Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 192-201
УДК 512.54
О ТЕСТОВЫХ ЭЛЕМЕНТАХ С В О Б О Д Н Ы Х Р А З Р Е Ш И М Ы Х ГРУПП РАНГА 2*) В.А.РОМАНЬКОВ
Набор элементов # ь . . . ,(#,) = gi (г = 1 , . . . ,&), является автоморфизмом. Тестовым рангом группы G называется мини мальная мощность тестового набора. Тестовый элемент — это тестовый набор из одного элемента. Нильсен в [1] (см. также [2]) доказал, что любой эндоморфизм сво бодной группы F2 ранга 2 с базисом яг, у, переводящий коммутатор (ж, у) в сопряженный к нему или к его обратному элемент, является автоморфиз мом. Значит, указанный коммутатор является тестовым элементом группы F2. Аналогичное утверждение для свободной метабелевой группы Мч ран га 2 доказано в [3]. Любая свободная группа Fn конечного ранга п обладает тестовы ми элементами и, следовательно, имеет тестовый ранг 1. Это видно из результатов Цишанга, Розенбергера, Рипса (см. по этому поводу работы Шпильрайна [4, 5], а также Тернера [6]; в последней дано описание тесто вых элементов свободных групп конечных рангов). Тимошенко в [7] доказал, что все неединичные элементы из комму танта свободной метабелевой группы M
@
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
О тестовых элементах свободных разрешимых
групп
193
В случае свободной разрешимой группы Sri ранга г ступени разре шимости / ^ 3 ситуация оставалась неясной. Было известно [8], что ком мутатор базисных элементов при г = 2 уже не будет тестовым элементом. На сайте программы Магнус (http://www.grouptheory.org) в разделе от крытых проблем поставлен вопрос S9 Файна и Шпильрайна о существо вании тестовых элементов в свободных разрешимых группах 5г/, / ^ 3. Эта же проблема сформулирована ими же в Коуровской тетради [9] под номером 14.88. Целью настоящей работы является нахождение примера тестового элемента в группе S = S23* Доказана ТЕОРЕМА. Свободная разрешимая группа S ранга 2 ступени раз решимости 3 содержит тестовые элементы, каждый из которых при надлежит последнему неединичному коммутанту
группы.
Таким образом, ответ на вопрос, отмеченный выше, положителен, по крайней мере, для ступени разрешимости 3. Будем придерживаться следующих обозначений сопряжения, комму таторов и простых коммутаторов элементов произвольной группы G: ^ M " l , ( / , 9 ) = /9/V,(/i,-..,/„+1)=((/i,.-,/n),/n+i). Как обычно, G' означает коммутант, а
(1)
k-й коммутант группы G.
Элементы нижнего центрального ряда обозначим fiG, г = 1, 2 , . . . . Нам потребуются некоторые известные факты о метабелевых груп пах (см., например, [10]). В любой метабелевой группе справедливо всякое тождество вида ( / , f l i u i , . . . 1 M = (/,0>Л<г(1),--- ih^)),
(2)
где о — произвольная подстановка на { 1 , . . . , к}. Пусть М = М2 ~ свободная метабелева группа ранга 2 с базисом ж, у. Базисные коммутаторы, позволяющие однозначно записывать элементы группы М по модулю 7*М, - это элементы вида: ж, y,z = г(1,1) = (у, я), z(k,l) = ( у , £ , ж , . . . , х , у , у , . . . , у), к + I ^ г - 1, где к означает число вхо ждений #, а / — число вхождений у. Базисные коммутаторы естественно
194
В. А.
