íàêðûòèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ñîîòâåòñòâèå p 7→ w1 (p) ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé, îñòàâëÿåì â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. 9. (a) Ïðè ïîñòðîåííîé âûøå áèåêöèè êîìïîçèöèÿ èíâîëþöèé ïåðåõîäèò â ñóììó öèêëîâ. (b) Ñêîëüêî ñèìïëèöèàëüíûõ äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä òîðîì (ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè)? ( ) Ñêîëüêî ñèìïëèöèàëüíûõ ñâîáîäíûõ èíâîëþöèé íà òîðå (ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè)? Ïåðåéäåì ê êëàññè èêàöèè ñèìïëèöèàëüíûõ äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä äàííûì 2-ìíîãîîáðàçèåì M . Ïóñòü çàäàíà íåêîòîðàÿ èíâîëþöèÿ t : N → N íàä M . Ìû ïîñòðîèì ïðåïÿòñòâèå ê òðèâèàëüíîñòè èíâîëþöèè t. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïðåïÿòñòâèÿ íåòðóäíî êëàññè èöèðîâàòü ñèìïëèöèàëüíûå äâóëèñòíûå íàêðûòèÿ íàä M . åêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ ðàçîáðàòü ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ ñíà÷àëà äëÿ èíâîëþöèè t : T 2 → T 2 èç ïðèìåðà (2). Âûáåðåì íà ñ åðå M ñ g ðó÷êàìè 2g êðèâûõ, êàê íà ðèñ. 40. Äëÿ äâóëèñòíîãî f → M è îäíîé èç ýòèõ êðèâûõ ïîñòàâèì íà êðèâîé 0, åñëè ñîîòâåòñòâóíàêðûòèÿ p : M þùàÿ èíâîëþöèÿ íàä íåé òðèâèàëüíà (ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê èç äâóõ êîïèé îêðóæíîñòè), è 1, åñëè íåòðèâèàëüíà. Ïîëó÷èì íàáîð w1 (p) èç 2g íóëåé è åäèíèö, íàçûâàåìûé ïåðâûì êëàññîì Øòè åëÿ-Óèòíè äâóëèñòíîãî íàêðûòèÿ p îòíîñèòåëüíî äàííîãî âûáîðà êðèâûõ L. Àíàëîãè÷íûå íàáîðû èç 2g íóëåé è åäèíèö ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ íåêîòîðûå äðóãèå íàáîðû çàìêíóòûõ êðèâûõ íà M .
èñ. 40: Íàáîð êðèâûõ äëÿ êëàññè èêàöèè èíâîëþöèé 10. Ïîñòðîéòå àíàëîãè÷íûé íàáîð èç 2 − χ(M ) êðèâûõ íà íåîðèåíòèðóåìîì ìíîãîîáðàçèè M (òàê, ÷òîáû áûëà âûïîëíåíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà). Òåîðåìà êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé. Äëÿ çàìêíóòîãî 2−χ(M) 2-ìíîãîîáðàçèÿ M îòîáðàæåíèå w1 : S(M ) → Z2 (èç ìíîæåñòâà S(M ) ñèìïëèöèàëüíûõ äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä ãðà îì G ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâà2−χ(M) ëåíòíîñòè â ãðóïïó H1 (M ) ∼ îäíîìåðíûõ ãîìîëîãèé 2-ìíîãîîáðàçèÿ M ñ = Z2 êîý èöèåíòàìè â Z2 ) ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì. Çàìåòèì, ÷òî ãðóïïà ãîìîëîãèé H1 (M ) åñòåñòâåííî ïîÿâèëàñü ïðè êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íåçàâèñèìî îò åå ïîÿâëåíèÿ ïðè èçó÷åíèè îðèåíòèðóåìîñòè. 11. (a) Ïðè îòîáðàæåíèè w1 òðèâèàëüíàÿ èíâîëþöèÿ ïåðåõîäèò â íóëåâîé ýëåìåíò. (b) Ïðè îòîáðàæåíèè w1 êîìïîçèöèÿ èíâîëþöèé ïåðåõîäèò â ñóììó öèêëîâ. ( ) Äîêàæèòå òåîðåìó êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé.
44
(d) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîã òåîðåìû êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé äëÿ ìíîãîîáðàçèé ñ êðàåì. (e) Òî æå äëÿ óòîëùåíèé ãðà îâ. (f) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîã òåîðåìû êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé äëÿ äâóëèñòíûõ íàêðûòèé ìíîãîîáðàçèé, ñîõðàíÿþùèõ îðèåíòàöèþ. Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé.
Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ñëîæíåå ïðåäûäóùåãî. Çàòî, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî, ïîñòðîåíèÿ ýòîãî äîêàçàòåëüñòâà ïðèìåíèìû äëÿ êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íà 2-ìíîãîîáðàçèÿõ, çàäàííûõ ñõåìîé (íàïðèìåð, â êîìïüþòåðå). Êðîìå òîãî, ýòî äîêàçàòåëüñòâî ìîæåò áûòü îáîáùåíî äëÿ òðåõìåðíûõ (è ìíîãîìåðíûõ) ìíîãîîáðàçèé. Ïîñòðîåíèå ïðåïÿòñòâóþùåãî öèêëà. àññìîòðèì ñâîáîäíóþ ñèìïëèöèàëüíóþ èíâîëþöèþ t : N → N , äëÿ êîòîðîé M = N/t. Âîçüìåì íåêîòîðîå ðàçáèåíèå T ìíîãîîáðàçèÿ N . Ïîñòðîèì äâîéñòâåííîå ðàçáèåíèå U (ñì. îïðåäåëåíèå â ïóíêòå ' îðìà ïåðåñå÷åíèé'). Îíè ïîðîæäàþò äâîéñòâåííûå ñõåìû T /t è U/t ìíîãîîáðàçèÿ M = N/t. Äëÿ êàæäîé ïàðû èíâîëþòèâíûõ âåðøèí ñõåìû T îäíó èç íèõ íàçîâåì âåðõíåé, à âòîðóþ íèæíåé. Ýòîò âûáîð îáîçíà÷èì ÷åðåç o. Ïîêðàñèì â êðàñíûé öâåò òå ðåáðà ñõåìû U/t, äëÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå äâà ðåáðà ñõåìû T ñîåäèíÿþò ðàçíîèìåííûå âåðøèíû. Îáúåäèíåíèå êðàñíûõ ðåáåð íàçûâàåòñÿ ïðåïÿòñòâóþùèì öèêëîì ω(o). Íà ðèñ. 41 æèðíîé ëèíèåé èçîáðàæåí ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë äëÿ èíâîëþöèè íà òîðå (ò.å. äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî äâóëèñòíîãî íàêðûòèÿ íàä òîðîì) èç ïðèìåðà (3). A+
A+
A−
A−
A+
A+
A
A
A
A
èñ. 41: Ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë äëÿ èíâîëþöèè íà òîðå (íàä òîðîì) ßñíî, ÷òî (*) Äàííîå ðàñïðåäåëåíèå o âåðõíèõ è íèæíèõ âåðøèí îïðåäåëÿåò òðèâèàëèçàöèþ èíâîëþöèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ω(o) = ∅. (**)  ãðà å ω(o) íåò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí è èç êàæäîé âåðøèíû âûõîäèò ÷åòíîå ÷èñëî êðàñíûõ ðåáåð, ò.å. ýòîò ãðà ÿâëÿåòñÿ (ãîìîëîãè÷åñêèì) öèêëîì. (a) Äîêàæèòå ýòè óòâåðæäåíèÿ. (b) Âíå ãðà à ω(o) äâóëèñòíîå íàêðûòèå òðèâèàëüíî.
12.
Èçìåíåíèå ïðåïÿòñòâóþùåãî öèêëà. Åñëè ω(o) 6= ∅, òî o íå îïðåäåëÿåò òðèâèàëèçàöèè èíâîëþöèè, íî åùå íå âñå ïîòåðÿíî: ìîæíî ïîïûòàòüñÿ èçìåíèòü o, òàê ÷òîáû ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë ñòàë ïóñòûì. Äëÿ ýòîãî âûÿñíèì, êàê ω(o) çàâèñèò îò o. Èçìåíèì íàçâàíèÿ äâóõ èíâîëþòèâíûõ âåðøèí ñõåìû T , ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíå ñõåìû T /t, ëåæàùåé â ãðàíè a. Òîãäà öèêë ω(o) èçìåíèòñÿ íà ñóììó ïî ìîäóëþ 2 (ò.å. ñèììåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü) ñ ãðàíèöåé ýòîé ãðàíè: ω(o′ ) = ω(o) + ∂a. Ïîýòîìó ïðè èçìåíåíèè íàçâàíèé íåñêîëüêèõ èíâîëþòèâíûõ âåðøèí ñõåìû T öèêë ω(o) èçìåíÿåòñÿ íà ñóììó ïî ìîäóëþ 2 ãðàíèö ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíåé ñõåìû U/t: ω(o′ ) = ω(o) + ∂a1 + . . . + ∂ak .
45
ßñíî, ÷òî (i) Ïðè èçìåíåíèè íàáîðà o ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë ω(o) çàìåíÿåòñÿ íà ãîìîëîãè÷íûé öèêë. (ii) Åñëè ω(o) ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé, òî ìîæíî èçìåíèòü o íà o′ , òàê ÷òîáû ïîëó÷èëîñü ω(o′ ) = 0. Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà. Íàïîìíèì, ÷òî îäíîìåðíîé ãðóïïîé ãîìîëîãèé ñõåìû T (èëè ìíîãîîáðàçèÿ M ) íàçûâàåòñÿ ãðóïïà H1 (M ) öèêëîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìî2−χ(M) ëîãè÷íîñòè (è ÷òî H1 (M ) ∼ ). = Z2 Ïåðâûì êëàññîì Øòè åëÿ-Óèòíè èíâîëþöèè t (èëè ñîîòâåòñòâóþùåãî äâóëèñòíîãî íàêðûòèÿ) íàçûâàåòñÿ êëàññ ãîìîëîãè÷íîñòè ïðåïÿòñòâóþùåãî öèêëà: w1 (t) := [ω(o)] ∈ H1 (M ).
ßñíî, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ïðåïÿòñòâèåì ê òðèâèàëüíîñòè èíâîëþöèè t: èíâîëþöèÿ t òðèâèàëüíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà w1 (t) 6= 0. Òåïåðü òåîðåìà êëàññè èêàöèè äâóëèñòíûõ íàêðûòèé âûòåêàåò èç (ii). 13. Îïðåäåëèòå è êëàññè èöèðóéòå äâóëèñòíûå íàêðûòèÿ íàä äàííûì 3ìíîãîîáðàçèåì.
Èñïîëüçóéòå àêòîðïðîñòðàíñòâà. Îòâåò: èíâîëþöèè èç ïðèìåðîâ (4) è (5) íå ýêâèâàëåíòíû. Óêàçàíèå ê 8b.
Ò ÅÕÌÅ ÍÛÅ ÓÒÎËÙÅÍÈß ÄÂÓÌÅ ÍÛÕ ÏÎËÈÝÄ ÎÂ
R3 . Åñëè ñêëåéêó, îïðåäåëÿþùóþ òåëî ñõåìû, ìîæíî îñóùåñòâèòü â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 (èëè â äàííîì 3-ìíîãîîáðàçèè) áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé, òî äàííóþ ñõåìó íàçûâàþò âëîæèìîé â R3 (èëè â äàííîå 3-ìíîãîîáðàçèå). ßñíî, ÷òî âëîæèìîñòü íå çàâèñèò îò âûáîðà ñõåìû â êëàññå ãîìåîìîð èçìà. Ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î âëîæèìîñòè 2-ïîëèýäðà. Ôîðìàëüíî, 2-ïîëèýäð íàçûâàåòñÿ âëîæèìûì â äàííîå 3-ìíîãîîáðàçèå (íàïðèìåð, â R3 ), åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå ñõåìû P, M 2-ïîëèýäðà è 3-ìíîãîîáðàçèÿ, ÷òî ñõåìà P èçîìîð íà ïîäñõåìå ñõåìû M . (Ýòî îïðåäåëåíèå êóñî÷íî-ëèíåéíîé âëîæèìîñòè, äëÿ 3-ìíîãîîáðàçèé ðàâíîñèëüíîå òîïîëîãè÷åñêîé âëîæèìîñòè [Bi83℄, êîòîðóþ ìû çäåñü íå îïðåäåëÿåì). Õîðîøî èçâåñòíà ñëåäóþùàÿ òðóäíàÿ ïðîáëåìà: íàéòè îïèñàíèå 2-ïîëèýäðîâ, âëîæèìûõ â R3 . (Êîíå÷íî, ÷òî çíà÷èò 'íàéòè', îðìàëüíî íå îïðåäåëåíî. Ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî òðåáóåòñÿ íàéòè îïèñàíèå â ëåãêî ïðîâåðÿåìûõ òåðìèíàõ. Êàê è ñ ïðîáëåìîé îïèñàíèÿ ãðà îâ, âëîæèìûõ â ïëîñêîñòü, âîçìîæíî íàëè÷èå ðàçíûõ îïèñàíèé.) Ïðèâåäåì ïðîñòåéøèå ïðèìåðû ïî ýòîé ïðîáëåìå. 3 1. Ñëåäóþùèå 2-ïîëèýäðû âëîæèìû â R : (a) Ëþáîå îðèåíòèðóåìîå (èëè íåîðèåíòèðóåìîå ñ íåïóñòûì êðàåì) 2ìíîãîîáðàçèå. (b) T × I/(a, 0) ∼ (h(a), 1), ãäå h àâòîãîìåîìîð èçì òðèîäà T , îòâå÷àþùèé öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêå åãî ðåáåð (ñð. ñ ðèñ. 26). ( ) G × S 1 äëÿ ëþáîãî ïëàíàðíîãî ãðà à G. (d) Öèëèíäð G × I (èëè äàæå I -ðàññëîåíèå) íàä ëþáûì (äàæå íåïëàíàðíûì) ãðà îì G. Ëåãêî ïîñòðîèòü 2-ïîëèýäð, íå âëîæèìûé â R3 . Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü êîíóñ íàä íåïëàíàðíûì ãðà îì (êàçàëîñü áû, ìîæíî âçÿòü ïðîèçâåäåíèå íåïëàíàðíîãî ãðà à íà îòðåçîê, îäíàêî îíî âëîæèìî â R3 !). Âëîæèìîñòü 2-ïîëèýäðîâ â
46
Ñëåäóþùèå 2-ïîëèýäðû íå âëîæèìû â R3 : (a) Con K5 . (b) T × T . ( )* K5 × S 1 . (d) Ëèñò ̼áèóñà ñ ïðèêëååííûì ïî ñðåäíåé ëèíèè êîëüöîì çà îäíó èç êîìïîíåíò êðàÿ êîëüöà ñî ñòåïåíüþ 1, ò.å. T × I/(a, 0) ∼ (h(12) (a), 1), ãäå h(12) àâòîãîìåîìîð èçì òðèîäà T , îòâå÷àþùèé ïåðåñòàíîâêå äâóõ åãî ðåáåð. (e) Ïðîåêòèâíàÿ ïëîñêîñòü RP 2 , áóòûëêà Êëÿéíà K è âîîáùå, çàìêíóòîå íåîðèåíòèðóåìîå 2-ìíîãîîáðàçèå (óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå òåîðåìó Æîðäàíà äëÿ çàìêíóòûõ íåñàìîïåðåñåêàþùèõñÿ 2-ìíîãîîáðàçèé â R3 ). 2.
(a) RP 2 è K (è âîîáùå ëþáîé 2-ïîëèýäð) âëîæèìû â R5 (ò.å. èõ ìîæíî èçîáðàçèòü òàì áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé). (b) RP 2 è K âëîæèìû è â R4 . Óêàçàíèå: RP 2 ãîìåîìîð íà ëèñòó ̼áèóñà ñ ïðèêëååííûì ïî ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè äèñêîì. 3.
4.*
(a) Öèëèíäð P × I íàä 2-ïîëèýäðîì P âëîæèì â R3 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà P íå ñîäåðæèò çîíòèêà (ðèñ. 74) è ëèñòà ̼áèóñà (÷òî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî P âëîæèì â ñ åðó ñ íåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì ðó÷åê). Óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå èäåþ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Õàëèíà-Þíãà [Sk05℄. (b) Ñóùåñòâóåò ëè àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ âëîæèìîñòè 2-ïîëèýäðà â íåêîòîðóþ ãîìîëîãè÷åñêóþ ñ åðó (íå èêñèðîâàííóþ çàðàíåå)? 3 èïîòåçà. Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ âëîæèìîñòè 2-ïîëèýäðà â R . Óòîëùàåìîñòü 2-ïîëèýäðîâ äî 3-ìíîãîîáðàçèé.
(a) Ïðîñòðàíñòâà èç 2abd íå âëîæèìû äàæå íè â êàêîå îðèåíòèðóåìîå 3ìíîãîîáðàçèå. (b) Ïðîñòðàíñòâî T5 × I/(a, 0) ∼ (hσ (a), 1), ãäå σ = (12)(345), íå âëîæèìî íè â êàêîå 3-ìíîãîîáðàçèå (äàæå íåîðèåíòèðóåìîå). ( ) Äëÿ êàêèõ ïåðåñòàíîâîê σ ∈ Sn (îðèåíòèðóåìî) óòîëùàåì 2-ïîëèýäð Tn × I/(a, 0) ∼ (hσ (a), 1), ãäå hσ àâòîãîìåîìîð èçì n-îäà, îòâå÷àþùèé ïåðåñòàíîâêå σ åãî ðåáåð? 2-ïîëèýäð íàçûâàåòñÿ (îðèåíòèðóåìî) óòîëùàåìûì, åñëè îí âëîæèì â íåêîòîðîå, íå èêñèðîâàííîå çàðàíåå, (îðèåíòèðóåìîå) 3-ìíîãîîáðàçèå. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü âëîæåíèå áóòûëêè Êëåéíà â íåêîòîðîå îðèåíòèðóåìîå S1 = {z ∈ C | 3-ìíîãîîáðàçèå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü 1 |z| = 1}. Òîãäà 3-ìíîãîîáðàçèå S × [−1, 1] × [0, 1]/(z, t, 0) ∼ (¯ z , −t, 1) îðèåíòèðóz , 0, 1). Äðóãîé ïðèìåð åìî è ñîäåðæèò áóòûëêó Êëåéíà S 1 × 0 × [0, 1]/(z, 0, 0) ∼ (¯ îðèåíòèðóåìîãî 3-óòîëùåíèÿ íåîðèåíòèðóåìîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ ýòî ðåãóëÿðíàÿ îêðåñòíîñòü ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè RP 2 , ñòàíäàðòíî âëîæåííîé â RP 3 . 5.
6. (a) Ëþáîå 2-ìíîãîîáðàçèå N îðèåíòèðóåìî 3-óòîëùàåìî. (b)* Áîëåå òîãî, 2-óòîëùåíèå µ êðàÿ ∂N (èëè I -ðàññëîåíèå µ íàä êðàåì ∂N ) ïðîäîëæàåòñÿ äî 3-óòîëùåíèÿ 2-ìíîãîîáðàçèÿ N (èëè ïðîäîëæàåòñÿ íà N ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà δw1 (µ) = 0 ∈ H 2 (N, ∂N ). (Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íå îáÿçàòåëüíî çíàòü îïðåäåëåíèÿ îáúåêòîâ δw1 (µ) è H 2 (N, ∂N ), èõ ìîæíî åñòåñòâåííî ïðèäóìàòü â ïðîöåññå ðåøåíèÿ.) Ëîæíûå ïîâåðõíîñòè.
2-ïîëèýäð Q íàçûâàåòñÿ ëîæíîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè êàæäàÿ åãî òî÷êà èìååò îêðåñòíîñòü, ãîìåîìîð íóþ îäíîé èç ñëåäóþùèõ: äèñêó D2 , êíèæêå ñ òðåìÿ ñòðàíèöàìè T × I èëè êîíóñó íàä ïîëíûì ãðà îì ñ ÷åòûðüìÿ âåðøèíàìè (ò.å. íàä 1-îñòîâîì 3-ñèìïëåêñà), ñì. ðèñ. 42. Òàêèå òî÷êè ìû áóäåì íàçûâàòü òî÷êàìè òèïà 1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî. 47
èñ. 42: Ïðîñòåéøèå îñîáåííîñòè Ìûëüíûå ïëåíêè â R3 èìåþò ñèíãóëÿðíîñòè â òî÷íîñòè òèïîâ 2 è 3. Ïîíÿòèå ìûëüíûõ ïëåíîê èç äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè ÿâëÿåòñÿ òàêæå âàæíûì ñðåäñòâîì è îáúåêòîì èññëåäîâàíèé â àëãåáðàè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé òîïîëîãèè. Íàïðèìåð: ëþáîå òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ óòîëùåíèåì íåêîòîðîé ëîæíîé ïîâåðõíîñòè (è äàæå ñïåöèàëüíîãî 2-ïîëèýäðà) [HMS93, I, Theorem 3.1.b℄. äëÿ ëþáîãî 2-ïîëèýäðà P ñóùåñòâóåò ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ('ðåçîëüâåíòà') f : Q → P ëîæíîé ïîâåðõíîñòè Q, ïðîîáðàçû òî÷åê ïðè êîòîðîì ÿâëÿþòñÿ øàðàìè ðàçìåðíîñòè 1, 2 èëè 3 (è, â ÷àñòíîñòè, ñòÿãèâàåìû) [RS00℄. Ïðèìåðàìè ëîæíûõ ïîâåðõíîñòåé ÿâëÿþòñÿ îáúåäèíåíèå òîðà ñ äâóìÿ äèñêàìè, ïðèêëååííûìè ê ïàðàëëåëè è ìåðèäèàíó òîðà, à òàêæå äîì Áèíãà ñ äâóìÿ êîìíàòàìè. Ïóñòü Q′ îáîçíà÷àåò íàñòîÿùèé 1-îñòîâ ëîæíîé ïîâåðõíîñòè Q, ò. å. ìíîæåñòâî òî÷åê òèïà 2 èëè 3. ßñíî, ÷òî Q′ ÿâëÿåòñÿ ãðà îì, âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò ñòåïåíè 1, 2 èëè 4. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Q′′ ìíîæåñòâî òî÷åê èç Q òèïà 3. Êðèòåðèè óòîëùàåìîñòè ëîæíûõ ïîâåðõíîñòåé. Òåîðåìà îðèåíòèðóåìîé óòîëùàåìîñòè. Îðèåíòèðóåìàÿ óòîëùàåìîñòü ëîæíîé ïîâåðõíîñòè Q ðàâíîñèëüíà êàæäîìó èç ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé. (1) Q íå ñîäåðæèò N ëèñòà ̼áèóñà ñ ïðèêëååííûì ïî ñðåäíåé ëèíèè êîëüöîì (çà îäíó èç êîìïîíåíò êðàÿ êîëüöà ñî ñòåïåíüþ 1) [BP97℄, [BRS99℄. (2) ïðåïÿòñòâèå Ìàòâååâà m(Q) ∈ H 1 (Q′ ) íóëåâîå [BRS99℄, [La00℄. ðóïïà H 1 (Q′ ) îïðåäåëåíà â ïàðàãðà å 'îðèåíòèðóåìîñòü è êëàññè èêàöèÿ óòîëùåíèé' (èëè åñòåñòâåííî ïîÿâëÿåòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè îðèåíòèðóåìîé óòîëùàåìîñòè). Äîêàçàòåëüñòâî êðèòåðèÿ (1). Âîçüìåì ïî òî÷êå íà êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿõíîñòè ãðà à Q′ , ÿâëÿþùåéñÿ îêðóæíîñòüþ. Ïóñòü V îáúåäèíåíèå ïîëó÷åííûõ òî÷åê ñ Q′′ . Òàê êàê ëèíê êàæäîé òî÷êè èç V ïëàíàðíûé ãðà , òî ñóùåñòâóåò 3-óòîëùåíèå M0 îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà V , ÿâëÿþùååñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì òðåõìåðíûõ øàðîâ.  êà÷åñòâå óòîëùåíèÿ îêðåñòíîñòè êàæäîé äóãè èç Q′ − M0 âîçüìåì òðóáêó, â êîòîðóþ ýòà îêðåñòíîñòü âëîæåíà ñòàíäàðòíûì îáðàçîì. Òîãäà îêðåñòíîñòü ðåáðà âûñåêàåò íà òîðöàõ òðóáêè òðèîä. Ïðèêëåèì ýòó òðóáêó ïî òîðöàì ê ñîîòâåòñòâóþùèì øàðàì èç M0 òàê, ÷òîáû òðèîäû íà òîðöàõ òðóáêè ñîâìåñòèëèñü ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè òðèîäàìè íà øàðàõ èç M0 . Ïîëó÷èì 3-óòîëùåíèå M1 îêðåñòíîñòè (â Q) ãðà à Q′ . Äîêàæåì, ÷òî åñëè Q íå ñîäåðæèò N , òî 3-óòîëùåíèå M1 îðèåíòèðóåìî. Ïóñòü T òðèîä. ßñíî, ÷òî äëÿ ëþáîé âåðøèíû A ∈ Q′′ è äëÿ ëþáûõ âåðøèí B, C ∈ lk A ñòåïåíè áîëüøå 2 ñóùåñòâóþò òðè ïóòè, ñîåäèíÿþùèõ B ñ C è ïåðåñåêàþùèõñÿ òîëüêî â B, C . Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé îêðóæíîñòè J ⊂ Q′ ñóùåñòâóåò òàêîé ïîäïîëèýäð Jˆ ⊂ Q, T ×I ∼ ÷òî Jˆ = , ãäå h àâòîãîìåîìîð èçì òðèîäà T , îòâå÷àþùèé íåêîòî(a, 0) ∼ (h(a), 1)
48
ðîé ïåðåñòàíîâêå åãî ðåáåð è ∗ öåíòð òðèîäà (ñð. ñ ðèñ. 26; Jˆ íàçûâàåòñÿ ðàññëîåíèåì ñî ñëîåì T è áàçîé J [Wr77℄). Ïðè ýòîì ãîìåîìîð èçìå J îáÿçàíî ïåðåõîäèòü ∗×I â . Ñóùåñòâóåò òðè òèïà ïðîñòðàíñòâ Jˆ. Îíè ïîëó÷àþòñÿ, êîãäà ïåðå(∗, 0) ∼ (∗, 1)
ñòàíîâêà ðåáåð òðèîäà ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííîé, öèêëîì äëèíû 3 è öèêëîì äëèíû 2 (òðàíñïîçèöèåé), ñîòòâåòñòâåííî. Åñëè Q íå ñîäåðæèò N , òî äëÿ ëþáîé J ïðîñòðàíñòâî Jˆ ïåðâîãî èëè âòîðîãî òèïîâ. Òîãäà 3-óòîëùåíèå M1 îðèåíòèðóåìî. Ïóñòü X çàìûêàíèå â Q ïðîèçâîëüíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà Q − M1 . Òîãäà X åñòü 2-ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì ∂X = X ∩ ∂M1 , ÿâëÿþùèìñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì îêðóæíîñòåé. Òàê êàê M1 îðèåíòèðóåìî, òî ∂M1 îðèåíòèðóåìî. Ïîýòîìó ìàëàÿ îêðåñòíîñòü â ∂M1 êàæäîé òàêîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì (à íå ëèñòîì ̼áèóñà). Ïîýòîìó 3-óòîëùåíèå M1 ìîæíî ïðîäîëæèòü äî 3-óòîëùåíèÿ ïîëèýäðà Q ïðèêëåéêîé "ïðîáîê"X × I ïî ãîìåîìîð èçìàì ìåæäó ∂X × I è ìàëûìè îêðåñòíîñòÿìè â ∂M1 îáúåäèíåíèÿ ∂X îêðóæíîñòåé. 1 ′ 7. (a) Îïðåäåëèòå ãðóïïó H (Q ), ïðåïÿòñòâèå m(Q) è äîêàæèòå êðèòåðèé (2). Óêàçàíèå: ìîæíî äåéñòâîâàòü àíàëîãè÷íî íèæåñëåäóþùèì îïðåäåëåíèþ ïðåïÿòñòâèÿ δm(Q) è äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû óòîëùàåìîñòè. (b) Ëèñò ̼áèóñà ñ ïðèêëååííûì ïî ñðåäíåé ëèíèè äèñêîì (ïî ãîìåîìîð èçìó ãðàíèöû äèñêà íà ñðåäíþþ ëèíèþ ëèñòà Ìåáèóñà) íå óòîëùàåì. ( ) Ëèñò ̼áèóñà ñ ïðèêëååííûì ïî ñðåäíåé ëèíèè òîðîì ñ äûðêîé (ïî ãîìåîìîð èçìó ãðàíèöû òîðà ñ äûðêîé íà ñðåäíþþ ëèíèþ ëèñòà Ìåáèóñà) íå óòîëùàåì. (d) Ëèñò ̼áèóñà ñ ïðèêëååííûì ïî ñðåäíåé ëèíèè ëèñòîì Ìåáèóñà (ïî ãîìåîìîð èçìó ãðàíèöû âòîðîãî ëèñòà Ìåáèóñà íà ñðåäíþþ ëèíèþ ïåðâîãî) íå óòîëùàåì. (e) Ñóùåñòâóåò íåóòîëùàåìàÿ ëîæíàÿ ïîâåðõíîñòü, íå ñîäåðæàùàÿ íèêàêîãî îáúåäèíåíèÿ ëèñòà ̼áèóñà è 2-ïîâåðõíîñòè ñ ðîâíî îäíîé ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòüþ, îòîæäåñòâëåííîé ñî ñðåäíåé ëèíèåé ëèñòà ̼áèóñà [BRS99℄. Òåîðåìà óòîëùàåìîñòè. Ëîæíàÿ ïîâåðõíîñòü Q óòîëùàåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðåïÿòñòâèå Ìàòâååâà δm(Q) ∈ H 2 (Q, Q′ ) íóëåâîå [Ma73℄. Îïðåäåëåíèå ãðóïïû H 2 (Q, Q′ ), ïðåïÿòñòâèÿ δm(Q) è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû óòîëùàåìîñòè. Ôèêñèðóåì òðèàíãóëÿöèþ 2-ïîëèýäðà Q. Òàê êàê ëèíê êàæäîé âåðøèíû òðèàíãóëÿöèè ïëàíàðíûé ãðà , òî ñóùåñòâóåò óòîëùåíèå M0 îêðåñòíîñòè 0-îñòîâà ýòîé òðèàíãóëÿöèè. Îíî ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì òðåõìåðíûõ øàðîâ. Ïåðåñå÷åíèå Q ∩ ∂M0 ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì (ïî âñåì âåðøèíàì òðèàíãóëÿöèè) ãðà îâ, êàæäûé èç êîòîðûõ åñòü ëèáî K4 (ãðà ñ ÷åòûðüìÿ âåðøèíàìè, ëþáûå äâå èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû ðåáðîì), ëèáî K3,2 (ãðà áóêâû ϑ), ëèáî S 1 (îêðóæíîñòü). Ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíî (ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð èçìà ñ åðû S 2 ) âëîæåíèå êàæäîãî èç ýòèõ òðåõ ãðà îâ â S2 , òî óòîëùåíèå M0 åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð èçìà, íåïîäâèæíîãî íà Q ∩ M0 . Ïîñòðîèì óòîëùåíèå îêðåñòíîñòè 1-îñòîâà T (1) çà èêñèðîâàííîé òðèàíãóëÿöèè ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ êàæäîãî ðåáðà èç T (1) − M0 âîçüìåì åãî îêðåñòíîñòü â Q − M0 , ãîìåîìîð íóþ êíèæêå ñ îäíîé, äâóìÿ èëè òðåìÿ ñòðàíèöàìè (ñàìî ðåáðî ñîîòâåòñòâóåò êîðåøêó êíèæêè). Âîçüìåì òðóáêó D2 × I , â êîòîðóþ ýòà îêðåñòíîñòü âëîæåíà ñòàíäàðòíûì îáðàçîì. Óêàçàííàÿ îêðåñòíîñòü âûñåêàåò íà òîðöàõ òðóáêè ëèáî òðèîä, ëèáî îòðåçîê. Ïðèêëåèì êàæäóþ òàêóþ òðóáêó ïî åå òîðöàì ê ñîîòâåòñòâóþùèì øàðàì èç M0 òàê, ÷òîáû ãðà û íà òîðöàõ òðóáêè ñîâìåñòèëèñü ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîäãðà àìè íà øàðàõ. Ïîëó÷èì óòîëùåíèå M1 îêðåñòíîñòè 1-îñòîâà T (1) . Åñëè ðåáðî èç T (1) − M0 ëåæèò â Q′ , òî íà òîðöàõ òðóáêè âûñåêàþòñÿ òðèîäû. Çíà÷èò, ýòà òðóáêà ïðèêëåèâàåòñÿ ê M0 îäíîçíà÷íî. Ïîýòîìó óòîëùåíèå îêðåñòíîñòè ãðà à Q′ åäèíñòâåííî. ×òîáû âûÿñíèòü, ïðîäîëæàåòñÿ ëè óòîëùåíèå M1 äî óòîëùåíèÿ âñåãî 2-ïîëèýäðà, îïðåäåëèì ïðåïÿòñòâóþùóþ ðàññòàíîâêó. Ôèêñèðóåì íàáîð îðèåíòàöèé íà øàðàõ 49
äàííîãî óòîëùåíèÿ M0 . Íà êàæäîì ðåáðå ïîñòàâèì 0, åñëè ïðèêëåèâàþùèå îòîáðàæåíèÿ òîðöîâ ñîîòâåòñòâóþùåé òðóáêè â ñ åðû 0-îñòîâà îïðåäåëÿþò îðèåíòàöèþ íà òðóáêå, è 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ýòó ðàññòàíîâêó íàçîâåì ðàçëè÷àþùåé è îáîçíà÷èì ω(M1 ). Íà êàæäîé ãðàíè âûáðàííîé òðèàíãóëÿöèè ïîñòàâèì ñóììó ïî ìîäóëþ 2 ÷èñåë íà îãðàíè÷èâàþùèõ åå ðåáðàõ. Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó íàçîâåì ïðåïÿòñòâóþùåé è îáîçíà÷èì δω(M1 ). ßñíî, ÷òî δω(M1 ) íå çàâèñèò îò íàáîðà îðèåíòàöèé íà øàðàõ óòîëùåíèÿ M0 (õîòÿ ω(M1 ) çàâèñèò). Åñëè ñóùåñòâóåò ïðîäîëæåíèå óòîëùåíèÿ M1 äî óòîëùåíèÿ âñåãî 2-ïîëèýäðà, òî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü ëþáîé ãðàíè âûáðàííîé òðèàíãóëÿöèè ïåðåñåêàåòñÿ ñ M1 ïî êîëüöó (à íå ïî ëèñòó ̼áèóñà). Òîãäà δω(M1 ) ðàâíà íóëþ íà ýòîé ãðàíè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè δω(M1 ) 6= 0, òî M1 íå ïðîäîëæàåòñÿ äî óòîëùåíèÿ âñåãî 2-ïîëèýäðà. Îäíàêî, åñëè δω(M1 ) 6= 0, òî åùå íå âñå ïîòåðÿíî: ìîæíî ïîïûòàòüñÿ èçìåíèòü M1 òàê, ÷òîáû ïðåïÿòñòâóþùàÿ ðàññòàíîâêà δω(M1 ) ñòàëà íóëåâîé. Âûÿñíèì, êàêèå áûâàþò ðàçëè÷àþùèå ðàññòàíîâêè ω(M1 ) äëÿ ðàçëè÷íûõ M1 . Óòîëùåíèå ãðà à Q′ åäèíñòâåííî. Çíà÷èò, ðàññòàíîâêà ω(M1 ) íà ðåáðàõ èç Q′ íå çàâèñèò îò M1 . Òðóáêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáðàì âíå Q′ ìîãóò áûòü ïðèêëååíû ê N0 äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïðèêëåèâàþùèå îòîáðàæåíèÿ ìîãóò êàê îïðåäåëÿòü îðèåíòàöèþ íà òðóáêå, òàê è íå îïðåäåëÿòü. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì òàê ïîäîáðàòü óòîëùåíèå M1 îêðåñòíîñòè 1-îñòîâà âûáðàííîé òðèàíãóëÿöèè, ÷òî ðàññòàíîâêà ω(M1 ) íà ðåáðàõ âíå Q′ áóäåò ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé. ßñíî, ÷òî èçìåíåíèå óòîëùåíèÿ M1 íà îäíîì ðåáðå e èç T (1) , íå ëåæàùåì â Q, äàåò èçìåíåíèå ðàññòàíîâêè δω(M1 ) íà (äâóõ èëè îäíîé) ãðàíÿõ âûáðàííîé òðèàíãóëÿöèè, ïðèìûêàþùèõ ê e. Èíûìè ñëîâàìè, ê δω(M1 ) ïðèáàâëÿåòñÿ ðàññòàíîâêà δe (êîãðàíèöà ðåáðà e), êîòîðàÿ ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà åäèíèöå íà ãðàíÿõ, ïðèìûêàþùèõ ê e, è íóëþ íà îñòàëüíûõ ãðàíÿõ. Íàçîâåì ãðóïïîé äâóìåðíûõ êîãîìîëîãèé ïîëèýäðà Q ïî ìîäóëþ ïîäïîëèýäðà Q′ ãðóïïó H 2 (Q, Q′ ) ðàññòàíîâîê íóëåé è åäèíèö íà ãðàíÿõ òðèàíãóëÿöèè T ñ òî÷íîñòüþ äî ñóìì êîãðàíèö ðåáåð. (Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòà ãðóïïà íå çàèñèò îò âûáîðà òðèàíãóëÿöèè T .) Íàçîâåì ïðåïÿòñòâèåì Ìàòâååâà δm(Q) := [δω(M1 )] ∈ H 2 (Q, Q′ ).
Èç äâóõ ïðåäûäóùèõ àáçàöåâ âûòåêàåò ñëåäóþùåå. (1) Åñëè δm(Q) 6= 0, òî óòîëùåíèÿ 2-ïîëèýäðà Q íå ñóùåñòâóåò. (2) Åñëè æå δm(Q) = 0, òî ñóùåñòâóåò òàêîå óòîëùåíèå M1 , ÷òî δω(M1 ) = 0. Ýòî óòîëùåíèå M1 ìîæíî ïðîäîëæèòü äî óòîëùåíèÿ 2-ïîëèýäðà Q. ( åøåíèå ýòîé çàäà÷è àâòîðó íåèçâåñòíî.) Îáîçíà÷èì ÷åðåç RQ (Q′ ) ðåãóëÿðíóþ îêðåñòíîñòü ãðà à Q′ â ëîæíîé ïîâåðõíîñòè Q. Âîçüìåì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè X ïðîñòðàíñòâà Q − RQ (Q′ ). Îïðåäåëèòå 'îòîáðàæåíèå ïðèêëåéêè' gX : ∂X → Q′ è 'èíäóöèðîâàííîå T -ðàññëîåíèå' íàä ∂X . Íàçîâåì ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü â ∂X îïàñíîé, åñëè èíäóöèðîâàííîå T -ðàññëîåíèå íàä íåé çàäàåòñÿ àâòîãîìåîìîð èçìîì òðèîäà, ïåðåñòàâëÿþùèì äâà åãî ðåáðà. Âåðíî ëè, ÷òî ëîæíàÿ ïîâåðõíîñòü Q óòîëùàåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû X ÷èñëî îïàñíûõ îêðóæíîñòåé â ∂X ÷åòíî? Óêàçàíèå-ïðåäîñòåðåæåíèå: èç ïðèâåäåííîãî óñëîâèÿ âûòåêàåò, ÷òî íà îïàñíîé êîìïîíåíòå ïðèêëåèâàþùåå îòîáðàæåíèå íå ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç äâóêðàòíóþ èëè òðåõêðàòíóþ íàìîòêó. 8.
Êëàññè èêàöèÿ 3-óòîëùåíèé ëîæíûõ ïîâåðõíîñòåé.
Äëÿ ãðà à G ðàññìîòðèì îáúåäèíåíèå òðåõìåðíûõ øàðîâ, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî V . Íà êàæäîì òàêîì øàðå ââåäåì îðèåíòàöèþ (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, âëîæèì ýòè øàðû â ïðîñòðàíñòâî ñ èêñèðîâàííîé îðèåíòàöèåé). Òîãäà ãðàíè÷íûå ñ åðû äèñêîâ 50
òîæå áóäóò îðèåíòèðîâàíû. Íà êàæäîé òàêîé ãðàíè÷íîé ñ åðå îòìåòèì íåïåðåñåêàþùèåñÿ äâóìåðíûå äèñêè, îòâå÷àþùèå âûõîäÿùèì èç ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíû ðåáðàì. Äëÿ êàæäîãî ðåáðà ãðà à G ñîåäèíèì (íå îáÿçàòåëüíî â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå) ñîîòâåòñòâóþùèå åìó äâà äèñêà òðóáêîé. Ýòà òðóáêà íàçûâàåòñÿ ïåðåêðó÷åííîé, åñëè îðèåíòàöèè íà äâóõ åå ïðîòèâîïîëîæíûõ îñíîâàíèÿõ, ëåæàùèõ â øàðàõ, ñîâïàäàþò. Òðóáêà íàçûâàåòñÿ íåïåðåêðó÷åííîé, åñëè ýòè îðèåíòàöèè ïðîòèâîïîëîæíû. Ïóñòü M îáúåäèíåíèå ïîñòðîåííûõ øàðîâ è òðóáîê. Ïàðà (M, G), ñîñòîÿùàÿ èç M è ãðà à G, åñòåñòâåííî âëîæåííîãî â M , íàçûâàåòñÿ òðåõìåðíûì óòîëùåíèåì (3-óòîëùåíèåì) ãðà à G. Äâà 3-óòîëùåíèÿ ãðà à G ýêâèâàëåíòíû, åñëè ìîæíî èçìåíèòü îðèåíòàöèè íà èõ äèñêàõ òàê, ÷òîáû òðóáêè â äâóõ óòîëùåíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîìó è òîìó æå ðåáðó ãðà à G, áûëè áû îäíîâðåìåííî ïåðåêðó÷åíû èëè íåò. Òåîðåìà êëàññè èêàöèè 3-óòîëùåíèé ãðà à. Ìíîæåñòâî 3-óòîëùåíèé ãðà à G ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ H 1 (G) ∼ = Z2E−V +C (ñì. îïðåäåëåíèå â ïóíêòå 'îðèåíòèðóåìîñòü óòîëùåíèé'). 9. Äîêàæèòå òåîðåìó. Óêàçàíèå: îïðåäåëèòå ïåðâûé êëàññ Øòè åëÿ-Óèòíè 3óòîëùåíèÿ.
3-óòîëùåíèÿ (M, P ) 2-ïîëèýäðà P îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî 3-óòîëùåíèÿì ãðà à, òîëüêî M ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì øàðîâ D3 (îòâå÷àþùèõ âåðøèíàì íåêîòîðîé ñõåìû 2-ïîëèýäðà P ), òðóáîê D2 × I (îòâå÷àþùèõ ðåáðàì òîé æå ñõåìû 2-ïîëèýäðà P ) è ïðîáîê D1 × I 2 (îòâå÷àþùèõ ãðàíÿì òîé æå ñõåìû 2-ïîëèýäðà P ). Êîãäà ïîëèýäð P èêñèðîâàí, ìû äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ïèñàòü M âìåñòî (M, P ). (Ýòî îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíî îáû÷íîìó: ïàðà (M, P ) íàçûâàåòñÿ n-óòîëùåíèåì ïîëèýäðà P , åñëè n-ìíîãîîáðàçèå M ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé îêðåñòíîñòüþ [RS72℄ ïîëèýäðà P ⊂ Int M . Ïîíÿòèå óòîëùåíèÿ àíàëîãè÷íî è òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì ðàññëîåíèÿ [LS69℄, [RS68, 4℄.) Äâà óòîëùåíèÿ (M1 , P ) è (M2 , P ) îäíîãî è òîãî æå ïîëèýäðà P íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-ëèíåéíûé ãîìåîìîð èçì h : M1 → M2 , òîæäåñòâåííûé íà P . Îáîçíà÷èì ÷åðåç T 3 (P ) ìíîæåñòâî âñåõ 3-óòîëùåíèé ïîëèýäðà P ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ST 3 (P ) ìíîæåñòâî âñåõ îðèåíòèðóåìûõ 3-óòîëùåíèé ïîëèýäðà P ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè. àâåíñòâî ìíîæåñòâ áóäåò îáîçíà÷àòü íàëè÷èå 1-1 (âçàèìíî-îäíîçíà÷íîãî) ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó íèìè. 10. (a) Êëàññè èöèðóéòå 3-óòîëùåíèÿ è îðèåíòèðóåìûå 3-óòîëùåíèÿ ãðà à. (b) Òî æå ñàìîå äëÿ n-óòîëùåíèé. ( ) Êëàññè èöèðóéòå 3-óòîëùåíèÿ äàííîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ. (d) Ïðîäîëæåíèÿ I -ðàññëîåíèÿ µ ñ ãðàíèöû ∂N 2-ìíîãîîáðàçèÿ N íàõîäÿòñÿ â 1-1-ñîîòâåòñòâèè ñ òàêèìè ýëåìåíòàìè ν ∈ H 1 (N ), ÷òî ν|∂N = w1 (µ). (e)* Äîêàæèòå ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Îïðåäåëåíèå ãðóïï H 1 (Q), H 1 (Q, Q′ ) è îòîáðàæåíèÿ ñóæåíèÿ r : H 1 (Q) → H 1 (Q′ ) åñòåñòâåííî ïîÿâëÿþòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè 3óòîëùàåìîñòè. Íåîáõîäèìûå èäåè äàíû çäåñü, ñì. òàêæå [HMS93, I, Theorem 3.1.b℄.
[BRS99℄ (a) Ëîæíàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò íå áîëåå îäíîãî îðèåíòèðóåìîãî 3-óòîëùåíèÿ. (b) Äëÿ 3-óòîëùàåìîé ëîæíîé ïîâåðõíîñòè Q èìååòñÿ áèåêöèÿ w1 |Q : T 3 (Q) → r−1 (m(Q)), ãäå r : H 1 (Q) → H 1 (Q′ ) îòîáðàæåíèå ñóæåíèÿ. Åñëè Q′ ñâÿçíî, òî T 3 (Q) = H 1 (Q, Q′ ). Òåîðåìà êëàññè èêàöèè óòîëùåíèé.
Ïóíêò (a) îáîáùàåò çíàìåíèòóþ òåîðåìó Êýñëåðà î åäèíñòâåííîñòè [HMS93℄. Ëåììà. Äëÿ êàæäîãî 3-óòîëùåíèÿ M m(Q) = w1 (M )|Q′ .
51
ëîæíîé ïîâåðõíîñòè Q èìååì
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ðàññòàíîâêè µ è ω íóëåé è åäèíèö íà ðåáðàõ ãðà à Q′ , ïðåäñòàâëÿþùèå êëàññû m(Q) è w1 (M )|Q′ . Ïóñòü ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ â Q′ ñîn n P P ω(di ), ïîñêîëüêó îáà âûðàæåíèÿ ðàâíû µ(di ) = ñòîèò èç ðåáåð d1 , . . . , dn . Òîãäà i=1
i=1
åäèíèöå â òî÷íîñòè òîãäà, êîãäà ïðîõîæäåíèå âäîëü âûáðàííîé êðèâîé îáðàùàåò îðèåíòàöèþ íà M . Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà êðèâîé ïîëó÷àåì m(Q) = w1 (M )|Q′ . 3-óòîëùåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ 2-ïîëèýäðîâ.
Ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû î ñóùåñòâîâàíèè è êëàññè èêàöèè 3-óòîëùåíèé ïðîèçâîëüíûõ 2-ïîëèýäðîâ. Äîêàçàòåëüñòâà îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå çàäà÷. Òåîðåìà îá àëãîðèòìè÷åñêîé ðàñïîçíàâàåìîñòè óòîëùàåìîñòè. Ñóùåñòâóþò àëãîðèòìû ïðîâåðêè óòîëùàåìîñòè è îðèåíòèðóåìîé óòîëùàåìîñòè ïðîèçâîëüíûõ êîíå÷íûõ 2-ïîëèýäðîâ ( îëüêëîð, ñì. äîê-âî â [Sk94℄). Äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ñóùåñòâóþò ïðîñòûå êðèòåðèè 3óòîëùàåìîñòè [OS74℄. Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ íå ñóùåñòâóåò áîëåå ïðîñòîãî êðèòåðèÿ óòîëùàåìîñòè, ÷åì ñëåäóþùèé. Îáùàÿ òåîðåìà óòîëùàåìîñòè. 2-ïîëèýäð P 3-óòîëùàåì (îðèåíòèðóåìî 3óòîëùàåì) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ïîä÷èíåííîå âëîæåíèå ε ∈ E(P ), ÷òî δm(ε) = 0 (m(ε) = 0) [BRS99℄, ñð. [Sk94℄, [OS74, Theorem 3.2℄, [La00℄. Äàäèì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Íàñòîÿùèé 1-îñòîâ P ′ ïîëèýäðà P ãðà (òî÷íåå, 1-ïîëèýäð) â P , ñîñòîÿùèé èç òî÷åê, íå èìåþùèõ îêðåñòíîñòè, ãîìåîìîð íîé çàìêíóòîìó 2-äèñêó. Íàñòîÿùèé 0-îñòîâ P ′′ ïîëèýäðà P êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê â P , íå èìåþùèõ îêðåñòíîñòè, ãîìåîìîð íîé êíèæêå ñ íåêîòîðûì ÷èñëîì ñòðàíèö. Çàìåòèì, ÷òî P ′′ ÿâëÿåòñÿ íàñòîÿùèì 0-îñòîâîì ãðà à P ′ (ò.å. êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì òî÷åê â P ′ , íå èìåþùèõ îêðåñòíîñòè, ãîìåîìîð íîé îòðåçêó). Äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû ãðà à P ′ , íå ñîäåðæàùåé òî÷åê èç P ′′ (ò.å. ÿâëÿþùåéñÿ îêðóæíîñòüþ èëè îòðåçêîì), âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó íà íåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç P¯ ′′ îáúåäèíåíèå P ′′ ñ ýòèìè òî÷êàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∪A∈P¯ ′′ lk A âëîæèìî â S 2 . àññìîòðèì íàáîð âëîæåíèé {gA : lk A → S 2 }A∈P¯ ′′ . Âîçüìåì 'íåâèñÿ÷åå ðåáðî' d ⊂ P ′ (ò.å. çàìûêàíèå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà P ′ − P¯ ′′ , ÿâëÿþùåéñÿ îòêðûòîé â P ′ ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç A, B ∈ P¯ ′′ åãî êîíöû (âîçìîæíî, A = B ). åáðî d ïåðåñåêàåò lk A ∪ lk B â äâóõ òî÷êàõ (ðàçëè÷íûõ äàæå ïðè A = B ). Ìàëûå îêðåñòíîñòè ýòèõ òî÷åê â lk A è â lk B ÿâëÿþòñÿ n-îäàìè, êîòîðûå ìîæíî îòîæäåñòâèòü äðóã ñ äðóãîì 'âäîëü ðåáðà d'. Åñëè äëÿ êàæäîãî òàêîãî d îòîáðàæåíèÿ gA è gB äàþò îäèíàêîâûå èëè ïðîòèâîïîëîæíûå öèêëè÷åñêèå ïîðÿäêè ëó÷åé n-îäà, òî íàáîð {gA } íàçûâàåòñÿ ïîä÷èíåííûì. (Ýòî îïðåäåëåíèå îòëè÷àåòñÿ îò ñòàíäàðòíîãî òî, ÷òî îáû÷íî íàçûâàþò ïîä÷èíåííûì, ìû íàçûâàåì îðèåíòèðîâàííî ïîä÷èíåííûì.) Íàáîðû âëîæåíèé {fA , gA : lk A → S 2 }A∈P¯ ′′ íàçûâàþòñÿ èçîïîçèöèîííûìè, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ñåìåéñòâî ãîìåîìîð èçìîâ {hA : S 2 → S 2 }A∈P¯ ′′ , ÷òî hA ◦ fA = gA äëÿ ëþáîé A ∈ P¯ ′′ . ßñíî, ÷òî èçîïîçèöèîííûå íàáîðû îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ ïîä÷èíåííûìè èëè íåò. Îáîçíà÷èì ÷åðåç E(P ) ìíîæåñòâî ïîä÷èíåííûõ íàáîðîâ ñ òî÷íîñòüþ äî èçîïîçèöèè. Ìíîæåñòâî âëîæåíèé äàííîãî ãðà à â ïëîñêîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî èçîïîçèöèè áûëî îïèñàíî Óèòíè äëÿ äâóñâÿçíûõ ãðà îâ, è ñóùåñòâóåò ïðîñòîå îáîáùåíèå ýòîãî îïèñàíèÿ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ãðà îâ ( îëüêëîð, [Sk05℄). Ïðåïÿòñòâèå Ìàòâååâà m : E(P ) → H 1 (P ′ ) ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ äàííîãî ε ∈ E(P ) ðàññìîòðèì åãî ïðåäñòàâèòåëü {gA : lk A → S 2 }A∈P¯ ′′ . Äëÿ êàæäîãî 'íåâèñÿ÷åãî ðåáðà' d ïîëèýäðà P âîçüìåì öèêëè÷åñêèå ïîðÿäêè (îäèíàêîâûå èëè 52
ïðîòèâîïîëîæíûå) èç îïðåäåëåíèÿ ïîä÷èíåííîñòè. Ïîñòàâèì 0 èëè 1 íà d, åñëè âðàùåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûå èëè îäèíàêîâûå, ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà m(ε) ∈ H 1 (P ′ ) êîãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ýòîé ðàññòàíîâêè µ. Êëàññ m(ε) êîððåêòíî îïðåäåëåí. Äåéòñâèòåëüíî, ïóñòü äâà íàáîðà âëîæåíèé èçîïîçèöèîííû ïîñðåäñòâîì ñåìåéñòâà ãîìåîìîð èçìîâ {hA : S 2 → S 2 }A∈P¯ ′′ . Òîãäà ðàññòàíîâêè µ îòëè÷àþòñÿ íà êîãðàíèöó ðàññòàíîâêè κ , ðàâíîé 1 èëè 0 íà âåðøèíå A, åñëè hA îáðàùàåò èëè ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ ñ åðû S 2 , ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàçàòåëüñòâî îáùåé òåîðåìû óòîëùàåìîñòè ñîäåðæèòñÿ â [Sk94℄, [BRS99℄ è àíàëîãè÷íî ïðèâåäåííîìó äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû óòîëùàåìîñòè. 11. Òåîðåìà êëàññè èêàöèè óòîëùåíèé âåðíà äëÿ ëþáîãî òàêîãî 2-ïîëèýäðà P , ÷òî äëÿ êàæäîé A ∈ P¯ ′′ ãðà lk A 3-ñâÿçåí [BRS99℄. ðà íàçûâàåòñÿ 3-ñâÿçíûì, åñëè íèêàêèå äâå åãî òî÷êè íå ðàçáèâàþò åãî íà äâà ãðà à ñ áîëåå, ÷åì îäíèì ðåáðîì â êàæäîì [Pr04℄. Íàïðèìåð, ãðà âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà â R3 ÿâëÿåòñÿ 3ñâÿçíûì [Pr04℄. Îáùàÿ òåîðåìà êëàññè èêàöèè óòîëùåíèé. [BRS99℄ Äëÿ 3-óòîëùàåìîãî 2-ïîëèýäðà P T 3 (P ) = {(ε, ω) ∈ E(P ) × H 1 (P ) | m(ε) = ω|P ′ } = m−1 (im r) × ker r.
Çäåñü ÷åðåç r : H 1 (P ) → H 1 (P ′ ) îáîçíà÷åíî îòîáðàæåíèå ñóæåíèÿ. Óêàçàííîå â òåîðåìå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå çàäàåòñÿ îòîáðàæåíèåì e × w1 |P : T 3 (P ) → E(P ) × H 1 (P ). Äëÿ 3-óòîëùåíèÿ M 2-ïîëèýäðà P îïðåäåëèì e(M ) := [{lk P A → lk M A ∼ = S 2 }A∈P¯ ′′ ] ∈ E(P ). Òàê êàê îêðåñòíîñòü êàæäîãî ðåáðà ãðà à P ′ âëîæåíà â M , òî óêàçàííûé íàáîð âëîæåíèé äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîä÷èíåííûì. Ýêâèâàëåíòíîå óòîëùåíèå äàåò èçîïîçèöèîííûå íàáîðû âëîæåíèé, ïîýòîìó e(M ) êîððåêòíî îïðåäåëåíî. àâåíñòâî m(e(M )) = w1 (M )|P ′ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî Ëåììå, òîëüêî âìåñòî m(Q) íàäî ðàññìîòðåòü m(e(M )). Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìíîãî îáùåãî ìåæäó êëàññè èêàöèåé 3-óòîëùåíèé 2ïîëèýäðà è êëàññè èêàöèåé ãðà -ìíîãîîáðàçèé [Wa67℄ è èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì [BFM90℄. Ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è êëàññè èêàöèè n-óòîëùåíèé çàäàííîãî ïîëèýäðà èçó÷àëèñü òàêæå â [LS69℄, [RS68℄, [Wa67℄, [Wr77℄, [GT87, Òåîðåìû 3.2.3 è 3.2.2℄.
53
ËÀÂÀ 3. ÂÅÊÒÎ ÍÛÅ ÏÎËß È ÈÕ ÑÈÑÒÅÌÛ.
'You mean...' he would say, and then he would rephrase what I had said in some ompletely simple and on rete way, whi h sometimes illuminated it enormously, and sometimes made nonsense of it ompletely. I. Murdo h, Under the Net. 9 ÂÅÊÒÎ ÍÛÅ ÏÎËß Îïðåäåëåíèÿ, ïðèìåðû è îñíîâíûå ðåçóëüòàòû.
Èññëåäîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé áûëî íà÷àòî Àíðè Ïóàíêàðå â êà÷åñòâåííîé òåîðèè äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âîçíèêøåé ïðè èçó÷åíèè íåáåñíîé ìåõàíèêè. Ñ òåõ ïîð âåêòîðíûå ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ îáúåêòîâ òîïîëîãèè è åå ïðèëîæåíèé. Ïîäðîáíûå ìîòèâèðîâêè ñì. â 'ïîõâàëüíîì ñëîâå âåêòîðíûì ïîëÿì' [An03℄. Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé è èõ ñèñòåì îïðåäåëÿåò ëèöî òåîðèè ïðåïÿòñòâèé. Íàïîìíèì ïîíÿòèå êàñàòåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ. àññìîòðèì ñòàíäàðòíóþ ñ åðó â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ò.å. ïîäìíîæåñòâî òî÷åê (x, y, z), äëÿ êîòîðûõ x2 + y 2 + z 2 = 1 (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, òî÷åê (x, y, z) âèäà (cos ϕ cos ψ, sin ϕ cos ψ, sin ψ)).  ëþáîé åå òî÷êå ìîæíî ïðîâåñòè ê íåé êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü. Êàñàòåëüíûì âåêòîðíûì ïîëåì íà (ñòàíäàðòíîé) ñ åðå íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî êàñàòåëüíûõ ê íåé âåêòîðîâ v(x) â åå òî÷êàõ x, íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò òî÷êè x. Äîñëîâíî àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå êàñàòåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ íà ñòàíäàðòíîì òîðå â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ò.å. íà èãóðå, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì îêðóæíîñòè (x − 2)2 + y 2 = 1 âîêðóã îñè Oy . àññìîòðèì ñ åðó ñ ðó÷êàìè, âëîæåííóþ â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ãëàäêî, ò.å. òàê, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ äâóìåðíóþ ïëîñêîñòü (ïîâåðõíîñòü ìíîãîãðàííèêà íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé).  ýòîì ïàðàãðà å ïîä (äâóìåðíûì) ìíîãîîáðàçèåì ìîæíî ïîíèìàòü îáðàç òàêîãî âëîæåíèÿ, ò.å. êîíêðåòíîå ïîäìíîæåñòâî òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Êàñàòåëüíûì âåêòîðíûì ïîëåì íà ãëàäêî âëîæåííîé ñ åðå ñ ðó÷êàìè íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî êàñàòåëüíûõ ê íåé âåêòîðîâ v(x) â åå òî÷êàõ x, íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò òî÷êè x. Ïðèìåðû êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà òîðå (ïàðàëëåëüíûõ ìåðèäèàíó è ïàðàëëåëè) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 43.
èñ. 43: Êàñàòåëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà òîðå Êàñàòåëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà 2-ìíîãîîáðàçèÿõ ìîæíî îïðåäåëèòü è ÷åðåç èõ âëîæåíèÿ â åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè âûøå òðåõ. (Åñëè ñ åðà ñ ðó÷êàìè 9 'Âû õîòèòå ñêàçàòü...' íà÷èíàë îí è ïåðåñêàçûâàë ìîè ñëîâà êîíêðåòíî è ïðîñòî, ïîñëå ÷åãî ìîÿ ìûñëü ëèáî îêàçûâàëàñü ìíîãî ïîíÿòíåå è ãëóáæå, ëèáî îáîðà÷èâàëàñü ïîëíåéøåé ÷åïóõîé. À. Ìåðäîê, Ïîä ñåòüþ, ïåð. Ì. Ëîðèå.
54
N èëè ïðîèçâîëüíîå 2-ìíîãîîáðàçèå çàäàíû àáñòðàêòíî, à íå êàê ãëàäêîå ïîäìíîæåñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, òî âìåñòî ñåìåéñòâà êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ìîæíî áðàòü ñåìåéñòâî òî÷åê y(x), x ∈ N , íàõîäÿùèõñÿ íà 'ìàëîì' ðàññòîÿíèè îò òî÷êè x.) Êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ íåíóëåâûì, åñëè âñå åãî âåêòîðû íåíóëåâûå (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, y(x) 6= x äëÿ ëþáîãî x ∈ N ).
(a) Ïðèäóìàéòå ïðèìåð íåíóëåâîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ íà K 2 . (b) Òî æå íà ëþáîì ñâÿçíîì 2-ìíîãîîáðàçèè (íå îáÿçàòåëüíî îðèåíòèðóåìîì) ñ íåïóñòûì êðàåì. (ñ) Êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì, åñëè âñå åãî âåêòîðû åäèíè÷íûå. Åñëè íà 2-ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå, òî ñóùåñòâóåò è åäèíè÷íîå. 1.
Òåîðåìà Ýéëåðà-Ïóàíêàðå. Ñðåäè ñ åð ñ ðó÷êàìè òîëüêî òîð äîïóñêàåò íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå.
Ýòà òåîðåìà äîêàçàíà â ñëåäóþùåì ïóíêòå. Òàì, ñëåäóÿ èäåÿì òåîðèè ïðåïÿòñòâèé, ìû ïîñòðîèì ïðåïÿòñòâèå ê ñóùåñòâîâàíèþ åäèíè÷íîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ íà äàííîì 2-ìíîãîîáðàçèè. Ìû ïðèâîäèì äâà ýêâèâàëåíòíûõ íåçàâèñèìûõ îïðåäåëåíèÿ ïðåïÿòñòâèé. Ïåðâîå áîëåå ïðîñòîå, íî èñïîëüçóåò îáùåå ïîëîæåíèå (òå, êòî íå âëàäåþò òåõíèêîé îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ìîãóò ñ÷èòàòü ýòî îïðåäåëåíèå íå îðìàëüíûì îïèñàíèåì). Âòîðîå ýëåìåíòàðíî, íî áîëåå ãðîìîçäêî (ïîñêîëüêó àêòè÷åñêè ïîâòîðÿåò òåõíè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ îáùåãî ïîëîæåíèÿ). 2. Ïîëåì íàïðàâëåíèé íà 2-ìíîãîîáðàçèè, âëîæåííîì â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî êàñàòåëüíûõ ê íåìó ïðÿìûõ l(x) â òî÷êàõ x, íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò òî÷êè x. Ïîëÿ íàïðàâëåíèé òåñíî ñâÿçàíû ñ ëîðåíöåâûìè ìåòðèêàìè íà ìíîãîîáðàçèÿõ, âîçíèêàþùèìè â èçèêå [Ko01℄. (a) Åñëè íà ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå, òî ñóùåñòâóåò è ïîëå íàïðàâëåíèé. (b)* Îáðàòíîå òîæå âåðíî.
Áîëüøàÿ ÷àñòü ýòîãî ïàðàãðà à èíòåðåñíà äàæå äëÿ 2-ìíîãîîáðàçèé. Íî ïðèâîäÿòñÿ òàêæå ðåçóëüòàòû äëÿ âûñøèõ ðàçìåðíîñòåé. Âåêòîðíûå ïîëÿ è ïîëÿ íàïðàâëåíèé íà ìíîãîîáðàçèÿõ ðàçìåðíîñòè 3 è áîëåå îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ 2ìíîãîîáðàçèé ÷åðåç âëîæåíèå ìíîãîîáðàçèé â ìíîãîìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî (èëè ÷åðåç áëèçêèå òî÷êè íà ñàìîì ìíîãîîáðàçèè). Òå, êòî íå çíàêîìû ñ ìíîãîîáðàçèÿìè ðàçìåðíîñòè áîëüøå 3, ìîãóò ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîì ïàðàãðà å ìíîãîîáðàçèÿ íå áîëåå ÷åì òðåõìåðíû. 3.
ïîëå.
Íà ëþáîì ìíîãîîáðàçèè ñ êðàåì ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå
Òåîðåìà Õîï à. Íà çàìêíóòîì ìíîãîîáðàçèè N ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà χ(N ) = 0. Ñëåäñòâèå (äîêàçàòåëüñòâà). Íà ëþáîì íå÷åòíîìåðíîì ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå.
Íà ñ åðå S n ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n ÷åòíî. Ñëåäñòâèå.
Ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà χ(N ) ìíîãîîáðàçèÿ N ðàâíà çíàêîïåðåìåííîé ñóììå êîëè÷åñòâ k -ìåðíûõ ãðàíåé â ðàçáèåíèè ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ íà ìíîãîãðàííèêè. Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî χ(N ) íå çàâèñèò îò âûáîðà òðèàíãóëÿöèè äàííîãî ìíîãîîáðàçèÿ N . Ñóùåñòâóþò ïðîñòûå ñïîñîáû âû÷èñëÿòü ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó. 55
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Õîï à íàìå÷åíî â êîíöå ñëåäóþùåãî ïóíêòà â âèäå çàäà÷.  ïîñëåäíåì ïóíêòå ýòîãî ïàðàãðà à â âèäå çàäà÷ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîäåëàòü àíàëîãè÷íûå ïîñòðîåíèÿ äëÿ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé. Íå îðìàëüíî, ãëàäêèì âëîæåíèåì f : N → Rm ìíîãîîáðàçèÿ N íàçûâàåòñÿ èçîáðàæåíèå ìíîãîîáðàçèÿ N â Rm áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé, äëÿ êîòîðîãî â ëþáîé òî÷êå ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü. Ñì. îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå â ïóíêòå 'íîðìàëüíûå êëàññû Óèòíè'. Íîðìàëüíûì âåêòîðíûì ïîëåì íà f íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî íîðìàëüíûõ ê f (N ) âåêòîðîâ v(x) â òî÷êàõ x ∈ f (N ), íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò òî÷êè x ∈ N . Çàìåòèì, ÷òî íàëè÷èå íåíóëåâîãî íîðìàëüíîãî ïîëÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèò îò f (à íå òîëüêî îò N ), ñì. ïîñëåäíèé ïóíêò. 4. (a) Åñëè m = n + 1 è N îðèåíòèðóåìî, òî ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå íîðìàëüíîå ïîëå (äîêàæèòå äëÿ n = 2). (b) Çàìêíóòîå íåîðèåíòèðóåìîå n-ìíîãîîáðàçèå íå äîïóñêàåò ãëàäêîãî âëîæåíèÿ â Rn+1 . Óêàçàíèå. Ïóñòü äîïóñêàåò. Àíàëîãè÷íî òåîðåìå Æîðäàíà äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îíî äåëèò Rn+1 íà ÷àñòè. Òîãäà äëÿ f ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå íîðìàëüíîå ïîëå, íàïðàâëåííîå âî âíåøíþþ ÷àñòü. Ïîëó÷èòå èç ýòîãî ïðîòèâîðå÷èå ñ íåîðèåíòèðóåìîñòüþ. ( ) Ïðèâåäèòå ïðèìåð ãëàäêèõ âëîæåíèé òîðà è áóòûëêè Êëÿéíà â R4 è íåíóëåâîãî íîðìàëüíîãî ïîëÿ íà íèõ. n+2 çàìêíóòîãî îðèÒåîðåìà Óèòíè. Äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ f : N → R åíòèðóåìîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N ñóùåñòâóåò (1) íåíóëåâîå íîðìàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå; (2) ïàðà ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé; (3) îêðåñòíîñòü U ìíîæåñòâà f (N ), äëÿ êîòîðîé ïàðà (U, f (N )) äè åîìîð íà ïàðå (N × R2 , N × 0). Òåîðåìà îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ n-ìíîãîîáðàçèÿ â R2n+1 ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå íîðìàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå. 6 Òåîðåìà Äîëüäà-Óèòíè. Äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ f : N → R çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî 3-ìíîãîîáðàçèÿ N ñóùåñòâóåò (1) íåíóëåâîå íîðìàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå; (2) òðîéêà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé; (3) îêðåñòíîñòü U ìíîæåñòâà f (N ), äëÿ êîòîðîé ïàðà (U, f (N )) äè åîìîð íà ïàðå (N × R3 , N × 0). Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ðåçóëüòàòîâ íàìå÷åíû â ïîñëåäíåì ïóíêòå ýòîãî ïàðàãðà à. Êàñàòåëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ: îáùåå ïîëîæåíèå.
Îïðåäåëåíèå ÷èñëà χ(N ) ñ èñïîëüçîâàíèåì îáùåãî ïîëîæåíèÿ. àññìîòðèì êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ìíîãîîáðàçèè N . Ââèäó îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîîáðàçèÿ N , â êîòîðûõ âåêòîð ýòîãî ïîëÿ íóëåâîé, ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì òî÷åê. Ó ýòèõ òî÷åê ìîæíî îïðåäåëèòü çíàê (îïðåäåëèòå àíàëîãè÷íî äàëüíåéøåìó!). Êîëè÷åñòâî ýòèõ òî÷åê ñ ó÷åòîì çíàêà è íàçûâàåòñÿ χ(N ). 5. Ëþáûå äâà êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëÿ ãîìîòîïíû. Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà êîððåêòíîñòè ïðåäûäóùåãî îïðåäåëåíèÿ. Âîçüìåì ãîìîòîïèþ îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìåæäó äâóìÿ êàñàòåëüíûìè âåêòîðíûìè ïîëÿìè v è v ′ îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ìíîãîîáðàçèè N . Åå ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà N × I . Ââèäó îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîîáðàçèÿ N × I , â êîòîðûõ âåêòîð ýòîãî ïîëÿ íóëåâîé, ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì 56
îáúåäèíåíèåì îòðåçêîâ è îêðóæíîñòåé. Åñëè îäèí èç ýòèõ îòðåçêîâ ñîåäèíÿåò ðàçíûå îñíîâàíèÿ N × 0 è N × 1, òî ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè îáíóëåíèÿ èñõîäíûõ ïîëåé v è v ′ èìåþò îäèíàêîâûé çíàê, à åñëè îäèíàêîâûå, òî ðàçíûé. Ïîýòîìó êîëè÷åñòâà òî÷åê îáíóëåíèÿ ñ ó÷åòîì çíàêà äëÿ v è v ′ îäèíàêîâû. Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ýéëåðà-Ïóàíêàðå. Èç ðèñ. 44 èëè ðèñ. 45 âèäíî, ÷òî χ(N ) = 2 − 2g(N ). Ïîýòîìó ïðè g(N ) 6= 1 íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè íå ñóùåñòâóåò íåíóëåâîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ. À òàêîå ïîëå íà òîðå ïîñòðîåíî íà ðèñ. 43. (Òàêîå ïîëå íà òîðå ìîæíî ïîëó÷èò òàêæå èç êàñàòåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ 'ñîêðàùåíèåì' òî÷åê ðàçíûõ çíàêîâ.)
èñ. 44: Âåêòîðíîå ïîëå ñêîðîñòåé âîäû, ñòåêàþùåé ïî ñ åðå ñ ðó÷êàìè (ñäåëàòü âåðõíèå è íèæíèå âåêòîðû ïî÷òè ãîðèçîíòàëüíûìè!!!).
èñ. 45: Ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ ïî ðàçáèåíèþ íà ìíîãîóãîëüíèêè
Êàñàòåëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ: òðèàíãóëÿöèè.
