Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов

УДК 330.4(075.8)

Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 3. Линейная алгебра (тетрадь 4): Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов. — М.: Международный университет в Москве, 2005. — 50 с. Тетрадь 4 учебно-методического пособия посвящена линейной алгебре. Приводятся основные сведения из теории матриц, линейного векторного пространства и линейных моделей в экономике. Может быть использовано как рабочая тетрадь при самостоятельной работе с домашними заданиями и как справочник для менеджера и экономиста по прикладной математике. Для студентов Международного университета в Москве, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям.

© Международный университет в Москве, 2005 © Э.Ф.Казанцев, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 3.1 Теория матриц 3.1.1 Алгебра матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.2 Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.1.3 Преобразование матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Векторное пространство 3.2.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.2 Типы векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.3 Метрика пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.4 Элементы тензорного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 47 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ВВЕДЕНИЕ Алгебра, в широком понимании, может быть определена как наука о системах объектов, в которых установлены операции сходные со сложением и умножением чисел. Линейная алгебра — это часть алгебры, изучающая векторные (линейные) пространства, а также линейные отображения (операторы), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы) на векторных пространствах. Исторически первым разделом линейной алгебры была теория линейных уравнений, в связи с чем возникло понятие определителя (Г.Крамер, 1750 г.). В 1849 г. К.Гаусс предложил новый метод для практического вычисления решений систем линейных уравнений. А в 1877 г. Ф.Фробениус ввел понятие матрицы, что позволило явно выразить условия совместности и определенности системы линейных уравнений. В XX веке центральное положение в линейной алгебре занимает изучение векторного пространства, одним из важнейших понятий которого является понятие линейного отображения (преобразования). Главной задачей в теории линейных преобразований служит задача о выборе базиса, в котором матрица преобразований принимает простейший вид. На основе понятия векторного пространства определяются различные классические пространства, изучаемые в геометрии: евклидовы, аффинные, проективные и др. Метод координат сводит к задачам линейной алгебры различные вопросы аналитической геометрии. Теория векторных пространств имеет тесные связи с теорией групп (всякое векторное пространство — это группа по сложению) (см. Раздел 1). Следом за векторной алгеброй возникла тензорная алгебра, как обобщение векторного исчисления и теории матриц (Г.Риччи-Курбастро, 1910 г.).

3.1 ТЕОРИЯ МАТРИЦ 3.1.1 Алгебра матриц 1) Матрица — это совокупность чисел или объектов, расположенных в виде прямоугольной таблицы (m ´ n), где m — число строк, n — число столбцов. Запись (m ´ n) — называется размером матрицы.

A=

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2n

...

...

...

...

am1

am2

...

amn

Числа или объекты называются элементами матрицы. В каждой клетке должен быть только один матричный элемент. Обозначение матричного элемента: ai j; i — номер строки, j — номер столбца. Две матрицы равны (A=B), если равны их матричные элементы ai j=bi j. Сравнивать можно только матрицы одного размера. Используют следующие обозначения матриц: éa11 ê êa21 êK ê ëam1

a12 a22 K am 2

K a1 n ù ú K a2 n ú ; K Kú ú K amn û

æ a11 ç ç a21 çK ç ça è m1

a12 a22 K am 2

K a1 n ö ÷ K a2 n ÷ ; K K÷ ÷ K amn ÷ø

a11

a12

K a1 n

a21 K

a22 K

K a2 n . K K

am1

am 2 K amn

2) Матрица в общем случае может иметь любое количество строк и столбцов. Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она называется соответственно столбцовой или строчной. Такие матæ x1 ö ç ÷ çx ÷ рицы иногда называют векторами. Столбцовая матрица: x = ç 2 ÷; K ç ÷ çx ÷ è nø строчная матрица: y = ( y 1 y 2 K y n ). 5

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой æ0 0 0ö ç ÷ матрицей. Нулевая матрица 3-го порядка: ( 0) 3 = ç 0 0 0 ÷ ç0 0 0÷ è ø Матрица, количество строк и столбцов которой одинаково и равно n, называется квадратной матрицей порядка n. Совокупность aii элементов образуют главную диагональ. Матрица, все элементы которой, кроме диагональных равны нулю, называется диагональной матрицей. Если все диагональные элементы равны единице, то имеем единичную матрицу En (все это относится к квадратной матрице): æ1 0 K 0ö ç ÷ ç0 1 K 0÷ . E =ç K K K K÷ ç ÷ ç0 0 K 1÷ è ø 3) Суммой матриц A и B называется матрица C, матричные элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов матриц А и В: ci j= ai j + bi j . Свойство суммы матриц: A + B = B + A. Пример: æ a11 ç ça è 21

a12 a22

a13 ö æ b11 ÷+ç a23 ÷ø çè b21

b12 b22

b13 ö æ a11 + b11 ÷=ç b23 ÷ø çè a21 + b21

a12 + b12 a22 + b22

a13 + b13 ö ÷. a23 + b23 ÷ø

4) Произведением матрицы A на число a является матрица C = aA, элементы которой получаются умножением каждого элемента матрицы A на a: c ij = aaij . Свойства произведения матриц: a ( A + B) = aA + aB; (a + b) A = aA + bA; (ab) A = a (bA); C = A - B = A + (-1)B, то есть ci j= ai j – bi j. Умножение матрицы A на матрицу B допустимо (существует), если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. 6

Произведением матрицы A размера (m ´ n) на матрицу B размера (n ´ r ) называется матрица C=AB размера (m ´ r ), матричный элемент ci j которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B: n

ci j = ai1b1j + ai2b2j+...+ainbnj = å aikbkj . k =1

Пример: æ1 æ2 0 3 1ö ç ç ÷ ç2 ç 5 1 2 0 ÷´ ç ç0 0 4 1÷ ç4 è ø ç3 è

3ö ÷ æ 2 ×1 +0 × 2 + 3 × 4 +1× 3 2 × 3 + 0 ×1 + 3 × 0 +1× 5 ö æ 17 11 ö ÷ ç ÷ 1÷ ç = ç 5 ×1 +1× 2 + 2 × 4 + 0 × 3 5 × 3 +1×1 + 2 × 0 + 0 × 5 ÷ = ç 15 16 ÷ ÷ 0 ç ÷ 0 ×1 + 0 × 2 + 4 × 4 +1× 3 0 × 3 + 0 ×1 + 4 × 0 +1× 5 ÷ø çè 19 5 ÷ø 5 ÷ø è

При умножении матриц удобно использовать следующие схемы:

ci j = ai1b1j + ai2b2j + ainbnj

строка´столбец

матрица´столбец

–6 = 0 × 0 + 1 × 2 + (–2) × 4

строка´матрица

матрица´матрица

7

В общем случае AB ¹ BA; если же AB = BA, то такие матрицы называются коммутирующими. 5) Свойства матриц: а) Ассоциативность: (AB)C = A(BC) = ABC. б) Дистрибутивность: A(B+C) = AB + AC. в) Умножение на единичную матрицу: EmA = AEm = A. г) Умножение на нулевую матрицу: AB = 0 (если A или B = 0). Однако если AB = 0, то это не значит, что A = 0 или B = 0. Пример: æ 4 1 ö æ 1 -2 ö æ 0 0 ö çç ÷÷ × çç ÷÷ = çç ÷÷. è 2 0.5 ø è -4 8 ø è 0 0 ø 3.1.2 Определители 1) Ко ли че ст вен ной ха рак те ри сти кой мат ри цы яв ля ет ся ее определитель. Определитель D — это некоторое число, соответствующее квадратной матрице . Только квадратная матрица имеет определитель: ½a11 ½a D =½ 21 ½K ½an1

a12 a22 K an 2

K a1 n½ K a2 n½ ½. K K½ K ann½

По форме он совпадает с матрицей и его называют определителем матрицы. Обозначают D = det A, или | A|. Читают: «детерминант А». det (AB) = det (BA) = det A × det B. 2) По определению, определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов главных диагоналей:

8

a11

a12

a21

a22

= a11 a22 - a12 a21

3) Определитель 3-го порядка может быть вычислен несколькими способами: а) первый способ: к определителю справа приписываются два первых столбца и определитель вычисляется следующим образом:

б) второй способ ( правило треугольника ): ½a1 ½a ½2 ½a3

b1 b2 b3

c1½ c 2½ = a1 b2 c 3 + b1 c 2 a3 + c1 a2 b3 - c1 b2 a3 - a1 c 2 b3 - b1 a2 c 3 ½ c 3½

в) третий способ: правило алгебраического дополнения: Алгебраическое дополнение (или минор) — это определитель, полученный из исходного определителя, удалением s-ой строки и k-го столбца, причем этот определитель умножается на (–1)s+k. По данному правилу определитель n-го порядка можно представить через определители (n–1)-порядка. Пример: ½5 -3 2½ ½1 5½ ½-3 2½ ½-3 2½ ½4 1 5½ = 5½ ½- 4½ ½+1½ ½ = 5( -9) - 4( -7) +1( -17) = -34. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½1 2 1½ ½2 1½ ½ 2 1½ ½ 1 5½ ½+ - +½ Здесь использовано правило знаков:½- + -½. ½ ½ ½+ - +½ Свойства определителя: а) При перестановке двух любых строк (столбцов) определитель меняет знак. 9

б) Определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь столбца (строки) равны нулю или один из столбцов (строки) является линейной комбинацией любых его других столбцов (строки) (т.е. равны два столбца или строки). в) Умножение определителя на число k равнозначно умножению всех элементов какого-нибудь столбца (строки) на k. г) Величина определителя не изменится, если к какому-нибудь столбцу(строке) прибавить другой столбец (строку), умноженный на число k. д) Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки (столбца) равна нулю. 4) Вычисление определителей более высокого порядка, предложенными выше способами, связано с громоздкими вычислениями. Поэтому здесь следует воспользоваться перечисленными свойствами определителей. ½ 1 3 -2 -2½ ½ 0 -2 2 1½ Пример:½ ½= -1 2 -1 -1 ½ ½ 0½ ½ 1 -1 3 Тат как во второй строке определителя уже имеется один ноль, то преобразуем определитель так, чтобы во второй строке большинство элементов оказались равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый столбец, умноженный на 2 и к третьему столбцу прибавим четвертый, умноженный на –2. В результате получим: ½ 1 -1 ½0 0 ½ ½-1 0 ½ 1 -1

2 -2½ ½ 1 -1 2½ 0 1½ 2 + 4½ ½ = 1× (-1) -1 0 1½ = ½ ½ 1 -1½ ½ 1 -1 3½ 3 0½

Далее, к третьему столбцу прибавим первый столбец. В результате получим: ½ 1 -1 3½ -1 3½ ½-1 0 0½ = (-1) × (-1) 2 + 1½ ½ ½ = (-1)× 4 - 3 × (-1) = -4 + 3 = -1 ½ ½ ½-1 4½ ½ 1 -1 4½ 10

3.1.3 Преобразование матриц 1) Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами (или наоборот) при сохранении их нумерации, называется ее транспонированием. Транспонированная матрица обозначается A T : исходная матрица: транспонированная матрица : æ a11 ç ça A = ç 21 K ç ça è m1

a12 a22 K am 2

K a1 n ö ÷ K a2 n ÷ ; K K÷ ÷ K amn ÷ø

AT

æ a11 ç ça = ç 12 K ç ça è 1n

a21 a22 K a2 n

K am1 ö ÷ K am 2 ÷ . K K ÷ ÷ K amn ÷ø

( A × B)T = B T × A T (m ´ n)-матрица при транспонировании становится (n ´ m)-матрицей. Если квадратная матрица совпадает со своей транспонированной (А=A T ), то она называется симметричной (симметрия относительно главной диагонали) аi j=аji. Матрица, для которой А = -A T называется кососимметричной. Пример: симметричная матрица: . 3 -5 ö æ 2 05 ç ÷ ç 0.5 0 0 7 ÷ ç 3 0 01 . 0 ÷ ç ÷ ç -5 7 0 -4 ÷ è ø

кососимметричная матрица: æ 0 2 0.1 0 ö ç ÷ ç -2 0 -3 0 ÷ ç -0.1 3 0 -7 ÷ ç ÷ ç 0 0 7 0 ÷ è ø

2) Две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, называются взаимно обратными: AA–1 = A–1A = Е; (A–1 обратна A). Если обратная матрица существует, то она — единственна для данной. Правила определения обратной матрицы. Первый способ: а) элементы аi j данной матрицы А n-го порядка заменяются их алгебраическими дополнениями Di j с учетом правила знака; 11

б) матрица алгебраических дополнений транспонируется, в результате чего получаем присоединенную или взаимную матрицу к А; обозначается A P . в) вычисляется определитель матрицы А и присоединенная матрица умножается на величину, обратную этому определителю.

A -1

æ D 11 ç 1 ç D 12 = ×ç D K ç çD è 1n

D 21 D 22 K D 2n

K D n1 ö ÷ K D n2 ÷ . K K ÷ ÷ K D nn ÷ø

Обратная матрица существует для матрицы А при условии, что det A ¹ 0. Такие матрицы называются неособенными (невырожденными). Если матрица А симметрична, то присоединенная к ней матрица и обратная также симметричные. Для диагональной матрицы обратная — тоже диагональна. Второй способ: Пусть дана матрица: æ 2 2 3ö ç ÷ A = ç 1 -1 0 ÷ ç -1 2 1 ÷ è ø Припишем к ней справа единичную матрицу E: æ 2 2 3 1 0 0ö ç ÷ ( A E ) = ç 1 -1 0| 0 1 0 ÷ ® ç -1 2 1 0 0 1 ÷ è ø Теперь надо проделать три этапа преобразований строк этой матрицы, чтобы левая матрица превратилась в Е. æ1ö ç ÷ Первый этап: первый столбец должен стать ç 0 ÷: ç0÷ è ø 12

æ 1 -1 0 ç ®ç 2 2 3 ç -1 2 1 è æ 1 -1 0 ç ®ç0 4 3 ç0 1 1 è

0 1 0 ö æ 1 -1 0 0 1 0 ö ÷ ç ÷ 1 0 0÷ ®ç2 2 3 1 0 0÷ ® 0 0 1 ÷ø çè 0 1 1 0 1 1 ÷ø 0 1 0ö ÷ 1 -2 0 ÷ ® 0 1 1 ÷ø

æ0ö ç ÷ Второй этап: второй столбец должен стать ç 1 ÷: ç0÷ è ø 1 ö æ 1 -1 0 0 1 0 ö æ 1 0 1 0 2 ç ÷ ç ÷ ® ç 0 -1 1 10 -1 1 ÷ ® ç 0 1 1 1 1 1 ÷ ® ç 0 4 3 1 -2 0 ÷ ç 0 0 -1 1 -6 -4 ÷ è ø è ø 1 ö æ1 0 1 0 2 ç ÷ ®ç0 1 1 0 1 1 ÷ ® ç 0 0 -1 1 -6 -4 ÷ è ø æ0ö ç ÷ Третий этап: третий столбец должен стать ç 0 ÷: ç1÷ è ø æ 1 0 0 1 -4 -3 ö æ 1 0 0 1 -4 -3 ö ç ÷ ç ÷ ® ç 0 1 0 1 -5 -3 ÷ ® ç 0 1 0 1 -5 -3 ÷ ç 0 0 -1 1 -6 -4 ÷ ç 0 0 1 -1 6 4 ÷ø è ø è æ 1 -4 -3 ö ç ÷ -1 Справа получилась обратная матрица: A = ç 1 -5 -3 ÷. ç -1 6 4 ÷ø è Свойства обратных матриц: а) (AB)–1 = B–1A–1; б) (A–1)T = (AT)–1; в) (A–1)–1= A; г) det (A–1) = 1/det A. 13

Матрица А, равная своей обратной, называется инволютивной (взаимнообратной), то есть А–1 = А. В частности, единичная матрица является инволютивной En = En–1. Определитель инволютивной матрицы равен +1. 3) Ранг данной матрицы есть такое число r, что по крайней мере один определитель r-го порядка, полученный из этой матрицы, отличен от нуля, а все определители (r+1)-го порядка равны нулю. То есть ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов). Квадратная матрица А порядка n является невырожденной в том и только в том случае, если ее ранг r = n, то есть det A ¹ 0. 4) Следом (или шпуром) матрицы А = (аik) размера n ´ n называется n

сумма ее диагональных элементов: Sp( A) = Tr( A) = åaii . i =1

Свойства следа матрицы: Sp(A+B) = Sp(A) + Sp(B); Sp(aA) = aSp(A); Sp(AB) = Sp(BA); Sp(AB – BA) = 0. 5) Матрица, имеющая более чем одну строку и столбец, прямыми, проведенными между строками и (или) столбцами, может быть разбита на меньшие подматрицы. Две, соответствующим образом разбитые матрицы А и B размера n ´ n, можно перемножить, пользуясь входящими в них подматрицами как элементами в обычной формуле произведения матриц. 6) Прямое произведение A Ä B матрицы A= (aik) размера (m ´ n) и матрицы B = (bik) размера (m ¢ ´ n ¢) есть матрица A Ä B = (Cjh) (cjh = aikbik ) размера (mm ¢ ´ nn ¢), где j — порядковый номер пары (i,i¢), а h — порядковый номер пары (k, k¢). (A Ä B) (C Ä D) = AC Ä BD; Sp(A Ä B) = SpA × SpB. 14

7) Эрмитова матрица Эрмитовой называется матрица A * , в которой элементы симметричные по отношению к главной диагонали, — комплексно сопряженные числа: aik = aki* . Пример эрмитовой матрицы: 2 + 3i æ 2 ç A = ç 2 - 3i 4 ç -i 3 è *

i ö ÷ 3 ÷. -1 ÷ø

Эрмитово-сопряженная матрица A + получается транспонированием исходной матрицы А и заменой полученных элементов на комплексно-сопряженные: aik+ = aki*. Пример эрмитово-сопряженной матрицы: æ 1+i ç A =ç 5 ç 3 + 2i è

