Методические указания ''Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод стрельбы'' (для студентов 3 и 4 курсов мехмата)

Министерство Образования Российской Федерации Ростовский государственный университет

И. В. МОРШНЕВА, С. Н. ОВЧИННИКОВА

Методические указания ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД СТРЕЛЬБЫ (для студентов 3 и 4 курсов мехмата)

Ростов–на–Дону 2003г.

2

И. В. Моршнева, С. Н. Овчинникова. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод стрельбы. Методические указания для студентов 3 и 4 курсов мехмата. Ростов–на–Дону, УПЛ РГУ, 2003г.

Печатается по решению кафедры вычислительной математики и математической физики. Протокол № 3 от 19 ноября 2003 г.

3

При

исследовании

многих прикладных и теоретических задач

современного естествознания и при инженерных расчетах часто требуется разыскивать решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным краевым условиям. Современная вычислительная техника и накопленный вычислительный опыт позволяют приближенно рассчитывать решения больших и сложных задач для дифференциальных уравнений. Особую важность при численных расчетах имеет гарантированная точность вычисленного решения. Она зависит от точности используемой ЭВМ и влияния на решение неизбежных ошибок входных данных и ошибок округления. Существуют мощные пакеты, позволяющие решать как аналитически, так и численно многие задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Уверенному использованию таких пакетов помогают знания вычислительных методов решения ОДУ и их особенностей. Встречаются также задачи, для которых требуется модифицировать старые или создавать новые методы и алгоритмы. Наиболее распространенные методы решения краевых задач для ОДУ можно разделить на три группы: методы сведения к задаче Коши; конечно – разностные методы; проекционные и вариационные методы. В методическом пособии рассматриваются методы сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Суть всех таких алгоритмов одинакова, поэтому их можно называть методами стрельбы (или пристрелки), несмотря на то, что иногда в литературе так называются только некоторые из них. Предполагается, что рассматриваемые задачи имеют единственное решение, непрерывно зависящее от входных данных. Следует, однако, отметить, что даже корректно поставленная задача может быть неустойчивой при численном решении, т.е. малые ошибки при вводе данных и неизбежные ошибки округления могут привести к большой погрешности результата. Метод пристрелки рассматривается для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что дифференциальное уравнение любого порядка сводится к эквивалентной нормальной системе

4

ОДУ. Как проще всего это сделать покажем на примере двухточечной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения m – ого порядка, разрешенного относительно старшей производной

u ( m ) = f ( x, u, u′, u′′,K, u ( m−1) ) ,

x ∈ [a , b]

g i (u (a ), u′(a ), u′′(a ),K, u ( m−1) (a )) = 0, i = 1,2,K, k

g i (u (b), u′(b), u′′(b),K, u ( m−1) (b)) = 0, i = k + 1, k + 2,K, m

(0.1) (0.2)

где g i – функции, зависящие от значений решения u(x) и его производных на концах отрезка [a, b]. Замена

u1 ( x ) = u ( x ), u 2 ( x ) = u′( x ), K, u m ( x ) = u ( m−1) ( x ) позволяет записать (0.1) в виде нормальной системы ОДУ

⎧u1′ = u 2 ⎪u ′ = u ⎪⎪ 2 3 ⎨KKK ⎪u ′ = u m ⎪ m−1 ⎪⎩u′m = f ( x , u1 , u 2 ,K, u m ) или в векторном виде

u′ = F( x , u ) ,

(0.3)

где вектор–функции u = (u1 , u 2 ,K, u m ) и F( x , u ) = (u 2 ,K, u m , f ( x , u1 , u 2 ,K, u m )) имеют размерность m. Краевые же условия (0.2) можно записать в виде

g i ( u (a )) = 0, g i ( u (b)) = 0,

i = 1, 2,K, k ,

i = k + 1, k + 2,K, m.

(0.4)

Первая компонента решения задачи (0.3)–(0.4) будет искомым решением краевой задачи (0.1)– (0.2). Аналогично произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить эквивалентной нормальной системой уравнений. Поэтому то подавляющее большинство стандартных методов, их алгоритмов и соответствующих программ строятся для системы вида (0.3).

5

Далее

будем

рассматривать двухточечную

краевую

задачу

для

нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

⎧u′ = F( x , u ), ⎪ ⎨G ( u (a )) = 0, ⎪D ( u (b)) = 0, ⎩

a≤x≤b

(0.5)

где u , F – вектор–функции размерности m, G –вектор размерности k, зависящий от значений компонент решения u ( x ) в точке x= a, D –вектор размерности (m-k), зависящий от значений компонент u ( x ) в точке x= b.

1. МЕТОД СТРЕЛЬБЫ (ПРИСТРЕЛКИ). Как отмечалось выше, при численном решении краевой задачи предполагается, что у неё существует единственное решение, и погрешность вычисленного решения имеет такой же порядок, как и неизбежные ошибки вычислений. Заметим, однако, что условия теорем существования и единственности трудно проверять, особенно, если система дифференциальных уравнений нелинейная. Надо иметь в виду, что для заданной корректно поставленной краевой задачи условия существования и единственности могут нарушаться из-за неизбежных ошибок округления. Это приводит к большой потери точности или к отсутствию сходимости у рассматриваемых ниже алгоритмов. Метод стрельбы состоит в сведении краевой задачи (0.5) к задаче Коши, для решения которой существует много приближенных методов, позволяющих получать результат с гарантированной точностью. Такое сведение состоит в отыскании значений p1,K, p m , при которых решение u ( x, p1,K, p m ) задачи Коши

⎧u′i = Fi ( x , u1 ,K, u m ), i = 1,K, m , a ≤ x ≤ b ⎨ u ( a ) = p , ⎩ i i

(1.2)

совпадает с решением краевой задачи (0.5). Очевидно, при таких значениях

p i , i = 1,2,K, m , должны выполняться краевые условия

6

G ( u (a , p1 ,K, p m )) = 0,

(1.3)

D ( u (b, p1 ,K, p m )) = 0

Искомые p i , i = 1,2,K, m можно разыскивать следующим образом. Сначала из системы уравнений k–ого порядка (в общем случае нелинейных, трансцендентных)

G ( u (a , p1 ,K, p m )) = 0 находят (m-k) параметрическое семейство решений (оно существует, так как предполагается, что краевая задача корректно поставлена). Пусть, для простоты изложения, семейство решений можно записать в виде

u i (a ) = pi = αi (p k +1 ,K, p m ), i = 1,K, k , u i (a ) = p i ,

i = k + 1,K, m,

где pi , i = k + 1,K, m — пока произвольные постоянные (параметры). Решение u a ( x, p k +1 ,K, p m ) задачи Коши

⎧u′i = Fi ( x , u1 ,K, u m ), ⎪ ⎨u i (a ) = α i (p k +1 ,K, p m ), i = 1,K, k , ⎪u ( a ) = p , i = k + 1,K, m i ⎩ i

(1.4)

является также решением краевой задачи (0.5), если D ( u a (b, p k +1 ,K, p m )) = 0 .