Ромшьков
упорядочены в первую очередь по возрастанию веса, а во вторую — по числу вхождений у. Любой элемент д группы М однозначно записывается в виде
<7 = * V
П
^,0 A(W) (mod 7 .-M), a,0 f A(M)€Z,
(З)
где базисные коммутаторы в произведении расположены в порядке воз растания. В частности, образ любого элемента z(koylo) (ко + /о = i ~ 1) относительно эндоморфизма <р £ EndM однозначно записывается по мо дулю j{M как произведение степеней базисных коммутаторов вида z(fc, /) (к + / — г — 1). Можно предполагать, что они расположены в порядке воз растания. Рассмотрим теперь свободную группу Г ранга 2 в многообразии всех групп с двуступенно нильпотентным коммутантом. Считаем, что м = т/г(2) и что ее базис а:, у соответствует базису х±,у\ группы Г. Через z\(k)l)
обозначается коммутатор, получающийся из z(k,l)
заменой
х,у на a;i,yi, соответственно. Сохраним для полученных коммутаторов прежний порядок и считаем их простыми базисными
коммутаторами
группы Г. Кроме них для Т определяются коммутаторы wi(k)l^mJn)
=
= (zi(k,l).} zi(m, n)), среди которых базисные выделяются дополнитель ным условием z\(k, I) > £i(ra, n). Базисные коммутаторы группы Т упоря дочиваются по весу и коммутаторы одного веса — по возрастанию числа вхождений 2/1, а в остальных случаях порядок задается произвольным об разом. Заметим, что Т^
является модулем над групповым кольцом ЪА
свободной абелевой группы А = М/М1 — Т/Т* с соответствующим базисом #0, Уо-
Известно [11], что любой элемент группы Т однозначно представим по модулю jiT в виде произведения степеней базисных коммутаторов веса не больше, чем г — 1, расположенных в порядке возрастания. Определим элемент ^i £ Т, положив «1 = ^1 (3,2,1,1)^1 (2,2,1,2).
(4)
В [12] установлено, что если образ элемента г(2,2) относительно
О тестовых элементах свободных разрешимых групп <р G EndM сравним с z(2,2)^1
195
по модулю у$М, то <р{х) = х € , <^>(у) =
= y r? (mod72M), e, т/ £ { 1 , - 1 } . Отсюда вытекает Л Е М М А . Пусть образ элемента щ относительно ср Е EndT срав ним с щ по модулю "у&Г. Тогда
(у, х) а ( 1 ~ х °)^ ( у °)х, у ^ (у, я) 7 у,
(5)
где о?,/3(уо),7 G ZA, причем /3(уо) зависит только от уо. Элемент (у, х)а(1~я?°) имеет в группе Т прообраз, представимый в виде t>i == (tt>i, xi), w\ 6 T". Изменим <£>i, домножив его справа на внутрен ний автоморфизм группы Т, соответствующий элементу wj"1. Получим эндоморфизм, для которого щ — по-прежнему неподвижный элемент, а индуцированный эндоморфизм группы М определяется отображением а^(у,я)*Кк,
y^(y,x)sy,
(6)
где <5 G ZA. Для простоты сохраняем обозначения для эндоморфизма <^i и индуцированного им эндоморфизма (р. Образ элемента щ по-прежнему однозначно зависит от ср. Пусть (у,х)Р(у°)
Е *УкМ \ jk+iM,(y,x)s
£
G 7/М \ 7 / + i M . Во-первых, предположим, что к ф I. Пусть к < I (если допустить, что I < к (или /3(уо) = 0), то вычисления аналогичны). Тогда ( у , х ) ^ > = z(l,k-
1)« (mod 7 ifc +1 M), гф 0.
(7)
Вычислим y>i(wi) (mod77+fe^): Vi(«i)
=
{{Уихх{\,к-1)%х1,ххлхиу1),(у1,г1{1,к-1)*хх)) ( ( y i , ^ i ( l , f c - l ) ' j ; i , i b y i ) , ( y b 2 i ( l , f c - 1)^1,2/i)
=
wi(3, к + 1 , 1 , 1 ) " V ( 3 , 2,1, fc)_tU4(3, 2,1,1) u>:(2, *r + 1,1,2) - l «;i(2,2,1, * + 1)~* wi(2,2,1,2) (mod7 fc+r T).
