Оценка кпд реального теплового двигателя, работающего по циклу Карно

Оценка кпд реального теплового двигателя, по циклу Карно Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ.работающего Ò. 8, ¹ 4, 2002

65

Оценка кпд реального теплового двигателя, работающего по циклу Карно В.С. Булыгин Московский физикотехнический институт (государственный университет) Получено выражение для кпд цикла Карно с учетом конечного времени теплообмена с нагревателем и холодильником.

При выводе хорошо известного выражения для кпд теплового двигателя, работающего по циклу Карно с нагревателем, имеющем абсолютную температуру Тн, и и холодильником с абсолютной температурой Тх:

ηC =

κ T

1

Tн − T х Tн

(1)

предполагается, что теплообмен рабочего тела двигателя с нагревателем и холодильником происходит настолько медленно, что температура рабочего тела во время его нагрева и охлаждения не отличается от температуры, соответственно, нагревателя или холодильника. Рассмотрим более реальную модель теплового двигателя, в которой температура рабочего тела при теплообмене отличается от температур нагревателя и холодильника, и поэтому получение тепла от нагревателя и передача его холодильнику происходят за конечное время. Пусть процессы теплообмена нагревателя и холодильника с рабочим телом двигателя осуществляются через теплопроводящие стенки с идентичными геометрическими и физическими параметрами: толщина стенок – λ , площадь – S, коэффициент теплопроводности материала, из которого изготовлены теплопроводящие стенки – . Обозначим через и T2 температуры, с которыми рабочим телом двигателя совершается цикл Карно. Тогда количества теплоты за цикл, забираемое рабочим телом от нагревателя Qн и отдаваемое холодильнику Q х , в соответствии с законом Фурье определятся выражениями:

Qн = κ S

Tн − T1 κS tн = ΔTн t н ; λ λ

Qх = κ S

T2 − T х κS tх = ΔT х t х . λ λ

(2)

Здесь tн и tх – продолжительности теплообмена, соответственно, с нагревателем и холодильником и, кроме того, введены обозначения для (пока ещё не определённых)

66

В.С. Булыгин

разностей температур цикла и температур нагревателя и холодильника: ΔTí = Tí − T1 , ΔT õ = T2 − Tõ .

(3)

Так как кпд теплового двигателя равен:

η =1−

Qõ T =1− 2 , Qí T1

(4)

то работа, совершаемая двигателем за цикл, с учётом (2), равна:

A = Q íη =

κS λ

⎛ T ΔTí t í ⎜⎜1 − 2 T1 ⎝

⎞ ⎟⎟ . ⎠

(5)

Предположим далее, что основное время рабочего цикла t уходит на теплообмен с нагревателем и холодильником, т.е. ⎛ t ⎞ t = t í + t õ = t í ⎜⎜1 + õ ⎟⎟ ⎝ tí ⎠

или, поскольку, с учётом (2) и (4) t õ ΔTí Q õ ΔTí T2 = = t í ΔT õ Qí ΔT õ T1 ,

(6)

⎛ ΔTí T2 ⎞ ⎟ t = t í ⎜⎜1 + ΔT õ T1 ⎟⎠ . ⎝

(7)

то

Таким образом, выражение для мощности двигателя, согласно (5) и (7), при сделанных предположениях запишется в виде:

T2 T1 − T2 T1 κS A κS N= = ΔT í = ΔTí ΔTõ ΔTí T2 T1 ΔTõ + T1 ΔTí λ λ t 1+ ΔT õ T1 1−

Оценка кпд реального теплового двигателя, работающего по циклу Карно

67

или, так как, согласно (3), T1 = Tí − ΔTí , T2 = T õ + ΔT õ , то N (ΔTí , ΔT õ ) =

κS λ

ΔTí ΔT õ

(Tí − Tõ ) − ΔTí − ΔTõ Tí ΔT õ + T õ ΔTí

.

(8)

Введём для удобства новые безразмерные переменные:

x=

ΔTí Tí − T õ ,

y=

ΔT õ Tí − Tõ ;

(9)

в этих переменных выражение (8) для мощности двигателя, с учётом (1), принимает вид:

N ( x, y ) =

κ S (Tí − T õ )2 xy (1 − x − y ) κ S λ

Tí y + T õ x

=

λ

Tíη C2

xy (1 − x − y ) , βx + y

(10)

68

В.С. Булыгин

ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå:

β = 1 − ηÑ =

Tõ Tí .

(11)

Как видно из выражения (10), мощность N ( x, y ) определена в треугольной области параметров (x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1 − x ) , внутри которой она положительна, и на границе которой она обращается в нуль (см. рисунок, где линиями уровня изображена мощность N, нормированная на своё максимальное значение). Определим, при каких разностях температур ΔTí и ΔT õ мощность теплового двигателя N будет максимальной, для чего исследуем выражение (10) на экстремум. Прямой путь, когда от этого выражения вычисляются по x и y частные производные, которые приравниваются затем к нулю, приводит к системе двух уравнений второго порядка:

⎧⎪Tí y − 2Tí xy − T õ x 2 − Tí y 2 = 0 ⎨ , ⎪⎩T õ x − 2T õ xy − T õ x 2 − Tí y 2 = 0

(12)

решение которой получается довольно громоздким путём. Вместо этого воспользуемся тем, что исследуемая функция имеет единственный максимум, и будем сначала искать её (относительный) максимум на луче: y = ax

.