(1.5)

Система (1.5) (m–k)–ого порядка для вычисления (m–k) неизвестных параметров pi , i = k + 1,K, m называется уравнениями "сшивания". Численное решение таких уравнений разыскивается обычно методом Ньютона (см. ниже). Аналогично можно поступить, если известно, что k–параметрическое семейство решений системы уравнений (m-k)–ого порядка относительно m неизвестных

D ( u (b, p1 ,K, p m )) = 0 можно записать в виде

u i (b) = α i (p1 ,K, p k ),

i = 1,K, m − k ,

u m − k +i ( b) = p i

i = 1,K, k ,

7

где pi , i = 1,K, k — пока произвольные постоянные.

Тогда

решение

u b ( x , p1 ,K, p k ) задачи Коши ⎧u′i = Fi ( x , u1 ,K, u m ), ⎪ ⎨u i (b) = αi (p1 ,K, p k ), ⎪u ⎩ m − k +i ( b) = p i ,

i = 1,K, m-k

(1.6)

i = 1,K, k

будет решением краевой задачи (0.5), если pi , i = 1,K, k удовлетворяют уравнениям сшивания

G ( u b (a , p1 ,K, p k )) = 0 .

(1.7)

Как правило, легче численно решать систему уравнений небольшого порядка, поэтому выбор уравнений сшивания (1.5) или (1.7) зависит от того, что больше k или (m-k). Заметим, что для повышения точности расчета иногда разумно вычислять решение u a ( x, p k +1 ,K, p m ) задачи (1.4) для a ≤ x ≤ s < b и

u b ( x, p1 ,K, p k ) задачи (1.6) для a < s ≤ x ≤ b , а затем “сшить” их в некоторой точке s ∈ (a , b ) . В этом случае система уравнений сшивания

u a (s, p k +1 ,K, p m ) = u b (s, p1 ,K, p k ) будет иметь максимальный порядок m. Но, если у системы дифференциальных уравнений задачи (0.5) есть быстро растущие решения, то разумный выбор внутри отрезка [a , b] точки s (вообще говоря, трудная задача), позволит найти значения p1 ,K, p m с меньшей погрешностью. Для линейной краевой задачи уравнения сшивания будут также линейными. Рассмотрим способ их построения, пригодный только для линейных задач. 2. МЕТОД СТРЕЛЬБЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. Пусть требуется найти решение линейной краевой задачи

⎧u′ = A( x ) u + f ( x ), ⎪ ⎨G ( u (a )) = 0, ⎪D ( u (b)) = 0, ⎩

a≤x≤b

(2.1) (2.2) (2.3)

8

где A( x ) – матрица порядка m × m , f ( x ) — m–мерная вектор–функция, а векторы k–мерный G ( u (a )) и (m-k)–мерный D ( u (b)) линейно зависят от компонент вектора u ( x ) в точках x = a и x = b . Общее решение линейной краевой задачи (2.1) будем разыскивать в виде m

u ( x ) = u 0 ( x ) + ∑ pi u i ( x ) .

(2.4)

i =1

Здесь u 0 ( x ) – решение неоднородной задачи Коши

⎧u′ = A( x ) u + f ( x ), ⎨ ⎩u (a ) = (0,K,0),

a ≤ x ≤ b,

(2.5)

а u i ( x ) ( i = 1,K, m ) – решения однородных задач Коши

⎧⎪u′ = A( x ) u , ⎨u (a ) = (0,K0, 1 , 0,K, 0), i = 1,K, m, ⎪⎩ i место

a ≤ x ≤ b.

(2.6)

Вектор–функция u ( x ) будет решением линейной краевой задачи (2.1) – (2.3), если она будет удовлетворять краевым условиям (2.2) и (2.3). Это означает, что параметры pi , i = 1,K, m должны быть решениями системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) m–го порядка m

G ( ∑ p i u i (a )) = 0, i =1

m

D ( u ( b ) + ∑ p i u i ( b )) = 0. 0

i =1

Эта СЛАУ имеет единственное решение, так как краевая задача поставлена корректно и решения однородных задач Коши (2.6) линейно независимы. Заметим, что для вычисления p1 ,K, p m требуются только значения компонент векторов u i (a ) и u i (b) . Поэтому при численном решении задач (2.5), (2.6) надо запоминать значения u i ( x ) только в точке x = b . После вычисления p1,Kp m искомое решение краевой задачи (2.1)–(2.3) совпадает с решением задачи Коши

⎧u′ = A( x ) u + f ( x ), ⎨ ⎩u (a ) = (p1,K, p m ),

a ≤ x ≤ b.

9

Можно

уменьшить

число решаемых однородных задач Коши,

если СЛАУ относительно m (m>k) неизвестных компонент вектора u (a ) , соответствующая краевым условиям (2.2), имеет решение

u i (a ) = αi (p k +1,K, p m ) , i = 1,K, k , u i (a ) = pi , i = k + 1,K, m , и некоторые αi = const (т.е. не зависят от pi , i = k + 1,K, m ). Для простоты изложения будем считать, что все αi = const , i = 1,K, k , т.е. требуется найти решение линейной двухточечной краевой задачи

⎧u′ = A( x ) u + f ( x ), ⎪ ⎨u i (a ) = αi , i = 1,K, k , ⎪D ( u (b)) = 0, ⎩

(2.7) (2.8)

a ≤ x ≤ b.