Íà÷àëî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ýéëåðà-Ïóàíêàðå. Ñëîâî 'ïîëå' áóäåò îçíà÷àòü 'íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå'. Ïî òåîðåìå êëàññè èêàöèè çàìêíóòûõ îðèåíòèðóåìûõ 2-ìíîãîîáðàçèé, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî íàëè÷èå ïîëÿ ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ g(N ) = 1. Âîçüìåì íåêîòîðóþ ñõåìó U 2-ìíîãîîáðàçèÿ N è ðàññìîòðèì äâîéñòâåííóþ ê íåé ñõåìó U ∗ (ñì. îïðåäåëåíèå â ïóíêòå ' îðìà ïåðåñå÷åíèé' ãëàâû 2). Âûáåðåì U íàñòîëüêî ìåëêîé, ÷òîáû ëþáàÿ ãðàíü ñõåìû U ∗ âçàèìíî îäíîçíà÷íî ïðîåöèðîâàëàñü áû íà ÷àñòü ïëîñêîñòè, êàñàþùåéñÿ íåêîòîðîé òî÷êè ýòîé ãðàíè. Äëÿ ñëó÷àÿ ñ åðû N äàííûå ðàññóæäåíèÿ èëëþñòðèðóþòñÿ ðèñ. 46. 57
∆1
∆2
èñ. 46: Íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ íà ñ åðå ñ ðó÷êàìè Î÷åâèäíî, ÷òî ìîæíî ïîñòðîèòü ïîëå íà U0∗ . ßñíî, ÷òî ýòî ïîëå åäèíñòâåííî (ñ òî÷íîñòüþ äî íåïðåðûâíîé äå îðìàöèè â êëàññå ïîëåé íà U0∗ ). Ïîýòîìó ñóùåñòâîâàíèå ïîëÿ íà N ðàâíîñèëüíî ïðîäîëæàåìîñòè ïîñòðîåííîãî ïîëÿ ñ U0∗ íà N . Òåîðåìà ïðîäîëæàåìîñòè. Íà ïëîñêîñòè ïðîäîëæåíèå íåíóëåâîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ñ ãðàíèöû äèñêà íà äèñê âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî îáîðîòîâ âåêòîðà ïðè îáõîäå ãðàíèöû äèñêà ðàâíî íóëþ. (Ýòà òåîðåìà ðàâíîñèëüíà îñíîâíîé òåîðåìå òîïîëîãèè, ïðèâåäåííîé â ãëàâå 6 äîêàæèòå!) Âîîáùå, ðîëü òåîðèè ïðåïÿòñòâèé ñîñòîèò â ñâåäåíèè òîïîëîãè÷åñêèõ çàäà÷ íà ïðîèçâîëüíîì ìíîãîîáðàçèè ê ïîõîæèì çàäà÷àì äëÿ ïðîñòåéøèõ, ìîäåëüíûõ ìíîãîîáðàçèé. Âàæíî, ÷òî äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðèè ïðåïÿòñòâèé ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ ýòèõ ïðîñòåéøèõ çàäà÷, íå âíèêàÿ â åãî äîêàçàòåëüñòâî. Óêàçàííûå ïðîñòåéøèå çàäà÷è ìîãóò ðåøàòüñÿ êàê ñïåöè è÷åñêèìè ìåòîäàìè, òàê è ñðåäñòâàìè òåîðèè ïðåïÿòñòâèé.  ýòîé ãëàâå ìû ïðèâîäèì ðåøåíèÿ ïðîñòåéøèõ çàäà÷ áåç äîêàçàòåëüñòâà. Ïîñòðîåíèå ïðåïÿòñòâóþùåé ðàññòàíîâêè. Ââèäó ìåëêîñòè ñõåìû U äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü êàæäîãî ðåáðà ñõåìû U ∗ îäíîçíà÷íî ïðîåöèðóåòñÿ íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü (ê íåêîòîðîé òî÷êå ýòîãî ðåáðà). Ïðè ïîìîùè ýòîé ïðîåêöèè îòîæäåñòâèì ýòó îêðåñòíîñòü ñ ÷àñòüþ ïëîñêîñòè. Åñëè íà ïëîñêîñòè ëåæèò îòðåçîê, è â åãî êîíöàõ çàäàíû íåíóëåâûå âåêòîðà (ëåæàùèå â ïëîñêîñòè), òî ýòî ïîëå èç äâóõ âåêòîðîâ ìîæíî ïðîäîëæèòü äî ïîëÿ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ íà âñåì îòðåçêå. Ïîýòîìó ïîñòðîåííîå íà U0∗ ïîëå ìîæíî ïðîäîëæèòü íà U1∗ . Çàìåòèì, ÷òî òàêîå ïðîäîëæåíèå íåîäíîçíà÷íî. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå íà U1∗ ïîëå ÷åðåç v . Ïðèìåð òàêîãî ïîëÿ äëÿ ñ åðû ïðèâåäåí íà ðèñ. 46. Ïîïðîáóåì òåïåðü ïðîäîëæèòü ïîëå v ñ U1∗ íà âñå N . Ôèêñèðóåì îðèåíòàöèþ 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . Ââèäó ìåëêîñòè ñõåìû U çàìûêàíèå ∆ ëþáîé ãðàíè ñõåìû U ∗ îäíîçíà÷íî ïðîåöèðóåòñÿ íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü (ê íåêîòîðîé òî÷êå ýòîé ãðàíè). Ïðè ïîìîùè ýòîé ïðîåêöèè îòîæäåñòâèì ∆ ñ äèñêîì, ëåæàùèì íà ïëîñêîñòè (ñîãëàñîâàííî ñ îðèåíòàöèÿìè). Îðèåíòàöèÿ äèñêà ∆ ïîðîæäàåò íàïðàâëåíèå íà åãî ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè. Ïðè îáõîäå ýòîé îêðóæíîñòè âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ âåêòîð íàøåãî ïîëÿ ïîâåðíåòñÿ íà íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî îáîðîòîâ. Ïîñòàâèì ïîëó÷åííîå ÷èñëî îáîðîòîâ â âåðøèíó èñõîäíîé ñõåìû, ëåæàùóþ â äèñêå ∆. Äëÿ ñëó÷àÿ ñ åðû (ðèñ. 46) â îáîèõ âåðøèíàõ áóäóò ñòîÿòü åäèíèöû. Ïîëó÷åííàÿ ðàññòàíîâêà öåëûõ ÷èñåë â âåðøèíàõ íàçûâàåòñÿ ïðåïÿòñòâóþùåé è îáîçíà÷àåòñÿ ε(v). Òîãäà ïðîäîëæåíèå ïîëÿ ñ U1∗ íà N âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ε(v) = 0. Îïðåäåëåíèå ðàçëè÷àþùåé ðàññòàíîâêè. Åñëè ε(v) 6= 0, òî ïîëå v íå ïðîäîëæàåòñÿ íà N , íî åùå íå âñå ïîòåðÿíî: ìîæíî ïîïûòàòüñÿ òàê èçìåíèòü ïîëå v íà U1∗ , ÷òîáû ïðåïÿòñòâóþùàÿ ðàññòàíîâêà ñòàëà ðàâíîé íóëþ. Äëÿ ýòîãî âûÿñíèì, êàê ε(v) 58
çàâèñèò îò v . àçëè÷èå ìåæäó ïîëÿìè v è u íà U1∗ , ñîâïàäàþùèì íà U0∗ , ìîæíî èçìåðÿòü (è çàäàâàòü) òàê. Ôèêñèðóåì îðèåíòàöèþ êàæäîãî ðåáðà ñõåìû U . Îðèåíòèðóåì êàæäîå ðåáðî a∗ ñõåìû U ∗ òàê, ÷òîáû ñòðåëêè íà a è íà a∗ (â ýòîì ïîðÿäêå) îáðàçîâàëè ïîëîæèòåëüíûé áàçèñ íà N . Íàïîìíèì, ÷òî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü ïðîèçâîëüíîãî ðåáðà a∗ ñõåìû U ∗ îòîæäåñòâëåíà ñ ÷àñòüþ ïëîñêîñòè (âìåñòå ñ ïîëåì íà íåé è ñîãëàñîâàííî ñ îðèåíòàöèÿìè). Ïóñòü òî÷êà x äâèæåòñÿ ïî ðåáðó a∗ âäîëü íàïðàâëåíèÿ, à ïîòîì îáðàòíî. Ïðè äâèæåíèè 'òóäà' áóäåì îòêëàäûâàòü îò òî÷êè x âåêòîð u(x), à ïðè äâèæåíèè 'îáðàòíî' âåêòîð v(x). Ïîñòàâèì íà îðèåíòèðîâàííîì ðåáðå a ñõåìû U ÷èñëî îáîðîòîâ âåêòîðà ïðè ýòîì äâèæåíèè. (Íàïðèìåð, äëÿ ïîëÿ u íà ðèñ. 47 è ïîëÿ v , íàïðàâëåííîãî âåðòèêàëüíî ââåðõ, íà ðåáðå ñòîèò −1). Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó öåëûõ ÷èñåë íà îðèåíòèðîâàííûõ ðåáðàõ ñõåìû íàçîâåì ðàçëè÷àþùåé è îáîçíà÷èì d(v, u). a∗ u(x)
èñ. 47: Ïîäêðó÷èâàíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ íà îäèí îáîðîò Èçìåíåíèå ïðåïÿòñòâóþùåé ðàññòàíîâêè è îïðåäåëåíèå ãðàíèöû ðåáðà. Ïðè èçìåíåíèè ïîëÿ íà ðåáðå a∗ 'íà +1 îáîðîò' ê ε(v) ïðèáàâëÿåòñÿ ðàññòàíîâêà +1 â íà÷àëå ðåáðà a è −1 â åãî êîíöå (è 0 íà âñåõ îñòàëüíûõ âåðøèíàõ). Ýòà ðàññòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ãðàíèöåé ðåáðà a è îáîçíà÷àåòñÿ ∂a. Åñëè d(v, v ′ ) = n1 a1 + . . . + ns as ,
òî ε(v) − ε(v ′ ) = n1 ∂a1 + . . . + ns ∂as .
Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà. Èç ïîñëåäíåé îðìóëû âûòåêàåò, ÷òî ñóììà ÷èñåë ïðåïÿòñòâóþùåé ðàññòàíîâêè íå çàâèñèò îò v . À èç ðèñ. 44 èëè ðèñ. 45 âèäíî, ÷òî ýòà ñóììà ðàâíà χ(N ) = 2 − 2g(N ). Ïîýòîìó ïðè g(N ) 6= 1 íà ñ åðå ñ g ðó÷êàìè N ïîëÿ íå ñóùåñòâóåò. À ïîëå íà òîðå ïîñòðîåíî íà ðèñ. 43. Ïðèâåäåì äðóãîå çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà. Îíî äëèííåå ïðåäûäóùåãî, íî ÿâëÿåòñÿ èëëþñòðàöèåé îáùåãî ïîäõîäà òåîðèè ïðåïÿòñòâèé.  ÷àñòíîñòè, îíî èíòåðåñíî òåì, ÷òî äàåò ÿâíûé îáùèé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ïîëÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðåïÿòñòâèå ðàâíî íóëþ. Ïîýòîìó åãî, â îòëè÷èå îò ïðèâåäåííîãî âûøå êîðîòêîãî ðàññóæäåíèÿ, ìîæíî ïðèìåíèòü ê äîêàçàòåëüñòâó îáîáùåíèé òåîðåìû Ýéëåðà-Ïóàíêàðå (ñì. äàëåå). Îïðåäåëåíèå ãðóïïû H0 (N ; Z), êëàññà e(N ) è äðóãîå çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà. Íàçîâåì ãðàíèöåé ñóììó n1 ∂a1 + . . . + ns ∂as ãðàíèö íåñêîëüêèõ ðåáåð ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè. Íàçîâåì ðàññòàíîâêè ε1 è ε2 ãîìîëîãè÷íûìè, åñëè ε1 − ε2 åñòü ãðàíèöà. ßñíî, ÷òî (i) Ïðè èçìåíåíèè ïîëÿ v íà U1∗ ïðåïÿòñòâóþùàÿ ðàññòàíîâêà ε(v) çàìåíÿåòñÿ íà ãîìîëîãè÷íóþ ðàññòàíîâêó. (ii) Åñëè ε(v) ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé, òî ìîæíî òàê èçìåíèòü v íà v ′ (íà U1∗ , íå ìåíÿÿ íà U0∗ ), ÷òîáû ïîëó÷èëîñü ε(v ′ ) = 0. (iii) îìîëîãè÷íîñòü ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå ðàññòàíîâîê. (Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ (ii) çàìåòèì, ÷òî åñëè ε(v) = = n1 ∂a1 + . . . + ns ∂as , òî âîçüìåì ïîëå v ′ íà U1∗ , äëÿ êîòîðîãî d(v, v ′ ) = n1 a1 + . . . + ns as , òîãäà ïîëó÷èì ε(v ′ ) = 0.) 59
Íóëüìåðíîé ãðóïïîé ãîìîëîãèé H0 (U ; Z) ñõåìû U (ñ êîý èöèåíòàìè â Z) íàçûâàåòñÿ ãðóïïà ðàññòàíîâîê ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîëîãè÷íîñòè. Îêàçûâàåòñÿ, H0 (U ; Z) ∼ = Z. Êëàññîì Ýéëåðà ñõåìû U íàçûâàåòñÿ êëàññ ãîìîëîãè÷íîñòè ïðåïÿòñòâóþùåãî öèêëà: e(U ) = [ε(v)] ∈ H0 (U ; Z). Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî ââèäó óòâåðæäåíèÿ (i). Îêàçûâàåòñÿ, e(U ) = = χ(N ) = 2 − 2g(N ). Çíà÷èò, ãðóïïà H0 (U ; Z) è êëàññ e(U ) íå çàâèñÿò îò âûáîðà ñõåìû U äàííîãî 2ìíîãîîáðàçèÿ N . Òåïåðü òåîðåìà Ýéëåðà-Ïóàíêàðå âûòåêàåò èç óòâåðæäåíèé (i) è (ii). 6. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ñõåìó U çàìêíóòîãî ñâÿçíîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . (a) Äàéòå îïðåäåëåíèå ãðóïïû H0 (U ; Z) (íåçàâèñèìîå îò ðàññóæäåíèé, â êîòîðûõ îíà ïîÿâèëàñü). (b) Îáîñíóéòå ïðèâåäåííûå âû÷èñëåíèÿ ãðóïïû H0 (U ; Z) è êëàññà e(U ). 7. Íà êàêèõ çàìêíóòûõ íåîðèåíòèðóåìûõ 2-ìíîãîîáðàçèÿõ ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå? Ïåðåéäåì ê ñëó÷àþ ìíîãîìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé. 2k 8. (a) χ(S ) = 2. (b)* χ(N ) = [diag] ∩ [diag] îïðåäåëèòå ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ äèàãîíàëè [diag] ∈ Hn (N × N ; Z) è îðìó ïåðåñå÷åíèé Hn (N × N ; Z) × Hn (N × N ; Z) → Z! ( ) Âûâåäèòå òåîðåìó Õîï à äëÿ 3-ìíîãîîáðàçèé èç ñëåäóþùèõ äâóõ àêòîâ (ïîíàäîáèòñÿ òàêæå îïðåäåëåíèå äâîéñòâåííîé ñõåìû èç ïàðàãðà à 'ñèñòåìû âåêòîðíûõ ïîëåé'). Äâóìåðíàÿ
òåîðåìà
ïðîäîëæàåìîñòè
äëÿ
îêðóæíîñòè.
 òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íåíóëåâîå âåêòîðíîå ïîëå (âåêòîðîâ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà), çàäàííîå íà ãðàíèöå äâóìåðíîãî äèñêà, ïðîäîëæàåòñÿ äî íåíóëåâîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ íà äèñêå. (Ýòà òåîðåìà ðàâíîñèëüíà òåîðåìå îá îòîáðàæåíèÿõ S 1 → S 2 ãëàâû 6.) Äâóìåðíàÿ òåîðåìà ïðîäîëæàåìîñòè äëÿ ñ åðû.  òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íåíóëåâîå âåêòîðíîå ïîëå (âåêòîðîâ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà), çàäàííîå íà ãðàíèöå òðåõìåðíîãî øàðà, ïðîäîëæàåòñÿ äî íåíóëåâîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ íà øàðå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî âåêòîðîâ íà ãðàíèöå, ñìîòðÿùèõ â äàííîå íàïðàâëåíèå îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ðàâíî íóëþ. (Ýòî ñëåäñòâèå ìíîãîìåðíîé îñíîâíîé òåîðåìû òîïîëîãèè èç ãëàâû 6.) 9. Äîêàæèòå ñëåäñòâèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Õîï à. Íîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ.
(a) Âûâåäèòå (3) èç (2) â òåîðåìå Óèòíè. (b) Âûâåäèòå (2) èç (1) â òåîðåìå Óèòíè. Îïðåäåëåíèå íîðìàëüíîãî ÷èñëà Ýéëåðà e(f ) ñ èñïîëüçîâàíèåì îáùåãî ïîëîæåíèÿ. àññìîòðèì íîðìàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà f (N ). Ââèäó îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîîáðàçèÿ N , â êîòîðûõ âåêòîð ýòîãî ïîëÿ íóëåâîé, ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì òî÷åê. Ó ýòèõ òî÷åê ìîæíî îïðåäåëèòü çíàê (îïðåäåëèòå!). Êîëè÷åñòâî ýòèõ òî÷åê ñ ó÷åòîì çíàêà è íàçûâàåòñÿ e(f ). Êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé. 10.
60
Äàëåå â ýòîì ïóíêòå áóäåì íàçûâàòü íåíóëåâîå íîðìàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå ïðîñòî íîðìàëüíûì ïîëåì. 2n 11. Íà ëþáîì n-ìíîãîîáðàçèè ñ íåïóñòûì êðàåì â R èìååòñÿ íîðìàëüíîå ïîëå (äîêàæèòå õîòÿ áû äëÿ n = 2). 4 12. Ïóñòü f : N → R ãëàäêîå âëîæåíèå ñ åðû ñ ðó÷êàìè N . (a) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå e(f ) ∈ Z ê ñóùåñòâîâàíèþ íîðìàëüíîãî ïîëÿ. Óêàçàíèå. Ëèáî ïðèâåäèòå äåòàëè äëÿ äàííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ, ëèáî ñíà÷àëà ïîñòðîéòå ïîëå íà âåðøèíàõ, çàòåì ïðîäîëæèòå íà ðåáðà è ïîòîì ïîïûòàéòåñü ïðîäîëæèòü íà ãðàíè. (b) Ïóñòü f ′ : N → R4 âëîæåíèå, íàõîäÿùååñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè ñ f . Òîãäà f N ∩ f ′ N åñòü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ñî çíàêàìè, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà e(f ). (Îïðåäåëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ äàíî â ïóíêòå 'îðèåíòèðóåìîñòü'; íåîáõîäèìûé àíàëîã äëÿ öåëûõ ÷èñåë ÷èòàòåëü ëåãêî ñ îðìóëèðóåò ñàì.) ( ) Íîðìàëüíîå ÷èñëî Ýéëåðà ðàâíî íóëþ. Óêàçàíèå: åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî ñì. äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû Óèòíè î ïðåïÿòñòâèè èç ïóíêòà 'íîðìàëüíûå êëàññû Óèòíè'. (d) Äîêàæèòå (1) â òåîðåìå Óèòíè äëÿ n = 2. (e) Äîêàæèòå òåîðåìó Óèòíè äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n. 4 13. Ïóñòü f : N → R ãëàäêîå âëîæåíèå çàìêíóòîãî íåîðèåíòèðóåìîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . (a) Íè îäíî èç óñëîâèé (2) èëè (3) íå âûïîëíåíî. (b) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå e¯(f ) ∈ Z (íîðìàëüíîå ÷èñëî Ýéëåðà; èìåííî öåëîå ÷èñëî, à íå âû÷åò mod 2) ê ñóùåñòâîâàíèþ íîðìàëüíîãî ïîëÿ. ( ) e(N ) ÷åòíî. Óêàçàíèå: e(f ) mod 2 = f N ∩ f ′ N = 0. (d)* e(N ) ≡ 2χ(N ) mod 4. 2 4 14. (a) Ïîñòðîéòå ãëàäêîå âëîæåíèå f : RP → R . (b) Íàéäèòå e(f ) äëÿ ïîñòðîåííîãî âëîæåíèÿ f : RP 2 → R4 . ( )* Íèêàêîå âëîæåíèå RP 2 → R4 íå èìååò íîðìàëüíîãî ïîëÿ. (d) Ñóùåñòâóåò âëîæåíèå áóòûëêè Êëÿéíà â R4 ñ íåíóëåâûì íîðìàëüíûì ÷èñëîì Ýéëåðà (è, ñòàëî áûòü, íå èìåþùåå íîðìàëüíîãî ïîëÿ). (e) Äëÿ ëþáîãî i ñ óñëîâèÿìè −2µ 6 i 6 2µ, i ≡ 2µ mod 4, ñóùåñòâóåò òàêîå âëîæåíèå fi : Nµ → R4 ñ åðû ñ µ ïëåíêàìè Ìåáèóñà Nµ , ÷òî e(fi ) = i. (f)* Äëÿ äðóãèõ i òàêîãî âëîæåíèÿ íå ñóùåñòâóåò [Ma69℄. 15. (a) Äîêàæèòå òåîðåìó îáùåãî ïîëîæåíèÿ äëÿ n = 2. (b) Òî æå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n. 5 16.* (a) Ñóùåñòâóåò ãëàäêîå âëîæåíèå f : N → R îðèåíòèðóåìîãî 3ìíîãîîáðàçèÿ N ñ êðàåì, äëÿ êîòîðîãî íè îäíî èç óñëîâèé (1), (2), (3) ïðåäûäóùåé çàäà÷è íå âûïîëíåíî. (b) Äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ f : N → R5 îðèåíòèðóåìîãî 3-ìíîãîîáðàçèÿ N ñ êðàåì ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå e(f ) ∈ H1 (N, ∂N ) (íîðìàëüíûé êëàññ Ýéëåðà) ê ñóùåñòâîâàíèþ íîðìàëüíîãî ïîëÿ. ( )  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåãî ïóíêòà e(f ) ÷åòíî, ò.å. e(f ) = 2x äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ H1 (N, ∂N ). 17. (a) Âûâåäèòå (3) èç (2) â òåîðåìå Äîëüäà-Óèòíè. (b) Äîêàæèòå (1) â òåîðåìå Äîëüäà-Óèòíè. ( ) Âûâåäèòå (2) èç (1) â òåîðåìå Äîëüäà-Óèòíè äëÿ N = S 3 . (d)* Âûâåäèòå (2) èç (1) â òåîðåìå Äîëüäà-Óèòíè. Óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå ïàðàãðà 'îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû âåêòîðíûõ ïîëåé', ñì. [DW59℄. m 18. Ïóñòü f : N → R ãëàäêîå âëîæåíèå çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N . 61
(a) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå e(f ) ∈ H2n−m (N ; Z) (íîðìàëüíîå ÷èñëî Ýéëåðà) ê ñóùåñòâîâàíèþ íîðìàëüíîãî ïîëÿ. (b) e(f ) = 0. ( ) Àíàëîã ÷àñòè (1) òåîðåìû Óèòíè âåðåí äëÿ m = 2n. (d) Àíàëîã ÷àñòè (2) òåîðåìû Óèòíè íåâåðåí äëÿ m 6 2n. Óêàçàíèå: âîçüìèòå n = 4 è N = CP 2 ; òîãäà w 2 (f ) = w2 (CP 2 ) 6= 0, ñì. ïàðàãðà 'âëîæèìîñòü è ïîãðóæàåìîñòü ìíîãîîáðàçèé'. (e)* Àíàëîã ÷àñòè (1) òåîðåìû Óèòíè íåâåðåí äëÿ ïðîèçâîëüíûõ m, n. Óêàçàíèå: âîçüìèòå m = 3, n = 4 è N = CP 2 . n n+3 19.* (a) Äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ S â R ñóùåñòâóåò òðîéêà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé [Ma59℄. (b) Ïðè m > 3n/2 + 1 äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ S n â Rm ñóùåñòâóåò íàáîð èç m − n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé [Ke59℄. ( ) Ñóùåñòâóåò ãëàäêîå âëîæåíèå S 7 â R11 , äëÿ êîòîðîãî íåò íàáîðà ÷åòûðåõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé [Ha67℄. 20.* (Ïîëíîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è àâòîðó íåèçâåñòíî) Ïðè êàêèõ (m, n) (a) äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ ëþáîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ â Rm ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå íîðìàëüíîå âåêòîðíûõ ïîëå? (b) äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ n-ìíîãîîáðàçèÿ â Rm ñóùåñòâóåò íàáîð èç m − n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé? ( ) äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ S n → Rm ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå íîðìàëüíîå âåêòîðíûõ ïîëå? (d) äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî âëîæåíèÿ S n → Rm ñóùåñòâóåò íàáîð èç m − n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé? Óêàçàíèÿ ê íåêîòîðûì çàäà÷àì.
(b) Äëÿ ïîëÿ v, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 46, e(v) = 1 + 1 = 2; ðàçáåðèòåñü, ïî÷åìó íå 1 − 1 = 0; ñì. òàêæå ðèñ. 44, 45). Îòâåò: òîëüêî íà áóòûëêå Êëåéíà. Óêàçàíèå: îïðåäåëèòå êëàññ Ýéëåðà e(N ) êàê ïðåïÿòñòâèå ê ïîñòðîåíèþ òàêîãî ïîëÿ, à ïîòîì äîêàæèòå åãî ïîëíîòó è âû÷èñëèòå åãî. Ïðåïÿòñòâèå e(−v) ê ïðîäîëæåíèþ ïîëÿ −v ïðîòèâîïîëîæíî ïî çíàêó ïðåïÿòñòâèþ e(v), íî ñ äðóãîé ñòîðîíû e(−v) = e(v). (b) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå e1(f ) ê ñóùåñòâîâàíèþ îòîáðàæåíèÿ ′ f : N → R4 , áëèçêîãî ê f , îáðàç êîòîðîãî íå ïåðåñåêàåò f (N ). Çàòåì äîêàæèòå, ÷òî f N ∩ f ′N = e1 (f ) = e(f ). (a) (x : y : z) 7→ (x2 , xy, yz, zx). (d) Âîçüìèòå ñâÿçíóþ ñóììó äâóõ âëîæåíèé RP 2 → R4 ñ ðàâíûìè íîðìàëüíûìè ÷èñëàìè Ýéëåðà. (a) Ñíà÷àëà ïîñòðîéòå íîðìàëüíîå ïîëå íà âåðøèíàõ, çàòåì ïðîäîëæèòå åãî íà ðåáðà è ïîòîì ïðîäîëæèòå åãî íà ãðàíè. (b) Àíàëîãè÷íî òåîðåìå Óèòíè. (ñ) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå ê ñóùåñòâîâàíèþ åäèíè÷íîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ, íîðìàëüíîãî ê ìíîãîîáðàçèþ è ê óæå ïîñòðîåííîìó ïîëþ. Äîêàæèòå, ÷òî îíî íóëåâîå. (a) Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 17 . 6.
7.
9.
12.
14.
15.
17.
19.
ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÂÅÊÒÎ ÍÛÕ ÏÎËÅÉ È ÑÅ×ÅÍÈÉ
62
Êëàññè èêàöèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé.
 ýòîì ïóíêòå áóäåì íàçûâàòü åäèíè÷íîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå ïðîñòî ïîëåì.  íåêîòîðûõ ïðèëîæåíèÿõ âñòðå÷àåòñÿ ñëåäóþùèé âîïðîñ: îïèñàòü ìíîæåñòâî V (N ) ïîëåé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïíîñòè íà ìíîãîîáðàçèè N . Âñòðå÷àþòñÿ òàêæå ïîõîæèå áîëåå ñëîæíî îðìóëèðóåìûå âîïðîñû, äëÿ îòâåòà íà êîòîðûå ïîëåçíî ñíà÷àëà ðàçîáðàòüñÿ ñî ñ îðìóëèðîâàííûì. Íàïîìíèì ïîíÿòèå ãîìîòîïèè ïîëåé. ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ äå îðìàöèÿ 'ïàðàëëåëüíîãî' ïîëÿ íà òîðå â 'ìåðèäèîíàëüíîå' ïîëå (ðèñ. 43). Äâà ïîëÿ íàçûâàþòñÿ ãîìîòîïíûìè, åñëè îäíî ìîæíî ïîëó÷èòü èç äðóãîãî íåïðåðûâíîé äå îðìàöèåé, â ïðîöåññå êîòîðîé âåêòîðíîå ïîëå îñòàåòñÿ êàñàòåëüíûì è íåíóëåâûì. Ôîðìàëüíî, òàêîé äå îðìàöèåé íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî vt ïîëåé, íåïðåðûâíî çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà t, äëÿ êîòîðîãî v0 åñòü ïåðâîå ïîëå è v1 åñòü âòîðîå ïîëå. (a) îìîòîïíî ëè ïàðàëëåëüíîå ïîëå v(x) ïîëþ −v(x)? (b) Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåãîìîòîïíûõ ïîëåé íà òîðå.
1.
Ïðèâåäåì àíàëîã ïðåäûäóùèõ ïîñòðîåíèé äëÿ êëàññè èêàöèè åäèíè÷íûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé. Áóäåì èñïîëüçîâàòü áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèé àêò. Òåîðåìà ãîìîòîïíîñòè. Íà ïëîñêîñòè ëþáûå äâà âåêòîðíûõ ïîëÿ íà äâóìåðíîì äèñêå, ñîâïàäàþùèå íà åãî ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè, ãîìîòîïíû íåïîäâèæíî íà ãðàíèöå.
6.
2.
(a) Âûâåäèòå òåîðåìó ãîìîòîïíîñòè èç çàäà÷è îá îòîáðàæåíèÿõ S 2 → S 1 ãëàâû
(b) Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ïîëþ v íà òîðå ÷èñëî r1 (v) îáîðîòîâ âåêòîðà ýòîãî ïîëÿ ïðè îáõîäå ïî ïàðàëëåëè òîðà è ÷èñëî r2 (v) îáîðîòîâ âåêòîðà ýòîãî ïîëÿ ïðè îáõîäå ïî ìåðèäèàíó òîðà. Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâà îáîðîòîâ îïðåäåëåíû òîëüêî äëÿ çàìêíóòîé êðèâîé íà ïëîñêîñòè (à íå â ïðîñòðàíñòâå), òî óêàçàííûå êàðòèíêè ìîæíî îïðåäåëèòü òîëüêî èç ïðåäñòàâëåíèÿ òîðà (âìåñòå ñ ïîëåì íà íåì) â âèäå ñêëåéêè ïðÿìîóãîëüíèêà. Àíàëîãè÷íûå èíâàðèàíòû ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ äðóãèå çàìêíóòûå êðèâûå íà òîðå. Äîêàæèòå òåîðåìó êëàññè èêàöèè âåêòîðíûõ ïîëåé íà òîðå: îòîáðàæåíèå r1 ⊕ r2 : V (T 2 ) → Z ⊕ Z ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì. ( ) Êëàññè èöèðóéòå ïîëÿ íàïðàâëåíèé íà òîðå. 3. (a) Åñëè íà ñ åðå ñ ðó÷êàìè è îäíîé äûðêîé çàäàíû äâà ïîëÿ, òî íà ãðàíèöå ýòîé äûðêè îíè ãîìîòîïíû (óêàçàíèå: åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî ñì. äàëåå). (b) Âåðíî ëè ýòî äëÿ íåîðèåíòèðóåìûõ 2-ìíîãîîáðàçèé? ( ) Êëàññè èöèðóéòå ïîëÿ íàïðàâëåíèé íà 2-ìíîãîîáðàçèÿõ ñ íåïóñòûì êðàåì. (d) Êëàññè èöèðóéòå âåêòîðíûå ïîëÿ íà áóòûëêå Êëåéíà. (e) Êëàññè èöèðóéòå ïîëÿ íàïðàâëåíèé íà áóòûëêå Êëåéíà. Òåîðåìà êëàññè èêàöèè âåêòîðíûõ ïîëåé. Åñëè äëÿ çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N âûïîëíåíî V (N ) 6= ∅ (ò.å. åñëè χ(N ) = 0), òî ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ V (N ) → H1 (N ; Z) íà ãðóïïó îäíîìåðíûõ ãîìîëîãèé ìíîãîîáðàçèÿ N (ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè). Áîëåå òîãî, ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå D : V (N ) × V (N ) → H1 (N ; Z), ÷òî D(·, v) ñþðúåêòèâíî è D(u, v) + D(v, w) = D(u, w) äëÿ ëþáûõ u, v, w ∈ V (N ). Ïðè n = 2 îòîáðàæåíèå D(·, v) ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì. Ïðè n = 3 ÷èñëî ïðîîáðàçîâ êëàññà x ∈ H1 (N, Z) ïðè îòîáðàæåíèè D(·, v) ðàâíî 2x ∩ H2 (N ; Z) (ãðóïïà H2 (N ; Z) è óìíîæåíèå ∩ : H1 (N ; Z) × H2 (N ; Z) → Z îïðåäåëåíû â ãëàâå 4). Ïðè n > 4 ïðè îòîáðàæåíèè D(·, v) ó êàæäîãî êëàññà ðîâíî äâà ïðîîáðàçà.
63
Äëÿ n = 2 ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ îëüêëîðíûì ðåçóëüòàòîì íà÷àëà 20-ãî âåêà. Äëÿ n = 3 îíà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû Øòè åëÿ î ïàðàëëåëèçóåìîñòè 3ìíîãîîáðàçèé (ñì. íà÷àëî ñëåäóþùåãî ïàðàãðà à) è òåîðåìû Ïîíòðÿãèíà èç ãëàâû 6 [CRS℄. Äëÿ n = 4 ýòà òåîðåìà, âèäèìî, ÿâëÿåòñÿ îëüêëîðíûì ðåçóëüòàòîì ñåðåäèíû 20-ãî âåêà [Ko81, Theorem 18.2℄, ïîëó÷åííûì ñ ïîìîùüþ òåîðèè, îñíîâû êîòîðîé çäåñü èçëàãàþòñÿ.  îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîãî ïàðàãðà à ìû îïðåäåëÿåì ãðóïïó H1 (N, Z) è äîêàçûâàåì òåîðåìó êëàññè èêàöèè âåêòîðíûõ ïîëåé äëÿ 2-ìíîãîîáðàçèé òåì ñïîñîáîì, êîòîðûé ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü èíâàðèàíò D äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ. Äëÿ n = 2 ýòîò ñïîñîá áîëåå ñëîæåí, ÷åì íàìå÷åííûé â çàäà÷å 2b, íî íîâûé ñïîñîá ïðîõîäèò äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ. Êðîìå òîãî, íîâûé ñïîñîá ïîçâîëÿåò êëàññè èöèðîâàòü âåêòîðíûå ïîëÿ íà òîðå, íåñòàíäàðòíî âëîæåííîì â R3 (âïðî÷åì, ýòî ìîæíî ñäåëàòü èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 2b è èíâàðèàíòíîñòü ìíîæåñòâà V (N ) ïðè äè åîìîð èçìå). Îïðåäåëåíèå êëàññà D(u, v), èñïîëüçóþùåå îáùåå ïîëîæåíèå. àññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ãîìîòîïèþ ut îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìåæäó u = u0 è v = u1 . Ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîîáðàçèÿ, â êîòîðûõ ut = 0 äëÿ íåêîòîðîãî t, ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì îêðóæíîñòåé. Èñïîëüçóÿ íàøó ãîìîòîïèþ, íà ýòèõ îêðóæíîñòÿõ ìîæíî ââåñòè îðèåíòàöèþ. Ýòî îáúåäèíåíèå îðèåíòèðîâàííûõ îêðóæíîñòåé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîëîãè÷íîñòè (îïðåäåëåííîé äàëåå èëè â ãëàâå 4) è íàçûâàåòñÿ êëàññîì D(u, v). Îïðåäåëåíèå ðàçëè÷àþùåãî öèêëà. Êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ÝéëåðàÏóàíêàðå, âîçüìåì ñõåìó U ìíîãîîáðàçèÿ N è äâîéñòâåííóþ ê íåé ñõåìó U ∗ , à òàêæå èêñèðóåì îðèåíòàöèè. àññìîòðèì äâà ïîëÿ u è v íà ìíîãîîáðàçèè N . Ïîëå u ãîìîòîïíî òàêîìó, êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ v íà U0∗ . Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî u = v íà U0∗ (çàìåòèì, ÷òî íàøè ïîñòðîåíèÿ ìîãóò çàâèñåòü îò âûáîðà ñîâìåùåíèÿ ïîëåé íà U0∗ ). Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ðàçëè÷àþùóþ ðàññòàíîâêó d(u, v), êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ýéëåðà-Ïóàíêàðå. ßñíî, ÷òî d(u, u) = 0 è ÷òî d(u, v) + d(v, w) = d(u, w). Ïîñêîëüêó ïîëå u ïðîäîëæàåòñÿ íà ãðàíè ñõåìû U ∗ , òî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ïðàâèëî Êèðõãî à: äëÿ ëþáîé âåðøèíû A ñõåìû U ñóììà ÷èñåë ðàññòàíîâêè d(u, v) íà âõîäÿùèõ â A ðåáðàõ ðàâíà ñóììå ÷èñåë ðàññòàíîâêè d(u, v) íà âûõîäÿùèõ èç A ðåáðàõ. Òàêèå ðàññòàíîâêè íàçûâàþòñÿ öèêëàìè. Èçìåíåíèå ðàçëè÷àþùåãî öèêëà. Îáðàòíîå íåâåðíî, êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð ñëåäóþùåé ãîìîòîïèè. Äëÿ âåðøèíû f ∗ èçìåíèì ïîëå u òàê, ÷òîáû âåêòîð â f ∗ ñäåëàë îäèí îáîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, âåêòîðà â ìàëåíüêîé îêðåñòíîñòè âåðøèíû f ∗ 'ïîòÿíóëèñü' çà âåêòîðîì â f ∗ , à âíå ýòîé ìàëåíüêîé îêðåñòíîñòè ïîëå îñòàëîñü ïðåæíèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîëå u′ . Ïîíÿòíî, ÷òî d(u′ , u) åñòü ðàññòàíîâêà ±1 (â çàâèñèìîñòè îò îðèåíòàöèè) íà ðåáðàõ, îãðàíè÷èâàþùèõ ãðàíü f , è íóëåé íà âñåõ îñòàëüíûõ ðåáðàõ. Ýòà ðàññòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ãðàíèöåé ãðàíè f è îáîçíà÷àåòñÿ ∂f . B îêðåñòíîñòÿõ âåðøèí f1∗ , . . . , fs∗ ñäåëàåì îïèñàííóþ âûøå ãîìîòîïèþ ïîëÿ v , ïîâîðà÷èâàÿ âåêòîðà â ýòèõ ãðàíÿõ íà n1 , . . . , ns îáîðîòîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå ïîëå ÷åðåç u(n1 , . . . , ns ). Òîãäà d(u(n1 , . . . , ns ), u) = n1 ∂f1 + . . . + ns ∂fs . Òåïåðü ðàññìîòðèì ãîìîòîïèþ ut ìåæäó ïîëÿìè u0 è u1 , ñîâïàäàþùèìè íà U0∗ (ïðàâäà, ýòà ãîìîòîïèÿ ìîæåò ìåíÿòü ïîëå äàæå íà U0∗ ). Äëÿ êàæäîé ãðàíè fi îáîçíà÷èì ÷åðåç ni ÷èñëî îáîðîòîâ ïðè èçìåíåíèè t îò 0 äî 1 âåêòîðà ut (f ∗ ). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî d(u0 , v) − d(u1 , v) = n1 ∂f1 + . . . + ns ∂fs . Îïðåäåëåíèå ãðóïïû H1 (N ; Z) è çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà. Íàçîâåì ãðàíèöåé ñóììó n1 ∂f1 + . . . + ns ∂fs ãðàíèö íåñêîëüêèõ ãðàíåé ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè. Íàçîâåì öèêëû γ1 è γ2 ãîìîëîãè÷íûìè, åñëè γ1 − γ2 åñòü ãðàíèöà. 64
Îäíîìåðíîé ãðóïïîé ãîìîëîãèé H1 (U, Z) ñõåìû U (ñ êîý èöèåíòàìè â Z) íàçûâàåòñÿ ãðóïïà öèêëîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîëîãè÷íîñòè. Îáîçíà÷èì êëàññ ãîìîëîãè÷íîñòè ðàçëè÷àþùåãî öèêëà ÷åðåç D(u, v) := [d(u, v)] ∈ H1 (U, Z).
ßñíî, ÷òî îòîáðàæåíèå D : V (N ) × V (N ) → H1 (U, Z) óæå íå çàâèñèò îò âûáîðà ñîâìåùåíèé ïîëåé íà U0∗ è ïîýòîìó êîððåêòíî îïðåäåëåíî. Ýòè ãðóïïà è êëàññ îäèíàêîâû äëÿ ãîìåîìîð íûõ ñõåì. Ïîýòîìó áóäåì îáîçíà÷àòü ïåðâóþ ÷åðåç H1 (N, Z). Òàê êàê d(u, v) + d(v, w) = d(u, w), òî D(u, v) + D(v, w) = D(u, w). ×òîáû äîêàçàòü ñþðúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ D(·, v), âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé öèêë γ . Âîçüìåì ïîëå u ðàâíûì v íà U0 . Íà ðåáðå a∗ âîçüìåì γ(a)-êðàòíóþ ïîäêðóòêó ïîëÿ v (ñì. îïðåäåëåíèå ïîäêðóòêè âûøå). Äëÿ ïîñòðîåííîãî ïîëÿ u èìååì d(u, v) = γ , ïîýòîìó D(u, v) = [γ]. Äîêàçàòåëüñòâî èíúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ D(·, v) äëÿ n = 2. Èç òåîðåìû ïðîäîëæàåìîñòè (ñì. ïóíêò 'ñóùåñòâîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé íà 2-ìíîãîîáðàçèÿõ') âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Äâà íåíóëåâûõ êàñàòåëüíûõ ê ïëîñêîñòè âåêòîðíûõ ïîëÿ, çàäàííûõ íà îòðåçêå (ëåæàùåì â ïëîñêîñòè) è ñîâïàäàþùèå íà åãî êîíöàõ, ãîìîòîïíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîëè÷åñòâî ïîâîðîòîâ âåêòîðà ïåðâîãî ïîëÿ ïðè äâèæåíèè îò íà÷àëà îòðåçêà ê åãî êîíöó ðàâíî àíàëîãè÷íîìó êîëè÷åñòâó äëÿ âòîðîãî ïîëÿ. 4. Äîêàæèòå ýòî. Ïîýòîìó è ïî òåîðåìå ãîìîòîïíîñòè åñëè u = v íà U0∗ è d(u, v) = 0, òî ïîëÿ u è v ãîìîòîïíû íåïîäâèæíî íà U0∗ . Åñëè D(u0 , v) = D(u1 , v) äëÿ íåêîòîðûõ ïîëåé u0 è u1 , ñîâïàäàþùèõ íà U0∗ , òî d(u0 , v) − d(u1 , v) = n1 ∂f1 + . . . + ns ∂fs äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ ÷èñåë n1 , . . . , ns . Òîãäà u0 ≃ u0 (n1 , . . . , ns ) ≃ u1 . 5. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ñõåìó U çàìêíóòîãî ñâÿçíîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . Äàéòå îïðåäåëåíèå ãðóïïû H1 (U ; Z) (íåçàâèñèìîå îò ðàññóæäåíèé, â êîòîðûõ îíà ïîÿâèëàñü). Äîêàæèòå, ÷òî H1 (U ) ∼ = Z2g äëÿ ñõåìû U ñ åðû ñ g ðó÷êàìè. 6. (a) Óêàçàííîå îòîáðàæåíèå D(·, v) íå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì äëÿ N = S 3 . (b) Ïîñòðîéòå îòîáðàæåíèå D(·, v) è äîêàæèòå åãî ñþðúåêòèâíîñòü äëÿ 3-ìíîãîîáðàçèé. 7.* Êëàññè èöèðóéòå ïîëÿ íàïðàâëåíèé íà îðèåíòèðóåìûõ 3-ìíîãîîáðàçèÿõ. Ïî ïîâîäó n-ìåðíîãî ñëó÷àÿ è ñâÿçè ñ ëîðåíöåâûìè ìåòðèêàìè ñì. [Ko01℄. 4 8. Êëàññè èöèðóéòå íîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà 2-ìíîãîîáðàçèÿõ â R . Êëàññè èêàöèÿ ñå÷åíèé è çåé åðòîâûõ ñå÷åíèé.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç πX : X × Y → X ïðîåêöèþ íà ïåðâûé ñîìíîæèòåëü. Îòîáðàæåíèå s : X → X × Y íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèåì, åñëè πX ◦ s = idX . Ñå÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïîñëîéíî ãîìîòîïíûìè, åñëè îíè ãîìîòîïíû â êëàññå ñå÷åíèé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S(πX ) ìíîæåñòâî êëàññîâ ïîñëîéíîé ãîìîòîïíîñòè ñå÷åíèé. àâåíñòâî ìåæäó ìíîæåñòâàìè îçíà÷àåò íàëè÷èå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó íèìè. 1 1 9. (a) S(πS 1 : S × I → S ) = {0}. 1 1 1 (b) S(πS 1 : S × S → S ) = Z. ( ) S(πN : N × S 1 → N ) = H1 (N ; Z) äëÿ çàìêíóòîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . (d) S(πX ) íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì [X; Y ] îòîáðàæåíèé X → Y ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïíîñòè (îïðåäåëåíèå íàïîìíåíî â íà÷àëå ãëàâû 6). 65
Ïîíÿòèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ è ñå÷åíèÿ (ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ) ÿâëÿþòñÿ âàæíåéøèìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ïîíÿòèÿ ñå÷åíèÿ ðàññëîåíèÿ, ñì. ïóíêò 'âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ'. àññìîòðèì 2-ìíîãîîáðàçèå P ∗ ñ íåïóñòûì êðàåì è èíâîëþöèåé t íà P ∗ , èìåþùåé ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Ñóùåñòâóþò òàêèå íåãîìåîìîð íûå 2-ìíîãîîáðàçèÿ P ∗ è P1∗ ñ íåïóñòûìè êðàÿìè è èíâîëþöèÿìè t è t1 , èìåþùèìè ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî íåïîäâèæíûõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ P ∗ /t ∼ = P1∗ /t1 . 10.
Ñå÷åíèå s : P ∗ → P ∗ × S 1 íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè pS 1 ◦ s = pS 1 ◦ s ◦ t. Ìíîæåñòâî ñèììåòðè÷íûõ ñå÷åíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèè â êëàññå ñèììåòðè÷íûõ ñå÷åíèé îáîçíà÷àåòñÿ êðàòêî S(P ∗ , t). Ïîëîæèì P = P ∗ /t. ∗ t ∗ ∗ 11. S(P , t) = H1 (P , ∂P ; Z) ∼ = H1 (P, ∂P ; Z) ∼ = Z1−χ(P ) , åñëè èíâîëþöèÿ t èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Äëÿ ïðîñòðàíñòâà ñ èíâîëþöèåé ñèììåòðè÷íûå ãîìîëîãè÷åñêèå ãðóïïû îáîçíà÷àþòñÿ äîáàâëåíèåì âåðõíåãî èíäåêñà t ê îáû÷íîìó îáîçíà÷åíèþ. Èõ îïðåäåëåíèå åñòåñòâåííî ïîÿâëÿåòñÿ ïðè èçó÷åíèè ìíîæåñòâà S(P ∗ , t). ×èòàòåëü ìîæåò ïðèäóìàòü åãî ñàì èëè ïîäñìîòðåòü â ïóíêòå 'ýêâèâàðèàíòíûå îòîáðàæåíèÿ' ãëàâû 6.  ïðèëîæåíèÿõ (ñì. ñëåäóþùèé ïóíêò) ïîÿâëÿþòñÿ àíàëîãè ñå÷åíèé äëÿ ðàññëîåíèé ñ îñîáåííîñòÿìè. Ïðèâåäåì îïðåäåëåíèå è ðåçóëüòàò äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ (ìîòèâèðîâàííîãî ïðèëîæåíèÿìè). Ïîëîæèì Q = Q(P ∗ ) := P ∗ × I/{(a, 0) ∼ (t(a), 1)}. (Âûðàæàÿñü íàó÷íî, ýòî ðàññëîåíèå íàä S 1 ñî ñëîåì P ∗ è ñøèâàþùèì îòîáðàæåíèåì t [BFM90, îïðåäåëåíèå 2.2℄.) 12.
Q(P ∗ ) çàâèñèò òîëüêî îò P , à íå îò P ∗ .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç p : P ∗ → P ïðîåêöèþ. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå π : Q → P îðìóëîé π[(a, t)] = p(a). (Ýòî ðàññëîåíèå Çåé åðòà, èìåþùåå ñèíãóëÿðíûå ñëîè òîëüêî íàä çâåçäî÷êàìè è òîëüêî òèïà (2, 1).) Âëîæåíèå f : P ∗ → Q íàçûâàåòñÿ çåé åðòîâûì ñå÷åíèåì, åñëè π ◦ f = p. ( ãëàäêîé êàòåãîðèè íóæíî äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî f òðàíñâåðñàëüíî ñëîÿì îòîáðàæåíèÿ π .  [BF94℄ ñå÷åíèÿ Çåé åðòà íàçûâàëèñü òðàíñâåðñàëüíûìè ïëîùàäêàìè.) Òåîðåìà êëàññè èêàöèè çåé åðòîâûõ ñå÷åíèé. [RS99℄ Ïðè èêñèðîâàííûõ P ∗ è t ìíîæåñòâî X çåé åðòîâûõ ñå÷åíèé ñ òî÷íîñòüþ äî èçîòîïèè íàä π íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ H1 (P, ∂P ; Z) ∼ = Z1−χ(P ) . Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå
q : P ∗ × S1 ∼ =
P∗ × I P∗ × I ∼ → =Q {(a, 0) ∼ (a, 1)} {(a, 0) ∼ (t(a), 1)}
îðìóëîé q[(a, u)] =
[(a, 2u)]
[(t(a), 2u − 1)]
06u6
1 2 .
1 6u61 2
Ïîñêîëüêó t èíâîëþöèÿ, q êîððåêòíî îïðåäåëåíî è íåïðåðûâíî. Ïóñòü f : P ∗ → Q ñå÷åíèå Çåé åðòà. Äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ P ∗ , íå ÿâëÿþùåéñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé èíâîëþöèè t, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òàêàÿ òî÷êà f ′ (x) ∈ P ∗ × S 1 ,
÷òî qf ′ (x) = f (x).
Äëÿ êàæäîé íåïîäâèæíîé òî÷êè x èíâîëþöèè t ñóùåñòâóþò äâå òàêèå òî÷êè u, v ∈ S 1 ,
÷òî q(x, u) = q(x, v) = f (x). 66
P ∗ × S1
S1
(χ(x), 1)
Q ∗
q
p2
∗
(x, 0)
f
π
′′ f′ f
p1 χ(x)
∗
∗
p
x
p(x) = p(χ(x)) P∗
P
èñ. 48: Êëàññè èêàöèÿ çåé åðòîâûõ ñå÷åíèé Ïîñêîëüêó ìàëåíüêàÿ ïðîêîëîòàÿ äèñêîâàÿ îêðåñòíîñòü â P ∗ íåïîäâèæíîé òî÷êè x ñâÿçíà, ìû ìîæåì âçÿòü â êà÷åñòâå f ′ (x) ëèáî (x, u), ëèáî (x, v), òàê ÷òî îòîáðàæåíèå f ′ : P ∗ → P ∗ × S 1 áóäåò íåïðåðûâíûì. Ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå f ′ (îáû÷íîå) ñå÷åíèå òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ P ∗ × S 1 → P ∗ . Ïîñêîëüêó f âëîæåíèå, pS 1 f ′ (x) 6= −pS 1 f ′ (t(x)) íè äëÿ êàêîé òî÷êè x ∈ P ∗ . Ïîýòîìó f ′ ïîñëîéíî ãîìîòîïíî ñèììåòðè÷íîìó ñå÷åíèþ f ′′ . Îáðàòíî, äëÿ ëþáîãî ñèììåòðè÷íîãî ñå÷åíèÿ F : P ∗ → P ∗ × S 1 , îòîáðàæåíèå q ◦ F ÿâëÿåòñÿ ñå÷åíèåì Çåé åðòà è (q ◦ F )′′ = F . Î÷åâèäíî, ñå÷åíèÿ Çåé åðòà f è g èçîòîïíû íàä π òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ñèììåòðè÷åñêèå ñå÷åíèÿ f ′′ è g ′′ ñèììåòðè÷íî ãîìîòîïíû (èëè, ýêâèâàëåíòíî, èçîòîïíû). Òîãäà X = S(P ∗ , t) = H1 (P, ∂P ; Z) ∼ = Z1−χ(P ) . Ïðèëîæåíèå: ïðèìåíåíèå ê ãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì.
 1994 Áîëñèíîâ è Ôîìåíêî [BF94℄ äîêàçàëè òåîðåìó î òîïîëîãè÷åñêîé òðàåêòîðíîé êëàññè èêàöèè íåâûðîæäåííûõ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íà òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ ïîñòîÿííîé ýíåðãèè. Ìîòèâèðîâêè è êðàòêèé îáçîð ñì. â [BFM90, 1℄, [BF94, 1℄. Îíè äîêàçàëè, ÷òî äâå òàêèå ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, åñëè íåêîòîðûå èõ èíâàðèàíòû ñîâïàäàþò. Èíâàðèàíòîì ÿâëÿåòñÿ ãðà ñ íåêîòîðûìè äîïîëíèòåëüíûìè ìåòêàìè íà åãî âåðøèíàõ è ðåáðàõ. Îäíèì èç íåîáõîäèìûõ îãðàíè÷åíèé áûëî òî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà íå èìååò íåóñòîé÷èâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ñ íåîðèåíòèðóåìîé ñåïàðàòðèñîé. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçîâàëèñü ñå÷åíèÿ ëîêàëüíî-òðèâèàëüíûõ ðàññëîåíèé. Ïîñêîëüêó ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû ñ íåîðèåíòèðóåìîé ñåïàðàòðèñîé âñòðå÷àþòñÿ â ïðèìåðàõ (íàïðèìåð, â âîë÷êå Êîâàëåâñêîé), áûëî èíòåðåñíî îòáðîñèòü ýòî îãðàíè÷åíèå. Ýòî îêàçàëîñü âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ çåé åðòîâûõ ñå÷åíèé çåé åðòîâûõ ðàññëîåíèé. 67
Òåîðåìà. Ïóñòü X ìíîæåñòâî íåâûðîæäåííûõ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íà îðèåíòèðóåìûõ òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ ïîñòîÿííîé ýíåðãèè, ñ òî÷íîñòüþ äî íåïðåðûâíîé òðàåêòîðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîõðàíÿþùåé îðèåíòàöèþ. Òîãäà ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç X â ìíîæåñòâî t-îñíàùåííûõ ãðà îâ ñ òî÷íîñòüþ äî t-ýêâèâàëåíòíîñòè. [RS99℄, [CRS00℄, ñð. [BF94, Òåîðåìà 4.1℄.
Îïðåäåëåíèÿ t-îñíàùåííûõ ãðà îâ è t-ýêâèâàëåíòíîñòè òàêîå æå, êàê â [BF94℄, ñì. òàêæå [BFM90℄, [CRS00℄. Çàìåòèì, ÷òî â [BF94, 12.3 è 13.5℄ îïèñàí îáðàç èíúåêöèè èç òåîðåìû è çàâèñèìîñòü t-ìåòîê îò îðèåíòàöèè 3-ìíîãîîáðàçèÿ ïîñòîÿííîé ýíåðãèè. Êðîìå òîãî, â [BF94, 13℄ áûëî ïîñòðîåíî â íåêîòîðîì ñìûñëå áîëåå ïðîñòîå îñíàùåíèå íà W , íàçâàííîå t-ìîëåêóëîé. Áîëåå îáùàÿ ñèòóàöèÿ íå òðåáóåò äîáàâëåíèé è èçìåíåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñ [BF94℄, òîëüêî P -ìåòêè ìîãóò áûòü àòîìàìè ñî çâåçäî÷êàìè. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì îáùåì íàáëþäåíèè, êîòîðîå ìîæåò áûòü ïðèìåíåíî è ê äðóãèì ïðîáëåìàì. Áè óðêàöèÿ òîðîâ Ëèóâèëëÿ â áîòòîâîé èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ìîæåò áûòü îïèñàíà îêðåñòíîñòüþ ìíîæåñòâà F −1 (c), ãäå F äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë è c åãî êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Åñëè êðèòè÷åñêîå ïîäìíîãîîáðàçèå äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà F , ñîîòâåòñòâóþùåå c, îêðóæíîñòü, òî ýòà îêðåñòíîñòü ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèåì Çåé åðòà Q íàä (íåçàìêíóòîé) 2-ïîâåðõíîñòüþ P [BFM90℄. ×òîáû èññëåäîâàòü áè óðêàöèþ òîðîâ Ëèóâèëëÿ, ïîñòðîèì ñå÷åíèå Ïóàíêàðå ïîòîêà íà Q [BF94℄. Åñëè êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü èìååò îðèåíòèðóåìóþ ñåïàðàòðèñíóþ äèàãðàììó (èëè, ýêâèâàëåíòíî, P íå èìååò çâåçäî÷åê), òî Q ∼ = P × S 1 è ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå ìîãóò áûòü âûáðàíû ñðåäè ñå÷åíèé òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ. Òîãäà ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå êëàññè èöèðóþòñÿ ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîé òåîðèè ïðåïÿòñòâèé. Åñëè êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü èìååò íåîðèåíòèðóåìóþ ñåïàðàòðèñíóþ äèàãðàììó (èëè, ýêâèâàëåíòíî, P íå èìååò çâåçäî÷åê), òî ðàññëîåíèå Çåé åðòà íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîòðèâèàëüíûì ðàññëîåíèåì. Íåñìîòðÿ íà ýòî, ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå ÿâëÿþòñÿ çåé åðòîâûìè àíàëîãàìè ñå÷åíèé ëîêàëüíî-òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî âûøåïðèâåäåííîé òåîðåìû ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû êëàññè èêàöèè çåé åðòîâûõ ñå÷åíèé àíàëîãè÷íî [BF94℄, ñì. äåòàëè â [CRS00℄. ÑÈÑÒÅÌÛ ÂÅÊÒÎ ÍÛÕ ÏÎËÅÉ Ââåäåíèå.
Ó÷åíèê Õîï à Ýäóàðä Øòè åëü ðàññìîòðåë ïðîáëåìó ñóùåñòâîâàíèÿ ïàðû, òðîéêè, et . ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà äàííîì ìíîãîîáðàçèè. (Ââèäó êàíîíè÷íîñòè ïðîöåññà ðàìà-Øìèäòà îðòîãîíàëèçàöèè ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ìîæíî çàìåíèòü íà îðòîíîðìèðîâàííîñòü.) àçâèâàÿ èäåè Õîï à, îêîëî 1934 îí ïðèøåë ê îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ (îêîí÷àòåëüíàÿ îðìàëèçàöèÿ áûëà çàâåðøåíà Íîðìàíîì Ñòèíðîäîì â 1940å ãã.). Ëþáîïûòíî, ÷òî Øòè åëü íà÷àë ñ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ îðèåíòèðóåìûõ 3-ìíîãîîáðàçèé è ïûòàëñÿ ïîñòðîèòü ïðèìåð òàêîãî ìíîãîîáðàçèÿ, íà êîòîðîì íå ñóùåñòâóåò òðîéêè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé. Çàòåì, èñïîëüçóÿ ñâîþ òåîðèþ, îí äîêàçàë ñëåäóþùèå àêòû. Òåîðåìà Øòè åëÿ î ïàðàëëåëèçóåìîñòè 3-ìíîãîîáðàçèé. Íà ëþáîì îðèåíòèðóåìîì 3-ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò òðîéêà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé.
r Òåîðåìà Øòè åëÿ î âåêòîðíûõ ïîëÿõ. Åñëè n + 1 = 2 m, ãäå m íå÷åòíî, òî íà RP n íå ñóùåñòâóåò ñèñòåìû èç 2r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé.
68
Åñëè íà Rn èìååòñÿ ñòðóêòóðà àëãåáðû ñ äåëåíèåì (ò.å. áèëèíåéíàÿ îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ áåç äåëèòåëåé íóëÿ), òî n åñòü ñòåïåíü äâîéêè. Òåîðåìà Øòè åëÿ îá àëãåáðàõ ñ äåëåíèåì.
Áîëåå òî÷íî, àëãåáðû ñ äåëåíèåì íà Rn èìåþòñÿ òîëüêî ïðè n = 1, 2, 4, 8. Ýòà çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Áîòòà-Ìèëíîðà-Êåðâåðà-Àäàìñà (ñì. ññûëêè â [MS74, 4℄) äîêàçûâàåòñÿ òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì òîïîëîãèè (íî ãîðàçäî áîëåå ïðîäâèíóòîé). Äðóãèå èñòîðè÷åñêè ïåðâûå ý åêòíûå ïðèìåíåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ òåîðåìû Óèòíè î íåâëîæèìîñòè è Ïîíòðÿãèíà-Òîìà î (íå)êîáîðäàíòíîñòè ìíîãîîáðàçèé îïèñàíû â ãëàâå 5 (ñð. [MS74, 4℄).  1942 Ëåâ Ñåìåíîâè÷ Ïîíòðÿãèí ïðèäóìàë íîâûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû. Âëàäèìèð Àáðàìîâè÷ îõëèí ïîêàçàë, ÷òî ýòè êëàññû åñòåñòâåííî ïîÿâëÿþòñÿ ïðè îáîáùåíèè çàäà÷è Øòè åëÿ: ïðè ïîñòðîåíèè ñèñòåìû êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé, èìåþùåé â êàæäîé òî÷êå ðàíã, íå ìåíüøèé äàííîãî ÷èñëà. Ïðè äàëüíåéøåì îáîáùåíèè ïîÿâëÿþòñÿ äðóãèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû, íî îíè óæå çàâèñèìû (ìû íå óòî÷íÿåì, â êàêîì ñìûñëå) ìåæäó ñîáîé è ñ êëàññàìè Øòè åëÿ-Óèòíè. Ïîýòîìó ñðåäè âñåõ ýòèõ êëàññîâ âûäåëåíû êëàññû Ïîíòðÿãèíà, îáðàçóþùèå 'ìàêñèìàëüíóþ íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó'. Ýòè êëàññû ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ èçó÷åíèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé è èõ îòëè÷èé îò òîïîëîãè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé [DNF84, 28℄.  ýòîì ïàðàãðà å ìû ïðèâîäèì èäåþ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ, íàáðîñîê êîðîòêîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Øòè åëÿ î ïàðàëëåëèçóåìîñòè 3-ìíîãîîáðàçèé (îñíîâàííûé íà íåêîòîðîì óïðîùåíèè äîêàçàòåëüñòâà èç [Ki89, 5℄). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Øòè åëÿ î âåêòîðíûõ ïîëÿõ è îá àëãåáðàõ ñ äåëåíèåì óæå íóæíà á îëüøàÿ ÷àñòü ìàòåðèàëà ãëàâ 4 è 5; ñàìè äîêàçàòåëüñòâà íàìå÷åíû â âèäå çàäà÷ â ãëàâå 5. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû äëÿ 3-ìíîãîîáðàçèé. 1. Åñëè 3-ìíîãîîáðàçèå îðèåíòèðóåìî, òî ëþáóþ ïàðó ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà íåì ìîæíî äîïîëíèòü äî òðîéêè òàêèõ ïîëåé.
Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ âàæíåéøèì øàãîì â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Øòè åëÿ, à äëÿ íåîðèåíòèðóåìûõ 3-ìíîãîîáðàçèé èíòåðåñåí è ñàì ïî ñåáå. Òðåõìåðíàÿ òåîðåìà Øòè åëÿ î ïðåïÿòñòâèè. Íà çàìêíóòîì 3ìíîãîîáðàçèè N ñóùåñòâóåò ïàðà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âòîðîé êëàññ Øòè åëÿ-Óèòíè w2 (N ) ∈ H1 (N ) íóëåâîé.
Îïðåäåëåíèå êëàññà w2 (N ), èñïîëüçóþùåå îáùåå ïîëîæåíèå. àññìîòðèì ïàðó êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà 3-ìíîãîîáðàçèè N . Ââèäó îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîîáðàçèÿ, â êîòîðûõ âåêòîðû ýòîé ïàðû ëèíåéíî çàâèñèìû, ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì îêðóæíîñòåé (îðèåíòàöèÿ íà íèõ íå âàæíà). Ýòî îáúåäèíåíèå îêðóæíîñòåé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîëîãè÷íîñòè (îïðåäåëåííîé äàëåå èëè â ãëàâå 4) è íàçûâàåòñÿ êëàññîì w2 (N ). Îïðåäåëåíèå äâîéñòâåííîé ñõåìû äëÿ ñõåìû çàìêíóòîãî 3-ìíîãîîáðàçèÿ (ðèñ. 49). Âîçüìåì íåêîòîðóþ ñõåìó U 3-ìíîãîîáðàçèÿ N .  êàæäîì òðåõìåðíîì ìíîãîãðàííèêå x ñõåìû U âûáåðåì ïî òî÷êå x∗ . Äëÿ êàæäîé ãðàíè f èñõîäíîé ñõåìû ñîåäèíèì ðåáðîì f ∗ äâå ïîñòðîåííûå òî÷êè, ëåæàùèå â ñîñåäíèõ ïî ýòîé ãðàíè òðåõìåðíûõ ìíîãîãðàííèêàõ ñõåìû U (ýòî ðåáðî ïðîòûêàåò ãðàíü f ñõåìû U ; ðèñ. 49). Äëÿ êàæäîãî ðåáðà a èñõîäíîé ñõåìû íàòÿíåì äâóìåðíûé ìíîãîóãîëüíèê a∗ íà òå ïîñòðîåííûå ðåáðà, êîòîðûå îòâå÷àþò ãðàíÿì èñõîäíîé ñõåìû, ñîäåðæàùèì ðåáðî a (ýòîò ìíîãîóãîëüíèê ïðîòûêàåòñÿ ðåáðîì a; ðèñ. 49). Îáúåäèíåíèå ïîëó÷åííûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàçáèâàåò 3-ìíîãîîáðàçèå N íà òðåõìåðíûå ìíîãîãðàííèêè, 69
èñ. 49: Äâîéñòâåííûå ñõåìû äëÿ ñõåì çàìêíóòîãî 3-ìíîãîîáðàçèÿ êàæäûé èç êîòîðûõ ñîäåðæèò ðîâíî îäíó âåðøèíó èñõîäíîé ñõåìû. Ïîëó÷åííàÿ ñõåìà U ∗ íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé ê U . Íà÷àëî äîêàçàòåëüñòâà òðåõìåðíîé òåîðåìû Øòè åëÿ î ïðåïÿòñòâèè: îïðåäåëåíèå ïðåïÿòñòâóþùåãî öèêëà. Áóäåì íàçûâàòü ïàðó ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé ïðîñòî ïàðîé ïîëåé. Âîçüìåì íåêîòîðóþ ìåëêóþ ñõåìó U 3-ìíîãîîáðàçèÿ N è äâîéñòâåííóþ ê íåé ñõåìó U ∗ . Ñíà÷àëà ìû ïîñòðîèì ïàðó ïîëåé â âåðøèíàõ äâîéñòâåííîé ñõåìû, çàòåì áóäåì ïûòàòüñÿ ïðîäîëæàòü ýòó ïàðó íà îáúåäèíåíèå ðåáåð äâîéñòâåííîé ñõåìû, çàòåì íà îáúåäèíåíèå åå ãðàíåé è ïîòîì íà îáúåäèíåíèå åå òðåõìåðíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Ïîïðîáóåì ïðîäîëæèòü ïàðó ïîëåé íà ðåáðî äâîéñòâåííîé ñõåìû. Ââèäó ìåëêîñòè ñõåìû îêðåñòíîñòü êàæäîãî òàêîãî ðåáðà îäíîçíà÷íî ïðîåöèðóåòñÿ íà òðåõìåðíóþ êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü. Ïðè ýòîé ïðîåêöèè ïàðå âåêòîðîâ â òî÷êå x ýòîãî ðåáðà ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïàðà âåêòîðîâ â R3 , à ïàðå ïîëåé íà âñåì ðåáðå îòîáðàæåíèå åãî â ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïàð âåêòîðîâ â R3 . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ïðîñòðàíñòâî ñâÿçíî. Ïîýòîìó ïîñòðîåííàÿ â âåðøèíàõ äâîéñòâåííîé ñõåìû ïàðà ïîëåé ïðîäîëæàåòñÿ íà îáúåäèíåíèå ðåáåð äâîéñòâåííîé ñõåìû. F B
C
A
D E
èñ. 50: Ïðîäîëæåíèå ïàðû ïîëåé íà ãðàíü äâîéñòâåííîé ñõåìû 70
Ïîïðîáóåì ïðîäîëæèòü ïàðó ïîëåé íà ãðàíü a∗ äâîéñòâåííîé ñõåìû (ðèñ. 50). Ââèäó ìåëêîñòè ñõåìû îêðåñòíîñòü ãðàíè a∗ îäíîçíà÷íî ïðîåöèðóåòñÿ íà òðåõìåðíóþ êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü. Ïðè ýòîé ïðîåêöèè ïàðå âåêòîðîâ â òî÷êå x ýòîé ãðàíè ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïàðà âåêòîðîâ â R3 . Çíà÷èò, ïàðå ïîëåé íà ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè ýòîé ãðàíè îòîáðàæåíèå åå â ïðîñòðàíñòâî ïàð âåêòîðîâ â R3 . Åñëè ýòî îòîáðàæåíèå íå ïðîäîëæàåòñÿ íà ãðàíü a∗ , òî ïîêðàñèì ðåáðî a èñõîäíîé ñõåìû (ïðîòûêàþùåå ãðàíü a∗ ), â êðàñíûé öâåò. Òàêèì îáðàçîì, çàäàíèþ ïàðû w îðòîíîðìèðîâàííûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà îáúåäèíåíèè ðåáåð äâîéñòâåííîé ñõåìû ñîîòâåòñòâóåò êðàñíûé ïîäãðà ε(w) èñõîäíîé ñõåìû, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ïðåïÿòñòâóþùèì öèêëîì. ×èñëî êðàñíûõ ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç êàæäîé âåðøèíû, ÷åòíî. Íàïîìíèì, ÷òî ïîäãðà û ñ òàêèì óñëîâèåì íàçûâàþòñÿ (ãîìîëîãè÷åñêèìè) öèêëàìè. 2. (a) Äîêàæèòå ñ îðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå. (b) Âíå êðàñíîãî ãðà à ïàðà ïîëåé ñóùåñòâóåò. ( ) Íàðèñóéòå êàêîé-íèáóäü ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë äëÿ RP 3 è äëÿ RP 2 × S 1 (è äëÿ äðóãèõ èçâåñòíûõ Âàì ïðèìåðîâ 3-ìíîãîîáðàçèé). Ïðè ýòîì ðàçóìíî âçÿòü ñòàíäàðòíûå ñõåìû: äëÿ RP 3 èç ÷åòûðåõ êëåòîê ïî îäíîé â êàæäîé ðàçìåðíîñòè, à äëÿ RP 2 × S 1 ïðîèçâåäåíèå ñõåìû äëÿ RP 2 èç òðåõ êëåòîê ïî îäíîé â êàæäîé ðàçìåðíîñòè è ñõåìû äëÿ S 1 èç äâóõ êëåòîê ïî îäíîé â êàæäîé ðàçìåðíîñòè. (d)* Äëÿ ëþáîé òðèàíãóëÿöèè ïðîèçâîëüíîãî òðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ N îáúåäèíåíèå ðåáåð åå áàðèöåíòðè÷åñêîãî ïîäðàçäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâóþùèì öèêëîì ε(w) äëÿ íåêîòîðîé ïàðû ïîëåé w.
