Лабораторный практикум по физике для студентов вечернего факультета МИФИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЕЧЕРНЕГО ФАКУЛЬТЕТА МИФИ

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2007

УДК 53(076.5) ББК 22.3Я7 Л12 Лабораторный практикум по физике для студентов вечернего факультета МИФИ. / В.В. Грушин, С.О. Елютин, Н.А. Добродеев, С.Л. Тимошенко, А.А. Богданов. – М.: МИФИ, 2007. – 212 с.

Лабораторный практикум содержит введение и описание 22 работ по разделам: «Электромагнитные колебания и волны», «Геометрическая и волновая оптика», «Излучение и спектры», «Элементы физической электроники». Во введении описываются правила выполнения лабораторных работ и правила представления полученных результатов. В частности, правила построения экспериментальных графиков, правила математической обработки результатов, расчетов ошибок. Описания лабораторных работ состоят из теоретического введения, указаний по методике выполнения работы, образцов таблиц для записи полученных результатов измерений, формул для расчета определяемых величин и их погрешностей. В конце каждого описания сформулированы контрольные вопросы, а в конце каждого раздела указана учебная литература для самостоятельного изучения вопросов теории. Лабораторный практикум предназначен для студентов вечернего факультета, выполняющих лабораторные работы по физике в лабораториях кафедры физики. Лабораторные работы, как правило, выполняются после изучения соответствующего раздела в теоретическом курсе. Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы. Рецензент дɪфиз-мат.наук, проф А.И. Маймистов ISBN 978-5-7262-0835-0 © Московский-инженерно физический институт (государственный университет), 2007 Работа напечатана по авторскому макету Подписано в печать 16.11.2007. Формат 60×84 1/16. Объем 13,25 п.л. Уч.-изд.л. 11,5. Тираж 150 экз. Изд. № 3/56 Заказ № 0-604 Московский инженерно-физический институт (государственный университет). Типография издательства «Тровант», г. Троицк Московской обл.

СОДЕРЖАНИЕ Введение ……………………………………………………………….5 Электромагнитные колебания и волны Работа 1. Исследование гармонических колебаний с помощью электронного осциллографа………………………………………….20 Работа 2. Исследование колебаний в простом колебательном контуре…………………………………………………………………….25 Работа 3. Изучение резонанса в электрическом колебательном контуре………………………………………………….……………….…31 - цепи переменного Работа 4. Измерение фаз и амплитуд в тока ………………………………………………………………........36 Работа 5. Измерение коэффициента трансформации………...……42 Работа 6. Определение длины волны и скорости звука в воздухе…………………………………………………………………..….. 47 Литература………….………………………………………………..52 Элементы Физической электроники Работа 7. Компаратор…………………………..……………………53 Работа 8. Усилитель на биполярном транзисторе………….……..63 Работа 9. Фурье-анализ периодических сигналов…………….….71 Литература…………………………………….……………………..89 Геометрическая и волновая оптика» Работа 10. Определение показателя преломления света для жидкостей…………………………………………………………………….90 Работа 11. Определение фокусного расстояния собирающей и рассеивающий линз…….………….................................……….…96 Работа 12. Интерференция света в оптической схеме с бипризмой Френеля………………………………………….……104 Работа 13. Кольца Ньютона………………………………………..111 Работа 14. Дифракция света…………………………………….….118 Работа 15. Поляризация света………………………………….…..126 Работа 16. Рассеяние света в мутной среде……………………….136 Работа 17. Основы голографической интерферометрии диффузноотражающих объектов…………………………………..……….....147 Литература………………………………………………................162

3

Излучение и спектры Работа 18. Внешний фотоэффект………………………………….164 Работа 19. Линейчатые спектры испускания……..……………….171 Работа20. Излучение газового лазера…………..………………….180 Работа21.Модуляция света…………………………...…………….189 Работа 22. Прохождение света сквозь халькогенидные пленки…197 Литература………………………………………………………... 212

4

ВВЕДЕНИЕ Погрешности в физических измерениях В экспериментальной науке нет точных измерений, все они обладают определенной погрешностью. Обычно результат измерения записывается в виде l ± σ , где l − измеренная величина, а σ ее стандартное отклонение или погрешность. Часто определить погрешность столь же важно, как и саму величину. Измеренная величина может отличаться от истинного значения вследствие двух типов погрешностей: систематических и случайных погрешностей. Систематические погрешности. Они возникают из-за сбоев или дефектов аппаратуры, просчетов в выборе методики эксперимента; все повторяющиеся измерения содержат ту же погрешность. Например, калибровка вольтметра или секундомера может быть неправильной. Систематические ошибки могут быть выявлены только тщательной проверкой используемых приборов и методики проведения эксперимента. Важно оценить верхний предел всех оставшихся возможных систематических погрешностей, так они дают вклад в погрешность в конечном результате. Случайные погрешности. Эти погрешности являются следствием случайных отклонений в условиях работы измерительной аппаратуры, они могут возникать при снятии отсчетов или из-за статистической природы измеряемых величин. Типичное значение случайных погрешностей можно получить повторением измерения много раз. Примеры случайных погрешностей: •

конечная точность, с которой масштаб или шкала может быть считана (можно считать эту точность в лучшем случае до 1/10 деления шкалы);

5

трудности в считывании показаний прибора из-за движения или дрожания стрелки.

•

Косвенные погрешности. Часто необходимо определить погрешность σ f величины f , где

f = f ( x, y...) , а x, y... были измерены с погрешностями

σ x ,σ y ... . Погрешность σ f вычисляется по формуле: 2

2

⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ σ = ⎜ ⎟ σ x2 + ⎜ ⎟ σ y2 + ... ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 2 f

(В.1)

Заметим, что для того чтобы уравнение (В.1) было справедливо, погрешности σ x ,σ y ... должны быть независимы. К примеру, если мы измерим l1 и l2 , а затем вычислим p = l1 + l2 и q = l1 − l2 , тогда p и q не являются независимыми. Уравнение (В.1) лучше всего иллюстрируется некоторыми простыми примерами: предположим f = ax 2 ( a = const ) , тогда из уравнения (В.1):

σf f

=

2σ x , x

т.е. относительная погрешность Ex =

σx x

удваивается. Предполо-

жим, что f = x + y или f = x − y , тогда σ 2f = σ x2 + σ y2 . Заметим, что погрешности складываются как квадраты и что σ f меньше, чем σ x + σ y . Например, если σ x = σ y = 1 мм , тогда σ f = 1, 4 мм .

σ x значительно меньше чем σ y , тогда σ f = σ y . Если σ x = 1 мм , σ y = 10 мм , тогда σ f = 10 мм .

Если

Предположим, что f = xy или f = x y , тогда

6

2

2

⎛σ f ⎞ ⎛σx ⎞ ⎛σy ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . ⎝ f ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ 2

В этом случае уже относительные погрешности складываются как квадраты величины: например, если

σf f

σx x

= 1% ,

σy y

= 1% , тогда

= 1, 4% . И вновь из-за того, что складываются квадраты вели-

чин, основной вклад в σ f дает величина с наибольшей погрешностью. Многократные измерения. Предположим, измеряем величину х n- раз и получаем результаты измерений x1 , x2 ,...xn и предположим, что каждое измерение имеет одну и ту же приборную погрешность σ 1 (значение σ 1 получено из оценки надежности каждого измерения: класса точности прибора, цены деления, количества разрядов цифрового индикатора и т.п.). Естественно сформировать среднее значение

1 1 n (В.2) ( x1 + x2 + ...) = ∑ xi . n n i =1 Так как величины x1 , x2 ,... независимы, можно использовать уравx =

нение (В.1), положив x ≡ f , x1 ≡ x, x2 ≡ y и т.д., и получить

σ

x

= σ1

n,

(В.3)

что представляет собой погрешность в определении среднего значения. Значения непосредственно измеренных величин разбросаны около среднего значения. Ясно, что величина разброса должна быть близка к погрешности одного измерения. Чтобы быть более точными, определим:

7

σj =

∑ (x − i

x )2

i

n −1

(В.4)

где σ j − величина разброса при снятии измерений; предполагаем

σ j и σ 1 приблизительно равными. Если они не равны, тогда величина разброса результатов отличается от погрешностей σ 1 в каждом акте считывания и, следовательно, неправильно интерпретируется величина случайной погрешности. Если σ j и σ 1 приблизительно одинаковы, тогда можно использовать либо σ j , либо σ 1 .Таким образом, при многократном воспроизведении результатов измерений есть два преимущества: •

погрешность в определении среднего уменьшается как 1

n;

•

можно сравнивать экспериментальную погрешность σ 1 с раз-

бросом измерений σ j и, таким образом, проверить наше понимание источника случайных ошибок. Заметим, что: •

если n = 1 , тогда σ j не определена, как и должно быть;

•

если n ≤ 5 , оценка для σ j может быть не очень надежной.

В этом случае оценку измеренного значения и погрешности измерений следует проводить по приближенным формулам:

xmax + xmin ; 2 x −x σ j = max min . 2

x =

(В.5) (В.6)

С одной стороны, случайные процессы влияют на отсчеты независимо. С другой стороны, систематические погрешности влияют на погрешность отсчетов одинаковым образом. Так, разброс ( σ j в

8

уравнении (В.4)) нескольких повторяющихся измерений определяется случайными эффектами, а не систематическими. К примеру, если истинное значение величины есть 8.424 и на точность измерений влияют случайные факторы, а не систематические , тогда серия измерений могла бы быть 8.6, 8.2, 8.3, 8.4, 8.4, давая среднее значение x = 8, 40, σ j = 0, 20. Но если присутствуют только систематические эффекты, набор результатов мог бы быть 8.7, 8.7, 8.7, 8.7, 8.7, с x = 8.7 и без разброса. Следовательно, σ j должна оцениваться с погрешностями, возникающими из только случайных эффектов. После того как средняя величина вместе с погрешностями из-за случайных процессов подсчитана, нужно рассмотреть влияние систематических погрешностей. Например, несколько измерений с одним и тем же секундомером дают 224,3 ± 0,2 с. для среднего значения и ее погрешности. Но секундомер был сконструирован так, что он дает точность 1/1000 (т.е. 0,22 с. за 224 с). Таким образом, все измерения из-за систематических эффектов имеют погрешности порядка этой величины. Следовательно, 0.2 сек случайной погрешности должны быть объединены с 0,22 с. систематической погрешности (суммированы их квадраты), и тогда они дают результаты 224,3 ± 0,4 с. Случайные искажения могут быть учтены при многократном повторении измерения при тех же условиях, но систематические искажения требуют анализа причин несовершенства приборов и методик измерения. В заключение приведем формулы для вычисления относительных погрешностей E f и абсолютных погрешностей σ f некоторых функций (табл. В.1 в конце введения).

9

Таблица В.1 Функция

f = x+ y f = x− y

f = xy

Абсолютная погрешность

σf

σ f = (σ x2 + σ y2 )1/ 2

σf

(( yσ x ) 2 + ( xσ y ) 2 )

f = xn

f = x n

f = sin x f = cos x

f = tan x f = ctgx f = ln x f =e

x

1/ 2

y2

σf =

1/ 2

⎛ ⎛ σ ⎞2 ⎛ σ y ⎞2 ⎛ σ ⎞2 ⎞ = ⎜⎜ x ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ z ⎟ ⎟ ⎜ x f y z ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ 1/ 2

⎛ ⎛ σ ⎞2 ⎛ σ y ⎞2 ⎞ = ⎜⎜ x ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎟ f ⎝ ⎠

σf

σf

σf =

σf =

=

f

σf σf f

σf

σx 2

f

cos x σx

1 σx n x

=

2σ x sin 2 x

=

2σ x sin 2 x

f

σx

x

= tgx ⋅ σ x

σf

sin 2 x

σx

= ctgx ⋅ σ x

f

σ f = sin x ⋅ σ x σf =

=n

f

σ f = cos x ⋅ σ x

x− y

σf

σf

1 x σx n

σx +σ y 1/2

σ f = nx n −1σ x 1 −1 n

x+ y

⎛ ⎛ σ ⎞2 ⎛ σ y ⎞2 ⎞ = ⎜⎜ x ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ f ⎜⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

2 1/ 2

σ f = (( xyσ z ) 2 + ( yzσ x ) 2 +

σx +σ y

σf

σ f = (( xσ y ) + ( yσ x ) )

σf =

=

f

+ ( xzσ y ) 2 )1/ 2

x f = y

=

f

σ f = (σ x2 + σ y2 )1/ 2 2

f = xyz

Относительная погрешность

σf

=

σx

f x ln x σf =σx

x

σ f = e xσ x

f

10

Графики. В экспериментальной физике и в большинстве ее теоретических разделов результат приобретает научную значимость лишь после того, как он будет представлен в наглядной форме, например в виде графика. На современных экспериментальных установках наглядное представление результатов осуществляется средствами компьютерной графики. Однако в любой, в том числе самой современной лабораторной работе, ведется рукописный протокол, где графики, построенные в ходе измерений, представляют собой наиболее ценные первичные данные. Для того чтобы график выполнял свою функцию наглядного представления результатов, нужно соблюдать несколько несложных правил: 1. График исследуемой зависимости удобно размещать на листе миллиметровой бумаги размером не менее полстраницы лабораторного журнала. На чертеже с графиком указывают название исследуемой зависимости; 2. Перед построением чертежа с графиком необходимо установить интервалы изменения измеренных величин, которые сопоставляются друг другу как аргумент и функция. Это делается для того, чтобы выбрать цену масштабных делений сетки миллиметровой бумаги и разместить график по всей площади листа, где все его детали ясно прочитывались бы. 3. Масштабными делениями сетки миллиметровой бумаги являются 10 и 50 миллиметровые деления. ГОСТом устанавливаются значения 1 ⋅10n , 2 ⋅10n и 5 ⋅10n единиц измерения величины, приходящихся на одно масштабное деление миллиметровой сетки ( n = 0, ± 1, ± 2, ± 3... ). В выбранных для обеих величин масштабах производят разметку обеих взаимно перпендикулярных осей, нанося на каждую из них 3−4 реперных значения, причем функцию обязательно нужно откладывать на оси ординат, а аргумент – на оси абсцисс. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю. 4. Каждую из осей нужно снабдить буквенным обозначением соответствующей физической величины с указанием единиц, в которых ее значения отложены на оси. Если порядок физической ве-

11

личины (определяется множителем 10n ), измеренной в соответствующих единицах, либо велик, либо мал, на осях отмечают десятичные приставки. Названия десятичных приставок и обозначаемых ими порядков указаны в таблице В.2 Таблица В.2 12

10 109 106 103 102 101

Т Г М К Г дк

(тера) (гига) (мега) (кило) (гекто) (дека)

-12

10 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1

п н мк м с д

(пико) (нано) (микро) (милли) (санти) (деци)

Обратите внимание на то, что обозначение оси, например ν ⋅102 Гц , обозначает, что снятие отсчета по графику будет происходить следующим образом: берется точка на оси, положим 4, и затем 4 приравнивается к ν ⋅102 Гц . Отсчет будет ν = 4 × 10-2 Гц , а не ν = 4 ⋅10 2 Гц ! 5. После разметки координатных осей на лист миллиметровой бумаги наносят экспериментальные точки, отвечающие парам средних значений x , F , величин х и F, сопоставляемых друг другу как аргумент и функция. Экспериментальные точки изображают аккуратно вычерченными знаками. Если на одном чертеже строят несколько графиков, используют разные обозначения экспериментальных точек: квадраты, треугольники, кружки и т.д. 6. График зависимости F ( x) должен содержать информацию о погрешностях σ x и σ F результатов измерений величин х и F . Интервалы погрешностей 2σ x и 2σ F соответствуют отрезки, параллельные осям х и F , пересекающиеся посередине в точке с координатами x , F , изображенными в выбранных масштабах. 7. После нанесения на лист миллиметровой бумаги экспериментальных точек с интервалами погрешностей строят собственно

12

график – плавную линию, проводя ее в пределах интервалов 2σ x и 2σ F , и оставляя по обеим сторонам от нее примерно одинаковое число экспериментальных точек. Разные графики выделяют либо цветом, либо начертанием (сплошная, пунктирная, кривая, точечная и т.д.). Если же график является градуировочным, то он строится соединением экспериментальных точек прямыми, так как в этом случае значения нанесенных величин считаются достаточно точными, а кривая служит для отыскания промежуточных значений (рис. В.1). U⋅103B 40

20

0

200

400

600

t0 , c

Рис. В.1

8. График F ( x) выражает зависимость величины лишь от одного аргумента, хотя F может завесить и от других величин − y, z , ... , значения которых сохраняются постоянными, их называют параметрами. Не перегружая чертеж с графиком излишней информацией, обязательно указывают на нем значения параметров, влияющих на характер исследуемой зависимости. На рис. В.2 изображена в качестве примера резонансная кривая, т.е. зависимость силы тока от частоты. На графике желательно указывать конкретные значения активного сопротивления, индуктивности и емкости.

13

R

L

C

I, мА 100

∼

50

2

4

6

ν, кГц

Рис. В.2

С помощью графиков иногда возможно определить физические величины, которые в эксперименте непосредственно не измеряются. Это может быть сделано различными методами, например методом математической обработки или по характерным точкам графика и т.д. Графики позволяют выяснить аналитическую зависимость между величинами. В случае нелинейной зависимости обработка довольна сложна. Рассмотрим простой случай, когда зависимость является линейной, и уравнение имеет вид: y = kx + b , k является угловым коэффициентом и определяется как отношение приращения функции к приращению аргумента: k =

Δy . Его погрешность Δx

определяется следующим образом. Через точки, более всего отстоящие от проведенной прямой, нужно провести вспомогательные прямые, параллельные ранее начерченной прямой (рис. В.3).

14

k2

R, Ом

k

2,3

k1

1,9

1,5

40

120

200

t0, c

Рис. В.3

Крайние точки параллельных прямых следует соединить по диагонали и найти их угловые коэффициенты k1 и k2 . Тогда погрешность k рассчитывают по формуле:

Δk =

k2 − k1 . 2

Оформление результатов работы. Пусть

интересующая нас величина является функцией f ( x, y, z ) . x, y, z измеряются прямо, а f будем определять косвенно по результатам прямых измерений. Определение величины f и ее погрешностей проводится в следующей последовательности: 1. Производим прямые измерения x, y, z....n раз и получаем ряды их значений:

15

x1 , x2 , ... xn , y1 , y 2 , ... y n , z1 , z 2 , ... z n . 2.

Рассчитываем средние значения величин x, y, z :

x =

1 n ∑ xi ; n i =1

y =

1 n ∑ yi ; n i =1

z =

1 n ∑ zi . n i =1

3. После определения средних значений всех первичных величин вычисляем среднее значение величины f :

f = f

(

x , y , z ).

4. Вычисляем случайные абсолютные погрешности независимых величин. Если число измерений n > 5 , то для расчета абсолютных погрешностей σ следует воспользоваться формулой (В.4). Вычисляется случайный разброс результатов, например для x :

σ sx =

∑ (x − i

i

n −1

x )2

и сравнивается со значением приборной по-

грешности σ 1 . Для погрешности измеряемой величины σ случ. выбирается максимальная из σ sx и σ 1 , т.е.

σ случ. = max {σ sx , σ 1} .

(В.7)

Если при проведении опыта удалось оценить значение систематической погрешности σ сист. , то окончательное значение абсолютной погрешности: 2 2 σ = (σ случ . . + σ сист. ) 1/ 2

16

Аналогично расчеты проводятся для у, z и других независимых переменных. При малом числе измерений (для оценки σ случ. ) следует воспользоваться приближенными формулами (В.5) и (В.6). В случае малого числа измерений в качестве абсолютной погрешности выбирается максимальная величина из σ случ. и σ 1 ; 5. Для расчета погрешностей зависимой переменной f воспользуемся формулой (В.1) и результатами таблицы В.1. При этом нужно предварительно посмотреть, какую из погрешностей проще вычислить. Если абсолютную погрешность, то нужно применять формулы для абсолютной погрешности из таблицы В.1, а затем по величине σ вычислить относительную погрешность. Однако часто бывает проще вычислить относительную погрешность, используя формулы правого столбца таблицы В.1, а затем по относительной погрешности E f найти абсолютную σ f = f E f . 6. Приступая к построению графика, проанализируйте числовые массивы ваших экспериментальных данных и установите xмин , xмакс и f мин , f макс . Они служат для определения масштаба вашего графика. Разметка осей делается в соответствии с п. 3 раздела «Графики». Информация на осях должна быть предельно лаконичной, чтобы не отвлекать внимание от самого графика. Следует избегать излишнего дробления, подробной оцифровки, лишних надписей и т.п. При построении графика надо вести линию в «коридоре» интервалов 2σ x и 2σ f . При этом надо иметь в виду, что, за редким исключением, экспериментальные кривые не должны иметь резких выбросов, изломов и острых пиков. Если среди общего однородного массива появляется точка, резко отличающаяся от близлежащих, то это измерение стоит повторить еще раз. Скорее всего, это результат сбоя в аппаратуре, неверного отсчета или влияния какого-либо внешнего фактора. Вообще говоря, в любом случае в областях, где график имеет особенности: максимумы, минимумы, перегибы и т.п., густота экс-

17

периментальных точек должна быть увеличена, тогда есть уверенность, что мы не пропустили каких либо существенных особенностей. 7. Заканчивают оформление работы кратким резюме с указанием среднего значения измеренной величины, абсолютной σ и относительной E погрешностей и возможных причин этих экспериментальных погрешностей.

18

Основные физические константы* Гравитационная постоянная Скорость света в вакууме Магнитная постоянная

G = 6.6742(10) ×10−11 Н × м 2 кг 2 с = 2.99792458 ×108 м с (точно)

μ0 = 4π ×10−7 HA−2 = 1.2566... ×10−7 Гн м (точно)

Электрическая постоянная Постоянная Планка

ε 0 = 1 μ0с 2 = 8.8541... ×10−12 Ф м (точно)

Масса покоя электрона Масса покоя протона Заряд электрона

me = 9.1093826(16) ×10−31 кг

Атомная единица массы Постоянная Авогадро Постоянная Больцмана Нормальный (молярный) объем идеального газа при нормальных условиях Нормальное атмосферное давление Радиус первой боровской орбиты Стандартное ускорение свободного падения

h = 6.6260693(11) ×10−34 Дж × с m p = 1.67262171(29) × 10−27 кг

e = 1.60217653(14) ×10−19 Кл 1.660538886(28) ×10-27 кг N A = 6.0221415(10) ×1023 моль−1 k = 1.3806505(24) ×10−23 Дж / К V0 = 22.413996(39) ×10−3 м3 моль Pатм = 101325 Па а0 = 5.291772108 ×10−11 м g = 9.80665 м с 2 (точно)

*Данные взяты из Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics v.33.Р.97 July ,2006.

19

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Работа 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА Цель работы: наблюдение результата сложения взаимно перпендикулярных колебаний с неодинаковыми частотами. Введение Одним из простейших случаев движения точки, в том числе и гармонического колебательного движения, является одномерное движение, когда положение точки определяется всего лишь одной координатой, например x . При гармоническом колебательном движении эта координата изменяется со временем по закону: x ( t ) = a cos ( ωt + α ) , (1.1) где a – амплитуда; ω – круговая частота; α – начальная фаза колебаний. Более сложным является двумерное движение точки на плоскости, когда ее положение определяется двумя координатами x и y . Если обе координаты точки меняются со временем по гармоническому закону, то движение точки представляет собой сумму двух колебательных движений, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям. В этом случае говорят о сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний. При этом точка будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз колебаний. Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний в двух простейших случаях. 1. Колебания по осям x и y имеют одинаковые частоты, а начальные фазы равны нулю: x = a cos ωt , y = b cos ωt . (1.2) Исключая из этих соотношений время, получаем связь между y и x , т.е. уравнение траектории в виде:

20

y=

b x, x ≤ a , y ≤ b . a

(1.3)

Это уравнение отрезка прямой, которая образует с осью x угол ϕ = arctg ( b a ) (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Расстояние

от

точки

до

начала

координат

r = x + y = a + b cos ωt изменяется со временем по гармо2

2

2

2

ническому закону, причем амплитуда rмакс = a 2 + b 2 Таким образом, при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами и начальными фазами результирующим движением будет гармоническое колебание с частотой ω вдоль прямой, составляющей угол ϕ с осью x . 2. Колебания по осям x и y имеют одинаковые частоты и амплитуды, а разность фаз равна π 2 .

π⎞ ⎛ x = a cos ωt ; y = a cos ⎜ ωt + ⎟ = a sin ωt . 2⎠ ⎝

(1.4)

В этом случае расстояние от точки до начала координат

r r = x 2 + y 2 = a , а угол ϕ , образуемый радиусом − вектором r точки и осью x , ϕ = arctg ( y x ) = ωt . 21

Таким образом, результирующим движением точки будет в этом случае равномерное движение по окружности. В общем случае в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами траекторией движения точки будет эллипс, показанный на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Рис.1.3

Рис. 1.4

При сложении колебаний с разными частотами, амплитудами и начальными фазами траектории результирующих движений имеют вид кривых, называемых фигурами Лиссажу. Простейшие из них приведены на рис. 1.3 и 1.4.

22

Методика выполнения работы В данной работе сложение взаимно перпендикулярных колебаний проводится с помощью электронного осциллографа (ЭО). В качестве источников колебаний применяются два низкочастотных генератора (ГНЧ), с помощью которых можно получить электрические гармонические колебания в широком диапазоне частот. Частота колебаний генератора устанавливается ручкой переключателя «Множитель» (ступенчатая регулировка) и тремя переключателями «Частота» (плавная регулировка ). Для определения частоты генератора в герцах нужно отсчет по переключателям «Частота» умножить на показания переключателя «Множитель». Колебания, возбуждаемые в генераторе, снимаются с клеммы "Выход", которые соединяются с Y - входом осциллографа. Второй генератор соединяется с X - входом осциллографа. Схема установки приведена на рис. 1.5.

Рис. 1.5

На экране осциллографа можно наблюдать результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний для различных отношений складываемых частот. Порядок выполнения работы Задание. Сложить взаимно перпендикулярных колебаний с неодинаковыми частотами. 1. Включите приборы, и дайте время на прогрев не менее пяти минут.

23

2. Меняя частоту ГНЧ (ручкам «Множитель» и «Частота»), получите на экране осциллографа кривые, возникающие в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. 3. Зарисуйте наблюдаемые кривые для складываемых колебаний с отношением частот: 1:1, 1:2, 1:3. 2:1. Сравните ваши рисунки с рисунками 1.2 −1.4. Контрольные вопросы 1. При каких условиях траектория движения точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, является прямолинейной? 2. При каких условиях траектория движения точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, является окружностью? 3. При каких условиях траектория движения точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях, является фигурой Лиссажу? 4. Как получить на экране осциллографа фигуры Лиссажу?

24

Работа 2 ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ПРОСТОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ Цель работы: определение критического сопротивления колебательного контура в зависимости от параметров контура: C , L и R. Введение Простой колебательный контур состоит из последовательно соединенных элементов: емкости C , индуктивности L и активного сопротивления R (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Если конденсатор зарядить, а затем замкнуть ключ, то в контуре возникнут электромагнитные колебания: конденсатор C начнет разряжаться, в контуре появится электрический ток и соответствующее ему магнитное поле. Изменение магнитного поля приводит к возникновению в контуре ЭДС самоиндукции:

ε = −L

dI , dt

которая сначала замедляет скорость разряда конденсатора, а после того, как конденсатор полностью разрядится, начинает поддерживать ток в прежнем направлении. В результате происходит переза-

25

рядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнется снова, но в обратном направлении и т.д. Если активное сопротивление контура R = 0 , то во время разрядки конденсатора его электрическая энергия превращается в энергию магнитного поля тока в контуре, и, наоборот, при измерении тока энергия магнитного поля превращается в электрическую. Полная электромагнитная энергия контура равна сумме энергий магнитного и электрической полей:

W =

LI 2 q 2 + , 2 2C

(2.1)

и не меняется со временем.

LI 2 q 2 + = const 2 2C

(2.2)

L 2 1 2 q& + q = const 2 2C

(2.3)

Учитывая, что I = q& , запишем

Продифференцировав соотношение (2.3) по времени, получим

L 1 2qq& = 0 2q&q&& + 2C 2

(2.4)

или

1 q =0. (2.5) C 1 Если ввести обозначение = ω02 , то уравнение (2.5) принимает LC Lq&& +

вид:

q&& + ω02 q = 0 ,

(2.6) аналогичный уравнению свободных гармонических колебаний, например, пружинного маятника && x + ω02 x = 0 . Решением уравнения (2.6) может быть функция: (2.7) q ( t ) = qm cos ( ω0 t + α ) ,

26

где q m – максимальное, т.е. амплитудное значение величины заряда на обкладке конденсатора; ω0 – собственная круговая частота электрического колебательного контура, определяемая параметрами системы: L и C ; α – начальная фаза. Для периода свободных колебаний получается соотношение:

T = 2π LC , называемое формулой Томсона. Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R ≠ 0 . Энергия, запасенная в таком контуре, постепенно расходуется при нагревании сопротивления R . Поэтому свободные колебания затухают. В этом случае зависимость q (t ) может иметь вид:

q ( t ) = q0 e −βt cos ( ωt + α ) ,

(2.8)

где q 0 – амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора в начальный момент времени;

β = R 2 L ; ω = ω02 − β2 . Выражение (2.8) описывает затухающие колебания заряда. Величину β называют показателем затухания. Формула (2.8) справедлива при β < ω0 ( R < 2 L

C

). Ввиду затухания такие колебания не явля-

ются строго периодическими. Под их периодом T понимается интервал времени между двумя последовательными максимальными значениями заряда на обкладках конденсатора:

T=

2π = ω

2π

(1 LC ) − ( R

2L )

2

.