(2.9)

Общее решение линейной системы ОДУ (2.7), удовлетворяющее краевым условиям (2.8) при x = a , будем разыскивать в виде u (x ) = u 0 (x ) +

m−k

∑ p k +i u i ( x ) . i =1

Здесь u 0 ( x ) – решение неоднородной задачи Коши

⎧u′ = A( x ) u + f ( x ), ⎨ ⎩u (a ) = (α1 ,K, α k ,0,K,0),

a ≤ x ≤ b,

а u i ( x ) ( i = 1,K, m − k ) – решения однородных задач Коши

⎧u ′ = A ( x ) u ⎪ ⎨u (a ) = (0,K0, 1 ,0,K,0), i = 1,K, m − k , ( k +i ) ⎪⎩ место

a ≤ x ≤ b.

(2.10)

Вектор–функция u ( x ) будет решением линейной краевой задачи (2.7)– (2.9), если она будет удовлетворять условиям (2.9) при x = b . Это означает, что параметры p k +i , i = 1,K, m − k должны быть решениями СЛАУ (m-k)–го порядка 0

D ( u (b) +

m −k

∑ p k +i u i ( b )) = 0 i =1

(2.11)

10

После

вычисления

p k +1,K, p m

искомое

решение

краевой

задачи

(2.7)–(2.9) совпадает с решением задачи Коши

⎧u′ = A( x ) u + f ( x ), ⎨ ⎩u (a ) = (α1,K, α k , p k +1 ,K, p m−k ),

a ≤ x ≤ b.

Все задачи Коши решаются численно, поэтому после реализации метода стрельбы получается приближенное решение. Несмотря на то, что теоретически решение системы (2.11) единственно, СЛАУ может быть плохо обусловлена, если решения u i ( x ) задач (2.10) очень близки численно («почти линейно зависимы»), т.е. возможна большая потеря точности. Так бывает, если у однородной линейной задачи имеются линейно независимые решения, различающиеся скоростью изменения по х. В книге /5/ (стр. 92–93) приводится пример такой ситуации: требуется решить краевую задачу для уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами

u IV − 24 u′′′ − 169 u′′ − 324 u′ − 180 u = 0, x ∈ [0,1] u (0) = 0, u′(0) = 0, u (1) = 0.146996, u′(1) = 0,0241005. Её точное решение u ( x ) = e − x − 2e −2 x + e −3x . Значения корней характеристического уравнения, соответствующего заданному дифференциальному уравнению, сильно отличаются друг от друга. Они равны –1, –2 ,–3, 30. Это означает, что вблизи правого конца интервала ( x ≈ 1) с точностью до пренебрежимо малых значений все решения u i ≈ C i e 30 x , i=1, 2, 3, 4, т.е. различаются только постоянным множителем Ci . В этом случае матрица СЛАУ (2.11) будет плохо обусловлена, и решение, рассчитанное описанным выше методом стрельбы, окажется неверным. Иногда в такой ситуации помогает метод ортогонализации решений u i ( x ) задач Коши (2.10) в некоторой внутренней точке отрезка [a , b] (см. /5/). Если одно из частных решений дифференциального уравнения растет не очень быстро, может помочь построение уравнений сшивания в некоторой внутренней точке s отрезка [a , b] .

11

Аналогичная, как правило, более

сложная ситуация имеет место, если

линейная задача имеет переменные коэффициенты. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СШИВАНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ. В случае краевой задачи второго порядка (или третьего), как правило, получается одно уравнение сшивания. Существует много численных методов его решения. Начиная с краевых задач четвертого порядка, может получиться система уравнений сшивания. Рассмотрим их решение на примере системы (1.7), которую запишем в виде

Φ (p) = 0 ,

(3.1)

где p = (p1,K, p k ) , Φ ( p ) = G ( u b (a , p )) –вектор–функция k–го порядка. Если известно начальное приближение p 0 , которое принадлежит малой окрестности p , то можно использовать метод Ньютона. В методе Ньютона (n+1)–ая итерация вычисляется по формуле

p n +1 = p n − (J( p n ))−1 Φ ( p n ) , k

⎧⎪ ∂Φ ⎫⎪ где J ( p ) = ⎨ i ( p n )⎬ – матрица Якоби. Вычисление (n+1)–ой итерации ⎪⎩ ∂p j ⎪⎭i , j=1 n

удобно записать в виде

p n +1 = p n + δ n , где поправка к n–ой итерации δ n является решением СЛАУ с матрицей Якоби

J( p n ) δ n = − Φ ( p n ) Считается, что (n+1)–ая итерация является искомым решением ( p n +1 ≈ p ), если, во-первых,

Φ ( p n +1 ) ≤ ε , (выход по “невязке”), во–вторых,

12

δ n = p n +1 − p n ≤ ε при p n +1 ≤ 1 , или

δ n / p n +1 = p n +1 − p n / p n +1 ≤ ε при

p n +1 > 1. (выход по шагу итераций). Здесь ε – заданная точность расчёта, а в качестве нормы вектора обычно используется

Φ

∞

= max Φ i или Φ 2 = i

∑ Φi

2

.

i

Основную трудность при расчете итераций составляет вычисление матрицы Якоби. Обычно частные производные

∂Φ i заменяются разностными отноше∂p j

ниями

∂Φ i Φ i (p1,K, p j−1, p j + h j , p j+1,K, p k ) − Φ i (p1,K, p k ) . ≈ hj ∂p j Сначала решается задача Коши (1.6) и находится численное значение Φ (p1 ,K, p k ) . Для расчета элементов j–ого столбца матрицы Якоби решается еще одна задача Коши (1.6) с p = (p1 ,K, p j−1 , p j + h j , p j+1 ,K, p k ) и вычисляется

Φ (p1,K, p j−1, p j + h j , p j+1,K, p k ) . Следовательно, вычисление всей матрицы Якоби (k столбцов) требует решения (k+1) задач Коши. Теперь о выборе h j . Во–первых, ошибка при замене производной разностным отношением имеет порядок О( h j ), во–вторых, при очень малом h j может сильно возрасти ошибка, связанная с округлением (при очень малом h j значения Φ (p1 ,K, p k ) и Φ (p1,K, p j−1, p j + h j , p j+1,K, p k ) могут почти совпадать). В качестве h j разумно выбрать 0 ⎧⎪ ε , если p j ≤ 1 hj = ⎨ , 0 ⎪⎩ ε ⋅ p j , если p0j > 1

где ε – точность расчета.