Îïðåäåëåíèå ãðóïïû H1 (N ), êëàññà w2 (N ) è íàáðîñîê çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåõìåðíîé òåîðåìû Øòè åëÿ î ïðåïÿòñòâèè. Òî÷íî òàê æå, êàê â ïàðàãðà å 'îðèåíòèðóåìîñòü', îïðåäåëÿþòñÿ ãðàíèöû, ãîìîëîãè÷íîñòü öèêëîâ è ãðóïïà H1 (N ) (íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îíè âîçíèêëè ïðè ðåøåíèè äðóãîé çàäà÷è!). Âòîðûì êëàññîì Øòè åëÿ-Óèòíè 3-ìíîãîîáðàçèÿ N íàçûâàåòñÿ w2 (N ) := [ε(w)] ∈ H1 (N )
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî è ÷òî w2 (N ) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðó ïîëåé w ìîæíî ïðîäîëæèòü íà îáúåäèíåíèå ìíîãîóãîëüíèêîâ äâîéñòâåííîé ñõåìû. Ïàðó ïîëåé w íà U2 îáúåäèíåíèè ìíîãîóãîëüíèêîâ äâîéñòâåííîé ñõåìû âñåãäà ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñå 3-ìíîãîîáðàçèå N . Ýòî äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëåäóþùåé òåîðåìû ïðîäîëæåíèÿ: ëþáîå îòîáðàæåíèå ãðàíè÷íîé ñ åðû òðåõìåðíîãî øàðà â SO3 ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âåñü øàð. Ýòîò àêò ìû íå äîêàçûâàåì (äëÿ ñïåöèàëèñòîâ îòìåòèì, ÷òî îí ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ π2 (SO3 ) = π2 (RP 3 ) = π2 (S 3 ) = 0). Ïîýòîìó ïðåïÿòñòâèå w2 (N ) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. 3. Âîñïîëíèòå äåòàëè ïðèâåäåííîãî íàáðîñêà. Ïðè ýòîì èñïîëüçóéòå áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèé àêò (âïðî÷åì, åãî òîæå ìîæåòå ïîïûòàòüñÿ äîêàçàòü). Ñóùåñòâóåò ðîâíî äâà ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññà îòîáðàæåíèé îêðóæíîñòè â ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïàð âåêòîðîâ â R3 . Óêàçàíèÿ. Ñíà÷àëà äîêàæèòå, ÷òî ýòî ïðîñòðàíñòâî äå îðìàöèîííî ðåòðàãèðóåòñÿ íà ïðîñòðàíñòâî SO3 îðòîíîðìèðîâàííûõ ïàð âåêòîðîâ â R3 (ýòî òî æå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ïîëîæèòåëüíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ ðåïåðîâ â R3 ). Ïîòîì äîêàæèòå, ÷òî SO3 òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî ïðîñòðàíñòâó äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà R3 , îñòàâëÿþùèõ íà÷àëî êîîðäèíàò íåïîäâèæíûì;
71
ïðîñòðàíñòâó âðàùåíèé ïðîñòðàíñòâà R3 îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; ïðîñòðàíñòâó ïðÿìûõ â R4 , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç èêñèðîâàííóþ òî÷êó; çàìêíóòîìó òðåõìåðíîìó øàðó, íà ãðàíèöå êîòîðîãî ñêëååíû äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè. Èñïîëüçóéòå ïîñëåäíþþ èç ïåðå÷èñëåííûõ 'ìîäåëåé' ïðîñòðàíñòâà SO3 . Íåòðèâèàëüíûé ýëåìåíò ãðóïïû π1 (SO3 ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ äèàìåòðîì òðåõìåðíîãî øàðà, èç êîòîðîãî SO3 ïîëó÷àåòñÿ ñêëåéêîé. Íàáðîñîê ïðîñòîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Øòè åëÿ.
Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé çàìêíóòîãî ìíîãîîáðàçèÿ N . Èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ èç äîêàçàòåëüñòâà òðåõìåðíîé òåîðåìû Øòè åëÿ î ïðåïÿòñòâèè. Ïðåïÿòñòâóþùèé öèêë â N ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàí ìàëûì øåâåëåíèåì â îêðóæíîñòü S (àíàëîãè÷íî òåîðåìå îá ýéëåðîâîì öèêëå ñ ïîñëåäóþùèì ñîåäèíåíèåì êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè) (a). Âíå ìàëîé îêðåñòíîñòè îêðóæíîñòè S ñóùåñòâóåò ïàðà ïîëåé (b). Èñïîëüçóåì ñëåäóþùèé àêò (âûòåêàþùèé èç äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå â ãëàâå 4). Åñëè S íå ãîìîëîãè÷íà ïóñòîìó ãðà ó, òî ñóùåñòâóåò âëîæåííîå 2ìíîãîîáðàçèå M ⊂ N , ïåðåñåêàþùåå S ðîâíî â îäíîé òî÷êå p. Ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü 2-ìíîãîîáðàçèÿ M â N , òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíàÿ ˜ íåêîòîðîãî I -ðàññëîåíèÿ íàä M (ñì. îïðåäåëåíèå â òðåõìåðíîìó ïðîñòðàíñòâó M ×I ˜ îðèåíòèðóåìî. ãëàâå 5). Òàê êàê N îðèåíòèðóåìî, òî M ×I Íå îðìàëüíî, ïîãðóæåíèåì 2-ìíîãîîáðàçèÿ â R3 íàçûâàåòñÿ åãî èçîáðàæåíèå â R3 (âîçìîæíî, ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè), äëÿ êîòîðîãî â ëþáîé òî÷êå ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü. Íàïîìíèì, ÷òî RP 2 äîïóñêàåò ïîãðóæåíèå â R3 [FF89℄. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå 2-ìíîãîîáðàçèå M ïîãðóæàåìî â R3 ( ). Íåêîòîðàÿ ìàëàÿ îêðåñòíîñòü îáðàçà òàêîãî ïîãðóæåíèÿ îïðåäåëÿåò I -ðàññëîåíèå íàä M . ßñíî, ÷òî íà òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ýòîãî I -ðàññëîåíèÿ ñóùåñòâóåò ïàðà ïîëåé (d). Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäíåãî I -ðàññëîåíèÿ îðèåíòèðóåìî, ïî òåîðåìå êëàñ˜ (e). Ïîýòîìó ñè èêàöèè I -ðàññëîåíèé ýòî ðàññëîåíèå ýêâèâàëåíòíî ðàññëîåíèþ M ×I ′ ˜ íà M ×I ñóùåñòâóåò ïàðà w ïîëåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Op äèñêîâóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè p â M . Êðàåì 2-ìíîãîîáðàçèÿ M − Int Op ÿâëÿåòñÿ ãðàíè÷íàÿ îêðóæíîñòü ∂Op äèñêà Op. Îòñþäà àíàëîãè÷íî òåîðåìå êëàññè èêàöèè âåêòîðíûõ ïîëåé ïîëó÷àåì, ÷òî ïàðû w è w′ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ ê N âåêòîðíûõ ïîëåé ãîìîòîïíû íà ∂Op (f). ˜ , òî è w ïðîäîëæàåòñÿ íà M ×I ˜ (g). Ïîëó÷åííàÿ Òàê êàê w′ ïðîäîëæàåòñÿ íà M ×I ïàðà ïîëåé ïðîäîëæàåòñÿ íà îñòàâøèéñÿ äèñê ïî äâóìåðíîé òåîðåìå ïðîäîëæàåìîñòè èç ïàðàãðà à 'ñóùåñòâîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé'. 4.
Âîñïîëíèòå äåòàëè îíè îòìå÷åíû áóêâàìè (a)(g) â òåêñòå íàáðîñêà.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû äëÿ
n-ìíîãîîáðàçèé
(íàáðîñîê).
5. Ïóñòü N çàìêíóòîå ñâÿçíîå îðèåíòèðóåìîå ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå. (a) Îïðåäåëèòå H2 (N ) è w2 (N ) ∈ H2 (N ) êàê ïðåïÿòñòâèå ê ïîñòðîåíèþ ÷åòâåðêè (èëè, ýêâèâàëåíòíî, òðîéêè) ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé. (b)* Òî æå êàê ïîëíîå ïðåïÿòñòâèå ê ñóùåñòâîâàíèþ ñïèíîðíîé ñòðóêòóðû íà N (ò. å. ê âîçìîæíîñòè èçâëå÷ü êîðåíü èç ëþáîãî òåíçîðà íà N ). (ñ) Âíå îêðåñòíîñòè ëþáîãî íåïóñòîãî öèêëà, ïðåäñòàâëÿþùåãî w2 (N ), ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ ÷åòâåðêó. (d) w2 (P × Q) = 0 äëÿ ñ åð ñ ðó÷êàìè P è Q. (e) Ïðåïÿòñòâèå w2 (N ) íå ïîëíî.
72
6. (a)-(e) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè ïðåäûäóùåé çàäà÷è äëÿ îðèåíòèðóåìûõ 4-ìíîãîîáðàçèé ñ íåïóñòûì êðàåì. (f) Íà ñâÿçíîì îðèåíòèðóåìîì 4-ìíîãîîáðàçèè N ñ íåïóñòûì êðàåì ñóùåñòâóåò ÷åòâåðêà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà w2 (N ) = 0. (a)'-(e)' Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè ïðåäûäóùåé çàäà÷è äëÿ íåîðèåíòèðóåìûõ 4-ìíîãîîáðàçèé. 7.* Ïóñòü N çàìêíóòîå ñâÿçíîå îðèåíòèðóåìîå ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå. (a) Îïðåäåëèòå îðìó ïåðåñå÷åíèé ∩ : H2 (N ) × H2 (N ) → Z2 àíàëîãè÷íî ïóíêòó ' îðìà ïåðåñå÷åíèé' ãëàâû 2 (èëè ñì. ïàðàãðà 'äâîéñòâåííîñòü Ïóàíêàðå' ãëàâû 4). Äîêàæèòå, ÷òî a ∩ a = w2 (N ) ∩ a äëÿ ëþáîãî a ∈ H2 (N ) (ýòî âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â îêðåñòíîñòè ëþáîãî öèêëà, ïðåäñòàâëÿþùåãî a, ìîæíî ïîñòðîèòü ÷åòâåðêó ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé; ñðàâíèòå ñ ïóíêòîì ' îðìà ïåðåñå÷åíèÿ' ïàðàãðà à 'îðèåíòèðóåìîñòü' ãëàâû 2). (b) w2 (N ) ∩ w2 (N ) = χ(N ) mod 2. ( ) Îïðåäåëèòå ÷èñëî Ïîíòðÿãèíà p1 (N ) ∈ Z êàê ïîëíîå ïðåïÿòñòâèå ê ñóùåñòâîâàíèþ ÷åòâåðêè êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé, èìåþùåé ðàíã íå ìåíåå òðåõ â êàæäîé òî÷êå. Âîò íàáðîñîê îïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóþùåãî îáùåå ïîëîæåíèå. àññìîòðèì ÷åòâåðêó îáùåãî ïîëîæåíèÿ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà N . Ââèäó îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîîáðàçèÿ, â êîòîðûõ äàííàÿ ÷åòâåðêà âåêòîðîâ èìååò ðàíã ìåíåå òðåõ, ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì êîëè÷åñòâîì òî÷åê. Ó ýòèõ òî÷åê ìîæíî îïðåäåëèòü çíàê. Êîëè÷åñòâî ýòèõ òî÷åê ñ ó÷åòîì çíàêà è íàçûâàåòñÿ p1 (N ). (d) Ïóñòü N ïîäìíîãîîáðàçèå çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî 6-ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M . Îáîçíà÷èì [N ] ∈ H4 (M ; Z) ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïîäìíîãîîáðàçèÿ N , p1 ∈ Z è e ∈ H2 (N ; Z) ÷èñëî Ïîíòðÿãèíà (îïðåäåëèòå!) è êëàññ Ýéëåðà íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèÿ N â M . Òîãäà [N ]3 = e ∩ e = p1 (e) Åñëè N âëîæèìî â R6 , òî p1 (N ) = 0. Óêàçàíèå. Ñíà÷àëà äîêàæèòå, ÷òî p1 = 0 äëÿ íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèÿ ê âëîæåíèþ àíàëîãè÷íî ïóíêòó 'íîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ'. ×èñëî Ïîíòðÿãèíà ðàâíî óòðîåííîé ñèãíàòóðå σ(N ) îðìû ïåðåñå÷åíèé ìíîãîîáðàçèÿ N (äîêàçàòåëüñòâî íàìå÷åíî â ïóíêòå 'ñèãíàòóðà è ÷èñëà Ïîíòðÿãèíà'). Òåîðåìà Äîëüäà-Óèòíè. Íà çàìêíóòîì ñâÿçíîì îðèåíòèðóåìîì 4ìíîãîîáðàçèè N ñóùåñòâóåò ÷åòâåðêà îðòîíîðìèðîâàííûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà χ(N ) = σ(N ) = 0 è w2 (N ) = 0. ×åðåç Z(i) îáîçíà÷àåòñÿ ãðóïïà Z äëÿ ÷åòíîãî i è Z2 äëÿ íå÷åòíîãî i. Òåîðåìà Øòè åëÿ î ïðåïÿòñòâèè (ìíîãîìåðíàÿ). Åñëè íà çàìêíóòîì îðèåíòèðóåìîì n-ìíîãîîáðàçèè N ñóùåñòâóåò k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé (1 < k < n), òî (n − k + 1)-é êëàññ Øòè åëÿ-Óèòíè Wn−k+1 (N ) ∈ Hk−1 (N, Z(n−k) ) íóëåâîé. Íàáðîñîê îïðåäåëåíèÿ êëàññà Wn−k+1 (N ), èñïîëüçóþùåãî îáùåå ïîëîæåíèå. àññìîòðèì íàáîð îáùåãî ïîëîæåíèÿ èç k êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà n-ìíîãîîáðàçèè N . Ââèäó îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîîáðàçèÿ, â êîòîðûõ âåêòîðû ýòîãî íàáîðà ëèíåéíî çàâèñèìû, ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì (k − 1)-ìåðíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé. Åñëè n − k ÷åòíî, òî íà íèõ ìîæíî ââåñòè îðèåíòàöèþ. Êëàññîì Wn−k+1 (N ) íàçûâàåòñÿ êëàññ ãîìîëîãè÷íîñòè ýòîãî îáúåäèíåíèÿ ïîäìíîãîîáðàçèé (ãîìîëîãè÷íîñòü îïðåäåëåíà â ãëàâå 4 àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó). Íàáðîñîê îïðåäåëåíèÿ ãðóïïû Hk−1 (N, Z(n−k) ), êëàññà Wn−k+1 (N ) è äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü Vn,k ìíîãîîáðàçèå Øòè åëÿ îðòîíîðìèðîâàííûõ k -ðåïåðîâ â Rn . Îáîçíà÷èì ÷åðåç πi (Vn,k ) ìíîæåñòâî ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé
73
S i → Vn,k (ñì. îïðåäåëåíèå â íà÷àëå ãëàâû 6). Òîãäà [FF89℄, [Pr06℄ πi (Vn,k ) = 0 äëÿ
i
è πn−k (Vn,k ) ∼ = Z(n−k)
äëÿ 1 < k < n.
Àíàëîãè÷íî òðåõìåðíîìó ñëó÷àþ ïåðâîå èç ýòèõ ðàâåíñòâ âëå÷åò, ÷òî ñèñòåìà èç k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé âñåãäà ñòðîèòñÿ íà (n − k)îñòîâå. Ââèäó âòîðîãî èç ýòèõ ðàâåíñòâ ïðîäîëæåíèþ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ïîëåé íà (n − k + 1)-îñòîâ ïðåïÿòñòâóåò íåêîòîðàÿ ðàññòàíîâêà ωn−k+1 íà (n − k + 1)-ìåðíûõ ñèìïëåêñàõ öåëûõ ÷èñåë ïðè ÷åòíîì n − k , èëè íóëåé è åäèíèö ïðè íå÷åòíîì n − k . Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñðåäè âñåõ òàêèõ ðàññòàíîâîê âûäåëÿþòñÿ öèêëû è ãðàíèöû, à òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ãîìîëîãè÷íîñòü öèêëîâ (ñì. äåòàëè â íà÷àëå ãëàâû 4). ðóïïà öèêëîâ ñ òî÷íî÷òüþ äî ãîìîëîãè÷íîñòè íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé ãîìîëîãèé Hk−1 (N, Z(n−k) ). Êëàññîì Øòè åëÿ-Óèòíè íàçûâàåòñÿ êëàññ ãîìîëîãè÷íîñòè ïðåïÿòñòâóþùåé ðàññòàíîâêè Wn−k+1 (N ) = [ωn−k+1 ] ∈ Hk−1 (N, Z(n−k) ). 8.
Ïðèâåäèòå äåòàëè ýòîãî îïðåäåëåíèÿ è äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû.
Çàäà÷à 5e ïîêàçûâàåò, ÷òî îáðàòíàÿ òåîðåìà íåâåðíà, ò.å. ïðåïÿòñòâèå Wn−k+1 (N ) óæå íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü êëàññû W1 ∈ Hn−1 (N, Z2 ) è Wn ∈ H0 (N, Z), è ýòè îïðåäåëåíèÿ áóäóò ðàâíîñèëüíû äàííûì â ïàðàãðà àõ 'îðèåíòèðóåìîñòü' è 'âåêòîðíûå ïîëÿ'. ×åðåç wi (N ) ∈ Hn−i (N ; Z2 ) îáîçíà÷àåòñÿ ïðèâåäåíèå ïî ìîäóëþ 2 ïðåïÿòñòâèÿ Wi (N ), êîòîðîå ëåã÷å âû÷èñëÿåòñÿ. 9. (a) Ïóñòü N çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå n-ìíîãîîáðàçèå, äëÿ êîòîðîãî w2 (N ) = 0. Íàéäèòå w2 (N × S 1 ). (b)* Äëÿ ëþáîé òðèàíãóëÿöèè ïðîèçâîëüíîãî n-ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ N îáúåäèíåíèå k -ìåðíûõ ñèìïëåêñîâ åå áàðèöåíòðè÷åñêîãî ïîäðàçäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ öèêëîì ïî ìîäóëþ 2, ïðåäñòàâëÿþùèì êëàññ wn−k (N ). 10.* (a) Äëÿ çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N îïðåäåëèòå j -é êëàññ Ïîíòðÿãèíà pj (N ) ∈ Hn−4j (N ; Z) êàê ïðåïÿòñòâèå ê ïîñòðîåíèþ ñèñòåìû èç n − 2j + 2 âåêòîðîâ, èìåþùåé ðàíã íå ìåíåå n − 2j + 1 â êàæäîé òî÷êå. Íàáðîñîê îïðåäåëåíèÿ êëàññà pj (N ), èñïîëüçóþùåãî îáùåå ïîëîæåíèå. àññìîòðèì íàáîð îáùåãî ïîëîæåíèÿ èç n − 2j + 2 êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà N . Ââèäó îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîîáðàçèÿ, â êîòîðûõ äàííûé íàáîð n − 2j + 2 âåêòîðîâ èìååò ðàíã ìåíåå n − 2j + 1, ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì (n − 4j)ìåðíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé. Íà íèõ ìîæíî ââåñòè îðèåíòàöèþ. Îáúåäèíåíèå ýòèõ ïîäìíîãîîáðàçèé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîëîãè÷íîñòè (îïðåäåëåííîé â ãëàâå 4 àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó) è íàçûâàåòñÿ êëàññîì pj (N ). (b) Ïóñòü N çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå ñâÿçíîå 4-ïîäìíîãîîáðàçèå çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî 6-ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M . Îáîçíà÷èì ÷åðåç [N ] ∈ H4 (M ) ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïîäìíîãîîáðàçèÿ N è ÷åðåç p1 ∈ Z ÷èñëî Ïîíòðÿãèíà íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèÿ N â M (îïðåäåëèòå!). Òîãäà P Dp1 (M ) ∩ [N ] = p1 (N ) + p1 . ( ) Äîêàæèòå àíàëîãè çàäà÷ 7de è 10b äëÿ 4k -ïîäìíîãîîáðàçèé â 6k ìíîãîîáðàçèÿõ.
Óêàçàíèÿ ê íåêîòîðûì çàäà÷àì.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ êâàäðàòà êðåíäåëÿ χ(N ) = 0. (Ïðîñòåéøèé îäíîñâÿçíûé ïðèìåð ïîâåðõíîñòü Êóììåðà.) Óêàçàíèå ê 5e.
74
Ïóñòü N1 , N2 ⊂ M áëèçêèå ê N ïîäìíîãîîáðàçèÿ, íàõîäÿùèåñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà è N . Òîãäà Óêàçàíèå ê 7d.
[N ]3 = [N1 ] ∩ [N2 ] ∩ [N ] = #(N1 ∩ N2 ∩ N ) = #[(N1 ∩ N ) ∩ (N2 ∩ N )] = e ∩ e = p1 .
Çäåñü # îçíà÷àåò àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ â M , à N1 ∩ N , N2 ∩ N ïåðåñå÷åíèÿ â N . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âîçüìåì äâà ñå÷åíèÿ íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèÿ N â M , íàõîäÿùèåñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè. Òîãäà e ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ íàäëåæàùèì îáðàçîì îðèåíòèðîâàííîãî íóëåâîãî ìíîãîáðàçèÿ êàæäîãî ñå÷åíèÿ. Êëàññ p1 ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ îðèåíèðîâàííîãî íàäëåæàùèì îáðàçîì ïîäìíîãîîáðàçèÿ, íà êîòîðîì ðàíã ïàðû íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ, îáðàçîâàííûõ äâóìÿ ñå÷åíèÿìè, ìåíüøå 1, ò. å. íà êîòîðîì âåêòîðà íóëåâûå. Ïîýòîìó e ∩ e = p1. Êëàññ w2(N × S 1) ðàâåí íóëþ, ïîñêîëüêó ïåðåõîäèò â êëàññ w2 (N ) = 0 ïðè ìîíîìîð èçìå H1 (N ) → H2 (N × S 1 ), îïðåäåëåííîì îðìóëîé [s] → [s] × S 1 . Äåéñòâèòåëüíî, êëàññ w2 ∈ H1 (N ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì âûðîæäåííîñòè X ïîëÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ èç 2k êàñàòåëüíûõ ê N âåêòîðîâ. Ïðîäîëæèì ýòî ïîëå î÷åâèäíûì îáðàçîì äî ïîëÿ èç 2k + 1 êàñàòåëüíûõ ê N × S 1 âåêòîðîâ ñ ìíîãîîáðàçèåì âûðîæäåííîñòè X × S 1. Èìååì P Dp1(M ) ∩ [X] = p1(M )|X = p1(X) + p1(νM (X)), ãäå ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç τM |X ∼= τX ⊕ νM (X). îðèåíòèðîâàííûå
îáà
Óêàçàíèå ê 9a.
Óêàçàíèå ê 10b.
75
ËÀÂÀ 4. ÌÅÒÎÄÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÎÌÎËÎ ÈÉ.
'The wise men followed the star and found the house. But if I followed the star, should I nd the house?' 'It depends, perhaps,' I said smiling, 'on whether you are a wise man'. G. K. Chesterton, Manalive. 10 Ï ÎÑÒÅÉØÈÅ ÌÅÒÎÄÛ (ÍÀÁ ÎÑÎÊ) Îïðåäåëåíèÿ.
 ýòîé ãëàâå ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíûì ïîíÿòèå ãðóïïû, ãîìî-, èçî-, ìîíî- è ýïèìîð èçìà ãðóïï, à òàêæå ïîíÿòèå ãîìîòîïèè èç ãëàâû 6.  íåêîòîðûõ ìåñòàõ ýòîé ãëàâû ìû óêàçûâàåì êîý èöèåíòû Z2 â îáîçíà÷åíèÿõ. Ïðè ýòîì ïðîïóñê êîý èöèåíòîâ ïî-ïðåæíåìó îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäïîëàãàþòñÿ êîý èöèåíòû Z2 . Äàäèì îïðåäåëåíèå ãðóïï ãîìîëîãèé (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ), íåçàâèñèìîå îò ðàññóæäåíèé, â êîòîðûõ îíî ïîÿâèëîñü. Ïóñòü N 3-ïîëèýäð (èëè 2-ïîëèýäð) ñ òðèàíãóëÿöèåé T , èìåþùåé i ñèìïëåêñîâ ðàçìåðíîñòè i, i = 0, 1, 2, 3 (c3 = 0 äëÿ 2ïîëèýäðà). (Íåîáõîäèìûå èçìåíåíèÿ äëÿ ñõåìû T ÷èòàòåëü ëåãêî ñäåëàåò ñàìîñòîÿòåëüíî.) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ci = Ci (N ), i = 0, 1, 2, 3, ãðóïïó ðàññòàíîâîê íóëåé è åäèíèö íà i-ìåðíûõ ñèìïëåêñàõ òðèàíãóëÿöèè T (îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ïîêîìïîíåíòíîãî ñëîæåíèÿ). ßñíî, ÷òî Ci ∼ = Zc2i . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðåáðà a îáîçíà÷èì ÷åðåç ∂0 a ðàññòàíîâêó åäèíèö â âåðøèíàõ ýòîãî ðåáðà è íóëåé â îñòàëüíûõ âåðøèíàõ. Ïðîäîëæèì ∂0 äî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ∂0 : C1 → C0 . Äëÿ ïðîèçâîëüíîé äâóìåðíîé ãðàíè a îáîçíà÷èì ÷åðåç ∂1 a ðàññòàíîâêó åäèíèö íà ðåáðàõ ãðàíèöû ýòîé ãðàíè. Ïðîäîëæèì ∂1 äî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ∂1 : C2 → C1 . Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òðåõìåðíîé ãðàíè a îáîçíà÷èì ÷åðåç ∂2 a ðàññòàíîâêó åäèíèö íà äâóìåðíûõ ãðàíÿõ ãðàíèöû ãðàíè a. Ïðîäîëæèì ∂2 äî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ∂2 : C3 → C2 . 0. ∂k ∂k+1 = 0. Ïîëîæèì H0 (N ) := 0 /∂0 C1 ,
H1 (N ) := ∂0−1 (0)/∂1 C2 ,
H2 (N ) := ∂1−1 (0)/∂2 C3
è H3 (N ) := ∂2−1 (0). −1 ðóïïû ∂i−1 (0) è ∂i Ci+1 íàçûâàþòñÿ ãðóïïàìè i-öèêëîâ è i-ãðàíèö, ñîîòâåòñòâåííî. ×òîáû îïðåäåëèòü ãîìîëîãèè ñ êîý èöèåíòàìè â Z, èêñèðóåì äîïîëíèòåëüíî îðèåíòàöèþ (ò.å. ïîðÿäîê âåðøèí ñ òî÷íîñòüþ äî ÷åòíîé ïåðåñòàíîâêè) êàæäîãî ñèìïëåêñà òðèàíãóëÿöèè T (íèêàêîé ñîãëàñîâàííîñòè îðèåíòàöèé ðàçíûõ ñèìïëåêñîâ íå ïðåäïîëàãàåòñÿ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ck (Z) = Ck (N ; Z), k = 0, 1, 2, 3, ãðóïïó ðàññòàíîâîê öåëûõ ÷èñåë íà îðèåíòèðîâàííûõ i-ìåðíûõ ñèìïëåêñàõ òðèàíãóëÿöèè T (îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ïîêîìïîíåíòíîãî ñëîæåíèÿ). ßñíî, ÷òî Ck (Z) ∼ = Zck . Äëÿ k -ñèìïëåêñà a ñ âåðøèíàìè a0 . . . ai îáîçíà÷èì ÷åðåç a ˆi ñèìïëåêñ ðàçìåðíîñòè (k − 1) ñ âåðøèíàìè a0 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , ak . Ïîëîæèì εi = −1, åñëè îðèåíòàöèÿ ñèìïëåêñà a ˆi çàäàåòñÿ k P (−1)i εi a ˆi . ïîðÿäêîì (a0 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , ak ), è εi = 1, èíà÷å. Ïîëîæèì ∂k−1 a =
Ïîñëå ýòîãî ãîìîëîãèè ñ êîý èöèåíòàìè Z îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî.
i=1
10 'Ìóäðåöû ñëåäîâàëè çà çâåçäîé è íàøëè äîì. Íî åñëè áû ÿ ïîñëåäîâàë çà çâåçäîé, íàøåë áû ÿ äîì?' 'Âîçìîæíî,' ñêàçàë ÿ, óëûáàÿñü, 'ýòî çàâèñèò îò òîãî, ìóäðåö ëè òû.' ×åñòåðòîí, Æèâîé, ïåð. àâòîðà.
76
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ i-ìåðíûå ãîìîëîãèè ïîëèýäðà ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè, à òàêæå ãîìîëîãèè ñ êîý èöèåíòàìè Zp è Q. Âñå âñòðå÷àþùèåñÿ ïðîñòðàíñòâà ïðåäïîëàãàþòñÿ ïîëèýäðàìè (÷èòàòåëü ìîæåò ñ÷èòàòü, ÷òî äàæå 2-ïîëèýäðàìè èëè 3-ïîëèýäðàìè). Âñå îòîáðàæåíèÿ ìåæäó ïîëèýäðàìè ïðåäïîëàãàþòñÿ êóñî÷íî-ëèíåéíûìè, ò.å. óâàæàþùèìè íåêîòîðûå ñõåìû ýòèõ ïîëèýäðîâ. Âû÷èñëåíèå ïî îïðåäåëåíèþ.
Ìû îïóñêàåì îáîçíà÷åíèÿ êîý èöèåíòîâ èç çàïèñè ãðóïï ãîìîëîãèé, åñëè îðìóëà âåðíà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîý èöèåíòîâ (êîòîðûå ìû îáîçíà÷àåì G). Ñîâåòóåì ñíà÷àëà ïðîðàáîòàòü ìàòåðèàë äëÿ êîý èöèåíòîâ Z2 , çàòåì äëÿ Z. Êëàññ ãîìîëîãèé öèêëà a îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç [a]. Íàïîìíèì, ÷òî D0 òî÷êà. 0 1. (a) H0 (D ; G) ∼ = G è Hk (D0 ; G) = 0 ïðè k > 0. ∼ (b) H0 (X; G) = Gc(X) , ãäå c(X) êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ïîëèýäðà X . Ñëåäóþùèì ðåçóëüòàòîì áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà (êîòîðîå ìîæíî íàéòè â [Pr06℄). Òåîðåìà èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé. îìîëîãèè ãîìåîìîð íûõ ñõåì èçîìîð íû. e k (X) := Hk (X) ïðè k > 0 è H e 0 (X) := ε−1 (0)/∂0 C1 , ãäå ε : C0 → G Ïîëîæèì H ñóììà ÷èñåë, ñòîÿùèõ â âåðøèíàõ. e k (Dn ) = 0. 2. (a) H e k (Con X) = 0, ãäå Con êîíóñ. (b) H e ( ) Hk (D0 ; G) ∼ = 0. (d) Äëÿ n > 0 ãðóïïà Hk (S n ; Z) åñòü 0 ïðè k 6= 0, n è Z ïðè k = 0, n. e k (X) ∼ e k+1 (ΣX), ãäå Σ íàäñòðîéêà. Óêàçàíèå. Ëþáîé k -öèêë â ΣX ãî(e) H =H ìîëîãè÷åí íàäñòðîéêå íàä íåêîòîðûì öèêëîì â X . e k (S n ∨ S n ∨ . . . ∨ S n ; Z) åñòü 0 ïðè k 6= n è Zl ïðè k = n. (f) ðóïïà H 1 2 l (g) Îáîçíà÷èì Bln = S1n ∨ S2n ∨ . . . ∨ Sln . Äëÿ ñèìïëèöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ ⊂
g
proj
n n → Sqn . g : Bln → Bm îáîçíà÷èì ÷åðåç dpq (g) ñòåïåíü êîìïîçèöèè Spn → Bln → Bm n Òîãäà g∗ : Hn (Bln ; Z) → Hn (Bm ; Z) åñòü ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ñ ìàòðèöåé dpq (g) (â ñòàíäàðòíûõ áàçèñàõ). (h) Hk (X ∨ Y ) ∼ = Hk (X) ⊕ Hk (Y ) äëÿ k > 0. (i) Íàéäèòå Hk (S p × S q ). 3. Ñì. äåòàëè â [Pr06℄. (a) Ïðèäóìàéòå, êàê ïî îòîáðàæåíèþ f : X → Y ïîñòðîèòü (èíäóöèðîâàòü) îòîáðàæåíèå f∗ : Hk (X) → Hk (Y ). (b) Îòîáðàæåíèå f∗ ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîð èçìîì. ( )* îìîòîïíûå îòîáðàæåíèÿ èíäóöèðóþò îäèíàêîâûå èçîìîð èçìû [Pr06℄. (d) Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà ãîìîòîïè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé. Åñëè X ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî Y , òî Hk (X) ∼ = Hk (Y ). 4. (a) Äëÿ ñâÿçíîãî X ëþáîé ýëåìåíò ãðóïïû H1 (X; Z) ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåêîòîðûì îòîáðàæåíèåì f : S 1 → X . (b) Îòîáðàæåíèå f : S 1 → X ïðåäñòàâëÿåò íóëåâîé ýëåìåíò ãðóïïû H1 (X; Z2 ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ïðîäîëæàåòñÿ íà íåêîòîðîå 2-ìíîãîîáðàçèå N (íå îáÿçàòåëüíî îðèåíòèðóåìîå) ñ êðàåì ∂N = S 1 . ( ) Îòîáðàæåíèå f : S 1 → X ïðåäñòàâëÿåò íóëåâîé ýëåìåíò ãðóïïû H1 (X; Z) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ïðîäîëæàåòñÿ íà íåêîòîðîå îðèåíòèðóåìîå 2-ìíîãîîáðàçèå N ñ êðàåì ∂N = S 1 .
77
(d)
Äëÿ ñâÿçíîãî X âûïîëíåíî H1 (X; Z) ∼ = π1 (X)/[π1 (X), π1 (X)].
Òåîðåìà Ïóàíêàðå.
Çäåñü π1 (X) óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà ïðîñòðàíñòâà X (ñì. ãëàâó 6). (e) Åñëè ó (òðåõìåðíîãî) äîäåêàýäðà ñêëåèòü ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè ñ ïîâîðîòîì íà π/5, òî ïîëó÷èòñÿ òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå N , äëÿ êîòîðîãî H1 (N ; Z) = 0, íî π1 (N ) 6= 0. (f)* Ïðèäóìàéòå è äîêàæèòå (èëè îïðîâåðãíèòå) ìíîãîìåðíûå àíàëîãè ïðåäûäóùèõ óòâåðæäåíèé. îìîëîãèè ïàðû. Âûðåçàíèå.
Ïóñòü A è B ïîäïîëèýäðû ïîëèýäðà X â îäíîé è òîé æå ñõåìå. Òîãäà Ck (A) ⊂ Ck (X) Ïîëîæèì Zk (X, A) := {a ∈ Ck (X) | ∂k−1 a ∈ Ck−1 (A)} Hk (X, A) :=
è
Zk (X, A) . ∂k Ck+1 (X ) ⊕ Ck (A)
Ïðè k = 0 óñëîâèå ∂k−1 a ∈ Ck−1 (A) ïóñòî. (Òàêèå ãðóïïû ïîÿâëÿëèñü ïðè ïîñòðîåíèè ïðåïÿòñòâèé íà ìíîãîîáðàçèÿõ ñ êðàåì.) 5. (a) H0 (X, A; G) ∼ = Gc(X) , ãäå c(X) êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ïîëèýäðà X , íå ñîäåðæàùèõ ïîäïîëèýäðà A. (b) Hk (X) ∼ = Hk (X, ∅). e k (X/A). ( ) Ñâÿçü àáñîëþòíûõ è îòíîñèòåëüíûõ ãîìîëîãèé. Hk (X, A) ∼ =H ∼ (d) Èçîìîð èçì âûðåçàíèÿ. Hk (A ∪ B, A) = Hk (B, B ∩ A). Áîëåå òî÷íî, îòîáðàæåíèå Hk (B, B ∩ A) → Hk (A ∪ B, A), èíäóöèðîâàííîå âêëþ÷åíèåì (B, B ∩ A) → (A ∪ B, A), ÿâëÿåòñÿ èçîìîð èçìîì. Óêàçàíèå: ñâåäèòå ê ñëó÷àþ, êîãäà A − B åñòü âíóòðåííîñòü îäíîé êëåòêè (ñèìïëåêñà) ñòàðøåé ðàçìåðíîñòè. (e) Åñëè A åñòü äå îðìàöèîííûé ðåòðàêò â X (ò.å. åñëè ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ ft : X → X , äëÿ êîòîðîé f0 = id X , f1 (X) ⊂ A è f1 (a) = a äëÿ ëþáîãî a ∈ A), òî Hk (X, A) = 0 ïðè k > 1. Òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Íàáðîñîê äðóãîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 2d îá Hk (S n ; Z). Èíäóêöèÿ ïî n > 0. Äîêàæåì øàã èíäóêöèè. Çàìåòèì, ÷òî Hk (S n ) ∼ = Hk (Dn , S n−1 ) (çàäà÷à 7a). Îïðåäåëèì îòîáðàn n−1 n−1 æåíèå ∂∗ : Hk (D , S ) → Hk−1 (S ) îðìóëîé ∂∗ [a] = [∂a]. Ëåãêî ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ (çàäà÷à 7b). Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå ∂∗ ÿâëÿåòñÿ èçîìîð èçìîì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýïèìîð íîñòè îòîáðàæåíèÿ ∂∗ âîçüìåì öèêë a, [a] ∈ Hk−1 (S n−1 ). Èìååì Hk−1 (Dn ) = 0 (çàäà÷à 7 ; óêàçàíèå: ∂ Con x = x). Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêàÿ öåïü b, ÷òî a = ∂b. Òîãäà b åñòü îòíîñèòåëüíûé öèêë ïàðû (Dn , S n−1 ) è [a] = ∂∗ [b]. Ìîíîìîð íîñòü îòîáðàæåíèÿ ∂∗ ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî (çàäà÷à 7d). îìîëîãè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïàðû (X, A) i
j∗
∂
∗ ∗ Hk (X) → Hk (X, A) → Hk−1 (A) → . . . . . . → Hk (A) →
íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãðóïï è ãîìîìîð èçìîâ, îïðåäåëåííûõ òàê. îìîìîð èçì i∗ èíäóöèðîâàí âêëþ÷åíèåì. Ïðè k > 1 îòîáðàæåíèÿ ∂∗ è j∗ îïðåäåëåíû îðìóëàìè ∂∗ [a] = [∂a] è j∗ [a] = [a], ñîîòâåòñòâåííî. 78
8. (a) Îòîáðàæåíèå ∂∗ êîððåêòíî îïðåäåëåíî è ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîð èçìîì. (b) Åñëè Hk (X) = Hk−1 (X) = 0 (íàïðèìåð, åñëè X ñòÿãèâàåìî), òî ∂∗ èçîìîð èçì. ( ) Ïðè k > 1 îòîáðàæåíèå j∗ êîððåêòíî îïðåäåëåíî îðìóëîé j∗ [a] = [a] è ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîð èçìîì. (d) Åñëè Hk (A) = Hk−1 (A) = 0 (íàïðèìåð, åñëè A ñòÿãèâàåìî), òî j∗ èçîìîð èçì. (e) Åñëè A åñòü ðåòðàêò ïðîñòðàíñòâà X (ò.å. åñëè ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå f : X → A, òîæäåñòâåííîå íà A), òî i∗ ìîíîìîð èçì, j∗ ýïèìîð èçì è ∂∗ íóëåâîé ãîìîìîð èçì. (f) Åñëè A ñòÿãèâàåìî ïî X â òî÷êó (ò.å. åñëè ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå c onA → X , ñóæåíèå êîòîðîãî íà îñíîâàíèå åñòü âêëþ÷åíèå), òî i∗ = 0, j∗ ìîíîìîð èçì è ∂∗ ýïèìîð èçì. (g) Åñëè ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ ft : X → X , äëÿ êîòîðîé f0 = id è f1 (X) ⊂ A, òî i∗ ýïèìîð èçì, j∗ = 0 è ∂∗ ìîíîìîð èçì. Îêàçûâàåòñÿ, âñå àêòû, ñ îðìóëèðîâàííûå â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îäíîé òåîðåìû. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãðóïï è ãîìîìîð èçìîâ íàçûâàåòñÿ òî÷íîé, åñëè ÿäðî êàæäîãî åå ãîìîìîð èçìà ñîâïàäàåò ñ îáðàçîì ïðåäøåñòâóþùåãî ãîìîìîð èçìà. Òåîðåìà î òî÷íîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïàðû. îìîëîãè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïàðû (X, A) òî÷íà. 9. (a) Äîêàæèòå òåîðåìó. Óêàçàíèå: àíàëîãè÷íî ïðèâåäåííîìó íàáðîñêó äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû î ãîìîëîãèÿõ ñ åð è ïðåäûäóùåé çàäà÷å. (b) Âû÷èñëèòå ãîìîëîãè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïàð (S n , Dn ) è (S n , S n−1 ).
ϕ
(a) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 0 → G → H òî÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ åñòü ϕ ìîíîìîð èçì. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü G → H → 0 òî÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ ϕ åñòü ýïèìîð èçì. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 0 → G → H → 0 òî÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ åñòü èçîìîð èçì. ϕ ψ (b) Êîðîòêàÿ òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 0 → G → H → K → 0 òî÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ åñòü ìîíîìîð èçì, K ∼ = H/ϕ(G) è ψ åñòü åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ. ( ) 5-ëåììà. Åñëè â êîììóòàòèâíîé äèàãðàììå 10.
A1 → A2 ϕ1 ↓ ϕ2 ↓ B1 → B2
→ A3 ϕ3 ↓ → B3
→ A4 ϕ4 ↓ → B4
→ A5 ϕ5 ↓ → B5
ñ òî÷íûìè ñòðîêàìè îòîáðàæåíèÿ ϕ1 , ϕ2 , ϕ4 è ϕ5 ÿâëÿþòñÿ èçîìîð èçìàìè, òî è ϕ3 èçîìîð èçì. (d) Èç âîñüìè ïðåäïîëîæåíèé 5-ëåììû (ϕ1 , ϕ2 , ϕ4 è ϕ5 ìîíîìîð èçìû è ϕ1 , ϕ2 , ϕ4 è ϕ5 ýïèìîð èçìû) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìîíîìîð íîñòè îòîáðàæåíèÿ ϕ3 òðåáóþòñÿ òîëüêî òðè (êàêèå?), à äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åãî ýïèìîð íîñòè äðóãèå òðè (êàêèå?). Äâà îñòàâøèõñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ, òàêèì îáðàçîì, âîîáùå ëèøíèìè. (e) Åñëè, ñîõðàíèâ âñå ïðåäïîëîæåíèÿ 5-ëåììû, èñêëþ÷èòü èç åå äèàãðàììû ñòðåëêó ϕ3 , áóäåò ëè âåðíî, ÷òî A3 ∼ = B3 ? 11. (a) Åñëè A ∪ B ñòÿãèâàåìî, òî ïðè k > 1 ðàçíîñòü ãîìîìîð èçìîâ âêëþ÷åíèé α = iA − iB : Hk (A ∩ B) → Hk (A) ⊕ Hk (B) åñòü èçîìîð èçì. Óêàçàíèå. Ýïèìîð íîñòü îòîáðàæåíèÿ iA äîêàçûâàåòñÿ òàê. Ïóñòü äàí ïðîèçâîëüíûé öèêë a â A. Òàê êàê A ∪ B ñòÿãèâàåìî, òî ñóùåñòâóåò öåïü c â A ∪ B , äëÿ 79
êîòîðîé ∂c = a. Òîãäà c åñòü îòíîñèòåëüíûé öèêë â (A ∪ B, A). Ïðè èçîìîð èçìå âûðåçàíèÿ åìó ñîîòâåòñòâóåò îòíîñèòåëüíûé öèêë c′ = c ∩ B â (B, A ∩ B). Òîãäà ∂c′ åñòü öèêë â A ∩ B , ãîìîëîãè÷íûé â A öèêëó a. (b) Åñëè A ∩ B ñòÿãèâàåìî, òî ïðè k > 1 ñóììà ãîìîìîð èçìîâ âêëþ÷åíèé β = IA ⊕ IB : Hk (A) ⊕ Hk (B) → Hk (A ∪ B) åñòü èçîìîð èçì. ( ) Êîìïîçèöèè j∗ ∂∗ Hk (A ∪ B) → Hk (A ∪ B, A) ∼ = Hk (B, A ∩ B) → Hk−1 (A ∩ B) è j∗
∂
∗ Hk (A ∪ B) → Hk (A ∪ B, B) ∼ = Hk (A, A ∩ B) → Hk−1 (A ∩ B)
(â êîòîðûõ ∼ = åñòü èçîìîð èçì âûðåçàíèÿ) ñîâïàäàþò ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà. (d) Åñëè A è B ñòÿãèâàåìû, òî ïðè k > 1 êàæäûé ãîìîìîð èçì èç ( ) åñòü èçîìîð èçì Hk (A ∪ B) → Hk−1 (A ∩ B). Óêàçàíèå: ðàññìîòðèòå ñëó÷àé n n A ∪ B = D+ ∪S n−1 D− . (e) Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà A è B ìíîãîîáðàçèÿ ðàçìåðíîñòè n ñ êðàåì, ïåðåñåêàþùèåñÿ ïî (n − 1)-ìåðíîìó ïîäìíîãîîáðàçèþ êðàÿ. Òåîðåìà î ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ìàéåðà-Âèåòîðèñà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü i −i
I ⊕I
γ
→ Hk (A ∩ B) A→ B Hk (A) ⊕ Hk (B) A→ B Hk (A ∪ B) → Hk−1 (A ∩ B) →
òî÷íà. Çäåñü ãîìîìîð èçìû iA − iB , IA ⊕ IB è γ îïðåäåëåíû â ïðåäûäóùåé çàäà÷å. Çàìåòèì, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì îðìóëû âêëþ÷åíèéèñêëþ÷åíèé. 12. Âû÷èñëèòå ãîìîëîãèè (a) Äîïîëíåíèÿ ê óçëó â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. (b) Äîïîëíåíèÿ ê âëîæåííîé ñ åðå ñ ðó÷êàìè N â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Óêàçàíèå: íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü ñ åðû ñ ðó÷êàìè, ãðàíèöà êîòîðîé äè åîìîð íà N × S 1 (ñì. ïóíêò 'íîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ'). 2 13.* Ïóñòü fA ëèíåéíûé àâòîìîð èçì òîðà T , çàäàííûé ìàòðèöåé A. Âû÷èñëèòå ãîìîëîãèè (a) Ïðîñòðàíñòâà N ∪fA D2 × S 1 , ãäå N äàííîå 3-ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì ∂N ⊃ T 2 . (b) Ïðîñòðàíñòâà T 2 × I/(x, 0) ∼ (fA (x), 1). Ïóñòü äàíî ïðîñòðàíñòâî (íàïðèìåð, ãðà èëè 2-ìíîãîîáðàçèå) X . Åñëè çàäàí ãîìåîìîð èçì f : X → X íà ñåáÿ, òî ïðîñòðàíñòâîì X -ðàññëîåíèÿ íàä îêðóæíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷åííîå èç X × I îòîæäåñòâëåíèåì òî÷åê (x, 0) è (f (x), 1). Ýêâèâàëåíòíîñòü X -ðàññëîåíèé îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ïóíêòó 'ïðîñòåéøèå ðàññëîåíèÿ' â ãëàâå 5. 14.* (a) Ïóñòü N è X çàìêíóòûå îðèåíòèðóåìûå 2-ìíîãîîáðàçèÿ. Åñëè íåêîòîðîå 3-ìíîãîîáðàçèå M ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî S 1 -ðàññëîåíèåì íàä N , íå ýêâèâàëåíòíûì ïðîåêöèè N × S 1 → N , è X -ðàññëîåíèåì íàä îêðóæíîñòüþ, íå ýêâèâàëåíòíûì ïðîåêöèè N × S 1 → N , òî N = X = T 2 . Óêàçàíèå: âû÷èñëèòå ãîìîëîãèè 3-ìíîãîîáðàçèÿ M ÷åðåç S 1 -ðàññëîåíèå íàä N è ÷åðåç X -ðàññëîåíèå íàä S 1 . (b) Ñóùåñòâóåò 3-ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî íåïðÿìûì S 1 ðàññëîåíèåì íàä T 2 è íåïðÿìûì T 2 -ðàññëîåíèåì íàä îêðóæíîñòüþ. ( ) Îïèøèòå âñå ðàññëîåíèÿ èç (b). Êàê âûðàçèòü ãîìîëîãèè ñ êîý èöèåíòàìè Z2 ÷åðåç ãîìîëîãèè ñ êîý èöèåíòàìè Z? Îòâåò äàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé. Ôîðìóëû óíèâåðñàëüíûõ êîý èöèåíòîâ. Äëÿ ïðîñòîãî p Hk (X; Zp ) ∼ = (Hk (X; Z) ⊗ Zp ) ⊕ (Hk (X; Z) ∗ Zp ), 80
ãäå G ⊗ Z2 := G/pG è G ∗ Zp îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 1 èëè p â G. Åñëè Hk (X; Z) ∼ = Zb ⊕ Tors Hk (X; Z), òî Hk (X; Q) ∼ = Qb . Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íûå ïðîñòûå îðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà èìåþò îñòàëüíûå îðìóëû óíèâåðñàëüíûõ êîý èöèåíòîâ, âûðàæàþùèå êîãîìîëîãèè ñ êîý èöèåíòàìè â Z, Zp è Q ÷åðåç ãîìîëîãèè ñ êîý èöèåíòàìè â Z. ×òîáû ñäåëàòü âñå ýòè ïðîñòûå è ïîëåçíåéøèå ðåçóëüòàòû ìåíåå äîñòóïíûìè, èõ îáû÷íî îðìóëèðóþò è äîêàçûâàþò íà ÿçûêå àáñòðàêòíûõ òåíçîðíûõ, ïåðèîäè÷åñêèõ è Ext-ïðîèçâåäåíèé. Ýòîò ÿçûê (êàê è áîëåå ýêçîòè÷åñêèå êîý èöèåíòû) ñîçäàâàëñÿ (Áîêøòåéíîì) äëÿ èçó÷åíèÿ îáîáùåíèé ïðèìåðà Ïîíòðÿãèíà äâóìåðíûõ êîìïàêòîâ A è B ñ òðåõìåðíûì ïðîèçâåäåíèåì A × B . 15. (a) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Áîêøòåéíà βk
2
ρ2
. . . → Hk+1 (X; Z2 ) → Hk (X; Z) → Hk (X; Z) → Hk (X; Z2 ) → . . .
òî÷íà. Çäåñü 2 óìíîæåíèå íà 2, ρ2 ïðèâåäåíèå ïî ìîäóëþ 2, à ãîìîìîð èçì Áîêøòåéíà βk îïðåäåëÿåòñÿ òàê. Åñëè α = a1 + . . . + as öèêë ïî ìîäóëþ 2, ãäå a1 , . . . , as ÿâëÿþòñÿ (k + 1)-ñèìïëåêñàìè íåêîòîðîé òðèàíãóëÿöèè, òî âîçüìåì öåëî÷èñëåííóþ 1
a = a1 + . . . + as , ïîëîæèì βk [a] := [ ∂e öåïü e a] è ïðîâåðèì êîððåêòíîñòü. 2 (b) Äîêàæèòå îðìóëû óíèâåðñàëüíûõ êîý èöèåíòîâ äëÿ p = 2. (ñ) Òî æå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî p. (d) Òî æå äëÿ êîý èöèåíòîâ Q. 16. Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Ôîðìóëà Êþííåòà. Äëÿ ïðîñòîãî p Hk (X × Y ; Zp ) ∼ = ⊕k Hi (X; Zp ) ⊗ Hk−i (Y ; Zp ). i=0
ÄÂÎÉÑÒÂÅÍÍÎÑÒÜ ÏÓÀÍÊÀ Å. Ïðîñòàÿ ÷àñòü. Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå ïî ìîäóëþ 2 (ïðîñòàÿ ÷àñòü). Äëÿ çàìêíóòîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N âûïîëíåíî Hi (N ; Z2 ) ∼ = Hn−i (N ; Z2 ). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû ïðè n = 3 (è äëÿ äàëüíåéøåãî) âîçüìåì äâîéñòâåííóþ ê T òðèàíãóëÿöèþ T ∗ 3-ìíîãîîáðàçèÿ N . Òîãäà êîëè÷åñòâî i-ìåðíûõ êëåòîê â T ∗ ðàâíî ci∗ = c3−i . Èñïîëüçóÿ T ∗ âìåñòî T , îïðåäåëèì àíàëîãè÷íî âûøåèçëîæåííîìó ãðóïïû Ci∗ è ãðàíè÷íûå îòîáðàæåíèÿ ∂i∗ : Ci+1,∗ → Ci∗ . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðè n = 3. Èìååì
1
dim H1 (N ) = dim ∂0−1 (0) − dim ∂1 (C2 ) = c1 − rk ∂0 − rk ∂1 = 1
3
2
= c1∗ − rk ∂0∗ − rk ∂1∗ = c2 − rk ∂1 − rk ∂2 = dim H2 (N ).
àâåíñòâî (1) ñïðàâåäëèâî ïî òåîðåìå èíâàðèàíòíîñòè ãðóïï ãîìîëîãèé. àâåíñòâî (2) âåðíî, ïîñêîëüêó α ⊂ β òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà β ∗ ⊂ α∗ , à çíà÷èò, ìàòðèöû îïåðàòîðîâ ∂0∗ , ∂1∗ è ∂2∗ â ñòàíäàðòíûõ áàçèñàõ ãðóïï Ci∗ ïîëó÷àþòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèåì èç ìàòðèö îïåðàòîðîâ ∂2 , ∂1 è ∂0 â ñòàíäàðòíûõ áàçèñàõ ãðóïï Ci . àâåíñòâî (3) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ïåðâûì äâóì. 1. Äîêàæèòå òåîðåìó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n. 81
Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå (ïðîñòàÿ ÷àñòü). Äëÿ çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N ñâîáîäíûå ÷àñòè ãðóïï Hi (N ; Z) è Hn−i (N ; Z) èçîìîð íû; êðó÷åíèÿ ãðóïï Hi (N ; Z) è Hn−i−1 (N ; Z) èçîìîð íû. 2. Äîêàæèòå òåîðåìó (a) äëÿ n = 3 (ïðî êðó÷åíèå óòâåðæäàåòñÿ òîëüêî òî, ÷òî êðó÷åíèå ãðóïïû H2 (N ; Z) íóëåâîå). (b) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n. Óêàçàíèå. Àíàëîãè÷íî ïðèâåäåííîìó ðàññóæäåíèþ [ST04, 69℄. Çàìåòèì, ÷òî èíîãäà (ñ öåëüþ óñëîæíåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà) ïðîñòóþ ÷àñòü òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå äîêàçûâàþò ñ èñïîëüçîâàíèåì èíäåêñà ïåðåñå÷åíèÿ. Ñëîæíàÿ ÷àñòü ïî ìîäóëþ 2.
Âïðî÷åì, ïåðåñå÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíî êðàéíå ïîëåçíû: íàïðèìåð, äëÿ ñëîæíîé ÷àñòè òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå. Ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèå, çàäà÷è è òåîðåìà èíòåðåñíû äàæå äëÿ n = 3. Îïðåäåëåíèå îðìû ïåðåñå÷åíèé ∩ : Hi (N ) × Hn−i (N ) → Z2
äëÿ çàìêíóòîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N . (Àíàëîãè÷íî ïóíêòó ' îðìà ïåðåñå÷åíèé' ãëàâû 2.) Äëÿ i-ìåðíîé ãðàíè x ñõåìû T è (n − i)-ìåðíîé ãðàíè y äâîéñòâåííîé ñõåìû T ∗ ïîëîæèì x ∩ y = 1, åñëè x è y äâîéñòâåííû, è x ∩ y = 0 èíà÷å. Ïðîäîëæèì ýòî óìíîæåíèå äî áèëèíåéíîé îðìû Ci × Cn−i,∗ → Z2 . Òîãäà îðìóëà [a] ∩ [b] := a ∩ b êîððåêòíî çàäàåò îðìó ïåðåñå÷åíèé ââèäó òåîðåìû èíâàðèàíòíîñòè ãðóïï ãîìîëîãèé è ñëåäóþùåé çàäà÷è. 3. (a) Ïåðåñå÷åíèå öèêëà è ãðàíèöû âñåãäà íóëåâîå. (b) Îïðåäåëåíèå îðìû ïåðåñå÷åíèé êîððåêòíî. (ñ) (α + β) ∩ γ = α ∩ γ + β ∩ γ è α ∩ (β + γ) = α ∩ β + α ∩ γ , ò.å. ïåðåñå÷åíèå íà ãîìîëîãèÿõ áèëèíåéíî. Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå ïî ìîäóëþ 2 (ñëîæíàÿ ÷àñòü). Äëÿ çàìêíóòîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N îðìà ïåðåñå÷åíèé ïî ìîäóëþ 2 íåâûðîæäåíà, ò.å. äëÿ ëþáîãî α ∈ Hi (N ) − {0} ñóùåñòâóåò òàêîé β ∈ Hn−i (N ), ÷òî α ∩ β = 1 ∈ Z2 . Íàáðîñîê ïåðâîãî äîêàçàòåëüñòâà ñëîæíîé ÷àñòè ïî ìîäóëþ 2 äëÿ n = 3. Ïîñêîëüêó óæå äîêàçàíî, ÷òî H1 (N ) ∼ = H2 (N ), òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü âòîðîå óòâåðæäåíèå òîëüêî äëÿ i = 2. Âîçüìåì 2-öèêë b, ïðåäñòàâëÿþùèé êëàññ β . Ê êàæäîìó ðåáðó ñõåìû ïðèìûêàåò ÷åòíîå ÷èñëî ãðàíåé öèêëà b. ' àñòàùèì' ýòè ãðàíè íà ïàðû, ïîëó÷èì 2-öèêë â N , ãîìîëîãè÷íûé 2-öèêëó b è ïðåäñòàâëåííûé 2-ïîëèýäðîì, êàæäàÿ òî÷êà êîòîðîãî èìååò (â ýòîì 2-ïîëèýäðå) îêðåñòíîñòü, ãîìåîìîð íóþ êîíóñó íàä íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì îêðóæíîñòåé. Òåõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ îêðóæíîñòåé áîëüøå îäíîé, êîíå÷íîå ÷èñëî. Äëÿ êàæäîé èç òàêèõ òî÷åê 'ðàñòàùèì' êîíóñû, îòâå÷àþùèå ðàçíûì îêðóæíîñòÿì. Ïîëó÷èì 2-öèêë b′′ , ãîìîëîãè÷íûé 2-öèêëó b è ïðåäñòàâëåííûé íåñàìîïåðåñåêàþùèìñÿ ñâÿçíûì çàìêíóòûì 2-ïîäìíîãîîáðàçèåì M â N (íå îáÿçàòåëüíî îðèåíòèðóåìûì). Ýòî ïîäìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ ïîäêîìïëåêñîì â íåêîòîðîì èçìåëü÷åíèè ñõåìû T . Ïîäìíîãîîáðàçèå M íå ðàçáèâàåò ìíîãîîáðàçèå N . (Äåéñòâèòåëüíî, èíà÷å M áûëî áû ãðàíèöåé êàæäîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ N − M , à çíà÷èò, áûëî áû ãîìîëîãè÷íî íóëþ.) Âîçüìåì ìàëåíüêèé îòðåçîê, òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùèé 2-ìíîãîîáðàçèå M ðîâíî â îäíîé òî÷êå. Òàê êàê M íå ðàçáèâàåò N , òî êîíöû ýòîãî îòðåçêà ìîæíî ñîåäèíèòü ëîìàíîé âíå M . Îáúåäèíåíèå ýòèõ ëîìàíîé è îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ 1-öèêëîì, 82
òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùèì M ðîâíî â îäíîé òî÷êå. îìîëîãè÷åñêèé êëàññ ýòîãî 1-öèêëà ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì. 4. (a) Âîñïîëíèòå äåòàëè â ïðèâåäåííîì íàáðîñêå. (b) Âûâåäèòå ñëåäñòâèå äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå, èñïîëüçîâàííîå â ãëàâå 3 ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Øòè åëÿ î ïàðàëëåëèçóåìîñòè 3-ìíîãîîáðàçèé. (ñ) Äîêàæèòå ñëîæíóþ ÷àñòü òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå ïî ìîäóëþ 2 äëÿ i = 1. Èäåÿ ïðèâåäåííîãî âûøå ïðîñòîãî äîêàçàòåëüñòâà íå ãîäèòñÿ äëÿ ìíîãîìåðíûõ îáîáùåíèé ñëîæíîé ÷àñòè òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå. Ïðèâåäåì â âèäå öèêëà çàäà÷ ïëàí äðóãîãî (÷óòü áîëåå ñëîæíîãî) äîêàçàòåëüñòâà, êîòîðîå ãîäèòñÿ è äëÿ ìíîãîìåðíîãî ñëó÷àÿ (ñì. äåòàëè â [ST04, 71℄). 5. (a) Ïóñòü áàçèñ x1 , . . . , xc1 ãðóïïû C1 ïîëó÷åí èç ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ýòîé ãðóïïû îïåðàòîðîì A. Áàçèñ y1 , . . . , yc1 ãðóïïû C2∗ ïîëó÷åí èç ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ýòîé ãðóïïû îïåðàòîðîì (A−1 )∗ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xi ∩ yj = δij . Óêàçàíèå. Ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ áàçèñîâ â C1 è C2∗ , çàäàííûõ ìàòðèöàìè A è M , ìàòðèöà B áèëèíåéíîé îðìû ïåðåõîäèò â AT BM . (b) Ïóñòü x1 , . . . , xc1 è y1 , . . . , yc1 òàêèå áàçèñû ãðóïï C1 è C2∗ , ÷òî xi ∩ yj = δij . Òîãäà ìàòðèöû îïåðàòîðîâ ∂0 è ∂2∗ ïîëó÷àþòÿ äðóã èç äðóãà òðàíñïîíèðîâàíèåì. ( ) Ïóñòü x1 , . . . , xc1 òàêîé áàçèñ ãðóïïû C1 , ÷òî x1 , . . . , xb1 áàçèñ ãðóïïû 1-ãðàíèö è x1 , . . . , xz1 áàçèñ ãðóïïû 1-öèêëîâ. Âîçüìåì òàêîé áàçèñ y1 , . . . , yc1 ãðóïïû C2∗ , ÷òî xi ∩ yj = δij . Òîãäà yc1 −z1 +1 , . . . , yc1 áàçèñ ãðóïïû 2-öèêëîâ è yc1 −b1 +1 , . . . , yc1 áàçèñ ãðóïïû 2ãðàíèö. (d) äëÿ ëþáîãî áàçèñà α1 , . . . , αk ãðóïïû H1 (N ) ñóùåñòâóåò áàçèñ β1 , . . . , βk ãðóïïû H2 (N ), äëÿ êîòîðîãî αi ∩ βj = δij . (e) Äîêàæèòå ñëîæíóþ ÷àñòü òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå äëÿ n = 3 è i = 1. (f) Òî æå äëÿ n = 4 è i = 2. (g) Òî æå äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ. 6. (a) Äëÿ n-ìíîãîîáðàçèÿ N ñ êðàåì áèëèíåéíîå óìíîæåíèå ∩ : Hi (N ) × Hn−i (N ) → Z2 îïðåäåëåíî êîððåêòíî îðìóëîé [a] ∩ [b] := a ∩ b, íî ìîæåò áûòü âûðîæäåííûì. (b) Äëÿ ëèñòà Ìåáèóñà N îðìóëà [a] ∩ [b] := a ∩ b íå îïðåäåëÿåò êîððåêòíî óìíîæåíèÿ ∩ : H1 (N, ∂N ) × H1 (N, ∂N ) → Z2 . ( ) Äëÿ ìíîãîîáðàçèÿ N ñ êðàåì îïðåäåëèòå îðìó ïåðåñå÷åíèé ïî ìîäóëþ 2 ∩ : Hi (N, ∂N ) × Hn−i (N ) → Z2 .
(d) Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Ëå øåöà ïî ìîäóëþ 2. Äëÿ (êîìïàêòíîãî) nìíîãîîáðàçèÿ N ñ êðàåì Hi (N ) ∼ = Hn−i (N, ∂N ). Áîëåå òîãî, îðìà ïåðåñå÷åíèé ïî ìîäóëþ 2 íåâûðîæäåíà. 7. Äëÿ n-ìíîãîîáðàçèÿ N ñ êðàåì (âîçìîæíî, ïóñòûì) îðìóëà [a] ∩ [b] := a ∩ b êîððåêòíî îïðåäåëÿåò áèëèíåéíûå óìíîæåíèÿ
Hi (N ) × Hj (N ) → Hi+j−n (N ),
Hi (N ) × Hj (N, ∂N ) → Hi+j−n (N )
è Hi (N, ∂N ) × Hj (N, ∂N ) → Hi+j−n (N, ∂N ). Ñëîæíàÿ ÷àñòü ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè (íàáðîñîê). Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå (ñëîæíàÿ ÷àñòü).
åíòèðóåìîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N öåëî÷èñëåííàÿ îðìà ïåðåñå÷åíèé
∩ : Hi (N ; Z) × Hn−i (N ; Z) → Z
83
Äëÿ çàìêíóòîãî îðè-
íåâûðîæäåíà è óíèìîäóëÿðíà, ò.å. äëÿ ëþáîãî ïðèìèòèâíîãî (ò.å. íå äåëÿùåãîñÿ íà öåëîå ÷èñëî, áîëüøåå 1) ýëåìåíòà α ∈ Hi (N ; Z) ñóùåñòâóåò òàêîé β ∈ Hn−i (N ; Z), ÷òî α ∩ β = 1 ∈ Z; îðìà çàöåïëåíèé lk : Tors Hi (N ; Z) × Tors Hn−1−i (N ; Z) → Q/Z
íåâûðîæäåíà. 8. (a) Îïðåäåëèòå öåëî÷èñëåííóþ îðìó ïåðåñå÷åíèé è äîêàæèòå ïåðâóþ ïîëîâèíó ñëîæíîé ÷àñòè òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå. (b) Ôîðìà çàöåïëåíèé êîððåêòíî îïðåäåëåíà îðìóëîé lk([a], [b]) := [
a ∩ b′ ], n
ãäå ∂b′ = nb.
( ) Äîêàæèòå âòîðóþ ïîëîâèíó ñëîæíîé ÷àñòè òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå. Ñì. äåòàëè â [ST04, 69, 71, Ïðåäëîæåíèå 2℄. ( ) Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Ëå øåöà. Äëÿ (êîìïàêòíîãî) îðèåíòèðóåìîãî nìíîãîîáðàçèÿ N ñ êðàåì ñâîáîäíûå ÷àñòè ãðóïï Hi (N ; Z) è Hn−i (N, ∂N ; Z) èçîìîð íû; êðó÷åíèÿ ãðóïï Hi (N ; Z) è Hn−i−1 (N, ∂N ; Z) èçîìîð íû. Áîëåå òîãî, öåëî÷èñëåííàÿ îðìà ïåðåñå÷åíèé íåâûðîæäåíà è óíèìîäóëÿðíà, à îðìà çàöåïëåíèé lk : Tors Hi (N ; Z) × Tors Hn−1−i (N, ∂N ; Z) → Q/Z
íåâûðîæäåíà. Íàäåþñü, ñëåäóþùåå øóòëèâîå çàìå÷àíèå áóäåò ïîëåçíî íà÷èíàþùåìó. Ñëîæíóþ ÷àñòü òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå ÷àñòî ëèáî íå äîêàçûâàþò (â [FF89℄ òåîðåìà 6 â 17 íà ñòð. 148 íàçâàíà î÷åâèäíîé), ëèáî äîêàçûâàþò ñ èñïîëüçîâàíèåì êîãîìîëîãèé è îðìóëû óíèâåðñàëüíûõ êîý èöèåíòîâ (ñ öåëüþ óñëîæíåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà). Êîãîìîëîãèè äåéñòâèòåëüíî ïîëåçíû ïðè ðàáîòå ñ äè åðåíöèàëüíûìè îðìàìè, ïðè èçó÷åíèè àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè èëè ãîìîòîïè÷åñêîé òîïîëîãèè ïðîèçâîëüíûõ êîìïëåêñîâ òàì åñòåñòâåííî âîçíèêàþò è ïðèìåíÿþòñÿ èìåííî êîãîìîëîãèè, à íå ãîìîëîãèè. À âî ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ è ëåêöèîííûõ êóðñàõ êîãîìîëîãèè ìíîãîîáðàçèé (è èçîìîð èçì Ïóàíêàðå) ââîäÿòñÿ íàìíîãî ðàíüøå òåõ ïðîáëåì, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ îíè íåîáõîäèìû.  òàêèõ ñèòóàöèÿõ êîãîìîãîãèè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ óñëîæíåíèÿ äîêàçàòåëüñòâ (êîòîðûå ïðîçðà÷íû, åñëè èñïîëüçîâàòü òîëüêî ãîìîëîãèè), à òàêæå ÷òîáû äàòü âîçìîæíîñòü ñòóäåíòàì ïî÷àùå äîïóñêàòü îøèáêè (÷òî ãîðàçäî ëåã÷å ñäåëàòü, åñëè îáîçíà÷àòü êàíîíè÷åñêè èçîìîð íûå ãðóïïû ïî-ðàçíîìó). åàëèçàöèÿ öèêëîâ ïîäìíîãîîáðàçèÿìè (íàáðîñîê).
Ïðèâåäåì ïëàí íàãëÿäíîãî èçëîæåíèÿ ïðîñòåéøèõ ðåçóëüòàòîâ î ãîìîòîïè÷åñêîé êëàññè èêàöèè îòîáðàæåíèé ìíîãîîáðàçèé (è èõ ñëåäñòâèé î ðåàëèçóåìîñòè ãîìîëîãè÷åñêèõ êëàññîâ ïîäìíîãîîáðàçèÿìè). 9. Ïóñòü N çàìêíóòîå n-ìíîãîîáðàçèå. (a) Ïðè n > 3 ëþáîé ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïî ìîäóëþ 2 ðàçìåðíîñòè 1 ðåàëèçóåòñÿ âëîæåííîé îêðóæíîñòüþ, è ãîìîëîãè÷íîñòü ïî ìîäóëþ 2 ìåæäó îêðóæíîñòÿìè ðåàëèçóåòñÿ 2-ïîäìíîãîîáðàçèåì ìíîãîîáðàçèÿ N × I . (b) Ïðè n > 5 ëþáîé ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïî ìîäóëþ 2 ðàçìåðíîñòè 2 ðåàëèçóåòñÿ 2-ïîäìíîãîîáðàçèåì (åñòåñòâåííî, çàìêíóòûì), è ãîìîëîãè÷íîñòü ïî ìîäóëþ 2 ìåæäó 2-ïîäìíîãîîáðàçèÿìè ðåàëèçóåòñÿ 3-ïîäìíîãîîáðàçèåì (åñòåñòâåííî, ñ êðàåì) ìíîãîîáðàçèÿ N × I . 84
10. Ïóñòü N çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå n-ìíîãîîáðàçèå. (a) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè ïðåäûäóùåé çàäà÷è. (b) Îòîáðàæåíèå
[N ; S 1 ] → Hn−1 (N ; Z),
[f ] 7→ [f −1 (x)],
ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå ãîìîòîïè÷åñêîìó êëàññó îòîáðàæåíèÿ f : N → S 1 ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïðîîáðàçà f −1 (x) ðåãóëÿðíîãî çíà÷åíèÿ, êîððåêòíî îïðåäåëåíî. ( ) Äëÿ ëþáîãî y ∈ Hn−1 (N ; Z) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî (ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèè) îòîáðàæåíèå f : N → S 1 , äëÿ êîòîðîãî ãîìîìîð èçì f∗ : H1 (N ) → H1 (S 1 ) ∼ =Z çàäàåòñÿ îðìóëîé f∗ (a) = a ∩ y . (d) Îòîáðàæåíèÿ èç ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè áèåêöèÿìè [N ; S 1 ] ↔ Hn−1 (N ; Z). (e) Ëþáîé öåëî÷èñëåííûé ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ êîðàçìåðíîñòè 1 ðåàëèçóåòñÿ îðèåíòèðóåìûì ïîäìíîãîîáðàçèåì, è öåëî÷èñëåííàÿ ãîìîëîãè÷íîñòü ìåæäó îðèåíòèðóåìûìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè êîðàçìåðíîñòè 1 ðåàëèçóåòñÿ îðèåíòèðóåìûì ïîäìíîãîîáðàçèåì ìíîãîîáðàçèÿ N × I . 11. Ïóñòü N çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå n-ìíîãîîáðàçèå. (a) Îòîáðàæåíèå [N ; CP n ] → Hn−2 (N ; Z),
[f ] 7→ [f −1 (CP n−1 )]
ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå ãîìîòîïè÷åñêîìó êëàññó îòîáðàæåíèÿ f : N → CP n , òðàíñâåðñàëüíîãî âäîëü CP n−1 ⊂ CP n , ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïðîîáðàçà f −1 (CP n−1 ), êîððåêòíî îïðåäåëåíî è ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. (b) Ëþáîé öåëî÷èñëåííûé ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ êîðàçìåðíîñòè 2 ðåàëèçóåòñÿ îðèåíòèðóåìûì ïîäìíîãîîáðàçèåì, è öåëî÷èñëåííàÿ ãîìîëîãè÷íîñòü ìåæäó îðèåíòèðóåìûìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè êîðàçìåðíîñòè 2 ðåàëèçóåòñÿ ðåàëèçóåòñÿ îðèåíòèðóåìûì ïîäìíîãîîáðàçèåì ìíîãîîáðàçèÿ N × I . ( ) Åñëè n 6 5, òî ëþáîé öåëî÷èñëåííûé êëàññ ãîìîëîãèé ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè ðåàëèçóåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì ïîäìíîãîîáðàçèåì. 12. Ïóñòü N çàìêíóòîå n-ìíîãîîáðàçèå. (a) Îòîáðàæåíèå [N ; RP n+1 ] → Hn−1 (N ),
[f ] 7→ [f −1 (RP n )]
ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå ãîìîòîïè÷åñêîìó êëàññó îòîáðàæåíèÿ f : N → RP n+1 , òðàíñâåðñàëüíîãî âäîëü RP n ⊂ RP n+1 , ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïðîîáðàçà f −1 (RP n ), êîððåêòíî îïðåäåëåíî è ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. (b) Ëþáîé ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïî ìîäóëþ 2 êîðàçìåðíîñòè 1 ðåàëèçóåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì, è ãîìîëîãè÷íîñòü ïî ìîäóëþ 2 ìåæäó ïîäìíîãîîáðàçèÿìè êîðàçìåðíîñòè 1 ðåàëèçóåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì ìíîãîîáðàçèÿ N × I . ( )* Ïðè n 6 4 ëþáîé ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ïî ìîäóëþ 2 ðåàëèçóåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì, íî íå ëþáàÿ ãîìîëîãè÷íîñòü ïî ìîäóëþ 2 ìåæäó 2-ïîäìíîãîîáðàçèÿìè ðåàëèçóåòñÿ 3-ïîäìíîãîîáðàçèåì â N × I [Ki89, II.1℄. 13. Ïóñòü N çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå n-ìíîãîîáðàçèå. (a) Ëþáîå îðèåíòèðóåìîå 2-ìíîãîîáðàçèå, êðîìå ñ åðû, ðåòðàãèðóåòñÿ íà íåêîòîðóþ îêðóæíîñòü. (b) Òåîðåìà Õîï à. N ðåòðàãèðóåòñÿ íà îêðóæíîñòü Σ ⊂ N òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà [Σ] ⊂ H1 (N ; Z) ïðèìèòèâåí, ò.å. íå äåëèòñÿ íè íà îäíî ÷èñëî, îòëè÷íîå îò ±1. Óêàçàíèå: äîêàæèòå, ÷òî îáà ýòèõ óñëîâèÿ ðàâíîñèëüíû íàëè÷èþ (n − 1)ïîäìíîãîîáðàçèÿ â N , òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùåãî Σ ðîâíî â îäíîé òî÷êå. ( ) N ðåòðàãèðóåòñÿ íà íåêîòîðóþ îêðóæíîñòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãðóïïà H1 (N ; Z) áåñêîíå÷íà (À. Ò. Ôîìåíêî è È. Í. Øíóðíèêîâ). 85
Òåîðåìà Òîìà. Íåêîòîðîå êðàòíîå ëþáîãî k -ìåðíîãî öåëî÷èñëåííîãî ãîìîëîãè÷åñêîãî êëàññà çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ ðåàëèçóåòñÿ îòîáðàæåíèåì îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ; ïðè k < n/2 ýòî îòîáðàæåíèå ìîæíî ñ÷èòàòü âëîæåíèåì [DNF84, 27, Ñëåäñòâèå 3℄. ÄÂÎÉÑÒÂÅÍÍÎÑÒÜ ÀËÅÊÑÀÍÄÅ À-ÏÎÍÒ ß ÈÍÀ Êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ.