(2.9)

Амплитуда таких колебаний q0 e −βt , как видно на рис. 2.2, убывает со временем. С увеличением показателя затухания β период колебаний растет, стремясь к бесконечности, когда β → ω0 . Это означает, что колебательный процесс переходит в апериодический (рис. 2.3).

27

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Для контура с определенными значениями L и C апериодический разряд возникает, когда сопротивление превышает значение

Rкр = 2 L C , называемое критическим. Методика выполнения работы Исследование затухающих электрических колебаний проводится с помощью схемы, показанной на рис. 2.4. Генератор импульсов вырабатывает короткие, длительностью τ ≈ 10−5 с , прямоугольные импульсы, заряжающие конденсатор C . За время между импульсами в контуре происходят свободные затухающие колебания. Напряжение, возникающее на катушке индуктивности, подается на вход осциллографа, на экране которого наблюдается картина зату-

28

хающих колебаний, аналогичная показанной на рис. 2.2. Изменяя сопротивление R от 0 до Rкр , можно наблюдать переход от колебательного процесса к апериодическому (см. рис. 2.3).

Рис. 2.4

Порядок выполнения работы Задание. Изучить затухающие колебания контура в зависимости от параметров контура: L , C , R . Определить критическое сопротивление колебательного контура. 1. При «выведенном» магазине сопротивлений (т.е. R = 0 ) на экране осциллографа наблюдается устойчивая картина затухающих колебаний (подобная рис. 2.2). Зарисуйте картину, наблюдаемую на экране осциллографа. 2. Для заданных в таб. 2.1 значений C , постепенно увеличивая сопротивление R , добейтесь перехода от колебательной формы разряда конденсатора к апериодической (подобно рис. 2.3). Значение активного сопротивления Rкр.эксп. , при котором в контуре возникнет апериодический разряд, запишите в табл. 2.1. 3. Рассчитайте для данных L и C теоретическое значение Rкр.теор. и ΔRкр по формулам: 2

Rкр.теор. = 2 L C ;

ΔRКР = RКР

29

2

1 ⎛ ΔL ⎞ ⎛ ΔC ⎞ ⎟ . ⎟ +⎜ ⎜ 2 ⎝ L ⎠ ⎝ C ⎠

Данные запишите в табл. 2.1. Сравните экспериментальное значение критического сопротивления с теоретическим. Таблица 2.1

L, мГн

C , мкФ

2,97

1

2,97

2

2,97

3

Rкр.теор , Ом

Rкр.эксп , Ом

Tтеор. , c

4. Рассчитайте по формуле Томсона теоретическое значение периода затухающих колебаний Tтеор. , запишите его в табл. 2.1. Контрольные вопросы 1. Нарисуйте принципиальную схему колебательного контура и поясните процесс возникновения электромагнитных колебаний. 2. Почему в реальном колебательном контуре свободные электромагнитные колебания являются затухающими? 3. Как экспериментально определить период свободных электромагнитных колебаний в контуре? 4. Что такое критическое сопротивление Rкр ?

30

Работа 3 ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ Цель работы: определение резонансной частоты электрического колебательного контура. Введение Электрический колебательный контур представляет собой последовательно соединенные резистор с сопротивлением R , катушку с индуктивностью L и конденсатор емкостью C (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Если в контур включить источник переменного тока, электродвижущая сила (ЭДС) которого меняется по гармоническому закону ε = ε m cos ωt , (3.1) то в контуре будут происходить вынужденные электрические колебания с круговой частотой ω (с частотой ЭДС). Амплитуда тока в контуре I m связана с амплитудой переменной ЭДС соотношением:

I m = εm Z ,

(3.2)

где величина Z , стоящая в знаменателе, является сопротивлением контура

Z = R 2 + ( ω L − 1 ωC ) . 2

31

(3.3)

Соотношение (3.2) называют законом Ома для амплитуд переменного тока. Из (3.2) и (3.3) следует, что при выполнении условия ωL − 1 ωC = 0 (3.4) амплитуда тока I m достигает своего максимального значения. При этом возникает резонанс, и соответствующее значение частоты внешней ЭДС называется резонансной частотой

ω рез = 1

LC .

Нетрудно видеть, что резонансная частота совпадает с частотой собственных колебаний в контуре ω0 :

ω0 = 1

LC .

Кривую зависимости амплитуды тока от частоты внешней ЭДС называют резонансной кривой или резонансной характеристикой данного контура. На рис. 3.2 приведены резонансные кривые для заданных значений L и C и для различных значений активных сопротивлений контура.

Рис. 3.2

Чем меньше активное сопротивление R контура, тем больше амплитуда тока при резонансе и тем острее выражен максимум на резонансной кривой. Напряжение на активном сопротивлении R так же, как и ток в контуре, меняется по гармоническому закону, причем значение амплитуды напряжения U m связано с амплитудой тока соотношением:

32

Um = ImR . Следовательно, резонансная кривая для амплитуды напряжения на активном сопротивлении имеет такой же вид, как и для амплитуды тока, т.е. максимальное значение амплитуды напряжения на активном сопротивлении достигается тогда, когда частота внешней ЭДС совпадает с частотой собственных колебаний контура, т.е. ω рез = ω0 . Методика выполнения работы Исследование явления резонанса в электрическом колебательном контуре производится с помощью схемы, изображенной на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Источником переменной ЭДС, меняющейся по гармоническому закону, является генератор низкочастотных электрических колебаний (ГНЧ). Вольтметр V определяет падение напряжения на сопротивлении R . Частота генератора ν связана с круговой частотой ω соотношением ω = 2πν . Изменяя частоту сигнала, подаваемого с генератора колебаний, измеряют падение напряжения U ( ν ) на сопротивлении R (для заданных значений L , C и R ).

33

Строят зависимости и U ( ν ) для двух разных значений R и по графикам определяют ν рез . Порядок выполнения работы Задание. Изучить зависимости U ( ν ) . Найти резонансную частоту для двух значений сопротивления R . 1. Рассчитайте теоретическое значение резонансной частоты по формуле:

ν рез = где L = 2,97 мГн , C = 15 нФ .

1 , 2π LC

2. Установите значение сопротивления R1 = 100 Ом . Снимите

зависимость U ( ν ) . Для этого на передней панели генератора установите переключатель «множитель частоты» – в положение « 103 ». Изменяя с помощью лимба значение частоты, проведите измерения напряжений U . Результаты запишите в табл. 3.1. Таблица 3.1

R1 = 100 Ом R2 = 200 Ом

ν, кГц

20

22

24

26

28

30

20

22

24

26

28

30

U, B

ν, кГц U, B

3. Установите значение сопротивления R2 = 200 Ом , и повторите измерения п.2. Результаты запишите в табл. 3.1. 4. Постройте на одной координатной оси графики зависимости U ( ν ) для значений сопротивлений R1 и R2 . Сравните обе кривые. 5. По графику определите значение ν рез ± Δν рез . Сравните экспериментальное и теоретическое значения.

34

Контрольные вопросы 1. При каком условии наступает резонанс в электрическом колебательном контуре? 2. Чему равна резонансная частота? 3. От чего зависит амплитуда силы тока в контуре при резонансе? 4. Что такое резонансная кривая? Как меняется резонансная кривая при различных активных сопротивлениях контура?

35

Работа 4 ИЗМЕРЕНИЕ ФАЗ И АМПЛИТУД В RL - ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Цель работы: проверка закона Ома для последовательно включенных R и L . Введение Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных катушки индуктивности L и резистора R (рис. 4.1). Цепь подключена к источнику переменного напряжения U (t ) . По цепи течет переменный ток i (t ) .

Рис. 4.1

Закон Ома для цепи выглядит так же, как для цепи содержащей ЭДС iR = ϕ1 − ϕ3 + ε (4.1) В этом случае ε = εси = − L

di , а ϕ1 − ϕ3 = U ( t ) – внешнее переdt

менное напряжение. Тогда уравнение баланса напряжений будет записываться в виде: U (t ) = U R (t ) + U L (t ) , (4.2) где

U R (t ) = i (t )R , U L (t ) = L

di . dt

Пусть ток в цепи изменяется по гармоническому закону: i ( t ) = I m cos ωt . Тогда

36

(4.3) (4.4)

U R (t ) = i (t )R = I m R cos ωt = U Rm cos ωt ,

(4.5) т.е. напряжение на активном сопротивлении испытывает колебания синфазно с током, амплитуда колебаний U Rm = I m R . Напряжение на катушке индуктивности:

U L (t ) = L

di π⎞ ⎛ = − LωI m sin ωt = LωI m cos ⎜ ωt + ⎟ 2⎠ dt ⎝

(4.6)

изменяется по гармоническому закону с опережением значения тока по фазе на π 2 и с амплитудой U Lm = LωI m . Результат сложения таких колебаний можно получить преобразованием тригонометрических функций, но легче это сделать, используя метод векторных диаграмм, который особенно удобен, когда надо сложить колебания с одинаковыми частотами, как в этой работе. Метод векторных диаграмм основан на следующих положениях. r 1. Проекция на горизонтальную ось вектора U m , имеющего модуль U m и вращающегося с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной вектору, изменяется как U ( t ) = U m cos ωt , т.е. совершает гармонические колебания (рис. 4.2). 2. При сложении двух векторов проекция суммарного вектора равна сумме проекций складываемых векторов (рис. 4.3).

Рис. 4.2

Рис. 4.3

37

Эти положения позволяют находить амплитуду суммарного (результирующего) колебания U ∑ как векторную сумму амплитуд складываемых колебаний ( U m1 и U m 2 ). При этом угол ϕ между

r

r

векторами U m1 и U m 2 равен разности фаз их колебаний (см. рис. 4.3). Так как сила тока одинакова во всех участках цепи, то построение векторной диаграммы удобно начать с вектора силы тока r I m . Этот вектор изображают в виде вертикальной стрелки (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с си-

r

лой тока. Поэтому вектор U Rm должен совпадать по направлению с

r

вектором I m . Его модуль равен U Rm = I m R . Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении опере-

r

жают колебания силы тока на π 2 , и соответствующий вектор U Lm

r

должен быть повернут относительно вектора I m на π 2 . Если считать, что положительному сдвигу фаз соответствует поворот вектора против часовой стрелки, то вектор следует повернуть налево. Результат изображен на рис. 4.4. Из рисунка непосредственно следует: 2 2 U m = U Rm + U Lm = I m R 2 + ω2 L2 .

38

(4.7)

Для амплитуды тока имеем

Im =

Um R +ω L 2

2 2

=

Um . Z

(4.8)

Полученное выражение по форме подобно закону Ома для постоянного тока, т.е. устанавливает связь между амплитудными значениями тока и напряжения, приложенного к цепи и называется законом Ома для переменного тока. Z = R 2 + ω2 L2 является полным сопротивлением цепи. Как видно из рис. 4.4, ток в такой цепи отстает по фазе от приложенного напряжения на угол ϕ , который определяется соотношением

tg ϕ =

ωL . R

(4.9)

Методика выполнения работы Проверка закона Ома для цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор и катушку индуктивности, проводится на установке, схема которой показана на рис. 4.5. Источником переменного напряжения является генератор низкой частоты (ГНЧ).

Рис. 4.5

По результатам измерений напряжений на резисторе U R и катушке индуктивности U L строится векторная диаграмма напряже-

39

ний. По диаграмме определяется сдвиг фазы между током и напряжением и суммарное приложенное напряжение. Полученный результат сравнивается с результатом измерений величины приложенного напряжения U ∑ . Порядок выполнения работы Задание. Провести проверку закона Ома для последовательно включенных R и L . 1. Проведите измерения U R , U L , U ∑ (эксп.) для трех значений

R , указанных в таблице 4.1. Результаты занесите в табл. 4.1. Таблица 4.1

R, Ом

ν, кГц

100

1

200

1

300

1

UR,В

UL,В

U∑, В

U ∑′ , В

(эксп.)

(диагр.)

tg ϕ =

UL UR

2. Постройте в масштабе векторную диаграмму напряжений и определите U ∑′ по формуле U ∑′ = U R2 + U L2 . Сравните результат с измеренным U ∑ . 3. Рассчитайте сдвиг фаз по формуле (4.9), для tgϕ . 4. Оцените погрешности для U L , U R , U ∑ и ϕ Контрольные вопросы 1. Запишите закон Ома для RL − цепи при подключении источника постоянной ЭДС. 2. Получите выражение для амплитуды I ∑ m полного тока.

40

3. Чему равна средняя мощность, потребляемая цепью переменного тока при чисто индуктивном сопротивлении цепи? 4. Напишите закон Ома для цепи, содержащей последовательно включенные резистор R , катушку индуктивности L и конденсатор C.

41

Работа 5 ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРАНСФОРМАЦИИ Цель работы: измерение коэффициента трансформации. Введение Преобразование переменного тока определенной частоты, при котором напряжение увеличивается или уменьшается практически без потери мощности, осуществляется при помощи трансформаторов. Трансформатор состоит из двух (или более) катушек индуктивности, надетых на один, как правило, замкнутый сердечник из материала с большой магнитной проницаемостью. При прохождении переменного тока по первичной обмотке внутри катушки возникает переменный магнитный поток, который концентрируется внутри сердечника и проходит через вторую катушку. Если бы сердечник во второй катушке отсутствовал, то большая часть магнитного потока рассеивалась бы в окружающее пространство и не пронизывала бы вторичную обмотку. Переменный магнитный поток возбуждает ЭДС индукции во всех катушках, надетых на сердечник. Так как рассеяния магнитного потока внутри катушек практически нет, то ЭДС индукции во всех витках одинаковы и равны e = − d φ dt , где φ = L1i1 – магнитный поток, создаваемый током i1 , текущим через катушку с индуктивностью L1 . Если ток i1 изменяется по закону i1 = I m cos ωt , то

e = L1ωI1m sin ωt = em sin ωt , где em = L1ωI1m . В первичной обмотке, имеющей n1 витков, полная ЭДС индукции

ε1 = n1e . Во вторичной обмотке с числом витков n 2 полная ЭДС индукции ε 2 = n2 e .

42

Коэффициентом трансформации трансформатора называется отношение напряжения на первичной обмотке U 1 к напряжению на вторичной обмотке U 2 . Обычно активное сопротивление обмоток мало и поэтому напряжение на первичной обмотке U1 ≈ −ε1 . При разомкнутой вторичной обмотке тока в ней нет и напряжение на ней (напряжение холостого хода) U 2 xx = −ε 2 . В этом случае коэффициент трансформации

k=

ε U1 n = 1g = 1 . U 2 xx ε 2 g n2

(5.1)

При k > 1 трансформатор понижающий, при k < 1 – повышающий. При замыкании вторичной обмотки на сопротивление R по ней течет ток i2 и соответственно изменяется напряжение на вторичной обмотке. Методика выполнения работы При изучении работы трансформатора исследуется влияние рассеяния магнитного потока на коэффициент трансформации и дается оценка потерь мощности в трансформаторе. Для этой цели используется разборный трансформатор и схемы, показанные на рис. 5.1 и 5.2. Коэффициент трансформации определяется двумя способами. 1-й способ. С помощью пробного витка. На съемную перемычку установлен пробный виток провода, концы которого подключены к милливольтметру, а на обмотки трансформатора попеременно подается напряжение от генератора низкой частоты (ГНЧ), которое измеряется с помощью вольтметров (рис. 5.1). Отношение напряжения на катушке к напряжению на витке позволяет определить число витков в катушке, а коэффициент трансформации в этом случае определяется как отношение числа витков катушек.

43

Рис. 5.1

2-й способ. Одновременно измеряются напряжения на первичной и вторичной катушках и по их отношению определяется коэффициент трансформации.

Рис. 5.2

Для оценки потерь электрической мощности за счет рассеяния магнитного потока используется схема изображенная на рис. 5.2. Измерения проводятся с закрепленной перемычкой, установленной с небольшим зазором (около 1 мм ) и полностью снятой. Для создания зазора между перемычкой и трансформатором устанавливается картонная прокладка. Порядок выполнения работы Задание 1. Провести оценку числа витков в катушке и измерение коэффициента трансформации методом пробного витка. 1. Подключите генератор ГНЧ к первичной обмотке трансформатора (см. рис. 5.1). Измерьте напряжение на катушке U1 и напряжения на пробном витке U B1 для трех различных частот ν . Результаты измерений занесите в табл. 5.1.

44

2. Подключите генератор ГНЧ к вторичной обмотке трансформатора, и измерьте U 2 , и U B 2 для тех же значений частот ν . Результаты измерений занесите в табл. 5.1. Таблица 5.1

ν , Гц

U1 B

UB1 мВ

U2В1 UB2 мВ

U n1 = 1 2U B1

U n2 = 2 2U B 2

n k= 1 n2

Ek

50 500 5000

3. Рассчитайте число витков в катушках, учитывая, что ni = U i 2U Bi ( i =1,2). Коэффициент 1 2 в формуле обусловлен тем, что магнитный поток в перемычке в 2 раза меньше потока в центральном сердечнике (поток разветвляется по магнитопроводу). 4. Рассчитайте коэффициент трансформации для различных частот. Оцените погрешности измеренных величин. Задание 2. Провести оценку потерь электрической мощности в трансформаторе за счет рассеяния магнитного потока. 1. Проведите измерения токов и напряжений в первичной и вторичной цепях трансформатора для трех положений перемычки (см. рис.5.2), результаты занесите в табл. 5.2. Таблица 5.2

Условия опыта

U1B

I1 мА

U2B I2 мА

Перемычка прижата Перемычка с зазором 1 мм Перемычка снята

45

U k= 1 U2

U1I1 Bm U2I2 Bm

EK

η %

2. Рассчитайте коэффициент трансформации и мощности в первичной и вторичной цепях для трех опытов. 3. Рассчитайте коэффициент потерь мощности за счет рассеяния магнитного потока по формуле:

η=

U1 I1 − U 2 I 2 ⋅ 100% . U1 I1

Оцените погрешности измеренных величин. Контрольные вопросы 1. Почему при малом активном, сопротивлении первичной обмотки выполняется равенство U1 = −ε1 , где U1 – напряжение на катушке, ε1 – ЭДС самоиндукции? 2. Что произойдет, если катушку трансформатора, подключенную к сети переменного напряжения, снять с сердечника трансформатора? 3. Как изменятся токи в первичной и вторичной обмотках, если убрать перемычку, замыкающую сердечник? 4. Почему при увеличении мощности, отбираемой во вторичной обмотке, растет ток в первичной обмотке?

46

Работа 6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ И СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ Цель работы: Определение длины волны и скорости звука в воздухе. Введение Волной называют колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени. Рассмотрим процесс распространения таких колебаний в упругой среде вдоль оси OX . Пусть в точке пространства с координатой x = 0 частица среды начинает колебания относительно положения равновесия по закону: ξ ( 0, t ) = A cos ωt , (6.1) где ξ ( 0, t ) – смещение частицы относительно положения равновесия; A – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота. Тогда другая частица, находящаяся на расстоянии x от первой, начнет совершать колебания с запаздыванием на время τ = x V ( V – скорость распространения колебаний) и будет колебаться по закону: ξ ( x, t ) = A cos ω ( t − τ ) (6.2а) или

x⎞ ⎛ ξ ( x, t ) = A cos ⎜ ωt − ω ⎟ . V⎠ ⎝

(6.2б)

При этом предполагается, что колебания распространяются без затухания. Таким образом, фазы колебаний двух частиц среды, находящихся на расстоянии x друг от друга отличаются на

Δϕ = ω

x . V

(6.3)

Если разность фаз удовлетворяет условию Δϕ = 2nπ ( n = 0,1, 2, ... ), то смещения обеих частиц относительно положения равновесия будут одинаковыми для любого момента времени.

47

Расстояние между ближайшими друг к другу частицами, имеющими при распространении колебаний одинаковые фазы, называется длиной волны – λ . Путь, равный λ , волна проходит за время, в течение которого частица среды совершает одно колебание, т.е. за период колебаний T . Поэтому скорость распространения волны V =λ T . (6.4) Так как циклическая частота равна ω =

Δϕ = ω

2π , то получаем T

x 2π = x = kx , V λ

(6.5)

где k = 2π λ , называется волновым числом. Таким образом, уравнение колебаний частицы упругой среды, находящейся на расстоянии x от источника колебаний, имеет вид: (6.6) ξ ( x, t ) = A cos ( ωt − kx ) . Звуковые волны в воздухе являются продольными волнами, т.е. колебания плотности воздуха в звуковой волне происходят в направлении распространения волны. Методика выполнения работы Работа выполняется на установке, схема которой показана на рис. 6.1.

Рис. 6.1

48

Источником звуковых колебаний является динамик Д, на который подается электрический синусоидальный сигнал от генератора ГНЧ. Приемником звуковых сигналов является микрофон М, устанавливаемый на некотором расстоянии x от динамика. Микрофон преобразует звуковые колебания в электрические с той же частотой ω , которые усиливаются усилителем У. Электрические сигналы от генератора и микрофона подаются одновременно на осциллограф ЭО, который регистрирует суммарный сигнал от двух источников: генератора и микрофона. Пусть ток, создаваемый генератором, I1 = I10 cos ( ωt + ϕ1 ) , а ток, создаваемый микрофоном,

I 2 = I 20 cos ( ωt + ϕ2 ) ,

тогда суммарный регистрируемый ток

I = I 0 cos ( ωt + ϕ ) ,

где

I 0 = I102 + I 202 + 2 I10 I 20 cos ( ϕ2 − ϕ1 ) ,

(6.7)

ϕ1 , ϕ2 , ϕ – начальные фазы токов I 1 , I 2 и результирующего тока I . При изменении разности фаз ϕ2 − ϕ1 в диапазоне от 0 до π амплитуда результирующего тока изменяется в пределах от максимума (I 10 + I 20 ) до минимума I 10 − I 20 . Разность фаз сигналов от генератора и микрофона в работе можно менять, перемещая микрофон. При этом наблюдаются минимумы и максимумы результирующего сигнала на экране осциллографа. Разность фаз сигналов изменяется согласно формуле (6.6) в соответствии с изменением расстояния x :

ϕ2 − ϕ1 =

2π ( x2 − x1 ) . λ

Расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами соответствует разности фаз 2π и, таким образом, должно быть равно длине волны λ . Если на отрезке Δx = x n − x1 укладываются n максимумов, или минимумов, то длина волны может быть определена по формуле:

49

λ = Δx n .

(6.8)

Порядок выполнения работы Задание. Определить длину волны и скорости звука в воздухе. 1. Установите частоту звуковых сигналов генератора ν = 3, 4 кГц . С помощью потенциометров R1 и R2 выровняйте амплитуды сигналов от генератора и микрофона, подавая их поочередно на осциллограф. 2. Передвиньте микрофон к динамику на ближайшее расстояние, при котором наблюдается минимум результирующего сигнала. Измерьте расстояние x между динамиком и микрофоном. Результат запишите в табл. 6.1. Таблица 6.1

№ минимумов или максимумов

1

2

3

4

5

6

xмин , см xмакс , см 3. Отодвигая микрофон, найдите следующие минимумы и измерьте соответствующие расстояния x между динамиком и микрофоном. Результаты также запишите в табл. 6.1. 4. Повторите задание п.п. 2 и 3 для максимумов. Полностью заполните табл. 6.1. 5. По результатам измерения x определите длину звуковой волны λ в воздухе по формуле (6.8). для минимумов и максимумов. 6. По результатам определения λ и частоты сигнала ν рассчитайте скорость звука в воздухе по формуле (6.4) ( T = 1 ν ).

50

Контрольные вопросы 1. Что колеблется при распространении звука в воздухе? 2. Объясните принцип преобразования электрического сигнала в звуковой с помощью динамика. 3. Объясните принцип преобразования звукового сигнала в электрический с помощью микрофона. 4. Какие волны называются продольными, какие − поперечными?

51

ЛИТЕРАТУРА Работа 1 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 1. Механика. М.: Наука. Физматлит, 1998. стр.285−293. • Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. стр.212−215. Работа 2 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 2. Электричество и магнетизм. М.: Наука, Физматлит, 1998. стр.310−317 • Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. стр.216−218. • Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. стр.311−320. Работа 3 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 2. Электричество и магнетизм. М.: Наука, Физматлит, 1998. стр.317−322 • Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. стр.219−222. • Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. стр.320−325.

Работа 4 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 1. Механика. М.: Наука, Физматлит, 1998. стр.276−281 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 2. Электричество и магнетизм. М.: Наука, Физматлит, 1998. стр.310−313 • Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. стр.311−320. Работа 5 • Ronald Lane Reese «University physics», Brooks/Cole Publishing Company, 2000. p.985-987 Работа 6 Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 4. Волны. Оптика. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ», 2002. стр.25−29.

52

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ Работа 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШЕГО УСИЛИТЕЛЯ НА БИПОЛЯРНОМ ТРАНЗИСТОРЕ Цель работы: изучение принципа работы простейшего усилителя на биполярном транзисторе; исследование зависимости коэффициента усиления от величины входного и выходного сопротивлений. Введение Во многих областях науки и техники используется понятие сигнала. Под сигналом понимают некоторые физические величины (например, напряжение и ток), несущие определенную информацию. Устройства, вырабатывающие информационные сигналы, называются датчиками. Сигналы, поступающие от датчиков, как правило, малы, поэтому их непосредственная обработка (измерение, наблюдение) связана с большими трудностями. В связи с этим возникает необходимость увеличения амплитуды сигналов. Для этой цели используют устройства, называемые усилителями. Усилитель получает слабый сигнал от датчика, усиливает его и отдает в последующее устройство, называемое нагрузкой усилителя. То место, куда поступает сигнал от датчика, называется входом усилителя, а сам сигнал - входным сигналом. То место, откуда выходит усиленный сигнал, называется выходом усилителя, а сигнал выходным сигналом. Один из самых распространенных типов усилителей - электронные усилители. Усиление в них осуществляется с помощью электронных приборов (биполярные и полевые транзисторы, операционные усилители и т.д.), которые называют активными элементами. Основным свойством любого усилителя является усиление мощности. Если усилитель усиливает напряжение (входной и выходной сигналы - сигналы напряжения), то усиление напряжения все равно сопровождается усилением мощности. Дополнительная мощность предоставляется источником питания усилителя. Обыч-

53

но, напряжение питания постоянное (хотя существуют усилители с переменным напряжением питания), его величина зависит от требований к усилителю, а знак определяется типами используемых активных элементов. Биполярный транзистор как активный элемент усилителя В простейших усилителях в качестве активных элементов используются транзисторы. Транзистор представляет собой полупроводниковое устройство с двумя p − n − переходами. С помощью соответствующих примесей в кристалле германия или кремния создают три области: между двумя областями с проводимостью одного типа, помещают слой с проводимостью другого типа. Тип проводимости определяется типом основных носителей тока – дырками ( p ) или электронами ( n ).В зависимости от чередования слоев различают p − n − p и n − p − n транзисторы (рис.7.1), отличающиеся в основном полярностью напряжений и направлением рабочих токов при включении в электронную схему. Средний слой транзистора называют базовой областью или базой (Б), один из крайних − эмиттером (Э), другой − коллектором (К). Между эмиттером и базой, а также коллектором и базой образуются два p − n перехода, пропускные направления которых противоположны. Переход между эмиттером и базой называют эмиттерным, между базой и коллектором - коллекторным.

Рис. 7.1

Транзистор всегда включают, используя два источника тока, причем каждый источник подключается к разноименным выводам. Возможны три схемы включения: схема с общей базой (ОБ), схема с общим эмиттером (ОЭ) и схема с общим коллектором (ОК). Каж-

54

дая из этих схем имеет свои особенности, характеристики и параметры. Как правило, одним источником тока является входной сигнал, другим – источник питания. При включении транзистора по схеме с ОЭ эмиттер является общим электродом для входа и выхода (рис. 7.2).

Рис. 7.2

Эмиттерный переход включен в прямом направлении, а коллекторный − в обратном. При этом в цепи базы протекает ток I Б в цепи коллектора I K , а в цепи эмиттера тoк I Э = I K + I Б . Таким образом, ток I Б = I Э − I K . Так как токи I Э и I K примерно равны, то ток I Б очень мал по сравнению с токами I Э и I K , и изменения этого тока также малы, причем ΔI Б = ΔI Э − ΔI K ( ΔI Э и ΔI K − изменения токов I Э и I K ). Поэтому ΔI Б << ΔI K . Действительно,

ΔI K ΔI Э ΔI K ΔI K = = . ΔI Б ΔI Э − ΔI K 1 − ΔI K ΔI Э Так как I K ≈ I Э и ΔI K ≈ ΔI Э , то ΔI K ΔI Б >> 1 .

55

Таким образом, небольшое изменение тока базы ΔI Б может приводить к значительному изменению коллекторного тока ΔI K . Это означает, что в схеме включения транзистора с общим эмиттером достигается усиление по току. Oтношение ΔI K ΔI Б = β называется коэффициентом усиления транзистора по току. Основные характеристики транзистора в схеме ОЭ показаны на рис. 7.3.

Рис. 7.3

Входная характеристика (рис. 7.3,a) показывает зависимость тока базы I Б от напряжения U БЭ , она практически не отличается от характеристики p − n − перехода при прямом включении. Выходная характеристика (рис. 7.3,б) показывает зависимость тока коллектора I K от напряжения U КЭ . Характеристика передачи тока (рис. 7.3,в) пoкaзывает зависимость тока коллектора I K от тока базы I Б . Усилитель с общим эмиттером Схема усилительного каскада с ОЭ показана на рис. 7.4. Входной сигнал напряжением U Г для усилителя вырабатывается генератором с внутренним сопротивлением RГ .