4

i ö ÷ 0 1 - i ÷; -3 -i ÷ø

æ 1 - i 5 3 - 2i ö ç ÷ A =ç 4 0 -3 ÷. ç -i 1 + i i ÷ø è +

Не трудно видеть, что эрмитова матрица равна своей эрмитовосопряженной: aik=a*ki, a+ik=aik, a+=a. Свойства эрмитовой матрицы: (A+B)* = A*+ B*; (AB)* = B*A*; (aA)* = aA*; (A–1)* = (A*)–1; (A*)* = A; E* = E. Аналогичные свойства и у транспонированной матрицы A T . Итак, квадратная матрица А = (aik) называется: а) симметрической, если A T = A, то есть если аik = аki; б) кососимметрической (антисимметрической), если A T = - A, то есть если аik = – аki; в) эрмитово-самосопряженной, если А* = А, то есть если аik = аki; г) косоэрмитовой (альтернирующей), если А* = – А, то есть если аik = – аki; д) ортогональной, если АTА = ААT = Е, то есть если АT = А–1; е) унитарной, если А*А = АА* = Е, то есть если А* = А–1. Определитель унитарной матрицы по модулю равен 1. 15

3.2 ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3.2.1 Основные понятия 1) Все события разворачиваются в пространстве, которое состоит из точек P, Q,... . Пространство — это множество точек. 2) Чтобы количественно определить пространство надо ввести декартовы координаты. Это означает, что каждой точке пространства поставлен в соответствие набор действительных чисел x1, x2,...xn, называемых ее координатами. Такое пространство называется n-мерным декартовым пространством: Rn. Число n называется числом измерений или размерностью пространства. Теперь результаты будут зависеть от выбора системы координат или от ее движения. Оси координат не обязательно перпендикулярны друг другу. Набор чисел (x1,x2, ... xn) называется точкой декартового пространства (индекс — вверху, это имеет смысл, который будет раскрыт ниже). Примеры декартовых пространств: а) одномерное декартово пространство n=1 (x1) — числовая прямая; б) двумерное декартово пространство n=2 (x1, x2) — плоскость; в) трехмерное декартово пространство n=3 (x1, x2, x3) (рисунок 1):

Рис.1. Трехмерное пространство

г) четырехмерное пространство-время n=4 (t, x1, x2, x3) — точкой в этом пространстве является событие. 16

Процесс жизни каждого объекта (точечной частицы) отождествляется с линией xa(t), a=1,2,3, в четырехмерном пространстве. Эта линия называется мировой линией (рисунок 2):

Рисунок 2. Мировая линия в четырехмерном пространстве (a =1,2 ,3)

Мы в основном будем иметь дело с трехмерным пространством. 3) Объект, характеризующийся одним числом (угол, объем, масса, плотность, заряд, сопротивление, температура), называется скаляром. а) Чистый скаляр — определяется одним числом, не зависящим от выбора координат (температура, масса). б) Псевдоскаляр — абсолютное значение числа не зависит от выбора координат, но знак — зависит (угол, объем). Пример: объем параллелепипеда: ax

ay

az

V = bx cx

by cy

bz — cz

абсолютная величина всегда одинакова, но если изменить направление одной из осей, то определитель изменит знак. 4) Объект, хаr рактеризующийся величиной и направлением,r называется вектором: a. Величина вектора называется его модулем: |a |. Вектор, идущий из начала координат О в точку P, называется радиусом-век17

r тором этой точки r . Тогда координаты точки P ( x 01 , x 02 , x 03 ) называются r координатами вектора r (рисунок 1). r r 5) Введем единичные векторы (индекс — внизу): i1 , i 2 , i 3 (орты) с r r координатами i1 =(1,0,0), i 2 =(0,1,0), i 3 =(0,0,1), которые имеют длину 1, и взаимно перпендикулярны. Тогда, любой вектор примет вид: r r r r 3 r (1) a= x1i1 + x2i 2 + x3i 3 =å x k i k . k =1

r r Для двух векторов a=(x1,x2,x3) и b=(y1,y2,y3) число r r 3 (a,b)=å x i y i

(2)

i =1

называется евклидовым скалярным произведением векторов. Декартовы 1 2 3 координаты x ,x ,x , в которых скалярное произведение имеет вид (2) называются евклидовыми, а пространство — евклидовым. 6) Можно дать другое определение евклидового пространства. Пусть даны две точки: P(x1, x2, x3) и Q(y1, y2, y3). Тогда, если квадрат длины прямолинейного отрезка PQ равен: l 2 = ( x 1 - y 1 ) 2 + ( x 2 - y 2 ) 2 + ( x 3 - y 3 ) 2 (по теореме Пифагора), пространство называется евклидовым и координаты — евклидовыми: 3

l 2 = å( x i - y i ) 2 .

(3)

i =1

r r Угол между векторами a и b определяется по формуле: r r (a , b ) cos j = r r . | a |×| b | Если в рассматриваемом пространстве не предполагается возможным введение длины l, то такое пространство называется аффинным векторным пространством. Пример аффинного пространства: по координатным осям откладываются давление, объем, температура. Понятие расстояния между точками в таком пространстве бессмысленно. Евклидово пространство, в котором введено расстояние (3) называется линейным (векторным) пространством (или метрическим). 18

В дальнейшем принимается правило Эйнштейна — суммирование по дважды встречаемому индексу пишется без знака суммы: 3

åx

i

yi º xiyi.

(4)

i =1

Такой индекс называется немым. Выше дано неполное определение вектора. Для полного определения вектора еще надо задать правило его преобразования при переходе в другую систему координат (см. раздел 3.2.2). 7) Представление вектора в виде набора чисел (x1,x2,x3) можно рассматривать как строчную матрицу. Вектор можно задавать и столбцовой матрицей. Объект, характеризующийся девятью числами в виде квадæ t 11 t 12 t 13 ö ç ÷ ратной матрицы: ç t 21 t 22 t 23 ÷ с указанием правила преобразования çt ÷ è 31 t 32 t 33 ø при переходе в другую систему координат называется тензором второго ранга. Тензором третьего ранга будет трехмерная матрица и т.д. Не трудно видеть, что скаляр есть частный случай вектора, а вектор — частный случай тензора. Подробнее понятие тензора будет раскрыто ниже в разделе 3.2.4. 3.2.2. Типы векторов Вектор может быть двух типов в зависимости от того, как он преобразуется в результате преобразования координат: ковариантный или контрвариантный. 1) Ковариантный вектор r В прямоугольной системе координат любой вектор A может быть разложен по трем проекциям: r r r r A = A1 i1 + A2 i 2 + A3 i 3 r r r r где A1, A2, A3 — компоненты вектора A; i1 ,i 2 ,i 3 — орты. r Если система координат косоугольная, то разло r же r ние r вектора B по трем произвольным некомпланарным векторам b1 ,b2 ,b3 производится 19

r r r r r r двояко по двум взаимным базисным векторам (e1 ,e 2 ,e 3 ) и (e 1 ,e 2 ,e 3 ) (биортогональным), удовлетворяющим условию: r r ì0 (i ¹ k) i , d k — символ Кронекера, e i e k = d ik = í î1 (i = k) то есть каждый вектор одного базиса перпендикулярен к двум векторам взаимного базиса, а с третьим вектором, индекс которого имеет тоже r численное значение, составляет острый угол (векторы каждого базиса e расположены друг к другу под произвольными углами и модули их отличаются от единицы). 3) Если есть два векторных базиса: один — в исходнойr сис r теме r коr r r ординат (e1 ,e 2 ,e 3 ) и другой — в новой системе координат (E 1 ,E 2 ,E 3 ), то вектор в одном базисе можно разложить по векторам второго базиса и наоборот: r r r r E 1 = a 11 ¢ e1 + a 12¢ e 2 + a 13¢ e 3 3 r r r r r r E 2 = a 12 ¢ e1 + a 22 ¢ e 2 + a 32 ¢ e 3 или E m = åa km e k

r r r r E 3 = a 13 ¢ e1 + a 23 ¢ e 2 + a 33 ¢ e 3 ,

(5)

k =1

r где a 1m , a 2m , a 3m — коэффициенты разложения вектора E по векторам баr r r зиса e1 ,e 2 ,e 3 . r енты разложения вектора e k по векторам r r Ана r логично, коэффици E 1 ,E 2 ,E 3 обозначим через: a 1k¢a 2k ¢a 3k ¢ : 3 r r e k = åa mk ¢ E m .