Ôîðìàëüíî, ýòîò ïóíêò íå èñïîëüçóåòñÿ äàëåå. Îïðåäåëåíèå èçîòîïíîñòè íàïîìíåíî â íà÷àëå ãëàâû 7. Ñóùåñòâóþò äâà íå èçîòîïíûõ çàöåïëåíèÿ S n ⊔ S n â R2n+1 (ò.å. âëîæåíèÿ ìíîãîîáðàçèÿ N = S n ⊔ S n â R2n+1 ). Òåîðåìà.
(a)
(b)
èñ. 51: Çàöåïëåíèå Õîï à Äëÿ n = 1 íóæíûå çàöåïëåíèÿ ëåãêî ïîñòðîèòü ÿâíî, ðèñ. 51. Çàöåïëåíèå f1 îáðàçîâàíî îêðóæíîñòÿìè, çàöåïëåííûå êàê çâåíüÿ öåïè. Çàöåïëåíèå f0 îáðàçîâàíî ïàðîé íåïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé, ëåæàùèõ â îäíîé ïëîñêîñòè. Ýòà òåîðåìà èíòåðåñíà äàæå äëÿ ñëó÷àÿ n = 1, äëÿ êîòîðîãî ìû åå è äîêàæåì (äîêàçàòåëüñòâî îáùåãî ñëó÷àÿ àíàëîãè÷íî). Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ïîíÿòèè êîý èöèåíòà çàöåïëåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ â òîïîëîãèè. Çäåñü ìû èçëàãàåì òîëüêî òî, ÷òî íóæíî äëÿ òåîðåìû, è ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ îáðàòèòüñÿ ê [BE82℄ çà á îëüøèì. Îïðåäåëåíèå êîý èöèåíòà çàöåïëåíèÿ äëÿ âëîæåíèÿ f : S11 ⊔ S21 → R3 . àññìîòðèì îòîáðàæåíèå g : D2 → R3 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ñóæåíèåì êîòîðîãî íà ãðàíèöó ÿâëÿåòñÿ ïåðâàÿ êîìïîíåíòà çàöåïëåíèÿ, ò.å. g|∂D2 = f |S11 . (Ìîæíî âçÿòü g = c onf |S11 .) Òîãäà îáðàç g(D2 ) ïåðåñåêàåò âòîðóþ êîìïîíåíòó f (S21 ) çàöåïëåíèÿ â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê. Ââèäó îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè òî÷êè íå ëåæàò íà (îäíîìåðíîì) ìíîæåñòâå ñàìîïåðåñå÷åíèé îòîáðàæåíèÿ g . Íàçîâåì êîý èöèåíòîì çàöåïëåíèÿ ïî ìîäóëþ 2 çàöåïëåíèÿ f êîëè÷åñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ gD2 ñ f (S21 ) ïî ìîäóëþ 2: lk(f ) := #(g(D2 ) ∩ f (S21 )) mod 2. 1. (a) Îïðåäåëåíèå êîý èöèåíòà çàöåïëåíèÿ êîððåêòíî, ò.å. lk(f ) íå çàâèñèò îò âûáîðà îòîáðàæåíèÿ g : D2 → R3 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ñóæåíèåì êîòîðîãî íà ãðàíèöó ÿâëÿåòñÿ ïåðâàÿ êîìïîíåíòà çàöåïëåíèÿ. Óêàçàíèå. àññìîòðèì äâà (íåñàìîïåðåñåêàþùèõñÿ) äèñêà îáùåãî ïîëîæåíèÿ D2 2 2 2 è D òàêèå, ÷òî ∂D2 = ∂D = f (S11 ) è îáúåäèíåíèå D2 ∪ D ÿâëÿåòñÿ íåñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ ñ åðîé îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Òîãäà íåçàâèñèìîñòü âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî îêðóæíîñòü f (S21 ) ïåðåñåêàåò ýòó ñ åðó â ÷åòíîì ÷èñëå òî÷åê. (b) Êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ èíâàðèàíòåí (ò.å. íå ìåíÿåòñÿ) ïðè èçîòîïèè çàöåïëåíèÿ f . Óêàçàíèå. Ïóñòü ft èçîòîïèÿ âëîæåíèÿ f . Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå lk(ft ) íåïðåðûâíî è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â {0, 1}, òî îíî ïîñòîÿííî.
86
( ) Äîêàæèòå òåîðåìó. Óêàçàíèå: óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî lk(f0 ) = 0, lk(f1 ) = 1 è lk(f ) íå ìåíÿåòñÿ ïðè èçîòîïèè. 2. (a) Íàéäèòå lk(f ) ïî ïðîåêöèè âëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòü. (b) Îïðåäåëèòå àíàëîãè÷íî öåëî÷èñëåííûé êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ lk(f ) ∈ Z. ( ) Îïðåäåëèòå àíàëîãè÷íî êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ lk(f ) ∈ Z äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çàöåïëåíèÿ f (ñóæåíèÿ êîòîðîãî íà êîìïîíåíòû ìîãóò áûòü çàóçëåíû). (d) Ýòîò èíâàðèàíò íå ïîëîí. 2n+1 (N ) ìíîæåñòâî âëîæåíèé N → R2n+1 ñ òî÷íîñòü äî 3.* Îáîçíà÷èì ÷åðåç E èçîòîïèè. (a) Îïðåäåëèòå êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ lk(f ) ∈ Z äëÿ âëîæåíèÿ f : S1n ⊔ S2n → R2n+1 . (b) Îòîáðàæåíèå lk : E 2n+1 (S1n ⊔ S2n ) → Z ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé ïðè n > 2. ( ) Äëÿ n > 2 ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ E 2n+1 (S1n ⊔ S2n ⊔ . . . ⊔ Skn ) → Z
k(k−1) 2 .
Äâîéñòâåííîñòü Àëåêñàíäåðà-Ïîíòðÿãèíà.
 ýòîì è ñëåäóþùåì ïóíêòàõ êîý èöèåíòû ãðóïï ãîìîëîãèé, åñëè îíè íå óêàçàíû, ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè. Òåîðåìà î ïðîîáðàçå. Äëÿ çàìêíóòîãî ãëàäêîãî îðèåíòèðóåìîãî nïîäìíîãîîáðàçèÿ N ⊂ S m âûïîëíåíî Hs (N ) ∼ = Hs+m−n−1 (S m − N ). Óêàçàííûé èçîìîð èçì ëåãêî ïîñòðîèòü. àññìîòðèì (s + n − m + 1)-öèêë x ⊂ N (ñèìïëèöèàëüíûé öèêë â íåêîòîðîé ãëàäêîé òðèàíãóëÿöèè, èëè ïîãðóæåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå). Êîíöû íîðìàëüíûõ (ê N ) âåêòîðîâ äëèíû ε, íà÷àëà êîòîðûõ ïðîáåãàþò x, îáðàçóþò ïîäìíîæåñòâî â S m − N , îáîçíà÷àåìîå AD(x) = ADε (x). Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε ìíîæåñòâî AD(x) ÿâëÿåòñÿ s-öèêëîì â S m − N , è AD èíäóöèðóåò èçîìîð èçì AD : Hs+n−m+1 (N ) → Hs (S m − N ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç ON ìíîæåñòâî êîíöîâ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ äëèíû íå áîëåå ε. Ïîëîæèì CN := S m − Int ON . Ýòè ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ m-ìåðíûìè ìíîãîîáðàçèÿìè ñ îáùèì êðàåì (êðàé îáðàçîâàí êîíöàìè âåêòîðîâ äëèíû ðîâíî ε). Îáîçíà÷èì ÷åðåç p : ON → N îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå òî÷êå íîðìàëüíîãî âåêòîðà åãî íà÷àëî (ýòèì îòîáðàæåíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε). Îòîáðàæåíèå AD ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé p|!∂C
i
∗ Hs (N ) Hs+n−m+1 (N ) →N Hs (∂CN ) →
ãîìîìîð èçìîâ âêëþ÷åíèÿ è ïðîîáðàçà. Âîîùå ãîâîðÿ, íè îäèí èç ýòèõ ãîìîìîð èçìîâ íå ÿâëÿåòñÿ èçîìîð èçìîì. Òåîðåìà î ïðîîáðàçå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî AD åñòü êîìïîçèöèÿ èçîìîð èçìîâ ïðîîáðàçà (Òîìà), âûðåçàíèÿ è ãðàíè÷íîãî: p!
i
∂
∗ Hs+1 (S m , CN ) → Hs (CN ). Hs+n−m+1 (N ) → Hs+1 (ON, ∂ON ) →
(a) Äàéòå ñòðîãîå îïðåäåëåíèå îòîáðàæåíèÿ p! . (b) Äîêàæèòå, ÷òî p! è ∂ èçîìîð èçìû (â íàøåé ñèòóàöèè). (Èçîìîð èçì AD ñîâïàäàåò ñ êîìïîçèöèåé "îáû÷íîé"äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà [Pr05℄ è èçîìîð èçìà Ïóàíêàðå. Äåéñòâèòåëüíî, AD(x) ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé (s + 1)öåïè p−1 (x), ïåðåñå÷åíèå êîòîðîé â S m ñ ëþáûì (n − 1 − (s + n − m + 1))-öèêëîì èç N ñîâïàäàåò ñ ïåðåñå÷åíèåì â N ýòîãî öèêëà è x.) Ëåãêî ïîñòðîèòü èçîìîð èçì AD−1 (è òåì ñàìûì ïîëó÷èòü åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î ïðîîáðàçå). Äëÿ s-öèêëà a â CN âîçüìåì (s + 1)-öåïü a′ îáùåãî ïîëîæåíèÿ â S m , äëÿ êîòîðîé ∂a′ = a. (Ôîðìàëüíî, ïóñòü N ïîäêîìïëåêñ ñ åðû S m â íåêîòîðîé òðèàíãóëÿöèè, òîãäà öåïü a′ áåðåì â äâîéñòâåííîé òðèàíãóëÿöèè.) Òîãäà ïåðåñå÷åíèå a′ ∩ N áóäåò (s + 1 + n − m)-öèêëîì â N . Ïîëîæèì AD−1 [a] = [a′ ∩ N ]. 4.
87
(a) Ýòî îïðåäåëåíèå îñìûñëåííî, ò.å. ∂(a′ ∩ N ) = 0. (b) Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. íå çàâèñèò îò âûáîðà a è a′ . ( ) Ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå AD−1 äåéñòâèòåëüíî îáðàòíî ê AD è äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ èçîìîð èçìîì. m 6. (a) Äëÿ ãëàäêîãî n-ïîäìíîãîîáðàçèÿ N ⊂ S ñ êðàåì âûïîëíåíî m ∼ Hs (N, ∂N ) = Hs+m−n−1 (S − N ). (b) Òåîðåìà î ïðîîáðàçå âåðíà äëÿ íåîðèåíòèðóåìûõ ìíîãîîáðàçèé ñ êîý èöèåíòàìè Z2 . Äëÿ ïîäïîëèýäðà N ⊂ S m îáîçíà÷èì ÷åðåç ON åãî ðåãóëÿðíóþ (ò.å. ÿâëÿþùóþñÿ åãî óòîëùåíèåì) îêðåñòíîñòü â S m . Ïîëîæèì CN := S m − Int ON . Îáîçíà÷èì ÷åðåç p : ON → N ðåòðàêöèþ. m Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà. Äëÿ ïîäïîëèýäðà N ⊂ S âûïîëíåíî ∼ Hs (N ) = Hs+1 (CN , ∂CN ). Áîëåå òî÷íî, èçîìîð èçìîì ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèÿ 5.
p∗
∂
Hs+1 (CN , ∂CN ) → Hs (∂CN ) → Hs (N ).
Òåîðåìà ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êîìïîçèöèÿ p∗ ∂ îáðàòíà ñëåäóþùåé: Hs (N ) ∼ = Hs (ON ) ∼ = Hs+1 (S m , ON ) ∼ = Hs+1 (CN , ∂CN ). Çäåñü ïåðâûé èçîìîð èçì ïîëó÷àåòñÿ ââèäó ãîìîòîïè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé, âòîðîé èç òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïàðû (S m , ON ), à òðåòèé èç òåîðåìû âûðåçàíèÿ. Ïðèìåíÿÿ äâîéñòâåííîñòü Ëå øåöà ê m-ìíîãîîáðàçèþ CN ñ êðàåì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñëåäñòâèÿ. m âûïîëíåíî Ñëåäñòâèå. Äëÿ ïîäïîëèýäðà N ⊂ S m ∼ (a) Hs (N ; Z2 ) = Hm−s−1 (S − N ; Z2 ). (b) ñâîáîäíûå ÷àñòè ãðóïï Hs (N ; Z) è Hm−s−1 (S m − N ; Z) èçîìîð íû; ( ) êðó÷åíèÿ ãðóïï Hs (N ; Z) è Hm−s−2 (S m − N ; Z) èçîìîð íû. Òåîðåìà î ïðîîáðàçå âûòåêàåò èç òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà, åñëè âçÿòü N = CX è ïðèìåíèòü èçîìîð èçì Òîìà p! : Hs+1 (OX, ∂OX) → Hs+1+n−m (X). ! 7. Äëÿ ìíîãîîáðàçèé N èçîìîð èçìû Àëåêñàíäåðà p∗ ∂ è i∗ p|∂C 'íå êîììóòèN ! ! ðóþò': äëÿ âëîæåíèÿ ξ : N → ∂CN âîîáùå ãîâîðÿ, i∗ p|∂CN ξ ∂ 6= i∗ ξ∗ p∗ ∂ (ðàññìîòðèòå, íàïðèìåð, ñòàíäàðòíóþ îêðóæíîñòü N ⊂ R3 ).  ýòîì ñìûñëå äëÿ ñëó÷àÿ ìíîãîîáðàçèé èìååòñÿ äâå ðàçíûå äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà p∗ ∂ è i∗ p|!∂CN . Òåîðåìà Àëåêñàíäåðà ÿâëÿåòñÿ 'ïðîñòîé ÷àñòüþ' äâîéñòâåííîñòè ÀëåêñàíäåðàÏîíòðÿãèíà (ñð. ñ 'ïðîñòîé ÷àñòüþ' äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå). 'Ñëîæíàÿ ÷àñòü' áûëà îòêðûòà Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèíûì îêîëî 1930 ã. (ýòî áûëî îäíèì èç ïåðâûõ åãî íàó÷íûõ äîñòèæåíèé). m Òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè Ïîíòðÿãèíà. Äëÿ ïîäïîëèýäðà N ⊂ S îðìà çàöåïëåíèé lk : Hs (N ; Z) × Hm−s−1 (S m − N ; Z) → Z
íåâûðîæäåíà è óíèìîäóëÿðíà. îðìà âòîðè÷íûõ çàöåïëåíèé lk : T orsHs (N ; Z) × T orsHm−s−2 (S m − N ; Z) → Q/Z
íåâûðîæäåíà. 88
Äëÿ (m − s − 1)-öèêëà b â S m − N âîçüìåì (m − s)-öåïü b′ îáùåãî ïîëîæåíèÿ â S , äëÿ êîòîðîé ∂b′ = b. (Ôîðìàëüíî, ïóñòü N ïîäêîìïëåêñ ñ åðû S m â íåêîòîðîé òðèàíãóëÿöèè, òîãäà öèêë b′ áåðåì â äâîéñòâåííîé òðèàíãóëÿöèè.) Äëÿ s-öèêëà a â N ïîëîæèì lk([a], [b]) := a ∩ b′ . 7. (a) Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî. (b) Äîêàæèòå ïåðâóþ ÷àñòü òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïîíòðÿãèíà. (ñ) Ôîðìà âòîðè÷íûõ çàöåïëåíèé êîððåêòíî îïðåäåëåíà îðìóëîé m
a′ ∩ b ′ ], ãäå ∂a′ = na. n (d) Äîêàæèòå âòîðóþ ÷àñòü òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè Ïîíòðÿãèíà. lk([a], [b]) := [
Ïðèìåíåíèÿ äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà.
(a) Åñëè ïîëèýäð N âëîæèì â S m , òî Hm (N ) = 0. (b) Äëÿ ïîäïîëèýäðà N ⊂ S m âûïîëíåíî Hi (∂CN ) ∼ = Hi (N ) ⊕ Hi (S m − N ). Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòå òåîðåìó î ïðîîáðàçå èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ìàéåðà-Âèåòîðèñà. ( ) RP 3 (è òðåõìåðíûå ëèíçîâûå ïðîñòðàíñòâà) íå âëîæèìî â S 4 . (d) RP n íå âëîæèìî â S n+1 äëÿ n 6= 4k + 1. (e) Åñëè 2l-ìíîãîîáðàçèå N âëîæèìî â S 2l+1 , òî îíî îðèåíòèðóåìî è åãî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ÷åòíà (ò.å. rk Hl (N ; Z) èëè l-å ÷èñëî Áåòòè ìíîãîîáðàçèÿ N ÷åòíû). (f) Åñëè (2l + 1)-ìíîãîîáðàçèå N âëîæèìî â S 2l+2 , òî îíî îðèåíòèðóåìî è ïîäãðóïïà êðó÷åíèÿ ãðóïïû Hl (N ; Z) ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðÿìîé ñóììû G ⊕ G äëÿ íåêîòîðîé ãðóïïû G.  (e) óñëîâèå âëîæèìîñòè N â S 2l+1 ìîæåò áûòü çàìåíåíî íà áîëåå ñëàáîå: òðåáóåòñÿ âñåãî ëèøü, ÷òîáû N áûëî êðàåì íåêîòîðîãî îðèåíòèðóåìîãî (2l + 1)-ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ (ñì. êîíåö ñëåäóþùåé ãëàâû). Ïðèìåð N = RP 3 ïîêàçûâàåò, ÷òî (f) òàêèì îáðàçîì îñëàáèòü íåëüçÿ. Àíàëîãè÷íî, èçó÷àÿ äâîéñòâåííîñòü ñ ó÷åòîì îðìû ïåðñåñå÷åíèé (èëè äâîéñòâåííîñòü ìåæäó êîëüöàìè ãîìîëîãèé ìíîãîîáðàçèÿ N ⊂ S m è åãî äîïîëíåíèÿ S m − N ), ìîæíî ïîëó÷àòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ íà âëîæèìîñòü. Òàê Õ. Õîï äîêàçàë â 1940, ÷òî RP n íå âëîæèìî â S n+1 (äàæå äëÿ n = 4k + 1). Òåîðåìà Õîï à î âëîæåíèè. Åñëè çàìêíóòîå ñâÿçíîå n-ìíîãîîáðàçèå N âëîæèìî â S n+1 , òî ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð ïîäãðóïï As , Bs ⊂ Hs (N ; Z2 ) äëÿ 0 < s < n, ÷òî As ∼ = Bs , Hs (N ; Z2 ) ∼ = As ⊕ Bs è ñóæåíèÿ îðìû ïåðåñå÷åíèé íà As × An−s è íà Bs × Bn−s íóëåâûå. Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü N ⊂ S n+1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç A è B çàìûêàíèÿ êîìïîíåíò äîïîëíåíèÿ S n+1 − N . Áóäåì îïóñêàòü êîý èöèåíòû Z2 . Âîçüìåì â êà÷åñòâå As îáðàç êîìïîçèöèè 8.
Hs (A) → Hs+1 (B, ∂B) → Hs (∂B) = Hs (N )
äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà è ãðàíè÷íîãî ãîìîìîð èçìà. Îïðåäåëèì àíàëîãè÷íî Bs . Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ïðîîáðàçå èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ìàéåðà-Âèåòîðèñà, ïîëó÷àåì, ÷òî Hs (N ) ∼ = As ⊕ Bs . Ïî ñëåäñòâèþ èç äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà ïîëó÷àåì As ∼ = Bs (òîëüêî äëÿ ýòîãî íóæíû êîý èöèåíòû Z2 ). Òàê êàê îðìà ïåðåñå÷åíèé ñ åðû S n+1 íóëåâàÿ, òî îðìà ïåðåñå÷åíèé Hn−s (A) × Hs (A) → Z2 íóëåâàÿ. Çíà÷èò, ñóæåíèå îðìû ïåðåñå÷åíèé ìíîãîîáðàçèÿ N íà An−s × As íóëåâîå. Ñîãëàñíî äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå, â îáîçíà÷åíèÿõ òåîðåìû Õîï à î âëîæåíèè As ∼ = An−s è ñóæåíèå îðìû ïåðåñå÷åíèé íà An−s × Bs íåâûðîæäåíî, ñð. [SE62, III, 2.1℄. 89
9. (a) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãî òåîðåìû Õîï à î âëîæåíèè äëÿ öåëûõ êîý èöèåíòîâ è ñâîáîäíîé ÷àñòè. (b)  ïðåäïîëîæåíèÿõ 8f îðìà çàöåïëåíèÿ ìíîãîîáðàçèÿ N îáðàùàåòñÿ â íîëü íà êàæäîì èç äâóõ ïðÿìûõ ñëàãàåìûõ G [GS99, Exer ise 4.5.12.d℄. ( ) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãî òåîðåìû Õîï à î âëîæåíèè äëÿ öåëûõ êîý èöèåíòîâ è êðó÷åíèÿ. (d) RP 3 × RP 3 íå âëîæèìî â R7 [ARS01℄. (e) (RP 3 )r íå âëîæèìî â R3r+1 [ARS01℄. 3 10. (a) Ïðîèçâåäåíèå òîðà ñ äûðêîé íà îêðóæíîñòü íå âëîæèìî â R . 1 3 (b) K5 × S íå âëîæèìî â R . ( ) Êàêèå ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ ãðà îâ âëîæèìû â R3 [Sk03℄? (d) A S 1 -ðàññëîåíèÿ íàä ãðà àìè? (e)* A T -ðàññëîåíèÿ íàä ãðà àìè (îïðåäåëåíèå àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ I - è S 1 ðàññëîåíèé â ïóíêòå 'ïðîñòåéøèå ðàññëîåíèÿ' ãëàâû 5)? (f)* Êàêèå I -ðàññëîåíèÿ íàä 2-ïîëèýäðàìè âëîæèìû â R3 ? A S 1 -ðàññëîåíèÿ? (g)* Êàêèå êîñûå ïðîèçâåäåíèÿ ãðà îâ âëîæèìû â R3 ?
90
ËÀÂÀ 5. Ï ÈÌÅÍÅÍÈß ÕÀ ÀÊÒÅ ÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÊËÀÑÑÎÂ
He looked at the snail. Can it see me? he wondered. Then he felt, how little I know, and how little it is possible to know; and with this thought he experien ed a moment of joy. I. Murdo h, The Flight From The En hanter. 11 ÂÂÅÄÅÍÈÅ È ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÅÇÓËÜÒÀÒÛ
 1935 ãîäó Õîï ðàññêàçàë î ðåçóëüòàòàõ Øòè åëÿ î ñèñòåìàõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà Ìåæäóíàðîäíîé òîïîëîãè÷åñêîé êîí åðåíöèè â Ìîñêâå. Òàì âûÿñíèëîñü, ÷òî Õàññëåð Óèòíè îêîëî 1934 ã. òîæå åñòåñòâåííî ïðèøåë ê îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ, èçó÷àÿ êëàññè÷åñêóþ ïðîáëåìó òîïîëîãèè î âëîæèìîñòè è ïîãðóæàåìîñòè ìíîãîîáðàçèé. Òåïåðü ìû ðàáîòàåì â ãëàäêîé êàòåãîðèè, ò.å. âñå ìíîãîîáðàçèÿ, âåêòîðíûå ïîëÿ è îòîáðàæåíèÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ ãëàäêèìè. Ìíîãîîáðàçèÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ êîìïàêòíûìè. Îòîáðàæåíèå f : N → Rm ìíîãîîáðàçèÿ N íàçûâàåòñÿ ïîãðóæåíèåì, åñëè df (x) íåâûðîæäåí äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ N . Ïîãðóæåíèå f : N → Rm íàçûâàåòñÿ âëîæåíèåì, åñëè îíî èíúåêòèâíî. Óèòíè íà÷àë ñ äîêàçàòåëüñòâà âëîæèìîñòè n-ìíîãîîáðàçèé â R2n (ñì. ãëàâó 7). Åãî ïîñòðîåíèå ïðåïÿòñòâèé ê âëîæèìîñòè (n-ìíîãîîáðàçèé â Rm ïðè m < 2n) áûëî îñíîâàíî íà èäåå ðàññìîòðåíèè îêðåñòíîñòè âëîæåííîãî ìíîãîîáðàçèÿ N . Óèòíè ïåðâûé ðàññìàòðèâàë âçàèìîîòíîøåíèå ìåæäó N ⊂ Rm è åãî îêðåñòíîñòüþ â Rm . Îí ñîçäàë òåîðèþ ñ åðè÷åñêèõ ðàññëîåíèé è ââåë òàê íàçûâàåìûå êëàññû Øòè åëÿ Óèòíè wk ∈ Hn−k (N ) è íîðìàëüíûå (äâîéñòâåííûå) êëàññû Øòè åëÿÓèòíè w k ∈ Hn−k (N ) ãëàäêîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N , êîòîðûå ñ òåõ ïîð èãðàþò áîëüøóþ ðîëü â òîïîëîãèè è äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè. Èñïîëüçóÿ ñâîþ òåîðèþ, Óèòíè äîêàçàë íåâëîæèìîñòü íåêîòîðûõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ. m n m m−1 Òåîðåìà Óèòíè. Åñëè RP âëîæèìî â R èëè ïîãðóæàåìî â R , òî n ÷åòíî. n 2n−2 Ñëåäñòâèå. Åñëè n åñòü ñòåïåíü äâîéêè, òî RP íå ïîãðóæàåìî â R è íå 2n−1 âëîæèìî â R . 0. (a) Âûâåäèòå Ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Óèòíè. i (b) Åñëè RP n âëîæèìî â Rm èëè ïîãðóæàåìî â Rm−1 , òî ÷åòíî äëÿ ëþáîãî n i m 6 i 6 2n (è äàæå ÷åòíî äëÿ ëþáûõ 1 6 s 6 n è m 6 i 6 2s, ÷òî âûòåêàåò èç s ïðåäûäóùåãî è òîæäåñòâà Ïàñêàëÿ, à ïîýòîìó íå äàåò íîâîé èí îðìàöèè). n ïîãðóæàåìî â Rn+1 , òî Òåîðåìà Óèòíè äëÿ êîðàçìåðíîñòè 1. Åñëè RP ëèáî n + 1, ëèáî n + 2 ÿâëÿþòñÿ ñòåïåíÿìè äâîéêè. Ïîçæå áûëî ïðîäåëàíî ìíîãî äðóãèõ êîíêðåòíûõ âû÷èñëåíèé, äàþùèõ èíòåðåñíûå ñëåäñòâèÿ. Òåîðåìà Õå ëèãåðà-Õèðøà. Ïóñòü N ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè n > 3. Åñëè ëèáî n íå åñòü ñòåïåíü äâîéêè, ëèáî N îðèåíòèðóåìî, ëèáî N íåçàìêíóòî, òî N âëîæèìî â R2n−1 è ïîãðóæàåìî â R2n−2 [RS99℄, [Sk08℄. 11 Îí ïîñìîòðåë íà óëèòêó. 'Ìîæåò ëè îíà âèäåòü ìåíÿ?' çàäóìàëñÿ îí. Òîãäà îí ïî÷óâñòâîâàë, êàê ìàëî îí çíàåò, è êàê ìàëî âîçìîæíî çíàòü; è ýòà ìûñëü ïðèíåñëà åìó ðàäîñòü. À. Ìåðäîê, Áåãñòâî îò âîëøåáíèêà, ïåð. àâòîðà.
91
Äëÿ n = 3 è n = 4 ýòà òåîðåìà áûëà äîêàçàíà ïîçæå è äðóãèìè àâòîðàìè, ñì. ññûëêè â [Sk08℄. Òåîðåìó Õå ëèãåðà-Õèðøà îáîáùàþò çàìå÷àòåëüíàÿ òåîðåìà Êîýíà: ëþáîå n-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ïîãðóæàåìî â R2n−α(n) [Co85℄ (íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè ñ÷èòàþò, ÷òî â åå äîêàçàòåëüñòâå èìåþòñÿ ïðîáåëû) è ãèïîòåçà Ìàññè: ëþáîå n-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå âëîæèìî â R2n+1−α(n) .  ïåðâîì ïóíêòå ïåðâîãî ïàðàãðà à ìû ñòðîèì ïðåïÿòñòâèÿ Óèòíè ê âëîæèìîñòè, îðìàëüíî íå èìåþùåãî îòíîøåíèÿ ê òåîðèè Øòè åëÿ. Ïîñòðîåíèå ýòîãî ïðåïÿòñòâèÿ áîëåå ïðîñòî è áóäåò ïðîèëëþñòðèðîâàíî íà ìàëîìåðíîì ïðèìåðå äîêàçàòåëüñòâå íåâëîæèìîñòè áóòûëêè Êëÿéíà â R4 . Âòîðîé ïóíêò îðìàëüíî íåçàâèñèì îò ïåðâîãî. Òàì ìû ñòðîèì ïðåïÿòñòâèå Óèòíè ê ïîãðóæàåìîñòè (àíàëîãè÷íî òåîðèè Øòè åëÿ). Ýòî ïîñòðîåíèå íå âèäíî íà ìàëîìåðíûõ ïðèìåðàõ (ïåðâûé íåòðèâèàëüíûé ïðèìåð: íåïîãðóæàåìîñòü RP 4 â R6 ). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Óèòíè íàìå÷åíî âî âòîðîì ïàðàãðà å. À âîò îò äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìà Õå ëèãåðà-Õèðøà ìû ñìîæåì íàìåòèòü òîëüêî áîëåå ïðîñòóþ ÷àñòü (ò.å. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìàññè èç âòîðîãî ïàðàãðà à). Áîëåå ñëîæíàÿ ÷àñòü îáðàòíàÿ òåîðåìà Óèòíè î ïðåïÿòñòâèè (êîòîðàÿ âåðíà ëèøü ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ) [RS99℄, [Sk08℄. Ïðè ïîìîùè õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ áûëè ïîëó÷åíû òàêæå ïåðâûå áëåñòÿùèå äîñòèæåíèÿ òåîðèè êëàññè èêàöèè ìíîãîîáðàçèé, êîòîðûå îðìóëèðóþòñÿ è îáñóæäàþòñÿ â ïîñëåäíåì ïàðàãðà å ýòîé ãëàâû. Çàìêíóòûå ìíîãîîáðàçèÿ N1 è N2 íàçûâàþòñÿ êîáîðäàíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ìíîãîîáðàçèå (êîáîðäèçì) ñ ãðàíèöåé N1 ⊔ N2 (ïðè ýòîì îäíî èç ìíîãîîáðàçèé ìîæåò áûòü ïóñòûì). Êëàññè èêàöèÿ ìíîãîîáðàçèé ñ òî÷íîñòüþ äî êîáîðäèçìà áûëà íà÷àòà Ïîíòðÿãèíûì â 1930-õ â êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà ê âàæíûì è òðóäíûì ïðîáëåìàì êëàññè èêàöèè ìíîãîîáðàçèé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð èçìà è êëàññè èêàöèè îñíàùåííûõ ìíîãîîáðàçèé ñ òî÷íîñòüþ äî îñíàùåííîãî êîáîðäèçìà (ñì. ãëàâó 6). Çàâåðøåíà îíà áûëà òåîðåìîé åíå Òîìà; ýòîò ðåçóëüòàò âìåñòå ñ îáîáùåíèÿìè áûë óäîñòîåí Ôèëäñîâñêîé ìåäàëè 1952 ã. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Òîìà áûëà ïîëó÷åíà îðìóëà Õèðöåáðóõà (ñâÿçûâàþùàÿ ñèãíàòóðó îðìû ïåðåñå÷åíèé ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè êëàññàìè). Îíà ñäåëàëà âîçìîæíîé ñëåäóþùåå îòêðûòèå, à òàêæå äàëüíåéøèå ðåçóëüòàòû î êëàññè èêàöèè ìíîãîîáðàçèé ñ òî÷íîñòüþ äî äè åîìîð èçìà. Ïðèìåð ñ åðû Ìèëíîðà. Ñóùåñòâóåò çàìêíóòîå 7-ìíîãîîáðàçèå, ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíîå ñ åðå S 7 , íî íå äè åîìîð íîå åé. ÂËÎÆÈÌÎÑÒÜ È ÏÎ ÓÆÀÅÌÎÑÒÜ ÌÍÎ ÎÎÁ ÀÇÈÉ Ïðåïÿòñòâèå Óèòíè ê âëîæèìîñòè.
Êóñî÷íî-ëèíåéíûì âëîæåíèåì f : N → Rm íàçûâàåòñÿ èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, ëèíåéíîå â íåêîòîðîé òðèàíãóëÿöèè. Äîêàçàòåëüñòâî íåñóùåñòâîâàíèÿ êóñî÷íî-ëèíåéíîãî âëîæåíèÿ áóòûëêè Êëÿéíà K â R3 . Âîçüìåì êóñî÷íî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå f : K → R3 îáùåãî ïîëîæåíèÿ (ò.å. òàêîå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé òðèàíãóëÿöèè áóòûëêè Êëÿéíà K îáðàçû íèêàêèõ ÷åòûðåõ âåðøèí íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè). Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî ñàìîïåðåñå÷åíèé Σ(f ) := Cl{x ∈ K | #f −1 f x > 1}.
(a) Åñëè f âëîæåíèå, òî Σ(f ) = ∅. (b) Σ(f ) ïîäãðà äàííîé òðèàíãóëÿöèè. ( ) Σ(f ) öèêë, òî åñòü ñòåïåíü ëþáîé åãî âåðøèíû ÷åòíà. Âîçüìåì òåïåðü îêðóæíîñòü S â K , êîòîðàÿ ïðè îáû÷íîì ïðåäñòàâëåíèè áóòûëêè Êëåéíà â âèäå êâàäðàòà ñî ñêëååííûìè ñòîðîíàìè ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàæäîé èç ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí êâàäðàòà, ñêëåèâàþùèõñÿ áåç ïåðåêðóòêè. Ýòó îêðóæíîñòü ìîæíî 1.
92
ñ÷èòàòü ïîäãðà îì äâîéñòâåííîé òðèàíãóëÿöèè. Ïîýòîìó S ïåðåñåêàåò Σ(f ) â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê (è ïðè÷åì òðàíñâåðñàëüíî). Îïðåäåëèì S -ïðåïÿòñòâèå Óèòíè êàê wf := #(S ∩ Σ(f )) mod 2. Íåâëîæèìîñòü áóòûëêè Êëåéíà â R3 âûòåêàåò òåïåðü èç ïóíêòîâ 2a, 2b è 3d ñëåäóþùèõ çàäà÷. 2. (a) Åñëè f âëîæåíèå, òî wf = 0. (b) Äëÿ ñòàíäàðòíîãî îòîáðàæåíèÿ f0 : K → R3 âûïîëíåíî wf0 = 1. 3 3. àññìîòðèì êóñî÷íî-ëèíåéíóþ ãîìîòîïèþ F : K × I → R × I îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìåæäó f = f1 è f0 (ò.å. òàêóþ ãîìîòîïèþ, äëÿ êîòîðîé îáðàçû íèêàêèõ ïÿòè âåðøèí òðèàíãóëÿöèè ïðîèçâåäåíèÿ K × I íå ëåæàò â îäíîé òðåõìåðíîé ãèïåðïëîñêîñòè). Îïðåäåëèì Σ(F ) àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. (a) Σ(fi ) ∩ S = Σ(F ) ∩ (S × i). (b) Σ(F ) ∩ (S × I) ãðà (âîîáùå, Σ(F ) 2-ïîëèýäð). ( )  ýòîì ãðà å âåðøèíû íå÷åòíîé ñòåïåíè âñòðå÷àþòñÿ òîëüêî íà S × {0, 1} (âîîáùå, ∂[Σ(F )] = [Σ(f0 )] − [Σ(f1 )] è #∂(Σ(F ) ∩ (S × I)) mod 2 = w(f0 ) − w(f1 )). (d) wf íå çàâèñèò îò f . Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî äîêàçàòü íåâëîæèìîñòü áóòûëêè Êëÿéíà K â R3 ñ èñïîëüçîâàíèåì ìíîãîìåðíîãî àíàëîãà òåîðåìû Æîðäàíà: åñëè áû áóòûëêà Êëÿéíà áûëà áû âëîæåíà â R3 , òî ðàçáèâàëà áû R3 . Ïðè ïîìîùè ýòîé èäåè äîêàçûâàåòñÿ íåâëîæèìîñòü íåîðèåíòèðóåìûõ n-ìíîãîîáðàçèé â Rn+1 , íî íå ïîëó÷àåòñÿ äîêàçàòü íåâëîæèìîñòü n-ìíîãîîáðàçèé â Rm äëÿ m > n + 1. Äëÿ ïîñëåäíåãî íóæíû ïðåïÿòñòâèÿ ê 'ñòàðøåé îðèåíòèðóåìîñòè', ò.å. ïðåïÿòñòâèÿ Óèòíè.
(a) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå Óèòíè ê âëîæèìîñòè RP 2 â R3 è äîêàæèòå íåâëîæèìîñòü RP 2 â R3 . (b) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå Óèòíè 4.
W m−n (N ) := [Σ(f )] ∈ H2n−m (N, Z(m−n) )
ê âëîæèìîñòè n-ìíîãîîáðàçèÿ N â Rm êàê ãîìîëîãè÷åñêèé êëàññ ìíîæåñòâà ñàìîïåðåñå÷åíèé äëÿ îòîáðàæåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ [Sk08, 2℄. ( )* Äîêàæèòå íåâëîæèìîñòü RP 4 â R7 . Óêàçàíèå: åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî ñì. ñëåäóþùèé ïóíêò. Íîðìàëüíûå êëàññû Óèòíè. m
Ïóñòü f : N → R ïîãðóæåíèå çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N . Àíàëîãè÷íî ïàðàãðà ó 'âåêòîðíûå ïîëÿ' ìîæíî îïðåäåëèòü íîðìàëüíûé êëàññ Ýéëåðà W m−n (f ) ∈ H2n−m (N ; Z) êàê ïðåïÿòñòâèå ê ïîñòðîåíèþ íåíóëåâîãî íîðìàëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ (ñð. ïóíêò 'íîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ'). Àíàëîãè÷íî ìíîãîìåðíîé òåîðåìå Øòè åëÿ î ïðåïÿòñòâèè ìîæíî îïðåäåëèòü íîðìàëüíûé êëàññ Øòè åëÿ-Óèòíè W k (f ) ∈ Hn−k (N ; Z(k−1) ) êàê ïðåïÿòñòâèå ê ïîñòðîåíèþ íàáîðà èç m − n + 1 − k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé (1 < k < m − n). Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç Z(i) îáîçíà÷àåòñÿ ãðóïïà Z äëÿ ÷åòíîãî i è Z2 äëÿ íå÷åòíîãî i. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòîò êëàññ íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîãðóæåíèÿ f ïðè èêñèðîâàííîì N è m > n + k , à ïîýòîìó îáîçíà÷àåòñÿ W k (N ). À âîò êëàññ W m−n (f ) ìîæåò çàâèñåòü îò âûáîðà ïîãðóæåíèÿ f : íàïðèìåð, ñóùåñòâóþò âëîæåíèÿ çàìêíóòûõ íåîðèåíòèðóåìûõ 2-ìíîãîîáðàçèé â R4 ñ ðàçíûìè êëàññàìè Ýéëåðà. Ïðèâåäåíèå ïîñëåäíåãî êëàññà ïî ìîäóëþ äâà w k (N ) ∈ Hn−k (N ; Z2 ) (1 < k 6 m − n) íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì êëàññîì Øòè åëÿ-Óèòíè ìíîãîîáðàçèÿ N (îïðåäåëèòå ñàìè, ÷òî òàêîå w 1 (N ) ∈ Hn−1 (N ; Z2 )). 93
Äîêàçàòåëüñòâî íåçàâèñèìîñòè W k (f ) îò f ïðè k < m − n. Âîçüìåì äâà ïîãðóæåíèÿ f : N → Rm è g : N → Rp . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî p = m. Ïðè m > 2n + 1 ïî îáùåìó ïîëîæåíèþ ïîãðóæåíèÿ f è g ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû (îïðåäåëåíèå íàïîìíåíî â ïóíêòå 'òåîðåìà Ñìåéëà-Õèðøà'). Îòñþäà W k (f ) = W k (g). Ïðè m < 2n + 1 îáîçíà÷èì ÷åðåç i âêëþ÷åíèå i : Rm ⊂ R2n+1 . Òîãäà W k (f ) = W k (i ◦ f ) = W k (i ◦ g) = W k (g).
Çäåñü äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òîëüêî ïåðâîå ðàâåíñòâî. Ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ èç äîêàçàòåëüñòâà ìíîãîìåðíîé òåîðåìû Øòè åëÿ î ïðåïÿòñòâèè (ñì. ãëàâó 3). àññìîòðèì îòîáðàæåíèå Vm−n,m−n−k+1 → Vs+m−n,s+m−n−k+1 , îïðåäåëåííîå äîáàâëåíèåì s âåêòîðîâ. Òîãäà èíäóöèðîâàííîå îòîáðàæåíèå πk−1 (Vm−n,m−n−k+1 ) → πk−1 (Vs+m−n,s+m−n−k+1 )
ÿâëÿåòñÿ èçîìîð èçìîì (ñì. çàäà÷ó 5 íèæå). Ïîýòîìó ïðåïÿòñòâèå W k (f ) ðàâíî ïðåïÿòñòâèþ W k (i ◦ f ) ê ïîñòðîåíèþ ñåìåéñòâà èç s + m − n + 1 − k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé äëÿ ïîãðóæåíèÿ i ◦ f . 5. Îòîáðàæåíèå πl (Vu+l,u ) → πl (Vu+l+1,u+1 ), èíäóöèðîâàííîå äîáàâëåíèåì îäíîãî âåêòîðà, ÿâëÿåòñÿ èçîìîð èçìîì ïðè u > 1 èëè ÷åòíîì l, è ÿâëÿåòñÿ ýïèìîð èçìîì Z → Z2 ïðè u = 1 è íå÷åòíîì l. Óêàçàíèå. àññìîòðèòå òî÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàññëîåíèÿ Vu+l,u → Vu+l+1,u+1 → S u+l . Âîñïîëüçóéòåñü [Pr06, Òåîðåìà 11.4℄. Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî (íå èñïîëüçóþùåå ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè, íî çàòî èñïîëüçóþùåå ïîíÿòèÿ êàñàòåëüíîãî è íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèé) ïðèâåäåíî â ñëåäóþùåì ïóíêòå. Çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûé àêò ÷àñòî ëèáî íå äîêàçûâàþò (íàïðèìåð, [FF89, äîêàçàòåëüñòâî Ëåììû 1 íà ñòð. 178℄ íåïîëíî), ëèáî äîêàçûâàþò î÷åíü ñëîæíî ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè ðàññëîåíèé è îðìóëû Óèòíè-Âó [Pr06℄ (çàäà÷à 6.a íèæå). Òåîðåìà Óèòíè î ïðåïÿòñòâèè. Ïóñòü N çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå nìíîãîîáðàçèå. Åñëè N ïîãðóæàåìî â Rm , òî W s (N ) = 0 ∈ Hn−s (N ) ïðè s > m − n. Åñëè æå N âëîæèìî â Rm , òî è W m−n (N ) = 0 ∈ H2n−m (N ). f
i
→ Rm − → Rm+n Äîêàæèòå ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Óêàçàíèå: äëÿ êîìïîçèöèè N − ïîãðóæåíèÿ è âêëþ÷åíèÿ ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî èç n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé, ïîýòîìó W m−n+1 (N ) = W m−n+1 (i ◦ f ) = 0. m âëîæåíèå 7. Ïóñòü N çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå n-ìíîãîîáðàçèå, f : N → R è f ′ : N → Rm áëèçêîå ê f îòîáðàæåíèå. (a) îìîëîãè÷åñêèé êëàññ îðèåíòèðîâàííîãî ïîãðóæåííîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ Cl f −1 f ′ N (ìíîãîîáðàçèÿ N ) ðàâåí êëàññó W m−n (f ). Óêàçàíèå: íà÷íèòå ñî ñëó÷àÿ m = 2n. (b) Ýòîò êëàññ íóëåâîé. Óêàçàíèÿ. Âîçüìåì ãîìîòîïèþ F : N × I → Rm îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìåæäó f ′ è îòîáðàæåíèåì, îáðàç êîòîðîãî íå ïåðåñåêàåò f (N ). Òîãäà Cl f −1 F N åñòü îðèåíòèðîâàííîå ïîãðóæåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå (ìíîãîîáðàçèÿ N ) ñ êðàåì Cl f −1 f ′ N . Ïîýòîìó [Cl f −1 f ′ N ] = 0. ( ) Äîêàæèòå âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Óêàçàíèå: W m−n (N ) = W m−n (f ) = [Cl f −1 f ′ N ] = 0. (d)* Îïðåäåëåíèÿ ïðåïÿòñòâèÿ Óèòíè W m−n (N ) èç ïðåäûäóùåãî è ýòîãî ïóíêòîâ ýêâèâàëåíòíû. 8.* Àíàëîãè÷íî íîðìàëüíûì êëàññàì Øòè åëÿ-Óèòíè ìîæíî îïðåäåëèòü íîðìàëüíûå êëàññû Ïîíòðÿãèíà pk (N ) ∈ Hn−4k (N ; Z) äëÿ îðèåíòèðóåìîãî nìíîãîîáðàçèÿ N . 6.
94
(a) Îíè ïðåïÿòñòâóþò ïîãðóæàåìîñòè: åñëè N ïîãðóæàåìî â Rm , òî pk (N ) = 0 äëÿ 2k > m − n. (b) Îíè ïðåïÿòñòâóþò âëîæèìîñòè: åñëè N âëîæèìî â Rm è m − n = 2k , òî pk (N ) = 0. ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÕÀ ÀÊÒÅ ÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÊËÀÑÑΠÏðîñòåéøèå ðàññëîåíèÿ.
 ýòîì ïóíêòå ìû íå äîêàæåì íîâûõ òåîðåì, íî ââåäåì íåêîòîðûå îáúåêòû, âàæíûå äëÿ äàëüíåéøåãî (è âîîáùå â ìàòåìàòèêå). Ýòè îáúåêòû áëèçêè ê óòîëùåíèÿì. Ââåäåì ïîíÿòèå ðàññëîåíèÿ (êîòîðîå äîñòàâèò íàì íîâûå ïðèìåðû 3ìíîãîîáðàçèé). Äëÿ äâóëèñòíîãî íàêðûòèÿ p : N ′ → N (ñì. êîíåö ïàðàãðà à 'èíâîëþöèè') è äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ N ñîåäèíèì îòðåçêîì äâå òî÷êè èç p−1 (x). Ïîëó÷åííûé äâóìåðíûé îáúåêò íàçûâàåòñÿ ðàññëîåíèåì ñî ñëîåì îòðåçîê (èëè I ðàññëîåíèåì) íàä N . I -ðàññëîåíèÿ ýêâèâàëåíòíû, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå äâóëèñòíûå íàêðûòèÿ ýêâèâàëåíòíû. (Äëÿ çíàêîìûõ ñ îñíîâàìè òîïîëîãèè I -ðàññëîåíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü òàê. Îòîáðàæåíèå p : M → N íàçûâàåòñÿ I -ðàññëîåíèåì íàä N , åñëè ëþáàÿ òî÷êà x ∈ N èìååò òàêóþ îêðåñòíîñòü Ox, ÷òî p−1 x ∼ = Ox × I è êîìïîçèöèÿ ýòîãî ãîìåîìîð èçìà ñ ïðîåêöèåé íà Ox ñîâïàäàåò ñ p. àññëîåíèÿ p1 : M1 → N è p2 : M2 → N íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ãîìåîìîð èçì h : M1 → M2 , ÷òî p1 = p2 ◦ h.) I -ðàññëîåíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü è íåçàâèñèìî îò äâóëèñòíûõ íàêðûòèé ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ ãðà à N ñ V âåðøèíàìè è E ðåáðàìè âîçüìåì E ëåíòî÷åê, çàíóìåðîâàííûõ ÷èñëàìè 1, 2, . . . , E . Äëÿ êàæäîãî i çà èêñèðóåì ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êîíöàìè i-é ëåíòî÷êè è âåðøèíàìè i-ãî ðåáðà. Ñêëåèì êîíöû ëåíòî÷åê, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîé è òîé æå âåðøèíå. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîé âåðøèíû ýòî ìîæíî ñäåëàòü íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè (ðèñ. 52). Ïîëó÷åííûé çàíóìåðîâàííûé ðàñêðàøåííûé äâóìåðíûé îáúåêò íàçûâàåòñÿ ðàññëîåíèåì ñî ñëîåì îòðåçîê (èëè I -ðàññëîåíèåì) íàä ãðà îì N . Ïðèìåðû: öèëèíäð èëè ëèñò ̼áèóñà íàä îêðóæíîñòüþ.
èñ. 52: Ñêëåéêà êîíöîâ ëåíòî÷åê Äâà I -ðàññëîåíèÿ íàä ãðà àìè íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ìîæíî òàê ðàññòàâèòü ñòðåëî÷êè íà îòðåçêàõ ñêëåéêè, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ëåíòî÷åê îäíîãî öâåòà â ýòèõ äâóõ ðàññëîåíèÿõ ñòðåëêè íà êîíöàõ îáåèõ ëåíòî÷åê îäíîâðåìåííî ñîíàïðàâëåíû èëè îäíîâðåìåííî ïðîòèâîíàïðàâëåíû. Ïóñòü òåïåðü äàíà òðèàíãóëÿöèÿ T 2-ìíîãîîáðàçèÿ N . àñêðàñèì åå ãðàíè, ðåáðà è âåðøèíû â ðàçíûå öâåòà. Âîçüìåì ïðèçìû òåõ æå öâåòîâ, ÷òî è ãðàíè òðèàíãóëÿöèè T . àñêðàñèì áîêîâûå ãðàíè è áîêîâûå ðåáðà êàæäîé ïðèçìî÷êè â òå æå öâåòà, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì ðåáðà è âåðøèíû ñîîòâåòñòâóþùåé ãðàíè. Ñêëåèì áîêîâûå ãðàíè ïðèçìî÷åê, îêðàøåííûå â îäèí è òîò æå öâåò, òàê ÷òîáû ñêëåèëèñü áîêîâûå ðåáðà, îêðàøåííûå â îäèí è òîò æå öâåò. Äëÿ êàæäîé áîêîâîé ãðàíè ïðèçìî÷êè ýòî ìîæíî ñäåëàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè (ðèñ. 53). Ïîëó÷åííûé ðàñêðàøåííûé òðåõìåðíûé îáúåêò íàçûâàåòñÿ ðàññëîåíèåì ñî ñëîåì îòðåçîê (èëè I -ðàññëîåíèåì) íàä 2-ìíîãîîáðàçèåì N . Íàïðèìåð, ðåãóëÿðíàÿ îêðåñòíîñòü (ò.å. ìàëåíüêàÿ îêðåñòíîñòü áåç 'ëèøíèõ' äûð) äâóìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ â òðåõìåðíîì ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì I -ðàññëîåíèÿ (ò. å. ÿâëÿåòñÿ I -ðàññëîåíèåì ïðè íåêîòîðîé ðàñêðàñêå). 95
A
C
A
B
D
A
C
B
B
A C
A
D
B
A D
C
B
D B
èñ. 53: Ñêëåéêà ïðèçìî÷åê Äâà I -ðàññëîåíèÿ íàä 2-ìíîãîîáðàçèÿìè íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè íà ïðèçìàõ ìîæíî òàê ðàññòàâèòü ñòðåëî÷êè, ñîíàïðàâëåííûå äðóã ñ äðóãîì è ïàðàëëåëüíûå áîêîâûì ðåáðàì, ÷òî ñòðåëî÷êè â îäíîöâåòíûõ áîêîâûõ ãðàíÿõ ïðèçìî÷åê ýòèõ äâóõ ðàññëîåíèé îäíîâðåìåííî ñîíàïðàâëåíû èëè îäíîâðåìåííî ïðîòèâîíàïðàâëåíû. ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóþò âçàèìíî îäíîçíà÷íûå ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè èíâîëþöèé íàä N , äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä N è I -ðàññëîåíèé íàä N . S 1 -ðàññëîåíèÿ íàä ãðà àìè è èõ ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî I ðàññëîåíèÿì ñ çàìåíîé ïðÿìîóãîëüíèêîâ íà êîëüöà, ÿâëÿþùèåñÿ ïðÿìûìè ïðîèçâåäåíèÿìè îêðóæíîñòè S 1 íà ðåáðà ãðà à. S 1 -ðàññëîåíèÿ íàä 2-ìíîãîîáðàçèÿìè è èõ ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî I -ðàññëîåíèÿì ñ çàìåíîé ïðèçìî÷åê íà ïîëíîòîðèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ïðÿìûìè ïðîèçâåäåíèÿìè îêðóæíîñòè S 1 íà ãðàíè òðèàíãóëÿöèè. 1 0. Ïðîñòðàíñòâàìè S -ðàññëîåíèé ÿâëÿþòñÿ: 1 (a) X × S íàä X . (b) Áóòûëêà Êëÿéíà íàä îêðóæíîñòüþ. ( ) Ñ åðà S 3 íàä S 2 . Óêàçàíèå: ïîñòðîåíèå (íà äðóãîì ÿçûêå) ïðèâåäåíî â ãëàâå 6. (d) Ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷åííîå èç íåñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ I -ðàññëîåíèé íàä N îòîæäåñòâëåíèåì èõ ãðàíè÷íûõ äâóëèñòíûõ íàêðûòèé ïî íåêîòîðîé ýêâèâàëåíòíîñòè. (e)* ðàíèöà ðåãóëÿðíîé îêðåñòíîñòè 2-ìíîãîîáðàçèÿ N , âëîæåííîãî â R4 , íàä N. Âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ.
 òîïîëîãèè èãðàåò îãðîìíóþ ðîëü ñëåäóþùàÿ îðìàëèçàöèÿ èäåè îêðåñòíîñòè. Íàìè îíà áóäåò èñïîëüçîâàíà äëÿ âûâîäà òåîðåìû Øòè åëÿ î âåêòîðíûõ ïîëÿõ è îá àëãåáðàõ ñ äåëåíèåì èç òåîðåìû Øòè åëÿ î ïðåïÿòñòâèè (ìíîãîìåðíîé), äëÿ âûâîäà òåîðåìû Óèòíè èç òåîðåìû Óèòíè î ïðåïÿòñòâèè, à òàêæå äëÿ âûâîäà íèæåñëåäóþùåé òåîðåìû Ìàññè, èñïîëüçóåìîé ïðè äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Õå ëèãåðà-Õèðøà. Ìû ñëåäóåì [MS74, 2℄, ñð. [FF89, 19℄, [Pr04, ëàâà 5℄; ñð. ñ ïóíêòîì 'íàêðûòèÿ è ðàññëîåíèÿ'. Âåêòîðíûì ðàññëîåíèåì íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå p : E → B âìåñòå ñ çàäàíèåì ñòðóêòóðû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä R â ìíîæåñòâå p−1 b äëÿ êàæäîé òî÷êè b ∈ B , åñëè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå ëîêàëüíîé òðèâèàëüíîñòè: 96
äëÿ ëþáîé òî÷êè b ∈ B íàéäóòñÿ òàêèå åå îêðåñòíîñòü Ob ⊂ B , öåëîå ÷èñëî n > 0 è ãîìåîìîð èçì hb : Ob × Rn → p−1 Ob, ÷òî ñîîòâåòñòâèå x 7→ hb (b, x) îïðåäåëÿåò èçîìîð èçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ Rn è p−1 b. Ïðè ýòîì ïðîñòðàíñòâî B íàçûâàåòñÿ áàçîé âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ, à îòîáðàæåíèå p íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèåé. 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå êîíñòðóêöèè äåéñòâèòåëüíî äàþò âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ. Ïðèìåðû âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé (ìû ñòðîèì òîëüêî îòîáðàæåíèÿ p, à ñòðóêòóðû âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ â p-ïðîîáðàçàõ î÷åâèäíû). (ε) Òðèâèàëüíûì âåêòîðíûì ðàññëîåíèåì íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèÿ p : B × Rn → B . Äàëåå ìû îáîçíà÷àåì ÷åðåç ε îäíîìåðíîå òðèâèàëüíîå ðàññëîåíèå (áàçà êîòîðîãî ÿñíà èç êîíòåêñòà). (τ ) Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå N ãëàäêî âëîæåíî â Rm . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Tx N êàñàòåëüíóþ (n-ìåðíóþ) ïëîñêîñòü ê ìíîãîîáðàçèþ N â òî÷êå x ∈ N . Îïðåäåëèì T N := {(x, v) ∈ N × Rm | v ∈ Tx N }.
Êàñàòåëüíûì ðàññëîåíèåì τN ìíîãîîáðàçèÿ N íàçûâàåòñÿ τN : T N → N , îïðåäåëåííîå îðìóëîé τN (x, v) := x. (ν ) Ïóñòü f : N → Rm ãëàäêîå ïîãðóæåíèå. Îïðåäåëèì
îòîáðàæåíèå
E(f ) := {(x, v) ∈ N × Rm | v ⊥ Tf (x) f (N )}.
Íîðìàëüíûì ðàññëîåíèåì νf ïîãðóæåíèÿ f íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå νf : E(f ) → N , îïðåäåëåííîå îðìóëîé νf (x, v) := x. m Òåîðåìà î òðóá÷àòîé îêðåñòíîñòè. Åñëè N ⊂ R çàìêíóòîå ãëàäêîå êîìïàêòíîå ïîäìíîãîîáðàçèå è E ïðîñòðàíñòâî íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèÿ ê N , òî ñóùåñòâóåò ãëàäêîå âëîæåíèå E → Rm , ïðè êîòîðîì íóëåâîå ñå÷åíèå ïåðåõîäèò â N. (ζn ) Íàïîìíèì, ÷òî RP n åñòü ïðîñòðàíñòâî ïðÿìûõ â Rn+1 , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Îïðåäåëèì E(ζn ) := {(y, v) ∈ RP n × Rn+1 | v ∈ y}.
Òàâòîëîãè÷åñêèì ðàññëîåíèåì íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ζn : E(ζn ) → RP n , îïðåäåëåííîå îðìóëîé ζn (y, v) := y . (*) Ïóñòü B = ∪i Ui îòêðûòîå ïîêðûòèå è ϕij : Ui ∩ Uj → On íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ ϕii = E,
Ïîëîæèì E :=
è ϕik = ϕij ϕjk .
ϕij = ϕ−1 ji [
U i × Rn
è p[x, s] = x.
{(x,s)=(x,ϕij s)}x∈Ui ∩Uj
Âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ p1 : E1 → B è p2 : E2 → B ñ îäèíàêîâîé áàçîé íàçûâàþòñÿ èçîìîð íûìè (îáîçíà÷åíèå: p1 ∼ = p2 ), åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîð èçì f : E1 → E2 , −1 äëÿ êîòîðîãî p2 f = p1 è ñóæåíèå f |p−1 b : p−1 1 b → p2 b åñòü èçîìîð èçì âåêòîðíûõ 1 ïðîñòðàíñòâ. 2. (a) τS 1 , τS 3 è τS 7 òðèâèàëüíû. (b) τN òðèâèàëüíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååòñÿ n êàñàòåëüíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà N . ( ) τS 2k íåòðèâèàëüíî. (d) τ(S 1 )n òðèâèàëüíî. 97
(e) E(ζ1 ) åñòü ëèñò Ìåáèóñà, à ζ1 ïðîåêöèÿ íà åãî ñðåäíþþ ëèíèþ. (f) ζn ∼ = ν(RP n ⊂ RP n+1 ). (g) Ëþáîå âåêòîðíîå ðàññëîåíèå íàä øàðîì B n èçîìîð íî òðèâèàëüíîìó. (h)* Ëþáîå âåêòîðíîå ðàññëîåíèå (íàä êîíå÷íûì ïîëèýäðîì B ) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî êîíñòðóêöèåé (*). (Ïîýòîìó êîíñòðóêöèÿ (*) äîñòàâëÿåò ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíå âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ.) Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ðàññëîåíèå p : E → B . Îòîáðàæåíèå s : B → E íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèåì ðàññëîåíèÿ p, åñëè p ◦ s = idB . Ñå÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïîñëîéíî ãîìîòîïíûìè, åñëè îíè ãîìîòîïíû â êëàññå ñå÷åíèé. ßñíî, ÷òî êàñàòåëüíîå (íîðìàëüíîå) âåêòîðíîå ïîëå òî æå, ÷òî ñå÷åíèå êàñàòåëüíîãî (íîðìàëüíîãî) ðàññëîåíèÿ. 3. (a) Ó ïðîåêöèè p ëèñòà ̼áèóñà íà åãî ñðåäíþþ ëèíèþ ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíî ñå÷åíèå (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîé ãîìîòîïíîñòè). (b) Îáîçíà÷èì ÷åðåç S(p) ìíîæåñòâî êëàññîâ ïîñëîéíîé ãîìîòîïíîñòè ñå÷åíèé ðàññëîåíèÿ p. Îïèøèòå S(p) äëÿ ñòàíäàðòíîé ïðîåêöèè p : K → S 1 áóòûëêè Êëÿéíà íà îêðóæíîñòü. (ñ) ζn íå ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì íè ïðè êàêîì n (óêàçàíèå: äîêàæèòå, ÷òî ζn íå èìååò íåíóëåâîãî ñå÷åíèÿ). Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû Ýéëåðà e(ξ) è Øòè åëÿ-Óèòíè wi (ξ) ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ ξ îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî âûøåèçëîæåííîìó êàê ïðåïÿòñòâèÿ ê ïîñòðîåíèþ ñåìåéñòâ ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ñå÷åíèé. ßñíî, ÷òî wi (τN ) = wi (N ) è wi (νf ) = w i (N ). Çàìåòèì, ÷òî e(ξ) ∈ Z äëÿ ðàññëîåíèÿ íàä ëþáûì çàìêíóòûì ìíîãîîáðàçèåì, äàæå íåîðèåíòèðóåìûì. (Çäåñü åùå ðàç âèäíî ïðåèìóùåñòâî 'ãîìîëîãè÷åñêîãî' ïîäõîäà íàä 'êîãîìîëîãè÷åñêèì': 'êîãîìîëîãè÷åñêèé' êëàññ Ýéëåðà êàñàòåëüíîãî è íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèé ê íåîðèåíòèðóåìîìó ìíîãîîáðàçèþ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ñêðó÷åííûõ êîãîìîëîãèÿõ, êîòîðûå èçîìîð íû Z ââèäó ñêðó÷åííîãî èçîìîð èçìà Ïóàíêàðå.) Ïóñòü p1 : E1 → B è p2 : E2 → B âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ ñ îäèíàêîâîé áàçîé. Îïðåäåëèì E(p1 ⊕ p2 ) := {(x, y) ∈ E1 × E2 | p1 (x) = p2 (y)}. Ñóììîé Óèòíè âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé p1 è p2 íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå p1 ⊕ p2 : E(p1 ⊕ p2 ) → B , îïðåäåëåííîå îðìóëîé p1 ⊕ p2 (x, y) := p1 (x) = p2 (y). 4. (a) Ýòî äåéñòâèòåëüíî âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ. (b) ζ1 ⊕ ζ1 ∼ = 2ε ( ) τS 2 ⊕ ε ∼ = 3ε. (d) τ ⊕ νf ∼ = mε. (e) Äîêàæèòå íåçàâèñèìîñòü w k (f ) îò f ïî ñëåäóþùåìó ïëàíó. Âîçüìåì äâà ïîãðóæåíèÿ f, g : N → Rm è âêëþ÷åíèå i : Rm → R2m . Òàê êàê τN ⊕ νf ∼ = mε, = τN ⊕ νg ∼ ∼ òî νf ⊕ mε = νg ⊕ mε. Òî åñòü íîðìàëüíûå ðàññëîåíèÿ ïîãðóæåíèé i ◦ f è i ◦ g èçîìîð íû. Çíà÷èò, wk (f ) = wk (i ◦ f ) = w k (i ◦ g) = w k (g). Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé p1 : E1 → B1 è p2 : E2 → B2 íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå p1 ⊕ p2 : E1 × E2 → B1 × B2 , îïðåäåëåííîå îðìóëîé (p1 × p2 )(x, y) := (p1 (x), p2 (y)) (ñ î÷åâèäíî îïðåäåëÿåìûìè ñòðóêòóðàìè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ â ñëîÿõ). 5. (a) τN1 ×N2 = τN1 × τN2 . (b) wi (ξ ⊕ nε) = wi (ξ). Óêàçàíèå.  ýòîì è äâóõ ñëåäóþùèõ ïóíêòàõ ïîëåçíà íå îðìàëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êëàññîâ Øòè åëÿ-Óèòíè (ñì. âûøå). ( ) w1 (ξ ⊕ η) = w1 (ξ) ⊕ w1 (η). (d) Åñëè dim ξ = m è dim η = n, òî wm+n (ξ ⊕ η) = wm (ξ)wn (η) è wm+n (ξ × η) = wm (ξ) × wn (η). 98
(e) Ôîðìóëà Óèòíè-Âó. Ïîëíûé êëàññ Øòè åëÿ-Óèòíè ðàññëîåíèÿ ξ îïðåäåëÿåòñÿ êàê w(ξ) := 1 + w1 (ξ) + w2 (ξ) + . . .. Òîãäà w(ξ ⊕ η) = w(ξ)w(η)
è
w(ξ × η) = w(ξ) × w(η).
Óêàçàíèå. Äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ èñïîëüçóéòå îðìóëó Êþííåòà. Ôîðìóëó äëÿ ñóììû âûâåäèòå èç îðìóëû äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ (ñì. íèæå) Ïóñòü f : B ′ → B íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå è p : E → B âåêòîðíîå ðàññëîåíèå. Îïðåäåëèì E(f ∗ p) := {(x, y) ∈ B ′ × E | f x = py}. Èíäóöèðîâàííûì ðàññëîåíèåì íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå f ∗ p : E(f ∗ p) → B ′ , îïðåäåëåííîå îðìóëîé f ∗ p(x, y) := x. (ñ î÷åâèäíî îïðåäåëÿåìûìè ñòðóêòóðàìè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ â ñëîÿõ). 6. (a) Ñóììà Óèòíè ðàññëîåíèé èíäóöèðîâàíà èç èõ ïðîèçâåäåíèÿ äèàãîíàëüíûì îòîáðàæåíèåì x 7→ (x, x). (b) Âûâåäèòå îðìóëó Óèòíè-Âó äëÿ ñóììû èç òàêîé îðìóëû äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ. (ñ) Ôîðìóëà Óèòíè-Âó äëÿ êëàññîâ Ïîíòðÿãèíà. Ïîëíûé êëàññ Ïîíòðÿãèíà ðàññëîåíèÿ ξ îïðåäåëÿåòñÿ êàê p(ξ) := 1 + p1 (ξ) + p2 (ξ) + . . .. Åñëè Hi (B; Z) íå èìåþò 2-êðó÷åíèÿ, òî p(ξ ⊕ η) = p(ξ)p(η) è p(ξ × η) = p(ξ) × p(η). ßñíî, ÷òî åñëè n-ìíîãîîáðàçèå N ïîãðóæàåìî â Rn+k , òî ñóùåñòâóåò k -ðàññëîåíèå ν íàä N òàêîå, ÷òî ν ⊕ τN ∼ = (n + k)ε. (Íåîáõîäèìîå óñëîâèå èç òåîðåìû Óèòíè î ïðåïÿòñòâèè àêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî ðàññëîåíèÿ ν ââèäó îðìóëû Óèòíè-Âó 5 ). Ýòî íåîáõîäèìîå óñëîâèå îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íûì. Òåîðåìà Ñìåéëà-Õèðøà (î ïîãðóæàåìîñòè). Ïóñòü N ãëàäêîå nìíîãîîáðàçèå. Åñëè ñóùåñòâóåò k -ðàññëîåíèå ν íàä N òàêîå, ÷òî ν ⊕ τN ∼ = (n + k)ε, òî N ïîãðóæàåìî â Rn+k [Hi60℄, ñì. òàêæå [HP64℄, [HH62℄, [Sk02℄. Äâà ïîãðóæåíèÿ f, g : N → S m íàçûâàþòñÿ ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ïîãðóæåíèå F : N × I → S m × I , äëÿ êîòîðîãî (i) F (x, 0) = (f (x), 0) è F (x, 1) = (g(x), 1) äëÿ ëþáîãî x ∈ N (ii) F (N × {t}) ⊂ S m × {t} äëÿ ëþáîãî t ∈ I . Òåîðåìà Ñìåéëà-Õèðøà (î ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè). Åñëè f è g ïîãðóæåíèÿ òàêèå, ÷òî df, dg : T N → Rn+k ãîìîòîïíû â êëàññå ëèíåéíûõ ìîíîìîð èçìîâ, òî f è g ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû. [Hi60℄, ñì. òàêæå [HP64℄, [HH62℄, [Sk02℄. Ñòåïåíè äâîéêè è êëàññû Øòè åëÿ-Óèòíè (íàáðîñîê).
Äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé ýòîãî ïóíêòà óäîáíî îáîçíà÷èòü H s := Hn−s . (Çäåñü íèêàêîãî äðóãîãî ñìûñëà, êðîìå ïåðåîáîçíà÷åíèé, íå ïîäðàçóìåâàåòñÿ, à âîîáùå îí èìååòñÿ.) Òîãäà óìíîæåíèå (ò.å. áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ïåðåñå÷åíèÿ) â ãîìîëîãèÿõ n-ìíîãîîáðàçèÿ óñòðîåíî òàê: H k × H l → H k+l . ∼ (n + 1)ζn . 7. (a) τRP n ⊕ ε = n+1 n−1 ] ∈ Hn−1 (RP n ) ∼ (b) w(RP n ) = (1 = Z2 îáðàçóþùàÿ. + a) , ãäå a = [RP n + 1 ( ) wi (RP n ) = ai äëÿ 0 6 i 6 n. i n+1 ÷åòíî äëÿ ëþáîãî i = 1, 2, . . . , n, òî n + 1 åñòü ñòåïåíü äâîéêè. (d) Åñëè i (e) Äîêàæèòå òåîðåìó Øòè åëÿ îá àëãåáðàõ ñ äåëåíèåì. (f) Äîêàæèòå òåîðåìó Øòè åëÿ î âåêòîðíûõ ïîëÿõ. 8. (a) w(N ) ∩ w(N ) = 1. 99
−n − 1 i n+i i a = a äëÿ 0 6 i 6 n. i i ( ) Äîêàæèòå òåîðåìó Óèòíè. (d) Åñëè n-ìíîãîîáðàçèå N ïîãðóæàåìî â Rn+1 , òî wi (N ) = (w1 (N ))i . (e) Äîêàæèòå òåîðåìó Óèòíè äëÿ êîðàçìåðíîñòè 1. 9. (a) τCP n ⊕ εC ∼ = (n + 1)ζn,C êàê êîìïëåêñíûå âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ. 2 n+1 n−1 (b) p(CP n ) = (1 + ] ∈ H2n−2 (CP n ) ∼ = Z îáðàçóþùàÿ. a ) , ãäå a = [CP n + 1 2i n ( ) pi (CP ) = a äëÿ 1 6 i 6 n/2, i n i n+i a2i äëÿ 1 6 i 6 n/2. (d) pi (CP ) = (−1) i (e) CP 2 íå âëîæèìî â R6 . n+i n m m−1 , òî (f) Åñëè CP âëîæèìî â R èëè ïîãðóæàåìî â R = 0 ïðè n m − n 6 2i 6 n. Äëÿ êëàññîâ Øòè åëÿ-Óèòíè ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ âûïîëíÿþòñÿ èíòåðåñíûå ñîîòíîøåíèÿ. (Íà ýòîì îñíîâàíû òåîðåìà Õå ëèãåðà-Õèðøà è ìíîãèå äðóãèå ðåçóëüòàòû.) Íàïðèìåð, ñòàðøèé íîðìàëüíûé êëàññ âñåãäà òðèâèàëåí, à èç íåòðèâèàëüíîñòè ñëåäóþùåãî êëàññà ñëåäóåò, ÷òî ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ åñòü ñòåïåíü äâîéêè. Òåîðåìà Ìàññè. Äëÿ çàìêíóòîãî ãëàäêîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ N (1) W n (N ) = 0. (2) Åñëè ëèáî n íå åñòü ñòåïåíü äâîéêè, ëèáî N îðèåíòèðóåìî, òî W n−1 (N ) = 0 [Ma60℄, [Ma62℄. (3) Åñëè q ìåíüøå êîëè÷åñòâà åäèíèö â äâîè÷íîé çàïèñè ÷èñëà n, òî wn−q (N ) = 0 [Ma60℄. Óòâåðæäåíèå (1) áûëî âûâåäåíî åùå Óèòíè èç òîãî, ÷òî ëþáîå n-ìíîãîîáðàçèå âëîæèìî â R2n . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìàññè èíòåðåñíî òåì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ïðèìåíåíèÿ ñëåäóþùåãî âàæíîãî ïîíÿòèÿ. Ïóñòü êëàññ [X] ∈ Hn−k (N ) ðåàëèçóåòñÿ âëîæåíèåì i : X ⊂ N . Ïîëîæèì
(b) w i (RP n ) =
Sq s [X] := i∗ ws (νN (X)) ∈ Hn−k−s (N )
ðàâíûì i∗ -îáðàçó s-ãî êëàññà Øòè åëÿ-Óèòíè íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèÿ âëîæåíèÿ (ýòî îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíî îáùåïðèíÿòîìó [FF89, ñëåäñòâèå íà ñòðàíèöå 263℄). Äàëåå çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå N èêñèðîâàíî è ïðîïóñêàåòñÿ èç îáîçíà÷åíèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ. Âñå êëàññû, îò êîòîðûõ áåðåòñÿ Sq s , ñ÷èòàþòñÿ ðåàëèçóåìûìè âëîæåíèÿìè (ñì. ïóíêò 'ðåàëèçàöèÿ öèêëîâ ïîäìíîãîîáðàçèÿìè' ïðåäûäóùåé ãëàâû). Áóäåò ïîëåçíà íå îðìàëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êëàññîâ Øòè åëÿ-Óèòíè. Èç íåå âûòåêàåò, ÷òî êëàññû Øòè åëÿ-Óèòíè ðåàëèçóþòñÿ íåñâÿçíûìè îáúåäèíåíèÿìè ïîäìíîãîîáðàçèé. 10. (a) Ïðîâåðüòå êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè Sq s îòíîñèòåëüíî ãîìîëîãè÷íîñòè, ðåàëèçóåìîé ïîäìíîãîîáðàçèåì. (b) Îáùåå ïîëîæåíèå. Åñëè x ∈ Hn−k (N ), òî Sq s x = 0 äëÿ s > k . ( ) Ñëó÷àé êëàññà Ýéëåðà. Åñëè x ∈ Hn−k (N ), òî Sq k x = x ∩ x. (d) Sq 1 = ρ2 β , ãäå ρ2 ïðèâåäåíèå ïî ìîäóëþ 2 è β ãîìîìîð èçì Áîêøòåéíà (ñì. ïàðàãðà 'ïðîñòåéøèå ìåòîäû' ãëàâû 4). (e) Ôîðìóëà Êàðòàíà äëÿ Sq 1 . Sq 1 (x ∩ y) = x ∩ Sq 1 y + (Sq 1 x) ∩ y . Pk (f)* Ôîðìóëà Êàðòàíà. Sq k (x ∩ y) = s=0 (Sq s x) ∩ (Sq k−s y). s (g) Sq k x2 ðàâíî 0 ïðè k 6= 0, 2s . 100
11. Ïóñòü N îðèåíòèðóåìî. (a) Sq 1 wn−1 = 0. (b)* Sq 1 w2j+1 = 0. ( )* Sq 1 w2j = w2j+1 . (d)* βw2j = W2j+1 . 12. (a) Äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí òàêîé êëàññ vk ∈ Hn−k (N ), ÷òî Sq k x = x ∩ vk ïðè ëþáîì x ∈ Hk (N ). Óêàçàíèå: äîêàæèòå, ÷òî Sq k : Hk (N ) → Z2 ãîìîìîð èçì è èñïîëüçóéòå äâîéñòâåííîñòü Ïóàíêàðå. (b) v1 = w1 (ò.å. Sq 1 wn−1 = w1 ∩ wn−1 ). ( ) Åñëè N îðèåíòèðóåìî, òî v2 = w2 = w 2 . k P Sq s vk−s [MS74, Theorem 11.14℄. 13.* Ôîðìóëû Âó. (a) wk =
s=1
k P (b) Åñëè x ∈ Hk (N ) è k > 0, òî wk ∩ x = wk−i ∩ Sq i x [Ma60℄. i=1 k P m−i−1 wi ∩ wm+k−i [FF89, 30.2.A℄. ( ) Sq k wm = k−i i=1 Pk (d) Sq k x = x ∩ s=1 Sq k−s ws [FF89, 30.2.D℄. Ïîñêîëüêó îïåðàöèè Sq s ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ãîìîòîïè÷åñêè, èç îðìóëû Âó 13a âûòåêàåò, ÷òî êëàññû Øòè åëÿ-Óèòíè ìíîãîîáðàçèÿ ãîìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíû. Ñì. äðóãèå îðìóëû Âó â [MS74, Problem 11.E℄, [MS74, Problem 11.F℄. Äîêàçàòåëüñòâî ïóíêòà (1) òåîðåìû Ìàññè ïî ìîäóëþ 2 âûòåêàåò èç îðìóëû Âó 13b è îáùåãî ïîëîæåíèÿ (10b):
w n = [N ] ∩ w n = w n−1 ∩ Sq 1 [N ] + wn−2 ∩ Sq 2 [N ] + . . . = 0.
×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü èäåþ äîêàçàòåëüñòâà ïóíêòà (2) òåîðåìû Ìàññè ïî ìîäóëþ 2, ïîêàæåì, ÷òî w 3 = 0 äëÿ îðèåíòèðóåìîãî 4-ìíîãîîáðàçèÿ N . Äëÿ ëþáîãî x ∈ H3 (N ) èìååì w 3 ∩ x = w 2 ∩ Sq 1 x + w 1 ∩ Sq 2 x + Sq 3 x = w 2 ∩ x2 = x4 = Sq 1 x3 = 0.
Çäåñü ïåðâîå ðàâåíñòâî âåðíî ïî îðìóëå Âó (13b), âòîðîå ïî îáùåìó ïîëîæåíèþ è ïîñêîëüêó Sq 1 x = x2 (ñëó÷àé êëàññà Ýéëåðà), òðåòüå ïîñêîëüêó w2 = v2 , ÷åòâåðòîå ïî îðìóëå Êàðòàíà äëÿ k = 1 (10e), à ïîñëåäíåå ïîñêîëüêó è N è îêðóæíîñòü, ïðåäñòàâëÿþùàÿ êëàññ x3 , îðèåíòèðóåìû. 4 14.* (a) Äîêàæèòå íàïðÿìóþ ðàâåíñòâî x = 0. (b) w3 = 0 äëÿ îðèåíòèðóåìîãî 4-ìíîãîîáðàçèÿ N [Ki89, II.4℄. Óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå π2 (SO4 ) = 0. k
(a) wn−1 ∩ x = wn−2k ∩ x2 äëÿ x ∈ Hn−1 (N ). Óêàçàíèå: èíäóêöèÿ ïî k ñ èñïîëüçîâàíèåì îðìóëû Âó 13b è ñëåäñòâèÿ 10g (îáùåãî ïîëîæåíèÿ è îðìóëû Êàðòàíà). (b) Äîêàæèòå ïóíêò (2) òåîðåìû Ìàññè ïî ìîäóëþ 2. ( ) Äîêàæèòå ïóíêò (2) òåîðåìû Ìàññè. Óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå ñîîòíîøåíèå βw2j = W2j+1 . 16.* (a) Sq 1 Sq 1 = 0. (b) Ñîîòíîøåíèÿ Àäåìà. Åñëè 0 < a < 2b, òî 15.
Sq a Sq b =
[a/2]
X j=0
b−1−j Sq a+b−j Sq j a − 2j
101
mod 2.
(ñ) Äîêàæèòå ïóíêò (3) òåîðåìû Ìàññè. Óêàçàíèå. Ïåðåñå÷åíèå ñ êëàññîì w n−1 äàåò îòîáðàæåíèå Hn−1 (N ) → H0 (N ). Ïî îðìóëå Âó åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó èòåðèðîâàííûõ ñòèíðîäîâûõ êâàäðàòîâ Sq I := Sq i1 Sq i2 . . . Sq ik äëÿ ðàçíûõ I = (i1 , i2 , . . . , ik ). Èç ñîîòíîøåíèé Àäåìà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé èòåðèðîâàííûé ñòèíðîäîâ êâàäðàò åñòü ñóììà äîïóñòèìûõ, ò.å. óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ i1 > 2i2 , . . . , i2 > 2i3 . . .. Ïîýòîìó åñëè w n−q 6= 0, òî äëÿ íåêîòîðûõ q ∈ Hn−1 (N ) è äîïóñòèìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè I èìååì Sq I x 6= 0. Êëàññè èêàöèÿ ðàññëîåíèé.
Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îäíîìåðíûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé íàä çàìêíóòûì îðèåíòèðóåìûì n-ìíîãîîáðàçèåì N íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ Hn−1 (N ). Óêàçàíèå. Íà÷íèòå ñ n = 2. Ìîæíî äåëàòü àíàëîãè÷íî êëàññè èêàöèè èíâîëþöèé (ãëàâà 2) èëè ñâåñòè ê íåé. Âåêòîðíîå ðàññëîåíèå p : E → B íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðóåìûì, åñëè â âåêòîðíûõ ïðîñòðàíòâàõ p−1 b çàäàíû îðèåíòàöèè, ïðè÷åì èçîìîð èçì x 7→ hb (b, x) ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ. Îðèåíòèðîâàííûå âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ p1 : E1 → B è p2 : E2 → B ñ îäèíàêîâîé áàçîé íàçûâàþòñÿ îðèåíòèðîâàííî èçîìîð íûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîð èçì −1 f : E1 → E2 , äëÿ êîòîðîãî p2 f = p1 è ñóæåíèå f |p−1 b : p−1 1 b → p2 b åñòü ñîõðàíÿþùèé 1 îðèåíòàöèþ èçîìîð èçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. 18. (a) Êàêèå ðàññëîåíèÿ èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà ÿâëÿþòñÿ îðèåíòèðóåìûìè? (b) Ëþáûå äâà îäíîìåðíûõ îðèåíòèðóåìûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèÿ íàä îäíîé áàçîé îðèåíòèðóåìî ýêâèâàëåíòíû. ( ) Îïðåäåëèòå êëàññ Ýéëåðà e(ξ) êàê ïðåïÿòñòâèå ê ïîñòðîåíèþ íåíóëåâîãî ñå÷åíèÿ äëÿ îðèåíòèðóåìîãî âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ ξ . (d) e(ξ ⊕ η) = e(ξ) ∩ e(η) è e(ξ × η) = e(ξ) × e(η). (e) Ëþáûå äâà îðèåíòèðóåìûõ äâóìåðíûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèÿ íàä 2ìíîãîîáðàçèåì ñ íåïóñòîé ãðàíèöåé îðèåíòèðóåìî ýêâèâàëåíòíû. (f) Ìíîæåñòâî îðèåíòèðóåìûõ äâóìåðíûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé íàä çàìêíóòûì îðèåíòèðóåìûì ñâÿçíûì 2-ìíîãîîáðàçèåì ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòèðóåìîé ýêâèâàëåíòíîñòè íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ Z. Çàìå÷àíèå: òî æå âåðíî äëÿ îðèåíòèðóåìûõ S 1 -ðàññëîåíèé. (g)* Êàê èçìåíèòñÿ ðåçóëüòàòû ïóíêòîâ (e) è (f) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ 2ìíîãîîáðàçèé? (h)* Êàê èçìåíèòñÿ ðåçóëüòàò ïóíêòà (f) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðíûõ äâóìåðíûõ ðàññëîåíèé? Ñð. [MF90℄. Îïðåäåëåíèå ãîìîòîïíîñòè îòîáðàæåíèé íàïîìíåíî â íà÷àëå ãëàâû 6.  ñëåäóþùèõ äâóõ çàäà÷àõ p : E → B îäíîìåðíîå âåêòîðíîå ðàññëîåíèå. 19. (a) îìîòîïíûå îòîáðàæåíèÿ èíäóöèðóþò ýêâèâàëåíòíûå ðàññëîåíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, îðìóëà [f ] 7→ f ∗ ζm êîððåêòíî çàäàåò îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà [B, RP m ] ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé B → RP m â ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè n-ìåðíûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé íàä ïîëèýäðîì B . (b) Îòîáðàæåíèå f : B → RP m , äëÿ êîòîðîãî p ≃ f ∗ ζm , ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé ìîíîìîð èçì F : E → Rm+1 (ò.å. îòîáðàæåíèå, êîòîðîå íà êàæäîì ñëîå ðàññëîåíèÿ p : E → B ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìîíîìîð èçìîì). ( ) Äëÿ êàêèõ m ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé ìîíîìîð èçì E(ζ1 ) → Rm (îòíîñèòåëüíî ðàññëîåíèÿ ζ1 )? (d) Äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ B ñóùåñòâóåò åå îêðåñòíîñòü Ox â B è ëèíåéíûé ìîíîìîð èçì F : p−1 Ox → R. 17.
102
(e) Îòîáðàæåíèå F : E → Rm+1 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìîíîìîð èçìîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ B ñóùåñòâóåò òàêîå i, ÷òî îòîáðàæåíèå p ri ◦ F |p−1 x : p−1 x → R ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìîíîìîð èçìîì. Ëèíåéíûì óíêöèîíàëîì f : E → R íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, ëèíåéíîå (íî íå îáÿçàòåëüíî ìîíîìîð íîå) íà ñëîÿõ ðàññëîåíèÿ p. 20. (a) Äëÿ ëþáîãî ïîäïîëèýäðà B1 ⊂ B ëþáîé ëèíåéíûé óíêöèîíàë f1 : p−1 B1 → R ïðîäîëæàåòñÿ äî ëèíåéíîãî óíêöèîíàëà f : E → R. (b) Äëÿ íåêîòîðîãî m ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé ìîíîìîð èçì f : E → Rm+1 . Èíûìè ñëîâàìè, îòîáðàæåíèå [f ] 7→ f ∗ ζm ñþðúåêòèâíî. Óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå êîìïàêòíîñòü ïîëèýäðà B . ( ) Îòîáðàæåíèå [f ] 7→ f ∗ ζm èíúåêòèâíî ïðè m > 2 dim B + 2. (d) Äëÿ íåêîòîðîãî m îòîáðàæåíèå [f ] 7→ f ∗ ζm áèåêòèâíî. Ìíîãîîáðàçèåì ðàññìàíà G(m, n) íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî âñåõ n-ìåðíûõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ â Rm . Íàïðèìåð, G(m, 1) ∼ = RP m−1 . Òåîðåìà êëàññè èêàöèè âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé. Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè n-ìåðíûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé íàä ïîëèýäðîì B íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì [B, G(m, n)] ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé B → G(m, n) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì m. Âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå èç ñ îðìóëèðîâàííîé òåîðåìû ëåãêî îïèñàòü. Îïðåäåëèì E(ζm,n ) := {(α, v) ∈ G(m, n) × Rm | v ∈ α}. Îïðåäåëèì òàâòîëîãè÷åñêèì ðàññëîåíèå ζm,n : E(ζm,n ) → G(m, n) îðìóëîé ζm,n (α, v) := α.
Ñîîòâåòñòâèå èç òåîðåìû çàäàåòñÿ îðìóëîé [f ] 7→ f ∗ ζm,n . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû àíàëîãè÷íî òîëüêî ÷òî äîêàçàííîìó åå îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ. 21. (a) Äîêàæèòå òåîðåìó (äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n). (b) Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà êëàññè èêàöèè îðèåíòèðóåìûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé. Ìíîæåñòâî êëàññîâ (îðèåíòèðóåìîé) ýêâèâàëåíòíîñòè n-ìåðíûõ îðèåíòèðóåìûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé íàä ïîëèýäðîì B ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì m íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì [B, G+ (m, n)] ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé B → G+ (m, n) â îðèåíòèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå ðàññìàíà âñåõ îðèåíòèðóåìûõ n-ìåðíûõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ â Rm . Íàïðèìåð, G+ (m, 1) ∼ = S m−1 . Ïðè ïîìîùè ïðèâåäåííûõ òåîðåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû ìîæíî ïîëó÷àòü èç êîãîìîëîãèé ïðîñòðàíñòâ G(m, n) èëè G+ (m, n). Èíîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû òàê è îïðåäåëÿþòñÿ. Òàêîå àáñòðàêòíîå àëãåáðàè÷åñêîå îïðåäåëåíèå óäîáíî äëÿ âû÷èñëåíèé (íàïèìåð, èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà), íî íåóäîáíî äëÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé. Óêàçàíèÿ ê íåêîòîðûì çàäà÷àì.
Íàïîìíèì, ÷òî
. Òîãäà . Òàâòîëîãè÷åñêîå ðàññëîåíèå îïðåäå. Òîãäà íóæíûé èçîìîð èçì ðàññëîåíèé .
RP n = {{x, −x} | x ∈ S n ⊂ Rn+1 } E(ζn ) := {({±x}, v) ∈ | v k x} ζn ({±x}, v) := {±x} ±(x, v) ⊕ (±x, λ) 7→ (±x, v + λx) Óêàçàíèå ê 7a.
ëÿåòñÿ îðìóëîé çàäàåòñÿ îðìóëîé
RP n
× Rn+1
Ï ÅÏßÒÑÒÂÈß Ê ÊÎÁÎ ÄÀÍÒÍÎÑÒÈ ×èñëà Ýéëåðà è Øòè åëÿ-Óèòíè.
103
Íàïîìíèì, ÷òî âñå ìíîãîîáðàçèÿ â êíèãå ïðåäïîëàãàþòñÿ êîìïàêòíûìè. (a) Åñëè A è B çàìêíóòûå ìíîãîîáðàçèÿ è A = ∂M , òî A × B = ∂(M × B). (b) Ëþáîå îäíîìåðíîå èëè äâóìåðíîå çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ êðàåì íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ. ( ) Ëþáîå äâóìåðíîå çàìêíóòîå íåîðèåíòèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå ÷åòíîé ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè ÿâëÿåòñÿ êðàåì íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ. (d) RP 2k+1 ÿâëÿåòñÿ êðàåì íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ. (e)* Ëþáîå çàìêíóòîå 3-ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ êðàåì íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ (äëÿ îðèåíòèðóåìûõ ñì. [Ki89, VII, Theorem 2℄, äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñì. [St68, Chapter 6℄). 2 2. (a) RP íå ÿâëÿåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ. Ïåðâîå ðåøåíèå. Ïóñòü, íàïðîòèâ, M 3-ìíîãîîáðàçèå è ∂M ∼ = RP 2 . Îáîçíà÷èì ′ ′ ÷åðåç M êîïèþ ìíîãîîáðàçèÿ M . Òîãäà 0 = χ(M ∪RP 2 M ) = χ(M ) + χ(M ′ ) − χ(RP 2 ), îòêóäà χ(RP 2 ) ÷åòíî. Ïðîòèâîðå÷èå. Âòîðîå ðåøåíèå. Ïóñòü, íàïðîòèâ, M 3-ìíîãîîáðàçèå è ∂M ∼ = RP 2 . Òîãäà τ (M )|∂M ∼ = τ (∂M ) ⊕ ε. = τ (∂M ) ⊕ ν(∂M ⊂ M ) ∼ 1.
Ïîýòîìó 0 = e(M ) ∩ ∂M = e(∂M ) 6= 0, ãäå e êëàññ Ýéëåðà ïî ìîäóëþ 2 è ðàâåíñòâà îçíà÷àþò ñðàâíåíèÿ ïî ìîäóëþ 2. Òðåòüå ðåøåíèå. Ïóñòü, íàïðîòèâ, M 3-ìíîãîîáðàçèå è ∂M ∼ = RP 2 . Òîãäà w1 (∂M ) = ∂w1 (M ), ãäå ∂ : H2 (M, ∂M ) → H1 (M ) ãðàíè÷íûé ãîìîìîð èçì. Ïóñòü (ω, ∂ω) ⊂ (M, ∂M ) 2-ïîäìíîãîîáðàçèå êðàåì, ðåàëèçóþùåå êëàññ w2 (M ). Òîãäà ∂ω ⊂ ∂M ðåàëèçóåò êëàññ w1 (∂M ). Çíà÷èò, ω ∩M ω åñòü 1-ïîäìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì ∂ω ∩∂M ∂ω . Ïîýòîìó w1 (∂M ) ∩ w1 (∂M ) = 0, ÷òî íåâåðíî äëÿ ∂M = RP 2 . (b) Íåîðèåíòèðóåìàÿ òåîðåìà Ïîíòðÿãèíà (ïðîñòîé ñëó÷àé). Åñëè çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ, òî åãî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ÷åòíà. (Ýòà òåîðåìà èíòåðåñíà òîëüêî äëÿ ÷åòíîìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé.) ( ) Çàìêíóòîå 2-ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ÷åòíà. (d) RP n ÿâëÿåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n íå÷åòíî ([FF89, Óïðàæíåíèå 29℄ ìîæíî óñèëèòü). (e) CP 2k íå ÿâëÿåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ. (f) RP 2 × RP 2 íå ÿâëÿåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ. Óêàçàíèå: e(RP 2 × RP 2 ) = e(RP 2 )2 ≡ 1 mod 2. (g) Ïðè êàêîì óñëîâèè RP n1 × . . . RP nk ÿâëÿåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ? 3. (a) Åñëè ìíîãîîáðàçèÿ ãîìåîìîð íû, òî îíè êîáîðäàíòíû. Îáðàòíîå íåâåðíî. (b) Åñëè íåïóñòûå ìíîãîîáðàçèÿ êîáîðäàíòíû, òî èõ ðàçìåðíîñòè ðàâíû. àçìåðíîñòü êîáîðäèçìà íà 1 áîëüøå ðàçìåðíîñòè òîãî èç ìíîãîîáðàçèé M1 , M2 , êîòîðîå íåïóñòî. ( ) Ìíîãîîáðàçèÿ êîáîðäàíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå ÿâëÿåòñÿ êðàåì íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ. (d) Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïóñòûõ íåêîáîðäàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè. 2 2 4 4. (a) Ìíîãîîáðàçèÿ RP × RP è RP íå êîáîðäàíòíû. Èíûìè ñëîâàìè, íå ñóùåñòâóåò ìíîãîîáðàçèÿ ñ ãðàíèöåé N := RP 2 × RP 2 ⊔ RP 4 . Óêàçàíèå. Àíàëîãè÷íî òðåòüåìó äîêàçàòåëüñòâó òîãî, ÷òî RP 2 íå îãðàíè÷èâàåò. Èñïîëüçóéòå w1 (N ) = (a + b, c), w1 (N )4 = (0, c4 ) è 0 + c4 6= 0. (b) Íå ñóùåñòâóåò ìíîãîîáðàçèÿ, ãðàíèöåé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ íåïóñòîå îáúåäèíåíèå îäíîãî, äâóõ èëè òðåõ ðàçëè÷íûõ ìíîãîîáðàçèé èç N1 := RP 6 , N2 = RP 4 × RP 2 è N3 := RP 2 × RP 2 × RP 2 . 104
( ) Äîêàæèòå ÷àñòü 'òîëüêî òîãäà' ñëåäóþùåãî ðåçóëüòàòà (ïðèíàäëåæàùóþ Ïîíòðÿãèíó). Íåîðèåíòèðóåìàÿ òåîðåìà Òîìà. Çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Σwi1 (N ) ∩ . . . ∩ wis (N ) = 0
äëÿ ëþáûõ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ i1 , . . . , is ñ i1 + . . . + is = n. Çäåñü Σ îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå êîìïîíåíò âåêòîðà wi1 (N ) ∩ . . . ∩ wis (N ) (êîòîðûå íóìåðóþòñÿ êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ N ). Èíûìè ñëîâàìè, çàìêíóòûå ìíîãîîáðàçèÿ N1 è N2 êîáîðäàíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Σwi1 (N1 ) ∩ . . . ∩ wis (N1 ) = Σwi1 (N2 ) ∩ . . . ∩ wis (N2 ) äëÿ ëþáûõ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ i1 , . . . , is ñ i1 + . . . + is = n. ×àñòü 'òîãäà' äîêàçûâàåòñÿ ãîðàçäî òðóäíåå ÷àñòè 'òîëüêî òîãäà' [St68℄. ×èñëîì Øòè åëÿ-Óèòíè n-ìíîãîîáðàçèÿ N (îòâå÷àþùèì ðàçáèåíèþ n = i1 + . . . + is ) íàçûâàåòñÿ ÷èñëî wi1 ,...,is (N ) := Σwi1 (N ) ∩ . . . ∩ wis (N ). Íà ìíîæåñòâå ΩO êëàññîâ êîáîðäèçìà çàìêíóòûõ ìíîãîîáðàçèé (âñåâîçìîæíûõ ðàçìåðíîñòåé) èìåþòñÿ îïåðàöèè íåñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ è (äåêàðòîâà, èëè ïðÿìîãî) ïðîèçâåäåíèÿ. 5. (a) Ýòè îïåðàöèè äåéñòâèòåëüíî êîððåêòíî îïðåäåëåíû. (b) Ìíîæåñòâå ΩO ñ ýòèìè îïåðàöèÿìè ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì êîììóòàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé è ñîîòíîøåíèåì a + a = 0. (ñ)* Äëÿ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ðàññìîòðèì ãèïåðïîâåðõíîñòü H ⊂ RP 4 × RP 2 ñòåïåíè (1, 1). Òîãäà H ÿâëÿåòñÿ 5-ìíîãîîáðàçèåì è íå ÿâëÿåòñÿ êðàåì íèêàêîãî ìíîãîîáðàçèÿ. (d)* Äëÿ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ðàññìîòðèì ãèïåðïîâåðõíîñòü p+1 p Hp,q ⊂ RP 2 ×q × RP 2 ñòåïåíè (1, 1). Òîãäà Hp,q ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì p ðàçìåðíîñòè 2 (2q + 1) − 1 è íå ÿâëÿåòñÿ êðàåì íèêàêîãî ìíîãîîáðàçèÿ. O Êëàññè èêàöèîííàÿ òåîðåìà Òîìà. ðàäóèðîâàííîå êîëüöî Ω èçîìîð íî ãðàäóèðîâàííîìó êîëüöó ïîëèíîìîâ íàä Z2 îò îáðàçóþùèõ xi ðàçìåðíîñòè i, ãäå i ïðîáåãàåò âñå ïîëîæèòåëüíûå öåëûå ÷èñëà, íå ðàâíûå 2s − 1.  êà÷åñòâå x2i ìîæíî âçÿòü êëàññ êîáîðäèçìà ìíîãîîáðàçèÿ RP 2i . Íå÷åòíîìåðíûå îáðàçóþùèå áûëè ïîñòðîåíû, íàïðèìåð, Äîëüäîì (îðèåíòèðóåìûå) è Ìèëíîðîì (ñì. ïîñëåäíèé ïóíêò ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ). Ñèãíàòóðà è ÷èñëà Ïîíòðÿãèíà (íàáðîñîê).
(a) Êðàé îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ çàìêíóò è îðèåíòèðóåì. (b) Ëþáîå îäíîìåðíîå èëè äâóìåðíîå çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ êðàåì íåêîòîðîãî îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ. (ñ)* Ëþáîå çàìêíóòîå îðèåíòèðóåìîå 3-ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ êðàåì íåêîòîðîãî îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ [Ki89, VII, Theorem 2℄. (d) CP 2k+1 ÿâëÿåòñÿ êðàåì îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Óêàçàíèå. Ïîñòðîéòå è èñïîëüçóéòå ðàññëîåíèå S 4k+3 → CP 2k+1 ñî ñëîåì S 1 . (e) CP n ÿâëÿåòñÿ êðàåì îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n íå÷åòíî ([FF89, Óïðàæíåíèå 29℄ ìîæíî óñèëèòü). (f) Åñëè 2k -ìíîãîîáðàçèå N ÿâëÿåòñÿ êðàåì îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ, òî rk Hk (N ; Z) ÷åòåí. Íàïîìíèì, ÷òî îðèåíòèðîâàííûì ìíîãîîáðàçèåì íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå ñ èêñèðîâàííîé îðèåíòàöèåé. 6.
105
Çàìêíóòûå îðèåíòèðîâàííûå ìíîãîîáðàçèÿ N1 è N2 íàçûâàþòñÿ îðèåíòèðîâàííî êîáîðäàíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò îðèåíòèðîâàííîå ìíîãîîáðàçèå (îðèåíòèðîâàííûé êîáîðäèçì) ñ ãðàíèöåé N1 ⊔ (−N2 ) (ïðè ýòîì îäíî èç ìíîãîîáðàçèé ìîæåò áûòü ïóñòûì). ×åðåç −N2 îáîçíà÷àåòñÿ îðèåíòèðîâàííîå ìíîãîîáðàçèå, ïîëó÷åííîå èç N2 èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè. Êëàññè èêàöèÿ îðèåíòèðóåìûõ ìíîãîîáðàçèé ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòèðóåìîãî êîáîðäèçìà áûëà òàêæå íà÷àòà Ïîíòðÿãèíûì â 1930-õ. 2 2 7. (a) Ìíîãîîáðàçèÿ CP è −CP íå ÿâëÿþòñÿ îðèåíòèðîâàííî êîáîðäàíòíûìè. Èíûìè ñëîâàìè, CP 2 ⊔ CP 2 íå ÿâëÿåòñÿ êðàåì îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Óêàçàíèå: åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî ñì. ñëåäóþùèå ïóíêòû. (b) Äëÿ ∂ : Hi+1 (N ; Z) → Hi (∂N ; Z) è öåëî÷èñëåííîé îðìû ïåðåñå÷åíèé ∂a ∩ ∂a = 0 ïðè ëþáîì a. ( ) Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà Ïîíòðÿãèíà (ïðîñòîé ñëó÷àé). Åñëè 4k -ìíîãîîáðàçèå N ÿâëÿåòñÿ êðàåì îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ, òî ñèãíàòóðà σ(N ) ( îðìû ïåðåñå÷åíèé íà H2k (N ; Z)) ðàâíà íóëþ. Èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè çàìêíóòûå îðèåíòèðîâàííûå 4k -ìíîãîîáðàçèÿ N1 è N2 îðèåíòèðîâàííî êîáîðäàíòíû, òî σ(N1 ) = σ(N2 ). 8. (a) Àääèòèâíîñòü. σ(M ⊔ N ) = σ(M ) + σ(N ). (b) Ìóëüòèïëèêàòèâíîñòü. σ(M × N ) = σ(M )σ(N S ). N ) = σ(M ) + σ(N ). ( )* Àääèòèâíîñòü Íîâèêîâà- îõëèíà. σ(M ∂M=∂N
(a) Ìíîãîîáðàçèÿ CP 2 × CP 2 è CP 4 íå ÿâëÿþòñÿ îðèåíòèðîâàííî êîáîðäàíòíûìè. Èíûìè ñëîâàìè, CP 2 × CP 2 ⊔ (−CP 4 ) íå ÿâëÿåòñÿ êðàåì îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Óêàçàíèå: åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî äîêàæèòå è èñïîëüçóéòå ñëåäóþùèå ïóíêòû. (b) Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Óêàçàíèå: àíàëîãè÷íî ÷àñòè 'òîëüêî òîãäà' â íåîðèåíòèðóåìîé òåîðåìå Ïîíòðÿãèíà. Òåîðåìà Ïîíòðÿãèíà (ñëîæíûé ñëó÷àé). Åñëè 4k -ìíîãîîáðàçèå N ÿâëÿåòñÿ êðàåì îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ, òî 9.*
Σpi1 (N ) ∩ . . . ∩ pis (N ) = 0
äëÿ ëþáûõ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ i1 , . . . , is ñ i1 + . . . + is = n. Çäåñü Σ îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå êîìïîíåíò âåêòîðà pi1 (N ) ∩ . . . ∩ pis (N ) (êîòîðûå íóìåðóþòñÿ êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ N ). Èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè çàìêíóòûå îðèåíòèðîâàííûå 4k -ìíîãîîáðàçèÿ N1 è N2 îðèåíòèðîâàííî êîáîðäàíòíû, òî Σpi1 (N1 ) ∩ . . . ∩ pis (N1 ) = Σpi1 (N2 ) ∩ . . . ∩ pis (N2 )
äëÿ ëþáûõ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ i1 , . . . , is ñ i1 + . . . + is = k . ×èñëîì Ïîíòðÿãèíà 4k -ìíîãîîáðàçèÿ N (îòâå÷àþùèì ðàçáèåíèþ k = i1 + . . . + is ) íàçûâàåòñÿ ÷èñëî pi1 ,...,is (N ) := Σpi1 (N ) ∩ . . . ∩ pis (N ). 10. Åñëè N ∼ = −N , òî N ⊔ N êîáîðäàíòíî ïóñòîìó è σ(N ) = pi1 ,...,is (N ) = 0. Òåîðåìà Òîìà. Åñëè âñå ÷èñëà Ïîíòðÿãèíà çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ íóëåâûå (íàïðèìåð, åñëè åãî ðàçìåðíîñòü íå äåëèòñÿ íà 4), òî îáúåäèíåíèå íåñêîëüêèõ ýêçåìïëÿðîâ ìíîãîîáðàçèÿ X (êîòîðûå âñå áåðóòñÿ ñ îäèíàêîâîé îðèåíòàöèåé) ÿâëÿåòñÿ êðàåì çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Ïî ïîâîäó îïèñàíèÿ êîëüöà ΩSO êëàññîâ îðèåíòèðîâàííîé êîáîðäàíòíîñòè îðèåíòèðîâàííûõ ìíîãîîáðàçèé ñì. [FF89, 19.6.D, 43.2℄. 106
Òåîðåìà Õèðöåáðóõà î ñèãíàòóðå (óïðîùåííàÿ). Äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóþò òàêèå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà aj1 ,...,jr , ÷òî P äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî aj1 ,...,jr pj1 ,...,jr (M ). 4k -ìíîãîîáðàçèÿ M âûïîëíåíî σ(M ) =
j1 ,...,jr
(a) Âûâåäèòå ýòîò ðåçóëüòàò èç òåîðåìû Òîìà. (b) Äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî 4-ìíîãîîáðàçèÿ M âûïîëíåíî p1 = 3σ . Óêàçàíèå: ïî òåîðåìå Õèðöåáðóõà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ýòî äëÿ M = CP 2 . ( ) Äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî 8-ìíîãîîáðàçèÿ M âûïîëíåíî 7p2 − p1,1 = 45σ . Óêàçàíèå: ïî òåîðåìå Õèðöåáðóõà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ýòî äëÿ M = CP 4 è M = CP 2 × CP 2 . Ïîñòðîåíèå ñ åðû Ìèëíîðà. àññìîòðèì ãðà ñ âåðøèíàìè 1, . . . , 8 è ðåáðàìè 12, 23, 34, 45, 56, 67 è 58. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ãðà à âîçüìåì ñâîé ýêçåìïëÿð ïîäðàññëîåíèÿ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ äëèíû íå áîëåå 1 â êàñàòåëüíîì ðàññëîåíèè ê S 4 , è âûáåðåì ñòîëüêî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ÷åòûðåõìåðíûõ äèñêîâ â ñîîòâåòñòâóþùåì ýêçåìïëÿðå ñ åðû S 4 , ñêîëüêî ðåáåð âûõîäèò èç âåðøèíû. Äëÿ êàæäîãî ðåáðà ñêëåèì ñóæåíèÿ ðàññëîåíèé íà ÷åòûðåõìåðíûå äèñêè, ñîîòâåòñòâóþùèå êîíöàì ýòîãî ðåáðà, îòîæäåñòâëÿÿ áàçó îäíîãî ñóæåíèÿ ðàññëîåíèÿ ñî ñëîåì äðóãîãî. Ïîëó÷èòñÿ 8-ìíîãîîáðàçèå V ñ êðàåì (âîäîïðîâîäíîå ñîåäèíåíèå êàñàòåëüíûõ ðàññëîåíèé íàä ñ åðàìè ñîîáðàçíî ãðà ó). ðàíèöà ∂V ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ è åñòü ñ åðà Ìèëíîðà. Ïðèìåð ñ åðû Ìèëíîðà âûòåêàåò èç îðìóëû Õèðöåáðóõà è ñëåäóþùåé çàäà÷è. 12. (a) Ìíîãîîáðàçèå V ïàðàëëåëèçóåìî (è, çíà÷èò, p1 (V ) = 0). (b) Ñèãíàòóðà ìíîãîîáðàçèÿ V ðàâíà 8. ( ) Êðàé ∂V ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí S 7 . Ìíîãîîáðàçèå Ìèëíîðà ìîæíî ñòðîèòü è êàê S 3 -ðàññëîåíèå íàä S 4 [DNF84, 28℄. Åñëè V ñîîòâåòñòâóþùåå D4 -ðàññëîåíèå, òî ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî σ(V ) = 1 è p1,1 (V ) = 36, òîãäà ∂V ≃ S 7 , íî ∂V íå ìîæåò áûòü 7-ñ åðîé ïî îðìóëå Õèðöåáðóõà. 11.
107
ËÀÂÀ 6. ÎÌÎÒÎÏÈ×ÅÑÊÀß ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÎÒÎÁ ÀÆÅÍÈÉ
Óâû! ×òî á íè ñêàçàë ïîòîìîê ïðîñâåùåííûé, âñå òàê æå íà âåòðó, â îäåæäå îæèâëåííîé, ê ñâîèì æå Èñòèíà ñêëîíÿåòñÿ ïåðñòàì, ñ óëûáêîé æåíñêîþ è äåòñêîþ çàáîòîé, êàê áóäòî â ïðèãîðøíå ðàññìàòðèâàÿ ÷òî-òî, èç-çà åå ïëå÷à íåâèäèìîå íàì. Â. Íàáîêîâ, Äàð. 12 ÒÅÎ ÅÌÀ ÕÎÏÔÀ Îïðåäåëåíèÿ è èñòîðè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ.
Îòîáðàæåíèåì ïîäìíîæåñòâà K ïðîñòðàíñòâà Rm (íàïðèìåð, ãðà à â R2 ) â (ñòàíäàðòíóþ) îêðóæíîñòü S 1 íàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâëåíèå êàæäîé òî÷êå x ∈ K íåêîòîðîé òî÷êè f (x) ∈ S 1 . Îòîáðàæåíèå f : K → Rm çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ïîäìíîæåñòâà K íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî ïðè ëþáûõ x, y ∈ K ñ óñëîâèåì |x, y| < δ âûïîëíåíî |f (x), f (y)| < ε. Äàëåå âñå îòîáðàæåíèÿ ñ÷èòàþòñÿ íåïðåðûâíûìè è ïðèëàãàòåëüíîå 'íåïðåðûâíîå' ÷àñòî îïóñêàåòñÿ. Äëÿ ïîäìíîæåñòâà K ïðîñòðàíñòâà Rm (íàïðèìåð, ãðà à â R3 ) íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : K → S 1 ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê ñåìåéñòâî åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ f (x) â òî÷êàõ x ∈ K , ïàðàëëåëüíûõ èêñèðîâàííîé ïëîñêîñòè R2 ⊂ Rm è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò x. ( ýòîé èíòåðïðåòàöèè ìîæíî çàìåíèòü 'â òî÷êàõ x ∈ K ' íà 'â òî÷êå 0 ∈ Rm '.) Ïðè ýòîì âåêòîðû íå ñ÷èòàþòñÿ êàñàþùèìèñÿ ãðà à K (íà ñàìîì äåëå, äëÿ K 6∼ = S 1 òàêîå êàñàíèå âîîáùå íåëüçÿ îïðåäåëèòü). Äâà îòîáðàæåíèÿ f0 , f1 : K → S 1 íàçûâàþòñÿ ãîìîòîïíûìè (îáîçíà÷åíèå: f0 ≃ f1 ), åñëè ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî ft : K → S 1 îòîáðàæåíèé, íåïðåðûâíî çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà t ∈ [0, 1]. (Ïîñëåäíåå ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ òàêîãî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ F : K × [0, 1] → X , ÷òî F (x, 0) = f0 (x) è F (x, 1) = f1 (x).) 1. (a) Ëþáûå äâà îòîáðàæåíèÿ äåðåâà â îêðóæíîñòü ãîìîòîïíû. (b) Îòîáðàæåíèå ∂D2 → S 1 ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ïðîäîëæàåòñÿ íà D2 . ( ) å ëåêñèâíîñòü. f ≃ f . (d) Ñèììåòðè÷íîñòü. Åñëè f ≃ g , òî g ≃ f . (e) Òðàíçèòèâíîñòü. Åñëè f ≃ g è g ≃ h, òî f ≃ h. Óêàçàíèå. Ïîëîæèì ( H1 (x, 2t) 0 6 t 6 1/2 H(x, t) = , H2 (x, 2t − 1) 1/2 6 t 6 1 ãäå H1 è H2 ãîìîòîïèè, ñîåäèíÿþùèå f è g , g è h, ñîîòâåòñòâåííî. Èòàê, ãîìîòîïíîñòü îòîáðàæåíèé îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [K, S 1 ] ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé K → S 1 ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèè. Íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ â äðóãèå ïðîñòðàíñòâà Y îïðåäåëÿþòñÿ íèæå àíàëîãè÷íî. Èõ ãîìîòîïíîñòü è ìíîæåñòâî [K, Y ] îïðåäåëÿþòñÿ äîñëîâíî òàê æå. Çàäà÷à î êëàññè èêàöèè íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïíîñòè, ðàññìàòðèâàåìàÿ â ýòîé ãëàâå, îäíà èç âàæíåéøèõ â àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè, 12 Alas! In vain historians pry and probe: The same wind blows, and in the same live robe Truth bends her head to ngers urved upwise; And with a woman's smile and a
hild's are Examines something she is holding there Con ealed by her own shoulders from our eyes. V. Nabokov, Gift.
108
ïîñêîëüêó ê íåé ñâîäÿòñÿ ìíîãèå äðóãèå çàäà÷è òîïîëîãèè è åå ïðèëîæåíèé. Îñíîâíàÿ òåîðåìà òîïîëîãèè î ãîìîòîïè÷åñêîé êëàññè èêàöèè îòîáðàæåíèé S n → S n áûëà äîêàçàíà Õàéíöåì Õîï îì â 1926 ã. ñ èñïîëüçîâàíèåì èíâàðèàíòà 'ñòåïåíü', ââåäåííîãî Ëåéòçåíîì Ýãáåðòîì ßíîì Áðàóýðîì â 1911 ã.  1932 ã. Õîï îáîáùèë ýòîò ðåçóëüòàò äî êëàññè èêàöèè îòîáðàæåíèé n-ïîëèýäðà â S n ('ïî çàêàçó' Ïàâëà Ñåðãååâè÷à Àëåêñàíäðîâà). Ïðèâîäèìûå çäåñü îðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Õîï à ïðèíàäëåæèò Õàññëåðó Óèòíè (1937). Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå òåîðåìà Õîï àÓèòíè ïîëó÷èëà â ðàáîòàõ Ñýìþýëÿ Ýéëåíáåðãà è Ñîíäåðñà Ìàêëåéíà (1940), Ëüâà Ñåìåíîâè÷à Ïîíòðÿãèíà (1941), Íîðìàíà Ñòèíðîäà (1947), Äæîíà åíðè Êîíñòàíòèíà Óàéòõåäà (1949) è Ìèõàèëà Ìèõàéëîâè÷à Ïîñòíèêîâà (1950). Îñíîâíàÿ òåîðåìà òîïîëîãèè (íàáðîñîê).
Òåîðåìà î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé óíêöèè ÿâëÿåòñÿ íóëüìåðíîé âåðñèåé îñíîâíîé òåîðåìû òîïîëîãèè. 2. Ñîîáðàæåíèÿ íåïðåðûâíîñòè. (a) Íà ïëîñêîñòè äàíî 2n êðàñíûõ è 2n ñèíèõ òî÷åê îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, ïî êàæäóþ ñòîðîíó îò êîòîðîé íàõîäèòñÿ ïî n êðàñíûõ è ñèíèõ òî÷åê. (b) Ïóñòü äàí (âûïóêëûé) ìíîãîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè è òî÷êà x âíå íåãî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ l, ñîäåðæàùàÿ x è äåëÿùàÿ ìíîãîóãîëüíèê íà äâå ÷àñòè ðàâíîé ïëîùàäè. ( ) Òî æå äëÿ òî÷êè x âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà. (d) Äëÿ ëþáîãî (âûïóêëîãî) ìíîãîóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, äåëÿùàÿ åãî íà äâå ÷àñòè ñ ðàâíûìè ïëîùàäÿìè è ïåðèìåòðàìè. (e) Ëþáîé ëè (âûïóêëûé) ìíîãîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè ìîæíî ðàçðåçàòü íà ÷åòûðå ÷àñòè ðàâíîé ïëîùàäè äâóìÿ ïåðåïåíäèêóëÿðíûìè ðàçðåçàìè? (f) Âñåãäà ëè ìîæíî ðàçðåçàòü ïðÿìîëèíåéíûì ðàçðåçîì áóòåðáðîä ñ ìàñëîì íà äâå ðàâíîöåííûå ÷àñòè? (g) Òî æå äëÿ áóòåðáðîäà ñ ìàñëîì è ñûðîì. (h) Íà íåðîâíîì ïîëó òàáóðåòêó âñåãäà ìîæíî ïîñòàâèòü íà âñå ÷åòûðå íîæêè. (i) Âîêðóã ëîáîé âûïóêëîé ïëîñêîé èãóðû ìîæíî îïèñàòü êâàäðàò. (j)* Ëþáóþ ïëîñêóþ âûïóêëóþ èãóðó äèàìåòðà 1 ìîæíî ïîìåñòèòü â ïðàâèëüíîì øåñòèóãîëüíèêå, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè êîòîðîãî ðàâíî 1. Îáîçíà÷èì äèñê D2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 6 1}, îêðóæíîñòü S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} = {z ∈ C : |z| = 1} è èíòåðâàë I = [0, 1]. 3. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. (1) Ëþáîå îòîáðàæåíèå f : D2 → D2 äèñêà â ñåáÿ èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó, ò.å. òàêóþ òî÷êó x ∈ D2 , ÷òî f (x) = x. (2) Íå ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèÿ äèñêà â åãî ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü, òîæäåñòâåííîãî íà ýòîé îêðóæíîñòè, ò.å. îòîáðàæåíèÿ f : D2 → S 1 , äëÿ êîòîðîãî f (x) = x ïðè x ∈ S 1 (èëè, ãîâîðÿ íå îðìàëüíî, áàðàáàí íåëüçÿ ñìÿòü íà åãî îáîä). (3) òåîðåìà ïðîäîëæàåìîñòè (èç ïóíêòà 'ñóùåñòâîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé íà 2ìíîãîîáðàçèÿõ'). (4) Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè (f (x) = x) íå ãîìîòîïíî ïîñòîÿííîìó (g(x) = 1). Íå îðìàëüíî, ñòåïåíüþ deg f îòîáðàæåíèÿ f : S 1 → S 1 íàçûâàåòñÿ ÷èñëî îáîðîòîâ âåêòîðà f (x) (âîêðóã ñâîåãî íåïîäâèæíîãî íà÷àëà) ïðè îäíîêðàòíîì îáõîäå òî÷êîé x îêðóæíîñòè S 1 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ íåïðîñòî [An03℄, [Pr04℄. 109
Ñòàíäàðòíîé n-íàìîòêîé íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå wn : S 1 → S 1 , çàäàííîå îðìóëîé wn (z) = z n . 4. (a) deg(wn ) = n (b) wn íå ãîìîòîïíî wm ïðè m 6= n. (Çíà÷èò, óòâåðæäåíèÿ ïðåäûäóùåé çàäà÷è âåðíû.) ( ) Êàæäîå îòîáðàæåíèå f : S 1 → S 1 ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ wdeg(f ) . (d) Îòîáðàæåíèÿ g, h : S 1 → S 1 ãîìîòîïíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà deg(g) = deg(h). (e) Ïîëó÷èòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. 1 1 Îñíîâíàÿ òåîðåìà òîïîëîãèè. Ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : S → S ãîìîòîïíî d-êðàòíîé íàìîòêå îêðóæíîñòè íà ñåáÿ äëÿ d = deg f , è îòîáðàæåíèÿ S 1 → S 1 ðàçíûõ ñòåïåíåé íå ãîìîòîïíû. Èíûìè ñëîâàìè, îòîáðàæåíèå deg : [S 1 , S 1 ] → Z ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì (áèåêöèåé) è ïåðåâîäèò êëàññ d-êðàòíîé íàìîòêè â ÷èñëî d. Ýòîò ðåçóëüòàò íàçâàí îñíîâíîé òåîðåìîé òîïîëîãèè ïî àíàëîãèè ñ òàê íàçûâàåìîé Îñíîâíîé òåîðåìîé àëãåáðû"(èç íåãî Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû è âûòåêàåò). Ñóòü äåëà, êîíå÷íî, ëó÷øå áû îòðàæàëè òàêèå íàçâàíèÿ êàê îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû ïîëèíîìîâ"è îñíîâíàÿ òåîðåìà îäíîìåðíîé òîïîëîãèè íî ýòè íàçâàíèÿ â ëèòåðàòóðå íå èñïîëüçóþòñÿ. Îñíîâíîé òåîðåìó òîïîëîãèè ìû íå äîêàçûâàåì, íî íå ââèäó åå ñëîæíîñòè, à ââèäó íàëè÷èÿ ïðåêðàñíûõ èçëîæåíèé åå äîêàçàòåëüñòâà â ëèòåðàòóðå [BE82, 21℄, [Pr04, 6℄. 5. Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Ëþáîé íåïîñòîÿííûé ìíîãî÷ëåí ñ êîìïëåêñíûìè êîý èöèåíòàìè èìååò êîìïëåêñíûé êîðåíü. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà è íàêðûòèÿ (íàáðîñîê).
Äëÿ ïðîñòðàíñòâà X ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé x0 ïåòëåé íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå f : [0, 1] → X , äëÿ êîòîðîãî f (0) = f (1) = x0 . 6. îìîòîïèÿ â êëàññå ïåòåëü ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå ïåòåëü [0, 1] → X . Ìíîæåñòâî π1 (X, x0 ) ïåòåëü ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïíîñòè â êëàññå ïåòåëü íàçûâàåòñÿ óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé ïðîñòðàíñòâà (X, x0 ). Îòìå÷åííóþ òî÷êó ÷àñòî íå óêàçûâàþò â îáîçíà÷åíèÿõ. ðóïïîâàÿ ñòðóêòóðà íà ìíîæåñòâå π1 (X) ââîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì [f1 ][f2 ] ðàâíûì ãîìîòîïè÷åñêîìó êëàññó îòîáðàæåíèÿ ( f1 (2t) 0 6 t 6 1/2, f1 f2 (t) = f2 (2t − 1) 1/2 6 t 6 1. Åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì íàçûâàåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ ïîñòîÿííîãî îòîáðàæåíèÿ. Îáðàòíûì ýëåìåíòîì ê [f ] íàçûâàåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ îòîáðàæåíèÿ f¯(t) := f (1 − t). àâåíñòâà [f¯][f ] = [f ][f¯] = e è ([f1 ][f2 ])[f3 ] = [f1 ]([f2 ][f3 ]) ÿñíû èç ðèñóíêîâ 54, 55. Óêàçàíèÿ è ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ èç ñëåäóþùèõ çàäà÷ åñòü â [Pr04, 2, 11℄. 7. (a) Åñëè X ëèíåéíî-ñâÿçíî, òî π1 (X, x0 ) íå çàâèñèò îò x0 . 8. Íàéäèòå óíäàìåíòàëüíûå ãðóïïû ñëåäóþùèõ ïðîñòðàíñòâ (åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, ñì. ñëåäóþùóþ çàäà÷ó). (a) êîëüöà S 1 × I ; (b) ëèñòà Ìåáèóñà; ( ) òîðà S 1 × S 1 ; (d)* ñ åðû S 2 ; (e) ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè RP 2 ; (f) 'âîñüìåðêè' S 1 ∨ S 1 ; (g) áóòûëêè Êëÿéíà ñ äûðêîé; (h)* áóòûëêè Êëÿéíà; (i) S 3 ; (j) SO3 ∼ = RP 3 ; (k) L(p, q) := S 3 /Zp . 110
x x00 x 000 x x
x x00 x 000 x x
g
f
èñ. 54: Îáðàòíûé ýëåìåíò óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû
f1
f3
f2
f1
f2
f3
èñ. 55: Àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ e → X ìåæäó ñâÿçíûìè ïîëèýäðàìè (èëè, áîëåå îáùî, ëèíåéíîÎòîáðàæåíèå p : X ñâÿçíûìè ïðîñòðàíñòâàìè) íàçûâàåòñÿ íàêðûòèåì, åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X ñóùåñòâóþò åå îêðåñòíîñòü Ox, äèñêðåòíîå ìíîæåñòâî F è ãîìåîìîð èçì h : p−1 Ox → Ox × F , äëÿ êîòîðîãî p r F ◦ h = p. e → X íàêðûòèå. 9. Ïóñòü p : X e ñ óñëîâèåì p(e (a) Äëÿ ëþáûõ ïóòè s : I → X è òî÷êè x e∈X x) = s(0) ñóùåñòâóåò e (ïîäíÿòèå ïóòè s) òàêîé, ÷òî se(0) = x ïóòü se : I → X e è p ◦ se = s. e äâà ïîäíÿòèÿ îäíîãî è (b) Òàêîå ïîäíÿòèå åäèíñòâåííî, ò.å. åñëè fe1 , fe2 : I → X e e e òîãî æå îòîáðàæåíèÿ f : I → X , ïðè÷åì f1 (0) = f2 (0), òî f1 (t) = fe2 (t) äëÿ ëþáîãî t. ( ) Äîêàæèòå (åùå ðàç) îñíîâíóþ òåîðåìó òîïîëîãèè. (d) Ëåììà î ïîäíÿòèè ãîìîòîïèè. Äëÿ ëþáûõ ãîìîòîïèè {ft : I → X}t∈I è ïîäe ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïîäíÿòèå {fet : I → X} e t∈I ãîìîòîïèè ft . íÿòèÿ fe0 : I → X −1 −1 e, e0 ∈ p (x0 ). Äëÿ òî÷åê a, b ∈ p (x0 ) âûáåðåì ïóòè sa , sb : I → X (e) Âûáåðåì x ñîåäèíÿþùèå x e0 ñ a è b. Ïîëîæèì ab ðàâíûì êîíöó òîãî ïîäíÿòèÿ ïóòè (sa ◦ p)(sb ◦ p), e0 . Äîêàæèòå, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå çàäàåò ãðóïïîâóþ ñòðóêòóðó êîòîðîå íà÷èíàåòñÿ â x â p−1 (x0 ), åñëè äëÿ ëþáîé ïåòëè ñ íà÷àëîì â x0 åå ïîäíÿòèÿ, íà÷èíàþùèåñÿ ðàçíûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà p−1 (x0 ), îäíîâðåìåííî çàìêíóòû èëè îäíîâðåìåííî íåçàìêíóòû. (Òàêèå íàêðûòèÿ íàçûâàþòñÿ ðåãóëÿðíûìè.)  ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ ëèáî ïîäðàçóìåâàþòñÿ èçî- è ìîíîìîð èçìû ìíîæåñòâ, ëèáî íàêðûòèå ïðåäïîëàãàåòñÿ ðåãóëÿðíûì. e = 0, òî π1 (X) ∼ (f) Åñëè π1 (X) = p−1 (x0 ). e → π1 (X) ÿâëÿåòñÿ ìîíîìîð èçìîì. (g) p∗ : π1 (X) (h) Äîêàæèòå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Óêàçàíèå. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ϕ : π1 (X) → p−1 (x0 ) òàê. Äëÿ ïåòëè s : [0, 1] → X ðàññìîòðèì òàêîå åå ïîäíÿ-
111
e , äëÿ êîòîðîãî se(0) = x òèå se : [0, 1] → X e0 . Ïîëîæèì ϕ(s) ðàâíûì òîìó ýëåìåíòó −1 a ∈ p (x0 ), äëÿ êîòîðîãî ae x0 = se(1). e → X ðåãóëÿðíîå íàêðûòèå, òî Òåîðåìà î íàêðûòèè. Åñëè p : X −1 ∼ e π1 (X)/p∗ (π1 (X)) = p (x0 ). Îòîáðàæåíèÿ ãðà à â îêðóæíîñòü.
10. (a) Ïóñòü K íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå èëè áóêåò k îêðóæíîñòåé (ðèñ. 1). Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíî íàïðàâëåíèå íà êàæäîé èç ýòèõ îêðóæíîñòåé. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ f : K → S 1 ïîñòàâèì íà êàæäîé èç ýòèõ îêðóæíîñòåé ñòåïåíü ñóæåíèÿ f íà ýòó îêðóæíîñòü. Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó k öåëûõ ÷èñåë îáîçíà÷èì deg f . Òîãäà deg : [K, S 1 ] → Zk áèåêöèÿ. (b) Ìíîæåñòâî [K, S 1 ] íå ìåíÿåòñÿ ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà. ( ) [K, S 1 ] = ZE−V +C . Õîï äîêàçûâàë ñâîþ òåîðåìó î ìíîæåñòâå [K, S 1 ] ïðè ïîìîùè ìåòîäà 'ñòÿãèâàíèÿ ðåáåð' ïðåäûäóùåé çàäà÷è (íà ñàìîì äåëå, îí ðàññìàòðèâàë n-ìåðíûé ñëó÷àé ñì. íèæå). Ïðèâåäåì îðìóëèðîâêó Óèòíè òåîðåìû Õîï à è äîêàçàòåëüñòâî Óèòíè, ñëåäóþùåå îáùåìó ìåòîäó òåîðèè ïðåïÿòñòâèé (è òîæå ðàçâèâàþùåå èäåþ ïðåäûäóùåé çàäà÷è). Õîòÿ ýòè îðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî áîëåå ñëîæíû, ÷åì õîï îâñêèå, íî ñ ïîìîùüþ èõ îáîáùåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû, êîòîðûå íå ïîëó÷àþòñÿ ïðè ïîìîùè ìåòîäà 'ñòÿãèâàíèÿ ðåáåð' è åãî ìíîãîìåðíîãî àíàëîãà. Òåîðåìà Õîï à.
Äëÿ ãðà à K ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ deg : [K, S 1 ] → H 1 (K; Z).
Íà÷àëî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Õîï à: îïðåäåëåíèå ïðåïÿòñòâóþùåé ðàññòàíîâêè. Çíàêîìñòâî ñ ýòèì äîêàçàòåëüñòâîì ðåêîìåíäóåì íà÷àòü ñî ñëó÷àÿ K = K4 (ðèñ. 1). Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó v ∈ S 1 . Ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå K → S 1 ãîìîòîïíî êëåòî÷íîìó, ò.å. òàêîìó, äëÿ êîòîðîãî êàæäîé âåðøèíå ãðà à K ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð v (äîêàæèòå!). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî êëàññè èöèðîâàòü êëåòî÷íûå îòîáðàæåíèÿ K → S 1 ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèè, îòîáðàæåíèÿ êîòîðîé íå îáÿçàòåëüíî êëåòî÷íû. Ïîñòðîèì äëÿ îòîáðàæåíèÿ f ïðåïÿòñòâèå deg f ê ãîìîòîïíîñòè îòîáðàæåíèÿ f ïîñòîÿííîìó îòîáðàæåíèþ. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíî íàïðàâëåíèå íà êàæäîì ðåáðå ãðà à K (ïðåïÿòñòâèå deg f áóäåò çàâèñåòü îò ýòîãî âûáîðà). Âîçüìåì êëåòî÷íîå îòîáðàæåíèå f : K → S 1 . Ïîñòàâèì íà êàæäîì ðåáðå e ⊂ K ÷èñëî îáîðîòîâ âåêòîðà f (x) ïðè ïðîõîäå òî÷êîé x ïî ðåáðó e âäîëü íàïðàâëåíèÿ. Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó îáîçíà÷èì γ(f ). Åñëè f, g : K → S 1 êëåòî÷íûå îòîáðàæåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ γ(f ) = γ(g), òî ïî Îñíîâíîé òåîðåìå òîïîëîãèè f ≃ g . Èçìåíåíèå ïðåïÿòñòâóþùåé ðàññòàíîâêè. Îáðàòíîå íåâåðíî, êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð ñëåäóþùåé ãîìîòîïèè (ðèñ. 56). Äëÿ âåðøèíû a ãðà à K èçìåíèì îòîáðàæåíèå f òàê, ÷òîáû âåêòîð â a ñäåëàë îäèí îáîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, âåêòîðà â ìàëåíüêîé îêðåñòíîñòè âåðøèíû a 'ïîòÿíóëèñü' çà âåêòîðîì â a, à âíå ýòîé ìàëåíüêîé îêðåñòíîñòè îòîáðàæåíèå îñòàëîñü ïðåæíèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì îòîáðàæåíèå g : K → S 1 , ãîìîòîïíîå îòîáðàæåíèþ f . Ïîíÿòíî, ÷òî γ(f ) è γ(g) îòëè÷àþòñÿ íà ðàññòàíîâêó ïëþñ èëè ìèíóñ åäèíèö (â çàâèñèìîñòè îò îðèåíòàöèè) íà ðåáðàõ, ñîäåðæàùèõ âåðøèíó a, è íóëåé íà âñåõ îñòàëüíûõ ðåáðàõ. Ýòà ðàññòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé êîãðàíèöåé âåðøèíû a è îáîçíà÷àåòñÿ δa. B îêðåñòíîñòÿõ âåðøèí a1 , . . . , as ñäåëàåì îïèñàííóþ âûøå ãîìîòîïèþ îòîáðàæåíèÿ f , ïîâîðà÷èâàÿ âåêòîðà â ýòèõ âåðøèíàõ íà n1 , . . . , ns îáîðîòîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå îòîáðàæåíèå ÷åðåç fn1 a1 +...+ns as . àññòàíîâêè öåëûõ ÷èñåë íà 112
èñ. 56: Ïîäêðó÷èâàíèå îòîáðàæåíèÿ â îêðåñòíîñòè âåðøèíû ðåáðàõ ìîæíî ñêëàäûâàòü: äëÿ ýòîãî ïðîñòî ñêëàäûâàþòñÿ ÷èñëà, ñòîÿùèå íà êàæäîì ðåáðå (òàêîå ñëîæåíèå íàçûâàåòñÿ ïîêîìïîíåíòíûì). Òîãäà γ(f ) − γ(fn1 a1 +...+ns as ) = n1 δa1 + . . . + ns δas .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ãîìîòîïèþ ft : K → S 1 ìåæäó êëåòî÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè f0 , f1 . Ïîñòàâèì íà êàæäîé âåðøèíå a ÷èñëî îáîðîòîâ âåêòîðà ft (a) ïðè èçìåíåíèè t îò 0 äî 1. Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó îáîçíà÷èì n1 a1 + . . . + ns as . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî γ(f0 ) − γ(f1 ) = n1 δa1 + . . . + ns δas . Îïðåäåëåíèå îäíîìåðíîé ãðóïïû êîãîìîëîãèé H 1 (K; Z), îòîáðàæåíèÿ deg è äîêàçàòåëüñòâî åãî áèåêòèâíîñòè. Íàçîâåì ðàññòàíîâêè γ1 , γ2 öåëûõ ÷èñåë íà ðåáðàõ êîãîìîëîãè÷íûìè, åñëè γ1 − γ2 = n1 δa1 + . . . + ns δas äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ ÷èñåë n1 , . . . , ns è âåðøèí a1 , . . . , as . ðóïïà H 1 (K; Z) ðàññòàíîâîê ñ òî÷íîñòüþ äî êîãîìîëîãè÷íîñòè íàçûâàåòñÿ îäíîìåðíîé ãðóïïîé êîãîìîëîãèé ãðà à K (ñ êîý èöèåíòàìè â Z). Îáîçíà÷èì deg f = [γ(f )] ∈ H 1 (K; Z) ßñíî, ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî. Åñëè deg f = deg g äëÿ íåêîòîðûõ êëåòî÷íûõ îòîáðàæåíèé f è g , òî γ(f ) − γ(g) = n1 δa1 + . . . + nV δaV äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ ÷èñåë n1 , . . . , nV . Òîãäà f ≃ fn1 a1 +...+ns as ≃ g . Ïîýòîìó îòîáðàæåíèå deg èíúåêòèâíî. ×òîáû äîêàçàòü ñþðúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ deg, âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ðàññòàíîâêó γ öåëûõ ÷èñåë íà ðåáðàõ. Ïîëîæèì f (a) = v äëÿ êàæäîé âåðøèíû a ãðà à K .  êà÷åñòâå f |e âîçüìåì γe -êðàòíûé îáõîä âäîëü îêðóæíîñòè S 1 . Äëÿ ïîñòðîåííîãî êëåòî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ f èìååì γ(f ) = γ , ïîýòîìó deg f = [γ]. 11.  ýòîé çàäà÷å èñïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèÿ ãðóïïû è èçîìîð èçìà ãðóïï. (a) ðóïïà H 1 (K; Z) çàâèñèò òîëüêî îò òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà ãðà à K , ò.å. îäíîìåðíûå ãðóïïû êîãîìîëîãèé ãîìåîìîð íûõ ãðà îâ èçîìîð íû. (b) H 1 (K, Z) ∼ = ZE−V +C . ( ) Îòîáðàæåíèå deg : [K, S 1 ] → H 1 (K, Z) ÿâëÿåòñÿ èçîìîð èçìîì ãðóïï (S 1 ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé, ïîýòîìó [K, S 1 ] ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé). Îòîáðàæåíèÿ 2-ìíîãîîáðàçèé â îêðóæíîñòü.
Çäåñü ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òåîðåìû ïðîäîëæàåìîñòè è ãîìîòîïíîñòè (èç ïóíêòà 'ñóùåñòâîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé íà 2-ìíîãîîáðàçèÿõ' è ïàðàãðà à 'êëàññè èêàöèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé', ñîîòâåòñòâåííî). 113
(a) Îòîáðàæåíèå S 1 → S 2 , îáðàç êîòîðîãî íå ñîâïàäàåò ñ S 2 , ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó. (b)* Ëþáîå îòîáðàæåíèå S 1 → S 2 ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó. Ïðåäîñòåðåæåíèå: ñóùåñòâóþò ñþðúåêòèâíûå îòîáðàæåíèÿ S 1 → S 2 . Óêàçàíèå: äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå S 1 → S 2 ãîìîòîïíî ãëàäêîìó èëè êóñî÷íî-ëèíåéíîìó (îïðåäåëèòå, ÷òî ýòî òàêîå), è ÷òî ãëàäêîå èëè êóñî÷íî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå S 1 → S 2 íå ñþðúåêòèâíî. ( ) Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : S 2 → S 1 ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå f : S 2 → R, ÷òî f (x) = f (x) mod 2π äëÿ ëþáîãî x ∈ S 2 . (d) Ëþáîå îòîáðàæåíèå S 2 → S 1 ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó. 12.
Îáîáùåíèåì ïóíêòà (d) ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà
Áðóøëèíñêîãî.
deg : [K; S 1 ] → H 1 (K, Z).
Äëÿ 2-ìíîãîîáðàçèÿ K ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ
Íàáðîñîê îïðåäåëåíèÿ ãðóïïû êîãîìîëîãèé H 1 (K; Z), îòîáðàæåíèÿ deg è äîêàçàòåëüñòâà åãî áèåêòèâíîñòè. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òðèàíãóëÿöèþ 2-ìíîãîîáðàçèÿ K . Âòîðîé è òðåòèé àáçàöû äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Õîï à íóæíî ïîâòîðèòü áåç èçìåíåíèé (ò.å. êëåòî÷íûå îòîáðàæåíèÿ è ïðåïÿòñòâóþùàÿ ðàññòàíîâêà γ(f ) îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è â òåîðåìå Õîï à). Ïî òåîðåìå ïðîäîëæàåìîñòè, äëÿ ðàññòàíîâêè γ(f ) ñóììà ÷èñåë íà ðåáðàõ ãðàíèöû ëþáîé ãðàíè c ⊂ K ðàâíà 0. (Äåéñòâèòåëüíî, ýòà ñóììà ðàâíà êîëè÷åñòâó îáîðîòîâ âåêòîðà f (x) ïðè îáõîäå òî÷êîé x ãðàíèöû ýòîé ãðàíè.) àññòàíîâêè ñ ýòèì óñëîâèåì íàçûâàþòñÿ êîöèêëàìè. Êîãðàíèöà δa âåðøèíû a ∈ K , îòíîøåíèå êîãîìîëîãè÷íîñòè, ãðóïïà H 1 (K; Z) êëàññîâ êîãîìîëîãè÷íîñòè êîöèêëîâ è îòîáðàæåíèå deg : [K, S 1 ] → H 1 (K; Z) îïðåäåëÿþòñÿ êàê è â òåîðåìå Õîï à. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ deg ìû ñíà÷àëà ñîåäèíÿåì îòîáðàæåíèÿ îäèíàêîâîé ñòåïåíè ãîìîòîïèåé íà îáúåäèíåíèè K (1) ðåáåð òðèàíãóëÿöèè (àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Õîï à). Ïî òåîðåìå ãîìîòîïíîñòè ýòó ãîìîòîïèþ ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñå K (äîêàæèòå!). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñþðúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ deg ìû ñíà÷àëà äëÿ êîöèêëà γ ñòðîèì òàêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : K (1) → S 1 , ÷òî γ(f ) = γ (àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Õîï à). Òàê êàê ñóììà ÷èñåë ðàññòàíîâêè γ íà ðåáðàõ ãðàíèöû ∂c ïðîèçâîëüíîé ãðàíè c ⊂ K ðàâíà íóëþ, òî ïî òåîðåìå ïðîäîëæàåìîñòè ñóùåñòâóåò ïðîäîëæåíèå îòîáðàæåíèÿ f : ∂c → S 1 íà ãðàíü c. Àíàëîãè÷íî ïðîäîëæàåì f íà îñòàëüíûå ãðàíè òðèàíãóëÿöèè. (a) Âû÷èñëèòå H 1 (K; Z) äëÿ 2-ìíîãîîáðàçèÿ K ñ òðèàíãóëÿöèåé, èìåþùåé V âåðøèí, E ðåáåð è F ãðàíåé. (b) Ëþáîå îòîáðàæåíèå S i → S 1 ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó ïðè i > 2. (ñ) Íàéäèòå [K, S 1 ] äëÿ 2-ïîëèýäðà K , ò.å. îïðåäåëèòå îäíîìåðíóþ ãðóïïó êîãîìîëîãèé H 1 (K; Z) ñ Z-êîý èöèåíòàìè è áèåêöèþ deg : [K, S 1 ] ∼ = H 1 (K; Z). (d) Òî æå äëÿ n-ïîëèýäðà K , ñì. îïðåäåëåíèå â ñëåäóþùåì ïóíêòå. 13.