56

Рис. 7.4

Через емкость C1 входной сигнал поступает в цепь базы транзистора. Конденсатор выбирается таким образом, чтобы фильтр высоких частот, образованный этим конденсатором и последовательно соединенными с ним резисторами базы RБ 1 и RБ 2 , пропускал все нужные частоты. Резисторы RБ 1 и RБ 2 также обеспечивают постоянное напряжение на базе U БЭ , относительно которого изменяется входной сигнал. Резистор в цепи коллектора RK задает напряжение на выходе (на нагрузке) усилителя U КЭ в зависимости от изменения тока I K : U КЭ = EИП − I K RK . Резистор RЭ вместе с емкостью CЭ образуют цепь отрицательной обратной связи и служат для стабилизации работы транзистора и получения максимально возможного коэффициента усиления. Конденсатор C 2 отсекает постоянную составляющую в сигнале на выходе усилителя. Основные параметры усилителя Коэффициент усиления по напряжению

KU =

Uн , Uг

57

(7.1)

где U н - выходное усиленное напряжение в нагрузке, U г − напряжение на входе усилителя (иногда его называют напряжением входного генератора). Важно, что величина KU определяется с учетом внутренних сопротивлений генератора Rг и нагрузки Rн . Как Rг и Rн влияют на величину KU ? Если Rг становится больше, то вход усилителя будет оказывать более сильное шунтирующее действие на генератор, и сигнал, приходящий на вход усилителя, станет меньше. Если Rн уменьшается, то шунтируется выход усилителя, и меньшая часть сигнала с выхода усилителя попадает в нагрузку. Таким образом, увеличение Rг и уменьшение Rн приводят к уменьшению KU . Коэффициент усиления по току

KI =

Iн . Iг

(7.2)

Этот параметр легко пересчитывается из KU , так как I Г = U Г RГ и I н = U н Rн . Таким образом,

U н Rг R ⋅ = KU г . (7.3) U г Rн Rн Приведенную формулу для K I рекомендуется использовать лишь KI =

как расчетную. Входное сопротивление усилителя

Rвх =

U вх , I вх

(7.4)

где U вх − напряжение непосредственно на входе усилителя (на базовом контакте), I вх − переменный ток, потребляемый входной цепью усилителя при появлении сигнала U вх ( I вх не следует путать с постоянными токами базы, которые возникают при подключении усилителя к источнику питания). Входное сопротивление Rвх дает эквивалентный шунтирующий эффект, который оказывает вся входная цепь усилителя на предше-

58

ствующую схему (или датчик). Поэтому при большом Rвх весь сигнал U Г практически без потерь поступает на вход усилителя, а при малом RВХ эти потери будут значительны (при этом большое RВХ − это много большее чем RГ , а малое RВХ − это много меньшее чем

RГ ). Ток I ВХ в эксперименте можно определить по соотношению: U − U ВХ I ВХ = Г . (7.5) RГ Выходное сопротивление усилителя RВЫХ отражает, насколько «упорно» усилитель способен «сопротивляться» шунтирующему действию RH . Так, если RВЫХ мало по сравнению с RH , то передача усиленного сигнала напряжения в нагрузку произойдет практически без потерь. Высшая f B и низшая f H граничные частоты. Граничные частоты полосы пропускания усилителя определяются по уровню 0,7 (более точно 1

2 ) от значения коэффициента уси-

ления KU в полосе пропускания. В усилителе общего назначения существует некоторая область частот, в пределах которой величина KU не изменяется. Найдя эту величину, можно рассчитать значение: 0, 7 ⋅ KU . После этого необходимо уменьшать частоту входного сигнала, пока коэффициент усиления не окажется равным 0, 7 ⋅ KU . Зафиксированная при этом частота и будет являться низшей граничной частотой. Аналогичным образом следует увеличивать частоту входного сигнала, пока коэффициент усиления опять не уменьшится до значения 0, 7 ⋅ KU и зафиксировать f B . В усилителях широкого применения f H обычно бывает от нескольких десятков до нескольких сотен герц, а f B весьма сильно зависит от требований к усилителю и может варьироваться от десятков килогерц до десятков и даже сотен мегагерц. Амплитудный диапазон усилителя AВЫХ .МАКС .

59

Под AВЫХ .МАКС понимают наибольшую величину синусоидального сигнала на выходе усилителя, при которой еще нет искажений формы синусоиды. Описание лабораторного макета

Рис. 7.5

На лабораторном макете (рис. 7.5) представлен простейший усилитель на биполярном транзисторе. Сопротивления датчика имитируются группой резисторов RГ , сопротивления нагрузки - группой резисторов RH . Нулевая шина макета соединена с «+» источника питания, а шина EИП - с « - ». Перед началом работы через разделительные конденсаторы C1 и C 2 (взять самые большие значения их емкостей) подключить соответственно на вход и выход сопротивления Rг (самое малое) и Rн (самое большое). Частота генератора f = 1 кГц. Порядок выполнения работы 1. Снимите зависимость KU от RГ . Для этого, зафиксировав RH (самое большое) и изменяя RГ , измерьте U Н и U Г по осцилло-

60

графу. Результат запишите в табл. 7.1. Постройте график зависимости KU ( Rг ) . Таблица 7.1

RГ

200 Ом 1, 5 кОм

5,1 кОм 15 кОм

5,1 МОм

UГ UН

KU KI 2. Снимите зависимость KU от RH . Для этого, зафиксировав RГ (самое малое) и изменяя RH , измерьте U Н и U Г по осциллографу. Результат запишите в табл. 7.2. Постройте график зависимости KU ( RH ) . Таблица 7.2

RГ

300 Ом

1, 5 кОм

5,1 кОм

10 кОм

UГ UН

KU KI 3. По измеренным KU , рассчитайте по формуле (7.3) значение

K I для двух случаев. Постройте графики зависимостей K I ( RГ ) и K I ( RH ) .

61

4. Плавно изменяя чистоту генератора, найдите f H и f B при оптимальных параметрах ( C1 , C 2 , RH − самые большие значения номиналов, RГ − самое малое). Контрольные вопросы 1. Из формулы (7.3) можно сделать вывод, что с ростом RГ величина K I беспредельно увеличивается, однако на самом деле это не так. Почему? 2. Объясните, как возникает усиление в транзисторе. 3. Как надо включить n − p − n транзистор и как будут распределяться токи в схеме с общим эмиттером? 4. Почему для Hi-Fi аппаратуры используют усилители, у которых f H и f B находятся явно за пределом восприятия человеческим ухом ( 8 − 40000 Гц)?

62

Работа 8 КОМПАРАТОР НАПРЯЖЕНИЙ Цель работы: изучение работы компаратора напряжений с положительной обратной связью, определение ширины гистерезиса передаточной характеристики компаратора. Введение Основная функция компаратора – сравнение напряжения сигнала на одном входе U ВХ с опорным напряжением U ОП на другом 1 входе и выработка сигнала высокого уровня ( U ВЫХ ) или низкого 0 ( U ВЫХ ) на выходе в зависимости от знака разности

ΔU

( ΔU = U ОП − U ВХ ). Предназначены компараторы для сопряжения аналоговых (непрерывных) входных сигналов с цифровой техникой. Выходная мощность современных компараторов достаточна для управления десятью и более логическими элементами ( P ≈ 500 мВт ). Особенно широко они используются в схемах аналого-цифрового преобразования (АЦП). Компараторы напряжений являются, практически, простейшими одноразрядными АЦП, поэтому от них требуется высокое быстродействие. Условное обозначение микросхем интегральных компараторов напряжений (ИКН) приведено на рис. 8.1, а, а идеальная передаточная характеристика (зависимость U ВЫХ = f (U ВХ ) ) представлена на рис. 8.1,б.

Рис. 8.1

63

Передаточная характеристика компаратора является знаковой функцией. Например, при подаче входного сигнала U ВХ на вход 2 компаратора, а U ОП – на вход 1

U ВЫХ

1 ⎧U ВЫХ , если U ВХ < U ОП ⎪ = ⎨ U СР , если U ВХ = U ОП ⎪U 0 , если U > U ВХ ОП ⎩ ВЫХ

где U СР – выходное напряжение, величина которого зависит от ви0 1 да нагрузки, причем U ВЫХ . < U СР < U ВЫХ К основным параметрам ИКН относятся: чувствительность или разрешающая способность – минимальная разность сигналов, которую можно обнаружить компаратором и зафиксировать на выходе как сигнал, соответствующий переходу из одного состояния в другое, и время переключения – время с момента подачи входного напряжения до момента, когда на выходе установится сигнал, соответствующий срабатыванию. Основные источники погрешности компаратора: случайные изменения входного тока ΔI ВХ и измене-

ние напряжения источника питания ΔU ИП . При медленно изменяющемся входном сигнале напряжение на выходе может изменяться достаточно медленно. Кроме того, если во входном сигнале присутствует шум, то компаратор может многократно переключаться в те моменты, когда напряжение на входе проходит через точку переключения, т.е. через уровень опорного напряжения U ОП (рис. 8.2а). Оба недостатка позволяет устранить положительная обратная связь (ПОС). Это процесс передачи части энергии выходного сигнала на вход, при котором происходит увеличение напряжения входного сигнала. Введение обратной связи, кроме уменьшения времени переключения компаратора, создает в схеме два порога срабатывания – верхний и нижний ( U B и U H ). Теперь для переключения, напряжение входного сигнала должно превысить верхний порог срабатывания U B ( U B > U ОП ) или опуститься ниже значения нижнего порога срабатывания U H ( U H < U ОП ), т.е. переключение компарато-

64

ра при увеличении входного сигнала будет происходить при U B , а при уменьшении – при U H . Между переключениями состояние выхода компаратора будет неизменным (рис. 8.2б).

Рис. 8.2

Схема включения компаратора с положительной обратной связью (регенеративного компаратора) приведена на рис. 8.3,а. Передаточная характеристика компаратора с ПОС показана на рис. 8.3,б. и имеет вид петли гистерезиса.

Рис. 8.3

65

Напряжения порогов срабатывания

RОС RОП 1 + U ВЫХ , RОП + RОС RОП + RОС RОС RОП 0 U H = U ОП + U ВЫХ , RОП + RОС RОП + RОС U B = U ОП

(8.1) (8.2)

и регулируются делителем, образованным резисторами RОП и RОС , а величина гистерезиса

U Г = UB −UH =

RОП 1 0 U ВЫХ − U ВЫХ ( ). RОП + RОС

(8.3)

Наличие гистерезиса приводит к тому, что нестабильность напряжения питания и шумы после срабатывания не способны изменить состояние компаратора, если величина гистерезиса U Г будет больше максимально возможной амплитуды шумов. Ширина петли гистерезиса зависит от величины сопротивления обратной связи ( RОС ). Чем ниже величина сопротивления резистора RОС , тем меньше время переключения компаратора, но больше ширина гистерезиса U Г . Регенеративные компараторы применяются в стабилизаторах напряжения в качестве схемы управления, в цифровых вольтметрах, в автоматических системах освещения или подогрева и т.д. Описание лабораторного макета

Рис. 8.4

66

Основная часть лабораторного макета – микросхема DA1 ИКН К544САЗ (рис. 8.4). Диод VD2 обеспечивает защиту макета в случае неправильной полярности напряжения питания U ИП , а конденсатор С1 сглаживает провалы в напряжении питания. Резисторы R1 и R2 формируют входное напряжение ( U ВХ ) для компаратора, а резисторы R3, R4 и R5 формируют опорное напряжение ( U ОП ) из напряжения питания макета. С помощью переключателя В1 можно получить два значения U ОП . Резистор R6 – резистор обратной связи. Резистор R7 – внешний резистор, с помощью которого можно задать величину выходного напряжения компаратора ( U ВЫХ ), в нашем случае оно равно напряжению питания ( U ИП ). Устройство индикации (УИ), отображающее состояние выхода компаратора, собрано на светодиоде VD1 ЗЛ102, транзисторе VT1 КТ315Б и резисторе R8. Светящийся диод соответствует высокому уровню напряжения на выходе. Назначение гнезд: Г1 – подключение источника входного сигнала; Г2 – измерение U ВХ ; Г3 – измерение U ВЫХ ; Г4 – измерение U ИП ; Г5 – подключение источника питания, но в работе оно не используется, так как питание на макет уже подано U ИП = 9 В, и оно не регулируется; Г6 – общий провод. Для данного макета можно рассчитать все параметры переходной характеристики, определяемые делителем на резисторах R3, R4 и R5. Если переключатель В1 находится в положении «1», то

U ОП = U ИП

R4 + R5 , R3 + R4 + R5

(8.4)

R5 . R3 + R4 + R5

(8.5)

если в положении «2», то

U ОП = U ИП

Сопротивления резисторов регулирующих величину гистерезиса и напряжения порогов срабатывания для положения «1»

67

RОП =

R3 ( R4 + R5 ) , а ROC = R6 , R3 + R4 + R5

для положении «2»

RОП =

( R3 + R4 ) R5 R3 + R4 + R5

, а ROC = R6 .

(8.6)

(8.7)

Величины сопротивлений резисторов даны на рис. 8.4. Порядок выполнения работы Задание 1. Изучить работу компаратора с помощью двух вольтметров. 1. Соберите схему по рис. 8.5,а.

Рис. 8.5

68

2. Рассчитайте ширину гистерезиса U Г и напряжения срабатывания ( U H , U B ) для двух положений переключателя В1 по 1 формулам (8.1) – (8.7) (при расчетах принять U ВЫХ = 8, 92 В и 0 U ВЫХ = 0 ).

3. Включите источник питания входного напряжения U ВХ . Переключите переключатель В1 в положение 1. 4. Плавно увеличивая входное напряжение, снимите зависимость выходного напряжения U ВЫХ от входного напряжения U ВХ . После срабатывания компаратора, дальнейшее увеличение входного напряжения можно прекратить. Момент срабатывания компаратора можно фиксировать по светодиоду. Продолжите эксперимент, плавно уменьшая входное напряжение. Результат запишите в таблицу 8.1. Таблица 8.1

Увеличение входного напряжения

U ВХ U ВЫХ 5. Переключите переключатель В1 в положение 2. Повторите измерения по п.п. 4. Результат запишите в таблицу 8.2. Таблица 8.2

Уменьшение входного напряжения

U ВХ U ВЫХ 6. Постройте графики снятых зависимостей, определите по графикам ширину гистерезиса U Г , U B и U H для двух положений переключателя, сравните с расчетными.

69

7. Рассчитайте величину опорного напряжения ( U ОП ) для двух положений переключателя В1. Нанесите полученные значения на графики. Задание 2. Изучить работу компаратора с помощью генератора низкой частоты и осциллографа. 1. Соберите схему по рис. 8.5,б. 2. Получите на экране осциллографа график зависимости выходного напряжения U ВЫХ от входного напряжения U ВХ . В качестве источника входного напряжения используйте низкочастотный генератор сигналов. 3. Экспериментально подберите амплитуду и частоту входного сигнала, при котором получается устойчивая картина гистерезиса на экране осциллографа. 4. Зарисуйте осциллограммы для двух положений переключателя В1 и запишите характеристики входного сигнала (амплитуду, частоту). 5. Плавно увеличивая частоту генератора, найдите частоту FГР при которой на осциллограмме гистерезиса возникают нелинейные искажения (для двух положений переключателя В1). Контрольные вопросы 1. Как можно использовать интегральные компараторы напряжения? 2. Для чего в схемах с компараторами используется положительная обратная связь? 3. Какой максимальный сигнал помехи может присутствовать во входном сигнале, чтобы компаратор не переключился? 4. Как влияет положение переключателя В1 на пороги срабатывания U H и U B ?

70

Работа 9 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Цель работы: ознакомление с методом спектрального анализа на основе разложения в ряд Фурье, получение спектров периодических сигналов различной формы с помощью аналогового и цифрового компьютеров. Введение При теоретическом рассмотрении колебаний наибольшее внимание уделяется гармоническим колебаниям. Однако ни один реальный физический процесс не происходит в точности по гармоническому закону. Например, все реальные колебательные процессы имеют начало и конец во времени, и хотя бы, поэтому не являются гармоническими. Встречающиеся в природе колебательные процессы - это процессы, протекающие длительное время. Примером колебаний такого рода могут служить периодические изменения напряжения между различными участками человеческого тела, возникающие в результате работы сердца. График зависимости от времени напряжения, «вырабатываемого» сердечной мышцей, очень мало похож на синусоиду, т.е. колебания биотоков являются негармоническими (рис. 9.1а).

Рис. 9.1

Другой пример негармонических колебаний, происходящих в природе − колебания уровня воды в открытых морях и океанах.

71

Изменения уровня воды во многих морских портах настолько значительны, что точное предсказание отливов и приливов оказывается важной практической задачей: глубина осадки современных морских судов велика и многие порты могут принять их лишь в часы прилива. Зависимость высоты прилива от времени оказывается сложной (рис. 9.1,б), так что выразить ее аналитической формулой довольно трудно. Близкими к гармоническим, но не строго гармоническими, являются автоколебания: колебания маятника часов, колебания силы тока в релаксационном генераторе на интегральных микросхемах. Негармонические колебания широко используются в технике. Так, для изучения формы исследуемого электрического сигнала с помощью электронного осциллографа на управляющие электроды электронно − лучевой трубки, вызывающие горизонтальное отклонение электронного пучка, подают напряжение пилообразной формы от генератора развертки. Метод гармонического анализа Метод заключается в том, что негармонический периодический колебательный процесс представляют как результат сложения некоторого числа гармонических колебаний (простых гармоник). Под простыми гармониками понимают функции вида A cos ( ωt + ϕ ) , или, что равнозначно, функции вида a cos ωt + b sin ωt . Возможность представления любой периодической функции в виде суммы бесконечного тригонометрического ряда была предложена Ж.Б.Ж. Фурье в 1822 году. В импульсной технике гармонический анализ позволяет производить расчеты электрических цепей при прохождении через них электрических сигналов сложной формы с помощью простых правил для гармонических составляющих. В линейных цепях, т.е. в цепях с резисторами, конденсаторами и катушками индуктивности без ферромагнитных сердечников, каждый член ряда Фурье преобразуется независимо от других гармонических составляющих. Например, для определения силы тока в цепи при действии несинусоидального напряжения находят отдельно силу тока от каждой гармоники напряжения, а затем суммируют рассчитанные гармоники силы тока.

72

Ряд Фурье для функции f ( t ) с периодом T имеет вид

f (t ) =

a0 n =∞ + ∑ ( an cos ωn t + bn sin ωn t ) , 2 n=1

(9.1)

где

2π 4π 2 nπ , ω2 = 2ω = , …, ωn = nω = . (9.2) T T T a Первое слагаемое ряда Фурье (9.1) 0 − постоянная состав2 ω1 = ω =

ляющая,

не

зависящая

от

времени.

Второе

слагаемое

a1 cos ω1t + b1 sin ω1t представляет собой первую, или основную,

гармоническую составляющую разложения функции f ( t ) с периодом T . Третье слагаемое называют второй гармоникой и т.д. Коэффициенты разложения an , bn находятся из формул T

2 2 a0 = f ( t ) dt , T −T∫

(9.3)

2

T

2 2 an = f ( t ) cos ( ωn t ) dt T −T∫

( n = 1, 2, 3, ...) ,

(9.4)

( n = 1, 2, 3, ...) .

(9.5)

2

T

bn =

2 2 f ( t ) sin ( ωn t ) dt T −T∫ 2

Из свойств четности косинуса и синуса видно, что при разложении в ряд Фурье четных функций f ( t ) все коэффициенты bn = 0 , а коэффициенты разложения по косинусам:

4 an = T

T

2

∫ f ( t ) cos ( ω t ) dt ( n = 1, 2, 3, ...) , n

0

73

(9.6)

и, наоборот, при разложении нечетных функций f ( t ) все an , включая a0 , равны нулю, а разложение по синусам содержит коэффициенты

4 bn = T

T

2

∫ f ( t ) sin ( ω t ) dt ( n = 1, 2, 3, ...) . n

(9.7)

0

Диаграмма, характеризующая функцию f ( t ) и изображающая амплитуды гармоник an , bn в зависимости от их частот ωn называется спектром. В качестве примера рассмотрим функцию f (t ) , представленную в виде суммы гармоник с частотами ωn = 0, 1, 2, 3 рад/с:

3 2 1 f ( t ) = 1 + cos(2πt ) + cos ( 4πt ) + cos ( 6πt ) . 4 4 4 График этой функции представлен на рис. 9.2,а, а на рис 9.2,б показан спектр этой функции, полученный с помощью компьютерной программы «быстрого Фурье-преобразования».

Рис. 9.2

Разложим в ряд Фурье функцию

74

⎧ ⎪− ⎪ f (t ) = ⎨ ⎪ ⎪⎩

π 4

на

π 4

на

⎛ T ⎞ ⎜ − ,0 ⎟ ⎝ 2 ⎠ T ⎞ ⎛ ⎜ 0, ⎟ 2 ⎠ ⎝

.

Поскольку f ( t ) − нечетная функция, из (9.7) имеем

4 bn = T

T

2

∫ 0

1 ⎛ 2 πn ⎞ f ( t ) sin ⎜ t ⎟ dt = 2n ⎝ T ⎠

cos 0 − cos ( π n ) 1 − ( − 1) = = 2n 2n

n

πn

cos x ∫0 sin ( x ′ ) dx ′ = − 2 n

⎧ 1 ⎪ =⎨ n ⎪⎩ 0

πn

= 0

при нечетном n при чётном n

Искомое разложение есть

⎛ 2πn ⎞ 1 ⎛ 6πn ⎞ 1 ⎛ 10πn ⎞ f ( t ) = sin ⎜ t ⎟ + ⋅ sin ⎜ t ⎟ + ⋅ sin ⎜ t ⎟ + ... ⎝ T ⎠ 3 ⎝ T ⎠ 5 ⎝ T ⎠ T можно получить Заметим, что при t = 4 1 1 1 ⎛T ⎞ π f ⎜ ⎟ = = 1 − + − + ... 3 5 7 ⎝4⎠ 4 Для разложения в ряд Фурье четной функции, рассмотрим функ-

⎡ T T⎤

цию f (t ) = t на ⎢ − , ⎥ с периодом T . Из (9.6) имеем ⎣ 2 2⎦

4 a0 = T

T

2

T

∫ tdt = 2 , 0

T 2 ⎛ ⎛ 2 πn ⎞ ⎛ 2 πn ⎞ ⎞ T t ⎟ cos ⎜ t⎟⎟ ⎜ t sin ⎜ 2 4 4 ⎝ T ⎠+ ⎝ T ⎠⎟ = an = ∫ t cos ( ω n t ) dx = ⎜ 2 2 n π T 0 T⎜ ⎛ 2 πn ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ T ⎝ T ⎠ ⎠0 ⎝

=

n ⎧ 2T T cos ( n π ) − cos ( 0 ) T ( − 1) − 1 ⎪ − 2 2 ⋅ = ⋅ = ⎨ π n n2 n2 π2 π2 ⎪⎩ 0

75

при нечетном n при четном n

Искомое разложение есть

T 2T ⎛ ⎞ ⎛ 2πt ⎞ 1 ⎛ 6πt ⎞ 1 ⎛ 5πt ⎞ − 2 ⎜ cos ⎜ ⎟ + ⋅ cos ⎜ ⎟ + ⋅ cos ⎜ ⎟ + ... ⎟ . 4 π ⎝ ⎝ T ⎠ 9 ⎝ T ⎠ 25 ⎝ T ⎠ ⎠ В частности, при t = 0 и T = 2π отсюда легко получить, что π2 +∞ 1 . =∑ 8 n=0 ( 2n + 1)2 f (t ) =

Разложение в ряд Фурье функции, заданной на сегменте [ 0, T ] − это важный случай в практике. Одним из примеров такой функции является импульс напряжения в электрической цепи, состоящей из источника тока напряжением U 0 , ключа и резистора R . Импульс тока возникает при замыкании и размыкании ключа за время τ < T . Спустя время T после момента первого замыкания процесс возобновляется (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Поскольку при t = 0 функция не равна нулю, то разложение надо проводить в ряд косинусов. Функция U (t ) может быть единственным образом продолжена на всю ось t так, что получится четная функция с периодом 2T . К графику заданной функции на сегменте [ 0, T ] (см. рис. 9.3) присоединим фигуру, симметричную с ним относительно оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 2T . Тогда получится график четной функции с периодом 2T , совпадающей с заданной функцией U ( t ) на сегменте [ 0, T ] . Из

76

этого графика и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряд Фурье (9.6) следует, что T

a0 =

U 1 U ( t )dt = 0 ∫ T −T T

T

an =

U πnt 1 U ( t ) cos dt = 0 ∫ T −T T T

τ

τ

∫ dt =

−τ

∫ cos

−τ

2U 0 τ , T

2U 0 πnt πnτ . dt = sin T πn T

Таким образом, зависимость напряжения на резисторе от времени будет представлена в виде ряда

f (t ) =

U (t ) U0

=

πnt τ ∞ 2 πnt τ ∞ ⎛ πn ⎞ . (9.8) + ∑ sin ⎜ τ ⎟ cos = + ∑ an cos T n=1 πn ⎝ T ⎠ T T n=1 T

Если бы для анализа периодической функции f ( t ) одинаково важны были все члены бесконечного тригонометрического ряда Фурье (9.1), то гармонический анализ не имел бы такой практической ценности, так как с его помощью было бы очень трудно произвести какие-нибудь вычисления. В действительности амплитуды гармоник ряда Фурье с увеличением номера гармоники n имеют тенденцию к убыванию. В рассмотренной выше задаче, например,

an <

2 ⎯⎯⎯ → 0 . Поэтому для практических целей оказывается πn n→∞

возможным использовать вместо бесконечного ряда тригонометрических функций конечное число слагаемых. Число членов ряда Фурье, которые необходимо использовать в расчетах, определяется видом функции f ( t ) и заданной точностью вычислений. Спектр функции (9.8), т.е. множество значений an , для случая

T τ = 5 изображен на рисунке 9.4.

77

Рис. 9.4

Длительность фронтов импульсов (крутизна фронтов) существенно влияет на ширину спектра, т.е. на наличие в спектре импульсов высших гармоник. На рисунке 9.5,а показаны три импульса с разной крутизной фронтов. Первый импульс имеет более пологие фронты, чем третий. На рис. 9.5,б-г, где представлены спектры этих импульсов ясно видно, что спектр третьего импульса значительно богаче спектра первого импульса. Обратите внимание на то, что амплитудный спектр идеальных прямоугольных импульсов (см. рис. 9.5,б) еще более широкий, амплитуды высших гармоник убывают с номером гармоники очень медленно по закону ∝

1 , где n n

номер гармоники. Используя этот факт, можно дать качественное объяснение, почему в цепи, содержащей резистор и конденсатор, в момент замыкания ключа ток течет через конденсатор беспрепятственно. Дело в том, что емкостное сопротивление конденсатора

XC =

1 . При резком включении тока (рис. 9.6а) в его спектре ωC

присутствуют высокочастотные гармоники (рис. 9.6в), для которых конденсатор не представляет сопротивления. Из графика на рис. 9.6б видно, что при плавном включении тока уширения спектра не происходит.

78

Рис. 9.5

79

Рис. 9.6

Колебательный контур как простейший спектральный фильтр Одной из наиболее часто встречающихся в физике и технике (особенно в радиотехнике и оптике) задач является определение отклика колебательных систем (таких, как электрический контур, маятник, механическая конструкция, атом и др.) на внешнее воздействие. Возбуждение колебательной системы, например маятника, внешней периодической силой F = F0 cos ωt приводит через некоторое время к периодическому отклику системы в виде гармонического колебания: x = A ( ω) cos ( ωt + ϕ ) , (9.9) где

80

A ( ω) =

F0 m

( ω2 − ω02 ) + 4β2ω2 2

.

(9.10)

k − собственная частота колебаний сисm темы, β - коэффициент затухания, m − масса маятника. При возбуждении колебательного LCR − контура внешним генератором напряжением U = U 0 cos ( ωt + ϕ ) амплитуда колебания заВ формуле (9.10) ω0 =

ряда на обкладках конденсатора задается формулой, аналогичной (9.10):

qm ( ω) = где ω02 =

U0 L

(ω

2

)

2 2 0

−ω

,

(9.11)

+ 4β ω 2

2

R 1 − собственная частота колебаний, β = − коэффиLC 2L

циент затухания. Из формул (9.10) и (9.11) ясно, что при ω → ωРЕЗ =

ω02 − 2β2

происходит резкий рост амплитуды функций (9.10) и (9.11), т.е. возникает резонанс. Движение системы происходит по закону (9.9) с максимальной амплитудой x ( t ) = Am cos ( ωt + ϕ ) , где Am = A ( ωРЕЗ ) . Восприимчивость маятника к внешнему резонансному воздействию определяется добротностью Q :

Q≈

ω0 . 2β

Чем выше Q , тем выше и острее пик резонанса, тем сильнее откликается колебательная система на внешнее воздействие. Из приведенных примеров следует, что импульс любой формы несет в себе некоторую совокупность гармоник или, как говорят, имеет частотный спектр. Причем эффективный разброс частот

81

спектра (т.е. тот интервал частот Δω, для которого амплитуды гармоник еще велики) обратно пропорционален длительности импульса τ (см. (9.8)) Δω ∝ 1 τ . Это условие справедливо и для отдельных фрагментов импульса. Если контур импульса сильно изрезан, имеет частые и резкие всплески (рис. 9.7), то спектр такого импульса шире, или, как говорят, богаче.