(6)

m =1

4) Между коэффициентами прямого и обратного преобразования существует связь: r r r E i = a 1i ¢ e1 + a 2i ¢ e 2 + a 3i ¢ e 3 = a 1i ¢ (a 11 ¢ E 1 + a 12 ¢ E 2 + a 13 ¢ E 3 )+K = = (a 1i ¢a 11 ¢ + a 2i ¢a 12¢ + a 3i ¢a 13¢ )E 1 +K =

(7)

3

3

3

3

3

l =1

l =1

l =1

k =1

l =1

= E 1 åa li ¢a 1l ¢ + E 2 åa li ¢a 2l ¢ + E 3 åa li ¢a 3l ¢ = å E k åa li ¢a kl ¢ 20

Аналогично: 3 3 r e i = å e k åa li ¢a kl ¢ . k =1

(8)

l =1

То есть 3

åa l =1

l i¢

ì0(i ¹ j ) 3 l ¢ j ì0(i ¹ j ) . a lj ¢ = í ; åa i a l ¢ = í î1(i = j ) l =1 î1(i = j )

Преобразования векторов (5) и (6) можно записать так: r r E m = a km e k ; e k = a mk ¢ E m . А также для (7), (8): r r E m = a li ¢a kl ¢ E k ; e i = a li ¢a kl ¢ e k . Здесь идет суммирование по «немому» индексу. r r 5) Условие e 3 e 3 = 1 означает, что e 3 =

| |

1 1 = . То есть, 3 |e 3 |cos(e , e 3 ) h

r r r если (e1 , e 2 , e 3 ) — орты прямоугольной системы координат, то взаимr r r ный к нему базис (e 1 , e 2 , e 3 ) совпадает с основным. 3 r r r r r r r r Пример: B = B 1 b1 + B 2 b2 + B 3 b3 = å B k bk , где b1 ,b2 ,b3 — некомk =1

планарные векторы. r r Умножим вектор B скалярно на b i — вектор взаимного базиса: 3 r r r r B × b i = å B k bk b i = B i , k =1

r r r r то есть разложение вектора B по базису (b1 ,b2 ,b3 ) выражается через проr 3 rr r екции вектора на взаимный базис: B = å(Bb k )bk . k =1

Индекс, встречающийся один раз, принимает значения 1,2,3 (в трехмерном пространстве). Например, Ai означает совокупность трех величин A1,A2,A3. Запись Aik означает совокупность 9=32 величин A11,A12,A13,A21,A22,A23,A31,A32,A33, запись Aik — совокупность таких 9 величин: A11,A12,A13, ... A33. По дважды повторяемому индексу подразумевается суммирование от 1 до 3. 21

3

Aii = å Aii = A11 + A22 + A33 i =1

3

Ai B i = å Ai B i = A1 B 1 + A2 B 2 + A3 B 3 i =1

3

Ai B k c i = B k å Ai c i = B k ( A1 c 1 + A2 c 2 + A3 c 3 ) i =1

Вектор, преобразующийся по формулам (5) и (6) называется ковариантным вектором или ковектором (индекс внизу). 2) Контрвариантный вектор

3 r Подставим в выражение для вектора å x k e k формулу (6): k =1

3 3 3 3 r r r å x k e k = å å x k a mk ¢ E m = å X m E m , где X m = å x k a mk ¢ . 3

k =1

k =1 m =1

m =1

Аналогично: 3 3 3 3 3 r r r å X m E m = å å X m a km e k = å x k e k , где x k = å X m a km . m =1

m =1 k =1

(9)

k =1

k =1

(10)

m =1

Формула (9) дает преобразование новых координат вектора Xm в старые x k , а формула (10) — обратное преобразование старых координат x k в новые Xm. Получились формулы, обратные формулам преобразования единичных векторов (5), (6). Такой вектор называют контрвариантным (индекс вверху), или просто — вектором. Преобразование координат можно представить в матричном виде. 3 а) для контрвариантного преобразования: u$ k = a$ k U$ m , a$ k —

å

m

m

m =1

матрица преобразования. Суммирование идет по индексу, означающему номер строки, вдоль k-го столбца. Здесь u$ k и U m — столбцовые мат~ то данная формула рицы. Если ввести транспонированную матрицу a, $ ~ $ ~$ -1 × u$ примет вид произведения двух матриц: u$ = a ×U . Обратно: U$ = a (смотри правила умножения матриц). б) для ковариантного преобразования: 3

U$ m = åa$ km u$ k . k =1

22

Здесь суммирование идет по номеру столбца k для матрицы a$ и номеру строки одностолбцовой матрицы u$ k . Поэтому данная формула $ представляет собой произведение матрицы a$ на матрицу u: U$ = a$ × u$; обратно: u$ = a$ -1 ×U$ . ~$ -1 × u совпадут, если Таким образом, два вектора U i = a$ × u и U i = a ~$ -1 , или a$ × a ~$ =1, то есть когда матрица преобразования a$ — ортогоa$ = a нальна. То есть в метрическом пространстве с прямоугольной системой r r координат a km = a mk = e k × E m , поэтому нет надобности различать ковариантные и контрвариантные векторы — они совпадают. æ ¶x k ö В общем случае матрица преобразований (a km ) = çç m ÷÷ = J$ назыè ¶x ø вается матрицей Якоби. Определитель матрицы Якоби называется якобианом и обозначается j: æ ¶x k j = detçç m è ¶x

ö ÷ = detJ$ . ÷ ø

(11)

æ ¶x m ö ¶X k ¶x m Обратная матрица Якоби: (a mk ) = çç k ÷÷, то есть m × = d kl . l ¶ x ¶ x ¶ X è ø В этих обозначениях контрвариантное преобразование выглядит так: ¶x k m U m m =1 ¶X 3

uk = å и ковариантное:

¶X m Um. k m =1 ¶x 3

uk = å

Примеры: а) полярные координаты на плоскости (r, j): x (1 ) = r × cos jüï ý. x ( 2 ) = r × sin jïþ 23

Матрица Якоби æ ¶x 1 ¶x 1 ö ç ÷ ¶j ÷ = æç cos j -r sin j ö÷ ; j = detJ = r J = ç ¶r2 ç ¶x ¶x 2 ÷ çè sin j r cos j ÷ø ç ÷ ¶j ø è ¶r

(12)

б) цилиндрические координаты: (r, j, z); трехмерное пространство: x (1 ) = r × cos jü ïï x ( 2 ) = r × sin jý. ï x (3) = z ïþ Матрица Якоби æ cos j -r sin j 0 ö ç ÷ J = ç sin j r cos j 0 ÷; j = detJ = r ç 0 0 1 ÷ø è

(13)

в) сферические координаты: (r,q,j); трехмерное пространство x (1 ) = r × cos j × sin q ü ïï x ( 2 ) = r × sin j × sin q ý. ï x ( 3 ) = r × cos q ïþ æ cos j × sin q r × cos j × cos q -r × sin j × sin q ö ç ÷ J = ç sin j × sin q r × sin j × cos q r × cos j × sin q ÷; detJ = r 2 × sinq ç ÷ cos -r × sin q 0 è ø

(14)

3) Вектор типа grad ( f ) (градиент функции) Если рассматриваемый объект характеризуется только числом (скаляр), то говорят о скалярной функции точки. Говорят также, что в рассматриваемой области пространства задано скалярное поле. Например, плотность заряда в различных точках изолированного тела представляет собой скалярную функцию точки. Электрические заряды создают скалярное поле плотности электрических зарядов. 24

Если f ( x (1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) )— числовая функция (скалярная), то выра¶f ¶f ö æ ¶f жение grad( f ) = ç (1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ÷ называется градиентом этой функ¶x ¶x ø è ¶x ¶f ¶f ö æ ¶f ции или вектором с компонентами ç (1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ÷. Таким образом ¶x ¶x ø è ¶x grad( f ) =

¶f ¶x

(1 )

r ¶f r ¶f r e1 + ( 2 ) e 2 + ( 3 ) e 3 ¶x ¶x

(15)

r ¶f Пусть в системе координат X m задан вектор am = , (k=1,2,3). ¶X m ¶f ¶f ö æ ¶f Пе рей дем в сис те му ко ор ди нат x k : grad( f ) = ç (1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ÷, ¶x ¶x ø è ¶x m r ¶f ¶f ¶f ¶X = × k ; обозначим k через ak . k m ¶x ¶x ¶X ¶x r ¶X m r Таким образом, ak = am (суммирование по m), то есть градиент ¶x k функции при замене координат преобразуется как ковектор. Если скалярная функция f (m, n,K) является сложной функцией нескольких скаляров m, n,K, которые сами являются функциями коор¶f ¶f динат ( x (1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) ), тогда grad( f ) = grad(m) + grad(n)+K ¶m ¶n Сравнивая эту формулу с формулой полного дифференциала: df =

¶f ¶f ¶f dx + dy + dz ¶x ¶y ¶z

Легко видеть, что символ grad ведет себя точно так же, как символ дифференциала: grad(m + n) = grad m + grad n grad(m × n) = m × grad n + n × grad m В цилиндрических координатах: Ñr f =

¶f ¶f 1 ¶f ;Ñj f = ;Ñ z f = ¶r r ¶j ¶z 25

В сферических координатах: Ñr f =

¶f 1 ¶f 1 ¶f ;Ñq f = ;Ñj f = ¶r r ¶q r sin q ¶j

4) Вектор типа скорости Если рассматриваемый объект является скоростью, то принято говорить, что речь идет векторной функции точки. Говорят, что в этом случае в рассматриваемой области пространства задано векторное поле. Примером может служить электрическое поле — векторное поле электрических сил. Назовем вектором скорости в координатах ( X (1 ) , X ( 2 ) , X ( 3 ) ) векdX m тор v X (t ) = ( v X1 ; v X2 ; v X3 ), где v Xm = , m=1,2,3. В ко ор ди на тах dt ¶x k dX m ¶x k ( x (1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) ): v xk = × = × v Xm (суммирование по m), то есть m m dt ¶X ¶X вектор скорости преобразуется как контрвариантный вектор. Квадрат длины вектора скорости: vx

2

æ ¶x k = åçç × v xm m k =1 è ¶X 3

2

3 ö ¶x k ¶x k ÷ =å m × l × v xm × v xl =g ml × v xm × v xl , ÷ k =1 ¶X ¶X ø

где введено обозначение: ¶x k ¶x k × l m ¶X k =1 ¶X 3

g ml = å

(16)

r r Пусть даны два вектора a1k и a2k в координатах ( x (1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) ). В ноr r вой системе координат ( X 1 , X 2 , X 3 ) они перейдут в b1m и b2m : r r a1k = a km b1m ; a2k = a km b2m , где (a km ) — матрица Якоби (суммирование по m). Скалярное произведение в исходной системе координат: 3 r r (a1 ;a2 ) = åa1( k ) a2( k ) = d km a1( k ) a2( k ) . k =1