13

Реализация метода Ньютона Если начальное приближение p 0 находится в малой окрестности искомого решения, то скорость метода Ньютона квадратичная. При использовании разностных отношений вместо производных скорость сходимости немного меньше квадратичной. До тех пор, пока итерации не приблизятся к решению, метод может сходиться медленно и даже расходиться. Иногда хорошее начальное приближение известно уже при постановке задачи. Если задача зависит от параметра, то для поиска приближения можно использовать продолжение по параметру. Если же параметра нет, то при необходимости его можно и ввести. Если нет уверенности в сходимости, то при вычислении каждой (n+1)–ой итерацию можно ввести "демпфирующий" множитель α n . Сначала положим

α n = 1 и вычислим p n +1 = p n − α n (J ( p n ))−1 Φ ( p n ) . Итерация p n +1 считается найденной, если

Φ ( p n +1 ) ≤ Φ ( p n ) .

(3.2)

Если же условие (3.2) не выполнено, то α n : = α n / 2 и вновь вычисляется p n +1 . Заметим, что при этом не требуется пересчета матрицы Якоби. Очевидно, что число делений α n надо ограничивать, так как метод может расходиться. Вычисление матрицы Якоби может требовать много времени, поэтому часто применяется модификация метода Ньютона, при которой матрица Якоби вычисляется время от времени, а не на каждой итерации. Алгоритм такой модификации может выглядеть следующим образом: 1. вычисляются J ( p 0 ) и итерации p n +1 = p n − (J ( p 0 )) −1 Φ ( p n ) , n=0,...,k, 2. вычисляются

J( p k +1 )

и

итерации

p n +1 = p n − (J( p k +1 ))−1 Φ ( p n ) ,

n=k+1,...,2k. При таком алгоритме сходимость может замедлиться, но за счет экономии на вычислении матрицы Якоби общее время расчета сократится. 4. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ АЛГОРИТМОВ МЕТОДА СТРЕЛЬБЫ

14

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ И

НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

Пример № 1. Составить алгоритм метода пристрелки для решения линейной краевой задачи для уравнения

( x + 1)u IV + (4 + x )u′′ + 3u = 6x + 3 ,

0 ≤ x ≤1

Краевые условия на левом конце x = 0 имеют вид

2u (0) + u′′′(0) = −2 , u (0) − 2u′′′(0) = 1 а на правом конце x = 1

u (1) + u′′(1) = 3 u′(1) + u′′′(1) = 2 Решение. Вводя новые переменные

u1 ( x ) = u ( x ), u 2 ( x ) = u′( x ), u 3 ( x ) = u′′( x ), u 4 ( x ) = u′′′( x ) , сведем заданную краевую задачу к краевой задаче для нормальной системы дифференциальных уравнений четвертого порядка

u1′ = u 2 u′2 = u 3 u′3 = u 4 u′4 = −3 /( x + 1) u1 − (4 + x ) /( x + 1) u 3 + 3(2 x + 1) /( x + 1) Заметим, что для нахождения решения этой системы требуется создать процедуру вычисления правой части В векторном виде эту систему можно записать так

u′ = A( x ) u + f ( x ) ,

⎛ ⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜u ⎟ где u = ⎜ 2 ⎟ , A( x ) = ⎜ u ⎜ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜− ⎝u4 ⎠ ⎝

0 0 0 3 x +1

(4.1)

0 0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 1 ⎟ , f (x) = ⎜ 0 ⎟ . ⎜ 6x + 3 ⎟ ⎟ 4+x 0 − 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x +1 ⎠ ⎠ x +1

1 0 0

Краевые условия в новых переменных примут вид

2u1 (0) + u 4 (0) = −2 u1 (0) − 2u 4 (0) = 1

,

(4.2)

u1 (1) + u 3 (1) = 3

15

u 2 (1) + u 4 (1) = 2 (4.3) Из условий (4.2) получим

u1 (0) = −0.6,

u 4 (0) = −0.8 .

Теперь алгоритм метода стрельбы можно описать следующим образом. 1. Сначала решается неоднородная задача Коши

u′ = A( x ) u + f ( x ) u (0) = (−0.6,0,0,−0.8) , ее решение обозначим через u 0 ( x ) . 2. Затем решаются две задачи Коши для однородной системы дифференциальных уравнений

u′ = A( x ) u . Вектор–функция u1 ( x ) – решение, удовлетворяющее начальным условиям

u (0) = (0, 1, 0, 0) , а u 2 ( x ) удовлетворяет начальным условиям

u (0) = (0, 0, 1, 0) . 3. Построим вектор – функцию

u ( x ) = u 0 ( x ) + p 2 u1 ( x ) + p 3 u 2 ( x ) . В силу линейности задачи u ( x ) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (4.1). В точке x = 0 имеем

u (0) = (−0.6, p 2 , p3 ,−0.8) , т.е. u ( x ) удовлетворяет также и краевым условиям (4.2). 4. Далее выбираются такие значения p 2 и p3 , чтобы функция u ( x ) удовлетворяла краевым условиям (4.3), т. е.

16

u10 (1) + p 2 u11 (1) + p3u12 (1) + u 30 (1) + p 2 u13 (1) + p3u 32 (1) = 3 1444424444 3 144424443 u 3 (1)

u1 (1)

u 02 (1) + p 2 u12 (1) + p3u 22 (1) + u 04 (1) + p 2 u14 (1) + p3u 24 (1) = 2 1444424444 3 1444424444 3 u 2 (1)

u 4 (1)

Это означает, что параметры p 2 и p3 должны быть решениями СЛАУ

p 2 (u11 (1) + u13 (1)) + p3 (u12 (1) + u 32 (1)) = 3 − u10 (1) − u 30 (1) p 2 (u12 (1) + u14 (1)) + p3 (u 22 (1) + u 24 (1)) = 2 − u 02 (1) − u 04 (1) Отметим, что для вычисления значений коэффициентов и правых частей СЛАУ требуется решить три задачи Коши, причем нужны только значения компонент решений этих задач на конце интервала (при x = 1). 5. После вычисления p 2 , p3 находится решение u ( x , p 2 , p3 ) задачи Коши

u′ = A( x ) u + f ( x ) ,

u (0) = (−0.6, p 2 , p3 ,−0.8) . Первая компонента u ( x, p 2 , p3 ) является решением исходной краевой задачи. Пример № 2. Составить алгоритм метода пристрелки для решения линейной краевой задачи для уравнения

( x + 1)u IV + (4 + x )u′′ + 3u = 6x + 3 ,

0 ≤ x ≤ 1.