Рис. 9.7

82

Методика выполнения работ В задании 1 аналогово-вычислительный комплекс АВК-6 используется как генератор и как спектральный фильтр для спектрального анализа импульсных сигналов. В работе исследуются спектры сигналов прямоугольной, колоколообразной формы, и спектры гармонических сигналов, полученных на аналоговой модели маятника. Основной блок АВК-6 для выполнения этого задания – блок спектрального анализа. Порядок обработки поступающих на вход блока сигналов ясен из рисунков на блоке. Данный блок по своей функции представляет колебательный контур, чья резонансная частота может плавно смещаться при установке кнопок Гц/В и вращении ручки 0.1-В-11. При совпадении частоты контура с частотой гармоник внешнего сигнала возникает резонанс. На выходе блока генерируется гармоническое колебание с частотой определяемой гармоники. Острота резонанса определяется в ячейке Q. Выходной сигнал может быть взят по модулю или возведен в квадрат в ячейке. Развертка осциллографа АВК равна полупериоду отображаемого колебания. Измерение полупериода производится по встроенному в АВК частотомеру, который показывает длительность полупериода (длину горизонтальной черты на экране осциллографа АВК) в миллисекундах. Момент времени t = 0 соответствует левому концу отрезка. Измерение амплитуды производится с помощью сигнала от выносного источника постоянного эталонного напряжения, выводимого на экран АВК через коммутатор в виде горизонтальной черты и одновременно отображаемого с помощью выносного цифрового вольтметра. Полезно вывести на экран сам импульс, гармонику и эталонное напряжение. Порядок измерения амплитуды следующий: вращая ручку U выносного блока постоянного напряжения, переместите по экрану измерительную черту до совмещения с наивысшей точкой измеряемого сигнала; отсчет по выносному вольтметру дает величину амплитуды в вольтах. Блок нелинейности служит для формирования сигналов сложной формы. На вход блока может подаваться сигнал из набора стан-

83

дартных сигналов АВК-6, который играет роль аргумента y . На

выходе блока получается нелинейная функция N [ y (t )] . Настройка блока нелинейности производится по экрану через коммутатор, путем подсоединения осциллографа к точкам, где надо проконтролировать сигнал. На рис. 9.8 показан импульс колоколообразной искаженной формы, полученный при прохождении через блок нелинейности сигнала синусоидальной формы.

Рис. 9.8

Для получения сигналов произвольной формы можно также воспользоваться вспомогательным блоком АВК с набором алгебраических операций ( ×, ÷,mod ). Задание 2 выполняется при помощи аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) ADW11 и компьютера с установленной на нем программой adw10. На рис. 9.9 представлен вид установки к заданию 2.

Рис. 9.9

Программа adw10 имеет большое число возможностей для работы с данными: построение графиков и таблиц, фильтрация данных

84

различными методам, определение параметров графика и т.д. Так как преобразование Фурье требует большого объема вычислений, то в этой программе для получения спектра сигнала используется специальный алгоритм быстрого преобразования Фурье − Fast Fourier Transformation (FFT). ADW11 имеет 8 каналов, 6 из которых предназначены для измерения напряжений, 2 − для измерения сопротивлений. К каналу 2 ADW11 подключен АВК − 4. В задании 2 АВК-4 используется как генератор и формирователь периодических сигналов различной формы (подробнее см. описание задания 1). Сигнал от АВК-4 подается одновременно на вход канала 2 ADW-11 и, для отображения и контроля, на вход осциллографа. ADW-11 переводит аналоговый (непрерывный) сигнал в дискретный набор данных путем замеров исследуемой величины с определенной (небольшой) частотой дискретизации. Поэтому частота развертки подаваемых на вход ADW-11 сигналов не должна быть большой. Измеренные значения выводятся на экран в виде графика, отдельные участки которого можно увеличить для детального изучения. Для этого подведите курсор мыши к краю интересующей области, нажмите и отпустите левую клавишу мыши. Перемещая курсор, выделите растягиваемым прямоугольником требуемый участок, и когда окно достигнет нужных размеров, нажмите повторно левую клавишу мыши. Выбранный участок будет показан во весь экран. Для отмены увеличения надо нажать правую клавишу мыши. Порядок выполнения работы Задание 1. Применить аналого-вычислительный комплекс АВК-6 для спектрального анализа импульсных сигналов 1. Подготовьте к работе блок спектрального анализа. Рекомендуемые значения параметров: a = 0,1 , Q = 50 ; генератор сдвигающего напряжения Гц/В в положении средней декады (нажата средняя кнопка диапазона); Y − индикатор соединен с гнездом «10», X − индикатор соединен с гнездом «5»; горизонтальная черта на весь экран; рекомендуемый полупериод развертки T 2 ≈ 40 ÷ 50 мс. 2. Подайте на вход блока прямоугольный сигнал с генератора.

85

3. Плавно меняя величину сдвигающего напряжения на блоке спектрального анализа АВК, наблюдайте последовательно возникающие на экране АВК гармонические составляющие прямоугольного сигнала. 5. Измерьте частоту и амплитуду гармоник прямоугольного сигнала. Данные запишите в таблицу 9.1. Таблица 9.1

Количество полупериодов гармоник

1

2

3

…

n

T 2 ν Амплитуда гармоник

6. На миллиметровой бумаге постройте спектр прямоугольного сигнала в виде столбчатой диаграммы (см. рис. 9.4). 7. Подайте на вход блока спектрального анализа АВК синусоидальный сигнал с генератора. Измерьте частоту и амплитуду гармоник синусоидального сигнала. Данные запишите в таблицу 9.2 (аналогичную таблице 9.1). Постройте спектр синусоидального сигнала в виде столбчатой диаграммы. 8. Тот же сигнал, что и в п.7, пропустите через блок нелинейности. Получите на выходе искаженный колоколообразный сигнал. 9. Подайте этот сигнал на блок спектрального анализа. Измерьте частоту и амплитуду гармоник сигнала. Данные запишите в таблицу 9.3(аналогичную таблице 9.1). На той же диаграмме, что и в п.7, постройте спектр данного сигнала. Сравните спектр исходного сигнала и сигнала, прошедшего блок нелинейности. 10. Регулируя установки двух интегрирующих блоков, составляющих генератор гармонических колебаний АВК, добейтесь генерирования синусоидального сигнала с частотой, отличной от частоты стандартного синусоидального сигнала с генератора. Измерьте частоту полученного сигнала.

86

11. Подайте на вход сумматора АВК стандартный сигнал с генератора и сигнал с генератора гармонических колебаний. 12. Измерьте частоту и амплитуду гармоник суммарного сигнала. Данные запишите в таблицу 9.4 (аналогичную таблице 9.1). Сравните частоты гармоник с частотами сигналов, полученных в п.п. 7. Постройте спектр суммарного сигнала в виде столбчатой диаграммы. Задание 2. Исследовать спектр периодической последовательности импульсов с помощью АЦП аналого-цифрового преобразователя и компьютерной программы Фурье анализа. 1.Загрузите программу adw-10 с рабочего стола компьютера. 2. Подайте на вход ADW-11 прямоугольный сигнал с генератора АВК. Частота развертки должна быть невелика – порядка нескольких герц. Наблюдайте полученный сигнал на экране осциллографа и на экране АВК. 3. Выберите в меню «Ряд измерений» пункт «Кратковременное измерение». Установите число точек измерения равным 600, нажмите на «Старт». Через некоторое время, необходимое для проведения измерений и сохранения данных, на экране появится график измеренного сигнала. 4. Выберете «Ряд измерений», «Таблица». Занесите в журнал табличные данные измеренного сигнала за один период колебаний. 5. Выберете «Ряд измерений», «График+таблица». 6. Нажав +, получите частотный спектр сигнала. Для более наглядного представления графика частотного спектра можно установить пункт «Балка» в меню «Заполнение». 7. Перемещая курсор по экрану, замерьте частоты и амплитуды гармоник. Занесите данные в журнал в виде простой таблицы. Постройте график сигнала и спектр прямоугольного импульса. Сравните с теоретическими выводами. 8. Подайте на вход ADW-11 синусоидальный сигнал с генератора АВК. 9. Повторите операции, перечисленные в пп. 4−7. Постройте график сигнала и его спектр. 10. Тот же сигнал, что и в п.8, пропустите через блок нелинейности. Получите на выходе искаженный колоколообразный сигнал. 11. Повторите операции, перечисленные в пп. 4−7. Постройте график сигнала и его спектра.

87

12. Регулируя установки двух интегрирующих блоков, составляющих генератор гармонических колебаний АВК, добейтесь генерирования синусоидального сигнала с частотой, отличной от частоты стандартного синусоидального сигнала с генератора. Измерьте частоту полученного сигнала. 13. Подайте на вход сумматора АВК стандартный сигнал с генератора и сигнал с генератора гармонических колебаний. 14. Повторите операции, перечисленные в пп. 4−7. Постройте график суммарного сигнала и его спектра. Сравните частоты гармоник с частотами сигналов, полученных в п. 9. Контрольные вопросы 1. Приведите примеры негармонических колебаний. 2. В чем заключается сущность метода гармонического анализа? 3. Каковы практические применения гармонического анализа? 4. Постройте спектр функции f ( t ) = 2sin ωt + 3sin 2ωt . 5. Почему при быстром включении тока в цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности, конденсатор можно заменить проводником, а катушку индуктивности – разрывом цепи? 6. Объясните, почему импульс с резким фронтом имеет более широкий спектр, чем импульс с плавным фронтом. 7. Объясните, почему RLC − контур можно использовать как простейший спектральный фильтр.

88

ЛИТЕРАТУРА Работа 7 • http://www.gav.ru/html.cdi/txt/doc/comparator/comp_1.htm Работа 8 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2003. стр.269−275. Работа 9 • Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитиче-

ские и специальные функции. Преобразования Лапласа. М.: Наука. 1980. стр. 9−35 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 2. Электричество и магнетизм. М.: Наука, Физматлит. 1998. стр.317−322. • Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2000. стр.320−325.

89

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА Работа 10 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА ДЛЯ ЖИДКОСТЕЙ Цель работы: Определение показателя преломления света для глицерина и воды. Введение Свет – это поток электромагнитных волн, воспринимаемых глазом (длины волн света лежат в пределах 0, 40 ≤ λ ≤ 0, 76 мкм ). В каждой точке пространства, где распространяется свет, колеблются напряженности электрического и магнитного полей. Множество точек, колебания в которых совпадают по фазе, называют волновой поверхностью. Так, для сферической волны волновые поверхности представляют собой концентрические сферы, для плоской волны – параллельные плоскости. Линии, перпендикулярные к волновым поверхностям, называются лучами. Например, в плоской волне все лучи параллельны друг другу (рис. 10.1).

Рис. 10.1

Для волн любой природы справедлив принцип Гюйгенса:

90

1) каждая точка пространства, до которой дошли колебания первичной волны, сама становится источником вторичных сферических волн. Так как колебания в разных точках возбуждаются в разное время, радиусы волновых поверхностей одинаковой фазы с центрами в разных точках будут различными; 2) волновой поверхностью в некоторый последующий момент времени является поверхность, касательная к волновым поверхностям одинаковой фазы для всех вторичных сферических волн. Принцип Гюйгенса позволяет определить направление распространения волн (направление лучей) по положению волновых поверхностей. Скорость распространения света в среде V меньше скорости света в вакууме c . Отношение n=cV (10.1.) называют абсолютным показателем преломления среды. На границе раздела двух сред с различными показателями преломления происходят отражение и преломление света. Найдем направление распространения преломленной и отраженной волн. На рис. 10.1 изображены два луча (1 и 2) плоской световой волны, падающей на границу раздела сред с показателями преломления n1 и

n 2 ( n 2 > n1 ). По линии АС перпендикулярно плоскости рисунка проходит одна из волновых поверхностей падающей волны. В точках границы раздела возбуждаются вторичные сферические волны, распространяющиеся с разной скоростью ( V2 < V1 ) в первой и второй средах. На рис. 10.1 изображены вторичные волны лишь от двух точек А и Е. Колебания, совпадающие по фазе, в точке В возбуждаются позже, чем в точке А на время Δt = CB V1 (для точки Е время запаздывания меньше). За время запаздывания волновая поверхность во второй среде распространится от точки А на расстояние

AD = V2 Δt = V2

CB V1

(10.2)

(от точки Е несколько меньше). Колебания равной фазы будут совершаться в точках, лежащих на прямой DB, касательной к указанным волновым поверхностям. Следовательно, волновая поверх-

91

ность преломленной волны проходит по линии DB, а преломленные лучи перпендикулярны этой поверхности. Найдем связь между углами падения α и преломления β . Из соотношения (10.2) следует:

CB V1 n2 = = , (10.3) AD V2 n1 где учтено, что V1 = c n1 ; V2 = c n2 . На рис. 7.1 ∠CAB = α , ∠ABD = β . Поэтому AD = AB sin β , CB = AB sin α . Подставив эти значения в формулу (10.3), получим:

sin α n2 = . sin β n1

(10.4)

Таким образом, преломление света происходит вследствие различия скоростей распространения в граничных средах. Отраженная волна распространяется в той же среде, что и падающая (т.е. с той же скоростью), поэтому угол падения равен углу отражения. Все углы отсчитываются от перпендикуляра, восстановленного к границе раздела в точке падения луча. Закон преломления может быть сформулирован следующим образом: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к поверхности раздела двух сред, восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости, а угол падения α и угол преломления β связаны соотношением: n1 sin α = n2 sin β . (10.5) Методика выполнение работы На рис. 10.2,а показана схема установки. На оптическом столе размещены лазер Л, поворотное зеркало З, два предметных столика ПС. Предметный столик имеет подставку для кюветы К из оргстекла с исследуемой жидкостью. Подставка вместе с кюветой и прикрепленной к ней стрелкой (рис.10.2,б) может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через переднюю грань кюветы. Угол поворота кюветы измеряется с помощью транспортира, укрепленного на неподвижном предметном столике.

92

Рис. 10.2

Луч света лазера падает узким пучком на кювету с исследуемой жидкостью. При этом вследствие шероховатости поверхностей (это приводит к частичному рассеянию света) на передней и задней стенках кюветы можно легко наблюдать пятнышки света. Координаты пятнышек измеряются по миллиметровой шкале, нанесенной на обеих стенках. При нормальном падении луча на переднюю стенку ( α = 0o ) оба пятнышка имеют координаты x = 0 . Поворот кюветы приводит к смещению пятнышка на задней стенке на некоторую величину x . Из рис.10.2,б видно, что

sin β =

x d 2 + x2

.

Полагая показатель преломления воздуха n0 = 1 , из закона преломления 1sin α = n sin β , получаем:

sin α sin α d 2 + x 2 . (10.6) = sin β x Таким образом, измерив толщину кюветы d , угол падения α и смещение пятнышка света на задней стенке x , можно рассчитать n=

показатель преломления исследуемой жидкости. Толщиной стенок кюветы мы пренебрегли.

93

Порядок выполнения работы Задание. Измерить показатель преломления воды и глицерина. 1. Совместите стрелку подставки с отметкой 0 на шкале транспортира. Вращая поворотное зеркало, совместите луч лазера с отметкой 0 на передней стенке кюветы. Измерьте и запишите в лабораторный журнал величину ширины кюветы d . 2. Поверните подставку с кюветой на угол α ≈ 40o . Запишите значение α и координату x светового пятнышка на задней стенке. Затем поверните подставку на тот же угол, но в другую сторону, измерьте x 2 . Результаты занесите в табл. 10.1. 3. Повторите п. 2 (измерьте x3 и x 4 ). Таблица 10.1

№ изме рения

Вода

xi , мм

< xi >, мм

Глицерин

n

xi , мм

< xi >, мм

n

1 2 3 4

< x >= ( x1 + x 2 + x3 + x 4 ) 4 ; Δx = ( x макс − x мин ) 2 . 4. Переведите зеркалом луч лазера на кювету с глицерином. 5. Выполните пп. 2 и 3 для глицерина. 6. Рассчитайте средние значения < x > по выше приведенной формуле и показатели преломления n воды и глицерина по формуле (10.6). Относительную погрешность измерения n примите равной относительной погрешности x .

94

Контрольные вопросы 1. Сформулируйте принцип Гюйгенса. 2. Почему на границе раздела двух сред происходит преломление света? 3. Сформулируйте закон преломления света. 4. В чем заключается явление дисперсии света?

95

Работа 11 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ СОБИРАЮЩЕЙ И РАССЕИВАЮЩЕЙ ЛИНЗ Цель работы: Определение фокусного расстояния линз с применением формулы линзы. Введение Линзой называют прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. В зависимости от того, как отклоняется параллельный пучок света, линзы делятся на собирающие и рассеивающие. Собирающая линза, собирает падающие на нее параллельные лучи в одну точку за линзой, а рассеивающая линза рассеивает эти лучи таким образом, что их продолжения пересекаются в одной точке перед линзой (рис. 11.1а и б). Точка F ′ , лежащая на главной оптической оси O ′O ′′ , называется задним главным фокусом линзы, а точка F − передним главным фокусом линзы.

Рис. 11.1

Если показатели преломления оптических сред, находящихся по разные стороны от линзы, одинаковы, то точки F ′ и F располо-

96

жены от линзы на одинаковом расстоянии. Это расстояние называется фокусным расстоянием линзы, его обозначают буквой F (той же буквой, что и фокусы). Линзу называют тонкой, если ее толщина пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны поверхностей и расстоянием от предмета до линзы. Для тонкой собирающей линзы расстояние d от предмета АВ до линзы и расстояние f от линзы до изображения предмета A′B ′ (рис. 11.2) связаны с фокусным расстоянием F соотношением:

1 1 1 + = . d f F

(11.1)

Рис. 11.2

Методика выполнения работы Фокусное расстояние собирающей линзы можно определить двумя способами: 1) непосредственным использованием формулы и подстановкой в нее экспериментально измеренных величин d и f :

F=

df ; d+ f

(11.2)

2) пользуясь свойством собирающей линзы (при условии, что расстояние между предметом и экраном L > 4 F ) давать на экране два изображения предмета − увеличенное и уменьшенное. Из рис. 11.3 а и б видно, что собирающая линза дает четкое изображение предмета на экране при двух ее положениях, расстояние между ко-

97

торыми l . В этом случае фокусное расстояние связано с экспериментально измеряемыми величинами L и l соотношением:

F=

L2 − l 2 . 4L

(11.3)

Рис. 11.3

Определение фокусного расстояния рассеивающей линзы непосредственным применением формулы линзы невозможно, поскольку рассеивающая линза не может дать действительного изображения предмета на экране. Однако эта задача может быть решена при одновременном использовании собирающей и рассеивающей линз, что видно из рис. 11.4. Собирающая линза Л 1 дает на экране изображение B светящейся точки A, лежащей на главной оптической оси. Если между линзой и экраном поместить рассеивающую линзу Л 2 , то, отодвигая экран от рассеивающей линзы, можно получить новое изображение C светящейся точки на экране, который находиться на расстоянии d от линзы Л 2 . На основании принципа обратимости хода лучей в линзе можно утверждать, что если в точке C поместить светящуюся точку, то ее мнимое изображение получится в точке B. Согласно формуле рассеивающей линзы:

98

1 1 1 − =− , d f F

(11.4)

ее фокусное расстояние

F=

df . d−f

(11.5)

Рис. 11.4

Описание лабораторной установки Для проведения измерений используется оптическая установка, изображенная на рис. 11.5. Осветитель Осв., расположенный на оптической скамье, питается от блока питания БП, подключенного к сети. Свет от лампочки осветителя падает на матовую поверхность предмета (прорези), выполненного в виде стрелки (или кружочков) П. Светящаяся стрелка является предметом, изображение которого создается на экране Э с помощью собирающей линзы СЛ, или системой собирающей СЛ и рассеивающей РЛ линз. Линзы с помощью рейтеров могут перемещаться относительно оптической скамьи.

99

Рис. 11.5

Порядок выполнения работы Задание 1. Определить фокусное расстояние собирающей линзы с использованием формулы линзы. 1. Включите осветитель. Установите на оптичесткой скамье собирающую линзу между предметом и экраном. 2. Перемещая линзу, получите отчетливое изображение светящейся стрелки на экране. Измерьте расстояние d от стрелки до линзы, а также расстояние f от экрана до линзы. Измерения выполните три раза, вновь сбивая и настраивая линзу, результаты занесите в табл. 11.1. Таблица 11.1

№ измерения

d , мм

< d >, мм

f , мм

< f >, мм

F , мм

1 2 3 3. Рассчитайте средние значения < d > и < f > . Оцените погрешность измерения d и f . 4. Вычислите фокусное расстояние F линзы. Оцените погрешность F . 3адание 2. Определить фокусное расстояние собирающей линзы с использованием формулы (11.3)

100

1. Расположите экран от предмета на расстоянии L > 4 F , значение F возьмите из таблицы 11.1. Измерьте расстояние L (см. рис. 11.3,а), результат измерения занесите в табл. 11.2. Таблица 11.2

№ измерения

li , мм

< l >, мм

L, мм

F , мм

1 2 3

2. Изменяя положение линзы, получите сначала увеличенное, а затем уменьшенное изображение стрелки на экране. Измерьте расстояние между соответствующими положениями линзы. Измерения li выполните три раза. 3. Рассчитайте среднее значение < l > , оцените абсолютную погрешность измерения l . 4. Вычислите фокусное расстояние F линзы по формуле (11.3). Рассчитайте относительную погрешность измерения l и в качестве относительной погрешности определения F приближенно примите удвоенную относительную погрешность l . Задание З. Определить фокусное расстояние рассеивающей линзы. 1. Расположите на оптической скамье рассеивающую линзу между собирающей линзой и экраном. Расстояние между линзами должно быть минимальным. Перемещая обе линзы вместе и экран, добейтесь четкого изображения стрелки на экране. 2. Измерьте расстояние d между рассеивающей линзой и экраном (см. рис. 11.4). Результат измерения занесите в табл. 11.3. Таблица 11.3

d , мм

L1 , мм

L2 , мм

101

f , мм

F , мм

3. Измерьте расстояние L1 между собирающей и рассеивающей линзами. 4. Снимите со скамьи рассеивающую линзу. Передвигая экран по направлению к собирающей линзе, получите отчетливое изображение стрелки. Измерьте расстояние L2 между собирающей линзой и экраном. 5. Вычислите расстояние f от мнимого изображения до рассеивающей линзы, используя соотношение f = L2 − L1 . 6. Вычислите фокусное расстояние рассеивающей линзы по формуле (11.5). Контрольные вопросы 1. При каком условии размер изображения предмета, даваемый собирающей линзой, равен размеру самого предмета? 2. Какие условия необходимо создать, чтобы собирающая линза стала рассеивающей? 3. Подумайте, как еще можно определить фокусное расстояние собирающей линзы? 4. Можно ли сфотографировать изображение в рассеивающей линзе? 5. На рисунке 11.6,а изображена главная оптическая ось тонкой линзы, падающий на нее и преломленный ею лучи 1 и 1′ . Построением найдите положение линзы и ее фокусов.

Рис. 11.6

102

6. Постройте ход лучей 1 и 2, параллельных друг другу, после прохождения ими тонкой рассеивающей линзы (см. рис.11.6,б). 7. На рис. 11.6,в изображена система двух тонких линз, передние фокусы которых совпадают с их оптическими центрами. Постройте изображение точки P , находящейся в заднем фокусе рассеивающей линзы.

103

Работа 12 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА В ОПТИЧЕСКОЙ СХЕМЕ С БИПРИЗМОЙ ФРЕНЕЛЯ Цель работы: наблюдение явления интерференции света и определение длины волны света в оптической схеме с бипризмой Френеля. Введение Интерференцией называется сложение в пространстве двух или нескольких когерентных волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуды и, соответственно, энергии результирующих колебаний в различных точках пространства. Две волны называются когерентными, если в каждой точке их наложения разность фаз складываемых колебаний постоянна во времени. Пусть две волны одинаковой частоты при наложении друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления: A1 cos ( ωt + ϕ1 ) , A2 cos ( ωt + ϕ2 ) . Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется выражением A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos Δϕ , (12.1) где Δϕ = ϕ2 − ϕ1 . При разности фаз Δϕ = 0 или кратной 2π (синфазные колебания) амплитуда A результирующего колебания в данной точке будет максимальна ( A = A1 + A2 ). При Δϕ = π или равной нечетному числу π (колебания в противофазе) амплитуда минимальна ( A = A1 − A2 ). Два источника света чаще всего излучают некогерентные волны, так как они излучаются разными атомами независимо. Две когерентные волны можно получить, например, разделив свет от одного источника на два пучка. Один из таких методов реализуется с помощью бипризмы Френеля, представляющей собой симметричную

104

стеклянную призму с очень малым преломляющим углом α (рис. 12.1).

Рис. 12.1

На рис. 12.1 указан ход лучей, падающих на каждую половину бипризмы от узкой щели S , расположенной параллельно ребру тупого угла бипризмы. Падающая световая волна расщепляется на две когерентные цилиндрические волны, как бы исходящих из двух щелей S ′ и S ′′ – мнимых изображений щели S . Если на пути этих волн поставить экран Э , то в зоне их перекрытия можно наблюдать интерференционную картину – систему чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели S (справа на рисунке условно изображена освещенность разных точек экрана). При α << 1 все лучи отклоняются бипризмой на практически одинаковый угол γ = α ( n − 1) , поэтому можно приближенно считать, что изображения S ′ и S ′′ находятся на том же расстоянии от бипризмы, что и источник S , а расстояние между S ′ и S ′′ h = 2l α ( n − 1) , (12.2) где l – расстояние от источника до бипризмы; α – преломляющий изображения S ′ и S ′′ угол бипризмы; n – ее показатель преломления. Найдем положения максимумов освещенности на экране. На рис. 12.2 указаны S ′ и S ′′ – изображения источника S в бипризме, их можно рассматривать как два источника когерентных волн, ко-

105

лебания которых происходят в одной фазе (синфазно). Освещенность в некоторой точке экрана с координатой x зависит от амплитуды результирующего колебания в данной точке (12.1), в частности от разности хода лучей Δ = r ′′ − r ′ .

Рис. 12.2

Из рис. 12.2 видно, что x L = tg β , Δ h = sin β . Если угол β мал, то tg β ≈ sin β , поэтому x L = Δ h , или

x=Δ

L . h

(12.3)

Если Δ равно целому числу длин волн λ , то колебания от обоих источников приходят в точку на экране в фазе, и освещенность в этой точке будет максимальна. Подставив в (12.3) Δ = k λ ( k = 0, ± 1, ± 2, ... ), получим выражение для координаты k -го максимума:

xk = k λ

L . h

(12.4)

Расстояние между соседними максимумами (ширина интерференционной полосы)

106

Δx = xk +1 − xk = λ

L . h

(12.5)

Таким образом, вычислив h по формуле (12.2), измерив L и Δx , из соотношения (11.5) можно определить длину волны света:

λ = Δx

h . L

(12.6)

Методика выполнения работы Используемые в работе приборы с помощью рейтеров установлены на оптической скамье. Расположение приборов указано на оптической схеме (рис. 12.3): БП – блок питания лазера, Л – линза, Щ – щель, Б – бипризма Френеля, ОМ – oкуляp-микpoметр.

Рис.12.3

Источником света служит лазер малой мощности с длиной волны излучения в диапазоне 0, 63 − 0, 68 мкм. Окуляр-микрометр служит для измерения расстояния Δx между интерференционными максимумами, которые наблюдаются на экране, расположенном в его передней фокальной плоскости. Цена деления барабана окулярмикрометра равна 0,01 мм. Оптические элементы схемы отъюстированы, т.е. выставлены на одну высоту, все плоскости оптических элементов установлены параллельно, все вертикальные по отношению к оптической плите плоскости совпадают. При точной юстировке бипризма, представляющая собой изготовленные из одного куска стекла две призмы с

107

малым преломляющим углом α и общей гранью, расщепляет падающую волну на два когерентных пучка. В поле зрения окуляр-микрометра появляется система интерференционных полос. Измерения проводятся в монохроматическом красном свете лазера с длиной волны излучения λ = 632,8 нм (для гелий-неонового лазера) или λ ≈ 650 нм (для полупроводникового лазера). Порядок выполнения работы 1. При снятии отсчетов с помощью окуляр-микрометра на фоне полос интерференции видна оцифрованная миллиметровая шкала, двойная черта и перекрестье. Bpaщeнием барабана окулярмикрометра совместите в его поле зрения двойную черту (или крест) с центром одной из крайних полос справа. Определите координату этой полосы x1 в мм. Цифра слева от двойной черты − это целые, а показания барабана – сотые доли мм. Например, на рис. 12.4 x1 = 4,38 мм. 3апишите x1 в таблицу.

Рис.12.4

2. Поворачивая барабан и одновременно отсчитывая число темных промежутков, переведите двойную черту на центр одной из

108

крайних полос слева. 3апишите число промежутков m и новую координату x2 в табл.12.1 3. Повторите измерения по пп. 1 и 2 еще два раза и запишите результаты в таблицу. 4. Измерьте расстояние от щели до бипризмы l и от щели до окуляр-микрометра L . Значения l и L запишите в таблицу. Укажите приборные погрешности измерений. 5. По измеренному расстоянию x2 − x1 рассчитайте расстояние между соседними интерференционными максимумами для каждого отдельного измерения Δx =

x2 − x1 m

, а также среднее расстояние

Δx . 6. Запишите под таблицей значение преломляющего угла α = 7,401⋅10−3 рад бипризмы и показатель преломления стекла бипризмы n = 1,52 . Рассчитайте по формуле (12.2) расстояние h между изображениями щели в бипризме. Таблица 12.1

№ изм.

x1 , мм

m

x2 ,

Δx,

< Δx >,

L,

l,

h,

λ,

мм

мкм

мкм

мкм

мм

мкм

нм

1 2 3 7. Рассчитайте по формуле (12.6) длину волны излучения лазера. 8. Оцените погрешность результата Δλ , при этом относительная погрешность определения величины h принимается равной относительной погрешности измерения расстояния l :

Δλ = λ EΔ2x + Eh2 + EL2 = λ EΔ2x + El2 + EL2 .