(8)
В. А. Ром&ньков
196
Эти же рассуждения применимы при £ — 0. Получаем противоречие, так как правая часть в (8) является произведением ненулевых степеней базис ных коммутаторов, не сравнимым с щ. Если же к =
/, то, полагая, как и прежде, (y,#)^ y °)
=
z(l,
к — 1)* (mod7^+i^)? * Ф 0, и проводя вычисления, видим, что степень ба зисного коммутатора w\(3, к + 1 , 1 , l)~ f не сократится, поскольку базисные коммутаторы, "пришедшие" от у\ и включающие z\{l, 1), имеют в другой части строго больше трех вхождений х\. Снова получили противоречие. Остается единственная возможность — эндоморфизм сххиух и» rfij/i, ci, di 6 Т ( 2 ) .
(9)
Тогда v?i действует тождественно на Т^2\ Легко проверить, что анало гичное отображение (с использованием с^1 и dj"1) определяет у?^1, т.е. 9?i Е A u t T . Значит, щ — тестовый элемент группы Т. Перейдем непосредственно к доказательству теоремы. Пусть Т = — 5/72*5'. Считаем, что £2,2/2 ~" базис группы 5, соответствующий базису жьУь Покажем, что элемент г^, получающийся из Wj заменой базисных элементов х\, у\ на Х2, У2> является тестовым для группы 5. Пусть у>2 € End5 — эндоморфизм, для которого ^2(^2) = ^2- Он индуцирует эндоморфизм (pi E EndT, для которого ^i будет неподвиж ным элементом. Домножив ip2 на подходящий внутренний автоморфизм группы 5, придем с учетом доказанного выше к следующей ситуации (для простоты сохраняем обозначения): эндоморфизм (р2 индуцирует тожде ственное отображение на группе М = S/S^2* и переводит элемент и2 в сопряженный к нему элемент и™, где w E 5'. Для замкнутости изложения проведем рассуждения, во многом повторяющие аргументы из [13]. Пусть ф2 определяется отображением х2 »-> сх2) г/2 »"> dy2, c,d£ S^2\
(10)
Известно [14, 15], что групповое кольцо ЪМ вложимо в тело Р фор мальных рядов над Q.
О тестовых элементах свободных разрешимых групп
197
Рассмотрим некоторые понятия, необходимые для доказательства те оремы. Любой элемент группы М однозначно записывается в виде х%д, где д £ гр(у, iVf'), i £ Z. Если элемент у £ Р имеет вид 7 = Л
0
+ . . . + хго+как, а 0 , а* ^ 0,
(11)
где все элементы а,- принадлежат подтелу тела Р , порожденному гр(у, М'), то говорим, что у имеет конечное разложение по х. Для таких элементов у определяем целозначную аддитивную функцию рх{у) — к. Если рх(у) — О, то говорим, что 7 однороден по х. Аналогичным образом можно опреде лить функцию ру. Заметим, что в [13] эти понятия введены в гораздо более общей ситуации, в частности, идя свободных разрешимых групп любого ранга и произвольной ступени. В [13, лемма 3] доказано, что если а — ненулевой элемент из Р , эле мент 7 имеет конечное разложение по х и для всех к £ N выполняется условие ау~~к £ ZM, то рх(у) = 0 и у однороден по х. Кроме того, в [13, лемма 4] установлено: если для любого к £ N выполняется ab~k £ ЪМ для ненулевых элементов а, Ь £ ZM, то либо Ь £ М, либо - 6 £ М. Модуль S^2) над групповым кольцом ЪМ естественно вложим (см. [13]) в векторное пространство V над телом Р кольца ЪМ размерности 1. Используем частные производные Фокса Dy = d/dx2,D2
= д/ду2, опре
деленные на 5 со значениями в ZM (о необходимых свойствах которых см., например, [13]). Поскольку (р2 тождествен по модулю S^2\ его дей ствие распространяется на все V. Итак, заменяя w £ Sf на его образ в М, сохраняя для простоты обозначение, имеем равенство (p2{u2) = v%,weM.