Краевые условия на левом конце x = 0 имеют вид

2u (0) − 3u′(0) + u′′′(0) = −2 , u (0) − 2u′(0) − 3u′′(0) + 3u′′′(0) = 1 а на правом конце x = 1

17

u (1) + u′′(1) = 3 u′(1) + u′′′(1) = 2 Решение.

Этот пример отличается от предыдущего примера краевыми условиями при x = 0 , имеющими более общий характер. Вводя, как и в примере №1, новые переменные, приходим к краевой задаче для системы ОДУ (4.1) с краевыми условиями (4.3) и 2u1 (0) − 3u 2 (0) + u 4 (0) = −2 u1 (0) − 2u 2 (0) − 3u 3 (0) + 3u 4 (0) = 1

.

(4.4)

Решение краевой задачи будем разыскивать в виде вектор–функции 4

u ( x ) = u ( x ) + ∑ pi u i ( x ) , 0

i =1

где pi – пока неизвестные параметры. Здесь u 0 ( x ) — решение неоднородной задачи Коши

u′ = A( x ) u + f ( x ) , u (0) = (0,0,0,0) . Вектор–функции u i ( x ) — решения задач Коши для однородной системы дифференциальных уравнений

u′ = A( x ) u , удовлетворяющие соответственно начальным условиям

u1 (0) = (1, 0, 0, 0)

u 2 (0) = (0, 1, 0, 0) u 3 (0) = (0, 0, 1, 0)

u 4 (0) = (0, 0, 0, 1) . В силу линейности задачи u ( x ) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений. Выберем такие значения pi , i = 1,2,3,4 , чтобы выполнялись краевые условия (4.4), (4.3), то есть pi , i = 1,2,3,4 являются решением СЛАУ

18

2p1 − 3p 2 + p 4 = −2 p1 − 2p 2 − 3p3 + 3p 4 = 1 4

∑ pi (u1i (1) + u i3 (1)) = 3 − u10 (1) − u 30 (1) i =1 4

∑ pi (u i2 (1) + u i4 (1)) = 2 − u 02 (1) − u 04 (1) i =1

Значения коэффициентов третьего и четвертого уравнений найдены численно при решении соответствующих задач Коши. После вычисления pi , i = 1,2,3,4 решение краевой задачи (4.1), (4.4), (4.3) находится как решение задачи Коши

u′ = A( x ) u + f ( x ) u (0) = ( p1 , p 2 , p3 , p 4 ) . Заметим, что при обсуждении алгоритмов использовалась векторная запись задач. При решении линейных систем на ПЭВМ вместо вычисления матриц A( x ) , надо написать процедуру вычисления правых частей этих систем. Пример № 3. Составить алгоритм метода пристрелки для решения нелинейной краевой задачи

u′′′ +u′′ −u′ +u 2e − x = sin 2 x (sin 2 x − 15)e − x ,

0 ≤ x ≤1

с краевыми условиями

u (0) + 2u′(0) = 4 , 2u′(0) − u′′(0) = 0

u′(1) − u (1) = −2.262

Решение. Введем новые переменные

u1 ( x ) = u ( x ), u 2 ( x ) = u′( x ), u 3 ( x ) = u′′( x ) , и сведем заданную краевую задачу к краевой задаче для нормальной системы нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка

u1′ = u 2 u′2 = u 3 u′3 = − u12e − x + u 2 − u 3 + sin 2 x (sin 2 x − 15)e x Запишем эту систему в векторном виде

19

u′ = F( x , u ) , где

⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜ u2 ⎟ , ⎜u ⎟ ⎝ 3⎠

u2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ F( x ) = ⎜ u3 ⎟. ⎜ − u 2e −x + u − u + sin 2 x (sin 2 x − 15)e x ⎟ 2 3 ⎝ 1 ⎠

Краевые условия в новых переменных принимают вид u1 (0) + 2u 2 (0) = 4 2u 2 (0) − u 3 (0) = 0

,

u 2 (1) − u1 (1) = −2.262

(4.5) (4.6)

Полагая u 2 (0) = p 2 , из условий при x = 0 получим

u1 (0) = 4 − 2p 2 , u 3 (0) = 2p 2 . Далее разыскиваем решение u ( x , p 2 ) задачи Коши u′ = F( x , u )

(4.7)

u1 (0) = 4 − 2p 2 , u 2 (0) = p 2 , u 3 (0) = 2p 2 . Полученное решение u(x, p2 ) нелинейно зависит от p 2 , его нельзя разыскивать как в линейной задаче. Вектор–функция u ( x, p 2 ) будет искомым решением краевой задачи, если она удовлетворяет краевому условию

u 2 (1) − u1 (1) = −2.262 . Для неизвестного p 2 получаем нелинейное уравнение

f1 (p 2 ) ≡ u 2 (1, p 2 ) − u1 (1, p 2 ) + 2.262 = 0 . Решение этого уравнения разыскивается одним из численных методов. Для вычисления значения f1 (p 2 ) при заданном p 2 используются компоненты решения задачи Коши (4.7) при x = 1 Как только найдено приближенное значение p 2 , снова решается задача (4.7), и первая компонента её решения u ( x, p 2 ) является искомым решением заданной краевой задачи. Заметим, что в случае краевых задач для дифференциальных уравнений третьего порядка удобно “стрелять” с того конца, где задано два условия. В