109

Контрольные вопросы 1. В чем суть явления интерференции волн? 2. Какие волны называются кoгepeнтными? 3. Почему возникает интерференция света в области пространства за бипризмой Френеля? 4. При каком условии наблюдаются максимум, минимум освещенности в точке наложения двух когерентных световых волн? 5. Почему преломляющий угол бипризмы делают малым? 6. Что произойдет с интерференционной картиной, если приблизить бипризму к экрану? увеличить преломляющий угол? 7. Объясните, почему при наблюдении интерференционных полос в белом свете центральная полоса – белая, а боковые – окрашены. 8. Какая из картин интерференции будет шире, наблюдаемая в синем свете или в красном свете?

110

Работа 13 КОЛЬЦА НЬЮТОНА Цель работы – определение радиуса кривизны слабовыпуклой линзы с помощью интерференционной картины колец Ньютона. Введение При прохождении света через тонкую прослойку воздуха между плоской стеклянной пластиной и положенной на нее плосковыпуклой линзой большого радиуса кривизны возникает интерференционная картина, имеющая вид концентрических колец. Эти кольца называют кольцами Ньютона, и их можно наблюдать как в свете, отраженном от пластины, так и в свете, проходящем через нее. В нашем эксперименте кольца Ньютона наблюдаются в отраженном свете. Этот метод имеет преимущество в том, что получаемая картина колец Ньютона является гораздо более контрастной по сравнению с наблюдением колец в интенсивном проходящем свете. Определим, как связаны радиусы наблюдаемых колец Ньютона с радиусом кривизны линзы и длиной волны падающего света. Рассмотрим случай, когда волна определенной длины λ падает перпендикулярно на плосковыпуклую линзу (рис. 13.1).

Рис. 13.1

111

На выпуклой поверхности линзы на границе стекло-воздух (точка А) происходит отражение и появляется волна 1, которая, вторично преломившись на верхней поверхности линзы (точка В) на границе стекло−воздух, выходит в виде отраженного света. Вторая волна рождается из первичного луча при преломлении света в точке А, затем отражается в точке С, преломляется в точке D и, наконец, еще раз преломляется в точке Е. Если радиус кривизны линзы достаточно велик и, следовательно, воздушный промежуток между линзой и плоской пластиной очень мал (на рис. 13.1 эти условия не соблюдены), то волны 1 и 2 практически параллельны, когерентны и имеют разность фаз, с большой точностью равную

Δϕ =

2π δ + π, λ

(13.1)

где δ – разность хода волн 1 и 2, которую в силу малости воздушного зазора, можно считать равной его удвоенной толщине ( δ = 2h ). При отражении световой волны в точке С от границы с оптически более плотной средой−стеклом (т.е. средой с большим коэффициr ентом преломления n ) направление светового вектора E меняется на противоположное. Поэтому возникает дополнительное увеличение разности фаз на π в формуле (13.1). Если δ k = k λ

( k = 0, 1, 2, ... ), т.е. Δϕ = ( 2k + 1) π , то волны ослабляют друг дру-

га. Если Δϕ = ( 2k + 2 ) π , то волны усиливают друг друга. При этом

δ k = ( k + 1 2 ) λ ( k = 0, 1, 2, ... ). Точки выпуклой поверхности линзы, находящиеся на одинаковом расстоянии hk = δ k 2 от плоской стеклянной пластины, образуют окружность радиусом rk , именно поэтому интерференционная картина имеет вид концентрических колец – полос равной толщины. Радиусы k-го темного и светлого колец связаны с толщиной воздушного зазора hk и радиусом кривизны линзы R .

112

Рис. 13.2

Найдем эту связь. По теореме Пифагора (рис. 13.2)

R 2 = rk2 + ( R − hk ) , 2

или 2 Rhk = rk2 + hk2 . Так как rk >> hk , то 2 Rhk ≈ rk2 и

hk ≈ rk2 2 R .

(13.2)

Учитывая, что для минимумов 2hk λ = k , получим для k-го радиуса темного кольца

rkТ = k ⋅ λR .

(13.3)

Значение k = 0 соответствует r0Т = 0, т.е. это - точка в месте касания пластины и линзы. В этой точке наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы на π при отражении световой волны от пластины. Соответственно, для радиуса k-го светлого кольца имеем

1⎞ ⎛ rkC = ⎜ k − ⎟ λR . 2⎠ ⎝

(13.4)

Таким образом, результаты измерений радиусов колец Ньютона позволяют определить или длину волны света λ , если известен радиус кривизны, или, наоборот, радиус кривизны поверхности, если известна длина волны.

113

Методика выполнения работы Картина колец Ньютона получается с помощью лазера Л (рис. 13.3) и расширителя пучка Р, который позволяет создавать пучок параллельных световых лучей. Этим потоком освещается плоскопараллельная стеклянная пластина с пpижатой к ней линзой большого радиуса кривизны (кассета) – К. При освещении белым светом на поверхности пластинки, частично oтpaжающей белый свет, наблюдаются радужные кольца. По направлению отраженного от кассеты светового луча устанавливается экран Э, на который в отраженном свете проецируется изображение колец Ньютона в параллельных лучах. В плоскости, проходящей по оси падающего луча и перпендикулярно к плоскости рис. 13.3, кольца Ньютона проецируются на экран Э без искажений размеров.

Рис. 13.3

114

Радиус кривизны линзы может быть рассчитан по формуле:

R=

rk2 , kλ

(13.5)

где k – номер темного кольца. Радиус кривизны может составлять десятки метров. Однако на практике удобнее и точнее измерять диаметры колец d k . Тогда расчетная формула может быть записана в виде

R=

d k2 − d k2−1 . 4λ

(13.6)

Измерение диаметров d k изображений темных колец Ньютона на экране проводится с помощью миллиметровой бумаги, путем нанесения точек, соответствующих диаметру колец. По результатам определения d k и известному значению длины волны излучения гелий-неонового лазера λ = 632,8 нм можно определить радиус кривизны слабовыпуклой линзы по формуле (13.6). Порядок выполнения работы 1. Измерьте диаметры темных колец на экране d k и определите номер кольца k . Данные запишите в табл. 13.1. 2. Вычислите квадраты диаметров темных колец d k2 и рассчитайте значения радиуса кривизны линзы R по формуле (13.6) для нескольких пар соседних колец. Рассчитайте среднее значение радиуса кривизны < R > . Результаты запишите в табл. 3. Оцените погрешность измерений. 4. По данным таблицы постройте график rk2 = f ( k ) . По наклону графика определите радиус кривизны линзы. Сравните полученное значение со средним значением радиуса кривизны < R > из п.2.

115

Таблица 13.1

Номер темного кольца k

Диаметр кольца d k , мм

d k2 , мм

Радиус кривизны линзы R, м

1 2 3 4 5 6 7 8

< R >=

λ = 632,8 нм

Контрольные вопросы 1. С помощью колец Ньютона судят о качестве сферической поверхности линзы. Каким образом? 2. Как изменится число колец Ньютона, если радиус кривизны линзы уменьшится? 3. При каком отношении δ λ разности хода двух когерентных интерферирующих волн к их длине волны наблюдается максимум освещенности? 4. При каком отношении δ λ наблюдается минимум освещенности? 5. Как изменится картина колец Ньютона, если пространство между пластиной и линзой заполнить веществом с коэффициентом преломления n > nстекла ( nстекла = 1,5 )? 6. В чем отличие интерференционной картины колец Ньютона в проходящем свете от интерференционной картины в отраженном свете? 7. Темным или светлым будет центральное пятно при наблюдении колец Ньютона в проходящем свете? 8. Две когерентные световые волны создают отдельно на экране освещенности, которые отличаются друг от друга в 4 раза. Во

116

сколько раз отличаются освещенности интерференционных максимумов и минимумов при наложении этих волн? 9. Оцените величину h для темного кольца с наибольшим и наименьшим радиусами.

117

Работа 14 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Цель работы: наблюдение явления дифракции света от дифракционной решетки в лучах лазера и источника белого света; измерение длины волны излучения лазера. Введение В однородной среде свет распространяется прямолинейно. Если в среде имеются резкие неоднородности (например, граница непрозрачного препятствия), то вблизи них наблюдается нарушение закона геометрической оптики о прямолинейном распространении света. Проникновение света в область геометрической тени (огибание препятствий) называется дифракцией света. Рассмотрим экран с отверстием, на который падает параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной волны λ (рис. 14.1 а и б), где b −размер отверстия, l −расстояние от экрана до точки наблюдения. По принципу Гюйгенса каждая точка в плоскости отверстия является источником вторичных сферических волн.

Рис. 14.1

На рис. 14.1 а и б изображена огибающая всех вторичных волн через интервал времени, равный периоду. Видно, что часть света распространяется в области геометрической тени. Однако принцип Гюйгенса не позволяет ответить на вопрос: какова эта часть? Чтобы

118

определить интенсивность света, например, в точке P , необходимо учесть интерференцию (наложение) всех вторичных волн в данной точке. Принцип Гюйгенса, дополненный условием интерференции вторичных волн, называется принципом Гюйгенса - Френеля. Если paзмер отверстия большой по сравнению с длиной волны λ (выполнено неравенство b/λ >> l/b), то, как видно из рис. 14.1,а, существует множество пар точек в плоскости отверстия, расстояния от которых до точки P отличается на λ 2 . Поэтому волны от этих точек приходят в точку P в противофазе и, следовательно, гасят друг друга. На рис. 14.1,а указана лишь одна пара таких точек. Разность расстояний от них до точки P (разность хода) равна λ 2 . Таким образом, за широким отверстием свет распространяется в основном в направлении падающих лучей, и лишь незначительная его часть проникает в область геометрической тени. Если же размер отверстия мал по сравнению с λ , т.е. выполнено условие b/λ << l/b (рис. 14.1,б), то расстояние от всех точек в плоскости отверстия до точки P отличаются незначительно. Поэтому волны от всех вторичных источников приходят в точку P практически в фазе и, следовательно, усиливают друг друга. В этом случае значительная часть энергии света, прошедшего через отверстие, распространяется в область геометрической тени. Отсюда дифракция света (и волн любой природы) заметно проявляется в том случае, когда размер отверстия (препятствия) в экране или размер неоднородностей в среде, в которой распространяется свет, имеет порядок величины, сравнимой с длиной волны λ . Более точно, когда выполнено условие b λ ≤ l b . Для наблюдения дифракции света используют дифракционные решетки, представляющие собой совокупность большого числа щелей, разделенных непрозрачными промежутками. Промышленностью изготавливаются решетки с числом штрихов (числом щелей) от 100 до1000 и более на ширине в 1 мм. Расстояние d между cepединами соседних щелей называется периодом решетки (рис. 14.2).

119

Рис. 14.2

При освещении решетки каждая ее щель является иcтoчником вторичных волн. Интенсивность света в направлении, заданном углом ϕ (рис. 14.2), зависит от разности хода Δ волн от соседних щелей. Из рис. 14.2 видно, что Δ = d sin ϕ . Если разность хода равна целому числу k длин волн λ , то в указанном направлении вторичные волны с данной длиной усиливают друг друга. Обычно за решеткой помещают линзу с экраном в ее фокальной плоскости. В том месте экрана, где собираются лучи удовлетворяющие указанному выше условию, т.е. d sin ϕ = k λ , (14.1) наблюдается максимум освещенности светом с данной длиной волны. Пусть на решетку падает монохроматический свет с длиной волны λ . Тогда существует ряд значений ϕk , определяющих направление максимума интенсивности. Из (14.1) следует

120

sin ϕk = k

λ ( k = 0, ± 1, ± 2, ... ). d

(14.2)

На экране будет наблюдаться система узких линий (см., например, линии Ф на рис. 14.2), разделенных темными промежутками. Число k называют порядком максимума. Максимуму нулевого порядка ( k = 0 , ϕ0 = 0 ) соответствует самая яркая линия в центре экрана. Ближайшие к ней две линии ( k = ±1 , sin ϕ1 = ± λ d ) являются максимумами первого порядка и т.д. Если на решетку падает белый свет, то положения максимумов фиолетового (Ф) и красного (К) света не будут совпадать (кроме максимумов нулевого порядка, см. линию «Бел» на рис. 14.2). Так, для максимума первого порядка из выражения sin ϕ1 = ± λ d сдует, что ближе к центру расположена фиолетовая линия λФ < λ К , поэтому ϕ1Ф < ϕ1К . На экране будет наблюдаться ряд цветных полос (см. рис. 14.2). Методика выполнения работы Измерения выполняются на установке, схема которой приведена на рис. 14.3. На оптической скамье устанавливают лазер и рейку Л с держателем дифракционной решетки ДР и передвижным экраном Э. Расстояние между решеткой и экраном измеряется по шкале, нанесенной на рейке, также имеется шкала и на экране.

Рис. 14.3

Генерируемый лазером узкий пучок монохроматического света ( λ = 632,8 нм) падает на решетку. В результате интерференции волн от всех освещенных щелей за решеткой наблюдается несколь-

121

ко пучков света, образующих угол ϕk с направлением падающих лучей (рис. 14.4). При этом на экране видны несколько освещенных пятен с координатами xk .

Рис. 14.4

значений k ( k ≤ 3 ) можно положить sin ϕk ≈ tg ϕk = xk l и записать формулу (14.2) в следующем виде: Для

небольших

xk λ =k . (14.3) l d Таким образом, зная период решетки d и измеряя расстояние l и координату xk максимума k-го порядка, можно определить длину волны излучения лазера:

λ=

xk ⋅ d . k ⋅l

(14.4)

Из формулы (14.3) следует, что xk обратно пропорционально d . Поэтому для двух решеток с периодами d1 и d 2 при неизменном значении l получим

122

xk 1 d 2 . = xk 2 d1 Из этого соотношения можно определить период неизвестной решетки, если измерить координаты k-го максимума, заменив известную решетку неизвестной

d 2 = d1

xk 1 . xk 2

(14.5) Для наблюдения дифракции белого света на оптической скамье (рис. 14.5) устанавливают осветитель Осв., линзу Л1, дифракционную решетку ДР, линзу Л2 и экран Э. Свет от осветителя, пройдя через линзу Л1, падает параллельным пучком на дифракционную решетку. Дифракция света наблюдается на экране, помещенном в фокальной плоскости линзы Л2.

Рис. 14.5

Порядок выполнения работы Задание 1. Измерить длину волны излучения лазера. 1. Вставьте в держатель дифракционную решетку с известным периодом d . 2. Отодвиньте экран от решетки на расстояние l порядка нескольких десятков сантиметров так, чтобы на экране наблюдалось не менее 5 максимумов с каждой стороны от центрального пятна.

123

Измерьте координаты правого x1п и левого x1л максимумов 1-го порядка. Данные занесите в табл. 14.1. Таблица 14.1

d , мм

l , мм

x1П , мм

x1Л , мм

x1 , мм

λ, нм

1/100

3. Рассчитайте x1 как полусумму абсолютных значений x1п и

x1л . Погрешность измерения величины x1 примите равной радиусу светового пятна на экране (∼ 2 мм). 4. Рассчитайте по формуле (13.4) длину волны излучения лазера λ. Задание 2. Определить период неизвестной решетки. 1. Аналогично п. 2 задания 1 при одном и том же расстоянии экрана от решетки измерьте координаты максимума 1-го порядка x11 для решетки с известным периодом d1 , и x12 для решетки с неизвестным периодом d 2 . Данные занесите в табл. 14.2. Таблица 14.2 1-я решетка

x11П , мм

x11Л , мм

2-я решетка

x11 , мм

x12П , мм

x12Л , мм

x12 , мм

d 2 , мм

2. Рассчитайте по формуле (14.5) период неизвестной решетки

d2 . Задание 3. Наблюдение дифракционной картины от лампы накаливания. 1. Перейдите к установке для наблюдения дифракционной картины от лампы накаливания. Включите осветитель. 2. Занесите результаты наблюдения дифракционной картины в журнал.

124

Контрольные вопросы 1. Какое явление называют дифракцией света? 2. В чем заключается принцип Гюйгенса−Френеля? 3. Что называется периодом дифракционной решетки? 4. Почему дифракция лазерного луча хорошо наблюдается без установки линзы за дифракционной решеткой, тогда как при наблюдении дифракционной картины от осветителя линза необходима? 5. Почему чередование от фиолетового к красному цвету в каждом из порядков спектров идет от центра к периферии? 6. Почему размер светового пятна, соответствующего дифракционному максимуму, растет с ростом порядка максимума k ? 7. Почему для измерения рекомендуется максимум первого порядка? Можно ли выбрать для измерения максимум 5-го или 8-го порядка? 8. Каково теоретически возможное количество наблюдаемых дифракционных максимумов? Почему число наблюдаемых максимумов не совпадает с теоретически возможным их количеством? 9. Что произойдет с дифракционной картиной от одной щели при увеличении или уменьшении ширины щели?

125

Работа 15 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА Цель работы: наблюдение явления линейной поляризации света; измерение интенсивности поляризованного света в зависимости от угла поворота поляризатора (проверка закона Малюса). Введение Электромагнитные волны и, в частности, свет являются поперечными волнами. Это значит, что в каждой точке волны напряr r женность электрического поля E и магнитная индукция B пер-

r

пендикулярны к скорости ее распространения V

(кроме того,

r r E ⊥ B ). Опыт показывает, что действие света на различные объекr ты вызывается колебаниями вектора E в световой волне. Этот век-

тор называют световым вектором. Ниже будет рассматриваться r лишь вектор E . Поляризованным называется свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-либо образом упорядочены. В элементарной световой волне, т.е. волне, излученной отдельr ным атомом, векторы E в различных точках луча колеблются в одной плоскости (рис. 15.1).

Рис. 15.1

126

r

В каждой точке вектор E , изменяясь по величине, периодически меняет свое направление на пpoтивоположное (колеблется). Соглаr сованные колебания векторов E пpиводят к перемещению профиля

r

волны в направлении оси x . Плоскость колебаний вектора E в этом случае называется плоскостью поляризации, а сама волна – плоско - или линейнополяризованной. Примером плоскополяризованного света служит свет, излучаемый лазером. В естественном свете, излученном многими атомами, содержатся волны с различными ориентациями плоскости поляризации. На рис. 15.2 показаны всевозможные направления колебания вектора r E в пучке естественного света, распространявшегося в направлении оси x . Такой свет называется неполяризованным.

Рис. 15.2

Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с пoмoщью прибора, называемого поляризатором. Он представляет собой пленку или пластину из кристаллического вещества (поляроида). Поляроидные пленки обладают линейным дихроизмом, т.е. неодинаково поглощают две линейно поляризованные перпендикулярно одна к другой составляющие падающего на них излучения. При типичной толщине пленки 0,05 ÷ 0,1 мм одна из составляющих поглощается почти полностью, а другая, лишь несколько ослабляясь, проходит через поляроид. Действие пленочного полимерного поляроида обусловлено дихроизмом молекул полимера, пространственно однородно ориентированных. Таким образом, поляроид способен пропускать свет с определен-

127

r

ным направлением колебаний вектора E . Это направление совпадает с некоторой выделенной осью кристалла или пленки и называется осью поляризатора. Прошедший через поляризатор луч естественного света оказывается плоскополяризованным (рис. 15.3).

Рис. 15.3

Естественный и поляризованный свет оказывают одинаковое физиологическое воздействие на зрение человека. Поэтому человек без специальных приборов не может отличить поляризованный свет от естественного света. Специальным прибором может служить тот же поляризатор, называемый в данном случае анализатором. Если на анализатор падает луч естественного света, то вращение анализатора относительно луча не приводит к изменению интенсивности прошедшего через него света, она лишь немного уменьшится. Иначе обстоит дело с поляризованным светом. Расположим на пути естественного света поляризатор и за ним анализатор. Ось анализатора образует угол α с осью поляризатора (рис. 15.4,а).

128

Рис. 15.4

Пусть E0 – амплитуда напряженности электрического поля в

r

плоскополяризованной волне, падающей на анализатор. Вектор E0

r

r

можно разложить на две составляющие: E1 и E2 (рис. 15.4,б). Пер-

r

пендикулярная к оси анализатора составляющая E1 будет задержа-

r

на (поглощена веществом), а параллельная составляющая E2 пройдет через анализатор. Поэтому амплитуда напряженности электрического поля в волне, прошедшей через анализатор E2 = E1 cos α . (15.1) Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитудного r значения вектора E ( I E 2 ). Возведя выражение (15.1) в квадрат и умножив обе части на коэффициент пропорциональности, получим I = I 0 cos 2 α , (15.2) где I – интенсивность света, прошедшего через анализатор; I 0 – интенсивность падающего на него плоскополяризованного света; α – угол между осью поляризатора и осью анализатора. Соотношение (15.2) называется законом Малюса. Из-за несовершенства поляроида прошедший через поляризатор естественный свет может оказаться лишь частично поляризованным. Степень поляризации частично поляризованного света оцени-

129

вают по величине P =

I max − I min , где I max и I min − максимальная и I max + I min

минимальная величина интенсивности прошедшего света при вращении анализатора. Методика выполнения работы Данный эксперимент может выполняться на одной из двух установках: с использованием осветителя и микроамперметра, а также с использованием лазера и аналого-цифрового преобразователя (АЦП) IBM PSL, подключенного к компьютеру. В качестве поляризатора и анализатора в работе используются стекла с нанесенной полимерной пленкой, закрепленные в оправе со шкалой, позволяющей измерять угол поворота.

Рис. 15.5

Схема установки с использованием осветителя и микроамперметра приведена на рис. 15.5. На оптической скамье размещены осветитель Осв., поляризатор П, анализатор А и фoтоэлемент ФЭ, подключенный к микроамперметру мкА. Осветитель питается через трансформатор, позволяющий регулировать силу света. Свет от осветителя падает узким пучком на поляризатор, а затем на анализатор, При освещении фотоэлемента в нем возникает ток (фототок). Величина фототока i пропорциональна интенсивности света I , прошедшего через анализатор. В работе измеряется зависимость величины фототока i от угла поворота анализатора вокруг оси луча α . Так как i ∼ I, из соотношения (15.2) следует: (15.3) i = i0 cos 2 α ,

130

где i0 – показания микроамперметра при α = 0 , т.е. при таком положении анализатора, когда его ось параллельна оси поляризатора. Это положение находится с помощью микроамперметра, при α = 0 , фототок должен иметь максимальное значение.

Рис. 15.6

Схема установки с использованием лазера и АЦП IBM PSL приведена на рис. 15.6. На оптической скамье размещены лазер Л, поляризатор П и фoтоприемник ФП, подключенный к АЦП IBM PSL. Свет от лазера падает на поляризатор, а затем на фотоприемник. Анализатор в данном случае не используется, так как луч лазера уже плоско поляризован. При освещении в фотоприемнике возникает ток (фототок), который с помощью АЦП переводится из аналоговой в цифровую форму и передается в компьютер. На экране монитора можно наблюдать величину интенсивности света I , прошедшего через поляризатор в люксах. В работе измеряется зависимость величины интенсивности света I от угла поворота поляризатора α : I = I 0 cos 2 α , где I 0 – интенсивность света луча лазера при α = 0 .

131

Порядок выполнения работы I. Установка с осветителем и микроамперметром Задание 1. Проверка закона Малюса. 1. Установите риску на оцифрованной оправе анализатора на 0. Вращая поляризатор, подберите такое его положение, при котором сила фототока максимальна. Для большей точности, слегка поворачивая поляризатор в одну и другую сторону, определите по шкале диапазон углов, в пределах которого фототок практически не отличается от максимального. Установите указатель углов в центре этого диапазона. Запишите в табл. 15.1 показание микроамперметра i0 + iФ , а также значение фонового тока iФ , перекрыв свет вблизи осветителя. 2. Поверните анализатор на угол α = 15o относительно его начального положения (0). Запишите в табл. 15.1 новое показание микроамперметра i + iФ и значение iФ . 3. Выполните измерения для всех значений угла α , указанных в табл. 15.1. Таблица 15.1

α, o

0

15

30

45

…

330

345

360

i + iФ , мкА iФ , мкА i, мкА i i0

1

4. Рассчитайте силу фототока i , и отношение i i0 для всех значений угла α ( i0 − фототок i при α = 0 ).

132

5. Постройте график функции f = cos 2 α . На этот гpaфик нанесите экспериментальные значения i i0 для различных углов α . Сделайте выводы. 6. По данным табл. 15.1 оцените степень поляризации прошедшего света P . II. Установка с лазером и АЦП IBM PSL Задание 1. Подготовить программу к работе. 1. Включите компьютер. Дождитесь загрузки программы. В появившемся верхнем меню выберите элемент Create experiment. (здесь и далее перемещение по меню производится клавишами ← ↑ ↓ → , а выбор подтверждается нажатием клавиши Enter на клавиатуре компьютера). На экране монитора появятся координатные оси графика, верхнее и нижнее меню. 2. Переопределите ось X графика. Для этого в верхнем меню выберете элемент Keyboard. В открывшемся меню Select sampling method выберете элемент Keyboard input. В появившемся меню Select probe name выберите элемент KB A. В появившемся меню Select label and continue выберите элемент Axis name. На запрос программы Enter axis name: введите angle. Перейдите к элементу Axis units. На запрос программы Enter axis units: введите degree. Выберете элемент Continue. В меню Select an axis выберете X-axis. 3. Переопределите ось Y . Для этого в верхнем меню выберите элемент Light. В меню Select probe name выберете элемент Light A. В появившемся меню Select type выберите элемент Photometric. В появившемся меню Select response выберите элемент Dim range. В появившемся меню Select smoothing выберите элемент On. В появившемся меню Select an axis выберите элемент Y-axis. 4. Примените сделанные вами переобозначения. Для этого нажмите F8 и на запрос программы Accept experiment setup? выберите Yes. 5. Переопределите масштаб координатных осей графика. Для этого в верхнем меню выберите элемент Reset parameters. В открывшемся меню Select parameter выберете элемент Ranges of axes. В появившемся меню Select ranges of axis to change выберите элемент x-max (angle in degree). На запрос программы Enter x-max (angle in degree): введите 360. Перейдите к элементу y-max (Light A in

133

Lux). На запрос программы Enter y-max (Light A in Lux): введите 2000. Нажатием клавиши Esc вернитесь к верхнему меню. 6. Откалибруйте фотоэлемент. Для этого выберите меню Run experiment. В открывшемся меню Select action выберете элемент Calibrate. В появившемся меню Select probe выберите элемент Light. В открывшемся меню Select probe to calibrate выберете элемент Probe A calibration. На запрос программы Enter probe A calibration: введите 1235. Нажатием клавиши Esc вернитесь к меню Select action. 7. Запустите программу выбрав элемент Start. Задание 2. Проверка закона Малюса. 1. Установите риску поляризатора на 0. Введите с клавиатуры значение угла (0). В левом нижнем углу экрана под осями графика в рамочке появится введенное значение. Подтвердите ввод нажатием клавиши Enter. 2. Поверните поляризатор на угол α = 15o относительно его начального положения (0). Введите с клавиатуры значение текущего угла. Подтвердите ввод. Программа сразу начнет строить график по введенным значениям и по данным, полученным с фотоприемника. 3. Выполните измерения по п. 2, каждый раз поворачивая поляризатор на 15o , пока поляризатор не совершит полный оборот ( 360o ). Если в процессе ввода данных была допущена ошибка, прекратите эксперимент нажатием клавиши Esc, нажмите F8, подтвердите сброс, и выполните п.п. 1−3 заново. 4. После окончания ввода данных на экране должен быть график вида I = I 0 cos 2 α . Прекратите эксперимент нажатием клавиши Esc. Выберите в верхнем меню элемент Table. Перепишите результаты эксперимента в журнал, заполнив таблицу 15.2. 5. Постройте график функции I = f ( α ) . Сделайте выводы. Таблица 15.2

α, o

0

15

30

45

I , Lux

134

…

330

345

360

Контрольные вопросы 1. Какие волны называются поперечными? 2. Какой свет называется плоскополяризованным? 3. Почему естественный свет является неполяризованным? 4. Как получить плоскополяризованный свет из естественного? 5. Чему равна степень поляризации плоскополяризованного света? Естественного света? 6. При установке поляризатора на пути естественного света, интенсивность прошедшего света заметно падает. Оцените, во сколько раз изменилась интенсивность прошедшего света. 7. Можно перекрыть луч лазера поляризатором, а между поляризатором и экраном установить анализатор, то свет через эту систему не будет проходить. Однако если анализатор установить перед поляризатором, то на экране появится светлое пятно. Объясните этот опыт.