14. (a) Äëÿ ïîäñõåìû A ⊂ K è ðàññòàíîâêè x ÷èñåë íà ðåáðàõ ñõåìû K ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå x|A ýòîé ðàññòàíîâêè íà ðåáðà ñõåìû A. Òîãäà ñîîòâåòñòâèå [x] 7→ [x|A ] îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå H 1 (K; Z) → H 1 (A; Z). Îíî íàçûâàåòñÿ ñóæåíèåì. (b) Òåîðåìà Õîï à. Îêðóæíîñòü S 1 ⊂ K â 2-ïîëèýäðå K ÿâëÿåòñÿ åãî ðåòðàêòîì (ò.å. ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå K → S 1 , òîæäåñâåííîå íà S 1 ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò x ∈ H 1 (K; Z), ñóæåíèå êîòîðîãî íà S 1 ÿâëÿåòñÿ îáðàçóþùåé ãðóïïû H 1 (S 1 ; Z). (Ýòî óòâåðæäåíèå èíòåðåñíî äàæå äëÿ 2-ìíîãîîáðàçèÿ K .)
114
Îòîáðàæåíèÿ ãðà à â ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî.
Ïóñòü ãðà K ðàñïîëîæåí â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Íàçîâåì íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèåì f : K → RP 2 ñåìåéñòâî ïðÿìûõ f (x) òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè x ∈ K , íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò x. ( ýòîì îïðåäåëåíèè ìîæíî çàìåíèòü '÷åðåç òî÷êè x ∈ K ' íà '÷åðåç òî÷êó 0 ∈ R3 '.) (a) Ëþáûå äâà îòîáðàæåíèÿ äåðåâà â RP 2 ãîìîòîïíû. (b) Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : S 1 → RP 2 êîìïîçèöèÿ äâóêðàòíîé íàìîòêè 1 S → S 1 è f ãîìîòîïíà îòîáðàæåíèþ â òî÷êó. ( ) Ñòàíäàðòíîå âêëþ÷åíèå S 1 ∼ = RP 1 → RP 2 íå ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó. 1 2 ∼ (d) [S , RP ] = Z2 . (e) Îïèøèòå [K, RP 2 ] (óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå (b) è ñòÿãèâàíèå ðåáðà). 15.
Òåîðåìà
Õîï à
deg : [K, RP 2 ] → H 1 (K).
ïî
ìîäóëþ
2.
Äëÿ ãðà à K ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ
Íàáðîñîê îïðåäåëåíèÿ îäíîìåðíîé ãðóïïû êîãîìîëîãèé H 1 (K), îòîáðàæåíèÿ deg è äîêàçàòåëüñòâà åãî áèåêòèâíîñòè. Ôèêñèðóåì â R3 íåêîòîðóþ ïðÿìóþ l0 è ïëîñêîñòü α0 , åå ñîäåðæàùóþ (ò.å. èêñèðóåì íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè òî÷êó RP 0 è îêðóæíîñòü RP 1 , ðèñ. 57). Ëþáîå îòîáðàæåíèå f : K → RP 2 ãîìîòîïíî êëåòî÷íîìó, ò.å. òàêîìó, äëÿ êîòîðîãî âñå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû α0 , a ïðÿìàÿ â âåðøèíå ïàðàëëåëüíà l0 (ò.å. ïåðåâîäÿùåìó ëþáóþ âåðøèíó ãðà à K â RP 0 , à ëþáîå ðåáðî â RP 1 ). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî êëàññè èöèðîâàòü êëåòî÷íûå îòîáðàæåíèÿ f : K → RP 2 ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèè (îòîáðàæåíèÿ êîòîðîé íå îáÿçàòåëüíî êëåòî÷íû).
RP 1
RP 0
RP 2
èñ. 57: Ñõåìà (êëåòî÷íîå ðàçáèåíèå) ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè Äëÿ êëåòî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ f : K → RP 2 ïîñòàâèì íà êàæäîì ðåáðå e êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ ïðÿìîé f (x) ïðè ïðîõîæäåíèè ïî ýòîìó ðåáðó îò îäíîé âåðøèíû äî äðóãîé. Ýòî êîëè÷åñòâî íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíîé âåðøèíû. Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó íóëåé è åäèíèö íà ðåáðàõ ãðà à K îáîçíà÷èì γ(f ). Åñëè f, g : K → RP 2 êëåòî÷íûå îòîáðàæåíèÿ è γ(f ) = γ(g), òî f ≃ g (ïîñêîëüêó 1 [S , RP 2 ] ∼ = Z2 ). Òàê êàê RP 2 ÿâëÿåòñÿ 2-ìíîãîîáðàçèåì, òî ëþáàÿ ãîìîòîïèÿ êëåòî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ f ãîìîòîïíà êëåòî÷íîé, ò.å. òàêîé, â ïðîöåññå êîòîðîé ïðÿìûå â âåðøèíàõ ãðà à K ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè α0 (ò.å. îáðàçû âåðøèí íàõîäÿòñÿ íà îêðóæíîñòè RP 1 ). Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèÿ, èç êîòîðûõ ñîñòîèò êëåòî÷íàÿ ãîìîòîïèÿ, íå îáÿçàòåëüíî êëåòî÷íû. Äëÿ êëåòî÷íîé ãîìîòîïèè ft : K → S 1 ìåæäó êëåòî÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè f0 è f1 è âåðøèíû a ∈ K ðàññìîòðèì êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ ïðÿìîé ft (a) ïðè ïðîõîæäåíèè ïàðàìåòðîì t îòðåçêà [0, 1]. Ïóñòü a1 , . . . , as âñå âåðøèíû, äëÿ êîòîðûõ 115
ýòî êîëè÷åñòâî íå÷åòíî. Òîãäà γ(f0 ) − γ(f1 ) = δa1 + . . . + δas . Êîãðàíèöà δa âåðøèíû a ∈ K , îòíîøåíèå êîãîìîëîãè÷íîñòè, ãðóïïà H 1 (K) è êëàññ deg f = [hf ] ∈ H 1 (K) îïðåäåëÿþòñÿ êàê è â òåîðåìå Õîï à ñ çàìåíîé Z íà Z2 . Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ, èíúåêòèâíîñòü è ñþðúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ deg äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî òåîðåìå Õîï à. Ýêâèâàðèàíòíûå îòîáðàæåíèÿ ãðà à.
Ïóñòü äàí ñâÿçíûé ãðà (èëè 2-ïîëèýäð) K ñ ñèìïëèöèàëüíîé èíâîëþöèåé τ : K → K , íå èìåþùåé íåïîäâèæíûõ òî÷åê (ñì. îïðåäåëåíèå â ïàðàãðà å 'èíâîëþöèè'). Îòîáðàæåíèå f : K → S 1 íàçûâàåòñÿ ýêâèâàðèàíòíûì (îòíîñèòåëüíî t), åñëè f (τ (x)) = −f (x) äëÿ ëþáîé x ∈ K (ò.å. åñëè âåêòîðû â τ -ñèììåòðè÷íûõ òî÷êàõ ïðîòèâîïîëîæíû). Òàêèå îòîáðàæåíèÿ âîçíèêàëè â ãëàâå 1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [K, S 1 ]τ ìíîæåñòâî ýêâèâàðèàíòíûõ îòîáðàæåíèé K → S 1 ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàðèàíòíîé ãîìîòîïèè (ò.å. ãîìîòîïèè â êëàññå ýêâèâàðèàíòíûõ îòîáðàæåíèé). Ýêâèâàðèàíòíàÿ òåîðåìà Õîï à. Äëÿ ñâÿçíîãî ãðà à K ñ ñèìïëèöèàëüíîé èíâîëþöèåé τ : K → K , íå èìåþùåé íåïîäâèæíûõ òî÷åê, ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ deg : [K; S 1 ]τ → H 1 (K/τ ; Z).
Íàáðîñîê îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ deg è äîêàçàòåëüñòâà åãî áèåêòèâíîñòè. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð v . Ïðîèçâîëüíîå ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå K → S 1 ýêâèâàðèàíòíî ãîìîòîïíî êëåòî÷íîìó, ò.å. òàêîìó, äëÿ êîòîðîãî êàæäîé âåðøèíå ãðà à K ñîîòâåòñòâóåò îäèí èç âåêòîðîâ v èëè −v (äîêàæèòå!). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî êëàññè èöèðîâàòü êëåòî÷íûå ýêâèâàðèàíòíûå îòîáðàæåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàðèàíòíîé ãîìîòîïèè (îòîáðàæåíèÿ êîòîðîé íå îáÿçàòåëüíî êëåòî÷íû). ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå ýêâèâàðèàíòíîå êëåòî÷íîå îòîáðàæåíèå K → S 1 : åãî ìîæíî çàäàòü ïðîèçâîëüíî íà âåðøèíàõ è çàòåì ïðîèçâîëüíî ïðîäîëæèòü íà ðåáðà. Îáîçíà÷èì îäíî èç òàêèõ îòîáðàæåíèé ÷åðåç f0 . Ôèêñèðóåì îðèåíòàöèè íà îêðóæíîñòè S 1 è íà ðåáðàõ ãðà à K òàê, ÷òîáû îðèåíòàöèè íà èíâîëþòèâíûõ ðåáðàõ áûëè ñîãëàñîâàíû. Âîçüìåì êëåòî÷íîå ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå f : K → S 1 . Äëÿ íà êàæäîãî ðåáðà ðàññìîòðèì ïîëóöåëîå ÷èñëî îáîðîòîâ âåêòîðà f (x) ïðè ïðîáåãàíèè x ýòîãî ðåáðà â íàïðàâëåíèè îðèåíòàöèè ðåáðà. Ïîñòàâèì íà ýòîì ðåáðå ðàçíîñòü ýòîãî ÷èñëà è àíàëîãè÷íîãî ÷èñëà äëÿ f0 . Ïîëó÷èì ðàññòàíîâêó γ(f ) ïîëóöåëûõ ÷èñåë íà ðåáðàõ ãðà à K . Òîãäà (i) íà ïàðå èíâîëþòèâíûõ ðåáåð áóäóò ñòîÿòü ðàâíûå ÷èñëà. (ii) ñóììà ÷èñåë íà ðåáðàõ ëþáîãî ïóòè â ãðà å K , ñîåäèíÿþùåãî äâå èíâîëþòèâíûå âåðøèíû, áóäåò öåëîé. (iii) íà ïåòëÿõ ñòîÿò öåëûå ÷èñëà. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç f (a) = −f (τ a) è f0 (a) = −f0 (τ a). Áóäåì íàçûâàòü ýêâèâàðèàíòíûìè ðàññòàíîâêè, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ. Îïðåäåëèì ýêâèâàðèàíòíóþ êîãðàíèöó δ(a, τ a) ïàðû èíâîëþòèâíûõ âåðøèí a, τ a òàê: íà âñåõ ðåáðàõ, íå ñîäåðæàùèõ íè a, íè τ a, ñòàâèì íóëè, íà ðåáðàõ, âõîäÿùèõ â îäíó èç ýòèõ âåðøèí, ñòàâèì +1/2, íà âûõîäÿùèõ ñòàâèì −1/2. Ïðè ýòîì åñëè åñòü ðåáðî ñ êîíöàìè òîëüêî â âåðøèíàõ a è τ a, òî íà íåì ñòàâèì 0. Îïðåäåëèì îòíîøåíèå ýêâèâàðèàíòíîé êîãîìîëîãè÷íîñòè, ãðóïïó Hτ1 (K; Z) ýêâèâàðèàíòíûõ ðàññòàíîâîê ñ òî÷íîñòü äî ýêâèâàðèàíòíîé êîãîìîëîãè÷íîñòè è îòîáðàæåíèå deg : [K; S 1 ]τ → Hτ1 (K; Z) êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Õîï à. Äîêàçàòåëüñòâà êîððåêòíîñòè îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ deg è åãî èíúåêòèâíîñòè àíàëîãè÷íû äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Õîï à. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñþðúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ deg âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ýêâèâàðèàíòíóþ ðàññòàíîâêó γ è ëþáóþ âåðøèíó a ∈ K . Ïîëîæèì f (a) = f0 (a) è 116
f (τ a) = f0 (τ a) = −f0 (a). Ïîñòåïåííî, âûõîäÿ îò âåðøèíû a, áóäåì ïðîäîëæàòü ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå f íà ïàðû e, τ e èíâîëþòèâíûõ ðåáåð, íàìàòûâàÿ èõ 'ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ' íà îêðóæíîñòü íóæíîå ÷èñëî ðàç. Ââèäó óñëîâèÿ (ii) ýòî ïîñòðîåíèå êîððåêòíî (ïðîâåðüòå!). Äëÿ ïîñòðîåííîãî îòîáðàæåíèÿ f ïîëó÷àåì γ(f ) = γ . Äîêàçàòåëüñòâî èçîìîð èçìà Hτ1 (K; Z) → H 1 (K/τ ; Z) îñòàâëÿåì â êà÷åñòâå çàäà÷è. 1 16. (a) Hτ (K; Z) ∼ = H 1 (K/τ ; Z). (b)  ïîñëåäíåì ïîñòðîåíèè ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó b ãðà à K . Åñëè ñóììà ÷èñåë íà ðåáðàõ íåêîòîðîãî ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî a è b, öåëàÿ, òî f (b) = 1 è f (τ b) = −1, èíà÷å f (b) = −1 è f (τ b) = 1. (Ââèäó óñëîâèÿ (ii) ñóììà ÷èñåë íà ðåáðàõ ëþáîãî ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî a è b, ÿâëÿåòñÿ öåëîé èëè ïîëóöåëîé â çàâèñèìîñòè òîëüêî îò âåðøèíû b, à íå îò âûáîðà ïóòè). ( ) Ïðèâåäèòå äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, îñíîâàííîå íà îäíîâðåìåííîì ñòÿãèâàíèè τ -ñèììåòðè÷íûõ ðåáåð â K . Îòîáðàæåíèÿ ïîëèýäðà â ñ åðó òîé æå ðàçìåðíîñòè.
Ýòîò ïóíêò èíòåðåñíî ðàçîáðàòü äàæå äëÿ n = 2 è m = 3 (îáùèé ñëó÷àé àíàëîãè÷åí). Äëÿ ïîäìíîæåñòâà K ïðîñòðàíñòâà Rm íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : K → S n îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ n = 1. Òàêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ìîæíî òàêæå ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê ñåìåéñòâî åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ f (x) â òî÷êàõ x ∈ K , ïàðàëëåëüíûõ èêñèðîâàííîé ïëîñêîñòè Rn+1 ⊂ Rm è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò x.  ýòîì ïóíêòå ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ ïðîáëåìîé îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé K → S n . Äëÿ K = S n íà ýòîì ìíîæåñòâå èìååòñÿ åñòåñòâåííàÿ ñòðóêòóðà ãðóïïû, êîòîðàÿ íåîáõîäèìà ïðè ðåøåíèè íàøåé çàäà÷è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî K (íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî K òàêîé åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðû ãðóïïû íåò è îòâåò, êîãäà îí èçâåñòåí, äàåòñÿ èìåííî â òåðìèíàõ ìíîæåñòâ). Íóëåì ãðóïïû [S n , S n ] íàçûâàåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ îòîáðàæåíèÿ â òî÷êó. Îáðàòíûì ýëåìåíòîì ê ãîìîòîïè÷åñêîìó êëàññó îòîáðàæåíèÿ f : S n → S n íàçûâàåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ êîìïîçèöèè s ◦ f îòîáðàæåíèÿ f ñ çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé s. Ñóììà ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé f è g ñòðîèòñÿ, êàê íà ðèñ. 58 ââåðõó (èëè âíèçó, åñëè ïîä îòîáðàæåíèåì S n → S n ïîíèìàòü îòîáðàæåíèå I n → S n , ïåðåâîäÿùåå ãðàíèöó êóáà I n â òî÷êó).
f s0
s0
f g
g
X
X
èñ. 58: Ñóììà ñ åðîèäîâ, çàìåíèòü X → S n 117
Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé àêò. Ìíîãîìåðíàÿ îñíîâíàÿ òåîðåìà òîïîëîãèè.
deg : [S n , S n ] → Z.
Ñóùåñòâóåò èçîìîð èçì ãðóïï
17. (a) Äëÿ çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ K ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ deg : [K, S 2 ] ∼ = Z. (b) Íàéäèòå [K, S n ] äëÿ ïðîèçâîëüíûõ (èçâåñòíûõ Âàì) ìíîãîîáðàçèé K .
Êîíå÷íûé n-ïîëèýäð ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê îáúåäèíåíèå íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà ãðàíåé ðàçìåðíîñòåé íå áîëåå n â ðàçáèåíèè ïðîñòðàíñòâà Rm íà åäèíè÷íûå m-êóáû. Ìíîãîìåðíàÿ
òåîðåìà
deg : [K, S n ] → H n (K; Z).
Õîï à.
Äëÿ n-ïîëèýäðà K ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ
Íàáðîñîê îïðåäåëåíèé n-ìåðíîé ãðóïïû êîãîìîëîãèé H n (K; Z), îòîáðàæåíèÿ deg è äîêàçàòåëüñòâà åãî áèåêòèâíîñòè. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó v ∈ S n . Ôèêñèðóåì òðèàíãóëÿöèþ ïîëèýäðà K è îðèåíòàöèè íà n-ìåðíûõ ãðàíÿõ òðèàíãóëÿöèè. Ëþáîå îòîáðàæåíèå f : K → S n ãîìîòîïíî êëåòî÷íîìó, ò.å. ïåðåâîäÿùåìó îáúåäèíåíèå (n − 1)-ìåðíûõ ãðàíåé â v . Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî êëàññè èöèðîâàòü êëåòî÷íûå îòîáðàæåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèè (îòîáðàæåíèÿ êîòîðîé íå îáÿçàòåëüíî êëåòî÷íû). Äëÿ êëåòî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ f : K → S n ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ n-ìåðíóþ ãðàíü c ⊂ K . Ïîñêîëüêó f îòîáðàæàåò åå ãðàíèöó ∂c â òî÷êó, òî îòîáðàæåíèå f |c ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîìïîçèöèè ñõëîïûâàíèÿ ãðàíèöû ãðàíè c â òî÷êó (ïðè êîòîðîì ïîëó÷àåòñÿ S n ) è íåêîòîðîãî îòîáðàæåíèÿ S n → S n . Ïîñòàâèì íà ãðàíè c ñòåïåíü ïîñëåäíåãî îòîáðàæåíèÿ. Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó îáîçíà÷èì γ(f ). Êîãðàíèöà (n − 1)-ìåðíîé ãðàíè, îòíîøåíèå êîãîìîëîãè÷íîñòè, ãðóïïà H n (K; Z) è îòîáðàæåíèå deg îïðåäåëÿþòñÿ êàê è â (îäíîìåðíîé) òåîðåìå Õîï à. Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ deg, åãî èíúåêòèâíîñòü è ñþðúåêòèâíîñòü äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî (îäíîìåðíîé) òåîðåìå Õîï à, èñïîëüçóÿ [S i , S n ] ∼ =0 äëÿ i < n è ìíîãîìåðíóþ îñíîâíóþ òåîðåìó òîïîëîãèè. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíúåêòèâíîñòè íåîáõîäèìî ñëåäóþùåå äîáàâëåíèå: â ñèëó îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ãîìîòîïèÿ ìåæäó f, g : K → S n îòîáðàæàåò îáúåäèíåíèå (n − 2)-ìåðíûõ ãðàíåé ïîëèýäðà K â v ∈ S n . Äëÿ ïîëèýäðà K ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè è ëþáîãî êëåòî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ f : K → S n ìîæíî òî÷íî òàê æå îïðåäåëèòü ïðåïÿòñòâóþùóþ ðàññòàíîâêó γ(f ). Èç ìíîãîìåðíîé îñíîâíîé òåîðåìû òîïîëîãèè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðàññòàíîâêè γ(f ) ñóììà ÷èñåë íà ãðàíèöå ëþáîé (n + 1)-ìåðíîé ãðàíè ðàâíà 0. àññòàíîâêè ñ ýòèì óñëîâèåì íàçûâàþòñÿ êîöèêëàìè. Êîãðàíèöà (n − 1)-ìåðíîé ãðàíè, îòíîøåíèå êîãîìîëîãè÷íîñòè êîöèêëîâ è ãðóïïà H n (K; Z) îïðåäåëÿþòñÿ êàê è â (îäíîìåðíîé) òåîðåìå Õîï à. Ââèäó âàæíîñòè ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ïðèâåäåì åãî. Îïðåäåëåíèå ãðóïï êîãîìîëîãèé. (Ñð. ñ îïðåäåëåíèåì ãðóïï ãîìîëîãèé â íà÷àëå ãëàâû 4; C n (X; Z) = Cn (X; Z).) Ââåäåì îðèåíòàöèè íà ñèìïëåêñàõ (íåêîòîðîé òðèàíãóëÿöèè) ïîëèýäðà X . Îáîçíà÷èì ÷åðåç C n = C n (X; Z) ãðóïïó ðàññòàíîâîê öåëûõ ÷èñåë íà îðèåíòèðîâàííûõ n-ñèìïëåêñàõ (ñ îïåðàöèåé ïîêîìïîíåíòíîãî ñëîæåíèÿ). Äëÿ n-ìåðíîãî ñèìïëåêñà σ îïðåäåëèì åãî ýëåìåíòàðíóþ êîãðàíèöó ∂σ êàê ðàññòàíîâêó ïëþñ èëè ìèíóñ åäèíèö íà (n + 1)-ñèìïëåêñàõ, ñîäåðæàùèõ σ , è íóëåé íà îñòàëüíûõ (n + 1)-ñèìïëåêñàõ. Óòî÷íèòå çíàêè, èñõîäÿ èç ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ, ìîòèâèðóþùèõ ýòî îïðåäåëåíèå. Ýëåìåíòàðíûå êîãðàíèöû îïðåäåëÿþò ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå δ = δn+1 : C n → C n+1 . 18.
δn+1 δn = 0.
118
Ïîëîæèì −1 H n (X; Z) := δn+1 (0)/δn (C n−1 ) äëÿ n > 1
è H 0 (X; Z) := δ1−1 (0).
19. Äëÿ ïîëèýäðà K ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè è ëþáîãî êëåòî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ f : K → S n îòîáðàæåíèå deg : [K, S n ] → H n (K; Z) îïðåäåëÿåòñÿ êàê è â (îäíîìåðíîé) òåîðåìå Õîï à (ñð. ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû Áðóøëèíñêîãî). (a) Îòîáðàæåíèå deg ïî-ïðåæíåìó êîððåêòíî îïðåäåëåíî. (b) Åñëè dim K = n + 1, òî deg ñþðúåêòèâíî. ( ) Ïðèâåäèòå ïðèìåð íå èíúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ deg äëÿ n = 2. Óêàçàíèå. Åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî ñì. äàëåå. ÎÁÎÁÙÅÍÈß ÒÅÎ ÅÌÛ ÕÎÏÔÀ (ÍÀÁ ÎÑÎÊ) Îòîáðàæåíèÿ òðåõìåðíîãî ïîëèýäðà â äâóìåðíóþ ñ åðó. Ïðåäñòàâèì S 3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2 = 1} è îòîæäåñòâèì S 2
äåëèì îòîáðàæåíèå Õîï à
η : S3 → S2
ñ CP 1 . Îïðå-
îðìóëîé η(z1 , z2 ) = (z1 : z2 ).
Èíâàðèàíò Õîï à îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ ïðîîáðàçîâ ðåãóëÿðíûõ òî÷åê ïðè ãëàäêîì èëè êóñî÷íî-ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè (êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ îïðåäåëåí â ïóíêòå 'êîý èöèåíò çàöåïëåíèÿ'). Ïðèâåäåì àêêóðàòíîå îïðåäåëåíèå. Ëþáîå îòîáðàæåíèå f : S 3 → S 2 ãîìîòîïíî ãëàäêîìó îòîáðàæåíèþ g [DNF79℄, [Pr04, 18.4℄. Òî÷êà a ∈ S 2 íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì çíà÷åíèåì ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ g , åñëè rk J(x) = 2 äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ g −1 a. Äëÿ ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ g : S 3 → S 2 íàéäóòñÿ ðåãóëÿðíûå çíà÷åíèÿ a1 , a2 ∈ S 2 [DNF79, Pr04℄. Òîãäà 1 1 1 g −1 ai = Si1 ⊔ Si2 ⊔ . . . ⊔ Sik åñòü íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå îêðóæíîñòåé [DNF79℄, [Pr04℄. i Îïðåäåëèì èíâàðèàíò Õîï à H(f ) :=
kX 1 ,k2
1 1 lk(S1i , S2j ).
i=1,j=1
(a) H(f ) íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè a1 (è òî÷êè a2 ). (b) H(f ) íå ìåíÿåòñÿ ïðè ãëàäêîé ãîìîòîïèè îòîáðàæåíèÿ g . ( ) H(f ) íå çàâèñèò îò âûáîðà îòîáðàæåíèÿ g . (d) H(η) = 1. (e) Îòîáðàæåíèå Õîï à íå ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó. (f) Ââåäèòå ñòðóêòóðó ãðóïïû íà [S 3 , S 2 ] àíàëîãè÷íî âûøåîïèñàííîé ñòðóêòóðå ãðóïïû íà [S n , S n ]. (g) Èíâàðèàíò Õîï à ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîð èçìîì. (h) Òåîðåìà Õîï à (1931). Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïîïàðíî íåãîìîòîïíûõ îòîáðàæåíèé S 3 → S 2 . (i)* Îòîáðàæåíèÿ S 3 → S 2 ñ ðàâíûìè èíâàðèàíòàìè Õîï à ãîìîòîïíû. (j) Òåîðåìà Õîï à-Ïîíòðÿãèíà-Ôðåéäåíòàëÿ (1938). Èíâàðèàíò Õîï à ÿâëÿåòñÿ èçîìîð èçìîì [S 3 , S 2 ] → Z. 3 2 2.* (a) Ìíîæåñòâî [S , S ] íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì îñíàùåííûõ çàöåïëåíèé â S 3 ñ òî÷íîñòüþ äî îñíàùåííîãî êîáîðäèçìà. Ñì. [Po76℄, [Pr04, 18.5℄, ñð. [CRS℄. (b) Ïîëó÷èòå äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Õîï à-Ïîíòðÿãèíà-Ôðåéäåíòàëÿ. 2 −1 ∼ 1 3. (a) Äëÿ ëþáîãî a ∈ S âûïîëíåíî η a=S . (b) Îòîáðàæåíèå Õîï à ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî-òðèâèàëüíûì ðàññëîåíèåì, ò.å. äëÿ ëþáîé òî÷êè a ∈ S 2 ñóùåñòâóåò ãîìåîìîð èçì h : η −1 (S 2 \{−a}) → S 2 \{−a} × S 1 , äëÿ êîòîðîãî pr1 ◦ h = η . 1.
119
( ) Îòîáðàæåíèå Õîï à ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèåì â ñìûñëå Ñåððà, ò.å. äëÿ ëþáîãî ïîëèýäðà X , åãî îòîáðàæåíèÿ F0 : X → S 3 è ãîìîòîïèè ft : X → S 2 îòîáðàæåíèÿ f0 = η ◦ F0 ñóùåñòâóåò (íàêðûâàþùàÿ) ãîìîòîïèÿ Ft : X → S 3 îòîáðàæåíèÿ F0 , äëÿ êîòîðîé ft = η ◦ Ft . Óêàçàíèå. Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ëîêàëüíî-òðèâèàëüíûõ ðàññëîåíèé àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó äëÿ íàêðûòèé. (d) Îòîáðàæåíèå [S 3 , S 3 ] → [S 3 , S 2 ], îïðåäåëåííîå êîìïîçèöèåé ñ îòîáðàæåíèåì Õîï à, ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîð èçìîì. (e) Ýòî îòîáðàæåíèå ìîíîìîð íî. Óêàçàíèå. Ïóñòü äëÿ îòîáðàæåíèÿ F0 : S 3 → S 3 êîìïîçèöèÿ η ◦ F0 ãîìîòîïíà îòîáðàæåíèþ â òî÷êó a ∈ S 2 . Âîçüìåì íàêðûâàþùóþ ãîìîòîïèþ Ft . Òîãäà F1 (S 3 ) ⊂ η −1 (a) ∼ = S 1 . Çíà÷èò, F1 ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç S 1 è ïîòîìó ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó. Ñëåäîâàòåëüíî, è F ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ â òî÷êó. (f) Ýòî îòîáðàæåíèå ýïèìîð íî. (g) Ïîëó÷èòå åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Õîï à-Ïîíòðÿãèíà-Ôðåéäåíòàëÿ. 4.* (a) Äëÿ îðèåíòèðóåìîãî 3-ìíîãîîáðàçèÿ K è n = 2 ïîñòðîéòå áèåêöèþ deg−1 0 → Z. (b) Äëÿ 3-ïîëèýäðà K è n = 2 ïîñòðîéòå áèåêöèþ deg−1 0 → H 3 (K; Z) [Pr06, 3.1.4℄. 2 2 Òåîðåìà Ïîíòðÿãèíà. Äëÿ 3-ïîëèýäðà K èìååòñÿ ñþðúåêöèÿ deg : [K, S ] → H (K; Z) è, äëÿ ëþáîãî γ ∈ H 2 (K; Z), áèåêöèÿ deg−1 γ =
H 3 (K ; Z ) . 2γ ∪ H 1 (K ; Z)
Òåîðåìà Ïîíòðÿãèíà èíòåðåñíà äàæå äëÿ 3-ìíîãîîáðàçèé K (â ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ áîëåå ïðîñòàÿ îðìóëèðîâêà îòâåòà ñì. òåîðåìó êëàññè èêàöèè âåêòîðíûõ ïîëåé è áîëåå ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî [CRS℄). Îïðåäåëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ∪ : H 1 (K; Z) × H 2 (K; Z) → H 3 (K; Z) àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ îïåðàöèè Sq â ïóíêòå 'ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê ïëàíàðíîñòè ãðà îâ', ñì. [FF89, 16℄. Âïðî÷åì, ýòî îïðåäåëåíèå åñòåñòâåííî ïîÿâëÿåòñÿ ïðè èçó÷åíèè ìíîæåñòâà [K, S 2 ], ïîýòîìó ÷èòàòåëü ìîæåò ïîïûòàòüñÿ ïåðåîòêðûòü åãî ñàìîñòîÿòåëüíî. Îòîáðàæåíèÿ ïîëèýäðà â ñ åðó ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè. n
K.
Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà îïèñàíèå ìíîæåñòâà [K, S ] äëÿ (n + 1)-ïîëèýäðà
Ââåäåì íà [S m , S n ] ñòðóêòóðó ãðóïïû àíàëîãè÷íî âûøåîïèñàííîé ñòðóêòóðå ãðóïïû íà [S n , S n ]. Ïîëó÷åííóþ ãðóïïó îáîçíà÷èì πm (S n ). n 5. (a) Ìíîæåñòâî πn+1 (S ) íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì îñíàùåííûõ çàöåïëåíèé â S n+1 ñ òî÷íîñòüþ äî îñíàùåííîãî êîáîðäèçìà. (b) Òåîðåìà Ïîíòðÿãèíà (1938). πn+1 (S n ) ∼ = Z2 äëÿ n > 3. 6. Òåîðåìà Àëåêñàíäåðà. Ëþáîé ñîõðàíÿþùèé îðèåíòàöèþ êóñî÷íî-ëèíåéíûé ãîìåîìîð èçì Dn → Dn èçîòîïåí òîæäåñòâåííîìó. 7.* Òåîðåìà Ôðåéäåíòàëÿ. (a) Σ : πn+k (S n ) → πn+k+1 (S n+1 ) åñòü ýïèìîð èçì ïðè n > 2k − 1. (b) Σ : πn+k (S n ) → πn+k+1 (S n+1 ) åñòü èçîìîð èçì ïðè n > 2k − 2. ( )* ker Σ : π3 (S 2 ) → π4 (S 3 ) ïîðîæäàåòñÿ îòîáðàæåíèåì 2η . (d) Ïîëó÷èòå äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïîíòðÿãèíà. n 8. (a) Ïóñòü A ïîäïîëèýäð ïîëèýäðà X è f : A → S íåïðåðûâíîå îòîáðàs+1 n æåíèå. Îïðåäåëèòå ãðóïïû H (X, A; πs (S )) (àíàëîãè÷íî âûøåïðèâåäåííîìó îïðåäåëåíèþ ãðóïï êîãîìîëîãèé) è ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèÿ o(f ) ∈ H s+1 (X, A; πs (S n )) ê ïðîäîëæåíèþ f íà X . Çàìå÷àíèå. Ïðåïÿòñòâóþùàÿ ðàññòàíîâêà áóäåò 'áîëåå ÷åì êîöèêëîì': åñëè ïîäïîëèýäð Z ⊂ X èçîìîð åí ãðàíèöå (s + 2)-ñèìïëåêñà, òî ñóììà 120
ýëåìåíòîâ ãðóïïû πs (S n ) ïî s-ìåðíûì ñèìïëåêñàì ïîäïîëèýäðà Z ðàâíà íóëþ, äàæå åñëè ñàì Z íå ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé (s + 2)-ñèìïëåêñà. Áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî â (d).  îñòàâøèõñÿ ïóíêòàõ ìû ïðîïóñêàåì êîý èöèåíòû πs (S n ). (b) Äëÿ íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ g : (Y, B) → (X, A) îïðåäåëèòå ãîìîìîð èçì g ∗ : H s+1 (X, A) → H s+1 (Y, B) è äîêàæèòå, ÷òî ïîñòðîåííûå ïðåïÿòñòâèÿ åñòåñòâåííû, ò.å. o(f ◦ g) = g ∗ o(f ). ( ) Îïðåäåëèòå ãîìîìîð èçì j ∗ : H s+1 (X, A) → H s+1 (X) (ñð. ñ ïóíêòîì 'òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè' ãëàâû 4) è äîêàæèòå, ÷òî jo(f ) = 0. (d) o(f ) · Hs+1 (X) = 0. Îïðåäåëåíèå ãðóïïû Hs+1 (X) àíàëîãè÷íî ïðèâåäåííîìó â íà÷àëå ãëàâû 4; óìíîæåíèå · ïðîèñõîäèò èç ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ Cn (X) · Cn (X) → Z. Òåîðåìà Ñòèíðîäà.
Äëÿ n > 3 è (n + 1)-ïîëèýäðà K ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ
[K, S n ] → H n (K; Z) × H n+1 (K)/ Sq 2 ρ2 H n−1 (K; Z).
Áîëåå òî÷íî, äëÿ ëþáîãî γ ∈ H n (K; Z) → H n+1 (K)/ Sq 2 ρ2 H n−1 (K; Z).
ñóùåñòâóåò
áèåêöèÿ
deg−1 γ →
Çäåñü ρ2 : H n (K; Z) → H n (K) ïðèâåäåíèå ïî ìîäóëþ 2. Îïåðàöèÿ Sq : H n−1 (K) → H n+1 (K) îïðåäåëÿåòñÿ òåì óñëîâèåì, ÷òî äëÿ îòîáðàæåíèÿ f : K (n−1) → S n−1 , ïðîäîëæàåìîãî íà K (n) , ýëåìåíò Sq 2 ρ2 (deg f ) ∈ H n+1 (K) ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì ê ïðîäîëæåíèþ îòîáðàæåíèÿ f íà âñå K . (Ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî 2
deg
Sq 2 ◦ρ2
òîìó, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü [K, S n−1 ] −−→ H n−1 (K, Z) −−−−−→ H n+1 (K) ìíîæåñòâ ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè òî÷íà.) 9.* (a) Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. ïðåïÿòñòâèå äåéñòâèòåëüíî ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç ρ2 . (b) Îïåðàöèÿ Sq 2 åñòåñòâåííà ïî K . ( ) Äëÿ 4-ïîëèýäðà K è îòîáðàæåíèÿ f : K (2) → S 2 , ïðîäîëæàåìîãî íà K (3) , ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå Sq 2 (deg f ) ∈ H 4 (K; π3 (S 2 )) ê ïðîäîëæåíèþ îòîáðàæåíèÿ f íà âñå K (àíàëîãè÷íî çàäà÷å 9). Ïîëó÷èòñÿ îòîáðàæåíèå Sq 2 , äëÿ êîòîðîãî ïîñëåäî-
deg
Sq 2
âàòåëüíîñòü [K, S 2 ] −−→ H 2 (K; Z) −−→ H 4 (K; Z) ìíîæåñòâ ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè òî÷íà. (d) Äëÿ êîöèêëà a ∈ Z 2 (K; Z) ýëåìåíò Sq 2 [a] ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîöèêëîì b ∈ Z 4 (K, Z), îïðåäåëåííûì ïî îðìóëå b(σ01234 ) = a(σ012 )a(σ234 ). (e) Ïóñòü K îðèåíòèðóåìîå ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå è êëàññ a ∈ H 2 (K; Z) äâîéñòâåíåí ïî Ïóàíêàðå êëàññó Da ∈ H2 (K; Z), ïðåäñòàâëÿþùåìóñÿ âëîæåíèåì h : N → K çàìêíóòîãî îðèåíòèðóåìîãî 2-ìíîãîîáðàçèÿ (ò.å. ñ åðû ñ ðó÷êàìè) N . Òîãäà Sq 2 a åñòü ñóììà òî÷åê (ñî çíàêîì) â hN ∩ h′ N , ãäå h′ ïîãðóæåíèå, áëèçêîå ê h. (f) Åñëè α ∈ H 2 (K; Z), òî fSq 2 α = f1 ◦ fα , ãäå 1 ∈ H 4 (CP 3 ; Z) ∼ = H2 (CP 3 ; Z) ∼ =Z 3 îáðàçóþùàÿ è îòîáðàæåíèÿ fSq 2 α : K → K(Z, 4), f1 : CP → K(Z, 4) è fα : K → CP 3 ñîîòâåòñòâóþò êëàññàì Sq 2 α, 1 è α ïðè èçîìîð èçìàõ H 4 (K; Z) ∼ = [K, K(Z, 4)], H 4 (CP 3 ; Z) ∼ = [CP 3 , K(Z, 4)] è H 2 (K; Z) ∼ = [K, CP 3 ] èç òåîðåìû Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà íèæå. Îòîáðàæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâà Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà.
Ïîïûòàâøèñü îáîáùèòü íàøå âû÷èñëåíèå ìíîæåñòâà [K, RP 2 ] íà 2-ïîëèýäð K , ëåãêî íàéòè òàêîé 2-ïîëèýäð K , ÷òî [K, RP 2 ] 6= H 1 (K). Íàïðèìåð, K = S 2 . Îäíàêî, òåîðåìó Õîï à ïî ìîäóëþ 2 âñå-òàêè ìîæíî îáîáùèòü íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. 121
Ïóñòü ïîëèýäð K (íàïðèìåð, 2-ìíîãîîáðàçèå) ðàñïîëîæåí â Rm . Íàçîâåì íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèåì f : K → RP n ñåìåéñòâî ïðÿìûõ f (x) â òî÷êàõ x ∈ K , ïàðàëëåëüíûõ èêñèðîâàííîìó ïîäïðîñòðàíñòâó Rn+1 ⊂ Rm è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò x. îìîòîïíîñòü òàêèõ îòîáðàæåíèé è ìíîæåñòâî [K, RP n ] îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. 1 n i n i n 10. [S , RP ] = Z2 äëÿ n > 2 è [S , RP ] = [S , S ] = 0 äëÿ i = 2, 3, . . . , n − 1. Óêàn n çàíèå: èñïîëüçóéòå íàêðûòèå S → RP . n+1 Òåîðåìà Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà äëÿ RP . Äëÿ n-ïîëèýäðà K ñóùåñòâóåò n+1 1 ] → H (K). áèåêöèÿ deg : [K, RP Ñëó÷àé n = 1 åñòü òåîðåìà Õîï à ïî ìîäóëþ 2. Òåîðåìà Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà äëÿ RP n èíòåðåñíà äàæå äëÿ n = 2 (è äàæå äëÿ 2-ìíîãîîáðàçèé). Äîêàçàòåëüñòâî ìû ïðèâîäèì òîæå äëÿ n = 2 (îáùèé ñëó÷àé àíàëîãè÷åí). Íàáðîñîê îïðåäåëåíèÿ îäíîìåðíîé ãðóïïû êîãîìîëîãèé H 1 (K) è äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà äëÿ RP 3 . Ôèêñèðóåì ðàçëîæåíèå RP 0 ∈ RP 1 ⊂ RP 2 ⊂ RP 3 . Êàê è ðàíüøå, áóäåì êëàññè èöèðîâàòü òîëüêî êëåòî÷íûå îòîáðàæåíèÿ, ò.å. ïåðåâîäÿùèå âåðøèíû 2-ïîëèýäðà K â òî÷êó RP 0 , ðåáðà â RP 1 è ãðàíè â RP 2 . Äëÿ êëåòî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ f : K → RP 3 , êàê è â òåîðåìå Õîï à ïî ìîäóëþ 2 îïðåäåëèì ïðåïÿòñòâóþùèé êîöèêë γ(f ) (ðàññòàíîâêó öåëûõ ÷èñåë íà ðåáðàõ, äëÿ êîòîðîé ñóììà ÷èñåë ïî ãðàíèöå ëþáîé ãðàíè ðàâíà íóëþ) è êîãðàíèöó δa âåðøèíû a. Òàê êàê [S 2 , RP 3 ] = 0 (ñì. êîíåö ïóíêòà 'õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû äëÿ 3-ìíîãîîáðàçèé'), òî γ(f ) = γ(g) âëå÷åò f ≃ g . Êàê è ðàíüøå, ëþáàÿ ãîìîòîïèÿ êëåòî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ f ìîæåò áûòü çàìåíåíà íà êëåòî÷íóþ, ò.å. òàêóþ, äëÿ êîòîðîé îáðàçû âåðøèí ïîëèýäðà K íàõîäÿòñÿ íà RP 1 , à ðåáåð íà RP 2 . Òàê êàê [S 2 , RP 3 ] = 0, òî f ≃ g òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ(f ) − γ(g) = δa1 + . . . + δas äëÿ íåêîòîðûõ âåðøèí a1 , . . . , as ∈ K . Íàçîâåì òàêèå ðàññòàíîâêè γ(f ) è γ(g) êîãîìîëîãè÷íûìè. Îïðåäåëèì ãðóïïó H 1 (K) è îòîáðàæåíèå deg êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Õîï à ïî ìîäóëþ 2. Òîãäà îòîáðàæåíèå deg îïðåäåëåíî êîððåêòíî. Èíúåêòèâíîñòü ýòîãî îòîáðàæåíèÿ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî èíúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ deg èç òåîðåìû Õîï à ïî ìîäóëþ 2. Ñþðúåêòèâíîñòü äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî òåîðåìå Áðóøëèíñêîãî ñ èñïîëüçîâàíèåì [S 2 , RP 3 ] = 0 è çàìåíîé Z íà Z2 . Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà äëÿ RP n+1 ñâîäèòñÿ ê ïðåäûäóùåìó, ïîñêîëüêó â ñèëó óñëîâèÿ [S i ; RP n+1 ] ∼ = 0 ëþáîå îòîáðàæåíèå K (2) → RP n+1 ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñå K è ëþáóþ ãîìîòîïèþ íà K (1) ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñå K. Äàëåå ìû èñïîëüçóåì ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ â áîëåå îáùèå ïðîñòðàíñòâà è ãîìîòîïèé òàêèõ îòîáðàæåíèé, ñì. [FF89℄. 2 n 11. [S , CP ] ∼ = Z è [S i , CP n ] = 0 äëÿ i = 1, 3, 4, 5, . . . , 2n. Óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå ìíîãîìåðíîå ðàññëîåíèå Õîï à S 2n+1 → CP n è îáùåå ïîëîæåíèå: [S i , CP n ] = [S i , CP 1 ] äëÿ i 6 2. n Òåîðåìà Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà äëÿ CP . Äëÿ n-ïîëèýäðà K ñóùåñòâóåò n 2 áèåêöèÿ deg : [K, CP ] → H (K; Z). Ñëó÷àé n = 1 î÷åâèäåí. Ñëó÷àé n = 2 àêòè÷åñêè áûë ðàññìîòðåí â äâóìåðíîé òåîðåìå Õîï à: [K; CP 2 ] = [K; S 2 ] = H 2 (K; Z), ïîñêîëüêó ëþáîå îòîáðàæåíèå 2ïîëèýäðà K â CP 2 è ëþáàÿ åãî ãîìîòîïèÿ âûòåñíÿþòñÿ íà S 2 = CP 1 ⊂ CP 2 . 3 12. (a) Äîêàæèòå òåîðåìó Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà äëÿ CP (äîêàçàòåëüñòâî îáùåãî ñëó÷àÿ àíàëîãè÷íî). Óêàçàíèå. àññìîòðèì òî÷êó v = CP 0 ∈ CP 1 ⊂ CP 2 ⊂ CP 3 . Êàê è âûøå, [K, CP 3 ] íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì êëåòî÷íûõ îòîáðàæåíèé f : K → CP 3 (òàêèõ, ÷òî f (K (1) ) = v è f (K (3) ) ⊂ CP 2 ) ñ 122
òî÷íîñòüþ äî êëåòî÷íûõ ãîìîòîïèé ft (òàêèõ, ÷òî ft (K (0) ) = v , ft (K (2) ) ⊂ CP 1 è ft (K (3) ) ⊂ CP 2 äëÿ ëþáîãî t).  ÷àñòíîñòè, [K, CP 3 ] = [K, CP 2 ]. Äàëüíåéøåå àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà äëÿ RP n+1 . (b) Íàéäèòå [K, (S 1 )n ]. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ñóùåñòâóåò òàêîé (êàê ïðàâèëî, áåñêîíå÷íîìåðíûé) ïîëèýäð K(Z, n), ÷òî [S n , K(Z, n)] ∼ = Z è [S i , K(Z, n)] = 0 äëÿ ëþáîãî i 6= n. Íàïðèìåð, K(Z, 1) ∼ = S 1 è K(Z, 2) ∼ = CP ∞ . Òåîðåìà Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà. Äëÿ ëþáîãî ïîëèýäðà K ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ deg : [K, K(Z, n)] → H n (K; Z). 13. (a) Äîêàæèòå òåîðåìó Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà äëÿ n = 3 (äîêàçàòåëüñòâî îáùåãî ñëó÷àÿ àíàëîãè÷íî). (b) Äëÿ ïîëèýäðà K è àáåëåâîé ãðóïïû π îïðåäåëèòå (âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íîìåðíûé) ïîëèýäð K(π, n) è ãðóïïó H n (K; π) òàê, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà áèåêöèÿ deg : [K, K(π, n)] → H n (K; π).
123
ËÀÂÀ 7. ÂËÎÆÅÍÈß Â ÏËÎÑÊÎÑÒÜ
A h, alle Weisheit ist so einfa h, ist s hon so lange und so unzweifelhaft ausges hpro hen und formuliert worden! Warum gehort sie uns nur zuzeiten, nur an den guten Tagen, warum ni ht immer? H. Hesse, Kurgast. 13 Ï ÅÏßÒÑÒÂÈß ÂÀÍ ÊÀÌÏÅÍÀ Ââåäåíèå.
'Ïîíÿòèå ïðåïÿòñòâèÿ, ïî-âèäèìîìó, âïåðâûå âîçíèêëî ó Âàí Êàìïåíà ïðè ðåøåíèè ïðîáëåìû î âëîæèìîñòè n-ìåðíûõ ïîëèýäðîâ â R2n äëÿ n > 2' [No76℄. (Íàïîìíèì, ÷òî ëþáîé n-ìåðíûé ïîëèýäð âëîæèì â R2n+1 .) Ñì. [FKT94℄, [RS96, 2℄, [RS99, 2℄, [RS99', 2℄, [NN04℄, [Sk08, 4℄. Íî ïîêàçàòü îñíîâíóþ èäåþ ãîðàçäî ïðîùå íà ÿçûêå òåîðèè ãðà îâ: íà ïðèìåðå ïðîáëåìû àïïðîêñèìèðóåìîñòè ïóòè âëîæåíèÿìè (àêêóðàòíî ñ îðìóëèðîâàííîé íèæå), ïðîáëåìû ïëàíàðíîñòè ãðà îâ è ðàìñååâñêîé òåîðèè çàöåïëåíèé [Mi97℄, [RS96, 9℄, [CRS98, 4℄, [RS98, 1℄, [ARS02, 4℄. Ýòèì ïðîáëåìàì è òåîðèè ïîñâÿùåíû íàñòîÿùèé ïàðàãðà è ñòàòüÿ [PS05℄, ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèâîäèìûå ðåçóëüòàòû è ìåòîäû, êàê è â äðóãèõ ðàçäåëû òåîðèè ãðà îâ, ìîãóò íàéòè ïðàêòè÷åñêèå ïðèìåíåíèÿ (ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ýëåêòðè÷åñêèõ, òðàíñïîðòíûõ è äðóãèõ ñõåì). ×òîáû îáúÿñíèòü èäåþ ïîñòðîåíèÿ ïðåïÿòñòâèé Âàí Êàìïåíà, íà÷íåì ñ ïðèìåðà. Äîêàçàòåëüñòâî íåïëàíàðíîñòè ãðà à K5 . Âîçüìåì ëþáîå îòîáðàæåíèå îáùåãî ïîëîæåíèÿ f : K5 → R2 . Òîãäà ïåðåñå÷åíèå îáðàçîâ ëþáûõ äâóõ ðåáåð ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê. Ïóñòü v(f ) áóäåò ñóììîé ïî ìîäóëþ 2 ÷èñåë |f σ ∩ f τ | ïî âñåì íåóïîðÿäî÷åííûì ïàðàì {σ, τ } íåñìåæíûõ ðåáåð ãðà à K5 . Äëÿ îòîáðàæåíèÿ f0 : K5 → R2 , îáðàç êîòîðîãî èçîáðàæåí íà ðèñ. 3 ñëåâà, v(f0 ) = 1. Ïóñòü f, f ′ : K5 → R2 äâà îòîáðàæåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî íà âíóòðåííîñòè ðåáðà ab (ðèñ. 59). Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ãðà à K5 ðåáðà, íåñìåæíûå ñ e, îáðàçóþò öèêë S (ýòî òî ñàìîå ñâîéñòâî ãðà à K5 , êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà). Ïîýòîìó v(f ) − v(f ′ ) = |[f (e) ∪ f ′ (e)] ∩ f (S)| mod 2 = 0.
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó ëþáûå äâà öèêëà îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â ÷åòíîì ÷èñëå òî÷åê. Ýòî èíòóèòèâíî î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îðìóëû Ýéëåðà; äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [BE82℄. Ëþáîå îòîáðàæåíèå f îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìîæåò áûòü çàìåíåíî íà f0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåñêîëüêèõ ãîìåîìîð èçìîâ ïëîñêîñòè R2 è íåñêîëüêèõ èçìåíåíèé âíóòðåííîñòè ëèøü îäíîãî ðåáðà (ìû íå äîêàçûâàåì ýòî èíòóèòèâíî î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå). Çíà÷èò, v(f ) = 1 äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : K5 → R2 . Ñëåäîâàòåëüíî, K5 íå ïëàíàðåí. 1. (a) ðà K3,3 (ðèñ. 3) íå ïëàíàðåí. 13 Àõ, èñòèííàÿ ìóäðîñòü òàê ïðîñòà, áûëà óæå òàê äàâíî, òàê òî÷íî è íåäâóñìûñëåííî âûñêàçàíà è ñ îðìóëèðîâàíà! Ïî÷åìó æå îíà íàì äîñòóïíà òîëüêî âðåìåíàìè, òîëüêî â õîðîøèå äíè, à íå âñåãäà? . åññå, Êóðîðòíèê, ïåð. Â. Êóðåëëà.
124
f1 (e)
f0 (e)
f0 (S ) = f1 (S )
èñ. 59: Íåçàâèñèìîñòü v(f ) îò f . Çàìåíèòü f0 è f1 íà f è f ′ !!! (b) Ïðè ëþáîì èçîáðàæåíèè áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé ãðà à K6 â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå â íåì íàéäåòñÿ ïàðà çàöåïëåííûõ öèêëîâ äëèíû 3. ( ) Ñõåìà 2-ïîëèýäðà '2-îñòîâ 6-ñèìïëåêñà' îïðåäåëÿåòñÿ êàê ãðà K7 âìåñòå ñ íàáîðîì âñåõ öèêëîâ äëèíû 3 â íåì. Ýòîò 2-ïîëèýäð íå âëîæèì â R4 . (d) Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèòå n-îñòîâ (2n + 2)-ñèìïëåêñà è äîêàæèòå, ÷òî îí íå âëîæèì â R2n . (e) 2-ïîëèýäð K5 × K5 íå âëîæèì â R4 . Àïïðîêñèìèðóåìîñòü ïóòåé âëîæåíèÿìè.
Ïðîáëåìà àïïðîêñèìèðóåìîñòè ïóòåé âëîæåíèÿìè èíòåðåñíà íå òîëüêî ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè ãðà îâ, íî è ñ òî÷êè çðåíèÿ òîïîëîãèè: îíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðîáëåìû ðåàëèçàöèè îòîáðàæåíèé ãðà îâ â ïëîñêîñòè [Si69℄, [SS83℄, [RS98℄, [Ak00℄, [ARS02℄, [Sk03'℄. ×òîáû îáúÿñíèòü ýòó ïðîáëåìó, ïðèâåäåì çàäà÷è. 2. (a) Îõîòíèê ãóëÿåò ïî ëåñíîé äîðîæêå, èìåþùåé îðìó ïðÿìîëèíåéíîãî îòðåçêà (äëèíû 1 êì). Ïðè ýòîì îí ìîæåò ìåíÿòü íàïðàâëåíèå ñâîåãî äâèæåíèÿ. Îí âåäåò íà ïîâîäêå äëèíîé 1 ì ñîáàêó (ò.å. ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîáàêîé è îõîòíèêîì íå ïðåâîñõîäèò 1 ì). Äîêàæèòå, ÷òî íåçàâèñèìî îò äâèæåíèÿ îõîòíèêà ñîáàêà ìîæåò äâèãàòüñÿ òàê, ÷òîáû íå ïåðåñåêàòü ñâîé ñëåä. (b) Òî æå äëÿ äîðîæêè â îðìå îêðóæíîñòè (ðàäèóñà 1 êì). ( ) Äâà îõîòíèêà ïðîøëè (ðàâíîìåðíî íå ìåíÿÿ íàïðàâëåíèÿ, â îòëè÷èå îò a è b) ïî ïðÿìîëèíåéíûì äîðîæêàì, ïåðåñåêàþùèìñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì â òî÷êå, îòñòîÿùåé îò êàæäîãî èç èõ êîíöîâ íà 1 êì (ðèñ. 60, íà êîòîðîì f (I1 ) è f (I2 ) ïóòè îõîòíèêîâ). Êàæäûé èç íèõ âåë íà ïîâîäêå äëèíû 1 ì ñîáàêó. Äîêàæèòå, ÷òî îäíà ñîáàêà ïåðåñåêàëà ñëåäû äðóãîé. f (I2 ) f (I1 )
èñ. 60: Òðàíñâåðñàëüíîå ïåðåñå÷åíèå íå àïïðîêñèìèðóåìî âëîæåíèÿìè (äîáàâèòü îáîçíà÷åíèÿ ϕ(I1 ), ϕ(I2 )!!!) 125
3. (a) Îõîòíèê (ðàâíîìåðíî íå ìåíÿÿ íàïðàâëåíèÿ) äâèãàëñÿ ïî ëåñíîé äîðîæêå â îðìå îêðóæíîñòè äèàìåòðîì 1 êì, ñäåëàâ äâà îáîðîòà. Îí âåë íà ïîâîäêå äëèíîé 1 ì ñîáàêó, êîòîðàÿ â êîíöå äâèæåíèÿ âåðíóëàñü â èñõîäíóþ òî÷êó. Äîêàæèòå, ÷òî ñîáàêà îáÿçàòåëüíî ïåðåñåêàëà ñâîé ñëåä (â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè, îòëè÷íûé îò êîíå÷íîãî). (b) Âåðíî ëè (a) áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî ñîáàêà â êîíöå äâèæåíèÿ âåðíóëàñü â èñõîäíóþ òî÷êó? ( ) Äîêàæèòå àíàëîã (a) äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îõîòíèê ñäåëàë òðè îáîðîòà. (d) Äëÿ êàêîãî ÷èñëà îáîðîòîâ â (a) ñîáàêà îáÿçàòåëüíî ïåðåñåêàëà ñâîé ñëåä? Ïðèâåäåì îðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç I := [0, 1] îòðåçîê è ÷åðåç S 1 := {x ∈ C : |x| = 1} îêðóæíîñòü. Âëîæåíèåì íàçûâàåòñÿ èçîáðàæåíèå áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé (èëè, îðìàëüíî, íåïðåðûâíîå èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, åñëè ìû ðàáîòàåì ñ êîíå÷íûìè ãðà àìè èëè 2-ïîëèýäðàìè). Ïóòü ϕ : I → R2 íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ àïïðîêñèìèðóåìûì âëîæåíèÿìè, åñëè ñóùåñòâóåò ñêîëü óãîäíî áëèçêèé ê íåìó ïóòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé. Èëè, îðìàëüíî, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå âëîæåíèå f : I → R2 , ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè f (x) è ϕ(x) ìåíüøå ε äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ I . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ àïïðîêñèìèðóåìîñòü âëîæåíèÿìè öèêëà ϕ : S 1 → R2 , à òàêæå ïðîèçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ : G → R2 ãðà à G. Ñòðîãèå îðìóëèðîâêè çàäà÷ 2 è 3.a òàêîâû: åñëè îáðàçîì ϕ(I) ïóòè ϕ : I → R2 ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê èëè îêðóæíîñòü, òî ýòîò ïóòü àïïðîêñèìèðóåì âëîæåíèÿìè; òðàíñâåðñàëüíîå ïåðåñå÷åíèå ϕ : I1 ⊔ I2 → R2 (ðèñ. 60) íå àïïðîêñèìèðóåìî âëîæåíèÿìè; êîìïîçèöèÿ ϕ : S 1 → S 1 ⊂ R2 äâóêðàòíîé íàìîòêè è ñòàíäàðòíîãî âêëþ÷åíèÿ íå àïïðîêñèìèðóåòñÿ âëîæåíèÿìè.
a
b
èñ. 61: Ïîëÿíêè è òðîïèíêè Ïðèâåäåì ýêâèâàëåíòíóþ îðìóëèðîâêó çàäà÷è 3.a (ýêâèâàëåíòíîñòü äîêàçàíà â [Mi97℄). àññìîòðèì äâå ïîëÿíêè (ò.å. äâà êðóãà), ñîåäèíåííûõ äâóìÿ òðîïèíêàìè (ò.å. ïîëîñêàìè) a è b, êàê íà ðèñ. 61. Ñîáàêà áåãàëà ïî ïîëÿíêàì è òðîïèíêàì è âåðíóëàñü â èñõîäíóþ òî÷êó. Êàæäûé ðàç, êîãäà ñîáàêà ïåðåáåãàëà ñ ïîëÿíêè íà òðîïèíêó, îíà çàïèñûâàëà îáîçíà÷åíèå ýòîé òðîïèíêè.  çàäà÷å 3.a óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî åñëè ïîëó÷èëàñü çàïèñü abab, òî ñîáàêà îáÿçàòåëüíî ïåðåñåêàëà ñâîé ñëåä (â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè, îòëè÷íûé îò êîíå÷íîãî). 4. (a) Ïóòü èëè öèêë â ãðà å íàçûâàåòñÿ ýéëåðîâûì, åñëè îí ïðîõîäèò ïî êàæäîìó ðåáðó ãðà à ðîâíî îäèí ðàç. Ýéëåðîâ ïóòü èëè öèêë â ãðà å íà ïëîñêîñòè àïïðîêñèìèðóåì âëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí íå èìååò òðàíñâåðñàëüíûõ ñàìîïåðåñå÷åíèé (ðèñ. 60). (b) Ñóùåñòâóåò ïóòü, íå ñîäåðæàùèé òðàíñâåðñàëüíûõ ïåðåñå÷åíèé è âñå ðàâíî íå àïïðîêñèìèðóåìûé âëîæåíèÿìè. 126
(ñ) Êîìïîçèöèÿ ϕ : S 1 → I ⊂ R2 ïðîèçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿ è ñòàíäàðòíîãî âêëþ÷åíèÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ âëîæåíèÿìè. (d) Ïóñòü P ãðà , ãîìåîìîð íûé áóêâå P . Êîìïîçèöèÿ ϕ : P → I ⊂ R2 ïðîèçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿ è ñòàíäàðòíîãî âêëþ÷åíèÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ âëîæåíèÿìè. Ïðèìåðû ê çàäà÷å 4b ïðèâåäåíû íà ðèñ. 62, ãäå äëÿ íàãëÿäíîñòè íàðèñîâàí íå ñàì ïóòü, à áëèçêèé ê íåìó ïóòü îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ñì., âïðî÷åì, [Mi97℄, [Sk03'℄. 5. Ïóòè íà ðèñ. 62 íå àïïðîêñèìèðóåìû âëîæåíèÿìè.
ϕ(I )
f (I )
f (I ) ϕ(I )
a)
b)
f (I ) ϕ(I )
)
d)
èñ. 62: Ïóòè, íå àïïðîêñèìèðóåìûå âëîæåíèÿìè Óêàçàíèå: ìîæíî ñâåñòè ê íåïëàíàðíîñòè ãðà îâ Êóðàòîâñêîãî K5 è K3,3 . Ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ íà ðèñ. 62 ïîìîæåò ñäåëàòü ýòî. Ïðîáëåìà àïïðîêñèìèðóåìîñòè ïóòè âëîæåíèÿìè ïîõîæà íà êëàññè÷åñêóþ ïðîáëåìó ïëàíàðíîñòè ãðà îâ (ò.å. ðåàëèçóåìîñòè ãðà îâ â ïëîñêîñòè áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé) è äàæå ñâîäèòñÿ ê ðàñïîçíàâàíèþ ïëàíàðíîñòè ãðà îâ (îäíàêî ÷èñëî ãðà îâ, ïëàíàðíîñòü êîòîðûõ íàäî âûÿñíèòü, äëÿ îäíîãî äàííîãî ïóòè, âåëèêî). Ïðîáëåìà ðåàëèçóåìîñòè ãðà îâ ðåøàåòñÿ, íàïðèìåð, êðèòåðèåì Êóðàòîâñêîãî (ñì. îðìóëèðîâêó â ïóíêòå 'ïëàíàðíîñòü è ðîä óòîëùåíèé è ãðà îâ'). Äëÿ ïðîáëåìû àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè àíàëîãè÷íîãî êðèòåðèÿ íå ñóùåñòâóåò [Sk03'℄. Ïîýòîìó ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè. Íåòðóäíî òàêæå äîêàçàòü, ÷òî ïðîáëåìà àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìà [Sk03'℄. Îäíàêî èíòåðåñíî ïîëó÷èòü áîëåå áûñòðûé àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè. Âîçìîæíî, êðèòåðèé â òåðìèíàõ ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà äàñò òàêîé áîëåå áûñòðûé àëãîðèòì. Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè ñèìïëèöèàëüíîãî ïóòè.
×òîáû îáúÿñíèòü èäåþ ïîñòðîåíèÿ ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà, ïðèâåäåì íàáðîñêè íåêîòîðûõ ðåøåíèé. Íàáðîñîê ïåðâîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 3.a. Ìû èñïîëüçóåì ïåðå îðìóëèðîâêó íà ÿçûêå ïîëÿíîê è òðîïèíîê. Íàçîâåì ïóòü ñîáàêè íåçàòåéëèâûì, åñëè âî âðåìÿ äâèæåíèÿ 127
ïî òðîïèíêàì îíà íå ïåðåñåêàëà ñâîè ñëåäû. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèå çàäà÷è äëÿ íåçàòåéëèâûõ ïóòåé. Âîçüìåì íåçàòåéëèâûé ïóòü f . Ïîñòàâèì íà êàæäîé ïîëÿíêå íîëü, åñëè òî÷êè âõîäà ñîáàêè íà ïîëÿíêó è åå âûõîäà ñ ïîëÿíêè ðàñïîëàãàþòñÿ, êàê íà ðèñ. 63, a), è åäèíèöó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, êàê íà ðèñ. 63, b), ). Ïóñòü v(f ) áóäåò ñóììîé mod 2 ýòèõ äâóõ ÷èñåë. Äëÿ ïóòè f ñîáàêè íà ðèñ. 61 v(f ) = 1. ßñíî, ÷òî v(f ) çàâèñèò òîëüêî îò ðàñïîëîæåíèÿ îòðåçêîâ ïóòè ñîáàêè íà òðîïèíêàõ. Ïðè èçìåíåíèè òàêîãî ðàñïîëîæåíèÿ íà îäíîé òðîïèíêå ÷èñëî íà êàæäîé ïîëÿíêå èçìåíèòñÿ, ïîýòîìó v(f ) íå èçìåíèòñÿ. Òàê êàê îò ëþáîãî ðàñïîëîæåíèÿ îòðåçêîâ ïóòè íà òðîïèíêàõ ìîæíî ïåðåéòè ê ëþáîìó äðóãîìó óêàçàííûìè îïåðàöèÿìè, òî v(f ) = 1 äëÿ ëþáîãî íåçàòåéëèâîãî ïóòè f . Ïîýòîìó ñîáàêà îáÿçàòåëüíî ïåðåñåêàëà ñâîé ñëåä. f (i − 1)
f (i)
f (i − 1)
f (j )
f (i − 1)
f (j − 1)
f (j )
f (j − 1)
f (i)
f (j )
0 (a)
1 (b)
f (j − 1)
f (i)
1 ( )
èñ. 63: Êàê ñòàâÿòñÿ ÷èñëà íà ïîëÿíêå Íàáðîñîê âòîðîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 3.a. àçäåëèì âðåìÿ ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ îõîòíèêà íà øåñòü ðàâíûõ ïðîìåæóòêîâ. Ïóñòü e1 , . . . , e6 ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïóòè f ñîáàêè. Ïîëîæèì ei+6 := ei . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò ïóòü îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Òîãäà ëþáûå äâà èç îòðåçêîâ ei ïåðåñåêàþòñÿ â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê. Ïîëîæèì X |ei ∩ ej | mod 2. v(f ) := {i,j} : |i−j|>1
Äëÿ ïóòè f0 ñîáàêè, ïîêàçàííîãî íà ðèñ. 61 v(f0 ) = 1. Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó íåïëàíàðíîñòè ãðà à K5 (ïðèâåäåííîìó âî ââåäåíèè) v(f ) íå çàâèñèò îò f . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îòîáðàæåíèÿ f è f ′ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî âíóòðåííîñòüþ ïóòè ei 6= e′i (ðèñ. 64), òî v(f ) − v(f ′ ) = |(ei ∪ e′i ) ∩ (ei+2 ∪ ei+3 ∪ ei+4 )| mod 2 = 0.
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó ïóòü ei+2 ∪ ei+3 ∪ ei+4 ìîæíî çàìêíóòü äî öèêëà, íå äîáàâëÿÿ íîâûõ ïåðåñå÷åíèé ñ öèêëîì ei ∪ e′i . Ëþáîé ïóòü f îáùåãî ïîëîæåíèÿ (ñîáàêè) ìîæåò áûòü çàìåíåí íà f0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåñêîëüêèõ ãîìåîìîð èçìîâ ïëîñêîñòè R2 è íåñêîëüêèõ èçìåíåíèé âíóòðåííîñòè ëèøü îäíîãî ðåáðà (ìû íå äîêàçûâàåì ýòî èíòóèòèâíî î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå). Çíà÷èò, v(f ) = 1 äëÿ ëþáîãî ïóòè f ñîáàêè. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîé ïóòü ñîáàêè èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Ïóòü ϕ : I → R2 íàçûâàåòñÿ ñèìïëèöèàëüíûì, åñëè ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå îòðåçêà íà òàêèå ìàëåíüêèå îòðåçî÷êè, ÷òî íà êàæäîì îòðåçî÷êå ïóòü ëèíååí, è ÷òî îáðàçû ëþáûõ äâóõ îòðåçî÷êîâ íå ïåðåñåêàþòñÿ èëè ñîâïàäàþò. Èëè, îðìàëüíî, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî n ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà 0 = a0 < a1 < . . . < an = 1, ÷òî (1) ñóæåíèå ϕ|[ai−1 ,ai ] ëèíåéíî äëÿ ëþáîãî i = 1, . . . , n è (2) îáðàçû îòðåçêîâ [ai−1 , ai ] ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò. Áóäåì ñ÷èòàòü âñå âñòðå÷àþùèåñÿ ïóòè ñèìïëèöèàëüíûìè (ñ ðàçíûìè n). 128
ei ei+5 = ei−1
ei+3 e′i ei+4
ei+2 ei+1
èñ. 64: Íåçàâèñèìîñòü v(f ) îò f Äëÿ ñèìïëèöèàëüíîãî ïóòè ϕ ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Oϕ(I) ãðà à ϕ(I), ïðåäñòàâëåííàÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì â âèäå îáúåäèíåíèÿ 'ïîëÿíîê' (ò.å. äèñêîâ, îêðóæàþùèõ òî÷êè ϕ(ai )) è 'òðîïèíîê' (ò.å. äèñêîâ-'ëåíòî÷åê', ñîåäèíÿþùèõ ïîëÿíêè âäîëü ðåáåð ãðà à ϕ(I)). Ñì. ðèñ. 65 äëÿ ïóòè íà ðèñ. 62, b). (Ýòî óòîëùåíèå ãðà à ϕ(I), îïðåäåëåííîå â ïóíêòå 'óòîëùåíèÿ è ðîä ãðà à'.) Ïåðå îðìóëèðîâêà ñâîéñòâà àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè íà ÿçûê ïîëÿíîê è òðîïèíîê ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî ïåðå îðìóëèðîâêå çàäà÷è 3.à. Íàçîâåì ïóòü f : I → Oϕ(G) íåçàòåéëèâûì, åñëè íà òðîïèíêàõ íåò åãî ñàìîïåðåñå÷åíèé. Íàáðîñîê ðåøåíèÿ çàäà÷è 5 (äîêàçàòåëüñòâà íåàïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè) äëÿ ïóòè íà ðèñ. 62, b). Ìû îáîáùàåì ïåðâîå ðåøåíèå çàäà÷è 3.a è èñïîëüçóåì ïåðå îðìóëèðîâêó íà ÿçûêå ïîëÿíîê è òðîïèíîê (ðèñ. 65). Âîçüìåì íåçàòåéëèâûé ïóòü f . Ïîñòàâèì íà ëåâîé ñðåäíåé ïîëÿíêå íîëü, åñëè òî÷êè âõîäà ïóòè íà ïîëÿíêó è åãî âûõîäà ñ ïîëÿíêè ðàñïîëàãàþòñÿ êàê íà ðèñ. 63, a), è åäèíèöó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ðèñ. 63, b). Ïî ïðàâîé ïîëÿíêå ïóòü ïðîõîäèò òðè ðàçà. àññìîòðèì òîëüêî ïåðâîå è ïîñëåäíåå ïðîõîæäåíèå ïóòè ïî ïðàâîé ïîëÿíêå è ïîñòàâèì íà íåé íîëü èëè åäèíèöó ïî òîìó æå ïðàâèëó. Ïóñòü v(f ) áóäåò ñóììîé mod 2 ýòèõ äâóõ ÷èñåë. Äëÿ ïóòè f íà ðèñ. 62, b) v(f ) = 1. Äàëåå äîêàçàòåëüñòâî äîñëîâíî ïîâòîðÿåò ïåðâîå ðåøåíèå çàäà÷è 3.a.