20

этом

случае

получается

одно уравнение сшивания. Если же порядок

краевых задач больше трех, то, как правило, краевых условий на каждом конце интервала более одного, т.е. приходим к линейной или нелинейной алгебраической системе уравнений сшивания. Пример № 4. Составить алгоритм метода пристрелки для решения нелинейной краевой задачи

u IV + 2 xu′′′ − 0.25 x 2 u′′ + 0.125 e− x / 2 u′u =e x / 2 (2.625 x 2 + 7.5 x + 3.125) , 0 ≤ x ≤ 1 u (0) − 2u′(0) = 0 , 2u (0) + u′(0) = 2.5

u (1) + 2u′′(1) = 18.136 2u (1) − u′′(1) = −0.824

Решение. Введем обозначения

u1 ( x ) = u ( x ), u 2 ( x ) = u′( x ), u 3 ( x ) = u′′( x ), u 4 ( x ) = u′′′( x ) . В этом примере дифференциальное уравнение нелинейно, поэтому нелинейна также эквивалентная нормальная система дифференциальных уравнений

u1′ = u 2 u′2 = u 3

(4.8)

u′3 = u 4 u′4 = −0.125 e − x / 2 u1u 2 + 0.25 x 2 u 3 − 2 xu 4 + e x / 2 (2.625 x 2 + 7.5x + 3.125) Краевые условия в новых обозначениях имеют вид

u1 (0) − 2u 2 (0) = 0 2u1 (0) + u 2 (0) = 2.5

,

u1 (1) + 2u 3 (1) = 18.136 2u1 (1) − u 3 (1) = −0.824

Из условий при x = 0 , получим

u1 (0) = 1, u 2 (0) = 0.5 . Далее разыскиваем решение u ( x , p3 , p 4 ) системы (4.8), удовлетворяющее начальным условиям

u1 (0) = 1, u 2 (0) = 0.5, u 3 (0) = p3 , u 4 (0) = p 4 .

(4.9)

21

Полученное

решение

будет искомым решением краевой задачи,

если удовлетворяет краевым условиям при х=1, что приводит к системе нелинейных уравнений для p 3 , p 4 f1 (p3 , p 4 ) ≡ u1 (1, p3 , p 4 ) + 2u 3 (1, p3 , p 4 ) − 18.136 = 0 f 2 (p3 , p3 ) ≡ 2u1 (1, p3 , p 4 ) − u 3 (1, p3 , p 4 ) + 0.824 = 0 Будем разыскивать решение этой системы алгебраических уравнений методом Ньютона. Пусть известно начальное приближение p30 и p04 . Последовательные приближения будем вычислять следующим образом

p3n +1 = p3n + δ3n p n4 +1 = p n4 + δ n4

,

где δ3n ,δ n4 – решения системы линейных алгебраических уравнений

∂f1 n n ∂f (p3 , p 4 ) ⋅ δ3n + 1 (p3n , p n4 ) ⋅ δn4 = −f1 (p3n , p n4 ) ∂p 4 ∂p3 . ∂f 2 n n ∂f 2 n n n n n n ( p 3 , p 4 ) ⋅ δ3 + ( p3 , p 4 ) ⋅ δ 4 = −f 2 (p3 , p 4 ) ∂p3 ∂p 4 Опишем алгоритм вычисления первого столбца матрицы Якоби. Начиная с n=0, положив p3 = p3n , p 4 = p n4 , решаем задачу Коши (4.8)–(4.9) и с помощью полученного решения вычисляем

f1n ≡ f1 (p3n , p n4 ) ≡ u1 (1, p3n , p n4 ) + 2u 3 (1, p3n , p n4 ) − 18.136 f 2n ≡ f 2 (p3n , p n4 ) ≡ 2u1 (1, p3n , p n4 ) − u 3 (1, p3n , p n4 ) + 0.824

.

Затем, положив p3 = p3n + h 3 , p 4 = p n4 , снова решаем задачу (4.8)–(4.9) и вычисляем ~ f1 ≡ f1 (p3n + h 3 , p n4 ) ≡ u1 (1, p3n + h 3 , p n4 ) + 2u 3 (1, p3n + h 3 , p n4 ) − 18.136 . ~ f2 ≡ f 2 (p3n + h 3 , p n4 ) ≡ 2u1 (1, p3n + h 3 , p n4 ) − u 3 (1, p3n + h 3 , p n4 ) + 0.824 Теперь

~ ∂f1 n n f1 − f1n ( p3 , p 4 ) ≈ , ∂p3 h3

~ ∂f 2 n n f2 − f 2n ( p3 , p 4 ) ≈ . ∂p3 h3

22

Если точность расчета ε

и

p30 ≤ 1 , то положим h 3 = ε , если же

p30 > 1 , то h 3 = ε ⋅ p30 . Вычисление элементов второго столбца матрицы Якоби проводится аналогично. После того, как найдены приближенные значения p3 и p 4 , решается задача (4.8)–(4.9), первая компонента её решения u ( x , p3 , p 4 ) является решением исходной краевой задачи. Пример № 5. Составить алгоритм метода пристрелки для решения нелинейной краевой задачи, у которой дифференциальное уравнение четвертого порядка линейно 2

u IV − 4 x 2 u′′ − 28xu′ − 32u = −4e x (4x 2 + 5) ,

0 ≤ x ≤1

а краевые условия нелинейные

u 2 (1) + u′′(1) = 3

2u (0) ⋅ u′(0) + u′′′(0) = −2 , u (0) − 2u′(0) ⋅ u′′(0) + 3u′′′(0) = 1

u′(1) + (u′′′(1) ) = 2 3

Решение. Введем новые переменные

u1 ( x ) = u ( x ), u 2 ( x ) = u′( x ), u 3 ( x ) = u′′( x ), u 4 ( x ) = u′′′( x ) , и сведем эту краевую задачу к краевой задаче для нормальной системы дифференциальных уравнений четвертого порядка

u1′ = u 2 u′2 = u 3

(4.10)

u′3 = u 4 2

u′4 = 32 u1 + 28xu 2 + 4 x 2 u 3 − 4e x (4 x 2 + 5) с краевыми условиями 2u1 (0) ⋅ u 2 (0) + u 4 (0) = −2 u1 (0) − 2u 2 (0)u 3 (0) + 3u 4 (0) = 1

u12 (1) + u 3 (1) = 3 u 2 (1) + u 34 (1) = 2

,

(4.11)