26

В новой системе координат: 3 r r (a1 ;a2 ) = å(a km b1m )(a km b2m ) = g ml (b1m ; b2m ), k =1

3

где матрица: g ml = åa km a kl совпадает с введенной ранее (16). k =1

~$ ~$ Формула (16) на языке матриц означает: G$ = A × A$ , где A — транс$ понированная матрица A. Величина g ml играет центральную роль в современной геометрии и ее смысл будет выrяснен несколько позже (раздел 3.2.4) r Итак, вектор A можно разложить как по векторам основного базиса e k : 3 r r r r r r (17) A = A 1 e1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = å A k e k = A k e k k =1

так и по векторам взаимного базиса: 3 r r r r r r A = A1 e 1 + A2 e 2 + A3 e 3 = å Ak e k = Ak e k

(18)

k =1

Прямое преобразование ковариантных компонент выполняется при помощи коэффициентов a ki ¢ прямого преобразования ( A)¢ = a ki ¢ Ak , а контрвариантных компонент — при помощи коэффициентов a ik¢ обратного преобразования ( A i )¢ = a ik¢ A k . Обратные формулы: Ai = a ki ¢ ( Ak )¢; A i = a ik ¢ ( A k )¢ . Нетрудно видеть, что в прямоугольной системе координат эти два типа векторов совпадают. 5) Связь между ковариантными и контрвариантными компонентами вектора r Разложение вектора A по компонентам (17) и (18) умножим скалярно на e i и e i соответственно: rr r r (19) Ae i = A k (e k e i ) rr i r r (20) Ae = Ak (e k e i ) Введем обозначения: r r e k e i = g ik = g ki

(21) 27

r r e k e i = g ik = g ki

(22)

r r ì0 (i ¹ k) e k e i = g ik º d ki = í î1 (i = k)

(23)

Тогда (19) и (20) примут вид: Ai = g ik A k

(24)

A i = g ik Ak

(25)

что и дает связь между ковариантными и контрвариантными компонентами вектора. Девять величин: g ik ( g ik и g ik ) составляют тензор второго ранга известный как фундаментальный метрический тензор. Свойства фундаментального метрического тензора а) Рассмотрим квадрат длины дуги Ds между двумя близкими точr r r ками x i и x i + Dx i в системе с базисом (e1 ,e 2 ,e 3 ): r2 r r Ds 2 = |Dr | = Dr Dr = e i Dx i e k Dx k = e i Dx i e k Dx k = e i Dx i e k Dx k или: Ds 2 = g ik Dx i Dx k Ds 2 = g ik Dx i Dx k Ds 2 = Dx i Dx i , где Dx i — ковариантный, а Dx i — контрвариантный компоненты вектоr ра Dr . Говорят, что величина g ik (или g ik ) определяет метрику пространства. б) Определим связь между g ik и g ik . Формула (25) — это система трех линейных уравнений относительно A 1 , A 2 , A 3 . Решение этой системы: 3

åG Ai = 28

ik

k =1

G

Ak º

G ik Ak G

(26)

где G = det g ik

11 ½g11 21 =½g 21 ½ 31 ½g 31

12 g12 22 g 22

g

13 ½ g13 23½ g 23 ½ 33 g 33 ½

32 32

(27)

G ik — алгебраическое дополнение, соответствующее члену g ik детерминанта G: 21 23 ½ 12 ½g 21 g 23 ½ ½ ; G = 33 31 g 33 ½ ½g 31

½g 22 G 11 =½ 22 32 ½g 32

23 21 ½ 13 ½g 21 g 23 ½ ½ ; G = 33 31 g 33 ½ ½g 31

Сравнивая (26) с (25), получим: g ik =

22 ½ g 22 ½ 32 g 32½

G ik . G

G ik , где G ¢ = det g ik . G¢ С другой стороны: Аналогично: g ik =

g ik = e i e k =

1 1 ½e p e s (e p ´ e r )(e s ´ e t ) = 2 ½ 2 V V ½e p e t

e p e t½ 1 ½g ps ½= ½ e r e s ½ V 2 ½g rs

g pt½ ½. g rt½

То есть G = V 2 , откуда V = ± G . Аналогично: V ¢ = ± G ¢. Так как V V ¢ =1; то GG¢ =1. Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на векторах основного базиса равен G , а на векторах взаимного базиса равен G¢. в) рассмотрим случай ортогональных базисов: В этом случае, согласно (23), отличны от нуля только g11, g22, g33. Тогда из (24) и (25) следует: A1 = g11 A 1 ; A1 = g11 A 1 ; A1 = g11 A 1 ; A 1 = g 11 A1 ; A 2 = g 22 A2 ; A 3 = g 33 A3 Следовательно: g11 =

1 g

11

; g 22 =

1 1 ; g 33 = 33 22 g g 29

Ds 2 = g11 (Dx 1 ) 2 + g 22 (Dx 2 ) 2 + g 33 (Dx 3 ) 2 . г) Компоненты g ml матрицы G при переходе к новым координатам преобразуются по правилу: æ ¶x k g ij = çç j è ¶x

ö æ ¶x l ÷hkl ç i ÷ ç ¶x ø è

ö ÷; ÷ ø

в матричной форме: ~ G = AHA

(28)

Набор чисел g ij , удовлетворяющих преобразованию (28) называется квадратичной формой на векторах. Если в точке P задана квадратичная форма g ij , преобразующаяся при замене координат по закону (28), то на касательных векторах в точке P можно определить квадратичную функцию: { x , x } = g ij x i x j и билинейную функцию: { x , y } = g ij x i y j . Определенные таким образом функции не зависят от выбора системы координат, то есть являются инвариантами. 3.2.3 Метрика пространства 1) Основные понятия b

Длиной линии называется число l = ò a

b

( v, v )dt = ò| v(t )|dt , то есть — a

это интеграл от длины вектора скорости. Пример: Пусть кривая на плоскости задана как график функции æ df ö x = f (t ); здесь x 1 = t ; x 2 = f (t ). Вектор скорости v = ç 1, ÷. Длина кривой: è dx ø b b æ df ö l = ò| v|dt = ò 1 + ç 1 ÷dx 1 . è dx ø a a Понятие длины аналогично понятию метрики пространства. Риманова метрика предполагает задание длины вектора скорости r r в виде: x 2 = g ij x i x j , то есть как квадратичной функции от вектора x.

| |

Римановой метрикой называется набор функций g ij = g ji , подчиняю30

æ ¶z k щихся правилу преобразования координат: g ij¢ = çç i è ¶y ходные координаты, y — новые координаты.

ö æ ¶z l ÷ g kl ç j ÷ ç ¶y ø è

ö ÷, z— ис÷ ø

b

dz i dz j dt . Скаdt dt a r r лярное произведение в римановой метрике: ( x , y ) = g ij x i y j > 0. Таким Длина кривой в римановой метрике: l = ò g ij ( z)

образом, и длина, и скалярное произведение не зависят от выбора системы координат (инвариантны). ì1, i = j Метрика называется евклидовой, если g ij = d ij = í . î0, i ¹ j æ1 0ö ÷÷. а) в декартовых координатах x 1 = x ; x 2 = y ; g ij = çç è0 1ø б) в полярных координатах (r , j): 2

2

b æ1 0 ö æ dr ö 2 æ dj ö ÷ ; g ij = çç l = ç ÷ + r ç ÷ dt . 2 ÷ ò 0 r dt ø è dt ø è ø a è

в) в цилиндрических координатах (r , j, z): æ1 0 ç g ij = ç 0 r 2 ç0 0 è

0ö 2 2 2 b ÷ æ dr ö æ dz ö 2 æ dj ö 0 ÷; l = ò ç ÷ + r ç ÷ + ç ÷ dt . dt ø è dt ø è dt ø a è 1 ÷ø

г) в сферических координатах (r ,q, j): æ1 0 ç g ij = ç 0 r 2 ç0 0 è

0

ö 2 2 2 b ÷ æ dj ö æ dr ö æ dq ö 0 ÷; l = ò ç ÷ + r 2 ç ÷ + r 2 sin 2 qç ÷ dt . dt ø è dt ø è dt ø a è r 2 sinq ÷ø

Рассмотрим квадрат дифференциала длины : dl 2 = g ij dz i dz j . 3

а) Декартовы координаты: dl 2 = å(dx i ) 2 . i =1

б) Полярные координаты: dl 2 = (dr ) 2 + r 2 (dj) 2 . в) Цилиндрические координаты: dl 2 = (dr ) 2 + r 2 (dj) 2 + (dz) 2 . г) Сферические координаты: dl 2 = (dr ) 2 + r 2 (dq) 2 + sin 2 q(dj) 2 .