(13)

Подставляя выражение (13) в (10), получаем для функции на этом луче выражение: N ( x, a ) =

κS λ

TíηC2

ax[1 − (1 + a )x ] ~ x[1 − (1 + a )x ] , β +a

(14)

которое, как легко видеть, максимально при

x=

1 2(1 + a )

и, согласно (13), при

(15)

Оценка кпд реального теплового двигателя, работающего по циклу Карно

y=

a . 2(1 + a )

69

(16)

Теперь, подставив (15) в (14), получим выражение для совокупности всех относительных максимумов:

N=

κS λ

Tíη C2

a 4(β + a )(1 + a ) ,

(17)

которое представлено на рисунке линией, лежащей в вертикальной плоскости. Продифференцировав выражение (17) по a, нетрудно установить, что максимум мощности теплового двигателя достигается, с учётом (11), при

a= β =

Tõ Tí ,

(18)

т.е., согласно (15) и (16), при следующих значениях:

x=

(

1

2 1+ β

=

) 2( T

í

Tí + Tõ

),

y=

(

β

2 1+ β

=

) 2( T

í

Tõ + Tõ

),

(19)

которые, как можно убедиться, удовлетворяют также системе (12). Таким образом, с учётом (9) и (19), мощность двигателя будет максимальна при следующих разностях температур рабочего тела двигателя с нагревателем и холодильником: 1 Tí 2 1 ΔT õ = Tõ 2 ΔT í =

(T (T

í

− Tõ

í

− Tõ

) )

.

(20)

При этом, согласно (3), температуры цикла Карно, при котором двигатель развивает максимальную мощность, имеют следующие значения:

70

В.С. Булыгин

(T (T

1 Tí 2 1 T 2 = T õ + ΔT õ = Tõ 2 T1 = Tí − ΔTí =

) T )

í

+ Tõ

í

+

(21)

.

õ

Подставляя выражения (21) в (4), окончательно формулируем: Êïä òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ, ðàáîòàþùåãî ïî öèêëó Êàðíî â òåïëîâîì êîíòàêòå ÷åðåç îäèíàêîâûå òåïëîïðîâîäÿùèå ñòåíêè ñ íàãðåâàòåëåì è õîëîäèëüíèêîì, èìåþùèìè àáñîëþòíûå ‰

òåìïåðàòóðû Tí è T õ , îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè äâèãàòåëÿ âûðàæåíèåì:

η=

Tí − T õ Tí

,

(22)

если основное время рабочего цикла двигателя уходит на теплообмен с нагревателем и холодильником. Отметим, что полученное выражение (22) для кпд при максимальной мощности в 1 + T õ Tí раз меньше максимально возможного кпд цикла Карно, см. (1). Приведём также выражение для максимальной мощности теплового двигателя в этих условиях, подставив выражение (18) в (17):

N max =

κS 4λ

(

Tí 1 − β

)

2

κ S ⎛⎜ Tí − T õ ⎞⎟ = λ ⎜ ⎝

2

2

⎟ . ⎠

Кроме того, подставляя выражения (20) и (21) в выражение (6), мы получаем: t õ ΔTí T2 = =1 , t í ΔTõ T1

т.е. при максимальной мощности теплового двигателя, работающего по циклу Карно, время нагрева рабочего тела от нагревателя и время его охлаждения при тепловом контакте с холодильником оказываются одинаковыми. В таблице приведены данные о некоторых тепловых машинах, заимствованные из [1], приведены значения их фактического кпд η 0 , кпд Карно η Ñ (выражение (1)) и кпд при максимальной мощности η (выражение (22)).

Оценка кпд реального теплового двигателя, работающего по циклу Карно

71

ηÑ Как видно из таблицы, верхняя оценка кпд тепловых машин , даваемая формулой (1) обычного цикла Карно, заметно превышает реально наблюдаемый кпд η 0 ; в то же время значения кпд при максимальной мощности η , даваемые выражением (22), в целом, неплохо согласуются с реальными кпд (заметим, что если не требовать максимума мощности, развиваемой тепловым двигателем, его кпд может превышать значения, даваемые формулой (22), приближаясь к предельному ). значению кпд Автор благодарит С.Г. Каленкова за интерес к этой работе и стимулирующие îáñóæäåíèÿ, ñïîñîáñòâîâàâøèå íàïèñàíèþ äàííîé ñòàòüè.

Литература 1. Енохович А.С. Физика. Техника. Производство (краткий справочник). – М.: Гос. учпед. издво Мин. Просвещения РСФСР, 1962.