135

Paбота 16 РАССЕЯНИЕ СВЕТА В МУТНОЙ СРЕДЕ Цель работы: наблюдение явления рассеяния света в мутной среде; определение коэффициента экстинкции (ослабления) света в мутной среде. Введение Электромагнитные волны и, в частности, свет, проходя через материальную среду, возбуждают колебания электронов среды. В результате колебаний электроны излучают вторичные волны. Если среда является однородной, то вследствие интерференции вторичных волн, интенсивность проходящего света будет отлична от нуля лишь в направлении падающей световой волны, рассеяния не наблюдается. Если же в среде имеются мелкие неоднородности, то дифракция волн на неоднородностях приведет к значительному рассеянию света. Такую среду называют мутной (например, пар, пыль, дым в воздухе; коллоидные частицы в жидкости; мельчайшие твердые тела внутри прозрачных тел (перламутр, молочные стекла)). Электроны, совершающие колебания под действием электрического поля световой волны, часть своей энергии передают атомам среды. При этом среда нагревается, а энергия световых волн уменьшается. Такой процесс называют поглощением света. За счет рассеяния и поглощения энергия падающей световой волны по мере прохождения ее через вещество убывает. Пусть интенсивность света в точке x рассеивающей среды равна I ( x ) . Если на каждом малом участке среды Δx теряется одна и та же доля энергии проходящего света, пропорциональная интервалу Δx c коэффициентом пропорциональности κ , то

I ( x ) − I ( x + Δx ) = κΔx . (16.1) I ( x) Переходя в равенстве (16.1) к пределу при Δx → 0 , получаем уравнение

136

dI = −κI . dx

(16.2)

Решением уравнения (16.2) является функция

I ( x ) = I ( x1 ) e

− κ( x − x1 )

.

(16.3)

Формула (16.3) выражает закон экстинкции (ослабления) света при распространении в мутной среде – закон Бугера. Здесь I ( x ) - интенсивность света, прошедшего слой вещества толщиной x , в частности I ( x1 ) −интенсивность света на глубине x1 ; e = 2, 7183 – основание натурального логарифма; κ – коэффициент экстинкции (ослабления) света, представляющий собой сумму коэффициента поглощения света и коэффициента ослабления света, обусловленного рассеянием. При x1 = 0 из (15.3) получаем

I ( x ) = I 0 e − κx ,

(16.4)

где I 0 −интенсивность света, падающего на поглощающий слой (рис.16.1).

Рис. 16.1

Из двух процессов ослабления света (поглощение и рассеяние) в мутной среде в нашем эксперименте преобладает процесс рассеяния. Если размеры неоднородностей среды малы по сравнению с длиной световой волны λ , то интенсивность рассеянного света I р оказывается обратно пропорциональной 4-й степени длины волны: Ip ∼ 1/λ4. (16.5)

137

Это соотношение называется законом Рэлея. Интенсивность рассеянного света тем больше, чем меньше длина волны. Так, фиолетовый и голубой свет рассеивается сильнее, чем красный и желтый. Этим объясняется голубоватая окраска сосудов с мутной средой при освещении их белым светом, а также голубой цвет неба. Рассеянный мутной средой свет является поляризованным (см. введение к работе 15 «Поляризация света»). В направлении, перпендикулярном к падающему пучку, рассеянный свет поляризован r полностью (направление колебаний вектора E во вторичной волне и направление колебаний электронов, излучающих эти волны под действием падающего света, лежат в одной плоскости, перпендикулярной к падающему пучку), в других направлениях свет поляризован частично. Методика выполнения работы Данная лабораторная работа может выполняться на двух различных установках: с использованием микроамперметра или аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) IBM PSL, подключенного к компьютеру. В качестве рассеивающей мутной среды применяется водная взвесь частиц мела. Схема установки с использованием микроамперметра приведена на рис. 16.2. Свет от лазера, пройдя через поворотную призму ПП, падает на прозрачное дно сосуда с мутнoй средой МС. Над сосудом установлен фотоэлемент ФЭ, подключенный к микроамперметру. В эксперименте на этой установке измеряется зависимость величины фототока i от высоты столба жидкости x в сосуде. Так как величина фототока i пропорциональна интенсивности света I , прошедшего через среду: i ∼ I, то из соотношения (16.4) следует:

i = i0 e −κx ,

(16.6)

где i0 – показание микроамперметра при прохождении света через пустой сосуд (при x = 0 ). Высоту столба мутной среды x0 , при которой сила фототока уменьшается в e раз, можно назвать характерной длиной рассеяния.

138

x0 = 1 κ .

(16.7)

Рис. 16.2

Для того чтобы убедиться, что фототок с увеличением x действительно уменьшается по экспоненциальному закону, нужно построить график зависимости ln ( i i0 ) от x . Из формул (16.3) и (16.5) следует, что

ln ( i i0 ) = −κx .

139

(16.8)

Таким образом, если экспериментальный график зависимости ln ( i i0 ) оказывается линейным (рис. 16.3), то выражение (16.6) справедливо. Это является также проверкой справедливости закона Бугера (16.3). Из выражения (16.8) получаем

κ=

Δ ln ( i i0 ) Δx

=

ln ( i ′ i0 ) − ln ( i ′′ i0 ) x ′ − x ′′

,

(16.9)

т.e. величина κ пропорциональна тангенсу угла α (см. рис. 16.3), а коэффициент пропорциональности зависит от масштаба. Следовательно, коэффициент поглощения света может быть найден графически по экспериментальной зависимости ln ( i i0 ) от x .

Рис. 16.3

Схема установки с использованием АЦП IBM PSL приведена на рис. 16.4. Свет от лазера, отразившись от поворотного зеркала ПЗ, падает снизу на прозрачное дно мерного сосуда с мутной средой МС (меловая взвесь в воде). Над сосудом установлен фотоприемник ФП, аналоговый сигнал которого при помощи АЦП переводится в цифровую форму и передается в компьютер. На экране монитора можно наблюдать график зависимости освещенности E входного окна ФП (в люксах), которая пропорциональна интенсивности света I , прошедшего через среду от высоты столба жидкости x . По графику можно определить коэффициент экстинкции света κ .

140

Рис. 16.4

Предположим, что известно значение освещенности E1 при некоторой высоте столба жидкости x1 . Полагая E ∼ I, из формулы (16.3) получаем

E = E1 e −κ( x− x1 ) .

(16.10) Логарифмируя по основанию 10 обе части равенства (16.10), можно получить lg ( E E1 ) = lg e⋅ ( −κx + κx1 ) = 0, 4343 ⋅ ( −κx + κx1 ) . (16.11) Чтобы перейти к натуральным логарифмам, выражение (16.11) надо умножить на ln10 = 2, 30259 :

ln ( E E1 ) = ln10 ⋅ lg ( E E1 ) = 2,30259 ⋅ lg ( E E1 ) = ( −κx + κx1 ) . (16.12) Тогда величина коэффициента экстинкции находится из графика (рис. 16.5)

tg α = κ =

Δ ln ( E E1 ) Δx

=

ln ( E ′ E1 ) − ln ( E ′′ E1 ) x′ − x′′

.

(16.13)

Здесь x ′′ , ln ( E ′′ E1 ) и x ′ , ln ( E ′ E1 ) - две произвольные последовательные точки графика.

141

Порядок выполнения работы I. Установка с микроамперметром Задание 1. Измерить кривую ослабления света на установке с микроамперметром. 1. Измерьте силу фототока i0 при прохождении света через пустую колбу ( x = 0 ). Значение i0 запишите в табл. 16.1. 2. Встряхните сосуд с мутной средой. Осторожно доливая по 1 см в колбу раствор из сосуда, снимите зависимость величины фототока i от толщины слоя раствора x . Значения запишите в табл. 16.1. Таблица 16.1

x, см

0

1

2

3

4

5

6

7

…

i, мкА i i0

1

ln i i0

0

Задание 2. Обработать результаты эксперимента. 1. Рассчитайте i i0 и ln i i0 для всех значений x .

2. Постройте графики зависимости i ( x ) , и ln i i0 от х. Сравните полученный график для ln i i0 с графиком, представленным на рис. 16.3. Сделайте вывод о справедливости закона Бугера. 3. По графику функции i ( x ) определите толщину слоя x0 , при ко-

тором свет ослабляется в e раз ( e = 2,72 ) (рис. 16.5).

Рис. 16.5

142

5. Оцените относительную погрешность величины κ , учитывая, что относительные погрешности κ и x одинаковы. При этом в качестве абсолютной погрешности Δx примите приборную погрешность измерения толщины x . 4. Используя график зависимости ln i i0 от х и формулу (16.9), рассчитайте коэффициент экстинкции κ и характерную длину ослабления x0 . Сравните величину x0 с величиной, полученной в п.3. II. Установка с АЦП IBM PSL Задание 1. Подготовить программу к работе. 1. Включите компьютер. Дождитесь загрузки программы. В появившемся верхнем меню выберите элемент Create experiment. (здесь и далее перемещение по меню производится клавишами ← ↑ ↓ → , а выбор подтверждается нажатием клавиши Enter на клавиатуре компьютера). На экране монитора появятся координатные оси графика и верхнее и нижнее меню. 2. Переопределите ось X графика. Для этого в верхнем меню выберете элемент Keyboard. В открывшемся меню Select sampling method выберете элемент Keyboard меню input. В появившемся Select probe name выберите элемент KB A. В появившемся меню Select label and continue выберите элемент Axis name. На запрос программы Enter axis name: введите x. Перейдите к элементу Axis units. На запрос программы Enter axis units: введите cm. Выберете элемент Continue. В меню Select an axis выберете X-axis. 3. Переопределите ось Y . Для этого в верхнем меню выберите элемент Light. В меню Select probe name выберете элемент Light A. В появившемся меню Select type выберите элемент Photometric. В появившемся меню Select response выберите элемент Dim range. В появившемся меню Select smoothing выберите элемент On. В появившемся меню Select an axis выберите элемент Y-axis. 4. Примените сделанные вами переобозначения. Для этого нажмите F8 и на запрос программы Accept experiment setup? выберите Yes. 5. Переопределите координатные оси графика. Для этого в верхнем меню выберите элемент Reset parameters. В открывшемся меню Select parameter выберете Lables, затем Graph title, введите название графика Light vs depth, вернитесь используя Esc. В меню Lables to

143

change выберите Y axis name. На подсказку программы Enter axis name введите E. Затем, используя Esc вернитесь в меню Ranges of axes. В появившемся меню Select ranges of axis to change выберите элемент x-max (x in cm). На запрос программы Enter x-max (x in cm): введите 20. Перейдите к элементу y-max (E in Lux). На запрос программы Enter y-max (E in Lux): введите 200. Нажатием клавиши Esc вернитесь к верхнему меню. 6. Откалибруйте фотоэлемент. Для этого выберите меню Run experiment. В открывшемся меню Select action выберете элемент Calibrate. В появившемся меню Select probe выберите элемент Light. В открывшемся меню Select probe to calibrate выберете элемент Probe A calibration. На запрос программы Enter probe A calibration: введите 1081. Нажатием клавиши Esc вернитесь к меню Select action. 7. Запустите программу, выбрав элемент Start. Задание 2. Измерить кривую ослабления света. 1. Встряхните сосуд с мутной средой. Пережмите резиновую трубочку, отходящую от колбы. Осторожно вылейте в колбу раствор из сосуда так, чтобы колба заполнилась на всю длину шкалы. Введите с клавиатуры значение x соответствующее уровню жидкости (в см). В левом нижнем углу экрана под осями графика в рамочке появится введенное значение. Подтвердите ввод нажатием клавиши Enter. 2. Вставьте трубочку в освободившийся сосуд. Слейте из колбы 1 см жидкости. Введите с клавиатуры текущее значение x . Программа сразу начнет строить график по введенным значениям и по данным, полученным с фотоприемника. 3. Выполните измерения по п. 2, сливая каждый раз по 1см жидкости. Последнее измерение произведите, когда уровень жидкости достигнет сливного отверстия колбы. Если в процессе ввода данных была допущена ошибка, прекратите эксперимент нажатием клавиши Esc, нажмите F8, подтвердите сброс, и выполните пп. 1 - 3 заново. 4. Прекратите эксперимент нажатием клавиши Esc. Получившийся график представляет собой по виду спадающую экспоненциальную зависимость. Выберите в верхнем меню элемент Table. Перепишите результаты эксперимента в журнал, заполнив строку E табл. 16.2. Постройте график функции E = f ( x ) .

144

Таблица 16.2

x, см E , Лк ln E E1 Задание 3. Обработать результаты эксперимента. 1. Выберите Calculate из главного меню. В открывшемся меню Select axis выберите Y-axis. В меню Select math operation активируйте Divide by constant. На подсказку Enter value of constant введите значение E1 , полученную в конце измерений для остаточного уровня жидкости в колбе. Получившийся график должен начинаться с единицы. 2. Выберите Calculate из главного меню. В открывшемся меню Select axis выберите Y-axis. В меню Select math operation выберите log(base 10), далее Enter. Полученный график представляет собой функцию, описанную формулой (16.11). 3. Выберите Calculate из главного меню. В открывшемся меню Select axis выберите Y-axis. В меню Select math operation откройте Multiply by constant. На подсказку Enter value of constant введите значение 2.30259 (формула (16.12)). Получившийся график представляет собой убывающую линейную зависимость, начинающуюся практически с нулевого значения. Выбрав Table из верхнего меню, занесите результат в табл. 16.2. 4. Измените обозначение оси Y. Из верхнего меню выберите Reset parameters. В открывшемся подменю активируйте Lables. Здесь введите Graph title и на подсказку Enter graph title введите ln(E/E1) vs depth и Enter. В меню Select lables to change возьмите Y-axis name. На Enter откроется окно для ввода названия оси. Введите ln(E/E1). В меню Select lables to change выберите элемент Y-axis units. На Enter откроется окно Enter y-axis units. Введите unitless, что означает безразмерный. Далее Esc вернет вас к экрану с графиком и новыми обозначениями осей. 5. Вернитесь в меню Graph. Установите стрелку в положение, соответствующее конечной точки измерения. Введите с клавиатуры M (=Mark) (см. нижнее меню). Перемещая курсор, пометьте точки

145

графика. Затем введите F (=Fit) (см. нижнее меню). В открывшемся окне Select fit operation подтвердите Draw approximation line. Клавишей Esc вернитесь из операции Fit к основному экрану. 6. Программа, выполнив аппроксимацию (приближение) экспериментальных данных прямой линией зеленого цвета, покажет в верхней части экрана вид уравнения аппроксимирующей прямой. Сравните это уравнение с теоретическим уравнением (16.12). 7. Сравните экспериментальные и теоретические данные, построив соответствующие графики, определите коэффициент экстинкции κ и характерную глубину ослабления света x0 . 8. Оцените относительную погрешность величины κ , учитывая, что относительные погрешности κ и x одинаковы. При этом в качестве абсолютной погрешности Δx примите приборную погрешность измерения толщины x . Контрольные вопросы 1. Какие процессы приводят к ослаблению светового пучка при его распространении в среде? 2. Как зависит интенсивность света в пучке от толщины слоя вещecтва, через который прошел этот пучок? 3. Предложите способ измерения толщины рассеивающего слоя, не прибегая к геометрическим измерениям. 4. Как изменится график на рис. 16.3, если цвет лазерного луча изменится на синий? 5. Объясните, почему белый свет, пройдя через колбу с мутной средой, приобретает желтый отенок, а при боковом рассмотрении цвет колбы имеет голубоватый оттенок? 6. Почему окраска неба при закате солнца имеет красный оттенок? 7. Как объяснить, что облака белые, а чистое небо – голубое?

146

Работа 17 ОСНОВЫ ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ ДИФФУЗНО ОТРАЖАЮЩИХ ОБЪЕКТОВ. Цель работы: ознакомление с основами метода лазерной интерферометрии, измерение профиля изгиба пластины, определение величины деформирующего усилия. Введение Зрение является одним из важнейших органов чувств, поскольку именно оно дает наибольшую информацию об окружающем мире. Зрительная информация воспринимается глазом человека и обрабатывается мозгом. Однако время необходимое для обработки может превышать возможное время наблюдения. Кроме того, часто возникает необходимость передачи этой информации другому человеку не получившему ее непосредственно из собственных наблюдений. Зрительную информацию можно получить и сохранить с помощью фотографии. При фотографическом способе формирования изображения объекта световая волна, рассеянная на объекте, с помощью оптических элементов образует действительное изображение на светочувствительном материале. Плотность зачернения каждой точки изображения на негативе пропорциональна интенсивности свечения соответствующей точки объекта. В свою очередь, интенсивность световой волны пропорциональна квадрату ее амплитуды (I ∼ E2). Световая волна характеризуется не только амплитудой, но и фазой, которую фотография не регистрирует. Таким образом, фотографическая информация об объекте не является полной. В 1948 году Деннис Габор предложил новый принцип записи изображений, который позволяет фиксировать не только амплитудные, но и фазовые характеристики электромагнитных волн и получать, таким образом, более полную информацию об объекте – источнике этой волны. Этот метод получил название «голография». Принцип получения голографического изображения

147

Рассмотрим принцип голографии на простейшем примере (рис. 17.1).

Рис. 17.1

Предметная волна 1 распространяется под углом θ′ к перпендикуляру, восстановленному к плоскости A . Опорная волна 2 распространяется перпендикулярно к этой поверхности. Волны 1 и 2 характеризуются одной и той же длиной волны λ и являются когерентными. В результате интерференции этих волн на плоскости будет наблюдаться интерференционная картина в виде эквидистантных полос. Пространственный период этой картины определяется разностью хода между участками волнового фронта в волнах 1 и 2. Поверхность одинаковой фазы в волне 2 совпадает с плоскостью A . В точке плоскости A с координатой y (рис. 17.1,а) разность хода Δ = y sin θ′ . (17.1) Максимум интенсивности интерференционной картины в плоскости A соответствует значениям Δ = ± nλ , где n = 0,1, 2, ... Расстояние d между максимумами

d = yn − yn−1 =

λ . sin θ′

(17.2)

Поместим в плоскости A фотопластинку и засветим ее. При правильном выборе экспозиции и режима обработки (проявление и закрепление) на пластине получится изображение интерференци-

148

онных равностоящих полос. Полученный фотоснимок представляет собой дифракционную решетку с периодом d . При освещении решетки опорным излучением (волна 2) (рис. 17.1,б) в результате дифракции опорного пучка на решетке возникают несколько волн. Направление волны на максимум дифракции порядка m определяется условием d sin θ = λm . Для m = 1

d sin θ = λ .

(17.3)

Сравнение (17.3) с (17.2) для периода дифракционной решетки дает θ′ = θ , т.е. свет на решетке дифрагирует под углом θ′ , что аналогично восстановлению предметной волны. Таким образом, фотографическая запись интерференционной картины двух плоских волн при последующем освещении изображения опорной волной позволяет восстановить другую волну - предметную. Пусть теперь перед фотопластинкой Ф находится точечный источник S монохроматического и когерентного излучения (рис. 17.2).

Рис. 17.2

Одновременно пластинка освещается параллельным пучком лучей I , также монохроматических и когерентных. Условие когерентности этих двух световых потоков приводит к тому, что на фотопластинке образуется система интерференционных полос, представляющая собой совокупность концентрических колец. Расстояние между соседними полосами вдоль радиуса будет зависеть от угла,

149

под которым падают на фотопластинку лучи точечного источника и фонового пучка в данную точку пластинки. Условие максимума интенсивности, т.е. образование черного кольца на негативе, определяется соотношением Rk sin βk = k λ . Тогда расстояние между соседними темными полосами

ΔR =

λ , sin βk

(17.4)

при этом считаем, что углы для соседних колец примерно равны. Экспонированная и обработанная фотопластинка фактически представляет собой дифракционную решетку, у которой штрихи – это темные кольца, а промежутки между ними – светлые прозрачные кольца. Если эту пластинку осветить пучком параллельных когерентных лучей (тем же пучком, который служил фоном при экспонировании) то лучи, проходящие через прозрачные кольца, будут дифрагировать, т.е. отклоняться (рис. 17.3).

Рис. 17.3

Для дифракционных решеток угол, под которым виден максимум k -того порядка определяется соотношением:

d sin α k = k λ ,

150

(17.5)

где d – расстояние между соседними штрихами (постоянная решетки). Если вместо d подставить в эту формулу ΔR из формулы (17.4), то из сравнения формул (17.4) и (17.5) видно, что промежуток между двумя соседними кольцами будет отклонять падающее на пластинку излучение под тем же углом к оси симметрии, под которым на место этого промежутка падало излучение от точечного источника при экспонировании. (Это справедливо для k = 1 – в этом направлении при дифракции идет максимальная часть излучения). Таким образом, лучи, дифрагирующие в направлении оси, пересекутся в одной точке на оси на том же расстоянии от пластины, на котором был расположен точечный источник, но с другой стороны. Продолжения лучей, отклоненных от оси, также пересекутся в одной точке, причем в том же месте, где находился точечный источник. Видно, что сформировались два изображения источника – действительное S ′ (справа от пластины) и мнимое S (слева от пластины) (рис. 17.3). Если посмотреть сквозь пластинку вдоль пучка падающих на нее лучей, то можно увидеть изображение светящейся точки в том месте, где она находилась при экспонировании. Эта операция называется «восстановлением голографического изображения объекта», записанного в схеме, изображенной на рис. 17.2. В данном случае записан простейший объект – точка. Можно ли записать и восстановить изображение реального объемного предмета? Очевидно, что это возможно, поскольку объект в оптике – это совокупность светящихся точек. Необходимо иметь источник излучения, обладающий высокой степенью когерентности и монохроматичности. Таким источником является оптический квантовый генератор – лазер. Для получения изображения предмета как совокупности светящихся точек необходимо чтобы каждая точка создала на фотопластинке свою систему интерференционных полос. Следовательно, фотоэмульсия должна иметь очень высокую разрешающую способность, т.е. на единице площади поверхности фотоэмульсии должно помещаться очень большое количество раздельных, несливающихся полос. Повышение разрешения эмульсии сопряжено с уменьшением

151

ее чувствительности, что приводит к значительному увеличению времени экспозиции. В результате, за время длительной экспозиции оптические элементы установки могут сдвинуться относительно друг друга. Если сдвиг будет величиной хотя бы в одну длину волны, то интерференционная картина станет размытой и на фотоэмульсии не зафиксируется. Чтобы избежать даже малейших смещений, необходимо создать специальные конструкции, устойчивые к вибрациям, и повысить мощность лазера. Принципиальные схемы записи и восстановления голограммы реального объекта представлены на рис. 17.4.

Рис. 17.4

При записи голограммы (рис. 17.4а) используется один лазер, только так можно обеспечить когерентность двух световых пучков. Его излучение делится полупрозрачной пластиной на два пучка: один пучок освещает объект, и рассеянные им лучи затем попадают на фотопластинку, второй пучок – фоновый или опорный формируется излучением, проходящим через полупрозрачную пластину. Излучение, рассеянное объектом, и опорный луч когерентны, поэтому они интерферируют на фотоэмульсии и создают сложную систему полос, содержащую информацию об амплитудах и фазах волн, рассеянных каждой точкой объекта.

152

После обработки фотопластинки она помещается в пучок когерентного излучения, которое, дифрагируя на системе полос, формирует действительное и мнимое изображение предмета (рис. 17.4б). Мнимое изображение можно увидеть сквозь голограмму. Наиболее интересное свойство этого изображения – его «объемность». Изменяя угол зрения, можно увидеть предмет в разных ракурсах так же, как и его прототип. Но голография используется не только для создания «объемных» изображений реальных объектов. Она широко применяется в научных исследованиях. В частности, на принципе голографии был создан метод, который называется методом лазерной интерферометрии поверхности. Метод лазерной интерферометрии поверхностей В некоторых технических задачах возникает необходимость измерения малых деформаций поверхности твердых объектов с точностью до долей микрона. Для решения таких задач применение метода лазерной интерферометрии оказывается наиболее эффективным. Схема установки изображена на рис. 17.5. Луч лазера делительным зеркалом ДЗ разделяется на два когерентных пучка – I и II. Луч II, отражаясь от зеркала З2, проходя через диафрагму Д, расширяется линзой Л1 и зеркалом З1, направляется на деформируемую пластину О, от которой лучи диффузно (равномерно по поверхности) отражаются и попадают на фотопластинку Г. Нижний край пластины закреплен, а к верхнему краю прикладывается малая горизонтальная сила, за счет чего пластина изгибается. Размеры пластины: толщина h = ( 2, 0 ± 0,1) мм, высота l = ( 20,0 ± 0,1) см, ширина b = ( 20,0 ± 0,1) см. Модуль упругости материала пластины (дюраль) E = 7 ⋅1010 Н/м 2 . Луч I, являясь когерентным фоном – опорным лучом, отразившись от системы зеркал З3 – З5 и пройдя рассеивающую линзу Л2, также попадает на фотопластинку. При записи интерферограммы использовался специальный голографический одномодовый He - Ne лазер ЛГН-215 с длиной волны излучения λ = 632,8 нм. Мощность непрерывного излучения лазера составляла ∼20 мВт. После записи изображения пластины она деформировалась и производилась еще одна экспозиция. Голо-

153

грамма записывалась на фотопластинке высокого разрешения марки ПФГ-3 с чувствительностью на длине волны λ = 633 нм, равной 35 Дж ⋅ м 2 при дифракционной эффективности (отношению дифрагированного в первый порядок светового потока к падающему на голограмму), равной 30% . Суммарная экспозиция голограммы составляла 16 мин. Проявка и закрепление голографического изображения производилась проявителем СП-4, в состав которого входит сульфат натрия, гидрохинон, КОН, фенидон, роданистый аммоний, бензотриазил. На стадии восстановления обработанная фотопластинка помещается на прежнее место, луч II перекрывается, а луч I, служивший при записи опорным лучом, диффрагируя на голограмме, формирует голографическое изображение пластины О в первом порядке дифракции. Такой ход лучей позволяет наблюдать голографическое изображение в горизонтальном направлении (схема Лейта и Упатниекса).

Рис. 17.5

Для того чтобы получить интерферограмму, необходимо записать на одну и ту же фотопластинку голографические изображения недеформированной пластины и пластины после деформации. То-

154

гда при восстановлении этой «двойной» голограммы световые потоки, формирующие изображения деформированной и недеформированной пластин, являясь когерентными, будут интерферировать, и по этой картине можно определить профиль деформированной пластины. В лабораторной работе запись интерферограммы не производится, поскольку эта операция весьма сложная и трудоемкая. Учащиеся восстанавливают готовую интерферограмму, сделанную на этой же установке. Для наглядности восстановленное изображение пластины находится на фоне этой же пластины. Таким образом, схема восстановления выглядит так же, как и схема на рис. 17.5, но в ней отсутствует луч II. Выберем произвольную узкую полоску пластины Δx (рис. 17.6), находящуюся на расстоянии xn от зажима пластины. Лучи, формирующие изображения пластины в двух положениях интерферируют, причем интерференционные полосы локализованы на некоторой поверхности перед пластиной P . Светлая полоса окажется там, где оптическая разность хода между отраженными лучами 1 и 1′ будет кратной длине волны. Из рисунка 17.6 видно, что эта разность хода складывается из двух отрезков AB и AC . В свою очередь AB = AA′ cos ϕ1 и AC = AA′ cos ϕ2 .

155

Рис. 17.6

В точке P будет наблюдаться максимум интерференционной картины (светлая полоса), если суммарная разность хода кратна длине волны: Δ n = AB + AC = AA′ ( cos ϕ1 + cos ϕ2 ) = nλ , где AA′ – это смещение участка пластины шириной Δx , находящегося на расстоянии xn от зажима пластины. Поскольку целью работы и является определение зависимости смещения участков пластины от координаты данного участка – профиля пластины, введем новое обозначение: AA′ = yn ( xn ) . Тогда

156

yn =

nλ . cos ϕ1 + cos ϕ2

Для того чтобы эта зависимость выглядела более привычно ( y – по вертикали, x – по горизонтали), повернем рис. 17.6 так, как это показано на рис. 17.7. Каждой xn – координате n –й светлой полосы, отсчитанной от зажима пластины, соответствует величина отKn , где клонения участка пластины равная

K = λ ( cos ϕ1 + cos ϕ2 ) , а n = 1, 2, 3, ... . −1

Нормальное отклонение пластины на одну полосу для данной установки равна K = 0,34 мкм/полосу. Таким образом, непосредственно измерив эти координаты, можно построить искомую зависимость Y ( x ) – профиль изгиба пластины.

Рис 17.7

Для сравнения экспериментально полученного профиля пластины с теоретическим, могут быть использованы формулы теории упругости. Выбранный участок пластины S , имеющий малый размер Δx , находится в равновесии. Воздействие соседних участков приводит не только к отклонению рассматриваемого участка, но и к его упругой деформации (рис. 17.8 а,б), причем одна часть участка растягивается относительно средней плоскости OO ′ , а другая сжимается. Напряжение p на границах участка зависит от вспомогательной координаты ξ , отсчитанной от средней плоскости OO ′ .