(12)
Докажем, что w = 1. Дифференцируя равенство (12), получаем, что wDiu 2 = Z>i
(13)
Пусть wD\u2 = jDitfc2#, a £ P , тогда •u/Dit^ = Dit* 2 a' £ ZM
(14)
198
В. А. Романьков
для всех / Е N . Более того, так как w является элементом группы М, это верно для всех / Е Z. Из основного соотношения для производных Фокса (см. [13]) получаем равенство D2U2 = D1u2(x-l)(l-y)-1.
(15)
Отсюда a = DlC + 1 + (х - 1)(1 - у)"1!*!**.
(16)
Ясно, что элемент а имеет конечное разложение по ж. В силу сде ланных выше замечаний, элемент а однороден по ж. Покажем, что это возможно лишь в случае, если a Е М или -а
Е М. Пусть D\d
=
у10«о + .. • + y*°*kcik, а<о, ак ф 0 — разложение элемента Did по у. Пред ставим его в виде Dxd - (у*0 - 1)а0 + . . . + (yf'0+* - 1)а* + а,
(17)
где а = ао + . • . + а*. Замечая, что уг - 1 делится на у— 1 в кольце Z(rp(y)), получаем равенство a = r+(x-l)(l-y)~la,
(18)
где г, а Е ZM, и а однороден по у. Покажем, что а = 0, а тогда и а Е ZM. Для этого рассмотрим разложение элемента а п о х : а = х*Ьо + . . . + я Л + % Ь0, bt ф 0.
(19)
Вычислим коэффициенты после х*° и я-л>+*+1 в разложении элемента (х — 1)(1 — у)" 1 » по ж. Поскольку (1 - у)""1 = l + y + y2 + . . . + yfc + . . . ,
(20)
коэффициент после х*° равен -{l + yz + y2z + ... + ykz + ...)b0, Коэффициент после #io+H-i J 0+
ВЫЧИСЛЯ ется
z = x~*.
(21)
по такой же формуле, только
г = #~ ' * PI вместо 6Q выражение в скобках домножается на bt.
О тестовых элементах свободных разрешимых групп
199
Если а ф О, то эти коэффициенты не принадлежат ЪМ, так как а однороден по у. Тогда а не является однородным по ж, получили противо речие. Значит, a = О, поэтому а Е ZM и по сделанному выше замечанию a = £flfi,
(22)
Следовательно, (1 — y)~1D\d Е ZM. Применяя тривиализацию к (16), по лучаем € = 1. Пусть WD2U2 = D2U2/3 для некоторого /3 € Р . Аналогично предыду щему доказываем, что $ = #2 6 М. Тогда Oititfi(* " 1) + #2U2
(23)
Отсюда 9х(х
- 1) + !> - 1)(1 - уГ192(у
- 1) = 0.
(24)
Это равенство выполняется, если только yg2 ~ д2у. Поскольку группа М не является абелевой, то из теоремы Мальцева [16] следует, что д2 = = у\ г Е Z. Аналогично доказывается, что #i = ж-7, j Е Z. Подставив эти значения в предыдущее равенство, видим, что г = jf = 0, следовательно, Отсюда, из одномерности
над Р и из тривиальности (р2 по мо
дулю £( 2 ) вытекает, что (р действует тождественно на S(2\ В этом случае 4*2 (S) = 5 , а так как 5 хопфова, то
1> 2, тод£ S$~lK ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При / = 2 утверждение доказано Тимошенко [7]. В общем случае доказательство во многом повторяет его рассуждения. Пусть д f. S\x
— тестовый элемент, D\, D2 — частные производные
Фокса относительно базисных элементов я, у группы 52/ со значениями в ZS2/-i> Эндоморфизм (р Е EndS2b заданный отображением х i-> ихх, у »-»• г^у,
(25)
200
В. А, Романьков
где 1 ф и 6 S^
и D\g\ + £>2<7/^ = 0, оставляет на месте элемент д.