èñ. 65: Ïîëÿíêè è òðîïèíêè 6. Äîêàæèòå àíàëîãè÷íî, ÷òî ïóòè íà ðèñ. 62 a), ) íå àïïðîêñèìèðóåìû âëîæåíèÿìè. 2 Òåîðåìà àïïðîêñèìèðóåìîñòè. Ñèìïëèöèàëüíûé ïóòü ϕ : I → R , íå îòîáðàæàþùèé íè îäèí îòðåçîê â òî÷êó, àïïðîêñèìèðóåì âëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî c(ϕ) òîãäà, êîãäà ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà v(ϕ) ∈ Z2 íóëåâîå.  îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîãî ïóíêòà ìû ïðèâîäèì îïðåäåëåíèå ÷èñëà c(ϕ), âåêòîðà v(ϕ) è äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè â òåîðåìå àïïðîêñèìèðóåìîñòè. Çíàêîìñòâî ñ ýòèì äîêàçàòåëüñòâîì ðåêîìåíäóåì íà÷àòü ñ îòîáðàæåíèé ϕ è f ñ ðèñ. 62, b). Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè â òåîðåìå àïïðîêñèìèðóåìîñòè (êîòîðîãî ìû çäåñü íå
129
ïðèâîäèì) áûëî ïîëó÷åíî ñëóøàòåëåì ëåêöèé, ïî ìàòåðèàëàì êîòîðûõ íàïèñàí íàñòîÿùèé ïóíêò [Sk03'℄. Îïðåäåëåíèå ñèíãóëÿðíîãî ãðà à ∆ è ÷èñëà c(ϕ). Âûáåðåì òî÷êè 0 = a0 < a1 < . . . < an = 1 êàê â îïðåäåëåíèè ñèìïëèöèàëüíîñòè. Âåðøèíû ãðà à ∆ òàêèå ïàðû i × j, ÷òî ϕ(ai ) = ϕ(aj ) è i > j. åáðà ãðà à ∆ ñîåäèíÿþò âåðøèíû i × j è (i ± 1) × (j ± 1) ýòîãî ãðà à (åñëè òàêèå âåðøèíû åñòü; çíàêè ± âûáèðàþòñÿ íåçàâèñèìî). Ñì. ðèñ. 66 äëÿ ïóòè íà ðèñ. 62, b: âåðøèíû ãðà à 1 × 7, 2 × 6, 2 × 4, 4 × 6, è ðåáðîì ñîåäèíåíû òîëüêî ïåðâûå äâå. ðà ∆ çàâèñèò íå òîëüêî îò ϕ, íî è îò âûáîðà òî÷åê a0 , a1 , . . . , an . Ïóñòü c(ϕ) êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðà à ∆, íå ñîäåðæàùèõ âåðøèí i × (i − 2), i × 0 è n × i. Äëÿ ïóòè ϕ íà ðèñ. 62, b) èìååì c(ϕ) = 1. ×èñëî c(ϕ) çàâèñèò òîëüêî îò ϕ, íî íå îò âûáîðà òî÷åê a0 , a1 , . . . , an . 4×6
1×7
2×6 2×4
èñ. 66: Ñèíãóëÿðíûé ãðà ∆ Ïîñòðîåíèå ðàññòàíîâêè ν(f ). Ìû èñïîëüçóåì ïåðå îðìóëèðîâêó íà ÿçûêå ïîëÿíîê è òðîïèíîê. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íåçàòåéëèâûé ïóòü f . àññìîòðèì âåðøèíó i × j ãðà à ∆ è ïîëÿíêó, ñîäåðæàùóþ ϕ(ai ) = ϕ(aj ). (Çàìåòèì, ÷òî ê ïîëÿíêå ìîæåò ïðèìûêàòü áîëåå äâóõ òðîïèíîê.) Ïîñòàâèì â âåðøèíó i × j åäèíèöó, åñëè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îáðàçîâ f [ai−1 ai+1 ] è f [aj−1 aj+1 ] ñ ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòüþ ýòîé ïîëÿíêè ÷åðåäóþòñÿ íà ýòîé îêðóæíîñòè (ðèñ. 63, b), )) è íîëü â ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ðèñ. 63, a)). Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó îáîçíà÷èì ÷åðåç ν(f ). c(ϕ)
Ïîñòðîåíèå ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà v(ϕ) ∈ Z2 . Äëÿ êàæäîé èç c(ϕ) ðàññìîòðåííûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðà à ∆ âû÷èñëèì ñóììó mod 2 ÷èñåë ðàññòàc(ϕ) íîâêè ν(f ) â âåðøèíàõ ýòîé êîìïîíåíòû. Ïîëó÷åííûé íàáîð v(ϕ) = v(ϕ, f ) ∈ Z2 íàçîâåì ïðåïÿòñòâèåì Âàí Êàìïåíà (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ) ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè ïóòè ϕ âëîæåíèÿìè. Äëÿ ïóòåé ϕ è f íà ðèñ. 62, b) èìååì v(ϕ, f ) = (1). Äîêàçàòåëüñòâî íåçàâèñèìîñòè v(ϕ, f ) îò f . ßñíî, ÷òî ðàññòàíîâêà ν(f ) çàâèñèò òîëüêî îò ðàñïîëîæåíèÿ îòðåçêîâ ïóòè íà òðîïèíêàõ. àññìîòðèì èçìåíåíèå òàêîãî ðàñïîëîæåíèÿ íà îäíîé òðîïèíêå äëÿ ëþáûõ äâóõ îòðåçêîâ [ai−1 ai ] è [aj−1 aj ], îáðàçû êîòîðûõ ïåðåñåêàþò ýòó òðîïèíêó. Åñëè i 6= j + 1, i 6= 0 è j 6= n, òî ÷èñëà â âåðøèíàõ i × j è (i − 1) × (j − 1) (èëè i × (j − 1) è (i − 1) × j ) ãðà à ∆ èçìåíÿòñÿ íà 1, à ÷èñëà â îñòàëüíûõ âåðøèíàõ íå èçìåíÿòñÿ. Ïîýòîìó v(ϕ, f ) íå èçìåíèòñÿ.  ñëó÷àÿõ i = j − 1, i = 0 è j = n íàáîð v(ϕ, f ) òàêæå íå èçìåíèòñÿ (ïðîâåðüòå!). Òàê êàê îò ëþáîãî ðàñïîëîæåíèÿ îòðåçêîâ ïóòè íà òðîïèíêàõ ìîæíî ïåðåéòè ê ëþáîìó äðóãîìó óêàçàííûìè èçìåíåíèÿìè, òî v(ϕ, f ) íå çàâèñèò îò f . Íåîáõîäèìîñòü â òåîðåìå àïïðîêñèìèðóåìîñòè ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè ïóòü f ìîæíî òàê èçìåíèòü íà ïîëÿíêàõ, ÷òîáû îí ñòàë íåñàìîïåðåñåêàþùèìñÿ, òî ðàññòàíîâêà ν(f ) íóëåâàÿ. 7. (a) Äîêàæèòå îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. 130
(b) Åñëè v(ϕ) = 0, òî ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå f : I → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, áëèçêîå ê ϕ, ÷òî f i ∩ f j = ∅ äëÿ ëþáîé ïàðû i × j ðåáåð îòðåçêà I , äëÿ êîòîðîé âåðøèíà i × j ãðà à ∆ íå ñîäåðæèòñÿ â êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ñ âåðøèíàìè i × (i − 2), i × 0 è n × i (òàêîå îòîáðàæåíèå f íå îáÿçàíî áûòü âëîæåíèåì). ( ) Ïîñòðîéòå àíàëîãè÷íî ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè öèêëîâ âëîæåíèÿìè è äîêàæèòå, ÷òî îíî íåïîëíî. Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà V (ϕ) ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî. Íåîáõîäèìû ëèøü ñëåäóþùèå èçìåíåíèÿ. Ïðè ïîñòðîåíèè ðàññòàíîâêè ν(ϕ) â âåðøèíó i × j ñòàâèòñÿ åäèíèöà, åñëè òî÷êè âõîäà ïóòè f íà ýòó ïîëÿíêó è òî÷êè åãî âûõîäà ñ ýòîé ïîëÿíêè ðàñïîëàãàþòñÿ òàê, êàê íà ðèñ. 63, b), è ìèíóñ åäèíèöà èíà÷å êàê íà ðèñ. 63, ). Ïîëó÷åííàÿ ðàññòàíîâêà îáîçíà÷àåòñÿ N (ϕ). Äëÿ êàæäîé èç c(ϕ) ðàññìîòðåííûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðà à ∆ âû÷èñëèì ñóììó ÷èñåë â âåðøèíàõ ýòîé êîìïîíåíòû. Ïîëó÷åííûé íàáîð V (ϕ) = V (ϕ, f ) ∈ Zc(ϕ) íàçîâåì ïðåïÿòñòâèåì Âàí Êàìïåíà (ñ êîý èöèåíòàìè Z) ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè ïóòè ϕ âëîæåíèÿìè. 8. Ïîñòðîéòå àíàëîãè÷íî ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè öèêëîâ âëîæåíèÿìè è äîêàæèòå, ÷òî (äàæå) îíî íåïîëíî. Äðóãîå ïîñòðîåíèå ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè.
Ýòî ïîñòðîåíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïðèâåäåííîãî âî ââåäåíèè äîêàçàòåëüñòâà íåïëàíàðíîñòè ãðà à K5 , èëè âòîðîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 3.a. Îíî ñëîæíåå ïðåäûäóùåãî, íî èìåííî îíî ìîæåò áûòü îáîáùåíî äî ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà ê âëîæèìîñòè ãðà îâ â ïëîñêîñòü (è n-ìåðíûõ ïîëèýäðîâ â 2n-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî). Âïðî÷åì, íàñòîÿùèé ïóíêò ìîæåò áûòü ïðîïóùåí, ïîñêîëüêó ïîñëåäíåå ïðåïÿòñòâèå ñòðîèòñÿ â ñëåäóþùåì ïóíêòå íåçàâèñèìî. Ïóñòü ϕ : I → R2 ñèìïëèöèàëüíûé ïóòü îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Âûáåðåì òî÷êè 0 = a0 < a1 < . . . < an = 1 êàê â îïðåäåëåíèè ñèìïëèöèàëüíîñòè. Îáîçíà÷èì îòðåçîê [ai−1 , ai ] ÷èñëîì i. Îáîçíà÷èì ÷åðåç I ∗ âåðõíþþ 'íàääèàãîíàëü' òàáëèöû n × n, ò.å. îáúåäèíåíèå êëåòîê i × j ñ i < j − 1 (îòâå÷àþùèõ ïàðàì íåñîñåäíèõ ðåáåð ãðà à I ). Ñì. ðèñ. 67. Äëÿ 1
2
3
4
5
6
8 7 6
∆
5 4
I∗
3
èñ. 67: Âåðõíÿÿ íàääèàãîíàëü I ∗ ëþáîãî ïóòè f : I → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, äîñòàòî÷íî áëèçêîãî ê ϕ, è ëþáûõ äâóõ íåñîñåäíèõ ðåáåð i, j ïåðåñå÷åíèå f i ∩ f j ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê. Ïîñòàâèì â êëåòêå i × j ∈ I ∗ ÷èñëî |f i ∩ f j| mod 2. Ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó íàçîâåì ïðåïÿòñòâóþùåé è îáîçíà÷èì ÷åðåç ν(f ): åñëè ïóòü f íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ, òî ν(f ) = 0. àññòàíîâêè ìîæíî ñêëàäûâàòü: äëÿ ýòîãî ïðîñòî ñêëàäûâàþòñÿ ÷èñëà, ñòîÿùèå â êàæäîé êëåòêå (òàêîå ñëîæåíèå íàçûâàåòñÿ ïîêîìïîíåíòíûì). 131
Ïîêðàñèì â ÷åðíûé öâåò êëåòêè i × j òàáëèöû I ∗ , äëÿ êîòîðûõ ϕi ∩ ϕj = ∅. Òàê êàê ïóòü f áëèçîê ê ϕ, òî ν(f ) = 0 â ÷åðíûõ êëåòêàõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç x ìíîæåñòâî âñåõ ðàññòàíîâîê íóëåé è åäèíèö â êëåòêàõ òàáëèöû ñ íóëÿìè â ÷åðíûõ êëåòêàõ. Èòàê, ν(f ) ∈ x. Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè àéäåìàéñòåðà ïóòè f , èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 68, a), ðàññòàíîâêà ν(f ) èçìåíÿåòñÿ ðîâíî â äâóõ ñîñåäíèõ êëåòêàõ i × j è i × (j + 1) (èëè j × i è (j + 1) × i). Åñëè îäíà èç ýòèõ äâóõ êëåòîê íå ëåæèò â I ∗ , òî ÷èñëî â íåé íå ñòîèò è íå ìåíÿåòñÿ. àññòàíîâêà åäèíèöû â êëåòêàõ òàáëèöû I ∗ , ñîñåäíèõ ñ ðåáðîì e, è íóëÿ â îñòàëüíûõ êëåòêàõ òàáëèöû I ∗ íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé êîãðàíèöåé ðåáðà e òàáëèöû I ∗ è îáîçíà÷àåòñÿ δe.
a
a V
a)
V
b)
èñ. 68: Ïðåîáðàçîâàíèÿ àéäåìàéñòåðà äëÿ ãðà îâ â ïëîñêîñòè Ñäåëàåì óêàçàííîå ïðåîáðàçîâàíèå àéäåìàéñòåðà äëÿ ðåáåð e1 , . . . , ek òàáëèöû I ∗ . Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûé ïóòü ÷åðåç fe1 ,...,ek . Òîãäà ν(f ) − ν(fe1 ,...,ek ) = δe1 + . . . + δek .
Ïîêðàñèì â áåëûé öâåò ðåáðà i × aj è aj × i òàáëèöû I ∗ , äëÿ êîòîðûõ ϕaj ∈ ϕi. Ïîêðàñèì â ÷åðíûé öâåò îñòàëüíûå ðåáðà (òàêèì îáðàçîì, ãðàíèöà ÷åðíîé êëåòêè ñîñòîèò èç ÷åðíûõ ðåáåð, íî ìîãóò áûòü è äðóãèå ÷åðíûå ðåáðà). Òàê êàê f áëèçêî ê ϕ, òî óêàçàííîå ïðåîáðàçîâàíèå àéäåìàéñòåðà âîçìîæíî ëèøü äëÿ áåëûõ ðåáåð e 1 , . . . , ek . Íàçîâåì ðàññòàíîâêè ν1 , ν2 ∈ x êîãîìîëîãè÷íûìè, åñëè ν1 − ν2 = δe1 + . . . + δek äëÿ íåêîòîðûõ áåëûõ ðåáåð e1 , . . . , ek . ðóïïà Hϕ2 (I ∗ ) = x/ ∼ ðàññòàíîâîê ñ òî÷íîñòüþ äî êîãîìîëîãè÷íîñòè íàçûâàåòñÿ äâóìåðíîé ãðóïïîé êîãîìîëîãèé (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ) ïðîñòðàíñòâà I ∗ îòíîñèòåëüíî åãî ÷åðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê v(ϕ) = [ν(f )] ∈ Hϕ2 (I ∗ ).
Òàê êàê v(f ) = 0 äëÿ âëîæåíèÿ f , òî v(ϕ) ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì ê àïïðîêñèìèðóåìîñòè ïóòè ϕ âëîæåíèÿìè. Äîêàçàòåëüñòâî êîððåêòíîñòè îïðåäåëåíèÿ ïðåïÿòñòâèÿ v(ϕ), ò.å. íåçàâèñèìîñòè v(ϕ) îò âûáîðà ïóòè f . Ïóñòü ïóòè f, f ′ : I → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, áëèçêèå ê ϕ, îòëè÷àþòñÿ òîëüêî íà âíóòðåííîñòè îäíîãî ðåáðà j . Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ai ïðîâåäåì íåêîòîðûé ïóòü, ñîåäèíÿþùèé ýòó âåðøèíó ñ áåñêîíå÷íîñòüþ, è íàõîäÿùèéñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè îòíîñèòåëüíî öèêëà f (j) ∪ f ′ (j). Ïóñòü b1 , . . . , bk âñå òå âåðøèíû, äëÿ êîòîðûõ ïðîâåäåííûé ïóòü ïåðåñåêàåò öèêë f (j) ∪ f ′ (j) â íå÷åòíîì ÷èñëå òî÷åê (íàáîð ýòèõ âåðøèí íå çàâèñèò îò âûáîðà ïóòåé). Òîãäà ν(f ) − ν(f ′ ) = δ{b1 , j} + . . . + δ{bk , j}.
Ëþáîé ïóòü f : I → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, áëèçêèé ê ϕ, ìîæåò áûòü çàìåíåí íà ëþáîé äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåñêîëüêèõ ãîìåîìîð èçìîâ ïëîñêîñòè R2 è íåñêîëüêèõ 132
èçìåíåíèé âíóòðåííîñòè ëèøü îäíîãî ðåáðà (ìû íå äîêàçûâàåì ýòî èíòóèòèâíî î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå). Ïîýòîìó v(ϕ) íå çàâèñèò îò f . Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ïîëó÷àåòñÿ ðàññìîòðåíèåì ïðîèçâîëüíîé ãîìîòîïèè ft : K → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìåæäó çàäàííûìè îòîáðàæåíèÿìè f0 , f1 : K → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ãîìîòîïèþ ft : I → R2 , t ∈ [0, 1], îáùåãî ïîëîæåíèÿ, áëèçêóþ ê ϕ. Íà êàæäîì ðåáðå j × ai èëè ai × j òàáëèöû I ∗ ïîñòàâèì ÷èñëî mod 2 ìîìåíòîâ âðåìåíè t, äëÿ êîòîðûõ ft (ai ) ∈ ft (j) (ýòî ÷èñëî êîíå÷íî ïî ñîîáðàæåíèÿì îáùåãî ïîëîæåíèÿ). Ïóñòü e1 , . . . , ek âñå ðåáðà, íà êîòîðûõ ïîñòàâëåíà åäèíèöà. Òàê êàê ft (x) áëèçêî ê ϕ(x), òî èç ϕai 6∈ ϕj âûòåêàåò ft (ai ) 6∈ ft (j). Ïîýòîìó íà ÷åðíûõ ðåáðàõ ñòîÿò íóëè. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ν(f0 ) − ν(f1 ) = δe1 + . . . + δek . Ïîýòîìó v(ϕ) íå çàâèñèò îò f . 2 ∗ 9. (a) Hϕ (I ) ∼ = Zk2 , ãäå k ÷èñëî êóñêîâ òàáëèöû I ∗ , îãðàíè÷åííûõ ÷åðíûìè ðåáðàìè (ò.å. â ãðàíèöå êîòîðûõ òîëüêî ÷åðíûå ðåáðà) è ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû îäíó áåëóþ êëåòêó. c(ϕ) (b) k = c(ϕ). Ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííûé èçîìîð èçì (Ïóàíêàðå) Z2 ∼ = H 2 (Iϕ∗ ). Äâà ïîñòðîåííûõ ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïðè ýòîì èçîìîð èçìå. ∗ 10. (a)  êàæäîé òî÷êå (x, y) íà ðåáðå òàáëèöû I ïîñòàâèì âåêòîð ñ íàïðàâëåíèåì îò f (x) ê f (y). Òîãäà â êàæäîé êëåòêå òàáëèöû I ∗ ñòîèò ÷åòíîñòü ÷èñëà îáîðîòîâ âåêòîðà ïðè îáõîäå ïî åå ãðàíèöå. (b) Åñëè íåâûðîæäåííûé ïóòü ϕ : I → R2 àïïðîêñèìèðóåì âëîæåíèÿìè, òî (R) äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãî äâèæåíèÿ òî÷åê x è y ïî îòðåçêó I , â ïðîöåññå êîòîðîãî ϕ(x) 6= ϕ(y), à â êîíöå êîòîðîãî òî÷êè x è y âîçâðàùàþòñÿ êàæäàÿ â ñâîå èñõîäíîå ïîëîæåíèå (ò.å. äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ S 1 → {(x, y) ∈ I × I | ϕ(x) 6= ϕ(y)}), ÷èñëî îáîðîòîâ âåêòîðà îò ϕ(x) ê ϕ(y) â ïðîöåññå ýòîãî äâèæåíèÿ ðàâíî íóëþ. ( ) àññìîòðèì áîëåå ñëàáóþ îðìó (r) óñëîâèÿ (R): ÷èñëî îáîðîòîâ ÷åòíî. Òîãäà (r) ⇔ (v(ϕ) = 0). Óñëîâèå v(ϕ) = 0 ñëîæíåå îðìóëèðóåòñÿ, íî ãîðàçäî ïðîùå ïðîâåðÿåòñÿ, ÷åì (r). Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà V (ϕ) ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè ñòðîèòñÿ òàê. Âûáåðåì îðèåíòàöèþ â R2 è íà I . Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : I → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, äîñòàòî÷íî áëèçêîãî ê ϕ, è ëþáûõ äâóõ íåñîñåäíèõ ðåáåð i, j , ïåðåñå÷åíèå f i ∩ f j ñîñòîèò P èç êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê. Ïîñòàâèì â êëåòêå i × j èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ f i · f j = = {sign P | P ∈ f i ∩ f j}, ãäå sign P = +1, åñëè âåêòîðû îðèåíòàöèé f i è f j (â ýòîì ïîðÿäêå) ñîñòàâëÿþò áàçèñ îðèåíòàöèè ïëîñêîñòè R2 , è sign P = −1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííóþ ðàññòàíîâêó ÷åðåç N (f ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç X ìíîæåñòâî âñåõ ðàññòàíîâîê öåëûõ ÷èñåë â êëåòêàõ òàáëèöû ñ íóëÿìè â ÷åðíûõ êëåòêàõ. Îïðåäåëèì êîãîìîëîãè÷íîñòü àíàëîãè÷íî è ïîëîæèì V (ϕ) = [N (f )] ∈ Hϕ2 (I ∗ ; Z) := X/ ∼. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî V (ϕ) çàâèñèò îò âûáîðà îðèåíòàöèé â R2 è íà ðåáðàõ ãðà à I ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî àâòîìîð èçìà ãðóïïû Hϕ2 (I ∗ ; Z). 2 ∗ 11. (a) Hϕ (I ; Z) ∼ = Zk . (b) (R) ⇔ (V (ϕ) = 0). ( ) Ïîñòðîéòå àíàëîã ïðåïÿòñòâèé v(ϕ) è V (ϕ) äëÿ àïïðîêñèìèðóåìîñòè öèêëîâ âëîæåíèÿìè. Äîêàæèòå èõ íåïîëíîòó (äàæå äëÿ îòîáðàæåíèé, îáðàçàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ òðèîäû). Îáîçíà÷èì ÷åðåç I ∗ϕ îáúåäèíåíèå ÷åðíûõ êëåòîê è ðåáåð. Ñòàíäàðòíûìè îáîçíà÷åíèÿìè ãðóïï Cϕk (I ∗ , ·) è Hϕ2 (I ∗ , ·) ÿâëÿþòñÿ C k (I ∗ , I ∗ϕ , ·) è H 2 (I ∗ , I ∗ϕ , ·), ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê ïëàíàðíîñòè ãðà îâ.
133
 ýòîì ïóíêòå ñòðîèòñÿ ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà v(K) ∈ H 2 (K ∗ ) ê ïëàíàðíîñòè ãðà îâ. Ïåðåä åãî ïîñòîðîåíèåì ñ îðìóëèðóåì åãî âàæíåéøåå ñâîéñòâî. Êðèòåðèé Âàí Êàìïåíà ïëàíàðíîñòè ãðà îâ. ðà K ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà v(K) ∈ H 2 (K ∗ ) íóëåâîå. Óñëîâèå êðèòåðèÿ Êóðàòîâñêîãî (ñì. ãëàâó 1), êîíå÷íî, ïðîùå, ÷åì óñëîâèå v(K) = 0. Íî òîëüêî óñëîâèå v(K) = 0 îáîáùàåòñÿ íà âûñøèå ðàçìåðíîñòè. Òåîðåìà Âàí Êàìïåíà-Øàïèðî-Âó. Ïóñòü n 6= 2. Ïîëèýäð K ðàçìåðíîñòè n âëîæèì â R2n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà V (K) ∈ H 2n (K ∗ ; ZT ) íóëåâîå. Äàëåå â ýòîì ïóíêòå ìû ðàáîòàåì òîëüêî ñ ãðà àìè (ïðåïÿòñòâèå èç òåîðåìû Âàí Êàìïåíà-Øàïèðî-Âó ïðåäëàãàåòñÿ ïîñòðîèòü àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ãðà îâ â çàäà÷å 12 ). Ïîñòðîåíèå ðàññòàíîâêè ν(f ). Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : K → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ è ëþáûõ äâóõ íåñìåæíûõ ðåáåð σ, τ èç K ïåðåñå÷åíèå f σ ∩ f τ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íåóïîðÿäî÷åííîé ïàðå {σ, τ } âû÷åò ν(f )στ = |f σ ∩ f τ | mod 2.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç K ìíîæåñòâî íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð íåñìåæíûõ ðåáåð ãðà à K (çíàêîìûå ñ ïîíÿòèåì 2-ïîëèýäðà ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü ñåáå K ∗ 2-ïîëèýäðîì). Òîãäà ν(f ) ðàññòàíîâêà íóëåé è åäèíèö íà ýëåìåíòàõ ìíîæåñòâà K ∗ (èëè íà äâóìåðíûõ ãðàíÿõ 2-ïîëèýäðà K ∗ ). Ïîñòðîåíèå ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà. Ïóñòü a âåðøèíà ãðà à K , íå ÿâëÿþùàÿñÿ êîíöîì ðåáðà e ãðà à K . Ïðè äâèæåíèè àéäåìàéñòåðà íà ðèñ. 68, b) ê ν(f ) äîáàâëÿåòñÿ ðàññòàíîâêà åäèíèöû íà ïàðå {e′ , e} äëÿ a ∈ e′ è íóëÿ íà îñòàëüíûõ ïàðàõ. Ýòó óíêöèþ íàçîâåì ýëåìåíòàðíîé êîãðàíèöåé δ{a, e} íåóïîðÿäî÷åííîé ïàðû {a, e}. Íàçîâåì ðàññòàíîâêè ν1 , ν2 êîãîìîëîãè÷íûìè, åñëè ν1 − ν2 = = δ{a1 , e1 } + . . . + δ{ak , ek } äëÿ íåêîòîðûõ âåðøèí a1 , . . . , ak è ðåáåð e1 , . . . , ek . ðóïïà H 2 (K ∗ ) ðàññòàíîâîê ñ òî÷íîñòüþ äî êîãîìîëîãè÷íîñòè íàçûâàåòñÿ äâóìåðíîé ãðóïïîé êîãîìîëîãèé (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ) ïðîñòðàíñòâà K ∗ . Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà (ñ êîý èöèåíòàìè â Z2 ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ∗
v(K) = [ν(f )] ∈ H 2 (K ∗ ).
Òàê êàê v(f ) = 0 äëÿ âëîæåíèÿ f , òî v(K) ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì ê ïëàíàðíîñòè ãðà à K . Ñð. ïðåäûäóùèé ïóíêò. Äîêàçàòåëüñòâî êîððåêòíîñòè îïðåäåëåíèÿ ïðåïÿòñòâèÿ v(K), ò.å. íåçàâèñèìîñòè v(K) îò âûáîðà îòîáðàæåíèÿ f . Ïóñòü îòîáðàæåíèÿ f, f ′ : K → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî íà âíóòðåííîñòè îäíîãî ðåáðà e. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû a ãðà à K ïðîâåäåì íåêîòîðûé ïóòü, ñîåäèíÿþùèé ýòó âåðøèíó ñ áåñêîíå÷íîñòüþ, è íàõîäÿùèéñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè îòíîñèòåëüíî öèêëà f (e) ∪ f ′ (e). Ïóñòü a1 , . . . , ak âñå òå âåðøèíû, äëÿ êîòîðûõ ïðîâåäåííûé ïóòü ïåðåñåêàåò öèêë f (e) ∪ f ′ (e) â íå÷åòíîì ÷èñëå òî÷åê (íàáîð ýòèõ âåðøèí íå çàâèñèò îò âûáîðà ïóòåé). Òîãäà ν(f ) − ν(f ′ ) = δ{a1 , e} + . . . + δ{ak , e}.
Ëþáîå îòîáðàæåíèå f : K → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìîæåò áûòü çàìåíåíî íà ëþáîå äðóãîå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåñêîëüêèõ ãîìåîìîð èçìîâ ïëîñêîñòè R2 è íåñêîëüêèõ èçìåíåíèé âíóòðåííîñòè ëèøü îäíîãî ðåáðà (ìû íå äîêàçûâàåì ýòî èíòóèòèâíî î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå). Ïîýòîìó v(K) íå çàâèñèò îò f . Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ïîëó÷àåòñÿ ðàññìîòðåíèåì ïðîèçâîëüíîé ãîìîòîïèè ft : K → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìåæäó çàäàííûìè îòîáðàæåíèÿìè f0 , f1 : K → R2 134
îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ïóñòü e1 , . . . , ek âñå òå ïàðû {a, β}, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî ìîìåíòîâ t ñ ft (a) ∈ ft (β) íå÷åòíî. Òîãäà íåçàâèñèìîñòü v(K) îò f âûòåêàåò èç ðàâåíñòâà ν(f0 ) − ν(f1 ) = δe1 + . . . + δek . (Çàìåòèì, ÷òî â [RS99, 2℄ ðàññòàíîâêà N ({ft }) îïðåäåëåíà íåïðàâèëüíî.) Âûâîä óñëîâèÿ êðèòåðèÿ Êóðàòîâñêîãî èç óñëîâèÿ v(K) = 0 îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå çàäà÷è. Ïðÿìîé âûâîä óñëîâèÿ v(K) = 0 èç óñëîâèÿ êðèòåðèÿ Êóðàòîâñêîãî ñì. â [Sa91℄. Ïðÿìîé âûâîä ïëàíàðíîñòè èç óñëîâèÿ v(K) = 0 ñì. â [Sa91℄ (Ê. Ñàðêàðèÿ ïîäòâåðæäàåò, ÷òî â ýòîì âûâîäå èìåþòñÿ ïðîáåëû). ∗ 12. (a)  êàæäîé òî÷êå (x, y) íà ðåáðå 2-ïîëèýäðà K ïîñòàâèì âåêòîð ñ íàïðàâëåíèåì îò f (x) ê f (y). Òîãäà â êàæäîé êëåòêå 2-ïîëèýäðà K ∗ ñòîèò ÷åòíîñòü ÷èñëà îáîðîòîâ âåêòîðà ïðè îáõîäå ïî åå ãðàíèöå. (b) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà V (K) ñ öåëûìè êîý èöèåíòàìè. ( ) Ïîñòðîéòå ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà V (K) ê âëîæèìîñòè 2-ïîëèýäðà K â R4 (îíî íåïîëíî!) è ê âëîæèìîñòè n-ïîëèýäðà K â R2n (îíî ïîëíî ïðè n 6= 2!).
Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ìîæíî âû÷èñëÿòü ïðè ïîìîùè îðìóëû v(K) = Sq 1 v1 (K). Äàäèì íàáðîñêè íåîáõîäèìûõ îïðåäåëåíèé. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ìîæíî îïðåäåëèòü ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà v1 (K) ∈ H 1 (K ∗ ) ê âëîæèìîñòè ãðà à K â ïðÿìóþ (ñð. ïóíêò 'îòîáðàæåíèÿ ãðà à â îêðóæíîñòü'). Ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàåòñÿ ãðà K ∗(1) , âåðøèíû êîòîðîãî åñòü íåóïîðÿäî÷åííûå ïàðû {a, b} ðàçëè÷íûõ âåðøèí ãðà à K , è âåðøèíà {a, b} ñîåäèíåíà ðåáðîì ñ âåðøèíîé {c, d}, åñëè, íàïðèìåð, a = c è âåðøèíû b è d ñîñåäíèå â ãðà å K ∗(1) (ýòî ðåáðî îáîçíà÷àåòñÿ a × (bd)). Ïðè ýòîì íóæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êîöèêëû, ò.å. òàêèå ðàññòàíîâêè íóëåé è åäèíèö íà ðåáðàõ ãðà à K ∗(1) , ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû {(ab), (cd)} íåñìåæíûõ ðåáåð ãðà à K ñóììà ÷èñåë íà ÷åòûðåõ ðåáðàõ a × (cd), b × (cd), c × (ab), d × (ab) ðàâíà íóëþ. Îïðåäåëèì îïåðàöèþ Áîêøòåéíà Sq 1 : H 1 (K ∗ ) → H 2 (K ∗ ). (Ýòó îïåðàöèþ ìîæíî îïðåäåëèòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëèýäðà, íî ìû îãðàíè÷èìñÿ íåîáõîäèìûì çäåñü ÷àñòíûì ñëó÷àåì, â êîòîðîì îïðåäåëåíèå ÷óòü ïðîùå.) Ïóñòü äàíà ðàññòàíîâêà ν íóëåé è åäèíèö íà ðåáðàõ ãðà à K ∗(1) , ÿâëÿþùàÿñÿ êîöèêëîì. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé íåóïîðÿäî÷åííîé ïàðå {(ab), (cd)} íåïåðåñåêàþùèõñÿ ðåáåð ãðà à K ñóììó äâóõ ÷èñåë íà 'ïðîòèâîïîëîæíûõ' ðåáðàõ a × (cd) è b × (cd) (èëè c × (ab) è d × (ab)) ãðà à K ∗(1) . Ïîëó÷åííóþ óíêöèþ K ∗ → Z2 îáîçíà÷èì ÷åðåç ν 2 . Çàìåòèì, ÷òî åñëè ν = δ{x, y} ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé êîãðàíèöåé âåðøèíû {a, b} ãðà à K ∗(1) , òî ν 2 = δ{a × (stK b)}, ãäå ÷åðåç stK b îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî ðåáåð ñ êîíöîì b. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèå ν → ν 2 îïðåäåëÿåò íåîáõîäèìóþ îïåðàöèþ Áîêøòåéíà. (Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ îïåðàöèÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëèýäðà.) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îðìóëû v(K) = Sq 1 v1 (K) âîçüìåì îòîáðàæåíèå f : K → R1 îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðÿìàÿ R1 ⊂ R2 ãîðèçîíòàëüíà. Âîçüìåì îòîáðàæåíèå g : K → R2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, äëÿ êîòîðîãî gx è f x ëåæàò íà îäíîé âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé äëÿ ëþáîãî x ∈ K è òî÷êà gy âûøå ëþáîé èç òî÷åê ìíîæåñòâà gf −1 f y äëÿ ëþáîé âåðøèíû y ãðà à K . Òîãäà (ν(f ))2 = ν(g) è îðìóëà äîêàçàíà. (a) Îïðåäåëèòå áèëèíåéíîå óìíîæåíèå ∪ : H 1 (K ∗ ) × H 1 (K ∗ ) → H 2 (K ∗ ), äëÿ êîòîðîãî Sq 1 x = x ∪ x. (b)* Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîã ðàâåíñòâà v(K) = Sq 1 v1 (K) äëÿ 2-ïîëèýäðà K . 13.
Ïðåïÿòñòâèå Âàí Êàìïåíà ê ðàñïðîåêòèðóåìîñòè.
Îòîáðàæåíèå ϕ : G → R êîíå÷íîãî ãðà à G â ïðÿìóþ íàçûâàåòñÿ ðàñïðîåêòèðóåìûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå âëîæåíèå f : G → R2 , ÷òî ϕ = π ◦ f , ãäå π : R2 → R îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ. 135
Ïðèâåäåì åùå áîëåå ýëåìåíòàðíóþ ïåðå îðìóëèðîâêó ýòîãî îïðåäåëåíèÿ äëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ϕ îáùåãî ïîëîæåíèÿ (ðèñ. 69). (Îáùíîñòü ïîëîæåíèÿ îçíà÷àåò çäåñü, ÷òî íèêàêîé îòðåçîê íå ïåðåõîäèò â òî÷êó.) Äëÿ ýòîãî èêñèðóåì äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè. Íàçîâåì ðàñïîëîæåíèåì òàêîå èçîáðàæåíèå (ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè) ãðà à G íà ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðîãî (1) àáñöèññû âåðøèí öåëûå, (2) åñëè äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì â íàøåì ãðà å, òî èõ àáñöèññû îòëè÷àþòñÿ ðîâíî íà 1, è ýòî ðåáðî ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì. àñïîëîæåíèå íàçûâàåòñÿ âëîæåíèåì, åñëè âíóòðåííîñòè îáðàçîâ ëþáûõ äâóõ åãî ðåáåð íå ïåðåñåêàþòñÿ. àñïîëîæåíèå íàçûâàåòñÿ ðàñïðîåêòèðóåìûì, åñëè âîçìîæíî ïðåîáðàçîâàòü åãî âî âëîæåíèå ïóòåì îäíîâðåìåííîé ïåðåñòàíîâêè âåðøèí, íå èçìåíÿþùåé èõ àáñöèññ, è ñîîòâåòñòâóþùåãî èçìåíåíèÿ ðåáåð.
èñ. 69: Ïðèìåð ðàñïîëîæåíèÿ
èñ. 70: Ïðîñòåéøèå íåðàñïðîåêòèðóåìûå ðàñïîëîæåíèÿ 14. (a) Ëþáîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà â îòðåçîê ÿâëÿåòñÿ ðàñïðîåêòèðóåìûì. (b) àñïîëîæåíèÿ íà ðèñ. 70 íå ÿâëÿþòñÿ ðàñïðîåêòèðóåìûìè. ( ) ( èïîòåçà) àñïîëîæåíèå ãðà à â ïëîñêîñòè, àáñöèññû âåðøèí êîòîðîãî ðàâíû 0 èëè 1, ÿâëÿåòñÿ ðàñïðîåêòðèóåìûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî íå ñîäåðæèò ðàñïîëîæåíèÿ îêðóæíîñòè ñ ÷åòíûì ÷èñëîì âåðøèí, àáñöèññû êîòîðûõ ðàâíû ïîî÷åðåäíî íóëþ èëè åäèíèöå (ðèñ. 70 ñëåâà) èëè ðàñïîëîæåíèÿ òðèîäà íà ðèñ. 70 ñïðàâà. (d) àñïîëîæåíèÿ áóêâ H è X ñ ðèñ. 71 (äàæå áëèçêèå ê íèì) íå ÿâëÿþòñÿ ðàñïðîåêòèðóåìûìè. Óêàçàíèå. Åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî ñì. íèæå.  ýòîì ïóíêòå èññëåäóåòñÿ ñëåäóþùàÿ ïðîáëåìà: êàêèå ñèìïëèöèàëüíûå îòîáðàæåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàñïðîåêòèðóåìûìè? Ïîíÿòèå ðàñïðîåêòèðóåìîñòè (ñïðîåêòèðîâàííîãî âëîæåíèÿ) âîçíèêëî â [Sz91℄, [Ak00℄ è èçó÷àëîñü â [ARS02℄ â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé àïïðîêñèìàöèè âëîæåíèÿìè îòîáðàæåíèé ãðà îâ â ïëîñêîñòü. Ïî ïîâîäó àëãîðèòìè÷åñêîé ðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ðàñïðîåêòèðóåìîñòè è íåâîçìîæíîñòè êðèòåðèÿ òèïà Êóðàòîâñêîãî ìîæíî ñäåëàòü çàìå÷àíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì âûøå ïî ïðîáëåìå àïïðîêñèìèðóåìîñòè âëîæåíèÿìè.
136
a• a1 •
b• b1 • b2 •
c• c1 • c2•
•d •d1 •d2
•e •e1
a•
b•
c• c1•
•e •e1
a1 •
b1 •
•d •d1 •d2 •d3
c2•
•d4 •d5
•e2
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . ......................................................................................................................................................................... .. .. .. .. . . ................................................................................................................................................................................................................................................... .... ............................................................................................................................................................... .. .. ........................................................................................................................................................................ .. .. .. ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
•e2
•f f •1
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . ....................................................................................................................................................................... .. .. .. ............................................................................ .. .................................................................................................................................................................................................................................................. . ... ... .......................................................................................................................................................................... . . ... . . ... . . . ......................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................................................................... .. .. .. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
b2•
f •2
èñ. 71: Íåðàñïðîåêòèðóåìûå ðàñïîëîæåíèÿ Ñåêëþöêîãî Òåîðåìà ðàñïðîåêòèðóåìîñòè. Åñëè îòîáðàæåíèå ϕ : G → R ðàñïðîåêòèðóåìî, òî ïàðà òî÷åê íå ìîæåò íåïðåðûâíî äâèãàòüñÿ ïî ãðà ó G òàê, ÷òîáû â ïðîöåññå äâèæåíèÿ èõ ϕ-îáðàçû ñîâïàäàëè, à ñàìè òî÷êè íå ñîâïàäàëè, è â ðåçóëüòàòå äâèæåíèÿ òî÷êè ïîìåíÿëèñü áû ìåñòàìè. Äëÿ ñèìïëèöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ : G → R îáùåãî ïîëîæåíèÿ ýòî íåîáõîäèìîå óñëîâèå (Âàí Êàìïåíà) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, åñëè èç êàæäîé âåðøèíû ãðà à G âûõîäèò íå ìåíåå òðåõ ðåáåð. 15. (a) Äîêàæèòå íåîáõîäèìîñòü â òåîðåìå ðàñïðîåêòèðóåìîñòè. (b) Äîêàæèòå íåîáõîäèìîñòü àíàëîãè÷íîãî óñëîâèÿ Âàí Êàìïåíà äëÿ ðàñïðîåêòèðóåìîñòè ðàñïîëîæåíèé, ïîëó÷åííîãî èç ñ îðìóëèðîâàííîãî âûøå çàìåíîé 'ϕîáðàçîâ' íà 'àáñöèññû'.
Íàïðèìåð, ñëåäóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïàð ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàñïîëîæåíèÿ ñ ðèñ. 71 íå ÿâëÿþòñÿ ðàñïðîåêòèðóåìûìè (ýòî ðåøàåò çàäà÷ó 14.d): aa1 , ee1 , d1 d2 , b2 b1 , c2 c1 , e2 e, b2 b, d1 d, c1 c, a1 a; aa1 , dd3 , cc1 , f f1 , d1 d2 , e2 e1 , c2 c1 , d4 d3 , b2 b1 , d5 d3 , f2 f, b2 b, e2 e, d3 d, a1 a.
 [ARS02℄ äëÿ ñèìïëèöèàëüíûõ îòîáðàæåíèé îáùåãî ïîëîæåíèÿ äîêàçàíî, ÷òî íåîáõîäèìîå óñëîâèå Âàí Êàìïåíà äåéñòâèòåëüíî ðàâíîñèëüíî íåêîòîðîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óñëîâèþ, áîëåå ïîõîæåìó íà âûøåîïèñàííûå ïðåïÿòñòâèÿ Âàí Êàìïåíà. Èç ýòîãî, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò, ÷òî óñëîâèå Âàí Êàìïåíà ëåãêî ïðîâåðÿòü àëãîðèòìè÷åñêè (ñì. ïðÿìîå äîêàçàòåëüñòâî íèæå).  [ARS02℄ âûäâèíóòà òàêæå ãèïîòåçà î äîñòàòî÷íîñòè. Äîñòàòî÷íîñòü â òåîðåìå ðàñïðîåêòèðóåìîñòè âûòåêàåò èç [ARS02℄, [Sk03'℄. Çàìåòèì, ÷òî òàêîå äîêàçàòåëüñòâî î÷åíü íåïðÿìîå. Ïðÿìîå äîêàçàòåëüñòâî ïðè äðóãîì äîïîëíèòåëüíîì îãðàíè÷åíèè ñì. â [GS℄. Ïðèâåäåì ïåðå îðìóëèðîâêó íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ Âàí Êàìïåíà. Èç ïåðå îðìóëèðîâêè áóäåò ÿñíî, ÷òî åãî ëåãêî ïðîâåðèòü àëãîðèòìè÷åñêè [ARS02℄. Óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó (A, B) äâóõ òàêèõ ðàçëè÷íûõ âåðøèí ãðà à G, ÷òî ϕ(A) = ϕ(B), áóäåì íàçûâàòü ïðîñòî ïàðîé è îáîçíà÷àòü AB . Ïàðà A1 B1 íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíî äîñòèæèìîé èç ïàðû AB , åñëè ãðà G ñîäåðæèò ðåáðà AA1 è BB1 . Ïàðà ST íàçûâàåòñÿ äîñòèæèìîé èç ïàðû AB , åñëè ST ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç AB ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ýëåìåíòàðíî äîñòèæèìûõ ïàð. Îáîçíà÷åíèå: ST ∼ AB . Î÷åâèäíî, äîñòèæèìîñòü 137
îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå Âàí Êàìïåíà ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó (äëÿ ðàñïîëîæåíèé): íèêàêàÿ ïàðà AB íå äîñòèæèìà èç ïàðû BA. Ïðèâåäåííàÿ ãèïîòåçà ïðèíèìàåò ñëåäóþùóþ îðìó: ðàñïîëîæåíèå, äëÿ êîòîðîãî íèêàêàÿ ïàðà AB íå äîñòèæèìà èç ïàðû BA, ÿâëÿåòñÿ ðàñïðîåêòèðóåìûì. ÈÍÂÀ ÈÀÍÒ ÂÓ ÂËÎÆÅÍÈÉ ÀÔÎÂ Â ÏËÎÑÊÎÑÒÜ
Âëîæåíèÿ f, g : G → R2 ãðà à â ïëîñêîñòü èçîòîïíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ èíâàðèàíòû Âó ñîâïàäàþò. Êðèòåðèé èçîòîïíîñòè.
èñ. 72: àçëè÷íûå âëîæåíèÿ ãðà à â ïëîñêîñòü Èíâàðèàíò Âó îïðåäåëåí äàëåå â ýòîì ïàðàãðà å. Ñóùåñòâóþò è áîëåå ïðîñòûå êðèòåðèè èçîòîïíîñòè [Sk05℄. Ïðèâåäåííàÿ òåîðåìà èíòåðåñíà òåì, ÷òî îáîáùàåòñÿ íà ñòàðøèå ðàçìåðíîñòè (â îòëè÷èå îò äðóãèõ êðèòåðèåâ èçîòîïíîñòè) è òåì, ÷òî ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé äëÿ îöåíêè êîëè÷åñòâà âëîæåíèé ãðà à â ïëîñêîñòü. b è èíâàðèàíò Âó w(f ) ∈ H 1 (G) b . Äëÿ âëîæåíèÿ f : G → R2 îïðåäåëèì ãðóïïó Hs1 (G) s Äëÿ ýòîãî çàäàäèì îðèåíòàöèþ íà ïëîñêîñòè è íàïðàâëåíèÿ íà ðåáðàõ ãðà à G. Ñîåäèíèì îáðàçû âåðøèí ãðà à ëîìàíîé è âûïðÿìèì å¼ èçîòîïèåé ïëîñêîñòè. Ïîëó÷èì íîâîå âëîæåíèå f ′ : G → R2 . Äëÿ âåðøèíû a è ðåáðà bc ãðà à G, îðèåíòèðîâàííîãî îò b ê c, îïðåäåëèì ïîëóöåëîå ÷èñëî ω(f ′ )a×bc êàê êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ âåêòîðà ñ íà÷àëîì â âåðøèíå a è êîíöîì, ïðîáåãàþùèì ðåáðî bc îò b ê c. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ω(f ′ )bc×a êàê êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ âåêòîðà ñ êîíöîì â âåðøèíå a è íà÷àëîì, ïðîáåãàþùèì ðåáðî bc îò b ê c. ′ ′ 1. (a) Äëÿ ëþáîé âåðøèíû a è ðåáðà bc ãðà à G èìååì ω(f )a×bc = ω(f )bc×a . (b) Äëÿ ðåáåð ab è cd ãðà à G èìååì ω(f ′ )a×cd + ω(f ′ )ab×d + ω(f ′ )b×dc + ω(f ′ )ba×c = 0.
Çäåñü ω(f ′ )x×yz := −ω(f ′ )x×zy è ω(f ′ )yz×x := −ω(f ′ )zy×x , åñëè ðåáðî zy îðèåíòèðîâàíî îò z ê y . b . Âåðøèíû ãðà à G b ïàðû a × b, ãäå a è b ðàçëè÷íûå Ïîñòðîèì íîâûé ãðà G âåðøèíû ãðà à G. Âåðøèíà a × b ñîåäèíåíà ðåáðîì ñ âåðøèíîé a × c, åñëè b è c ñîåäèíåíû ðåáðîì â èñõîäíîì ãðà å G. Àíàëîãè÷íî b × a è c × a ñîåäèíåíû ðåáðîì, b íåò. åñëè b è c ñîåäèíåíû ðåáðîì. Äðóãèõ ðåáåð â ãðà å G b îêðóæíîñòü ñ 6 âåðøè2. (a) Åñëè G îêðóæíîñòü ñ òðåìÿ âåðøèíàìè, òî G íàìè. (b) Åñëè G òðèîä, ò.å. ãðà ñ ÷åòûðüìÿ âåðøèíàìè 0,1,2,3 è ðåáðàìè 01,02,03, b îêðóæíîñòü ñ äâåíàäöàòüþ âåðøèíàìè. òî G b , òî ñóììà ïîñòàâëåííûõ ïîëó(ñ) Åñëè a × b è b × a ñîåäèíåíû ïóòåì â ãðà å G öåëûõ ÷èñåë íà ðåáðàõ ýòîãî ïóòè íå ÿâëÿåòñÿ öåëîé. Âîçüìåì íà ðåáðå (a × b, a × c) íàïðàâëåíèå, ñîîòâåòñâóþùåå íàïðàâëåíèþ íà ðåáðå bc. Îáîçíà÷èì ïîñòðîåííóþ ðàññòàíîâêó ÷èñåë ω(f ′ )a×bc è ω(f ′ )bc×a íà (îðèåíb ÷åðåç ω(f ′ ). òèðîâàííûõ) ðåáðàõ ãðà à G 138
Îïðåäåëèì ýëåìåíòàðíóþ êîãðàíèöó δ(a × b) âåðøèíû a × b êàê ðàññòàíîâêó ÷èb , âõîäÿùèõ â a × b, ÷èñåë −1/2 íà ðåáðàõ, âûõîäÿùèõ èç ñåë +1/2 íà ðåáðàõ ãðà à G a × b, è 0 íà îñòàëüíûõ. Îïðåäåëèì ýëåìåíòàðíóþ ñèììåòðè÷íóþ êîãðàíèöó âåðøèíû a × b êàê δs (a × b) := δ(a × b) + δ(b × a).
(a)
(b)
( )
aj +1
ai ai+1 a1
aj−1 aj
ai−1
ai+1 a1
a1
ak
ak
ai
ai
aj
ai+1
aj +1
ak
èñ. 73: Èçìåíåíèå ïðåïÿòñòâóþùåé ðàññòàíîâêè (a) Ïóñòü f ′ è f ′′ îòëè÷àþòñÿ òåì, ÷òî âåðøèíû ai è aj ïîìåíÿëè ìåñòàìè â ëîìàíîé, ñîåäèíÿþùåé îáðàçû âåðøèíû ãðà à G ïðè âëîæåíèè f , êàê íà ðèñóíêå 73(a).  ÷àñòíîñòè íà ëîìàíîé, ïîñòðîåííîé äëÿ f ′ , âåðøèíû èìåëè ïîðÿäîê (a1 , . . . , an ), à íà ëîìàíîé, ïîñòðîåííîé äëÿ f ′′P , ïîðÿäîê âåðøèí (a1 , ..., ai−1 , aj , ai+1 , ..., aj−1 , ai , aj+1 , ..., an ). Òîãäà ω(f ′′ ) − ω(f ′ ) = (±δs (ak × ai ) ± δs (ak × aj )), 3.
k6=i,j
ãäå çíàêè ïëþñ è ìèíóñ âûáèðàþòñÿ íå îáÿçàòåëüíî ñîãëàñîâàííî. ai ai+1 âîêðóã ai+1 , ..., an , èçîáðàæåí(b) Ïðè k -êðàòíîé çàêðóòêå ðåáðà ëîìàíîé P kδs (ai × aj ). íîé íà ðèñóíêå 73(b), ω(f ′′ ) − ω(f ′ ) = i<j6n
( ) Íàéòè ω(f ′′ ) − ω(f ′ ) äëÿ èçìåíåíèÿ ëîìàíîé, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 73( ). (d)* àçíîñòü ω(f ′′ ) − ω(f ′ ) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷íûõ êîãðàíèö ñ öåëûìè êîý èöåíòàìè. Íàçîâåì ðàññòàíîâêè ω1 è ω2 êîãîìîëîãè÷íûìè, åñëè ω1 − ω2 ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷íûõ êîãðàíèö ñ öåëûìè êîý èöåíòàìè. Îïðåäåëèì ãðóïb êàê ãðóïïó ðàññòàíîâîê, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì èç çàäà÷ 1ab è 2 , ñ ïó Hs1 (G) òî÷íîñòüþ äî êîãîìîëîãè÷íîñòè. Îïðåäåëèì èíâàðèàíò Âó êàê b w(f ) = [ω(f )] ∈ Hs1 (G).
Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòà Âó âûòåêàåò èç çàäà÷è 3d. Íåîáõîäèìîñòü â òåîðåìå î÷åâèäíà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè ïî òåîðåìå ÌàêëåéíàÝäêèññîíà îá èçîòîïíîñòè âëîæåíèé ãðà à â ïëîñêîñòü [Sk05℄ äîñòàòî÷íî ðåøèòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. 139
Èíâàðèàíò Âó ðàçëè÷àåò âëîæåíèÿ (a) îêðóæíîñòè â ïëîñêîñòü, îòëè÷àþùèåñÿ îñåâîé ñèììåòðèåé. (b) òðèîäà â ïëîñêîñòü, îòëè÷àþùèåñÿ ïåðåñòàíîâêîé äâóõ èç òðåõ åãî ðåáåð.
4.
5. Êëàññè èöèðóéòå ïîãðóæåíèÿ (ò.å. ëîêàëüíûå âëîæåíèÿ) ãðà à â ïëîñêîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè (ò.å. ëîêàëüíîé èçîòîïèè). ÊÎÍÔÈ Ó ÀÖÈÎÍÍÛÅ Ï ÎÑÒ ÀÍÑÒÂÀ È ÏËÀÍÀ ÍÎÑÒÜ Ïðåïÿòñòâèå âçðåçàííîãî êâàäðàòà ê ïëàíàðíîñòè ãðà îâ.
Çàìå÷àòåëüíàÿ èäåÿ ïðèìåíåíèÿ êîí èãóðàöèîííûõ ïðîñòðàíñòâ èìååò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ êàê â òîïîëîãèè, òàê è â äðóãèõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. Ïîÿñíèì ýòó èäåþ íà ïðèìåðå êðèòåðèÿ ïëàíàðíîñòè ãðà îâ (è ïîëèýäðîâ). Êîíå÷íî, ïðîâåðÿòü ïëàíàðíîñòü ãðà îâ (è ïîëèýäðîâ) ïðîùå íå ñ èñïîëüçîâàíèåì êîí èãóðàöèîííûõ ïðîñòðàíñòâ, à ïî òåîðåìå Êóðàòîâñêîãî (è Õàëèíà-Þíãà) [Pr04℄, [Sk05℄, [HJ64℄. 2 Òåîðåìà Õàëèíà-Þíãà. Ñâÿçíûé ïîëèýäð âëîæèì â S òîãäà è òîëüêî òîãäà, 2 êîãäà îí íå ñîäåðæèò ãðà îâ K5 , K3,3 èëè 'çîíòèêà' U (ðèñ. 3 è 74).
èñ. 74: Çîíòèê (êíîïêà) Îäíàêî äëÿ âëîæåíèé â ñòàðøèå ðàçìåðíîñòè àíàëîãà òåîðåìû Êóðàòîâñêîãî (è Õàëèíà-Þíãà) ïðîñòî íåò, à âîò ìåòîä êîí èãóðàöèîííûõ ïðîñòðàíñòâ õîðîøî ðàáîòàåò [RS96, 6℄, [RS99, 4℄, [Sk02℄, [Sk08, 5℄. Èòàê, â ýòîì ïóíêòå ÷èòàòåëü íà ïðèìåðå èçó÷åíèÿ ïëàíàðíîñòè ãðà îâ (è ïîëèýäðîâ) îñâîèò ìåòîä, êîòîðûé õîðîøî ðàáîòàåò â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå, à òàêæå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì áîëåå îáùèõ ìåòîäîâ, ïîëåçíûõ äëÿ îãðîìíîãî êðóãà çàäà÷. Íàçîâåì e = {(x, y) ∈ N × N | x 6= y} N âçðåçàííûì êâàäðàòîì ãðà à (èëè äàæå ïîëèýäðà èëè êîìïàêòà) N . 1. Åñëè çàäàíà òðèàíãóëÿöèÿ T ãðà à (èëè 2-ïîëèýäðà) N , òî íàçîâåì ñèìïëèöèàëüíûì âçðåçàííûì êâàäðàòîì ýòîé òðèàíãóëÿöèè 2-ïîëèýäð (èëè 4-ïîëèýäð) Te = {σ × τ ∈ T × T | σ ∩ τ = ∅}. àññìîòðèì (ìèíèìàëüíûå) òðèàíãóëÿöèè ãðà îâ K1,3 (òðèîä), K5 è K3,3 , à òàêæå 2-ïîëèýäðà U (çîíòèê), ñì. ðèñ. 3, 74. Ñèìïëèöèàëüíûå âçðåçàííûå êâàäðàòû ýòèõ òðèàíãóëÿöèé ãðà à K1,3 , ïîëèýäðà U , ãðà à K5 è ãðà à K3,3 ãîìåîìîð íû ñîîòâåòñòâåííî S 1 , S 2 , ñ åðå ñ 6 ðó÷êàìè è ñ åðå ñ 4 ðó÷êàìè. Óêàçàíèå äëÿ K5 è K3,3 : ïðîâåðüòå, ÷òî Te ÿâëÿåòñÿ 2-ìíîãîîáðàçèåì áåç êðàÿ, âû÷èñëèòå åãî ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó è äîêàæèòå åãî îðèåíòèðóåìîñòü. Îðèåíòèðóåìîñòü ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç âëîæèìîñòè 2-ïîëèýäðà Te âî âçðåçàííûé äæîéí (îïðåäåëåííûé â [Pr04℄) ãðà à K5 èëè K3,3 , êîòîðûé ãîìåîìîð åí S 3 . e →N e è ñèììåò àññìîòðèì îòîáðàæåíèå 'ïåðåñòàíîâêó ñîìíîæèòåëåé' t : N 1 1 2 e è a2 = id S 1 ðèþ a : S → S îòíîñèòåëüíî öåíòðà îêðóæíîñòè. ßñíî, ÷òî t = id N (òàêèå îòîáðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ èíâîëþöèÿìè, ñð. ãëàâó 2). 140
2. Óêàçàííûé â çàäà÷å 1 ãîìåîìîð èçì ïåðåâîäèò îòîáðàæåíèÿ t íà ñèìïëèöèàëüíûõ âçðåçàííûõ êâàäðàòàõ â àíòèïîäàëüíûå îòîáðàæåíèÿ. Åñëè f : N → R2 âëîæåíèå, òî ìîæíî îïðåäåëèòü íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå
e → S1 fe : N
f (x ) − f (y ) . îðìóëîé fe(x, y) = |f (x) − f (y )|
 ýòîé êíèãå âñå îòîáðàæåíèÿ ìåæäó ãðà àìè, ïîëèýäðàìè è ìíîãîîáðàçèÿìè ñ÷èòàþòñÿ íåïðåðûâíûìè, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ fe âûïîëíåíî e → S 1 íàçûâàþòñÿ ýêâèfe(y, x) = −fe(x, y), ò.å. fe ◦ t = a ◦ fe. Òàêèå îòîáðàæåíèÿ N âàðèàíòíûìè. Èòàê, åñëè N âëîæèì â ïëîñêîñòü, òî ñóùåñòâóåò (íåïðåðûâíîå) e → S1. ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå Φ : N Èñïîëüçóÿ ìåòîä ãëàâû 6, ìîæíî ïîñòðîèòü àëãåáðàè÷åñêîå ïðåïÿòñòâèþ ê ñóùåñòâîâàíèþ òàêîãî ýêâèâàðèàíòíîãî îòîáðàæåíèÿ. Îíî îêàæåòñÿ ðàâíûì ïðåïÿòñòâèþ Âàí Êàìïåíà ê ïëàíàðíîñòè ãðà îâ. Òåîðåìà Âó. Åñëè äëÿ ïîëèýäðà (â ÷àñòíîñòè, ãðà à) N ñóùåñòâóåò ýêâèâàðèe → S 1 , òî N âëîæèì â ïëîñêîñòü [Wu65℄, [SSS98℄. àíòíîå îòîáðàæåíèå Φ : N Òåîðåìà Âó èíòåðåñíà, ïîñêîëüêó ïîêàçûâàåò, ÷òî 'ìíîãîìåðíûé' êðèòåðèé âçðåçàííîãî êâàäðàòà ñïðàâåäëèâ è äëÿ ïëîñêîãî ñëó÷àÿ. Êðîìå òîãî, èìåííî êðèòåðèé âçðåçàííîãî êâàäðàòà ìîæåò îêàçàòüñÿ ñïðàâåäëèâ äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà êîìïàêòîâ, ÷åì ïîëèýäðû (ñì., âïðî÷åì, ïóíêò 'ïðåïÿòñòâèå âçðåçàííîãî êâàäðàòà ê ïëàíàðíîñòè êîìïàêòîâ.'). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Âó îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì çíàìåíèòîì ðåçóëüòàòå (äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ óïðàæíåíèåì; äðóãèå åãî ïðèìåíåíèÿ ñì. â ñëåäóþùåì ïóíêòå). Ïîíÿòèå ãîìîòîïèè îïðåäåëåíî â íà÷àëå ãëàâû 6. n m ñ åðû íà ñ åðó íà3. Òåîðåìà Áîðñóêà-Óëàìà. [Pr04℄ Îòîáðàæåíèå f : S → S çûâàåòñÿ ýêâèâàðèàíòíûì (èëè íå÷åòíûì), åñëè f (−x) = −f (x) äëÿ êàæäîãî x ∈ S n . (a) Íèêàêîå ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå S 1 → S 1 íå ãîìîòîïíî ïîñòîÿííîìó. (b) Íèêàêîå îòîáðàæåíèå S 2 → S 1 íå ýêâèâàðèàíòíî. ( ) Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : S 2 → R2 ñóùåñòâóåò x ∈ S 2 òàêîå, ÷òî f (x) = f (−x). (Ò.å. â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íà Çåìëå íàéäóòñÿ äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè, â êîòîðûõ òåìïåðàòóðà è äàâëåíèå ñîâïàäàþò.) 4. (a) Äîêàæèòå òåîðåìó Âó äëÿ ãðà îâ. Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå êðèòåðèé Êóðàòîâñêîãî ïëàíàðíîñòè ãðà îâ (ñì. âûøå), çàäà÷è 1 è 2, à òàêæå àíàëîã òåîðåìû Áîðñóêà-Óëàìà (b). (b) Äîêàæèòå òåîðåìó Âó äëÿ ïîëèýäðîâ. Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå êðèòåðèé Õàëèíà-Þíãà ïëàíàðíîñòè ïîëèýäðîâ (ñì. âûøå), çàäà÷è 1 è 2, à òàêæå òåîðåìó Áîðñóêà-Óëàìà (b) è åå àíàëîã. ( ) Åñëè ñ åðà S 2 ïîêðûòà òðåìÿ çàìêíóòûìè ìíîæåñòâàìè, òî îäíî èç íèõ ñîäåðæèò ïàðó àíòèïîäîâ. (d)* Ïðèäóìàéòå è äîêàæèòå ìíîãîìåðíûé àíàëîã òåîðåìû Áîðñóêà-Óëàìà. Òåîðåìà Ìóðà î òðèîäàõ è ïðèìåð íåïëàíàðíîãî áåñêîíå÷íîãî äåðåâà. Òåîðåìà Ìóðà. Ïëîñêîñòü íå ñîäåðæèò íåñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ òðèîäîâ. Ïîñêîëüêó ëþáîå íåñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî â (ïîëíîì) ïðîñòðàíñòâå çàìêíóòûõ îãðàíè÷åííûõ ïîäìíîæåñòâ ïëîñêîñòè ñîäåðæèò ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî òåîðåìà Ìóðà âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç T òðèîä. 2 Ëåììà. Äëÿ ëþáîãî âëîæåíèÿ f0 : T → R ñóùåñòâóåò ε > 0, äëÿ êîòîðîãî îáðàç fε (T ) ëþáîãî âëîæåíèÿ fε : T → R2 , ÿâëÿþùåãîñÿ ε-áëèçêèì ê f0 (ò.å. |f0 (x), fε (x)| < ε äëÿ ëþáîãî x ∈ T ), ïåðåñåêàåòñÿ ñ îáðàçîì f0 (T ).
141
Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ñ÷èòàòü òðèîä T âëîæåííûì â ïëîñêîñòü ïðè ïîìîùè îòîáðàæåíèÿ f0 è, òåì ñàìûì, ïðîïóñêàòü f0 â îáîçíà÷åíèÿõ. Âîçüìåì ÷èñëî ε íàñòîëüêî ìàëûì, ÷òî íà òðèîäå T = f0 (T ) ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè äâå òî÷êè ïóòåì èõ íåïðåðûâíîãî äâèæåíèÿ, â ïðîöåññå êîòîðîãî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áîëüøå ε. ×òîáû ïîëó÷èòü ïðîòèâîðå÷èå, äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü íåïðåðûâíîå îòíîøåíèå `<' íà ïàðàõ òî÷åê X, Y ∈ T , äëÿ êîòîðûõ |XY | > ε. (Ýòî îòíîøåíèå íå îáÿçàòåëüíî áóäåò òðàíçèòèâíûì, ò.å. óñëîâèÿ A < B è B < C íå îáÿçàòåëüíî âëåêóò A < C .) àññìîòðèì äâèæåíèå äâóõ òî÷åê îäíîé â T , à äðóãîé â fε (T ).  ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè îíè ñîâïàäàþò ñ òî÷êàìè X è fε (Y ), ñîîòâåòñòâåííî. Çàòåì ïåðâàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ âäîëü (åäèíñòâåííîé) äóãè l ⊂ T îò X ê Y , à âòîðàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ âäîëü äóãè fε (l) ⊂ fε (T ) îò fε (Y ) ê fε (X). Åñëè âåêòîð, ñìîòðÿùèé îò ïåðâîé òî÷êè êî âòîðîé, ïîâåðíåòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, òî ïîëîæèì X < Y ; åñëè ïðîòèâ, òî ïîëîæèì Y < X . ßñíî, ÷òî äëÿ ïàð òî÷åê X, Y ñ |XY | > ε ýòî îòíîøåíèå îïðåäåëåíî (ò.å. âåêòîð íå ìîã ïîâåðíóòüñÿ íà íóëåâîé óãîë). Áîëåå òîãî, îòíîøåíèå `<' íåïðåðûâíî çàâèñèò îò X è Y . 5. Ïóñòü K (äâóìåðíûé) ìíîãîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè è a âåêòîð, äëÿ êîòîðûõ îáðàç K + a ìíîãîóãîëüíèêà K ïðè ñäâèãå íà âåêòîð a íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ K , ò.å. K ∩ (K + a) = ∅. Òîãäà äâà âîçà (ò. å. êðóãà äèàìåòðà a) íå ìîãóò ïîìåíÿòüñÿ ìåñòàìè ïðè íåïðåðûâíîì äâèæåíèè èõ öåíòðîâ ïî K , òàê ÷òî âîçû íå ñòàëêèâàþòñÿ.
 îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîãî ïóíêòà è âî âñåì ñëåäóþùåì ïóíêòå èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå êîìïàêòà. ×èòàòåëü ìîæåò ïðîïóñòèòü ýòó ÷àñòü òåêñòà áåç óùåðáà äëÿ ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøåãî èëè ïðî÷èòàòü îïðåäåëåíèÿ â [Ku68℄. Çäåñü çàìåòèì ëèøü, ÷òî ïîíÿòèå êîìïàêòà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèé ãðà à è âîîáùå ïîëèýäðà. Êîìïàêòû åñòåñòâåííî ïîÿâëÿþòñÿ ïðè èçó÷åíèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì (äàæå ãëàäêèõ!). Êîìïàêò íàçûâàåòñÿ îäíîìåðíûì, åñëè ó íåãî ñóùåñòâóþò ïîêðûòèÿ ñêîëü óãîäíî ìåëêèìè îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè, íèêàêèå òðè èç êîòîðûõ íå ïåðåñåêàþòñÿ. ßñíî, ÷òî ãðà ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíûì êîìïàêòîì. Ëþáîé ñòÿãèâàåìûé ãðà , ò.å. äåðåâî, ïëàíàðåí (èç ñ îðìóëèðîâàííîé íèæå òåîðåìû Êëýéòîðà âûòåêàåò òàêæå, ÷òî ëþáîé ñòÿãèâàåìûé îäíîìåðíûé êîìïàêò Ïåàíî ïëàíàðåí). Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ êîìïàêòîâ äåëî îáñòîèò èíà÷å. Ïðèìåð íåâëîæèìîñòè.
êîìïàêò.
Ñóùåñòâóåò ñòÿãèâàåìûé îäíîìåðíûé íåïëàíàðíûé
Ýòîò ïðèìåð ÿâëÿåòñÿ îëüêëîðíûì ðåçóëüòàòîì 1930-õ ãîäîâ.  êà÷åñòâå òàêîãî n 1 o ∪ x × [0, 1], ãäå T òðèîä è x ∈ T . ßñíî, êîìïàêòà ìîæíî âçÿòü N = T × 0 ∪ k ÷òî êîìïàêò N ñòÿãèâàåì è îäíîìåðåí.
èñ. 75: Ñòÿãèâàåìûé îäíîìåðíûé íåïëàíàðíûé êîìïàêò Ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî íåâëîæèìîñòè êîìïàêòà N â ïëîñêîñòü [CRS98℄, [KS99℄ ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì Ëåììû ê f0 = fT ×0 . 142
Ïðèâåäåì äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî íåâëîæèìîñòè êîìïàêòà N â ïëîñêîñòü. Åãî ïðåèìóùåñòâî â òîì, ÷òî îíî ïîäõîäèò è äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåãî ìíîãîìåðíîãî àíàëîãà ïðèìåðà íåâëîæèìîñòè. 6. Äëÿ ëþáîãî n ñóùåñòâóåò ñòÿãèâàåìûé n-ìåðíûé êîìïàêò, íå âëîæèìûé â R2n [RSS95, äîêàçàòåëüñòâî Ñëåäñòâèÿ 1.5℄, [RS01℄.
Äîêàçàòåëüñòâî íåâëîæèìîñòè N â ïëîñêîñòü, îñíîâàííîå íà òåîðåìå Áîðñóêà-Óëàìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò âëîæåíèå f : N → R2 . Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå ϕ : S 1 → T , êîòîðîå íå ñêëåèâàåò àíòèïîäû (ò.å. äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè). Òîãäà ìû ìîæåì îïðåäåëèòü îòîáðàæåíèå ψ : S 1 → T × T îðìóëîé ψ(s) = (ϕ(s), ϕ(−s)). Òàê êàê ϕ íå ñêëåèâàåò àíòèïîäîâ, òî ψS 1 ∩ diag T = ∅. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî îïðåäåëèòü îòîáðàæåíèÿ îðìóëîé
g0 : ψS 1 → S 1 gk : T × T → S 1
f (x, 0) − f (y, 0) è |f (x, 0) − f (y, 0)| “ 1” f (x, 0) − f y, k gk (x, y) = ˛ “ 1 ”˛ . ˛ ˛ f ( x, 0) − f y, ˛ ˛ k
g0 (x, y) =
îðìóëîé
Îòîáðàæåíèÿ ψ , g0 è gk ýêâèâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî èíâîëþöèé íà ψS 1 ⊂ T × T è S 1 , ïåðåñòàâëÿþùèõ ñîìíîæèòåëè è àíòèïîäû, ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê |ψS 1 , diag T | > 0, òî äëÿ òî÷êè (x, y) ∈ ψS 1 è äîñòàòî÷íî áîëüøîãî k òî÷êè g0 (x, y) è gk (x, y) áóäóò áëèçêèìè. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè íå ìîãóò áûòü àíòèïîäàìè. Ïîýòîìó g0 ýêâèâàðèàíòíî ãîìîòîïíî gk |ψS 1 . Íî gk |ψS 1 ïðîäîëæàåòñÿ íà ñòÿãèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî T × T è ïîýòîìó íóëü-ãîìîòîïíî. Ñëåäîâàòåëüíî, g0 : ψS 1 → S 1 íóëü-ãîìîòîïíî. Çíà÷èò, îòîáðàæåíèå g0 ◦ ψ : S 1 → S 1 ýêâèâàðèàíòíî è íóëü-ãîìîòîïíî, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå Áîðñóêà-Óëàìà. Ïðåïÿòñòâèå âçðåçàííîãî êâàäðàòà ê ïëàíàðíîñòè êîìïàêòîâ.