157

По закону Гука для любого сечения, находящегося на расстоянии

ξ от средней плоскости OO ′ p ( ξ ) = E

δ ( Δx ) δ ( Δx ) , здесь - отΔx Δx

носительное удлинение, зависящие от ξ (рис. 17.8,б). Из подобия треугольников

δ ( Δx ) ξ = , где ρ ( x ) - радиус кривизны участка Δx ρ( x)

( ρ > h ) . Тогда p ( ξ ) = E

ξ есть линейная функция ξ . ВращаюΔx

щий момент сил, действующий на участок, определяется как

M = ∫ ξ ⋅ dF ( ξ ) , где dF ( ξ ) - сила, действующая вдоль сечения,

расположенного на расстоянии ξ от средней плоскости. Очевидно,

что dF ( ξ ) = p ( ξ ) ⋅ b ⋅ d ξ , так как b ⋅ d ξ - площадь элемента границы рассматриваемого участка, на который действует сила dF ( ξ ) . h/2

Тогда М = b

∫ 0

ξ ⋅ p (ξ) ⋅ d ξ =

Eh3b . 12ρ

Рис.17.8

158

Этот момент должен быть равен по величине и противоположен по знаку моменту, действующему на элемент со стороны части пластины, находящейся под воздействием силы G . Ее плечо l − x (рис. 17.8а), поэтому

G (l − x ) =

Eh3b , 12ρ ( x )

(17.6)

откуда

Eh3b . ρ( x) = 12G ( l − x )

(17.7)

Радиус кривизны ρ ( x ) графика функции y ( x ) при малой кривизне определяется из уравнения ρ−1 ( x ) =

d2y . После подстановки dx 2

ρ ( x ) из (17.7) получим дифференциальное уравнение

12G ⋅ (l − x ) d2y , =− 2 dx Eh 3b

решение которого с учетом граничных условий y ( x = 0) = 0 ,

dy dx

= 0 дает математическую зависимость, определяющую проx =0

филь пластины:

y( x) = −

6Gx 2 ⎛ x ⎞ − l⎟. 3 ⎜ Eh b ⎝ 3 ⎠

(17.8)

При значениях x ( x < l ) формулу (17.8) можно упростить:

y ( x) = −

6Gl 2 x . Ebh3

(17.9)

Деформирующая сила G неизвестна, ее нужно определить по результатам измерений. Порядок выполнения работы (ВНИМАНИЕ! Запрещается трогать голограмму и оптические поверхности зеркал и линз).

159

Задание 1. 1. Используя осветитель, добейтесь одновременной видимости системы интерференционных полос и шкалы линейки на ее фоне. 2. Измерьте координаты центров светлых полос xn , отсчитывая их от нижнего края пластины. Результаты запишите в таблицу 17.1. Таблица 17.1 № полосы n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Координата полосы xn

Yn = Kn 3. Рассчитайте нормальное смещение точек пластины Yn , соответствующие каждой из n полос. Результаты запишите в таблицу 17.1. 4. Постройте график зависимости Yn ( xn ) . Определите погрешность измерений, нанесите эти погрешности на график. Задание 2. 1. Для экспериментальных точек при xn < l рассчитайте значение коэффициента an =

Yn . xn2

2. Рассчитайте среднее 〈 a〉 =

∑a

n

n

.

3. Для сравнения постройте зависимость 〈 a〉 ⋅ xn2 от xn на том же графике. 4. Считая, что 〈 a〉 =

6Gl , определите значение неизвестной Ebh3

силы G . Величина G составляет порядка десятков миллиньютон.

160

Контрольные вопросы 1. Для чего нужен когерентный фон (опорный луч) при голографической записи изображений? 2. Как производится восстановление голографического изображения? 3. В каком порядке дифракции наблюдается голографическое изображение? 4. Что произойдет с изображением, если перекрыть часть поверхности голограммы? 5. При записи интерферограммы рядом с пластиной был установлен предмет. Каким является изображение этого предмета – мнимым или действительным? 6. Почему при восстановлении интерферограммы мы наблюдаем систему полос, а при восстановлении обычной голограммы такие полосы не наблюдаются?

161

ЛИТЕРАТУРА Работа 10 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 4.Волны.Оптика. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2002. стр.69-70. • Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 1999. стр.69-70 Работа 11 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 4.Волны.Оптика. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2002. стр.81-89. • Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 1999. стр.71-73 Работа 12 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 4.Волны.Оптика. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2002. стр.93-110. • Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 1999. стр.81-94 Работа 13 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 4.Волны.Оптика. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2002. стр.119-120. • Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 1999. стр.106-107 Работа 14 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 4.Волны.Оптика. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2002. стр.134-143, 164-167. • Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 1999. стр.121-124, 150-157. Работа 15 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 4.Волны.Оптика. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2002. стр.188-192.

162

• Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 1999. стр.177-181 Paбота 16 • P. Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс «Фейнмановские лекции по физике», т.3, «Мир», 1967, стр. 83-90, 110-115. Работа 17 • Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 4.Волны.Оптика. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ», 2002. стр.183-187. • Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 1999. стр.165-169 • Физическая энциклопедия. Т.1. М.: Сов. Энциклопедия. 1990. • Тарасов Л.В. Знакомьтесь - лазеры. М.: Радио и связь, 1988. стр.192 (Науч. - попул. библиотека школьника). • Тарасов Л.В. Лазеры: Действительность и надежды. М.: Наука, 1985. (Библиотечка «Квант»; вып. 42). • Годжаев Н.М. Оптика. М.: Высшая школа. 1977. стр. 204 - 221

163

ИЗЛУЧЕНИЯ И СПЕКТРЫ Работа 18 ВНЕШНИЙ ФОТОЭФФЕКТ Цель работы: наблюдение внешнего фотоэффекта; определение величины силы тока насыщения. Введение Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется явление вырывания электронов из твердых тел и жидкостей под действием света. Опытным путем установлены три закона фотоэффекта. 1. При неизменном спектральном составе света количество вырываемых светом электронов (фотоэлектронов) прямо пропорционально световому потоку, падающему на поверхность – закон Столетова. 2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с частотой падающего света и не зависит от его интенсивности - закон Эйнштейна. 3. Для каждого вещества существует граничная частота света ν 0 (красная гpаница фотоэффекта), ниже которой фотоэффект не наблюдается. Электрическая схема прибора для наблюдения фотоэффекта приведена на рис. 18.1. Свет, проникающий через окошко О, освещает катод К, изготовленный из исследуемого материала. Электроны, испущенные вследствие фотоэффекта, перемещаются под действием электрического поля к аноду А. В результате в цепи течет фототок, измеряемый микроамперметром мкА. Напряжение между анодом и катодом можно изменять с помощью потенциометра П. Это напряжение измеряется вольтметром V.

164

Рис.18.1

Полученная на таком приборе вольт-амперная характеристика (т.е. кривая зависимости фототока I от напряжения между электродами U ) приведена на рис. 18.2.

Рис.18.2

Характеристика снимается при неизменном световом потоке. При некотором, не очень большом напряжении фототок достигает насыщения (рис.18.2) - все электроны, испущенные катодом, попадают на анод. Следовательно, сила тока насыщения определяется количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени под действием света. Пологий ход кривой указывает на то, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Доля электронов, отвечающая силе тока при U = 0 , обладает скоростями, достаточными для того, чтобы долететь до анода «самостоятельно», без помощи ускоряющего поля. Для обращения силы тока

165

в нуль нужно приложить задерживающее напряжение U З . При таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему при вылете из катода наибольшим значением скорости Vm , не удается преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. Поэтому можно написать (считая вылетевший электрон нерелятивистским), что

mVm2 = eU З , 2

(18.1)

где m - масса электрона. Таким образом, измерив задерживающее напряжение U З , можно определить максимальное значение скорости фотоэлектронов. Законы фотоэффекта противоречат классическим представлениям о волновой природе света, согласно которым скорость фотоэлектронов должна зависеть от амплитуды электромагнитной волны, т.е. от интенсивности света. Однако все закономерности фотоэффекта объясняются квантовой теорией света, согласно которой свет испускается, поглощается и распространяется в виде квантов электромагнитного поля, называемых фотонами. Энергия E фотона прямо пропорциональна частоте ν излучения: E = hν . (18.2) Коэффициент пропорциональности называется постоянной Планка ( h = 6, 62 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с). Ограничимся случаем фотоэффекта с поверхности металлов, обусловленным поглощением фотонов электронами проводимости. Электроны проводимости не могут самопроизвольно покидать металл в заметном количестве. Для того чтобы электрон проводимости мог покинуть поверхность металла, он должен приобрести энергию, достаточную для преодоления потенциального барьера, существующего вблизи поверхности металла. Силы, обуславливающие этот барьер, имеют следующее происхождение. Случайное удаление электрона от наружного слоя положительных ионов приводит к возникновению в том месте, которое покинул электрон, избыточного положительного заряда. Кулоновское взаимодействие с этим зарядом заставляет электрон, скорость которого не очень велика, вернуться обратно. Таким образом, от-

166

дельные электроны все время покидают поверхность металла, удаляются от него на несколько межатомных расстояний и возвращаются обратно. В результате металл оказывается окруженным тонким облаком электронов. Это облако образует совместно с наружным слоем ионов двойной электрический слой. Силы, действующие на электрон в таком слое, направлены внутрь металла. Они и создают потенциальный барьер. Наименьшая энергия, которую нужно сообщить электрону для того, чтобы удалить его из твердого или жидкого тела в вакуум, называется работой выхода A . Работа выхода существенно зависит от рода вещества и очень чувствительна к состоянию поверхности металла, в частности к ее чистоте. Если электрон освобождается светом не у самой поверхности, а на некоторой глубине, то часть энергии, равная E ′ , может быть потеряна вследствие случайных столкновений в веществе. Остаток энергии образует кинетическую энергию mV 2 2 электрона, покинувшего вещество. Энергия mV 2 2 будет максимальна, если E ′ = 0 . В этом случае должно выполняться равенство

hν = A + ( mV 2 2 )

max

.

(18.3)

Соотношение (18.3) называется уравнением Эйнштейна. Из формулы (18.3) следует, что в случае, когда работа выхода A превышает энергию кванта, т.е. hν < A , электроны не могут покинуть металл. Частота ν 0 , или соответствующая ей длина волны λ 0 , называется красной границей фотоэффекта ν 0 = A h , ( λ 0 = c ν 0 = ch A ). (18.4) где c - скорость света в вакууме. Методика выполнения работы Для изучения явления фотоэффекта в работе используется промышленный вакуумный фотоэлемент СЦВ-4, представляющий собой стеклянный откачанный сосуд, на внутреннюю поверхность которого нанесен сурьмяно-цезиевый фоточувствительный слой.

167

Рис.18.3

Схема установки изображена на рис. 18.3. Фотоэлемент ФЭК, размещающийся внутри кожуха, и осветитель Осв. устанавливаются на оптической скамье и фиксируются с помощью рейтеров. Световой поток, падающий на фотокатод фотоэлемента, можно менять с помощью регулятора на блоке питания осветителя. Источником ускоряющего напряжения, подаваемого на электроды, является источник питания ИП. Значения ускоряющего напряжения устанавливаются переключателями на панели источника. (ВНИМАНИЕ! Запрещается выставлять значение 000). Измерение фототока производится микроамперметром. Изменение спектрального состава излучения, падающего на фотоэлемент, достигается применением светофильтров. Порядок проведения работы Задание 1. Исследовать вольт-амперную характеристику фотоэлемента. 1. Включите осветитель и расположите его вплотную к окну фотоэлемента. Поверните регулятор на блоке питания осветителя в крайнее правое положение, соответствующее максимальной интенсивности светового потока. 2. Установите на источнике питания значение ускоряющего напряжения U = 0,1 В ≈ 0 В. Запишите показания фототока I в табл. 18.1.

168

3. Увеличивая напряжение через каждые 5В, снимите зависимость силы фототока I от напряжения U . Последнее измерение производится при U = 99,9 В ≈ 100 В. Данные занесите в табл. 18.1. Таблицы 18.1

Напряжение U, В

0,1

5

10

15

95

99,9

Сила фототока I , мкА

4. Вращением регулятора на блоке питания осветителя уменьшите интенсивность светового потока, падающий на фотоэлемент. 5. Повторите задания пп. 2−3. Данные занесите в таблицу. аналогичную таблице 18.1. 6. Постройте зависимости I от U (вольт-амперную характеристику) для двух значений освещенности на одном графике. Отложите на них приборные погрешности ΔU и ΔI . Объясните результат измерений. Задание 2. Обнаружить (качественно) «красную» границу фотоэффекта для вещества фотокатода. 1. Установите напряжение на фотоэлементе, соответствующее току насыщения. 2. Изменяя с помощью светофильтров спектральный состав излучения, падающего на поверхность фотокатода, проследите за показаниями микроамперметра. Данные измерений занесите в табл. 18.3. 3. Сформулируйте результаты наблюдений. Таблица 18.3

Цветность излучения

белый

фиолетовый

синий зеленыйжелтый

Сила фототока I H , мкА

169

оранжевый

красный

Контрольные вопросы 1. Сформулируйте законы фотоэффекта. 2. В чем законы фотоэффекта противоречат представлениям волновой теории света? 3. Почему при U = 0 сила фототока отлична от нуля? 4. Как объяснить наличие тока насыщения у фотоэлементов? 5. Можно ли, используя законы фотоэффекта, измерить величину постоянной Планка h ? 6. Как изменится величина задерживающего напряжения при увеличении длины волны падающего света?

170

Работа 19 ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ ИСПУСКАНИЯ Цель работы: наблюдение линейчатых оптических спектров испускания паров ртути, атомарного водорода, неона; определение длин волн линий видимого спектра водорода (серия Бальмера). Введение Спектр излучения атомов различных элементов, находящихся в газообразном состоянии, состоит из узких линий, соответствующих определенным длинам волн. Эти линии можно сгруппировать в серии. Опытным путем было установлено, что для атома водорода длины испускаемых волн λ в различных сериях подчиняются формуле Бальмера−Ридберга:

1 1 ⎛ 1 = Rλ ⎜ 2 − 2 λ mn m ⎝n

⎞ ⎟, ⎠

(19.1)

где Rλ = 1,097 ⋅107 м −1 - постоянная Ридберга по длине волны; n и

m −целые числа, причем m > n .

Для частот формула (19.1) выглядит следующим образом:

1 ⎛ 1 ν mn = Rν ⎜ 2 − 2 m ⎝n

⎞ ⎟, ⎠

(19.2)

где Rν = 3,17 ⋅1016 с −1 −постоянная Ридберга по частоте. При n = 2 , m = 3, 4, 5 длины испускаемых волн находятся в видимой области спектра. Серия спектральных линий с n = 2 и m > 2 называется серией Бальмера. При n = 1 , m = 2, 3, 4, ... образуется серия спектральных линий, длины волн которых находятся в ультрафиолетовой части спектра. Эта серия называется серией Лаймана. Остальные серии, например, серия Пашена ( n = 3 , m > 3 ), находятся в инфракрасной области спектра. Закономерности в спектрах испускания водорода были объяснены Н. Бором после введения двух постулатов:

171

1. Атом может находиться только в особых стационарных (квантовых) состояниях, соответствующих определенной энергии En . Находясь в стационарном состоянии, атом не излучает. 2. Атом излучает свет при переходе из стационарного состояния с большей энергией Em в состояние с меньшей энергией En . Энергия Emn = hν mn излученного фотона равна разности энергии тех стационарных состояний, между которыми совершается переход: hν mn = Em − En , (19.3) где h = 6,62 ⋅1034 Дж ⋅ с−постоянная Планка; ν mn = c λ mn − частота излученного света при переходе атома из энергетического состояния с квантовым числом m в состояние с квантовым числом n ( c −скорость света в вакууме). При этом следует иметь в виду, что переход атома из одного состояния в другое сопровождается переходом электрона в атоме с одной стационарной орбиты на другую. Теория, основанная на этих постулатах, полностью описывает экспериментальные зависимости (19.1) и (19.2). Образование спектральных серий иллюстрируется с помощью графической схемы, показанной на рис.19.1. На этой схеме каждому уровню энергии атома соответствуют, отрезки горизонтальных прямых, которые располагаются на различной высоте вдоль вертикальной оси энергии. За нулевое значение энергии принимается энергия атома в таком состоянии, когда электрон находится на бесконечно большом расстоянии, т.е. когда атом ионизован ( n → ∞ , En = 0 ) При этом энергии атома во всех остальных состояниях оказываются отрицательными. Самый нижний уровень энергии атома−уровень основного состояния ( n = 1 , E1 = −13, 53 эВ) атома водорода. Переходы атома из одного состояния в другое обозначены на рис.19.1 вертикальными стрелками. Такая схема позволяет легко связать энергию фотона, т.е. его частоту, а следовательно и длину волны с квантовыми числами n и m , т.е. с теми же целыми числами, которые использованы в экспериментальных формулах (19.1) и (19.2).

172

Рис.19.1

Одна спектральная линия наблюдается в результате переходов многих атомов из одного и того же верхнего состояния с квантовым числом m в одно и тоже нижнее состояние с квантовым числом n . Интенсивность спектральной линии пропорциональна числу атомов, совершающих переход. Таким образом, для того чтобы наблюдать спектр излучения, часть атомов вещества нужно постоянно переводить в верхние возбужденные состояния. Такие условия в газе создаются, например, при возникновении электрических разрядов. Электроны и ионы частично ионизованной газоразрядной плазмы, ускоряясь в электрическом поле, могут затем передавать свою энергию атомам при столкновении с ними и, таким образом, возбуждать атомы. Методика выполнения работы Рабочая схема установки представлена на рис. 19.2. Источниками излучения, спектральный состав которого исследуется, служат ртутная лампа РЛ, неоновая лампа НЛ и водородная лампа ВЛ. Лампы устанавливаются на оптической скамье и фиксируются с помощью рейтеров. Для исследования спектров излучения применяется монохроматор УМ-2. Блок питания монохроматора БПМ

173

обеспечивает поджиг ртутной и неоновой ламп, а также накал лампочек подсветки и указателя монохроматора. Водородная лампа подключена к собственному источнику высоковольтного напряжения ВБП.

Рис.19.2

Принципиальная схема монохроматора изображена на рис. 19.3. Основными его частями являются коллиматор, дисперсионная призма 5 и зрительная труба. Свет от источника I поступает на щель коллиматора 10, ширина которой может регулироваться винтом 9. Входная щель находится в фокусе объектива кoлиматopa 6. Вышедший из него пучок лучей является параллельным и, пройдя дисперсионную призму 5, дает в поле зрения зрительной трубы картину спектра. Спектр наблюдается через окуляр 1, который закреплен в тубусе монохроматора с помощью винта 2. Внутри окуляра помещен указатель, относительно которого должна устанавливаться изучаемая линия спектра. Для получения резкого изображения указателя используется поворотное кольцо снаружи окуляра, с помощью которого передвигается линза окуляра. Установка объектива коллиматора в правильное положение относительно щели производится винтом 7. Это положение можно отметить по шкале. Если в поле зрения зрительной трубы монохроматора одинаково резко видны указатель и края щели коллиматора,

174

то фокусировка монохроматора выполнена правильно. В противном случае следует произвести фокусировку (наведение на резкость изображения) сначала указателя с помощью поворотного кольца на окуляре, а затем произвести фокусировку щели коллиматора винтом 7. Заслонка 8 служит для перекрывания светового луча. В рабочем положении заслонка должна быть открыта. Установка линии производится путем поворота дисперсионной призмы барабаном 4. На барабане нанесены градусные деления, оцифрованные от 50o до 3500o через каждые 50o . Цена каждого деления равна 2o Снятие отсчетов с барабана производится с помощью бегунка 3.

Рис.19.3

Указание! Монохроматор отрегулирован и находится в рабочем состоянии, крутить регулировочные винты при выполнении эксперимента не рекомендуется.

175

Порядок выполнения работы Задание 1. Построить градуировочный график монохроматора. 1. Установите на скамье перед щелью мoнoxpoмaтopa ртутную лампу, и кнопкой «поджиг» на блоке питания зажгите ее. 2. Наблюдая в зрительную трубу монохроматора, перемещайте ртутную лампу до положения, при котором в поле зрения отчетливо видны линии ртути. Таблица 19.1

Наблюдаем ая линия (цвет) λ, нм

Дублет

Оранжевая

Оранжевая

Желтая

632,2

615,2

579,07

Желтая

Зеленая

Синезеленая

578,07

546,07

495,97

Фиолетовая 365,0

Показания шкалы барабана

ϕi ϕ

Наблюдае мая линия (цвет) λ, нм

Триплет

Голубая

Синяя

Синяя

Синяя

Фиолетовая

491,64

435,88

434,75

433,92

404,68

Показания шкалы барабана

ϕi ϕ

176

Таблица 19.2

535,8

540,1

640,6

657,4

533,1

478,9

Зеленая 471,5

470,9

457,6

435,8

λ, нм

Синяя

534,1

Наблюдаемая линия (цвет)

Показания шкалы барабана ϕi

ϕ

638,2

622,8

616,6

Красная 594,3

586,5

586,2

λ, нм

Желтая

630,3

Наблюдаемая линия (цвет)

Показания шкалы барабана ϕi

ϕ 3. Совмещая линии спектра с указателем, производите отсчет показаний по шкале барабана всех видимых линий в диапазоне от 0 до 3500o . Измерения ϕi выполните три раза, результаты занесите в табл. 19.1. Рассчитайте среднее значение ϕ для каждой линии. 4. Установите на скамье неоновую лампу вплотную к щели монохроматора. Питание неоновой лампы осуществляется от блока питания монохроматора. Лампа находится во включенном состоянии. 5. Совмещая наблюдаемые линии спектра с указателем, производите отсчет показаний по шкале барабана наиболее ярких види-

177

мых линий преимущественно в длинноволновой части спектра. Длины волн линий определяйте по спектрограмме, находящейся на рабочем столе. Измерения ϕi выполните три раза, результаты запишите в табл. 19.2. Рассчитайте среднее значение ϕ для каждой линии. 6. Постройте градуировочный график монохроматора λ ( ϕ ) , используя результаты табл. 19.1 и 19.2. Оцените точность последующих измерений с использованием вашего графика. Задание 2. Определить длины волн в спектре излучения водорода в видимой области. 1. Расположите на скамье водородную лампу вплотную к щели монохроматора и тумблером высоковольтного блока питания зажгите ее (выполняется преподавателем или лаборантом). 2. Совмещая наблюдаемые линии спектра с указателем, производите отсчет показаний по шкале барабана. Измерения ϕi выполните три раза, результаты запишите в табл. 19.3. Рассчитайте среднее значение ϕ для каждой линии. Таблица 19.3

Наблюдаемая линия (цвет)

Hα ,

Hβ ,

Hγ ,

Hδ ,

красная

голубая

фиолетовая

фиолетовая

λ, нм (табл.)

656,28

486,13

434,00

410,17

Показания шкалы барабана ϕi

ϕ

λ, нм (эксп.) 3. Определите длины волн λ (эксп.) спектра водорода, используя результаты эксперимента и градуировочный график. Сравните полученные результаты с табличными значениями (табл. 19.3).

178

Контрольные вопросы 1. Сформулируйте постулаты Бора. 2. В чем постулаты Бора противоречат положениям классической физики? 3. Какие экспериментальные доказательства существования стационарных состояний атома вам известны? 4. Каков механизм возбуждения атомов? 5. Каким переходам в спектре атома водорода соответствуют линии, которые были определены в эксперименте? 6. Почему именно такие цвета имеют: разряд в водородной трубке? излучение ртутной лампы? неоновой лампы? лампы накаливания? 7. Рассчитайте минимальную и максимальную длины волн серии Бальмера. 8. Как определить энергию ионизации атома водорода?

179

Работа 20 ИЗЛУЧЕНИЕ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА Цель работы: наблюдение линейчатого спектра излучения неона и гелий-неонового лазера; определение длины волны генерации лазера. Введение Оптическими квантовыми гeнepaтopaми (ОКГ), или лазерами, называются приборы, в которых используется вынужденное излучение для генерации когерентных электромагнитных колебаний в оптическом диапазоне спектра. Как известно, энергия атома может принимать лишь определенный дискретный ряд значений E1 , E2 , ... , называемых уровнями энергии (см. введение к работе 19). Самый низкий уровень E1 , при котором энергия атома наименьшая, называется основным, а остальные уровни, соответствующие более высокой энергии атома возбужденными. Если атом в данный момент находится в одном из возбужденных состояний, например E2 , то такое состояние будет неустойчивым. Через короткое время τ , называемое временем жизни в возбужденном состоянии (для так называемых разрешенных переходов оптического диапазона τ ≈ 10 −8 с), атом без какихлибо внешних воздействий перейдет в одно из состояний с меньшей энергией (в рассматриваемом случае− E1 ). При этом атом испустит фотон с частотой ν 21 = ( E1 − E1 ) h (рис. 20.1,а).

Рис.20.1

180

Этот процесс называется спонтанным излучением. Спонтанное излучение вещества является некогерентным, т.е. атомы испускают свет несогласованно. Свет с частотой ν 21 при прохождении через вещество будет вызывать два процесса. Один из них заключается в том, что некоторый атом, находящийся на нижнем уровне E1 , поглотит фотон и перейдет на уровень E2 (рис. 20.1,б). Этот процесс приводит к ослаблению светового потока. При другом процессе атом под действием фотона частоты ν 21 может перейти с уровня E2 на E1 , испуская вторичный фотон с частотой ν 21 (рис. 20.1,в). Переходы, происходящие под действием внешнего электромагнитного поля, называются вынужденными (или индуцированными). Особенность вынужденного излучения состоит в том, что возникающий при вынужденном переходе фотон имеет те же частоту и фазу, что и вызвавший переход первичный фотон, то же направление распространения и ту же поляризацию. Процесс вынужденного излучения приводит к увеличению интенсивности пучка, проходящего через вещество. Рассмотрим вещество, в котором имеется достаточное число возбужденных атомов с энергией E2 . Число таких атомов N 2 называется населенностью уровня E2 . Аналогично населенность уровня N1 равна числу атомов с энергией E1 . В обычных условиях в веществе уровни с меньшей энергией населены больше, чем уровни с более высокой энергией ( N1 > N 2 ), и при прохождении электромагнитного излучения наряду с усилением излучения за счет вынужденных переходов «вниз» происходит ослабление этого излучения за счет переходов «вверх». В итоге в естественных условиях энергия волны будет уменьшаться. Для того чтобы волна при ее прохождении через вещество усиливалась, необходимо искусственно изменить населенности уровней в веществе, а именно увеличить населенность N 2 верхнего уровня атомов и уменьшить населенность N1 нижнего уровня. В рабочем веществе квантового усилителя N 2 должно быть больше, чем N1 . Такое активное состоя-

181

ние вещества называется состоянием с инверсией (обращением) населенностей. Существуют различные методы получения состояния среды с инверсией населенностей. В газовых лазерах подобное состояние создается в плазме газового разряда. Один из наиболее распространенных газоразрядных лазеров на атомных переходах−лазер непрерывного действия, в котором в качестве активной среды используется смесь двух газов: гелия He и неона Ne. Генерация происходит на переходах между уровнями атомов неона (они являются активными центрами). Кроме неона, в состав активной среды входит буферный газ – гелий; давление газовой смеси порядка 1 мм рт. ст.; парциальное давление гелия в 5 − 10 раз больше давления неона. В гелий-неоновом лазере используется стационарный тлеющий разряд, возбуждаемый постоянным током. В электрическом разряде часть атомов Ne переходит с основного уровня E1 на возбужденные уровни E5 , E4 , E3 и т.д. (рис. 20.2).

Рис.20.2

182

Время жизни атомов Ne на уровнях E5 и E4 значительно больше, чем на уровне E3 , поэтому населенность уровней E5 и E4 даже в чистом неоне превышает населенность уровня E3 . Значительное повышение населенности уровней E5 и E4 достигается введением в неон примеси гелия. Энергии двух возбужденных долгоживущих уровней E2′ и E3′ атомов He совпадают с энергиями уровней E4 и E5 атомов Ne. При столкновениях возбужденных атомов He с невозбужденными атомами Ne возможна так называемая резонансная передача возбуждения, в результате которой атомы Ne окажутся в возбужденных состояниях E4 и E5 , а атомы He - в основном. Таким образом происходит дополнительное заселение уровней E4 и E5 атомов Ne. Экспериментально показано, что оптимальное соотношение концентраций Ne и He составляет 1 ÷ 10 . Таким образом, инверсия населенностей на уровнях E5 , E4 и

E3 делает возможным усиление на переходах E4 → E3 ( λ = 1,15 мкм

-

инфракрасное

излучение)

и

E5 → E3

( λ = 0,63

мкм−красный свет) (см. рис. 20.2). Наибольшее практическое значение имеет генерация при переходах E5 → E3 . Эффект усиления можно увеличить путем многократного прохождения света через один и тот же слой «усиливающей» среды. В простейшем случае рабочая He-Ne смесь помещается между двумя полупрозрачными зеркалами ПЗ, которые пропускает около 8% падающей на них энергии (рис. 20.3).