[

]

31

2) Типы пространств Псевдориманова метрика: g ij x i y j < 0. Тип метрики ( p,q), где p + q = n, n — мерность пространства, n = 4; p = 1. Принято обозначение пространства: R pn, q . а) Пространство Минковского Рассмотрим пространство: R14, 3 :( x 1 , x 2 , x 3 , x 0 = it ) с метрикой: g ij =

¶x 1 ¶x 1 ¶x 2 ¶x 2 ¶x 3 ¶x 3 ¶x 0 ¶x 0 ; + + ¶z i ¶z j ¶z i ¶z j ¶z i ¶z j ¶z i ¶z j g ij = 0, i ¹ j

ü ï g ij = 1, i £ p ý ï g ij = -1, i ³ p +1þ dl 2 = (dx 0 ) 2 - (dx 1 ) 2 - (dx 2 ) 2 - (dx 3 ) 2 . Пространство Минковского изображают в виде светового конуса (рис. 3):

Рис. 3. Пространство Минковского

Уравнение светового конуса: ( x 0 ) 2 - ( x 1 ) 2 - ( x 2 ) 2 = 0. Векторы, ле2

жащие внутри конуса, имеют положительный квадрат длины | x 1 | > 0 — 32

на зы ва ют ся вре ме не по доб ны ми. Век то ра, ле жа щие вне ко ну са 2 | x 2 | < 0 — называются пространственноподобными. Вектор x 0 лежащий на конусе и имеющий нулевую длину, называется световым. Если точка движется в трехмерном пространстве с постоянной скоростью v = ( v 1 , v 2 , v 3 ), то есть x 0 = ct , x 1 = v 1 t , x 2 = v 2 t , x 3 = v 3 t , то мы имеем: dl = c 2 - v 2 dt = 1 -

v2 0 v2 0 . Это и есть преdx ; l = x 1 c2 c2

образования Лоренца. б) Пространство Лобачевского Рассмотрим пространство: R13, 2 :( x 0 ; x 1 ; x 2 ). Перейдем в координаты: (r, x , j). x 0 = rchj; x 1 = rchj; x 2 = rchj sin j; ( x 0 ) 2 - ( x 1 ) 2 - ( x 2 ) 2 = r 2 > 0, (-¥ < r < ¥); (0 < x < ¥); (0 £ j £ 2 p). Пространство R13, 2 — это внутренность конуса: (x 0 )2 = (x 1 )2 + (x 2 )2

[

]

dl 2 = dr 2 - r 2 (dx ) 2 + sh 2 j(dx ) 2 (рис. 4).

Рис. 4. Пространство Лобачевского

33

В пространстве R13, 2 зададим псевдосферу: t 2 - x 2 - y 2 = R 2 — это двухполостной гиперболоид в трехмерном пространстве. На гиперболоиде, где dr = 0 имеем: -dl 2 = R 2 dx 2 + sh 2 jdx 2 , то есть псевдосфе-

(

)

ра — это пространственноподобная гиперповерхность. Данная метрика называется метрикой Лобачевского. 3.2.4 Элементы тензорного анализа 1) Типы тензоров Еще раз вернемся к векторам. Мы знаем традиционное представление вектора: r 3 r r r r u = e1 u (1 ) + e 2 u ( 2 ) + e 3 u ( 3 ) , или u = å e i u ( i ) = e i u ( i ) , i =1

æ u1 ç ui = çu2 ç 3 çu è

ö ÷ ÷. ÷ ÷ ø

Здесь u i — столбцовая матрица, (u (1 ) ,u ( 2 ) ,u ( 3 ) ) — компоненты вектора. Кроме того, мы выявили два типа преобразования векторов при замене координат: ¶z j ( i ) ¢ u , или u j = a ij u i ¢ ; i i =1 ¶x 3

контрвектор: u j = å

¶x i u ¢ , или u j = a ij u¢ i . j i ¶ z i =1 3

ковектор: u j = å

Следуя данной схеме составим выражение: å å bik u ( i ) v ( k ) , где u ( i ) i

k

и v ( k ) — составляющие двух контрвекторов, а bik — таблица из 9 чисел, в отличие от векторов — где было 3 числа. Зная закон перехода векторов в новую систему координат, мы можем записать и наше выражение в новой системе координат:

ååb

ik

i

34

k

u ( i ) v ( k ) =å å bik¢ u¢ ( i ) v¢ ( k ) . i

k

bik¢ — новая таблица 9 чисел (компонент) в новой системе координат. Эти компоненты могут быть изображены в виде квадратной матрицы: æ t 11 t 12 t 13 ç ç t 21 t 22 t 23 ç è t 31 t 32 t 33

ö ÷ ÷ = (t ik ). ÷ ø

Данная таблица с указанием правила преобразования при переходе в другую систему координат называется ковариантным тензором второго ранга. Аналогично, из выражения å å b ( ik ) u i v k можно составить контрi

k

æ t 11 t 12 t 13 ö ç ÷ вариантный тензор второго ранга: (t ik ) = ç t 21 t 22 t 23 ÷, а также смешанный ç 31 32 33 ÷ çt t t ÷ è ø æ t 11 t 12 t 13 ö ç ÷ тензор второго ранга: (t ik ) = ç t 21 t 22 t 23 ÷. ç ÷ ç t 31 t 32 t 33 ÷ è ø Следует отметить, что указанные матрицы еще не являются тензорами, также как компоненты вектора (u (1 ) ,u ( 2 ) ,u ( 3 ) ) — не являются векторами до указания правила преобразования координат. Таким образом, у вектора есть 3 компоненты, r r а если мы возьмем произведение двух линейно зависимых векторов AB, то из их компонент можно составить 9 произведений типа Ai B k , и у этого произведения будет 9 компонент — это и есть тензор 2-го ранга. У данного тензора Ai B k будет соответствующий закон преобразования координат: Ai¢ B k¢ = a i ¢l a k ¢m Al B m . Удобно компоненты тензора Aij записывать в виде матрицы: A11 A12 A13 A21 A22 A23 . A31 A32 A33 35

2) Преобразование тензоров Преобразование ковариантного тензора 2-го ранга можно записать в виде: T lm = åa il a km t ik . ik

Слагаемое

åa

i l ik

t

= Alk , так как это есть произведение матриц

i

A$ = a$ t$. Таким образом T lm = å Alk a km — это тоже произведение матриц k

~ Окончательно: T$ = A$ a ~$ = a$ t$a. ~$ T$ = Aa, Для дважды контрвариантного тензора имеем: T lm = åb li b mk t ik . ik

~$ $ Здесь: T$ = b tb, где b = a -1 . Наконец, для смешанного тензора T ml = åa km b li t ki . ik

$ В матричной форме: T$ = a$ t$b. Тензор 3-го ранга имеет n 3 компонент (n=3; 33=27) которые могут располагаться в виде кубической таблицы. Существует 4 типа тензоров 3-го ранга: (t ijk ), (t kij ), (t ijk ), (t ijk ). В общем виде тензор t ik11ik22......i kq m — это m-ковариантный и q-контрвариантный тензор; m+q=p — ранг тензора, имеющего np компонент — т.е. тензор ранга p в n-мерном пространстве. Преобразование тензора происходит по формуле: i

T jl11 lj22......lmj r = åa ij11 Ka jqq b lk11 Kb lkmm t ik11ik22......i kq m . i ... k

Если объект t не подчиняется данному преобразованию, то это не тензор. Здесь i1 ...i q , k1 ...km — немые индексы, поэтому можно знак суммы не писать. Тензорным полем типа (p,q) ранга (p+q) называется объект, задаi ... i ваемый набором чисел T j 11... j qp в произвольной системе координат (x1...xn), числовая запись которого зависит от системы координат по следующему закону: 36

Если x i = x i ( z1 ... z n ), z j = z j ( x 1 ... x n ), то имеет место формула: i ... i

k ... k p

T j 11... j qp = åT l1 ...1 lq k, l

¶x

i1

¶z k 1

K

¶x

ip

¶z

kp

l

l

¶z 1 ¶x

j1

K

¶z q ¶x

jq

.

Все индексы меняются от 1 до n (n-мерное пространство). Примеры: а) вектор скорости — тензор типа (1,0) — контрвектор x = åx i e i ; i

б) ковектор — тензор типа (0,1) — градиент x = åx i e i ; i

в) квадратичная форма на ковекторах типа (0,2) g = å g ij e i Ae j ; i, j

г) квадратичная форма на контрвекторах (2,0) g = å g ij e i Ae j . i, j

Другая запись тензора: i ... i

j

T = åT j 11... j qp e i 1 AK Ae ip Ae 1 AK Ae jq . i, j

Компоненты тензора могут быть ковариантными Aik , конвариантными Aik , смешанными Aik , Aki : Aik¢ = a li ¢a mk ¢ Alm ; A ¢ ik = a il ¢a km¢ A lm ; Ai¢ k = a li ¢a km¢ Alm ; Ak¢ i = a il ¢a mk ¢ Aml . Ком по нен ты тен зо ра в сис те ме ко ор ди нат с мет ри кой ds 2 = g ik dx i dx k связаны следующими формулами: A ik = g il g km Alm ; Aik = g il g km A lm ; Aik = g kl Aii = g il Akl ; Aik = g kl Ail ; Aik = g il A lk ; Aki = g il Alk ; Aki = g kl A il ; A ik = g il Aik = g kl Ali . В данных выражениях идет операция поднятия и спуска индексов у компонент тензоров. Эта операция производится с помощью метрического тензора g ik . 37