Çíàìåíèòîé íåðåøåííîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà îïèñàíèÿ ñâÿçíûõ êîìïàêòîâ, âëîæèìûõ â ïëîñêîñòü. Ñâÿçíûé êîìïàêò íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî ñâÿçíûì (èëè êîíòèíóóìîì Ïåàíî), åñëè äëÿ ëþáîé åãî òî÷êè x è åå îêðåñòíîñòè U ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìåíüøàÿ îêðåñòíîñòü V òî÷êè x, ÷òî ëþáûå äâå òî÷êè èç V ñîåäèíÿþòñÿ íåêîòîðûì ïóòåì, öåëèêîì ëåæàùèì â U (èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè îí ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì îáðàçîì äóãè [0, 1]). Êîíòèíóóìû Ïåàíî ìîãóò áûòü î÷åíü ñëîæíî óñòðîåíû [Ku68℄. Ïîýòîìó óäèâèòåëüíî, ÷òî èìååòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Êîíòèíóóì Ïåàíî âëîæèì â S 2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí íå ñîäåðæèò êîìïàêòîâ K5 , K3,3 , CK5 è CK3,3 (ðèñ. 76). Òåîðåìà Êëýéòîðà.
èñóíîê 76 ïîêà îòñóòñòâóåò èñ. 76: Êîíòèíóóìû Êóðàòîâñêîãî-Êëýéòîðà Ïîñòðîåíèå êîìïàêòîâ CK5 è CK3,3 . Âîçüìåì ðåáðî ab ãðà à K5 è îòìåòèì íà íåì íîâóþ âåðøèíó a′ . Ïóñòü P = K5 − (aa′ ). Ïóñòü Pn êîïèÿ ãðà à P . Îáîçíà÷èì ÷åðåç an è a′n âåðøèíû ãðà à Pn , ñîîòâåòñòâóþùèå a è a′ . Òîãäà [ [ [ CK5 = (P1 P2 P3 . . .) I, a′1 =a2
a′2 =a3
143
x=0
ãäå {Pn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãðà îâ íà ïëîñêîñòè ñî ñòðåìÿùèìèñÿ ê íóëþ äèàìåòðàìè, ñõîäÿùàÿñÿ ê òî÷êå x ∈ / ⊔∞ n=1 Pn . Òî÷íî òàê æå ìîæíî îïðåäåëèòü êîìïàêò CK3,3 , âçÿâ â íà÷àëå K3,3 âìåñòî K5 . ßñíî, ÷òî îòñóòñòâèå ïîäêîìïàêòîâ, ãîìåîìîð íûõ îäíîìó èç ãðà îâ K5 è K3,3 (äàæå âìåñòå ñ îòñóòñòâèåì ïîäêîìïàêòîâ, ãîìåîìîð íûõ êîìïàêòàì CK5 è CK3,3 ), íåäîñòàòî÷íî äëÿ ïëàíàðíîñòè êîìïàêòà (äîêàæèòå!). Ïîýòîìó äëÿ èçó÷åíèÿ óêàçàííîé ïðîáëåìû íóæíû íîâûå ïðåïÿòñòâèÿ ê âëîæèìîñòè â ïëîñêîñòü.  ýòîì ïóíêòå ìû äîêàæåì, ÷òî ïðåïÿòñòâèå âçðåçàííîãî êâàäðàòà ïîëíî äëÿ êîíòèíóóìîâ Ïåàíî è íåïîëíî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñâÿçíûõ êîìïàêòîâ [Sk98℄. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Âó äëÿ êîíòèíóóìîâ Ïåàíî N . Ïî òåîðåìå Êëýéòîðà 1 g äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ýêâèâàðèàíòíûõ îòîáðàæåíèé C K5 → S è 1 1 g ^ C K3,3 → S . Ïóñòü, íàïðîòèâ, Φ : CK5 → S ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn îêðóæíîñòü â Pn , ñîñòàâëåííóþ èç ðåáåð, íå ñîäåðæàùèõ âåðøèí an è a′n . Äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n è m < l ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì ãîìîòîïè÷åñêóþ òðèâèàëüíîñòü ñóæåíèé Φ íà ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà: x × 1,
Sn × 1,
Sn × 0,
Sn × Sm ,
Sm × Sl ,
Sm × am ,
Sm × a′m .
(Ïåðâûé ïåðåõîä âåðåí, òàê êàê Sn ñõîäèòñÿ ê x. Âòîðîé ïåðåõîä âåðåí, òàê êàê Φ|Sn ×I ÿâëÿåòñÿ ãîìîòîïèåé ìåæäó Φ|Sn ×0 è Φ|Sn ×1 . Òðåòèé ïåðåõîä âåðåí, òàê êàê Sm ñõîäèòñÿ ê x. Ïÿòûé ïåðåõîä âåðåí, òàê êàê Φ|Sm ×am è Φ|Sm ×a′m 'ãîìîòîïíû'.) ′ ′ Çíà÷èò, Φ|Pg ýêâèâàðèàíòíî ïðîäîëæàåòñÿ íà Pf m ∪ Sm × (aa )m ∪ (aa )m × Sm . m f5 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îòñóòñòâèþ ýêÝòî ïðîñòðàíñòâî ýêâèâàðèàíòíî ãîìíîìîð íî K 1 f5 → S . âèâàðèàíòíûõ îòîáðàæåíèé K 1 ^ Íåñóùåñòâîâàíèå ýêâèâàðèàíòíîãî îòîáðàæåíèÿ C K3,3 → S äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. (Ñðàâíèòå ýòî äîêàçàòåëüñòâî ñ äîêàçàòåëüñòâîì íåâëîæèìîñòè â òåîðåìå Êëýéòîðà [Sk05℄.) Ïðèìåð òðåõàäè÷åñêîãî ñîëåíîèäà. Òðåõàäè÷åñêèé ñîëåíîèä Σ3 íå âëîæèì e 3 → S 1 [Sk98℄. â ïëîñêîñòü, õîòÿ ñóùåñòâóåò ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå Φ : Σ Ïðèâåäåì ïîñòðîåíèå çíàìåíèòîãî p-àäè÷åñêîãî ñîëåíîèäà Âèåòîðèñà-Âàí Äàíöèãà, êîòîðûé âîçíèêàåò â ðàçíûõ îòäåëàõ òîïîëîãèè è òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Îí ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëíîòîðèé, êàæäûé èç êîòîðûõ âïèñàí â ïðåäûäóùèé ñî ñòåïåíüþ p. Áîëåå òî÷íî, âîçüìåì ïîëíîòîðèå T1 ⊂ R3 . Ïóñòü T2 ⊂ T1 áóäåò ïîëíîòîðèåì, ïðîõîäÿùèì p ðàç âäîëü îñè ïîëíîòîðèÿ T1 . Àíàëîãè÷íî, ïóñòü T3 ⊂ T2 áóäåò ïîëíîòîðèåì, ïðîõîäÿùèì p ðàç âäîëü îñè ïîëíîòîðèÿ T2 . Ïðîäîëæàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íîå ñåìåéñòâî ïîëíîòîðèé T1 ⊃ T2 ⊃ T3 ⊃ . . .. Ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîëíîòîðèé Ti è íàçûâàåòñÿ p-àäè÷åñêèì ñîëåíîèäîì Σp . Ôîðìàëüíî, Σp ={(x1 , x2 , . . .)∈l2 (S 1 ) : xi ∈S 1 , xpi+1 =xi },
ãäå S 1 ={x∈C : |x|=1}.
˜ è Un â íèæåñëåÝòî ïðîñòðàíñòâî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ òîïîëîãèåé Òèõîíîâà (êàê è Σ äóþùåì äîêàçàòåëüñòâå). Çàìåòèì, ÷òî p-àäè÷åñêèé ñîëåíîèä ëîêàëüíî âëîæèì â ïëîñêîñòü, íî íå âëîæèì íè â êàêîå 2-ìíîãîîáðàçèå. e 3 → S 1 . Èìååì Ïîñòðîåíèå ýêâèâàðèàíòíîãî îòîáðàæåíèÿ Σ
e = {(x1 , y1 , x2 , y2 , . . .) | xi , yi ∈ S 1 , x3i+1 = xi , Σ
3 yi+1 = yi äëÿ êàæäîãî i è xi 6= yi äëÿ íåêîòîðîãî i}.
144
Îáîçíà÷èì
e : |xn , yn | > 4−n }. Un = {(x1 , y1 , x2 , y2 , . . .) ∈ Σ
Òàê êàê |xn , yn | 6 3|xn+1 , yn+1 | äëÿ êàæäîãî n, òî |xn , yn | > 4−n äëÿ äîñòàòî÷íî áîëü∞ S e= øîãî n. Ïîýòîìó U1 ⊂ U2 ⊂ . . . è Σ Un . Òàê êàê Un îòêðûòî, äîñòàòî÷íî ïîn=1
ñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ ýêâèâàðèàíòíûõ îòîáðàæåíèé Rn : Un → S 1 , ÷òî Rn = Rn+1 |Un . Îáîçíà÷èì Sn = {(x, y) ∈ S 1 × S 1 : |x, y| > 4−n }. Äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ ýêâèâàðèàíòíûõ îòîáðàæåíèé rn : Sn → S 1 ,
÷òî rn (x3 , y 3 ) = rn+1 (x, y) ïðè (x3 , y 3 ) ∈ Sn .
Ìû áóäåì ñòðîèòü òàêèå îòîáðàæåíèÿ rn ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïóñòü r0 : S0 → S 1 ïðîèçâîëüíîå ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå. Ïðåäïîëîæèì,n÷òî rn−1 óæå ïîñòðîåíî. Äëÿ o x äóãè M ⊂ S 1 ñ êîíöàìè â a è b îáîçíà÷èì ÷åðåç A(M ) = (x, y) ∈ S 1 × S 1 | arg ∈ M y 1 êîëüöî ñ ãðàíè÷íûìè öèêëàìè A(a) è A(b). Îáîçíà÷èì ε = . Èñïîëüçóÿ óñëî3 · 4n−1 2π 3
ˆ 1 A 3·4n−1 ,
ˆ A 43π +
1
, 2π − 3·4n−1
1 3·4n−1
ˆ A 23π +
˜
−
1 3·4n−1
1 , 43π 3·4n−1
˜
−
1 3·4n−1
˜
èñ. 77: Îòîáðàæåíèå rn îïðåäåëåíî íà áåëûõ êîëüöàõ è ïðîäîëæàåòñÿ íà ÷åðíûå. 1 Çàìåíèòü n−1 → ε 3·4
âèå rn (x, y) = rn−1 (x3 , y 3 ), ìû ìîæåì îïðåäåëèòü îòîáðàæåíèå rn íà îáúåäèíåíèè òðåõ êîëåö (îáîçíà÷åííûõ áåëûì íà ðèñ. 77) i h i h i h 4π 2π 4π 2π −ε ∪A + ε; −ε ∪A + ε; 2π − ε . A ε; 3
3
3
3
Òàê êàê ñóæåíèÿ îòîáðàæåíèÿ rn−1 íà îêðóæíîñòè A(3ε) è A(2π − 3ε) ãîìîòîïíû, òî ñóæåíèÿ îòîáðàæåíèÿ rn íà îêðóæíîñòè A
2π −ε 3
è A
2π +ε 3
òîæå ãîìîòîïíû. h 2π − ε, A
Çíà÷èò, rn ïðîäîëæàåòñÿ íà 3 i 2π + ε . Ñëåäîâàòåëüíî, rn ýêâèâàðèàíòíî ïðîäîëæàåòñÿ íà Sn . Ìû áåðåì â 3
êà÷åñòâå rn : Sn → S 1 ëþáîå òàêîå ïðîäîëæåíèå. èïîòåçà. Ñóùåñòâóåò äðåâîâèäíûé êîìïàêò N , íå âëîæèìûé â ïëîñêîñòü, e → S 1. íî äëÿ êîòîðîãî åñòü ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå N 145
ËÀÂÀ 8. ÂËÎÆÅÍÈß È ÇÀÓÇËÈÂÀÍÈß (Ï ÈËÎÆÅÍÈÅ)
It is a riddle whi h shares with the universe the merit of having no answer. W. Maugham, The Moon and Sixpen e. 14 Ââåäåíèå: ïðîáëåìû âëîæèìîñòè è çàóçëèâàíèÿ.
Êàê ïèñàë Å. Ê. Çèìàí, òðåìÿ êëàññè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè òîïîëîãèè ÿâëÿþòñÿ (1) Ïðîáëåìà ãîìåîìîð èçìà. Êîãäà äàííûå äâà ïðîñòðàíñòâà N è M ãîìåîìîð íû? Êàê îïèñàòü ìíîæåñòâî ãîìåîìîð è÷åñêèõ êëàññîâ ìíîãîîáðàçèé èç çàäàííîãî êëàññà, íàïðèìåð, çàäàííîé ðàçìåðíîñòè n? (2) Ïðîáëåìà âëîæèìîñòè. Êàêèå ïðîñòðàíñòâà N âëîæèìû â S m äëÿ äàííîãî m? (3) Ïðîáëåìà çàóçëèâàíèÿ. Êàêèå âëîæåíèÿ f, g : N → S m èçîòîïíû? Êàê îïèñàòü ìíîæåñòâî èçîòîïè÷åñêèõ êëàñîâ âëîæåíèé N → S m ? Èäåè è ìåòîäû, ïðèìåíÿåìûå äëÿ èçó÷åíèÿ ïðîáëåì âëîæèìîñòè è çàóçëèâàíèÿ, ïðèìåíÿþòñÿ è äëÿ ïðîáëåìû ãîìåîìîð èçìà (è äëÿ äðóãèõ ïðîáëåì òîïîëîãèè è åå ïðèëîæåíèé). Îïðåäåëåíèå ãëàäêîãî è êóñî÷íî-ëèíåéíîãî âëîæåíèÿ ïðèâåäåíû â ïóíêòàõ 'íîðìàëüíûå êëàññû Óèòíè' è 'ïðåïÿòñòâèå Óèòíè ê âëîæèìîñòè'. Äâà âëîæåíèÿ f, g : N → S m íàçûâàþòñÿ (îáúåìëåìî) èçîòîïíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ãîìåîìîð èçì F : S m × I → S m × I , ÷òî (i) F (y, 0) = (y, 0) äëÿ ëþáîãî y ∈ S m , (ii) F (f (x), 1) = (g(x), 1) äëÿ ëþáîãî x ∈ N , è (iii) F (S m × {t}) = S m × {t} äëÿ ëþáîãî t ∈ I. Ýòîò ãîìåîìîð èçì F íàçûâàåòñÿ (îáúåìëþùåé) èçîòîïèåé. (Îáúåìëþùåé) èçîòîïèåé òàêæå íàçûâàþò ãîìîòîïèþ S m × I → S m èëè ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé Ft : S m → S m , î÷åâèäíûì îáðàçîì ïîðîæäåííûå îòîáðàæåíèåì F . ×åðåç CAT áóäåì îáîçíà÷àòü ãëàäêóþ (DIFF) èëè êóñî÷íî-ëèíåéíóþ (PL) êàòåãîðèþ. Åñëè îïðåäåëåíèå èëè óòâåðæäåíèå èìååò ñèëó â îáåèõ êàòåãîðèÿõ, òî CAT îïóñêàåòñÿ. Åñëè ëþáûå äâà âëîæåíèÿ N → S m (îáúåìëåìî) èçîòîïíû, òî N íàçûâàåòñÿ íåçàóçëåííûì â S m . m 0. Äâà PL âëîæåíèÿ f, g : N → S íàçûâàþòñÿ PL íå îáúåìëåìî èçîòîïíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå PL âëîæåíèå F : N × I → S m × I , ÷òî F (x, 0) = (f (x), 0) äëÿ ëþáîãî x ∈ N , F (x, 1) = (g(x), 1) äëÿ ëþáîãî x ∈ N , è F (N × {t}) ⊂ S m × {t} äëÿ ëþáîãî t ∈ I. (a) Ëþáûå äâà PL âëîæåíèÿ S 1 → S 3 (ò.å. óçëà) ÿâëÿþòñÿ PL íå îáúåìåìî èçîòîïíûìè. (b) Òî æå äëÿ S n → S m . ( )** Îïðåäåëåíèå ãëàäêîé íå îáúåìëåìîé èçîòîïíîñòè ãëàäêèõ âëîæåíèé ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî îïðåäåëåíèÿ çàìåíîé PL íà DIFF. Ñóùåñòâóþò äâà ãëàäêèõ âëîæåíèÿ S 1 → S 3 (ò.å. óçëà), íå ÿâëÿþùèåñÿ ãëàäêî íå îáúåìåìî èçîòîïíûìè. Îáùåå ïîëîæåíèå.
Ëþáîé n-ìåðíûé ïîëèýäð âëîæèì â R2n+1 . Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà. Ýòî äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íî ðàçîáðàòü äëÿ n = 1 èëè n = 2. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèè âåðøèíàì äàííîãî n-ïîëèýäðà N òî÷êè ïðîñòðàíñòâà R2n+1 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ò.å. òàêèå, ÷òî íèêàêèå 2n + 2 èç íèõ íå ëåæàò Òåîðåìà.
14 Ýòî
çàãàäêà, èìåþùàÿ îáùåå ñ ìèðîçäàíèåì äîñòîèíñòâî: îòñóòñòñâèå îòâåòà. Ó. Ñ. Ìîýì, Ëóíà è ãðîø, ïåð. àâòîðà. 146
â îäíîé 2n-ìåðíîé ïëîñêîñòè. (Ýòî âîçìîæíî, ò.ê. åñëè òî÷êè A1 , . . . , Ak âûáðàíû, òî ìîæíî âçÿòü òî÷êó Ak+1 âíå îáúåäèíåíèÿ 2n-ìåðíûõ ïëîñêîñòåé, íàòÿíóòûõ íà íàáîðû 2n + 1 òî÷åê.) Îòîáðàçèì òåïåðü êàæäûé ñèìïëåêñ ïîëèýäðà P n ëèíåéíî íà ñèìïëåêñ, íàòÿíóòûé íà ñîîòâåòñâóþùèå òî÷êè â R2n+1 . Ïîëó÷èì îòîáðàæåíèå f . Ïðîâåðèì, ÷òî f âëîæåíèå. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî îáðàçû ëþáûõ äâóõ ñèìïëåêñîâ íå èìåþò 'ëèøíèõ' (ò.å. îòëè÷íûõ îò îáðàçà ïåðåñå÷åíèÿ) îáùèõ òî÷åê. Ïóñòü, íàïðîòèâ îáðàçû êàêîãî-òî k -ìåðíîãî è l-ìåðíîãî ñèìïëåêñà ïåðåñåêàþòñÿ íå ïî îáðàçó èõ îáùåé s-ìåðíîé ãðàíè (s = −1 äëÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñèìïëåêñîâ). Òîãäà k + l + 1 − s îáðàçîâ èõ âåðøèí ëåæàò â íåêîòîðîì (k + l − s − 1)-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Äîáàâèì ê ýòèì îáðàçàì åùå 2n + 2 − (k + l + 1 − s) îáðàçîâ äðóãèõ âåðøèí. Òîãäà ïîëó÷åííûå 2n + 2 òî÷êè ëåæàò â 2n-ìåðíîé ïëîñêîñòè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïîñòðîåíèþ îòîáðàæåíèÿ f . 4 1. (a) Ëþáûå äâà âëîæåíèÿ îêðóæíîñòè â R (îáúåìëåìî) èçîòîïíû. (b) Ëþáûå äâå îêðóæíîñòè â R4 íå çàöåïëåíû, ò.å. èõ ìîæíî çàêëþ÷èòü â íåïåðåñåêàþùèåñÿ ÷åòûðåõìåðíûå øàðû. 2n Òåîðåìà. Ëþáîå n-ìíîãîîáðàçèå âëîæèìî â R . Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà äëÿ PL êàòåãîðèè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî n > 3 (ñëó÷àé n 6 2 ðàçáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî) è ÷òî äàííîå n-ìíîãîîáðàçèå N ñâÿçíî. Ñóùåñòâóåò êóñî÷íî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå f : N → R2n îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ò.å. èìåþùåå êîíå÷íîå ÷èñëî ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ äâîéíûõ òî÷åê x1 , y1 , . . . , xk , yk , ãäå f (xi ) = f (yi ) (a). Òîãäà íà N − {x1 , y1 , . . . , xk , yk } îòîáðàæåíèå f ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì. Òàê êàê n > 2, òî ìîæíî ñîåäèíèòü äóãîé l1 òî÷êó x1 ñ y1 òàê, ÷òîáû äóãà l1 íå ïåðåñåêàëà äðóãèõ òî÷åê xi , yi . Òîãäà f (l1 ) çàìêíóòàÿ êðèâàÿ â R2n . Òàê êàê n > 2, òî ýòà êðèâàÿ íåçàóçëåíà â R2n . Ïîýòîìó óùåñòâóåò äèñê D2 ⊂ R2n òàêîé, ÷òî ∂D2 = f (l1 ). Ïîñêîëüêó n + 2 < 2n, òî ìû ìîæåì âçÿòü äèñê D2 îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ò.å. D2 ∩ f (N n ) = f (l1 ) (b). Ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü B 2n äèñêà D2 â R2n , ãîìåîìîð íàÿ 2n-øàðó, äëÿ êîòîðîé (1) B n = f −1 (B 2n ) ãîìåîìîð íî n-øàðó, ïðè÷åì (2) ãðàíèöà è âíóòðåííîñòü øàðà B n ïåðåõîäÿò ïðè îòîáðàæåíèè f â ãðàíèöó è âíóòðåííîñòü øàðà B 2n , ñîîòâåòñòâåííî (ñ). Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå g : B n → B 2n îðìóëîé g(s, r) := (rf (s), r), ãäå s ∈ ∂B n . Çàìåíèì îòîáðàæåíèå f íà B n îòîáðàæåíèåì g . Òàêèì îáðàçîì ìû èçáàâèìñÿ îò äâîéíûõ òî÷åê x1 , y1 . Àíàëîãè÷íî äëÿ îñòàëüíûõ i = 2, . . . , k èçáàâèìñÿ îò äâîéíûõ òî÷åê xi , yi è ïîëó÷èì âëîæåíèå N â R2n . 2. (a)(ñ) Äîêàæèòå óòâåðæäåíèÿ, îòìå÷åííûå â íàáðîñêå ñîîòâåòñòâóþùèìè áóêâàìè. Óêàçàíèå ê ( ): íóæíî áðàòü ðåãóëÿðíóþ îêðåñòíîñòü, ò.å. 'òåñíóþ' îêðåñòíîñòü áåç 'ëèøíèõ' äûð. Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî Óèòíè ãëàäêîé âëîæèìîñòè ëþáîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ â R2n áîëåå ñëîæíî [Ad93℄, [Pr06℄. Íå ñóùåñòâóåò îäíîé òåîðåìû èëè îäíîãî îïðåäåëåíèÿ, îðìàëèçóþùåãî èäåþ îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ôîðìàëüíî, äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé çàäà÷è îïðåäåëåíèå îáùåãî ïîëîæåíèÿ ñâîå. Ïîäðîáíåå ñì. [Ru73, 1.6.D℄, [RS72℄. Äàëüíåéøèå çàäà÷è, ñ îðìóëèðîâàííû äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n, èíòåðåñíî ðåøèòü äàæå äëÿ íàèìåíüøåãî n, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ. 3.  ýòîé çàäà÷å ïîäðàçóìåâàåòñÿ PL êàòåãîðèÿ. (a) Âëîæåíèå S n → Rm îáúåìëåìî èçîòîïíî ñòàíäàðòíîìó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ïðîäîëæàåòñÿ äî âëîæåíèÿ Dn+1 → Rm . (b) Ëþáûå äâà âëîæåíèÿ S n → R2n+1 îáúåìëåìî èçîòîïíû ïðè n > 2. ( ) Ëþáûå äâà âëîæåíèÿ S n → R2n îáúåìëåìî èçîòîïíû ïðè n > 4. (d)* Ëþáûå äâà âëîæåíèÿ S 3 → R6 èçîòîïíû. 147
(e) Ëþáûå äâà âëîæåíèÿ S n → Rm îáúåìëåìî èçîòîïíû ïðè 2m > 3n + 4. (f)* Òåîðåìà Çèìàíà. Ëþáûå äâà âëîæåíèÿ S n → Rm îáúåìëåìî èçîòîïíû ïðè m > n + 3 [Sk08, 2℄. Çàìåòèì, ÷òî â ãëàäêîé êàòåãîðèè óòâåðæäåíèå 3e âåðíî, à óòâåðæäåíèÿ 3d è 3f íåò! Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èçîòîïè÷åñêèõ àíàëîãîâ ïðèâåäåííûõ òåîðåì (ò.å. çàäà÷ 4ab íèæå) ïîëåçåí ñëåäóþùèé àêò (äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîãî íåïðîñòî). Îïðåäåëåíèå êîíêîðäàíòíîñòè âëîæåíèé ïîëó÷àåòñÿ èç îïðåäåëåíèÿ èçîòîïíîñòè îòáðàñûâàíèåì óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ óðîâíåé. Òåîðåìà.  êîðàçìåðíîñòè áîëüøå äâóõ êîíêîðäàíòíîñòü âëå÷åò îáúåìëåìóþ èçîòîïèþ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Çèìàíà î íåçàóçëåííîñòè ñ åð (ïîýòîìó î÷åâèäíîå ðåøåíèå çàäà÷è 3 ñ åãî ïîìîùüþ íåðàçóìíî). 2n+2 4. (a) Ëþáûå äâà âëîæåíèÿ n-ìåðíîãî ïîëèýäðà â R èçîòîïíû ïðè n > 2. (Ýòó è ñëåäóþùóþ òåîðåìû èíòåðåñíî äîêàçàòü äàæå äëÿ n = 2.) (b) Ëþáûå äâà âëîæåíèÿ ñâÿçíîãî n-ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ â R2n+1 èçîòîïíû ïðè n > 2. ( ) Ñâÿçíàÿ ñóììà òðèëèñòíèêà ñî ñâîèì çåðêàëüíûì îáðàçîì êîíêîðäàíòíà òðèâèàëüíîìó óçëó, íî íå èçîòîïíà åìó. Èäåÿ äîïîëíåíèÿ.
Èíâàðèàíòû (ò.å. ïðåïÿòñòâèÿ ê èçîòîïíîñòè) âëîæåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ äîïîëíåíèå S m − f N äî îáðàçà ìíîãîîáðàçèÿ N ïðè âëîæåíèè â S m .  ñàìîì äåëå, åñëè f, g : N → S m äâà èçîòîïíûõ âëîæåíèÿ, òî S m − f N ∼ = S m − gN . m Ïîýòîìó ëþáîé òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò ïðîñòðàíñòâà S − f N ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì èçîòîïèè âëîæåíèÿ f . Âïåðâûå ýòà èäåÿ áûëà ïðèìåíåíà Äæ. Àëåêñàíäåðîì îêîëî 1910 ã. ê èçó÷åíèþ óçëîâ â òðåõìåðíîé ñ åðå. ßñíî, ÷òî H1 (S 3 − f0 S 1 ) = Z äëÿ ñòàíäàðòíîãî óçëà f0 . Äëÿ äðóãîãî óçëà f ãðóïïó H1 (S 3 − f S 1 ) ìîæíî âû÷èñëèòü, ðàñïîëàãàÿ âåñü óçåë, êðîìå ïåðåõîäîâ, â ïëîñêîñòè ïðîåêöèè, à ïåðåõîäû íàä ïëîñêîñòüþ, è ïðèìåíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÌàéåðàÂèåòîðèñà. Ïî-âèäèìîìó, Àëåêñàíäåð, ïðîäåëûâàÿ òàêèå âû÷èñëåíèÿ, çàìåòèë, ÷òî äëÿ ëþáîãî óçëà f ïîëó÷àåòñÿ H1 (S 3 − f S 1 ) ∼ = Z, ÷òî ïðèâåëî åãî ê îòêðûòèþ äâîéñòâåííîñòè, íîñÿùåé åãî èìÿ (ñì. âûøå). Íî åñëè âìåñòî îäíîìåðíîé ãðóïïû ãîìîëîãèé èñïîëüçîâàòü óíäàìåíòàëüíóþ ãðóïïó (ñì. íà÷àëî ãëàâû 6 èëè [Pr04, VI℄), òî óçëû óæå ìîæíî ðàçëè÷àòü. (Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ òåõ, êòî çíàêîì ñ ýòèì ïîíÿòèåì. Ïî-ïðåæíåìó π1 (S 3 − f0 S 1 ) = Z äëÿ ñòàíäàðòíîãî óçëà f0 . Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Çåé åðòàÂàí Êàìïåíà î óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïå îáúåäèíåíèÿ, äëÿ òðèëèñòíèêà f : S 1 → S 3 íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òî π1 (S 3 − f S 1 ) = hx, y | xyx = yxyi. Äëÿ ðàçëè÷åíèÿ òðèëèñòíèêà è òðèâèàëüíîãî óçëà äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü íåòðèâèàëüíûé ãîìîìîð èçì èç ýòîé ãðóïïû â S3 . Åãî ìîæíî îïðåäåëèòü îðìóëàìè x → (12), y → (23). Çíà÷èò, π1 (S 3 − f S 1 ) íå àáåëåâà è íå èçîìîð íà ãðóïïå Z.) Èçëîæåíèå äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ èäåè äîïîëíåíèÿ â òåîðèè óçëîâ f : S 1 → S 3 (èëè âîîáùå f : S n → S n+2 ) íå âõîäèò â íàøó çàäà÷ó. Îãðàíè÷èìñÿ ëèøü îðìóëèðîâêàìè äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé ïîëíîòû èíâàðèàíòà äîïîëíåíèÿ (ñì. ïóíêò 'ïðèëîæåíèå: îá óçëàõ â êîðàçìåðíîñòè 1 è 2). Ïðåïÿòñòâèÿ ê âëîæèìîñòè ïîëèýäðà â S m ìîæíî ïîëó÷èòü, îñíîâûâàÿñü íà ñëåäóþùåé èäåå, òàêæå âîñõîäÿùåé ê Àëåêñàíäåðó. àññìàòðèâàÿ äîïîëíåíèå S m − N ïîëèýäðà N ⊂ S m , ìîæíî âûâåñòè íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ íà ñàì ïîëèýäð N . Ýòà èäåÿ 148
ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ïðèìåðå âëîæåíèé ãðà îâ â ïëîñêîñòü â ãëàâå 0.  îáùåì ñëó÷àå îðìóëà Ýéëåðà çàìåíÿåòñÿ íà åå îáîáùåíèå äâîéñòâåííîñòü Àëåêñàíäåðà. Ìåòîä äîïîëíåíèÿ ðàçâèâàëñÿ è â äàëüíåéøåì. Íàïðèìåð, . Òîì ïîëó÷èë óñëîâèÿ íà êîëüöî (êî)ãîìîëîãèé çàìêíóòîãî (m − 1)-ìíîãîîáðàçèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ âëîæèìîñòè â S m [Th51℄, ñì. òàêæå [ARS01℄. Ïåòåðñîí èçó÷àë äâîéñòâåííîñòü ìåæäó (êî)ãîìîëîãè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè ïðîñòðàíñòâ N è S m − N è ïîëó÷èë íåêîòîðûå èíòåðåñíûå òåîðåìû íåâëîæèìîñòè. Äàëüíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ íå ïðèâîäèì ââèäó èõ íåîáúÿòíîñòè. Èíâàðèàíò äîïîëíåíèÿ äëÿ óçëîâ â êîðàçìåðíîñòè 1 è 2.
Âëîæåíèå f : S 1 → S 3 èçîòîïíî ñòàíäàðòíîìó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà π1 (S − f S 1 ) ∼ = Z [Pa57℄. Òåîðåìà Ïàïàêèðèÿêîïóëîñà.
3
n n+2 ãëàäêî Òåîðåìà Ëåâèíà. Äëÿ ëþáîãî n 6= 2 ãëàäêîå âëîæåíèå f : S → S èçîòîïíî ñòàíäàðòíîìó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S n+2 − f S n ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî îêðóæíîñòè [Le65℄.
Äëÿ n = 1 òåîðåìà Ëåâèíà ðàâíîñèëüíà òåîðåìå Ïàïàêèðèÿêîïóëîñà, ïîñêîëüêó óñëîâèå (S 3 − f S 1 ) ≃ S 1 ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ π1 (S 3 − f S 1 ) ∼ = Z (ââèäó àñ åðè÷íîñòè ïðîñòðàíñòâà S 3 − f S 1 ). Àíàëîã òåîðåìû Ëåâèíà ñïðàâåäëèâ â PL è TOP ëîêàëüíî ïëîñêèõ êàòåãîðèÿõ ïðè n 6= 2, 3 [Pa57℄, [St63℄, [Le65℄, ñì. òàêæå [Gl62℄. Íàïîìíèì, ÷òî (PL èëè TOP) âëîæåíèå S n ⊂ S m íàçûâàåòñÿ (PL èëè TOP) ëîêàëüíî-ïëîñêèì, åñëè êàæäàÿ òî÷êà èç S n îáëàäàåò òàêîé îêðåñòíîñòüþ U â S m , ÷òî ïàðà (U, U ∩ S n ) (PL èëè TOP) ãîìåîìîð íà ïàðå (B n × B m−n , B n × 0). Êðàòêàÿ èñòîðèÿ èçó÷åíèå óçëîâ â êîðàçìåðíîñòè 1, ò.å. âëîæåíèé S n → S n+1 , òàêîâà. Èçâåñòíàÿ òåîðåìà Æîðäàíà, âïåðâûå äîêàçàííàÿ Áðàóýðîì, óòâåðæäàåò, ÷òî ñ åðà S n , ñîäåðæàùàÿñÿ â S n+1 , ðàçáèâàåò ñ åðó S n+1 íà äâå êîìïîíåíòû. Ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âëîæåíèå f : S n → S n+1 íåçàóçëåíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà çàìûêàíèÿ ýòèõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ øàðàìè. (Òåîðåìà Ëåâèíà â íåêîòîðîì ñìûñëå ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.)  1912 ã. Øåí ëèñ äîêàçàë, ÷òî ëþáàÿ îêðóæíîñòü S 1 ⊂ S 2 íåçàóçëåíà. Óòâåðæåíèå î íåçàóçëåííîñòè S n â S n+1 ïîëó÷èëî íàçâàíèå ãèïîòåçû Øåí ëèñà.  1921 ã. Àëåêñàíäåð îáúÿâèë, ÷òî îí äîêàçàë ãèïîòåçó Øåí ëèñà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n. Îäíàêî, â 1923 ã. îí íàøåë êîíòðïðèìåð çíàìåíèòóþ ðîãàòóþ ñ åðó Àëåêñàíäåðà (ñ ïîìîùüþ òîé æå èäåè äîïîëíåíèÿ [Ru73℄). Òåì íå ìåíåå, îí äîêàçàë, ÷òî â êóñî÷íîëèíåéíîé êàòåãîðèè ãèïîòåçà Øåí ëèñà âåðíà äëÿ n = 2. Ïîñëå ïîÿâëåíèÿ ðîãàòîé ñ åðû Àëåêñàíäåðà ãèïîòåçîé Øåí ëèñà ñòàëè òàêæå íàçûâàòü óòâåðæäåíèå î íåçàóçëåííîñòè ëîêàëüíî ïëîñêîãî âëîæåíèÿ f : S n → S n+1 . Îíà áûëà äîêàçàíà òîëüêî â 1960-1973 ãîäàõ: äëÿ ãëàäêîãî ñëó÷àÿ ïðè n 6= 3 â [Sm61℄, [Ba65℄. äëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíîãî ëîêàëüíî ïëîñêîãî ñëó÷àÿ ïðè n 6= 3 (ñëåäóåò èç TOP ëîêàëüíî ïëîñêîãî ñëó÷àÿ è ðåçóëüòàòîâ Êèðáè-Çèáåíìàíà [Ho90℄). äëÿ òîïîëîãè÷åñêîãî ëîêàëüíî ïëîñêîãî ñëó÷àÿ â [Br60℄, [Ma59℄, [Mo60℄. (Çàìåòèì, ÷òî ýëåãàíòíîå è êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî Áðàóíà òîïîëîãè÷åñêîãî ëîêàëüíî ïëîñêîãî àíàëîãà òåîðåìû Ñìåéëà-Áàðäåíà ïîñëóæèëî íà÷àëîì òåîðèè 'êëåòî÷íûõ ìíîæåñòâ', êîòîðàÿ çàòåì ñòàëà âàæíîé ÷àñòüþ ãåîìåòðè÷åñêîé òîïîëîãèè.) Êóñî÷íî-ëèíåéíûé ñëó÷àé ãèïîòåçû Øåí ëèñà äëÿ n > 3 (èëè, ýêâèâàëåíòíî, ëîêàëüíî ïëîñêèé êóñî÷íî-ëèíåéíûé ñëó÷àé ãèïîòåçû Øåí ëèñà äëÿ n = 3) îñòàåòñÿ èçâåñòíîé è òðóäíîé íåðåøåííîé ïðîáëåìîé Øåí ëèñà [RS72℄. Îáùèé èíâàðèàíò äîïîëíåíèÿ.
149
Äëÿ n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà N è âëîæåíèÿ f : N → S m ïîëîæèì C(f ) := S m − f (N ) ≃ S m − Of (N ),
ãäå Of (N ) ðåãóëÿðíàÿ îêðåñòíîñòü îáðàçà f (N ) â S m . Òîïîëîãè÷åñêèé è ãîìîòîïè÷åñêèé òèï ïðîñòðàíñòâà C(f ) ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè âëîæåíèÿ f . Äëÿ m − n > 3 ïðîñòðàíñòâî C(f ) îäíîñâÿçíî, è ïî äâîéñòâåííîñòè Àëåêñàíäåðà åãî ãîìîëîãè÷åñêèå ãðóïïû íå çàâèñÿò îò f (ñì. òàêæå çàäà÷ó 5b). Ïîýòîìó èíâàðèàíò C(f ) îòíîñèòåëüíî ñëàáûé äëÿ m − n > 3. Îáîçíà÷èì ÷åðåç i : S m → S m+1 ñòàíäàðòíîå âêëþ÷åíèå. n m n ïðîèçâîëüíîå âëîæå5. (a) Åñëè N = S 1 ⊔ . . . ⊔ S r , m − ni > 3 è f : N → S íèå, òî C(f ) ≃ S m−n1 −1 ∨ . . . ∨ S m−nr −1 . (b) C(i ◦ f ) ≃ ΣC(f ). ( ) Äëÿ ñòàíäàðòíîãî âëîæåíèÿ f : Sp × Sq → Sm èìååì m−p−q−1 m−q−1 m−p−1 C(f ) ≃ S ∨S ∨S . (d)* îìîòîïè÷åñêèé òèï äîïîëíåíèÿ ê îáðàçó òîðà N = S p × S q ìîæåò çàâèñåòü îò âëîæåíèÿ â S m ïðè m − p − q > 3. Óêàçàíèå (Ï. Ëàìáðåõòñ). àññìîòðèì ðàññëîh åíèå Õîï à S 3 → S 7 → S 4 . Âîçüìåì ñòàíäàðòíîå âëîæåíèå S 2 ⊂ S 4 . Åãî äîïîëíåíèå ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî S 1 . Èìååì h−1 (S 1 ) ∼ = S 1 × S 3 ⊂ S 7 , ïðè÷åì äîïîëíåíèå äî ýòîãî âëîæåíèÿ f åñòü C(f ) ≃ h−1 (S 2 ) ∼ = S 2 × S 3 6≃ S 2 ∨ S 3 ∨ S 5 ≃ C(f0 ),
ãäå f0 : S 1 × S 3 → S 7 ñòàíäàðòíîå âëîæåíèå. Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ äâà âëîæåíèÿ S 3 × S 7 ⊂ S 15 , äîïîëíåíèÿ êîòîðûõ íå ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû. (e)* Ñóùåñòâóþò ãëàäêèå âëîæåíèÿ f : RP 2 → S 4 è g : CP 2 → S 7 , äëÿ êîòîðûõ C(f ) ≃ RP 2 è C(g) ≃ CP 2 . (Ýòî 'ñòàíäàðòíûå' âëîæåíèÿ; äëÿ CP 2 äðóãèõ è íå ñóùåñòâóåò [KS05℄.) (f) C(f ) ðåòðàãèðóåòñÿ íà ('ìåðèäèàíàëüíóþ') îêðóæíîñòü äëÿ m = n + 2. Ïî ñîîáðàæåíèÿì îáùåãî ïîëîæåíèÿ, C(f ) íå çàâèñèò îò f äëÿ m > 2n + 2. Ýòî ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷èì ÷åðåç Cm (N ). Òàê êàê C(i ◦ f ) ≃ ΣC(f ),
òî ΣM−m C(f ) ≃ CM (f ) äëÿ M > 2n + 2.
Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì äîïîëíåíèÿ äëÿ âëîæèìîñòè N â S m ÿâëÿåòñÿ (M − m)-äåíàäñòðàèâàåìîñòü ïðîñòðàíñòâà CM (N ), òî åñòü ñóùåñòâîâàíèå ïðîñòðàíñòâà C òàêîãî, ÷òî ΣM−m C ≃ CM (f ). Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ M = 2n + 2, òî îíî àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîãî M > 2n + 2. Îáùèé èíâàðèàíò îêðåñòíîñòè.
Ïî ñîîáðàæåíèÿì îáùåãî ïîëîæåíèÿ íîðìàëüíîå ðàññëîåíèå ν(f ) ïîãðóæåíèÿ f : N → S n+k íå çàâèñèò îò f äëÿ k > n + 1. Ýòî ñòàáèëüíîå íîðìàëüíîå ðàññëîåíèå îáîçíà÷èì ÷åðåç νk (N ). Îòìåòèì, ÷òî ν(i ◦ f ) = ν(f ) ⊕ 1,
ïîýòîìó ν(f ) ⊕ (K − k)ε = νK (f ) äëÿ K > n + 1.
Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèÿ äëÿ ïîãðóæàåìîñòè ìíîãîîáðàçèÿ N â S n+k ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå k -ðàññëîåíèÿ ν íàä N , ñòàáèëüíî ýêâèâàëåíòíîãî ðàññëîåíèþ νK (N ). Òàê êàê ν(f ) ⊕ τ (N ) = (n + k)ε, òî íåîáõîäèìîå óñëîâèå íîðìàëüíîãî ðàññëîåíèÿ ýêâèâàëåíòíî ñòàáèëüíîé òðèâèàëüíîñòè ðàññëîåíèÿ ν(f ) ⊕ τ (N ) è òðèâèàëüíîñòè ïîñëåäíåãî ðàññëîåíèÿ (ïî ñîîáðàæåíèÿì îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ïîòîìó ÷òî ðàçìåðíîñòü ðàññëîåíèÿ ν(f ) ⊕ τ (N ) áîëüøå, ÷åì n). Òåîðåìó Ñìåéëà-Õèðøà ìîæíî ïåðå îðìóëèðîâàòü òàê: åñëè ñóùåñòâóåò k -ðàññëîåíèå ν íàä N òàêîå, ÷òî ν ⊕ (K − k)ε ∼ = νK (N ), òî N ïîãðóæàåìî â Rn+k . 150
6. C(f ) ≃ Dν(f )/Sν(f ) äëÿ m > 2n + 2. Íîðìàëüíîå ðàññëîåíèå ν(f ) ïîãðóæåíèÿ f ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè ïîãðóæåíèÿ f (è èíâàðèàíòîì èçîòîïèè ïîãðóæåíèÿ f , åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì). Ýòîò èçîòîïè÷åñêèé èíâàðèàíò íå î÷åíü ñèëüíûé, ïîòîìó ÷òî, íàïðèìåð, íîðìàëüíûå ðàññëîåíèÿ ðàçëè÷íûõ âëîæåíèé òàáèëüíî ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ âëîæåíèÿ f ïðîñòðàíñòâî ðàññëîåíèÿ ν(f ) è ðåãóëÿðíàÿ îêðåñòíîñòü Of (N ) îáðàçà f (N ) â S m ìîãóò áûòü îòîæäåñòâëåíû ïðè ïîìîùè ãîìåîìîð èçìà κ, ïðè êîòîðîì íóëåâîå ñå÷åíèå ïåðåõîäèò â f (N ). Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ãîìåîìîð èçì κ îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî (áîëåå òî÷íî, ðàçëè÷àþùèå ýëåìåíòû ëåæàò â ãðóïïå H l (N, πl (S O k−1 ))). (Î áëèçêîì ïîíÿòèè óòîëùåíèÿ è óòîëùàåìîñòè ñì. ãëàâû 0 è 2.) Êîìáèíàöèÿ èíâàðèàíòîâ äîïîëíåíèÿ è îêðåñòíîñòè.
Ñîâìåùàÿ èäåþ äîïîëíåíèÿ è èäåþ îêðåñòíîñòè, Äæ. Ëåâèí, Ñ. Ï. Íîâèêîâ è Â. Áðàóäåð ïîëó÷èëè ðåäóêöèþ ïðîáëåì âëîæèìîñòè è èçîòîïèè ê àëãåáðàè÷åñêèì ïðîáëåìàì (âïðî÷åì, äîñòàòî÷íî ñëîæíûì). Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè êîìáèíàöèÿ èíâàðèàíòîâ äîïîëíåíèÿ è îêðåñòíîñòè óñëîâèé îäíî èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðèëîæåíèé õèðóðãèè ê òîïîëîãèè ìíîãîîáðàçèé. Ïî ïîâîäó ðàçâèòèÿ ýòîãî ïîäõîäà è ïðåîäîëåíèÿ âîçíèêàþùèõ òðóäíîñòåé ñì. [KS05℄, [Sk08'℄. Äàäèì îïðåäåëåíèå ïîðìàëüíîé ñèñòåìû è ñ îðìóëèðóåì òåîðåìó Áðàóäåðàκ Ëåâèíà. Êîìïîçèöèÿ Sν(f ) = ∂C(f ) ⊂ C(f ) íàçûâàåòñÿ ïðèêëåèâàþùèì îòîáðàæåíèåì a(f, κ). Òðîéêà S(f, κ) = (ν(f ), C(f ), a(f, κ)) íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìîé ïàðû (f, κ). Âîîáùå, íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà êîðàçìåðíîñòè k íà ìíîãîîáðàçèè N ýòî òðîéêà S = (ν, C, a), ñîñòîÿùàÿ èç (i) âåêòîðíîãî k -ðàññëîåíèÿ ν ; (ii) ïðîñòðàíñòâà C ; è (iii) íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ p : Sν → C . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íîðìàëüíûå ñèñòåìû (ν, C, p) è (ν1 , C1 , p1 ) ýêâèâàëåíòíû, åñëè ñóùåñòâóþò èçîìîð èçì ðàññëîåíèé b : ν → ν1 è ãîìîòîïè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü r : C → C1 , äëÿ êîòîðûõ r ◦ p ≃ p1 ◦ Sb. Î÷åâèäíî, êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè íîðìàëüíîé ñèñòåìû (f, κ) íå çàâèñèò îò κ. Ýòîò êëàññ íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìîé S(f ) âëîæåíèÿ f . Íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà âëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ èçîòîïè÷åñêèì èíâàðèàíòîì. Òàê êàê ëþáûå äâà âëîæåíèÿ N → S n+K èçîòîïíû ïðè K > n + 1, òî S(f ) íå çàâèñèò îò âëîæåíèÿ f ïðè K > n + 1. Ýòà íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ñòàáèëüíîé íîðìàëüíîé ñèñòåìîé ìíîãîîáðàçèÿ N è îáîçíà÷àåòñÿ SK (N ). Íàäñòðîéêà ΣS íàä íîðìàëüíîé ñèñòåìîé (ν, C, p) ýòî íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà (ν ⊕ 1, ΣC, p′ ), â êîòîðîé p′ ÿâëÿåòñÿ íàäñòðîéêîé íàä p íà êàæäîì ñëîå. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå Áðàóäåðà-Ëåâèíà äëÿ âëîæèìîñòè ìíîãîîáðàçèÿ N â S n+k ñîñòîèò â ñóùåñòâîâàíèè íîðìàëüíîé ñèñòåìû S íà N , òàêîé ÷òî ΣK−k S ∼ SK (N ) (ÿñíî, ÷òî ýòî óñëîâèå íå çàâèñèò îò K ). Òåîðåìà Áðàóäåðà-Ëåâèíà. Ïóñòü N çàìêíóòîå ãëàäêîå n-ìíîãîîáðàçèå, K > n + 1, k > 3 è ñóùåñòâóåò òàêàÿ íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà S = (ν, C, p) íà N , ÷òî ΣK−k S ∼ SK (N ) è π1 (C) = 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò ãëàäêîå âëîæåíèå f : N → S n+k òàêîå, ÷òî S(f ) ∼ S . Äëÿ ãîìîòîïè÷åñêîé ñ åðû N òåîðåìà Áðàóäåðà-Ëåâèíà áûëà äîêàçàíà â [Le65'℄, à â îáùåì ñëó÷àå â [Br68℄. Ñì. òàêæå [Gi71℄. Òåîðåìà Áðàóäåðà-Ëåâèíà âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû. n+k+1 Ëåììà î êîìïðåññèè è äåíàäñòðîéêå. Ïóñòü F : N → S âëîæåíèå çàìêíóòîãî ãëàäêîãî n-ìíîãîîáðàçèÿ, k > 3, n + k > 5 è ñóùåñòâóåò òàêàÿ íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà S = (ν, C, p) íà N , ÷òî ΣS ∼ S(F ) è π1 (C) = 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ãëàäêîå âëîæåíèå f : N → S n+k , ÷òî S(f ) ∼ S . 151
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î êîìïðåññèè è äåíàäñòðîéêå (ïðèíàäëåæàùåå Áðàóäåðó) èñïîëüçóåò ïîíÿòèå íîðìàëüíîãî èíâàðèàíòà è ïðèâîäèòñÿ â [CRS04℄.
152
Ëèòåðàòóðà. (ïåðåñòàâèòü ïî (ëàòèíñêîìó) àë àâèòó!)
Çâåçäî÷êàìè îòìå÷åíû êíèãè, îáçîðû è ïîïóëÿðíûå ñòàòüè. [Ad93℄
*M. Ada hi. Embeddings and Immersions. Amer. Math. So ., 1993. (Transl. of Math. Monographs, 124).
[Ak00℄
*Ï. Ì. Àõìåòüåâ. Âëîæåíèÿ êîìïàêòîâ, ñòàáèëüíûå ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû ñ åð è òåîðèÿ îñîáåííîñòåé // Óñïåõè Ìàò. Íàóê. 2000. 55:3. C. 3-62.
[An03℄
*Ä. Â. Àíîñîâ. Îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè, âåêòîðíûå ïîëÿ è èõ ïðèìåíåíèÿ. Ì: ÌÖÍÌÎ, 2003.
[BFM90℄ *À. Â. Áîëñèíîâ, Ñ. Â. Ìàòâååâ è À. Ò. Ôîìåíêî. Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññè èêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû // Óñïåõè Ìàò. Íàóê. 1990. 45:2. Ñ. 49-77. [Bi83℄
*R. H. Bing. The Geometri Topology of 3-Manifolds. Providen e, R. I. 1983. (Amer. Math. So . Colloq. Publ., 40).
[BE82℄
*Â. . Áîëòÿíñêèé è Â. À. Å ðåìîâè÷. Íàãëÿäíàÿ òîïîëîãèÿ Ì.: Íàóêà, 1982.
[BP97℄
*R. Benedetti and C. Petronio. Bran hed standard spines of 3-manifolds // Le ture Notes in Math. 1653, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1997.
[CL95℄
*×æóàí-öçû. Ëå-öçû. Ì.: Ìûñëü, 1995.
[CRS04℄ *Ì. Öåíöåëü, Ä. åïîâø è À. Ñêîïåíêîâ. Î òåîðåìàõ âëîæåíèÿ ÁðàóäåðàËåâèíà-Íîâèêîâà // Òðóäû ÌÈ ÀÍ. 2004. 247. Ñ. 280-290. [DNF79℄ *Á. À. Äóáðîâèí, Ñ. Ï. Íîâèêîâ è À. Ò. Ôîìåíêî. Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ: ìåòîäû è ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1979. [DNF84℄ *Á. À. Äóáðîâèí, Ñ. Ï. Íîâèêîâ è À. Ò. Ôîìåíêî. Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ: ìåòîäû òåîðèè ãîìîëîãèé. Ì.: Íàóêà, 1984. [DZ93℄
*Äûìàðñêèé ß. è Çàâåðà÷ È. íà òîðå. // Êâàíò. 1993. 6. perese henie_dvuh_krivyh_na_to.htm
Ïåðåñå÷åíèå äâóõ êðèâûõ http://kvant.m
me.ru/1993/06/
[FF89℄
*À. Ò. Ôîìåíêî è Ä. Á. Ôóêñ. Êóðñ ãîìîòîïè÷åñêîé òîïîëîãèè. Ì.: Íàóêà, 1989.
[Fo92℄
*À. Ò. Ôîìåíêî. Íàãëÿäíàÿ ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ. Ì.: Èçä-âî Ì Ó, 1992.
[Gi71℄
*S. Gitler. Embedding and immersion of manifolds // Pro . Symp. Pura Appl. Math., AMS, Providen e. 1971. 22. P. 8796.
[GS99℄
*R. Gompf and A. Stipsi z. 4-Manifolds and Kirby Cal ulus. Providen e, RI: Amer. Math. So ., 1999.
[GT87℄ *J. L. Gross and T. W. Tu ker. Topologi al graph theory. New York: WileyInters ien e, 1987. [Ha℄
*F. Harary. Graph theory. óñ. ïåð.: Ô. Õàðàðè. Òåîðèÿ ãðà îâ. Ì., Ìèð, 1973.
[HMS93℄ *C. Hog-Angeloni, W. Metzler and A. J. Sieradski. Two-dimensional homotopy and ombinatorial group theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. (London Math. So . Le ture Notes, 197). [Ho90℄
*K. Horvati . Classi al problems of geometri topology (in Croatian). Zagreb: Tehni ka knjiga, 1990 153
[Ki89℄
*R. C. Kirby. The Topology of 4-Manifolds. Berlin: Springer-Verlag, 1989. (Le t. Notes Math., 1374).
[Ko81℄
*U. Kos horke. Ve tor Fields and Other Ve tor Bundle Morhpisms a Singularity Approa h. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1981. (Le t. Notes Math., 847).
[KPS℄
*A. Kaibkhanov, D. Permyakov and A. Skopenkov. Realization of graphs with rotation // http://www.turgor.ru/lktg/2005/3/index.htm.
[KS99℄
*Ï. Êîæåâíèêîâ è À. Ñêîïåíêîâ. Óçêèå äåðåâüÿ íà ïëîñêîñòè // Ìàò. Îáðàçîâàíèå. 1999. 2-3. Ñ. 126-131.
[Ku68℄
*Ê. Êóðàòîâñêèé. Òîïîëîãèÿ. Ò. 1, 2. Ì.: Ìèð, 1969.
[LZ℄
*S. Lando and A. Zvonkin. Embedded Graphs. Springer
[MF90℄ *Ñ. Â. Ìàòâååâ è À. Ò. Ôîìåíêî. Àëãîðèòìè÷åñêèå è êîìïüþòåðíûå ìåòîäû â òðåõìåðíîé òîïîëîãèè. Ì.: Èçä-âî Ì Ó. Ì.: Íàóêà. 1990. [MS74℄ *Äæ. Ìèëíîð, Äæ. Ñòàøå . Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû. Ì.: Ìèð, 1979. [MT01℄ *B. Mohar and C. Thomassen. Graphs on Surfa es. The John Hopkins University Press, 2001. [NN04℄ *?. The forgotten mathemati ian //Math. Intelligen er, 2004. [No76℄
*Ñ. Ï. Íîâèêîâ. Òîïîëîãèÿ-1. Ì.: Íàóêà, 1976. (Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. ÂÈÍÈÒÈ. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Îñíîâíûå íàïðàâëåíèÿ, 12).
[Po76℄
*Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèí. ëàäêèå ìíîãîîáðàçèÿ è èõ ïðèìåíåíèÿ â òåîðèè ãîìîòîïèé. Ì.: Íàóêà, 1976.
[Pr95℄
*Â. Â. Ïðàñîëîâ. Íàãëÿäíàÿ òîïîëîãèÿ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 1995.
[Pr04℄
*Â. Â. Ïðàñîëîâ. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðíîé è äè åðåíöèàëüíîé òîïîëîãèè. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2004. Ñì. http://www.m
me.ru/prasolov/.
[Pr06℄
*Â. Â. Ïðàñîëîâ. Ýëåìåíòû òåîðèè ãîìîëîãèé. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2006. Ñì. http://www.m
me.ru/prasolov/.
[PS05℄
*Â. Â. Ïðàñîëîâ è Ì. Ñêîïåíêîâ. àìñååâñêàÿ òåîðèÿ çàöåïëåíèé // Ìàò. Ïðîñâåùåíèå. 2005. 9. Ñ. 108-115.
[RS72℄
*Ê. Ï. óðê è Á. Äæ. Ñàíäåðñîí. Ââåäåíèå â êóñî÷íî-ëèíåéíóþ òîïîëîãèþ // Ìîñêâà. Ìèð. 1974.
[RS96℄
*D. Repovs and A. B. Skopenkov. Embeddability and isotopy of polyhedra in Eu lidean spa es // Òðóäû ÌÈ ÀÍ. 1996. 212; Pro . of the Steklov Inst. Math. 1996. 212. P. 173-188.
[RS99℄
*Ä. åïîâø è À. Ñêîïåíêîâ. Íîâûå ðåçóëüòàòû î âëîæåíèÿõ ïîëèýäðîâ è ìíîãîîáðàçèé â åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâ // ÓÌÍ. 1999. 54:6. Ñ. 61-109.
[RS99'℄ *Ä. åïîâø è À. Ñêîïåíêîâ. Êîëüöà Áîððîìåî è ïðåïÿòñòâèÿ ê âëîæèìîñòè // Òðóäû ÌÈ ÀÍ. 1999. 225. Ñ. 331-338. [RS00℄
*Ä. åïîâø è À. Ñêîïåíêîâ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû äëÿ íà÷èíàþùèõ // Ìàò. Ïðîñâåùåíèå. 2000. 4. Ñ. 151-176.
[RS02℄
*Ä. åïîâø è À. Ñêîïåíêîâ. Òåîðèÿ ïðåïÿòñòâèé äëÿ íà÷èíàþùèõ // Ìàò. Ïðîñâåùåíèå. 2002. 6. C. 60-77. 154
[Ru73℄
*T. B. Rushing. Topologi al Embeddings. New York: A ademi Press, 1973.
[SE62℄
*Í. Ñòèíðîä è Ä. Ýïøòåéí. Êîãîìîëîãè÷åñêèå îïåðàöèè // Ìîñêâà. Íàóêà. 1983.
[St68℄
* . Ñòîíã. Çàìåòêè ïî òåîðèè êîáîðäèçìîâ // Ìîñêâà. Ìèð. 1973.
[ST04℄
* . Çåé åðò è Â. Òðåëü àëëü. Òîïîëîãèÿ. 2004.
[Sk05℄
*À. Ñêîïåíêîâ. Âîêðóã êðèòåðèÿ Êóðàòîâñêîãî ïëàíàðíîñòè ãðà îâ // Ìàò. Ïðîñâåùåíèå. 2005. 9. Ñ. 116-128. http://www.m
me.ru/free-books/matprosñ.html
[Sk08℄
*A. Skopenkov. Embedding and knotting of manifolds in Eu lidean spa es // London Math. So . Le t. Notes, 347 (2008) 248342; arxiv:math/0604045.
[ST07℄
*À. Ñêîïåíêîâ è À. Òåëèøåâ. È âíîâü î êðèòåðèè Êóðàòîâñêîãî ïëàíàðíîñòè ãðà îâ // Ìàò. Ïðîñâåùåíèå, 11 (2007), 159160, http://www.m
me.ru/free-books/matprosñ.html
[VINH07℄ *Î. ß. Âèðî, Î. À. Èâàíîâ, Í. Þ. Íåöâåòàåâ è Â. Ì. Õàðëàìîâ. Ýëåìåíòàðíàÿ òîïîëîãèÿ // ÌÖÍÌÎ. 2007. [Wu65℄ *W. T. Wu. A Theory of Embedding, Immersion and Isotopy of Polytopes in an Eu lidean Spa e. Peking: S ien e Press, 1965. [ARS01℄ P. Akhmetiev, D. Repovs and A. Skopenkov. P. Akhmetiev, D. Repovs and A. Skopenkov, Embedding produ ts of low-dimensional manifolds in Rm // Topol. Appl. 2001. 113. P. 7-12. [ARS02℄ P. Akhmetiev, D. Repovs and A. Skopenkov. Obstru tions to approximating maps of n-manifolds into R2n by embeddings // Topol. Appl. 2002. 123. P. 3-14. [Ba65℄
D. Barden. Simply- onne ted ve-manifolds // Ann. of Math. 1965. 82. P. 365 385.
[Br60℄
M. Brown. A proof of the generalized S hoen iess theorem // Bull. Amer. Math. So . 1960. 66. P. 7476.
[BF94℄
À. Â. Áîëñèíîâ è À. Ò. Ôîìåíêî. Òðàåêòîðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òåîðåìà êëàññè èêàöèè. I, II // Ìàò. Ñáîðíèê. 1994. 185:4. Ñ. 27-80; 185:5. Ñ. 27-78.
[BM58℄ R. Bott, J. Milnor. On the parallelizability of the spheres // Bull. Amer. Math. So . 1958. 64. P. 87-89. [Br68℄
W. Browder. Embedding smooth manifolds // Pro . Int. Congr. Math. Mos ow 1966. 1968. P. 712719.
[BRS99℄ D. Repovs, N. Brodsky and A. B. Skopenkov. A lassi ation of 3-thi kenings of 2-polyhedra // Topol. Appl. 1999. 94. P. 307-314. [Co85℄
R. L. Cohen. The immersion onje ture for dierentiable manifolds // Ann. of Math. 1985. 122. P. 237-328.
[CRS98℄ A. Cavi
hioli, D. Repovs and A. B. Skopenkov. Open problems on graphs, arising from geometri topology // Topol. Appl. 1998. 84. P. 207-226. [CRS00℄ A. Cavi
hioli, D. Repovs and A. B. Skopenkov. An extension of the BolsinovFomenko theorem on lassi ation of Hamiltonian systems // Ro ky Mount. J. Math. 2000. 30:2. P. 447-476. 155
[CRS℄
M. Cen elj, D. Repovs and M. Skopenkov. Classi ation of framed links in 3manifolds.
[Cu81℄
M. Culler. Using surfa es to solve equations in free groups // Topology. 1981. 20. P. 133-145.
[DW59℄ A. Dold and H. Whitney. Classi ation of oriented sphere bundles over a 4 omplex // Ann. Math. 1959. 69. P. 667677. [FKT94℄ M. H. Freedman, V. S. Krushkal and P. Tei hner. Van Kampen's embedding obstru tion is in omplete for 2- omplexes in R4 // Math. Res. Letters. 1994. 1. P. 167-176. [Gl62℄
H. Glu k. The embedding of two-spheres in the four-sphere // Trans. Amer. Math. So . 1962. 104:2. P. 308333.
[GS℄
Ì. îðòèíñêèé è Î. Ñêðÿáèí. Êðèòåðèé âëîæèìîñòè ãðà îâ â ïëîñêîñòü âäîëü ïðÿìîé // ïðåïðèíò.
[Ha67℄
A. Hae iger. Lissage des immersions-I // Topology. 1967. 6. 221240.
[HH62℄ A. Hae iger and M. W. Hirs h. Immersions in the stable range // Ann. of Math. 1962. 75:2. P. 231241. [Hi60℄
M. W. Hirs h. Immersions of manifolds // Trans. Amer. Mat. So . 1960. 93. P. 242276.
[HJ64℄
R. Halin and H. A. Jung. Karakterisierung der Komplexe der Ebene und der 2Sphare // Ar h. Math. 1964. 15. P. 466-469.
[HP64℄ A. Hae iger and V. Poenaru. La lassi ation des immersions ombinatoires // Publ. Math. IHES. 1964. 23. P. 7591. [Ke59℄
M. Kervaire. An interpretation of G. Whitehead's generalization of H. Hopf's invariant // Ann. of Math. 1959. 69. P. 345-362.
[Ko01℄
U. Kos horke. Homotopy lassi ation of line elds and Lorentz metri s on losed manifolds // Math. Pro . Camb. Phil. So . 2001.
[KS05℄
M. Kre k and A. Skopenkov. Inertia groups of smooth embeddings // submitted, arxiv:math/0512594.
[La00℄
F. Lasheras. An obstru tion to 3-dimensional thi kening // Pro . Amer. Math. So . 2000. 128. P. 893-902.
[Le65℄
J. Levine. Unknotting spheres in odimension 2 // Topology. 1965. 4. P. 916.
[Le65'℄
J. Levine. A lassi ation of dierentiable knots // Ann. of Math. 1965. 82. P. 15
[LS69℄
W. B. R. Li korish and L. C. Siebenmann. Regular neighborhoods and the stable range // Trans. AMS. 1969. 139. P. 207-230.
[Ma59℄ B. Mazur. On embeddings of spheres // Bull. Amer. Math. So . 1959. 65. P. 9194. [Ma60℄ W. S. Massey. On the Stiefel-Whitney lasses of a manifold, 1 // Amer. J. Math. 1960. 82. P. 92-102. [Ma62℄ W. S. Massey. On the Stiefel-Whitney lasses of a manifold, 2 // Pro . AMS 1962. 13. P. 938-942. 156
[Ma69℄ W. S. Massey. Pontryagin squares in the Thom spa e of a bundle // Pa i J. Math. 1969. 31. P. 133-142. [Ma73℄ Ñ. Â. Ìàòâååâ. Ñïåöèàëüíûå îñòîâû êóñî÷íî-ëèíåéíûõ ìíîãîîáðàçèé // Ìàò. Ñáîðíèê. 1973. 92. Ñ. 282-293. [Ma05℄ V. Manturov. A proof of the Vasiliev onje ture on the planarity of singular links //Izv. RAN 2005. [Mi97℄
P. Min . Embedding simpli ial ar s into the plane // Topol. Pro . 1997. 22. 305 340.
[Mo60℄ M. Morse. A redu tion of the S hoen iess extension problem // Bull. Amer. Math. So . 1960. 66. P. 113117. [Mo89℄ B. Mohar. An obstru tion to embedding graphs in surfa es // Dis rete Math. 1989. 78. P. 135142. [OS74℄
R. P. Osborne and R. S. Stevens. Group presentations orresponding to spines of 3-manifolds, I // Amer. J. Math. 1974. 96. P. 454-471; II // Amer. J. Math. 1977. 234. P. 213-243; III // Amer. J. Math. 1977. 234 P. 245-251.
[Pa57℄
C. D. Papakyriakopoulos. On Dehn's lemma and the aspheri ity of knots // Ann. of Math. 1957. 66. P. 126.
[Pe℄
D. Permyakov. On embedding of graphs with rotations into the Moebius strip //Preprint. 2005.
[Pe'℄
D. Permyakov. Embeddings into the plane for degree 4 graphs //Preprint. 2005.
[PV℄
G. Pogudin and P. Verevkin. On the embeddability of ubi R-graphs into the torus // Preprint. 2007.
[RS98℄
D. Repovs and A. B. Skopenkov. A deleted produ t riterion for approximability of a map by embeddings // Topol. Appl. 1998. 87 P. 1-19.
[RS99℄ Ä. åïîâø è À. Ñêîïåíêîâ. Òåîðèÿ ïðåïÿòñòâèé äëÿ ðàññëîåíèé Çåé åðòà è êëàññè èêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì // ÓÌÍ. 1999. 54:3. Ñ. 183-184. [RS01℄
D. Repovs and A. Skopenkov. Cell-like resolutions of polyhedra by spe ial ones // Colloq. Math. 2000. 86:2. P. 231237.
[RS01℄
D. Repovs and A. Skopenkov. On ontra tible n-dimensional ompa ta, nonembeddable into R2n // Pro . Amer. Math. So . 2001. 129. P. 627-628.
epin. On un ountable olle tions of [RSS95℄ D. Repovs, A. B. Skopenkov and E. V. S
ontinua and their span // Colloq. Math. 1995. 69:2. P. 289-296. epin. On embeddability of X × I into [RSS95'℄ D. Repovs, A. B. Skopenkov and E. V S Eu lidean spa e // Houston J. Math. 1995. 21. P. 199-204. [RS68℄
C. P. Rourke and B. J. Sanderson. Blo k bundles, I // Ann. of Math. (2). 1968. 87. P. 1-28.
[SSS98℄ J. Segal, A. Skopenkov and S. Spie z. Embeddings of polyhedra in Rm and the deleted produ t obstru tion // Topol. Appl. 1998. 85. P. 225-234. [Sa91℄
K. S. Sarkaria. A one-dimensional Whitney tri k and Kuratowski's graph planarity riterion // Israel J. Math. 1991. 73. P. 79-89. 157
[SS83℄
Å. Â. Ùåïèí, Ì. À. Øòàíüêî. Ñïåêòðàëüíûé êðèòåðèé âëîæèìîñòè êîìïàêòîâ â åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà // Òðóäû Ëåíèíãðàäñêîé Ìåæäóíàðîäíîé Òîïîëîãè÷åñêîé êîí åðåíöèè. Ë.: Íàóêà, 1983. Ñ. 135-142.
[Si69℄
K. Sieklu ki. Realization of mappings // Fund. Math. 1969. 65. P. 325-343.
[Sk94℄
À. Ñêîïåíêîâ. åîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Íîéâèðòà îá óòîëùàåìîñòè 2-ìåðíûõ ïîëèýäðîâ // Ìàò. çàìåòêè. 1994. 56:2. Ñ. 94-98.
[Sk98℄
A. B. Skopenkov. On the deleted produ t riterion for embeddability in Rm // Pro . Amer. Math. So . 1998. 126:8. P. 2467-2476.
[Sk02℄
A. Skopenkov. On the Hae iger-Hirs h-Wu invariants for embeddings and immersions // Comment. Math. Helv. 2002. 77. P. 78-124.
[Sk03℄
M. Skopenkov. Embedding produ ts of graphs into Eu lidean spa es // Fund. Math. 2003. 179. P. 191-198.
[Sk03'℄
M. Skopenkov. On approximability by embeddings of y les in the plane // Topol. Appl. 2003. 134. P. 1-22.
[Sk08'℄
A. Skopenkov. A lassi ation of smooth embeddings of 3-manifolds into 6spa e //, Math. Zeits hrift, to appear, arxiv:math/0603429.
[Sm61℄
S. Smale. Generalized Poin are's onje ture in dimensions greater than 4 // Ann. of Math. 1961. 74. P. 391466.
[St63℄
J. Stallings. On topologi ally unknotted spheres // Ann. of Math. 1963. 77. P. 490503.
[Sz91℄
A. Sz u s. On the obordism groups of immersions and embeddings // Math. Pro . Camb. Phil. So . 1991. 109. P. 343-349.
[Te℄
À. Òåëèøåâ. Î ðåàëèçóåìîñòè ãðà îâ íà áóòûëêå Êëåéíà. Ïðåïðèíò.
[Th51℄
R. Thom. Une theorie intrinseque des puissan es de Steenrod Coll. Top. Strassbourg. 1951.
[Vd95℄
A. Vdovina. Constru tion of orientable Wi ks forms and estimation of their number, Comm. Algebra 23 (1995), 3205-3233.
[Vd96℄
A. Vdovina. On the number of nonorientable Wi ks forms in a free group, Pro . Royal So . Edinb. Se t. A 126 (1996), 113-116.
[Vd97℄
A. Vdovina. Produ t of ommutators in free produ ts, Internat. J. Algebra Comput. 7 (1997), 471-485.
[Wa67℄ C. T. C. Wall. Classi ation problems in dierential topology, IV, Thi kenings // Topology 1966. 5. P. 7394. [Wa67℄ F. Waldhausen. Eine Klasse von 3-dimensional Mannigfaltigkeiten, I // Invent. Math. 1967. 3. P. 308-333. [Wr77℄
P. Wright. Covering 2-dimensional polyhedra by 3-manifolds spines // Topology. 1977. 16. P. 435-439.
158
This figure "tel1.jpg" is available in "jpg" format from: http://arXiv.org/ps/0808.1395v1
This figure "tel2.jpg" is available in "jpg" format from: http://arXiv.org/ps/0808.1395v1