Рис. 20.3

183

Зеркала устанавливаются так, чтобы нормали к ним совпадали с осью трубки. Испущенный в каком-либо месте в результате спонтанного перехода атома фотон может вызвать вынужденное испускание дополнительных фотонов, летящих в том же направлении, которые, в свою очередь, вызовут вынужденное излучение и т.д. Так образуется каскад фотонов. Фотоны, направления движения которых образуют малые углы с осью трубки, испытывают многократные отражения от зеркал. Поэтому путь их в трубке будет очень большим, так что каскады фотонов в направлении оси получают особенное развитие. При этом интенсивность света выходящего через полупрозрачное зеркало, может оказаться во много раз больше интенсивности света, испускаемого газоразрядной трубкой в других направлениях, в которых наблюдается преимущественно спонтанное излучение. Световые волны лазера являются когерентными, так как все атомы излучают согласованно, угловая ширина генерируемого лазером светового пучка чрезвычайно мала. На рис. 20.3 показана газоразрядная трубка лазера. Когда разность потенциалов между анодом А и катодом К достигает примерно 103 В (рабочее напряжение), в рабочем капилляре газоразрядной трубки, имеющем диаметр в несколько миллиметров, зажигается тлеющий разряд. Плоскости выходных окон ВО газоразрядной трубки ориентированы не перпендикулярно к оси резонатора, а наклонно−так, чтобы перпендикуляр к плоскости окна составлял с осью резонатора угол Брюстера, соответствующий показателю преломления вещества, из которого изготовлено выходное окно трубки. Углом Брюстера называют такой угол падения α светового луча на поверхность вещества, для которого выполняется условие tg α = n , где n −показатель преломления вещества. В этом случае отраженный от поверхности световой луч оказывается поляризованным перпендикулярно к плоскости падения, а преломленный луч - преимущественно поляризованным в плоскости падения. Данная ситуация выделена в правой части рис. 20.3. Короткие стрелки показывают, что колебания электрического вектора происходят в плоскости рисунка (в плоскости падения), а кружочки указывают на колебания в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка. Заметим, что при угле падения, равном углу Брюстера,

184

отраженный и преломленный лучи составляют друг с другом прямой угол. Ориентация выходных окон газоразрядной трубки под углом Брюстера к оси резонатора позволяет выделить определенную поляризацию генерируемого излучения. Предположим, что на плоскопараллельную пластинку, являющуюся выходным окном трубки, падает вдоль оси резонатора неполяризованная световая волна. Ее можно представить как комбинацию двух поляризованных волн, одна из которых поляризована в плоскости падения, а другая перпендикулярно. Первая волна, испытав преломление, пройдет внутрь пластинки, вторично преломится, выходя из нее, и будет попрежнему распространяться вдоль оси резонатора. Вторая волна отразится от пластинки и сразу покинет резонатор. Лазер будет генерировать световую волну, проходящую сквозь пластинку, т.е. волну, поляризованную в плоскости, проходящей через ось резонатора и перпендикуляр к плоскости пластинки. Таким образом, изготавливая окна трубки, срезанные под углом Брюстера, достигаются сразу две цели: во-первых, получается поляризованное лазерное излучение; во-вторых, исключаются потери на отражении от поверхностей выходных окон газоразрядной трубки. Методика выполнения работы Схема установки представлена на рис. 20.4.

Рис.20.4

185

Длина волны излучения лазера определяется с помощью монохроматора УМ-2 и неоновой лампы НЛ с известным спектром излучения. Устройство монохроматора детально описано в работе 19. К монохроматору крепится оптическая скамья, на которой установлен газовый лазер Л. На входную щель монохроматора надета насадка, делящая поле зрения на две части. Одна часть насадки освещена светом от неоновой лампы. В другой части насадки укреплена небольшая стеклянная призма, поворачивающая луч лазера на 90o . Таким образом, в разных частях поля зрения монохроматора можно одновременно наблюдать спектр излучения лазера (внизу) и эталонный спектр неона, с помощью которого определяется длина волны лазерного излучения (вверху). Порядок выполнения работы Задание. Определить длину волны основной линии излучения лазера. 1. Поворачивая барабан монохроматора, выведите в середину поля зрения красно-желтый спектр неоновой лампы и одиночную линию лазерного излучения. Сфокусируйте объектив коллиматора так, чтобы линии спектра были резкими. 2. Совмещая наблюдаемые линии спектра неона с указателем, производите отсчет показаний по шкале барабана наиболее ярких видимых линий. Длины волн линий определяйте по спектрограмме, находящейся на рабочем столе. В таблице указаны табличные значения длин волн спектра неона. Измерения ϕi выполните три раза, результаты запишите в табл.20.1. Рассчитайте среднее значение ϕ для каждой линии. 3. Постройте градуировочный график монохроматора, используя результаты таблицы. 4. По шкале барабана найдите угол ϕ Л , соответствующий линии лазерного излучения. Используя градуировочный график, определите длину волны излучения лазера. Сравните полученный результат с табличным λ Л = 632,8 нм.

186

Таблица 20.1

535,8

540,1

640,6

657,4

533,1

478,9

Зеленая 471,5

470,9

457,6

435,8

λ, нм

Синяя

534,1

Наблюдаемая линия (цвет)

Показания шкалы барабана ϕi

ϕ

638,2

622,8

616,6

Красная 594,3

586,5

586,2

λ, нм

Желтая

630,3

Наблюдаемая линия (цвет)

Показания шкалы барабана ϕi

ϕ Контрольные вопросы 1. Что называют спонтанным излучением и каковы его особенности? 2. Что называют вынужденным излучением и каковы его особенности? 3. Каков механизм образования инверсии населенностей в He-Ne смеси? 4. Какова роль зеркал, устанавливаемых на торцах газоразрядной трубки He-Ne лазера? 5. Каковы свойства лазерного излучения и с чем они связаны?

187

6. Почему ориентация выходных окон под углом Брюстера уменьшает потери на отражении от поверхности? 7. Докажите, что угол между отраженным и преломленным лучами на выходном окне лазера равен 90o .

188

Работа 21 МОДУЛЯЦИЯ СВЕТА Цель работы: наблюдение действия электрооптического эффекта Поккельса; изучение способа модуляции света; определение полуволнового напряжения электрооптического модулятора. Введение Показатель преломления n является основной оптической характеристикой среды. Он определяется отношением скорости света c в вакууме к фазовой скорости света V в среде ( n = c V ). Поскольку свет распространяется в любой среде медленнее, чем в вакууме ( n > 1 ), то длина волны λ в среде уменьшается в n раз по сравнению с длиной волны λ 0 в вакууме. По этой же причине световые колебания, прошедшие среду длиной l (рис. 21.1,а), в отличие от колебаний, распространяющихся в вакууме (рис. 21.1,б), приобретают оптическую фазовую задержку:

Рис.21.1

189

Δϕ =

2πl ( n − 1) . λ0

(21.1)

В иллюстрациях к данной работе, для удобства, световая волна представляется как колебания вектора электрического поля. Среда, в которой скорость света (следовательно, и показатель преломления) не зависит от направления распространения или состояния поляризации излучения, называется оптически изотропной. В противном случае среда называется оптически анизотропной. К изотропным средам относятся газы, жидкости, аморфные тела, некоторые кристаллы. Большинство же кристаллов являются анизотропными. О таких кристаллах говорят, что они обладают естественной анизотропией. При произвольном направлении распространения световой волны в анизотропной среде можно выделить два взаимно перпендикулярных направления ( OX и OY на рис. 21.2)

r

и представить распространение колебаний вектора E в виде суммы двух волн:

⎛ ⎛ 2πl ⎞ 2πl ⎞ Ex = EOX sin ⎜ ωt + nx ⎟ E y = EOY sin ⎜ ωt + ny ⎟ , и λ λ 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ где ω −частота колебаний; nx и n y −показатели преломления для волн Ex и E y , распространяющихся в одном направлении вдоль l . Поскольку показатели преломления nx и n y для этих волн различны, то одна волна будет обгонять другую и возникнет разность фаз:

Δϕ =

2πl ( nx − n y ) . λ0

(21.2)

Таким образом, после прохождения анизотропной среды изменится характер поляризации света. Поэтому, изменяя Δϕ можно изменять поляризацию света, в частности при Δϕ = π поворачи-

r

вать плоскость, в которой колеблется вектор E . Из выражения (21.2) видно, что изменение величины Δϕ при постоянной λ 0 может быть достигнуто изменением l , либо показателей преломления nx и n y .

190

Рис.21.2

Оптическую анизотропию, которую можно создать и изменять путем внешнего воздействия на среду, называют искусственной. Известно много физических явлений, которые приводят к искусственной оптической анизотропии. Наибольшее распространение среди них на практике получил электрооптический эффект Поккельса. Он заключается в линейном изменении показателя преломления под действием приложенного электрического поля. Таким образом, прикладывая напряжение к некоторым кристаллам, можно изменять поляризацию падающего на него поляризованного излучения, т.е. осуществлять модуляцию поляризации света. Однако состояние поляризации не является непосредственно измеряемой величиной. Поэтому поляризационную модуляцию преобразуют в амплитудную, пропустив выходящий из анизотропной среды свет через поляризатор П (см. рис. 19.2). Соответствующее устройство, состоящее из оптического элемента с управляемой искусственной анизотропией и поляризаторов, называют амплитудным модулято-

191

ром света. Обычно ось пропускания (ось A − A ) поляризатора ориентируют под углом 90o к направлению поляризации падающего на анизотропную среду света ( β = 90o ). Тогда, при выборе угла α = π 4 , интенсивность света, выходящего из модулятора, Δϕ , (21.3) I = I 0 sin 2

2

где I 0 - интенсивность света, падающего на модулятор. Если для управления разностью фаз Δϕ используется эффект Поккельса, то

⎛ π ⎞ I = I 0 sin 2 ⎜ rU ⎟ , ⎝ λ0 ⎠

(21.4)

где U −приложенное постоянное электрическое напряжение, r величина, постоянная для данного кристалла. Напряжение, соответствующее значению Δϕ = π , называется полуволновым напряжением: (21.5) U λ 2 = λ 0 2r . Полуволновое напряжение является основной характеристикой модулятора света, поэтому часто пользуются выражением

⎛π U I = I 0 sin 2 ⎜ ⎜ 2 Uλ 2 ⎝

⎞ ⎟⎟ . ⎠

(21.6)

Работа модуляторов света в различных системах передачи информации, как правило, заключается в модуляции света переменным сигналом. Если, например, используется модулирующий сигнал U ~ = U 0 sin ω1t ( U 0 и ω1 −амплитуда и частота сигнала модуляции), то интенсивность света на выходе модулятора будет иметь переменную составляющую I∼ (рис. 21.3,а). Нетрудно видеть, что более выгодные условия модуляции будут иметь место при работе с постоянным смещением

1 1 U λ 2 , т.е. когда U Σ = U λ 2 + U 0 sin ω1t 2 2

192

(рис. 21.3,б). В таком случае рабочая точка A будет смещена на наиболее крутой и линейный участок зависимости

I ( Δϕ ) . I0

Рис.21.3

Методика выполнения работы Схема лабораторной установки приведена на рис. 21.4. На оптической скамье размещены гелий-неоновый лазер, электрооптический модулятор М и фотоприемник ФП. К модулятору подключен источник постоянного напряжения ИПП позволяющий менять полярность выходного напряжения. Значение напряжения контролируется цифровым вольтметром V ВХ . Также к модулятору подключен источник переменного напряжения, в качестве которого используется звуковой генератор ГНЧ. Фотоприемник соединен с усилителем У, который в свою очередь соединен с осциллографом ЭО и цифровым вольтметром V ВЫХ .

193

Рис.21.4

Непрерывное излучение лазера с длиной волны 632, 8 нм и мощностью около 1, 5 мВт поступает на модулятор. Интенсивность выходящего из модулятора света регистрируется фотоприемником. Модулятор состоит из четырех электрооптических кристаллов и выходного поляризатора. Электрическое напряжение прикладывается к кристаллам с помощью внешних электродов. Для предохранения кристаллов от механического повреждения и действия влаги их вместе с электродами размещают в герметичной кювете, заполненной специальной жидкостью. Ось пропускания поляризатора ориентирована под углом примерно 90o к направлению поляризации лазерного излучения. Порядок проведения работы Задание. Исследовать модуляции света. 1. Включите источник постоянного напряжения. Снимите зависимость интенсивности выходящего из модулятора света I∼ от постоянного напряжения U ВХ . При этом значение U ВХ определяйте

194

по показанию прибора, подключенного к источнику постоянного напряжения V ВХ , а величину I 0 −по показанию прибора V ВЫХ , ~ подключенного к усилителю, считая, что напряжение U ВЫХ про-

порционально I 0 . Полученные результаты запишите в таблицу.

U ВХ , В

-220 -210

-10

0

10

210

220

~ U ВЫХ , мВ

~ 2. Постройте график зависимости U ВЫХ от U ВХ . Определите с помощью графика величину полуволнового напряжения. Примерный вид графика показан на рис. 21.5.

Рис.21.5

Контрольные вопросы 1. Какие среды называются оптически анизотропными? 2. Объясните, почему длина волны в среде меньше длины волны в вакууме в n раз, где n − показатель преломления среды. 3. Будет ли изменяться цвет светового пучка, пересекающий границу раздела двух прозрачных сред? 4. В чем заключается эффект Поккельса?

195

5. Что такое полуволновое напряжение? 6. Каковы преимущества работы электрооптического модулятора со смещенной рабочей точкой? 7. При вращении выходного анализатора A − A можно добиться усиления света, выходящего из анализатора. Приведет ли это к увеличению амплитуды переменного сигнала I∼? 8. Выведите формулу 21.3.

196

Работа 22 ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА СКВОЗЬ ХАЛЬКОГЕНИДНЫЕ ПЛЕНКИ Цель работы: получение зависимости спектра пропускания тонкой пленки от длины волны падающего света; определение ширины запрещенной зоны и коэффициента преломления пленки из стеклообразного полупроводника As 2 S 3 . Введение Стеклообразные полупроводники применяются в технике благодаря своим оптическим свойствам и относительной легкости изготовления. В частности, пленки стеклообразного селена используются в процессе ксерографии, сульфидные стекла, такие, как As 2 S 3 применяются в качестве материалов, прозрачных в инфракрасной области. Изменения в структуре стекол под действием видимого света дают основания рассчитывать на создание оптических запоминающих устройств большой емкости. Многие оптические свойства кристаллических и стеклообразных полупроводников объясняет зонная теория. Формирование зон идеального кристалла Рассмотрим атом водорода. В центре атома находится ядро малых размеров – протон, с положительным элементарным зарядом e (рис. 22.1).

Рис. 22.1

197

Масса протона значительно больше массы электрона, поэтому ядро можно считать неподвижным. Потенциальная энергия отрицательно заряженного электрона на расстоянии r от ядра

e2 EP = − . 4πε 0 r Электроны в изолированном атоме могут находиться только в состояниях с определенной энергией EP (рис. 22.1). В основном, невозбужденном состоянии атома, электрон занимает наиболее низкое по энергии состояние E1 . Пока атомы изолированы друг от друга, они имеют полностью совпадающие схемы энергетических уровней. При взаимодействии двух атомов вещества друг с другом их электроны перемещаются под влиянием объединенного электрического поля, и каждое состояние расщепляется на два, причем на энергетической шкале одно из них лежит ниже первоначального, другое выше (рис. 22.2).

Рис. 22.2

198

В соответствии с принципом запрета Паули, на каждом энергетическом уровне могут находиться не более двух электронов c противоположными направлениями спинов. Уровень также может быть свободным либо занятым одним электроном с произвольным спином. Заполнение уровней электронами осуществляется в каждом атоме независимо от заполнения аналогичных уровней в других атомах. Когда большое число атомов находится вместе, как в кристалле, между ними возникает все усиливающееся взаимодействие, которое приводит к изменению положения уровней. Вместо одного одинакового для всех N атомов уровня возникают N очень близких, но не совпадающих уровней. Таким образом, каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N густо расположенных уровней, образующих полосу или зону. В идеальном кристалле все состояния в зонах являются делокализованными, то есть «размазанными» по всему образцу. Расщепление уровней присуще всем электронам атома, но величина расщепления для разных уровней не одинакова, для внутренних оболочек расщепление очень мало. Структуру зон определяют расщепляющиеся уровни валентных (внешних) электронов. Внутри зоны расстояние между уровнями порядка 1эВ/N, то есть очень мало. Многие свойства кристаллов (электрические, магнитные, оптические) объясняются состоянием валентных электронов. Обычно рассматривают две энергетические зоны: соответствующую нормальному состоянию валентных электронов и ближайшую к ней зону – зону проводимости. Наиболее высокая по энергии заполненная электронами зона называется валентной, следующая за ней (уже пустая) - зона проводимости. Высший по энергии уровень валентной зоны называется краем валентной зоны и обозначается EV , наиболее низколежащий уровень зоны проводимости называется краем зоны проводимости и обозначается EC . Область энергий, в которой в идеальном кристалле нет электронных состояний, называется запрещенной зоной. Ширина запрещенной зоны обозначается Eg и определяется как E g = EC − EV . Ширина зон не зависит от

199

размеров кристалла, и чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются уровни в зоне. В зависимости от конкретных свойств атомов, равновесное расстояние между соседними зонами в кристалле может быть двух типов. В первом, между разрешенными зонами, возникшими из соседних уровней атома, имеется запрещенная зона. Во втором - происходит перекрывание соседних зон. Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме количеств уровней, на которые расщепляются оба уровня атома. Существование энергетических зон позволяет объяснить с единой точки зрения существование металлов, полупроводников и диэлектриков. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины запрещенной зоны возможны три случая (рис. 22.3).

Рис. 22.3

В каждом случае рассматриваются только две самые высокие зоны. Зоны, которые находятся ниже, полностью заполнены электронами и не представляют интереса. Валентные электроны заполняют попарно нижние уровни валентной зоны. Более высокие разрешенные зоны будут свободны от электронов. В металлах электроны заполняют валентную зону не полностью (рис. 22.3,а). Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях валентной зоны, совсем небольшую

200

энергию ( ~ 10 −23 ÷ 10 −22 эВ) для того, чтобы перевести их на более высокие уровни. Энергия теплового движения электронов (∼kT) составляет при 1 К величину порядка 10 −4 эВ. Следовательно, при температурах, отличных от абсолютного нуля, часть электронов переводится на более высокие уровни. Дополнительная энергия, вызванная действием на электрон электрического поля, также оказывается достаточной для перевода электрона на более высокие уровни. Поэтому электроны могут ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении, противоположном направлению поля. Частичное заполнение валентной зоны (в случае металла ее называют также зоной проводимости) наблюдается в тех случаях, когда на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон или когда имеет место перекрывание зон. Одновалентные металлы имеют валентную зону, в которой электроны проводимости заполняют попарно только половину уровней валентной зоны. Валентная зона двухвалентных металлов полностью заполнена, но перекрыта зоной проводимости. В этом случае, даже при заполненной валентной зоне, вещество будет обладать металлическими свойствами, т.к. объединенная зона (зона перекрытия) заполнена не полностью, и если количество электронов проводимости удвоится, они не смогут занять все уровни зоны. В любом случае более высокие энергетические уровни доступны электронам – следовательно, металлы хорошие проводники. В случаях полупроводника и диэлектрика (рис. 22.3,б, в) уровни валентной зоны полностью заняты электронами - зона заполнена. Для того чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии, не меньшее, чем ширина запрещенной зоны Eg . Электрическое поле (во всяком случае, такой напряженности, при которой не происходит электрический пробой кристалла) сообщить электрону такую энергию не в состоянии. При этих условиях электрические свойства кристалла определяются шириной запрещенной зоны Eg . Диэлектрики имеют полностью заполненную валентную зону и полностью свободную зону проводимости (рис. 22.3,в). Однако запрещенная зона большая (порядка нескольких эВ) и при комнатной

201

температуре, число электронов которые могут приобретать достаточную энергию пересечь ее настолько мало, что в большинстве случаев им можно пренебречь. При очень высоких температурах или в очень сильных электрических полях, значительное число электронов может получать достаточную энергию, чтобы попасть в зону проводимости; в этом случае диэлектрик разрушается. В полупроводнике валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости полностью пуста (рис. 22.3,б). Полупроводник ведет себя подобно идеальному диэлектрику только при 0 К, т.к. не имеет электронов, которые могут проводить электрический ток. Однако для некоторых полупроводников запрещенная зона узка (порядка нескольких десятых электронвольт) и при комнатной температуре оказывается достаточно энергии теплового движения для того, чтобы перевести часть электронов в верхнюю свободную зону. Эти электроны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся валентные электроны в металле. Свободная зона окажется для них зоной проводимости. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на ее освободившиеся верхние уровни. Для различных типов полупроводников величина ширины запрещенной зоны может колебаться от нескольких десятых электронвольт до величины, превышающей 3 эВ. Такие полупроводники относят к широкозонным полупроводникам. В таблице 22.1 приводятся значения Eg (эВ) и показателя преломления n для наиболее типичных полупроводников. Таблица 22.1

Полупроводник

Eg

n

Полупроводник

Eg

n

As2S3

2.4

2.4÷ ÷3.5

AgCl

3.2

2.0

Si

1.17

3.6

AgI

2.9

2.0

Ge

0.74

4.1

GaS

3.06

2.4

Se

2.0

2.45

GeS

1.65

5.2

202

Зонное строение стеклообразного полупроводника Вещество в стеклообразном состоянии получают путем быстрого охлаждения соответствующей жидкости. Скорость уменьшения температуры определяется химическим составом образца и меняется от 10−5 К/с (отжиг больших зеркал телескопов) до 103 К/с при разбрызгивании расплава. Вследствие относительно быстрого перехода из жидкого состояния в твердое не все атомы успевают занять наиболее выгодные по энергии положения, и поэтому структура стекла является менее упорядоченной по сравнению со структурой кристалла. Дефекты структуры приводят к появлению состояний E ДЕФ С и

E ДЕФ V в запрещенной зоне вблизи EC и EV , соответствующих идеальному кристаллу (рис 22.4).

Рис.22.4

Такие состояния являются локализованными, то есть электроны, находящиеся в них, не могут распространяться по всему объему образца и не участвуют в проводимости.

203

Концентрация состояний в запрещенной зоне падает по мере удаления от EC и EV . Для расчетов, как правило, используется следующая аппроксимация

(

n E ДЕФ C (V )

)

⎛ E − EC (V ) ДЕФ C (V ) exp ⎜ − ⎜ U ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

где U - характерный энергетический параметр порядка Eg . Поглощение света в полупроводнике В полупроводнике край валентной зоны EV и край зоны проводимости EC разделены запрещенной зоной шириной Eg . Поглощение света с энергией hω порядка Eg происходит за счет взаимодействия кванта света с электроном. В случае идеального кристалла, при малых значениях hω ( hω < E g ), квант света не обладает достаточной энергией, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости, так как в запрещенной зоне отсутствуют состояния с энергией E = EV + hω , то есть требование сохранения энергии при взаимодействии не выполняется. Поэтому свет относительно легко проходит сквозь полупроводник небольшой толщины (рис. 22.5,а). Если энергия света hω > E g , то существует вероятность поглощения кванта света электроном, так как электрон при этом попадает в зону проводимости (рис. 22.5,б) и свет сквозь полупроводник не проходит. В запрещенной зоне стеклообразного полупроводника существуют состояния, связанные с дефектами. Хотя их концентрация, как правило, не очень велика, они могут заметным образом сказываться на оптических свойствах, поскольку квант света с энергией hω < E g теперь может поглощаться электроном (рис. 22.5,в), при условии что hω > E ДЕФ С − E ДЕФ V . При таком процессе электрон переходит с заполненного дефектного уровня вблизи края валентной зоны на пустой дефектный уровень вблизи зоны проводимости.

204

Рис.22.5

Зависимости относительного коэффициента поглощения α от энергии падающего света hω для идеального полупроводникового кристалла (1) и для стеклообразного полупроводника (2) приведены

205

на рис. 22.6,а, а зависимость коэффициента пропускания света D ( hω) на рисунке 22.6,б.

Рис. 22.6

Таким образом, край поглощения (минимальная энергия кванта света, с которой начинается интенсивное поглощение) близок или совпадает с шириной запрещенной зоны. Ширину запрещенной зоны Eg кристаллического и стеклообразного полупроводника можно определить по энергии света hω , с которой начинается интенсивное поглощение. Методика выполнения работы В настоящей работе исследуется коэффициент пропускания тонкой пленки полупроводника трисульфид мышьяка (As2S3) D ( λ ) в зависимости от длины волны падающего света, полоса и край основного поглощения которого находится в видимой области спектра. Переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости соответствуют полосе основного поглощения. Для того чтобы сопоставить экспериментальную кривую с приведенными выше зависимостями, необходимо выразить энергию света через длину волны:

c E = hv = h .

(22.1)

λ

206

Зная длинноволновую границу оптического поглощения λ ГР , можно найти ширину запрещенной зоны Eg (эВ):

Eg =

1.24 ⋅103 . λ ГР

(22.2)

Для изучения спектров пропускания в данной работе используется монохроматор - прибор, предназначенный для выделения излучения в пределах заданного спектрального интервала. Принцип действия монохроматора основан на способности дифракционных решеток к пространственному разделению сплошного спектра на узкие спектральные участки. Примерный вид зависимости коэффициента пропускания D(λ ) тонкой пленки приведен на рис. 22.7.

Рис.22.7

Для определения края оптического пропускания следует экстраполировать соответствующую область спектра наклонной прямой и найти λ ГР в точке ее пересечения с осью абсцисс. По оптическим спектрам пропускания тонких пленок можно также оценить коэффициент преломления n в области длин волн Δλ . Эта возможность обусловлена тем, что на спектр пропускания As2S3 накладывается интерференционная картина от тонкой пленки (см. рис. 22.7). Появление интерференционной картины связано с тем, что при изменении длины волны излучения, выделяемого мо-

207

нохроматором, изменяется интерференционное условие, например условие максимума: 2bn = (m + 1 2)λ , (22.3) где b - толщина пленки; n - показатель преломления; λ - длина волны; m - целое число. Условие (22.3) сформулировано для нормального падения лучей на пленку. Записав условие соседнего максимума при увеличении длины волны излучения на Δλ , получим: 2bn = (m − 1 2)(λ + Δλ ) . (22.4) Из (22.3) и (22.4) следует

n=

λ (λ + Δλ ) . 2bΔλ

(24.5)

Схема установки изображена на рис. 22.8.

Рис.22.8

Излучение источника 1 - галогенной лампы накаливания, проходит через систему нейтральных фильтров и пленку, укрепленных в держателях, и через входную щель попадает в монохроматор 2. Из входной щели монохроматора излучение направляется в блок приемника 3, основой которого служит фотоэлемент. Выходной сигнал с фотоэлемента после усиления через кабель и разъем подается на

208

гнездо блока питания 4. Источник излучения 1 также подключается к блоку питания 4. Регистрация интенсивности излучения в относительных единицах осуществляется на шкале цифрового вольтметра 5. Вход цифрового вольтметра соединен с гнездами блока питания 4. Необходимые длины волн устанавливаются рукояткой 2а монохроматора и отсчитываются по цифровому механическому счетчику с точностью 0, 2 нм. Чувствительность установки регулируется диафрагмой 3а и ступенчатым переключателем 3б. Рукоятка 3в устанавливает «Ноль» вольтметра. На лицевой панели блока питания 4 имеется тумблер 4а – «Сеть» и сигнальная лампа, тумблер питания фотоэлемента 4б «Накал-недокал», обеспечивающий работу источника излучения в двух режимах, и гнезда для подключения вольтметра 4в. Рабочий предел вольтметра - 20 В. Снятие спектров пропускания осуществляется в режиме «недокал» источника излучения 1 в области 450 − 630 нм, которая является областью наибольшей чувствительности установки. В этом диапазоне длин волн используется входная щель монохроматора шириной 0, 25 мм, а выходная щель шириной 0,05 мм. Во избежание перегрузки вольтметра, световой поток ослабляется с помощью нейтрального фильтра. В этом случае положение ступенчатого переключателя чувствительности 3б – «3». До начала измерений необходимо установить «0» на табло вольтметра с помощью рукоятки 3в, предварительно перекрыв доступ света в монохроматор. Следует помнить, что с вольтметра производится отсчет установившегося значения напряжения (для чего требуется выждать 10-15 секунд). Измерения производят вначале без пленки с тем, чтобы снять аппаратную функцию спектральной чувствительности фотоэлемента U 0 (λ ) . При перегрузке вольтметра из-за большой величины светового потока необходимо ввести светофильтр. Коэффициент ослабления света k указан на самом светофильтре. Светофильтр не убирается до конца измерения. После этого производят измерение спектра пленки As2S3 толщиной 1, 8 мкм U (λ ) в том же диапазоне длин волн. На коротковолновом участке диапазона показания вольтметра могут стать малыми,

209

что потребует снятия фильтра, с тем чтобы восстановить значащие цифры в разрядах дисплея вольтметра. Коэффициент пропускания вычисляется по формуле D(λ ) = U (λ ) U 0 (λ ) . (22.6) Если фильтр снимался, то необходимо вводить поправочный коэффициент, т.е. D ( λ ) = kU ( λ ) U 0 ( λ ) . (22.7) Порядок выполнения работы 1. Включите блок питания монохроматора, вольтметр и источник света. Дайте приборам прогреться не менее 15 минут. 2. Установите на счетчике монохроматора длину волны 600 нм. Произведите установку «0» вольтметра, перекрыв предварительно доступ света в монохроматор. 3. Измерьте без пленки аппаратную функцию U 0 (λ ) в диапазоне длин волн 630 − 450 нм через каждые 10 нм. Результат занесите в таблицу 22.2. 4. Произведите с пленкой измерения спектральной функции U (λ ) в том же диапазоне длин волн. Отметьте измерения, где был снят светофильтр. Результат занесите в таблицу 22.2. Таблица 22.2

λ , нм

U 0 (λ )

U (λ )

630 620 610

460 450

210

D(λ )

5. Вычислите D(λ ) по формулам (22.6) и (22.7).

6. Постройте график D(λ ) и по графику определите λ ГР и Δλ . 7. Вычислите n по формуле (22.5) и Eg формуле (22.2). Сравните полученный результат с табличным. Контрольные вопросы 1. Возможен ли тепловой пробой в металлах? 2. Объясните «прозрачность» веществ с точки зрения зонной теории. 3. Объясните физический смысл λ ГР . 4. Что происходит с запрещенной зоной при «легировании» полупроводника?

211

ЛИТЕРАТУРА Работа 18

• Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2003. стр.35-50. • Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 2001. стр.12-29. Работа 19

• Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2003. стр.51-69. • Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 2001. стр.42-50. Работа 20

• Савельев И.В. Курс общий физики. Книга 5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСИ». 2003. стр.170-175. Работа 21

• Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: «Лаборатория Базовых Знаний». 1999. стр.202-205. • Савельев И.В. Курс физики. М.: Наука. 1989. Т.2 с. 115; Т.3 стр. 35 Работа 22 • М. Бродски, «Аморфные полупроводники», М.: «Мир», 1982, стр. 77-81.

212