(4.12)

23

Здесь

нельзя

использовать алгоритм

метода

пристрелки

для

линейных задач из–за нелинейности краевых условий. Из двух условий на левом конце ( x = 0 ) выразим значения двух компонент вектора u через остальные. В данном случае удобно положить

u1 = p1 , u 3 = p3 , тогда для вычисления u 2 , u 4 получается система двух линейных уравнений

p1 − 7 2u1 ⋅ u 2 + u 4 = −2 2p ⋅ u + u 4 = −2 2(3p1 + p3 ) ⇒ 1 2 ⇒ p − p 2 − 2p3 u1 − 2u 2 u 3 + 3u 4 = 1 2p3 ⋅ u 2 − 3u 4 = p1 − 1 u 4 ( 0) = 1 1 3p1 + p3 u 2 ( 0) =

Решение u ( x , p1, p3 ) задачи Коши

u′ = A( x ) u + f ( x ),

(4.13)

p1 − 7 p1 − p12 − 2p3 u (0) = (p1 , , p3 , ) 2(3p1 + p3 ) 3p1 + p3 удовлетворяет краевым условиям при x = 0 . Условия при x = 1 выполняются, если p1 , p3 являются решениями системы нелинейных уравнений

f1 (p1 , p3 ) ≡ u12 (1, p1 , p3 ) + u 3 (1, p1 , p3 ) − 3 = 0 f 2 (p1 , p3 ) ≡ u 2 (1, p1 , p3 ) + u 34 (1, p1 , p3 ) − 2 = 0 Решение этой системы можно разыскивать методом Ньютона, описанным в примере № 4. После того, как найдены приближенные значения p1 и p3 , решается задача (4.13), первая компонента её решения u ( x, p1, p3 ) является решением исходной краевой задачи. Пример № 6. Составить алгоритм вычисления функционала 1

I = ∫ (u+ x 2 u′ + xu′′)dx , где u ( x ) – решение краевой задачи 0

2

u IV − xu′′′ − 4x 3u′ − 12u = 2 xe x (26x 2 + 36 x + 21), u′′(0) = 4, u′′′(0) = 6, u (1) = 3e, u′(1) = 7e. Решение.

0 ≤ x ≤1

24

Сначала с помощью метода

пристрелки вычисляются значения p1

и p 2 , такие, что решение краевой задачи является решением задачи Коши 2

u IV − xu′′′ − 4x 3u′ − 12u = 2 xe x (26x 2 + 36 x + 21) u (0) = p1 , u′(0) = p 2 , u′′(0) = 4, u′′′(0) = 6 После того, как найдены p1 и p 2 , значение функционала вычисляется с помощью решения задачи Коши 2

u IV − xu′′′ − 4x 3u′ − 12u = 2 xe x (26x 2 + 36x + 21) 0 ≤ x ≤1 ϕ′ = u + x 2 u′ + xu′′ u (0) = p1, u′(0) = p 2 , u′′(0) = 4, u′′′(0) = 6, ϕ(0) = 0 Действительно, I = ϕ(1) .

5. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КУРСА " ПРАКТИКУМ НА ЭВМ " При выполнении предложенных далее заданий можно использовать любой язык программирования, а в некоторых случаях также и доступные Вам стандартные программы, реализующие выбранные методы. В вариантах задано точное решение, либо правая часть F( x , u ) системы ОДУ такая, что его можно найти вручную или с помощью пакета программ, позволяющих выполнять математические операции на ЭВМ. Точность современных ЭВМ очень высокая, и, чтобы легче было оценивать влияние погрешности округления на результат, иногда разумно ограничивать длину мантиссы числа при вычислениях с плавающей запятой, или ввести случайную ошибку порядка 0(102 ε) , например, в начальные условия ( ε – заданная точность расчета). Очень удобны для выполнения заданий математические пакеты Maple и MatLab. Задание № 1. Тема: Решение линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом пристрелки.

25

Предлагается

решить

краевую задачу для уравнения, разрешенного

относительно старшей производной p −1

u ( p ) = ∑ a k ( x )u ( k ) +f ( x ), k =0

p −1

∑ ciju ( j) (a ) = αi , i = 1,L, m

, a≤x≤b

(5.1)

j=0

p −1

∑ diju ( j) (b) = βi , i = 1,L, p − m j=0

На примере этой краевой задачи, точное решение u ( x ) которой известно и имеется в варианте задания, оценить качество (погрешность и время расчета) метода стрельбы с использованием метода Рунге – Кутты с автоматическим выбором шага. Точность современных ЭВМ очень высокая, и, чтобы легче было увидеть влияние погрешности входных данных на вычисленное решение, провести два расчета, с точными краевыми условиями в точке x = 0 , и с краевыми условиями, в которые внесена ошибка порядка 0(102 ⋅ ε) . Требуется 1. Создать программу, реализующую алгоритм метода стрельбы. Написать программу метода Рунге – Кутты не менее четвертого порядка с автоматическим выбором шага или использовать доступные Вам стандартные программы. 2. Внести в краевые условия ошибку порядка 0(10−5 ) . 3. Вычислить с точными краевыми условиями приближенное решение

yi = y( x i ) задачи (1) в точках x i = ih, i = 0,1,K,10 , h=0.1 с локальной погрешностью ε = 10−7 . 4. Вычислить глобальную погрешность δ = max u ( x i ) − yi и оценить время i

расчета (например, посчитав количество вычислений правых частей задачи (5.1), необходимых для получения заданной локальной погрешности).