3) Операции над тензорами а) Перестановка индекса Тензор называют симметричным, если t ik = t ki или t ik = t ki и антисимметричным, если t ik = -t ki или t ik = -t ki . Эти свойства не изменяются при преобразовании координат. Таким образом t ik = et ki , где e = ±1. Смешанный тензор t ik не может быть симметричным или антисимметричным. Данное правило обобщается на случай тензоров любого ранга: знак определяется четностью перестановки индекса; б) Сложение тензоров Складывать можно только тензоры имеющие одинаковый ранг и одинаковую вариантность: t mik = rmik + s mik . в) Умножение тензоров Произведением тензора 3-го ранга rmik на тензор 2-го ранга s nj является тензор 5-го ранга Pmnikj : Pmnikj = rmik s nj . Произведение зависит от порядка сомножителей: C iklm = Aik B lm . Тензор C iklm называют произведением тензоров Aik и B ik , а операция образования его компонент — тензорным (внешним) умножением этих тензоров. C iklm = Aik B lm ¹ C lmik = Alm B ik , т.е. тензорное умножение некоммутативно. Ранг произведения тензоров равен сумме рангов сомножителей. г) Cвертка (след) тензоров Если у тензора ковариантный индекс равен контрвариантному то по этому индексу можно просуммировать и уменьшить число индексов на 2 (свернуть): t iik = t k . 38

Например, тензор 2-го ранга t ik при совпадении индексов сворачивается в скаляр: n

åt

k k

= t 11 + t 22 +L + t nn .

k

Эта сумма компонент главной диагонали, то есть шпур (след) матрицы. Свертыванием называют суммирование компонент тензора по двум индексам. Поэтому свертывание можно проводить над тензорами, ранг которых не менее двух. Пусть Aikl — тензор 3-го ранга. Произведем свертывание по индексам i и k , т.е. возьмем только те его компоненты, у которых индексы i и k равны, составим из них суммы: 3

Aiil = å Aiil = A11 l + A22 l + A33 l . i =1

По другим индексам получим суммы Aikk , Aill . Таких сумм каждого вида будет три. Любая такая группа из трех сумм образует тензор 1-го ранга, то есть вектор. Таким образом при свертывании по двум индексам тензора ранга p получается тензор ранга p -2. Операцию свертывания можно применять к тензору несколько раз. Тензор четного ранга может быть свернут до скаляра, а тензор нечетного ранга — только до вектора. Умножение тензоров с последующим свертыванием по индексам, относящимся к различным множителям, называется скалярным «внутренним» произведением тензоров. При свертывании тензоров, свертывание может производиться только по парам разноименных индексов, т.е. один свертываемый индекс должен быть ковариантным, а другой обязательно контрвариантным. Это следует из требования, чтобы результат свертывания тензора должен оставаться тензором. д) Поднятие и опускание индексов В присутствии матрицы g ij можно определить операцию опускания индексов: i ... i

ki ... i

T i 12j 1 ...p j q = g i 1 kT j 1 ...2 j q p , 39

i ... i

то есть , если T j 11... j qp — тензор типа ( p,q), то можно построить тензор i ... i

T i 12j 1 ...p j q типа ( p -1,q +1) здесь идёт суммирование по k. Примеры: а) для вектора x i : x i = g ij x j , то есть после спускания индекса мы получаем ковектор. б) Ai = g ij Ak ; Ai = g ik A k ; в) Aikl = g im Aklm = g im g kn Almn = g im g kn g lr A mnr . Иногда говорят об операции переименования индекса: Aik = g il Alk . Для поднятия нижних индексов при наличии метрики g ij , необходимо рассмотреть обратную матрицу ( g ij g jk = d ik ): j i ... i p

T j 21... 2j q

i ... i

= g j 1 kT kj 21 ... jpq

Если мы опустим индекс, а потом поднимем, то получим исходный тензор. е) Тензоры и пространство Физические явления не могут зависеть от системы координат. Это связано с фундаментальными свойствами пространства — однородностью и изотропностью, что является опытным фактом. Таким образом закон преобразования компонент (чисел, определяющих физический объект) при изменении пространственной системы координат должен обеспечивать независимость физических объектов от выбора системы координат. С этой точки зрения, закон преобразования компонент позволяет объединить физический объект в единое понятие тензоров. Скаляры и векторы являются лишь частными случаями тензоров. Законы преобразования компонент для различных объектов различны и определяются свойствами этих объектов, это приводит к появлению тензоров различных рангов: • тензор 0 ранга — это скаляр: j¢ = j; • тензор 1 ранга — это вектор: A¢ i = a i ¢l Al (линейная форма); • тензор 2 ранга: A¢ ik = a i ¢l a k ¢m Alm (квадратичная форма); • тензор n-го ранга: A¢ ikl... = a i ¢ p a k ¢r a l ¢s ... A prs ... ; Aikl... — компоненты тензора. 40

r r r Пример: A, B,C — векторы. D ikl = Ai B k C l — тензор 3-го ранга (3 3 = 27 компонент). Закон преобразования тензоров при изменении систем координат связан с понятием инвариантности уравнений, т.е. неизменяемости при переходе от одной системы координат к другой. Если новое уравнение имеет такой же вид в новых координатах, как и первоначальное уравнение в старых координатах, то такое уравнение называют инвариантным. Инвариантность уравнений, описывающих физический закон, является их непременным свойством вследствие однородности и изотропности пространства. Для инвариантности уравнений необходимо, чтобы все тензоры, которые входят в виде слагаемых в эти уравнения, были тензорами одного ранга. 4) Тензорное исчисление ковариантного (абсолютного) дифференцирования Ковариантная производная вектора а) В декартовой системе координат дифференциал вектора равен: r r r r r dA = d( Ai e i ) = e i dAi ; r r Второе слагаемое Ai de i = 0, так как в декартовой системе координат r векторный базис одинаков для всех точек пространства, поэтому: de i = 0. r r r В общем случае базис (e1 e 2 e 3 ) является локальным и меняется от точки к точке, поэтому: r r r r r r r dA = d( Ai e i ) = e i dAi + Ai de i r r r r r r r dA = d( A i e i ) = e i dA i + A i de i r r ¶A Так как dA = k dx k , то ¶x r r r r r i ¶er ¶A ¶A i i r ¶e i ¶A i r i = e + A = e + A i i ¶x k ¶x k ¶x k ¶x k ¶x k r ¶A б) Компоненты (ко- или контрвариантные) этих векторов k об¶x разуют 9 величин, совокупность которых называют абсолютной (ковариантной) производной вектора (ко- или контр-). Для них введём обозначение: 41

r ¶A r (29) e i º Ai ; k ¶x k Это ковари ант ная абсолютная произ водная ковари ант ного вектора. ¶A Совокупность контрвариантных компонент векторов обо¶x k значим: ¶A i (30) e º A;ik k ¶x Это ковариантная (абсолютная) производная контрвариантного вектора. Ai ; k и A;ik являются компонентами тензора 2 ранга. в) Найдём явное выражение ковариантных производных: r ¶A ¶A r ¶e j ковектора — Ai ; k = k e i = ki + A j k × e i ¶x ¶x ¶x r i ¶A r ¶A ¶e j контрвектора — Ai ; k = k e i = k + A j k × e i ¶x ¶x ¶x

(31)

Учитывая, что компоненты e i × e j = g i j равны либо нулю, либо ¶e ¶ ¶e j единице, получим: k (e i × e j ) = 0. Поэтому: e i k = - e j ik ¶x ¶x ¶x Введём обозначение: ¶e j (32) G ijk º e i k ¶x Эти 27 величин в 3-мерном пространстве называются символами Кристоффеля 2 рода. Тогда (31) примут вид: ¶A (ковектор) Ai ; k = ki - A j Gikj ¶x (контрвектор) A;ik =

¶A i ¶x

k

+ A j Gikj

(33)

То есть абсолютная производная учитывает не только быстроту изменения самого вектора, но также и быстроту изменения локального 42

базиса. ( В декартовой системе координат символы Кристоффеля 2го рода равны нулю). Таким образом символы Кристоффеля отражают метрику пространства и, следовательно, могут быть выражены через метрический тензор. Заметим, что из (32) следует: ¶e j (34) e i G ijk = k ¶x ¶e j То есть G ijk является коэффициентом разложения векторов k по ¶x векторам основного базиса. В этой связи введём величины, являющиеся ¶e j коэффициентами разложения векторов по векторам взаимного ¶x k базиса: ¶e j (35) e i Gi , jK = K ¶x Gi , jK — называются символами Кристоффеля 1-го рода. Тогда из (34) и (35)следует: ¶e j Gi , jk = e i × k ¶x Gi , jk = g ie G ejk ; G ijk = g ie Ge , jk Символы Кристоффеля симмет дексам: r ричны поr двум нижrним ин r ¶ e ¶ e ¶ ¶ r ¶ ¶ r j = = = k. Gi , jk = Gi , kj ; G ijk = Gkji , так как ¶x k ¶x k ¶x j ¶x j ¶x k ¶x j Таким образом: ¶e ö 1 æ ¶e j = ç e i k + e i kj ÷ = ç 2 è ¶x ¶x ¶x ÷ø r r ¶e r ¶e ù 1é ¶ r r ¶ r r = ê k (e i × e j ) + j (e i × e k ) - e j × ik - e k × ik ú = 2 ë¶x ¶x ¶x û ¶x r r r ¶e j ù ¶e 1 é ¶g ij ¶g = ê k + ikj - e j × ki - e k × i ú = 2 êë¶x ¶x ¶x úû ¶x ¶g ö 1 é ¶g ij ¶g ¶ r r ù 1 æ ¶g ij ¶g = ê k + ikj - i (e k × e j )ú = ç k + ikj - kii ÷ ç 2 ë¶x ¶x ¶x ÷ø ¶x ¶x û 2 è ¶x