Поскольку кольцо ZS21-1 удовлетворяет условию Оре, существуют А,/л, при которых справедливо приведенное выше равенство и которые не равны нулю одновременно. Заметим, что ip(u) ф и. Действительно, (p(u)
= uDluX+D2U'i+1.
(26)
Будем обозначать для простоты образы элементов группы S21 в группе 52/-1 как сами элементы. По основному тождеству для производных верно Diu(x~l)+D2u(y—
1) = 0, поэтому Л = (х — 1)и, ji = (y~l)v для некоторого
О ф v £ Р. ТогдаХ^А-ЬДгд// = (д — 1)и ф 0, что противоречит сделанному выше предположению. Автоморфизм ф действует тождественно по модулю S^
и нето
ждественно на элементе и. В [13] установлено, что это невозможно. Пред ложение, а вместе с ним и теорема доказаны. ЗАМЕЧАНИЕ. Автору неизвестно, будет ли любой неединичный эле мент из 5( 2 ) тестовым по аналогии с группой Мг. Открытым остается так же вопрос о существовании тестовых элементов в группах 5г/ при / ^ 4.
ЛИТЕРАТУРА 1. J.Nielsen,
Die Isomorphismen der allgemeinen unendlichen Gruppe mit zwei
Erzeugenden, Math. Ann., 78 (1918), 269-272. 2. P. Линдон, П. Шупщ Комбинаторная теория групп, М., Мир, 1980. 3. В. Г. Дурнее, О свободных образующих свободной метабелевой группы ран га 2, 1987, деп. в ВИНИТИ, N4036-B87. 4. V. Shpilrain, Recognizing automorphisms of the free groups, Arch. Math., 62, N 5 (1994), 385-392. 5. V. Shpilrain, Test elements for endomorphisms of free groups and algebras, Isr. J. Math., 92, N 1-3 (1995), 307-316. 6« E. Turner, Test words for automorphisms of free groups, Bull. Lond. Math. Soc, 28, N 3 (1996), 255-263.
О тестовых элементах свободных разрешимых групп
201
7. Е. И. Тимошенко, Тестовые элементы и тестовый ранг свободной метабелевой группы, Сиб. матем. ж., 41, N 6 (2000), 1451-1456. 8. Лг. Gupta, V. Shpilrain, Nielsen's commutator test for two-generator groups, Math. Proc. Camb. Philos. Soc, 114, N 2 (1993), 295-301. 9. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, изд. 14-е, доп., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 1999. 10. Х.Нейман,
Многообразия групп, М., Мир, 1968.
11. А.Л. Шмелькин,
О свободных полинильпотентных группах, Докл. АН
СССР, 169, N 5 (1967), 1024-1025. 12. Б. А. Романькое, Об уравнениях в свободных метабелевых группах, Сиб. матем. ж., 20, N 3 (1979), 671-673. 13. В. А. Романъкое, Нормальные автоморфизмы дискретных групп, Сиб. ма тем. ж., 24, N 4 (1983), 138-149. 14. А. И. Мальцев, О включении групповых алгебр в алгебры с делением, Докл. АН СССР, 60, N 9 (1948), 1499-1501. 15. В. Н. Neumann, On ordered division rings, Trans. Am. Math. Soc, 66, N 1 (1949), 202-252. 16. A.M. Мальцев, О свободных разрешимых группах, Докл. АН СССР, 1960, 130, N 3, 495-498.
Адрес автора: РОМАНЬКОВ Виталий Анатольевич, РОССИЯ, 644077, г. Омск, пр. Мира, д. 55-В, кв. 27.
Поступило 21 марта 2000 г.