26

5. Вычислить

в

тех

же

точках

решение задачи (5.1) ~yi = ~y ( x i ) с

краевыми условиями, в которые внесена ошибка. ~ 6. Оценить погрешность δ = max ~yi − yi . i

При выполнении задания можно использовать любой язык программирования. Примеры вариантов задания Вариант № 1. 2

u IV − xu′′′ − 4x 3u′ − 12u = 2xe x (26x 2 − 18x + 21), u (0) = −1, u′′′(0) = 6,

0 ≤ x ≤1

u′(1) = e, u′′(1) = 4e, 2

точное решение u ( x ) = ( x −1)e x . Вариант № 2.

u IV + 5u′′′ +u′′ + 120u′ + 650u = e5 x −5 (11.5 sin x + 4.9 cos x ), 5u′′(0) + u′′′(0) = 7.42483549, u (0) − u′(0) = 4.452361, u (1) +u′′′(1) = 0.06111922865, u′(1) + u′′(1) = 0.240924833,

0 ≤ x ≤1

точное решение u ( x ) = ( e5( x −1) sin x + e5(1− x ) cos x ) / 200 . Задание № 2. Тема: Решение линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом пристрелки. Предлагается решить краевую задачу для линейного уравнения, разрешенного относительно старшей производной p −1

u ( p ) = ∑ a k ( x ) u ( k ) + f ( x ), k =0

p −1

∑ ciju ( j) (a ) = αi , i = 1,L, m ,

a≤x≤b

(5.2)

j=0

p −1

∑ diju ( j) (b) = βi , i = 1,L, p − m j=0

b

и вычислить приближенное значение функционала I = ∫ F( x, u, u ′,K, u ( p ) )dx , заa

висящего от решения системы (5.2).

27

На примере этой краевой задачи, точное решение которой известно и имеется в варианте задания, оценить качество (погрешность и время расчета) метода стрельбы с использованием метода Адамса порядка не менее третьего. Требуется 1. Создать программу, реализующую алгоритм метода стрельбы. Написать программу метода Адамса не менее третьего порядка или использовать доступные Вам стандартные программы. 2. Вычислить приближенное решение yi = y( x i ) задачи (5.2) в точках x i = ih,

i = 0,1,K,10 , h=0.1 с точностью ε = 10 −6 . 3. Вычислить глобальную погрешность δ = max u( x i ) − yi и количество вычисi

лений правых частей задачи (5.2), необходимых для получения заданной локальной погрешности. 4. После того как создана программа вычисления решения задачи (5.2), для вычисления функционала I, можно добавить к задаче (5.2) ещё одно уравнение

∂I = F( x, u, u ′,K, u ( p ) ), I( a ) = 0 ∂x При выполнении задания можно использовать любой язык программирования. Примеры вариантов задания Вариант №. 1

( x + 1)u IV + (4 + x )u′′ + 3u = 6x + 3, u′(0) = −0.3710295 ⋅ 101 , u′′′(0) = −0.816247 ⋅ 102 ,

0 ≤ x ≤1

u (1) = 0.690887 ⋅ 10−2 , u′′(1) = 0.234901, 1

точное решение u ( x ) = cos x + 2x + 1 . Вычислить значение I = ∫ ( u ′′′ + u ′′ 2 )dx . 0

Вариант № 2

u IV − 63u′′ − 64u = −300e −2 x , u (0) +u′′(0) = 5, u (0) − u′′(0) = −1, u′(1) = −.11121 ⋅ 101 , u′′(1) = .10388 ⋅ 10−2 ,

,

0 ≤ x ≤ 1,

28

точное решение u ( x ) = cos x + e

−2 x

. Вычислить

значение

1

I = ∫ ( u u ′ + u ′′ 2 )dx . 0

Задание № 3. Тема: Решение краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения методом пристрелки. Предлагается решить краевую задачу для нелинейного уравнения, разрешенного относительно старшей производной

u ( p ) = f ( x , u , u′, u′′,K, u ( p−1) ), g i (u (a ), u′(a ),K, u ( p−1) (a )) = 0, i = 1,L, m ,

a≤x≤b

(5.3)

g i (u (b), u′(b),K, u ( p−1) (b)) = 0, i = m + 1,L, p, b

и вычислить приближенное значение функционала I = ∫ F( x, u, u ′,K, u ( p ) )dx , заa

висящего от решения системы (5.3). На примере этой краевой задачи, точное решение которой известно и имеется в варианте задания, оценить качество (погрешность и время расчета) метода стрельбы. Для решения задачи Коши использовать метод Фельдберга 4(5). Требуется 1. Создать программу, реализующую алгоритм метода стрельбы. Написать программу метода Фельдберга 4(5) или, если возможно, использовать стандартную программу. 2. Вычислить приближенное решение yi = y( x i ) задачи (5.3) в точках x i = ih,

i = 0,1,K,10 , h=0.1 с точностью ε = 10 −6 3. Вычислить глобальную погрешность δ = max u( x i ) − yi и количество вычисi

лений правых частей задачи (5.3), необходимых для получения заданной локальной погрешности. 4. Вычислить значение функционала I. При выполнении задания можно использовать любой язык программирования.

29

Примеры вариантов задания. Вариант № 1

⎛ 4x 2 − 1 ⎞ 2 2 ⎟u′′ − 2u′2 = + + , ( 2 x 1 ) u 2u − ⎜ 3 2 2 ⎜ x2 + 1 ⎟ + ( x 1 ) ⎝ ⎠ u (0) = 2 , u′(0) = 0, u′′(0) = 1, u′′′(0) = 0, IV

(

)

1

точное решение u ( x ) = 2( x + 1) . Вычислить значение I = ∫ (uu′ + (u′′) 2 )dx 2

0

Вариант № 2

u′′′ +u′′ −u′ +u 2e − x = sin 2 x (sin 2 x − 15)e − x ,

0 ≤ x ≤1

2u (0) + 2u ′(0) − u ′′(0) = 0 , u ′(1) − u (1) = −2.2624 u (0) ⋅ u ′(0) + u ′′(0) = 4 1

точное решение u ( x ) = e x sin 2x . Вычислить значение I = ∫ ((u′) 2 + (u′′) 2 )dx 0

Литература 1. Бахвалов H.С. Численные методы. М.:Hаука,1973 2. Калиткин H.H. Численные методы. М.:Hаука,1978 3. Бахвалов H.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 4. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 5. Р.Беллман, Р.Калаба. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М. Мир 1968. 6. Зеньковская С.М., Овчинникова С.Н. Численные методы решения одного уравнения. Ростов – на - Дону, УПЛ РГУ, 1985. 7. Овчинникова С.Н. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ростов - на - Дону, УПЛ РГУ, 2001.