Gi , jk = e i

¶e j

k

43

G ijk = g ie Ge , jk = Gkji . В общем случае символы Кристоффеля не являются тензорами (только в частном случае). Из определения ковариантной производной (29) и (30), учитывая, что e i = g ie e e , следует: Ai ; k = g ie A;ek ; A;ik = g ie Ae ; k . Таким образом и Ai ; k и A;ik являются компонентами одного и того же тензора, который и называется абсолютной (ковариантной) производной вектора. 2) Ковариантная производная тензора. а) Обобщим формулы ковариантной производной вектора на понятие ковариантной производной тензора 2го ранга:

Т ;ikl Т ki; l

¶Т ik

-Т mk Gilm -Т im Gklm ¶x l ¶Т ik = -Т mk Gmli -Т im Gmlk l ¶x ¶Т ki = +Т km Gmli -Т mi Gklm ¶x l

Т ik; l =

Эти объекты преобразуются при изменении системы координат как соответственного компоненты тензора 3-го ранга. Аналогично определяются ковариантные производные тензора любого ранга. Ковариантная производная от тензора n-го ранга является тензором ранга (n +1). Ковариантная производная тензора нулевого ранга (скаляра) совпадает с чётной производной по координате: f; i =

¶f . ¶x i

То есть является ковариантным вектором (типа grad). Правила дифференцирования суммы и произведения: ( Aik + B ik ); l = Aik; l + B ik; l ( Aik × B mn ) = Aik; l × B mn + Aik × B mn;l 44

б) Теорема Риччи: Ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Действительно: g ik; l =

¶g ik

- g im Gklm - g mk Gilm =

¶g ik

- Gi , kl - Gk, il = ¶x l ¶g ¶g ö 1 æ ¶g ¶g ¶g 1 æ ¶g = - çç ikl - ilk - kli ÷÷ - çç ikl + kli - ilk l 2 2 ¶x ¶x ¶x ø è ¶x ¶x ¶x è ¶x l

¶x ¶g ik

ö ÷÷ = 0 ø

Аналогично: g;ikl = 0. Данное обстоятельство позволяет обращаться с компонентами метрического тензора при дифференцировании, как с постоянными. Например: g il A;lk = ( g il A l ); k = Ai ; k g ilT; klm = ( g ilT lm ); k = T i ;mk T ik; l g im g kn = (T ik g im g kn ); l = T; lmn 3) Тензор кривизны а) Операцию ковариантного дифференцирования обозначают символом Ñ, например: Ñ k T ij = T ij; k Рассмотрим выражение: æ ¶T i ö Ñ k Ñ lT i = Ñ k çç + GqliT q ÷÷ = l è ¶x ø p i ¶ æ ¶T q ö i i æ ¶T ç ÷ = k çç + G T + G + GqlpT q ql pk l l ÷ ç ¶x è ¶x ø è ¶x =

p ¶ 2T i ¶T q i i ¶T + k G pk + G pk k l l ¶x ¶x ¶x ¶x

ö æ ¶T i q i ÷ - Glkp ç ç ¶x p + GqpT ÷ è ø ¶Gqli ¶T i q i - Glkp + T + G pk GqlpT q p k ¶x ¶x

ö ÷= ÷ ø - Glkp GqpiT

Составим выражение: æ ¶Gqki ¶Gqkl (Ñ k Ñ l -Ñ l Ñ k )T i = ç k - l ç ¶x ¶x è

i ö q ÷T + (G i G p - G i G p )T q - (G p - G p ) ¶T . pk ql pl qk lk kl ÷ ¶x p ø

45

Введём обозначения: -R

i qkl

=

¶Gqli ¶x

k

T

p kl

¶Gqki ¶x

l

i + G pk Gqlp - G pli Gqkp .

= Gklp - G lkp .

Окончательно, получим формулу: i (Ñ k Ñ l -Ñ l Ñ k )T i = -Rqkl T q +T klp

¶T i , ¶x p

i где: T klp — называют тензором кручения; Rqkl — называют тензором Рима-

на или римановой кривизной. Для евклидовой метрики: ìïT klp º 0. í i ïîRqkl = 0. Всегда: i i . -Rqlk = Rqkl p Для мет ри ки g ik су ще ст ву ет тен зор Riqkl = g ip Rqkl , при чём

Riqkl = -Rqikl . Тензор кривизны — это тензор 4-го ранга. След тензора Римана Rql = Rqili = Sp(Rqili )называется тензором Риччи. След тензора Риччи: R = g lq Rql = g lq Rqili = Sp(Rql )называется скалярной кривизной. б) Трёхмерный случай: тензор Римана определяется шестью числами. Здесь тензор Риччи Rqili = Rql = Rlq — симметричный тензор 2-го ранга. Скалярная кривизна R = g ql Rql = g ql Rqili — след тензора Риччи: Sp(Rql ) = g ql Rql . в) Четырёхмерный случай: здесь тензор Римана не определяется тензором Риччи. Уравнения (Эйнштейна), определяющие метрику пространства-времени, имеют вид: 46

1 Rij - R × g ij = cT ij ; Ñ jT i j = 0. 2 T ij — называют тензором энергии-импульса (материи). В отсутствии материи: 1 Rij - R × g ij = 0, или Rij = 0, 2 то есть тензор Риччи определяет геометрию пространства в отсутствии материи. Уравнения Эйнштейна фактически им угаданы. Строгий вывод этих уравнений основан на использовании принципа наименьшего действия — принципа Гамильтона . Задания для самостоятельной работы: 1. Вычислить определитель: 1½ ½2 -1 4½ ½-1 2 ½-1 2 3½ а) ½3 -2 5½ б) ½ 3 0 -2½ в) ½-2 1 4½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½1 -3 6½ ½2 - 4 5 ½ ½ 5 -3 2½ 2 4 3½ ½0 ½-1 0 3 4½ ½ 0 -2 -1 -4½ ½ 5 2 1 6½ г) ½ ½ д) ½ ½ 4 3 2½ ½1 ½-2 3 4 5½ ½-2 -8 -2 1 ½ ½ 6 1 2 3½ éæ 3 3 0 ö æ 1 3 0 öù ÷ç ÷ú éæ 3 -2 ö æ 0 -1 öù êç ÷÷ × çç ÷÷ú ж) êç 9 9 -3 ÷ × ç 1 3 -1 ÷ú е) detêçç ëè 1 4 ø è 0 2 øû êç 4 3 6 ÷ ç 2 1 0 ÷ú øè øû ëè 2. Перемножить матрицы: æ 1 ö ç ÷ æ 2 -3 ö æ 9 -6 ö ÷÷ × çç ÷÷ б) (1 -1 4) × ç 3 ÷ а) çç è 4 -6 ø è 6 -4 ø ç -1 ÷ è ø æ 4 6 7ö ç ÷ в) (1 -3 2 ) × ç -1 0 1 ÷ ç 0 -4 1 ÷ è ø 47

æ5 ç ç4 г) ç 3 ç ç0 è

0

2

3ö æ 6 ö ÷ç ÷ æ 2 5 6 ö æ 1 -3 2 ö ç ÷ç ÷ 1 5 3 ÷ ç -2 ÷ × ç ÷ д) ç 1 2 5 ÷ × ç 3 -4 1 ÷ ÷ 1 -1 2 7 ç1 3 2 ÷ ç2 5 3 ÷ ÷ç ÷ è øè ø ÷ ç 1 0 1 ø è 4 ÷ø

3. Найти матрицу, обратную А: æ4 5ö æ1 2 ö ÷÷ б) A = çç ÷÷ а) A = çç è3 2 ø è0 3 ø æ1 0 1ö æ -1 4 2 ö ç ÷ ç ÷ в) A = ç 2 1 0 ÷ г) A = ç 2 0 -4 ÷ ç1 3 1÷ ç 3 1 -6 ÷ è ø è ø r r 4. Найти угол между век торами a и b: r r а) a = ( -1 1 0 2 ), b = ( 2 -1 1 0) r r б) a = (1 0 1 0), b = (1 1 0 0) r r 5. Найти сумму век торов a и b: r r а) a = ( 4 3 2 ), b = ( -1 1 2 ) r r б) a = (1 1 3 4), b = (0 1 -1 -2)

ЛИТЕРАТУРА 1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Ч.1. М.: Финансы и статистика, 2003. 2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. 3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.3, Ч. 1. М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1957. 4. Анго А. Математика. М.: Наука, 1967.

Эдуард Федорович Казанцев МАТЕМАТИКА РАЗДЕЛ 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (Тетрадь 4)

Учебно-методическое пособие Печатается по решению Редакционно-издательского совета Международного университета в Москве Компьютерная верстка и дизайн: Д.А.Глазков Печатается в авторской редакции Подписано в печать 09.03.05 Гарнитура Times New Roman Формат 60´90 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическая Усл. печ. л. 3,0. Тираж 150 экз. Изд. № 16 Издательский дом Международного университета в Москве Москва, Ленинградский проспект, 17 Международный университет в Москве Тел. (095) 250-45-42